/
Текст
A. M. Латы шенков
В. Г. Лобачев
Москва * tQ56
A. M. ЛАТЫШЕНКОВ и В. Г, ЛОБАЧЕВ
доц. канд. техн наук
пр оф. д-и техн, наук
ГИДРАВЛИКА
‘ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено
Главным управлением
горно-металлургических и строительных вузов
Министерства высшего образования СССР
в качестве учебника для инженерно-строительных вузов
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ЛИТЕРАТУРЫ ПО СТРОИТЕЛЬСТВУ И АРХИТЕКТУРЕ
М о с к s а —.1956
Научный редактор — канд. техн, наук доц. В. С. Муромов
В книге даны основы гидростатики и теоретической
гидродинамики, подробно изложено понятие о гидрав-
лических сопротивлениях, равномерное и неравномер-
ное движение жидкости в трубах (расчет водопроводов
и канализационных систем) и каналах, водосливы, а
также движение грунтовых вод.
Книга составлена в соответствии с программой Ми-
нистерства высшего образования СССР по курсу «Гид-
равлика» для факультетов водоснабжения и канализа-
ции строительных вузов и предназначена в качестве
учебника для студентов этих факультетов, а также дру-
гих (не гидротехнических) факультетов строительных
вузов.
А. М. Латышенков и В. Г. Лобачее
ГИДРАВЛИКА
* * *
Государственное издательство
литературы по строительству и архитектуре
Москва, Третьяковский пр., д. 1
* * *
Редактор издательства П. В. Сафонов
Технический редактор Л. Я» Медведев
Сдано в набор 16/IX—19'^5 г. Подписано в печать 23/11—1953 г. Т—02177. Бум. 60Х§2 12,75
бум. л.—25,5 печ. л. (27,5 уч.-изд. л.)« Тираж 20 ОСС экз. Изд. № 1-9784. Зак. Лё 1593.
Цена 9 руб. 65 коп. Переплет 1 руб.
Типография № 1 Государственного издательства литературы по строительству и
архитектуре, г. Владимир
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр,
Предисловие ..................................................... 7
Глава I
ВВЕДЕНИЕ
§ 1—1. Определение гидравлики и ее краткая история................9
§ 1—2. Основные физические свойства жидкостей....................14
§ 1—3. Вязкость жидкости и ее измерение..........................18
Глава II
ГИДРОСТАТИКА
§ 2— 1. Гидростатическое давление и его свойства.................22
§ 2— 2. Основные дифференциальные уравнения равновесия жидкого
тела (уравнения Эйлера)..........................................25
§ 2— 3. Поверхности равного давления. Формы свободной поверхности
жидкости.........................................................26
§ 2— 4. Основные уравнения гидростатики..........................29
§ 2— 5. Эпюра гидростатического давления.........................33
§ 2— 6. Пьезометрическая высота. Вакуум и его измерение .... 35
§ 2— 7. Гидростатический напор и удельная потенциальная энергия . 39
§ 2— 8. Закон Паскаля. Гидравлические машины.....................41
§ 2— 9. Сила давления на плоские фигуры..........................43
§ 2—10. Давление жидкости на криволинейные стенки................48
§ 2—11. Давление жидкости на стенки труб и резервуаров .... 52
§ 2—12. Закон Архимеда. Плавание тел.............................54
§ 2—13. Остойчивость плавающих тел...............................55
Глава III
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИКИ
§ 3— 1. Характеристика движения жидкости.........................59
§ 3— 2. Основные понятия гидродинамики и виды движения жидкости 60
§ 3— 3. Дифференциальные уравнения движения жидкости (уравне-
ния Эйлера)......................................................65
§ 3— 4. Уравнение неразрывности несжимаемой жидкости.............67
§ 3— 5. Вихревое и потенциальное движение........................70
§ 3— 6. Уравнение линии тока и функции тока......................72
§ 3— 7. Уравнения Эйлера в функции компонентов вихря.............74
§ 3— 8. Уравнение Бернулли для установившегося движения идеаль-
ной жидкости.....................................................76
§ 3— 9. Вывод уравнения Бернулли из закона живых сил .... 79
§ 3—10. Уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной
жидкости.........................................................82
§ 3—11. Уравнение Бернулли для потока............................86
§ 3—12. Примеры практического применения уравнения Бернулли . . 91
§ 3—13. Основное уравнение равномерного движения.................96
4
Оглавление
Стр
Глава IV
ГИДР Л ВЛ ИЧ ЕС КИЕ СО ПР ОТ И ВЛ Е Н И Я
§ 4—1. Виды сопротивлений........................ 99
§ 4—2. Два режима движения жидкости.............................100
§ 4—3. Свойства ламинарного режима.................t............104
§ 4—4. Особенности турбулентного движения жидкости в трубах . . 108
§ 4—5. Потери напора на трение в трубах при турбулентном режиме . 115
§ 4—6. Последние работы ВНИИ Водгео по определению потерь на-
пора в чугунных и стальных трубах при турбулентном режиме 126
§ 4—7 Местные сопротивления . . ... ............132
Глава V
ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЯ И НАСАДКИ
§ 5—1. Истечение через малое отверстие в тонкой стенке..............147
§ 5—2. Истечение из больших отверстий .... 152
§ 5—3. Истечение из призматического сосуда при переменном напоре 155
§ 5—4. Истечение при переменном напоре под переменный уровень . 157
§ 5—5. Истечение жидкости через насадки и короткие трубы .... 159
§ 5—6. Давление струи на плоские и криволинейные стенки .... 168
Глава VI
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ НО ТРУБАМ
§ 6— 1. Простой трубопровод............................173
§ 6— 2. Определение диаметра длинных трубопроводов.....177
§ 6— 3. Расчет коротких трубопроводов..................179
§ 6— 4. Сложные трубопроводы с транзитным расходом (последова-
тельное и параллельное соединения) 186
§ 6— 5. Трубопроводы с путевым расходом................191.
§ 6— 6. Задачи, встречающиеся при расчете водопроводных сетей . . 196
§ 6— 7. Расчет кольцевых водопроводных сетей...........198
§ 6— 8. Расчет разветвленных сетей.....................200
§ 6— 9. Неустановившееся движение жидкости в напорных трубопрово-
дах : 203
§ 6—10. Гидравлический удар в трубах ... . ............208
§ 6—11. Гидравлический таран............................ 219
Глава VII
РАСЧЕТ СТРУЙ
§ 7—1. Понятие о струях.........................................222
§ 7—2. Вертикальные струи................ ......................
§ 7—3. Наклонные струи..........................................227
§ 7—4. Определение расхода воды из спрысков.....................230
§ 7—5. Потери напора в гибких рукавах...........................231
Глава VIII
РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ В ОТКРЫТЫХ РУСЛАХ И КАНАЛАХ
§ 8—1. Определение коэффициента С в формуле Шези................233
§ 8—2. Гидравлически наивыгоднейшее сечение.....................244
Оглавление
5
Стр.
§ 8—3. Гидравлический расчет каналов. Типы задач..................247
§ 8—4. Расчет каналов по способу единичных расходных характеристик 254
§ 8—5. Безнапорное движение жидкости в трубах.....................259
Глава IX
НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ В ОТКРЫТЫХ РУСЛАХ И КАНАЛАХ
ЗАМКНУТОГО СЕЧЕНИЯ
§ 9— 1. Основные понятия..........................................267
§ 9— 2. Удельная энергия сечения. Критическая глубина.............269
§ 9— 3. Показательная зависимость расходных характеристик . . . 278
§ 9— 4. Основное уравнение неравномерного движения................280
§ 9— 5. Исследование форм свободной поверхности в призматическом
русле............................................................284
§ 9— 6. Построение кривых свободной поверхности в призматическом
русле при i>0....................................................288
§ 9— 7. Построение кривых свободной поверхности в призматических
руслах по способу показательной зависимости (Б. А. Бахметева) 296
§ 9— 8. Построение кривых свободной поверхности в канализационных
трубах замкнутого сечения........................................298
§ 9— 9. Построение кривых свободной поверхности в естественных
водотоках путем непосредственного суммирования .... 302
§ 9—10. Гидравлический прыжок.....................................305
Глава X
водосливы
§ 10—1. Классификация водосливов................................ 316
§ 10—2. Водослив с тонкой стенкой.................................318
§ 10—3. Водослив практического профиля............................325
§ 10—4. Водослив с широким порогом................................330
§ 10—5. Расчет водопропускных труб и отверстий малых мостов . . 342
Глава XI
СОПРЯЖЕНИЕ БЬЕФОВ И ГАШЕНИЕ ЭНЕРГИИ
§ 11—1. Виды сопряжения бьефов....................................347
§ И—2. Расчет водобойного колодца и водобойной стенки.............349
§ 11—3. Истечение из-под щита.....................................355
§ 11—4. Понятие о расчете перепадов и быстротоков.................35Й
Глава XII
ДВИЖЕНИЕ ГРУНТОВЫХ ВОД
§ 12— 1. Виды движения грунтовых вод........................361
§ 12— 2. Основной закон фильтрации..........................362
§ 12— 3. Формулы для определения коэффициента фильтрации . . 365
§ 12— 4. Уравнение равномерного движения грунтовых вод .... 367
§ 12— 5. Неравномерное движение грунтовых вод...............368
§ 12— 6. Приток грунтовых «вод к цилиндрическим колодцам и водо-
сборным галереям 371
§ 12— 7. Фильтрация через тело земляной плотины на горизонтальном
водоупорном слое..................................................378
§ 12— 8. Метод электрогидродинамических аналогий . ... 383
6
Оглавление
Стр.
Глава ХШ
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРАВЛИКИ ВОДОПРОВОДНЫХ
И КАНАЛИЗАЦИОННЫХ СООРУЖЕНИЙ
§ 13—1. Движение жидкости с переменным по пути расходом . . . 385
§ 13—2. Движение жидкости с переменным расходом в трубах . . . 386
§ 13—3. Движение воды через фильтрующие дамбы................392
Глава XIV
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОСООРУЖЕНИЙ И ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ
ПРОБЛЕМЫ ГИДРАВЛИКИ
§ 14—1. Лабораторные исследования водозаборных узлов и краткие
сведения из теории гидравлического подобия...................394
Приложения — справочные таблицы (I—XV).........................399
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий учебник является переработанным и дополнен-
ным вторым изданием опубликованного в 1945 г. курса «Гид-
равлика» для факультетов водоснабжения и канализации’ выс-
ших учебных заведений строительной специальности.
Учебник составлен в соответствии с программой курса для
факультетов водоснабжения и канализации, утвержденной Глав-
ным управлением строительных вузов Министерства культуры
СССР 26 июля 1953 г.
В книге в сжатой форме изложены основы гидростатики и
теоретической гидродинамики в объеме, необходимом для реше-
ния основных задач из области водоснабжения и водозаборных
сооружений. Особое внимание в курсе уделено вопросам сопро-
тивления при движении воды в трубах, а также методике расчета
водопроводных сетей. В учебнике использованы последние рабо-
ты ВНИИ Водгео по определению потерь напора в чугунных
и стальных трубах, а также в трубах из других материалов.
Отдельно освещен вопрос о пожарных струях.
В главе о равномерном движении в открытых руслах при-
ведены основные способы расчета открытых каналов, а также
канализационных труб сложных профилей (по способу безраз-
мерных функций).
Глава о водосливах написана с использованием новейших
работ по водосливам с широким порогом и практического очер-
тания. В главе о неравномерном движении в открытых руслах
как основной дан способ построения кривых свободной поверх-
ности по Н. Н. Павловскому. Кроме того, приведен метод без-
размерных параметров В. Г. Лобачева, позволяющий строить
кривые свободной поверхности в руслах замкнутого сечения лю-
бой формы (круглом, шатровом, лотковом).
В главе о движении грунтовых вод освещены все основные
случаи притока грунтовых вод к колодцам, галереям и фильтра-
ции под гидротехническими сооружениями.
Главы I—III, V, VIII—XII и § 4—2, 4—3, 4—4, 6—9, 6—11,
13—3 и 14—1 написаны канд. техн, наук доц. А. М. Латышен-
ковым; главы IV, VI и VII, а также § 8—5, 9—8, 13—1 и 13—2
написаны д-ром техн, наук проф. В. Г. Лобачевым.
8
Предисловие
Авторы выражают свою благодарность руководителю кафед-
ры гидравлики Московского инженерно-строительного института
имени В. В. Куйбышева д-ру техн, наук проф. В. Д. Журину и
членам кафедры канд. техн, наук доцентам О. Ф. Васильеву,
М. Н. Грацианскому, В. С. Муромову и IL Г. Киселеву, а также
д-ру техн, наук проф. С. В. Избашу за просмотр рукописи и ряд
ценных замечаний, учтенных авторами при окончательном ре-
дактировании рукописи.
Авторы будут также благодарны всем лицам, которые
пришлют свои замечания о возможных недостатках в содержании
настоящего курса.
Сентябрь 1954 г.
ОТ РЕДАКЦИИ
Преждевременная смерть от несчастного случая не позволила проф.
В. Г. Лобачеву закончить работу по подготовке его части рукописи к печати
Эта работа была проведена канд. техн, наук доц. А. М. Латышенковым и
научным редактором учебника канд. техн, наук доц. В. С. Муромовым
ГЛАВА I.
ВВЕДЕНИЕ
§ 1—1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГИДРАВЛИКИ И ЕЕ КРАТКАЯ ИСТОРИЯ
Гидравлика —прикладная наука, изучающая законы
равновесия и движения жидкостей и дающая на основе теории
и опыта способы применения этих законов к разрешению раз-
личных задач инженерной практики. Гидравлика может быть
подразделена на две части: гидростатику, в которой изу-
чаются законы равновесия жидкости, и гидродинамику,
в которой изучаются законы движения жидкости. Название
«гидравлика» происходит от сочетания двух греческих слов
оЗшр (хюдор)—вода и ао)ж (аулос)—труба.
Возникновение гидравлики как науки в древнее время мож-
но объяснить практической необходимостью объединения пра-
вил и опыта проведения воды по трубам, т. е. расчета и строи-
тельства водопроводов. Содержание современной гидравлики
несравненно шире: она изучает также движение жидкостей в
открытых руслах и сооружениях и движение грунтовых вод.
Изучением равновесия и движения жидкостей занимается и
другая наука — теоретическая гидромеханика,
носящая строго математический характер и дающая общие и
точные решения. Гидравлика как прикладная наука разрешает
вопросы, нужные и важные для инженерной практики, и поэто-
му она рассматривает различные вопросы более упрощенно,
производя оценку главных элементов гидравлических яв-
лений, и часто прибегает к использованию результатов о п ы-
т о в.
В истории развития человека вода играла огромную роль
и использовалась как для питьевого водоснабжения, так и для
орошения полей, приведения в движение простейших механиз-
мов и т. п.
Еще за 4 000 лет до нашей эры в Египте и за 1 000 лет в
Китае и в Сирии умели строить плотины и мельницы на реках,
оросительные системы на полях, а также корабли для плавания
по морям. Древние оросительные системы находят /и у нас — в
Средней Азии и Закавказье. В Риме сохранились остатки д.ре-
10
Глава I. Введение
внего водопровода, построенного за 6 веков до начала нашей
эры, свидетельствующие о высокой для того времени технике.
Первым сочинением по гидравлике следует -считать трактат
греческого физика Архимеда «О плавающих телах», написанный
им за 250 лет до нашей эры. Им же была разработана конст-
рукция механизма для подъема воды, названная «архимедовым
винтом». После этого гидравлика почти 17 столетий не попол-
нялась новыми законами и открытиями вследствие застоя науки
в средние века. Новые работы по гидравлике стали появляться в
Италии в XIV—XV веках. В конце XV века итальянский ученый
Леонардо да Винчи (1452—1519) занимался изучением истече-
ния жидкостей из отверстий и законов движения воды в реках
и каналах. Однако его записи были опубликованы лишь 400 лет
спустя, и поэтому его труды по гидравлике оказались неисполь-
зованными.
Из дальнейших работ по гидравлике следует отметить рабо-
ты голландского ученого Стевина, опубликовавшего в 1585 г.
книгу «Начала гидростатики». В 1612 г. итальянский ученый Га-
лилей опубликовал трактат «О телах, находящихся в воде, и о
тех, которые в них движутся», в котором он резко критиковал
метафизические теории греческого философа Аристотеля об
«абсолютно тяжелых» и «абсолютно легких» телах и подчеркивал
правильность данного Архимедом закона плавания тел.
Ученик Галилея Торичелли, занимавшийся вопросом дви-
жения жидкости, вывел в 1643 г. формулу скорости истечения
невязкой (идеальной) жидкости из отверстия.
Французский ученый Паскаль в 1650 г. дал свой закон о пе-
редаче жидкостью внешнего давления, который явился основой
для расчета гидравлических прессов, подъемников и т. п.
Английский ученый Ньютон в 1686 г. создал свою гипотезу
о законах внутреннего трения в жидкостях и впервые ввел поня-
тие о вязкости в жидкостях.
Многие практические законы гидравлики задолго до опуб-
ликования этих законов за границей уже были известны русским
людям, умевшим весьма искусно строить на реках наплав-
ные мосты, водяные мельницы (чтобы «хлеб водою, молотить»),
плотины, водопроводы.
Большое значение в те времена имело питьевое водоснаб-
жение во время осады городов и крепостей. Так, во время оса-
ды Москвы татарами в 1382 г. Кремль был достаточно обеспечен
водой с помощью тайного колодца под Тайницкой башней, сое-
диненного каменным подземным ходом с руслом Москвы-реки.
На старинном плане Москвы, названном «Годунов чертеж
Москвы», составленном в 1605 г., показана вся речная сеть го-
рода с защитными водяными рвами, водоемами, водяными мель-
ницами у Боровицких ворот и устья реки Яузы, наплавным мос-
§ 1—1. Определение гидравлики и ее краткая история
11
том на Москве-реке и Водовзводной башней, возведенной для
обеспечения работы первого в Москве водопровода.
В 1631 г. в Москве была сделана первая попытка устройст-
ва напорного водоснабжения Кремля. В начале XVIII века по
инициативе Петра I в России развернулось гидротехническое
строительство и началось бурное развитие морского и речного
транспорта. Русский мастер Сердюков построил Вышневолоц-
кую водную систему каналов и шлюзов, соединившую Балтий-
ское море с Каспийским (через Волхов, Мету, Цну, Тверцу и
Волгу). В 1708 г. было напечатано первое в России пособие по
регулированию рек для судоходства.
В 1791 г. была издана написанная Калмыковым оригиналь-
ная русская книга «Карманная книжка для вычисления количе-
ства воды, протекающей через трубы, отверстия или по жолу-
бам, а также силы, с какою они (воды) ударяют, стремясь с дан-
ной скоростью, с приложением правил для вычисления трений,
производимых в махинах».
В XVIII веке в Петербургской Академии наук рядом уче-
ных (Ломоносовым, Бернулли и Эйлером) были разработаны тео-
ретические основы гидравлики, позволившие выделить ее в са-
мостоятельную науку. Знаменитый русский ученый М. В. Ломо-
носов написал и опубликовал в 1760 г. диссертацию «Рассуж-
дение о твердости и жидкости тела», в которой он изложил по-
ложенный в основу гидравлики закон сохранения массы и
энергии.
Член Петербургской Академии наук Даниил Бернулли опуб-
ликовал в 1738 г. капитальный труд по вопросу движения жид-
костей, положив начало гидродинамике. В этой работе Бернулли
обосновал свою знаменитую теорему о запасе энергии движу-
щейся частицы жидкости, которая является основной теоремой
современной гидравлики.
Член Петербургской Академии наук Леонард Эйлер в 1755 г.
на основе открытия Ломоносова вывел основные дифференци-
альные уравнения равновесия и движения невязкой жидко-
сти, положив начало теоретической гидромеханики, изучаю-
щей законы движения жидкостей методом математического
анализа.
Наряду с теоретическими работами по гидромеханике и гид-
равлике стал прививаться экспериментальный, т. е. опытный,
способ изучения ряда ее законов, давший обоснование и разви-
тие практической гидравлики. В развитии практической гидрав-
лики сыграли важную роль работы французских ученых
XVIII—XIX веков Шези, Базена, Дарси и др.
В 1836 г. инженером путей сообщения П. П. Мельниковым
был составлен и напечатан первый в России учебник по гидрав-
лике, названный им «Основания практической гидравлики или
12
Глава Г Введение
о движении воды в различных случаях и действие ее ударом и
сопротивлением».
Знаменитый русский ученый Д. И. Менделеев в своем сочи-
нении «О сопротивлении жидкостей и о воздухоплавании» в
1880 г. указывал на существование в природе двух режимов
движения жидкости с различными законами ее сопротивления.
Эта же мысль была развита и доказана в 1883 г. русским фи-
зиком Н. П. Петровым (1836—1920), впервые установившим,
что при смазке силы трения, определяемые вязким сопротивле-
нием при ламинарном движении, пропорциональны первой сте-
пени скорости. Петрову принадлежат также доказательство ги-
потезы Ньютона о силе внутреннего трения в жидкостях и разра-
ботка гидродинамической теории смазки.
Несколькими годами позже английский ученый Рейнольдс
провел свои опыты, наглядно подтверждавшие гипотезу Менде-
леева о существовании ламинарного и турбулентного движения
жидкости. Профессор Казанского университета И. С. Громека в
1881 г. опубликовал ряд крупных работ по теории винтового
движения жидкостей. Крупнейший вклад в развитие гидравлики
и гидромеханики сделал проф. Н. Е. Жуковский; в 1898 г. он
опубликовал исследование по теории гидравлического удара,
получившее мировую известность. Кроме того, Н. Е. Жуковский
дал математический метод решения задачи о фильтрации грун-
товых вод, создал теорию движения взвешенных наносов в вод-
ных потоках. В начале XX века русская инженерная гидравлика
бесспорно заняла ведущее место в мировой науке благодаря
ряду значительных работ проф. Б. А. Бахметева и др. по гид-
равлике сооружений и открытых русел.
В 1910—1915 гг. были опубликованы работы русских ин-
женеров В. М. Лохтина и Н. С. Лелявского о формировании
речных русел и структуре речного потока, которые справед-
ливо могут считаться основоположниками речной гидрав-
лики.
В 1914 г. В. И. Чарномский опубликовал предложенный им
метод приближенного интегрирования уравнения неравномерно-
го движения жидкости в непризматическом русле.
В 1914 г. проф. А. Я. Миловпч опубликовал работу «О не-
рабочем изгибе потока»; в дальнейшем он дал ряд интересных
работ по очертанию спиральной камеры турбин, теории деления
потоков и т. д.
Крупнейший вклад в гидравлику внес акад. Н. Н. Павлов-
ский, давший много оригинальных предложений по построению
кривых свободной поверхности при неравномерном движении, а
также разработавший на основе работы Н. Е. Жуковского тео-
рию фильтрации грунтовых вод.
Изложенный выше краткий перечень работ русских ученых
§ 1—1. Определение гидравлики и ее краткая история
13
показывает, что они сделали крупнейший вклад в развитие гид-
равлики как науки.
После Великой Октябрьской социалистической революции
в Советском Союзе в годы пятилеток перед Великой Отечест-
венной войной был осуществлен ленинский план электрифика-
ции страны и проведено строительство ряда грандиозных гидро-
сооружений.
Были построены: первенец электрификации — Волховская
ГЭС, Днепрогэс имени В. И. Лепина, Беломорско-Балтийский
канал имени И. В. Сталина, канал имени Москвы, Ферганский
канал, много других ГЭС и гидросооружений, обслуживающих
интересы энергетики, орошения, водного транспорта и водоснаб-
жения.
Строительство канала имени Москвы, законченное в 1933 г.,
наряду с решением воднотранспортной проблемы разрешило
остро назревшую проблему водоснабжения Москвы, обеспечив
ее достаточным количеством волжской воды.
Было построено много промышленных комбинатов, новых го-
родов и рабочих поселков, обеспечено промышленное и питье-
вое водоснабжение их.
Все это дало мощный толчок к развитию эксперименталь-
ной и теоретической гидравлики, гидравлики трубопроводов и
сооружений как научной базы для правильного и наиболее удач-
ного решения задач водоснабжения, канализации и инженерной
гидравлики при проектировании и строительстве водозаборов и
различных гидросооружений.
Развернулась и выросла обширная сеть научно-исследова-
тельских институтов с гидравлическими и гидротехническими
лабораториями, успешно работающих над разрешением многих
задач гидравлики и гидротехники.
Решения XIX съезда КПСС, а также пленумов ЦК КПСС о
развитии сельского хозяйства и освоении целинных и залежных
земель ставят перед инженерами-водоснабженцами большие за-
дачи по строительству на реках крупных водозаборов для про-
мышленного водоснабжения новых предприятий и заводов, оро-
шения новых освоенных земель и питьевому водоснабжению но-
вых колхозов, совхозов и поселков, быстро растущих на целин-
ных землях в степных районах Сибири, Казахстана и других
районах Союза.
Осуществление поставленных коммунистической партией
грандиозных планов построения коммунизма в нашей стране
ставит перед советскими учеными, инженерами и техниками ряд
новых задач, требует дальнейшего расширения и углубления
наших знаний по гидравлике, внимательного изучения передо-
вого зарубежного опыта, а также успешного обучения новых
молодых кадров советских инженеров.
14
Глава I. Введение
§ 1—2. ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ
Жидкие тела отличаются от твердых весьма малой силой
сцепления между отдельными частицами и их л е г к о п о д в й ж-
н остью, благодаря чему жидкость легко принимает форму
сосуда, в который она налита. Это свойство жидких тел назы-
вается текучестью. Жидкие тела бывают двух видов:
1) капельные жидкости и 2) газообразные жидкости (пары
и газы).
В капельных жидкостях при атмосферном давлении моле-
кулы расположены друг от друга на некоторых расстояниях,
зависящих от температуры. Молекулы то притягиваются друг
к другу, то, слишком сблизившись, отталкиваются друг от
Друга.
Всякий газ можно рассматривать как пары жидкости того
же названия, перешедшей при нагревании в газообразное со-
стояние и называемой иногда газообразной жидкостью, легко
сжимающейся и расширяющейся при изменении давления. В
газообразных телах молекулы находятся друг от друга на боль-
ших расстояниях, не связаны между собой и стремятся при теп-
ловом движении разлететься. Газообразные жидкости имеют
вследствие этого значительно меньшую плотность, зависящую
от температуры и давления. В противоположность газам ка-
пельные жидкости почти не изменяют своего объема при изме-
нении давления и в преобладающем большинстве случаев прини-
маются практически несжимаемыми. Переход капельных жидко-
стей в газообразные определяется абсолютным давлением паров
жидкости, насыщающих пространство при данной температуре:
при понижении давления происходит вскипание жидкости и пере-
ход ее в газ.
Так, например, для воды при различной температуре насы-
щающие пространство пары имеют следующее давление:
Температура в градусах Цельсия 0 10 20 40 80 100
Абсолютное давление пара в м вод. ст. 0,06 0,12 0,24 0,75 2,03 10,33
В гидравлике рассматриваются главным образом капель-
ные жидкости; изучением газообразных жидкостей или просто
газов занимается аэродинамика. Однако многие свойства и ме-
ханические законы одинаковы для капельных и газообразных
жидкостей.
Наиболее часто применяемой в гидравлике характеристикой
жидких тел является объемный вес жидкости, или вес еди-
ницы объема, который принято обозначать буквой у (гамма).
§ 1—2. Основные физические свойства жидкости
15
Объемный вес 7 есть величина именованная; его размер-
ность — сила, деленная на объем. Объемный вес выражают в
г/см3, кг/см\ кг/м3 или т/м9, В зависимости от принятых единиц
получается различное числовое значение у.
От объемного веса у следует отличать удельный вес жидко-
сти 8, показывающий отношение веса единицы объема данной
жидкости к весу такого же объема дистиллированной воды при
температуре 4°; удельный вес — величина отвлеченная и может
иметь числовые значения, отличные от 7 (в зависимости от того,
в каких единицах выражено 7).
Так, например, для дистиллированной воды при 4° о = 1, а
у=1 ООО кг/м3, или 0,001 кг/см3,
В мутных речных потоках объемный вес воды может до-
стигнуть т == 1 200 кг/м3. Для морской воды 7 = 1 020-:
н- 1 030 кг/м3. Масса 1 см3 воды при температуре t — 4°, как из-
вестно, в физической системе мер принята за единицу массы и
называется г р а м м-м а с с а.
Масса единицы объема жидкости называется плотностью
жидкости и обозначается буквой р. Размерность плотности -
масса, деленная на объем. Из физики известно, что между ве-
сом тела G, его массой m и ускорением силы тяжести g сущест-
вует зависимость G = mg; соответственно связь между объем-
ным весом 7 и плотностью р можно выразить так:
7 — Pg или р = — .
g
Отсюда получаем размерность плотности жидкости в тех-
нической системе:
кг м ______ кг сек2
м? сек2 м*
для воды
р = JL =. -1222. __ Ю1,9 кг сек?/м*.
g 9,81 ’ 1
Сжимаемость. Капельные жидкости оказывают весьма
сильное сопротивление сжимающим усилиям и допускают очень,
большое давление (до 3 000 атм и более). Если на некоторый
объем жидкости налитой в сосуд, произвести с помощью
Р
поршня давление — =р кг/см2 (фиг. 1—1), то под влиянием этого
давления объем жидкости уменьшится и станет равным W2; от-
о W. - 1Г2 к
ношение = —---------- характеризует уменьшение объема жид-
кости под влиянием давления р = 1 кг/см2 и называется коэф-
фициентом объемного сжатия. При изменении давления в пре-
Глава 1. Введение
делах от 1 до 500 кг!см2 коэффициент объемного сжа-
тия воды практически постоянен и может быть принят
р = 0,000048 ~ —-— см21кг.
20 ООО '
При дальнейшем увеличении давления коэффициент объем-
ного сжатия уменьшается; так, при р = 1 000 -М 500 кг!см1
- 0,000036 и при р = 2 500 -4- 3 000 кг!см2 = 0,000026.
Фиг. 1—1 Фиг. 1—2
При решении большинства гидравлических задач, за исклю-
чением явления гидравлического удара (см. § 6—10), сжи-
маемостью жидкостей пренебрегают и считают жидкость практи-
чески несжимаемой. Величина, обратная коэффициенту объемно-
го сжатия -4- —£,называется модулемобъемной у п р у -
Pw
гости.
При практических расчетах модуль упругости воды прини-
мают равным в среднем Е = 20 000 кг! см2.
Сопротивление растягивающим силам. Сопротивление рас-
тягивающим силам в жидкости проявляется в виде сил сцепле-
ния между частицами, возникающих вследствие молекулярного
притяжения между ними. Внутри жидкости силы сцепления дей-
ствуют на каждую молекулу во всех направлениях, равны по
величине и поэтому действие их взаимно уничтожается.
На поверхности, жидкости действие. этих сил проявляется
виде поверхностного натяжения и при сцеплеш
жидкости с твердым телом (смачивание).
Сила поверхностного натяжения о, отнесенная к единице
длины, образующей линию свободной поверхности, зависит от
рода жидкости и температуры.
Для воды при 20° о^0,0074 кг/м\ с увеличением темпера-
туры с уменьшается; для ртути а = 0,0055 кг/м.
В большинстве случаев силами поверхностного натяжения
при решении практических задач в гидравлике пренебрегают.
Необходимость их учета возникает лишь в трубках очень мало-
го диаметра, внутри которых вследствие сил поверхностного на-
$ J—2. Основные физические свойства жидкости
17
тяжения жидкость или поднимается (фиг. 1—2), если она сма-
чивает стенки трубки, или опускается, если стенки трубки не
смачиваются жидкостью. Это явление называется капилляр-
ностью.
Высота поднятия воды в стеклянной трубке диаметром (1мм
29 8
составляет при 20° h = —мм.
Для ртути, не смачивающей стекло, высота опускания в
стеклянной трубке составляет h = ~~ мм.
Сопротивление сдвигающим силам. При движении жидко-
сти между ее частицами, а также между частицами жидкости и
внешними поверхностями (дно и стенки русла) возникают силы
трения, зависящие от сопротивления жидкости сдвигу частиц и
шероховатости внешних поверхностей. Свойство реальных жид-
костей сопротивляться сдвигающим силам называется вязко-
стью.
Температурное расширение. Жидкие тела, как и все про-
чие, при изменении температуры изменяют свой объем и плот-
ность.
Вода наибольшей плотностью обладает при температуре 4°,
при которой, как известно, ее объемный вес т = 1 г/см3, или
1 000 кг/м3.
Коэффициент температурного расширения воды ₽, зависит
от температуры и давления. При давлении р == 1 кг/см2 и изме-
нении температуры от 0 до 10° = 0,000014, при (3,= 10-н20°
= 0,00015. Это — очень малая величина, и поэтому при ре-
шении практических задач в области водоснабжения, канали-
зации и гидротехнических сооружений изменением объема жид-
кости с изменением температуры пренебрегают.
С изменением температуры изменяется также объемный вес
жидкости (табл. 1—1). ~ ,
Объемные веса воды у кг/л8 при разной температуре
а п г 7 в кг/м* Y в кг1мя t° 7 в кг!,м*
0 999,87 14 999,30 40 992,35
4 1000,00 16 999,00 50 988,20
6 999,97 18 998,65 60 983,38
8 999 89 20 998,26 70 977,94
10 999,75 25 297,12 80 971,94
12 999,55 30 995,76 100 958,65
Из таблицы видно, что объемный вес воды при изменении
температуры от 0 до 30° меняется меньше, чем на 0,5%, поэто-
Т Зак. 1593
18
Глава 1. Введение
му для указанных температур при решении практических задач
изменение величины у не учитывается.
Для температур от 30 до 100° величина 7 изменяется от 0,5
до 4%, и изменение объемного веса учитывается только при ре-
шении задач на движение горячих жидкостей в теплотехнике
(расчет отопительных систем).
Следует отметить, что образующийся из воды при темпе-
ратуре ниже 0° лед обладает объемным весом 7= 918 кг!м* и
плавает в воде.
Понятие об идеальной жидкости. В гидравлике применяется
иногда понятие идеальной жидкости, фактически не су-
ществующей в природе, характерной полным отсутствием со-
противления растягивающим и сдвигающим силам и не изменяю-
щей своего объема при изменении давления и температуры.
Понятие идеальной жидкости введено в гидравлику для об-
легчения вывода некоторых теоретических положений, которые
помогают уяснить законы движения реальной жидкости.
§ 1—3. ВЯЗКОСТЬ ЖИДКОСТИ И ЕЕ ИЗМЕРЕНИЕ
При движении реальной жидкости по трубам и в открытых
руслах в жидкости между ее отдельными слоями возникают
внутренние силы трения, или силы вязкости, величина которых
зависит от рода жидкости и распределения скоростей между ее
отдельными слоями.
Свойство жидкости оказывать сопротивление перемещению
ее частиц и развивать при движении внутренние касательные
напряжения называется вязкостью жидкости.
Гипотеза Ньютона, созданная в 1723 г., о существовании
внутреннего трения в жидкости была дана им в общей форме:
«Сопротивление, которое возникает вследствие недостаточной
скользкости частиц должно быть пропорционально скорости, с
которой частицы жидкости разделяются друг от друга»1.
В последующем эта гипотеза была доказана и подтвержде-
на опытами русского физика проф. Н. П. Петрова (1836—1920).
положившего начало гидродинамической теории смазки подшип-
ников и давшего формулу для выражения силы внутреннего тре-
ния в жидкости. Петров установил, что сила внутреннего тре-
ния Т не зависит от давления в жидкости, пропорциональна по-
верхности соприкосновения трущихся слоев S, пропорциональна
« du
относительной скорости трущихся слоев и зависит от рода
жидкости, характеризуемого динамическим коэффициентом вяз-
кости жидкости р .
1 Русский перевод «Математических начал натуральной философии
Ньютона» сделан в 1915 г. акад. А. Н. Крыловым.
$ 1—3. Вязкость жидкости и ее измерение
19
Установленный Петровым закон внутреннего трения выра-
жается равенством
du
dy
где Т — сила внутреннего трения;
S — площадь трущихся слоев;
р — динамический коэффициент вязкости жидкости;
du
----градиент скорости, характеризующий относительное
изменение скорости между отдельными слоями по-
тока.
Фиг. 1—3
Если представить себе поток жидкости состоящим из от-
дельных бесконечно тонких слоев толщиной^ каждый (фиг. 1 —
3,а) и допустить, что скорость частиц жидкости изменяется
от слоя к слою согласно эпюре скоростей, изображенной на
фиг. 1—3,6, то величина градиента скорости-^- измеряется тан-
генсом угла наклона касательной к эпюре скоростей в данной
точке tg^H характеризует интенсивность изменения скорости в
нормальном к ней направлении.
Отнесенная к единице площади сила трения (т. е. касатель-
т
ное напряжение) т= —, согласно формуле (1—1), будет
(1-2)
Из последнего выражения нетрудно видеть, что динамиче-
ский коэффициент вязкости у- численно равен единичной силе
du 1
трения т при градиенте скорости
Найдем размерность динамического коэффициента вязкости.
Так как размерность касательного напряжения т есть отношение
Г du 1 1
силы к площади, а размерность градиента скорости I— ==”
2*
20
Глава Г Введение
(отвлеченные единицы в секунду), то размерность динамическо-
го коэффициента вязкости получается
dy
или, если заменить силу F через произведение массы на ускоре-
ние
Соответственно в системе CGS динамический коэффициент
вязкости выражается в единицах
ди на • сек.
смй
или, что то же, в
-------. Эта единица называется пуаз.
см» сек J
Для характеристики вязкости применяют также так назы-
ваемый кинематический коэффициент вязкости
Кинематический коэффициент вязкости имеет размерность
МТ?
L Р J
LTM
Обычно v выражают в см2[сек или м2[сек.
Величины кинематического коэффициента вязкости для раз-
личных жидкостей приведены в табл. 1—2. Единица измерения
кинематического коэффициента вязкости v = 1 см2[сек назы-
вается стокс.
Таблица 1—2
Объемный вес и кинематический коэффициент
вязкости жидкостей (при /=18°)
Название жидкости
Объемный вес
7 в кг!м*
Кинематический коэф-
фициент вязкости
v в см'Чсек.
Вода пресная
Бензин . . .
Спирт винный
Керосин . .
Нефть
Глицерин
998,65
680-720
790
790—820
760—900
1,260
0,0106
0,0065
0,0133
0,0250
0,25—1,40
8,70
§ 1—3. Вязкость жидкости и ее измерение
21
Вязкость жидкостей уменьшается с повышением темпера-
туры. Для воды зависимость кинематического коэффициента
вязкости от температуры выражается формулой
_______0ДЛ78________
1+0,0337/4-0,000221
см^сек
(1-3)
где t — температура в градусах Цельсия.
Значения v при разных температурах для воды даны в
табл. 1—3.
Т а б л и ц а 1—3
Кинематический коэффициент вязкости воды
Г v в см-’сек v в см?[сек
0 0,0178 18 0,0106
5 0,0152 20 0,0101
10 0,0131 30 0,0080
12 0,0124 40 0,0066
14 0,0117 70 0,0041
16 0»0111 « 100 0,0028
Для опытного определения вязкости жидкостей существуют
приборы, называемые вискозиметрами. Одна из применяе-
мых конструкций такого прибора (вискозиметр Энглера) пред-
ставляет собой металлический цилиндрический сосуд объемом
200 сл/3, наполняемый сначала дистиллированной водой при
температуре 20°, а затем испытуемой жидкостью.
Жидкость вытекает из сосуда через круглое отверстие диа-
метром около 3 мм.
Отношение времени истечения 200 см? испытуемой жидко-
сти ко времени истечения 200 см3 дистиллированной воды при
температуре 20° называется вязкостью в градусах Энглера и
обозначается °Е.
Для перевода вязкости в градусах Энглера к кинематиче-
скому коэффициенту вязкости существует формула
V = /о,О731°Е — ^4?) смй!сек. (1-4)
ГЛАВА II
ГИДРОСТАТИКА
Гидростатикой называется часть гидравлики, в ко-
торой приведены законы давления жидкостей на плоские и кри-
волинейные фигуры, а также законы равновесия плавающих в
жидкости тел.
§ 2—1. ГИДРОСТАТИЧЕСКОЕ ДАВЛЕНИЕ И ЕГО СВОЙСТВА
Выделим в находящейся в равновесии жидкости некоторый
объем и произвольной плоскостью АВ рассечем его на две части
I и II (фиг. 2—1). Воздействие части I жидкости на часть II
будет передаваться по плоскости раздела АВ. Выделим на плос-
кости раздела замкнутый контур площадью
Сила взаимодействия Р, приходящаяся на эту площадь, на-
зывается суммарным гидростатическим давлен и-
е м или просто силой давления на площадью ; от-
Р
ношение — дает нам среднее гидростатическое давление на
данной площади это среднее давление может быть названо
напряжением гидростатического давления.
_ р
Если уменьшить площадь со до точки, то отношение — дает
нам величину гидростатического давления или гидростатиче-
ского напряжения в данной точке С, которое мы будем обозна-
чать через р. Математически это можно выразить следующим
равенством:
р —Ит(—) (2—1)
\ <»> о)->-0
Гидростатическое давление имеет размерность напряжения,
т. е. площадь" ‘ Обычно гидростатическое давление измеряют в
кг)см? или в 1 кг!см2 называется технической атмосферой
и обозначается ат.
Гидростатическое давление обладает следующими двумя
свойствами.
§ 2—1. Гидростатическое давление и его свойства
23
L Гидростатическое давление всегда нормально к площад-
ке, воспринимающей его.
Это свойство легко доказывается от противного. Проведем
в каком-либо жидком теле 'поверхность S, выделяющую в нем
некоторый объем, заштрихованный на фиг. 2—2. Предположим,
что в точке А гидростатическое давление р направлено не по
Фиг. 2—2
нормали; тогда мы его можем разложить на нормальное и ка-
сательное к поверхности S в точке А. Касательные напряжения,
как было указано в § 1—3, могут проявляться только при дви-
жении реальной жидкости, а не при ее равновесии, и поэтому,
сделанное нами выше предположение о направлении гидроста-
тического давления в точке А является неправильным. Так как
в жидкости не может быть растягивающих усилий, то и направ-
ление гидростатического давления по внешней нормали (напри-
мер, в точке В) также невозможно. Отсюда видно, что гидро-
статическое давление р может быть направлено только по в н у-
т р е н н е й нормали (т. е. является сжимающим), что и
требовалось доказать.
2. Гидростатическое давление в данной точке во всех на-
правлениях одинаково.
Возьмем внутри находящейся в покое жидкости точку А
(фиг. 2—3) и выделим около нее трехгранную призму бесконеч-
но малых размеров dx, dy и dz (фиг. 2—3,6). На грани призмы,
выделенной около точки А, действуют нормально к ним (соглас-
но первому свойству) силы гидростатического давления Р х, Р2,
Рп, а также объемные силы, имеющие проекции ускорений на
оси координат X, Y и Z. Такими силами являются сила тяжести,
центробежные силы и т. п.
Согласно законам механики, если система находится в рав-
новесии, то сумма проекций всех действующих на нее сил, на
ось х и ось г должна быть равна нулю.
24
Глава II. Гидростатика
Напишем для выделенной нами элементарной призмы эти
условия равновесия. Спроектировав все действующие на приз-
му силы на ось х, получим
рх dy dz — рп cos adn dy 4—^—dxdydzpX.
2
Фиг» 2—3
Заменив dncosa через dz и сократив уравнение на dzdy,
получим
Рх— Рп + —рЛХ=0.
л
Спроектировав все действующие на призму силы на верти-
кальную ось г> получим
р2 dx dy — рп sin a dn dy-- р dx dy dz Z=0.
Заменив dn sina через dx и сократив уравнение на dxdy,
получим
рг—рп-----t-pdzZ = O.
то пос-
Так как dx и dz — бесконечно малые величины,
1 1
ледние члены —pdxX и —pdzZ по сравнению с
2 2
первыми
двумя будут бесконечно малыми величинами, пренебрегая кото-
рыми, получим
Рх—Рп = 0 или рх=рп И рг—рп = О или Рг =Рп-
Силы гидростатического давления, действующие на тре-
угольные основания призмы, параллельны оси у и в уравнения
равновесия не войдут.
Таким образом, давление на все грани выделенной нами
около точки А бесконечно малой призмы одинаково по вели-
чине; переходя к пределу уменьшения размеров граней призмы,
получим внутри жидкости точку, в которой
Рх^Рг^Рп*
§ 2—2, Основные дифференциальные уравнения равновесия жидкого тела 25
Так как угол а может быть произвольным, то очевидно, что
гидростатическое давление не зависит от угла наклона площад-
ки и в данной точке во всех направлениях одинаково, что и
требовалось доказать.
§ 2—2. ОСНОВНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
РАВНОВЕСИЯ ЖИДКОГО ТЕЛА (УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА)
Чтобы вывести зависимость между величиной гидростати-
ческого давления р в точке А жидкости и ее координатами
х, у и 2, выделим внутри
покоящейся жидкости око-
ло точки А бесконечно ма-
лый объем жидкости в
форме параллелепипеда с
ребрами dx, dy, dz (фиг.
2—4) и рассмотрим его
равновесие под влиянием
всех действующих на него
сил. Пусть в точке Д, нахо-
дящейся в центре паралле-
лепипеда, гидростатическое
давление будет р. На грани
abed и a'b'c'd' площадью
dydz действует гидростати-
ческое давление, которое
можно считать соответст-
1 др
венно равным ,р-------Y ‘ д
Фиг. 2—4
dx и р + — • — dx. полагая, что
г 2 дх ’
интенсивность давления на грани отличается от интенсивности
1 j
давления в центре параллелепипеда А на±^ -
На грани bdb'd' и аса'с', имеющие площадь dxdz, дейст-
вует давление р------- • ~~ dy и р + dy и на грани
aba'b' и cdc'd' давление р dz и р+ dz.
Кроме сил гидростатического давления, на выделенный на-
ми объем abcda'b'c'd', равный dx dy dz, действуют внешние объ-
емные силы. Если обозначим проекции ускорения объемной си-
лы на оси координат через X, Y и Z, то проекции объемных сил
на оси координат получим как произведения массы параллеле-
пипеда на соответствующие проекции ускорения объемной силы
pdxdydzX, pdxdy dz У и pdxdy dz Z.
"26
Г лава 11. Г идростатика
Применяя к выделенному нами объему условия равнове-
сия и спроектировав все действующие на него силы на ось .г,
мы можем написать
1р---V • Т" dy dz — fp + — • d*\dy dz -f-
\ 2 dx / \ 2 ox J
4- p dx dy dz X = 0.
После приведения имеем
—у- dxdydz + pdxdydz X =0
или
— pX=0.
dx
Аналогичные уравнения получаются также для проекций
на оси Y и Z. В результате получаем систему трех дифферен-
циальных уравнений:
— РХ=0; — РУ=0; pZ = O.
дх ду дг
Эти уравнения могут быть переписаны еще в такой форме:
х----L.^P =0; У — др =0; Z — — -=0. (2—-21.
Р дх р ду р dz
Эти уравнения впервые были выведены в 1755 г. членом
Петербургской Академии наук Леонардом Эйлером и носят на-
звание дифференциальных уравнений равновесия жидкого тела
Они выражают в дифференциальной форме закон распределе-
ния гидростатического давления.
§ 2—3. ПОВЕРХНОСТИ РАВНОГО ДАВЛЕНИЯ.
ФОРМЫ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ жидкости
Поверхность в жидкости с одинаковым давлением во всех
ее точках называется поверхностью равного давле-
ния.
Поверхность, отделяющая жидкое тело от газовой среды,
называется свободной поверхностью жидкости. Во
всех точках свободной поверхности давление также одинаково: в
открытых сосудах это давление равно атмосферному давлению.
Таким образом, свободная поверхность является также по-
зерхностью равного давления.
Взяв дифференциальные уравнения равновесия жидкого
гела (2—2), умножив каждое из них соответственно на dx, dy й
dz и сложив их между собой, получим следующее уравнение:
dx + dy + -Р- dz = р(Х dx + У dy + Zdz).
§ 2—3. Поверхности равного давления. Формы свободной поверхности 27
Левая часть полученного уравнения представляет собой
полный дифференциал функции р = }(х, у, z)t т. е. dp, следо-
вательно:
dp = р (X dx + Y dy +Zdz). (2—3)
Для поверхности равного давления р = const» a dp = 0, и,
следовательно, так как р ¥= 0, то для нее
(2—4)
X dx + Y dy + Z dz ~ 0 .
Полученное уравнение (2—4) представляет собой диффе-
ренциальное уравнение поверхности равного давления в жидко-
сти и устанавливает также связь между координатами свобод-
ной поверхности и действующими на жидкость внешними объ-
емными силами, которые характеризуются ускорениями X, Y и Z.
Исследуем формы поверхности равного давления и свобод-
ной поверхности жидкости при наиболее часто встречающихся
комбинациях сил.
Случай 1. Жидкость находится под действием только силы
тяжести (фиг. 2—5).
В данном случае проекции ускорения объемных сил во всех
точках жидкости одинаковы и равны
X —О, У =0 и Z== — g.
Дифференциальное уравнение поверхности равного давле
ния будет иметь вид
— gdz = 0
или после интегрирования
г = const.
Это есть уравнение горизонтальной плоскости, форму которой
имеют все поверхности равного давления в жидкости в данном
28
Глава IL Гидростатика
случае. Свободная поверхность также в этом случае будет го-
ризонтальная плоскость.
Случай 2. Жидкость находится в сосуде, который прямо-
линейно, равномерно-ускоренно движется по горизонтальной
плоскости с ускорением а (фиг. 2—6).
Фиг. 2—7
В этом случае жидкость находится
под действием силы тяжести и инер-
ционной силы, характеризуемой уско-
рением а и направленной противопо-
ложно движению. При этом X = — а,
У •— 0 и Z *— 1,1 g.
Дифференциальное уравнение по-
верхности равного давления и свобод-
ной поверхности будет иметь вид
— a dx — gdz = О
или
ах + gz = const.
Это есть уравнение наклонной пло-
скости, угол наклона которой к гори-
зонту р характеризуется отношением
а
8
Случай 3. Жидкость находится в сосуде, который равно-
мерно вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угло-
вой скоростью w (фиг. 2—7).
В этом случае на частицы жидкости действуют центробеж-
ные силы, характеризуемые ускорениями X = <о 2х и У = <»2у
а также сила тяжести, ускорение которой Z = — g.
Дифференциальное уравнение поверхности равного давле-
ния в этом случае имеет вид
<о2хdx + «о2у dy — gdz = 0,
что после интегрирования дает
О)2х2 . (1)2у2 ,
--------£---0Z ~ const
2*2 в
ИЛИ
<О2Г2
2
— gz—const.
Это есть уравнение пароболоида вращения, который в се-
чении вертикальными плоскостями дает параболы, а в горизон-
тальной плоскости — круги.
§ 2—4. Основное уравнение гидростатики
29
Распределение давления внутри жидкости в этом случае мы
можем получить из уравнения (2—3)
dp == р (о>2 х dx + «о2 у dy — g dz).
Откуда после интегрирования получим
р = v (*2 + у2)—psz + с
При х — у = z = 0 имеем
р = Ро, т. е. С = р0; заменяя pg через х , получаем
Р=Ро + + — V- (2—5)
Из (2—5) можно получить уравнение поверхностей равно-
го давления. Положим, мы ищем такую поверхность, во всех
точках которой давление р = рг, подставляя р — р{ в (2—5),
находим
Yz ~Ь v—rt=p1— р„.
Таким образом, поверхности равного давления представ-
ляют собой параболоиды вращения.
§ 2—4. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ГИДРОСТАТИКИ
Выше, в § 2—3, мы получили уравнение (2—3):
dp = р (X dx + Y dy + Z dz).
Так как левая часть этого уравнения есть полный диффе-
ренциал функции р = f (х, yf z), то для удовлетворения равен-
ства требуется, чтобы и правая часть была полным дифферен-
циалом. Так как для капельной жидкости р — const, то на-
званное условие будет выполнено, если множитель в круглых
скобках правой части уравнения будет также полным диффе-
ренциалом некоторой функции П=/ (х, у, z), частные произ-
водные которой по х, у и z соответственно равны X, Y и Z, т. е.
= X; - = У и — = Z. (2—6)
дх ду dz
Такая функция П называется силовой функцией или функ-
цией потенциала сил, а силы, удовлетворяющие последнему
условию (2—6), называются силами, имеющими потенциал.
Физический смысл уравнения (2—6) заключается в том,
что капельная жидкость может находиться в равновесии лишь
под действием таких объемных сил, которые имеют силовую
функцию.
Глава 11. Гидростатика
Рассмотрим наиболее частый случай, когда покоящаяся
жидкость заключена в сосуде и находится под воздействием
только силы тяжести (фиг. 2—5).
Проекции ускорений объемных сил на оси координат будут
соответственно равны: X = О, У = 0 и Z — —g. На основании
уравнения (2—3) можем написать
dp == — р gciz .
Так как pg = 7, то последнее уравнение можно записать
в виде
dz 4- — = 0 .
7
Интегрируя его, получим
z = й = const.
7
Здесь через Hs обозначена произвольная постоянная ин-
тегрирования, которая называется гидростатическим
напором. Физический смысл ее будет показан ниже. Послед-
нее уравнение показывает, что гидростатический напор во всех
точках данного объема покоящейся жидкости одинаков. Следо-
вательно, если взять в жидкости две точки А и В, лежащие со-
ответственно на высоте z ли 7 в, то можно записать для них
где рА и рв—гидростатическое давление в этих точках.
Отсюда
Ра Рв 1 ( zв 2л)> &
I. е. давление в точке А покоящейся жидкости больше, чем дав-
ление в другой, вышележащей точке В на величину произведе-
ния объемного веса жидкости на разность высот этих точек.
В частности, давление в точке, погруженной под поверхно-
стью на глубину /г, будет
Р =Pa + lh.
(2—8)
Последнее равенство называют основным уравнением гид-
ростатики. В этом уравнении ро есть давление на свободной по-
верхности жидкости; в открытых сосудах оно обычно равно ат-
мосферному давлению ратм. В открытых сосудах 7ft носит на-
звание избыточного или манометрического гидростатического
давления (над атмосферным давлением на свободной поверхно-
сти). Нетрудно видеть, что .ро и 7h имеют размерность:
единица силы тт , 9 , 9
----------Чаще всего они измеряются в кг см* или тЛи1.
единица длины2 г
$ 2—4. Основное уравнение гидростатики 31
Давление в газовой среде или в жидкости может быть
равно атмосферному или отличаться от него. Если абсолютное
давление рабс больше атмосферного ратм» то разность между
абсолютным и атмосферным давлением называется избыточным
давлением р, т. е.
Ризб ~ Рабе Ратм •
Давление атмосферы на высоте 200 м над уровнем моря в
среднем равно 1 кг/см2 = 1 ат.
В открытых сосудах (с атмосферным давлением на поверх-
ности) обычно учитывают только избыточное (манометрическое)
гидростатическое давление, так как атмосферное давление дей-
ствует и снаружи, и внутри, и стенки сосуда работают под дей-
ствием только избыточного гидростатического давления. Избы
точное давление измеряется манометром.
В манометрах нуль шкалы соответствует нормальному ат-
мосферному давлению 1 ат, и поэтому стрелка показывает
только избыточное давление, почему оно и называется м а н о-
метрическим давлением и измеряется в кг[см2 или
технических атмосферах.
Если же абсолютно^ давление меньше атмосферного, то
недостаток давления до атмосферного называется вакууммет-
рическим давлением или вакуумом рвак :
Рвак Ратм Рабе •
Вакуум можно понимать и как отрицательное избыточное дав-
ление.
В зависимости от того, каково давление на поверхности
жидкости, давление внутри нее может в свою очередь быть
больше или меньше атмосферного, т. е. в пространстве, занятом
жидкостью, может быть как избыточное давление, так и вакуум.
В частности, когда давление на свободной поверхности р равно
нормальному атмосферному давлению р = 1 кг! см2 (как, напри-
мер, для открытых сосудов), то произведение в формуле
(2—8) дает избыточное давление на глубине h. Высота столба
жидкости Л = равная глубине погружения данной точки под
свободной поверхностью, может также служить характеристи-
кой интенсивности избыточного гидростатического давления.
Полезно запомнить: что для воды т =0,001 кг/см?, или
1 = 1 т/л£3; на глубине h = 1 м гидростатическое давление р
будет равно р =7 h =^0,001 -100 = 0,1 кг!см2 (или 1 т/;и2), а на
глубине h = 10 м р = 0,001 -1 000 = 1,0 кг/см2 (или 10 т/л<2), т. е.
каждые 10 м водяного столба создают давление, равное 1 техни-
ческой атмосфере. . .
Атмосферное (барометрическое) давление на уровне моря
и среднем несколько больше технической атмосферы и равно
32
Глава II. Гидростатика
1,033 кг/см2, что соответствует 10,33 м вод. ст. или 760 мм рт. ст.
Пример 2—1. Определить манометрическое давление на дне резервуара
(фиг. 2—8) глубиной Л=6 м при наполнении его:
Фиг. 2—8
а) водой -jfi=0,001 кг/см*\
б) маслом 72=0,00082 кг/см3\
в) ртутью 7з=0,0136 кг/см3.
Решение. Избыточное гидростатиче-
ское давление определяется по формуле р=
=7 h. Так как 7 выражен в кг/см3, глубину
также переводим в сантиметры.
а) При наполнении резервуара водой
имеем
р = = 0,001 *600 = 0,6 кг/см*.
Манометр, прикрепленный к боковой стен-
ке резервуара, у дна покажет давление р=
=0.6 ат.
б) При наполнении резервуара маслом
имеем
Л=0,00082.600 = 0,492 кг/слт2=0,492 шп.
в) При наполнении резервуара ртутью
имеем
р — уз h = 0,0136-600 = 7,92 кг/см2 = 7,92 ат.
Пример 2—2. В сообщающиеся сосуды разных диаметров налиты две
разные несмешивающиеся жидкости с объемными весами 71 и 72 (фиг. 2—9).
Определить высоты hi и h2 свободных поверхностей этих жидкостей над
плоскостью раздела при равновесии.
Решение. Напишем равенство гидростатических давлений на плос-
кости раздела сверху и снизу:
71 Й! = 7а As ;
следовательно:
h\ _ 7г
71 ’
т. в. высоты разнородных жидкостей в сообщающихся сосудах при равновесии
обратно пропорциональны объемным весам жидкостей.
От диаметра сосудов, как видно из этого равенства, высоты уровней
жидкостей не зависят.
Пример 2—3. Сосуды А и В заполнены водой и соединены между собой
изогнутой стеклянной трубкой CD, заполненной водой, а в U-образном про-
межуточном колене — ртутью с разностью высот ртути слева и справа — h
(фиг. 2—10). Определить разность давлений в точках А и В сосудов, нахо-
дящихся в одной горизонтальной плоскости.
Такое устройство для измерения разности давлений называется диф-
ференциальным манометром.
Решение. Проведем сечения 1—1 и 2—2 в точках раздела воды и
ртути в изогнутой трубке. Давление в точке А
Рд = А + 7в^1>
где pi — давление в точке
Давление в точке В
I ; hi — высота сечения 1—1 над плоскостью Л В
Рв — “Ь
§ 2—5. Эпюра гидростатического давления
33
где р2 — давление в сечении 2—2\
h2 — высота сечения 2—2 над плоскостью АВ\
ув — объемный вес воды.
Ра ~Рв = Р1 — Рг — 7в (й2—М = Рх — Pi — 7в Л.
так как h2—h\—h. С другой стороны,
pi—Р2=7рй, отсюда искомая разность
давлений
Ра — Рв = 7р h. — 7в h = h (?р — 7В).
Фиг. 2—9
Фиг. 2—10. Дифференциальный манометр
§ 2- 5. ЭПЮРА ГИДРОСТАТИЧЕСКОГО ДАВЛЕНИЯ
Графическое изображение распределения гидростатическо-
го давления жидкости по какой-либо стенке или по длине ка-
кого-нибудь контура называется эпюрой гидростатиче-
ского давления.
При построении эпюры векторы давления в каждой точке
откладываются по направлению силы гидростатического давле-
ния, т. е. нормально к стенке, и по величине равными (в опре-
деленном масштабе) гидростатическому давлению в данной
точке.
Пусть имеется вертикальная стенка АВ в открытом сосуде,
наполненном водой до уровня h (фиг. 2—11,а); если обозна-
чить — координату поверхности, a z — координату любой
точки в жидкости, то уравнение гидростатического давления в
любой точке жидкости согласно (2—7) будет
. Р = РЛ + 7 (*о — г),
г. е. уравнение прямой линии.
Для точки А на свободной поверхности будем иметь
г = z0 и р Жра.
Для точки В у дна
z0 — z = ti +
Эпюра гидростатического давления на стенку АВ изобра-
зится трапецией, состоящей из прямоугольника аАВЬ, который
3 Зак. 1593
34
Глава IL Гидростатика
изображает собой атмосферное давление ра, и треугольника
abb', изображающего распределение избыточного давления
TfA. Линия ab пересечет прямую АВ на высоте, равной
h& = = 10,33 м.
7
Так как атмосферное давление передается и внутрь жидко-
сти и давит снаружи на стенки сосуда, то оно взаимно уравно-
Фиг. 2—11
вешено, и поэтому для расчетов в открытых сосудах имеет зна-
чение только избыточное давление выражаемое тре-
угольной эпюрой давления abb'.
Для вертикальной стенки угол Р наклона к вертикали
эпюры гидростатического давления характеризуется отношением
tgP = -Т- =г
Если при вычерчивании эпюры давление в 1 т/м2 изобра-
жать отрезком той же длины, что и 1 м высоты стенки, то, так как
для воды 7=1 т/ж3, получаем tg р численно равным единице
и соответственно р^= 45°.
В этом случае эпюра гидростатического давления воды на
вертикальную стенку изобразится равнобедренным прямоуголь-
ным треугольником.
Эпюра гидростатического давления на наклонную стенку
(фиг. 2—11,6) изображается также прямоугольным треуголь-
ником, однако с углом
Р =/= 45°, так как h' #= A, a h’ = ———
SIH а
Эпюра гидростатического давления на донный щиток высо-
той а (фиг. 2—И,в) изображается трапецией с ординатами
7(h—а) вверху и 7А внизу.
§ 2—6. Пьезометрическая высота. Вакуум и его измерение
35
Эпюра гидростатического давления на горизонтальное дно
сосуда изображается прямоугольником, так как при h = const
p=^h есть постоянная величина (фиг. 2—11,6).
Следует иметь в виду, что на чертеже угол наклона эпюры
зависит от выбора масштабов для давления и для длин. Эпюры
избыточного давления на плоские
стенки можно считать графиками
нагрузки этих стенок при статиче-
ских расчетах сооружений.
Эпюра гидростатического давле-
ния на криволинейную стенку мо-
жет быть построена по тому же
правилу, что и в случае плоской
стенки, и изображается криволиней-
ным треугольником (фиг. 2—11,е).
* Пример 2—4. Требуется построить
эпюру гидростатического давления на вер-
тикальную стенку, в которой налиты три
разнородные несмешивающиеся жидкости
слоями Ль Л2 и Лз (фиг. 2—12) с объем-
ными весами 71<72<7а (например, масло, вода и ртуть).
Решение. По высоте первого слоя эпюра будет иметь вид треуголь-
ника с ординатой в точке В pi= 71Л1 и tg а !— 71.
На участке ВС эпюра будет иметь ординаты в точке В pi= 7 hi ив точ-
ке С р2= 71Л1-1- 72^2-
Угол наклона эпюры к вертикали определяется величиной tg 72.
В точке D давление Рз=71 Ч- 72 Л2 + 73 Л3, a tg а8 = 73. Суммарная эпюра
представится ломаной линией с углами наклона < <*2 < а3.
§ 2—6. ПЬЕЗОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЫСОТА.
ВАКУУМ И ЕГО ИЗМЕРЕНИЕ
Рассмотрим закрытый сосуд с жидкостью, на поверхности
которой давление равно ро, и возьмем в нем точку А на глуби-
не h а (фиг. 2—13). К стенке присоединим две трубки: одну с
открытым концом, другую с запаянным концом. В открытой
трубке повёрхность жидкости будет находиться под влиянием
атмосферного давления ра. Такал трубка называется пьезо-
метрической трубкой или пьезометром.
В пьезометрической трубке жидкость поднимается на неко-
торую высоту которая называется приведенной высотой из-
быточного давления или пьезометрической высотой,
измеряющей величину избыточного давления.
В закрытой трубке, если из нее предварительно был полно-
стью удален воздух и давления над жидкостью нет, жидкость
поднимется на большую высоту /гпр, называемую приведен-
ной высотой абсолютного давления; она измеряет величину
абсолютного давления р ~ pG +^h.
а*
36
Глава II. Гидростатика
Выразим по основному уравнению гидростатики давление
в точке А через давление на поверхности в трубках. Для закоы-
Фиг. 2—13
откуда
той трубки запишем
абс = 0 + Т^пр»
откуда
г. __ Ра, абс
*410 - •
7
Аналогично для открытой трубки
Ра, абс ^атм
Ра, абс PaiM
7
Ра, изб
7
Нетрудно показать, что разность высот жидкости в закры-
той и пьезометрической трубках Лпр— hр равна -у-, т. е. при-
веденной высоте атмосферного давления.
Применяя основное уравнение гидростатики к поверхности
жидкости в открытом пьезометре и к поверхности в сосуде, мо-
жем записать
Ро,абс /^атм i 7 Hq »
откуда
/. _ Р&абс Ратм __Диизб
z4) — —
7 7
Из последнего равенства видно, что разность высот уровня
в пьезометрической трубке и в сосуде характеризует разность
между давлением на свободной поверхности жидкости в сосуде
и атмосферным давлением, иначе говоря, эта разность есть при-
веденная высота избыточного давления в газовом пространстве
сосуда.
Если в сосуде абсолютное давление над поверхностью жид-
кости будет равно атмосферному (т. е. избыточное давление бу-
дет равно нулю), то уровень в пьезометрической трубке устано-
вится на той же высоте, что и в сосуде, и пьезометрическая вы-
сота в точке А будет равна глубине погружения данной точ-
ки На.
Если же в сосуде давление меньше атмосферного, то гово-
рят, что в нем вакуум (от латинского слова vacuum — разре-
жение) .
§ 2—6. Пьезометрическая высота. Вакуум и его измерение
37
Вакуум есть разность между атмосферным давлением ра и
абсолютным давлением р и обозначается через pvac
Pvac Р& Р •
(2-9)
Величина вакуума может изменяться в пределах от 0 до ра.
Если из сосуда с вакуумом отвести трубку
суд с жидкостью (фиг. 2—14), то жид-
кость в трубке поднимется на некоторую
высоту h v, называемую вакуум мет-
рической высотой.
Высоту hv можно определить, при-
равняв давление, создаваемое столбом
жидкости в трубке, внешнему давлению:
Р +- 7 К = Р» •
откуда
ра Р
1
Pvac
7
(2—10)
и опустить ее в со-
При вакууме в 0,1 ат вода в пьезометрической трубке под-
нимается на Ю0 ем> или на 1 м> т. е- каждая десятая
часть атмосферы и здесь соответствует высоте 1 м вод. ст.
Для измерения вакуума применяют специальные приборы,
называемые вакуумметрами; они обычно измеряют ва-
куум в долях технической атмосферы. Вакуумметры ставят на
всасывающих трубах насосов, конденсаторах и других элемен-
тах машин, приборов и аппаратов с вакуумом.
Теоретически предельная величина вакуума не превышает
10,33 м вод. ст.; практически в насосах при перекачке воды не
удается достигнуть вакуума больше 6—7 м вод. ст.
Следует заметить, что вакуум вовсе не есть пустота. Ва-
куум есть лишь недостаток абсолютного давления до атмосфер-
ного. Вакуум может быть как в газовом пространстве, так и
внутри жидкости. Например, на фиг. 2—13 в запаянной трубке
в точках, лежащих выше уровня открытого пьезометра, давле-
ние меньше атмосферного, т. е. имеет место вакуум.
Пример 2—5. Запаянная с одного конца трубка заполнена ртутью
(фиг. 2—15) (—0,0136 кг/см3) и свободным концом опущена в открытый
сосуд, наполненный ртутью, над ртутью в трубке пустота. Определить высоту
Л, на которой установится ртуть в трубке, если на поверхности ртути в со-
суде нормальное атмосферное давление ра — 1,033 кг!см2.
Решение. Проведем в трубке сечение АВ на уровне свободной по-
верхности жидкости в сосуде и рассмотрим условие равновесия жидкости в
трубке. Со стороны трубки, согласно основному уравнению гидростатики, в
сечении АВ абсолютное давление будет
Pi = Ро»абс + 7р h,
38
Глава 11. Гидростатика
где ро — давление на свободной поверхности жидкости в трубке.
Так как над жидкостью в трубке ничего нет, то там не будет никакого ’
давления, т. е. р0, абс=0, и, следовательно, Pi=Tp h. Но это давление равно
атмосферному, так как сечение АВ лежит на свободной поверхности ртути
в сосуде.
Таким образом:
7рЛ = Ра,
Фиг. 2-15
откуда искомая высота столба ртути в трубке
, Ра 1,033
h = — — --------= 76 0 см = 760 мм
ТР 0,0136
— хорошо известная нам цифра, выражающая нормальное
атмосферное давление на уровне моря высотой ртутного
столба. Если ртуть заменить водой, то высота столба воды
в такой трубке
Ра 1,033
h = — = —---------= 10,33 м.
Тв 0,001
Пример 2—6. Определить величину вакуума в сосуде,
если в пьезометрической трубке, опущенной в сосуд со
ртутью, последняя поднялась на высоту hv~0,25 м.
Решение. Согласно уравнению (2—10).
_Ра—Р_Р^
Тр 7р ’
Подставляя /г^=25 см и 7Р=0,0136 кг!см\ получим
25 =
0,0136
откуда
pvac = 0,0136-25 = 0,34 кг/см2 = 0,34 ат.
Пример 2—7. В цилиндрический сосуд высотой И (фиг. 2—16) при ат-
мосферном давлении через открытый кран А наливается вода до высоты h\
кран В при этом закрыт. Затем кран А за-
крывается, а кран В открывается. Определить
высоту h\ положения нового уровня воды в
сосуде после того, как часть воды вытечет
и установится равновесие.
Решение. После открытия крана В
вследствие избытка давления в сосуде вода
начнет выливаться. Это будет продолжаться до
тех пор, пока давление столба воды hi и но-
вое давление pi разреженного воздуха в сосу-
де не уравновесится наружным атмосферным
давлением р , т. е.
Ра=Р +1А-
Фиг. 2—16
Давление воздуха pi в сосуде после опу*
§ 2—1. Гидростатический напор и удельная потенциальная энергия 39
скания горизонта воды до уровня h\ можно получить из уравнения Бойля-
Мариотта
Pi Н — h
Pa H—hx ’
Решая совместно эти два уравнения, получим
Н — h
подставляя р\ в первое уравнение, получим для h\ квадратное уравнение
— (Ра + уН) hr + Ра Л=0, .
решив которое, найдем h\.
§ 2—7. ГИДРОСТАТИЧЕСКИЙ НАПОР
И УДЕЛЬНАЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
Рассмотрим точку А в жидкости, налитой в закрытый сосуд,
на глубине Ад от поверхности и на высоте £д относительно про-
извольно выбранной горизон-
тальной плоскости сравнения
0—0 (фиг. 2—17).
Если через стенку сосуда
вывести пьезометрическую труб-
ку, то в ней жидкость установит-
ся на высоте hp^- Пьезометри-
ческая высота йр,д характеризует
избыточное гидростатическое
давление в точке А
Ра Ра
и связана с ним зависимо-
/ __ Ра
СТЬЮ Пр,А ~ •
Сумма двух отрезков — пье-
Ра
зометрической высоты и
Фиг. 2—17
высоты точки А над условной плоскостью сравнения za — назы-
вается пьезометрическим напором Нр в данной точ-
ке жидкости относительно плоскости отсчетов 0—0\
(2-11)
40
Глава II. Гидростатика
Если мы возьмем в жидкости другую точку В, находящую-
ся на высоте 2в над той же плоскостью сравнения, то для нее
пьезометрическая высота
Рв
1
Так как по доказанному в § 2—4 сумма z+y одинакова
для всех точек данного объема жидкости, то и для точки В бу-
дем иметь
। Рв _____тт
ZB "+*
Следовательно, уровни жидкости в обеих трубках устанавли-
ваются на одной высоте.
Если бы вместо открытых пьезометров в сосуд были встав-
лены запаянные трубки с пустотой, то в них уровни поднялись
бы выше на величину — = hQ и установились бы на высоте
7
от плоскости сравнения
Hs — 2 а +
Ра . Ра „ , Л4,абс , Рв. абс
“Г — 2 А I I
7 7 7 7
Величина Нs (см. § 2—4) называется гидростатическим
напором. Сравнивая выражения гидростатического и пьезомет-
рического напоров, можно сказать, что пьезометрический напор
есть сумма высоты положения точки и пьезометрической высо-
ты, а гидростатический напор — сумма высоты положения точки
и приведенной высоты абсолютного давления (см. фиг. 2—13).
Выясним физический смысл пьезометрического напора.
Пусть масса частицы жидкости в точке А равна ш; тогда вес
этой частицы составит mg (сила веса равна массе, помноженной
на ускорение силы тяжести). Если бы частица m из точки А
опустилась до плоскости сравнения 0—0, то сила ее веса произ-
вела бы работу mgZA. Таким образом, находясь в точке А, ча-
стица жидкости обладает запасом потенциальной энергии поло-
жения mgZA. Кроме энергии положения, эта частица, находя-
щаяся под давлением, выражаемым пьезометрической высотой
, _ Ра
па~~"~^~, обладает потенциальной энергией давления, которая
, __ Ра
могла бы поднять частицу на высоту па ~ ~~ • Эта потенциаль-
Ра
ная энергия давления равна mg
2—8. Закон Паскаля. Гидравлические машины
41
Таким образом, полный запас потенциальной энергии
для частицы т составляет
Э„ — mgzA+ mg
Если отнести запас энергии частицы жидкости к единице
ее веса, то, поделив обе части равенства на вес частицы G—
получим запас удельной потенциальной энергии
р _____
£-/п -—
• = 2А Н----= = const.
Ра _
Но мы знаем, что сумма двух отрезков 2а •—“ const
есть величина постоянная для всего объема жидкого тела. Ь
выражении удельной потенциальной энергии zA представляет
г « Ра — h
собой удельную потенциальную энергию положения, а -----— пА
г
удельную потенциальную энергию давления.
Сумма этих двух удельных энергий представляет собой
удельную потенциальную энергию покоящейся жидкости, рав-
ную пьезометрическому напору Нр. Таким образом, для всех
точек данного объема покоящейся жидкости удельная потен-
циальная энергия относительно выбранной плоскости сравнения
постоянна.
Высота положения точки над плоскостью сравнения назы-
вается также геометрическим напором.
Удельную энергию можно вычислять не только для избы-
точного, но и для абсолютного давления. Тогда она будет равна
гидростатическому напору.
§ 2—8. ЗАКОН ПАСКАЛЯ. ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ МАШИНЫ
Из основного уравнения гидростатики
Р =Po + lh
(2-8}
видно, что давление ро, имеющееся на поверхности жидкости,
передается в любую точку внутри жидкости без изменения; ве-
личина ро складывается в общем случае из атмосферного дав-
ления ра и из того добавочного давления рд——, которое в
некоторых случаях с помощью поршня и нагрузки Р (фиг. 2—1}
может передаваться на свободную поверхность жидкости.
42
Глава IL Гидростатика
Уравнение (2—8) в скрытом виде выражает известный
закон Паскаля, который можно сформулировать так:
Внешнее давление, передаваемое на жидкость в замкнутом
сосуде, передается внутри жидкости во все точки без изменения.
Таким образом, в общем случае
р = рл+рл + ^=ра + — -+-Ч/1.
(О
(2-12)
Фиг. 2—18. Гидравлический пресс
случаях, когда требуется создание
для испытания строительных
материалов,
На использовании за-
кона Паскаля основано
устройство гидравличе-
ских машин. Ниже при-
водятся технические схе-
мы некоторых из них.
1. Гидравлический
пресс является одной из
наиболее распространен-
ных гидравлических ма-
шин и применяется в тех
больших усилий, например
для прессования
и Др.
Гидравлический пресс (фиг. 2—18) состоит из двух сооб-
щающихся сосудов, из которых один с малой площадью сече-
ния а второй — с большей площадью сечения 2. Если на
поверхность жидкости в малом сосуде нажать с помощью
поршня с силой Р\, то по закону Паскаля внутрь жидкости рас-
g, Рх,
пространится добавочное давление рА = — которое передается
(О
зо втором сосуде на поршень площадью S с силой
G>
(2-13)
Таким образом, на поршень с площадью Q жидкость про-
изводит давление Рг, большее чем Р\ во столько раз, во сколько
раз площадь Q больше <о . В некоторых прессах создается си-
ла до 400 т.
Практически развиваемое усилие вследствие трения в ци-
линдрах будет меньше, чем по формуле (2—13). Это уменьше-
ние учитывается введением коэффициента полезного действия
величина которого в среднем равна т)^0,8.
Левая часть пресса осуществляется в виде насоса, качаю-
щего в правый рабочий цилиндр жидкость, каковой обычно яв-
ляется масло.
2. Гидравлический аккумулятор представляет собой рабочий
цилиндр, в который насосом подается вода или масло; сжатая
£ 2—9. Сила давления на плоские фигуры
43
жидкость приподнимает массивный плунжер (фиг. 2—19) пло-
щадью сечения <«, к которому с помощью коромысла подвешены
грузы. Если вес плунжера с грузом составляет G, а высота
подъема плунжера Л, то запас потенциальной энергии аккуму-
лятора выражается произведением Gh кгм, а рабочее давление
Фиг, 2—19. Гидравлический
аккумулятор
жидкости, необходимое для за-
рядки аккумулятора и впоследст-
вии развивающееся при его рабо-
те, будет
, 2
р = — кг[см.
со
Фиг. 2—20
Предварительно сжатая в аккумуляторе жидкость простым
открытием крана может быть подведена к рабочему аппарату
(гидравлическому домкрату, подъемнику и т. п.), где она израс-
ходует запас потенциальной энергии на совершение полезной
работы.
§ 2—9. СИЛА ДАВЛЕНИЯ НА ПЛОСКИЕ ФИГУРЫ
Равнодействующая элементарных сил гидростатического
давления на какую-нибудь фигуру -называется суммарным
давлением или просто силой давления на эту фигуру.
Выражается она в килограммах или тоннах.
Обычно при технических расчетах учитывают силу давле-
ния только от избыточного гидростатического давления, т. е.
без учета атмосферного давления, так как последнее действует
на стенки равномерно с обеих сторон и само себя уравновеши-
вает.
Аналитический способ нахождения силы давления. Выведем
формулу силы давления на плоскую фигуру. Пусть имеется фи-
гура площадью F, расположенная в плоскости АВ, наклоненной
к горизонту под углом а (фиг. 2—20).
Для удобства вывода повеонем плоскость стенки на 90°
вокруг оси АВ и совместим ее с плоскостью чертежа; тогда ли-
44
Глава 1L Гидростатика
ния пересечения плоскости А В с плоскостью свободной поверх-
ности будет АА'.
Обозначим центр тяжести фигуры F через С, точку прило-
жения силы давления — через D, расстояния от этих точек до
свободной поверхности по вертикали — через hci& hD и расстоя-
ния точек С и D до оси АА' в плоскости фигуры — через
4? и
Выделим на фигуре малый элемент площади dF, находя-
щийся на расстоянии h от свободной поверхности и на расстоя-
нии Z от оси АА'.
В пределах малого элемента dF гидростатическое давление
можно считать постоянным и равным р = ро + 7/2. Тогда эле-
ментарная сила давления на этот элемент будет
dP = pdF = (р0 + \h) dF.
Чтобы получить всю силу давления Р, надо просуммиро-
вать элементарные силы dP по всей площади фигуры Г, т. е.
взять интеграл
= J (Ро + тА) dF ^р0 J dF+ч (hdF.
F
F
Величина J hdF представляет собой статический момент
площади фигуры F относительно плоскости свободной поверх-
ности, который, как известно из теоретической механики, может
быть заменен равным ему произведением Fhci где hc — расстоя-
ние от свободной поверхности до центра тяжести фигуры.
Таким образом, получаем
р = ро Р + Тhc F = (р0 + ^hc) F.
Но ро + "(hc = рс есть гидростатическое давление в центре тя-
жести фигуры. Следовательно:
Р=рсР,
(2—14)
т. е. сила давления на плоскую фигуру выражается произведе-
нием площади фигуры на гидростатическое давление в ее цент-
ре тяжести.
Направление силы давления на плоскую фигуру согласно
первому свойству гидростатического давления будет нормально
к плоскости фигуры.
В частном случае открытого сосуда, когда на поверхности
давление равно атмосферному, силу избыточного гидростатиче-
ского давления на плоскую фигуру можно найти, подставив в
(2—14) рс = -\hc,
Р = Pyhc. (2—14')
§ 2—9. Сила давления на плоские фигуры
45
Теперь остается еще определить координату lD точки при-
ложения силы давления; эта точка называется центром
давления.
Для определения lD применим известную из теоретической
механики теорему о равенстве момента равнодействующей Р
относительно оси АА' сумме моментов составляющих сил с!Р
относительно этой же оси. Ограничимся случаем избыточного
давления в открытом сосуде. Момент силы dP будет равен
dM ^ldP = ^hl dF - 71 sin a I dF.
Сумма моментов составляющих сил
М = j dM = j 7 Z2 sin a dF = 7 sin a Z2 dF = 7 sin a 1w,
F
где IAA, — момент инерции площади фигуры относительно оси АА'.
С другой стороны, имеем момент равнодействующей, т. е.
момент силы давления
М — Р1^ = F~di„ ln F^lr sin a Zn.
1) * C D 1 C D
Приравнивая эти величины, находим lD:
I sin a IAA, = lc sin a ZD,
откуда
/ — ^AA>
D~ P^c'
Заменив IAA, по известной зависимости через Ic-\- Fl2D,
получим
I ~\~P^c 1 1
^о = fl. ~ c+~Fl^' (2—15)
где lc— момент инерции площади фигуры относительно ее го
ризонтальной центральной оси.
Эта формула дает нам вертикальную координату центра
давления в плоскости фигуры и показывает, что центр давле-
ния D всегда лежит ниже центра тяжести С; только при гори-
зонтальном положении фигуры координаты 1С и lD совпадают.
Обычно в инженерной практике. имеют дело с симметричными
фигурами. В этом случае центр давления лежит на оси симмет-
рии этих фигур. В случае закрытого сосуда с давлением на
поверхности жидкости, не равным атмосферному, положение
центра давления можно найти, проведя воображаемую поверх-
ность, соответствующую атмосферному давлению. Эта поверх-
ность будет лежать на выше фактической поверхности.
46
Глава II. Гидравлика
После этого можно применять формулу (2—15), но
расстояния 1С и /^следует при этом отсчитывать от новой (вообра-
жаемой) свободной поверхности (рис. 2—11,а). Можно посту-
пить и иначе, определяя отдельно силу давления от веса жид-
кости и ее точку приложения и отдельно силу давления от
избыточного давления на поверхности, которая приложе-
на в центре тяжести фигуры, а затем найти по правилам меха-
ники их равнодействующую и ее точку приложения, которая и
будет искомым центром давления.
Для прямоугольных фигур с горизонтальной стороной про-
стое решение дает графоаналитический способ.
Графоаналитический способ нахождения силы давления.
Возьмем фигуру прямоугольной формы АВСЕ шириной Ь, на-
клоненную под углом а к горизонту и находящуюся под
давлением жидкости слева. Глубина до низа фигуры — И
(фиг. 2—21,а).
Фиг. 2——21
Выделим на фигуре элемент шириной b и высотой dZ; сила
давления жидкости на этот элемент будет dP — bdl 7 Л. Эпюра
избыточного гидростатического давления на наклонную стенку
будет иметь вид треугольника с катетом внизу у//; давление
на выделенную полоску bdl изобразится ординатой у Л. Произ-
ведение dl^h представляет собой элемент площади эпюры
гидростатического давления dS. Так как b для прямоугольных
фигур есть величина постоянная, то сила давления на фигуру
ABCD будет
Р = § bdS=b ^dS—bS,
(2—16}
где S — площадь эпюры давления.
Таким образом, сила давления на прямоугольную фигуру
может быть выражена произведением площади эпюры гидро-
статического давления S на ширину фигуры Ь.
Сила давления жидкости на прямоугольную фигуру может
быть также представлена весом жидкости в объеме призмы,
£ 2—9. Сила давления на плоские фигуры
47
имеющей поперечным сечением площадь эпюры гидростатическо-
го давления S, а высотой — ширину фигуры b (фиг. 2—21,6).
Так как сила давления Р выражается произведением b на
площадь эпюры гидростатического давления, то вектор 'силы дав-
ления Р проходит через центр тяжести эпюры гидростатического
давления.
Пересечение вектора силы давления с плоскостью фигуры
определяет положение центра давления D (фиг. 2—21,а).
Пример 2—8. Определить величину и точку приложения силы давления
на прямоугольный щит шириной Ь=2 м, наклоненный к горизонту под углом
а—60° (sin а—0,87) и поддерживающий напор волы 77=4 м (фиг. 2—2,а).
Аналитическое решение. По формуле (2—14') сила давления
1ак как
Н Н
F^=Fl = b------, a hr
sin а
2 ’
то
ЫР 2-1-42
Р = в --------------= }8,4 т.
2 sin а 2-0,87
Координата центра давления определяется
/ ЬР
F +
12 Ы —
2
по формуле (2—15):
I I 2
— + — = —/;
2 6 з
Flc
Н 4 ,22
I ==-= ——- — 4,60 jw; lD =-/ — — 4,60=3,06 м.
sin а 0,87 3 3
Графоаналитическое решение
1 5т772
Р = 5S = 5------у HI = ——
2 2 sin а
Вектор силы
расположенный на
давления пройдет через центр тяжести эпюры давления.
2
расстоянии ID =~г
Z от поверхности.
Графоаналитическое-
решение несколько проще и короче аналитического, но оно применимо только
для прямоугольных фигур с горизонтальным основанием.
Пример 2—9. В боковой вертикальной стенке резервуара (фиг. 2—22)
имеется плоский прямоугольный щиток с размерами а—0,4 м и 5=0,5 м,
шарнирно закрепленный верхней стороной на горизонтальной оси, на кото-
рой он может вращаться против часовой стрелки.
Требуется определить груз G на конце рычага длиной /=1 м, жестко
прикрепленного к щитку, который позволил бы щитку открываться при до-
стижении водой в баке уровня 77=3 м.
Решение. Сила давления воды на щиток
/ а \
Р=.рр1с^ «57/77——) = 0,5-0,4-1 (3—0,2) = 0,56 т.
48
Глава 11. Гидравлика
а)
Г*----- а2 - а, -н
Фиг. 2—22
Точка приложения силы давления определится координатой
a baz
= i(+^=н—- +
Flc 2
а
Н — ~-
а*
(а
Н ——
2
Л / а \
12
\ /
0,42
= (3—0,2)+7^~- = 2,8 +0,00178 = 2,805 м.
' 12-2,8 ’ 1 ’
Момент силы Р относительно оси вращения при достижении водой уров
ня Н должен равняться вращающему моменту веса груза G, т. е.
Р [lc — (Н — a)] = 67,
откуда
Р [Zc —(Я — g)] 0,56(2,805-2,60)
м ~ I “ 1
= 0,56-0,205 = 0,1144 т =114,4 кг.
Графоаналитическое решение состоит в нахождении площади эпюры
давления на щиток:
т# + тШ — а) /
Р = bS = b -——Ц------------------------L a=abt Н —
а
2 ” ”,V' 2 J
Центр давления находим графически, определяя известным из геометрии
способом центр тяжести трапецоидальной эпюры давления на щиток (фиг.
2—22,6).
§ 2—10. ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ НА КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕНКИ
Сила давления жидкости на криволинейную стенку пред-
ставляет собой равнодействующую всех элементарных сил гид-
ростатического давления на данную криволинейную поверх-
ность.
§ 2—10. Давление жидкости на криволинейные стенки 49 •
Нахождение ее осложняется тем, что приходится суммиро-
вать силы, имеющие различное направление.
Рассмотрим криволинейную поверхность АВ цилиндриче-
ской формы (фиг. 2—23). Выделим на ней элементарно узкую
горизонтальную полоску площадью dF. Сила давления dP на
эту полоску будет направлена нормально к поверхности. Раз-
ложим давление dP на две составляющие: горизонтальную dPx
и вертикальную dPz, Если обозначить угол наклона силы dP к
Фиг. 2-23
горизонту через а, то составляющие dPx и dPz будут dPx =
dPx — dP cos а и dPz = dP sin a.
Глубину погружения центра тяжести полоски dF под сво-
бодной поверхностью обозначим через Л; тогда dP =\h dF.
Горизонтальная составляющая dPx будет
dPx = dP cos a =^hdF cos a.
Ho dF cos a представляет собой площадь проекции полоски
dF на вертикальную плоскость; эту проекцию обозначим dFe\
тогда
dPx = dFz.
Горизонтальная составляющая силы давления на криволи-
нейную стенку будет равна
Рх = ^hdFz = i^hdFz;
но ^hdFz, как известно из механики, представляет собой статиче-
ский момент площади всей проекции F z относительно свободной
поверхности, который равен произведению площади всей верти-
кальной проекции Fz на глубину погружения hc ее центра
тяжести
f hdFz = Fzhr.
1 Af А» Q
4 Зак. 1593
60
Глава II. Гидравлика
Следовательно
Px^^hcFz. (2-17)
Так как уЛс есть избыточное гидростатическое давление в
центре тяжести вертикальной проекции цилиндрической стенки,
результат нашего вывода для Рх можно выразить так: гори-
зонтальная составляющая силы давления на криволинейную
поверхность равна силе давления на ее вертикальную проекцию,
перпендикулярную искомой составляющей.
Величина этой горизонтальной составляющей может быть
также выражена площадью эпюры гидростатического давления
DEE' (фиг. 2—23,а). Если бы жидкость находилась с другой сто-
роны криволинейной поверхности, то величина горизонтальной
составляющей не изменилась бы, но направление давления Рх
было бы противоположное.
Для вертикальной составляющей элементарной силы дав-
ления на выделенную полоску будем иметь
, dPz = dP sina — ^hdF sin a,
но произведение dFsina есть площадь проекции полоски dF
на горизонтальную плоскость; обозначим ее dFx- Произведение
hdFх дает объем dV элементарной призмы, заштрихованной на
фиг. 2—23,a; ^hdF есть вес жидкости в объеме этой элемен-
тарной призмы, равный ^dV.
Вертикальная составляющая силы давления Pz будет равна
Pz = ^dPz = J 7ArfFsina=-[ ^hdFx = 7 ^dV=^V, (2—18)
где V — объем, полученный в результате суммирования элемен-
тарных объемов dV по всей криволинейной фигуре АВ.
Объем V называется телом давления и представляет
собой объем, ограниченный криволинейной поверхностью АВ,
проекцией ее на плоскость свободной поверхности АВ' и верти-
кальными плоскостями проектирования ВВ' и АА'.
Таким образом, вертикальная составляющая силы давле-
ния жидкости на криволинейную поверхность равна весу жид-
кости в объеме тела давления. Направление ее (вверх или
вниз) определяется взаимным расположением жидкости и по-
верхности. Если тело давления образовано жидкостью (положи-
тельное тело), то вертикальная составляющая Pz направлена
вниз, если же это тело образовано воздухом, т. е. лежит со сто-
роны, противоположной жидкости (отрицательное тело давле-
ния), то Pz направлена вверх. В нашем случае вертикальная
составляющая направлена вниз, а если бы жидкость была сле-
ва, она была бы направлена вверх.
§ 2—10. Давление жидкости на криволинейные стенки
51
Полная сила давления Р определится как равнодействую-
щая горизонтальной и вертикальной составляющей, и по изве-
стному правилу механики
Р = j/PJ + Р2. (2—19)
8
Фиг. 2—24
Направление силы давления Р определится углом р, при-
чем tg р = —-. Остается найти точку приложения силы давле-
X
ния — центр давления.
Горизонтальная составляющая силы давления Рх пройдет
через центр тяжести эпюры DEE' (фиг. 2—23,а) гидростатиче-
ского давления на вертикальную
проекцию поверхности. Вертикаль-
ная составляющая силы давления
Р2 пройдет через центр тяжести
тела давления V. Вектор силы дав-
ления Р должен пройти через точ-
ку пересечения Рх и Р2 под углом
3 к горизонту; точка D пересече-
ния этого вектора с криволинейной
поверхностью АВ будет искомым
центром давления жидкости на
криволинейную поверхность.
Если криволинейная поверхность
кругового цилиндра (фиг. 2—23,6), то полная сила гидростати-
ческого давления (как и все элементарные силы гидростатиче-
ского давления) будет нормальна к цилиндрической поверхно-
сти и пройдет через центр кривизны цилиндрической поверхности
под углом р к горизонту, а точка D пересечения силы давление
с криволинейной поверхностью будет являться центром давле-
ния.
является
Пример 2—10. Требуется определить силу давления Р воды нр криво-
линейную поверхность ДВ, представляющую собой часть круговой цилмндрз -
ческой поверхности (фиг. 2—24). Дано /7Т=5 м, а =60° и ширина 6=10 ж.
Решение. Горизонтальная составляющая силы давления
Н И2 5а
рх = lhc Fz='( — ЬН = Ir; —- = 10-1 — = 125 т.
/i
Вертикальная составляющая силы давления Pz определится весом телз
давления V, имеющего в поперечном сечении заштрихованную площадь F,
которая равна разности между площадью сектора АОВ с радиусом R =
=------=------— = 5,77 м =5,77 м и площадью треугольника с катетами
sin а 0,867
Н
И и ---- .
tga
4*
52
Глава II. Гидравлика
По формуле (2—18) имеем
Рг == -у V = ; ЬГ = 76
' nR*a°
360°
/ 3,14-5-772
= 10 —------------
\ 6
52
2-1,173
= 102 т.
Вертикальная составляющая силы давления Pz в этом случае будет
направлена кверху; равнодействующая
Р=1/р2+р2 = 1/ 1252 + Ю22 =161,2 т\
f X 2» •
она пройдет через центр кривизны под углом ₽ к горизонту; угол Р опре-
делится из отношения
tg₽
Pz
Рх
102
125
0,815,
откуда
Р = 39° 10'.
§ 2—11. ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ НА СТЕНКИ ТРУБ И РЕЗЕРВУАРОВ
Для статического расчета водопроводных труб и резервуа-
ров необходимо знать величину давления воды, воспринимаемо-
го стенками. Кольцевая полоска трубы или резервуара диамет-
ром D, имеющая высоту dH и находящаяся под напором Н
(фиг. 2—25), будет стремиться под влиянием силы Рх разорвать-
ся по линии АВ.
Сила Рх представляет собой горизонтальную составляющую
силы давления на криволинейное кольцо; эта сила согласно
§ 2—17 будет равна силе давления на вертикальную проекцию
выделенного кольца:
рх = ^HFZ = yHD dH.
Разрывающей силе будет противодействовать сила сопро-
тивления материала стенки, равная 2о dli[a], где [о] — допу-
скаемое напряжение на разрыв. Приравняв обе силы, получим
уравнение для определения толщины стенки 3:
^HDdH ^<!ZdH [о],
откуда
8 = 1^,
2Н
где ^Н === р — избыточное (манометрическое) гидростатическое
давление в резервуаре или трубе.
§ 2—10. Давление жидкости на криволинейные стенки
53
Заменив через р, получим формулу для определения
толщины стенок труб:
8 = + а см
2[аГ
(2—20)
где а — запас на коррозию, неточность отливки и т. п., прини-
маемый по нормам от 3 до 7 мм.
В эту формулу следует подставлять р в кг/см2, D — в см и
[о]—в кг! см2.
Для клепаных резервуаров полу-
ченную по расчету толщину стенок
увеличивают на 25%, учитывая
ослабление сечения заклепками.
Фиг. 2—26
Фиг. 2—25
имеется изгиб-колено
Если по длине трубопровода
(фиг. 2—26), то под влиянием сил гидростатического давления
в сечениях ab и а' Ь' появится сила R, стремящаяся сдвинуть
это колено; на эту силу приходится рассчитывать болты флан-
цев или опоры трубопровода на поворотах. Для определения ве-
личины сдвигающей силы рассмотрим отдельно отсек трубопро-
вода abb'a' с находящейся в нем жидкостью. Пренебрегая ве-
сом жидкости в колене, воздействие на него жидкости в
основном трубопроводе можно представить силами
п ^2
приложенными в центрах сечений ab и а'Ь' и действующими по
направлению осей трубопровода до и после поворота. Эти две
силы Р дадут равнодействующую /?, величина которой, как вид-
но из параллелограмма сил, будет равна
R — 2Р sin — = р-----sin —.
2 г 2 2
Пример 2—11. Определить толщину стенок напорного стального трубо-
провода, подводящего воду из горного водохранилища, расположенного на
высоте 120 м над выходом, если />=0,8 м, а допускаемое на разрыв стенок
напряжение [' ]= 1 400 кг/см2; определить также усилие в колене такого
трубопровода при угле поворота н —60°.
54
Глава II. Гидравлика
Решение.
По формуле (2—20)
рр
2[а]
+а;
запас « по нормам
а = 0,4 см, р = уН = 0,001 -12 000 = 12 кг? см2;
о = . 12'80.... , 0 л = 0 34 _|_0 4 = 0,74 см.
2-1400
Принимаем В =8 мм. Усилие в колене
r.D2
R = p— sin
£-= 12 3’14--8— 0,50 = 60 300 кг = 60,3 т .
2 2’
§ 2—12. ЗАКОН АРХИМЕДА. ПЛАВАНИЕ ТЕЛ
Пусть тело ABFE полностью погружено в жидкость, и
нужно определить силу
Фиг. 2—27
давления жидкости на это тело
(фиг. 2—27).
Г оризонтальная состав ляющая
давления жидкости на криволиней-
ную поверхность тела будет (см.
формулу 2—17) равна
Рх = Fz>
где F2—проекция тела на верти-
кальную плоскость;
hc—глубина погружения цент-
ра тяжести вертикальной
проекции тела.
Так как проекция поверхности
как левой, так и правой половины
тела на вертикальную плоскость,
перпендикулярную плоскости чертежа, будет одна и та же, то
величины горизонтальных составляющих сил давления на тело
слева и справа будут равны и противоположны по направлению,
т. е. взаимно уравновесятся. Также будут равны к взаимно про-
тивоположны горизонтальные силы давления на поверхность
тела в перпендикулярной чертежу плоскости.
Вертикальная составляющая давления жидкости на поверх-
ность тела будет состоять из силы
Pz — 7 ^AEF И PZ ~~Ч ABF'
Равнодействующая направленных в разные стороны верти-
кальных составляющих силы давления будет равна их разности
р. = Р', - Р\ -1 (vAcr - vMp} = 1i-„
§ 2—13. Остойчивость плавающих тел
65
Разность объемов тел давления дает объем самого
тела .
Таким образом, жидкость действует на всякое погруженное
в нее тело с силой, направленной вверх и равной по величине
весу жидкости в объеме тела (или его погруженной части).
Это положение известно под названием закона Архимеда—
знаменитого греческого физика, жившего в III веке до нашей
эры.
На законе Архимеда основана теория плавания тел. Всякое
погруженное в жидкость тело находится под действием двух
сил: силы веса тела G и равнодействующей давления жидкости,
называемой подъемной силой Рг = 7 1/т.
Здесь могут встретиться три случая:
1) когда G > Pz, тело погружается, так как силы G и Рг
дают равнодействующую, направленную вниз;
2) когда О = Pz, тело будет находиться в жидкости в со-
стоянии безразличного равновесия;
3) когда G < Pz, силы, действующие на тело, дают равно-
действующую, направленную вверх, которая заставит тело
всплывать. Тело поднимется выше поверхности настолько, что
новая сила P^lV? (где V'T— объем погруженной части те-
ла) уравновесится весом тела G.
Для плавающего на поверхности однородного тела с объ-
емным весом 71 и объемом 1/т мы будем иметь условие равно-
весия
откуда
(2-21)
VT 7
Последнее соотношение является исходным при определении
глубины погружения (осадки) плавающих однородных тел.
§ 2—13. ОСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАВАЮЩИХ ТЕЛ
Способность плавающих тел восстанавливать нарушенное
при крене равновесие характеризуется в теории плавания тел
термином «остойчивость».
Пусть мы имеем плавающее тело — судно с осью симмет-
рии, нормально находящейся в вертикальном положении
(фиг. 2—28,а). Центр тяжести плавающего тела С есть точка
приложения веса G. Точка D приложения вертикальной силы
давления воды Pz является центром тяжести объема погружен-
ной части судна или так называемым центром водоизмещения.
При нормальном положении плавающего тела точка D лежит
на вертикали, проходящей через центр тяжести тела, называе-
мой осью плавания. Плоскость пересечения свободной поверх-
56
Глава II. Гидравлика
ностью воды плавающего тела носит название плоскости плава-
ния.
При выходе плавающего тела из положения равновесия с
поворотом на небольшой угол — до 15° — центр тяжести тела
останется на прежнем месте, а центр водоизмещения D передви-
Фиг, 2—28. Случаи равновесия плавающего тела
а — нормальное положение;
б — остойчивое равновесие; в — безразличное равновесие;
г — неостойчивое равновесие
нется в новое положение Z)', переместившись по дуге круга, опи-
санной радиусом р из точки М (фиг. 28,6). Точка 7W, являющая-
ся точкой пересечения оси плавания судна с новым направлением
подъемной силы Р'г , называется метацентром, а расстоя-
ние MD= р называется метацентрическим радиусом.
Силы G и Я, при расположении точки М выше точки С соз-
дают вращающий момент, поворачивающий судно в положение
первоначального равновесия (фиг. 2—28,6). В этом случае гово-
рят, что судно находится в состоянии остойчивого равновесия.
Если обозначить расстояние между центром тяжести С и цент-
ром водоизмещения D через е, то случай остойчивого равновесия
характеризуется соблюдением неравенства
Р >е.
Если точка М совпадает с точкой С, то при любом положе-
нии тела силы G и Рг не дают вращающего момента, и плаваю-
щее тело находится в безразличном, неостойчивом равновесии,
и если тело будет выведено из нормального положения, то само
оно не будет в состоянии вернуться в первоначальное положение
(фиг. 2—28,в). В этом случае р ~ е.
При расположении точки М ниже точки С силы G и Pz при
выходе тела из нормального положения образуют пару с момен-
том, вращающим судно в сторону крена, т. е. вызывающим,
дальнейшее опрокидывание судна (фиг. 28,г). Этот случай яв-
ляется примером неостойчивого равновесия плавающего тела и
характеризуется неравенством р < е.
§ 2—13. Остойчивость плавающих тел
57
Выведем формулу для определения метацентрического ра-
диуса р .
Пусть судно получило крен, и ось плавания его повернулась
на угол а (фиг. 2—29,а). При этом часть поперечного сечения
судна (фиг. 2—29,6) в объеме клина АА'S, который мы будем
обозначать VK, вышла из воды, а часть поперечного сечения суд-
на в объеме клина BB'S, также равного VK, погрузилась в воду.
Фиг. 2—29
Вследствие этого равнодействующая сила давления воды
Pz, приложенная сначала в точке D, переместится в точку D' и
будет равна
По закону Архимеда
где W — объем погруженной части судна, называемый объем-
ным водоизмещением.
Обозначим плечи силы R и Р2 относительно* точки S через
а и b (фиг. 2—29,а) и расстояние центра тяжести клиньев
AZl'S и BB'S от точки S — через уо (фиг. 2—29,а) и напишем
сумму моментов сил R, Pz и V к относительно точки S:
— Ra = Pzb — у VK у 0 — у VK у о,
или, так как R=:Pzy то
2f VK у0 = Pz (аb).
Заменив PZ = ^W и (a-j- b) = psina, получим
2тГку0 = + b) = -ylTpsina.
Глава II. Гидравлика
Произведение VK^o есть статический момент объема клина
ДЛ'Х относительно оси S, который может быть представлен так:
УкУо “ J* У^У к*
Делая замену dVK=yad«\ где d<o — площадь элементарной
фигуры шириной dy в сечении АВ (фиг. 2—29,6), получим
1 т
где у-/ — момент инерции половины площади плоскости плава-
ния относительно оси S.
Площадью плоскости плавания называется фи-
гура, ограниченная линией пересечения поверхности судна с по-
верхностью воды.
Заменяя Укуо в написанном выше равенстве моментов че-
1 т
рез-^-а/ и сокращая на 7, получим
а/ = UZp sin а .
Ввиду малости угла а можно, не делая большой ошибки,
принять a=sin а; тогда величина метацентрического радиуса р
определится формулой
р = F ’ (2"22)
где I — момент инерции всей площади плоскости плавания от-
носительно продольной оси S.
ГЛАВА III
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИКИ
§ 3—1. ХАРАКТЕРИСТИКА ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
В гидродинамике жидкость считается сплошной (непрерыв-
ной) средой. Все свойства жидкости (плотность, вязкость и др.)
если не являются постоянными, то меняются в пространстве не-
прерывно, т. е. при бесконечно малом перемещении в простран-
стве получаются и бесконечно малые изменения свойств жидко-
сти.
Движение жидкости характеризуется следующими гидро-
механическими элементами: скоростью движения
частиц и гидродинамическим давлением. Так как все реальные
жидкости имеют вязкость, то в них не может быть вза-
имного смещения прилегающих друг к другу частиц, и
поэтому скорости частиц изменяются и во времени, и в прост-
ранстве непрерывно, т. е. являются в общем случае непрерыв-
ными функциями координат пространства и времени.
Таким образом, чтобы полностью охарактеризовать механи-
ческую картину движения жидкости, надо знать гидромеханиче-
ские элементы во всех точках пространства, занятого движу-
щейся жидкостью, а также ее механические свойства. Сущест-
вует два метода описания движения жидкости: метод Лагранжа
и метод Эйлера.
Метод Лагранжа. В этом методе как бы прослеживается
движение отдельных частиц. Пусть в начальный момент време-
ни /о положение частицы жидкости определяется ее начальными
координатами а, b и с. С течением времени координаты движу-
щейся частицы будут меняться и к некоторому моменту време-
ни / они станут х, у и z.
Таким образом, для каждого момента времени координаты
жидкой частицы будут заданы значениями начальных координат
а, b и с и моментом времени t. Кроме того, плотность жидко-
сти р должна быть также задана как функция координат
а, Ь, с и момента времени t, т. е. кинематическая картина дви-
жения будет описана, если будут известны функции
60
Глава III. Теоретические основы гидродинамики
X = h(a, b9c9t)-9
У = f2(a9b9C91)\
* = h(a,b,c9ty9
P = b9c9t).
(3—1)
Переменные x, у и z называются переменными Лагранжа.
Проекции скорости частицы на координатные оси определятся
уравнениями
а проекции ускорения соответственно
Уравнения (3—1) характеризуют «историю» движения части-
цы жидкости во времени.
Метод Эйлера. Метод Лагранжа не получил в гидродина-
мике широкого распространения, так как он дает решение лишь
для простейших случаев течения. Поэтому обычно движение
жидкости характеризуют построением поля скоростей (картины
течения в различных точках пространства в каждый данный мо-
мент времени /). Этот метод называется методом Эйлера.
Кинематическая картина движения жидкости будет описана,
если скорости во всех точках и плотность жидкости определены
в виде функций
их = /1 (-V,у, z,f) ;
«у = fa (X, У, 2,0 ;
иг = fs(x,
(3-2)
Р = fAx,y,z,t).
Здесь их, иу и —три взаимно-перпендикулярные составляю-
щие полной скорости. Функции и х, иу и uz называют перемен-
ными Эйлера. Они позволяют определить скорость в любой точ-
ке пространства в любой момент времени.
При этом движение определенной частицы жидкости в про-
странстве уравнения (3—2) не учитывают.
§ 3—2. ОСНОВНЫЕ понятия гидродинамики
И ВИДЫ ДВИЖЕНИЯ жидкости
В общем случае для потока жидкости скорость движения
частицы жидкости и давление являются функциями координат
пространства и времени:
и = f(X,y,Z,t) И р = <р(х,у, Z,t).
(3-3)
$ 3—2. Основные понятия гидродинамики и виды движения жидкости 61
При этом движение называется неустановившимся.
Для неустановившегося движения
ди . п др . п
— =£ 0 и — =£ 0.
dt dt
Примерами неустановившегося движения жидкости являют-
ся истечение жидкости из отверстия при переменном напоре (по
мере уменьшения напора величина скорости истечения и давле-
ние в выходном сечении струи уменьшается), движение воды в
реке при быстром изменении уровня (в паводок) и др.
Если скорость движения частиц жидкости и давление во
всех точках потока с течением времени остаются неизменными,
то такое движение называется установившимся дви-
жением.
При установившемся движении скорость и и давление р во
всех точках с течением времени не меняются, что можно выра-
зить следующими условиями:
^- = 0 и ^- = 0.
dt dt
Примерами установившегося движения может служить дви-
жение воды в канале или реке при постоянном уровне и истече-
ние жидкости из отверстия или крана при постоянном напоре.
Если все частицы жидкости движутся по прямолинейным
взаимно параллельным траекториям, с равными скоростями, то
такое движение, характеризуемое изменением только одной ко-
ординаты, называется одномерным.
Если все частицы движутся по траекториям, параллельным
некоторой неподвижной плоскости, причем все характеристики
движения (скорости, давления и пр.) не зависят от расстояния
до этой плоскости, то такое движение называется плоским.
Если частицы жидкости движутся по траекториям, являю-
щимся пространственными кривыми, что является наиболее об-
щим случаем, то такое движение называется пространст-
венным.
Линия тока. Если через ряд точек потока жидкости прове-
сти кривую таким образом, что вектор скорости частицы
жидкости в каждой точке будет касательным к этой кривой
(фиг. 3—1,а), то такая линия, характеризующая направление
движения ряда последовательно расположенных частиц жидкости
в данный момент времени, называется линией тока.
При неустановившемся движении линии тока не будут сов-
падать с траекториями частиц жидкости, так как направление
и величина скоростей отдельных частиц жидкости с течением
времени будут меняться и частицы жидкости, находившиеся в
62
Глава III. Теоретические основы гидродинамики
какой-то момент времени на одной линии тока, в следующий
момент окажутся на разных.
Элементарная струйка. Если» в движущейся жидкости выде-
лить в плоскости, перпендикулярной течению, элементарную
бесконечно малую площадку сЫ (фиг. 3—1,6) и через все точки,
находящиеся на ее контуре, про-
вести линии тока для данного
момента времени, то получив-
шаяся поверхность называется
трубкой тока, а находя-
щаяся в ней жидкость образует
элементарную струйку.
Последняя обладает следующи-
ми свойствами:
1) форма элементарной струй-
ки при установившемся движе-
нии остается неизменной во вре-
мени, так как в этом случае
линии тока с течением времени
не изменяют своей формы;
2) вхождения в элементарную струйку внешних линий тока
и выхода из нее содержащихся в ней линий тока не происходит,
так как боковая поверхность элементарной
линиями тока, к которым скорости
направлены по касательной;
3) скорости во всех точках по-
перечного сечения элементарной
струйки можно считать одинаковы-
ми вследствие незначительности по-
перечного сечения элементарной
струйки.
Вихревая линия и вихревой
шнур. Если частицы жидкости,
кроме поступательного, совершают
также вращательное движение, то
в жидкости можно провести кривую
дый бесконечно малый отрезок ее
времени мгновенной осью вращения
стицы (фиг. 3—2). Удовлетворяющая этому условию кривая на-
зывается вихревой линией.
Если через все точки бесконечно малой площадки сечения
жидкости провести такие вихревые линии, то совокупность вра-
щающихся около этих вихревых линий частиц жидкости назы-
вается элементарным вихревым шнуром; боковая поверх-
ность вихревого шнура образует так называемую вихревую
струйки образована
образом, что каж-
в данный момент
таким
будет
определенной жидкой ча-
g 3—2. Основные понятия гидродинамики и виды движения жидкости 63
Поток. Совокупность элементарных струек, протекающих,
через площадку достаточно больших (конечных) размеров, на-
зывается потоком жидкости.
Потоки по своему характеру могут быть разделены на три
категории:
а) безнапорные потоки, ограниченные снизу и с
боков твердыми стенками русла и имеющие свободную поверх-
ность; примером является движение жидкости в канале, реке,
лотке; движение в них происходит под действием силы тяжести;
б) напорные потоки, ограниченные со всех сторон
жесткими стенками, не имеющие свободной поверхности, движе-
ние которых происходит под влиянием давления, создаваемого
водонапорным резервуаром или насосом; примером является
движение жидкости в заполненном трубопроводе;
в) струи, ограниченные с боков жидкой или газовой сре-
дой; движение последних происходит по инерции под влиянием
начальной скорости, созданной давлением или силой тяжести; в
отличие от предыдущих потоков струи в газовой среде имеют со
всех сторон свободную поверхность; примером последних яв-
ляется струя, вытекающая из отверстия или брандспойта
(см. гл. VII).
Живым сечением потока называется поперечное
сечение потока, проведенное нормально направлению движения.
Площадь живого сечения обозначается буквой со.
Смоченным периметром (обозначаемым буквой у )
называется длина части периметра живого сечения, на которой
поток соприкасается с твердыми стенками.
Гидравлическим радиусом (обозначаемым бук-
вой R) называется отношение площади живого сечения потока
к смоченному периметру у , т. е.
R = — . (3-4)
7.
Расходом жидкости называется количество жидкости,
протекающее через данное живое сечение потока в едини-
цу времени. Расход жидкости обозначается буквой Q и изме-
ряется обычно в мг)сек или л!сек. Рассмотрим элементарную
струйку потока с поперечным сечением d(o (фиг. 3—1,6) и посто-
янной скоростью движения частиц по сечению сгруйки и.
Через промежуток времени t частицы жидкости из попереч-
ного сечения 1—1 переместятся в сечение Г—Г на расстоя-
ние s; при этом через сечение 1—1 пройдет элементарный объ-
ем жидкости dW= (os. Разделив обе части равенства на проме-
жуток времени t, получим
dW , s
— .
t t
64
Глава III. Теоретические основы гидродинамики
Но представляет собой элементарный объем, прошедший
через сечение 1—1 за единицу времени, т. е. элементарный рас-
ход струйки dQ; -у-есть путь, пройденный за единицу времени,
т. е. скорость движения жидкости и. Таким образом
dQ — uda,
т. е. расход струйки равен произведению площади ее попереч-
ного сечения на скорость в этом сечении. Так как поток жидкости
состоит из бесконечно большого числа элементарных струек
с расходом dQ, то общий расход потока представится суммой
расходов элементарных струек
Q = J dQ = J ud& . (3—5)
со со
Так как в потоке скорость отдельных частиц жидкости раз-
лична по живому сечению и точный закон распределения ско-
ростей по сечению не всегда известен, то вычисление этого ин-
теграла ввиду неопределенности функции u=f(x, у, г) затрудни-
тельно. Поэтому расход в живом сечении потока представляют
как произведение площади живого сечения потока на величи-
ну средней для всего живого сечения скорости v, т. е.
Q=&vy (3—6)
откуда величина средней скорости будет
J и d
v=^- = m------- (3-7)
(О CD
В дальнейшем, когда будет идти речь о скорости движения
потока, мы под этой величиной будем подразумевать именно
среднюю скорость и будем обозначать ее v.
Равномерное и неравномерное движение. Если» представить
себе какой-либо поток, находящийся в установившемся движе-
нии (реку, канал), то его мысленно можно разбить на множест-
во элементарных струек; те точки различных живых сечений, в
которых проходит ось одной и той же элементарной струйки,
будем называть «соответственными» точками.
Равномерным движением потока называется
такое установившееся движение, при котором живые сечения
потока и средние скорости в них одинаковы по всей его длине
и при этом скорости потока в соответственных точках всех жи-
вых сечений также одинаковы.
Примером равномерного движения может служить движе-
ние потока в канале с постоянной формой живого сечения и по-
стоянной глубиной или движение жидкости в цилиндрической
трубе.
§ 3—3. Дифференциальные уравнения движения жидкости
65
Если по длине потока изменяется его живое сечение (хотя
бы по форме) или при постоянном сечении изменяется распре-
деление скоростей в разных живых сечениях, то движение назы-
вается неравномерным.
Типичным примером неравномерного движения потока яв-
ляется движение воды в реке на участке перед плотиной: по
длине потока живое сечение и глубины увеличиваются, а ско-
рости убывают. Неравномерным будет также движение воды в
реке на ее сужении или расширении или переходе от глубокого
участка (плеса) к мелкому (перекату) или наоборот.
Плавно изменяющееся движение. При движении жидкости
в естественных руслах обычно живое сечение непрерывно изме-
няется вдоль потока как по форме, так и по площади, и движе-
ние жидкости является установившимся неравномерным. Для
облегчения изучения такого движения в гидравлике введено
понятие «плавно изменяющееся движение», которое характери-
зуется следующими свойствами:
1) кривизна линий тока в потоке считается весьма незначи-
тельной;
2) угол расхождения между отдельными линиями тока
очень мал;
3) живые сечения потока являются плоскими сечениями,
нормальными к оси потока.
Если внутри плавно изменяющегося потока выделить части-
цу жидкости и спроектировать все действующие на нее силы на
плоскость живого сечения, то вследствие того, что скорости и
ускорения почти перпендикулярны живому сечению, силы инер-
ции в уравнение равновесия не войдут; поэтому уравнение рав-
новесия и закон распределения давления в плоскости живого
сечения ничем не будут отличаться от закона распределе-
ния давления в жидкости, находящейся в покое. Отсюда
следует четвертое важное свойство плавно изменяющегося дви-
жения:
4) при плавно изменящемся движении давление по живому
сечению распределяется по гидростатическому закону, т. е. по
закону прямой линии.
§ 3—3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
ЖИДКОСТИ (УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА)
При рассмотрении движения жидкостей мы встречаемся с
целым рядом новых переменных, которых не было при рассмот-
рении жидкости в равновесии.
Основной переменной является время t, и в зависимости от
нее могут изменяться все остальные величины, характеризующие
движение.
5 Зак. 1593
66
Глава I Л. Теоретические основы гидродинамики
Обозначая проекции на оси координат ускорений внешних
объемных сил через X, Y и Z, проекции на оси координат ско-
рости точки через их, и у и и2, гидродинамическое давление в
точке р и плотность р , мы имеем восемь величин, характеризую-
щих движение каждой частицы жидкого тела.
Задача гидродинамики — установить зависимости этих вели-
чин от координаты времени t и пространства х, у и z.
Выведем основные дифференциальные уравнения, устанав-
ливающие эту зависимость. Выделим в движущейся жидкости
элементарно малый объем в форме параллелепипеда.
Воспользуемся полученными в § 2—2 уравнениями равно-
весия, в которых на основании принципа Д’Аламбера к действую-
щим на элементарный параллелепипед силам присоединим так-
же силы инерции.
Сумма проекций всех сил на ось х-ов (см. § 2—2), включая
дих г j j ди*
силу инерции ш—-—paxayaz—- , отнесенная к единице мас-
di dt
сы жидкости, т. е. после сокращения на pdxdydz, дает нам
уравнение
X____1_ др дих _ Q
Р дх dt
Составляя аналогичные уравнения относительно осей у и z,
мы получим систему уравнений
X ~~ 1 p dp dx dux ~~ dt = 0;
У = 1 dp du у — 0;
p dy dt
z — 1 dp диг = 0.
p dz dt
Так как ux=f (х, у, z, t) есть функция четырех переменных,
го ее полный дифференциал
dux dt + —*dx + -^dy ч- — dz.
х dt Эх dy J dz
Разделив все члены этого полного дифференциала на dt, по*
лучим
dux__дих . дих dx । дих dy . дих dz
dt dt dx dt dy dt dz dt *
dvu dv7
аналогично можно представить - *• и - z.
£ 3—4. Уравнение неразрывности несжимаемой жидкости
67
тг dx dy dz
Как известно, производные по времени —, — и — от ко-
dt dt dt
dz
— = u2;
dt 2
dx
— = «
dt х
ординаты движущейся точки представляют собой соответствую-
щие проекции ее скорости, т. е.
г/у
dt у
И
дих diiu дил
подставляя их в уравнения и перенеся члены с , — и
в правую часть равенства (3—8), мы получим эти уравнения в
следующем виде:
X — 1 р др дх dllx 1 = — + W, dt л dux _ дх . ди. Ь «V у ду - . + ~ ; г дг ’
У — 1 др ди и , диу , дии < d’tn -J- tlz — 1
р ду dt х дх у ду 2 дг
1 др диг . , daz ди? . . диг
Z — — л — = —~ + Z/r * •4J. - zzv —- 4- иг —
р дг dt х дх у ду 2 дг
Полученные уравнения, выведенные Эйлером в 1755 г., яв-
ляются общими дифференциальными уравнениями движения
жидкого тела. Они дают зависимость между обычно известными
ускорениями внешних объемных сил X, Y и Z, плотностью
жидкости р, неизвестными величинами проекций скорости на оси
координат их, иу и uz и гидродинамическим давлением р.
Здесь следует подчеркнуть, что гидродинамическое давле-
ние в отличие от гидростатического является функцией не толь-
ко координат пространства, но -и времени, т. е.
р =
Плотность р для капельной жидкости, как и в гидростатике, при-
нимается постоянной и не зависящей от координат и времени
р = const.
Таким образом, уравнения движения Эйлера содержат че-
тыре неизвестных переменных величины их> пу, иг и р, а так
как уравнений только три, то для определенности решения не-
обходимо иметь еще одно уравнение, каковым и является урав-
нение неразрывности потока.
§ 3—4. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Сплошным (неразрывным) потоком капельной жидкости
называется поток, в котором внутри жидкости отсутствуют как
пустоты (разрывы сплошности течения), так и переуплотнения,
невозможные для несжимаемой жидкости.
5*
68
Глава III. Теоретические основы гидродинамики
Представим себе в пространстве неподвижный элементар-
ный параллелепипед (фиг. 3—3) с ребрами dx, dy и dz, через
который протекает сплошной поток жидкости. Так как весь
объем рассматриваемого параллелепипеда заполнен протекающей
жидкостью постоянной плотности р Н const, то с течением вре-
мени масса жидкости в
объеме параллелепипеда
не изменяется.
Пусть составляющая
скорости по оси х на гра-
ни ABCD равна Их, на
грани A'B'C'D', отстоя-
щей от первой на рас-
стоянии dx, скорость бу-
дет соответственно равна
их + — dx. Тогда ко-
дх
Фиг 3—3 личество жидкости, вхо-
дящей за время dt через
грань ABCD, будет рав-
но dy dz их dt, а масса его будет ?dy dzuxdt. Количество вы-
ходящей через грань A'B'C'D' жидкости будет равно
dy dz (и -f- —х- dx 'j dt,
\ дх /
а масса его будет
р dy dz (ttx 4- — dx dt.
\ x dx /
Напишем изменение массы жидкости в объеме параллеле-
пипеда от перемещения частиц параллельно оси х:
dmx = р dydz их dt — р dy dz [их + — dx dt =
\ дх )
= — pdxdydz dt .
дх
Аналогично изменение массы жидкости в объеме паралле-
лепипеда от движения параллельно оси у будет равно
Т
dmv = — pdxdy dz dt
dy
и параллельно оси z
dm2 = — p dx dy dz dt — .
dz
$ 3—4. Уравнение неразрывности несжимаемой жидкости
69
Сложив полученные изменения массы жидкости, определим
общее изменение массы dm, которое из условия сплошности по-
тока (невозможности образования разрывов в нем) должно
быть равно нулю:
dm = dmx + dmv + dmz — — odxdy dz dt [ — + — + —= 0.
Л y z r Л \dx dy dz)
Разделив на — pdx dy dz dt, мы получим уравнение неразрыв-
ности потока в виде
= (3—10)
dx dy dz
жидкости, является чет-
П
Фиг. 3—4
Это уравнение, называемое дифференциальным уравнением
неразрывности движения несжимаемой
вертым дифференциальным урав-
нением в системе (3—9), связы-
вающей их, иу, и, и р.
Интегрирование системы урав-
нений (3—9) и (3—10) даже для
частных случаев встречает непрео-
долимые математические трудности
и поэтому общего решения их по-
ка нет.
В гидравлике применяется так-
же уравнение неразрывности пото-
ка, которое можно получить на
основании простых логических рассуждении — «от противного»
(в предположении изменения массы потока); это уравнение
имеет более простую математическую форму.
Пусть имеется поток с установившимся движением, ограни-
ченный жесткими стенками (фиг. 3—4).
Проведем перпендикулярно движению потока два попереч-
ных сечения I и II, площади которых обозначим через и <п2> а
средние скорости в них — через Vi и v2. Тогда расходы, прохо-
дящие соответственно через каждое сечение, будут равны
Qj = (Dj И Q2 ” 0)2 ^2 •
Предположим, что Qi^>Qa; тогда через некоторый проме-
жуток времени в объеме, заключенном между сечениями I и II,
вследствие избытка количества притекающей жидкости Qi над
вытекающей Q2 должно происходить накопление жидкости, что
ввиду жесткости стенок русла и несжимаемости жидкости невоз-
можно; следовательно, это предположение является н е р е а л ь-
н ы м.
Предположим, что Qi < Q2; тогда через некоторый проме-
жуток времени в объеме, заключенном между сечениями I и II,
70
Глава Ш. Теоретические основы гидродинамики
вследствие избытка количества вытекающей жидкости Q2 над
притекающей Qi должны образоваться пустые промежутки —
разрывы в сплошном потоке, так как нигде между сечениями
I и II добавочного поступления жидкости в поток не происхо-
дит.
Но если разрывов сплошности потока не происходит, то и
это второе предположение тоже является нереальным.
Остается третье предположение, что Qi = Q2*, это предполо-
жение и осуществляется, когда поток течет без разрывов
сплошности с постоянным расходом.
В особых случаях сплошность движения может нарушаться.
Это происходит, например, когда давление в жидкости оказы-
вается меньше давления ее паров и она начинает вскипать. В
таких случаях уравнение неразрывности теряет силу.
Так как сечения I и II взяты произвольно по длине сплош-
ного потока, то в общем виде по длине потока должно соблю-
даться равенство
Qi =<2г = Qn = const. (3—11)
Ввиду того что Q1=<o1v1 и Q2 = о>2 v2, то из (3—11) следует
0)1 г’2 >
откуда получаем важное следствие о соотношении средних ско-
ростей потока в различных сечениях
т. е. скорости потока обратно пропорциональны площадям жи-
вых сечений.
§ 3—5. ВИХРЕВОЕ И ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Выделим в движущемся потоке жидкости элементарный
параллелепипед abed a'b'c'd' (фиг. 3—5). Обозначим составляю-
щие скорости движения частицы жидкости в точке а через их,
иу и uz; тогда скорости в точках b и с выразятся соответственно
через
и их — dy.
у дх ду
• Точки b и с, имея в направлении осей у и х скорости, отлич-
ные от соответствующих составляющих скорости точки а, через
промежуток времени dt примут новое положение и ci
(фиг. 3—6).
§ 3—5. Вихревое и потенциальное движение
П
Прямой угол Ьас вследствие этого превратится в острый
угол Ь\ас\у и, таким образом, произойдет вращение точек b и с
вокруг точки а с угловыми скоростями
(—vdx\ tdx=~ и I—dy\ t dy — ^;
\дх ) дх \ду ) ду
первую угловую скорость, как создающую вращение по часо-
вой стрелке, будем считать положительной, а вторую, создаю-
щую вращение против часовой стрелки, — отрицательной.
Фиг. 3—5
Фиг. 3—6
Так как точки b и с являются крайними точками паралле-
лепипеда, угловая скорость <о2 вращения всего параллелепипеда
в целом около оси аа' (параллельной оси z) будет равна полу-
сумме найденных угловых скоростей, т. е.
®г = — (Й — —. (3—13)
2 \дх ду /
Аналогично для вращения вокруг осей, параллельных осям
х и у, соответственно получим
1 [duz ди и
О) =------ —?-------и
х 2 \ду дг t
1 (ди г ди?
со — — I —т---------±
у 2 \дг дх
(3-14)
(3-1
Если отложить угловые скорости <oXf <оу и <oz в точке а в
виде векторов, называемых компонентами вихря по осям коор-
динат, то диагональ параллелепипеда, построенного на компо-
нентах вихря, даст величину и направление полной угловой
скорости вихревого вращения величина которой может быть
определена по формуле
® = р4 ®2 + . (3—16)
72
Глава III. Теоретические основы гидродинамики
Если движение жидкости происходит без вращения частиц,
то оно называется безвихревым, при этом а» = 0, т. е.
или
1 Idu-z дну\ = 0;
л 2 1 dz /
(1)м = 1 (дах _ диД = 0;
У 2 ‘ ( dz dx )
0)^ ~ 1 (диу ___ дих\ = 0
Z 2 ’ (dx ду)
duz___диу . дих___duz диу ___дих
dy dz ' dz dx dx dy
(3-17)
(3-18)
Такое равенство частных производных возможно только
при условии существования некоторой функции у, z), на-
зываемой функцией потенциала скоростей, кото-
рая удовлетворяет следующим равенствам:
Поэтому безвихревое движение, происходящее при нали-
чии потенциала скоростей, называется потенциальным.
Для потенциального движения капельных несжимаемых
жидкостей (т. е. при р = const) уравнение неразрывности по-
тока (3—10) после замены
dux д2Ф du v д2Ф duz д2Ф
—- ~ , —< = — и —- = —
dx dx2 dy dy2 dz dz2
может быть представлено в следующем виде:
(3—20)
Это уравнение называется уравнением Лапласа.
Функция потенциала скоростей всегда удовлетворяет уравне-
нию Лапласа. •
§ 3—6. УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ ТОКА И ФУНКЦИИ ТОКА
Как мы выше уже упоминали в § 3—1, линия тока опреде-
ляет направление движения множества частиц жидкости, распо-
ложенных на этой линии в данный момент времени.
Выведем уравнение линии тока. Пусть в пространстве имеет-
ся точка А, через которую проходит линия тока жидкости.
§ 3—6. Уравнение линии тока и функции тока
73
Выделим около точки А бесконечно малый отрезок линии тока
ds, который можно считать прямолинейным. Вектор скорости
частицы жидкости в точке А будет по направлению совпадать
с отрезком линии тока ds (фиг. 3—7), так как при установив-
шемся движении линии тока совпадают
жения.
Если проекции отрезка линии тока
обозначить через dx, dy, dz, а проекции
оси координат через их uv и
цг, то углы между отрезком
линии тока или вектором ско-
рости и и осями координат
будут характеризоваться от-
ношениями
dx и
COS а — —
ds
с траекториями дви-
ds на оси координат
вектора скорости на
uv
= __Л ; cos 7 = ---
и ds
Так как из
траектории имеем
dx
---- = иА
dt х
о dy
; cos р = — —
и
dz
ds
уравнения
10
dx
dy
— = и
dt
dz
и — — а
dt
dz
z
и
у
и
Пу
uz
Для установившегося движения линии тока совпадают с
траекториями движения и могут быть выражены дифференци-
альными уравнениями
dx dy dz
Ux Uy uz
(3-21)
В случае неустановившегося движения уравнения (3—21)
характеризуют лишь траектории движения отдельных частиц.
Аналогично можно вывести уравнения вихревой линии
dx __ dy __ dz 22)
<^х
Для плоского движения уравнению линии тока можно при-
дать вид
uxdy — Uydx = 0.
(3—23)
74
Глава III. Теоретические основы, гидродинамики
Это дифференциальное уравнение может быть решено, если
существует функция у), удовлетворяющая условиям
ОТ
— = иг и — — U'
ду х дх у
тогда левая часть уравнения оказывается полным дифферен-
циалом
— ах 4------dy = dW = О,
дх ду Л
и оно имеет интеграл в виде функции
ЧГ (х, у) = const — С.
(3—24)
Функция у) называется функцией
Функция тока, так же как и функция
Ф(х, у, 2), отвечает уравнению неразрывности
Действительно:
дих , duv OTP п
— + —=----------= 0 .
ду дх дх ду
тока.
потенциала сил
движения.
В плоском невихревом (потенциальном) потоке функция
тока у) всегда удовлетворяет уравнению Лапласа.
Действительно, составив выражение компонента вихря в
плоскости движения, будем иметь
1 /дну\ дих\ 1 /д2¥ ОТГ \
2~ \ ду/ Т \дх2 ду2 /
1 /ОТГ ОТТ \
2 \ дх2 ду2 )
Для невихревого потока <ог=0, и, следовательно:
ОТТ д2¥
дх2 ду2
(3—25)
(3—26)
т. е. функция тока действительно удовлетворяет уравнению
Лапласа.
§ 3—7. УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА В ФУНКЦИИ КОМПОНЕНТОВ ВИХРЯ
Профессором Казанского университета И. С. Громека в
1881 г. уравнения Эйлера были преобразованы и приведены к
форме, отражающей наличие и отсутствие вихря.
§ 3—7. Уравнения Эйлера в функции компонентов вихря
Взяв первое из уравнений Эйлера
Громека вычел из его обеих частей член
д
дх
Так как
то
2 2 ’
\ дих , duv . ди*
= — 4- —< Uv Ч-- и-
) дх х^ду у' dz 2’
и потому
р
др d / zz2
dx dx\ 2
da2 duv .
dx z dt *
ди:
dt
(дих duz
I dz dx
ди
duv
и —_____у
Uy дх
(ди
— «У ~
Л \дх
, , ^их
иу + Т Мг
у dz
у___&их\
ду
Z
Заключенные в скобках разности согласно (3—25) пред-
ставляют собой удвоенные значения компонентов вихря и
в данной точке жидкости. Поэтому первое уравнение Эйлера
приобретает вид
др д
дх дх
= ~ + 2(uz<oy — иушг).
Аналогично преобразуются второе и третье уравнения Эйлера:
ду д ( и2
ду ду \ 2
— -г 2 (и в) — и2 со ) ;
Л J \ Л At ' 9
др д
dz dz
и \ Ulis? I rv / \
—„ — —I -р. 2 (ZZ О) — их <OV) .
О I А/ \ у X X У г
Имея в виду, что
дП Л7 дП „ dTI
— , Y =-------и Z =--------,
дх ду dz
где H = f(x,y,z)
76
Глава III. Теоретические основы гидродинамики
есть силовая функция (см. § 2—4), перепишем уравнения в ваде
Для невихревого потенциального движения <ох=<о ==<ог==0,
и члены в круглых скобках отпадают.
Для установившегося потенциального движения
дих _ __ _ q
dt dt ~~ at ~ 9
я уравнения (3—27) превращаются в более простые:
§ 3—8. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ УСТАНОВИВШЕГОСЯ
ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
г-, ди ди у. duv duz „
При установившемся движении — =0 или —- = —у — —I = 0.
r J dt dt dt dt
Уравнения (3—27) при этом упрощаются и принимают вид
д /п 4- р и2 \ —. О (it и\ ii d\ \ •
дх ‘ р 2 / •— Z \ITZ Uy ™z) ,
д ду (П4- — \ Р । и2 \ + tJ II ко * •
д дг * (п — k р 2 / = 2(«у<ох — иху).
Если умножить каждое из уравнений соответственно на
dx, dy и dz и сложить, то получим
— d (Л 4- — -f—-} = 2 [(«г<о — и (o2)dx +
+ («л Шг — Uz <°J dy + («у — Нл wy) dz\.
§ 3—8. Уравнение Бернулли для идеальной жидкости ЧТ
Правую часть уравнения можно переписать в виде определителя
dx dy dz
их uy u2
Когда определитель в правой части уравнения обращается
в нуль:
d/n + -£- + —1 =0 и П + -^+— = const. (3-28>
\ р 2 / р 2
при выполнении
Последнее уравнение является важнейшим в гидравлике и было
выведено в 1738 г. академиком Петербургской Академии наук
Даниилом Бернулли.
Рассмотрим, в каких же случаях правая часть уравнения
превращается в нуль.
Из высшей математики известно, что определитель равен
нулю, если какая-либо строчка или столбец его представлены
нулями или если какая-либо пара строчек состоит из пропор-
циональных членов.
Таким образом, уравнение Бернулли будет действительно
одного из следующих условий:
<о —0 и оз = 0 ;
-У **
dz
~ »
dz
(x>z
—
uz ‘
Первое условие характеризует невихревой потенциальный
поток, для которого в целом применимо уравнение Бернулли.
Второе условие выражает собой уравнение линии тока. Поэто-
му уравнение -Бернулли будет применимо и для вихревого дви-
жения, но только для каждой отдельной линии тока. Третье ус-
ловие выражает собой уравнение вихревой линии, для каждой
из которых может быть также применено уравнение Бернулли..
Четвертое условие характеризуется отношением
их Uy и2
ИЛИ
(d„ = ох, = аи„. <*> — ащ.
-Л- .А- 7 у у' £ £
1) ^Х = 0,
2) dx _ dy
Ux иу
3) dx dy
——— ———-
^х (Оу
4) <*х toy
и Y U\t
78
Глава III. Теоретические основы гидродинамики
Подставив полученные значения компонентов вихря в урав-
нение вихревой линии
dx __dy __ dz
(Од. <j)y
получим
rfx ___dy dz
ux Uy u^ ’
т. e. уравнение вихревой линии примет вид, совпадающий с
уравнением линии тока.
Таким образом, четвертое условие выражает собой такое
движение жидкости, при котором ее частицы движутся по ли-
нии тока и одновременно вращаются вокруг линии тока как оси
вращения. Такое движение называется винтовым. Вектор ско-
рости и вектор угловой скорости в винтовом движении совпа-
дают по направлению. Уравнение Бернулли применимо к вин-
товому потоку в целом.
Рассмотрев область применения уравнения Бернулли, при-
ведем его к более простому для практического применения виду.
Для преобладающего большинства случаев из объемных
сил действует только сила тяжести. В этом случае
Х-0; У == 0; Z = -g
и
•— dll = X dx 4- У dy + % dz = — g dz,
т. e.
П = gz 4~ C.
Уравнение Бернулли для идеальной жидкости, находящейся
под действием только силы тяжести, будет иметь вид
g2 4- ~ = const
р 4
или после деления на g
z Const. (3— 29)
I ' 2g
Если взять две частицы жидкости, находящиеся на одной
линии тока или на одной вихревой линии, а также в любых точ-
ках потенциального или винтового потока, то для них будем
иметь
2 2
*1 + — +4 — + (3-30)
7 2g 1 2g
$ 3—9. Вывод уравнения Бернулли из закона живых сил 79
§ 3—9. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ ИЗ ЗАКОНА ЖИВЫХ СИЛ
Рассмотрим элементарную струйку идеальной жидкости,
выделенную в потоке, находящемся в состоянии установившего-
ся движения (фиг. 3—8).
Двумя нормальными сечениями 1 и Г выделим элементар-
ный объем
dW == dio1ds1,
где d&i — площадь живого сечения элементарной струйки;
ds\ — расстояние между сечениями 1 и Г.
Через промежуток вре-
мени A t объем dW переме-
стится и займет положе-
ние между сечениями 2—2'.
На рассматриваемый объ-
ем жидкости действуют си-
ла тяжести и силы гидро-
динамического давления.
Силы трения в идеальной
жидкости отсутствуют. Обо-
значим гидродинамическое
давление в сечениях /, Г,
Г' и 2 соответственно через
Рь р'ь р"1 И р2> а высоту
центра тяжести сечений /
2 над условной горизонтальной плоскостью сравнения — через
^1 и 22.
Применим к объему dW закон живых сил, согласно кото-
рому приращение живой силы движущейся системы материаль-
ных частиц за некоторый промежуток времени равно сумме ра-
бот всех сил, действовавших на систему в течение того же вре-
мени.
Закон этот символически может быть записан так:
А
t
та2 \
/
/+д/
= 2
t
Здесь
та2
__ — живая сила движущейся системы;
SPs—сумма работ всех сил Р на пути s.
Приращение живой силы. Масса нашего элемен-
тарного объема
m = ?dw=
g
80 Глава III. Теоретические основы гидродинамики
На основании уравнения неразрывности потока
d^r ds1 = d&2 ds2 = dW — const,
и потому
_ ds1 ^d(M2ds2 _ydW
g_________________________g_g
Приращение живой силы выделенного объема будет
Д (ти2 \ rni^^inu^ _ -idW ! и\ и\ \
\ 2 / 2 2 g \ 2 2 /
Работа силы тяжести. Вес объема dW равен dG —
=^dW, а работа силы тяжести при перемещении его из поло-
жения 1 в положение 2 будет равна
dG (гг — z2) = y^IF(z1 — z2).
Работа сил гидродинамического давления.
Представим себе, что наш элементарный объем dW перемещается
из положения 1 в положение 2 путем отдельных последователь-
ных перемещений 1—/', Г—Г' и т. д. При перемещении объема
из положения 1 в Г на расстояние ds} работа сил гидродинами-
ческого давления по пути перемещения будет для левой грани
объема равна
pt d dsx,
а для правой грани dw’x
— р\ d<&\ ds'x ;
знак минус здесь взят потому, что сила давления на правую
грань объема направлена против перемещения.
Сумма работы сил гидродинамического давления при этом
перемещении будет
P-l d <ох dst — prxd^[ ds[.
При дальнейшем перемещении объема dW из положения
Г в положение Г на левую грань dw\ будет действовать дав-
ление р'ь направленное слева направо, а на правую грань d-^'\—
давление р\, направленное справа налево. Работа сил гидро-
динамического давления при этом перемещении будет равна
р\ d^[ ds'x — р\ d^\ ds" .
Подобным образом выразится работа сил р\ p"'i и т. д.
при следующих перемещениях.
Работа силы р2 при последнем перемещении будет равна
p2d&2 ds2r
§ 3—9. Вывод уравнения Бернулли из закона живых сил
81
Нетрудно видеть, что второй член каждой выписанной вы-
ше строчки равен первому члену каждой последующей строчки,
но противоположен по знаку, поэтому при сложении эти члены со-
кратятся. Таким образом, суммирование работы сил гидродина-
мического давления при перемещении элементарного объема
dW из положения 1 в положение 2 даст
рг ds1—р2 d^2 ds2 = d\V(p1-p2).
Приравняв приращение живой силы сумме работ всех сил,
получим
g \ 2 2 )
^^dW^ — z^ + dWip.—p^.
Сократив все члены уравнения на ^dW и отнеся, таким об-
! разом, все к единице веса жидкости, получим
откуда
п2 и2
7 _1_ Pi Рг
-----------= л — ------------
2g' 2g 7 7
(3-31)
(3-30)
Так как вместо второго сечения по длине элементарной
струйки можно взять любое иное, то очевидно, что для любой
пары сечений по длине элементарной струйки идеальной жидко-
сти можем написать
2 2
zx + ^-+— = za 4— + — = const. (3—29)
7 2g 7 2g '
Уравнение Бернулли можно осветить с трех точек зрения:
механической, физической и геометрической.
Механический смысл уравнения Бернулли соглас-
но (3—31) заключается в выражении закона живых сил для
единицы веса жидкости. Из уравнения (3—31) видно, что при-
ращение живой силы для единицы веса жидкости равно работе
силы тяжести при перемещении единицы веса жидкости с вы-
соты 21 до z2 и работе сил гидродинамического давления.
Физический смысл уравнения Бернулли выясняется
в выражении (3—29), которое по существу представляет собой
частный случай (для жидкого тела) общего закона сохранения
энергии, открытого великим русским ученым М. В. Ломоносо-
вым, с которым Бернулли вместе работал в Петербургской Ака-
демии наук.
6 Зак. 1593
82
Глава III. Теоретические основы гидродинамики
В уравнение (3—29) входят три вида энергии: -------назы-
7
вается удельной энергией гидродинамического давления, z — вы-
ражает собой удельную энергию положения жидкой частицы, на-
ходящейся на высоте z над условной плоскостью сравнения, и
— представляет собой удельную кинетическую энергию
жидкости.
Сумма удельной энергии гидродинамического давления —»
7
удельной энергии положения z и удельной кинетической энергии
— для идеальной жидкости есть величина постоянная по длине
2g
.элементарной струйки.
Первые два члена (3—29) — и z представляют собой за-
7
йас удельной потенциальной энергии, третий же член есть удель-
ная энергия, присущая только движущейся жидкости, т. е. кине-
тическая энергия.
Все члены уравнения Бернулли имеют линейную размер-
ность. В самом деле: z как высота есть линейная величина; в
гидростатике мы имели р = и — где h — глубина погру-
жения точки под свободной поверхностью, измеряемая в едини-
цах длины;
наконец, кинетическая энергия — имеет размер-
ность
L2T2 _
т2 ь
т. е. тоже линейная величина.
Гидравлический смысл уравнения Бернулли лучше всего
уясняется при рассмотрении реальной жидкости, что будет сде-
лано несколько ниже.
§ 3—10. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СТРУЙКИ
РЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
При выводе уравнения Бернулли для идеальной жидкости
из закона живых сил мы не учитывали работу сил трения, кото-
рая не может быть опущена при рассмотрении движения реаль-
ных жидкостей, так как в этом случае часть энергии потока бу-
дет затрачена на преодоление сопротивления трения.
Выражение закона живых сил для единицы веса жидкости
(3—31) элементарной струйки с учетом работы силы трения,
§ 3—10. Уравнение Бернулли для элемент, струйки реальной жидкости 83
которую для единицы веса жидкости мы обозначим через hw,
будет иметь вйд
hw входит здесь со знаком минус, так как работа силы трения
направлена в сторону, обратную движению, и уменьшает прира-
щение живой силы, вызываемое силой тяжести и давления.
Фиг. 3—9
Преобразуя последнее уравнение, получим
г +£l + _L = Z2.f А +^+А (3-32)
7 2g 7 2g
Это и есть уравнение Бернулли для элементарной струйки
реальной жидкости. Оно отличается от уравнения (3—30) для
идеальной жидкости наличием добавочного члена который
представляет собой потерю энергии на преодоление сил трения,
отнесенную к единице веса жидкости. Так как энергия, отнесен-
ная к единице веса, имеет линейную размерность, то и hw так-
же имеет линейную размерность.
Гидравлический -смысл уравнения Бернулли может быть
уяснен из следующего примера. Возьмем какой-нибудь сосуд,
наполненный водой, и присоединим к нему трубу АВ переменно-
го сечения (фиг. 3—9). В этой трубе будет происходить движение
жидкости с изменяющейся по длине трубы скоростью. Предполо-
жим, что в пределах каждого поперечного сечения трубы ско-
рости одинаковы.
Проведем по длине трубы три поперечных сечения /, II и III
и обозначим соответственно давления и скорости в этих сечениях
6*
84
Глава III. Теоретические основы гидродинамики
через р\ и рг и и р3 и а координаты центра тяжести
проведенных в трубе сечений — через z2 и г3.
Установим в каждом сечении по две вертикальных трубки:
пьезометрическую трубку (§ 2—6) для измерения давления
—> а другую — с изогнутым концом,
V
направленным навстречу течению
(фиг. 3—9 и 3—10). Такая трубка на-
зывается гидрометрической трубкой
(или трубкой Пито) и служит для
измерения полного напора, т. е.
3—10) ввести пьезометрическую трубку,
______-О.________ Р . „
— в потенциальную будет стоять
Если в поток (фиг.
то жидкость поднимается в ней на высоту —; в гидрометриче-
7
ской трубке столбик жидкости вследствие перехода кинетической
энергии частиц жидкости
и2
выше на величину —.
2g
Таким образом, разность показаний гидрометрической труб-
и2
ки и пьезометрической трубки измеряет величину — , называе-
мую скоростным напором.
В сечении I трубы АВ горизонт в пьезометрической трубке
будет стоять, ниже, чем в гидрометрической трубке, на величину
скоростного напора, затрачиваемого на создание скорости в се-
и2
чении /, т. е. на величину -—. Но и в первой гидрометрической
трубке горизонт не достигнет уровня воды в баке, так как часть
напора будет затрачена на преодоление сопротивления при
входе в трубу АВ (фиг. 3—9). .
В сечении II разность показаний гидрометрической и пьезо-
метрической трубок будет больше, чем в сечении /, так как ско-
рость и2 больше скорости ti\. Разность показаний гидрометриче-
ских трубок в сечениях I и II дает потерю удельной энергии меж-
ду сечениями I и II а от начала трубы АВ —
В сечении III вследствие увеличения площади сечения ско-
2 2
U о «о
рость будет меньше, и поэтому ; разность показании
2g 2g
гидрометрических трубок для сечений II и III дает /iw,2-3 — по-
§ 3—10. Уравнение Бернулли для элемент, струйки реальной жидкости 85
терю напора на трение на участке II—III, а от начала трубы —
Соединив уровни в пьезометрических трубках, получим ли-
нию пьезометрического напора, или просто пьезометрическую ли-
нию, показывающую картину распределения пьезометрического
напора — по длине потока. Пьезометрическая линия может
1
опускаться (при увеличении скорости) либо подниматься (при
уменьшении скорости вдоль потока).
Линия, соединяющая уровни в гидрометрических трубках,
носит название линии энергии или напорной линии. Вертикаль-
ные отрезки, заключенные между линией энергии и пьезометриче-
ской линией, дают величину скоростного напора
и2
2g
а отрезки,
заключенные между линией горизонта воды в баке и линией
энергии, показывают потерю напора на преодоление сопротив-
лений.
Линия энергии по длине потока всегда опускается, так как
часть энергии жидкости непрерывно убывает вдоль трубы. Как
видно из чертежа (фиг. 3—9), для любой пары сечений можно
составить равенство суммы четырех высот
2 2
Z1 + V + + = Za + Т' + + ^0-2 = Н = COnSt-
I I
Это равенство четырех высот для любой пары сечений яв-
ляется геометрической интерпретацией уравнения Бернулли и
поясняет его гидравлический смысл. Здесь наглядно видны по-
тери энергии и переход потенциальной энергии в кинетическую,
и обратно.
Для каждого участка трубы наклон пьезометрической линии
к горизонту ip называется пьезометрическим уклоном;
Падение линии энергии на единицу длины потока называется
гидравлическим уклоном ie и выражается формулой
(3-34)
где / — расстояние между сечениями 1—2.
При равномерном движении Hi = &2=const к т. е. пьезо-
метрический уклон равен гидравлическому уклону.
86
Глава Ill. Теоретические основы гидродинамики
При неравномерном падении напора пользуются понятием
гидравлического уклона в данной точке потока
§ 3—11. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ПОТОКА
Рассмотрим поток конечных размеров с плавно изменяю-
щимся движением. Выделим в нем элементарную струйку с пло-
щадью поперечного сечения dm (фиг. 3—11). Энергия, заклю-
Р
ченная в единице веса выделенной элементарной струнки, или
так называемая удельная энергия элементарной струйки, будет
IIй
Т 2g
Энергия жидкости, протекающей через живое сечение эле-
ментарной струйки, за единицу времени будет равна
7 2g
а энергия жидкости, протекающей за единицу времени через все
живое сечение потока:
7 и dm
<•>
§ 3—11. Уравнение Бернулли для потока
87
Величину средней удельной энергии потока в данном сече-
нии получим, разделив предыдущее равенство на т. е. на
вес жидкости, протекающей за единицу времени:
При плавно изменяющемся движении сумма 2-j- в данном
живом сечении есть величина постоянная (см. § 3—4) и может
быть вынесена за знак интеграла:
есп = — (z + — 1 Г ud& +
р Q \ 7 / J
1 * Г
---I и3 du.
2gQ J
Так как 'ud& — Q, то первое слагаемое в выражении £ср
получается равным а второе после умножения числителя
и знаменателя на v2 имеет вид
у 2 I u >d^ v2
— -------- — сс —•
2g 2g
где
f бДо
а = .
1>3а>
Рассмотрим последнее выражение отдельно, умножив числи-
тель и знаменатель епо на 4-р:
о Р Р и2 Р и2 dm
— - । и3 de) 1 р и — 1 ---
и3 аы 9) г 9 19
а = J— - ----= -1—_ . (3—36)
р v* mvu
-- русо - ------
2 ^22
Здесь величина р ucl^^dm — масса, протекающая по одной
„ « Р и2 dm
элементарной струйке за единицу времени, a j —-— есть сумма
живых сил элементарных струек по всему живому сечению, т. е.
фактическая живая сила массы жидкости, протекающая за еди-
ницу времени во все^м потоке.
рую =tn — масса, протекающая за единицу времени через
mv2
все живое сечение потока, а ---живая сила этой же секунд-
ной массы жидкости, подсчитанная по средней скорости потока v.
88
Глава III. Теоретические основы гидродинамики
В результате уравнение Бернулли для потока, или величина
средней удельной энергии потока в целом, в данном сечении
получается равной
(3—37)
где
f u3d&
а — ~------
fu2dm
~2~
mv2,
2
есть отношение истинной живой силы потока к живой силе по-
тока, подсчитанной по величине средней скорости;
а называется коэффициентом кинетической
энергии потока.
Этот коэффициент характеризует влияние неравномерности
распределения скоростей по сечению на удельную кинетическую
энергию потока, вычисленную по средней скорости; он зависит
от геометрической формы эпюры скоростей в живом сечении по-
тока.
Распределение скоростей при напорном движении в трубах,
как показывают опыты, может быть выражено степенной форму-
лой, имеющей вид
U — ^тзх
(3—38)
где и — скорость на расстоянии у от стенки трубы;
г — внутренний радиус сечения трубы;
wmax—максимальная скорость течения, наблюдаемая на оси
трубы;
k — показатель степени, изменяющийся в зависимости от
шероховатости от 6 = 0,1 (гладкие трубы) до 6=0,3
(шероховатые).
Приравняв расход в трубе, полученный по средней скорости,
расходу, подсчитанному по эпюре распределения скоростей, вы-
раженной уравнением (3—38) (см. фиг. 3—12), получим
г
Кг2V = Jwmax2n(r — y)dy9
о
откуда после интегрирования и преобразований получаем соот-
ношение между izmax и v
__-_ —_____?____ (з_______________301
"max (2+6) (1+6)’ J
§ 3—И. Уравнение Бернулли для потока
89
Заменив в формуле (3—38) zzmax= , получим
и = (2+^) (1+*)е (_y\k (о
2 \ г / 1
Фиг. 3—12
Пользуясь последней зависимостью, А. М. Латышенковым
J W3 б/со
была вычислена величина а =--------- для труб круглого сечения
р3а>
(2+£)3(1+6)3
4(2+ЗЛ) (1+ЗЛ) ’
(3-41)
Ниже в таблице приведены значения коэффициента кине-
тической энергии потока а, высчитанные для круглого сечения
по формуле (3—41) при различных значениях показателя степе-
ни Л~0,10 0,30.
k 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30
а 1,032 1,064 1,104 1,154 1,212
В среднем для труб при турбулентном движении при наибо-
лее часто встречающемся значении &^0,20 можно принимать
а ^1,10.
Распределение скоростей по глубине широких открытых по-
токов может быть выражено степенной зависимостью вида
ц = (3—42)
90
Глава III. Теоретические основы гидродинамики
где у] =~---относительная высота точки на вертикали (фиг.
Н 3-13);
ип—скорость на поверхности потока;
k — показатель степени, изменяющийся в зависимости
от шероховатости дна в пределах 6 = 0,10 0,25.
/г-1 ku ,
। = — и заменить ад
Д
Если взять производную у- = ип 6д
через
откуда
dz
~H
то
duH
dz
находим
kali
z
zdu
udz
(3—43)
Таким образом, показатель степе-
ни k в выражении (3—42) распреде-
ления скоростей по глубине открыто-
го потока есть отношение элементарной площади zdu недостатка
скорости до постоянного значения н = нпк элементу площади
эпюры скорости udz или всей площади недостатка Fu к площа-
ди эпюры Fa. Это интересное свойство эпюры распределения
скоростей в открытом потоке было установлено А. С. Образов-
ским1.
Так как
p z/ 1 ТГ dz и I zft+1l
( udz P ' H ' __zzn | z |o wn
J 11 ~~ J H ~ H (6 + 1) ll “ 6 + 1 ’
о о
TO
=(1 + k)v .
Пользуясь выражением (3—42) для а, А. С. Образовский
вывел формулу для коэффициента кинетической энергии откры-
того потока
’ ( Z \3/г
11 "и 1/7; dz и\
a — J------~ I------------------—------------
Л J vd v3 (36+1)
о
1 А. С. Образовский. Применение степенной зависимости к по-
строению модели структурного механизма открытого турбулентного потока,
«Труды гидравлической лаборатории института Водгео», сборник № 4, 1955.
J 3—12. Примеры практического применения уравнения Бернулли 91
но и = (1-}-£)у, следовательно
“ = зГ^3 • (3-45)
При £ = 0,10-^0,25 а = 1,023 1,115. При равномерном дви-
жении в каналах в среднем £^0,20, и коэффициент а принимают
с округлением а ^1,1. В некоторых случаях для упрощения гид-
равлических расчетов труб и каналов принимают а = 1,0; в этом
случае уравнение Бернулли, для целого потока (3—37) будет
аналогично выведенному выше (3—30), но вместо скорости в
точке и в него входит средняя скорость по сечению v.
Таким образом, уравнение Бернулли для двух каких-либо
сечений I и II (фиг. 3—9) в потоке реальной жидкости имеет
вид
2 2
a и, n a Vo
4-----F — = ^2 4" — + ~ + ^,1-2 > (3—46)
7 2g 7 2g
где £w>1_2 — потеря удельной энергии на трение на длине 1—2
между сечениями.
§ 3—12. ПРИМЕРЫ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ
УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ
Уравнение Бернулли является основным уравнением гидро-
динамики, с его помощью выводятся расчетные формулы для
различных случаев движения жидкости и решается много прак-
тических задач.
Для решения этих задач обычно по длине потока выделяется,
два поперечных сечения так, чтобы для одного из них были из-
вестны величины р, г и о, а для другого одна или две из них
были неизвестны и подлежали определению. Для выбранной па-
ры сечений потока пишут уравнение Бернулли для потока реаль-
ной жидкости (3—34). Если требуется определить две неизвест-
ные величины, то применяют уравнение неразрывности потока
(3—12) и решают совместно полученную систему уравнений. На
ряде примеров ниже познакомимся с практическим приложением
уравнения Бернулли.
Пример 3—1. Пьезометрический водомер. Простейшим водомерным уст-
ройством для труб является изображенный на фиг. 3—14 пьезометрический
водомер или водомер Вентури; он представляет собой вставку в основную
трубу диаметром D трубы меньшего диаметра d, которая соединена с первой
коническими раструбами.
По показаниям пьезометров, поставленных в нормальном и сжатом сече-
ниях 1 и 2, можно определить расход Q в трубе. «
Pi Рч
Пусть дано D = 0,20 м, d — 0,10 ж, + — — 1 м, z2 + —— 9,5 м*.
Определить Q.
92
Глава Ш. Теоретические основы гидродинамики
Решение. Напишем для точек на оси трубы в сечениях 1 и 2 урав-
нение Бернулли, пренебрегая ввиду малости расстояния 1—2 и плавности
перехода членом hw, учитывающим потери энергии:
так как 21=22 (ось трубы горизонтальна), то имеем отсюда
и V2 напишем также уравнение
Для нахождения неизвестных величин Vi
неразрывности потока
Pi — <1>2 ^2 •
Подставляя
nD2
wl==
nd2
(09 — ----
2 4
4
и
получим
(01
D2
— — или
d2
D2
40 2
Обозначив
разность
Р1
Т
aai ID2
h = — — — 1 ,
2g W2 /
и выразив V2 через Vi, получим
7
откуда
Pi =
— -1
d4
а искомая величина
rJD2
Q — “1 Vi =
2g h
/ D4
а I — —1
\ d4
(3-47)
Это и есть основная формула расхода в пьезометрическом водомере.
В действительности вследствие наличия сопротивлений расход будет
несколько меньше теоретического и может быть представлен формулой
(3-48)
§ 3—12. Примеры, практического применения уравнения Бернулли 93
где р. — коэффициент расхода водомера, имеющий значения: для новых
водомеров р- = 0,985, для .водомеров, бывших в употреблении, р. =
=0,98.
Приняв для нашего
лучим
водомера р- =0,98, а =1,1 и подставив цифры, по-
3,14-0,2»
0 = 0,98“-----—
4 * 4
1,1
2-9,81-0,5
’ ’ = 0,98^0,314
9,81
1,1-15
= 0,0237 м^сек = 23,7 л’сек.
Пример 3—2. Определение высоты всасывания центробежного насоса.
Определить предельную высоту расположения оси центробежного насоса над
уровнем
воды в колодце hs (фиг. 3—15), зная расход насоса Q=30 л/сек,
Pv
всасывающей трубы d=150 мм, вакуум, создаваемый насосом,-=
и потери напора во всасывающей трубе
диаметр
=6,8 м 1
— 1
Решение. Применим уравнение Бернулли
для свободной поверхности воды в колодце 0—О
и сечения 1—1 всасывающей трубы перед входом
в насос, приняв за плоскость сравнения сечение
0—0:
2
ра ,
7 2g °
Искомая величина
Pi . avo
. Р^
hs —
7
Величина
7
av£
2g
лодце ро невелика, а
pl . aV\
7
2g
'W
—- — h
о /LW •
очень мала, так как скорость движения воды в КО-
потому ею без ущерба для точности расчетов можно
п Ра Ра 1 1 Ри П
пренебречь. Разность—- — — есть вакуум в сечении 1—/, т. е. —.Поэтому
"7 7
'T
, _ Ро __ W1 ,
7 2g
формула для определения высоты расположения
(3-49)
Это есть основная
центробежного насоса.
Подставляя числовые значения, получим
4-0,030
---------=1.7 м/сек ;
3,14-0,152 9 1 ’
Vi = -
<Ч)|
2
avi
1,1-1,72
= 0,16 м.
2g 19.62
Наконец, по формуле (3—49) имеем
/^ = 6,8 — 0,16 — 1,0 = 5,64 м.
94
Глава III. Теоретические основы гидродинамики
Пример 3—3. Расчет короткой трубы и построение пьезометрической
линии. Имеется резервуар, создающий напор Н=4 м, и короткая труба дли-
ной /=50 м и диаметром d—100 мм с краном посредине (фиг. 3—16). Тре-
буется определить расход в трубе и пост роить пьезометрическую линию.
Возьмем два сечения: одно на
свободной поверхности воды в резер-
вуаре 0—0 и второе при выходе струи
из трубы в атмосферу /—/. Приняв
за плоскость сравнения ось трубы,
напишем уравнение Бернулли
Пренебрегая скоростным напором
V2
%
в резервуаре —- , получим
2g
av2
Н = д -{' hw.
Весь напор в резервуаре затра-
Фиг. 3—16 чивается на создание скорости v в
трубе и на преодоление сопротивле-
ния hw.
Величина hw, как мы увидим в дальнейшем, для труб состоит из двух
частей: потери напора на трение по длине hi и потери на так называемые
местные сопротивления Ал-
мулой
Потеря напора на трение по длине трубы может быть выражена фор-
(3—50)
где X — коэффициент трения по длине трубы;
I — длина трубы;
d — ее диаметр;
v — средняя скорость движения жидкости в трубе.
Потеря на местные сопротивления (в кране, задвижке, на повороте и
т. п.) может быть выражена формулой
V2
0-51)
" 2g
где С — коэффициент местного сопротивления.
Подробнее об определении коэффициентов X и С будет изложено ниже.
Здесь же мы их касаемся только для иллюстрации величины добавоч-
ного члена уравнения Бернулли — hw.
Представив hw в расшифрованном виде, мы получим
<w2 / V2
d
(3-52)
$ 3—12. Примеры, практического применения уравнения Бернулли 95
отсюда находим скорость v и расход Q при движении жидкости в трубе:
(3—53)
(3—54)
Пусть известны коэффициент трения в трубе X =0,025 и коэффициенты
местных сопротивлений: входа в трубу Свх=0,5 и крана Скр =2,5.
Принимая а?«1, по формулам (3—53) и (3—54) находим
v —
50
1 +0,025 — + 3,0
2.9,81*4
78,48
------= 2,18 м]сек
и
izd2 3,14‘0,12
Q = —--^—2,18 = 0,0785*2,18 = 0,0171 л«3/с^=17,1 л/сек.
Для построения пьезометрической линии возьмем на оси трубы четыре
точки /, 2, 3 и 4 (фиг. 3—16,6).
Избыточное давление в точке 1 найдем из уравнения Бернулли для се-
чения 0—0 и сечения, проходящего через точку /:
ау0 Р (W2
Н + й = ' + +7 + +е/,О-Г»
2g 7 2g
пренебрегая величиной —
2g
членами уравнения и заменив
как очень малой по сравнению с другими
V2
«те,0-1 = ^вх—, получим
откуда
7
Далее, из уравнения Бернулли для сечений, проходящих через точки
1 и 2:
1__
р2___* —
7 7 d 2g '
I
96 Глава Ш. Теоретические основы гидродинамики
Аналогично получим также
Рз Рг г р2 Pt Рз , 2 v2
7 7 2g 7 7 2g
р>
Избыточное давление — в точке 4 у выхода из трубы должно быть
7
равно нулю, так как здесь струя уже вытекает в атмосферу.
После подстановки численных значений получаем
— = 4 - (Ц- 0,5) = 4- 0,242-1,5 = 3,637 л;
19,62
р2 25
-^- = 3,637 — 0,025 — 0,242 = 3,637- 1,516 = 2,121 м;
7 0,1
— = 2,121 —2,5-0,242 = 2,121 —0 605= 1 516л;
7
о °5
— = 1,516 — 0,025 — 0,242= 1,516 —1,516= 0.
7 0,1
Равенство нулю результата последней строки подтверждает правильность
решения.
Изменение давления на участках между точками, для которых давления
определены, будет в данном случае происходить по закону прямой линии. По-
строение пьезометрической линии приведено на фиг. 3—16,6.
§ 3—13. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ
Выведем основную зависимость для равномерного движения
потока^еалыюй жидкости в трубах и открытых руслах.
Для этого в трубе или открытом канале с движущейся жид-
костью выделим объем жидкости, ограниченный двумя попереч-
ными сечениями 1—1 и 2—2, находящимися на расстоянии / друг
от друга (фиг. 3—17). При равномерном движении площадь по-
перечного сечения 0^(02= = const.
Координаты центров тяжести сечений 1—1 и 2—2 относи-
тельно горизонтальной плоскости сравнения обозначим через Z\
и г2; давления в центре тяжести сечений 1—1 и 2—2 обозначим
через р\ и р2; для напорного движения в трубе давление будет
характеризоваться показаниями пьезометрических трубок и
— ; для движения в открытом канале давление в центре тяжести
7
сечения будет характеризоваться глубиной погружения цент-
ра тяжести he-
Напряжение силы трения, возникающее между потоком и
стенками русла, обозначим через т.
§ 3—13. Основное уравнение равномерного движения
97
Выделенный между сечениями 1—1 и 2—2 объем жидкости
находится в равномерном движении. Из механики известно, что
прямолинейное равномерное движение возможно лишь при усло-
вии, что все действующие на тело силы взаимно уравновешены
Поэтому для выделенного объема можно написать условия рав-
новесия.
Фиг. 3—17
На выделенный между сечениями 1—1 и 2—2 объем деист*
вуют следующие силы: сила тяжести G=y<*>Z, приложенная в
его центре тяжести, силы гидродинамического давления Р\=р\ <»
и Р2^р2 нормальные к сечениям 1—1 и 2—2 и направленные
в разные стороны, и сила трения, возникающая на поверхности
соприкосновения потока со стенками, равная ^х /, где х— смо-
ченный периметр сечения (см. § 3—1); эта сила направлена в
сторону, противоположную движению. Так как движение потока
равномерное (без ускорения), то силы инерции в выделенном
нами объеме отсутствуют.
Приравниваем нулю сумму проекций всех сил на ось дви-
жения:
— Р2 + G cos а — тх I — 0.
Заменив ,
ГЛ ГЛ 1 -
Рг = Р1ш-> Рг= И COS а = ——*,
получим
или после сокращения всех членов на 7<о
---------. 4.
7 7 76)
7 Зак. 1593
98
Глава III. Теоретические основы гидродинамики
Но, как видно из чертежа
Pi Рз L у ? — /7 J_ Р1 (? 1 Р2 \ . h
---------— г2 — Н-----------— 22 “г “• — nw
11 \ 1 / \ 1 /
есть потеря напора на трение по длине потока между сечениями
1—1 и 2—2.
Отношение —, дающее потерю на единицу длины потока,
есть гидравлический уклон I.
Заменив —— ~ + zt — г2 через hw и — через гидравличе-
11 X
ский радиус R и поделив обе части равенства на /, получим
т
I =---
^R
ИЛИ , ;
— ~Ri. (3-55)
Полученное выражение называют основным уравне-
нием равномерного движения. Ойо показывает, что
напряжение силы трения, отнесенное к единице веса жидкости,
равно произведению гидравлического радиуса на гидравлический
уклон потока.
ГЛАВА IV
ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ
§ 4—1. ВИДЫ СОПРОТИВЛЕНИЙ
Как было показано выше (см. § 3—12), уравнение Бернулли
для потока реальной жидкости имеет вид
2 2
П п
2i Н “ + ~+ “ + -— (3—46)
7 2g 7 2g
где hw — потери напора на преодоление сопротивлений.
Потери учитываются отдельно для прямых участков труб и
каналов и отдельно для местных сопротивлений. Местными
сопротивлениями в трубах принято называть устройства, в кото-
рых происходит резкая деформация потока; к ним относятся
фасонные части, арматура и оборудование водопроводных сетей.
Потерю напора по длине трубопровода учитывают по фор-
муле
или
где I — длина участка трубопровода, для которого определя-
ются потери;
v — средняя скорость в трубе.
В формуле (4—1) X называется коэффициентом тре-
ния в трубах.
Из формулы (4—1) видно, что X—величина безразмерная,
I
так как hl и имеют размерность длины, а -------безразмер-
ное отношение.
Потери напора в каналах и трубах некруглого сечения мож-
но учитывать по формуле
(4-Г)
2g 47?
7*
100
Глава IV. Гидравлические сопротивления
Как будет подробно показано ниже, коэффициент трения X
в некоторых случаях зависит от скорости, и потому из структу-
ры формул (4—1) и (4—2) не следует делать вывод, будто по-
тери напора по длине всегда пропорциональны квадрату скоро-
сти.
Потери напора на местные сопротивления определяются
по формуле вида
(4—3)
2g
где С— коэффициент местного сопротивления.
Для возможности учета потерь напора необходимо уметь
определять коэффициенты X и С. Для этого надо предварительно
познакомиться с физическими явлениями, происходящими в
потоке жидкости.
§ 4—2. ДВА РЕЖИМА ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
Уже со второй половины XIX столетия было известно, что
жидкость может течь по трубе двояким образом. В некоторых
случаях поток как бы состоит из отдельных несмешивающихся
Фиг. 4—1
слоев. В других же случаях
течение происходит с переме-
шиванием. Первым это отме-
тил Хаген (1869 г.). Закон
сопротивления движению жид-
кости зависит от режима дви-
жения. Знаменитый русский
ученый Д. И. Менделеев в
своем сочинении «О сопротив-
лении жидкостей и о воздухо-
плавании» в 1880 г. указы-
вал на существование в природе двух режимов движения
жидкости с различными законами ее сопротивления. Эта же
мысль была развита и доказана в 1883 г. русским физиком
Н. П. Петровым, впервые установившим, что при смазке силы
трения, определяемые вязким сопротивлением при ламинарном
движении, пропорциональны первой степени скорости.
Наиболее полные исследования режимов движения жид-
кости в трубах произвел английский физик О. Рейнольдс в
1881—1883 гг. Опыты Рейнольдса состояли в следующем. В по-
ток жидкости, движущейся из напорного бачка по трубке (фиг.
4—1), вводилась краска. При этом было замечено, что в зави-
симости от скорости движения потока струйка краски либо дви-
галась неразмываемой нитью (фиг. 4—2,а), не смешиваясь с
жидкостью, либо размывалась и перемешивалась с жидкостью
§ 4—2. Два режима движения жидкости
101
Фиг. 4—2
ламинарный режим нарушается
(фиг. 4—2,6). Первый режим движения жидкости называют
ламинарным, он характеризуется параллельноструйным
течением, а второй — турбулентным, в этом случае парал-
лельноструйность течения отсутствует. Другой способ различить
два режима движения жидкости состоит в том, что в поток по-
мещают проволоку, имеющую значительное электрическое со-
противление, и пропускают по ней электрический ток. Тогда при
ламинарном движении жидко-
сти, когда перемешивания нет,
стенки трубы остаются холод-
ными, а при турбулентном ре-
жиме, когда жидкость переме-
шивается, стенки трубы на-
греваются. При прочих равных
условиях турбулентный режим
получается при сравнительно
больших скоростях, а лами-
нарный — при малых.
Если постепенно увеличи-
вать скорость движения в тру-
бе, то при некоторой достаточно
большой скорости, называемой
верхней критической скоростью,
и происходит резкий переход к турбулентному режиму. В от-
дельных опытах с той же жидкостью в той же трубе скорость,
при которой происходил такой переход, может значительно из-
меняться. Если же при турбулентном режиме уменьшать ско-
рость, то происходит обратный переход от турбулентного режи-
ма к ламинарному; скорость, соответствующая переходу к лами-
нарному режиму, — нижняя критическая скорость — всегда мень-
ше верхней и имеет довольно определенное значение. В дальней-
шем под критической скоростью будем понимать нижнюю
критическую скорость. Как показывают опыты, критическая ско-
рость тем больше, чем тоньше труба и чем больше вязкость жид-
кости.
Теория динамического подобия и опыты с различными жид-
костями при различных диаметрах труб и при различных ско-
ростях показывают, что переход от турбулетного режима к ла-
минарному происходит при определенном значении безразмер-
ного отношения
Re = —
(4-4)
где V— средняя скорость течения;
d — диаметр трубы;
v — кинематический коэффициент вязкости (см. § 1—3).
102
Глава IV. Гидравлические сопротивления
Это отношение называют числом Рейнольдса. Оно является
критерием режима движения.
Движение жидкости
Re<2 320 происходит при
в трубе при числе Рейнольдса
ламинарном режиме. Если же число
Рейнольдса будет Re>2 320, тече-
ние* жидкости обычно происходит
при турбулентном режиме. В лабо-
раторных же условиях можно по-
лучить турбулентный режим и при
значительно больших Re. Для этого
нужно иметь очень плавный вход
в трубу, отсутствие сотрясений и
первоначальных возмущений в пи-
тающем баке и очень плавно уве-
личивать скорость.
Число Рейнольдса, при котором
происходит переход от турбулент-
ного режима движения к ламинар-
ному, называется критическим.
По опытам Рейнольдса, оно
для всех жидкостей было равно
Re = 2 000. Последующие опыты
установили более точное значение
критического числа Рейнольдса,
которое теперь принимается
Re = 2 320. Рейнольдс установил также, что при лами-
нарном режиме потери на трение на единицу длины трубы
z = -р- пропорциональны первой степени скорости i = av, а при
турбулентном i=bvn, где п = 1,75 н-2,0. Если результаты опы-
тов по учету потери напора hw изобразить на графике, на одной
оси которого откладывать 1g v, а на другой 1g i, то полученный
при этом логарифмический график будет иметь вид ломаной
линии (фиг. 4—3). Для ламинарного режима lg i = lg а + lg v,
причем угол ^=45°, так как tgPx= п = 1,0. При турбулентном
режиме lgf = lg&+ nlgt>, причем tgp2“ л = 1,75-5-2.
Теория динамического подобия (см. § 14—1) доказывает,
что если явление происходит под действием сил вязкости, то в
двух механических системах это явление будет происходить
динамически подобно, если числа Рейнольдса, составленные из
соответствующих элементов, будут в этих системах равны. Пере-
ход от турбулентного режима к ламинарному как раз и происхо-
дит в результате действия сил вязкого трения, которые препят-
ствуют пульсации и перемешиванию, стремясь как бы связать
частицы жидкости друг с другом. Число Рейнольдса не имеет
размерности, что видно из следующего:
§ 4—2. Два режима движения жидкости
103
LL7"*1
= L0 Т°.
Для определенного диаметра трубы и определенной вяз-
кости v можно определить критическую скорость
! __Некр »
(4—5>
где ReKp — критическое число Рейнольдса, равное 2 320;
v — кинематический коэффициент вязкости (см. § 1—3);
d — диаметр трубы.
Например, для воды при температуре 15° критическая ско-
рость получается равной
2 320-0,0114 26,4 ,
икр =-----Н" см)сек.
а а
При различных диаметрах трубы имеем следующие значение
с ко для воды при температуре 15°.
Таблица 4—I
d в см 0,1 1 10 100
t>Kp в см/сек 264 26,4 2,64 0,264
Эта таблица показывает, что при обычных для водопровод-
ных труб диаметрах (>2,5 см) и скоростях (>0,7 м!сек) ре-
жим движения практически будет всегда турбулентным.
Для открытых русел число Рейнольдса часто пишут в та-
ком виде:
Re
Rv
(/?) — V
(4—6)
где R — гидравлический радиус живого сечения (т. е. отноше-
ние площади живого сечения к смоченному пери-
гл \
метру R = — .
х /
d 4
Так как для труб мы имели R = — то число Рейнольдса.
4
гл Re
отнесенное к гидравлическому радиусу, будет Re^ = —, а его
критическое значение Re^Kp 500 -нбОО.
104
Глава IV, Гидравлические сопротивления
§ 4—3. СВОЙСТВА ЛАМИНАРНОГО РЕЖИМА
Ламинарное течение в прямой круглой трубе можно иссле-
довать теоретически.
Пусть имеется ламинарный поток с равномерным движени-
ем в трубе круглого сечения с радиусом г (фиг. 4—4). Приме-
ним к нему выведенное выше (см. § 3—14) основное уравне-
ние равномерного движе-
ния и определим закон
распределения скоростей
по ширине трубы и вели-
чину потери напора на
трение по длине. Соглас-
но (3—55) имеем
Фиг. 4—4 т = т RI;
с другой стороны, касательное напряжение в жидкости (см.
§ 1-3).
du
т = — J1 — .
dy
Знак минус здесь принят потому, что и уменьшается с уве-
личением у. Приравняв правые части двух последних равенств,
имеем
du
iRi = — н — •
dy
Проведем в трубе ось у, совместив ось х с осью трубы, и
выделим на расстоянии у от оси концентрический слой толщи-
ной dy (фиг. 4—4). Для него гидравлический радиус
о __ JL-
4 2 2 ’
подставляя его в последнее уравнение, получим
у . du
7 —I = — р- —.
2 г dy
Тогда касательное напряжение внутри жидкости
du yi
' * = — р— = — у.
dy 2 z
Как видим, величина т изменяется по линейному закону,
имея минимум т = 0 на гси трубы (у = 0) и максимум
« = г на стенке (у — г). Поэтому величина т может быть
выражена через следующим образом:
$ 4—3. Свойства ламинарного режима
105
Разделив переменные в дифференциальном уравнении, по-
лучим
а после интегрирования
и = у2 4- с.
Произвольную постоянную интегрирования С получим из
условия равенства нулю скорости и у стенок трубы
Тогда при у = г имеем
и —------— г2 + С =0,
4р.
откуда
Окончательно для закона распределения скоростей по ши-
рине трубы при ламинарном режиме имеем формулу, называе-
мую формулой Стокса:
_И_(Г2_у2)
(4-7)
Это есть уравнение параболы, имеющей максимум при у=0.
Таким образом, при ламинарном режиме скорости в трубе
распределяются по закону параболы с максимумом на оси. Для
получения величины средней скорости по сечению трубы v на-
пишем величину элементарного расхода dQ для концентрическо-
го кольцевого слоя, находящегося на расстоянии у от оси трубы
(фиг. 4—4):
dQ = ud<$ ~ — (г2 — у2) 2ку dy ,
откуда
— У2)У dy = — f (г2 — у2) у dy =
8р
106
Глава IV. Гидравлические сопротивления
Тогда
__ Q _ 4Q __ 7* ^2 __ *zmax
со itd2 32р. 2
т. е. средняя скорость при ламинарном режиме в трубе равна
половине максимальной скорости, наблюдаемой на оси трубы.
Из последней зависимости получаем i = — v ; заменив ? = pg
U,
и — = ч, имеем:
р
32v
I =--- у.
Формула (4—8), определяющая величину потери напора на
единицу длины трубы при ламинарном режиме, носит название
формулы Пуазейля по имени французского врача, кото-
рый в конце 30-х годов прошлого столетия исследовал гидравли-
ческое сопротивление волосных трубок в связи с изучением кро-
вообращения. Формула Пуазейля показывает, что потеря напо-
ра при ламинарном режиме пропорциональна первой степени
средней скорости, зависит от рода ошдкости (у), обратно про-
порциональна площади сечения трубы и не зависит от шерохова-
тости стенок трубы.
Формулу (4—8) можно преобразовать так:
Сравнивая полученную формулу с формулой (4—1) потери
> р2 ,
напора I , замечаем, что при ламинарном режиме коэф-
2gd
фициент трения X Таким образом, при ламинарном режи-
ме потерю напора можно определять по общей формуле (4—1)
s 64
при X = ---
Re
Если представить логарифмический график, на одной оси
которого изображены коэффициент трения X , а по оси абсцисс —
величины числа Рейнольдса Re, то эта зависимость для лами-
нарного потока (при Re<^2 320) выразится в виде прямой ли-
нии I (фиг. 4—14).
Установим значение коэффициента кинетической энергии а
при ламинарном режиме в круглой трубе. В § 3—12 мы получили
С u2dm
1 2 | «М(О
32v 2-32v v2 64
I — — v —----------- . --- ~ ----
gd2 vd 2gd Re
а = -----
mv2
(4-8)
(4—9)
2
§ 4—3. Свойства ламинарного режима
107
Подставляя полученные выше значения и и средней скоро-
сти v, получим
J (г2—у2)3 2тсу dy
о_________________
Г6 ТИГ2
что после интегрирования
Рассмотрим еще
случаи открытого без-
напорного потока при
ламинарном режиме
движения. Выделим
по длине потока глу-
биной h объем дли-
ной I и шириной, рав-
ной единице. Отсечем
в верхней части объе-
ма отсек высотой
h—у и рассмотрим
его в условиях равно-
мерного движения
(фиг. 4—5). На торцо-
вых поверхностях вы-
деленного объема будут
и сокращения дает а =2.
Фиг. 4—5
действовать силы, равные по ве-
личине и противоположные по направлению. Спроектируем^
все действующие на отсек ABCD силы на ось Ох, совпадающую
с направлением движения и параллельную поверхности потока.
Тогда вес выделенного отсека даст составляющую GX=G sin а —
—^(h—у) 1 sin а. Силы трения, развивающиеся на нижней по-
верхности отсека, будут
Спроектировав все силы на ось Ох, получим
7 (h —у) I sin а — т/ — 0; т «= 7 (Л — у) sin а ;
« du
с другой стороны, Т = р — или
dy
du =
7 (Я — у) sin ady
Так как при малых значениях угла a sin а -tg а = I, то du
= X(/Z — y)dy.
108
Глава IV. Гидравлические сопротивления
Проинтегрировав последнее выражение, получим
и = —у) dy = у (2h —у)+ С .
J V 2;j.
Так как при z/=0 и=0, то С=0. Таким образом, окончательно
имеем
u = ^-y(2h — y).
2р.
(4—10)
Это уравнение параболы, следовательно, эпюра распределе-
ния скоростей в открытом потоке при ламинарном режиме имеет
вид параболы (фиг. 4—5).
Максимальная скорость на поверхности цри y=h равна
и = -^--h2
“'max — n •
Элементарный расход по толщине слоя dy равен
dQ = и dy = — у (2h — у) dy.
2fi
Если просуммировать расход по высоте потока, получим
h
Q = (у (2/t — y)dy =^-hs; v = -5- = I^- = i/z2 = -|~nmax.
2р. J op. о
Касательное напряжение ~ изменяется по закону треуголь-
ника от т=0 на поверхности дот = ттах = hi у дна.
Ламинарный режим движения жидкости в трубах часто
встречается в нефтепроводах, маслопроводах, а также при дви-
жении грунтовых вод в порах грунта, освещенном в гл. XII.
§ 4—4. ОСОБЕННОСТИ ТУРБУЛЕНТНОГО ДВИЖЕНИЯ
ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ
а) Современные воззрения на структуру турбулентного потока
В турбулентном потоке вследствие постоянного перемещения
частиц жидкости в направлении, перпендикулярном основному
течению, происходит непрерывный процесс перемешивания. По-
этому скорость течения в отдельных точках турбулентного пото-
ка изменяется во времени как по величине, так и по направле-
нию, сохраняя в среднем за достаточно долгий промежуток
времени постоянную величину и направление. Это явление носит
название пульсации скорости. Если изобразить графиче-
§ 4—4. Особености турбулентного движения жидкости в трубах
109
ски изменение скорости u=f (/) в данной точке по времени (фиг.
4—6), то осредненная по времени скорость турбулентного пото-
ка в данной точке равна
т
J udt
й=°—, (4-11)
1
т. е. будет равна высоте прямоугольника с основанием Т, равно-
великого по площади криволинейной фигуре, ограниченной свер-
Фиг. 4—6
Фиг. 4—7
ху графиком скорости, снизу — осью времени, а с боков — верти-
кальными отрезками. Разность между_ фактической мгновенной
скоростью и и осредненной скоростью и в данной точке и'=и—
называется пульсационным добавком или скоро-
стью пульсации; величина последней изменяется по вре-
мени от максимального отрицательного значения до максималь-
ного положительного, переходя через нуль.
Следует различать понятие осредненной скорости и в данной
точке потока и средней по всему живому сечению ско-
Q
рости потока v = — .
со
Процесс непрерывного перемешивания в турбулентном пото-
ке естественно вызывает появление дополнительного трения меж-
ду отдельными частицами, которое оказывается во много десят-
ков раз больше, чем трение при ламинарном режиме движения
жидкости.
По схеме, созданной немецким ученым Прандтлем, при тур-
булентном режиме большая часть потока в трубе занята «тур-
булентным ядром» (фиг. 4—7,а), а у стенок трубы образуется
очень тонкий, так называемый «пограничный» слой с ламинарным
режимом, от которого (фиг. 4—7,6) вследствие наличия на стенке
по
Глава IV. Гидравлические сопротивления
выступов шероховатости отрываются отдельные вихри, вызываю-
щие в центральном турбулентном ядре поперечные токи. Это пе-
ремещение вихрей можно наблюдать на фотографиях (см. фиг.
4—8,а и б). На фиг. 4—8,а показано турбулентное течение в лот-
ке, причем при фотографировании камера двигалась по течению
Фиг. 4—8
а — турбулентное течение в открытом лотке; при фотографировании
камера двигалась по течению со скоростью слоев жидкости, близких
к стенкам, б — то же течение, что и на фиг. 4—8, а, но фотокамера
двигалась со скоростью средней части потока
со скоростью слоев жидкости, близких к стенкам. На фиг. 4—8,6
показана фотография того же течения, но фотокамера двигалась
со скоростью средней части потока. Эти вихри, зарождающиеся
между выступами (фиг. 4—9), являются основной причиной пере-
мешивания краски в потоке при турбулентном режиме, наблю-
давшегося в опытах Рейнольдса.
Такая схема структуры турбулентного потока, конечно, яв-
ляется весьма приближенной и не раскрывает всей сложности
§ 4—4. Особености турбулентного движения жидкости в трубах
111
процесса турбулентного перемешивания, но все же до известной
степени дзет объяснение наблюдающимся в потоке явлениям.
По новейшим современным воззрениям, основанным на рабо-
тах советского исследователя Г. А. Гуржиенко, в весьма тонком
Фиг. 4—9. Движение жидкости около зубчатых выступов
кольцевом слое у стенки трубы сохраняется ламинарный режим
движения (фиг. 4—-10). В этом слое, называемом ламинарной
пленкой, имеющей толщину скорость
быстро нарастает оту=0 до f==fncrp •
Толщина пленки с ламинарным
режимом приблизительно выражается
формулой
Л ж т
ол N — ,
и...
где N — постоянная величина, равная
по опытам Никурадзе N — 10,47;
v — кинематический коэффициент вяз-
кости;
(4-12)
п0н
ядро течения
переходный слой
! ^Ламинарный слой
Фиг. 4—10
где i — гидравлический уклон;
R — гидравлический радиус.
б) Касательное напряжение при турбулентном режиме
В 30-х годах нашего столетия были сделаны попытки теоре-
тического исследования закономерностей турбулентного потока с
112
Глава IV. Гидравлические сопротивления
целью получения теоретически обоснованных формул для коэф-
фициента трения X. В этом отношении заслуживают внимания
теоретические работы Прандтля и Кармана, существо которых в
основном следующее.
Рассмотрим два соседних слоя а и b движущейся жидкости
с площадью соприкосновения 5 (фиг. 4—11) и относительной
скоростью движения и'. Кроме относительной разности скоростей,
в осевом направлении имеет-
ся еще поперечное движение
частиц жидкости от слоя b к
слою а со средней скоростью
vr. При этом величина v'S бу-
дет объемом, a р v'S— массой
жидкости, переходящей от
слоя к слою в единицу вре-
Фиг. 4—11 мени. При имеющемся обме-
не количеством движения ме-
жду слоями а и b появится ка-
сательная сила Т = р Suv', действующая на слой а в направле-
нии, обратном его движению, т. е. тормозящая его. Касательное
напряжение при этом будет
Т , ,
т = — — pit v .
По теории Прандтля величина
a v'=k2ldd/-'\,
\dy ) \dy
где /1 — расстояние между слоями;
k\ и й2 — коэффициенты пропорциональности;
du
— градиент скорости.
Тогда
- =р^1й2/2|'^-)2 = р/2^У> (4-13)
\dy / W /
где величина kik2li2=l2 Прандтлем названа «длиной пути пере-
мешивания» и принята пропорциональной расстоянию у от стен-
ки трубы, т. е. 1= уу, где %—коэффициент, оказавшийся по-
стоянным для разных жидкостей и названный Карманом «уни-
версальной постоянной». По Карману, х =0,36 0,435, по Пран-
дтлю и новейшим исследованиям Гуржиенко, х —0,435.
Уравнение (4—13) выражает турбулентное касательное на-
пряжение в общем виде. Суммарное напряжение трения в тур-
булентном потоке будет иметь вид
т = и( — +p/2(^L . (4-14)
' dy ) ' \dy J
- § 4—4. Особености турбулентного движения жидкости в трубах 113
При турбулентном режиме второй член в правой части мно-
го больше первого. Уравнение (4—14) можно представить и в
виде закона трения, данного Петровым (1—2):
где £ = р/2носит название коэффициента турбу-
лентной или виртуальной вязкости жидкости.
в) Распределение скоростей в трубах при турбулентном режиме
Подставляя в формулу (4—13) данное Прандтлем выраже-
ние 1= *у, мы получаем соотношение
откуда, интегрируя, получаем
и = — т / JL (1П у const) — — (In у + С).
X У р X
Здесь через и* обозначено отношение 1/ — = о I / — , ко-
У Р г 8
торое имеет размерность скорости и называется «динамической
скоростью» или скоростью касательного напряжения у стенки.
Максимальную скорость мы получаем на оси трубы, где у—г.
и
«max =— (1П Г + С).
X
Вычитая из этого равенства предыдущее, получаем
^гпах и 1 / г
U* х \ У
(4—16)
Формулу (4—16) называют логарифмической формулой рас-
пределения относительного дефицита скорости --------. Эта фор-
*
мула после замены в ней и * = я]/ — дает возможность устано-
вить связь между распределением скоростей и коэффициентом
трения X.
8 Зак. 1593
114
Глава IV. Гидравлические сопротивления
Карман и Прандтль на основании опытов Никурадзе счита-
ли * универсальной постоянной; однако, как показали опыты
ВНИИ Водгео, проведенные Ф. А. Шевелевым, * не является
универсальной постоянной, а является переменным параметром,
зависящим от диаметра трубы. По Ф. А. Шевелеву
0,337
d0’08 ’
(4—17)
Um - и
и поэтому
^!ISL=^- = 2,97rf0’08ln —. (4—18)
и* У
Уточненная Ф. А. Шевеле-
вым логарифмическая формула
(4-18) все же не дает вполне
правильного распределения ско-
ростей по всему сечению. В самом
деле, например, на оси трубы гра-
du
диент скорости — должен быть
dy
равен нулю, формула же (4—18)
дает
Но в средней зоне на неко-
тором расстоянии от оси трубы и от стенок эта формула дает
приблизительно верную форму эпюры осредненных скоростей,
совпадающую с данными опытов (фиг. 4—12).
Кроме логарифмической формулы (4—16), для характери-
стики распределения скоростей в трубах пользуются и так на-
зываемой степенной формулой, имеющей вид (см. § 3—14)
(У
I
г /
(4—19)
где и — скорость на расстоянии у от стенки трубы (фиг.
3-12);
^тах—скорость на оси;
k — показатель степени, изменяющийся от Л—*0,25 для
шероховатых труб до k—0,10 для гладких труб.
Формула (4—19) дает на оси трубы излом в эпюре распре-
деления скоростей и не дает прямой связи между распределени-
ем скоростей и коэффициентом трения X и поэтому неудобна
для определения коэффициента X.
§ 4—5. Потери напора на трение в трубах при турбулентном режиме 115
§ 4—5. ПОТЕРИ НАПОРА НА ТРЕНИЕ В ТРУБАХ
ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ РЕЖИМЕ
Точного вывода величины коэффициента трения по длине для
турбулентного потока не имеется. Так как в инженерной практи-
ке значительно чаще приходится иметь дело с турбулентным ре-
жимом, при котором потери напора пропорциональны прибли-
зительно квадрату скорости, то силу трения принято выражать
следующей формулой:
*|2
Т==фр^-5, (4-20)
где S — поверхность трения;
ф— безразмерный коэффициент.
Отсюда среднее касательное напряжение на стенках будет
(4~21)
Но так как по формуле (3—55) и для круглой трубы
d
2g
откуда гидравлический уклон при равномерном движении
и2
t — ф-----------------------------,
а средняя скорость движения
2g7?
v
i .
Вводя обозначение X = 4 ф , получим
v
или
v = С RI.
(4—22)
называется с ко -
Эта формула называется формулой Шези по имени
французского гидравлика, который предложил ее для открытых
русел в 1775 г. В этой формуле С
ростным множителем или коэффициентом Шези.
8*
116
Глава IV. Гидравлические сопротивления
Следует твердо помнить, что скоростной множитель С имеет
размерность квадратного корня из ускорения
[С] — LT~\
Это ясно из последней формулы, так как X — величина без-
размерная.
Значит, пользуясь формулой Шези, надо обращать внима-
ние на то, в каких единицах ведется решение. Формулы для С
составлены для метров, и поэтому при пользовании формулой
Щези надо гидравлический радиус выражать в метрах, а ско-
рость будет получаться в м!сек.
До середины прошлого века считали, что С (или X) должны
быть постоянными числами. Но практика показывала, что это
неверно, и требовала более углубленной проработки вопроса.
Используя формулу (4—16), Прандтль принимает величину
С постоянной и равной
Тогда формула (4—16) принимает вид
и~и In у----------------------— In ——h С,')
* \ % у ъ и* J
или
и — и f— In уи* + Cj V (4—16')
* \ X V /
Обрабатывая данные опытов Никурадзе для гладких труб,
Прандтль получил С—5,5.
Учитывая, что х = и что согласно опытным данным
V2
v—u гаах—4,07//*, и переходя от натуральных логарифмов к де-
сятичным, Прандтль получил для гладких труб
= 2 1g (Re
(4—23)
Для шероховатых труб Прандтль принимает величину С в
формуле (4—16') равной С = С2--— In Д (где Д—абсолютная
X
шероховатость).
Тогда
/ 1 1 У ।
и = U* I------------In — -f- С2
‘ \ х Д
§ 4—5. Потери напора на трение в трубах при турбулентном режиме 117
Переходя на десятичные логарифмы и учитывая, что по опы-
там С2 = 8,5 (при равнозернистой шероховатости), Прандтль для
шероховатых труб получает формулу, которую в общем виде
можно написать так:
(4—24)
flj
Л
а — неравномерная; б — равномер-
ная; в — волнистая
Фиг. 4—13. Типы шерохо-
ватости
Здесь А — параметр, характеризующий - форму шерохова-
тости. По опытам Никурадзе для равнозернистой шероховато-
сти было найдено 4=1,74.
До недавнего времени эта формула считалась с теоретиче-
ской стороны самой лучшей. Говорили, что дело лишь за накоп-
лением опытных данных по абсолютной шероховатости А
и параметром (формы А. Исследования же советских ученых, вы-
полненные в течение последних 8—10
лет во Всесоюзном научно-исследова-
тельском теплотехническом институте
и во ВНИИ Водгео, показали, что она
имеет недостатки и с теоретической
стороны, вытекающие из несовершен-
ства теории Прандтля — Кармана.
Как показала экспериментальная
поверка формулы (4—24) и опыты с
искусственной шероховатостью, оцен-
ка шероховатости только по высоте
выступов недостаточна, так как харак-
тер расположения выступов, а также
форма выступов сильно влияют
на величину сопротивления.
онятие о гидравлически эквивалентной
шероховатости Дэ = <р А, где <р — коэффициент, зависящий от ха-
рактера расположения выступов и их формы; А—величина вы-
ступов отдельных шероховатостей (фиг. 4—13), называемая аб-
солютной шероховатостью стенок. Однако на потерю напора в
трубах влияет величина не абсолютной, а так называемой «отно-
сительной» шероховатости — (где г — радиус трубы), а также
г
распределение и форма выступов.
Во второй половине XIX века французские инженеры Дарси,
а затем Базен установили, что при движении воды в обычных
для техники условиях Си X зависят от состояния стенок и от
размеров и формы поперечного сечения трубы или русла.
В начале нашего столетия было выявлено, что С и X зави-
появилось
=сят также и от скорости течения.
118
Глава IV. Гидравлические сопротивления
Теперь установлено, что величины X и С в самом общем
случае зависят от диаметра, скорости, плотности и вязкости жид-
кости, абсолютной шероховатости и характера самой шерохова-
тости.
Так, для величины X будем иметь
К = f(d,v, Р, р.,Д, Л),
где А — параметр, учитывающий характер шероховатости, или
после объединения некоторых величин в безразмерные пара-
метры
А Л \
Re—,Л .
d /
Для определенного вида труб, как-то: чугунных, железных,
асбестоцементных, имеющих определенную шероховатость, и для
воды при обычной температуре, имея в виду, что кинематиче-
ский коэффициент вязкости сравнительно мало изменяется, мы
можем написать
k = F (и, d).
Изучению зависимости коэффициента трения X в трубах от
определяющих его параметров было посвящено много экспери-
ментальных работ. Наиболее значительные из них это опыты Ни-
курадзе (1933 г.), опыты А. П. Зегжды (1938 г.) и опыты
Ф. А. Шевелева (1953 г.).
Никурадзе, производя свои опыты с зернистой шероховато-
стью, создавал определенную шероховатость, наклеивая зерна
песка определенной величины на стенку трубы, принимая диа-
метры зерен за абсолютную шероховатость.
Данные своих опытов Никурадзе изобразил на графике, где
по оси абсцисс откладывались логарифмы величин Re — — (чи-
сел Рейнольдса), а по оси ординат — логарифмы 100 X при раз-
личных значениях относительной гладкости — от 15 до 507.
д
Такой график позволяет наметить те основные зоны, кото-
рые характеризуют движение жидкости по трубам той или иной
шероховатости с различными средними скоростями движения
(см. фиг. 4—14).
При Re<^2 300 на графике наблюдается первая область — ла-
минарного режима (/). Она характеризуется прямой линией,
г 64
имеющей уравнение X = —.
§ 4—5. Потери напора на трение b трубах при турбулентном режиме 119
При 3,3<lg Re<3,6 наблюдается вторая область, характе-
ризуемая скачкообразным переходом ламинарного режима в тур-
булентный (//).
Эта область не имеет практического значения и не изобра-
жается какой-либо формулой.
£/} C,U Ц4 ЦО Ци ¥,4/ ^4 */* и,и и,и о,и
log Re
Фиг. 4—14. Опыты Никурадзе
Третья область — труб с гладкими стенками. Эта область
изображается кривыми, зависящими только от числа Рейнольдса.
Тип формулы для X в этой зоне имеет вид
л _ U у 1
Л =---- или Л — ---------- .
Re" (m lg a Re)2
Следует указать, что понятие о гладкости — до известной
степени понятие условное. Так, при малых числах Рейнольдса
труба может считаться гладкой, а при больших числах Рейнольд-
са эта же труба может вести себя как шероховатая. Это видно
на графике (фиг. 4—14), где кривая III для гладких труб пере-
ходит в прямую, параллельную оси абсцисс, т. е. величина X
становится независимой от чисел Рейнольдса.
Трубы называются гидравлически гладкими, когда толщина
ламинарной пленки у стенки 6П (фиг. 4—7) больше абсолютной
шероховатости А. В этом случае шероховатость скрыта под лами-
нарной пленкой и не влияет на движение. С увеличением числа
Re ламинарная пленка становится тоньше, и, когда шерохова-
120
Глава IV. Гидравлические сопротивления
тость полностью «обнажается», т. е. начинает омываться турбу-
лентным ядром потока, труба становится гидравлически шерохо-
ватой.
Четвертая область, называется переходной от области
гладких стенок к области совершенно шероховатых стенок (IV).
Она характеризуется формулами вида
k = f (Re, ,
где Л — абсолютная шероховатость.
Пятая область — вполне шероховатых труб (V); она харак-
теризуется формулами вида
и на (Ьиг. 4—14 изображается линиями, параллельными оси абс-
цисс. Эту область называю/ квадратичной или автомодельной
областью.
В 1938 г. А. П. Зегжда опубликовал результаты широко про-
веденных им экспериментов в открытом безнапорном потоке пря-
моугольного сечения. В опытах Зегжда применялась равнозер-
нистая (песчаная) шероховатость. Обработка полученных им ма-
териалов была оформлена в виде графика зависимости
lg 1 000Х—f (lg Re), гдеХ=4ф (фиг. 4—15).
На этом графике видны все режимы движения жидкости в
каналах: а) ламинарное движение, б) при гладких стенках,
в) при вполне шероховатых стенках (область квадратичной зави-
симости) и г) область перехода от вполне гладких стенок к
вполне шероховатым. Переходная область, обнаруженная в опы-
тах Зегжды с равнозернистой шероховатостью, в реальных пото-
ках с неоднородной шероховатостью не проявляется.
Для вполне шероховатых стенок Зегжда дал следующую
формулу:
—L- = 4,25 + 4 1g
V ф А
или
С = —, (4-25)
4,25+ 41g у-
где /? — гидравлический радиус;
Д — абсолютная шероховатость.
Для переходной области пока недостаточно опытных мате-
риалов, пользуясь которыми, можно было бы надежно произво-
дить расчеты в этой области для труб и русел из любого мате-
£ 4—5. Потери напора в трубах при турбулентной, режиме 12)
риала. Для стальных и чугунных водопроводных труб такие дан-
ные получены во ВНИИ Водгео (см. ниже).
Качественная картина для безнапорного движения жидкости
в открытых руслах и в трубах одинакова, и величина ф —-тгУве-
личивается с уменьшением числа Рейнольдса.
Ниже приводятся формулы для пятой области — области
вполне шероховатых стенок трубы (наиболее часто встречающей-
ся в практике), а затем формула для четвертой переходной об-
ласти.
В квадратичной области коэффициент X не зависит от числа
Рейнольдса и в общем виде может быть функцией относитель-
ной шероховатости и характера шероховатости (зернистая шеро-
ховатость, искусственная усиленная шероховатость, натуральная
шероховатость труб из различного материала).
Для открытых русел и труб наилучшей считается формула
акад. Н. Н. Павловского, имеющая вид
С = — Ry> (4-26)
п
где п — коэффициент шероховатости, зависящий от материала и
состояния стенок;
у — является функцией коэффициента шероховатости и гид-
равлического радиуса;
у = 2,5-|/’п—0,13 -0,75]/^ (К п — 0,10). (4—27)
122
Глава IV. Гидравлические сопротивления
Ввиду сложности этого выражения часто пользуются форму-
лами с постоянным показателем у от г/=0,167 до г/ = 0,25 в зави-
симости от коэффициента шероховатости (см. табл. 8—7 в
гл. VIII).
Величины п назначаются согласно виду шероховатости и
приводятся там же в табл. 8—4. Следует заметить, что коэффи-
циент шероховатости п—величина размерная. Таблица для п со-
ставлена так, чтобы пользоваться формулами для С в метровых
мерах.
Четвертая область, переходная от шероховатых стенок к
гладким, характеризуется тем, что в ней К зависит и от числа
Рейнольдса, и от относительной шероховатости, т. е.
X =т(Ке,А
\ ''о
или для определенного характера шероховатости и вязкости
жидкости
X = f(u, d).
Для переходной области часто
брука—Уайта, имеющая вид
применяется формула Коль-
(4—28)
Она получена объединением формул Прандтля для гладких
и шероховатых труб. При весьма малой величине , прибли-
жающейся к нулю, формула Кольбрука—Уайта сводится к фор-
муле для гладких труб
L - 2 1g (4-29)
V 1 2.51
и лишь при весьма большом числе Рейнольдса, приближающем-
ся к бесконечности, дает формулу для шероховатых труб.
Последнее противоречит действительности, так как из гра-
фика Никурадзе видно, что формула для шероховатых труб при
большой шероховатости применима даже для небольших конеч-
ных величин Re.
Такого же вида формулу предлагает А. Д. Альтшуль:
-L- = l,81g-----(4-30)
Ц х Ре—4-7
§ 4—5. Потери напора в трубах при турбулентном режиме 123
-----------------------------------------------_ t-----------------
ИЛИ
(4—31)
Эта формула представляет собой замену формулы Прандт-
ля—Никурадзе для гладких труб приближенной формулой Коль-
брука для гладких труб (4—29).
Кроме того, в ней имеется произвольная замена показателя
для шероховатых труб 2,0 на 1,8 и отбрасывание величины 3,7.
Пользуясь точно таким же приемом (механического объеди-
нения), Г. А. Адамов предложил следующую формулу:
(4-32)
Эта формула позволяет более близко подходить к опытным
данным путем изменения величины показателя т.
Все указанные выше формулы для переходной области обла-
дают следующими недостатками:
а) вполне шероховатыми трубы получаются только при Re—
= оо;
б) переход от квадратичной области к области гладких труб
происходит только асимптотически;
в) вывод указанных формул не базируется на опытном мате-
риале.
Экспериментальные работы по определению сопротивления
в переходной области проводились Г. А. Муриным во Всесоюз-
ном теплотехническом институте 1 и Ф. А. Шевелевым во ВНИИ
Водгео 1 2. Для характеристики вышеприведенных формул приво-
дится график (фиг. 4—16).
На этом графике по оси абсцисс отложены величины —
(число, аналогичное числу Рейнольдса), а по оси ординат
1 1
г---- г— (величина, характеризующая отклонение от
V Кмер V
квадратичного сопротивления).
Как видно из кривых на фиг. 4—16, между данными опытов
Никурадзе, Кольбрука—Уайта и Шевелева для переходной зо-
ны наблюдается значительное расхождение, особенно заметное
для чугунных труб.
1 Г. А. Мурин, Гидравлическое сопротивление стальных труб, «Изве-
стия ВТИ» № 10, 1948.
2 Ф. А. Шевелев, Исследование основных гидравлических закономер-
ностей турбулентного движения в трубах, Госстройиздат 1953.
124
Глива IV, Гидравлические сопротивления
Указанные недостатки приведенных выше формул, не нахо-
дящих полного подтверждения в опытах, побудили ВНИИ
Водгео произвести работы для получения возможно большего
количества экспериментальных данных по определению сопоо-
Фиг. 4—16. Кривые отклонений от квадратичного
сопротивления
Рейнольдса. Работы Водгео (Ф. А. Шевелева) основывались на
определении коэффициента трения X из условий распределения
скоростей по сечению трубопровода.
В соответствии с формулой (4—16) для средней скорости v
можно написать
= = _1_ )п _г_ = р , (4—33>
v* uV Х/8 х УСР
где по представлению Прандтля {3 является «постоянной дефи-
цита средней скорости» и равна (3=4,07. Переходя от натураль-
ных логарифмов к десятичным, получаем
8 = 2^3 = р (4—34)
- v V X х Уср
По опытам Ф. А. Шевелева, проведенным во ВНИИ Водгео,
координата средней скорости v в эпюре скоростей оказалась не-
зависимо от шероховатости
уср 0,24 г, ₽ S 4,24 d0’08
(4—35) •
§ 4—5. Потери напора е трубах при турбулентном режиме
125
На фиг. 4—17 показаны эпюры скоростей, снятыб при одном
и том же расходе, но при различной шероховатости стенок
трубы. На фигуре ясно видно влияние шероховатости на харак-
тер эпюры и, кроме того, видно, что средняя скорость остается
постоянной. Этот рисунок иллюстрирует высказанные выше по-
ложения о зависимости между средней и максимальной ско-
ростью.
Фиг. 4—17. Эпюры скоростей при различных шероховатостях
Уравнение (4—34) позволяет по данным полученных из
опытов величин нтахл и р получить значение коэффициента
трения X.
Выведенные таким образом формулы для коэффициентов
трения разделяются по своей структуре на степенные (типа Ше-
велева) и логарифмические (типа Никурадзе).
Для гладких труб Ф. А. Шевелев на основании обра-
ботки данных опытов Никурадзе получил следующие формулы
для коэффициента трения:
>=S. «-эд
це
или в логарифмической форме
-Т- = 1,8 lg Re—1,52. (4—37)
. V X
Эта формула совершенно одинакова с формулой Конакова
для гладких труб.
126
Глава IV. Гидравлические сопротивления
§ 4—6. ПОСЛЕДНИЕ РАБОТЫ ВНИИ ВОДГЕО ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ
ПОТЕРЬ НАПОРА В ЧУГУННЫХ И СТАЛЬНЫХ ТРУБАХ
ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ РЕЖИМЕ
Опыты ВНИИ Водгео, проводившиеся Ф. А. Шевелевым,
охватывали очень большой диапазон диаметров труб, а именно
от 15,55 мм до 1 200 мм. При этом, кроме лабораторных исследо-
ваний, был использован богатый экспериментальный материал
натурных исследований.
Поэтому формулы, выведенные на основании этих опытов,
дают более надежные данные, чем какие-либо ранее предложен-
ные формулы.
Отличительной чертой проведенных во ВНИИ Водгео иссле-
дований являются следующие положения.
а) Теоретический вывод коэффициента трения X основы-
вается на опытах по распределению скоростей по сечению трубы
и, как показали опыты, хорошо описывается упрощенной лога-
рифмической формулой
= -L in -L. (4—38)
Вводя значение средней скорости и учитывая, что величина
(4-39)
можно получить значение X:
(4—40)
Определяя опытным путем величины р и — ij МОЖНО
получить формулу для коэффициента сопротивления X, не при-
бегая к каким-либо гипотетическим положениям, к которым для
вывода формулы для X прибегала школа Прандтля—Кармана.
б) Изменение относительной шероховатости — в опытах
г
ВНИИ Водгео достигалось для труб определенного характера
(стальные, чугунные и т. д.) изменением диаметра труб, приме-
няемых в практике.
В этом случае шероховатость характеризуется родом труб
(например, трубы стальные, стальные со сварными стейками,
чугунные и т. д.), т. е. для каждого рода труб в этом случае бу-
дет получаться особая формула, а надобность в определении
абсолютной шероховатости отпадает.
§4—6. Последние работы ВНИИ Водгео
по определению потерь опора 127
При опытах было исследовано влияние стыковых соединений
труб. На фиг. 4—18 показано влияние длины чугунных труб
(т. е. влияние расстояния между стыками) при диаметре
d=152 мм. При этом, несмотря на то, что расстояние между
стыками изменялось от /=0,775 м до /=3,10 м, сопротивление
почти не изменялось.
Фиг. 4—18. Сопротивления новых чугунных труб d ~ 152 мм различной
длины
Влияние сварных стыков показано на фиг. 4—19.
Рассмотрение указанного графика зависимости 7 от Re по-
казывает, что с уменьшением расстояний между стыками (или,
что то же, увеличение числа стыков на единицу длины трубопро-
вода) коэффициент X сильно увеличивается.
Так, для числа Re=3 • 105 сопротивление стального трубо-
провода d= 155,1 мм при расстоянии между швами /=0,375 м
примерно в 1,6 раза больше сопротивления трубопровода без
стыков.
Таким образом, опытным путем показано, что стыковые
соединения чугунных труб почти не влияют на величину сопро-
тивления. Сварные стыки стальных труб сильно сказываются на
величине сопротивления. Это объясняется тем, что при соедине-
нии чугунных раструбных труб образуются выемки, которые не
оказывают заметного влияния на структуру потока, а сварные
соединения стальных трубопроводов образуют выступающие
внутрь трубы выступы.
128
Глава IV. Гидравлические сопротивления
Для новых чугунных и стальных труб на основании прове-
денных Шевелевым Ф. А. опытов в институте Водгео даются сле-
дующие формулы (где d дается в метрах, a v—в mi сек).
1. Для новых стальных труб
. 0,312
л =------
^0,226
"р
6
(4—41)
V ,
V 10,226
Фиг. 4—19. Влияние
сварных швов на сопротивление нового стального
трубопровода d~ 155 мм
Для гидравлического расчета водопроводных труб с доста-
точной для практических целей точностью можно принять v =
= 1,3- 10“6 м?/сек, что соответствует температуре воды 10°.
При этом значении v величина X в формуле (4—41) при-
нимает вид
. 0,0159 Г. . 0,684
А — ------ 1 -г-------
^,226 [ V
Это выражение ^в двучленной форме можно заменить при-
ближенным одночленным выражением
X — °,018
” ^0,226 ^0,15
(4—43)
Величина гидравлического уклона
2gd 2gnz d-'
§4—6. Последние работы ВНИИ Водгео по определению потерь напора 129
После подстановки X из формулы (4—43) выражение гид-
равлического уклона примет вид
Л 1.85
I = 0,001434 — . (4—44)
rf4,93
2. Для новых чугунных труб:
X =^^-Го,55-1О'6+—]. (4—45)
б/0’284 L v J
или, приняв
у— 1,3 • 10~6 м2/сек:
0,0144
^,284
2,36W84
V
Это выражение в двучленном виде можно заменить прибли-
женным одночленным выражением
0,0205
^0,284 ^0,25
(4—46)
Тогда выражение гидравлического уклона можно предста-
вить в виде
О1’75
г = 0,00159 ——•. (4—471
я4,784 3 4
3. Для неновых стальных и чугунных труб
Ф. А. Шевелев дает такие ^формулы:
1) При 9,2-106
0,0210
d
(4—48)
Эта формула соответствует значению С в формуле Шези:
-Ry
1 /р0,15
0,0133 к
(4—49)
Подставляя указанное значение X (4—54) в формулу для Z, по-
лучаем
о2
i = 0,001735-^-. (4—50)
2) При “y* <9,2 • 106 получаем
0,0216
^0,214 ^0,3
(4-51)
9 Зак. 1593
130
Глава IV. Гидравлические сопротивления
или приближенно
к _ 0,0210 1___0,210 .
~ d0’3 ' Т2 ~ d0’3 ’
гДе /г=-^-
После этого получаем, принимая значение к по
(4—52):
формуле
i = 0,001653
Q1’8
d4'9
Таким образом, .в переходной области можно пользоваться
формулой Ф. А. Шевелева
i = 0,001735 k. (4—54)
Значение k берется по опытам Шевелева (см. табл. 4—2)
или приближенно
k = -^- (4-55)
Таблица 4—2
Поправочные коэффициенты к расчетным значениям i
для стальных и чугунных труб
v в м сек k t v в м!сек k
0,20 1,41 0,65 1,10
0,25 1,33 0,70 1,085
0,30 1,28 0,75 1,07
0,35 1,24 0,80 1,06
0,40 1,20 0,85 1,05
0,45 1,175 0,90 1,04
0,50 1,15 1,00 1,03
0,55 1J3 1,10 1,015
0,60 1,115 1,20 1,00
Для расчета труб из различных материалов <и для движения
по трубе нефтепродуктов существуют специальные эмпирические
формулы. Так, для асбестоцементных труб во ВНИИ Водгео
Ф. А. Шевелевым экспериментальным путем была получена
формула, имеющая (при fe=l,15 и 1,3- 10~s м2/сек) вид
i = 0,000561 Ц-го
d1,la
3,51 у>,19
v /
(4—56)
§4—6. Последние работы ВНИИ Водгео по определению потерь напора 131
Для деревянных труб применяется формула
..1,8
i = 0,000885 — . м (4—57)
d1'1 •'
Для железобетонных труб применяется формула
I = а
d^
(4-58)
Значения коэффициента а в этой формуле приводятся в
табл. 4—3.
Таблица 4—3
Класс Характеристика трубопроводов Коэффициент a
н Трубы, изготовленные в деревянной опалубке 0,001135
III Трубы, изготовленные с применением метал- лической опалубки и покрытые штукатуркой из чистого цемента с железнением при хорошем качестве работ 0,000917
IV Трубы, изготовленные с применением метал- лической смазанной маслом опалубки, тщательно зажелезненные, при особо высоком качестве ра- бот 0,000797
Гибкие резиновые рукава, армированные внутри стальной
спиралью и неармированные, имеющие внутри гладкую поверх-
ность, рассчитываются по значениям коэффициента трения К, за-
висящим от величины условного диаметра и (для неармирован-
ных рукавов) от величины давления р (по опытам В, А. Тольц-
мана в институте Водгео1).
Для расчета нефтепроводов применяются особые фор-
мулы.
Для гладких труб
Re<100 ООО)
к
применяют формулу Блазиуса (при
0,3164
4 _ *
'У Ке
инистой нефти
л 111 г 1 ’ 7
Для чистой параф
к = 0.
(4—60)
1 Сборник «Исследования по гидравлике трубопроводов», Госстройиздат
1952, стр. 15.
132
.Глава IV. Гидравлические сопротивления
§ 4—7. МЕСТНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ
Местными сопротивлениями называются те места трубопро-
вода, где поток получает резкую деформацию. К ним относятся
фасонные части и арматура водопроводов. Местные потери на-
пора обычно вычисляются по формуле
где С — коэффициент местного сопротивления;
Q — расход;
<о — площадь сечения трубы вблизи сопротивления;
v — скорость в трубе вблизи сопротивления.
Коэффициент местных сопротивлений определяют опытным
путем, вычисляя его по формуле
«, 2he 2ha^2 ас.\
с = ~ . (4—62)
V- Q-
где h — падение давления в местном сопротивлении., которое
определяют измерением.
А = НгН
Фиг. 4—20
1 и 2 — места отбора давления вблизи фасонной части; У и 2' — мес-
та отбора давления вдали от фасонной части; 3 — фасонная часть
Падение давления можно определять двояким образом
(см. фиг. 4—20,а и б).
Первый прием. Приборы измерения давлений уста-
навливают непосредственно около фасонной части (фиг.
4—20,а) и разность напоров до и после фасонной части
Я1—считают тем перепадом, который определяет величи-
ну коэффициента сопротивления. Этот прием имеет тот недо-
статок, что определение напоров перед фасонной частью и в осо-
§ 4—7. Местные сопротивления
133
бенности за ней неточно, так как поток выходит из фасонной
части с сильным возмущением.
Второй прием. Приборы измерения давлений устанав-
ливают на таких расстояниях ст фасонной части, при которых
поток можно считать выровненным и имеющим эпюры скоростей
нормального вида (фиг. 4—20,6). В этом случае необходимый
перепад давления h получают таким образом. Сначала опреде-
ляют давления (см. рис. 4—20,а) в точках Г и 2' при установ-
ленной фасонной части и замеряют перепад h' = Hi — Н2 . Затем
удаляют фасонную часть, соединяют трубы (фиг. 4—20,6) и сно-
ва замеряют перепад h"=Hi"—Н2". Тогда необходимый для
определения С перепад h будет /г=Л/—h".
Этот способ имеет тот недостаток, что требует большой точ-
ности определения напоров в точках отбора, так как перепад
определяется по разности.
Теоретического обоснования коэффициента С для всевоз-
можных фасонных частей в настоящее время нет. Кроме того,
потеря напора в фасонной части сильно зависит от того, с какой
эпюрой скоростей подходит поток к фасонной части. Поэтому
для каждой фасонной части дается опытным путем определен-
ная величина С. Но так как методы измерения у различных ис-
следователей различны, то значения С для одних и тех же фа-
сонных частей, приводимые в разных справочниках, могут не-
сколько различаться.
Потеря напора при внезапном расширении. Для случая вне-
запного расширения потока значение С можно получить теоре-
тическим путем. Этот случай часто называют потерей на удар.
134'
Глава IV. Гидравлические сопротивления
Возьмем поток жидкости, движущейся по трубопроводу,
имеющему резкое увеличение сечения (фиг. 4—21). Пусть пло-
щадь сечения потока до расширения <оп а после расширения <«2*
Координаты центров тяжести сечений 1—1 и 2—2 пусть будут
и г2, а средние скорости в них — и v2. К объему жидкости,
заключенному между сечениями 1—1 и 2—2, применим теорему
о количестве движения.
Согласно этой теореме, приращение количества движения
равно импульсу проекций всех сил на направление движения,
т. е.
m (t?2 — ух) = S Pdt,
где dt — рассматриваемый промежуток времени, в течение ко-
рого выделенный объем перемещается из положения
1—2 в положение Г—2';
m — масса жидкости в этом объеме.
Для определения приращения количества движения доста-
точно рассмотреть только массу объемов между сечениями
1—1 и 1'—Г и сечениями 2—2 и 2Г—2', которая равна — dt;
g
количество движения в объеме между 1'—Г и 2—2 остается без
изменения.
Тогда приращение количества движения будет
где коэффициент а' есть отношение действительного количества
движения к количеству движения, вычисленному в предположе-
нии, что скорость во всех точках сечения равна средней скоро-
сти. Значение этого‘коэффициента зависит от степени неравно-
мерности распределения скоростей по живому сечению. При
турбулентном движении он равен 1,03—1,05, но часто принима-
ют «I = а2 = 1.
Сумма проекций импульсов всех сил на ось потока будет
(Рг — Р2 + G cos a) dt,
где Pj и Р2 — силы гидродинамического давления на сечения
/—/ и 2—2;
G — вес рассматриваемого объема жидкости.
Указанные величины могут быть представлены таким обра-
зом:
Рг = Pi ^2; А = Р2 °>2; cos а = -1 2.
G = р>2/,
§ 4—7Местные сопротивления
135
где р\ и р2 — гидродинамические давления в центрах сечений
1—1 и 2—2;
I — расстояние между ними.
Приравнивая приращение количества движения импульсам
сил, получаем
7 — {V2 — = (рх о>2 — р2 + I Z,~Z2} dt.
S \ 1 1
Принимая во внимание, что Q=<o2 «д vl} и деля обе ча<
сти на 7 ^2^ получаем
(— +zx) — (—+ г2) = -^- (р2 — vr). (а)
Если для выбранных сечений написать уравнение Бернулли
V2 V2
Zi + £l + A = Z2+ Pl + A+ h
1 7 2g 7 2g B-P ’
то из него получаем
где /гв.р — потеря напора при
Сравнивая уравнения (а)
внезапном расширении,
и (б), получаем
Лв.р =~(v2~ Oi) +
о
%8
v2
или после упрощения
h — ^)2
/Гв.р
2<у
(4—63)
т. е. потеря напора при внезапном расширении равна скорост-
ному напору, соответствующему потерянной скорости (гд—v2).
Так как по условию неразрывности = а2<о2) то
(4—64)
Так как потерю напора выражают формулой то
коэффицент сопротивления при внезапном расширении полу-
„ / 1 \2 Г (л V
чается С2 = —— 1 или 4=1---------------Ч в зависимости от
\ 071 / \ 07 2 /
принимаемой в расчет скорости о2 или v^.
При теоретическом выводе фомулы (4—64) было сделано
допущение о том, что пьезометрический напор в сечении 1—1 в
136
Глава IV. Гидравлические сопротивления
трубе большего диаметра такой же, какой и в том же сечении
у малого диаметра трубы, что при больших скоростях и напорах
в трубе малого сечения вряд ли будет верно.
В настоящее время в литературе нет указаний о пределах
отношения —, напора и скорости в трубе малого диаметра,
при которых теоретическая формула остается правильной.
Теоретические значения Свр для различных отношений —
<о2
приведены в табл. 4—4.
Таблица 4—4
в е W >- 0,01 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
£в. р 0,98 0,81 0,64 0,36 0,16 0,04 0
Ниже приводятся значения коэффициента С для разных
местных сопротивлений.
1. Вход из резервуара в трубу при острых кромках
С =0,5.
2. В х о д в трубу при закругленных кромках полу-
чается тем меньше, чем больше отношение радиуса закругления
кромок р к диаметру трубы d и при p/d = 1 0.06.
3. Вход в трубу с патрубком внутри резервуара С = 1,0.
4. Выход из трубы в резервуар Свых = 1,0.
5. Внезапное сужение (фиг. 4—22), когда от мень-
шей скорости происходит переход к большей v2.
Фиг, 4—22. Внезапное сужение
Значения коэффицента Ссуж по Вейсбаху даны в табл. 4—5.
Табл иц а 4—5
<1)2 0,01 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
г *суж 0,50 0,50 0,42 0,34 0,25 0,15 0
§ 4—7. Местные сопротивления
137
6. Задвижка (фиг. 4—23). Величины С в зависимости от
открытия задвижки приведены в табл. 4—6.
Т а б л й ц а 4—6
Открытие h'D 1 7/8 6/8 5/8 4/8 3/8 2/8 1/8
Отношение сечений 1,0 0,948 0,856 0,740 0,609 0,466 0,315 0,159
Значения С 0,00 0,07 0,26 0,81 2,06 5,52 17,0 97,8
Фиг, 4—23. Задвижка
7. Колено (по данным института Водгео) (фиг. 4—24).
Значения величин С (а =90°)
Фиг. 4—24.
Колено
Т а б л и ц а 4—7
d в мм 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 • 600 700 800 900 1000
0,76 0,39 0,37 0,37 0,40 0,45 0,45 0,42 0,42 0,46 0,47 0,48 0,48 0,49 0,50
138
Глава IV. Гидравлические сопротивления
8. Для дроссельного затвора, по данным
С. А. Абелева (фиг. 4—25)
= 7^ - (4-81)
где е — основание натуральных логарифмов;
Р — угол поворота в радианах Р = •
Фиг. 4—26
а — шарнирный клапан (захлопка); б — то же (обратный клапан)
На основании этой формулы дается табл. 4—8 со значения-
ми С.
Т а б л и ц а 4—8 .
Степень открытия затвора а ° 20 30 40 50 60 70 80 90
а°к 8= н 180° 0,35 0,52 0,71 0,87 1,05 1,22 1,40 1,57
Коэффициент сопро- тивления 142,2 55,21 20,23 7,85 2,88 1,11 0,41 0,11
9. Шарнирный клапан (захлопка) (фиг. 4—26, а).
Значения С для шарнирного клапана (табл. 4—9) применимы
также для обратного клапана (фиг. 4—26,6).
Т а б л и ц а 4—9
а° 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15
С 1,7 2,3 3,2 4,6 6,6 9,5 14 20 30 42 62 90
§ 4—7. Местные сопротивления
139
10. Вход во всасывающую трубу (сосун) (фиг. 4—27). В за-
висимости от конструкции С =5 -4- 10. При расчете сетки расход
принимается равным
Q =
3
где о) — сумма площадей отверстий сетки.
Фиг. 4—27. Вход во всасывающую трубу
11. Коэффициент сопротивления для вентилей
(фиг. 4—28):
1) вентиль № 1 — С = 3,9;
2) вентиль № 2 — С = 3,4;
{=39 {=2,7 {-2,5 {=36
Фиг. 4—28. Вентили разных типов
3) вентиль № 3—С =2,7;
4) вентиль«Косва» № 4 — С = 2,5;
5) вентиль со свободным проходом № 5 — С — 0,6.
12. Отвод круглого сечения. По данным Абрамовича,,
величина коэффициента местного сопротивления
= kab ; (4—60>
6=0,73; а = //А)>‘ 6 =<?(*)!
\ а /
R — радиус закругления;
d — диаметр трубы;
а — угол поворота.
140
Глава IV. Гидравлические сопротивления
Величины а и b приведены на графиках фиг. 4—29 и 4—30.
13. Соединение отводов под углом 90° (по Рихте-
ру). Соединение I типа (фиг. 4—31) Собщ == 2СОДИН (двойной отвод
дает коэффициент сопротивления в два раза больше, чем одиноч-
ный).
Фиг. 4—29. График коэффи-
циента а кривизны отвода
Фиг. 4—30. Г рафик коэф-
фициента b угла отвода
Соединение II типа (фиг. 4—31) Собщ=ЗСодин (двойной отвод
.дает коэффициент сопротивления в 3 раза больше, чем одиноч-
Фиг. 4—31. Типы фланцевых соединений
Соединение III типа (фиг. 4—31) Собщ = 4С0ЛИн (двойной от-
вод дает коэффициент сопротивления в 4 раза больше, чем оди-
ночный) .
14. Тройники (фиг. 4—32 и 4—33). При определении
коэффициентов .соцротивления тройников надо рассматривать от-
§ 4—7. Местные сопротивления
14i
дельно соединение и разделение потоков. Потеря напора при.
этом вычисляется по формулам
Фиг. 4—33. Соединение потока
Фиг. 4—32. Разделение потока
здесь индекс «тр» относится к транзитному потоку; «отв» — к
потоку в ответвлении; «об»—к объединенному потоку.
В табл. 4—10 приводятся значения С для разделения по-
токов, а в табл. 4—11—для соединения потоков.
Разделение потоков Таблица 4—10
(фиг. 4—32)
Qa'Q 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Сотв 0,95 0,88 0,89 0,95 1,10 1,28
Стр 0,04 -0,08 —0,05 0,07 0,21 0,35
Соединение потоков Таблица 4—1К‘
(фиг. 4—33)
<2а'<2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Сотв -1,2 -0,4 +0,08 0,47 0,72 0,01
Стр 0,04 0,17 0,30 0,41 0,51 0,60
Характер движения потоков при прохождении через трой-
ник показан на фиг. 4—34.
142
Глава IV. Гидравлические сопротивления
(Ja
15. Расширяющиеся и сужающиеся трубы. В
водоснабжении употребляются фасонные части, называемые пере-
ходами, которые соединяют собой трубы разных диаметров
(фиг. 4—35). Иногда расширяющиеся конические отрезки тру-
бопровода называют диффузорами, а
сужающиеся — коллекторами или
конфузорами.
Фиг. 4—35. Диффузор
о
Фиг. 4—34
•Разделение потока; -- — 0,3;
v
v = И см[сек
Для диффузоров
с = —
а
2 sin —
2
Для конфузоров
п2 — 1
п2
п — 1 \2
(4—67)
а
2 sin —*
2
п2 — 1
/7 2
п
по мест-
где а — угол конусности;
п =------------степень расширения диффузора.
Для иллюстрации характера движения жидкости
ным сопротивлениям на фиг. 4—36 показано влияние направля-
ющих стенок в прямоугольном повороте. Здесь представлены
экспериментальные данные1 о коэффициентах сопротивления
различных устройств, а именью: I — прямой поворот на 90°; II —
то же, с профильными лопатками, расположенными часто; III—
то же, с профильными лопатками, расположенными редко; IV—
то же, с угольниками, расположенными часто; V — то же, с круг-
лыми лопатками, расположенными часто; VI—то же, что и пер-
вый, по с закругленными внутренними углами. На этой же фигу-
ре даны значения коэффициентов сопротивления. В числителе
дан коэффициент сопротивления одного поворота, а в знаменате-
теле — коэффициент сопротивления поворота с учетом увеличе-
1 М. А. М и х е е в, Исследование сопротивления плоских поворотов, «Жур-
нал технической физики», т. IV, вып. 3, 1934.
§ 4—7. Местные сопротивления
143
ния сопротивления на последующем прямом участке С2, которое
вызывается поворотом. Этим значением и следует пользоваться
при технических расчетах.
На фиг. 4—37 пока-
зана зависимость величи-
ны и тех же уст-
ройств от числа Рейнольд-
са Re. При этом для
расчета надо брать ве-
личины С, которые до-
стигли квадратичной об-
ласти, т. е. уже не зави-
сят от числа Рейнольд-
са.
Рассмотрение приве-
денных данных о сопро-
тивлениях в поворотах с
лопатками и без них по-
казывает, каким образом
ВОЗМОЖНО уменьшить СО- Фиг. 4—36. Схематический чертеж не-
противления рацион аль- следованных поворотов
ной установкой закруг-
ленных лопаток. Следует
также заметить, что коэффициенты местных сопротивлений
при ламинарном режиме (lg Re<3) несколько больше, чем при
турбулентном, и находятся в обратной зависимости от числа
Рейнольдса.
Замечания о принципе наложения потерь напора. Фасонные
части и арматура трубопроводов соединяются, между собой не-
посредственно или при помощи прямых участков труб. До пос-
леднего времени полная потеря напора в водопроводной сети
определялась арифметическим суммированием потерь на отдель-
ных участках трубопровода и в местных сопротивлениях. Этот
способ называется методом наложения потерь. Опыты последних
лет показали, что это не всегда верно.
Метод наложения потерь применим только в том случае,
если на прямом участке трубопровода поток может стабилизи-
роваться, т. е. эпюра скоростей принимает нормальный вид, со-
ответствующий режиму движения.
Так, например, различное соединение двух отводов (рис.
4—31) дает совершенно различные потери напора; это ясно
указывает на неприменимость принципа наложения потерь напо-
ра при близком расположении двух фасонных частей.
Поэтому фасонные части, соединяемые друг с другом без
прямолинейного участка, на котором поток мог бы стабилизиро-
ваться, надо учитывать как особую фасонную часть, имеющую
144
Глава IV. Гидравлические сопротивления
свой собственный коэффициент сопротивления С . Однако взаим-
ное влияние друг на друга близко расположенных фасонных
частей еще недостаточно изучено. Длину стабилизирующего
прямоугольного участка надо считать порядка от 20d до 50d,
где d — диаметр трубопровода.
поворотам, приведенным на
фиг. 4—36
Фиг. 4—37. График величин сопротив-
ления к
Недостаток знаний о потерях напора при большом числе
близко расположенных фасонных частей особенно сказывается
при определении потерь напора на насосных станциях, где ком-
муникация насыщена множеством фасонных частей и армату-
ры L
Местные потери напора в открытых каналах. Пользоваться
коэффициентами местных сопротивлений, определенных для труб,
при расчетах открытых каналов можно только для ориентировоч-
ных подсчетов. Дело в том, что местные сопротивления меняют
характер движения воды в канале. На участке канала выше рас-
положения местного сопротивления образуется подпор, а ниже по
течению может быть спад. Таким образом, равномерное движение
становится при местных сопротивлениях неравномерным. Так, при
1 Более подробные данные о местных потерях напора см. в книге
И. Е. Идельчика, Гидравлические сопротивления, Госэнергоиздат, 1954.
§ 4—7, Местные сопротивления
145
движении жидкости по канализационной сети всякий колодец с
присоединением или поворотом на прилегающих к нему участках
сети делает движение неравномерным. При этом не только до-
бавляются потери напора в поворотах и присоединениях, но и из-
меняются величины потерь напора на участках выше и ниже
местного сопротивления.
При прохождении потока через решетки водозаборных соору-
жений также происходят местные потери напора, зависящие от
формы поперечного сечения стержней решетки и расстояния меж-
ду ними
1 A. Р. Березинский, Исследование потери напора в решетках водо-
заборных сооружений, «Труды гидравлической лаборатории», сборник № 1,
Госстройиздат 1941.
Ю Зак. 1693
ГЛАВА V
ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЯ И НАСАДКИ
Как было показано в гл. IV, движение реальной жидкости
сопровождается потерей энергии на преодоление сопротивлений.
В зависимости от преобладания и соотношения видов потерь
энергии потоком — на местные сопротивления, на трение по дли-
не или на то и другое — движение жидкости бывает трех раз-
личных видов.
1. При истечении жидкости через отверстия в стенках со-
судов или резервуаров поток теряет энергию -только на преодо-
ление местных сопротивлений в отверстии, и добавочный член
уравнения Бернулли hw будет иметь вид
ив
К = (EQ .
2. При движении жидкости через короткие трубопроводы
[к которым относятся (см. § 3—15) всасывающие трубы насо-
сов, сифоны, короткие участки напорных водоводов с большим
количеством колен, задвижек, клапанов, напорные трубы под
насыпями дорог] происходят как потери на преодоление местных
^2 \
сопротивлений (ЕС) —, так и на трение по длине (X —. — ,
2g \ d 2g)
причем оба вида потерь оказываются существенными для расче-
тов.
3. При движении жидкостей в длинных трубопроводах и
каналах удельный вес потерь напора на преодоление местных
сопротивлений очень мал (2—3%) по сравнению с потерями
напора на трение по длине, и поэтому местные потери из расче-
та практически можно исключить или учесть их, вводя некото-
рый запас в конечные результаты.
В настоящей главе рассмотрены первые два случая движе-
ния потока при истечении через отверстия и насадки, а также
через короткие трубопроводы, часто встречающиеся на прак-
тике.
§ 5—7. Истечение через малое отверстие в тонкой стенке
147
§ 5—1. ИСТЕЧЕНИЕ ЧЕРЕЗ МАЛОЕ ОТВЕРСТИЕ В ТОНКОЙ СТЕНКЕ
Отверстие считается малым, если его вертикальный размер
значительно (раз в 5—10) меньше глубины погружения отвер-
стия под уровень сосуда, из которого происходит вытекание
жидкости. Стенка считается тонкой, если вытекающая струя
соприкасается лишь с кромкой отверстия, обращенной внутрь со-
Фиг. 5—1
суда, и не касается боковой поверхности отверстия. Это будет
при толщине стенки не более 2-^2,5 диаметра отверстия. Абсо-
лютные же размеры отверстия и толщина стенки не имеют зна-
чения.
Если в боковой стенке или в дне сосуда с жидкостью на
глубине Н под уровнем имеется круглое отверстие диаметром d
и площадью то через него под действием напора будет вы-
текать струя жидкости (фиг. 5—1,а).
На некотором расстоянии от отверстия, близком к -g- вы-
текающая струя получает сжатие поперечного сечения, происхо-
дящее из-за непараллельности линий токов подходящего из со-
суда к отверстию потока и характеризуемое уменьшением диа-
метра и сечения струи до величины сос^ео), где о)с— площадь
сечения струи в сжатом сечении (фиг. 5—1,6).
Отношение — = s называется коэффициентом сжатия
струи.
Для определения скорости истечения и расхода вытекаю-
щей через отверстие жидкости выберем два сечения: 0—О — на
уровне свободной поверхности в сосуде и 1—1 — в сжатом сече-
нии струи, где движение вновь становится плавно изменяющим-
ся, и применим к ним уравнение Бернулли для потока, проведя
ось отсчетов через центр отверстия
rot
Н л. +
7 2g 7
а°г i г —
— + отв— ,
148
Глава V. Истечение жидкости через отверстия и насадки
где Сотв----потеря напора при истечении из отверстия;
2g
Сотв — коэффициент сопротивления отверстия;
Ро — давление на свободной поверхности в сосуде;
р — давление среды, в которую вытекает струя;
v0 — скорость движения воды в сечении 0—0.
2
Величину Н 4- --- 4- &4LS обозначим HQ. Эта величина
2g' Т
называется напором истечения.
Если сосуд имеет значительно большие размеры, чем отвер-
стие, то скорость частиц в нем о0 при истечении жидкости очень
2
мала и членом можно пренебречь. В этом случае мож-
’ 2g
но принять
7-
Из уравнения Бернулли получаем
откуда
7—V 2gHo-
* <=отв
= называется коэффициентом скорости;
отв
так как а > 1 и вследствие потерь на трение в отверстии коэф-
фициент скорости <р меньше единицы и составляет для воды <р =
= 0,97-4-0,98. Как показывают опыты и теоретические расчеты1,
скорости в сжатом сечении струи почти одинаковы; это позво-
ляет принять для сжатого сечения струи а=1. Тогда имеем
1
<Р = —— ,
Величина
отв
откуда
'Q — ___1 .
чотв — 9 1
¥
Для идеальной жидкости
иения
—-------1 = 0,06.
0,972
,отв=0 и скорость исте-
° =K2g#o-
1 В. В. В ед eg) н< и к о в, Об истечении из отверстий, «Гидротехническое
строительство» № 3 1950.
и
v =
1
§ 5—1, Истечение через малое отверстие в тонкой стенке
149
Эта формула называется формулой Торичелли. Она совпа-
дает с известной из механики формулой скорости свободного
падения тела с высоты 7/0. Для определения вытекающего через
отверстие расхода умножим скорость истечения на площадь
сжатого сечения:
Q = (Ос V = S(D(p 2gH 0.
Обозначив произведение коэффициентов сжатия £ и скоро-
сти через |л — еср * и назвав его коэффициентом расхода,
окончательно получим:
(5-2)
Значение коэффициента расхода для истечения воды из от-
верстия в тонкой стенке зависит главным образом от степени
сжатия струи. При всестороннем совершенном сжатии (см. ни-
же) е—0,64, и поэтому в среднем р = е<р == 0,64 • 0,97 = 0,62.
При увеличении размеров отверстия и напора величина ко-
эффициента расхода уменьшается и колеблется в пределах р —
=0,59 - 0,63.
Изменение вязкости воды с повышением температуры мало
влияет на коэффициент расхода для воды. Так, по опытным
данным, при повышении температуры с 16 до 90° коэффициент
расхода увеличивается на 4%.
Если давление на свободной поверхности в сосуде и давле-
ние внешней среды равны ро=р7 то напор истечения
н -н
° 2g
Если при этом можно также пренебречь скоростью в сосу-
де, то Н^Н, т. е. напором истечения является глубина погру-
жения центра тяжести отверстия. Последний случай весьма рас-
пространен в практике, в частности в задачах об истечении из
больших открытых сосудов в атмосферу.
Когда истечение происходит не в газовую среду, а под уро
вень (фиг. 5—2), то, применив уравнение Бернулли, мы дня
расхода получим формулу
Q^^l/ 2g(Hi-H2 + ^£- + a^), (5-3)
r \ Т 2g /
где /71 и Нъ — геометрические напоры над центром отверстия
слева и справа.
Из формулы (5—3) видно, что величина расхода через за-
топленное отверстие не зависит от положения самого отверстия
150
Глава V. Истечение жидкости через отверстия и насадки
в пределах глубины справа Н2 и определяется лишь площадью
отверстия и напором истечения Но, который в данном случае
ро — Р W0
7 2g '
При равенстве давлений в обоих сосудах и при возможности
пренебречь скоростью в питающем сосуде Но=Н\—Н^.
’V.
-К
Фиг. 5—2
Фиг. 5—3
В зависимости от формы отверстия, через которое происхо-
дит истечение, форма поперечного сечения струи имеет самый
разнообразный вид (фиг. 5—3). Так, например, поперечное се-
чение струи, вытекающей через квадратное отверстие, имеет вид
креста с четырьмя тонкими ребрами. При истечении через тре-
угольное отверстие сечение струи приобретает форму с тремя
тонкими ребрами (фиг. 5—3), при истечении через квадратное
отверстие —• крестообразную и через круглое — эллиптическую.
Это явление называется инверсией струи.
Форма вытекающей струи в вертикальной плоскости (фиг.
5—1,6) определяется уравнениями
2 ’
где v — <р 2gHо; t — время.
Исключая /, получим уравнение оси струи в виде
х2—4ср2//0*Л т. е. уравнение параболы.
Неполное и несовершенное сжатие. В зависимости» от рас-
положения отверстия на вертикальной стенке сосуда относи-
тельно дна и боковых стенок сжатие струи происходит в различ-
ной степени.
Объясняется это тем, чТо частицы жидкости в сосуде под-
ходят к отверстию со всех сторон и часть из них, опускаясь
сверху или подходя сбоку или снизу, движется по криволинейным
траекториям, направленным к центру отверстия. Стремясь по
§ 5—1. Истечение через малое отверстие в тонкой стенке
151
инерции продолжать движение к оси струи, они вызывают ее
сжатие (фиг. 5—1,а). Если же отверстие находится, например,
у самого дна, то траектории движения частиц, притекающих
вдоль дна, будут горизонтальны и выходящая струя не будет
иметь сжатия снизу. Если отверстие граничит с боковой стен-
кой, то под влиянием последней струя не будет иметь сжатия со
стороны этой боковой стенки. Если же отверстие и не граничит
со стенкой, но находится близко от нее, близость стенки также
будет влиять на степень сжатия струи, но в тем меньшей степе-
ни, чем дальше отверстие от этой стенки.
Различают два вида сжатия:
а) полное (или всестороннее) сжатие, при ко-
тором струя сжимается по всему периметру отверстия;
б) неполное сжатие, при котором на части перимет-
ра отверстия струя сжатия нс получает.
Полное сжатие разделяется на совершенное и несо-
вершенное.
Совершенное сжатие струи бывает, когда расстояние от лю-
бой стороны отверстия до боковой или донной стенки резервуа-
ра будет не меньше тройного размера отверстия в направлении
измеряемого расстояния (фиг. 5—4,/), т. е. li>3b и /2>3а. При
этом боковые стенки на сжатие не влияют.
Несовершенное сжатие наблюдается при более близком
расположении отверстия к направляющим стенкам (фиг.
5—4,//) и дает некоторое увеличение коэффициента сжатия s,
а следовательно, и коэффициента расхода р.
Неполное сжатие еще сильнее увеличивает коэффициент
расхода р. При неполном сжатии коэффициент расхода рн мож-
но определить по предложенной Н. Н. Павловским формуле
f‘n = 41 + O,4—V (5-4)
\ X /
где р — коэффициент расхода отверстия при полном сжатии;
X — периметр всего отверстия;
р — периметр части отверстия, на которой отсутствует
сжатие.
Для несовершенного сжатия коэффициент расхода рнсс мо-
жет быть определен по формуле
Ннес ” Р 0 "4“ > (б О)
где k зависит от величины соотношения — , в котором со—
площадь отверстия, ай — площадь поперечного сечения потока
перед отверстием. Значения коэффициента k (при — =0,50)
для прямоугольного отверстия 6=0,15, для круглого 6=0,13.
152
Глава V. Истечение жидкости через отверстия и насадки
Пример 5—1. Призматический резервуар разделен на две части перего-
родкой (фиг. 5—5). В левой половине поддерживается постоянный уровень
воды. В перегородке имеется круглое отверстие диаметром di=0,l м, распо-
ложенное на глубине #1=3,07 м. Во внешней стенке сосуда на одной высоте
с первым отверстием расположено другое круглое отверстие диаметром ds~
=0.12 м. Предполагая, что уровни в обеих половинах резервуара установи-
лись, определить высоту уровня #2 и расход воды Q.
Решение. Горизонт воды в обеих половинах резервуара не будет из-
меняться только в том случае, если расход Qi, вытекающий из левой поло-
вины резервуара в правую, равен расходу (?2, вытекающему из правой по
ловины резервуара в атмосферу. Так как здесь
Qi = l“»i V2g (Н1 — Н2) и Qs = j/ 2gH2 ,
то, приравнивая их, получим
т.£ -----------т.£ ------
,.л —]/2g(/7l-//2) = (x —V2g/y2 ,
или в числах
0,1а Уз,07—Н2 = 0,122 у Н2 ,
откуда находим
#2=1 М.
При этом расход
Q1 = Q2 = V2g = 0,62 -,144°’Р V 19,62-2,07 =
= 0,031 мг1сек = 31 л/сек.
§ 5—2. ИСТЕЧЕНИЕ ИЗ БОЛЬШИХ ОТВЕРСТИЙ
При определении расхода, вытекающего через прямоуголь-
ные отверстия больших размеров, встречающихся в плотинах,
водозаборах, насосных станциях (фиг. 5—6), было бы неточным
применять формулу (5—2), так как при ее выводе скорость ис-
§ 5—2. Истечение из больших отверстий
153
течения определялась по среднему напору Яо над центром от-
верстия; при достаточно больших размерах отверстия по срав-
нению с их заглублением определение расхода по средней ско-
рости истечения ведет к некоторой ошибке.
Скорости по высоте отверстия распределяются по параболи-
ческой кривой с уравнением 2gH, и скорость, соответст-
вующая центру отверстия, не является средней скоростью для
всего отверстия. Ограничиваясь
истечением из открытого сосу-
да в атмосферу, для определе-
ния расхода через такое от-
верстие выделим в нем полоску
шириной b и высотой dz. Если
пренебречь также скоростью
подхода, элементарный расход
через такую полоску будет
dzy^ 2gz,
где z — переменный напор над центром элементарной полоски.
Расход через все отверстие определяем интегрированием по
высоте отверстия; при этом р считается постоянным по всей
высоте отверстия:
__нэ _
Q = pb ]/~2g | z dz = -|- ]/r2g [Н8Ь — . (5—6)
Если обозначить ----— , а Я2:=^о + -—’
2 f
где Яо — напор над центром отверстия, а а — высота отверстия,
то формула примет вид
Если разложить выражения в круглых скобках в ряд по
формуле бинома Ньютона и взять первые 4 его члена, то фор-
мула расхода примет вид
Q = tX(u V ZgH С' ф ' ф Ь 0—7)
Выражение в
жителем перехода
Величина его при
круглых скобках является поправочным мно-
от формулы (5—2) к точной формуле (Б—6)
4- 15 составляет 0,976-^0,99, т. е.
154
Глава V. Истечение жидкости через отверстия и насадки
ошибка от пользования формулой (5—2) при =1 1,5 не
превышает 1-^2,5%, а при меньших значениях — будет еще
И
меньше.
Для круглого отверстия (фиг.
5—7), применив тот же вывод, что и
для прямоугольного, получим выра-
жение расхода
Н0+г ________
J Ь у г dz.
Н^-г
Заменив
h — HQ — г cos ср, dh — г sin cptZcp и 'о =
= 2г sin ср ,
получим
<2===Р'УЛ2g//0 r2j Sin2 ср у 1—^-coscp rfcp.
о
Разложив в ряд подкоренную величину и взяв 4 члена ряда,
получим окончательно1 ________
Q = рш У2ёН. (1 - ± (5-8)
Здесь, так же как и в формуле (5—7), выражение в круг-
лых скобках является поправочным множителем для перехода
от формулы (5—2) к формуле (5—6).
Таблица 5—2
Значения коэффициента расхода р для больших отверстий
Вид отверстий
Отверстия средних размеров со сжатием со всех сторон .
Отверстия больших размеров с несовершенным, но всесто-
ронним сжатием..........................................
Донные отверстия (без сжатия по дну) со значительным
влиянием бокового сжатия ... ...........................
Донные отверстия с небольшим боковым сжатием . . . .
Донные отверстия с плавными боковыми подходами . . .
Донные отверстия с весьма плавными подходами со всех
сторон . . ...... .................................
0,65
0,70
0,65—0,70
0,70-0,75
0,80—0,85
0,90
1 К. А. Михайлов, А. И. Богомолов, Гидравлика, Госдор-
издат ч. I, 1950.
§ 5—3. Истечение из призматического сосуда при переменном напоре .155
Акад. Н. Н. Павловский предложил расход через большие
отверстия, встречающиеся в гидросооружениях, определять по
формуле Q = jio) / 2g//0 при установленных на основании опыт-
ных данных значениях коэффициента расхода р., приведенных
в табл. 5—2, которые учитывают условия подхода к отверстию
и его расположение в сооружениях.
S 5—3. ИСТЕЧЕНИЕ ИЗ ПРИЗМАТИЧЕСКОГО СОСУДА
ПРИ ПЕРЕМЕННОМ НАПОРЕ
а) Истечение при постоянном притоке
При решении ряда инженерных задач приходится встре-
чаться со случаем, когда истечение жидкости из резервуара про-
исходит при одновременном притоке в
него расхода Qo (например, бытовой
расход реки, притекающий в водохрани-
лище) .
Рассмотрим случай истечения жидко-
сти в атмосферу из открытого приз-
матического сосуда с площадью
поперечного сечения & при постоянном
притоке Qo (фиг. 5—8). Движение жидко-
сти в этом случае будет неустановив-
шимся до тех пор, пока из отверстия не
начнет вытекать такой же расход Q, как
и притекает, т. е. Qo = Q.
При этом над центром отверстия
установится постоянный напор Но, свя-
занный с величиной Qo уравнением
Фиг. 5—8
Qo = i«»KW,
откуда
5
2g р.2 w2
Если в сосуде был сначала напор Н\>Н0, то Q>Qo; в этом
случае уровень в сосуде будет понижаться до тех пор, пока Q
не станет равен Qo, причем будет Н=Н0. Если в сосуде был
сначала напор Нх<Но, то Q<Qo; уровень в сосуде начнет повы-
шаться до горизонта, при котором величина напора будет рав-
на Но и Q=Q0.
Определим время изменения уровня в сосуде от Н\ до Я2
(предполагая, что Н\>Н^>Н0 или Н\<.Нъ<Н0). Для этого рас-
156
Глава V. Истечение жидкости через отверстия и насадки
смотрим истечение под напором Н за бесконечно малый проме-
жуток времени dt, предполагая, что в течение этого промежутка
времени движение жидкости можно рассматривать как устано-
вившееся движение.
Приток в сосуд за время dt составит Qtfft. За это же время
из отверстия выльется объем жидкости
dW = у>У 2gH dt
и объем жидкости в сосуде изменится на
Q^dt — 2gH dt~[QQ—]/~ 2gH\dt.
Обозначив площадь поперечного сечения призматического
резервуара через а изменение уровня воды в резервуаре за
время dt через dH, мы можем написать равенство
QdH = (Qo |JL(O У 2gH ]dt У^ё (Ун0-УH)dt,
откуда
,, Q dH
dt —----— ——---------.
V2g
Для определения времени, необходимого на изменение уровня
в сосуде от Н=Н\ до проинтегрируем в этих пределах
уравнение для dt, проведя вспомогательную подстановку.
Обозначим
УУ-У~н.= у,
тогда
у н =Унп-у
2 V Н
Пределами интегрирования для нового уравнения будуч
= У— УН1 и Уъ = У—УН2,
тогда
dt —
2Q
|/tf0 л
y^J
2
—2 (]/~/70 -y}dy
У
§ 5—4. Истечение при переменном напоре под переменный уровень 157
Для призматического сосуда 2 ^const и
У1
Интегрирование этого уравнения с заменой величины у=
= УН^— УН дает
~^=( I» &=1^) . (5-9|
я> V 2g \ Ун0 - Ун2 /
б) Истечение при отсутствии постоянного притока
При отсутствии притока жидкости в сосуд (фиг. 5—9) Qo^
= 0, Нэ = 0 формула (5—9) примет вид
28 (Т/У1 -Ун*}
Н‘ р.ш У2g
Для полного опорожнения сосуда (до
оси отверстия) О и
t = 26 У]У i /5_ !!
(ко У2g рхоГ 2g#j
(5-10)
Фиг. 5—9
Здесь biHy^W — начальный объем жидкости
в сосуде;
]/ =Qj — расход, вытекающий в начале истечения при
напоре Я=Я1.
Следовательно, формулу (5—10) можно представить так:
2W-
Qi ’
(5—12)
т. е. время полного опорожнения призматического резервуара
при переменном напоре в 2 раза больше времени вытекания из
резервуара такого же объема при постоянном напоре, равном
начальному напору Яь
§ 5—4. ИСТЕЧЕНИЕ ПРИ ПЕРЕМЕННОМ НАПОРЕ
ПОД ПЕРЕМЕННЫЙ УРОВЕНЬ
Если жидкость перетекает под уровень из одного призма-
тического резервуара в другой (фиг. 5—10), то истечение про-
исходит при переменном напоре под переменный уровень. Та-
158
Глава V. Истечение жидкости через отверстия и насадки
кой случай может иметь место при наполнении камеры шлюза
или перепуске воды из одной камеры в другую. При этом необ-
ходимо бывает определить время, необходимое для частичного
или полного выравнивания уровней в резервуарах.
Пусть площади сечений сосудов будут =const и 22=const,
а напоры над осью отверстия — соответственно Z\ и z2 (фиг.
5—10).
Рассмотрим изменение горизон-
тов и объемов жидкости в сосудах за
время dt. Напор над центром отвер-
стия слева Z\ изменится на — dzx, а
справа на + dz2. Разность напоров бу-
дет h = Z\—z2. Уменьшение объема в
левом сосуде будет равно количеству
вытекающей из него жидкости:
— Qildz1 = [aw 2g h dt,
откуда
dt =--------S1-- ..dz .
pun* 2gh
Так как
h = — za,
TO
dh = dzr— dz2 •
Но уменьшение объема в левом сосуде равно увеличению объ-
ема в правом, т. е.
—9,1dz1 = 22^2,
откуда
dz2 = — — dz..
Заменяя dz% по последнему равенству в выражении dh, по-
лучим
dh = dz. + — dz. — —dzt или dz1 ~ dh.
1 2. 1 22 1 1 Si+2*
Подставляя значение dzi в формулу для dt, получим
2, 2а
^1 + ^2
• dh
(10) K2gA
§ 5—5. Истечение жидкости через насадки и короткие трубы
159
откуда
t ________1___ Q2 р dh __ 1 Qi Q2 p dh _
Q1+Q2J y~h n«>l/2g_ а1+2з] -\T~h
=-------__ . (5-13)
(2i-|-Q2) (лш , 2g
Если наполнение второго резервуара происходит из боль-
шого водохранилища с практически постоянным горизонтом
(2г = сс), то, разделив числитель и знаменатель на по-
лучим время наполнения
t = -^= (/я; • (5-14)
|1О> у2g
Если истечение из сосуда происходит в большое водохрани-
лище, то практически 22 = оо; разделив в формуле (5—13)
числитель и знаменатель на 22, получим для времени частич-
ного опорожнения резервуара с сечением 2j в водохранили-
ще формулу
t = —• (5—15)
2g
Для времени полного выравнивания горизонтов в обоих
резервуарах надо принять //2=0.
Формулы (5—14) и (5—15) для времени истечения (напол-
нения и опорожнения при переменном напоре) находят большое
практическое применение при расчетах опорожнения запасных
резервуаров, наполнения водохранилищ и опорожнения камер
шлюзов и других сообщающихся сосудов.
§ 5—5. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ НАСАДКИ
И КОРОТКИЕ ТРУБЫ
Приставленный к отверстию патрубок, длина которого в не-
сколько раз больше размера отверстия, называется насадком.
Насадки способны увеличивать расход по сравнению с отвер-
стиями. Они применяются в технике для получения мощной
сконцентрированной струи, эффекта подсасывания и т. д. Мно-
гие элементы гидротехнических сооружений, например всасыва-
ющие трубы ГЭС, трубчатые водоспуски в плотинах, водопро-
пускные трубы в насыпях дорог и др., по характеру гидравли-
ческих явлений в них аналогичны насадкам. Поэтому изучение
гидравлики насадков важно для уяснения работы подобных
устройств.
160 Глава V. Истечение жидкости через отверстия и насадки
Насадки по форме разделяются на цилиндрические (фиг.
S—11,а, б, в, г), конические (фиг. 5—11Д е), коноидальные
(фиг. 5—11,^) и др. Насадок называется внешним, когда он
приставлен к отверстию снаружи, и внутренним, когда он вхо-
дит внутрь сосуда.
Фиг. 5—11. Типы насадков
а — внешний цилиндрический насадок; б — косой насадок; в — внутренний цилин-
дрический насадок; г — то же, с отрывом струи; д — конически сходящийся наса-
док; е — конический расходящийся насадок; ж — коноидальный насадок
а) Внешний цилиндрический насадок
Рассмотрим истечение жидкости через внешний цилиндриче-
ский насадок, имеющий длину /~(3 4)d (фиг. 5—ll^tz).
Струя жидкости, войдя в насадок, так же как при истечении
через простое круглое отверстие, подвергается сжатию
(dc ~0,8d), но в дальнейшем постепенно расширяется, заполняет
все поперечное сечение насадка и вытекает из него полным се-
чением (е=1). Между сжатой струей и стенками насадка обра-
зуется отжим потока, заполненный жидкостью, находящейся в
состоянии не поступательного, а вращательного движения. Меж-
ду зоной отжима и активной поступательной струей происходит
непрерывный обмен частицами.
Определим скорость и расход жидкости для внешнего ци-
линдрического насадка. Для этого напишем уравнение Бернул-
ли, выбрав первое сечение на свободной поверхности в сосуде
и второе у выходного отверстия насадка. Плоскость сравнения
провецем через центр тяжести выходного сечения насадка.
§ 5—5. Истечение жидкости через насадки и короткие трубы
161
Здесь ро — давление над жидкостью в сосуде;
р — давление внешней среды, в которую происходит
истечение;
о0 — скорость движения частиц жидкости в сосуде (ско-
рость подхода);
v — средняя скорость струи, вытекающей из насадка;
hw— потеря напора в насадке.
Обозначим сумму
и назовем ее напором истечения; тогда получим
Потери напора в насадке складываются из потерь при обте-
кании кромок отверстия /готв, потерь на расширение струи Лрасш
и потерь по длине насадка ht9 т. е.
Согласно § 4—8
и потому
Таким образом, из уравнения Бернулли получаем
откуда
Величину
называют коэффициентом скорости при истечении через на-
садок. Окончательно
V = <р 2g/70-
11 Зак. 1593
162
Глава V Истечение жидкости через отверстия и насадки
Принимала =1, Сотв =0,06, s =0,64, X =0,02 и =3, нахо-
дим значение <р =0,82.
В конкретных условиях числовые значения коэффициентов
могут несколько отклоняться от принятых здесь, и потому в
действительности значение также может немного отличаться
от 0,82.
Так как расход Q = о) у, то Q = j/"2gHQ ,
где р == е <р — коэффициент расхода.
Когда вытекающая струя наполняет все сечение насадка,
е=1 и р = <? =0,82.
Опыты с цилиндрическим насадком подтверждают это зна-
чение коэффициента расхода р. Таким образом, истечение че-
рез цилиндрический насадок происходит с большим расходом,
но со скоростью, меньшей, чем при простом круглом отверстии
(без насадка).
Заметим, что потеря напора при входе в трубу из резервуа-
ра слагается из потерь в отверстии и на расширение, т. е.
При указанных выше значениях коэффициентов
г /1 \2
ЧВ + ( — -1 =^вх = 0,46,
или округленно, с учетом некоторого непостоянства принятых
числовых значений Свх=0,50.
Как видим, насадок дает увеличение расхода благодаря
расширению струи после сжатия. Но чтобы это происходило,
т. е. чтобы насадок заполнялся жидкостью, необходимо соблю-
дение ряда условий. Важнейшие из них следующие:
1) насадок должен иметь длину I не менее (34)d;
2) абсолютное давление в насадке вблизи сжатого сечения
должно быть больше давления паров жидкости. В противном
случае вблизи сжатого сечения жидкость начинает вскипать, и в
зоне отжима скапливаются ее пары, в результате чего струя на-
чинает отделяться от стенок насадка и происходит так называе-
мый срыв вакуума.
Это явление заключается в том, что объем выделившихся
паров становится настолько велик, что они вырываются наружу,
а в насадок проникает газ из внешней среды. После этого наса-
док перестает выполнять свою роль и истечение происходит,
как из отверстия. Поэтому важно уметь определять давление в
насадке.
§ 5—5. Истечение жидкости через насадки и короткие трубы
163
Для характеристики давления в сжатом сечении струи при-
меним уравнение Бернулли к сжатому сечению 1—1 и выходно-
му сечению.
Обозначив давление и скорость в сжатом сечении соответ-
ственно через рс и vc, будем иметь
9
1 2g 7 2g
Заменим vc по уравнению неразрывности
VO) V
vc = ~
(j)
£
а
Тогда
откуда, учтя,
h = h
tl,w z//pacm
a
E2
%
2g
2g
у2
расш+Х d)2g
’расш
и2
что
(О
’расш
(1)с
P
7
2
1
2
£
I
d J 2g ’
получим
Pc
7
a /1 \ . / 7 vz
----a — | — —1 — A — —-,
£2--\ e / d 2g
но
о = ?]/’ 2gH0,
откуда
u2
2g
и потому
P
7
£
£
а
I
Pc P
7 7
—П - x -L]
EZ \ £ / d
Подставляя приведенные выше числовые значения коэффи-
циентов а, е, X и с? и округляя результат, находим
7 7
Это равенство показывает, что давление в сжатом сечении
рс тем ниже, чем больше напор истечения Но. Пользуясь этой
11*
164
Глава V. Истечение жидкости через отверстия и насадки
формулой для проверки условия работы насадка, следует в ка-
честве р подставлять абсолютное давление внешней сре-
ды; тогда рс также определится как абсолютное давление. Оно-
то и должно быть выше давления паров жидкости, чтобы наса-
док мог работать полным сечением (сосать).
При истечении в атмосферу (р=ра) в сжатом сечении за-
полненного насадка возникает вакуум—— — р——=0,75Яо, кото-
't 7
рый и увеличивает расход по сравнению с отверстием без на-
садка.
Если область с отжимом в начале насадка соединить пьезо-
метрической трубкой, опущенной в воду (фиг. 5—11,а), то
вследствие вакуума вода поднимается в трубку на высоту
h =
,bv *
1
Влияние вакуума на расход оказывается сильнее, чем влия-
ние добавочного сопротивления при расширении за отжимом на
трение по длине до тех пор, пока длина насадка I пе превы-
шает —' 55 d.
При истечении из насадка под уровень в выражение напо-
;ра истечения в качестве геометрического напора Яо следует под-
ставлять разность уровней, а при определении вакуума в насад-
.ке учитывать, что он будет в этом случае меньше на высоту
•затопления насадка, т. е.
= 0,75Яо —/г,
7
где h — высота затопления выхода из насадка.
При косом расположении цилиндрического насадка под уг-
лом (фиг. 5—11,6) коэффициент расхода в нем может быть
вычислен по формуле
1
а + Ско- +
где Скос = 0,505 -I- 0,303 sin р -{- 0,226 sin2 р есть коэффициент со-
противления косого входа.
При скругленных или скошенных кромках входного отвер-
стия р можно уточнить аналогичным способом, используя соот-
ветствующие значения Свх.
При увеличении угла t6, как видно из приводимой табли-
цы, коэффициент расхода в насадке уменьшается.
£ 5—5 Истечение жидкости через насадки и короткие трубы
165
в° • 0 10 20 30 40 50 60
0,82 0,80 0,78 0,76 0,75 0,73 0,72
Таким образом, применение цилиндрических насадков дает
увеличение коэффициента расхода при истечении на 30—35% по
сравнению со значениями коэффициента расхода при истечении
через отверстия в тонкой стенке.
б) Внутренний цилиндрический насадок
Цилиндрический насадок, расположенный внутри резервуа-
ра (фиг. 5—11,в), называется внутренним насадком. Если
длина насадка /<(3~ь 4)d, то вытекающая через входное отвер-
стие струя не прикасается к стенкам (фиг. 5—11,г). В таком
случае вследствие большего сжатия коэффициент расхода на-
садка оказывается меньше, чем в простом отверстии, а именно:
ф=0,51, ср =0,97 и е=0,53. При длине внутреннего насадка
/>(3 4)d насадок может работать полным сечением; в этом
случае у- = ср =0,71 и е=1. Но для работы полным сечением так-
же необходимо, чтобы давление в нем вблизи сжатого сечения
оставалось выше давления паров жидкости.
Формула давления в сжатом сечении будет та же, что и
для внешнего насадка, но числовое значение коэффициента пе-
ред будет большим, так как евнутр< £внешн-
в) Сходящийся конический насадок
В сходящемся под углом р коническом насадке поверх-
ность представляет собой часть усеченного конуса (фиг.
5—11,5). Ввиду меньшего расширения струи после отжима при
входе в такой насадок коэффициент расхода получается больше,
чем при цилиндрическом насадке. В зависимости от угла конус-
ности р коэффициент расхода увеличивается до угла ,8 = 13°24',
а при больших углах уменьшается (см. таблицу). Величина
коэффициента расхода у относится к выходному сечению.
0° 3° 5° 10° 13° 13°24' 16° 20° 25°
У 0,829 0,892 0,920 0,937 0,945 0,946 0,938 0,922 0,908
166
Глава V. Истечение жидкости через отверстия и насадки
Уменьшение р при р>13°24' объясняется тем, что при
увеличении р растет коэффициент сжатия вытекающей струи.
Конические сходящиеся насадки дают сплошную струю с
большими скоростями и поэтому широко применяются в инже-
нерной практике — в пожарных брандспойтах, водоструйных
насосах (эжекторах), пульверизаторах, пароструйных насосах
(инжекторах), соплах гидромониторов и т. п.
Вопрос о пожарных струях и насадках брандспойтов под-
робно рассматривается ниже (§ 7—4).
г) Конические расходящиеся насадки
(фиг. 5—11,е)
Благодаря большой потере напора на расширение за
сжатым сечением коэффициент расхода для конических расхо-
дящихся насадков значительно меньше, чем для цилиндриче-
ских. При углах конусности (3 = 5-^-7° он равен в среднем
ср 0,450,50.
Во избежание отрыва струи от стенок насадка угол конус-
ности в них не должен превосходить 10 н-13°.
Однако расход через эти насадки обычно бывает больше,
чем через отверстие, так как коэффициент расхода относится
всегда к выходному сечению, имеющему большую площадь.
Применяются эти насадки в тех случаях, когда при большом
расходе желают иметь небольшие выходные скорости.
д) Коноидальный насадок
Если очертить насадок по контуру поверхности струи, вы-
текающей из отверстия, то отжим струи сведется до минимума
(фиг. 5—11,ж). Очерченный по такому контуру насадок назы-
вается коноидальным и дает коэффициент расхода р =0,97 ч-
ч-0,98. Вследствие сложности такого очертания его заменяют в
инженерной практике очертанием по круговым дугам.
е) Прямоугольные насадки
Применяемые на практике дорожные водопропускные тру-
"бы под насыпями часто имеют прямоугольное сечение и с точки
зрения гидравлики являются прямоугольными насадками. Их
^работа освещена в § 9—5.
ж) Короткие трубы
При увеличении длины насадка увеличивается сопротивле-
ние на трение по длине и коэффициент расхода уменьшается.
§ 5—6. Давление струи на плоские и криволинейные стенки
167
Работающие полным сечением короткие трубы рассчитываются
по формуле, аналогичной формуле расхода через насадки:
Q =p.<o]^2gH0,
причем значение коэффи-
циента расхода р в них, на- Д
зываемого в этом случае
коэффициентом расхода си-
стемы, определяется по ни-
жеприведенным формулам
(5—20) и (5—20').
Если истечение из ко-
роткой трубы происходит в
газовую среду (в частности,
в атмосферу), то в выраже-
ние напора истечения вво-
дится высота уровня в пи-
тающем сосуде над центром
выхода из трубы, а коэффициент
муле
расхода определяется по фор-
Р = -... 1 ----, (5-16)
У
. где XIС— сумма коэффициентов всех местных сопротивлений;
R — гидравлический радиус трубы; для круглых сечений
Если же истечение происходит под уровень, то в выражении
(5-16) а обычно принимают равным единице, напор прини-
мается равным разности уровней, а
1 (5-17)
причем в число ЕС входит коэффициент сопротивления выхода
^ВЫХ 1
Работающие полным сечением водопропускные трубы под
насыпями, дюкеры, небольшой длины трубы, соединяющие ре-
зервуары, рассчитываются как короткие трубы по формуле
(3—54) с вычислением коэффициента расхода по формуле
(5—16) или (5—17).
Пример 5—3. Дана система, состоящая из водонапорной башни Л с по
стоянным уровнем воды (поддерживаемым центробежным насосом на отмет-
168
Глава V. Истечение жидкости через отверстия и насадки
ке 150,00) резервуара В, высотой 4 м, площадью поперечного сечения
Q =4 м2 и соединяющего резервуары А и В трубопровода диаметром d=*
=0,15 м и длиной /—60 м (фиг. 5—12). Определить время полного наполне-
ния резервуара В, если отметка дна резервуара — 140 м. Трубопровод имеет
местные сопротивления при входе, в кране и на двух закруглениях, коэффи-
циенты сопротивления которых
^вх — 0,5; Скр — 5,0; Сзакр==0,2.
Коэффициент трения в трубопроводе
Х= 0,023; X — = 0,023-^- = 9,2.
d 0,15
Решение. Время наполнения резервуара В можно определить по
формуле (5—15):
22 (УТГ-Унг)
V 2g
2 =10 ju2; /Л = 150,0 — 140,0 = 10 я;
Н2 == 10 — 4 — 6 м ;
nd2 3,14-0,152
<о =---= ------т2---= 0,0177 Л!2;
4 4
^ = 0,5 + 5,0 + 2-0,24-9,2 =
d
Тогда
1 1
— -----zzzszzzzzzrz~ —---
/ I /1 +15,1
1/ a+SC + X —
и время наполнен 'я резервуара В
1
/16,’1
= 0,25,
2-ю(/ 10 -/ 6 )
0,250-0,0177-4,43
= 735 сек.= 12 мин. 15 сек.
§ 5—6. ДАВЛЕНИЕ СТРУИ НА ПЛОСКИЕ
И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕНКИ
Рассмотрим случай удара струи, вытекающей из отверстия
или насадка, о твердую стенку, имеющую площадь сечения,
большую площади сечения струи.
Пусть струя с осью NN ударяет о стенку АВ и растекается
в двух направлениях под углами и а2 к первоначальной
оси движения (фиг. 5—13.cz). Обозначим массу жидкости, про-
текающей в течение 1 сек., через т0, скорость струи — через v0, а
секундные массы и скорость в растекающихся струях — через
Vi и m2, v2. Проведем в основной струе нормальное сечение
0—0, а в растекающихся струях — нормальные сечения 1 и 2 и
применим к выделенному между сечениями 0,1 и 2 объему
§ 5—6. Давление струи на плоские и криволинейные стенки
169
жидкости закон приращения количества движения и проекций
импульса сил на ось AW. Тогда
/п0 vQ — m1cos — m2 v2 cos a2 = R cos p , (5—18)
где R — реактивная сила давления стенки на струю;
р—угол между направлением силы и осью NN.
01 g
Фиг. 5—13
В этом уравнении три неизвестные величины: R, р и mi
(так как m2=m.Q—mx). Рассмотрим наиболее простой случай
симметричного удара струи о плоскую нормальную к струе
стенку (фиг. 5—13,6). В этом случае
тг =а2 = 90°; р = 0 ; R = mQv0,
а сила удара струи о стенку
Р = R = рю ^2= —
(5—19»
Это можно представить еще в таком виде:
Р — wVq = — — 2соу /7 , (5—20)
g 2g
где /7 =------скоростной напор струи.
2g
Полученное выражение можно сформулировать так: дина-
мическое давление струи на плоскую стенку равно удвоенному
170
Глава V. Истечение жидкости через отверстия и насадки
статическому давлению жидкости на стенку площадью сечения
струи <0 под напором Н, равным скоростному напору струи
~ э
2g
Опыт показывает, что действительное значение силы Р состав-
ляет 0,92—0,95 от теоретического значения, определяемого фор-
мулой (5—20). Силу удара струи о стенку можно увеличить,
Фиг. 5—14
если стенке придать криволинейное очертание (фиг. 5—14,а) и
угол а увеличить до значения а
при котором cos а будет
отрицательным.
Действительно, если стенке придать форму двух симметрич-
ных полуцилиндров или полушарий (фиг. 5—14,6) с углом от-
вода ах = а2, то
т0
пг1 — т2 —
и х “ 2
= m0 vQ — 2rn1 щ cos ах = m0 vQ (1 — cos ax), (5—21)
При 04 = к
cos 04 = — 1 и R — 2mQ vOi a P = 2 pco v2
Силу удара струи используют для вращения водяных колес
и турбин, причем лопатки рабочего колеса активных турбин,
приводимых в действие свободной струей, осуществляют по ти-
пу, указанному на фиг. 5—14,6.
В турбинах лопатки рабочего колеса не неподвижны, а
движутся с окружной скоростью и, и поэтому относительная
скорость струи по отношению к лопаткам будет г?0—и.
§ 5—6. Давление струи на плоские и криволинейные стенки
171
При подвижных лопатках сила удара
= — — «).
g
(5—22)
а мощность
N = Ра = —mVqU^Vq — и). (5—23)
g
Наибольшего значения мощность достигает при значении
и = 0,5 v0, получаемом из решения уравнения — =0,
du
Таким образом, при плоских лопатках максимальная теоре-
тическая мощность турбины будет при движении ее лопаток со
Q
скоростью и = 0,5 Vq и составит Nmax — , т. е. лишь 50%
4^
полной кинетической энергии струи
J =---- = ----- = --
2 2g 2g
(5—24)
Практически к. п. д. такой турбины вследствие потерь энер-
гии еще меньше и составляет 40—45%.
Если установить криволинейные лопатки по типу фиг.
5—14,6, то при а = 180° и а — 0,5 сила давления струи
будет
P = (5-25)
а мощность
max — 2^. >
(5—26)
т. е. теоретически получим 100% от полной мощности струи.
Таким образом, колесо с криволинейными лопатками теоре-
тически позволяет использовать всю мощность потока. Практи-
чески к. п. д. турбин такого типа составляет 0,85-^0,93%.
Подробнее вопрос об использовании^энергии струи рассмат-
ривается в специальных курсах.
Г Л А В A VI
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ ПО ТРУБАМ
Проектировщику при расчете водопроводов, нефтепроводов,
бензопроводов и т. п. наиболее часто приходится встречаться с
движением жидкости по трубам.
При расчете трубопроводов, передающих жидкости на боль-
шие расстояния, преобладают потери напора на трение по дли-
не; местные потери в таких трубопроводах представляют по
сравнению с потерями по длине ничтожную величину и ими
можно пренебречь.
Такие трубопроводы, в которых расчет может производиться
только на трение по длине (фиг. 6—1), получили название
длинных трубопроводов. К ним относятся водопроводы, нефте-
проводы и бензопроводы. Всасывающие трубы центробежных на-
сосов (фиг. 6—4), сифоны (фиг. 6—5), сливные патрубки и т. п.,
где местные потери составляют более 5—10%, носят название
коротких трубопроводов; при их расчете учитывают как по-
тери напора на трение по длине, так и местные потери (см. при-
мер 3—3 в § 3—12).
Так как в практике водоснабжения приходится иметь дело*
главным образом с движением воды в длинных трубопроводах,
то в настоящей главе рассмотрены в основном приемы гидрав--
§ 6—1. Простой трубопровод
173
лического расчета различных типов длинных водопроводных
труб.
Потери напора в трубах при движении нефти и других вяз-
ких жидкостей были рассмотрены выше, в § 4—6.
По расположению труб в плане трубопроводы могут быть
разделены на: а) простой трубопровод (фиг. 6—1); б) ело ж-
ный трубопровод. Последний подразделяется на: 1) последо-
вательное соединение (фиг. 6—7); 2) параллельное
соединение (фиг. 6—8); 3) кольцевое соединение
(фиг. 6—14).
§ 6—1. ПРОСТОЙ ТРУБОПРОВОД
Простым трубопроводом называется не имеющий
ответвлений трубопровод, по которому жидкость подается транзи-
том (без отдачи в пути) и у которого расход воды и диаметр
труб постоянны на всей длине (фиг. 6—1).
При движении воды по такому трубопроводу потерю напо-
ра принято определять по формуле
I п2
(6-1)
d 2g
или по формуле Шези
Q=<oC \^Ri =0>Cl/' R^-,
откуда
hw = . (6—2)
Произведение
К = y~R (6—3)
называется расходной характеристикой трубы.
Для труб из определенного материала, работающих в квадра-
тичной области сопротивления, когда С не зависит от скорости
движения, К зависит только от диаметра трубы.
Пользуясь введенным обозначением, формулу Шези можно
записать в виде
Q^/T,
а потерю напора
= (6-4)
л2
174
Глава VI. Движение жидкости по трубам
Заметим, что /С = —4 - имеет размерность расхода, и потому
V i
можно сказать, что расходная характеристика есть расход при
гидравлическом уклоне, равном единице.
Кроме того, мы знаем (§ 4—5), что
и
8g
С2 ’
Коэффициент трения X в общем случае зависит от
числа Рейнольдса Re и относительной шероховатости по-
этому
Ao, = f(Re,4-)4
\ J d
v2
'2g ’
так как
V =
4Q
nd2 ’
то
f (Re, д ) d
QM6
к2 d* 2g
f (Re, -j-J 16
2gn2
IQ2.
/ Г \
Когда f I Re,— j может быть представлена как одночлен-
ная функция Q, т. е. в виде f ^Re,-^- = с? 0~х, мы можем
представить потерю напора hw таким образом:
2gK2 d5
lQ2-x^AlQm,
где при постоянном диаметре трубопровода
—) 16
л \ А /
Д ~ 1----2-- — Const .
2gK2 d5
Для вполне шероховатых труб X f(Re) и х = 0; при
этом выражение потерь напора принимает вид
hw = AlQ\
(6-5)
§ 6—/. Простой трубопровод
175
Сопоставляя ее с формулой
о21
hw= — , видим, что
Л2
4=^- (6—6)
Обозначив А1 через s, последней формуле можно придать
вид
hw = sQ2
(6-7)
Величину
s = Al =
I
К2
называют
гидравлическим
сопротивлением, а величину А — удельным сопро-
тивлением, так как А =
Из формулы hw— sQ2 находим выражение расхода
(6-8)
1 я '
где р = ——- == — - называют проводимостью трубо-
V s V I
провода.
Трубопровод всегда можно гидравлически рассчитать, если
есть данные для определения С или X . Однако вычислительную
работу можно очень ускорить, если иметь
величин
таблицы
Все остальные параметры определяются
нижеприведенным зависимостям:
удельное сопротивление
^4 ™ _L •
К2 Q2 9
расходная характеристика
через А
и К по
(6-9)
сопротивление
I
К2
1
Р2
(6-10)
проводимость
1
1
р =
В приложении к книге, в табл. I—IV, приведены значения
176
Глава VI. Движение жидкости по трубам
величин А и К для чугунных и стальных труб, выпускаемых
промышленностью СССР и применяемых в водоснабжении1.
Таблицы составлены по формуле Ф. А. Шевелева
i=-4-S-, (4-54)
Эти таблицы верны для неновых труб при движении по ним
воды обычной температуры (около 10°) со скоростью более
1,2 м!сек> когда эти трубы работают как шероховатые. При
меньших скоростях водопроводные трубы работают в переход-
ной зоне сопротивления, когда X убывает с возрастанием ско-
рости. Поэтому при v <1,2 м!сек значения А следует умно-
жать на поправочный коэффициент k.
По Шевелеву
4 _ 0,852 ("1 +
\ р /
или приближенно
k = • (4—55?
£Г’
Табл. 4—2 величин k была приведена в § 4—6.
При гидравлических расчетах простых трубопроводов наи-
более часто встречаются следующие задачи.
1) Известны: длина трубопровода /, напоры в концах его
Нам Нв ,диаметр d и сорт труб. Требуется определить расход
воды Q и скорость V.
2) Известны: расход Q (скорость у), длина трубопровода
/, диаметр d и сорт труб. Требуется определить потерю напора
в трубопроводе hw или напор на одном конце трубопровода,
когда напор на другом конце задан.
3) Известны: длина трубопровода /, сорт применяемых
труб, напоры в концах трубопровода НА и Нв и расчетный рас-
ход Q. Требуется определить диаметр труб d.
Приводим пример решения задач второго типа.
Пример 6—1.
Д но. d=4Q0 мм (трубы чугунные, неновые); Q= 100 л/сек—0Л м8/сек\
НА=28 м; /=3 600 м. Требуется найти напор в конце трубопровода Н q
(фиг. 6—1).
Решение. Находим
4Q 4-0,1
v — —- — ------- — 0,7£6 м!сек <1,2 м сек.
мР 3,14-0,42 ’ ' ’
1 См. Ф. А. Шевелев, Таблицы для гидравлического расчета стальных
я чугунных водопроводных труб, Государственное издательство литературы
по строительству и архитектуре, М. 1953.
§ 6—2. Определение диаметра длинных трубопроводов
177
По табл. 4—2 при v«0,8 м)сек имеем значение поправочного коэффици-
ента k—1,06. По табл. II
А — 0,2232 (при d = 0,4 м).
Тогда
i = AQ2k = 0,2232*0, l2* 1,06 = 0,00237 ;
hw = il = 0,00237*3 600 = 8,54 л ;
— Aw = 28 — 8,54 = 19,46 лс.
По приближенной формуле Шевелева (4—53) <
О1,8 • 0 I1’8
i = 0,001653-^— = 0,001653 * ~- - 0,00233 ;
^,9 ’ 0>44,9
hда = 0,00233-3600 = 8,4 м, //„ = 28 — 8,4 = 19,6 м.
§ 6—2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИАМЕТРА ДЛИННЫХ ТРУБОПРОВОДОВ
В практике проектирования водопровода обычно данных
для расчета линий и сетей, полученных только на основании
положений гидравлики, бывает недостаточно.
Для решения задачи о простом трубопроводе имеется только
одно уравнение (для квадратичной зоны):
H=AIQ\ (6—5)
Это уравнение связывает четыре неизвестных: Н, d, I и Q.
В большинстве случаев длина трубопровода известна (за-
дана). Кроме того, задаются еще или расход Q, или напор Н.
Требуется определить диаметр d и потери напора hw, т. е. две
величины. Следовательно, даже в самом простом случае нехва-
гает одного уравнения.
Подача воды по простому трубопроводу (который в этом
случае часто называют водоводом) может происходить двумя
способами.
1. На горе имеется резервуар с водой (фиг. 6—2). Эта во-
да по водоводу подается к потребителю самотеком (т. е. без
применения каких-либо механических средств, создания напора,
например насоса). Если в точке, куда подается вода, напор бу-
дет Япотр (потребный напор), а напор, создаваемый резервуа-
ром, будет Яр, то потерянный в трубах напор будет
7/7/ 7/
11 п р 11 потр*
Тогда для пропуска воды в количестве Q потребуется диа-
метр водовода, определяемый из фор*мулы
Я = AlQ*k,
(2 Зак. 1593
178
Глава VI. Движение жидкости по трубам
откуда
Н
lQ2k
В качестве первого приближения принимается далее по
табл. I—II определяется диаметр d, v9 k и производится пе-
ресчет величины А и d. Если же водовод существует, т. е. диа-
метр его известен, то можно определить расход Q по формуле
‘>=V^ (б“12>
2. Если вода подается к потребителю насосом (фиг. 6—3),
то даже при заданном расходе остаются неизвестными две ве-
личины: напор у насоса Л/нас и диаметр водовода d.
Фиг. 6—3
f 6—3. Расчет коротких трубопроводов
179
Условий гидравлики в этом случае нехватает. Недостаю-
щие условия получаются другими приемами. Так, например,
при малой величине напора, затрачиваемого на преодоление тре-
ния в трубопроводе Я — Нн5с— Япотр.— z получается большой
диаметр трубопровода. В этом случае стоимость трубопровода
будет высока, но зато будет дешева подача воды, так как на
преодоление сопротивлений будет расходоваться сравнительно
мало энергии. \
В случае большой величины Я — Яиас —Япотр —z диаметр
трубопровода получится малым и трубопровод дешевым, но за-
то стоимость подачи воды будет большая. Поэтому ищутся
условия, которые давали бы экономически наивыгоднейшее ре-
шение постройки трубопровода и подачи воды. Эти условия
обычно разбираются в курсах водоснабжения.
Для ориентировочного определения экономически наивыгод-
нейшего диаметра трубопровода в этих случаях можно пользо-
ваться формулой проф. В. Г. Лобачева
d = xQ0,42, (6—13)
где d дается в лг,
Q — в м?!сек. 9
Коэффициент х изменяется в пределах 0,8-4-1,2.
§ 6—3. РАСЧЕТ КОРОТКИХ ТРУБОПРОВОДОВ
Выше мы упоминали, что трубопроводы, в которых мест-
ные потери напора больше 5-4-10% всех потерь, называются ко-
роткими трубопроводами, и при расчете их учитываются мест-
ные потери напора.
В целях унификации формул для расчета как длинных, так
и коротких трубопроводов выведем для учета местных потерь
формулу для величин A, s и р в местных сопротивлениях.
Потери напора на местные сопротивления выражаются
формулой
Вводя обозначение
, г и2 у 16 Q2
— = С-----------— .
2g 2g тс2 dA
_л
2gv2d*
(6-14)
получаем
hr~ZAMQ2. (6—15)
Обозначив Cz4M через s м, получаем формулу
(6—16)
12*
180
Глава VI. Движение жидкости по трубам
совершенно аналогичную формуле потери по длине трубопро-
вода.
Следует обратить внимание, что имеет одинаковую раз-
мерность как для трубопроводов, так и для местных сопротив-
лений. При измерении h в метрах и Q в м3/сек размерность sM
будет
h м сек2 сек2 ‘
С - --- ----- --- --
а при измерении h в метрах и Q в л/сек размерность s будет
h Гм/сек2
Q2 [ л2
а размерность удельных сопротивлений А будет различна.
Для трубопроводов размерность А
'сек2
ИЛИ
сек2
л2
Для местных сопротивлений
h Гм сек2
'адч
сек21 Гм сек2
---- или -------
м5 J L л2
1
Так как проводимость р= лг—, то размерность р для трубо-
проводов и местных сопротивлений одинаковая.
Квадрат расходной характеристики для местных сопротив-
лений будет определяться соотношением
К'2 = —
м А
71М
(6—17)
Если составить таблицу величин Дм или Км для местных со-
противлений в зависимости от диаметра трубопровода, то
5м и рм легко определятся по формулам
Sm = СЛМ = (6-18)
И
(6—19)
§ 6—3. Расчет коротких трубопроводов
181
Величины К и
лм = -^
к 2gd4
и А м имеют такие значения:
_ 0^0826 д-2 = = 12,106 rf4;
м 16
— с = °,°8^
м “ 12,~ &
Для различных значений d величины Км
в табл. 6—1.
(6—20)
и Лм приведены
Таблица 6- -1
Таблица величины К и А м
м
для местных сопротивлений
Диаметр d в м 2 Величины Км Величины Л м
для расхода, выра- женного в м3[сек для расхода, вы- раженного в л/сек для расхода, выра- женного в м3]сек для расхода, выра женного в л/сек
0,010 0,121-Ю-6 0,121 —- 8,26
0,012 0,251-Ю-6 0,251 3,98
0,016 0,793-Ю-6 0,793 — ' 1,26
0,020 1,94-Ю-6 1,94 — 0,516
0,025 4,73-Ю-6 4,73 211000 0,211
0,028 7,44-Ю—6 7,44 134 000 0,134
0,032 12,70-Ю—6 12,7 78 800 0,0788
0,035 18,2 -10“6 18,2 55 000 0,0550
0,038 25,24-Ю—6 25,2 39 600 0,0396
0,044 45,4 -Ю-6 45,4 22 000 0,0220
0,050 75,6 -10-6 75,7 13 200 0,0132
0,070 291-10-6 291 3 640 0,00344
0,075 383-Ю-6 383 2 610 0,00261
0,100 1210-Ю-6 1 210 826 0,000826
0,175 2 960-Ю-6 2 960 338 0,000338
0,150 6130-Ю-6 6130 163 0,000163
0,200 19 400-Ю-6 19 400 51,5 0,0000515
0,250 47 300-Ю-6 47 300 21,1 0,0009211
0,300 98 100-Ю-6 98 100 10,2 0,(000102
0,350 182 000-Ю-6 182 000 5,49 0,00000549
0,400 310 000-Ю-6 310 000 3,23 0,00006323
0,450 496 000*10“6 496 000 2,02 0,00000202
0,500 757 000-Ю-6 757 000 1,32 0,00000132
0,600 1570000-Ю-6 1 570 000 0,637 0,000000637
Часто потери напора от местных сопротивлений заменяют
эквивалентными длинами основного трубопровода. Для этого
случая имеем:
182
Глава VL Движение жидкости по трубам
для трубопровода
для местного сопротивления
Сохраняя равенство напоров и расходов, получаем
АГ1 = ЛМС,
откуда
где /<м — квадрат пропускной способности для местного сопро-
тивления.
Величина I называется эквивалентной длиной трубопрово-
да, соответствующей данному местному сопротивлению с коэф-
фициентом С.
Рассмотрим пример расчета короткого трубопровода.
Пример 6—3. Всасывающий трубопровод (из стальных труб) (фиг. 6—4).
Необходимо определить диаметр стального всасывающего трубопровода дли-
ной 100 м от резервуара к насосу; геометрическая высота подъема воды 2 м.
Предельная высота всасывания насоса 5 м. Расход, который надо подавать,
Q—100 л/сек. ДАестные потери напора в сосуне с клапаном характеризуются
значениями коэффициента Ссос =5.
Для определения диаметра трубопровода в качестве первого приближе-
ния пренебрежем местными сопротивлениями. Тогда, как и выше в примере
самотечного трубопровода (§ 6—2), принимаем сначала 1.
После этого по формуле (6—5) получаем
h^AlQ2.
В нашем случае /?=5—2—3 м, /=100 м, Q—0,1 м?/сек. Тогда
100-0,I2
Ближайший большой диаметр, согласно табл. I приложения, будет
rf=250 мм с удельным сопротивлением Л25о=2,583.
Скорость в этом трубопроводе будет
0,1-4 _
v __ ----- — 2,05 м/сек.
к-0,252 ’ 7
При такой скорости трубопровод будет шероховатым и Л=1.
Определим местную потерю напора в сосуне. По табл. 6—1 при d=
= 250 мм Лм—21,1. Тогда
hr = su Q2= С 5-21,1-0,1*= 1,05 ж.
£ 6—3. Расчет коротких трубопроводов
183
r>
Эту же величину можно получить и другим путем:
и2
2^
2,052
19,62
= 1,05 м.
Таким образом, на преодоление трения в трубопроводе остается сво-
бодный напор hw—5—2—1,05—1,95 м. Пересчитываем диаметры всасываю-
щего трубопровода
По табл. I ближайший больший диаметр d=275 мм, для которого
4=1,535. При этом
4Q
rd2
—-----2----— 1,72 м/сек > 1,2 м сек.
3,14-0,2752
При этом местная потеря напора будет равна
о2 1 722
hr = С — =5 - ’—~ = 0,75 м.
r 2g 19,62
Полная потеря напора во всасывающем трубопроводе будет составлять
hw=hl + = Д/Q2 Ч-= 1,535-100-0,12 4-0,75 = 1,535 + 0,75 = 2,28 м,
а полная высота всасывания насоса составит
/гвс = 2 4-2,28 = 4,28 м
вместо возможных 5 м, т. е. насос будет работать в лучших условиях
184
Г лава VI. Движение жидкости по трубам
Сифонные трубопроводы
Сифонные трубопроводы в основном бывают двух типов.
а) Первый тип сифона представляет собой трубопровод, с
помощью которого вода, самотеком поднимаясь из верхнего ре-
зервуара А на определенную высоту выше уровня воды в нем,
далее спускается в нижний
резервуар Б (фиг. 6—5).
Чтобы такой сифон мог ра-
ботать, необходимо внача-
ле заполнить его водой. В
верхней части сифона полу-
чается разрежение.
Кроме того, необходи-
мо удалять воздух, скоп-
ляющийся в верхней части
сифона, который выделяет-
ся из воды вследствие по-
ниженного давления.
При заданной высоте
верхнего бака над нижним
и при заданном диаметре
сифона можно определить
расход воды в нем; при
заданном расходе диаметр
сифона определяют из фор
мулы
Н =sQ2-H/ + sM)Q2,
где sM—местные сопротивления, равные С4М (см. табл. 6—1)
В качестве первого приближения, пренебрегая местными
потерями, находят А — и по табл. I или II — искомое d.
По d находят Ам , hr и уточняют диаметр, пересчитывая его по
/71 = Н — hw (см. выше пример 6—3).
Возможную величину подъема верхней части сифона над
горизонтом воды в верхнем резервуаре можно определить, при-
меняя уравнение Бернулли к сечениям I—I и II—II (фиг. 6 —5).
Принимая за плоскость сравнения горизонт воды в верхнем
резервуаре, можно написать
здесь
ра — атмосферное давление;
pi — давление в верхней части
сифона (сечение II—II);
§ 6—3. Расчет коротких трубопроводов
185
z — высота верхней части сифона над уровнем воды в
верхнем резервуаре;
= Е sQ2 — потери напора при движении воды по сифону от
входа до сечения II—II.
Обычно с некоторым запасом принимают величину ——-
порядка 6-н 7 м, так как при большем разрежении из воды
интенсивно выделяется воздух и может даже начаться вскипа-
ние воды, что приведет к нарушению сплошности движения.
д
Фиг. 6—6
Такого рода сифонные устройства часто применяются для
забора воды из системы колодцев и называются сифонными
водозаборами.
При устройстве их предусматриваются мероприятия для
удаления воздуха и газа, выделяющегося из воды и скопляюще-
гося в верхней части сифона.
б) Второй тип сифонов в практике водоснабжения встре-
чается при прокладке трубопроводов по пересеченной местности.
Положим, что на пути подачи воды из верхнего возвышенного
резервуара А к нижнему резервуару Б (или к потребителю)
встречается возвышенность (фиг. 6—6). Так как при отсутствии
разбора воды по пути пьезометрическая линия представляет
собой прямую, соединяющую горизонты воды в резервуарах, то
в том случае, когда отметки местности будут выше указанной
пьезометрической линии, мы будем иметь сифон.
При этом обычно стараются так проложить трубопровод,
чтобы превышение возвышенности г (фиг. 6—6) над пьезомет-
рической линией было бы не более 6—7 м. Кроме того, необхо-
димо предусматривать устройства по удалению скопляющегося
воздуха, который выделяется из воды.
186
Глава VI. Движение жидкости по трубам
§ 6—4. СЛОЖНЫЕ ТРУБОПРОВОДЫ С ТРАНЗИТНЫМ РАСХОДОМ
(ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ И ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЯ)
Сложными трубопроводами называются такие, которые
составлены из отдельных простых трубопроводов и местных со-
противлений. Рассмотрим трубопроводы, соединенные последо-
вательно и параллельно, при расходе, проходящем через них
транзитом (без отдачи по пути).
Фиг. 6—7. Последовательное соединение
Последовательным соединением частей труб назы-
вается такое соединение, при котором расход жидкости на всем
пути остается постоянным, сам же трубопровод может состоять
из участков различных диаметров и иметь, кроме того, местные
сопротивления (рис. 6—7). Если местные сопротивления не
влияют друг на друга (т. е. расположены на достаточных рас-
стояниях между ними), то потеря напора по всей длине трубо-
провода может быть определена суммированием потерь напора
на отдельных участках его. Так:
1-й участок трубопровода дает потерю
напора...............hy—
2-й участок трубопровода дает h2—
п-:л участок трубопровода дает h— snQ^
Надо соблюдать условие выражения потерь при одинако-
вом показателе т. Когда он неодинаков, надо приводить к ка-
кому-либо одному значению т. Наиболее удобно приводить к
m ж 2.
Суммирование потерь дает
Лю = Л, 4- й2 + hs + • • • + h„ = 0 г Ц- s2 4- S3+ • • • +SO) Qm. (6 - 22)
§ 6—4. Сложные трубопроводы с транзитным расходом
187
Обозначая
$1 + $2 + $3 + • • ' + Sn = S S==S0 = »
получаем
Откуда
(6—23)
Фиг. 6—8. Параллельное соединение
В частном (наиболее употребительном) случае, когда m = 2,
= «о Q2
И
(6—24)
Пьезометрическая линия для последовательного соединения
имеет вид ломаной (фиг. 6—7).
Параллельным соединением труб называется такое со-
единение, при котором две или более линии отходят от одной
точки А и сходятся в другой — В. В этом случае для каждого
участка водопровода разность напоров по концам одинакова
(т. е. потеря напора для всех ветвей одинакова), а сумма
идущих по отдельным ветвям расходов (Q1 + Q2+—) равна
полному расходу, поступающему к точке разветвления
(фиг. 6—8).
Пользуясь понятием проводимости
Глава VI. Движение жидкости по трубам
можем выразить расход каждой ветви следующим образом:
\s2
\ sn /
Складывая эти равенства, получим
= (Р1 + А + Рз Ч------------У-Рп) h'!m-
Обозначив суммарную проводимость разветвленного уча-
стка
А + А + Ad +рп =Sp — А>
получаем для суммарного расхода
Qo = U Q = (Sp) h'lm = Pah'im-
В частном случае (наиболее употребительном), когда
гп *= 2, получаем
Qo
= (а+А + аЧ-+Рп)]/- h =р0
h. (6—25)
Расходы по отдельным ветвям будут определяться по та-
ким формулам:
И T. Д.
Q.l=p1fllm = p % =^Q0;
Рл Sp
Q2=W/m=A A =^-Q0
Ро Ър
Если взять частный случай при m = 2 только для двух тру-
бопроводов разной длины /1 и /2 и равных диаметров
d\ = dz = d, то проводимости этих трубопроводов будут
(6—26)
§ 6—4. Сложные трубопроводы с транзитным расходом
189
Поэтому полная проводимость будет
Ро = Р1 + Р2
или
Кроме того, полную проводимость можно представить в
таком виде:
1
Ро =
V SO
1
где /о — длина трубопровода, эквивалентного данной системе.
Тогда получаем
1 = 1/ W+КТ \
УТ \ У/ДГ / ’
хгкуда эквивалентная длина /о будет
10 =-----------. (6-27)
(VT+V^
Это соотношение называется правилом Дюпюи.
Приводим примеры расчета последовательного и - парал-
лельного соединений.
Пример 6—4. Имеем трубопровод (фиг. 6—7) из чугунных труб, со
стоящий из трех последовательных участков длиной 1\ = 500 м, di — 300 мм
(А1 = 1,025), /2 = 800 м, d2 = 250 мм (Д2 = 2,752) иЧ3 = 1 000 м, d3 = 200 мм
(А3 = 9,03). Начальный вапор Н А = 60 м.
Определить пропускную способность трубопровода при условии, что
напор в конце должен быть не менее Нв —20 м.
Решение.
По формуле
= НА - Нв = (А. 1,+А2 /2+Л3 /3) Q2 = Е sQ\
откуда
40
______________40______________
1,025-500+2,752-800+1 000-9,03
11744
= У 0,00341
= 0,0584 м3/сек = 58,4 л/сек.
190
Глава Vi. Движение жидкости по трубам
Потери напора на участках соответственно составят:
А, = А Л Q2 = 1,025-50-0,05842 = 1,75 ж;
/г2 = Л2 Z2 Q2 = 2,752-800-0,05842 = 7,50 м ;
А3 = л3 Z3 Q2 = 0,03-1 0С0-0,05842 = 30,75 м
Так как на первом участке скорость составляет
4Q 4-0,0584
v, = — —------------= 0.83 м/сек <1.2 м/сек
та/2 3.14-0.31
то следует для него ввести поправочный коэффициент (см. табл. 4—2), ран
нвгй &= 1,054.
Для второго и третьего участков 02=1,2 м/сек и о3=1,87 м/сек. Введз
= 1,054, имеем
/ ____________________40__________________
<?= |/ 1,025-500-1,054+2,752-800 + 1 000-9,03 ~
. / 40
л? I/ । j 77(7 ~ ^,0583 м3/сек,
г. е. тот же самый расход.
Поэтому пересчета потерь напора не делается, а по высчитанным выше
значениям потерь напора на участках строим пьезометрическую кривую.
Пример 6—5. Имеем трубопровод (фиг. G—8) из трех параллельные
участков чугунных труб, выходящих из узла А и соединяющихся в узле В
Длина участков
/i = 500 ж, dv = 300 мм (/ = 1,025);
/2 = 800 ж, d2 = 250 мм (Л2 = 2,752);
Z3 = 1 000 ж, dA = 200 мм (Л3 = 9,03).
В узле А напор НА = 60 ж, в узле В напор Нв—20 м.
Определить расход в каждой из ветвей параллельного соединения.
Решение. Потеря напора в каждой из ветвей параллельного соеди-
нения будет одна и та же:
1ъ = h2 = Zz, = НА — Bl. = GO — 20 == 40 ж.
Из основной формулы
h = AIQ2, Q =
1/-
У Al
для каждого участка соответственно имеем
Qi =
= Уо,0781 = 0,280 ма1сек ;
§ 6—5. Трубопроводы с путевым расходом
191
h____/ 40 _ / 40
800-2,752 ~ У 2 200
= Ко,О182 = 0,135 мл/сек;
40
9030
— = |/ ——— = 1 /
43/3 У 1000-9,03 У
= У 0,0044 = 0,065 м^сек.
Скорости течения по участкам соответственно составляют
=
4Qi
nd]
4»0,280
3,14-0,32
— 3,97 м!сек > 1,2 м/сек ;
4-0,135
р2 — —--------- = 2,75 м/сек ;
2 ЗД4-0.252 ’ 1
ti3 =
4-0,065
3,14-0,22
— 2,07 м/сек.
Таким образом, движение везде происходит в квадратичной зоне, и
коэффициента k вводить не надо.
§ 6—5. ТРУБОПРОВОДЫ С ПУТЕВЫМ РАСХОДОМ
Трубопроводом с путевым расходом назы-
вается трубопровод, у которого разбор воды происходит непре-
рывно по длине трубы.
Здесь мы рассмотрим только частный случай, когда точки
разбора находятся па одинаковых расстояниях друг от друга, а
расходы разбора в этих точках также одинаковы. Этот случай
называется непрерывной равномерной раздачей. Пусть потери
напора по линиям сети следуют квадратичному закону (т. е.
все трубы являются гидравлически шероховатыми).
Этот случай показан на рис. 6—9.
Обозначим QT—транзитный расход, a Q — полный расход,
который разбирается по длине.
Разобьем трубопровод с путевым расходом на п участков
равной длины и определим потери напора на отдельных участ-
ках:
1-й участок
/?, = Д -z- Q?;
1 « + 1 1
2-й участок
192
Глава VI. Движение жидкости по трубам
3-й участок
{п + 1)-й участок
Фиг. 6—9
Полная потеря напора будет
Раскрывая скобки и упрощая, получим
\ 6 /
(6—28)
В пределе, при п = со, т. е. при непрерывном равномерном
расходе (как частный случай), получаем
Так как формулой (6—15) пользоваться при расчетах за-
труднительно, то полный путевой расход стараются учесть не-
которой его долей, принимая расчетный расход равным сумме
транзитного расхода и определенной доле путевого расхода, т. е.
Qp = (QT+aQ), (6—30)
где Qp — расчетный расход, постоянный для данного участка
сети.
Этот расчетный расход можно определить из условия, чтобы
потери напора как при действительном распределении, так и
при условном расчетном расходе были бы одинаковыми.
Последнее можно выразить уравнением
AIQ2 - Л/(QT+ «(?)« = Л/( +
F I О
§ 6'—5. Трубопроводы с путевым расходом
193
откуда
QT + Q =2Qt а + a? Q.
О
(6-31)
Определим из этого уравнения коэффициент эквивалентно-
а.
Обозначим расход, поступающий к началу трубопровода с
/
ста
путевым расходом
QT 4~ Q = Спол-
Тогда
Qt = Япол — Q*
Введем обозначение
Опол Qt4-Q
тогда получим
a2 Q 2а (фпол — Q) —
-^-Q)-Q^ = o
О
и далее
Qпут=2%
Таким образом, коэф -
фициент эквивалентности
в общем случае зависит от
Для сравнения неко-
торых случаев разбора во-
ды мы, не давая аналити-
ческого решения, приведем
данные подсчетов в виде
графика фиг. 6—10. По оси
13 Зак. 1693
194
• Глава VI. Движение жидкости по трубам
ординат отложены величины коэффициента эквивалентности а,
а по оси абсцисс — величины
Q
Qt + Q
График построен для следующих случаев.
1. Совершенно равномерный путевой расход (идеальный
случай).
II. Вода разбирается равными расходами в шести тачках,
расположенных на равных расстояниях.
III. Разбор воды происходит в двух точках, размещенных
по длине линии на равных расстояниях.
.......И J ~ МД111 —(ПТ,—
’ ? 5 - — 4 5
Qnt> 0 ГО
Фиг. 6—12
Из графика на фиг. 6—10 видно, что значения коэффициента
эквивалентности заключаются в сравнительно узких пределах —
от 0,5 до 0,65.
При расчетах городских водопроводных сетей иногда при-
нимают а = 0,5, но, как показывает график, это не совсем вер-
но. Наибольшие погрешности будут в конечных (концевых) ча-
стях сетей. Следует применять среднее значение коэффициента
эквивалентности 0,55.
£ 6—5. Трубопроводы с путевым расходом
195
Для трубопровода с непрерывным равномерным расходом
по пути можно построить линию энергии (фиг. 6—И). Так как
Нх — А
X
О
2 О2 1
dx ~ А — х3
/2 3
(6 —32)
то линия энергии будет вогнутой.
Если трубопровод состоит из отдельных участков с различ-
ными путевыми расходами, то и в этом случае можно путевые
расходы заменить расходами, сосредоточенными в узлах (ме-
стах соединения различных участков трубопровода).
Разберем случай, когда путевые расходы Qni>Qn2, Qns,- • * ‘
различны на различных участках трубопровода. В этом случае
эквивалентные (расчетные) расходы в узлах можно определить
двумя способами.
Первый способ. Рассмотрим трубопровод 7—2—3—
—4—5 с путевыми расходами согласно фиг. 6—12.
Сперва определим эквивалентный концевой расход на уча-
стке 4—5\
Qp4 ~ Qt Ч” &Qn4*
Участок 3—4 имеет равномерный путевой расход Q113 и, кроме
того, транзитный расход, равный QT + Qn4. Поэтому расчетный
расход на участке 3—4 будет
Орз ” (Qt + Qn4) + аСпз,
а на участке 2—3
Qp2 (Qt “b Qn* + Qns) 4“ aQn2*
Наконец, на участке 1—2 расчетный расход будет
Qpi — (Qt + Qn4 + Qn3 + Qna) + aQnr
Второй способ. Путевой расход распределяют на при-
лежащие узлы по следующему приему. Часть расхода с коэф-
фициентом а относится к узлу, находящемуся в конце участка
по направлению потока, а другая часть расхода с коэффициентом
(1—а)—к узлу, находящемуся в начале участка. Распределяя
указанным способом путевые расходы (приведенные на фиг.
6—12), получаем следующие сосредоточенные в узлах расходы:
узел 5:Q5y3 = QT+ aQn4;
» 4 • С?4уз = (1 а) Qn4 4“ а Qn3>
» 3:Q8y3 = (l—а)Фпз + аФп2-;
» 2 • Qays- ~ Qn2 4" & Qni,
* 1 : Qly3 = (1 - а) Qni-
13*
196
Глава VI. Движение жидкости по трубам
Отсюда получаются расчетные расходы по участкам трубо-
провода:
участок 5—4: Qp 4 = QT + а Qn 4*
, 4-S:Qp3 = QT + [aQn4 + (l-a)Qn_4 + aQn3] =
-- Qt + Qn 4 + a Qn si
» 3 21 Qp 2 = QT + Qn 4 4~ [a Qn 3 (1 a) Qn s]
+ a Qn 2 = Qt + Qn 4 + Qn 3 + a Qn 2',
» 2—/: Q p 1 = QT + Qn 4 + Qn 3 + [a Qn 2 +
+ (1---a) Qn 2] + a Qn 1 — Qt “Г Qn 4 + Qn 3 + Qn 2 +
+< a Qn 1*
Определение по этому способу проще, особенно если при-
нять a = 0,5 (за счет понижения точности расчета).
Пользоваться приведенным способом можно и при расчете
кольцевой сети. При этом эквивалентные узловые расходы по-
лучаются как сумма путевых расходов, умноженных на коэф-
фициент эквивалентности а или (1— а).
Так, например, для узла 7 (фиг. 6—13) узловой эквивалент-
ный расход по приведенному правилу будет
Qy37 = (1 a'Qn(7-12) Н~ О a) Qn(7-10) "Ь aQп(6-7)^ а Qn(4-7) »
или, если принять для упрощения а == 0,5:
Qy3T ~ 0,5 (Qn(7-I2) “f”Qn(7-IO) “bQn(6-7) ~bQn(4-7) )*
§ 6—6. ЗАДАЧИ, ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ ПРИ РАСЧЕТЕ
ВОДОПРОВОДНЫХ СЕТЕЙ
Водопроводные сети бывают двух видов: а) разветвлен-
и ы е, или тупиковые; б) замкнутые, или кольцевые.
Разветвленной, или тупиковой, сетью трубопрово-
дов называется сеть, показанная на фиг. 6—15.
Замкнутой, или кольцевой, сетью называется такая
сеть, которая получается из тупиковой замыканием концов этой
сети добавочными линиями (фиг. 6—13). Кольцевание сети
делается главным образом с целью обеспечить достаточно надеж-
ную и бесперебойную подачу воды к потребителю.
Основные типы задач при расчетах водопроводных сетей
следующие.
Первый тип. Сеть задается трассой с указанием мест
питания ее, длинами и диаметрами линий и распределением рас-
ходов по узлам. Равномерные расходы всегда можно привести
к узловым расходам.
§ 6—6. Задачи, встречающиеся при расчете водопроводных сетей 197
При расчете определяется напор, необходимый для преодо-
ления сопротивления сети.
Второй тип. Задается трасса сети с указанием мест пи-
тания ее, длины и диаметры линий и имеющийся напор. При
этом должны быть заданы и условия разбора жидкости.
При расчете определяют-
ся полный расход воды и его
распределение по отдельным
местам отбора.
Этот тип задач встречает-
ся гораздо реже, например
при расчете замкнутых (за-
кольцованных) спринклерных ,
сетей.
Третий тип. Сеть за-
дана только трассой и длина-
ми линий. Кроме того, задает-
ся желательное распределение
воды при имеющемся напоре
в точке питания сети. При
расчете определяются диамет-
ры отдельных участков сети. Фиг- 13- Схема замкнутой сети
Эта задача имеет много ре-
шений. Поэтому для внесения
определенности приходится вводить добавочные условия. Наибо-
лее часто таковым является условие минимальной стоимости сети.
Четвертый тип. Сеть задана трассой и длинами от-
дельных участков сети. Кроме того, задано распределение воды
по сети. Требуется определить диаметры отдельных участков
и начальный напор.
Эта задача не решается без добавочного условия. Наиболее
часто таковым является требование минимальной стоимости
сети и ее эксплуатации.
Найти наивыгоднейшее распределение расхода в этом слу-
чае нельзя, так как всякое решение такого рода приведет нас к
разветвленной системе. Это получается вследствие того, что
всякая кольцевая сеть устраивается, исходя из условий надеж-
ности. И чем надежнее будет выполнено условие распределения
воды, тем дороже будет сеть.
В большинстве случаев расчет водопроводных сетей произ-
водится по четвертому типу и реже — по третьему. Но так как
при выборе экономически выгодной сети диаметры получаются
нестандартные, то приходится их заменять стандартными. При
этом распределение воды по сети изменится; перераспределение
расходов и определение потребного напора в сети решается по
схеме задач первого типа.
198
Глава VI. Движение жидкости по трубам
Так как расчет водопроводных сетей по третьему и четвер-
тому типам требует учета экономических факторов, не входящих
в предмет гидравлики, то здесь приводится прием решения за-
дач первого типа, когда диаметры сетей уже заданы. Обычно
поступают следующим образом: задается желательное распре-
деление расходов по линиям; затем определяют диаметры ли-
ний и далее производят расчет потерь напора. Это — прибли-
женный метод расчета сети с учетом (неполным) экономики
работы сети.
§ 6—7. РАСЧЕТ КОЛЬЦЕВЫХ ВОДОПРОВОДНЫХ СЕТЕЙ
Пусть в кольцевой сети заданы: а) длины линий /; б) диа-
метры линий d и узловые расходы Qy3 (фиг. 6—14). Распреде-
ление расходов нам неизвестно, а потому мы не можем
Фиг. 6—14. Схема кольцевой сети
определить напор, необходимый для преодоления трения в тру-
бопроводах сети. Зная длины и диаметры линий сети, мы можем
получить сопротивление каждой линии.
При движении воды по кольцевой сети должны выполнять-
ся два очевидных условия. Первое условие — это уравнение ба-
§ 6—7, Расчет концевых водопроводных сетей
199
ланса расхода, т. е. равенства притока и оттока воды в каждом
узле:
s Qy3 = о.
В эту сумму входят как те расходы, которые отбираются в уз-
лах, так и расходы, идущие по линиям. Это условие иногда
формулируется так: приток воды к узлу должен равняться от-
току. Второе условие формулируется так: сумма потерь напо-
ров по линиям каждого кольца при полном обходе его (при
этом сумма считается алгебраической) должна быть равной
нулю, т. е. должно осуществляться равенство
^колА-0
или
£Кол sQm = 0.
где q — расчетные расходы по линиям кольца.
При этом принято считать, что если мы обходим кольцо по
часовой стрелке, то когда направление обхода совпадает с на-
правлением течения воды, потеря напора будет положительной;
если же направление обхода по часовой стрелке обратно на-
правлению течения, потерю напора считают отрицательной.
Иначе говоря, потеря напора по одной части кольца от какой-
либо точки 3 (рис. 6—13) до точки схода потоков, например
точки 4, должна равняться потере по другой части.
Применительно к кольцу (рис. 6—14) получаем
^3—4 ^4-7 = ^3—6 “Ь ^6 -7*
Это условие равнозначно основному условию
h _l h — h — h = S h = 0
zt3—4 f __7 6 '^6_7 кол v-
При разветвленных сетях точно так же должны удовлет-
воряться оба указанных закона. Выполнение первого закона
равенства нулю в узлах всех приходящих и уходящих расходов
очевидно. Второе же условие выражается равенством
кн-н.-н*,
где Но— начальный напор;
Нк— напор у конца какого-либо направления.
Распространим выводы и на задачу разветвленной сети.
Зная, что вода должна распределяться по сети таким образом,
чтобы одновременно удовлетворялись оба основных закона рас-
пределения жидкости, мы можем производить расчеты следую-
щими способами.
200
Глава VI. Движение жидкости по трубам
Первый способ состоит в том, что мы произвольно рас-
пределяем расходы жидкости из сети, удовлетворяя только пер-
вому условию, т. е. балансу расходов в узлах. При этом, вообще
говоря, второе условие Е h = 0 по кольцам сети не будет удов-
летворено. Затем, не нарушая первого условия, так исправляем
распределение расходов, чтобы удовлетворялось, хотя бы с не-
которым приближением, второе условие: S/1 = 0. Этот способ
называется методом балансирования напоров.
Второй способ состоит в том, что ставится требование
выполнения второго условия %/г = 0; тогда, вообще говоря, пер-
вое условие (закон баланса) не выполняется. Далее, не нару-
шая второго условия, так распределяем расходы по сети, что-
бы, хотя бы приближенно, выполнить первое условие. Этот
способ называется методом балансирования расходов.
Наибольшее распространение получил первый способ. По-
этому рассмотрим его более детально.
При распределении расходов по линиям сети, соблюдая
первое условие, мы должны будем вводить какой-то неизвест-
ный расход для каждого кольца. Поэтому мы будем иметь
столько неизвестных расходов, сколько колец в сети. Эги не-
известные расходы будут связаны основным вторым условием:
= 0. Таким образом, при соблюдении первого условия рас-
пределения расходов мы получаем столько уравнений относи-
тельно неизвестных расходов, сколько колец в сети. Но, вообще
говоря, уравнения имеют нелинейный вид. Поэтому даже в са-
мом простом случае, когда т = 2 (квадратичный закон), мы не
можем получить точного решения. Для решения системы нели-
нейных уравнений можно применять метод Ньютона, сводящий
систему нелинейных уравнений к системе линейных уравнений,
но решение системы линейных уравнений, когда число неизве-
стных превышает 5, затруднительно.
Методы решения кольцевых сетей более подробно излагают-
ся в курсе водоснабжения.
§ 6—8. РАСЧЕТ РАЗВЕТВЛЕННЫХ СЕТЕЙ
Для гидравлического расчета разветвленной сети не-
обходимо иметь следующие данные:
а) расходы в узлах сети;
б) напоры в концах каждого разветвления;
в) диаметры линий за исключением всех концевых линий
без концевой линии определяющего направления.
Определяющим направлением называют то направление
(от начала сети), по которому заданный конечный напор тре-
бует наибольшего начального напора. Обычно таким опреде-
ляющим направлением является или направление до наиболее
§ 6—8. Расчет разветвленных сетей
201
удаленной точки разбора, или направление до наиболее воз-
вышенной точки разбора.
На фиг. 6—15 дана схема разветвленной (разомкнутой)
Ниже приводится гидравлический расчет разветвленной
(разомкнутой) сети, которая (для упрощения расчета) приня-
та при горизонтальном расположении. Положим, что опреде-
ляющее направление будет 1—2—3—5 с конечным напором
Н$. Тогда расчет можно вести таким образом.
По линии 3—5 идет расход #з - 5 = Qs- Длина этой линии
/з-5 и диаметр Оз-5.
Раз известны диаметр и длина линии, то известно сопро-
тивление:
S3-5 ~ Аз-5 4-5*
Тогда потеря напора на линии 3—5 будет
А-5 ^3—5 9з-5‘
Напор в точке 3 будет
'3-5*
Если Н3>Н^, то определяющее направление выбрано пра-
вильно, и можно определить диаметр линии 3—4.
•202
Глава VI. Движение жидкости по трубам
Так как напор в точке 3 равен Яз, а в точке 4 равен Я4, те
потеря напора по линии 3—4 будет
А3-4 ~ 3 ^4 ^5 + ^3-5 ^4*
Зная расход 73_4 и потерю
определить сопротивление S3-4
напора по линии 3—4, можно
So Л =
3—4
^3--4
^-4
w далее удельное сопротивление
3-4
S3—4
^3—4
По этому сопротивлению по таблице подбираем диаметр
линии 3—4.
Далее по линии 2—3 идет расход 72-3, равный
^2-3 ~ ^4 + ^5 “Ь #3—5е
Так как диаметр и длина линии 2—3 известны, то известно
и сопротивление s2-3-
Потеря напора по линии 2—3 будет
^2 -3 ~ S2- 3 ^2-3 ~ S2—3(^4 "Ь Q5 + ^З-б)2*
Напор в точке 2 будет
^2 ~ 3 ”J ~ ^5 ~Ь ^3—5 + ^2-3*
По линии 2—6 идет расход
^2—6 :== ^7 Г ^8 ^6’
так как диаметр и длина линий известны, то известно и сопро-
тивление S2-6. Поэтому потеря напора по линии 2—6 будет
^2—6 ~ S2—6 ^2—6 ~ $2—6 (^*7 Т" <?8 + Qs)--
Знание Л2-6 позволяет определить напор в точке 6:
А когда известны напоры в точках 6, 7 и 8, можно опреде-
лить диаметры линий 6—7 и 6—8.
Диаметр линии 6—7 можно определить указанным выше
способом:
56—7
^6-7
^6-7
§ 6—9. Неу становившееся движение жидкости в напорных трубопроводах 203
где
^6—7 ~ ^6 ^5 ^3-5 + ^2—3 ^2-6
Зная же 5 6-7 и /б-7, получаем
А 5б-7
Л6-7 “ /
£6-7
и по таблицам определяется диаметр линии d6-7.
Точно так же для линии 6—8 получаем
где
^6 8 " Н6 ^5 + ^3—5 “1“ ^2—3 ^2—6 ^8
и далее
и по таблицам определяется величина диаметра de-8.
По линии 1—2 идет расход
Qi = Q2 4- Q3 + Q4 + Q5 + Q6 + Q7 + Q8-
Тогда потеря напора по линии 1—2 будет
^1—2 ” 51-2^Г
Напор в точке 1 будет
При расположении узлов сети на различных высотных от-
метках расчет ведется тем же путем, но вместо напоров относи-
тельно земли надо пользоваться пьезометрическими отметками
пъез ~ % "Ь у
где z — геодезическая отметка узла;
Н — напор в узле относительно земли.
В этом случае все точки разбора должны быть поверены
на заданный конечный напор; если этот напор окажется в ряде
точек меньше заданного, то точка с наибольшей разницей за-
данного и остаточного напоров показывает определяющее на-
правление.
§ 6—9. НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
В НАПОРНЫХ ТРУБОПРОВОДАХ
Неуст ан овившимся движением жидкости (см. § 3—2)
мы назвали такое движение, при котором скорость и давление
204
Глава VI. Движение жидкости по трубам
в пространстве с движущейся жидкостью изменяются во време-
ни и являются функциями координат и времени:
» = f(x, y,z, t) np = f(x, у, z, t).
Выведем основное уравнение ^установившегося движения
для элементарной струйки жидкости.
Выделим внутри элементарной струйки потока жидкости,
заключенного в жестких неизменяемых стенках, элементарный
цилиндр длиной ds площадью с осью 0—0, наклоненной под
углом В к горизонту.
На этот цилиндр (фиг. 6—16) действуют: 1) сила тяжести
dG~ *[dads; 2) силы гидродинамического давления слева pda и
справа ^р + •— dsjda , нормальные к основаниям цилиндра и на-
правленные в противоположные стороны; силы давления, дейст-
вующие на боковую поверхность цилиндра, нормальны к его оси
и на ось цилиндра проекций не дадут; 3) сила инерции =
= —~ ds da — у где и — местная скорость, направленная в сто-
g dt
рону, обратную ускорению; 4) сила трения ds, где т-
напряжение силы трения, d/— периметр живого сечения эле-
ментарного цилиндра.
Применив к элементарному цилиндру принцип Д’Аламбера,
спроектируем все действующие на цилиндр силы на ось 0—0:
Ydwdssinp + pda— Ip -р
— ds}da-----^-da ds — — Trfу ds=0,
ds J g dt
разделив на ^dads, получим
.л 1 дг> 1 du с dy ~
sin р-------- —--------------------- — = 0.
7 ds g dt у du>
т-r du
Представим производную в таком виде:
da __ ди । ди ds __ди . ди ______ да . д /
dt dt ds dt dt ds dt ds \ 2
§ 6—9. Неу становившееся движение жидкости в напорных трубопроводах 205
Так как sin В = —, то
ds
dx 1 др 1 d / п2 \___ х 1 du
ds 7 ds g ds \ 2 / 7 dm g dt
или
d / . p , иъ \ г dv 1 du
— I z -f------1----1 —--------------------- — .
ds \ 7 2g / 7 dm g dt
Умножив обе части уравнения на ds и интегрируя получен-
ное уравнение от сечения 1—1 до сечения 2—2, получим
2 2
Первый член правой части, обозначаемый через hw, есть
известная нам (см. § 3—10) потеря напора на преодоление со-
противления по длине между сечениями 1—1 и 2—2.
Второй член, обозначенный h/, характеризует изменение по
времени кинетической энергии в элементарной струйке между
сечениями 1—1 и 2—2 и определяет собой тот напор, который
затрачивается на преодоление инерции массы жидкости в отсе-
ке 1—2 и называется инерционным напором.
Его можно представить еще в несколько ином виде: обозна-
чим расход элементарной струйки через q=^u dm, тогда
ди 1 ду
dt dm dt
И
2 2
/f==_LCJ_.^Lrfs = _L. (6—33)
1 g J dm dt g dt J dm
1 1
Сравнивая полученное уравнение с уравнением Бернулли
для элементарной струйки при установившемся движении (см.
§ 3—10), видим, что они отличаются тем, что в последнее вхо-
дит член инерционного напора Л/.
Полученное выше основное дифференциальное уравнение
неустановившегося движения для элементарной струйки можно
распространить и на целый поток, для которого по аналогии с
(3—46) (см. § 3—11) уравнение будет иметь вид
V
I
(6—34)
206
Глава VI. Движение жидкости По трубам
где а — коэффициент кинетической энергии;
hw—потери напора в потоке между сечениями 1—1 и 2—2:
/г,- — инерционный напор, затрачиваемый на преодоление
инерции массы жидкости в потоке на том же участке
равный
I ud(&
Введя в рассмотрение среднюю скорость потока v == —----------
а)
и разность потенциальных энергий в сечениях 1—1 и 2—2
1 7
получим
а ( I»? — pj)
Л = ----12- + Л, + А.. (6-35}
- S
Величину hi для потока определяют по аналогии с (6—33)
по формулам
или
г 1 0Q Р as I g.
hi =-----— I — . (6—36)
g dt J co
Рассмотрим типичные случаи неустановившегося движения.
1. Движение в прямой трубе постоянного диаметра.
В случае неустановившегося движения в прямом цилиндри-
ческом трубопроводе (фиг. 6—17) средняя скорость v является
•функцией только времени /, т. е. Тогда
до Л до do
— ~0 и — ~ .
ds dt dt
£ 6—9. Неу становившееся движение жидкости в напорных трубопроводах 207
В этом случае инерционный напор
2
t 1 С dv * I dv
п, = — \ — ds = — • — ,
g J dt g dt
1
где I — длина рассматриваемого участка трубы (фиг. 6—17)
Фиг. 6—18
Так как в сечениях 1 и 2 = = то
h^hw + hl = hw+ — .
g dt
Как известно из § 4—1
у» 2
hw = hl + hr =--^(Cz + SC),
2g
где
Cz=k — .
1 d
Для всего трубопровода длиной L (фиг. 6—17)
но= (1+CZ + EC)^- + — %. (6—37)>
2g g dt
2. Неустановившееся движение в трубопроводе с последо-
вательным соединением.
Если неустановившееся движение происходит в сложном
трубопроводе с последовательным соединением ряда труб с диа-
метрами di, d2, ..., d п (фиг. 6—18), то для каждого из участков
длиной /ь /2, -,1п можно написать
v‘2 I ^2 dv<>
2 — "7----I-----* ’
2g g dt
208
Глава VI. Движение жидкости по трубам,
п ln 2g
g dt
Обозначив h=ht+h2+- +h
п
п>
рк
'к 2g
получим
п
•— Ik^
Заменив
(D1
^2 =»i— ,
О)2
(л>1
1
<о3
<01
1
g
1
V* = V
получим
VK
2
= -^sc(
2g
0)1
(0к
2_у I dt>K _ 1
g —4 к Л g
1
dvi
dt
' toi ^np dvi
coK g dt
(6—38)
п
где /пр — S /к —называется приведенной длиной трубо-
шк
провода;
2
= c
4np
(DK
называется приведенным коэффициентом сопротивления.
Таким образом:
,2
dur
dt
"₽2g g
§ 6—10. ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ УДАР В ТРУБАХ
В трубопроводах при быстрой остановке потока происходит
явление так называемого гидравлического удара, которое со-
провождается резким нарастанием давления.
Величина добавочного давления внутри трубопровода бы-
вает иногда столь велика, что вызывает разрыв стенок трубо-
провода и аварию его.
Теоретическое обоснование явления гидравлического удара
в трубах и основной метод расчета были даны в 1898 г. проф.
Н. Е. Жуковским.
Характер гидравлического удара бывает различен в зависи-
мости от тех условий, в каких проложен трубопровод и каковы
причины возникновения удара.
§ 6—10. Гидравлический удар е трубах
209
Проф. Н. Е. Жуковский аналитически исследовал так назы-
ваемый прямой удар, который возникает при внезапной останов-
ке потока воды закрытием задвижки (фиг. 6—19).
При этой схеме удар начинается с повышения давления.
Другой характер носит удар, возникающий при схеме пода
чи воды с повышением трубопровода от водоема и остановка
воды закрытием задвижки в начале трубопровода (фиг. 6—20)
При такой схеме удар возникает или от быстрого закрытия
задвижки у насоса, или же при остановке насоса. При этом яв
ление удара начинается с понижения давления, и уже при об-
ратном движении потока явление напоминает прямой удар, рас-
смотренный проф. Н. Е. Жуковским.
14 Зак. 1593
210
Глава VI. Движение жидкости по трубам
Гидравлический удар, при котором запорным органом соз-
дается полная сила удара, соответствующая изменению скорости
потока, называется прямым ударом.
Прямой гидравлический удар бывает в двух случаях:
Фиг. 6—21
1) когда запорная задвижка закрывает бесконечно длинный
трубопровод (практически трубопровод весьма большой дли-
ны) и
2L
2) когда время закрытия задвижки /к <—, где L — рас-
а
стояние до резервуара (бассейна и т. п.), способного поддержи-
вать постоянное давление; а — скорость распространения ударной
волны по трубопроводу.
Непрямой удар получается тогда, когда время закрытия
, 2L
задвижки гк > — .
а
а) Прямой удар (при внезапном закрытии затвора)
Применим теорему о количестве движения.
При внезапном закрытии задвижки в конце трубопровода
(фиг. 6—21) сперва остановится ближайший к задвижке слой
воды пп—пгт толщиной 4s. При этом вода в объеме т—т—п—п
сожмется; одновременно благодаря упругости стенок трубы они
расширяются (фиг. 6—21).
Если до остановки давление перед задвижкой было ро, то
после остановки потока давление будет р\.
Увеличение давления ^p-=pi—ро можно определить, поль-
зуясь законом количества движения.
За бесконечно малый промежуток времени & t масса жидко-
сти в объеме w 4s останавливается и теряет количество дви-
жения mvo= р^4 svo, где р — плотность воды, a v0 — началь-
ная скорость в трубопроводе.
Импульс внешних сил за то же время будет 4рсо4/.
§ 6—10. Гидравлический удар в трубах
211
Так как изменение количества движения равно импульсу
сил, то получим
рсоД^0 = (рг—p^dt,
откуда
л
Так как представляет собой скорость а распростране-
ния удара по трубопроводу, то получаем
Ьр = Pav0 = (6—39)
и далее
= или Д/7 = . (6-40)
7 Г g
тд$&Н — повышение напора в м.
Выведенная формула и представляет собой основную фор-
мулу удара, впервые выведенную проф. Н. Е. Жуковским.
Чтобы по этой формуле можно было вычислять повышение
давления при гидравлическом ударе, необходимо научиться оп-
ределять скорость распространения удара а.
Скорость распространения ударной волны. Удельная рабо-
та сжатия жидкости (т. е. работа, отнесенная к единице объема)
может быть выражена формулой
где К — модуль объемной упругости жидкости.
14*
212
Глава VI. Движение жидкости пв трубам
Удельная работа деформации трубы радиусом г0, толщиной
стенок & может быть определена таким образом (фиг. 6—22)..
Увеличение напряжения ° в стенках трубы при ударе опре-
деляется из соотношения
2ros Др = 2Sso,
откуда
с ~ —Ар,
ъ г
Длина окружности сечения трубопровода /=2тгго- Поэтому
удлинение окружности трубы будет
Д/ = — = — 2ттг0 Др ,
Е ЪЕ г
где Е — модуль упругости стенок трубы.
А так как радиус г = —, то увеличение радиуса
2
/ ч AZ Гл < го а
= (г, — г0) = — =—-г0Лр = — Д/7.
2'v иГ и Г
Работа, произведенная силами давления жидкости при уве-
личении радиуса на Дг, будет
2
2п
f rd? kpos =~ 2ад.
• J
о
Но так как rcr2 s — объем
удельная работа сил давления
жидкости в трубопроводе, тс
при деформации стенок будет
1 Г А 9 2^Г2 8 1
--- . --Др2 ------- — —
2 ЪЕ nr2s 2
2г д о
— Др2.
о£
Таким образом, работа, идущая на сжатие жидкости и на
деформацию стеноц, будет
1
2
J___L ?£•
К ЪЕ
С другой стороны, эта работа может быть выражена через
приведенный модуль упругости Еп таким образом:
1 Дра
2 ‘
Из сопоставления этих формул видно, что
Еп К Т ЪЕ '
§ 6—10. Гидравлический удар в трубах
213
откуда
1
"1 2?Г
К +6£
Скорость распространения ударной волны в упругой среде
ио Ньютону а == 1/ —
или __
а = . 1 — = 1 /X - , 1 • (6-42)
1/р .2рг<> V ? i/iiA А
|/ К ' &С |/+£‘в
Это и есть выражение скорости распространения ударной
волны, выведенное проф. Н. Е. Жуковским.
В этой формуле:
р — плотность жидкости;
К — модуль объемной упругости жидкости;
Е — модуль упругости стенок трубы;
& — толщина стенок трубы;
Го — радиус трубы;
d — диаметр трубы.
В табл. 6—2 даны значения Е и — для воды и наиболее
Е
часто встречающихся материалов стенок труб.
Т а б л № ц а 6—2
Материал
Е в кг/м*
Вода 1,0 2,07-108
Сталь 0,01 2,0-1010
Чугун 0,02 1,0-Ю‘о
Бетон 0,1 2,0-Юэ
Дерево 0,2 1,0-109
Свинец 0,4—10 5.108—2-10’
Значения величины а, по Жуковскому, для чугунных труб
даются в табл. 6—3.
Умея определять скорость ударной волны а, можем опре-
делить время, за которое ударная волна достигнет резервуара
t =
а
Достигнув резервуара с большим объемом стоячей воды,
ударная волна отразится от него и пойдет по трубопроводу об-
214
Глава VI. Движение жидкости по трубам
Таблица 6—3
Диаметр трубы в мм Толщина стенок в мм а в м'сек
50 7,0 1 3'8
100 8,5 1 289
150 9,5 1255
200 10,5 1209
250 11,5 1 187
300 12,5 1 167
600 18,0 913
Фиг. 6—23. Удар при закрытии гидранта
ратно к задвижке в виде волны пониженного давления, т. е. в
этом случае знак волны будет обратный: там, где было повыше-
ние, будет понижение.
По истечении времени ~ во всем трубопроводе будет по-
вышенное давление р4- £р, под влиянием которого вода из тру-
бопровода начнет вытекать обратно в резервуар; сначала нач-
нут вытекать ближайшие к резервуару частицы, а ко времени
~а это Движение распространится на весь объем воды в
трубопроводе. В этот момент у затвора произойдет понижение
давления, которое будет распространяться вверх по трубопрово-
ду со скоростью а.
$ 6—JO. Гидравлический удар в трубах
215
Время, за которое ударная волна пройдет путь до резервуа-
97
ра и вернется снова к задвижке (фиг. 6—20), будет t— ~ ; это
время называется фазой удара.
При движении воды с повышением трубопровода к резер-
вуару (фиг. 6—20) ударная волна начинается с понижения дав-
ления, а обратно приходит с повышением.
Фиг. 6—24. Колебание давления воды в водоводе при остановке на-
' coca со сработавшим обратным клапаном
Характерные записи ударных волн приводятся на фиг. 6—23
и 6—24.
На фш. G—23 показан график изменения давления при за-
крытии гидранта, называемый «ударной диаграммой».
б) Непрямой удар
В практике закрытие затворов происходит не мгновенно, а
в течение некоторого времени.
При немгновенном (медленном) закрывании затвора, кото-
рое происходит за конечный промежуток времени Гза1, повыше-
ние давления при гидравлическом ударе может оказаться мень-
ше, чем при мгновенном. Можно считать, чго при постепенном
закрытии затвора в течение времени Г31Т происходит ряд мгно-
венных понижений скорости ±vt, вызывающих соответствующий
ряд мгновенных повышений напора —Lvt, которые, сум-
мируясь, дают при Тзат < -— повышение давления за любой
промежуток t < Тзат от начала закрытия. Определение повыше-
ния и понижения давления при ударе можно выполнить графи-
чески путем построения ударной диаграммы, если известен за-
кон изменения скорости во времени, т. е. и==<р(£).
На фиг. 6—25 приводится графическое построение для се-
чения у затвора в случае подачи воды из возвышенного резер-
вуара (фиг. 6—20).
216
Глава VI. Движение жидкости по трубам
На графике по оси абсцисс отложено время *в фазах удара,
& по оси ординат — повышения давления (в метрах водяного
столба) &h==h—h0 у затвора.
гт s / 2L
При < —
а
ЛЛ = /г — = — (и0 — и).
g
На графике это будет кривая 0—1—2—3—4—Дь которая
проходит через начало координат и обращается при /=Тзат в
прямую, параллельную оси абсцисс.
2L
Кроме того, через промежутки времени t= равные
длительности фазы удара, эта кривая повторяется, проходя че-
рез точки 01, 02, Оз и т. д. Волна повышения давления, возник-
2L
шая в момент /="-=0 ко времени t— — , отразившись от входного
участка, возвратится к сечению у задвижки в виде волны пони-
жения и начнет гасить давление, которое увеличивалось до это-
го по кривой 0—2—3—4—А].
Уменьшение давления будет происходить согласно кривой
□1Л2, повторяющей кривую 0—2—3—4—Затем эта волна са-
ма будет гаситься волной, повышающей давление по кривой
Лз и т. д.
Имея значения у0, v2 и т. д., получаем значения — о0,
—©1, — м т. д. и, нанося их на график, можем для любого мо-
1? S'
агента времени получить разности
— (°о— г1)’> — («1 —»а); — (t>2 — vs) ИТ. д
g g 8
Таким образом, мы можем получить систему цепных урав-
нений:
(h.— й0)= — (п0—v,) —повышение давления ;
8
(й, — Ло) + (Л2 — Ло) — — (пх—п2) — понижение давления ;
g
[h-z—Ло) 4- (Л3 — й0) = — (п2 — о3) — повышение давления;
8
(hn — Ло) + (Л„+1 — h0) = у (vn — оп+1) и т. д.
§ 6—10. Гидравлический удар в трубах
217
Складывая правые и левые части уравнений и считая по-
вышения за плюсовые значения, а. понижения за минусовые,
получаем
hn+l — h0 = V [(° — °1) - (Я-^) • • • (»„ - О„+1)].
&
Графически это получается простым сложением величин
Фиг. 6—25. Графическое решение при непрямом ударе
При этом, пометив полосы между кривыми 0—2—3—4—
01 Дь 02 Д2 и т. д. цифрами 1, 2, 3 и т. д. со знаками плюс у
нечетных полос и со знаком минус у четных полос, можно для
любого отрезка времени t получить значения Д/г как сумму ве-
личин —давая им положительные или отрицатель-
ные значения, согласно фиг. 6—25.
2L
Из этой фигуры видно, что если Гзат < — , то Д/г будет
лр . 2Л
такое же, как и при внезапном закрытии, и лишь при 1 зат > —
повышение давления от удара получается меньше.
Для определения максимального повышения давления при
ударе иногда можно воспользоваться и аналитическим спосо-
бом. Покажем это на примере 1.
1 И. И. Агроскии, Г. Т. Дмитриев и Ф. И. Пикалов, Гид-
равлика, Госэнергоиздат, 1950, задача 13—2.
218
Глава VI. Движение жидкости по трубам
Пример 6—6.
Определить максимальное повышение давления A/zmax у задвижки в
трубопроводе диаметром D ~ 500 мм с установившейся начальной скоростью
и = 1,74 м(сек и длиной L = 5 000 м\ времяс полного закрытия Г31г=3/ф>
, 2 b
где ~ — длительность фазы; скорость распространения ударной волны
а — 1 143 м/сек. Изменение скорости при закрытии задзижки задается
табл. 6—4.
Таблицу 6—4
Время (в фазах удара) 0 °’5'ф 1,5/ф 2/ф 2,5 З'ф
Скорость в м{сек 1,74 1,65 1,52 1,24 0,89 0,46 0
По выражению
ДЛ = — [(t>o — V.) - — и2) + v2 — vr • •]
£
при v= 1,74 м/сек-, 1,52 м/сек-, v2 = 0,89 м/сек и v3 = 0 находим
ДАтах = —[(1,74 — 1,52) — (1,52 - 0.89) + (0,89 - 0)]
g
или
•J J
АЛтах == —- — 0,48 = 55 м вод. ст., т. е. 5,6 кг/см2.
9,81
Повышение давления от прямого удара в данном примере получается
ran 1 143 Л
— --------1,74 202 м.
g 9,81 ’
Таким образом, постепенное закрытие снизило ударное давление с 202
до 56 м.
Обычные задвижки шиберного типа имеют иную характеристику закры-
h
тия, т е. зависимость величин сопротивления от • (величины закрытия)
/?
в том случае, если принимать величину закрытия “ как линейную функцию
от времени закрывания.
в) Борьба с гидравлическим ударом
Меры борьбы с гидравлическим ударом зависят от того, по-
дается Л'И вода насосами в возвышенный резервуар или идет
самотеком из возвышенного резервуара вниз. Мероприятия при
движении воды от возвышенного резервуара вниз, когда за-
движка находится на нижнем конце водовода, возможны сле-
дующие.
§ 6—11. Гидравлический таран
219
Медленное закрытие задвижек
Чем медленнее закрывается затвор, тем меньше будет по-
вышение давления от гидравлического удара. Поэтому стремят-
ся к устройству задвижек такой конструкции, которые давали
бы плавное закрытие, а не неравномерное с быстрым уменьше-
нием проходного отверстия затвора. Так, для трубопроводов ма-
лых диаметров надо устанавливать вентили (фиг. 4—30), а не
задвижки шиберного типа (фиг. 4—23) и пробочные краны
(фиг. 4—27).
Для задвижек большого диаметра надо изменять тип ши-
берных задвижек, заменяя их кольцевыми, или производить мед-
ленное закрытие вручную, или автоматически уменьшать ско-
рость закрытия к концу последнего.
Установка уравнительных башен
Последние представляют собой соединенный с трубопрово-
дом промежуточный резервуар, заполненный водой до высоты,
соответствующей нормальному давлению. При гидравлическом
ударе в башню входит некоторый объем воды, и добавочное
давление при этом быстро гасится.
Когда вода подается в возвышенный резервуар снизу насо-
сами, гидравлический удар возникает от остановки насоса (на-
пример, при выключении электроэнергии), а так как обычно
около насоса устанавливается обратный клапан (фиг. 4—28,6),
то этот клапан, закрываясь в очень короткий срок, создает гид-
равлический удар и при длинных водоводах почти прямой.
Борьба с такого рода ударом может производиться:
а) установкой сбросного устройства, которое при подходе
ударной волны открывалось бы и пропускало воду на излив;
пропускное отверстие должно быть рассчитано так, чтобы повы-
шение давления от непрямого удара оставалось допустимым;
б) удалением обратного клапана и пропуском воды в об-
ратном направлении через насос; при этом насос может быть
заторможен или незаторможен; в последнем случае сопротивле-
ние прохождению воды будет больше, так как вода должна бу-
дет затрачивать энёргию на вращение насоса.
В каждом случае это мероприятие должно быть рассчитано
и определено повышение давления от непрямого удара, созда-
ваемого добавочным сопротивлением изливу.
§ 6—11. ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ ТАРАН
Примером использования гидравлического удара служит
водоподъемная машина, носящая название гидравличе-
ского тарана.
-220
Глава VI. Движение жидкости по трубам
Гидравлический таран состоит из подводящего трубопрово-
да А, имеющего обычно небольшую длину, рабочей коробки В
с двумя клапанами С и D (фиг. 6—26) и воздушного колпака Е
с нагнетающим трубопроводом и резервуаром F.
При открытии ударного клапана С (открывающегося собст-
венным весом) через подводящий трубопровод А под неболь-
Фиг. 6—26. Гидравлический таран
шим напором Я] начинает течь вода, вытекающая через откры-
тый клапан С наружу. Ударный клапан С вследствие увеличе-
ния силы воздействия на него вытекающей с нарастающей ско-
ростью воды закрывается, и от внезапной остановки потока в
подающем трубопроводе и рабочей коробке произойдет гидрав-
лический удар с резким повышением давления. Под влиянием
последнего нагнетательный клапан D откроется и часть воды
войдет в воздушный колпак, сжимая имеющийся там воздух;
последний вытеснит часть воды в напорный трубопровод, под-
няв ее на высоту Я2 в резервуар F. Вследствие уменьшения дав-
ления в рабочей коробке после ухода части воды в воздушный
колпак ударный клапан С под влиянием собственного веса от-
кроется, и поток снова начнет выливаться через отверстие с на-
растающей скоростью, а нагнетательный клапан D при этом си-
лой давления воздуха в колпаке будет закрыт. Затем опять про-
изойдет захлопывание ударного клапана С и открытие клапа-
на D и т. д.
Поступающий из напорного резервуара расход воды Q за-
трачивается главным образом на излив через клапан C(Qi) и
создание давления на него, при котором клапан С закрывает-
ся. Это составляет разгонный период в цикле работы тара-
на; во второй рабочий период под влиянием давления, создан-
§ 6—11. Гидравлический таран
221
ного при гидравлическом ударе, меньшая часть расхода Q2 по-
ступает в воздушный колпак и поднимается давлением воздуха^
на высоту /У2. Напор Н\ обычно составляет от 1,5 до 5 м, а вы-
сота нагнетания Н2— от 15 до 40 м.
Коэффициент полезного действия тарана
7] — 2 —- @2 ^2
QHi (Q,+Q2)/Л
колеблется в пределах =0,25 — 0,85, в среднем составляя
0,5- 0,6.
Коэффициент полезного действия гидравлического тарана
может быть определен по эмпирической формуле
= 1,12 —
(6—43>
Производительность новых типов мощных таранов, разра-
ботанных в Ереванском политехническом институте, достигает
150 л/сек.
глава VII
РАСЧЕТ СТРУЙ
§ 7—1. ПОНЯТИЕ О СТРУЯХ
Струей жидкости называется поток, не ограниченный твер-
дыми стенками. Струя может двигаться в той же или в другой
жидкости.
Струя жидкости в газовой среде называется незатопленной,
или свободной, струей. Струи в той же среде, что и жидкость
струи, называются затопленными струями. Для водоснабжения
наибольшее значение имеют незатопленные струи.
Незатопленные водяные струи нашли особо широкое при-
менение в пожарном деле, так как тушение водяными струя-
ми — это основной вид пожаротушения.
Далее водяные струи нашли себе применение в орошении
(дождевание), в гидравлическом способе разработки горных
пород, особенно грунта. И, наконец, в городском благоустройст-
ве струи применяются для создания фонтанов.
Затопленные струи находят себе применение в вентиляции
и при подводной разработке грунта гидравлическим способом.
Сначала разберем незатопленные водяные струи.
Наиболее изучены пожарные струи, с которых и начнем. В
дальнейшем покажем применение выведенных соотношений и
к струям другого назначения.
Тушение большинства обычных пожаров производится во-
дяными струями. Поэтому детальное изучение водяных струй и
их действия является одной из главных задач гидравлики в
пожарном деле.
§ 7—2. ВЕРТИКАЛЬНЫЕ СТРУИ /
1. Раздробленные струи
Если струю, выходящую из ствола с насадком («спрыс-
ком», как принято его называть в пожарном деле), направить
вертикально вверх, то можно заметить, что вблизи от насадка
струя будет цельной, компактной, а затем она будет постелен-
§ 7—2. Вертикальные струи
223
но раздробляться, причем к концу, на вершине, будет состоять
из отдельных капель. Высота, которой достигают отдельные
капли, называется высотой вертикальной раздробленной струи.
Эта высота всегда меньше напора, под которым
происходит истечение из насадка.
Для определения высоты вертикальной раз-
дробленной струи воспользуемся такими положе-
ниями.
Так как высота реальной вертикальной струи
всегда менее того напора, под которым она вы-
текает из насадка, то мы можем разность между
напором и высотой струи назвать потерей вы-
соты:
Д5В = Я —SB, (фиг. 7—1)
где Н — напор у насадка (спрыска);
। З’в—высота вертикальной раздробленной
струи;
ASB— потеря высоты.
Эту потерю высоты постараемся определить
по формуле, аналогичной формуле, определяю-
щей потерю напора при движении воды по тру-
бам:
/ ?>2
/г,= к — . . (7-2)
1 d 2g
По аналогии с этой формулой мы можем
составить два вида формул для потери вы-
соты
1) ASB = ^A ±_; (7—3)
о
Фиг. 7—1.
Схема
структуры
вертикаль-
ной струи
2) ASB = k2
(7-4)
При этом коэффициенты k\ и k2 будут безразмерными.
1. Преобразование формулы (7—3).
Так как можно принять — = п, то из (7—3) получаем
2g
ASB = Z7-SB = ^%/7;
а
- __ Hd ___ Н
в ~ d+ktH ~ , /7 ‘ (
Н-Л,—
224
Глава VII. Расчет струй
k
Если обозначить величину-^1 = ф,то получим формулу Лю-
гера (распространенную для расчета фонтанных струй), имею-
щую вид
(7-6)
Значения коэффициента с? приведены в табл. 7—1.
Таблица 7—1
Коэффициент ср в формуле Люгера
Диаметр спрыска d в мм Коэффициент <Р Диаметр спрыска d в мм Коэффициент Диаметр спрыска d в мм Коэффициент <Р
10 0,0228 19 0,0097 28 0,0050
11 0,0203 20 0,0690 29 0,0047
12 0,0183 21 0,0083 30 0,0044
13 0,0165 22 0,0077 35 0,0032
14 0,0149 23 0,0071 40 0,0024
15 0,0136 24 0,0066 45 0,0018
16 0,0124 25 0,0061 50 0,0014
17 0,0114 26 0,0057
18 0,0105 27 0,0053
При этом мы видим, что коэффициент <р в формуле Люге-
ра имеет размерность [L-1].
2. Преобразование формулы (7—4).
Аналогично предыдущему получаем
а
откуда
= (7-7)
\ « /
По опытным данным Фримана
k2 = const = 0,000113. (7—8)
Между kx и &2 существует следующая зависимость:
к, - —и к, = —Ь— . (7-9)
п /7
d d
Значения k\ и k2 можно определить, пользуясь эксперимен-
тальными данными Фримана. Данные Фримана относятся к на-
садкам конической формы с цилиндрической частью на конце.
Такие насадки наиболее распространены ввиду сравнительно
легкого изготовления.
§ 1—2. Вертикальные струи
225
Для примера приведем зависимость между Н и SB по дан-
ным опытов Фримана для насадка диаметром <7 = 22,2 мм~7!ъ"
(см. табл. 7—2).
Приведенные данные относятся к спрыскам конической фор-
Фиг. 7—2
Таблица 7—2
Напор у насадка Нам Высота раздробленной струи SB в м Напор у насадка Н в м Высота раздробленной струи в м Напор у насадка Н в м Высота раздрооленной струи SB в м
7,0 6,4 24,4 21,6 42,2 34,0
10,5 9,4 28,1 24,7 45,7 36,0
14,0 12,5 31,6 27,1 49 2 37,5
17,6 15,5 35,2 29,6 52,7 39,0
21,0 18,6 38,6 32,0 56,2 40,2
На основании данных табл. 7—1 построен график величи-
ны k\, на этом же графике нанесены величины полученные
по формулам Люгера и Фримана (фиг. 7—2), а также по фор-
муле
Л,42+0,0304 И
k^~--------, (7-10)
10*77 V d
где е — основание натуральных логарифмов;
И — напор в м;
d — диаметр спрыска в м.
15 Зак. 1593
226
Глава VII, Расчет струй
Этот график показывает, что ни формула Фримана, ни фор-
мула Люгера не отражают зависимость коэффициента k\ от на-
пора Н. Приведенная формула (7—10), полученная обработкой
опытного материала Фримана, дает наиболее
приближающее к опытным даннььм значение
коэффициента k\.
Таким образом, высота вертикальной раз-
дробленной струи может быть представлена
формулой общего вида
(7—11)
где
В приложении приведена табл. V значе-
ний коэффициента р для различных высот Н
компактной струи.
Фиг. 7—3. Опреде-
ление компактной
струи
2. Компактная (цельная) часть струй
Под компактной, называемой также цель-
ной или хорошей, частью пожарной струи
подразумевается часть ее от спрыска до такого
сечения, в котором струя несет в круге диамет-
ром 38 см — 0,90, а в круге диаметром 26 см—
0,75 количества воды, вышедшей из спрыска
(фиг. 7—3).
Опытные данные позволяют вычислять
высоту компактной части вертикальной струи
по приводимым ниже формулам.
1. Зависимость между вертикальной раз-
дробленной струей и ее компактной частью может быть выраже-
на эмпирической формулой
(7—12)
где SB —высота раздробленной струи (по Люгеру);
SK — высота ее компактной части;
1,19+ 80 (0,01 SK)4.
(7—18)
SB = a S
И л л
В приложении к табл. V приведены величины коэффициента л.
2. Зависимость между напором и высотой компактной части
струи можно представить эмпирической формулой
f 7—3. Наклонные струи
2Г
SK = + 0,8 Н 4 5,7.
(7—14}
Значения коэффициента К даются в табл. 7—3.
Таблица 7—3
Диаметр спрыска в мм 13 16 19 22 25 28,5 (1 %") 32 (I V) 35 (i V) (1
Коэффициент ‘ /( 16 18,5 20,7 22,5 24 25,2 26,1 26,7 27
3. Зависимость между напором у спрыска, диаметром d м
и высотой компактной части струи можно представить более
точкой опытной формулой
к
н ________
5,42+0,0304 Н
(7—15
3 __
d ) ] d9 -10е
Эта формула отличается от формулы для вертикальной
з_____________________________________________________
раздробленной струи только добавочной величиной (1—2,4 V я’ 1
§ 7-3. НАКЛОННЫЕ СТРУИ
1. Раздробленные струи
Если из ствола с каким-либо спрыском направить струю
вертикально вверх, а затем постепенно наклонять ствол, то
крайние капли струи опишут некоторую кривую (фиг. 7—4).
Эту кривую, представляющую собой огибающую всех траекто-
рий струй, выходящих из спрыска под определенным постоян-
ным давлением, ио под разными углами наклона к горизонту,,
называют граничной кривой раздробленных струй.
Расстояние по прямой линии от спрыска до граничной кри-
вой называют радиусом действия раздробленных струй.
Для граничной кривой могут быть даны примерные величи-
ны радиусов действия раздробленных струй в зависимости от
высоты вертикальной струи и наклона радиусов действия (при
этом следует иметь в виду, что угол наклона радиуса действия
струй не совпадает с углом наклона ствола). Зависимость ради-
уса действия раздробленной струи Д от высоты вертикальной
15*
228
Глава VII. Расчет струй
раздробленной струи SB и угла наклона радиуса действия на-
клонных струй к горизонту может быть представлена следую-
щей формулой:
= SSB, (7-16)
где 8 — коэффициент, зависящий от угла наклона радиуса
действия струи.
и
Область
не поливаемая
водой
Граничная кривая
раздробленны* струи
Радиус действия
компактный струй
Радиус действия раздробленны* струй
. ^/оспенными стру
яма
Фиг. 7—4. Огибающие кривые наклонных струй
Область по-
ливаемая раз-
кривая ком-
пактных
струй
Область/] олиоае
мая компактной струей
Ориентировочные значения коэффициента 8 приведены в
табл. 7—7.
Т а б л и ц а 7—7
Угол наклона радиуса действий струи к горизонту 6 в град. 0 15 30 45 60 75 90
Коэффициент о 1,40 1,30 1,20 1,12 1,06 1,02 1,00
2. Компактные струи
При наклоне ствола конец компактной части струи, так же
как и конец раздробленной струи, описывает некоторую кривую.
Эта кривая для конических спрысков малых и средних диамет-
ров представляет собой приблизительно часть круга (фиг. 7—4),
а для спрысков больших диаметров, устанавливаемых на спе-
циальные «лафеты», — часть эллипса (фиг. 7—5).
Для спрысков малых и средних диаметров радиус действия
компактной струи равен высоте компактной части струи.
§ 7—3. Наклонные струи
229
Необходимо отметить, что понятие «компактные» для струй,
получаемых из спрысков большого диаметра (например, из
спрысков лафетных стволов), не имеет строгого определения, и
только в опытах ЦНИИПО была сделана попытка дать оценку
компактности струй, причем при составлении графика, приве-
Расстояния м
1 ~ — d — 50 мм ,Н = 70 м / — d «= 50мм п —50
8 d~ 38 мм,Н— 70 м [!--d — 38 мм Н-50м
3--------d- 90 мм н- уг-------d - 28мм н =50м
Фиг. 7—5. Огибающие кривые для спрысков
диаметром 32, 38 и 50 мм
валась такая, которая несла основную массу воды в круге диа-
метром 125 см. Приведенными выше данными можно пользо-
ваться при расчетах, связанных с использованием струй. При
этом, как правило, расчет производится, исходя из подачи струй,
компактная часть которых должна соответствовать требуемой
дальности полета и высоте. Таким образом, в большинстве слу-
чаев определяющим фактором является радиус действия ком-
пактной части струи, по которому устанавливаются остальные
расчетные данные (диаметр спрыска, требуемый напор и рас-
ход воды).
3. Рабочие струи
в
Для внутреннего пожаротушения, осуществляемого от внут-
ренних пожарных кранов, определение радиуса действия ком-
пактной части струи производится в зависимости от высоты по-
мещения и принятого расстояния между пожарными кранами.
При наружном пожаротушении определение радиуса действия
230
Глаза VII. Расчет струй
компактной части струи затруднительно, и поэтому в данном
случае необходимо установить рациональную величину радиуса
части струп или длину так называемых
рабочих пожарных струй, которые
по своим свойствам пригодны для
тушения наружных пожаров.
С этой целью ЦНИИПО в
1942 г. произвел опыты по опре-
делению напоров, при которых
получаются пожарные струи, до-
статочные для тушения наружных
(в том числе и чердачных) по-
жаров.
Результаты этих опытов пока-
заны на графике (фиг. 7—6). Этот
график показывает, что рациональ-
действия
является
обеспечи-
годных для
действия компактной
Фиг. 7-'6. График сравне-
ния опытов ЦНИИПО
нои величиной радиуса
компактной части струи
/?к = 17 м, при которой
вается подача струй,
тушения наружных пожаров.
В некоторых случаях можно до-
пускать уменьшение величины ра-
диуса действия компактной части
струи (например, при большой про-
тяженности непрорезииенных рука-
вов) до /?к == 15 м.
РАСХОДА ВОДЫ ИЗ СПРЫСКОВ
§ 7-4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
В гл. V была получена формула расхода через насадок
Q |/
При учете скорости подхода
где Vo — скорость подхода к спрыску;
Н— приведенная высота избыточного давления перед
спрыском.
Для спрыска определенной конструкции и размеров
(фиг. 7—7) величина uoji/ 2g является постоянной и называется
проводимостьюр
(7-17).
§ 7—5. Потери напора в гибких рукавах
231
Расход через спрыск можно представить по формуле
Фиг. 7—7
Отсюда потребный напор для расхода Q будет
Я о = (7-19)
1
где — — сопротивление спрыска.
р2
§ 7—5. ПОТЕРИ НАПОРА В ГИБКИХ РУКАВАХ
Потери напора в гибких пожарных рукавах можно опреде-
лять по той же формуле, что и в трубах:
h, = X —. — . (7—20)
1 d 2g
Так как вообще X = f(Q), то эту формулу можно предста-
вить в виде
ht = AlQ.m
или
i = у- = AQm.
(7-21)
(7—22)
Значение А удельных сопротивлений зависит от типа и ха-
рактера рукавов и их диаметра. Числовые значения А опреде-
ляются опытным путем.
232
Глава VII. Расчет струй
Так, например, по формуле Ясюковича
Q1,9
^5,25 ’
(7—23)
где Q — расход в л!мин;
d — диаметр в мм;
К — коэффициент, характеризующий тип рукавов и прини-
маемый: а) для пеньковых непрорезиненных рукавов
ООО; б) для пеньковых прорезиненных К=3 ООО;
в) для резиновых рукавов Л’^2 ООО.
По опытам ЦНИИПО потерю напора на единицу длины
рукавной линии (причем в этих данных учитывалось совместно
расширение рукавов от давления и сопротивления, которые соз-
даются рукавными соединениями) можно представить следую-
щими формулами:
для прорезиненных рукавов
d5’5-10s
I
для непрорезиненных рукавов
. 0,1075 по
~ d5’5.10s *
(7—24)
(7—25)
где d в м, Q в л!сек.
ГЛАВА VIII
РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ВОДЫ
В ОТКРЫТЫХ РУСЛАХ И КАНАЛАХ
§ 8—1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА С В ФОРМУЛЕ ШЕЗИ
Основной формулой для расчета равномерного движения
воды в каналах и руслах является формула Шези
Q = ]/ RI или v=C ]/~Ri. (8—1)
Коэффициент С в ней называется коэффициентом формулы
Шези или «скоростным множителем». Он имеет размерность
квадратного корня из ускорения
[С] = Г—=£1/зТ-1,
V Ri
играет в практических расчетах весьма важную роль и поэтому
должен определяться возможно точнее. Величина коэффициен-
та С зависит от шероховатости стенок и дна русла, от геометри-
ческой формы и размеров поперечного сечения русла и опреде-
ляется по эмпирическим формулам, предложенным различными
авторами на основе опытных данных.
Все формулы для определения коэффициента С можно раз-
делить на две группы:
а) одночленные степенные формулы;
б) многочленные формулы.
Так как коэффициент С размерный, то, вычисляя его, сле-
дует пользоваться метровыми мерами, для которых составлены
все формулы для С и таблицы для коэффициента шерохова-
тости п.
Формула Н. Н. Павловского (1925 г.)
Из первой группы формул наиболее точной формулой, осно-
ванной на большом количестве опытных материалов, следует
признать формулу Н. Н. Павловского, уже упоминавшуюся
234
Глава /V. Равномерное движение воды в открытых руслах
Таблица 8—1
1
Таблица коэффициента шероховатости п и —* в формулах
Павловского и Агроскина
Род стенки п 1 п
Исключительно гладкие поверхности; поверх- ности, покрытые эмалью или глазурью 0,009 1 111
Весьма тщательно остроганные доски, хорошо пригнанные; лучшая штукатурка из чистого це- мента 0,010 100
Лучшая цементная штукатурка (i/8 песка); чистые (новые) гончарные, чугунные и сталь- ные трубы, хорошо уложенные и соединенные; хорошо остроганные доски 0,011 90,9
Нестреганые доски, хорошо пригнанные; во- допроводные грубы в нормальных условиях, без заме।ной инкрустации; весьма1 чистые водо- сточные трубы; весьма хорошая бетонировка . . 0,012 83,3
Тесовая кладка в лучших условиях, хорошая кирпичная кладка; водосточные трубы в нор- мальных условиях; несколько загрязненные во- допроводные трубы 0,013 76,9
Загрязненные трубы (водопроводные и водо- сточные); бетонировка каналов в средних усло- виях 0,014 71,4
Средняя кирпичная кладка, облицовка из те- саного камня в средних условиях; значительно загрязненные водостоки; брезент по деревянным рейкам 0,015 66,7
Хорошая бутовая кладка; старая (расстроен- ная) кирпичная кладка; сравнительно грубая бетонировка; исключительно гладкая, весьма хорошо разработанная скала 0,017 58,8
Каналы, покрытые толстым, устойчивым или- стым слоем; каналы в плотном лессе и плотном мелком Iравии, затянутые сплошной илистой пленкой (все притом в безукоризненном состоя- нии) 0,018 55,5
Средняя (вполне у ювлетворительная) бутовая кладка; булыжная мостовая; каналы, весьма чис- то высеченные в скале; каналы в лессе, плот- ном гравии, плотной земле, затянутые илистой пленкой (в нормальном состоянии) 0,020 50
I
§ 8—/, Определение коэффициента С, в формуле Шези
235
Продолжение табл. 8—1
Род стенки п 1 п
Каналы в плотной глине; каналы в лессе, гравии, земле, затянутые несплошной (местами прерываемой) илистой пленкой; земляные кана- лы, находящиеся в условиях содержания и ре- монта выше средних 0,0225 44,4
Хорошая сухая кладка; земляные каналы в средних условиях содержания и ремонта. Реки в весьма благоприятных условиях (чистое пря- мое ложе со свободным течением, без обвалов и глубоких промоин) 0,025 40
Земляные каналы в условиях содержания и ремонта ниже средней .нормы 0,0275 36,4
Земляные каналы в сравнительно плохих условиях (например, местами с водорослями, булыжником или гравием по дну); заметно за- .росшие травой; с местными обвалами откосов и пр.; реки в бла> оприятных условиях течения (см. п. 11) 0,030 33,3
Каналы, находящиеся в весьма плохих усло- виях (с неправильным профилем) заметно засо- ренные камнями и водорослями; реки в сравнительно благоприятных условиях, но с не- которым количеством камней и водорослей . . 0,035 28,6
Каналы в исключительно плохих условиях (значительные промоины и обвалы; заросли ка- мыша; густые корни, крупные камни по руслу и пр.); реки при дальнейшем ухудшении усло- вий течения (по сравнению с предыдущими пунктами); увеличение количества камней и во- дорослей; извилистое ложе с небольшим количе- ством промоин и отмелей и т. д 0,040 25
выше, в § 4—5, получившую широкое распространение в совет-
ской гидротехнической практике:
С = —Ry, (?—2)
п
где R — гидравлический радиус сечения; для широких прямо-
угольных русел обычно принимают /? — h, где h — рас-
четная глубина;
п — коэффициент шероховатости, зависящий от состояния
поверхности стенок и дна русла, значения которого
приведены в табл. 8—i; для естественных русел при
определении коэффициента шероховатости можно поль-
зоваться данными М. Ф. Срибного (табл. 8—2) и
Б. В. Полякова (табл. 8—3);
236
Глава VIII. Равномерное движение воды в открытых руслах
Таблица 8—2
Коэффициенты шероховатости п естественных водотоков по М. Ф. Срибному
Характеристика русла
Коэффициент
шероховатости п
Естественные русла в весьма бла1 oi риятных
условьях (чистое, ьрямое, незасоренное, земля-
ное со свободным течением русло .......
Русла посюянных воиотоксв равнинного типа
(преимущественно больших и средних рсь, в
благоприятных условиях состояния ложа и тече-
ния воды) Периодические потоки (большие и ма-
лые) при очень хорошем состоянии поверхности
и йормы ложа ................................
Сравнительно чистые русла постоянных рав-
нинных водотоков в обычных условиях, извили-
стые с некоторыми неправильностями в на; равле-
нии струй или же прямые, но с неправильностя-
ми в рельефе дна (отмели, промоины, местами
камни)
Земляные русла периодических водотоков (су-
хих логов) в относительно благоприятных ус- '
ловиях ......................................
Русла (больших и средних рек) значительно
засоренные, извилистые и частично заросшие,
каменистые и с неспокойным течением
Периодические (ливневые и весенние) водотоки,
несущие во время i аводка заметное количество
наносов с крупногалечным или покрытым расти-
тельностью (травой и пр) ложем. Поймы боль-
ших и средних рек, сравнительно разработанные,
покрытые нормальным количеством раститель-
ности (травы, кустарники)....................
Русла периодических водотоков сильно засо-
ренные и извилистые. Сравнительно заросшие,
неровные, плохо разработанные поймы рек (про-
моины, кустарники, д ревья с наличием заводей)
Галечно-валунные русла горного типа с непра-
вильной поверхностью водною зеркала. Порожи-
стые участки равнинных рек...................
Реки и поймы, весьма значительно заросшие
(со слабым течением) с большими глубокими
промоинами Валунные горного типа русла с
бурливым пенистым течением с изрытой поверх-
ностью водного зеркала (с летящими вверх брыз-
гами воды) ..................................
Нормы такие же, как предыдущей категории,
но с сильно неправильным косоструйным тече-
нием, заводями и нр. Горно-водопадные русла с
крупно-валунным извилистым строением ложа,
перепады ярко выражены, пенистость настолько
сильна, что вода, потеряв прозрачность, имеет
белый цвет, шум потока доминирует над всеми
остальными звуками, делает разговор затрудни-
тельным .....................................
0,025
0,033
0,040
0,050
0,067
0,080
0,100
§ 8—1. Определение коэффициента С в формуле Шези
237
Продолжение табл. 8—2
Характеристика русла
Коэффициент
шероховатое«и п
Река болотного типа (заросли, кочки, во мно-
гих местах почти стоячая вода). Поймы с очень
большими мертвыми пространствами, с местными
у»дублениями—озерами—и пр..................... 0,133
Потоки типа солевых, состоящие из грязи
камней и пр. Глубинные поймы (сплошь лесные,
таежного типа)................................ 0,200
Таблица 8—3
Коэффициенты шероховатости и для равнинных рек по Б. В. Полякову
Кате-
гория
Характеристика русла равнинных рек
Коэффициент
шероховатости
1
II
ш
IV
Русло песчаное, ровное, без растительности,
с незначительным влечением донных наносов . .
Русло песчаное извилистее, с большими пере-
мещениями донных масс. Пойма покрыта луюм
без кустарника...............................
Пойма, покрытая кустарником или редким
лесом .......................................
Пойма, покрытая лесом.......................
0,02 —0,023
0,023-0,033
0,033—0,045
0,045—0,060
у — показатель степени, зависящий от /? и п и определяе-
мый по формуле
у = 2,5)/ ~п — 0,13 — 0,75]Л7Г(/ п — 0,ю). (8—3)
В табл. 8—4 приведены значения С по формуле Павловско-
го при разных R и и1.
Переменность показателя у в формуле Павловского являет-
ся ее достоинством, так как теоретически доказано, что он не
может быть постоянным, а должен зависеть от п.
Формула Павловского применима для открытых русел при
значениях гидравлического радиуса 0,1<А?<3,0 м.
Для приближенных расчетов Павловский дает упрощенную
формулу:
у 1,5 ]/" п при 0,1 < R < 1,0 ж;
п при 1 < R < 3,0 м.
1 М. А. Мостков, Гидравлический справочник, Госстройиздат, 1954.
Таблица 8—4
Значения коэффициента С по полной формуле Павловского С='—/?^при ^2,5 3—0,75]//? (pSz 0,10)
X. П 0,011 0,012 0,013 0,014 0,015 0,017 0,013 0,020 0,0225 0,025 0,0275 0,030 0,035 0,040
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
0,24
0,26
0,28
0,30
0,32
0,34
0,36
0,38
0,40
0,45
0,50
67,36
69,00
70,36
71,64
72,73
73,73
74,64
75,55
76,27
77,00
77,73
78,36
79,00
79,64
80,18
80,73
81,91
83,09
60,33 54,46 49,43
61,92 56,00 50,85
63,25 57,30 52,14
64,50 58,46 53,29
65,58 59,46 54,29
66,50 60,46 55,21
67,42 61,31 56,07
68,25 62,08 56,86
69,00 62,85 57,57
69,75 63,54 58,29
70,42 64,23 58,93
71,08 64,85 59,50
71,67 65,46 60,07
72,25 66.00 60,64
72,75 66,54 61,22
73,33 67,08 61,72
74,50 68,23 62,86
75,67 69,31 63,30
45,07
46,47
47,74
48,80
49,80
59,74
51,54
52,34
53,00
53,67
54,34
54,94
55,47
56,07
56,54
57,07
58,20
59.27
38,00
39,29
40,47
41,53
42,47
48,35
44,11
44,88
45,53
46,17
46,82
47,35
47,94
48,47
48,94
49,41
50,53
51,59
35,06
36,34
37,50
38,50
39,45
40,28
40,89
41,78
42,45
43,06
43,67
44,28
44,78
45,28
45,78
46,28
47,34
48,39
30,85
32,05
33,10
34,05
34,90
35,65
36,40
37,05
37,70
38,25
38,85
39,35
39,85
40,35
40,80
41,25
42,30
43,25
26,18 22,48
27,29 23,56
28,26 24,48
29,15 25,28
29,95 26,04
30,71 26,76
31,37 27,40
32,00 28,00
32,62 28.55
33,15 29,08
33,69 29,60
34,17 30,08
34,66 30,56
35,15 31,00
35,60 31,40
36,00 31,80
36,97 32,76
37,91 33,64
19,53 17,50
20,51 18,40
21,38 19,23
22,18 19,96
22,87 20,63
23,56 21,23
24,14 21,80
24,72 22,36
25,27 22,86
25,78 23,33
26,25 23,80
26,72 24,23
27,16 24,63
27,60 25,03
28,00 25,43
28,40 25,80
29,31 26,66
30,14 27.46
14,00 11,43
14,80 12,15
15,54 12,80
16,20 13,40
16,80 13,95
17,34 14,48
17,86 14,95
18,34 15,40
18,83 15.83
19,26 16,23
19,68 16,60
20,06 16,98
20,46 17,33
20,83 17,68
21,17 18,00
21,51 18,30
32,31 19,05
23,06 19,75
238 Глава VIII. Равномерное движение воды в открытых руслах и каналах
Продолжение табл. 8—4
"Ч п 0,011 0,012 0,013 0,011 0,015 0,017 0»018 0,020 0,0225 0,025 0,0275 0,030 0,035 0,040
0,55 84,09 76,67 70,31 64,93 60,20 52,53 49,28 44,10 38,75 34,44 30,94 28,20 23,74 20,40
0,60 85,09 77,58 71,23 65,86 61,14 53,14 50,17 44,90 39,51 35,20 31,67 28,90 24,40 21,03
0,65 86,00 78,42 72,08 66,64 61,94 54,17 50,95 45,70 40,26 35,92 32,36 29,53 25,00 21,60
0,70 86,82 79,25 72,93 67,50 62,74 59,94 51,73 46,40 40,93 36,60 33,01 30,16 25,57 22,68
0,75 87,55 80,00 73,69 68,22 63,47 55,70 52,45 47,05 41,60 37,24 33,63 30,76 26,14 22,68
0,80 88,27 80,75 74,46 68,93 64,20 56,35 53,12 47,70 42,22 37,84 34,25 31,30 26,66 23,18
0,85 89,00 81,45 75,08 69,57 64,87 57,06 53,78 48,30 42,80 38,40 34,80 31,86 27,17 23,65
0,90 89,64 82,10 75,69 70,22 65,47 57,64 54,39 48,90 43,37 38,98 35,34 32,36 27,66 24,13
0,95 90,27 82,75 76,31 70,86 66,07 58,23 54,90 49,45 43,91 39,48 35,85 32,86 28,11 24,58
1,00 90,91 83,33 76,92 71,43 66,67 58,82 55,56 50,00 44,44 40,00 36,36 33,33 28,57 25,00
1,10 92,00 84,33 77,92 72,36 67,54 59,64 56,34 50,75 45,15 40,72 37,05 34,00 29,20 25,60
1,20 93,09 85,33 78,92 73,29 68,40 60,47 57,12 51,50 45,82 41,40 37,71 34,63 29,79 26,18
1,30 94,09 86,25 79,77 74,07 69,14 61,17 57,78 52,15 46,48 42,04 38,32 35,23 30,34 26,70
1,40 95,00 87,08 80,62 74,86 69,87 61,88 58,45 52,75 47,06 42,64 38,91 35,76 30,86 27,20
1,50 95,82 87,83 81,38 75,57 70,54 62,53 59,06 53,35 47,00 43,20 39,41 36,30 31,37 27,68
1,60 96,64 88,58 82,15 76,29 71,20 63,11 59,62 53,90 48,12 43,72 39,96 36,80 31,83 28,13
1,70 97,36 89,25 82,85 76,93 71,80 63,70 60,17 54,45 48,62 44,24 40,43 37,26 32,28 28,55
1,80 *98,09 89,92 83,54 77,57 72,40 64,23 60,67 54,95 49,11 44,72 40,91 37,70 32,71 28,95
1,90 98,82 90,58 84,15 78,14 72,94 64,76 61,17 55,40 49,55 45,20 41,34 38,13 33,11 29,35
2,00 99,45 91,17 84,77 78,72 73,47 65,29 61,67 55,85 50,00 45,64 41,78 38,56 33,51 29,73
§ 8—1. Определение коэффициента С, в формуле Шези
Продолжение табл. 8—4
4 п R \ 0,011 0,012 j 0,013 0,014 0,015 j 0,017 0,018 i 0,020 0,0225 0,025 0,0275 0,030 0,035 0,040
2,10 100,09 91,75 85,31 79,22 73,94 65,76 62,12 56,30 50,39 46,04 42,18 38,96 33,88 30,08
2,20 100,73 92,83 85,92 79,79 74,47 66,23 62,56 56,70 50,79 46,48 42,58 39,33 34,26 39,45
2,30 101,27 92,83 86,46 80,29 74,£4 66,64 62,95 57,15 51.19 46,84 42,94 39,70 34,60 30,78
2,40 101,91 93,42 86,92 80,72 75,34 67,05 63,34 57,50 51,55 47,24 43,30 40,06 34,94 31,13
2,50 102,45 93,72 87,46 81,22 75,80 67,47 63,73 57,90 51,91 47,60 43,67 40,40 35,18 31,43
2,60 102,91 94,33 87,93 81,64 76,20 67,88 64,12 58,25 52,26 47,96 44,03 40,73 35,60 31,75
2,70 103,36 £4,75 88,38 82,07 76,60 68,29 64,51 58,60 52,62 48,32 44,36 41,06 35,91 32,05
2,80 103,91 95,25 88,55 82,50 77,00 68,64 64,84 58,95 52,93 48,64 44,69 41,36 36,20 32,35
2,90 104,36 95,67 89,23 82,86 77,34 69,00 65,17 59; 30 53,24 48,96 44,98 41,70 36,45 32,60
3,00 104,82 96,08 89,69 83,29 77,74 69,35 65,51 59,60 53,55 49,28 45,30 42,00 36,70 32,80
3,20 105,73 96,92 90,54 84,07 78,47 70,05 66,17 60,25 54,17 49,88 45,89 42,53 37,00 33, CO
3,40 106,55 97,67 91,23 84,72 79,07 70,64 66,73 60,80 54,71 50,40 46,10 42,80 37,30 33,20
3,60 107,35 £8,42 92,00 85,43 79.74 71,29 67,34 61,35 55,21 50,70 46,50 43,15 37,60 33,45
3,80 108,09 99,08 92,69 86,07 80,34 71,88 67,89 61,90 55,77 51,00 46,90 43,50 37,£0 33,70
4,00 108,82 99,75 93,38 86,72 80,94 72,41 68,39 62,40 56,26 51,30 47,20 43,75 38,10 33,90
4,20 109,с5 100,42 94,00 87,29 81,47 72,94 68,89 62,90 56,71 51,55 47,50 44,00 38,30 34,15
4,40 110,18 101,00 94,62 87,86 82,00 73,47 69,39 63,40 57,15 51,80 47,70 44,20 38,45 34,35
4,60 110,82 101,58 95,23 88,43 82,54 73,94 69,83 63,85 57,59 52,00 47,90 44,50 38,60 34,45
4,80 111,45 102,17 95,85 89,00 83,07 74,41 70,28 64,25 58,04 52,25 48,10 44,70 38,70 24,55
5,00 112,09 102,75 96,38 89,50 83,54 74,88 70,73 64,70 58,44 52,50 48,30 44,90 38,80 34,65
240 Глава VIII Равномерное движение воды в открытых руслах и каналах
§ 8—1. Определение коэффициента С в формуле Шези
241
В практике гидравлических расчетов иногда применяют
формулу Павловского с постоянньш значением показателя
у = — = 0,167
Л 6
С = — (8—4)
п
известную под названием формулы Маннинга, и при у =
1_
5
с = — ,
п
(8-5)
называемую формулой Форхгеймера.
Ниже приведены две таблицы (табл. 8—5 и 8—6) значений
поправочного коэффициента k для перехода от С, высчитанно-
го по сокращенной формуле Павловского при значении показа-
теля степени у= -~~и у= к С, определенному по полной фор-
муле с показателем степени у по формуле (8—3).
тх 1
Из приведенных табл. 8—6 и 8—7 видно, что при
Таблица 8—5
1 i/e
Коэффициенты перехода от С=—R к С по полной формуле Павловского
п R 0,012 0,015 0,020 0,025 0,030 0,040
0,2 1,042 1,002 0,931 0,881 0,836 0,762
0,4 1,026 1,002 0,961 0,937 0,9(>3 0,867
0,6 1,015 1,002 0,983 0,967 0,953 0,928
0,8 1,1(6 1,001 0,993 0,987 0,981 0,970
1,0 1,000 1,000 1,00 1,000 1,000 1,00
1,2 0,994 1,000 1,004 1,009 1,014 1,022
1,4 0,1 89 0,997 1,007 1,016 1,024 1,039
I,6 0,184 0,994 1,008 1,020 1,032 1,053
I,8 0/80 0,992 1,009 1,023 1,037 1,067
2,0 0,976 0/89 1,009 1,026 1,040 1,070
2,2 0,973 0,987 1,009 1,027 1,044 1,075
2/1 0,970 0,685 1,008 1,028 1.046 1,078
2^6 0,966 0,983 1,006 1,027 1,046 1,080
2^8 0,963 0,980 1,004 1,026 1,046 1,083
ЗД> 0,960 0,977 1,0(3 1,025 1,046 1,683
3,5 0,955 0,972 0,999 1,023 1,045 1,082
4,0 0,650 0,966 0 993 1,017 1,041 1,078
4,5 0,944 0,958 0,986 1,009 1,035 1,070
5,0 0,938 0,953 0 979 1,001 1,028 1,060 :
16 Зак. 1593
242 Глава УШ. Равномерное движение воды в открытых руслах и каналах
Коэффициенты перехода от С— — R ' к полной формуле Павловского
Таблица 8—6
га R 0,012 0,015 0,020 0,025 0,(30 0,040
0,2 1,101 1,054 0,984 0,930 0,868 0,803
0,4 1,059 1,036 0,996 0,965 0,930 0,893
0,6 1,033 1,020 1,600 0,984 0,968 0,944
0,8 1,015 1,010 1,004 0,994 0,988 0,977
1.0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,600 1,000
1,2 0,988 0,992 0,998 1,003 1,008 1,016
1,4 0,979 0,985 0,996 1,005 1,012 1,027
' 1,6 0,969 0,979 0,993 1,004 1,016 1,035
1,8 0,961 0,973 0,189 1,003 1,017 1,041
2,0 0,955* 0,966 0 986 1,002 1,017 1,044
2,2 0,948 0,963 0.У83 1,000 1,017 1,047
2,4 0,943 0,957 0,979 0,998 1,016 1,048
2,6 0,337 0,952 0,973 0,995 1,013 1,047
2,8 0,930 0,947 0,970 0,992 1,010 1,046
3,0 0,928 0,943 0,967 0,990 1,069 1,045
3,5 0,917 0,933 0,960 0,981 1,003 1,038
4,0 0,907 0,922 0,947 0,970 0,994 1,030
4,5 0,898 0,913 0,938 0,961 0,984 1,021
5,0 0,890 0,905 0,929 0,948 0,975 1,005
ошибка в определении С может достигать (при п=0,035-ь0,040)
для больших значений R 7-4-8%, а при малых значениях
14 -ь24%, чем в гидравлических расчетах пренебрегать ни-
как нельзя. При у= — величина ошибки в определении С может
5
доходить при больших значениях R до 5—11% и при малых
R 6 -4-20% (в зависимости от значения п).
Анализ приведенных выше в табл. 8—5 и 8—6 значений по-
правочных коэффициентов
k = -9^1 = #У-°’167. (8—6)
И
\ = А>у-°’2 (8—7)
’позволяет рекомендовать для сокращенной формулы Павловско-
го значения показателя у в зависимости от R и п> приведенные
в следующей табл. 8—7.
§ 8—1. Определение коэффициента С в формуле Шези
243
Таблица 8—7
Таблица рекомендуемых значений у в сокращенной формуле
Павловского для С
R <1 м 3 м> R> 1 м У
0,012 < п < 0,017 0,017 < п < 0,022 0,022 < п < 0,035 0,015 < п < 0,020 0,020 < п < 0,030 0,030 < п < 0,040 0,167 0,20 . 0,25
Приведенные здесь значения у дают для С расхождение с
полной формулой Павловского, не превышающее 1,5-и 2,5%.
Из второй группы формул для С (многочленного вида) мож-
но упомянуть формулу Зегжды (4—25), приведенную
выше в § 4—5, и формулу Агроскина, которая имеет вид
с = —+ 17,721g/?, (8-8)
И
где п — коэффициент шероховатости, определяемый по табл.
8-1;
7? •— гидравлический радиус.
Для чугунных труб она дает завышенные на 6—10% значе-
ния С и заниженные значения коэффициента трения поэто-
му для расчета чугунных труб ее применять не следует.
Для открытых русел обычных размеров формула (8—8) дает
значения С, на 1—3% меньшие по сравнению с формулой
Павловского \
Формула Гангилье— Куттера (1869 г.)
(8-9)
При уклоне i > 0,0005 членом —------ можно пренебречь, и фор-
мула приобретает более простой вид
(8—10)
1 И. И. А г р о с к и н, к расчету скоростного множителя С, «Гидротехни-
ческое строительство» № 10, 1953.
16*
244 Глава VIII, Равномерное движение воды в открытых руслах и каналах
Формула Гангилье — Куттера дает хорошие результаты для
естественных русел и каналов при значениях R > 3,5 мх.
Формула Базена (1897 г.)
С =—-—, (8-11)
где пб—коэффициент шероховатости по шкале Базена (рань-
ше он неудачно обозначался, как и объемный вес воды, ч)
Вследствие недостаточно подробной таблицы шероховатости
эта формула не может быть рекомендована к применению и
имеет лишь историческое значение.
§ 8—2. ГИДРАВЛИЧЕСКИ НАИВЫГОДНЕЙШЕЕ СЕЧЕНИЕ
Гидравлически наивыгоднейшей называется такая форма
поперечного сечения русла, которая при заданных площади се-
чения и шероховатости дает наибольшую пропускную способ-
ность.
Если взять ряд живых сечений различной формы (фиг.
8—1,а), но одинаковой площади и шероховатости, то наивы-
годнейшим из них будет то сечение, которое при том же уклоне
будет пропускать наибольший расход.
Рассматривая формулу (8—1) расхода Q = <oC]//?z, заме-
чаем, что при постоянных оз и i расход Q тем больше, чем боль-
ше гидравлический радиус R, так как при <o=const С также
возрастает вместе с R. Но так как R ~ , то максимальной
пропускной способностью будет обладать сечение с наименьшим
смоченным периметром
Таким образом, вопрос сводится к нахождению формы се-
чения с минимальной величиной смоченного периметра X при
заданной площади сечения <о. Из изображенных на фиг. 8—1,а
форм поперечного сечения потока наименьшим периметром при
одинаковой площади живого сечения обладает полукруглое се-
чение, которое и является гидравлически наивыгоднейшим.
Однако осуществление на практике канала полукруглого
сечения в естественном грунте без облицовки невозможно, так
как вертикальные откосы в грунте держаться не будут. Полу-
круглое сечение можно осуществить лишь у искусственных ка-
налов и лотков из дерева, бетона или металла.
По этой же причине в грунте не делаются каналы прямо-
угольного сечения; треугольное сечение обычно быстро занооит-
1 В. Ф. Поярков, О трех формулах коэффициента С, «Гидротехниче-
ское строительство» № 1, 1952.
§ 8—2. Гидравлически наивыгоднейшее сечение
245
ся в нижнем углу и превращается в трапецеидальное, которое и
является самым распространенным среди каналов.
В трапецеидальном сечении при одинаковой площади жи-
вого сечения w и постоянном коэффициенте откоса т, назначае-
мом в зависимости от рода грунта, может быть различное соот-
ношение между шириной по дну b и глубиной h (фиг. 8—1,6).
Фиг, 8—1
Наивыгоднейшей, с гидравлической точки зрения, будет,
очевидно, такая форма трапеции, которая при одинаковой пло-
щади живого сечения обладает наименьшим смоченным пе-
риметром /.
Найдем такое отношение ширины дна к глубине, которое
дает минимальный смоченный периметр; для этого исследуем
на минимум функцию /^/(/г) при постоянной площади сечения
«о и постоянном коэффициенте откоса т.
Выразив площадь w и периметр / через ширину по дну Ь,
заложение откосов т и глубину Л, получим для трапеции следу-
ющие соотношения:
to = (Ь + т!г) h ;
(3—12)
X = b + 2А 14 m2. (8—13)
Заменяя b по формуле (8—13)
b ~ —---mh
h
при <0 = const, будем иметь
X = -mh+2h}/r 1ф-т2
246 Глава VIII. Равномерное движение воды в открытых руслах и каналах
=---^_те + 2/1 4-/n* =-^+rn^h-
dh A2 v А2
— /л? + 2 j/~ 14-т2 --2/тг + 2 ]/" 1 + 7772.
Так как при минимуме / отношение — = ргн и в то же
✓ А
время -^-=0, то
dh
Рг.н ~ 2 (]/" 1 + ттг2 —/тг). (8—14)
Это выражение определяет соотношение между шириной b
и высотой h для гидравлически наивыгоднейшего сечения тра-
пецеидальной формы.
В табл. 8—8 приведены значения + н ==— по формуле
А
(8—22) в зависимости от коэффициента откоса т.
Следует отметить еще два свойства гидравлически наивы-
годнейшего трапецеидального сечения. Если в выражении для
гидравлического радиуса
= (b+mh) h
* b + Q-hW^m2
заменить Ь через Рг.н = 2/г [|/ 1+т2 —т
алгебраические действия, получим
и произвести все
(8-15)
А
2~ ’
т. е. для трапецеидальных гидравлически наивыгоднейших сече-
ний гидравлический радиус R равен половине глубины.
Площадь живого сечения гидравлически наивыгоднейшего
сечения
О)
=(А +mA) h = 2А (j/* 1 +m2 — m) +mA] h =
= А2 ^2 ]/"1 + m2 — т)
= аА2,
(8—16)
где а = 2 1 +ттга —т.
Таким образом, и гидравлический
равлически наивыгоднейшего сечения
только через высоту А и коэффициент
радиус, и площадь гид-
могут быть выражены
откоса т.
§ 8—3. Гидравлический расчет каналов. Типы задач
247
b
Значения — и а для гидравлически наивыгоднейшего сечения
трапецоидальной формы
Таблица 8—8
m 0 0,25 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
bth— РГоН 2,0 1,56 1,24 0,83 0,61 0,47 0,385 0,325
а 2,0 1,81 1,74 1,82 2,10 2,46 3,06 3,32
При m — 0 трапеция превращается в прямоугольник, ши-
рина которого должна быть в 2 раза больше глубины.
При разном m из всех трапеций наивыгоднейшей будет та,
которая представляет собой половину правильного шестиуголь-
ника, т. е. при m == ctg 60° == 0,866.
§ 8—3. ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ КАНАЛОВ. ТИПЫ ЗАДАЧ
При решении задач на равномерное движение в открытых
руслах часто применяется понятие расходной характе-
ристики (раньше его называли «модулем расхода»)
= R.
(8—17
Как видно из формулы (8—17), расходная характеристика
равна расходу в русле при уклоне f = 1.
Понятие расходной характеристики позволяет несколько
упростить решение некоторых задач на расчет каналов.
При гидравлическом расчете каналов встречаются три ос-
новных типа задач.
I тип задач. Требуется определить пропускную способность
Q канала, если известны его размеры (b, h и т), коэффициент
шероховатости п и уклон /.
Вычисляется, площадь сечения <*> и гидравлический ра-
диус R.
По формуле Павловского (при R < 3,0 м) вычисляется С
и определяется искомое значение Q по формуле
Q = <0 С Ri.
(8—1)
248 Глава VIII. Равномерное движение воды в открытых руслах и каналах
К этому же типу • можно отнести и задачу об определении
уклона канала i, если известны Q, b, h, m и п. Эта задача так-
же решается непосредственно по формуле Шези
Q = и>С У Ri,
откуда уклон
(8-18)
Таблица 8—9
Допускаемые максимальные средние скорости для грунтов и креплений1
Наименование грунтов или типов креплений Размер частиц грунта в мм Допускаемые средние скорости в м сек
при средней глубине потока в м
0,4 1,0 2,0 3,0 и более
Ил 0,005- 0,05 0,12-0,17 0,15—0,21 0,17-0,24 0,19—0,26
Песок мелкий 0,05—0,25 0,17-0,27 0,21 -0,32 0,24 -0,37 0,26—0,4
„ средний 0,25-1 0 27—0,47 0,32—0,57 0,37-0,15 U,4-0,7
„ крупный 1—2,5 о; 47—0,53 0,57 0,65 0,65—0,75 0,7-0,8
Гравий мелкий 2,5—5 0,53 -0,65 0,65-0,8 0,75—0,9 0 8 - 0,£5
„ средний 5-10 0,65-0,8 0,8—1 0,9—1,1 0,95—1,2
„ крупный 10—15 ’0 8—0,85 1-1,2 1,1-1,3 1,2 -1,4
Галька мелкая 15-25 0,95—1,2 1,2—1,4 1,3—1,6 1,4 1,8
„ сре 1няя 25 40 1,2— 1,5 1 4-1,8 1,6 2,1 1 8—2 2
„ крупная Малоплотные глины и су- 40—75 1,5—2 1,8—2,4 2,1—2,8 2,2-3
глинки 0,33 0,4 0,46 0,5
Среднеплотные — 0,7 0,85 0,95 1,1
Плотные . — 1 1,2 I,4 1,5
Очень плотные Лессовые грун- ты средней — 1,4 1,7 1.9 2,1
плотности 0,6 0,7 0,8 0,85
Дерн плашмя . Дерн свежий 0,6 0,8 0,9 1
в стенку . . Хворостяные — 1,5 1,8 2 2,2
покрытия . . Одиночная мо- 1,8 2,2 2,5 2,7
стовая .... 200 2,5—2,9 3—3,5 3,5—4 3,8-4,3
Двойная . . . Габионные 200 3,1-3,6 з,7-4,3 4,3-5 4,6—5,4
крепления . Кирпичная кладка на *— До 4,2 До 5 До 5,7 До 6,2
растворе . . — 1,6 2,0 2,3 2,6
1 По стандарту Главгидроэнергостроя СТ24-4396.
§ 8—3. Гидравлический расчет каналов. Типы задач
249
Если встречается необходимость найти уклон канала или
лотка по наибольшей допускаемой скорости итах, то более удоб-
ной является формула
и1
I = —
C2R
(8-19)
В табл. 8—9 приведены величины наибольшей допускае-
мой средней скорости для различных грунтов и креплений.
II тип задач. Известны b, т,
п, I. Определить глубину при за-
данном расходе Qo. Эта задача
называется задачей о нор-
мальной глубине. Нор-
мальной называется такая глу-
бина, которая устанавливается
в русле при заданном расходе в
условиях равномерного движе-
ния. Эта задача в общем случае
решается подбором по формуле
Шези. Задаются каким-либо зна-
чением глубины h и вычисляют
соответствующие ей значения
о, R, С и Q. Если вычисленное Q оказывается меньше задан-
ного, то повторяют пробу при большем /гит. д., пока не по-
лучится совпадение (с точностью до 1%). Для ускорения полез-
rz Q»
но вычислить расходную характеристику До = ——- и вести
V i
подбор по выражению К = С ]//?, добиваясь равенства
К = /<0. Вычисления рекомендуется сводить в таблицу по фор-
ме табл. 8—10.
Таблица 8—10
h в м О) В М2 X в м R в м С в м^/сек к (V) (<2)
После двух-трех вычислений /< (или Q) следует построить гра-
фик (фиг. 8—2) К = f(h) (или Q = /(/z), используя также точ-
ку К = 0 (Q = 0) при h = 0. По графику можно довольно точ-
но найти искомое h и затем еще раз проворить его по формуле.
III тип задач. Требуется подобрать размеры поперечного
сечения канала — ширину b и глубину h, если известны Q, ч нп.
250 Глава VIII, Равномерное движение воды в открытых руслах и каналах
Этот тип задач наиболее часто встречается в инженерной
практике при проектировании каналов. Так как у нас имеются
две неизвестные величины — b и h, то, вообще говоря, задача
оказывается неопределенной. Поэтому иногда одной из них за-
даются, а вторую определяют. При этом следует, однако, стре-
миться к тому, чтобы сечение получилось гидравлически наи-
выгоднейшим. Если ширина b и глубина h не ограничены усло-
виями расчета, то можно рассчитывать канал гидравлически
наивыгоднейшего сечения. Для этого определяют ₽г.н, а,затем
подбирают такие h и b ~Зг.н/г, которые обеспечивают необхо-
димую пропускную способность.
Непосредственное аналитическое решение задачи по опре-
делению неизвестной величины из формулы Шези приводит к
весьма сложному алгебраическому уравнению относительно h
или &, а потому задача решается обычно методом подбора. Ча-
сто один из размеров h или b бывает задан или ограничен. В
этом случае гидравлически наивыгоднейшее сечение рассчитать
в общем случае не удается, и дело сводится к определению вто-
рого размера. Если задана Ь, то задача сводится к предыдуще-
му типу задачи II.
При определенной величине h приходится подбирать Ь, по-
следовательно находя о, х, С и расходную характеристику
К = о С]/R. Для ускорения подбора следует строить график
зависимости К = f(b).
IV тип задач. Требуется определить размеры поперечного
сечения канала h и Ь, если заданы Q, i, коэффициенты п и m и
скорость течения v.
Такой тип задач может встретиться при проектировании
энергетических и оросительных каналов, скорость в которых
ограничивается условиями неразмцваемости и незаиляемости.
Для решения этого типа задач можно применять метод проек-
тирования каналов экономического поперечного сечения, пред-
ложенный проф. А. А. Угинчусом1.
Решая совместно уравнение площади и смоченного пери-
метра трапецеидального сечения относительно глубины напол-
нения
о) = (Ь + rnh) h ;
X = b + 2h1 +m2 = b + m'h ,
где
tnf = 2 -j/^ 1+m2 ,
1 А. А. Угинчус, Каналы и сооружения на них, Госстройиздат, 1953
§ 8—3. Гидравлический расчет каналов. Типы задач
251
можно получить следующее выражение:
А=2^-/ (8-20)
В этой формуле т, т' и <е= — известны, и нужно узнать
только х.
А. А. Угинчус_составил таблицы скоростных характеристик
IF = р~~R при значениях С по полной формуле Пав-
ловского. Зная IF, находим R = — и/= — . Глубина напол-
С2 7?
нения определяется по формуле (8—20), а ширина канала — по
зависимости
b = х — •
(8—-21)
Проведенное А. А. Угинчусом графическое исследование
уравнения (8—20) показало (фиг. 8—3), что верхняя часть
кривой h = f(v) асимптотически приближается к оси ординат.
В этой области при весьма незначительном изменении скорости
v происходит резкое изменение глубины наполнения h и, следо-
вательно, ширины канала по дну Ь. Так, например, при измене-
нии скорости в пределах 1% можно получить изменение ширины
канала по дну в 2—3 раза и более.
Кривые h = f(v) и b~f(h) на фиг. 8—3 построены для
канала со следующими данными: Q = 100 м?/сек, уклон / =
= 0,0001, коэффициент шероховатости п = 0,025, т — 2,5.
При максимальной скорости v — 0,878 м/сек, соответствую-
щей гидравлически наивыгоднейшему живому сечению, глуби-
на наполнения канала 6=6,29 м при 6 = 2,40 м
= ^2 = 0,385
6,29
Уменьшив скорость до 0,87 м/сек, т. е. всего на 0,008 м/сек^
мы получаем глубину h = 5,12 м и b = 9,60 м. Следовательно,
существует целая область гидравлически наивыгоднейших про-
филей, имеющих практически одинаковые площади живых сече-
ний о и гидравлические радиусы R, но с сильно отличающимися
между собой глубинами наполнения h и ширинами 6.
Поэтому, установив указанную область, можно в этой об-
ласти выбрать сечение канала, удобное по производственным
или эксплуатационным условиям. Все живые сечения в этой об-
ласти (с точностью до 0,5—1%) будут обладать всеми свойст-
вами гидравлически наивыгоднейшего сечения.
:252 Глава VIII. Равномерное движение воды в открытых руслах и каналах
При этом отпадает необходимость в выполнении ряда тех-
нико-экономических расчетов для выбора сечения канала, вы-
ходящего за пределы гидравлически наивыгоднейшего. Послед-
нее обстоятельство облегчает проектирование энергетических и
оросительных каналов. Пользуясь системой кривых h = f(y) и
d = f(/z), можно выбирать любое сечение канала.
Фиг. 8—3. График зависимости между скоростью и, наполнением h и
шириной b
Пример 8—1. Определить расход и скорость в трапецеидальном земля-
ном канале при следующих данных: 6=10 м, /г=3,5 м, т=1,5, /=0,0002, п=
=0,025.
Решение. Имеем задачу I типа (см. § 8—3). Вычисляем площадь
живого сечения:
<о = (b + mh) h = (10 + 1,5-3,5) 3,5 = 53,3 м\
смоченный периметр
X = 6 + 2/г ]/~1 + т2 =
10 + 3,5-2-1,8 = 22,6л<;
гидравлический радиус
<о 5\3 ол ч
Z? = — = —- = 2,36 л«(< 3,0 м).
X 26,6 ’
§ 8—3. Гидравлический расчет каналов. Типы задач
25а
По таблице (8—4) находим при п = 0,025 и R = 2,36 (по интерполяции}
С «= 47,08. Скорость
g^cVRi =47,081/2,36-0,0002 = 1,027 л/сек;
расход
Q = сои = 53,3-1,027 = 54,70 м31сек.
Определим расход, применив для С формулу Агроскина:
С = — + 17,72 1g/? = 40 + 17,72 1g 2,36 = 40 + 17,72- 0,373=
п
= 46,6; v = cVrT = 46,6-2,36-0,0002 = 1,01 м/сек;
Q = 53,3* 1,01 =53,8 м31сек,
т. е. приблизительно на 2% меньше, чем по Павловскому.
Пример 8—2. При каком наполнении п и при какой скорости v зем-
ляной канал трапецоидального сечения пропустит расход Q=40 мР/сек. Дано:.
6=10 м, m—1,5, i=0,0003, л=0,025.
Решение. Имеем задачу II типа. Задаваясь различными глубинами,,
вычисляем соответствующие расходы, сводя вычисления в следующую таб-
лицу (таил. 8—11).
Таблица 8—11.
Л <о X R С V
1 11,5 13,6 0,845 38,36 0,61 7,02
2 26,0 17,2 1,51 43,25 0,922 23,96-
3 43,5 20,8 2,09 46,00 1,15 60,1
2,66 37,2 19,6 1,90 45,20 1,08 40,1
Вычертив график Q=f(h), находим (фиг. 8—4) графически, что расход
<2=40,0 мР/сек соответствует глубине наполнения /г=2,66 м. Проверив, по-
формуле Шези, находим, что глубине /г=2,66 м действительно соответствует
расход Q=40,l мР/сек.
Пример 8—3. Определить размеры гидравлически наивыгоднейшегс
сечения земляного канала (и=0,025) трапецеидальной формы с заложением
откосов т=1,50, пропускающего при уклоне 7=0,002 расход Q=3,0 м3!сек.
Решение. Для гидравлически наивыгоднейшего сечения при /п=1Д,
И
«=ай2== (2]/1 +m2-m ) й2 = (2 V14-1,52 — 1,5) А2 =2,11 Л2.
Пользуясь этим соотношением, задаемся различными глубинами h и
вычисляем соответствующие им расходы (см. табл. 8—12).
С определяем по формуле Павловского (см. табл. 8—4).
254 Глава VIIL Равномерное движение воды в открытых руслах и каналах
Таблица 8—12
h . : — R СО с Q
0,75 0,375 1,19 31,30 0,86 1,025
1,00 0,50 2,Н 33,64 1,06 2,24
1,25 0>25 3,30 35,56 1 26 4,16
1,11 0,555 2,60 34,53 1,15 3,00
ди^/свн
Фиг. 8—4
Фиг. 8—5
Построив график Q=f(A) (фиг. 8—5), находим графически, что расходу
Q=3,0 мР/сек соответствует глубина Л=1,11 м. Проверив эту глубину, нахо-
дим, что Л=1,11 м действительно соответствует расход Q—3,0 мР/сек. Шири-
ну канала находим по соотношению
b п
5= Для /71=1,5 — =р—0,61
h
(см.
табл. 8—8), следовательно, 6=0,61А=0,61 - 1,11=0,68 м.
§ 8—4. РАСЧЕТ КАНАЛОВ
ПО СПОСОБУ ЕДИНИЧНЫХ РАСХОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Если в трапецеидальном сечении отношение — обозначить
ь
через I, то основные элементы сечения выразятся так:
о = (b + nth) h = Ь2 (1 + пг $) £; (8—22)
х =6+2Л УТ+/П2 = b (1 + 2 е j/1+m2 ) ; (8—23)
R = Л. = _2.2 . (8-24)
х 14-25 /1 + т2
$ 8—4. Расчет каналов по способу единичных характеристик
255
Для трапецеидального сечения (фиг. 8—1), имеющего ши-
рину по дну b — 1 м (так называемого «единичного» сечения)
= (1+ Ы) е; Xi = I + 2? У14-ОТ1 2 * * и /?! = —(1+znS) S .
1+2$ +та
Расходная характеристика такого единичного сечения =
=о)1С11/Г7?1 была В. Д. Журиным1 названа «единичной расход-
ной характеристикой». Понятие единичной расходной характе-
ристики позволяет определять глубины или ширины в каналах
без подбора2.
Если выразить С по упрощенной формуле Павловского
с =
п
то при п = 1 получим
И
Кг = = cd1 R№+y .
(8—25)
Тогда основные элементы трапецеидального сечения будут
о — со Ь2, R = и С — — Ry by.
п 1
Расходная характеристика при любой ширине сечения по
дну b может быть выражена как
К1==0)А^1/ R Rrb =-----
п f п r П
п
Величина
о)5/?9,5+у = (1 + mb) $
(!+«$) $
1+2$ V1 +«2
0,5+ у
(8—26)
Так как
;— 62>5+у к, j9’5
1~ ------;--’--
п
1 В. Д. Журин, Гидравлические расчеты с помощью расходных харак-
теристик, Госиздат, 1924.
2 А. М. Л а т ы ш е н к о в, Расчет каналов по методу единичных расход-
ных характеристик, «Труды гидравлической лаборатории института Водгео»,
сборник № 3, 1952.
256 Глава VIII. Равномерное движение воды в открытых руслах и каналах
то отсюда получаем простую формулу, связывающую Q, Къ
п и i:
nQ
£2,5+у х-0,5
(8-27)
Величина обычно очень мала, поэтому в практике рас-
четов удобнее иметь дело с обратной величиной
1 £2,5+ у ZO,5
С другой стороны:
1 _ 1 _ 1 Г1+26 У1 + т2
/<1 ~ ^R^-У “ (1+^) 6 L (1 + т 6) $
(8-28)
(8—29)
Такое же выражение для трапецоид ал ьного сечения при
у = 0,167 = const получил В. Г. Лобачев1 для введенной им
при расчете каналов методом безразмерных параметров функ-
ции Z(5) (см. § 8—6).
Из этого сопоставления видно, что Z (6) = -у- , и отсюда
виден физический смысл введенной проф. В. Г. Лобачевым функ-
ции Z(6).
Ниже, в табл. VI—VIII приложения, приведены вычислен-
ные А. М. Латышенковым значения — для разных т и 5 при
трех значениях: у = 0,167, yt— 0,20 и у = 0,25, соответствующих
различным значениям шероховатости.
Из этих таблиц видно, чго при указанном интервале изме-
1
нения показателя степени у величина — изменяется в преде-
лах ог 7 до 21%, что может заметно повлиять на результат оп-
ределения глубины h или ширины b канала, если пользоваться
формулой с постоянным значением показателя степени у =
= 0,167 или у = 0,2.
Пользуясь формулой (8—28) с показателем степени при Ьу
соответствующим заданной шероховатости канала п, и имея
таблицы или график значений — для разных значений m и $
можно легко решать задачи на определение глубин в каналах
трапецеидального и прямоугольного сечений при заданных Q,
I, bun.
1 В. Г. Лобачев, Обобщенный метод гидравлического расчета кана-
лов, Госстройиздат, 1939.
§ 8—4. Расчет каналов по способу единичных характеристик
257
В самом деле, величина — легко вычисляется по формуле
Ki
(8—28). С другой стороны, — = /(£) при заданном пг отвеча-
ет только одному, вполне определенному значению В, которое
находится по табл. VI—VIII.
Искомая глубина наполнения канала при этом h — Zb.
Если задается глубина h и требуется определить ширину
канала по дну 6, то решение задачи легко может быть прове-
дено при помощи таблиц (или графика) функции
4- = /(р),
о Ь 1
где р = — , а —
h
h — 1 м и п= 1,0.
— расходная характеристика
при глубине
/с' л2’5+у А5
Q = -------------
п
откуда
1 Л2’5+У X0’5
(8—30)
В табл. IX—XI приложения приведены значения — = f (Р)
при разных т, вычисленные по формуле
1 __ 1
₽ + т
р+2 V1 + т*
о,5+у
р + т
1
Вычислив по формуле (8—30) , из таблицы находим со-
ответствующее значение р и определяем ширину b—fih. Если
требуется определить размеры гидравлически наивыгоднейшего
сечения, то по т находят Р—₽г.н. По Р*и т в табл. IX—XI на-
ходят — = f (Р) и из уравнения (8—30) определяют/z и b = p/z.
Для иллюстрации описанного выше способа решения задач
типов III и IV (см. § 8—3) воспользуемся данными приведенных
выше примеров.
Пример 8—4. Даны: Q—40 м^сек, Ь=10 м, т=1,5, /==0,0003, п=0,025.
Требуется определить глубину наполнения трапецеидального канала.
17 Зак. 1593
258 Глава V1IL Равномерное движение воды, в открытых руслах и каналах
Решение. Так как п=0,025, то в сокращенной формуле Павловского
для С можно принять г/=0,2 (см. табл. 8—7).
Вычисляем
I b2'7 t0'5 102’7-0,0003°’5
К?= nQ = 0,025-40
1
— при у=
По табл
VII значений
имеем при пт— 1,5
— = 9,57; 6 = 0,25;
— = 6,86; 6 = 0,30.
Кт
В таблице на Д6 =0,05 приходится Д 2,71. У нас Д6 =0,016, ц
\А1 /
соответствующее ему Д I —) = 0,89.
\А1 /
1
Таким образом, при = 8,68 имеем 6= 0,266 м соответственно h= 6 b—
/\j
=0,266 • 10=2,66 м, что совпадает со значением, найденным непосредствен-
ным подбором (см. пример 8—2 в § 8—4).
Пример 8—5. Дано: <2=3,0 мР/сек, т=\,Ъ, и=0,025, /=0,02. Найти раз-
меры гидравлически наивыгоднейшего трапецеидального сечения.
6 1
Решение. При ш=1,5”~ =р =0,61. В табл. X при у——~ и щ=1,5,
h 5
применяя интерполяцию, находим для ₽=0,61 значение
1
— = 0 778.
/<;
Но
1 Л2’7 i°>6 /г2’7-0,002°’5
-т- = 0,778 =--------=-------------.
К, nQ 0,025-3
Отсюда находим логарифмированием Zz=l,103 м, 6=₽6=0,61 * 1,103=
=0,673 м.
При решении этой задачи подбором (§ 8—4) было найдено Л=1,11 м и
6=0,68 м. Разница в глубине ДЯ=0,007 м (т. е. менее 1 см) происходит
вследствие использования в таблицах ~~Г для С сокращенной формулы Пав-
ловского вместо полной.
1
Этот же пример можно было бы решать при помощи функции — =/ (6).
Ki
b
Действительно, при = 3 = 0,61
h 1 1
— = 6= — = —
b ₽ 0,61
. £ в—5. Безнапорное движение жидкости в трубах,
259
чему при т=1,5 для -А-соответствует—0,203
О /\ “I
Но
1 62,7
Ki nQ
откуда
nQ _ 0,203.0,025-3,0 = Q
^1‘0,5 К 0,002
Логарифмируя, находим 6—0,673 м и 7г=ё6—1,бТ • 0,673=1,103 м, т. е.
получаем те же самые цифры.
§ 8—5. БЕЗНАПОРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ
Безнапорное движение жидкости в трубах, -или, что то же,
движение в закрытых каналах -с неполным заполнением, обыч-
но встречается в канализационных «или водосточных системах.
Полное заполнение допускается обычно только в водосточ-
ных (ливневых) системах. Наиболее распространенными сече-
ниями канализационных каналов являются: круглое (фиг.
8—6); шатровое (фиг. 8—7), овоидальное (фиг. 8—8) и лотко-
вое (фиг. 8—9).
Гидравлический расчет канализационных сетей произво-
дится по тем же формулам, что и каналов. Коэффициент С бе-
рется по формуле Павловского
при п—от 0,011 до 0,025. Вви-
ду того что гидравлический ра-
диус для канализационных ка-
Фиг. 8—7. Шатровое сечение (I тип)
Фиг. 8—6. Круглое сечение канала
17*
260 Глава VIII. Равномерное движение воды в открытых руслах каналах
налов почти всегда меньше 1,0 м (/?<!,0 м), то значения пока-
зателя степени у в формуле Павловского можно брать по сле-
дующей сокращенной табл. 8—13.
Т абл ица 8—13
п 0,011 0,012 0,013 0,014 0,015 0,016 0,017 0,018 0,020 0,0225 0,025
У 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,23 0,25
Из формулы Шези
Q = cdC \/Ri = cd Ry х/ Ri
п г
получаем для гидравлического уклона выражение
• — n2Qi — п* Q2
~~ е2/?2^ ~~ <о2/?2У+1
При этом как о)> так и R являются функциями степени на-
полнения сечения. Обычно коэффициент шероховатости капа--
лизационных каналов принимают в среднем равным п = 0,014.
Тогда формула Шези приобретает вид
V = 71,4/?0’166-0’014|Л?? К i =К„У/Г 1 ; (8—3.1)
Q =71,4u,Z?0’IC6-°’014>//? К t = . (8—32)
§ 8—5. Безнапорное движение жидкости в трубах
261
По этим формулам составлены таблицы для расчета кана-
лизационных труб, опубликованные А. А. Лукиных1. В этих
таблицах приведены значения расходов и скоростей в круглых
h
трубах при различных степенях наполнения — и различных
уклонах I.
Фиг. 8—9. Лотковое сечение
Следует заметить, что теоретически наибольшая скорость
в трубе круглого сечения имеет место не при полном заполне-
нии трубы, а при относительном заполнении ее а = —d~ — 0,81
(<р = 257°). Объясняется это тем, что при наполнении верхней
части круглого сечения смоченный периметр у растет быстрее,
чем площадь <», и поэтому гидравлический радиус R начинает
при h > 0,81 d уменьшаться, давая вместе с тем и уменьшение
скорости v. График изменения средней скорости v в круглом
h
сечении в зависимости от степени наполнения — представлен
кривой (фиг. 8—10). Наибольшая скорость t?max=-
= 1,16 Vo, где vQ—скорость, соответствующая полному запол-
нению трубы.
Наибольший расход в трубе круглого сечения теоретически
имеет место при h = 0,95 d(<? = 308 ), при этом Qmax = 1,087 Qo,
где Qo — расход при полном заполнении.
На фиг. 8—10 дан график А = — в зависимости от степе-
Qo
h
ни наполнения сечения — .
а
I А. А. Лукиных и П. В. Бородин», Таблицы для расчета канализа*
ционных труб, Гос. научно-технич. издательство 1932.
262 Глава VIII. Равномерное движение воды в открытых руслах и каналах
Максимум скорости в шатровом, овоидальном и лотковом
сечениях теоретически получается примерно при том же напол-
нении. Однако испытания труб этих сечений в натуре не дают
явно выраженного максимума скорости и расхода при этих
теоретических значениях наполнения вследствие влияния зажа-
того вверху сечения трубы воздуха.
Фиг. 8—10. Графики функций А == f (а) и В = f (а) в круг-
лом сечении
Гидравлический расчет труб круглого, шатрового, овои-
дального и лоткового сечений при различных степенях их на-
полнения и различной шероховатости может быть проведен с
помощью разработанного В. Г. Лобачевым метода безразмер-
ных функций1.
В. Г. Лобачев предложил ввести в расчет следующие поня-
тия.
Функция площади сечения
= (8—33)
где — площадь живого сечения;
1 В. Г. Лобачев, Обобщенный метод гидравлического расчета каналов
различных форм и шероховатостей, Госстройиздат, 1939, а также А. М. Л а-
гышенков и В. Г. Лобачев, Гидравлика, Госстройиздат, 1945 § 64.
§ 8—5. Безнапорное движение жидкости в трубах
263
Ь — основной размер сечения (диаметр, радиус или ши-
рина по дну);
Е = ;—степень наполнения сечения (Н — полная высота).
Функция смоченного периметра
X © = -X . (8—341
' Функция формы сечения
Ф (?) = = 1L . (8—35)
F (5)
Если для расчета скорости равномерного движения по фор-
муле Шези v=C]/Ri принять С по формуле Павловского С =
— — Ry, то скорость может быть выражена как
п
1/со \0,5+у л 5
V =--- ---- I .
П \ X /
Если заменить — Ьг1? (Е) и у = ЬХ. (Е), то
I
1 :0,5 ,0,5+у Г F (Е)"
П |х (S).
откуда
'X (Е)1°‘5+у
F О.
/ 0,5 £0,5+у
nv
Если
теперь заменить и—
—-— , то
<0 b2F (Е)
х(е)]°’5+у __ А5 б°^+у W(£)
nQ
IF (6)
или
Х(6)°’5+у /0,562,5+у ,
--------- . Io--оО)
/7(Е)1’5+у
Если в формуле Павловского принять у =---=0,167, то формула
(8—36) примет вид
Х(Е)2/з W’67
F (Е)5/з nQ
возведя обе части в квадрат, получим
<LLL_ =Л(Е),
р (£)10/г П2 Q2
где Л (В) = Z2 (В).
Физический смысл функции Z (В ) был
§ 8—4.
(8—37)
(8—38)
освещен выше, в
264 Глава VH1. Равномерное движение воды в открытых руслах и каналах
С помощью последней формулы, имея готовые табл. XII—
XIV (в приложении) значений функций Х(£), F(%) и Л($), вы-
численные для заданной формы поперечного сечения, можно*легко
Фиг. 8-11. График поправочного коэффициента а для круг-
лого сечения
решать задачи на определение нормальной глубины в сечении и
скорости движения при заданных Q, л, i и Ь.
Действительно, зная Q, n, b и /, можно легко высчитать
Л(В), а по нему в табл. XII—XIV найти соответствующее зна-
чение В = — и нормальную глубину наполнения А— В Я, а
Н
также b2F(£) и •
Если при заданном значении шероховатости показателе
степени в формуле Павловского то
§ 8—5. Безнапорное движение жидкости в трубах
265
Х(6)‘/з ГХ (5)']2(у_‘/|>)
где а
лш,
_ 'ЛфТу-Чо
значению
— поправочный коэффициент к
а2,
в
1^(0
Фиг. 8—12. График поправочного коэффициента а для
шатрового сечения
Поправочный коэффициент а можно брать по графику на
фиг. 8—11 для круглого и фиг. 8—12 для шатрового сечений.
Метод безразмерных функций особенно удобен для расчета
сложных сечений — круглого, шатрового, овоидального и лот-
кового. Ниже приведены примеры решения задач на расчет
круглого, шатрового и овоидального сечений.
Пример 8—6. Дано: Q— 1,0 м^)сек, i = 0,001, п~ 0,014, d — 1,2 м. Оп-
ределить нормальную глубину и скорость течения в круглом сечении.
Решение. Для круглого сечения основной размер b = d.
266 Глава V111. Равномерное движение воды в открытых руслах и каналах
Определяем
rd5,33 0,001.1 25’33
Л ® = 13-48’
n2Q2 0,0142-12
По табл. XII 6=0,724 или h = 6d = 0,724 • 1.2 = 0,87 м. Площадь се-
чения o)=62F(6). При 6 = 0,724 F(6) =0,609, ш = 1,22 -0,609 = 0,877 м*
Q 1,0
и== — = ———- = 1,14 м/сек.
<о 0,877
Пример 8—7. Требуется определить необходимые размеры лотка шат-
рового сечения, который при наполнении = 0,9, уклоне i = 0,0003 и коэф-
фициенте шероховатости л = 0,015 пропустил бы расход Q = 3,6 мР/сек, а
также скорость течения в нем.
///5,33
Решение. По формуле (8—38) д(6) = —
п2 Q2’
откуда
^5,зз_Л (6) /га Q\
при -^-=0,9; по табл. XIII д(6)=9,65, тогда
5,зз 9,65-0,0152-3,6а 0,0282
“* 0,0003 0,0003
•откуда находим
5,зз__
d= |/ 94 = 2,35 л»;
/-'(?) = 0,746; <n = d2F(?) = 2,352-0,746 = 4,l мг;
Q 3,6
v = — = — = 0,88 м'сек.
<О 4.1 ’
Пример 8—8 Определить нормальную глубину и скорость в лотке ово-
идального сечения, пропускающего расход Q •= 2,2 м3!сек при уклоне i —
= 0,0005 й шероховатости п = 0,015; г =1,0 м.
Решение. Табл. XIV для овоидального сечения построена для основ-
ного размера 6 = г. Поэтому
,>5,зз
л (?) = —
v ' п2 Qe
h = W = 0,526-Зг = 1,578 м;
^^ = 0,458; ? = 0,526;
0,0152«2,22 ’ ’ ’ ’
F (6) = 2,191;
______Q 2 2
u>=sr2F(6)= 12-2,191 =2,191 л2, у = — = “7-= 1,00 м/сек.
о) 2,19
Если коэффициент шероховатости п отличается от п ~ 0,014-^0,015, то
показатель степени у Д- , и в формулу (8—38) надо вводить поправку а2—
6
см. (8—39); величина а берется из фиг. 8—11 и 8—12.
ГЛАВА IX
НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ В ОТКРЫТЫХ РУСЛАХ
И КАНАЛАХ ЗАМКНУТОГО СЕЧЕНИЯ
§ 9—1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Общее определение неравномерного движения жидкости
было дано в § 3—2. Из этого определения следует, что движе-
ние жидкости будет неравномерным в том случае, если по длине
потока изменяются его живое сечение и средняя скорость, или
если при постоянном живом сечении изменяются величины * и
распределение скоростей по сечению, или одновременно изме-
няется и то, и другое.
При неравномерном движении гидравлический уклон потока
(уклон линии энергии) /^пьезометрический уклон ip (уклон сво-
бодной поверхности /) и уклон дна потока i не равны между
собой (фиг. 9—1 и 9—2), т. е. ie4=-ip^i.
Примерами неравномерного движения воды в открытых
руслах является движение воды в реках с изменяющимся жи-
вым сечением: на расширениях и сужениях рек, на переходах
от мелких мест (перекатов) к глубоким (плесам), при преграж-
дении русел плотинами, перепадами, мостами и т. п.
При неравномерном движении в открытых руслах глуби-
на потока изменяется по его длине, и свободная поверхность
потока бывает криволинейной.
При неравномерном движении возможны два противополож-
ных явления:
а) подпор,, когда глубины по длине потока возрастают
(фиг. 9—1,а), а скорости течения по длине потока уменьшаются;
б) спад, который получается в каналах и реках перед
уступом или резким увеличением уклона (фиг. 9—1,6). При
спаде глубины по длине потока уменьшаются.
Кроме того, в открытых руслах иногда образуется гид-
равлический прыжок, т. е. резкий переход от малых
глубин с большими скоростями к большим глубинам (фиг. 9—22,а).
Гидравлический прыжок есть местное явление, при котором на-
рушается условие плавной изменяемости движения, и он рас-
сматривается отдельно.
268 Глава IX. Неравномерное движение в отдельных, руслах и каналах
призматическими руслами называют такие рус-
ла, у которых форма и площадь поперечного сечения по длине
потока не изменяются и зависят только от глубины потока; для
них 0)=/(/г), а = 0.
Примерами призматического русла могут служить канал
трапецеидального сечения с постоянной шириной дна и посто-
янным заложениехМ откосов или канализационный коллектор
постоянного сечения.
Фиг. 9- 1
Непризматическими руслами называют такие
русла, у которых форма поперечного сечения по длине потока
изменяется: примерами таких русел может служить канал с
Фиг. 9—2
расширяющимся дном или с переменным заложением откоса.
Площадь живого сечения в непризматическом русле может и
сохраняться по длине. Например, русло реки из мелкого и ши-
рокого может постепенно переходить в узкое глубокое, и если
дажеиьтгощадь живого сечения при этом не меняется, русло все
же будет непризматическим.
Как мы увидим далее, основное уравнение неравномерного
движения и способы построения кривых свободной поверхности
для призматических русел значительно упрощаются.
Естественные русла, строго говоря, являются непризмати-
ческими, однако в пределах отдельных участков с медленно из-
меняющейся по длине формой и площадью живых сечений
§ 9—2. Удельная энергия сечения. Критическая глубина
269
естественные русла можно приближенно считать призматиче-
скими. \
По уклону дна открытые русла разделяют на: а) русла с
прямым (положительным) уклоном дна *>0, у которых направ-
ление течения и падения дна совпадают (фиг. 9—2,а); б) русла
с горизонтальным дном i == 0 (фиг. 9—2,6); в) русла с обрат-
ным (отрицательным) уклоном дна, у которых направление те-
чения противоположно направлению падения дна и i < О
(фиг. 9—2,в).
Наиболее распространенным случаем, с котором мы в даль-
нейшем будем встречаться, являются русла с прямым уклоном
дна i> 0.
В теории неравномерного движения имеют большое значе-
ние понятия, рассматриваемые в следующем параграфе.
§ 9—2. УДЕЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ СЕЧЕНИЯ. КРИТИЧЕСКАЯ ГЛУБИНА
z 4- — + — = Е называется, как известно (§ 3—12),
7 2g
удельной энергией потока в данном живом сечении относительно
произвольной плоскости сравнения, от которой отсчитывается вы-
сота положения точек г. При плавно изменяющемся движении
пьезометрический напор z + — одинаков во всех точках живого
сечения и равен отметке свободной поверхности, где р = 0. Если
плоскость сравнения провести через наинизшую точку живого се-
чения (фиг. 9—3), то в____
z -|—— = rr(rffrfVj*1
и тогда удельная энергия будет __
2g
(9 -1)
Фиг. 9—3
Удельная энергия потока от-
носительно плоскости сравнения, проходящей через наиниз-
шую точку сечения, называется удельной энергией се-
чения.
Проследим изменение удельной энергии сечения Э с изме-
нением уклона дна русла i и постоянном расходе Q — const. С
уменьшением уклона i уменьшается скорость потока v и возра-
стает глубина h. Поэтому в выражении для Э при i ~>0
^0, ^->0и
270 Глава IX. Неравномерное движение в открытых руслах и каналах
график Э выражается при этом линией, приближающейся к пря-
мой, расположенной под углом 45° к оси абсцисс (рис. 9—4). При
больших значениях уклона i скорость v увеличивается, а глубина
потока h уменьшается. Поэтому в выражении энергии член h
будет стремиться к нулю а со, -—> оо и
2g*
со, т. е. кривая удель-
ной энергии сечения бу-
дет приближаться к оси
абсцисс. Таким образом,
обе ветви кривой удельной
энергии сечения уходят в
бесконечность.
Так как кривая идет
непрерывно и при конеч-
ных h значения Э также
конечны, то где-то удель-
ная энергия сечения бу-
дет иметь минимум
Та глубина потока, при
которой удельная энергия
Ол сечения имеет наименьшее
значение Э min, называет-
ся критической глу-
биной hK.
Если в выражении
удельной энергии Э заменить v через — , то
go)2
Для нахождения минимума величины Э необходимо ре-
шить уравнение
de) , аО2
-- = 1----. ----- — 0 ,
dh g<»3 а I
d(D
но — = В (фиг. 9—3), где В — ширина живого сечения поверху
dh
Следовательно, при минимуме Э имеем
илц
(9—2)
где индексы «к» показывают, что <ок и Вк— это площадь живого
сечения и ширина потока при критической глубине .
§ 9—2. Удельная энергия сечения. Критическая глубина
271
Последнее уравнение является основным для нахождения
критической глубины в сечении любой геометрической формы.
В зависимости от того, какая глубина больше, нормальная
или критическая, существенно меняется характер потока. При
h < hK поток называется бурным, а при h > hK — с п о-
к о й н ы м. На кривой удельной энергии сечения верхняя ветвь
соответствует спокойному состоянию потока, нижняя — бурному.
СПОСОБЫ НАХОЖДЕНИЯ КРИТИЧЕСКОЙ ГЛУБИНЫ h'K
1. Общие способы для сечений любых форм
Непосредственное решение основного уравнения (9—2)
относительно hK ввиду сложности функции w = затрудни-
тельно. Поэтому критическая глубина hK для сечения любой
геометрической формы находится подбором по формуле (9—2)
или графически путем построения кривой — =f(A); точка кри-
вой с абсциссой х== — имеет своей ординатой искомую
величину /гк (фиг. 9—5). Для построения кривой вы-
числяется табл. 9—1 по нижеприведенной форме:
Таблица 9—1
Если обе части основного уравнения (9—2) разделить на
2<о1 2, то получим
т. е. при критической глубине скоростной напор равен половине
средней глубины потока (определенной по ширине сечения по-
верху).
Поэтому, по предложению А. М. Латышенкова !, можно на-
ходить пк путем построения по трем точкам кривых — и
— — , точка пересечения которых дает искомую величину
hK (фиг. 9—6).
1 А. М. Л а ты шенков, Гидравлические расчеты, гл. 2 в «Справоч-
нике по гидротехнике». Институт Водгео, Госстройиздат, 1955
272 Г лава IX. Неравномерное движение в открытых руслах и каналах
Кривая Лср = практически (при небольших интервалах
изменения h) является почти прямой линией. Вычисления для
построения этих кривых рекомендуется сводить в таблицу по
следующей форме (табл. 9—2).
Фиг. 9—6. К определению
hK по способу А. М. Латы-
шенкова
Таблица 9—2
л (О В и е |о g р в
Этот способ пригоден для русел любой формы. Он точнее
первого, так как кривая — вблизи критической глуби-
ны очень круто растет и отыскание точки, точно соответствую-
щей hK проведением вертикальной секущей с х = — —затруд-
g
нителыю.
2. Трапецеидальное сечение
Для нахождения критической глубины hK втрапецои-
д а л ь н ы х сечениях можно пользоваться простым графическим
способом, предложенным П. Г. Киселевым1. Он заключается в
нахождении hK для единичного модельного сечения (с шириной
6=1 м), подобного заданному, по специальному графику
(фиг. 9—7), построенному при а — 1,1.
1 П. Г. Киселев, Справочник по гидравлическим расчетам Госэнерго-
издат, 1950.
£ 9—2. Удельная энергия сечения. Критическая глубина
273
Для
этого вычисляют расход модельного сечения
7м =
на графике находят /гк,м (для данного заложения от-
и затем находят критическую глубину Лк=Аюм^-
по нему
коса tri)
Приа= 1,0 величину qM находят по формуле*^м==------------у -
1.0562]/ ь
Фиг, 9—7.
К определению hK по способу П. Г.
Киселева
Для
дить по
денному
чины h
ходом
s. Круглое сечение
сечения критическую глубину
можно нахо-
круглого
предложенному А. М. Латышенковым графику, приве-
на фиг. 9—8. На этом графике приведена кривая вели-
ко для круглого сечения при
1 м и а ==1,0 с рав-
7 м
для определения критической глубины в сечении с диаметром
d снятая с графика величина hKtM умножается на d, т. е.
В основу этого способа положен закон динамиче-
ского подобия потоков.
При а = 1,1 расход модельного сечения определяется по
формуле
1,05(3
7м = -
d
в остальном решение остается тем же.
18 Зак. 1593
(9-6)
274 Глава IX. Неравномерное движение в открытых руслах и каналах
4. Лотковое, шатровое и овоидальное сечения
Для нахождения критических глубин в лотковом, шатровом
и овоидальных сечениях можно применять графический способ,
предложенный проф. А. А. Угинчусом1, основанный на том же
принципе «модельного» сечения. По этому способу относитель-
пая величина критической глубины
— =Ж),
г
где при а = 1,0 <7М = —т— , (9—7)
г2 |/ г
г — радиус кривизны сечения.
На фиг. 9—9 нанесены кривые ” — f I-----;"Lzzz~^ для трех
r V2!7 г ]
упомянутых типов сечений.
Для нахождения критической глубины в заданном сечении
___________________________________ Q
величина , снятая с графика для 9м —------—zz , помножается
г2 У г
на г.
При а = 1,1 расход модельного сечения вычисляется по фор-
муле
г2 г
1 А. А. У г и н ч у с, Определение критической глубины в ложковом,
шатровом и овоидальном сечениях, «Гидротехническое строительство» № 8,
$ 9—2. Удельная энергия сечения. Критическая глубина
275
’ Фиг. 9—9. График hK для лоткового, овоидального и шатрового сечений
5. Прямоугольное сечение
Для прямоугольной формы живого сечения о>к = bh^; под-
ставив это в основную формулу (9—2)
со3 aQ2
~В = Т’
получим
_ «Q2
g g
откуда
18*
(9-9)
276 Глава IX. Неравномерное движение в открытых руслах и каналах
Q *
где через q = обозначен удельный расход, т. е. расход через
единицу ширины сечения.
з
При о,= 1,1 в метровых мерах hK =>0,482Vq2\ при а=1
Лк = 0,467]/ q\
КРИТИЧЕСКИЙ уклон
Критическим называется такой уклон дна водотока,
при котором данный расход в условиях равномерного движения
проходит с критической глубиной. Иначе говоря, критическим
называется такой уклон, при котором нормальная глубина рав-
на критической •
Критический уклон, соответствующий заданному расходу,
всегда можно вычислить из формулы Шези, подставив в нее
о), h и С, соответствующие h = Лк, т. е.
Заменив /?к—— и qz „ согласно (9—2), для h = h
Х* п к..
получим
Хк
g Хк
аС2 ' Вк
а^К^к й)к
(9—10)
f
Для широкого прямоугольного сечения хк~ ВКУ и поэтому
для него
Прямоугольное русло считается широким при b > 10 h.
При критическом уклоне Ло^Лк> и согласно (9—3)
откуда
g^cp
g^cp
называют параметром кинетич-
ноет и потока или числом Ф р у д а и обозначают
Пк = Fr -
g^cp
(9—12)
§ 9—2. Удельная энергия сечения. Критическая глубина
277
Числовое значение Пк характеризует состояние потока.
Как видим, при критическом состоянии потока Пк= 1.
При уклоне i < iK глубина h0 > hKf и равномерный поток бу-
дет спокойным.
При уклоне i > iK глубина h0<hK, и поток будет бурным.
Спокойному состоянию потока на кривой удельной энер-
сш2 .
гии сечения соответствует верхняя ветвь, для нее — < яср и
^ср
Бурному состоянию соответствует нижняя ветвь кривой
удельной энергии сечения; для нее — > hcv и >1, т.е.Пк> 1.
ё ё^ср
Пример 9—1. Построить кривую удельной энергии сечения Э = f(А) и
найти критическую глубину для трапецеидального сечения при следующих
данных: Q — 35 м^/сек, 6 = 8,20 м, m = 1,5.
Решение. 1. Построение кривой Э — f(h). Задаемся h = 1,0 м.
Тогда
= (6 + mh) h = (8,20 + 1,5* 1)1,5 = 9,70 jh2;
Q 35
v = — = —- = о ,61 м/сек;
co 9,7
av2 1,1-3,612
---= -------1--= 0,73 M;
2g 2-9,81
ay2
Э = h + — = 1 -4- 0,73 = 1,73 M.
2-ё
Задаваясь другими значениями h (через 0,25 л<), вычисляем Э и сво-
дим результаты вычислений в табл. 9—3.
_______________________________________________________Т а б л и ц а 9—3
h в м (D В м~ v в Mi сек av'1 ~~ В М Э в м
0.5 4 47 7,83 3,434 3,934
0,75 7,0 5,0 1,4 2,15
1,0 9,7 3,61 0,73 1,73
1 25 12,6 2,78 0,432 1,682
1,5 15,68 2,233 0,279 1,779
2,0 22,4 1,562 . 0,187 2,137
2,5 29,9 1,17 0,077 2,517
3,0 38,1 0,92 0,047 3,047
4.0 56,8 0,616 0,021 4,021
По данным^ этой таблицы строим график
5 = f(/z). Минимум удельной энергии Э 1,68
глубине 6К~ 1,15 м (фиг. 9—4).
удельной энергии сечения
соответствует критической
2. Н а х о ж.д ение h к п о
v 3 С (Г- \
кривой —— = /(6).
В
Составляем табл. 9—4 для построения кривой ~~ — f (ti) .
В
278 Глава IX. Неравномерное движение в открытых руслах и каналах
Таблица 9—4
со3
— в м5
В
8,2
8,2
8,2
8,2
1,0
1,2
1,18
1,175
И,2
11,95
11,74
11,73
9,7
12,6
11,77
11,71
82,0
167,0
139,0
137,2
По кривой -—находим (фиг. 9—5), что абсциссе-- — 137,2 м5 со от-
в g
ветствуст /г к — 1,175 м.
Решение этим способом точнее предыдущего, так как здесь нужная точ-
ка берется засечкой, а не касательной.
3. Нахождение Лк способом А. М. Л атышенкова. Строим
кривые
av2
— = hLp = f (h);
ё
точка пересечения их также дает /г.кр— 1,175 м (фиг. 9—6). Вычисле-
ния сводим в табл. 9—5.
* Таблица 9—5
h в м со В М- В в м v в Mjceic (W2 — в м S ЬСр в м
1,0 3,7 11,20 3,61 1,46 0,866
1,25 12,0 11,95 2.78 0,867 1,083
1,175 11,71 11,73 2,99 1,000 1,000
§ 9—3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ зависимость расходных
ХАРАКТЕРИСТИК
В 1912 г. проф. Б. А. Бахметов установил, что между рас-
ходными характеристиками и К% и соответствующими им
глубинами и /г2 в каналах правильной формы сечения суще-
ствует зависимость
^L=/'A.Yr (9—13)
где
х = 2 ('g ~lg /<г) .
1g й, — 1g й2
называется гидравлическим показателем русла.
§ 9—3. Показательная зависимость расходных характеристик
279
Если на графике на оси ординат отложить 1g К, а на оси
абсцисс lg h, то гидравлический показатель русла на таком
логарифмическом графике выразится как 2tgO, где 0 — угол
наклона линии 1g К к вертикали (фиг. 9—10).
Если в выражении для К определять С по сокращенной
формуле акад. Павловского С = — Ry с постоянным значением
п
показателя степени # = const, то, как показал проведенный
проф. М. Д. Чертоусовым анализ общего выражения для х:
х == (3 + 2у) — . — (1 +2у)
со ah
h dy
у dh
можно прийти к следующим выводам.
1) Для широких прямоугольных
и параболических, узких прямоуголь-
ных и треугольных русел гидравли-
ческий показатель русла х не зави-
сит от глубины h и является для
данной формы русла постоянным.
2) Для прямоугольных русел
(кроме широких и узких), трапецеи-
дальных, параболических (исклю-
чая широкие) и для русел круговой
формы сечения гидравлический по-
казатель х зависит от глубины /?, и
показательная зависимость К от h
является приближенной.
Проф. Р. Р. Чугаевым были даны следующие формулы для
приближенного определения гидравлического показателя х.
Для трапецоидальной формы русла
х = (3 + 2у) (1 + —— (12у) —, (9—14)
\ р + ГЛ / р — m
где у—постоянный показатель степени в формуле для С= — Ry\
D Ь
р = —; m — заложение откосов;
h
пг' = 2|/" 14-лп2 •
Для прямоугольного русла m = 0 и т'^= 2, и формула
для х имеет вид:
х = (3 + 2у)-(1 + 2у) Д-.
₽+2
(9-15)
280 Глава IX. Неравномерное движение в открытых руслах и каналах
Для широкого прямоугольного русла р -> со их =3 + 2 у.
Для очень узкого прямоугольного русла 0 и х == 2.
Для треугольных русел р = 0 и для них х = 5 + 2у.
Для широкого параболического русла х = 4 + 2у.
Гидравлический показатель русла имеет большое примене-
ние при решении задач на построение кривых свободной поверх-
ности при неравномерном движении потоков.
Пример 9—2. Дано b — 10 м, т — 1,5, i = 0,0003, п — 0,025. Канал тра-
пецеидальной формы. Найти гидравлический показатель русла при опреде-
лении С по сокращенной формуле Н. Н. Павловского
с= — /+2.
п
Решение. Воспользовавшись данными примера, получаем (см. табл.
9—6):
Таблица 9—6
h в м со в м- у в м R в м с К в лСЧсек
2 26,0 17,2 1,51 43,25 1 383
3 43,5 20,8 2,09 46,0 2 894
По формуле (9—13)
2 (1g К! -lgK2) _2 1g 2 894 — lg 1 383 3,4615 — 3,1415
lg/ц —lgft2 “ lg3 — lg2 0,4771 -—0,3010
Эту же задачу можно решить по приближенной формуле Р. Р. Чугаева
(9-14)
х2 = (3-2-0,2) (1+ ++ - (1 +2-0,2) (-3,-+ = 3,59 ;
\ 5—1,5/ \5+3,6/
(1 5 \ / 3 60 \
1+~т+-----7 —(1+2’0,2) (------- ) —3 73;
3,33+1,5/ v ' 7 \3,33+3,60/ ’
х2-^х3 3,59+3,73
х = ‘ 3 = —---— = 3,66.
2 2
§ 9—4. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ НЕРАВНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ
Если по длине установившегося плавно изменяющегося по-
тока выделить два поперечных сечения 1—1 и 2—2 (фиг. 9—11)
на расстоянии ds и соответственно обозначить координату точки
А на поверхности в сечении 1—1 через z (относительно оси
сравнения 0—0) и среднюю скорость в нем через v, то в сече-
нии 2—2 координата точки В будет z + dz, а скорость v + dv
(очевидно, что для рассматриваемого случая dz и dv будут от-
рицательны) .
§ 9—4. Основное уравнение неравномерного движения
281
Составим для сечений 1—1 и 2—2 уравнение Бернулли:
г + Jis. + _ г + Лг + j + + .
7 2g 7 2g
Раскроем член
v2 2vdv
2? '
(dv)2 v g,
членом —- , как очень малой величиной, можем пренебречь;
a 2vdv
и, обозначив
получим
после приведения подобных членов-
— dz = dh^ + dhw
или, разделив на ds, получим
dz dhv । dhw
ds ds ds
но-----есть уклон свободной поверхности I (пьезометрический
ds
уклон — ip. Знак минус показывает, что при понижении свобод-
ной поверхности {dz < 0) уклон будет положительным I > 0;
dhw — потеря напора на участке ds, которая в данном слу-
чае есть лишь потеря по длине на трение;
dihrnj
—- — есть потеря на трение, приходящаяся на единицу
cts
длины потока, называемая уклоном трения^.
.282 Глава IX. Неравномерное движение в открытых руслах и каналах
Вспоминая формулу Шези для равномерного движения
^ = С]/7?2у и зависимость для расходной характеристики
можем написать
. _ v2 __ Q2
f~c^R ~ 77 ‘
Тогда наше уравнение примет вид
/ V2 \
d—
т W / . v2
I ~ а —------1----.
ds C2R
(9—16)
Следует отметить, что в данном случае v, С и R по длине
потока переменны, и использование формулы Шези для неравно-
мерного движения возможно лишь для участка длиной ds.
Полученное уравнение носит название основного уравнения
неравномерного движения для русел любой формы.
Если скорость и расход Q выразить через расходную ха-
рактеристику, то уравнение (9—16) примет вид
d / Q2 \ Q2
ds \ 2g W2 / 7(2
(9-17)
Представим и К в виде функций глубины h и длины s и
преобразуем полученное основное уравнение.
Из схемы продольного профиля потока при неравномерном
движении на фиг. 9—12 видно, что для произвольно выбранно-
го^сечения 2—2, отстоящего на расстоянии s от начального се-
чения 1—/, можно написать зависимость
z = h -р (а — is),
где h — глубина потока в сечении 2—2;
i — уклон дна;
а — координата дна в сечении 1—1.
Продифференцировав последнее выражение по s и изменив
знаки на обратные, получим
dz . dh
= I ,
ds-----------ds
dz
но — — = I — есть уклон свободной поверхности потока
ds
(пьезометрический уклон io ) в данном сечении; следовательно,
между уклоном свободной поверхности /, уклоном дна i и из-
менением глубины существует зависимость
(9—18)
ds
§ 9—4. Основное уравнение неравномерного движения
283
Сравнив левые части уравнений (9—17) и (9—18), видим,
что мы имеем право приравнять и правые части. Поэтому
Проведем дифференцирование в правой части уравнения,
предполагая русло непр'изматическим; тогда s);
d
ds
Q2 /ды
g^3 \ ds
Q2 / ды
gwz \ ds
dh \
ds
T)
где В = -----ширина живого сечения поверху.
dh
Тогда
dh aQ2 (du> . Ddh\ . Q2
Z - -- =-------I----H LJ — ) 4--.
ds ( ds ds / K2
Отсюда
Q2 / aC2R d<»\
i — 1—--------.
dh_ _ A'2 \ ga ds / ,g_, yx
ds aQ2 В ' '
1— — • --
g “3
Для призматических русел, у которых — == 0 (так как
ds
площадь живого сечения меняется лишь при изменении глубин),
основное дифференциальное уравнение значительно упрощается:
dh _ 1 К2
ds ~ aQ2 В
1-— • —
g "3
(9—20)
284 Глава IX. Неравномерное движение в открытых руслах и каналах
§ 9—5. ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
> В ПРИЗМАТИЧЕСКОМ РУСЛЕ
и знаменателе уравнения (9—20)
Проведем в числителе
некоторые преобразования:
так как
ср •
Тогда основное уравнение примет вид
dh . ~ К2 . “К2
-- = i-------- = t -----.
dS av2 1—IIK
(9—21)
Вспомним, что (см. § 9—2) для бурного потока Пк>1, а
для спокойного Пк< 1, при критическом состоянии потока с
Л = йк параметр кинетичности Пк= 1. В последнем случае зна-
dh
менатель уравнения (10—6) превращается в 0, а —' = со. Это
ds
говорит о том, что при критической глубине касательная к кри-
вой свободной поверхности потока вертикальна, и в потоке об-
разуется или так называемый гидравлический прыжок,
о котором будет более подробна рассказано ниже (§ 9—10), или
резкое уменьшение глубины (водопад).
Проведем анализ возможных форм свободной поверхности
для Наиболее часто встречающегося в практике случая — водо-
тока с прямым уклоном дна (/>0).
Здесь могут встретиться три основных случая:
И i < iK, и нормальная глубина потока hQ больше критиче-
ской /L.
Il\z>zK, и нормальная глубина меньше критической.
lit i — и нормальная глубина равна критической.
I случай. ho>hK(i<iK) (фиг. 9—13). При равномерном
движении поток находится в спокойном состоянии. При
неравномерном движении здесь возможны три зоны: а — глуби-
на h> b — глубина h^> h> hK и с — глубина h<hK.
Зона а. Так как глубина потока h больше нормальной
h> he, то и К> Къ и, следовательно, в уравнении (9—21) чис-
литель положителен. Так как Пк< 1, то знаменатель также по-
ложителен и — > 0. Но кегда производная положительная
§ 9—5. Исследование форм свободной поверхности в призм, русле 285
функция возрастает, значит, в зоне а глубина потока возрастает
dh
вниз по течению. ПриЛ-^оо аПк-^0и — -> Z, т. е. каса-
ds
тельная к свободной поверхности образует с линией бытовых
глубин тот же угол, что и дно- потока образует с горизонтальной
линией. Следовательно, в нижней своей части кривая свободной
поверхности приближается к горизонтальной плоскости.
В этом случае имеем вогнутую кривую подпора типа ах
(фиг. 9—13), в практике это наиболее часто встречающийся
случай (фиг. 9—1,а). Следует заметить, что хотя в этом случае
глубины потока вниз по течению и нарастают, отметки поверх-
ности все же убывают.
3 о н а Ь. Глубина потока меньше нормальной, но больше кри-
тической: ho> h > hK. Так как h < й0, то К < Ко и — > 1 и
К
числитель уравнения (9—21) отрицателен. Так как Пк<1, то
dh
знаменатель положителен и — тоже отрицательна; это зна-
ds
чит, что глубина потока уменьшается по течению. При
Л->/г0 К-> Ко, числитель уравнения (9—21) обращается в нуль,
dh
и-----> 0, т. е. глубина становится постоянной и равной ho.
ds
В нижней части при /г->/гк Пк->1 и — ->—оо,т. е. нару-
ds
шается непрерывность свободной поверхности и она кончается
водопадом. Здесь мы имеем выпуклую кривую спада типа
bi (фиг. 9—13), которая устанавливается в каналах перед пе-
репадами и в равнинных реках перед водопадами, порогами и
т. п. (фиг. 9—1,6).
Зона с. Глубина потока h меньше критической, т. е.
h < Лк . Так как Л<Ло, то К < Ко, Щ>1, и числитель и знаме-
286 Глава IX. Неравномерное движение в открытых руслах и каналах
натель выражения (9—21) отрицательны; следовательно,.
dh п
— > 0, и глубина потока возрастает вниз по течению, т. е.
d s
dh
происходит подпор. При hK получаем Пк-> 1, т. е. ——> <х>,
и кривая свободной поверхности в нижней части заканчивается
прыжком. Здесь мы имеем вогнутую кривую подпора типа сг .
Этот тип кривой подпора встречается, например, при со-
пряжении сжатой струи ниже плотины с потоком в нижнем
Фиг. 9—14
бьефе и при истечении из-под щита в водоток с малым уклоном
дна (фиг. 11—6).
II случай (г>/к). Нормальная глубина меньше критиче-
ской: ho< hK. Поток при равномерном движении находится в
бурном состоянии.
Зона а. Глубина потока h больше критической: h> hK
(фиг. 9—14). Так каА/г> hQ, то и Пк< 1. Числитель и-
\ dh
знаменатель выражения (9—21) отрицательны и —>0, т. е.
\ ds
происходит подпор. \
\ dh
При Л->оо/С->со и ПУ—> 0, т. е. > z — кривая свободной
поверхности приближается к горизонтальной плоскости.
В верховой части кривой подпора, там, где глубина при-
ближается к критической, кривая подпора начинается прыж-
ком. Рассмотренная кривая является выпуклой кривой подпора
типа .
Такая кривая встречается, между прочим, перед плотинами
или мостами на водотоках больших уклонов (Z>fK) или при со-
пряжении двух участков канала с i > zK и i < iK.
Зона b. Глубина потока больше нормальной, но меньше
критической: hK> h> hQ. Так как h> h0, то К>/Со, числитель
§ 9—5. Исследование форм свободной поверхности в призм, русле 287’
уравнения (9—21) положителен Пк > 1 и знаменатель 1—Пкот-
рицателен; следовательно,^- < 0, т. е. глубина потока уменьшает-
ся вниз по течению. При /z->/z0 и -> 0, т. е. кривая
спада своей низовой ветвью приближается к линии нормальных
it
Кривая подлора сп1
^/(ридая подпора а/и
c=if<
Фиг. 9—15
глубин. Верховая же ветвь начинается водопадом, так как при
h-+hK----->— оо. Имеем вогнутую кривую спада типа Ьм
ds
(фиг. 9—14).
Зона с. Глубина потока h меньше нормальной: h < ho. Так
как Л < /г0, то /С < /Со, 1-< О, Пк > 1 и 1 — Пк < 0; следова-
dh ~
тельно, —> 0 и глубина потока вниз по течению возрастает, т. е.
ds
dh
имеем кривую подпора. При h -> Ао /С /Со и------> 0- Это зна-
ds
чит, что глубина становится постоянной, и в своей нижней ча-
сти кривая приближается к линии нормальных глубин. Имеем
выпуклую кривую подпора , которая встречается при истече-
нии из-под щита в водоток с большим уклоном дна i > i к или
при уменьшении уклона дна, когда он остается больше крити-
ческого (фиг. 11—9,6).
III случай. Русло имеет критический уклон: z = zK. В этом
случае нормальная глубина равна критической й0 = hK и воз-
можны только две зоны а и с (фиг. 9—15).
К
Зона а. Глубина потока h>hQ, числитель 1 —
л
dh ~ х
и так как ик<1, то—>0 — глубина потока возрастает вниз по
ds
течению; так как этот случай является промежуточным между
*288 Глава IX. Неравномерное движение в открытых руслах и каналах
первым и вторым, то и кривая подпора должна быть промежу-
точной между кривыми типа а\ и ап , т. е. ни выпуклой и ни
вогнутой, а прямой. Это можно доказать и аналитически. Таким
образом, получаем кривую подпора в виде горизонтальной пло-
скости (типа ащ) (фиг. 9—15).
Зона с. Глубина потока меньше нормальной: h < ho и в то
К
же время h<hK. В этом случае 1------~< 0 и 1 —Пк< 0, следо-
К
вателыю, — >0; по тем же соображениям, что и для зоны а,
ds
опять имеем кривую подпора типа сш в виде горизонтальной пря-
мой (фиг. 9—15).
Фиг. 9—16
Для русла с горизонтальным дном I = 0 или с обратным
уклоном i < 0, не приводя подробного 'анализа, укажем, что
гсривые свободной поверхности имеют два вида: выпуклая кри-
вая спада типа bo п Ь' и вогнутая кривая подпора типа с0 и
сг (фиг. 9—16,а и б). Эти случаи также иногда встречаются в
практике.
§ 9—6. ПОСТРОЕНИЕ КРИВЫХ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
В ПРИЗМАТИЧЕСКОМ РУСЛЕ ПРИ х>0
Способ относительных расходных характеристик
(Н. Н. Павловского)
Преобразуем
Числитель
уравнение (9—20) следующим образом.
где
Q2\= Ко Г
§ 9—6. Построение кривых свободной поверхности в призм, русле 289
Представим знаменатель в следующем виде:
1 _ JL _ 1 _ gZ/(o rc2R = ! __ ate2 в
g ш3 g ы-С2Кш К2 g х
о.гС2 В
где / = — —.
g X
Тогда
к"1 1—
dh Л2 ~ i К.2 = z . (9—22)
ds К2 Ло Л2
1 :
1 к2
Д
Отношение — = х акад. Н. Н. Павловский назвал относи-
Ко
тельной расходной характеристикой. При этой
замене уравнение (9—22) получает вид
dh . %2 - 1
— == t--------.
ds %2 — j
(9—23)
Приняв x за независимую переменную, получим
dh dh d'K
ds d'K ds
Величину
d'K
dh
Павловский заменил некоторым постоян-
ным средним значением ее в пределах рассматриваемого
участка, т. е.
d'K 7-2—Xi К2— Ki X /лл
— = ~—- — — ------------— ^a^const. (9 - 24)
dh h2-~hi H0(h2— AJ
где /?i и h<2 — глубины в сечениях 1—1 и 2—2\
К2
Х2 = —
Ко
Ki
и xi —------соответствующие значения относитель-
но
ных расходных характеристик.
Принятие а = const является допущением.
Тогда = ~~ • — и уравнение (9—23) может быть
представлено в виде
1 dv. . 'к2 — 1
--- . ----- =S I ------------ .
a ds 'к2 —- j
19 Зак. 1593
290 Глава IX. Неравномерное движение в открытых руслах и каналах
После разделения переменных получаем
б/х = ai ds-----------------------;
X2 - j
at ds =
x2 — 1
Приняв
X2 — 1
/
X2 — 1
du.
-л2— 1
at С2
S
В
где j, С, В и х — средние для рассматриваемого участка зна-
чения j, С, В и х, и обозначая длину участка $i — s2 = I, будем
иметь
2
ail = 4 — хх+ (1— J)
*1
После обозначения П (х) = — I-----:—h С независимо от то-
J х2 — 1
го, х > 1 или х <1, уравнение окончательно приобретает вид
ail = *2 — — (1 — J) [П (х2) — П (хг) ]. (9—26)
Решение Н. Н. Павловского получается очень простым, так
р dx
как I у2 “1 легко берется. '
При х > 1
/7(х) = 1,151 1g ^±1; (9-27)
х—1
При X < 1
Л(х) = 1,151 Ig^tl. -----X (9—28)
В табл. XV приведены значения /7(х) для х/^ 1.
При решении практических задач в случае/ подпора в
водотоках малого уклона можно принимать для величины а
среднее ее значение в пределах всей подпорной кривой.
В случае же кривой спада, особенно в наиболее крутой ее
части, а также в водотоках большого уклона (/>гк) для
большей точности следует разбить водоток на ряд участков и
применять уравнение (9—26) по участкам, находя для каждого
из них соответствующее среднее значение а.
Достоинством способа Н. Н. Павловского является то, что
для него требуется лишь одна таблица значений /7(х) неза-
висимо от формы русла.
§ 9—6. Построение кривых свободной поверхности в призм, русле 291
Типы задач на построение кривых подпора
(х >1) и спада (х< 1)
I тип задач. Даны расход Q, форма сечения, уклон t, ко-
эффициент шероховатости канала п и глубины h\ и h2 в сече-
ниях 1 и 2. Требуется определить расстояние I между сече-
ниями.
Вычисляют таблицу значений /?, V~R и /С, находят
нормальную глубину hQ и соответствующую ей расходную ха-
рактеристику /Со-
Далее, по значениям hx и h2 вычисляют В, С и j — сред-
ние для всего участка; вычисляют
// ________
а = ---------— и по уравнению (9—26) находят
АО (^2- ^1)
1 = ~(1 [П (*2) ~ п(Х1)] I •
II тип задач. Даны: расход Q, форма сечения, уклон Z, ше-
роховатость канала п и конечная глубина h2. Требуется по-
строить кривую подпора или спада.
Решение проводится аналогично задаче предыдущего типа,
но только задаются несколькими значениями глубин вычис-
ляют соответственные значения /Сь хх и П (xj), вычисляя I по
уравнению
I = - (1—7) П (хг)--Ь-7 п (9—29)
ai ai at
ИЛИ
I = 1^— Лхх + ВП (хг).
Вычисления сводят в таблицу по форме:
/11 /\1 К. %! = Ко П(ъ) лсл,) ДОМ 1
Конец кривой подпора принимают при значении хх = 1,01
или 1,005, кривой спада — при значении хх = 0,99 или 0,995.
III тип задач. Даны: расход Q, форма сечения, уклон i,
шероховатость канала п, конечная глубина /?.2 и расстояние I
до некоторого сечения, неизвестную глубину hi в котором и на-
до определить.
Вычисляя а и j по глубинам h2 и hi, приходят к уравне-
нию (9—29)
I — /х — ВП (xj ,
19*
292 Глава IX. Неравномерное движение в открытых руслах и каналах
из которого подбором находят По найденному значению \
определяют Ki и по кривой K = f(h) находят искомое значе-
ние h\.
Пример 9—3. Задан канал трапецеидального сечения с расходом Qo —
= 40 мР/сек и уклоном / = 0,0003, b — 10 ж, т=1,5, п = 0,025. Преграда
создает в канале глубину h = 4 м. Требуется построить кривую подпора.
Решение. Задаваясь глубинами h = 1,0; 2,0; 3,0; 3,5 и 4,0 м, вычисля-
ем последовательно расходные характеристики, сводя вычисления в
табл. 9—7.
Расходу Qo — 40 м^сек будет соответствовать расходная характеристика
Qo 40
KQ = — = —zzzzzr •= 2 320 мР/сек.
V i Но ,0003
Построив график К — f(h) или применив способ единичных расходных
характеристик (§ 8—5), находим нормальную глубину h0 = 2,66 м. Находим
критическую глубину по графику П. Г. Киселева (§ 9—2):
___0_
7м ,—
ь2У ь
40 40
----=7 = — = 0 127.
102И10 316
По кривой (фиг. 9—7) для m = 1,5, находим йкм =0,11 м, откуда
Лк = 6/г„= 10-0,11 = 1,1 м.
Так как h>h£>hK, будем иметь вогнутую кривую подпора типа ах
Таблица 9—7
/г в. м (О в м2 7. Е м R в м V R С К в мА, сек
1,0 И,5 13,6 0,845 0,92 38,37 406
2,0 26,0 17,2 1,51 1,23 43,25 1 383
3,0 43,5 20,8 2,09 1,447 46,0 2 894
3,5 53,4 22,7 2,36 1,54 47,08 3 880
4,0 64,0 24,4 2,62 1,62 48,07 4 985
2,66 37,2 19,6 1,90 1,38 45,2 2 320
2,68 37,6 19,6 1,91 1,383 45,24 2 352
Так как уклон канала i = 0,0003 меньше критического, то можно при-
нять для всего участка среднее значение
Ко — К. 4 985 — 2 320 L
а =--------------= -----------------= 0,857 ;
K0(/*2 —М 2 320(4 — 2,66)
находим
со = 50 jw2, у. = 22,02 м; В = 20 м9
R = — = 2,27 м и по табл. 8—4 С = 46,72 м/сек;
7
$ 9— 6. Построение кривых свободной поверхности в призм. русле * 293
Вычисляем
В _ 1,1-0,0003-46,722
9,81
20
22,02
0,067
1 — j - 1 — 0,067 = 0,933.
к*
Ко
4 985
2 320
= 2,148.
По табл. XV 77 (xj = 0,5057. По (9—29)
(2,148-0,933-0,508) х]
0,857-0,0003 0,857 - 0,0003
0,933 77 (%,)
0,857-0,0003
= 6 510 — 3 890 %! 4- 3 630 77 (ха).
Вычисления сводим в табл. 9—8. Последнее значение, соответствующее
концу кривей подпора, принимаем для глубины hi = 2,68 м. По данным
табл. 9—8 строим кривую подпора (фиг. 9—17).
Таблица 9—8
hl Ki %1 2 320 3 890 xj 3 630 П (%х) 1 в м
4,0 4 985 2,148 0,5057 8 350 1 840 0
3,5 3 880 1,672 0,6913 6 510 2 530 2 530
з,о 2 894 1,247 1,1045 4 850 4 010 5 670
2,68 2 352 1,013 2.531 3 945 9 150 11715
Пример 9—4. Имеем бетонный сбросной канал прямоугольного сечения
шириной b ~ 5 м, заканчивающийся вертикальным уступом. Даны.: -Q =
= 20 мР/сек, / = 0,001, п — 0,012. Требуется построить кривую свободной по-
верхности в канале.
294 Глава IX. Неравномерное движение в открытых, руслах и каналах
Решение. Так как на уступе установится критическая глубина Лк, то
выше в канале образуется кривая спада от бытовой глубины ho до глуби-
ны Лк-
Для нахождения бытовой глубины Ло строим график
Вычисления сводим в табл. 9—4 и по данным последней строим график
K = f(h) (фиг. 9—18) и находим по нему при Ко = 632 м?1сек нормальную
глубину Ао= 1,56 м. Проверка по формуле Шези показывает правильность
этой глубины. Находим критичес
ю
1.1-202 ,
= 1,214 м.
<-9,81
\ Таблица 9—9*
Таблица для построения графика К = f(h)
fl в м со в 7 в м R в м V R С в М]сек К в м*1сек
1,214 6.07 7,43 0,817 0,914 81 444
1,3 6.5 7,6 0,855 0,925 81,52 490
1,4 7,0 7,8 0,898 0,947 82,1 543
1^5 7,5 8,0 0,938 0,97 82,59 600
1,55 7,75 3,1 0,956 0,977 82,82 626
1,56 7,8 8,12 0,960 0,98 82,86 632
§ 9—6. Построение кривых свободной поверхности в призм, русле 295
Вычисляем
632 - 444
= 0,86;
о __ -------------
Ao (h2 — А,) 632 (1,56 — 1,214)
, At4-A2 1,56 4- 1,214 , „
Лс„ = ------- = ....... ..= 1,372 м;
2 2
й = Лср В = 1,372-5 = 6,86 л*2;
у. = В + 2 Л = 5 + 2-1,372 = 7,744 м:
= 0,885 ;
X
С = 81,9 (по табл. 8—4);
- aiC2 В 1 ,1.0,001-81,92-5
1 - / = 0,513.
Вычисляем
/<2
х2 = — = 0,702
'Ко
и остальные значения
/7 (х2) =0,8694 (находим интерполяцией в табл. XV).
По (9—29)
72 — (1— /) П (х2)
ai
— . 4-
ai
1 — / _
----. П (Xj) =
at
0,702—0,513.0,8694 х. 0,513
0,86-0,001 0,00086 0,00086 v
= 298- 1 162 хг 4 597 П (xj.
Вычисления расстояний I до сечений с различными глубинами произво-
дим в табл. 9—10.
♦
Таблица 9—10
Данные для построения кривой спада
в м в м31сек 77 (Х1) 1 162 Х1 597 И (*1) 1 в м
11,214 0,444 0,702 0,8694 815 518 0
Г7,з 490 0,775 1,0358 900 618 16
1,4 543 0,86 1,2933 998 772 72
1,5 600 0,95 1,8318 1 104 1094 288
1,55 626 0,99 2,6467 1 150 1580 728
:96 Глава IX. Неравномерное движение в открытых руслах и каналах
По вычисленным данным строим кривую спада (фиг. 9—19). При необ-
ходимости иметь более точную кривую следует всю кривую спада разбить
на 2—3 участка (с разностью глубин 0,15-4-0,20 ж), для каждого участка вы-
числить свое среднее значение а и, пользуясь им, строить кривую спада для
каждого участка.
Построение криВои спада
§ 9—7. ПОСТРОЕНИЕ КРИВЫХ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
В ПРИЗМАТИЧЕСКИХ РУСЛАХ ПО СПОСОБУ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ
ЗАВИСИМОСТИ (Б. А. БАХМЕТЕВА)
Основное дифференциальное уравнение
движения имеет вид
неравномерного
(9—22)
Выше (в § 8—8) мы отмечали, что
А2 __ 7 h \-f
Ao V Н /
А
где т] —------так называемая относительная глубина;
Ап
х — гидравлический показатель русла.
Заменив
Ао 1
— = — , получим
А 7]
dh . YTr — 1
— = I --——
ds rt' j
так как
' • >
то dh = h$d^ •
§ 9—7. Построение кривых свободной поверхности
297
Разделив переменные в полученном уравнении и написав его
в дифференциальной форме, получим
Ao V ~ 1
Интегрируя это уравнение отсечения/—1 до 2—2 (фиг. 9—12)
и предполагая, что j постоянно и равно его среднему на участ-
ке 1—2 значению j, получим
9-(s2 — sx) =т;2 — Tjj+O—J)
«о J — 1
Обозначив
— f ТГ’Ч = ? 01) •
J Т]А - 1
Получаем окончательно
у- =^2 — (1— j) — ?hi)] • (9—30)
Ao
Последнее уравнение и является основным уравнением
для решения задач на построение кривых свободной поверхно-
сти для призматических русел любой правильной формы.
Функции с? (tq) для различных значений гидравлического
показателя русла х от % = 2,0 до х = 5,5 были вычислены
акад. Н. И. Павловским и сведены в 10 таблиц, приводимых в
гидравлических справочниках и некоторых учебниках !.
Так как для = 1 ? (^)~ °°, то при решении задач на оп-
ределение полной длины кривой подпора считают ее конец при
h
значении —= у = 1,01, или более точно 1,005, а для кривой
Ao
спада v . = 0,99, или более точно vj = 0,995.
at С1 2
а
в_
X
где С, В и х — средние значения для рассматриваемого участ-
ка, вычисляемые при средней глубине h = --~^/z2 .
Следует отметить, что величина j ддя земляных русел с
большой шероховатостью и i < ZK при кривой подпора типа
очень мала, /->0, и в этом случае ею можно пренебречь. Следует
отметить, что этот способ, разработанный в 1912 г. в России, был
первым способом, годным для русел с любой формой попереч-
ного сечения. Ранее были лишь способы, годные для прямо-
угольных и параболических русел.
1 См., например, М. Д. Ч е р т о ус о в, , Специальный курс гидравлики,
Гссэнергоиздат, 1949. * '
298 Глава IX. Неравномерное движение в открытых руслах и каналах
Недостаток приведенного способа состоит в необходимости
вычислять гидравлический показатель русла и в пользовании
несколькими таблицами функций тогда как способ Пав-
ловского этого недостатка не имеет.
§ 9—8. ПОСТРОЕНИЕ КРИВЫХ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
В КАНАЛИЗАЦИОННЫХ ТРУБАХ ЗАМКНУТОГО СЕЧЕНИЯ
Построение кривых свободной поверхности при неравно-
мерном движении в канализационных трубах круглого шатро-
вого, овоидального и лоткового сечений по изложенным выше
в § 9—6 и 9—7 способам очень затруднено ввиду сложной
зависимости для ширины поверху В = f(h), площади сечения « —
— f (h) периметра / = f(h) и т. п.
Построение кривых свободной поверхности для этих сече-
ний можно производить по предложенному проф. В. Г. Лоба-
чевым уравнению неравномерного движения, выраженному в
безразмерных функциях (см. § 8—5). с
Основное уравнение неравномерного движения имеет вид и
tZA __ _ gQ2 в dh_ Q2
ds ds C2Ri£>2
(9-18)
Если в последнем уравнении величины <о, R и В заменить
их выражением через безразмерные функции (см. § 8—5)
<0 = ; X = 6Х ш R = и В = ЬВ®,
х (Q
h
где £ = — ; b — основной размер сечения, принимаемый рав-
Ь
ным d или г, и провести некоторые алгебраические преобразова-
ния, то уравнение (9—18) можно привести к виду
~]
ds — & (£кр)
~ А (6)
I А(£нор)
(9—31)
где 2 (£)— — функция критического состояния;
В (£) — функция ширины поверху;
F (£) — функция площади сечения (см. § 8—5);
§ 9—8. Построение кривых свободной поверхности
29€
а — коэффициент кинетической энергии;
А (В) = —----------функция наполнения (см. § 8—5);
F (6) 3
Л (^нор) — значение функции Л (В) при нормальном
наполнении канала —Loo — ;
нор ь
ib5'33
Л (£н0р) •= — .
\ нор.» 2 02
П Ч
Значения функций X (В), F(£), В(£), 2 (£) и А (£) для
круглого, шатрового и овоидального сечений при различных на-
полнениях В = — приведены в табл. XII—XIV.
Значения функции наполнения Л (В) высчитаны при показа-
теле степени в формуле Н. Н. Павловского для Су — Ve; при
ином показателе степени следует взятые из таблицы значения А (Ё)
умножать на поправочный коэффициент а2, значения которо-
го для круглого и шатрового сечений приведены на фиг. 8—11
и фиг. 8—12.
1 пО2
Если для сокращения обозначить - •— = е и ^33 ~ру
то уравнение (9—31) примет вид
ъ г1 — gQ(e)
ч Ь-рЛ©
(9—32}
С помощью последнего уравнения можно легко строить
кривые свободной поверхности при неравномерном движении в
каналах круглого, шатрового, овоидального и лоткового сечений.
Для каналов, имеющих сложный, редко применяемый про-
филь сечения, выражающийся сложным математическим урав-
нением, можно пользоваться графоаналитическим приемом
подсчета безразмерных функций.
Этот графоаналитический метод состоит в следующем:
1) вычерчивают в достаточно большом масштабе профиль
сечения;
2) разделяют профиль по высоте на части, деля высоту
профиля на 10 или 20 частей в зависимости от желаемой точ-
ности;
3) подсчитывают для различных наполнений, начиная с
минимального, смоченный периметр х > площадь и ширину по
урезу воды В;
4) полученные величины в зависимости от выбора основ-
300 Глава IX. Неравномерное движение в открытых руслах и каналах
кого размера (диаметра d, радиуса г или ширины по дну Ь)
делят на основной размер сечения Ь, получая
b ь
F — — для различных степеней наполнения <; = — ;
5) вычисляют функцию критического состояния
В®
и функцию наполнения
6) по уравнению (9—32) строят кривые свободной поверх-
ности.
Таким образом, метод безразмерных параметров позволя-
ет строить кривые свободной поверхности при неравномерном
движении для любой сложной формы поперечного сечения
потока при любом значении коэффициента шероховатости п.
Приводим пример построения кривой свободной поверхно-
сти в канале круглого сечения.
Пример 9—5. Имеется бетонный коллектор круглого сечения диамет-
ром d = 1,0 м с уклоном I — 0,001. Расход жидкости, идущей по каналу,
Q•= 0,7 м31сек, коэффициент шероховатости п — 0,014; канал в конце перет
входом в резервуар имеет перепад. Требуется построить кривую спада.
Решение. Так как в конце канала имеется перепад, то там устано-
вится критическая глубина. Определяем функцию критического состояния по-
тока по формуле
pb"'
c(W=--2
9,81 Л-
1,1-0,72
= 18,2.
По табл. XII для круглого сечения находим интерполяцией соответству-
ющее значение критического наполнени ёкр — 0,489.
Далее находим значение функции А(£), т. е. функцию нормального на-
полнения сечения
„ zrf5’33 0,001-1
Л © = = 10>417-
п2 Q“ 0,0142-0,72
Соответствующая ей степень наполнения с = 0,814.
Решение сводим в табл. 9—11.
В графу 1 вносятся величины £ с интервалом, примерно равными 0,04,
а в конце — для большей точности — 0,02.
Е графу 2 вносятся величины 2 (£), которые берутся из табл. XII,
’ f 1 • v ,/ Q(8)
в графу 3 вносятся величины е Q СЛ =———В графу 4 .вписываются вели-
/ (£кр)
•чины 1—е ‘S2 <(£); .в графу бдзносятся величины функции наполнения Д (6);
Таблица 9—И
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 - 12 13
t ч 2 (;) е a (£) 1-6- 2 (С) Л (£) Р А (£) 1— р л (Е) к *ср *ср д © As X As ^ср
0,49 17,90 0,984 0,0165 44,20 4,23 -3,23 0,06512 0,0921 0,00276 2,77 2,77 0,505
0,52 14,22 0,780 0,220 36,92 3,53 —2,53 0,0870 0,161 0,00644 6,44 9,21 0,54
0,56 10,71 0,597 0,403 28,32 2,72 -1,72 0,235 0,349 0,01396 13,96 23,17 0,58
0,60 8,23 0,450 0,550 22,82 2,19 —1,19 0,463 0,762 0,0305 30,4 53,63 0,62
0,64 5,70 0,311 0,689 17,23 1,65 —0,65 1,06 1,225 0,049 49,0 102,6 0,66'
0,68 5,07 0,278 0,722 15,87 1,52 -0,52 1,39 1,915 0,0766 76,6 179,2 0,70
0,72 4,05 0,221 0,779 13,66 1,31 —0,31 2,51 4,0 0,160 160,0 339,2 0,74
0.76 3,25 0,177 0,823 12,00 1,15 —0,15 5,50 7,4 0,154 154,0 493,2 0,77
0,78 2,92 0,160 0,840 11,35 1,09 —0,09 9,34 18, <6 0,3791 379,0 872,3 0,79
0,80 2,62 0,143 0,857 10,74 1,03 -0,030 28,6 64,28 0,643 640,9 1 515,2 0,805
0 81 2,48 0,136 0,864 10,51 1,01 —0,009 100,0
Построение кривых свободной поверхности
302 Гласа IX. Неравномерное движение в открытых руслах и каналах
А (8) А (8)
далее в графу 6 величины р А (8) = ~~~—г- = в графу 7 — величины
А (бнор) 10,41/
1-рА (8).
1-е 2(8) „
В графе 8 вычислены величины К=у--------А(8) графе 9 — средние ме-
жду двумя значениями величины /\ср. В графе 10 — величины произведения
Кер А (8). В графе 11 вычислены величины As = ~г~ КСрА(8). В графе 12
вписаны расстояния s от створа критической глубины, и в последней графе
выписаны средние значения наполнения 8.
По данным табл. 9—11 на фиг. 9—20 построена кривая спада.
§ 9—9. ПОСТРОЕНИЕ КРИВЫХ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
В ЕСТЕСТВЕННЫХ ВОДОТОКАХ ПУТЕМ НЕПОСРЕДСТВЕННОГО
СУММИРОВАНИЯ
В естественных водотоках русло не имеет правильной гео-
метрической формы сечения и, кроме того, оно не является
призматическим; поэтому изложенные выше способы построе-
ния кривых свободной поверхности к естественным водотокам
неприменимы; они неприменимы и к искусственным водотокам
в непризматических руслах.
Наиболее простым способом построения кривых свободной
поверхности в этом случае является способ непосредст-
венного суммирования (путем применения уравнения
Бернулли).
Для построения кривой свободной поверхности водоток
разбивают на ряд участков, исходя из соображений однообраз-
ности уклона свободной поверхности и шероховатости и плав-
ной изменяемости живого сечения. Если данных об уклонах
свободной поверхности по длине водотока нет, то разбивку на
§ 9—9. Построение кривых свободной поверхности
303
участки по длине делают лишь по данным о живых сечениях
водотока.
Выбор длины отдельных участков, измеряемой по геомет-
рической оси потока или по линии наибольших глубин, опреде-
ляется принятым способом разбивки водотока на участки. Па-
дение свободной поверхности по длине участка Аг принимается
обычно не более 0,5-^-0,75 м.
Если естественный водоток имеет притоки, то разбивку во-
дотока на отдельных участках делают с соблюдением условия
постоянства расхода на каждом участке.
Выше (§ 9—4) мы имели дифференциальное уравнение
неравномерного плавно изменяющегося движения в виде
— dz = dhv + dh
где dz — изменение на длине ds координаты свободной по-
верхности;
dhv — d
aVK
2g 2g /
и dhf — ifds=-^— ds.
f f C2R
В естественных водотоках, кроме потерь на трение по длине
потока dhf, следует еще учесть местные потери, возникающие
от сужений и расширений живого сечения — dhj
Поэтому
Так как водоток разбивают на участки 8s конечной дли-
ны, то, обозначив гн — zK =Д z, последнее уравнение получим в
виде
Az = (1 + Q Zhv + Zh
(9—33)
Последним уравнением обычно и пользуются для построе-
ния кривой свободной поверхности непризматических, в част-
ности, в естественных водотоках.
Остановимся подробнее на способах подсчета величин,
входящих в уравнение (9—33).
Изменение скоростного напора
где wK и <пн—площади конечного и начального сечения на
рассматриваемом участке (фиг. 9—21) длиной /.
304 Глава IX. Неравномерное движение в открытых руслах и каналах
Местные потери напора (от изменения живого се-
чения)
о hj = С ohv ;
при сужении участка ин < vK эти
ваются, и С = 0; при расширении
Окончательно получаем
потери ничтожны и не учитьь
участка (ун > ик) о/^<0, и
принимают С = 0,5.
Местные потери состав-
ляют весьма небольшую
часть общих потерь напора.
Главную часть составляют
потери напора на
трение по длине
• 1 v2l
<>п ± — 1/1 — — —
С? R
_ Q2 Q2l
Z? C2 R M2 ’
где <o, С и R— средние на
длине участка значения эле-
ментов;
К = GJ2 С2/?.
Az =Q2 Г— (1+0 (—----М+4-
2g 'L,2 <»2 №
* \ к н /
По этому уравнению и строят кривые свободной поверхности
в естественных водотоках.
Величину -- (1 + Q обозначают через
Известными обычно являются расход потока Q и отметка
уровня воды в начальном створе рассматриваемого участ-
ка, по которым требуется найти отметку уровня воды в ко-
нечном створе.
Построение кривых свободной поверхности обычно ведется
вверх по течению. Разделив входящие в уравнение величины
по начальному и конечному створам, будем иметь
(9—34)
J 9—10. Гидравлический прыжок
305
Левая часть уравнения бывает известна. Это уравнение
обычно решается подбором: задаются отметкой поверхности в
конечном створе zK, подсчитывают для нее <ок и всю правую
часть, после чего увеличивают zK, если правая часть получает-
ся меньше левой, и наоборот, пока уравнение (9—34) не об-
ратите я в тождество.
§ 9—10. ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ ПРЫЖОК
Гидравлический прыжок представляет собой рез-
кое увеличение глубины потока при переходе его из бурного со-
стояния с глубиной h' < hK в спокойное состояние с глубиной
h"Z>hK (фиг. 9—22,а). Такой переход происходит на сравни-
тельно небольшой длине и потому относится к местным явле:
ниям, при которых плавная изменяемость движения нару-
шается.
Глубина h' и h" до и после прыжка носят название взаим-
ных, или сопряженных, глубин, а их разность
h"—h'=a определяет собой высоту прыжка.
Гидравлический прыжок представляет собой весьма рас-
пространенное явление в гидротехнических сооружениях, и
поэтому им заинтересовались многие ученые.
Последние десятилетия у нас в связи с широко развернув-
шимся гидротехническим строительством многие советские
ученые (А. Н. Ахутин, М. 3. Абрамов, А. В. Грицук, А. Я. Ми-
лович, Ф. И. Пикалов, А. А. Угинчус и др.) занимались изуче-
нием гидравлического прыжка и внесли много нового в представ-
ление о нем. Проведенные ими наблюдения показали, что
в структуре гидравлического прыжка имеются две различные зоны
(фиг. 9—23): в нижней зоне прыжка наблюдается расширяю-
щийся кверху поток с поступательным движением, в верхней же
20 Зак. 1593
306 Глава IX. Неравномерное движение в открытых руслах и каналах
зоне наблюдается валец с большим насыщением воды возду-
хом, находящийся во вращательном движении, который, по
мнению одних ученых, имеет замкнутый в пределах вальца ха-
рактер, а по мнению других —1 присоединяется к основному
поступательному потоку, совер-
шая петлеобразное движение.
На фиг. 9—23 показаны
полученные из опытов эпюры
распределения скоростей по
вертикали в различных сече-
ниях по длине прыжка, из ко-
торых видно, что в зоне по-
верхностного вальца наблю-
даются отрицательные скоро-
сти. Установим количествен-
ные зависимости между эле-
ментами прыжка в призмати-
ческом русле.
Фиг. 9—23 Выделим в призматическом
русле объем ABCD (фиг. 9 —
22,а), ограниченный двумя се-
чениями 1—1 с глубиной h' и 2—2 — с глубиной h" и применим
к нему закон количества движения, приняв за ось проекций
линию дна. Сделаем при этом следующие допущения:
1) ввиду малого уклона дна водотока проекцией силы тя-
жести пренебрежем;
2) ввиду небольшой длины участка 1—2, на котором про-
исходит гидравлический прыжок, пренебрежем силой трения;
3) движение в сечениях 1—1 и 2—2 будем считать плавно
изменяющимся и распределение гидродинамического давления
в них — подчиняющимся гидростатическому закону;
4) коэффициенты а' отношения действительного количества
движения в сечении к количеству движения, вычисленному по
средней скорости в сечениях 1—1 и 2—2, б^дем -считать одина-
ковыми, т. е.
а' = а' = const.
А
Обозначим соответственно в сечениях 1—1 и 2—2 (фиг.
9—22,а):
04 и <п2 — площади живых сечений;
У\ и у2 — глубины погружения центров тяжести сечений;
Vi и v2 — средние скорости в сечениях.
Пусть за время dt сечение 1—1 переместится в положе-
ние 1'—1' (фиг. 9—22,а) сечение 2—2 — в положение 2'—2f и
объем ABCD — в положение abed.
§ 9—10. Гидравлический прыжок
307
Определим изменение количества движения объема ABCD
за время dt. Масса жидкости, втекшей за время dt через эле-
мент сечения d& в объем ABCD будет dm~pu du dt, а ее коли-
чество движения udm будет равно —- и2 du dt (где и — местная
скорость); количество движения жидкости, втекшей через все
живое сечение wi, будет (см. § 3—14).
— dt I и2 du =-^~ а'со v\dt,
g J g
где Vj — средняя скорость в сечении 1—1, а а' — коэффициент
количества движения.
Полученное выражение представляет собой проекцию коли-
чества движения втекшего объема АВаЬ на ось s—s.
Проекция количества движения массы жидкости, вытекшей
из объема ABCD через живое сечение за время dt (или
объема CDcd) на ось s—5 будет
— а о>9 v2dt,
g
где v2 — средняя скорость в сечении 2—2.
Следовательно, изменение проекции количества движения
объема ABCD за время dt будет
a' -i. (о) v2 — а) й) dt = (v2 — v^dt,
так как
сог vr = 0)2 v2 ~ Q.
Теперь подсчитаем сумму проекций импульсов всех сил,
действующих на объем ABCD за то же время dt.
Так как мы условились пренебречь силами трения, а реак-
ция стенок водотока нормальна к оси проекций, то сумма про-
екций импульсов сил сложится только из проекций импульсов
сил гидродинамического давления в сечениях 1—1 и 2—2 и бу-
дет равна
У1 — ^гУг) dt.
Приравняв изменение количества движения сумме проекций
импульсов сил и сократив на ^dt, получим
— (t»2 — Pj) = <•>! Ух — «2 У 2,
g
объединив члены по сечениям, получим
—Vi = 4- <^2 У2- (9~3о)
g^l g<»2
20*
308 Глава IX. Неравномерное движение в открытых руслах и каналах
Выражение (9—35) называется основным уравне-
нием гидравлического прыжка, а входящая в обе его части
однотипная функция 9 (А) = —— + спу называется п р ы ж к о-
вой функцией. Выведенное уравнение показывает, что для
взаимных глубиин h' и h" величины 0 (А) одинаковы, т. е.
0(А') == 0(А").
Числовое значение а! зависит от распределения скоростей
по сечению. В среднем обычно считают а' =1,05.
Найдем глубину, при которой прыжковая функция имеет
минимум. Для этого решим уравнение
fl?© ~ cZ© a' Q2
— =0; — = — —v
dh dh geo2
+4w-
dw>
dh
Выражение coy представляет собой статический момент пло-
щади живого сечения & относительно свободной поверхности
воды (фиг. 9—22,6).
При бесконечно малом приращении глубины dh имеем
d (<оу) = о) dh-\- du —
или, так как второй член есть бесконечно малая второго поряд-
ка, то d (coy) = со dh, а =со.
’ v Г dh
Так как — f=B, то
dh /
cZ© / a'Q2 D , Л a'Q2 В
— = ----------— в + со = со 1---------— • —
dh goy2 \ g со3
rf© d3
Сравнивая — с —(см. § 9—2), видим, что при равенстве
dh dh
коэффициентов а и а', оба выражения тождественны и следова-
тельно 0 (Л) имеет минимум при той же глубине, что и Э(А), т. е.
при критической глубине (фиг. 9—24).
График прыжковой функции позволяет находить вторую
взаимную глубину, когда одна из них цзвестна.
Для этого, проведя линию, параллельную оси абсцисс, че-
рез точку кривой 0(A), имеющую ординатой А', находим вторую
точку на кривой 0(A), ордината которой дает глубину А", со-
пряженную с А'. Разница А"—А' = а называется высотой прыжка.
Если обе глубины в потоке меньше или больше критической
глубины или одна из глубин равна критической, то прыжок не-
возможен и сопряжение происходит плавно.
§ 9—10. Гидравлический прыжок
309
Для русла прямоугольного сечения Q = qb, —
h
=bh и у = —, и уравнение прыжковой функции (9—35) полу-
чает вид
или
+— • (9-зб)
gh’ ' 2 gh' ' 2
Здесь ?=-Я —расход на единицу ширины русла (удель-
ный расход).
Из него легко вывести зависимость между сопряженными
глубинами в прямоугольном русле
g'g*/ 1___1_\ _ Л'2—/Г2
~g\ h" h’ 2
«ли
~g~' h'h" ~ 2
Отсюда для h' и h" получается симметричное квадратное урав-
иение
h" h'2 4- h"2 h'—2-^ = 0,
S
310 Глава IX. Неравномерное движение в открытых руслах и каналах
решая которое, находим
(9—37)
а' Q2 1
В этом выводе принято, что —— = пк , т. е. допущено приб-
ёг
лизительное равенство а' = а.
h'
Формула (9—38) после введения обозначения — = ч\к
Ак
h"
и — = 7]" может быть еще представлена в виде
Ак
< = °>5
(9-39)
По этому уравнению проф. И. И. Агроскиным составлена
табл. 9—11 значений т]к = /(tQk), пользуясь которой можно легко
определять сопряженные глубины в прямоугольных руслах.
Если русло имеет трапецоидальное сечение, то взаимные
глубины в нем можно найти или с помощью графика 9(A), или
по приближенным формулам, предложенным проф. А. Н. Рах-
мановым:
1 2
Y = 0,20; (9-40)
— = о,17 + 0,83т;', (9—41)
, h’ „ h"
где т; = — и т; = — .
Ак Ак
Длина гидравлического прыжка определяется
по эмпирическим формулам.
Акад. Н. Н. Павловский для определения длины прыжка
предложил “формулу
/п =2,5(0,9А" + я)- (9—42)
$ 9—10. Гидравлический прыжок
311
Таблица 9—11
Определение сопряженных глубин в прямоугольном русле
’Ik 4 ’’к ’Ik ft
0,01 14,141 0,26 2,652 0,51 1,747 0,76 1,284
0,02 9,990 0,27 2,592 0,52 1,723 0,77 1,272
0,03 8,149 0,28 2,538 0,53 1,700 0,78 1,259
0,04 7,051 0,29 2,488 0,54 1,677 0,79 1,245
0,05 6,470 0,30 2,445 0,55 1,654 0,80 1,230
0,06 7,744 0,31 2,381 0,56 1,630 0,81 1,218
0,07 5,310 0,32 2,336 0,57 1,610 0,82 1,205
0,08 4,961 0,33 2,300 0,58 1,589 0,83 1,192
0,09 4,669 0,34 2,271 0,59 1,567 0,84 1,189
0,10 4,422 0,35 2,218 0,60 1,548 0,85 1,167
0,11 4,165 0,36 2,184 0,61 1,533 0,86 1,154
0,12 4,023 0,37 2,147 0,62 1,513 0,87 1,142
0,13 3,860 0,38 2,112 0,63 1,481 0,88 1,130
0,14 3,710 0,39 2,078 0,64 1,477 0,89 1,119
0,15 3,477 0,40 2,045 0,65 1,459 0,90 1,110
0,16 3,464 0,41 2,013 0,66 1,439 0,91 1,096
0,17 3,350 0,42 1,982 0,67 1,424 0,92 1,084
0,18 3,254 0,43 1,954 0,68 1,409 0,93 1,073
0,19 3,141 0,44 1,945 0,69 1,390 0,94 1,063
0,20 3,064 0,45 1,895 0,70 1,372 0,95 1,052
0,21 2,983 0,46 1,870 0,71 1,360 0,96 1,042
0,22 2,904 0,47 1,838 0,72 1,345 0,97 1,031
0,23 2,833 0,48 1,820 0,73 1,330 0,98 1,020
0,24 2,770 0,49 1,790 0,74 1,315 0,99 1,010
0,25 2,706 0,50 1,765 0,75 1,300 1,00 1,000
Проф. М. Д. Чертоусов 1 на основе анализа эксперименталь-
ного материала для длины прыжка дает формулу
/п = 10,ЗЛ'(У1\ - 1)°’81 , (9-43)
где ПК1—параметр кинетичности для сечения с глубиной h'.
Проф. Д. И. Пикалов1 2 на основе опытных данных В. А. Шау-
мяна для определения длины прыжка рекомендует формулу
/п = 4А У 1 + 2ПК1 . (9-44)
В гидравлическом прыжке вследствие резкой перемены ре-
жима происходит довольно1 большая потеря энергии, обусловли-
ваемая структурой гидравлического прыжка.
Единого мнения о природе потерь энергии в прыжке нет.
Одни ученые (А. В. Грицук и А. Я. Милович) считают, что по-
теря энергии происходит на поднятие так называемого «доба-
1 М. Д. Чертоусов, Специальный курс гидравлики, Госэнергоиздат
1949.
2 И. И. Агроскин, Г. Т. Дмитриев и Ф. И. Пикалов,
Гидравлика, Госэнергоиздат, 1950.
312 Глава IX. Неравномерное движение в открытых руслах и каналах
вочного расхода», присоединяющегося к основному потоку из
поверхностного вальца. Другая группа считает, что энергия в
прыжке поглощается на поддержание циркуляционного замкну-
того течения в вальце и зависит от размеров вальца.
При горизонтальном дне (z=0) потерю энергии в гидрав-
лическом прыжке можно определить как разницу удельных
энергий сечения
Для прямоугольного сечения
• 9 =Jh' Л- aq2 \ — (h" 4__а0—\ — ^h" ~ h'^ — ——
п \ 2gA'2 / \ 2 J 4Л' h" 4/z' h" ’
где h"—h'=a — высота прыжка.
По опытным данным проф. А. Н. Ахутина 1 потери энергии
в гидравлическом прыжке могут достигать 64—67% от общей
энергии потока перед прыжком.
Прыжок-волна
Если 2Л', то переход потока из бурного состояния в
спокойное происходит с помощью ряда постепенно затухающих
волн (фиг. 9—25), после которых устанавливается глубина Л".
7,77/,77V > ' ’////// 7/7//7//у/^
Фиг. 9—25
Такой вид гидравлического прыжка называется прыжок-
волна; в нем отсутствует поверхностный валец.
Ф. И. Пикалов для определения высоты прыжка-волны в
прямоугольном русле дал следующую приближенную формулу:
a = h’ (Пк1— 1).
(9—45)
Длина прыжка-волны может быть определена по формуле
Г. Т. Дмитриева
/п.в = Ю,6а. (9-46)
Пример 9—5. Определить сопряженную глубину /г" и длину прыжка,
возникающего в прямоугольном русле с расходом Q — 18 мР/сек и шириной
b = 5 м, если перед прыжком глубина h' = 0,52 м.
1 А. Н. Ахутин. Специальный курс гидравлики, Госэнергоиздат, 1936.
§ 9—10. Гидравлический прыжок
313
Решение. Удельный расход в канале
Q 18
<7= __ = 3,6 м*;сек;
о 5
критическая глубина
По формуле (11—4)
0,52
= 2,11 м..
Решим задачу с помощью табл. 11—1:
0,52
1,13
= 0,46.
По табл. 11—1 находим
h"
,"= — = 1,87;
Лк
следовательно:
Л* = 1,13-1,87 = 2,11 м.
Длина прыжка по формуле (9—42)
/п = 2,5 (0,9 А" + а) = 2,5 [0,9-2,11 + (2,11 — 0,52)] = 8,72 м.
Пример 9—6. В трапецеидальном канале с размерами b = 3,5 м, т =
= 1,0 и Q= 10,0 мР/сек, глубиной перед прыжком Л'= 0,4 м требуется най-
ти вторую сопряженную глубину А".
Решение. Составляем таблицу с вычислением значений прыжковой?
функции 0 (А). Координаты у центра тяжести трапецоидального сечения вы-
числяем по формуле
А ЗА 4- 2/тгА
у = — * т-.—Г •
6 АН- тп
Найдем критическую глубину сечения Ак. Для критической глубины
gQ2 о3 qQ2 1,1-102
g ~ В' g 0,81
со8
Задаемся рядом глубин и вычисляем для них (табл. 9—12). Стро-
£>
(о3 aQ2
им кривую — = f(A), по которой находим, что ординате — ~g~~
соответствует абсцисса Ак=0,89 м\ включаем эту глубину в таблицу 0 (А)^
(см. табл. 9—13).
314 Глава IX. Неравномерное движение в открытых руслах и каналах
Таблица 9—12
К определению критической глубины
h в м а) В -М- В в м to 1 е & са
0,5 0,75 0,89 1,0 2,0 3,19 3,91 4,5 4,5 5,0 5,28 5,5 1,78 6,5 11,3 16.55
Таблица 9—13
Значения прыжковой функции 0 (h)
h в м (!) В Л2 у В JU aQ3 £•<0 <оу © (h)
2,0 1,75 1,5 1,25 1,0 0,89 0,75 0,5 0,25 11,0 9,2 7,5 5,95 4,5 3,81 3,19 2,0 0,94 0,88 0,78 0,675 0,57 0,463 0,415 0,352 0,24 0,122 1,02 1,22 1,50 1,89 2,50 2,88 3,52 5,62 11,94 9,67 7,17 5,06 3,39 2,08 1,62 1,12 0,48 о,н 10,69 8,39 6,56 5,28 4,58 4,50 4,64 6,10 12,05
По этим данным строим график 0(/г) (фиг. 9—26) и по нему находим,
что глубине Д'= 0,4 м соответствует вторая сопряженная глубина A/Z=l,64м.
Фиг. 9—25
§ 9~10. Гидравлический прыжок
315
Эту же задачу можно решить, пользуясь приближенной формулой
А. Н. Рахманова (9—41). Вычисляем
А'
0,40
0,89
0,45;
1
тогда — = 0,17 + 0,83 = 0,17 + 0,83*0,45 = 0,543
и
0,543 1,84>
откуда h" = = 0,89-1,84= 1,64 м.
Как видим, и график© (А) и срормула А. Н. Рахманова лают одинако-
вый результат.
водосливы
;§ 10—1. КЛАССИФИКАЦИЯ ВОДОСЛИВОВ
Водосливом называется та часть преграждающего по-
ток сооружения (плотины, порога), через которую происходит
перелив воды.
Фиг. 10—1. Типы водосливов
По типу стенки (порога) водосливы разделяются на:
а) водосливы с тонкой стенкой (фиг. 10—4,а);
б) вод б с д ивы практического профиля
(фиг. 10—1,6 и 10—8);
в) водосливы с широким' порогом (фиг. 10—1,в).
Водослив с тонкой стенкой представляет собой
стенку с заостренной кромкой, через которую (или через специ-
альный вырез в которой) происходит перелив воды.
§ 10—1. Классификация водосливов
317
Водослив практического профиля очерчен по
кривой или ломаной.
Водослив с широким порогом представляет со-
бой прямоугольный порог с длиной 'с 2,5 Н.
По типу сопряжения струне нижним бьефом водосли-
вы разделяются на:
г)
Фиг. 10—2. Типы порогов водослива в плане
а) незатопленные, в которых уровень нижнего
бьефа не влияет на расход и на условия перелива через
порог;
б) затопленные, в которых уровень нижнего бьефа вли-
яет на расход и условия перелива.
По условиям подхода потока к порску водосливы
разделяются на:
а) водосливы без бокового сжатия;
б) водосливы с боковым сжатием.
У первых ширина подходящего к водосливу потока В рав-
на ширине порога b (фиг. 10—2,я); у водосливов с боковым
сжатием ширина порога меньше ширины потока В, вследствие
чего переливающаяся через порог струя испытывает с боков
сжатие и имеет ширину Ьс меньше ширины порога b (фиг.
10—2,6).
По расположению порога в плане водосливы
разделяются на:
1) нормальные водосливы с углом 90° между порогом
и направлением потока (фиг. 10—2,а и 6);
2) косые водосливы с углом а <90э (фиг. 10—2,в);
3) боковые водосливы с углом а =0° (фиг. 10— г).
318
Глава X. Водосливы
§ 10—2. ВОДОСЛИВ С ТОНКОЙ СТЕНКОЙ
Водосливы с тонкой стенкой широко применяются для из-
мерения расхода воды в лабораториях, на оросительных кана-
лах, гидротехнических лотках и при гидрометрических работах
на малых водотоках. Кроме того, водослив с тонкой стенкой
встречается как элемент гидротехнических сооружений, напри-
мер при переливе воды через затворы, через водобойные стен-
ки и т. п.
Введем систему обозначений, которую будем применять ни-
же при рассмотрении водосливов со всеми типами порогов. Раз-
ность отметки уровня воды перед водосливом и отметки порога
называется геометрическим напором на водосливе и
обозначается Н; высота порога обозначается Р; глубина воды
ниже порога водослива (бытовая глубина в «нижнем бъефе») —
h или Яг, высота порога с нижнего бьефа — Р/ разность гори-
зонтов верхнего и нижнего бьефов (перепад) — z.
Прямоугольный незатопленный водослив
Водослив с тонкой стенкой прямоугольного очертания яв-
ляется наиболее употребительным для измерения расходов воды
на малых водотоках и гидротехнических лотках и дает ошибку
не более 1—2%. Форма струи на прямоугольном водосливе с
тонкой стенкой довольно подробно изучена рядом исследовате-
лей. На фиг. 10—Ъ,а показано очертание верхней и нижней по-
верхности струи, переливающейся через водослив, по опытным
данным Базена (1888 г.). Характерными моментами являются
спад поверхности по мере приближения к водосливу, практиче-
ски заметный на расстоянии около ЗЯ от порога, и сжатие струи
снизу после прохождения порога. На уровне гребня водослива
очертание верхней поверхности струи параллельно нижней аг
составляет угол 40°30' с горизонтом, причем толщина струи
составляет 0,435Я.
Распределение скоростей и давлений по высо-
те переливающейся струи, показанное на фиг. 10—3,6, подчи-
няется уравнению Бернулли. Действительно, например, на по-
верхности при понижении- струйки на 0,22Я, по Бернулли:
о = г 2g-0,22/7 = о,48 ,
что и наблюдается в натуре. На глубине 0,67Я пьезометрическая
высота увеличивается на 0,18Я, и скорость по уравнению Бер-
нулли
V =/2g (0,67 — 0,18) =0,7 / 2gtf ,
§ 10—2. Водослив с тонкой стенкой
319
и, наконец, на нижней поверхности
v = У2g • 0,89/7 = 0,94 V 2gH .
Расход через водослив с тонкой стенкой можно определить
как произведение площади живого сечения переливающейся
струи ш=е ЬН (где г—коэффициент сжатия струи) на среднюю-
скорость истечения, равную? V 2gH.
а)
Фиг. 10- 3
Вводя коэффициент т= s?, учитывающий сжатие струи и умень-
шение скорости, называемый коэффициентом расхода,
получаем для расхода формулу
Q = mbH~\f 2gH =mb ]/ 2 g
(10—1>
Значения коэффициента расхода прямоугольного водослива
с тонкой стенкой без бокового сжатия колеблются в пределах.
т^0,40 0,50.
Среднее значение его может быть получено из толщины
струи на уровне гребня водослива — 0,435// (фиг. 10—3,а).
Площадь сечения струи здесь w =0,43567/. Так как в этом месте
верхняя поверхность струи параллельна нижней, то сжатие
струи в этом сечении отсутствует и коэффициент сжатия е =1.
Приняв коэффициент скорости ?=0,97, получим для расхода
Q ==8?<о У 2gH = 0,97-0,4356/7]/2gH = 0,422 6 ]/2g” Н*1-,
т. е. коэффициент расхода получается равным т—0,422.
Коэффициент сжатия, а следовательно, и коэффициент рас-
хода т зависят от высоты порога Р и напора Н и при отсутст-
вии бокового сжатия может быть определен по формуле Базе-
на, учитывающей скорость подхода и0
т = 0,405 +
0,0027\
Н /
14-0,55
Я \2
Н + Р/
(10—2Ъ
320
Глава X. Водосливы
Для незатопленного прямоугольного водослива с тонкой
стенкой без бокового сжатия коэффициент расхода приближен-
но можно определять также по следующей простой формуле,
действительной для Р>0,5/7 и 27 >0,1 м:
т = 0,402 + 0,054 —.
Р
(10—3)
Для незатопленного водослива с тонкой стенкой, имеющего
подводящий канал прямоугольного сечения шириной В>Ь, ко-
эффициент расхода определяется по формуле
//Zq — 0,40э -ф
0,0027
Н
6 \2. Н2 '
В ) (Н + Р)2 _
(10-4)
При малых напорах (менее 5—7 см) на водосливе наблю-
дается «прилипание» струи, при котором струя, переливаюсь че-
рез вырез, не отрывается от стенки, а стекает непосредственно
по ее плоскости.
В этих условиях значения коэффициентов расхода, вычис-
ленных по формулам (10—2) и (10—3), оказывается недейст-
вительными, и в этом случае расход измерять водосливом нель-
зя. Это замечание относится и к описанным ниже водосливам с
треугольной и трапецеидальной формами выреза.
Если водослив без бокового сжатия установлен не в конце
лотка, то для надежной работы его в качестве водомера необ-
ходимо обеспечить свободный доступ воздуха под струю. В про-
тивном случае в замкнутом пространстве под струей образуется
разрежение; при этом струя притягивается к стенке, уровень под
ней поднимается, расход увеличивается. Подвод воздуха можно
осуществить через специальную трубку, вводимую через стенку
лотка или водослива или сверху через переливающуюся .струю.
При отсутствии доступа воздуха под струю'весь воздух ^з-под
нее может быть увлечен, и пространство под струей заполнится
водой. В этом случае струя называется подтопленной.
Затопленный водослив
Л
Если уровень нижнего бьефа в непосредственной близости
от водослива стоит выше порога, т. е. если h>P\, то уровень от-
водящего русла влияет на расход и водослив называется з а -
топленным (фиг. 10—4,а). Переливающаяся через водослив
струя подобно падающему телу развивает все большую ско-
рость, и при этом ее живое сечение уменьшается. Достигнув дна,
§ 10—2. Водослив с тонкой стенкой
321
струя оказывается значительно сжатой в вертикальной плоско-
сти, и глубина потока в нижнем бьефе (так называемая сжатая
глубина hc) оказывается меньше критической, а поток — бур-
ным. Известно, что переход потока в спокойное состояние осу-
ществляется гидравлическим прыжком. В зависимости от соот-
ношения между сжатой глубиной и бытовой глубиной отводя-
щего русла прыжок может быть отогнан от водослива (фиг.
Фиг. 10—4, Прямоугольный затопленный водослив
10—4,6) или придвинут к водосливу и затоплен (фиг. 10—4,а).
Если прыжок отгоняется от водослива, то даже при отметке
уровня нижнего бьефа выше порога водослива этот уровень на
расход не влияет, т. е. водослив остается незатопленным. Под-
робнее это явление рассматривается в следующей главе.
При прямоугольном сечении русла ниже водослива и шири-
не его, равной ширине водослива, водослив будет затоплен, ес-
ли относительный перепад
/ z \
где I— —критическое значение указанного перепада,
определяемое по нижеприведенной табл. 10—1 в зависимости
Н
от отношения— .
Л
При —> ( — ] ниже водослива будет бурный режим с так
Л. \ / кр
называемым «отогнанным прыжком» (см. § 11—1).
Таблица 10—1
Таблица значений критического перепада — I
\ /кр
н Pl 0 0,25 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5 1.75 2,0 2,25 2,5 2,75 3,0
/ 2 \ \ Р1 / кр 1.0 0,89 0,72 0,68 0,66 0,66 0,67 0,69 0,70 0,73 0,76 0,80 0,85
21 Зак. 1593
322
Глава X. Водосливы.
Расход через затопленный водослив определяется по фор-
муле
Q = mc3b V?g , (10-6)
где о3—коэффициент затопления;
с3 = 1,05
1 + 0,2
Pj
(Ю-7)
Треугольный водослив
Для измерения расходов на малых водотоках и в лаборато-
риях часто применяется водослив с треугольным отверстием с
углами при вершине чаще всего 9 =90° (водослив Томсона, фиг.
10—5,а), а иногда при 6 =45°, 60° и 120°.
Общая формула расхода треугольного водослива имеет вид
Фиг. 10 — 5
а — треугольный водослив;
б — трапецеидальный водослив;
в — пропорциональный водо-
слив
Q=-^y2gtg(1о-8)
1о 2
где р =0,6;
6—угол при вершине треугольника;
Н — напор на водосливе.
При угле 6 =90° для метровых мер
—= 1,4, и формула приобретает
15
вид
(10-9)
Более точное значение расхода дает
формула
<2=1,343 Н2'47. (10—10)
Трапецеидальный водослив
Для измерения расходов воды на
оросительных каналах часто применяют
водослив с трапецоидальным вырезом при
уклоне боковой стенки 1:0,25 (водослив
Чиполетти, фиг. 10—5,6). Этот водослив
обладает постоянным коэффициентом
расхода, не зависящим от напора Н (т =
= 0,42).
Расход в мР/сек через такой трапецеидальный водослив вы-
ражается формулой '
Q - 1,8б№,
(10-11)
§ 10—2. Водослив с тонкой стенкой
323
где Н — напор в м, или на единицу ширины водослива
9 =-% = 1,867/% (10—12)
ь
Надежные результаты треугольный и трапецоидальный во-
досливы дают при незначительной скорости подхода (не более
0,5 м/сек). Кроме того,
трапецоидальный водо-
слив должен быть широ-
ким:
Прямоугольный водослив
с наклонной тонкой
стенкой
Фиг. 10—6. Водослив с наклонной стен-
кой
Если стенка водо-
слива наклонна по тече-
нию потока (фиг. 10—
6,а), то нижняя поверх-
ность струи поднимается
меньше, коэффициент расхода увеличивается и в расчетах он
должен быть помножен на <?а— поправочный коэффициент, при-
веденный в табл. 10—2. При наклоне стенки против течения
(фиг. 10—6,6) коэффициент расхода уменьшается °а<1.
Таблица 10—2
Поправочные коэффициенты для водосливов в наклонных тонких стенках
Косые и боковые водосливы
Если вертикальная стенка водослива расположена в плане
под углом к направлению потока (фиг. 10—2,в), то водослив
называется косым. Коэффициент расхода косого водослива
без бокового сжатия и без стеснения при выходе, по данным
21*
324
Глава X. Водосливы
опытов, проведенных В. С. Истоминой 1 в институте Водгео, при
а <45° можно принимать таким же, как и для нормального во-
дослива.
Если угол а =0, то косой водослив превращается в так на-
зываемый боковой водослив (фиг. 10—2,г), устраивае-
мый для выпуска воды в боковые каналы.
^я>ажа_в_ Расход через такой водослив,
1 по Дакным С. С. Руднева1 2, мо-
жет быть определен по формуле
Т а. Q=mbVig (hcp-P)\ (10-13)
Т где Лср = -hl+^2-;
Фиг. 10—7 Боковой водослив
Р — высота порога водослива
hi и Л2— глубины в канале
в начале и в конце водослива;
над дном канала (фиг. 10—7).
Пропорциональный водослив
Формулы расхода для всех рассмотренных выше водосли-
вов содержат напор Н в степени 3 */2, 5/г и т. д. Есть форма водо-
слива, для которой расход может быть выражен простой форму-
лой:
(10—14)
т. е. расход пропорционален напору Н;
К — постоянный коэффициент.
Боковые стенки такого водослива должны быть очерчены
по гиперболической кривой (фиг. 10—5,в), удовлетворяющей
уравнению3
Ь У Н —-----% = const.
Пример 10—1. Определить напор на прямоугольном водосливе с тонкой
стенкой без бокового сжатия (фиг. 10—1, а) для пропуска расхода Q —
= 3,0 м?!сек при b = 3 ж, Р — 0,8 м, h = 0,6 м.
1 В. С. Истомина, Косые водосливы, Госэцергоиздат 1934.
2 С. С. Руднев, Боковые водосбросы, Госэнергоиздат 1941.
3Г. В. Железняков, Гидравлическое обоснование методов речной
гидрометрии, гл. VII, Издание Академии Наук СССР, 1950.
§ 10—3. Водослив практического профиля
325
Решение. Так как h<CP, то водослив незатопленный. Коэффициент
расхода неизвестен, так как напор Н не дан. Поэтому для приближенного
определения Н задаемся средним значением коэффициента расхода m — 0,43
с последующим его уточнением.
Q 3,0
—-------= ----—= 0,526;
lbV^g 0,43-3.4,43
3 ______
/7 = Уо,5262 » 0,65 м.
Теперь, ориентировочно зная Н, уточняем коэффициент расхода по фор-
муле (10—2):
/ 0,0027\ /
m= 0,405+ 1 +0,55
\ ’ 0,65 / \
0,653\
1,452/
0,454.
Пересчитываем напор Н при m = 0,454:
Н^ =
3,0
------------= 0,496,
0,454-3-4,43
откуда /7^0,63 м.
Вторично пересчитываем коэффициент расхода:
/ 0,0027\ / _ 0,632\
т== 0,405 + ' ’ 1 +0,55 —*— == 0,453;
\ ’ 0,63 Д ’ 1,432/
так как коэффициент т изменился всего на 0,001, то следующий пересчет на-
пора Н не требуется.
Пример 10—2. Определить, какой напор Н надо держать на пороге тре-
угольного водослива (фиг. 10—5,а) для пропуска через него расхода Q =
= 100 л/сек.
Решение. Расход треугольного водослива выражается формулой
(10—9):
Q = 1 ,4/А ; №/з = — = 0,1 °°- = 0,0714,
’ 1,4 1,4
откуда искомый напор
5
Я = У 0,07142 = 0,348 м.
§ 10—3. ВОДОСЛИВ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ
Водосливы так называемого практического профиля разли-
чаются по их очертанию в вертикальном разрезе, т. е. по форме
сливной поверхности и верхней части водослива, называемой
оголовком. Они имеют разнообразные формы: прямоугольные,
трапецеидальные, криволинейные и т. п. В современной практи-
ке плотиностроения наиболее широкое распространение получи-
326
Глава X. Водосливы
ли водосливы криволинейного очертания. В деревянных соору-
жениях водосливы получают полигональные профили. Формы
различных элементов гидросооружений, через которые постоян-
но или временно переливается вода, могут быть самые разнооб-
разные.
Фиг. 10—-8
а — водослив практической формы; б — то же, с прямолинейной
вставкой
Профиль бетонных водосливных плотин с напорной сторо-
ны обычно имеет вертикальную часть, а форма сливной поверх-
ности приближается к очертанию нижней поверхности струи,
падающей с гребня водослива с тонкой стенкой.
Это позволяет избежать образования на сливной поверхности
под струей вакуума, иногда вредно влияющего на прочность
плотины.
Вопрос о форме поперечного сечения водосливной плотины
не решают одни гидравлические соображения, так как профиль
плотины должен удовлетворять условиям прочаслсти и устойчи-
вости, определяемым методами строительной механики.
Водосливы практических профилей занимают по очертанию
промежуточное положение между водосливами с тонкой стенкой
и с широким порогом.
Очертание сливной поверхности, выполненное по кривой,
обеспечивающей для заданного напора Н плотное прилегание
переливающейся струи к сливной поверхности, называется без-
вакуумным профилем. Такие водосливы практического очерта-
ния с безвакуумным профилем построены в СССР в системе
сооружений крупнейших гидроузлов на Днепровской, Волхов-
ской и других гидроэлектростанциях.
На фиг. 10—8,а изображена форма оголовка безвакуумных
профилей с закругленным входом.
В табл. 10—3 приведены координаты Кригера — Офицеро-
ва для построения сливной поверхности водосливов. Координа-
§ 10—3. Водослив практического профиля
327
Координаты очертания безвакуумного профиля плотины (по Кригеру—Офицерову
сЗ
tr
S
ГТ
Ю
сз
ты даны для напора
Нр = 1 м. При других
р асчетных напор ах
следует все цифры,
приведенные в табли-
це, умножить на
При горизонте
нижнего бьефа ниже
гребня водослива по-
следний является не-
затопленным, и расход
через него определяет-
ся по формуле
Q=mnjIb V2g H*'a,
(10—15
где тпл — коэффици-
ент расхода водослива
в условиях плоской за-
дачи;
Ь — длина водослива;
2g
где Н—геометрический
напор;
у0 — скорость подхода.
Учет полноты напо-
ра. При напоре Я>ЯР
(где Нр — расчетный
напор), для которого
запроектирован водо-
слив, пропускная спо-
собность водослива из-
менится пропорцио-
/ И \3/>
нально отношению —
W’
а также в связи с из-
менением коэффициен-
та расхода, который
при этом будет mz =
= mmH, где mH — коэф,
фициент полноты напо-
ра.
328
Глава X. Водосливы
Для определения 'коэффициента полноты напора /?гн мож-
но пользоваться формулой Н. П. Розанова1
3 Г~н~
^н = « + (1— а)1/ , (10—16)
где а = 0,778—0,00175 • а°; а0 —угол наклона напорной грани
водослива к горизонту.
При а = 90° (преобладающий случай) формула имеет вид
та = 0,62 + 0,38 . (10-17)
Влияние горизонтальной вставки. Горизонтальная вставка
на гребне водослива уменьшает коэффициент расхода. По опы-
там проф. А. Р. Березинского, для водослива практического про-
филя с вертикальной напорной гранью и плавно очерченным вход-
ным ребром при — > 2
с
2,5 - —
тап = 0,36 + 0,1 -------— , (10—18)
„ с
где с — ширина гребня от вертикальной напорной грани до
низовой грани (фиг. 10—8,6).
Это уравнение действительно в пределах 0,3 < — < 2,5 при
н
р-> 2,5 тпл = 0,36 — const, как для широкого порога.
При -^-<0,3 при закругленном^ходном ребре истечение
следует рассматривать как через водослив с тонкой стенкой.
При длине водосливного фронта b <^В, где В — ширина
потока на подходе к водосливу, возникает боковое сжатие по-
тока, для учета которого в формулу (10—15) вводят коэффи-
циент К, учитывающий уменьшение коэффициента расхода
Ь Р
т = Ктпл. Коэффициент К зависит от отношения -—, —, типа
В н
входного ребра и формы устоев и приведен в табл. 10—9.
Таким образом, для водослива с боковым сжатием
Q =/</ппл &/2g НУ.
(10—19)
1 Н. П. Розанов, Формула для определения коэффициента полноты
напора водослива практического профиля, «Труды гидравлической лабора-
тории института Водгео», вып. 2, Госстройиздат, 1948.
§ 10—4 Водослив с широким порогом
329
При повышении горизонта нижнего бьефа выше порога во-
дослива практического профиля он может оказаться затоплен-
ным, и при этом пропускная способность его уменьшается. За-
топление водослива практического профиля определяется теми
же гидравлическими явлениями, что и водослива с тонкой стен-
кой. Поэтому для ориентировки можно пользоваться табл.
10—2.
Затопление учитывается введением в формулу (10—18)
коэффициента затопления <?3, зависящего от отношения — .
На фиг. 10—9 приведена кривая о3 для водослива практиче-
ского очертания по опытам А. С. Офицерова (/) 1936 г., кри-
вая II по опытам А. Р. Березинского 1947 г.1 и кривая III, ра-
нее применявшаяся для учета с3.
Практически затопление начинает сказываться при
> 0,30.
Ио
1 «Труды гидравлической лаборатории института Водгео,» Сборник № 2,
Госстройиздат, 1948.
330
Глава X. Водосливы
Для. затопленного водослива формула расхода имеет вид
_ .. О .
Qs-^з^пл V 2g (10—20)
§ 10—4. ВОДОСЛИВ С ШИРОКИМ ПОРОГОМ ;
Водосливом с широким порогом называется поперечная
стенка (порог) на дне потока, имеющая ширину с >2,5 Н, че-
рез которую происходит перелив воды (фиг. 10—10 и 10—-11).
Характерной особенностью водослива с широким порогом яв-
ляется наличие на нем плавно изменяющегося движения, близ-
кого к параллельноструйному. Водосливы с широким порогом
широко распространены в гидротехнической практике, являясь
основной частью деревянных плотин, разборчатых судоходных
плотин и т. д. Усовершенствованием методики гидравлического
расчета водосливов с широким порогом занимались многие со-
ветские гидравлики (М. Д. Чертоусов, А. И. Шварц, Д. И. Ку-
мин, Г. И. Сухомел, А. Р. Березинский и др.). *
Минимальная ширина порога таких водосливов, обеспечи-
вающая плавно изменяющееся движение на нем, с >2,5 Н. При
меньшей ширине порога такой водослив делается водосливом
практического очертания прямоугольной формы (фиг. 10—
11,а), а при с <0,67 Н переходит в водослив с тонкой стенкой.
При 2,5<—< 10 расход незатопленного водослива с широким
Н
порогом зависит только от очертания входной кромки, высоты
порога и бокового сжатия и не зависит от ширины порога; та- ‘
кой водослив обычно называется нормальным водосли-
вом с широким порогом (фиг. 10—10 и 10—11,6). При—>10
Н
в протекающем через водослив потоке начинают сильно сказы-
ваться силы трения о поверхность порога, на пороге возникает
прыжок-волна (фиг. 10—И,в) (см. § 9) с одной или несколь-
кими волнами.
§ 10—4. Водослив с широким порогом
331
При -jj- >20 на пороге устанавливается неравномерное
движение с кривой спада типа Ьо (см. § 9—5); пропускная
способность водослива уменьшается и он превращается в ко-
роткий канал.
Фиг. 10—11
Теория гидравлического расчета водослива с широким по-
рогом прошла ряд этапов. В 1845 г. французским гидравликом
Беланже был выдвинут постулат о том, что на водосливе уста-
навливается глубина, соответствующая максимальному расходу
Стах, который при данном напоре может пройти через порог.
Применив к потоку реальной жидкости на пороге уравнение
Бернулли (при а = 1) для сечения 1—1 перед порогом и сече-
ния 2—2 на пороге с глубиной h (фиг. 10—10) и приняв за
плоскость сравнения плоскость верха порога, будем иметь
В этом уравнении С — коэффициент местного сопротивле-
ния при входе на порог, зависящий от формы входного ребра и
высоты порога. Из этого уравнения получаем
(2 \
\ г 12
Н+ ~~ -Й = (а + С)^-;
2g/ 2g
av2
обозначая Н —- =Н0, имеем
28
//О-Й = (а+С) V’
2g
откуда
^=1/ > V2g(//0-A) .
обозначив
получаем для средней по вертикали
скорости на пороге
» = Л)
332
Глава X. Водосливы
и для расхода
Q = <рш /2§(Я0-й) , (10-21)
где — площадь живого сечения потока на водосливе при
глубине h. В частности, для прямоугольного водо-
слива
о) =^Ыг и Q = ср Ыг У 2g (Яо — h) ; (10—22)
ср называется коэффициентом скорости.
Для нахождения h, соответствующего Qmax, решим урав-
dQ п
нение — = О, которое для прямоугольного водослива дает
dh
2 {Но — h) =h,
откуда
h = — tf0.
3 0
Таким образом, согласно постулату о наибольшем расходе
на пороге для идеальной жидкости (при значении ср = 1) ус-
танавливается глубина h = 2/з /70.
В 1877 г. Буссинеск, рассматривая движение потока через
водослив с широким порогом как остановившуюся волну пере-
мещения, получил для глубины на пороге формулу
h = i/t?" ’ (10-23)
совпадающую с формулой для критической глубины в прямо-
угольном русле.
В 1912 г. Б. А. Бахметев предложил свой постулат, согласно
которому в конце порога устанавливается глубина воды, соот-
ветствующая минимуму удельной энергии сечения, т. е. крити-
ческая глубина, которая для прямоугольного сечения опреде-
ляется формулой
Лк = 1/ (10-24)
Таким образом, согласно этой теории, расход через водо-
слив с широким порогом будет
Q = K2g (//0 - Лк) , (10-25)
где (DK — площадь живого сечения потока на водосливе при
h = hK,
§ 10—4. Водослив с широким порогом
333
Заменим в формуле расхода через незатопленный прямо-
угольный водослив глубину на пороге h через kH0.
Q = vbhY 2g(H0 — h) =<fbkH0Y2g{H0—kH0) =
= <Р*1/Т=ГГ /2F H3Y
Обозначив
yk У1—k — m,
получим
Q = mb У 2g H^2.
где m называется коэффициентом расхода водослива.
Полученная формула вполне аналогична формулам расхо-
да через водослив с тонкой стенкой и практического профиля.
По энергетической теории коэффициент расхода зависит
в конечном счете от сопротивления входа на водослив, от кото-
рого зависит также и сжатие потока, характеризуемое отно-
шением к = —.
Яо
Для нахождения связи между k, у и т приравняем выра-
жение квадрата расхода по формуле (10—26) величине Q2 =
= agh* b2, которая получается из выражения критической глу-
бины
ф 2 b2 A2 2g IIIq — h) — ag h? b\
или после сокращения 2у>2 (Но—А) = a/z, заменив — —А,
получим
2ср2(1 —k) = ak,
откуда
k 2ау2
1 + 2«^2
и обратно
т |/ 2(1 — k)
Подставляя выражение <р через k в формулу коэффициента
расхода, находим
т = yk У1 —k —
/ ak , ----7
334
Глава X. Водосливы
ИЛИ
или, вводя выражение k через <р;
т = <fk V\—k = у 1/1 — =
1 + 2а<р2 У 1 + 2аср2
2а<р2 ' -- Г 1 __ 2аср2
1 + 2«?2 V 1+2а<р2 ]/ (1 _|_ 2^2)3’
В идеальном случае при абсолютно равномерном распреде-
лении скоростей на пороге при отсутствии потерь на вход а ==
= 1, С= О, и, следовательно, <р= 1. При этом получается
, 2-1-12 2
k ;
1 4-2-bl2 3
т=1/ —f—У =0,385.
V 2 \ 3 /
Эти значения совпадают с полученными Беланже и счита-
ются теоретическими максимумами для коэффициентов k и т.
Фактически же а не равно единице и всегда немного боль-
ше; С также больше нуля; значит, в действительности <?< 1.
Это подтверждается опытами, так как обычно наблюдается
k < 2/3. При высоте входной стенки Р ЗН для водослива с
незакругленным ребром без бокового сжатия <р == 0,85, К— 0,59,
т = 0,32.
При меньшей высоте стенки или при закругленном либо
скошенном ребре все эти коэффициенты имеют несколько боль-
шие значения, но не превышают своего теоретического макси-
мума.
Так, глубина на пороге в зависимости от вида входной
кромки и высоты порога устанавливается h = (0,59 4-0,66)/То,
а коэффициент расхода изменяется в пределах т = 0,32 0,38.
Многочисленные опыты, . проведенные советскими и ино-
странными учеными за последние 25—30 лет, показали, что
действительный режим потока на водосливе с широким порогом
отличается от схемы, получаемой по постулатам о наибольшем
расходе и о критической глубине. Так, при 4,5 <—<10 на nep-
zz
вой трети ширины порога устанавливается наименьшая (сжа-
тая) глубина ЛС<АК, а далее наблюдается постепенное увели-
чение глубины до сечения, находящегося примерно на (3—4)
hK от конца порога, от которого начинается спад глубин. При
2,5 < — <4,5 глубины потока на пороге плавно уменьшаются,
н
§ 10—4. Водослив с широким порогом
335
образуя кривую спада, причем глубины потока на пороге
h hK. В этом случае движение на пороге не плавно изменяю-
щееся.
Единой общепризнанной теории водослива с широким
порогом взамен вышеизложенных устаревших теорий еще не
создано. Поэтому теперь водосливы с широким порогом рассчи-
тывают по опытным данным.
Пропускная способность нормального водослива с широким
порогом определяется в конечном счете условиями входа воды
на водослив, в том числе формой входного ребра, относитель-
ной высотой входной стенки и ее наклоном.
По исследованиям проф. А. Р. Березинского, расход через
незатопленный прямоугольный водослив с широким порогом мо-
жет быть определен по общей формуле расхода водосливов
(10—18)
где тпл— коэффициент расхода водослива без бокового сжа-
тия (в условиях плоской задачи);
b — ширина водослива;
К — коэффициент, учитывающий влияние бокового
сжатия (см. табл. 10—6).
Коэффициент расхода водослива с широким порогом при
отсутствии бокового сжатия тпл может быть определен1 по
формулам:
а) при прямоугольном входном ребре
тпл = 0,32 + 0,01--------Н ; (10—26)
0,46 — 0,75 —
’ ’ Н
б) при закругленном входном ребре (при 0,2)
3——
«пл =0,36 + 0,01---------. (10-27)
1,20 4- 1,5 —
’ ’ Н
р
При -jj- > 3 значения тПЛ остаются неизмененными и рав-
ными-тпл= 0,36 для закругленного и тпл = 0,32 для прямо-
угольного ребра. Приводим табл. 10—4 значений коэффициента
, Р
расхода тпл, вычисленного по этим формулам при разных .
1 А. Р. Березинский, Пропускная способность водослива с широким
порогом, Госстройиздат, 1950.
336
Глава X. Водосливы
Т а б л и ц а 10—4
Значения коэффициента расхода тпл (по А. Р. Березинскому)
н Форма вход- ного ребра 0 0,25 0,5 0,75 1,0 1,5 2,0 2,5 >з,о
Прямоугольная 0,385 0,363 0,35 0,342 0,337 0,33 0,325 0,323 0,32
Закругленная >0,2) 0,385 0,375 0,373 0,37 0,367 0,364 0,362 0,361 0,36
Если порог водослива имеет наклонную верховую грань,
скошенную под углом 6, то коэффициент расхода будет иметь
значения, приведенные в табл. 10—5.
Таблица 10—5
ctg 0 7| = Я 0,5 1,0 1,5 2,0 >2,5
0 0,385 0,385 0,385 0,385 0,385
0,2 0,372 0,377 0,380 0 382 0,382
2>4 0,365 0,373 0,377 0,380 0,381
0,6 0,361 0,370 0,376 0 379 0,380
0,8 0,357 0 368 0,375 0,378 0,379
1,0 0,355 0,367 О'374 0,377 0,378
2,0 0,349 0,363 0,371 0,375 0,377
4,0 0,345 0,361 0,370 0,374 0,376
6,0 0.344 0,360 0,369 0 374 0,376
8,0 0,343 0,360 0,369 О’, 374 0,376
оо 0,340 0,358 0,368 0,373 0,375
Сжатая глубина в конце входного участка порога опреде-
ляется зависимостью hc~kH^
где
2 0,385 — тпл
3 0,95 —2тпл
(10—28)
Коэффициент расхода тпл связан с величиной k также за-
висимостью
тпл = <р £ (10-29)
где
= 01385-«пл . (10—30)
§ 10—4. Водослив с широким порогом
337
Подсчитанные по этим формулам значения и k следую-
щие:
тпл..... 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,385
<Р.... 0,951 0,954 0,961 0,967 0,974 0,983 0,994 1,00
k..... 0,457 0,477 0,500 0,527 0,558 0,596 0,641 0,667
Коэффициент К в формуле (10—18), учитывающий сжатие
Р Ь
струи, в зависимости от — и — можно брать по табл. 10—6.
н В
Значения /\ =
^пл
Таблица 10—6
Тип входной грани N / / । / ! °' 0,2 0,3 0,4 0,5 0,(5 0,7 0,8 0,9 1,0
Прямоуголь- ный водослив с прямоуголь- ными устоями 0,0 0,5 1,0 2,0 3,0 0,826 0,886 0,904 0,923 0,931 0,832 0,890 0,908 0,924 0,932 0,845 0,900 0,915 0,930 0,938 0,864 0,912 0,925 0,940 0,946 0,887 0,912 0/26 0,943 0,938 0,951 0,950 0,961 0,956 0,967 0,940 0,960 0,966 0,973 0,976 0,970 0,980 0,982 0,986 0,988 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0
Прямоуголь- ный и закруг- ленный водо- сливы с закруг- ленными устоя- ми о,о 0,5 1,0 2,0 3,0 0,908 0,938 0,950 0,958 0,964 0,912 0,942 0,951 0,960 0,965 0,920 0,946 0,956 0,963 0,967 0,930 0,953 0,961 0,967 0,972 0,941 0,954 0,961 0,970 0,967 0,975 0,973 0,979 0,977 0,982 0,968 0,980 0,983 0,985 0,988 0,984 0,990 0,992 0,993 0,995 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0
Затопленный водослив с широким порогом
Подъем уровня нижнего бьефа начинает влиять на расход
водослива с широким порогом с того момента, когда уровень
воды в нижнем бьефе над порогом водослива //„>0,8 //о, после
чего водослив может считаться затопленным (фиг. 10—12).
Расход через затопленный водослив с широким порогом
можно определять по формуле
Q = V2g(H0-H^9 (10-31)
где — площадь живого сечения потока на пороге при глубине
//„. В частности же, для прямоугольного водослива
Q = °3 КтПЛ b V , (10-20)
где а3 — коэффициент затопления, принимаемый в зависимости
от отношения —по табл. 10—7.
//о
22 Зак. 1593
338
Глава X. Водосливы
Таблица 10—7
/4 Но 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89
аз 1,0 0,99 0,99 0,98 0,97 0,96 0,95 0,93 0,90 0,87
: 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98
®3 0,84 0,82 0,78 0,74 0,70 0,65 0,59 0,50 0,40
Фиг. 10-12
При выходе потока с затопленного водослива (в нижний
бьеф) происходит повышение уровня, называемое перепадом
восстановления (фиг. 10—12).
Перепад восстановления Z имеет наибольшее значение в
начальный момент затопления, когда он достигает величины
0,25 Яо.
По вопросу расчета водосливов с широким порогом имеют-
ся работы и предложения других авторов.
Проф. М. Д. Чертоусов !, решая задачу об истечении через
незатопленный водослив с широким порогом, применил для се-
чений 0—0 и 1—1 уравнение Бернулли, уравнение количества
движения и уравнение, выражающее связь между потерями на-
пора и глубиной на пороге водослива.
Для определения удельного расхода через незатопленный
водослив он дает формулу __________
q = т0 У 2g Н3/\ (10—32)
причем коэффициент расхода, учитывающий скорость подхода,
определяется по формуле
1 М. Д. Чертоусов, Специальный курс гидравлики, Госэнергоиздат^
1949.
§ 10—4. Водослив с широким порогом
339
О = Фа 1/ :
V 14-с
(10—33)
, h ЬН
где Фа — — и а =----------
та Н В (Н+Р)
— коэффициент,
предложенный
Д. И. Куминым и учитывающий скорость подхода;
h — глубина на пороге водослива в сечении 1—/;
Р — высота порога водослива со стороны верхнего бьефа;
В — ширина подводящего русла.
Глубина а на пороге незатопленного водослива должна
удовлетворять уравнению
a2t?4_M3+ ф2(5_о2)_1 =С,
(10—34)
причем <ра лежит в пределах 0,447< фа<1.
Если пренебречь влиянием скорости подхода (о =0), то
фа =0,447, а то=О,ЗО — это наименьшее возможное значение
коэффициента расхода.
Ь
в
Если порог отсутствует, то Р = 0, и, следовательно,о=р1=
в условиях плоской задачи Ь= В, р1==1, и, следовательно,
1
о =---------.
Эти зависимости при Ь=В очень хорошо согласуются с
экспериментальными данными для т и а.
В условиях пространственной задачи М. Д. Чертоусов реко-
мендует коэффициент расхода находить по формуле т^=8то,
где 8 принимается по табл. 10—8.
Т а б л и ц а 10—8
Значения коэффициента о
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
1,065 1,040 1,021 0,999 1,000 0,993 0,988 0,984 0,980 0,978
Д. И. Кумин провел много опытов по изучению водослива
е широким порогом при высоте порога, равной нулю (Р=0), и
закругленных в плане устоях (фиг. 10—43). Коэффициент рас-
22*
340
Глава X. Водосливы
I > зависящий от величины ₽
~ принимается по табл. 10—9.
хода для такого водослива определяется по формуле т'=т]/По,
где поправочный коэффициент д
b
— — и
В
Фиг. 10—13
Значения коэффициента ig по Д. И. Кумину
Таблица 10—9
р ь 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 •,5
0 1,047 1,067 1,089 ' 1,104 1,114 1,123
°,2 1,043 1,062 1,083 1,096 1,107 1,114
0,4 1,038 1,056 1,073 1,086 1,094 1,101
0,6 1,030 1,045 1,058 1,068 1,076 1,081
0,8 1,019 1,029 1,036 1,043 1,048 1,052
1,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
Рассмотрим типы задач на применение формул водослива
с широким порогом, обычно встречающихся при расчете отвер-
стий плотины.
Тип 1. Даны: Н, Нп, Р, Ь, В и форма ребра порога. Опре-
Р
делить расход Q. По типу ребра и отношению — находят коэф-
77
фициент расхода тпл . По— и — находят К ; сопостав-
Н В тпл
((1Г \
— <0,8) или затоп-
в \
—7 > 0,8 ) водослив. Для затопленного водослива по
п /
табл. 10—7 определяют коэффициент затопления о3.
Находят расход по формуле
Q = а3 /С/Ипл b Н\ (10 -19) 4
По величине расхода определяют скорость подхода
Q
v = .
В(Н+Р) ’
§ 10—4. Водослив с широким порогом
341
затем
// -Я + ±1
2g
и уточняют расход, вводя в формулу (10—19) Но вместо Н.
Тип II. Даны: Q, Н, Нн, Р, В и форма ребра порога. Тре-
буется определить ширину водослива Ь.
Вначале ход решения задачи аналогичен предыдущей, но
после определения тпл и решения вопроса о затоплении зада-
р
ются для данного — значением /< • находят
*
1 го
уточняют фактическое и К, после чего еще раз пере-
затем
считывают Ь.
Тип III. Даны: Q, Нк> Р, b и В. Определить напор Н. Ре-
шение этой задачи несколько затрудняется, так как, не зная Н
Р
и —, нельзя определить тпл ид, а также характер протекания
н
потока (затопленный или незатопленный водослив).
В этом случае, предположив в зависимости от уровня ниж-
него бьефа Нн, что водослив незатопленный (или затопленный),
и определив по — и ориентировочному значению Н величи-
в
Р 3
ну —, находят из таблицы тср и Кср и определяют Н3^ =
н
о
/Сср ™СР j/”
По найденному значению HQ находят
=
_fo_.
° 2g ’
по Н и Нн проверяют затопленность водослива и уточняют т
р
и К. по фактическому отношению —; после этого вторично оп-
ту
ределяют Hq и Н. Если вторично найденное Н близко к первому,
то на этом решение заканчивают; при значительной разнице
пересчитывают величину Н еще раз.
Таким образом, задача этого типа решается методом после-
довательного приближения.
342
Глава X. Водосливы
§ 10—5. РАСЧЕТ ВОДОПРОПУСКНЫХ ТРУБ И ОТВЕРСТИЙ
МАЛЫХ МОСТОВ
В теле насыпей дорог и плотин часто устраивают водопро-
пускные трубы и галереи, которые по характеру протекания в
них воды могут быть отнесены к водосливам с широким порогом
с нулевой высотой порога.
Опыты с такими водопропускными трубами, а также отвер-
стиями малых мостов проводились рядом исследователей —
Ф. И. Куминым, П. Ф. Кочеуловым, А. И. Шварцем, О. В. Ан-
дреевым, В. С. Муромовым1 и Н. П. Розановым, обобщившим
результаты экспериментальных исследований и предложившим
наиболее полную методику расчета их для разных случаев 1 2.
По характеру гидравлического режима такие трубы могут
быть разделены на б е з н а п о р и ы е (фиг. 10—14,а и б), полу-
напорные (фиг. 10—15,6) и напорные (фиг. 10—16,а и б).
Фиг. 10—14
Безнапорные трубы
Безнапорные трубы по гидравлическому режиму могут
быть подразделены на незатопленные и затопленные.
Незатопленной труба будет в том случае, / когда
1 В. С. Муромов, Об истечении через насадки и короткие трубы,
«Гидротехническое строительство» № 8, 1948.
2 Н. П. Розанов, Водопропускные трубы, п. 2—К в гл. 2 «Справоч-
ник по гидротехнике» института Водгео, Госстройиздат, 1955.
§ 10—5. Расчет водопропускных труб и отверстий малых мостов 343
йп< (1,2 -* 1,25) Лк или hn^(0,75-*-0,77) Но (фиг. 10—14,а и б),
где Лп—глубина подтопления; йк — критическая глубина.
В зависимости от влияния длины на харакгер гидравличе-
ской картины безнапорные трубы разделяются на:
а) короткие незатопленные трубы и отверстия
в толстой стенке и
б) длинные незатопленные трубы.
Короткими трубами называют такие незатопленные с
нижнего бьефа трубы, длина которых не оказывает влияния на
пропускную способность:
а) при 1—0 длина короткой трубы определяется из формулы
4Н < 1i (64 — 163га) Н (10—35)
или
4/7 < I < (106 — 270га) /гк; (10—36)
б) при 0<г</к (фиг. 10—14,а) значение верхнего предела
длины увеличивается примерно на 30%;
в) при i>iK (фиг. 10—14,6) и 1>4Н коэффициент расхо-
да m не зависит от длины трубы.
При длине трубы 1<АН последняя будет работать как от-
верстие в толстой стенке.
Расчет пропускной способности водопропускной трубы или
отверстия малого моста прямоугольного сечения производится
по формуле
Q = m b . (10—37)
При прямоугольном сечении расход определяется по форму-
ле, предложенной проф. А. А. Угинчусом:
Q = bK (10-38)
где Ьк = — •
hK
Подробные данные о величине коэффициентов расхода для
оголовков разных типов приведены в вышеупомянутой работе
Н. П. Розанова.
Часто отверстие водопропускной трубы или малого моста
рассчитывается по допускаемой скорости.
В этом случае ширина b трубы прямоугольного сечения оп-
ределяется по формуле
фз у-} ’
доп
(10—39)
344
Глава X. Водосливы
где
ф — Ркр ~ •
Ртах
2<р2 Рдоп.
° 3' 2g ’
]/ 2т3
(^’тах)ср ~ ф |/ b ’
При расчете отверстий труб непрямоугольного сечения рас-
чет удобнее вести как поверочный: сначала определяют сечение
трубы, а затем подсчитывают максимальную из средних по се-
чению скорость
(fmJcp = 4- • • (Ю-40)
4 hKbK
Необходимо, чтобы (^тах) ср < ^доп-
Значения ф (относительной глубины на выходе из трубы)
следующие,
При i zK:
при плавных входных оголовках ф=0,75—0,80;
при неплавных входных оголовках ф=0,80—0,85.
При i > /к:
ф = — в прямоугольных трубах;
ф = — в непрямоугольных трубах.
О) к
Длинные незатопленные трубы
Длинной труба считается в том случае, если при /<гк
длина трубы больше верхнего предела для коротких труб (см.
выше) и оказывает влияние на расход. Условия незатопляемо-
сти те же, что и для коротких труб. Гидравлический расчет та-
кой трубы заключается в построении при заданном поперечном
сечении трубы кривой свободной поверхности (кривой спада^
(см. § 9—6) по длине трубы от глубины hK в конце трубы до
глубины hc в начале ее (фиг. 10—15).
После определения hc величина Но определится из форму-
лы затопленного водослива
Q = тс3 b /2^ НУ. (10-41)
J 10—5. Расчет водопропускных труб и отверстий малых мостов 345»
а) t/апорная труба зутопления с нижнего бьефа
д) Полунепарная длинная труда
Фиг, 10—15
Так как а3=Н —) задачу приходится решать подбором.
\HQ /
Полунапорные трубы прямоугольного сечения рас-
считываются по формуле
Q = Но ® V^g (По — -па) , (10—42}
т) — hon определяющая условная глубина hon >hc.
а
Коэффициенты /0 и для различных типов оголовков опре-
деляются по табл. 10—10.
Уклон мало влияет на расход, но для круглых труб диамет-
ром d
Q = |л0 <о /2g [7Z0—(0.708—2Z)tZ]. (10—43}
Таблица 10—10
Тип оголовка Р-о 'Ч
Коридорный 0,576 0,715
Воротниковый 0,591 0,726
Труба, выпущенная из откоса насыпи . . • 0,596 0,726
Портальный с конусами . . . 0,625 0,735
Раструбный с ныряющими стенками (0 = 30°) 0,670 0,740
346
Глава X. Водосливы
Расчет напорных труб
Незатопленные с нижнего бьефа напорные трубы
(фиг. 10—16,а и б) рассчитывают по формуле
Q = Р-н “в V2g(H0+il—7)н«)> (10—44)
где т]н = 0,85;
%—площадь выходного сечения;
=_____________L --------(10-45)
I/ 1+Свх+Ср+?з+
Свх — коэффициент сопротивления входа;
Ср — то же, решетки; С3 — то же, затвора; I — длина трубы.
Затопленные с нижнего бьефа трубы (фиг. 10—15,а)
-рассчитываются по формуле
Q = Нн U)BV<2g(^o + ^ — M , (10—46)
где йп — глубина в нижнем бьефе над порогом в выходном се-
чении.
ГЛАВА XI
СОПРЯЖЕНИЕ БЬЕФОВ И ГАШЕНИЕ ЭНЕРГИИ
§ 11—1. ВИДЫ СОПРЯЖЕНИЯ БЬЕФОВ
Под названием «бьеф» в гидравлике подразумевают вод-
ное пространство с верховой или низовой стороны от пло-
тины.
Ниже водосливной плотины или в конце лотков с большим
уклоном (быстротоков) после падения с большой высоты поток
приобретает большую скорость течения и имеет очень малую
глубину, называемую сжатой глубиной hc. Обычно эта глубина
меньше критической, и поток в бурном состоянии.
Переход от бурного состояния потока с глубиной h'c<hK к
спокойному состоянию с глубиной h"c >hK происходит или прыж-
ком на небольшой длине, или без прыжка, если уклон отводя-
щего русла i>iK.
Бурный поток, образующийся после перелива через плоти-
ну, или в конце быстротока обладает большой кинетической
энергией и может разрушать русло, что опасно и для самого
сооружения, которое может оказаться подмытым.
Чтобы предохранить русло от разрушения, его приходится
укреплять до того места, где бурный поток переходит в спокой-
ный. Обычно это бывает очень дорого, и потому при проекти-
ровании гидротехнических сооружений стремятся к тому, чтобы
переход потока в спокойное состояние происходил возле самого
сооружения.
В зависимости от соотношения между глубиной, сопряжен-
ной со сжатой h"c , и бытовой глубиной нижнего бьефа t воз-
можны следующие виды сопряжения бьефов.
а) Отогнанный прыжок
Если глубина (фиг. 11—1,а) /г" , сопряженная со сжатой
глубиной hc, образующейся у подножья водослива или после
истечения из-под щита, оказывается больше, чем бытовая глу-
бина в нижнем бьефе 4 то происходит отгон прыжка.
348 Глава XI. Сопряжение бьефов и гашение энергии
В этом случае вниз от сечения со сжатой глубиной Лс по-
лучается кривая подпора до глубины h't , сопряженной с быто-
вой глубиной t отводящего русла, где и образуется прыжок.
Расстояние I, необходимое для размещения на нем кривой под-
пора от глубины hc до глубины h't> сопряженной с t, называет-
а
Фиг. 11—1. Типы прыжков
а — надвинутый или затопленный; б — нормальный;
в — отогнанный
ся дальностью отгона
прыжка. Этот вид со-
пряжения бьефов носит
название отогнан-
ного прыжка и
обычно является невы-
годным; в гидротехни-
ческой практике его
стараются избегать.
б) Нормальный пры-
жок (h"c — /)
(фиг. 11—1,6)
Глубина h"c, соп-
ряженная со сжатой
глубиной hc, равна бы-
товой глубине нижнего
бьефа t. В этом случае
прыжок образуется не-
посредственно в сече-
нии со сжатой глуби-
ной hc . Этот вид сопря-
жения менее опасен
для гидротехнических
сооружений, однако он
является неустойчивым
и при небольших изме-
нениях расхода может
перейти в отогнанный
прыжок.
в) Затопленный, или надвинутый, прыжок (h'c<t)
(фиг. И—1,в)
Сопряженная со сжатой глубиной глубина h'c меньше глу-
бины нижнего бьефа t. В этом случае прыжок придвинется к
водосливной стенке (плотине) или концу быстротока и затопит
сечение со сжатой глубиной Лс. Этот вид сопряжения бьефов
§ 11—2. Расчет водобойного колодца и водобойной стенки
349
является наиболее безопасным для гидротехнических сооруже-
ний, и поэтому его, как правило, стараются получить при расче-
те гидросооружений.
§ 11—2. РАСЧЕТ ВОДОБОЙНОГО КОЛОДЦА И ВОДОБОЙНОЙ СТЕНКИ
Чтобы предупредить образование отогнанного прыжка в
нижнем бьефе плотин или быстротоков, необходимо увеличить
глубину нижнего бьефа. Для этого устраивают так называемые
Фиг. 11—2. Водобойный колодец
водобойные колодцы (фиг. 11—2), образуемые углублением в
дне, или водобойные стенки (фиг. 11—3). Гидравлический рас-
чет этих сооружений заключается в определении такой глубины
колодца d (или высоты стенки), а также длины I, которые обес-
печивают затопление прыжка.
Сжатая глубина в нижнем бьефе йс определяется из урав-
нения Бернулли, составленного для сечения 0—0 перед плоти-
ной или перепадом и сжатого сечения 1—1:
Обозначив сумму
^Люлучим
V2
Т0 = /гс 4. (а + Q
откуда
? V 2g(T0 —Лс) ,
350
Глава XL Сопряжение бьефов и гашение энергии
где <? = —— —коэффициент скорости, учитывающий потери
а + С
энергии при истечении через сооружение;
vc—средняя скорость в сжатом сечении.
Фиг. 11—3. Водобойная стенка
Так как Q== <ос vCJ то
Q = <?<»с V 2g (То - Лс) ,
(11-0
где сос — площадь сжатого сечения.
Эта формула позволяет подбором определять глубину сжа-
того сечения при любой форме русла в нижнем бьефе.
Для прямоугольного русла шириной Ъ имеем <ое ~bhz и Q==
=qb (где q — удельный расход, а b — ширина русла), и пото-
му для этого случая
q = ? Ас / 2g(T0-Ac) • (11-2)
По этой формуле довольно быстро можно определить Лс
постепенными приближениями, если для первого приближения
принять под корнем hc =0 и вычислить
а затем полученное значение hc внести под корень и повторить
вычисление для hz, стоящего перед корнем, и т. д.
Можно также построить кривую
Up П2
Д = /(А)==/гс + (а + д^-==/гс+ ------?
по которой искомая hc получается при Л=Г0-
Приводим табл. И—1 значений коэффициентов по Пав-
ловскому.
Необходимая глубина водобойного колодца d определяется
из тех соображений, чтобы глубина hz > сопряженная с новой
§ И—2. Расчет водобойного колодца и водобойной стенки
351
Таблица 11—1
Схема сооружения ч>
Истечение из донных отверстий . . 0,95—1,00
Перепады без щитов 1,0
Перепады со щитами Водосливы плавной формы без щи- тов с гладкой поверхностью: а) при малой длине сливной по- 0,97-1,00
верхности б) при средней длине сливной 1,0
поверхности в) при большой длине сливной 0,95
поверхности Водосливы плавной формы со щи- 0,90
тами 0,85—0,95
жет
сжатой глубиной hc была бы меньше, чем t+do^r Az, где A z=
= Az0—-^-перепад при выходе из водобойного колодца; A zo мо-
2g
быть определен по формуле
А?о=~^> (11-3)
т. е. как действующий напор в затопленном водосливе с широ-
ким порогом.
Для обеспечения затопления струи вводят некоторый коэф-
фициент запаса а =1,05 1,10.
Тогда
а Л" = t -ф d + Az,
откуда искомая глубина колодца
d = a h\— t —&z.
(11—4)
Ориентировочно глубину водобойного колодца назначают
rf=l,25 (Лс —0» где —глубина, сопряженная со сжатой, полу-
чающейся без колодца. Назначив d, пересчитывают hc (так как
новое То увеличится на величину d), по нему находят новое hc и
вычисляют получающийся при этом коэффициент запаса
t + d + Аг
а = -----------.
ft
Лс
Если а оказывается больше 1,10, то повторяют расчет, не-
сколько уменьшив d, если же а < 1,05, — то увеличив d.
352
Глава XL Сопряжение бьефов и гашение энергии
Длина водобойного колодца должна быть больше дально-
сти падения струи (при наличии уступа) и гидравлического
прыжка, который в колодце получается немного короче, чем в
свободном русле.
По М. Д. Чертоусову, длина водобойного колодца опреде-
ляется по формуле
4 — li + 0,8 /п ,
(11—5)
где /п —длина прыжка;
1\ — расстояние сжатого сечения от сооружения (даль-
ность отлета струи).
В случае криволинейного водослива без уступа /1=0
В. Д. Журин предложил длину водобойного колодца определять
по формуле
I = 3,2 V HQ + (Рх + d 4- О,83//о) •
(И-6)
Кроме водобойного колодца, для гашения энергии устраи-
вают водобойные стенки (фиг. 11—3), поднимающие уровень
воды у сооружения.
Необходимая высота водобойной стенки с определяется из
условия затопления сопряженной глубины /гс.
Вводя некоторый коэффициент запаса на обеспечение за-
топления о=1,05-^- 1,10, можно эго условие записать как
а А" = с + Н1
или
с = аЬ"с — (11—7)
где /Л— напор, обеспечивающий протекание воды через водо-
бойную стенку, которая работает как незатопленный
водослив практического профиля.
Напор Н} определяется из уравнения
q = т У 2g Н3'3 ,
где коэффициент расхода согласно § 10—4 т—0,42. Сопряжение
потока за водобойной стенкой в свою очередь подлежит расче-
ту. Иногда требуется несколько последовательно расположен-
ных стенок.
Все рассмотренные случаи гашения энергии с помощью во-
добойного колодца или водобойной стенки являются примерами
так называемого донного режима, при котором донные ско-
рости в эпюре распределения скоростей по высоте преобладают
над поверхностными (фиг. И—4,а).
§ И—2. Расчет водобойного колодца и водобойной стенки
353
Для предохранения от размыва русел -и уменьшения длины
крепления стараются в потоке ниже плотины получить так на-
зываемый поверхностный режим, характеризующийся
преобладанием поверхностных скоростей над донными (фиг.
11—4,6).
Поверхностный режим получается при наличии уступа (нос-
ка) (фиг. 11—5). В этом случае сходящая с уступа струя обра-
а — при донном режиме; б — при поверх-
костном режиме Фиг. 11—5. Плотина с носком
зует в нижнем бьефе поверхностный прыжок с одним донным
вальцом или при повышении горизонта в нижнем бьефе с двумя
вальцами — донным и поверхностным.
Пример 11—1. Дано: //=2,96 м, Р=10 м, глубина нижнего
бьефа Z=4 ж, <р = 0,95. Ширина водослива значительно больше глубины
нижнего бьефа. Определить вид сопряжения с нижним бьефом и рассчитать
глубину водобойного колоцца или водобойной стенки (фиг. 11—2).
Решение. Определяем удельный расход на водосливе:
Н311= 0,49-4,43-2,96 V 2,96 = 10,82 м31сек.
Уточняем расчет с учетом скорости подхода:
q 10,82
----------------= 0,84 м/сек;
10 4-2,96 ’ 1
v0 =
ауо
2g
“»о
1,1-0,842
--------- 0,04 м;
19,62
= 2,964-0,04 = 3,0 ж;
2g
q = 0,49-4,43-3 |/ 3~= 11,28 м31сек.
Для определения глубины hc в нижнем бьефе имеем уравнение
-----или q = <fhc У2g (То — М •
2g^ У
23 Зя к. 1593
354
Глава XL Сопряжение бьефов и гашение энергии
Приняв я = 1, имеем
11,282
13 =--------------
19,62-0,95Л^
откуда подбором находим Лс=0,77 м.
Критическая глубина при «=1
1 hc
Т1к = Т
«К
11,282
------- = 2 35 м;
9,81
0,77
= 0,328.
2 35
По табл. 9—11 находим =2,307, и глубина, сопряженная со сжатой,
h"c =2,35 - 2,307=5,42 M>t.
Так как h с >/, то в нижнем бьефе образуется отогнанный прыжок. Для
затопления прыжка необходимо устройство водобойного колодца или водо-
бойной стенки.
Ориентировочную глубину водобойного колодца определяем из условия
d> 1,25 (Л" —<) = 1,25(5,43 — 4,0) = 1,8 м;
То = 3+10+ 1,8= 14,8 м.
Находим сжатую глубину в колодце из уравнения
T=hc +
__
2g ?2 Л2
14,8= Лс +
11,282
19,62-0,952Л~
откуда подбором находим Лс = 0,71 м.
0,71
-п = -2—= 0,302.
'к 2,35
По табл. 9—11 находим
== 2,433;
h' = / А = 2,433-2,35 = 5,70 м.
с л * * *
Таким образом:
t -|- d -Т kz = 4 -J- 1,8 -f- А,? = 5,8-}- Az;
hc <Z t d Az,
следовательно, прыжок будет затоплен.
Находим перепад при выходе из колодца в отводящее русло:
а2 11,282
Дг ------------- ------------= 0,56 м.
?2£22£ 0,852-42-19,6
§ 11—3. Истечение из-под щита
355
Коэффициент запаса
i -f- d -1- Az
п
hc
Следовательно, глубину колодца можно еще немного уменьшить.
Водобойная стенка рассчитывается по уравнению (11—7). На-
пор Hi определяется из уравнения
11,28 = 0,42-4,43№\
откуда
11,28
0,42-4,43
= 6,06 м.
Откуда находим Hi = 3,32 м
с = сЛ" — //1= 1,05-5,43—3,32= 5,70—3,32 = 2,38 « 2,40 м
tr
(здесь h к принимается для 7'0=13 м).
§ 11—3. ИСТЕЧЕНИЕ ИЗ-ПОД ЩИТА
При истечении жидкости из-под щита (фиг. 11—6)( откры-
того на высоту а, струя испытывает вертикальное сжатие и на
Фиг. 11—6. Схема истечения из-под щита
расстоянии от щита, равном примерно высоте отверстия а, име-
ет глубину hc<a.
После сжатой глубины Лс, если глубина в отводящем русле
больше критической, в нем образуется гидравлический прыжок
(см. § 11—1). Если глубина h'c , сопряженная со сжатой, боль-
ше глубины в нижнем бьефе h, то прыжок отгоняется, и будет
происходить свободнее истечение из-под щита. Если глубина в
нижнем бьефе h > h”c, то прыжок затапливается, и будет про-
исходить несвободное истечение из-под щита, с подтоплением.
23*
356
Глава XL Сопряжение бьефов и гашение энергии
При свободном истечении расход, вытекающий из-под щита, мо-
жет быть определен по формуле
Q = bhc V2g (Но — йс) ,
(П-8)
где b — ширина отверстия под щитом;
«Ул
и и । О
/7 — глубина воды перед щитом;
Уо — скорость подхода;
—коэффициент скорости, для которого Н. Н. Павловский1
рекомендует следующие данные: щитовое отверстие без
порога—=0,95-И ,00; щитовое отверстие с широ-
ким порогом или на гребне практического профиля —
ср=0,85 н- 0,95.
Глубина в сжатом сечении может быть выражена через вы-
соту отверстия по формуле /гс=еа, где е —коэффициент вер-
тикального сжатия.
Проф. Н. Е. Жуковский1 2 вывел теоретическую зависимость
коэффициента вертикального сжатия е от степени открытия
щита — е — f ( —), которая хорошо подтверждается лаборатор-
/7 \ Н /
ными опытами.
В табл. 11—2 приводятся значения коэффициента верти-
кального сжатия е по Н. Е. Жуковскому.
Таблица 11—2
а Н Е а Н Е а Н £ а И Е
0,0 0,611 0,30 0,625 0,55 0,650. 0,80 0,720
0,10 0,615 0,35 0,625 0,60 0,660 0,85 0,745
0,15 0,618 0,40 0,630 0,65 0,675 0,90 0,780
0,20 0,620 0 45 0,638 0,70 0,690 0,95 0,835
0,25 0,622 0,50 0,645 0,75 0,705 1,00 1,00
Коэффициент вертикального сжатия для обычных открытий
— — (0-4-0,75) изменяется в пределах 0,6Пн-0,70, имея ми-
77
нимальное значение emin =0,611 при самом малом открытии.
1 Н. Н. Павловский, Гидравлический справочник, Госэнергоиздат,
1937, стр. 321.
2 Н. Е. Жуковский, Полное собрание сочинений, т. III, Изд. Акад.
Наук СССР, 1936, стр. 220.
§ 11—3. Истечение us-под щита
357
Формула расхода мз-под щита может быть представлена в
виде
Q = (ре ab V2g(H—еа) . (11—9)
По этой формуле можно определить расход по заданным
а, Ь и Н или по заданным значениям Q, b и Н определить от-
крытие щита а; последняя задача решается методом последова-
тельного приближения.
Фиг 11—7. Затопленное щитовое отверстие
Пример 11—2. Определить расход при свободном истечении из-под щи-
та при Я=3 м, а=1,0 лс, 3 м, п.о=О,5 м)сек, т =0,95.
Решение.
—-—=—— = 0 33. По таблице 11—2 е = 0,627.
Н 3 ’
0,95-0,627-1-3-4,43
0,52\
19,62/
-0,627-1 = 12,16 мР/сек.
Пример 11—3. Определить высоту подъема щита шириной Ь—2 м при
И—2,5 м, ср =0.95, необходимую для пропуска расхода Q=4 м^/сек при сво-
бодном истечении.
Решение. Задаемся последовательно разными значениями открытия
щита, вычисляем для них расход Q и устанавливаем, что заданному расходу
удовлетворяет высота подъема а=0,5 м. В самом деле, при этом
а
Н
0 5
=0,20; е = 0,62
2,5
и Q = 0,95-0,62.2.0,52.4,43 1^2,5 0,62-0,52 = 3,99-4 м^сек.
При истечении через затопленное щитовое отверстие (фиг.
И—7) расход зависит от перепада z между горизонтом воды
перед щитом и непосредственно за щитом, т. е.
Q=pba , (И—Ю)
358
Глава XL Сопряжение бьефов и гашение энергии
где hz — глубина за щитом в сечении 1—1; по данным опы-
тов hz<h;
— коэффициент расхода, который по опытам Г. Т. Дмит-
риева для затопленного отверстия имеет то же значе-
ние, что и при свободном истечении.
Величина hz может быть определена по формуле
Г / м\ м
Л2=1/ л*-лЦ//о-—)+у. (11-11)
где
_ „Л — hc
М = 4[л2 а2- .
hhc
Опытные наблюдения И. Сметана подтверждают правиль-
ность последней формулы.
§ 11—4. ПОНЯТИЕ О РАСЧЕТЕ ПЕРЕПАДОВ И БЫСТРОТОКОВ
На каналах, проходящих по местности с большим уклоном, j
для преодоления больших разностей в отметках устраивают I
специальные сооружения, которые называются сопрягающими.
. » с “
Фиг. 11—8. Перепад
К таким сооружениям относятся перепады (фиг. 11—8),
создающие сосредоточенное падение дна в одном или несколь-
ких створах, и быстротоки (фиг. 11—9,я), с помощью которых
разность отметок в дне канала распространяется на некоторую
длину, зависящую от уклона быстротока. Гидравлический рас-
чет сопряжения бьефов на перепадах делается так же, как и для
плотин, и был приведен выше, в § 11—2.
Быстроток представляет собой короткий лоток прямоуголь-
ного или трапецеидального сечения с большим уклоном дна: i
от 1/10 до 1/4. Ширину быстротока делают или постоянной, или
переменной с сужением вниз по течению.
На длине быстротока в зависимости от типа входной части
устанавливается обычно кривая спада типа или иногда кри-
вая подпора типа ап(фиг. 9—13 и 11—9,6).
I
§ 11—4, Понятие о расчете перепадов и быстротоков
359
При входной части быстротока с горизонтальным дном или
малым уклоном в начале быстротока устанавливается критиче-
ская глубина hK, от которой пойдет кривая спада до бытовой
глубины hQ<hKJ соответствующей уклону быстротока t>iK.
Если в начале быстротока устанавливается сжатая глубина
то на быстротоке устанавливается кривая спада типа Ьп
(фиг. 9—13), если же йс<й0, то на быстротоке будет кривая
подпора типа сп от глубины hc до hQ.
В определении этих глубин и построении формы кривой
свободной поверхности по длине быстротока и заключается гид-
равлический расчет быстротока.
Быстротоки с сужением ширины по длине устраивают для
уничтожения кривой спада по длине быстротока и получения по-
стоянной глубины.
При сопряжении быстротока с каналом устраивают успо-
коитель для гашения энергии потока и создания таких условий
сопряжения, при которых не происходило бы размывов в отво-
дящем канале. Успокоитель устраивают обычно в виде водобой-
ного колодца, расширяющегося в плане.
Гидравлический расчет успокоителя делается так же, как и
водобойного колодца (см. § 11—2).
При больших скоростях на быстротоках наблюдается насы-
щение потока воздухом (аэрация); такой насыщенный воздуш-
ными пузырьками поток называют аэрированным потоком.
Отношение объема воды, содержащейся в смеси, ко всему
ее объему называется коэффициентом водонасыщения и обозна-
чается буквой р , а отношение объема воздуха к объему смеси
называется коэффициентом воздухонасыщения и обозначается р'.
Очевидно, что
Наличие воздуха в аэрированном потоке положительно
сказывается на работе быстротока, увеличивая глубину по-
тока по сравнению с расчетной, несколько замедляя его
скорость.
360
Глава XI. Сопряжение бьефов и гашение энергии
А. А. Сабанеев предложил рассчитывать аэрированный по-
ток по тому же закону квадратичной зависимости потерь напо-
ра, что и обычный поток, применяя формулу Шези:
va = со Y~rY Qa = »А1 (11-12)
где индексами «а» обозначены С, R, v и Q аэрированного пото-
ка С для аэрированного потока определяется по формуле
Фиг. 11—10. Типы усиленной шероховатости
Н. Н. Павловского, но при
коэффициента шероховатости
п'
фиктивном увеличенном значении
п
= т
Для уменьшения скоростей потока на быстротоках иногда
применяют специальные устройства в виде зигзагообразных по-
перечных реек (фиг. 11—10,п), порогов на дне лотка (фиг.
11—10,6) или хворостяных барьеров (фиг. 11—10,в).
Такие устройства, называемые усиленной шероховатостью,
позволяют дополнительно уменьшить скорость на быстротоке «и
облегчить гашение энергии \
1 Более подробные данные о типах усиленной шероховатости можно
найти в книге М. Д. Чертоусова, «Специальный курс гидравлики», § 70, Гос-
энергоиздат, 1949.
ГЛАВА XII
ДВИЖЕНИЕ ГРУНТОВЫХ ВОД
$ 12^-1. ВИДЫ ДВИЖЕНИЯ ГРУНТОВЫХ вод
Законы движения грунтовых вод находят себе обширное
применение при решении различных инженерных задач.
Ряд вопросов водоснабжения решается на основе общих за-
конов движения грунтовых вод, а именно: определение количе-
ства воды, притекающей к колодцам или водосборным гале-
реям, определение размеров фильтров, понижения горизонта во-
ды в колодцах при откачке и т. п.
При решении вопросов, связанных с осушением тер-
ритории открытыми канавами или подземным дренажем, зако-
ны движения грунтовых вод позволяют определить горизонт
грунтовых вод после осушения; при орошении необходимо
учитывать потери воды в каналах на фильтрацию, а также ре-
шать вопросы об устойчивости дамб и откосов канала.
Весьма важную роль играют законы движения грунтовых
вод при расчете устойчивости гидротехнических сооружений и
фильтрации под ними воды.
Содержащаяся в грунте вода может быть в различных со-
стояниях:
1) парообразная вода содержится * в порах грунта
вместе с заполняющим эти поры воздухом;
2) гигроскопическая вода обволакивает частицы
грунта тончайшим слоем, связанным с грунтом силами сцепле-
ния;
3) капиллярная вода заполняет тончайшие поры грун-
та и находится под действием сил поверхностного натяжения
и силы тяжести;
4) пленочная вода удерживается частицами грунта
молекулярными силами и остается в грунте после удаления из
него капиллярной и гравитационной воды;
5) гравитационная, или грунтовая, вода заполняет
все поры грунта и находится под действием силы тяжести.
Заполняющая поры грунта грунтовая, или гравита-
ционная, вода, находясь в состоянии движения, образует по-
362
Глава XII. Движение грунтовых вод
ток грунтовой воды или фильтрационный поток. Следует отме-
тить, что в связных грунтах капиллярный слой воды бывает до-
вольно значительным, и гидравлические решения, основанные на
Вй8оп'ронйцаемь1й <’
грунт:\\
грунт
Фиг. 12—2
законах движения только гравитационной воды, бывают не сов-
сем точными.
Движение грунтовых вод
может быть напорным
(фиг. 12—1) и безнапор-
ным (фиг. 12—2). При без-
напорном движении в грун-
товом потоке имеется свобод-
ная поверхность.
Некоторые вопросы фильт-
рации достаточно просто и
точно решаются гидравли-
ческим путем. Другие же
вопросы фильтрации разрешаются лишь методами гидроме-
ханики, основанными на применении точного математического
анализа.
Воаонепроницаемый
§ 12—2. ОСНОВНОЙ ЗАКОН ФИЛЬТРАЦИИ
Основной закон фильтрации, называемый законом Дарси,
был установлен в 1852—1855 гг. на основе опытов, проведенных
с песчаным грунтом.
Опытная установка для демонстрации этого закона состоит
(фиг. 12—3) из вертикального цилиндра, в 'боковой стенке ко-
торого поставлен ряд пьезометров. Цилиндр заполнен испытуе-
мым грунтом, лежащим на специальной сетке. Над грунтом
$ 12—2- Основной закон фильтрации
363
Фиг. 12—3
поддерживается постоянный уровень воды, притекающей через
кран; излишек воды свыше определенного уровня сливается
через трубу.
Фильтрующаяся через грунт вода собирается под решеткой
на дне цилиндра и вытекает наружу через кран .
После регулировки подачи воды
краном добиваются равенства прито-
ка и фильтрации воды через грунт в
цилиндре, при котором движение грун-
товой воды будет установившимся.
Выбрав по высоте цилиндра два
сечения на расстоянии I, можно будет
наблюдать различные уровни воды в
Pl Р2
пьезометрах — и —, разность которых
7 7
(фиг. 12—3) hw показывает потерю
напора на длине I.
Предположив, что в однородном
грунте потери напора по длине проис-
ходят равномерно, можем найти гидравлический уклон /, пред-
ставляющий потерю напора на единицу длины;
: _
г •
Z
Так как скорость движения воды в грунте очень мала, то
скоростной напор ничтожно мал, и поэтому гидравличе-
ский уклон здесь равен пьезометрическому уклону.
Написав для сечений 1—1 и 2—2 уравнение Бернулли, бу-
дем иметь
Нг ~ “Ь — ^2 ~—F или hw — Н—/72,
7 7
где — и — — пьезометрические высоты;
Z\ и ^2— отметки сечений относительно плоскости основания.
Если обозначить сечение цилиндра через , то фильтраци-
онный расход через грунт будет
(2=Л<о-“-=Лои, (12-1)
где k — коэффициент фильтрации.
Частное от деления расхода Q на всю площадь сечения
о=-^- = /гг. (12—2)
называется скоростью фильтрации.
364
Глава Х1Г Движение грунтовых вод
Как видим из выражения (12—2), скорость фильтрации
пропорциональна коэффицинету фильтрации k и первой степе-
ни уклона i; последнее объясняется тем, что движение грунто-
вых вод происходит при ламинарном режиме.
Скорость фильтрации есть фиктивная скорость, так как при
определении ее мы брали полную площадь сечения вместе с
площадью твердых частиц. В действительности если площадь
пор в сечении обозначить о/, то средняя скорость движения
жидких частиц в порах грунта будет v — •
Отношение — =р, представляющее собой отношение объ-
О)
ема пор в грунте ко всему объему грунта, называется коэф-
фициентом порозности грунта.
Так как
О)' = озр,
то
V- - ,
ц>р
откуда связь между скоростью фильтрации и скоростью движе-
ния жидкости
Опыты показывают, что движение грунтовых вод подчи-
няется закону Дарси не во всех случаях, а лишь при малых чис-
лах Рейнольдса фильтрационного потока:
| Re =~<5. (12-3)
ур /з
Акад. Н. Н. Павловский на основе опытных данных установил
величину критической скорости фильтрации до которой при-
меним закон Дарси:
uN
<7К = (0,75р -И 0,23) — см)сек, (12—4)
6,5d
где р — коэффициент порозности;
v — коэффициент кинематической вязкости в см2!сек;
d — диаметр зерен грунта в см;
N — постоянное число, равное — 50—60.
При /=10° и v = 0,013, р В 0,40 (среднее значение пороз-
ности в песчаных грунтах и А=50 формула (12—4) приобре-
тает вид
cKd ~ 0,053.
(12-5)
§ 12—3. Формулы для определения коэффициента фильтрации
365
При скорости фильтрации и > vK движение грунтовых вод
подчиняется уравнению v=kim, где m — показатель степени,
приближающийся к 0,5, как при турбулентном движении назем-
ных вод.
В этом случае для определения скорости турбулентной
фильтрации акад. Н. Н. Павловский предложил формулу, ана-
логичную формуле Шези:
с = Ар У i , (12—6)
где Д — эмпирический коэффициент, определяемый для крупно-
зернистых грунтов (d>5 см) по формуле С. В. Избаша
А = (20— ,
где d — диаметр частиц грунта в см.
(12-7)
§ 12—3. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
КОЭФФИЦИЕНТА ФИЛЬТРАЦИИ
Коэффициент фильтрации k, характеризующий водопрони-
цаемость грунта, зависит от многих факторов: величины и фор-
мы частиц грунта, степени их
однородности и от температу-
ры воды. Распределение раз-
личных частиц данного грун-
та по крупности обычно харак-
теризуется гранулометрической
кривой, получаемой в резуль-
тате механического анализа
грунта. На оси абсцисс этой
кривой (фиг. 12—4) отклады-
ваются значения диаметра
частиц, а на оси ординат —
процентное отношение сум*
мирного веса частиц с диа-
метром меньше данного к ве-
01 02 0,3 0,4 05
Фиг. 12—4
су всего исследуемого образца грунта. Коэффициент фильтра-
ции можно определить одним из следующих способов:
1) с помощью специальных формул, в которые входят фи-
зические постоянные грунта;
2) лабораторным исследованием образцо^хрунта в специаль-
ных приборах; -
3) в ответственных случаях для крупных проектов коэффи-
циент фильтрации определяется изучением грунта в действитель-
ных полевых условиях с помощью пробных откачек воды из
колодцев или нагнетаний.
366
Глава XIJ. Движение грунтовых, вод
Ниже приведены наиболее употребительные формулы для
определения коэффицента фильтрации песчаных грунтов.
Формула К о з е н и:
k ~ 7,94 у—у ~d^ см]сек, (12—8)
где р — коэффициент порозности;
de — действующий диаметр зерен грунта в мм,
т— температурный коэффициент, приведенный ' ниже в
табл. 12—1.
Действующий диаметр de определяется по формуле
i — n
-1- = 15^-+ У (12—9)
de dr
1-.-2
где d\ — наибольший диаметр в самой мелкой фракции в мм;
Agi—вес грунта, падающий на эту фракцию, в долях об-
щего веса грунта;
dL — средний диаметр данной фракции i, определяемый из
соотношения
1 _ 1 / 1 1 \
“ 2 \d. d\ )'
где d\ и d"i — крайние диаметры фракции i\
> —вес грунта каждой фракции /, выраженный в долях
общего веса грунта.
Значения температурного коэффициента
Таблица 12—1
t° т /° т t° г iQ
0 0,588 8 0,766 16 0,950 24 1,155
1 0,612 9 0,786 17 0,975 25 1,180
2 0,635 10 0,807 18 1,000 30 1,313
3 0,656 11 0,837 19 1,025 40 1,620
4 0,676 12 0,854 20 1,052 50 1,926
5 0,698 13 0,878 21 1,080 60 2,231
6 0.721 14 0,902 22 1,107 —
7 0,744 15 0,926 23 1,131 — —
Зауербрея:
k = 3,49 —2—-
(1 - Р)2
т^17 см/сек,
(12—10)
§ 12—4. Уравнение равномерною движения грунтовых, вод
367
где dxl — «действующий» диаметр зерен грунта, принимаемый
по кривой равным диаметру тех зерен, мельче которых
в данном грунте содержится 17% зерен по весу.
Эта формула получена на основе опытов с отсеянными пес-
ками, естественными песчаными и песчано-глинистыми грунтами
при rf<0,5 мм. Для глинистых и прочих грунтов коэффициент
фильтрации определяется лабораторным путем.
§ 12—4. УРАВНЕНИЕ РАВНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ ГРУНТОВЫХ ВОД
Пусть имеется грунтовый поток с плавно изменяющимся
движением; выделим в грунтовом потоке (фиг. 12—5) два жи-
вых сечения, находящихся на расстоянии ds друг от друга. При
плавно изменяющемся дви-
жении (§ 3-4) давление в
живом сечении распреде-
ляется по законам гидро-
статики и удовлетворяет
закону
z + — = Н = const.
7
Поэтому для всех ли-
ний тока потеря напора на
рассматриваемом участке
будет одна и та же — dH\ фиг-12—5
так как кривизна струй при
плавно изменяющемся течении очень незначительна, то для
всех линий тока расстояние между сечениями остается постоян-
ным ds, и, следовательно, гидравлический уклон для всех линий
тока в живом сечении будет тоже постоянным
dH
ds
Местные скорости фильтрации во всех точках живого сече-
ния в однородном грунте будут одинаковы
/г н ан ,
и — — kl —k — — const.
ds
Эпюра скоростей грунтового потока по живому сечению
будет иметь вид прямоугольника, и средняя скорость фильтра-
ции в живом сечении будет равна любой местной скорости и:
г. dH 1 г
V = — k--------- = kl.
ds
(12—11)
368
Глава XII. Движение грунтовых вод
При равномерном движении все линии тока будут парал-
лельны линии дна, и поэтому
, dH
I = --— = 1,
ds
v = ki.
При неплавно изменяющемся движении грунтового потока
уравнение (12—11) не будет справедливо, так как линии тока
значительно искривлены, гидравлический уклон и местные ско-
рости и будут различными по живому сечению, и расчет движе-
ния грунтового потока получается много сложнее.
§ 12—5. НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГРУНТОВЫХ ВОД
А. Исследование форм свободной поверхности
Рассмотрим грунтовый поток с плавно изменяющимся дви-
жением (фиг. 12—6).
Для него, согласно (12—2), v = ki. Возьмем в потоке два
сечения 1—1 и 2—2 с координатой
свободной поверхности z и
глубиной потока h в се-
чении 1. Обозначим ук-
лон водонепроницаемого
слоя Z, а уклон свобод-
ной поверхности I. Тогда
dz r . dh
= / = г — ; v ~
ds---------------ds
/г / • dh \
= /г / — fe i---
' ds /
и
l / ‘ dh\
U ~ few i------.
\ ds /
(12-12)
Полученное выражение является основным уравнением не-
равномерного движения грунтового потока.
Если бы движение грунтового потока было равномерным,
то расход был бы Q = k где о и io — площадь живого се-
чения и уклон грунтового потока при равномерном движении.
Приравняв оба расхода и обозначив — , получим
о>О
Iq — ko) 1I
dh
ds
§ 12—5. Неравномерное движение грунтовых вод
369
откуда
/ . dh
h = 4 * —“7
\ ds
«
dh
ds
Проведем исследование форм
тового потока для трех случаев: 1)
• (
1
i
свободной поверхности грун-
i > 0: 2) i = 0 и 3) i < 0.
(12—13)
1 случай. Дно потока имеет прямой уклон дна (/>0). Про-
ведя линию нормальных глубин NN (фиг. 12—7), мы можем
наметить две зоны.
а) Зона a (h> h0); при этом тд = — > 1, и, следовательно,
0, по (12—13) имеем кривую подпора.
dh \
ds /
h
dh
ds
d
производную —
ds
гнутая кверху. При h Ло
d s
и, следовательно, кривая подпора имеет
нию нормальных глубин, а справа — горизонтальную прямую.
б) Зона b (h<h0). В этом случае < а>0, и по (12—13)
< 0, т. е. глубина грунтового потока вниз по течению
уменьшается; имеем выпуклую кривую спада. При
в верхней части кривая спада имеет асимптотой линию нор-
dh
мальных глубин. При h = 0 — = со , т. е. кривая спада круто
ds
, получим, что
dh ~
О, а
кривая
Взяв вторую
подпора — во-
dh
при h
1 ds
асимптотами слева ли-
опускается.
24 Зак. 1593
370
Глава XII. Движение грунтовых вод
II случай. Поток имеет горизонтальное дно (z = 0)
(фиг. 12—8). Уравнение (12—13) имеет вид — =------------— , и
dS 7]
кривая свободной поверхности будет иметь вид кривой спада.
111 случай. Дно потока имеет обратный уклон (z<0). Обо-
значив абсолютную величину обратного уклона через z', полу-
чим
Q = _ Aiw f —
\ ds
(12—14)
Введя в рассмотрение по аналогии с § 10—6 нормальную глу-
f
бину /г0 , текущего в обратном направлении потока с живым
обозначив
dh
ds
сечением о>0 и уклоном z', полу
чим
W i = — Ы [ i' —
0 \ ds
<’> ,
~ 7] , получим
<°о
/'(1+^)
т. е. глубины в этом случае
всегда убывают; имеем кривую спада (фиг. 12—9).
Б. Интегрирование уравнений неравномерного движения
грунтового потока
Акад. Н. Н. Павловский в 1930 г. дал решение вопроса о
кривых свободной поверхности для z = 0 и /=^0. При I = 0 из
(12—12) имеем
ds = — — dh,
Q
При большой ширине грунтового потока движение становится
плоским, и
co = bh\ Q = bq; ds —---— hdh,
<1
откуда
где I = si — s2— расстояние между сечениями потока с глуби-
нами и h2.
§ 12—6. Приток грунтовых вод к колодцам и галереям
371
При I > Iq
= со bh <о0 bh$ —; dh. = hod~fi- h0
Тогда dh ds _ ~ о *1 ids т] i или — = —!—d~n. ho -q — 1
(12—15)
Проинтегрировав между сечениями 1—1 и 2—2 с расстоянием
/ между ними, получим
*7 । 1 То—1 d ।
~ = ^2 ~ fh + In J------ ИЛИ — = rl2 — 7] +
h0
+ 2,3 lg . (12—16)
’ii — 1
При i < 0
<•> h ,
— - — •
c°o h,Q
Так как dh == й0 drf, то уравнение (12—15) может быть пред-
ставлено в виде
Интегрируя уравнение между сечениями 1—1 и 2—2 с расстоя-
нием I между ними, получим
П , , 1 ~1“ , r 1 -j-
— = - rl2 + 1П----------^ + 2,3 1g —. (12-17)
/г0 1 -Mi 1 + TQi
§ 12—6, ПРИТОК ГРУНТОВЫХ вод к ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ
КОЛОДЦАМ И ВОДОСБОРНЫМ ГАЛЛЕРЕЯМ
а) Колодец на водонепроницаемом слое
(фиг. 12—10)
Такой колодец с водонепроницаемыми по всей высоте стен-
ками называется иногда совершенным колодцем.
При наличии горизонтального водонепроницаемого слоя
грунтовые воды будут иметь естественный уровень А А по высоте
Н над подстилающим слоем; Н называется мощностью во-
доносного пласта.
Если из такого колодца производить откачку воды, уровень
воды в колодце и в водоносном пласте понизится и образует так
24*
372
Глава XII. Движение грунтовых вод
называемую депрессионную воронку, форма которой при одно-
родном грунте будет симметричной (фиг. 12—10).
Если откачиваемый расход воды постоянен и не превышает
дебита водоносного пласта, то через некоторый промежуток
времени уровень воды как в колодце, так и воронке депрессии
Фиг. 12—10
в грунте установится на оп-
ределенной отметке и с это-
го момента движение грун-
товых вод можно считать
установившимися.
Проведем в грунте во-
круг колодца цилиндриче-
скую поверхность с радиу-
сом г. Если движение грун-
товых вод по длине каждой
струйки будет плавно изме-
няющееся, то гидравличе-
ский уклон для любой точки
этой цилиндрической поверх-
ности будет одинаковым:
тде z — ордината точки кривой депрессии, отвечающая абсцис-
се г.
Площадь живого сечения притекающего к колодцу грунто-
вого потока
со = rz,
а расход его
dz
Q=(Da==(ofeZ = 2K rzk —;
dr
разделив переменные в написанном дифференциальном уравне-
нии, получим
z dz = .
2nk г
Так как расход грунтового потока во всех цилиндрических
сечениях постоянный Q = const, то, проинтегрировав уравнение
от го До г и от й до z, rQ — радиус колодца, a h — глубина
воды в нем (фиг. 12—10), получим
2 Q Л г 0,73Q . г
z* — Л2 = — 1п — = ——— 1g —
T.k 7 о k r0
(12—18)
§ 12—6. Приток грунтовых вод к колодцам и галереям
373
Полученное уравнение, связывающее координаты г и г.
есть уравнение кривой депрессии, немеющей в данном случае
вид выпуклой кривой.
Если через /?, называемым «радиусом действия» колодца,
обозначить расстояние, на котором влияние понижения уровня
воды в колодце уже не сказывается на положении уровня грун-
товых вод, стоящих на высоте Н над водонепроницаемым слоем,
и решить уравнение относительно расхода Q, то получим
1g —
Го
до и после откачки Н — h = s
представить в этом случае в
Разницу уровней в колодце
называют «глубиной откачки».
Уравнение дебита Q можно
виде
Q = 2,73 -kHs- (1 — —V (12—20)
R \ 2Н)
1g —
Л)
При мощных водоносных пластах глубина откачки s обычно
мала, и, пренебрегая величиной — , получим формулу дебита
2Н
колодца в наиболее простом виде
Q = 2,73
kHs
(12—21)
В полученной формуле наибольшее влияние на дебит ко-
лодца имеют k, Н и s, величины /? и г оказывают небольшое
влияние на Q.
Радиус действия колодца можно определять по следующей
эмпирической формуле И. П. Кусакина:
R = 3 000 s V k .
(12—32)
где s — глубина откачки в ж;
k — коэффициент фильтрации в м!сек, или по формуле
Н. М. Победоносцева, имеющей вид
r= ,12-2з>
где t — время откачки в сек.
Для предварительных расчетов радиус действия колодцев
в песках средней крупности принимают R — 250 — 500 м, а в.
крупнозернистых песках R = 700 — 1 000 м.
374
Глаза XI1. Движение грунтовых вод
б) Поглощающий колодец
Поглощающие, или абсорбирующие, колодцы дают возмож-
ность сбрасывать воду в водоносный пласт.
В этом случае глубина воды в колодце h будет выше нор-
мального горизонта водоносного пласта Н, и кривая депрессии
будет вогнутой (фиг. 12—11).
Фиг. 12—11
Применив тот же метод вывода для поглощательной спо-
собности колодца Q, получим
Q = few I — — 2т: krz ~ .
dr
Разделив переменные и проинтегрировав, получим уравне-
ние кривой депрессии в виде
Л2 _ Z2 = ln J_ = 0J3Q _г__ (12—24)
ък r0 k г0
Введя пределы для г от R до г0 и для г от h до Н, получим
=2^ig JLt
fe Го
откуда
<? = 1,36 * - "'|
Го
(12—25)
в) Артезианский колодец
Если водоносный пласт, питающий колодец, расположен на
водонепроницаемом слое и прикрыт сверху другим водонепро-
ницаемым слоем (фиг. 12—12), а насыщающие водоносный
пласт воды находятся под давлением, большим атмосферного,
то такой пласт и питаемый им колодец называют артезианскими.
Предположим, что водонепроницаемые слои горизонтальны,
мощность водоносного пласта t, артезианский колодец является
§ 12—6. Приток грунтовых вод к колодцам и галереям
375
совершенным, т. е. доходит до водоупорного слоя. Линия АА
характеризует уровень естественного напора артезианских вод,
а АВВ'А' — кривую напоров после откачки колодца.
Выделим в артезиан- _ _________
ском пласте на расстоя-
нии г от оси колодца ци-
линдрическую поверхность
с площадью живого се-
чения (при h^>t) <я=2кг1.
Тогда
/У?
Q = 2к krt — ,
dr
где г — напор в точке с
— координатой г.
Разделив переменные
и проинтегрировав урав-
нение от Го до г и от t до 2,
Фиг. 12-12
получим уравнение кривой депрессии
Z — /г = -5- In — = 0,37 1g —. (12—26)
2~. kt r0 kt S r0 \ ’
Приняв в нем r == R и z = H (фиг. 12—11), где R— ра-
диус действия колодца, и решив относительно Q, получим де-
бит (расход) артезианского колодца
Q = 2,73
= 2,73 ——
, Я
1g —
Го
(12—27)
где s = Н — h — понижение при откачке.
Дебит несовершенного артезианского колодца может быть
определен по формуле
Q-1,36
(12—28)
где а — глубина погружения колодца в водоносный пласт.
г) Водосборная галерея (дрена)
Рассмотрим еще случай питания грунтовыми водами водо-
сборной галереи или дрены прямоугольного сечения (фиг. 12—
13), находящейся на горизонтальном водоупорном пласте.
376
Глава XII. Движение грунтовых вод
В этом случае при i = О Q = — kt» — .
Так как Q = qb, где q — удельный расход на 1 м длины,
и <^—bh, то — ds ~ —hdh.
k
Интегрируя сравнение от h
галереи) z=Н, и
до г, получим уравнение
кривой депрессии в виде
г2_дз = ^х. (12—29)
Эта парабола второй
степени.
Положив, что при х—
•^L (где L — предел дей-
ствия
решив уравнение (12—29),
получим
q = (12—30)
обозначить——— = zcp (средний уклон кривой дсп рее-
получим для q простое выражение, применяемое для
Если
сии), то
предварительных расчетов:
9 = ~ (н + Л) гср.
(12-31)
Для ориентировочного определения /ср можно пользовать-
ся табл. 12—2.
Таблица 12—2
Вид грунта i ср
Крупнозернистые пески и галька 0,003—0,005
Песчаный грунт 0,005-0,015
Супеси 0,03
Суглинки 0,С5 —0,10
Глинистый грунт 0,15
Если водосборная галерея заложена
слоя, задача получается более сложной.
Приближенное теоретическое решение
Р. Р. Чугаевым1.
выше водоупорного
ее было дано проф.
1 Приток грунтовой воды к траншеям и горизонтальным водосборам,
заложенным выше водонепроницаемого слоя, «Известия НИИГ», т. XXII, 1938.
§ 12—6. Приток грунтовых вод к колодцам и галереям
377
д) Группа водосборных колодцев
При водоснабжении, а также при искусственном пониже-
нии грунтовых вод для осушения возникает необходимость в
устройстве группы колодцев, расчет которых сложнее, чем
расчет одиночного колодца, так как работа каждого колодца
будет оказывать известное влияние на работу остальных.
Рассмотрим группу обыкновенных совершенных колодцев,
как угодно расположенных (фиг. 12—14).
Если бы колодцы работали независи-
мо друг от друга, то уравнения кривых де-
прессии, согласно (12—29), имели бы вид
г= — Л? = -^1п
1 1 *k Г01
= -^1п
2 2 г02
Z2 _ Д2 = In ЛП _
Г0/г
Если применить к решению этой задачи известный в гидро-
динамике метод сложения потенциалов, го можно получить, что
уравнение общей поверхности депрессии должно иметь вид
z2 = In — In — -f- ... in 2k +с, (12—32)
Tlk Г01 Г02 r0n
4
где z — глубина грунтового потока в рассматриваемой
точке депрессионной поверхности;
Г1, Га,---, гп—горизонтальные расстояния данной точки от оси
каждого колодца;
С — некоторая постоянная величина.
В наиболее
будем иметь
простом случае, когда Qi=Q2~‘
= Q,.= Q,
Z2
тдш
In
ri ,г„,
Г01 >Г02«* * *
-J-C,
где Qo= ^Q.
Если предположить, что точка А достаточно удалена от
группы колодцев И, ЧТО МОЖНО ПОЛОЖИТЬ, Г\ = Г2— ... га = г, то
уравнение (12—32) примет вид
nk
In г------ 1п(г0 г02,---,г0„)
п
(12-33)
378
Глава XII, Движение грунтовых вод
Положив в этом уравнении z = Н и г = Ну где Н — мощ-
ность водоносного пласта, a R — радиус влияния групповой
установки, получим
nk
InR--------— In (r01, ^02>
п
(12—34)
Вставив это значение С, будем иметь
Н2 — z2 = Д- [ In R-------— In (r1( r2, •••,/„)
T.k L ti
или
z2 = H2 — 0,73 Г lg/?-------— IgO^, ra, rn)
R П
Это уравнение позволяет при известном Qu определять г
для любой точки депрессионной поверхности или в колодце, а
при известном z определять дебит группы колодцев Qo-
Если колодцы с одинаковым дебитом расположены по кру-
гу радиусом р, то в этом случае для центра круга О г\ = г 2 =
= ... =гп=р. При этом уравнение (12—34) получит вид
Z2 =Н2 ~ 0,73 — 1g ~, (12—35)
k р
где Zo — глубина грунтового потока в точке Q.
Радиус влияния R для групповой установки обычно прини-
мают как для одиночного колодца (см. § 12—6).
Проф. И. П. Кусакин для радиуса влияния групповой уста-
новки предложил формулу
/? = 575 sj/Ж, (12—36)
где s — глубина откачки в центре установки в ж;
Н — мощность водоносного пласта в ж;
k — коэффициент фильтрации в м!сек.
§ 12—7. ФИЛЬТРАЦИЯ ЧЕРЕЗ ТЕЛО ЗЕМЛЯНОЙ ПЛОТИНЫ
НА ГОРИЗОНТАЛЬНОМ ВОДОУПОРНОМ СЛОЕ
Приведем решение задачи о фильтрации грунтовых вод че-
рез тело земляной плотины или перемычки трапецеидального
сечения на горизонтальном водонепроницаемом слое, данное в
1931 г. акад. Н. Н. Павловским.
Сечение плотины разбивается на три части (фиг. 12—15):
I — верховой клин, II — среднюю часть и III — низовый клин.
§ 12—7. Фильтрация через тело земляной плотины
379
Введем следующие обозначения:
Н — высота земляной плотины (перемычки);
Hi и h0 — глубина воды в верхнем и нижнем бьефах;
b — ширина плотины поверху;
do — запас по высоте плотины;
m и mi — коэффициенты заложения верхового и низового
откосов плотины;
М, Mi, Мо— положение депрессионной кривой в теле плотины.
Фиг. 12—15
Положение точки М определяется напором Hi, точка Mi —
ординатой hi и точка Мо — ординатой уо = ho + где
Со — возвышение выходной точки кривой депрессии над гори-
зонтом нижнего бьефа.
Фиг. 12—16
Задача о фильтрации через тело плотины содержит четыре
неизвестные величины
hltS,y0 и q,
где q — фильтрационный расход через 1 пог. м длины плотины.
1. Верховой клин. Для упрощения решения задачи о фильт-
рации через верховой клин направление движения фильтра-
ционных струек принимается прямолинейным и горизонтальным
(фиг. 12—16,а). Последнее не соответствует действительности,
так как опыты и аналитические исследования показывают, что
380
Глава XII. Движение грунтовых вод
струйки при входе в тело плотины направлены нормально к от-
косу. Однако введенное упрощение на конечный результат не
оказывает существенного влияния, так как земляные плотины
возводятся обычно укаткой горизонтальных слоев, и гидравли-
ческие сопротивления по криволинейному пути приближаются
к величине сопротивлений на более длинных горизонтальных
путях.
Длина I рассматриваемой горизонтальной струйки на дли-
не первого участка будет
/ (d, + г) ctg ср = m (dQ + z}.
Напор, теряемый струйкой на этом пути, обозначим через а,
тогда гидравлический уклон
у _ а ___ а
I m(dQ-\~z)'
скорость фильтрации
1 т ka
v — ki —---------;
Ш (^0 + z)
элементарный расход этой струйки
, ka 1
= vdz =----------az,
in (dQ 4 2)
(12—37)
(12—38)
dz ka
а полный фильтрационный расход через верховой клин
a+hi a+ht
ka
q = —
m
ka
m
i
m
Заменив cIq -F a -F hx
через H
ka
q = —
m
In
H-hY
через H —- /ii, получим
(12—39)
и
H
2. Средний участок (фиг. 12—16,6). Согласно уравнениям,
выведенным выше, в § 11—7, имеем уравнение депрессионной
кривой
— х = h2 — у2
k Л
(12—40)
и формулу фильтрационного расхода
’ = 4 (- й)' <12“41)
3. Низовой клин. Для вывода уравнения кривой депрессии
низовой клин разбивается на две зоны: верхний треугольник с
выходом фильтрационного расхода через низовой откос в ат-
мосферу и нижнюю трапецию с выходом фильтрационного рас-
§ 12—7. Фильтрация через тело земляной плотины
381
хода под уровень нижнего бьефа (фиг. 12—16,в). Направление
фильтрационных струек, как и в верхнем клине, принимается
горизонтальным.
Длина струйки
z = xctg <рх = z\
гидравлический уклон для струек первой зоны
I =
х m
скорость фильтрации
v = ki = — ; dqA = vdz == — dz,
а полный расход через верхнюю часть низового клина определит-
ся из следующих соображений.
Для струек нижней зоны х = т\ и потерянный напор равен
z = zx = aQ и
До __ Ьао
х Z ’
элементарный расход
dq2— ^-dz,
mr Z
а полный расход через нижнюю часть низового <6тина
q2 = Г — = 1п _£о+А_ . (12—42)
mx J z ту aQ
Суммарный фильтрационный расход через низовой клин
определится как сумма расходов + q%
q = A? /1 -|-ln . (12 -43)
\ aQ ]
Недостающее четвертое уравнение для определения четырех
неизвестных s, у0 и q составляется из геометрических сообра-
жений (фиг. 12—16) .
b + т1 Н — s + т1 (aQ + Ло),
откуда имеем
s == b 4- т1 [Н — (а0 4- Ло)].
(12—44)
Уравнения (12—39), (12—41) и (12—43) депрессионных
кривых можно сократить на k (так как q == Л<о/); отсюда мож-
382
Глава XII. Движение грунтовых вод
но сделать вывод, что форма кривой депрессии в земляной пло-
тине не зависит от коэффициента фильтрации грунта.
Так как решение системы выведенных выше четырех урав-
нений довольно громоздко, то для упрощения техники построе-
ния депрессионных кривых акад. Н. Н. Павловским были пред-
ложены упрощенные формулы
=аН — $Ь, (12—45)
где аир — коэффициенты, зависящие от заложения откосов
m и mi и от отношения — , определяемые по
графикам на фиг. 12—17.
Фиг. 12—17. Схема отсеков сечения плотины
а — верховой клин; б — средний участок; в — низовой клин
Зная По, находим
Уо = «о + ^о и s ~Ь-\-тх(Н —у0).
(12—46)
Фильтрационный расход находится по формуле (12—39), а
hi — по формуле (12—41).
§ 12—8. Метод электрогидродинамических аналогий
383
§ 12—8. МЕТОД ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ
тока. Чтобы такая аналогия
Этот метод, разработанный акад. Н. Н. Павловским и на-
зываемый сокращенно методом ЭГДА, основан на полной ана-
логии между явлениями фильтрации и течением электрического
имела место, грунт должен быть
изотропен, т. е. его фильтрацион-
ные свойства должны быть оди-
наковы во всех направлениях.
Если написать закон Дарси
для скорости фильтрации v, или,
что то же, для удельного расхо-
да q на единицу площади живо-
го сечения
v = kl= — k~- (12—47)
и закон Ома для силы электрического тока
dV
~ —с —
ds
(12—48)
где i — плотность тока (сила тока, приходящаяся на единицу
площади поперечного сечения проводника);
s—-длина проводника;
с — коэффициент электропроводности;
V — электрический потенциал,
то как видно из формул, можно составить следующую таблицу
соответственных величин.
Грунтовой поток
Напор Н — потенциал скорости
Коэффициент фильтрации k
Скорость фильтрации и (удельный
фильтрационный расход q)
Непроницаемый контур
Электрический ток
Электрический потенциал V
Коэффициент электропроводности с
Плотность тока i
Изоляционная поверхность
Из однородного электропроводящего материала (например,
тонкой металлической фольги) делают модель зоны фильтрации,
ограниченной с одной стороны линией входа и выхода фильтра-
ционного потока и подземным контуром гидросооружения, а с
другой — контуром водонепроницаемого грунта (фиг. 12—18),
прикрепляют к модели два контакта, А и В, соответствующих
местам входа и выхода фильтрационного потока, и пропускают
384
Глава XII. Движение грунтовых вод
через контакты при определенной разности потенциалов (соответ-
ствующей величине фильтрационного напора) электрический ток
(фиг. 12—19,а). Отметив на модели точки с равным потенциа-
лом, находимые с помощью мостика Уитстона, можно построить
кривые равных потенциалов и перпендикулярные им линии тока
(фиг. 12—19,6).
Фиг. 12—19
Таким образом, здесь потенциал V моделирует собой фильт-
рационный напор Н, а плотность тока i — фильтрационный рас-
ход q.
Если поперечное сечение гидротехнического сооружения
изменяется по ширине и движение грунтовых вод становится
пространственным, то с помощью метода ЭГДА путем прикреп-
ления добавочных контактов можно осуществить и промодели-
ровать и пространственную модель гидротехнического сооруже-
ния.
ГЛАВА XIII
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРАВЛИКИ
ВОДОПРОВОДНЫХ И КАНАЛИЗАЦИОННЫХ
СООРУЖЕНИЙ
§ 13—1. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
С ПЕРЕМЕННЫМ ПО ПУТИ РАСХОДОМ
Основные закономерности движения жидкости с перемен-
ным вдоль пути расходом установлены нашими советскими уче-
ными.
Так, основное дифференциальное уравнение движения тела
с переменной массой было впервые предложено проф. И. В. Ме-
щерским.
Это уравнение имеет вид
М — = F-j-7;
dt?
где М — масса тела;
s
---- — ускорение этого тела;
dt2
F — равнодействующая всех внешних сил, действую-
щих на тело;
f — дополнительная сила, возникающая в процессе из-
менения массы движущегося тела.
Для жидкости, движущейся с переменным расходом (или,
что то же, с переменной массой), проф. И. М. Коновалов вывел
такое соотношение:
25 Зак. 1593
386
Глава XIII. Некоторые вопросы гидравлики
Это выражение одновременно учитывает как приток жидкости
Qi, так и отток Q2 от начала движения до момента t.
В этой формуле:
Qo — начальный постоянный расход;
Q = Qo + Qi — Q2J dQ — dQ± — dQ2\
Qi — расход присоединяющейся жидкости;
Q2 — расход отделяющейся жидкости;
v — средняя скорость;
«о — площадь поперечного сечения потока;
Р2
m = — - и т2 = — ;
V V
— проекция скорости присоединяющейся жидкости на
ось движения потока;
V2 — проекция скорости отделяющейся жидкости на ось
движения потока.
Если происходит только присоединение или только отделе-
ние расхода (что наиболее часто встречается в практике), то
уравнение (13—1) принимает вид
vdQ+ ^- + -^ + y+hw = C; (13-2)
2g- 7
здесь 6?Q=(7Qi и m = m\— при присоединении расхода;
dQ = dQ2 и m = m2— при отделении расхода.
Когда нет присоединения или отделения расхода, послед-
нее уравнение принимает вид обычного уравнения Бернулли
V2
2g
7
Полученное проф. И. М. Коноваловым решение относится
как к движению жидкости с переменным расходом в трубах, так
и в отдельных потоках. Ниже приводится применение этого ре-
шения к движению в трубах.
§ 13—2. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
С ПЕРЕМЕННЫМ РАСХОДОМ В ТРУБАХ
Так как практически встречаются почти исключительно за-
дачи на движение только с присоединяющимся или только с
отделяющимся расходом, то ниже рассматриваются только эти
виды движения. Кроме того, в этих задачах предполагается
достаточно равномерное присоединение (или отделение) массы
£ 13—2, Движение жидкости с переменным расходом в трубах 3«7
жидкости по сечению и установившееся движение, для которого
только и применимы выведенные проф. И. М. Коноваловым фор-
мулы.
Так как расход в любом сечении dQ =cd dv, то после под-
становки этого выражения в формулу (13—2) получаем
— С (1 — m)vdv + ^- + -?-+y + hw = C. (13—3)
g J 2g 7
Если в этом выражении принять m постоянной по всей дли-
не трубопровода, то величину (1—т) можно вынести за знак
интеграла.
Выражение (13—3) для двух сечений можно написать в та-
ком виде:
(13—4)
Принимая
h ^=^-ds
где
это уравнение можно переписать в таком виде:
= — (13- 5)
Zg 7 2g 7 g J U)2 J №
Левая часть этого уравнения есть потеря энергии hw на
смешение потоков и на трение о стенки трубы, т. е.
= — (1 - 1м + f ds- (13~6)
g wz J А2
Расход в любом сечении согласно поставленному в задаче
условию будет Q = Qo + qs.
Подставляя это выражение расхода в формулу (13—6), по-
лучаем
s $
rf(Qo + 7s) + С Wo+?s)rfs< (13-7)
1 С (1 — т) (Qo + qs)
388
Глава XIII. Некоторые вопросы гидравлики
Проинтегрировав это выражение, получаем
Л'=_1.м
w 2g ®2
(Go + qs)3 — Qg
В случае присоединения расхода к трубе через боковые от-
верстия нормально к оси движения проекция скорости притока
У1 = 0; при этом т = 0, и наше уравнение принимает вид
,, (Qo + ^s)2— Qo (Qo + <?s)3 — Qq
h, ------------------------------. (1 з — y)
w 2g^ 3qK2
В приведенной формуле (13—9) потеря напора на трение
будет одинакова с трубой без отверстий только в том случае,
если у просверленных отверстий кромки будут тщательно защи-
щены или изнутри раззенкованы. Но так как расходная харак-
теристика К при выводе формулы взята постоянной, то, вообще
говоря, потери на трение этой формулой учитываются ориенти-
ровочно. В общем случае
К = ? (f, d).
Поэтому выведенные формулы дают первое приближение
>при учете равномерного притока воды по длине трубы.
При Q = 0 и при длине трубы s = l получаем
4. ,4- = /1 и
№ 2g®2 3№ \2g ®2 3№ /
ИЛИ
2g <о2 4 3№
Уравнение при непрерывном отделении
рого можно принять т = 1, принимает вид
, _(Qo + ^)3- Ql
w ~ З^2
Здесь q имеет отрицательное значение,
ставить так
(13—10)
расхода, для кото-
(13—11)
и hw можно пред-
(13-12)
<2о - (Qo - <is)s
3qK*
Эта формула может быть применена к расчету водопровод-
ных труб с непрерывной раздачей.
Использование формул, выведенных проф. И. М. Конова-
ловым, встречает, как будет показано ниже, определенные труд-
ности, и эти формулы, как указывает сам проф. И. М. Конова-
лов, дают первое приближенное решение.
§ 13—2. Движение жидкости с переменным расходом в трубах 389
Выведенные проф. И. М. Коноваловым формулы пригодны
к присоединяемым и отделяемым потокам, равномерно распре-
деленным и имеющим меньшие скорости.
Эти формулы непосредственно не учитывают тех вихрей,
которые вносятся, например, притекающими потоками. Так, на-
пример, при потоках, присоединяемых нормально к оси основ-
ного потока, при котором проекция скорости притока щ = 0, по
существу не учитывают энергии притекания потока. Энергия,
вносимая притоком нормально к оси основного потока, должна
быть погашена основным потоком и будет потеряна им, т. е. по-
тери напора основного потока будут большие.
При отделении потока проф. И. М. Коновалов принимает усло-
вие т=1, т. е. проекция скорости потока на ось основного по-
тока Vi равняется скорости потока, что вряд ли верно, когда
поток отделяется нормально к основному потоку, в особенности
при больших напорах в трубе.
Поэтому делаются попытки уточнить указанную теорию
проф. И. М. Коновалова учетом тех добавочных сопротивлений,
которые вносит, например, присоединяемый поток жидкости.
Так, можно указать на работу, проведенную канд. техн, наук
А. И. Егоровым 1 в институте Водгео, по учету потерь напора в
дырчатой сборной трубе, служащей для отведения промывной
воды в фильтрах.
По А. И. Егорову, потеря напора в указанной трубе выра-
жается формулой
2
fiw=Kh(2aK + K^--^i^. (13-13)
\ 3dB / 2g
В этой формуле:
Kh — корректив потери напора, учитывающий возникаю-
щие в потоке вихревые сопротивления; по опытным
данным (применительно к испытанным трубам),
К/г можно принимать равным 1,46;
ак— коэффициент кинетической энергии в конечном сече-
нии сборного дырчатого участка трубы; ак= 1,10;
К — коэффициент, учитывающий дополнительные потери
напора по длине вследствие притока воды в трубу
через отверстия; по данным канд. техн, наук Грабов-
ского (Одесский политехнический институт)
1 А. И. Егоров, Разработка метода гидравлического расчета сборных
систем промывной воды для скорых кварцевых фильтров изд. ВНИИ Водгеа,.
1954.
390
Глава XIII. Некоторые вопросы гидравлики
где п — число отверстий на соответствующем расчетном участке
сборной трубы;
X — коэффициент трения по длине трубы; величину X реко-
мендуется брать согласно приводимой ниже таблице.
Таблица 13—1
Диаметр сборной трубы в мм 100 150 200 250 300
Коэффициент трения X 0,0565 0,0495 0,0445 0,0410 0,0385
о
Величина ~
dn
Фиг. 13—1
I — длина расчетного участка трубы, равная расстоянию
от начального до соответствующего контрольного се-
чения сборной трубы, в м\
d* — внутренний диаметр трубы в
— средняя скорость воды в конце расчетного участка
сборной трубы в м/сек;
? — коэффициент, учитывающий условия входа струек во-
ды в сборную трубу; по опытным данным
ТС?) 7сЬг ,.
= cos------ = cos------—. (13—14)
d0 2т)кр d-,
График зависимости &Jd0) приводится на фиг.
13—1. При отсутствии раззенковки отверстий (снаружи) значе-
$ 13—2. Движение жидкости с переменным расходом в трубах 391
ние р определяется при ^кр =0,4. При раззенковке отверстий
можно изменить значение в благоприятную сторону (т]кр>0,4).
В — толщина стенки возле кромки отверстий, которая в
случае раззенковки их меньше толщины стенки трубы;
ч =о,4;
SKp— критическая толщина стенки возле отверстия (при
данном диаметре его), при которой струйки стеснены
настолько, что входят нормально к оси трубы;
d0 — диаметр отверстий в мм\
'Чк =
К?
Л'р = — < 1,0 — коэффициент раззенковки отверстий.
Формула А. И. Егорова может быть представлена в виде
h -k
w ~ ус 2g dB ’
где
ус -
г / 2сск
м ~
(13—15)
(13—16)
Выше мы имели формулу И. М. Коновалова (13—10). Под-
ставляем
нее
в
Тогда
h
ll,w
СО2 V2 2g
2g
+ —
3-47?/2g
1 ——"1М1
'i +-
3dB / 2g
Z X2 g со2
2g о2
\ V2
3-8g ^R)2g
v2l
ус 2g dB ’
(13-17)
Q = «> и,
.2
где
___ /
ус “ (у
(13—IS)
Сравнивая в
лову и Аус по А.
которые необходимо вносить в формулу
чтобы получить результаты, более близкие
такой транскрипции Хус
И. Егорову, мы можем.
по И. М.
Конова-
учесть те поправки,
И. М. Коновалова,
к опытным данным.
392
Глава XIII. Некоторые вопросы гидравлики
§ 13—3. ДВИЖЕНИЕ ВОДЫ ЧЕРЕЗ ФИЛЬТРУЮЩИЕ ДАМБЫ
Дамбы из каменной наброски применяются в канализаци-
онных сооружениях (полях орошения, поглощающих и фильтра-
ционных площадках), а также как водопропускные сооружения
и перемычки (фиг. 13—2).
Фиг. 13-2
Использование дамб из каменной наброски впервые было
предложено проф. Н. П. Пузыревским 1 в 1927 г., который
провел исследования их работы для разработки методики гид-
равлического расчета фильтрующих дамб и 1изучен1ия их заи-
ления.
Лабораторные исследования Пузыревского позволили уста-
новить, что фильтрующие дамбы не заиляются и сами промыва-
ются потоком при содержании в нем наносов по весу от 15 до
22%.
Исследования Пузыревского позволили установить, что
фильтрация грунтовых вод через каменную наброску в отличие
от фильтрации в грунте происходит по закону турбулентной
фильтрации, и скорость фильтрации может быть выражена по
формуле
v = ky I , (13—20)
где k — коэффициент фильтрации каменной наброски.
По опытам Пузыревского коэффициент фильтрации каменной
наброски при равномерном движении оказался равным при диа-
метре камня 6 см £ = 0,35 м/сек, а при d=12 см £ = 0,28 м/сек.
При неравномерном движении коэффициент фильтрации сни-
жался на 60%.
Проф. М. Ф. Срибный2 на основе опытов, проведенных в
Центральном научно-исследовательском институте железнодо-
рожного строительства (ЦНИС), предложил следующую таб-
лицу коэффициентов фильтрации в крупнозернистом материале.
1 Н. П. Пузыревский, Фильтрирующие насыпи, Госстройиздат, 1934.
1934 2 Ф' Срибный, Теория и практика фильтрующих сооружений,
§ 13—3. Движение воды через фильтрующие дамбы 393
Значения коэффициентов фильтрации k в м/сек
Средний диаметр d камней, приве- денных к шару, в см Порозность
0,40 0,46 0,50
5 0,15 0,17 0,19
10 0,23 0,26 0,29
15 0,30 0,33 0,37
20 0,35 0,39 0,43
25 0 39 0,44 0,49
30 0,43 0,48 0,53
35 0,46 0,52 0,58
40 0,50 0,56 0,58
45 0,53 0,60 0,66
50 0,56 0,63 0,70
Проф. С. В. Избаш предложил для каменной наброски фор-
мулу скорости фильтрации при неравномерном движении
v = Со р У di см/сек, (13—21)
где р — коэффициент порозности наброски;
I — пьезометрический уклон;
Со — «обобщенный коэффициент Шези», который при
0,1 </< 1,0 и диаметре камней, приведенных к шару
d > 0,7 см, может быть вычислен по формуле
с0 = (20 — —V
Таким образом, по С. В. Избашу, коэффициент фильтрации
k = р^20— см/сек. (13—22}
Значения k по этой формуле хорошо совпадают с приведен-
ными выше данными М. Ф. Срибного.
ГЛАВА XIV
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОСООРУЖЕНИЙ
И ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГИДРАВЛИКИ
§ 14—1. ЛАБОРАТОРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ВОДОЗАБОРНЫХ УЗЛОВ
И КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ГИДРАВЛИЧЕСКОГО ПОДОБИЯ
В настоящее время ни одно крупное гидротехническое или
водозаборное сооружение не строится без предварительного ис-
пытания его на модели в уменьшенном масштабе. Лабораторные
исследования дают возможность выявить на модели гидравли-
ческую картину работы запроектированного сооружения и в
случае каких-либо недостатков в его работе устранить их, внеся
изменения в проект сооружения.
Прежде чем вывести законы гидравлического подобия, не-
обходимые для пересчета с модели па натуру, остановимся на
законах динамического подобия, данных Ньютоном в 1686 г.
Для соблюдения геометрического подобия между двумя со-
оружениями разных масштабов между линейными размерами
L и /, площадями 2 и ш и объемами W и w должно существо-
вать соотношение
— = К; - = V и — = X3, (14— 1)
/ (О W
где л — линейный масштаб моделирования.
Кинематическое подобие будет иметь место при
удовлетворении условий геометрического подобия и соотноше-
ния
у- =^, (14-2)
где т—масштаб моделирования времени.
Динамическое подобие будет иметь место при удовлетворе-
нии, кроме того, соотношения
-РТ- = 8, (14-3)
где 8 — масштаб моделирования плотности.
§ 14—1. Лабораторные исследования водозаборных узлов
395
Из формул (14—1), (14—2) и (14—3) вытекают следую-
щие соотношения для моделирования масс М и т, скоростей
V и v и ускорения А и а:
— ==8)3
т р' /3
L
у __ т _ l 2_ __ 2i
V ~ ~ I Т ~~ т
t
(14—4)
(14—5)
4 = _£_ . J________£
а Т2 t2 т2
(14-6)
Так как сила равна массе, помноженной на ускорение, то
масштаб моделирования сил будет
F МА / , г ч V2 \ / „ с2 \
— =--------= Р Lз— : р/3(14—7)
I ma \ Т / \ I /
ИЛИ
— = р'.р.Е!_ = ме = const. (14—8)
f ?l2v2
Последнее выражение дает общий закон подобия Ньютона,
который может быть сформулирован так: в динамически подоб-
ных системах между любыми двумя соответственными силами
F и f должно существовать постоянное соотношение Ne, называ-
емое числом Ньютона.
Если на изучаемые нами системы действуют только силы
тяжести Fg и fg, то закон динамического подобия (14—8) выра-
жается проще. Действительно, для веса моделируемых тел бу-
дем иметь соотношение
или
Fg 71 L3 __ p'Z2 V2
V " 7Z3 ~ pZ2 v2
ILL Р' v
7/ р V
откуда
р' V2_______pt;2
Но
7' g' и 7 ^Pg-
Заменяя 7' и 7 , получим
(14—9)
396
XIV- Моделирование гидросооружений
Выражение (14—9) представляет собой закон гравитаци-
онного подобия, называемый законом Фруда, согласно которому
для всех подобных процессов, протекающих под влиянием силы
тяжести, величина Fr, составленная из соответственных элемен-
тов, должна иметь одно и то же значение; она называется чис-
лом Фруда.
Так как и в натуре, и на модели ускорения силы тяжести
практически равны g/== g, то закон Фруда еще более упро-
щается:
Течение открытых потоков в гидротехнических сооружениях
происходит под действием силы тяжести. Поэтому для модели-
рования гидротехнических сооружений приходится соблюдать
закон гравитационного подобия Фруда.
Тогда для подобия между скоростями, расходами и вре-
менем мы будем иметь следующие соотношения:
V2 L у V Г— /1л 11Х
—- = — = Л или — = т/ л , (14—11)
v2 I V г
откуда
-2- = -К. = X2 (14—12)
q v
И
Q = 7X2/T. (14—13)
Из (14—11) имеем
т t
откуда
— = - L— = = V~\. (14—14)
1 iV х У х
Для сил будем иметь соотношение
Fg = gL3 и fg = gls,
откуда
Fg _ _хз
fg 13
(14-15)
Для гидростатического давления будем иметь
Р __ FglQ. ^Fg ________Xs .
Р ~ Q ~ = ’
§ 14—1. Лабораторные исследования водозаборных узлов
397
т. е.
Р=р>.. (14—16)
Для уклонов дна в натуре и модели имеем
_/_____________________H/L ,
i ~ h/l ~ \ ~~ ’
т. е.
I = I. (14—17)
Для коэффициента С в натуре Си и модели См имеем
откуда, учитывая (14—11), находим
^ = 1, (14-18)
г. е. для гидравлического подобия между средними элементами
моделируемых потоков между коэффициентами в формуле Ше-
зи должно быть соблюдено равенство СН = СМ. Отсюда имеем
для коэффициентов шероховатости при определении С по фор-
муле Павловского
Яу 7?у
или заменив /?н = получим
= (14—19)
Таким образом, для того чтобы иметь право переводить в
натуру глубины, скорости, расходы и время по отношениям
(14—11), (14—12) и (14—13), необходимо, чтобы между шеро-
ховатостью на модели и в натуре существовало соотношение
(14—19).
Если в изучаемых нами системах действует только сила
внутреннего трения жидкости, определяемая ее коэффициентом
вязкости и и равная FTP = р S — , то закон динамического
dy
подобия Ньютона будет иметь другой вид.
Размерность силы трения
[FTP] = р' L* VL-1 - р' VL, [fTp] = ix vl.
Подставив отношение FTp:fTp в основной закон динамиче-
ского подобия, получим
FTP р' VL р' L2 V2 VL vl
— = —------ = l----- иди --.== ---,
/тр Р vl I2 V2 р' _р_
Р' Р
398
XIV- Моделирование гидросооружений
так как— = / а — =v (коэффициенты кинематической вязко-
Р' Р
сти), то окончательно получим
— =—=Re. (14-20)
Последнее выражение представляет собой закон моделиро-
вания, данный Рейнольдсом: для всех подобных между собой
процессов, протекающих под действием внутренних сил трения,
число Рейнольдса Re, составленное из соответственных элемен-
тов, должно быть одинаковым.
Таким образом, число Рейнольдса Re выражает условие
динамического подобия систем, находящихся под действием
только внутренних сил трения.
Следует заметить, что осуществить моделирование, одно-
временно удовлетворяющее законам Фруда и Рейнольдса, нель-
зя, так как по первому закону скорости, например, должны
удовлетворять соотношению—= у Л а по второму—=—• —,
v V V Л
чего, конечно, одновременно достигнуть невозможно. Кроме то-
го, так как испытуемая жидкость обычно бывает одинакова, то
v' = v; ускорение силы тяжести в натуре и модели обычно тоже
бывает одинаковое: g' = g.
В гидротехнических и водозаборных сооружениях основной
силой, действующей на поток, является сила тяжести. Поэтому
моделирование русел рек и гидросооружений осуществляют
обычно с соблюдением закона Фруда.
Основными задачами при лабораторных исследованиях уз-
лов водозаборов является обычно проверка и выбор наивыгод-
нейшей плановой и высотной компоновки элементов водозабор-
ного узла и создание условий, предупреждающих поступление
в водозабор шуги и льда, но вместе с тем обеспечивающих во-
дозабор необходимым количеством воды.
Практика работы некоторых крупных промышленных водо-
заборов показала, что допущенные при проектировании узлов
ошибки или недоучет некоторых факторов и отсутствие провер-
ки проекта гидроузла на модели в лаборатории весьма тяжело
сказываются при эксплуатации водозабора, заставляя для обес-
печения обслуживаемого водозабором промышленного пред-
приятия водой затрачивать большие суммы на регулирование
реки у водозабора. Этого можно было бы избежать, если бы в
свое время проект водозабора был тщательно проверен в лабо-
ратории на модели, а в проект водозабора на основе результатов
лабораторных исследований были внесены соответствующие из-
менения.
ПРИЛОЖЕНИЯ — СПРАВОЧНЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица I
Удельные сопротивления А и расходные характеристики
стальных труб (ГОСТ 3101-46)
Диаметр условного прохода в мм А (для Q в м3/сек) № Д'
125 106,2 0,009416 0,0970
150 44,95 0,02225 0,1492
175 18,96 0,05274 0,2297
200 9,273 0,1078 0,3283
225 4,822 0,2074 0,4554
250 2,583 0,3871 0,6222
275 1,535 0,6515 0,8072
300 0,9392 1,065 1,032
325 0,6088 1,643 1,282
350 0,4078 2,452 1,566
400 0,2062 4,850 2,202
Примечание. Таблица составлена для труб с толщиной стенок 10 мм.
Таблица П
Удельные сопротивления А и расходные характеристики
для неновых чугунных труб (ГОСТ 5525-50)
Внутренний диметр в мм А (для Q в м3/сек) № К Принятый расчет- ный внутренний диаметр
50 15190 0,00006583 0,008114 49
75 1 709 0,0005851 0,02419 74
100 365,3 0,002737 0,05232 99
125 110,8 0,009025 0,09500 124
150 41,85 0,02389 0,1546 149
200 9,029 0,1175 0,3428 199
250 2,752 0,3634 0,6028 249
300 1,025 0,9756 0,9877 300
350 0,4529 2,208 1,486 350
400 0,2232 4,529 2,128 400
450 0,1195 8,368 2,893 450
500 0,06839 14,62 3,824 500
600 0,02602 38,43 6,199 600
700 0,01150 86,96 9,325 700
(750) 0,007975 125,4 11,20 (750)
800 0,005665 176,5 13,29 800
900 0,003(34 329,6 18,15 900
1 000 0,001736 576,0 24,00 1 000
Примечание. Трубы диаметром 750 мм изготовляются по особому
требованию.
400
Приложения — справочные таблицы
Таблица III
Удельные сопротивления А и расходные характеристики
для неновых стальных труб (ГОСТ 3262-46)
Диаметр ус- ловного прохо- да в мм Л( для Q в м3[сек) А (для Q в л/се к) К'2 (для Q в л)сек) К в л1сек
8 225500000 225,5 0,004435 0,0666
10 32 950 000 32,95 0,03035 0,1743
15 8 809 000 8,809 0,1135 0,1065
20 1 643000 1,643 0,6086 0,7801
25 436 700 0,4367 2,290 1,513
32 93 860 0,09386 10,654 3,263
40 44 530 0,04453 22,46 4,739
50 11080 0,01108 99,25 9,50
70 2 893 0,002893 345,7 18,59
80 1 168 0,001168 856,2 29,26
100 267,4 0,0002674 1 340 61,16
125 86,23 0,0000823 12150 110,2
150 33,95 0,00003385 29 460 171,6
Таблица IV
Удельные сопротивления А и расходные характеристики для неновых стальных труб (ГОСТ 4015-48)
Диаметр условного прохода в мм А (для Q в л! сек) К1 К
400 0,2062 4,850 2,202
450 0,1089 9,183 3,030
500 0,06222 16,07 4,009
600 0,02384 41,95 6,477
700 0,01150 86,96 9,325
(750) 0,007975 125,4 11,20
800 0,005665 176,5 13,29
(850) 0,004110 243,3 15,60
900 0,003034 329,6 18,15
(950) 0,002274 439,8 20,97
1000 0,001736 576,0 24,00
(1 100) 0,001048 954,2 30,89
1200 0,0006605 1 514 38,91
(1 300) 0,0004322 2 314 48 10
1 400 0,0002918 3 427 58,54
Примечание. Трубы диаметром условного прохода 750, 850, 1 100
и 1 300 мм ГОСТ 4015-48 не предусмотрены.
Таблица V
Зависимость между высотами компактной струи SK и раздробленной
вертикальной струи S в
Высота компактной части струи Нк в м 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
Высота раздробленной струи <$в в м 7 9,5 12 14,5 17,2 20 24,5 26,8 30,5 35 40 48,5
Коэффициент а 1,19 1,19 1,20 1,21 1,22 1,24 1,27 1,32 1,38 1,45 1,55 1,67
Коэффициент ₽ 0,840 0,840 0,835 0,825 0,815 0,805 0,785 0,760 0,725 0,690 0,650 0,600
Приложения — справочные таблицы
401
Таблица VI
Значения — при #=0,167
А1
m Е 'X 0 0.5 1,0 1,5 2,0 2,5 3.0
0,10 32,30 49,10 46,90 45,00 43,90 42,60 41,59
0,12 39,40 36,60 34,60 33,00 31,75 30,80 29,80
0,14 31,30 28,45 26,60 28,44 24,40 23,46 22,40
0,16 25,60 22,96 21,20 20,04 19,10 18,30 17,60
0,18 21,44 18,98 17,40 16,00 15,48 14,85 14,23
0,20 18,25 16,00 14 53 13,52 12,75 12,16 11,52
0,25 13,20 11,18 9,93 9,08 8,48 7,86 7,49
0,30 10,20 8,32 7,21 6,53 5,98 5,56 5,20
0,35 8,20 6,51 5,51 4,92 4,55 4,11 3,78
0,40 6,81 5,20 4,35 3,82 3,43 3,12 2,89
0,50 5,04 3,61 2,91 2,48 2,20 1,96 1,78
0,60 3,97 2,67 2,07 1,74 1,50 1,33 1,20
0,70 3,25 2,06 1,58 1,27 10,75 0,948 0,85
0,80 2,74 1,64 1,20 0,965 0,815 0,708 0,628
0,90 2,37 1,36 0,953 0,751 0,626 0,540 0,439
1,0 2,08 1,113 0,770 0,602 0,498 0,426 0,375
1 2 1,67 0,808 0,531 0,405 0,333 0,279 0,243
1,4 1,39 0,618 0,386 0,288 0,232 0,195 0,168
1,6 1,19 0,473 0,291 0,213 0,169 0,141 0,122
1,8 1,04 0,378 0,225 0,162 0,128 0,106 6,091
2,0 0,921 0,308 0,179 0,127 0,100 0,084 0,070
Таблица VII
Значения — при #=0,20
Л1
0 0.5 1.0 1,5 2.0 2.5 3,0
0,10 0,12 56,60 42,80 52,90 39,30 50,40 37,00 48,40 35,30 47,40 24,00 46,10 23,00 45,00 32,10
0’14 33,60 30,40 28,40 27,10 25,90 25,10 24,00
0,16 27,40 24,40 22,60 21,30 20,30 19,50 18,80
0,18 22 ,’90 20,20 18,50 17,30 16,40 15,80 15,20
0,20 19,55 17^00 15,40 14,30 13,50 12,90 12,30
0,25 14,’00 11,30 10,50 9,57 8,96 8,30 7,80
0,30 10’80 8,75 7,58 6,86 6,28 5,86 5,47
0,35 8,65 6,84 5,76 3,12 4,76 4,31 3,96
0 40 7,16 5,44 4,54 3,98 3,58 •3,26 3,10
> 0 50 6,27 3,76 3,01 2,57 2,29 2,04 1,85
> 0 60 4,15 2,65 2,14 1,80 1,55 1,37 1,24
о’70 3,35 2’13 1,63 1,31 1,11 0,970 0,871
080 2,84 1,69 1,23 0,99 0,834 0,725 0,643
0,90 2^46 1,395 0,975 0,768 0,638 0,550 0,487
26 заК. 1593
402
Приложения — справочные таблицы
Продолжение табл. VII
X. m е х. 0 0.5 1.0 1.5 2.0 « 2.5 3,0
1.0 2,15 1,140 0,787 0,613 0,506 0,433 0,381
1.2 1,73 0,825 0,540 0,411 0,334 0,283 0,246
I,4 1,44 0,629 0,391 0,291 0,235 0,197 0,170
1.6 1,23 0,480 0,294 0,214 0,170 0,142 0,123
1,8 1,06 0,383 0,227 0,163 0,127 0,1062 0,0915
2,0 0,947 0,311 0,180 0,127 0,100 0,084 0,070
Таблица VIII
Таблица значений — при £/—0,25
Л1
х. m £ Х< 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2.5 3.0
0,10 63,00 58,90 56,20 54,00 52,80 51,20 49,90
0,12 46,90 43,50 40,80 38,90 37,40 36,40 35,40
0,14 36,90 33,40 31,20 29,70 28,40 27,40 26,30
0,16 29,90 26,70 24,60 23,20 22,10 21,13 20,50
0,18 24,90 21,90 20,10 18,80 17,90 17,21 16,50
0,20 21,00 18,40 16,70 15,50 14,70 14,00 13,30
0,25 15,05 12,70 11,30 10,30 9,65 8,96 8,50
Q.30 11,55 9,37 8,08 7,32 6,70 6,26 5,86
0,35 9,24 7,28 6,12 5,46 5,04 4,57 4,22
0,40 7,60 5,77 4,84 4,22 3,78 3,45 3,21
0,50 5,58 3,96 3,16 2,70 2,41 2,14 1,95
0,60 4,38 2,90 2,24 1,88 1,62 1,435 1,30
0,70 3,54 2,22 1,69 1,36 1,16 1,012 0,908
0,80 3,00 1,76 1,28 1,02 0,861 0,749 0,666
0,90 2,58 1,45 1,01 0,788 0,655 0,566 0,503
1.0 2,25 1,18 0,808 0,629 0,519 0,445 0,380
1,2 1,80 0,849 0,552 0,420 0,341 0,289 0,251
1,4 1,50 0,644 0,397 0,296 0,238 0,200 0,172
1,6 1,28 0,489 0,298 0,217 0,172 0,143 0,124
1,3 1,13 0,389 0,229 0,164 0,128 0,107 0,092
2,0 0,986 0,316 0,181 0,128 0,100 0,084 0,070
Приложения — справочные таблицы
403
Таблица IX
Значения — при у « 0,167
__________ К 1______________
•к m 3 \ 0 0.5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
0 — 5,46 2,00 1,20 0,855 0,668 0,550
0,25 0,5 5,88 2,98 1,97 1,46 1,13 0,965 0,810 0,725 0,636 0,585 0,517 0,493 0,446
0,75 3,17 1,43 0,915 0,668 0,560 0,467 0’414
1 2,08 1,11 1,770 0,608 0,500 0,426 0,375
1,25 1,52 0,95 0,658 0,530 0,460 0,389 0,346
1,5 1,173 0,76 0,576 0,477 0,409 0,360 0,322
2 0,800 0,572 0,457 0,391 0,345 0,309 0^280
3 0,467 0,374 0,320 0,287 0,262 0,240 0,224
4 0,328 0,278 0,246 0,226 0,210 0,197 0,180
6 0,202 0,180 0,166 0,156 0,149 0,144 0,137
7 0,169 0,153 0,144 0,137 0,131 0,125 0,121
8 0,145 0,134 0,125 0,120 0,116 0,112 0,102
' 9 0,127 0,118 0,112 0,108 0,105 0,101 0,0985
10 0,113 0,106 0,101 0,0975 0,094 0,092 0,090
Таблица X
Значения — при ^=0,20
Л 1
m 3 X. 0 0,5 1,о 1,5 2,0 2.5 3.0
0 — 5,72 2,07 1,233 0,880 0,684 0,563
0,25 — 3,09 1,50 0,982 0,745 0,600 0,604
0,5 0,10 2,03 1,16 0,825 0,648 0,527 0,455
0,75 3,30 1,46 0,94 0,705 0,567 0,477 0,425
1,0 2,10 1,14 0,78 0,612 0,510 0,434 0,380
1,25 1,53 0,925 0,67 0,542 0,455 0,397 0,367
1,5 1,203 0,775 0,588 0,483 0,417 0,305 0,327
2,0 0,815 0,580 0,463 0,397 0,350 0,813 0,286
3,0 0,477 0,380 0,325 0,291 0,266 0,244 0,226
4,0 0,333 0,280 0,248 0,228 0,212 0,198 0,187
5,0 0,252 0,220 0,200 0,188 0,177 0,167 0,160
6,0 0,203 0,181 0,169 0,159 0,151 0,144 0,138
7,0 0,170 0,155 0,145 0,138 0,131 0,126 0,122
8,0 0,146 0,134 0,126 0,121 0,117 0,112 0,109
9,0 0 128 0,119 0,113 0,109 0,106 0,102 0,099
10,0 0,114 0,107 0.102 0^098 0,095 0,093 0,090
404
Приложения — справочные таблицы
Таблица XI
Таблица значений при £/=0,25
\. m
Р 0 0.5 1,0 1,5 2 2,5 3,0
0 — 0,14 2,18 1,280 0,915 0,712 0,583
0,25 3,30 1,57 1,050 0,778 0,622 0,520
0,5 6,68 2,14 1,207 0,855 0,672 0,543 0,472
0,76 3,52 1,535 0,977 0,754 0,590 0,492 0,441
1,0 2,28 1,190 0,815 0,632 0,527 0,448 0,392
1,25 1,64 0,960 0,693 0,556 0,471 0,407 0,362
1,5 1,26 0,800 0,604 0,497 0,429 0,375 0,336
2 0,845 0,596 0,475 0,406 0,360 0,322 0,292
3 0,487 0,388 0,330 0,296 0,270 0,248 0,232
4 0,340 0,284 ' 0,252 0,231 0,215 0,202 0,190
5 0,456 0,224 0,203 0,189 0,180 0,169 0,163
6 0,207 0,185 0,170 0,160 0,153 0,146 0,140
7 1,171 0,156 0,146 0,139 0,133 0,128 0,124
8 0,147 0,135 0,128 0,122 0,118 0,114 0,111
9 0 129 0,119 0,113 0,110 0,106 0,103 0,100
10 0,115 0,107 0,102 0,099 0,096 0,094 0,091
Таблица XII
Значения безразмерных функций В. Г. Лобачева
Круглое сечение
h = d X (Е) Г (Н) в (Е) 2 ® А (Е)
0,050 0,451 0,0149 0,436 130 949 455 714
0,055 0,473 0,0169 0,450 98 942 296078
0,060 0,495 0,0192 0,475 66 636 204 985
0,065 0,516 0,0217 0,493 48 525 145 991
0,070 0,536 0,0240 0,510 36148 105 729
0,075 0,555 0,0258 0,527 27 489 79 536
0,080 0,573 0,0294 0,540 21 277 60 488
0,085 0,592 0,0322 0,558 16 727 46 333
0,090 0,609 0,0350 0,572 13 350 37 694
0,095 0,627 0,0379 0,586 10 765 29 305
0,10 0,645 0,0409 0,600 8 786 23 618
0,11 0,676 0,0470 0,626 • 6025 15 871
0,12 0,707 0,0530 0,650 4 271 11003
0,13 0,737 0,0599 0,673 3 122 7 902
0,14 0,767 0,0668 0,694 2 328 5 803
0,15 0,795 0,0738 0,714 1 773 4 361
0,16 0,823 0,0811 0,733 1 373 3 338
0,17 0,850 0,0886 0,751 1 080 2 599
0,18 0,876 0,0961 0,768 855,5 2 062
' Приложения — справочные таблицы 405
Продолжение табл, ХП
h 5= т X© Г ® В © 2 © А©
0,19 0,902 0,1039 0,784 699,5 1651
0,20 0,927 0,1118 0,800 527,2 1 343
0,22 0,976 0,1281 0,828 393,9 914,5
0,24 1,024 1,1449 0,854 280,5 640,7
0,26 1,070 0,1628 0,877 203,3 464,4
0,28 1,115 0,1800 0,898 153,9 351,0
0,30 1,159 0,1981 0,916 117,0 263,4
0,32 1,202 0,2160 0,932 91,72 209,4
0,34 1,245 0,2350 0,947 72,56 166,1
0,36 1,286 0,254 0,960 58,21 133,90
0,38 1,328 0,273 0,970 47,26 102,40
0,40 1,369 0,293 0,979 38,76 90,54
0,42 1,410 0,313 0,987 32,17 75,99
0,44 1,450 0,332 0,992 26,92 64,31
0,46 1,490 0,352 0,996 22,71 54,91
0,48 1,530 0,372 0,999 19,30 47,35
0,50 1,570 0,392 1,000 16,51 41,17
0,52 1,610 0,412 0,999 14,21 36,92
0,54 . 1,650 0,432 0,996 12,30 31,85
0,56 1,691 0,452 0,992 10,71 28,31
0,58 1,731 0,472 0,987 9,366 25,33
0,60 1,772 0,491 0,979 8,230 22,81
0,62 1,813 0,511 0,970 7,252 20,65
0,64 1,854 0,530 0,960 6,416 18,81
0,66 1,896 0,549 0,947 5,699 17,22
0,68 1,939 0,568 0,932 5,071 15,86
0,70 1,982 0,581 0,916 4,526 14,68
0,72 2,026 0,605 0,897 4,047 13,66
0,74 2,071 0,622 0,877 3,635 12,81
0,76 2,117 0,640 0,854 3,251 12,00
0,78 2,165 0,657 0,828 2,917 11,34
0,80 2,214 0,673 0,800 2,617 10,73
0,82 2,265 0,689 0,768 2,346 10,28
0,84 2,318 0,704 0,733 2,098 9,873
0,86 2,374 0,718 0,693 1,870 9,532
0,88 2,434 0,732 0,649 1,656 9,262
о,so 2,498 0,7445 0,600 1,453 8,936
0,92 2,568 0,7559 0,542 1,255 8,936
0,94 2,646 0,7661 0,474 1,056 8,889
0,96 2,738 0,7725 0,391 0,849 9,057
0,98 2,857 0,7816 0,280 0,586 9’,218
1,00 3,141 0,7853 0,000 0,000 10,290
406
Приложения — справочные таблицы
Таблица ХШ
™ Значения безразмерных функций В. Г. Лобачева
Шатровое сечение
h Е = н X ($) F© в © 2 © А ©
0,064 0,803 0,328 0,791 22 353 65 892
0,07 0,836 0,037 0,0822 15 363 43935
0,08 0,878 0,046 0,858 8 779 23994
0,09 0,928 0,0548 0,886 5 374 14 440
0,10 0,942 0,0638 0,909 3 498 8900
0,11 0,970 0,0730 0,927 2 384 5905
0,12 0,995 0,0823 0,943 1 688 4 088
0,13 1,019 0,0918 0,956 1233 2 932
0,14 1,042 0,1014 0,967 925,5 2167
0,15 1,064 0,1112 0,976 710,0 1642
0,16 1,085 • 0,1210 0,984 555,3 1 272
0,17 1,106 0,1308 0,990 441,5 1005
0,18 1,127 0,1408 0,994 356,1 807,3
0,19 1,147 0,1507 0,997 291,0 658,2
0,20 1,167 0,1607 0,999 240,5 543,9
0,2083 1,184 0,1690 1,000 206,9 468,7
0,22 1,207 0,1812 0,999 167,9 381,5
0,24 1,247 0,2019 0,999 121,2 277,7
0,26 1,287 0,2228 0,997 90,1 208,6
0,28 1,327 0,2436 0,995 68; 83 161,5
0,30 1,367 0,2642 0,992 53,74 128,1
0,32 1,407 0,2848 0,988 42,75 103 7
0,34 1,448 0,3053 0,983 34,54 85,47
0,36 1,488 0,3255 0 977 28,30 71 49
0,38 1,528 0,3459 0 971 23,47 60,61
0,40 1,569 0,3659 0,964 19,67 52,01
0,42 1,610 0,3858 0,956 16,64 45,12
0,44 1,651 0,4055 0,947 14,21 39,52
0,46 1,692 0,4250 0,0938 12,21 34,93
0,48 1,733 0,4442 0,927 10,57 31,13
0,50 1,775 0,4632 0,916 9,223 27,95
0,55 1,880 0,5093 0,884 6,695 21,99
0,60 1,987 0,5533 0,867 5,118 17,96
0,65 2,096 0,5948 0,803 3,817 15 15
0,70 2,2081 0,6334 0,753 2,963 13 17
0,75 2,323 0,6687 0,696 2,328 11,85
0,80 2,442 0,7000 0,631 1,840 10 79
0,85 2,566 0,7270 0,557 1,451 10,17
0,8818 2,588 0,7375 0,508 1,269 9,804
0,90 2,636 0,7464 0,476 1,145 9,652
0,92 2,692 0,7555 0,433 1,005 9,536
0,94 2,760 0,7637 0,381 0,857 9,511
0,96 2,836 0,7707 0,317 0,6928 9,564
0,98 2,934 0,7762 0,228 0,4881 9,773
1,00 3,167 0,7792 0,000 0,0000 10,680
Примечание.
b я» d ж Н.
За основной размер сечения в таблице принято
Приложения — справочные таблицы
407
Таблица XIV
Значения безразмерных функций В. Г. Лобачева
Овоидальное сечение
е X (Е) F (Е) В (Е) 2 (Е) А (Е)
0,08 1,026 0,145 0,859 283,60 651,20
0,12 1,318 0,258 1,024 59,74 132,42
0,16 1,600 0,390 1,173 19,82 43,19
0,20 1,875 0,539 1,307 8,362 18,17
0,24 2,143 0,703 1,427 4,121 8,457
0,28 2,406 0,881 1,533 2,246 4,930
0,32 2,664 1,070 1,627 1,327 2,944
0,36 2,918 1,271 1 711 0,834 1,877
0,40 3,168 1,481 1,828 0,549 1,458
0,44 3,416 1,698 1,844 0,377 0,881
0,48 3,661 1,923 1,895 0,267 0,638
0,52 3,905 2,153 1,935 0,194 0,477
0,56 4,147 2,387 1,966 0,146 0,366
0,60 4,388 2,624 1,987 0,110 0,287
0,64 4,628 2,863 1,998 0,0851 0,2332
0,68 4,862 3,013 1,998 0,0668 0,1893
0,70 4,988 3 223 1,990 0,0594 0,1725
0,72 5,109 3,342 1,974 0.0529 0,1577
0,74 5,232 3 459 1,951 0,0475 0 1462
0,76 5,356 3,576 1,920 0,0420 0,1340
0,78 5,482 3,690 1,881 0 0374 0,1245
0,80 5,611 3,801 1,833 0,0334 0,1163
0,82 5,744 3,909 1,776 0,0297 0 1093
0,84 5,882 4,014 1,708 0,0264 0,1033
0,86 6,025 4,114 1,629 0,0234 0,0982
0,88 6,177 4,209 1,537 0,0206 0,0941
0,90 6,339 4,298 1,428 0,0180 0,0908
0,91 6,422 4 340 1,367 0,0167 0,0895
0,92 6,515 4,380 1,300 0,0155 0,0885
0,93 6,610 4,418 1,226 0,0142 0,0876
0,94 6,711 4,454 1,144 0,0130 0,0871
. 0,95 6,820 * 4,487 1,054 0,0117 0,0868
0,96 6,940 4,517 0,950 0,0103 0,0869
0,97 7,075 4,544 0,829 0,0088 0,0874
0,98 7,233 4,566 0,682 0,0072 0,0886
0,99 7,438 4,584 0,486 0,0050 0,0908
1,00 7,930 4,594 0,000 0,0000 0,0810
Примечание. За основной размер сечения
а таблице принят Ь=«г;
h
(Н**3г) ~ .
п
408
Приложения — справочные таблицы
Таблица XV
К построенною кривых свободной поверхности
по способу Н. Н. Павловского при i > 0
X П (х) д X П (х) д
0,001 0,0010 / 1,008 2,7627 0,0586
0,01 0,0100 0,0090 1,009 2,7041 0,0524
0,05 0,0507 0,0407 1,010 2,6517 0,2015
0,10 0,1003 0,0496 1,015 2,4502 0,1426
0,15 0,1511 0,0508 1,020 2,3076 0.1Ю4
0,20 0,2027 0,0516 1,025 2,1972 0,0899
0,25 0,2554 0,0527 1,030 2,1073 0,0758
0,30 0,3095 0 0541 1,035 2,1315 0,0656
0,35 0,3654 О;0590 1,040 1,9659 0,0576
0,40 0,4237 0,0583 1,045 1,9083 0,0515
0,45 0 4857 0,0610 1,050 1,8568 0,0887
0,50 0,5493 0,0646 1,06 1,7681 0 0747
0,55 0,6184 0,0691 1,07 1,6934 0,0643
0,60 0,6932 0,0748 1,08 1,6291 0,0565
0,65 0,7753 0,0821 1,09 1,5726 0,0503
0,70 0,8673 0,(920 1,10 1,5223 0,2010
0,75 0,9730 0,1057 1,15 1,3213 0,1223
0,80 1,0986 0,1256 1,20 1,1990 0,10С4
0,82 1,1568 0,0582 1,25 1,0986 0,0801
0,84 1,2212 0,0644 1,30 1,0185 0,0664
0,86 1,2933 0,0721 1,35 0,9521 0,0562
0,88 1,3758 0,0825 1,40 0,8959 0,0486
0,90 1,4722 0,0964 1,45 0,8473 0,0426
0.91 1,5275 0,0553 1,50 0,8047 0,0715
0,92 1,5890 0,0615 1,60 0,7332 0,0582
0,0694 1,70 0,6750 0,0486
0,930 1,6584 1,80 0,6264 0,0414
0,940 1,7381 0,0797 1,90 0,5850 0,0357
0,950 1,8318 0,0937 2,00 0,5493 0,0589
0,955 1,8858 0.0540 2,2 0.4904 0.0467
0,960 1,9459 0,0601 2,4 0,4437 0,0382
0,965 2,0140 0,0681 2,6 0,4055 0 0319
0,970 2,0923 0,0783 2,8 0,3736 0,0270
0,975 2,1847 0,0924 3,0 0,3466 0,0527
0,980 2,2976 0,1129 3,5 0,2939 0,0385
0,982 2,3508 0,0532 4,0 0,2554 0,0294
0,984 2,4101 0,0593 4,5 0,2260 0,0233
0,986 2,4774 0,0672 5,0 0,2027 0,0345
0,988 2,5550 0,0776 6,0 0,1682 0,0244
0,990 2,6467 0,0917 7,0 0,1438 0,0181
0,991 2,6996 0,0529 8,0 0,1257 0,0141
0,992 2,7587 0,0591 9,0 0,1116 0,0113
0,993 2,8258 0,0671 10,0 0,1003 0,0335
0,994 2,9031 0,0773 15,0 0,0668 0,0268
0 995 2,9945 0,0914 25,0 0,0400 0,0200
Г, 005 2,9970 0,0909 50,0 0,0200 0,0100
1,006 2,9061 0,0868 100,0 0,0100
1 ,007 2,8293 0,0666
СПИСОК ОПЕЧАТОК
с. й
Строка
Напечатано
Должно быть
6 8 сверху j , Моделирование гидросоору- Моделирование гидросоору-
394 2—3 и / жений и основные научные жений
проблемы гидравлики
du 1
19 4 снизу — - —— du j 1
dy с ж* dy сек’
45 16 . *» е >
„ &Р дих 1 Х = —* - - — --=0; 1 др dux )
р дх dt р дх dt
1 др диу „ 1 др du и
66 8—10 . Y — —. — < =0; р ду dt (3-8) г~7"$~'а "Мм
2 = 2. Д _ =0 р дг dt J_ с>р duz 4. — • —- “ ’ ==U. р dz dt
66 16 сверху дих , , < ди-х m — ~ odxdy dz — dt dt du du у m~ = ?dxdydz~ dt at
66 1 снизу dVy dvz —г и •—. duv du у —у, и *.
dt dt dt dt
113 2 сверху Уравнение (4—14 ) Второй член в уравнении
(4-И)
138 3 , (4-81) (4—65)
139 5 снизу (4—CO) (4—66)
171 з : 0,854 0,93% 85 4- 93%
193 Фиг. 6—10 Qt Qnon ~ pl Qt — С?пол — ql
299 8 сверху I « ‘77
H н
307 6 „ (cm. § 3—14) (см. § 3-11)
343 12 снизу При прямоугольном При непрямоугольном
349 Фиг. 11—2 Размер T'o показан от дна То отсчитывается, как и
верхнего бьефа от уровня дна колодца (пунк-
тир)
350 Фиг. 11—3 Перед порогом — t Перед порогом — С
после порога — с после порога — t
373 9 снизу /19— (1J-22)
ТИПОГРАФИЯ № 1
Государственного Издательства литературы
по строительству и архитектуре
г. Владимир, Б-Ременники, дом Ks 186
КОНТРОЛЕР № 6
При обнаружении дефекта просим
возвратить книгу с этим ярлыком