Текст
                    СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ В ГИДРАВЛИКУ
Глава первая. Определение гидравлики, ее метод и место, зани-
занимаемое ею среди других дисциплин . 9
Глава вторая. Главнейшие физические свойства жидкостей и силы
действующие в них ]3
2-1. Капельные жидкости и газы щ \%
2-2. Силы, действующие в жидкости 1 . t 14
2-3. Плотность и объемный, вес жидкости ' J9
2-4, Вязкость жидкостей. Динамический и кинематический коэффи-
коэффициенты вязкости 21
2-5. Упругость капельных жидкостей * ! 29
2-G. Упругость газов. Закон Клапейрона-Менделеева . .!.!"' 30
2-7. Поверхностное натяжение и капиллярность , "'.!!. 30
Часть первая
ГИДРОСТАТИКА
Глава третья. Введение в гидростатику ^ 32
3-1. Свойство гидростатического давления в точке 33
3-2. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости (уравнения
Эйлера) 35
Глава четвертая. Гидростатические законы для жидкости, нахо-
находящейся в »абсолютномй покое 39
4-1. Основное уравнение гилростатики и поверхности равного да-
давления для несжимаемой жидкости, подверженной действию сил
тяжести и давления . . . . 39
4-2. Определение величины абсолютного и избыточного гидростати-
гидростатического давления в любой точке несжимаемой жидкости. За-
Закон Паскаля 41
4-3» Эпюра гидростатического давления > . , > , 42
4-4. Гидростатический напор \ 43
4-5. Условия равновесия разнородных жидкостей 46
4 6. Сообщающиеся сосуды ¦...,.!*., 4fi
4-7. Жидкостные приборы для измерения давления ] 47
Задачи 4-1—4-12 , 51
4г8. Статическое давление жидкости на плоскую поверхность. Гид-
Гидростатический парадокс * , G0
4-9. Центр статического давления жидкости на плоскую поверх-
поверхность - . , . * 63
Задача 4-13 . Л C5


Содержание Содержание 4-10. Статическое давление жидкости нл криволинейные поверх- поверхности Задачи 4-14 — 4-19 * Глава пятая. Гидростатические законы для жидкости, находя- находящейся в относительном покое 5-1. Дифференциальное уравнение поверхности равного давления в жидкости, находящейся в относительном покос 5-2. Относительный локой жидкости, находящейся в резервуаре, движущемся по наклонной плоскости с ускорением 5-3. Относительный покой жидкости, находящейся в резервуаре, вращающемся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью Задачи 5-1 —5-3 > . > . ¦ - - . . - - . . - 54. Относительный покой жидкости, находящейся в резервуаре, вращающемся вокруг горизонтальной оси . . . ь . Задача 5-4 . . . . ¦ Глава шестая. Основы теории плавания - . , 6-1. Основные определения. Закон Архимеда 6-2. Теорема Эйлера о крене 6-3. Статическая остойчивость , 6-4. Динамическая остойчивость Задачи 6-1 —6-6 >¦¦» . . . ., , Г>Г> 71 74 74 75 77 79 81 83 84 84 86 88 93 94 Часть вторая ГИДРОДИНАМИКА Глава седьмая. Введение в гидродинамику 7-1. Ламинарное и турбулентное движение Задачи 7-1 — 7-2 ¦..¦.¦....,. 7-2. Движение установившееся и неустановившееся. Понятие о ме- местной осредненной скорости - • • . . ¦ 7-3. Линия тока 7-4. Движение жидкого элемента» Вихревое и безвихревое дви- движение *. Глава восьмая.. Основные уравнения гидродинамики 8-1. Гидравлическая модель потока ¦*......¦ 8-2. Уравнение непрерывности ' * . - . - 8-3- Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости (уравнения Л. Эйлера) , * 8-4» Дифференциальные уравнения Л. Эйлера в естественной форме 8-5. Уравнение Д. Бернулли для элементарной струйки идеальной капельной жидкости при неустановившемся и установившемся движении , . . - * - ¦ * 8-6» Уравнение Д. Берн>лли для элементарной струйки реальной капельной жидкости 8-7. Диаграмма уравнения Д. Бериулли для элементарной струйки капельной жидкости 8-8. Скоростная трубка 8-9- Уравнение Д_ Бернулли для потенциального движения капель- капельной жидкости * 8-10. Уравнение Д. Бернулли для идеальной и реальной капельной жидкости в относительЕюм установившемся движении . , * . Глава девятая. Некоторые дополнительные вопроси гидродина- гидродинамики реальной жидкости . , 9-1, Обобщенный закон трения . . ...» . - • - • U-2. Скойство гидродииамичэгкого даплеиич в реатыюй жлдчости • 99 99 109 111 111 П2 116 119 120 127 9-3. Гидродинамическое дяплепие в дзешом направление , . . * 137 9 4. Дифференциальные уравнения движения реальной жидкое!и (уравнения Напье-Стоксч) . ¦ . 140 Глаеа десятая. Динамика потока 143 10-1. Живое сечение hOtokj 143 10-2. Расход потоки 145 10-3. Средняя скорость потока 145 10-4, Уравнение неразрывности потока 146 10-5. Мощность потока /V в данном живом сечении потока . . . . 147 10-6. Инерпиоинзя мощность потока 15f) 10-7, Уравнение Берн\лли для неустановившегося и установившееся потока реальной капельной жидкос!и - 152 10-8. Примеры гидравлнчеекиА расчетов установившихся и неуста- неустановившихся потоков без учета гидравлических сопротивлений 15G 10 1 103 Задачи 10 1 — 10-3 156 Глава одиннадцатая. Гидравлические сопротивления 1о2 П-1. Гидравлическое моделирование 1Ь2 11-2. Основные законы подобия. Критерий подобии Ньютона . . . 1G3 11-3. Критерии подобия Рейпольдса, Фруда, Эйлера и Вебера . . . 166 л11-4. Применение методов теории размерности к исследованию гид- гидравлических закономерностей 170 11-5, Гидравлические сопротивления. Принцип наложения потерь энержи . . . . , 172 Глава двенадцатая. Ламинарное движение 178 12-1. Формирование изотермического ламинарного потока 178 12-2. Дифференциальное уравнение равномерного изотермического ламинарного осесимметричного движения в трубопроводах . . 180 12-3: Равномерное изотермическое ламинарное движение в круг- круглом трубопроводе 182 Задача 124 " 137 12-4* Ламинарное изотермическое равномерное движение жидкости между соосными цилиндрами 187 12-5» Ламинарное изотермическое равномерное движение жидкости, в плоской щели . * 193 Задача 12 2 ^ . . 192 12-6. Плоский радиальный ламинарный поток 193 12-7. Неизотермическое ламинарное движение в круглой трубе . . 197 Глава тринадцатая.. Основы гидродинамической теории смазки , . 200 13-1. Виды трения 200 13-2. Основные уравнения ¦ 21L 13-3. Распределение давления в смазочном слое ползуна и коэффи- коэффициент трения 207 Глава четырнадцатая. Турбулентное движение Поле скоростей в турбулентном потоке. Начальный Дифференциальное уравнение турбулентного потока • . . , Распредс«1ение скоростей по сечению турбулентного потока 14-4. Коэффициент сопротивления трения по Длине трубопровода \ при турбулентном движении 14-5. Коэффициент сопротивления трения по длине трубопровода V при турбулентном движении в гладкич трубах " 14-6, Коэффициент сопротиоления трения по длине трубопровода! в квадратичной зоне 2Ю 2Ш 214 2]9 225 227
Содержание Содержание 14-7» Коэффициент сопротивления трепня по длине трубопровода для общего сл\чая турбулентного потока 14 8* Некоторые другие эмпирические формулы и опытные дан- данные для определения коэффициента "к в турбулентном дви жении при квадратичном режиме * 14-9, Формулы для определения б турбулентном движении потерь удельной энергии в случае труб некруглою сечения .... 14-10. Пеизотермическое турбулентное движение в круглой тр>бе. Коэффициент * и определение потерь удельной энергии . . Глава пятнадцатая. Местные сопротивления . > 15-1. Коэффициент местного сопротивления и влияние ца ifero числа Рейцольдса 15-2- Потеря энергии при внезапном расширении потока» Теорема Борда-Карно 15-3, Потеря энергии при выходе потока из трубопровода б боль- большой резервуар . . , ; 15-4. Потеря энергии при постепенном расширении потока (диф- фУ 15-5. Потеря энергии при постепенном сужении потока (конфузор) 15-6, Потеря энергии при внезапном сужении потока 15-7. Потеря энерщи при входе в трубу 15-8. Потеря энергии при закр\глении потока [5-9- Потеря энергии при повороте потока в колене 15-Ю. Потеря энергии в ответвлениях . 15ЛЬ Коэффициенты сопротивлений $ запорных приспособлений, клапанов и других устройств . . . . 15-J2, Экспериментальное определение коэффициента местных со- сопротивлений • .,.*. . . , Задачи 15-1 — 154 t . Глава шестнадцатая. Приборы для измерения расходов жидкости Задача 16-1 Глава семнадцатая:. Методы расчета трубопроводов, питающихся от резервуаров, уровень жидкости в которых остается по- постоянным 17-1. Самотечный трубопровод постоянного сечения (простой тру- трубопровод) . . . . . . . . . ¦ 17-2, Определение давления в произвольной точке трубопровода . . 17-3. Самотечный простой трубопровод переменного сечения ¦ . > Задача 17-1 17-4т Сифонный трубопровод, особенности его работы. Определе- Определение производительности . . . . . . 17-5. Графоаналитический метод расчета производительности сифон- сифонного или самотечного трубопровода . . . * Задача 17-2 17-6. Графоаналитический метод расчета самотечного разветвлен- разветвленного трубопровода Глава восемнадцатая. Методы расчета простейших водопроводных линий „ , 18-1. Последовательное соединение трубопроводов 18-2. Последовательно-параллельное соединение трубопроводов > . 18-3. Водопровод с равномерным лутепь[М расходом * 18-4. Задача о трех резервуарах Задача [8-1 18-5. Гидроэнергетический баланс насосной ^станопки 18-6. Элементы экономического расчета трубопровода „ 232 239 239 241) 240 24ъ 250 25G 252 253 253 255 258 259 260 264 265 272 280 281 283 285 286 287 288 290 291 294 294 298 30] 303 307 310 311 Глава девятнадцатая. Гидравлический удар в трубах 314 19-1. Определение гидравлического удара , 314 19-2, Формула Н- Е. Жуковского для давления ири мгновенном за- закрытии задвижки 315 19-3. Скорость распространения ударной волны п жидкости по Н. Е. Жуковскому 319 19 4. Дифференциальные уравнения гидравлического удара . . . . 320 195. Общий случай гидравлического удара ' , . 323 19-6, Применение уравнений >дара для тупикового трубопровода (гидравлический тупик) \ 328 197. Гидравлический таран 328 Задача 19-1 330 Глава двадцатая. Истечение жидкости из отверстий и насадков при постоянном капоре 331 20-L Истечение жидкости из отверстия при постоянном напоре 331 20-2, Истечение жидкости из затопленного отверстия при посто- постоянном напоре > 341 20 3. Экспериментальное определение коэффициентов расхода» сжатия, скорости и сопротивления 341 20-4, Истечение жидкости из отверстия постоянной ширины в вер- вертикальной стенке при постоянном напоре , • , * 343 20-5. Истечение жидкости и* круглого отверстия в вертикальной стенке при постоянном напоре 345 20-6. Истечение жидкости qepe3 насадки, Внешний цилиндриче- цилиндрический насадок 346 20-7, Истечение жидкости через коноидальные насадки 351 20-8. Истечение жидкости через пп>тренний цилиндрический на- насадок ¦ . 351 20-9. Истечение жидкости через конический сходящийся насадок 352 20-10, Истечение жидкости через конический расходящийся насадок 353 20-И. Истечение жидкости через распылители , . 354 20-12. Траектория свободной струи. Дальность боя 355 Задачи 20-f —20-1 360 Глава двадцать первая. Истечение жидкостей из резервуаров при переменных уровнях свободной поверхности* Определение* времени опорожнения резервуаров 363 21-1. Определение времени опорожнения: резервуара. Общий сличай 363 21-2. Определение времени истечения жидкости из резерпуара с постоянным поперечным сечением по высоте 364 21-3. Определение времени истечения жидкости из резервуара с переменным поперечным сечением 365 21-4, Графоаналитический метод определения времени слива . . 369 Задачи 2Ы — 213 370 Главп двадцать вторая. Сопротивление жидкости движущемуся в ней телу 375 22-1. Силы, действующие на тело, движущееся п жидкости . . . , 375 22-2. Сопротиплепие трения ¦ . , 376 22-3, Сопротивление давления ^ 377 22-4. Волловое сопротивление , * * 385 Задача 221 , 386 Глава двадцать третья. Взаимодействие потока жидкости с твер- твердым телом 387 23 К Сила взаимодействия жидкости с поверхноезью, движущейся равномерно, поступательно и прямолинейно 387
8 Содержание ВВЕДЕНИЕ В ГИДРАВЛИКУ 23-2. Сила действия потока жидкости на неподвижное колено, об- образующее угол 9LP * . . . > 23-3* Сила действия свободной струи на неподвижную плоскую по- поверхность 23-4. Сила действия свободной струи ia неподвижною криволиней- криволинейную поверхность 23-5. Сила действия свободной струи на поверхности, движущиеся пекпунателыю, прямолинейно и равномерно 23-6» Мощность струи, действующей на поверхности, движущиеся поступательно, прямолинейно к равномерно * • • 23-7. Индикаторная мощноеть потока жидкости, действующе!о н<* поверхность, вращающуюся с постоянной угловой скоростью вокруг нелодпижкой оси * 23-8. Взаимодействие жидкости с телом крыловою профиля. Тео- Теорема Н. Е. Жуковского о подъемной сило * Задачи 23-1 — 23-2 - Г/iaea двадцать четвертая. Безнапорное установившееся движе- движение жидкости 24-К Дифференциальное уравнение установившегося безнапорного потока 24-2. Равномерное дпнжение . „ 24-3, Скоростной коэффициент 24-4. Гидравлически наивыгоднейшее сечение канала 24-5. Допускаемые скорости , Задачи 24-1— 2Ф2 246. Дифференциальное уравнение неравномерною плавно изме- изменяющегося установившегося движения жидкости. Критиче- Критическая глубина . , 24-7. Энергия сечения , ¦ . \ . . . 24 8. Формы свободной цопер^Еюсти ..-.,,¦ > . Л 2-1-9. Уравнение прыжка , 2-1-10. Интегрирование дифференциальною \р/>ннени i споСид^сй j о- перхпости Глава двадцать пятая. Водосливы . . . 25-К Классификапия водослияов , . .... 25-2. Движение жидкости через водослив с тонкой стенкой . . . . 25-3. Основная расчетная1 формула водослива с тонкой стенкой . . 25-4. Движение жидкости через водослив с широким порогом , . . 25-5. Ос по иная расчетная формула водослива с широким порогом 25-6, Движение жидкости через водоемы в практического профиля 25-7. Расчетные формулы для опрсде«7ения коэффициента расхода водосливов , Глава двадцать шестая. Гидравлика газов 26-1. Уравнение равновесия газа. Стандартная атмосфера 26-2. Уравнение Бернулли для элементарной стройки идеального газа при угыновитцемся движении. Уравнение норазрьттшости 26-3» Скорость зц)ка в газе 26-4, Истечение гада через насадок 26-5. Расчет хазопроподов Задачи 26-1—26-3 390 S90 393 397 4СЮ 405 409 409 410 412 414 417 417 419 420 422 423 425 427 428 428 431 433 434 43G 436 439 440 442 445 449 4ГЛ Глава первая ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГИДРАВЛИКИ, ЕЕ МЕТОД И МЕСТО, ЗАНИМАЕМОЕ ЕЮ СРЕДИ ДРУГИХ ДИСЦИПЛИН Современная гидравлика является технической наукой- Пред- Предметом гидравлики служат жидкости и законы, действующие в них и используемые преимущественно при решении разнооб- разнообразных вопросов инженерной практики, как, например, при рас- расчетах потоков в трубопроводах, гидротехнических сооружений, гидравлических машин и т. п. Под жидкос1ями будем понимать как жидкости почти несжи- несжимаемые, т. е. капельные (вода, масло, бензин и т. п.), так и жидкости сжимаемые, т. е. газы. Такое широкое определение понятия жидкого тела допустимо потому, что многие гидравли- гидравлические закономерности являются аналогичными как для капель- капельных жидкостей, так и для газов, благодаря этому весьма важ- важные явления и в капельных жидкостях м в газах описываются одними и теми же уравнениями. Гидравлика делится на две части: на гидростатику и гидро- гидродинамику. Гидростатика изучает законы равновесия жидкостей и действие их на соприкасающиеся с ними твердые тела. Гидро- Гидродинамика изучает законы движения жидкостей и взаимодействие их с соприкасающимися с ними покоящимися или движущими- движущимися твердыми телами. Своими исследованиями гидравлика содействует развитию материалистического естес1вознания, стремящегося к познанию объективных законов движения материи. Поэтому гидравлику иногда рассматривают как одну из отраслей естествознания. Широкое использование в народном хозяйстве гидравличе- гидравлических машин, механизмов и других устройств, в которых жидкость является рабочим телом, требует от инженеров механических специальностей серьезных знаний в области гидравлики. Являясь основной дисциплиной, часто единственной во всем учебном плане, в которой студент изучает основы механики жидкого тела, гидравлика приобретает особо большое значение для специалистов машиностроителей, гидромашиностроителей, а также для специалистов по гидротехнике, водопроводу, капа-
10 Определение гидравлики, ее четод [гл. I лизации. Велико значение гидравлики в вопросах механизации и автоматизации производственных процессов. Для значительного числа технических дисциплин гидравлика является базой, без знания которой изучение их невозможно. Слово «гидравлика» происходит от сочетания двух греческих слов ийар (хюдор) —вода и ааЯод (аулос) — труба, что свидетельствует о важности и в прошлом для гидравлики волро- сов, относящихся к движению жидкостей по трубам Круг во- вопросов современной гидравлики весьма велик причем вопросы касающиеся движения жидкости по трубам, и в настоящее вре- время являются одними из основных ее вопросов Зародившаяся в глубокой древности еще в недрах общегре- чеокои пауки1 гидравлика оформляется в самостоятельную науку лишь в начале мануфактурного периода калиталюма 2 К этому времени «„.промышленность колоссально развилась и вызвала к жизни массу ноных механических..., химических и физических фактов...» \ Однако теоретические основы гидравлики были созданы лишь в конце XVIГ и середине XVI[I вв выдаю- выдающимися работами Исаака Ньютона (]642—1727 гг.) и членов Пе- Петербургской академии наук Даниила Бернулли A700—1782 гг ) ^^ ^ A7П —1765 гг.), Леонарда Научную базу современной гидравлики составляют общие законы физики, особенно теоретической механики, а также за^ кон Ломоносова о сохранении материи и движения. Важнейшим принципом гидравлики является принцип непрерывности Эйлера в основу которого положено представление о жидкости как о не- непрерывной ореде (континууме), допускающей неограниченную делимость ее материальных частичек. Согласно этому принципу такие важные для гидравлических исследований величины как плотность, давление, количество движения, кинетическая энергия и т. д,, выражаются в виде функциональных зависимостей не имеющих в исследуемых объемах жидкости разрывов непрерыв- Из древних ученых нужно отметить занимавшегося вопросами гид- гидравлики греческого философа Архимеда, жившего с 287 по 212 г до на- шеи эры. Архимед в трактате ,0 плавающих телах- сформирован откры тын им один из основных законов гидростатики „Закон Архимеда' гг\ гЧеНЫХ гТ0Г° пер"ода следует отметить Симопа Стевина AБ48 — гг->-?алилео г»лиле* 0564-1642 гг.). Эванджелипта Торричелли A608- гг.), Блеза Паскаля (]623- 1662 гг.), Есть основания предполагать что TOe ?5ЯНИГ НЙ С°ЗДаНИе °СН0В ™ДРааяпки имел Лео^ло д° rr"Jt аанимавши*ся изучением вопросов плавания, истечь ™ отверстия сопротивления жидкостей движущимся телам, -жидкостей п0 трубам и каналам и т. п *СлРу«Д«РИп« Энгельс- Диалектика природы, ГИГ7Л, 1953, стр, 145. чебникеГЕ^иcследуя.РЯЮЩ1|е ^^ иринцип^ «*»™™ особыми и в гл . 1] Определение гидравлики, ее метод II Сложность явлений, происходящих в движущейся жидкости, и невозможность во многих случаях исследования их только тео- теоретически, а также необходимость проверки теоретических поло- положений заставляют гидравликов широко использовать экспери- эксперимент, основанный на методах подобия, являющихся в настоящее время одними из наиболее эффективных средств исследования1, Таким образам, методом гидравлики является совокупность аналитических и экспериментальных способов исследования гидравлических явлений. Вопросами, родственными гидравлике, занимается и теорети- теоретическая гидромеханика, основоположником которой является Леонард Эйлер. В отличие от гидравлики теоретическая гидро- гидромеханика исследует 'вопросы, имеющие отношение не только к технике, значительно шире использует математические методы исследования и в меньшей степени, чем гидравлика, опирается на эксперимент. Однако все большее проникновение современной теоретической гидромеханики в область прикладных вопросов со все большим использованием экспериментальных методов иссле- исследования, так же как и широкое применение гидравликой гидро- гидромеханических методов исследования, стирает различие между этими двумя науками, по существу занимающимися изучением одних и тех же законов2, Своему развитию современная гидравлика обязана и выдаю- выдающимся представителям инженерного дела. Большие гидротехни- гидротехнические работы, связанные с сооружением гидростанций, каналов, водопроводов, а также развитие кораблестроения, машинострое- машиностроения и особенно гидромашиностроения способствовали откры- открытию важных гидравлических закономерностей3. В нашей стране расцвет всех наук, в том числе и гидравлики, стал возможен лишь после победы Великой Октябрьской социа- социалистической революции, когда Советская власть обобщала сред- средства производства, сделала их собственностью всего народа и 1 Основы теории подобия были созданы еще И. Ньютоном и дальнейшее развитие получили в трудах Осборна Рейнольдса A842—1912 гг.), Виктора Львовича Киргшцева A845—1913 гг.) и др. з Огромный вклад в развитие теоретической гидромеханики внесли Жозеф Лагранж A736—1813 гг,), Герман Гельмюльц A821 — 1894 гг.), Луи Навье A785— 1336 гг,). Адемар Сен-ВенанA797—1886 гг.), Георг Стоке A819— 1933 гг.) и многие другие, а из русских ученых Ипполит Степанович Гро- мека A851—1889 гг.), Николай Егорович ЖуковккиЙ A847— 1921 гг.), Сергей Алексеевич Чаплыгин A869— 1942 гг.) и многие другие. з Здесь следует отметить Антуана Ш^зи (G18 — 1793 гг.), Дарен A803— 1858 гг.), Юлиуса Вейсбаха A806—1871 гг.), Базена A829—1917 гг.), а из рус ских и советских ученых Дмитрия Ивановича Менделеева A834—1907 гг>), Алексея Николаевича Крылова A863 — 1945 гг.), Владимира Григорьевича Шу- хоза A853 —1939 Гг.), Николая Егоровича Жуковского, Николая Павло- Павловича Петрова A836 — 1920 гг.), Николая Николаевича Павловского A884 — 1937 гг.), Леонида Самуиловича Лейбензопа A879—195[), а также Б» А. Бах- метевя, М> А. Великанова, А. Я- Миловича, И. Г. Есьмана и др.
12 Определение гидравлики, ее метод [гл. I тем уничтожила систему эксплуатации, создала социалистиче- социалистические формы хозяйства, Перед советскими учеггыми Коммунисти- Коммунистической партией и Советским правительством были поставлены проблемы исключительной важности, разрешение которых долж- должно было способствовать созданию материально-технической ба- базы коммунистического общества. Огромное ароительство, ведущееся в нашей стране, являетсл неисчерпаемым источником, питающим многочисленные ооластл советской науки и, в частности, советскую гидравлику. Оно спо- способствует успешному изучению мпотлх гидравлических явлештн, созданию совершенных методов исследования рабочих процессов в гидравлических машинах и т- д. Одной из первых крупнейших работ советского периода раз- развития гидравлики являются работы акад. Н. 1L Павловскою. В 1922 i\ H. II, Павловский развивает теорию Н. Е. Жуковского и создает общую теорию неравномерного движения жидкости в пористой среде. Тогда же Н. Н. Павловский разрабатывает методы исследований гидравлических явлений путем электрогид- электрогидродинамических аналогий (метод ЭГДА). Этот метод -основан на аналогичности дифференциальных уравнений, относящихся как к гидродинамическим, так и электрическим явлениям. Так, на- например, движение жидкости в грунте под плотиной исследуется путем измерения напряжения электрического поля на модели со- сооружения. Метод ЭГДА может применяться также для исследо- исследования обтекания тел. >К достижениям советских ученых следует отнести работы И, И. Агроскина и М. Д. Чертюусова по теории неравномерного движения жидкости в открытых руслах, разра- разработанную акад, С. А, Хрисгиановичем теорию неустановившегося движения жидкостей в каналах, акад, Л. С. Лейбензоном теорию движения природных жидкостей и газов в пористой среде, кото- которая явилась продолжением исследований Н. Е. Жуковского. В изучении неустановившихся процессов в трубопроводах значительные результаты доаигнуты М. А, Мостовым, Н. А, Карпвелишвили, А. Л. Суршшм, И. А. Чарным и др. Большие успехи были достигнуты в изучении турбулентно] о движения М. А. Великаповым, А. Н. Колмогоровым, Л. Г. Лой- цянским, А. А. Фридманом и др.1. Значительное развитие в трудах А. Н. Ахутина, Н. М, Вер- Вернадского, Е, А. Замарина, И. И. Леви, HL М. Маетицкого, Н, Н. Павловского, Ф, И- Пнкалова, П. Я. Полублриновой-Ко- чиной, Л. Н. Рахманова и др. получили вопросы так называемой инженерной гидравлики, под которой часто подразумевают раз- разделы гидравлики, связанные с расчетами гидротехнических уст- устройств (плотин, каналов и т. д.). * По вопросам турбулентности в свое врел*я мирового ,чзгестность пол\- чили ясследивлния Буссинеска A897 г), О Ренно 1Ьдеа A883— 1885 гг), Т. Кармана A930 г,}, Д. Тейлора A932 г.), Л. Пр^дтля (J 932 i ) и др Капельные жидкости и газы 13 Советскими гидравликами уделяется большое внимание исследованию законов гидравлических сопротивлений. Особенно широкой известностью в Советском Союзе для так называемой квадратичной зоны гидравлических сопротивлений пользуется формула Н, Н. Павловского, созданная им еще в 1925 г. В прак- практике гидравлических расчетов получила распространение форму- формула И. И. Агроскипа, предложенная в 1950 г- Наряду с формула- формулами иностранных исследователей (Кольбрука и Уайга и др.) в на- настоящее время получают применение для расчета трубопрозо- дов формулы советских исследователей (А. Д. Альтшуля. И. А. Исаева, П. Н. Конакова, Н. 3. Френкеля, Ф. А. Шевелева и др,). Большой вклад внесли А. П. Юфин, В, С. Кгюроз, Г. hi Poep в исследование вопросов, связанных с гидромеханиза- гидромеханизацией. Выполнение пятилетних планов развития народного хозяйства с уверенностью говорит о преимуществах со;ветского государ- государственного и общественного строя перед капиталистическим и является доказательством того, что задачи, стоящие перед совет- советскими учеными и инженерами, успешно ими выполняются. Работы советских гидравликов, как и всех советских ученых, руководимых Коммунистической партией и Советским прави- правительством и вооруженных марксистско-ленинским мировоззре- мировоззрением, направлены на дальнейшее развитие народного хозяйства, на неуклоннее улучшение жизни советского народа. Успехи советских гидравликов будут способствовать более быстрому осуществлению великой и благородной цели советского парода — построению коммунизма в нашей стране. Глава вторая ГЛАВНЕЙШИЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ и силы? действующие в них 2-1. Капельные жидкости и газы Жидкостью называется физическое тело, обладающее текуче- текучестью и не имеющее своей формы, но принимающее форму сосуда, в котором оно находится. Текучестью называется способность жидкости изменять свою форму, не дробясь на части, под дегЬ ствием даже небольших сил. Жидкости делятся на два класса: на капельные и газьь К ка- капельным жидкостям относятся вода, масло, бензин и т. п. Эти жидкости способны образовывать капли; они имеют собственный объем и по сравнению с газами мало сжимаемы. Капельная жидкость, если ее объем меньше объема сосуда, всегда занимает часть его! В этом случае она имеет поверхность раздела капель-
14 Главнейшие физические свойства жидкостей [гл. 2 ной жидкости с газом, называемую свободной поверхностью» Газ распространяется по всему объему сосуда 1. Жидкость называют идеальной в тех случаях, когда при исследовании пренебрегают теми или другими, важными для исследуемого вопроса, ее физическими свойствами. В дальней- дальнейшем будем называть жидкость идеальной, если пренебрежем ее вязкостью. В гидравлике жидкость рассматривается как среда, непрерыв- непрерывным образом заполняющая некоторое пространство, т. е. как континуум, вследствие чего ее любой бесконечно малый объем рассматривается как физическое тело2_ Принимая жидкость за континуум, вместе с тем надо отли- отличать жидкости однородные, т. е. с одинаковым распределением массы по объему, от неоднородных жидкостей, т, е. жидкостей с неодинаковым распределением массы по объему. Примером не- неоднородной жидкости может служить любой газ, хотя при малых изменениях давления практически возможно и его рассматривать как однородную жидкость3. Распределение массы жидкости по объему характеризуется плотностью или объемным весом (см. § 2-3). 2-2. Силы, действующие в жидкости При выводе различных гидравлических зависимостей прихо- приходится составлять ураовнедая движения или покоя жидкости и 1 Согласно совремешшм воззрениям в капельной жидкости существует решетчатое расположение ее молекул, но d отличие от кристаллической ре- решетки твердого тела решетка капельной жидкости не имеет правильной фор- формы, В своем тепловом движении молекулы капельной жидкости под влияни- влиянием действующих между ними сил большую чисть времени совершают дро- дрожания около некоторых положений равновесия (находятся в состоянии «оседлой жизни») и этим напоминают колебания молекул твердого тела Время оседлой жизни молекулы равно J0~[0 сек. За это время молекула успевает совершить от 100 до 100СО колебаний Некоторым молекулам удает- удается случайно набрать энергию и вьтрватьси из своего окружения, переселив- переселившись в другое место. На новом месте молекула снова приходит в движе- движение, имеющее характер дрожаний. Траектория, описываемая молекулой при ее неоднократном переселении, представляет ломаную лилию, напоминаю- напоминающую траекторию молекулы газа в ее тепловом движении. Течение жидкости возникает только при действии па жидкость внешних сил. Однако время действия этих сил датно бы1ъ больше времени оседлой жизни В л'ротшэном случае жидкость прпйдет в напряженное состояние, аналогичное твердому челу. 2 Это возможно благодаря тому, что размеры рассматриваемых п гид равлике частиц жидкости всегда велики по сравнению со средней длиной свободного пробега молекулы л^идкосш. 3 В теоретической гидромеханике жидкость называется однородной, если во всем ее объеме она удовлетворяет одному и толту же уравнению состояния, С этой точки зрения один и тот же газ всегда будет предстак лять однородную жидкость» §2,2] Силы, действующие ь жидкости 15 Фиг. 2-1. Схема разло- разложения поверхностной силы на силу трения и силу давления. включать в эти уравнения различные силы, действующие на рас- рассматриваемые элементы жидкости и являющиеся по отношению к ним внешними силами. Эти силы делятся на силы массовые ет силы поверхностные. Массовыми называются силы, величина которых пропорцио- пропорциональна массе жидкости. К массовым силам относятся сила тяже- тяжести и силы инерции (Даламбера, переносная, Кориолнса). Каж- Каждая из этих сил инерции вводится в рассмотрение в зависимости от того, каким методом решается та или иная задача, что должно быть хорошо известно из курса теоретической механики. Напом- Напомним лишь, что силы ш&рции равны произведению масс на соот- соответствующие ускорения и направлены в сто- сторону, им противоположную. В однородной жидкости сила тяжести и силы инерции оказываются пропорциональ- пропорциональными объемам и именуются в это?л частном случае объемными силами. Поверхностными называются силы, вели- величина которых пропорциональна площади той поверхности, на которую эти силы действу- действуют. Рассмотрим их. Для эгого выделим >в потоке жидкости {фиг. 2-1) некоторый объем, ограниченный произвольной поверхностью. На поверхноспь рассматриваемого объема со стороны окружающей его жидкости или со стороны соприкасающихся с объемом стенок канала или сосуда дей- действуют силы, По отношению к рассматриваемому объему эти по- поверхностные силы являются внешними. Обозначим через bR поверхностную силу, с которой ок"ру-' жающая жидкость или стенка действует на элементарную площадку 8ш указанной поверхности. Сила bR в общем случае может быть направлена как внутрь рассматриваемого объема под углом а к направлению нормали я, Tait и вовне. Разложим силу bR на две составляющие: на ЬР по направ- направлению, совпадающему с нормалью я, и ЬТ—по направлению касательной к площадке. Силу %Р назовем нормальной силон. Она может быть сжи- сжимающей силой — силой давления или растягивающей — силой растяжения. Силу ЬТ назовем касательной силой или силой трения. Силы трения обусловливаются деформацией жидкого объема и возникают только в движущейся жидкости. Силам трения будут посвящены отдельные параграфы, Здесь рассмотрим подробнее нормальные силы. Эти силы характеризуются нор- нормальным напряжением в данной течке. Величина среднего
16 Главнейшие физические свойства жидкостей [гл 2 нормального напряжения на данной элементарной площадке равна отношению §Р к Во>: •- B-1) Р ср п Абсолютным напряжением в точке в направлении п называется предел, к которому стремится среднее нормаль- нормальное напряжение, соответствующее площадке <3ш с нормалью п, когда величина площадки стремится к нулю: B-2) или B-3) Напряжение измеряется в kFjm2 и т. п. Напряжение может быть как сжимающим, т. е. давлением, так и растягиваю- 52 1/сек. 1 I 4 / Фиг. 2-2> Жидкость не выбра- выбрасывается из вращающегося ка- капилляра вследствие способно- гти воспринимать ра стяги па то- тощие усилия щим. Способность жидкости восприни- воспринимать сжимающие усилия (давления) ничем не ограничена. Этого нельзя сказать о растягивающих усилии*. Газы вообще не способны их вос- воспринимать. Капельные же жидкости, как доказано современными исследо- исследованиями, обладают способностью еоспринимать достаточно большие растягивающие усилия. Особенно наглядно это можно наблю- наблюдать на следующем примере. Открытый с обоих концон стеклянный капилляр (фиг. 2-2) заполняется жицкостью и приводится во вращение вокруг верти- вертикальной or и, проходящей qepc3 его середину. Благодаря вращению в жид- жидкости возникает стремление о"ыть выброшенной в обе стороны из капилляра. Однако даже при большой угловой скорости вращения Q жидкость не вы- выбрасывается, что свидетельствует о ее способности воспринимать возникаю- возникающие при этом растягивающие усилия, при подобны* опытах удавалось до- достигнуть, например, в воде растягивающих напряжений до 280 icFjcm2, Та- Таким, образом, капельная жстчкоть обладает прочностью на разрыв и в этом отношении похожу на твердое тело» Однако в практических условиях благодаря загрязнению жидкости и наличию в жидкости растворенного воздуха сопро- сопротивляемость ее растягивающим1 усилиям незначительна. В гид- гидравлических расчетах считают, что предел прочности капель- * Отметим зде^ь (длч исключения повторений в дальнейшей), что при определении размерных величин всегда будет указываться их размерность б д у у рр ля того, чтобы только подчеркнута их физический смысл т? одной какой- либо системе единиц. §2-21 Силы, действующие в жидкое ти 17 ной жидкости наступает при падении давления в жидкости до значений рП> при к сюром начинается парообразование. Давление парообразования рп всегда больше нуля и прини- принимается как наименьшее давление в жидкостях. Б тех зонах потока, где давление падает до рл, возникает особое состоя- состояние жидкости, сопровождаемое местным образованием пузырь- пузырьков в жидкости, заполненных парами жидкости и воздухом, \\ называемое кавитацией. Давление насыщенных паров рц для химически простой, однокомпонентной жидкости зависит только о г рода жидкости и её температуры. Для сложных жидкостей давление зависит еще и огсоотношения объемов паровой Wn и жидкой \Рж фазы'. Например, согласно ГОСТ 1756-52 давление парообразования топлив шневых й ррня топлив поршневых двигателей определяется при ^=38° С и ^— = -у-. Некото рые средние зпачекия рп для различных топлив, соответствующие этим условиям, приведены в табл. 2-1. Однако условия гидравлического расиста, чаще всего не соответствуют этим условиям. Для других условий нроф А, С. Ирисов рекомендует формулу, предложенную Н И* Тихоцопым Рп = Pv 14 0,3! W TJ «Ю 4^026 _ — 2 B-4) где р4 спо1вставуст ^=4 и ( =38" С. ж "риняго а б л iyi a 2 1 при ^38° С ^ соот- 10% насыщен плров. /гГ/см* По Авиабензины Авто5с1гзины Керосин . . . 180-200 0,336^0,211 0,506^0,274 0,049—0,0^8 А. С. Ирисова Врпджмена Н. И. Тихонова
18 Главнейшие физические свойства жидкостей [гл. 2 Таблица 2*2 Давление насыщенного водяного пара в зависимости от температуры Температура пара, Давление пара, 0.040 Температура пара. Давление пара, кГ/см2 . . Температура пара, Давление пара, 1 197,4 J21I.4 28,G i 35, 0.060 132,9| 142,9 241.4 45,4 0,100 151,1 5 53,6 0,150 I58J 6 249 2 40 статическим. В дальнейшем гидродинамическое и гидростатиче- гидростатическое давления в точке будем называть просто давлением. Кроме абсолютного давления, fB гидравличесюих исследованиях прихо- приходится иметь дело с понятиями избыточного давления и вакуума. Избыточным давлением называется избыток давления над атмосферным, который определяется как разность между абсо- абсолютным давлением, если оно больше атмосферного, а атмосфер- атмосферным: B-5) Ри Р am' Это давление называют также манометрическим. Вакуумом, или разрежением, называется недостаток давления до атмосферного, который определяется как разность между Таблица 2-3 Значение нормального атмосферного давления в зависимости'от Высота лад уровнем моря, м Нормальное давление, к Г }см* . . . Высоту водя- ното столба ¦л Высота ртут- ртутного столба Глри *~0* С). 0 10 330 !0,33 760 Е гоо 10 200 10,2 75J UJCOT 200 10 100 юл 742 ы над уровнем моря 250 10 еда 10 735 г 7 зоо 9<JC0 733 гко 9 700 9,7 7!б 600 9 6С0 9,6 707 7С0 У 500 9,5 wo Q400 СЭО 1 000 9 20О 9 2 674 ] 2С0 8 900 I 500 8600 635 2 000 8 100 8.! Плотность и объемный вес жидкости 19 атмосферным давлением и абсолютным, если по- последнее меньше атмосферного: Давление р = 1,033 хГ/см2, равное одной физической атмо сфере, соответствует нормальному атмосферному давлению ла уровне моря. Величина атмосферного давления завигцт ол высоты места над уровнем миря и от состоянии атмосферы Значения атмосферного давления в зависимости or высоты места над уровнем моря (соответствующие нормальном) атмосферному давлению на уровне моря) приведем в таб.! 2-3, а также к табл, 2G-1. 2-3, Плотность и объемный вес жидкости Плотностью жидкого тела р в данной точке называется предельное значение отношения массы элементарного тела Ш [кГ сек2\м] к его объему [mz] при стремлении IW к точке (к нулю): 1 0,788 8JW = lirn B-7) Предельное значение отношения веса 60 элемен- элементарного тела к его объему называется объемным Фиг. 2-3. весом у: B-8) Объемный вес и плотность связаны зависимостью метр. /— р ческаи шкала 2— термометр v i B-9) где ?—ускорение силы тяжести. * Для однородного жидкого тела плотность и объе\г*ый вес имеют одно н то же значение, не зависящее от величины объема, равное отношению массы всего тела М или веса О к его объему It7, т. е. определяются по формулам: м > B-Ю) B-11) Т G_ w ¦ Наиболее просто объемный вес ч [ПсмЦ (Г-грамм-сила) и плотность у [jm \ ^-грамм-масса) определяются при помощи ареометра. На фиг 2-3 показан ареометр для нефтяных продуктов (ГОСТ 128941) называемый иефтеденсиметром. В табл. 2 4 приведены значения объемных весов некоторых однород- ных жидких тел (см. также табл. 2-7). Для сопоставления в этой же таблице приведены значения объемного веса {для условий на уровне моря) для воз- воздуха и ориентировочные значения 7 для продуктов горения среднего со- СТаВ2*
20 Главнейшие физические свойства жидкостей [гл. 2 Таблица 24 Объемные веса некоторых жидких тел Hjименянакис жидкостей Вода дистиллированная Пода морская , , * . . . , , , Бензины; Автомобильный крекинг « . . . КБ 70 Нефть бакинская Керосин" Воздух Воздух Чугун расплавленный Продукты горения среднего состава 1000 1 020—1 030 755 745 790-950 760 1,293 7 000 1,25-0,0027*° t. DC 4 15 15 15 15 15 0 20 I 200 t Объемней вес и плотность жидко«лей зависят от температуры. Темпе- Температурное изменение объема характеризуется коэффициентом объемного расширения $pt который равен относительному изменению объема IF при изменении температуры t па ГС и определяется по формуле B-12) W di 'С Для определения плотности р или объемнохо веса жидкости i при температуре t° Ct можно полыовахься следующими формулами: для ртути То 1-7-0,0001815^/ B13) где ^0 = 13 595 кГ/«п — объемный вес ртути при t == 0° С. Для нефти и нефтепродуктов применяется формула Д, И. Менделеева где р0—плотность при температ)ре t& Формулу Менделеева можно представить и в друюм виде: Р *= ?о- Р(< -'о). где B-14) B-15) B-16) Коэффициент ji будем называть температурной поправкой, Значения р, соответствующие плотности р прн искомой температуре /, приведены в табл. 2-5» При пользовании табл. 2-5 плотность р0 должна соответствовать температуре t0 ^= 20° С и ра^мерност /3 Вязкость жидкостей 21 Таблица 2-5 Средние Значения температурных поправок плотности нефтепродуктов1 Плотность р при темпера- температуре i° Темаора- турпая иопраь- кэ а Плотное при V Темпера- Температурная иопрэн- 0 G900- 0,7000- 0,7100- 0,7200- 0,7300- 0,7400- 0 7500- 0J600- -0,6999 -0 7099 ¦ 0,7800- 0,7900- -0,7299 0,7399 -0,7499 -0,7599 -О,7699 -0,7799 -0,7899 -О.7999 0,000910 0,000897 0 000884 (МЮ0870 0,000844 >О 000831 i 0^000818 ' 0,000805 0,000792 О,000778 О 8000— 0,'8200 0,8300- 0,8400- 0 8500- 0,8600- 0,8700- 0,8800- 0,8900^ 0 О О о о о а о 0 о 8099 8199 /299 ,8399 8499 Д59Э 8G99 ,8799 8899 0,000755 0,000752 0 000738 0^000725 0,000712 0,000699 0,000680 0,0O0G73 0 000660 0,000647 Плотность р дри темиерл- т>г1те t° 0,9000—0 9099 0,9100—0^9199 0,9200—0 9299 0,9300—0,9399 0,9400-0,9499 0,9500-0,9Г99 0,9600—0,9699 0,9700—0,9799 0 9800—0 9899 0,9900-0,9999 Темпера- Температурная лопр.чк 0,000633 03000020 0,000^07 0,000594 0,000581 0,000567 0,000554 0 000541 0, (ЮГ528 0 00051" 2-4. Вязкость жидкостей. Динамический и кинематический коэффициенты вязкости Физика рассматривает два рода вязкости жидкости: объем- объемную и тангенциальную. Объемная вязкость характеризует способность жидкости вос- воспринимать сжимающие и растягивающие усилия» Благодаря объемной вязкостж всегда существует сдвиг фаз между давле- давлением, оказываемым на жид- жидкость, и объемной деформа- деформацией, которую создает это дав- давление. Тангенциальная вязкость, о которой будет идти речь, ха- характеризует способность жид- жидкостей воспринимать касатель- касательные усилия (силы трения). Рассмотрим движение жидко- жидкости, при котором скорости от- отдельных ее частиц параллельны оси трубы (фиг, 2-4). Опыт по- показывает, что такое движение жидкости в природе существует (оно называется ламинарным движением и в дальнейшем будет подробно изучено). Скорости и частиц, расположенных в неко- некотором поперечном сечетии трубы 1—1, отличаются друг от друга. Скорость жидкости у стенки равна нулю и возрастает по на- направлению к оси трубы, достигая на оси наибольшего значения имакс Поток жидкости может быть представлен как движеше отдельных бесконечно тонких цилиндрических слоев жидкости, 1 таблица состанлсн.1 Лроф М. М. Фиг- 2 4» В ламинарном потоке пря- прямоугольник деформируется в парал- параллелограмм.
22 Главнейшие физические свойства жидкостей L гл, 2 перемещающихся с различными скоростями, увеличивающимися к оси трубы. Вследствие молекулярного движения молекулы жидкости пе- пересекают слои жидкости, движущиеся по отношению друг к дру- другу с относительной скоростью, благодаря чему на поверхности соприкасающихся слоев жидкости возникают силы трения. При этом слои жидкости, движущиеся быстрее, увлекают за собой слои жидкости, движущиеся медленнее, и, наоборот, слои жидко- жидкости, движущиеся медленнее, тормозят движение слоев, движу- движущихся быстрее. В таком движении частица жидкости в виде пря- прямоугольника abde деформируется в параллелограмм a'bfdfe\ Деформация объема является обязательным условием, возникно- возникновения сил трения. Благодаря деформация происходит скашивание прежде пря- прямого угла Ьае прямоугольника с угловой скоростью скашивания, равной: dn [\\сек}. B-17) Эта величина называется градиентом скорости. Сила трения Т между слоями жидкости пропорциональна площади соприкосновения S и угловой скорости скашивания угла du , du dn B-18) Формула B-18) является выражением закона Ньютона о тре- трении в жидкостях. т Напряжение этой силы ~ — -«- равно- du dn * где и — так называемый динамический коэффициент вязкости жидкости, имеющий размерность кГ сек\м2 или г\см сек. Будем считать т величиной всегда положительной. Поэтому в зависимости от знака ^формулу для т представим в виде: du B-19) где „-I-" будет соответствовать положительному значению Л и отрицательному; знак зависит от закона измене- §2-4] Вязкость жидкостей 23 дня скорости по сечению потока и выбора направления изме- изменения скорости '. Кроме динамического коэффициента вязкости |л, в гидрав- гидравлике применяется кинематический коэффициент вязкости v, который равен отношению динамического коэффициента вяз- вязкости к плотности р: ; = f [м2!сгк]. B-20) В системе CGS за единицу измерения динамического коэф- коэффициента вязкости принимают пуаз, имеющий размерность г/см* сек, названный так в честь французского ученого Пуа- зейля. Пуаз соответствует такой вязкости, при которой в прямоли- du нейно движущейся жидкости при градиенте скорости ^«~— — ] 1/сек на поверхности соприкасающихся слоев жидкости раз- развивается сила трения в 1 дин/см2. Кинематический коэффициент вязкости в системе CGS изме- измеряется в см2/сек—в стоксах (в честь английского ученого Стокса). Учитывая, что 1 лГ — 931 00U дин, a J м2 ••= 10 000 см\ легко устано- установить связь между числами, выражающими вязкость в технической и физи- физической системах единиц: дин*сек / кГ-сек \ л —Zv?— =9 >[ [ * м*— ) ^2'2] v см2/сек= 10 000 (v м2;сек). B 22) 1 Согласно современным исследованиям (Я- И. Френкель, Введение в теорию металла, 1950) для капельной жидкости U где к — постоянная Больцмапа; Т — абсолютная температ) ра, 5—^расстоянне между молекулами; /0 — период колебания молекулы (см. сноску на стр~ 14); U—энергия, которую должна затратить молекула для того, чтобы выр- вырваться из окружения. Для газов согласно кинетической теории ja^@,31 + 0,49) puj* где 0,31-^0,49—коэффициенты, принимаемые в зависимости От закона пределения скоростей и характера >дара молекул газа в их тепловом движении; им—средняя скорость молекулярного движения; I — длина свободного пробега молекулы между двумя столк новениями. Заметим, что в отличие от капельных жидкостей вязкость газов не за- зависит от давления, гак как от давления не зависит произведение р[.
24 Главнейшие физические свойства жидкостей [гл. 2 Заметим, что имеются жидкие тела, силы трения в которых не подчи няются формуле B-18). Такие жидкости ггазываются аномальными. К ним относятся некоторые масла при отрицательных температурах, парафини- стые нефтепродукты при низких температурах, а также коллоиды1. Для аномальных жидкостей -с определяется по формуле du 13 этой формуле та — предельное игаченис .тишь после достижения которого аномальная напряжения силы трения, приходит в дви- жндкость du жение с соответствующим градиентом скорости -т— . Таким образом, в ано- аномальных жидкостях силы Фиг- 2-5. Зависимость кинема- кинематического коэффициента вяз- вязкости от температуры. бакинский- 3 — бензин 4 — бакинский лигроин, '— бакинский керосин, тракторный, в — газойль, 7 — автомобильный кре бензин, Я—бензин КБ-70; 9—ди дельное наело, треннп могут возникать и в покоящейся жидкости. Давление и температура оказывают су- существенное влияние на вязкость жидкости. Впервые совместное влияние па лязкостЬ давления и температуры было установлено еще в 1912 г. профессором Московского университета Л. И. Бачинским A877—¦ 1944 Гг.). Позже этим вопросом занимались многие ученые. Эти исследования показа- показали, что как температура (фиг* 2-5), так н дaвлeF^иe (фиг. 2-П) оказывают боль гное влияние на значение вязкости. Это влия- влияние проявляется различно. Нлияпие темпе ратуры особенно сильно сказывается в об- области низких температур, а влияние давле- давления— в области высоких давлений. Напри мер, при р — 3 400 кГ,'см2 и / = 20° С динамический коэффициент вязкости транс- трансформаторного масла почти R 6 500 раз боль- больше динамического коэффициента вязкости, (см. табл. 2-7) при ion же температуре, но при р = 1 кГ/см2, В области невысоких давлений, встречающихся при перекачке жидкостей {р <^\00 ?сГ;'см2O влияние давлс ний ria вязкость значительно меньше. На- Например для того же трансформаторпого млела при t = 2Q°C ^ = 0,275 пуаза при р = 1 кГ\см^\ ц = 0,296 пуаза при р=\00кГ[см2, т. е. }величивае1ся только на % Таким образом, вязкость капельной жидкости увеличивается с увели- увеличением давления. Исключение представляет лишь вода, у которой при t = 24° С вязкость 1'ескодько уменьшается с увеличением давления. Зави симость вязкости от давления может быть представлена в виде: де (l7I—пьезокоэффициент, m —динамический коэффициент вязкости при давлении ри — 0. 1 Коллоидами называются вещества, которые не кристаллизуются и не проходят через перегюнкн растительного и животно! о происхождения (на [гример, белок, крахмал, клей) §2-4] вязкость жидкостей 25 О 8(?О Фиг. 2-6. Зависимость динамического коэффициента вязкости ^faceJ[ от давления при по'тояпштй температуре / =* 20°С ; и 2—мцело МС повышенной и нормальной бязкостн 5—касторовое, 4 — синтетическое; о -¦¦ вазелиновое; 6s — турбинное; 7 — веретенное; 8 — трансформаторное. Экспериментальные исследования показывают, чго значение frt зави- зависит главным образом от физических особенностей жидкости и ее темпе- температуры, а также, хотя и в меньшей степени, ог диапазона изменения да- давления. Для некоторых масел среднее значение ря приведено в табл. 2-6. Вязкость газов от давления не зависит (см. сноску на стр. 23), Т а б л% ц л 2-6 Значение пьезокоэффициента }п [см?}кГ] для некоторых масел в зависимости от,температуры Сорт мйсча Ж С Вазелиновое Грозненское МС повышенной вязкости . . Грозненское МС нормальной вязкости Глицерин Турбинное Л . .^ Веретенное ЛУ . / Касторовое , . Синтетичен кое Я° 1 0,00284 0,00294 0 00269 0,00248 0,0154 0,00268 0,00265 0,00277 О 00055 0,00257 0,00242 О 0150 О 00142 A,00237 0,00240 О 00255 0^00055 0,00255 0,0024] 0,0143 0Т00159 0,00132 A000</г<4
26 Главнейшие физические свойства жидкостей [гл, 2 Для определения иязкосги при разных температурах пользуются эмпи рнчсскими формулами пли графиками- Так, вязкость ноды в зависимости от температуры определяется по формуле Пуазейля 0,01775 p — 1-f-0,0337-^0,000221 B-25) Зависимость v для воды на основании опытных данпыл показана на фиг. 2-7. Зависимость кинематического коэффициента вязкости нефтепродуктов в сантистоксах (мм* joe к) от температуры достаточно хорошо выражается формулой B73+Г С)" ' B- 0.015 OtOW 6 > 8030 - >?/ ?0a ¦ ¦ ! ¦ *** *^ V где коэффициент Л характеризует отдельные сорта нефтепродукта, а но казатель степени В — иногда и целую группу нефтепродуктов. В системе координат, в которой по оси ординат откладывается lg [lg (v4-0,8)l, a no оси абсцисс—lg B73 -j- t° С) зга зависимость изображается в виде прямой линии (фиг. 2 8). Для удобства пользования графиком вместо значений логарифмов (Iglg и lg) на осях координат указаны соответствующие этим логарифмам значения v и t. Для построения зависимости достаточно знать коэффициент вязкости только при двух значениях температуры. В табл. 2-7 приведены значения коэффициентов вязкости по данным профР М. П, Воларовича. Вязкость газов в отличие от вяз кости капельных жидкостей увели чивает^я вместе с увеличением тем- лературьг. Это следует (см. сноску на стр> 23) из того, что с увеличением температуры увеличивается как ско- рость молекиЕ им (которая пропор циональка корню квадратному из аб еолютной температуры Т)у так и длина свободного пробега молекулы I. Для воздуха зависимость v от температ) ры показана на фиг. 2-7. Коэффициенты вязкости опреде- определяются опытным путем при помощи 0.30 0,20 ОМ 0 О 10 2$ S# W JO SO 70 SB SO ШО°С Фиг. 2-7г Зависимость кинематичес* кого коэффициента вязкости воды и воздуха от температуры. р вяскозиметроп. Эти весьма разнооб- разнообразные по своему устройству прибо- приборы по принципу действия могут быть разделены на Две группы. К первой группе относятся приборы, позволяющие определить относительное значение вязкости, т. е- отношение коэффициента вязкости испытуемой жидкости к из вестному коэффициенту вязкости эталонной жидкости,— вискозиметр по ГОСТ 1532^2 (фиг. 2-9), капиллярный по ГОСТ 33 40 (фиг. 2-10) и т. п. Ко второй группе относятся приборы, которые позволяют определить значения коэф- коэффициента вязкости безотносительно к эталонной жидкости, orиованкые на исследовании падения шариков, цилиндров, колебательных или вращатель- вращательных движений цилиндров и дисков в испытуемых жидкостях. Наиболее ши- широкое распространение получили приборы первой группы. Первой вискозиметр был создан в 1751 г* М. R Ломоносовым и назы- назывался „инструментом для исследования вязкости жидких материй по чисту капельяу вытекавших под постоянным давлением из капиллярной трубки. $ 2-4] Вязкость жи&костей 27 fe, кмям 1510 5 0 5900880 №000 SQQG0 2Q0O0 W8Q9 5BQ0 3880 2080 1080 3 50*5*0 35 38 2520 1510 5 О 5 Ш i528BS303SW55UJ$8fi8SW7Sa0&mi№C Фиг. 2-8. Зависимость кинематического коэффициента вязкости различных масел от температуры, /—МС-20, 2—МС 14, 3—автол ГО дистиллятый; 4—авгол 6 днстнллятршй; 5—веретенное 2, загущенное до вязкости автола 10; в — нер^тешгов 2, загущенное до нязкостн авюла П 7 — веретенное 3. Вискозиметр по ГОСТ 153242 применяется для определения коэффи- коэффициентов вязкости жидкости, более вязкой, чем вода» Вязкость в условных градусах В° определяется по формуле Е°^^-, B 27 где *г — время истечения 200 см3 испытуемой жидкости при заданной тем- температуре, a f2 — время истечет^ 200 см* дистиллированной воды при тем пературе 20° С. Градусы Е° можно пересчитать в кинематический коэффи- коэффициент вязкости по формуле Фогеля ( = 0,Ql-E-7,0 B-28)
28 Главнейшие физические свойства жидкостей [гл 2 Таблица 2-7 Значения плотности или объемного веса и вязкости различных масел при атмосферном давлении по данным проф. М. П. Воларовича Сирт Грозненское МС повышенной вязко- вязкости Грозненское МС нормальной вязко- вязкости г , Турбинное Л Веретенное АУ . . . . . . . Трансформаторное Касторовое . .„......,. Вазелиновое Масло синтетическое № 1 силикон Глицерин J 0 0 (J 0 и и 1 —• т •s° с ,895 898 ,897 fib2 ,966 — — 9t> о, о, о, о, о, 0 и, 1, = Т J ° с 892 894 894 889 887 %О 878 973 249 Г/см* i 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ь° С ,885 883 ,888 ,882 ,870 ,954 ,874 ,65 ,242 1'! 2i 18 1 0 0 17 Р С ,26 ,607 ,376 ,ь ;i nva:ii»i 20° С 12,9 10,5 0,860 0,432 0,275 10,43 1 1,38 5,2 5,12 зс° с 4 0 0 0 4 0 4 2 ,02 ,73 ,462 Р24Я ,171 ,79 ,733 ,17 ,39 Вискозиметр по ГОСТ 33-40 (Оствальда-Пинкевича) применяется для опре- определения кинематического коэффициента вязкости жидкостей, менее вязкие чем вода, Нискозимстр предегапляет собой стеклянную и-об^ачную tp\6kv н правое колено ко горой 0|»ян капилляр Л Кинематический козффициенг вязкости определяется но фор муле v ¦— я7, B-29) где к—постоянная вискозиметра» с5ависяг1ыя главным образом о г стандартной эталонной жидкости, по которой прибор градуировался, а также и от размеров капилляра (для гр*здуировки вискозиметра, Фиг. 2-9. Вискозиметр для определения условной вязкости. Фиг, 2-10 Капиллярный виско зиметр Оствальда-Пинкевича. § Упругость капельных жидкостей 29 предназначенного для определения вязкости, например моюрных. топлиз, берется дважды дистиллирова}пгая вода), at — время истечения испытуемой жидкости в объеме, заключенном между отметками Л и В, 2-5. Упругость капельных жидкостей Упругость капельных жидкостей характеризуется коэффи- коэффициентом объемного сжатия $с, который равен относительному изменению объема W при изменении давления р на 1 кГ/м2 и определяется по формуле - Коэффициент объемного сжатия рс можно также считать равным относительному изменению плотности р при изменении давления па 1 кГ\м2 и определять по формуле 1 d? B^31) Р dp ' Легко проверить, воспользовавшись формулой B-10), тожде- тождественность формул B-30) и B-31). Величина а, обратная коэффициенту объемного сжатия, называется модулем объемной упругости: к= У B-32) Зависимость модуля объемной упругости К от давления, выраженного в кГ/см*, и температуры приближенно можно выразить формулой: где параметр р зависит от температуры, а коэффициент К д!Кя разиы* жидкостей изменяется в пределах: от К ^= 6т5 для воды до К =: 10,5 для ртут Для воды р в зависимосш от температуры изменяется согласно табл, 2 8. Для воды среднее значение модуля упругости К = 20 000 кГ,см2, для керосина К = 17 200 кГ/см2> для дизельного* топлива К = 16 0U0 к Г/см*; для других нефтепродуктов К — 13 500 кГ'см2. Таблица 2-8 Значения параметра р* для воды в формуле для модуля объемной упругости К в зависимости от температуры 0 5 10 15 jp*, кГ'см7 2 950 3 080 3 140 3 220 i, 9C 20 30 40 50 рщ, кГ/см2 [ < 3 200 3 290 3 420 3 400 \ t, QC 60 80 100 200 3 360 3 290 3 140 1 770
30 Главнейшие физические свойства жидкостей [гл. 2 2-6, Упругость газов. Закон Клапейрона-Менделеева В отличие от кап-ельных жидкостей газы способны сильно сжиматься. При изменении объема газа, в общем случае, изме- изменяются его давление и температура. Для совершенных газов, к которым применимы законы Бойля и Мариотта, зависимость между давлением и объемом определяется основным характери- характеристическим уравнением их состояния — законом Клапейрона- Менделеева ]: pW — GRT: B-34) B-35) где р давление, W — объем, м3; G — вес, к Г; объемный вес j T=273°^-t°C —абсолютная температура; Я—постоянная газа (для воздуха #= 29,27 В политроплческом процессе mjqC) B*36) где я —показатель политропы. В изотермическом процессе L B-37) Исследования показывают, что формула B-37) с точностью, достаточной для целей практики, справедлива только для давлений, меньших 100 tcffcM2. При больших давлениях имеет место значительное отступление от этого закона. Например, для воздуха при давлении 100 кГ/см2 ошибка в опреде- определении объемного веса достигает почти 3% {в сторону его увеличения), а при J 000 кГ/см2 почти 200% (в сторону уменьшения). Следует также иметь в виду, что закон Клапейрона-Менделеека нельзя экстраполировать на слишком низкие температуры. 2-7. Поверхностное натяжение н капиллярность Поверхностное натяжение обусловливается силами взаимного гтритяже- пил молекул поверхностного слоя, стремящихся сократить свободную по- поверхность жидкости. Благодаря действию сил поверхностного натяжения жидкость, имею- имеющая криволинейную свободную покерхность, испытывает дополнительное усилие, увеличивающее и ли уменьшающее давление и жидкости на вели- величину 1 B-38) где з — коэффициент поверхностного натяжения^ кГ\мш Значения с приве- приведены в табл. 2 9; 1 Клапейрон—профессор Петербургского института путей сообщения— а 1834 г. доказал частный случай этого закона. Общий случай был указан Менделеевым в 1874 г. и опубликован в 1875 г. § 2-71 Поверхностное натяжение и капиллярность 31 и —главные радиусы кривизны рассма1риваемО1 о элемента поверх НОСТЙ. Таблица 2-9 Значения коэффициента поверхностного натяжения с на границе с воздухом при нормальном атмосферном давлении 760 мм рт- ст. Наименование ж1г,|кости Температуря, Вода Бензины разные . . Керосин тракторный Дизельное топливо , 20 10—40 J0-M0 10-ИО 0,0074 0,00247-^0,00194 0 00279—0 00257 0 00296-41,00269 Увеличение давления происходит в тех случаях, когда поверхность жидкости выпукла, а уменьшение — поверхность жидкости вогнута. Благо- Благодаря изменению давления, вызванному поверхностями натяжением, возни- возникает явление капиллярности. Капиллярностью называется свойство жид- жидкости подниматься или опускаться в трубках малого диаметра под действием дополнительного давления, вызванного силами поверхностного натяжения. Подъем жидкости происходит в трубке, поверхность которой смачи- иается жидкостью (например, вода — стекло), енпсканйе — в трубке, ловерх ность коюрой жидкостью не смачивается (например, ртуть — стекло). В стеклянной трубке диаметром d мм вода при температуре 20° С под- поднимается дополнительно па высоту h: 29,8 "- d В такой же трубке рт>ть опускается па высоту. B-39) B40) Влияние капиллярностк приходится учитывать при работе с жидкост- жидкостными приборами для измерения даплепин в некоторых случаях%истечения жидкости из отверстий, а также в специальных вопросах гидравлики, на- например в вопросах фильтрация ы дрг
4 ACT Ь ПЕРВАЯ ГИДРОСТАТИКА Глава третья ВВЕДЕНИЕ В ГИДРОСТАТИКУ В гидростатике рассматриваемся жидкость, находящаяся в общем случае в состоянии относительного покоя. Под относи- относительным покоем будем понимать такое состояние, при котором в движущейся жидкости отсутствуют перемещения отдельных ее частиц по отношению друг к другу. При этом жидкость переме- перемещается как твердое тело. Само движение жидкости в этом слу- случае можно называть переносным движением. Характерным для этого состояния будет постоянство формы объема жидкости. л\ в резервуаре нахо дится в „абсолют ном покос". жущеися ци< дится в otj по к о кость в дни- нахо ^ во вращающемся резервуаре нахо- находится .тельном "покое Частным случаем относительного покоя является «абсолютный» покой, под которым будет подразумеваться покой жидкости отно- относительно земли. Приведем несколько примеров: 1) абсолютный покой — жидкость находится в покое в резер- резервуаре, неподвижном относительно земли (фиг. 3-1); 2) относительный покой: а) жидкость находится в покое от- относительно железнодорожной цистерны, которая вместе с жидко- жидкостью движется прямолинейно с некоторым ускорением (фиг. 3-2); б) жидкость находится в покое относительно резервуара, кото- который вместе с жидкостью вращается с постоянной угловой скоро- скоростью (фиг. 3-3). На жидкость, находящуюся в относительном покое, действуют массовые силы (сила тяжести и сила инерции переносного дви- движения), а из поверхностных сил только силы давления. §3-1] Свойство гидростатического давления в точке 33 3-L Свойство гидростатического давления в точке В объеме жидкости, находящейся в покое, который для общности будем полагать относительным, выделим произвольно расположенный элементарный тетраэдр с ребрами Axt Щу и Jz (фиг. 3-4). Три грани этого тетраэдра перпендикулярны к соот- соответствующим прямоугольным осям координат л:, у и г. Углы, которые образуют с осями координат нормаль п к наклонной грани, обозначим через с, /?х -^ и у. Площади граней обо- ;Гу р значим индексом, соответ- соответствующим оси, перпенди- перпендикулярной к грани. Эти пло- площади будут равны: хдг Цглощадь наклонной грани ? COS cos \ ,cos 7 Фиг. 3-4. Схема сил, действующих на элементарный тетраэдр. г '" На тетраэдр действует сила тяжести oG, сила инерции .переносного движения ЗУ и силы давления ЪРГ Сила тяжести направлена вертикально; сила инерции переносного движе- ния — в сторону, обратную ускорению переносного движения. Проекции этих.сил_на„оси координат будут равны: 4-Ю ^ где ЪМ = р - ? Z — масса элементарного тетраэдра, a J, Y и Z— сумма проекций на оси координат ускорений массовых сил (силы тяжести и силы инерции переносного движения)..Силы д^влекия действуют перпендикулярно к соответствующим граням и направлены внутрь тетраэдра. Согласно формуле B-1)"на грань ОЬс действует сила, параллельная оси х в равная: — Рсрх—*¦ На грань Оас действует сила, параллельная оси у и равная. ( еру 3 К 3, Френкель.
(I 34 Введение в гидростатику [гл. 3 ^ На грань Oat действует сила, параллельная оси z и равная: чХ^ ЬР =п 8а) f Т. i Г П ¦*- На грань abc действует сила, параллельная нормали п и равная I тетраэдр -находится в покое. Поэтому тетраэдр силы должны находиться в равно- Пользуясь принципом затвердения, согласно которому пав- 6СИе Zf°r0 ТеЛа Не "аРУш™- если предположить Рего ипим, можно применить условия равновесия сил ппи- к твердому телу. Одшш_ из условий ' ' ТТ CFD ТТ?Ж_СЬ Л" it -t-t »» л _ л ^"И_ _ ^^ =U и S (проекций А Подставляя -значения входящих сюда величин, будем^ Пр 6 О, сократив на получим _1 з С приближением размеров тетраэдра к нулю рс пр ут стремиться к значениям гидростатического '?авленГя в точке в направлениях оси Х-Ря и нормали п1р , а вслед ствие этого при переходе к пределу при й* = 0 П0Лу"чаеМ( что * — Рп^ 0, или Рх = Ря. Составляя уравнения проекций сил на оси у и z, найдем, что откуда следует: Pm Pz = в точке — Ру = Р* = Р„' C1) выражает, что гидростатическое давле- жидкости имеет значение, «3-31 Дифференциальные уравнения равновесия жидкости 35 ростатическое давление в различных точках жидкости будет не- неодинаково. В гидростатике рассматривается только стационарное состоя- состояние жидкости. В этом случае каждая точка объема характери- характеризуется определенным значением давления, что обычно и записы- записывается в виде: Однако при этом необходимо иметь в виду, что функция pt кроме координат, должна включать некоторые начальные усло- условия, а также физические величины, влияющие на значения давле- иня. Такими величинами являются плотность жидкости и ускоре- ускорения массовых сил. Размерность всех величин, от которых зави- р} должна позволить в определенной комбинации получить тэмерность давления р. [• Каждому состоянию относительного покоя (фиг. 3-1—3-3) >етствует и свое конкретное выражение функции р, завися- также и от расположения системы координат. Отысканию* этой функции, т. е. отысканию закона распределения гидро- иического давления по объему жидкости будут посвящены чощие параграфы, 3-2. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости (уравнения Эйлера) Ш' В объеме жидкости, находящейся в покое, выделим эле- Янтарный прямоугольный параллелепипед с ребрами Их, Ьу и ? (фиг. 3-5), параллельными произвольно расположенным осям координат. Площади граней параллелепипеда, перпендикуляр- Йые к соответствующим осям координат, обозначим, как ранее. Они будут равны: = SySz; So) ='> оси fiyfi*. На параллелепипед действует массовая сила — сила тяжести и в общем случае — также сила инерции переносного движения. Проекции этих сил на оси координат будут равны: 87 = ХЪМ, где ЬМ—[Ш — масса элементарного параллелепипеда; Л, Y и Z— алгебраические суммы проекций на оси коорди- координат ускорения силы тяжести и ускорения сильи инерции переносного движения.
36 Введение в гидростатику [гл, 3 Кроме названных массовых сил, на параллелепипед дей- действуют поверхностные силы—силы давления ЬР.. Силы давления действуют перпендикулярно к соответствую- соответствующим граням и направлены внутрь рассматриваемого паралле* лепипеда. Рассматриваемый паралле- параллелепипед находится в покое. Поэтому действующие на па- параллелепипед силы находятся в равновесии. Составим уравнение проек- ^ ций сил на ось х: щ — ЪР2^ хш = 0. C-3) Обозначим координаты цен- центра параллелепипеда Г через х, у и z, а гидростатическое дав- давление в центре — через р: Фиг. 3-5. Схема сил, действующих на элементарный Параллелепипед. Р=р(х, При этом гидростатическое давление pi в центре левой грани, отстоящей от центра параллелепипеда на расстоянии lj2 8д:, будет равно: Pi = P * —vSx> У* 2Ь или — _J_^. Ьх Аналогично для гидростатического давления р2 в центре правой грани, отстоящей от центра параллелепипеда на расстоянии 1[2 %х, получим: Силы SPj и 8Р2 вычислим по формулам1: откуда дх C-4) 1 Для определения сил fiPt и ^Р2 надо было бы знать среднее давле- давление по соответствующим площадкам:. В общем случае эти средние давле- давления отличаются от давлений в центре площадок р± и р<^ Однако, учиты- учитывая, что в дальнейшем надо будет перейти к пределу» когда рассматривае- рассматриваемый параллелепипед будет стремиться к точке, примем эти давления за средние, Дифференциальные уравнения равновесия жидкости 37 Подставляя найденные значения в уравнение C-3), будем иметь: сокращая на bW и переходя к пределу, получим: Аналогично рассуждая, но проектируя силы на ось у и на осъ zt получим еще два уравнения равновесия. Всего, таким образом, будем иметь три уравнения: у 1_ _х — ?'йу — I i.' р OZ C-5) [ользованне уравнений моментов позволило бы доказать, рассматриваемая система сил сходится в одной точке. L Для лучшего понимания смысла полученных уравнений рчним гидравлический смысл частного дифференциала и част- частей производной от давления: :Ц-Ьх — частный дифференциал деления по х определяет собою изменение (увеличение или ^еньшение) давления при переходе от одной точки к другой f расстоянии Ъх вдоль оси х. Частная производная от давления координате определяет изменение давления в точках, рас- расположенных вдоль соответствующей оси, приходящееся * иа единицу длины. ^ Уравнения C-5) можно заменить одним. Для этого умножим каждое соответственно на dx, йу и йг и сложим. Получим: Так как гидростатическое давление есть функция только координат, выражение в скобках представляет полный диффе- дифференциал гидростатического давления: *? %¦<>*+%¦<>?+%¦"*¦ C-6) В связи с этим получим одно дифференциальное уравнение для жидкости, находящейся в относительном покос, б виде: C-7) dp = p (Xdx -J- Ydy + Zdz).
38 Введение в гидростатику [гл. 3 Уравнения C-5) и C-7) называются дифференциальными уравне- уравнениями равновесия жидкости. Они были получены Л. Эйлером в 1755 г. Покажем, что минус dp можно рассматривать как работу, производимую силами давления на перемещениях* dx, dy и dz и отнесенную к единице объема. Для этого вычислим работу сил ЬР^ по формуле Подставляя значения сил SPi3 согласно формуле C-4) найдем: dA* = -№. откуда dW = — dp. C-8) Каждое из уравнений C-5) в отдельности позволяет опреде- определить закон распределения гидростатического давления р вдоль соответствующей оси координат. Совокупность двух уравнений определяет закон распределения гидростатического давления р в соответствующей плоскости. Совокупность трех уравнений или уравнение C-7) позволяет определить закон распределения гид- гидростатического давления р в объеме. Уравнения C-5) и C-7) справедливы для капельной жидкости и газа, причем для газов дополнительным уравнением Я1вляется уравнение состояния B35 ) Полученные выше в координатной форме уравнения Эйлера можно представить в векторной форме, а именно g — --grad(p)=0, C-9) где /~ вектор ускорения силы инерции переносного дви- движения; grad (p) — градиент давления. В справедливости этого уравнения легко убедиться, спроекти- спроектировав его на оси координат, в результате чего получаются урав- уравнения в координатной форме1. 1 При этом следует иметь в виду, что градиент давления grad{/>) пред- представляет собой вектор, проекция которого на любую ось равна частной про- производной от давления по соответствующему направлению» Например, проек- проекция градиента на ось * равна: Основное уравнение гидростатики 39 Из ураанеиия C-9) следует, что направление ускорения равно- равнодействующей массовых шл является там лаправлемем, в ко- котором гидростатическое давление максимально возрастает. Из того же выражения следует, что в направлении, перпендикуляр- ком к направлению ускорения равнодействующей массовых сил, давление имеет одно и то же значение. Глава четвертая ГИДРОСТАТИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ ДЛЯ ЖИДКОСТИ, НАХОДЯЩЕЙСЯ В «АБСОЛЮТНОМ» ПОКОЕ В этой главе рассматривается жидкость, находящаяся в по- постноситель но земли, причем в рассматриваемых вопросах дащение самой земли не принимается во внимание. Поэтому на рльтаты исследований оказывают влияние лишь силы гидро ческого давления и силы тяжести. Для этого случая едование законов равновесия газов будет приведено • 26. В настоящей главе в дальнейшем будут рассмотрены ко капельные жидкости. i Основное уравнение гидростатики и поверхности равного ения для несжимаемой жидкости, подверженной действию сил тяжести и давления §!*Для получения основного уравнения гидростатики восполь- дифференциальным уравнением равновесия C-7) ¦ W: dp == р (Xdx + Ydy ~f Zdz). v ь Расположим оси координат так, чтобы ось z была направ- направлена вертикально вверх (фиг. 4-1). Так как при этом , и Z= — g% Это уравнение можно представить в виде: Поскольку р^ = у, а объемный вес у так же, как и плот- кость р, для несжимаемой однородной жидкости есть величина постоянная, предыдущее выражение можно записать и так: D-1) или d (г + Л) = о,
40 Законы для жидкости, находящейся в «абсолютном» покое [гл. 4 откуда — = idem * т D-2) Уравнение D-2) справедливо для любых точек одного и того же объема однородной капельной жидкости, находящейся в равновесии. В этом уравнении давление р может быть и абсолютным и избыточным. Для двух частиц с координатами г{ и z2 уравнению D-2) можно придать вид: 7 : D-3) Уравнение D-3) буде«м называть основным уравнением гидро- гидростатики. Из этого уравнения следует, что в одном и том же объ- объеме покоящейся однородной жидкости все частицы, расположен- расположенные в одной и той же горизонтальной плоскости, имеют одно и то же гидростатическое давление, т. е. горизонтальные плоскости являются поверхностями равного давления. Фиг. 4-L Ось г направлена вертикально. Фиг, 4-2, Сообщаю- Сообщающиеся сосуду, за- заполненные одно- однородной жидки- Стью. Заметим, что под одним и тем же объемом жидкости следует понимать такой объем однородной жидкости, две любые части- частицы которого могут быть соединены линией, не выходящей за пределы этого объема. Так, например, объемы жидкости, запол- заполняющие так называемые сообщающиеся сосуды, изображенные на фиг. 4-2 шти 4-3, могут рассматриваться каждый как один и тот же объем. Для таких объемов давление в точках / и 2, рас- расположенных >на одном и том же горизонтальном уровне, будут равны. Отсюда также следует, что в сообщающихся сосудах с одинаковым давлением на свободной поверхности (фнг\ 4-2) уровни однородной жидкости в обоих сосудах располагаются на * idem (ид-*м) здесь и в дллык-йшем употребляется только и смысле „одно и то же", т. е, имеющее одно и то же значение в рассматриваемой области (в обьеме или на линии) лишь в данный момент времени, в отличие от const, означающей постоянство величины во времени. Определение величины гидростатического давления 41 одной и той же высоте, так как свободные поверхности представ- представляют поверхности равного давления. Примером более сложных объемов будут объемы жидкости А и В с присоединенным к Ним дифференциальным ртутным ма- IL Рс ая? фиг. 4-3, Горизонтальные пло- плоскости являются поверхностя- поверхностями равного давления» Фгиг 44. Схема диффе- дифференциального ртутного манометра. нометром (фигг 4-4). Точки А и В этих объемов уже не могут Йыть «соединены линией, не выходящей за пределы только одной рккдкости. Поэтому в общем случае давления в точках А и 5, Расположенных на одном и том же уровне, не будут равны меж- собой. 1- '#¦¦ 4-2, Определение величины абсолютного и избыточного гидростатического давлений в любой точке несжимаемой 1 жидкости. Закон Паскаля Для определения давления в любой точке жидкости, находя- щейся в равновесии (фиг. 44), воспользуемся основным уравне- уравнением гидростатики D-3), Решая это уравнение и обозначая разность глубин погруже- погружения точек / и 2 через h = Z\ — z2, получим: * Рз—Pi + Tf*. V (±А) или D-5) Из формул D4) и D-5) следует, что для определения давления в произвольной точке жидкости необходимо знать давление в ка- какой-либо другой точке, принадлежащей тому же объему, а также глубину погружения одной точки относительно другой. Если точка / взята на поверхности, где давление равно атмосферному давлению, т. е. где р1 — р формула для определения избыточного давления в любой точке обратится в {4-6) где h —глубина точки от свободной поверхности жидкости, а знак минус соответствует вакууму (фиг. 4-3).
42 Законы для жидкости, находящейся в ^абсолютном» покое [гл. 4 В этом случае величина избыточного давления зависит толь- только от высоты столба жидкости. Следует обратить внимание, что числовое значение у-ft можно рассматривать как вес столба жидкости высотой h с площадью поперечного сечения, равной единице. Но при этом нужно помнить, что величина У • h имеет размерность кГ/м2. Из изложенного следует, что в жидкости, находящейся в абсо- абсолютном покое, разность давлений в различных точках жидкости обусловливается только влиянием веса жидкости. В тех случаях, когда влияние веса невелико и им можно пренебречь, гидроста- гидростатическое давление во всех точках рассматриваемого покоящегося объема можно считать одинаковым. Из формул D-4) и D-5) следует закон Паскаля, согласно ко- которому давление, создаваемое в любой точке несжимаемой оюидкости, находящейся в покое и продолжающей оставаться в покое, передается одинаково всем точкам объема жидкости. < Действительно, при увеличении давления, например (фиг. 4-3) в точке, 1У на величину Ьр на столько же увеличится давление и в другой любой точке объема. 4-3. Эпюра гидростатического давления Изобразим графически (фиг. 4-5) изменение гидростатическо- гидростатического давления в зависимости от глубины вдоль какой-либо плоской стенки, наклоненной к горизонту под углом &. В точке О, нахо- находящейся на поверхности жидкости, ФР' \ давление примем равным р0- В точке, р находящейся на глубине h от поверх- Л ности жидкости, давление будет равно: Последнее выражение может быть представлено в виде: р _ где / — расстояние рассматриваемой Если выбрать оси координат, как показано на фиг. 4-5, то графически зависимость ОсьЧ Фиг. 4-5. Графическое изоб- раженис закона расиределе- гидростатического дав- .пения по глубине. изобразится прямой линией, наклоненной к оси абсцисс (оси /) под углом &, тангенс которого tgft = YsinCk D-8) Для построения этой линии достаточно знать давление лишь в двух тючках рассматриваемого сечения. Изобразив эти давле- Гидростатический напор ния в виде перпендикуляров в соответствующих точках и соеди- соединив концы этих перпендикуляров прямой линией, получим эпюру гидростатического давления. В любой промежуточной точке гид- гидростатическое давление будет измеряться длиной перпендикуля- перпендикуляра, восставленного в данной тючке до пересечения с прямой эпюры. 4-4* Гидростатический напор Физический смысл закона, выражаемого формулой D-2)^ мо- может быть весьма наглядно показан на схеме, приведенной на фиг. 4-6, В точках / и 2 установлены две стеклянные трубки, соединенные вверху между собой. Предположим, что воздух и Плоскость гидров, н. еснаго напора Плоскость сравнении Фиг. 4-6- Жидкость в иьезометрических трубках поднимается до одного итого же уровня. пары жидкости, заполняющие верхнюю часть стеклянных трубок, полностью выкачаны. Тогда в образовавшемся безгазшюм про- пространстве давление будет равно нулю. Пренебрегая капилляр- капиллярностью, высоту подъема жидкости в обеих трубках вычислим по формуле * V\ I Pi /A Q\ h = — • и hft =-^- . D-9 Тогда на основании формулы D-3) в соответствии с D-9) получим: откуда следует, что в обеих трубках жидкость поднимается до одного и того же уровня, высоту которого обозначим через Игс: D-10)
44 Законы для жидкости, находящейся в «абсолютном» по/сое [1л, 4 Имеющая одно и то же значение для одного и того же объема жидкости величина Нгс называется полным гидроста- гидростатическим напором, г —геометрическим напором или геометри- геометрической высотой, ? — пьезометрическим налором или пьезомет- пьезометрической высотой. Заметим, что в этом выражении р является абсолютным давлением. Уровень Н?с определяет горизонтальную плоскость, назы- называемую плоскостью гидростатического напора. Эга плоскость соответствует абсолютному давлению. Если бы стеклянные трубки вверху были открыты, то жидкость в них поднялась бы ниже на величину Рат у 0 жидкости оказались также на одной высоте в Плоскости соответствующей избыточному давлению. Величину // . , ^ | Ри пи — г + у DП) будем называть гидростатическим напором, соответствующим избыточному давлению, а величиЕЕу —-пьезометрическим напором или пьезометрической высотой, соответствующей избы- избыточному давлению Гидростатический напор равен удельной потенциальной энер- энергии покоящейся жидкости. Под удельной энергией подразуме- подразумевается энергия, отнесенная к единице веса жидкости (к 1 кП Б самом деле, численное значение потенциальной энергии не- некоторой частицы равно той работе, которую могут совершить си- силы, действующие на частицу при перемещении ее из данного положения в такое, в котором потенциальная энергия равна нулю. На частицу действуют сила тяжести и давление На уров- уровне координатной плоскости хоу будем условно считать потенци- потенциальную энергию положения равной нулю. При этом работа ко- которую совершит сила тяжести, будет равна: где г . вертикальная координата рассматриваемой частицы ост — ее вес. ' Силы, обусловливающиеся гидростатическим давчепием могут проявить свое действие различным образом. В том случае' если над данной частицей установлена трубка, из которой выкачан воздух, частица жидкости весом 8? поднИмае«ЯРдо плоскости гидростатического напора на высоту Z, на уровне которой р = 0. Для вычисления работы, производимой при этом §4-4] Гидростатический напор 45 силами давления, воспользуемся уравнением C-8), проинтегри ровав его в пределах от р до /7 = 0. При этом получим: ад о — ЪП Р Таким образом, суммарная работа, которую могут совершить силы, действующие на частицу с весом SG, численно равная ее потенциальной энергии, будет равна: или Если отнести потенциальную энергию к единице веса, найдем удельную потенциальную энергию, которая будет равна гидро- гидростатическому напору '*¦. Т D-13) :,; Из выражения гидростатического напора следует, что все Щастицы одного и того же объема однородной покоящейся Жидкости обладают одинаковой удельной потенциальной Энергией. v Эта удельная потенциальная энергия складывается из двух ^частей: z — удельной потенциальной энергии положения; г-—удельной потенциальной энергии давления. v При этом следует отметить, что величина удельной потенци- Р альной энергии давления ~, имеет конкретное для: данной точ- точки значение, определяемое гидростатическим давлением и объ- объемным весом. Этого нельзя сказать о потенциальной энергии положения. Энергия положения измеряется 'вертикальной коорди- координатой zt отсчитываемой от произвольной горизонтальной плоско- плоскости сравнения, на уровне которой условно считаем потенциаль- потенциальную энергию положения равной нулю. При этом полезно вспом- вспомнить из механики, что произвольность выбора уровня с потенци- потенциальной энергией, равной нулю, оправдывается тем, что для при- приложений важно знать не столько величину потенциальной энер- энергии в данной точке, сколько разность ее между двумя точками, каковая, конечно, не будет зависеть от положения плоскости сравнения.
46 Законы для жидкости, находящейся в «абсолютном» покое [гл, 4 4-5. Условия равновесия разнородных жидкостей Рассмотрим равновесие двух различных жидкостей с объем- объемным весом Yi и у2> Определим форму поверхности их раздела. Для этого воспользуемся уравнением D-1) Так как на поверхности раздела, являющейся общей для двух жидкостей, dp имеет одно и то же значение для обеих жидкостей, то для обеих жидкостей справедливо равенство что при возможно только если , откуда следует. р Yi^Y2 , у что z = const или что поверхностью раздела двух соприкасаю- соприкасающихся различных жидкостей является горизонтальная пло- плоскость. Поэтому она является также и поверхностью равного давления. Последнее следует также и из того, что при dz=0 и dp = Q. 4-6. Сообщающиеся сосуды На фиг. 4-2 были рассмотрены сообщающиеся сосуды, запол- заполненные одной и той же жидкостью. Здесь рассмотрим те же сосуды, но заполненные (фиг. 4-7) жидкостями с объемными ве- весами Yi и Т2- Для .каждой жидкости в отдельности справедливо уравнение D-4), Воспользуемся им для определения отношения высот стол- столбов жидкости hi и &2. Рассмотрим случай, когда на свободной поверхности обеих жидкостей давления одинаковы и равны ро- Так как поверхность раздела является поверхностью равного давления, то для двух точек / и 2 будут справедливы следующие зависимости: I 4 SJL 4 T откуда или D-14) Ti Фиг. 4-7. Сообщающиеся сосуды, заполненные различными несме- шиваюшичися жидкостями. По- Поверхность раздела есть горизон- горизонтальная плоскость. т. е. в сообщающихся сосудах с одинаковым давлением на сво- свободной поверхности высоты стол- столбов обратно пропорциональны объемным весам онльдкостей. Жидкостные приборы для измерения давления 47 4-7. Жидкостные приборы для измерения давления Приборы, служащие для измерСЕЕИя давления в жидкостях, как правило, являются дифференциальными, так как измеряют не абсолютное давление, а разность Давлений в точках двух сред. Исключение представляют приборы для измерения атмосферного давления — барометры. Остальные типы приборав в зависимости от -их назначения называются: манометры—для измерения избыточного давления, т. е. раз- разности между абсолютным и атмосферным давлениями; вакуумметры — для измерения вакуума, т. е. разности между ат- атмосферным и абсолютным давле- .ниями; дифференциальные мано- манометры —для измерения произ- произвольной разности давлений в двух извольных точках. По принципу действия прибо- бывают жидкостные, пружин- поршневые, электрические и мбинированные. Наибольшее шепространение получили пру- ные и жидкостные приборы, ичем последние, так же как и ртневые, главным образом в бораторной практике. Щ Рассмотрим кратко схемы лишь жидкостных приборов. По- $фобнее о приборах можно прочесть в ряде руководств j. В своем простейшем виде жидкостный манометр, называемый пьезометром (фиг. 4-8), состоит из вертикальной или для малых давлений наклонной стеклянной трубки / с внутренним Диамет- Диаметром не менее в мм и шкалы 2. Верхний конец трубюи открыт в сообщает внутреннюю полость трубки с атмосферой. Нижний ко- конец трубки присоединяется к резервуару 3 с жидкостью, в кото- которой измеряется давление. Жидкость, находящаяся под давле- давлением, заполняет трубки, поднимаясь в них на некоторую высоту. Абсолютное давление раб на уровне нуля шкалы манометра может быть определено по формуле (если пренебречь капилляр- капиллярностью) Фш. 4-8. Пьезометр с вертикаль- вертикальной и наклонной трубками. = P an, D-15) К- Жоховский, Техника измерения давления и разрежения, Н. 3. Френкель, Руководство к лабораторным работам по курсу ги- 'лики и насосов, издание Военной ордена Ленина академии Гронетанко- и механизированных войск Советской Армии имени И, В. Сталина, 1947.
48 Законы для жидкости, находящейся в «абсолютном» покое [гл. 4 Избыточное давление на том же уровне вычисляется по формуле D46) Весьма часто давление условно определяют высотой столба жидкости в манометрической трубе. Например, когда говорят, что давление равно 7,1 м вод, ст. или 522,0 мм рт. ст., —это значит, что данное давление может бьпь создано водяным столбом высотой Л = 7,1 м или ртутным столбом высотой А = 522 мм. Величина же давления в кГ\м2 определится по формуле ггте т —объемный вес жидкости, я, г~ , ft-высота столба жидкости, соответствующего давле- давлению, м. Для того чтобы давление р выразить высотой столба жидко- жидкости, надо вычислить h по формуле = ?-. D-17) Из этой формулы следует, что одному и тому же давлению будут «тветсХшть в зависимости от объемного веса разные высоты столбов жидкости (табл. 4-1). I а Ол виз з-J Значение высоты столба жидкости (ртути, ?0^, масла, керосина, бензина и воздуха) соответствующее р = \ к/>л^= 10 00О Род жидкости Ртуть Объемный вес 7» к Высота столба жидкости Л, м , . J3 60Q 0.735 1 0U0 10 920 10,87 800 12,5 750 1333 8 333 Для измерения давлений больше 0,3 кГ/см* в качестве рабо- рабочей жидкости следует применять ртуть. На фиг. 4-9 показана схема ртутно-чашечного манометра. Б этом приборе обычно нуль иа шкале совпадает с уровнем ртути в резервуаре / при П—Л1 Поэтому размеры этого резервуара должны быть такавы, чтобы понижением уровня в нем при А> 0 можно было пренебречь. В противном случае нужно считаться с понижением нулевого уровня. Абсолютное давление на уровне нуля шкалы прибора I (капиллярностью пренебрегаем) определяется по формуле Жидкостные приборы для измерения давления 49 Давление р в центре резервуара 3 вычисляется по формуле Р tim т/ D-18) где уЛо можно рассматривать как поправку к показаниям при- прибора, обусловленную его расположением по отношению к точке, давление в которой определяется. Для измерения давлений, превышающих 3—4 кГ/см2у может служить батарейный манометр, схема которого показана на фиг. 4-10. Разность давлений ?р в двух точках может быть измерена посредством дифференциального манометра. На фиг. 4-11 пока- Воздух- Жидкасть 3 Воздух r~v2 am Жадность 4-9 Схема ртутно чашечиОЕО манометра* Фиг, 4-10» Схема батарейного ртут- ртутного манометра* 1—краны для спуска дифференциальный манометр, представляющий сотой два обыкновенных пьезометра (к поэтому называемый дифферен- дифференциальным пьезометром), соединенных вверху между собой. При Любом давлении в газовом пространстве пьезометра (в этом при- приборе обычно пренебрегают влиянием веса газа) разность давле- давлений Ьр р, двух точках / и 2 одинаковой жидкости, расположенных одной и той же высоте, определяется по формуле = у/г, D-19) Где А —показание манометра; Y — объемный вес жидкости. При больших разностях давлений в качестве рабочей жидко- жидкости в дифференциальном манометре применяется ртуть. Схема ртутного дифференциального манометра показана на фиг. 4-12. Разность давлений в двух точках / и 2 одинаковой ^ Н; з» Френкель,
50 Законы дгя жидкости, находящейся в «абсолютном* покое [тл> 4 жидкости, расЕЮлсжекыых на одной высспе, определяется по формуле D-20) Вывод этой формулы раюбран в задаче 4-5. При малых ра постих дав.-кчпт примечяе [ся дифферен- дифференциалы! ыи маком с-1 •[ р, и чоГ>ра желтый h<j фиг. 113. Верхняя часть его заполнена ые raiov, а рабочей жидкостью, объемный вес которой л;риСг меньше у жидкости. а Газ (баздуз) Фиг. 4-J К Схема дифференциального Фи*. 4-12. Схемл дифференциального пьезометр. ртутного мяно^тра а —кргит дчя подкачки или спуска сжатою а—ьраны ч.\я гпуска воаду.ха воздуха. Разность давлений в двух точках / и 2 одиггльежой жидко- жидкости, расположенных на одной bucoic, определяется' но формуле D-21) При значениях чра6ъ близких к V» даже при малых разностях давлений показания прибора могут быть весьма велики, чем достигается большая точность измерения давления. В качество рабочей жидкости можно применять керосин, масло и т. п. Жидкостное манометры отличаются высокой точностью изме- измерений, но благодаря их громоздкости при измерении больших давлений применяются главным образом в лабораторной прак- практике. Для измерения вакуума также применяются жидкостные и пружинные вакуумметры На фиг. 4-14 изображен ртутночашечпый вакуумметр. Ваку- Вакуум на уровне нуля шкалы прибора вычисляется по формуле Жидкостные приборы для измерения давления 51 Вакуум в центре резервуара А, если соединительная трубка 2 полностью заполнена жидкостью из резервуара Л, вычис- вычисляется по формуле , D-22) Где у — объемный вес жидкости в резервуаре. В этой формуле "j/zq также следует рассматриват ь как поправку к показанию прибора, обусловленную его располо- \ ¦ Воздух . 4-]3. Схема дифференциального канометра, у которого ^р^ меньше 7 измеряемой жидкости. и—край для спуска воздуха к зарядки прибора, Фиг. 4-14. Схема ртутно-чашечиого вакуумметра. I—крандля спуска воздуха при регулировке прибора. Может служить и для оснибожде ция присоединительной трубки 2от жидко- С'ги. З^вакуумметрическая трубка. жением. Так же как и давление, высотой столба жидкости, выражают и вакуум, вычисляя его по формуле * Рв Рот ~~ Раб * 7 Т D-23) где f — объемный вес той жидкости, относительно которой определяется вакуум. В измерительных приборах вакуум весьма часто измеряют в миллиметрах ртутного столба, иногда в метрах водяного столба. Ртутно-чашечный вакуумметр может быть приспособлен и для измерения избыточного давления, т. е. превращен в мановакуум- метр. Для этого необходимо заменить вакуумметричсскую труб- трубку 3 другой —соответствующей длины, что и показано на фиг. 4-14 пунктиром. Задача 4-1, Определить абсолютное и избыточное гидростатические давления в водоеме на глубине й— 15 м (фиг, 4-15). Решение. Для решения задачи пользуемся формулой D-4)-
52 Законы для жидкости, находящейся в «абсолютном» покое [ гл. 4 где ро = 10000 кГ/м2 — атмосферное давление на поверхности; Y— I 000 кГ/я* — объемный вес вод и; ft == J5 м — глубина. р= ЮООО + 15^1 000 = 125000 Pii==vfl= 15 000 к Г !м2 = 1, Задача 4-2. Определить избыточное гидростатическое давление в центре крышки лаза бснзорезернуара, приняв давление в газовом пространстве резервуара равным атмосферному давлению, аАт«8 л (фиг. 4-16). Фиг, 4-]5* К задаче 4-1, Фиг. 4-16. К задаче 4-2. Решение, Для решения задачи пользуемся формулой D-6): где ^ ^ 750 кГ/л*3— объемный вес бензина. Задача 4-3. Определить величину избыточного гидростатического дав- давления на поверхности жидкости в сосуде, находящемся в покое, если в трубке жидкоствого манометра (пьезометра) вода Him поднялась на высоту Л= 1,5 м. Свободный конец пьезометра открыт и сообщается с атмосферой !Л Л I7V ) Решение. Так как жидкость в сосуде и ма- манометре находится в равновесии, то по всех точ- точках одной и той же горизонтальной плоскости давление одинаково, т, е, pI=pti, таким образом' = ^h=i I 000-1,5 = 1 500 = 0,!5 кГ}см2. В этой задаче, так же как и в последующих, влиянием капиллярности пренебрегаем. Задача 4-4. Определить вакуум в цилиндре Л, заполненном воздухом, если в трубе жидкостного вакуумметра вода поднялась на высоту h ~ 2 м (фиг. 418). Ф 4 1- ж й Решение. Для определения вакуума опреде- фиг. 4-1/. жидкостный лим сйачала гидростатическое давление в пи- манометр. К задаче 4-3. лш{дре п0 формуле D_5)> допуская, что во всем пространстве, заполненном воздухом, имеется одно и то же гидрос1атическое давление (такое допущение возможно благодаря малому объемному весу воздуха по сравнению с объемным весом жидкости в вакуумметре): где рат —атмосферное давлеЕше; объемный вес жидкости в вакуумметре; показание вакуумметра» Y h Жидкостные приборы для измерения давления Вакуум определяется по формуле Рв =* Рат - Р* т. 53 или р =: I 000-2 = 2 000 = 0,2 кГ'см2. Обычно вакуум выражают не величиной давления, а высотой столба жидкости. Для того чтобы выразить вакуум в метрах водяного столба, надо р8 разделить на Х- Рв 2 000 h& [м вод. ст.] = — = * = 2 м вод. ст. Таким образом, вакуум соотве1ствует 2 м вод. ст., причем каждому миллиметру водяного столба вакуумметра соответствует вакуум в 1 kFJm*. Задача 4-5. Требуется определить разность давлений в точках А и В, раходящихся на одном уровне в двух цилиндрах, наполненных водой, если разность уровней ртути в дифференциальном манометре (фиг. 4-19) Л—\Ьсм. ваздь ijjta Фиг, 4-18. Схема жидкостного вакуумметра. К задаче 4-4. Фиг. 4-19. Схема рт>тиого Дифферен- Дифференциального манометра. К задаче 4-5, До ртути трубки дифференциального манометра Си/) заполнены во- водой. Температура i = 20° С. Решение. Жидкость в дифференциальном манометре находится в рав- равновесии. Поэтому дагление в течке / равно давлению в точке 3 — как дав- давления з точках однородной жидкости, расположенных в горизонтальной плоскости, т. е. Pi = Рь На том же основании Р2 = Ра- В то же время откуда во Ра —Рв = Рг) —
54 Законы для жидкости, находящейся в «абсолютном» покое [ гл. 4 Подстапляя значение />t в предыдущую формулу, получки: Ра — Рв — Ь-Ьр—ЪЪ где h = Q>[o « — показание манометра, а ^р—объемный вес ртути 0,0001*15* • Тя = 13 600 кГ,м'* — объемный вес ртути при t 1 000 кГ{м* / = 20° С Итак, 13000 \ 0°С; *2 = 0,]883 Задача 4*6, Требуется определить (фиг, 4-2Э) разность давлений б точ- точках, находящихся на оси Е;илИЕ1дров Л и Д наполненных водой, если раз ноегь уровней ртути в дифференциальном манометре h ~ ]5 см. До ртути трубки дифферепциалького ма- манометра заполнены водой; тем- температура / ~ 2J° С. Разность уровней осей цилиндров Я~1 м. Ответ: 5/7 = 0,0883 кГ'см2. ¦Ртуть фиг. 4 20. О:ъмл ртутного диф- дифференциального манометра. К задаче 4-G. Фиг. 421. С^ема присоединения манометра и вакуумметра к tjacocy. М— манометр, В—вакуумметр. К задаче 4-7. Задача 4-7. Требуетcw определить (фиг. 4-21) абсолютное давление к точке в (во всасывающем патрубке) и л точке н (в напорном патрубке) центробежного наго:лт перекач^ваюлего иоду с температурой t = 20° С. К точке в присоединен ртутжэ чашечный вакуумметр ВТ а к точке н — ртутьо- чашечный манометр М. Пакуум\1егр показывает hQ = 0,5 м рт ст. Мано- Манометр показывает Aw = 1,5 м рт. ст» Высота hi ^ 0,5 ^, Л2 = 0»2 ^- Трубки /п и /гр соединяющие т[ашкхг приборов с точками б и ^> полностью заполнены также гюдой, ^apoMiirpiineLKoe (атмосферное) даплеЕше Н6=7Ъ& мм рт* ст. Темпера- Температура t -=^0°С. Ответ: рв — 0,3725 л:Г/ж2Р рн =2,0526 кПсм2. Задача 4-8. Цилиидр (фиг. 4 22) и трубки дпухжидкосгното манометра в частях С и Я наполнены водой, в частях D и F— ртутью, Свободный конец манометра открыт и сообщается с атмосферой. Определить показание ианометра М. В пространстве цилиндра А находится приборы для измерении давления 55 т Дано' И = А м; ft, — 1,1 м, =13 600 л --=l O(j j л Нранpm cnysxa воздуха Отрет: р ^ Задача 4-9. Гидрлпличегкий р^ (фиг. 4-2,3). Определиеь силу, с которой гидравлический преос сжимает 1р>л /^, а также к, п, д. лресса согласно следующим дан- данным a z^.'ti\ см\ Ь j= 5 t;«, d—Ъ см, О — 25 см, h = 25 л,» —пысота ко- кожаного манЛ'Гетл; f -=0,15 — коэф- коэффициент трения кожи о металл. Вес груз,* и пл^1тж-ера D G = =^\Ш к Г Усилие, приложенное к рукоятке, 5 -- 15 а А Действ по пресса. П]Ти ходе малою iTopimn d внср\ отбрыкает- отбрыкается всас >iiiJH0i(ini[ клапан /V при м раби'ич Ж1-тдк;.1СТт. и^ резервуара 5 всасывается ^ иростргшетво под 2 б Фиг. 4 22. Схема двухжидкостного бата- батарейного манометра. К задаче 4-8. р д ррур р малым nopiTiricu. В '->то вречя чагкетдтсльный клапан 2 закрыт, при обратном ходе мапшо порщня вн^ез клалагг / закрывается, а клапан 2 открывается» Гидростатические давление, создаваемое иод малым поршнем, по закону Паскаля передается и \\\\ большой тюрсцекь D (плунжер). Фиг. 1-23. Схема гидравлического пресса. К задаче 4-9. Усилие, создякасчое давлением жидкости па большой поршень, умень- уменьшается вследствие 1[)енин между кодсаимч малжстом 4 и поршнем» Давле^ ЕШе рег^стч)И])у^чся мано^епкш о Клапан 6 -предохранительный. Решение. Сила Лл, [фи/!О*ен1тая к рукия^чо малого поршне, передается на nopr[[ewh с силок (иренс^оегя^м \глом «) Гидростатическое давление пол малым порине^ равно 360
56 Законы для жидкости, находящейся в <"абсолютном» покое [гл 4 Сила, передаваемая на большой поршень, кГ. Гидростатическое давление передается и на манжет, прижимая послед- последний к поршню с силой = 4,586-2,5*25 = 900 к Г. При этом создастся сила трения Г^ /F —0,15-900 = 135 кГ. Сила, сжимающая груз, R^M — О — Г = 2 0i5 КГ. Коэффициент полезного действия г) найдем (иренебрегая грением малою поршня) из соотношения - RdH _^ ч" Sad? =Л/ ' где Rdff—полезная работа, совершаемая при сжатии гр\за па dH, Sady— элементарная работа, совершаемая усилием S, 11рикладывасмым к рукоятке гфи повороте ее на угол dip; Подставляя в т\ значения О и N, полечим- R N — T—G T G G 2GI5 a Задача 4-10. Гидравлический домкрат. Определить усилие, когороо не- необходимо приложить к рукоятке гидравлического домкрата (фиг. 4-24), а также его к. гь д, для того, чтобы поднять груз весом G= I0 000 кГ. Размеры рукоятки m = 30 см, п — 2,5 см. Бес плунжера домкрата Оп -• =5» 20 кГ* Диаметр плунжера D =: ]2сму диаметр поршня d = \fi сму высота кожаного манжета А= 1,5 см, коэффициент 1рения f —0,15. Действие гидравлического домкрата ос>1лествляется следующим обрл- эом; при ходе мало! о поршня d впраро открывается всасывающий клала к / и жидкость по каналу с из головки домкрата 3 всасывается в простран- пространство под малым лоршнем. При ходе малого поршня влево клапан / закры- закрывается. Создающееся под поршнем давление, открывая нагнетательный кла- клапан 2У передается по^акону Паскаля жидкости, находящейся в камере 4 под подъемным плунжером D* При этом создается )силве, ^риполнимающес головку домкрата с находящимся на пей грузом. Чтобы спустить груз, надо открытием крана, не показанного на фигуре, спустить жидкоеib из камеры 4 в камеру 3. Решение. Сила 5, приложенная к рукоятке домкрата, передается малый поршень с силой (пренебрегая углом а m п Жидкостные приборы для измерения давления 57 IS--!-- Фиг* 4-24, Гидравлический домкрат. К задаче 410. Под малым поршнем создается гидростатическое давление АР Сила, передаваемая на большой поршень, r.D2 — 5— - Гидростатическое давление передается кожаному манжет>, прижимается к большому поршню, создавая силу трения: m D2 Сила, передающаяся поднимаему грузу, должна быть больше m Из последнего вырлжшшя найдем" 1QQQQ + 2Q m U1 I — D) 2,5^1,6 I _ 4-0,15-1,5 Коэффициент полезного дейецшя т) найдсир пренебрегай трением малого поршня, из соотношения Gdtf G г =- Smdf ~ N ' гДе GdH—полезная работа, совершаемая для подъема ip\3<i па высоту dli*
Законы для жидкости, находящейся в «абсолютно \*> покое [г л 4 к Study — элементарная [заботя, совершаемая усилием S, \ рукоятке 1фи повороте ее на угол а?, з ndt = d<rdH. Подставляя в значения G и Л' пол>ним: ^ = z 1 — -л - — 92,3%, т S — п 4-0,15. Задача 4-11. Гидрапличегкии [р>зовой аккумулятор. В гидронрессовых )С1^и(>вках широкое распространение получил гидравлический грузовой ак- аккумулятор, одна пл конструкций которого изображена на фиг. '125. Водя ия насоса высокоео давления через трубу / полается в цилиндр 2У в котором можег перемещаться плунжер ,5. К юловже плунжера посред- посредством болтовых тяг 4 лодвешены грузы 5, свободно перемещающиеся J плунжером 3 п цилиндрической башне в, устанавливаемой на п фундамеше. Перемещение плунжера начнется тогда, когда давление на него, оказываемое жидкое i ью, будет больше веса движущихся частей аккумулятора и сил трения. Гидропа- Гидропатическое давление, создаваемое грузовым аккумулятором, если пренебречь ускорением движущихся маге, определяется весом по- подвижных час!ей аккум>лятора и площадью поперечного сечения плунжера. В гндропрессовых установках аккум>ля- торы являются потребителями энергии в мо- моменты, когда прессы работают недостаточно интенсивно, и, наоборот, являются источника- источниками энергии в моменты, когдя ироизводитель- HOi ть насосов, пигяготих прессовые установки, [|Сдостаточ1га, птобы удовтетпорить треб>емук> потребность 11 поде. Обязательной аппаратурой при всяком гру.зовом аккумуляторе является предельный ограничитесь его верхнего поло же ге и я в виде предохранительною клапана, открываемого тягой 7 при подъеме аккумулятора в крайнее верхнее по^ожегтие, а также дроссельный кла- пягт для уменьшения скорости падения груз<»п яккум>лятора в моменз его [зазрядки. Д гсльпыё клапан действует при нажиме аккумуляюра на рычаг 8. Фиг. 4-25^ Гидравлический мккумулнтор. К задаче 4-П. Определить давление, создаваемое гидравлическим i рузовым акк' г, изображенным на фиг. 4-25, и запасаемую им энергию согласно сле- следующим данным вел, движущихся частей G = 70000 кГу лиамет-р ллунжера г/'= 20 ол; ^площадь поперечною сечения пл>ЛА^ра о> = ;Я4 см!2; ход плун- плунжера Н=~ м\ ширина кожаного манжета \ii;i6ftt<mi\}i h =- 25 ajk, коэффп цAент трения кожи о металл f^0f15. Решение. Лапление создаваемое к HHvinHjpc аккумулятора под плун- плунжером, определится из выражения ры = G ± T.dhfp. где ттгак ч — * относится к годъем> г[тузов. а ч— * к оп\скли>1[о G приборы для измерения давления 59 В последнем выражении я-|-* относится к опусканию груза» Энергии, запасаемая аккумулятором (пренебрегаем энергией положения), опреде- определяется энергией давления и будет равна удельной энергии давления , умноженной на вес жидкости в объеме цилиндра аккумулятора у—z-H[кГ ]. Таким образом Подставляя значения, получаем (для спуска) 70 000 /' = 314 + 3,14.20.2,5-0,16 = 207,3 *Г;^; Если принять продолжительность раз ряда акьумулиторл в 120 сек., то развивае- развиваемая им в Среднем мощно-ть определяется по формуле = 37249 am. Задача 4-12ф [ идравлический мульти- мультипликатор. Определить давление, создавае- создаваемое i идравлическим мультипликатором, согласно следующим дашгьгм: вес подвила частей мультипликатора G = 403 кГ, ^ ^25 см, D2 = 15 см; d0 = 2,5 см* Раз меры кожаные манжетов; hl = 20 мм; Л^= = 20 ММ Давление, создаваемое аккумулятором, //^ = 200 кПсм*. Гидравлический м>лыипликатор уста- гыБЛипается в гидропрсс^озых установках обычно в тех случаях, когда давление, соз даваемое аккумулятором, бывает недоста- недостаточным. К«нструктшя гидравлического мультипликатора (фиг* 4 26) в основном со стоит из неподвижного цилиндра /, в ко- котором находится подвижный пл>нжер 2. Подвижный плунжер одновременно служит также и цилиндром, внутри которого нахо- находится неподвижный плунжер 3. Подвиж- Подвижный плунжер — цилиндр 2 — соединен жес (ко с подвижной поперечной, кото- которая песет на себе вспомогательные подвижные цилиндры 4. Жидкость под давлением, создаваемым аккумулятором (порядка 200 кГ1см% попадает в пе- иодвижпьш цилиндр / и заставляет подниматься ввер^ подвижный ци- цилиндр Z Жидкость также заполняет и полость цилиндра 2, откуда oira вытеоняе!ся к прессу но трубопроводу о под увеличивающимся давлением. В описанном мультипликаторе ^тотпепие гш.жпдров выполнено в виде uik называемых сальников. Решение. Пренебрегая ускорением движущихся честен, определим пав- ление, создаваемое мультипликатором r цилиндре 2\ рассмотрим равновесие сил, действующих на цилиялр 2У еггроектировап i[X nd пертнкаль. t Ф|-п . 4 20, Гидравлический муль- мультипликатор К задаче 4-|5.
60 Законы для жидкости, находящейся в «абсолютном» покое [гл. Сешзу вверх действует давление жидкости, находящейся под аккуму- аккумуляторным давлением ptl//e полости цилиндра /¦ Сверху вниз действуют вес подвижных частей- G, сплл трения цеелинд- ров / и 2 в уплотнении T^-^fh^D^p^, сила трения в ^([лотнении ци- цилиндра 2 с плунжером 3 T<1^]h^D^pMyA и сила мулг/гипликаторнога давления жидкости в полости цилиндра 2t равная: р* - Трением в уплотнениях вспомогательных цилиндров 4 можно при ходе- вверх пренебречь ввиду того, что в этот момент цилиндры не работают. Их назначение — приводить систему в начальное положение. Итак, будем иметь: Я1 — G — Т1 — Т2 — Р2 = О, или, подставляя значения т. Pax откуда 4G Подставляя значения, найдем:. — 4.0,15-2,0-25 Рмул = 200 * 4-400 —6,25——2QQ 4-0J5-2.15 + 225-6,25 = 493,2 4-8. Статическое давление жидкости на плоскую поверхность- Гидростатический парадокс Для определения силы Р давления жидкости на плоскую поверхиость (на фиг. 4-27 заштрихована), площадь которой равняется а>, разобьем ее произвольным образом на бесконечно малые площадки rf<o, Давление жидкости на поверхность определим как сумму сил давлений на отдельные элементар- элементарные площадки d<c. Рассмотрим какую-либо элементарную площадку, центр которой расположен на глубине tq, от уровня, проходящего через центр тяжести всей площади Т. Давление в центре тяжести этой площади обозначим через рт. Тогда гидроста- гидростатическое давление в центре элемеЕГтарной площадки будет равно: л 4-8] Статическое давление жидкости на плоскую поверхность Фиг. 4-27. Координаты т] положительны при отсчете и отрицательны при отсчете вверх от точки 7\ где Tj для частиц, расположешшх выше центра тяжести, имеет -отрицательное значение. Сила давления ^ на элементарную площадку будет равна: dP = pdw=:(pT + ут,)^ш. Силу давления на всю стенку определим, взяв интеграл по есей смоченной площади: к D^24) Разобьем этот внтеграл на сумму двух интегралов, тогда получим: Первый интеграл rf(fi = (D, Второй интеграл можно представить в виде: sin О I Xdw, где ^ — расстояние элементарной площадки от оси S, располо- расположенной в плоскости стенки, проходящей через ее центр тя- тяжести и параллельной линии уреза жидкости; но 1я^ш —ста- —статический момент площади о> относительно оси ?. Такой статический момент равен нулю: D-25) поэтому D-26)
62 Законы для жидкости, находящейся в «абсолютном* покое [гл. 4 Таким образом, сила давления жидкости на плоскую по- поверхность равна произведению площади этой поверхности на величину гидростатического давления в ее центре тяжести. Ecjh давление на свободной поверхности равно /?0> а глубина погружения центра тяжести равна hr то D-27) Формулой D-26) можно воспользоваться и для определения силы давления на плоские днища резервуаров и т. п. В этом случае hT есть глубина центра тяжести смоченной поверхности дна, Как следствие этой формулы получаем доказательство из- известного гидростатического парадокса, согласно которому вели- Фиг. 4 28. Гидростатический „парадокс''. Независимо от формы сосуда силы дав- ления одной и той же жидкости нл равновеликие днища одинаковы. Ф\\\. 4 29. Графическое изображе- изображение зависимости избыточной силы давления Ри на плоскую прямо- прямоугольную стенку от глубины чина силы давленая жидкости на дно резервуара не зависит от формы резервуара и количества жидкости в нем. Действительно, сила давления на равновеликие днища резервуаров ра^гичной формы (фиг. 4-28) при одних и тех же значениях р0 Г и hr согласно формулам D-26) и D-27) будет иметь одно и то же значение р~ (Ро + 7Аг)ш D-28) для всех форм резервуаров. Если давление на свободной поверхности равно атмосфер- атмосферному ро = рагпц определяется величина избыточного давления^ расчетной формулой будет: Ри = Рти « = YV- D-29) В этом случае для прямоугольной стечки (фиг. 4-29) ши- ширины b сила давления на участок стенки длиной { т. е. сила давления возрастает относительно /. D-30> по квадратичной параболе §4-9] Центр статического давлении жидкости на плоскую поверхн. 4-9» Центр статического давлении жидкости на плоскую поверхность Центром давления называется точка приложения равно- равнодействующей сил давления на некоторою поверхность. Сначала рассмотрим плоскую поверхность, имеющую ось симметрии, расположенную в плоскости поверхности, перпен- перпендикулярно' к линии уреза жидкости, В простейшем случае этому условию удовлетворяю! поверхности прямоугольная,, круглая и т. п. , 4 30. Центр crainqeCKoio давления Д вгегда распо- расположен ниже центра тяжести Т, Центр тяжести Т смоченной площади этой поверхности* расположен на оси симметрии (фиг. 4-30), Для таких поверх- поверхностей центр даплення Д также будет расположен на оси симметрии ниже центра тяжести на расстоянии Яд. Для опре- определения рассюяния Хд вычислим момент равнодействующей силы Р относительно оси Е, расположенной r плоскости поверх- поверхности и проходящей чере^ цетир |яжес1 и смоченной л параллельно линии у],еза. При этом получим: Подставляя вместо Р и dP их значения, будем иметь: вводя вместо и имея в виду, nio =Я sin 0
«64 Законы для жидкости, находящейся в «абсолютном» покое [гл. 4 получим •Заменяя = ч sin <о f X5dw = Jr где Л — момент инерции смоченной площади относительно оси ?, найдем: Y sin &JT Отсюда следует, что центр давления расположен всегда <ниже центра тяжести поверхности. В том случае, если на свободной поверхности давление равно атмосферному давлению, для координаты центра избыточного давления получим: Уу-sin G D-32) Сели плоская сгекка ограничена произвольным контуром, для которой ось X, проходящая через центр тяжести перпендикулярно линии уреза сво- свободной поверхности, уже не является осью симметрии» кроме координа- координаты ХД> необходимо найти вторую координату %Д, для чего следует вычис- вычислить момент равнодействующей силы Ру но >же относительно оги а. При этом получим: -ИЛИ <>тк\гда 7» sin D 33) /^ —центробежный момент ипертш площади относительно осей ? а X, Следует отметить, что для плоской стетсн, имеющей ось симметрии, принимаемую за ось \ (фиг. 4-30), центробежный момент /ц = 0, Поэтому ?д = 0, т. е. центр давления лежиг нл оси симметрии, как и было предпо- предположено в первой части доказательства. Для некоторых, часто встречающихся в практике случаев расчетные формулы для определения глубины погружения центра избыточного давления &д приведены в табл. 4-2. §4-10] Давление жидкости на криволинейные поверхности 65 Таблица 4-2 Сдабодшй у/мбень ¦х. и а. о —d ФлГ. 1 i\ | Фиг. \ 32 | Фиг 4-3.3 | Фнг. 4-il , Фиг A Sr> Фиг. А 35 Фиг. 4 37 4- -ь со •si Задача 4-13, Определить силу избыточного дяпления бспзнгта на крыш- ку лаза бензорезервуара (см. также фиг. 4-10) согласно данным задачи 4-2, принял D = 0,4 л«. Решение, Сила избыточного давления определится согласно форму- лс D-29) где Г, ^ 0,125 Центр давления пяхоаится от свободной поверхности расстоянии ] 0,001256 где > 4Т \ = :- г^г^ = 0,0О125'5 . Статическое давление жидкости на криволинейные поверхности На 'каждуюмз элвмектарныхплощадок криволинейной поверх- поверхности действует элементарная сила, направленная по нормали к элементарной площадке и равная dP, В общем случае элемен- элементарные силы образуют систему сил, произвольно расположенных в пространстве. Такая система сил r общем случае приводится к одной силе Р= \йР, D-34) 5 Н- 3 Френкель.
66 Законы для жидкости, находящейся в «абсолютном» not^oe^l^^ называемой главным вектором, который равен векторному инте- интегралу от элементарных сил, и к одной паре, момент которой м называется главным моментом сил давления: Л1= \ rdP. D-35) В последней формуле под интегралом стоит векторное про- произведение радиуса-вектор а г центра элементарной площадки от- относительно центра моментов на вектор dP. В частных случаях может оказаться, что силы давления при- приводятся только к одной силе, называемой равнодействующей си- силой, что должно быть хороша известно из курса теоретической механики. В качестве примера, когда давления приводятся к одной силе, можно указать на шаровую поверхность, В этом случае равно- равнодействующая сила давлений должна пройти через центр шара. Можно также показать, что давление покоящейся жидкости на любое тело, полностью погруженное в нее (и находящееся в покое), также приводится только к одной равнодействующей. В дальнейшем определим лишь величину главного вектора сил давления, который будем называть просто вектором давле- давления. В общем случае направление вектора давления^ может быть любым в пространстве и поэтому для определения Р по величине и направлению достаточно вычислить его проекции на три взаимно перпендикулярные направления, например на три оси координат. В этом случае величина вектора давления определит- определится по формуле |/^^7$, D-36) а направление — косинусами направляющих углов, т. е. углов, образуемых направлением вектора давления с осями координат: cos(P, x)=~r\ cos (Pfy) = -? . D-37) Рассмотрим определение проекции вектора давления на гори- горизонтальную ось. Для этого разобьем (фиг. 4-38) рассматривае- рассматриваемую криволинейную поверхность (на фигуре заштрихована) на элементарные площадки d«h на каждую из которых действует элементарная сила dP. Выберем б жидкости произвольный уро- уровень, давление на котором ро известно и который может быть расположен как выше, так и ниже площадки, Обозначим глубину центра этой площадки относительно уровня с известным давле- Давление жидкости на криволинейные поверхности 67 через Л. Сила давления на эту элементарную площадку может быть вычислена по формуле Пусть эта элементарная сила осью проекций угол 0. Проекция этой силы будет равна; . D-38) образует с горизонтальной. - Произведение diocosQ можно рассматривать как проекцию эле- элементарной площадки на пло- плоскость, перпендикулярную к оси проекций, т. е. на вертикальную плоскость. Обозначим ее через . Таким образом, D-40) Проекция вектора давления будет проекций элементарных сил, т. е. Фиг» 4-38, К определению горизон- горизонтальной проекцаи силы давления на криволинейную поверхность. равна алгебраической сумме интегралу eepm Разобьем этот интеграл на два; и верш <м Первый интеграл равен: 'вергп* Второй интеграл равен статическому моменту площади вертикальной проекции криволинейной поверхности относи- относительно оси, расположенной в плоскости уровня с известным давлением: As to где hT — глубина центра тяжести вертикальной проек- проекции криволинейной поверхности относительно уровня с известным давлением. Таким образом, проекция вектора давления на горизонталь- горизонтальную ось будет равна: = (Р ш D-41)
C8 Законы для жидкости, находящейся в «абсолютном» покое [тл. 4 Итак, чтобы найти горизонтальную проекцию вектора давле- давления, надо найти силу давления на проекцию криволинейной по- поверхности на вертикальную плоскость, перпендикулярную к оси проекций. Для того чтобы определить вертикальную проекцию вектора давления, надо (фиг. 4-39) поступить аналогично предыдущему: ФиГ. 4-39. К определению вертикаль- вертикальной проекции силы давления цл кри- криволинейную поверхность. Фиг, 4-40. К определению проекций сvли давления на криволинейную поверхность. разбить криволинейную поверхность на элементарные площадки, найти элементарные силы, но спроектировать их уже па верти- калытую ось проекции. Обозначим через ^ угол, который обра- образует элементарная сила dPy ко теперь уже с вертикальной осью проекний. Тогда для проекции вектора давления на вертикаль- вертикальную ось получим еыражеиие, аналогичное D-39), а именно: Произведение d& cos ft равно проекции элементарной пло- площадки на горизонтальную плоскость. Поэтому предыдущее выражение может быть записано в виде* D-42) откуда Первый интеграл равен* П гор г-ор § 4М0 ] Давление жидкости на криволинейные поверхности 69 Второй интеграл имеет простой геометрический смысл Г ' а именно ЛЛ> равен цилиндрическому объему, основанием которого служит криволинейная поверхность. С противопо- противоположной стороны этот объем ограничен уровнем, на котором известно давление р0. Назовем этот объем объемом тела давления Wmd . Таким образом, Р х^ Легко показать, то если бы уроьепь с известным давле- давлением был расположен ниже криволинейной площадки, то расчетная формула получилась бы в виде: р ьарт п.д ' -4 1 Для определения проекции глаиного иектора на произвольное гацрав ление. {фиг. 4-40) поступаем аналогично предыдущему случаю Для произвольного исправления ? будем иметь' >\ = f (а, D 15) > — проекция криволинейной площадки па плоскость, пеопендик>- к оси ?. где лирную к оск f. Вместо h введем в рассмотрение величину ? — расстояние от центра элементарной плошадки до уровня с известным давлением (расстояние ил меряется параллельно оси гГроекций). Обочллчим через ъ угол, образуемый осью 5 с вертикалью, тогда k ппи этом и., VIЛ И Р* — Т cos a \ •Ш Первый интеграл ртвен ± где cj_j_| — проекция криволинейной площадки пя плоскость, перпепднк\- лярную оси 5- Второй интеграл V ^daj , ^ равен объему цилиндрического юа, на рал лельного оси проекции и ограниченно! о с одной стороны криволинейной поперх костью, а с др\гой — rutiCK остью vpoun^t с из нести мм давлением
70 Законы для жидкости, находящейся в «абсолютном* покое [гл. 4 Назовем этот объем объемом 1ела давления и обозначим его че> Р «V ? Таким образом, pi = РФ>±1 + iWm dcos a, D.46) T^Va ~Gm> д можно рассматривать как вес жидкости в объеме тела давления, В этой формуле за угол л всегда можно принимать острый угол, а знак выражения fWm дсоза принимать в зависимости от тогот где рас- расположен уровень с известным давлением. Если он будет выбран ниже криволинейной поверхности, то формула для />- должна быть представлена в виде: Pi - P№±i - Tf^V а С08 я- D-47) Из этих формул получаются формулы D-43) и D-44), как частный случай (а=*0). Для горизонтальной проекции (а =90°) второй член этой формулы обращается в неопределенность ^ 0. Таким образом, чтобы найти проекции вектора давления на произволь- произвольную (но не горизонтальную) ось, предварительно необходимо: а) найти уровень с известным давлением; б) найти ы^-^ проекцию криволинейной поверхности на плоскость, перпендикулярную к оси проекции; в) построить тело давления и вычислить его oec Gm д> На фиг. 441 изображены тела давления, определяющие вер- вертикальные с}оста<вляющие вектора давления жидкости на цилин- цилиндрические поверхности abed. Как видим, в обоих случаях объемы to t w Фиг, 4-41 ¦ Вертикальная составляющая дав- давления только жидкости на криволинейную поверхность abed слева направлена пверх, справа—вниз и в обоих случаях равна весу жидкости в объеме ahedmtnw. Фиг, 4-42. Разрез сфериче ского резервуара, К задаче 4-14» тела давления ограничены криволинейными поверхностями, че- четырьмя вертикальными плоскостями и горизонтальной плоско- плоскостью, совпадающей с уровнем жидкости, давление на котором ро предполагается известным. На поверхность слева сила давления направлена вверх, на поверхность справа — вниз. В обоих слу- случаях сила давления вычисляется по одной и той же формуле где — вес жидкости в объеме abcdmntw\ — заштрихованные проекции криволинейных поверх ностей mtifw. §4-10] Давление жидкости на криволинейные поверхности 71 Задача 4-14. Определить напряжение <st возникающее в сечении сфери- сферического резервуара (фиг. 4-42), на уровне ниже опор (9 = 35й). Резервуар почти полностью наполнен бензином объемного веса ч = 715 лгГ/м3. Диа- Диаметр резервуара D = 10,5 м„ Давление в газовом пространстве (незаполнен- (незаполненная жидкостью верхняя часть резервуара) принимаем равным атмосферному. Толщина стенки 5 = 10 мм. Решение. Для вычисления напряжения и рассечем резервуар кониче скои поверхностью на уровне, определяемом углом 8^35°, и рассмотрим равновесие нижней частя резервуара- Внешние силы, действующие на остав- оставшуюся нижнюю часть резервуара (силы избыточного давления жидкости PUt силы действия верхней части резервуара на нижнюю N)y спроектируем на вертикальную ось, Вертикальная составляющая силы Ра согласно форму- формуле D-43) равна весу тела давления, т. е. весу жидкости, заключенной в объ- объеме abmtn. Этот объем слагается из объема цилиндра Wx (объем abmri) высотой /ц := R~r R cos 9 с радиусом основания г — R sin 6 и объема шаро- шарового сегмента W2 (объем rntn), высота которого h-2 = R — R cos 9 с тем же радиусом основания г. 3 Таким образом» Р { sin* 6(J + cos 9) os 8)a Проекцию на вертикальную ось сил Л/, с которыми верхняя часть ре зервуара действует на нижнюю, вычислим по формуле N = c2vrS sin 8 = z2izRS sin* 0. Так как резервуар находшея в равновесии, то силы Раерт и N должны быть равны между собой. Приравнивая их, получим: A — cos 9J ) -|- cos 6) -f з [3 "A " Cos Ь)Ч • in* 6 = откуда = ~W Ml+cos6) A- e -A""cos = (l — cos9)-(l -\- cos 8), заменяя s после несложных преобразований получим: 5 cos2 9 cos Для условий примера 715-5 25* / 0.819^ _ ' I г» с Задача 4-15, Определить силу давления, воспринимаемую закруглением водопровода (фиг. 4-43), предполагая, что жидкость находится в покое. Ве- Весом жидкости пренебрегаем. Дано: 6 = 60е*; d — 0,205 м\ давление жидко- жидкости р =¦ 4 кГ/см*.
72 Законы для жидкости, находящейся в «абсолютном* покое [ гл. 4 Решение* Рассмотрим объем жидкости, ограниченный флагщамй аи/?. Указанный объем находится под дейстписм сил давления на поперечные ограничивающие сечения Р и результирующей реакции стенок самого ко лена. Результирующая давлений иа погкфечпые ограничивающие сечения равна r.d'1 9 ts 20 № - 4-srn -2- = 2-4 4^ bin 30° ^ ] 320 л Г. Это рез\лыирутотцее давление и воспринимаете коленом, т. е. уравно- уравновешивается реакцией стенок колена* Задача 4-16. Определить максимальное дапление, которое может быть сообщено жидкости в водопроводной трубе (фиг. 4-44), принимай во внима- внимание напряжение, возникающее \\ материале трубопровода только от давле- давления жидкости. При определении соответствия трубопровода условиям прочности нуж- нужно исходить из ю* давлений рдоп, которые доплскаются техническими ус- условиями и обычно указываются в ГОСТ на трубопроводы. Следует от- отметить, что напряжение в материале трубопровода, рассчитанное по до- допускаемому давлению рдоп> uhgi да Фиг. 4-43. Водопроводное закругление, К задачи 4-15 Фш.4-44- Схема сил, действую- действующих на рассеченные трубопрп- вод. К задаче 4-16. значительно меньше общепринятого допускаемого напряжения на растяже- растяжение для материала трубопровода. Да но; диаметр трубы d = 205 мм; толшина Стенки j^!O,f) мм; длина трубы / = 4 000 мм: допускаемое напряжение в материале гтенок тг>\тбы с-:3 к Г/мм*. Решение, Опасным сечением для грубы будет ее любое диаметральное сечение. Силу давления жидкости па цилиндрическую поверхность act опредс ля ют, пренебрегав весом жидкости, как силу давлении жидкости на проек- проекцию цилиндрической поверхности на диаметральную плоскость аЬ по фор- формуле ри=Ри di. Указанная сила давления воспринимается дку^я сечениями с тенки трубы, поэтому padl = 2shi откуда 2sc 2-10,5-3 Pu—~d ——265 = 0.307 §4-10] Давление жидкости на криволинейные поверхности 73 Ось насоса Задача 4-17, В центре А насосной (фиг, 4-45) камеры поршнеього па coca в момент начала везсывання создастся вакуум, соответствующий hG = ^6 м вод. с г. Определить результирующее усилие, с которым жидкость (вода), находящаяся во всасывающем трубопроводе и в насосной камере, Действует на шаровой всасывающий клапан. Да по-. Л = 5 м3 D = 70 мм; d = 50 мм* \тЛУ* Ответ: Р=7 -g~ 4- — 2,142 ЛгГ- Результирующее усилие Р направ- направлено вверх. Задача 4-18» В литейной отформо- отформована и зали'ваетч'я чугуном цилиндри- цилиндрическая крышка длиной I = 500 мм (фиг. 4-46), Определить сумм) сил, действую- действующих на болты Ау если вес земли в верх- верхней части опоки равен 750 кГ, а г = =500 мя, 5 = 15 .«л, dx = 150 мм, d^ — 30 ммг йг^100 мм, /12=ЗО0 жя.Объем- жя.Объемный вес чугуаа см, табл 2 4^ Отпет 1077 кГ. Свободная ловеряюяпь г, 4-45. Шаровой клапан в ка- камере поршпевого насоса. К задаче 4-17, Задача 4-19. Определить силу избыточного давления жидкости на две одинаковые, но по-разному расположенные полусферические крышки в со суде, наполненном водой- На фиг. 4 17 показано сечение сосуда вертикаль- 1-ОЙ ПЛОСКОСТЬЮ, Дано: d — 0,5 м\ h = 2 м; 9 = 45°. На свободной попер-хпосги жидкости давление рапцо атмосферном) А Фиг. 4-46. Схема литенпой опоки К задаче 4-18. Фиг, 4-47. Сферические крышкгт. К задаче 4 19. Указание, Ракнодейсткующая сила, воспринимаемая каждой крышкой, равна геометрической сумме дпух ее проекций на оси % и ?w При определении ироекции силы иа ось ? поперхиость каждой крышки Егеобходимо разбить на дьо части, каждая из которых должна бгль распо- расположена лишь по одну сторону от оси О i вет Р- ** 115,84 к Г; Рг —23,14 к Г.
74 Законы для жидкостей, находящихся в относительной покое [гл. S Глава пятая ГИДРОСТАТИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ ДЛЯ ЖИДКОСТИ, НАХОДЯЩЕЙСЯ В ОТНОСИТЕЛЬНОМ ПОКОЕ Определение и несколько примеров относительного покоя бы- были приведены в начале гл. 3, Достаточно подробно ниже будут рассмотрены лишь два частных случая относительно покоя, а именно: покой при переносном прямолинейном движении и по- покой при переносном врашательном движении вокруг вертикаль- вертикальной оси. Случай переносного вращательного движения вокруг горизонтальной оси, принципиально не отличающийся от преды- предыдущего, будет рассмотрен в связи с осевым усилием в центро- центробежном насосе. Заметим, что жидкость, начавшая двигаться из состояния «абсолютного» покоя, приходит в состояние относительного покоя не сразу, причем переход из одного состояния ъ другое происхо- происходит под влиянием сил трения, хотя в самом состоянии относи- относительною покоя силы трения и отсутствуют- 5-1. Дифференциальное уравнение поверхности равного давления в жидкости, находящейся в относительном покое Для получения уравнения поверхности равного давления бу- будем исходить из уравнения C-7): dp = p {Xdx 4- Ydy + Zdz)t E-1) В общем случае, как указывалось, под X, У и Z следует под- подразумевать алгебраическую сумму проекций на соответствующие оси координат ускорений силы тяжести и силы инерции перенос- переносного движения. k Так как вдаль поверхности равного давления то Xdx-\-Ydy-\- Zdz^ E-2) Уравнение E-2) и является дифференциальным уравнением поверхности равною давления. Это уравнение имеет определенный механический смысл. Из теоретиче- теоретической механики известно, что трехчлен E 2) определяет элементарную работу массовые сил на перемещении dxy dy и dz. Применительно к рассматрива- рассматриваемому случаю перемещение взято вдоль поверхности равного давления. Из E-2) следует, что элементарная работа массовых сил вдоль поверхности равного давления равна нулю- Это значит, что в состоянии относительного покой резулътиругошее ускорение массовых сил перпендикулярно к соот- соответствующему элементу поверхности равного давления. §5*2) Относительный покой жидкости в движущемся резервуаре 75 а 5-2, Относительный покой жидкости, находящейся в резервуаре, движущемся по наклонной плоскости с ускорением Рассмотрим объем жидкости, находящейся в покое относи- относительно резервуара, движущегося с постоянным ускорением а по наклонной плоскости (фиг. 5-1), образующей с горизонтом угол я. В рассматриваемом слу- случае силами, действующими в жидкости, будут силы давления, силы тяжести и силы инерции переносного движения- Для любого эле- элемента ускорение силы инер- инерции / = я, но будет направ- направлено в сторону, обр атную ускорению резервуара а. Результирующий вектор ускорений массовых сил — сил тяжести и сил инер- инерции — определится диаго- налью параллелограмму по^ фиг Б{ р с жидкостью строенного на ускорении си- движется поступательно, лы тяжести g и ускорении силы инерции /. Элемент поверхности равного давления должен быть перпен- перпендикулярен к диагонали параллелограмма и образовывать с гори- горизонтом угол р, тангенс которого равен: , n JCOS Qt /— л\ tg p= ,— , \O-0) ° r g— j Sin« V Таким образом, поверхности равного давления, в том числе и свободная поверхность, образуют семейство параллельных пло- плоскостей с углом наклона к горизонту ?. Если резервуар движется с постоянной скоростью (а== т В этом случае поверхности равного давления, в том числе и свободная поверхность, представляют собой горизонтальные пло- плоскости, В том случае, если резервуар спускается только под дей- действием силы тяжести (сила трения резервуара о плоскость равна нулю),
76 Законы для жидкостей^ находящихся в относит ель пом покое [ гл 5 откуда следует, что поверхности равного давления образуют се- семейство плоскостей, параллельных плоскости скатывания. Если резервуар спускайся с ускорением, но вертикально ^O, 0 = 0, 2 откуда следует, чю поверхности равного давления образуют се- семейство горизонтальных плоскостей» Найдем закон распределения давлений в вертикальной пло- плоскости ^ —const. Для этого воспользуемся уравнением E-1). Поскольку Y — О, а для выбранной плоскости также и dx —О, получим: ?Zdz = dp. Заметим, что оси координат, показанные на фиг, 3-1, следует рассматривать движущимися вместе с резервуаром и что коорди- координаты частиц объема ху у и z, входящие в уравнение E-1), яв- являются относительными. Так как для оси г, параллельной силе тяжести, будем иметь: откуда ?(S — j sin a) idem Для двух частиц 0 и / с ординатами г0 и ги расположен ных в вертикальной плоскости, имеем: — j Sin a P\ pig — j sim)' или E-4) Рассуждения, аналогичные предыдущим, позволяют получить Уравнение для распределения давления в горизонтальной плоскости в виде: р2 = /?о_|_ pycosa^ E-5) При 7 =: * Теперь свободная поверхность имеет угол наклона к горизонту согласно формуле E-3), равный § 5-3] Относительный покой жидкости во вращающемся резервуаре 77 Заметим, что при a=gt т. е. когда резервуар свободно опу- опускается вниз, ру =р2 = pQr Это значит, что во всем объеме , р р жидкости давление имеет одно и то же значение. Аналогично задача может быть решена и для иного направ- направления движения, а также ускорения. Отметим, например, что все предыдущие выражения целиком сохранились бы, если бы ре- резервуар поднимался, но равнозамедлешю с ускорением а 5-3, Относительный покой жидкости, находящейся в резервуаре, вращающемся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью Рассмотрим -объем жидкости, находящейся в покое относи- относительно круглого цилиндра, вращающегося с постоянной угловой скоростью & (фиг, 5-2). В рассматриваемом случае, так же как и в предыдущем, си- силами, действующими в жидкости, будут силы давления, силы тяжести и силы инерции перенос- переносного движения. Траектории лю- любой частицы жидкости суть окруж- окружности с центрами на оси враще- вращения. Ускорения их — центростре- центростремительные, определяются по фор- E-6) где г — расстояние данной ча- частицы от оси вращения. Для той же частицы ускоре- ускорение силы инерции будет центро- центробежным, равно /= ух2-}-у'2п2 и направлено в сторону, проти- противоположную а. Результирующий вектор уско- ускорений массовых сил (сил тяже- тяжести и сил инерции) определяется диагональю параллелограмма, по- построенного на ускорении СИЛЫ Фиг. 5 2. Резервуар с жидкостью тяжести g и ускорении силы вращается инерции /. Элемент поверхности равного давления будет перпендикуля- перпендикулярен к диагонали параллелограмма, построенного на ускорении силы тяжести и ускорении силы инерции. Для аналитического определения поверхности равного давле- давления выберем относительные оси координат, как показано на фиг. 5-2. Воспользуемся уравнением {5-2).
78 Законы для жидкостей, находящихся в относительном покое [ гл 5 В рассматриваемом случае cos а Y =} sin а = r№ sin a = Подставляя значения Ху Y и Z в уравнение E-2) и инте- интегрируя, получим; о* B+Я С E-8) Таким образом, поверхности равного давления, в том числе и свободная поверхность, образуют семейство параболоидов ера- щения, сдвинутых вдоль вертикальной оси. Каждому значению р схххгветствует свой параболоид, характеризующийся некоторым значением постоянной С. Постоянную интегрирования для параболоида свободной по- поверхности можно определить, принимая, что при z = zQ (фиг. 5-2) Оу откуда C = ~ Этому значению С соответствует уравнение свободной поверхности н виде: о или и' E-9) где u^Llr — скорость частицы в переносном движении; hc — высота частицы, расположенной на свободной поверхности над уровнем zQ. Найдем закон распределения давления по объему. Для этого воспользуемся уравнением E-1) и подставим в него значения X, Y и Z согласно формулам E-7), После интегри- интегрирования получим: / E-Ю) Ро, Для z = 20 и ut=.q должно быть р поэтому из уравнения E-Ю) находим; и для давления в любой точке получаем следующую формулу: E-И) § 5-3] Относительный покой жидкости во вращающемся резервуаре 79 Для частиц, расположенных на одной вертикали, имеем: где т. е. в рассматриваемом случае по вертикали существует обыч- обычный гидростатический закон распределения давления. Но здесь необходимо иметь в виду, что глубину погружения точки h надо исчислять от свободной поверхности, устанавливающейся при движении. Задача 5-1, При отливке чугунного бандажа для колеса в целях при- придания чугуну большей плотности опока (фиг» 5-3), залитая чугуном, приво- приводится во врагпательное движение вокруг вертикальной оси с угловой Ско- Скоростью Q =20п 1/сек, что соответствует 600 об/мин. Определить давление D 900 в точке ту если дано: D=* 900 мм\ /* = 200jk*; -j = 7O00 KfjM3. Решение, Для определения дав- давления в точке т воспользуемся урав- уравнением EП), в котором А)—давле- А)—давление на свободной поверхности б лит- литнике, принимается за атмосферное, Zn г = и Таким образом» будем иметь; <рп2г% Подставляя числовые значения, получим: рт-= 10000 f//s//y//y/s//yy/y// 9,8Ь8 Фиг. 5-3. Центробежное литье» К задаче 5-1- = 293600 Следует обратить внимание на закон распределения давления. В зтом уравнении первые два члена определяют гидростатическое давление в поко- покоящейся жидкости. Давление, обусловливаемое вращением жидкости, Опре- Определяется последним членом. Задача М, Жидкостный тахометр. Основной деталью жидкостного тахометра (фиг. 54) является диск 1, приводящийся во вращение гибким валом 2. Диск увлекает во вращение жидкость (масло) в полости Зу куда она поступает из полости 4 через радиальный канал втулки 5, осевой ка- канал 6 и радиальный канал 7 диска /. Создающееся в жидкости, находя- находящейся в полости 3> давление измеряется пьезометром 8. Требуется установить зависимость между числом оборотов диска и показанием пьезометра. Полость 4 через отверстие в пробке 9 сообщается с атмосферой, по- поэтому избыточное давление в жидкости, заполняющей канал диска на его оси, будет равно: Ро = Будем считать, что жидкость в полости 3 вращается с той же угловой скоростью Я. 1 /сек., что и диск. В этом случае закон распределения избы-
80 Законы для жидкостей, находящихся в относительной покос [гл. 5 точного давления н i оризонтальцой плоскости, совпадающей с плоскостью дискл, подчиняется формуле (ГИ 1), а именно Для точки г = R С другой стороны» то же дапление может быть определено посред ством пьезометра по формуле 7 1де // — показание пьезометра, измеренное над уровнем покоящейся жидко- жидкости в полости 4, Уролпю h на шкале прибора соответствует нудь. Приравнивая обе фор мулы для pRl получим: 30 откуда число оборот оя дис- диска в минуту 30 /X z^ . V~2gH [об/мии], а для линейных размеров б метрах } g = *%- т: 42,3 где С = —д- — теоретиче- Фиг. 5-4* Жидкосггтый тахометр. К задаче 5 2. ское значение постоянной прибора. Учитывая сделанное выше допущение о движении жидкости п поло- полости Д значение С, соответствующее различным жидкостям, температурам, а также различным значениям п, лучше всего определить опытлым п\тем. произведя тарировку тахометра- х Задача 3-3. Вертикальный вал имеет под тон для сбора масла, посту- поступающего и i подшипника (фиг. 5-5). Определить, на каком мииималыюм рас- расстоянии от оси вала следует просверлит ь отверстие в дне пО1ДОнаг чтобы масло могло стекать в маслосборник. Заданными келичиьами следует считать п — число оборотов вала п ми- нуту—и перхнюю точку параболы Л как предел наполнения маслом под- поддона, координируемую величинами Гд и Л; точка В отвечает пересечению параболы с диом поддона и определяет то минимальное расстояние от оси гв> которое необходимо для сперлеция отверстия. Решение, Из формулы E-9) расстояние по вертикали между двумя точками свободной поверхности 2 § 5-4 ] Относительный покой жидкости во вращающемся резервуаре 81 отсюда определим га: А - 2gh _ 'в так как угловая скорость Я = vг**- <2gh_ Я* 30 то'выражение для гв примет пил Поддиь для метровых размеров п2 =*gt по- поэтому: Гша При л = 300 об/мин, гЛ = 0, А = 0,2 л*: Фиг. 5-5, Маслосборник, К задаче 5-3. 0.1G — L = 0,395 jw. 0 000 90 000 В данном случае для уччетка параболы между точками Л и В имеем почти вертикальное положение. 5-4. Относительный покой жидкости, находящейся в резервуаре, вращающемся вокруг горизонтальной оси Исследуемый случай, например, имеет место при определении осевого усилия в центробежном насосе (фиг, 5-6), в котором жидкость, заполняющая боковое пространство С в корпус?*насо- са, рассматривается вращающейся как твердое тело, т. е. нахо- находится в относительном покое. Найдем закон распределения давления в жидкостиг заполняю- заполняющей пространство С. Для указанной цели воспользуемся диффе- дифференциальным уравнением E-1). Рассмотрим некоторую частицу in, которая находится на расстоянии г от оси вращения и радиус вращения которой образует с осью у угол а: p{Xdx + Ydy + Zdz) = dp, где Xy Y, Z—проекции на оси координат ускорения равнодей- равнодействующей объемных сил, каковыми в данном случае будут яв- являться сила тяжести и центробежная сила инерции переносного движения. Найдем их проекции на оси координат: Х-0; Y-rQ2cos a; Z = ~g-\-rtPsina. 6 Н. 3. Френкель.
82 Законы для жидкостей, находящихся & относительном покое [гл. 5 Так как rcosa=j/ и rsina=z, где у и г — относитель ные координаты, то Подставляя эти значения в дифференциальное уравнение, бу- дем иметь: Интегрируя, находим закон распределения давления: Если пренебречь влиянием веса жидкости, для закона рас- распределения давления р получим следующее выражение: Q2 С, или Постоянную интегрирования С определим по давлению ръ развиваемому насосом по выходе жидкости из рабочего коле- колеса на окружности радиусом r2. Полагая r = r2 и р — р^ найдем: Таким образом, закон распределения давления выразится следующей формулой: Этой формуле соответствует эпюра давлений, изображенная на фиг. 5-7. Поверхность давлений представляет собой параболоид враще- вращения с осью, совпадающей с осью вращения насоса (вала). В заключение определим поверхности равного давления. Для указанной дели воспользуемся уравнением E-2). Подстав- Подставляя в него значения Ху Y, Z и производя интегрирование, получим уравнение поверхности равного давления: Это уравнение может быть приведено к виду: У2 + (* " С,. § Ь-4] Относительный покой жидкости во вращающемся резервуаре 83 Таким образом, поверхности равного давления образуют семейство концентрических круглых цилиндров с осью, па- параллельной оси и сдвинутой по оси z вверх на расстояние Если пренебречь весом жидкости, то для поверхности равного давления получим выражение: т. е. в этом случае поверхность изобразится также круглыми цилиндрами, но с осью, совпадающей с осью х. Фиг. 5-6. Схематичный разрез колеса центробежного иасоса. К задаче 5-4. Фиг. 5-7. Эпюра давлений. К зада- задаче 5-4. Задача 5*4, Осевое усилие в центробежном насосе. Жидкость, запол- заполняющая гтространстра С и увлекаемая рабочим колесом В центробежного насоса (фиг, 5-6), оказывает давление на бокопые поверхности а и Ь рабо- рабочего колеса, благодаря чему в осевом направлении возникает усилие, сдви- сдвигающее рабочее колесо. Требуется определить это горизонтальнее усилие 154 мм\ rt = 77 мм; гв — 30 мм; Q o согласно следующим данным: г2 == 152 1/сск.; /?2 = 2,3 кГ,'см2. При решении задачи делаем три допущения: 1. Считаем, что лея масса жидкости в пространстве С вращается как твердое тело с угловой скоростью Q, равной половине угловой скорости рабочего колеса насоса В: 2. Считаем, что дросселирующее влияние зазора п у выхода из рабочего колеса невелико, благодаря чему давление у зазора в пространстве С равно давлению р2, развиваемому насосом по выходе из рабочего колеса. 3. Считаем, что в пространстве С с обеих сторон рабочего колеса дей- действует один и тот же закон распределения давлений. Так как мы принимаем, что закон распределения давлений с обеих сторон рабочего колеса одинаков, то рсз>льтир\к-щей силой осевого дав- давления будет сила давления на кольцевую поверхность с радиусом /^ и гв Соответствующая область эпюры давлений заштрихована на фиг. 5-7. Для определения результирующего осевого усилия разобьем площадь 6*
Основы теории плавания [гл. кольца на элементарные кольцевые площадки d<& = 2*rdr и вычислим ин- интеграл! г, г1 2 р[кГ\ — \ pd<» -= \ Р2 в После интегрирования получим: Подставляя данные и принимая для воды найдем: 23 000 ^ 102 * ^ — = ^г- =1102 кГ-секУм*, q 01542—- Глава шестая ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЛАВАНИЯ Приводимый здесь материал в основном излагается по рабо- работе выдающегося русского ученого акад. А. Н. Крылова «Теория корабля». В этой главе освещаются вопросы, относящиеся лишь к одному разделу этой теории, а именно к остойчивости плаваю- плавающего тела, огромная роль в исследовании которой принадлежит Л. Эйлеру. Такие вопросы теории корабля, как качка корабля, поворотливость, вибрация, теория непотопляемости и ряд других, которые были разработаны академиком А. Н. Крыловым и со- создали мировую славу их автору и всей русской школе по «тео- «теории корабля», здесь не затрагиваются, как выходящие за преде- пределы программы курса гидравлики. Некоторые вопросы о сопро- сопротивлении жидкости движущимся телам будут изложены в гл. 22. 6-1, Основные определения. Закон Архимеда На тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, называемая поддерживающей силой, направленная вверх и равная весу вытесненной им жидкости. Поддерживающая сила является равнодействующей сил дав- давления, с которыми жидкость, находящаяся в покое, действует на покоящееся в ней тело. Для определения поддерживающей силы разобьем поверх- поверхность плавающего тела на верхнюю и нижнюю части и опреде- определим давление жидкости на каждую из частей. Так как в общем случае поверхность тела может быть криволинейной, то каждая из сил может оказаться расположенной в пространстве. Разло- Разложим эти силы и определим сначала их вертикальные составляю- составляющие PU И Р2* (ФИГ. 6-1). Вертикальная составляющая Р\г будет направлена вниз и согласно формуле D-43) равна: F-D \г § 6-1] Основные определения. Закон Архимеда 85 где щ— проекция на горизонтальную плоскость площади по- поверхности верхней части тела, a W} — объем тела давления, соответствующий ей. Вертикальная составляющая P7z будет направлена вверх и равна: где AJ = ®! и W2 имеют тот же смысл, что и раньше, но соот- соответствуют нижней части поверхности тела, причем itY^ir.+ir, F-3) a W— объем тела, равный объему вытесненной телом жидкости. Поддерживающая сила равна разности вертикальных со- составляющих Р F-4) Объем жидкости, вытесненный плавающим телом, называется объемным водоизмещением. Для определения горизонтальной составляющей давлений по- поверхность тела надо было бы разбить также на две части, но расположенные слева и справа. Легко при этом доказать, что горизонтальные составляю- составляющие взаимно уравновешива- уравновешиваются. Таким образом, давле- давление жидкости на плавающее тело приводится юлько к од- одной поддерживающей силе. Линия действия поддер- поддерживающей силы проходит через центр тяжести вытес- вытесненного объема жидкости, который называется центром водоизмещения или центром Давления Д. Обычно при- принято считать, что поддержи- поддерживающая сила приложена в центре водбнзмещения. В общем случае центр водоизмещения Д (фиг. 6-2, 6-3) но совпадает с центром тяжести Т плавающего тела. Оба эти центра в нормальном положении плавающего тела располагаются на вертикальной оси, которая называется осью плавания. Тело тонет, если вес тела G больше величины поддерживаю- шей силы Р. Тело всплывает па поверхность, если вес тела G меньше поддерживающей силы Р. При вегутывании^гела на поверхность цmgсдр р. _уюм3шением ¦Ы-4 X 1_# \_- ЯШ XX 1_Г Ч_г Фиг. 6-1. Поддерживающая сила прило жена в центре тяжесли вытесненного объема-— в центре ьодоизмещения.
86 Основы теории плавания [гл. 6 фиг. 6 2. Центр тяжести Т и центр водоизмещения Д рас- расположены на о:и плапания. фиг, 6-3. Центр тяжести расположен ниже центра водоизмещения. личина поддерживающей силы. Тело будет плавать на поверх- поверхности, если поддерживающая сила сделается равной весу тела, т. е. Р = б. Равенство поддерживающей силы и веса тела необходимо также и для того, чтобы тело плавало на любой глубине (на- (например, подводная лод- лодка). Плоскость свободной поверхности жидкости, пересекающая плавающее тело, называется пло- плоскостью плавания. Периметр сечения пла- плавающего тела плоскостью плавания (линия abef — фиг. 6-4) называется ва- ватерлинией. Площадь, ограничен- ограниченная ватерлинией, назы- называется площадью ватер- ватерлинии. Пловучестыо тела называется его способность плавать при заданном весе. Мерой шювучести плавающего тела является водоиз м ещен и е. ~ Плавающее тело должно обладать запасом шювучести; запа- запасом пловучести называют допустимую перегрузку плавающего тела, при которой оно еще не пойдет ко дну. Запас пловучести зависит ог высоты надводного борта и устанавливается законо- законоположениями. 6-2, Теорема Эйлера о крене Л. Зйлером была доказана следующая теорема. При крене плавающего тела вокруг горизонтальной оси на бесконечно малый угол, при котором не изменяется величина поддерживающей силы, две смежные площади ватерлинии пере- Фиг» 6-4. Площадь abe\— площадь ватер- ватерлинии. Теорема Эйлера о крене 87 секаются по прямой, проходящей через центр тяжести площади ватерлинии, соответствующей данному положению. В самом деле, в обоих положениях тела поддерживающая си- сила сохраняет постоянную величину, равную весу тела. Отсюда следует, что величина объема жидкости, вытесненного телом, в том in другом случае одна и та же. Изменяется лишь форма вытесненного объема. Объем увеличивается (фиг. 6-5) на клино- клинообразную заштрихованную часть спрапа (oaai) и уменьшается фиг. 6-5. Клинообразные объемы равны друг другу. Фиг, 6-6. При малом крепе a = на клинообразную заштрихованную часть слева (obb{). Поэтому увеличение поддерживающей силы справа будет равняться умень- уменьшению поддерживающей силы слева, откуда следует, что за- заштрихованные клинообразные объемы слева и справа должны быть равны между собой. Вычислим эти объемы (фиг. 6-6). Кли- Клинообразный объем справа или слева будет равен сумме элемен- элементарных обьемов. Каждый из элементарных объемов может быть принят за объем бесконечно малого цилиндра, имеющего осно- основанием disi в плоскости ватерлинии и высоту ht—xa9 * Объем справа будет равен: = 1 /z^f«u = I Объем слева Так как объемы Сокращая на а, будет равен: равны, т. е. I xct.d(? J i получаем: \ xdw-{- \ xd& — \xad = W2y то I *j F-5)
88 Основы теории плавания [ гл. б Из формулы F-6) следует, что статический момент площади ватерлинии относительно линий пересечения двух смежных пло- площадей равен нулю, а это значит, что линия пересечения проходит через центр тяжести площади ватерлинии, соответствующей дан- данному положению. 6-3, Статическая остойчивость Каждое плавающее тело должно обладать остойчивостью. При этом различают остойчивость статическую и динамическую. Сначала исследуем статическую остойчивость. Под статической остойчивостью подразумевается способность плавающего тела плавать в нормальном положении и в случае статического нарушения нормального положения вследствие кре- крена возвращаться в прежнее положение, как только силы, вызвав- Фиг. G-7, При крене центр водоизме- Фиг, Ь-$. Точка М — ме- щения перемешается по линии цен- тацентр. Тело остой- тров водоизмещения. чиво. шив крен, прекратят свое действие. При статическом нарушении нормального положения силы, действующие на тело, находятся практически в равновесии и скорость тела равна практически нулю. При исследовании остойчивости необходимо иметь в виду, что при крене твердого плавающего тела его цапр тяжести яв- является всегда одной от той же точкой (случай, когда на плаваю- плавающем теле находится жидкий груз, здесь не рассматривается). Центр же водоизмещения вследствие того, что изменяется форма объема вытесненной телом жидкости, перемещается по линии, называемой линией центров водоизмещения (фиг. 6-7), поэтому при крене плавающего тела сила тяжести и равная ей по вели- величине поддерживающая сила всегда создают пару сил. Для того чтобы тело обладало статической остойчивостью, необходимо, чтобы эта пара сил стремилась возвратить тело в нормальное положение. Это, например, будет иметь место во всех случаях, когда центр водоизмещения расположен выше центра тяжести (фиг. 6-8)» Но в большинстве случаев центр водоизмещения рас- расположен ниже центра тяжести (фиг. 6-7, 6-9). Здесь могут пред- представиться два случая. § 6-3] Статическая остойчивость 89 Первый случай — устойчивое равновесие (фиг, 6-7). При кре- крене тела по часовой стрелке центр водоизмещения располагается правее линии действия силы тяжести. В этом случае линия дей- действия поддерживающей силы Р пересекает ось плавания в точ- точке М, расположенной выше центра тяжести. Создающаяся при этом пара (Р\ —¦ G) стремится возвратить тело в положение рав- равновесия. Второй случай — неустойчивое равновесие (фиг. 6-9). При крене тела по часовой стрелке центр водоизмещения распола- располагается левее линии действия силы тяжести. В этом случае линия действия поддерживающей силы Р\ пересекает ось плавания в Фиг, G-9. Точка М— метацентр. Тело не остойчиво. Фиг. ЫО. Точка М — метацентр. Тело остойчиво. точке Му расположенной ниже центра тяжести» Создающаяся при этом пара (Pi—G) стремится опрокинуть тело» Точка М пересечения линии действия поддерживающей силы с осью плавания при малых углах крена называется начальным метацентром. Расстояние //„ от начального метацентра до центра^гяжести плавающего тела называется начальной метацентрической высо- высотой (фиг. 6-10), Расстояние Я„+А от начального метацентра до центра водоизмещения называется начальным метаце,нгриче- ским радиусом. В общем случае крена, т. е. при больших углах крена, Mciацентрический радиус следует рассматривать как ра- радиус кривизны линии центров водоизмещения, а метацентр как центр кривизны этой линии, причем при больших углах крена метацентр уже не расположен на оси плавания. Из сказанного следует, что для того, чтобы тело обладало статической остойчивостью, 'необходимо, чтобы метацентр нахо- находился выше центра тяжести, т. е. чтобы метацентрическая высо- высоту Я„ была положительна. Выразим это условие для начального метацентра аналити- аналитически. Поддерживающую силу Ри соошекмвующую крену, при- приложенную б точке Ди можно рассматривать как равнодей-
90 Основы теории плавания [гл. 6 ствующую поддерживающей силы нормального положения (чис- (численно равной Р{) и днух дополнительных сил, возникших в результате погружения клинообразного объема справа (поло- (положительная поддерживающая сила ЗР(+)) и выхода из жидко- жидкости клинообразного объема слева (отрицательная поддержи- поддерживающая сила ЬР{~}). Оба клинообразных объема на фиг. 6-Ю заштрихованы. Поэтому сумма моментов сил Р, SP(rJ и 8Р(^ должна равняться моменту силы Р{. Моменты сил Р и Р{ вычислим относительно центра водо- водоизмещения Д. Момент сил ЪР^} и &Р("^ можно вычислять отно- относительно любой оси (в данном случае относительно продоль- продольной оси, проходящей через центр тяжести площади ватер- ватерлинии—точку 0), так как эти силы образуют пару. Но момент силы Р относительно центра водоизмещения Д равен нулю. Поэтому момент силы Pj должен быть равен моменту М пары SP^ и 8Р?~*, а, е. Момент М равен сумме моментов элементарных поддержи- поддерживающих сил D>иг. 6-6 и 6-10) элементарных объемов, образован- образованных бесконечно малыми цилиндрами, имеющими основанием dw (в плоскости ватерлинии) и высоту ht —х*. Момент элементарной поддерживающей силы равен произве- произведению элементарной поддерживающей силы на плечо х. Так как элементарная сила равна произведению объемното веса жидко- жидкости на элементарный объем, равный, как уже было найдено раньше, xad<i>, то элементарный момент будет равен: =i \x2dia = *[cij 7) где J=\x^dw — момент инерции площади ватерлинии относи- относительно оси, проходящей через центр тяжести этой площади. Таким образом, /z)sina = y<iJ. Принимая попрежнему для малых углов sin c=a и учиты- учитывая, что P = ^Wy получим для метацегттрической высоты Им следующее выражение: ^ F-9) где W— объемное водоизмещение. Для случая, когда ценгр водоизмещения расположен выше центра тяжести, величина h 6 31 Статическая остойчивость 91 отрицательна; при вычитания отрицательной величины Нм полу- получается всегда положительная. Метацентрическая высота может быть положительной — в этом случае равновесие плавающего тела устойчивое, равна ну- нулю ¦— равновесие плавающего тела безразличное, отрицатель- отрицательной—равновесие неустойчивое. Зная мстацеятрнческую высоту, легко определить и момент пары (Pi —G), стремящийся возвратить повернутое .плавающее тело в положение равновесия, т. е. определить восстанавливаю- восстанавливающий момент {метацептрический момент), M=PHs\nor = J ±h jsin F-10) Эга формула называется метацентрической формулой остой- остойчивости. • Следует подчеркнуть, что формула F-10) справедлива как для крена относительно продольной оси, так и относительно по- поперечной оси. Для каждого из эпих случаев в формулу необходи- необходимо подставить соответствующее значение момента инерции пло- площади ватерлинии. При крене относительно продольной оси соответствующий этому метацентр называется поперечным, а при крене относи- относительно поперечной оси — продольным. Степень точности формулы остойчивости зависит от формы плавающего тела и пользоваться ею при значительных углах кре- яа надо осторожно. Акад. А. Н. Крылов упитал крен еше ма- малым, если он не превышает 15—20° для высокобортных судов, 3l для низкобортных судов, — пока кромка палубы не погрузится в воду. Для этих углов положение метацентра практически остается постоянным. Из предыдущего следует, что при проектировании плаъающе- ix> тела необходимо добитьеэт того, чтобы мегадентрическая вы- <х>та была положительна при всяких возможных условиях пла- плавания. Увеличения метацентрической высоты можно достичь ушире- нием корпуса плавающего тела в области ватерлинии путем уста- установки специальных плавников или понижением центра тяжести устройством утяжеленного киля. В зависимости от назначения плаваюшего тела для попереч- поперечной метацентр ич ее кой высоты ориентировочно можно указать следующие значения: а) дли небольших судов типа буксиров Ял = 0,3~*-0,6 м\ б) для коммерческих судов Н =0,5--*-1,2 jk; в) для боевых кораблей Н = I-: ! 5 ли Необходимо отметить, что изменение веса плавающего тела влияет на остойчивость, а также то, что наличие жидкого- груза,
92 Основы теории плавания [гл. 6 который при крене может переливаться, вызывает уменьшение остойчивости. Для значительных углов креня формулы F-9) и F-10) ста- становятся неточными и метацентрический -момент Мм будет бо- более сложной функцией угла крена .зависимость метацентрического момента от угла крена можно уста- установить экспериментально. Для этой uejin помещают на равных расстоя- ниях от оси плавания два одинако- x груза каждый весом GK (фиг. ) Затем переносят, например, груз к слева к грузу Gv справа. Это бу- будет равносильно приложению к пла- плавающему телу пары сил, создаю- Фнг. 6-1L Схема сил, действую- щей крен, момент которой равен: щи к на тело, выведенное из положения равновесия. М ^ = 20 /?COS ее. Плавающее тело, получив крен на угол а, займет некото- некоторое положение равновесия. В условиях равновесия момент Мк должен быть равен восстанавливающему^(метацептрическому) моменту Мм: F-12) Мета центрическую высоту найдем "по формуле м G sin a F-13) где G включает также и вес грузов, создающих креп. Фиг» 6-12. В положении макгима.чь- Фпг, 6-13. В положении максималь- максимального угле! крена плошал*» A2 = AV ного yi лл крепа площадь А2—Л^ Динамическая остойчивость 93 Повторив этот опыт несколько раз для различных значе ний GK, можно построить зависимости Мм и Нм от угла кре На фиг, 6-12 показана форма кривой мм. формулой F-13) можно пользоваться также и для опреде ления центра тяжести плавающего тела, если ранее, напри мер, аналитически был найден метацентр1. 6-4. Динамическая остойчивость Динамической остойчивостью называется способность пла- плавающего тела совершать колебания под действием сил, создаю- создающих кренящие моменты, в пределах заданных углов крена. Законы измвнення кренящих моментов Мк весьма разнооб- разнообразны. На фиг. 6-12 и 6-13 показаны два частных случая. Под действием сил тело получит перемещение, которое разложим на вращательное вокруг оси, проходящей через центр соответствую- соответствующей площади ватерлинии, и на поступательное вместе с ней. Для исследования остойчивости важным является только вращатель- вращательная часть перемещения. В рассматриваемом случае в отличие or статического кре- кренящие моменты Мк не равны восстанавливающим МА. По- Поэтому при незначительных углах крена, когда восстанавливаю- восстанавливающий момент Мй меньше Мк$ тело будет крениться с возрастающей угловой скоростью. Увеличение угловой скорости (разгон) бу- будет происходить до угла крена ар> при котором ММ=М^ В этом положении плавающее тело приобретет максимальную угловую скорость. При дальнейшем увеличения угла крена восстанавливающий момент становится больше Мк извраще- извращение плавающего тела станет замедленным. Крен на мгновение прекратится при некотором угле ьмахс> после чего плаваю- плавающее тело начнет вращаться в обратном направлении. Если бы силы трения отсутствовали, то плавающее тело колебалось бы в ту и другую сторону бесконечно. Благодаря силам трения колебания являются затухающими. При оста- остановке крен тела будет соответствовать углу арй Чтобы определить максимальный угол крена ъмаясУ заме- заметим, что диаграмму моментов можно рассматривать как диа- диаграмму работ, совершаемых моментами Мм и Мк при крене. Будем считать работу Мк положительной, а работу Л1Л —от- —отрицательной. 1 Собрание трудов акад. Л. Н, Крылова, т. IX, ч. 2, 1949.
94 Основы теории плавания [ гл. За время крена от угла а = 0 до угла а суммарная ра~ бота Л[ = о будет положительной; па диаграмме- работы А{ изображается площадью А{ и затрачивается на со- сообщение плавающему телу кинетической энергии, За время крена от угла ър до угла ьмакс суммарная работа Л2 — отри- отрицательная, что вызывает уменьшение ранее накопленной кинетической энергии. На диаграмме эта работа изображается площадью А2. Очевидно, крен достигает максимума при угле Максимальный угол крена ьмакс не должен превосходить допускаемого адоп, значение которого устанавливается техни- техническими условиями. В этом случае будем считать, что тело при заданном кренящем моменте Мк обладает динамической остойчивостью. Чем больше площадь Л=пл. (аЬЬ{), ограни- ограниченная углом ар и ааол, по сравнению с площадью Л тем большей динамической остойчивостью обладает плаваю- плавающее тело. Отношение ^- —? называется относительным запа- сом динамической остойчивости. Если бы при кренящем мо- моменте, изображенном на фиг, 6-12, при первом размахе крен превзошел угол аМпКСдопУ то плавающее тело опроки- опрокинулось бы (соотношение площадей на фигуре этому случаю не соответствует). Задача 6-1. Определить глубину погружения плавающего танка, допу- допускам, что центр тяжести танка Т и пенгр водоизмещения Д расположены на оси плавания 00. Вес тапка 0 — 2 925 кГ; ширина танка Ь ~ 2 м\ R =: = 1,25 м; а = 2 м. Решение. Применяя основную формулу плавания, согласно которой вес танка равен подъемной силе, т. е, в ^ Р =г определяем объемное водоизмещение: в 2 925 но: Но водоизмещение танка при принятых на чертеже обозначениях рав- W = aR{\ ^ sin 9 cos 9 §6-4] Динамическая остойчивость 95 Заштрихованным па фиг. 6-14 объемом можно пренебречь. Из последнего уравнения методом подбора определим угол 0: 9 = 55е. Зпая угол 0, определим глубину погружения по формуле h=zR(\ — cosfl)= 1,25A —0,574) — 0,533 м. Задача 6-2. Определить меньшую метацентричеекую высоту Им плапа- юшего танка для условия предыдущей задачи, полагая I = 3_м\ Кд = 0тЗ м и Нт = 0,4 м (фкг. fi-I4)f ^ /- фиг» 6-14, Планающая машина» К задаче G-1 Решение. Ии = ( т нни относительно оси линии: \ — h J, где /—момент шгерции площади ватерлй- проходя!|;ей через центр тяжести площади ватер 1Ь 3*8 — Y2 = ~\2 ~ 2 ' h ~ Нт ^~ ' Подставляя вычисленные значения J к h> находим: ~ 0,l) = 0,584* Так как Нм^>0у танк обладает статической остойчивостью. Задача 6-3. Определить начальный дифферент (начальный угол крепа) плавающего танка согласно условию предыдущей задачи, полагая, что центр тяжести смешен вправо ог оси 00 на расстояние /- = 0,2 м (фиг. G-15), Решение. В положении равновесия момент пары сил (Р — G) должен быть равен метацентрическому моменту: откуда где /—момент инерции площади ватерлинии относительно ее поперечной оси, а 7°55\ 7
Основы теории плавания [гл. 6 Фиг. 6-1 Б- Плавающая машина. К задаче 6-2. Задача 6*4, Требуется определить свободные колебания плавающего автомобиля, вес которого G — 12 000 кГ> а площадь ватерлинии со *= 18 м'К Решение, Для определения свободных колебаний плаваюшего яктомо- биля составив дифференциальные уравнения этих колебаний, пренебрегая сопротивлением жидкое ти. При погружении плавающего тела на глубину z, большую тойг которая соответствует равновесному положению автомобиля на воде, появляется допол- дополнительная подъемная сила (фш. 6-16) (силы трения не учитываем) Фиг. 6-16. Колебание тела вызвано tfP — — ^<oz, дополнительным погружением ва z* К задаче G-4. ГДС й —дополнительное погружение; 7 — объемный все жидкое i и. Знак „—а показывает, что сила ЪР направлена в сторону, противопо" ложную 2. Дифференциальное уравнение колебательного движения автомобиля мо- может бы!ь 1фсдсгавлено в виде: где z ' — вторая производная по времени от z\ т= гг — масса автомобиля. Обозначим через G ' при этом будем иметь: z = — Полученное уравнение есть дифференциалЫ|ое уравнение свободных гармонических колебаний, частота которых Интеграл этих уравнений z ==Ci cos F/) +С2 sinful- «6-4] Динамическая остойчивость 97 Постоянные интегрирования определяются по начальным данным. Обозначая начальное дополнительное noi ружение через zQy а началь ,скорость колебания п этом положении vz =; 0, найдем, что С, =! zQ, а С2 = 0. Таким образом, уравнение колебаний может быть представлено в виде: z = z0 Вычислим частоту свободных ко Период свободных колебаний Задача 6-5. Требуется определить амплитуду Н вынужденных колеба- ний плаБаюшш о автомобиля, i?ec которого G = 12 000 кГу а площадь ватер- линии о> = IS м2. ВьЕнужденные колебания создаст волна, амплитуда ко- которой (высота ]ребня) h^2 м. Частота воллыг измеренная в данном подо- xpanitviHiue, ^^4,087 Реек.; Tt = g- = 1,537 сек. Такая волна создаст возмущающую силу, максимальное значение которой равно &Р = у&)А. Как известно из курса теоретической механики, амплитуда вынужден- яых колебаний вычисляется по формуле Н = где k— частота свободных колебаний, а предыдущей задачи, получим: К ^масса. Подставляя значение к Т2 с б 1 Значение частоты и периода свободных колебаний было найдецо в преды- предыдущей задаче к — 3,836 1,'сск.; Подставляя найденные значения, получим: 2 2 н = 1.637 \ 1,537 Колебания почгп cootbctcik^fot Н. 3. Френкель. — 1 и являются недопустимыми»
98 Основы теории плавания [ гл, Задача 6^6. Горючее (бензин) поступает (фиг. 6 17) в поплавковую ка- меру J карбюратора из нозд^шеюго колпачка 2 диафрагмснного насосеi * по трубопроводу 4 через канал 5 и отверстие б, запирающееся иглой 7 по- поплавка 8. Для того чтобы поплавковая камера не переполнялась нево- неводимо, чтобы давление рк> создаваемое насосом, в колпачке и передающееся на иглу 7, не превосходило значенийт при которых поплавок не сумеет прижать иглу с необходимым усилием. Максимальная сила, которую может разнить поплавок, определяется степенью его затопления. фиг. 6-17. Поплавковое устройство. К задаче 6-6. Требуется определить наибольшее допустимое давление в воздушном колпачке рк согласно следующим данным: вес поплавка Gn= 15 1 ; ооъем поплавка W = 35 см* степень затопления поплавка V = 7^°?J™ о6™ш вес иглы G = 0,85 Г, расстояние от уровня горючею в колпачке насоса до запорной отверстия Л = 34,5 си; площадь запорного отверстия ©- = 254 мм2' расстояние от оси врашения поплавка до оси иглы (i-^w» до центра тяжеспи поплавка /2=3,2 см, до центра водоизмещения поплавка /2 = 3,2 см\ объемный вес бензина ^ — 0,735 Г\см* Ответ: р„ = — G - 1 ЧАСТЬ ВТОРАЯ ГИДРОДИНАМИКА Глава седьмая ВВЕДЕНИЕ В ГИДРОДИНАМИКУ Основной задачей гидродинамики как части гидравлики яв- является исследование закономерностей, характеризующих поток в делом. Однако выяснение различных факторов, влияющих на формирование потока, на диссипацию энергии в потоке и на свя- связанную с ней проблему так называемых гидравлических сопро- сопротивлений и на многие другие явления, требует ясного представ- представления о характере движения отдельных частиц. 7-1. Ламинарное и турбулентное движение Некоторое общее представление о перемещении отдельных частиц дает наблюдение над потоком, в который вводятся или подкрашенная струйка жидкости, или специальные составы, обра- образующие в жидкости пузырьки сферической формы (такие пузырь- пузырьки, по плотности не отличающиеся ог воды, образует смесь хлор- хлорбензола с вазелиновым маслом и цинковьши белилами). Движе- Движение отдельных частиц в общем виде можно представить, а при небольших скоростях и проследить на приборе, изображенном на фиг. 7-1. К резервуару /, наполненному жидкостью, присо- присоединяют одну или несколько стеклянных круглых трубок 2. Для уменьшения возмущений, создаваемых в жидкости при входе в трубку, ее входной конец снабжен соплом. Краном 3 можно ре- регулировать количество протекающей в трубке 2 жидкости. Чтобы сделать движение жидкости видимым, в нес вводят по трубке 4 из резервуарчика 5 такую же, как и находящаяся в резервуаре, жидкость, но слегка подкрашенную. Краном 6 подкрашенную жидкость можно включить в общий поток жидкости, движущей- движущейся по трубке» Термометр 7 служит для определения температуры жидкости, а мерный бачок 8 со шкалой — для определеиия ко- количества протекающей жидкости. Многочисленные опыты пока- показали, что при определенных условиях подкрашенная струйка жидкости движется в трубке, не смешиваясь с основной массой жидкости (верхняя трубка фиг. 7-1); она вытягивается в тонкую 7*
100 Введение в гидродинамику [гл. 7 ни!ь и производит впечатление натянутой струны. Аналогичная картина повторяется и в том случае, если в этот поток ввести несколько подкрашенных струек. Очевидно, это возможно лишь при условии, что вся масса жидкости усюйчиво движется в тру- трубе параллельными, нссмеишвающимися струйками. Такое дви- движение без перемешивания частиц называется ламинарным 1. Струи жидкости, находящиеся на разном расстоянии от оси тру- О <*¦ *- От водопровода канализацию Фиг. 7-1. Установка для исследования режЕ1мов движения. бы, движутся с различными скоростями, причем максимальную скорость имеет осевая струйка. При стенках скорость жидкости равна нулю. Постепенное увеличение скорости движения частиц (что осуществляется открыванием крана 3) или нагревание жидкости, ведущее к уменьшению вязкости, понижает устойчи- устойчивость ламинарного движения и в конце концов разрушают его,— струйка разрывается. На устойчивость ламинарного движения оказывает влияние вязкость жидкости, характеризующаяся коэффициентом |j. (а зна- значит, и ее температура t)t ее плотность р, скорость движения ча- частиц и или средняя скорость v *, а также диаметр трубопро- трубопровода d. Нарушение ламинарного движения при прочих равных усло- условиях (т. е. при равенстве р и ц.) в трубах большего диаметра происходит при меньших скоростях. Разрыву струйки сначала предшествует образование волнообразных колебаний струйки. 1 Ламинарный о г латинскою слова lamina —сложный. * Средней скоростью v называется отношение количества жидкости, протекающей через рассматриваемое сечение трубопровода в единицу мепи Q, к площади сечения потока ы\ V "^ш Q §7-1] Ламинарное и турбулентное движение 101 С усилением колебаний струйка разрывается и затем полностью перемешивается с остальной массой жидкости. Движение частиц производит впечатление беспорядочно перемещающихся вихоей Этот вид движения называется турбулентным ' ' Механизм турбулентного движения очень сложен. При турбу- турбулентном движении частицы жидкости, кроме главного движения вдоль трубопровода, .имеют еще и поперечные перемещения создающие перемешивание жидкосги, что оказывает существен- существенное влияние на деформацию объемов жидкости и вследствие это- этого на гидравлические сопротивления в потоке. Заметим что все ?3^>е1ееТ МеСТ° И В ПОТОКах' ограниченных ложе'м любой В турбулентном движении, как и в ламинарном, скорость у стенки принято считать равной нулю. По этому поводу Н Е Жу- Жуковский 2 писал: «Я предлагаю считать (это не очень точно под- подтверждено опытами, но все же довольно близко к действитель- действительности), что при стенках скорость жидкости равна нулю ко что затем она очень быстро возрастает». Ближайший к стенке, весьма тонкий, слой жидкости движет- ГТИ ламинаР110 и называется пограничным ламинарным По исследованиям Н. Е. Жуковского и Л. И. Морошкила 3 этот пограничный слой является источником зарождения вихрей которые, проникая в центральную область потока, разрушают устойчивость ламинарного потока. В иностранной литературе эти исследования называются «русскими опытами». цИз величин а.о, и, d, влияющих па характер движения в круг- круглой трубе, можно образовать лишь один безразмерный комплекс играющий огромную роль в гидравлических исследованиях Этому комплексу присвоено название числа Рейнольдса (сокращенно G-1) (* шу^!?авСТ° ЧИСЛ° Re ВЬ1Ражают через среднюю скорость потока v. В потоках, ограниченных ложем не круглого сечения вместо диаметра d вводится так называемый гидравлический ра- радиус /с, определяемый из зависимости G.2( *НУРрУшНТНЫЙ °Т лати"ск°го слова tuibulenfus-вихревой, вовы iinivxn у„к ° вс к и й; Полное собрание сочинений, Teof-етпмеокие ос вовы воадуиплаваиия, ч. 1, гтр. 351-352, ОНТИ HKI1T СССР 1938. Т. 8. сто 1АЧ1ОДЯ Вг К И Й> Vers'lche von Moroschkin. Z. angew. Math. Meob.. ". i-rp. iw, \Mib. См. также Математический сборник, т. ХХХЦ], 2, ]926
102 Введение в гидродинамику [гл. 7 Теоретические и экспериментальные исследования показы- показывают, что режим движения жидкости зависит от значения чис- числа Re. Для каждой конкретной установки существует некоторый диапазон значений числа Re, которые можно рассматривать как критические значения — Rehpt при которых и происходит смена режимов движения. Назначение критическо- критического числа ReKj? огромное влия- влияние оказывают различные возмущения, возникающие в потоке вследствие шеро- шероховатости внутренних по- поверхностей трубопроводов, различных запорных устрой- устройств и другой трубопровод- трубопроводной арматуры. Существен- СущественR ное влияние на кр оказы Фиг. 7-2 Распитие турбулентности в потоке. ьают и возмущения, создаю- создающиеся у источника питания (в насосе и т. п.), неблаго- неблагоприятные условия при вхо- входе жидкости в трубу (суже- (сужения потока и т. п.). В коротких трубопрово- трубопроводах на Re оказывают влия- влияние также и условия на вы- выходе, часто вносящие воз- возмущения в поток. Необходимо иметь в виду также и то, что переход лами- ламинарного движения к турбулентному удается задержать до создания весьма больших значений Re*, в то время как вос- восстановление ламинарного 'движения при переходе к нему от турбулентного осуществляется при относительно малых зна- значениях Re. В практике гидравлических расчетов именно это малое значение Re и принимают за ReKp. Например, при дви- движении в круглых трубах за нижнюю границу Revp, вычисляе- вычисляемую через среднюю скорость vy принимают: * В опытах в трубах путем устранения источников возм}Ш.ения удава- vd лось довести значение чисел Re до Re = —=100000. В этом выражении р—средняя скорогть {см. сноску на стр. 100), Однако ламинарное движение при больших значениях Re очень неустойчиоо; иногда достаточно неболь- небольшого возмущения дли того, чюбы обратить ламинарное движение в турбу- турбулентное. Ламинарное и турбулентное движение 103 Б связи с этим будем считать движение ламинарным, если =^< 2 320, турбулентным, если Возмущения, возникающие вследствие посторонних причин в ламинарном потоке (при Re<CReKp), если трубопровод доста- достаточно длинный, затухают. В ламинарном потоке, но при больших значениях Re>Rekp или в турбулентном движении эти возму- возмущения уже не затухают, а, наоборот, продолжают развиваться в направлении течения. На фиг. 7-2 показано развитие турбу- турбулентности в потоке. Начальное возмущение (верхний снимок! было произведено кратковременным отсасыванием жидкости че- через отверстие в стенке. Последующие снимки были произведены при помощи кинокамеры, перемещавшейся параллельно потоку со скоростью движения возмущения. В дальнейшем закономер- закономерности ламинарного и турбулентного потоков будут рассматрены подробнее. Задача 7-1, Определить режим движения воды в трубе при следующих данных: 1) расход воды Q = 5 л/сек\ 2) диаметр трубы d = 0,05 м\ 3) тем- пература воды t ~ 5° С. Решение. Для определения режима движения необходимо вычислить число Рейнольдса vd Определим для зто! о сначала 4 > 0,005 а затем v =¦ " 3,14-0,0025 0,01775 0,01775 — 2.55 м'сак. 0 О0022 = 0,0151 c зная v и v, находим 255-5 Так как число Рештольдса оказалось больше критического значения 2 320, то движение в трубе будет турбулентным. Задача 7-2. Определить режим движения нефти в трубе при следую- следующих данных: 1) расход нефти G — 10 кПсек\2) объемный вес ^ = 850 а;Г/ж3; 3) диаметр трубы d ~ 0,1 м\ 4) вязкогть нефти в условных градусах Е° =* «15°. Решение» Так же как и в предыдущей задаче, для определения ре- vd_ жима движения необходимо вычислить число Рейгюльдса Re = -^- определения v необходимо знать объемный расход нефги G 10 = —=:ggg=: 0,0118
104 Введение в гидродинамику [гл. 7 откуда 4Q 0,0118-4 = 1,50 м!сек. Для определения кинематического коэффициента вязкости применив формулу B-28), принимал 1 — /^г^ 1; V — 0,0ЬЯ.7р6 = 0,0Ь 15»7,6 = 1,140 смесей. Таким образом, Так как число Рейнольдса оказалось меньше критического значения Re <^ 2 320, то, следовательно, движение в трубе будет ламинарным. 7-2. Движение установившееся и неустановившееся. Понятие о местной осредненной скорости В зависимости от условий, вызывающих движение жидкости, это движение может быть или установившимся (стационарным),, или неустановившимся (нестационарным). Примером установившегося движения может служить лами- ламинарный поток в трубопроводе при условии, что уровень жидко- жидкости >в резервуаре (фиг. 7-1) не изменяется. Установившийся поток характеризуется постоянством поля скоростей в пространстве, занятом потоком, хотя движение самой частицы может быть и неравномерным. Движение в трубопроводе станет неустановившимся, если уровень жидкости в резервуаре будет меняться. Таким образом, неустановившееся движение характеризуется в пространстве, за- занятом потоком, меняющимся во времени полем скоростей. Дадим общее определение понятиям установившегося и неустановивше- неустановившегося движения. Рассмотрим некоторый поток (фиг. 7-3), Выберем в простран- пространстве, занимаемом потоком, произвольную точку A (хи yu г, К Если скорости и давления частиц, проходящих в разное время через точку пространства At будут различны, такое движение будем называть неустановившиеся, Скорости и давления, изменяясь во времени в дашюй точкеГ изменяются также при перемещении частицы жидкости из одного положения в другое. Аналитически это выразится в том, что в неустановившемся движении скорости и гидродинамические давления являются функциями координат точек х} у и г пространства, занимаемого потоком, и времени t: и—и(ху у, гл t)\ G-4) p=p{xf yy г, t). G-5) Движение установившееся и неустановившееся установившемся движении в отличие от неустановившегося скорости и гидродинамические давления в данной точ- точке пространства постоянны, т. е. не изменяются во времени ни до величине, ни по направлению, поэтому частицы движущейся ptconst р-const Фиг. 7-3. В каждой точке простран- Фиг. 7-4. В каждой точке простран- пространства скорости и давления изменяются. ства скорости и давления постоянны. жидкости, попадая в разное время в точку пространства А, будут иметь одинаковые скорости и гидродинамические давления (фиг. 7-4). Аналитически это выразится в том, что в установившемся движении скорости и гидродинамические давления являются функциями только х, у и ^, т. е. и , г); ху у, г). G-6> G-7) Переменные х, yt z и t называются переменными Эйлера, а метод исследования гидродинамических величин, выражаемых в виде функциональных зависимостей от переменных Эйлера, на- называется методом Эйлера f. ^ Скорости и гидродинамические давления, будучи постоянны- постоянными в данной точке пространства, изменяются при перемещении частицы жидкости из одного положения в другое. ¦Постоянство поля скоростей в установившемся потоке можно математически выразить следующим образом: да, dt ди У да —у- =о- —=0 G-8) 1 Изучение потока жидкости в некоторых случаях осуществляется и икьш методом, также предложенным Л. Эйлером, но развитым главным ^образом Жозефом-Луа Лагранжем A736—1^13 гг) и называемым поэтому * методом Лагранжа» В методе Лагранжа составляются уравнения движения Для каждой частички движущейся жидкости. Координаты движущихся ча- частиц задаются как функции переменных Лагранжа, времени t и координат их начального положения а, Ьт с.
10G Введение в гидродинамику [гл. 7 Экспериментальные исследования показывают, что турбулент- турбулентное движение всегда является движением только неустановив- неустановившимся. На фиг. 7-5 показана диаграмма изменения осевой составляю- составляющей скорости в некоторой точке турбулентного потока. Жидкость поступала в трубопровод из резервуара, уровень жидкости в ко- котором 'поддерживался постоянны^. Из диаграммы следует, что Фиг. 7-5. Диаграмма изменения осевой скорости в турбулентном потоке. поле скоростей в турбулентном потоке изменяется. Несмотря на кажущуюся беспорядочность изменения скоростей в точке, скоро- скорости в пей изменяются около некоторого среднего во времени зна- значения. Такая изменяемость называется пульсацией скоростей. Пульсация поля скоростей является основной характеристикой турбулентного потока. Существует некоторый отрезок времени — период осредне- осреднения 7\ за который осредненная во времени скорость в точке мо- может считаться постоянной. Эта скорость определяется по фор- формуле т G-9) и = у ( udt о и называется осредненной местной скоростью» Здесь и— истинная скорость, a t — время. Время осреднения Т зависит от характера движения и раз- размеров потока. Например, для больших открытых русел это вре- время Т может составить 5-—10 мин» и более. Установившимся турбулентным движением называется осред- ненное установившееся движение, поле осредненных скоростей которого постоянно. Примером установившегося турбулентного движения может служить турбулентное движение воды во вса- всасывающей или напорной трубе центробежного насоса <лри по- ' стоянном числе его оборотов или турбулентное движение в трубо- трубопроводе, присоединенном к резервуару, уровень жидкости в ко- котором поддерживается постоянным. Линия 7ока 107 При изучении неустановившихся осредненных турбулентных потоков в рассмотрение вводятся местные осредкеиные скорости, уже не являющиеся постоянными. В этом случае интервал вре- времени осреднения должен быть таким, при котором осредненную переменную скорость можно было бы считать постоянной за вре- время осреднения. Примером такого неустановившегося движения может слу- служить случай движения жидкости во всасывающей или нагнета- нагнетательной трубе поршневого насоса. В них вследствие переменной скорости движения поршня жидкость находится в состоянии не- неустановившегося движения. Обычно насосы снабжаются специ- специальными устройствами, воздушными колпаками, которые содей- содействуют тому, что в трубопроводах движение приближается к установившемуся. Другим примером неустановившегося турбулентного движе- движения может служить турбулентное движение жидкости в трубо- трубопроводе, присоединенном к резервуару, уровень жидкости в ко- котором понижается (например, при опорожнении). 7-3, Линия тока Важное значение для понимания дальнейшего имеет линия тока. Линией тока называется линия в потоке, касательные к кото- которой в каждой точке совпадают с направлением векторов скоро- скорости в точке. Чтобы представить ллнию тока, рассмотрим семей- Р. Z Фиг» 7-6. Ломаная линия в пределе обращается в линию тока» Фиг. 1-1. Скорость направлена по касательной к линии тока» ство движущихся частиц жидкости, расположенных вдоль потока на бесконечно малых расстояниях друг от друга, причем таким образом (фиг. 7-6), чтобы каждая последующая частица распо- располагалась на направлении вектора скорости предыдущей частицы, В пределе при бесконечно большом количестве частиц, бесконеч- бесконечно близких друг к другу, они расположатся на линии, которая и будет линией тока, соответствующей моменту ^о (фиг. 7-7). Для установившегося движения линия тока всегда совпадает с траекторией частиц, на ней расположенных, Для неустановив-
108 Введение в гидродинамику г гл. 7 шегося движения линия тюка в общем случае не является тра- траекторией частиц, па ной расположенных, так как частицы на ли- линиях тока находятся в общем случае лишь одно мгновение. b .момент, следующий за /0, эти частицы будут принадлежать уже другим линиям тюка, Необходимо отметить, что в установившемся турбулентном движении линий тока как Лший, не изменяющихся во времени не существует. Здесь можно говорить только о линиях тока со- соответствующих полю осреднецных скоростей. У' ЧТ° касательная * линии тока и вектор скорости обра- обраут ми координат одни и те же углы «, М 7. можно составить диф- дифференциальное уравнение линий тока, воспользовавшись зависимостями = dl-cos a; их =r \ uy = u-cosj; uz — u* cosy, где dl ¦ a dx, dy и dz Отсюда дифференциал душ линии тока; • его проекции. dx dy dz U x u и и войдет Для неустановившегося движения н ныражения uxt uv и время, которое следует рассматривать как параметр. Для плоского движения, например в плоскости хоУ (\ гол 7^90°) ференциалыюе уравнение линий тока примет вид: J> тока ^рпапвнснию Удовлетворяет ф>Нкция ф (*, >>, *), называемая функ- функ, определяющая проекции < корости частид по форм>ле орости частид по форм>ле COOTBWrByer постоянное значение функции тока;}рав- тока может быть представлено в виде: , у, t) = c. G-12) Покажем это. Для этого подставим значения и и и но G И) в диф- дифференциальное уравнение. При этом получим: или что и подтверждает сказанное. §7-4] Вихре&ое и безвихревое движение 109 7-4. Движение жидкого элемента. Вихревое и безвихревое движение В § 7-1 было дано общее представление о перемещении от- отдельных частиц. Здесь рассмотрим более подробно движение каждой частицы в отдельности. В отличие от твердого тела, движение которого в теоретиче- теоретической механике в общем случае можно разложить на поступа- поступательное движение со скоростью uq произвольно выбранной точки (полюса) и на вращательное движение с угловой скоростью & вокруг мгновенной оси, проходящей через эту точку, движение жидкого элемента в общем случае можно разложить на три дви- движения. Каждый бесконечно малый элемент жидкости, кроме по- поступательного и вращательного движения, находится еще и в состоянии деформационного движения. При таком разложении движения скорость любой точки жидкой частицы можно рассматривать как геометрическую сум- сумму трех скоростей: где щ — скорость поступательного движения; пер^скорость вращательного движения; ф—скорость деформации. Скорость вращательного движения определяется по известным из тео- теоретической механики формулам. Напомним формулы, определяющие проек- проекции скорости вращательного движения: GН) где dxy dy, dz — координаты точки относительно полюса; Q , Q Q — проекции угловой скорости. Отсюда следует: 1 /ди Эй 1 / у~~Ат ~дх~O ди 17 Л 5) у дх Дли определения проекции скорости деформации надо из проекции абсолютной скорое 1 и частицы вычеетт* проекции скоростей переносного ч вращательного движений» При этом, учитывая, что ди ди х дп
JiO Введение в гидродинамику [гл. 7 получим: ди ди Wa/,i* U ., Un^ Un „ деф 'Ох + 2 + 1 № Движение жидкости с вращением ее частиц называется вих- вихревым. Удвоенное значение вектора угловой скорости назовем вихрем скорости. Вихревое движение возникает при обтекании быкотз моста, за кораблем. Движения в трубопроводах также являются вихре- вихревыми. Примером вихревых движений являются циклоны и анти- антициклоны, а также смерчи, Образование вихревых движений обу- обусловливается различными причинами. Большую роль особенна в трубопроводах, играет вязкость жидкостей (§ 2-4)! Наряду с вихревыми движениями в гидродинамике рассмат- рассматриваются движения безвихревые, в которых вихрь скорости па- вен ИуЛЮ. Так как при безвихревом движении то для такого движения ди _у_ дх ди дг дх да. дг ~ ду * G 17) Безвихревое движение называется также потенциальным движением по- потому что эгому движению удовлетворяет функция <р (xt у, zy t), называемая потенциалом скорости, определяющая вектор скорости и его проекции по формулам: и= grad j, или дг • G.18) G-19) Легко убедиться в том, что соотношения G19) удовлетворяют условиям равенства нулю вихря, т. е, уравнениям G-17)» Проверив одно из них, на- например первое, получим; Во многих практически важных случаях действительные дви- движения дают картину, близкую к безвихревому движению. По- §8-1] Гидравлическая модель потока [if теяциальный поток положен в основу расчета многих типов ги- гидравлических машин (ласосов, турбин). При обтекании потоком жидкости тела вблизи него в области так называемого погранич- пограничного слоя движение оказывается вихревым, но на некотором от него расстоянии (вне пограничного слоя), как указывал К Е. Жуковский, движение можно рассматривать как потен- потенциальное» 0 Глава восьмая ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ 8-L Гидравлическая модель потока Основным элементом гидравлической модели потока является элементарная струйка. Для ее определения сперва введем поня- понятие трубки тока» Для этого представим себе бесконечно малый замкнутый контур (фиг. 8-1), каждая точка которого принадле- лшт различным линиям тока, В этом случае линии тока, прохо- проходящие через точки такого кон- контура, образуют трубчатую по- поверхность, называемую труб- трубкой тока. Жидкость, заполняющая трубку тока, образует элемен- элементарную струйку. В неустановившемся потоке форма элементарных струек не- непрерывно изменяется. В уста- установившемся потоке элементар- элементарные струйки, так же как и ли- линии тока, сохраняют постоян- постоянную форму. Поток в целом можно рассматривать как совокупность эле- элементарных cipyeK (для установившегося движения не изменяю- изменяющихся во времени). Сечение струйки, нормальное к ее линиям тока, назовем жи- живым сечением струйки; площадь его обозначается через ™. По- Положение движущихся частиц можно определить криволинейны- криволинейными координатами, а именно расстоянием частичек от некоторого начала отсчета, взятого на оси элементарной струйки (фиг. 8-1), а скорости и давления в точках пространства вместо формул G-4) —G-7) выразить в виде: для неустановившегося движения u = u(l, t)\ р=рA, 0; Фиг. 8-1. Схема элеме!цлрвой струйки.
i 12 Оскояные уравнения гидродинамики {гл. 8 для установившегося движения и = иA)- (8-3) р = р{1). (8-4) Элементарным расходом потока называется количество оюидко- сти, протекающее через данное живое сечение элементарной струйки в единицу времени. Расход вычисляется в единицах объ- объема, массы и веса. Вследствие того, что площадь сечения струйки бесконечно мала, можно считать, что все частички этого сечения имеют одинаковую скорость и. При этом предположении через живое сечение струйки в единицу времени протекает количество жидкости (например, кубических метров в секунду) f называе- называемое элементарным объёмным расходом SQ [м3/сек] и определяе- определяемое по формуле (8-5) Элементар- в м2. В формуле (8-5) и измеряется в м/сек, а ный массовый расход вычисляется по формуле Ш = ?иЪы [кГ*сек1м)у (8-6) элементарный весовой расход вычисляется по формуле 8<3=:уы8«и [нГ/cefc]. (8-7) 8-2. Уравнение непрерывности Одним из важнейших следствий принципа непрерывности яв- является так называемое уравнение непрерывности потока — уравнение, выражающее зависимости между скоростями в пото- потоке, в котором гидродинамические величины непрерывны. Для капельной жидкости уравнение непрерывности выражает условие, npw котором в потоке отсутствуют разрывы струй, и поэтому называется уравнением неразрывности 1. Выведем уравнение непрерывности для элементарной сгруйки (фиг. 8-2). Рассмотрим отсек сгруйки длиной 3/р ограничен- ограниченный сечениями ^ слева и Sw2 справа. Обозначим через p^Q массовый расход жидкости чере^ сечение струйки 8^. Вслед- Вследствие принципа непрерывноеги через сечение 6ш2 протекает расход Ввиду того, что в общем случае расходы не равны друг другу в рассматриваемом объеме элемен1арной струйки, будет 1 Нарушение непрерывности может быть вызвано кавитяционными явле- явлениями (см. т л. 2 и 17), f S-2} Уравнение непрерывности 113 каждую секунду (единицу времени) происходить приращение массы, коюрое определим по формуле ± (Ш) = (p8Q), = -? (PSQ) S/. Приращение массы может произойти на основании того же принципа непрерывности только за счет изменения плотности жидкости р и объема отсека струйки. i Масса жидкости в рассматривае- JL^^I^__1^^ мом объеме равна: /^&^~^^~~^гг^^ Где 8ш — некоторое Промежуточное Фиг. 8-2. Счема элемептзр- значеяие живого сечения рассматри- ной струйки в неразрывном ваемой элементарной струйки. потоке. Секундное приращение массы может быть вычислено по формуле Приравнивая оба значения -^(Ш), получим (8-8) Имея в виду, что ZJ-. Z±- _L dt ^~ ** ~г di U~ dt' уравнение (8-8) можно представить в виде: dp dt 6 со а (8-9) Уравнения ;(8-8) и (8-9) являются уравнениями непрерыв' ности. Исследуем полученные уравнения. Рассмотрим установившееся движение жидкости (капель ной или га^а); для установившегося движения Поэтому из уравнения (8-8) следует, что 8 Н. 3. Френкель*
114 Основные уравнения гидродинамики [гл. 8 откуда или ^= idem (8-10) (841) т. е. в установившемся движении капельной жидкости и газа массовый расход p&Q=p^5<*> по длине элементарной струйки имеет одно и то же значение. Для капельной жидкости const, поэтому " =idem; (8-12) (8-13) Из формул следует, что скорости в различных сечениях эле- элементарной струйки капельной жидкости обратно пропорцио- пропорциональны площадям живых сечении (8-14) а в элементарной струйке газа обратно пропорциональны произведениям рош, т. е. (8-15) Рассмотрим неустановившееся движение только капельной жидкости (p = const). В этом случае и из формулы (8-9) следует, что ?(«<»=о (8-16) Для многих гидродинамических задач важным является применение принципа непрерывности для каждой точки по- потока. Для вывода этого уравнения рассмотрим внутри простран- пространства, занимаемого потоком, элементарный неподвижный прямо- прямоугольный параллелепипед с ребрами ох, Ъу и 8z, через кото- который протекает жидкость (фиг. 8-3), Обозначим CKopocib и ее проекции, а также плотность в центре параллелепипеда через иу их% иу> иг и р. В паралле- параллелепипеде через его центр проведем плоскость, перпендику- перпендикулярную к оси х. Массовый расход жидкости через эту пло- плоскость Цх будет равен: Уравнение непрерывности 115 Массовый расход жидкости 5</ь втекающей в параллелепи- параллелепипед через левую грань площадью 8<*)^, согласно принципу не- прерывности будет равен: а массовый расход hq жидкости, вытекающей через правую грань, будет: В общем случае расходы 8</ и bqXn не равны друг другу. Вследствие этого секундное приращение массы жидкости в параллелепипеде, обусловленное не- z одинаковостью скоростей и и плот- ностей р на рассматриваемых площад- площадках, будет равно: Аналогичные выражения можно полу- получить и для приращения массы парал- параллелепипеда, обусловленного измене- * ниями скоростей и плотностей на дру- других гранях» объеме параллелепипеда в Общее секундное приращение мае- общем случае происходит сы параллелепипеда будет равно: непрерывно. 5i И*) + 3v (P"v) + Thr (9й *) &к8 у&г. (8-17) Но изменение массы в полностью заполненном и несменяе- несменяемом объеме ЬхЬуЬг может произойти только за счет измене- изменения плотности жидкости в этом объеме. Поэтому г. (848) Приравнивая значения ^ (Ш), найдем: или, имея в виду, что в общем случае р = лучнм: (8-19) X, у, 2, (), ПО- (8-20) Уравнению непрерывности можно придать следующий вид: 8*
116 Основные уравнения гидродинамики [гл. 8 1, Для капельной жидкости (-|=0) всегда л- ' ду ^ дх (8-21) Это равносильно тому, что при любом движении капельной (не- (неоднородной и однородной) жидкости, удовлетворяющем принци- принципу непрерывности, объемы жидкости, втекающей в рассматривае- рассматриваемый неподвижный объем и вытекающей из него, равны. Это уравнение выражает также и условие неразрывности потока. 2. Для установившегося движения газа(-^ = 0): дх (8-22) Из последнего выражения в связи с (8-17) следует, что в уста- установившемся движений газа изменение массы в рассматриваемом неподвижном объеме не происходит. Это значит, что в объем втекает и из объема вытекает оди- одинаковое количество массы жидкости. 8-3. Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости (уравнения Л. Эйлера) При выводе дифференциальных уравнений движения идеаль- идеальной жидкости пренебрегают силами трения. Вследствие этого основное свойство гидростатического давления—пезавксимость его от направления — может быть распространено и на гидро- гидродинамическое давление, т( е. может быть принято: Рх = РУ^ Рг> Рассмотрим сначала абсолютное движение, т. е, движение по отношению к земле, причем движение самой земли не будем учитывать. В потоке жидкости выделим частицу в форме прямоуголь- прямоугольного параллелепипеда (фиг. 8-4) с ребрами длиной Ъх, Ьу и 8г. В рассматриваемом случае на частичку действует массовая сила — только сила тяжести Ю — и, кроме того, шесть по- поверхностных сил — сил давления hPt на соответствующие грани. Рассматриваемая частица движется в общем случае — du du с ускорением с = -^-, где -тг—производная от вектора ско- скорости и — центра частицы по времени. Согласно закону дви- движения центра инерции геометрическая сумма действующих сил должна равняться произведению массы частички ЬМ на ускорение ее центра а = Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости Ц7 образом, уравнение движения может быть записано е1: б _ (8-23) Для получения уравнения Эйлера преобразуем уравнение (8-23). Для этого сперва спроектируем его на какую-либо ось, например на ось х. Получим: 8Р, —8Р2==Ш dt Проекции остальных сил давления на ось х равны нулю, так как силы перпендикуляр- перпендикулярны к оси проекции. Проекция силы веса на ось* юх = Фиг. 8-4, Частичная схема сил, дей ствующих на элементарный парал лелепипед в потоке. где X —проекция на ось х уско- ускорения только силы тяжести ?\ Для определения разности сил ЬР}~ ЪР2 обозначим гидро- гидродинамическое давление в центре параллелепипеда через р. Поскольку силы трения приняты равными нулю, В общем случае гидродинамическое давление р явл^тся функцией координат и времени, т. е. р=р(х, у, г, t). Давление р{ на площадке левой грани будет равно: и на площадке правой грани I dp 1 Для реальной жидкости уравнение должно было бы быть записано в виде: 6 6 _ (8-23') I -» ¦ - at' где Wj — силы трения» действующие по граням частицы.
118 Основные уравнения гидродинамики 1га 8 поэтому' Найдем проекцию ускорения ах. Для этого сперва вычислим: dt дх ду а затем du да ди dy dz (8-24) - dz поскольку ~^ — ux9 ^=а„ -г4 = ил. Подставляя необходимые значения в уравнение проекций сил, после сокращения получим: I_ dp dux и дх dt и аналогично для других осей ди ди Uv ТпГ Ь", 1 dp_ 1 ~ "Г ^ — ди (8-25) где Х> У и Z — проекции на оси *, у и г ускорения только силы тяжести g. Полученные три уравнения и являются дифференциальными уравнениями движения идеальной жидкости — уравнениями Эйлера. Эти уравнения были получены им в 1755 г. Они спра- справедливы как для капельной жидкости, так и для газа. Обратим внимание на то, что полученные выше дифферен- дифференциальные уравнения движения оказываются недостаточными для решения гидродинамических задач, поскольку число не- неизвестных (р, р, uv uy и uz) больше числа уравнений. Четвертым уравнением, замыкающим систе!лу уравнений для капельной жидкости (р = const), будет уравнение непрерывно- непрерывности (8-21). > Для исследования движения газовых потоков (р -^= const) необходимо пополнить систему пятым уравнением, каковым яв- является уравнение состояния Клапейрона — Менделеева (см. гл. 2), а уравнение непрерывности брать в форме (8-20). 1 См. сноску на стр. 33. Уравнения Л. Эйлера в естественной форме 119 Полученные выще уравнения Эйлера для абсолютного движе- движения можно представить в векторной форме, а именно: (8-26) где g—вектор ускорения силы тяжести; grad [p)~ градиент гидродинамического давления (см. сноску на стр. 38). Справедливость этой формы уравнения легко проверить, спроектировав его на оси координат, после пего получим уравне- уравнения Эйлера в координатной 'форме. Уравнения Эйлера могут быть также использованы и для от- относительного движения. Однако в этом случае Xt Y и Z уже будут являться алгебраической суммой ускорений: силы тяже- тяжести — g, силы инерции переносного движения—/ягр и силы инер- инерции Кориолиса — Вместо абсолютной скорости и в уравнение надо ввести от- относительную скорость w. Вместо (8-26) получим: 4 Л) „ 1. л dw grad (/7) = -^. (8-27) 8-4. Дифференциальные уравнения Л- Эйлера в естественной форме Уравнениями Эйлера в естественной форме называются диф- дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости, выра- выраженные в форме проекций на оси натурального триедра (на'ка- сательную и главную нормаль к линии тока) (фиг. 8-5).^>бозна- ная направление касательной через / и принимая во внимание, что проекция градиента давления на направление / равна: du\ - du _ ди . будем иметь: dt 1 dp 7 ' 7 Ot ди дГ д_/ и2 d\2 (8-28) Аналогично для проекций на главную нормаль п получим: 1 др р (8-29)
120 Основные уравнения гидродинамики [гл. 8 где проекция ускорения ^наглав- ную нормаль равна нормальному ускорению Фиг. 8-5. Положительное на- направление нормали взято от центра кривизны линии тока. а г — радиус кривизны линии тока; положительное направление норма- нормали выбрано в направлении от центра кривизны линии тока. 8-5. Уравнение Д. Бернулли для элементарной струйки идеальной капельной жидкости при неустановившемся и установившемся движении Уравнение Бериулли является интегралом уравнений Эйлера. Для получения уравнения Бернулли для элементарной струй- струйки капельной идеальной жидкости в обшем случае при неуста- неустановившемся движении воспользуемся уравнением (8-28). В этом уравнении ?7—проекция ускорения силы тяжести на Направление касательной к линии тока. Выберем оси координат, как показано на фиг. 8-5. При таком расположении осей Подставляя в (8-28), найдем: Для капельной жидкости это уравнение можно в виде: Jl [z + jj — ~ j -&t . или Р.±^\= L д— представить (8^30) (8-31) Это и есть уравнение Бернулли для неустановившегося дви- движения идеальной жидкости, но в дифференциальной форме. Для установившегося движения -j^ = 0. Поэтому для уста- установившегося движения уравнение Бернулли примет вид: (8-32) Уравнение Д Бернулли для элементарной струйки 121 , что для установившегося движения формула (8-28) умножения на dl может быть представлена в виде: (8-33) Уравнение (8-33) выражает теорему кинетической энергии для установившегося движения частицы идеальной жидкости. Левая часть определяет элементарную работу сил тяжести и сил давления, отнесенную к единице массы l, a di ~y j есть диф- дифференциал (элементарное приращение) кинетической энергии, отнесенный также к единице массы. Таким образом, в установившемся движении частицы идеаль- идеальной жидкости дифференциал (элементарное приращение) кине- кинетической энергии единицы массы равен сумме элементарных ра- работ сил тяжести и сил гидродинамического давления. Для идеальной жидкости важным является тот факт, что вся работа сил, действующих на частицу, затрачивается только и только на (изменение ее кинетической энергии. Уравнения Бернулли в конечной форме могут быть получены после интегрирования уравнений (8-31) и (8-32) вдоль линии тока. Сперва проинтегрируем первое из них от сечения / до се- сечения 2 (фиг, 8-5). Для этого сначала умножим левую и правую часть на dl> получим: д и 1 ди откуда после интегрирования 2? Обозначим через Ан и назовем ражение да dt dl. о инерционным напором вы- вы(8-34) 0 Перепишем предыдущую формулу в виде: 4 = г + Т (8-35) 1 Сказанное относительно сил давления может быть доказано подобно тому, как это ^ыло сделано в гидростатике [см. уравнение C-й)].
122 Основные уравнения гидродинамики [гл 8 • Для установившегося движения согласно уравнению (8-32) а поэтому (8-36) (8-37) В уравнениях (8-36) и (8-37) каждый из трехчленов имеет не только одно и то же значение, но и остается постоянным во вре- времени. Уравнение (S-35) для неустановившегося движения идеальной жидкости справедливо лишь для любых двух частиц, располо- расположенных на одной и той же линии тока. Уравнение (8-37) для установившегося движения идеальной жидкости справедливо не только для двух любых частиц, распо- расположенных на одной и той же линии тока> яо й для одной и той же частицы в двух ее положениях на траектории. Таким образом, хотя каждый из членов уравнения zt ~^ и вдоль линии тока идеальной жидкости и изменяется но их сумма в установившемся потоке для данной траектории^ или линии тока сохраняет одно и то же постоянное значение. Трехчлен z + — + -g— в отличие от двучлена z + ^—, встречавшегося в гидростатике, называется гидродинамиче- гидродинамическим напором и обозначается через Нгд: (8-38) Величины z и -^- в уравнении Бернулли имеют те же наиме- новация и тот же смысл, что и в гидростатике (см, § 4-4). и и Величина -^- называется скоростным напором. Из теоре- теоретической механики известно, что это выражение определяет высоту, на которую поднимается в пустоте материальная частица жидкости, начавшая двигаться с вертикальной скоро- скоростью и. Поэтому эта величина называется также скоростной высотой. и2 В то же время член -^ является мерой удельной кинетиче- ской энергии, т. е. кинетической энергии, отнесенной к еди- единице веса. § 8-5) Уравнение Д Бернулли для элементарной струйки 123 ч В самом деле, частица, имеющая массу М и скорость и> обладает кинетической энергией К = —^- * Бес этой час!ицы Удельная кинетическая энергия, т, е, энергия, отнесенная к единице веса, будет равна: Таким обратом, гидродинамический напор Нгд равен полной механической удельной энергии движущейся частицы жидкости. Из уравнений (8-36)— (в-37) следует, что в установившемся дви- движении идеальной жидкости все частицы, расположенные на од- одной и той же линии тока, обладают одинаковой полной удельной энергией. То же уравнение может быть сформулировано и так: в установившемся движении идеальной жидкости полная удель- удельная энергия частицы жидкости сохраняет постоянное значение К Если ось элементарной струйки, которую можно рассматри- рассматривать как линию тока, представляет пространственную кривую, а сечение элементарной струйки по ее длине изменяется, то от- отдельные составляющие полной удельной энергии соответственно изменяются. В этом случае установившегося движения происхо- происходит лишь преобразование одного вида энергии в другой, но без изменения ее суммы. Например, увеличение кинетической энергии вызывает такое же по величине уменьшение потенциальной энер- энергии и наоборот, В неустановившемся потоке согласно (8-35) частицы, распо- расположенные в различных сечениях элементарной струйки, обла- обладают неодинаковой энергией. Разность энергий двух частям рав- равна инерционному напору» При этом в зависимости от знака инерционного напора полная удельная энергия по длине элемен- элементарной струйки в направлении движения может или убывать, если инерционный напор положителен, или возрастать, если инер- инерционный напор отрицателен- Заметим, что численное значение инерционного напора зави- сит от изменения скоростей скоростного поля (от -^г), а также и от расстояния между рассматриваемыми сечениями. Знак инер- инерционного напора зависит только от закона изменения скорости. Инерционный напор оказывает влияние на изменение энергии потока по его длине и поэтому может рассматриваться как источ- 1 Ответим, что величина полной удельной энергии частиц, принадлежа- принадлежащих различным элементарным стройкам, в общем случае будет неодина- неодинакова.
124 Основные уравнения гидродинамики [гл. 8 ник- дополнительной энергии при ди сопротивление при ди и как своеобразное 0. Особенно велико влияние инерцион- , ди ного напора при больших значениях '^f, что, например, имеет место при гидравлическом ударе. 8-6. Уравнение Д. Бернулли для элементарной струйки реальной капельной жидкости В отличие от идеальной жидкости, в которой работа сил, дей- действующих на жидкость, полностью идет на изменение ее кинети- кинетической энергии, благодаря чему в потоке происходит только пре- преобразование кинетической энергии в потенциальную или наобо- наоборот, в реальной жидкости часть работы сил, действующих на жидкость, затрачивается на преобразование механической энер- энергии в тепловую. Если преобразование одной формы механической энергии в другую форму механической энергии является процессом обрати- обратимым, то преобразование механической энергии в тепловую, про- происходящее вследствие действия сил трения, является уже про- процессом необратимым. «Исчезающее здесь механическое движение исчезает как та- таковое. Оно на первых порах не восстановимо снова само собою. Процесс непосредственно не обратим. Механическое движение превратилось в качественно отличные формы движения, в тепло- теплоту, в электричество— в формы молекулярного движения» 1, Это явление, называемое диссипацией энергии, в гидравлике рассматривается как гидравлическое сопротивление, а величина дяссипируемои энергш называется потерями энергии. Потери удельной энергии происходят только в деформирующейся жидко- жидкости и вследствие ее вязкости2, Явление диссипации в потоке жидкости чрезвычайно сложно. Оно обусловливается возникаю- возникающими в потоке силами трения. Для аналитического определения потерь энергии необходимо знать распределение истинных скоростей в потоке, что, однако, известно только для простейших случаев движения. Поэтому в большинстве случаев потери удельной энергии приходится опре- определять на основании экспериментальных данных. Современный гидравлический эксперимент для этой цели широко использует метод моделирования, научной базой которого является теория 1 Фридрих Энгельс» Диалектика природы, 1353. * Если бы движение жидкости сводилось только к поступательному пе- перемещению и вращению, т, е. к движению, подобному движению твердого тела, то никаких потерь энергии не было бы (см. Н. Е. К о ч и н, И- А. К и- бель и Н. В. Розе, Теоретическая гидромеханика, 1948, ч. II, стр. 299). § 8-6] Уравнение Д. Бернулли для элементарной струйки 125 подобия. Аналитический прием для определения гидравлических сопротивлений будет использован при изучении ламинарного дви- движения. Заметим, что величина потерь удельной энергии зависит от режима и скорости движения жидкости, от формы трубопрово- трубопроводов, шероховатости стенок, от различных устройств, монтируемых на трубопроводах. Потери удельной энергии между двумя сече- сечениями элементарной струйки обозначим через hn я В связи с этим уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости при установившемся движении может быть представ- представлено в виде: C-39) или д dl где У —падение удельной энергии на единице длины элемен- элементарной струйки, называемое гидравлическим уклоном. Для неустановившегося движения и\ C-40) Таким образом, в потоке реальной жидкости удельная энергия частиц, расположенных на одной и той же линии тока и слагающаяся из удельной потенциальной энергии по- положения z, удельной потенциальной энергии давления — и 7 % удельной кинетической энергии и изменяется при переходе от одного сечения к другому. Вследствие гидравлических сопротивлений энергия Н,д только уменьшается в направлении движения, а вследствие неустано- неустановившегося характера движения, благодаря которому сшдается инерционный напор, энергия или еще больше уменьшается при ди ускоряющемся движении (~дГ^> 0), или благодаря инерционному напору потери в той или другой степени компенсируется при за- ди тухающем движении {
126 Основные уравнения гидродинамики [гл 3-7. Диаграмма уравнения Д. Бернулли для элементарной струйки капельной жидкости Благодаря тому, что все члены уравнения Бернулли имеют размерность длины, зависимость между отдельными членами уравнения чрезвычайно наглядно изображается графически (фиг. 8-6), Построение этой диаграммы осуществляется следующим образом. Линия мичесхога напора ^•^ пьезометричес- пьезометрическая линия Фиг. 8-G. Диаграмма уравнения Бернуллн для частиц жидкости в установившемся потоке* Т^нктнрная кривая соответствует пьезометрической линии в идеальной жидкости с одной и той же начальной скоростью, Выбираем произвольным образом систему координат с гори- горизонтальной плоскостью сравнения хоу. Взяв на какой-либо линии тока несколько 1х>чек, определим давления и скорости в них. По вертикали вверх от соответствующих точек откладываем сна- Р чала значение удельной энергии давления ~~^> а потом удельной кинетической энергии %g. Соединив концы отрезков, изображающих соответствующие удельные энергии линией, мы получим три линии: ]) линию удельной энергии положения (она же линия тока), причем удельная энергия положения будет измеряться высотой положения данной точки над произвольно расположенной гори- горизонтальной плоскостью сравнения; §8-8] Скоростная трубка 127 2) линию удельной потенциальной энергии, или пьезометри- пьезометрическую линию, причем удельная потенциальная энергия давле- давления будет измеряться отрезком, заключенным между пьезомет- пьезометрической линией и линией удельной энергии положения; 3) линию полной удельной анергии '{линия гидродинамическо- гидродинамического напора), причем удельная кинетическая энергия будет изме- измеряться отрезком, заключенным между линией полной удельной энергии и линией потенциаль- 7 в 5 ной удельной энергии. Так как полная удельная энергия ча- стяцы реальной жидкости в направлении движения умень- уменьшается, то и линия, ее изобра- изображающая, будет спадающей в направлении движения. Следует обратить внимание на то, что уменьшение полной удельной энергии не вызывает обязательного уменьшения ки- кинетической энергии, которая является лишь частью полной энергии. Например, при равно- равномерном движении скорость ча- частицы постоянна, поэтому по- постоянен и скоростной напор, Очевидно, что в этом случае уменьшение полной удельной энергии может происходить только за счет изменения пол- полной потенциальной энергии. Для идеальной жидкости линия полной удельной энер- гии расположится в горизонтальной плоскости, называемой в идеальной жидкости плоскостью гидродинамического напора. При одинаковых удельных энергиях для реальной и идеаль- идеальной жидкости в точке с координатой 2\ линия полной потенци- потенциальной энергии для идеальной жидкости изобразится, как пока- показано на фиг. 8-G, пунктиром. Опытном путем диао^рамма уравнения Бернулли может быть построена при помощи прибора, показанного иа фиг. 8-7 и назы- называемого окор&стпой трубкой. Фиг. 8^7. Трубка ЦАГИ 8-8. Скоростная трубка Скоростная трубка предназначается главным образом для из- измерения скоростного напора. Она представляет собой усовершен-
128 Основные уравнения гидродинамики . 8 ствованную ЦАГИ1 так называемую трубку ПитскПрандтля2. Скоростная трубка (фиг. 8-7) состоит из корпуса, внутри ко- которого расположена центральная трубка /, открытый конец кото- которой устанавливается против потока таким образом, чтобы ско- скорость потока была направлена по оси отверсшя (см. трубку, показанную па фиг. 8-7). В этом случае при обтекании жидкостью трубки в точке / происходит уменьшение скорости от и0 до нуля и согласно (8-37) увеличение давления на величину 2 2 =«Г. "Л" ЬР— Благодаря этому в пьезометре 5, присоединенном к этой трубке, жидкость поднимется на высоту " 2 о А) Избыточное давление не возмущенного потока ро соответствует давлению возле щели 2У сделанной в корпусе трубки. Это давле- давление через внутреннюю полость корпуса воспринимается пьезомет- ром о. В нем жидкость поднимается .на высоту fto^f-A2=~^" (где ро— избыточное давление). Разность высот определяет значение удельной кинетической энергии В этом случае скорость может быть вычислена по формуле и о Для того чтобы учесть влияние вязкости жидкости и наруше- нарушений в потоке, вызываемых установкой трубки, необходимо полу- полученную формулу для скорости представить в виде: где коэффициент <р определяется опытным путем. Для трубки ЦАГИ <р=:1н-1,04. Трубки 3 и 4 служат для установки прибора по направлению скорости, К ним присоединяются два пьезометра^ 7 и 8. При правильной установке трубки пьезометров 7 т 8 должны давать одинаковые показание 1 ЦАГИ — Центральный Аэрогидродинамический институт имени проф. Н. Е. Жуковского. 2 Прибор был изобретен французским инженером Пито в 1753 г* и усо- усовершенствован немецким >ченым Прандтлем. § 8-9] Уравнение Д. Бернулли для потенциильного движения 129 8-9. Уравнение Д. Бернулли для потенциального движения капельной жидкости Вывод уравнения Д. Бернулли для П0|енциалъного движения идеаль- идеальной капельной жидкости дадим, исходя из уравнений Эйлера (8-25), Если под z подразумевать вертикальную координату, то g^ g^ и gr, как проекции ускорения силы тяжести на произвольно расположенные оси координат \ f\ и S, могут быть вычислены по формулам: Определим прк помощи формул G-15), заменив в этих формулах коор- координаты хх у и z иа %у 71 и ?, значения: подставляя найденные значения в уравнения (8-25), получим для капельной жидкости: + f + 4 - Q?d - л Для потенциального потока dt ди, (8-43) а в установившемся движении поэтому откуда следует, что сумма дит ди di д / . р Р (8-44 ) (8-45) не зависит от координат пространства, т\ е. имеет одт«о и то же значение во всем потоке, а не только на одной линии тока. 9 Н, 3. Френкель,
130 Основные уравнения гидродинамики [гл 8 8-10. Уравнение Д. Бернулли для идеальной и реальной капельной жидкости в относительном установившемся движении Уравнение Бернулли для относительного движения будет вы- выведено аля установившегося движения идеальной жидкости в канале рабочего колеса гидравлической машины, показанном на фиг. 8-8 & 3-Я вращающегося с постоянной угловой скоростью ?Л/сек. вокруг оси, проходящей через центр О. При исследовании относительного движения будем обозна- обозначать скорость абсолютного движения через су скорость относи- Фиг. 8-8. Кинематика потока в лопа- фиг, 8-9* Кинематика потока в лопа- лопастном колесе касоса и.лй турбины. стном колесе турбины. телыюго движения через &*, скорость переносного движения через и, Жидкссть, заполняющая каналы рабочего колеса, вращается вместе с колесом и> кроме того, перемещается в каналах рабо- рабочего колоса, т. е. совершает относительное движение по отноше- отношению к рабочему колесу. Таким образом, абсолютная скорость с некоторой частицы определяется диагональю параллелограмма, построенного па скорости относительного движения w и скорости переносного движения и: где г — расстояние частицы от оси вращения; w — число оборотов рабочего колеса в минуту. Для получения уравнения безразлично направление относи- относительного движения также, как и направление вращения. Случай относительного движения в направлении к внешней окружности колеса имеет место всегда в центробежном насосе. В турбинах возможно движение и в направлении к внутренней окружности § 8-10] сравнение Д. Бернулли в относительном движении 131 колеса. Полученные результаты будут справедливы и для любо- любого другого относительного движения, если только переносное дви- движение будет вращательным, Воспользуемся уравнением C-27), Спроектируем его на на- направление касательной к траектории относительного движения. Проекция силы инерции Кориолиса на касательную равна нулю, так как она перпендикулярна к этой траектории. Ускорение силы инерции переносного движения равно центро- центробежному ускорению силы инерции, / Подставляя, получим: хер (8-47) но cos & = — dz dl где z вертикальная координата; <Ш_ dw | д dt ~ для установившегося движения dw dt dw д ~di~ = 0; dt { 2 Подставляя полученные значения в формулу (8-47^будем иметь: dz . д (№ г2 \ \ дп д ¦e 01 l \ L ) f dl или откуда ol и (8-49) Для двух частиц, расположенных на одной линии тока, или для одной частицы в ее двух положениях на ее траекто- траектории это уравнение может быть представлено в виде: w\ 7 Л_ Pi _]_ * z> + T + l? w 2 2g Vg (8-50)
132 Основные уравнения гидродинамики [гл. 8 Из последнего выражения следует, что полная удельная энергия частицы идеальной жидкости в относительном дви- движении Нот> равная C-51) Я = 1Аот 2g ' изменяется па величину ч за счет работы центробежных сил инерции переносного дви- движения. Б центробежном насосе всегда и2^>ии поэтому удельная энергия в относительном движении всегда увеличивается за счет работы центробежных сил инерции переносного движе- движения, В турбине возможно как увеличение Нст (работа турбины по схеме фиг.8-8), так и уменьшение (работа по схеме фиг. 8-9). Если ц2 = уь что имеет место в осевых насосах и турбинах, удельная энергия в относительном движении идеальной жидко- жидкости не изменяется. В реальной жидкости одновременно с изменением Н за счет работы центробежных сил инерции переносного движе- движения эта энергия уменьшается, затрачиваясь на преодоление гидравлических сопротивлений, на АЛ. Поэтому уравнение Бернулли для частицы реальной жидкости в ее относительном движения будет иметь вид; и' <? (8-52) Следует отметить, что приращение (положительное или отрицательное) энергии движущейся частицы в ее относитель- относительном движении и: «? Ч представляет собой только часть приращеняя энергии частицы в ее абсолютном движении. В насосе удельная энергия в абсолютном движении увели- увеличивается на Ннас за счет работы, совершаемой рабочим коле- колесом. В турбине удельная энергия в абсолютном движении уменьшается на Нтур благодаря превращению ее в механиче- механическую энергию на валу турбины и гидравлическим сопротивле- §8-10] Уравнение Д, Бернулли в относительном движении 133 ниям в канале, Для вычисления Нкас и Нтур надо восполь- воспользоваться формулами; нас ( (8-53) тур \ I I" T (8-54) В этом уравнении z и с —уже абсолютные координаты и абсолютные скорости частиц, т. е, частиц жидкости, расположен- расположенных на траектории, соответствующей абсолютному движению, или на линии тока, соответствующей тому же движению. В формуле (8-53) правая часть определяет удельную энер- энергию, которую жидкость приобретает при протекании через насос, В формуле (8-54) правая часть определяет энергию, которую жидкость теряет при протекании через турбину. Подставляя в уравнения (8-53) и (8-54) значения ръ—р\ из уравнения (8-52): Z\ — 9 Ч ? w. вместо w^ и ~w\ их (фиг. 8-8 и 8-9) значения из треугольника скоростей «;- w]=c\ 2> cos» и пренебрегая разностью z, получим: "пас ~г "к"~? cos «о — H тур h = — (c<u< cos S (8-55) (8-56) Для насоса правая часть уравнения (8-55) определяет удель- удельную энергию, которую рабочее колесо передает протекающей жидкости. Для турбины правая часть уравнения (8-56) опреде- определяет удельную энергию, которую жидкость отдает только рабо- рабочему колесу тур б и пн*
134 Дополнительные вопросы гидродинамики реальной жидкости [гл. 9 Глава девятая НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРОДИНАМИКИ РЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ 9-1. Обобщенный закон трения Обобщенный закон трения определяет силы трения, возникающие в по* токе в общем случае движения. Так же как и для случая движения рас^ смотренного ℧ 2-4, в общем случае напряжения сил трения оказываются о Фиг. 9-2. Схема напряжений трения, возникающих на гра- гранях прямоугольника. Фиг. 9-L Схема распределения скоростей в криволинейном потоке. пропорциональными у вымскоростям скапливания, причем коэффициентом про- лорциональности является коэффициент вязкости. Ина- Иначе определяется лишь угло- угловая скорость скашивания, Рассмотрим частицу жидкости в виде прямоугольного параллелепипеда с ребрами, равными $х, ду и flz. Определим скашивание угла DAB (фиг. 9-1), да происходящее вследствие разности скоростей точки В на-з— *** и точки D аи X v на —— qz относительно точки А* dz Благодаря этому происходит (фиг. 92) поворот ребра AD с угловой дих скоростью скашивания -^- и ребра АВ с угловой скоростью скашива- ~дх~А Общая угловая скорость скашивания прямого угла в плоскости xoz рапна: ди i а напряжение силы трения, возникшей на гранях DC и ВС, . ди, =? *> -^ иО дх (9-2) Вобозначснии напряжения сил трения первый индекс указывает пло- площадку действии силыт а второй — направление се проекции, Например, rxz § 9-2] CeouiTao гидродинамического давления в реальной жидкости 135 обозначает напряжение силы грения, действующей на площадке, перпенди- перпендикулярной к оси х, в направлении, параллельном оси г, a xzx—напряжение силы тренияг действующей на площадке, перпендикулярной к осп z, но в направлении, параллельном оси х. Аналогичные выражения получим и для ху Ух х' yz — хху — V&yz = *« (9-4) Из приведенных рассуждений следует равенство напряжений сил тре- трения, возникающих на взаимно перпендикулярных площадках во взаимно- перпендикулярных направле- направлениях. Докажем это основное свойство напряжений сил тре- трения из других соображений, Для этого уравновесим си- силы, показанные на фиг. 9-3 т присоединив к ним на основа- основании принципа Даламбера силу инерции. На фигуре вместо сил показаны напряжения, а сила тяжести и сила инерции вооб- вообще не изображены. Составим уравнение моментов, например, относительно оси у. При составлении уравне- уравнения моментов необходимо учесть соответственно только силы трения, входящие взави- у симости (9-2) и (94). Моменты других си'I трения, а также сил Фиг. 9-3, Схема поверхностных сил, дей деления, веса и инерции отно- ствующих на элементарный параллелепипед сителыю соответствующих в реальном потоке, осей равны нулю али вслед- вследствие того, что силы параллельны оси, или вследствие того, что с™ма их моментов в пределе при стремлении параллелепипеда к точке обращается в нуль. Вследствие этого получим; {% zx ду) dz — дх — О, откуда следует- ZX При составлении уравнения моментов относительно осей х и z соответ- соответственно получим: lyz -2> Свойство гидродинамического давления в реальной жидкости Благодаря силам трения» возникающим в движущейся реальной жидко- жидкости, гидродинамическое давление в точке оказывается зависящим от направления, в отличие от давлений гидростатического или гидродинами- гидродинамического в идеальной жидкости.
136 Дополнительные вопросы гидродинамики реальной жидкости {гл. 9 Таким образом, Однако, как будет доказано няже, в данной точке потока сумма трех значений гидродинамического давления, измеренных в грех взаимно пер- перпендикулярных направлениях, есть величина, от этих направлений не зави- зависящая. Докажем» что рх -\*ру ^rPz ^dem. Для этого в потоке жидкости выделим две трехгранные призмы 1 и 2 фш\ 9 4), причем такие, чтобы грань аЬ одной призмы ягляласъ гранью и другой. Ребра призмы параллельны соот- соответствующим осям координат х, z и ?, С< Для обеих призм напряжения сил тре- тремя, действующих на взаимно перпендику- перпендикулярных Площадках, равны: xz =5= "С Тс- = Фнг* 9-4. Схема поверхностных сил, действующих на элемен- элементарную призму в реальном по- потоке. Рассматриваемые призмы находятся в движении под действием сил давления, трения и веса. Добавляя силы инерции, можно всю эту систему сил считать нахо- находящейся в равновесии, вследствие чего сумма проекций псех этих сил на соответ- соответствующие оси должна равняться нулю. Также как и при доказательстве спой- ства гидростатического давления, массо- массовые силы в пределе при стремлении приз- призмы к точке обратятся в нуль, вследствие чего, Tie вводя их в рассмотрение, будем считать находящимися в равновесии силы давления и трения» Спроектируем дей- действующие на прЕ^зму / силы на направление оси С и приравняем нулю сумму проекций всех сил; тогда поучим: — рх ас sin а — paab cos я — ^хаЬ$та—"*хг ас cos a =* 0. Сумма проекций сил трения на торцах в пределе равна нулю. Разделив на be, получим: ^ рх sin2a -f- Pz cos2а -f- 2 ^ sin a cos «. Спроектируем силы> действуюшие на призму 2Л на направление ? и приравняем сумму проекций всех сил нулю. Получим; — Pi be -f- px ас cos a + pz ah sin а — zzx ab cos a — txz ас sin a = 0» Разделив на be, будем иметь; Pi — Рх COS2 a -f" Pz Sin5 Складывая р^ и p^f найдем; 2txz sill a COS a. Так как в обоих случаях третьи оси координат у и г\ совпадают, то § 9 3J Гидродинамическое давление в данном направлении 137 На основании последнего и в связи с предыдущим имеем: Pz -f- Pr -4- Р* =* Py 4~ Pu -4- Pz' (9 5} Из равенства (9-5) следует, что сумма трех значений гидродинамиче- гидродинамического давления в точке, взятых по трем произвольным, ко обязательно по взаимно перпендикулярным направлени imt есть величина, не завися- щая от положения системы координат. Значит, для данной точки будет не зависимым от системы координат, а значит, и or направления и среднее арифметическое от их значений: называемое гидродинамическим давлением в данной точке. Само собой разумеется, что при определении силыт действующей в не котором направлении, необходимо исходить из величины давления, соот- соответствующею интересующему нас направлению, 9-3, Гидродинамическое давление в данном направлении Для вычисления гидродинамического давления в данном направлении в потоке выделим трехгранную призму (фш\ 95) с ребрами аЬ и ас, парал- параллельными осям х и z, и ребром cbt параллельным оси ? второй системы координат, повернутой относительно первой на угол а вокруг оси у. A О х Фиг, 9 5. Схема поверхностных сил» действующих на элементарную призму в реальном потоке, Рассматриваемая призма находится в движении под действием сил веса, давления и трения. Воспользуемся принципом Даламбера. Массовые силы в пределе при стремлении призмы к точке обращаются в нуль, поэтому в рассмотрение их не вводим. Составив уравнения рлвнозесия сил, получим: рх uccosa. — pz ab sin a — ixz ас sin a — zzx ah cos a —t^cb = 0. Разделив на cbt будем имегьг xi(. — 4XZ (COS2 a — sin2 a) -L (px — pz) sin a COS a. С другой стороны, согласно (9-2): да, (9-7)
138 Дополнительные вопросы гидродинамики реальной жидкости [гл. 9 Преобразуем это уравнение, имея в виду, что = х cos з + -г sin a; ? = — л: sin а + 2 cos откуда д. а + иг sin =? ?' = — «^ Sin а -j- «^ COS Кроме того, ди* дх dut dz но так как в свою очередь X ~ с, COS о» — С Sin a: z = ? Sin а -j- С COS то = — S1H а И COS Я, поэтому — = —- * COS Ot — • Sin at Продифференцировав и^ по гид;, найдем: duz ди„ ди 1 = —- ^cosoc + дг dz дих = —г » ад: Подставляя Эти значения в du ди J ди дг duz ох получим: *ди„ cos2а— ~-ш*а4- \^г — sin л cos Поступая аналогично, будем иметь: ди, Л дих дх дг ее -+ —* — Х] * sin \дг дх / Подставим найденные значения в (9-7): диЛ л /бй^ диЛ s _ _z)cos2«— -^ + _? sin2* дх / \dz * дх) dz cos а но согласно @-2) поэтому — sin2 sin a cosa.f ^— §9-3] Гидродина чическое давление в данном направлении 139 Сопоставляя здесь: найдем, что с рацее найденным значением, которое вновь выпишем cosa Pa—Pe"=2jx Отсюла следует, что и вообще или Вводя вместо =:/?, получим: и окончательно ди Рх^Р — + Соответственно предыдущему будем иметь также ди.ж ди. _ _ dz f 3 г\ д'х ду диу _^д^г дг Для несжимаемых жидкостей справедливо уравнение неразрывности дих диу duz дх ~ду dz 0. Вследствие этого величины гидродинамического давления для соответ- соответствующих направлений буд\т определяться уравнениями; (9 9)
140 Дополнительные вопросы гидродинамики реальной жидкости [ гл. 9 9-4. Дифференциальные уравнения движения реальной жидкости (уравнения Навъе-Стокса) Для вывода дифференциальных уравнений движения реальной жидко- жидкости выделим в потоке элементарный параллелепипед, ребра которого $х, и dz параллельны соответствующим произвольно расположенным осям координат (фиг» 9-G) и масса ко- которого дМ> Рассматриваемый параллеле- параллелепипед находится в движении под действием сил давления дР^, тре- трения oTt и веса oG = ?-&W. Геометрическая сумма дей- действующих сил должна равняться произведению массы параллеле- гшпеда (Ш = р Зх ду ffz иа вектор ускорения движения его центра dt Фиг» 9-6. Схема поверхностных сил, дей- действующих на элементарный параллеле- параллелепипед в реальном потоке. du (9-10) Преобразование этого уравнения приводит к дифференциальным урав- уравнениям движения реальной жидкости (капельной и газа) — уравнениям Навье-Стокса. Для получения этих уравнений спроектируем векторное уравнение (9-10), например, на ось х. Обозначим давление в центре лараллелепипеда и в направлении оси jc через рх> Получим: (^. (9-11) f X дРх Проекция силы дР* = \ рг — — - - - \ 2 Ох бу (см. фиг. 9-3); \ь фиг. 9 3); § 9-4] Дифференциальные уравнения движения реальной жидкости 141 В последних уравнениях X обозначает проекцию на ось х ускорения — ^и только силы тяжести g, а —- проекцию на ось вектора ускорения дви- dt жения _~ . dt Проекции остальных сил на ось х раины аулю, так как силы перпен- перпендикулярны к оси проекции. Подставляя найденные значения сил в уравнение (9-П) и сокращая на :, т< е. относя уравнение движения к единице массы, получаем: dz dt Аналогичные уравнения могут быть пол> цены и в проекциях на оси У И ZI У \дру.\(' дхху дх \ duy р а у р \ дх ЗА dz xz дх du dy j dt 014) В дальнейшем приведем подробные преобразования лишь для уравне- уравнения (9-12). Подставляя б это уравнение согласно уравнению (9-8) дих 1 дх 2^ 3 ди,, ди7 т dy^dx дх дх2 F 3 V Ох2 дхду 'ди 'ху ' дх dz д-с ху и ду ду* 'ди* дхду У дг dz иметь: Р дх2 2 1Г дх dz Г д дх + dur ~ЗГ' или дг* -t X дх dy dz du X (9-15)
142 Дополнительные вопросы гидродиножики реальной жидкости [гл. 9 и по аналогии для других осей: U 0zz ) ^ 3 н ди. ~дУ д2и2 ~df диЛ da „ д / ди duv Для капельной жидкости дифференциальные > равнения движения упрощаются, так как нз уравнения неразрывности для капельной жидкости следует, что fiu. (lu /In дх ^ ду ох Вследствие этого равенства дифференциальные уравнения движения примут пид: 2 и„ \ du -/-) = у— Л Р Р дх ' р \ дх2 ' ду OZ* ^^ ' (9-18) ^ иу \ _ ^"^ «г , b4h di du. р (9-20) Уравнения (9 15) — (9-17) и (9-18) —(920) называются уравнениями Иавье« Стокса. При &t = 0 эти урявнекия обращаются в уравнения Эйлера. Исследуем уравнения (9-Ц<) — (9 20) ляя потенциальною движения. Вое пользовавшись зависимостями G 17), будем иметь: ^_д_ (toy оу \ ду 1 ду \дх/ дх \ ду аналогично поллчи.м и для а* и Ох \ дг Подстакляя эти значения в \равнеиие (9 18)т найдем: дх _д__ дх Но согласно > равнению неразрывности ди дх _L У § 10-1] сечение потока 143 Поэтому уравнения Навье-Стокса для потенциального движения будут иметь следующий вид: 1 dp =dux. р дх dt 1 (9-21) 2 — 1 ? т. с. но виду эти уравнения не отличаются от сравнений Эйлера. Однако следует иметь в виду, что в этих уравнениях в отличие от уравнений Эйлера 3 И. Е. Жуковский указывал, что „При существовании потенциала ско- скоростей вязкость не оказывает влияния на движение внутри жидкое!и, а тлкже не влияет на распределение давлений внутри ее. Влияние вязкости при су- существовании потенциала скоростей может проявляться при стенках сосуда, на которых должны быть соблюдены граничные условия" 1. Глава десятая ДИНАМИКА ПОТОКА В настоящей главе рассмотрены различные закономерности, относящиеся к потоку жидкости. Основная задача этой главы — распространить па поток в целом зависимости, полученные для элементарной струйки. ИМ. Живое сечение потока * Весьма важной характеристикой формы потока являк*ся его живые сечения. Живым сечением потока называется поверхность, являющаяся геометрическим местом частиц жидкости, скорости которых прр- пендикулярны к соответствующим элементам поверхности. Так как векторы скоростей частиц направлены по касательной к ли- линиям тока, то живое сечение потока можно определить как по- яерхиость, ортогональную к линиям тока (фиг. 10-1). В турбулентных потоках в общем случае под живыми сече- сечениями потока подразумеваются сечения, ортогональные к мест- местным осредненным скоростям. Площадь живого сечения & складывается из площадей живых сечегшй элементарных струек ш = ЕЙ ¦». Живое сечение ограни- ограничено лежем потока (естественным или искусственным). Это огра- 1 Н, Е. Жуковский, Полное собрание сочинений, „Теоретические основы воздухоплавания, ч. 1, стр. 350, ОНТИ НКТП СССРк 1938.
144 Динамика потока [гл. 10 ничеиие может быть полным (фиг. 10-2) или частичным (фиг. 10-3 и 10-4). Периметр сечения ложа, совпадающий с пе- периметром живого сечения потока, называется смоченным пери- периФиг. 10-Ь Живое сечение потока ортогонально к линиям тока. Фиг. 10-2, Живое сечение потока в цилиндрической трубе пря напор- напорном движении. Смоченный периметр X Фиг. 10-3* Живое сечение потока в безнапорном движении. Фиг. 10-4. Живое сечение в прямоугольном канале» метром ложа и обозначается буквой у. По фиг. 10-3 и 10-4 смоченный периметр ложа меньше периметра площади живого сечения потока. Такой поток называется безнапорным. Отношение площади живого сечения потока к смоченному периметру ложа называется гидравлическим радиусом R: A0-1) Как увидим в дальнейшем, гидравлический радиус явится весьма важной характеристикой и формы потока и формы ложа. Гидравлический радиус круглого трубопровода с радиусом г, пол- полностью заполненною движущейся жидкостью, равен: Для потока со свободной поверхностью глубиной h в прямо- прямоугольном канале Шириной Ь 10-У] Расход потока 145 10-2. Расход .потока Расходом потока называется количество жидкости, протекаю- протекающее через некоторое поперечное сечение потока в единицу вре- времени. Это сечение должно быть сделано так, чгобы оно обяза- обязательно пересекало каждую элементарную струйку и только один раз. Обычно за поверхность сечения принимают живое сечение потока. Расход потока выражается или в весовых единицах, напри- например в кГ/сек, или в массовых единицах, например в кГ*сек/м, или в объемных, например в M^fceK. В первом случае расход будет называться весовым, во втором — массовым и в третьем — объемным. Весовой расход будем обозначать буквой G, массо- массовый— М и объемный—- Q. Между весовым, массовым и объемным расходом существует зависимость, определяемая формулой A0-2) где g—ускорение силы тяжести; р —плотность; —объемный вес. В дальнейшем будем говорить чаще всего лишь об объ- объемном расходе Q. Расход потока Q складывается из расходов элементарных струек и определяется по формуле A0-3) где dw — живое сечение элементарной струйки. Для аналитического вычисления расхода необходимо знать закон распределения скоростей по сечению потока. * Формула A0-3) может служить также и для экспериме^ггаль- ного определения расхода. В этом случае разбивают площадь живого сечения на достаточное число элементарных площадок ^ и опытным путем определяют скорость и в центре каждой площадки. Интегрирование заменяют суммированием произве- произведений и% Для определения расходов существуют специальные приборы. Некоторые типы приборов будут описаны в гл. 16. 10-3. Средняя скорость потока Исследование скоростей по живому сечению потока показы- показывает их неравномерное распределение. Например, в ламинарном движении скорости по сечению рас- распределяются по параболическому закону. В турбулентном движе- 10 Н. 3 Френкель.
146 Динамика потока 10 нии распределение местных осреднешшх скоростей подчиняется ительно показательному или логарифмическому закону, с тем для многих гидравлических закономерностей оказы- оказывается целесообразным ввести в рассмотрение некоторую фиктив- фиктивную так называемую среднюю скорость потока. Средней по живому сечению скоростью потока называется скорость, вычисляемая по формуле A0-4) ia>? Так ка"к интеграл \ wrfw = Q, т. е. равен расходу жидкости через данное живое сечение, то средняя скорость может быть вычислена через расход по формуле Q A0-5) Среднюю скорость можно также рассматривать как сред- среднее значение объемного расхода, отнесенного к единице пло- площади живого сечения. 10-4. Уравнение неразрывности потока Распространим уравнение неразрывности для элементарной струйки на струйный поток. Воспользуемся формулой (8-11) Напомним, что это уравнение справедливо для установив- установившегося движения любой жидкости, как капельной, так и сжи- сжимаемой (газа). Взяв интеграл от левой и правой частей и распространив его по всей площади живого сечения, получим: J pi u{dia{ = ] p^u Как известно, левый и правый интегралы определяют мас- массовый расход жидкости черет живые сечения u>j и о>2. Поэтому предыдущее выражение может быть переписано в виде: или М= idem A0-6) т. е. массовый расход по длине установившегося потока имеет одно и то же значение. § Ю-5] Мощность потока N в живом сечении потока 147 Для капельной жидкости p = const, поэтому j «1^! = j Uzd0>2, или, что то же самое, ИЛИ Qi = Qa, A0-7) т. е. объемный расход капельной жидкости по длине уста- установившегося потока имеет одно и то же значение. Имея ввиду, что согласно формуле A0-5) Фиг. 10-5. Схема потока с переменным жиыым с из уравнения A0-7) полу- получим, что (фиг. 10-5) °1с*1 = ?>20J = с'з@1» (I0-8) откуда, например, т. e. средние скорости обратно пропорциональны площадям живых сечений потока, Заметим, что формула A0-8) справедлива и для неустано- неустановившегося движения капельной жидкости, происходящего в полностью заполненном жестком трубопроводе, так как в этом случае п формуле (8-16) 8ш не зависит от времени, -5. Мощность потока N в данном живом сечении потока* В связи с необходимостью в дальнейшем распространить уравнение Бернулли (8-40), полученное для элементарной струй- ки, на поток полезно ввести понятия мощности потока в данном сечении и инерционной мощности потока длиной /. Инерционная .мощность будет разобрана в следующем параграфе. Мощностью потока в данном живом сечении назовем энергию, которой обладает протекающая через живое сечение масса жидкости, равная секундному расходу. Мощность потока N [кГ-м/сек] слагается (фиг. 10-6) из мощ- мощностей элементарных струек: где A0-9) —Удельная энергия частицы, м\ dG=4 udw -- весовой расход элементарной струйки,
148 Таким образом, •Y A0-10) Для вычисления мощности потока надо было бы знать закон распределения давления и скоростей -по живому сечению потока, что, однако, в общем случае неизвестно. Значение этого интегра- интеграла можно найти и графоана- графоаналитическим способом, а именно: разбивают живое се- сечение на элементарные пло- площадки и для каждой из них находят z, p и ut а затем и dN. Мощность потока опре- определяют как сумму элемен- элементарных мощностей ? dN. Для вычисления мощно- мощности потока необходимо найти значение интеграла Плоскость сравнения K = Фиг. 10-G. Схема струйного потока. Этот интеграл представляет собой значение кинетической энергии, которой обладает протекающая через данное живое се- сечение масса жидкости, равная секундному расходу. Для его вычисления необходимо знать закон -распределения скоростей по живому сечению потока. Вычисления этого интеграла показы- показывают, что f И Введем коэффициент кинетической энергии — а A0-11) Значение коэффициента а в большинстве случаев можно определить только опытным путем. Теоретически вычислить его возможно лишь для ограниченного вида движений (на- (например, для некоторых случаев ламинарного движения, для турбулентного движения в круглых трубопроводах). В турбулентном движении при больших значениях чисел Re в прямых трубопроводах среднее значение коэффициента а приблизительно равно я=1,1* В некоторых случаях ламинар- ламинарного движения с=2 S Мощность потока N в живом сечении потока 149 В других случаях с более неравномерным распределением скоростей коэффициент а может принимать и большие зна- значения. Так, например, по опытам И. Г. Есьмана в сечениях на участке be run внезапного расширения (фиг. 15-6) значение коэффициента а может доходить до 5 и больше. Если бы скорость со всех точках живого сечения была одинакова, то а равнялось бы единице. Следовательно, зна- значение коэффициента а, который, как следует из формулы, безразмерен, зависит от неравенства скоростей отдельных частиц данного сечения, или, как говорят, от степени нерав- неравномерности распределения скорое!ей по живому сечению. Коэффициент о. является поправкой к значению кинетической энергии секундной массы, вычисленной по средней скорости. Действительно, кинетическая энергия К массы жидкости, про- протекающей в единицу времени через все живое сечение, т. е. массового расхода Mt определится по формуле K=\dM- и- где dM = pud<*i — масса жидкости, протекающей через сечение элементарной струйки в единицу времени, т. е. элементарный массовый расход. Подставляя, получим: = Т" \ Кинетическая энергия той же секундной массы но вычисленная по средней скорости будет: Отношение действительного значения кинетической энергии к ее значению, вычисленному по средней скорости, будет равно: 1 К' A0-12) Вводя коэффициент а, можем определить К по формуле A043)
150 Динамика потока [гл 10 10-6. Инерционная мощность потока Инерционной мощностью потока (фиг, 10-6)назовем выраже- выражение ЛГ К Iй d<w- ш где йи = — \ -д^"' — инерционный напор элементарной струи gf ки длиной /, Подставляя значение йи в Л/Л будем иметь: 5F - udl\ day. 0 Этот интеграл можно Представить и в виде: О Рассмотрим сперва интеграл <7 = J [> Интеграл q отличается от интеграла К, кроме постоянного множителя, еще и тем, что под интегралом стоит скорость не в третьей, а во второй степени. Этот интеграл представляет собой количество движения, которым обладает протекающая через дан- данное жшое сечение масса жидкости, равная секундному расходу. Для его вычисления также необходимо знать зако^ распределе- распределения скоростей по живому сечению потока. Вычисления этого интеграла дают, что J Введем коэффициент количества движения р= A0-14) Для вычисления коэффициента ? необходимо также знать закон распределения скоростей по площади живого сечения потока. В некоторых случаях ламинарного движения {S = 1,33. В турбулентном движении в круглой трубе его можно при- принимать равным р= 1,04. В других случаях коэффициент р Инерционная мощность потока 151 вычисляемся на основании опытных данных, аналогично коэф- коэффициенту а. Коэффициент р, так же как и коэффициент а, харамеризует степень неравномерности распределения скоростей по живому сечению потока, но в отличие от а коэффициент является поправкой к значению количества движения секундной массы, вычисленной по средней скорости. Вводя коэффициент fi, можно определить q через среднюю скорость, а именно A0-15) В связи с формулой (Ю-15) инерционная мощность может быть вычислена по формуле ИЛИ JV =-Ь Л) или dl. о A046) Назовем инерционный напором потока #и (удельно^инер- циондой мощностью) отношение WH к yQ. Из формулы A0-16) получим: ii A0-17) Для трубопровода постоянного сечения Я =8 И " I dv 8 где I — D A0-18)
152 Динамика потока 10 10-7, Уравнение Бернулли для неустановившегося и установившегося потока реальной капельной жидкости Распространим уравнение Бернулли (8-40), полученное для элементарной С1руйкн, в виде: i _u L на поток. Для этого умножим левую и правую части уравне- уравнения на весовой расход элементарной струйки б й р y возьмем интеграл ог обеих частей уравнения, распространив его на соответс!вующие площади живых сечений ojj и о>2. Получим 4 0 Первые два интеграла представляют согласно § 10-5 мощ- мощности потока IV] и JV2 в первом и втором живом сечении потока. Интеграл {knm[udu>=Nn определяет потерю потоком 0J мощности, вызванную гидравлическим сопротивлением. Интеграл -— Г ш 0 NXx представляет инерцион- ную мощность потока. В связи с этим Предыдущее уравнение можно рассматри- рассматривать как уравнение баланса мощностей: Разделив каждый член этого уравнения на весовой расход и обозначая через —«- =?— удельную мощность потока (удельную энергию), КУ ~- = #и — удельный инерционный напор (удельную инер- "* циопнуго мощность потока), -=hn—потери удельной мощности потока (удельной энергии), можем уравнение Бернулли представить в виде: A0-20) § 10-7] Уравнение Бернулли для неустановив. и установив потока 153* В дальнейшем уравнение Бернулли будет применяться только для таких уиастков потока, в крайних живых сече- сечениях которых давление распределяется или по гидростатическому закону [ (фиг. 10-7) z -f- -7- —idem, 1 или во всех точках живого сечения дав- давление имеет одно и то же значение2 Горизонт В связи с этим потребуется для таких сечений потока определясь значения удельных энергий. Рассмотрим оба случая. Из формулы A0-19) и A0-20) для z A Фиг. 10-7. При гидроста- гидростатическом распределении давлений в живом сече- пни потока уроиии в пьезометрах достигают одной и той :же высоты, по разной в разных жи- живых сечениях. = idem имеем: Lli или в связи с A0-3) и (Ю-13) Г A0-21) Для этого случая уравнение Бернулли A0-20) может быть переписано в виде: для неустановившегося движения » i v и для установившегося движения _ _2 g п A0~22) 0 A0-23) В формулах A0-22) и A0-23) р{ и р2 СУТЬ абсолютные дав- давления в двух произвольно взятых 1 очках в сечениях ш} и ш2 с координатами z{ и z2 (фиг. 10-8). 1 Укажем, что, как это следует из уравнения (8-29), гидростатический закон распределения давлений имеет место только в прямолинейном дви- движении, т. е., строго говоря, только в ламинарном движении, однако прибли- приближенно такой закон принято распространять и на осредиенное прямолиней- прямолинейное турбулентное движение. 2 Например, свободная поверхность жидкости в резервуаре или сече- сечение свободной струи,
354 Динамика потока [гл. 10 иния полной уЗельнсй. Яьезометрическая линия (лини* удгм Линия удельнай Плоскость сравнений г. 10-8. Диаграмма уравнении Бериу.тли ;ы?т реального установившегося потока, ограниченного селениями с шдростатическлм распределением давления. В связи с уравнением A0-22) заметим, чго в неустановив- неустановившемся движении влияние инерционного напора в потоке на энергию потока проявляется так же, как и в элементарной струйке (§ 8-6). В том случае, если в рассматриваемом сечении /?-^ideu, для вычисле- вычисления Е необходимо уметь вычислить, кроме интеграла К, интеграл у- \ *dQy т. е. находить центр массы, соотве1ствующий секундному расходу. Этот интеграл может быть выражен через хТ— координату иеЕгтра пяжегти ало- щади живого сечения где ? — коэффициегц1, определяемый по формуле \zdQ A0-24) Если в обоих живых сечениях, ограничивающих рассчитываемую длину по- потока, /> —idem, то уравнение Бернулли должно быть представлено в виде: до A0-25 10-7] Уравнение Бернугли для неустановив. и установив, потока 155 для установившегося движения а V2 Фиг. 10 9. Диаграмма уравнения Бернулли для равномерного ре- реального установившегося потока, V < i 0-26) Ha фиг. 10-8 построена диаграмма уравнения Бернулли для участка установившегося потока реальной жидкости, ограничен- ограниченного сечениями с гидростатическим законом распределения дав- давления. Диаграмма строится ана- аналогично диа!рамме уравнения Бернулли для элементарной струйки При этом значения вели- величин z и р в каждом сечении должны оекпветствовать обяза- обязательно одной и той же точке1- В уравнении Берпулли остал- остался совершенно невыясненным *1лен, определяющий потери удель- удельной энергии в потоке, обуслов- обусловленные гидравлическими сопро- сопротивлениями; ^тот вопрос буде! рассмотрен в соответствующих местах учебника» Следует обратить внимание па тот факт, что обязательное падение линии полной удельной энергии в общем случае не вы- вызывает обязательного падения линии полной гкленциалыюй энергии (пьезометрической линии), Эта линия на отдельных уча- участках может и повышаться, что зависит от конфигурации потока. 'Падение линии полной удельной энергии характеризуется называемым шдравлическим уклоном J dl Гидравлический уклон можно рассматривать как потери удельной энергии потока* отнесенные к единице длины по- потока. ,Форма пьезометрической линии характеризуется пьезомет- пьезометрическим уклоном Пьезометрический уклон можно рассматривать также -как изменение потенциальной энергии потока, отнесенное к единице длины потока, 1 При построении диаграммы отклонением от гидростатического закона распределения дзолений в промежуточныч ссченияч пренебрегав, однако, не aceiAJ допустимо.
156 Динамика потока [гл. 10 Отметим, что гидравлический уклон У всегда положителен, в то время как пьезометрический—Jn б зависимости от конфи- конфигурации потока может быть и положительным и отрицатель- отрицательным. В потоке с одинаковой скоростью по длине (фиг. 10-9} v = idem; d dl A0-29) 10-8. Примеры гидравлических расчетов установившихся и неустановившихся потоков без учета гидравлических сопротивлений Оставляя пока без рассмотрения вопрос об определении поте- потери удельной энергии вследствие сопротивлений, возникающих в жидкости при движении, разберем несколько примеров без учета этих потерь. В таких случаях основными уравнениями являются уравнения Бернулли для потока, но без учета потерь энергии и уравнение неразрывности. Напомним, что при применении уравнения Бернулли в форме A0-22) и A0-23) поток в общем случае может иметь по длине сложную конфигурацию, однако в сечениях, которые ограничи- ограничивают длину рассчитываемото участка потока, давления должны распределяться по гидростатическому закону. Необходимо также, чтобы значения z и р в каждом сечении соответствовали одной и той же тючке. Задача 10-1» Построить диаграмму Бернулли, пренебрегая сопротивле- сопротивлением, для водовода при следующих условиях. Система состоит из резервуара и тр^би переменного сечения, оканчи- оканчивающейся конически сходящейся короткой трубкой (фиг. 10-10). L Высота уровня воды в резервуаре над выходным отверстием /t=25 м. На свободной поверхности давление равно атмосфер!ому. 2. Диаметры трубы dx ^ 0,053 м\ d2 = 0,100 м, ^=0,062 м\ d±=Q,04Q м. Решение» При закрытой трубе, т. с. в случае покоя жидкости, полная удельная энергия жидкости равна сумме удельной потенциальной: энергии положения и давления. Так как все точки покоящейся жидкости обладают одинаковой энер- 1ией, то ее легче всего определить по точке, находящейся на свободной по- поверхности воды в резервуаре Плоскость сравнения выбираем проходящей через центр выходного отверстия. Очевидно, эта энергия -г + Р- = ЪЬ я, где г = & = 25 ,и;--~10 м (принимаем давление атмосферы равным 10000 кГ}м\ а 1 — 1 000 кГ!м% Линия энергии для покоящейся жидкости будет горизонтальной прямой (показана пунктиром), расположенной на высоте 35 м. Статическое давление § 10-8] Примеры расчетов потоков без учета гидравлин сопрптивлен 157 в люиом сечении трубы будет определяться столбом жидко р сти высотой: -, который на *~ диаграмме представлен отрез- отрезком, заключенным между пунк- пунктирной линией энергии и осью трубопровода в соответствую щем сечении тр>бы. В случае дв^жьния поло жепис пьезометрической линии «вменится. Для построения диа- диаграммы необходимо определить скорость течения жидкости б различных частях водовода. Сначала определим скорость в сечении на выходе. Для этой цели сначала на- пишем уравнение Берн\лли для двух сечеиий: первое се- сечение F — О) выбираем на сво- свободной поверхности воды в ре- зерву.тре; второе D — 4) — в Фиг» 10-10. Диаграмма уравнения Бернулли. плоскости выходного отвер- К задаче 10-1. стия. В рассматриваемом случае в сечении 0—0 давления распределяются по гидростатическому закону, а в сечении 4 — 4 давление р = idem, Поэтому уравнение Бернулли должно быть представлено в виде: Определим значение каждого из членов уравнения Бернулли. В рассматриваемом случае коэффициенты <*4 и 54 можно принять рав иыми единице а плоскость срлинения принять, как показано на фигуре. При Zn — h = 25 м\ zi = 0; с^0 = 0; 10000 1 000 10000 — Ш Л!, „ — ! 000 ^ (давление на выходе из трубы в атмосферу принимаем равным атмосфер- атмосферному). Подставляя найденные значения в уравнение Бернулли, получаем: откуда ^ С^ЛГ.
158 Динамика потока (гл 10 сечени Применяя уравнение неразрывности, определим скорости и в ниях трубьг 0,040 м сек, /<i4\2 /0 040 \2 |2 = °4'^)=2?>15(ОЛОВ) = 3,544*™. V* = = 12.016 дс Так как сопротивления нами не учитываются (жидкость рассматривается идеальной), то гидродинамический напор (полная удельная Энергия) вдопь потока остается величиной постоянной, т. е, линия гидродинамического " пора М>дет горизонтальна- Положение этой линии определится, если будет и: пп " точки, например точки, фвуаре: Так как 0, = a5-f-10=35 л. Таким образом, линия полной удельной энергии (гидродинамического иапора) расположится в горизонтальной плоскости наi высоте ? =35\м над плоскостью сравнения. Для построения пьезометрической линии (линий потенциальной удельной энергии) вычислим скоростные напоры: „ А 9,2152 2-9,81 = 4,330 м; и вниз от линии полной удельной энергии значения скоростного напора, имея при зтом в виду, что в ipytfc из у^стках с пгстояпвым сече" виец скоростной напор имеет одно и то же качение, получим пьезометр чески линию (линию adedefk). } ^ьезомет Линия геометрического налора (удельной энертЕИ положения) с осью трубопровода. ; В любом сечении гидродинамическое давление определяется веотикаг.ь- ным отрезком, заключенным между линией геометрического напора н птезо- метрической линией. Здесь следует огмети.ь, что изображенное ад даа- Тч*Т ппаВп-НИе есТ1\д*ВЛеНИе абсо-™т«ое. Для избыточного чапяения ™Л >лельной ЭНГ?Р1И« и пьезометрическая линяя расположатся соответственно .шжо на 10 м, как показано пунктиром, т. е хшшя пол' ™.У^ЛЬН°" Э"еРГИИ Распол°жигсЯ горизонтально в плоскости свободной поверхности жидкости в резервуаре на высоте 25 м ,1ад илоскоегью срТв- пения, а пьезометрическая линия изобразится линией аф.сЛ.еЛМ* Задача 10-2. Закон движения жидкости п трубогфоводе присоединен- присоединенном к воздушному колпаку (без учета гидравлических сопротивлеиий) Рассмотрим движение жидкости в трубе длиной L постоянного сечения <*, присоединенной к воздУ1шюму колпаку (фиг, 1Г>11). Объем W воз.^шногг> колпака заполнен сжатым воздухом или каким либо другич газом § 10-8] Примеры расчетов потоков без учета гидравлич. сопротивлен. 159 В положении покоя уровень жидкости в трубопроводе находится на высоте х$ над начальным уровнем жидкости в воздушном колпаке. Это по- положение назовем равновесным положением. Этому положению в газовом пространстве колпака соответствует давление pQ = рат -\- 7¦ г0, объем газа Переместим принуди1елььо столб жидкости v на Jo. Благодаря этому давление в газовом про- пространстве увеличится соответственно уменьшению объема. Изменение давлелн я б)дет подчиняться за- закону откуда dp С We Имея в вид\, что dW.= - Фиг. 10-1Ь Трубопровод, присоединенный к воз* душному колпаку. К за- задаче 10-2, где FK—площадь сечения воздушного колпака; dy — уменьшение высоты газового пространства в колпаке, полечим: интегрируя, найдем: р* или где рк— переменное давлении w газевем прос1ранстве колпака^ соотрст ствующее уровню жидкости в нем. Если теперь пре^остгшпь жидкость самой себе, то тазовая под>шку, выполняя роль пружины, в дальнейшем заставит жидкость, предоставленною самой себе, двигаться к равновесному положению. Благодаря инерции с тол С жидкости в равновесном положении не остановится и будет продолжать двигаться в том же направлении, т. е> or колпака. Это вызовет уменьшение лаплеЕгии в колпаке но сравнению с р0 и при pam — consi застоит жидкость двигаться с- замедлением вплоть до остановки. Лвижеьие, если пре небречь сопротивлением, б^дет подчиняться уравнению Бервулли A0-22) it A0-25) для неустановившегося движения (при J= I, a ft r= U)- >^1 Р2_ 1
160 Динамика потока [гл. 10 Если пренебречь массой жидкости d колпаке и скоростными напорами» последнее уравнение для некоторого промежуточного положения, характе- характеризуемого координатами свободных уравнений zt = у и z1 = z и соответ- соответственно pi=pK и Pz~paittt может быть представлено в виде: где ?— длина колеблющегося столба жидкости 8 трубе, а dv *" = dt ' = 20 —/, а г" = — Г, Имея в виду, что где / — координата, определяющая положение свободного уровня в трубо- трубопроводе от его начального, а V* — вторая производная по времени, получим; Г Г Подставляя Значение рк) будем иметь: «иея в виду, что р0 = pam -f- 7% найдем v , S Последнее можно преобразовать, учитывая, что При этом получим: PL 8 Примем длину жидкого столба L ~ const, что вполне допустимо для длин- длинного столбу и обозначим: тогда г + w =* a Полученное дифференциальное уравнение представляет собой дифферен- дифференциальное уравнение гармонического колебательного движения. Интеграл этого уравнения t — время; k — частота колебаний. = С, cos (ki) + C2 sin (?/), 10-8] Примеры расчетов потоков без учета гидравлич. сопротивлен. d = Постоя!|Ные илтегрирооалия определим по начальным данным при t 1ц, откуда Ct = /0 при *~0, /'—0, откуда С2 = 0; тогда =i ^0 cos Таким образом, при сделанных допущениях столЗ жиакости в трубопро- трубопроводе будет соперша|ь гармоническое колебательное движение с чястогой k vi с ам1Ыи»'удой li)t равной начальному сл^ещению столба жидкости* Задача 10*3. Определить предельное число диойных ходоп поршневого насоса (фиг» 10 12), перекачивающего бензин, соигасно следующим данным; объемный вес беизнва ^ ^^ 750 лГ/Л3, давление парообрйюванич р/у= I 925 к Г/я?; геометрическая высота всасывания A. ff e = 5 м; сопротивление всасывающего клапана его О1крыгию Аул = 2 л; длина и диаметр всасывающего трубопровода ^^=10 ai; df^0?l м* Радиус кривошипа г=^0я\ л. Диаметр порпшя Z)^0,15 л. апорный трубопровод Поверхность всасывания сетна 10-[2, С^ема поршневого насоса. К задаче 10-3. Решение* Для определения предельного числа двойных ходов поршне* вою насоса необходимо определить сначала давление на лоршень по ходу всясываЕШя, Затем определить давление, которое соответствует моменту на- начала всасывание, и приравнять это дапление давлению парообразования рПш Для определения давления ня поршень по ходу всасывания восполь* зчемся уравнением B0-22)> принимая } — I H о И[1ерциотшый напор учитываем только во всасывающем трубопроводе, длина которого /, и ни учитываем в насосной камере. zg — 2j = At. d e — геометрическая высота всасывания; Р\~Рат—Давление на свободной поверхности всасывания; и2 = рпо ходу $с —давление жидкости на поршень но ходу всасывания; &1=0 — скорость на свободной поверхности всасывания; II Н. 3- Френкель.
162 Гидравлические сопротивления [гл, И V— — —скорость жидкости во вса<ыплющем трубопроводе со- °> главно уравнению перязрывноспт, ( читай" что жидкостк не отрывает* я ог поршпн, ~ ^/1 = '^ s*n ^^ скорость поршня лри „бесконечно длинном" ггатуне; 1С/1 1С/1 ==-^- 1/ctK, — угловая скорость кривошипа; F — площадь поршня; а — плошадь течения всасывающего трубопровода; g g~<>~dt 0 о dt Подставляя значения, найдем: cos Ш — ускорение поршни, соответствующее ^бесконечно длин* * шатуну. Наименьшее давление соответствует началу хода всясыиапия {cosi^-=l и vn= 0)> Поэтому "по ход бс мин *п;?1 , * I г [г q^ т г *•••• " ~ ъ^" ¦ В последнем выражении из потерь уделыгон энергии остается ли)ггь потеря, связаннан с преодолением сопротивления клапана его открытию [hn = hKA)« Все остлль^гые члекыт опредСиЧЯЮ11ше потери как зависяптие от скорости (гак как скорость в начале всасывания раппл нулю), равны ь\лю. Приравнивая Ptto хо^всмин давлению гтароойразования рП, шйдем; . Fir откуда для метровых размеров ппред " Рпт — Рп в Fir — 33 дв Глава одиннадцатая ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ 11-1. Гидравлическое моделирование Моделированием называется исследование явлений на моде- моделях. Сущность моделирования заключается в том, что на модели меньшего, а иногда и большего масштаба создается гидравличе- гидравлическое явление, подобное явлению, которое имеет место или долж- должно возникнуть в натуре, что и позволяет изучить эю явление. Основной задачей теории моделирования является выявление § 11-2] Основные законы подобия. Критерий подобия Ньютона F3 условий, обеспечивающих подобие явлений. Явления называются подобными, если по известным характеристикам одного явления можно получить простым пересчетом аналогичные характеристи- характеристики другого явления. Одним из существеннейших достоинств метода моделирова* ния является возможность обобщения результатов единичного опыта на целый класс явлений. Этот метод, например, позволит результаты исследований движения воды обобщить на случай движения воздуха, масла и т. п., или 'наоборот. Даже больше, он позволяет распространить результаты исследования явления од- одного класса па явления другого класса, но описываемые одина- одинаковыми математическими уравнениями. Метод моделирования обеспечивает наиболее рациональную организацию 'исследования, значительно сокращая тем самым объем экспериментальных ра- работ, а значит и затраты средств, особенно, если исследования происходят на моделях меньших натуры. Научной базой метода моделирования является теория подо- подобия, переплетающаяся с методами теории размерностей. 11-2. Основные законы подобия. Критерий подобия Ньютона Одним из важнейших условий, которым должны удовлетво- удовлетворять .подобные явления, является так называемое геометрическое подобие» Явления будут геометрически подобны, если существует гео- геометрическое подобие размеров потока натуры и модели. Под этим понимают подобие размеров каналов, в которых протечет поток натуры и модели, подобие шероховатостей стенок, ограни- ограничивающих поток, в открытых потоках подобие свободных пов^х- ностей, подобие запорных приспособлений, подобие твердых тел, помещаемых в натуре и в модели. Если обозначить камие-либо характерные величины, например длину /, диаметр dy некоторую площадь а> или некоторый объем W, относящиеся к натуре, индексом н, а к модели индексом м, то между одноименными величинами геометрически подобных систем будет существовать соотношение 'м м У\ м A1-1) Постоянная Я называется константой геометрического подо* В требования, предъявляемые к условиям геометрического по- подобия, должно быть включено взаимное и однозначное соответ- соответствие между частицами потока натуры и модели, заключающее- заключающееся, в том, что каждой частице потока натуры должна соответ- соответствовать частица потока модели, .и наоборот.
164 Гидравлические сопротивления [гл. 11 Однако одного геометрического подобия еще недостаточно, чтобы явление было подобно. Известно, что в геометрически по- подобных каналах движение может быть различным, В подобных явлениях должно существовать и определенное соотношение меж- между скоростями и ускорениями в соответственных точках, выра- выражающееся условиями так называемого кинематического подобия. Кинематическое подобие требует, чтобы траектории, описы- описываемые соответствующими частицами потока натуры и модели, за любые соответствующие отрезки времени были подобны с кон- константой подобия ^. Это значит, что зависимость между уравне- уравнениями траекторий соответствующих частиц должна определяться равенствами: н м в которых координаты являются функциями времени. Примем также при этом, что если соответствующие участки траекторий 1Н и 1м или dlH и dlM соответствующие частицы про- проходят за время * и * или dtu и dtu1 то отношение ¦-=х (Ц-2) должно быть независимым от времени и одним и тем же для любых соответствующих частии. Из условий кинематического подобия следует, что отно- отношения соответствующих участков траекторий 1я и 1М или dlH и dlM> или радиусов кривизны траекторий гн и глУ если траекто- траектории криволинейны, также находятся между собой в отношении Я, т. е. L К dlM м Из тех же условий кинематического подобия вытекает зави- зависимость между скоростями в соответствующих точках иц й ии, а именно: dt и м dl A1-3) м dt м Такая же зависимость должна существовать и между макси- максимальными скоростями имакс или средними скоростями?; потока натуры и модели, т. е. должно быть: и к макс. U макс V м м § 11-2] Основные законы подовая Критерий подобия Ньютона J 65 Из этого соотношения следует, что я м м и Отношение — можно рассматривать как безразмерную отно- относительную скорость, т. е, как значение скорости, выраженное в системе, в которой за единицу скорости принята средняя скорость v. Таким образом, кинематическое подобие потока требует, чтобы поля безразмерных скоростей натуры и модели были бы тождественны. Впрочем это требование распространяется и на все другие одноименные величины. Из условий кинематического и геометрического подобия вытекает зависимость между ускорениями ан и ам или между проекциями ускорений (например, между проекциями на нор- нормаль, т. с. между нормальными ускорениями — , если траекто- траектории криволинейны), а именно: 0 я а м A1-4) Материальное подобие требует взаимного соответствия между материальными частицами потока натуры и модели, при этом массы соответственных частиц M = pW, гдер^—плот- гдер^—плотность, а 1Г- объем, также должны находиться в одном и том же отношении % 5 м м = 777Г- =Г/,*=ГП м A1-5) где Р^ —^. отношение плотностей, am — константа подобия масс. Силовое подобие требует, чтобы равнодействующие силы F=Ma сил, действующих на соответствующие материальные частицы потока натуры и модели в соответствующие моменты времени, также находились бы в отношении Г? Ммам A1-6) где константа динамического или силового подобия !, 1 Отношение (П-6) не теряет своего значения для подобных стплений я при переходе к предельному случаю, когда равнодействующие силы обра- обращаются h НУЛЬ.
166 Гидравлические сопротивления [гл. 11 Из последнего следует равенство Величина Я Н К Ne. (П-7) Ми* называется критерием механического подобия — критерием Ньютона. Из полученного следует, что для любых двух соответственных точек подобных потоков натуры и модели значения критерия механического подобия— числа Ньютона — имеют одно и то же значение, т. е, Ne = Neu ы 11-3. Критерии подобия Рейнольдса, Фруда, Эйлера и Вебера Критерий Ньютона Ne выражает зависимость между силами, массами, скоростями и линейными размерами в динамически по- подобных потоках в общбм виде, В гидравлике приходится иметь дело главным образом с тремя^вид^ми сил: силой веса, силой давления ji силой, тредач/В^некоторых случаях приходится при-4' ыимать во внимание силы поверхностного натяжения. При этом чаще всего в различных явлениях главную роль играет только один из этих видов сил. В общем случае полного подобия необ- необходимо иметь подобие всех сил. Однако каждый из этих видов сил требует своих условий подобия, причем иногда эти условия оказываются несовместимыми. Один такой пример будет приве- приведен ниже. Таким образом, удовлетворить основному условию по- подобия — равенству критериев Ньютона -— не всегда возможно. В таких случаях необходимо обеспечить подобие того вида сил, который оказывается наиболее существенным в изучаемом явле- явлении. Например, при исследовании законов гидравлических сопро- сопротивлений трубопроводов главную рачь играют силы трения' При исследовании протекания жидкости через водосливы главную роль играют силы тяжести. Таких примеров можно было бы при- привести много. 'Критерии частичного подобия можно получить из критерия Ньютона, подставляя в него вместо силы F или силу du трения Т =^ \шап т при этом получим условие подобия только сил трения (критерий Рейнольдса Re), или силу тяжести G = = Mg — получим условие подобия только сил тяжести (критерий Фруда — Fr), или силу давления Р =р ш — условие подобна ( Эй Е только сил давления (критерий Эйлера —Ей) и т. п. Подставив в A1-7) силу трения Г, получим* du.. м § п- Критерии Рвйиольдса, Фруда, Эйлера и Вебера 167 Имея в виду, что А1^=р^, а в подобных системах W w я W м будем иметь: du И du М dnM ' где Re=-- l критерий (число) Рейнольдса. Таким образом, подобие сил трения в потоках, удовлетворяю- удовлетворяющих условиям геометрического, кинематйчёского и материального подобия, будет только в тем случае, если для каждой пары соот- соответственных точек потока натуры и модели число Рейнольдса будет иметь одно и то же значение. В числе Рейнольдса за ве- величину и может быть принята средняя скорость потока и, а за /—любая характерная линейная величина. Например, при изу- изучении законов движения жидкости в трубах принимается диа- диаметр трубы d или гидравлический радиус R. При этом число Рейнольдса будет представлено в виде: A1-8) Следует иметь в виду, чго для подобия двух явле^й су- существенно не численное значение критерия, а лишь его ра- равенство для потоков натуры и модели. Подставив в A1-7) силу тяжести G=Mgf получим: или после сокращения и: и м м 2 где Fr = ^j —критерий (число) Фруда. выражают через среднюю скорость Иногда число Фруда Fr A1-9)
168 Гидравлические сопротивления [гл. И Равенство чисел Фруда Fr в соответственных точках потоков, удовлетворяющих геометрическому, кинематическому и матери- материальному подобию, обеспечивает подобие ..шл тяжести- За вели- величину / может быть принята любая характерная линейная вели- величина. Например, при изучении волнового сопротивления, которое испытывает движущийся корабль, за / принимается длина ко- корабля. Подставим в A1-7) силу давления Р = рш. Получим; имея в виду, что M — pW иу кроме того, в геометрически по- добных системах—^—=-^, найдем: w w м н Рн м где -^ —Пи— критерий (число) Эйлера. Числу Эйлера придают несколько иной вид, вводя вместо абсолютного давления р разность давления йрр а именно Число Эйлера играет больитую роль в исследовании явле- явлений, связанных с кавитацией. В эюм случае за 5р принимается Ъ = р — рП, где рп~ давление парообразования. Число называется числом кавитации. Таким образом, равенство чисел Эйлера обеспечивает в динамически подобных потоках_гкщ1,- ^ сил В некоторых гидравлических исследованиях существенное зна- значение ш^еет поверхностное натяжение. Для получения соответ^ ствующих условий подобия можно также исходить из критерия A1-7>, подставляя в него значение силы поверхностного натя- женитя F = 3 1? где з — коэффициент поверхностного натяжения. Преобразования, не отличающиеся от предыдущих, позволяют получить число Вебера — критерий подобия сил поверхностного натяжения в виде: где / — характерная линейная величина, § П 3] Критерии Рейнольдса, Фрудаг Эйлера а Вебера Выше мы уже отмечали, что полное подобие осуществить не всегда возможно. Покажем, что этого нельзя сделать во всех случаях, если для модели и для натуры применяется одна и та же жидкость. Рассмотрим один такой пример, Ислытывастся мо- модель плотины при протекании через нее воды (фиг. 1Ы). При- Примем за характерный линейный размер напор над гребнем пло- плотины Я, В этом случае числа Рейиолъдса и Фруда представятся, в следующем виде: 'к V м Имея в виду, что в натуре и на модели жидкость одна и та же, у которой р, р имеют одно и то же значение, получим следующие несовместимые равенства: По первому равенству уменьшение модели в Л раз потребует увеличение скорости протекания жидкости через модель в а по второму равенству—¦ уменьшение скорости про- протекания в У "к раз. Ввиду того, что существенное значение при моделирова- моделировании водослива играют си- силы тяжести, очевидна, ре- режим работы модели не- необходимо подчинить тяже- тяжести, Если бы можно было изменять .вязкость жидко- жидкости на модели, то при из- известных условиях можно ^_^_ было бы обеспечить уело- ^ Фиг 11-. С^еиа водослива с топкой отенкои, вия подобия и сил гяже- сти и сил трения. Заметим, что весьма часто не удаегся осущесгвить полное подобие и вследствие трудностей создания подобия шероховато- шероховатостей поверхностей, В результате тех или других пренебрежений, допускаемых при моделировании, возникают погрешности при переносе па на- натуру результатов, полученных при исследовании модели, харак- характеризующиеся так называемым масштабным эффектом.
170 Гидравлические сопротивлгния [гл. II 11-4. Применение методов теории размерности к исследованию гидравлических закономерностей При различных гидравлических исследованиях приходится устанавливать функциональные зависимости между физическими величи-нами, оказывающими влияние па исследуемые явления. Па- пример, при изучении законов гидравлического сопротивления жидкости при движении ее по трубопроводу разыскивается за- зависимость падения давления ър от скорости движущейся жидко- жидкости v, плотности р, вязкости р, длины /, диаметра d и высоты выступов шероховатости Д стенок трубопровода, а именно: При изучении движения жидкости через плотину (водослив) разыскивается зависимость расхода О [кГ!сек] в виде функции ¦где Я—напор над гребнем водослива; b — ширина водослива. Можно было бы привести множество аналогичных приме- примеров. Во всех них исследуемая величина (обозначим ее через IV) чаще всего размерная, выражается через другие физические величины, которые будем обозначать через п В общем виде функциональная зависимость N может быть представлена в где nt — все различные физические и геометрические вели- величины, являющиеся характерными для данного исследования. В общем случае в функциональную зависимость, включая и величину N, входят ft~f \ величин. Некоторые из k -f- 1 величин N я nt (/= 1,2, »., ft) могут быть переменными, другие постоян- постоянными; некоторые могут быть размерными, другие отвлеченными. Но при всех условиях функциональная зависимость N должна быть независимой от выбора системы единиц измереният так как эта зависимость выражает физический закон. От выбора системы единиц измерения будет зависеть лишь численное значение вели- величин N или пг Таким образом, ц> выборе единиц измерения мо- может быть допущено отступление от общепринятых единиц. Необ- Необходима только, чтобы единицы измерения были по своим размер- размерностям независимыми, т. е, чтобы размерности-любой из них нельзя было получить из комбинации размерностей других величин и их число должно позволить выразить через них раз- размерности всех других величин, входящих в функциональную за- зависимость N. При гидравлических исследованиях оказывается § 1I-4J Применение методов теории размерности 171 целесообразным за основные единицы измерения принять сле- следующие три величины, имеющие независимые размерности: L Скорость и какой-либо частицы вдтока или среднюю ско- скорость потока в каком-либо сечении v. 2. Какую-либо характерную длину, например диаметр трубо- трубопровода d, длину трубопровода / или длину корабля, С таким же успехом можно было бы принять ^о>? где о> — характерная площадь. Можно было бы также принять вместо / за основ- основную единицу не длину, а площадь о>. Зг Плотность жидкости р. Размерность этих основных единиц измерения в техниче- технической системе [v]=*MJcefC\ [/j=,u; [p] = кГсек2\мА. Через основные величины можно выразить размерность любой величины, входящей в функциональные зависимости, исследуемые в большинстве случаев в гидравлике. При подобном выборе еди- единиц измерения размерности всех остальных (А+ 1—3) различ- различных величин N и ni {ь= 1у 2, 3, _, ft —3), входящих в функ- функциональную зависимость, могут быть выражены в виде произве- произведения некоторых степеней основных единиц, а именно: Численное значение величин N и п{ в системе единиц (напри- (например, в системе метр, секунда, килограмм-сила) может быть найдено как произведение некоторого отвлеченного числа тг или ъ{ на произведение степеней единиц основной системы, а именно: Значение отвлеченных чисел it и ^ можно вычислить по фор- формулам: N Л* (л 1 Юч ъ~-—7г-.\ ^.— ,. ,. 7 . AЫ2) г ' "\ Так как величины и, / и р приняты за основные, то отвлечен- отвлеченные величины ъ и тт4 можно рассматривать как безразмерное {относительное) значение N и лг Из этого следует, что отно- относительное значение каждой из величин, входящих в функцио- функциональную зависимость, оказывается уменьшенным в vxlyp или ^ * I 'р г раз. Вследствие этого функциональная зависимость может быть представлена в виде- N пк \ AЫЗ)
172 Гидравлические сопротивления [гл. 1! Будем считать, что п^ п к* k— „ мость мость ^ соответственно равны 0 П0Следние ТРИ ^она функциональной Г ТСЯ В СДШ1ивд и Функциональна* завис* быть представлена в виде; Z2> 'Ъ-э* МЛ), A1-14) Таким образом, в общем случае функциональная зависи- зависимость меяГду^Й^17~раз"мерны~ми величинами Nun. можег быть представлена как соотношение между (А + 1— 3) вели- величинами тг"~и тгД/ ^ I , 2^3^ ^, . »А—3), каждая из которых есть безразмерная степенная комбинация величии,, входящих в функ- функциональную зависимость. Эта теорема называется тс-теоремой. Можно показать, что если в функциональную зависимость входят коэффициент вязкости fj-, поверхностного натяжения а, ускорение силы тяжести g или давление &ру ю соответствую- соответствующие им величины тг? обратиы или совпадают с критериями подобия Рейпольдса, Вебера, Фруда и Эйлера. Равенство безразмерных величин п. в подобных потоках выражает равенство относительных значений соответствующих физических величин, почему эти величины могут рассматри- рассматриваться как критерии подобия. 11-5. Гидравлические сопротивления. Принцип наложения потерь энергии Исследование гидравлических сопротивлений возможно лишь в установившемся движении. Для неустановившегося движения не существует способов их определения, и поэтому в гидравлике принято результаты исследований сопротивлений установившего- установившегося движения 'переносить и на неустановившееся движение. Определение потерь энергии является одним из важнейших вопросов почти любого гидравлического расчета. В гидравличе- гидравлических расчетах приходится иметь дело с двумя видами потерь: с потерями энергии по длине трубопроводов и с потерями в мест- местных сопротивлениях. <К потерям энергии по длине трубопроводов относятся Потери энергии на прямолинейных участках трубопро- трубопроводов, а к потерям энергии в местных сопротивлениях—потери на таких участках трубопроводов, где имеет место нарушение нормальной конфигурации потока. При этом за нормальную кон- конфигурацию потока принимается конфигурация потока на прямо- прямолинейном участке трубопровода на расстояниях, достаточно уда- удаленных от входа. Таким образом, всевозможные входы в трубо- трубопровод, расширения и сужения трубопроводов, вентили, клапаны и т. п. представляют собой так называемые местные сопротивле- сопротивления. Гидравлические сопротивления 173 Особенность явлений, возникающих в местных сопротивле- сопротивлениях, заключается в том, что при протекании жидкости через них всегда появляются так называемые поверхности раздела, являю- являющиеся границами масс жидкости, участвующих в различных дви- движениях. Например, при протекании через внезапное расширение (фиг. 15-6) такими поверхностями являются b— т и с — п. По- Поверхности раздела весьма неустойчивы. Частицы жидкости, обра- образующие эти поверхности, быстро свертываются в вихри. Вслед- Вследствие вязкости и деформации движение этих вихрей затухает, а их энергия преобразуется необратимым образом в тепловую. Эта часть энергии и рассматривается как потери, обусловленные местными гидравлическими сопротивлениями. Заметим, что в общем случае трубопровод представляет со- совокупность большого числа разнообразных гидравлических со- сопротивлений- Сам трубопровод может состоять из участков с различными диаметрами. На нем смонтированы различные за- запорные устройства, фильтры, расходомеры и т. п. При определе- определении общей потери удельной энергии, что необходимо при гидрав- гидравлических расчетах, исходят из так называемого принципа нало- наложения потерь. Сущность этого принципа заключается в том, что полная потеря удельной энергии слагается из арифметической суммы потерь, вызванных каждым сопротивлением в отдельно- отдельности, Конечно, подобный способ определения потерь в отдельных случаях будет грешить некоторой неточностью, ввиду того, что каждое сопротивление, создавая соответствующее возмущение в потоке на смежных к нему участках, тем самым изменяет нор- нормальное сопротивление этих участков. Особенно это относится к потерям энергии в местных сопротивлениях, если они располо- расположены вблизи друг от друга. Прежде чем описать экспериментальные приемы исследова- исследования гидравлических сопротивлений, -покажем, каким ^образом можно использовать теоретические предпосылки для установле- установления вида интересующих нас функциональных зависимостей. Применим я-теорему для выявления функциональной зависи- зависимости для закона потерь удельной энергии на участке цилиндри- цилиндрической трубы длиной / и диаметром d. Экспериментальные исследования этого вопроса, включаю- включающие производственный опыт, показывают, что потери удель- удельной энергии, в данном частном случае характеризующиеся только падением давления Ьр по длине трубопровода (см. фиг. 10-9O зависят от средней скорости движения v, диаметра трубы dy ее длины /, шероховаюсти А, вязкости жидкости \х и плотно- плотности р. Таким образом, в общем ьиде функциональная зависимость для Ьр может быть представлена в виде: A1-15)
174 Гидравлические сопротивления . II ЙЙ^-ж.'ягй^т или согласно (П-14) в виде: где 3, J, 1, 1), А — м а именно: показатели степени при кГ показатели степени при м показателя степени при секундах Решая полученные системы уравнений, 'находим; X =2, у =0, 2=1; 1 - z\ — 1; — Or Л = 1, *2=0; Г кое выра тсслеДование показывает, что получен ие можно представить в виде: случен Гидравлические сопротивления 17Г> Обозначим функцию f через Я/2 (заметим, что это ничего общего не имеет с константой геометрического подобия): A1-16) и через d При этом получим: где Я — коэффициент сопротивления трения по длине трубо- трубопровода; С —коэффициент потерь удельной энергии по длине. При этом формулу для определения потерь удельной энер- энергии /zn=— можно представить в виде (формула Дарси): г. ¦ ... а _*> A1-18) Из формул A1-16) и A1-17) следует важный результат, а именно, что в динамически подобных потоках безразмерное падение давления / —г | или коэффициент Я имеют одно и то V-2J же значение независимо от рода жидкости. Это значит, что при необходимости получить значение коэффициента Я, например для масла или воздуха для неко- некоторого значения Rey можно эксперимент производить^напри- мер, с водой, но при том же Re, Необходимо лишь, чюбы при этом были соблюдены и другие законы моделирования, Заметим, что приведенные выше соображения можно распро- распространить и на местные сопротивления. В этом случае изменится вид функциональной зависимости AЫ6), в которую в зависимости от типа местного сопротивления, войдут некеморые дополнительные безразмерные отношения, ха- характеризующие форму местного сопротивления. Формула для определения потерь удельной энергии и в это\* случае могла бы быть представлена в виде; h м 1М9) где под Cj, надо было бы понимать коэффициент потерь удель- удельной энергии в местном сопротивлении, сокращенно коэффициент местного сопротивления, в отличие ог предыдущего случая,
1 ^ .-1 1 /b Гидравлические сопротивления [гл И он был назван коэффициентом потерь удельной энергии по Дли- Длине, Изложенное выше подтверждается многочисленными опы- опытами. Подробное обоснование формул для коэффициентов ^ и > при различных режимах движения будет приведено в соответствую- соответствующих разделах курса. Для опытного определения потерь энергии в установившем- установившемся движении в трубе может быть использована установка, изо- изображенная на фиг. П-2Г Здесь / — исследуемая труба; 2— пьезометры; 3 — ртутный дифференциальный манометр, включен- включенный параллельно пьезометрам; 4 ~ мерный бак; 5 — ртутный дифференциальный манометр, присоединенный к водомеру, уста- устанавливаемому при отсутствии мерного бака, Исходной формулой для определения потерь является урав- уравнение A0-23): Если трубопровод между сечениями / и 2 состоит из труб разного диаметра и на нем смонтированы различные местные сопротивления, потери удельной энергии hn на основании принципа наложения потерь могут быть представлены форму- формулой для трубопровода одного сечения — формулой I 1J 5 для трубопровода без местных сопротивлений — формулой П =/> =Я -г^- t hd означает потери только по длине трубопровода. Посредством пьезометроз можно вычислить значения При больших значениях h применяется ртутный дифферен- дифференциальный манометр, В этом случае Гидравлические сопротивления 177 12 Нг 3. Френкель.
178 Ламинарное движение [ гл. 12 Посредством мерного бака можно определить соответ- соответствующую скорость по формуле ^итвет где IF-объем жидкости, протекший по трубе за время опы- та tу » - соответствующая площадь живого сечения потока Если определяются потери энергии в трубе постоянного сечения, причем на участка,, на которых Ды Гт0ЛЬкОТ но и а, значит и «lOf = e^ , то в этом сдучае ной ф ' мулои для горизонтальной трубы является: и _ ад — ~ Я, Глава двенадцатая ЛАМИНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ^тГерис™ ламинарного движения были рассмот- рассмот-1. Там же было приведено критическое значениеZ ^ которое считается границей перехода одного режима движения в другой. Однако напомним еще раз, что в инженерной практике, особенно iB коротких трубоггроводах, не всегда удается сохра- сохранить ламинарное движение даже при значительно меньших зна- значениях Re. Наличие различных устройств в трубопроводных коммуникациях уменьшает значение критического числа. Это всегда следует иметь в виду, и поэтому в расчетах со значения- значениями Re, лежащими вблизи принятого критического значения /fe =2 320, надо тщательно анализировать все условия, мо- гушцие оказать влияние на режим движения. 12-1. Формирование изотермического ламинарного потока Изучение скоростей отдельных частиц жидкости по длине по- потока показывает, что на участка вблизи входа в трубопровод частицы движутся неравномерно, а именно: частицы, располо- расположенные вблизи оси 'потока, движутся ускоренно, частицы, нахо- находящиеся ближе к стенке, замедленно. Благодаря этому эпюра скоростей для разных сечений (фиг. 12-1) этого участка трубо провода не будет одинаковой. По длине этого участка происходит формирование потока. Длина входного участка, на котором заканчивается формирова- 12-11 Формирование изотермического ламинарного гготока 179 ние потока, называется длиной начального участка. За началь- начальным участком движение становится равномерным. Рассмотрим формирование ламинарного потока в трубопро- трубопроводе, вход ъ который сделан плавным (фиг. 12-1). Жидкость вступает в трубу с почти одинаковой скоростью по всему сечению и только у стенок скорость жидкости обращается в нуль. По мере удаления от входа толщина затормаживаемого слоя жидкости у стенки увеличивается. Но так как расход жидко- и /Ъ 0,005 Qfil A015 0,025 00625 Xfdfe фиг. |2ЛЬ Схема распределения скоростей на начальном участке установившегося ламинарного потока. сти остается одним и тем же, то замедление движения слоев, расположенных ближе к стенкам, вызывает увеличение скорости слоев, расположенных ближе к оси трубы. Сформировавшемуся, а значит равномерному изотермическо- изотермическому ламинарному потоку жидкости в круглой трубе соответствует параболический закон распределения скоростей. В этом .потоке осевая скорость, являющаяся максимальной имакс> в 2 раза боль- больше средней и макс Такое распределение скоростей наступает лишь на расстоя- расстоянии от входа в трубу, равном бесконечности» Но практически уже на конечных расстояниях от входа в трубу распределение скоро- скоростей мало отличается от параболического. Теоретическое определение длины начального участка было произведено французским ученым Буссинеском еще в 1891 г. Он считал, что формирование потока практически можно счи- считать законченным, если скорость частицы в конце участка на оси иос достигает 0,99 значения максимальной скорости имакс<> соответствующей равномерному ламинарному потоку в круглой трубе: При этих условиях им была получена для длины началь- начального участка / формула A2-1) 12*
180 Ламинарное движенце [ГЛ. 12 В технической литературе весьма широкое распространение получила упрощенная теория начальною учасша, разработан нал немецким ученым Шиллером, согласно к<т>рой Ра3ра0ОТаН /,=0,028754/?*. A2-2) Отметим, что это значение длины начального участка соот- соответствует по вычислениям автора в конце его скорости на оси потока иое, соста!вляющей всего лишь 0,89 от имакс= %v< Устройство остроконечного входа ухудшает условия формиро- формирования потока. Струя жидкости, вынужденная принять при входе форму, показанную на фиг. 15-14, при последующем расширении способствует уменьшению устойчивости ламинарного потока. В таких условиях длина начального участка будет значительно больше, Некоторые другие данные, характеризующие начальный уча- участок, будут изложены ниже. 12-2, Дифференциальное уравнение равномерного изотермического ламинарного осеснмметричиого движения в трубопроводах В ламинарном равномерном потоке, ограниченном круглыми цилиндрическими поверхностями, выделим кольцевой цилин- *-- дрический слой жидкости (фиг, 12-2) с внутренним радиусом г, толщиной dr и длиной S/. Составим для него уравнения движения. Так как частицы рассматриваемого слоя движут- движутся равномерно, то сумма проек- Фиг. 12-2, Схема поверхностных сил, Д"й всех действующих на ци- действующих на кольцевую часть линдрический слой жидкости потока. СШ1 на ось должна равняться нулю. Выясним, какие силы бу* дут проектироваться на ось движения, предполагая сначала, что ось движения горизонтальна. Ни внутреннюю цилиндрическую поверхность слоя будет действовать направленная в сторону дви- движения сила трения На внешнюю цилиндрическую поверхность слоя будет дей ствовать сила ~BкгЩ dr 2*8/ ~ (гт) dr. Сила ЬТ2 направлена в сторону, обратную движению. 6 12-2] Равномерное осесимметричное движение в трубопроводах 181 На торцевые поверхности цилиндрического слоя будет дей- действовать слева сила давления а справа — сила давления Составим уравнение проекций: После подстановки найденных значений будем иметь: - 2*8; ? (rx) dr — 2ъ S/=0, откуда 2 dl A2-3) Поскольку в рассматриваемом случае согласно уравнению <10-27) а согласно уравнению B-19) уравнение примет вид: du ди = 0, A*2-4) или если \х по сечению постоянно, т. е. от г не зависит, то Так как u = u(r)f т. е. является функцией только от г, то частные производные можно заменить на полные и уравнение переписать в виде: Легко показать, что полученное уравнение A2-5) справедли- справедливо также для ламинарного изотермического равномерного и пря- прямолинейного 'потока в трубопроводе, ограниченном поверхностя- поверхностями цилиндров, расположенными под любым углом к горизонту (я этом случае гидравлический уклон надо определить по фор* муле {10-28)], что следует также и из формулы (8-39).
182 Ламинарное движение [гл. 12 12-3. Равномерное изотермическое ламинарное движение в круглом трубопроводе Закон распределения скоростей в равномерном изотепмиче- ^аГНДР'Н0М ПОТ°Ке П° С6ЧеНИЮ кр^й ^ может б J4 в результате интегрирования уравнения A2-5) умноже- умножением его предварительно на dr. y В изотермическом потоке гидравлический уклон J является и по сечению и по длше постоянной величиной, поэтому после ин- интегрирования получим: у причем С —постоянная интегрирования. Считая распределение скоростей симметричным относи- относительно оси, мы можем положить при г —0 — =0. При этом окажется, что С = 0 и поэтому du = 0. A2-6) Заметим, что уравнение A2-6) можно получить, рассматри- рассматривая движение элементарного цилиндра с радиусом г (фиг. 12 3). Фиг. 12-3. Схема поверхностных сил действующих на цилиндрическую' часть потока. Фиг. 12-4. Схема распределения н^ пряжений сил трения в цилиндр* ческой трубе. Имея в виду, что * = -^> ™жно на основании фор- формулы A2-6) установить, что_в_?ассматЕиваемоа__Движении на- напряжение сил трения^, изменяется по живому сече^и^Го т. нейному закону (фиг. 12-4) от нуля на"'оси~до\=^У _? на cteHKe: " ' i 2 ¦о A2-7) § !2-3] Равномерное изотермическое движение б круглом трубопроводе Интегрируя уравнение A2-6) и принимая на стенке при скорость равной нулю, получим: и откуда и— 4|И о * A2-8) Из формулы A2-8) следует, что при равномерном изотер- изотермическом движении в круглой трубе, в поперечном сечении скорости распределяются по параболическому закону (фиг. 2-4.) Максимальная скорость будет на оси потока (при г—0) макс 4ц 0* A2-9) Ламинарное движение является вихревым. Для доказательства этого вычислим величину угловой скорости Q, воспользовавшись формулами G-15) и A2-8) и имея и виду, что r2 = y2-\-z2- Из этих формул следует, что 2 ' dz  ду : д^ J'~dr'dz z I дих дг ~2'~дг •(I 2тг A2-Ю) Максимальную угловую скорость имеют частицы, расположенные на стенках трубы, для которых г =; ^ ^ Для частиц, расположенных на оси, г =: 0, поэтому и Q-0. Возникновение вихрен обусловливается вязкостью жидкости и может быть объяснено следующим образом. У твердой стенки скорость жидкости равна нулю. Стенка затормаживает движение. Поэтому соприкасающиеся со стенкой частицы жидкости не могуг по ней скользить и вынуждены по тгей как бы перекатываться, приобретая при этом вращательное движение. Аналогичное вращение возникает в соприкасающихся слоях, движущихся с различными, скоростями, захватывая всю внутреннюю область потока. Заметим, что, кроме вращательного движения, каждая частица в ла- ламинарном потоке совершает поступательное и деформационное движение. Для вычисления расхода рассмотрим слой, заключенный между двумя концентрическими окружностями радиуса г и + (фиг. 12-2). Площадь поперечного сечения этого слоя
184 Ламинарное движение [гл. 12 Элементарный объемный расход, соответствующий этому слою, можно найти по формуле Для вычисления полного элементарные расходы, т. е. выражение в пределах от г = Го Га о расхода надо просуммировать проинтегрировать предыдущее до г = г0. При этом получим- J/7 48 50 60 Фиг. 12-5. Зависимость коэффициентов* и А для ламинар- ламинарного потока от xjd-Re. Пунктирная линия соответ- соответствует теории Буссине^ка. откуда и получаем формулу Пуазейля $>fl Величину средней скорости найдем по формуле ..._ Q _ A2-11) A2-12) Из сопоставления формул A2-9) и A2-12) найдем, что сред- средняя скорость v A2-13) Пользуясь формулой A2-8), можно определить коэффициент кинетической энергии а и коэффициент количества движения В для равномерного ламинарного потока: J =2> 02-14) € 12-3] Равномерное изотермическое движение, в круглом трубопроводе 185 I u? По длине начального участка при закругленном входе зна- значение коэффициента а изменяется от 1 до 2 и для различных сечений начального участка, находящегося на расстоянии к от закругленного входа, по исследованиям автора в соответ- соответствии с теорией Буссинеска и Шиллера имеет значение со- согласно фиг. 12-5. На том же участке значения {* изменяются от 1 до 1,33. Энергия, теряемая при равномерном изотермическом лами- ламинарном движении в круглом трубопроводе, может быть вы- вычислена при помощи формул A2-11) и A2-12), согласно кото- которым гидравлический уклон Потеря удельной энергии на длине h =ЛЛ^= т. е. . 32цо/ _ 3^ id2 " Последнее выражение можно преобразовать, для этого зим через число Рейнольдса: выра- выраU Получим: 64 I Обозначим через Я d 2g 64 Re ' A2-19^ тогда будем иметь: A2-20> Экспериментальные исследования равномерного ламинарного движения показывают, что при движении жидкости в практиче- практических условиях по металлическим, как правило, шероховатым трубопроводам наблюдается некоторое отклонение коэффициен- коэффициента Я, ох теоретического значения по формуле A2-19). Так, напри-
Я 86 Ламинарное движение [гл, 12 мер, автором в 1946 г. были исследованы стальные трубопрово- трубопроводы диаметром 27, 41, 75 и 106 мм и шолучены значения ^, при- приведенные в табл. 12-1. Таблица 12-1 Значения коэффициента X в ламинарном движении в металлических трубопроводах и гибких армированных шлангах Диаметр, мм \ труб * • • • шл 25 67 Re 27 64 Re 41 70,8 Re 50 76,5 Re 75 70 Re 83,5 Re 106 70,3 Re "Еще большие отклонения были получены при исследовании спе- специальных типов шлангов, армированных внутрк проволочной спиралью (см. фиг. 14-12). Формула A2-17) показывает, что в ламинарном движении потери удельной энергии пропорциональны расходу Q в первой степени я обратно пропорциональны диаметру d в четвертой сте- степени. При заданном расходе и трубопроводах потери будут тем меньше, чем меньше вязкость жидкостей, т. е. чем выше их тем- температура. Поэтому сильно вязкие жидкости, перекачиваемые в условиях ламинарнотх) движения, обычно подогревают. Однако при этом надо иметь в виду, что температура подогрева не долж- должна превосходить значений, при которых происходят разрушение ламинарного потока и превращение его в турбулентный, что обу- обусловливает возрастание потерь и соответственно мощности, необ- необходимой для перекачки. Заметим, что формулы A2-18) и A2-19) не пригодны для начального уча- участка. Для: определения коэффициентов \ в начальном участке на основаншт исследований автора при lH = Qfi2S7ddRe следует пользоваться формулой * . A2-21) -где значения Л приведены на фиг. 3 2-5» В том случае, если длина участка I больше длины начального участка / лотеря энергии будет складываться из потери на начальном участке и из потери на сформировавшемся участке и определится по формуле после преобразования Re ~d "+ Re (Л—64) *н Re d ill 64 Re 12-4] Изотермическое движение между соосными цилиндрами 187 Принимая во внимание, что для полной длины начального участка Л = 69,56, а -77^7 = 0,02875, получим: 64 I , , A2-22) Задача 12-1. Определить теряемую мощность при перекачке по трубо- трубопроводу длиной 1 = Ь км м диаметром d =* 0T3 At мазута в количестве G =* =з 242 т\чао при температуре tt 2= 4СГ С (вязкость v =? 1,5 CM2jceK) и при тем- температуре t2=W°C (вязкость v — 25 cM2jcefc)\ объемный пес ^ = 950 кГ/м? (принимаем постоянным). Решение. Скачала определим режим движения. Q 0,0707-10* где G 242 000 _ 950-3 600 - 0,0707-104 0,785-0,3» 25 = ] 20- В обоих случаях движение ламинарное» Мощность в киловаттах вычис- вычислим по формуле или 123 102 102.3,14*0,0081 = 17,5 где 950 128-97.25.10-*.5 OQQ-0^7072 102.3,14.0,0081 ^292 К6т' Таким oбpaзo^fl подогрев мазута с 10 до 40° С в рассматриваемом ^слу- ^случае дает уменьшение мощности, необходимой длз перекачки, на 94%. 12-4. Ламинарное изотермическое равномерное движение жидкости между сооснымн цилиндрами Рассмотрим движение жидкости в пространстве между двумя соосно расположенными цилиндрами. В этом случае поперечное сечение потока (фиг. 12-6} ограничено двумя концентрическими окружностями ]. Для получения формул распределения скоростей, расхода и потерь удельной энергии будем исходить из дифференциального уравнения A2-5) 1 Рассматриваемая схема применяется в случаях, когда жидкость, те- текущая в пространстве между трубами, должна подогреваться. Для подогре- подогреваемой жидкости укладывается вторая труба, в рассматриваемом случае меньшего диаметра.
188 Ламинарное движение [гл. 12 _07 После интегрирования бу дем иметь: Фиг. 12-6, Схема кольцевого трубо- трубопровода. откуда после повторного интегрирования разделив переменные, полу чим: у] r Постоянные интегрирования С и D найдем, воспользовав- воспользовавшись граничными условиями, а именно: приняв, что на стенках труб скорости равны нулю, т. е. положив, что и = 0 при г = г{ и 2. Будем иметь: Из этих уравнений следует: c= Таким образом, для жение: in In ъ — Го In т\ In — скорости получим следующее выра и In л,— <lWT\ \ г\ 1п Г1 A2-23) Этому выражению соответствуют кривые распределения скоростей, изображенные на фиг. 12-7 для различных значений / Расход Q вычислим по формуле rdr. ГI § 12-4] Изотермическое движение между соосными цилиндрами 189 Имея в виду, что г-ln r-dr 2 — г2 получим: ij rijlnr2 — — rf 1+ In In или после соответствующих 8ц 1 алгебраических < 14-'" преобразований A2-24) L 1 *• lnv j Среднюю скорость вычислим по формуле 2 2» A2-25) In 32 Гидравлический уклон In 1 ,i A2-26) Потери энергии на длине I r-ty г ln- A2-27) Фиг. 12-7. Кривые распределения ско- скоростей в поперечных сечениях коль- кольцевого трубопровода в ламинарном потоке. Ги-95 мм; I—ri~Or 2—г{=Ь 3^гх—\7.5 мм и 4— п=50
190 Ламинарное движение 12 Введем в последнее уравнение число Рейнольдса _ 2tr (r2 - г,\ где у? /. 2лг — —2— — гидравлический радиус L результате получим Ч' или, вводя вместо г, и г2' диаметры труб </, и ^ получим: 64 A. = 6i- 1дФ ~-^-. A2-28) Если назвать приведенным диаметром d0 выражение — 4±$, d. A2-29) то потери энергии можно определять по формуле 64 I уз hd = A2-30) 12-5. Ламинарное изотермическое равномерное движение жидкости в плоской щели Рассмотрим равномерное движение слоя, являющегося частью потока жидкости, показанного на фиг. 12-8 и имеющего форму изображенную на фиг. 12-9. Для некоторой определен шели СУоТтМяйСЧИТаТЬ1 ЧТ° СЛ°Й «годится в верхней половине щели. Составим уравнение движения этого слоя допу что в плоскостях, параллельны* плоскости *, ? слоя ? уя равномерно, то сумма проекций всех лей на него сил на любую ось должна равняться нулю по Здесь ^ = тс (/^— ^?) — площадь живого сечения, ^ смоченный параметр. ^ ДЛЯ широкой § 12-5] Равномерное движение жидкости в плоской щели 19Ъ Фиг. 12-8. Распределение ско- скоростей в плоской щели лами- ламинарного потока» Фиг. 12-9* Схема сил, действую- действующих на плоский элемент жидко- жидкости в ламинарном потоке.1 Выясним, какие силы будут проектироваться на ось движения^ предполагая, что ось движения горизонтальна. Это будуг следующие силы: Сумма проекций этих сил на няться нулю, а именно: ось движения должна рав> или в связи с формулой B-]9) A2-31) ^ Так как т и и являются функциями только г, а ~- = последнее уравнение можно представить в виде: Интегрируя уравнение (I2-3I) дважды, получим: Постоянные интегрирования определим из условия, что на стенках (фиг. 12-8) при 2 = 0 и z = h, и = 0, откуда С Таким образом, A2-32)
J92 Ламинарное движение [гл. 12 Из этого уравнения видно, что скорости распределяются но параболе (фиг. 12-8). Расход \% \ ^ A2-33) Среднюю скорость найдем по формул V Гидравлический уклон равен: J - 1 л р Потери удельной энергии вычислим по формуле A2-34) A2-35) A2-36) где / — длина щели (в направлении оси х). Весьма часто формулами A2-33)—A2-36) пользуются и для расчета кольцевых щелей, что, однако, не всегда допустимо. ?сли канал конечной ширины, расчетными формулами являются следующие 4 этом случае уже нельзя считать распределение скоростей в плоскостях, параллельных плоскости хх г, одинаковым): 00 A2-37) со h Г1 ' — 0,62 у 7j^^h-2A п—1Г3Г 5... оо 0,62. т я-1.3, 5. . A2-38) (J2-39) При малом значении второго члена в скобках формулы A2-37)—A2-39) обращаются в A2-33), A2 34). A2 36). В формулах A2-37)—A2-39) th означает гиперболический тангенс» Во мно- 1их случаях достаточно ограничиться только значением л=»1. Задача 12-2. В шестеренчатом насосе (фиг. 12-10) благодаря разности давлений, создающихся в нагнетательной полости (я) и во всасывающей по- полости (е}> часть жидкости через радиальные за юры (А) перетекает из на- нагнетательной полости обратно во всасывающую. Требуется определить ко- количество перетекаемой жидкости (утечки) согласно следующим даяньш: 1) каждый из зазоров представляет узкую щель, высота которой h = 0,009 см, длина щели J=0,2 см, а ширина Ь = 2Г9 см; 2) общий перепад давления й радиальный ламинарный поток 193 ^4 кГ/см2. Через зазоры протекает масло, вязкость которого при тем- температуре t =¦ 17° С, ^ = 6,83 г!смхек. Задачу -решить, не принимая со вни- внимание вращения шестерен. Решение, Вследствие того, что размеры всех зазоров, а также их число слева и справа одинаково, расход жидкости через левые и правые зазоры будет один и тот же. вен Фиг. 12-10. Схема шестеренчатого насоса. К задаче 12-2, В этих условиях перепад давления, приходящийся на один зазор, ра- Ьр 8p п =5 число зазоров с каждой стороны* Расход жидкости 8 Ьр = , где 8р через зазор можно определить по формуле A2-33), принимая ^I=—.f Ьр bh^ 4.9,8Ы05 2,9-0,0093 см* п 12.6,83-0,2 Число 9,81 •!№ введено в результате изменения размерности динамиче- динамического коэффициента вязкости- Общий расход Qo = ^Q — 0,2 см3/сек. Предлагается доказать самогтоятельно, что при неравные но толщине зазорах или при неодинаковом их числе, расчетной формулой будет слу- служить; ^* 1 1 + ^——г г~ U hi Заметим, что в шестеренчатом насосе перетекание жидкости (утечки) про- происходит также и через зазоры между торцами шестерен и корпусом (через торцовые зазоры)* 12-6* Плоский радиальный ламинарный поток Рассматриваемый в этом параграфе плоский радиальный по- поток представляет упрощенную модель потока, образующегося при фильтрации. Фильтрацией называется движение жидкости через некоторую пористую среду. Основные уравнения теории фильтра- фильтрации бьищ получены HL Е. Жуковским в 1889 г. Радиальный поток возникает, в частности, при фильтрации топлива через войлочные фильтры, устанавливаемые весьма ча- I $ Н. 3. Френкель,
194 Ламинарное движение ф [гл. 12 Фиг. 12-11. Фильтр тонкой очистки. /—фильтрующие секции; 2— корпус; 3—металлическая сетка» сто в системе питания двигателей внутреннего сгорания. Один из таких фильтров в собранном и разобранном виде показан на фиг. 12-11. В отличие от фильтрационного дви- движения грунтовых вод, которое может совершаться и под действием силы тяжести, движение жидкости через рассматриваемый фильтр происходит благодаря разности давлений по обе стороны от фильтра. В уловиях проте- протекания жидкости через фильтр возмож- возможна как ламинарная, так и турбулент- турбулентная фильтрация. В условиях ламинар- ламинарной фильтрации пьезометрический ук- Фиг. 12-12. Распределение лон пропорционален расходу в первой давления и скорости по тол- степени. В условиях турбулентной щине фильтрующей секции, фильтрации пьезометрический уклон пропорционален расходу в степени €>Ь Рассмотрим лишь ламинарную фильтрацию (фиг. 12-12) че- через фильтр с кольцевым сечением. Экспериментальные исследо- исследования ламинарной фильтрации позволяют выразить зависимость между пьезометрическим уклоном и расходом в виде: Q=kSJ , A2-40) ^C fat \ t или в виде A2-41) где k — h — dr коэффициент фильтрации, площадь поперечного сечения потока, м2; высота фильтра, м\ градиент давления. фильтрационного § 12-6] Плоский радиальный ламинарный поток 195 Для получения расчетной зависимости представим уравне- уравнение A2-40) в виде: г ' откуда после интегрирования или -In — Р\= -i 2nkh A2-42) Весовой расход G вычислим по формуле lg A2-43) На фиг. 12-13 изображены результаты исследований автором гидравлического сопротивления войлочного фильтра с секциями различных форм, показанных на фиг. 12-11. Исследованию под- подвергались фильтры разных размеров и разных сортов1. Из рас- рассмотрения этого графика следует, что перепад давления в преде- пределах опыта пропорционален расходу жидкости в первой степени, что подтверждает справедливость формулы A2-43), а значит и исходной формулы A2-40). Формула A2-42) может быть исполь- использована для исследования закона изменения давления в фильтре. Для этого ее надо представить в виде: 2«*A A2-44) где г — текущий радиус. Имея в виду, что согласно формуле A2-43) получим: Р\ Ч A2-45) Из формулы A2-45) следует, что в направлении течения давление падает или перепад давлений растет по логарифми- логарифмическому закону (фиг. 12-12).2 1 В исследованиях принимал участие П. С. Мучников. 2 При расчете фильтров, внешний контур которых представляет собой квадрат (см. фиг. 1^-11), в соответствующие формулы следует подставить 2Ь значение эквивалентного раднусаг равного z — —-, где Ь — сторона квад- квадрата. 1Л*
196 Ламинарное движение [гл. 12 дм SO го 15 to $ 8 7 6 5 7 5 & 7 в$ : 1 1 , 4 : . _ h i i с /.. 2 i -4 — j p —^ ^ - - -, t I --S- 1 ^-» j . - ¦ t f' ¦ " — a/ \ 5 T ^J j / ^^ 1 I •л— ш ^ ^^ ^ - т, _ - • Ь IS 20 30 40 № 70 Ш& r/ce/t Фиг. 1243. Зависимость перепада давления от расхода при фильтрации газойля (v = 0,068 см*/сек\ f—0,851 Г/сл3; i = 20еС). 1—круглые фильтрующие «хции iijdt —122/38; Г—круглые фильтрующие секции rf?/rfi3/Зв; 5—квадратные секции Из уравнения неразрывности Q = idem рость фильтрации v0i равная отношению площади кругового сечения фильтра S = следует, что ско- скорасхода Q к общей , т. е. A2-46) изменяется в радиальном направлении (фиг. 12-12) по гипер- гиперболическому закону cyr = idem. A2-47) Значения коэффициента фильтрации зависят от материала филь- фильтрующего элемента, степени его загрязнения, рода фильтрующей жидкости и ее температуры. Для однородной фильтрационной среды коэффициент фильграции может быть выражен через ко- § 12-7] Неизатермическое движение в круглой трубе 197 эффициент вязкости жидкости и так называемый коэффициент проницаемости, характеризующий фильтрационную среду A2-48) где у—объемный вес жидкости, к ^ — динамический коэффициент вязкости, кГ>сек\м2\ k —коэффициент проницаемости, м2. Существенное влияние на коэффициент проницаемости ока- оказывает пористость фильтрационной среды, которая характе- характеризуется так называемым коэффициентом порозности A2-49) где Wn—объем пор; W — общий объем пористой среды. Чем меньше knop, тем плотнее материал фильтра, тем боль- большее сопротивление он оказывает фильтрации жидкости. В табл. 12-2 приведены значения коэффициента фильтрации для войлочного фильтра, результаты испытания которого изобра- изображены на фиг. 12-13. Для сопоставления в той же таблице приве- приведены средние значения коэффициента фильтрации для некоторых других сред. Таблица 12-2 Значения коэффициентов порозности и фильтрации Фнльтрующнй материал Коэффициент ворозностп, Коэффициент фильтра- фильтрации, см}сек Гравий ) Пески @,06 < d < 2 мм) Супесь Суглинок Глинистый грунт , » . Торфяной гр^нт • ¦ . Войлок 30—40 30-45 35—45 35—50 40—55 60—80 86.5 О- 0- 1—6)— 10-5 I—6) — 10-6 i 0,00267 до 0.00384 12-7. Неизотермическое ламинарное движение в круглой трубе В неизотермическом потоке температура может изменяться и по живому сечению потока и по длине. Существенной величиной, влияющей на распределение скоростей и давлений в ламинарном потоке, является коэффициент вязкости жидкости ^; непостоян- непостоянство его в неизотермическом потоке является причиной наруше- нарушения законов распределения скоростей и давлений, свойственных изотермическому потоку.
198 Ламинарное движение [гл 12 Если, например, в изотермическом потоке в круглой трубе скорости распределяются по параболическому закону (фиг. 2-4), то в потоке неизотермическом, например в тешюсбменном аппа- аппарате, распределение скоростей будет подчиняться другому зако- закону (фиг. 12-14) г Важной особенностью неизотермического потока является и то, что вследствие неодинаковой температуры жидко- жидкости в потоке возникают конвекционные течения, как правило, также изменяющие распределение скоростей, соответствующее Фиг. 12-14. Схема распределения ско- скоростей в изотермическом и пеизо- термических ламинарных потоках. /—изотермический поток; 2—неизотермп- ческиЙ поток (нагревание); 5—неиэотерыи- чеекцй ноток (охлаждение), rz*4&1 f Фиг. 12-15» Схема зависимости от I по длине ламинарного неизотер- неизотермического потока, охлаждающегося в направлении движении. изотермическому потоку. Это особенно проявляется в трубопро- трубопроводах, расположенных вертикально. В общем случае конвекцион- конвекционные течения могут явиться причиной нарушения равномерности движения потока :и даже его ламинарностиг Неизотер мический ламинарный поток изучен недостаточно и в книге 'Подробно не рассматривается. Ниже будет рассмотрен случай приближенного решения лишь одного частного случая1 а именно определение потерь удельной энергии в потоке пеизо- термическом только по длине. Так как полная потеря удельной энергии на всей длине равна сумме потерь на элементарных Згчастках, ее можно приближенно определить, рассматривая дви- движение на каждом элементарном участке трубопровода как изо- изотермическое, по формуле h __ G2 Г 2go>4 J о dl, A2-50) где G — весовой расход. Для такого решения вопроса нужно знать закон распределе- распределения температуры вдоль трубопровода. Это позволит приближен- приближенно определить для каждого участка трубопровода коэффициент вязкости жидкости, объемный вес, число Re и коэффициент Интеграл I—vdl можно также вычислить, если изобразить о зависимость от / графически (фиг. 12-15). В этом случае он будет равен заштрихованной на фигуре площади. Для ко- r § 12-7] Неизотермическое движение в круглой трубе 199 $t =0°C (иэатзрмич> движение) Нагревание oo-dt ^=5-13 = 15-25 = 25-40 a &-$t = 18-30 ^30-35 0Л 0,S 0,8 1 Фиг. 12-16. Зависимость среднего значения коэффициента \ от Re при неизотермическом потоке в гладких трубах по опытам Михеева. о о охлйшдение 8t =22-65 + + + нагревание fit -18-52 0,6 0,8 1 Фиг. 12-17. Зависимость среднего значения коэффициента \ от %е при не- изотермическом потоке в гладких трубах по опытам Михеева для воздуха.
200 Основы гидродинамической теории смазки ротких трубопроводов по данным М. А. Михеева расчет hd в неизотермических потоках в круглой трубе можно производить, принимая среднее значение коэффициента Я по фиг. 12-16 и 12-17. Следует обратить внимание на то, что-коэффициент Я имеет различное значение в зависимости от того, движется ли жидкость в сторону увеличения температуры или в сто- сторону уменьшения. Число Re на фигурах соответствует сред- средней температуре. Глава тринадцатая ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ СМАЗКИ 13-1. Виды трения Гидродинамическая теория смазки занимается изучением гид- гидравлических явлений, возникающих в смазочном слое при отно- относительном движении двух твердых тел, разделенных этим слоем. Основоположником этой теории является выдающийся русский ученый HL П. Петров. Заслуга HL П. Петрова заключается в том, что он впервые в мире, в 1883 году разработал теорию тремя в хорошо смазан- смазанных подшипниках, исходя из положения, что трение в подшипни- подшипниках подчиняется гидродинамическим законам. В обоснование своей теории R П. Петров проделал огромное количество экс- экспериментальных исследований .по изучению вязкостных свойств различных жидкостей. Дальнейшее развитие гидродинамической теории обязано трудам О. Рейнольдса, Н. Е. Жуковского, С. А. Чаплыгина, Л. С. Лейбепзоиа и других. Представляют зна- значительный интерес также работы немецких ученых А. Зоммер- фельда, Ггомбеля и др. Первая работа HL E. Жуковского «О гидродинамической тео- теории трения хорошо смазанных тел» была опубликована в 1886 году. В 1904 году Н. Е. Жуковским совместно с С. Аг Чап- Чаплыгиным было дано точное решение задачи о движении вязкой жидкости в двух измерениях между двумя эксцентричными окружностями. Эта pa6oia послужила основой дальнейших работ в этой области. Следует указать, что до исследований HL E. Жу- Жуковского и С. А. Чаплыгина считалось, по утверждениям немец^ кого ученого А. Зоммерфельда, что точное решение этой задачи (подшипник бесконечной длины) невозможно. Л. С. Лейбензоном была исследована кинематика потока в масляном слое, установлены «границы приложимости гидродина- гидродинамической теории смазки». В наше время гидродинамическая теория трения развивается применительно к работе подшипников конечной длины. § Виды трения 201 ~))///УУУsУ/?s/у/ J 2 бнладьш В развитии этой теории большую роль сыграли и советские ученые Н. И. Мердалов, М. И. Яновский, Е. М. Гутьяр, А. К. Дьячков и другие. Подробное изложение гидродинамической теории смазки вы- выходит за рамки учебника но гидравлике. В эрой главе будут исследованы несколько частных вопросов этой теории: кинематика потока, способность жидкости в смазоч- смазочном слое воспринимать 'большие усилия, не выжимаясь из зазо- зазора, понятие о коэффициенте трения и некоторые другае. Теоретической основой гидродинамической теории смазки слу- служат дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости. При этом жидкость смазочного слоя рассматривается одно- однородной, хотя ее структура -в смазочном слое 'весьма сложна. В общем случае этот слой может быть представлен, как показано на фиг, 13-1. Непосредственно на поверхности твер- твердых тел, например цапфы или вклады- вкладыша, образуется пленка 1 окислов ме- металла 'ИЛИ СГО неорганических ООедиНС- Фиг. 13-1. Структура; сма- НИЙ (суЛЪфИДОВ, ХЛОРИДОВ И Т. 01.) ТОЛ- ЗОЧНОГО СЛОЯ. щиной*^ 10^4 мм. Такие пленки обла- обладают слоистой структурой, легко сдвигаются друг относительно друга, тем самым уменьшая трение. К пленке окислов или неорганических соединений примыкает так называемый граничный адсорбционный слой 2 смазочного вещества, удерживающийся возле поверхностей твердых тел под действием молекулярных сил, исходящих от этих тел. По своим механическим свойствам адсорбционный слой отличается от остальной жидкости смазочного слоя. Молекулы адсорбционного слоя располагаются около поверхности тел упорядоченными слоями. Иногда ближайшие к твердому телу молекулы адсорб- адсорбционного слоя вступают с инм в химическую реакцию (хемо- сорбция). Граничный слой образуется вследствие содержания в смазочном веществе поверхностно активных молекул (так назы- называемых присадок, добавляемых к маслам для улучшения их смазочных свойств), способных адсорбироваться на трущихся по- поверхностях (к числу присадок относится, например, олеиновая кислота). Остальная часть смазочного слоя 3 образована нор^ мальной смазкой. Рассмотрим явления, возникающие в смазочном слое подшип- подшипника. В состоянии покоя (фиг. 13-2) цапфа занимает самое нижнее положение. Она лежит на вкладыше подшипника, выдав- выдавливая под действием тяжести смазку в местах соприкосновения. Поверхности трения твердых тел в этом положении отделены друг от друга окисным и адсорбционным слоем, поэтому в мо- момент тротания (начала вращегтия) начальная сила трения, имею-
202 Основы, гидродинамической теории смазки [гл. 13 Фиг» 13-2. Положе- Положение цапфы в под- подшипнике в состоя- состоянии покоя. щая максимальное шачение, в основном зависит от состояния этих двух слоев. Такое трение называется граничным и всегда включает в себя элементы сухого трения, являясь по существу полусухим трением. При граничном трении, кроме вязкости жидкости, проявляют влияние еще и особые свойства адсорб- адсорбционного слоя в совокупности с вязкостью, на- называемые маслянистостью. Благодаря трению повышается температура окисного и адсорб- адсорбционного слоев, вследствие чего начальная си- сила трения уменьшается. Смазка, заполняющая внутреннюю полость подшипника, увлекается вращающейся цапфой. Цапфа нагнетает смаз- смазку в клинообразную полость, образованную поверхностями цапфы и вкладыша. Вследствие этого в пространстве Ц а жидкости создается повышенное давление, пе- передающееся «а поверхность цапфы. Возникающие силы стремятся приподнять цапфу. По мере всплывания цапфы увеличивается толщина смазочного слоя, изменяется режим трения. Полусухое и граничное трение пере- переходит в полужидкостное, характеризующееся тем, что наряду с влиянием на треиис адсорбционного гра- граничного слоя на пего начинает оказывать более значительное влияние главным об- образом вязкость жидкости. В дальнейшем ,при увеличении скоро- скорости цапфы и вследствие все большого на- нагревания смазочного слоя давление воз- возрастает, и при некотором его значении, соответствующем динамическому равнове- равновесию системы, всплывание цапфы дости- достигает максимального значения и она ока- оказывается расположенной в подшипнике эксцентрично относительно его оси (фиг. 13-3). В этом состоянии на трение оказы- оказывает влияние только вязкость жидкости. Такое трение называется жидкостным. Исследованию этого состояния смазочно- смазочного слоя будут посвящены следующие па- параграфы. При всплывании цапфы ее центральная ось перемещается от- относительно оси подшипника в направлении вращения цапфы, т. е. при вращении цапфы, например, в направлении часовой стрелки (фиг. 13-3), в том же направлении относительно оси подшипника переместится и ось цапфы. Пространство между цапфой и вкла- вкладышем заполняется смазкой. Чем больше скорость вращения, тем Фиг. 13-3. Положение цапфы в подшипнике при ее вращении при гидро- гидродинамическом трении и распределение гидроди- гидродинамического давления по поверхности цапфы. § 13-1J Виды трения 203 значительнее смещается цапфа. При угловой скорости вращ&ния, равной бесконечности цапфа стремится занять в подшипнике центральное положение. Однако такое центральное положение теоретически возможна лишь, как показал в 1886 г. Н. Е. Жуков- Жуковский1, только при отсутствий нагрузки. В положении, соответствующем определен- определенной нагрузке на поверхности цапфы, действу- действуют две системы сил: силы гидродинамического давления &Р, направленные перпендикулярно к поверхности цапфы, и силы трения о Г, на- направленные по касательной. Сила трения обу- обусловливается вязкостью жидкости и опреде- определяется из соотношений, приведенных в §, 9-L Только этим отличаются силы жидкостного тре- трения от сил трения, возникающих при вращении цапфы в отсутствии смазки Бри так называе- называемом сухом трении» При сухом трении цапфа занимает в подшипнике положение, показанное на фиг, 13-4. По причинам аналогичным повышенное давление создается и в масляном слое между ползуном <и опорной поверхностью. Фиг» 13-4» Положе- Положение папфы в под- подшипнике при се вращении и сухом трении* w a» S* ЗаЬусн а Фиг. 13-5, Распределение давления по опорной поверхности ползуна и кинематика потока в смазочном слое» Фиг. 13-6. Зависимость коэффициента трения при различных режимах тре- ни я. На фиг. 13-3 и 13-5 показано изменение гидродинамического давления в смазочном слое в подшипнике и под ползуном, Обра- i H, E. Жуковский, Полное собрание сочинений, т. IV, Главная ре- редакция авиационной литературы, М. — Л., 1937, стр. 234*
204 Основы гидродинамической теории смазки [гл. 13 тим внимание па то, что на краях смазочного слоя давление рав- равно давлению окружающей среды (весьма часто атмосферному) и достигает максимума где-то внутри масляного слоя. Опыт под- подтверждает, что весьма тонкий слой смазки оказывается способ- способным воспринимать значительные усилия, осуществляя тем самым наиболее благоприятные условия работы трущихся поверхностей в условиях жидкостного трения. Важными величинами, характеризующими свойства сма- смазочного слоя являются динамический коэффициент вязкости жидкости [1, нагрузка, характеризующаяся средним давлением РсР в смазочном слое, а 1акже величина угловой скорости п. Из этих величин можно образовать только один безразмер- безразмерный кохмплекс V _„ . с ср A3-1) играющий роль^критерия подобия в гидродинамической тео- теории смазки. На фиг. 13-6 показан характер зависимости коэффициента трения / (отношение нагрузки на смазочный слой к силе тре- трения) ^ ^ при различных режимах трения. -2. Основные уравнения В ^дальнейшем будем считать толщину смазочного слоя малой, хотя и значительно большей, чем шероховатость тру- трущихся поверхностей. В рассматриваемых случаях трущиеся поверхности всегда будут разделены смазочным слоем. Ши- Ширину трущихся поверхностей будем считать достаточно боль- большой (как говорят, равной бесконечности). В этом случае мож- можно пренебречь утечками жидкости через торцевые зазоры (и = = 0), а поток рассматривать как плоский со скоростями и и ^Пренебрегая влиянием веса жидкости, кривизной траекто- траекторий и ускорением движения для приближенного исследова- исследования, достаточно будет воспользоваться дифференциальным уравнением движения A2-31), выведенными в § 12-5 для по- потока в плоской щели, обозначая их=иу др д*и 3*=РЯ?- A3-2) В этом уравнении в отличие от равномерного движения const, дх причем, по толщине смазочного слоя давление имеет одно и то же значение» Основные уравнения 205 V Ось цитры—vi / Исследование изменения скорости иг не представляет ин- интереса 1. При сделанных оговорках это уравнение справедливо и для смазочного слоя подшипника и для слоя б ползуне. Оно могло быть получено и из уравнения Навье-Стокса как частный случаи. В дальнейшем вязкость жидкости рассматривается, не зависящей от давления, что делает весь расчет еще более приближенным. Сперва изучим распре- распределение скоростей по жи- живым сечениям смазочного слоя. Для этого проинте- проинтегрируем уравнение A3-2) для большей определенно- определенности применительно к паре цапфа —подшипник (фиг. 13-7). Дважды интегри- интегрируя, получим: 0" _ дР dz ox Фиг» 13-7. Кинематика потока в смазочном слое подшипника г ^¦а = Постоянные интегрирования определим из условия: на внутренней поверхности вкладыша, т. е. при 2 = 0 и —0, вследствие чего D — 0; на поверхности цапфы, т. е. при г = А и u=-\-U, где [/—окружная скорость цапфы, h t 'дх Поэтому ¦ди 2 A3-3) A3-4) Для последующего определим расход Q, отнесенный к еди- единице ширины подшипника *=1. Для этого вычислим инте- интеграл др /? J о ~дх A3-5) 1 Между скоростями их и uz существует зависимость, определяемая уравнением неразрывности (8-21) (при иу = 0).
206 Основы гидродинамической теории смазки [гл 13 На основании уравнения неразрывности расход через любое сечение имеет одно и то же значение. Вычислим его для се- сечения, в котором давление достигло экстремума (^ = Обозначим толщину слоя в этом сечении через Ао (в подшип- подшипнике таких сечений будет два: одно для рмакс1 другое для г мин /¦ Получим: 2 " При этом для J. будем иметь следующее уравнение: дх A3-6) Уравнение A3-6) называется уравнением Рейнольдса и может Сыть использовано для приближенного исследования смазотаого слоя как в подшипнике, так и в ползуне. Из полученного уравне- уравнения следует, что при постоянной толщине смазочного слоя дав- давление р также оказывается постоянным и должно быть равно давлению на границах. В этом случае смазочный слой не может развить необходимых усилий для полдержания цапфы во взве- взвешенном состоянии. ^Для подшипника иш ползуна конечной ширины уравнение Рейнольдса имеет следующий вдц: dx иг дР\ h ду) — дх A3-7) Для подшипника или ползуна бесконечной ширины = 0 и уравнение A3-7) обращается в уравнение A3-6). Подставляя значение 4? из A3-6) в A3-4), получим: A3-8) Исследуем уравнение A3-8). В сечении h чении с экстремальным значением давления рости изменяются по уравнению — Пп, т. е. в се- , ско- т. е. по прямолинейному закону, § 13-3] Распределение давления в смазочном слое ползуна 207 Левее этого сечения ^<0 (отрицательно) и поэтому профили скоростей изображаются параболами, вытягивающи- вытягивающимися в сторону ?/, и, наоборот, правее этого сечения ^ > 0 и профили скоростей изображаются параболами со скоростями, имеющими даже различное направление. Наибольший интерес представляет сечение, в котором ка- касательная к эпюре скоростей в точке z— 0 образует с радиу- радиусом цапфы угол 6 = 0. До этого сечения, как показал Л. С. Лейбензон, смазочный слой не разрушается. Для этого сечения ^- = 0 и из уравнения A3-3) следует, что при этом дг Это сечение определяет границу смазочного слоя. Справа от это- этого сечения возникают обратные течения, разрушающие смазоч- смазочный слой. Аналогичная картина наблюдается и в смазочном слое ползуна (см. фиг. 13-5). При исследовании смазочного слоя ползуна всей системы, включая и жидкость, сообщается движение со скоростью, проти- противоположной скорости ползуна. На фиг. 13-5 показаны относи- относительные скорости в потоке по отношению к ползуну. 13-3. Распределение давления в смазочном слое ползуна и коэффициент трения В дальнейшем распределение давления будет исследовано только для смазочного слоя ползуна, с тем чтобы показать спо- способность смазочного слоя развивать поддерживающее усилие и тем самым не допускать сухого соприкосновения трущихся*по- верхностей, а также определить коэффициент трения. v Для исследования закона распределения давления введем в уравнение A3-6) величину (фиг. 13-5): и проинтегрируем его, Получим: 6ц?/ Г С dx _ hQ С dx 'Р0 — ~t^~§~ [J (a — *J tg9 J (а— х о о или 2ax — x2 2 (в__ 03-9) где Ро —давление в начале (*=0) и в конце ползуна [х = {а — Ь)\\ = .А- —размер, определяющий сечение с максимальным давлением.
208 Основы гидродинамической теории смазки [гл. 13 Этот размер можно определить, положив в уравнении A3-9) Р = Ро и х^а—Ь. Для Ьд получим: г . A3-10) Подставляя в уравнение A3-9) значение Ьо и обозначая = е> будем иметь: X Р Ро — '(„ i.aw~2 0 " -jr* ^ Л 7 ^Т2 • и***11) Эпюра разности давлений изображена на фиг. 13-5. Величину поддерживающей силы Р найдем, взяв интеграл о о где В~ ширина ползуна, а Интегрирование осуществлено подстановкой а — Среднее давление по поверхности ползуна рс , возникающее в масляном слое, будет равно; Р < с п ~ Ь) A3-13) где а — b V Силу трения, действующую на опорную поверхность пол- зуна, вычислим по формуле х=е т= или =-В\х Г ^.dx=~B Г г— -~ - A3-14) где § 13-3] Коэффициент трения 209 Назовем коэффициентом трения / отношение -^- A3-15) Коэффициент трения можно также определить через сред нее давление р а именно: 1 tgU (a — A3-16) Подставляя в последнее значение tgf) из формулы A3-15) найдем: откуда A3-17) где о = т Таким образом, коэффициент трения для ползуна зависит от конструктивных размеров опорной поверхности ползуна и от его положения (от 9ь Ъ и Ъ)> а также от дина- динамического коэффициента вязкости р, скорости ползуна и сред- среднего давления рс . Коэффициент трения пропорционален корню квадратному из критерия подобия A3-18) Pcpi Для геоме!ричсски подобных систем коэффициент о имеет одно и то же значение. Поэтому f будет иметь одинаковое значение только при равенстве критерия 5. По своей струк- структуре формула A3-18) аналогична формуле A3-1). |4 Н. 3. Френкель
210 Турбулентное движение [гл. 14 Глава четырнадцатая ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ 14-1. Поле скоростей в турбулентном потоке. Начальный участок Хотя дифференциальные уравнения движения реальной жидкости справедливы также и для истинных скоростей турбу- турбулентного движения, однако сложность явлений, происходящих в нем, не штволяет для исследования этого потока воспользовать- воспользоваться в полной мере этими уравнениями. Вместо действительного турбулентного потока в гидравлике исследуется его упрощенная модель .—.рсредиеяный турбулентный поток. При построении этой модели исходят из гипотезы о том, что поле скоростей в про- cJP^^ei -3!н™аерм турбулентным потоком, можно разбить на два поля: на поле местных осредненных скоростей п и на поле_пул>сатхишшых скоростей uf. В этом потоке проекции истинных скоростей uri uv и ит jc* "у можно выразить через проекции осредненных скоростей п, и пулъсационных и' и' и и' а именно иу и uz и =и 4- и A4-1) Такая модель потока позволяет установить важные соотношения между осредненными характеристиками турбулентного потока (осредненными скоростями, давлениями), что и является важ- важнейшее задачей гидравлики. Рассматриваемые в эфой главе вопросы турбулентного движе- движения относятся к осредненному сформировавшемуся установивше- установившемуся (потоку, который, так же как и ламинарный латок в трубо- трубопроводе, формируется постепенно. Длина начального участка бу- будет зависеть от условий входа и от числа >Rey соответствующего потоку. Однако роль начального участка в гидравлических рас- расчетах турбулентных потоков незначительна. Большое количество экспериментальных исследований показывает, что 'Практически формирование поля осредненных скоростей заканчивается на длине трубопровода, равной A4-2) = D0 — 50) 14-2. Дифференциальное уравнение турбулентного потока Рассмотрим установившийся турбулентный поток в круглой трубе, симметричный относительно ее ося, со скоростями h ur = ur где г~ радиальное направление, и выяс- 14-2] Дифференциальное уравнение турбулентного потока 211 ним какое влияние оказывают пульсационные составляющие скорости на силы, возникающие в осреднепном потоке1. В потоке выделим цилиндрический объем с радиусом г (фиг. 14-1). Благодаря пульсацноиной составляющей скорости и'г через боковую поверхность рассматриваемого объема жидко- жидкости будут втекать и вытекать частицы жидкости. При этом втекающие частицы будут иметь осевую скорость их=^их-[-и'х , меньшую, чем осевая скорость частиц, вытекающих через ту же поверхность. Но согласно урав- уравнению неразрывности масса жидкости в объеме остается неизменной, происходит толь- только обмен частицами, однако при этом происходит измене- изменение количества движения рас- Фиг. 14-1. Поверхностные силы» сматриваемого объема, что рав- ствующис на цилиндрический объем НОСИЛЬНО действию на поверх- в осреднениям турбулентном: потоке. ности рассматриваемого объ- объема импульса внешних сил, направленного в сторону, обратную движению. Частица жидкости, имевшая осредненную скорость в осевом направлении их) попадает в область цилиндра, пересекая боко- боковую поверхность и углубляясь на некотором расстоянии /', где осевая скорость имеет значение их-\--г-1\ внося с собой меньшее количество движения, чем выносит из того же объема вытекающая частица. Если обозначить поперечную пульсацион- ную составляющую скорости этой частицы через й то коли- количество массы, которое будет перенесено через Синицу площади боковой поверхности в единицу времени, будет равно риг, а уменьшение количества движения за то же время в направлении оси движения равно; Этой величине и будет равен направленный в сторону, обрат ную движению, импульс внешних сил т. Таким образом, A4-3) дг 1 Исходными уравнениями для исследований турбулентного движения могут лосдужигь дифференциальные уравнения осредненного турбулентного потока, получаемые путем осреднения дифференциальных уравнеьшйИавье- Слхжса. Однако почти те же результаты можно получить и более просто, что в дальнейшем будет сделано. 14*
212 Турбулентное движение [гл. 14 где т—напряжение тех дополнительных поверхностных сил, которые компенсируют влияние перемешивания частиц, а вели- величина Г носиг название длины пути перемешивания. Под этой длиной следует подразумевать расстояние, которое должна пройти в поперечном направлении часгица для того, чтобы успеть приобрести скорость, соответствующую той точке, в которую она попадает. Для дальнейшего важным является установление связи меж- между новыми и неизвестными величинами ип V и -^-. Связь эта устанавливается на основании гипотез, справедливость которых может быть проверена только путем сопоставления полученных результатов с опытными данными. Наиболее распространенной гипотезой является предположение о том, что пульсационная составляющая скорости пропорциональна V т. е. г г /' При этом ( ди Г" \ 2 дг Включив коэффициент пропорциональности в 1\ формулу для т можно представить в виде: & V В этой формуле V попрежнему называется длиной пути перемешивания, хотя физический смысл этой величины и отли- отличается от значения Г, ранее введенного К Заметим, что, несмотря па сложность физического смысла величины /', закон ее распределения по потоку может быть найден экспериментально, так как на основании опытных данных можно вычислить I'2, которое равно: A4-5) Формула A4-4) определяет то дополнительное касательное напряжение, которое создастся на боковой поверхности ци- * Заметим, что сопоставление уравнения A4 3) с уравнением, получаемым путем осреднения уравнений Напье-Стокса, позволяет установить за вис и- „ дих ' ' ' мость V—- = мг, а 1 =. or & 14-21 Дифференциальное уравнение турбулентного потока 213 линдра в установившемся турбулентном потоке благодаря только пульсационным составляющим скоростей (благодаря турбулентности). Общее напряжение i рения принято определять как сумму в_я_зкостыо~_и турбулентностью: ди 2 й ди A4-6) Влияние каждого из членов, входящих в уравнение (Н-6), в различных местах погока сказывается по-разному. Вблизи стенок в районе ламинарного слоя главным образом прояв- проявляется влияние вязкости. В центральной зоне — влияние тур- турбулентности. Таким образом, в установившемся аурбулентном потоке на цилиндрический объем будут действовать силы, показан- показанные на фиг. 14-1, а уравнение движения этого объема может быть представлено в виде: (Р\— откуда 21 (Н-7) Обозначим через т0 напряжение сил трения на стенке. Из уравнения A4-7) следует, что -о 21 (U-8) или •о и A4-9) откуда следует, что в рассматриваемом случае касательное напряжение распределяется по линейному закону, так же как и в анало! ичном случае ламинарного движения (фиг. 12-4). Б связи с формулой A4-9) дифференциальное уравнение установившегося турбулентного потока можно представить в виде 1: г ди . /#„ /ди У п к «,., ~°' 70=^'X'W^ p/ ("drj ¦ A4-10) 1 В дальнейшем в т>рбулснтном двидении под и Всюду будет подра- подразумеваться осредпенная осееаэт CKopocTi/ uj)
214 Турбулентное движение [гл. 14 Величина 1/ — имеет размерность скорости и называется „скоростью касательного напряжения", Обозначим ее через v%: т.2 — ^ — Pi — Р2 о- A4-11) Скорость о. является одной из важнейших характеристик турбулентного потока. Для данного потока v9 является вели- величиной постоянной. 14-3. Распределение скоростей по сечению турбулентного потока1 При исследовании закона распределения скоростей в круглом трубопроводе воспользуемся уравнением A4-10), пренебрегая в нем членами, зависящими от вязкости. Представим это уравне- уравнение в виде: Для интегрирования этого уравнения необходимо знать закон, которому подчиняется величина V\ Выяснению этого закона было посвящено много работ и предложено достаточно большое коли- количество формул для выражения этого закона. Все эти формулы являются эмпирическими и приближенными» В зависимости от применяемой формулы для V получается то или другое выраже- выражение для распределения скоростей. Наибольшее применение в Инженерном деле нашла логарифмическая формула распределе- распределения скоростей. Проф. А. А. Саткевич принял для отношения Г/Го сле- следующую зависимость: A4-13) где у. — некоюрая постоянная для данного потока величина. Подставляя это значение в уравнение A4-12), получим; 2 Л / * Г \1 дг откуда и макс i du= V. и Знак „ — • взят потому, что при dr>0 всегда 1 О распредодеггии скоростей в открытом каггале будет H3.io?KeFiQ в гл. 25, Распределение скоростей по сечению турбулентного потока 215 После интегрирования получаем (для r<CrQ): 'G A4-14) Обозначая расстояние от стенки до рассматриваемого слоя через будем иметь: 'Л 2,3 0 A4-15) Эту же формулу можно представить и в виде: 2,3 A4-16) где v —кинематический коэффициент вязкости; vm, х и А — постоянные. Формула выражает так называемый логарифмический закон распределения скоростей в трубопроводе (за исключением при- пристенной области)» На фиг. 14-2 изображено несколько линий согласно урав- уравнению A4-14), каждая из которых соответствует некоторому постоянному значению * = 0,28 н- 0,46. На той же фигуре точ- точками показаны экспериментальные значения махс для потока в гладких трубах при 7?e = 396Q<H_ Из фигуры следует, что экспериментальные точки не располагаются вдоль одной и той же линии, а пересекают линии с разными значениями х, изменяющимися в широких пределах. Аналогичная картина наблюдается в потоках и при других значениях числа Re и не только в гладких, но и в шероховатых трубах. В гладких трубах при больших значениях Re хорошее совпадение с опытом области — = оЛ5-^ 0,5 получается только в при х = Поэтому формулу A4-14), получившую наибольшее распро- распространение в гидравлических расчетах, следует рассматривать только как приближенную. Величину у. нельзя рассматривать как постоянную не только для потоков с различными значе- значениями Re, но и в потоке с заданным значением Re. Заметим, что формула A4-14) дает максимальное значение а ^ на оси потока. Однако это является следствием условий, маис положенных в основу ее вывода. На фиг. 14-3 сплошная линия соответствует формуле A4-14) и х = 0,31. Точками показаны экспериментальные данные как для гладких, так и для шероховатых трубопроводов.
216 Турбулентное движение [гл. 14 При * = 0,4 формулу A4-15) можно представить в виде и. 1 = ~5,75Ы^-. A4-17) При том же значении х и Л=5,5 формула A4-16) может быть записана в виде: 0,2 Ь\ 12 to S 8 г 1 1 I у* 1 1 1 6000 'А У/ 1 1 I lil III # 0,6 Фиг. 14-2. Зависимость недостатка скорости от Точками показаны экспериментальные дан- данные для глалких груб при Я<? = 336 СГО. Сплошные льиин соответствуют различным значениям х» V A4-18) «2 as аз w Фиг. 1 -4-3. Зависимости недостатка скорости от г//о ^ля гладких и ше- шероховатых труб. (для пристенного слоя лучшее совпадение с опытом получает- получается при Л=5,8). В некоторых случаях непло- неплохое совпадение (фиг. 14-4) с опытом (для у/г^О. эмпирическая формула и U M.Q.KC выражающая так называемую степенную зависимость. В этой формуле п зависит от Re. При Re~ 26000 -s-3 240- Ю3, п изме- изменяется соответственно в пределах -ь0,10. 14-3] Распределение скоростей по сечению турбулентного потока 217 OJ О/ 073 8? %5 0t8 OJ 0^8 О, и / У \п У Фиг» 14-4. Зависимость = (-—-J от -7- в гладких трубах при раз[гых значениях п\1 — к=0,102; 2— п = О, Верхние точки соО]ветсгв>Ю7 Re = 3 240 ССО, нижние Re - I 53G Ш\ Для определения средней скорости вычислим сначала расход, воспользовавшись формулой A4-15): Заменяя г на го^уу будем иметь: — и 2^4, л v —- In-('"о — у- J го о Интегрируя, получим 0 = и „ ш — ^С urttrr 2r.v+ макс ИЛИ Ъ Среднюю скорость вычислим по формуле * = -л- = "„я„л —-от**- со При ^ = 0,4 или —3,7s A4-20) A4-21) 'A4-22)
218 Турбулентное движение {гл. 14 макс На основании исследований потоков в гладких трубах для атором предложена формула и = макс -0,5}о, A4-23) При этом для v согласно A4-22) получим: v = E,1 igRe — 4,25) р., или A4-24) Из формул A4-23) и A4-24) имеем: и макс —0,5 5,1 \gRe- 4,25 A4-25) что дает для #е= " 16,5 — ^^ для = I О6 26,35 Напомним, что в ламинарном потоке т = 2 и не зависит от числа Re. Формулами A4-14) — A4-25) решаются вопросы, относящиеся к исследованию поля скоростей турбулентного установившегося и сформировавшегося движения в гладких трубопроводах: сначала для заданного о. [формула A4-11)] определяем методом подбора v из A4-24), затем, вычислив Re, находим и из A4-2*5); после этого строим эпюру скоростей согласно A4-14). На фиг. 14-5. изображены эпюры скоростей для турбулентного потока в гладких трубах при разных значениях чисел Re. Формулой A4-14) воспользуемся для определения расстоя- расстояния уср от стенки, где скорость равна и: макс A4-26) Воспользовавшись зависимостью A4-22), получим: Cp или У ср Г<\ - = 0,223 A4-27) л 14-4] Коэффициент сопротивления трения по длине трубопровода 219 Фиг- 14-5, Зависимость и'и макс от rjrQ в гладких трубопроводах 1фи разных значениях числа Re. Ф. А. Шевелев1, исследуя потоки в шероховатых стальных и чугунных трубах, рекомендует для них • ^=0,24, % что практически мало отличается от приведенного выше, у Заметим, что для ламинарного движения -^ = 0,295. Таким образом, вблизи стенок в турбулентном потоке скорости воз- возрастают быстрее, чем в ламинарном поюке. 1-4. Коэффициент сопротивления трения по длине трубопровода А при турбулентном движении В отличие от ламинарного движения, при котором формула для коэффициента сопротивления трения А была получена тео- теоретически, яри турбулентном движении для получения расчетных 1 Ф. А, Шевелев, Исследование основных закономерностей турбулент- турбулентного движения в трубах, Го^тройиздат, Москва, 1953.
" 220 Турбулентное движение [гл. 14 формул приходится опираться и на экспериментальные данные. Невозможность чисто теоретического вывода обусловливается тем, что уравнения энергии осредненного потока включают члены (новые неизвестные), определение которых возможно только на основании некоторых гипотез, достоверность которых может быть проведена только экспер и ментально. Современные исследования коэффициента л представляют сочетание экспериментальных и теоретических приемов и этим отличаются от рангшх работ, бази- базировавшихся только на опыте. Исследованием гидравлических сопротивлений трубопроводов занимаются более 2О0 лет (первые опыты проведены францу- французом Купле еше в 1732 г.). Этот большой отрезок времени можно разбить на 1ри периода: ¦ Первый период — от опытов Купле до создания в конце XIX" в, теории тгадродинамического подобия. В течение этого пе- периода 'исследования базировались только на экспериментальных данных. Полученные результаты можно было использовать толь- только для условий, во всем тождественных условиям эксперимента. Теоретическая база эксперимента еще не была разработана, бла- благодаря этому не представлялось возможным обобщение резуль- результатов многочисленных экспериментальных работ. Второй период — от конца XIX ъ. до тридцатых годов XX в.,—ознаменовавшийся успехами в исследованиях гидрав- гидравлических сопротивлений благодаря применению законов гидро- гидродинамического подобия и теории размерности шрн обработке экс- экспериментальных данных. Это позволило обобщить результаты предшествующих опытов и найти закономерности, >нс потерявшие своего значения до настоящего времеш. Третий современный период берет свое начало с тридцатых годов нашего столетия, В течение последнего двадцатилетия были разрешены важные для гидравлики турбулентного потока вопросы. Использование их для определения гидравлических со- сопротивлений дало весьма хорошие результаты. Однако и до сего времени многие вопросы, относящиеся к этой области, еще пол- полностью не разрешены. Выдающийся вклад в исследование гидравлических сопротив- сопротивлений внес Н. Н. Павловский. В наше время решением этих во- вопросов зацймаклея многие советские гидравлики: И. И, Агроскин, А, Д. Альтшуль, П. Ф. Горбачев, В. Ы. Гончаров, Вт Н. Еврей- нов, И. А. Исаев, П. К* Конаков, Г. А. Мурин, Г. К- Филонелко, Н. 3, Френкель, Ф. А. Шевелев и др, Из иностранных работ следует отметить исследования Т. Кар- Карману, Л. Прапдтля, И, Пикурад^е, Кольбрука, Уайта, Миллера. Трудность решения этой проблемы обусловливается сложно- сложностью процессов, совершающихся в турбулентном потоке вообще и, в частности, в трубопроводах. В инженерном деле широкое применение находят трубопроводы самых разнообразных сечений -1I4-4 J Коэффициент сопротивления трения по длине трубопровода 221 (круглые, кольцевые, овальные, прямоугольные *i др.). Стенки этих трубопроводов имеют различную поверхность, причем шеро- шероховатость стенок оказывается настолько сложной и разнообраз- разнообразной, что с трудом поддается описанию: [Поверхность покрыта беспорядочно разбросанными выступами различной формы; даже стеклянные трубы, которые часто называют гладкими и цилинд- цилиндрическими, имеют волнистость. Кроме того, характер шерохова- шероховатости трубопроводов изменяется под влиянием эксплуатационных условий (коррозии, отложений и т. п.), причем эти изменения за- 2,8 3.0 3,2 3,6 3,8 4,0 4,2 i,6 4,8 5,0 5,4 St$ 5>$ Фиг. 14-6. Зависимость X от Re {в логарифмическом масштабе) для трубо- трубопроводов с зернистой шероховатостью, ранее предвидеть невозможно.!} газопроводах наблюдались слу- случаи, когда шероховатость трубопровода в процессе эксплуатации существенно уменьшалась. Он отшлифовывался от воздействия взвешенных твердых частиц, находившихся в газе1. Добавим, что существенное влияние на характер потока, а значит и на гидравлическое сопротивление, оказывают стьпш труб, сварочные швы и ряд других причин, относящихся к качеству монтажа трубопроводов. Современные экспериментальные работы по исследованию гидравлических сопротивлений трубопроводов следует разбить на две группы. К первой группе отнесены исследования коэффи- * Автор вел наблюдение над трубопроводом D = 53 мм в течение три- тринадцати лет- По этому трубопроводу прокачивалась в условиях лаборато- лаборатории чистая вода. Трубопровод весьма часто освобождался от воды» За это время гидравлическое сопротивление трубопроводов увеличилось на 65%.
222 Турбулентное движение [гл, 14 циента Я, выполненные в трубопроводах с 'искусственной шерохо- шероховатостью, ко второй группе — с естественной шероховатостью. Искусственная шероховатость создавалась следующим образом: внутренние стенки труб сначала покрывались лаком; затем труба заполнялась песком определенной зернистости (со средним диа- диаметром А), приклеивавшимся к стенкам однородным слоем. После этого бугристая поверхность вновь покрывалась лаком и высушивалась. Относительная шероховатость .характеризовалась отношением <t\ Тш^ю^однородную искусственную шерохова- шероховатость в дальнейшем будем называть зернистой- Ко второй группе от- несоны исследования про- промышленных трубопрово- трубопроводов с их натуральной ше- шероховатой поверхностью. Шероховатость промыш- промышленных трубопроводов в настоящее время характе- характеризуется некоторой вели- величиной А, эквивалентной 0,035 Г™1 — Опыты 8ТИдада О Фнт\ Н-7. Зависимость \ от lg Re длч трубо- трубопроводов с естественной шероховатостью зернистой шероховатости, вызывающей в трубопро- трубопроводе того же размера к при определенных условиях (т. е. при одних и тех же числах Re и расходах) одинаковые потери удельной энергии. Результаты исследований тех и других трубопроводов изо- изображены на фиг. 14-6 и 14-7. На оси абсцисс этих фигур отложены значения igRe, а на оси ординат —на фиг. 14-6 значения lg 100 X A00 \ во избежание отрицательных значений lg*) и на фиг. 14-7 —численные значения \. На фиг. 14-6 все линии берут начало в области, соответствующей ламинарному движению, где значения коэффициента I имеют для всех труб одно и то же значение, зависящее только от величины числа Re. При переходе в область трубулентного движения изме- изменяется характер влияния на коэффициент X и числа Re и шеро- шероховатости -j. Из исследованных трубопроводов выделяются сперва так называемые гладкие трубы, для них значения X, группируются около одной и той же линии (линия „гладких труб"). Вдоль той же линии группируются вначале и значения а для некоторых шероховатых труб (причина этому будет объяснена позже). В этом случае шероховатую трубу назы- называют гидравлически гладкой1. 1 Установлено, что даже стеклянные трубы в действительности имеют шероховатость, которая, однако, в отличие от волнистости не существенна. А 14-4) Коэффициент сопротивления трения по длине трубопровода 223 Обработка экспериментальных данных для труб с зернистой шероховатостью показывает, что это имеет место при В дальнейшем для каждой шероховатой трубы значения коэффициента X располагаются вдоль индивидуальных линий, параметром которой является —г-. Чем больше значение —г , тем выше располагается соответствующая линия. Обращается внимание на то, что в трубах с натуральной шероховатостью коэффициенты X монотонно убывают с увеличением числа Re в отличие о г трубопроводов с зернисюй шероховатостью, характерным для которой является во многих случаях „впа- „впадина*, нарушающая монотонность в изменении Я. Аналогичная впадина была получена и А. П. Зегжда в опытах в открытых каналах со стенками также с зернистой шероховатостью. При увеличении значений числа Re в шероховатых трубах влияние его убывает и для каждой трубы наступает предел, при ко- котором влиянием Re можно уже пренебречь. В этой области коэффициент ^ становится зависящим практически только от шероховатости -,-. Для труб с зернистой шероховатостью это имеет место при 4 Таким образом, экспериментальное исследование коэффи- коэффициента показывает существование пяти различных зон, каждая из которых характеризуется своими закономерностями^ Первая зона—зона ламинарного движения; ^ зона — зона перехода турбулентного движения в ламинарное; третья зона — зона турбулентного двржрния r гладких тру- трубах и движения в шероховатых трубах, когра они обладают тем же сопротивлением, что и гладкие трубы (гидравлически гладкие трубы); четвертая зона — общая зона турбулентного движения в шероховатых трубах, в которой на значение коэффициента X оказывают влияние и число Re и шероховатость —р; пятая зона — квадратичная (или автомодельная)—зона тур- турбулентна; значение коэ< [гых трубах, в которой на >ициента X влияние оказывает практ^иргки только
224 Турбулентное Овижение [гл. 14 Анализ экспериментальных данных показывает, что функ- функциональная зависимость A1-16) представляет собой общее вы- выражение закона изменения коэффициента X. В частных слу- случаях функциональная зависимость оказывается или только функцией Re, или даже только функцией — . Для равномерного ламинарного движения в круглых трубах G4 X =^: A4-28) Зона перехода турбулентного движения в ламинарное харак- характеризуется сложным законом гидравлического сопротивления, значение коэффициента X для э i ой зоны ориентировочно по исследованиям автора можно определять по формуле Н^н- A429) В дальнейшем для определения коэффициента будет пред- предложена наряду с другими формулами формула автора для тур- турбулентного движения в промышленных шероховатых и гладких трубах: A4-30) Эта формула в случае гладких труб или при малом влия- влиянии шероховатости, при котором членом ^-=-* можно прене- бречъ по сравнению с l~- j примет вид: A4-31) При малом влиянии второго члена формула A4-30) обра- обращается в формулу для квадратичного режима -к=2 A4 32) В этом случае режим движения соответствует так назы- называемому квадратичному закону сопротивления—квадратичному потому, что при X, не зависящем от числа Re. jrorepn удель- удельной энергии [формула ПЫ8)| оказываются пропорциональными квадрату средней Э у рд р Эти режимы называются автомодельными, так как при со- соблюдении постоянства—т- для этих режимов будет получено одно и то же значение \ независимое от Re. Формула A4-30) может быть использована для эксперимен- экспериментального определения шероховатости. [4-5] Козффиц сопротивления трения по длине гладкого трубопров 225 14-5. Коэффициент сопротивления трения по длине трубопровода Я при турбулентном движении в гладких трубах Дадим вывод формулы для коэффициента Я при движении жидкости в гладких трубах. Для некоторого упрощения рас- расположим трубопровод горизонтально. Воспользуемся форму- формулами A1-18), A1-20), A4-8) и {14-11). Получим: х d откуда V V* или V A4-33) A4-34) V Подставляя вмесю —сгозста- V ченне согласно формуле A4-24), получим для гладких труб: Re 1.8 6.81 или, что то же самое, 1 8 8 ? f г. / Л г / J .•/ / ¦/ У у — / 1 у f Г _ j A4-35) A4-36) Л S7$ 14-8. Зависимость коэффициента для гладких трубогтро- R. На фиг. 14-8 показана зависимость f(Re). ам же точками показаны значения X, полученные экспериментально при исследованиях сопротивлений в гладких трубах. На фиг. A4-6) и A4-7) значению X, вычисляемому по фор- формуле A4-36), соответствует линия Аг. В табл. 14-1 приведены значения Я, вычисленные по фор- формуле A4-36). Формула, аналогичная A4-35), была предложена В. Милле- Миллером !, который исходил только из экспериментальных данных- Затем эту формулу обосновывал П. К» Конакок 2. В последнее время советскими учеными А. Д. Альтшулем3, И. Л. Исаевым4, 1 В. Mil 1 е г. Cliem. and МсЫ1. Eii?,, 44, J 937, № 10 ^П. К, Кона ков, Доклады АН СССР, 1946, Хе 7. 3 А. Д. Л л ьтщуль, Доклады АН СССР, г'овая серия, 1950, 4 И. Л. Исае в, „Нефтяное хозяйство", 1951, № 5. IS H. зг 5.
226 Турбулентное движение [ гл. Таблица 14*1 Значения коэффициента \ для гладких трубопроводов применительно к формуле C) Re 4 000 5 000 6 000 7 000 S000 10 003 15СЮ0 20 000 25 000 30 000 35 000 40 000 0,0403 375 356 340 328 303 276 257 243 233 224 0,0217 45ОО0 50 000 60 000 70 000 80 000 100 000 150 000 200 000 250 000 300 000 350 (.300 400 000 0,0212 207 193 192 18(> 178 1G4 155 143 143 141 0 013G Re 453 000 500 000 G00 000 700 G00 800 000 1 000 000 I 5 JO 000 2 000 000 2 500 000 3 000 000 ;з 51ЮО0О ¦ X 0,0133 130 126 123 121 Пвг 103 103 100 096 0,0095 Г. К. Филояснка1, Ф. А. Шевелевым2 предложены другие фор- формулы для расчетов в гладких трубах, дающие практически те же значения К что и формулы A4-35) и A4-36). В гидравлических расчетах гладких трубопроводов при турбу- турбулентном движении широкое применение нашла формула немец- немецкого ученого Блазиуса, полученная им в 1912 г. путем обобщения большого числа опытов, выполненных многими иоследовагелями- Формула Блазиуса может применяться при Re :^1О0 00О » имеет вид: A4-37) Использование формулы Блазиуса для определения потерь энергии в гладких трубах позволяет установить, что в пределах ее 'применимости потери удельной энергии оказываются пропор- пропорциональными средней скорости v в степени 1,75. Ич других формул следует отметить формулу Кармана- Прапдтля. Эта формула может быть получена из уравнения A4-18), написанного для средней скорости: V v = 3,5-f-5,75'lg v (J4-38) 1 Г. 1С Филоненко, О коэффициенте сопротивления для 1ладкнх труб, „Известия ГГГИв, 1948, W 10. 2 Ф. А* Шевелев, И( следование <х повных гидравлических закоио мерно:тей турбулентного движения в трубах, Госстройиздат, Москва^ 1953, § 14-6] Коэффициент сопротивления трения 227 откуда б связи с формулами A4-27) и A4-33), получим: 5.75.1B * или A4-39) Формула Кармана-Прандтля дает хорошее совпадение с опы- опытом. Ее недостатком является необходимость определения Я методом подбора. Для последующего полезно формулу A4-39) преобразовать. Представим ее в виде: ¦0,223/-^ д 1 ; "т откуда v A4-40) 14-6. Коэффициент сопротивления трения по длине трубопровода Я в квадратичной зоне Воспользуемся формулой A4-15) для скорости vA на рас- расстоянии Д от стенки — *ь 2,3 ъ Максимальную скорость выразим через v9 имея в виду фор мулу [аналогичную формуле A4-25)] Получим; m v , 2ta 'V r0 Заменяя — будем иметь: 15*
228 Турбулентное движение [гл. 14 ьтеика со значительной шерохйватистш I \ 6 » = • "=252,0 Фиг. 14 9» Зависимость у= — нистой шероховатостью. r0 v& X от ^ ~~^~ для трубопронодов с зер- Хорошее совпадение с опыюм режимов при: И v тУ 8 2.3 получается для квадратичных =1,74 = =2. В этом случае для -^= получим формулу — I A4-41) или A4-42) На фиг.- 14-9 показана экспериментальная проверка формул A4-39) и A441) по результатам испытания труб с зернистой шероховатостью. По оси ординат отложено значение а по оси абсцисс—логарифм отвлеченной величины Re \\ Д v л d ' § 14-6] Коэффициент сопротивления трения 229 В этих координатах формула A4-41) изображается горизон- горизонтальной прямой с ординатой 1,74. Линия соответствующая гладким стенкам на фиг. 14-9, удовлетворяет уравнению A4-40). Из этой фигуры следует, что для трубопроводов с зернистой шероховатостью: 1) Практически режим движения уже можно считать ратячным, если или для режимов, для которых 191Т2 d У\ А ¦ 2) Трубы ведут себя как гладкие для значений Если для вычислений X воспользоваться формулой A4-37), то последнюю формулу можно представить в виде; При режимах, для которых Re меньше 27,0 , трубу можно считать гидравлически гладкой. Для зоны, режим которой удовлетворяет неравенству 27, коэффициент Я зависит и от шероховатости и от Re: Теоретическое обоснование расчетной формулы для коэф- коэффициента Я в этой зоне будет дано в следующем параграфе только для труб с естественной шероховатостью. Выясним те физические причины, благодаря которым гидрав- гидравлическое сопротивление шероховатой трубы оказывается одина- одинаковым с гладкой трубой. Источником вихреобразования является стенка. Шероховатость стенки способствует тому, что возникаю- возникающие у стенки вихри при некоторых случаях обтекания неровно- неровностей стенки, отрываясь от стенки и попадая в центральную часть потока, усиливают турбулентность, влияя тем самым на гидрав- гидравлическое сопротивление.
230 Турбулентное движение [гл, М Влияние шероховатости особенно сказывается, если размеры ее таковы, что неровности входят в область потока с уже разви- юй турбулентностью. При относительно малых размерах неров- неровностей может оказаться, что они находятся в той пристенной части патока толщиной 0, которая практически может рассмат- рассматриваться находящейся в условиях, близких к ламинарному дви- движению. В этом случае небольшие вихри, даже те, которые сры- срываются с неровностей, не попадают в центральную зону потока. В этом проявляется оглаживающее действие пристенного елся толщиной ?. Принято считать шероховатую трубу гидравлически гладкой если высота неровностей 4 меньше р: Приближенно толщину пристенного слоя f определим следующим об- образом. Обозначим скорость на границе пристенного слоя через и^ Вос зуемся формулой A4-16), приняв А = 5,8: поль- польи* 2 Я X (Г 4-43) Для пристенного слоя можно принять: и- ИЛИ и А — v V2 ' Подставляя значение в A4-43), будем иметь: На О Ч Jjt или _L_cR . z»^ v =ь>8 IU Решив это уравнение (при х «= 0,4), найдем; ^ = 12>: лрн %том значении или в связи с формулой 12 Л v 1^8" 34,2 id A4-44) A4-45) Из формулы A4-41) следует, что для шероховатых трубо- трубопроводов в квадратичной области V A4-46) ]4 6 J Коэффициент сопротивления трения 231 Величина Л должна быть задана |ехкическпми услоэиямч «а проектирование трубопровода с учетом эксплуатационных условий. При необходимости величина шероховатое; и должна ?ытъ принята со значительным запасом па случай загрязнения труб, коррозии и т. п,1. Ориентировочно можно рекомендовать следующие значения Д, мм: для новых стальных труб 0г0а5 — 0,1 мм для стальных труб, не бывших в эксплуатации 0,15 мм для чугунных труб, не б^вшлх в эксплуатации 0т25 мм для труб, бывши* в эксплуатации 0,5 мм для труб загрязненных 1 —2 ммл Таблица 14-2 Значения коэффициента \ для металлических трубопроводов (ГОСТ 3262-46, 301-44 и 310J-46), вычисленные для квадратичной зоны по формуле A4-42) ^ 0,25 d, мм 27 35,75 41 53 68 80 5 вГ 100 106 125 131 158 159 205 207 257 559 307 309 357 361 402 468 Д =s GJ мч 0 02779 0,02559 0,02471 0 02306 0 02162 0,02072 0,02068 0 019о4 001936 0!01861 0,01840 0,01764 0,01759 0,01661 0,01657 0,01680 0,01577 0,01521 0,01518 0,01472 0 01469 0^01435 0,01429 i Л ^ 0,2 мм 0,03433 0 03143 0 03015 0^02794 0 02602 0^02483 0,02479 0,02342 0,02306 0,02209 0 02183 0,02084 0 02078 0,01952 0,01947 0,01849 0,01846 0 01774 0,01771 0,01713 0 т 01709 0,0iG66 0,016ЬЗ Л « 0рЗ мм 0 03929 0,03575 0,03420 0,03154 0,02925 0 02783 0,02779 0 02617 О!02574 0,0246 0,02429 0,02313 0,02306 0,02159 0т02154 0,02040 0,02036 0TOI9fH 0,01950 0,01883 0,01878 0,01829 0,01825 А - 0,5 мм 0,04723 0,04260 0,04058 0,03717 0,03425 0,03247 0,03240 0,03037 (^02984 0р02842 0,02803 0,02660 0,02651 0,02471 0т02464 0,02^25 0,02320 0,02219 0т02215 0,02135 0 02129 0^02070 0,02064 1 По наблюдениям автора, упомянутым в сноске на стр. 221, шерохо- шероховатость трубопровода за время эксплуатации изменилась с 1 = 0,065 мм до Д=;0,53 мм; a I l >.—0,023 до * = 0,038.
232 Турбулентное движение ?гл. По данным испытаний, проведенных ВОДГЕО (Ф. А. Ше- Шевелевым), шерохоьаюсть стальных и чугунных труб d=0>6 — 1,2 м оказалась равной от Д = 0,444 до 1,4 мм. В табл. 14-2 приведены значения Я, вычисленные по фор- формуле A4-42), 14-7* Коэффициент сопротивления трения по длине трубопровода X для общего случая турбулентного потока Для вывода общей формулы для коэффициента Я, которая бы оказалась пригодной для всей области турбулентного дви- движения в любых трубопроводах, будем исходить из следующих положений. Из предыдущего следовало, что большое значение в ис- исследованиях гидравлических сопротивлений имеет отноше- отношение —- . Для гладких труб согласно формуле A4-24) это от- V ношение оказалось функцией числа Re. В шероховатых трубах для квадратичного режима согласно формуле A4-46) это от- отношение оказалось функцией шероховатости. Заметим, что в обоих случаях независимые переменные [Re и -~т- ¦ входят под знаком логарифма. Универсальная формула при *-,—> () должна обращаться в формулу для гладких труб, а при Re-+oo — в формулу для квадратичного режима. Поэтому естественно предположить^ что в общем случае — является функцией и должно быть представлено в виде; А и Re, v v откуда следует, что 1 в Re~ А Я 1Л\ В 3.7d ) A4-47) Числа А и В и показатель степени х легко определяются из предельных условий и могут быть приняты: 5=6,81; после чего формула принимает вид: \ О значениях 3,74 сказано на стр. 231 и 232. A4-48) j Н-7] Коэффициент сопротивления трения 233 Полученная формула дает хорошее совпадение с опьпом для потоков в стальных трубах. На фиг. 14-7 приведены результаты опытов Г. А. Мурина1, выполненных в теплотехническом инсти- институте и И. А. Исаева2, выполненных в Нефтяном институте под руководством В. С. Яблонского, Аналогичные зависимости получе- получены Ф. А. Шевелевым в ВОДГЕО3, а также автором при участии П. С. Мечникова4. Сплошная линия на фиг. 14-7 соответствует формуле автора A4-48) при ^- = 0,000541. Для облегчения пользования формулой A4-48) дается ее гра- график (фиг. 14-10) для разных значений -j . Для общего случая турбулентного потока автором была пред- предложена для Я формула также в виде4: / 8,С6<Л / 3 7<К2 A4-49) или где Я = = Я О, KB > *¦.? A4-50) A4-51) формулу для Й и для воды можно представить в виде: A4-52) Значения 9, вычисленные ino этой формуле, с большой точ- точностью совпадают с опытными данными Ф. А. Шевелева5 при М = 40 мм/сек — ддя стальных труб; М = 95 мм(сек — для чугунных труб; = 30 мм/сек — для труб, бывших в эксплуатации. 1 Г. А. Мурин, Известия ВТИ, № 10, ]948. 2 И. А. Исаев, см. сноску на стр. 225. 3 Ф. А, Шевелев, см. сноску на стр. 226. 4 Н. 3. Френкель, Основы гидравлических расчетов, Гоетоптех- вздат, 195J. 5 И. И. Агроскин, Ф. И. Пикалов и Г, Т. Дмитриев, Гидрав- Гидравлика, 1954.
§ 14-8] Формулы для определения коэффициента 235 -8. Некоторые другие эмпирические формулы и опытные данные дли определения коэффициента Я в турбулентном движении при квадратичном режиме Ниже приводятся эмпирические формулы, которые в настоя- настоящее время применяются в гидравлических расчетах. 1. Наибольшее распространение в советской практике имеет формула Н. Н. Павловского, полученная ем в 1925 г. в резуль- результате исследования огромного экспериментального материала по движению главным образом в открытых каналах с гидравличе- гидравлическим радиусом 0,1 < R <3 м. Формула Павловского может быть записана в виде: У \ n A4-53) где у = d п — 2,5|/7г — 0,13 — 0,75//? {fn — 0,1); гидравлический радиус, м; коэффициент шероховатости (подробнее см. табл. 24-1); Фиг, ]4-10. Зависимость коэффициента I от lg Re по формуле автора, (Каждая линия соответствует семейстяу * рубопроводои с определенные значением -^-1 0.01 N2 лкннн 4 № линии A T Jte линии Д T № линии A T *h л шиш A IT № линии i ~d A 0 0 0 0 0 0 0 1 ДО65 8 ,02491 15 ,01720 22 ,01037 20 ,00593 :в ,^02[^ 43 т000О37 Op03234 9 0,02375 If) О,01Ш 23 0.OIO 30 0 00535 37 0,00157 0, ! c, °p 0, o. 3 03104 10 O22G0 17 01520 21 01931 3[ 0O48O 00108 0 0 0 0 0 0 4 ,02978 11 ,02|48 18 r0I435 25 ,00857 32 ,</0'l2S 30 .0OC69 0, 0, 0, oP Б 02853 12 02034 [9 {J|343 2G 007 SG 33 00380 40 0О0Й4 С 0 0 0 0 0 6 T02730 13 ±0[932 20 r01255 27 ,00719 34 ,00310 41 ,COO4I 0 •• r or 0T 7 02609 14 Ql*27 21 01170 2S QQ654 г-г> 00255 42 00022
236 Турбулентное движение [гл 14 — — 90 — для новых труб; n \_ n 80— для нормальных условий; —для старых труб, находящихся долгое время вупот- реблении; r J ~ диаметр трубопровода, м; =9,81 м\сек2 — ускорение силы тяжести. В табл. 14-3 приведены значения \ вычисленные по фор- формуле Н. Н. Павловского A4-53). ф Р Таблица] 4-3 Значения коэффициента \ вычисленные по формуле Павловского J/90 [/80 1/70 п 27 35,75 41 53 68 80,5 81 100 106 131 158 0,03665 0,03390 0,03288 0,03061 0,02872 0,03739 0,02731 0,02582 0,02527 0,02401 0,02284 1,90 1/80 0,05430 0,04983 0,04786 0р04425 0,04103 0,03907 0,03900 0,03593 0,03367 0,03186 1/70 0,08562 0,07778 0,07418 0 , 06795 0,06243 0,05892 0,05883 0,05465 0,05335 0,0498G 0т04674 159 205 207 257 259 307 357 361 402 468 0,02276 0,02127 0 02117 0^02001 0/02О01 0,01915 0,01836 0,01829 0,01782 0,01711 0,03178 0,02943 0,02927 0,02755 0,02739 0,02606 0т02500 0,02488 0,02409 0,02300 0,04666 О 04358 0,04344 0,03960 0,03828 0,03722 0,03540 0,03527 0,03385 0,03229 Данные табл. 14-3, соответствующие квадратичным режи- И а И °х.ватьш/ГО1«ие типы трубопроводов, перечисленных в таол. 24-1, с большой точностью укладываются в формулу A4-54) в которой по исследованиям автора для сазмепов выраженных в метрах, а для n = i а = 0,025; v = 0,3397; п==Ш) 0 = 0,01395, v = 0,2673. авто?ом ДЛЯ труб § 14-81 Формулы для определения коэффициента 237 I щи Я* 8,0 V - * —^ L1 9J9J ^^ ¦!¦¦_ 1 1 ^-. ' 1 0 0— г 7 — С - f- / — Re 18s Фиг. 14-И- Зависимость ко^})фиииенг1а \ от Re для шлангов, показанных на фиг. 14-12. Шланги и^пытывались уложенны- уложенными как на прямую, так и i верьутые в одно и два кольца с радиусом r=:l,5~H M. f — шланг d --* 2=> мм с двумя кольцами; 5 — d =ш. 50 Л4Ж с двумя коь'ьцачи, ^^J = 25 лл -на прямую, ^ — d ¦** GO jkjh с одним кольцом; 5 — d =i 54J j«j« - нл прямую, б — d — 7$ мм с тремя кольцами; 7 ^ d = 7г> мм с двумя 5 — d = 75 >*j« — на прямую. фиг. 14-]2. Схема шлата всасы- всасывающею и напорного типа. кольцами; 2. Формула Скобея для деревянных труб, для воды и мет- метровых размеров (ГОСТ 3393-46): 3. Формула Кукушкина^ для асбесто-цементных водопро- водопроводных труб и метровых раз- размеров 0 01085 *;# ]Ь236 A4-56) На фиг. 14-11 то исследо- исследованиям автора дана зависи- зависимость I от Re для гибких про* резиненкых шлангов, армиро- армированных внутри железной про* волокой, образующей внутри шланга спираль (фиг. 14-12). Для расчета гибких пеар- мированных шлангов необхо- необходимо определять расчетный диаметр в зависимости от ра- рабочего давления и номиналь- номинального диаметра ппанга соглас- согласно фиг. 14-13; значение коэф- коэффициента а для этих шлангов принимать па фиг. 14-14. * П. М. 4М с ж и б о р с к ий, , А. Д. Г р и i о р ь е в, Таблицы для гидрав- гидравлическою расчета асбестоцемсптиых г^уб, I осстропиздат, VIо ква, 195*. 1 I -ifff ¦36 38 -3*} .32 J0 V28 2$ •М SO .78 -72 58 1st .68 \5$ -52\ -Ь8 <** ¦7? 1 ел \ ЯМ** 4 t #-* i Ч Ч —¦ г- к - Фиг. 14-13. ^апи( имост1» расчетного диаметра гладкого шланга от давле- давления в потоке, по данным 11ОДГЕО.
238 Турбулентное движение [тл. § 14-101 Неизотермическое турбулентное движение в круглой трубе 239 Для других типов можно принимать ориентировочно: для обыкновенных пеньковых рукавов Я= 0,0418; для хорошего кожаного рукава Я= 0,0270. 14-9. Формулы для определения в турбулентном движении потерь удельной энергии в случае труб некруглого сечения Опыт показывает, что формулами, определяющими потери энергии в турбулентном движетши в круглых тр>бах, можно поль- пользоваться при любых сечениях трубопровода, заменял в лих чис- число Рейпольдса и диаметр труб значениями, выраженными через гидравлический радиус. В этом случае формулы примет вид: A4-57) Re = Для гладких труб R — 0,416. A4-58) A4-59) Универсальная формула \ReRJ 7 °pSi и J' A4-60) Для квадратичной зоны наибольшее распространение получи ла формула Павловского A4-53). # 14-10, Неизотермическое турбулентное движение в круглой трубе. Коэффициент * и определение потерь удельной энергии Потери удельной энергии в неизотермическом турбулентном потоке в доквадратичной области можно наши тем же методом, который применялся и для определения потерь в ламинарном потоке (§ 12-7), а именно —или графоаналитически (фиг. 12-15) по формуле A2-50), или по данным Михеева, результаты опы- опытов которого для ламинарного и турбулентного движения изобра- изображены на фиг. 12-16 и 12-17. Расчет потерь в квадратичной области неизотермического по- потока не отличается от такого же расчета для изотермического потока, так как для квадратичной области ^ — const и не зависит от температуры жидкости.
240 Местные сопротивления [гл. 15 Глава пятнадцатая МЕСТНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ 15-1. Коэффициент местного сопротивления и влияние на него числа Рейнольдса При протекании жидкости через местное сопротивление (вход в трубу, колено, клапан и т, д.) всегда происходит деформация потока, обусловливающая совместно с вязкостью дополнитель- дополнительное гидравлическое сопротивление. В местном сопротивлений, как и в прямом трубопроводе, часть работы, совершаемой силами, действующими на жидкость, превращается в тепловую энергию, Причиной этих дополнитель- дополнительных потерь являются возникающие в потоке дополнительные випреобразования. Общий ейд формулы для определения потерь удельной энер- энергии в местном сопротивлении был 'получен в § П-5 [формула A1-19))] в виде: h = A5-1) где ^м~коэффициент местного сопротивления, зависящий во- вообще от числа Re9 формы местного сопротивления, шероховатости его поверхностей и т. д., а для запор- запорных устройств также и от степени их открытия. Таким образом, потеря удельной энергии в местном сопротив- сопротивлении определяется в долях удельной кинетической энергии (ско- (скоростного напора). Весьма часто сечения трубопроводов, а потому и средняя ско- скорость потока перед местным сопротивлением и за ним бывают разными. Согласно формуле A5-1) потери удельной энергии мо- могут быть вычислены через скоростной напор как перед местным сопротивлением, так и за ним. Поэтому коэффициент С* может быть отнесен к любому из этих скоростных налоров, но будет при этом, конечно, иметь разное значение (обратно пропорцио- пропорциональное скоростным напорам). Вследствие сложности явлении, происходящих в жидкости, протекающей через местное сопротивление, удалось формулу для коэффициента С^ получить теоретически лишь для неко- некоторых простейших видов местных сопротивлений. Для подав- подавляющего их числа коэффициент С^ определяется эксперимен- экспериментально, а его значения приводятся в гидравлических справоч- Коэффициент местного сопротивления 241 Г I киках', Для некоторых видов местных сопротивлений эти коэффициенты приведены в табл. 15- 57 A118 фф р Из сопоставления формул A1-18) и A1-19) следует, что коэффициент Ся эквивалентен Я -^ . Поэтому часто потери энер- энергии в местном сопротивлении рассматривают как потери на эквивалентной длине 1„ прямого трубопровода, определяя эк- эквивалентную длину по формуле: -'"—?. A5-2) Формула A5-2) позволяет весьма просто оценивать роль по- потерь удельной энергии в местном сопротивлении по сравнению с потерями по длине в общем балансе потерь. Значения коэффициентов местного сопротивления, получен- полученные опытным путем, можно применять только для исследованно- исследованного местного сопротивления и для сопротивления, ему во всем подобного. Небольшое отступление в соотношениях размеров местного сопротивления от опытного образца, другая шерохо- шероховатость смачиваемых потоком поверхностей часто сильно изме- няюг значение коэффициента местного сопротивления. При определении коэффициентов С* следует также иметь в виду, что на его значение существенное влияние оказывают усло- условия подхода жидкости к пункту его расположения, так как нару- нарушение потока, обусловленное местным сопротивлением, часто начинается на'значительном от него расстоянии и заканчивается иногда далеко за ним. Близкое "взаимное расположение местных сопротивлений существенно влияет на значения их коэффициен- коэффициентов. По имеющимся опытным данным общий коэффициент не- нескольких близко расположенных местных сопротивлений часто бывает меньше арифметической суммы отдельных коэффищюн- тов, присущих этим сопротивлениям. ^ Поэтому большинство значений коэффициентов ?Л, приводи- приводимых э таблицах, следует рассматривать как некоторые средние. Это относится особенно к запорным устройствам с сечениями сложной формы. Весьма часто два номинально одинаковых за- запорных устройства имеют разнос значение С*. В тех случаях, когда 'влияние этих коэффициентов на гидравлический расчет ве- велико, а надежных опытных данных не имеется, следует рекомен- рекомендовать организацию соответствующих опытов. Влияние числа Re на значение коэффициента местного со- сопротивления особенно проявляется при малых числах Re, кото- 1 П. Г. Киселев, Справочник по гидраплическим расчетам, Госэнср- гоиздат, 1950. М. А- М о с т к о п, Гидравлический справочник, Гос. изд. литературы ПО строительству и архитектуре, 1954, Н. Н. Павловский, Краткий гидравлический справочник, Строииадат Наркомстроя, 1940. 16 Н. 3. Френкель,
242 Местные сопротивления (гл. 15 рым в трубопроводе без местного сопротивления соответствует ламинарное движение. При наличии местного сопротивления на- нарушение режима движения происходит раньше. На фиг. 15-1 по- показана зависимость потерь удельной энергии при прокачке жидкости по трубе d = 38 мм без местного сопротивления (ли- (линия /) и с местными сопротивлениями от расхода. 8м Q,50i Фиг. 15-L Зависимость потерь удельной энергии от (J в области малых значений Re при прокачке масла по трубе dzrr38 мм без местного сопро- сопротивления — линия / и с местным сопротивлением — линия 2 вентиль с косым затвором, линия 3 и 4 — вентиль обыкновенный Расходу Q=l*\ соответствовало Re =^ 517, В турбулентном движении влияние на коэффициент местного сопротивления числа Re незначительно и поэтому в турбулент- турбулентном движении коэффициент Си считают практически от Re не- независимым. На фиг. 15-2 и 15-3 приведены зависимости \м и ?Л X oi Re для некоторых типов местных сопротивлений, показанных на фиг. 15-4. Данные, показанные па фиг. 15-2 и 15-3, соответствовали сле- 15-1] Коэффициент местного сопротивления 243 дующим условиям. Местное сопротивление было установлено в середине достаточно длинного трубопровода. В самом трубопро- трубопроводе без местного сопротивления устанавливался ламинарный ре- режим, сохранявшейся до значений Re = 1 650. При наличии на трубопроводе местного сопротивления нарушение ламинарного течения происходило при тем меньших зна- значениях Rey чем больше возмущений вносило местное сопротивление в поток. При анализе влия- влияния адсла Re на коэф- фшшент С* следует различать несколько зон, характеризующих- характеризующихся своими законами пидр авлических соп ро- тивлений. Границы зна- значений/?^, которые опре- /я 7 5 3 2 as as аз =г/3 V ГШ 2Ш , 15-2. Зависимое i ь коэффи- коэффициента С от /?<? в области ма- малых значений чисел Re запор- запорных устройств, тюказашшл на i. 15-4 л) 283 Ш1 58 —- +- 20 --X — — —С— б з ----- —Ж 1Г _ - — т j - - -1-,, ч _ 1 J ^ - : ; 1 ::::Е-^ф =1=-- . Inr- р :::: —zjz Г-"~""" - t 1. Г 1 1 ¦+++г' :::|:3 » t ill Мм ft ::ti:r |:„.-|Ц|_ Г i— -И , Z -- -/- + J.— r - ¦ [ j 1 j 403 503 it' г H ¦i-i - -[— x±_, <^ +.u— ч i j ^--^ 1— / w - <?^ 1 T Г j_ - — 7F=: i p:~ - ^n r w -!t^ »:iTT==t - -j— l.T)t~- ^^ .. - _ — i— № n -( a —v— : i Фиг. 15 3> Зависимость (/Х от ^ в области малых значений чисел Re запорных усгронств1 наказанных па фш. деляют область применения того или иного из этих законов, мо- могут быть установлены для каждого местного сопротивления толь- только экспериментально. Первая зона. В этой зоне потеря удельной энергии при пгх>- теканви жидкости через местное сопротивление, так же как и потери энергии по длине трубопровода в ламинарном движении to*
244 Местные сопротивления [ г л 15 на сформировавшемся участке, пропорциональна скорости и рас* ходу в первой степени. В этой зоне коэффициент местного сопро- сопротивления определяется по формуле Re A5-3) в которой А имеет значения, приведенные в табл. 15-1. Вторая зона характеризуется тем, что в трубопроводе без местного сопротивления поток является еще ламинарным, но вследствие местного сопротивления ламинарное движение в трубопроводе нарушается. Потери напора по длине самого Фиг. 15 4, Общий яид запорных устройств кран, 2 — задвижка, 3 — нетттнль с косым затиорепт, 4 венный. обь]*но- трубопровода на участке местного сопротивления должны определяться по основной формуле с коэффициентом Х = 64//?е. Коэффициент tM в этой области подчиняется сложной зависи- зависимости. Его значения находят по данным специальных опытов. В некоторых случаях коэффициент Сл можно выразить форму- формулой С =4г- A5-4) Например, для обыкновенного вентиля (фиг. 15-4) можно принять х —0,27. Значения коэффициента В для вентилей одного v, того же типа, но отличающихся относительными размерами и некоторыми деталями (формой клапана, формой проходного отверстия), приведены в табл. 15-1. Прих = 0,27 потери удельной энергии оказываются пропорциональными скорости или расходу в степени 1,73 (пунктир на фиг. 15-2). 15-1] Коэффициент местного сопротивления 245 Таблица 15-1 Значения коэффициентов А, В и С в формулах для определения коэффициентов местного сопротивления в ламинарной области Наименование сопр01иклепия Расчетный днаме гр, мм 2 зона П Ъ зона С Вентиль обыкновенный с косым затвором Задвижка Пробочный кран 27 27 41 41 53 41 53 75 51 1CG 53 4 950 3 580 3 020 2 700 1 778 945 889 9оО 400 347 177 88 69 84 55 50 565 442 524 337 369 36 136 59 55 Третья зона характеризуется нарушением ламинарного дви- движения в самом трубопроводе и без местного сопротивления. Исследования автора показали, что в этом случае потери на- напора в местном сопротивлении оказываются п]>опорциональкыми Фиг. 15*5. Зависимость коэффициента С от Re в области турбулентного движения. / в 2^сбыкнове1ШЫЁ вентиль; Э-вентиль улучшенный, ^-в с косым затоором, 5— вентиль прямоточной.
246 Местные сопротивления [гл. 15 скорости (или расходу) в степени 1,47 (фиг. 15-1), а коэффи- коэффициент местного составления вычисляется по формуле A5-5) где С имеет значения, приведенные в табл. 15-1. Четвертая зона соответствует развившемуся турбулентному движению и характеризуется малым влиянием числа Re на значение С„ (фиг, 15-5). Пятая зона также соответствует развившемуся турбу- турбулентному движению, но характеризуется отсутствием влия- влияния числа Re на значение Ся. По аналогии с пятой зоной для коэффициента X назовем ее квадратичной. ^ Как указывалось выше, влияние числа Re на коэффициент *м в четвертой зоне незначительно, поэтому в практике гид- гидравлических расчетов четвертую зону рассматривают так же как квадратичную. ' Заметим, что хотя сделаяные выводы справедливы, строго го- говоря, лишь для .исследованных типов местных сопротивлений, однако нет оснований не распространить их на другие типы. Потеря энергии при внезапном расширении потока. Теорема Борда-Карно Внезапное расширение потока относится к тем случаям, в которых формула для потерь энергии может быть выведена с некоторыми допущениями теоретически. Рассмотрим поток при сопряжении двух цилиндрических труб разного диаметра (внезапное расширение) (фиг. 15-6). Жидкость вытекает ,из трубы меньшего сечения <«i в виде струи. На неко- некотором расстоянии от начала расширения струя смешивается с окружающей ее жидкостью, увлекая ее в движение. После пере- перемешивания живое сечение потока увеличивается и делается рав- равным ш2. Скорость v2 вычисляется согласно уравнению нераз- неразрывности по формуле Вследствие весьма интенсивного вихревого движения прихо- приходит в движение масса жидкости, находящаяся в объеме cdn — abm. почти не принимающая участия в главном движении вдоль оси. Эту область иногда не вполне точно называют застойной зоной. Для определения величины энергии, теряемой вследствие вне- внезапного расширения, воспользуемся уравнением Бернулли, для участка потока, ограниченного сечеьгиями ad и пгп. По сечению § 15-2] Потери энергии при внезапном расширении потока 247 ad гидродинамическое давление распределяется почти по закону гидростатики, т. е, в этом сечении давления подчиняются уравне- уравнению z + = idem. Если сечение тп расположено достаточно далеко от на* чала расширения, то тот же закон распределения давления можно считать существующим и в нем» Фиг. 15-G* Схема струйного потока при внезапном расширении» В связи с выбором сечений с гидростатическим законом распределения давлений воспользуемся уравнением Бернулли в виде: .2 „ „2 откуда искомая величина потерь во внезапном расширении h. =i(Zi — а. ч Выразим величину А через скороеги, воспользовавшись тем, что dq — приращение проекции на ось потока количества движения системы материальных точек, находящихся в объеме admny равна проекций на ту же ось импульса внешних силт дей- действующих на них. Вычистим приращенме количества движения рассматриваемого объема жидкости за время dt. За время dt струя сЬпгп^ состоящая из элементарных струек, переместится в положение с'Ь'т'п'. Благодаря этому произойдет изменение количества движения жидкости, заключенной в объ- объеме admn. Принимается, что движение жидкости является уста* ловившимся, а жидкость в застойной зоне не участвует в глав- главном движении. Поэтому приращение количества движения жидко- жидкости в объеме adtnn за время dt будет равно разности количеств движения жидкости в объемах mnm!nf и bcb'C. Обозначая че-
248 Местные сопротивления [i-л 15 рез it] и и2 местные скорости в сечениях be и tnny а через Зш — площади живых сечений элементарных струек, найдем, что W Каждый из членов правой части определяет количество движения массы, протекающей в единицу времени через жи- живое сечение потока (секундное количество движения). Выра- Выражая эти интегралы согласно формуле (Ю-14) через средине скорости: Г 2 получим; dq Теперь определим проекцию на ось (на направление дви- движения) импульсов внешних сил, действующих на систему частиц жидкости, заключенных в рассматриваемом объеме. Внешними силами, проектирующимися на ось движения, будут: 1) вес жидкости в рассматриваемом объеме, а именно где / — длина рассматриваемого отсека; 2) силы давления: в плоскости пгп — сила давления жидкости на поверхность рассматриваемого сечения гпп\ в плоскости ad —сила давления жидкости на поверхность рассмагриваемого сечения Ьсу а также реакция стойки трубы аЬ и cd. Внешними силами трения пренебрегаем. Ввиду того, что в сечениях cd и тп давления распределяют- распределяются по гидростатическому закону, для определения сил, действую- действующих 'на поперечные сечения, необходимо величину площаД&к ум- умножить на давление в их центре тяжести, которое мы принимаем равным pi и рч. Имея в виду, что площади поперечных сечений ad и тп равны между собой и равны w2> для проекции импуль- импульса Fdt получим следующее выражение: \ )*>2 — W sin Потери энергии при внезапном расширении потока 249 Так как на основании закона количества движения Fdi^dq. то получим: Из уравнения неразрывности следует Подставляя значение v{w{ и sin получим: У^1 и сокращая на Подставляя (г{— уравнение h^p% найдем: h №2 — Miw A5-6) Отсюда A5-7) ИЛИ ' v - ^ ^-»—¦ A5-8) Обозначая соответствующие выражения в скобках через и ^2, получим: v: А = A5-9} При турбулентном движении обычно считают a —15— 1. Тогда формула A5-6) обращается в формулу Борда-Кзрно, имеющую A5-10) При таком допущении потеря удельной энергии в турбулеш- ном потоке вследствие внезапного расширения равна скорост- скоростному напору, соответствующему потерянной скорости, и в этом случае, как следует из формулы A5-10), ; A5-11) A5-12) С =!-* — * Р'1 ' Ыл
250 Местные сопротивления [гл. 15 На фиг. 15-7 построена диаграмма уравнения Бернулли для участка с внезапным расширением для р = а=1, -Цв K Искусственное созда- 1Же С0ПРотивлений> обус- обусловленных внезапным рас- расширением, находит ши- широкое применение в уст- устройстве так называемых лабиринтных уплотнений Плоскость Срй&кенпя Фиг, 15-7. Диаграмма \равне1*ий Бернулли Фиг. 15-8, Схема лабиринтного для внезапного расширения. уплотнения. (фиг. 15-8). Например, при кольцевом зазоре 0,43 мм расход че- через кольцевую щель (d=105 мм) уменьшается на 16—35% (в за- зависимости от формы кромок) по сравнению с расходом через ту же щель, по без лабиринта. 15-3. Потеря энергии при выходе потока из трубопровода в большой резервуар В рассматриваемом случае, являющемся частным видом вне- внезапного расширения, обычно принимается —=^0. Согласно фор- формуле A5-7) будем иметь: А - A5-13) т. 15-4. Потеря энергии при постепенном расширении потока (диффузор) ^ При протекании жидкости через диффузор (фиг. 15-9 и 15-10) югромнос влияние .на конфигурацию потока оказывают угол 6 и длина диффузора. Наиболее благоприятные условия создаются тогда, когда расширение потока происходит плавно и вся жидкость течет в одном направлении, не отрываясь от стенок» Однако при значительных углах 0 B'*>8—9°), как показывает опыт, в диффузоре появляются обратные течения. Обусловли- Обусловливается это тем, что в диффузоре происходит увеличение давления Потеря энергии при постепенном расширении потока 251 б направлении движения, вызываемое уменьшением скорости вследствие расширения. Это увеличение давления оказывает осек бенно сильное затормаживающее 'влияние у стенок, где скорость всегда значительно меньше, чем в центральной части потока. При углах 2 '>> 8—9° скорость в пристенном слое в его некотором в Фиг. 15-9. Постепенное расширение Фаг. 15 10, Схема ноюка в диффу- (диффузор), зоре, сечении обращается в нуль, а за этим сечением скорость приоб- приобретает направление, противоположное главному течению, В по- подобных случаях распределение скоростей в диффузоре приобре- приобретает вид, показанный на фиг. 15-10. Весьма важной характеристикой потока в диффузоре являет- является так называемый коэффициент диффузорности ^н**. вычис- вычисляемый по формуле Этот коэффициент определяет способность диффузора преоб- преобразовывать по его длине кинетическую энергию в потенци- потенциальную. # Потери удельной энергии можно определить из ура^ления Бернулли, выразив их через у\дафф, воспользовавшись при этом формулой A5-14), откуда следует, что где *дифф ' A5-15) A5-16) На фиг. 15-11 приведены значения ^дифф в зависимости от угла 9 и dj/dg. Наибольший интерес представляет тот факт, что минимум потерь соответствует почти одному и тому же углу 26 = 7—9° (угол отрыва потока), а максимум, соответ- соответствующий углу 29 = 65 -н 70°, прегюсходит потери, соответ- соответствующие внезапному расширению B6=180°). Из последнего
252 Местные сопротивления {гл. 1Г> следует, что переходы в виде диффузоров с углом 26>40-НЮа следует заменять внезапным расширением, как дающим мень- меньшие потери энергии. В длинных диффузорах существенное влияние на суммар- суммарные потери энергии оказывают потери подлине. Их величину ориентировочно можно вычис- вычислить по формуле 0J0 П ?П ев хф / / / 1/ / f т *•— /f ¦» ¦ 1 dlSL 0 A5-17У где vy ~средняя скорость ло- тока всечений сдиаметром d (d) ш 28 М SO iff № W № Фиг» 15-11. Значения коэффициента Кдш*ф для постепенного расширения (диффузора) в зависимости от угла Ъ. dl 2tg6' X — коэффициент сопротивле- сопротивления трения по длине, прини- принимаемый за постоянный и вы- вычисляемый по среднему диаметру. Из A5-17) следует, что коэффициент сопротивления1 со- соответствующий потерям только по длине равен: дифф.дл 4 A548) -5. Потеря энергии при лостепенном сужении потока (конфузор) При коротком хорошем закруглении (см, фиг. 20-14) или коническом сужении (фиг. 15-12) (ijd^zS) потери энергия прак- Фиг. 15-12. Постепенное Фиг. 15-13. Короткое лстепен- сужеяие» ное сужение (конфузор). тически могут считаться равными нулю. Коэффициент мест- местного сопротивления, отнесенный к скорости ьъ имеет зна- значение: С. _ — 0,06-^0,005. A5-19) л. с В том случае, если переход достаточно длинный (фиг. 15-13), коэффициент сопротивления, отнесенный также к скорости vlr можно определять по формуле, аналогичной формуле для диффузора A5-18). § 15-7] Потеря энергии при входе в трубу 253 15-6. Потеря энергии при внезапном сужении потока При внезапном сужении трубы (фиг. 15-14) живое сечение струи благодаря острой входной кромке сперва уменьшается до значения ы2, меньшего, чем wh после чего расширяется до сеченая wp Потери энергии складьшаются из потерь на сжатие, кото- которое можно рассматривать как плавное, и потерь на- после- последующее расширение. Величина общего коэффициента Ъвс = С + С зависит главным образом от степени сжатия струи в сечении тпу которое характеризуется коэффициентом сжа- сжатия струи е, равным отношению площади сжатого сечения струи <1>2 к площади toj: Чем меньше коэффициент сжатия, тем меньше сечение ы2> тем больше теряется энергии при последующем расширении. Величина коэффициента сжатия е зависит от характера сжатия и от формы кромки входного отверстия в сече- ниц be. Если ш^Ю^ь мож- но пренебречь влиянием на сжатие близости стенок ши- широкой трубы. В этом случае сжатие можно называть со- совершенным. Значения общего коэф- коэффициента сопротивления для турбулентного движения * приведены в табл. 15-2. Заметим, что значение С=^0А можно рассматривать как значение коэффициента потерь при входе в трубу с острой входной кромкой из большого резервуара. Таблица 15-2 Значения коэффициента сопротивления Сас при внезапном сужении Фиг. 15 ]4. ^Внезапное сужение. 0,5 0,47 0.2 0,45 0.3 0,38 0.4 0,34 0,5 0,0 0,3 0.23 0,7 0,2 0,8 0.15 0,9 1 О 09: 0 15-7. Потеря энергии при входе в трубу Всякий вход в трубопровод может рассматриваться как суже- сужение, причем в зависимости от формы присоединения трубопро- трубопровода сужение может быть постепенное или внезапное. Значение
254 Местные сопротивления [гл 15 коэффициента сопротивления >бЖ для входа в трубу будет за- зависеть от формы входа. На фиг, 15-15 показана схема потока жидкости на входном участке. Уменьшая или даже устраняя су- сужение струи при входе в трубу, можно значительно уменьшить коэффициент сопротивления. Сле- Следует иметь в виду, что вход в тру- трубопровод является очень ответ- ответственным элементом в трубопро- трубопроводной коммуникации и па era устройство должно быть обраще- Фиг. 15^15. Схема потока при но серьезное внимание. входе и трубопровод. В местах сужения струи бла- благодаря увеличению скорости в отдельных случаях MoiyT создаться малые давления, иногда раз- разрежения, соответствующие кавитационным условиям. Местом /////////////// 0у5И Фиг. 15 16. Зависимость коэффициент stiJV от формы пхода в трубопровод. наименьшего давления при входе является наиболее сжатое сечение струи. Значения коэффициента сопротивления при входе откосят к скорости в присоединенной трубе в том сечении, в котором живое сечение струи равно площади поперечного сече- сечения трубопровода. § 15-8] Потеря Jtiepzuu при закруглении потока 255 Значения CeJt для турбулентного дви- движения в зависимости от отношений t\d и 5/d приведены на фиг. 15-16 по данным ЦАГИ имени проф. Н. Е. Жуковского. Для косоугольного входа (фиг, 15-17) значения (,8Х определяются по формуле = 0,5 + 0,3 cos 6 + 0,2 cos^e. A5-20) Коэффициент С для входа при лами- фиг_ ]Г>17_ с*ема потока нарном движении изучен недостаточно в косоугольном видном Согласно некоторым исследованиям и участке трубопровода. при ламинарном движении при входе жидкости в трубу происходит сжатие струи, причем коэффи- коэффициент сжатия в среднем можно принять равным е = 0,74. При- Принимая для входного участка в формуле A5-8) значения «=^=1, можно воспользоваться формулой A54 1) н получить: „=0,125. 15-8, Потеря энергии при закруглении потока Особенностью потока на повороте (фиг. 15-18 и 15-19) явля- являются вторичные течения, возникающие в поперечЕюм сечении (фиг. 15-20) и накладывающиеся на основной поток. Вторичные Фиг. 15-18. Поток л ид кости на закруглении. * течения возникают в результате того, что ядро потока, движу- движущееся с большей скоростью, нем пристенные спои, подчиняясь закону инерции, стремится на закруглении продолжать двигаться прямолинейно, благодаря чему оттесняет движущуюся медленнее пристенную часть потока, в результате чего и возникает показан- показанный на фигуре вторичный поток. Возникающая при этом перав-
256 Местные сопротивления [гл. ]5 номерность давления способствует также образованию поверх- поверхностей раздела, что видно на фиг. 15-18 и 15-19'. Вторичные потоки возникают как в ламинарном, так и в турбулентном пото- потоке. На фиг. 15-20 .показаны линии тока вторичного потока при ламинарном движении, соответствующие одинаковым расходам между каждой парой линий2. Заметим, что в открытых руслах вторичный поток переносит взвешенные' в потоке частицы наносов к внутренней стороне из- Фиг. 15 19, Поток жидкости на закруглении. лучины м способствует этлм большему разрушению наружной стороны н обмелению внутренней. Возникающий вторичный поток, а также зона отрыва потока от стенок являются источниками дополнительного гидравлическо- гидравлического сопротивления. Экспериментально коэффициент потерь С, исследован удовлетворительно только для гладкой поверхности. Наибольшее распространение для закруглений круглого сече- сечения (фиг. 15-21) получила формула Вейсбаха: 0,31 90 О f A5 21) причем d< 2r <5d (здесь d — диаметр трубы; г —радиус за- закругления, а 0 — угол закругления), * На воЕЮротс давление по сечению возрастает в направлении от центра кривизны линий тока. Это вызывает соответствующее уменьшение скорости на дальних от центра линиях, способствующее отрыву патока от стенки. * П. А. Вальтер, Труды гидроэнергетического научно-исследователь- научно-исследовательского института, ГЭИ, 1935, вып. 5. 5 15-8] Потеря энергии при закруглении потока 257 Фиг. 15-20. Вторичное Фиг. 1521. Фланцевое движение в потоке ка закругление, закруглении. Для у<О формула Вейсбаха дает с опытными дагшыми Г. Н. Абрамовича, предложена формула в виде: Фиг. 15-22» Муфтовое закругление. хорошее совпадение которым для 6=90° A5-22) Значения С3, вычисленные для 6 = 90° по формулам A5-2!) н A5-22), приведены в табл, 15-3. В табл. 15-4 приведены значения djr проводных труб, вычисленные по данным для чугунных водо- ОСТ НКТП 2523. Значения коэффициента сопротивления с углом 8 = 90э Таблица 15 3 S в закруглении й\т 0,2 0,4 0,14 0,5 0,15 0,6 0,16 0,7 0,18 0,087 0,13 0,15:0,175 0,19 0,8 0,21 0,20 0,9 0,24 0т21 1 1,2 0,29:0,44 0,23 1,4 1,6 0,6С 0р98 1.8 1.41 т а б л и ц a 154 Значения d[r чугунных водопроводных труб При определении коэффициент 1з следует иметь в виду, что на практике часто применяются угольники (фиг. 15-22), представляющие в сочетании с 1рубопроводом сложное мест- местное сопротивление, дающее коэффициент ?3, значительно боль- больший, чем это получается по приведенным выше данным. Так, 17 Н. 3. Френкель.
258 Местные сопротивления [гл. например, автором был исследован угольник для водопровод ных труб (фиг, 15-22) 4 = 26лш, коэффициент сопротивления ко торого оказался ранным: а) при установке угольника на когте трубопровода при /fc=193 000 —246 000:С= 2,84 —2,76; б) при установке угольника в середине трубопровода при *<? = 34 000— 100000:!;=0,918. 15-9. Потеря энергии при повороте потока в колене Экспериментальные исследования гидравлических сопротив- сопротивлений коле« .показывают, что при повороте трубопровода на угол 0- 15° гидравлическими сопротивлениями можно прене- пренебречь. Свое влияние они проявляют при 0> 15°. Происходящий в колене отрыв потока от стенок (фиг. 15-23) является источни- Фиг. 15-23. Поток в колене, ком дополнительных потерь энергии. Анвлитическос исследование потерь энергии в колене принципиально не отличается от рас- рассмотренного в § 15-2 применительно к случаю внезапного рас- расширения потока. В обоих случаях исходными уравнениями явля- являются уравнения Д. Берпулли и количества движения. Однако в отличие от первого случая для колена расчетной формулой яв- является ]: A5-23) где pj — tfg—векторная разность скоростей, а коэффициенты аир при выводе формулы приняты равными единице. Таким 1 Н. 3, Френкеле, Гидравлика, Госэн&ргоиэдат, 1947, § 100. § 15-.10] Потеря энергии в ответвлениях 259 образом, теоретически потеря удельной энергии равна ско- скоростному напору, соответствующему потерянной скорости» Для колен постоянного сечения (V[=v2) эта формула при- принимает вид; Л г> A5-24) откуда 2 A5-25) где б — угол поворота потока в колене. На основании устаревших опытных данных Вейсбаха в эту формулу следует ввести поправочный множитель * = 0,25+0,5 sin*-|-, A5-26) что, однако, для применяющихся в технике колен дает зани- заниженное значение коэффициента сопротивления. Для таких ко- колен и для углов 6=15 — 80° коэффициент k следует вычис- вычислять по формуле, предлагаемой автором: е A5-27) что дает для С формулу в виде: A5-28) 15-10, Потеря энергии в ответвлениях Величина потерь в ответвлениях как в направлении главной магистрали, так и в направления ответвления будет зависеть от геометрической формы ответвления, от соотношения диаметров разветвляющихся трубопроводов, а также от направления тече- течения и от соотношения количеств жидкости, идущих по магистра- магистрали и по ответвлениям. Значения коэффициентов потерь при турбулентном движении приведены на графике (фиг. 15-24—15-26). Значения всех коэф- коэффициентов отнесены к скоростному напору, соответствующему суммарному расходу Q до ответвления при разделении потоков или суммарному расходу Q' при их слиянии. На каждом из гра? фиков обозначения имеют следующее значение: Qo и Q^—расход в ответвлении при разделении и слиянии; С—коэффициент, соответствующий ответвлению при разделении потока; ^ —коэффициент, соответствующий ответвлению, но при слиянии потоков; 17*
260 Местные сопротивления |,гл. 15 46 № о у J I/J V Л XI ГНтТ J / О й4 -QS -W fti ' / у / / QoQ'o О Qfi t as t I \ 1 СУ 1 0 Фиг. 15-24. ' фиг. 15-25. Фиг. 15-26, Зависимость коэффициентов ч от QJQ для тройников. л — коэффициент, соответствующий прямому направле- направлению при разделении потока; л — коэффициент, соответствующий прямому направле- направлению, но при слиянии потоков. Следует обратить внимание на отрицательное значение коэффициента С, что означает увеличение энергии жидкости в соответствующем направлении течения. Это обусловли- обусловливается всасывающим действием сходящихся или расходящихся ПОТОКОВ ЖИДКОСТИ. 15-11. Коэффициенты сопротивлений С запорных приспособлений, клапанов н других устройств О факторах, влияющих на значение коэффициента С> было сказано в § 15-1. Здесь будут приведены некоторые значения С: в табл. 15-5 для запорных устройств (фиг. 15-27—15-31), в табл. 15-6 приближенные значения для сетки с обратным кла- клапаном (фиг. 15-32), устанавливаемой на приемных концах тру- трубопроводов (водопроводных линий, насосных установок и т. п). Если всасывающая коробка не снабжена обратным клапаном, коэффициент сопротивления коробки (сетки) можно опреде- определять по формуле г сет = @.675-•-1,575) со \2 сет) A5-29) Коэффициенты сопротивлений 261 где с em площадь поперечного сечения трубы, к которой при соединяется сетка; сумма площадей всех отверстий сетки. Фиг. 15-27. Вентиль обыкно- обыкновенный. Фиг. 15-28. Вентиль с косым затвором. Таблица 15-5 Значения коэффициентов сопротивления С вентилей и задвижек при полном открытии Наименование Вентиль запорный обыкновенный муфтовый Jfe 3 То же № 4 ш . 1 „ „ Ку 5 , Вентиль запорный обыкновенный муфтовый № 1 То же № 2 Вентиль запорный обыкновенный муфтовый Вентиль запорный фланцевого типа с косым затвором № G % То же . . k Задвижка Пробочный ^^ 1 1 1 И/2 н/2 2 з' 4 2 ^с ^* я1 ГЁ ii a as jg 27 27 27 41 41 53 41 75 106 53 о i r^| F* Щ Q W ^ Я f-r ^ fa! О ^™ f\ 1 »4i ^^ ^гИ ^A' ^~S ^U 8^87 8,87 7,26 6,78 7 1,35 0,614 0,117 0,1 «J ^ Hi 25Г4 25,4 25,4 38,1 38,1 50,8 38,1 70,2 101 б 50,8 О i\ !&Ь = О К IISIS 9,50 6,95 6,95 5,40 5,95 1,00 0,604 0 107 0,85 В табл, 15-7 приведены коэффициенты сопротивления для различных форм клапанов.
262 Местные сопротивления I гл. 15 Фиг. 15 29» Задвижка. Фиг. 15-30. Пробочный кран. ^•¦/.•: -I- у- ¦¦¦/: - •* * ч Фиг. 15-ЗК Вентили. 1 и 2 — вентиль обыкновенный бронзовый диа- диаметром J/2" с тарельчатым клдпаиоуг н ниж- нижним направлением; 3,4 а 0 — вентиль обыкно- обыкновенный муфтовый ллй бронзы диаметром 1* с тарельчатые клапаном без ьижнрго направ- направления; 6 — вентиль фланцевый чугунный с ко- косым затвором диаметром I1/*—3" Фиг* 15432» Всасывающая сет ка с обратным клапаном* § 15-11] Коэффициенты сопротивлений ? 263 Таблица 15-6 Значения коэффициента сопротивления ^ всасывающей коробки с обратным клапаном dt м 0,04 0,07 о, 1 7 1 0, G 15 0, 2 2 0р з, 3 7 0 75 3,5 Таблица 15-7 Значения коэффициентов сопротивления ? клапанов (по Баху) Тип клапана Тарельчатый клапан без нижнего направ- направления (фиг. 1533) Тарельчатый клапац с нижним йр ннем (фиг. 15 34) Кон}сный клапан с плоской нижней по- поверхностью (фиг. 15 35) Конусный клапан с конусообразной опорной поверхно- поверхностью (фиг. 15-36) Шаровой клапан с ко- конусной олорной по- поверхностью (фиг. 15-37) Значения ко->фф1тцценчоа = 0,55+4 (Ь —0,1 где / — число ребер; s — ширина ребра; a^@s8 до 1,6).[0,55+4 (й—0,1 в зависимости от степени стесне- стеснения ребрами площади прохода от 0,87 до 0,8*, щ - 1,7 до 1 =-с/ 2,5<<f:ft<8 0,14
264 Местные сопротивления "гл, 15 X Ti с id 15-12. Экспериментальное определение коэффициента местных сопротивлений Наиболее точным способом исследования коэффициентов мест- местного сопротивления является исследование их на модельном тру- трубопроводе, в точности копирующем тот, на котором это местное сопротивление будет уста- установлено. В этом случае сначала определяются потери удель- g ной энергии модельного тру- s бопровода без местного co- coco противления, а затем потери ~ удельной энергии в том же 5 трубопроводе, но с местным .е- сопротивлением. Потери энергии, вызванные местным сопротивлением, находят как разность потерь энергии в обоих случаях. Весьма часто местные со- сопротивления исследуются без уточнения их месторас- месторасположения в будущем. В этом случае лучшим способом является также ме- метод модельного трубопрово- трубопровода, однако модель представ- представляет прямой трубопровод достаточной длины, в цен- центре которого смонтировано исследуемое местное сопро- сопротивление. Так же как и в предыдущем случае потери удельной энергии определя- определяют как разность потерь удельной энергии в трубо- трубопроводе с местным сопро- сопротивлением и только в тру- трубопроводе (без местного со- сопротивления). Для того что- чтобы избавиться от предвари- предварительного определения сопро- сопротивления самого трубопро- трубопровода, исследование может быть осуществлено методом двух дифференциальных ма- О 5 я о J3 О СП со § 15-12] Определение коэффициента местных сопротивлений 265 нометров (или четырех пьезометров), как показано на фиг. 15-38, Здесь / — труба; //—испытываемое местное сопротивление; /// й IV — дза дифферпециальных ртутных манометра; V — мерный бак; VI — термометр. Манометры должны быть присоединены в таких сечениях трубопровода, где распределение скоростей по живым сечениям потока можно считать одинаковым { z= су = а4). Для того чтобы на одной и той же установке, можно было производить исследование различных местных сопротивле- сопротивлений, длины отдельных участков опытного трубопровода следует брать побольше. Размеры, покачанные на фиг, 15-38, обеспечи- обеспечивают достаточную точность исследования. При соблюдении поставленных выше условий дифференциаль- дифференциальный манометр /// позволяет определить значение v 1Р ^ -* it равное сумме потерь удельной энергии по длине на участке 1—4 и б местном сопротивлении h 1 = АвЧ"А. Дифференциальный манометр IV позволяет определить значение ¦т Р2 Н = h. 1р т равное сумме потерь удельной энергии по длине па участке, вдвое меньшем предыдущего, и в том же местном сопротив- сопротивлении: * К J Таким образом, для определения hM имеются два уравне- уравнения, откуда находим: '" ~^ ' A5-30) \ Зная на основании предыдущего, что Лл = Сл ^—, можно найти и коэффициент сопротивления ?м по формуле — Т A5-31) Задача 15-1. Определить гсометрическ>ю высоту h установки оси цен- центробежного нас о: а (фиг 15-39) над уровнем жидкости в емкости, откуда насос ее забирает (эта высота называется геометрической высотой всасы- всасывания насоса—hy а а) согласно след\ющим данным: 1) насос будет перека-
266 Местные сопротивления [гл. 15 чивать воду в количестве Q = 10 я\сек\ 2) всасывающий тр>бопровод вы- выполнен в виде гибкого шланга, длиной Ь-- 10 м и диаметром d = 75 Д?Л (длина всасывающего трубопровода п данном расчете не будет зависеть от высоты усыновив ласоса); 3) давление в жидкости перед входом ее в са- сос (но всасывающем патрубке насоса) согласно паспортным данным уста- устанавливаемого насоса при работе его на" воде с температурой t = 20° С пературой t = Должно быть не меньше •TV Фк[. 15-39. Схема насосной установки со всасывающим трубопроводом в виде шланга* К задаче 15-1. () территория насосной станции расположена па высоте 250л* над уровнем моря (место нахождения территории требуется знать для }точне]шя значения, соответствую- [цего данному месту атмосфер- атмосферного дапления); 5) кинематический коэффициент вязкости воды при * = 20° С у = 0,01 см^сек. Решение. Особенностью лан- ной задачи является то, гпо в при- присоединенном к центробежному на- насосу трубопроводе движение жидкости может рассматриваться установив- установившимся. На этом основании для ее решения применим уравнение Бернулли для установившегося потока реальной жидкости. Приняв ^а плоскость сравнения горизонтальную поверхность воды в во- водоеме, напишеьг уравнении Бернулли для сечений / и //¦ Второе сечение есть жявое сечение потока во всасывающем патрубке касога. Принимаем для некоторого упрощения, что диаметр всасывающего тру- трубопровода (шланга) йщ и диаметр всасывающего патрубка насоса ранны (это не всегда имеет место и ко многих случаях обязательно должно быть учтено). При таком допущении скорости в трубопроводе и в патрубке дут одинаковы, а уравнение Бернулли может быгь Е1редставлецо в виде Т d Q" Вследствие того, что площадь «t зеркала свободной поверхности велика почти всегда можно принять значение _ш ^* *" ы I I > ¦ V, Учитывая, что в данном случае z2 — Ьг.вл , и решая уравнение Бернулли относительно h, л о ч пайлем: (¦.DD • Р\—Р2 Для определения коэффициентов аь \ и К определим число ~Re: _ Q 10 000 ^0,785^у ^67^5.7,5-0рОГ=16935а Движение турб>лентпое. 6 15-12 ] Определение коэффициента местных сопротивлений 267 Принимаем: от 2= 1,1; = 0.12. Коэффициент \ для гибкого шланга диаме1ром равным фиг. 14-11 принимаем равным 0,07. Значение ? = 38,29 75 мм согласно Подставляя найденные значения в формулы для НгВЯ1 найдем: = 10 л\сек\ I Задача 15-2. Определить геометрическую высоту всасывания центро- центробежного насоса (фиг. 15-40) согласно следующим данным: 1) насос буде[ перекачивать бензин в количестве ~ 2) расстояЕГие по горизонтали места установки насоса от бензохранилища 1г= 25 м\ 3) диаметр металлических трубопрово- трубопроводов всасывающей линии tf=!O0 мм, шеро- хокатость трубопровода Д — 0,4 мм, шеро- шероховатость принята с запасом на случай старения трубопровода: 4) всасывающий конец трубопровода затоплен п жидкость на длину /3 = 1 л*; 5) территория насосной станции распо- расположена на высоте I 250 л над уровнем моря; 6) давление в жидкости (бензин) перед входом ее в iihloc (ьо псасывающем патруб- патрубке" насоса) р\—Рвс согласно паспортном данным устанавливаемого нясога при ра- работе его на данном сорте бензина должно быть не меньше ^ = 6 000 кГ^м2; 7) объемный вес бензина 7—7,30 кГ(мъ\ 8) кинематический коэффициент пя?ко:ти his \ д 4 г-1з«^ Фиг. 15-40. Счема насосной ус- установки с металлические вса- всасывающим трубопроводом- К задаче 15-2. Решение. Отличие данной задачи от предыдущей заключается лишь в том, что общая длина трубопровода, слагающаяся из является неизвестной, так как неизвестна величина, Ь.гй 6, подлежащая определению. Метол решения задачи в основном остается тем же. Несколько изме- изменяются линь математические преобразования. Попрежнему нэпишеи уравнелие Бернулли для сечения а—а и /—/. Оно б>дет иметь следующий вид: Ра Рее —- = ¦—- 4-А Y Ч г,8 в X Q вс.катп 2 К + h X h 2 вс.тр г.в.в 2 *зс тр
268 Местные сопротивления [гл. 15 Решая это уравнение относительно Л, eg , 1ЮЛ>ЩШ. Для определения значений а, Q С необходимо вычислить число 10 000 0,785dv ^ 0,785-10-0, Движение турбулентное. Принимаем: «=1,1; Коэффициент \ вычисляем по формул -= ~ 21g + /*!*! — 21g 0,4 / 6>81 3.7-100 +1Т5Ш5" откуда Подставляя, находим: X = 0,0244; =* 121 100^ г8в ~~ 260 H-0J2 100 00244 100 КО ЛШ = 44,95 Задача 15-3» Определить расход воды через масляный холодильник. Пода поступает п распределительную крышку холодильника через диф- диффузор. Далее она проходит через систему трубок, охлаждая при этом масло» Температура холодной воды f = 20°G Кинематический коэффициент вязкости при этом v = 0,01 см2!сегс. Средняя температура нагретой воды Кинематический коэффициент вязкости при этом v = 0,0049 см2(сек. Избыточное давление жидкости при входе в диффузор Pal = 6 м вод. ст. Избыточное давление жидкости при выходе = 2,5 м вод» ст\ = 20 мм. Все § 15-12] Определение коэффициента местных сопротивлений 269 и ¦вВ Фиг, 1541, Схема холодильника, К задаче Дтя определения расхода применим уравнение Берцрли для потока реальной жидкости. Выбрав за плоскость сравнения горизонтальную пло- плоскость проходящую чере^ центр тяхеест" поперечного сечения трубы па входе в холодильник (центр сечений /—/), напишем уравнение Бериулли сечений /—I и И—II. Pi , «jQ2 , Р2 где = 0; = 0,8 T = 6 м вод., P2 V I ^ 2,5 м вод* ст» Перейдем к определению коэффициентов гидравлических сопротивлений, Bbhav того, что раскод через систему неизвестен, не представляется воз- возможным определить число Re на отдельных участках. Поэтому такие рас- расчеты надо начинать с предварительных, что проще всего i делать, предпо- предполагая режич движения везде соответствующим квадратичной зоне- Позже расчет надо будет уточнить. Предварительного расчета здесь не дается. Результаты его, касающиеся значения Re> несколько откорректированные, приведены в таблице. Сечение Re I - I 350 ООП Широкое сечение диффузора 67 000 О^лажд^тгяцие трубки G3 3C0
270 Местные сопротивления [гл 15 К0ЭФФиИие»ты по ие трубки 4 Коэффициент сопротивления при входе в С - 0гб. 3) Коэффициент X для охлаждающих трубок. Трубки медные, гладкие: 1 (l,8Ig/?^— 1, 4) Коэффициент Кв= 1,1 при выходе из охлаждающей трубки, 5) Коэффициент s^^0-5 ПРЯ в*оде в отвод. Подставляя эти значения в уравнение Бернулли, найдем: Ри\ —— Л 2 Разрешим это уравнение относительно Q (имея в виду, что *, _ Подставляя цифры, получи м 2-98,1 (fro — 25,0^ 8} Q.5S + 0,B14-fO,5 +0,0196--^+ 1,1)о,об48 = 14,5 л/сек. Легко проверить соответствие принятых Re условиям течения жидкости через охладитель* Задача 15-4. Определить расход бензина через жиклер-капилляр карбю- карбюратора, диаметр отверстия которого d = l мм, а отношение длины капил- капилляра I к d'.-j~ Ю. Потери учесть только в капилляре (при входе и по длине}. Бензин поступает в жиклер из поплавконои камеры по труокам, изо- изображенным на схеме (фиг. 15-42), благодаря вакууму, создающемуся в устье жиклера А в диффузоре карбюратора. Разность уровней бензина в поплавковой камере и в устье жиклера h ;= 3 мм {в дальнейшем npeEiefiperaew), Поплавковая камора сообщается с атмосферой, благодаря чему давление на поверхности бензина в поплавковой камеро равно атмосферному. Расчет необходимо произвести для вакуума в диффузоре карбюратсра возле устья жиклера, равною 1 450 мм 6chjhhodoio столба. Объемный вес бензина ? — 7^0 кГ?мК кинематический коэффициент вязкости v =5 0,01)8 см2!сек. § 15-12] Определение коэффициента местных сопротивлений 271 Решение. Так как жидкость вытекает из достаючно длинной цилин- цилиндрической трубки и при вытекании никакого внешнего сжатия не претер- претерпевает» то площадь живого сечения струи <*струи на выходе равна пло- площади сечения жиклера **жикА€р* Если бы жидкость вытекала из весьма короткой цилиндрической трубы (например f/d < 1,5 — 2), могло бы иметь место такое явление, при котором струя благодаря сужению свое- своего сечения пролетала трубку и не касалась бы ее стенок. Подобный случай истечения бу- будет рассмотрен и гл. 20 при изучении истечения жидкости из отверстий. Поэтому для вы- вычислений расхода fQurjceKMhi можем исходить ич формулы Плоскость v сравнения где 7 — объемный вес бензина; 61 — площадь поперечного сечения отверстия жик- жиклера; действительная скоро- скорость истечения бензина из отверстия жиклера, определения скорости v применим уравнение Бернул- Бернулли для потока реэлыгой жидкости. Выбрав за плоскость сравнения горизон- горизонтальную свободную поверхность бензина в поплавковой камерет напишем уравнение Бернулли для сечения 0—0, совпадающего с плоскос!ью сравне- сравнения, и сечения fW, совпадают^о с отверстием жиклера. Тогда, обозначая Ua = v. имеем: Фиг. 15-42. Схема элементарного карбюра тора* К задаче 15-4. принимая скорость на поверхности в поплавковой камере v$ = 0, из уравне- уравнения Бернулли для скорости v получим следующее выражение: » v — назвав коэффициентом скорости где Н = Р\ — h— истечения. Как видим, коэффициент скорости f зависит от l!dt а также от \ и ?, которые в свою очередь зависят о? режима движения, т. е. от Re. Поэтому для определения значения ф, которое соответствует заданному напору исте- истечения Я, исследуем сначала зависимость » от Re n l?dy т. е. * = f(Rc9ltd)< Для ЗтО1 о зададимся н<.скольки^и значениями Re, При заданной вязкости это будет равносильно tov^, чго мы задаемся рядом значений средней ско-
272 Приборы для измерения расходов жидкости 16 рости v. Зиял #с шей v, легко вычИс лить и сооткетсгнч ющие значения коэф- коэффициента скорости (р и найти им соответствующее я = Таким образом, мы будем иметь в конечном счете которую полезно изобразить 1рафичсски, что позволит получить значение коэффициента скорости ^ отвечающее любому И. При вычислении ос и X для ламинарного движения необходимо исходить из теории мач4лького учч^тка. В турбулентном движении а = 1,]р а для гладких труб X = AР8 ]g Re— 1,5j—2* Результаты выкладок занесем в таблицу. Re 1 000 1 500 2 320 2 320 3 000 5 000 8 000 v, cMJcex 80 120 185 185 240 400 640 > I Id* Re \ 0,0100 0,0666 0,0431 1,717 1,010 1,510 I.I 1,1 I.I 1.1 A 88 100 no . i 0,088 0,066 0,0474 0,0481 G,044J 0,0376 0,0323 r V 0pl25 0p125 0,125 0,3 0,3 о,:з 0,3 re 0,605 0,b40 0,f)88 0,729 0,737 0,751 0,7GJ Ht см 8,91 17,58 36,79 32,81 54,05 144,83 3G0,75 Из таблипы (а если построен график, то из i рафика) следует, что за- заданному напору //= 145 см соответстпует у =0,751, и движение турбулент- турбулентное, так как /?<? — 5 000. Подставляя, имеем: YlgH — 0,751 и = f YlgH — 0,751 У^ШЛАЬ = 400 см(сек; Q^voi^ 400-0,785-0,^^3,14 см* сек; 0=^70^0,75-3,14 = 2,36 Псек. Глава шестнадцатая ПРИБОРЫ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ РАСХОДОВ ЖИДКОСТИ В этой главе будут изложены главным образом теоретические оснозьг дроссельных расходомерных приборов, позволяющих весь- весьма просто определять расходы в установившихся потоках: и по- потому получивших широкое распространение в технике, (К числу дроссельных приборов, применяющихся для измере- измерения установившихся расходов разнообразных жидкостей, в том числе и газов, относятся расходомерная диафрагма (фиг. 16-1), расходомернос сопло (фиг. 16-2) и расходомерная труба (труба Вснтури) (фиг. 16-3). Принцип работы этих приборов основан на 'использовании зависимости, устанавливающейся по уравнению Бернулли в пото- потоке жидкости, между расходом и искусственно создаваемым в двух сечениях потока перепадом давлений. гл. 16] Приборы Оля измерения расходов жидкости 273 Рассмотрим наиболее общий случай — поток жидкости через диафрагму (фиг. 16-4). Ее можно рассматривать как внезапное сжатие с последующим внезапным расширением, поэтому живое сечение потока &с после прохода отверстия диафрагмы, кромка которой должна быть острой, будет меньше площади отвер- отверстия w где е — коэффициент сжатия струи» Наибольшую скорость поток будет иметь в сече- сечении юс. Благодаря увеличе- увеличению скорости в этом сечении увеличивается удельная ки- кинетическая энергия потока, что вызывает соответствую- соответствующее уменьшение удельной потенциальной энергии и уменьшение давления в се- сечении и>с по сравнению с дав- давлением в сечении /—/. Таким образом, между сечениями /—/ и с—с соз- создается перепад давлений. Для установления связи между расходом и перепа- перепадом давления воспользуемся уравнением сечений потока: первое сечение возьмем Фиг. 16-1 _ мерная диафрагма. Показаны два спо- способа отбора давле- давлений. а — посредством коль- цевы* камер; б — по- посредством сверлений. Бернулли для двух перед диафрагмеи, Фиг. 162. Расходомер- ное сопло» Слева — для 0,45; ^ J справа—для| *Мегтло присоединения дифференциального нанометра 18 П. 3. Френкель.
274 Приборы для измерения расходов жидкости [гл Фит. 16-3, Расходомериач труба Вентури. а второе— в суженном сечении струи <*>с. При этом будем иметь: где С — коэффициент сопротивле- сопротивления дросселя. Имея в виду, что z,=z,, а рас- расход получим: Р\ Фиг* 16-4. Схема потока через расходомерную диафрагму. ^ <? * откуда VTg- 0>i Pi— Pc где I A6-1) A6-2) называется теоретическим коэффициентом расхода. Разность (перепад) давлений замеряется или дифференциаль- дифференциальным пьезометром по схеме фиг, 4-11, или дифференциальным ртутным манометром по схеме фиг. 4-12. гл, 16 J Приборы для измерения расходов жидкости 275 Б гом и другом случае Q определяется по формуле A6-3) где С будем называть коэффициентом дроссельного прибора. Теоретическое -значение С равно: A6-4) — для дифференциального пьезометра, - г A6-5) —для ртутного дифференциального манометра. Заметим, что для измерения перепада давления может быть использован и пружинный дифференциальный манометр. Полученные зависимости справедливы также и для сопла (фиг, 16-2) и для трубы (фиг. 16-3). Только и для сопла и для трубы надо принять е=^1> так как сжатое живое сечение по- потока <х>с равно площади проходного отверстия дросселя о. Теоретически вычислить действительное значение коэффи- коэффициента расхода ^ и коэффициента дроссельного прибора С невозможно ввиду того, что на его значение оказывают влия- влияние трудно учитываемые факторы: а) коэффициенты а1 и ъс\ б) коэффициент сжатия е (для диафрагмы); в) коэффициент сопротивления прибора С; г) температура, изменения которой влияют на размены проходных отверстий. ^ Кроме того, на практике замер давлений производится не в сечениях, совпадающих с расчетными по уравнению Бер- нулли, а в углах при помощи отверстий или кольцевых ка- камер, как изображено на фиг. 16-1 и 16-2. Ввиду этого значе- значение коэффициента расхода ^ и коэффициента дроссельного прибора С определяют опытным путем. Для нормальных диафрагм и сопел, размеры которых нор- нормализованы при условии их нормальной установки согласно руководящим указаниям', коэффициенты расхода \h в функции Re изображены на фиг. 16-5 и 16-6. Параметром каждой кри- вой является квадрат отношения диаметров, т. е. ! ~jyj,причем размеры прибора соответствуют температуре его f = 20° С. 1 Правила 27-54 по применению и поверке расходомеров с нормальными диафрагмами, соплами и трубами Вентури, Комитет стандартов, мер и из- измерительных приборов при Совете Министров СССР, Машгиз, 1955. 18*
276 Приборы для измерения расходов жидкости 16 Для расходной трубы, показанной на фиг. 16-3, значение \х практически совпадает со значением а для сопел. Для других форм смотри руководящие указания. Из фиг. 16-5 и 16-6 следует, что, начиная с определенного значения числа Re, коэффициенты расхода достигают пре- предельных значений (для диафрагмы минимальных, для сопла максимальных). Назовем эти значения чисел Re предельными. Очевидно, режимы движения с Re^>Re следует рассматривать как со- соответствующие квадратичной обла- области. Для квадратичной области ко- коэффициенты расхода ^ и коэффици- коэффициенты дроссельного прибора С ста- становятся постоянными, зависящими только от отношения d/D. Приведенные на фиг, 16-6 и 16-6 данные о коэффициенте расхода со- соответствуют его некоторым средним значениям. Отклонение средних зна- значений от действительных значений для приборов, в точности удовле- удовлетворяющих нормальным условиям, характеризуется так называемой основной погрешностью, являющей- являющейся неизбежной при отработке экспе- экспериментальных данных; эти основные погрешности указаны на фиг. 16-5 и 16-6, ^ k ¦ 1 В практических условиях к оспов- з*5 ю г 34s ю гз*5 ю6 гз ной допускаемой погрешности долж- . 1G-5. Зависимость коэффи- на быть присоединена погрешность циента расхода ц от ReD для нор- за счет шероховатости трубопровода мадмюй диафрагмы. Каждая ли- и за счег недостаточной остроты ния соответствует определенному кромки отверстия (ТОЛЬКО ДЛЯ ДИа- зцат1ению(-т5"J- фрагмы). Общая вероятная погреш- \ / ность принимается равной корню квадратному из суммы квадратов вероятных погрешностей: основной, от шероховатости и от не- неостроты кромки (только для диафрагмы). Подробнее см. Пра- Правила [. Главнейшим преимуществом дроссельных приборов является отсутствие на пути жидкости каких-либо механизмов. Потери энергии в них зависят главным образом от степени сужения по- потока. При одинаковом сужении наименьшие потери возникают в 1 См. сноску на стр. 275. гл, 16] Приборы для измерения расходов жидкости 277 Фи1* 1G-6, Зависимость коэффи- коэффициента расхода у от R#p Для нормальней о сопла. Каждая линия соответствует опреде- (d - ленному значению -тт 036 p Фиг. 16-7. Скорос|нои во- водомер, установленный параллельно с диафраг- диафрагмой. / — диафрагма. 2 — скорост- скоростной водомер» 3 — отпол; 4 — расходомерпой трубе, в которой благодаря диффузору преобра- преобразование большой скорости в суженном сечении в малую скорость в трубопроводе происходит в более благоприятных условиях. Наибольшие потери имеют место в диафрагме.
273 Приборы для измерения расходов жидкости Ггл 16 Для измерения общего количества жидкости, которое прохо- проходит через трубопровод за некоторый промежуток времени может быть использована расходомерная установка, представляющая параллельное соединение дроссельного прибора с так называе- называемым скоростным водомером фиг. 16-7. Скоростной водомер, рассчитываемый на пропуск малого количества жидкости, устанавливается в параллель- параллельном трубопроводе, присоеди- присоединенном -вместо дифференциаль- дифференциального манометра. Благодаря разности давлений в точках приключения трубы небольшое количество жидкости, пропор- пропорциональное количеству жидко- жидкости в главкой трубе, пойдет по параллельной трубе через ско- скоростной водомер. Для определения всего количества показания скоростного водомера надо помножить на некоторый коэффи- коэффициент, обычно указываемый из- изготовителем водомера. В качестве скоростных зодо- меров применяются или крыль- чатые вддомеры (фиг. 16-8), или турбинные (фиг. 16-9). Фиг. 16-8, Крыльчатый водомер. / — крыльчатка, 2 — счетный механизм; 3 — регулятор, 4— стсклг>, 5 — крышка ' V ¦* <^ *?• xV- fc. *• Фиг. lG-9- Турбинный водомер. фиг. 16-10. Установка дп>х последо- последовательно работающих водомеров. Основной деталью этих водомеров является крыльчатка или fi"UKa (вертушка), изготавливаемая для холодной воды t <" , из пластмассы, а дчя горячей (f>90°C) из латуни. За" Li ГЛ Приборы для измерения расходов жидкости 279 висимость между расходом и числом оборотов крыльчатки и вер- вертушки устанавливается на основании опытных данных, соответ- соответственно с чем изготавливается и счетный механизм. Одним из недостатков скоростных водомеров является то, что для каждого из них существует предельный минимальный расход, меньше которого он перестает его регистрировать. В табл. 16-1 приведены некоторые данные скоростных водомеров. Иногда в систему последовательно включают два мерных уст- устройства, одно из которых предназначено для регистрации малых расходов. На фиг. 16-10 показана последовательная установка двух турбинных водомеров с самопишущим устройством. График привоя погрешности Q 2 Ь 6 В Ю , 15 а? А? 40 50м* Фиг, 16-1Ь Зависимость погрешностей турбинных водомеров от расхода, иа фиг. 1бнЦ указывает значение погрешностей этой установки и величину потерь удельной энергии (напора) для водомер* с диа- метрамм 50/30 мм. Если расход, соответствующий потере напора в Ю м вод. ст., принять за 100%, то этим графиком погрешности можно пользоваться и для других размеров турбинных водомеров. Вертушки получили широкое распространение в гидрометри- гидрометрической практике также и для определения скоростей потока В советской гидрометрической практике применяют вертушки с горизонтальной осью вращения (системы Грищока, Жестовского, Государственного гидрологического института, опытного судо^ строительного бассейна), а также вращающиеся на вертикальной оси (системы Института водного хозяйства Средней Азии). Задача 16-1. Определить расход воды (см, фиг, 16-2) посредством рас ходомерного сопла d = ОД установленного на трубопроводе D = 100 мм, если ртутный дифференциальный манометр, присоединенный к расходо- расходомеру, показывает h = 400 мм рт. ст. Объемный вес ртути в манометре ; «13550 кГ>м*. Вязкость воды
280 Методы расчета трубопроводовл питающихся от резервуаров [гл. 17 Таблица 101 Технические характеристики скоростных водомеров Си 1» t* о См a. о 1-*» . I» 2 та *t К * ! Тип водо.ч?ра <j P. _ CO rj ^i г- S J> 4 <W ^ 0> p; ^* ^ Ы t? % я S SI15 au >t -r< M « - " Ц Я 3 oj en P « дЗ -¦ -^ я s ^ >* ~• V* _ >^ vh **¦ ™Г ?-* z: ^ ^ ^ Э W л-н р, /г» л»^ >г 2 Р2^ h О О. ы !?¦ t-* ^ "^ та' ¦? w w *? ТО *1 '—' лл ~ " п w з^ ~—— |_Г W •*] 1» и ^ г* р; р Е- "^ 0J Q **i >—Г ^ZT1 S О •в-о О л Ss и: н <а> 'о. rt ^ хо 35 ОСУ А. Крыльчатке водомер ы 15 20 30 40 50 80 100 150 200 ВК-3 (ВКМ-3) . . ВК-5 (ВКМ-5) . . ВКЧ0 (ВКМ-10) . ВК-20 (ВКМ-20) , 20 3 5 10 20 0, 0, 0, 0р 10 1п 25 50 0 1 3 6 ,9 ,5 ,0 ,0 1 2 5 10 .5 Т5 ,0 0 8 10 12 10 ,80 ,00 too В* Турбинные водомеры ВВ-50 . BR-80 . ПВ-100 ВВ-150 ВВ-200 70 250 440 1 0П0 1700 3 6 И 15 2G 15 45 75 160 2Ь5 22 80 140 380 ' 550 2 00 )р02 0,82 0,80 0,88 1 Характерный расход соответствует потерям напора Ю м вод. ст. = 1,03*0,2827 /193,242,55 = 29,4 л!сек> Найдем число Re: Re = Q 29,4 0,785- Ы = 37° 1:9 1:10 1:12 1:12 1:5 1:7,5 1:7 1210,5 1:10 Решение. Предполагая квадратичный режим движения, примем ^ = 1,03 (согласно фиг. 16-6), Расход вычислим по формуле Предположение о квадратичной зоне соответствует дайствительности. Расчет сделан правильно. Глава семнадцатая МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТРУБОПРОВОДОВ, ПИТАЮЩИХСЯ ОТ РЕЗЕРВУАРОВ, УРОВЕНЬ ЖИДКОСТИ В КОТОРЫХ ОСТАЕТСЯ ПОСТОЯННЫМ Гидравлические расчеты трубопроводов, питающихся от ре- резервуаров, уровень жидкости в которых остается постоянным, могут встретиться при расчете трубопроводов, присоединенных к большим резервуарам. В этом случае весьма часто изменение уровня жидкости в резервуаре за время раздачи столь незначи- незначительно, что оно никакош практического влияния на величину § 17-1 ] Самотечный трубопровод постоянного сечения 231 расхода не оказывает. Подобные трубопроводы могут быть или сложными (разветвленными), или простыми — не имеющими разветвлений. Существуют два метода гидравлических расчетов трубопроводов: аналитический и графоаналитический. 17-1. Самотечный трубопровод постоянного сечения (простой трубопровод) Трубопровод называется самотечным, если все его части рас- располагаются ниже уровня жидкости, находящейся в резервуаре, из которого жидкость вытекает. Расчет такого простого трубо- трубопровода в основном заключается или в определении необходимой величины снижения трубопровода /*о + й (фиг. I7-I) для обеспе- обеспечения заданного расхода Q при известных /, d и А, или в опре- определении необходимого диаметра трубопровода d для обеспечения требующегося расхода Q при заданном А^+А, / и ^ , пли рассчи- рассчитывается величина Q, если задано все остальное. г 0 ~~ ~ ¦* . 17-1- Схема самотечного трубопролида. В общем случае гидравлический расчет длинного грубопррво- да, питающегося от проектируемой мощной насосной станции или высокой водонапорной башни, должен сочетаться « с %сономи- ческим расчетом. Проектирование мощных станций или высоких башен позволяет экономить на стоимости трубопроводов, кото- которые получаются меньшего диаметра, и, наоборот, проектирование трубопроводов большого диаметра даст экономию на стоимости насосных станций и башен. Для самотечных трубопроводов, когда представляется воз- возможность использовать естественный рельеф местности для со- создания необходимого снижения трубопровода, нет почти никаких оснований для ограничения величин скорости и расхода какими- либо значениями, если только эти скорости и расходы обеспечи- обеспечивают нормальную работу трубопровода и всей установки. В таких случаях приходится считаться лишь с явлениями кавитации (что возникает, когда давление в жидкости падает до пределов паро- парообразования) и с явлениями гидравлического удара (теория гид- гидравлического удара будет изложена в гл. 19).
282 Методы расчета трубопроводов, питающихся от резервуаров [гл. 17 Для получения расчетных формул воспользуемся уравнением Бернулли, написанным для сечений 0—0 и /—/, показанных на схеме, и для плоскости сравнения, выбранной на уровне конца трубопровода. В обоих сечениях существует гидростатический закон распределения давления В этом уравнении г0 — г{ — й -\-kOi с0 ^ 0, как скорость на свободной поверхности жидкости в резервуаре v{^=v > Таким образом, откуда A) — A7-1) Это уравнение является основным. Оно просто разрешается относительно А. В этом случае *тр d A7-2) Диаметр трубопровода из уравнения A7-1J, если все ос- остальные величины известны, может быть найден только ме- методом подбора. Для определения диаметра необходимо в этом случае задаться несколькими его значениями, добившись ра- равенства левой и правой частей уравнения. Решая уравнение A7-1) относительно vm , получим; m , тр A7-3) Расход Q найдем по формуле тр тр + h -\-^-^-х = Но называется напором истечения, § 17-21 Определение давления в произвольной точке трубопровода 283 называется коэффициентом расхода. A7-5) Если на поверхности жидкости в резервуаре и на конце трубопровода имеются одинаковые давления то A7-6) Ввиду тоге, что коэффициенты а, X и С являются в общем случае функцией числа Re, уравнения A7-4) и A7-6) могут быть решены также только методом последовательного при- приближения. Для предварительного определения Q необходимо предположить сперва движение, соответствующее квадратич- квадратичной области. В этом случае коэффициенты «, л и С принима- принимаются постоянными. Определив по найденному значению Q число Ret необхо- необходимо уточнить значения 1 и С, а по ним найти новое значе- значение Q, которое в конечном счете должно соответствовать Re. 17-2. Определение давления в произвольной точке трубопровода Трубопровод должен быть так рассчитан, чтобы в любой его почке давление в жидкости было больше давления парообразо- парообразования. Поэтому каждый расчет должен сопровождаться опреде- определением давления в сечениях, где оно может оказаться наимень- г ^^ ^ 1 и Фиг 17-2. Пьезометрическая линия простою трубопровода. шим, и сопоставлением полученного значения с давлением, соот- соответствующим давлению парообразования. Для определения давления в произвольной точке потока k (фиг. 17-2) необходимо воспользоваться уравнением Бернулли, написанным для сечений: 0—0 и k—k. В сечении k—k давление принимаем распределяющимся тю законам гидростатики. Решая это уравнение относительно давления, найдем: Г 2 Рк 0i\ i 1. * к i К '* i v \ v" \ A7-7) fff
284 Методы расчета трубопроводов, питающихся от резервуаров [гл. 1 В выражении, определяющем потери удельной энергии, индекс k указывает па то, что потери определяются до точ- точки k. щ Заметим1 что, как и в гидростатике, давление в некоторой точке жидкости может быть найдено только в том случае, если известью давление в какой-либо другой, но в отличие от пидро- статического давления на величину гидродинамического давле- давления оказывают влияние гидравлическое сопротивление и значе- значение скоростного напора. Из формулы A7-7) следует, что давление piC в какой-либо точке трубопровода тем меньше, чем меньше //„> т. е. чем выше расположена точка. Давление р,г тем меньше, чем больше ско- скорость в трубопроводе, т. е. чем больше Я (напор истечения). Распределение давлений по длине трубопровода весьма про- просто изображается графически, если можно принять падение дав- давления подчиняющимся линейному закону (т. е. пренебречь мест- местными сопротивлениями). В этом случае аналитически вычисляет- вычисляется давление в потоке (на конце горизонтального участка в точ- точке г), В рассматриваемом примере в точке г оказывается тзакуум. Величина этого вакуума откладывается в виде двух отрезков /?,_., концы которых соединяются прямой линией с точкой ту соответствующей давлению в начале участка, и точкой п (конец трубопровода, где избыточное давление равно нулю). Точка г определяет сечение в трубопроводе, избыточное давление в кото- котором также равно нулю. Справа от точки г в трубопроводе нахо- находится область вакуума. Если длина горизонтальной части трубо- трубопровода значительно больше длины вертикального конца, можно достаточно точно давления для горизонтального участка полу- получить, соединив точку т с концом трубопровода, Для нормальной работы в любой точке должно быть Pn_ 7 A7-8) Если расчет дает для рк давление, меньшее, чем давление парообразования, это значит, что в трубопроводе имеет место кавитация, благодаря которой нормальная работа невозможна. Кавитацией называется явление местного образования пузырьков жидкости в ииде сначала небольших пространст, заполненных нарами жидкости и воздухом. Это явление- имеет связь главным образом с объем- объемной прочностью жидкостей. В практических условиях кавитация возникав в местах, где давление п жидкости делается равным давлению парообрато па ни я. В потоках ка вита ц ионные области возникают, как правило, в наибо- наиболее возвыпгешшх местах или в местах наибольших скоростей, а также на покерхпоетпх лолаток вращающихся рабочих колес плесков, т\трби|г, винтов, в местах, особо неблагоприятных с точки зрения обтекания, Одним из наи- наиболее опасных последствий кавитации является разрушение кавитационными пузырьками поверхности тел, расположенных п 6блас1и кавитации, Это § 17-3 ] Самотечный простой трубопровод переменного сечения 285 объясняется следующими причинами. Кавитациоппый пузырек уносится по- потоком в область позышениого давления, где и конденсируется. Конденса- Конденсация сопровождается быстрым смыканием поверхности окружающей его жидкости и появлением больших скоростей, Благодаря этому при конден- конденсации на поверхности трубопровода или лопатки происходит удар жидкости о поверхность, в результате которого в месте удара песьма часто возникает давление, достигающее нескольких тысяч кГ:см2. Такие удары разрушают поверхность в местах удара, создают в системе опасные вибрации и часто вынодят систему из строя. Раньше было принято считать, что кавитацион- ное разрушение" материала обусловливается также температурными, хими- химическими и электрическими явлениями, возникающими при этом. Однако со- современные исследования этого вопроса показали ошибочность такой точки зрения. Навигационному разрушению, не зависящему от рода жидкости, подвержены, наряду с металлами, бакелит, резина, цемент, стекло и др. 17-3. Самотечный простой трубопровод переменного сечения При расчете самотечного простого трубопровода перемен- переменного сечения потери удельной энергии необходимо опреде- определить на каждом участке трубопровода отдельно, так как ско- я _ _ WL я / * " У Г C*- ^¦••'' фиг» 17-3. Схема простого трубопровода переменного сечения. пости движения жидкости на каждом участке неодинаковы. Уравнение Бернулли для случая, изображенного на фиг. 17-3, будет иметь вид: « 1 у г A7-9) Принимая zQ—z2 = hQ-h, уо^0и ро=р2, воспользовав ум 2g * шись уравнением неразрывности vmpl <ampl > получим: = V.. ..»__,== A7-10)
286 Методы расчета трубопроводов, питающихся от резервуаров [гл. 17 где =~г ¦ A7-11) 'трт^тр2 В последней формуле ртр{ — коэффициент расхода, отнесен- отнесенный к первому трубопроводу. Обратим внимание на то, что расход Q можно вычислить и через скорость итр2. Однако при этом выражение для коэф- коэффициента расхода, отнесенного к второму трубопроводу, бу- будет иное. Величина расхода, конечно,-должна быть одной и юй же. Во втором случае получим; где A7-12) A7-13) Задача 17-1. Определить время наполнения бензином емкости «^^ Дм А согласно следующим данным (фиг. 17-3); hQ = 8 м k^\ м L = 3 M,dt= 106 мм, А{ = 0,6 мм, 12 « 50 м, d2 = Й0,5 мм, ^ =- 0,6 мм. На трубопроводах устянонлрны л^ ч* п-ач^п* т^тл^™^^ ~~_ = 3 200 — 50 му „! — t.. ^^, И1 = kijj j*My i2 !&s ои л7 а2 — оц|> лл, J2 =*: 0,6 jmjk. На трубопроводах установлены две задвижки. Трубопровод имеет три закругления. Кинематический коэффициент вязкости бензина v =*0,008 смУсек Решение. Вреун 1гаполнения определим по формуле W_ Q ' где Q — раслод жидкости в трубопроводе и вычисляется по формуле Я-НРтрг^^ — Н). Коэффициент расхода, отнесенный к первому трубопроводу, равен; /пр2 Для определения коэффициентов а, X и К надо было бы знать число Re которое неизвестно, так как не нелестен расход Q. Ориентировочно расчет можно Оыло бы произвести, считая режим движения соответствующим квад- квадратичной зоне. После этого, определив расход и вычислив число Re сле- следует, если это необходимо, произвести второй уточняющий расчет. Для №\- нои задачи предварительные расчеты дают следующее значение; для трубопровода ^ — 106 мм &?= 165000 для трубопровода 42 = №,5мм ^^219000 Этим значениям Re по формуле A4-48) соответствуют значения *!= 0,0321; \2^ 0,034 1741 Сифонный трубопровод, особенности его работы 287 Значения о, и ? примем для турбулентного движения равными — 0,918; Таким образом, 0,0321 о + (lЛ+0,034 +0,26 +0.918 f0f 12^3,01 Q ^0,107*0,7851, W 3J20O Q И Re = Re ==; 11 л *сек\ = 291 сек.: = 165 000; Q 0,785-1,0^0,00008 И ¦67785-0,805^0,00008 значения совпадают с принятыми, поэтому уточнение расчета не требуется. 17-4, Сифонный трубопровод, особенности его работы. Определение производительности Тпубопрбяод называется сифонным (фиг. 1J-4), если^неко юоые его участка располагаются выше уровня жидкости, на- находящейся в резервуаре, откуда происходит подача жидкости. Поэтому сифонные трубо- н проводы требуют предваритель- предварительной заливки. Расход в сифон- сифонном трубопроводе определяется о по формулам, аи алогичным простым трубопроводам. Для определения предель- предельного возвышения сифонного трубопровода следует исхо- исходить из формулы A7-7). При увеличении hK Iв этом н 4,ril, м .. ^,i,™a сифонного труСо- случае /убудет (фиг. 17-4) от- провода. рицательным], как это следует из формулы, давление рк уменьшается. Предельное возвышение h n будет достигнуто тогда, когда рк упадет до р[Г Прежде чем приступить к преобразованиям, выделим из выражения потерь удельной энергии члены, включающие вы- высоту hK7 будем иметь: t»2
288 Методы расчета трубопроводов, питающихся от резервуаров [гл. 17 Здесь штрих J" у скобки подчеркивает, что члены с hK из потерь исключены и рассматриваются самостоятельно. Тогда h откуда h = к пр Ч Lf Выражая скорости через расход, A7-4), получим: Р(г-Рл A7-14) определяемый по формуле h = /г пр а. б> к 1 ь> тр A7-15) 17-5. Графоаналитический метод расчета производительности сифонного или самотечного трубопровода Б основу графоаналитического метода расчета положим формулу A7-1) для pQ — т. е. где A7-17) A7-18) Если рассматривать г и Q как переменные величины, то зави- зависимость между ними может быть изображена графически сле- следующим образом (фиг 17-5). Начало координат выберем на уровне конца сливного трубопровода. Ось абсцисс примем за ось Q, а ось ординат за 2. Задаваясь значениями Q\, Q2— и т. д., вычисляя Л и 1 для заданного диаметра в соответствии с режимом движения (Re) и определяя соответствующие значения zu z2 и т. д., построим кри- кривую, которую будем в дальнейшем называть характеристикой простого трубопровода. Коэффициент а в выражении z = aQ2 будем называть коэффициентом характеристики. 17-5] Графоаналитический метод расчета трубопровода 289 Вид характеристики грубо-прешода будет зависеть от режимов движения, соответствующих расходам. При малых расходах, ко- которым при заданной вязкости жидкости и размерах трубопрово- вода будет соответствовать малое Re, движение может оказаться ламинарным во всем трубопроводе, в том числе и в местных со- сопротивлениях, и характеристика трубопровода для этих режимов будет изображаться прямой линией. При 'переходе к турбулентному движению закон потерь будет изменяться. На первой стадии потери могут оказаться пропор- пропорциональными расходу в степени 1,47, а в дальнейшем, если дви- движение происходит в шероховатых трубах, и квадрату расхода. гдм Характеристики трубопровода Z= 72 16 ZQ 24 28 32 26 40 <t8 50 Фаг. 17-5. Графоаналитический способ определения производительности Точки г определяют расходы, соответствующие определенным условиям и размерам трубопроводов. Таким образом, характеристика трубопровода на всем своем протяжении мажет меняться, переходя от прямой линии к квад- квадратичной параболе. При жидкостях маловязких, как правило, линейная зона отсутствует. * Если расчет относится к области квадратичной, то коэффи- коэффициент характеристики трубопровода а есть величина постоянная. Во всех случаях конец пунктирных линий на фиг. 17-5 соответ- соответствует началу квадратичной зоны. При каком-то уровне Л04-Л=Я производительность трубо- трубопровода определится точкой пересечения характеристики трубо- трубопровода с горизонталью, проведенной на уровне жидкости в ре~ зервуаре (точка г). При изменении уровня производительность трубопровода так- также будет изменяться. Но при любых уровнях производительность будет определяться пересечением характеристики трубопровода с соответствующей горизонталью. При изменении диаметра трубопровода будет изменяться коэффициент характеристики а} а значит и характеристика тру- трубопровода. При уменьшении диаметра она будет подниматься круче, а при увеличении диаметра — положе. Вследствие этого будет также изменяться и производительность трубопровода. Н. 3 Френкель.
290 Методы расчета трубопроводов, питающихся от резервуаров [ гл. 17 Задача 17-2. Исследование ггроизнодителъности трубопровода. Опреде- Определить графоаналитическим методом производительность самотечного трубо- трубопровода, изображенного на фиг. 17 5, и проанализировать влияние на произ- производительность диаметра трубопровода и высоты налива бензина в резер- резервуаре. Длину трубопровода примем равной 1 GO м. Диаметр трубопровода а4 = = 156 мм, й*г=^ 106 мм, d2 = 80,6 мм> <*} = 53 мм, шероховатость Д = = 0,6 мм. Для анализа необходимо построить характеристики трубопроводов, При построении характеристик трубопроводов примем "X соответствую- соответствующими квадратичной зоне. Характеристика трубопропода диаметром 5Ъ дел будет выражена уравне нием \ Характеристики других трубопроводов будут выражены аналогичными уравнениями: = (l,l +0,031 Данные для построения характеристик трубопроводов приведены в таб Afceit z< •O z4 2 32 95 3,64 0,87 0,12 4 132 14,6 3,47 0,49 6 297 32,8 7,81 1 JO 8 58 13,88 1,96 10 91 21,7 3 00 12 _ — 31,25 4,4 16 — 55,6 7,84 18 — 70,0 9,9 20 <.—— — 12,24 30 — —~ 27,54 40 76 Точка т пересечения характеристик трубопроводов с горизонтальной pMQU, проведенной на уровне свободной поверхности жидкости в резер- резервуаре, определяет расход в трубопроводе. При изменении уровня с 6 до 3 м расход изменяется. для трубопроводов 2 72 л\сек до 1,91 я\сек 8,1 . , 5,74 . 16,6 . # 11,80 я 44.3 . . 31 3 . Здесь следует обратить внимание на увеличение производительности трубопроеода с увеличением Диаметра. Так, например, производительность трубопровода диаметром d— 156 мм в bt\ раза больше производитель- производительности трубопровода d = 53 мм. Это соотношение полечено для / = 100 м. При этом надо иметь в виду, что увеличение производительности происхо § 17-6} Графоаналитический метод расчетq трубопровода 291 дит не только за счет увеличения плошади сечения трубопровода (н рассмат- рассматриваемом случае плотладь возросла всего лишьв 4 раза), но также и за счет уменьшения гидравлического сопротивления трубопровода* В разбираемом Примере это дало увеличение производительности в 1,53 раза> В турбулент- турбулентном движении приближенно можно считать, что производительность трубо- трубопровода пропорциональна диаметру в степени 2,5, в ламинарном движении— пропорциональьа диаметру в четвертой степени. 17-6, Графоаналитический метод расчета самотечного разветвленного трубопровода Рассматриваемая схема (фиг. 17-6) представляет систему по следовательно-параллельных трубопроводов. Параллельно рабо- работают трубопроводы 1 н 2, Последовательно с ними работает тру- трубопровод 3. Уровни концов трубопроводов 1 и 2 совпадают. Qjifce* фнг. 17-6. Схема графоаналитического способа расчета разветвленного трубопровода» Определение производительности рассматриваемой системы произведем графоаналитически следующим способом. Систему трубопроводов разобьем на три участка: первый — трубопровод? 1> второй — трубопровод 2 и третий — трубопровод 3. Хар#ктери* стика трубопровода соответствующего участка будет выражаться на основании предыдущего следующими уравнениями: *mp2 Эти характеристики построим на графике, задаваясь значе- значениями Q и определяя соответствующие значения z. Значение 2з будем откладывать вниз от оси расходов, величины г% и Z\ — вверх от оси расходов. Так будет удобнее. из*
292 Методы расчета трубопроводов, питающихся от резервуаров [ гл 17 Результирующую характеристику трубопроводов, работаю- работающих^ последовательно-параллельно, построим следующим образом. Суммарная характеристика двух параллельных трубопрово- трубопроводов 2 и / находится способом горизонтального сложения, г е, складываются абсциссы (расходы), соответствующие одним и тем же ординатам, характеристик 2 и Л Полученная таким образом характеристика / + 5 складывается с характеристикой последовательно работающего трубопровода 3 по способу верти- вертикального сложения, т. е. складываются ординаты, соответствую- соответствующие одним и тем же абсциссам (расходам) характеристик / + 2 и 3. Полученная характеристика 1-\-2-±-3 и является результи- результирующей характеристикой всей системы трубопроводов. Точка пересечения г результирующей характеристики с гори- горизонталью, проведенной на уровне свободной поверхности, опре- определяет 'Производительность трубопровода 3 (т. е. всей системы). Чтобы определить производительность каждого из трубопро- трубопроводов 2 к /, необходимо через точку г провести вертикаль до пересечения ее в точке s с суммарной характеристикой трубо- трубопроводов 1-\-2. Из точки s провести горизонталь, которая пере- пересечет характеристики трубопроводов 2 и / в точках тип. Эти точки я определят производительность каждого из трубопро- трубопроводов. Графоаналитический метод расчета значительно упрощается, если можно считать все режимы соответствующими кзадратич- ной области. В этом случае графическое сложение характеристик Трубопроводов можно заменить аналитическим, Легко показать, что в этом случае коэффициент характеристики двух параллель- параллельных трубопроводов (имеющих одинаковое снижение) опреде- определяется по формуле a Коэффициент характеристики трех параллельно работающих трубопроводов (имеющих одинаковое снижение) определяется по формуле A7-20) Va{a3 -f Ya^ Для трубопроводов, работающих последовательно, т -' A7-21) т. е. при последовательном соединении трубопроводов разных диаметров коэффициент характеристики всего трубопровода складывается из суммы коэффициентов характеристик отдель- отдельных трубопроводов. § 17-61 Графоаналитический метод расчета трубопровода 293 Задача 17*3, Требуется определить время, в течение которого скорость жидкости в трубопроводе при быстром открытии запорнсго \стройстиа до- достигает нормального значения» Трубопровод присоединен к резервуару (фиг. 17-1), уровень жидкости в котором поддерживается постоянным. Давление на свободной поверхности жидкости в резервуаре равно атмосферному. Жидкость вытекает также в атмосферу. Скорость" в трубопроводе при установившемся движении v$= \,5 м(сек; общая длина / = 250 м; tf = fi м. Решение. Исходной форм>л<й для данного случая будет служить урав- уравнение Берн\лли для нелстановившееся движения (труба постоянного сече- сечения): ди Согласно формуле A7-3) П где а0 — средняя скорость установившегося движения, соответствующая на пору Я» Подставляя это значение в исходную формулу, получим: го g В рассматриваемом случае (труба постоянного сечения) dv 4v Разделяя переметите, найдем t V Ннтегрируя> 6>дем иметь' 1 2^ или t= Из этой формулы след>ет, что скорость v достпгает значения v = t ~ oo» Закон изменения скорости мо^к^о лол>чить)Р разрешив полученную фор мулу относительно v: е — V =
294 Методы расчета простейших водопроводных линий Е гл. 13 Определим время, в течение которого скорость достигнет значения Воспользуемся формулой для ty заменив в ней 1п через lg и принимая = 1,05, получим 1,05^250-1,5^2,3 t 1,99 — 17,6 сек, * = 2-9,81.6 Глава восемнадцатая МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПРОСТЕЙШИХ ВОДОПРОВОДНЫХ ЛИНИЙ Водопроводом называется система трубопроводов, служащая для транспортировки воды. Методы гидравлического расчета во- водопроводов, излагаемые в настоящей главе, отличаются от метх> А плоскость сра&нения Фиг. 18-1. Схема простого водопровода с одной водонапорной башней. дов расчета трубопроводов, изложенных в глт 17 только тем, что в расчет не вводятся местные сопротивления, учитываемые при необходимости увеличением расчетной длины трубопровода на длину,'эквивалентную местным сопротивлениям. Несколько схем простых и сложных водопроводов 1 показано на фиг. 18-1 — 18-3, 18-6. 18-1 • Последовательное соединение трубопроводов В связи с указанным основной расчетной формулой для водо- водопровода будет формула A8Л), аналогичная формуле A7-1), но без членов, учитывающих потери удельной энергии в местных сопротивлениях. 1 Определение простого и сложного трубопроводов было дано в нача- начале гл. 17. § 18-1] Последовательное соединение трубопроводов 295 Рассматривая случай, когда px = , будем иметь: A8-1) Выражая скорости через расход, найдем: Ч A8-2) Величину Я назовем напором водопровода. Из формулы A8-2) следует, что напор И затрачивается на преодоление гидравлических сопротивлений, а также для соз- создания скоростного напора в сечении II. \ Опасность тт Фиг. 18-2 Cxe\ia прсстого водопровода с двумя водонапорными башнями. В том случае, если скоростной напор -g-- мал по сравне- нию с потерями по длине, что имеет место в водопроводе согласно схеме фиг. 18-2, то расчетной формулой будет: Из этой формулы следует, что в этом случае весь напор затрачивается только на преодоление гидравлических сопро- сопротивлений. В обеих формулах величина 92 1 IX 2 ~d * определяет потерю напора Нд по длине на соответствующем участке. Если в длину / включена и длина, эквивалентная местным сопротивлениям, то этот член определяет потерю
296 Методы расчета простейших водопроводных линий [гл. 18 удельной энергии с учетом и местных сопротивлений. Обо- Обозначим через К2 величину A8-4) При этом формулы A8-1) и A8-3) можно привести к виду: .2 A8-5) A8-6) В этих формулах К=у "Ж~ называется модулем рас- tf=Q2? К хода. Модуль расхода имеет размерность расхода, т. е. из- измеряется в м^}сек> если d вычислено в я и g^ в ж\сек^, или дм?\сек, если d вычислено в дм и g — в дм]сек2. Таблица 18-1 модуля SI t вычисленно- вычисленного для квадратичной зоны по формуле 0,25 27 35,75 41 53 68 80,5 81 100 100 125 131 153 159 205 207 257 259 307 309 357 361 402 408 6 27 56 219 814 1 975 2 040 6 163 8 366, 18 520 25368 67 569 69910 263 850 277 580 858 720 894 380 2 171 200 2 246 000 4 767 200 5 052 300 8 856 GCO 9 603 800 ,2493 ,546 ,750 ,47 ,01 ,1 4 8 2 = (U мм А <~ 0,0 мм 5 22 46 181 G76 1 647 I 702 5Ш 7 023, 16 720 21 392 57198 59 189 224 480 236 230 733 G80 764 150 1 861 050 1 925 100 4 09G 100 4 342 000 7 625 то В 230 400 ,058 ,490 ,503 ,18 ,29 ,7 .4 7 I \ 4 6 15 19 51 53 202 213 665 692 I 6b9 I 748 3 727 3 951 6 947 7 499 4,4196 19 770 41,004 160,48 601,63 469,9 518,8 625,5 292,3 015 225 530 331 910 560 070 880 300 800 400 200 200 (ТО 3 16 34. 136; 513 1260 1302 3 985. 5427, 12 996 16 658 44 807 46 388 177340 186 670 583 490 607 920 1 487210 1 538 900 3 287 200 3 4^5 200 6 139 200 6 628 000 6764 590 549 180 780 4 3 9 § 18-1] Последовательное соединение трубопроводов 297 Величина модуля расхода К зависит от диаметра трубы и, кроме того, от значения коэффициента Я. Поэтому даже для труб одного и того же диаметра величина модуля К будет определяться в зависимости от режима движения той фор- формулой, по которой производится подсчет Я. Сопоставляя формулы A8-6) и A7-17), можно заметить зависимость между коэффициентом характеристики трубопро- трубопровода и модулями расхода, а именно: а = 2~. A8 7) При этом коэффициент характеристики каждого трубопровода может быть также определен через модуль расхода q^L, A8-8) где / — уже эквивалентная длина соответствующего- трубопрово- трубопровода с учетом местных сопротивлений; для конечного учаака надо учитывать тагкже и скоростной мада-р на шнце. В табл. 18-1 и 18-2 даны значения модуля расхода, вычислен- вычисленные для квадратичной зоны в соответствии с формулами A4-41) и A4-53). Таблица 18-2 Значения квадрата модуля расхода КЬ дм^сек\ вычисленного по формуле Павловского Диаметр, дм 0,27 0,3575 0,41 0,53 0,68 0,805 0,810 1 000 1,060 1,310 1 580 1,590 2,050 2,070 2,570 2,590 3,070 3 570 3,610 4,020 4 680 1 2 3 8 2,0291 9 0932 18,8874 74,4509 281,9700 694,6320 717,5260 2213,95 3 036 93 9369,84 25 832,5 26 367,9 102 443,0 107 792,0 342 623,0 368 424,0 886 705,0 983 050,0 101510,0 752 250,0 412 720,0 1 L 1 1 2 2 5 11 1 1 3 4 13 37 38 148 156 492 513 264 808 982 276 813 - 1/ео 3,2008 14 1777 28,5806 114,2840 428,2570 047,85 082,55 308,43 506,82 854,50 398,6 559,2 749,0 866,0 751,0 566,0 650,0 380,0 050,0 800,0 200,0 1 3 4 15 п - 1/90 4,6831 20.8699 47,6718 165,2870 613,1540 1 -194,39 1 544,22 4 686,97 6 400,78 19 443,70 52 178 2 53 948,7 205 761,0 216471,0 676 559,0 704 635,0 726 210,0 820 290,0 048 380,0 139 060,0 001700,0
298 Методы расчета простейших водопроводных линий (.гл. 18 Расчетные формулы значительно упрощаются, если водопро- водопровод выполнен из груб одного диаметра. В этом случае примени- применительно к схеме (фиг. 18-1) будем иметь: _0Ч A8-9) применительно к схеме фиг. IS-2 A8-10) Последняя формула может служить также для определе- определения расхода Если учесть, что -у- является гидравлическим уклоном и то формулу A8-11) можно представить в виде: A8-12) 18-2, Последовательно-параллельное соединение трубопроводов Последовательно-параллельное соединение трубопроводов показано на фиг. 18-3. Вода поступает из резервуара Л. В узле В разветвляется на три потока соответственно количеству разветвлений и за узлом С движется одним потоком в резер- резервуар D.,B узлах В и С происходит отбор воды в количестве QB и Qc [л'сек]. QB и Qc называются узловыми расходами. Потери удельной энергии между узловыми пунктами В и С на любых участках равны. Потери удельной энергии на каждом участке могут быть определены по формуле A8-10). Таким образом, для каких-нибудь двух участков разветвле- разветвления будем иметь следующее равенство: -2 1 откуда A8-13) 18-2] Последовательно-параллельное соединение трубопроводов 299 Подставляя значения К, будем иметь: A8-14) Формулу A8-14) можно представить и в виде: ft A8-15) где Oj и 02 можно определить согласно формуле A4-50). Ввиду того, что в общем случае коэффициент X является функцией Re, уравнение A8-15) относительно QJQ2 может быть легко разрешено для ламинарного движения или для турбулент- турбулентного движения в гладких трубах, когда X опреде- А ^ M/fy ляется по формуле вида A4-37). Для водопровода эти случаи исключаются, так как в большинстве случаев X является слож- сложной функцией фиг. 18-3 Схема разветвленного б ода. Поэтому отношение Q\jQ2 нз уравнения A8-15) мо- может быть найдено только путем последовательных приближений. Просто находится от- отношение Qi/Q2 ПРИ квад- квадратичных режимах в обеих ветвях. В этом случае щ = и расходы каждого из участков разветвления прямо пропор- пропорциональны корням квадратным из пятых степеней диаметров труб и обратно пропорциональны корням квадратным из длины участков и коэффициентов а. При заданных узловых расходах, длинах участков, диамет- диаметрах труб и напоре И для определения расходов на отдельных участках, т. е. QAB , Qu Q* Qs и Qcd > м°гУт служить следую- следующие (для данной схемы) пять уравнений: 1, 2) Потери удельной энергии и а участках разветвления равны между собой: A8-16) к К
300 Методы расчета простейших водопроводных линий I гл. IS 3) Расход QAB на участке АВ слагается из расходов на уча- участках BICf BIIC, ВШС и узлового QB : + . A8-17) 4) Расход на участке CD слагается изь расходов на участ- участках BIC, ВИС, ВШС за вычетом узлового расхода Qc: Q, CD A8-18) 5) Потери удельной энергии на участке AD определяются напором В и слагаются из потерь на участке ABt на одном (любом) из участков разветвления ВС и на участке CD: И A3 К О лв К' + CD К CD д AD A8-19) По причинам, указанным выше, эта система уравнений ре- решается просто лишь для квадратичного режима. В этом слу- случае из уравнения A8-16) определяем Q2 и Q^ через Qb Затем выражаем QAB и QCD через Q\ и эти значения представляем в уравнение A8-19), откуда и находим Q]t После определения расходов можно определить на каждом участке потери удельной энергии и построить энергетические ли- линии, что сделано на фиг. 18-3 для магистральной линии ABUCD. Пьезометрическая линия соответствует избыточному давлению. Расчет для квадратичного режима можно было бы также произвести, вводя в расчетные уравнения коэффициенты харак- характеристик соответствующих трубопроводоз. При этом уравнения A8-16) и A8-19) надо было бы заменить следующими: "; A8-20) д AD1 A8-21) Определение расходов в этом случае можно упростить, если заменить разветвление одним трубопроводом с расходом Q]23 — Q\ + Q2 + <2з* коэффициент характеристики которого определим по формуле A7-20) 123 — В этом случае вместо A8-21) будем иметь уравнение откуда при заданных И и узловых расходах сначала найдем QAB, а затем из уравнений A8-17), A8-18), A8-20) и A8-21)—и другие расходы. § 18-3] Водопровод с равномерным путевым расходом 301 Точно этот случай может быть решен только графоанали- графоаналитически. Для этого строим характеристики (фиг. 18-4) для каждого участка трубопровода по формулам вида A7-17). Характеристики трубопроводов 1,2 я 3 складываются по методу параллельного сложения. Для построения характеристик всей фиг. 18-4. Оема графоаналитического способа расчета разветвленного водопровода. системы начало характеристики параллельных трубопроводов ;, 2 и 3 надо сдвинуть вправо на QB. Начало характеристики участка CD надо сдвинуть вправо на (Qb-\-Qc). Полученные таким образом характеристики складываются по методу последовательно работающих трубопроводов. Общий расход и расходы по каждому участку определяются, как пола- зако на фигуре. 18-3. Водопровод с равномерным путевым расходом Во многих случаях приходится рассчитывать такие водопро- водопроводные лцнии, в которых вода расходуется равномерно по длине в большом количестве пунктов. Такой -случай водопровода и но- носит название водопровода с равномерным путевым расходом (фит. 18-5). Для расчета такого водопровода оказывается возможным с достаточной для .практики точностью полагать, что разбор во- воды в -пути осуществляется не только равномерно, но -и непре- непрерывно с интенсивностью путевого расхода q [л/сек] на 1 пог. м, В общем случае, кроме путевого расхода, данный участок пропускает некоторый транзитный расход Qm, следующий на участки, примыкающие к рассматриваемому.
302 Методы расчета простейших водопроводных линий [гл. 18 Общий расход в начальном сечении участка будет равен сумме транзитного расхода Qm и путевого Qn = qly т. е. Определим потерю удельной энергии . на участке /. Для этого рассмотрим сначала элемент участка dxt расположенный на расстоянии х от начала. Через рассматриваемый элемент проходит весь транзитный расход Qm, а также та часть путевого расхода, которая сле- следует на участок длиной A-х). Таким образом, в рассмат- рассматриваемом сечении расход будет равен: Фиг. 18-5. Схема водопровода с путевым расходом. Для определения потери удельной энергии на участке воспользуемся формулой A8-10), представив ее в виде: dx. Общая потеря энергии на участке длиной / будет равна интегралу j о Интеграл легко находится только для квадратичного ре жима. В этом случае К = const. Имея, кроме того, в виду, что получим: A8-24) Таким образом, при наличии, кроме путевого расхода, еще и транзитного смешанное питание при квадратичном режиме эквивалентно питанию, сосредоточенному на конце данного участка, с расходом, равным: QM.- A8-25) § 18-4] Задача о трех резервуарах 303 В том случае, если транзитный расход отсутствует, A8-26) Таким образом, при отсутствии транзитного расхода не- непрерывное питание при квадратичном режиме эквивалентно питанию, сосредоточенному на конце данного участка, с рас- расходом, равным: Q =-L<L. A8-27) Заметим, что вследствие уменьшения скорости движения жидкости по длине трубопровода будет происходить также и восстановление давления, частично компенсирующее его паде- падение, обусловленное гидравлическими сопротивлениями. 18-4- Задача о трех резервуарах Сложный водопровод, осуществляющий питание одного ре- резервуара из двух резервуаров или двух резервуаров из одного, показан на фиг. 18-6—18-12. Та или иная схема работы разбираемого водопровода будет зависеть от соотношений гидродинамического напора. Схема I. Жидкость движется в направлениях, как показа- показано на фиг. 18-7, если А В этом случае резер- резервуар А оказывается питаю- питающим резервуаром, а С и D — питаемыми, Схема IL Жидкость движется в направлении, как показано на фиг. 18-8, если В этом случае резер- резервуары А и D будут питаю- питающими, резервуар С—чи- С—читаемым. * ? U w Фиг. 18-6, Схема водопровода с тремя водонапорными башнями.
304 Методы расчета простейших водопроводных линий 18 Схема III (простой трубопровод). Жидкость движется э направлении, как показано на фиг. 18-9, если В этом случае резервуар D окажется бездействующим. Другие комбинации с гидравлической точки зрения не будут отличаться ог рассмотренных. Соответственно той или иной Схема! Схемап в в Схем С ш \/ . 1 о с? ^ Фиг- 18-9. Схема потока Фиг 18-8. Схема потока в водопроводе с тремя в водопроводе с тремя башнями. Резервуар А питает резер Резервуары Л я D питают оуар С. Резероуар?> не рабо- npqprvRv^n {2. тает Ф.п. \Ъ-1. Схемл потока в водопроводе с тремя башнями. Резервуар Д питает реэср- вуарь! С и D. схеме будет иметься и соответствующее распределение потока. Если обозначить расход ыа участке АВ через QA , на участке #C~QC, на участке BD — QD, получим следующие зависимо- зависимости между расходами: li Qa>Qc Qa<Qc Qa-Q c Полученные три зависимости позволят определить уело вия существования той или иной схемы в зависимости от диа метров труб, длин участков и напоров hu h2 и ^з» т* с- в за висимости от величин, которые обычно бывают известны. Воспользуемся формулой или Q^ = Применительно к соответствующей схеме будем иметь: Схема 1 ВС К *АВ 1вс § 13-41 Задача о трех резервуарах 305 Так как в этом случае hB^>h2, то неравенство не нару- нарушится от замены ha на h2. Получим, что ! Схема II К >в АВ ¦A3 <к ВС . ВС В этом случае уже h2^>hQ и поэтому неравенство также не нарушится от замены hB на h2. Найдем, что Схема III Л 2 Пл — АВ ~ТП k* ВС ВС ?5 'АВ ВС ВС В этом случае h =h2 и поэтому К 2 Нл — К2 v АВ— =К - Нл . Г 'АН ' " 1ВС Полученные условия можно объединить в следующее: AU 1 АВ O>~ I схема); (< — И схема); =^ Ш схема), A8-28) где, как следует из вывода> Следует обратить внимание, что водопровод будет рабо- работать по той или другой схеме в зависимости не только от значений напоров ftb h2 и h3t но также и в зависимости от соответствующих значений модулей расхода К2 = :-^- и в за- зависимости от длин участков. В то же время при существова- существовании неравенств ^i>^p>ft3 ни длина* ни модуль расхода уча- участка BD никакого влияния на схему работы водопровода не оказывают. Влияние этих величин лишь скажется на пропуск- пропускной способности всей системы. Считая заданными fth А2! ?3> 1АВ * 1вс* 1bd* dAB< d ВС и d определение соответствующих потерь напора и расходов может быть произведено по следующим формулам, образую- образующим систему уравнений (см. таблицу), в которые введены ко- коэффициенты характеристик трубопроводов. 20 Н. 3. Френкель-
306 Методы расчета простейших водопроводных линий [гл. 18 Таблица расчетных формул задачи о трех резервуарах Участок Схема I Схема II Схема Ш =aAB Q АВ ВС BD или DB I ь ь—п п? I л. ь ~ гл1 Зависимость между расходами Неилпестные , hBt QA% Qc л и Qa = Полученная система уравнений решается «просто только для квадратичного режима. В общем случае точное решение может быть получено только графоаналитическим методом, как пока- показано на фиг. 18-10 для схемы I, на фиг. 18-11 для схемы II и на фиг, 18-12 для схемы 111. По схеме I трубопроводы 2 и 3 работают параллельно. По схеме II параллельно работают тру- Фш > 18-10. Графоаналитический способ расчета водопровода с башнями г определяет расход в трубопроводе 1У точка п— в трубо- трубопроводе 2 я 1ичка m — в Трубопроводе Л бопроводы 1 и 2. Следует обратить внимание, что по схеме I характеристика трубопровода 3 пересекает характеристику тру- трубопровода 1 в точке, расположенной выше уровня резервуара Dy а по второй схеме ниже. Случай расположения точки пересече- пересечения характеристик на уровне резервуара D будет соответство- соответствовать третьей схеме (в этом случае расчет можно произвести и точно так, как указано в § 17-5). Этими признаками полезно ру- руководствоваться, проверяя неравенства A8-28), Следует обратить внимание, что в том случае, если расходы на отдельных участках известны, а требуется определить соот- 18-4] Задана о трех резервуарах 307 о ветствующие диаметры труб, то задача теряет свою определен- определенность ввиду того, что возможно значительное число вариантов, которые удовлетворяют гидравлическим требованиям. В этом случае при подборе диаметров приходится считаться с экономя- Н Фиг. 18-1 К Графоаналитический способ расчета водопровода с тремя башгнши. Точка г определяет расход п трубопроводе <?, точка ш — е труб<>- проводе / к точка л — в трубопроводе 2» фиг. 18-12. Графоаналитический способ расчета водопровода с тремя башнями» ка г определяет расход в тр>бопровода* J в J. Расход в трубопроводе 2 равен нулю» ческими соображениями, допускаемыми скоростями днЬжения жидкости в трубах и требуемыми свободными напорами на кон- концах. Метод подбора диаметров труб для задач отмеченного типЪ будет показан па соответствующем примере (задача 18-1). Задача 18-1. Рассчитать водопроводную сеть завода (фиг. 18-13). Напор п начале сети принять равным Яд = 30 м, а шероховатость трубопроводов А = 0,5 мя. Решение, Принимаем необходимый напор на концах сети в пунктах С, Я, F, М равным // = 20 м. В данном расчете предполагаем в различных пунктах пожар, поэтому к потребному количеству воды (табл. А) следует прибавить' а) 20 AJcetc в пункте F при расчете участка DF, в пункте С — при расчете участка ВС, в пункте В — при расчете участка DES 6) 10 л1сек в пункте М при расчете участка DM при одновременном пожаре в пункте F с подачей 10 л\сек< В соответствии с данными табл. А с учетом пожара расход воды «а каждом участке определится суммированием соотьстств) кэш их расходов и выразится цифрами, приведенными в табл. Б* 20*
308 Методы расчета простейших водопроводных линий [гл. 18 Потребление воды заводо Таблица А м Наименование объекта Цех Jfe 1 . . . • № 2 . . , „ №3. , , Столовая . » . 360 000 135 000 100 000 25 000 Б какие часы су- суток 6—20 6-20 6—20 6—20 Наименование уяасткд Расход, л/сек * . . » * w° * 7,15 2,fi8 2,00 0,50 ЛВ 35,84 Наименование объекта Гараж И дру- 1ие мастер- мастерские . . . . Душ .... 24,43 31,41 80 000 97 500 Та б л и ОБ 22, 68 DF i 27,15 * 3 м 6—20 6—20 [ ца Б 11,58 1,68 1р93 Переходим к определению диаметров. Ориентировочно предполагают, что потеря напора вдоль главной магистрали AF происходит равномерно! На этом основании определяют среднюю допускаемую потерю напора на 1 пог. м этого участка (?. е. гидравлический уклон) по формуле иа-и F AF й Б Столодая В f Фиг/ 18-13. Схема водопроводной сети:. К задаче 18-1. После этого приступают к подбору диаметров различных участков, поль зуясь формулой Зная, например, расход QAB на участке АВ, определяют величину тре- требующегося модуля расхода К2 для данного участка § 18-4] Задача о трех резервуарах 309 имея в виду, что Для определения d, предполагая квадратичный режим движения, восполь- воспользуемся уже готовыми данными табл. 18-], выбрав по соответствующему зна- значению iB ближайший диаметр трубы. Итак, в данном случае мы имеем: AF 30 — 20 " = —аогГ~~ == 0,0011; = 116 727. Этому значению К- согласно табл. 18-1 соответствует диаметр, лежащий между ^/ = 0,159 м и d •= ()т205 м. Останавливаемся на d = 0,205 -«- Этому диаметру соответствует К2 = 177340. Благодаря тому, что диаметр трубы нами выбран больше расчетного на учагтке АВ потери будут меньше, чем предполагалось ранее. Действительная потеря напора на участке АВ определится по формуле Q4\ J АВ- 35,342-400 177 340 — 2,9 м. Действительный напор, имеющийся в точке В, равен: //д-^-Аа ^ = 30^-2,9-27,1 м. Аналогично предыдущему определяем диаметры труб и на прочих уча стках, каждый' раз исходя из допускаемой для данного участка потери напора* Результаты вычислений сводим в табл. В. % Таблица Б с" 2 3 4 5 6 7 I К Д Ч) СЭ О Найме Л/1 ЛЯ лс ГЕ ПГ D Ц га Длинг 9Г0 4П0 600 210 310 6С0 Л Ь (J cd tf С л; Q, 35 24 31 22 27 II ъ> <*> «^ "? СУ 84 ,<1 ш рт а1 S^ й • id ^, W С У> X ;>, 30 30 27,10 27,1Г 25,10 • 25,99 о ^ с » ^ га з 5 m >i 1> С tf о a со (- « 20 . . 20 _^. 20 20 20 « и> О С К напор; [0 г * ^_- 5,ДО 5,03 к <а Ci. t< и К С/ Li. О 0.С1 г 0,С1 к г-\ >ъ о 11 11 11 ж Л >1 о С! 115Ш fit) 430 е§7рз 34 3*9 36 917 I7SC9 а =5 tr 3 Mi Q. п ) о, 0. о, о, о. ц -• трубь 2Г5 2(& 1Г8 20Г> 158 158 131 *; д т Ч О J77 177 44 177 44 44 1С Ml ^0 340 8Г7 340 3{7 8G . at M *¦ t- # C" t 2 7 1 4 6 3 d на jx is f90 ,99 Л1 ,50 ,44 < S3 M ffl С ^ 27, 25» 19, 25, 21. 21 p 19 p 10 C8 П 99 4П 06
310 Методы расчета простейших водопроводных линий [п. 18 18-5. Гидроэнергетический баланс насосной установки До сих пор рассматривались такие потоки, в которых происходила только потеря энергии жидкости. В настоящем параграфе рассматривается случай наносной установки (фиг. 18-14). В этом случае и систему 'трубопроводов направляющих поток ключае Е направляющих поток, включается иасос, Его основное назначение — сооб- сообщать жидкости необходимую дипилнитель- пук> мощность (эффективную мощность) ^ б б АЛЯ тог0' обе печить движе- лие ее по заданным трубопровода в тре- требуемом количестве. Эффективная мощ- ногть, отнесенная к единице весового рас- расхода насоса (производительность насоса) 1Q [кГ1сек\ называется зффективнмм на- напором насоса или Ефосто напором насоса и обозначается через Мощность, которую двигатель подводит к насосу, больше ЛГ^, так как часть мощ- мощности затрачивается на преодоление гидрав- гидравлических и механических сопротивлений как в самом насосе, так и в приводном механизме. Этот вопрос подробно изучает- изучается в курсе насо.ов. Если обозначить к, п. д. насоса через tj, а к. ||. д. привода через г^ то мощность двигателя, например мощность на валу Фиг- 18-14. Схема пасосиой электромотора, вычисляек^я по формуле установки* дг >.в к. ~ геометрическая высота н,1 ^ __ f гнетачия. Vr« ччп мл о/и Из определения следует, что И$фф измеряется в метрах столба иерекачч- оаемси жидкости Таким образом, напор насоса Н9фф следует рассматривать как доцол- гштельное количество удельной энергии (удельной мощности), которая бос- пришшзется каждым килограммом жилкости, протекающей чере j насос, Поэтому вапор насоса можно определить как разность удельных энер- энергий" ?о « напорном и Ег во всасывающем патрубках насоса: эф<р A8-31) Введем в рассмотрение элементы всасывающей и напорной линии. Для этого при помоши уравнения Верпулли составим два уравнения, представив их в таком виде для всасывающей линии для напорной линии (? *нап § 18-6] Элементы экономического расчета трубопровода ЗП Подставляя значения Ej и уравнение A8-3I), получим: га S где сумма двух первых членов равна обшей высоте подъема жидкости, а сумма дзух последних равна потерям удельной энергии во всасывающем и напорном трубопроводах. В частном случае может сказаться, чго ^ = = va = °> а Рб = Pa- Pali з уравнения следует, что в условиях установившегося движения тре- требующийся от насоса напор необходим: 1) для подъема жидкости с уровня всасынаяия па уровень нагнетавия; 2) для преодоления разности давлений на поверхности нагнетания и всасывания; 3) на создание разности ско- скоростных на|ЮрЬйхна конце напорной и всасываю ней линии; 4) на преодоле- преодоление гидравлических сопротивлений во нгасыаагощем и напорном трубопро- водах. Полученное выражение напора является с<шым обшим. В частных случаях некоторые члены зтого выражения могут быть равны нулю. 18-6. Элементы экономического расчета трубопровода При заданном расходе жидкости Q [л}сек\ выбор скорости течения жидкости v [дм/сек] определяет диаметр трубопровода d. Между тем, выбор диаметра имеет большое экономическое значение, потом\ что, егли взять трубу излишне большого диаметра, то увеличится стоимость тр\бопровода, который составляет главную часть стоимости сооружения. Если принять т^убу малого диаметра (что соответствует большей скорости), то хотя ве- величина первоначальнелх затрат на трубопровод и уменьшитсяt но зато вследствие большего гидравлического сопротивления придется соору- сооружать более высокие водонапорные башни и резервуары (а значит, и более до- дорогие), а если подача жидкости осуществляется насосами, иметь более мощ- мощные насосы и затрачивать больше энергии на транспортировку жидкости, то может иногда оказаться неэкономичные За экономичней диаметр трубопровода следует принять такой, npi**KO- тором обшая LioHMocTb сооружения всей системы (тр^опросюдоп, напорных <5ашен и насосных станций) и стоимость ее эксплуатации (куд^должна войти стоимости содержание персонала, ремонта, стоимость затрачиваемой энергии, амортизационные отчисления ^з полное премя эксплуатации) бтлли бы наименьшими* При этом полное время эксплуатации — это время, в те- течение которого происходит „моральный* износ установки- Это время обычно усганавлипается" в закот-шдательним порядке. Произведем элементарный экономический расчет для трех трубопрово- трубопроводов диаметром 158, 205 и 257 мм> каждый из которых должен пропускать один и тот же расход Q — 30 л!сек поды. Примем стоимость I кетч электро- электроэнергии равной 10 коп, а к. п- д- насосной установки Y] = 0,67. В год трубо- трубопровод работает /О = 7200 час. Результаты расчета нрииедены в табл. 1"8-2. Из полученного расчета следует, что при укладке трубопровода d ~ — 1,58дм эконоинн по сравнению с ^^2,05 ом на первоначальных затратах будет 9 тьге руб на i кя. Зато перерасход на эксплуатацию ежегодно выра- выразится п сумме 5 1G9 руб.. главным отразим за счет стоимости перерасходо- перерасходованной электроэнергии E 7С9 руб. в год) Экономия \\ 801 р>6. па общих годовых расходах при укладке трубопровода d-=.2,Ы дм по сраокениго с тру- трубопроводом d -- 2/ 5 дм покроет перерпечод иг t тонмосгн \кладки 9 000 руб. только через 12
312 Методы расчета простейших водопроводных линий [гл. 1В Таблица 18-2 Таблица подсчетов к определению экономического диаметра Трубопровода Диаметр трубопровода, дм Средняя скорость движения vt mjcck Ориентировочная стоимость укладки 1 км тру- трубопровода, руб Амортизационные отчисления и стоимость ре- ремонта из расчета 6% в год к первоначаль- первоначальной стоимости, руб Потери удельной энергии на I км согласно Q4 табл, 18-2 для ijn =80 hn = ^-jpf, м вод. ст- Стоимость потерянной энергии, *iQK ts 1 Общая годовая сумма стоимости энергии и от- отчислений . . \ 1,58 1,53 40 000 2 400 24.06 7 027 10 027 2 05 0,'909 49 000 2 940 G.05 1 918 4 858 2,57 0,579 53 000 3 480 1,82 577 4 057 Поэтому, если время морального и л носа установки Т будет больше 12 лет, экономичным диаметром будет d — 2,57 дм. При Г= 12 jici — варианты с d—2,05 дм и d=2,57 дм будут равноценны, при Т<ЛЪ лег экономичным диаметром будет d = 2,05 ам. О 0J 0,2 0,3 Qfi 0,5 0,6 0,7 0,8 0,$ 1,0 Фиг. 18-15. Горизонтальная кагателышя к линии общей стоимости в точке касании определяет Экономичный диаметр* Определение экономичного диаметра трубопровода лучше всего произ- произвести графоаналитически. Для этого надо построитв (сЬиг. 13-15) график / за- зависимости обшей стоимости сооружении в функций диаметра трубопропода и график 2 — стоимости эксплуатации (включая и bl e виды отчислений) также в функции диаметра трубопровода. Полная стоимость сооружения изобрл- зитгя суммарным графиком 3. Экономичный диаметр б^дет соответствовать минимуму кривой 3. § Элементы экономического расчета трубопровода 313 К вопросу определении экономичного диаг^етра трубы можно было бы подойти и аналитически, хотя в общем виде аналитическое решение пред- представляет известные трудности. При определении стоимости укладки 1М трубо*фоводой будем пользо- пользоваться предлагаемой нами формулой: t = lbdm. В этой формуле1 коэффициенты bum имеют значение в зависимости от глубины укладки трубы в грунт и характера грунта, a d —диаметр трубы. Например, ири укладке чугунных труб в сухом груюс на глубину 3 м эти коэффициенты (если диаметр выражать ц дециметрах) имели значения: --^d^ 3,5 дм b — a m — 0/775; а /«= для 11 для 3, что с достаточной точностью соответствовало стоимости укладки труб, приведенной в табл. 18-3. Таблица 18-3 Стоимость укладки 1 м чугунных труб в сухом грунте на глубину 3 м Диаметр, дм .л 1 Стоимость, руб. 40 2 49 58 3 69 3,5 77 95 *,& 106 5 128 6 156 7 200 8 241 9 2Э1 10 341 Если к — число годовых процентов на амортизационные отчисления, включающие проценты на капитальный ремонт ^ то за Т лет эксплуатации сумма амортизационных отчислений будет равна: кТ Потери удельной энергии могуг быть определены ио формуле где Q [дм*1сек\ d [дм\ а / [м]. Полная потеря энергии в киловаттчзсах за t час. эксплуатации за Т лет 1QK 8.Ы0-* Q4 . -v^- ill [кетч]у W = где 7 [кГ!дмъ\, a if) — к. гк д. насосной установки. 1 Эта формула была предложена актором еще ь 1939 г. См. Д. Л. Г у р- вич и Н. 3. Френкель, Гидравлика, 1940, стр. 258. 2 Постановление Совета Народных Комиссаров Союза ССР от 8 янпаря 1938 г. „Об использовании амортиза шошшх отчислений и об улучшении ремонта в промышленных предприятиях*»
314 Гидравлический удар в трубах [гл. 1У Принимая стоимость 1 к&тч $ руб., найдем, что стоимость потерянной энергии будет: ills руб. Полная стоимость сооружения, включая отчислении я стоимость эоер- 1ии, затраченной из. преодоление гидравлических иопротивлепий, будет равна " R = ltd Для эко1тол1ически\ расчетов ни для квадратичных режимов вполне до- допустимо для коэффициента Ъ принять зависимость A4-54), Экономичный диаметр найдем, приравняв нулю производную от R по диаметру dR 4t (_ ,/ откуда V \I E + v) Q A8-33) Знак экономичный диа\те[р, легко получить формулу и для экономичной корости E -h v) 8, i Глава девятнадцатая ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ УДАР В ТРУБАХ 19-1, Определение гидравлического удара Выдающуюся роль в исследовании гидравлического удара сыграла работа основоположника этой теории Н. Е. Жуковского «О гидравлическом ударе в трубах» *. Со времени опубликования этой работы развитие теорий гидравлического удара шло по пути, указанному Н, Е. Жуковским. Большой вклад в развитие ьеории гидравлического удара был внесен итальянским инжене- инженером Л. Аллисви, получившим так называемые «цепные уравне кия», используемые в настоящей главе. Из фундаментальных ра- работ советских ученых следует отметить работы Н. А. Картвели- швили, А, А. Морозова, М. А. Мостков а > А. А. Сурииа, И» А. Чар-, но го и др. 1 Н. Е. Жуковский О гидравлическом ударе в тр\бах, Бюллетень Политемгического общества, 1899, As 5, стр. 255 —290. Формула И Б, Жуковского для давления 315 . 19-1. Воздушный колпак локализует Гидравлическим ударом называется комплекс явлений, про- происходящих в капельной жидкости при резком уменьшении ее скорости движения, благодаря чему в жидкости возникает коле- колебательный затухающий процесс, сопровождающийся чередую- чередующимся резким повышением и понижением давления. Удар происходит и тогда, когда в покоящейся жидкости, на- находящейся в трубопроводе, закрытом только с одной стороны (гидравлический тупик), внезапно создается давление у откры- открытого конца. Это приложен- приложенное давление в виде удара распространяется по трубо- трубопроводу. В начальной ста- стадии удара одновременно с распространением по длине трубопровода приложенного Шаяебозжя- давления приходит в движе- движение вследствие сжатия за- заключенная В Трубопроводе распространение гидравлического удара, жидкость. Вторичное повьь шение давления происходит после того, как жидкость, пришед- пришедшая в движение, вынуждена будет начать останавливаться ввиду того, что трубопровод в конце тупика перекрыт. Такой случай удара происходит в трубопроводах, подводящих топливо от топ- топливных насосов к форсункам бескомпрссоорных двигателей или в тупиковых трубопроводах водопроводных систем. Колебательный процесс изменения давления возникает и при внезапном открытии задвижки, т. е, при быстром сообщений жидкости скорости, что вызывает уменьшение давления. В тех случаях, в которых явление удара .не используется, а его дей- действие вредно отражается на нормальной работе трубопровода или на его прочности, система должна быть оборудована устройствами, которые не позволили бы осуществить ет^новен- ное уменьшение скорости (запорные устройства вентильного типа), или должны быть установлены приспособления, которые ограничивали бы распространение удара (например, воздушные колпаки, как показано на фиг. 19-1). Воздушный колпак локали- локализует распространение удара, если трубопровод прерывается кол- колпаком. Гидравлический удар используется в водоподъемном ме- механизме —- гидравлическом таране. 19-2. Формула Н. Е. Жуковского для давления при мгновенном закрытии задвижки Процесс изменения давления в жидкости при перекрытии трубопровода осуществляется следующим образам» Сначала по- повышается давление в остановившемся слое жидкости непосред- непосредственно у закрытой задвижки. Останавка жидкости и повышение
316 Гидравлический удар в трубах [гл. 19 давления в трубопроводе происходят постепенно от слоя к слою. Одновременно с постепенной остановкой отдельных слоев в оста- остановившихся слоях происходит увеличение давления. Таким обра- образом, возникшая у задвижки волна повышения давления, или ударная волна, распространяется по трубопроводу длиною / к его открытому концу, Скорость распространения ударной волны, если трубопровод и жидкость ло длине однородны, будет постоянна; обозначим ее через с. Через время /= ~^\в течение которого ударная волна достигнет открытого 'конца трубопровода, вся жидкость в трубо- трубопроводе остановится. Так как емкость, к которой присоединен трубопровод, велика, то- явление удара на жидкость в емкости не распространится. По- Поэтому к моменту подхода ударной волны к началу трубопровода у емкости создается граница, на которой соприкасаются две сре- среды: первая среда — жидкость в емкости, находящаяся в нор- нормальном состоянии, вторая среда — жидкость в трубопроводе, находящаяся в сжатом состоянии. Совершенно очевидно, что сжатая в трубопроводе жидкость не может оставаться там в со- состоянии покоя. Как сжатая пружина, свободная с одного конца, жидкость в трубопроводе начнет перемещаться в сторону емкости, приобретая при этом в том же направлении и скорость. Благо- Благодаря этому начинается спад давления, который будет распро- распространяться уже от резервуара в сторону задвижки. Причем вме- вместе со спадом давления будет приходить в движение жидкость в трубопроводе со скоростью, направленной в сторону, противо- противоположную начальной. Явление происходит так, как если бы у свободного конца в тот самый момент, когда к нему подошла волна повышения давления, возникла вторая волка—волна по- понижения давления. Эта волна перемещается в направлении к за- задвижке с той же скоростью а и гасит давление, которое создала первая ударная волна. Когда волна понижения давления ко вре- времени Т 21 (НИ) а называемом фазой удара, достигнет закрытой задвижки, вся масса жидкости будет иметь начальное давление и скорость, направленную к резервуару. Ввиду последнего обстоятельства жидкость в трубопроводе в дальнейшем будет стремиться отор- оторваться от задвижки, Вследствие этого давление у задвижки, став- ставшее начальным, при подходе волны гашения будет продолжать падать, становясь меньшим того, чем оно было до удара. Паде- Падение давления прекратится, когда слой жидкости у задвижки, «разжавшись» вследствие падения давления, остановится. После этого произойдет падение давления у смежного слоя и его оста- § il9-a J Формула И. В Жуковского для давления 317 новка. Падение давления, сопровождающееся остановкой слоев жидкости, будет распространяться в сторону резервуара. Явле- Явление может быть описано так, как если бы у задвижки возникла третья волна — волна снижения давления до значений ниже нормального, ' Когда волна снижения достигнет резервуара, в этот момент — <rj вся жидкость в трубопроводе будет неподвижна и иметь понижен]roe давление. В этом состоянии жидкость в трубопро- трубопроводе не может оставаться в покое. Так как давление в резер- резервуаре больше, чем давление в трубопроводе, то вследствие своей упругости жидкость начнет перемещаться, по теперь уже от открытого конца в сторону задвижки. При этом в трубопроводе начнется процесс восстановления начального давления и началь- начальной -скорости. Явление будет происходить так^ как если бы у открытого конца трубопровода возникла четвертая волна — волна восста- восстановления начальной скорости и начального давления. Поэтому, п когда волна восстановления ко Времени 2Т = —а достигнет за- задвижки, во всем трубопроводе будут восстановлены и начальная скорость и начальное давление. Но так как задвижка продол- продолжает оставаться закрытой, а жидкость движение свое продол- продолжать не может, то у задвижки вновь возникает удар. Если пренебречь рассеянием (диссипацией) энергии потока, обусловленной работой сил трения и деформацией трубопровода,' то вновь возникший удар будет повторять предыдущий. Удар бу- будет иметь периодический характер. В этом случае колебательный процеос будет продолжаться бесконечно долго, а давление у за- задвижки в зависимости от времени будет изменяться так, как показано на фиг. 19-2- Такой удар называется прямым. Для определения величины давления, которое возникает при ударе в случае мгновенного перекрытия задвижки, рассмотрим явление у задвижки. За время dt после возникновения удара прекратится движение жидкости и возрастет давление только на длине dl~adt (фиг. 19-3), где а — скорость волны. В потоке левее сечения А еще будут начальное давление р и начальная скорость v. У задвижки (в сечении В) давление будет равно давлению удара; часть трубопровода будет деформирова- деформирована, как показано пунктиром. Воспользуемся уравнением Эйлера (8-28), распространив его на поток аналогично тому, как это было сделано в § Ю-6. Для горизонтального трубопровода (z — const) будем иметь: 1Й—_1*L по 2>
318 Гидравлический удар в трубах [гл. [ *4_ 1 РкГ/см< I Нормальное \ I I I [ давление ~ Г" I f I О t 1 «О а: § 1 f I I I "I 1 fi I1 i i =3i I !S§§ 2S& S §85 I? ! i it a. ФИг. 19-2. Ззеисимость давления у задвижки при прямом гидравлическом ударе. Умножив обе части уравнения A9-2) на dl = adt> получим: Пренебрегая перемещением частиц за Время удара, иможно рассматривать dv как изменение скорости в некотором живом сечении, т. е. отнести это изменение к точке поля. Та- Таким образом, интегрирова- интегрирование надо Произвести в пре- пределах от р до руд и от v до 0. При этом получим: = №>а. A9-3) Фиг. 19 3. Пунктиром показано рапире- Это и рсть cbfinMvna нне трубопровода, вызванное ударом. формула Н. Е. Жуковского1, В том случае, сел» бы скорость упала с и до v\ при не- неполном мгновенном закрытии формула имела бы следующий вид: A9-4) 1 В формуле A9-3) Н. Е. Жуковский принимал р — [. (Этот вопрос в на стоящее время является дискуссионным.) § Скорость распространения ударной волны 319 19-3. Скорость распространения ударной волны в жидкости по Н. Е. Жуковскому Для определения скорости распространения ударной волны а рассмотрим отсек объемом dW = u>adtt ограниченный сече- сечением, находящимся от задвижки на расстоянии dl = adt. За время dty в течение которого давление в жидкости увеличится на dp, этот объем станет больше вследствие деформации тру- трубопровода на величину did*, где <d — площадь сечения трубо- трубопровода. Вместе с давлением увеличивается и плотность жидкости на dp. Это вызывает уменьшение объема жидкости, находившейся в начальном объеме на величину — mdl В.. результате расширения объема рассматриваемого отсека и сжатия находившейся там жидкости образуется простран- пространство, в которое за время удара df втечет дополнительный объем жидкости v&dt. Этот объем может быть приравнен двум, ранее вычисленным: откуда следует: v а A9-5) dl где7 = dp = $cdp = —dp согласно формуле B-32); = 2i; 2nrdr ^ dr ш и г —площадь сечения и радиус трубы; i = ?—-дополнительное относительное удлинение пе- периметра трубопровода, вызванное его деформа- деформацией благодаря добавочному повышению дав- давления на Руд — р\ — vd d — дополнительное напряжение в материале тру- трубопровода (см. задачу 4-16); Е—модуль упругости материала трубопровода. Подставляя найденные величины в уравнение A9-5) и при- принимая в дальнейшем йр = р„Л— р, получим: s ( \ К
320 Гидравлический удар в трубах [гл. 1Э Заменяя в последнем выражении р й— р согласно фор- муле A9-3), будем иметь: а A9:6) Е В связи с формулой A9-6) формулу Жуковского можно пред- представить в виде ': V Y d A9-7) При постепенном перекрытии трубопровода явление удара будет происходить более сложно. Если закрытие задвижки происходит не мгновенно, а по- постепенно, для приближенного определения р д может служить формула где Т— фаза удара; t9aK— время закрытия задвижки. 19-4. Дифференциальные уравнения гидравлического удара Для более подробного исследования явлений, возникающих при гидравлическом ударе, рассмотрим одномерное движение жидкости в горизонтальной прямой трубе (см. фиг. 19-4). Исходными уравнениями для исследования удара будут: I) уравнение Эйлера (в котором весом пренебрегаем, а ги- гидравлическое сопротивление не учитываем), принимаем и = = и = 0 1 dp dv . dv и дх dt ' дх ' v dv в этом уравнении пренебрегаем величиной ^, малой посрав- dv нению с ^, тогда получим: dv 2) уравнение неразрывности для снимаемой жидкости 1 См. сноску на стр. 318. 10-41 Дифференциальные уравнения гидравлического ydapa 321 ^ в котором пренебрегаем величиной^, малой по сравнению dv с ^, при этом будем иметь: L dt что в связи с уравнением сжимаемости жидкости B-31), ко- которое представим в виде: dt может быть записано и так: I -в -зт- -^^С -т- — 0» A9-10) Фиг. 19-4. С\ема 1рубопроьода с задвижкой на конце. Дифференцируя уравнение A9-9) по ху а уравнение A9-Ю) по / и вычитая одно из другого, получим fобозначая a2=-V Дифференцируя уравнение A9-10) по х, а уравнение A9-9) по t и вычитая одно из другого, найдем: Интеграл уравнения (I9-II) может быть представлен в виде: ^) ) где 0 и Ф — любые произвольные функции от f f%- —) и ^-\ выражающие закон изменения давлс- а / ния по длине трубопровода и во Времени; р0 — начальное давление до удара. Интеграл уравнения A9-12) при выбранном направлении осей координат может быть представлен в виде: |)(|) A9-14) где v — проекция скорости; я0 — начальная скорость; <р и ф — любые произвольные функции от ft ~^\ й выражающие закон изменения скорости по длине тру- трубопровода и во времени. 21 Н. 3. Френкель.
322 Гидравлический удар в трубах [гл. 19 В том, что интегралы для v w p удовлетворяют дифферен- дифференциальным уравнениям A9-11) и A9-12), можно убедиться про- простой подстановкой их значений в эти уравнения. Установим зависимость между функциями <р, 4, 6 и Ф. Для этого вычислим их частные производные. Из уравнений A9-13) и A9-14) получим: dt dv_ дх — а a Подставляя эти значения в A9-10), будем иметь: / или К откуда Таким образом, уравнение A9-13) можно представить в виде: В уравнении A9-14) заменим (—v) на v и представим его в виде: [()(f)]- 09-16) Выясним физический смысл функции <р и ^ и величины а. Так как ^ и ^ являются частными решениями уравнений удара, то в частном случае может оказаться, что или <р = 0, или ф = 0. Рассмотрим сначала случай, когда 4 = 0. Допустим, что в некоторый момент времени t\ в трубопро- трубопроводе (фиг. 19-4) на расстоянии х{ установилось ударное да- давление р. Выясним, в какой момент времени t2 и в каком дру- другом месте х2 давление также сделается равным р. Очевидно, в этом случае согласно уравнению A9-15) откуда ИЛИ а а A9-17) 19-5] Общий случай гидравлического удара 323 Из формулы A9-17) следует (так как t2*>t\), что ударное давление распространяется по трубопроводу с постоянной скоростью а. Следовательно, а является скоростью распро- распространения ударной волны вдоль трубопровода, что следует также из формулы A9-6), если пренебречь деформацией тру- трубопровода и принять fS= L Так как положительное направление оси х взято в на- направлении, совпадающем с распространением удара, то функ- функция tp характеризует ударную волну, движущуюся в направле- направлении распространения удара. Аналогичное исследование функции ^ даст: откуда а ИЛИ Л\ — Х% — [12 — t\) W, (ly-Io) Из полученною следует (так как t2^>t\), что Хх^>х2. Это значит, что функция ^ характеризует волну, движущуюся в сто- сторону, обратную распространению ударной волны, т. е. волну га- гашения. Таким образом, согласно уравнению A9-15) давление в любой точке трубопровода, в котором происходит гидравличе- гидравлический удар, слагается из алгебраической суммы трех значений: начального давления (давления до удара), давления, создавае- создаваемого ударной волной, >и давления, создаваемого волной гашения. 19-5. Общий случай гидравлического удара I Рассмотрим первый этап удара для t<^ ~^~. Ударна^волна, возникая у закрытой задвижки, распространяется от задвижки по трубопроводу к его открытому концу. Для этого периода волна гашения отсутствует и Для сечений x>at, т. е. для сечений, до которых ударная волна еще не успела дойти, р^р0 и из уравнения A9-15) сле- следует, что а Во входном сечении у резервуара (х = 1) всегда p=^pD, —, как еле- п поэтому для этого сечения в любое время дует из уравнения A9-15), A9-19) 21*
324 Гидравлический удар в трубах I гл. 19 Подставляя сюда t= — , получим: A9-20) откуда следует, что функция ^ волны гашения, возникающей при / = — в трубопроводе у резервуара, численно равна функ- а ции (р ударной волны, возникшей при f —0 и т. е. в на- нар чале удара у задвижки. Как было раньте установлено, волна гашения с постоянной скоростью а перемещается по трубо- трубопроводу к задвижке, пакладываясь на ударную волну. Уравнение A9-19), поскольку оно справедливо для любого ~ х момента времени представить и в виде: —\, можно, заменив ( на а = и ft — 2 ' ~~ а X а A9-21) Из уравнения A9-21) следует, что функция гашения удар- ударной волны — волны гашения ф в любом сечении х повторяет значение функции ударной волны, существовавшее там раньше на время S; = 2^. A9-22) Например, у входа в трубопровод (х = 1) волна гашения впер- впервые возникает при т. е. одновременно с приходом ко входу в трубопровод удар- ударной волны. Явление происходит так, как будто бы ударная волна отражается от конца трубопровода и движется в обрат- обратную сторону в виде волны гашения давления. У задвижки х = 0 волна гашения появляется от начала Удара через время а имея при этом значение A9-23) Так как функция гашения ? в уравнение A9-15) входит со знаком, противоположным знаку ударной функции <?, то в ме- местах появления волна гашения будет создавать эффект, про* тивоположный ударной волне. Например, появившись через § Общий случай гидравлического удара 323 время &t после прихода ударной волны в отрезке времени — в любом сечении трубопровода, в том числе и у задвижки, она будет гасить давление, созданное ударной волной. Проверим это для сечения у задвижки. Из уравнения A9-15) для х=0 и f=— получим: 21 но согласно A9-21) 1 а для сечения у задвижки при — поэтому 21 т. е. через время / = — давление у задвижки станет равным начальному. Но на этом явление удара, как было описано вначале, не прекратится. В связи с зависимостью A9-21) уравнения A9-15) и A9-16) позволяют выразить давления и скорости у задвижки в любой фазе в виде: Решая эту систему уравнений, найдем: ?„ ра = (р„ — р0) — ра {оя — ч0): = — (Рп — Ра) — 9а К — va). Подставляя в предыдущее уравнение п—1 вместо п, будем иметь: 2ф„_1р« = (Рл_! — Ра) — ?а (оя_! — р0)- Приравнивая правые части двух выражений для 2<ря_,, най- найдем, что или р*-1—*«); (Рп ~ Ро) ~ (р»-[ ~ Ро)—Р^ iVn-\ —Vn)~~2 (pn_ i —
326 Гидравлический удар в трубах (гл. 19 откуда следует: Pi (Р2 — Ро) — (Pi (Рз — Ро) — <Р2 (Рл - Ро) — (Р„_, р0 = ?а (о0 — — Po) = ?a(v2— v3) — 2 — Ро) Решая полученные уравнения, найдем: A9-26) Pi — Ро = Рз — Ро = Р4 — Ро^ — Щ) — ?а (оо — v,); —»з) — Ра (yi — vz) —1>4) — pa (с2 — v3) -f pa A9-27) — ро К_2 — о„_,)... ± pa (?г0 — о,). Кроме первого уравнения, все остальные получены соответ- соответствующим суммированием левых и правых частей уравнений си- системы A9-26). Члены, стоящие в правых частях полученных уравнений со знаком «-f», могут рассматриваться как ударные волны, а с отрицательным— как волны гашения давления. Чем больше время удара, тем большее число волн (ударных и гашения) накладывается друг на друга. Результирующее по- повышение или понижение давления в любой фазе удара опреде- определяется как алгебраическая сумма выражений п Рп~ />0 = A9-28) Если задвижка закрывается еще в первой фазе (мгновенное закрытие), то Oi=o2 = о3 = -.. = а =0, а Р\ "^ A9-29) Этим соотношениям удовлетворяет график, изображенный на фиг. 19-2. Исследование гидравлического удара для случая, когда за- задвижка закрывается не мгновенно, наглядно осуществляется гра- графоаналитическим методом. § 19-5] Общий случай гидравлического удара 327 м/сек Рассмотрим случай, когда скорость потока в трубопроводе за время закрытия изменяется по закону, показанному на фиг. 19-5. В этом случае давление, возникающее у задвижки, опреде- определяется системой уравнений A9-27) и графически может быть определено, как показано на фиг. 19-6. Сначала построим график (фиг. 19-6), удовлетворяющий уравнению A9-4) (линия ОБА). Затем строятся аналогичные графики, каждый из кото- которых сдвигается вправо на время Т (пунктирные линии). Построенные ли- линии делят плоскость графика на поло- полосы, которым присваивается знак «-J-» для ударных волн и знак «—» — для волн гашения1. На фиг. 19-6 принято р = 1. Вертикаль, проведенная через точку, соответствующую неко- некоторому моменту времени, например ^4, пересечет положительные а отрицательные полосы, отсекая на них отрезки pa (ort_, —ап), Q Т 2J ЗТ сек. Фи1. 19-5. К исследованию гидравлического удара. - / + ' Фиг. 19-G, Графоаналитический метод расчета гидравли- гидравлического удара» равные членам, входящим в уравнения A9-27). В этом можно убедиться путем сравнения отрезков с членами уравнений, соот- соответствующими, например, р4 — Ро* В течение первой фазы согласно уравнениям A9-27) давле- давление изменяется по линии ОБ, В течение второй фазы ударная волна создает давление pa(i>j — v2), а волна гашения гасит да- 1 Фиг. 19-6 заимствована из учебника* И. И. А г р о с к и н, Г- Д. Д м и т- риеви Фг И. Пикали в, Гидраьлика, Госэнергоиздат, 1954»
328 Гидравлический удар в трубах [гл вление, равное pa(v0 — v{). Графически давление изображается отрезком ВС. В течение третьей фазы действуют две ударные волны pa(v2 — о,L-р<ф0 — ^) и одна волна гашения ш(и{ —v9) График давления изображается линией CD. В течение четвер- четвертой фазы действуют две ударные волны и две волны гашения Давление изображается линией DE. После момента закрытия диаграмма давлений принимает периодический характер с пе- периодом 27\ 19-6, Применение уравнений удара для тупикового трубопровода (гидравлический тупик) Как укрывалось выше, подобный случай (фиг. 19-7) возникает в трубо- трубопроводах топливного наеога, пытающею бескомпрессорпые двигатели Будем исходить из уравнении (|9|5) и A9-16), ' "уаьм Для гидравлического удара в тупике 7и( имеют попрежнему тот же физический смысл, но другие начальные и граничные условия обусловли- обусловливают между ними другие зависимости. Начальные условия таковы Жид- Жидкость во всем трубопроводе в начале удара находится в покое Первый этап удара f<—. Удар возникнет у свободного конца тру- трубопровода. Ударная полна перемещается к закрытому концу тупика. В этом случае для Фиг, 19-7. Счема трубопровода ^гидравлический тупик". т. е- область с х > at ударом еще не охвачена. При х ~ /, т. е, в конце тупика, всегда скорость v = 0. На этом ос- новации для конца тупика -f [*-± = A9 30) Из *того следует, чго в тупике функция ф Спдет иметь такое же чис лепное значение, как и функция р, но по знаку ей противоположна А так как в формулу дао-тения она входит со знаком минус то в отчи^ чие от явления п трубопроводе не л уникодом волна, характеризующаяся функцией ф, будет не гасить ударную волну, а со удваивать. Этим vaap в тупике от-шчастся от удара в трубе, рассмотренного в § 19-5. "* 19-7* Гидравлический таран Явление гидрапличе:кого удара находит себе практическое применение ?9°нХ ВОАоподъем|Шке' называемом гидраолическим тараном (фиг. 19-8 — Оснооиыми частями гидравлического тарана являются сбросной к-п* пан /, напорный клапан 2 и напорный воздушный колпак 3 ' Работа гидравлического тарана происходит гледуюшич'образом. в § 19-7] Гидравлический таран 329 Вода из водоема течет по пи- питающей трубе 4 к тарану в сред- среднем в количестве (Q-M) [Л}сек]. Большая ее часть Q [л^сек] вы- вытекает через сбросной клапан 1 наружу» Под давлением струи п сбросной клапан закрывается, благодаря чему в трубе лроис- ходят быстрая остановка жид- жидкости и увеличение давления. Вследствие повышения давле- давления открывается напорный клапан 2 и меньшая часть поды, в среднем q, поступает в напорный воздушный колпак. Вслед за этим давление в тру- трубе 4 падает; вновь открывается клапан 1, и вода, приходя в движение, вы.шваегся № \ — Фиг. 19-8. Схема таранной установки. опять наружу. С этого —»f | , t- Л. Г. X X ^^^^»- момента явление повторяется вновь1. По мере заполнения водой воздушного колпака давление в нем увели- увеличивается ввиду того, что уменьшается объем, занимаемый воздухом, и вода из тарана по напорной трубе 5 подается к |ЮтрсблтелКХ Непре- Непременным условием исправного действия таранов является ва- личие воздуха в колпаке, кочо- рыи и является до известной степени регулятором давления. На фиг. 19 9 показан таран системы ТГ-1. Калиброванное FB so so ?д so so Фиг. 19-9, Гидравлический таран Системы ТГ-1. Фиг. 19-10. Характеристика тарана системы ТГ 1. отверстие 7 (форсунка) служит для непрерывного автоматического пополнения 1 Ввиду того, что при нерабочем коложении жидкость прижимает сброс- сбросной клапан, который: перекрывает отверстие, для пуска тарана сбросной кланам необходимо принудительно открыть, В дальнейшем он работает авто- автоматически.
330 Гидравлический удар в трубах [гл. 19 воздухом воздушного колпака. Таран этой конструкции выполняется для диз" метров питательной трубы г/=50 мм и d—7€> мм и напорной труГы d =36 мм. На производительность тарана qt кроме его размеров, существенное влияние оказывает число ударов ударного клапана» Чем тяжелее ударный клапан, тем больше воды Q сбрасывается наружу, тем мевьше к, п. д. тарана. Число ударов ударного клапана регулируется грузами 6 и устанавливается в за- зависимости от длины и диаметра питающей трубы, высоты падения жидкости h и высоты подъема Я, Так, например, опыт показывает, что при питающей трубе диаметром в 76 л^ и длиной 13,5 м при высоте падения А = 3ли высоте подъема Н = 27 м число ударов, соответствующее максимальному к. п- д. (фиг» 19-Ю), в минуту должно быть 10(ХПри этом производительность тарана ? = 6,4 л/mun, а расход Q — 73,6 а} мин. Коэффициент полезного действия тарана определяется: по формуле qH A9-31) В приведенном примере 6,4-27 - = 0,73. Задача 19-1. Требуется определить напряжение в материале трубы (за- (задача 4-16) при мгновенной остановке волы, двигавшейся со скоростью v =? = 2 MjceK. Дано К =¦ "о^ —21 ООЭ кПсм2\ Е = \№ кГ}см*\ давление перед задвижкой до закрытия р0 = 15 кГ[см2+ Решение. Определим по формуле A9-7) повышение давления, принимая 104 где Y I 000 ~9~8Г 0,205-21,000 /Щ~ -I/210.10'5-1,04 р = У 102 = 1 463 Давление в жидкости Напряжение в трубе pd 39,37-20,5 При нормальной работе 15 20,5 §20-1] Истечение жидкости аз отверстия 331 Глава двадцатая ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ИЗ ОТВЕРСТИЙ И НАСАДКОВ ПРИ ПОСТОЯННОМ НАПОРЕ Отверстиям и насадкам, через которые происходит истечение жидкости в зависимости от их назначения, придают различные формы. Иногда отверстие служит только для пропуска определенного расхода. В этом случае характер струи и форма отверстия часто не имеют существенного значения; при любой форме отверстия (круглое, прямоугольное и т. п.) всегда можно рассчитать его размеры так, чтобы оно обеспечило нужные условия. В других случаях характер и форма струи вытекающей жидкости являют- являются весьма важными элементами, определяющими качество струн- Например, струя, вытекающая из пожарного брандспойта, из гидромонитора, должна не только нести достаточное количество жидкости, но, 'кроме того, быть сильной и компактной на значи- значительной части своей длины. Это требование может обеспечить не всякое отверстие. В свою очередь компактная и сильная струя не может соот- соответствовать условиям, при которых требуется распыленная струя: распыл топлива в двигателях внутреннего сгорания, искусствен- искусственное дождевание, моечные устройства на заводах, автомобильных парках и т. п. Таким образом, требования, предъявляем!^ к от- отверстиям и их формам, различны. Этим объясняется широкое разнообразие форм отверстий и насадков, используемых в инже- инженерном деле, 20-1. Истечение жидкости из отверстия при постоянном^напоре Рассмотрим сначала истечение жидкости из резервуара через ¦ отверстие, сделанное в дне, К отверстию жидкость подтекает со всех сторон, поэтому в плоскости отверстия частицы движутся по криволинейным траекториям (фиг. 20-1). При выходе жидкости из отверстия образуется струя. Благо- Благодаря криволинейности траекторий у отверстия площадь горизон- горизонтальных сечений струи оказывается меньше площади отверстия. Происходит сжатие струи. Струя в дальнейшем сохраняет на не- некоторой длине форму отверстия только в том случае, если отвер- отверстие горизонтальное и круглое. Большое влияние на сжатие оказывает форма отверстия. На- Например, для отверстия с фаской или с закруглением, очерченным по форме струи (фиг. 20-2), сжатие струи получается значитель- значительно меньшим. Влиянием стенок определяется характер сжатия струи. Сжатие называется совершенным, если на него не оказы- оказывают влияние стенки резервуара- Это имеет место, если стенки
332 Истечение жидкости uj отверстий при постоянном напоре [ гл 20 удалены от отверстия на расстояние с (фиг, 20-3), большее утроенной длины соответствующей стороны отверстия (для круг- круглого отверстия с ^> 3df где d—диаметр отверстия). В случае совершенного сжатия сжатое сечение струи полу- получается наименьшим. Сжатие на- называется несовершенным, если на него влияет близость стенок (фиг. / 20-3). В этом случае сеченне струя оказывается большее, чем при совершенном сжатии. Плоскость сравнения Фиг. 20-1, Струя при истечении из круглого отверстия» Фиг. 20-2. Отверстия с фаской* Существенное влияние на сжатие струи оказывает наличие около отверстия с одной или нескольких сторон направляющих козырьков (фиг. 20-3), устраняющих сжатие на некоторой части периметра отверстия. В этом случае сжатие называют непол- I оза a S m саь \c<3a Фиг» 20 3. Расположение отиерешй при неполном и несовершенном сжатии. Фит. 20 4. Инверсия струи. ным в отличие от полнот, при котором козырьки отсутствуют. Сечение струи сильно преобразуется при вытекании из прямо- угольнюго или треугольного отверстия (фиг. 20-4), Это явление называется инверсией струи. Сжатие струи является одной из важнейших особенностей, характеризующих истечение жидкости из отверстий. На небольшом расстоянии от круглого отверстия /^@,5—l)d (где d — диаметр отверстия) происходит выпрямление траек- § 20-1] Истечение жидкости из отверстия 333 торий частиц и за указанным сечением частицы практически движутся почти параллельно. Площадь живого сечения струи ш в этом месте «,е = *о, B0-1) где w — площадь отверстия; ? — коэффициент сжатия струи, равный отношению пло- площади сжатого сечения к площади отверстия и опре- определяемый в большинстве случаев опытным путем. Коэффициент сжатия в первую очередь зависит от формы отверстия, от положения отверстия относительно стенок резер- резервуара и в общем случае от чисел Рейнольдса, Фруда, Вебсра, В случаях, представляющих практический интерес, влиянием чи- чисел Фруда и Всбера можно пренебречь и коэффициент е считать ИХ V цз м // ^ ф' f JTT I g Ке - 1 f \f i г" 1 — ш —¦ i ¦^ j ¦¦ ^ 5 W 2ff Фиг- 20-5 Зависшость ^коэффициентов ?, «р и (л от Rem для отверстия с острой кромкой, i функцией только числа Re. На фиг. 20-5 приведены знЛения s по данным Л. Д. Альтшуля для совершенного сжатия при исте- истечении иа круглого отверстия с острой кромкой '. Для определения скорости истечения применим уравнение Берпулли для потока. За живые сечения, ограничивающие рас- рассматриваемый участок потока, примем свободную поверхность жидкости в резервуаре и сжатое сечение струи. В обоих этих горизонтальных сечениях давления постоянны и поэтому соот- соответствуют гидростатическому закону. За плоскость сравнения примем горизонтальную плоское! i, проходящую через сжатое сечение струи. Будем иметь: гп+^ ^ Р4л- аЖ Г — 1 Л. Д. Альтшуль, Истечение из отверстий жидкостей с повышенной вязкостью, „Нефтяное хозяйство", 1950, № 2.
334 Истечение жидкости us отверстий при постоянном напоре [гл. 20 где С —коэффициент сопротивления при истечении, отнесенный к скорости в расчетном сечении струи. Подставляя вместо получим: V а B0-2) В тех случаях, когда можно пренебречь / по сравнению с И, v , , a ИЛИ где — коэффициент скорости; B0-3) B0-4) B0-5) «0*0 г~2ji полный напор истечения. B0-6) и и I Напор истечения следует рассматривать как удельную энер- энергию потока в сечении на уровне свободной поверхности, вы- вычисленную относительно уровня сжатого сечения и давле- давления рс. Неудобство формулы B0-2) или B0-3) состоит в том, что ско- скорость vc определяется по ней только методом подбора. Преобразуем эту формулу, заменив в ней согласно урав- уравнению неразрывности Будем иметь: Jo 2?(Л + где B0-7) ист называется напором истечения. § 2(М ] Истечение жидкости из отверстия 335 Если площадь отверстия ю мала по сравнению с площадью свободной поверхности ш0, то можно пренебречь вторым чле- членом в знаменателе. В этом случае отверстие называется ма- малым. Для малого отверстия будем иметь: ист B0-8) Пренебрегая неравномерностью распределения скоростей в расчетном сечении струи и гидравлическими сопротивлениями, т. е, принимая <*с=1 и С = 0, получим формулу для скорости, которую будем называть теоретической скоростью vmj V = т 2g{ h Pa - Рс )¦ B0-9) При ро = р эта формула превращается в формулу Торричелли. Коэффициент скорости <р согласно формуле B0-5) учитывает влияние на скорость истечения степени неравномерности рас- распределения скоростей в сжатом сечении и гидравлических со- сопротивлений. Коэффициент скорости представляет отношение действительной скорости истечения к теоретической B0-10) т Теоретически коэффициент скорости <р может быть найден только для ламинарного истечения. Для .этого случая инте- интегрирование дифференциальных уравнений движения реальной жидкости приводит для скорости к формуле Сэмпсона, имею- имеющей вид 1; B0-11) где у —кинематический коэффициент вязкости, a d — диаметр отверстия. Сопоставляя формулу B0-И) с формулой B0-8), по- получим: B0-12) 48 где т Экспериментальная проверка формулы B0-12), выполненная автором, показывает, что хорошее совпадение с опытом полу