Текст
                    
Российская академия наук
Российская академия образования
Издательство «Просвещение»
Академический школьный учебник
МАТЕМАТИКА

УДК 373.167.1:51 ББК 22.1я72 М34 Авторы: Г. В. Дорофеев» И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова» Е. А. Бунимович» К. А. Краснянская» Л. В. Кузнецова» С. С. Минаева» Л. О. Рослова На учебник получены положительные заключения Российской академии наук (№ 10106-5215/15 от 31.10.07) и Российской академии образования (№ 01-191/5/7д от 11.10.07) Серия «Академический школьный учебник» основана в 2005 году Проект «Российская академия наук, Российская академия образования, издательство «Просвещение» — российской школе» Руководители проекта: вице-президент РАН, акад. В. В. Козлов, президент РАО, акад. Н. Д. Никандров, генеральный директор издательства «Прос- вещение» чл.-корр. РАО А. М. Кондаков Научные редакторы серии: акад.-секретарь РАО, д-р пед. наук А А Куз- нецов, акад. РАО, д-р пед. наук М. В. Рыжиков, д-р экон, наук С. В. Сидо- ренко Математика. 6 класс : учеб, для общеобразоват. учрежде- М34 ний / [ Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин» С. Б. Суворова и др.]; под ред. Г. В. Дорофеева» И. Ф. Шарыгина; Рос. акад, наук, Рос. акад, образования, изд-во «Просвещение». — 11-е изд. — М. : Просвещение, 2010. — 303 с.: ил. —(Академический школь- ный учебник). — ISBN 978-5-09-022756-8. Учебник является частью учебного комплекта для 6 класса, включающе- го также дидактические материалы, рабочую тетрадь, тематические тесты и книгу для учителя. УДК 373.167.1:51 ББК 22.1я72 ISBN 978-5-09-022756-8 © Издательство «Просвещение», 2004 © Издательство «Просвещение», 2008, с изменениями © Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2004 Все права защищены
Что мы знаем о дробях С самых древних времен, наряду с необходимостью считать предметы, у людей появилась потребность в измерении длин, пло- щадей, углов и других величин. Используемые единицы измерения часто не укладывались в измеряемой величине целое число раз. Для получения более точных результатов меры стали делить на части, что привело к появлению дробей. В Древнем Вавилоне за 2000 лет до н. э. при измерениях ве- личин применяли шестидесятые доли. Вавилоняне изобрели систе- му измерения углов, которая используется и поныне. Ученые в Древнем Вавилоне понимали, что при измерении углов в астроно- мии, религии, мореплавании нельзя ограничиваться лишь целым числом градусов, так как при этом расчеты оказываются очень не- точными. Поэтому они стали использовать более мелкие единицы. Градус разделили на 60 равных частей — минуты: в градусе 60 минут, так что 1 минута — это часть градуса. Для большей точности минуту разделили еще на 60 частей и получили секунды: в минуте 60 секунд, так что 1 секунда — это часть минуты. Вообще, первыми в практике людей появились самые простые « I1 1 1 \ TJT дроби, составляющие одну долю целого г^, и т. д.1. И вна- чале люди для вычислений употребляли только такие дроби. Лишь
значительно позже греки, а затем индусы стали использовать в вы- числениях и другие дроби. Запись дробей с помощью числителя и знаменателя появилась в Древней Греции, только греки знаменатель записывали сверху, а числитель — снизу. В привычном для нас виде дроби впервые ста- ли записываться в Древней Индии около 1500 лет назад, но при этом индусы обходились без черты между числителем и знаменате- лем. Общеупотребительной черта дроби стала только с XVI в. Интересно, что в языках разных народов слова для обозначе- ния понятия «дробь» происходят от таких глаголов, как «раздроб- лять», «разбивать», «ломать». А в первых русских учебниках ма- тематики дроби так и назывались — «ломаные числа». В древности и в Средние века учение о дробях считалось хотя и самым трудным, но и самым важным разделом арифметики. Рим- ский оратор Цицерон, живший в I в. до н. э., сказал: «Без знания дробей никто не может признаться знающим арифметику!» Вспомним основное свойство дроби, которое позволяет приво- дить дроби к новому знаменателю и сокращать их. Если числитель и знаменатель дроби умножить или разде- лить на одно и то же отличное от нуля число, то получит- ся дробь, равная данной. Пример 1. Приведем дробь к знаменателю 36. о Сначала найдем дополнительный множитель: 36-3 = 12. Теперь умножим числитель и знаменатель дроби на 12: 1 1-12 = 12 3 3-12 36’ Заметим, что дробь -5- можно привести к любому знаменателю, о кратному 3, т. е. к 6, 9, 12 и любому другому числу, делящемуся на 3. Однако эту дробь нельзя привести, например, к знаменателю 10, так как число 10 на 3 не делится. Вспомним правила, по которым выполняют действия с дробями. Чтобы найти сумму или разность дробей с одинаковыми зна- менателями, нужно найти сумму или разность их числите- лей, а знаменатель оставить прежним. Чтобы найти сумму или разность дробей с разными знаме- нателями, нужно сначала привести эти дроби к общему зна- менателю. 4
Пример 2. Сложим дроби -57г и -т^-. ± о Общий знаменатель этих дробей должен делиться и на 20, и на 16. Таким числом является, например, произведение знаменате- лей — число 320. Однако если мы хотим найти наименьший общий знаменатель, то можно действовать так. Будем последовательно перебирать чис- ла, кратные 20 — большему знаменателю, и проверять, делятся ли они на 16. Число 40 не делится на 16, число 60 также на него не делится, а 80 уже делится. Найдем дополнительные множители: 80=16 = 5; 80 = 20 = 4. Поэтому 9^4 3^ 9-4 + 3-5 _ 36+15 = 51 20+ 16 80 80 80 • Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их чис- лители и их знаменатели и первое произведение записать в числителе, а второе — в знаменателе. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. 1 3 Пример 3. Найдем значение выражения & 4 Заменим деление умножением на обратное число: XJL = JL 4 1-42 1'2^2 2 4 2*3 2-3 1-3 3’ Какая часть фигуры закрашена (рис. 1)? Запишите ответ разными дро- бями.
2. Изобразите какую-нибудь геометрическую фигуру (прямоугольник, круг или отрезок) и закрасьте ту ее часть, которая соответствует дроби: а)|; б) £ в> V 15 г) 25’ 3. Сократите дробь: ,24 20 а) 30’ в) 36’ д) W: ,36 ,66 ж) 60' И 99’ б) 48’ V 14 г) 56’ е)< , 18. , 98 3) 90' К) 112 4. Приведите дроби: а) -д, к знаменателю 18; 7 5 21 б) Q-, -jg-, дд к знаменателю 80. 5. В Древнем Риме при измерении величин применялись дроби со знамена- чо г. 1 5 телем 12. Вместо говорили «одна унция», вместо ~~ «пять унции» и т. п. Выразите в унциях: половину, треть, четверть, пять шестых, три чет- верти. 6. Сравните дроби и запишите результат сравнения с помощью знаков >, <, =: V 4 7 х 5 7 V 9 . 1 а> 5 И ТО* в) 6 и 8: Д) 8" И 1 8": ^ 5 7 3 6 8 2 б) 12 и 18’ г) 8 И 16’ е) 120 и 19’ 7. Запишите дроби в порядке возрастания: , 3 Л 2 5 Д 1Z. 2 3 а) 4’ 12’ 3’ 6: в) 2’ 20’ 5’ 4’ 1 2 7 _1_ 7 _4 63 J, 0) 15’ 5’ 15’ 3’ г’ 10’ 5’ 100’ 2' 8. а) На тренировке Оля пробежала стометровку за -4 мин, Галя — за 44 мин, о oU о з 4 Вера — за мин, Зоя — за мин. В каком порядке девочки пришли к финишу, если они стартовали одновременно? б) Расстояние от школы до стадиона Толя и три его друга проходят за раз- 2 1 3 ное время: Толя — за у ч, Саша - за j ч, Коля — за ч, Петя —за -^2 ч- Они вышли из школы одновременно. В каком порядке они придут на стадион?
9. Найдите сумму или разность: ,51 ,72 а) 6 6: Г) 10 5’ , 3 1 ж) 4 6’ 4 1 К) 45 30’ б) 10 10’ д) 9 7’ -|о> + ю|(О 7? 17 11 Л) 18 12; В) 24+t: е) f+ 1: , 8 17 и) 25 20’ м) 10. Выполните вычисления: 1 3 2 а) 4 + 5д-; в) 1 5- + 2у; д) 3-у: «> 43 " 1 2 Z 1 л 6) 1 -д+Зу; г) 5д--2; 41. Найдите произведение или частное: 9 5 Т_ _7_ а) 10 ' 12’ г) 8 ’ 16’ ж) 15 О к) f =18; 3 . 11 , 27.18 б) 5 ’ 15’ Д) 40 ’ 35’ з) 1 :у; л) -£зб; . 9 2. . 8,с. в) 22 ‘ 3' е) 9 ’6’ и) f 12; м) 10:£. 12. Вычислите: а) 2^-15; г) 3g-• у; ж) к) 41:8; б)28-1-|; д) 3-1:30; । C_L 11 з) 55 ’ 15’ л) 57=30; в) 1-|-2^; е) 6:1-1; и) 10-3; м) 14:42. 13. Выполните действия: 9-7-5 3 .5 10 , 3 2 . 7 а) 10-8-6’ г) 25'6' 9 ' ’ ж) 8 ’ 15 ’ 20; Л. 17-26-8 9 7 , 4 8 10 б) 13-51-9’ д) 8’ 16 ' 12’ 3) 9 9 17’ 9-5-4 £ 7 £ 1 9 5 9 в) 20-8-15’ е) 9 10 3’ и) ю’зз ’ 16’ 14. Вычислите удобным способом: а) 15 + 9 + 5 + 9: в) 1 2У Ю + в-ду; б) ТГ+гГ+f: г) 36 ’17-5‘ 36- 15. Найдите значение выражения: а) 25’( ю 5 г): в) It г~|со I д) 10-5-1-1 _£ 3’ й, /_5_ 1 31. 15 б) (12 6 8) 16’ Г) 5:1 1 . 1 4 +7:13 = ,1,3 8 е) 2 4'15 3 10'
16. Двум дежурным было поручено вымыть парты в классе. Когда они закончи- А ~ 3 ли работу, то первый сказал, что вымыл всех парт, а второй сказал, что э 2 вымыл д- всех парт. Их товарищ заметил, что кто-то из них ошибся в рас- четах.. Как он догадался? 17. Задание с выбором ответа. Пирог разделили на 6 равных частей. Одну из них разделили еще на 3 равные части. Какую часть пирога составляет од- на маленькая часть? А. 3. Б. д. В. 12. Г. 18. 18. а) Толя покрасил в субботу забора. В воскресенье три его друга при- шли ему помочь. Вместе с Толей они разделили незакрашенную часть за- бора поровну и докрасили забор. Какую часть забора покрасил каждый из них в воскресенье? б) Три школьницы решили написать поздравительные открытки к празднику. Они разделили всю работу поровну. Однако Таня нашла себе трех помощ- ниц, с которыми разделила свою часть работы поровну. Какую часть всей работы выполнила Таня? 19. а) У Андрея два аквариума. Длина, ширина и высота одного из них равна 9 2 1 10 М’ 5 М‘ 2 М’ а другого - 4 3 3 5 М1 4 М> Чо М- В какой аквариум вмещается больше воды? б) Сколько потребуется проволоки для изготовления каркасной модели па- 4 .1 .2 раллелепипеда с измерениями =• дм, 1-=- дм, 1-=- дм? ООО 20. Брат может прополоть грядку за 30 мин, а его младшая сестра — за 60 мин. Ответьте на вопросы. 1) Какую часть грядки пропалывает за 1 мин брат? 2) Какую часть грядки пропалывает за 1 мин сестра? 3) Какую часть грядки пропалывают они за 1 мин, работая вместе? 4) За сколько минут брат с сестрой пропалывают грядку, работая вместе? 21. Мама может почистить картофель для обеда за 16 мин, а сыну на эту ра- боту потребуется 48 мин. Ответьте на вопросы. 1) Какую часть картофеля почистит каждый из них за 1 мин? 2) Какую часть картофеля почистят они за 1 мин, работая вместе? 3) За сколько минут они почистят картофель для обеда, работая вместе? 22. Корова съедает копну сена за 3 дня, а коза может съесть такую копну за 6 дней. Ответьте на вопросы. 1) Какую часть копны съедает каждое животное за 1 день? 2) За сколько дней съедят такую копну корова и коза вместе?
Б 23. Покажите, что верны равенства: 5^= 55 555 13 _ 1313 _ 131313 а) 9 99 999’ 0) 77 7777 777777’ 24. Сократите дробь: 78 700 255 324 84 >108 96-35-110 а) 338’ 840’ В) 525’ Г) 405’ Д) 48-126’ е) 33-80-105’ 25. Выполните действия: а) ^.<4-4; а) б> э4гН; г) Ш4 26. Найдите значение выражения: J1 .‘1 , с 9 15 t 7 I 1 1 1 \ , 2 пя а) (г 3 6Г24*5 22 121 ’ В) 916 11 19 15 / 45’24: «V JL.1./1 5 I I 5 »2 ,j_ 8 »2 4 /7 9 1 б) 14 35 l14 14/(l2) ’ Г 112 1б) 5И0 16Г 27. Расположите в порядке возрастания следующие суммы: 1 1 1 + 1 1+1 1.1 3 + 8’ 4 7’ 5 6’ 2 9‘ 28. Найдите какие-нибудь числа, которые: ч Л 1 2 5^4 а) больше -у, но меньше -у; б) меньше<^-, но больше зг. fl У У 16 17 29. Найдите дробь со знаменателем 26, которая больше и меньше -zz-. 30. Не приводя дроби к общему знаменателю, установите, какая из них наи- большая: 11 21 31 23 17 35 а) 20’ 40’ 60’ 48’ 36’ 72’ 31. На заводе трудятся рабочие разной квалификации. Рабочий высшего разря- да может выполнить заказ за 12 дней, менее опытный рабочий — за 20 дней. Рабочий самой низкой квалификации выполнит этот заказ за 30 дней. За сколько дней выполнит этот заказ бригада из трех рабочих раз- ной квалификации? 32. Отец и сын, работая вместе, покрасили забор за 12 ч. Если бы отец кра- сил забор один, он выполнил бы эту работу за 21 ч. За сколько часов по- красил бы этот забор сын? 33. Велосипедист и пешеход отправились одновременно из двух пунктов навст- речу друг другу. Через сколько минут они встретились, если путь от одно- го пункта до другого занял у велосипедиста 16 мин, а у пешехода — 48 мин?
34. Отрезок MN сначала разделили точками А и В на 3 равные части, а затем точками С, D и Е на 4 равные части. а) На сколько частей разделен отрезок? Есть ли среди них равные? 6) Какую часть длины данного отрезка составляет длина каждой получив- шейся части? 2 1 35. От веревки, длина которой -z- м, нужно отрезать -z- м. Как это сделать, не производя измерений? 2 36. Задача-исследование. 1) Дана правильная дробь у. Запишите обратную ей дробь. Правильной или неправильной является эта дробь? Какая из этих двух дробей ближе к 1? 2) Запишите какую-нибудь правильную дробь и дробь, обратную ей. Какая из них ближе к 1? Проведите такой эксперимент еще раз. 3) Сделайте вывод о том, какая из дробей ближе к 1 — правильная или обратная ей неправильная. Поясните свой вывод. '* «Многоэтажные» дроби Вы знаете, что частное двух натуральных чисел равно дроби, числитель которой — делимое, а знаменатель — делитель. Например, 7^3 = -^-, 10-14 = 4т о 14 7 Иными словами, такие записи, как т.п и —, обозначают одно п и то же. Поэтому черту дроби можно рассматривать как другое обозначение действия деления двух натуральных чисел. В математике принято использовать черту дроби в качестве зна- ка деления и при записи более сложных выражений. Так, выраже- 4 + — 3 с 2\.К 4\ ние ----- является иным способом записи частного ^4+ —J — yj. 1- б" В дальнейшем нам будут встречаться дроби, числители и зна- менатели которых — любые выражения, а не только натуральные числа. При вычислении значения такой «многоэтажной» дроби по- следним выполняется действие деления: выражение в числителе де- лится на выражение в знаменателе. „ , „ „ 10 Пример 1. Найдем значение дроби - - + - 2 4 Для этого надо выполнить два действия: D-bHb 2> 10:7=101=1Т1=8- 10
Запись решения можно вести «цепочкой»: 10 =10=10*4=п 1 3 5 5 — _1_- -- 2 4 4 Если вы умеете выполнять устно такие действия, как, напри- 2 мер, 30-^ = 20, то сможете преобразовывать «многоэтажные» дро- би быстрее. ! 2 Пример 2. Найдем значение дроби ———. а £ 3”2 Умножим числитель и знаменатель дроби на 30. Значение дро- би при этом не изменится, а в числителе и знаменателе окажутся целые числа. Получим 11 / 1 1 \ 1 вЛ 1 3__5 = ЗО'(з б) = 30~3 30 5 = Ю-6 = ± 2 1 (2 1\ ОЛ 2 пп 1 20-15 “5* 3 2 ЗО’(з 2) 3t>' 3 30‘ 2 37. Запишите частное в виде дроби и упростите ее (если это возможно): а) 2 = 7. 11 = 15, 8:9, 73=100; б) 6:12, 15 = 20, 8:28, 10:35; В) 21:10, 14:6, 15:9, 40:5. 38. Запишите выражение в виде дроби и сократите эту дробь: а) (21 -18):14; б) 60 = (16-25); в) (12-15) = 40; г) (4 • 24): (42 • 8). 39. Замените знаком деления (:) черту дроби: 100 а) 18-17’ в) 8-12-16’ 15-31 23-16 б) 2 ' г’ 11-41‘ 40. Найдите значение выражения: 1 2 2 3 X 4 8^ 4 2 2 I. 3 5 а) у, 4 V 3 8 в) 5 ’ 1 4 ’ 2 3 1 1 1 1 I* см 1 см|оо э "Т • 7 V’ 2 Г) 3 •х|-| со го|-
41. Вычислите: 12 A 11 2 3 8 1 4 7 а) ——; б) уу; в) уу; г) уу. 3 4'2 2’6 2 ’ 14 42. Найдите значение выражения: ._Л 2..1 17 1_ J_ 2_ 5 36 100 10 43 а) в| —г; д) ж| гт; * в — 2 ч— — ----1— 3 6 2 10 2 Б 43. Что может означать запись 2 ? Примите по очереди каждую дробную 3 черту за «основную» и запишите соответствующие выражения. Найдите зна- чение каждого из этих выражений. 44. Разделить некоторое число на 2 — это все равно что умножить его на Поэтому Рассуждая таким же образом, представьте в ви- де произведения выражение: 1+1 т-5 2 3 1 6 81 — ’ 61 —; 5 2 в) 2+i 5 45. Запишите выражение в виде частного, используя черту дроби: а> |Ь11 => It 4)4 б) (в-б'др'д’; г) (5о+'Тоо)'Чоо- 46. Найдите значение выражения: 1 1 1
1 2 3 1 г> -----д)2+----------------— 6 +---- ». 1 +--— 1_1 1+1 2 3 3 Основные задачи на дроби Вспомним, как решаются основные задачи на дроби. Пример 1. Предположим, по радио сообщили, что жители го- рода Синегорска, возле которого расположен химический завод, ак- тивно борются против загрязнения окру- 2 жающеи среды и — из них присоедини- э лись к экологическому движению Грин- пис («Зеленый мир»). Человек, знакомый с дробями, пой- мет, что к движению Гринпис присоеди- нилось чуть меньше половины жителей города. Чтобы подсчитать их число, не- обходимо знать, сколько жителей в Си- 2 негорске, и уметь наити — от этого ко- личества. л < 2 ’ Допустим, в городе проживает 80 000 человек. Найти — от о 80 000 можно по-разному: опираясь на смысл понятия дроби и по правилу нахождения части от числа. Решим задачу первым способом. Найдем пятую часть от 80 000 и результат умножим на 2: (80000:5)-2 = 32000 (чел.). Теперь решим эту же задачу, воспользовавшись правилом: что- бы найти часть от числа, выраженную дробью, нужно это число 2 умножить на данную дробь. Умножив 80 000 на получим тот же о результат: 80000-4= 80°?°‘2 =32000 (чел.). О D Может возникнуть обратная задача. 13
Пример 2. Пусть известно, что 32000 человек из города Си- негорска присоединились к движению Гринпис и что это состав- 2 ляет -т- от числа его жителей. Имея такую информацию, нетрудно О подсчитать, каково население города. 2 По условию 32 000 — это -г- населения города. Так как все на- D 5 селение составляет —, то 32 000 надо разделить на 2 и результат о умножить на 5: (32000:2)-5 = 80000 (чел.). Эту же задачу можно решить и по правилу нахождения числа по его части: чтобы найти число по его части, нужно эту часть раз- делить на дробь, ей соответствующую. 2 Разделив 32000 на получим 32 000:4= 32 0°0 ‘А = 8о 000 (чел.). Пример 3. Рассмотрим теперь третью ситуацию. Пусть жур- налисту стало известно, что в городе Синегорске проживает 80000 человек и 32000 из них присоединились к движению Грин- пис. В своем сообщении по радио журналист хочет подчеркнуть, что это довольно большая часть населения города. Для этого он дол- жен сосчитать, какую часть 32000 составляют от 80000. Один человек — это QA Ахтг часть населения города. Тогда ov UUU 32000 человек составляют 32 000 32 2 80000 = 80 = У населения г°Р°Да- Для ответа на вопрос о том, какую часть составляют 32000 че- ОАЛЛЛ л 32000 ловек от 80000, мы записали дробь ОАААА, которая выражает част- oU UUU ное от деления 32000 на 80000. Таким образом, мы пришли к пра вилу: Чтобы узнать, какую часть меньшее число составляет от боль- шего, надо первое число разделить на второе. 47. Прочитайте предложения и вставьте нужные слова. а) Чтобы найти половину некоторого числа, нужно это число разделить на ... или умножить на ... . 14
б) Чтобы найти четверть некоторого числа, нужно это число разделить на ... или умножить на ... . в) Чтобы найти десятую часть некоторого числа, нужно это число разделить на ... или умножить на ... . г) Чтобы найти сотую часть некоторого числа, нужно это число разделить на ... или умножить на ... . 48. Найдите: 1 3 4 а) от 8 кг; в) от 12 кг; д) д- от 18 кг; 12 3 б) -jg- от 30 кг; г) у от 20 кг; е) от 50 кг. 49. Найдите: ч 1 3 3 1 4 3 а) ~2 от J м; в) J от 5о”кг: д) э" от То" дм: б) Чо от г’г: г) s' от J см: е) То от Чо м- 2 50. а) Стакан вмещает 160 г крупы. Крупой наполнили стакана. Сколько грам- мов крупы насыпали в стакан? б) Общая площадь окон, которые надо вымыть, составляет 24 м2. За час вымыли — этой площади. Определите площадь окон, вымытых за час. 3 51. а) От лентв длиной 2 м 40 см отрезали ее длины. Найдите длину ос- тавшейся части. 3 б) Занятия в школе длятся 5 ч 30 мин. Перемены занимают этого вре- мени. Сколько часов длятся уроки? 52. Составьте задачу, для решения которой нужно выполнить следующее дей- 3 ствие: 300 • -77г. 53. а) Размеры макета составляют реальных раз- меров дома. Чему равна ширина окна в доме, если на макете окно имеет ширину 60 мм? б) Размеры участка земли на плане составляют его истинных размеров. Чему равна сторо- на участка, если ее длина на плане равна 16 см? 3 54. а) В бак налили 36 л воды и заполнили его объема. Сколько воды вмещает бак? гл 2 б) Продали — привезенного в магазин виногра- о да, что составило 180 кг. Сколько всего виногра- да привезли в магазин? 15
55. Задание с выбором ответа. Андрей покрасил у садового домика за Зу ч. За сколько часов он покрасит весь дом, если будет работать с такой же скоростью? А. 1 ч. Б. 7 ч. В. 12-^ ч. Г. 24^ ч. 56. Составьте задачу, для решения которой надо выполнить следующее дейст- 2 вие: 300 о 57. а) Николай за выполнение некоторой работы должен получить 300 р. В пер- 3 вый час он выполнил всей работы. Сколько денег заплатят ему за пер- О вый час работы? 2 б) Сергей выполнил тт заказанной ему работы, и ему заплатили 500 р. 0 Сколько ему заплатят за всю работу? 58. а) Два брата должны были покрасить половину забора, длина которого 126 м. 2 Один из них выполнил -z- их общей работы, а другой — остальную часть, о Сколько метров забора покрасил каждый? б) У Тани на приготовление домашних заданий ушло 3 ч 30 мин, что со- 3 ставило д- времени, потраченного Галей. На сколько быстрее выполнила уроки Таня? 59. а) Какую часть суток составляет 1 ч? 2 ч? 2-1- ч? 5-1- ч? о 6) Какую часть часа составляют 30 мин? 15 мин? 10 мин? 6 мин? 60. а) Из 30000 избирателей пришли голосовать 24000 человек. Какая часть избирателей приняла участие в голосовании? б) В школе 1800 учащихся. На уроках 15 декабря отсутствовало 120 учени- ков. Какая часть учащихся школы была в этот день на уроках? 61. а) Стакан вмещает 200 г молока (рис. 2). Какую часть стакана нужно наполнить, чтобы в нем ока- залось 160 г молока? Какая часть стакана оста- нется незаполненной? б) Человек спит в среднем 8 ч в сутки. Какую часть суток человек спит? Какую часть суток че- ловек бодрствует? 62. а) Скорость товарного поезда 60 км/ч, а скорость пассажирского — 80 км/ч. Какую часть скорости пассажирского составляет скорость товарного по- езда? Во сколько раз скорость пассажирского по- езда больше скорости товарного? б) Из двадцатилитрового бидона, наполненного водой, отлили 8 л. Какую часть бидона заполняет оставшаяся в нем вода? Во сколько раз воды в полном бидоне было больше, чем осталось?
Б Г------------ —“““ з 63. В книге 75 страниц. В первый день ученик прочитал -= всей книги, во О второй — -= остатка. Сколько страниц ему осталось прочитать? О 2 64. В одной школе 500 учащихся, в другой — -=• этого числа, а в третьей — о 3 в 1-z- раза больше, чем во второй. Сколько учащихся в третьей школе? О 65. В доме 100 квартир (одно-, двух- и трехкомнатных). Однокомнатные квар- 1 3 тиры составляют -г часть всех квартир, а двухкомнатные — =• оставшихся 4 О квартир. Сколько в этом доме трехкомнатных квартир? м 2 1 66. Сад занимает -= земельного участка, причем -т- сада отведена под яблони. О 4 Какую площадь занимают яблони, если площадь всего участка 10 соток? Ка- кая часть всего участка занята яблонями? _ „ 1 2 67. В шестых классах учится Tjy всех учащихся школы, причем -у из них — де- вочки. Сколько девочек в шестых классах, если всего в школе 910 учени- ков? Какую часть всех учеников школы составляют шестиклассницы? 3 2 68. Ученик закрасил круга, причем этой части он закрасил синим цветом, О 0 а остальное — красным. Какая часть круга закрашена синим цветом? Какая часть круга закрашена красным? 69. Что больше: 1 1 3 2 2 3 а) у от половины или половина от у; б) у от у или у от —? 70. а) Для приготовления коктейля взяли 350 г молока. Рассчитайте, сколько граммов сиропа, ванилина и какао в отдельности надо взять, если по ре- 7 цепту молоко составляет уу массы коктейля, а сироп, ванилин и какао со- 3 11 ответственно уу, -^у и уу массы коктейля. б) Для изготовления ковра требуются шерстяные нитки разного цвета. При 1 л 2-3 этом -77г всех ниток должна быть красного цвета, — синего, -577 — ко- I и э и ричневого, остальные — белого. Сколько граммов ниток каждого цвета тре- буется для изготовления ковра, если на него ушло 700 г белых ниток? 5 71. Сергей заполнил -z- тетради, и у него осталось 36 чистых листов. Сколько о листов в тетради? 72. За -4 м ткани заплатили на 20 р. больше, чем за 4 м такой же ткани. Сколько стоит метр ткани?
73. Чтобы распечатать на принтере две рукописи, взяли пачку бумаги. На одну 3 2 рукопись ушло -ц пачки, а на другую — у остатка. Сколько листов бумаги было в пачке, если осталось 24 листа? 2 74. Папа поручил Тане покрасить -= забора. Таня попросила сестру помочь ей, О и та покрасила Таниной части. Какова длина забора, если сестра по- красила 2у м? Какую часть забора покрасила Таня? 4 75. Мама и сын собрали у всего урожая клубники, причем на долю сына при- 3 шлось собранных ими ягод. Каков был урожай клубники, если сын со- брал 6 кг ягод? Какую часть урожая клубники собрала мама? 76. 77. 78. Первый стрелок сделал 80 выстрелов по летящей мишени 60 раз, второй из 60 выстрелов попал 50 раз. Кто из них результат? 3 а) Высота Шуховской телебашни в Москве составляет — высоты Останкинской телебашни. Во сколько раз Остан- кинская башня выше Шуховской? б) В 2001 г. численность населения Пскова составляла численности населения Смоленска. Во сколько раз боль- ше жителей в Смоленске, чем в Пскове? а) Сельские жители в России составляют всего насе- ления. Какую часть городского населения составляет сель- ское? Во сколько раз городских жителей больше, чем сельских? и попал в цель показал лучший б) В ноябре в Московской области число солнечных дней 1 составило уд- от всех дней месяца. Какую часть составило в ноябре число солнечных дней от числа пасмурных? Во сколько раз пасмурных дней было больше, чем сол- нечных? 79. Спортивный зал, одна сторона которого рав- на 15 м, разделили на раздевалку и помещение для занятий (рис. 3). Площадь раздевалки со- 2 ставила у площади всего зала и оказалась равной 90 м2. Найдите размеры помещения для занятий. 80. Старинная задача. Корона весит 60 мин (еди- ница массы в Древней Греции) и состоит из сплава золота, меди, олова и железа. Золото 18
2 3 3 и медь составляют -т-, золото и олово — -г, золото и железо — общей О 4 О массы сплава. Определите массу каждого металла в отдельности. Что такое процент Вам, наверное, не раз приходилось слышать по радио или встре- чать в газетах слово процент. Например: в выборах приняло участие 67 процентов жителей города; стоимость проезда в городском транспорте повысилась на 50 процентов; рейтинг (показатель популярности) передачи «Поле чудес» со- ставляет 19 процентов. Что же понимают под словом «процент»? Процентом от некоторой величины называется одна сотая ее часть. Поэтому, чтобы найти один процент от величины, нуж- но разделить эту величину на 100. Например: 1 процент от 500 т равен 5 т, так как 500 100 = 5; 1 процент от 1 км составляет 10 м, действительно, 1 км = 1000 м, а 1000:100 = 10. Для слова «процент» в математике есть специальный знак: %. Так, вместо слов «10 процентов» пишут: 10%. Величина, от которой вычисляются проценты (например, коли- чество телевизоров, выпускаемых заводом за год, доход семьи, чис- ленность населения и т. д.), составляет 100 своих сотых долей, т. е. 100%. Пример 1. Зимняя куртка стоит 1200 р. На весенней распро- даже ее можно купить на 33% дешевле. Сколько можно сэконо- мить денег, если купить куртку на распродаже? Сначала найдем 1% стоимости куртки: 1200:100 = 12 (р.). Теперь найдем 33% ее стоимости: 12-33 = 396 (р.). Значит, купив куртку на распродаже, можно сэкономить 396 р. Можно было рассуждать иначе: 33% величины — это 33 ее 33 сотых доли, т. е. 33% выражаются дробью
Чтобы найти -Дю от 1200, нужно 1200 умножить на , „„„ 33 1200 • 33 „„„ , , 120°-100 - mo ’ 396 (₽» Иногда нужное число процентов от величины находится еще проще. Так бывает, если требуется найти, к примеру, 10%, 25%, 50%. Так, 10% — это или Поэтому, чтобы найти 10% от какой-либо величины, достаточно разделить эту величину на 10. Например, 10% от 1200 р. составляют 120 р. В таблице приведены некоторые проценты, которые «легко счи- таются», и соответствующие им дроби. 10% 20% 25% 50% 75% 1 1 1 1 3 . . . 10 5 4 2 4 Пример 2. В прошлом году в ма- рафоне, посвященном Дню города, уча- ствовало 200 горожан. В этом году чис- ло участников марафона увеличилось на 120%. Сколько горожан приняло участие в марафоне в этом году? Чтобы найти 120% от 200, нужно 200 разделить на 100 и результат ум- ножить на 120: (200:100)-120 = 240 (чел.). это 1% Значит, в этом году число участ- ников марафона увеличилось на 240 человек, и всего их стало 200 + 240-440 (чел.). ПримерЗ. При рождении ребенок весил 3 кг. За год его вес увеличился на 200%. Сколько весил ребенок, когда ему исполнил- ся один год? Исходный вес ребенка составляет 100%, т. е. 3 кг — это 100%. Тогда 200% составляют 6 кг. Значит, к году ребенок стал весить 3 + 6 = 9 (кг). Слово «процент» имеет латинское происхождение: в переводе с латыни pro centum означает «на сто». Заметим, что в речи часто вместо слова «процент» используют именно это словосочетание. На- 20
пример, говорят, что в России на каждые 100 человек приходится 12 имеющих высшее образование. Это означает, что 12% населе- ния России имеют высшее образование. Замените проценты дробью и, если можно, сократите ее. а) Мальчики составляют 60% класса. б) В голосовании приняло участие 73% избирателей. в) В математическом кружке занимается 7% всех учащихся школы. г) В июле цена автомобиля была повышена на 20%. д) При покупке большой партии товара покупателю предоставляется скидка 15%. е) Ежемесячно цена акции повышается на 1%. 82. Подберите из газет или журналов несколько предложений (объявлений), в которых используется слово «процент». 83. Выразите проценты дробью и, если можно, сократите ее: а) 37%, 83%, 61%; б) 15%, 50%, 60%; в) 49%, 40%; 80%. 84. Квадрат содержит 100 клеток (рис. 4). Для каждого рисунка ответьте на во- просы. а) Сколько сотых долей квадрата закрашено? б) Сколько процентов квадрата закрашено? в) Сколько процентов квадрата не закрашено? 85. Начертите квадрат ЮхЮ клеток. Закрасьте: а) 18% квадрата; б) 50% квадрата; в) 100% квадрата. 86. Выразите в процентах: х 3 а а х 60 a) tjqq всех книг библиотеки; в) tjqq всех книг библиотеки; ах 79 а а х 50 б) всех книг библиотеки; г) всех книг библиотеки.
87. Выразите проценты дробью и сократите ее. Проценты 10% 20% 25% 50% 75% 80% Дробь 88. Какая часть прямоугольника закрашена (рис. 5)? Выразите эту часть в про- центах. 90. Для каждой фразы из левого столбца подберите соответствующую фразу в правом: 100% учащихся школы 25% учащихся школы 10% учащихся школы 50% учащихся школы половина всех учащихся школы все учащиеся школы четверть всех учащихся школы десятая часть всех учащихся школы 91. а) 25% учащихся класса соревновались в беге, а 75% учащихся класса при- шли за них болеть. Все ли учащиеся класса пришли на соревнования? б) За неделю туристы проехали 50% пути на поезде и 40% пути на авто- бусе. Весь ли путь проехали туристы за неделю? 92. Как вы понимаете следующие предложения: «С контрольной работой справились 100% учащихся класса», «С контрольной работой справились 50% учащихся класса»? Какая часть учащихся не справилась с контрольной во втором случае? 93. а) Потратили 20% имевшихся денег. Сколько процентов денег осталось? б) Девочки составляют 65% всех членов драмкружка. Сколько процентов всех членов драмкружка составляют мальчики? 94. Больше или меньше половины составляют: а) 70%; б) 15%; в) 30%; г) 55%? 95. В библиотеке 23% всех книг — это книги на иностранных языках. Больше это или меньше половины всех книг? четверти всех книг? 96. а) В классе 40% девочек. Кого в классе больше — мальчиков или девочек? б) Сельское население в России составляет 30%. Каких жителей в России больше — сельских или городских? 22
97- Что больше: а) 60% всего класса или половина класса; б) 20% зарплаты или четверть зарплаты; в) половина или 45% всего населения страны? 98. а) Найдите 1% от: 100 р., 200 м, 300 км, 600 кг. 6) Найдите 1% от: 1000 т, 10 000 р., Юм, 1 ц. 99. а) Найдите: 1% от 1 м, 7% от 1 м, 25% от 1 м. 6) Найдите: 1% от 1 т, 6% от 1 т, 26% от 1 т. 100. В школе 1500 учащихся. Сколько человек от этого количества составляют: а) 30%; б) 40%; в) 50%; г) 55%; д) 85%; е) 100%? 101. Найдите: а) 10% от 200 р.; б) 20% от 400 км; в) 30% от 700 м; г) 40% от 800 кг. 102. В городе 30 000 жителей. Вычислите устно, сколько жителей составляют 10% всего населения города. Используйте полученный результат для на- хождения 30%, 40%, 60% населения города. 103. а) В избирательном округе 25 000 избирателей. В голосовании приняло участие 60% избирателей. Сколько человек голосовало? б) Банк начисляет на вклад ежегодно 8% от вложенной суммы. Сколько рублей будет начислено через год на вклад в 5000 р.? 104. а) В библиотеке 40 000 книг. Книги на русском языке составляют 75% всех книг, а на английском — 10% всех книг. Сколько в библиотеке книг на рус- ском языке и сколько на английском? б) Бригада должна отремонтировать участок дороги длиной 900 м. В пер- вый день она отремонтировала 7% всего участка, а во второй — 12% все- го участка. Сколько метров дороги отремонтировала бригада в первый день и сколько во второй? 105. В магазине было 800 кг картофеля. Продали 60% картофеля. 1) Сколько килограммов картофеля продано? 2) Сколько процентов составил картофель, оставшийся в магазине? 3) Сколько килограммов картофеля осталось в магазине? 106. В домашней библиотеке 900 книг. Из них 80% — это книги на русском языке, остальные — на английском. Какие вопросы можно поставить к за- даче? Ответьте на них. 107. Набор стаканов для воды стоил 300 р. На распродаже его цену снизили на 25%. 1) На сколько рублей была снижена цена набора? 2) Какова была цена набора на распродаже? 108. В сентябре в школу-новостройку пришло 620 учащихся. К концу учебного года в связи с увеличением числа жителей района число учащихся увели- чилось на 40%. 1) На сколько человек увеличилось число учащихся школы? 2) Сколько учащихся оказалось в школе к концу учебного года? 23
109. Урожай яблок в 200 кг переработали в сушеные яблоки. При сушке мас- са яблок уменьшилась на 70%. Какова масса сушеных яблок? 110. В 2000 г. владелец садового участка взял в банке ссуду 140000 р. для по- стройки дома. Он должен был вернуть*эти деньги через год с надбавкой 8%. Какую сумму он должен был вернуть банку? 111. Чтобы увеличить число покупателей, магазин первые 10 дней после по- ступления товара продает его на 20% дешевле. За сколько рублей можно купить вещь в этот период, если ее цена 300 р.? 220 р.? 112. Объясните, используя слово «процент», что означают следующие утверж- дения: а) 10 горожан из каждых 100 хотят улучшить свои жилищные условия; б) 43 человека из каждых 100 доверяют гороскопам; в) из каждых 100 новорожденных 52 — мальчики; г) из каждых 100 жителей города 25 имеют домашних животных. Г113. Выразите в процентах: a) -jg всего урожая яблок; б) всего урожая яблок. 115. Чтобы выразить в процентах 4- всех книг библиотеки, можно рассуждать следующим образом. Все книги библиотеки составляют 100%. Найдем у от 100%. Для этого умножим 100 на у: 100.1 100 , 33 1 0 О 0 Значит, 4" всех книг библиотеки составляет 33-4%. Рассуждая так же, вы- 0 О 1 1 2 разите в процентах -z-, v. всех книг библиотеки. 0/0 24
116- Во время распродажи лимонад стоимостью 15 р. за бутылку продавали на 20% дешевле. Сколько денег сэкономит покупатель, если он купит партию в 120 бутылок? 117- Магазин принимает вещи для комиссионной продажи по следующим пра- вилам: если вещь не продана в течение двадцати дней, то она уценива- ется на 10%; если она не продана в следующие двадцать дней, то она уценивается второй раз — на 15% ее новой цены. Заполните таблицу для вещей, проданных после второй уценки. Первоначальная цена Первая уценка Цена после первой уценки Вторая уценка Цена после второй уценки 3000 р. 2600 р. 800 р. 118. В магазин привезли 3 т картофеля. В первый день продали 30% всего картофеля, а во второй — 45%. В какой день было продано больше кар- тофеля и во сколько раз? Есть ли в задаче лишние данные? 119. В магазин привезли 3 т картофеля и 900 кг помидоров. В первый день продали 30% всего картофеля и 45% всех помидоров. Каких овощей бы- ло продано больше и во сколько раз? 120. За 3 ч поезд прошел 200 км. В первый час он прошел 40% всего пути, во второй час — 50% остатка. Сколько километров прошел поезд за тре- тий час? 121. Библиотечный фонд школы за год увеличился на 125%. Сколько книг ста- ло в школьной библиотеке, если первоначально в ней было: а) 400 книг; б) 640 книг? 122. Фирма в первый месяц выпустила 160 игрушечных автомобилей. В следую- щем месяце она увеличила выпуск этих игрушек на 300%. Сколько игрушечных автомобилей стала выпускать фирма? 123. Цена билета для проезда от города Белогорска до города Черноморска в купейном вагоне на 100% выше, чем в плацкартном (рис. 7). Во сколько раз проезд в купейном вагоне дороже про- езда в плацкартном? 124. В связи с инфляцией стоимость про- езда в городском автобусе за два -го- да возросла на 200%. Во сколько раз повысилась стоимость проезда? Стоимость - плацкартный вагон - купейный вагон Рис. 7 25
125. Квартплата в отдаленных районах города Северный в два раза ниже, чем в центральных. На сколько процентов квартплата в отдаленных районах меньше, чем в центральных? 126. Во сколько раз меньше стал стоить товар, если его уценили на: а) 50%; 6) 90%; в) 98%? 127. Сравните 61% от числа 83 и 83% от числа 61. Столбчатые и круговые диаграммы Столбчатые диаграммы удобно использовать в тех случаях, ког- да нужно сравнить полученные данные (например, результаты оп- роса общественного мнения), показать, как меняется со временем интересующее нас явление, и т. д. Пример 1. Магазин, продающий легковые автомашины, ведет учет продаж автомобилей разных марок. Данные о продаже авто- мобилей «Москвич», «Жигули» и «Волга» представили на диаграм- мах, которые для наглядности объединили в одну (рис. 8). -«Жигули» Рис. 8 - «Москвич» - «Волга» Из диаграммы ясно, что больше всего ежемесячно продавали «Жигулей», причем спрос на них оставался примерно одинаковым. Постоянно увеличивался спрос на «Волги», и, начиная с марта, уменьшался спрос на «Москвичи». Учитывая изменение спроса по- купателей, магазину выгодно уменьшить заказ на «Москвичи» и увеличить заказ на «Волги». Круговые диаграммы удобно использовать в тех случаях, когда нужно представить соотношение между частями целого. 26
Пример 2. На круговой диа- грамме показаны результаты выбо- ров мэра некоторого города из двух кандидатов А и Б (рис. 9). Круг изображает всех избира- телей города, т. е. 100% избирате- лей. Их голоса распределились сле- дующим образом. За кандидата А проголосовало 52% избирателей, по- этому на диаграмме им отведено чуть больше половины круга. За кандидата Б проголосовало 12% из- бирателей, им отведена примерно восьмая часть круга. Не участвовал кандидатов Рис. 9 в выборах 31% избирателей, на диаграмме им отведено около трети круга. С помощью этой диаграммы можно получить некоторую допол- нительную информацию. Приняли участие в выборах большинство избирателей (около 70%). За первого кандидата проголосовало при- мерно в четыре раза больше избирателей, чем за второго. Почти все избиратели, которые пришли на выборы, проголосовали за од- ного из двух кандидатов; только 5% проголосовали против обоих. А г--------------------------------- 128. Бригада строителей проложила асфальтовую дорогу длиной 9 км за четыре месяца. На диаграмме (рис. 10) показан объем выполненной ра- боты по месяцам. а) В какие месяцы было проложе- но более 25% дороги? менее 15% дороги? б) Какая часть дороги была про- ложена в марте? в апреле? в мае? за два последних месяца? в) Сколько метров дороги было про- ложено в марте? в апреле? в июне? 129. На диаграмме (рис. 11) показано, как распределились мнения учащихся при ответе на вопрос: «Какое из сле- дующих занятий вам нравится боль- ше всего: чтение, просмотр телеви- зионных передач, занятия спортом, прогулка?» При этом каждый выбрал только одно из этих занятий, а) Чем увлекается большая часть уча- щихся? меньшая часть учащихся? Апрель Май Июнь Объем выполненной работы, % Рис. 10 Спорт Чтение Прогулка Телевизор Рис. 11 27
з е з ф (2) (3) Рис. 13 пиджаки Рис. 14 б) Сколько процентов учащихся предпочитают активный отдых? пассивный отдых? в) Сколько человек указали в качестве любимого занятия чте- ние, если всего было опроше- но 250 учащихся? 130. На диаграмме (рис. 12) показа- но соотношение суши и Миро- вого океана на поверхности Земли. Сколько примерно процентов поверхности Земли занимает Мировой океан? суша? Как вы думаете, почему Землю называют голубой планетой? 131. Среди деревьев парка березы составляли 55%, осины — 15%, остальные деревья были других пород. На какой из диаграмм изображены эти дан- ные (рис. 13)? 132. На диаграмме (рис. 14) представлены данные о продукции ателье по по- шиву мужской одежды. а) Какова основная продукция данного ателье? 6) Пиджаков какого цвета ателье производит меньше всего? больше все- го? в) Сколько процентов продукции приходится на пиджаки светлого цвета? темного цвета? г) Сколько процентов всех изделий могут составлять жилеты? Б F------------------------------------------------- 133. На диаграмме (рис. 15) показано, как распределились мнения учащих- ся о прочитанной книге. Изобразите схематично эти данные на круго- вой диаграмме. 28
40 к о X S Н св £ О ч о S 30 20 10 В - не понравилась 2| - не очень понравилась | | - понравилась I "1 - очень понравилась Мнение учащихся о книге Рис. 15 134. 135. На диаграмме (рис. 16) показа- но, как распределились мнения учащихся при ответе на вопрос: «Существует ли Лохнесское чудо- вище?» Сколько процентов уча- щихся считают существование Лохнесского чудовища достовер- ным? возможным? невозможным? В таблице представлены резуль- таты опроса школьников несколь- ких стран относительно того, долж- ны ли дети 7 лет обслуживать себя сами и выполнять работу по дому. Представьте эти данные на Нет Скорее всего, нет Не знаю Скорее всего, да Да Рис. 16 столбчатой диаграмме. Указание. Используйте в качестве образца диаграмму на рисунке 8. Страна Результаты опроса Самообслуживание, % Работа по дому, % Австралия 78 21 Болгария 82 33 Чехия 85 15 Венгрия 73 25 Швеция 65 10 США 80 18
136- На станции техобслуживания ведут учет неисправностей поступающих ав- томобилей. Данные о поломках за последние три месяца свели в таб- лицу. Объект поломки Месяц октябрь ноябрь декабрь Двигатель 9 18 Подвеска 25 26 15 Кузов 24 50 35 Тормозная система 12 15 22 Всего * Выполните следующие задания и закончите заполнение таблицы: а) Сколько поломок двигателя зарегистрировано в октябре, если полом- ки двигателя за ноябрь и декабрь составили от общего числа поломок двигателя? Запишите результат в соответствующую клетку таблицы. б) Подсчитайте общее число неисправностей поступивших автомобилей в каждом из трех месяцев и впи- шите результаты в таблицу. Ка- кая из диаграмм (рис. 17) соот- ветствует последней строке? в) Изобразите схематично на круговой диаграмме данные Рис. 17 о неисправностях автомобилей за ноябрь. ^ДЛЯ ТЕХ, КОМУ ИНТЕРЕСНО •^Аликвотные дроби Математики Древнего Египта «настоящими» считали только дро- би, выражающие какую-либо одну долю целого — так называемые единичные или аликвотные дроби. Другие дробные числа они за- писывали не единым символом, а в виде суммы аликвотных дро- з бей. Если, например, в результате измерения получалась дробь .1.1 то ответ выражался суммой + 30
Для упрощения практических расчетов составлялись специаль- ные таблицы, содержащие представления некоторых дробных чисел в виде суммы аликвотных дробей. Одна из таких таблиц обнару- жена в древней рукописи «Папирус Ахмеса», названной так по име- ни ученого, рукой которого она была написана. Вот как в расшифрованном виде выглядят некоторые содержа- щиеся в таблице записи: 2^11 2 _ 1 1 1 11 6 66’ 7 6 14 21’ 2=1 1 1 2 __ 1 1 13 8 52 104 ’ 99 66 198' Убедитесь сами, что эти равенства действительно верные. В том же «Папирусе Ахмеса» есть такая задача: разделить 7 хлебов между 8 людьми. По-египетски эта задача решалась так. тт « 7 Долю, приходящуюся на каждого человека, т. е. дробное число О „ 1,1,1 выражали в виде суммы долей v + T + V- Значит, каждому человеку надо было дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба. Заметьте, такое решение еще и удобно: вместо того чтобы каждый хлеб резать на 8 частей, достаточно бы- ло четыре хлеба разрезать пополам, два хлеба — на 4 части и один хлеб — на 8 частей. 137. Используя рисунок 18, представь- те число 1 в виде суммы трех алик- вотных дробей. Запишите соответ- ствующее равенство и проверьте его. 138. Старинная задача. Персидский крестьянин завещал трем своим Рис- сыновьям 17 верблюдов, причем 1 * 1 первый должен был получить -z- часть всех верблюдов, второй — -z- часть, 1 с J а третий — -д. Братья думали долго, но разделить наследство по завеща- нию отца так и не смогли. Мимо на верблюде проезжал Ходжа Насреддин. Он предложил присоединить к верблюдам еще и своего и решить таким образом возникшую проблему. И действительно, братья смогли разделить верблюдов так, как наказал отец, причем Ходжа Нас- реддин получил своего верблюда обратно. Сколько верблюдов досталось каждому сыну? 31
139. Квадрат со стороной, равной 1, разделили пополам, затем одну его половину опять разделили пополам, одну из получившихся половинок еще раз разделили пополам и т. д. (рис. 19). Используя рисунок, докажи- те, что J_.J_.J_ 1 1 1 2 4 8 + 16 * 32 64 Г На сколько сумма аликвотных дробей, записанных в ле- вой части неравенства, отличается от 1? Допустим теперь, что сумма в левой части неравенст- ва, построенная по тому же закону, содержит 100 сла- гаемых. Будет ли неравенство по-прежнему верным? 1 1 Рис. 19 140. Представьте в виде суммы различных аликвотных дробей следующую дробь: ч 5 ^7 4 5 э) 8; б> ю: в) 5: г) 6’ 743121111 Образец, o'--8 +8’ = -2 + 8’+8-= 2’ + 7+8’: 3 _ 6 _ 5 11 1 5 10 10 10 2 W 141. Используя аликвотные дроби, покажите, как можно разделить три яблока между четырьмя людьми, не разрезая каждое на 4 части. 142. Рассмотрите равенства: 3=1 + 1. Z = l + 1 + 1. J5=1 + 1 + 1 + _L 4 2 4' S 2 4 8' 16 2 4 8 16' Подметьте закономерность и «сконструируйте» следующее равенство. Про- верьте себя, выполнив сложение дробей. 143. Не выполняя сложения дробей, объясните, почему верно каждое неравен- ство: J_ J_ _L. . J^J. 8 + 9 + 10 — 15 2’ Подметьте закономерность и запишите следующее неравенство. 144. Найдите значение суммы i_L+JL+_L+_L+_L+_L+_L 6 12 20 30 42 56 72 90' заменив каждое слагаемое разностью аликвотных дробей: 2 = _I =1_1 111 1 6 2-3 2 3’ 12 3-4 3 4....... 32
Задания для самопроверки к главе 1 (Обязательные результаты обучения) 1. Выполните действие: а) "9+‘б: в) 3‘3+15’: Д) 7'75’ ж) 24-g-; б) -д - Q-; г) 1^5—3; е) 1-g :д-; з) -g:30. 2. Найдите значение выражения: 3 8 7_ 10 /_5 _ 2^ _3 а) 10 ‘ 21 ’ 9’ В) 21 ’ 6 9 ’ 4: б) 2 + 4 + в”' Г) (2-Чо’Н7 + Ч4)- 1 1 + 1 2 4 2 3. Вычислите: а) -—; б) —-—. _ 3 4 2 4. На теплоходе 120 мест. Во время поездки пассажирами было занято -= всех о мест. Сколько свободных мест оказалось на теплоходе? В учебнике 160 страниц. щая 60 страниц? Какую часть учебника составляет глава, содержа- 5. 6. 7. 8. 9. Выразите дробью: 20%, 25%, 40%, 50%, 75%. D 7 Выразите в процентах: стоимости товара, 25 -jOQ стоимости товара. На круговой диаграмме показано, чем занимают- ся ученики 6 класса после уроков в школе (рис. 20). Используя диаграмму, ответьте на во- прос: какой процент учащихся занимается музы- кой? Что больше: а) 46% площади или половина пло- щади; б) четверть объема или 30% объема? 10. Из 500 участников конкурса 12% — дети. Сколько детей участвует в кон- курсе? 11. В магазин привезли со склада ботинки по 300 р. за одну пару, а при про- даже увеличили цену на 20%. а) Какую надбавку к первоначальной цене сделал магазин? б) По какой цене продают эти ботинки в магазине? 2 — Дорофеев. 6 кл.
рямые на плоскости и в пространстве Пересекающиеся прямые Вы уже много знаете о прямой. Прямая бесконечна; в отличие, например, от окружности эта линия незамкнутая; через две точки можно провести только одну прямую. Поговорим теперь подробнее о взаимном расположении двух прямых. На рисунке 21 изображены две пересе- кающиеся прямые. Они делят плоскость на четыре угла. У этих углов общая верши- на — точка пересечения прямых. Посмотрите на углы 1 и 3. Для таких углов есть специальное название — их на- зывают вертикальными. Точно так же на- зывают углы 2 и 4. Таким образом, при пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов. Очевидно, что Z_1 = Z.3. В самом деле, каждый из этих углов дополняет один и тот же угол (Z.2 или Z.4) до развернутого. Точно так же Z_2 = Z_4. Рис. 21 b 90 - Вертикальные углы равны. Если одну пару вертикальных углов со- ставляют острые углы, то другую — тупые. Пусть, например, каждый из острых углов Рис. 22 34
равен 30°, тогда каждый из тупых углов равен 180°-30° = 150°. Может оказаться так, что все четыре угла, об- разовавшиеся при пересечении двух прямых, рав- ны между собой, тогда каждый из них равен 90° (рис. 22). В этом случае прямые называют пер- пендикулярными. Это название произошло от ла- тинского слова perpendicularis, что означает «от- весный». Дело в том, что с давних времен строители для получения прямых углов пользовались отве сами — грузиками на длинной веревке (рис. 23). Для обозначения перпендикулярности исполь- зуют знак ±, напоминающий отвес. А фразу «пря- мая а перпендикулярна прямой Ь» записывают так: а±&. Перпендикулярные прямые можно построить и с помощью угольника, и с помощью транспор- тира (рис. 24). И совсем просто начертить их на клетчатой бумаге. ^145. Рис. 24 На рисунке 25 изображены две пересекающиеся прямые а и & и за- дана величина одного из углов. Найдите величины остальных углов.
146. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равен: а) 10°; б) 115°; в) 90°. Найдите остальные углы. 147. Найдите на рисунке 26 перпендикулярные прямые. Запишите ответ, ис- пользуя знак ±. 148. Задание с выбором ответа. Найдите на рисунке 27 все пары перпенди- кулярных прямых. A. old и ale. Б. Ыс и aid. В. bld и ale. Г. alb и bld. 149. Используя транспортир, постройте прямые, угол между которыми равен: а) 25°; б) 70°; в) 90°. 150. Начертите на нелинованной бумаге без помощи транспортира прямые, пе- ресекающиеся под углом: а) 45°; 6) 60°. Проверьте себя, выполнив изме- рения. 151. На нелинованной бумаге проведите прямую k. Отметьте точку С так, что- бы она лежала на прямой Л, и точку А так, чтобы она не лежала на этой прямой. С помощью угольника через каждую из этих точек проведите пря- мую, перпендикулярную прямой k. 152. Прямые АВ, CD, КМ пересекаются в точке О (рис. 28), причем /1АОМ = = 4Т и Z_AOC = 32°. Найдите ^СОК, ^КОВ, ZBOD, Z.DOM. Б 153. Сумма трех углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, рав- на 254°. Найдите величину каждого угла.
154. Через точку О проведены три прямые (рис. 29), ЛАОС= 142°, zLAOS = 91°. Найдите углы, обозна- ченные цифрами /, 2, 3, 4. 155. На нелинованной бумаге проведите прямую k и отметьте точку С так, чтобы она: а) лежала на прямой k\ б) не лежала на прямой k. Перегибая лист бумаги, постройте прямую, перпендикуляр- ную прямой k и проходящую через точку С. 156. Одна сторона углов 1 и 2 на рисунке 30 общая, а две другие стороны составляют прямую ли- нию. Такие углы называют смежными. Смежные углы образуют развернутый угол, т. е. их сум- ма равна 180°. а) Один из двух смежных углов равен 40°. Че- му равен другой угол? 6) Могут ли смежные углы быть равными? Ес- ли да, то сделайте соответствующий рисунок, в) Назовите все пары смежных углов, изобра- женных на рисунке 21. г) По рисунку 28 назовите угол, смежный с уг- лом АОС. Сколько таких углов? Назовите углы, смежные с углом: СОК, АОМ, KOD. 157. Задача-исследование. 1) Рассмотрите рисунок 31: углы ВОС и СОА — смежные, луч ОМ — биссектриса угла СОВ, луч ON — биссектриса угла АОС. Пусть /LAOC=40°. Чему равен угол между биссектрисами? 2) Решите эту же задачу при условии, что угол Рис. 30 АОС равен 60°, 82°. 3) Какое можно выдвинуть предположение на основе решения этих задач? Попробуйте обосновать свой вывод. Параллельные прямые Любые две прямые на плоскости или пере- —** секаются, или не пересекаются. Если прямые не пересекаются, то их называют параллельны- ми (рис. 32). Название это происходит от гре- ческого слова, означающего «рядом идущие». Для обозначения параллельности двух пря- Рис. 32 мых древнегреческие математики использовали знак « = ». Однако когда в XVIII в. этот знак стали использовать как знак равенства, параллельность стали обо- значать с помощью знака «II». Если прямые а и Ь параллельны, то записывают это так: а II Ъ. 37
Построим несколько параллельных пря- мых и проведем прямую, их пересекающую (рис. 33). Эта прямая пересечет каждую из па- раллельных прямых под одним и тем же углом: Z-l =Z_2 = Z_3. Это очень важное свойство, характери- зующее параллельные прямые. На нем, в частности, основан способ их построения с помощью угольника и линейки. Пусть дана некоторая прямая т (рис. 34, а) и требуется начертить прямую, ей параллельную. Для этого: • одну сторону угольника расположим вдоль прямой т (рис. 34, б); • положение угольника зафиксируем линейкой (рис. 34, в); • передвинем угольник вдоль линейки и проведем новую прямую (рис. 34, г). Построенная прямая параллельна дан- ной прямой. На рисунке 35 построены две прямые а и Ь, перпендикулярные одной и той же прямой т. Прямые а и b параллельны. Если прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны. 38
Итак, две прямые на плоскости либо пересекаются, либо парал- лельны. В пространстве возможен еще один случай взаимного рас- положения двух прямых. Посмотрите на куб, изображенный на рисунке 36. Ребра АВ и LM не параллельны, хотя прямые, которым они принадлежат, не пересекаются. Такие прямые называются скрещи- вающимися. Обратите внимание: эти прямые лежат в разных пло- скостях. 158. Приведите примеры параллельных и скрещивающихся прямых, кото- рые встречаются в окружающем мире. 159. Найдите на рисунке 37 четыре пары параллельных прямых. Выпишите эти пары, используя знак «II». Назовите пары прямых, которые пересекают пря- мую а под одним и тем же углом. 160. Какие стороны многоугольника параллельны (рис. 38)? 161. Начертите в тетради по линиям клетки: а) две параллельные прямые а и b и прямую с, им перпендикулярную; б) прямую а и прямые b, с, d, ей перпендикулярные. 162. а) Проведите произвольную прямую b, С помощью линейки и угольника постройте несколько прямых, параллельных прямой Ь. 39
б) Проведите произвольную прямую Ъ и отметьте точку К, не лежащую на этой прямой. Через точку К проведите прямую, параллельную прямой Ъ. 163. Какие ребра параллелепипеда, изображенного на рисунке 39, параллель- ны ребру AD? ребру DN? ребру DC? Назовите ребра параллелепипеда, принадлежащие скрещивающимся прямым. 164. Какие ребра пирамиды, изображенной на рисунке 40, принадлежат скре- щивающимся прямым? 165. Постройте какой-нибудь четырехугольник ABCD, у которого: a) ABWCD и ВС WAD; б) ABWCD и BCftAD (t — непараллельны); в) ABWCD, АВ LAD и BCXAD. 166. Определите на глаз, параллельны ли прямые а и b (рис. 41), и проверь- те себя с помощью инструментов. Б f--------------------------------------------- 167. а) Прямые а и b параллельны, Л5 = 45° (рис. 42). Какие еще углы равны 45°? б) Прямые т и п параллельны, z_7 = 38° (рис. 43). Назовите величины остальных углов, обозначенных цифрами. 168. Прямые а, b и с параллельны (рис. 44). Изве- стны величины двух углов. Найдите величины уг- лов, обозначенных цифрами 1, 2 и 3. 169. На ребрах куба взяты точки О и Р (рис. 45). Пересекает ли прямая ОР прямую AD? прямые DN, KN, ВМ, МК, LN. АВ? 170. На рисунке 46 показан способ построения пря- мой, параллельной данной, с помощью одного угольника. На каком свойстве параллельных пря- мых основан этот способ? Рис. 43 40
Начертите какую-нибудь прямую и постройте с помощью угольника пря- мую, ей параллельную. 171. На нелинованной бумаге проведите прямую. Перегибая лист, постройте прямую, ей параллельную. 172. Задача-исследование. 1) Изобразите все случаи взаимного расположения трех прямых на плоскости (их всего четыре). Какое наибольшее число точек пересечения могут иметь три прямые? 2) На плоскости проведены четыре прямые и отмечены точки, в которых эти прямые попарно пересекаются. Какое наибольшее число таких точек могло получиться? Расстояние Вам, конечно, не раз приходилось слышать и употреблять сло- во «расстояние». Что же это такое? Самый простой случай — это расстояние между двумя точками. Возьмем две точки А и В. Существует бесконечно много линий на плоскости, двигаясь по которым можно из точки А попасть в 41
точку В. Некоторые из линий изображены на рисунке 47. Самый короткий путь из точ- ки А в точку В — отрезок АВ. Его длина и есть расстояние между точками А и В. Но в геометрии говорят о расстоянии и в других, более сложных случаях, например: расстояние от точки до некоторой фигуры (прямой, окружности), расстояние между дву- мя параллельными прямыми и т. д. И при этом расстояние — это всегда кратчайший путь. На плане, изображенном на рисунке 48, вы видите озеро и дом лесника. Как проло- жить кратчайший путь от дома лесника к водоему? Будем проводить окружности с цен- тром в точке О, увеличивая их радиусы, по- ка одна из них не «достигнет» озера. В резуль- тате найдем точку озера, ближайшую к дому лесника. На плане это точка М. Отрезок ОМ и есть расстояние от дома лесника до озера. Пусть теперь нужно найти расстояние от дома до дороги. Изобразим их схематически точкой А и прямой I (рис. 49, а). Чтобы най- ти расстояние от точки А до прямой Z, нуж- но найти ближайшую к А точку этой прямой. Для этого проведем через точку А прямую, перпендикулярную Z, и обозначим точку их пе- ресечения буквой К (рис. 49, б). На рисунке 49, в хорошо видно, что отрезок АК короче любого другого отрезка, соединяющего точку А с точкой прямой Z, значит, К и есть ближайшая к А точка прямой. Рис. 48 Рис. 49 I Таким образом, расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру, проведенному из точки к этой прямой. А что имеют в виду, когда говорят о расстоянии между парал- лельными прямыми? 42
50 проведены параллельные На рисунке мые а и b и прямая с — их общий перпенд куляр. Длина отрезка MN будет одной и той же, каком бы месте ни провести перпендикуляр Длину этого отрезка и называют расстоянием ме: ду параллельными прямыми. Рельсы на прямолинейном участке железв дорожного пути должны оставаться параллельны- ми: они не могут сближаться или удаляться друг от друга. Поэтому их крепят к шпалам на одном и том же расстоянии друг от друга. Это расстояние называют шириной колеи. Расстояние от точки до плоскости тоже из- меряется по перпендикуляру. Легко понять, ка- кую прямую называют перпендикулярной к пло- скости. Возьмите карандаш и поставьте его сначала наклонно, а потом вертикально. Во втором слу- чае он перпендикулярен плоскости стола: с лю- бой прямой, лежащей в плоскости и проходящей через основание карандаша, он образует прямой угол (рис. 51). Прямые, перпендикулярные плоскости, вы ви- дите и в окружающей обстановке, и на геометри- ческих моделях. Посмотрите на куб, изображен- ный на рисунке 52: ребро АВ перпендикулярно грани AKND, ребро ВС перпендикулярно грани CMND. Перпендикулярность играет важную роль в окружающей нас действительности. Так, космиче- ская ракета, стоящая на старте, должна распо- лагаться строго перпендикулярно плоскости стар- товой площадки. А вот нарушение перпендику- 43
лярности может привести к серьезным последствиям. Возможно, вы слышали о Пизанской башне: она стоит наклонно к поверхности земли, и именно поэтому существует угроза ее падения. 173. а) Отметьте в тетради точку О и постройте пять точек, находящихся от нее на расстоянии 3 см. Что представляет собой множество всех точек плоскости, удаленных от этой точки на 3 см? б) Отметьте в тетради точку М и покажите штриховкой множество всех то- чек, расположенных от точки М на расстоянии, большем 2 см и меньшем 3 см. 174. Проведите в тетради прямую, не совпадающую с линиями сетки. Отметь- прямой. Найдите расстояние необходимые обозначения и 175. те две точки, взяв их по разные стороны от от каждой из этих точек до прямой. Введите запишите ответ. Найдите расстояние от точки А до прямой а прямой Ъ (рис. 53). И до б) а) а в) 176. 177. Рис. 53 в тетрадь. Найдите 178. 179. 180. Перечертите рисунок 54 расстояние от каждой вершины треугольника АВС до прямой а. Начертите какую-нибудь окружность и пря- мую, ее не пересекающую. Найдите рассто- яние: а) от центра окружности до прямой; б) от прямой до окружности. Начертите какую-нибудь прямую АВ. Построй- те несколько точек, находящихся от прямой АВ на расстоянии 2 см. [де расположены все такие точки? На рисунке 55 изображены три параллельные прямые. Найдите расстояние между каждой парой этих прямых. а) Начертите с помощью линейки и уголь- ника две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 4 см. Рис. 54 Рис. 55 44
б) Начертите четыре параллельные прямые, увеличивая расстояние между двумя соседними прямыми на 5 мм. 181. По одну сторону от прямой I расположены точки Д, б, Си D. Расстояния от этих точек до прямой соответственно равны 4 см 3 мм, 4 см 1 мм, 3 см 9 мм и 4 см 6 мм. Через точку А проведена прямая, параллельная I. Какие из отрезков ВС, CD и DB эта прямая пересекает, а какие нет? 4слс Рис. 56 182. а) Расстояние между параллельными прямыми тип равно 5 см. Точка А находится на расстоянии 3 см от прямой т. Определите расстояние от точки А до прямой л. Сколько решений имеет задача? б) Точка А расположена на расстоянии 3 см от одной из двух параллельных прямых и на расстоянии 5 см от другой. Чему равно расстояние между параллель- ными прямыми? 183. На рисунке 56 изображен параллелепипед. Найдите расстояние: а) от вершины В до передней грани параллелепипеда и до его нижней грани; б) от вершины А до задней грани и до правой боко- вой грани; в) от точки С RQ передней грани, до верхней грани и до левой боковой грани. Б 184. а) Что больше: диагональ прямоугольника или его сторона? 6) Какой из отрезков самый длинный: ребро куба ВС, диагональ гра- ни АВ или диагональ куба АС (рис. 57)? Какой из этих отрезков самый 185. 186. 187. короткий? Дачный участок прямоугольной формы огорожен забором. Хозяин участка хочет вы- рыть колодец так, чтобы сумма расстояний от колодца до каждой стенки забора была наименьшей. Объясните ему, что он может вырыть колодец в любой точке участка. На рисунке 58 изображены две пересекаю- щиеся дороги. Мальчик выходит из дома. Он хочет побывать на обеих дорогах и при этом пройти самым коротким путем. Как он дол- жен идти? Постройте четыре точки А, В, С и D по следующему условию: точки С и D лежат по разные стороны от прямой АВ, АВ = 8 см, АС = 4 см, СВ = 8 см, AD = 6 см, DB = 4 см. Измерьте расстояние между точками С и D. Рис. 57 45
188. На лугу вбиты два колышка, а между ними натянута проволока так, что веревка, к которой привязана коза, может свободно перемещаться вдоль проволоки от одного колышка до другого. Длина проволоки равна 5 м, длина веревки — 4 м. Покажите на чертеже «владения» козы, где она может щипать траву. (Пусть сторона одной клетки тетради изображает 1 м.) 189. Задача-исследование. 1) На отрезке АВ, длина которого равна 10 см, взя- та точка С так, что АС = 2 см. Найдите расстояние между серединами от- резков АС и СВ. Решите эту же задачу, если АС = 4 см. 2) На отрезке АВ, длина которого равна 8 см, произвольным образом от- мечена точка С. Найдите расстояние между серединами отрезков АС и СВ. 3) Решите задачи 1 и 2 для случая, когда точка С лежит на прямой АВ, но не принадлежит отрезку АВ. ДЛЯ ТЕХ, КОМУ ИНТЕРЕСНО « Орнаменты Слово «орнамент» произошло от латинского ornamentum — ук- рашение и означает «узор из повторяющихся элементов». Искусство создания орнамента восходит к далекой древности. Уже первобытные люди пытались украшать простейшими узорами глиняную посуду, рукоятки топоров, кожаные изделия. Первые орнаменты складывались из отрезков прямых или кривых линий (рис. 59). Интересно, что эти линии отражают самые ранние способы изготовления того предмета, на который они нанесены. С их помо- щью современные ученые могут воссоздать историю создания этих предметов. Рис. 59
Со временем орнаменты станови- лись все более сложными, изыскан- ными, художники включали в них хитросплетения различных линий, изо- бражения растений и животных, даже надписи на изделии часто выполняли в виде орнамента. рис 60 Орнаментами украшали каменные и деревянные постройки, домашнюю утварь, одежду, их высекали на камне, вырезали по дереву, выкладывали из мозаики, вышива- ли на тканирисовали на керамике. Главное, что характерно для орнамента, — это повторяемость его элементов. Рассмотрите внимательно орнаменты, представлен- ные на этой странице. Все они получены многократным повторени- ем некоторого фрагмента — сдвигом фрагмента вдоль одной пря- мой на одно и то же расстояние. В математике такое перемещение фигуры называют параллельным переносом. Построить орнамент можно с использованием трафарета. Для этого положим на лист бумаги линейку, приложим к ней трафарет и обведем контур отверстия карандашом (рис. 60). Линейка задает нам линию сдвига. Сдвинем трафарет вдоль линейки и вновь обве- дем контур отверстия. Рис. 61 190. Орнамент, изображенный на рисунке 61, построен с помо- щью трафарета буквы «ж» параллельным переносом вдоль вертикальной прямой на 1 см. Возьмите какой-нибудь тра- фарет и постройте с его помощью свой орнамент. 191. Рисовать орнаменты очень удобно на клетчатой бумаге. Пе- ренесите рисунок 62 в тетрадь и продолжите построение орнамента. Раскрасьте повторяющийся элемент орнамента. На отрезок какой длины сдвигается этот элемент?
Рис. 63 Рис. 64 Рис. 65 192. Нарисуйте от руки орнамент, который получается при параллельном пере- носе элемента (рис. 63) вдоль вертикальной прямой. 193. Орнамент на рисунке 64 — часть украшения деревенской избы. Изобра- зите повторяющийся элемент этого орнамента. 194. Элементы древних орнаментов можно встретить и в произведениях совре- менных мастеров, например на решетке одного из московских мостов (рис. 65). В верхней части решетки использован орнамент, характерный для древних мастеров (см. рис. 59), его часто можно видеть на греческих амфорах. А основная часть решетки, как бы сплетенная из окружностей, создает образ летящей колесницы. Воспроизведите рисунок решетки в те- тради. 195. Постройте орнамент по следующему алгоритму: (Г) перенесите четырехугольник в тетрадь (рис. 66); (2) нарисуйте второй четырехугольник, получен- ный сдвигом первого на 2 клетки вправо и 2 клетки вверх; (3) нарисуйте третий четырехугольник, полученный сдвигом второго на 2 клетки вправо и 2 клетки вниз; (4) последовательно повторите пункты 2 и 3. Рас- красьте получившийся орнамент. Рис. 66 196. Орнамент в упражнении 195 получается с помощью двух параллельных пе- реносов. Придумайте и постройте свой орнамент, который также получа- ется с помощью двух параллельных переносов.
Как записывают и читают десятичные дроби С развитием математики дроби стали использоваться не только для решения простейших практических, бытовых задач, но и для более сложных расчетов. Однако правила действий с дробями, как вы уже убедились, достаточно сложны. И математики придумали, как упростить вычисления: для дробей со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д. они стали применять новую, так называемую десятич- ную запись. Десятичная запись, которую применяют для таких дробей, проще «двухэтажной» записи обыкновенных дробей — с числителем и зна- менателем. 10’ 100’ 1000’ 10000’ •" записывают так: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; .... Эти десятичные дроби читаются так же, как соответствующие обыкновенные, но с добавлением слов «0 целых»: «0 целых 1 де- сятая», «0 целых 1 сотая», «0 целых 1 тысячная», «0 целых 1 де- сятитысячная» и т. д. Нетрудно догадаться, как записывают и читают некоторые дру- гие десятичные дроби. Например: з вместо пишут 0,3 и читают «0 целых 3 десятых»; 49
вместо -jQQ пишут 0,07 и читают «0 целых 7 сотых»; вместо ^qq пишут 0,008 и читают «0 целых 8 тысячных». Так же обстоит дело и со смешанными дробями. Например, вме- з сто 2-^- пишут 2,3 и читают «2 целых 3 десятых». Способ записи десятичных дробей яв- ляется естественным обобщением извест- ного вам способа записи натуральных чи- сел. В записи натурального числа значение цифры зависит от того, в каком разряде она находится (рис. 67). Единицы двух со- седних разрядов отличаются друг от дру- га в 10 раз. Для записи десятичных дробей исполь- зуют новые разряды, которые пишут спра- ва от разряда единиц, поставив после не- го запятую. В этих разрядах указывают доли единицы. В первом после запятой ука- зывают число десятых долей; его так и на- зывают — разряд десятых. Во втором ука- зывают число сотых долей и называют его разрядом сотых и т. д. (рис. 68). Рис. 67 Рис. 68 Цифра 0 выполняет свою обычную роль, она показывает отсут- ствие единиц соответствующего разряда. Что, например, означает запись 7,35? Как ее прочитать? В числе 7,35 содержится 7 единиц, 3 десятых и 5 сотых. Поэтому 7'35"7110 ' ,oo-7-ii7o -ioo=-74 Таким образом, 7,35 — это десятичная запись числа 7 . Из данного примера понятно, что десятичную дробь легко про- читать и не переходя к обыкновенной. При чтении десятичной дроби сначала читают ее часть, стоя- щую до запятой, и добавляют слово «целых», а затем — часть, стоящую после запятой, и добавляют название последнего раз- ряда. Например: 0,018 — «нуль целых восемнадцать тысячных»; 40,0056 — «сорок целых пятьдесят шесть десятитысячных». 50
Чтобы не ошибаться при переходе от десятич- ной дроби к обыкновенной и наоборот, полезно по- мнить: В десятичной дроби после запятой должно быть столько же цифр, сколько нулей в знаменате- ле соответствующей ей обыкновенной дроби. 1 я 5’°}3 = 51^0 I I 3 цифры и 3 нуля Рис. 69 Это правило проиллюстрировано на рисунке 69. Десятичные дроби, так же как и обыкновенные, изображают точками на координатной прямой. Пусть нужно построить точку, соответствующую числу 0,3. Для этого отрезок между точками 0 и 1 делят на 10 равных частей и отсчитывают 3 такие части (рис. 70, а). Если нужно построить точку, соответствующую, например, де- сятичной дроби 0,36, то делят на 10 равных частей десятую долю единичного отрезка, которая следует за точкой с координатой 0,3. Получают сотые доли единичного отрезка. Отсчитав от точки 0,3 шесть сотых долей, отмечают точку с координатой 0,36 (рис. 70, б). Изобретение десятичных дробей является одним из величайших достижений человеческой культуры. Однако прошли века, прежде чем десятичные дроби стали широко использоваться при вычисле- ниях и приобрели современный вид. Нидерландский математик и инженер Симон Стевин (XVI в.), с именем которого связывают от- крытие десятичных дробей в Европе, десятичную дробь 35,912 за- писывал так: 35© 9® 1(2)2® . Позднее такую десятичную дробь стали записывать проще: 35° 912 (рис. 70, б). Теперь же вместо кружка, отделяющего це- лую часть от дробной, мы пишем внизу запятую. Но в некоторых странах, например в Англии, США, вместо запятой ставят точку. /0,36 б) / —।-------1-------1------iiiniliiii----1-------1-----1------1-------1------1- 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Рис. 70 51
A 197. Назовите число единиц каждого разряда: а) 0,27; 34,106; 19,041; б) 123,5476; 6902,0584. 198. Дано число 242,341. В каких разрядах записана цифра 2? 3? 4? 1? 199. Дано число 6487,024689. Какая цифра записана в разряде: а) сотых; в) десятитысячных; д) тысячных; б) десятых; г) стотысячных; е) миллионных? 200. Прочитайте десятичные дроби: 0,3; 2,7; 15,6; 2,31; 0,09; 5,126; 2,803; 27,055. 201. Запишите десятичные дроби: нуль целых пять десятых; шестнадцать целых тридцать одна сотая; десять целых восемь сотых; пять целых триста восемь тысячных; нуль целых двадцать пять тысячных. 202. Запишите в виде обыкновенной дроби: 0,9; 0,123; 0,03; 0,77; 0,007; 0,021. 203. Запишите в виде смешанной дроби: 1,3; 10,1; 256,73; 1,01; 3,009; 1,021. 204. Запишите десятичные дроби в виде обыкновенных и сократите их: а) 0,5; 0,2; 0,8; 0,75; 0,25; 0,05; б) 0,4; 0,6; 0,36; 0,04; 0,0375; 0,008. 205. Запишите в виде десятичной дроби: 3 23 7 457 9 21 а) 10’ 100’ 100’ 1000’ 1000’ 1000: с_3_ 1_238_ _15_ _8_. 1 1 10’ 100’ ° 100’ ' 1000’ 1000’ ° 1000’ 39 187 341 528 1349 1002 В) 10’ 10 ’ 100’ 100’ 1000’ 1000* 206. Представьте в виде суммы разрядных слагаемых: а) 6,25; б) 1,37; в) 0,234; г) 5,1351. Образец. 3,615 = 3 + 7^ + 'jQQ’ + y^Q’ = 3 + 0,6+ 0,01 +0,005. 207. Какие числа отмечены точками на координатной прямой (рис. 71)?
208. Какие числа отмечены точками на координатной прямой (рис. 72)? а) —и » t j—।—1—:—I—1—।i—i—I—► 0 0,1 0,2 6) —U I i t - । । i 1 I +1 I - + 4► 2,3 2,4 2,5 Рис. 72 209. На координатной прямой некоторые точки обозначены буквами (рис. 73). Какая из точек соответствует числу: 34,8; 34,2; 34,6; 35,4; 35,8; 35,6? ABCDEFKLMNP ---1—.——।—i—>—।—।—.—>—।—।—'—i—।—!—1—।--------------- 34 35 36 Рис. 73 210. Начертите координатную прямую (за единичный отрезок примите 10 кле- ток). Отметьте на ней числа: 0,1; 0,3; 0,7; 1,2; 1,4; 1,5. Б 211. а) В числе 54 038 сначала отделите запятой одну цифру справа, а затем последовательно сдвигайте запятую на одну цифру влево. Чи- тайте каждую получившуюся десятичную дробь. б) В числе 6,012345 последовательно сдвигайте запятую на одну цифру вправо. Читайте каждую получившуюся десятичную дробь. 212. а) На XIX зимних Олимпийских играх российская спортсменка С. Журова пробежала на коньках дистанцию 500 м за 37,55 с. Какой результат пока- зала другая спортсменка, которая улучшила это время на одну сотую се- кунды? на две десятых секунды? б) На XVII зимних Олимпийских играх первое место в беге на коньках на 500 м занял А. Голубев (Россия). Он пробежал дистанцию за 36,33 с. Спорт- смен из Японии, занявший третье место, имел результат на две десятых секунды хуже. Какой результат показал японский спортсмен? 213. Начертите координатную прямую, приняв за единичный отрезок восемь кле- ток. Отметьте на этой прямой числа: 0,5; 0,75; 1,5; 1,25; 0,125. 214. Отметьте на координатной прямой точки с координатами: 0,35; 0,79; 1,28; 1,51. 215. Запишите все натуральные числа и все десятичные дроби, которые мож- но составить из цифр 1, 2, 3, соблюдая следующее условие: цифра ис- пользуется в записи числа не более одного раза (это означает, что циф- ру можно вообще не использовать или использовать только один раз). Сколько натуральных чисел у вас получилось? Сколько десятичных дробей? 53
Перевод обыкновенной дроби в десятичную Любую десятичную дробь можно представить в виде обыкновен- ной. Для этого достаточно записать ее со знаменателем. Например: п 9Л7-- 207 Л у._ i 15 415 0,207 1000 ’ 4,15 4 100 100' Однако не всякую обыкновенную дробь можно записать в виде з десятичной. Например, дробь -г- обращается в десятичную, а дробь О —z- нет. Убедимся в этом с помощью несложных рассуждении. Чтобы записать обыкновенную дробь в виде десятичной, нуж- но привести ее к одному из знаменателей 10, 100, 1000 и т. д. При разложении каждого из этих чисел на простые множители получа- ется одинаковое число двоек и пятерок: 10 = 2-5; 100 = 10-10 = 2-5-2 • 5; 1000= 10-10-10 = 2-5-2-5-2-5; Никаких других множителей эти разложения не содержат. _ 3 „ Возьмем дробь При разложении ее знаменателя на простые о множители получается произведение 2-2-2. Если домножить его на три пятерки, то получится один из знаменателей указанного ря- да— число 1000: 3 3 • 5 • 5 • 5 375 0 375 ¥” 2-2-2-5-5-5 “ 1000 “1 °* Проведенное рассуждение позволяет сделать вывод: Если знаменатель обыкновенной дроби не содержит никаких простых множителей, кроме 2 и 5, то эту обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной. Возьмем теперь дробь -т=-. Разложив на простые множители зна- 1о менатель этой дроби, получим произведение 3-5, содержащее чис- ло 3. На какие бы целые числа ни домножали знаменатель, «ме- шающий» множитель 3 всегда будет присутствовать, поэтому про- изведения только из двоек и пятерок никогда не получится. Значит, 7 дробь — нельзя привести ни к одному из знаменателей 10, 100, 1000 и т. д.
Если знаменатель несократимой обыкновенной дроби содержит хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5, то эту обыкновенную дробь нельзя представить в виде десятичной. Обратите внимание: в последнем утверждении речь идет толь- ко о несократимых дробях. И это не случайно. Возьмем, например, 21 дробь —. Ее знаменатель содержит простой множитель 3. Однако после сокращения дроби он «исчезнет»: 21= 7 _ 7<б _ 35 60 20 20-5 100 216. Приведите дроби к одному из знаменателей 10. 100, 1000 и т. д. и запишите соответствующие десятичные дроби: 1 1 1 J_______]___1 11 7 193 17 21 31 а) 2’ 4’ 5’ 20’ 25’ 125’ В) 50’ 50’ 200’ 200’ 500’ 250: 2 2 1 11 4 21 ± 2 ! 3 _3_ _27_ 101 4’ 5’ 5’ 20’ 25’ 25’ П 2 ’ d 4 ’ ' 20 ’ 50 ’ U 500 ’ 4 200 ‘ о 9 • 2 • 2 • 2 24 Образец. ~2~ = 5.5.5.2-2-2 = 1000 = °’024, 217. Заполните таблицу и запомните результат. Обыкновенная дробь х 2 4 3 4 5 1 8 Десятичная дробь 218. Укажите, какие дроби можно представить в виде десятичных, а какие нельзя: _1_ 1 1 _1_ 1 1 1. _1. J_. JL. J_. _L. _L. 1 . 1 2’ 3’ 4’ 5’ 6’ 7’ 8’ 9’ 10’ 11’ 12’ 13’ 14’ 15’ 16’ 219. Выразите время в часах сначала обыкновенной дробью, а затем, если мож- но, десятичной: а) 30 мин; в) 24 мин; д) 10 мин; ж) 35 мин; 6) 6 мин; г) 15 мин; е) 20 мин; з) 42 мин. 220. Выразите время в часах и, если возможно, запишите ответ в виде деся- тичной дроби: а) 1 ч 12 мин; в) 10 ч 45 мин; д) 3 ч 50 мин; б) 2 ч 30 мин; г) 1 ч 40 мин; е) 2 ч 48 мин. 221. Запишите частное в виде обыкновенной дроби и, если возможно, обратите ее в десятичную: а) 15:2; в) 37:25; д)25:15; ж) 8:12; и) 645; л) 5:8; 6)23:5; г) 9:6; е) 32:6; з) 19:9; к) 1248; м)10:30. 55
Б 223. 222. Определите, можно ли записать данную дробь в виде десятичной (если да, то запишите): ч 19 1 v 3 а) 400’ б) 625’ В) 160’ Сократите дроби и запишите ч 53 Г) 750' их в виде десятичных: 2£ 12. 11. 39. 18. 24 12’ 48’ 44’ 15’ 40’ 75’ 224. Выпишите дроби, которые можно представить в виде десятичных: _8_ И 1Р_. 32 36 24’ 24’ 35’ 35’ 48’ 48* 225. Представьте дроби в виде десятичных: 12 18 54 22 32 42 60: 90’ 300: 110; 400’ 700’ Обр азец. 48 _ 300 226. Обратите десятичную дробь в обыкновенную и найдите значение выраже- ния: 2 2 1 2 а) -zr + 0,5; б) 0,6-v: в) 4~-0,9; г) 0,4:- о о о ( 227. Не выполняя вычислений, для каждого выражения из первой строки под- берите равное ему выражение из второй. Запишите соответствующие ра- венства: 3 1 1 j-0,5; -4-0,2; -£-0,125; 0,5-4; 0,75-4; 0,25-4- О С. □ /Ж Десятичные дроби ИИ и метрическая система мер Вам известны соотношения, с помощью которых одни единицы длины выражаются через другие, более мелкие. Например: 1 см = 10 мм, 1 м = 100 см, 1 км =1000 м. Теперь, используя десятичные дроби, можно записать другие со- отношения, связывающие эти же единицы длины: 1 мм = 0,1 см, 1 см = 0,01 м, 1 м = 0,001 км. Такие же равенства можно записать с единицами измерения массы — тоннами, килограммами, граммами. 56
Десятичные дроби появились в математике гораздо раньше, чем современные единицы измерения — метры и граммы. Удобство об- ращения с десятичными дробями привело к тому, что математиче- ское изобретение — десятичные дроби — повлияло на всю деятель- ность людей, связанную с измерениями: люди перешли на единую систему измерения величин — так называемую метрическую сис- тему мер. Заметим, что Россия была одной из первых стран, под- писавших «Метрическую конвенцию» (слово «конвенция» означает «международное соглашение, договор»). Это произошло в 1875 г. В метрической системе мер одна единица получается из другой умножением или делением на 10, 100, 1000 и т. д. Именно так об- стоит дело с единицами длины и массы. Десятичные соотношения между различными метрическими еди- ницами отражены в их названиях. Так, приставка кило — от греческого kilo (тысяча) — означа- ет «увеличение в 1000 раз». Например, килограмм (кило-грамм) — 1000 граммов. Вот значения других приставок: гекто — от греческого hekaton (сто) — означает «увеличение в 100 раз»; например, гектар — 100 ар; дека — от греческого deka (десять) — означает «увеличение в 10 раз»; например, декалитр — 10 литров; деци — от латинского decern (десять) — означает «уменьшение в 10 раз»; так, дециметр (деци-метр) — десятая часть метра; санти — от латинского cent (сто) — означает «уменьшение в 100 раз»; так, сантиметр (санти-метр) — это сотая часть метра; милли — от латинского mille (тысяча) — означает «уменьше- ние в 1000 раз»; например, миллиметр (милли-метр) — это тысяч- ная часть метра. В то же время в системе измерения времени и углов сохрани- лись древние традиции: например, час делится на 60 минут, мину- та — на 60 секунд. Интересно отметить, что в современном спор- те, где секунда оказалась слишком большой единицей для измерения результатов, используется смешанная система измерения времени. Секунду делят не на 60 равных частей, а на десятые,' сотые и ты- сячные. Поэтому результат саночника 1.02,343 означает, что он про- шел трассу за 1 минуту 2 и 343 тысячных секунды. А Какую часть составляет: а) 1 см от 1 м; 1 м от 1 км; 1 мм от 1 см; 1 дм от 1 м; б) 1 г от 1 кг; 1 кг от 1 т; 1 кг от 1 ц; 1 мг от 1 г; в) 1 мм от 1 дм; 1 мм от 1 м; 1 см от 1 км?
229. а) Какую часть метра составляют: 3 дм; 8 дм; 2 см; 5 см; 4 мм; 7 мм? б) Какую часть дециметра составляют: 6 см; 3 см; 9 мм; 4 мм? в) Какую часть километра составляют: 123 м; 450 м; 600 м; 75 м; 10 м? Образец. Какую часть метра составляют 7 дм? . 1 7 1 дм = — м, а 7 дм = уд м = 0,7 м. 230. а) Выразите в метрах: 53 см; 4 м 67 см; 277 см; 304 см. б) Выразите в килограммах: 2 кг 255 г; 350 г; 1470 г. в) Выразите в тоннах: 1 т 255 кг; 678 кг; 2034 кг. 231. а) Выразите в сантиметрах и миллиметрах: 3,1 см; 5,3 см; 54,8 см; 4,6 см. б) Выразите в килограммах и граммах: 2,325 кг; 23,625 кг; 4,25 кг; 3,5 кг. 232. Выразите в рублях: а) 1 к.; 8 к.; 10 к.; 50 к.; б) 2 р. 30 к.; 5 р. 75 к.; 1 р. 5 к.; 10 р. 63 к. 233. а) Выразите в копейках: 0,84 р.; 0,2 р.; 0,07 р.; 0,4 р. б) Вецэазите в рублях и копейках: 2,35 р.; 1,5 р.; 12,08 р. 234. В 3 м 8 дм 1 см содержится 3 целых 8 десятых и 1 сотая метра, т. е. 3 м 8 дм 1 см = 3,81 м. Рассуждая таким же образом, выразите: а) в метрах: 4 м 7 дм 5 см; 12 м 2 дм 1 см; 3 дм 6 см 9 мм; 1 м 8 см; б) в дециметрах: 8 дм 2 см 3 мм; 7 м 2 дм 6 мм; 2 м 7 см; 1 м 3 дм 4 см 6 мм. 235. Среди приведенных равенств найдите неверные и исправьте их: 1 кг 70 г=1,7 кг; 2 т 340 кг = 2,034 т; 25 мм = 0,025 м; 82 дм = 0,82 м. 236. а) Выразите в часах и запишите результат десятичной дробью: 30 мин; 2 ч 15 мин; 3 ч 12 мин; 6 мин; 45 мин. б) Выразите в минутах: 0,1 ч; 0,3 ч; 1,2 ч; 3,5 ч. 237. Задание с выбором ответа. Какое равенство верно? А. 1,4 ч = 1 ч 40 мин. Б. 1,4 ч=1 ч 4 мин. В. 1,4 ч=1 ч 24 мин. Б Какую часть составляет: а) 1 мм2 от 1 см2; 1 см2 от 1 дм2; б) 1 см3 от 1 дм3; 1 см3 от 1 м3; 1 см2 от 1 м2; 1 мм3 от 1 м3? 58
239. В 1 гектаре (1 га) содержится 10 000 м2, в 1 аре (1 а) содержится 100 м2. Какую часть составляет: а) 1 м2 от 1 а; в) 1 м2 от 1 га; д) 1 а от 1 га; б) 15 м2 от 1 а; г) 200 м2 от 1 га; е) 5 а от 1 га? 240. Известны длины сторон прямоугольника: 1,5 см и 3,4 см. Найдите пло- щадь этого прямоугольника в квадратных сантиметрах. Решите задачу раз- ными способами: 1) выразив длины сторон в миллиметрах; 2) перейдя от десятичных дробей к обыкновенным. 241. 1) Измерьте длину и ширину тетради и выразите результат сначала в мил- лиметрах, затем в сантиметрах и, наконец, в дециметрах. 2) Вычислите площадь тетрадного листа и выразите ее в квадратных сан- тиметрах. Сравнение десятичных дробей Вы знаете, что одно и то же число может быть представлено в виде обыкновенной дроби разными способами. Так же обстоит де- ло и при записи чисел в виде десятичных дробей. Например, деся- тичные дроби 0,3 и 0,30 обозначают одно и то же число. В самом деле, запишем каждую из этих дробей в виде обык- новенной дроби: 0,3 = ^ и 0,30 = ^. 3 30 По основному свойству дроби ’io’=Joq- Поэтому 0,3 = 0,30. Точно так же можно показать, что, например, 1,5 = 1,50= 1,500= 1,5000. Если к десятичной дроби приписать справа какое угодно чис- ло нулей, то получится дробь, равная данной. Понятно, что нули, записанные в конце десятичной дроби, мож- но отбросить. Если в десятичной дроби последние цифры — нули, то, отбро- сив их, получим дробь, равную данной. Например, 7,80=7,8; 0,04100 = 0,041. Любое натуральное число можно представить в виде обыкновен- ной дроби с каким угодно знаменателем, записанным единицей с нулями. Например: ? 70 _ 700 7000 - 7 10 100 1000 ••• * 59
Поэтому любое натуральное число можно записать в виде десятич- ной дроби с каким угодно количеством нулей после запятой: 7 = 7,0 = 7,00 = 7,000=... . Десятичные дроби, как и натуральные числа, сравнивают по разрядам. Пример 1. Сравним десятичные дроби 2,7 и 3,1. Так как 2 единицы меньше, чем 3 единицы, то 2,7 <3,1. Точ- ка, изображающая на координатной прямой число 2,7, расположе- на левее (рис. 74). 2,7 3,1 ---1 I I I > I I I I | I I I I —♦—! I | ♦ 1 I 1 1—НН----------•- 1 2 3 Рис. 74 Пример 2. Сравним десятичные дроби 1,8 и 1,42. Целые части этих дробей одинаковы, но различаются цифры в разряде десятых: 8 десятых больше, чем 4 десятых. Поэтому 1,8 >1,42 (рис. 75). 1,42 1,8 ---1—I—I r«—i—i—I—f—I—1 J 4—i—^-1—i—1—1 i—|—I—I—I—I 1 1 1—I—I-► 1 2 3 Рис. 75 Пример 3. Сравним десятичные дроби 2,5081 и 2,508. Целые части этих дробей одинаковы, кроме того, совпадают пер- вые три цифры после запятой. Но так как у первой дроби есть еще и четвертая цифра после запятой, а у второй соответствующий раз- ряд отсутствует, то 2,5081 >2,508. Можно было бы рассуждать так. Уравняем число разрядов, при- писав ко второй дроби цифру 0. Получим 2,5080. Цифры в разря- дах единиц, десятых, сотых и тысячных одинаковы, а в следую- щем разряде цифры различны: в первой дроби стоит «цифра 1, а во второй — цифра 0. Поэтому первая дробь больше. ЖЖ’ ЖДУ 242. Есть ли среди данных чисел равные? Если есть, то укажите их: а) 3,001; б) 6,800; в) 0,4; 3,010; 6,080; 0,40; 3,100; 6,880; 0,004; 3,1; 6,08; 0,400. 243. К некоторому числу приписывают справа один нуль, два нуля, три нуля и т. д. Что происходит с этим числом, если оно является: а) натуральным числом; б) десятичной дробью? 60
244. Верно ли, что: а) 12,40=12,4; в) 1,03 = 1,30; д) 160=16; 6)25 = 25,0; г) 1,500 = 1,50; е) 2,01 =2,0100000? 245. Замените данную десятичную дробь равной: а) 3,6000; б) 70,0200; в) 0,8700; г) 0,0030. 246. Запишите числа в столбик разряд под разрядом. Припишите справа нули так, чтобы число цифр после запятой было одинаковым: а) 1,3; 7,83; 10,506; 0,9; б) 4,007; 5,06; 3,1; 0,0004; в) 1,08; 0,0037; 2,53; 6,4. 247. а) Выразите в метрах: 17 м 30 см; 70 м 50 см. б) Выразите в тоннах: 6 т 660 кг; 5 т 500 кг. 248. Между какими соседними натуральными числами заключено число: 3,7; 5,01; 9,18; 4,206? Запишите ответ в виде двойного неравенства. Образец. 8<8,04<9. 249. Какие натуральные числа заключены между данными десятичными дробя- ми? Запишите ответ в виде цепочки неравенств. а) 2,75 и 4,05; в) 10,478 и 11,006; б) 1,08 и 5,06; г) 12,001 и 16,9. Образец. 11,3< 12<13<14<15<16< 16,5. 250. Сравните десятичные дроби: а) 7,62 и 9,4; б) 9,9 и 8,95; в) 5,35 и 3,53; г) 17,004 и 16,9. 251. Задание с выбором ответа. Какое из утверждений верно? А. 2,103 = 2,13. Б. 2,103>2,13. В. 2,103<2,13. 252. Сравните десятичные дроби, поставив вместо звездочки (*) один из зна- ков < или >: а) 0,219*0,246; в) 0,0452 * 0,0358; д) 0,25*0,3; б) 0,4789 * 0,4791; г) 0,8*0,704; е) 0,019*0,0067. 253. Сравните числа: а) 50,001 и 50,01; в) 29,5 и 29,53; д) 0,89 и 1,5; б) 17,183 и 17,09; г) 7 и 6,99; е) 0,00041 и 0,0005. 254. Какое из трех данных чисел наибольшее и какое наименьшее: а) 0,016; 0,044; 0,031; в) 0,5; 0,6; 0,56; б) 2,601; 2,610; 2,061; г) 3,215; 32,15; 0,3215? 255. Расположите в порядке возрастания числа: а) 7,34; 7,4; 7,3; в) 2,356; 2,35; 2,36; б) 10,2; 10,1; 10,16; г) 0,007; 0,008; 0,0073. 256. Расположите в порядке убывания числа: а) 22,86; 23,01; 22,68; 21,99; б) 0,93; 0,853; 0,914; 0,94; в) 0,09; 0,111; 0,1; 0,091.
257. В таблицах представлены результаты соревнований в беге на дистанцию 400 м с барьерами на Олимпийских играх в Сиднее (Австралия, 2000). На- зовите последовательно результаты, начиная с победителя. Женщины Страна Время, с Румыния 54,35 Куба 53,68 Россия 53,02 Исландия 54,63 Украина 53,98 Марокко 53,57 Ямайка 53,45 Мужчины Страна Время, с Бразилия 48,34 Италия 48,78 Польша 48,44 США 47,50 Украина 49,01 Сауд. Аравия 47,53 ЮАР 47,81 258. Найдите какую-нибудь десятичную дробь, заключенную между: а) 2,7 и 2,8; б) 0,8 и 0,9. 259. Напишите три десятичные дроби, каждая из которых: а) больше чем 9,61, но меньше чем 9,62; б) меньше чем 0,0001. 260. Что произойдет с десятичной дробью, если приписать к ней справа «хвост», содержащий не только нули? Проиллюстрируйте свой ответ примером. 261. Покажите, что при подстановке любой цифры вместо звездочки неравен- ство 7,019 <7,*29 окажется верным. 262. Покажите, что при подстановке любой цифры вместо звездочки неравен- ство 7,019 >7,*19 окажется неверным. 263. Какие цифры можно подставить вместо звездочки, чтобы полученное не- равенство было верным: а) 0,488 <0,4*8; в) 3,07<3,0*; б) 1*,93< 11,93; г) 6,*9<6,38? 264. Сравните: 1 4 4 а) и 0,5; в) 0,75 и -; д) и 0,4; о □ У б) 4- и 0,4; г) 0,25 и 4; е) и 0,03. 7 4 25 62
265. Расположите числа в порядке возрастания: о 47 29 а> 4: 500' °'7: б> °'13: 200’ °'125’ 266. Найдите какую-нибудь обыкновенную дробь, большую 0,1, но меньшую 0,2. 267. Дана десятичная дробь 6,73401152. Вычеркните одну цифру после запятой так, чтобы дробь: а) увеличилась; б) уменьшилась. Для каждого случая ука- жите все решения. При решении задач 268, 269 поэкспериментируйте с числами. 268. В десятичной дроби среди цифр, стоящих после запятой, есть один нуль. Его вычеркнули. Сравните получившееся число с исходным, если этот нуль стоял: а) в конце десятичной дроби; б) не в конце десятичной дроби. 269. В десятичной дроби с «длинным хвостом» зачеркнули две последние ци- фры. Что произошло с этой десятичной дробью? 270. Запишите все натуральные числа и неравные десятичные дроби, которые можно составить из цифр 0, 1, 2, используя каждую цифру в записи чис- ла не более одного раза. Задачи на уравнивание Задача 1. В двух мешках 90 жетонов для аттракционов, при- чем в первом на 10 жетонов больше, чем во втором. Сколько же- тонов в каждом мешке? Если бы из первого мешка вынули 10 жетонов, то количество жетонов в мешках сравнялось бы и всего в двух мешках оказалось бы 90 — 10 = 80 жетонов. Значит, во втором мешке 80*2 = 40 жето- нов, а в первом — на 10 больше, т. е. в первом мешке 40 + 10 = 50 жетонов. Идея уравнивания помогает решать и более сложные задачи. Задача 2. На трех полках 47 книг. На средней полке на 4 книги меньше, чем на верхней, и на 2 книги больше, чем на нижней полке. Сколько книг на верхней полке? Сделаем схематический рисунок по условию задачи (рис. 76). Если на среднюю полку добавить 4 книги, а на нижнюю — 6 книг, то книг на полках станет поровну — столь- ко, сколько на верхней полке. Всего мы добавили 10 книг, теперь на трех полках 47 + 10 = 57 книг. Значит, на верхней полке 57:3 = 19 книг. Рис. 76 63
Задача 3. Для награждения победителей математической олим- пиады школа купила 30 книг по 20 р. и по 25 р. — всего на 665 р. Сколько было куплено тех и других книг? Допустим, что все книги стоили одинаково и за каждую запла- тили по 20 р. Тогда стоимость всех книг была бы 20*30 = 600 р. Но заплатили за книги на 665 — 600 = 65 рублей больше, так как часть книг была дороже. Разница цен составила 25 — 20 = 5 рублей. Поэтому по 25 рублей купили 65’5 = 13 книг, а по 20 рублей ку- пили 30 — 13 = 17 книг. Б 271. а) Купили 12 кг картошки и капусты, причем капусты на 5 кг меньше, чем картошки. Сколько капусты и картошки купили в отдельности? б) Туристы прошли маршрут за два дня. Они были в пути 14 ч, причем в первый день на 3 ч дольше, чем во второй. Сколько часов шли туристы в первый день и сколько во второй? 272. а) Для трех шестых классов купили подарки к празднику на сумму 980 р., причем для 6А было выделено столько же денег, сколько для 6Б, а для 6В на 80 р. больше. Сколько потратили на подарки для каждого класса? б) Ко дню рождения купили три коробки конфет — две маленькие и одну большую. В маленькую коробку входит на 160 г конфет меньше, чем в большую. Общая масса конфет 880 г. Какова масса конфет в каждой коробке? 273. а) В первой бригаде на 3 человека меньше, чем во второй, а во второй бригаде на 5 человек больше, чем в третьей. Сколько человек в каждой бригаде, если во всех трех 52 человека? б) На второй полке книг на 5 больше, чем на первой, но на 5 меньше, чем на третьей. Всего на полках 105 книг. Сколько книг на каждой полке? 274. На двух стеллажах стояло 450 книг. Когда с одного стеллажа переставили на другой 20 книг, то книг на стеллажах стало поровну. Сколько книг сто- яло на каждом стеллаже первоначально? Y----------------------------------------------------- 275. В бригаде 7 человек получили премию по 2500 р. или по 3000 р. Всего было выдано 20000 р. Сколько выдали премий по 2500 р. и сколько по 3000 р.? 276. Купили 8 коробок конфет — больших по 800 г и маленьких по 400 г. Об- щая масса конфет 4 кг. Сколько купили маленьких коробок конфет и сколь- ко больших? 277. На плакате изображено 10 треугольников и четырехугольников. У всех вме- сте 36 сторон. Сколько треугольников и сколько четырехугольников изоб- ражено на плакате? 278. В магазине приготовили к продаже 300 гвоздик в букетах по 5 и по 7 штук. Сколько было букетов каждого вида, если всего приготовили 50 букетов? 64
Старинная задача. На дворе бегают куры и поросята. У всех вместе 20 голов и 52 ноги. Сколько на дворе кур и сколько по- росят? На уроке физкультуры ребята разде- лились на 3 команды. Учитель, чтобы 279. 280. уравнять число ребят в командах, перевел одного игрока из первой ко- манды во вторую и двух игроков из второй команды в третью. Теперь иг- роков в командах стало поровну. Сколько игроков было в каждой коман- де первоначально, если на уроке присутствовало 33 ученика? 281. Мама в 3 раза старше сына, а папа на 4 года старше мамы. Всем вме- сте 81 год. Сколько лет папе? 282. На 210 р. купили 4 тетради, книгу, которая в 9 раз дороже тетради, и аль- бом, который на 10 р. дешевле книги. Сколько стоит одна тетрадь, книга и альбом в отдельности? ДЛЯ ТЕХ, КОМУ ИНТЕРЕСНО •^/Еще раз задачи на уравнивание Задача 1. За 3 книги и 5 тетрадей заплатили 95 р., а за 1 книгу и 2 тетради — 33 р. Сколько стоит тетрадь? Запишем коротко условие задачи: 3 кн. и 5 т. — 95 р. 1 кн. и 2 т. — 33 р. Утроим вторую покупку. Тогда количество книг в первой и вто- рой строках уравняется: 3 кн. и 5 т. — 95 р. 3 кн. и 6 т. — 99 р. Теперь вторая покупка отличается от первой на одну тетрадь. Поэтому тетрадь стоит 99 — 95 = 4 (р.). Задача 2. Три котенка и два щенка весят 2 кг 600 г, а два котенка и три щенка весят 2 кг 900 г. Сколько весит щенок? (Предполагается, что все котята имеют одинаковый вес, все щен- ки тоже имеют одинаковый вес.) Запишем коротко условие: 3 к. и 2 щ. — 2 кг 600 г, 2 к. и 3 щ. — 2 кг 900 г. Из условия следует, что 5 котят и 5 щенков весят 5 кг 500 г. 3 — Дорофеев, 6 кл. 65
Значит, 1 котенок и 1 2 котенка и 2 Сравнивая условия: 2 к. и 3 2 к. и 2 видим, что щенок весит 700 щенок весят 1 кг 100 г; щенка весят 2 кг 200 г. щ. — 2 кг 900 г щ. — 2 кг 200 г, г. 283. Три ручки и два карандаша стоят 170 р., а три ручки и три карандаша стоят 180 р. Сколько стоит одна ручка и сколько один карандаш? 284. В трех маленьких и четырех больших букетах 29 цветков, а в пяти малень- ких и четырех больших букетах 35 цветков. Сколько цветков в каждом бу- кете в отдельности? 285. Масса двух плиток шоколада — большой и маленькой — 120 г, а трех больших плиток и двух маленьких — 320 г. Какова масса каждой плитки? 286. Пять яблок и три груши весят 810 г, а три яблока и пять груш весят 870 г. Сколько весит одно яблоко? одна груша? 287. Масса трех гвоздей и двух шурупов — 40 г, а пяти гвоздей и трех шуру- пов — 65 г. Какова масса одного гвоздя? 288. Четыре гусеничных и два колесных трактора вспахали 16 га. Сколько гек- таров за это время вспахал один колесный трактор, если он заменяет два гусеничных трактора? 289. Три большие и две маленькие коробки конфет дороже двух больших и трех маленьких коробок конфет на 30 р. Сколько стоит большая коробка кон- фет, если она в 2 раза дороже маленькой. Задания для самопроверки к главе 3 (Обязательные результаты обучения) 1. Запишите в виде десятичной дроби число: ^'qqq ; 1-^qq-; ТосГ‘ 2. Запишите в виде обыкновенной дроби число: 0,7; 0,09; 0,203. 3. Запишите числа, соответствующие отме- ® ченным на координатной прямой точкам Рис. 77 (рис. 77). 4. Начертите координатную прямую (за единичный отрезок примите 10 клеток). Отметьте на ней числа: 0,1; 0,5; 1,8; 2,2. ₽ о Л 1 1 3 7 5. Запишите в виде десятичной дроби: 6. Сравните числа: а) 1,001 и 0,999; б) 8,54 и 8,455; в) 0,305 и 0,3050. 7. Дополните равенство: а) 1 кг 200 г=... кг; в) 2 м 31 см = ... м; д) 256 м = ... км; б) 2 км 130 м = ... км; г) 750 г=... кг; е) 80 см = ... м. 66
Сложение и вычитание десятичных дробей Главное преимущество десятичной записи дробей заключается в том, что действия над десятичными дробями почти не отличают- ся от действий с натуральными числами — надо только научиться правильно ставить в результате запятую. Сначала выясним, как складывают и вычитают десятичные дроби. Пример 1. Найдем сумму 3,44 и 7,28. Обратим эти десятичные дроби в обыкновенные и выполним сложение. У каждой десятичной дроби две цифры после запятой, поэто- му складывать придется обыкновенные дроби с одним и тем же зна- менателем, равным 100: 3 44 + 7 28 = 3-^+7^- = ^ + ^- = 3,44 + 7,28 3100+7100 юо + 100 = 344+728 =М72 ^72_ 100 100 1июо Вы видите, что вычисление фактически свелось к сложению на- туральных чисел, которые получаются при выбрасывании запятой из данных десятичных дробей. А в сумме после запятой тоже ока- залось две цифры — столько же, сколько их содержится в каждом из слагаемых. 67
Поэтому сложение этих десятичных дробей мож- но выполнить «в столбик», подписав слагаемые од- но под другим — разряд под разрядом. Пример 2. Сложим 3,5 и 12,74. Данные десятичные дроби содержат разное ко- личество цифр после запятой. Уравняем их число, приписав к первой дроби нуль: 3,5 = 3,50. Теперь можно выполнить сложение «в столбик». Дополнительные нули можно и не приписывать, однако нужно помнить, что они стоят на «пустых» местах. Пример 3. Найдем разность чисел 24,7 и 6,835. Уравняем число цифр после запятой и выпол- ним вычитание «в столбик». -1-3,4 4 7,2 8 10,72 + 3,5 0 12ЛА- 16,24 Я 4,7 0 0 1 7,8 6 5 А Выполните сложение: а) 4,15 + 3,23; б) 12,31+7,54; в) 50,24 + 9,41; г) 1,74+18,05. 291. Найдите сумму: а) 2,57 + 4,62; г) 0,315 + 0,026; ж) 2,56 + 2,73; б) 0,513 + 0,477; д) 3,72+15,43; з) 0,24 + 0,96; в) 1,18 + 3,22; е) 0,004+1,326; и) 1,911+0,099. 292. Ученик выполнил сложение и записал ответ, забыв поставить запятую. Ис- правьте его ошибку. Объясните, как вы рассуждали. а) 84,365 + 4,731=89096; б) 3,1297 + 0,0854 = 32151. 293. Правильно ли выполнено сложение? Если неправильно, то объясните, в чем ошибка. 294. Вычислите: а) 12,9 + 6,31; г) 104,2 + 6,77; ж) 123,6+1,234; б) 0,82+1,5; д) 7,356 + 22,54; з) 10,84 + 5,5; в) 4,7 + 0,63; е) 0,033+15,37; и) 2,11+0,099. 68
295. Число 0,256 можно представить в виде суммы разрядных слагаемых сле- дующим образом: 0,256 = 0,2 + 0,05 + 0,006. а) Представьте в виде суммы разрядных слагаемых число: 0,149; 2,36; 15,03. б) Какое число представлено в виде суммы разрядных слагаемых: 0,3 + 0,02 + 0,001; 4 + 0,5 + 0,007; 10 + 1+0,1+0,02? 296. Найдите разность: а) 8,9-5,4; в) 10,4-1,1; 6)15,6-8,3; г) 29,9-10,8. 297. Выполните вычитание: а) 0,438 - 0,212; г) 0,461-0,181; ж) 0,202 - 0,111; б) 2,85-1,33; д) 6,22-3,32; з) 5,71-2,63; в) 3,43 - 0,26; е) 5,17-2,86; и) 3,25-2,45. 298- Ученик выполнил вычитание «в столбик» и записал ответ, забыв поставить запятую. Исправьте его ошибку. Объясните, как вы рассуждали. а) 28,01-9,55=1846; б) 510,666 - 343,366=167300. 299. Правильно ли выполнено вычитание? Если неправильно, то объясните, в чем ошибка. 300. Вычислите: а) 96,637 - 7,63; б) 8,405 - 0,23; в) 10,3-5,42; г) 13,6-13,46; д) 18,8-13,51; е) 94,3-5,15; ж) 7,08 - 4,125; з) 20,4-5,31; и) 80,1-78,6. 301. Найдите разность: а) 126-38,7; б) 82-20,16; в) 51-23,04; г) 112-72,92. 302. Заполните таблицу: а 1,1 1,2 1.3 1.6 1,7 1,8 ъ 0,7 0,5 0,6 0,8 0,5 0,3 а + Ь 1,7 2 а-Ь 0,7 0,9
303. Вычислите: а) 5,673 + 4,62; г) 12,04-7,3; ж) 95,05-8,5; 6) 6,84-0,381; д) 12,18 + 4,823; з) 4-0,127; в) 10,5 + 3,75; е) 89-6,7; и) 56,9 + 49. 304. Дополните каждое из чисел: а) 0,7; 0,03; 0.75; 0,006 до 1; б) 2,3; 7,25; 6,05; 9,99 до 10; в) 3,4; 47,34; 53,09; 29,13 до 100. 305. Представьте разными способами в виде суммы двух десятичных дробей натуральное число: а) 1; б) 2; в) 3; г) 10. 306. Найдите значение выражения: а) 1,6+3,7+4,8+5,9; в) 20-(0,8+0,03)-1,9; б) 2,5-1,8+2,43-1,7; г) (18,7+3,53)-( 10-1,67). 307. а) Составьте из чисел 4,84; 5,055; 10,5 все возможные суммы и найдите их значения. б) Составьте из чисел 6,37; 2,13; 4,85 все возможные разности и вычис- лите их значения. 308. а) Напишите пять чисел, первое из которых равно 2,1, а каждое следую- щее на 0,2 больше предыдущего. Найдите сумму всех этих чисел. б) Напишите пять чисел, первое из которых равно 2,6, а каждое следующее на 0,3 меньше предыдущего. Найдите сумму всех этих чисел. 309. Найдите неизвестное число: а) а+ 2,37 = 9,24; г) 10,3-6 = 6,6; б) 3,75 + 6 = 4,92; д) а-7,18 =14,2; в) х + 0,18 = 5; е) 10-х = 0,99. 310. а) Из какого числа надо вычесть 0,33, чтобы получилось 0,88? б) К какому числу надо прибавить 1,9, чтобы получилось 21,1? 311. а) Какое число надо уменьшить на 1,7, чтобы получилось 8,38? б) Какое число надо увеличить на 5,5, чтобы получилось 10,1? 312. Сравните с 1 сумму: а) 0,499 + 0,4821; в) 0,78 + 0,509; б) 0,673 + 0,587; г) 0,49 + 0,488. Образец. 0,384 + 0,415 < 0,5 + 0,5 = 1. 313. Не выполняя сложения, сравните сумму с числом 10: а) 4,79 + 4,538; в) 2,901 + 2,809 + 2,999; б) 6,124 + 4,001; г) 4,356 + 3,05 + 3,204. 314. а) Измерьте длины сторон четырехугольника (рис. 78), выразите их в сан- тиметрах и найдите периметр этого четырехугольника. 70
Рис. 79 б) На плане изображены две дороги, по которым можно пройти из дома в школу: мимо стадиона или мимо детского сада (рис. 79). Выполнив не- обходимые измерения, выразите длины в сантиметрах и определите, ка- кой путь короче. 315. Скорость течения реки равна 3,2 км/ч. Найдите: а) скорость лодки по течению и скорость лодки против течения, если ее собственная скорость равна 12,5 км/ч; б) собственную скорость лодки и скорость лодки по течению, если ее ско- рость против течения равна 7,2 км/ч; в) собственную скорость лодки и скорость лодки против течения, если ее скорость по течению равна 14,2 км/ч. Решите задачу, составив выражение (316, 317). 316. а) В одной банке 5,2 кг краски, в другой — на 1,6 кг больше. Сколько ки- лограммов краски в двух банках вместе? б) Щенок весит 2,3 кг, а котенок — на 1,8 кг меньше. Сколько весят они вместе? 317. а) В кувшине на 2,7 л молока меньше, чем в бидоне, и на 1,5 л меньше, чем в ведре. Сколько всего молока, если в кувшине 1,25 л молока? б) Сторона треугольника, равная 11,5 см, на 0,6 см меньше второй сто- роны и на 0,9 см больше третьей. Каков периметр треугольника? 318. а) Дедушка с внуком вместе собрали 18,5 кг яблок. В ящике у дедушки на 2,5 кг яблок больше, чем у внука. Сколько килограммов яблок в ящи- ке у каждого? б) В двух канистрах было 15,4 л бензина. В одной канистре было на 3,4 л меньше, чем в другой. Сколько бензина было в каждой ка- нистре? 319. Имеются бидоны вместимостью 1 л, 2 л, 3 л и 4 л. В какой бидон мож- но слить молоко из двух банок, в которых содержится: а) 0,95 л и 0,85 л; б) 1,85 л и 1,75 л? 320. В посылку можно положить не больше 8 кг груза. Можно ли упаковать в одну посылку грузы массой: а) 2,5 кг, 3,7 кг и 2,4 кг; б) 1,7 кг, 0,5 кг и 5,6 кг?
321. Вычислите, обратив десятичную дробь в обыкновенную: 1 1 2 а) 0,5 +у; в) -^ + 0.25; д) +0,8; 15 1 б) 0,2- — 0 ^--0,1; е) 0,4--z-. /о о 322. Вычислите, обратив обыкновенную дробь в десятичную: а) 2,82 + 4; О б) 4+3,78; '4 в) 2.71 г) 1^-- 1,33; д) ^-+1.27; е) 1,78-4 ' 4 а) (23,437+ 7,2096)-(100,41 -87,5334); б) 102,093-(47,123 + 5,68+ 31,7); в) 55,28+ 76,438-(8.6+ 0,738); г) 100,6-(47,84+ 26,38)-9,208. 324. Вычислите удобным способом: а) 1,2+ 2,3 + 3,4+ 4,5+ 5,6+ 6,7+ 7,8; б) 2,3 + 3,4 + 4,5 + 5,6 + 6,7 + 7,8 + 8,5 + 9,2; в) 1,7 + 3,3 + 7,72 + 3,28 + 1,11+8,89; г) 18,8+19+12,2+11,4 + 0,6+11. 325. Какие из чисел 15, 16, 17, 18 можно подставить вместо буквы, чтобы по- лучилось верное неравенство: а) х-6,5<10; б) 20<х + 4,7<22? 326. Расстояние между селами 15 км. Туристы прошли в первый час 5,2 км, во второй час на 0,5 км меньше, а в третий — на 0,9 км меньше, чем во второй. Сколько километров им осталось пройти? 327. Первое поле на 3,2 га меньше второ- го, а третье поле на 4,8 га больше вто- рого. На сколько гектаров третье поле больше первого? 328. Скорость течения реки равна 4,6 км/ч. На сколько километров в час скорость катера по течению больше его скоро- И сти против течения? 329. Попугай, канарейка и щегол вместе скле- вали 45,6 г зерна. Попугай и канарей- ка вместе склевали 29,9 г, а канарей- ка и щегол — 25,1 г. Сколько зерна склевала каждая птица? 330. а) Продолжите последовательность чисел: 3,75; 3,5; 3,25; ...
Можно ли продолжать эту последовательность бесконечно? б) Восстановите три последующих и три предыдущих числа в последова- тельности ... 1; 1,01; 1,02; ... . Есть ли в этой последовательности наименьшее число? наибольшее число? 331. Вычислите: а) 0,75 + 2g + у; в) -у^+д--0,2; 13 1 б) 0,256 + у - у; г) 0,741 + у + 0,009. 332. Найдите сумму: а) 0,1 +0,2+ 0,3+ ... + 0,9; б) 0,01+0,02 +0,03+... + 0,09; в) 0,001+0,002 + 0,003+ ... + 0,009. А. Умножение и деление десятичной дроби ОД^на 10, 100, 1000, ...______________ Будем умножать десятичную дробь 6,735 на 10, 100, 1000 и т. д.: А 6735 10 ^ 6735 35 6,735 10 1ЛЛЛ i 1ПП 67 юо 67,35, 1 - 10 =673^ = 673.5, ^^- = 6735. 1000 1 100 6,735-100 = ^-» = -^ 6,735-1000 = -^ Мы видим, что в исходной дроби меняется положение запятой: при умножении на 10 она передвигается вправо на 1 знак, при ум- ножении на 100 — на 2 знака, при умножении на 1000 — на 3 знака. Отсюда ясно, что можно пользоваться правилом: Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д., нужно перенести в этой дроби запятую на столько знаков вправо, сколько нулей содержится в множителе. Пользуясь этим правилом, найдем произведения: 6,735 • 10 000 = 6,7350 • 10 000 = 67 350; 6,735-100000 = 6,73500-100000 = 673 500. Обратите внимание: при умножении на 1000 мы получили чис- ло без запятой, так как в данной дроби всего три знака после за- пятой. А чтобы воспользоваться нашим правилом при умножении 73
на 10 000 и 100 000, нам пришлось приписать к данной дроби спра- ва нули. Деление десятичной дроби на 10, 100 и т. д. также сводится к переносу запятой. Возьмем, например, число 851,3: qk-i q• 1 л — 8513 1 _ 8513 _13 io 851,3.10--^ — --^-85— 85,13, ч • 1 пл — 8513 1 _ 8513 _о 513 _р 851,3 100 w 100 1000 81000 8,513. Из этих примеров понятно правило: Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д.,"^ нужно перенести в этой дроби запятую на столько знаков влево, сколько нулей содержится в делителе. J Попробуем теперь разделить дробь 851,3, например, на 10 000. По правилу нужно было бы перенести запятую влево на 4 знака, но у нашей дроби перед запятой только 3 знака! Чтобы понять, как воспользоваться правилом и в таком «неприятном» случае, найдем частное, перейдя к обыкновенным дробям: 851,3:10000 = ^.1^ = 1^ = 0,08513. Получившийся ответ подсказывает нам прием, который позво- ляет в любом случае находить результат деления на 10, 100, 1000 и т. д. с помощью переноса запятой, — к десятичной дроби слева нужно приписать вспомогательные нули: 851,3:10 000 = 00851,3 • 10 000 = 0,08513. А а) 15,47-10; е) 913,134-100; л) 4,8071 • 1000; б) 0,75-10; ж) 10,28-100; м) 3,7-1000; в) 13,003-10; з) 0,0045-100; н) 16,14-1000; г) 0,01 • 10; и) 0,36-100; о) 0,0018-1000; Д) 9,8-10; к) 4,5-100; п) 0,001 • 1000. 334. Представьте в виде натурального числа: а) 1,5 тыс.; г) 2,5 млн; ж) 7,5 млрд; б) 40,7 тыс.; д) 10,2 млн; з) 12,55 млрд; в) 0,6 тыс.; е) 0,9 млн; и) 0,785 млрд. 335. Выполните деление: а) 27,13=10; е) 210,36:100; л) 2345,56=1000; б) 104,85:10; ж) ,38,5= ЮО; м) 562,7:1000; в) 9,28:10; a),v4,7:100; н) 36,128:1000; г) 1,5 = 10; и) 0,25:100; о) 4,931:1000; д) 0,36=10; к) 0,08:100; п) 0,137:1000. 74
336. а) Увеличьте каждое из чисел 0,2; 1,112; 13,0247; 34,05 в 10 раз, в 100 раз, в 1000 раз. б) Уменьшите каждое из чисел 2500; 1555,01; 4,45; 0,6 в 10 раз, в 100 раз, в 1000 раз. 337. Задание с выбором ответа. а) Во сколько раз 15,51 больше 0,01551? А. В 10 раз. Б. В 100 раз. В. В 1000 раз. б) Во сколько раз 2,06013 меньше 206,013? А. В 10 раз. Б. В 100 раз. В. В 1000 раз. 338. На какое число нужно умножить или разделить число 25,6, чтобы в ре- зультате получилось: а) 25600; б) 2,56; в) 0,0256; г) 256? 339. Выполните действия: а) 24,85-100; д) 0,48:10; и) 0,67-10; б) 13,76:10; е) 4,75-1000; к) 1,8:1000; в) 0,346-10; ж) 3,8:100; л) 25,76-10000; г) 124,34:1000; з) 0,5-100; м) 100,72:100. 340. Выразите: а) в метрах: 23 км, 5,127 км, 0,027 км, 0,35 км, 0,4 км; б) в миллиметрах: 16 см, 10,5 см, 0,3 см, 1,7 см, 0,4 см; в) в миллилитрах: 0,356 л, 0,012 л, 1,25 л, 0,1 л, 0,8 л. 341. Выразите: а) в метрах: 526 см, 48 см, 20 см, 7,6 см, 5 см; б) в граммах: 3000 мг, 25,6 мг, 15 мг, 4 мг; в) в литрах: 2560 мл, 350 мл, 2,8 мл, 0,05 мл. 342. а) За 20 компьютеров заплатили 484,5 тыс. р. Сколько надо заплатить за 200 таких же компьютеров? б) За 100 стиральных машин заплатили 1,26 млн р. Сколько надо запла- тить за 10 таких же стиральных машин? 343. Продолжите последовательность, записав еще три ее члена: а) 110; 11; 1,1; ...; б) 0,000001234; 0,0001234; 0,01234; ... . Б а) Выразите в квадратных сантиметрах: 0,25 м2; 33 мм2; 0,5 дм2. б) Футбольное поле имеет размеры 110 м на 75 м. Найдите его площадь и выразите ее в гектарах (1 га =10000 м2). 345. Разберите, как выполнено умножение: 12,3 • 20 = 12,3 • 10 • 2 = 123 • 2 = 246. Пользуясь этим приемом, вычислите: а) 1,8-90; б) 41,1-20; в) 3,05-300. 75
346. Как изменится положение запятой в десятичной дроби, если эту дробь: а) уменьшить в 1000 раз и еще в 10 раз; б) уменьшить в 10 раз, а затем увеличить в 1000 раз? 347. Сравните значения выражений: а) 563,2-70,4 и 56,32-704; в) 563,2:70,4 и 56,32:7,04; б) 563,2-70,4 и 5,632-704; г) 563,2:70,4 и 0,5632:0,704. 348. Задание с выбором ответа. Известно, что 8-125=1000. а) Найдите 0,08-1,25. б) Найдите 1:12,5. А. 1000. Б. 10. В. 0,1. А. 0,08. Б. 0,8. В. 8. 349. Задача-исследование. 1) Разберите, как выполнено умножение: 32,5 • 0,1 = 32,5 • -jjj- = 32,5 =10 = 3,25. Как найти значение произведения 32,5-0,1 с помощью переноса запятой? 2) Сформулируйте правило умножения десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. 3) Найдите: а) 23,6-0,1; б) 37-0,01; в) 0.6-0,1; г) 540000-0,001. Умножение десятичных дробей Умножение десятичных дробей также сводится к умножению соответствующих натуральных чисел. Но место запятой при умно- жении определяется иначе, чем при сложении. Перемножим числа 3,76 и 2,4, заменив их обыкновенными дро- бями: о 76.2 4-3 76 .2 4 = 376-24 = 9024 = 3,76 2,4 3 100 2 w 10()0 1000 9,024. Фактически нам пришлось перемножить натуральные числа, ко- торые получаются, если из данных десятичных дробей выбросить запятую. В первом множителе две цифры после запятой, во вто- 9024 ром — одна, поэтому в знаменателе дроби получилось число с тремя нулями, а в соответствующей десятичной дроби — три циф- ры после запятой. Таким образом, приходим к правилу: Две десятичные дроби перемножают как натуральные числа, > не обращая внимания на запятые. В произведении отделяют запятой справа столько цифр, сколько их содержится после запятой в обоих множителях вместе. J 76
Пример 1. Найдем произведение чисел 0,215 и 0,33. Выполним умножение «в столбик», не обращая внимания на запятые. Перемножив числа без учета запятых, мы получили результат 7095. Чтобы отде- лить в нем пять цифр, пришлось слева дописать нули. Сформулированное правило умножения примени- мо и в том случае, когда один из множителей — на- туральное число. Пример 2. Найдем произведение чисел 0,235 и 120. Получим 0,235 • 120 = 28,2. I- - х'0,2 0. гг Ils: 6i 4 4 5 0, 0 7 0 915 X 0,2 3 5 + : 4 7 0 2 3 5 А а) 7,8-2,9; в) 4,4-2,2; д) 1,6-2,5; б) 0,4-3,8; г) 3,5-6,4; е) 0,8-7,5. 351. Известно, что 52-47 = 2444. Используя этот результат, найдите произведе- ние: а) 5,2-4,7; б) 0,52-4,7; в) 52-4,7; г) 0,52-0,47. Вычислите (352, 353). 352. а) 85,3-4,1; б) 6,36-2,5; в) 27,2-0,06; г) 1,56-0,2; д) 2,06-3,05; е) 1,04-8,02; ж) 10,3-1,01; з) 5,08-2,05; и) 2,35-0,14. 353. а) 6,35-0,08; б) 0,75-1,26; в) 0,082-0,5; г) 0,21-0,084; д) 0,065-0,34; е) 0,003-0,07; ж) 103,15-0,001; з) 5,56-0,01; и) 1,23-0,02. 354. Найдите произведение чисел: а) 3,55 и 6; г) 6,71 и 23; б) 4,77 и 3; д) 3,02 и 15; в) 0,235 и 4; е) 0,75 и 44; ж) 0,25 и 4; з) 0,2 и 5; и) 0,125 й 8. 355. Один метр ткани ткани? стоит 450 р. Сколько стоят 5 м, 2,5 м, 3,8 м, 0,6 м этой 356. Скорость звука в воздухе 0,33 км/с. На каком расстоянии от вас проис- ходит гроза, если вы увидели вспышку молнии, а раскат грома услышали через 5 с? через 10 с? через 24 с? 357. Велосипедист ехал со скоростью 12,5 км/ч. Какой путь он проехал за 2 ч? за 0,5 ч? за 1,5 ч? за 2,5 ч?
358. 359. 360. 361. 362. 363. 364. 365. 366. 367. Вычислите устно: а) 0,3-6; г) 0,75-10; Ж) 0,4-0,1; к) 0,2-5; б) 8-0,5; Д) 2,5-2; з) 0,03-10; л) 1,3-3; в) 0,1-7; е) 4-1,2; и) 4-2,5; м) 18-0,1 Вычислите наиболее удобным способом: а) 1,5-2,2-2; в) 2 -3,8 -0.5; д) 13,7-0,2-5; 6) 6,54-0,25-4; г) 2,5-0,061-4; е) 0,25-0,2-4-5. Вычислите: а) 0,62; в) 1,12; д) 0,23; ж) 0,013; б) 0,32; г) 0,52; е) 1,13; з) 0,53. Заполните таблицу. п 2 3 4 5 о.г Выполните умножение и сравните результат с заданным числом. Сделай- те вывод. а) 3,8-2,6 и 3,8; б) 3,8-0,4 и 3,8; 0,8-1,4 и 0,8; 0,8-0,35 и 0,8; 5,6-1,01 и 5,6; 5,6-0,94 и 5,6. Сравните, не выполняя вычислений. Запишите результат с помощью зна- ка >, < или =: а) 2,76-3,1 и 2,76; в) 5-0,3 и 0,3; д) 0,4-0,37 и 0,4; б) 41,2-0,2 и 41,2; г) 0,75-1 и 0,75; е) 0,2-0,58 и 0,58. В каждой паре равенств одно неверное. Найдите его, не выполняя вычис- лений: а) 32,7-0,3 = 9,81 и 3,27-0,3 = 9,81; б) 0,5-21,6=10,8 и 23,2-0,4 = 92,8. а) Запишите пять чисел, первое из которых равно 1,44, а каждое после- дующее в 1,5 раза больше предыдущего. Можно ли продолжать эту по- следовательность чисел бесконечно? б) Запишите пять чисел, первое из которых равно 25, а каждое следую- щее составляет 0,8 предыдущего. Можно ли продолжать эту последовательность чисел бесконечно? Найдите значение а) 0,4-2,55-1,6; б) (1,34 + 0,9)-5,4; в) 40-(7,85-3,9); г) 17-3.44-3,5; Вычислите: а) 2.12 —2,1; б) 0,9-0.92; выражения: д) (8,4+1,92)-(1,7-1,5); е) 17,5-3-4,5-1,725; ж) 2,15-(3,9 + 0,18)-5; з) 20,3-5,7-(2,4+ 0,43). в) 2-0.82; д) 2,5г-0,52; г) (2-0,8)2; е) (2,5-0,5)2.
368. а) Площадь какой комнаты больше — с размерами 5,1 ми 3,4 м или 4,8 м и 3,7 м? б) Коробка, размеры которой 2,3 дм, 2,3 дм и 4 дм, наполнена сахарным песком (рис. 80). Можно ли пересы- пать весь этот песок в коробку с раз- мерами 4 дм, 4 дм и 1,4 дм? Решите задачу, составив выражение, соответ- ствующее условию (369, 370). 369. а) Группа туристов идет от лагеря к станции, расстояние между которы- ми 3,5 км, со скоростью 4,7 км/ч. Сколько километров осталось пройти туристам, если они находятся в пути 0,5 ч? б) Игорь идет из дома на стадион со скоростью 5,5 км/ч. Через 0,2 ч по- сле выхода из дома ему осталось пройти 0,4 км. Чему равно расстояние от дома до стадиона? 370. а) Орехи расфасовали в пакеты по 0,7 кг в каждый: грецкие — в 20 па- кетов, арахис — в 15 пакетов, миндаль — в 10 пакетов. Сколько всего ки- лограммов орехов расфасовали в пакеты? б) В санаторий привезли по 12 ящиков помидоров, огурцов и лука; поми- доров по 7,5 кг в каждом ящике, огурцов по 12,5 кг, а лука по 5,5 кг. Сколько всего килограммов овощей привезли в санаторий? 371. Найдите: а) 0,5 от 36 м; в) 0,15 от 9 км; д) 0,25 от 60 мин; б) 0,01 от 6 км; г) 0,1 от 60 мин; е) 0,35 от 60 мин. 372. Музыканты, давшие благотворительный концерт, передали городу 4,5 млн р. 1) На покупку школьных учебников было выделено 0,7 этой суммы. Сколь- ко денег было выделено на учебники? 2) На закупку лекарств для больниц было потрачено 0,2 этой суммы. Сколь- ко было потрачено на лекарства? 373. а) От ленты длиной 15 м отрезали 0,3 ее длины. Сколько метров ленты осталось? б) Уроки и перемены длятся 6 ч. На уроки уходит 0,75 этого времени. Сколько времени длятся перемены? 374. а) Дорога от станции до поселка проходит по шоссе, по проселку и ле- сом. Дорога по шоссе составляет 0,4 всего пути, а по проселку — 0,5 всего пути. Какая часть всего пути проходит лесом? Сколько киломе- тров надо идти лесом, если весь путь от станции до поселка равен 3,5 км? б) При ремонте участка шоссе длиной 20 км в первый день отремонти- ровали 0,35 всего участка, во второй день — 0,4 всего участка, осталь- ное — в третий день. Сколько километров ремонтировали каждый день? 79
375. а) В пакет, выдерживающий 5 кг, положили 1,8 кг огурцов, а яблок в 1,5 раза больше. Не порвется ли пакет? б) Туристы идут по направлению к станции со скоростью 4,6 км/ч. Им осталось пройти 11 км. Успеют ли туристы к поезду, если он отходит через 3 ч? 376. Коробка конфет весит 0,6 кг, а пачка печенья — 0,25 кг. В бандероль мож- но упаковать не более 2 кг. 1) Можно ли отправить в одной бандероли 3 коробки конфет? 4 коробки конфет? 8 пачек печенья? 4 пачки печенья и 2 коробки конфет? 2) Составьте другие наборы из конфет и печенья, которые можно упако- вать в одну бандероль. 377. Обратите десятичную дробь в обыкновенную и выполните умножение. Пред- ставьте ответ, если возможно, в виде десятичной дроби: 2 1 5 а) у 0,15; в) у 0,1; д) 1,5- у 1 я ? 6) 0,12-у г) 2,1-у; е) Зу-0,4. Б 378. Выполните умножение: а) 14,25-6,04; г) 22,5-4,006; ж) 3600-2,005; б) 15,04-0,125; д) 0,81 • 1,033; з) 0,705-64,46; в) 0,816-0,035; е) 4,25-0,00444; и) 0,0155-1200. 379. Выполните действия: а) 0,14-0,35-0,022; г) 32-0,03-1,1-0,005; б) 0,8 • 0,375 • 1,93; д) 4 • 0,15 • 3,6 • 0,001; в) 4,4-2,25-10,2; е) 1,6-0,375-0,05-3,3. 380. Выполните умножение, используя следующий прием: 48-0,5 = 48--^- = 48;2 = 24; 48-0,25 = 48-4 = 48 = 4= 12. 4 а) 116-0,5; в) 64-0,25; д) 158-0,5; б) 84-0,25; г) 284-0,5; е) 1008-0,25. 381. Вычислите рациональным способом: а) 50-18,8-0,2; в) 8-0,111-0,125; д) 75-0,2-0,5-4; б) 2,5-0,0034-400; г) 0,4-7,5-4-2,5; е) 0,8-0,125-4-25. 382. Вычислите рациональным способом: а) 3,4-2,6 + 1,3-2,6 + 5,3-0,7 + 5,3-1,9; б) 3,6 • 3,8 + 3,6 • 1,6 + 2,7 • 4,6 + 0,9 • 4,6; в) 1,7 • 2,3 - 1,7 • 1,5 + 0,8 • 2,2 - 0,8 • 0,5; г) 2,5 • 3,5 - 1,6 • 2,5 + 1,9 • 0,7 + 0,8 -1,9. 383. Найдите число, квадрат которого равен: 0,64; 0,01; 0,0009. 80
384. Найдите число, куб которого равен: 0,064; 0,008; 0,125. 385. 1) Заполните таблицу. п 11 12 13 14 15 16 17 18 19 п2 2) Используя таблицу, вычислите: а) 1,82; 1,32; 1,62; б) 0,112; 0,172; 0,142; в) 0.0122; 0.0152; 0,0192. 386. Найдите значение выражения: а) 2,02 • 0,45 + 5,0505 • 2 + 39,1 • 0,01; б) (6-1,96) • (10,2 - 5,7) + (6,8 + 2,6) • (0,37 + 0,03); в) (1 - 0,34) • (2 - 0,75)+1,05 • (4,882 + 3,018); г) (8 - 5 • 0,25) - (4,7 + 5,6 • 0,125) • 0,1. 387. Турист шел пешком полтора часа. Первые полчаса он шел со скоростью 5,4 км/ч, затем 48 мин — со скоростью 4,5 км/ч, а оставшееся время — со скоростью 5 км/ч. Какое расстояние прошел турист за эти полтора часа? 388. Папа в 2,5 раза старше своего сына и в 2 раза младше своего отца. Во сколько раз дедушка старше внука? 389. На дорогу от дома до стадиона Коля тратит 0,8 ч. На метро он едет 0,5 всего времени; 0,75 остатка едет на троллейбусе, а остальное время идет пешком. Сколько времени Коля идет пешком? 390. Сторона квадрата равна 0,4 дм. Найдите сторону квадрата, площадь кото- рого составляет 0,25 площади данного квадрата. Деление десятичных дробей Вы видели, что результат сложения, вычитания и умножения десятичных дробей выражается десятичной дробью. Иначе обстоит дело с делением: частное десятичных дробей не всегда можно за- писать в виде десятичной дроби. Возьмем, например, частные 0,28 1,4 и 1,2 = 0,9 и вычислим каждое из них, перейдя к обыкновенным дробям: О 2R ‘ 1 Д — • 14 — 28 10 л 0,28-1,4- 100 - 10“ 100 14~0’2’ 1 2.09=12._9_=J2.20 = 4 1010 10 9 з- В первом случае мы получили десятичную дробь 0,2, а во вто- ром — обыкновенную дробь которая в десятичную не обраща- о ется. 81
Если частное выражается десятичной дробью, его можно вычис лить, используя деление уголком, так же, как при делении нату- ральных чисел. Рассмотрим сначала случай деления десятичной дро- би на натуральное число. Этот случай можно считать главным, так как все остальные сводятся к нему. Пример 1. Найдем частное 7,47:3. Сначала разделили на 3 число 7 — целую часть дроби 7,47; после этого в частном поставили запя- тую. Остаток от деления раздробили в десятые и разделили 14 десятых на 3. Новый остаток раздро- били в сотые и разделили 27 сотых на 3. Нуль в остатке означает, что деление закончено. Таким образом, 7,47:3 = 2,49. 7>4j7 3 । -4-4—: ! \Q\ I ! _11Г Г 12! Деление десятичной дроби на натуральное число выполняет- ся так же, как и деление натуральных чисел. Сразу после того, как закончено деление целой части, в частном ставят запятую. Пример 2. Найдем частное 1,28 = 4. Целая часть делимого равна 1, она меньше де- лителя. Поэтому в частном записали О целых, по- сле чего поставили запятую и продолжили деле- ние. Получили 1,28:4 = 0,32. Пример 3. Найдем частное 93,2 = 16. Когда все цифры делимого 93,2 были сне- сены, нуль в остатке не получился. Однако мы знаем, что десятичная дробь не изменит- ся, если к ней приписать справа нули. По- этому, чтобы продолжить деление, мы после- довательно приписывали к делимому нули и вычисляли следующие цифры частного. Получили, что 93,2:16 = 5,825. _• 8=0i i 7 L o J 82
Заметим, что в подобных случаях нуль можно приписывать не к делимому, а непосредственно к остатку. Деление на десятичную дробь легко свести к делению на нату- ральное число. Возьмем, например, частное 0,126:0,45. Его значение не изме- нится, если делимое и делитель умножить на 100. Поэтому 0,126*0,45 = 12,6:45. Таким образом, вместо деления на десятичную дробь 0,45 нуж- но выполнить деление на натуральное число 45. (Найдите резуль- тат самостоятельно. У вас должно получиться 0,28.) Обратите внимание: чтобы из первого частного получить вто- рое, достаточно в делимом и делителе перенести запятую на два знака вправо. Это и понятно: ведь умножение десятичной дроби на единицу с несколькими нулями равнозначно переносу запятой на столько же цифр вправо. Вообще, удобно пользоваться правилом: Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, нуж-"\ но в делимом и делителе перенести запятую на столько цифр вправо, сколько их содержится после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число. ) Вот примеры такого преобразования частного: 30,2:0,4 = 302:4; 3,5:0,07 = 3,50:0,07 = 350: 7; 26:0,013 = 26,000:0,013 = 26 000:13. А Обратите десятичные дроби в обыкновенные и выполните деление: а) 2,7:0,4; б) 0,16:0,24; в) 3,2:0,08; г) 2,5 = 4,5. 392. Выполните деление (используйте в качестве образца пример 1 из текста): а) 192,6:9; г) 30,25 = 5; ж) 28,29 = 23; б) 477,4= V 1; д) 336,6=11 ; з) 68,25 = 25; в) 17,22 = 2; е) 8,176 = 4; и) 17,15 = 7. 393. Вычислите (используйте в качестве образца пример 2): а) 4,41:7; г) 4,65=15; ж) 0,121 = 11; б) 8,28:9; д) 10,71=21; з) 0,084 = 7; в) 4,88:8; е) 5,12 = 32; и) 0,115 = 5. 394. Найдите частное (в качестве образца воспользуйтесь примером 3): а) 5,87 = 2; г) 10,4:5; ж) 14,7 = 12; б) 10,63 = 2; Д) 13,8:15; 3) 44,5 = 4; в) 3,42 = 4; е) 24,4:8; и) 19,6 = 16. —<83)
395. Выполните деление «уголком»: а) 157:2; г) 33:60; ж) 300:8; б) 78:4; д) 490:4; з) 531 И 5; в) 304:5; е) 12’25; и) 300:16. 396. Обратите обыкновенную дробь в десятичную, разделив числитель на зна- менатель «уголком»: х 19 18 ч 7 5 а) 40’ б) 25’ В) 8’ Г) 16’ 397. Вычислите в уме и результат проверьте умножением: а) 0,8:4; г) 3,5:7; ж) 0,91’7; к) 9,8:2; б) 0,9’3; Д) 6,5:5; 3)0,84:6; л) 0,54:2; в) 2,1:3; е) 5,2:4; и) 7,2:3; м) 0,75:5. 398. а) Конфеты разложили поровну в 8 коробок. Сколько конфет в каждой ко- робке, если всего было 3,6 кг конфет? б) Из 13,5 м ткани можно сшить 5 костюмов. Сколько ткани требуется для одного костюма? 399. а) Большая собака весит 20,2 кг. Маленькая в 4 раза легче, а кошка в 10 раз легче большой собаки. Сколько весит маленькая собака и сколько кошка? б) В первом бидоне в 3 раза больше молока, чем во втором, а во вто- ром — в 2 раза больше, чем в третьем. Сколько молока в каждом бидо- не, если в первом 4,5 л молока? Выполните деление (400—402). 400. а) 17,4 = 0,6; г) 4,95 = 1,5; ж) 3,36=1,5; б) 30,6 = 0,9; д) 0,343 = 0,7; з) 8,46 = 1,2; в) 17,28 = 7,2; е) 1,624 = 5,6; и) 10,01=9,1. 401. а) 512 = 0,16; в) 12,25 = 0,005; д) 81,2 = 0,35; б) 198 = 0,036; г) 15,3 = 0,015; е) 1050 = 4,2. 402. а) 8,9 = 0,4; г) 0,2106 = 3,9; ж) 11,1=0,04; б) 3,08 = 0,05; д) 1,23 = 0,6; з) 0,04 = 2,5; в) 77,7 = 0,37; е) 28,42 =1,4; и) 3,534 = 0,5. 403. Вычислите и результат проверьте умножением: а) 8,04 = 6,7; в) 0,945 = 1,8; д) 14,23 = 0,1; б) 1,072 = 0,8; г) 70 = 5,6; е) 0,24 = 0,001. 404. Вычислите устно: а) 12 = 0,3; 6 = 0,6; 15 = 0,1; 48 = 0,8; б) 0,35 = 0,007; 1,6 = 0,2; 0,24 = 0,12; 0,3 = 0,3; в) 0,15 = 0,5; 0,04 = 0,4; 0,08 = 0,02; 0,25 = 0,05. 405. а) Шаг ребенка 0,3 м. Сколько шагов надо сделать ребенку, чтобы пройти 6 м? б) Каждая таблетка содержит 0,25 мг лекарства. Сколько таблеток в день должен принять больной, если ему назначено 2 мг лекарства в сутки? 84
406. а) Площадь прямоугольной комнаты 17,76 м2. Длина одной стены 4,8 м. Найдите длину другой стены комнаты. б) Какова скорость поезда, если он прошел 45,6 км за 0,6 ч? 407. а) На упаковке некоторого товара указаны его стоимость и масса. Сколь- ко стоит 1 кг этого товара, если 1,5 кг стоят 54 р.? 0,4 кг стоят 25 р.? б) Цена некоторого товара 9,8 р. за 1 кг. Сколько купили этого товара, если за покупку заплатили 34,3 р.? 4,41 р.? 408. Найдите неизвестное число: a) 10-«/ = 8; в) 4,8:</ = 6; д) 0,1-х=17; б) 4 • а = 2,4; г) 0,3 • Ъ = 0,66; е) 2,25 - х = 1,5. 409. Заполните таблицу. а b а + Ь а-Ь а*Ь а b 7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,07 70 0,07 410. а) Сколько кусков ленты по 2,5 м получится из мотка длиной 23 м? б) В бидоне содержится 4,6 л молока. Сколько бутылок емкостью 0,5 л потребуется, чтобы разлить в них все молоко из бидона? в) Для оклейки стен комнаты требуется 77,7 м обоев. Сколько рулонов обоев надо купить, если длина каждого рулона 10,5 м? г) Доску, длина которой 6,2 м, надо распилить на куски длиной 0,5 м. Сколько таких кусков получится? Найдите значение выражения (411, 412). 411. а) 6,144:12+1,64; в) (62,1-61,44): 1,2; б) 0,07 - 0,1001:1,43; г) 48: (73,29 + 46,71). 412. а) 15,3: (1 -+0,25 -16); г) (4,8-0,42-8,5): 0,5; б) 40,28 - 22,5:12,5 + 1,7; д) 30-19,56: (4,2 + 3,95); в) 1,6-1,1+ 1,8:4; е) (2,6-1,04):0,24-0,8. 413. а) Машина с прицепом возит песок с карьера на завод. За рабочую смену она перевезла 97,2 т песка. Сколько рейсов сделала машина, если в ее кузов вмещается 5,2 т песка, а в прицеп — 2,9 т? б) Чтобы сшить кухонные полотенца, хозяйка отрезала от куска полотна длиной 5,5 м несколько кусков по 0,65 м каждый. У нее остался кусок длиной 0,95 м. Сколько полотенец сшила хозяйка? 414. а) Из проволоки согнули треугольник со сторонами 7,5 см, 8,3 см и 9,4 см. Из этой же проволоки согнули квадрат. Чему равна его сторона? 85
б) Из проволоки согнули квадрат со стороной 8,4 см. Из этой же проволоки согнули равносторонний треугольник. Чему равна его сторона? 415. а) В одном пакете 1,5 кг кофе, а в другом — 0,9 кг. Сколько кофе надо пересыпать из одного пакета в другой, чтобы кофе в них оказалось поровну? Сколько кофе будет после этого в каждом пакете? б) В двух пакетах 1,3 кг семян. Если из одного пакета переложить в другой 0,15 кг семян, то семян в пакетах станет поровну. Сколько семян было в каждом пакете первоначально? 416. а) С двух ульев собрали 43,3 кг меда. С одного из них получили на 1,7 кг меньше, чем с другого. Сколько килограммов меда собрали с каждого улья? 6) Масса яблока и груши 0,625 кг. Яблоко тяжелее груши на 0,185 кг. Чему равны масса яблока и масса груши? 417. а) Масса двух кусков сыра 1,4 кг. Один из них в 3 раза тяжелее другого. Найдите массу большего куска. б) В двух пакетах 3,75 кг кофе. В одном пакете кофе в 2 раза меньше, чем в другом. Сколько кофе в большем пакете? Б 418. Вычислите: а) 9 = 0,0032; б) 375,013 = 7,9; в) 0,2205=14,7; г) 8,16 = 0,204; Д) е) ж) з) 37,812 = 1,84; 45,156=15,9; 0,567 = 8,75; 0,375 = 0,3125; 419. Известно, что 17 = 8 = 2,125. Используя 1,7 = 0,8; 0,17 = 8; 17 = 0,08. 420. Вычислите устно: а) 8,326 = 0,09-0,09; б) 1,784 = 0,04-0,4; Найдите значение выражения 421. а) 3,5-(8,68+ 1,136)-135,531 =33,3; 39,072 = 9,6 + (55,4 - 17,66) = 6,8; (8,94 + 9,39) = (7,57 -1,4- 2,05); 3,5 = 7 + 2,8 = 0,4-0,74-5; б) 0,57:1,9-4,4-0,68=1,7:0,4; в) 50-19,56 = (0,237 + 0,163)-0,71 -0,5; г) 10,02-5-(44-(34,5 + 7,87)) = 0,05; Д) е) (22,506 +14,694) = 3,72-1,08-(3+ 1,65)-5,07 = 65. и) 0,06882 = 0,444; к) 90 = 6,4; л) 22,3929 = 5,37; м) 27,03 = 36,04. этот результат, найдите частное: в) 6,723-5,2 = 6,723; г) 25,41-3,8 = 2,541. (421, 422). г) 10,79 = 8,3-(5-0,56) = 3,7; д) 46,08 = (1,5 — 1,116) • 0,04 + 44,8; е) 8,364 = (8-3,92)-2,05-0,4. б) в) 422. а) 3,36 = 3,2 +(4-(7-6.3)-4.2)-1,1; 86
423. Для одинаковых подарков к детскому празднику взяли 4,2 кг шоколадных конфет, а карамели на 2,4 кг больше. Какова масса конфет в подарке, если в каждом из них 0,175 кг шоколадных конфет? 424. В четырех бидонах 6,2 л молока. В первом бидоне такое же количество молока, как во втором, в третьем — в 3 раза больше, чем в четвертом, а в четвертом — 0,8 л молока. Сколько литров молока в каждом бидоне? 425. Туристическая тропа от станции до лагеря сначала поднимается в гору, а потом спускается с горы. Расстояние в гору в 4 раза короче, чем с горы, а весь путь составляет 7,5 км. Туристы преодолели путь в гору за 0,6 ч, а остальной путь до лагеря за 1,5 ч. Определите скорость туристов на подъеме и на спуске. 426. На окраску двух стен дома израсходовали 7,26 кг краски. Сколько килограм- мов краски было израсходовано на каждую стену, если площадь одной из них на 6 м2 больше, чем площадь другой, а на каждый квадратный метр уходит 0,22 кг краски? 427. Приготовление домашнего задания заняло у Маши 2 ч. Русским языком она занималась 0,3 всего времени. Остальное время ушло на историю и математику, причем на математику она потратила на 0,2 ч меньше, чем на историю. Сколько времени она занималась каждым предметом? 428. Огород имеет форму прямоугольника, длина которого 8 м, ширина 2,5 м. На 0,4 всей площади огорода посажена морковь, на остальной — лук и чеснок, причем луком засажена площадь, в 4 раза большая, чем чесноком. Какая площадь засажена морковью, луком и чесноком в отдельности? 429. Душевая имеет длину 3,5 м и ширину 2,5 м. Стены высотой 2,5 м требуется обложить плитками, исключая окно и дверь, которые занимают 0,1 площади стен. Сколько требуется плиток квадратной формы со стороной 25 см? 430. Столб, врытый в землю, возвышается над землей на 0,8 своей длины. Какова длина столба, если его надземная часть равна 1,6 м? 431. Под посадку картофеля отвели 0,6 всего участка земли, под посадку моркови — 0,3 этого участка, а на оставшихся 2 сотках (200 м2) посадили лук. Определите площадь всего участка земли. Выразите ее в гектарах. 432. Когда турист прошел 0,35 всего пути, то до середины пути ему осталось пройти 6 км. Найдите длину всего пути. 433. Задача-исследование. * 77Ш7Т777П777777777 I 1 1) Найдите частное, сравните результат с делимым и сделайте вывод: а) 3,6:1,2; 0,55:1,1; 2,4:4,8; б) 3,6:0,12; 0,55:0,11; 2,4:0,48. 87
2) Не выполняя вычислений, сравните: а) 1,95:1,3 и 1,95; в) 0,25 4 и 0,25; б) 7,8:0,4 и 7,8 г) 0,72:0,3 и 0,7. 3) В каждой паре равенств одно неверное. Найдите его, не выполняя вычислений: а) 85,75:0,7 = 12,25 и 85,75:0,7 = 122,5; б) 33,6:1,5 = 22,4 и 33,6:1,5 = 224. Деление десятичных дробей (продолжение) Задания, которые вы выполнили при изучении предыдущего пункта, сводились к нахождению частного десятичных дробей делением «уголком». Покажем теперь, что этот прием не всегда приводит к желаемому результату. Пусть нужно найти частное 0,05:0,3. Попробуем вычислить его с помощью деления «уголком». Для этого будем делить 0,5 на 3. Вы видите, что при делении все время повторяется один и тот же остаток— число 2. Значит, деление никогда не закончится, сколько бы мы его ни продолжали. Но частное чисел 0,05 и 0,3 существует, найти его конечно же можно. Для этого достаточно перейти к обыкновенным дробям: П 5 3 5 . 10 = 5 = 1 ’ ’ юо ’ 10 100 3 30 6* 615 [3 5 0.1 66 Можно действовать и по-другому — записать частное 0,05:0,3 в виде дроби и преобразовать эту дробь так, чтобы в числителе и знаменателе оказались натуральные числа: °’05:0’3—оХ" 0,3-100 "30-е- Обратите внимание: частное 0,05:0,3 равно дроби которая в десятичную не обращается. Поэтому деление «уголком» дроби 0,5 на 3 и оказалось «бесконечным». В заключение подчеркнем, что частное десятичных дробей всегда можно найти, перейдя к обыкновенным дробям. Причем, как вы видели, иногда вычислить частное по-другому просто невозможно. Однако в «хороших» случаях результат удается найти делением «уголком». 88
у 434. Найдите частное и. если возможно, выразите ответ десятичной дробью: а) 0,7:0,3 г) 4,2 = 2,8; Ж) 3,5:1,5; б) 3,5:3; д) 0,33:0,9; з) 0,04:1,2; в) 2,5:9; е) 0,24:1,5; и) 3:1,2. 435. Найдите значение выражения: % 0.4 0,25 1,7 х 12,6 , 3,8 , 0,24 1 8 а) 0,5= б) 1,5 * в) 0,3’ Г) 1,2 ’ я) 20 ’ е) 0,9 ’ Ж) 0,6’ 3) 1,4’ 436. Вычислите: a) f=0.2; »Г’.6: Д) ^001; 2 5 „ „ 4 б) 1,4:у; Г) g:1,5; е) 0,8:у. 437. а) Какую часть улицы асфальтирует машина за 1 ч, если на асфальтирование всей улицы требуется 4 ч? 2,5 ч? 0,8 ч? б) Какую часть пути проехал автомобиль за 1 ч, если весь путь он проехал за 2 ч? за 1,6 ч? за 1,5 ч? 438. а) Газированную воду на фабрике разливают в банки по 0,33 л. Сколько полных банок получится при разливе 100 л газированной воды? б) Чтобы сшить 1 юбку, требуется 1,8 м ткани. Сколько юбок получится из 15 м этой ткани? 439. Заполните таблицу. а 5.4 2,8 5,6 1,2 4,7 70 2,5 1,2 b 4 5 0,6 0,5 0,1 0,01 0,25 1.4 а-Ъ а'Ъ 440. а) В мешке в 1,5 раза больше сахара, чем в коробке, и в 12,5 раза больше, чем в банке. Сколько сахара в коробке и сколько в банке, если в мешке 37,5 кг сахара? б) Собака в 2,5 раза тяжелее щенка, а щенок в 2,5 раза тяжелее котенка. Сколько весит щенок и сколько котенок, если собака весит 5,5 кг? 441. а) Из 12 м ткани можно сшить 15 юбок. Сколько таких же юбок получится из 4,8 м ткани? б) Из 18 м ткани можно сшить 15 брюк. Сколько ткани останется, если сшить всего 8 брюк? 89
' 442. а) От одной станции до другой 165 км. Первые 1,5 ч поезд шел со скоростью 60 км/ч. Остальной путь он прошел за 1,2 ч. С какой скоростью прошел поезд второй перегон? б) От поселка до станции 2,7 км. Андрей проходит это расстояние пешком за 0,6 ч. За какое время он проезжает это расстояние на велосипеде, если на велосипеде он едет со скоростью, на 6,3 км/ч большей, чем идет пешком? Б| а) Расстояние между станциями Вороново и Сорокине равно 12,5 км. Электричка ото- шла от станции Вороново в 12 ч 26 мин и прибыла на станцию Сорокине в 12 ч 38 мин. С какой скоростью прошла электричка расстояние между этими двумя станциями? Выразите скорость электрички в километрах в час. б) Таня проезжает на велосипеде 2,4 км за 9 мин, а Коля проезжает 4,4 км за 16 мин. С какой скоростью едет каждый из них? Выразите скорости Тани и Коли в километрах в час. 444. Вычислите: а) 3,4+ 2,8 0,2 ’ ч 3-0,5 в) 3 + 0,5’ Д) 0,04-0,25 0,9-0,88’ б) 1,2 1-0,4’ 4,5-2,7 Г) 14,6+15,4’ ’ е) 0,5+1,2 3,4-0,9 ’ Образец. Вычисления можно вести цепочкой: 445. Вычислите: 2-0,75 1,25 125 2 + 0,75 2,75 275 __5_ 11 ч 5-0,1 v 10*0,7 ч 0,2-7 а) 0,6 ’ в) 4 ’ д) 0,42 ’ _ 0.5-3 13 1,12 D) 0,3 ’ Г) 2,6-0,5’ е) 5,6-3’ .. - 1,4-0,2 п Образец. Найдем значение выражения ——• A™ этого преобразуем выражение так, чтобы в числителе и знаменателе были натуральные числа: 1,4-0,2 = 1,4-10-0,2-10 = 14-2 = 2 2,1 2,1-100 21-10 15’ / 446. Вычислите: О \ 5,8-2,65 3,5-(4,9-4,6). а) J, 4 -(3,7 -2,2)’ в' 2-(4,5-3,6) ’ (15,94+ 17,54)-3 (36,8-28,9)-3 б) 10,06+14,24 ’ • 0 (12,52+ 12,48)-0,4 (90)
447. Разберите, как выполнено вычисление: 2,25:0,15-0,4 = 225 15 4 225 100 4 _ 225-100-4 _ 15-4 100'100*10 100*15*10 100-15-10 10 Воспользовавшись приведенным образцом, найдите значение выражения: а) 1,4-1,5:2,1; в) 0,36 = (4,5 = 0,25); б) 9:0,12:300; г) 5,6:(120-0,7). ф Округление десятичных дробей Пусть поле прямоугольной формы имеет размер 340 х 270 м. Найдем его площадь, перемножив данные числа. Получим 91800 м2. Так как 1 га =10 000 м2, то площадь поля равна 9,18 га. На практике, говоря о площади поля, указывают обычно лишь целое число гектаров. Так, в нашем случае можно сказать, что площадь равна примерно 9 га. Рассмотрим другой пример. Пусть комната прямоугольной формы имеет размер 5,6 х 3,8 м. Перемножив длину и ширину, получим 21,28 м2. Но в документах на жилье, указывая площадь помещения, часто ограничиваются десятыми долями квадратного метра. Для комнаты с данными размерами будет записано 21,3 м2. Таким образом, при использовании десятичных дробей в практических расчетах их округляют, т. е. заменяют дробями с меньшим числом десятичных знаков или даже целыми числами. При этом важно получить более точный результат, т. е. допустить меньшую ошибку. Обратите внимание: в первом примере мы просто отбросили а) ненужные десятичные знаки числа 9,18, а во втором отбросили в числе 21,28 цифру сотых, увеличив цифру десятых на единицу. Почему же мы так поступили? Десятичная дробь 9,18 заклю- ®) чена между числами 9 и 10. Но число 9 отличается от 9,18 на 0,18, а число 10 — на 0,82, т. е. гораздо больше (рис. 81, а). Поэтому при округлении десятичной дроби 9,18 до целых
следует заменить ее числом 9, т. е. ее приближенным значением с недостатком: 9,18 = 9. Точно так же рассуждаем во втором случае. Число 21,28 заклю- чено между дробями 21,2 и 21,3. Очевидно, что дробь 21,28 ближе к числу 21,3, чем к числу 21,2 (рис. 81, б). Поэтому 21,28 = 21,3. В этом случае мы взяли приближенное значение с избытком. Подобно тому как натуральные числа округляют до десятков, сотен, тысяч и т. д., десятичные дроби можно округлять до единиц десятых, сотых, тысячных и т. д. Например: 3,8026 = 4 — округление до единиц (3,8026 ближе к 4, чем к 3); 3,8026 = 3,8 — округление до десятых (3,8026 ближе к 3,8 чем к 3,9); 3,8026 = 3,80 — округление до сотых (3,8026 ближе к 3,80, чем к 3,81); 3,8026 = 3,803 — округление до тысячных (3,8026 ближе к 3,803, чем к 3,802). Обратите внимание на третье приближенное равенство: чтобы показать, что округление проведено до сотых, мы оставили цифру «нуль» в разряде сотых. Рассмотренные примеры позволяют сформулировать правило, по которому можно округлять десятичные дроби механически, не подбирая специально лучший результат. Сначала у дроби отбрасывают все цифры, стоящие правее разряда, до которого проводится округление. Если при этом отброшенная часть начинается с цифры, меньшей 5, то результат уже получен. Если отброшенная часть начинается с цифры, большей или равной 5, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу. Пример 1. Округлим дробь 0,172504 до десятых. После запятой мы должны оставить одну цифру. Так как отбрасываемая часть начинается с цифры, большей 5, то цифру в разряде десятых следует увеличить на единицу, т. е. 0,172504 = 0,2. Пример 2. Округлим дробь 0,39608 до сотых: 0,39608 = 0,40. К цифре 9 в разряде сотых прибавили единицу, так как первая отбрасываемая цифра больше 5. 92
Вы знаете, что не всякую обыкновенную дробь можно записать в виде десятичной. Однако для практических расчетов десятичные дроби удобнее, поэтому обычно обыкновенную дробь заменяют близкой ей десятичной дробью с нужным числом знаков после запятой. А для этого прибегают к делению «уголком». ПримерЗ. Выразим дробь -тт- приближенно ±э десятичной дробью с двумя знаками после запятой. Будем делить «уголком» числитель дроби — на ее знаменатель и оборвем деление в тот момент, когда получим третий знак после запятой. Округлим дробь 0,466 до сотых и получим, 7 что y^~0,47. Пример 4. В пошивочной мастерской из 10 метров ткани изготовили 7 одинаковых детских костюмов. Сколько ткани пошло на один костюм? Понятно, что естественная форма ответа в такой задаче — это указание метров и сантиметров. Поэтому будем делить «уголком» 10 на 7. Таким образом, на один костюм пошло при- мерно 1,4 м, т. е. 1 м 40 см. 448. Прочитайте двойное неравенство. К какому из двух крайних чисел ближе среднее число: а) 6 <6,3 <7; в) 14,3 < 14,37 < 14,4; б) 9 <9,6 <10; г) 20,1 <20,12 <20,2? 449. Покажите примерное расположение данного числа на координатной прямой. Назовите целое число, являющееся его приближенным значением с недостатком; приближенным значением с избытком: а) 3,3; 5,7; 0,1; б) 2,04; 1,52; 6,39. Образец. 3,71-3 (с нед.); 3,71-4 (с изб.). 450. Какое из приближенных равенств точнее: а) 0,36-0,4 или 0,36-0,3; б) 1,654-1,6 или 1,654-1,7; в) 2,834-2,83 или 2,834-2,84? 93
451 - а) Расстояние на море измеряется в милях. В 1 морской миле содержится 1,853 км. Округлите это число до десятых, до единиц. Скольким примерно километрам равна 1 морская миля? б) До введения метрической системы мер расстояния на Руси мерили верстами: 1 верста-1,0688 км. Округлите это число до сотых; до десятых. Скольким примерно километрам равна 1 верста? 452. а) В старину при изготовлении лекарств пользовались специальными единицами аптекарского веса — унциями: 1 унция равнялась 31,1035 г. Округлите это число до десятых; до единиц. Скольким примерно граммам равна 1 аптекарская унция? б) В английской системе мер для измерения массы используют фунты: 1 фунт - 0,45359237 кг. Округлите это число до тысячных; до сотых; до десятых. Сколько примерно граммов содержится в 1 фунте? 453. Округлите до единиц: а) 38,459; б) 105,83; в) 0,963; г) 0,782; д) 9,6004; е) 29,48. 454. Округлите до десятых, до сотых, до тысячных: а) 28,37267; б) 43,52859; в) 106,09311; г) 4,03954. 455. Округлите число: а) 282,0954 до десятых, до сотых, до тысячных; б) 2 820 954 до десятков, до сотен, до тысяч. Чем похожи и чем различаются округление натуральных чисел и округление десятичных дробей? 456. а) Найдите ошибку, допущенную при округлении: 0,5743-0,5; 2,1035^2,11; 31526^3153. б) Ученик выполнял задание «Округлите 123,756 до десятых» и получил 123,756-120. В чем его ошибка? 457. Ленту длиной 2,5 м разрезали на 8 равных частей. Найдите длину каждой части и округлите результат до сотых. Сколько примерно сантиметров содержится в каждой части? 458. Площадка для игры в бадминтон имеет размеры 13,4 м и 5,2 м. Найдите площадь игрового поля, результат округлите до единиц. 459. Задание с выбором ответа. Какой из следующих ответов является лучшим приближением для 1 тыс. секунд? А. 2 ч. Б. 3 ч. В. 0,2 ч. Г. 0,3 ч. 460. Коля купил продукты, причем масса различных свертков оказалась равной 0,756 кг, 1,2 кг и 2,87 кг. Чтобы выяснить, тяжелой ли будет сумка, он сделал прикидку, округлив числа до единиц: 0,756+1,2 + 2,87-1 + 1+3 = 5 (кг).
Рассуждая таким же образом, прикиньте общую массу покупок, если масса каждой равна: а) 2,05 кг, 3,7 кг и 0,925 кг; б) 0,6 кг, 1,87 кг, 2,2 кг и 3,08 кг. 461- Выполните прикидку, округлив десятичные дроби до единиц, а затем най- дите точный ответ: а) 2,8 + 3.1+0,74-3,3; в) 1,9-6,1; б) 21,51 + 19,92+10,06; г) 4,08-9,1. 462. Из трех ответов к каждому примеру один верный. Найдите его, выполнив прикидку: а) 28,671 +12,529. А. 0,412. Б. 4,12. В. 41,2. б) 60,0348 + 9,6762. А. 6,9711. Б. 69,711. В. 697,11. в) 2,96-12,5. А. 3,7. Б. 37. В. 370. г) 89,8-1,95. А. 17,511. Б. 175,11. в. 1751,1. д) 368,036-19,836. А. 3,482. Б. 34,82. в. 348,2. е) 26,75 = 12,5 А. 214. Б. 21,4. в. 2,14. 463. Выразите приближенно обыкновенную дробь десятичной с одним, двумя, тремя знаками после запятой: v 2 Л 5 .2 ч 4 э) 3> б) 6> в) д; г) 7. 464. Заполните таблицу. Если дробь нельзя представить в виде десятичной, запишите ее приближенное значение с двумя знаками после запятой. Обыкновенная дробь Десятичная дробь Обыкновенная дробь Десятичная дробь 1 2 0,5 1 8 х 3 х 9 х 4 1 ю 1 5 1 11 6 1 12 х 7 1 13 465. Найдите приближенное значение частного с двумя знаками после запятой: а) 7:0,3; 6)0,28:0,9; в) 3,5:1,5; г) 2:1,2. 95
466. а) Доску длиной 6,5 м распилили на 6 одинаковых частей. Чему равна длина каждой части? Ответ выразите в метрах и сантиметрах. б) На упаковке с сахарным песком, взвешенной на электронных весах, указана ее стоимость: 24,30 р. Цена 1 кг песка равна 21 р. Чему равна масса песка в упаковке? Ответ выразите в килограммах и граммах. У--------------------------------------------------- 467. Округлите число 1,666666 до тысячных; до сотых; до десятых. В каждом случае найдите разность между полученным приближенным значением и данной дробью. 468. Футбольное поле на стадионе обычно отделено от трибун беговыми дорожками. Размеры футбольного поля 110 м и 75 м, ширина беговой дорожки 4 м. Найдите площадь футбольного поля вместе с дорожками (для простоты считайте, что это прямоугольник). Выразите ответ в гектарах и результат округлите до единиц. 469. Печенье, цена которого 26 р. за 1 кг, расфасовано в пакеты. На упаковках указана их масса: 724 г, 615 г, 830 г. Какую стоимость для каждой упаковки скорее всего назовет продавец? 470. а) Некоторую десятичную дробь с тремя знаками после запятой округли- ли до сотых и получили 3,27. Найдите все десятичные дроби с тремя зна- ками после запятой, при округлении которых до сотых получится это чис- ло. Укажите наибольшую и наименьшую из полученных дробей. 6) Найдите наибольшую из десятичных дробей с четырьмя знаками после запятой, при округлении которой до сотых получится число 8,65. Задачи на движение Задача 1. Один пешеход идет со скоростью 4 км/ч, а другой идет вслед за ним со скоростью 6 км/ч. В начальный момент времени расстояние между ними равно 8 км (рис. 82). Через какое время второй пешеход догонит первого? Скорость второго пешехода больше скорости первого на 6 — 4 = 2 (км/ч), т. е. их скорость сближения равна 2 км/ч. Тогда время, через которое он догонит первого пешехода, равно 8:2 = 4 (ч). Рис. 82 96
60- 2 = 120 (км) Рис. 83 Задача 2. Автомобиль выехал из пункта А со скоростью 60 км/ч. Через 2 ч вслед за ним выехал второй автомобиль со скоростью 90 км/ч. На каком расстоянии от А второй автомобиль догонит первый? За 2 ч первый автомобиль прошел расстояние, равное 60*2 = = 120 (км) (рис. 83). Скорость сближения автомобилей равна 90 — 60 = 30 (км/ч). Поэтому, чтобы догнать первый автомобиль, второму потребуется 120 = 30 = 4 (ч). За это время он удалится от пункта А на расстояние, равное 90’4 = 360 (км). А 471. Как изменяется расстояние между автобусом и автомобилем (уменьшается или увеличивается) и на сколько километров в час, если скорость автобуса 50 км/ч, автомобиля 80 км/ч и они двигаются: а) в одном направлении и автомобиль едет за автобусом; б) в одном направлении и автобус едет за автомобилем; в) в противоположных направлениях из одного и того же пункта; г) навстречу друг другу из разных пунктов? 472. Используя рисунок 84, вычислите для каждого случая скорость сближения или скорость удаления. Как вы думаете, кто мог двигаться в каждом случае? а) 6 км/ч I - 4 км/ч [ в) 40 км/ч 1 • 60 км/ч • 1 б) 10 км/ч I 2 15 км/ч [ г) 15 zcw/ч ' ! 120 км/ч 1 • ' Рис. 84 473. Два велосипедиста одновременно выехали из одного пункта в противоположных направлениях со скоростями 10 км/ч и 12 км/ч. 1) На каком расстоянии друг от друга они будут через 1 ч? через 0,5 ч? через 1,1 ч? 2) Через сколько часов расстояние между ними будет 33 км? 4 — Дорофеев. 6 кл. 97
474. 475. 476. 477. 478. 479. Расстояние между двумя пунктами 22,5 км. Из этих пунктов одновременно навстречу друг другу вышли два туриста. Один из них идет со скоростью 4,3 км/ч, а другой — 4,7 км/ч. 1) Какое расстояние будет между туристами через 1 ч? через 0,5 ч? через 2,5 ч? 2) Через сколько часов они встретятся? Два катера одновременно отправились от одной пристани в одном направлении. Их скорости соответственно равны 20 км/ч и 30 км/ч. 1) Какое расстояние будет между ними через 1 ч? через 1,5 ч? 2) Через сколько часов расстояние между ними будет равно 25 км? Решите задачу двумя способами. а) Два велосипедиста выехали из двух сел одновременно навстречу друг другу и встретились через 1,6 ч. Скорость одного 10 км/ч, другого 12 км/ч. Каково расстояние между селами? б) Расстояние между станциями 350 км. От этих станций одновременно навстречу друг другу отправились два поезда. Они встретились через 2,5 ч. Определите скорость первого поезда, если скорость второго 65 км/ч. а) Из двух городов, расстояние между которыми 30 км, одновременно в одном направлении вышли два поезда со скоростями 50 км/ч и 70 км/ч. Через сколько часов второй поезд догонит первый? б) Из двух сел, расстояние между которыми 18 км, одновременно в одном направлении выехали велосипедист и мотоциклист. Велосипедист ехал со скоростью 9 км/ч, мотоциклист — со скоростью 54 км/ч. Сколько километ- ров проедет велосипедист до того момента, когда его догонит мотоциклист? а) Расстояние между станциями А и В равно 165 км. От этих станций одновременно навстречу друг другу отправляются два поезда и встречаются через 1,5 ч на разъезде, который находится в 90 км от станции А. С какой скоростью идут поезда? б) Расстояние между поселками А и В равно 24 км. Из поселка А по направлению к поселку В выехал автобус. Одновременно с ним из поселка В в том же направлении выехал велосипедист. Автобус через 0,6 ч догнал велосипедиста на расстоянии 9 км от поселка В. С какой скоростью ехал автобус и какова была скорость велосипедиста? а) Собственная скорость катера 25,5 км/ч, скорость течения реки 2,5 км/ч. Какой путь пройдет катер за 1,5 ч по течению? против течения? б) Скорость ветра 5 км/ч. Собственная скорость вертолета 100 км/ч. Какой путь он пролетит за 2,4 ч при попутном ветре? при встречном ветре?
480. а) Собственная скорость лодки 8,5 км/ч, а скорость течения реки 3,5 км/ч. Расстояние между пристанями 15 км. Сколько времени затратит лодка на путь между пристанями туда и обратно? б) Город В находится в 63 км от города А ниже по течению реки. Теплоход плывет из А в В и обратно. На сколько больше времени понадобится ему на обратный путь, если собственная скорость теплохода 32 км/ч, а скорость течения реки 4 км/ч? 481. а) Моторная лодка плыла 2,5 ч по течению реки, а потом 2 ч по озеру. Какое расстояние проплыла за это время моторная лодка, если ее собст- венная скорость 32 км/ч, а скорость течения реки 2,4 км/ч? б) Туристы плыли 4,5 ч на плоту, а затем 1,5 ч на байдарке. Скорость течения реки 2 км/ч, а скорость байдарки в стоячей воде 20 км/ч. Какое расстояние проплыли туристы? 482. Колонна автобусов движется со скоростью 60 км/ч. а) Патрульная машина движется из конца колонны в ее начало со скоростью 85 км/ч. С какой скоростью она сближается с первым автобусом? б) От начала колонны к ее концу патрульная машина движется со скоростью 80 км/ч. С какой скоростью патрульная машина сближается с последним автобусом? 483. Колонна автобусов длиной 400 м движется по шоссе со скоростью 50 км/ч. Инспектору, машина которого замыкает колонну, нужно подъехать к голов- ному автобусу. За сколько минут инспектор догонит головной автобус, если будет ехать со скоростью 60 км/ч? 484. Из дачного поселка на станцию, расстояние между которыми 5,4 км, отправился пешеход со скоростью 4,5 км/ч. Через 0,5 ч вслед за ним выехал велосипедист со скоростью, равной 12 км/ч. Кто из них раньше и на сколько прибудет на станцию? 485. Из пункта А в пункт В вышел турист со скоростью 4,5 км/ч. Через 2 ч из В в А вышел почтальон с такой же скоростью, и через 1,2 ч после своего выхода он встретил туриста. Найдите расстояние от А до В. 486. Оля вышла из дома, а через 6 мин ее сестра отправилась вдогонку за ней. Оля за 1 мин проходит 50 м, а ее сестра — 70 м. Через сколько ми- нут после своего выхода сестра догонит Олю? 487. Саша вышел из дома и отправился к стадиону. Он проходит 50 м за 1 мин. Через 2 мин вслед за ним вышел его брат, который за 1 мин про- ходит 60 м. На каком расстоянии от дома находится стадион, если бра- тья пришли туда одновременно? 99
488. Из двух городов, расстояние между которыми 45 км, одновременно в одном направлении выехали автомобили со скоростями 70 км/ч и 60 км/ч, причем первый автомобиль догоняет второй. Через сколько часов расстояние между автомобилями будет равно 10 км? Почему задача имеет два решения? 489. Два поезда выехали одновременно из пунктов А и В навстречу друг другу. Расстояние между пунктами А и В равно 350 км. Скорость одного 65 км/ч, другого — 75 км/ч. Через сколько часов расстояние между поездами составит 70 км? Почему задача имеет два решения? 490. Города А и В расположены на реке, причем В ниже по течению. Расстояние между ними равно 30 км. Моторная лодка проходит путь от А до В за 2 ч, а обратно за 3 ч. За какое время проплывет от А до В плот? 491. Лодка и плот плывут по реке навстречу друг другу. Расстояние между ними равно 9 км. Через 0,5 ч лодка и плот встречаются. Лодка плывет со скоростью 15 км/ч. Чему равна скорость течения реки и собственная скорость лодки? 492. Папа и сын плывут на лодке против течения реки. В какой-то момент сын уронил папину шляпу. Только через 15 мин папа заметил пропажу. Опреде- лите, на каком расстоянии от лодки находится шляпа, если собственная скорость лодки 6 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч. 493. Папа и сын плывут на лодке по течению. В какой-то момент сын уронил за борт папину шляпу. Через 30 мин папа заметил пропажу, развернул лодку и поплыл навстречу шляпе. Через сколько минут они встретят шляпу, если собственная скорость лодки 10 км/ч, скорость течения 2,4 км/ч? Нет ли здесь лишних данных? 494. Иван Иванович и Петр Петрович отдыхают в пансионате и каждый день совершают прогулки к озеру. Расстояние от пансионата до озера 1 км. Петр Петрович за 1 мин проходит 75 м, а Иван Иванович — 50 м. а) Однажды Иван Иванович и Петр Петрович вместе пошли от пансиона- та к озеру. Петр Петрович первым дошел до озера, повернул назад и с той же скоростью пошел навстречу Ивану Ивановичу. Через сколько минут после выхода из пансионата они встретятся? б) В следующий раз, когда они вместе отправились из пансионата к озе- ру, Петр Петрович дошел до озера, повернул назад, встретил Ивана Ива- новича, повернул еще раз и опять пошел к озеру. Так он ходил туда и об- ратно, пока Иван Иванович не дошел до озера. Какое расстояние за это время прошел Петр Петрович? в) Однажды Иван Иванович вышел из пансионата и пошел к озеру, и од- новременно с ним от озера к пансионату, отправился Петр Петрович. Гу- ляя, каждый доходит до места назначения и тут же поворачивает обрат- но. Через сколько минут после выхода они встретятся в первый раз? во второй раз? 100
(ДЛЯ ТЕХ, КОМУ ИНТЕРЕСНО Длинные» выражения с десятичными дробями Здесь мы будем выполнять вычисления с десятичными дробями, содержащими большое число знаков после запятой. Найдем, например, значение произведения 0,1 • 0,01 • 0,001 •• 0,00...01. 20 цифр Многоточие в записи математических выражений «переводится» как «и т. д.». В данном случае оно означает, что дальше в произведении содержатся дроби 0,0001; 0,00001; ... . Всего в этом произведении 20 множителей, и в каждой следующей дроби после запятой на один нуль больше, чем в предыдущей. Очевидно, что в результате получится дробь вида 0,00...01 и нужно лишь определить число ее знаков после запятой. Из правила умножения десятичных дробей следует, что после запятой в этой дроби будет столько цифр, сколько их содержится во всех множителях вместе, т. е. 1 + 2 + 3 +...+ 20. Найдем эту сумму, воспользовавшись «методом Гаусса». Объединим слагаемые в пары — первое с двадцатым, второе с девятнадцатым и т. д. Всего таких пар будет 10, и каждая пара в сумме даст число 21. Поэтому искомая сумма равна 21*10 = 210. Таким образом, 1 + 2 + 3 + .. . + 20 = 210. Теперь можно записать значение данного произведения. Для этого нам опять придется использовать многоточие: 0,1 • 0,01 • 0,001 •... • 0,00...01 = 0,00...01. 20 цифр 210 цифр 495. Найдите сумму и произведение чисел: а) 0,1; 0,01; 0,001; ...; 0,00...01; 50 цифр б) 0,Г°; 0,1"; О.Г2; 0,1го; в) 0,01; 0,0001; 0,000001; ...; 0,00...01; 10 цифр г) 0,1; 0,0001; 0,0000001; ...; 0,00...01. 25 цифр
496. Найдите значение выражения: а) 0,00...01-0,00. .01; б) 1 -0,1 -0,01 -...-0,00...01. 10 цифр 20 цифр 10 цифр 497. Определите закономерность, по которой получаются следующие суммы: 0,1 0,1 0,1 + 0,11 + 0,11 + 0,11 . . . 0,111 0,111 и т. д. 0,1111 Какое число получится в результате, если число слагаемых будет равно 9? 10? 11? 19? 20? 3* Задания для самопроверки к главе 4 (Обязательные результаты обучения) 1. Вычислите: а) 24,9 + 8,23; 6)65,1-1,68; в) 36,27 + 4,3; г) 21-5,06. 2. Найдите неизвестное число: а) х+1,7 = 2,2; б) 3,5 + Л = 5; в) а-0,3 = 0,8; г) 2-с =1,3. 3. Представьте в виде суммы разрядных слагаемых число 2,3405. 4. Запишите в виде натурального числа: 2,5 млн, 34,5 тыс. 5. Выразите: 3,25 км в метрах, 830 г в килограммах. 6. Выполните действие: а) 12,375* 10; б) 425,086=100. 7. Вычислите: а) 7,68*2,5; б) 1,3*0,004. 8. Найдите значение выражения: а) 2,72; б) 0.23; в) 1,5 —0,72; г) (1,25*4)2. 9. а) Турист идет со скоростью 4,4 км/ч. Какой путь он пройдет за 1,5 ч? б) Один метр ткани стоит 75 р. Сколько стоят 2,4 м такой ткани? 10. В первый день туристы прошли 0,3 всего маршрута. Сколько километров им осталось пройти, если весь маршрут составляет 40 км? 11. В лейке воды на 2,3 л больше, чем в ковше, а в ведре в 1,5 раза больше, чем в лейке. Сколько всего литров воды, если в лейке 3,6 л? 12. Вычислите: а) 7,92 = 6; б) 0,091:0,7; в) 3,77:2,6; г) 15 = 25. 13. Найдите неизвестное число: а) 1,5-х = 6; б) Л-6 = 9; в) а:1,2 = 0,5; г) 7:с = 0,35. 102
14. а) Шаг пешехода равен 0,6 м. Сколько шагов ему надо сделать, чтобы преодолеть 90 м? 6) За какое время проедет велосипедист 4,5 км, если будет ехать со скоростью 15 км/ч? 15. Найдите значение выражения: а) 10,5-2,7+ 1,3-6,8; в) 8,8-(2,6+1,68):4; б) 18,3-12,5-0,4 + 0,12; г) (2-0,3-5,7):0,5. 16. Из 140 м ткани в мастерской сшили 10 чехлов для кресел и 8 чехлов для диванов. На чехол для кресла пошло 6,4 м ткани. Сколько ткани пошло на чехол для дивана? 17. Вычислите: а) 0,6:0,9; б) 12:2,8; в) г) 18. Орехи нужно разложить в пакеты. В каждый пакет вмещается 1,5 кг орехов. Сколько пакетов потребуется, чтобы разложить 52 кг орехов? 19. Округлите число 17,6354: а) до единиц; б) до десятых; в) до сотых. 20. Ленту длиной 5,75 м разрезали на четыре равные части. Найдите длину каждой части, округлив результат до десятых. 21. Собственная скорость лодки 6,5 км/ч, а скорость течения реки 2,5 км/ч. Расстояние между пристанями 18 км. Сколько времени затратит лодка на путь между пристанями по течению реки? против течения реки? 22. Два автобуса выехали одновременно из двух городов навстречу друг другу со скоростями 40 км/ч и 48 км/ч. Расстояние между городами 132 км. Через сколько часов автобусы встретятся? 23. От школы к стадиону выехал велосипедист со скоростью 11,5 км/ч. Одновременно с ним от стадиона к школе по тому же пути выехал другой велосипедист со скоростью 12 км/ч. Через 0,2 ч они встретились. Найдите длину пути от школы до стадиона. 24. От причала в одном направлении вышли одновременно два катера. Скорость одного катера 45 км/ч, другого — 37 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет равно 20 км? 25. С турбазы в одном направлении одновременно вышли два туриста со скоростями 3,5 км/ч и 4 км/ч. Какое расстояние будет между туристами через 2 ч?
Прямая и окружность На рисунке 85, а изображена окружность с центром в точке О и прямая й, ее не пересекающая. Расстояние от центра О до прямой равно длине перпендикуляра ОМ. Оно больше радиуса окружности. Будем теперь перемещать прямую параллельно самой себе, приближая ее к центру окружности. В какой-то момент расстояние от центра до прямой станет равным радиусу и точка М окажется на окружности (рис. 85, б). В этом случае прямую k называют касательной к окружности, а точку М — точкой касания. Продолжим движение к центру. Расстояние от центра до прямой сначала будет уменьшаться, а после того как прямая пройдет через центр — снова увеличиваться. Все время, пока это расстояние будет меньше радиуса, прямая будет пересекать окружность (рис. 85, в). Как только оно опять станет равным радиусу, мы получим еще одну
касательную (рис. 85, г). А затем прямая и окружность вновь не будут иметь общих точек (рис. 85, д). Таким образом, прямая и окружность могут пересекаться, могут не пересекаться и, наконец, прямая может касаться окружности. На рисунке 85, б хорошо видно свойство касательной: касатель- ная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. На этом свойстве основан способ построения касательной к окружности. Рис. 86 На рисунке 86, а изображена окружность с центром в точке О и на ней отмечена точка А. Построим касательную к окружности в этой точке: • проведем радиус ОА (рис. 86, б); • построим прямую d, перпендикулярную радиусу ОА и проходящую через точку А (рис. 86, в). Прямая d и является касательной к окружности в точке А. В дальнейшем вы узнаете, что касательная играет большую роль при описании многих физических явлений. Взгляните на фото. На нем хорошо видно, что искры — раскаленные частички точильного камня, оторвавшиеся от него, — летят по касательной к кругу в точке отрыва. А Что можно сказать о взаимном расположении прямой и окружности, если расстояние от центра окружности до прямой равно 4 см, а ра- диус окружности равен: а) 3 см; б) 4 см; в) 5 см? Сделайте схема- тический рисунок. 105
499. Известно, что прямая и окружность пересекаются в точках А и В. Как должна проходить прямая, чтобы длина отрезка АВ была наибольшей? 500. К окружности, радиус которой равен 6 см, прове- дены две параллельные касательные (рис. 87). Че- му равно расстояние между ними? 501. Начертите произвольную окружность и отметьте на ней точку А. Постройте касательную к окружности в точке А. 502. Начертите окружность радиусом 3 см. Проведите ка- кую-нибудь прямую через центр окружности. Пост- ройте касательные к окружности: а) перпендикуляр- ные проведенной прямой; б) параллельные прове- денной прямой. Рис. 87 Б 503. Начертите две параллельные прямые. Постройте какую-нибудь окруж- ность, для которой обе эти прямые являются касательными. Сколько таких окружностей можно построить? Где лежат их центры? 504. Проведите прямую и постройте какую-нибудь окружность радиусом 3 см, для которой эта прямая является касательной. Сколько таких окружностей можно построить? Где расположены их центры? 505. Проведите прямую и отметьте на ней произвольную точку М. Постройте несколько окружностей разных радиусов, касающихся данной прямой в точ- ке М. Где лежат центры всех таких окружностей? 506. Начертите в тетради квадрат со стороной 8 см. Постройте окружность, ка- сающуюся всех сторон квадрата. окружности на плоскости На рисунке 88, а изображены две окружности. Точка О — центр большей окружности, точка Р — центр меньшей. Меньшая окруж- ность целиком находится вне большей, и расстояние между их цен- трами больше суммы радиусов. Начнем перемещать меньшую окружность по направлению к большей. При этом центры окружностей будут сближаться. В какой-то момент меньшая окружность коснется большей, и расстояние между центрами будет равно сумме радиусов (рис. 88, б). Такое касание называется внешним. Если дальше сближать центры, то окружности сначала будут пересекаться (рис. 88, в), а затем снова коснутся друг друга (рис. 88, г). На этот раз касание будет внутренним, и расстояние между центрами станет равным разности радиусов. 106
д) Рис. 88 Сближая и дальше центры окружностей, мы снова получим не- пересекающиеся окружности, но теперь меньшая целиком будет ле- жать внутри большей (рис. 88, д). В случае, когда центры совпадают, окружности называют кон- центрическими (рис. 88, е). Бросив камешек в спокойную гладь во- доема, вы увидите, как от точки падения камня разбегается сразу несколько концентрических окружностей. А 507. Начертите в тетради две равные окружности так, чтобы они пересе- кались; не пересекались. В каждом случае измерьте расстояние меж- ду центрами окружностей. 508. Начертите три концентрические окружности с радиусами 3 см, 4 см, 5 см. 509. а) Радиус меньшей окружности равен 3 см, радиус большей — 5 см (рис. 89). Чему равно расстояние между центрами окружностей? б) Расстояние между центрами окружностей равно 2,5 см (рис. 90). Чему равны радиусы этих окружностей? 107
510. Постройте две окружности по данным, приведенным в таблице. В каждом случае найдите расстояние между самыми удаленными и самыми близки- ми точками двух окружностей. Расстояние между центрами, см Радиус первой окружности, см Радиус второй окружности, см 0,5 2 3 1 4 3 6 2 2 5 2 3 511. Постройте в тетради цветок, изображенный на рисунке 91. 512. Расстояние между точками А и В равно 5 см. Точка А — центр окружности, радиус которой равен 3 см. Две окружности с центрами в точ- ке В касаются окружности с центром в точке А. Чему равны их радиусы? Б На каждом из рисунков 92 изображена небольшая задача. В каждом случае рассмотрите рисунок и найдите радиусы АР и ВР. а) ОР = 5 см АР = ? ВР = ? б) ОР = 3 см АР = ? ВР = ? Рис. 92
514. Найдите периметр четырехугольника ABCD. (Сторона одной клетки на рисунке справа равна 5 мм.) 515. Радиусы двух окружностей равны 3 см и 5 см, а расстояние между наиболее удаленными точками этих окружностей равно: а) 18 см; в) 13 см; б) 16 см; г) 8 см. Найдите расстояние между центрами окружностей. Указание. Можно выполнить построения по условию задачи или восполь- зоваться рисунком 88. 516. Для каждого случая взаимного расположения двух окружностей (рис. 88, а—г) определите, сколько можно провести различных прямых, касающих- ся обеих окружностей. Сделайте в тетради схематические рисунки. Построение треугольника Проведите такой эксперимент: со- берите из элементов металлического конструктора четырехугольник и тре- угольник и попробуйте подвигать их стороны. Четырехугольник при этом будет трансформироваться, а треуголь- ник нет. Говорят, что треугольник — жесткая фигура. Этим его свойством широко пользуются на практике, например для закрепления деталей конструкций. Как говорят матема- тики, треугольник однозначно опре- деляется тремя своими сторо- нами. _ Построим треугольник со сторо- А С нами 3, 4 и 5 см. Для этого нам при- дется воспользоваться не только ли- нейкой, но и циркулем. Начертим прямую и отложим на ис‘ ней отрезок, равный одной из сторон треугольника, например 5 см. Обозна- чим его концы — вершины будущего треугольника — буквами А и С (рис. 93). Как же построить третью вершину — точку В? 109
Рис. 94 Вот здесь нам и понадобится циркуль! Любая точка, удаленная от точки А на 3 см, лежит на окружности с центром А и радиу- сом 3 см. Точно так же любая точка, удаленная от вершины С на 4 см, лежит на окружности с центром в точке С и радиусом 4 см (рис. 94, а). Следовательно, третья вершина треугольника долж- на принадлежать и первой окружности, и второй, а значит, она должна быть точкой пересечения этих окружностей. Окружности пересекаются в двух точках. Обозначим одну из них буквой В и проведем отрезки АВ и ВС. Получим треугольник АВС, имеющий заданные стороны (рис. 94, б). Понятно, что если бы мы взяли другую точку пересечения ок- ружностей, то получили бы треугольник, равный треугольнику АВС. Теперь попытаемся построить треуголь- ник со сторонами 1, 2 и 4 см. Сделать это нам не удастся — окружности не пересе- кутся (рис. 95). Этот пример показывает, что не всякие три отрезка могут быть сто- ронами треугольника. Возникает вопрос: в каком случае три отрезка могут служить сторонами треуголь- ника, а в каком нет? В первом построении Рис. 95 1 см окружности пересеклись, потому что рас- стояние между их центрами меньше суммы радиусов (рис. 88, в). При втором построении окружности не пересеклись, так как рас- стояние между их центрами больше суммы радиусов (рис. 88, а). Ясно, что треугольник не получится и в том случае, если расстоя- ние между центрами равно сумме радиусов (рис. 88, б). Таким образом, из трех отрезков можно построить треугольник, если каждый из этих трех отрезков меньше суммы двух других. 110
На самом деле достаточно проверить, что наибольший отрезок мень- ше суммы двух других. Мы пришли к выводу, который математики называют неравен- ством треугольника*. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других его Л сторон. у А 517. Постройте треугольник со сторонами: а) 3, 4 и 6 см; б) 2, 4 и 5 см; в) 5, 6 и 7 см. 518. Отрезки, изображенные на рисунке 96, — сто- , a j роны треугольника. Постройте этот треугольник. 519. а) Постройте равносторонний треугольник со (____________Ь Z t стороной 6 см. б) Постройте равнобедренный треугольник, ос- с нование которого равно 4 см, а боковые сто- 1 1 роны — 5 см. Рис. 96 520. 1) Убедитесь, что нельзя построить треугольник, стороны которого равны: а) 7, 3 и 3 см; б) 6, 4 и 2 см. Измените длину одной из сторон так, что- бы треугольник можно было построить. Выполните построение. 2) Можно ли построить треугольник со сторонами: а) 11, 13 и 25 см; б) 15, 6 и 12 см; в) 20, 18 и 38 см? 521. Постройте треугольник со сторонами 3 см и 5 см и углом между этими сторонами, равным 80°, по следующему алгоритму: • начертите угол, равный 80°; • на одной стороне угла отложите отрезок, равный 3 см, а на другой — отрезок 5 см; • соедините полученные точки. 522. Постройте треугольник, если известны его стороны и угол между ними: а) 6 см, 7 см, 30°; б) 3 см, 4 см, 120°. 523. Постройте равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны 5 см, а угол между ними равен: а) 40°; б) 110°. Б Стороны прямоугольного треугольника имеют особые названия: сторо- ны, образующие прямой угол, называются катетами; сторона, лежащая
против прямого угла, называется гипотенузой (рис. 97). Постройте прямоугольный треугольник, если: а) его катеты равны 4 см и 6 см; б) один из катетов равен 3,5 см, а гипотенуза рав- на 5,5 см. 525. Постройте треугольник по элементам, заданным на рисунке 98. Ответьте на вопрос задачи, используя неравенство тре- угольника (526, 527). 526. В равнобедренном треугольнике одна сторона рав- на 7 см, а другая — 15 см. Какая сторона явля- 3 см 4 см 527. 528. ется основанием? Даны четыре отрезка длиной 2, 3, 5 и 6 см. Сколь- ко различных треугольников можно построить из этих отрезков? Многоугольник, изображенный на рисунке 99, а, на- зывают снежинкой Коха. Постройте ее. Для этого: • начертите на листе нелинованной бумаги равно- сторонний треугольник со стороной 9 см (рис. 99, б); • каждую сторону треугольника разделите на 3 равные части и на сред- ней части постройте равносторонний треугольник (рис. 99, в); • повторите это построение на каждой из 12 сторон получившегося мно- гоугольника (рис. 99, г); • чтобы получить снежинку, изображенную на рисунке 99, а, надо сделать еще один шаг построения. Во сколько раз увеличивается число сторон снежинки Коха на каждом шаге построения? Во сколько раз при этом уменьшается длина ее стороны? Сколько сторон у снежинки, получаемой на каждом шаге? Чему равен ее периметр? Рис. 99 112
529. Задача-исследование. 1) На рисунке 100 изображены три треугольника. Для каждого из них укажите, выполнив необходимые измерения, наиболь- шую сторону и наибольший угол, наименьшую сторону и наименьший угол. Как расположены в треугольнике друг относительно друга большая сторо- на и больший угол? меньшая сторона и меньший угол? 2) В треугольнике АВС известны длины сторон: ДВ=19 дм, 8С=10 дм, ДС=11 дм. Какой угол является наибольшим, а какой наименьшим? 3) В треугольнике АВС известны величины углов: /А = 50°, ЛВ = 30°, лС=100°. Назовите стороны треугольника в порядке возрастания их длин. Круглые тела Формы предметов окружающего мира очень разнообразны. Среди них встречаются не только многогранни- ки, но и так называемые круглые тела. Прежде всего это цилиндр, ко- нус и шар (рис. 101). У многогранника все части по- верхности плоские. Поверхности ци- Цилиндр линдра и конуса состоят как из пло- ских частей, так и из кривых, а шар — «абсолютно круглый». Слово «цилиндр» пришло к нам из Древ- ней Греции и происходит от слова, в перево- де означающего «валик». Форму цилиндра имеют многие предметы, созданные руками человека: колонны зданий, трубы, стаканы, бревна и др. Интересно, что мужской голов- ной убор, распространенный в XIX в., тоже Шар Конус Рис. 101 носит название «цилиндр». Поверхность цилиндра состоит из двух оснований и боковой по- верхности, которую еще называют цилиндрической. Основания ци- линдра — это два равных круга, расположенные в параллельных плоскостях. На рисунке их изображают в виде двух эллипсов — 113
«сплюснутых» окружностей (рис. 102). От- резок, соединяющий центры оснований, перпендикулярен каждому из них. Его на- зывают высотой цилиндра. Слово «конус» переводится с древне- греческого как «шишка» или «верхушка шлема ». « Предметы-конусы » встречаются гораздо реже, чем «предметы-цилиндры». Форму конуса имеют, например, горка пе- ска, воронка. Конус в определенном смысле похож на пирамиду. У него, как и у пирамиды, есть вершина и основание, только в осно- вании лежит не многоугольник, а круг. Перпендикуляр, проведенный из вершины конуса к плоскости основания, попадает в центр круга (рис. 103). Этот перпендику- ляр называют высотой конуса. Особое место среди круглых тел зани- мает шар. Поверхность шара называется сферой. Мы называем нашу планету земным шаром, строго говоря, Земля — это «поч- ти шар». А пример сферы — это оболоч- ка мяча, пленка мыльного пузыря. Собст- венно, само слово «сфера» происходит от греческого слова, обозначающего «мяч». У шара и сферы, так же как у кру- га и окружности, есть центр, радиус и ди- аметр (рис. 104). Границей круга, как вам известно, является окружность, а грани- цей шара — сфера. Еще в древности математики интере- совались тем, какие фигуры получаются при сечении пространственных тел плос- костью. Представьте, что шар рассекается плоскостью подобно тому, как апельсин разрезается ножом. При рассечении шара плоскостью может получиться только круг. Диаметр круга будет наибольшим, когда плоскость сечения пройдет через центр ша- ра (рис. 105). Соответствующие таким кру- гам окружности называются большими Рис. 102 Рис. 104 114
окружностями. Их диаметры равны диа- метру шара. Вспомните параллели и меридианы, на- несенные на глобус. Параллели — это ок- ружности, получаемые при «разрезании» земного шара параллельными плоскостями (рис. 106). Самая большая параллель — это экватор, его диаметр равен диаметру Зем- ли. Когда параллели приближаются к по- люсам, их диаметры уменьшаются. Мери- дианы же — это большие полуокружности, проходящие через полюса (рис. 107). Сет- ку из параллелей и меридианов, покрыва- ющую поверхность земного шара, ввели древ- негреческие ученые Эратосфен и Гиппарх. При разрезании цилиндра и конуса пло- скостями, наряду с окружностью, получа- ются и другие линии. Так, если поверх- ность цилиндра рассекается плоскостью, параллельной основаниям, то в сечении по- лучается окружность (рис. 108, а). Если же плоскость пройдет «наискосок» (как пока- зано на рисунке 108, б), то в сечении по- лучится уже не окружность, а эллипс. Поверхности цилиндра и конуса, как и поверхность многогранника, можно развер- нуть на плоскость. Такие развертки изобра- жены на рисунке 109. Боковая поверх- ность цилиндра разворачивается в прямо- угольник, а боковая поверхность конуса — в круговой сектор (часть круга, ограничен- ная двумя радиусами). В отличие от 115
этих тел поверхность шара нельзя развернуть на плоскость. Поэто- му на всех географических картах изображение земной поверхнос- ти искажено. А 530. Назовите несколько известных вам предметов, имеющих форму шара, цилиндра, конуса. 531. Скопируйте в тетрадь изображение цилиндра, конуса, шара (рис. 110). Рис. 110 532. а) Возьмите прямоугольный лист бумаги и сверните из него цилиндр. Как вы думаете, чему равна его высота? Сверните из этого же листа цилиндр с другой высотой. б) Вырежьте из одного и того же круга два неравных сектора. Сверните каждый сектор в конус. Какой конус оказался выше: полученный из боль- шего сектора или меньшего? 533. а) Проведите на поверхности шара (например, мяче) несколько больших окружностей. Сколько больших окружностей можно провести на поверхно- сти шара? Можно ли провести две большие окружности так, чтобы они не пересекались? б) На сфере проведены две большие окружности (рис. 111). По рисунку можно предположить, что они пересеклись в четырех точках. А сколько на самом деле точек пересечения? 534. а) Радиус шара равен 5 см (рис. 112). Какие отрезки на этом рисунке рав- ны 5 см? б) У цилиндра и радиус основания, и высота равны 10 см (рис. 113). Ка- кие отрезки на рисунке равны 10 см? Определите вид треугольника ОАВ. 535. а) Вылепите из пластилина цилиндр и разрежьте его так, чтобы в сечении получился круг, эллипс. Как надо разрезать цилиндр, чтобы в сечении по- лучился прямоугольник? б) Вылепите из пластилина конус. Разрежьте его так, чтобы в сечении был эллипс. Как надо разрезать конус, чтобы в сечении был треугольник? круг? 116
Рис. 113 536. В сечении каких круглых тел может получится прямоугольник? круг? тре- угольник? эллипс? 537. От какой из трех головок сыра отрезан кусок, изображенный слева на рисунке 114? Рис. 114 Рис. 115 538. Сколько шпагата пошло на то, чтобы перевязать коробку так, как показа- но на рисунке 115? (На бантик необходимо 20 см.) Б Цилиндр помещен в параллелепипед так, как показано на рисунке 116. Чему равна высота цилиндра? Чему равен радиус его основания? 540. а) Шар поместили в куб так, что он касается всех граней куба (рис. 117). Сколько всего точек касания? Чему равен диаметр шара, если ребро ку- ба равно 6 см? б) Можно ли поместить в куб с ребром 7 см шар радиусом 4 см? Рис. 116
Рис. 118 Рис. 119 541. Сколько шаров диаметром 1 см войдет в коробку в форме куба с ребром 4 см (рис. 118)? А шаров, радиус которых равен 1 см? 542. Шар помещен в цилиндр так, что он касается и его боковой поверхности, и оснований (рис. 119). Радиус основания цилиндра равен 5 см. Каков диаметр шара? Какова высота цилиндра? 543. Чтобы измерить радиус футбольного мяча, Егор сделал на нем мелом от- метину и положил на пол у стены так, чтобы мел отпечатался на стене. Что нужно сделать, чтобы найти радиус мяча? 544. Представьте себе четыре одинаковых шара, каждый из которых касается трех других. Вершинами какого многогранника являются центры этих ша- ров? Найдите ребра этого многогранника, если радиусы шаров равны 1 см. 545. Плоскость, параллельная основанию конуса, рассекла его на две части. За- рисуйте ту часть, которую называют усеченным конусом. 546. Задача-исследование. 1) На сколько частей делится окружность одним диаметром? двумя диаметрами? тремя диаметрами? 2) На сколько частей делится сфера одной большой окружностью? двумя большими окружностями? тремя большими окружностями? 3) На сколько частей может быть разделена сфера двумя окружностями? ДЛЯ ТЕХ, КОМУ ИНТЕРЕСНО •У О колесе, и не только о нем Одно из самых важных изобретений че- ловечества — это обыкновенное колесо. Схе- матично колесо можно представить как круг, через центр которого перпендикулярно его плоскости проходит ось. Вокруг этой оси ко- лесо и вращается. Когда колесо катится, его ось находится на одном и том же расстоянии от поверхности дороги. Это расстояние равно 118
радиусу колеса. Именно поэтому человек, который едет на любом колесном механизме по дороге без рытвин и бугров, не испытыва- ет неудобств от тряски. 547. Круг «катится» по прямой. При этом точ- ка А описывает линию, которая называ- ется циклоидой (рис. 120). Проследите сами, как получается циклоида. Для это- го вырежьте круг из бумаги, отметьте на его границе точку и «прокатите» его вдоль какой-нибудь прямой, фиксируя некоторые положения этой точки. Рис. 120 548. Представьте, что у вас есть квадрат- ное «колесо», которое стоит на прямой дороге (рис. 121). Колесо начинает «катиться» по дороге, последовательно перекатываясь через свои вершины. Изобразите линию, которую будет опи- сывать: а) вершина квадрата А; б) точка пересечения диагоналей О. Глядя на грандиозные сооруже- ния, созданные нашими далекими предками, невольно задумываешься, каким образом перемещали они ог- ромные камни и плиты, массивные скульптуры. С помощью каких при- способлений древние путешественни- ки, в том числе и древние славяне, передвигали свои корабли, когда им приходилось преодолевать уча- стки суши? Для этих целей обычно использовались круглые бревна одинакового диаметра, на которые клали платформу. Сверху помеща- ли груз. Платформу толкали сзади, в результате чего бревна начина- ли катиться. Платформа, а вместе с ней и груз плавно перемещались по дороге. Как только заднее бревно высвобождалось из-под платфор- мы, его тут же переносили вперед снова «захватывала» его. Такой спо- соб перемещения возможен потому, что круг — это фигура постоянной ширины. Так говорят потому, что, когда круг катится вдоль прямой, он «заметает» полосу одной и той же ширины (рис. 122). и движущаяся платформа 119
Удивительно, но круг не единственная фи- гура постоянной ширины. Более того, таких фигур бесконечно много. Самая известная из них — треугольник Рело, названный по име- ни придумавшего его немецкого механика Франца Рело. Построить треугольник Рело очень про- сто. Начертим равносторонний треугольник. Заменим его стороны дугами окружностей, центрами которых являются вершины, а ра- диусами — стороны треугольника (рис. 123). Полученная фигура, составленная из дуг окружностей, и называется треугольником Рело. (Любопытно, что на самом деле эта фигура треугольником не является.) Треугольник Рело имеет посто- янную ширину, равную стороне исходного треугольника. Его также можно использовать в качестве катка при перемещении по плоской поверхности, но гораздо сложнее изготовить, чем круг. 549. Постройте треугольник Рело, взяв за основу равносторонний треугольник со стороной 6 см. Вырежьте его. Начертите на листе бумаги полосу, ог- раниченную двумя параллельными прямыми, расстояние между которыми равно 6 см. «Прокатите» треугольник Рело по этой полосе. Если вы все сделали правильно, то он все время будет касаться обеих прямых. 550. Треугольник Рело катится по прямой. Изобразите линию, которую описывает вершина этого тре- угольника. 551. Постройте пару параллельных прямых, касающих- ся треугольника Рело. Проведите еще пару каса- тельных, перпендикулярных первой паре. Фигу- ра окажется «запертой» в квадрате и будет ка- саться каждой из его сторон (рис. 124). Вырежь- те фигуру, сохранив при этом квадратную рамку. А теперь вращайте фигуру внутри квадрата. Убе- дитесь, что она будет постоянно прилегать к его сторонам. 552. Нарисуйте эмблему для математической олимпиады, взяв за основу тре- угольник Рело. 120
Что такое отношение Для сравнения чисел и величин существует, как вы знаете, два способа: вычисление разности или вычисление частного. В первом случае получают ответ на вопрос, на сколько одно число больше (или меньше) другого, во втором — во сколько раз одно из них больше (или меньше) другого, или какую часть одно из них со- ставляет от другого. Пусть, например, известно, что в классе 15 мальчиков и 10 де- вочек. Сравнивая эти данные, можно сказать, что мальчиков на 5 больше, чем девочек (в самом деле, 15 — 10 = 5). Можно также ска- зать, что мальчиков в 1,5 раза больше, чем девочек (действитель- 15 . 2 но, -777=1,5), или что девочки составляют от числа мальчиков 1U о / 10 2. (так как = Оба способа сравнения чисел постоянно используются при ре- шении практических задач, но служат они для разных целей. К делению прибегают в тех случаях, когда хотят получить качест- венную оценку той или иной ситуации. Пример 1. В городе Березники проводится математический конкурс «Пифагор». В этом году число участников конкурса по сравнению с предыдущим годом увеличилось на 50 человек. Боль- шой ли это прирост?
Ответ зависит от того, сколько школьников участвовало в кон- курсе в прошлом году. Если, например, их было 25, то в этом году участников стало в 3 раза больше, и прирост можно считать доста- точно большим. Если же раньше в конкурсе участвовало 1000 чело- век, то число участников увеличилось всего в ^qqq = 1,05 раза. Ины- ми словами, оно почти не изменилось. В тех случаях, когда величины сравнивают с помощью деле- ния, вместо слова «частное» обычно используют термин «отноше- ние». Иными словами, отношение двух чисел — это другое на- звание их частного. Частные а:Ь и ~ читают еще и так: «Отно- шение числа а к числу о». Отношение двух чисел показывает, во сколько раз одно чис- Л ло больше другого, или какую часть одно число составляет от другого. * у Пример 2. Стороны прямоугольника 9 см и 6 см (на рисунке он изображен в уменьшенном виде). Найдем отношения длин его сторон. Сначала вычислим отношение большей стороны к меньшей: беле 9сл Это отношение показывает, что одна сторона в 1,5 раза боль- ше другой стороны. Теперь найдем отношение меньшей стороны к большей, т. е. обратное отношение: 6 2 "9= Р 2 Это отношение показывает, что меньшая сторона составляет -д- большей стороны. Иногда отношение оставляют «невычисленным», Так, стороны прямоугольника на рисунке относятся как 9 6. Для записи отно- шения в таких случаях используют двоеточие. m 9 3 Так как = то можно записать и такое равенство: 9:6 = 3 = 2. Если умножить или разделить оба члена отношения на од- но и то же число, не равное 0, то получится отношение, рав- ное данному. 122
Например: 9:6 = 3:2 = 0,3:0,2 = 0,6:0,4 = 90:60 =... . Отношение одноименных величин (длин, площадей, масс и т. д.) выражается числом. А отношение разноименных величин — это новая величина. Так, отношение пути ко времени — это скорость. Если путь из- мерен в километрах, а время — в часах, то скорость будет выра- жена в километрах в час. Например: 30 км _ 30 км _ Е км 6 ч 6 ч ч Если путь измерен в метрах, а время в секундах, то скорость выражается в метрах в секунду: 60 м _ 60 м _ .J g м 40 с 40 с ’ с * Отметим, что обозначения — и т. п. приняты именно по- тому, что расстояние делят на время. Их обычно записывают с на- клонной чертой: км/ч, м/с, м/мин и т. д. Отношение стоимости приобретенного покупателем товара к его количеству (массе, длине, числу штук и др.) — это цена товара. Она тоже может измеряться в аналогичных единицах: р./кг, р./м, р./шт., ... . Однако на практике такие обозначения не употребля- ют, а выражают единицы цены словами: «30 р. за килограмм», «50 р. за пачку» и т. д. 553. Учитель проверил 45 ученических работ, и ему осталось проверить еще 75. а) Во сколько раз число непроверенных работ больше числа прове- ренных? б) Какую часть составляют проверенные работы от непроверенных? в) Каки^еще отношения можно составить, используя условие задачи? Со- ставьте их. Что они показывают? 554. Напишите несколько отношений, равных: Q а) 5; б) 0,5; в) j. 555. Прочитайте отношение и вычислите его: 11 12 а) 16:24; б) 121:33; в) 1,4:2,1; г) 1,5:0,6; д) е) 1-=-:^. С. О □ О 556. Какое отношение «лишнее»: 10=15; 20 = 25; 1 = 1,5; -4 = -4? О 557. В тетради 30 чистых и 18 исписанных страниц. Что показывает отношение 30:18? отношение 18:30? а) Замените каждое из отношений равным, записанным меньшими чис- лами. А
б) Какие еще отношения можно составить, используя условие задачи? Со- ставьте эти отношения и упростите их. 558. Задание с выбором ответа. Из 20-литровой канистры, наполненной бензи- ном, отлили 6 л. Какое из следующих отношений означает отношение ко- личества вылитого бензина к оставшемуся? А. 3:10. Б. 7:3. В. 3:7. Г. 7:10. 559. а) Составьте всевозможные отношения сторон тре- А угольника АВС (рис. 125) и вычислите их. (Все малень- кие отрезки равны между собой.) .. X б) На прямой последовательно откладываются точки А, \ В, С, D, Е, F, причем АВ = ВС = CD = DE= EF. Найдите Хс отношения AD-DF, AC'AF, BDCE, BF'BD. 560. Начертите какой-нибудь прямоугольник, отношение сто- \ рон которого равно: X а) 1:2; б) 5:3; в) 1:1. 561. В каком случае получился квадрат? Начертите отрезок АВ. Отметьте на нем точку С таким образом, чтобы выполнялось условие: Рис. 125 562. а) Отношение числа красных шариков к числу синих равно 5:2. Каких ша- риков больше? Во сколько раз? Запишите обратное отношение. Что оно показывает? б) Ручка в 1,5 раза дороже карандаша. Чему равно отношение стоимости ручки к стоимости карандаша? Чему равно отношение стоимости каранда- ша к стоимости ручки? 563. Найдите отношение: а) 3 км к 750 м; в) 700 г к 1 кг; д) 10 мин к 10 ч; б) 300 м к 2,1 км; г) 20 ц к 160 кг; е) 4 ч к 40 мин. Указание. Не забудьте выразить величины в одних единицах. 564. Ответьте на вопрос задачи, составив и вычислив соответствующее отно- шение. . а) Велосипедист проехал 36 км за 2,4 ч. С какой скоростью он ехал? б) Принтер за 15 мин напечатал 180 страниц. Какова производительность принтера? 565. Скорость звука в воздухе равна примерно 300 м/с. Артиллерийский сна- ряд летит со скоростью 1,5 км/с. Найдите отношение скорости артилле- рийского снаряда к скорости звука. Во сколько раз скорость артиллерий- ского снаряда больше скорости звука? 124
566. Все расстояния на карте уменьшены по сравнению с действительными в одно и то же число раз. Отношение длины отрезка на карте к реальному расстоянию на местности называют масштабом карты. а) Расстояние между двумя поселками на карте равно 4 см, а расстояние между этими поселками на местности равно 4 км. Определите масштаб карты. б) Расстояние между школой и автобусной остановкой на плане равно 2 см, а в действительности 50 м. Определите масштаб плана. 567. Масштаб плана 1:1000. а) Во сколько раз расстояние между двумя точками на плане меньше рас- стояния между этими же точками на местности? Во сколько раз расстояние на местности больше соответствующе- го расстояния на плане? б) Чему равно расстояние между дву- мя точками на местности, если на пла- не оно равно 1,5 см? 12 см? в) Чему равно расстояние между двумя точками на плане, если на самом деле оно равно 20 м? 350 м? Как вы думаете, можно ли на этом плане указать точки, расстояние между которыми на местности равно 0,5 м? Б F-------------------------------------------------- 568. В результате опроса шестиклассников выяснилось, что отношение чис- 3 ла детей, умеющих плавать, к общему числу опрошенных равно -д. Этот результат можно описать еще и так: «три из четырех шестиклассни- ков умеют плавать» или «каждый четвертый шестиклассник не умеет плавать». Опишите аналогичным образом следующую ситуацию: 4 а) отношение числа распустившихся тюльпанов к числу посаженных равно э б) отношение числа финалистов к числу участников конкурса равно в) отношение числа пропущенных шайб к числу бросков по воротам рав- но 2:3; г) отношение числа мальчиков к общему числу участников танцевального ансамбля равно 1:2. 569. Сформулируйте данное утверждение иначе, используя слово «отношение»: а) каждый двадцатый школьник — рыжий; б) каждый десятый зритель, пришедший на концерт, знаком с артистом; в) каждый восьмой из пропускавших уроки — прогульщик; г) каждая тысячная ворона — белая. 125
570. Замените отношение дробных чисел равным ему отношением целых чисел: а) 0,5:1.5; б) 4,5:2,7; в) г) Образец. 1,5:2,5=15:25 = 3:5. 571. Сторона одного квадрата равна 12 см, а сторона другого квадрата равна 2 см. Найдите: 1) отношение стороны большого квадрата к стороне малого квадрата; 2) отношение периметра большого квадрата к периметру малого квадрата; 3) отношение площади большого квадрата к площади малого квадрата. Какие из этих отношений равны? Равны ли отношения площадей и сторон 572. 574. 575. 576. квадратов? Ребро одного куба равно 10 см, а дру- гого — 5 см. Найдите: 1) отношение ребра малого куба к ребру большого куба; 2) отношение площади грани малого ку- ба к площади грани большого куба; 3) отношение объема малого куба к объ- ему большого куба. Равны ли эти отношения? 573. по данному условию два отношения. В каждом случае поясни- образовавшейся величины и укажите, в каких единицах она из- Таня прочитала 36 страниц. Составьте те смысл меряется, а) За 3 ч б) За 50 р. купили 2 м ткани, в) Сделав 10 шагов, Петя прошел 4 м. г) Принтер за 5 мин распечатал 30 страниц. Стороны прямоугольника 60 см и 80 см. а) Начертите в тетради этот прямоугольник в масштабе 1:20. б) Измерьте диагональ прямоугольника на вашем чертеже и найдите длину диагонали данного пря- моугольника. Участок шоссе на карте изображен линией длиной 20 см. Масштаб карты 1:200000. Вертолет наблю- дает за движением транспорта и летит над шос- се со скоростью 100 км/ч. За какое время он про- летит над этим участком? а) На рисунке 126 h — это расстояние от пола до верхнего края лестницы, приставленной к стене, а — расстояние от нижнего края лестницы до сте- ны. Отношение h к а определяет крутизну лест- Рис. 126 126
ницы. В каком случае лестница имеет ббльшую крутизну: если h= 1,8 м и а = 1,2 м или если h = 2 м и а= 1,5 м? б) Перед посевом семена проверяют на всхожесть: сажают определенное количество семян и в назначенный срок находят отношение числа пророс- ших семян к числу посеянных. Определите, в каком из двух пакетов всхо- жесть семян лучше, если известно, что при посадке 20 семян из первого пакета проросло 14, а при посадке 25 семян из второго проросло 18. 577. а) Андрей и Борис занимаются боксом. На тренировках Андрей из 18 про- веденных боев выиграл 7, а Борис из 12 боев выиграл 5. Чей результат лучше? б) В одну банку мама налила 500 г воды и насыпала 120 г сахара, в дру- гую — 700 г воды и 180 г сахара. В какой банке вода слаще? 578. а) Из 30 шариков, лежащих в коробке, 24 красных; во второй коробке из 50 шариков 25 красных; в третьей — из 100 шариков 40 красных. Из каж- дой коробки не глядя вынимают один шарик. В каком случае вероятнее всего вынуть красный шарик? б) Перед выборами в городскую думу был проведен опрос избирателей. За кандидата А из 60 опрошенных высказалось 42 человека, за кандида- та Б из 50 опрошенных высказалось 15 человек, а за кандидата В из 40 опрошенных — 36. У какого кандидата больше шансов победить на вы- борах? Деление в данном отношении В практической жизни человека — при использовании кули- нарных рецептов, при приготовлении смесей и растворов, при рас- пределении доходов — часто возникает необходимость разделить ту или иную величину на части, отношение которых равно заданному отношению. В таких случаях говорят, что требуется разделить ве- личину в данном отношении. Пример. Для учащихся пятых и шестых классов школа при- обрела 50 билетов в цирк. В пятых классах учится 72 человека, а в шестых — 48. Как разделить билеты между пятиклассниками и шестиклассниками? В школе решили, что будет справедливо разделить билеты в том же отношении, в котором находится число пятиклассников и число шестиклассников, т. е. в отношении 72 к 48. Упростим это отношение: 72 = 48 = 3 = 2.
Таким образом, 50 билетов надо разделить в отношении 3-2. А для этого надо решить знакомую вам задачу «на части». Всего имеется 3 + 2 = 5 частей, и на каждую часть приходится 50: 5 = 10 билетов. Поэтому пятиклассникам следует выделить 10-3 = 30 би- летов, а шестиклассникам — 10 • 2 = 20 билетов. А а) За набор рукописи на компьютере оператор и его ученик получили 2400. р. Они разделили эти деньги в отношении 2 -1. Сколько получил каждый? 6) Две машинистки разделили между собой рукопись в 120 страниц в от- ношении 3 • 5. Сколько страниц досталось печатать каждой? 580. а) На изучение математики в седьмом классе отводится 170 уроков. Это время распределяется между алгеброй и геометрией в отношении 3:2. Сколько в учебном году уроков алгебры и сколько геометрии? б) На выполнение домашних заданий по математике и русскому языку у Николая ушло 1,5 ч. Он распределил время между этими предметами в отношении 4:5. Сколько времени ушло на каждый предмет? 581. а) Сплав состоит из меди и цинка, массы которых относятся как 9:8. Мас- са сплава 2 кг 550 г. Сколько в этом сплаве цинка? б) Сплав состоит из олова и меди, массы которых относятся как 11:7. Масса сплава 1 кг 440 г. Сколько в сплаве олова? 582. Периметр прямоугольника равен 36 см. Найдите площадь прямоугольника, если известно, что его стороны относятся как: а) 1:5; б) 1:3; в) 1:2; г) 1 = 1. Как меняется площадь прямоугольника от первого до последнего случая? У какого прямоугольника площадь наибольшая? 583. Отрезки АС и АВ относятся как 3 к А 5 (рис. 127). Чему равно отношение: *“ а) АС-СВ; б) СВ-АВ? С -----------1- Рис. 127 584. Отношение числа мальчиков в школе к числу девочек равно 5:4. Опреде- лите, какую часть составляют мальчики от числа всех учащихся школы и какую часть составляют девочки от числа всех учащихся школы. 585. Задание с выбором ответа. У хозяи- на две собаки. Большая весит 9 кг, а маленькая — 3 кг. Он разделил между ними пакет с кормом в отно- шении, равном отношению их масс. Какая часть корма досталась мень- шей собаке? А. 1 3’ В. Г. 1 12’ 9‘ 128
Б В театральной студии занимаются ученики пятого и шестого классов. Отношение числа пятиклассников к числу шестиклассников равно V3. а) Сколько в студии пятиклассников, если в ней 24 шестиклассника? б) Сколько в студии учеников шестого класса, если в ней 15 пятикласс- ников? в) Сколько всего учеников занимается в студии, если в ней 30 шестикласс- ников? г) На сколько в студии больше шестиклассников, чем пятиклассников, ес- ли всего в ней 36 учеников? д) Сколько всего учеников занимается в студии, если шестиклассников на 16 больше, чем пятиклассников? 587. Отношение длины комнаты к ее ширине равно 5 • 4. а) Найдите площадь комнаты, если ее длина равна 6 м. б) Найдите площадь комнаты, если ее длина больше ее ширины на 0,8 м. 588. Учитель разложил весь имеющийся мел в две коробки в отношении 7:4. Когда из большей коробки израсходовали 12 кусков, то мела в коробках стало поровну. Сколько всего кусков мела было первоначально? 589. В двух больших и трех маленьких коробках 66 карандашей. Число каран- дашей в маленькой коробке относится к числу карандашей в большой как 5:9. Сколько карандашей в маленькой коробке и сколько в большой? 590. Маме, папе и дочери вместе 75 лет. Папа на 5 лет старше мамы, а воз- раст мамы относится к возрасту дочери как 3:1. Сколько лет каждому? 591. В зоопарке живут 110 чижей, ужей и ежей. Отношение числа чижей к чис- лу ужей равно 5:4, а числа ужей к числу ежей равно 2:1. Сколько в зоопарке чижей, сколько ужей и сколько ежей? Указание. Замените отношение 2'1 равным ему отношением 4’2. «Главная» задача на проценты Вам уже приходилось решать одну из главных задач на про- центы: находить некоторое число процентов от заданной величи- ны. Теперь при решении таких задач вы сможете использовать де- сятичные дроби. Пример 1. Согласно российским законам заработок человека облагается так называемым подоходным налогом, который состав- ляет 13% заработка. Какую сумму в качестве подоходного налога должен заплатить человек, заработавший 2700 р.? 13 Так как 13% — это -^у = 0,13, то надо найти 0,13 от 2700 р. Для этого можно 2700 р. умножить на 0,13: 2700-0,13 = 351 (р.). 5 — Дорофеев, 6 кл. 129
Таким образом, сумма подоходного налога с заработка в 2700 р. составляет 351 р. Для решения задачи мы заменили 13% десятичной дробью 0,13. Точно так же можно выразить десятичной дробью и любое другое число процентов: 65% — это -^- = 0,65; 150% — это -^=1,5. Из приведенных примеров понятно правило, по которому мож- но от процентов перейти к десятичной дроби: Чтобы выразить проценты десятичной дробью, нужно число, стоящее перед знаком %, разделить на 100. При решении задач вы можете пользоваться этим правилом или рассуждать, как в примере 1. Пример 2. Рубашка стоила 120 р. Сколько она стала стоить после повышения цены на 35% ? Сначала узнаем, на сколько рублей увеличилась цена. Так как 35% — это 0,35, то надо найти 0,35 от 120 р.: 120’0,35 = 42 (р.) — на столько увеличилась цена. Теперь найдем новую цену: 120 + 42 = 162 (р.). Можно рассуждать иначе. Старая цена составляет 100%, а но- вая — на 35% больше, т. е. она составляет 135% старой цены. Так как 135% — это 1,35, то старую цену надо умножить на 1,35. Имеем 120-1,35 = 162 (р.). 592. Выразите десятичной дробью: а) 21%, 56%, 78%; б) 60%, 80%, 50%; в) 6%, 8%, 2%. 593. Заполните таблицу. Проценты Десятичная дробь Обыкновенная дробь 10% 20% 25% 50% 75% 80% 130
594. а) Бак автомобиля вмещает 40 л бензина. Сколько литров бензина в баке, если запол- нено 55% его объема? б) За первую неделю построили 24% дороги. Сколько метров дороги построе- но, если вся дорога будет иметь длину 850 м? 595. 1В магазине за неделю было продано 6 т ово- щей. На диаграмме показано, какие овощи были проданы и сколько процентов от общей продажи это составило (рис. 128). а) Сколько процентов проданных овощей со- ставил картофель? б) Сколько килограммов овощей каждого ви- да было продано? 596. Среди шестиклассников школы провели оп- рос. Их попросили высказать свое мнение об утверждении: «Чтобы хорошо учиться по ма- тематике, надо заучивать текст учебника». Распределение их мнений показано на диа- грамме (рис. 129). Рис. 128 65% Рис. 129 а) Сколько процентов учащихся затруднились ответить? б) Сколько учащихся дали каждый из ответов, если в опросе участвовали 80 школьников? 597. Выразите десятичной дробью: а) 112%; б) 175%; в) 120%; г) 250%; д) 105%; е) 101%. Образец. 130% — это ^qq = 1>3- 598. Начертите отрезок ABt длина которого равна 5 см. Начертите отрезки, дли- ны которых равны 80%, 150%, 200% и 220% длины отрезка АВ. Найдите длину каждого построенного отрезка. 599. По плану за неделю нужно было отремонтировать 850 м дороги. За 3 дня бригада выполнила 40%, за 6 дней — 85%, за 7 дней — 100%, за 9 дней — 130% запланированной работы. Сколько метров дороги было отремонти- ровано в каждом случае? 600. Сколько процентов от первоначальной цены товара составляет новая це- на, если: а) товар подорожал на 40%; на 15%; на 5%; б) товар подешевел на 20%; на 8%; на 1%? 601. Решите задачу разными способами. а) Оптовая цена товара на складе 5500 р. Торговая надбавка в магазине составляет 12%. Сколько стоит этот товар в магазине? 5* 131
б) Фруктовый сок подешевел на 15%. Сколько стал стоить 1 л сока, если до уценки он стоил 20 р.? Решите задачу (602—604). 602. Банк начисляет на вклад ежегодно 9%. Сколько денег будет на счету че- рез год, если было вложено 5000 р.? 603. Продавец купил товар по 1100 р. и планирует получить при продаже при- быль 15%. По какой цене должен он продать этот товар? 604. а) Ткань, цена которой 150 р. за метр, уценена на 8%. Какова новая це- на ткани? б) Оператор за день должен был набрать 50 страниц текста, но набрал на 14% меньше. Сколько страниц набрал оператор? F--------------------------------------------------- 605. Клюква содержит 6% сахара, а брусника — 9% сахара. Подсчитайте, сколько сахара содержится в 80 г тех и других ягод, ответ округлите до единиц. 606. Пешеход за нарушение правил дорожного движения должен до определен- ного срока заплатить штраф 200 р. За каждый просроченный день сумма увеличивается на 2% от суммы штрафа. Сколько придется заплатить пе- шеходу, если он просрочит оплату на 5 дней? 607. а) Во сколько раз увеличилась стоимость товара, если она выросла на 50%? на 35%? на 27%? на 80%? на 150%? б) Во сколько раз уменьшилась стоимость товара, если его уценили на 90%? на 80%? на 50%? на 25%? 608. В школе 800 учащихся. В шестых классах учится 10% всех школьников, причем 45% из них — девочки. Сколько девочек и сколько мальчиков в шестых классах? 609. Из молока получается 22% сливок, из сливок получается 18% масла. Сколь- ко масла получится из 10 кг молока? 610. Общая площадь учебных кабинетов школы 600 м2. Из них 25% отведено для начальных классов. Остальная площадь распределена между средни- ми и старшими классами в отношении 3'2. Сколько квадратных метров занимают кабинеты начальных классов, средних и старших? 611. В библиотеке 98000 книг. Книги на русском языке составляют 78% всех книг, из них 5% — учебники. Остальные книги на русском языке — это ху- дожественная литература и справочники. Их отношение равно 5^2. Сколь- ко в библиотеке справочников на русском языке? Решите задачу на нахождение величины по ее проценту (612—615). 612. Известно, что 4% некоторой суммы денег составляют 20 р. Сколько руб- лей приходится на 1%? Какова вся сумма? Ответьте на эти же вопросы, если 5% суммы составляет 400 р. 132
613. 614. 615. 616. 617. 618. 619. 620. а) В коробке лежали лампочки, 4 из них разбились. Разбитые лампочки составляли 2% от числа всех лампочек. Сколько всего лампочек было в коробке? б) В школе 15 учеников учатся на «5». Это составляет 5% всех учащихся школы. Сколько всего учащихся в школе? Задание с выбором ответа. В первый час работы продавец продал 40 кг яблок. Это составило 16% от первоначального количества яблок. Сколько килограммов яблок было у продавца первоначально? А. 6,4 кг. Б. 640 кг. В. 25 кг. Г. 250 кг. Найдите число, если: а) 3% его равны 60; в) 50% его равны 18; б) 17% его равны 340; г) 25% его равны 31. 15% некоторого числа равны 12. Найдите: а) 5% этого числа; г) 50% этого числа; б) 3% этого числа; д) 45% этого числа; в) 30% этого числа; е) 100% этого числа. 1) Разберите, как решена задача: Ковер, цена которого 9880 р., на распродаже стоил на 20% дешевле. Сколь- ко примерно рублей можно сэкономить, если купить ковер на распродаже? Решение. 9880 р. — это почти 10 000 р., 20% — это —от 10 000 — О э 10000 это —— = 2000. Можно сэкономить примерно 2000 р. О 2) Рассуждая так же, определите, сколько можно сэкономить, если купить на распродаже со скидкой 20% товар стоимостью 399 р.; 4890 р.; 19790 р. Перед Новым годом магазин снизил цены на товары на 25%. На сколько примерно рублей понизилась цена товара, если она была 799 р.? 1980 р.? 9880 р.? 11 890 р.? Округлите данные и найдите приближенно: а) 19% от 120 кг; в) 26% от б) 52% от 697 р.; г) 21% от На диаграмме (рис. 130) показа- но, сколько процентов радиослу- шателей предпочитают те или иные передачи. В городе было опро- шено 24 250 человек. Найдите приближенно: а) сколько человек из числа опрошенных слушают пье- сы? б) на сколько больше горо- жан предпочитают музыкальные передачи новостям? 810 м; д) 76% от 4012 км; 1990 р.; е) 9% от 208 г. Рис. 130
(•J) Выражение отношения в процентах Пример 1. Среди жителей села Дедово 350 человек имеют право участвовать в голосовании. На избирательный участок в день выборов пришли 189 человек. Какая часть избирателей села Дедо- во приняла участие в голосовании? Чтобы ответить на вопрос задачи, найдем отношение 189 к 350. 189 27 Получим = Но в такой форме ответ неудобен, поэтому пе- оОи ои рейдем к десятичным дробям: f^O.54. Для наглядности число избирателей принято выражать в про- 54 центах. Так как 0,54=-^^-, то голосовать пришло 54% избирателей. В ходе решения задачи мы перешли от десятичной дроби 0,54 к процентам: 0,54 — это 54%. Точно так же и другие десятичные дроби выражаются в процентах. Например: 48 0,48 — это 48%; действительно, 0,48 = -Jqq-; 0,06 — это 6%; действительно, 0,06= ^qq > 125 1,25 — это 125%; действительно, 1,25= ^qq . I Чтобы перейти от десятичной дроби к процентам, нужно эту дробь умножить на 100. Пример 2. Из 2150 телевизоров, выпущенных за месяц на за- воде А, в первый же год потребовали ремонта 49 штук. А из 725 телевизоров, сделанных за месяц на заводе В, в первый год по- требовал ремонта 31 телевизор. На каком заводе процент некачест- венных телевизоров выше? Так как в первом случае потребовали ремонта 49 телевизоров из 2150, а во втором — 31 из 725, то доли некачественных теле- визоров выражаются отношениями 49 31 2150 И 725‘ Перейдем от обыкновенных дробей к десятичным, а затем к процентам:
4 9 |2 15 0 4 9 0 |0,0 2 2... _4 9 О О 43 0 0 .60 0 0 43 0 0 17 0 0 7-2-5 0,04 2... -310 0 2 9 0 0 _2 0 0 0 5 50 3 10 Таким образом, 2150 ~0’02 и 725 В первом случае доля телевизоров, потребовавших ремонта, ока- залась примерно равной 0,02, т. е. 2%, а во втором — 0,04, т. е. 4%. Таким образом, на заводе В процент некачественных телеви- зоров выше. 621. Выразите в процентах: а) 0,24 учащихся школы; 0,38 учащихся школы; 0,76 учащихся школы; б) 0,3 учащихся школы; 0,5 учащихся школы; 0,9 учащихся школы. 622. В школе подсчитали, какая часть ее годового бюджета требуется на раз- ные нужды. Результат показан в таблице. Покупка учебников 0,37 Покупка оборудования 0,6 Ремонт столов 0,08 Ремонт помещений 1,25 Покупка мебели 1,1 Выразите эти доли в процентах. Как вы думаете, какие школьные потреб- ности могут быть за год выполнены? 623. Прочитайте предложение, выразив дробь в процентах: а) бензином заполнили -jg бака; 2 б) -=• учащихся школы едут в школу на автобусе; О . . 6 в) масса сушеной вишни составляет массы свежей; г) магазин продал привезенного сахара. 135
а) б) в) Рис. 131 624. Сколько процентов площади прямоугольника закрашено (рис. 131)? 625. Вася бросил мяч в баскетбольное кольцо 10 раз. Определите, какую часть составляет число попаданий от числа бросков, и выразите эту часть в про- центах, если он попал: а) 1 раз; б) 2 раза; в) 4 раза; г) 6 раз. 626. а) Из 500 радиослушателей, участвовавших в викторине, правильный от- вет прислали 350. Найдите отношение числа радиослушателей, правильно ответивших на вопросы викторины, к числу ее участников. Сколько про- центов радиослушателей правильно ответили на вопросы? б) В школе 1200 учащихся, из них 900 учащихся занимаются спортом. Най- дите отношение числа спортсменов к числу учащихся школы. Сколько про- центов учащихся занимаются спортом? 627. а) В избирательном округе 25 000 избирателей. В голосовании приняли участие 13000 избирателей. Какой процент избирателей участвовал в го- лосовании? б) Из 30000 жителей города 6900 — дети. Какой процент всего населе- ния составляют дети? 628. Контрольную работу по математике писали 150 шестиклассников: 18 из них получили за работу «5», 66 учеников — «4», 63 получили «3» и 3 учени- ка — «2». Вычислите в процентах, сколько учащихся выполнили работу на каждую из отметок. 629. а) Акции фирмы в августе стоили 1000 р. В сентябре их стоимость повы- силась на 30 р. Сколько процентов составляет 30 р. от первоначальной стоимости? На сколько процентов повысилась цена акции? б) Стоимость проезда в московском метро повысилась в 2000 г. на 1 р. На сколько процентов повысилась стоимость проезда в метро, если до этого она была 4 р.? 630. а) Во время распродажи цена стола, который стоил 3000 р., была сниже- на на 600 р. Сколько процентов составляют 600 р. от первоначальной сто- имости? На сколько процентов была снижена цена стола? б) Акции фирмы в январе стоили 50 р. В феврале их стоимость понизи- лась на 2 р. На сколько процентов понизилась цена акций? 631. Выразите десятичную дробь приближенно в процентах, предварительно округлив ее до сотых: а) 0,843; б) 0,1391; в) 0,5016; г) 0,0449; д) 0,4666; е) 0,018. 136
632. Сколько примерно процентов составляет: х 1 ч 1 а) -д учащихся школы; г) у семейного бюджета; б) 4- библиотечного фонда; д) -Д- денежного вклада; о 11 в) у населения Москвы; е) городского бюджета? Указание. Замените обыкновенную дробь приближенно десятичной дро- бью с двумя знаками после запятой. 633. Для каждого предложения в левом столбце подберите соответствующее предложение в правом: а) 33% жителей; 1) половина жителей; б) 25% жителей; 2) примерно треть жителей; в) 50% жителей; 3) примерно две трети жителей; г) 66% жителей; 4) четверть жителей. 634. Задание с выбором ответа. Определите, какой примерно процент площа- ди фигуры закрашен (рис. 132). А. 20% Б. 27% В. 48% А. 40% Б. 60% В. 80% А. 40% Б. 60% В. 90% А. 25% Б. 33% В. 66% д) А. 40% Б. 50% В. 70% А. 55% Б. 25% В. 45% Рис. 132 635. Не выполняя вычислений, определите, больше или меньше 50% получит- ся, если выразить в процентах следующую дробь: 2 -.4 1 ,2 .5 ,7 а) 5; б) 5; в) 3; г) 3; д) 12: е) 12- 636. Перед Новым годом разные магазины объявили разное снижение цен на один и тот же товар, который продавался по одной и той же цене. В ка- ком магазине — А или В — выгоднее купить вещь, если: а) магазин А снизил цену на 4-, а магазин В — на 30%; О б) магазин А — на 4". а магазин В — на 25%; 4 в) магазин А — на -4, а магазин В — на 20%? о
_J 637. На первом заводе из 1000 изделий 29 оказались бракованными, а на втором — из 2000 изделий 42. Найдите примерный процент брака на каждом заводе и определите, какой из двух заводов выпустил продукцию лучшего качества. 638. В городе А из 21 тыс. избирателей на выборы пришли 13 тыс., а в горо- де В из 19 тыс. избирателей в выборах участвовали 11 тыс. В каком го- роде избиратели активнее? 639. Из сорокалитровой канистры, наполненной бензином, отлили 8 л. Какую часть канистры составляет оставшийся в ней бензин? Выразите эту часть в процентах. 640. Боксер из 60 проведенных боев выиграл 54. Сколько процентов составля- ют проигранные им бои? 641. Смешали 160 г какао и 40 г сахара. Сколько процентов всей смеси со- ставляет какао? Сколько процентов всей смеси составляет сахар? 642. В шестых классах 65 мальчиков и 55 девочек. Сколько примерно процен- тов от всех шестиклассников составляют мальчики? девочки? 643. В сентябре акция стоила 250 р., а в октябре ее цена понизилась до 200 р. На сколько процентов понизилась цена акции? 644. В 1999 г. дом был куплен за 40 тыс. р. В 2001 г. он стал стоить 60 тыс. р. На сколько процентов выросла цена дома? 645. В школьной библиотеке имеются книги и журналы. Отношение числа книг к числу журналов равно 4:1. а) Какую часть библиотечного фонда составляют журналы? Выразите эту часть в процентах. б) Сколько процентов библиотечного фонда составляют книги? Найдите от- вет на этот вопрос разными способами. 646. Десятиклассники выбирали представителя в школьный совет. Голоса уча- щихся распределились между двумя кандидатами в отношении 5 = 4. Сколь- ко примерно процентов учащихся проголосовали за победителя, сколько за проигравшего? (Ответ округлите до единиц.) ДЛЯ ТЕХ, КОМУ ИНТЕРЕСНО хУ Бесконечное деление Вы знаете, что не всякую обыкновенную дробь можно предста- вить в виде десятичной. Например, нельзя представить в виде де- 7 сятичной дробь -ту. (Объясните почему.) Попробуйте разделить «угол- ком» числитель этой дроби на ее знаменатель и посмотрите, что при этом будет происходить. Начиная с некоторого шага, в остат- ке повторяется одно и то же число 4. Этот процесс никогда не за- 138
кончится, а поэтому в частном будет беско- нечно повторяться одна и та же цифра 3. По- лучим запись: 0,5833333333333333333333333... . Проведем еще один опыт. Рассмотрим 4 дробь уу. Она также не обращается в деся- тичную. Разделим «уголком» ее числитель на знаменатель. Деление привело к бесконечно- му чередованию в остатке чисел 7 и 4, по- этому и в частном будут бесконечно повто- ряться, чередуясь, одни и те же цифры — 3 и 6. В результате получится запись: 0,36363636363636363636363636... . Такие выражения, как 0,583333... или 0,363636..., называют периодическими беско- нечными дробями. В них периодически по- вторяется одна и та же цифра (или одна и та же группа цифр). И вообще если обыкновенная дробь не об- ращается в десятичную, то при делении «угол- ком» ее числителя на знаменатель получает- ся бесконечная периодическая дробь. _7,0 1 2 _е_о. Овззз _1 00 33. _4 О J 0 Хб_ _4 0 XX 4 4,0 .LX зз ОбЗб _7 О _40 33 _7 0 6 6 4 647. 648. Разделите числитель на знаменатель «уголком» и убедитесь в том, что де- ление продолжится бесконечно. Назовите повторяющиеся остатки и пов- А 1 5 11 торяющиеся цифры в частном: у; -g-; -g-. Представьте в виде бесконечной периодической дроби число а) С какого знака после запятой начинают повторяться цифры в частном? б) Какая цифра стоит на 12-м месте после запятой? на 20-м? на 100-м? 649. Запишите какую-нибудь обыкновенную дробь, которая не обращается в де- сятичную. Выполните для нее такое же задание, как в упражнении 648. 650. Запишите все правильные обыкновенные дроби со знаменателем 9. Выра- зите в виде периодической бесконечной дроби первые три числа из это- го ряда. Не выполняя деления «уголком», выразите в виде периодической дроби остальные числа из этого ряда. 651. Дробь у представляется в виде бесконечной периодической дроби следую- щим образом: у=0,142857142857... . Представьте все остальные правиль- ные дроби со знаменателем 7 в виде бесконечной периодической дроби, выписав первые двенадцать знаков после запятой. 139
652. Выполните действия с периодическими бесконечными дробями и дайте от- вет в виде обыкновенной дроби или натурального числа. Указание. Воспользуйтесь для этого результатами упражнения 650. а) 0,010101... 0,101010... в) 0,777... 0,4444... д) 0,4444...-9 б) 0,272727... 0,050505... г) 0,3333... +0,6666... е) 0,5555...-90 Задания для самопроверки к главе 6 (Обязательные результаты обучения) 1. Отрезок АВ разделен точкой С на две части так, что АС =12 см, ВС=6 см. ।, . AC g. ВС Найдите отношение: а) б) 2. В коробке находятся простые и цветные карандаши. Отношение числа про- стых карандашей к числу цветных равно 5:8. Какую часть числа цветных ка- рандашей составляют простые? Во сколько раз цветных карандашей боль- ше, чем простых? 3. Найдите отношение: а) 24 см к 4 дм; б) 1,2 кг к 300 г; в) 20 мин к 2 ч. 4. Занятия в школе длятся 5 ч. Время на уроки и перемены распределяется между ними в отношении 9’1. Сколько времени длятся уроки и сколько пе- ремены? 5. Выразите десятичной дробью: а) 37%; б) 50%; в) 4%; г) 135%. 6, Найдите: а) 16% от 200 р.; б) 125% от 200 р. 7. Банк ежегодно начисляет 11% на вложенную сумму. Клиент открыл счет на 5000 р. Сколько денег будет на его счету через год? 8. В начале учебного года в школе училось 550 учеников. За год число уча- щихся школы уменьшилось на 8%. Сколько учащихся стало в школе? 9. Выразите в процентах: 3 а) 0,67 жителей России; в) избирателей округа; 3 б) 0,4 жителей России; г) избирателей округа. 10. Сколько примерно процентов составляет: ч 1 3 а) тг учащихся класса; б) ту учащихся класса. 11. Для выращивания рассады помидоров посадили 50 семян. Проросло 45 се- мян. Определите, какая часть семян проросла, и выразите ее в процентах.
^' Осевая симметрия Слово «симметрия» греческого происхождения. Оно, как и сло- во «гармония», означает «соразмерность», «наличие определенного порядка, закономерности в расположении частей». С давних времен люди использовали симметрию в архитектуре, предметах быта, ор- наментах. Взгляните на снежинку, бабочку, морскую звезду, крис- талл минерала (рис. 133) — это лишь некоторые примеры прояв- ления симметрии в природе. Рис. 133 В математике рассматриваются различные виды симметрии. По- знакомимся сначала с осевой симметрией. Возьмите лист бумаги. Проведите на нем какую-нибудь прямую и перегните лист по этой прямой. Проткните сложенный лист иг- лой (рис. 134). Развернув лист, вы увидите две точки, расположен- 141
Рис. 134 ные по разные стороны от этой прямой. Говорят, что эти точки симметричны относительно прямой — линии сгиба. Проведите через полученные точки прямую. С помощью инст- рументов вы можете убедиться, что эта прямая перпендикулярна линии сгиба, а точки находятся от нее на одинаковом расстоянии. Это — важное свойство симметричных точек. С его помощью мож- но строить точки, симметричные относительно некоторой прямой, и без перегибания листа бумаги. Пусть дана прямая I и точка М (рис. 135, а). Построим точ- ку, симметричную точке М относительно I. Для этого: • проведем через точку М прямую, перпендикулярную I (рис. 135, б); • отметим на ней точку К, расположенную на таком же рассто- янии от прямой I, что и точка М (рис. 135, в). Точка К симметрична точке М относительно прямой I. I а) М Рассмотрите рисунок 136: четырехугольники ABCD и AlB1ClD1 симметричны относительно прямой k. Симметричные вершины обо- значены одной и той же буквой, но с добавлением индекса — цифры, поставленной внизу. Обратите внимание: называя четырехугольник ABCD, вы «обходите» его по часовой стрелке, а симметричный ему 142
четырехугольник AlBlC1D1 — против часовой стрелки. Таким образом, осе- вая симметрия меняет направление об- хода на противоположное. Если перегнуть рисунок 136 по пря- мой k, то четырехугольники AlBlClDx и ABCD совпадут. Иными словами, эти четырехугольники равны. Если фигуры симметричны, то они равны. Аналогом осевой симметрии в простран- стве является симметрия относительно плоско- Рис. 136 сти — зеркальная симметрия. Отражение в воде — пример зеркальной симметрии в при- роде. С этой симметрией мы также постоян- но встречаемся, глядя на себя в зеркало. Зер- кальная симметрия, как и осевая, меняет ориентацию предмета. Если вы, стоя перед зеркалом, закружитесь по часовой стрелке, ваше отражение будет крутиться против ча- совой стрелки. Заметьте: все, что вы делаете правой рукой, ваше отражение делает левой и наоборот. f------------------------------------------------- 653. Перенесите рисунок 137 в тетрадь и постройте точки, симметричные точкам А, В и С относительно прямой k. 654. Мысленно перегните рисунок по проведенной прямой (рис. 138) и выяс- ните, симметричны ли относительно этой прямой изображенные на нем фигуры.
655. На рисунке 139 изображены два четырех- угольника, симметричные относительно пря- мой k. Какая точка симметрична точке А? точ- ке /V? точке С? Какой отрезок симметричен отрезку AD? отрезку DB? отрезку CN? Какой угол симметричен углу CNM? углу BAD? углу BCD? 656. Перенесите рисунок 140 в тетрадь и пост- ройте фигуры, симметричные данным отно- сительно прямой k. Отметьте во внутренней области каждой фигуры какую-нибудь точку и постройте точку, ей симметричную. 657. Постройте треугольник, симметричный тре- угольнику АВС относительно прямой т (рис. 141). 658. На нелинованной бумаге проведите произ- вольную прямую и обозначьте ее буквой т. а) Начертите отрезок, не пересекающий пря- мую т, и постройте отрезок, симметричный ему относительно прямой т. б) Начертите отрезок, пересекающий прямую т, и постройте отрезок, симметричный ему относительно прямой т. в) Начертите ломаную из двух звеньев, одна из вершин которой лежит на прямой т. По- стройте ломаную, симметричную ей относи- тельно прямой т. г) Начертите четырехугольник, одна из сторон которого лежит на прямой т, и постройте симметричный ему четырехугольник относи- тельно прямой т. Рис. 141 (144)—
659. Начертите окружность и постройте симметричную ей окружность относи- тельно прямой, которая: а) не пересекает окружность; б) пересекает окружность, но не проходит через ее центр; в) проходит через центр окружности; г) является касательной к окружности. зеркало Рис. 143 Рис. 142 660. Нарисуйте от руки фигуры, симметричные бук- вам русского алфавита относительно проведен- ных прямых (рис. 42). Какие буквы латинского алфавита вы получили? 661. Задание с выбором ответа. Как выглядит зер- кальное отражение буквы У (рис. 143)? Проверь- те себя, используя зеркало. 662. Мальчик изобразил рожицу и ее отражение в зеркале (рис. 144). Сколько ошибок вы можете найти в его рисунке? Б 663. Постройте прямую I относительно которой точки А и В симметричны (рис. 145). 664. Постройте прямую, относительно которой прямая m симметрична пря- мой п (рис. 146). Сколько таких прямых можно построить?
665. 666. 667. Проведите прямую, симметричную прямой k от- носительно прямой /, если прямые k и Г. а) параллельны; б) пересекаются. Скопируйте рисунок 147 в тетрадь. Постройте точ- ку Вр симметричную точке В относительно прямой т, а затем точку В2, симметричную точке В, от- носительно прямой k. Выполните такие же пост- роения для точки С. Квадрат разделен на 16 маленьких квадратов, один Рис. 147 668. из которых окрашен (рис. 148). Будем считать, что эта краска не засыхает. Если большой квадрат пе- регнуть по одной из проведенных линий, окрашен- ная часть увеличится. Какое число перегибаний нужно сделать, чтобы окрасить весь квадрат? Задача-исследование. 1) Начертите треугольник АВС и проведите парал- лельные прямые k и т, не пересекающие этот тре- угольник. Рис. 148 2) Постройте треугольники, симметричные треугольнику АВС относительно прямой k и относительно прямой т. 3) Каково взаимное расположение соответствующих сторон двух новых тре- угольников? Ось симметрии фигуры Говорят, что фигура симметрична относительно некоторой пря- мой, если при перегибании фигуры по этой прямой две части, на которые прямая разбивает фигуру, совпадают. Получить симметрич- ную фигуру очень просто. Возьмите лист бумаги и сложите его пополам. Нарисуйте на нем какую- нибудь линию с концами на сгибе листа, как, например, на рисунке 149, а, разрежьте лист по этой линии (рис. 149, б) и разверните вырезанную фигуру (рис. 149, в). Фигура, которую вы получили, симметрична. Линия сгиба — это осъ симметрии фигуры. Фигура может иметь и не одну ось симметрии (рис. 150). С другой стороны, далеко не у каждой фи- гуры есть ось симметрии. Таков, например, многоугольник, изобра- женный на рисунке 151. 146
Рис. 150 Рис. 151 Рис. 152 Многие известные вам фигуры симметричны. На- s'------\ пример, у прямоугольника две оси симметрии. ( Есть ось симметрии и у равнобедренного тре- | ) угольника. Перегните его так, чтобы совпали вер- J шины при основании, линия сгиба и будет его осью симметрии (рис. 152). Ось симметрии разбивает равнобедренный тре- Рис* 153 угольник на две равные части. Она делит пополам угол, противолежащий основанию, проходит через середину основа- ния и перпендикулярна ему. Окружность, а также ограниченный ею круг — это «самые сим- метричные» фигуры на плоскости. Любая прямая, проходящая че- рез центр окружности, является ее осью симметрии (рис. 153). В пространстве сходным свойством обладает шар — он симме- тричен относительно любой плоскости, рассекающей его по боль- шой окружности (рис. 154). Но если на плоскости только круг обладает таким интересным свойством, то в пространстве есть и другие тела, имеющие беско- нечно много плоскостей симметрии. Из уже известных вам тел это цилиндр и конус (рис. 155). Рис. 154
Рис. 156 Симметричными могут быть и многогранники. Например, у па- раллелепипеда три плоскости симметрии (рис. 156). Несмотря на всеобщий характер симметрии окружающего нас мира, в природе мы не встречаем примеров математически безу- пречной симметрии. Например, нетрудно указать плоскость, отно- сительно которой человеческое тело можно считать симметричным. Но столь же легко всегда указать и отклонения от полной симмет- рии. Именно эти небольшие отклонения от нее — родинка, воло- сы, расчесанные на косой пробор, или какая-нибудь деталь в одеж- де — делают облик человека асимметричным. Симметрия и асимметрия тесно соседствуют друг с другом. На- пример, в начале шахматной партии расположение фигур одного цвета асимметрично из-за короля и королевы, в то же время рас- становка черных фигур является зеркальным отражением располо- жения белых. 669. Является ли проведенная прямая осью симметрии фигуры (рис. 157)? Почему? 670. Среди фигур, изображенных на рисунке 158, найдите фигуры, имеющие оси симметрии. Перерисуйте их в тетрадь и проведите оси симметрии. 671. Нарисуйте какой-нибудь многоугольник, который: а) не имеет осей симметрии; б) имеет одну ось симметрии; в) имеет две оси симметрии. 672. Сколько осей симметрии имеет каждая из фигур, изображенных на рисун- ке 159? 673. а) Возьмите прямоугольный лист бумаги и найдите оси симметрии этого прямоугольника путем перегибания. Начертите в тетради прямоугольник и проведите его оси симметрии. Является ли диагональ осью симметрии прямоугольника? 148
Рис. 159
б) У квадрата четыре оси симметрии. Найдите их с по- мощью перегибания. Начертите в тетради квадрат и про- ведите его оси симметрии. 674. Постройте на нелинованной бумаге два равнобедренных треугольника со сторонами 3 см, 5 см и 5 см и со сто- ронами 7 см, 4 см и 4 см. В каждом треугольнике про- ведите ось симметрии. На каждом рисунке отметьте рав- ные отрезки и равные углы. 675. Прямая ОР — ось симметрии треугольника КРМ (рис. 160). а) Назовите все равные элементы треугольников КОР и РОМ. Каков вид треугольников КРМ, КОР и РОМ? б) Длина стороны КМ равна 24 см, а периметр тре- угольника КРМ — 56 см. Найдите длины отрезков ОК и ОМ, длины сторон КР и РМ. в) Какова величина углов КОР и РОМ? Найдите угол РМО, если АРКО = 40°. 676. Сколько осей симметрии у равностороннего треугольни- ка? Начертите в тетради равносторонний треугольник в м с к о N А р D Рис. 161 и проведите все его оси симметрии. 677. Сколько осей симметрии у снежинки (рис. 133)? у морской звезды? Сде- лайте в тетради схематические рисунки и покажите оси симметрии сне- жинки и морской звезды. 678. Прямые МР и KN — оси симметрии прямоугольника ABCD (рис. 161), ВМ= 679. 680. = 6 см, CN=4 см. Найдите: а) периметр прямоугольника ABCD; б) периметр прямоугольника КВМО; в) длину ломаной AKNC. Какая фигура может получиться в се- чении, если плоскостью симметрии рассечь: а) параллелепипед; б) цилиндр; в) конус? На рисунке 162 изображена часть узо- ра чувашской национальной вышивки и проведены две его оси симметрии. Восстановите узор. Есть ли еще оси симметрии у этого узора? 150
Б г-------------------------------------------------- 681. а) Какие буквы русского алфавита на рисунке 163 имеют одну ось симметрии? две оси симметрии? АБВГДЕЖЗИКЛ МНОПР СТУФХЦЧШЩЪЫЬЭЮЯ Рис. 163 б) Одно слово на рисунке 164 имеет горизонтальную ось симметрии, а другое — вертикальную. Составьте самостоятельно слово, обладающее горизонтальной симметрией, и слово, обладающее вертикальной симмет- рией. КОФЕ н о А Рис. 164 Рис. 165 Рис. 166 в) Прочтите слова, отраженные в зеркале (рис. 165). Одно из них читает- ся легко, а другое нет. Составьте сами такие же слова г) Зеркало поможет вам догадаться, какое слово не дописано на рисун- ке 166. Может быть, вам удастся составить другое слово, обладающее та- ким же интересным свойством? 682. Прямая BD перпендикулярна отрезку АС и делит его по- полам (рис. 167), АВ = 5 см, AD=3,5 см, АО=3 см. Най- дите периметр: а) четырехугольника ABCD; б) треугольника АВС. 683. Начертите в тетради несколько равнобедренных тре- угольников с общим основанием, равным 6 см. Где рас- положены вершины этих треугольников? 684. Начертите отрезок АВ. Проведите через середину отрез- ка прямую, ему перпендикулярную. Отметьте на ней точ- ки С и D так, чтобы четырехугольник ACBD был симме- тричен относительно прямой АВ. Сколько всего осей симметрии у этого четырехугольника? При каком распо- ложении точек С и D у четырехугольника будет 4 оси симметрии? 151
685. 686. 687. 688. Сколько осей симметрии имеет фигура, изобра- женная на рисунке 168? Постройте эту фигуру и проведите все ее оси симметрии. Перегибая лист бумаги, постройте равнобедрен- ный треугольник. На кальке отметьте точки А и В. Перегибая ее, по- стройте квадрат со стороной АВ. Задача-исследование. 1) Возьмите лист тонкой бу- маги и перегните его дважды так, чтобы линии сгиба были перпендикулярны друг другу. Вырежь- те из сложенного листа какую-нибудь фигуру (рис. 169) и разверните ее. Сколько у получившей- ся фигуры осей симметрии? 2) Возьмите другой лист бумаги, сложите его таким же образом, а затем перегните так, чтобы совмес- тились стороны прямого угла. Снова вырежьте какую- нибудь фигуру. Сколько у нее осей симметрии? 3) Вырежьте третью фигуру, перегнув лист еще один раз. Сколько осей симметрии у третьей фи- гуры? Сколько осей симметрии будет у вырезанной фигуры, если вы пе- регнете лист 5 раз? 689. У параллелепипеда три плоскости симметрии (см. рис. 156). А сколько их у куба? Указание. Рассмотрите дополнительно плоскости, проходящие через ди- агонали противоположных граней. Центральная симметрия Еще одним видом симметрии является цен- тральная симметрия. Отметим на листе бумаги точки О и А (рис. 170, а). Будем поворачивать с помощью циркуля точку А вокруг точки О (для этого поставим ножку циркуля в точку О). След, который оставляет точка А при повороте, — это дуга окружности (рис. 170, б). При повороте на 180° точка А перешла в диаметрально противоположную ей точку В. Точки А и В называют симметричными относительно точки О. Заметьте: если точки А и В симметричны относительно точки О, то точка О — середина отрезка АВ. На этом основан способ построения центрально-симметричных точек. Рис. 170 152
a) б) в) • • А О А О • I • i • А О В Рис. 171 Построим точку В, симметричную точ- ке А относительно точки О (рис. 171, а). Для этого: • проведем прямую ОА (рис. 171, б); • по другую сторону от точки О отло- жим отрезок ОВ, равный отрезку ОА (рис. 171, в). Точка В симметрична точке А относи- тельно точки О. Из рисунка 172 понятно, как постро- ить треугольник АгВгСг, симметричный данному треугольнику АВС относительно точки О: достаточно пост- роить точки, симметричные его вершинам. Вы знаете, что существуют фигуры, которые имеют ось симме- трии, а некоторые и не одну. Но фигура может иметь и центр сим- метрии. Точка является центром симметрии фигуры, если при по- вороте вокруг этой точки на 180° фигура переходит сама в себя. Рассмотрите фигуру на рисунке 173. Точка О — ее центр сим- метрии. Чтобы убедиться в этом, наложите на рисунок кальку и прикрепите ее в точке О булавкой. Перенесите фигуру на кальку и поверните ее на 180°. Фигура на кальке совместится с фигурой на бумаге. Вы уже встречались с центрально-симметричными фигурами. Это прежде всего окружность (рис. 174, а), а также эллипс (рис. 174, б). Центр симметрии имеет и прямоугольник: это точка пересечения его диагоналей (рис. 174, в). Вы можете убедиться в этом, используя кальку.
A Отметьте на листе нелинованной бумаги точки О, Д, В и С. Построй- те точки, симметричные точкам Д, В, С относительно точки О. 691. Скопируйте рисунок 175 в тетрадь и постройте фигуру, симметричную дан- 692. На нелинованной бумаге начертите произвольный треугольник и построй- те треугольник, симметричный ему относительно одной из его вершин. 693. Точка О — центр симметрии шестиугольника ABCDEK (рис. 176). Назови- те точки, симметричные точкам Д, 8, С и К относительно точки О. Какая фигура симметрична относительно точки О отрезку АК? отрезку ДО? от- резку ВС? треугольнику EOD? четырехугольнику ABCD? четырехугольнику АВСО? 694. Какая из фигур, изображенных на рисунке 177, имеет центр симметрии? оси симметрии? 695. Начертите в тетради прямоугольник и постройте его центр симметрии. На сторонах прямоугольника возьмите какие-нибудь три точки и постройте точки, симметричные им относительно центра симметрии.
696. На рисунке 178 изображена часть фигуры, центром симметрии которой яв- ляется точка М. Перенесите рисунок в тетрадь и достройте фигуру. 697. Перенесите фигуру (рис. 179) в тетрадь и найдите ее центр симметрии. 698. Задание с выбором ответа. Какая из букв латинского алфавита не имеет центра симметрии? 1) Н\ 2) /; 3) К\ 4) N\ 5) X. 699. Какие из букв латинского алфавита, изображенных на рисунке 180, имеют и центр, и ось симметрии? 700. Центр куба — это точка пересечения его диагоналей (рис. 181). Назовите вершины куба, симметричные относительно его центра — точки О. ABCDEFG HIJKLM NOPQRST UVWXYZ Рис. 180 Б Рис. 181 Прямоугольник разрежьте по одной из его диагоналей. Из двух полу- чившихся треугольников сложите различные фигуры, имеющие: а) ось сим- метрии; 6) центр симметрии. Зарисуйте их в тетради. 702. Начертите фигуру со следующими свойствами: а) фигура имеет и центр, и ось симметрии; б) фигура имеет центр, но не имеет оси симметрии; в) фигура имеет ось, но не имеет центра симметрии. 703. Нарисуйте в тетради линзу — общую часть двух пересекающихся кругов равных радиусов. Есть ли у линзы оси симметрии и центр симметрии? 155
704. На рисунке 182 изображен квадрат 4x4 и часть ломаной линии, проходя- щей по сторонам клеток. Продолжите линию так, чтобы она разделила квадрат на две равные части. Придумайте другую ломаную, которая дели- ла бы квадрат 4x4 на две равные части. 705. Через точку О требуется провести прямую, которая разбила бы данную фигуру на две равные части (рис. 183). Как это сделать? Указание. Об- ратите внимание, что фигура имеет центр симметрии. 706. Коля и Петя играют в игру. Они по очереди выкладывают одинаковые ку- бики на прямоугольный стол. Кто не сможет сделать очередной ход, про- игрывает (кубики имеются в достаточном количестве). Коля только что изу- чал в школе законы центральной симметрии. Он говорит, что наверняка сможет выиграть, если будет ходить первым. Как вы думаете, прав ли Коля? Как он должен играть, чтобы наверняка выиграть у Пети? ДЛЯ ТЕХ, КОМУ ИНТЕРЕСНО •^Задача о пауке и мухе Представьте, что на согнутом листе бумаги с одной стороны от линии сгиба сидит муха (М), а с другой — паук (П) (рис. 184, а). Паук стремится как можно быстрее доползти до мухи. Значит, ему
б) Рис. 185 нужно выбрать кратчайший путь от точки П до точки М. Чтобы указать пауку кратчайший путь к его жертве, развернем лист и со- единим точки П и М отрезком (рис. 184, б). Снова согнув лист, мы получим искомый путь. Понятно, что длина пути не зависит от то- го, согнут или развернут лист. Решение задачи не изменилось бы, даже если бы две половин- ки листа были «склеены» и паук при этом оказался на одной сто- роне листа, а муха — на другой (рис. 185, а). Пауку, чтобы до- браться до мухи, надо доползти до края, а затем уже ползти по другой стороне листа. Как и в предыдущем случае, надо развернуть лист и соединить в этой плоскости точки П и М отрезком (рис. 185, б). 707. Паук и муха сидят на соседних гранях куба, ребро которого равно 4 см (рис. 186). Сделайте в тетради рисунок, который поможет вам найти крат- чайший путь паука к мухе. Измерьте его и покажите этот путь на кубе. 708. Паук и муха сидят в противоположных вершинах куба, ребро которого рав- но 4 см (рис. 187). Сделайте в тетради рисунок, который поможет вам найти кратчайший путь паука к мухе. Покажите, что путь сначала по реб- ру куба, а затем по диагонали грани длиннее. Сколько существует вари- антов движения паука к мухе кратчайшим путем? 709. Открытая коробка имеет форму куба. Паук сидит на внешней стороне гра- ни, а муха — на внутренней стороне противоположной грани (рис. 188). Сделайте в тетради рисунок, который поможет найти кратчайший путь па- ука к мухе.
Какие числа называют целыми До сих пор на уроках математики мы рассматривали натураль- ные и дробные числа. Однако в жизни вы уже наверняка встреча- лись и с другими числами — отрицательными. В самом деле, из сообщения о погоде вы могли узнать, что температура воздуха бы- ла, например, —12°, а на географической карте увидеть отметку — 1733 м для глубины озера Байкал. Такие числа, «похожие» на натуральные, но со знаком «ми- нус», нужны в тех случаях, когда величина может изменяться в двух противоположных направлениях. Для выражения величины от- рицательным числом вводят некоторую начальную, нулевую отмет- ку — в наших примерах это температура замерзания воды (при нормальном атмосферном давлении) или уровень Мирового океана. И если значение величины ниже этой нулевой отметки, то ставят знак «ми- нус» (рис. 189). Это обозначение очень удобно — иначе оно не могло бы войти в прак- тику. В самом деле, в нашем языке существуют слова противоположных значений — антонимы, и вполне мож- но было бы говорить, например, что температура в Москве «от 1 градуса мороза до 1 градуса тепла». 158
Но удобно ли читалось бы это сообщение на экране телевизо- ра? А как можно было бы обозначить на карте глубину озера или высоту горы? Конечно, из такого затруднения можно выйти, записывая, на- пример, высоту и глубину цифрами разного цвета. Подобным обра- зом поступали математики в древнем Китае, использовавшие для обозначения отрицательных чисел другой цвет. Однако в настоящее время обозначение отрицательных чисел с помощью знака «минус* принято во всем мире. Итак, наряду с натуральными числами 1, 2, 3, 4, ..., 100, ..., 1000, ... мы будем рассматривать отрицательные числа, каждое из которых получается приписыванием к соответствующему натуральному числу знака «минус*: -1, -2, -3, —4, .... -100, ..., -1000.. Натуральное число и соответствующее ему отрицательное чис- ло называют противоположными числами. Например, числа 15 и —15 являются противоположными. Мож- но сказать также, что число —15 противоположно числу 15, а чис- ло 15 противоположно числу —15. Число 0 считается противопо- ложным самому себе. С помощью знака «минус», как мы видели, записывается чис- ло, противоположное натуральному. Этот знак мы будем использо- вать и для обозначения числа, противоположного отрицательному. Например, число, противоположное —15, записывается так: — (—15). Но число, противоположное —15, — это 15, т. е. — (—15) = 15. Точно так же -(-7) = 7, -(-109) =109. Вообще число, противоположное числу п, обозначают — п. Если п = 25, то — л = — 25; если п = — 40, то — п = — (— 40) = 40; если п = 0, то — п = 0. Обратите внимание: для того чтобы записать число, противопо- ложное отрицательному, мы заключаем это отрицательное число в скобки. Такие выражения, как —15, смысла не имеют. Натуральные числа, противоположные им отрицательные чис- ла и число 0 называют целыми числами. Все эти числа вме- сте составляют множество целых чисел. ) 159
Натуральные числа принято называть также положительными целыми числами, т. е. слова «натуральное число» и «положитель- ное целое число» означают одно и то же. Перед положительными числами, для того чтобы подчеркнуть внешне их отличие от отрицательных, иногда ставится знак «плюс». Например, +5 — это то же самое число, что и 5, т. е. +5 = 5. По- этому о двух целых числах можно сказать, что это числа одного знака, если они оба положительны или оба отрицательны. В про- тивном случае, если одно положительно, а другое отрицательно, го- ворят, что это числа разных знаков. О противоположных числах говорят, что они отличаются только знаками. Число 0 занимает, как всегда, особое положение: оно не отно- сится ни к положительным, ни к отрицательным числам, а как бы разделяет их. А 710. Приведите примеры использования положительных и отрицательных чисел. 711. Запишите с помощью знаков «+» и «-» сообщения службы погоды: а) 20 градусов тепла; б) 3 градуса мороза; в) 20 градусов мороза; г) 12 градусов тепла. 712. Изобразите в тетради шкалу тер- мометра (рис. 190). Отметьте на ней данные погоды на 10 января: Париж +1 °C, Лондон 4-3 °C, Бер- лин -9 °C, Рим +6 °C, Варшава -12 °C, Москва -10 °C, Новоси- бирск -14 °C. 713. Найдите по шкале высоты гор и глубины морей (рис. 191). 714. Бросают белый и черный кубики. Белый кубик показывает число выигрышных очков, черный — чис- ло проигрышных. Будем выиг- рышные очки записывать со зна- ком «+», а проигрышные — со знаком «-». Запишите с помо- щью этих знаков результаты бро- саний: 4-7 -- 4-6000 - Эльбрус +6 4-5 - 4-5000 Монблан +4 - +3 4-4000 4-2 4-1 < Париж +3000 Этна 0 < ~ Олимп -1 4-2000 -2 -3 4-1000 Везувий -5 0 —6 - -7 - -1000 Каспийское -8 море -9 -2000 Черное -10 море -11 -3000 Красное -12 море -13 -4000 * Японское -14 море -15 -5000 Рис. 190 Рис. 191 160
а) белый кубик — 3 очка, черный кубик — 1 очко; б) белый кубик — 6 очков, черный кубик — 6 очков; в) белый кубик — 1 очко, черный кубик — 4 очка. 715. На чемпионате мира по футболу результаты команд сравнивают по разни- це забитых и пропущенных мячей. а) Объясните, что означают следующие данные: Команда Разница забитых и пропущенных мячей Бразилия + 7 Россия +1 Польша -2 Камерун -4 б) Заполните последний столбик таблицы: Команда Число забитых мячей Число пропущенных мячей Разница забитых и пропущенных мячей Швейцария 5 2 Испания 3 3 Боливия 0 1 Колумбия 2 5 в) После проведенных матчей (см. пункт «б») каждая команда сыграла еще по одному матчу со следующими результатами: Команды Счет Швейцария: Колумбия 0:2 Испания: Боливия 3:1 Используя данные предыдущей таблицы, подсчитайте, какой стала разни- ца забитых и пропущенных мячей у каждой из команд. 716. Назовите число, противоположное данному: а) +5; -2; +4; -21; + 18; -32; +11; -7; -15; 0; +10; б) -3; 1; -7; 0; 24; -1000; 73; 203; -330; 330. 6 — Дорофеев, 6 кл. 161
717. Заполните таблицу. Число Противоположное число + 4 — (+4) = —4 -3 -("3) = 3 + 1 -5 -100 + 1800 718. Запишите без скобок: а) -(+11); б) -(+9); в) -(-7); г) -(-10); д) -(+15); е) -(-20). 719. а) Дано положительное число. Положительным или отрицательным являет- ся противоположное ему число? б) Дано отрицательное число. Положительным или отрицательным являет- ся противоположное ему число? 720. Дано число п. Назовите число -п, если п = + 15; -1; -100; 0. Б F----------------------------------------------------- 721. а) Коллекционер купил пять картин по цене 300 р., 1600 р.. 1200 р., 2500 р. и 300 р. Потом он их продал соответственно за 350 р., 1500 р.» 1000 р., 2700 р. и 250 р. Определите, какой доход или убыток получил он от продажи каждой картины. Запишите ответ, используя знаки «+» (доход) и «-» (убыток). б) Подводная лодка сначала плыла на глубине 400 м, потом опустилась на 200 м глубже, а затем поднялась на 300 м. На какой глубине находится подводная лодка? Запишите ответ с помощью знака «-». 722. Вставьте нужное слово: а) если а — положительное число, то -а .... число; б) если Ь — отрицательное число, то -Ъ .... число. Для каждого случая приведите числовой пример. 723. Какое число надо записать в скобках, чтобы получилось верное равенство: а) -(...) = -11; б) -(...) = 11; в) -(...) = 86; г) -(...) = -71? 724. Запишите число, равное данному: a) -(-(+D); д) -(-(-(•••(-(+3))...); б) -(-(-2)); 10 знаков «-» в) -(-(-(+8))); е) -(-(-(...(-(+3))...). г) _ (“(”(“ 5))); 15 знаков «-» 162
Сравнение целых чисел Целые числа, так же как и натуральные, можно сравнивать между собой. Вспомним, что из двух натуральных чисел большим считается то, которое при счете появляется позже, и меньшим — то, кото- рое появляется раньше. Так, 10 <14, 60 <85, 248 <500. Натуральные числа мы записывали в виде последовательности в том порядке, в котором они появляются при счете: 1, 2, 3, 4, 5, ... . Двигаясь по ряду натуральных чисел вправо, мы переходим от меньшего числа к большему, а двигаясь влево — от большего чис- ла к меньшему. Поэтому в натуральном ряду запятые можно заме- нить на знак «меньше»: 1<2<3<4<5 ... . В натуральном ряду есть начало — число 1, но нет конца: мы можем двигаться по натуральному ряду вправо как угодно далеко, до бесконечности. Целые числа также можно расположить в «ряд», но он не бу- дет иметь ни начала, ни конца, продолжаясь бесконечно в обе сто- роны: ..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... . Естественно старое правило сравнения чисел распространить на новые числа: Из двух целых чисел больше то, которое в «ряду» целых чи- Л сел стоит правее, и меньше то, которое стоит левее. у Поэтому здесь мы также можем заменить запятые на знак «меньше»: ... —4< — 3< — 2< — 1 <0< 1 <2<3<4<5<6 ... . ‘ Чтобы сравнить два целых числа, надо представить, как они расположены по отношению друг к другу: какое из них находится правее, а какое — левее. Пример 1. Сравним числа 256 и —104. Положительное число 256 расположено справа от 0, а отрица- тельное число —104 — слева от 0. Это значит, что число 256 в «ряду» целых чисел стоит правее числа —104. Поэтому 256>—104. 6* 163
Пример 2. Сравним числа —1000 и —989. Сначала сравним противоположные им натуральные числа 1000 и 989. Число 1000 позже появляется при счете; в «ряду» целых чисел оно расположено правее числа 989: ..., 1, 2, 3, ..., 989, ..., 1000, ... . Это означает, что 1000 >989. Тогда при «обратном счете» позже появится число —1000; оно расположено левее числа —989. ..., -1000, ..., -989, ..., -1, 0, 1, ..., 989, ..., 1000, ... . Отсюда ясно, что -1000 <-989. 725. Назовите по порядку целые числа: а) от -5 до 5; в) от -10 до 0; б) от -7 до 3; г) от -15 до -9; 726. Укажите, какое из чисел ближе к 0: а) 10 или 100; в) -10 или 2; б) -10 или -100; г) — 2 или 10; д) от -40 до -25; е) от -100 до -90. д) 7 или -7; е) -4 или 4. 727. Между какими двумя последовательными целыми числами находится дан- ное число? Ответ запишите в виде двойного неравенства (например, - 3<-2<-1). а) 3; 6)0; в) -5; г) -1; д) -100; е) -253. 728. Сравните целые числа: а) 3 и -8; в) -1 и -10; д) 4 и 0; б) -8 и 8; г) -6 и 0; е) -9 и -2. 729. а) Какое из двух целых чисел больше: положительное или отрицательное? положительное или 0? отрицательное или 0? б) Какое из двух целых чисел меньше: положительное или 0? отрицатель- ное или 0? положительное или отрицательное? 730. Сравните числа: а) -1000 и 253; в) 351 и -351; д) -2 и 200; б) -200 и -150; г) -101 и -102; е) -310 и -1003. 731. Назовите какие-нибудь пять целых чисел: а) меньшие 0; 6) большие 0; в) меньшие 2; г) большие -7. 732. Запишите сначала от меньшего к большему, а потом от большего к мень- шему последовательность целых чисел, заключенных между: а) -7 и 2; б) -15 и -5; в) -3 и 3; г) -20 и -10. 164
733. Запишите все отрицательные целые числа, которые: а) больше -8; б) больше -12, но меньше -9; в) меньше 3, но больше -11. 734. Какие целые числа можно подставить вместо буквы а, чтобы получилось верное неравенство: а) -1<а<3; б) -7<а<7; в) -20<а<-10; г) -105<а<-96? Б 735. а) Запишите данные числа в порядке возрастания (от меньшего к боль- шему): 0; 2; -2; -15; 1; -40; 5. 6) Запишите данные числа в порядке убывания (от большего к меньше- му): 10; -1; 0; 2; -4; -10; -20. 736. Сравните сначала данные числа, а) 10 и 15; в) -12 и -1; б) -6 и -8; г) 4 и -5; 737 а затем числа, им противоположные: Д) 23 и 5; е) 100 и -50. Выполните задание и проиллюстрируйте каждый случай конкретным при- мером. а) Известно, что а и b — положительные ните -а и -Ь. целые числа, причем а<Ь. Срав- б) Известно, что а и Ъ — отрицательные ните -а и -Ь. целые числа, причем а<Ь. Срав- в) Известно, что а и b — целые числа разных знаков, причем а<Ь. Срав- ните -а и -Ь. Сложение целых чисел Чтобы понять, по каким правилам складывают целые числа, рассмотрим «денежные» примеры — с доходами и расходами. При этом расход будем считать «отрицательным доходом», а израсходо- ванные суммы денег обозначать отрицательными числами. Сначала рассмотрим сложение чисел одного знака. Положитель- ные целые числа, т. е. натуральные числа, мы складывать умеем. Например: (+9) + (+11) = + 20. Из примера с подсчетом денег легко понять, как складывают- ся отрицательные числа. Если человек израсходовал сначала 4 тыс. р., а затем еще 5 тыс. р., то общий расход составил 9 тыс. р. Поэтому естественно считать, что (-4) + (- 5) = — 9. 165
Величину расхода мы определили сложением чисел 4 и 5: 4 + 5 = 9. Из приведенных примеров видно, что I сумма двух положительных чисел положительна, а сумма двух отрицательных чисел отрицательна. А как складывать числа разных знаков? Ясно, что если чело- век получил денег больше, чем потратил, то его доход окажется положительным. Например, если он получил 5 тыс. р. и потратил 3 тыс. р., то его доход составил 2 тыс. р. (+5) + (—3) = + 2. Величину дохода в этом случае мы нашли вычитанием: 5-3 = 2. Если же человек получил денег меньше, чем потратил, то его доход выражается отрицательным числом. Например, при доходе 4 тыс. р. и расходе 7 тыс. р. получится убыток, равный 3 тыс. р. Поэтому (—7) + (+4) = —3. Величину убытка мы также нашли вычитанием: 7 — 4 = 3. Из приведенных примеров видно, что сумма двух чисел разных знаков может быть как положитель- ным числом, так и отрицательным; знак суммы зависит от то- го, какое слагаемое «перевесило» — положительное или отри- цательное. Итак, при сложении целых чисел мы работаем в действитель- ности только с соответствующими натуральными числами. Но в од- них случаях (когда слагаемые одного знака) мы эти натуральные числа складываем, а в других случаях (когда слагаемые разных знаков) из большего натурального числа вычитаем меньшее. Представим теперь, что доход и расход были одинаковы, на- пример по 10 тыс. р. Очевидно, что в этом случае прибыль равна нулю. Поэтому (+10) + (—10) = 0. Вообще, сумма противоположных чисел равна 0: л + (—п) = 0. Наконец, правило сложения целого числа с нулем такое же, как и для натуральных чисел: n + 0 = 0 + n = n. Например, (-43) + 0 = -43, 0 + (-18) = -18.
Заметим, что действие сложения целых чисел, как и действие сложения натуральных чисел, обладает переместительным и соче- тательным свойствами. Эти свойства позволяют переставлять слага- емые и объединять их в группы, что часто помогает упрощать вы- числения. Например, (- 6) + 10 + (- 4) = ((- 6) + (- 4)) +10 = (-10) +10 = 0. А щью положительных и отрицательных чисел: а) доход 5 тыс. р. и расход 9 тыс. р.; б) расход 12 тыс. р. и доход 3 тыс. р.; в) доход 6 тыс. р. и расход 2 тыс. р.; г) расход 8 тыс. р. и расход 10 тыс. р.; д) доход 7 тыс. р. и расход 7 тыс. р. 739. Бросают одновременно два / • Z1 белых и два черных кубика в (белые кубики — выигрыш, чер- — % ные — проигрыш). Запишите с »• помощью положительных и отри- цательных чисел общий резуль- "**4^ * Lsl I тат, выпавший на четырех куби- Д$ * ках, если: а) на белых кубиках выпало 12 очков, а на черных — 2 очка; б) на белых — 3 очка, а на черных — 8 очков; в) на белых — 9 очков, а на черных — 3 очка; г) на белых — 7 очков, а на черных — 11 очков. 740. Найдите сумму (представьте, что вы подсчитываете доходы и расходы): а) (+1) + (+3), (-4)+(-1), (-З)-ь(-З); б) (+4) + (-3), (+5) + (-2), (+3) + (—3); в) (+1) + (-5), (+4) + (-6), (+2) + (-3). 741. Определите знак суммы и выполните сложение: а) (-Ю) + (+11); в) (-12) + (+3); д) (+20) + (-21); б) (-7) +(-6); г) (-15)+ (+18); е) (-100) + (-150). 742. Выполните сложение: а) (-4) +(-2); в) (-11) + (-20); д) (+3) + (-5); б) (+1) + (-6); г) (-6) +(+2); е) (-3) + (+4). 743. Чему равна сумма: а) (+8) + (-8); б) (-10) + (+10); в) (-100) + (+100)? 744. Выполните сложение: а) (+ 13) + (+1) + (-1); г) 0 + (—11) + (+11); б) (+20) + (-20) + (+1); д) (+12) + (-6) + (-12); в) (-35) +(+35) +(+8); е) (-7) + (- 15) + (+ 15). 167
745. Запишите и вычислите сумму чисел: а) -7, -13 и -22; в) -6, -19 и 0; б) -5, -12 и -17; г) -13, -17 и -30. 746. Представьте в виде суммы двух отрицательных слагаемых число: а) -10; б) -23; в) -99; г) -101. 747. Выполните сложение: а) (+6) + (-7); д) (-7) +(+7); и) (-22)+ (+22); б) (—5) + (+14); е) (+9) + (-14); к) (+8) + (-13); в) (—1) + (+8); ж) (-8) + (+11); л) (-7) +(+9); г) (-20)+ (+13); з) (+17) + (—9); м) (-20) + (+4). 748. Представьте в виде суммы двух слагаемых разных знаков: а) -8; б) +8; в) -25; г) 0. 749. Сложите числа: а) -3, +8, +7 и -4; б) +15, -5, 0, -12 и +7. 750. Вычислите: а) (-1000)+ (+10); в) (-11) + (+1100); д) (-350)+ (-350); б) (+200) +(-2); г) (+33)+ (-3300); е) (-2000)+ (-1999). 751. Запись суммы положительных и отрицательных чисел часто упрощают: положительные числа записывают без знака «+», а отрицательное число, которое стоит в начале выражения, записывают без скобок. Например, (-20) + (+4) = —20 + 4. Опустите скобки и знак «+» там, где это возможно: а) (+7) + (-10); в) (-5) + (+12); д) (+3) + (-1) + (-15); б) (-8) + (-11); г) (+6) + (+18); е) (-8) + (+12) + (-4). 752. Замените сумму равной ей суммой, поменяв местами слагаемые: а) 7 + (-3) = в) -10 + 5= д) -9+12 = б) -4 + (-2)= г) 6 + (-7)= е)-1+8 = 753. Найдите сумму: а) —5 + (—10); г)—15 + (—20); ж) 100+ (-200); к) -150+100; б) -3 + (-4); д) 1+(-1); з) 80 + (-20); л) -36 + 20; в) —20 + (—6); е) 26 + (-6); и) -8 + 8; м) -78 + 180. 754. Вычислите: а) —9 + 12 + (-8); г) - 10 + (-19) +10; ж) 8 + (- 17) + 17; б) 10 + (—7) + (—6); д) 25 + (-3) + 17; з) -20 + (-4) + 9; в) —5 + (—6) + (—9); е) 9 + (-15)+14; и) 25+14 + (-19). 755. Заполните таблицу. а -3 -10 -10 10 7 0 ь -2 -20 9 -9 -7 -4 а + Ъ
756. Вставьте пропущенное слагаемое: а) 8+ ... = 5; б) 15 + ... = 0; в) (-4)+ ... = -6; г) (-1) + ... = -1; д) (-10)+ ...= -5; е) 7 + ... = -2; ж) 3 + ... = -3; з) (-2) + ... = -12; и) 0 + ... = -6. J 757. Найдите сумму: а) (-2) + (-4) + (-6) + 4 + 3 + 5; б) (-5) + (-4) + (-3) + 15+ 14+ 13; в) 1 + (— 2)+ 3 + (-4) + 5 + (-6); г) 20 + (- 18)+ 16 + (- 14)+ 12 + (- 10). 758. Дана сумма: -2 + (-4) + 7. Запишите все возможные суммы, которые мож- но получить из данной перестановкой слагаемых. Чему равно значение каж- дого из выражений? 759. Найдите значение выражения: а) -(-8) + 3; в) -(-10) + (-6); д) -((-20) + (-10)); б) -(12 + (-1)); г)-((-3) + 1); е) -(-(6 + 4)). 760. Сравните значения выражений: а) -(3+8) и (—3)+(—8); б) -(6+1) и (-6)+(-1); в) -<(-Ю)+(-5)) и 10+5. 761. Заполните таблицу. Сделайте вывод. а Ь а + Ь -(а + Ь) (-а) + (-Ь) 20 15 -20 -15 -20 15 20 -15 762. Подставьте в сумму a + b + с вместо букв указанные числа и выполните вы- числения: а) а=17, Ь = -23, с = -9; в) а = 25, Ь = -19, с = 50; б) а = -33, Ь=- 18, с = 26; г) а = -12, Ь = -20, с = -19. Образец. а) а+Ь + с= 17 + (-23) + (-9) = ... . 763. Найдите сумму всех целых чисел: а) от -100 до 100; в) от -70 до 50; б) от -100 до 150; г) от -150 до 70.
Вычитание целых чисел Вспомним, что разностью чисел а и Ь называют такое число с, которое при сложении с числом b дает число а. Это определение разности мы распространим и на целые числа. Например, 2 —7 = —5, так как (—5) +7 = 2. Итак, разность 2 — 7 равна —5. Но и сумма 2 +(—7) равна —5. Таким образом, 2 —7 = 2 + (— 7). Точно так же 5 —(—3) = 5 + (+3), (—14) —(+6) = (—14) + (—6), О-(—7) = 0 + (+ 7). Вообще, вычитание всегда можно свести к сложению. Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшае- мому прибавить число, противоположное вычитаемому. С помощью букв это правило записывается так: а-Ъ = а + (-Ь). Пример 1. Найдем разность (—12)—24: (- 12) - 24 = (-12) + (- 24) = - 36. Пример 2. Найдем разность 12 —(—24): 12 - (- 24) = 12 + (+ 24) = 36. Обратите внимание на важное отличие множества целых чисел от множества натуральных чисел. В множестве натуральных чисел сложить можно любые два числа, но вычесть одно число из друго- го можно не всегда. Так, нельзя из числа 3 вычесть 5. Благодаря введению отрицательных чисел мы получили возмож- ность вычитать из меньшего числа большее. И в множестве целых чисел действие вычитания выполнимо всегда. Можно сказать, что арифметика целых чисел «богаче» арифметики натуральных чисел (с целыми числами мы можем обращаться более свободно, чем с натуральными). Заметим, что в том же смысле арифметика дроб- ных чисел «богаче» арифметики натуральных чисел: одно дробное число всегда можно разделить на другое (не равное 0), а в множе- стве натуральных чисел действие деления выполнимо не всегда.
Рассмотренные правила сложения и вычитания позволяют вы- числять значения «длинных* выражений, составленных из целых чисел с помощью знаков «плюс» и «минус». Пример 3. Найдем значение выражения 28 — 37 — 13 + 26. Представим данное выражение в виде суммы: 28+ (-37)+ (-13)+ 26. Эту сумму можно вычислить, складывая числа последователь- но: _____ _____________________ 28 + (—37) + (—13) +26 = —9+ (—13) + 26 = —22 + 26 = 4. Но можно воспользоваться и другим приемом — сложить по отдельности положительные и отрицательные слагаемые, а затем найти сумму двух получившихся чисел: 28 + (- 37) + (- 13) + 26 = 28 + 26 + (:^37) + е<3) = 54 + (- 50) = 4. Кстати, именно так обычно поступают, подводя итоги денеж- ных операций: подсчитывают отдельно доходы и расходы, а затем находят общий результат. А ^764. Замените вычитание сложением и вычислите: а) (-1)-8; б)(-3)-14; в) (-5)-2; г) (-12)-10. 765. Вычислите: а) -10-20; в) -12-10; д) -1-100; ж) -11-11; б) -4-5; г) -60-1; е) -5-0; з) -25-75. 766. Замените вычитание сложением и вычислите: а) 4-(-7); в) -17-(-2); б) -7-(-9); г) З-(-З). 767. Вычислите: а) 18-(-5); в) 46-(—6); д) 15 —(-20); ж) 23-(-28); б) -21-(-20); г) -30-(-30); е) -50-(-5); з)-31-(-62). 768. Выполните вычитание: а) 7-7; в) 3-5; д) 0- 11; ж) 0-3; 6)2-8; г) 1-10; е) 10-12; з) 4-7. 769. Найдите разность: а) 100-200; в) 91-100; д) 20-720; ж) 44 - 54; 6) 20 - 26; г) 1-100; е) 90-180; 3)1000-1001. 770. Вставьте пропущенное число: а) 0-... = -4; в) ...-3 = -2; б) 2-... = -6; г) ...-10 = -9. 171
771. Заполните таблицу. а 12 7 0 -4 -10 -8 3 0 Ъ 20 15 3 2 14 -4 -1 -6 а~Ь 772. Поставьте вместо многоточия знак «=» или « Ф »: а) -3-2...-3 + (-2); в) 0-(-1)...0 +1; б) - 6 - 10... - 6 - (- 10); г) - 15-(-2)...- 15 + (-2). 773. Выполните действия: а) -7+4; б) -20 - 20; в) 12-14; д) — 3 + (—30); ж) 15 + (- 16); г) 20-(- 16); е) —4-(— 11); з) 20 + (-7). 774. Вычислите: а) -256 + 181; г) 154-(-138); ж) 186+ (-235); б) -352-204; д) -206+ (-456); з) 194 +(-158); в) 725-831; е) -315-(-827); и) 789-1000. 775. Найдите неизвестное слагаемое: а) -2 + х=18; в) -9 + х = -5; 6) х + 4 = -1; г) -3 + х = -10. 776. Найдите неизвестное уменьшаемое или неизвестное вычитаемое: а) 5-х=10; в) -5-х = -3; д) -7-х = 4; б)х-6 = -11; г) х —(—4) = 0; е)х-(-2)=1. 777. Вычислите: а) (-14) +(-7)+ (+30); в) (-7)+ (+12)+ (-6); б) (-3) + (-18) + (+4); г) (- 1) + (-4) + (+8). 778. Представьте выражение в виде суммы и выполните вычисления: а) 18-12-26; г) 30-35 + 6; ж) 5 + 6-17; б) -13-8 + 12; д) -1+2-3; з) -2-4 + 3. В) -4 + 3-10; 779. Найдите значение е) 15-25 + 20; выражения: а) -14-7 + 9; в) 5-13 + 6; д) -7-3-11; ж) -3-6 + 10; б) 7-12-8; 780. Найдите значение г) 24-31-9; выражения: е) -4 + 4 + 8; з) -5 + 5-0. а) 20 +(- 15)-(—6); в) -3+12-(-22); б) 10 - 20-(-40); г) -7-(-7)+ (-29). Б| Составьте из чисел -12, -20, 4 все возможные суммы, содержащие два слагаемых, а также все возможные разности. Найдите значение каждого выражения. 172
782. Вычислите: а) 26-(18 + (-7)); в) (3-23)-(4-10); б) -84-(-18-6); г) (-8+ 15)-(-6 —20). 783. 1) Поменяем местами левую и правую части в равенстве 14-7-9= 14 + (-7) + (-9), получим 14 + (-7) + (-9)= 14-7-9. Отсюда видно, что сумму 14+(-7) +(-9) можно представить в более про- стом виде, выписывая слагаемые одно за другим с их знаками. В этой за- писи нет скобок и промежуточных знаков сложения. 2) Замените выражение равным, не содержащим скобок: а) -3 + (—8); в) -5-(-17) + 4 + (-3); б) -2-(-4); г) 4-(-1)-(-2) + (-3)-8. Образец. 5-(+2) + (-3) = 5 + (-2) + (-3) = 5-2-3. 784. Не записывая выражение в виде суммы явно, перечислите входящие в эту сумму слагаемые: а) -1-14 + 32+10; в) 18-30-31-34; б) -12 + 41-27 - 20; г) -101-102-103-104. 785. Вычислите, сложив отдельно положительные и отрицательные числа: а) -5-3 + 6-8 + 4; д) 17-19-50 + 21+37; 6)1-2 + 5-7-11; е) -31+42+14-12-60; в)7 —4 —9 + 8 —6; ж) 10-1+8 + 4-25; г) 4-8 + 3-9 + 6; з) -12-2 + 35-41-25. Образец. Найдем значение выражения -28+17-16+13. 1) 17 + 13 = 30; 2) -28-16 = -44; 3) 30 - 44 = -14. 786. Вычислите: а) 14-23-37 + 23 + 56-13; в) - 18-2W 11+51 + ^9-14; б) 12-27 + 9 + 27-49-12 + 38; г) 4)5 + 34-115 — 3^-4^+ Ц-100. 787. Запишите равенство, применив переместительный закон сложения: -8+15 = ... 10-15 = ... -6-20 = ... 788. Рассматривая выражение 10-15 + 20 как сумму, переставьте слагаемые в этой сумме всеми возможными способами. 789. Заполните таблицу и сделайте вывод. а ь а-Ь Ь-а 20 7 -15 8 30 -9 -10 -6 173
790. Задание с выбором ответа. Значение какого выражения противоположно значению выражения: 380 - 470? А. 470 + 380. Б. -470-380. В. 470-380. Г. -470 + 380. 791. Подставьте в выражение a + b-c указанные числа и выполните вычисле- ния: а) а = -3, Ь = -15, с = -27; в) а = -65, Ь=15, с = -50; б) а = -34, Ь = -24, с = -56; г) а = -99, Ь=100, с=10. Образец, а) a + b-c = (-3) + (- 15)-(-27) = ... . 792. Известно, что а = -100, Ь= 180, с = -125. Найдите: a) a-b+c, в) a + b + с; б) а-Ь-с, г) -а-Ь + с. 793. Найдите неизвестное число: а) (-28)-х = -13; в) (-х)-5 = 8; б) (- 1)-х = 24; г) -36 + (-х) = 0. Умножение целых чисел Чтобы понять, как перемножают целые числа, проведем не- сложные рассуждения. Рассмотрим четыре произведения: 5-3, (-5)-3, 3-(—5), (—5)-(—3). Для натуральных чисел умножение сводится к сложению, по- этому произведение 5-3 — это сумма трех слагаемых, каждое из которых равно 5: 5-3 = 5 + 5 + 5 = 15. Произведением (—5)-3 естественно считать сумму трех слагае- мых, каждое из которых равно — 5. Так как ( 5) + ( 5) + ( 5) = = — 15, то (- 5)-3 = —15. Понятно, что произведение 3-(—5), которое получается из про- изведения (— 5) • 3 перестановкой множителей, тоже должно быть равно —15: 3-(-5) = -15. Остается сообразить, как перемножить отрицательные числа — 5 и —3. Еще в XVIII веке великий русский ученый, математик и механик Леонард Эйлер в своем учебном пособии «Универсаль- 174
ная арифметика» объяснял правило умножения отрицательных чи- сел примерно следующим образом. Ясно, что (— 5) • 3 = — 15. Поэтому произведение (-5)-(—3) не может быть равно —15. Од- нако оно должно быть как-то связано с числом 15. Остается одна возможность: (—5)-(—3)= 15. Итак, 5-3 = 15 и (- 5)-(— 3)= 15; 3-(—5) = —15 и 5-(—3) = —15. Вообще, I произведение двух чисел одного знака положительно, а произ- ведение двух чисел разных знаков отрицательно. Коротко правила знаков при умножении формулируют так: плюс на минус дает минус, минус на минус дает плюс. Числа 0 и 1 при умножении сохраняют свои старые свойства, которые имели место для натуральных чисел: п-0 = 0 и п-1 — п. Например: (—4)-0 = 0, 0-(-100) = 0, (—26)-1 = —26, 1-(-10) = -10. Особую роль при умножении целых чисел играет также число — 1: при умножении на — 1 число заменяется на противоположное. Например: 12-(-1) = —12, (—12)-(—1) = 12. Вообще, п-(-1) = -п. Умножение целых чисел обладает теми же свойствами, что и умножение натуральных, — переместительным и сочетательным. Справедливо также распределительное свойство. Заметим, что распределительное свойство выполняется именно потому, что для умножения мы приняли указанные выше правила знаков, в частности правило «минус на минус дает плюс». Поэто- му, «придумывая» правило умножения отрицательных чисел, мож- но было бы рассуждать следующим образом. Попробуем ответить на вопрос: чему должно быть равно произ- ведение (—5)-(—3), чтобы выполнялось распределительное свойство? Если это свойство выполняется, то (—5)-((—3) + 3) = (—5)-(—3) + (—5)-3 = (—5)-(-3) + (—15).
С другой стороны, (- 5) • ((— 3) + 3) = (— 5)-0 = 0, так что (- 5)*(—3) + (— 15) = 0. Но это и означает, что (—5)-(—3)= 15. f---------------------------------------------------- 794. Выполните умножение: а) (+7)-(-4); в) (+15)-(-3); д) (+12)-(-5); б) (-20)-(+5); г) (-10)4+100); е) (-1)-(+32). 795. Выполните умножение: а) (-8)-(-6); в) (-6)4-3); д) (-З)-(-100); б) (-10)4-7); г) (-14)4-1); е) (-5)-(-20). 796. Вычислите: а).84-5); б) —6^4; в) -34~8); г) -154-6); д)-11-(-4); е) -7~80. 797. Не выполняя умножения, сравните числа: а) -134- 23) и 0; г) -24-25 и -24 4- 25); б) 14-(- 16) и 0; д) 18-(- 16) и -18-16; в) -37-21 и 0; е) -32-(- 15) и 32-(-15). 798. Подберите неизвестный множитель: а) -10-х = 70; в) -8-х = 64; б) х-(-12) = -24; г) х-(-4) = -20, 799. Пусть а и b — целые числа. В каких случаях выполняется неравенство а-Ь>0: 1) а>0, Ь<0; 3) а<0, fe>0; 2) а<0, Ь<0; 4) а>0, fe>0? 800. Заполните таблицу. а 1 1 -12 10 -6 0 -9 15 — 7 Ъ 8 3 -10 -30 -16 1 -1 — 1 а • Ъ 801. Выполните умножение: а) -1-10; в) 26-(-1); д) -101-0; б) -18-(—1); г) 04-25); е)0-(-1). 802. Подберите неизвестный множитель: а) 257-а = -257; в) а• (-312) = -312; б) х-(-184) = 0; г) — 108-Ь= 108. 176
803. Представьте число в виде произведения двух целых чисел: а) -100; б) 40; в) -23; г) -1; д) 1; е) 0. 804. Определите закономерность в последовательности равенств: 4-(-5) = -20; 3-(-5) = -15; 2-(~5) = - 10; 1 -(-5) = -5. Запишите следующие пять равенств. 805. Найдите произведение: а) 20-(-5)-6; д) (-1)• (- 10)• (- 10); б) (-10)-(-3)-4; е) 6 (-5)-(-5); в) -2’(-3)’25; ж) (-2)-(-2)-(-2); г) 4-(-4)-(- 1); з) -5-(-6)-3. 806- Определите, положительным, отрицательным или нулем является произве- дение трех целых чисел, если: а) два числа отрицательны, одно положительно; б) одно число отрицательно, одно положительно и одно равно нулю; в) одно число отрицательно и два положительны; г) все три числа отрицательны. 807. Подберите неизвестный множитель: а) (-1) • (-2)18; в) (-3)-х-(-2) = -12; б) 8-(-3)-х = 24; г) х-(-4)-7 = 0. Б 808. Расположите в порядке возрастания произведения: -17-23, -17-38, -17-(-38), -17-(-23). 809. Вычислите: а) -7-(-6)+17; г) - 1 • (-5)+ 11 • (-4); б) 18-(-5)-1; д) -8-5-(-9)-(-3); в) 50-4-17; е) -8-2-(-8). 810. Определите, положительным или отрицательным числом является значение выражения, и выполните вычисления: а) -15-(10-20); в) 7-(-28)-34; б) -3-(- 14) + (-2)-(- 15); г) - 14 +(-10)• (-26). 811. Найдите значение выражения: а) 8-(-10)-(-3)-4; в) -2-(-2)-(-2)-(-2); б) - 1 •(- 15)-(-2)-3; г) 7-20-(-1)-2. 812. Представьте число -60 в виде произведения: а) трех множителей; б) четырех множителей. 813. Представьте число 120 в виде произведения нескольких множителей, сре- ди которых есть отрицательные. 177
814. Заполните таблицу и сформулируйте подмеченные свойства. a -1 4 10 -8 -4 . ь 1 -2 2 5 -3 с 3 -6 -5 -6 -2 a*b*c (-a)-b-c (-аН-ЬИ-с) 815. Запишите: произведение чисел а и Ь; число, противоположное произведению а и Ь. Найдите значение каждого из этих выражений, если: а) а = -4, Ь = 2; в) а = -3, Ь = -7; б) а=1, 6 = -10; г) а=12, Ь = 5. 816. Пусть а и b — целые числа, причем а>0 и Ь<0. Сравните с нулем: а) а-Ъ\ б) в) а-(-Ь); г) (-а)-(-Ь). Проиллюстрируйте каждый случай конкретным примером. 817. Задание с выбором ответа. Укажите неверное равенство: А. 1-(-и) = -и. Б. (-1)-п = -л. В. (-1)-(-и) = -п. 818. Найдите значения произведений: а) 15 (- 1)-(- 1)-(- 1) и 15-(- 1)-(- 1)-(- D-(- D; б) 15Ч- 1) 1) и 40 раз 79 раз 819. Каким числом — положительным, отрицательным или нулем — является произведение: а) (-1)-(“2) (-3)-(-^)-(-5)-(-6)-(-7) (-8)-(-9); б) (-1)’(-2)-(-3)-(-4)-(-5)-(-6)-(-7).(-8); в) (-3)• (-2)-(~ 1)-0• 1 -2-3; г) 1 -(-1)-2-(-2)-3-(-3)-...-10-(-10)? 820. Определите, положительным или отрицательным является произведение не- скольких целых чисел, не равных 0, если: а) число отрицательных множителей четно; б) число отрицательных множителей нечетно. 178
821. Не выполняя вычислений, определите знак произведения: а) (-1-2-3-4-5-6-7-8)4-27); б) (1+2 + 3 + 4 +5 +6 + 7 +8)-(-1 -2-3-4-5-6-7-8); в) (1 - 2 + 3-4 + 5-6 + 7-8Н- 1 - 2-3-4-5-6-7-8); г) (-1+2-3 + 4-5 + 6-7 + 8-9 + 10)•(“ W). Деление целых чисел Правила деления двух целых чисел аналогичны правилам ум- ножения — знак частного определяется по следующему правилу зна- ков'. частное двух чисел одного знака положительно; частное двух чисел разных знаков отрицательно. Например, (- 16):(-2) = 8, 200:(- 100) =-2, (~8):8 = -1. При делении нуля на любое целое число, не равное нулю, в ча- стном получается нуль. Например, 0: (— 7) = 0. Как обычно, на нуль делить нельзя. При делении любого целого числа на 1 получается это же чис- ло: 5:1 = 5, (-12)=1 = -12. При делении любого целого числа на — 1 получается противо- положное число: 5 = (-1) = -5, (-12):(-1)=12. А Проверьте деление с помощью умножения: а) (-42):2 = -21; в) (-24): (-6) = 4; б) 70:(-7) = -10; г) 0:(-3) = 0. 823. Выполните деление: а) -48 = 12; г) — 30:(— 10); ж) -100 = 5; к) -14-1); б) 64:(-4); д) -78 = (-6); з) -850: (-85); л)— 18:18; в) 12:(-1); е) 99:(—11); и) 360 = (-12); м) -270: (-30). 824. Какое число надо подставить вместо х, чтобы получилось верное равен- . ство: а) х=1 = -7; б) -26 = х=26; в) х:(-8) = 0; г) х = (-1) = -1? 825. Какое число надо умножить на (-7), чтобы в произведении получилось: а) -56; б) 168; в) 700; г) -147? 826. Найдите неизвестный множитель: а) 23-х = -276; в) -12-с = 252; б) а• (-21) = -315; г) Ь-(~ 16) = -400. 179
827. Заполните таблицу. а 64 -144 -36 -20 72 -100 -15 0 ь -4 -12 36 -1 -2 10 -15 -1 а'Ь 828. Пусть а и b — целые числа, причем а делится на Ь. Сравните с нулем частное а-b, если: а) а<0, Ь<0; б) а<0, fe>0; в) а>0, Ь>0; г) а>0, Ь<0. 829. Вычислите: а) -20 = 4-9; в) (-7 + 5) = (-1); д) 0-(-28):(-7); б)5+11-(-4); г) - 27: (-3) - 10; е) -36 = (-8 + 20). 830. Найдите значение выражения: а) -5-(-4)-(-3): 12; г) 12-(-5) = (-6)-(- 1); б) (- 12-6 + 30):(-4); д) (6 — 12):(—2ч-8); в) — 125 = (2 —27)-(- 10); е) -800 = 40-(-5 + 9). 831. Определите знак результата и выполните действия: а) (26 - 76): (24-14); в) (-14) - (~ 12): (4-32); б) (-81-23):(8-60); г) (1-56)=(1 -12). 832. Вычислите: а) (-7 + 5-4) = 2; в) (-10-20-30): 12; б) (3- 11 +2):(-6); г) (8 + 2-8-10):(-4). 833. Заполните таблицу. X У х + у х-у Х-У Х-у -108 -27 -240 6 12 -12 -18 -18 834. Подставьте в выражение a-b-с указанные числа и выполните вычисления: а) а = -12, Ь = 8, с = -6; в) а = 60, 6 = 0, с = -5; б) а = 24, Ь = -3, с = 9; г) а = -18, 6 = -3, с = -9. 835. Известно, что а = -90, ft = -15, <? = 3. Найдите значение выражения: а) а-Ь‘С\ б) а-(Ь'С)\ в) a-b-с; г) а~(Ь- с). 180
836. Найдите неизвестный множитель: а) 25-(-4)-х = 2000; в) 15-х-10 = -1500; б) х-(-40)-(-50) = -2000; г) -8-125-х = -3000. 837. Задание с выбором ответа. Укажите неверное равенство: А. (—п);1= —п. Б. (—п):(—1) = л. В. л = (-1) = га. Множества Слово «множество» в математическом языке употребляется, мо- жет быть, даже чаще, чем слово «число»: оно связано не только с арифметикой, но и с другими разделами математики. Этим словом в математике называют любую совокупность каких угодно объек- тов (или предметов). Так, в словосочетаниях «отара овец», «стая журавлей», «рота солдат» вместо соответствующего собирательного слова в математи- ке говорят просто «множество». Точно так же команда — это мно- жество игроков, алфавит — множество букв. В слове «множество» каждый, конечно, слышит «много». Но что означает «много» или «мало», этого никто сказать точно не мо- жет. Со времен Древней Греции известен парадокс «кучи зерна». (Слово «парадокс» греческого происхождения и означает «неожи- данное противоречие».) Этот парадокс заключается в попытке отве- тить на вопрос: «Сколько зерен составляет кучу?» Ясно, что 2, 4, 23 зерна — это еще не куча, а миллион зерен — это уже, конеч- но, куча. А где «не куча» переходит в «кучу» — неизвестно. И ес- ли бы мы попытались установить между ними точную границу, то попали бы в странное положение. Например, 37 зерен мы кучей еще не.называем, а 38 — уже может быть кучей? Математики ре- шают этот вопрос тем, что попросту его не ставят: термин «множе- ство» употребляется независимо от того, сколько объектов в него входит. Множества обычно обозначают большими буквами латинского алфавита: А, В, М, Р и т. д. А основные числовые множества — натуральных и целых чисел — всегда обозначают буквами N и Z. Можно сказать, что эти буквы — «имена собственные» указанных множеств: N — множество натуральных чисел, Z — множество це- лых чисел. Всякий объект, входящий в множество, называют его элемен- том. Например, если С — множество учащихся 6 класса и Иванов учится в этом классе, то он — элемент множества С. Тот факт, что х является элементом множества А, записывает- ся с помощью знака € так: х€А. (Читается: «х принадлежит мно-
жеству А» или «х — элемент множества А».) Можно, например, записать: «Ивановне». Обратите внимание: такие записи, как 2еА, лучше читать не буквально, а в «литературном переводе» (например, «2 — число натуральное»). Чтобы задать конечное множество, можно просто перечислить все его элементы; при этом в записи используют фигурные скобки. Например, запись С={1, 2, 3, 4, 5} означает, что множество С со- стоит из первых пяти натуральных чисел. Однако задавать множество путем перечисления его элементов удобно только в том случае, когда их число невелико. Ведь гораз- до проще, к примеру, сказать, что В — множество двузначных чи- сел, чем перечислять все двузначные числа от 10 до 99. К тому же в математике рассматриваются и бесконечные множества. Поэтому чаще всего множества задают описанием; например, Р — множест- во натуральных чисел, имеющих только два делителя. В то же время, описав словами некоторое множество, нельзя гарантировать, что найдется хотя бы один объект, отвечающий это- му описанию. Предположим, о множестве А сказано, что оно состо- ит из чисел, делящихся на 4, но не делящихся на 2. Однако та- кие числа не существуют! В подобных случаях множество называют пустым и обозначают символом 0. Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называют равными, a для записи равенства двух множеств употребляют, как обычно, знак «=». Например, если А — множество положительных целых чисел, то A = N. Аналогично {1, 2, 3, 4, 5} = {3, 2, 4, 5, 1}. Это означает, в частности, что элементы множества можно перечис- лять в любом порядке. Возьмем множества А = {1, 3, 5} и В = {1, 2, 3, 4, 5}. Каждый элемент множества А принадлежит также и множеству В. В таких случаях говорят, что множество А является подмножеством мно- жества В, и пишут: А С В. Это соотношение между множествами А и В проиллюстрировано на рисунке 192 с по- мощью так называемых кругов Эйлера. Множе- ство изображается в виде некоторого круга, а его элементы изображаются точками этого круга. Мы видим, что все точки круга А при- надлежат кругу В. (Заметим, что пустое мно- жество считают подмножеством любого множе- ства.) Из двух данных множеств с помощью специальных операций можно образовывать новые множества — их объединение и пересе- чение. 182
Объединением двух множеств называют множество, состоя щее из элементов, входящих хотя бы в одно из данных мно жеств. Объединение множеств А и В записы- вают так: A UB. На рисунке 193 левый круг обозначает множество А, правый — множество В. Вся заштрихованная область изображает объединение множеств А и В. Если, например, А = {2, 4, 6} и В = {4, 6, 8, 10}, то AUB = {2, 4, 6, 8, 10}. Объединением множеств положитель- ных четных и положительных нечетных чи- сел служит множество натуральных чисел, ва натуральных чисел и множества целых ство целых чисел. Объединением множест- чисел является множе- Пересечением двух множеств называют множество, состоя- щее из элементов, входящих в каждое из данных множеств. Иными словами, пересечение двух множеств — это их общая часть. Пересечение множеств А и В записывают так: АП В. На ри- сунке 193 оно показано двойной штриховкой. Например, если А = {2, 4, 6} и В — {4, 6, 8, 10}, то АПВ = {4, 6}. Пересечение множеств положительных четных и положительных не- четных чисел есть пустое множество. Пересечением множества на- туральных чисел и множества целых чисел является множество на- туральных чисел. Заметим, что термин «пересечение» по существу геометриче- ского происхождения. Например, когда мы говорим о точках пере- сечения окружности и прямой, то имеем в виду их общие точки. f-------------------------------------------------- 838. Пусть А — множество целых чисел, больших -100 и меньших 150. Ка- кие из чисел 0, -125, 135, -99, 100, -100 являются элементами этого множества? Запишите ответ с использованием знака е 839. Задайте множество цифр, с помощью которых записывается число: а) 3254; б) 3252; в) 11000; г) 555555. 840. Прочитайте следующие утверждения и определите, верны ли они (догадай- тесь, что означает знак £): а) 25еАГ, -25eZ, -25£АГ; б) -8еАГ, 8cZ -8£Z. 183
841. Запишите на символическом языке следующее утверждение: а) число 10 — натуральное; б) число -7 не является натуральным; в) число -100 является целым; г) число 2,5 — не целое. 842. Задайте множество А описанием: а) А = {1, 3, 5, 7, 9}; б) А = {-2, -1, 0, 1, 2}; в) А = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}; 843. Задание с выбором ответа. Даны множества: М={5, 4, 6}, Р={4, 5, 6}, Т= {5, 6, 7}, S = {4, 6}. Какое из утверждений неверно? А. М = Р. Б. P*S. В. М*Т. Г. Р=Т. 844. Даны множества: А = {10}, В = {10, 15}, С={5, 10, 15}, D = {5, 10, 15, 20}. Поставьте вместо ... знак включения (с или э) так, чтобы получилось вер- ное утверждение: a) A...D; б) А...В; в) С...А; г) С...В. 845. Укажите несколько конечных и бесконечных подмножеств множества нату- ральных чисел N. Выполните это же задание для множества целых чисел Z. 846. а) Пусть Р — множество простых чисел. Изобразите соотношение между множествами Р, N и Z с помощью кругов Эйлера и запишите соответст- вующую «цепочку», используя знак с. б) Пусть А — множество всех треугольников, В — множество равнобед- ренных треугольников, С — множество равносторонних треугольников. Изо- бразите соотношение между этими множествами с помощью кругов Эйле- ра и запишите соответствующую «цепочку», используя знак с. 847. а) Даны множества: А = {2, 3, 8}, В = {2, 3, 8, 11}, С = {5, 11}. Найдите: 1) А U В, А и С, В и С; 2) АП В, А ПС, СП В. б) Даны множества: К={а, 6, с}, М={х, </}, Р={Ь, с, х}. Найдите: 1) KUM, MUP, KUP; 2) КПМ, МНР, КНР. 848. Задайте бесконечное множество с помощью описания: а) {-1, -2, -3, -4, -5, ...}; в) {0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; ...}; (1 2 3 4 1 Т Т 4’ Р • 849. а) Пусть А — множество натуральных делителей числа 18, В — множест- во натуральных делителей числа 24. Запишите множество АПВ. Укажите наибольший элемент этого множества. Как его называют? 184
б) Пусть А — множество натуральных чисел, кратных 4, В — множество натуральных чисел, кратных 6. Назовите несколько элементов множества А А В. Укажите наименьший элемент этого множества. Как его называют? 850. Какое из двух множеств является подмножеством другого: а) А или А U В; б) А или А А В? 851. Закончите равенство, в котором большими буквами обозначены некоторые множества (воспользуйтесь рис. 193): а) (ДиВ)АД = ...; б) (ДПВ)иВ = .... 852. На рисунке 194 большой круг изображает мно- жество натуральных чисел N, а два малых — его подмножества: А — множество чисел, де- лящихся на 2. В — множество чисел, деля- щихся на 3. Большой круг разбивается ма- лыми на четыре области. Какие числа соответствуют каждой из этих областей? При- ведите примеры. Рис. 194 853. Расположите 4 элемента в двух множествах так, чтобы в каждом из них было по 3 элемента. 854. Множества А и В содержат соответственно 5 и 6 элементов, а множест- во А А В — 2 элемента. Сколько элементов в множестве А и В? ДЛЯ ТЕХ, КОМУ ИНТЕРЕСНО •У Решение задач с помощью кругов Эйлера Решим задачу: «Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 со- бирают марки, а 16 — и значки, и марки. Остальные не увлека- ются коллекционированием. Сколько школьников не увлекается кол- лекционированием? » В условии этой зада- чи не так легко разобрать- ся. Если сложить 23 и 35, то получится больше 52. Это объясняется тем, что некоторых школьни- ков мы здесь учли дваж- ды, а именно тех, кото- рые собирают и значки, и марки. Чтобы облегчить рас- суждения, воспользуемся кругами Эйлера. На ри- сунке 195 большой круг Собирают только марки Собирают только значки Не увлекаются коллекционированием Собирают и значки, и марки Рис. 195 185
обозначает 52 школьника, о которых идет речь; круг 3 изобража- ет школьников, собирающих значки, а круг М — школьников, со- бирающих марки. Большой круг разбивается кругами 3 и М на несколько обла- стей. Пересечению кругов 3 и М соответствуют школьники, соби- рающие и значки, и марки (рис. 195). Части круга 3, не принад- лежащей кругу М, соответствуют школьники, собирающие только значки, а части круга М, не принадлежащей кругу 3, — школь- ники, собирающие только марки. Свободная часть большого круга обозначает школьников, не увлекающихся коллекционированием. Будем последовательно заполнять нашу схе- му, вписывая в каждую область соответствую- щее число. По условию и значки, и марки со- бирают 16 человек, поэтому в пересечение кругов 3 и М впишем число 16 (рис. 196). Так как значки собирают 23 школьника, а и значки, и марки — 16 школьников, то только значки со- бирают 23 — 16 = 7 человек. Точно так же толь- ко марки собирают 35—16 = 19 человек. Числа 7 и 19 впишем в соответствующие области схемы. Из рисунка 196 ясно, сколько всего чело- век занимается коллекционированием. Чтобы узнать это, надо сложить числа 7, 9 и 16. Получим 42 человека. Значит, не увлеченных коллекционированием остается 52 — 42 = 10 школьников. Это и есть ответ задачи, его можно вписать в свобод- ное поле большого круга. 855. В доме 120 жильцов, у некоторых из них есть со- баки и кошки. На рисунке 197 круг С изображает жильцов с собаками, круг К — жильцов с кошка- ми. Сколько жильцов имеют и собак, и кошек? Сколько жильцов имеют только собак? Сколько жильцов имеют кошек? Сколько жильцов не име- ют ни кошек, ни собак? 856. Изобразите на кругах Эйлера ситуацию, придумай- те вопрос и ответьте на него: а) В понедельник в магазине 12 человек купили только телефон, 4 человека — только автоответ- чик, а 5 человек — телефон с автоответчиком. б) Все 10 человек, которые во вторник купили телефон, купили и автоот- ветчик, а 7 человек купили только автоответчик. 857. В классе 15 мальчиков. Из них 10 человек занимаются волейболом и 9 — баскетболом, и нет таких, кто не занимался хотя бы одним из этих видов 186
спорта. Сколько мальчиков занимается и тем и другим? Как изменится от- вет, если известно, что один из мальчиков не занимается спортом? 858. Из 80 туристов, приехавших в Москву, 52 хотят посетить Большой театр, 30 — Художественный театр, 12 хотят посетить оба театра, остальные в театры ходить не хотят. Сколько человек не собирается идти в театр? 859. При опросе 100 семей выяснилось, что у 78 из них есть телевизор, у 85 — холодильник, а у 8 семей нет ни телевизора, ни холодиль- ника. У скольких семей есть и телевизор, и холодильник? 860. 861. На рисунке 198 круг А изображает всех со- трудников института, знающих английский язык, круг Н — знающих немецкий и круг Ф — французский. Сколько сотрудников ин- ститута знает: а) все три языка; 6) англий- ский и немецкий; в) французский? Сколько всего сотрудников в институте? Сколько из них не говорит по-французски? На пикник поехали 92 человека. Бутерброды с колбасой взяли 50 человек, с сыром — 60 человек, с ветчиной —40 человек, с сыром и колбасой — 30 человек, с колбасой и вет- чиной — 15 человек, с сыром и ветчиной — 25 человек, 5 человек взяли с собой все три вида бутербродов, а несколько человек вмес- Рис. 198 то бутербродов взяли пирожки. Сколько человек взяли с собой пирожки? Указание. Начертите схему, как на рисунке 198, и заполните ее, читая условие задачи с конца. 862. Школа представила отчет: «Всего в школе 60 шестиклассников, из них 37 отличников по математике, 33 — по русскому языку и 42 — по физ- культуре. При этом у 21 человека пятерки по математике и по русскому, у 23 — по математике и по физкультуре, у 22 — по русскому и по физ- культуре; 20 человек учатся на «отлично» по всем трем предметам». Ве- рен ли отчет школы? 863. Покажите с помощью кругов Эйлера, что ситуация, описанная ниже, воз- можна. а) В математической олимпиаде для шестых классов участвовали 50 чело- век. Арифметическую задачу решили 40 из них, а геометрическую — 20. 6) В классе 20 учеников. Из них немецкий язык изучают 10 человек, а ан- глийский — 15. в) В классе 20 учеников. Из них английский язык изучают 15, немецкий — 10 и еще 1 человек — французский. г) В классе 16 девочек. Из них 15 занимаются танцами, 6 — музыкой и еще 2 девочки — пением. 187
Задания для самопроверки к главе 8 (Обязательные результаты обучения) 1. Из ряда чисел 12, -15, 1, -3, 0, 6, -9 выпишите: а) целые положитель- ные числа; б) целые отрицательные числа. 2. Запишите число, противоположное числу: а) 16; б) -10; в) 0. 3. Какому числу равно выражение: а) -(+17); б) -(-60)? 4. Сравните числа: а) -8 и -10; б) -7 и 0; в) 1 и -100. 5. Запишите все целые числа: а) большие -7 и меньшие 7; б) большие -10 и меньшие 1; в) большие -25 и меньшие 18. 6. Между какими целыми числами находится число: а) -99; б) -1? Ответ за- пишите с помощью двойного неравенства. 7. Найдите сумму: а) (- 15) + (—6); б) (+ 18) + (- 18); в) (+ 14) + (-6); г) (+3) + (-22). 8- Найдите разность: а) - 15-(-20); в) 16-(-3); д) 0-(-41); б) -6-(+23); г) 4-(+12); е) -25-(+20). 9. Выполните действие: а) -5+10; б) -20-30; в) 0-32; г) 1-50. 10. Вычислите: а) -5 + 14-7; в) - 12-(+8) + (— 10); б) 30-45 + 5; г) 20-(- 14)-(- 15). 11. Выполните умножение: а) — 5-(—3); в) 4-(-7); д) (- 1)• (~5)-(-3); б) 0 (-6); г) 10-(- 1); е) (-2)• (-2)• (-4). 12. Выполните деление: а) -32:8; б) -54:(-6); в) 42:(-7); г) 0:(-3).
Логика перебора Вам уже приходилось решать комбинаторные задачи с помо- щью перебора всех возможных вариантов. Чтобы осуществить перебор, часто приходится вводить услов- ные обозначения. Например, если в задаче речь идет о красных и зеленых шарах, то необязательно рисовать эти шары или писать полностью их цвета. Можно ограничиться только первыми буква- ми ми — К и 3. Такую замену предметов называют кодированием. Задача 1. Туристическая фир- планирует посещение туристами ма в Италии трех городов: Венеции, Ри- ма и Флоренции. Сколько существу- ет вариантов такого маршрута? Обозначим города их первыми буквами: В, Р и Ф. Тогда код каж- дого маршрута будет состоять из трех букв, каждая из которых должна быть использована только один раз, например ВФР или ФРВ. Дерево возможных вариантов изображено на рисунке 199. Путе- шествие можно начать в любом из их условными обозначения- 189
Первый город Второй город Третий город Вариант путешествия ВРФ ВФР РВФ РФВ ФВР ФРВ Рис. 199 трех городов. Если сначала посетить Венецию, то затем можно по- ехать в Рим или во Флоренцию. Если вторым посетить Рим, то тре- тьей будет Флоренция; если второй будет Флоренция, то третьим будет Рим. Это первые 2 варианта путешествия. А всего, как мы видим, существует 6 вариантов. Задача 2. Сколько словарей необходимо переводчику, чтобы он мог переводить непосредственно с любого из четырех языков — русского, английского, немецкого, французского — на любой дру- гой из этих языков? Каждый из языков обозначим его первой буквой, и тогда каж- дый словарь будет «словом» из двух букв: например, АН — это ан- гло-немецкий словарь, а НА — немецко-английский. Выпишем эти «слова» в алфавитном порядке, причем для удоб- ства подсчета вариантов каждую группу «слов», начинающихся с одной и той же буквы, расположим в отдельной строке. Сначала фиксируем букву А и добавляем к ней все остальные буквы, кроме, естественно, самой буквы А. Так мы получим пер- вую строку: АН, АР, АФ. Затем фиксируем букву Н и, добавляя к ней остальные буквы, получаем вторую строку и т. д. В резуль- тате получим 12 «слов»: АН АР АФ НА HP НФ РА PH РФ ФА ФН ФР Таким образом, переводчику понадобится 12 словарей. Задача 3. При встрече 8 приятелей обменялись рукопожати- ями. Сколько всего было рукопожатий? Дадим каждому из приятелей номер — от 1 до 8. Тогда каж- дое рукопожатие можно закодировать двузначным числом. Напри- мер, двузначное число 47 — это рукопожатие между приятелями с номерами 4 и 7. 190
Ясно, что среди кодов рукопожатий у нас не появится, напри- мер, 33 — это означало бы, что один из друзей пожал руку сам себе. Кроме того, такие коды, как, например, числа 68 и 86, оз- начают одно и то же рукопожатие, а значит, учитывать надо толь- ко одно из них. Договоримся, что из чисел, кодирующих одно и то же рукопожатие, мы всегда будем учитывать меньшее. Поэтому из чисел 68 и 86 надо выбрать 68. Коды рукопожатий естественно выписывать в порядке возрас- тания. Для подсчета их удобно расположить треугольником: 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 34, 35, 36, 37, 38, 45, 46, 47, 48, 56, 57, 58, 67, 68, 78. Число кодов равно: 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 24-1 = 28. Таким образом, всего было сделано 28 рукопожатий. Задача 4. Человек, пришедший в гости, забыл код, открыва- ющий дверь подъезда, но помнил, что он составлен из нулей и еди- ниц и содержит четыре цифры. Сколько вариантов кода в худшем случае ему придется перебрать, чтобы открыть дверь? Выпишем сначала все коды, содержащие одну единицу, за- тем — две единицы, далее — три единицы. Получим: 0001 0010 0100 1000 — 4 варианта ООН 0101 ОНО 1001 1010 1100 — 6 вариантов 0111 1011 1101 1110 — 4 варианта Следовательно, в худшем случае человеку придется сделать 14 попыток. Г---------------------------------------------------- 864. Государственные флаги некоторых стран состоят из трех горизонталь- ных полос разного цвета. Сколько существует различных вариантов фла- гов с белой, синей и красной полосами? 865. Витя, Толя и Игорь купили вместе интересную книгу и решили читать ее по очереди. Выпишите все варианты такой очереди. Сколько есть вариан- тов, в которых Игорь на первом месте? Витя не на последнем месте? 866. Составьте все множества, равные множеству {1; 2; 3}. 867. Используя цифры 3, 4, 5, причем каждую только один раз, составьте все возможные трехзначные числа, которые делятся: а) на 2; б) на 5; в) на 3; г) на 6. 191
868. Выпишите все возможные двузначные и трехзначные числа, которые мож- но составить из цифр 0, 1, 2, 3, используя каждую цифру в записи толь- ко один раз. 869. а) На соревнование по легкой атлетике нужно отправить двух мальчиков из пяти лучших спортсменов среди шестиклассников — Антона, Петра, Бо- риса, Володи, Коли. Перечислите все варианты выбора участников сорев- нования. Сколько этих вариантов? б) Для участия в эстафете 2x100 м нужно выбрать двух мальчиков из пя- ти, обязательно указав, кто побежит первым, а кто — вторым. Перечисли- те все варианты выбора участников соревнования в этом случае. Сколько этих вариантов? 870. На районной олимпиаде по математике оказалось шесть победителей. Од- нако на областную олимпиаду можно отправить только двоих. а) Сколько существует вариантов выбора двух кандидатов? Указание. Дайте каждому победителю номер — от 1 до 6. 6) Сколько существует вариантов, если один из шести ребят признан луч- шим и он обязательно будет участвовать в областной олимпиаде? 871. К переправе одновременно подошли пять человек. Лодочник сказал, что в его лодке поместятся только два пассажира. а) Сколькими способами можно выбрать двоих пассажиров из пяти? б) Сколько существует способов выбора пассажиров, если одного из них необходимо срочно отправить на другой берег в больницу? в) Предположим, что лодочник отвез двоих пассажиров и вернулся за ос- тавшимися. Сколькими способами можно выбрать того, кому придется ос- таться еще раз? 872. Два курьера фирмы должны забрать почту из четырех филиалов, причем каждый успеет съездить только в два филиала из четырех. Сколькими спо- собами они могут распределить между собой поездки? Указание. Достаточно подсчитать число способов, которыми один курь- ер может выбрать два филиала из четырех. 873. Каждый из двух друзей может получить за контрольную по математике лю- бую отметку — от 2 до 5. Сколько существует вариантов получения ими отметок? Выпишите все эти варианты. 874. В турнире участвовали шесть шахматистов и каждый из них сыграл с каж- дым из остальных по одной партии. Дайте каждому шахматисту свой но- мер, закодируйте каждую из партий парой чисел и выпишите все партии. Сколько всего было сыграно партий? 875. На рисунке 200 изображены пять точек. Каждые две точ- ки соедините отрезком. Сколько всего получилось от- резков? Перечислите их. в • А • С 876. В классе три человека хорошо поют, двое других игра- • ют на гитаре, а еще один умеет показывать фокусы. Сколькими способами можно составить концертную бри- Е D гаду из певца, гитариста и фокусника? Рис. 200
877. Слово, полученное из данного слова перестановкой букв (но не обя- зательно имеющее смысл), называют его анаграммой: например, «нос» и «сно» — анаграммы слова «сон». Выпишите в алфавитном порядке все анаграммы слов: а) «нос» и «dog»; б) «мама» и «дама». Сравните количество анаграмм для слов в каждой паре. Как бы вы объ- яснили получившийся результат? 878. Поэт-модернист написал стихотворение, в котором первая строка — «Хо- чу пойти гулять куда-нибудь», а остальные строки все разные и получены из первой перестановкой слов. Какое наибольшее количество строк может быть в этом стихотворении? Указание. В строке 4 разных слова, закодируйте их цифрами. Записав стихотворение в закодированном виде, «переведите» его на русский язык. 879. Задача Леонарда Эйлера. Трое господ при входе в ресторан отдали швей- цару свои шляпы, а при выходе получили их обратно. Сколько существу- ет вариантов, при которых каждый из них получит чужую шляпу? 880. Имеется ткань двух цветов: голубая и зеленая — и требуется обить ди- ван, кресло и стул. Сколько существует различных вариантов обивки этой мебели? 881. Человек забыл код, открывающий замок на его чемодане, но вспомнил, что код состоит из трех разных цифр, каждая из которых не больше 3. Кроме того, в код точно не входит сочетание 13. Сколько вариантов кода в худшем случае ему придется перебрать, чтобы открыть свой чемодан? 882. Сколькими способами можно разложить три разные по достоинству моне- ты в два кармана? 883. Сколькими способами можно разме- нять 10 рублей монетами по 1, 2 и 5 рублей? (Считайте, что имеется не- обходимое число монет каждого до- стоинства.) 884. Укротитель должен вывести на арену четырех львов и двух пантер так, что- бы две пантеры не шли одна за дру- гой. Сколькими способами могут быть выбраны места для пантер в цепочке зверей? 885. Егор и Андрей играют в настольный теннис до трех побед. (Ничьих в на- стольном теннисе не бывает.) а) Предположим, что первую партию выиграл Андрей, вторую и третью — Егор. Сколько существует вариантов дальнейшего хода их поединка? За- пишите каждый из них. б) Сколько существует вариантов развития поединка, при которых Андрей выиграет со счетом 3:2? Запишите каждый из них. в) Сколько всего существует вариантов хода их поединка? 7 — Дорофеев, 6 кл. 193
886. а) Четыре друга собрались на футбольный матч. Но им удалось купить только три билета. Сколькими способами они могут выбрать тройку сча- стливцев? Как удобнее перебирать: тройки тех, кто пойдет, или тех, кто не пойдет? б) Из шести кандидатов нужно составить команду для участия в гонках на четырехместных байдарках. Сколько существует вариантов для выбора чет- верки участников соревнования и сколько для выбора пары запасных? От- ветьте на оба вопроса, проведя только один перебор. Правило умножения Задача 1. От турбазы к горному озеру ведут четыре тропы. Сколькими способами туристы могут отправиться в поход к озеру, если они не хотят спускаться по той же тропе, по которой подни- мались? Занумеруем тропы числами от 1 до 4 и построим дерево воз- можных вариантов (рис. 201). На первом уровне дерева 4 узла (подъ- ем по любой из четырех троп). Из каждого узла выходят 3 вет- ви (спуск по трем остальным тро- пам). Всего получилось 4*3 = 12 маршрутов. Представим, что к озеру ведут Спуск 234 134 124 123 Рис. 201 не четыре, а десять троп. Сколь- ко в этом случае существует маршрутов, если по-прежнему решено спускаться не по той тропе, по которой поднимались? Изобразить дерево возможных вариантов в такой ситуации слож- но. Гораздо легче решить эту задачу с помощью рассуждений. Подниматься к озеру можно по любой из десяти троп, а спус- каться — по любой из оставшихся девяти троп. Таким образом, всего получим 10*9 = 90 различных маршрутов похода. Мы получили ответ умножением. Математики сказали бы, что мы использовали известное в комбинаторике правило умножения. Такой способ подсчета возможен, если дерево вариантов «правиль- ное»: из каждого узла одного уровня выходит одно и то же число ветвей. Заметим, что если надо выяснить, является ли дерево «правиль- ным», необязательно строить его целиком. Достаточно изобразить какой-либо фрагмент. На рисунке 202 изображен фрагмент дерева в том случае, когда к озеру ведут 10 троп. По нему нетрудно уви- деть, что в данной ситуации дерево «правильное». 194
2345 67 89 10 ... 12 345678 9 Подъем Спуск Рис. 202 Задача 2. На обед в школьной столовой предлагается 2 супа, 3 вторых блюда и 4 разных сока. Сколько различных вариантов обеда из трех блюд можно составить по предложенному меню? В меню указаны 2 супа. С каждым из них можно взять любое из трех вторых блюд. Получаем 2*3 = 6 вариантов выбора супа и второго. К каждому из этих шести вариантов можно взять любой из четырех имеющихся соков. Итого получаем 2*3*4 = 24 варианта обеда из трех блюд. Если бы мы решили задачу с помощью построения дерева, оно, конечно, было бы «правильным» (рис. 203). Рис. 203 Задача 3. Сколько существует трехзначных чисел, у которых все цифры четные? Четных цифр всего пять — это 0, 2, 4, 6 и 8. Из них надо сначала выбрать первую цифру трехзначного числа. Для этого есть только 4 возможности, поскольку цифра 0 первой быть не может. Вторую цифру можно выбрать пятью способами, третью — также пятью способами. Следовательно, всего существует 4*5*5 = 100 трехзначных чи- сел, удовлетворяющих условию задачи. Конечно, совсем не каждую комбинаторную задачу можно ре- шить по правилу умножения. Добавим, например, к задаче 2 такое условие: один из супов — молочный, а одно из вторых блюд — рыбное и после молочного су- 195
па есть его не рекомендуется. В таком случае разным супам будет соответствовать разное количество вариантов вторых блюд. При но- вом условии дерево возможных вариантов уже не будет «правиль- ным» и правило умножения применять нельзя. г------------------------------------- 887. а) Имеется 3 вида конвертов и 4 вида марок. Сколько существует вариантов выбора конверта с маркой? 6) В магазине продаются рубашки 4 цве- тов и галстуки 8 цветов. Сколько суще- ствует способов выбрать рубашку с гал- стуком? 888. У Портоса есть сапоги со шпорами и без шпор, 4 разные шляпы и 3 разных плаща. Сколько у него вариантов одеть- ся по-разному? 889. В кружке 6 учеников. Сколькими спосо- бами можно выбрать старосту кружка и его заместителя? 890. Четверо ребят должны дежурить в классе четыре дня подряд по одному дню каждый. Сколькими способами можно составить расписание их де- журств? 891. Концерт состоит из 5 номеров. Сколько имеется вариантов программы это- го концерта? 892. а) Сколько существует четных двузначных чисел? б) Сколько существует четных трехзначных чисел? Б F--------------------------------------------------- 893. Телефонная станция обслуживает абонентов, у которых номера теле- фонов состоят из семи цифр и начинаются с 313. На сколько абонентов рассчитана эта станция? 894. Аппаратура телефонной сети, обслуживающей 300000 абонентов, рассчи- тана на 6 цифр в номере. Хватит ли этой сети для обслуживания еще 700000 абонентов? (Номер телефона не может начинаться с цифры 0.) 895. В автохозяйстве 1001 автомобиль. Для их регистрации выделены номера К***ОД50 (вместо * ставится любая цифра от 0 до 9). Хватит ли этих но- меров на все автомобили хозяйства? 896. Сколько существует шестизначных чисел, у которых: а) третья цифра 3; б) последняя цифра четная; в) на нечетных местах стоят нечетные цифры; г) на нечетных местах стоят четные цифры? 196
897. Для передачи текста по радио и телеграфу использовалась азбука Морзе, в которой каждая буква состоит из точек и тире. Например, буква Е обо- значается точкой «•», а буква Э — набором из пяти знаков -------------». До- статочно ли наборов от одного до пяти знаков для обозначения всех букв русского алфавита и всех цифр? Почему букву Е решили обозначить од- ним знаком, а букву Э — пятью? 898. Саша и Даша решали задачу: «В спортивном клубе 5 пловцов имеют луч- шие результаты. Сколькими способами можно составить из них команду из двух человек для участия в соревнованиях?» Саша рассуждал так: «Есть 5 способов выбрать первого участника коман- ды, при этом остается 4 способа выбора второго участника. Применим правило умножения: 5x4 = 20. Итого 20 способов». Даша занумеровала всех пловцов и выписала все возможные варианты ко- манды. У нее получилось всего 10 вариантов: 12; 13; 14; 15; 23; 24; 25; 34; 35; 45. Кто из ребят прав? 899. В футбольном чемпионате принимают участие 15 ко- манд. Сколько всего игр будет сыграно на этом чемпи- онате, если: а) каждая команда с остальными участниками играет на своем и на чужом поле; б) каждая команда сыграет с каждой только один раз? В каком случае можно применить правило умножения, а в каком нельзя? Почему? Сравнение шансов Напомним, что случайным называют событие, которое в одних и тех же условиях может произойти, а может и не произойти. Ку- пив лотерейный билет, вы можете выиграть, а можете и не выиг- рать; на выборах может победить один кандидат, а может и дру- гой. Выигрыш в лотерею и победа на выборах — это примеры случайных событий. Есть такие события, которые в данных условиях происходят всегда; их называют достоверными. Например, в нормальных ат- мосферных условиях при 0 °C вода замерзает, а при 100 °C закипа- ет; если опрокинуть чашку с чаем, он обязательно выливается. Со- бытия, которые в данных условиях никогда не происходят, называют невозможными. Например, невозможно в обычных условиях не вы- лить воду, перевернув стакан вверх дном. Заметим, что в математике достоверные и невозможные собы- тия относят к случайным.
Пример 1. В коробке 3 красных, 3 желтых, 3 зеленых ша- ра. Вытаскиваем, не глядя, один за другим 4 шара. Рассмотрим следующие события: А: все вынутые шары одного цвета; В: все вынутые шары разного цвета; С: среди вынутых есть шары разного цвета; D: среди вынутых есть шары трех цветов. Событие А — невозможное: нельзя вытащить из коробки 4 ша- ра одного цвета (их по три каждого цвета). Событие В тоже невозможное: разных цветов не может быть больше трех, а вынутых шаров — 4. Событие С — достоверное: ведь все 4 шара, как мы уже выяс- нили, не могут быть одного цвета, поэтому среди них обязательно окажутся шары разных цветов. А событие D может произойти, а может не произойти. Чтобы показать это, нужно привести пример такой ситуации, или, как го- ворят математики, такого исхода, когда данное событие происхо- дит, и такого исхода, когда оно не происходит. Закодируем исходы опыта первыми буквами цветов, в которые окрашены вынутые шары. Например, КЖЖЗ означает, что выну- ли один красный, два желтых и один зеленый шар. Тогда КЖЖЗ — пример исхода, при котором событие D происходит, а ККЖЖ — пример исхода, когда событие D не происходит. Случайные события, которые имеют равные шансы, называют равновозможными или равновероятными. На устном экзамене уче- ник берет один из разложенных перед ним билетов. Шансы взять любой из экзаменационных билетов равны. Равновероятным явля- ется выпадение любого числа очков от 1 до 6 при бросании играль- ного кубика, а также «орла» или «решки» при бросании монеты. Но не все события являются равновозможными Может не за- звонить будильник, перегореть лампочка, сломаться автобус, но в обычных условиях такие события маловероятны. Более вероятно, что будильник зазвонит, лампочка загорится, автобус поедет. У одних событий шансов произойти больше, значит, они более вероятны — ближе к достоверным. А у других шансов меньше, они менее вероятны — ближе к невозможным. У невозможных событий нет никаких шансов произойти, а до- стоверные события имеют все шансы произойти, при определенных условиях они произойдут обязательно. Мы живем в мире случайных событий. Поэтому важно понять, можно ли найти какие-то закономерности в мире случайного. Мож- но ли оценить шансы наступления интересующего нас случайного события?
Пример 2. Бросают игральный кубик (рис. 204). Выясним, каковы шансы наступления следую- щих событий: А: выпадает четное число очков; В: выпадает меньше десяти очков; С: выпадает пять очков; D: выпадает семь очков. Будем рассуждать так. Четное число очков — на трех из шести граней кубика. Значит, есть три шанса из шести, что со- бытие А произойдет. Событие В — достоверное. В самом деле, сколь- ко бы ни выпало очков при бросании кубика, их точно будет меньше 10. Таким образом, у события В есть все шансы произойти. При бросании кубика из шести возможных исходов только при одном выпадет пять очков. Значит, у события С только один шанс из шести. А событие D — невозможное. При бросании кубика ни при ка- ком исходе не может выпасть семь очков. Значит, у события D нет никаких шансов. Теперь мы можем перечислить рассмотренные события в поряд- ке увеличения их шансов: D, С, А, В. Чем больше шансов, тем ве- роятнее будет соответствующее случайное событие. Например, собы- тие А вероятнее события С. Конечно, совсем не всегда можно подсчитать шансы наступле- ния того или иного события, как мы это делали в предыдущем при- мере. Часто шансы оценивают на основе имеющихся данных, жиз- ненного опыта. Например, шансы события «бутерброд падает маслом вниз» не посчитаешь. Но здесь вполне можно призвать на помощь жизнен- ный опыт: бутерброд чаще всего падает именно маслом вниз (изве- стен даже шуточный «закон бутерброда»). Значит, это весьма веро- ятное событие. Пример 3. Сравним между собой на основе опыта общения по телефону шансы следующих случайных событий и определите, какие из них более вероятны: А: вам никто не позвонит с 5 до 6 утра; В: вам кто-нибудь позвонит с 5 до 6 утра; С: вам кто-нибудь позвонит с 6 до 9 вечера; £>: вам никто не позвонит с 6 до 9 вечера. 199
Ранним утром звонки бывают очень редко, поэтому у события В крайне мало шансов произойти, оно маловероятное, почти невоз- можное. А у события А очень много шансов, это практически до- стоверное событие. Вечерние часы, наоборот, время самого активного телефонного общения, поэтому событие С для большинства людей вероятнее, чем событие Р. Хотя, если вам вообще звонят редко, D может оказать- ся вероятнее, чем С. г--------------------------------——————— 900. Какие из перечисленных ниже случайных событий достоверные, воз- можные: а) черепаха научится говорить; б) вода в чайнике, стоящем на плите, закипит; в) день рождения одного из ваших знакомых — 30 февраля; г) вы выиграете, участвуя в лотерее; д) вы не выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее; е) вы проиграете партию в шахматы; ж) вы завтра встретите инопланетянина; з) на следующей неделе испортится погода; и) вы нажали на звонок, а он не зазвонил; к) сегодня — четверг; л) после четверга будет пятница; м) после пятницы будет четверг? 901. Придумайте по три примера достоверных, невозможных событий, а также событий, о которых нельзя сказать, что они обязательно произойдут. 902. В коробке лежат 10 красных, 1 зеленая и 2 синие ручки. Из коробки наугад вынимают две ручки. Какие из следующих событий невозможные, достоверные: Д: будут вынуты две красные ручки; В: будут вынуты две зеленые ручки; С: будут вынуты две синие ручки; D: будут вынуты две ручки разных цветов; Е: будут вынуты два карандаша? 903. Егор и Данила договорились: если стрелка вертуш- ки (рис. 205) остановится на белом поле, то забор будет красить Егор, а если на голубом поле — Дани- ла. У кого из мальчиков больше шансов красить за- бор? 904. Два приятеля с помощью вертушки (рис. 206) решают, как им провести воскресенье: если стрелка остановит- ся на белом, они пойдут в кино; если на голубом — на стадион. Какое из событий вероятнее: приятели пойдут на стадион или в кино? Рис. 206 200
905. Используя выражения «более вероятное», «менее вероятное», «равноверо- ятные события», сравните шансы наступления событий А и В: а) Вы просыпаетесь утром. А: это будний день. В: это выходной. б) Вы подбрасываете игральный кубик. А: выпадает шестерка. В: выпадает не шестерка. в) Сборная России играет в хоккей со сборной Чехии. А: выигрывает сборная России. В: сборная России не выигрывает. 906. Антон, Борис и Вадим учатся в разных классах: 6А, 6Б и 6В. От каждого класса по жребию выбирают одного делегата в школьный хор. У кого из друзей больше шансов петь в хоре, если в 6А учатся 25 человек, в 6Б — 22 человека, а в 6В — 28 человек? 907. Имеется 5 коробок, в которых лежат белые и черные шары, одинаковые на ощупь: в I коробке — 2 черных шара; во II коробке — 2 черных и 3 белых шара; в III коробке — 3 черных и 3 белых шара; в IV коробке — 2 белых и 3 черных шара; в V коробке — 3 белых шара. Из каждой коробки не глядя вытаскивают один шар. Перечислите коробки в порядке возрастания шансов события: вынутый шар — белый. Б 908. Вы выигрываете, если стрелка останавливается на белом. Какая из вертушек, изображенных на рисунке 207, дает вам больше шансов на выигрыш? Рис. 207 909. Из колоды в 36 карт наугад вытягивают одну. Оценим шансы события: «Это карта пиковой масти». Так как всего в колоде 9 карт пиковой масти, то шансы такого события можно оценить как 9:36, т. е. 1:4. Рассуждая так- же, оцените шансы следующих событий: А: на этой карте — король; В: эта карта красной масти; С: эта карта бубновой масти. 201
910. В коробке три красных, три желтых, три зеленых шара, одинаковых на ощупь. Сначала вытаскивают наугад один шар и возвращают его назад, затем вытаскивают наугад два шара и возвращают их обратно и т. д.; на- конец, вынимают все девять шаров. Рассмотрим событие Д: среди выну- тых шаров окажутся шары всех трех цветов. При каком числе вынутых ша- ров событие А — невозможное, а при каком — достоверное? 911. На дверях первого и второго подъездов стоят кодовые замки. Чтобы от- крыть первый замок, нужно одновременно нажать три цифры из десяти, а чтобы открыть второй — семь цифр из десяти. В каком из двух случаев шансов открыть замок больше? Эксперименты со случайными исходами Когда перед началом игры хотят договориться, какая команда на какой половине поля будет играть или кто из игроков сделает первый ход, то обычно подбрасывают монету. Так поступают пото- му, что выпадение «орла» или «решки» считается равновероятным и заинтересованные стороны имеют равные шансы. Но представьте себе, что монеты у игроков не оказалось и один из них предложил подбросить кнопку. Можно ли считать такую за- мену справедливой, т. е. останутся ли шансы сторон равными? Кнопка может упасть либо на острие, либо на кружок (рис. 208). Чтобы ответить на вопрос, рав- ны ли шансы этих исходов, надо много раз подбро- Сх ж сить кнопку и собрать информацию о результатах. уу\ Если окажется, что при многократном подбрасыва- X— нии кнопки количество падений на острие и на кру- рис жок будет примерно равным, то, значит, эти два ис- хода практически равновероятны и замена монеты на кнопку спра- ведлива. А если результаты будут заметно отличаться, то эти два исхода нельзя считать равновероятными. Этой проблемой заинтересовалась группа шестиклассников из 40 человек, занимавшихся в летней математической школе. Они по- нимали, что, чем больше подбрасывать кнопку, тем достовернее бу- дут полученные выводы. Поэтому ребята договорились, что каждый подбросит кнопку 100 раз, фиксируя при этом результаты, а потом эти результаты они просуммируют (поскольку кнопки из одной коробки можно счи- тать практически одинаковыми). Всего было сделано 100-40 = 4000 подбрасываний. В результате выяснилось, что на острие кнопка упала 1809 раз, а на кружок —
2191 раз. Значит, примерно в 45% случаев кнопка падала на ост- рие и в 55% — на кружок. Всего было сделано 100-40 = 4000 подбрасываний. В результате выяснилось, что на острие кнопка упала 1809 раз, а на кружок — 2191 раз. Значит, примерно в 45% случаев кнопка падала на ост- рие и в 55% — на кружок. Эти результаты показывают, что у кнопки больше шансов упасть на кружок, т. е. этот исход более вероятен. Следовательно, замену монеты кнопкой нельзя считать справедливой, поскольку у игроков шансы начать игру при такой замене становятся неравными. Конечно, и при подбрасывании мо- неты нельзя ожидать, что «орел» и «решка» выпадут ровно в половине случаев. Если, например, подбросить монету 10 раз, то орел может выпасть и 2, и 7, и все 10 раз, и ни разу — все такие события возможны. Однако при большом количестве подбрасыва- ний число исходов «решка» и «орел» будет приблизительно равным. Обратите внимание: мы говорим «приблизительно», т. е. мы не утверждаем, что, например, при 1000 подбрасываний монеты «орел» выпадет в точности 500 раз. Так, в начале XX века английский математик Карл Пирсон про- вел 24 000 экспериментов с подбрасыванием монеты. При этом «орел» у него выпал 12 012 раз, т. е. практически в 50% случаев. Такие опыты, как подбрасывание монеты или кнопки, называ- ют экспериментами со случайными исходами. Вообще, к экспери- ментам со случайными исходами относятся самые разные испыта- ния, наблюдения, измерения, результаты которых зависят от случая и которые можно повторить много раз примерно в одних и тех же условиях. Например, это стрельба по мишени, участие в лотерее, многолетние наблюдения за погодой в один и тот же день в одном и том же месте, опыты с рулеткой, игральным кубиком, монетой, кнопкой. В экспериментах со случайными исходами удивительно то, что, хотя результат каждого отдельного эксперимента зависит от слу- чая, при проведении большого числа таких экспериментов выявля- ются отчетливые закономерности, которые дают возможность оце- нить шансы наступления интересующего нас случайного события. Изучением таких закономерностей в мире случайного занимается специальная наука — теория вероятностей. 203
912. Повторите в классе эксперимент с кнопкой, описанный в этом пункте. Организуйте работу следующим образом: 1) Разделитесь на пары. Каждая пара должна подбросить кнопку 200 раз. Один из участников будет подбрасывать кнопку, а другой — фиксировать результаты в таблице. Исходы Подсчеты Итого На острие -+Ш- ... На кружок -/-+++- ... 2) Сведите все результаты в общую таблицу. Номер пары На острие На кружок 1 2 Итого 3) Найдите отношение каждого из исходов к общему числу бросков и вы- разите эти отношения в процентах. 4) Сопоставьте свой вывод с результатом, описанным на с. 203. 913. Подбрасывается игральный кубик. а) Как вы думаете, какое из событий при однократном подбрасывании иг- рального кубика более вероятно: 914. А: выпадет одно очко; В: выпадет не одно очко? б) Как вы думаете, в каком примерно проценте случа- ев при многократном подбрасывании кубика выпадет од- но очко? Проверьте свое предположение, проведя в классе экс- перименты с кубиками. Сравните результат, полученный экспериментально, со своим предположением. Изготовьте «неправильный» кубик из листа плотной бу- маги. Для этого надо вырезать фигуру, изображенную на рисунке 209, написать на гранях цифры и склеить ку- бик, предварительно прикрепив с внутренней стороны грани с цифрой 1 кусок пластилина, как показано на ри- сунке. Подбросьте «неправильный» кубик 1000 раз. Сколь- ко раз при этом у вас выпадет одно очко? Сравните ре- зультат с результатом задачи 913 б. Рис. 209 204
Замечание. В экспериментах с «неправильными» кубиками нельзя объ- единять результаты, полученные разными учениками, поскольку такие ку- бики никак нельзя считать одинаковыми. 915. Подбрасывайте два игральных кубика и записывайте сумму выпавших очков. Проводите эксперимент до того момента, пока сумма, равная 7, вы- падет 25 раз. Сколько раз за это время выпала сумма, равная 2? Какая сумма выпадает чаще: 2 или 7? Попробуйте объяснить полученный ре- зультат. 916. Какие из всех возможных результатов при бросании двух кубиков будут наименее вероятными? наиболее вероятными? Почему? Проверьте свои предположения, проведя соответствующие эксперименты. 917. Готовясь к участию в телеигре «Поле чудес», где по буквам отгадываются слова, Олег задумался: «А какую букву стоит назвать первой, когда в сло- ве еще не угадано ни одной буквы?» Понятно, что в такой ситуации выигрышная стратегия — начать игру с са- мой распространенной в русском языке буквы. Но как ее определить? Чтобы помочь Олегу, 33 его одноклассника распределили между собой все буквы алфавита, взяли один и тот же текст и каждый посчитал, сколько раз в нем встречается «его» буква. Так они экспериментально определили самую распространенную букву русского языка. Как вы думаете, что это за буква? Чтобы проверить свою догадку, прове- дите в классе такой же эксперимент, выбрав случайным образом текст из книжки, которая есть у всех, например из учебника. ДЛЯ ТЕХ, КОМУ ИНТЕРЕСНО В худшем случае Часто для ответа на вопрос задачи приходится рассматривать самый «неудобный» вариант из всех возможных, или, как говорят, худший случай. А для этого важно уметь правильно определять, какой из возможных вариантов худший. Пример. Имеется непрозрачный мешок, в котором лежат 5 белых и 2 черных шара. а) Какое наименьшее число шаров надо вынуть из мешка, что- бы среди них обязательно оказался хотя бы один белый шар? Какой случай здесь самый худший? Очевидно, тот, когда мы будем вынимать все время только черные шары. В худшем случае, взяв даже 2 шара, белый шар мы не вытащим. Но если мы вынем 3 шара, то тогда уж точно по крайней мере один из них окажет- ся белым. б) Сколько шаров надо вытащить, чтобы среди них обязатель- но оказался хотя бы один белый шар и хотя бы один черный? 205
Худшим здесь будет случай, когда мы сначала будем вытаски- вать одни белые шары и только потом попадется один черный шар. Поэтому потребуется вытащить 5 + 1 = 6 шаров. Заметьте, что слу- чай, когда сначала попадаются одни черные шары, лучше, посколь- ку уже третий шар окажется белым. Выбор худшего случая зави- сит от того, каких шаров больше — белых или черных. в) Сколько шаров надо вытащить, чтобы среди них оказались 2 шара одного цвета? Худший случай — когда сначала идут шары разных цветов. Это возможно, если мы вытащим 2 шара. А вытащив третий, бу- дем уже иметь 2 шара одного цвета. 918. Среди 100 билетов школьной благотворительной лотереи 20 выигрышных. Сколько билетов вам надо купить, чтобы событие «вы выиграете» было до- стоверным? 919. В непрозрачном мешке 5 синих, 3 желтых и 1 зеленый шар. Сколько ша- ров в худшем случае придется вытащить, чтобы среди них обязательно оказался синий шар? желтый шар? зеленый шар? синий шар и желтый шар? желтый шар и зеленый шар? 920. В коробке лежат 100 шаров трех цветов — синего, зеленого и белого. Какое наименьшее число шаров надо вынуть из коробки, чтобы среди них оказалось 30 шаров одного цвета? Указание. Рассмотрите худший случай, когда число шаров разных цве- тов практически одинаково (например, 33 синих, 33 белых и 34 зеленых). 921. В шкафу 10 пар ботинок с 36-го по 45-й размер — по одной паре каж- дого размера. Какое минимальное количество ботинок надо наугад вынуть из шкафа, чтобы из них можно было составить хотя бы одну пару? 922. В ящике комода лежат 10 коричневых и 10 красных носков одного разме- ра. Сколько носков нужно взять из ящика комода не глядя, чтобы среди них оказалась пара носков одного цвета? 923. В коробке лежат 10 пар коричневых и 10 пар черных перчаток одного раз- мера. Сколько перчаток нужно взять из коробки не глядя, чтобы среди них оказалась пара перчаток одного цвета? Указание. Не забудьте, что в паре перчаток одна на левую руку, другая на правую. 924. 1) Есть 2 двери с разными замками и 2 ключа к этим дверям. Покажите, что одной пробы доста- точно, чтобы подобрать ключ к каждой двери. 2) Есть 3 ключа от трех дверей с разными замка- ми. Покажите, что достаточно трех проб, чтобы по- добрать ключ к каждой двери? 3) Имеются 5 ключей от пяти комнат с разными замками. Достаточно ли десяти проб, чтобы подобрать ключ к каждой двери? 206
925. В классе учатся 10 мальчиков и 20 девочек. Какие из следующих событий для такого класса являются невозможными, случайными, достоверными: А: есть два человека, родившиеся в разных месяцах; В: есть два мальчика, родившиеся в одном месяце; С: есть две девочки, родившиеся в одном месяце; D: все мальчики родились в разных месяцах; Е: все девочки родились в разных месяцах? ^^^^ Задания для самопроверки к главе 9 (Обязательные результаты обучения) 1. Из цифр 1, 2, 3, 4 составляют всевозможные двузначные числа. Сколько всего таких чисел получится? Перечислите их. 2. Продаются воздушные шарики 4 цветов. Мама предложила Пете купить три разных шарика. Сколько вариантов для выбора есть у Пети? 3. Имеются футболки 8 разных видов и шорты 5 видов. Сколько существует различных вариантов спортивной формы, состоящей из футболки и шорт? 4. Сколько существует трехзначных чисел, все цифры которых нечетные? 5. В первенстве по теннису участвовали 5 человек. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько было сыграно партий? 6. В лотерее на каждые 100 билетов приходится один выигрышный. Сергей ку- пил 100 билетов и уверен, что среди них наверняка будет хотя бы один вы- игрышный. Согласны ли вы с его мнением? 7. Из сумки, в которой лежит 12 красных и 10 зеленых яблок, вынимают на- угад одно яблоко. Выпишите события в порядке убывания их шансов: А: достали красное яблоко; С: достали яблоко; В: достали зеленое яблоко; D: достали грушу. 8. Организаторы лотереи, популярной среди школьников города Л/, утвержда- ли, что в каждом туре лотереи половина билетов выигрышная. а) Денис купил 6 билетов, из которых только 2 оказались выигрышными. Можно ли считать, что организаторы лотереи не заслуживают доверия? 6) Через некоторое время школьники стали замечать, что они выигрывают гораздо реже, чем проигрывают. Тогда они собрали статистические данные по школам города и выяснили, что из 1215 купленных билетов выигрышны- ми оказались 283. Можно ли теперь утверждать, что организаторы лотереи не заслуживают доверия?
- 6<-4,8<— 4 —(Рациональные числа^У Какие числа называют рациональными Вы знаете, что и для математических расчетов, и в реальной жизни необходимы не только целые числа, но и дробные, в том числе отрицательные дроби. Например, если убыток предприятия составил 1,5 млн р., то его удобно показать как отрицательную прибыль: —1,5 млн р. Или если популярность политического деятеля упала на 8,3%, то в со- ответствующей таблице в графе «Рост популярности» поставят чис- ло -8,3%, означающее отрицательный рост. Итак, дробные числа, с которыми мы до сих пор имели дело, будем теперь называть положительными и наряду с ними рассмат- ривать отрицательные дробные числа. Положительные дробные числа, как и положительные целые, можно записывать со знаком «плюс». Например, +0,1 — это то же самое, что 0,1, т. е. +0,1 = 0,1. Отрицательные дробные числа, как и отрицательные целые, по- лучаются приписыванием к положительным числам знака «минус»: -1; -8,07; -2~г и т. д. Такие дробные числа, как и — + 8,07 и —8,07, 2-^- и — 2 + о о О О естественно, называют противоположными числами. Подчеркнем, что если перед некоторым числом, положительным или отрицательным, поставить знак «плюс», то получится то же 208
самое число; если же поставить тивоположное число. Например: + (+3,5) =+ 3,5 = 3,5; + (—3,5) = — 3,5; знак «минус», то получится про- — (+3,5) = —3,5; — (—3,5) = + 3,5 = 3,5. Целые и дробные числа вместе составляют множество рацио- нальных чисел. 1 22 Так, -z-, —18,4, —148, 256, О — это все примеры рациональ- о ( ных чисел. Множество рациональных чисел, как и множества натуральных и целых чисел, имеет «собственное имя»: его принято обозначать буквой Q. Существует версия, согласно которой слово «рациональное» про- изошло от латинского слова ratio, означающего «разум». Матема- тики Древней Греции неожиданно обнаружили, что для решения такой практически важной задачи, как измерение длин отрезков, не хватает не только целых, но и дробных чисел, так что возникла необходимость в изобретении новых чисел. Эти новые числа назва- ли иррациональными, т. е. «неразумными», непонятными (вы уз- наете об этих числах в старших классах). А для противопоставле- ния привычные, «хорошие» числа назвали «разумными», ра- циональными . Вы уже умеете изображать положительные числа — натураль- ные и дробные — точками на координатной прямой. этого бе- рут, как правило, горизонтально расположенную прямую, отмеча- ют на ней некоторую точку и обозначают ее буквой О — это начало отсчета. Точка О делит прямую на два луча. На «правом» луче отмечают произвольную точку Е и считают, что эта точка изобра- жает число 1. Отрезок ОЕ называют единичным отрезком — его длина считается равной 1 (рис. 210). О Е в О Е А —I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—н-*- —*—।—।——।—।—।—!—<—।—1*1» Рис. 210 Рис. 211 Чтобы отметить на координатной прямой какое-нибудь положи- тельное число, например 3,5, вправо от точки О откладывают от- резок, длина которого равна 3,5 единицы (рис. 211). Таким же об- разом на «правом» луче координатной прямой изображается любое положительное число. 209
Нетрудно понять теперь, как изображаются точками на прямой отрицательные числа. Для этого используют «левый» луч. Напри- мер, чтобы отметить на координатной прямой число —4,2, нужно отложить влево от точки О отрезок, равный 4,2 единицы (рис. 211). Сама точка О, естественно, изображает число О. Числа 3,5; —4,2 и О являются координатами точек А, В и О. Это записывают так: А(3,5), В(—4,2), 0(0). Противоположные числа изо- 1 _• 1 1 1 1 J | 1 1 1 Т-*" бражаются точками координат- ной прямой, симметричными от- Рис. 212 носительно точки О. Например, числам 5 и —5 соответствуют точки, расположенные справа и сле- ва от точки О на расстоянии, равном 5 единицам (рис. 212). Направление луча, на котором изображают положительные чис- ла, называют положительным направлением. Его принято указы- вать стрелкой. 3 7 1 926. Среди чисел -г; 1; -2,1; 0; 6; 2-х-; -100; 3,05; -7 укажите: а) положительные числа; б) отрицательные числа; в) целые числа; г) на- туральные числа; д) целые положительные числа; е) отрицательные дроб- ные числа. 927. Задание с выбором ответа. Найдите неверное утверждение. A. -86Z. Б. -4«АГ. В. 13£<?. Г. 1,3eQ. 928. Запишите: а) пять отрицательных дробей со знаменателем 3; б) пять от- рицательных десятичных дробей с одной цифрой после запятой; в) пять чисел, расположенных между -1 и 0. 929. Назовите число, противоположное данному: -100; 100,45; -2^-; 4^-; 0,001; —±г. У О 1 ии 930. Заполните таблицу. a 1 3 -2,4 3 7 -a -1 6 -5,4 1 8 2 3 931. Упростите запись: а) +(-2,4); +(+0,6); + (-у); б) -(+1,7); -(-8.5); 210
932. Среди чисел -2,5; 1^-; 0; -1,5; -2-^-; “3,5 укажите: а) равные числа; б) противоположные числа. 933. На координатной прямой отмечены точки (рис. 213). Запишите их коорди- наты. 934. Начертите координатную прямую. От- F D С АВ метьте точками данное число и число, * 1 * 1 1 * q j 1 * 1 f ему противоположное: а) 1; 3; 5; 7; б) -2; -4; -6; -8. Рис- 213 935. Отметьте на координатной прямой целые числа, заключенные между чис- лами: Р LNAOMEK а) -3 и 4; б) -8 и 1; в) -28 и -20. * ’ * f 0 * 1 936. Запишите координаты всех отмеченных рис 214 точек (рис. 214). 937. На координатной прямой отмечены точки (рис. 215). Запишите их коорди- наты. HGFEOABCD н—I—i—«—i—♦—i—*—i—*—i—*—i—*—i—*—i—•—i—•—I—I—г -10 1 Рис. 215 938. Запишите координаты отмеченных точек, начиная с точки А (рис. 216). а) IHGFEDCBA ----1-----4----4-4---4---4---4-4-----4-4-1----- -6--------------5 J I HGFEDCBA Ч-1-*-1-*-1-*----1-•-1-*-1-*-1-*-1-*-1---1---1-1- -3 -2 -1 Рис. 216 939. На координатной прямой точками отмечены некоторые числа (рис. 217). Отметьте точками противоположные им числа. Назовите координаты всех отмеченных точек. а) 1 В 1 4 с 1 4 о 1 4 Е 1 1 4 D 14-11 1 Л 2 0 1 .2 —1— 1 — 3 3 3 б) м N О А в 1 А 1 1 1 1 4 111 1 4 1 1 1 1 -1 -0,5 0 0,3 0,9 Рис. 217
940. а) Отметьте на координатной прямой числа: -0,5; -1; -1,5; -2; -2,5; -3; -3,5. б) Изобразите координатную прямую (единичный отрезок — 10 клеток) и отметьте числа: 5; 5,3; 5,7; 6; 6,4, а затем отметьте числа: -5; -5,3; -5,7; -6; -6,4. 941. Изобразите координатную прямую (единичный отрезок — 4 клетки). Отметьте на ней точки: а) 0(0), Е(1), м(|), N (- 1j); б) 0(0), Е(1), Д(1,5), В (-2,25). 942. Какая из данных точек расположена на координатной прямой дальше от начала координат: а) А (- 17) или В (-80); в) К (-0,5) или L (-0,50); б) С (-3,03) или О (-2,97); г) м(--|) или N (--|)? 943. Среди чисел -2,5; 1-^-; 0; -1,5; -2-^-; -3,5 укажите: а) равные числа; б) противоположные числа. Б 944. Прочитайте разными способами соотношения между множествами на- туральных, целых и рациональных чисел и изобразите каждое из них с по- мощью кругов Эйлера: NcZ, ZcQ, NcZcQ. Указание. Соотношение NcZt кроме известного вам способа, можно прочитать еще и так: всякое натуральное число является целым. 945. Закончите равенства: a) NC\Z=...\ NnQ = ...\ ZC\Q=...\ б) N\JZ=...\ NUQ=...\ ZUQ=... . 946. Выпишите две дроби со знаменателем 7, которые изображаются точками, расположенными на координатной прямой между точками: => »(|) х в (I); 947. Выпишите все десятичные дроби с одной цифрой после запятой, которые на координатной прямой изображаются точками, лежащими между: а) А (2,5) и В (3,1); в) М (3,8) и N (5,1); б) С (-3,9) и D(-3,1); г) К (-10,9) и Р(-9,9). 948. На координатной прямой отмечены числа а и b ----------1-1-------1----► (рис. 218). а 0 Ь а) Какое из них положительное, какое отрицатель- рис 218 ное? б) Как с помощью циркуля отметить на прямой противоположные им чис- ла -а и -Ь? 212
949. Найдите неизвестное число х, если: а) -х = 5-1-; в) -(-х) = -0,5; О б) -х = -3,2; г) -(-х) = 10; Д) -(-(-(-*))) = 7,1; е) -(-(-(-(-z)))) = -12. Сравнение рациональных чисел. Модуль числа Вы уже умеете сравнивать положительные числа, можете срав- нить два целых числа. А теперь надо научиться сравнивать любые рациональные числа. Правила сравнения нам «подскажет» координатная прямая. Как и раньше, будем считать, что из двух чисел меньше то, которому соответствует точка координатной прямой, расположенная левее, и больше то, которому соответствует точка, расположенная правее. Отрицательные числа на координатной прямой изображаются точ- ками, расположенными левее нуля, а положительные — точками, расположенными правее нуля. Поэтому: Любое отрицательное число меньше нуля. Любое положительное число больше нуля. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Пример 1. Сравним числа —100 и 0,1. Так как —100 — отрицательное число, а 0,1 — положитель- ное, то —100 <0,1. Рассмотрим теперь, как сравнивают два отрицательных числа. Пример 2. Сравним числа —6,5 и ~4' 6 5 Точка - 6,5 удалена от начала —------- координат на 6,5 единицы, а точка /у , — 4 — на 4 единицы (рис. 219). |—Д 1 1 1 q J ” Так как точка —6,5 расположена левее, то — 6,5 < — 4. Рис’ 21 ® Чтобы выяснить, какое из этих двух отрицательных чисел мень- ше, нам пришлось сравнить положительные числа 6,5 и 4 — рас- стояния от нуля до соответствующих точек на координатной пря- мой, или, как говорят, модули данных чисел: модуль числа —6,5 равен 6,5; модуль числа —4 равен 4. 213
Слово «модуль» происходит от латинского modus, означающего «мера», «величина». Получить модуль отрицательного числа очень просто — достаточно отбросить знак «минус». Используя термин «модуль», правило сравнения отрицательных чисел можно сформулировать так: Из двух отрицательных чисел меньше то, у которого модуль больше. В математике принято говорить не только о модуле отрицатель- ного числа, но и о модуле положительного числа, а также о моду- ле нуля. Например, число 3 удалено от начала отсчета на 3 еди- ницы, поэтому естественно считать, что модуль этого числа равен 3. А число О находится на «нулевом» расстоянии от самого себя, по- этому и модуль его равен 0. Таким образом: Модуль положительного числа равен самому числу. Модуль отрицательного числа равен числу, ему противопо- ложному. Модуль нуля равен нулю. Из сказанного ясно, что модуль любого числа или положите- лен, или равен нулю. (Можно сказать иначе: модуль любого числа не отрицателен.) Для модуля есть специальное обозначение. Если а — некото- рое число, то его модуль обозначают символом | а |. Например, 1-41, |3|, |0|. Вы, конечно, уже поняли, что ес- 4 3,5 ли число изображено точкой на коор- । у? i ivi i TVi—► динатной прямой, то расстояние от этой -4 0 1 3,5 точки до нуля и есть модуль данного рис 220 числа (рис. 220). Чем дальше от нуля точка, изображающая некоторое число, тем больше модуль этого числа. А у противоположных чисел, которые изображаются точками, симметричными относительно нуля, моду- ли равны. А Покажите схематически на координатной прямой положение данного 3 числа: а) 3,5; б) -4,5; в) г) -3,9. о 951. На рисунке 221 показано положение на координат- •— -3,6 -2,1 ной прямой чисел -3,6 и -2,1. Рис. 221 214
952. 953. 954. 955. 956. 957. 958. 959. 960. Покажите схематически, как расположены на координатной прямой отно- сительно друг друга числа: 3 1 а) 5 и -3; б) -5 и 3; в) -3,7 и -9,3; г) -у и -бу. Сравните с нулем: а) 2±; -0,7; 3,13; -±-, б) 0,4; --2,01; -3-1. О О If о Сравните числа: а)|и -у; б) -у и 1у; в) -Зу и у; г) бу и -13у. Сравните числа: а) 2,6 и -1,3; 6) -3,9 и 0.1; в) 3.5 и -3,7; г) -2,3 и 3,2. Какое из чисел расположено на координатной прямой левее; какое из чи- сел меньше: а) -3 или -4; в) или - 1 2 б) -9,5 или -9,1; г) -ЗОтг или -30-z-? о О Между какими соседними целыми числами заключено число: -0,4; -2 у; 5 -101,1; -57 у? Ответ запишите в виде двойного неравенства. Образец. -6<-5.8<-5. Чему равен модуль числа: а) -3; 4; 70; -62; -100; 360; б) -3,9; 3,9; у; -у; 3,13; -3,13; в) 2,7; -4,5; -у; 1у; 5,07; 0; -бу? Сравните числа: а) -6 и -8; в) -1,2 и -3,4; д) -12,9 и -1,29; ж)-15,1 и-14,9; б) -9 и -8; г) -16,5 и -16; е) -3,1 и -3,12; з) -0,1 и -0,01. Сравните: а) -у и -1; г) —2 и — 1у; ж) —у- и -ур 1 1 5 1 v 2 1 б) -у и -у; д) -у и -у; з) -у и -у; 1 1 3 3 2 3 в) -1 у и - 1 у; е)-уи-7|у; и) -у и -у. Сравните числа: 12 13 11 а) -Зу и -Зу; б) -5ту и -5Tjy; в) -4,12 и -4,21; г) -7,3 и -7,03.
961. Используя знак модуля, запишите, на каком расстоянии от начала коорди- нат находится точка: а) 4(1,5); б) М(0); в)К(-1,4); г) l(-2-|). Образец. В(-2,7); ВО= |-2,7| = 2,7. 962. Найдите: а) |5|; б) |-10|; в) |3,6|; г) |--||; д) |у|; е) |-0,5|; ж) |-9,3|; з) Щ. 963. Сравните: а) |-3| и |3|; в) |2,1| и |-2,1|; д) |-j| и б) |-100| и |20|; г) |1,3| и |-0,5|; е) ||| и |-||. 964. Расположите числа в порядке возрастания. Запишите ответ в виде двой- ного неравенства: а) 0; 4: б) 1,7; 0; -1,7; в) 2,5; -2,1; 0,5; г) 0. 0 0 Б а) |5| + |-5|; б) |-25| + |-20|; в) |(-29) + (-1)|; г) |(-3)+15|. 966. Сравните: а) |3| + |7| и |3 + 7|; в) |-6| + |5| и |(-6) + 5|; б) |-1| + |Ю| и |(-1)+10|; г) |-5| + |-8| и |(-5) + (-8)|. 967. Расположите в порядке возрастания числа: 1 12 1 а) -2^-; -5; 0; -3,5; 2,6; 6— б) 5-^-; -9; 0; 1Т; -2,7; -3,12. О О 0 Я- 968. Расположите в порядке убывания числа: а) -з4; -3; 6; 0; 2±; -9; б) -10; -16; —J-; 0; 4; 969. а) Расположите в порядке возрастания десятичные дроби: -0,101; -0,1101; -0,01011; -0,011. б) Расположите в порядке убывания десятичные дроби: -0,3001; -0,31; -0,3301; -0,03331. 970. Существуют ли такие значения х, при которых выполняется данное равен- ство? Если существуют, то назовите их: а) |х| =0; б) |х| =4; в) |х| =- 1. 971. Покажите, где на координатной прямой расположены точки, координаты ко- торых удовлетворяют условию: а) |а| =6; б) |а| <6; в) |а| >6. 972. Числа а и b — отрицательные, и |а| > |Ь|. Какое из неравенств верно: а>Ь или а<Ь? 216
973. Задание с выбором ответа. Числа а и Ъ — отрицательные, и a<b. Сравни- те модули чисел а и Ь. А. |а| < |Ь|. Б. |Ь| > |а|. В. |а| > |ft|. Г. Сравнить невозможно. 974. На каком из рисунков (рис. 222) изображены числа а и Ь, если известно, что: а) числа а и b — положительные и |а| > |д|; б) числа а и b — отрицательные и |а| > |Ь|; в) число a — отрицательное, число b — положительное и |а| < |Ь|; г) число а — отрицательное, число b — положительное и |а| > |д|? ф ® ® @ -I-----1—I---► Н----------1—I---► Н—I-------1---► Ч—I---------1---► a Ъ 0 a Ob Ob a a 0 b Рис. 222 975. На координатной прямой изображены числа cv\d (рис. 223). Сравните их модули. а) б) в) г) Ч------1--1--► Ч---------1—1--► Ч-----1----1--► Ч--------1--1--1 Ode d Ос d 0 с d с О Рис. 223 976. При каких значениях а верно равенство: а) |а| = |-а|; б) |а|=-|а|? 977. Верно ли утверждение: а) если а = Ь, то |а| = |Ь|; б) если |а| = |Ь|, то a = b? Действия с рациональными числами Рассматривая правила действий с целыми числами, мы опира- лись на жизненный опыт — примеры с доходами и расходами, с выигрышными и проигрышными очками. Теперь эти правила мож- но сформулировать более точно, используя математическое понятие модуля. Сумма двух отрицательных чисел есть отрицательное число. Чтобы найти модуль суммы отрицательных чисел, надо сло- жить модули слагаемых. Сумма двух чисел разных знаков имеет знак того слагаемо- го, у которого модуль больше. Чтобы найти модуль такой суммы, нужно из большего модуля вычесть меньший. > 217
Обратите внимание: в каждом правиле выделяются два момен- та — определение знака суммы и способ нахождения ее модуля. Этими же правилами пользуются и при сложении любых рациональных чисел. 1 / 5 \ Пример 1. Вычислим сумму + 'g’J- У отрицательного слагаемого модуль больше, поэтому в резуль- тате запишем знак «минус». Модуль суммы найдем вычитанием: 5 1 4 „ , 1 .( 5\_ 2 = Таким образом, T' + H^l = ^v- ООО О \ О' о Решение можно записать в виде «цепочки»: ± + (_5) = _(5_П = _А = _2 в < <в 6/ 6 3 Вычитание рациональных чисел, как и целых, сводится к сло- жению. Чтобы вычесть из одного числа другое, нужно к уменьшае- мому прибавить число, противоположное вычитаемому. Пример 2. (—1,7) —0,8 = (—1,7) + (—0,8) = —2,5. Мы заменили разность чисел —1,7 и 0,8 суммой: (—1,7) + (— 0,8). Сумма отрицательных чисел есть число отрицательное, поэтому в результате записан знак «минус». Модуль суммы (—1,7)+ (—0,8) на- шли, сложив модули слагаемых: 1,7+ 0,8 = 2,5. в ПримерЗ. --М-—)=-—+(+—)=-—+—=+(—-—)=—=- 15 V 10/ 15 \ 10/ 30 30 \30 30/ 30 6 Мы заменили вычитание сложением и затем привели дроби к общему знаменателю. Так как модуль положительного слагаемого больше, то сумма положительна. Модуль суммы нашли вычитанием. При умножении и делении двух рациональных чисел, как и двух целых чисел, сначала по правилам знаков определяют знак результата, а затем находят его модуль. Произведение двух чисел одного знака положительно, а произ- ведение двух чисел разных знаков отрицательно. Чтобы найти модуль произведения, нужно перемножить модули множителей. Пример 4. = _ 218
Частное двух чисел одного знака положительно, а частное двух чисел разных знаков отрицательно. Чтобы найти модуль част- ного, надо модуль делимого разделить на модуль делителя. о 5 Q5 Пример 5. (-3,5):(-0,7) = = -у- =5. Заметим, что отрицательные дроби можно записывать по-разно- му. Рассмотрим, например, частные (— 5):6 и 5:(—6). Каждое из 5 „ них равно отрицательному числу —-g-. С другой стороны, каждое из этих частных можно записать с помощью дробной черты: (-5):6 = -^ и 5:(-6) = ^-. -5 5 6 -6" Вы видите, что при записи отрицательных дробей «минус» мож- но ставить перед дробью, «вносить» его в числитель или «убирать» в знаменатель. Покажем, как это можно использовать при выполнении дейст- вий с дробями. Таким образом, --g- Пример 6. _±_£=_±+(--)=—+—= 3 9 3 \ 9/ 3 9 -3 . ~5 _ ~3 + (~5) -8 8 9 9 9 9 9’ Сначала мы привели отрицательные дроби к общему знамена- телю, а затем воспользовались правилом сложения дробей: a j Ь _ a + fe с с с ’ _ _2__3__8 15 _ 8-15 _ -7 _ 7_ Пример 7. 5 4 20 20 20 20 20. Мы воспользовались правилом вычитания дробей с одинаковы- ми знаменателями: а Ь _ а-Ь с с с В заключение подчеркнем, что действия сложения и умноже- ния рациональных чисел, так же как и целых чисел, обладают пе- реместительным, сочетательным и распределительным свойствами. Эти свойства позволяют в любой сумме и в любом произведении произвольным образом переставлять числа и объединять их в группы. 219
978. Выполните сложение: а) (-2.5)+ (-10); б) (-2,5) + (-1); в) (-0.6)+ (-0.3); г) (-1,3) + (- 13); Д) (-15)+ (-2,3): е) (-6.1)+ (-2,3); ж) (-4.3)+ (-2,8); з) (-6,13) + (—7,9) 979. Найдите сумму: a) + 6) (-’>*(-<); »> Н)+Н» и ЫНН)- 980. Заполните таблицу. а -3,5 ~1i 2 3 0 __5 7 -10,4 -0,48 Ъ -4 -7 х 3 Ч» СМ I 0 -0,3 -2,1 а + Ъ 981. 982. 983. Сложите числа: а) 6,2 + (—5); г) 13,7 + (-2,5); б) (-6.5) +1; д)6,1+(-9); в) (-12,9)+ 2,1; е) (-7)+ 4,5; Вычислите: a) S-l + <-3>: а) 2^ + (-6); »> 4А+Н_L); г) (_|) + ±. Заполните таблицу. ж) 8,4+ (-9,1); з) 9,1+(-0,8); и) (-10)+ 8,9. а -3 9 I GO -13,5 -14,8 0 4,5 ь 4 -2,4 1 0 4 2,9 -’1 а + Ь 984. Вычислите, заменив вычитание сложением: а) 4,3-(- 1,2); д) 7,25-(-10,1); 6>(-f)-(-i)= в) (—5.9) —(—13,8); ж) 0-(-0,4); 220
985- Заполните таблицу. а 3 -2 -0,11 -6,4 0 2 4 1 20 b _2 5 _ 3^ 4 -0,3 4,8 -’1 2,5 3,05 а-Ь 986. Вычислите: <3 сл|м I I фь |со Ч I GO I CD J3 I I oi|go cd I cd I + co|r\o do|go о\ CD I Go|-»- + G0|CJ1 987. Вычислите: а) -3,2-(-2); б) -4,3-(-2); в) -1,24-3); г) 1,3-(-3); ж) 13,1-(-1.2); д) -5,1 -0,4; 3) -4,2-4,2; e) 6,2-(-0,8); и) -1,8-(-1,8). 988. Вычислите: a) -|-2; f (-7); в) ^IcsJ H00 <N|CO И™ I I Hn "T" t-|c\j Y r-|LO v- I CM I ? r? s' Tt|o> №° | I C0|in ТГ ct a? 989. Заполните таблицу. a -2 -2,1 -2,3 0 -4,8 2 3 x 2 2 7 -1 b -3 -10 1 -3,7 0 -3 _1_ 3 -1 2 9 a*b 990. Заполните пропуски так, чтобы получилось верное равенство: a) -8-... = -0,8; г) 8,9) = - 8,9; 6) 3,1 -... = -9,3; Д) - 17,3 •... = 0; в) ...•(-5,7) = 5,7; е) -1,2-... = 12. 991- Найдите число, обратное данному: 1 10 221
992. Вычислите: , 4 / 5\ .5.2 a) g -4, г) 1 •( 7), ж) 7 • 7, б) -g-:(-3); Д) _1:yj~; з) _з-:(_'б); 993. Выполните деление: а) 12,6 = (-4); г) -14,4:1,2; ж) 20,9 = (— 1); б) -5 = (-2,5); д) 0,48:(-8); з)0:(-17,3); в) 1:(-2,5); е) -15,9:(-1); и) -99,1 (-9,91). 994. Заполните таблицу. а -3 7 -8,2 -6,3 4,5 -7,5 6,12 0 0 Ъ 2 -3 -0,2 -2,1 -0,09 0,15 -0,4 4,3 -8,9 а'Ь 995. В каких случаях все три дроби равны: п _2 _2_ ^2. ^2 2 _ 2. ' 7’ -7' 7 ' -5’ 5’ 5’ 996. Запишите частное в виде дроби и, если возможно, сократите ее: а) -2 = 3; г) -18=12; ж) 45 = (-75); б) 5 = (-7); д) -12:(-36); з)-25 = (-15); в) -3:(-8); е) -48 = 64; и) -100 = (-200). 997. Используя приемы, показанные в примерах 6 и 7 (с. 219), вычислите: х 11 5 3 ,13 ,22 а) 2 4> б> е 4’ в) 3 4’ г) 9 3' Вычислите устно (998—1000). „«, , 1 3 3 5 4 7 "8- а> 4 4' 8 8’ 9 9’ fixl-Г А _11_ б) 6 11 7 11 15 21 в>°4 O-(-f); 0-1-4). 999. а) -1 + 0,7; -3+1,3; -5 + 4,2; -4 + 3,5; б) -0,6 + 4; -0,4+1; -0,1 + 1; -0,7+1; в) -2-1,3; -2,4-5; -1,6-4; -8-3,2; г) 0,8-1; 0,3-2; 0,1-1; 0,2-3. 222
1000. a) -0.7 —2.8; 1,3-2,7; -5,8 + 3,3; -0,6+1,1; б) -0,5-6,4; 3,8-10; -0,2-1,9; -4,5 + 3,1; в) 4,1-7,4; -2,6 + 3; -7,8-3,2; -1,5+ 0,7. 1001. Вычислите: а) -28 + 13 + 20-15; в) -5+10-12-20 + 10; б) 105-100-25 + 10; г) 17-21-17 + 21-18. 1002. Найдите значение выражения; а) 0,7-0,2- 1,6+ 0,3-0,4; б) -3 + 0,9- 1.4-0.2 + 6.1; , 1 1 1 в) 3 3 3; t 2 2 2 Г) 5 5 5" 1003. Найдите значение произведения: а) (-10)-(-0,1)-(-2,5); «(4Н-Ю в) 2 (-3) г) (-1)-(-3,7)-10; Д) (-1)-у-(-7); е) 2 2 3' Вычислите (1004—1006). 1004. а) -5-0,4 + 6; в) - 2 (-2,5) - 2,6; б) -5-(0,4 + 6); г) -2-(-2,5-2,6). 1005. а) + 'tXJ ' I CXI I ‘С’ J + ю|<о J S' 1006 a) -1,5 + (-1). 6. 1.5-j-З^. -2,5+ 0,4. -0,54-0.6) 1006. a) 6) 15 + (_35), B) _2,5.0,4’ r) 0,5-0,6 ’ 1007. Вычислите устно: , -7+5 , -8-10 . -7+6 a) 2 ; Г) g ; Ж) 2 -; -4+13 4 4-4 „ -4-16 б) _3 . Д) 5 . 3) _5 , , -9+1 , 4-10 , 3-13 в) 2 : e> 3 : И) -2 • 1008. Найдите значение степени: I 2 / 2 / 1 И / 1 9 « а> |- з) ; б)(“з|; в> |'5о) Г> ( То) «)<-0.2Л е) <-0.5)’. Б г------------------------- 1009. Заполните пропуски так, чтобы получилось верное равенство: а) -6 + ... = -8; б) -6,5 + ... = -10,5; в) ... + (-3,9) = -13,9; г) ... + (—3,8) = —4; д) ... + (-9,1) = -10,1; е) -0,2+ ... = -0,4. 223
1010. Подберите число так, чтобы получилось верное равенство: а) -4,5+ ... = -3,5; г) -3,1+ ... = -1,1; б) ... + 3 = -2,9; д) ... + (-4,9) = -1,9; в) -13,1+... = -13,1; е) 0,48 + ... = 0. 1011. Найдите значение выражения: а) 5,5-<-0,9)-3- 10,1; г) 0,8-1,5-1,4 + 2,3; б) — 2,8:(1,6- 1,2) + 3,4; д) (- 1,9-0,3):(-2,6 + 3,1); в) 1,7-(-4)-1,6-5; е) 3,6-2,3-(-0,73-0,37). 1012. Поставьте в выражении 0,1 *5-1,5 = 0,4 скобки всеми возможными спосо- бами и найдите значение каждого из получившихся выражений. 1013. Вычислите: . 1 1 1 1 1 1 , 1 х 1 ,11 а) 2 3 5’ б) 4 5 10’ В) 2 1 3 6’ Г) 4 12 + 8’ 1014. Найдите значение дроби: 0,7-1,5 1,2-3,1+0,8 а) -1,3-0,3’ в) 0,01 -0,9-1,5 -1,5 + 3,2-0,5 0) 0,9-1,5 : г) -0,3 1015. Вычислите наиболее удобным способом: а) -3,8+17,15-6,2-6,15; г) “ ' 3 ^-+ (-^) • (-2^); б) 4 + 7: А) ~6*(1 2'+1 З")’ в) 0,4-(-7,8)-0,25; е) -0,85-0,3-0,85-0,7. 1016. Заполните таблицу. а 11 -4 -2,5 -0,5 0 ь 7 5 10 -0,7 1.6 а-Ь Ь~а Какую закономерность вы заметили? 1017. Вычислите устно: х 3-5 х 2___3 х 3-0,2 Э) 5_3. В) • д) о,2-3’ 3 2 0,4-0,6 1-0,72 -(2,5-1) 0) 0,6-0,4’ Г) 0,72-Г е) 1-2,5 224
1018. Даны выражения: 0,9-0,5; -0,5-0,9; -0,9+ 0,5; 0,5+ 0,9. Выберите из них то, значение которого: а) равно значению выражения 0,5-0,9; 6) противоположно значению выражения 0,5-0,9. 1019. Известно, что 2,8-3,5 = 9,8. Найдите значение выражения: а) -2,8-3,5; в) -((-2,8)-(-3,5)); б) -(-2,8-3.5); г) -(-(-(-2,8-3,5))). 1020. Сравните с нулем: а) (-0.3)2; в)(-1,05)4; д)(-1)п; б) (-4,8)’; г) |-з||5; е) 1021. Подставьте в выражение а-6+с указанные числа и выполните вычисле- ния: а) а = 0, д = 20,7, с = -10,3; в) а=1,2, Ь = 4,8, с = -4,2; б) а = - 10, д = -5,5, с = 2,5; г) а = -0,7, Ь = - 10, с = -5. 1022. Известно, что а = -0,2, Ь = 2,5. Найдите: а-Ъ\ (-а)-(-Ь); (-а)-Ь; а-(-Ь). 1023. Известно, что х<0 и у<0. Определите, положительным или отрицатель- ным является число: а) х-у; б) (-х)-(-у); в) х + у; г) (~х) + (-у). 1024. Определите, положительным или отрицательным является число - если: а) х>0, z/>0; б) х<0, z/<0; в) х>0, у<0. 1025. 1) Найдите значение выражения 12-14 + 5-10. В данном выражении из- мените знак перед каждым числом на противоположный и найдите зна- чение нового выражения. Что вы заметили? 2) Запишите выражение, значение которого противоположно значению данного выражения: а) -15 + 8; в) -1-2-3 + 4 + 5-18 + 27; б) -360-290; г) 10-15+11-107-38-18. Проверьте себя, выполнив вычисления. 1026. 1) Какие из данных выражений равны: 12-14 + 5-10; -(12-14 + 5-10); -12+14-5+10? Запишите ответ, используя знак «=». 2) Замените выражение равным, не содержащим скобок: а) -(27 + 30); в) -(18-10+11+5); б) -(-14-10); г) -(-x + y-z). 8 — Дорофеев, 6 кл.
Решение задач на «обратный ход» Задача 1. Петя задумал число, умножил его на 2, прибавил 3 и получил 21. Какое число задумал Эту задачу нетрудно решить «об- ратным ходом» (рис. 224). Сначала из 21 вычтем 3: 21-3 = 18. Теперь результат разделим на 2: 18 = 2 = 9. Петя? Значит, Петя задумал число 9. Задача 2. Вася нарвал в лесу орехов. По дороге домой он встретил одного за другим четырех друзей. Каждому он отдавал по- ловину имевшихся у него орехов. Домой он принес 10 орехов. Сколь- ко орехов нарвал Вася? Встречая каждого друга, Вася делил орехи поровну, в резуль- тате у него осталось 10 орехов. Первоначальное число орехов най- дем «обратным ходом» с помощью рисунка 225. Получим (((10 • 2) • 2) • 2) • 2 = 160 (орехов). Рис. 225 1027. а) Я задумал число, умножил его на 5, прибавил 3 и получил 38. Какое число я задумал? б) Я задумал число, разделил его на 2 и к результату прибавил 23. По- лучилось 77. Какое число я задумал? 1028. а) Ваня задумал число, умножил его на 7, к результату прибавил 8, по- лученное число разделил на 3 и из результата вычел 10. Получилось 226. Какое число задумал Ваня? б) Маша задумала число, прибавила к нему 5, результат умножила на 3, из получившегося произведения вычла 7 и получила 32. Какое число Ма- ша задумала? 1029. Составьте свою задачу на задумывание числа и решите ее. 226
1030. У Коли была некоторая сумма денег, а мама дала ему 25 р. Половину всей суммы Коля потратил, и у него осталось 17 р. Сколько денег было у Коли первоначально? 1031. На первой остановке в автобус вошло 7 человек, а вышло 13, на второй остановке вошло 10 человек, а вышло 6. В автобусе осталось 25 чело- век. Сколько человек было в автобусе до первой остановки? 1032. Продавщица насыпала в пакет сахар, добавила 100 г — оказалось боль- ше чем 2 кг, убрала 60 г — оказалось меньше чем 2 кг, добавила 15 г и получила ровно 2 кг. Сколько граммов сахара она первоначально на- сыпала в пакет? 1033. а) В горшок с медом добавили 0,4 л меда, а затем 0,75 л переложили в банку. Через некоторое время в горшок добавили еще 0,85 л, и в нем стало 2 л меда. Сколько меда было в горшке первоначально? б) В понедельник расход муки в кафе по сравнению с воскресеньем уве- личился на 0,4 кг, во вторник он уменьшился по сравнению с понедель- ником на 0,25 кг, а в среду снова увеличился на 0,65 кг и составил 12 кг. Каков был расход муки в воскресенье? Б Г--------------------------------------------------- 1034. У Маши была некоторая сумма денег. На первую покупку она потра- 1 . 1 тила -Z- всей суммы, а на вторую остатка, после чего у нее оста- лось 12 р. Сколько рублей было у Маши первоначально? 1035. В первый месяц на ферме израсходовали -g- запасенных кормов, во вто- 1 . 1 рои месяц — остатка, в третий месяц нового остатка, после чего ос- талось 30 ц кормов. Сколько центнеров кормов было на ферме первона- чально? 1036. У брата и сестры имелось по некоторой сумме денег. Когда брат потра- тил половину и треть остатка своих денег, а сестра — треть и половину остатка своих, у них осталось по 50 р. У кого из них было больше де- нег первоначально? 1037. Старинная задача. Зашли три путника на постоялый двор и спросили се- бе картофеля. Пока хозяин варил картофель, они заснули. Через некото- рое время проснулся один из них, съел третью часть картофеля и сно- ва заснул. Затем проснулся другой, съел третью часть картофеля и заснул. Наконец, проснулся третий и, не зная, что его спутники уже ели карто- фель, съел третью часть и снова заснул. На блюде осталось 8 картофе- лин. Сколько картофелин было подано первоначально? 1038. Старинная задача. Крестьянка пришла на базар продавать яйца. Первая покупательница купила у нее половину всех яиц и еще пол-яйца. Вторая покупательница приобрела половину оставшихся яиц и еще пол-яйца. Тре- тья купила последний десяток. Сколько яиц принесла крестьянка на базар? 8* 227
Что такое координаты В речи взрослых вы могли слышать такую фразу: «Оставьте мне ваши координаты». Это выражение означает, что собеседник должен оставить свой адрес или номер телефона, которые и счита- ются в этом случае координатами. Главное, чтобы по этим данным можно было найти человека. Именно в этом и состоит суть координат, или, как обычно го- ворят, системы координат', это правило, по которому определяет- ся положение того или иного объекта. Системы координат пронизывают всю практическую жизнь че- ловека. Кроме почтовых адресов и номеров телефонов, вы знакомы с системой координат в зрительном зале кинотеатра (номер ряда и номер места), в поезде (номер вагона и номер места), с системой географических координат (долгота и широта) и т. п. Те из вас, кто играл в «морской бой», пользовались при этом соответствующей системой координат. Каждая клетка на игровом поле определяется буквой и цифрой. Буквами помечены вертикали игрового поля, а цифрами — горизонтали (рис. 226). Рис. 226 Аналогичная система координат используется в шахматах, но вертикали на шахматной доске всегда обозначаются латинскими бук- вами (рис. 227). С помощью этих координат можно записать ход любой шахматной партии. Такого рода «клеточные» координаты обычно используются на военных, морских, геологических картах. Применяются они и на туристических схемах городов для облегчения поиска нужной ули- цы или какой-либо достопримечательности. Идея координат зародилась в глубокой древности. Их изобрете- ние было вызвано потребностью в создании небесных и географичес- 228
ких карт. Долготой и широтой в качестве географических координат пользовался древнегреческий астроном Клавдий Птолемей (II в. н. э.). Квадратная сетка, играющая роль координат, была обнаружена на стене одной древнеегипетской гробницы. Прямоугольной сеткой для разметки холста пользовались и художники Возрождения. А сам термин «координаты» произошел от латинского слова ordinatus — упорядоченный; приставка со- указывает на совмест- ность: координат обычно бывает две или более. 1040. 1039. Посмотрите на номера пунктов в учебнике — они тоже имеют свои координаты. Объясните какие. На шахматной доске расставлены пять фигур — король, ферзь, слон, конь и ладья (рис. 228). Запишите их координаты (например, король — d5). Рис. 228 1041. Определите координаты клеток, занятых двумя конями (рис. 229). Запи- шите координаты всех клеток, находящихся под угрозой нападения этих коней. 1042. 1043. 1044. В квадрате 10 хЮ клеток изображена цифра 4 (рис. 230). «Зашифруйте» эту цифру с по- мощью координат. (На первом месте пишите букву, на втором — цифру.) Начертите квадрат 10x10 клеток. Изобра- зите с помощью крестиков любую цифру и «зашифруйте» ее. Предложите соседу по парте восстановить эту цифру по вашему шифру. На рисунке 231 изображен фрагмент карты Московской области. а) Найдите на этой карте города, если изве- стны квадраты, в которых они расположены: Клин (ЗБ); Дубна (4А); Красногорск (4В); Руза (2Г); Поречье (1Г); Звени- город (ЗГ). 229
Рис. 231 б) Укажите квадрат, в котором расположены: Истринское водохранилище; Сенежское озеро; Рузское водохранилище; озеро Глубокое. в) Укажите квадраты, через которые проходят железные дороги: Моск- ва —Шаховская; Москва—Клин. 1045. Придумайте систему координат для определения места ученика в клас- се. Укажите координаты нескольких учеников. Б F---------------------------------------- 1046. Рассмотрите карту Западной Европы. а) Запишите координаты (широту и долготу) городов: Киев, Минск, Париж, Гамбург, Лондон. б) Найдите города, расположенные на 60° с. ш.; на 50° с. ш. Для каж- дого города определите географическую долготу. в) Найдите города, расположенные на 18° в. д. Для каждого города оп- ределите географическую широту. г) Определите, какие города имеют координаты: (41° с. ш., 4° з. д.); (47° с. ш., 6° в. д.); (55° с. ш., 25° в. д.); (38° с. ш., 24° в. д.). 230
1047. Каждый участок маршрута, изображен- ного на рисунке 232, можно описать с помощью трех координат: заметный ориентир, угол между северным на- правлением и направлением движения (азимут), расстояние. Например, участок маршрута, идущий от сухого дерева к белому камню, мож- но записать так: (сухое дерево, 50°, 90 м). Запишите таким образом весь изображенный на рисунке 232 марш- рут, начиная с первого участка и до конечной цели. 1048. Туристический маршрут от лесного ла- геря до водопада записан следующим образом: (палатка, 0°, 400 м); (мура- Рис. 232 вейник, 30°, 800 м); (поленница, 60°, 600 м); (переправа, 40°, 600 м). Начертите маршрут по данным координатам, используя масштаб: 1 см — 200 м. Прямоугольные координаты на плоскости Вспомните, как задают коорди- наты на прямой. Для этого на пря- мой выбирают начало отсчета, поло- жительное направление и единичный отрезок. После этого любая точка прямой получает свою собственную координату. Например, точки А, В, С имеют соответственно координаты —1,5; 2,5; 4 (рис. 233). Таким обра- зом, координата точки указывает ее место на координатной прямой. А как указать положение точки на плоскости? Для этого на плоско- сти чертят две перпендикулярные прямые (обычно одну из них распо- лагают горизонтально, а другую — вертикально) и вводят на каждой из них обычные координаты (рис. 234). Точка пересечения прямых О — это начало отсчета на каждой коорди- А ВС I » I-1-1--- »- -1,5 0 1 2,5 4 Рис. 233 231
натной прямой; единичный отрезок, как правило, один и тот же. На горизонтальной прямой положительное направление выбирается «слева направо», на вертикальной — «снизу вверх». Эти направле- ния показывают стрелками. Точку О называют началом координат. Эта буква выбрана не случайно, а как первая буква латинского слова origo — начало. Са- ми координатные прямые называют осями координат. Горизонталь- ную ось называют осью абсцисс (осью х), вертикальную ось назы- вают осью ординат (осью у). Плоскость, на которой задана система координат, называется координатной плоскостью. Оси разбивают координатную плоскость на четыре области, ко- торые называются координатными четвертями. Их нумеруют про- тив часовой стрелки (см. рис. 234). Покажем, как определяется положение точки на координатной плоскости. Пусть на координатной плоскости отмечена некоторая точка А (рис. 235, а). Опустим из нее перпендикуляр на ось х. Он пересе- чет ось х в точке с координатой, равной 3 (рис. 235, б). Число х = 3 называют абсциссой или первой координатой точки А. Проведем теперь из точки А перпендикуляр к оси у. Он пере- сечет ось у в точке с координатой, равной 2 (рис. 235, в). Число у = 2 называют ординатой или второй координатой точки А. Числа х = 3 и у = 2 определяют положение точки А на коорди- натной плоскости. Их называют сти. Заметим, что указать только недостаточно. Так, абсциссу х = 3 ки прямой ВС, а ординату у = 2 прямой MN (рис. 235, г). координатами точки на плоско- одну координату точки было бы имеют еще точки В, С и все точ- имеют точки М, N и все точки 232
Координаты точки записывают в скобках, при этом абсцисса пишется на первом месте, а ордината — на втором. Например, коорди- наты точки С (рис. 236) записывают так: С (4; 1). Если мы переставим числа в скоб- ках, то иолучим другую точку — точку D. Описанная система координат называется прямоугольной. Часто также ее называют де- картовой системой координат по имени французского философа и математика Рене Декарта (1596—1650). 1049. Запишите координаты отмеченных точек (рис. 237). 1050. Постройте прямоугольную систему координат и отметьте точки, имеющие следующие координаты: а) х = 3, i/ = 5; х = -1, у = 2\ х = -3, у=-4; х = 4, у = -2; б) х = 5, у = 0; х = -3, i/ = 1; х = 0, i/ = -3; х = 2, у = -5\ в) х = 6, у = 2; х = -2, </ = 0; х = -5, </ = 5; х = 0, у = 3. <233
1051. Отметьте на координатной плоскости точки: а) (2; 5), (6; -4), (-2; 2), (-1; -3), (6; 0); б) (7; 4), (-3; 3), (-4; -5), (2; -1), (-3; 0); в) (4; -1), (0; 3), (-2; 4), (-1; -1), (0; -2). 1052. На координатной плоскости отметьте точки: А (2,5; 3), В (-1,5; -2,5), С (-2,8; 4), D (3; -3,2), Е (0; 4,5), К (-1,1; 0). 1053. Постройте отрезок АВ по координатам его концов и найдите координа- ты точки, в которой он пересекает ось х: а) А (4; 2), В (2; -2); б) А (-1; -3), В (-3; 3). 1054. а) Постройте треугольник, если известны координаты его вершин: А (0; -3), В (-2; 3), С (5; 2). Укажите координаты точек, в которых сто- роны треугольника пересекают ось х. б) Постройте четырехугольник ABCD, если его вершины имеют координаты: А (-3; -4), В (-3; 4), С (3; 2), D (3; -2). Укажите координаты точек, в которых стороны четырехугольника пересе- кают оси координат. 1055. На координатной плоскости постройте данную точку и точку, симме- тричную ей относительно оси х, и запишите ее координаты: а) А (6; 2).; б) В (3; -1); в) С (2; 4,5); г) D (-3,5; -3,5). Сопоставьте координаты точек, симметричных относительно оси х, и сде- лайте вывод. 1056. На координатной плоскости постройте данную точку и точку, симметрич- ную ей относительно оси у, и запишите ее координаты: а) А (5; 1); б) В (4; -2,5); в) С (-3; 4); г) D (-1,5; -6). Сопоставьте координаты точек, симметричных относительно оси у, и сде- лайте вывод. 1057. На координатной плоскости постройте: а) треугольник АВС по координатам его вершин: А (-6; 2), В (-2; 2) и С (-2; 4); б) треугольник DEF, симметричный треугольнику АВС относительно оси х; запишите координаты вершин треугольника DEF; в) треугольник KLM, симметричный треугольнику АВС относительно оси у, запишите координаты его вершин. 1058. а) На координатной плоскости постройте прямоугольник ABCD по коор- динатам его вершин: А (5; 3), В (-2; 3), С (-2; -2), D (5; -2). Вычислите периметр и площадь прямоугольника ABCD. б) На координатной плоскости отметьте точки А (-8; 3), В (1; 3), С (1; -2). Постройте четвертую точку D так, чтобы получился прямоуголь- ник ABCD. Вычислите периметр и площадь прямоугольника ABCD. 234
1059. а) На координатной плоскости отметьте пять точек, имеющих абсциссу, равную 4. Запишите координаты этих точек, (де расположены все точки с абсциссой, равной 4? б) На координатной плоскости отметьте пять точек, имеющих ординату, равную 1. Запишите координаты этих точек, (де расположены все точки с ординатой, равной 1? 1060. Постройте прямую, все точки которой имеют абсциссу, равную: а) 3; б) -2; в) 0. 1061. Постройте прямую, все точки которой имеют ординату, равную: а) 2; б) -4; в) 0. 1062. Начертите систему координат. а) Отметьте несколько точек, абсцисса и ордината которых — положи- тельные числа, [де на координатной плоскости расположены все такие точки? б) Отметьте несколько точек, абсцисса и ордината которых — отрица- тельные числа. Где на координатной плоскости расположены все такие точки? в) Отметьте несколько точек, у которых абсцисса положительна, а орди- ната отрицательна. Где на координатной плоскости расположены все та- кие точки? г) Отметьте несколько точек, у которых абсцисса отрицательна, а орди- ната положительна. Где на координатной плоскости расположены все та- кие точки? 1063. Система координат, которую вы изучили, называется прямоугольной. Мож- но ли придумать не прямоугольную систему координат? А можно ли на- правлять оси не вправо и вверх, а влево и вниз? ДЛЯ ТЕХ, КОМУ ИНТЕРЕСНО •У Системы счисления Когда люди научились считать по пальцам, они сделали огром- ный шаг в развитии цивилизации. Пальцы оказались прекрасной «вычислительной машиной». С их помощью можно было считать до 5; если взять две руки, то и до 10, а присоединив пальцы ног, можно было считать уже до 20. Научившись считать до 10, люди сделали следующий шаг и стали считать десятками, потом десятками десятков, т. е. сотнями, и т. д. Такой счет породил десятичную систему счисления, при- нятую почти у всех народов мира. Для записи чисел в десятичной системе счисления, как вы зна- ете, используется десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. С их помощью можно записать любое, сколь угодно большое число. Это объясняется тем, что десятичная система является еще и позицион- ной: значение каждой цифры в записи числа зависит от позиции,
которую она занимает. Эта «позиционность» выражена и в языке. Например, про число 583 мы говорим: «Пятьсот восемьдесят три», т. е. «5 сотен, 8 десятков, 3 единицы». Записать это можно так: 583 = 5-100 + 8-10 + 3, или 583 = 5-102 + 8-10 + 3. Но не только десятичную систему счисления использовали лю- ди. У жителей южных широт была распространена двадцатеричная система (может быть, потому, что ходили они босиком). А у север- ных народов имела хождение и пятеричная система счисления (на- верное, потому, что холодно снимать варежки с обеих рук сразу). Но были народы, у которых в самой глубокой древности счет шел до шести, а потом особое значение у них получило число, рав- ное шести десяткам. Так случилось у шумеров и древних вавило- нян, которые стали использовать шестидесятеричную систему счис- ления. В разное время разные народы исполь- зовали и двенадцатеричную систему счис- ления, потому что считать можно не толь- гТз^ ко пальцы, но и фаланги пальцев руки ( J / 1 \ г"ч -А (рис. 238). —-7/ Следы этих систем счисления остались ( / / /Гр1ПТГ27 в языках, традициях, суевериях. Число ------------!— «двенадцать» называют еще дюжиной. Дю- рис 238 жинами продают вилки, тарелки, чашки. Циферблат часов поделен на двенадцать частей, год — на двенад- цать месяцев, в гороскопе двенадцать знаков зодиака. Конечно, запись одного и того же числа в разных системах счисления различна. Количество цифр, используемое в той или иной системе счисления, такое же, как и основание этой системы. На- пример, в пятеричной системе счисления используется всего пять цифр: 0, 1, 2, 3, 4. Возьмем число, записанное в пятеричной системе, например 2135. (Цифра 5 внизу указывает основание системы счисления.) Вы- ясним, какое число в привычной для нас десятичной системе скры- вается за записью «два, один, три» в пятеричной. Для этого рас- пишем число 2135 по разрядам пятеричной системы, т. е. по степеням пятерки: 2135 = 2 • 52 +1 • 5 + 3 = 2-25 + 5 + 3 = 58. Значит, 2135 = 5810. Гораздо труднее перевести число из десятичной в непривычную нам пятеричную систему счисления. Возьмем, например, число 28410. Представим его в виде суммы разрядных слагаемых с основанием 5. Мы знаем, что 51 = 5, 52 = 25, 53 = 125, 54 = 625. Так как 54 уже боль- ше, чем 284, то нужно выяснить, сколько раз в этом числе «укла- дывается» 53. 236
Для этого разделим 284 на 125, получим 284 = 2-53 + 34. Теперь посмотрим, сколько раз в остатке «укладывается» 52: 34 = 1-52 + 9. Далее, 9=15 + 4. Итак, 284 = (2)-53 + (1)-52 + (1)-5+ Значит, 28410 = 21145. Понятно, что проверить правильность вычислений можно, если воспользоваться более легкой процедурой перевода числа из пяте- ричной системы счисления в десятичную. 1064. Лунный календарь делится на периоды, в которых семь дней. Отсюда произошел обычай соединять дни в семидневки — недели. Знаете ли вы какие-нибудь еще природные явления, связанные с числом 7? Может быть, вспомните пословицы, упоминания числа 7 в истории? • • • • 1065. На рисунке 239 точками изображено некоторое число. За- пишите его сначала в десятичной, а потом в пятеричной системе счисления. • • • • • 1066. Какие цифры используются для записи чисел в четверич-................ ной системе счисления? в троичной? в двоичной? Пере- • • • • • ведите в десятичную систему счисления число: а) 23014; б) 22113; в) 101012. Рис- 239 1067. Запишите в десятичной системе счисления: а) 105; б) 1005; в) 10005. 1068. Ресторан закупил семь дюжин столовых приборов. Выразите количество столовых приборов сначала в десятичной, а потом в двенадцатеричной и шестеричной системах счисления. 1069. Выразите в пятеричной системе счисления число: а) 3124; б) 194. 1070. Запишите первые пятнадцать натуральных чисел в троичной системе счис- ления. Кроме десятичной системы счисления, в наше время активно используется еще и двоичная. Числа в двоичной системе записыва- ются с помощью всего лишь двух цифр: О и 1. А натуральный ряд в этой системе начинается так: 1; 10; 11; 100; 101; 110; 111; 1000; ... . (Убедитесь «обратным переводом», что это и в самом деле натураль- ный ряд, запишите самостоятельно еще несколько его членов.)
X 0 1 0 0 0 1 0 1 + 0 1 0 0 1 1 1 10 Правда, у двоичной системы есть один существенный недоста- ток: числа быстро становятся очень «длинными». Например, число 1010112 — это всего лишь 4310: 1010112= 1 • 25 + 0- 24 +1 • 23 + 0- 22 + 1 • 2 +1 = 4310. Зато у двоичной системы есть удивительные достоинства! Ведь числа нужно не только за- писывать, но и производить с ними арифметические действия. А в дво- ичной системе таблицы сложения и умножения выглядят удивительно просто (рис. 240). Двоичная система счисления бла- Рис- 240 годаря своим особенностям оказалась исключительно полезной для практики: 1 и 0 можно рассматривать как символы «Да» и «Нет», «Истина» и «Ложь». А это уже отно- сится не только к математике, но и к любой деятельности челове- ка. Недаром поэтому при попытках поиска внеземных цивилизаций использовалась двоичная система. 1071. Какие двойчные числа закодирова- ны цепочками включенных и выклю- ченных лампочек на рисунке 241 (лампочка включена — это 1; лам- почка выключена — это 0)? Пере- ведите каждое из них в десятичную систему. 1072. Рассмотрите пример сложения чи- сел в двоичной системе: 101011 + 11010 1000101 Рис. 241 Выполните сложение в двоичной системе: а) 10+11; б) 101 + 1001; в) 101 + 1011. 1073. В отрывке из шуточного стихотворения А. Старикова «Необыкновенная девочка» упоминаются некоторые числа: Ей было тысяча сто лет, Когда, пыля десятком ног, Она в сто первый класс ходила, Она шагала по дороге, В портфеле по сто книг носила — За ней всегда бежал щенок Все это правда, а не бред. С одним хвостом, зато стоногий. Что вы узнали о девочке из этого отрывка? 1074. В какой системе счисления: а) 5 + 3 = 10; б) 2*2 = 4? 238
Задания для самопроверки к главе 10 (Обязательные результаты обучения) 1 4 1. Даны числа: -7-g-; g-; 90,1; -0,5; 0; -100; 3. Укажите среди них числа: а) положительные; б) отрицательные; в) целые; г) целые отрицательные. 2. Запишите число, противоположное числу: а) 18,3; б) в) 0. 3. Чему равен модуль числа: а) 2,8; б) -5,6? 4. Найдите: а) |-27|; б) |18|; в) |-j|; г) |4,1|. 5. Сравните: а) и б) -1,2 и -1,02; в) 0 и -3,5; г) -2,4 и 1,5. 6. Отметьте на координатной прямой числа: а) 4; -1; -6; б) 0,5; -0,5; -1,2. 7. Отметьте на координатной прямой данное число и число, ему противопо- ложное: а) 3; б) -1,5. 8. Запишите координаты точек, отмеченных на рисунке. а) б) —I 1 I—I 1 1 4—I ♦ 1 1—► 0 1 + 4 ♦ + 4 * < 1 •—Н 1—► -6 -5 9. Выполните действия: а) -0,8-2,3; г) 0-10,3; ж) 8,1 =(-0,9); к)-1-(-^); 11 -2 б) 3—2: я) -5-(-О'6): 3) -2,4:(-0,6); л) 239
О математическом языке С помощью языка люди передают друг другу разнообразные све- дения, выражают свои мысли и чувства, или, как говорят, обме- ниваются информацией. В мире существует много — около 2000 — различных языков, на которых говорят, пишут и читают разные народы. Это так называемые естественные языки — они возника- ли и развивались вместе с народами. По мере изучения математики вы постепенно знакомитесь с ма- тематическим языком. Он относится к искусственным языкам, ко- торые создаются и развиваются вместе с той или иной наукой. В математическом языке есть свой алфавит. Буквами в нем являются различные математические знаки. Прежде всего к ним относятся цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. С помощью цифр по специальным правилам записывают числа. Вы знакомы и с други- ми математическими знаками: =, >, <, 4-, •, %. Математическими знаками являются также и скобки. В математическом языке используются еще и латинские бук- вы. Вам уже приходилось применять их для обозначения точек, от- резков, прямых, углов, а также для обозначения чисел. Когда, например, говорят «Возьмем число А?», то это означает, что некоторому числу — неважно, какому именно — дали «имя» k, и дальше с ним можно обращаться так, как будто оно вполне определенное. 240
Например, можно записать его сумму с числом 5, получится k + 5. Можно умножить его на 10, получится k -10. Записи й + 5 и й-JrO- — это математические выражения. ^Математические выражения — слова математического языка — составляют из чисел, букв, знаков действий и скобок. Вот еще при- меры выражений: (6 —2) *5; (—6)^3; а — Ь. А При составлении выражений соблюдаются определенные прави- ла. Например, если нужно записать разность чисел 2 и -3, то мы пишем не 2----3, а заключаем число —Зв скобки: 2 —(—3). Если нужно умножить сумму чисел 5 и 6 на 2, то мы заключаем эту сумму в скобки: (5+ 6)-2. А выражение 5 + 6*2 имеет совсем дру- гой смысл: оно равно сумме 5+ (6*2). Однако в этом случае мы до- говорились скобки не ставить: при отсутствии скобок умножение должно выполняться раньше сложения. При записи буквенных выражений, содержащих действие ум- ножения, немного изменяют привычные правила. Так, вместо а*6 обычно пишут 6а, т. е. числовой множитель записывают перед бук- венным и точку между ними не ставят. Точно так же вместо (с+ 4) *10 пишут 10(с + 4), вместо а*&*3 пишут Зай. В то же время никогда не пишут, например, al. Если необхо- дим именно такой порядок множителей в произведении чисел а и 7, то точку обязательно ставят, т. е. пишут а • 7. Частное двух чисел, обозначенных буквами, записывают обыч- z- а но с помощью черты дроби, например —. В математическом языке используются и математические пред- ложения, выражающие некоторую мысль. Вот примеры математи- ческих предложений: 2 + 3 = 5; 8 <9; 87 делится на 9; а — четное число. Первые два из них — верные утверждения, третье — неверное. Четвертое предложение отличается от первых трех; при одних значе- ниях а оно обращается в верное равенство, при других — в неверное. Занимаясь математикой, вы постоянно переводите словосочета- ния с русского языка на математический и наоборот. Например, фраза «сумма чисел два и три» на математическом языке записы- вается так: 2 + 3. Вы знаете переместительное свойство сложения: при переста- новке слагаемых сумма не меняется. На математическом языке оно записывается так: a + fc = & + a для любых чисел а и Ь. 9 — Дорофеев, 6 кл. ___/ЭЛ
Вам известно также распределительное свойство. С помощью букв оно записывается следующим образом: для любых чисел а и Ь (а + Ь)с = ас + Ьс. Его можно перевести на русский язык по-разному. Перевод, «близкий к тексту», может быть таким: произведение суммы двух слагаемых и некоторого числа равно сумме произведений каждого из слагаемых на это число. А можно перевести и так: чтобы умножить сумму на некото- рое число, можно каждое слагаемое умножить на это число и по- лученные произведения сложить. В первом варианте перевода мы просто формулируем некоторый математический факт, а во втором сообщаем, как математический факт можно использовать при вычислениях. Предложения математического языка, как правило, короче, чем в естественном языке, именно благодаря использованию специаль- ных математических знаков. Кроме того, они понятны людям, го- ворящим на разных языках. А F--------------------------------------------------- 1075. Запишите в виде математического выражения такую последователь- ность действий: а) число 7 умножить на 2 и к произведению прибавить 8; б) число 15 разделить на 4 и из частного вычесть 6,2; в) к числу 12 прибавить 107 и сумму умножить на 100; г) из числа 25,6 вычесть 8,9 и разность умножить на 1,1. 1076. Запишите в виде математического выражения такую последовательность действий: а) число k умножить на 4 и к произведению прибавить 14; б) число 12 умножить на число а и это произведение вычесть из 100; в) к числу г прибавить число 83 и эту сумму умножить на 100; г) к числу а прибавить число b и эту сумму разделить на число с; д) из числа т вычесть число х и разделить на эту разность число с; е) число а возвести в квадрат и к результату прибавить 18; ж) к числу а прибавить b и эту сумму возвести в квадрат. 1077. Какая последовательность действий и над какими числами задана выра- жением: а) а + Ь+15; г) (2 + а)(Ь-с); ж) 100-(</-2); б) 3m-7; д) 5(Л + 3); з) а2-с; в)2+1,5х; е) и) (л-5)2? 1078. а) В каждое из выражений (1-х)2 и 1-х2 подставьте вместо х число - 1. Выполните вычисления. б) В каждое из выражений (1 +а)Ь и 1 +ад подставьте вместо а число 3, а вместо b число -2,5. Выполните вычисления. 242
1079. Запишите с помощью математического выражения: а) произведение суммы чисел а и b и числа 7; б) сумму числа 10 и произведения чисел а и х; в) разность числа с и произведения чисел 7 и ft; г) разность числа т и суммы чисел 2 и п; д) удвоенное произведение чисел а и Ь; е) произведение суммы чисел х и у и их разности. тОШ). Прочитайте, используя слова «сумма», «разность», «произведение», «част- Л ное»: а) (12 + 8)-25; г) 21-(18 + 3); ж) тп(З-п); б) 6-8 + 5; д) 4Ь + 7; з) (а + д)(а-д); в) (15 + 3)-(15-3); е) и) а-(Ь + с). 1081. Пусть дано некоторое число. Обозначьте его какой-нибудь буквой и за- пишите в виде буквенного выражения: а) удвоенное данное число; д) число, на 2 большее данного; б) половину этого числа; е) число, на 3 меньшее данного; в) две трети этого числа; ж) число, противоположное данному. г) 10% этого числа; 1082. Запишите в виде буквенного выражения: а) сумму двух чисел; б) произведение двух чисел; в) частное двух чисел; г) сумму трех равных чисел; д) произведение четырех равных чисел. 1083. Длина отрезка равна с метров. Чему равна длина отрезка, который на 10 м длиннее данного? на 3 м короче данного? в 2 раза длиннее, чем данный? в 3 раза короче, чем данный? 1084. Ане 12 лет. Как записать возраст членов ее семьи, если: а) папа в k раз старше Ани; б) мама на т лет старше Ани; в) брат в а раз младше Ани; г) сестра на п лет младше Ани? 1085. У 2 кошек 2-4 лапы, 2-2 уха, 2 носа. Про- должите запись: у 4 кошек 4-4 лапы, ... уха, ... носа; у 15 кошек ... лап, ... ушей, ... носов; у п кошек ... лап, ... ушей, ... носов. 1086. У 2 автомобилей с прицепом 2-6 колес, 2-2 фары, 2 руля. Продолжите запись: у 5 автомобилей с прицепом 5-6 колес, ... фар, ... рулей; у 20 автомобилей с прицепом ... колес, ...фар, ... рулей; у k автомобилей с прицепом ... колес, ... фар, ... рулей. 243
1087- Яблоко стоит 10 р., а слива — 5 р. За 2 яблока и 3 сливы надо запла- тить 2* 10 + 3-5 р. Продолжите запись: за 5 яблок и 4 сливы надо заплатить 5-10 + ...; за 12 яблок и 10 слив надо заплатить ...; за а яблок и b слив надо заплатить ... . 1088. Конфета стоит а рублей, а пряник стоит с рублей. Сколько стоят 7 кон- фет? 5 пряников? 6 конфет и 2 пряника? х конфет и у пряников? 1089. Килограмм шоколадных конфет стоит а рублей, килограмм карамели сто- ит b рублей. а) Что было куплено, если стоимость покупки (в рублях) равна a + b? ЗЬ? 2а? 2а + Ъ? б) Каков смысл выражения а-Ь? 1090. Придумайте задачу, по условию которой можно составить выражение: а а) а + b; б) х- у\ в) тп\ г) —. 1091. Запишите в виде математического предложения: а) число k больше 5; в) модуль числа т больше 1; б) число х меньше числа с; г) квадрат числа а равен 4. Подставьте вместо буквы в каждое предложение такое число, чтобы по- лучилось верное утверждение; неверное утверждение. 1092. Переведите на математический язык предложение: а) сумма числа х и числа 15 равна 31; б) произведение чисел а и b равно 8; в) удвоенное число т равно 11; г) половина числа b равна 1,5; д) разность чисел Ъ и с больше 3; е) произведение чисел 5 и х меньше числа у. 1093. С помощью букв записаны некоторые свойства действий над числами. Дайте перевод этих математических записей на русский язык. Каждое из них проиллюстрируйте конкретными примерами: а) а + 0 = а; в) x + i/ = i/ + x; д) (а + Ь)с = ас + be; б) х-1=х; г) ab = ba; е) а-(-\) = ~а. Б Подставьте вместо буквы а такое число, чтобы: а) произведение 6а было целым положительным числом; целым отрица- тельным числом; дробным положительным числом; дробным отрицатель- ным числом; б) произведение ~~^а было целым положительным числом; целым отри- 0 цательным числом; дробным положительным числом; дробным отрица- тельным числом. 244
1095. Предложение «5 больше 3 на 2» можно перевести на математический язык разными способами: 5-3 = 2, 5 = 3 + 2, 5-2 = 3. Переведите разными способами на математический язык следующие предложения: а) число 17 больше числа 10 на 7; б) число k больше числа т на 3; в) число 9 меньше числа х на 5; г) число а меньше числа Ъ на 1; д) число 10 больше числа 5 в 2 раза; е) число п больше числа k в 3 раза; ж) число с меньше числа 20 в 4 раза; з) число х меньше числа у в 6 раз. 1096. Примеры иллюстрируют некоторое правило. Сформулируйте это правило и запишите его с помощью букв: а) 7-0 = 0, 6)50:1=50, В)4 + (-4) = 0, 15,3-0 = 0, 2,6=1 =2,6, 0,3 + (-0,3) = 0, 2ЛЛ 1.1 1 , / 1 \ Л 5 0 0: 8 1 8’ 3 ( з) °- 1097. Для записи «длинных» выражений в математике часто используют много- точие. Например, выражение 1-2-3-...-50 означает произведение всех натуральных чисел от 1 до 50. Запишите в виде математического выражения: а) произведение всех натуральных чисел от 1 до 100; б) произведение всех натуральных чисел от 1 до п\ в) сумму всех натуральных чисел от 1 до 100; г) сумму всех натуральных чисел от 1 до л; д) сумму всех двузначных чисел; е) сумму всех трехзначных чисел; ж) сумму всех четных двузначных чисел; з) сумму всех нечетных двузначных чисел. 1098. На координатной прямой точками отмечены последовательные целые чис- ла. Одно из них обозначено буквой п (рис. 243). Подпишите соответст- вующие числа под остальными точками. ♦ Ф 4—♦—Ф—Ф—Ф—4—► п Рис. 243 1099. Запишите в виде буквенного выражения: а) произведение двух последовательных целых чисел; б) сумму двух последовательных целых чисел. 1100. Запишите в виде буквенного выражения произведение пяти последова- тельных целых чисел, начиная с числа: а) л; б) л + 3; в) л-2. 245
1101. Запишите в виде буквенного выражения сумму пяти последовательных целых чисел, начиная с числа: a) k; б) Л+1; в) Л-1. 1102. На координатной прямой отмечено число ----4-----+---------► а (рис. 244). Перечертите рисунок в ° тетрадь и отметьте на координатной пря- Рис. 244 мой точки, соответствующие числам: о 1 2а, ^а, -а, -2а. Составление формул В математике правила часто записывают с помощью равенств, содержащих буквы. В таких случаях говорят, что правило выраже- но формулой. Пример 1. Известно, что периметр треугольника равен сумме длин его сторон. Обозначим периметр буквой Р. Если стороны тре- угольника равны, например, 4 см, 6 см и 7 см, то его периметр равен 4 + 6 + 7 = 17 (см). Если стороны треугольника равны 2,7 дм, 4,5 дм и 5,3 дм, то его периметр равен 2,7 + 4,5 + 5,3 = 12,5 (дм). Каковы бы ни были конкретные значения а/ длин сторон треугольника, чтобы найти его пе- / риметр, их надо сложить. Обозначим периметр Z-------------------— треугольника буквой Р, а длины его сторон, выраженные в одних и тех же единицах, бук- Рис- 24^ вами а, Ъ и с (рис. 245). Тогда Р = а + Ь + с. Записанное равенство — формула периметра треугольника. Если треугольник равносторонний, то эта формула примет дру- гой вид. Пусть длина стороны равностороннего треугольника рав- на а. Тогда Р = а + а + а — а-3 = 3а, т. е. Р = 3а. Пример 2. Составим формулы периметра и площади прямо- угольника. Чтобы найти периметр прямоугольника, можно умножить на 2 его длину и его ширину и полученные произведения сложить.
Если длины сторон прямоугольника обо- значить буквами а и Ь (рис. 246), то форму- лу его периметра можно записать так: Р — 2а + 2Ь. Периметр прямоугольника можно найти и другим способом — сложить длину и ши- рину и результат умножить на 2: Рис. 246 Р-2(а + Ь). Очевидно, что результаты вычислений по обеим формулам бу- дут одинаковы. Чтобы найти площадь прямоугольника, нужно его длину умно- жить на ширину. Обозначим площадь прямоугольника буквой S, а длины его сторон буквами а и Ь. Тогда S = ab. Пример 3. Составим формулу объ- ема параллелепипеда (рис. 247). Известно, что объем параллелепипе- да равен произведению трех его измере- ний. Обозначим объем параллелепипеда буквой V, а длину, ширину и высоту бук- вами а, b и с. Получим формулу Рис. 247 V=abc. Пример 4. Всем нам постоянно приходится подсчитывать сто- имость того или иного товара. Например, 2 кг конфет по 70 р. за килограмм стоят 70-2 = 140 (р.); полкилограмма яблок по 30 р. за килограмм стоят 30-0,5 = 15 (р.). Обозначим стоимость буквой С. Тогда стоимость т килограм- мов товара по р рублей за килограмм вычисляется по формуле С—рт. 1103. а) Улитка ползет со скоростью 4 м/мин. 1) Какое расстояние проползет улитка за 3 мин? за 5 мин? за 10 мин? за t мин? 2) Обозначьте расстояние буквой S и запишите формулу для вычисления расстояния, преодоленного улиткой за t мин. 247
6) В одной тетради 48 листов. 1) Сколько листов в 2 тетрадях? в 100 тетрадях? в п тетрадях? 2) Обозначьте общее количество листов в п тетрадях заглавной буквой N и запишите формулу для вычисления N. в) Одна шариковая ручка стоит а рублей. 1) Сколько стоят 2 шариковые ручки? 34 шариковые ручки? 50 шарико- вых ручек? т шариковых ручек? 2) Обозначьте стоимость покупки буквой С и запишите формулу для вы- числения стоимости т ручек. г) За 1 мин междугородного телефонного разговора берется плата х руб- лей. 1) Какова стоимость разговора продолжительностью 3 мин? 5 мин? 15 мин? с мин? 2) Обозначьте стоимость разговора буквой 4 и запишите формулу для вычисления стоимости междугородного разговора за с мин. 1104. Составьте формулы для вычисления периметров многоугольников, изоб- раженных на рисунке 248. а ст Рис. 248 1105. Начертите квадрат. Обозначьте длину его стороны какой-нибудь буквой и составьте формулы периметра и площади квадрата. 1106. а) Чтобы найти площадь изображенного на рисунке 249 многоугольника, его можно разбить на прямоугольники или достроить до прямоугольни- ка. Вычислите площадь этого многоугольника двумя способами. б) Составьте формулы для вычисления площадей фигур, изображенных на рисунке 250. 4 дм 3 дм 4 дм 6 дм Рис. 249 —~ а X У d X С ® ® Рис. 250
a) b a Рис. 251 1107. 1108. 1109. Составьте формулы для вычисления площади закрашенной части фигуры (рис. 251). а) Начертите куб. Обозначьте длину его реб- ра какой-нибудь буквой и составьте формулу объема куба. б) Запишите формулы для вычисления объе- мов фигур, изображенных на рисунке 252. а) В январе зарплату всех работников завода увеличили в 2 раза. Обозначьте старую зар- плату буквой tv, а новую зарплату буквой W и запишите формулу для вычисления новой зарплаты. Определите новую зарплату при w=2500 р.; при w = 3250 р.; w=1850 р. б) Магазин закупает товар по одной цене (обо- значьте ее буквой А), а продает его по боль- шей цене (обозначьте ее буквой п). Запиши- те формулу для вычисления прибыли от продажи, обозначив прибыль буквой С. Под- считайте прибыль, если л = 800 р.; k = 550 р.; если л = 7500 р.; k = 6000 р. 1110. За перевод суммы денег в а рублей почта берет плату, равную с руб- лей, которая вычисляется по формуле с = 0,1 а. Подставьте в формулу вме- сто а значения: 500 р., 1700 р., 13000 р. — и найдите соответствующие значения с. При каждой подстановке скажите, что вы находите. При измерении температуры мы пользуемся градусами Цельсия. Суще- 1112. ствуют и другие температурные шкалы, например пература по этой шкале измеряется в кельвинах измерена в градусах Цельсия (°C), то ее можно выразить в кельвинах по следующей формуле: К = С + 273. Выразите в кельвинах температуру, равную 0 °C; 37 °C; 100 °C; -20 °C; -39 °C. Если известны размеры стены, то можно вычис- лить, сколько потребуется кирпичей для ее стро- ительства. Для этого используется формула Л/=61/Л, где N — число кирпичей, I — длина сте- ны в метрах, h — высота стены в метрах (рис. 253). шкала Кельвина. Тем- (К). Если температура 249
Найдите N, если: а) 1 = 6, h = 4\ б) 1 = 5, h = 5; в) 1 = 24, Л = 15. В каждом случае сформулируй- те задачу, которую вы решали. 1113. Площадь закрашенной части фигуры (рис. 254) вычисляется по формуле S=A2-a2. Объясните, как получена эта формула. Найдите S, если: а) А = 1,9 м, а = 1,1 м; б) А = 2,5 м, а= 1,5 м. А Рис. 254 1114. а) Комната имеет форму прямоугольника со сторонами а и b метров. Ширина проема двери равна 1 м. Сделайте рисунок и составьте форму- лу для вычисления длины плинтуса L, который укладывают вдоль стен комнаты. Вычислите длину плинтуса, который требуется для комнаты, ес- ли а = 6 м, Ь = 3 м; а = 4 м, Ь = 5 м. б) Длины сторон прямоугольного участка земли — х и у метров. Вдоль границы этого участка натягивают трос, чтобы укрепить на нем забор. При этом оставляют проемы 3 м и 1,5 м для ворот и калитки. Сделай- те рисунок и составьте формулу для вычисления длины троса L. Вычис- лите L при х = 60 м, у= 10 м; х = 20 м, £/ = 30 м. 1115. Фирма выдает напрокат велосипеды, при этом плата устанавливается сле- дующим образом: за каждый день проката берется 20 р. и за оформле- ние заказа еще 12 р. а) Обозначьте стоимость проката буквой С и запишите формулу для вы- числения стоимости проката велосипеда за п дней. б) Вычислите стоимость проката велосипеда за 3 дня; за 15 дней; за 30 дней. 1116. Каждый работающий платит подоходный налог в размере 13% от зара- ботка. а) Составьте формулу для вычисления этого налога Т от заработка S. б) Вычислите Т при S = 3 тыс. р.; S = 2,2 тыс. р. 1117. Магазин приобрел телевизоры по цене с рублей, а продал по цене а рублей. а) Составьте формулу для вычисления прибыли Р от продажи 25 телеви- зоров. б) Найдите Р, если с = 5000, а = 7500; с = 3500, а = 4200. 1118. Турист едет на велосипеде со скоростью 12 и плывет на лодке со км скоростью 6 а) Составьте формулу для вычисления проделанного туристом пути s (км), если он ехал на велосипеде а часов и плыл на лодке b часов. 6) Вычислите S при а = 2, д = 3; а = 2,5, Ь = 5. 250
1119. а) Магазин продает картофель, расфасованный в бумажные пакеты. Как найти стоимость пакета картофеля? Обозначьте буквами нужные величи- ны и составьте формулу для определения стоимости пакета картофеля. 6) Как подсчитать число квартир в доме, если известно число квартир на одной площадке, число этажей и число подъездов? Обозначьте бук- вами нужные величины и составьте формулу для определения числа квар- тир в доме. в) Составьте формулу для примерного подсчета числа букв на одной стра- нице книги. 1120. Составьте формулу для вычисления пе- а) б) риметра многоугольника (рис. 255). ---- --------------- ------ 1121. В некоторых странах (например, в Ан- а глии, США) для измерения температу- ры используется шкала Фаренгейта. --- Для перевода температуры, измерен- х х ной в градусах Фаренгейта, в граду- сы Цельсия составляют специальные таблицы. Для этого пользуются фор- мулой у у 5(F-32) 9 Рис. 255 где буква F обозначает число градусов по шкале Фаренгейта, а С — чис- ло градусов по шкале Цельсия. а) Переведите в градусы Цельсия показания дневных температур в раз- личное время года в канадском городе Калгари: +68 °F, +41 °F, +32 °F, + 14°F, -4°F б) Переведите в градусы Цельсия показания температуры человека, из- меренной по шкале Фаренгейта (результат округлите до десятых): 98 °F, 98,6 °F, 99 °F, 100 °F. 1122. а) Число диагоналей L выпуклого многоугольника, у которого п сторон, . . п(п-З) _ вычисляется по формуле L =---------• Подсчитайте число диагоналей вы- пуклого пятиугольника; десятиугольника; двенадцатиугольника. б) Сумма А всех натуральных чисел от 1 до некоторого числа п вычис- ляется по формуле А =---------• Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 10; от 1 до 50; от 1 до 100. Как, используя эту формулу, под- считать сумму всех натуральных чисел от 51 до 100? Чему она равна? Вычисления по формулам Вам неоднократно приходилось решать задачи на движение. На- „ км „„ пример: «Поезд шел 3 ч со скоростью 90 --. Какой путь прошел поезд?» 251
Известно, что пройденный путь равен произведению скорости и времени движения (при условии, что за равные промежутки време- ни проходятся одинаковые отрезки пути). Поэтому поезд прошел путь, равный 90-3 = 270 (км). Нетрудно записать и формулу, по которой находят путь при равномерном движении. Обозначим скорость движения буквой и9 время движения буквой t9 а пройденный путь буквой s. Тогда s = vt. Здесь v, t и s — первые буквы латинских слов velocitas (ско- рость), tempus (время), spatium (расстояние); именно их обычно ис- пользуют при записи формул, связанных с движением. При решении задач на движение приходится не только вычис- лять пройденный путь, но и по известным пути и времени движе- ния находить скорость, а также по известным пути и скорости оп- ределять время движения. Способы решения всех этих задач на движение опираются на одну-единственную формулу s = vt9 в которой участвуют три числа, обозначенные буквами. Если мы знаем два из них, то можем уз- нать и третье: s — vt (по v и t умножением находим s); f = ~ (по s и v делением находим t); v = Y (по s и t делением находим и). Говорят, что в первом равенстве з выражено через и и t9 во втором — t выражено через s и и9 в третьем — v выражено через з и t. А F------------------------------------------------- 1123. Заполните таблицу, пользуясь в каждом случае одной из формул: s s s = vt, v = — t = —. t v 3 75 км 16 км 1000 км 5000 м V 60 км/ч 4 км/ч 1,5 м/с 800 км/ч t 3 ч 5 ч 10 с 20 мин 1124. Банки с консервами пакуются в коробки. Общая масса М банок в короб- ке определяется по формуле М = тп, где т — масса одной банки, п — количество банок в коробке. Объясните, что определяется по формуле 252
п = — и т = —. Заполните таблицу, поль- т п зуясь каждый раз нужной формулой. м т п 0,25 кг 12 6 кг 6 3000 г 150 г 8,4 кг 24 480 г 10 9,6 кг 0,8 кг 1125. 1126. 1127. 1128. 1129. Из формулы площади прямоугольника S=ab выразите а через S и Ь. Най- дите сторону а, если: a) S = 30 см2, Ь = 5 см; б) S = 6,5 м2, Ъ- 1,3 м. Ответьте на следующие вопросы, пользуясь формулой периметра равно- стороннего треугольника Р=3а. а) Чему равен периметр треугольника, если его сторона равна 4 см? 10,5 см? 12 см? б) Чему равна сторона треугольника, если его периметр равен 6 см? 30 см? 7,5 см? в) Выразите сторону а равностороннего треугольника через его пери- метр Р. В кинозале п рядов по k кресел в каждом ряду. Число мест в кинозале можно вычислить по формуле N = kn. а) Сколько мест в кинозале, если А =10, л =12; k = 33, п = 25? б) Сколько в кинозале рядов, если в каждом ряду 15 кресел, а всего в кинозале 300 мест? Выразите п через N и k. в) Сколько кресел в каждом ряду, если всего в кинозале 176 мест и 11 рядов? Выразите k через N и п. В магазине продают женскую одежду, на которой указаны размеры, при- нятые в некоторых европейских странах. Эти размеры можно перевести в размеры, принятые в России, по формуле Я = Е+6, где R обозначает размер в нашей стране, Е — европейский размер. а) Определите, какому размеру в нашей стране соответствует платье, на котором стоит размер: 36, 38, 40, 42, 44. б) Определите, какому европейскому размеру соответствует размер оте- чественного костюма: 42, 44, 46, 48. Выразите Е через R. Периметр треугольника Р можно определить по формуле Р=а + д + с, где а, Ь, с — длины сторон. а) Найдите периметр треугольника, если его стороны равны: 4 см, 5 см, 3 см; 7 см, 9 см, 11 см.
б) Найдите неизвестную сторону треугольника, если Р=18 см, Ь = 6 см, с = 7 см; Р=24 см, а = 8 см, Ь = 9 см. в) Выразите сторону с треугольника через периметр Р и две другие стороны а и Ь. 1130- Объем параллелепипеда V вычисляется по формуле V=abc, где а, Ь, с — его измерения. а) Вычислите неизвестную длину ребра параллелепипеда, если У=48 см3, Ь = 3 см, с = 4 см; V= 210 см , а = 6 см, с = 7 см; У=24 м3, а-3 м, Ъ = 2 м. б) Выразите длину какого-либо ребра параллелепипеда через его объем и длины других ребер. 1131. Количество кирпичей, необходимое для строительства стены, можно вы- числить по формуле /V = 61Zh, где I — длина, h — высота стены (в мет- рах). а) Вычислите, сколько кирпичей требуется для кладки 1 м2 стены. б) Сколько кирпичей ушло на кладку стены длиной 4,5 м и высотой 3,5 м? в) Какой высоты стену можно сложить, если имеется 150 кирпичей и дли- на стены должна быть 3 м? (Ответ округлите до десятых.) Выразите h через N и I. г) Какой длины кирпичный барьер можно построить, если имеется 150 кирпичей и высота барьера должна быть 0,5 м? (Ответ округлите до единиц.) Выразите I через N и h. 1132. Размер телевизионного экрана определяется длиной его диагонали. Длину диагонали, дан- ную в дюймах (d), можно выразить в сантиме- трах (Z) по формуле Z —2,5с/. а) Выразите длину диагонали экрана в санти- метрах, если известно, что она равна 14 дюй- мам; 21 дюйму; 29 дюймам. (Ответ округлите до единиц.) б) Выразите d через Z. Пользуясь новой фор- мулой, определите длину диагонали экрана в дюймах, если она равна 51 см; 61 см; 47 см. (Ответ округлите до еди- ниц.) 1133. а) Проволоку длиной 24 см согнули в прямоугольник. Какую длину будет иметь вторая сторона этого прямоугольника, если одна из сторон равна 8 см? 4 см? 9 см? б) Выразите сторону а прямоугольника через его периметр Р и сто- рону Ь. 254
Формулы длины окружности и площади круга Чтобы получить формулу, по которой можно вычислить длину окружности, проделайте такой эксперимент. Возьмите стакан или какой-нибудь дру- гой предмет, дно которого име- ет форму круга. Оберните ста- кан ниткой и, развернув нитку, измерьте ее длину линейкой. В результате вы получите дли- ну окружности, ограничиваю- щей дно стакана. Затем измерь- те линейкой диаметр донышка. Найдите отношение длины окруж- ности к длине диаметра. Если вы аккуратно проделаете эту рабо- ту, то получите число, близкое к 3. Если обозначить длину окружности буквой С, а диаметр буквой d (рис. 256), то можно запи- сать: ^=з. а Иными словами, длина окружности примерно в 3 раза больше своего диаметра, т. е. С-3d. Вообще, отношение длины окружности к ее диаметру всегда одно и то же9 т. е. оно не за- висит от размеров окружности. Этот замечательный факт был обнаружен еще в Древнем Егип- те, около 3,5 тыс. лет назад. Древние ученые умели вычислять это отношение длины окружности к ее диаметру с большой степенью точности. В XVIII веке для этого числа было введено специальное обозначение — п (буква греческого алфавита, читается «пи»). Не- обычность и удивительность этого числа в том, что его нет среди известных вам чисел — целых и дробных, т. е. среди рациональ- ных чисел. В старших классах вы подробнее изучите такие числа, а сейчас только скажем, что число л можно выражать с помощью рациональных чисел приближенно, и в настоящее время известны его десятичные приближения с большим числом знаков после за- пятой. Вот как, например, выглядит приближенное значение л с десятью знаками после запятой: л^З,1415926535. 255
Используя введенное обозначение, можно записать формулу дли- ны окружности*. C = nd. Если в данной формуле выразить диаметр через радиус, т. е. вместо d написать 2г, то получим другую формулу длины окруж- ности: С = 2пг. Для вычислений по этим формулам обычно пользуются приближен- ным значением числа л, равным 3,14, а иногда даже и равным 3. Пример 1. Найдем, какой длины бордюр по- _______________ требуется для ограждения клумбы, имеющей форму круга с диаметром, равным 4 м. / Возьмем п — 3,14 и подставим в формулу длины [ | окружности С = лс/ вместо d число 4, получим \ / С-3,14-4 = 12,56 (м). X. J Таким образом, нужен бордюр длиной 12,6 м. р ? Существует и формула площади круга*. S = nr\ где S — пло- щадь круга, г — радиус круга (рис. 257). В эту формулу входит число л. Пример 2. Известно, что во всех цирках мира диаметр аре- ны равен 13 м. Найдем площадь цирковой арены (ответ округлим до единиц). Сначала найдем радиус арены: 13 Л к / \ г = ^- = 6,5 (м). Возьмем л —3 и подставим в формулу 5 = лг2 вместо г число 6,5. Получим S - 3 • 6,52 = 3 • 42,25 = 126,75. Таким образом, S—127 м2. Г--------------------------------------------------- 1134. а) Вычислите длину окружности, диаметр которой равен 10 см; 2,5 м. (Возьмите п -3,14.) б) Вычислите длину окружности, радиус которой равен 7,5 см; 5 м. (Возь- мите л~3.) 1135. Радиус земного шара равен примерно 6400 км. Вычислите длину эква- тора. (Возьмите тг-3,14. Ответ округлите до тысяч.) 1136. Вычислите площадь круга, радиус которого равен 100 м; 20 см. (Возь- мите п -3,14). 256
1137. В таблице даны диаметры d различных круглых сал- феток. d см 10 13 15 18 20 25 L см Определите длину кружева L, которое потребуется для отделки каждой салфетки (рис. 258), и запол- ните таблицу. Считайте по приближенной формуле L-3,14с/ и ответ выразите целым числом сантиме- тров (с избытком). Рис. 258 Б 1138. а) Найдите длину выделенной дуги окружности (рис. 259). б) Найдите площадь закрашенной части круга (рис. 259). Указание. Возьмите л-3,14 и ответ округлите до десятых. г = 5 см ф Рис. 259 1139. На рисунке 260 изображен школьный стадион, вокруг которого проложе- на беговая дорожка. Найдите длину дорожки и площадь стадиона. (Возь- мите л-3,14.) 1140. Из квадратного листа картона вырезали круг (рис. 261). Найдите площадь обрезков. 1141. На рисунке 262 изображен цилиндр и его развертка. Чему равны длины сторон прямоугольника, который является частью развертки? Изготовьте развертку в натуральную величину и склейте из нее цилиндр.
Что такое уравнение Задача. Андрей задумал число, умножил его на 2, к полу- ченному числу прибавил 1, результат умножил на 2 и вычел 1. После этого он получил число 33. Какое число задумал Андрей? Обозначим задуманное число буквой х. Тогда Андрей получил: на первом шаге — число 2х; на втором шаге — число 2x4-1; на третьем шаге — число 2(2х4-1); на четвертом шаге — число 2(2x4-1)—1. В результате у него получилось число 33. Следовательно, 2(2x4-!)—1 и 33 — это равные числа: 2(2x4-1)—1 = 33. Мы составили равенство, которое содержит неизвестное число, обозначенное буквой. Такие равенства называют уравнениями. И за- дача состоит в том, чтобы найти это неизвестное число, или, как говорят, решить уравнение. Будем рассуждать последовательно. Слева в данном равенстве стоит разность двух чисел, первое из которых нам неизвестно, и эта разность равна 3?. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нуж- но к разности, равной 33, прибавить вычитаемое 1, т. е. 2(2x4- 1) = 34. Теперь слева стоит произведение числа 2 на неизвестное число 2х + 1, и это произведение равно 34. Значит, неизвестный множи- тель 2х +1 равен частному от деления 34 на 2: 2x4-1 = 17. И снова мы имеем уравнение: сумма неизвестного слагаемого 2х с числом 1 равна 17. Но тогда 2х = 16. Отсюда х = 8. Обычно при решении уравнения рассуждения проводят устно, а запись решения выглядит так: 2(2x4-1)-1 = 33, 2(2х +1) = 34, 2x4-1 = 17, 2х=16, х = 8. Число 8 — это корень данного уравнения. Если подставить его вместо х в левую часть исходного уравнения и выполнить указан- ные действия, то получится 33. I Корень уравнения — это число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство. 258
1142. Найдите задуманное число. Для этого запишите условие задачи с помощью уравнения и решите его. а) Андрей задумал число, вычел из него 10 и получил 15,6. 6) Таня задумала число, прибавила к нему 1,7 и получила 20,7. в) Николай задумал число, умножил его на 2,5 и получил 10. г) Олег задумал число, нашел этого числа и получил 5. Найдите неизвестное число: 1143. а) х + 8 = 73; < в) с- 18- 108; д) 2х = 76; б)31+а = 94; г)36-Л-15; е) 54а-162. 1144. Решите уравнение и проверьте, а) х + 9-27; г) бО-с-18; б) 15 + 1/-51; д) ЮЛ-15; в) Ь-7=14; е) 5х-65. 1145. 1146. а) На рисунке изображены ве- сы, чашки которых находятся в равновесии (рис. 263). Опи- шите с помощью уравнения каждую из этих ситуаций и ре- шите полученное уравнение. б) Составьте уравнение по ри- сунку 264 и решите его. Есть ли среди чисел 3, 4 и 5 корень уравнения: а)2х-1=9; в) 4х = 8; б) 10-Зх=1; г) 36:х=12? правильно ли найден корень: Рис. 263 1147. Найдите подбором корень уравнения: 1 . х о 1 а) 2’а = 5; в) 2i/-y; б) 4-с = 4; г) 0,7т = 0. О 1148. Запишите условие каждой за- дачи с помощью уравнения. Решите одну из этих задач. а) Задумали число, умножили его на 10, к результату при- бавили 30, получили 100. Ка- кое число задумали? б) Таня задумала число, умно- жила его на 15 и результат вычла из 80. Получила 20. Ка- кое число задумала Таня? Рис. 264 259
в) Саша задумал число, прибавил к нему 15 и результат умножил на 10. Получил 200. Какое число задумал Саша? г) Задумали число, удвоили его, из результата вычли 6, получили 42. Ка- кое число задумали? 1149. Составьте задачу для своего соседа по парте. Для этого задумайте ка- кое-нибудь число, умножьте его на 5, к результату прибавьте 100. Какое число вы получили? Теперь запишите свою задачу. Она должна начинать- ся так: «Я задумал число, умножил его на...» Составьте уравнение по условию задачи (1150—1152). 1150. а) Туристский маршрут проходит по про- селочной дороге 0,8 км, вдоль реки 3,5 км, полем 1,7 км и дальше лесом. Сколько километров туристы идут ле- сом, если длина всего маршрута 15 км? б) От куска ткани отрезали полметра и еще четверть метра. В куске оста- лось полтора метра. Найдите перво- начальную длину куска ткани. 1151. а) В автобусе было несколько пасса- жиров. На первой остановке вышло 8 и вошло 5, а на второй вышло 9 и во- шло 16 пассажиров. Сколько пассажи- ров было в автобусе до первой остановки, если после второй остановки автобуса их стало 35? б) Продавец в коробку с катушками добавил 2 десятка катушек. До обе- да он продал 37 катушек и добавил в коробку еще 40. К концу рабоче- го дня он продал еще 45 катушек, а в коробке осталось 3 катушки. Сколь- ко катушек было в коробке первоначально? 1152. а) К концу года цена журнала увеличилась в 2 раза, а через полгода она поднялась еще на 6 р., и после этого журнал стал стоить 30 р. Какова была первоначальная цена журнала? б) В коробку с конфетами добавили 19 конфет и разделили их поровну между 8 детьми. Каждый получил по 7 конфет. Сколько конфет было в коробке сначала? 1153. Решите уравнение и сделайте проверку: а) 56 + 3х = 62; б) 8а-11 =69; в) 94-5Ь = 64; r)6i/+10=16. Б F--------------------------------------------- 1154. Запишите условие каждой задачи с помощью уравнения. Решите ка- кую-нибудь из этих задач. а) Ученик задумал число, умножил его на 2, из результата вычел 15, по- лученный ответ разделил на 10 и получил 0. Найдите задуманное число, б) Ученик задумал число, прибавил к нему 7, эту сумму умножил на 3, из результата вычел 15 и получил 30. Найдите задуманное число. 260
в) Ученик задумал число, умножил его на 4, к результату прибавил 16, эту сумму разделил на 2 и получил 23. Найдите задуманное число. г) Ученик задумал число, вычел из него 1, результат умножил на 5, к произведению прибавил 10 и получил 15. Найдите задуманное число. 1155- Найдите подбором корни уравнения: а) 10а = а; в) х + 2 = 2х; д) |а| = 2 б) 2х = х + 1; г) у2 = 25; е) х2 = х; ,21 ж) b 3 з) — = 2. У 1156. Имеет ли корни уравнение: а) х = х + 2; б) х = 2х; в) х + 3 = х + 6; г) Зх = 6х? 1157. Составьте уравнение по условию задачи и решите ее. а) Перед обедом у продавца осталась треть имевшихся у него яблок. По- сле обеда он продал еще 55 кг яблок и у него осталось 14 кг яблок. 1158. Сколько яблок было у продавца первоначально? б) Из банки отлили половину молока, потом еще 300 г. После этого в банке осталось 100 г молока. Сколько молока было в банке сначала? Решите уравнение: а) 1,5х + 7=10; д) {а- 1):0,5 = 5,2; б) 2,6а-0,9 = 3; е) (х: 100)+ 20 = 7,2; в) («/ + 1,1) —2 = 5; ж) 10-0,36^6,4; г) Ь: 10 —0,1 =0,07; з) 1,5 + 2,5х = 5. Составьте уравнение по условию задачи (1159—1162). 1159. а) В двух коробках 27 карандашей, причем в одной из них на 5 каран- дашей больше, чем в другой. Сколько карандашей в каждой коробке? б) Маршрут в 48 км туристы прошли за 2 дня, причем в первый на 10 км меньше, чем во второй. Сколько прошли туристы в первый день? 1160. а) В баке и ведре 24 л воды. В ведре воды в 3 раза меньше, чем в ба- ке. Сколько литров воды в ведре? б) В компот положили 18 яблок и слив, причем слив в 2 раза больше, чем яблок. Сколько яблок положили в компот? 1161. а) Олег в 3 раза старше Андрея. Сколько лет каждому мальчику, если Олег на 8 лет старше Андрея? б) Саша старше Сережи на 4 года. Через год им вместе будет 20 лет. Сколько лет каждому? 1162. а) В одном баке было в 2 раза больше бензина, чем в другом. Из пер- вого бака отлили 7 л бензина, а во второй добавили 3 л. После этого бензина в баках стало поровну. Сколько бензина было во втором баке? б) В одном детском саду было в 3 раза больше детей, чем в другом. Когда из первого детского сада перевели во второй 30 детей, то детей в детских садах стало поровну. Сколько детей было во втором детском саду сначала? 261
ДЛЯ ТЕХ, КОМУ ИНТЕРЕСНО Задачи, решаемые в целых числах Задача. Мама дала Алеше 50 р. и попросила купить открыт- ки, чтобы послать знакомым поздравления с наступающим празд- ником. Алеше понравились открытки по 8 р. и по 6 р. Но прода- вец сказал, что он только что начал работать и у него совсем нет денег для сдачи. Тогда Алеша решил купить открытки на все 50 р. Удастся ли ему это сделать? Чтобы ответить на вопрос, воспользуемся хорошо знакомым приемом перебора всех возможных вариантов. Понятно, что купить на все 50 р. без сдачи открытки только одного вида Алеше не удаст- ся (число 50 не делится ни на 8, ни на 6). Если Алеша купит одну открытку за 8 р., то у него останется 42 р. и он сможет купить еще 7 открыток по 6 р. Если он возьмет 2 открытки по 8 р., то у него останется 34 р. Но на 34 р. купить без сдачи открытки по 6 р. невозможно. Точ- но такой же результат получится, если он возьмет 3 открытки по 8 р. И т. д. Полностью рассуждения Алеши представлены в таблице. Кол-во открыток по 8 р Общая стоимость, р. Оставшаяся сумма, р. Кол-во открыток по 6 р. 1 8 42 7 2 16 34 — 3 24 26 — 4 32 18 3 5 40 10 — 6 48 2 — Из таблицы видно, что у Алеши есть два варианта покупки: 1 открытка по 8 р. и 7 открыток по 6 р. или 4 открытки по 8 р. и 3 открытки по 6 р. Попробуйте теперь сами выяснить, смог бы Алеша на 50 р. ку- пить без сдачи открытки по 8 р. и по 5 р.; по 3 р. и по 6 р. Задач, подобных рассмотренной, очень много. Их особенностью является то, что ответ на поставленный вопрос выражается целы- ми числами. Такие задачи много веков*гому назад послужили толч- ком к созданию специального раздела математики. 262
1163. На чемпионате по футболу очки начисляют следующим образом: за по- беду присуждают 3 очка, за ничью 1 очко, за поражение 0 очков. Коман- да сыграла 8 игр и получила 20 очков. Сколько было у нее побед, по- ражений и сколько игр сыграно ^чичью? 1164. Из 30 спичек Володя сложил треугольники и квадраты. Сколько фигур каждого вида у него получилось, если на треугольники он тратил по 3 спички, а на квадраты — по 4? Сколько фигур каждого вида получи- лось бы у Володи, если бы стороны треугольников и квадратов он скла- дывал из двух спичек? 1165. Для игр на детском празднике организаторам нужно 145 фломастеров. В магазине фломастеры есть в упаковках по 20 и по 15 штук. Могут ли организаторы купить ровно столько фломастеров, сколько им нужно? 1166. Подданные привезли в дар шаху 300 драгоценных камней. Камни были разложены в маленькие шкатулки по 15 штук в каждой и в большие — по 40 штук в каждой. Сколько было тех и других шкатулок, если извест- но, что маленьких шкатулок было меньше, чем больших? 1167. Петя предложил Маше отгадать два двузначных числа, которые он заду- мал. Первое число делится на 7, второе делится на 3 и дополняет пер- вое до 100. Маша сказала, что таких пар чисел несколько. Какие пары чисел отыскала Маша? Укажите какое-нибудь дополнительное условие, при котором его задача имела бы только одно решение. I 1 Задания для самопроверки к главе 11 (Обязательные результаты обучения) 1. Составьте выражение по условию задачи: «Наташе k лет, а Лена на 5 лет младше Наташи. Сколько лет Лене?» 2. Запишите формулу периметра прямоугольника. 3. а) Запишите формулу площади прямоугольника (стороны прямоугольника обозначьте буквами а и Ь). 6) Вычислите площадь прямоугольника, если а =15 см, 6=100 см. в) Найдите сторону прямоугольника, если его площадь равна 240 м2, а од- на из сторон равна 12 м. 4. Запишите формулу для вычисления площади фигуры, j——————— изображенной на рисунке 265. ----Д--------— _______b ______ 5. Решите уравнение: TJ i у а)|х=2; б) х-7 = 5,2; в)х + 9 = 17; г) 8,6-х = 5,1. ----LJ--------- Составьте уравнение по условию задачи (6, 7). Рис. 265 6. Задумали число, увеличили его в 3 раза и из резуль- тата вычли 7. Получилось 17. Какое число задумали? 7. С полки сняли 7 книг, потом еще 9 книг, затем добавили 12 книг. После этого на полке стало 40 книг. Сколько книг было на полке первоначально?
| Мл : Сумма углов треугольника Среди всевозможных многоугольников наименьшее число сто- рон имеет треугольник. Человек начал изучать треугольник с глу- бокой древности. Многие его свойства издавна и по сей день ис- пользуются в технике, строительстве, даже в искусстве. В этом пункте вы познакомитесь с одним из важнейших свойств треуголь- ника — свойством его углов. Предлагаем вам провести следующий эксперимент. Пусть каж- дый ученик в классе начертит в тетради какой-нибудь треугольник, измерит с помощью транспортира его углы и найдет их сумму. У всех должен получиться результат, близкий к 180°. Это объяс- няется тем, что сумма углов любого треугольника в точности рав- на 180°. А небольшие отклонения от этой величины, которые, воз- можно, у вас получились, связаны с погрешностями при измерении. Сумма углов любого треугольника равна 180°. у Задача. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 50°. Найдем величины углов при основании. Равнобедренный треугольник обладает следу- ющим свойством: углы при основании равнобед- ренного треугольника равны (рис. 266). Это сле- дует из того, что у него есть ось симметрии. Рис. 266 264
Так как сумма углов треугольника равна 180°, то углы при ос- новании вместе составляют 180° —50°= 130°. Значит, каждый из них равен 130° • 2 = 65°. Рис. 267 1169- В треугольнике ABC z^ = 37°, ^в=109°. Найдите угол С. 1170- Объясните, почему в треугольнике не может быть: а) больше одного ту- пого угла; б) больше одного прямого угла. 1171. а) Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 30°. Какова величина другого острого угла? Начертите этот треугольник, если изве- стно, что его гипотенуза (сторона, лежащая против прямого угла) равна 5 см. б) Начертите в тетради какой-нибудь прямоугольный равнобедренный тре- угольник. Чему равны острые углы прямоугольного равнобедренного тре- угольника? 1172. Вычислите углы равнобедренного треугольника, если: а) угол при верши- не равен 28°; б) угол при основании равен 77°. 1173. Докажите, что в равностороннем треугольнике все углы равны. Чему рав- на величина угла равностороннего треугольника? Б Г------------------------------------------------- 1174. а) Найдите величины двух углов равнобедренного треугольника, ес- ли известно, что третий угол равен 124°; 48°. Сколько решений име- ет задача в каждом случае? б) Постройте два различных равнобедренных треугольника с основанием, равным 5 см, и одним из углов, равным 40°. 1175. Найдите углы треугольника, изображенного на ри- сунке 268. 1176. Постройте какой-нибудь треугольник АВС, в ко- тором АА = 40°, zB = 50°. Проведите биссектрисы углов А и В. Точку пересечения биссектрис обо- значьте буквой О. Вычислите величину угла АОВ. Рис. 268 265
1177. В треугольнике ABC 2^4 = 30° (рис. 269). Найти величину угла CBD. Указание. Вычисляйте углы в порядке их номеров на рисунке. 1178. Квадрат ABCD, изображенный на рисунке 270, разбит на четыре тре- угольника. Найдите углы этих треугольников. Указание. Начните с треугольника AOD. 1179. Найдите углы треугольника АВС, если известно, что угол В в 2 раза больше угла А, угол С в 3 раза больше угла А. Каков вид этого треугольника? 1180. Задача-исследование. 1) В четырехугольнике ABCD проведена диагональ (рис. 271). Она разбивает четырехугольник на два треугольника. Сумма углов каждого треугольника равна 180°. Чему равна сумма углов четырех- угольника? 2) Начертите в тетради пятиугольник и проведите все диагонали, выхо- дящие из какой-нибудь его вершины. Сколько треугольников получилось? Чему равна сумма углов пятиугольника? 3) Сумма углов четырехугольника равна 180°-2, пятиугольника — 180о,3. Покажите, что сумма углов шестиугольника равна 180° *4. Чему равна сумма углов л-угольника? Параллелограмм На рисунке 272 проведены две пары па- раллельных прямых. При их пересечении образовался четырехугольник. Его противопо- ложные стороны параллельны. Такой четырех- угольник имеет специальное название — парал- лелограмм. Параллелограмм является центрально-сим- Рис. 272 метричной фигурой. Центр симметрии параллелограмма — это точка пересечения его диагоналей. 266
Чтобы убедиться в этом, наложите на па- раллелограмм кальку, прикрепите ее в точке пересечения диагоналей булавкой, переведи- те параллелограмм на кальку и поверните ее на 180°. Параллелограмм снова «войдет» в свой контур (рис. 273). Эксперимент с калькой позволяет нам от- крыть другие свойства параллелограмма. На- пример, в результате выполненного поворота противоположные стороны параллелограмма «поменялись местами», значит, они равны. Итак, противоположные стороны параллело- грамма не только параллельны, но и равны. При этом же повороте закрашенный тре- угольник совместился с белым (рис. 274). Зна- чит, диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Кроме того, при повороте отрезки О А и ОС, а также О В и OD поменялись местами. Это означает, что диагонали точкой пересече- ния делятся пополам. Таким свойством диа- гоналей обладает только параллелограмм. Ис- пользуем это свойство для его построения. • Проведем две пересекающиеся прямые и обозначим точку их пересечения буквой О (рис. 275, а). • На одной из прямых отложим циркулем равные отрезки ОА и ОС, а на другой — равные отрезки ОВ и OD (рис. 275, б). • Соединим последовательно точки А, В, С и D (рис. 275, в). Четырехугольник ABCD — параллелограмм. Рис. 273 Рис. 274
Некоторые параллелограммы име- ют свои названия. Параллелограмм, у которого все стороны равны, называ- ют ромбом (рис. 276). Диагонали ром- ба, кроме свойств, присущих всем па- раллелограммам, обладают еще одним: они перпендикулярны друг другу. К параллелограммам относятся и такие хорошо вам знакомые фигуры, как прямоугольник и квадрат. От дру- гих параллелограммов прямоугольник отличается тем, что у него все углы прямые; а у квадрата и все углы пря- мые, и все стороны равны (рис. 277). Слово «параллелограмм» происхо- дит от греческого слова, которое в пе- реводе означает «изображенный парал- лельными». Из Древней Греции при- шло к нам и слово «ромб», означаю- щее «волчок», чей силуэт действитель- но имеет форму ромба. Рис. 276 А 1181. Назовите все параллелограммы, которые вы видите на рисунке 278. 1182. Постройте на нелинованной бумаге не- сколько различных параллелограммов с помощью: а) угольника и линейки; б) одной линейки. 1183. 1) Найдите на рисунке 279 все парал- лелограммы, ромбы, прямоугольники, квадраты. 2) Перечертите в тетрадь параллело- граммы с номерами 2, 5, 6. 268
1184. а) Начертите в тетради, используя свойства клетча- ’ той бумаги, какой-нибудь параллелограмм. £ ....—- "«д б) Точки Д, В и С — вершины параллелограмма, АВ — его сторона (рис. 280). Постройте точку D — четвертую вершину параллелограмма. Сколькими ---------i- - , — . способами это можно сделать? -----._________ 1185. Воспользуйтесь результатами эксперимента с каль- - кой (см. рис. 273) и допишите равенства: АВ = ..., рис 280 ВС=..., ОС=..., OD = ...t /_А = ..., АВ = ..., ЛАВО = ..., ААВС=... . XI 86. \ Вычислите периметр: а) параллелограмма со сторонами 9,4 см и 5,7 см; - б) ромба со стороной 8,5 см. / 1187. Обозначьте длины сторон параллелограмма буквами и составьте форму- лу для вычисления периметра параллелограмма. Составьте формулу для вычисления периметра ромба. 1188. На рисунке 281 изображены параллело- граммы ABCD и ВСМК. Найдите их пери- метры. 1189. Начертите: а) какой-нибудь параллелограмм, диагонали которого равны 4 см и 6 см; б) ромб, диагонали которого равны 4 см и 6 см. 1190. Диагонали прямоугольника равны, а диагона- ли квадрата не только равны, но и перпен- дикулярны друг другу, а) Постройте прямоугольник, диагонали кото- рого равны 6 см. Постройте другой прямоугольник с такими же диагона- лями. 6) Постройте квадрат с диагоналями, равными 8 см. Можно ли постро- ить другой квадрат с такими же диагоналями? 1191. а) У ромба две оси симметрии. Покажите их на рисунке, б) Перегибая лист бумаги, постройте ромб. В С А Зсм D К М Рис. 281 1192. На рисунке 282 изображены ромбы АВСЕ и BCDE. Найдите периметр треугольника ВСЕ и его углы, если ВС = 3 см. 1193. Постройте параллелограмм, диагонали которого равны 4 см и 5 см и пе- ресекаются под углом 30°. 1194. Постройте параллелограмм по заданным сторонам и диагонали (рис. 283).
Рис. 284 1195. На рисунке 284, а—г показаны способы драта, ромба и параллелограмма. Опишите словами каждого четырехугольника и выполните построения. построения прямоугольника, ква- способ построения 1196. 1197. Рис. 285 Рис. 286 а) Сколько ромбов на рисунке 285? б) Сколько параллелограммов на рисунке 286? Четырехугольники на рисунке 287 — параллелограммы. Определите стороны треугольника. 1198. а) Вырежьте из бумаги два равных неравнобедрен- ных треугольника и сложите из них различные парал- лелограммы. Сколько различных параллелограммов вам удалось сложить? А если взять два равных рав- нобедренных треугольника? два равных равносторон- них треугольника? б) Точки А, В и С (рис. 288) — вершины параллело- грамма. Постройте все параллелограммы, вершины которых находятся в этих точках. Указание. Используйте карандаши разных цветов. 1199. 1) На рисунке 289 А — множество параллелограммов, В — множество прямоугольников, С — множество ромбов. Множество каких четырех- угольников обозначено буквой D? 2) Закончите предложение: Всякий прямоугольник является ... . Всякий ромб является ... . Всякий квадрат является ... . 270
Правильные многоугольники В равностороннем треугольнике, как вы знаете, равны все сто- роны и все углы. Четырехугольник с равными сторонами и равны- ми углами — это хорошо известный вам квадрат. Существует и пя- тиугольник с такими же свойствами, и шестиугольник (рис. 290), и вообще многоугольник с любым числом сторон. Рис. 290 Многоугольник, у которого равны все стороны и все углы, на- зывают правильным. Таким образом, равносторонний треугольник — это правильный треугольник, а квадрат — это правильный четырехугольник. Обратите внимание на интересный и важный факт: правильный шестиугольник можно соста- вить из правильных треугольников. Сложим три одинаковых правильных тре- угольника, как показано на рисунке 291 (белые треугольники). При этом три их угла, приложен- ные друг к другу, образуют развернутый угол (60° • 3 = 180°). Приложив снизу еще три таких треугольника, мы получим шестиугольник. Этот шестиугольник правильный: каждая его сторона равна стороне правильного треугольни- ка, а каждый угол — двум углам треугольника, т. е. 120°. Если вы когда-нибудь видели пчелиные со- ты, то, возможно, заметили, что их основа — правильные шестиугольники. И это не случай- но. Как доказали математики, такая конструк- ция очень экономична и прочна. Пчелы «дошли* до этого «своим умом». Рис. 291 271
Рис. 292 Правильные многоугольники обладают важным свойством: все вершины правильного многоугольника лежат на одной окружности (рис. 292). Это свойство можно использовать для его построения. Построить правильный многоугольник можно так: разделить окруж- ность на соответствующее число равных частей (равных дуг) и со- единить последовательно точки деления. Легче всего построить правильный шестиугольник. Чтобы раз- делить окружность на шесть равных частей, достаточно «пройтись» по окружности циркулем с шагом, равным ее радиусу (рис. 293). Соединив последовательно все полученные точки, мы получим пра- вильный шестиугольник. Если мы соединим эти точки через одну, то получим правиль- ный треугольник. А если каждую из шести дуг окружности разде- лим пополам, то мы сможем построить правильный двенадцати- угольник. Внимание ученых и художников всегда привлекали правильные многогранники. Правильным называют многогранник, все грани ко- торого — равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Вы, наверное, удивитесь, но существует всего лишь пять пра- вильных многогранников (рис. 294). 272
Гексаэдр (Куб) Икосаэдр Додекаэдр Октаэдр Рис. 294 Форму правильных многогранников имеют некоторые кристал- лы. Например, кристалл поваренной соли имеет форму куба. 1200. Постройте правильный шестиугольник со стороной 4 см. Рядом по- стройте правильный треугольник. 1201. Два взаимно перпендикулярных диаметра делят окружность на четыре равные части. Воспользуйтесь этим для построения квадрата. 1202. Сколько осей симметрии у правильного треугольника? четырехугольника? пятиугольника? шестиугольника? десятиугольника? Нарисуйте эти фигуры от руки и проведите их оси симметрии. Сколько осей симметрии у пра- вильного 100-угольника? У каких правильных многоугольников есть центр симметрии? Б 1203. а) На рисунке 295 показано, как можно построить правильный две- надцатиугольник. Рассмотрите рисунок и выполните построения. б) Постройте правильный восьмиугольник. 1204. Завяжите узлом полоску бумаги и осторожно разгладьте ее (рис. 296). Вы получите правильный пятиугольник. 10 — Дорофеев. 6 кл. 273
1205. Постройте правильный пятиугольник по следующему плану. Используя транспортир, постройте пять равных углов с общей вершиной, составля- ющих в сумме 360°. • Проведите окружность произвольного радиуса с центром в вершине уг- лов. • Соедините последовательно полученные точки пересечения окружности со сторонами углов. 1206. Чему равны углы правильного шестиугольника? правильного пятиугольни- ка? правильного восьмиугольника? 1207. Используя изображения правильных многогранников (см. рис. 294), за- полните таблицу. Правильный многогранник Форма граней Число граней в одной вершине вершин граней ребер Тетраэдр Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр Слово «тетраэдр» переводится с греческого как «четырехгранник», «гек- саэдр» — шестигранник. Как бы вы перевели с греческого названия дру- гих правильных многогранников? Площади Две фигуры, имеющие одинаковые площади, называют равно- великими. Найдем, например, площади квадрата и прямоугольника, изоб- раженных на рисунке 297. Площадь квадрата равна 2*2=4 (кв. ед.), 274
площадь прямоугольника равна 1*4 = 4 (кв. ед.). Следовательно, эти фигуры равновелики. На рисунке 298 те же квадрат и прямоугольник наложены друг на друга. Закрашенные многоугольники равновелики. Действитель- но, если от равных величин (площади квадрата и площади прямо- угольника) отнять поровну (площадь белого многоугольника), то по- ровну и останется. Если фигуры составлены из одинаковых частей, или, как гово- рят, равносоставлены, то они имеют и равные площади. Рассмотрим две фигуры, изображенные на рисунке 299, а. Ока- зывается, эти столь непохожие друг на друга фигуры можно раз- резать на одинаковые части (рис. 299, б). Значит, они равновели- ки. Это свойство равносоставленных фигур дает нам полезный прием нахождения площадей. Он заключается в перекраивании одной фи- гуры в другую, площадь которой мы вычислять умеем. Рис. 299 Используем этот прием, чтобы найти площадь параллелограм- ма. Разрежем параллелограмм вдоль линии, перпендикулярной сто- роне, и переложим отрезанный треугольник, как показано на ри- сунке 300. Параллелограмм удалось перекроить в прямоугольник, а способ вычисления площади прямоугольника уже известен. Подобным образом можно найти и площадь треугольника (рис. 301, а). Треугольник легко достроить до параллелограмма, проведя прямые, параллельные двум его сторонам (рис. 301, б). Оче- видно, что площадь нашего треугольника составляет половину пло- щади построенного параллелограмма. А как найти площадь парал- лелограмма, вы уже знаете. Q 10* Рис. 300 Рис. 301 275
A 1208. Среди фигур, изображенных на рисунке 302, найдите равновеликие. Рис. 302 1209. Нарисуйте какой-нибудь прямоугольник, равновеликий квадрату со сторо- ной 6 см. Сколько существует прямоугольников с такой площадью, дли- ны сторон которых выражаются целыми числами? 1210. Покажите, что площади фигур, изображенных на рисунке 303, равны. Рис. 303 Указание. Перекроите каждую фигуру в квадрат. 1211. Два одинаковых квадрата расположены так, как показано на рисунке 304. Докажите, что сумма площадей синих треугольников равна сумме площа- дей белых треугольников. 1212. а) Покажите, как параллелограмм, изображенный на рисунке 305, можно перекроить в прямоугольник. Чему равна площадь параллелограмма? б) Вырежьте из бумаги параллелограмм и перекроите его в прямоуголь- ник. Проведя необходимые измерения, найдите площадь этого паралле- лограмма. 276
1213- 1) Каковы измерения прямоугольника, в который можно перекроить па- раллелограмм, изображенный на рисунке 306? Чему равна площадь па- раллелограмма? 2) Составьте формулу для вычисления площади S параллелограмма (рис. 307). 1214. а) Найдите площади закрашенных треугольников, изображенных на ри- сунке 308. Рис. 309 Рис. 308 б) Достройте каждый треугольник, изображенный на рисунке 309, до пря- моугольника и определите его площадь. 1215. Составьте формулу для вычисления площади S прямоугольного треуголь- ника с катетами а и b (рис. 310). Вычислите площадь треугольника при: а) а = 3 см, Ь = 4 см; б) а = 4,5 см, Ь = 6 см. 1216. Нарисуйте несколько фигур, равновеликих фигуре, изображенной на ри- сунке 311. 277
Б F-------------------------------------------------- 1217. Перечертите данный треугольник в тетрадь (рис. 312). Чему равна площадь треугольника? 1218. Определите площади многоугольников (рис. 313). 1219. Прямоугольники, изображенные на рисунке 314, равновелики. Верно ли, что закрашенные треугольники также имеют одинаковые площади? Рис. 314 Рис. 315 1220. Найдите площадь закрашенного треугольника (рис. 315). 1221. Через точку внутри квадрата проведены прямые по сторонам и диагона- лям клеток (рис. 316). Покажите, что сумма площадей закрашенных час- тей равна сумме площадей незакрашенных частей. Рис. 316 278
4 см 3 см Рис. 317 5 см Рис. 318 1222. а) От квадрата отрезали четыре равных треугольника (рис. 317). Найди- те площадь оставшейся части. Какой фигурой является закрашенный мно- гоугольник? б) От квадрата отрезали четыре равных треугольника (рис. 318). Чему равна площадь каждого треугольника? Призма В этом пункте вы познакомитесь еще с одним семейством мно- гогранников — призмами. Название «призма» произошло от грече- ского слова, которое можно перевести как «отпиленный кусок». По- смотрите на рисунок 319: на нем изображены различные призмы. Рис. 319 Среди граней призмы различают боко- вые грани и основания (рис. 320). Осно- вания представляют собой два равных мно- гоугольника, расположенные в параллель- ных плоскостях, боковые грани призмы — прямоугольники. Называют призму по числу сторон ос- нования. Например, призма, изображенная на рисунке 320, четырехугольная. Основание 279
С одной из четырехугольных призм вы уже хорошо знакомы — это параллелепипед (рис. 321). Точ- нее его называют прямоугольным параллелепипедом: все его грани являются прямоугольниками. Призмы часто использовались зодчими при возведении замков, башен, церквей. Посмотрите на фо- то. На нем вы видите башню ры- царского замка, расположенного в городе Выборге. Нижняя часть башни — это куб, а средняя ее часть — восьмиугольная призма, «вырезанная» из такого же куба. 1223 Назовите каждую призму на рисунке 319. 1224. Начертите в тетради такую же призму, как на рисунке 322. За- красьте видимые боковые грани одним цветом, а видимое осно- вание другим. 1225. а) Сколько у пятиугольной приз- мы боковых ребер? всего ребер? Сколько у нее боковых граней? всего граней? Сколько у этой призмы вершин? б) Ответьте на те же вопросы для шестиугольной призмы. 1226. Сколько потребуется проволоки, чтобы изготовить каркасную модель: а) треугольной призмы, все ребра которой равны 10 см; б) пятиугольной призмы, боковые ребра которой равны 8 см, а все ребра основания рав- ны 5 см? 1227. а) Куб распилили, как показано на рисунке 323. Какие при этом получились многогранники? б) Нарисуйте пятиугольную призму (например, как на рисунке 322, б). Покажите, как можно распи- лить ее на треугольные призмы. Рис. 323 280
1228. На рисунке 324 изображена развертка треугольной призмы, основанием которой является прямоугольный равнобедренный треугольник. Перенесите развертку на лист плотной бумаги, увеличив каждый отрезок в 3 раза. Склейте призму из по- лучившейся развертки. Указание. Не забудьте оставить поло- ски бумаги для склеивания развертки. Б 1229. Сколько вершин, ребер, граней: а) у семиугольной призмы; б) у де- сятиугольной призмы; в) у n-угольной призмы? 1230. а) У призмы 2000 вершин. Сколько вершин в каждом основании этой призмы? Назовите эту призму. Существует ли призма, у которой 2001 вершина? б) У призмы 33 ребра. Что это за призма? Существует ли призма, у ко- торой 100 ребер? в) У призмы 22 грани. Какая это призма? Существует ли призма, у ко- торой 23 грани? 1231. Известно, что данный многогранник является либо пирамидой, либо приз- мой. Что это за многогранник, если у него: а) 13 вершин; б) 15 ребер? 1232. Найдите объемы многогранников, изображенных на рисунке 325.
Рис. 326 1233. Запишите формулу для вычисления объемов V многогранников, изобра- женных на рисунке 326. 1234. Основанием параллелепипеда является квадрат. Боковое ребро паралле- лепипеда равно а см, ребро основания равно Ъ см. Запишите формулу для вычисления длины L проволоки, которая потребуется на изготовле- ние его каркаса. 1235. Куб с ребром 10 см распилили на части тремя плоскостями, параллель- ными его граням так, как показано на рисунке 327. На сколько частей раз- резан куб? Найдите объемы наиболь- шей и наименьшей частей. 1236. а) Пусть в многограннике В —число вершин, Р — число ребер, Г — число граней. Число В-Р + Г называют эй- леровой характеристикой, по имени ве- ликого российского математика Лео- нарда Эйлера. Убедитесь, что для всех многогранников в таблице это число равно 2, т. е. В-Р + Г = 2. Рис. 327 Многогранник Число В-Р + Г вершин ребер граней Призма треугольная четырехугольная Пирамида пятиугольная восьмиугольная б) Убедитесь, что для правильных многогранников (см. № 1207) число В-Р + Г также равно 2. 282
ДЛЯ ТЕХ, КОМУ ИНТЕРЕСНО Паркеты Вы, конечно, знаете, что такое пар- кет. Обычно паркет выкладывают из дощечек, имеющих форму прямоуголь- ника, и чаще всего «елочкой». Но со- ставление паркета может быть и ис- кусством. Им в совершенстве владели крепостные мастера, создававшие пар- кеты во дворцах царей и вельмож (см. фото). С точки зрения математики паркет — это покрытие плоскости геометрическими фигурами без зазоров и пересечений. Рассмотрим сначала паркеты из правильных многоугольников — треугольника, четырехугольника и шестиугольника. Самый простой пример пар- кета, составленного из одинаковых квадратов, — это ваша тетрадь в клеточку. На рисунке 328 изображен паркет из правильных треугольников, переходящий в паркет из правильных шестиугольников. В каждой вершине паркета из треугольников встречается шесть фигур, из квадратов — четыре, из шес- тиугольников — три. Так получается потому, что углы фигур в каждой вер- шине паркета должны составлять 360°. Именно поэтому других паркетов из правильных многоугольников быть не может. Если вы попытаетесь сложить паркет, например, из пра- вильных пятиугольников, то увиди- те, что три пятиугольника не сом- кнутся, а четыре «налезут» друг на друга. Выложить паркет можно и из не- скольких видов правильных много- угольников. Например, паркет на ри- сунке 329 составлен из правильных треугольников, четырехугольников и шестиугольников. В каждой вершине сходятся треугольник, два квадрата и шестиугольник. 283
1237. Из каких фигур составлен паркет, изображенный на рисунке 330? Какие фигуры сходятся в каждой его вершине? Вырежьте из цветной бумаги необходимые фигуры и выложите их на столе в виде такого паркета. 1238. Из правильных восьмиугольников и квадратов можно сложить паркет так, как показано на рисунке 331. Найдите величину угла правильного вось- миугольника. Но не только правильные многоугольники могут служить для со- ставления паркета. 1239. Вырежьте из бумаги 20 одинако- вых произвольных треугольников. Выложите из них паркет. Всегда ли это можно сделать? Почему? 1240. Вырежьте из бумаги 10 одинако- вых четырехугольников произ- вольного вида и выложите из них паркет. Объясните, почему это можно сделать. В этом вам по- может рисунок 332. Посмотрите на рисунок 333. Это один из удивительных паркетов, со- зданных известным швейцарским ху- дожником Морисом Эшером. Конеч- но, придумать нечто подобное очень непросто, но все же попытаться сто- ит! За основу можно взять квадрат и попробовать превратить его в бо- лее сложный элемент для получения паркета. Для этого составьте из не- скольких квадратов другие фигуры (334, а), или разбейте квадрат на рав- ные части (рис. 334, б), или пере- кроите его (рис. 334, в). Рис. 333 284
Рис. 334 1241. Начертите в тетради паркеты из элементов, изображенных на ри- сунке 334. Рис. 335 1242. Рассмотрите внимательно паркеты, изображенные на рисунке 335, — они созданы вашими сверстниками. Попробуйте выделить элемент одного из паркетов и нарисовать его. Придумайте свой паркет.
Задания для итогового повторения Задание 1 . _ , 108 360 315 1. Даны дроби: 225 ; 480; 540- а) Сократите данные дроби, используя известные вам признаки делимости натуральных чисел. б) Укажите наибольшую и наименьшую из этих дробей. 2. а) Какая .часть прямоугольника на рисунке 336 за- крашена? „ 2 б) Сравните получившееся число с числом у. в) Сколько еще квадратов надо закрасить, чтобы бы- 2 ло закрашено у прямоугольника? « « /5 2\ /2 7 \ о 1 3. Вычислите: -g--: у+^(-Зу. з 4. В журнале 168 страниц. Корректор прочитал до обеда всего журнала, а о после обеда еще несколько страниц. После этого ему осталось прочитать 1 о у журнала. Сколько страниц прочитал корректор после обеда? 5. Зрители могут выйти из кинозала через узкие и широкие двери. Если от- крыты только узкие двери, то все зрители выходят за 15 мин. Если откры- ты только широкие двери, то все зрители выходят за 10 мин. За какое вре- мя зал освободится, если открыты одновременно те и другие двери? Задание 2 . п « 36 27 75 1. Даны дроби: а) Сократите эти дроби и укажите наименьшую из них. б) Начертите координатную прямую и отметьте на ней данные числа. 2. Поле площадью 7,5 га разбито на 12 равных участков. а) Найдите площадь каждого участка. б) Выразите площадь участка в квадратных метрах и в арах (1 га =10000 м2 э, 1 а=100 м2). 21 1 1 3. Вычислите: 30 = (5--ZZ-* 5-Z-: 1 £О □ Э 2 4. Редактор прочитал рукописи, что составило 80 страниц. На другой день э он прочитал четверть оставшихся страниц. а) Сколько страниц в рукописи? б) Сколько страниц еще не прочитано? 286
5. Зрители могут выйти из кинозала через узкие и широкие двери. Если от- крыты одновременно те и другие двери, то зал освободится через 4 мин. Если открыты только узкие двери, то все зрители выйдут через 12 мин. За какое время все зрители выйдут из кинозала, если открыты только широ- кие двери? Задание 3 1. Даны числа: 5,25; 5,51; 4,12; 3,305; 5,503; 3,295; 4,638. а) Выпишите те из них, которые больше 3,3, но меньше 5,5. б) Расположите выписанные числа в порядке возрастания. в) Найдите сумму этих чисел. 2. Вычислите: (9,12-0,18-1,5) = (3,17 + 4,33). 3. Два мяча находятся на расстоянии 6 м друг от друга. Одновременно они покатились навстречу друг другу и столкнулись через 4 с. а) Найдите скорость сближения мячей. б) Найдите скорость движения каждого мяча, если известно, что скорость одного из них в 2 раза меньше скорости другого. 4. Для детского праздника купили рулон цветной бумаги длиной 16,5 м. На изготовление флажков пошло 0,4 этого рулона. Сколько можно сделать гир- лянд из остатков рулона, если на каждую требуется 1,5 м? 5. Фермер собрал 8,5 ц яблок и 20 ц картофеля. На .............ппшшд хранение он положил 80% собранных яблок и 30% собранного картофеля, а остальное продал. Чего он продал больше: яблок или картофеля? На сколько центнеров? 6. Бассейн прямоугольной формы имеет размер : : 6x9 м. По периметру бассейна выложили бордюр из квадратной плитки размером 30x30 см (рис. 337). Рис- 337 а) Сколько потребовалось плиток? б) Какую площадь занимает бассейн вместе с бордюром? Задание 4 1. Даны числа: 17,63; 17,629; 17,745; 19,534; 20,12. а) Укажите наибольшее и наименьшее из этих чисел. б) На сколько наибольшее число больше наименьшего? в) Расположите числа в порядке возрастания. 2. Вычислите: 43,68:1.4-(0,0312 + 0,056 • 1,05). 3. Два теплохода вышли в одном направлении из одного и того же порта. Один вышел в 7 ч со скоростью 20 км/ч, а другой — в 10 ч 30 мин со скоро- стью 37,5 км/ч. а) Какое расстояние будет между теплоходами в 11 ч 30 мин? б) Сколько будет времени, когда второй теплоход догонит первый? в) Какое расстояние будет между ними в 19 ч, если они будут продолжать движение с такими же скоростями?
4. В киоск привезли 600 газет. Число газет «Досуг» составляло 0,3 всех газет, а остальными были газеты «Спорт» и «Кино». Газет «Спорт» было в 2 раза боль- ше, чем газет «Кино». Сколько газет каждого названия привезли в киоск? 5. В школе 250 мальчиков и 450 девочек. В школьной хоровой студии зани- маются 30% всех мальчиков и 20% всех девочек. Кого в студии больше: мальчиков или девочек — и на сколько? 6. Вокруг газона прямоугольной формы выложена дорожка из плиток разме- ром 40x40 см (плитки уложены в один ряд). Площадь газона 320 м2, а пло- щадь газона с дорожкой 354,24 м2. а) Сколько плиток потребовалось для укладки дорожки? б) Чему равен периметр газона? Указание. Сделайте рисунок. Задание 5 1. Даны числа: 1у; 1-^-; 1^-; 1,025; 1,250; 1,52. Выпишите те из них, которые: а) равны 1,25; б) меньше 1,25. 18,2-10,7 2. Найдите значение выражения: а) 7,2 • 0,5:5,4; б) -^5-----• 3. Ленту длиной 25 м разрезали на 6 равных частей. Найдите длину каждой части, выразив ее в метрах и сантиметрах. 4. Длины сторон прямоугольника относятся как 3:2. Длина большей стороны равна 12 см. Найдите периметр этого прямоугольника. 5. Оптовый склад продает магазинам рис, гречку и пшено. На диаграмме (рис. 338) показано, сколько той или иной крупы продано со склада за месяц, а) Какую часть от общей массы проданных за ме- сяц круп составляет крупа, пользующаяся наиболь- шим спросом? Выразите эту часть в процентах. б) Перерисуйте диаграмму, выразив долю каждой крупы в процентах. Два коммерсанта вложили в проект соответственно 2,5 млн р. и 4 млн р. и получили 10% прибыли. Од- ну половину этой прибыли они потратили на новое оборудование, а вторую половину разделили между собой в том же отно- шении, в каком находились внесенные ими деньги. Сколько получил каждый? Задание 6 1. Начертите координатную прямую, приняв за единичный отрезок 20 клеток, а) Отметьте на координатной прямой числа 0,5 и 0,15 и представьте их в виде обыкновенных дробей. б) Обозначьте буквой середину отрезка, концы которого имеют координаты 0,5 и 0,8. Запишите координату отмеченной точки сначала в виде десятич- ной дроби, а потом в виде обыкновенной дроби. 288
2. Найдите значение выражения: a) q 67 + 0 83 ’ д 32 Университеты и научные институты 3. Торт массой 2,5 кг разрезали на 12 одинаковых кусков. Найдите массу каж- дого куска, выразив ее в граммах. 4. В коробке 27 белых и синих шариков. Число белых шариков относится к числу синих как 4:5. Сколько в коробке белых шариков? 5. На диаграмме (рис. 339) представлено рас- пределение между потребителями компью- теров, проданных магазином за год. а) Определите, какую долю составляют ком- пьютеры, купленные университетами и на- учными институтами. Выразите эту долю в процентах. 6) Перерисуйте диаграмму, выразив долю каждого потребителя в процентах. 6. С предприятия, приносящего доход 25%, два коммерсанта получили прибыль 130 тыс. р. Полученные деньги они разделили в том же отношении, в каком находились их вклады в это предприятие. Сколько денег вложил каждый коммерсант в это предприятие, если их вклады относились как 1,5:5? Задание 7 1 13 1. Даны числа: -1,5; 0,25; 0,5; 0; -^; а) Выпишите числа, меньшие 0,5. б) Расположите эти числа в порядке возрастания. в) Отметьте выписанные числа на координатной прямой. 2. Найдите значение выражения: а) (—0,4)3:(— 0,04-0,2); б) (_-7 + у) 3. Автомобиль едет из одного города в другой. Проехав 2 ч со скоростью и км/ч, он сделал остановку. После этого ему осталось проехать I км. а) Составьте формулу для вычисления расстояния s (км) между этими го- родами. б) Вычислите s при и = 60, Z = 70. в) Сколько километров осталось проехать автомобилю после остановки, ес- ли 8 = 220, v = 70? Выразите I через з и и. г) С какой скоростью ехал автомобиль первые 2 ч, если з = 200, 2=50? Вы- разите v через з и 2. 4. На координатной плоскости построен прямоугольник ABCD. Известны коор- динаты трех вершин: А(- 5; 2), В (-5; 6), С (1; 6). а) Запишите координаты вершины D. б) Найдите периметр и площадь прямоугольника ABCD.
в) Постройте прямоугольник AxByC}Du симметричный данному относительно оси х. г) Укажите координаты середин отрезков BBV BDV BD. 5. Даны числа: -0,5; (-0,5)2; (-0,5)3; (-0.5)4. а) Не выполняя возведения в степень, сравните каждое из чисел с нулем, б) Расположите числа в порядке возрастания. в) Запишите сумму наименьшего и наибольшего из этих чисел и найдите ее значение. 6. Участник математической олимпиады правильно решил 4 арифметические и 3 геометрические задачи и получил 22,5 балла. За решение геометричес- кой задачи начислялось на 0,5 балла больше, чем за решение арифмети- ческой задачи. Сколько баллов начислялось за решение каждой арифмети- ческой и каждой геометрической задачи? Задание 8 1. Вычислите: а) -15 + 22-17-9; в) 5• (-7) + (-3)• (-9); _ о _1_ пл б) 6-(-20)+ (-13); г) °_g . (4 5 / 2 \ -gj - g-* (-у); 6) (0,25-0,375)-0,75. 3. Для шитья полотенец взяли кусок ткани длиной L м. На каждое полотенце идет 0,9 м ткани. После того как сшили п полотенец, в куске осталось I м ткани. а) Составьте формулу для вычисления длины оставшегося куска ткани. б) Вычислите I при L = 50, п = 40. в) Определите длину всего куска ткани, если n = 20, Z = 12. Выразите L че- рез п и I. г) Сколько полотенец было сшито, если L = 70, Z = 16? Выразите п через L и Z. 4. На координатной плоскости отметьте точку А (-3; -4). а) Постройте точку В, симметричную А относительно оси х, и точку С, сим- метричную А относительно у. б) Найдите площадь треугольника АВС. в) Укажите координаты середин отрезков АВ, ВС, АС. г) Постройте треугольник, симметричный треугольнику АВС относительно оси х. 5. Даны числа: -0,7; (—0,7)3; 1,3; 1,32. а) Расположите эти числа в порядке убывания. б) Найдите сумму данных чисел. 6. Участник математической олимпиады решил 9 арифметических и геометри- ческих задач и получил 20 баллов. За решение арифметической задачи на- числялось 2 балла, а геометрической — 2,5 балла. Сколько арифметичес- ких и сколько геометрических задач решил участник олимпиады? 290
> Ответы Глава I »• и> к> i'a л> з? “> 1 от ,5' а> 45' б> '-& => г> 97 «> 3! е) 4- 18. a) у; б) -зу. 22. 2) За 2 дня. 24. д) 1у; е) 1у. 25. в) 11 у; г) 12у. О О со I О 26. а) 1у; б) бут; в) -уг; г) -Д-. 31. За 6 дней. 32. За 28 ч. 33. Через 12 мин. £. /и 1U ои 11 2 7 42- ж) з) 1^у. 46. г) 0; д) 2—; е) -ту. 51. а) 1 м 50 см; б) 4 ч. 53. а) 72 см; 4 14 б) 16 м. 58. а) 42 м и 21 м; б) на 1 ч 10 мин. 60. а) у; б) -^g-. 63. 18 стра- ниц. 64. 320 учащихся. 65. 30 квартир. 71. 96 листов. 72. 120 р. 73. 180 лис- тов. 77. а) В Зу раза. 78. б) у; в 9 раз. 79. 15x15 м. 80. ЗОу, 9у- 14-у и 5^ мин. 103. а) 15 тыс. чел.; б) 400 р. 104. а) 30 тыс. книг и 4 тыс. книг; б) 63 м и 108 м. 108. 1) На 248 человек; 2) 868 учащихся. 109. 60 кг. 110. 151200 р. 116. 360 р. 120. 60 км. 121. а) 900 книг; б) 1440 книг. 123. В 2 раза. 125. На 50%. 129. в) 50 учащихся. 130. Мировой океан — 70%, су- ша— 30%. 132. г) Не более 12%. 136. а) 9; б) 70; 100; 90; последняя диаграмма. Глава II 145. a) Z3 = 29°, Z2 = Z4=151°. 146. а) 10°, 170°, 170°; б) 115°, 65°, 65°; в) все по 90°. 152. ACOK=£DOM= 101 °, ZXOB = 47°, ZLBOD = 32°. 153. 106°, 74°, 106°, 74°. 154. 221=^4 = 38°, Z.2 = 91°, zl3 = 51o. 159. a II 6, m IIZ, n II c, k II d. 167. a) Z1, Z.2 и Z6; 6) Z2 = Z.6 = Z5 = 38°, Z.3 = Z4 = Z_7 = zl8= 142°. 168. ^1=70°, Z.2 =110°, zl3 = 80°. 172. 1) 3 точки; 2) 6 точек. 181. Пересекает отрезки CD и BD. 182. а) Два решения: 8 см или 2 см; б) 8 см или 2 см. 183. а) 6 см, 8 см; б) 6 см, 4 см; в) 3 см, 4 см и 4 см. 186. По перпендикуляру ко второй дороге. Глава III 208. а) 0,02; 0,05; 0,14; 0,17. 215. 15 натуральных чисел, 18 десятичных дробей. 219. в) у ч = 0,4 ч; г) у ч = 0,25 ч; ж) -зу ч; з) уг ч = 0,7 ч. 220. б) 2у ч = 2,5 ч; 2 г) 1"з ч. 222. а) Можно; 0,0475; б) можно; 0,0112; в) можно; 0,01875; г) нельзя. __ _ 6 14 36 ___ V 4 1 1 V 3 . . 2 ___ . __ . 224. г^; air; 226. a) 1g-; б) у; в) г) 1 у. 235. 1 кг 70 г =1,07 кг; 2 т 340 кг = 2,34 т; 82 дм = 8,2 м. 236. 6) 6 мин; 18 мин; 72 мин; 210 мин. 237. В. 240. 5,1 см2. 242. а) Да; 3,100=3,1. 247. а) 17,3 м; 70,5 м. 252. г) 0,8>0,704; д) 0,25 <0,3; е) 0,019 > 0,0067. 263. а) 9; б) 0; в) 8; 9; г) 0; 1; 2. 264. а) у <0,5; б) у <0,4; в) 0,75 <-|; г) 0,25=у; д) у >0,4; е) g^>0,03. 265. a) -j^<0,7<-|;
29 11 б) 0,125<0,13< 2^. 271. б)8учи 5^ ч. 272. б) 240 г и 400 г. 273. б) 30, 35 и 40 книг. 274. 205 и 245 книг. 276. 2 большие и 6 маленьких коробок. 277. 4 треугольника и 6 четырехугольников. 278. По 25 букетов. 280. 12, 12 и 9 учеников. 281. 37 лет. 282. 10 р., 90 р. и 80 р. 285. Масса большой 80 г, масса маленькой 40 г. 287. 10 г. 288. 4 га. 289. 60 р. Глава IV 291. е) 1,33; ж) 5,29; з) 1,2; и) 2,01. 294. е) 15,403; ж) 124,834; з) 16,34; и) 2,209. 296. а) 3,5; б) 7,3; в) 9,3; г) 19,1. 297. г) 0,28; д) 2,9; е) 2,31; ж) 0,091; з) 3,08; и) 0,8. 300. г) 0,14; д) 5,29; е) 89,15; ж) 2,955; з) 15,09; и) 1,5. 303. е) 82,3; ж) 86,55; з) 3,873; и) 105,9. 308. а) 12,5; б) 10. 309. а) 6,87; г) 3,7; д) 21,38. 310. а) 1,21. 311. б) 4,6. 316. а) 12 кг; б) 2,8 кг. 318. а) 8 кг и 10,5 кг; б) 6 л и 9,4 л. 321. в)4: г) Д) 1 е) 322. в) 2,11; г) 0,17; 0 I □ I Э 0U д) 1,31; е) 1,03. 323. а) 17,77; б) 17,59; в) 122,38; г) 17,172. 326. 1,3 км. 327. На 8 га. 2 328. На 9,2 км/ч. 329. 20,5 г, 9,4 г и 15,7 г. 331. в) г) 1. 332. в) 0,045. 334. б) 40 700; д) 10 200 000; и) 785 000 000. 340. в) 356 мл; 12 мл; 1250 мл; 100 мл; 80 мл. 341. в) 2,56 л; 0,35 л; 0,0028 л; 0,00005 л. 350. в) 9,68; г) 22,4; д) 4; е) 6. 352. б) 15,9; д) 6,283; з) 10,414. 353. г) 0,01764; д) 0,0221; е) 0,00021. 354. г) 154,33; д) 45,3; е) 33. 360. в) 1,21; г) 0,25; д) 0,008; е) 1,331. 366. а) 1,632; б) 12,096; д) 2,064; е) 2,275. 367. д) 6; е) 4. 369. а) 1,15 км; б) 1,5 км. 372. 1) 3,15 млн р.; 2) 0,9 млн р. 373. а) 10,5 м; б) 1,5 ч. 374. а) 0,35 км; б) 7 км, 8 км, 5 км. 377. д) е) 1,5. 379. г) 0,00528; д) 0,00216; е) 0,099. 386. а) 11,401; б) 21,94; в) 9,12; г) 6,21. 387. 7,3 км. 389. 6 мин. 392. б) 34,1; д) 30,6; ж) 1,23; з) 2,73. 393. а) 0,63; г) 0,31; ж) 0,011; з) 0,012; и) 0,023. 394. б) 5,315; д) 0,92; ж) 1,225; з) 11,125; и) 1,225. 395. е) 0,48; ж) 37,5; з) 35,4; и) 18,75. 398. а) 450 г; б) 2 м 70 см. 400. б) 34; д) 0,49; е) 0,29; ж) 2,24; з) 7,05; и) 1,1. 401. б) 5500; г) 1020; е) 250. 402. в) 210; г) 0,054; ж) 277,5; з) 0,016; и) 7,068. 405. а) 20 шагов; б) 8 таблеток. 410. а) 9 кусков; б) 10 бутылок; в) 8 рулонов; г) 12 кусков. 411. а) 2,152; б) 0; в) 0,55; г) 0,4. 412. б) 40,18; г) 2,46; д) 27,6; е) 5,2. 413. а) 12 рейсов; б) 7 полотенец. 415. б) 0,5 кг и 0,8 кг. 416. а) 20,8 кг и 22,5 кг; б) 405 г и 220 г. 417. а) 1,05 кг; б) 2,5 кг. 418. а) 2812,5; д) 20,55; е) 2,84; ж) 0,0648; з) 1,2; и) 0,155; к) 14,0625; л) 4,17; м) 0,75. 421. а) 30,286; б) 9,62; в) 3,9; г) 0,1; д) 49,6; е) 1,23. 422. а) 3,8; б) 0,32; в) 0,745; г) 17,5; д) 1,01; е) 4,9. 423. 275 г. 424. 1,5 л, 1,5 л, 2,4 л и 0,8 л. 425. 2,5 км/ч и 4 км/ч. 426. 2,97 кг и 4,29 кг. 430. 2 м. 1 2 1 5 5 2 432. 40 км. 435. б) -=, г) 10,5; ж) 1^-. 436. а) 3^-; б) 4,9; в) к; г) д) 41 -у; О 0 0 У У 0 е) 1,4. 438- б) 8 юбок. 441. б) 8,4 м. 442. а) 62,5 км/ч; б) за 0,25 ч. 5 5 443. а) 62,5 км/ч; б) 16 км/ч и 16,5 км/ч. 444. д) 0,5; е) -5-. 445. a) -z-; г) 10; 1 2 7 У о 1 д) Зт. 446. а) 1,5; б) 4—; в) — г) 2,37. 447. а) 1; б) 0,25; в) 0,02; г) 0 ID I с. IО 451. а) =2 км; б) =1 км. 452. а) = 31 г; б) =454 г. 457. =31 см. 458. =70 м2. 292
463. г) 0,6; 0,57; 0,571. 465. а) 23,33; 6) 0,31; в) 2,33; г) 1,67. 466. а) 1 м 8 см; б) 1 кг 157 г. 476. а) 35,2 км; б) 75 км/ч. 477. а) Через 1,5 ч; б) 3,6 км. 478. а) 60 км/ч и 50 км/ч; б) 55 км/ч и 15 км/ч. 480. а) 4,25 ч; б) на 0,5 ч. 481. а) 150 км; б) 42 км. 483. 2,4 мин. 484. Велосипедист; на 0,25 ч. 485. 19,8 км. 486. Через 15 мин. 487. 600 м. 490. За 12 ч. 491. 3 км/ч и 18 км/ч. 492. 1,5 км. 493. Через 30 мин. Лишние данные — скорости. 494. а) Через 16 мин; б) 1500 м; в) через 8 мин и через 24 мин. 495. в) 0,0101010101 и 0,00...01. 496. а) 0,00...099...9; б) 0,8888888889. 30 цифр 10 цифр 10 цифр Глава V 499. Через центр окружности. 500. 12 см. 504. На двух прямых, параллельных данной прямой и расположенных от нее на расстоянии 3 см. 505. На прямой, проходящей через точку М перпендикулярно данной прямой. 509. а) 8 см, 2 см; б) 2,5 см и 5 см. 512. 2 см и 8 см. 513. а) АР=3 см, ВР=7 см; б) ДР=1 см, ВР=7 см. 514. 50 мм. 515. а) 10 см; б) 8 см; в) 5 см; г) 0 см. 516. а) 4; б) 3; в) 2; г) 1; д) — е) ни одной. 520. 2) а) нельзя; б) можно; в) нельзя. 526. Сто- рона, равная 7 см. 527. Два треугольника со сторонами 2, 5, 6 см и 3, 5, 6 см. 534. а) ОА и ОС; б) ОД, АВ, ВС, ОС, OD. 537. в). 538. 180 см. 539. Высо- та — 24 см, радиус основания — 15 см. 540. а) 6 см; б) нет. 541. 64 шара; 8 шаров. 542. Диаметр шара и высота цилиндра — 10 см. 544. Вершинами тре- угольной пирамиды, все ребра которой равны 2 см. Глава VI 563. а) 4; г) 12,5; д) 565. 5 = 1; в 5 раз. ои 566. а) 1:100000; б) 1=2500. 570. б) 5 = 3; в) 5 = 2. 575. За 0,4 ч. 576. а) В первом случае; б) во втором па- кете. 578. а) Из первой коробки; б) у кандидата В. 580. а) 102 урока и 68 уро- ков; б) 40 мин и 50 мин. 581. а) 1 кг 200 г; б) 880 г. 588. 44 куска мела. 589. 10 карандашей и 18 карандашей. 590. 30, 35 и 10 лет. 591. 50, 40 и 20. 594. а) 22 л; б) 204 м. 602. 5450 р. 603. 1265 р. 604. а) 138 р.; б) 43 стра- ницы. 606. 220 р. 608. 36 девочек и 44 мальчика. 609. 396 г. 610. 150 мг, 270 м2, 180 мг. 611. 20 748 справочников. 613. а) 200 лампочек; б) 300 уча- щихся. 627. а) 52%; б) 23%. 628. 12%-«5», 44% - «4», 42%-«3», 2%-«2». 629. а) На 3%; б) на 25%. 630. а) На 20%; б) на 4%. 639. 80%. 640. 10%. 641. 80% и 20%. 642. 54% и 46%. 648. а) С четвертого знака; б) на 12-м месте — 2 цифра 9; на 20-м месте — цифра 5; на 100-м месте — цифра 2. 651. у = ч 12 3 = 0,285714285714...; -у = 0,428571428571... и т. д. 652. а) -5-; б) -5-; в) -5-; г) 1; ( У У У Д) 4; е) 50. Глава VII 654. а) - в) Нет. 660. N, W, R. 664. а) Одну; б) две. 667. 4 перегибания. 668. Соответствующие стороны параллельны. 672. 1) Две; 2) одну; 3) одну; 4) две; 5) бесконечно много. 675. 6) КО = ОМ =12 см; КР=РМ=16 см; в) /LKOP= zlPOM = 90°, АРМО = 40°. 676. Три. 677. У снежинки — шесть, у мор- 293
ской звезды — пять. 678. а) 40 см; б) 20 см; в) 20 см. 679. а) Прямоугольник; б) прямоугольник или окружность; в) треугольник. 682. а) 17 см; б) 16 см. 689. Девять. 693. Точки D, Е, К и С соответственно. Отрезок CD, отрезок OD, отрезок ЕК, треугольник ВОА, четырехугольник DEKA, четырехугольник DEKO. 700. А и С„ В и D„ D и В,, С и Д,. 705. Провести прямую через данную точ- ку и центр симметрии фигуры. 706. Коля прав. Первый кубик он должен поло- жить в центр симметрии стола, а в каждый из последующих ходов класть кубик симметрично относительно центра тому кубику, который положил Петя. Глава VIII 723. а) +11; б) -11; в) -86; г) +71. 724. а) +1; б) -2; в) -8; г) +5; д) +3; е) -3. 730. б) — 200< —150; г) -101 >-102; е) -310-1003. 733. а) -7; -6; -5; -4; -3; -2; -1; б) -11; -10. 734. а) 0; 1; 2; г) -104; -103; -102; -101; -100; -99; -98; -97. 737. а) -а>-Ь; б) -а>~Ь\ в) -а>-Ь. 744. г) 0; д) - 6; е) -7. 745. в) -25; г) -60. 747. г) -7; д) 0; е) -5; ж) 3; з) 8; и) 0; к) -5; л) 2; м) -16. 749. а) 8; б) 5. 750. а) -990; б) 198; в) 1089; г) -3267; д) -700; е) -3999. 754. д) 39; е) 8; ж) 8; з) -15. 757. б) 30; г) 6. 759. в) 4; г) 2; д) 30; е) 10. 762. а) -15; б) -25; в) 56; г) -51. 763. а) 0; б) 6275; в) -1210. 774. д) -662; е) 512; ж) -49; з) 36. 777. в) -1; г) 3. 778. г) 1; е) 10; ж) -6; з) -3. 779. д) -21; е) 8; ж) 1; з) 0. 785. е) -47; ж) -4; з) -45. 786. а) 20; б) -2; в) -21; г) -100. 791. а) 9; б) -2; в) 0; г) -9. 792. а) -405; б) -155; в) -45; г) -205. 793. а) х = -15; б) х = -25; в) х = - 13; г) х = -36. 798. а) х = -7; б) х = 2; в) х = -8; г) х = 5. 805. б) 120; г) 16; е) 150; ж) -8; з) 90. 807. а) х = 9; б) х = -1; в) х = -2; г) х = 0. 809. г) -39; д) -67; е) 8. 810. а) 150; б) 72; в) -230; г) 246. 811. а) 960; б) -90; в) 16; г) -280. 824. а) -7; б) -1; в) 0; г) 1. 825. а) 8; б) -24; в) -100; г) 21. 826. а) х=-12; б) а =15; в) с = -21; г) ft = 25. 829. а) -14; б) -39; в) 2; г) -1; д) -4; е) -3. 830. а) -5; б) -3; в) -50; г) -10; д) -1; е) -80. 831. а) -5; б) 2; в) -6; г) 5. 832. а) -3; б) 1; в) -5; г) 2. 834. а) 16; б) -8; в) 0; г) -6. 835. а) 18; б) 2; в) 450; г) 450. 836. а) х = -20; б) х = -1; в) х = —10; г) х = 3. 849. а) ДАВ = {1; 2; 3; 6}, 6 —наибольший общий делитель чисел 18 и 24; б) на- именьший элемент — число 12, это наименьшее общее кратное чисел 4 и 6. 851. а) (ДиВ)ПД=Д; б) (ДПВ)ив = В. 854. 9 элементов. 858. 10 человек. 859. У 71 семьи. 861. 7 человек. 862. Нет. Глава IX 868. Получится 9 двузначных и 18 трехэначных чисел. 869. а) 10; б) 20. 870. а) 15; б) 5. 871. а) 10; б) 4; в) 3. 872. Шестью способами. 873. 16 вари- антов. 874. 15 партий. 875. 10 отрезков. 876. Шестью способами. 878. 24 стро- ки. 879. 2. 880. 8. 881. 20. 882. Восемью способами. 884. Десятью способа- ми. 885. а) 3; б) 6; в) 20. 887. а) 12; б) 32. 888. 24. 889. 6-5 = 30. 890. 4-3X Х2-1=24. 891. 5 - 4-3-2-1 = 120. 892. а) 9-5 = 45; б) 9-10-5 = 450. 893. На 10000 абонентов. 894. Нет. 895. Нет. 896. а) 90000; б) 450000; в) 125000; г) 100000. 897. Достаточно. 898. Права Даша. 899. а) 210; б) 105. 902. В и Е — невозможные события; достоверных событий нет. 903. Шансы равны. 907. I, IV, III, II, V. 909. Шансы события А равны 4 36 = 1 = 9; шансы события В равны 18:36=1=2; шансы события С равны 9:36 = 1=4. 910. Событие А невозможное, 294
если вынимают 1 или 2 шара; достоверное, если вынимают от 7 до 9 шаров. 918. 81 билет. 920. 88 шаров. 921. 11. 922. 3 носка. 923. 21 перчатку. 924. б) Да; в) 10; г) 7 комнат. Глава X 943. г) и) а) -2,5 и б) l4 и -1,5; 4 и -3,5. 949. а) -5±; б) 3.2; в) -0,5; L С С 0 12. 959. б) --2 <-5-: в) -1"з>-12': е> “ 7 < ~ ТО’ б) -5-]|<-5-J|; в) -4,12>-4,21. 963. в) 12,11 = |-2.11; 2 1 964. г) --=-<-^-<0. 965. О о существует. 972. а<Ь. 976. а) Для 978. ж) -7,1; з) -14,03. 979. в) 1 3 з) 8,3. 982. в) -3 2-; г) 984. д) 17,35; Ю; д) 7,1; е) 2 3 МЛ 960; 4 > 10 Г д) и -4; в) не б) неверно. в) 30; г) 12. 970. а) 0; б) 4 любых; б) а = 0. 977. а) Верно; г) -1^|. 981. д) -2,9; . 5 . 1 i -4 е) 8": 3) “ "з • 986" в* “1 12 • Г) д) 4; е) -1-пг. 987. ж) -15,72; з) -17,64; и) 3,24. 988. в) у; г) -4; 0Э О IЭ • О 1 2 д) -7. 992. в) 1,5; д) -3^: ж) "2,5; з) -4,4. 993. а) -3,15; в) -0,4; е) 15,9; 4 0 3 4 1 и) 10. 997. б) - 1 зг; г) -£. 1001. в) -17; г) -18. 1002. б) 2,4; г) - 1 О У о 13 1 5 1003. б) в) --5-; е) 1004. в) 2,4; г) 10,2. 1005. в) -9 75-; г) 6,25. 4 4G 0 О 1006. в) 2,1; г) -3. 1011. а) -1,9; б) -3,6; в) -14,8; г) 1; д) -4,4; е) 6,13. 2 1 1013. в) —г-; г) -1-5-. 1014. в) -110; г) -4. 1015. в) -0,78; д) -17. 0 О 1021. в) -7,8; г) 4,3. 1027. б) 108. 1028. б) 8. 1030. 9 р. 1031. 27 человек. 1033. б) 11,2 кг. 1034. 36 р. 1035. 60 ц. 1036. Денег было поровну. 1037. 27 картофелин. 1038. 43 яйца. 1068. 8410 = 2206. 1069. а) 444445; б) 12345. 1072. в) 100002. 1074. а) В восьмеричной; б) во всех системах счисления с основаниями 5, 6 и т. д. Глава XI 1078. а) 4 и 0; б) -10 и 2,5. 1079. б) 10 + ах; г) m-(2 + n); д) 2ab; е) (x + i/)x х(х-у). 1100. в) (п-2)(п- 1)л(л + 1)(п + 2). 1103. a) S = 4t; б) Л/ = 48п; в) С = = ат; г) А = хс. 1104. а) Р=2а + 4х; б) Р=2а + Ь + с; в) Р=5т. 1106. а) 36 дм2. 1107. a) S=ab-cz\ б) S=ab-xy. 1108. б) У=а3-хэ; V=a3 + b3 + c3. 1111. 273 К; 310 К; 373 К; 253 К; 234 К. 1112. а) W= 1464; б) N = 1525; в) N = 21960. 1113. а) 2,4 м2; б) 4 м2. 1114. а) Р=2а + 2Ь-1; 17 м; 17 м; б) L = 2x + 2y-4,5; 135,5 м; 95,5 м. 1115. а) С = 20п+12. 1116. а) T=0,13S; б) 390 р., 286 р. 1117. а) Р=25(а-с) или Р=25а-25с. 1118. а) s=12a + 6b. 1120. а) Р=2х+2у, б) Р~2х-2у-2а. 1122. 6) Чтобы найти сумму всех натуральных чисел от 51 до 100, надо найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, сумму всех р натуральных чисел от 1 до 50 и от первой суммы отнять вторую. 1126. в) а = у. 295
у 1129. в) с = Р-а-Ь или с = Р-(а + Ъ). 1130. б) а = ~^- 1131. в) h ~0,8 м, h = NN I = г) z^5 м» / = -Е7Г- 1132. а) 35 см, 53 см, 73 см; б) d = 61/ 61Л Р-2Ь 2,5 20 дюймов, 24 дюйма, 19 дюймов. 1133. б) а=——• 1134. б) ~45 см, ~30 м. 1135. ~40 тыс. км. 1138. а) 15,7 см; 1,6 см; 6,3 см; б) 39,3 см2; 0,8 см2; 9,4 см2. 1139. 257 м; 4462,5 м2. 1140. 344 см2. 1147. в) ~ г) 0. 1155. г) 5 и -5; д) 2 и -2; е) 0 и 1; ж) 6; з) 1156. а) Нет; б) х = 0. 1157. а) 207 кг; б) 800 г. 1158. в) 5,9; г) 1,7; д) 3,6; з) 1,4. 1165. Могут. Надо купить 2 короб- ки по 20 шт. и 7 коробок по 15 шт. или 5 коробок по 20 шт. и 3 коробки по 15 шт. 1166. 6 больших и 4 маленькие. Глава XII 1168. а) 50°; б) 50°; в) 50°, 50°; г) 30°. 1169. АС = 34°. 1171. а) 60°; б) 45°. 1172. а) 28°, 76°, 76°; б) 26°, 77°, 77°. 1173. 60°. 1174. а) В первом случае — одно решение: 28° и 28°; во втором случае — два решения: 48° и 84°; 66° и 66°. 1175. 80°, 70° и 30°. 1176. 135°. 1177. 60°. 1178. В АДСЮ’ <LAOD = AOAD = = Z_0DA = 6Qo\ в АДОВ: АВАО=30°, /ЛВО=/ЛОВ = 75°; в &DOC-zLCDO=30°, Z_DCO = = ADOC = 75°; в АВОС: АВОС= 150°, ^ОВС = ЛОСВ = 15°. 1179. АД = 30°, АВ = 60°, АС = 90°; прямоугольный. 1186. а) 30,2 см; б) 34 см. 1192. 9 см, 60°. 1196. а) 5 ромбов; б) 16 параллелограммов. 1197. 1 см, 2 см, 2 см. 1206. 120°; 108°; 135°. 1212. а) 25 кв. ед. 1213. 1) а) 3 и 4 см, 12 см2; б) 4 и 5 см 20 см2; в) 3 и 12 см, 36 см2; 2) S = h-a. 1214. а) 14 см2; 4,5 см2; б) 7,5 см2; 8 см2. 1215. S = ±ab; а) 6 см2; б) 13,5 см2. 1217. 12 кв. ед. 1218. 1) 20 кв. ед.; 2) 12 кв. ед.; 3) 20 кв. ед. 1219. Верно. 1220. 13,5 кв. ед. 1222. а) 25 см2; б) 6 см2. 1225. а) 5 боковых ребер, всего ребер — 15; 5 боковых граней, все- го граней — 7; 10 вершин. 1226. а) 90 см; б) 90 см. 1229. а) 14 вершин, 21 ребро, 9 граней; б) 20 вершин, 30 ребер, 12 граней; в) 2л вершин, Зп ре- бер, л + 2 грани. 1231. а) 12-угольная пирамида; б) 5-угольная призма. 1232. а) 2000 см3; б) 105 см3; в) 1296 см3; г) 2100 см3. 1233. a) V=xyb+acb\ б) V=a3-ax2-, в) V=±abc. 1234. L = 4a + Qb. 1235. 8 частей; 343 см3; 27 см3. Задания для итогового повторения Задание 1 3. 1.4. 49 страниц. 5. За 6 мин. Задание 2 2. а) 0,625 га; б) 6250 м2; 62,5 а. 3. 20. 4. а) 200 страниц; б) 90 страниц. 5. За 6 мин. Задание 3 1. в) 31,621. 2. 1,18. 3. а) 1,5 м/с; б) 0,5 м/с и 1 м/с. 4. 6 гирлянд. 5. Яблок на 0,8 ц больше. 6. а) 104 плитки; б) 63,36 м2. 296
Задание 4 1. б) На 2,491. 2. 31,11. 3. а) 52,5 км; б) 14 ч 30 мин; в) 78,75 км. 4. 180 эк- земпляров газеты «Досуг», 280 — «Спорт» и 140 — «Кино». 5. Девочек на 15 больше. 6. а) 214 плиток; б) 84 м. Задание 5 2 1 2. а) б) 0,12. 3- 4— м~4м 17 см. 4. 40 см. 5. а) Рис составляет 0,48 всей о о крупы; 48%; б) рис — 48%, гречка — 28%, пшено — 24%. 6. 125 тыс. р. и 200 тыс. р. Задание 6 5 2. а) 2,4; б) 3. -208 г. 4. 12. 5. а) 0,3; 30%; б) университеты и научные ин- о статуты — 30%, школы — 25%, домашние пользователи — 5%, предприятия — 40%. 6. 120 тыс. р. и 400 тыс. р. Задание 7. 2. a) б) 3. a) s = 2v + l; б) 190 км; в) 80 км; г) 75 км/ч; t> = * . 4. a) D(1; 2); б) 20 см; 24 см2; г) (0; 6), (3; 4), (-2; 4). 5. в) -0,25. 6. 3 бал- ла за арифметическую задачу и 3,5 балла за геометрическую. Задание 8 2. а) 2-4; б) --4. 3. a) l = L-0,9n; б) 14 м; в) 30 м; L = Z + 0,9n; г) 60 полотенец; «з о n 4. б) 24 кв. ед.; в) (-3; 0), (0; 0), (0; -4). 5. в) 1,947. 6. 5 арифмети- ческих и 4 геометрические задачи.
Предметный указатель Абсцисса точки 232 Аликвотная дробь 30 Высота конуса 114 — цилиндра 114 Гексаэдр 273 Гипотенуза 112 Декартова система координат 233 Деление в данном отношении 127 Десятичные дроби 49 — вычитание 68 — деление 82, 83, 88 — округление 92 — сложение 67 — сравнение 60 — умножение 76 Диаграмма круговая 26 — столбчатая 26 Диаметр шара 114 Додекаэдр 273 Икосаэдр 273 Касательная к окружности 104 Катет 111 Комбинаторное правило умножение 194 Конус 114 — усеченный 118 Концентрические окружности 107 Координатная плоскость 232 — прямая 209 Корень уравнения 258 Круги Эйлера182 Круглые тела 113 Круговой сектор 115 Математическое выражение 241 — предложение 241 Метрическая система мер 57 Многоугольник 264 Множество 181 — - бесконечное 182 — конечное 182 Модуль числа 214 Наименьший общий знаменатель дробей 5 Начало координат 232 Неравенство треугольника 111 Объединение множеств 183 Обыкновенные дроби 4 — вычитание 4 — деление 5 — сложение 4 — умножение 5 Октаэдр 273 Ордината точки 232 Орнамент 46 Оси координат 232 Основное свойство дроби 4 Ось абсцисс 232 — ординат 232 Ось симметрии фигуры 146 Отношение 122 Отрицательные числа 158, 208 Параллелограмм 266 Параллельный перенос 47 Паркеты 283 Перебор возможных вариантов 189 Пересечение множеств 183 Периодическая бесконечная дробь 139 Подмножество 182 Правильный многогранник 272 — многоугольник 271 Представление обыкновенной дроби в виде десятичной 54, 55 Приближенное значение с недостатком (с избытком) 92 Призма 279 Противоположные числа 159, 208 Процент 19 298)---
Прямые параллельные 37 — пересекающиеся 34 — перпендикулярные 35 — скрещивающиеся 39 Пустое множество 182 Равновеликие фигуры 274 Равносоставленные фигуры 275 Радиус шара 114 Расстояние между двумя точками 41 — между параллельными прямы- ми 42 — от точки до плоскости 43 — от точки до прямой 42 Рациональные числа 209 --- сравнение 213, 214 вычитание 218 деление 219 сложение 217 умножение 218 Ромб 268 Симметрия зеркальная 143 — осевая 141 — центральная 152 Система счисления 235 Событие достоверное 198 — невозможное 198 — случайное 197 События равновероятные 197 Сфера 114 Тетраэдр 273 Углы вертикальные 34 — смежные 37 Уравнение 258 Формула 246 Формула длины окружности 256 — объема параллелепипеда 247 — периметра прямоугольника 247 треугольника 246 — площади круга 256 прямоугольника 247 — пути при равномерном движе- нии 252 Целые числа 159 сравнение 163 вычитание 170 деление 179 сложение 166 умножение 175 Центр симметрии фигуры 153 Цилиндр 113 Шар 114 Эксперименты со случайными исхода- ми 203 Элемент множества 181 Эллипс 115
Глава 1. Обыкновенные дроби 1.1. Что мы знаем о дробях............................... 3 1.2. «Многоэтажные» дроби .............................. 10 1.3. Основные задачи на дроби........................... 13 1.4. Что такое процент.................................. 19 1.5. Столбчатые и круговые диаграммы.................... 26 Для тех, кому интересно. Аликвотные дроби .......... 30 Задания для самопроверки к главе 1.................. 33 Глава 2. Прямые на плоскости и в пространстве 2.1. Пересекающиеся прямые.............................. 34 2.2. Параллельные прямые................................ 37 2.3. Расстояние......................................... 41 Для тех, кому интересно. Орнаменты ................. 46 Глава 3. Десятичные дроби 3.1. Как записывают и читают десятичные дроби........... 4$ 3.2. Перевод обыкновенной дроби в десятичную............ 54 3.3. Десятичные дроби и метрическая система мер......... 56 3.4. Сравнение десятичных дробей........................ 59 3.5. Задачи на уравнивание ............................. 63 Для тех, кому интересно. Еще раз задачи на уравнива- ние................................................. 65 Задания для самопроверки к главе 3...................66 Глава 4. Действия с десятичными дробями 4.1. Сложение и вычитание десятичных дробей............. 67 4.2. Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000,................................................... 73 4.3. Умножение десятичных дробей ....................... 76 4.4. Деление десятичных дробей.......................... 81 4.5. Деление десятичных дробей (продолжение)............ 88 4.6. Округление десятичных дробей ...................... 91 4.7. Задачи на движение................................. 96 Для тех, кому интересно. «Длинные» выражения с деся- тичными дробями ....................................101 Задания для самопроверки к главе 4.................102 Глава 5. Окружность 5.1. Прямая и окружность................................104 5.2. Две окружности на плоскости........................106 300
5.3. Построение треугольника ...........................109 5.4. Круглые тела.......................................113 Для тех, кому интересно. О колесе, и не только о нем 118 Глава 6. Отношения и проценты 6.1. Что такое отношение ...............................121 6.2. Деление в данном отношении.........................127 6.3. «Главная» задача на проценты ......................129 6.4. Выражение отношения в процентах....................134 Для тех, кому интересно. Бесконечное деление........138 Задания для самопроверки к главе 6..................140 Глава 7. Симметрия 7.1. Осевая симметрия ..................................141 7.2. Ось симметрии фигуры ..............................146 7.3. Центральная симметрия..............................152 Для тех, кому интересно. Задача о пауке и мухе .... 156 Глава 8. Целые числа 8.1. Какие числа называют целыми........................158 8.2. Сравнение целых чисел .............................163 8.3. Сложение целых чисел ..............................165 8.4. Вычитание целых чисел..............................170 8.5. Умножение целых чисел..............................174 8.6. Деление целых чисел ...............................179 8.7. Множества..........................................181 Для тех, кому интересно. Решение задач с помощью кру- гов Эйлера..........................................185 Задания для самопроверки к главе 8.............188 Глава 9. Комбинаторика. Случайные события 9.1. Логика перебора....................................189 9.2. Правило умножения..................................194 9.3. Сравнение шансов ..................................197 9.4. Эксперименты со случайными исходами ...............202 Для тех, кому интересно. В худшем случае...........205 Задания для самопроверки к главе 9.............207 Глава 10. Рациональные числа 10.1. Какие числа называют рациональными ...............208 10.2. Сравнение рациональных чисел. Модуль числа........213 10.3. Действия с рациональными числами..................217 10.4. Решение задач на «обратный ход»...................226 10.5. Что такое координаты .............................228 301
10.6. Прямоугольные координаты на плоскости.............231 Для тех, кому интересно. Системы счисления..........235 Задания для самопроверки к главе 10 ................239 Глава 11. Буквы и формулы 11.1. О математическом языке............................240 11.2. Составление формул ...............................246 11.3. Вычисления по формулам ...........................251 11.4. Формулы длины окружности и площади круга..........255 11.5. Что такое уравнение ..............................258 Для тех, кому интересно. Задачи, решаемые в целых числах .............................................262 Задания для самопроверки к главе 11 ................263 Глава 12. Многоугольники и многогранники 12.1. Сумма углов треугольника..........................264 12.2. Параллелограмм....................................266 12.3. Правильные многоугольники.........................271 12.4. Площади ..........................................274 12.5. Призма ...........................................279 Для тех, кому интересно. Паркеты ...................283 Задания для итогового повторения....................286 Ответы..............................................291 Предметный указатель................................298
Таблица квадратов натуральных чисел от 10 до 99 Еди- \ницы Де- \ сятки X. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 2 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841 3 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521 4 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401 5 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481 6 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761 7 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241 8 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921 9 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801