СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО МАШИНОСТРОИТЕЛЬНОЙ
ГИДРАВЛИКЕ
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО
МАШИНОСТРОИТЕЛЬНОЙ
ГИДРАВЛИКЕ
Издание третье,
переработанное и дополненное
Под редакцией И. И. КУКОЛЕВСКОГО и Л. Г. ПОДВИДЗА
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов машиностроительных, специальностей
высших учебных заведений
Москва
«МАШИНОСТРОЕНИЕ»
1972
УДК 621—82 (075.8)
С 23
Сборник задач по машиностроительной гид-
равлике. Бутаев Д. А., Калмыкова
3. А., Подвидз Л. Г. и др., М., «Ма-
шиностроение» 1972, 472 с.
В сборнике излагается обширный методи-
ческий материал и большое число (свыше 500)
разнообразных по содержанию и степени
сложности задач, с достаточной полнотой
охватывающих основные разделы «Гидрав-
лика», «Гидравлические машины» и «Гидрав-
лический привод».
Предлагаемые задачи разработаны авто-
рами на кафедре гидравлики и гидромашин
МВТУ им. Н. Э. Баумана и являются в боль-
шинстве оригинальными.
Сборник предназначен для студентов ма-
шиностроительных и механических специаль-
ностей высших учебных заведений. Он пред-
ставляет интерес также для широкого круга
специалистов, занимающихся гидравличе-
скими расчетами./Габл. 2, илл. 580.
Рецензент канд. техн, наук П. С. Слисский
3-3-6
187—72
СОДЕРЖАН ИЕ
Предисловие ........................................................ 4
Часть I
ГИДРОСТАТИКА
Глава I. Давление в покоящейся	жидкости............................. 7
Введение ........................................................ 7
Задачи ......................................................... 14
Глава II. Силы давления покоящейся жидкости на плоские стенки . . .	33
Введение .....................................................   33
Задачи ......................................................... 39
Глава ИГ Силы давления покоящейся жидкости на криволинейные
стенки. Плавание тел ........................................ 51
Введение ....................................................... 51
Задачи ......................................................... 59
Глава IV. Равновесие жидкости	в	движущихся сосудах................ 75
Введение ....................................................... 75
Задачи ......................................................... 89
Часть II
ГИДРОДИНАМИКА
Глава V. Гидродинамическое подобие. Режимы движения жидкости . .	104
Введение .................................................... 104
Задачи ...................................................... 112
Глава VI. Истечение жидкости через отверстия, насадки и водо-
сливы ....................................................... 123
Введение .................................................... 123
Задачи ...................................................... 135
Глава VII. Местные сопротивления. Приборы для измерения расхода
и скорости. Элементы систем гидроавтоматики ................. 148
Введение ..................................................   148
Задачи ...................................................    155
Глава VIII. Ламинарное движение жидкости........................ 187
Введение .................................................... 187
Задачи ...................................................... 207
Глава IX. Расчет простых трубопроводов.......................... 226
Введение .................................................... 226
Задачи ...................................................... 241
Глава X. Расчет сложных трубопроводов........................... 266
Введение .................................................... 266
Задачи ...................................................... 285
Глава XI. Истечение под переменным напором...................... 305
Введение .................................................... 305
Задачи ...................................................... 318
Глава XII. Неустановившееся движение жидкости................... 338
Введение ..................................................   338
Задачи ...................................................... 356
Глава XIII. Взаимодействие потока с ограничивающими его стен-
ками. Гидравлические машины  ..............................  .	379
Введение .................................................... 379
Задачи	.......................................   388
Г лава XIV.	Работа насосов на сеть.............................. 409
Введение .......................................... .......	409
Задачи ...................................................... 426
Приложения....................................................	466
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый вниманию читателей «Сборник
задач по машиностроительной гидравлике» представ-
ляет пособие по курсу гидравлики, гидравлических
машин и гидравлических приводов для машинострои-
тельных и механических специальностей высших
учебных заведений.
z Основное назначение сборника — дать изучаю-
щим гидравлику материал, который позволит выра-
ботать навыки применения теоретических сведений
к решению конкретных задач технического характера
и тем самым освоить практику гидравлических
расчетов.
Сборник содержит большое число (свыше 500)
разнообразных по тематике и степени сложности
задач, с достаточной полнотой охватывающих все
основные разделы машиностроительной гидравлики.
Многие задачи посвящены вопросам функциониро-
вания различных гидравлических машин и гидрав-
лических приводов.
Каждая глава сборника снабжена введением, ко-
торое содержит краткие сведения из теории, касаю-
щейся материала данной главы, методические ука-
зания и примеры решения некоторых типовых задач.
Методические указания даются также к решению
некоторых более сложных задач, требующих осо-
бого подхода или дополнительных сведений.
В приложениях даются материалы справочного
характера, которые необходимы для решения задач.
Предлагаемые в сборнике задачи разрабатыва-
лись авторами в течение ряда лет и в большинстве
своем являются оригинальными.
Опыт преподавания гидравлики показывает, что
сознательное овладение курсом возможно только на
основе систематического решения задач — процесса,
который развивает -самостоятельное инженерное
мышление.
4
При разработке сборника ставилась цель добиться
возможно более широкого тематического разнообра-
зия, индивидуализации и нестандартности задач;
многие из них имеют повышенную сложность и тре-
буют вариантного.анализа результатов решения.
Широко используются графические методы решения,
дающие возможность просто и наглядно проанали-
зировать влияние различных факторов на резуль-
таты.
Объектами большинства задач выбраны раз-
нообразные гидравлические устройства, механизмы
и машины, широко применяемые в современной тех-
нике, что способствует расширению технического
кругозора.
Преподаватели машиностроительных вузов могут
использовать сборник в качестве пособия для под-
готовки упражнений и семинаров, а также для при-
влечения слушателей к углубленной работе над кур-
сом. Наличие в сборнике обширного и разнообраз-
ного, материала позволяет надеяться, что он предста-
вит интерес и для широкого круга читателей, стал-
кивающихся в своей практической деятельности
с гидравлическими расчетами.
Каждому, кто пожелает воспользоваться мате-
риалами задачника для лучшего усвоения основ
гидравлики и развития своих практических навыков
в решении конкретных задач, можно рекомендовать
следующий, по нашему мнению, наиболее плодо-
творный путь.
Ознакомившись с соответствующим введением и
методическими указаниями по решению типовых
задач, следует переходить к самостоятельному реше-
нию нескольких задач выбранной главы, подвергая
каждую задачу детальному исследованию, выясняю-
щему влияние различных факторов на результат
решения, не стремясь при этом к увеличению коли-
чества решаемых задач.
В новом издании сборник задач существенно пере-
работан в связи с использованием Международной
системы единиц СИ. Таблица принятых в сборнике
единиц измерения с их обозначениями помещена
в конце сборника (приложение 5).
Третье издание дополнено рядом новых задач.:
Наибольшее развитие по сравнению с предыдущим
5
изданием получили разделы местных сопротивлений,
простых и сложных трубопроводов, гидравлического
удара, работы объемных насосов. Введены новые
задачи на элементы систем гидроавтоматики. Вне-
сены улучшения в некоторые задачи предыдущего
издания. Устранены замеченные неточности и опе-
чатки. Переработаны и дополнены введения к ряду
глав сборника. Новые задачи помещены в конце
каждой главы; нумерация задач предыдущего изда-
ния оставлена почти без изменений.
Сборник составлен:
гл. I и X — 3. А. Калмыковой; гл. II — Б. И. Янь-
шиным; гл. III — К. Н. Поповым; гл. V, IX и XIII —
Л. Г. Подвидзом; гл. VIII и XII —С. Н. Рождест-
венским; гл. IV — 3. А. Калмыковой и Л. Г. Под-
видзом; гл. VI и VII — Л. Г. Подвидзом и Д. А. Бу-
таевым; гл. XI — Л. Г. Подвидзом и С. Н. Рожде-
ственским; гл. XIV — 3. А. Калмыковой, Л. Г. Под-
видзом и К. Н. Поповым.
В подготовке сборника оказали помощь авторам
В. В. Шульгин, В. В. Мишке, С. Д. Пономарев,
Б. Б. Некрасов, Ю. Л. Кирилловский и Л. К. Ля-
ховский. Авторы выражают этим лицам свою ис-
креннюю признательность.
Авторы посвящают данную работу памяти своего
учителя И. И. Куколевского, который был ее первым
редактором.
ЧАСТЬ I
ГИДРОСТАТИКА
ГЛАВА /
ДАВЛЕНИЕ В ПОКОЯЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ
ВВЕДЕНИЕ
Давлением в покоящейся жидкости называется напря-
жение сжатия (рис. 1-1)
ДР	/т
Ра = Пт -др-,	. (1-1)
где ра — давление в точке А;
AF — элементарная площадка, содержащая точку Л;
ДР — сжимающая сила, действующая на площадку
ДР.
Давление направлено по нормали к площадке, его
величина не зависит от ориентировки площадки в про-
странстве .и является функцией
координат точек жидкости:
Р = f (х, У, Z).	(1-2)
В международной системе еди-
ниц физических величин единицей
измерения давления является
1 Н!м* — паскаль (Па). Более
удобными для практического ис-
пользования являются кратные
единицы — килопаскаль (кПа) и
мегапаскаль (МПа):
1кПа = 103 Па; 1МПа - 106 Па.
Давление, представляющее полное напряжение сжа-
тия от действия всех внешних сил (поверхностных и
массовых), приложенных к жидкости, называется абсо-
лютным давлением.
7
В технике удобно отсчитывать давление от условного
нуля, за который принимается давление атмосферного
воздуха, на поверхности земли примерно равное 100 кПа.
В этом случае величина давления показывает избыток
абсолютного давления р над атмосферным рат и назы-
вается избыточным давлением ри\
Ри Р Рат-
(1-3)
Избыточное давление отрицательно, если абсолютное
давление меньше атмосферного. Недостаток давления
тяжести (рис. 1-2), давление
закону
до атмосферного назы-
вается вакуумом рв> кото-
рый, следовательно, вы-
р ажается соотношени я ми:
Рв = Рат — Р (1-4)
или
Рв = —Ри- (1-5)
В однородной несжи-
маемой жидкости, покоя-
щейся под действием силы
нарастает с глубиной по
Рг = Pi + Pgh,	(1-6)
где — давление в произвольной точке 1 жидкости;
р2 — давление в точке 2 на глубине h, отсчитанной
от уровня точки /;
р — плотность жидкости;
g — ускорение свободного падения.
Эта зависимость представляет основной закон равно-
весия жидкости в однородном поле силы тяжести.
Поверхностями уровня (поверхностями равного дав-
ления) в рассматриваемом случае равновесия жидкости
являются горизонтальные плоскости.
При определении давления в точках жидкости, запол-
няющей открытый в атмосферу сосуд, удобно в качестве
исходной точки 1 брать точку на свободной поверхности,
где известно действующее на жидкость внешнее давление,
равное атмосферному рат.
В этом случае абсолютное давление в произвольной
точке жидкости
Р = Рат + PgH,	(1-7)
ь
| Pam
Ри Пьезометрическая
Pa=P9H	P^Po+P9h
Рис. 1-3
жидкости (действующее на
где Н — глубина расположения точки под уровнем
жидкости.
Избыточное давление, создаваемое в данном случае
только весом жидкости
ри = PgH.	(1-8)
Так, для воды (р = 1000 кг/м3) избыточное давление
на глубине Н = 10 м равно (при g = 9,81 м/с2) ри =
= 98,1 кПа.
Формула (1-8) дает воз-
можность выражать избы-
точное давление в любой
точке жидкости пьезомет-
рической высотой, т. е.
величиной Н заглубления
данной точки под пьезо-
метрической плоскостью—
плоскостью атмосфер ного
давления, проходящей че-
рез уровень в пьезометре,
присоединенном к сосуду
(рис. 1-3).
В случае закрытого
сосуда с избыточным да-
влением на поверхности
жидкость внешнее давление р0 больше окружающего
атмосферного давления рат) пьезометрическая плоскость
располагается выше свободной поверхности жидкости на
ЛОа = Ро~Рат = Р^	(J .9)
°и Pg Pg	V '
где Рои — избыточное давление на поверхности жидкости.
В случае вакуума на свободной поверхности (р0 <3
<Zpam) пьезометрическая плоскость располагается ниже
поверхности жидкости на
/г0„ =	= р™.	(МО)
°* pg	pg ’	v ’
где рОв — вакуум на поверхности жидкости (рис. 1-4).
Помещенные в данной главе задачи на определение
давления в несжимаемой жидкости могут быть решены
с помощью уравнений, выражающих:
1)	условие равновесия жидкости;
2)	условие равновесия твердого тела, на которое дей-
ствует сила давления со сторону жидкости;
9.
3)	условие постоянства объемов жидкости в рассма-
триваемой системе при ее переходе из одного равновесного
состояния в другое. При наличии в системе газа, объем
которого изменяется с изменением равновесия системы,
к перечисленным выше уравнениям добавляется урав-
нение состояния газа.
Для иллюстрации рассмотрим некоторые примеры..
Пример 1 (рис. 1-5). Определить давление газа в бал-
лоне по показанию h двухжидкостного чашечного микро-
т	манометра, заполненно-
’ т	го жил костями. имею-
Рис. 1-4
Рис. 1-5
р2, если задано отношение диаметров трубки и чашки
прибора dID.
Для определения давления прежде всего применим
закон равновесия несжимаемой жидкости, из которого
следует, что в жидкости р2 на уровне I—I давление в труб-
ках манометра одинаково.
В правой трубке оно создано атмосферным давлением
рапг и весовым давлением столба жидкости рх. Так как
высота этого столба неизвестна, введем размер х, как
указано на рис. 1-5.
Тогда
Pl = Рат + Pig (А +х).	(Ml)
В левой трубке давление на уровне I—I создается
давлением р газа в баллоне и весовым давлением жидко-
стей рх и р2.
Для выражения давления через указанные величины
введем еще- один размер А/i, представляющий разность
уровней жидкости рх в чашках прибора,
10
тогда
Pi = Р + Pig (х + A/i) + p^gh.	(1-12)
Сравнивая соотношения (I-11) и (1-12), получим
Р + Pig (X + АЛ) + p2g/i = рат + Pig (h + x),
откуда
P = Pam — (p2 — Pl) gh — pigA/l.	(1-13)
Как видно из полученного результата, использование
закона равновесия несжимаемой жидкости недостаточно
для решения задачи, так как в уравнении (1-13) вели-
чина АЛ неизвестна.
Для определения Ай применим уравнение постоян-
ства объема жидкости в системе:
nD2 Л 1 nd2 ,
—v— АЛ = —т— Л;
4	4	’
Подставив полученное выражение для АЛ в соотно-
шение (1-13), получим
Р = Рат — (Р2 — Pl)g/l— Plg^h. (1-14)
Поскольку р1<р2, имеем р <^panv т. е. давление
в баллоне меньше атмосферного.
Вакуум в баллоне
Pe = (p2 — Pi)gA + Pig-^- h.	(1-15)
Если d < D, можно принять
рв = (р2 — Pi) gh.
Подбором несмешивающихся жидкостей с близкими
значениями плотности можно получить достаточно боль-
шие показания h прибора при измерении малых величин
избыточного давления или вакуума в газе.
Пример 2 (рис. 1-6). Прибор для измерения разности
давлений в газах состоит из сосуда Л, наполненного до
некоторого уровня ртутью, и плавающего в ртути коло-
кола Д. Большее давление рг подводится под колокол,
меньшее р2 — в пространство над кодоколом. При ра-
венстве давлений р1 = р2 колокол занимает определен-
11
ное начальное положение, из которого смещается вверх
под действием разности давлений.
Установить зависимость между подъемом колокола t
и разностью давлений р± — р2 при размерах сосуда и
колокола, указанных на рис. 1-6, а.
Обозначим первоначальное (при рг = р2) заглубле-
ние колокола через а, величину опускания уровня ртути
внутри колокола (при рг > р2) через у и величину под-
нятия уровня ртути снаружи колокола при этом через х
(рис. 1-6, б).
Рис. 1-6
Воспользуемся уравнением (1-16) равновесия ртути
в приборе
Pl = р2 + pg (х + у}	(1-16)
(где р — плотность ртути) и уравнением равновесия ко-
локола
jtDo	ч л (d£ — D?)
Р1 —4--HPi + (я — У — 01------4	= + Ръ “ >
где G — вес колокола.
Так как по условию равновесия колокола в начальном
положении
G==p^^(Di-D|),
получим
к Л (^2 —	л^2	. -т
Р1 —4----РЯ (У + 0-----4 == Pl —4~ •	(Ы7)
12
Условие постоянства объема ртути в приборе дает:
n(Dl-Dl) n(Dl-DT) niDl-Dl)
к..2-4-..J/../ + ^-J4...х. (1-18)
Эта система трех уравнений (1-16)—(1-18), содержа-,
щая четыре переменных величины (рх — р2), х, у, t,
позволяет исключить две промежуточные переменные х
и у и получить искомое соотношение между t и (рх — р2):
pg
DlD^Dpl
(1-19)
Следует отметить линейность шкалы прибора, масштаб
которой можно изменять выбором соответствующих диа-
метров.
Пример 3 (рис. 1-7). Запол-
ненный атмосферным воздухом
тонкостенный колокол, диамет-
ром D и высотой Н, опускается
в воду под действием собствен-
ного веса.
Считая закон сжатия воз-
духа под колоколом изотерми-
ческим, найти зависимость ме-
Рис. 1-7
жду глубиной h погружения колокола, и его весом G.
Обозначим избыточное давление воздуха в погружен-
ном колоколе ри и высоту его заполнения водой Ь. Со-
ставим уравнение равновесия колокола
nD*
4
Ри
(1-20)
и уравнение равновесия жидкости
Ри = f>g(h— b).	(1-21)
Уравнение изотермического процесса сжатия воздуха
(Ри + Рат) (Н - Ь) = Рат Н, (1-22)
где Рат — начальное атмосферное давление в колоколе.
Полученные уравнения содержат три неизвестных:
Ри, h, b.
13
Подставляя ри из уравнения (1-20) и & из уравнения
(1-22) в (1-21), получим искомую зависимость
О ч
лР2 Н
h = —-----+  г--- '-------.	(1-23)
pg nD2 1 G	v ’
~~T~	~ nD2 ±Pam
4
Из уравнения (1-23) можно найти максимальный вес
колокола Gmax, при котором он целиком погрузится
в воду. Положив h = Я, получим
^тах 4 Рат (, 4 @ат	2	*
Задачи
Задача 1-1. Каково показание х ртутного барометра,
помещенного в водолазном колоколе, если поверхность
воды (р = 1025 кг/м3) в
К задаче 1-1
веду-
запол-
колоколе на 12 м ниже уровня
моря, а показание барометра
на поверхности моря 750 мм
рт. ст.? Как установится ртуть
в трубке манометра с «постоян-
ным» нулем, если манометр
присоединить к крану А колоко-
ла? Как она установится, если
манометр присоединить к крану
В? Считать, что при измерениях
соединительная трубка,
щая к чашке прибора,
йена водой.
Ответ, х = 1655 мм;
—	= —52,8 мм.
Задача 1-2. К резервуару,
наполненному бензином (отно-
сительная плотность 6 = 0,7)
до высоты V2, присоединены три различных прибора для
измерения давления.
К крышке резервуара присоединен пружинный мано-
метр, к боковым стенкам пьезометр и трехколенный
манометр, наполненный ртутью (6 = 13,6), водой и воздухом.


14
Определить показания М манометра и Н пьезометра,
если уровни жидкостей в трехколенном манометре рас-
положились так, как показано на рисунке (отметки
уровней V даны в метрах).
Ответ. М — 314 кПа; Н = 48 м.
К задаче 1-2
К задаче 1-3
Задача 1-3. Найти давление р воздуха в резервуаре В,
если избыточное давление на поверхности воды в резер-
вуаре А равно М = 25 кПа, разности уровней ртути
(б = 13,6) в двухколенном дифференциальном манометре
hr = 200 мми й2 = 250 мм, а мениск ртути в левой трубке
манометра ниже уровня воды на h = 0,7 м. Пространство
между уровнями ртути в манометре заполнено спиртом
(б - 0,8).
Ответ. Вакуум рв = 27,5 кПа.
Задача 1-4. Двухжидкостный микроманометр состоит
из U-образной трубки диаметром d = 5 мм, соединяющей
чашки диаметрами D = 50 мм. Прибор наполнен не-
смешивающимися жидкостями с близкими значениями
плотности — водным раствором этилового спирта (pi =
= 870 кг/м3) и керосином (р2 = 830 кг/м3).
1. Установить связь между измеряемой микромано-
метром разностью давлений газа Др — рг — р2 и сме-
щением h мениска раздела жидкостей от его начального
положения, отвечающего Др = 0. Определить Др прЙ
h = 280 мм.
15
2. Указать, во сколько раз уменьшатся показания
прибора при данном Др, если в приборе будут отсутство-
вать чашки.
г	d2	1
Ответ, 1) Др = hl (Pi — p2)g + (рх + р2) gj ;
Др = 157 Па.
2) в 30 раз.
К задаче 1*4
Задача 1-5. Использование шкалы с постоянным нулем
при измерении давлений чашечным ртутным манометром
или вакуумметром вносит погрешность в результат изме-
рения. Для нахождения истинной величины давления
в показание h прибора необходимо вносить поправку
на смещение Д/i уровня ртути в чашке.
Определить: 1. Какова относительная погрешность
измерения давления этим манометром, вызываемая сме-
щением уровня ртути в чашке прибора при диаметрах
чашки D = 60 мм и трубки d = 6 мм?
2. Каким образом следует проградуировать шкалу
прибора, чтобы отсчет по шкале соответствовал истин-
ному давлению?
Ответ. 1) 0,99%; 2) перепаду 100 мм рт. ст. должна соответство-
вать длина’ шкалы 99 мм.
Задача 1-6. Применение для измерения малых избы-
точных давлений в газах спиртового чашечного микро-
манометра с наклонной шкалой значительно увеличивает
точность измерений.
16
1. Принимая абсолютную ошибку отсчета по милли-
метровой шкале невооруженным глазом, равной 0,5 мм,
определить, под каким углом к горизонту нужно распо-
ложить трубку прибора, чтобы при измерении давления
в пределах 100—200 мм вод. ст. погрешность измерения
не превышала ±0,2%. Относительная плотность спирта
6 — 0,8.
2. Какова максимальная погрешность при измерении
того же давления ртутным (6 = 13,6) 'чашечным мано-
метром с вертикальной шкалой?
Диаметры чашек считать настолько большими, чтобы
можно было пренебречь поправкой на смещение уровня
в них.
Ответ, 1) а = 30°; 2) ±6, 8%.
Задача 1-7< На какой высоте Н установится вода
в трубке, первоначально заполненной водой, а потом
опрокинутой и погруженной открытым концом под уро-
вень воды, если атмосферное давление 735,6 мм рт. ст.
и температура воды 4° С?
Как изменится высота .
до 20° С, до 80°-С?
Давление насыщенных
заданы ниже:
t в °C...................
Рнас- паров в кПа........
р в кг/м3................
Ответ. II = 9,937; 9,780 и
Задача 1-8. Давление к
вуаре измеряется ртутным
, если температура повысится
паров воды и ее плотность
4	20	80
0,618	2,31	47,4
1000	998,2	971,8
5,320 м.
а поверхности воды в р&зер-
U-образным манометром.
17
Как изменится показание h манометра, если мано-
метр переместить вниз на а мм при неизменном давлении
на поверхности воды и практически неизменном ее
уровне?
Ответ. &h = мм.
Задача 1-9. Выделившийся вследствие химической
реакции газ из реторты А направляется последовательно
в сосуды В и С, наполненные промывными растворами,
К задаче 1-9
относительные плотности которых 6В =1,03 и 6С =
= 1,05, и в сборник D, наполненный водой.
Определить давление в реторте Л, сосудах В и С
и в сборнике D при указанных на чертеже размерах
(в мм).
Сопротивлением проходу газа по трубкам пренебречь.
Ответ, ро = 3280 Па (вак.); рс = 1960 Па (вак.); рв — 930 Па
(вак.); рд = 78,5 Па (изб).
Задача 1-10. В цилиндрическом отстойнике положение
поверхности раздела между маслом и осевшей водой опре-
деляется по уровню воды в трубке Л, а уровень масла —
по уровню в трубке В.
Определить:
1. Плотность масла, если а = 0,2 м, b = 1,4 м, а уро-
вень воды в дополнительной трубке С установился на
высоте с = 1,2 м.
2. Высоту уровней а, Ь, с в трубках, если при тех же
объемах воды и масла в отстойнике над маслом создано
избыточное давление р = 10 кПа.
18
Объемом жидкости в трубках пренебречь.
Ответ. 1) рм — 833 кг/м3; 2) а — 0,2 м; b ~ 2,6 м; с = 2,2 м.
К задаче 1-10
Задача 1-11. Указатель уровня топливного бака вы-
полнен в виде U-образной трубки с перекрещивающимися
ветвями, заполненными топливом плотностью pi и несдое-
шивающейся с топливом жидкостью плотностью р2 (р2 >
> Р1)-
.1. Установить зависимость между понижением
уровня в баке и понижением h2 уровня в открытой ветви
прибора от их начальных положений, соответствующих
начальному заполнению бака.
2. Определить, при каком соотношении длин -j-
наклон системы в вертикальной плоскости не будет
влиять на положение уровня в открытой ветви трубки
и, следовательно, не будет искажать показаний прибора?
Указание. Обозначив х — расстояние от начального уровня в баке
до начального положения поверхности раздела жидкостей в правой
ветви U-образной трубки, у — расстояние от начального уровня в от-
крытой ветви трубки до начального положения поверхности раздела
жидкостей в левой ветви U-образной трубки, z— начальную разность
уровней жидкости р2 в U-образной трубке, получим из условия равно-
весия жидкостей в системе
Pix+р3г.	(!)
Пусть уровень в баке понизился на h±, а в открытой ветви трубки —
на h2t тогда уравнение равновесия жидкостей в трубке примет вид
Р1У Pi ~	— /Г2) + р2 (z + 2/z2).	(2)
19
Эти соотношения позволяют найти искомую зависимость Л2 от h±.
При решении второго вопроса задачи предполагается, что в слу-
чае наклона системы свободная поверхность топлива в баке не коснется
дна и крышки бака (рисунок к решению задачи 1-11).
Чтобы такой наклон системы не влиял на соотношение между
и Л2, необходимо, чтобы равновесие жидкостей при наклоне не нару-
шалось и, следовательно, поверхности жидкостей не перемещались
К решению задачи 1-11
относительно трубки. Уравнение
равновесия жидкостей в на-
клоненной на угол а системе
имеет при этом вид:
Pi [у cos а — (/'+ a) sin а ] =
= Pi [(х — hL — h2) cos а +
+ (/ + b) sin а] +	[(z +
+ 2Zz2) cos а — I sin a],* (3)
где а и b — расстояния от пра-
вой и Левой ветвей U-образной
трубки соответственно до осей
открытой трубки и бака;
а +/+/?= L. (4)
Из уравнения (3) с учетом уравнений (2) и (4) получаем искомое,
соотношение.
Ответ. 1) й2 =	---А; 2) —т- =------.
2р2—Pi 7 L р2 1
Pi
Задача М2. Покоящийся на неподвижном поршне
и открытый сверху и снизу сосуд массой т = 16 кг со-
стоит из двух цилиндрических частей, внутренние диа-
метры которых равны D = 0,5 м и d = 0,3 м.
Определить, какой минимальный объем W воды дол-
жен содержаться в верхней части сосуда, чтобы сосуд
всплыл над поршнем.
Трением сосуда о поршень пренебречь.
Ответ. W = 9 л.
К задаче 1-12	К задаче 1-13
20
Задача 1-13. Определить работу, Затрачиваемую на
перемещение поршня площадью f на расстояние / в тру-
бопроводе, соединяющем два резервуара площадями Fx
и /2, заполненные при начальном положении поршня
до одной и той же высоты жидкостью плотности р.
Трением поршня о стенки трубопровода пренебречь.
Ответ. А = pf2I2 ( ~ 4- -~-
Задача 1-14. Определить, на какой угол повернется
кольцевой манометр, имеющий диаметр трубки d = 20 мм
и средний диаметр кольца D = 200 мм, если величины
давления воздуха, подводимого к ветвям, равны ру=
К задаче 1-15
= 90 кПа и р2 = 80 кПа, вес груза G = 5,25 Н и
его плечо относительно оси вращения а = 120 мм.
Указание. Рассмотреть условие равновесия прибора, сводящее*
ся в данном случае к равенству нулю суммы моментов относительно
оси вращения сил давления газа и ртути на внутреннюю поверх-
ность кольцевой трубки и веса груза.
Ответ, а = 30°.
Задача 1-15. Тонкостенный газгольдер, имеющий диа-
метр D = 12,5 м и вес G = 450 кН, наполнен светиль-
ным газом.
Пренебрегая трением, определить вес грузов Q, не-
обходимый для поддержания в газгольдере давления
ри = 2 кПа, и образующуюся . при этом разность h
уровней воды в резервуаре и газгольдере.
21
Какова предельная величина давления для данного
газгольдера?
Ответ. Q = 205 кН; h = 0,2 м; ри ~ 3,67 кПа.
Задача 1-16. Цилиндрический сосуд диаметром
D = 0,2 м и высотой а = 0,4 м, заполненный водой,
опирается на плунжер диаметром d = 0,1 м.
Определить показание манометра М и нагрузки на
болтовые группы Л и В, если масса верхней крышки
сосуда т1 ~ 300 кг, цилиндрической части сосуда т2 =
== 150 кг и нижней крышки сосуда /п3 = 120 кг.
Каким может быть взят минимальный диаметр плун-
жера, если наибольшее допускаемое давление М. =
= 3 МПа.
Указание. Одним из возможных способов расчета давления М
является рассмотрение условия равновесия сосуда под действием его
собственного веса и приложенных к его внутренней поверхности сил
избыточного давления жидкости, величины которых зависят от дав-
ления М.
Ответ. М = 0,725 МПа; Ра = 19,8 кН; Рв = 18,3 кН; dmin ==
= 0,05 м.
Z7/77 аккуммулятора
D для осуществления
t2 Ь—х обратного хода
От насоса
К задаче 1-17
Задача 1-17. Гидравлический мультипликатор (повы-
ситель давления) получает от насоса воду под избыточным
давлением р± — 0,5 МПа. При этом заполненный водой
подвижный цилиндр А с внешним диаметром D = 200 мм
22
скользит по неподвижной скалке С, имеющей диаметр
d = 50 мм, создавая на выходе из мультипликатора
давление р2.
Определить давление р2, принимая силу трения в саль-
никах равной 10% от силы, развиваемой на цилиндре
давлением р19 и пренебрегая давлением в линии обрат-
ного хода.
Вес подвижных частей мультипликатора G = 2000 Н.
Ответ. р2 = 6,18 МПа.
Задача 1-18. Определить диаметр гидравлического
цилиндра, необходимый для подъема задвижки при избы-
точном давлении жидкости р — 1 МПа, если диаметр трубо-
провода D2 = 1 м и вес подвижных частей устройства
G = 2000H. При расчете коэффициент трения задвижки
в направляющих прверхностях принять равным f = 0,3,
силу трения в цилиндре считать равной 5% от веса под-
вижных частей. Давление за задвижкой равно атмосфер-
ному.
Ответ. D ~ 55 см.
К задаче 1-18	К задаче 1-19
Задача 1-19. При зарядке гидравлического аккумуля-
тора насос подает воду в цилиндр Л, поднимая плун-
жер В вместе с грузом вверх. При разрядке аккумулятора
плунжер, скользя вниз, выдавливает своцм весом воду из
цилиндра в гидравлические прессы.
Определить:
1.	Давление воды при зарядке (развиваемое насосом)
и при разрядке (получаемое прессами) аккумулятора,
если вес плунжера вместе с грузом G — 1000 кН и диа-
метр плунжера D = 400 мм.
23
Плужнер уплотнен манжетой, высота которой b =
= 40 мм и коэффициент трения о плунжер f = 0,1.
2.	Работу, затраченную на зарядку аккумулятора,
и работу, совершаемую аккумулятором при его разрядке,
если полная высота подъема, плунжера Н = 2 м.
3.	Коэффициент полезного действия аккумулятора.
Указание. Давление р воды в цилиндре аккумулятора считать
одинаковым во всех точках. Силу трения Т манжеты о плунжер подсчи-
Р
К задаче 1-21
тывать как произведение прижимаю-
щей силы на коэффициент трения:
Т = pnDbf.
Ответ. 1) р3 = 8,29 МПа; рр =
= 7,66 МПа; 2) А3 = 2,08 МДж;
Ар = 1,92 МДж; 3) т] = 92,5%.
К задаче 1-20
Задача 1-20. Определить предварительное поджатие х
пружины, нагружающей дифференциальный предохра-
нительный клапан, необходимое для того, чтобы клапан
открывался при давлении р = 3 МПа. Диаметры порш-
ней:	= 22 мм; D2 — 20 мм, а жесткость пружины
С = 8 Н/мм.
Ответ, х = 25 мм.
Задача 1-21. Гидравлический домкрат состоит из непо-
движного поршня 1 и скользящего по нему цилиндра 2,
на котором смонтированы корпус 6 (образующий масля-
ную ванну домкрата) и плунжерный насос 5 ручного
привода со всасывающим 4 и нагнетательным 3 клапанами.
Определить рабочее усилие R на рукоятке приводного
рычага насоса, необходимое для поднятия груза Р =
= 120 кН, если диаметр поршня домкрата D — 200 мм,
24
диаметр плунжера насоса d = 20 мм и плечи приводного
рычага а = 60 мм и h = 700 мм.
Принять к. п. д. насоса = 0,65 и к. п. д. цилиндра
Пч = °>9-
Указание. К. п. д. насоса -домкрата, представляющий отношение
гидравлической энергии, полученной жидкостью от насоса, к работе,
затраченной на привод насоса, определяется соотношением
pfs
RS ’
где р — давление нагнетания, развиваемое насосом в цилиндре
домкрата;
f — площадь плунжера;
s и S — соответственные перемещения плунжера и рукоятки ры-
чага.
К. п. д. цилиндра, представляющий отношение полезной работы
подъема груза к энергии, затраченной жидкостью на этот подъем, при-
водится к выражению
Р
’n‘i==' pF ’
где F — площадь поршня.
Ответ. R — 176 Н.
Задача 1-22. Для измерения малых перепадов давле-
ния применяется колокольный манометр, состоящий из
двух тонкостенных колоколов диаметрами D = 100 мм,
подвешенных на концах коромысла
длиной I = 260 мм.
В центре коромысло Имеет, опор-
ную призму и снабжено стержнем
длиной а = 400 мм с грузом G на
конце. Нижними концами цилиндры
погружены в жидкость. Измеряемые
давления р± и р2 подаются во
внутренние полости цилиндров.
При равенстве давлений стер-
жень занимает отвесное положение.
Под действием перепада Др = pY —
— р2 цилиндры перемещаются и стер-
жень отклоняется.
Подобрать вес груза G таким образом, чтобы перепад
давлений Др = 1 кПа отклонял стержень не более
чем на 10°.
Ответ. G~ 14,5 Н.
Задача 1-23. Тонкостенный сосуд, состоящий из двух
цилиндров диаметрами d = 0,3 м и D = 0,8 м, нижним
25
открытым концом опущен под уровень воды в резер-
вуаре А и покоится на опорах С, расположенных на
высоте 6 = 1,5 м над этим уровнем.
Определить силу, воспринимаемую опорами, если
в сосуде создан вакуум, обусловивший поднятие воды
в нем на высоту а + b = 1,9 м. Масса сосуда tn = 100 кг.
Как влияет на результат изменение диаметра d?
Ответ. R — 4070 Н.
К задаче 1-23	К задаче 1-24	К задаче 1-25
Задача 1-24. К замкнутому цилиндрическому сосуду
диаметром D = 2 м и высотой Н = 3 м присоединена
трубка, нижним открытым концом погруженная под
уровень воды в резервуаре А. Сосуд установлен на вы-
соте = 2 м над уровнем воды в резервуаре и заполнен
водой до высоты h = 2 м через открытый кран 1 при за-
крытом кране 2 (давление над водой равно атмосферному),
Рат = 735 мм рт. ст. При открытии крана 2 и одновре-
менном закрытии крана 1 часть воды сливается из сосуда
в резервуар А.
Определить:
1. Давление воздуха, которое установится при этом
в сосуде.
2. Объем воды, вытекшей из сосуда.
Ответ. 1) Вакуум р ~ 34 кПа; 2) W — 1,66 м3.
Задача 1-25. Цилиндрический сосуд, имеющий диа-
метр D = 0,4 м и наполненный водой до высоты а
= 0/3 м, висит без трения на плунжере диаметром d =
= 0,2 м.
Определить:
1. Вакуум V, обеспечивающий равновесие сосуда,
если его масса т = 50 кг. Как влияют на полученный
26
результат величина диаметра плунжера и глубина его
погружения в жидкость?
2. Силы давления, действующие на крышки В и С
сосуда.
См. указание к задаче 1-16.
Ответ. 1) V = 27,4 кПа; 2) Рв = 2,57 кН; Рс = 3,06 кН.
Задача 1-26. Для измерения малых сил используется
жидкостный динамометр, состоящий из цилиндра А,
наполненного до некоторого уровня ртутью, и погружен-
ного в ртуть тонкостенного поршня В. Пространство
под поршнем заполнено спиртом (S — 0,8) и соединено
с трубкой пьезометра. Нагружение поршня силой Р
сопровождается увеличением давления под ним и подъе-
мом уровня спирта в пьезометре, характеризующим
величину измеряемой силы.
Определить силу Р, если под ее действием уровень
в пьезометре поднялся на высоту ДЛ = 0,25 м от на-
чального положения (0). Диаметр поршня D = 0,2 м,
диаметры цилиндра D± = 0,1м и D2 = 0,21 м. Трением
поршня о стенки цилиндра и влиянием подъема уровня
спирта в пьезометре на объем спирта под поршнем пре-
небречь.
Ответ. Р ~ 61,8 Н.
Задача 1-27. Тонкостенный сосуд Л высотой Н = 60 мм
и диаметром d = 24 мм с отверстием внизу плавает в воде,
содержащейся в цилиндре диаметром D = 72 мм.
7
Определить:
1. Массу сосуда А, если давление на поверхности
воды в цилиндре атмосферное, а разность уровней воды
в сосуде и цилиндре hr = 34 мм.
2. Силу Р, которой нужно нагрузить поршень, чтобы
сосуд А погрузился на дно цилиндра, если первоначаль-
ное заполнение сосуда водой h2 = 10 мм. Атмосферное
давление рат = 735 мм рт. ст.
Ответ. 1) т — 15,4 г; 2) Р — 188 Н.
К задаче 1-28
воздуха, равном рат = 100
= 1020 кг/м3.
Задача 1-28. Опре-
делить, какое избыточ-
ное давление воздуха
установится в плаваю-
щем толстостенном ко-
локоле диаметрами
D = 1 м и d = 0,6 м,
высотой а — 1,4 м и
весом 0—10 кН при
давлении атмосферного
кПа. Плотность воды р —
Процесс сжатия воздуха в колоколе считать изотерми-
ческим.
Ответ.
1
Ри~ 2
F-f ' 1 ,
—р~ apg — раш| +
, 1 / 1 Гб F — f	12 G
+ у — [у----------p-^-apg— pamJ +-jr Рат.
где
л£>2 f __ nd2
~4~; f - ~4~
ри — 11,8 кПа.
Задача 1-29. Зарядка пневматического аккумулятора
(повышение давления воздуха в нем) производится при
перемещении в цилиндре аккумулятора поршня из ниж-
него его положения в верхнее. Перемещение поршня
осуществляется силой, действующей на торец штока порш-
ня со стороны воды, нагнетаемой под шток насосом ак-
кумулятора.
Определить:
1. Избыточное давление воздуха при верхнем и ниж-
нем положениях поршня, если пневматический аккуму-
28
лятор имеет размеры: диаметры d = 135 мм и D =
= 600 мм; ход S = 1400 мм; манжеты b = 20 мм и
В = 25 мм; объем воздуха в аккумуляторе при верхнем
положении поршня W = 1,5 м3. Максимальное избыточ-
ное давление, развиваемое насосами при зарядке аккуму-
лятора, рнас = 30 МПа. Коэффициент трения манжет
f = 0,1. -
2. Максимальное и минимальное избыточные давле-
ния воды, создаваемые аккумулятором.
При расчетах полагать движение поршня равномер-
ным и процесс сжатия воздуха в аккумуляторе изотерми-
ческим. Атмосферное давление рат = 0,1 МПа.
Ответ. 1) Рвозд— 1,4 МПа
и 1,085 МПа; 2)	~ 25,7
и 20 МПа.
К задаче 1-29'
К задаче 1-30
Задача 1-30. Для определения перепада давления
по длине участка шахты применяется прибор (деприметр),
состоящий из герметически закрытого и помещенного
в термос сосуда, частично заполненного керосином, отно-
сительная плотность которого S = 0,815. К сосуду
присоединена манометрическая трубка с открытым кон-
цом. Ноль шкалы прибора устанавливается на уровне
керосина при одинаковом начальном давлении р0 на его
поверхностях в трубке и сосуде. Перепад давления опре-
деляется по смещению h уровня керосина в трубке при
переносе прибора в новое место.
Определить:
1. Зависимость между измеряемым перепадом давле-
ний Др = pQ — р и показанием прибора h\
29 f
2. Др при h = 100 мм, если диаметры сосуда и трубки
D = 50 мм и d == 5 мм, начальный объем воздуха в со-
суде 250 см3 и начальное давление р0 = 100 кПа.
Указание. Учитывать происходящее по изотермическому закону
изменение давления водуха в сосуде при изменении уровня керосина
в трубке.
Ответ.
1) &p = pgh
1 + Д2 _
nd2
4— Ро
w0+-~
Поскольку обычно в деприметрах
практически линейна:
Pgl
< IFo, искомая зависимость
Др «== pgh 14
nd2
-4-Р0
D2 — d2^ pgWQ
2) Ap = 1,6 кПа.
d2
Задача 1-31. Прессовый прибор для создания малых
избыточных давлений воздуха состоит из трех тонкостен-
ных цилиндров одинаковой высоты а = 250 мм. Ци-
линдры диаметрами DA = 100 мм и D3 = 200 мм непо-
влению в объеме
движны; кольцевое пространство ме-
жду ними до уровня Яо заполнено
водой. Цилиндр диаметром D2 =
= 150 мм, перемещаясь по вертика-
ли с помощью винта, опускается
нижней кромкой под уровень воды и,
сжимая отсеченный в приборе объем
воздуха W, повышает его давление.
Определить:
1. Какое наибольшее избыточное
давление воздуха можно создать
в приборе заданных размеров.
2. Каковы должны быть началь-
ный уровень Яо воды и начальное
положение Ло верхнего цилиндра
(соответствующее атмосферному да-
W), чтобы указанное наибольшее да-
вление достигалось при работе прибора.
Сжатие воздуха считать изотермическим.
Указание.. Наибольшее избыточное давление, создаваемое при-
бором, отвечает крайнему нижнему положению подвижного цилиндра
при условии, что вся вода выжата давлением из-под цилиндра в коль-
цевое пространство D3 — П2 и заполняет это пространство на высоту а.
30
Ответ.
1) Ри max = pga = 2,45 кПа;
£)2_£)2
2) Но = а —|  = 146 мм;
D23-Dl
Г pga , (рз ^г) (^2 ~ Di)
° Рат + Ol(pl — Dj)
При Рат = ЮО кПа ^0 ~ 87 ММ.
Задача 1-32. Определить вес колокола, имеющего
размеры D± = 0,1 м, D2 = 0,2 м, D3 = 0,4 м, если глу-
бина его погружения в воду при плавании в закрытом
сосуде Н = 0,3 м, подъем уровня воды
/i — 0,l м, а избыточное давление на
вне колокола М ~ 20 кПа.
внутри колокола
поверхности воды
Задача 1-33. Определить вес толстостенного колокола
размерами D = 0,4 м, d = 0,2 м, L = 1 м, а = 0,1 м,
если он плавает в воде при погружении Н — 0,6 м. При
какой добавочной нагрузке Р колокол целиком погру-
зится в воду?
При решении задачи давление воздуха в колоколе
перед погружением считать равным атмосферному (рат =
= 735 мм рт. ст.), а процесс сжатия воздуха при погру-
жении — изотермическим.
Ответ. G -= 723 Н; Р = 600 Н.
Задача 1-34. К отверстию в дне открытого резервуара Л,
частично заполненного водой, присоединена вертикальная
31
труба, нижним концом опущенная под уровень воды
в резервуаре В.
При закрытой задвижке труба заполнена водой; рас-
стояние между уровнями воды в резервуарах Н = 2 м;
избыточное давление воздуха в резервуаре В равно
р = 60 кПа; толщина воздушной подушки h = 0,5 м.
Атмосферное давление рат = 100 кПа.
Определить, какой объем воды переместится из одного
резервуара в другой после открытия задвижки на трубе.
Процесс расширения воздуха в резервуаре В считать
изотермическим.
Диаметры резервуаров одинаковы D — 1 м, диа-
метр трубы d = 0,2 м.
Отрет. W = 0,113 м3.
Задача 1-35. Цилиндрический сосуд диаметром
D = 1 м и высотой'Я = 2 м через отверстие в крышке
заполнен водой так, что свободная поверхность устано-
вилась на середине высоты сосуда, а давление воздуха
в нем равно атмосферному (рат — 735 мм рт. ст.).
Как изменится положение уровня воды в сосуде и
давление воздуха в нем после опускания в сосуд плун-
жера, диаметр которого d = 40 см и масса т = 500 кг?
Процесс сжатия воздуха, замкнутого в сосуде, считать
изотермическим; трением плунжера в направляющей
втулке пренебречь.
Задача 1-36. Неподвижный сосуд, составленный из
двух цилиндров, заполнен жидкостью, удерживаемой
поршнями, которые нагружены силами Рг и Р2.
32
Определить положения х и у поршней относительно
торцовой стенки сосуда, при которых система находится
в равновесии.
Площади поршней равны Ft и F2, объем жидкости
между ними равен W.
При решении задачи трением поршней о стенки со-
суда пренебречь.
Ответ.
P2~-^-Pl~PS^
Х==	Р8(Л-Р1)	’
г 4“-«”4?
У Рг	Pg(p2-Fi)
ГЛАВА П
СИЛЫ давления покоящейся жидкости
НА ПЛОСКИЕ СТЕНКИ
ВВЕДЕНИЕ
Если плоская стенка подвергается одностороннему
давлению жидкости (на несмоченной стороне стенки —
атмосферное давление), то результирующая Р сил дав-
ления, воспринимаемая стенкой и нормальная к ней
(рис. П-1),
Р = РсиР = (>ghcF,	(П-1)
где F — смоченная площадь стенки;
Реи — избыточное давление в центре тяжести пло-
щади F;
hc — расстояние по вертикали от центра тяжести
площади F до пьезометрической плоскости
О—0; при избыточном давлении рОи на свобод-
ной поверхности эта плоскость проходит над
свободной поверхностью жидкости на расстоя-
нии hQu = при вакууме pQe — под сво-
бодной поверхностью на расстоянии hOe =
Ров
2 Д. А. Бутаев и др.	33
Если pQu = 0, -то пьезометрическая плоскость совпа-
дает со свободной поверхностью, и нагрузка на стенку
создается только весовым давлением жидкости.
Центр давления — точка пересечения линии действия
силы Р с плоскостью стенки. Положение центра давления
(точка D на рис. П-1) в плоскости стенки определяется
формулами:
yD = yc + ~>	(П-2)

(П-3)
где yD и ус — расстояния от центра давления D и центра
тяжести С площади стенки до линии пере-
сечения плоскости стенки с пьезометриче-
ской плоскостью (ось х на рис. П-1);
\у — смещение центра давления относительно
центра тяжести вдоль оси у\
Jc — момент инерции площади стенки относи-
тельно горизонтальной оси проходя-
щей через центр тяжести площади стенки.
Если ось Xf или перпендикулярная ей централь-
ная ось у! являются осями симметрии стенки, центр да-
стенки относительно осей хг и
вления лежит на оси ylt
Если оси х± и у± не яв-
ляются осями симметрии,
необходимо определить,
кроме смещения Az/, также
и смещение Дх центра
давления относительно
центра тяжести площади
стенки вдоль оси хг:
Ру с
где JXiyi — центробежный
момент инерции площади
ylt лежащих в ее плоскости
и проходящих через ее центр тяжести.
Формулу (П-2) можно привести к виду
hD = hc + -^-sin2 а,
(П-4)
34
где hD и hc — вертикальные расстояния соответственно
от центра давления D и центра тяжести
С площади стенки до пьезометрической
плоскости;
а — угол наклона стенки к горизонту.
Для вертикальной стенки (а = 90°)
^ = ^ + "7^-	(П'5)
и смещение центра давления
(П-6)
Для горизонтальной стенки (а = 0) имеем hD = hc
(центр давления и центр тяжести совпадают).
В приложении 1 даны моменты инерции Jc площадей
некоторых плоских симметричных фигур и координаты
их центров тяжести.
Силу Р можно также нахо-
дить геометрически, определяя ее
как объем эпюры нагрузки, ин-
тенсивность которой в каждой
точке стенки равна избыточному
давлению ри; линия действия Р
проходит через центр тяжести
этого объема (рис. П-1).
Полученные выше зависимости
справедливы при любой величине
избыточного давления рСи в цент-
ре тяжести С площади стенки,
в том числе и при отрицательном
избыточном давлении, т. е. когда в точке С имеется вакуум.
В последнем случае пьезометрическая плоскость проходит
ниже центра тяжести стенки (рис. П-2) и расстояния ус
и hc становятся отрицательными. При этом центр давле-
ния D расположен выше центра тяжести (Az/ <0), а ре-
зультирующая сила, воспринимаемая стенкой, направлена
внутрь жидкости.
Заметим, что одностороннее давление жидкости на
стенку можно привести, как это следует из формул (П-1)
и (П-3), к силе Р, проходящей через центр тяжести пло-
щади стенки, и к паре, момент М которой не зависит
от величины рСи и равен для симметричной стенки
М = PAz/ = pgJc sin а.
(П-7)
35
В случае, когда пьезометрическая плоскость пересекает
стенку, эпюра нагрузки меняет знак по ее высоте; на
рис. П-3 показаны эпюры нагрузки и силы давления на
стенку для трех характерных положений пьезометриче-
ской плоскости 0—0, пересекающей стенку. Если рСи =0,
То пьезометрическая плоскость проходит через центр
тяжести площади стенки; при этом участки эпюры с из-
быточным давлением ри и вакуумом рв приводятся к двум
равным и противоположно направленным силам давле-
ния Pi.и Р2» результирующая которых равна нулю, и
воздействие на стенку сводится только к результирующей
паре, момент которой определяется формулой (П-7).
Рис. П-З
При двустороннем воздействии жидкостей на плоскую
стенку следует сначала определить силы давления на
каждую сторону стенки, а затем найти их результирую-
щую по правилам сложения параллельных сил.
Если плотности жидкостей одинаковы, то в некоторых
случаях результирующую силу давления на стенку удобно
определять по суммарной эпюре нагрузки, интенсивность
которой равна разности давлений, действующих по обе
стороны стенки в каждой точке ее поверхности.
На рис. П-4 показано в виде примера определение
силы давления с помощью такой эпюры в случае двусто-
роннего воздействия жидкостей одинаковой плотности р
на стенку при различных высотах уровней Н± и Н2 по
обе стороны стенки и одинаковом давлении на свободных
поверхностях / и //.
Для верхнего участка стенки ab, подверженного одно-
стороннему давлению жидкости (эпюра нагрузки пред-
36
ставляет в плоскости чертежа треугольник abe), сила
давления Рг определяется по формуле (П-1)
Pi = ?ghC1Fi,
где he, — расстояние центра тяжести Сг верхнего участка
стенки до свободной поверхности /;
F г — площадь этого участка.
Координата уо. центра давления участка ab вычис-
ляется по формуле (П-2у.
Из рассмотрения эпюр
весового давления на каждой
стороне стенки (треугольни-
ки с основаниями pgH1 и
pg'//2) следует, что разность
давлений по обе стороны
стенки на нижнем участке
Ьс постоянна во всех его точ-
ках и равна pgH (Н =
= Нг — Н2 — разность уров-
ней жидкости); суммарная
эпюра нагрузки для этого
участка имеет постоянную
высоту и представляет в плоскости чертежа прямо-
угольник bede.
Следовательно, сила давления, воспринимаемая ниж-
ним участком,
Ръ = PgHF2l	(П-8)
где F2 — площадь нижнего участка.
Сила Р 2 проходит через центр тяжести С2 площади F2,
Результирующая сила равна Р ~ Р х + Р2, линия ее
действия делит отрезок между точками £)х и С2 на части,
обратно пропорциональные силам Pt и Р2.
В тех случаях, когда давление газа с сухой стороны
стенки отличается от атмосферного или когда имеет
место двустороннее давление жидкости при различном
давлении газа над жидкостью по обеим сторонам стенки,
результирующую силу давления на стенку удобнее опре-
делять как разность двух сил давления Р, каждая из
которых действует на одной стороне стенки и может быть
представлена суммой двух независимых сил — силы Ро
абсолютного давления р0 газа над жидкостью и силы Р$
весового давления жидкости:
Р = ро + Pg; Ро = PoFo,	(II-9)
37
где Fq — вся площадь стенки, включая ее несмоченную
часть, расположенную над поверхностью жидкости.
Сила Pg определяется по формуле (II-1), причем hQ
представляет расстояние по вертикали от свободной
поверхности жидкости до центра тяжести смоченной
части стенки площадью F. Сила Р& проходит через центр
весового давления площади F, положение которого опре-
деляется формулой (П-4). Сила Ро проходит через центр
тяжести площади FQ.
В качестве примера одного из таких случаев (рис. П-5)
определим силу давления на вертикальную прямоуголь-
ную перегородку. ab закрытого резервуара высотой L
и шириной В, по обе стороны которой различны как
уровни одной и той же жидкости > Я2), так и Дав-
ления газа (р01 £> р02).
Искомую силу найдем, рассматривая ее как сумму сил
двустороннего весового давления жидкости и двусторон-
него давления газа.
Давление жидкости на перегородку приведем к двум
сидам Рг и Р2. Величину силы Рг на участке односторон-
него давления определим по формуле (П-1), в которой
hc = -^ и F = ВН:
P^-^-pg^B.
Координата центра весового давления £>х дается
ВН3
формулой (П-5), в которой Jc = -jy- :
h _ Н ВН3 2
nD1 — -к- -|----77- = П,
12В// --	6
38
Величину силы Р2 на участке двустороннего давления
жидкости определим по формуле (П-8):
Р2 = $gHH2B.
Линия действия силы Р2 проходит по середине вы-
соты Н2 (центр давления D2 совпадает с центром тяжести
площади этого участка перегородки).
Заметим, что подстановка Н = Н± — Н2 в формулы
для Рг и Р2 приводит к такому выражению для полной
силы давления жидкости:
Рж = Л+л = 4- PSHlB-pgHlB,
которое можно получить непосредственно, рассматривая
в отдельности силы давления жидкости на каждую сто-
рону перегородки.
Сила двустороннего давления газа
Рз ~ (Poi Рог) BL,
и результирующая сила, воспринимаемая стенкой,
Р - Р. + Р2 + Р3.
Из эпюр давления на каждую сторону перегородки,
показанных на рис. П-5 штриховыми линиями, можно
получить суммарную эпюру нагрузки (изображена
сплошными линиями).
Треугольная площадка efg этой эпюры соответствует
силе Plf прямоугольник cdef — силе Р2 и прямоуголь-
ник abch — силе Р3.
Задачи
Задача II-1. В плотине сделан прямоугольный проем
размером НхС, через который вода поступает к турбине.
При ремонте турбины этот проем закладывается семью
специальными балками-шандорами. Размер каждой шан-
доры h X В = 1,2 X 3,4 м. Все шандоры имеют по
две пары катков.
1. Определить силы давления воды Р± и Р7 на первую
и седьмую шандоры и максимальные изгибающие моменты
и М7 для этих шандор, считая катки расположенными
на концах шандор, а шандоры — свободно опертыми.
39
2. Найти расстояния Д/ц и ДЯТ между центром дав-
ления и центром
первой и седьмой
тяжести смоченной поверхности для
шандор.
Gmeem. Рг = 24 кН,
Р7=312кН; Л4х = 10,2 кН-м;
Л17 — 133 кН’м; = 20 см;
A/z7 = 1,5 см.
Задача 11-2. Затвор плотины высотой Н = 6 м и
шириной В = 30 м имеет поворотный сегментный кла-
пан, который может увеличивать высоту подпора воды
еш,е на ДЯ = 1,5 м.
Определить:
1.	Горизонтальную силу давления воды на обшивку
затвора при опущенном (PJ и поднятом (Р2) клапанах.
2.	Расстояние х между катковыми тележками, при
котором нагрузки на тележки будут одинаковыми, когда
сегментный клапан опущен (размер а = 0,2 м).
3.	Какое необходимо усилие Т, чтобы стронуть затвор
с поднятым клапаном.
Масса затвора т = 150 т; внешний диаметр катков
D = 0,6 м; коэффициент трения качения k = 0,01 см;
диаметр цапф d = 0,3 м; коэффициент трения скольже-
ния в цапфах f — 0,15; b = 0,1 м; угол а = 120°.
Ответ. = 5,3 МН; Р2 = 8,28 МН; х = 3,6 м; Т = 2,33 МН,
40
Задача 11-3. Плоский затвор, закрывающий выпускное
отверстие в плотине, может перемещаться по ее стенке,
наклоненной к горизонту под углом а = 70° (отметки
уровней даны в метрах).
Размеры затвора: высота h = 1,8 м; ширина b —
= 2,4 м; толщина с = 0,4 м; масса затвора т = 2 т.
Определить силу Т, необходимую для начального
смещения закрытого затвора вверх, если коэффициент
трения скольжения затвора в направляющих f = 0,35.
Ответ. Т = 140 кН.
Задача П-4. Сила давления воды через обшивку пря-
моугольного щита высотой Н и шириной В 6 м
передается на четыре горизонтальные балки. На каких
расстояниях х от свободной поверхности следует их рас-
положить, чтобы они были нагружены одинаково?
Найти силу давления воды Р на весь щит и макси-
мальный изгибающий момент М на балках, считая их
свободно опертыми на концах.
Ответ. = 1,33 м; х2^= 2,44 м; х3 = 3,16 м; х4 = 3,74 м; Р ~
= 471 кН; М = 88,3 кН-м.
Задача П-5. Щитовой затвор должен автоматически
опрокидываться для пропуска воды при уровне последней
> 6 м. Щит поворачивается на цапфах О диаметром
d = 0,4 м, имеющих коэффициент трения скольжения
f = 0,2. Ширина щита В = 8 м, его угол наклона а «= 60°.
41
Найти, на каком расстоянии х должна быть распо-
ложена ось поворота щита, если под щитом имеется
постоянный уровень воды Н2 = 3 м, и определить силу Р,
воспринимаемую его опорами
в момент опрокидывания.
Ответ, х = 2,69 м; Р = 1220 кН.
Задача П-6. Двустворчатые
ворота отгораживают шлюзовую
камеру от канала с низовой сто-
роны шлюза. Они имеют две
симметричные поворотные створ-
ки, соприкасающиеся в закрытом
положении по плоскости, которая
совпадает с продольной осью
симметрии шлюза. При заполнен-
ном шлюзе вода по обе стороны ворот находится на уров-
нях Нг = 18 и Н2 = 6 м.
Найти равнодействующую Р сил давления воды на
каждую из створок ворот. На какой высоте х от дна
проходит линия действия силы Р?
Построить эпюру нагрузки от воздействия воды на
поверхность ворот. Определить силу Ро, воспринимае-
мую опорами цапф, расположенными на оси вращения О
каждой из створок.
При решении поверхность створки ворот считать
плоской шириной В = 16 м; угол а = 70°.
Ответ. Р = 22,6 МН; х = 6,5 м; Ро = 44',2 МН.
.42
Задача 11-7. Стоечно-плоский затвор размером 9,3 X
X 31 м состоит из попарно соединенных стоек В, враща-
ющихся вокруг оси О.
Пространство между стойками при опущенном их
положении закрывается набором плоских щитов шири-
ной а = 1,8 м; для пропуска воды необходимое количество
щитов поднимается вверх по стойкам.
Определить для случая, когда вся поверхность затвора
закрыта щитами:
1.	Полную силу Р давления воды на затвор.
2.	Горизонтальную составляющую R3 реакции по-
рога Л.
3.	Наибольший изгибающий момент М для каждой
из стоек (за исключением крайних).
Ответ. Р = 12750 кН; R? = 8230 кН; М == 880 кН м.
К задаче II-7
К задаче II-8
Задача П-8. Клапанный затвор, имеющий плоскую
поверхность размером В X В —2,5X10 м, создает под-
пор воды И = 2,3 м.
Определить:
1.	Суммарную силу натяжения тросов Г, удержива-
ющих затвор в Заданном положений (без учета момента
трения в опоре).
2.	Наибольший изгибающий момент М на затворе.
3.	Силу 7?, воспринимаемую цапфами опоры.
Ответ. Т = 94 кН; М ~ 90,5 кН-м; R& — 188 кН.
Задача П-9. Прямоугольный поворотный щит раз-
мером LXВ ~ 3X4 м закрывает выпускное отверстие
плотины. Справа от щита уровень воды = 5 м, слева
Н2 = 2 м.
43
Определить:
1. Начальную силу Т натяжения тросов, необходимую
для открытия щита, если пренебрегать трением в цапфах.
2. С какой силой РА щит прижимается к порогу А
в закрытом положении, если принять, что по боковым
сторонам щита опоры отсутствуют.
Ответ. Т == 348 кН; РА = 175 кН.
Задача 11-10. Квадратное отверстие размером ВхВ =
= 1X1 м в вертикальной
К задаче 11-9
стенке резервуара закрыто
плоским Поворотным щитом,
который прижимается к стен-
ке грузом G на плече г =
= 1,5 м.
1. Найти минимальную величину груза G, достаточ-
ную для удержания воды в резервуаре на уровне Н = 2 м,
если расстояние от верхней кромки отверстия до оси
вращения щита h = 0,3 м. Определить при этом реак-
цию R цапф А щита.
2. Определить, какой наименьший вакуум рд над
водой в резервуаре будет удерживать щит без груза?
Ответ. G — 8,4 кН; R= 16,9 кН; рв = 15,7 кПа.
Задача П-11. Прямоугольный поворотцый затвор раз-
мером £хВ = 2хЗм перекрывает выход воды в атмо-
сферу из резервуара, уровень в котором равен Н = 4 м.
Определить:
1. На каком расстоянии л* от нижней кромки затвора
следует расположить его ось поворота, чтобы для откры-
тия затвора нужно было преодолевать только момент
трения в цапфах О.
2. Момент трения Мтр, если диаметр цапф d == 150 мм,
а коэффициент трения скольжения в цапфах f = 0,2.
Ответ, х — 0,89 м; Мтр = 2650 Н-м.
44
Задача П-12. Поворотный клапан АО закрывает
выход из бензохранилища в трубу квадратного сечения
со стороной h = 0,3 м. Прямоугольная пластина клапана
опирается на срез трубы, сделанный под углом а = 45°.
В трубе жидкость отсутствует.
Определить (без учета трения в опоре 0 клапана и
в ролике В) силу Т натяжения троса, необходимую для
открытия клапана, если уровень бензина Н = 0,85 м,
а давление над ним по манометру М = 5 кПа. Плотность
бензина р = 700 кг/м3.
Ответ. Т = 917
К задаче П-11
К задаче П-12
Задача П-13. Заглушка А прижата к торцу Горизон-
тального цилиндрического резервуара диаметром D —
= 1,2 м при помощи домкрата В, установленного в ее
центре. Резервуар наполовину заполнен водой.
Определить:
1.	Наименьшую силу Р нажатия домкрата, необхо-
димую для удержания заглушки.
2.	Положение домкрата х, при котором необходимая
сила нажатия будет минимальной, а также величину
этой силы Рх.
3.	При каком вакууме V над водой в резервуаре
заглушка могла бы удержаться без домкрата.
Ответ. Р = 2250 Н; х = 0,354 м; Рх = 1410 Н; V = 2 кПа.
Задача П-14. Угловой поворотный затвор перекры-
вает боковое отверстие А резервуара.
Прямоугольные крылья затвора имеют радиальную
длину	= 1 м и ширину В = 1 м.
Определить:
1. Полную силу Р давления воды на затвор и момент М
этой силы относительно оси поворота затвора, располо-
45
женной на глубине Н — 2,5 м под свободной поверх-
ностью.
2. При какой длине Т?2 горизонтального крыла ги-
дравлический момент на затворе станет равным нулю.
Ответ. Р=31,4 кН; М = 3,27 кН-м; /?2 =
= 0,856 м.
Задача 11-15. Бетонная плотина имеет
следующие размеры: Иг = 12 и HQ = 3 м,
а = 1 м, b = 2 м; уровень воды с ни-
зовой стороны Н2 =3м. Грунт под пло-
тиной водопроницаем, поэтому в него
забит шпунт для предотвращения пере-
тока воды.
Проверить устойчивость плотины,
найдя суммарный опрокидывающий Мо
К задаче П-14 и восстанавливающий Мв моменты отно-
сительно точки О с учетом давления воды
на грунтовую часть плотины (см. эпюру на эскизе).
Моменты определить на единицу длины плотины.
Восстанавливающий момент от веса плотины в расчете
на 1 м ее длины равен М = 13 250 кН-м/м.
Задача II-16. Дисковый затвор диаметром D = 1 м,
установленный в трубе под углом а = 45° к горизонту,
закрывает выход воды из резервуара А в резервуар В.
Определить величину внешнего начального момента Л4,
необходимого для открытия затвора против часовой
стрелки, с учетом момента трения в цапфах затвора диа-
46
метром d = 0,15 м, если коэффициент трения скольже-
ния в цапфах f = 0,2.
Задачу решить в двух вариантах:
1) в трубе за затвором находится воздух под атмосфер-
ным давлением;
2) труба за затвором заполнена водой.
Высоты уровней: Нх = 1,2 и Н2 = 2 м.
Ответ. Мг = 480 и М2 == 370 Н-м.
Задача II-17. Определить минимально необходимое
натяжение каната и силу реакции Ro на оси поворота О
щита, закрывающего треугольное отверстие в плоской
стенке, если заданы линейные размеры: Н — 3 м; h = 2 м;
b = 1,6 м; с = 1,8 м и углы = а2 = 60°.
Ответ. Т = 14,3 кН; У? о — 26,6 кН.
К задаче II-17
К задаче П-18
Задача II-18. Замкнутый резервуар с нефтью (р =
= 920 кг/м3) разделен на две части плоской перегород-
кой, имеющей квадратное отверстие со стороной а — 1 м.
Давление над нефтью в левой части резервуара опреде-
ляется показанием манометра М = 15 кПа, а в правой —
показанием вакуумметра V = 10 кПа. Уровни нефти
указаны на рисунке.
Найти величину Р и плечо х результирующей силы
давления на крышку, закрывающую отверстие в пере-
городке.
Ответ. Р = 30,4 кН; х — 0,7 м.
Задача 11-19. На трубопроводе установлен дисковый
затвор диаметром D = 5,3 м с горизонтальной осью
поворота и цапфами диаметром d = 0,65 м. При закры-
47
тии затвора в трубопроводе за ним образуется вакуум,
измеряемый вакуумметром V.
Перед затвором давление измеряется манометром М,
установленным (так же, как и вакуумметр) в верхней
точке трубопровода. Трубопровод за затвором можно
опорожнить открытием вентиля В при одновременном
впуске воздуха через> трубу А и закрытом вентиле С;
тогда вакуум V за затвором будет равен нулю.
К задаче II-20
Определить:
1. Гидравлический момент М19 стремящийся открыть
затвор при опорожненном трубопроводе за затвором, и
внешний начальный момент М2 для поворота затвора
против часовой стрелки при показании манометра М =
= 600 кПа, если коэффициент трения в цапфах
f = 0,15.
2. Начальный момент M3J необходимый для поворота
затвора при заполненном трубопроводе за ним и пока-
заниях манометра М = 600 кПа и вакуумметра V =
= 50 кПа.
Считать боковую поверхность диска затвора плоской.
Ответ. = 380 кН-м; Л42 = 1050 кН-м; Л43 = 700 кН-м.
Задача П-20. Слева от квадратного дроссельного
затвора размером аХа уровень воды постоянен (Н),
а справа изменяется (z). Выразить в зависимости от z
суммарную гидравлическую силу Р, действующую на
затвор, и ее момент М относительно оси вращения
затвора, проходящей через его центр тяжести. Ука-
зать наибольшие значения Р и М. в интервале
О sS г S Н.
48
Ответ.
/ л Z% \
1) Р = РЯа2/ф_—при zssa;
р = pgaHI	ПРИ г > а.
л .	Я4 / 1 П Z2 < Л 23 \
2) 711 ==Р^Т2'(1'“3^- + 2^) ПРИ г^а;
М = 0 при г > а.
Задача 11-21. Цилиндрический понтон диаметром
D = 1 м, погруженный под затонувший груз (плотность
воды р = 1020 кг/м3), заполнен воздухом, давление ко-
торого по манометру М —
- 110 кПа.
Определить силу давления Р
на крышку А понтона и расстоя-
ние Д/г от центра давления до
центра тяжести площади крышки,
если Н = 10,5 м.
Ответ. Р — 3930 Н; ДА = —0,125 м
(центр давления выше центра тяжести).'
Задача П-22. Отверстие в пере-
городке замкнутого сосуда за-
крыто круглой крышкой диамет-
ром D = 0,5 м. Левая секция
заполнена ртутью до центра
К задаче 11-21
крышки; над ртутью находится
газ под абсолютным давлением = 10 кПа. В правой
секции находится газ под абсолютным давлением р2.
Определить:
1. Силу давления Р на крышку при р3 = 0.
2. При каком давлении р2 сила Р будет равна нулю?
Найти в этом случае момент М пары сил, действующей на
крышку.
Ответ. Р = 3350 Н; р2 = 17 кПа и М = 205 Н-м.
Задача 11-23. Аппарат, плавающий на поверхности
воды (р == 1020 кг/м3), имеет люк, закрытый изнутри
плоской крышкой диаметром d == 0,8 м.
49
Определить силу давления Р на крышку, если внутри
аппарата имеется вакуум р = 2 кПа.
Найти расстояние А/ линии действия этой силы до
оси люка.
Ответ. Р = 1420 Н; Д/ = 5,1 см.
Ртуть
К задаче II-22
Задача П-24. Закрытый резервуар с жидкостью (плот-
ностью р = 900 кг/м3) имеет выпускную трубу диаметром
D = 0,5 м, перекрытую дисковым затвором. Избыточное
давление в резервуаре р ~ 60 мм рт. ст.; Н = 0,65 м.
Найти силу давления Р на клапан затвора и момент М
этой силы относительно оси поворота затвора.
Каковы будут сила давления Р' и момент М', если
над жидкостью давление станет равным атмосферному?
Ответ. Р = 2700 Н; = 27 Н-м; Р' = ИЗО Н; М' = М.
К задаче II-24
Задача П-25. Определить результирующее воздей-
ствие сил давления воды на брус квадратного сечения со
стороной а = 25 см, выступающий из непроницаемого
грунта над поверхностью воды. Глубина дна Н — 5 м,
угол наклона бруса а = 45°.
Ответ Возникает пара сил, момент которой М — 10 850 Н-м.
50
ГЛАВА III
СИЛЫ ДАВЛЕНИЯ ПОКОЯЩЕЙСЯ
ЖИДКОСТИ НА КРИВОЛИНЕЙНЫЕ
СТЕНКИ. ПЛАВАНИЕ ТЕЛ
ВВЕДЕНИЕ
Распределенная нагрузка, которая действует на криво-
линейную поверхность от нормальных в каждой ее точке
давлений жидкости, может быть приведена к главному
вектору и главному моменту. Главный вектор опреде-
ляется по трем составляющим (обычно по вертикальной
и двум взаимно перпендикулярным горизонтальным со-
ставляющим), главный момент — по сумме моментов этих
составляющих.
Для криволинейных стенок, симметричных относи-
тельно вертикальной плоскости (большинство практиче-
ских задач), сумма элементарных сил давления приводится
к одной равнодействующей силе, лежащей в плоскости
симметрии, или к паре сил, лежащей в той же плоскости.
Величина и направление равнодействующей силы Р
определяются по двум составляющим, обычно горизон-
тальной и вертикальной, как показано на рис. Ш-1.
Горизонтальная составляющая силы давления, воспри-
нимаемой криволинейной стенкой, равна силе давления
на вертикальную проекцию этой стенки, нормальную
к плоскости симметрии, и определяется по формуле
Рг = pghcFB,	(Ш-1)
где hc — расстояние по вертикали от центра тяжести
вертикальной проекции стенки до пьезометри-
ческой плоскости О—О;
51
FB — площадь вертикальной проекции стенки;
р — плотность жидкости;
g — ускорение свободного падения.
Линия действия силы Рг, проходя через центр давле-
ния вертикальной проекции стенки, лежит в плоскости
симметрии и смещена (вниз, если hc Г> 0, или вверх,
если hc < 0) относительно центра тяжести вертикальной
проекции на расстояние
Д/г = _4-,	(Ш-2)
Fshc	v 7
где Jc — момент инерции площади вертикальной проек-
ции относительно горизонтальной оси, проходя-
щей через центр тяжести проекции.
Вертикальная составляющая силы давления, воспри-
нимаемой криволинейной стенкой, равна весу жидкости
в объеме который ограничен стенкой, пьезометриче-
ской плоскостью и вертикальной проектирующей поверх-
ностью, построенной на контуре стенки и определяется
по формуле
Рв = Р^в-	(П ЬЗ)
Сила Рв проходит через центр тяжести объема VB
и направлена вниз, если объем строится со смоченной
стороны стенки; если объем строится с несмоченной сто-
роны стенки, сила Рв направлена вверх.
В формулах (Ш-1) и (Ш-3) для Рг и Рв предпола-
гается, что жидкость находится с одной стороны стенки
и что с несмоченной ее стороны давление равно атмосфер-
ному.
Полная сила давления на стенку представляет геомет-
рическую сумму сил Рг и Рв и равна:
Р =	+ Рв-	(Ш-4)
Линия действия силы Р проходит через точку пере-
сечения линий действия сил Рг и Рв.
Угол <р наклона равнодействующей к горизонту опре-
деляется из формулы
tg<p = ^.	(Ш-5)
*Г
Для стенок постоянной кривизны (цилиндрические,
сферические стенки) полная сила давления проходит
через центр или ось кривизны стенки.
52
В случае избыточных давлений на смоченной стороне
стенки все составляющие и полная сила давления жидко-
сти направлены от жидкости на стенку (изнутри наружу).
В случае разрежения на смоченной стороне стенки —
силы направлены снаружи внутрь.
При двустороннем воздействии жидкостей на стенку
сначала определяются горизонтальные и вертикальные со-
ставляющие с каждой стороны стенки в предположении
Ш-2
одностороннего воздействия жидкости, а затем — сум-
марные горизонтальная и вертикальная составляющие от
воздействия обеих жидкостей.
На рис. Ш-2 показано определение горизонтальной
и вертикальной составляющих и полной силы давления
жидкости на симметричную стенку АВ в случае избыточ-
ного давления (а) и в случае разрежения (б) на смочен-
ной стороне стенки.
В ряде задач силу давления на криволинейную стенку
удобнее находить по ее составляющим вдоль наклонных
осей.
Сила давления жидкости на стенку по любому задан-
ному направлению s (рис. Ш-3) равна:
Ps = Gs cos а — pgVs cos а,	(Ш-6)
где Gs — вес жидкости в объеме Vs, ограниченном стен-
кой, пьезометрической плоскостью и проектиру-
ющей поверхностью, параллельной заданному
направлению;
а — угол между заданным направлением и верти-
калью.
53
Линия действия силы Ps проходит через центр тяжести
жидкости в объеме Vs.
В некоторых случаях для нахождения той или иной
составляющей силы давления жидкости на стенку следует
разбить ее поверхность на отдельные участки, опреде-
лить соответствующие усилия на каждый участок стенки
и далее просуммировать их.
Так, для определения вертикальной составляющей силы
давления жидкости на полусферическую стенку abc
Рис. ш-з
(рис. Ш-4) разделим поверхность полусферы горизон-
тальной плоскостью на верхнюю ab и нижнюю Ьс поло-
вины и найдем вертикальные силы давления жидкости
на каждую из них.
Вертикальная сила на стенку ab равна весу жидкости
в объеме abmn (Pab = pgVabmn) и направлена вверх;
вертикальная сила на стенку Ьс равна весу жидкости
в объеме bcnm (Pbc = pgVbcnm) и направлена вниз.
Следовательно, вертикальная сила давления на всю
полусферу abc равна разности указанных сил:
Pbc ^аЬ = bcnm	V abmn)	Pg^abcj
т. е. равна весу жидкости в объеме полусферы и направ-
лена вниз.
Возможным приемом расчета силы давления, который
часто упрощает решение зйдач, является рассмотрение рав-
новесия объема жидкости, заключенного между стенкой
и плоским сечением, проведенным через ее граничный
контур. Пусть, например, требуется определить силу Р
давления жидкости на коническую крышку (рис. Ш-5).
5'4
Условие равновесия объема жидкости, заполняющей ко-
нус, выражается векторным уравнением
У + G + Я = О,
о
Рис. Ш-5
где У — сила давления жидкости на выделенный объем,
т. е. на плоское сечение ас (равная N = pgHFat
и проходящая по нормали к сечению через
центр давления D);
G — вес выделенного объема
жидкости (G = pgV)-,
R — сила действия конуса
на жидкость. _
Так как искомая сила Р равна
и противоположна силе, R полу-
чаем уравнение
Р = У + О, (II1-7)
из которого можно определить силу давления Р или
любую ее составляющую.
Пример 1. Определить отрывающее и сдвигающее
усилия и полную силу давления жидкости на полусфе-
рическую крышку радиуса /?, если заданы пьезометриче-
ский напор воды Н над центром крышки и угол а на-
клона стенки бака к горизонту (рис. Ш-6, а).
Воспользуемся формулой (Ш-6) для определения силы
давления жидкости на стенку по заданному направле-
нию.
Отрывающее ’усилйе Рп, нормальное к стенке бака,
составляет угол а с вертикалью и определяется как
Рп = PgVn cos а,
где Vn — объем, показанный в разрезе на рис. Ш-6, б
заштрихованной площадью abcdea;
V„ = 4 nR3 + nR2 — = л/?2 ( 4 P + ~ ) •
п 3	1 cos a	\ 3	1 cos a /
Следовательно,
Pn =	(~ R cos a + H
\ u	/
Сдвигающее усилие Pt направлено параллельно стенке
бака, составляет угол {3 — 90 — ас вертикалью и равно:
Pt = PgVt cos р,
55
где Vt — объем жидкости abca, представляющий разность
объемов bcfg и abgf для участков полусферы Ьс
и ab и равный ее объему:
9
Vt = ~ rtRs.
Следовательно,
Pt = PS nP3 sin а.
О
Рис. Ш-6
Отметим, что сдвигающая сила не зависит от величины
напора в баке.
Имея две взаимно перпендикулярные составляющие
Рп и Р;, находим полную силу давления, проходящую
в данном случае через центр полусферы:
Р = ¥р2п + Р* = pgnR* У н2 + ~ RH cos а +1R2.
Задачу можно также решить, пользуясь уравнением
(Ш-7), рассмотрев равновесие объема'' жидкости, запол-
няющего полусферу (рис. Ш-6, в).
Предварительно находим силу Л/, с которой жидкость,
заполняющая бак, действует на плоское сечение ас, и
вес G выделенного полусферического объема жидкости:
N = pgHnR2 (направлена по нормали к сечению ас,
2
проходя через его центр давления); G = pg-y nR3 (сила
вертикальна и проходит через центр тяжести полусфе-
рического объема).
56
Проектируя найденные силы на направления отры-
вающего и сдвигающего усилий, получаем в соответствии
с векторным уравнением (Ш-7):
= М 4- G cos а = pgnA!2 ( И + ~ R cos а J;
2
Р, = G sin а = pg -х-nR3 sin а.
<5
Рис. Ш-8
Результирующая сила давления жидкости на по-
груженное в нее тело (архимедова сила) направлена
вертикально вверх и равна весу’ жидкости в объеме V,
вытесненном телом:
Р - pgV.	(Ш-8)
Сила Р проходит через центр тяжести вытесненного
объема жидкости (центр водоизмещения).
При равновесии плавающего тела его центр тяжести
и центр водоизмещения находятся на общей вертикали
(ось плавания).
Для устойчивого равновесия тела, плавающего в по-
груженном состоянии (подводное плавание), необходимо,
чтобы центр тяжести тела (точка С) лежал ниже центра
водоизмещения (точка В, рис. Ш-7).
При плавании тела на поверхности (надводное плава-
ние, рис. Ш-8) это условие необязательно, так как устой-
чивое равновесие тела возможно в некоторых случаях
и при обратном расположении точек С и В на оси пла-
вания.
Для устойчивого равновесия тела при надводном пла-
вании необходимо, чтобы при крене тела (наклоне его
57
оси плавания на угол 0) метацентр М (точка пересече-
ния линии действия архимедовой силы с осью плавания)
лежал выше центра тяжести тела С, т. е. чтобы мета-
центрическая высота Я (расстояние между точками М
и С) была положительна.
Момент устойчивости плавающего тела определяется
по формуле
Mljcm = GH sin 0,	(Ш-9)
где G — вес тела, равный весу вытесненной жидкости
(G = PgV);
Н — метацентрическая высота;
0 — угол крена.
При малых углах крена метацентрическая высота
может быть определена по формуле
я = -£-	(пыо)
где J — момент инерции площади плавания AD отно-
сительно оси качания О—О;
V — погруженный в жидкость объем тела;
d — превышение центра тяжести тела над центром
водоизмещения при равновесии.
Момент устойчивости плавающего тела равен:
MJ/cm = p^v(^-d)sine.	(НЫ1)
Из формулы (Ш-11) следует, что для устойчивого рав-
новесия плавающего тела необходимсгвыполнение условия
H = ~-d>Q.
(ПЫ2)
Проверять устойчивость
плавающего тела следует
относительно той оси, для
которой момент инерции пло-
щади плавания наимень-
ший.
Пример 2. Деревянный брус квадратного сечения
ах а и высотой h, относительная плотность которого
равна 6, плавает в воде (рис. Ш-9).
Определить наибольшее значение высоты бруса /гтах,
при котором плавание еще будет устойчивым.
58
Для решения задачи воспользуемся формулой (Ш-10),
подставив в нее значение метацентрической высоты Н = 0:
н = d = o.
Погружение бруса х определяется из закона Архи-
меда
х = б/i.
Определим величины J, V, d, входящие в формулу
(Ш-Ю):
т _ а*
J ~~ 12’
V = а2х — a26h;
» h х h i j
2 ~~2 = TO-6)’
Подставляем найденные значения в формулу
_ А(1-б) = о.
12а2о/г	2 4	7
Отсюда
П1ах ~ /бб'(1-6) *
Задачи
Задача II1-1. Определить величины и направления
сил давления воды на плоское и полусферическое днища
цилиндрического сосуда диаметром D = 1 м в трех
случаях:
, D D п
У ~ + 5 >	5 1 °-
Показать в виде векторов горизонтальные и вертикаль-
ные составляющие сил давления воды на днища.
Ответ. Горизонтальные составляющие сил давления на правое
и левое днища одинаковы и равны + 1,54 кН; — 1,54 кН и 0; вертикаль-
ные составляющие сил давления на полусферу одинаковы для трех
случаев и равны 2,57 кН.
69
Задача 111-2. В прямоугольном окне вертикальной
стенки резервуара установлен на цапфах цилиндрический
затвор диаметром D = 0,8 м и длиной В = 3 м.
К задаче III-2
Определить:
1. Усилие на цапфы и момент от воздействия воды на
затвор в изображенном на эскизе положении при напоре
Н = 1 м.	у
К задаче II1-3
К задаче II1-4
2. Какими будут усилия на цапфы и момент, если
повернуть затвор на 180°?
Ответ. 1) Усилие на обе цапфы Р = 23,8 кН; момент от воздей-
ствия жидкости М — 628 Н-м; 2) Р = 24,7 кН; М — 0.
Задача II1-3. Показание манометра, присоединенного
к днищу бака, равно М = 10 кПа.
Найти давление воздуха, находящегося над водой,
если /ц = 1,8 м и h2 = 1 м.
Определить растягивающее и срезающее усилия бол-
тов, крепящих к вертикальной стенке бака коническую
60
крышку с размерами d = 0,8 м и I == 0,6 м; весом крышки
пренебречь.
Построить график зависимости этих сил от давления М.
Ответ. рх — —17,5 кПа (разрежение); Рраст == —3,82 кН (крышка
прижимается к баку давлением снаружи); Рсрез = 0,98 кН.
Задача Ш-4. Цилиндрический затвор диаметром
D = 1,2 м и длиной L = 16 м, масса которого равна 40 т,
может открываться путем качения его вверх цепью пи
наклонным направляющим, составляющим угол а = 70°
с горизонтом.
Определить по величине и направлению силу давления
воды на закрытый затвор.
Найти натяжение цепи при трогании затвора с места
и при выходе его из воды.
Как изменятся сила давления воды на затвор и натя-
жение цепи, если уровень воды за плотиной поднимется
до оси затвора?
Ответ. Р — 144 кН; угол с горизонтом 38° 10'; X = 123 кН при
трогании и 184 кН при выходе из воды.
Задача Ш-5. Определить силу, прижимающую сталь-
ной (относительная плотность 6 = 8) шаровой всасы-
вающий клапан радиусом R = 100 мм к седлу, имеющему
диаметр d = 125 мм, если диаметр насосного цилиндра
К задаче Ш-5
К задаче Ш-6
Седло клапана расположено ниже оси цилиндра на
расстояние = 0,5 м и выше свободной поверхности,
в резервуаре с атмосферным давлением на расстояние
h2 = 6,5 м, причем труба под клапаном заполнена водой.
Ответ. Q ~ 1640 Н.
61
Задача П1-6. Секторный затвор радиусом R ~ 5 м
и длиной L ~ 4,5 м поддерживает напор воды Н — 3,5 м.
Для пропуска воды затвор поднимается цепью, повора-
чиваясь вокруг горизонтальной оси на цапфах диаме-
тром d — 150 мм.
Масса затвора равна 3 т, его центр тяжести распо-
ложен на биссектрисе угла сектора (радиус г = 0,75/?).
При закрытом затворе ось его вращения и верхний
обрез сектора лежат в одной горизонтальной плоскости,
расположенной выше свободной поверхности на расстоя-
ние h = 1 м.
Определить:
1.	Силу, нагружающую подшипники закрытого за-
твора.
2.	Силу, прижимающую затвор к порогу.
3.	Начальное натяжение цепи при подъеме затвора
(коэффициент трения в цапфах принять f = 0,3).
Ответ. 1) Р — 398 кН; угол с горизонтом 47°; 2) N — 42,8 кН,
3) Q = 2,05 кН.
усилие 1, с которым
К задаче II1-7
Задача 1П-7. Секторный затвор плотины радиусом
/? = 4,5 м поддерживает напор воды Н = 3 м.
Поворачиваясь вокруг оси О, затвор может погру-
жаться в выемку, сделанную в теле плотины и заполнен-
ную водой.
Пренебрегая трением в опорах вращения, определить
~	Ф прижимается к уступу А
плотины (приходящееся на
1 м длины затвора), если
масса 1 м длины затвора
равна 1 т; размеры а = 4 м
и b = 0,3 м, плечо центра
тяжести затвора с = 0,6 м.
Ответ. Т = 47,1 кН.
Задача II1-8. Горизон-
тальный цилиндрический
сосуд диаметром d = 0,8 м
с полусферической и кониче-
ской тонкостенными крыш-
ками заполнен жидкостью плотностью рР Правая поло-
вина цилиндра (с конической крышкой) вставлена в замк-
нутый резервуар и находится под уровнем другой
жидкости (плотностью р2) на глубине а = 2 м.
62
Определить горизонтальные и вертикальные состав-
ляющие сил давления жидкости на полусферическую и ко-
ническую крышки А и В, если показание вакуумметра
V = 16 кПа, показание манометра М = 30 кПа и рх =
= р2 = 1000 кг/м3.
Показать в виде векторов горизонтальные и вертикаль-
ные составляющие сил давления жидкости на полусферу
и конус. Как изменятся силы при рх = 0,8-р2 =
= 800 кг/м3?
Ответ. Для полусферы Рг~ —5,03 кН и Рв~ 1,31 кН; для
конуса Рг = —30 кН и Рв — 0; при pj = 0,8р2 горизонтальные со-
ставляющие не изменятся; вертикальная составляющая на полусферу
Рв = 1,05 кН; на конус Рв — —0,263 кН.
Задача II1-9. Отверстие в дне сосуда, содержащего
масло относительной плотностью 6 = 0,83, закрыто ко-
нической пробкой с размерами D = 100 мм, d '= 50 мм
и а = 100 мм, укрепленной на штоке аг = 25 мм. Уровень
масла расположен выше пробки на расстоянии b = 50 мм.
Определить:
1. Начальное усилие Р, необходимое для подъема
пробки при избыточном давлении в сосуде М = 10 кПа.
2. Избыточное давление /И, при котором усилие Р
окажется равным нулю.
Собственным весом пробки и трением в сальнике пре-
небречь.
Ответ. 1) Р = 13,5 Н; 2) М = 1,3 Па.
Задача ПЬЮ. Определить усилия, нагружающие бол-
товые группы А и В сборного конического резервуара, со-
63
держащего воду, если h = 1 м, наибольший внутренний
диаметр сосуда D = 3 м, а показание манометра М ==
= 40 кПа.
Ответ. Рд=31,4 кН; Рв= 355 кН,
К задаче Ш-10
К задаче Ш-11
Задача III-11. Определить усилия, нагружающие бол-
товые группы А, В и С симметричного сосуда размерами
Dt = 1,8, D2 — Ра9 и h = 1,2 м; т1 = 600 кг и т2 =
= 900 кг — массы крышки и конической обечайки со-
суда. Сосуд заполнен водой, избыточное давление М =
= 50 кПа.
Как изменятся усилия, действующие на болты, если
вместо указанной на эскизе опоры подвесить сосуд за
верхнюю крышку?
Ответ. РА == 121 кН; Р в = 7,1 кН; Рс — 128 кН; РА = 185 кН;
= 71,5 кН; 192 кН.
О	С
Задача III-12. Определить растягивающие и срезаю-
щие усилия, нагружающие болты фланца А конического
резервуара размерами D — 1 м; d = 0,5 м и а = 1 м,
заполненного жидкостью'плотностью р — 750 кг/м3.
Давление в резервуаре измеряется ртутным мано-
метром, показание которого hpm = 300 мм; высота h =
= 0,5 м.
Угол наклона оси резервуара к горизонту а = 45°;
собственный вес резервуара не учитывать.
Ответ. Рраст ~ 5,76 кН; Рсрез ~ 2,38 кН.
64
Задача III-13. Отформован и заливается чугуном
(относительная плотность 8чуг = 7) полый барабан диа-
метром D = 250 мм и длиной I = 1,0 м. Для получения
внутреннего отверстия в форму заложен цилиндрический
стержень (относительная плотность 6 = 2,5) диаметром
К задаче Ш-12
L
К задаче Ш-13
d = 80 мм и длиной L = 1,2 м. Уровень чугуна в литнике
расположен на высоте Н = 0,5 м над осью формы.
Определить:
1.	Максимальный изгибающий момент, действующий
на стержень при заливке формы.
2.	Вертикальную силу, которая стремится поднять
опоку при заливке формы.
Стержень при отливке рассматривать как балку, сво-
бодно лежащую на двух опорах. Влиянием литников на
искомую силу пренебречь.
Ответ. Мизг~ 33,4 Н-м; Р=7,12 кН.
Задача II1-14. Шаровой сосуд ра-
диусом R = 0,4 м, заполненный во-
дой, висит на тяге, прикрепленной
к его верхней половине. Какое наи-
меньшее давление в центре сосуда
(показание пружинного вакууммет-
ра V) удержит свободную нижнюю
половину сосуда массой т = 150 кг?
Ответить на поставленный воп-
рос, принимая т = 0.
Ответ. Разрежение в центре: VL = 5,55 кПа; 1/2 = 2,62 кПа.
Задача 111-15. Каков наименьший уровень Н воды
в сосуде, при котором стальной шар (относительной плот-
ности 6 = 8) радиусом R = 100 мм, перекрывающий круг-
3	Д. А, Бутаев и др,	65
лое отверстие диаметром d — 1,5 R в вертикальной стенке,
будет находиться в равновесии?
Ответ. Н = 1,48 м.
Задача Ш-16. Определить усилия, растягивающие
и срезающие болты диаметрального фланцевого соедине-
ния шарового сосуда радиу-
сом R=0,4
м, заполненного
К задаче II1-16
находящегося под внутренним избы-
наполовину водой и
точным давлением сжатого газа М = 20 кПа.
Плоскость стыка наклонена к горизонту под углом а =
= 45°, масса полушара т — 300 кг.
Ответ. Растягивающее усилие 7,98 кН; срезающее усилие 2,32 КН.
К решению задачи III-17
диаметром О0 = 200 мм
II1-17. Отверстие
стенке, наклоненной к вертикали под углом
Задача
в плоской
а = 45°, перекрыто конической пробкой, размеры кото-
рой Dt = 300 мм, Z?2	150 мм и L = 300 мм. Уровень
воды в сосуде Н = 500 мм.
Определить силу давления воды на пробку.
Указание. Помимо общего способа нахождения сил по двум задан-
ным направлениям, силу давления на смоченную поверхность пробки
abed можно определить при помощи следующего приема: предполо-
66
жим, что жидкость находится с противоположной стороны этой по«
верхности (притом же уровне Я); тогда из условия равновесия заштри-
хованного объема «фиктивной» жидкости найдем, что сила ее давления
на рассматриваемую поверхность равна:
Р' = N' + 5',
где N' — сила давления на плоскую стенку ad\
G' — вес заштрихованного объема жидкости.
Так как сила давления на каждый элемент поверхности опреде-
ляется глубиной его погружения под уровнем жидкости, замена дей-
ствительной жидкости фиктивной не меняет величины силы давления
на поверхность, но изменяет ее направление на противоположное.
Следовательно, искомая сила давления Р равна:
Р = /V + G,
где N = —N' и G = —G'.
Ответ. Слагающая Р, нормальная плоскости отверстия Рг —
= 85,3 Н, а параллельная плоскости отверстия Р2 = 68,7 Н.
Задача Ш-18. Определить отрывающее и сдвигающее
усилия и изгибающий момент на фланце А, крепящем
колено 90° к баку, если разрежение воздуха в баке рв =
= 10 кПа и глубина // = 1,8 м.
Диаметр колена d = 400 мм, радиус кривизны его оси
У? = 1 м и масса колена т = 100 кг. Центр тяжести ко-
лена, заполненного водой, принять расположенным на
биссектрисе в точке г = 0,9/?.
Как влияет величина давления воздуха в сосуде на
искомые усилия и момент?
Ответ. PomD = 0,96 кН; = 2,92 кН. Момент М = 1850 Н-м.
Задача 111-19. В цилиндрическом сосуде плавает
кусок льда относительной плотности 6Х = 0,9, в который
впаян стальной шарик относительной плотности 62 = 7,8.
Объем льда = 12 дм3, объем шарика V2 — 50 см3.
К задаче Ш-18	К задаче Ш-19 К задаче Ш-20
67
Определить:
1. Какая часть объема тела находится над водой?
2. Как изменится уровень Н в сосуде, когда лед растает,
если диаметр сосуда D = 500 мм?
Ответить на поставленные вопросы еще для следующих
двух вариантов задачи:
1. Вместо стального шарика объем V2 заполнен льдом.
2. Объем V2 представляет воздушную полость.
Ответ. Vx — 0,86 л; уровень понизится на 1,73 мм.
Задача II1-20. В сосуд, заполненный водой и маслом
(рЛ£ — 900 кг/м3), погружен кусок воска (рб = 960 кг/м3).
Определить, какая часть объема воска погрузится
в воду и какая останется в масле?
Ответ. В воду погрузится 0,6 объема воска.
Задача II1-21. 1). Прямоугольный параллелепипед отно-
сительной плотности 6 = 0,7 со стороной квадратного
основания а = 250 мм и высотой b плавает в воде.
Какому условию должна удовлетворять высота &, чтобы
равновесие плавающего параллелепипеда было устой-
чивым?
2. В той же жидкости плавает куб со стороной а. Ка-
кому условию должна удовлетворять относительная плот-
ность б материала куба, чтобы равновесие плавающего
куба было устойчивым?
Ответ. 1) b 0,222 м; 2)
0,789 и не может быть больше
К задаче Ш-21
6 не должно быть в пределах 0,2П —
1. так как в этом случае куб пстонет.
Задача II1-22. На понтоне с размерами дна 12X4 м,
высотой борта 1,2 м и массой 8 т перевозят котел массой
16 т, центр тяжести которого расположен на высоте 1 м
над палубой понтона.
1.	Определить глубину х погружения понтона при уста-
новке котла на середине понтона.
68
2.	Найти максимальный момент Мизг, изгибающий
поперечное сечение корпуса понтона.
3.	Подсчитать момент устойчивости Муст при боковом
крене 0 = 10°.
Считать вес понтона распределенным равномерно по
всему дну, а центр тяжести его поперечных сечений рас-
положенным на 0,8 м ниже палубы.
Ответ, х = 0,5 м; Мизг = 235 кН*м; Муст = 51 кН*м.
Задача Ш-23. Бензин (относительная плотность
6 == 0,7) под избыточным давлением р = 30 кПа подво-
дится к поплавковой камере карбюратора по трубке диа-
метром d = 4 мм.
Шаровой поплавок массой 25 г и игла массой 12 г,
перекрывающая доступ бензина, укреплены на рычаге
(а = 40 мм, b = 15 мм), который может поворачиваться
вокруг неподвижной оси 0.
Определить радиус г поплавка из условия, чтобы в мо-
мент открытия отверстия поплавок был погружен наполо-
вину (трением в шарнирах и весом рычага пренебречь)
К задаче II1-24
Задача Ш-24. Погруженный в воду полый шаровой
клапан диаметром D = 150 мм и массой т = 0,5 кг за-
крывает выходное отверстие внутренней трубы диаметром
d = 100 мм.
При какой разности уровней Н клапан начнет пропу-
скать воду из внутренней трубы в резервуар?
Ответ. Н — 161 мм.
69
Задача 111-25. Подводный железобетонный туннель
круглого сечения с внутренним диаметром D = 3 м и тол-
щиной стенки 6 = 250 мм удерживается от всплывания
тросами Т, расположенными попарно через каждые 6 м
длины туннеля.
Определить натяжение тросов, полагая дополнитель-
ную нагрузку, приходящуюся на 1 м длины туннеля
G = 10 кН и плотность бетона 2,5 т/м3.
Ответ. 75,5 кН на один трос.
К задаче II1-26
Задача II1-26. Поворотный пролет моста опирается
на цилиндрический поплавок диаметром D ~ 3,4 м, пла-
вающий в камере диаметром = 3,6 м.
Определить:
1. Погружение а поплавка в воду, если масса пролета
с поплавком равна т = 30 т.
2. Осадку h пролета при нагружении его внешней
силой Р = 100 кН.
Ответ. а~ 3,3 м; h — 0,12 м.
Задача II1-27. Деревянный брус постоянного сечения
(относительная плотность б = 0,75) длиной L = 2 м под-
вешен на шарнире без трения и своим нижним концом по-
гружен в воду.
Определить, при какой глубине погружения верти-
кальное положение бруса будет устойчивым.
Найти глубину г2, при которой брус будет иметь на-
клон а = 60° к вертикали.
Ответ.
L (1 — У 1 — 6) == 1 м;
г2 — L (1 — cos аУ 1 — д) = 1,5 м.
70
Задача Ш-28. Однородный брус постоянного. сече-
ния F И ДЛИНОЙ L С ПЛОТНОСТЬЮ рх своим нижним концом
шарнирно закреплен на глубине Н под свободной
поверхностью жидкости, плотность которой р > pi.
Определить:
1. Какой угол наклона (р отвечает устойчивому равно-
весию бруса в жидкости и при каких значениях брус
будет покоиться в вертикальном положении.
2. Какой будет при равновесном положении бруса
опорная реакция R в шарнире.
Ответ.
1)	<р = 0 np«
«“"MM1)np" MVM
Задача II1-29. Тонкостенный цилиндрический колокол
микроманометра свободно подвешен на шарнире и частично
погружен открытым концом под постоянный уровень жид-
кости с атмосферным давлением.
Определить, какова должна быть высота а располо-
жения точки подвеса колокола над уровнем жидкости,
чтобы при его отклонениях на углы 0	10° от вертикали
он возвращался в исходное положение равновесия.
Диаметр колокола D = 70 мм, его масса т = 800 г,
расстояние центра тяжести до точки подвеса b = 200 мм.
71
Избыточное давление внутри колокола ри — 1 кПа,
платность жидкости (спирт) р = 800 кг/м3.
Ответ.
mgb cos 20
а<~л&
—_ ри
Ри *
2pg;
Задача II1-30. В плавучем доке с указанными на ри-
сунке поперечными размерами поднимают судно водоиз-
мещением 15 400 т при глубине осадки 8,4 м. Док состоит
из нижнего понтона (днища) 165 X 30 X 4,5 м; двух бо-
ковых понтонов 120 X 14,5 X 4 м, дно которых на 0,5 м
выше дна нижнего понтона; двух боковых трапециевидных
камер нижнего понтона длиной 140 м. Торцовых стенок
док не имеет и вода может свободно входить внутрь дока
и выходить из него.
Высота киль-блока над верхом нижнего понтона равна
1,2 м.
Определить количество воды, откачиваемой из понто-
нов при всплывании дока с судном до выравнивания верха
нижнего понтона с уровнем воды, и найти максимально
допустимую массу самого дока. Плотность морской воды
принять р = 1020 кг/м3.
Ответ. 25 300 м3, 11 240 т.
72
Задача II1-31. На барже с размерами дна L X В =
= 60 X 10 м и осадкой С = 1,5 м установлен кран грузо-
подъемностью 50 кН с максимальным вылетом стрелы
А == 15 м.
Определить угол крена баржи при максимальной на-
грузке крана, если центр тяжести системы расположен
выше дна баржи на 4,25 м.
Ответ. 0 = 2°23'.
К задаче Ш-32
К решению задачи Ш-32
и поэтому не влияют на
Задача III-32. Тонкостенный цилиндрический сосуд
радиусом R = 0,8 м и весом Gx = 23,5 кН с центром тя-
жести, расположенным на расстоянии /ц = 1,5 м от дна,
плавает в воде.
Определить, какой должна быть минимальная высота г
слоя воды, залитой внутрь сосуда, чтобы он обладал ста-
тической устойчивостью.
Указание. 1. При отклонении оси
плавания сосуда от вертикали на ма-
лый угол 0 на сосуд действуют (см.
рисунок к решению задачи) его вес 61.
вес залитой в него воды С2 и вытал-
кивающая сила Р = Qt + б2, прохо-
дящие соответственно через центр тя-
жести сосуда С1} центр тяжести зали-
той воды С2 и центр водоизмещения
сосуда D (точки С2 и D отвечают вер-
тикальному положению сосуда).
2. Моменты от дополнительных
подъемных сил ДР и от сил веса
залитой воды ДО, возникающие вслед-
ствие наклона сосуда, одинаковы по
величине, но противоположны по зш
условия равновесия. Отсюда, для устойчивого равновесия необходимо:
G2C2D = GjJDC^
73
Ответ. z= h
D2 = 0,9 m.
2pg;t/?2
К задаче Ш-33
Задача HI-33. Ступенчатый шток с размерами dt =
= 100 мм, d2 = h = 300 мм и массой т = 24 кг плавает
в воде, заполняющей цилиндрический сосуд диаметром
D = 400 мм.
В пространстве над водой может быть установлено лю-
бое заданное давление воздуха:
1)	определить глубину погружения х штока при атмо-
сферном давлении над уровнем воды;
2)	определить, при каком избы-
точном давлении ри шток выйдет из
воды и каково будет при этом его
перемещение s от начального поло-
жения при ри = 0?
3)	построить график зависимости
S = f (ри>-
Ответ. 1) х = 657 мм; 2) ри = 30 кПа
и s — 466 мм.
Задача 111-34. Тело в форме ци-
линдра с полушаровой головкой,
размеры которого d ~ 200 мм, R =
= 300 МхМ и масса т = 230 кг,
плавает в воде, заполняющей замк-
нутый сосуд.
Установить зависимость между погружением Л тела
под уровнем воды и величиной избыточного давления ри
газа в сосуде.
Найти давление, при котором погружение станет рав-
ным h = R и полушар начнет выходить из воды.
Ответ. ри— 54 кПа.
Задача II1-35. Определить горизонтальную и вер-
тикальную силы давления воды на вертикальный цилиндр
диаметром d == 400 мм, вставленный через отверстие в на-
клонной стенке (а — 45°) внутрь резервуара на высоту
h = 1 м. Уровень воды Н = 1,6 м.
Ответ. Ргор~ 1,95 кН; Рверт ~ 0,735 кН.
74
Задача ПГ-36. Определить горизонтальную и верти-
кальную силы давления воды на горизонтальный цилиндр
диаметром d — 400 мм, который вставлен через отверстие
в наклонной стенке (а = 45°) внутрь резервуара на рас-
стояние I = 1000 мм. Уровень воды над осью цилиндра
Н = 1 м.
Ответ. Ргор= 1,23 кН; Рверт = 0.
ГЛАВА IV
РАВНОВЕСИЕ ЖИДКОСТИ
В ДВИЖУЩИХСЯ СОСУДАХ
ВВЕДЕНИЕ
1.	При равновесии в движущемся сосуде жидкость,
заполняющая сосуд, движется вместе с ним как твердое
тело. Дифференциальное уравнение равновесия имеет вид
dp = р (qxdx + qydy + qzdz),	(IV-1)
где	x, у, z — координаты точек жидкости в си-
стеме отсчета, связанной с сосудом;
р = f (х, у, z) — давление в жидкости;
р — плотность жидкости;
Яг — проекции единичной массовой
силы q на координатные оси.
Вектор единичной массовой силы q определяется соот-
ношением
г AQ
<7 = Ит rjt
АМ-*0
75
где ДМ — масса элементарной частицы жидкости;
AQ — суммарная массовая сила, действующая на
рассматриваемую частицу.
При движении сосуда в поле сил тяжести вектор еди-
ничной массовой силы q в каждой точке жидкости пред-
ставляет собой сумму единичной силы веса g и единичной
силы инерции / переносного движения:
Q = g + i< j = —a‘,	(IV-2)
где а — переносное ускорение в данной точке жидкости.
Давление в жидкости меняется по всем направлениям,
кроме тех, которые нормальны к вектору единичной мас-
совой силы; поверхности уровня (поверхности равного
давления) в каждой своей точке нормальны направлению
вектора единичной массовой силы, действующей в этой
г	точке. Дифференциальное
Рис. IV-1
уравнение поверхностей
уровня (в частности, свобод-
ной поверхности жидкости
и поверхности раздела не-
смешивающихся жидкостей)
имеет вид
qxdx + qydy +
+ q£dz = 0.	(IV-3)
2.	В случае равновесия
жидкости в сосуде, движу-
щемся прямолинейно с постоянным ускорением а, поле
массовой силы представляет собой семейство одинаковых
по величине и направлению векторов q (рис. IV-1).
В системе прямоугольных осей координат %, у, г, свя-
занной с сосудом (ось у перпендикулярна плоскости дви-
жения), уравнение поверхности уровня (в частности, сво-
бодной поверхности), проходящей через точку х0, у0, имеет
вид
a cos a z ч
г — г0 =----------г---:---(х — х0),
0 g + a sm а '
(IV-4)
где хи z — координаты произвольной точки поверхности
уровня;
а — угол наклона к горизонту вектора ускоре-
ния а.
76
Поверхности уровня — семейство параллельных пло-
скостей, нормальных к плоскости движения и наклонен-
ных к горизонту под углом Р, для которого
tg 0 =-----££OSO_.
ё + а sin a
(IV-5)
Закон распределения давления выражается уравнением
р = р0 — pa cos a (х — х0) — р (g + a sin a) (z — z0),
(IV-6)
где pQ — давление в точке с координатами (х0, г0);
р — давление в произвольной точке жидкости с коор-
динатами (х, z).
Если точка (х0, у0) расположена на свободной поверх-
ности жидкости в сосуде, открытом в атмосферу, то р0 =
рат (атмосферное давление).
Из уравнения (IV-6) следует линейность закона изме-
нения давления в жидкости по любому направлению,
В частности, давление в точках, находящихся на глубине h
под поверхностью уровня с давлением р0, выражается соот-
ношением
Р = Ро + Р (g + a sin a) h.	(IV-7)
Для жидкости, заполняющей сосуд, открытый в атмо-
сферу, избыточное давление на глубине h под свободной
поверхностью
р« = р£ (1 + Yslna)A-	(iv-8)
Формула (IV-8) применима и в случаях замкнутых со-
судов с избыточным давлением (р0 > р^п) или вакуумом
(р0 <ZPam) над жидкостью, если отсчитывать глубины h
от пьезометрической плоскости (поверхности уровня, дав-
ление в точках которой равно атмосферному). Величину
давления можно вычислить и по соотношению
Ри = pqhn,	(IV-9)
где hn — расстояние от точки жидкости до пьезометри-
ческой плоскости (рис. IV-2).
Из уравнений, приведенных выше, выводятся уравне-
ния равновесия жидкости в горизонтально движущемся со-
суде (а = 0°), в сосуде, движущемся вертикально вверх
(а — 90е), и сосуде, движущемся вертикально вниз (а =
= 270°).
77
Силы давления жидкости на стенки в рассматриваемом
случае равновесия благодаря однородности поля массовых
сил определяются зависимостями, аналогичными тем, ко-
торые используются в случае равновесия жидкости в не-
подвижном сосуде (см. гл. II и III).
Величина силы давления, воспринимаемой плоской
стенкой, на несмоченной стороне которой давление равно
атмосферному (рис. IV-2), вычисляется по формуле
р = РсиР,	(IV-10)
где F — площадь стенки;
Реи — избыточное давление в центре тяжести стенки,
определяемое по формулам (IV-8) или (IV-9)
через расстояние he или hCn от центра тяжести
стенки до пьезометрической плоскости.
Расстояние между поверхностью жидкости и пьезо-
метрической плоскостью определяется величиной pQu из-
быточного давления на
поверхности.
Сила Р нормальна
к стенке и проходит через
центр давления D, поло-
жение которого для дан-
ной стенки зависит от
величины и направления
Пьезометрическая
\ плоскость
Рис. IV-2
щая силы давления
(рис. IV-3, а)
по
вектора а переносного
ускорения.
Сила давления жидко-
сти на криволинейную
стенку вычисляется сум-
мированием составляющих
по координатным осям
(см. гл. III). Составляю-
заданному направлению s
(IV-11)
Л = P?sK,
где qs — проекция вектора единичной массовой силы на
направление s;
Vs — объем тела давления, построенного параллельно
направлению s между поверхностью стенки и
пьезометрической плоскостью.
Линия действия силы Ps проходит через центр тяжести
объема жидкости Cs.
78
Силу давления Р жидкости на криволинейную стенку
можно определить также из условий относительного равно-
весия объема V жидкости, заключенного между криво-
линейной стенкой и плоским сечением, проведенным через
граничный контур стенки (рис. IV-3, б):
+ G +	+	(I V-12)
где N — сила давления на плоское сечение АСВ, прове-
денное через граничный контур стенки, вычис-
ляемая по формуле (IV-10);
G — вес объема V жидкости (G = pgV);
J — сила инерции жидкости, заключенной в объеме
V (J = раУ);
Q — суммарная массовая сила, равная Q = G +
+ 7 (Q = ряП
Рис. IV-3
Сила-давления жидкости на погруженное в нее твердое
тело (рис. IV-4) складывается из вертикальной силы Рв =
= pgV, обусловленной изменением давления в жидкости
под действием силы тяжести, и силы Ри = paV, которая
создается изменением давления в жидкости, вызываемым
переносной силой инерции. Последняя сила направлена
вдоль вектора а переносного ускорения.
Результирующая сила Р = Рв + Ри проходит через
центр тяжести вытесненного телом объема V жидкости и
направлена в сторону, противоположную вектору q еди-
ничной массовой силы.
79
3.	В случае равновесия жидкости в сосуде, равномерно
вращающемся относительно вертикальной оси, поле мас-
совых сил q неоднородно. Вектор массовой силы q — сумма
вектора g и вектора единичной центробежной силы инер-
ции /; / = (о2г, где со — угловая скорость вращения со-
суда.
Поверхности уровня представляют собой конгруэнт-
ные 1 параболоиды вращения, ось которых совпадает с осью
вращения сосуда (рис. IV-5).
Уравнение поверхности
уровня (в частности, свобод-
ной поверхности жидкости) во
Рис. IV-5
Рис. IV-4
вращающихся вместе с сосудом цилиндрических коорди-
натах (г, г) имеет вид
со2 г2
z — г° ~ ’
(IV-13)
где z0 — вертикальная координата вершины параболо-
ида поверхности уровня;
г, г — координаты любой точки поверхности уровня.
О	et. 7 7	р.
Высота параболоида п = -jj-, где Я— радиус со-
суда.
Закон распределения давления в жидкости выражается
уравнением
Р = Ро + р “V----РЯ е — ?о), (IV-14)
1 Цве геометрические фигуры называются конгруэнтными, если
одну из них можно совместить с другой, изменив только ее по жжение
в пространстве.
80
где — давление в точках параболоида поверхности
уровня, вертикальная координата вершины ко-
торого равна г0;
р — давление в произвольной точке жидкости с коор-
динатами г и z.
Из уравнения (IV-14) следует линейность закона рас-
пределения давления в жидкости по вертикальному на-
правлению (рис. IV-5). В частности/ давление в любой
точке на глубине h под поверхно-
стью уровня с давлением р0
P = Po.+ P^- (IV-15)
Избыточное давление в точках
на глубине h под параболоидом
пьезометрической поверхности
(в открытом сосуде — под пара-
болоидом свободной поверхности)
равно:
IV-5, где на ле-
рис.
Ри = pgh. (IV-16)
Из уравнения (IV-14) следует
параболический закон распреде-
ления давления по радиусу (см.
вой стороне показано распределение избыточного давле-
ния в точках дна).
Положение свободной поверхности жидкости в сосуде
(координата z0 вершины параболоида) при заданной угло-
вой скорости вращения сосуда определяется объемом на-
ходящейся в нем жидкости. При этом используются сле-
дующие соотношения:
а)	объем параболоида вращения равен половине про-
изведения площади его основания на высоту (рис. IV-5):

(IV-17)
б)	объем жидкости во вращающемся цилиндрическом
сосуде в случае, когда свободная поверхность жидкости
пересекает дно сосуда, вычисляется по формуле (рис. IV-6):
Г = л(Я2^-7??)-|- = ^62.	(IV-18)
В случае, когда свободная поверхность отсутствует,
положение пьезометрической поверхности определяется
81
из условия, что она проходит через точку жидкости, дав-
ление в которой равно атмосферному.
Общим методом определения сил давления жидкости
на стенки в рассматриваемом случае равновесия жидкости
является получение функции, выражающей закон рас-
пределения давления по заданной поверхности и, далее,
интегрирование этой функции по площади стенки. Ис-
пользование такого аналитического
способа расчета иллюстрируется
примером 2.
Пьезометрическая
\ поверхность
Рис. IV-7
Решение упрощается при определении составляющей
силы давления, действующей на стенку вдоль оси враще-
ния сосуда, поскольку инерционные массовые силы не
проектируются на это направление. Осевая сила давления
жидкости на стенку (рис. IV-7) может быть определена
по формуле
рг = pgv2,	(IV-19)
где Vz — объем тела давления, построенного параллельно
направлению z между стенкой и пьезометриче-
ской поверхностью.
Сила давления жидкости на погруженное в нее твердое
тело (рис. IV-8) складывается из вертикальной (архимедо-
вой) силы Рв = pgV и радиальной (центростремительной)
силы Ри = pco2rV, где г — расстояние от оси вращения
до центра инерции вытесненного телом объема V жид-
кости; результирующая сила Р = Ри + Рв-
4. В случае вращения сосуда вокруг горизонтальной
оси поле массовых сил неоднородно и несимметрично от-
носительно оси вращения. При вращении сосуда с боль-
шой угловой скоростью единичные центробежные силы
82
инерции / = ®2r велики по сравнению с единичной силой
веса g и последней можно в расчетах пренебречь.
При указанном условии поверхности уровня представ-
ляют собой концентричные цилиндры с осями, совпадаю-
щими с осью вращения сосуда (рис. IV-9). Закон распре-
деления давления для этого случая
Р = Ро + Р
О)2 (г2-г2)
(IV-20)
где р0 — давление в точках цилиндрической поверхности
радиуса г0;
р — давление в точках цилиндрической поверхности
произвольного радиуса г.
Как видно из уравнения (IV-20), закон распре-
деления давления по радиусу является параболиче-
ским.
Такие приближенные формулы могут применяться
в соответствующих случаях при любом расположении оси
вращения сосуда.
Пример 1 (рис. IV-10, а). Сосуд с квадратным осно-
ванием / X /, имеющий массу mlt наполнен водой до вы-
соты h и скользит по горизонтальной плоскости под дей-
ствием груза массой т2.
Найти:
1) высоту Н сосуда, необходимую для сохранения в нем
всей воды во время движения, если задан коэффициент
трения f сосуда о плоскость скольжения;
2) силы давления воды на переднюю и заднюю стенки
сосуда.
Предварительно определим ускорение а сосуда; из
уравнения движения системы сосуд — груз (трением в ро-
83
лике пренебрегаем) имеем, обозначив р плотность жид-
кости,
(тг + pl2h + m2) а = m^g — (tn^g + pgl2h) f;
n — r. m2 — <mt + P<2/0 f
& m1 + р/2Л -}- m2
При горизонтальном движении сосуда с ускорением а
свободная поверхность жидкости наклонится к горизонту
под углом 0, определяемым из условия, что свободная
поверхность нормальна к вектору единичной массовой
силы; в данном случае можно непосредственно получить
(см. рис. IV-10, б):
tg₽ =----f-.
Тот же результат получим, используя общее уравне-
ние (IV-5) при а = 0°.
Для решения первого вопроса задачи вычислим вы-
соту Aft, на которую поднимается жидкость у задней стенки
сосуда.
Из условия неизменности объема воды в сосуде следует,
что свободная поверхность должна повернуться вокруг
оси О, расположенной на середине длины сосуда и нор-
мальной к плоскости движения. Таким образом,
и требуемая высота сосуда
H = h + Ah = h + ~~.
Сила давления воды на заднюю стенку сосуда [см. фор-
мулу (IV-10)] равна:
Л = Pg!i±^L I (h + A/i) = pg ± (h + Ah)2 =
l Л , I a\2
Сила давления воды на переднюю стенку сосуда
Pi. = Pg 1 (h — Ah) = pg~(h — Ah)2 =
I /, l a V
84
Нетрудно видеть, что разность сил Р± и Р2 равна пере-
носной силе инерции, действующей на массу жидкости
в сосуде.
Пример 2 (рис. IV-11). Цилиндрический сосуд ра-
диуса наполнен жидкостью плотностью р до уровня а
в открытой трубке малого диаметра, установленной на
крышке сосуда на расстоянии от центра, и приведен
в равномерное вращение относительно центральной верти-
кальной оси (рис. IV-11, а).
1. Определить наибольшую угловую скорость враще-
ния сосуда, до которой сохранится относительное равнове-
сие жидкости. _
2. Установить зависимость величины силы давления
жидкости на крышку от угловой скорости вращения со-
суда.
Прежде всего найдем закон распределения избыточного
давления в жидкости, заполняющей сосуд. Для этого ис-
пользуем уравнение (IV-14), положив в нем р0 = рагп-
Тогда
о)2/-2	. ч
Ри = Р~2-----z0).
Неизвестную высоту z0 вершины параболоида с атмо-
сферным давлением найдем, используя заданное гранич-
ное условие, которое при выборе,начала координат в центре
крышки имеет вид
ри = 0 при г = Р2 и г = а.
85
Подстановка этого условия в последнее уравнение дает
Р—2------— го) = О,
откуда
<02/?2
^==а-----
и искомый закон распределения давления
Для точек на поверхности крышки (г — 0) распреде-
ление избыточного давления
т
Из рис. IV-11, б можно установить, что это выражение
приводится к простому виду
ри = pgh,
где h — глубина точки под пьезометрической поверх-
ностью (параболоид /).
При возрастании угловой скорости вращения сосуда
давление ри, оставаясь постоянным в точках г = R?APu^
= pga), уменьшается в центральной части крышки и уве-
личивается на ее краях. При достаточно большой вели-
чине со пьезометрическая поверхность пересекает крышку
сосуда (параболоид 2) и в ее центральной части возникает
вакуум, имеющий максимум на оси (точка О). Когда аб-
солютное давление в точке О упадет до давления насыщен-
ных паров жидкости рн.п, произойдет разрыв ее сплош-
ности и равновесие жидкости в сосуде нарушится. Вели-
чину угловой скорости, соответствующей этому явлению,
найдем, используя условие образования разрыва в жид-
кости:
Ри = — (Рат — Рн.п) при Г = 0.
Подставляя это значение ри в уравнение распределения
давления на крышке, получим искомую угловую скорость
1 1 / п Рат Рн, п । „
= у 2----------р— + а-
Силу давления на крышку получим аналитически,
суммируя элементарные силы избыточного давления.
86
Разбивая поверхность крышки на элементарные коль-
цевые площадки и используя формулу для избыточного
давления на крышке, получим при любой угловой ско-
рости (0 < G)max
Р — j ри2лг dr= J [р -у- (г* —	+ Р£«] 2лг dr =
О	о
9	рЛД|
= pgftRitt -f---2—'
«Л
Силу Р можно также найти, вычисляя вес тела давле-
ния, построенного вдоль оси вращения между смоченной
поверхностью крышки сосуда и пьезометрической поверх-
ностью (объем К тела давления заштрихован на
рис. IV-11,6); используя формулу (IV-17), получим
9	1	9 со2/??
Vz = Н---------9* ttRl —nT— —
=	( а
<^1 L 1 „D2
2g J + 2 nRl 2g •
Сила давления P — pgVz.
Из полученной зависимости P от co можно видеть, что
если радиус.расположения трубки равен R% = RJV2, то
сила давления жидкости на крышку сосуда не зависит от
скорости вращения
Р* = pgnRla.
Если R2 > Rz, то с ростом со сила Р уменьшается,
если R? < /?2, то с ростом со сила Р увеличивается.
Пример 3 (рис. IV-12, а). Цилиндрический сосуд
диаметром D± и высотой L, имеющий в верхней крышке
центральное отверстие D2, заполнен до высоты В жид-
костью плотности р.
Определить:
1. Угловую скорость вращения, при которой жид-
кость начнет выливаться из сосуда.
2. Силу давления на верхнюю закраину при этой угло-
вой скорости.
Жидкость начнет выливаться из сосуда, когда ее сво-
бодная поверхность по мере увеличения угловой скорости
достигнет кромки закраины (точка А на рис. IV-12, б).
87
При этом вершина параболоида свободной поверхности
в зависимости от объема жидкости в сосуде может рас-
положиться ниже или выше дна сосуда (параболоиды 1 и 2).
Найдем прежде всего,, какому объему жидкости отве-
чает параболоид 3, вершина которого касается дна. Ис-
пользуя формулу IV-17, получим
Г* = -у- (Dl-Dl) L +	=
Рис. IV-12
Соответствующая высота заполнения сосуда
В* =
1
2
Если заданная в задаче высота В < В*, имеем случай 1.
Искомую угловую скорость определим из условия неиз-
менности объема жидкости в сосуде, используя фор-
мулу (IV-18):

88
Если В > В*, имеем случай 2; из условия сохранения
объема жидкости в сосуде получим с помощью формулы
(IV-17)
лО2	1 л£>| api
~4~ о— 4 Ь — 2	4	8g;
«>, = (i - В).
Выражения для и <о2 совпадают при В = В*:
^2
Сила давления жидкости на закраину вычисляется по
формуле (IV-19), в которой объем тела давления
«2в2 I2
8g	~8g~J ‘

V ____ Д2 _______
W2 ° — Ю2
Задачи
Задача IV-1. Для измерения ускорения горизонтально
движущегося тела может быть использована закрепленная
на нем U-образная трубка малого диаметра, наполненная
жидкостью.
С каким ускорением движется тело, если при движении
установилась разность уровней жидкости в ветвях трубки,
равная h = 5 см при расстоянии между ними I = 30 см?
Задача IV-2. Призматический сосуд длиной 3/ = 3 м
и шириной с = 1 м, перемещающийся горизонтально с по-
стоянным ускорением а = 0,4g1, разделен плоской пере-
городкой на два отсека, заполненных водой до высот h1 =
= 1 м и h2 = 1,75 м.
89
Определить:
1. Суммарную силу давления воды на перегородку.
2. Ускорение, при котором эта сила станет равной
нулю.
Ответ. 1) Р = 2,17 кН; 2) а = 0,5g.
Задача IV-3, Цистерна диаметром D = 1,2 м и длиной
L =* 2,5 м, наполненная нефтью (относительная плотность
6 = 0,9) до высоты b = 1 м, двиЖется горизонтально с по-
стоянным ускорением а=^2 м/с2.	z
К задаче IV-3
К задаче IV-4
Определить:
1. Силы давления на плоские боковые крышки А и В
цистерны.
2. Как изменятся эти силы при замене плоских кры-
шек сферическими. Увеличение объема цистерны при та-
кой замене равно 2IF, где W = 0,2 м3.
Ответ. 1) РА = 7,42 кН; Рв — 12,5 кН? 2) РА = 7,3 кН; Рв~
= 13 кН.
Задача 1V-4. По наклоненной под углом а=45° к гори-
зонту плоскости под действием силы тяжести скользит
призматический сосуд, целиком заполненный водой. Со-
суд закрыт крышкой с малым отверстием, расположенным
на расстоянии I = 0,5 м от передней стенки.
Масса сосуда т = 150 кг, размер b = 1 м, коэффициент
трения сосуда о плоскость скольжения f = 0,278. Найти
величины сил давления на крышку Л стенки 2 и 5, дно 4.
Ответ. Р± =0; Р2 — 4,9 кН; Р3 = 8,98 кН; = 13,3 кН.
Задача IV-5. Составной цилиндрический сосуд, запол-
ненный водой до высоты h± + h2 = 800 мм, подвешен на
90
шнуре, перекинутом через блоки, и соединен с грузом
массой т — 200 кг.
Определить нагрузки болтовых групп Л, В и С при
имеющем место ускоренном движении сосуда.
Размеры сосуда Dr = 400 мм, D2 = 600 мм, h2 =
= 300 мм. Собственным весом сосуда и трением в блоках
пренебречь.
Как изменятся нагрузки, если сосуд остановить?
Ответ. Р д = 1,67 кН; Рп = Рг= 2,56 кН.
Задача IV-6. Цилиндрический сосуд диаметром d ~
= 0,8 м, имеющий плоскую крышку и полусферическое
дно, заполнен водой до высоты у = 0,3 м и поднимается
вертикально вверх с ускорением а = 10 м/с2.
Определить:
1.	Усилие Т в тяге, если масса дна сосуда wij =
= 50 кг, цилиндрической части т2 ~ 30 кг и крышки
т3 — 20 кг.
2.	Силу давления на дно сосуда, если вакуумметр,
присоединенный к нижней точке сосуда, показывал
V = 30 кПа, когда сосуд был неподвижен.
3.	Построить эпюру давления жидкости по высоте
в неподвижном сосуде и при ускоренном его движении.
Ответ. 1) Т ~ 7,63 кН; 2) Р = 12,9 кН (направлена вверх).
Задача IV-7. Вычислить величины горизонтальной и
вертикальной сил давления на полусферическую крышку
цилиндрического сосуда диаметром D = 0,6 м, скользя-
щего с ускорением а = 5 м/с2 по плоскости, наклоненной
под углом а = 60° к горизонту, если сосуд заполнен во-
дой до уровня h = 1 м в открытой трубке, присоединенной
к верхней точке сосуда.
91
Как изменятся эти силь!, если сосуд остановить?
Ответ. Рв = 1700 Н; Рг == 141 Н. Для неподвижного сосуда
PQ = 3050 Н; Рг = 0.
Задача IV-8. Закрытый цилиндрический сосуд диа-
метром D = 0,6 м, имеющий полусферическое дно, напол-
нен до уровня Н= 0,8 м водой и движется прямолинейно
под углом а = 30° к горизонту с постоянным ускорением
а = 2g.
Определить вертикальную и горизонтальную силы дав-
ления на дно, если избыточное давление газа над поверх-
ностью воды в сосуде равно ри = 20 кПа.
Задача IV*9. Найти зависимость показания h водя-
ного манометра (радиусы ветвей и /?2 заданы), присо-
единенного к замкнутому сосуду, который наполнен газом,
находящимся под вакуумом рв, от:
1) поступательного ускорения сосуда а, направлен-
ного по вертикали вверх’ и вниз;
2) угловой скорости вращения сосуда со.
Ответ. \)	—---------
Pg ! ± а '
g
2)
Задача IV-10. Цилиндрический сосуд, заполненный
водой, приведен во вращение с постоянной угловой ско-
ростью со = 10 рад/с.
Найти наименьшее давление в воде, заполняющей со-
суд, по показанию h — 1 м ртутного манометра, вращаю-
щегося вместе *с сосудом, если гг = 0,8 м, r2 ~ 0,7 м.
92
При какой угловой скорости равновесие жидкости
в сосуде нарушится, если разрыв жидкости происходит
при вакууме 100 кПа?
Ответ. 1) Вакуум р = 3 кПа; 2) со = 13,2 рад/с.
К задаче IV-10
К задаче IV-11
Задача IV-11. "Вал жидкостного тахометра вращает
диск, который увлекает во вращательное движение масло,
находящееся в нижней полости корпуса прибора, куда
оно поступает из верхней полости через радиальные от-
верстия полого вала. Повышенное давление, создающееся
в нижней полости за счет вращения масла, измеряется
пьезометром.
Определить высоту Н шкалы пьезометра, необходимую
для измерения частоты вращения вала тахометра п =
= 300 об/мин, если диаметр диска D = 0,2 м. Влиянием
зазора между диском и корпусом прибора пренебречь.
Ответ. Н — 0,504 м.
Задача IV-12. Цилиндрический сосуд с закраиной,
имеющий диаметр D = 400 мм и высоту HQ = 300 мм,
предварительно целиком заполненный жидкостью, равно-
мерно вращается относительно вертикальной оси с часто-
той п = 200 об/мин.
Какой объем жидкости может удержаться в сосуде
при данной частоте вращения, если диаметр закраины
d = 200 мм?
Какой наибольший объем жидкости удержится в со-
суде при сколь угодно большой чистоте вращения?
Ответ. = 34,2 л; IV 2 = 28,3 л.
93
Задача IV-13. Найти частоту вращения цилиндриче-
ского сосуда высотой Яо = 1,2 м и диаметром D = 0,8 м,
наполненного жидкостью до высоты H0/2t при которой
жидкость поднимается до краев сосуда.

К задаче IV-12
К задаче IV-13
К задаче IV-14
Определить частоту вращения сосуда, при которой
в нем останется лишь половина первоначального объема
жидкости.
Ответ. п1— 116 об/мин; п2 — 163 об/мин.
Задача IV-14. Тормозной шкив диаметром = 800 мм
и высотой Но = 200 мм, вращающийся относительно вер-
тикальной оси с частотой п = 120 об/мин, наполнен охла-
ждающей водой до предела, соответствующего данной
частоте вращения.
Определить:
1.	Радиус сухой части дна, если D2 = 500 мм.
2.	Силы, приложенные к верхнему и нижнему днищам.
3.	На какой высоте х установится вода после остановки
шкива.
Ответ. 1) гх = 194 мм; 2) Рг — 1180 Н; Р2 = 1850 Н; 3) х =
~ 137 мм.
Задача IV-15. Замкнутый цилиндр размерами R =
= 0,4 м и Но = 0,7 м содержит воду в количестве W ==
= 0,25 м3 и вращается относительно вертикальной оси
с угловой скоростью со = 10 рад/с; 20 рад/с и 100 рад/с.
Определить усилия, действующие при указанных угло-
вых скоростях на крышку цилиндра, если давление над
водой равно атмосферному.
Ответ. Р = 0,176; 2,9 и 100 кН.
Задача IV-16. Цилиндрический сосуд диаметром
D = 600 мм и высотой Но = 500 мм заполнен водой до
94
высоты h = 400 мм. Остальной объем сосуда заполнен
маслом (относительная плотность S = 0,8). Сосуд закрыт
крышкой с малым отверстием в центре и приведен во вра-
щение относительно центральной вертикальной оси.
Определить, с какой угловой скоростью со нужно вра-
щать сосуд для того, чтобы поверхность раздела жидкостей
коснулась дна сосуда. Найти .усилия, действующие при
этом на дно и крышку сосуда.
Ответ, со = 16,5 рад/с; Ркр = 1,51 кН; Рдно~ 2,84 кН.
К задаче IV-15
К задаче IV-16 К задаче IV-17
Задача IV-17. Цилиндрический сосуд диаметром
D = 1,2 м, наполненный водой до высоты а == 0,6 м в пье-
зометрах одинакового диаметра, установленных на крышке
сосуда на расстояниях гг = 0,2 и г2 = 0,4 м от оси, вра-
щается с частотой п — 60 об/мин.
Определить силу давления на крышку сосуда и ука-
зать, как она будет меняться, если поочередно выключать
пьезометры.
Ответ. Р ~ 8450 Н.
Задача IV-18. Показанный на рисунке сосуд имеет
размеры D = 0,4 м; d = 0,2 м; b = 0,35 м и наполнен
водой до высоты а + b = 0,52 м. Сверху сосуд закрыт
поршнем, масса которого т = 50 кг.
Определить гидравлические нагрузки болтовых групп А
и В, если сосуд вращается относительно центральной верти-
кальной оси с частотой п = 450 об/мин. Трением между
поршнем и стенками цилиндра пренебречь.
95
Указание. При вращении системы суммарная сила давления жид-
кости на поршень равна весу поршня. Это условие позволяет найти
давление в центре поршня и, следовательно, во всех точках сосуда.
Ответ. Рд = Рв = 3710 Н.
Задача IV-19. Жидкостный тахометр, состоит из ци-
цилиндра, наполненного ртутью и сообщенного с двумя
трубками малого диаметра d, расположенными на расстоя-
нии 7? от его оси. Над
ртутью в цилиндре находится
поршень диаметром D. Пор-
шень перемещается при' из-
менении числа оборотов та-
хометра.
К задаче IV-18
Установить связь между числом оборотов п тахометра
и опусканием h поршня от его начального положения при
нёвращающемся тахометре.
Ответ.
h~n2	8
2g302	D*
+ 2d2
Задача IV-20. В жидкости, плотность которой р,
удерживается в равновесии тело плотностью pt.
96
Определить, какое начальное ускорение а0 по отно-
шению к жидкости приобретет тело, если его освободить,
при условии, что:
1)	сосуд, содержащий жидкость, неподвижен;
2)	сосуд движется вертикально (вверх или вниз) с по-
стоянным ускорением и;
3)	сосуд равномерно вращается относительно верти-
кальной оси с угловой скоростью со;
4)	сосуд движется горизонтально с постоянным уско-
рением а.
Указание. Начальное относительное ускорение а0 тела массы т,
помещенного в жидкость, определяется в случае движущегося сосуда
из уравнения Ньютона:
т а0 = Р 4- G + 7,
где Р — сила давления жидкости на тело;
Go — вес тела;
7 — переносная сила инерции тела.
Методы определения силы Р в разнцх случаях относительного
покоя приведены во введении к главе. 1
Ответ: 1)	— g (1---— j •
X Pi / ’
2)	о0г = — (g ± a) (1 — -ДД •
X Pl / ’
3)	aQZ = —Gor = co2r Г1 —	•
X Pi /	X Pi J 1
4)	aox = —«ог = —	—	.
X Pi J	\ Pi /
Задача IV-21. Определить минимальную частоту вра-
щения литейной формы, при которой легкие включения
имеют возможность выде-
ляться из расплавленного
металла в середину формы,
при следующих размерах
отливаемой детали: Dr =
= 300 мм; D2 = 200 мм;
Н = 300 мм.
Указание. Характер относи-
тельного движения легкой час-
тицы во вращающейся литейной
форме определяется „ действую-
щими на нее силами давления
жидкого металла Р, собственного веса частицы G и переносной силы
инерции J. Направление результирующей R этих сил обеспечивает
при любом числе оборотов перемещение легких включений ’по внутрен
4 Д. А. Бутаев и др.	97
нему наклонному и горизонтальному каналам формы к ее центру. По
внешнему наклонному каналу (см. рис. к задаче IV-21) легкие вклю-
чения могут перемещаться к центру формы лишь в том случае, когда
результирующая R имеет составляющую, направленную вдоль стенки
вниз.
Ответ, п = 231 об/мин.
Задача IV-22. Отливка чугунного колеса диаметром
D = 1000 мм, с ободом высотой h = 200 мм и толщиной
b = 80 мм, диском толщиной с = 40 мм и ступицей диа-
метром d = 200 мм производится во вращающуюся с ча-
стотой п — 200 об/мин земляную форму.
Определить растягивающую силу в болтовой группе А
опоки, не учитывая веса опоки и земли. Высота заполне-
ния формы Н = 300 мм, плотность жидкого чугуна р =
- 7200 кг/м3.
Задача IV-23. Определить силу давления на кониче-
скую боковую поверхность АВС и плоское дно АС сосуда,
целиком заполненного водой и вращающегося с угловой
скоростью со = 20 рад/с, если известно, что в верхней
точке В сосуда вакуумметрическая высота равна 2 м.
Размеры сосуда: D = 1 м; а = 1 м.
Ответ. Рдв0 — 9,38 кН; РАС — 12 кН.
Задача 1V-24. Определить наименьшую частоту вра-
щения, при которой полностью опорожнится предвари-
тельно заполненный жидкостью открытый конический со-
суд, имеющий диаметры Dr = 460 мм; D2 = 200 мм и
высоту Я0 = 75 мм.
Указание. В сосуде не останется жидкости при такой частоте
вращения, когда свободная поверхность жидкости коснется стенки,
сосуда у его дна и вектор суммарной массовой силы, действующей на
последнюю частицу жидкости в этой точке, окажется нормальным
к стенке.
Ответ. п= 71,7 об/мин.
98
Задача IV-25. Сосуд, вращающийся относительно вер-
тикальной оси, состоит из двух цилиндров одинаковой вы-
соты а 200 мм и диаметров d = 150 мм и D = 300 мм.
Нижний цилиндр целиком заполнен жидкостью.
При какой частоте вращения жидкость начнет выли-
ваться из сосуда?
Отметить влияние размеров a, d и D сосуда на ре-
зультат.
Ответ, п = 252 об/мин.
Задача 1V-26. Цилиндрический сосуд радиусом 7?=
= 250 мм и высотой h± = 300 мм, заполненный объемом
жидкости W = 45 дм3, вращается относительно централь-
ной вертикальной оси. К дну со-
суда присоединена изогнутая труб-
ка, ось нижнего конца которой
совпадает с осью вращения сосуда. Конец трубки опущен
под уровень неподвижной жидкости, расположенный ниже
дна верхнего сосуда на h2 = 460 мм.
1. Определить угловую скорость со* вращения сосуда,
при которой жидкость во вращающейся трубке находится
в относительном покое.
2. Выяснить направление движения жидкости в трубке
при со со*.
Указание. Относительный покой жидкости в трубке возможен
только при условии, что давление в точке а трубки на уровне свободной
поверхности в неподвижном сосуде равно атмосферному и что, следо-
вательно, вершина параболоида пьезометрической поверхности про-
ходит через эту точку.
Ответ, со* = 30 рад/с.
Задача IV-27. Гидравлическая пята, вращающаяся
с частотой п = 3000 об/мин, получает воду по трубке А
под избыточным давлением р = 1 МПа.
99
Определить осевую силу Р, которую может уравно-
вешивать пята, считая, что вода под поршнем вращается
с половиной угловой скорости вращения последнего. Диа-
метр поршня D = 0,32 м, диаметр вала d = 0,05 м, трубка
присоединена к корпусу пяты на расстоянии а = 0,07 м
от оси.
На каком расстоянии от оси нужно расположить труб-
ку Л, чтобы осевая сила, уравновешиваемая пятой, не
зависела от оборотов?
Ответ. Р = 86 кН; а ~ 0,113 м
К задаче IV-28
Задача IV-28. Определить диаметр D±, на котором
установится вода во внутренней полости гидравлического
уплотнения вала воздушной машины, если диаметр вала
d = 0,15 м, диаметр, на котором установилась вода в на-
ружной полости уплотнения, D = 0,3 м. Атмосферное
давление рат = 100 кПа, абсолютное давление во внутрен-
ней полости р = 30 кПа.
Частота вращения вала п = 2000 об/мин.
Определить осевое усилие, передаваемое на -вал ди-
ском уплотнения. Угловую скорость вращения воды при-
нять равной половине угловой скорости вращения вала.
Ответ. D± = 20 см; Р = 2,3 кН.
Задача IV-29. Замкнутый цилиндрический сосуд раз-
мерами D = 400 мм и L = 400 мм, частота вращения ко-
торого п = 3000 об/мин, заполнен равными объемами воды
и бензина (6 == 0,7), образующими слои одинаковой вы-
соты h ~ 150 мм.
Определить, пренебрегая действием силы тяжести на
жидкость:
1. Наибольшее давление в сосуде.
100
2. Растягивающие усилия Рх и Р2 в осевом сечении
сосуда и в сечении, перпендикулярном его оси.
Ответ, 1) ри = 1,25 МПа; 2) Рг = 202 кН; Р2 = 54 кН.
Задача IV-30. Показание ртутного чашечного мано-
метра, присоединенного к замкнутому баку, в котором
находится жидкость плотностью р = 1500 кг/м3, равно
/г0 = 800 мм.
Как изменится показание манометра, если системе
сообщить поступательное ускорение, направленное вверх
и равное ускорению свободного падения (а = g)?
К задаче IV-29 К задаче IV-30 К задаче IV-31
Изменениями уровня жидкости в баке и ртути в чашке
манометра пренебречь (z0 = 1 м); давление газа в баке
считать неизменным.
Рассмотреть частный случай, когда ноль шкалы мано-
метра находится на уровне жидкости в баке (г0 = 0).
Ответ, h — 455 мм; при ?о == 0 показание манометра
h = -.-h°.- = 400 мм.
14- —
+ g
Задача IV-31. Закрытый призматический сосуд раз-
мерами £хЯХС = ЗХ1Х1мдо середины высоты
заполнен водой, над уровнем которой имеется избыточное
давление газа, равное pQ = 50 кПа. Сосуд движется гори-
зонтально с постоянным ускорением а =*= 0,5 g.
Определить силы давления на заднюю стенку и дно
сосуда.
Как повлияет на силы давления отсутствие поля сил
тяжести?
Ответ, Р = 57,4 и 165 кН; Р ~ 57,5 и 150 кН.
101
Задача 1V-32. Цилиндрический сосуд радиусом =
= 100 мм, заполненный водой на 3/4 своего объема, вра-
щается равномерно с частотой п == 10 000 об/мин отно-
сительно своей оси.
Пренебрегая действием силы Фяжести, определить силу
давления воды на торцевую стенку сосуда.
Задача IV-33. Определить
силу давления воды на
полусферическую крышку
К задаче IV-32
К задаче IV-33
цилиндрического сосуда радиусом R — 0,2 м, если сосуд
вращается относительно своей оси с угловой скоростью
со — 100 рад/с и манометр при этом показывает давле-
ние М — 50 кПа.
Действием силы тяжести на жидкость пренебречь.
Ответ, Р = 18,8 кН.
Задача IV-34. Конический сосуд размерами d = 0,6 м,
D = 1 м, а = 0,9 м заполнен водой и приведен в равномер-
ное вращение с угловой скоростью со = 20 рад/с.
Давление в центре крышки сосуда равно по мано-
метру М = 10 кПа.
Определить гидравлические нагрузки болтовых групп А
и В сосуда:
1) учитывая действие силы тяжести;
2) пренебрегая действием этой силы.’
Ответ. РА — 27,7 кН;
1) р = з 34 кН; 2) Р„ = 5,37 кН.
Задача IV-35. Цилиндрический сосуд с горловиной,
размеры которого d = 0,2 м, D = 0,4 м, а = 0,4 м и
b = 0,2 м, равномерно вращается вокруг своей вертикаль-
ной оси. Сосуд предварительно заполнен жидкостью (р =
= 1325 кг/м3) до высоты h = 0,1 м в горловине.
Найти угловую скорость вращения сосуда, при которой
из него начнет выливаться жидкость. При этой угловой
102
скорости определить силу давления жидкости на крышку К
сосуда.
Как изменится сила давления на крышку, если угло-
вая скорость станет вдвое больше найденной?
Ответ, со = 34,3 рад/с; Р = 1600 и 4900 Н.
П
К задаче IV-34
Задача IV-36. Определить силу давления на верхнюю
половину шара радиуса. 7? = 0,6 м, заполненного водой
до уровня h = 1,2 м в пьезометре, в следующих четырех
случаях: 1) шар неподвижен; 2) вращается вокруг верти-
кальной оси с угловой скоростью со = 12 рад/с; 3) сво-
бодно падает в поле силы тяжести; 4) свободно падает,
вращаясь с угловой скоростью со = 12 рад/с.
Ответ. Р = 8,8; 23,5; ноль и 14,7 кН.
ЧАСТЬ II
ГИДРОДИНАМИКА
ГЛАВА V
ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ.
РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ жидкости
ВВЕДЕНИЕ
1. Подобными называют такие потоки жидкости, у ко-
торых каждая характеризующая их физическая величина
находится для любых сходственных точек в одинаковом
отношении. Понятие гидродинамического подобия вклю-
чает (рис. V-1): подобие поверхностей, ограничивающих
потоки (геометрическое подобие); пропорциональность
скоростей в сходственных точках и подобие траекторий
движения сходственных частиц жидкости (кинёматическое
подобие); пропорциональность сил, действующих на сход-
ственные частицы жидкости и пропорциональность масс
этих частиц (динамическое подобие).
Отношения однородных физических величин, постоян-
ные во всех сходственных точках подобных потоков, на-
зывают коэффициентами (масштабами) подобия. Соответ-
ственно принятым в Международной системе единиц основ-
ным физическим величинам (длина L, время Т и масса Л4)
выделяют три основных коэффициента подобия: линей-
ный масштаб kL = масштаб времени kT = TJT2
и масштаб масс kM	Масштабы всех остальных
(производных) физических величин выражаются через
основные в соответствии с формулами размерности этих
величин (см. Таблицу физических величин в приложении 5).
Так, масштаб скоростей kv== kLlkT, сил kP = kMkJk2Ty
плотностей kp == kM/kl и т. д.
Используя выражения масштабов kv и kp, можно
получить для масштаба сил зависимость
kP = kpklkl,	(V-1)
104
которая дает общий закон динамического подобия Нью-
тона:

(V-2)
Последний можно представить в форме
Ne = —= idem,	(V-3)
pv1 2 *L2	’	'	7
согласно которой безразмерная величина Ne (число Нью-
тона), пропорциональная отношению действующих на по-
добные частицы сил к силам инер-
ции этих частиц, имеет одинаковое
значение в сходственных точках
подобных потоков.
2. Для рассматриваемого ниже
установившегося движения однород-
ных несжимаемых жидкостей необхо-
Плотность р1
димыми и достаточными условиями
гидродинамического подобия явля-
ются:
а) геометрическое подобие гра-
ничных поверхностей, омываемых
потоками (включая в некоторых
случаях и подобие шероховатостей
стенок);
б) подобие кинематических краевых условий (подобное
распределение скоростей во входных и выходных сечениях
рассматриваемых объектов — каналов, местных сопро-
тивлений и т. д.);
в) одинаковые значения критериев динамического по-
добия — безразмерных величин, пропорциональных от-
ношениям сил инерции частиц жидкости к действующим
на них силам вязкости (число Рейнольдса Re) и силам веса
(число Фр уда Fr) \
Условием пропорциональности сил инерции и сил вяз-
кости жидкости является одинаковое значение числа Re
(критерия вязкостного подобия) для потоков в натуре и
модели:
Re =	= idem,	(V-4)
1 Силы поверхностного натяжения и упругости жидкости исклю-
чаются здесь из рассмотрения как несущественные в большинстве
задач гидравлики.
105
где v — характерная (обычно средняя в сечении) ско-
рость;
L — характерный размер (обычно диаметр сечения D);
v — кинематическая вязкость.
Условие (V-4) приводит к соотношению для коэффи-
циентов подобия:
= 1	(V-5)
A’v
и для скоростей в натуре и модели
<v-6>
Условием пропорциональности сил инерции и сил веса
жидкости является одинаковое значение числа Fr (кри-
терия гравитационного подобия):
Fr = ~ = idem.	(V-7)
Так как ускорение свободного падения g в натуре и
модели практически всегда одинаково (масштаб ускоре-
ний kg = 1), условие (V-7) приводит к соотношению для
коэффициентов подобия
k2
- ir=1	<V'8)
и для скоростей в натуре и модели
=	(V-9)
и2 г ь2
Подобие потоков в натуре и модели требует одновре-
менного выполнения условий (V-4) и (V-7) для чисел Re и
Fr или условий (V-5) и (V-8) для коэффициентов подобия.
Последнее возможно только тогда, когда масштабы линей-
ных размеров и вязкостей находятся в соотношении
4-=1>
«у
(V-10)
из которого следует, что в модели меньших по сравнению
с натурой размеров должна применяться менее вязкая
жидкость:
Vi_ =
^2	\ ^2 /
(V-11)
106
При выполнении условий подобия все безразмерные
характеристики потока, т. е. безразмерные комбинации
различных физических величин (например, коэффициенты
сопротивления £, скорости <р, расхода р, и т. д.), имеют в на-
туре и модели одинаковое численное значение.
Моделируя поток не-
которой жидкости при
заданном геометриче-
ском масштабе объек-
тов kL (рис. V-2), не-
обходимо применить
в модели другую жид-
кость, вязкость кото-
рой будет удовлетворять
условию (V-11). Выпол-
нение при этом условия
(V-9) для скоростей
требует определенного
Соотношения между рас-	Рис. V-2
полагаемыми перепада-
ми пьезометрических уровней (гидростатическими напо-
рами) Н натурного объекта и его модели; так как по
уравнению Бернулли любая характерная скорость может
быть выражена как v = <р V2gH (гдр ср — безразмерный
коэффициент скорости), получаем
^_==_1 = _Ь_
н2	L2 ’
(V-12)
т. е. располагаемые гидростатические напоры должны быть
пропорциональны линейным размерам объектов.
При выполнении условий подобия масштаб времени kT
для процессов течения в натуре и модели определяется
принятым линейным масштабом kL и масштабом скоростей,
равным по формуле (V-8) kv = kt2:
Rv
Указанные соотношения позволяют выразить масштабы
всех производных физических величин как функции двух
независимых масштабов — kL и kp.
Так, для масштаба сил имеем, исходя из формулы (V-1):
kp = kpk^kp
107
Для масштаба расходов kq — &’/kr — k^2, потерь на-
пора kH = kL, перепадов давлений
kp = -^--kpkL и т- д-
3. В большинстве случаев реализация условия (V-11)
технически весьма затруднительна или невозможна. По-
этому в практике моделирования обычно осуществляют
частичное подобие потоков, удовлетворяя критерию по-
добия главных сил, наиболее существенных для рассматри-
ваемого гидравлического явления.
Если характер движения в основном определяется
свойствами инертности и весомости жидкости, а влияние
вязкости относительно невелико (безнапорные русловые
потоки, истечение маловязких жидкостей через большие
отверстия и водосливы, волновые движения и т. д.), мо-
делирование осуществляется по критерию гравитацион-
ного подобия. При этом выполняется условие (V-9) для
скоростей, а условие равенства чисел Рейнольдса, при-
водящее к соотношению (V-11), не соблюдается (натура и
модель работают обычно на одной и той же жидкости).
При моделировании по числу Fr масштабы всех физических
величин (за исключением вообще произвольного kv) вы-
ражаются через два независимых масштаба kL и kp та-
ким же образом, как и при выполнении условий полного
подобия 1 (табл. V-1).
4. В случае напорного.,движения жидкости (для ко-
торого характерно отсутствие свободной поверхности) силы
веса не влияют на распределение скоростей в потоке, и для
обеспечения кинематического подобия потоков выполне-
ния условия гравитационного подобия не требуется.
Вместе с тем характер движения существенно зависит от
соотношения сил инерции и вязкости жидкости. Поэтому
моделирование напорных потоков осуществляется по кри-
терию вязкостного подобия. Скорости в натуре и модели
должны при этом удовлетворять соотношению (V-6), опре-
1 Размеры модели (определяемые выбором масштаба ki) должны
при этом обеспечить достаточно большие значения числа Re, при ко-
торых влияние вязкости на поток в модели будет, как и в натуре, пре-
небрежимо малым.
10 g
деляясь выбранными по условиям эксперимента масшта-
бами kL и kv; если жидкости одинаковы (kv = 1), то
-5-=4г’	<v-13>
т. е. отношение скоростей в натуре и модели должно быть
обратным отношению их размеров.
Таблица V-1
Соотношения коэффициентов подобия при различных
законах моделирования
Коэффициент подобия	Моделирование		
	по числу		инерцион- ных тече- ний
	Fr	j Re	
Длина k, = ~~ ^2 р Площадь kF ~ -~ у 2 Объем ky = -~— р2 Время kT ~ ' 2 „	L	V1 Скорость kv = Угловая скорость k® =—— (02 Ускорение ka ~ —- „	Q, °2 Расход kq = Х2 TZ	<	V1 Кинематическая вязкость kv = —— р Сила kp = -=~- *2 Плотность ko = Р2 А Работа, энергия кд = Д2 Перепад пьезометрических уровней, потери напора кн = -у/- п2 АЛ	X. Мощность kN = - дГ-	kL 4 4/2 i/4/2 1 л5/2 Ml kp kL V1Z2	kL kl k3 rl kl/kv 4kl kvkL k<\^ kp k k^kr	kL kl 4 kdkv d kv/kL kvkl dkvkl k k2$ KpKvKL fe2 RpRvKL
109
Располагаемые гидростатические напоры
кого объекта и его модели должны находиться
(bV
X ) \ v2 )
Используя значение масштаба времени,
при моделировании по Re:
для натур-
в отношении
(V-14)
получаемое
можно выразить масштабы всех производных физических
величин через три независимых — kLi kp и kv (табл. V-1).
Так, масштаб сил'
kP = kpk1 2vk2L = kpk2v и т. д.,
Так как условие Re = idem при наличии геометриче-
ского подобия определяет кинематическое подобие напор-
ных потоков, безразмерные характеристики последних
(коэффициенты сопротивления, расхода и т. д.) являются
функциями Re Это же относится и к процессам истече-
ния через малые отверстия и насадки, на которые весо-
мость жидкости практически не влияет.
Для потоков в трубах число Re имеет выражение
Re = 4-,	(V-15)
где v = -у- средняя скорость (Q — расход и F — площадь
сечения трубы);
4F
D = —-------гидравлический диаметр (%— пери-
метр сечения)2;
v — кинематическая вязкость жидкости (единицы
вязкости см. в табл. V-2).
Являясь основным критерием подобия напорных пото-
ков, число Re определяет режим движения жидкости
в трубопроводах.
1 При турбулентном режиме течения в условия подобия как на-
порных, так и безнапорных потоков входит также подобие шерохова-
тостей стенок каналов (см. например, график приложения 4, дающий
для коэффициента сопротивления трения в трубах зависимость X =
= f (Re, Д/D),где Д — абсолютная шероховатость).
2 Для круглой трубы гидравлический диаметр равен геометри-
ческому.
110
Сводка единиц вязкости
Таблица V-2
Вязкость	Система СГС	Система МКС	Переводной множитель
Динамическая (н	1 дина -с/см1 2 *= = 1 пуаз (П)	1 Па-с	1 П = 0,1 Па-с
Кинематиче- (	Р \ ская v v = -— \	Р /	1 см2/с = = 1 стокс (Ст)	1 м2/с	1 Ст = = 10~4 м2/с
При Re < ReKp (ReKZ? — критическое значение числа
Рейнольдса) существует ламинарный режим течения, при
Re > ReKp — турбулентный. Значения ReKp для сечений
различной ф^рмы находятся в интервале ReKp = 2000—
—3000 (так называемая критическая зона).
5. При достаточно больших значениях Re силы вяз-
костного трения, действующие в турбулентном потоке,
становятся исчезающе малыми-по сравнению с силами инэр-
ции частиц жидкости (зона турбулентной автомодель-
ности). Безразмерные характеристики потока, в частности
коэффициенты потерь на трение Л и коэффициенты местных
сопротивлений С, в этой зоне не зависят от числа Re,
что определяет наличие квадратичного закона сопротив-
ления трубопровода. Аналогичная особенность присуща
также и процессам истечения через малые отверстия и на-
садки, безразмерные характеристики которых (коэффи-
циенты истечения) в зоне больших значений Re остаются
практически постоянными (квадратичная зона истечения).
Потоки, характер которых определяется свойством
инертности жидкости и не зависит от ее вязкости и весо-
мости, называют инерционными. Для таких потоков усло-
вия подобия, выражаемые соотношениями (V-5) и (V-8),
отсутствуют и, следовательно, масштабы kL, kv и kv не-
зависимы х. Выбор при моделировании значений kL, kv и
определяет масштаб времени (kT = kjk^ и, следова-
тельно, масштабы всех производных физических величин
по формулам их размерностей (табл. V-1).
1 Величины этих масштабов должны выбираться с таким расчетом,
чтобы значения числа Re в модели отвечали ее работе в зоне турбу-
лентной автомодельности.
Ш
Располагаемые гидростатические напоры натурного
объекта и его модели должны находиться в отношении,
определяемом выбранным масштабом скоростей kv\
2^ = /ЛЦ1 2.
^2	\ ^2 /
В этом же отношении будут находиться перепады
пьезометрических уровней и потери напора х.
Соотношения масштабов (коэффициентов подобия) ряда
величин при различных законах моделирования приво-
дятся в табл. V-1. Исходными, через которые выражаются
остальные коэффициенты, приняты масштабы линейных
размеров kLi плотностей kp и вязкостей kv, так как они
непосредственно определяются выбором размеров модели
и применяемой в ней жидкости 2. Данные табл. V-1, пред-
ставляя сводку правил для пересчета характеристик по-
добных потоков, облегчают решение задач на гидравли-
ческое моделирование.
Задачи 3
Задача V-1. Сопротивление участка водопроводной
трубы с арматурой необходимо перед установкой прове-
рить в лаборатории путем испытаний на воздухе.
Определить:
1. С какой скоростью vM следует вести продувку, сох-
раняя вязкостное подобие, если скорость воды в трубе
будет равна v = 2,5 м/с.
2. Какова будет потеря напора hn при работе трубы на
воде с указанной скоростью, если при испытании на воз-
духе потеря давления оказалась равной Арм = 8,35 кПа.
Значения кинематической вязкости (при t = 20° С)
для воздуха v = 0,156 Ст и воды v = 0,01 Ст, плотность
воздуха р = 1,166 кг/м3,	'
Ответ, vM = 39 м/с; hn = 3 м.
1 Так как при моделировании напорных потоков по числу Re
гравитационное подобие отсутствует, поля давлений в натуре и мо-
дели оказываются неподобными (маштаб давлений kp в различных точ-
ках неодинаков).
2 Ускорение свободного падения принято одинаковым для натуры
и модели.
3 В тексте задач величины, относящиеся к модели, обозначены
индексом иг».
112
Задача V-2. Требуется определить аэродинамическое
сопротивление автомобиля (высотой h = 1,5 м) путем про-
дувки его модели в аэродинамической трубе.
Определить:
1. Каков должен быть размер модели hM для соблюде-
ния подобия (равенство Re), если максимальная скорость
движения автомобиля равна v = 108 км/ч, а скорость про-
дувки ограничена величиной vM = 45 м/с.
2. Какую силу лобового сопротивления Р будет испы-
тывать автомобиль при максимальной скорости движения,
если для модели при максимальной скорости продувки
эта сила найдена равной Рч — 1500 Н.
Вязкость и плотность воздуха принимать для натуры
и модели одинаковыми.
Ответ. hM ~ 1 м; Р = 1500 Н.
Задача V-3. Для получения характеристик дискового
затвора произведены испытания его модели диаметром
DM = 250 мм на воздухе. При расходе воздуха QM =
— 1,6 м3/с (плотность р = 1,25 кг/м3) для определенного
угла установки затвора а получены данные:
1)	потеря давления в модели = 2,7 кПа;
2)	сила действия потока на затвор Рм = 140 Н;
3)	момент этой силы относительно оси вращения за-
твора Мм = 3 Н-м.
Предполагая, что испытания модели произведены в зоне
турбулентной автомодельности, определить для натурных
условий потерю напора, силу и момент действия потока на
затвор диаметром D = 2,5 м при расходе воды Q = 8 м3/с
и том же угле установки затвора.
Ответ. hn ~ 0,55 м; Р ~ 28 кН; М ~ 6 кН.м.
Задача V-4. При испытании на воде модели насадка,
выходной диаметр которого dM = 30 мм, под статическим
напором Нм = 50 м получены расход QM = 18 л/с и сред-
няя скорость в сжатом сечении струи vM = 30 м/с.
ИЗ
Каков должен быть выходной диаметр d насадка в на-
туре и под каким напором Н он должен работать на воде,
чтобы получить Q = 100 л/с и v — 60 м/с?
Считать, что испытания модели произведены в зоне
турбулентной автомодельности, в силу чего коэффициенты
истечения для модели и натуры одинаковы.
Ответ. d — 50 мм; Н — 200 м.
Задача V-5. Игольчатый затвор (в котором выходное
отверстие перекрывается переставным клапаном обтекаемой
формы) имеет в натуре входной диаметр D = 2 м и рабо-
тает под статическим напором воды Н = 100 м. При испы-
тании на воде модели затвора, входной диаметр которой
DM — 0,2 м, под статическим напором Нм — 6 м получены
расход QM — 206 л/с и сила действия потока на полностью
открытый клапан Рм = 600 Н.
Определить:
1. Какой расход Q будет пропускать затвор в натуре.
2. Какая сила Р будет действовать на клапан натур-
ного затвора.
Считать, что модель испытана в зоне турбулентной ав-
томодельности.
Ответ. Q = 84 м3/с; Р = 1000 кН.
Задача V-6. Диафрагма размерами d = 100 мм и D =
= 200 мм, предназначенная для измерения расхода воз-
духа, тарируется путем испытания на воде. В результате
испытаний получено, что минимальный расход воды, начи-
ная с которого коэффициент расхода диафрагмы остается
постоянным, равен Qmin — 16 л/с и при этом показание
ртутного дифманометра, измеряющего перепад давлений
на диафрагме, равно hPT = 45 мм.
114
Определить:
1. Qmln при работе диафрагмы на воздухе.
2. Соответствующее этому расходу воздуха показание
водяного дифманометра he, присоединенного к диафрагме
в тех же точках.
Кинематическая вязкость воды v = 10"2 Ст, дина-
мическая вязкость воздуха р = 1,82-10"4 П и его плот-
ность р = 1,166 кг/м3.
Указание. Значениям расхода Qmjn при работе диафрагмы на
различных жидкостях отвечает одинаковая величина числа Рейнольдса,
представляющая границу зоны турбулентной автомодельности.
Ответ. Qmin = 250 л/с; he— 160 мм.
Задача V-7. Труба Вентури с входным диаметром
D — 300 мм и горловиной d = 150 мм, предназначенная
для-измерения расхода керосина, тарируется путем испы-
тания на воде ее модели, выполненной в масштабе 1 : 3 от
натуры.
Определить:
1. Каким должен быть расход воды QM в модели для
соблюдения подобия, если расход керосина в натурной
трубе равен Q = 100 л/с; значения кинематической вязко-
сти воды (/ = 20° С) v = 0,01 Ст и керосина (10° С) v =
= 0,045 Ст.
2. Каковы будут потеря напора hn и перепад давлений
Др в натурном расходомере, если при испытании модели
на расходе, обеспечивающем соблюдение подобия, полу-
чено hn.M = 0,2 м и Арм = 10 кПа. Плотность керосина
р == 820 кг/м3.
Ответ. QM = 7,4 л/с; hn = 0,45 м и Др = 18,5 кПа.
К задаче V-8
Задача V-8. По вертикально расположенному диффу-
зору длиной L = 500 мм вода должна вытекать в атмо-
115
сферу из открытого резервуара, уровень в котором h =«
= 0,5 м.
Для предварительного определения пропускной спо-
собности диффузора производятся испытания его модели,
выполненной в масштабе 1 : 2 от натуры. Закон моделиро-
вания выбран исходя из того, что поток в диффузоре яв-
ляется напорным, и его характер определяется только
свойствами инертности и вязкости жидкости.
Определить:
1.	Каков должен быть при испытании модели на воде
уровень hM в резервуаре опытной установки.
2.	Какой расход Q будет пропускать диффузор в на-
туре, если при испытании модели получен расход QM =
— 30 л/с.
3.	Какой вакуум рв будет во входном сечении натурного
диффузора, если при испытании, модели вакуум в этом се-
чении оказался равным рвгМ = 81 кПа.
, Указание. Условие равенства чисел Рейнольдса приводит (в слу-
чае одинаковых жидкостей) к соотношению для перепада пьезометри-
ческих уровней в диффузоре:
__ _____________
&Нст. м	(—\  L
где /?£ — --коэффициент геометрического подобия.
Рм
Ответ. hM ~ 3,75 м; Q ~ 60 л/с; рв = 24,5 кПа.
Задача V-9. Предохранительный клапан диаметром
DM = 20 мм пропускает при открытии hM = 2 мм
под перепадом давлейий &рм = рг — р2 = 0,5 МПа рас-
ход масла (рж = 880 кг/м3 и vM = 2 Ст), равный QM =
= 3 л/с. При этом сила давления, действующая на клапан,
Рм = 80 Н.
Определить:
1. Диаметр D клапана, пропускающего при соблюдении
условий подобия (равенство относительных открытий h/D
и чисел Re) расход масла (р = 880 кг/м3 и v = 4 Ст), рав-
ный Q = 9 л/с.
2. Каков должен быть при этом перепад давлений Др и
какова будет сила давления Р на клапан.
Ответ. D = 30 мм; Др = 0,89 МПа; Р = 320 Н.
116
Задача V-10. Предохранительный клапан диаметром
DM = 25 мм при открытии hM = 2 мм пропускает расход
масла QM ~ 5 л/с под перепадом давлений Д/7Л — pt —
— р2 = 1 МПа. При этом сила давления на клапан Рм =
= 150 Н.
Как следует изменить диаметр клапана, чтобы при уве-
личении расхода той же жидкости в 4 раза требуемый
перепад давлений увеличился только в 2 раза? Найти от-
крытие клапана h и действующую на него силу Р.
К задачам V.-9 и V-10
Считать, что клапан рабо-
тает в квадратичной зоне
сопротивления.
Ответ. D ~ 42 мм; h =
= 3,35 мм; Р = 850 Н.
К задаче V-U
Задача V-l 1. Путем модельных испытаний необходимо
установить минимальное заглубление йт1п всасывающей
трубы насоса под уровнем нефти в резервуаре с тем, чтобы
не возникало воронки и не происходило засасывания воз-
духа.
Насос в натуре откачивает Q = 140 л/с нефти (v =
= 0,75 Ст) по трубе диаметром d = 250 мм. Испытания
производятся на геометрически подобной модели, линей-
ной масштаб которой принят равным 1 : 5 от натуры.
Так как условия входа нефти в трубу определяются
в данном случае совместным влиянием свойств инертности,
вязкости и весомости жидкости, при моделировании
необходимо соблюдать равенство чисел Рейнольдса и
Фр уда.
Определить:
1.	Какова должна быть вязкость vM жидкости, исполь-
зуемой в модели.
2.	Каков должен быть для модели откачиваемый рас-
ход QM и какова будет при этом скорость vM в трубе.
117
3.	При какой глубине /imin начнет образовываться во-
ронка в натуре, если для модели испытания дали Лт1п.ж =
= 60 мм.
В качестве модельной жидкости можно применять вод-
ный раствор глицерина, меняющий вязкость в зависимо-
сти от соотношения компонентов (при t = 20° С) от v =
= 0,01 Ст (вода) до v = 8 Ст (глицерин).
Ответ. vM = 0,067Ст; QM — 2,5 л/с и vM ~ 1,27 м/с; /imin = 300 мм.
Задача V-12. Истечение керосина (v = 0,045 Ст)
через отверстие диаметром d = 75 мм моделируется на
воде (ум — 0,01 Ст) при соблюдении вязкостного и грави-
тационного подобия.
Определить:
1.	Диаметр отверстия dM для модели.
2.	В каком отношении должны находиться высоты
уровней для натуры h и модели hM.
3.	В каком отношении при выполнении этих условий
будут находиться расходы Q и QM.
Ответ. dM — 27,5 мм; = 2,72;	= 12,25.
'1м	Ом
К задаче V-12
К задаче V-13
Задача V-13. Истечение воды из-под сегментного за-
твора изучается на модели, линейный масштаб которой от-
носительно натуры принят равным 1 : 10.
Определить:
1.	Какой уровень Нм следует поддерживать перед
затвором в модели, если в натуре Н = 4 м.
2.	Каковы будут расход Q и скорость и в сжатом сече-
нии для затвора в натуре, если при испытании модели по-
лучены QM = 155 л/с и vM = 1,3 м/с.
3.	Какова сила действия потока на затвор, если для
модели она оказалась равной Рм = 55 Н.
Моделирование осуществляется по критерию Фруда.
Ответ. Нм~ 400 мм; Q = 49 м3/с и v= 4,1 м/с; Р = 55 кН.
118
Задача V-14. Водосливная плотина исследуется в лабо-
ратории на геометрически подобной модели, выполненной
в масштабе 1 : 20.
Определить:
1.	Напор hM на водосливе, который нужно принять для
модели, если в натуре будет h =* 3 м.
2.	Расход через водосливное отверстие в натуре, если
расход, полученный при испытании модели, равен QM =
= 0,19 м3/с.
3.	Вакуум на гребне водослива в натуре, если на мо-
дели получен вакуум р3.м = 2 кПа.
Ввиду незначительного влияния вязкости моделирова-
ние осуществляется по критерию Фруда.
Задача V-15. В результате исследования на модели
обтекания симметричного тела объемом VM = 2 дм3, поме-
щенного в вертикальный канал диаметром DM = 200 мм,
получено при скорости воды в канале vM = 10 м/с, что
местная потеря напора на опытном участке канала равна
hn.M = 5 м и сила, действующая на тело, Рм = 80 Н
(направлена по потоку вни^).
Считая, что испытания модели произведены в зоне тур-
булентной автомодельности, определить:
1.	Каковы будут потеря напора hn и сила Р, действую-
щая на геометрически подобное тело в натурном канале
диаметром D = 500 мм при скорости воды v = 8 м/с?
2.	При какой скорости v сила Р будет равна нулю?
3.	Какая сила будет действовать на тело при скорости
v = 8 м/с, если натурный канал будет расположен гори-
зонтально?
119
Указание. Так как гравитационное подобие отсутствует (значе-
ния числа Фруда для модели и натуры неодинаковы), поля давлений
на поверхности тела в модели и натуре неподобны. Поэтому действую-
щую на тело суммарную силу нельзя пересчитывать по закону динами-
ческого подобия. Этому закону будет удовлетворять только сила ло-
бового сопротивления, возникающая при обтекании тела, которая равна
разности вектора суммарной силы Р и архимедовой силы Ра = pgV,
обусловленной весомостью жидкости. Так как в условиях задачи эти
силы при вертикальном положении канала направлены противопо-
ложно, получаем для пересчета
сил:
P + pgV	pv2D2
?м + Рмё^м	рАР2мР‘1 ’
Г м м М
где
V _ D3
Ответ. 1) hn = 3,2 м; Р =
== 90 Н; 2) v = 7 м/с.
3) Горизонтальная сила (лобо-
вое сопротивление) Р — 400 Н;
вертикальная (архимедова) Р —
= 310 Н, суммарная Р ~ 505 Н.
Задача V-16. Модель холо-
стого выпуска гидротурбины
с размером клапана DM =
= 0,2 м испытана на воздухе
(р = 1,25 кг/м3) под избыточным давлением ри = 400 мм
вод. ст. При полном открытии клапана sM = 100 мм полу-
чен расход QM = 1,6 м3/с; при открытии sM = 20 мм полу-
чена максимальная сила действия потока на клапан (воз-
никающая за счет динамического разрежения на его торце),
равная Рм = 50 Н.
Определить для натурного холостого выпуска диаме-
тром D = 0,5 м, работающего на воде под статическим
напором Н = 32 м (считая, что испытания модели произве-
дены в квадратичной зоне сопротивления):
1. Расход Q при полном открытии клапана.
2. Максимальную силу Р, действующую на клапан,
если высота его расположения над уровнем воды h ~ 3 м.
Указание. При определении силы Р следует учитывать, что, помимо
динамического разрежения, на торце клапана в натуре возникает ста-
тическое разрежение pgh, обусловленное весомостью жидкости и при-
водящее к появлению дополнительной статической силы Рст = pgh—^—”.
Omeew. Q — 3,16 м3/с; Р~ 30,8 кН.
120
Задача V-17. Машинное масло, для которого задана
зависимость кинематической вязкости v от температуры,
прокачивается по трубке диаметром d = 20 мм в количе-
стве Q = 4 л/с.
Определить режим движения
= 40° С и указать температуру,
отвечающую критическому зна-
чению числа Рейнольдса (ReKP^=
- 2300).
Ответ, t = 10° С — ламинарный;
t — 40° С — турбулентный; tKP — 25° С.
Задача V-18. В поверхност-
ном конденсаторе паровой турб- (
ины суммарный расход охлаж-
дающей воды Q = 8 л/с прохо-
дит по 250 параллельным труб-
кам, между которыми движется
при t = 10° С и t —
конденсируемый пар.
Каков максимальный допустимый диаметр трубок, при
котором в них еще будет турбулентное движение (обеспе-
чивающее лучшую теплопередачу, чем ламинарное)? Для
нижней границы турбулентного режима принять ReKP =
= 3000.
Температура воды t = 10° С (v = 0,013 Ст).
Ответ. — 10 мм.
Задача V-19. В трубопроводе диаметром d и длиной /
под статическим напором Н движется жидкость, кинема-
тическая вязкость которой равна v. Получить выражение
для критического напора, при котором происходит смена
ламинарного режима турбулентным, учитывая в трубо-
проводе только потери на трение.
Указание. Воспользоваться фор-
мулой для потерь на трение при лами-
нарном режиме:
„ 32vZy
имея в виду, что критический напор
Нкр соответствует критической ско-
рости vKP.
К задачам'V-19 и V-20
121
Ответ.
_ 32v2/Re^
^з—•
Задача V-20. Установить режим течения нефти
(v = 2,5 Ст) по трубопроводу длиной I = 1000 м, который
при располагаемом статическом напоре Н ~ 40 м должен
пропускать расход Q = 60 л/с.
Найти минимальное значение vmin, при котором в тру-
бопроводе будет еще ламинарный режим, приняв Нелр ==
- 2000.
Указание. Воспользовавшись формулами для потери напора при
ламинарном режиме
128v/Q
~ itgd*
и для числа Рейнольдса
находим выражение критического напора через расход, не содержа-
щее диаметра трубы:
_«V/Re^
Kt> ~ 2gQ3 ’
Ответ. Нкр— 113 м — режим ламинарный; vmin = 2 Ст.
Задача V-21. Для квадратной трубки, сторона которой
а = 10 мм, определить критическую скорость движения
воды при t = 20° С (у = 0,01 Ст), воздуха при р =
= 0,1 МПа и t = 20° С (н = 1,82-10“4 П, р 1,17 кг/м3)
и турбинного масла при t = 20° С (v = 1 Ст), приняв
НеЛР = 2000.
Ответ. Вода — 0,2 м/с; воздух — 3,1 м/с; масло — 20 м/с.
К задаче V-21
К задачам V-22 и V-23
Задача V-22. Для узкой кольцевой щели диаметром
D == 250 мм и шириной b = 1 мм определить минималь-
ный расход воды температурой 10° С (v = 0,013 Ст), при
122
котором сохраняется турбулентный режим; принять
в качестве нижней границы этого режима ReKp = 3 000.
Будет ли влиять b на величину критического рас-
хода (при сохранении условия, что b/D < 1)?
Ответ. QKp — 1,5 л/с независимо от Ь.
Задача V-23. Определить в общем виде для узкой
кольцевой щели диаметром D, шириной Ь и длиной I
критический перепад давлений \р = р1 — р2, соответст-
вующий смене режимов движения жидкости с заданными
характеристиками (плотность р, вязкость ц). Подсчи-
тать ДрКр в частном случае: D = 250 мм, 6 = 0, 5 мм,
/=Ю0 мм для воды (v = 0,01 Ст), приняв ReKp = 3000.
Указание. Принимать, что перепад Ар целиком поглощается
сопротивлением трения:
. 12liZv
где v — средняя скорость в щели.
Ответ.
6pv1 2Z D
Ap/ср — ReKp*>
&ркр = 15 кПа.
ГЛАВА VI
ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ
ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЯ, НАСАДКИ И ВОДОСЛИВЫ
ВВЕДЕНИЕ
1. При установившемся истечении жидкости из боль-
шого открытого резервуара через круглое отверстие, раз-
мер которого мал по сравнению с его заглублением под
уровнем жидкости (рис. VI-I), средняя скорость в сжатом
сечении струи равна по уравнению Бернулли
и = <р^2^Я,	(VI-1)
где Н — глубина центра тяжести сжатого сечения струи
под уровнем (напор истечения)х;
1 Так как сжатое сечение находится на расстоянии Z от
плоскости отверстия, напор истечения для малого отверстия (d0 < Н)
можно приближенно относить к его центру.
123
Ф — безразмерный коэффициент скорости, опреде-
ляемый из выражения
Ф = -Д^-.	(VI-2)
Здесь а — коэффициент кинетической энергии в сжатом
сечении струи и £ — коэффициент сопротивле-
ния отверстия, выражающий потерю напора
при истечении в долях скоростного напора
струи, подсчитанного по средней скорости.
В общем случае истечения из замкнутого резервуара
в газообразную среду (рис. VI-2) напор истечения Н пред-
ставляет разность значений гидростатического напора
в резервуаре и в центре сжатого сечения струи:
я = /1 + ^5^-,	(vi-3)
где h — глубина центра сжатого сечения струи под уров-
нем жидкости;
— давление в резервуаре над жидкостью;
р2 — давление среды, в которую вытекает струя;
р — плотность жидкости.
Если истечение происходит в атмосферу, напор исте-
чения представляет глубину расположения центра сжатого
сечения струи под пьезометрическим уровнем (уровнем
атмосферного давления) в резервуаре:
Я = Л + ^-,	(VI-4)
где ри = Рг — Рат — избыточное давление в резервуаре
над жидкостью.
124
Степень сжатия струи, вытекающей через отверстие,
характеризуется коэффициентом сжатия 8
(VI-5)
где Fc, dc — площадь и диаметр сжатого сечения струи;
Fo, d0 — площадь и диаметр отверстия.
Расход через отверстие определяется по формуле
Q = pF0-|/2^,	(VI-6)
где р — коэффициент rfo
расхода,
р - 8ф. (VI-7) М
Значения коэффи-
циентов истечения ф, ’
8 и р круглого малого
отверстия зависят от
формы его кромок,
условий подтока жидко-
сти к отверстию и числа
Рейнольдса, определяе-
мого как	Рис. VI-3
Ре = 4Л2^-,	(VI-8)
где v — кинематическая вязкость жидкости \
Зависимость коэффициентов истечения от Re для ма-
лого круглого отверстия с острой кромкой дана в обра-
ботке А. Д. Альтшуля на рис. VI-3. Значения р в функции
Re равны:
Re = 1,5-10*	2,5-Ю4 5-104 105 2,5-Ю5 5-Ю5 106
р = 0,638	0,623	0,610 0,603	0,597	0,594 0,593
1	Коэффициенты истечения отверстий весьма малых абсолютных
размеров зависят также от числа Вебера, выражающего влияние по-
верхностного натяжения жидкости:
We = ^,
о ’
где а [Н/м ] — поверхностное натяжение на границе струи с газообраз-
ной средой.
При We > 200 влияние поверхностного натяжения практически от-
сутствует (зона автомодельности по We).
125
Рис. VI-4
При Re 105 влияние числа Рейнольдса на коэф-
фициенты истечения практически отсутствует (квадратич-
ная зона истечения) и для расчетов можно пользоваться
следующими их средними значениями:
ф = 0,97; 8 - 0,62; р - 0,60.
При этом неравномерность ско-
ростей в сжатом сечении струи
весьма невелика и можно прини-
мать а 1.
Тогда
(VI-9)
откуда в среднем для круглого от-
верстия с острой кромкой 0,06.
Коэффициент полезного действия отверстия — отноше-
ние удельной кинетической энергии струи к напору исте-
чения
у2	о а
При больших Re можно пользоваться выражением:
(Vi-10)
Для малых отверстий других форм при больших Re зна-
чения коэффициента расхода в формуле (VI-6) можно при-
нимать равными ц = 0,60.
2.	В случае истечения под уровень (рис. VI-4) скорость
жидкости в сжатом сечении струи и расход определяются
по формулам (VI-1) и (VI-6), в которых напор истечения Н
представляет разность гидростатических напоров (выра-
жаемую разностью пьезометрических уровней) в резервуа-
рах:
H = h1 — h2 + PM~Pu2-.	(VI-11)
Значения коэффициентов истечения для затопленного
отверстия можно принимать такими же, как при истечении
свободной струи в атмосферу. При истечении через затоп-
ленное отверстие расход не зависит от глубины располо-
жения отверстия под уровнями.
3.	Приведенные выше значения коэффициентов исте-
чения относятся к так называемому совершенному сжатию
струи, когда боковые стёнки резервуара значительно уда-
126
лены от отверстия (на расстоянии более трех линейных
размеров отверстия) и не влияют на формирование струи.
В случае расположения боковых стенок вблизи отверстия
их направляющее действие уменьшает степень сжатия
струи; при этом коэффициенты сжатия струи и расхода
возрастают.
При истечении из цилиндрического резервуара пло-
щадью F± через круглое отверстие, площадью Fo, располо-
женное на его оси (рис. VI-5), среднее значение коэффи-
циента сжатия струи при больших
значениях Re можно определять по
эмпирической формуле
е = 0,62 + 0,38	. (VI-12)
4.	Скорость истечения и расход
жидкости в случае истечения из
резервуара ограниченной площади
(рис. VI-5) определяются с помощью
уравнений Бернулли и расхода, за-
писанных для сечения в резервуаре
перед отверстием (сечение /) и сжа-
того сечения струи (сечение 2):
2	2
Zi+~pg+	=4+£+“2 i+hi
Q = ^1^1 = v2&f0.
Выражая потерю напора как
У2
rLn 2g
и вводя напор истечения Я, представляющий разность
гидростатических напоров в сечениях 1 и 2:

получим для скорости истечения
V2 =
(VI-13)
127
и для расхода
<2 =
(VI-14)
В квадратичной зоне истечения можно приближенно
принимать значения коэффициента кинетической энергии
~ а2 — 1 и коэффициента сопротивления отверстия
£ = 0,06.
Для предельного случая неограниченного резервуара
(F0/Fx ~ 0) формулы (VI-13) и (VI-14) переходят в приве-
денные выше формулы (VI-1)
и (VI-6).
5.	Расход через большое
отверстие, вертикальный раз-
мер которого одного поряд-
ка с напором истечения,
определяется по общей фор-
муле (VI-6), в которой Н —
напор истечения, отнесенный
к центру тяжести отверстия
(при истечении в атмосферу
из открытого резервуара —
глубина центра тяжести от-
верстия под свободной по-
верхностью).
р большого отверстия, по-
мимо факторов, указанных для малого отверстия, влияет
также число Фруда, определяемое, как
Fr = -г-,
h
Рис. VI-6
На коэффициент расхода
где h — вертикальный размер отверстия.
Для больших отверстий с острой кромкой коэффициент
расхода в квадратичной области истечения меняется при
разных HIh в пределах н = 0,60 -^0,65. При Fr 10
процесс истечения становится практически автомодельным
относительно числа Фруда.
6.	В качестве примера расчета процесса истечения рас-
смотрим схему на рис. VI-6, в которой жидкость плот-
ностью р, нагнетаемая в бак, перетекает из его левой зам-
кнутой секции в открытую правую секцию через отверстие
диаметром dx (расположенное в боковой стенке на высоте а)
и вытекает затем в атмосферу через донное отверстие диа-
метром d2>
128
Определим для установившегося режима системы рас-
ход Q из бака и высоту h2 уровня в правой секции, считая
известными высоту уровня и показание манометра ри
в левой секции.
Исходным для решения задачи является условие равен-
ства расходов через боковое и донное отверстия при уста-
новившемся режиме (т. е., при постоянных уровнях жид-
кости). Для выбора расчетных зависимостей необходимо
предварительно выяснить условия истечения жидкости
через боковое отверстие. Для этого предположим, что Л2 —
= а, тогда расход через боковое отверстие
Qi = Mi	+	,
где hu =	— высота пьезометрического уровня с ле-
вой секции.
Расход через донное отверстие
ndl г-----------------------------
Q2 = jx2
Если получится, что > Q2, то в действительности
h2 > а и боковое отверстие затоплено; если Qx <jQ2, то
h2 <• а и боковое отверстие не затоплено.
В первом случае условие равенства расходов дает си-
стему уравнений
Q = Hl -4- V 2g(hu + hi — h2) = fi2-~ V 2gh2,
из которой определяются уровень h2 и расход Q.
Во втором случае
’тхб/'^	____________________________	TtdJ
Q = Mi+ Л1 — a) = ц2^-]/ 2gh2.
7.	При истечении жидкости из больших резервуаров
через насадки (рис. VI-7) скорость истечения на выходе из
насадка и расход определяются по формулам (VI-1) и
(VI-6). В формуле (VI-6) Fo заменяется выходной площадью
насадка FH. Средние значения коэффициентов истечения
для основных типов насадков в квадратичной зоне даны
в приложении 2.
Для некоторых насадков коэффициенты истечения мо-
гут быть приближенно определены расчетом путем сумми-
рования потерь на отдельных участках потока.
5	Д. А. Бутаев и др.	129
Так, например, для внешнего цилиндрического насадка
(рис. VI-8) потерю напора можно представить в виде суммы
hn —	hn (14-х) + hn (х+2), ,
где hna+x) — потеря при входе в насадок на участке до
сжатого сечения струи (х);
hn(x~2) — потеря при расширении потока на участке
между сжатым и выходным сечениями.
Предполагая наличие квадратичной зоны истечения и
выражая эти потери по формулам
2
h -г Vx
"п (14-х) — Со ;
где — коэффициент сопротивления отверстия с острой
кромкой;
vx — скорость в сжатом сечении струи, получим
Г — — г I ~ 2
* ~2g	2g ' 2j
По уравнению расхода
Р» === ХУ ^'х ==~ "7 У
<х
где Fx — площадь сжатого сечения;
ех — коэффициент сжатия струи при входе в насадок.
Величина ех зависит от соотношения площадей насадка
FH и резервуара Ft и может быть определена по формуле
(VI-12).
130
Подставляя в выражение суммы потерь значение
находим коэффициент сопротивления насадка
(VI-15)
при помощи которого определяются скорость истечения и
расход (сжатие струи на выходе из насадка отсутствует):
v
Q = vFH.
V^gH\
При истечении из большого резервуара (рис. VI-9) сжа-
тие струи в сечении х является совершенным и расчет дает
в этом случае (для средних значений и &х) £	0,5.
Скорость и расход определяются по формулам (VI-1) и
(VI-6), в которых
Ф = и = ——0,82.
По опытным данным коэффициент расхода цилиндри-
ческого насадка в квадратичной зоне сопротивления, при
длинах I = (2ч-3) dH лежит в пределах ц = 0,82ч-0,81.
Наглядное представление об
изменениях напора потока и его
составляющих при протекании
жидкости через насадок дается
графиком напоров (рис. VI-9).
Линия напора и пьезометричес-
кая линия на этом графике ка-
чественно изображают ход изме-
нения полного и гидростатичес-
кого напоров по длине насадка от
начального сечения перед входом
в насадок до его выходного сече-
ния. Величина пьезометрического
Рис. VI-9
напора pjpg в любом сечении
насадка определяется вертикальным расстоянием от оси
насадка до пьезометрической линии величина скоростного
напора у2/2§“—вертикальным расстоянием между пьезо-
метрической линией и линией напора.
131
8. Если в промежуточных сечениях насадка скорости
имеют большие величины, чем скорость выхода из насадка,
в этих сечениях при истечении в атмосферу возникает
вакуум (пьезометрическая линия проходит здесь ниже оси
насадка).
Так, например, наибольший вакуум возникающий
внутри цилиндрического насадка в сжатом сечении струи
(рис. VI-9), определяется из выражения
= = = (VH6)
Истечение через насадок в атмосферу с заполнением
выходного сечения насадка, возможно только при напорах,
меньших предельного Нпр, который соответствует падению
абсолютного давления в сжатом сечении до давления насы-
щенных паров жидкости (рх =

Рат Рн- п
2<p2(J----Лрг ’
\ ьх /
(VI-17)
При И Нпр происходит срыв режима работы на-
садка: струя отрывается от стенок, и процесс сменяется ис;
течением через отверстие с ост-
рой кромкой.
В случае истечения через за-
топленный насадок его работа
под более высоким напором, чем
некоторое предельное значение
(зависящее от заглубления на-
садка), сопровождается кавита-
цией.
9. Приведем в виде при-
мера расчет истечения в атмо-
сферу из большого резервуара
через конический насадок с
плавно скругленным входом под
постоянным статическим напором Н (рис. VI-10).
Заданы входной d и выходной D диаметры диффузора,
а также коэффициент сопротивления входного участка
насадка и коэффициент потерь сра в диффузоре.
1.	Определить расход Q через насадок и построить
график напоров по его длине.
2.	Найти предельный напор Нпр насадка.
132
3.	Определить, при какой величине выходного диа-
метра D пропускная способность насадка будет макси-
мальной.
Для рассматриваемого* насадка (предполагая квадра-
тичную зону истечения и пренебрегая неравномерностью
распределения скоростей по сечению) имеем
1
ф = ! I =--=г ,
Ki +£
где £ — коэффициент сопротивления насадка.
Пользуясь приемом суммирования потерь, получим
Г — = Г — 4-п, (°1 -
’ 2g	2g '	2g f
где и v — скорости во входном и выходном сечениях
диффузора.
Так как по уравнению расхода
/ D \2
ед = nvt где п = (-j- \ ,
то коэффициент сопротивления будет
£ =	-4- <р<? О — 1)2.
Скорость истечения и расход
Построение графика напоров дано на рис. VI-10. Наи-
больший вакуум имеет место во входном сечении диффузора
и равен (по уравнению Бернулли для движения жидкости
в диффузоре)
рв „ v2 fn foi —^)2
pg “ 2g	2g '
Последнее соотношение позволяет рассчитать предель-
ный напор насадка; используя подстановку ~ nv, при-
ведем выражение вакуума к виду
^ = ^[п2-1-фД«---1)21 =
-Ф2[«2-1 -фЛ«-1)21 Н.
133
Подставляя далее выражение <р через £ и также макси-
мальное значение вакуума рв = рапг — рНгП, .получим для
предельного напора
Н — 1 "Hi"2 +Фд О2 Рат — Рн. п
ПР п2 _ J _ (рд ___ Ц2	pg
Для определения величины выходного диаметра Z),
отвечающей максимальной пропускной способности на-
садка (максимальному расходу при данной напоре), удоб-
нее всего воспользоваться уравнением Бернулли, запи-
санным для свободной поверхности жидкости в резервуаре
и для выходного сечения насадка:
Н— v* -4- Г	—
И + И	’
2
Н = *2Г [i + k 0 — 4~) ] •
Максимальному значению скорости (и, следовательно,
расхода) при постоянном Я отвечает минимум выражения
в квадратных скобках; исследуя это выражение на мини-
мум, получаем
—------2cpd ( 1------— =0; п =
п	\ п )	’
1 +<Рэ
Фз
Следовательно, искомая величина выходного диаметра

Заметим, что такой насадок характеризуется макси-
мальным вакуумом во входном сечении диффузора при
данном напоре истечения и, следовательно, минимальной
величиной предельного напора.
10. Расход через незатопленный прямоугольный водо-
слив в тонкой стенке (рис. VI-11) определяется по формуле
Q = mbH V2gH,
(VI-18)
где Н — напор над порогом водослива;
b — ширина порога водослива;
т — коэффициент расхода.
134
При истечении свободной струей коэффициент расхода
водослива может определяться по эмпирической формуле
(все размеры в метрах):
т = (0,405 +^-0,03-^) х
X [1 4-0,55 -g-	(VI-19)
Для треугольного водослива с углом а при вершине
(рис. VI-12).
Q = т	= т tg № У 2^Н,	(VI-20)
где коэффициент расхода можно в среднем принимать
т = 0,32.
Задачи
Задача VI-1. Определить коэффициенты расхода, ско-
рости, сжатия и сопротивления при истечении воды в атмо-
сферу через отверстие d == 10 мм под напором Н = 2 м,
если расход Q = 0,294 л/с, а координаты центра одного из
сечений струи х = 3 м и I/= 1,2 м.
Ответ, р, = 0,598; е = 0,616; ф = 0,97; Z = 0,065.
Задача VI-2. Определить, пренебрегая потерями на-
пора, начальную скорость истечения жидкости из сосуда,
заполненного слоями воды и масла (относительная плот-
ность 6 = 0,8) одинаковой высоты h — 1 м.
Сравнить полученный результат с начальной скоростью
истечения при заполнении сосуда только водой или только
маслом до уровня 2h.
Ответ. 5,94 м/с; 6,.26 м/с.
135
Задача VI-3. Для насадка, составленного из двух
цилиндрических патрубков диаметрами d = 70 мм и D =
= 100 мм, определить коэффициенты сопротивления и рас-
хода. Найти величину предельного напора Нпр в случае
истечения воды в атмосферу, принимая, что при Н = Нпр
вакуумметрическая высота в наименьшем сечении потока
достигает 10 м.
Построить график напоров.
Ответ. £ = 3,2; и = 0,49; Нпр — 6 м.
Задача VI-4. Для увеличения пропускной способности
плавно сходящегося насадка, выходной диаметр которого
d = 80 мм и коэффициент сопротивления = 0,04, к нему
присоединен цилиндрический патрубок.
Определить диаметр патрубка, при котором пропускная
способность полученного таким образом составного на-
садка будет наибольшей.
Для этого же насадка определить в случае истечения
воды в атмосферу предельный напор, при котором вакуум
в узком сечении насадка достигнет 0,1 МПа.
Построить график напоров.
Ответ. D = 113 мм; Нпр— И м.
136
Задача VI-5. Определить, до какого наибольшего
избыточного давления ри сжатого воздуха над поверх-
ностью бензина в баке истечение через цилиндрический
насадок будет происходить с заполнением его выходного
сечения. Каков при этом будет массовый расход бензина,
если диаметр насадка d = 50 мм?
Уровень бензина в баке равен h = 1,5 м.
Плотность бензина р = 750 кг/м3, давление насыщенных
паров рН'П = 200 мм рт. ст. Атмосферное давление равно
730 мм рт. ст.
К задаче VI-6
Принять коэффициент расхода насадка ц = 0,81 и
коэффициент сжатия струи при входе в насадок 8 = 0,62.
Ответ. ри = 78,5 кПа; т = 18,5 кг/с.
Задача VI-6. Определить расход воды через отверстие
с острой кромкой диаметром d = 120 мм, выполненное
в торце трубы диаметром D = 200 мм, если показание
манометра перед отверстием 7И = 0,1 МПа и высота рас-
положения манометра над осью трубы h = 1,3 м.
Как изменится расход, если к отверстию присоединить
цилиндрический насадок (пунктир)? Для насадка найти
показание манометра, при котором произойдет срыв ре-
жима работы, принимая, что срыву соответствует абсолют-
ное давление в сжатом сечении струи, равное нулю. Атмо-
сферное давление на выходе из насадка 0,1 МПа.
Коэффициент сопротивления отверстия принять £ ==
- 0,04.
Ответ. Q= 0,115 м3/с;	0,155 м3/с; М = 0,11 МПа.
137
Задача V1-7. Через водоспуск плотины, имеющий
форму цилиндрического насадка, необходимо пропускать
расход Q — 2,3 м3/с при напоре Н — 10 м.
Определить диаметр водоспуска d и минимальную глу-
бину h затопления его оси под низовой уровень, необхо-
мую, чтобы вакуумметрическая высота внутри насадка не
превосходила 6 м.
Принять коэффициент расхода насадка р = 0,82 и
коэффициент сжатия струи при входе в насадок е = 0,63.
Построить график напоров.
Ответ, d = 0,5 м; h = 2 м.
Задача VI-8. Вода перетекает из сосуда А в сосуд В
через плавно сходящийся насадок с диаметром выходного
сечения dr = 100 мм и коэффициентом сопротивления £ =
= 0,08 и приставленный к нему с небольшим зазором рас-
ходящийся конический насадок с выходным диаметром
d2 = 150 мм и коэффициентом потерь ф^ = 0,3.
При заданном уровне Н± = 2,5 м определить уровень
Н2, при котором протекающая по насадкам вода не будет
выливаться через зазор, а атмосферный воздух не будет
засасываться внутрь насадков.
Построить график напоров.
Указание. В сечении потока, соответствующем зазору между
насадками, давление должно равняться атмосферному.
Ответ. Н2~ 1,64 м.
Задача VI-9. Вода перетекает из верхнего открытого
резервуара в нижний по диффузору, диаметры которого
dt == 100 мм и d2 = 150 мм. Коэффициент сопротивления
входного участка £ = 0,06, а коэффициент потерь в диффу-
зоре ф^ = 0,2.
138
Определить, при каком уровне Нг в верхнем резер-
вуаре абсолютное давление в узком сечении диффузора
станет равным нулю, если это сечение расположено над
нижним уровнем на высоте Н2 = 1,2 м. Атмосферное дав-
ление принять равным ~рагп — 735 мм рт. ст.
Ответ. Нг = 2,6 м.
Задача VI-10. Сравнить расходы при перетекании
воды из верхнего открытого бака в нижний через цилин-
дрическую трубу диаметром d = 300 мм и через диффузор
с тем же диаметром входа и выходным диаметром D =
600 мм, если уровни в баках постоянны, а высоты
равны: а = 0,8 м, b = 1,4 м, с = 0,6 м. Коэффициент со-
противления плавно сходящегося входного участка £ =
= 0,05, коэффициент потерь в диффузоре = 0,25 и
коэффициент сопротивления трения в трубе К = 0,025.
В обоих случаях определить также давление в сечении
А—А и построить график напоров, откладывая напоры по
горизонтали от осевой линии (метод построения см.
в гл. IX).
Указание. Коэффициент сопротивления трубы 4* определяется
по формуле
где I — длина трубы.
Ответ. Расход через диффузор в 2,2 раза больше расхода через
трубу. Вакуум перед трубой равен 11 кПа, перед диффузором 81 кПа.
Задача VI-11. Бензин (относительная плотность 6 =
= 0,75) перетекает из открытого левого бака в закрытый
правый бак. Уровни жидкости в баках и вакуум в правом
139
баке поддерживаются постоянными и равными hx =
= 7 м, h2 = 3 м, V = 30 кПа.
Определить расходы бензина через цилиндрический
насадок диаметром d = 60 мм и через составной насадок,
полученный путем добавления к цилиндрическому насадку
конического диффузора с выходным диаметром D — 80 мм
и коэффициентом потерь = 0,3.
Для цилиндрического насадка принять коэффициент
расхода ц = 0,81 и коэффициент сжатия струи при входе
в насадок е = 0,62.
Для обоих случаев определить наименьшее абсолютное
давление в сжатом сечении внутри насадка и построить
пьезометрическую линию.
Давление насыщенных паров бензина рНгП = 15 кПа.
Атмосферное давление принять равным 100 кПа.
Ответ. В первом случае Q = 29 л/с и р = 44 кПа. Во втором слу-
чае будет иметь место кавитационный режим.
К задаче VI-11
Задача VI-12. В бак, разделенный на две секции пере-
городкой, имеющей отверстие диаметром d = 100 мм с ост-
рой кромкой, поступает вода в количестве Q = 80 л/с.
Из каждой секции вода вытекает через цилиндрический на-
садок, диаметр которого равен диаметру отверстия в пере-
городке.
Определить расход через каждый насадок при устано-
вившемся режиме, предполагая, что отверстие в перего-
родке является затопленным.
Значения коэффициента расхода отверстия р “ 0,6 и
насадков ц = 0,82.
Как надо изменить диаметр насадка в левой секции,
чтобы расходы через оба насадка стали равными?
Ответ. QAee = 50 л/с и Qnpae ~ 30 л/с; dAee ~ 77 мм.
140
Задача VI-13., Вода из верхней секции замкнутого
бака перетекает в нижнюю через отверстие dr = 30 мм,
а затем через цилиндрический насадок d2 = 20 мм выте-
кает в атмосферу.
Определить расход через насадок, если при установив-
шемся режиме показание манометра М = 50 кПа, а уровни
в водомерных стеклах /ц = 2 м и - 3 м.
Найти при этом избыточное давление рх над уровнем
воды в нижней секции бака.
Ответ. Q = 3,1 л/с; рх — 43 кПа.
К задаче VI-13
Задача VI-14. Газ, заполняющий вертикальную трубу,
вытекает в атмосферу через два насадка диаметром d =
= 10 мм, расположенные по высоте трубы на расстоянии
а = 100 м друг от друга. Коэффициент расхода насадков
(с учетом сопротивления подводящих горизонтальных
трубок) и = 0,95.
Определить массовый расход газа через каждый наса-
док, если показание спиртового манометра, присоединен-
ного к трубе у нижнего насадка, h = 200 мм (плотность
спирта рс/г = 800 кг/м3).
Давление атмосферного воздуха на уровне нижнего
насадка рат = 745 мм рт. ст., температура воздуха и газа
t = 20° С. Значения удельной газовой постоянной воз-
духа R = 287 Дж/(кг-К) и газа R = 530 Дж/(кг-К).
Скоростным напором и потерями в трубе пренебречь,
плотности воздуха и газа принимать постоянными по вы-
соте а.
141
Указание. Объемный расход газа через каждый насадок равен
Q = pFH ]A2gH,
где H =	---напор истечения газа (р — абсолютное
Peg Peg
давление газа в трубе; рат — атмосферное давление на
уровне оси насадка; ре— плотность газа).
Значения платности воздуха и газа определяются из уравнений
состояния:
— = RT,
P
где р — абсолютное давление;
R — удельная газовая постоянная иТ — абсолютная температура
в кельвинах (К)
Ответ. М1 = 0,0034 кг/с; М2 — 0,0039 кг/с.
Задача VI-15. Определить коэффициенты сжатия струи
при истечении из большого бака через внутренний цилин-
дрический насадок с тонкой стенкой, диаметр D которого
мал по сравнению с напором Я. Пренебрегать потерями
напора и считать, что по стенкам АВ и СЕ, вследствие их
удаленности от входа в насадок, давление распределяется
по гидростатическому закону.
Указание. Применяя теорему ко-
личества движения' в проекциях на
ось струи, получим:
pgH F отв =	= pv^fструи>
где в силу отсутствия потерь
ц = К 2gH.
Ответ.
fструи
F отв
8 =
Задача VI-16. Определить расход и диаметр струи при
истечении через малое отверстие диаметром D = 10 мм
с острой кромкой под напором Н = 1 м следующих жидко-
стей: воды (кинематическая вязкость v = 10"2 Ст), легкой
нефти (v = 25,6-10“2 Ст) и глицерина (v = 860-10"2 Ст).
При решении воспользоваться зависимостью коэффи-
циентов истечения от числа Рейнольдса, приведенной на
рис. VI-3.
Ответ. Вода: Q = 0,21 л/с; Dcmpyu = 8,1 мм; легкая нефть:
Q == 0,23 л/с; Dcmpyu = 8,85 мм; глицерин: Q = 0,20 л/с; Dcmpyu =
= 9,85 мм,
142
К задаче VI-16
К задаче VI-17
Задача VI-17. Бензин из топливного бака перетекает
в находящийся перед карбюратором бачэк постоянного
уровня через диафрагму с отверстием d0 = 2 мм.
Определить диаметр струи и расход бензина через
отверстие при напоре Н 0,4 м и при полностью открытом
отверстии, пользуясь для определения коэффициентов
истечения их зависимостью от Re, приведенной нарис.У1-3.
Кинематическая вязкость бензина v — 0,93-Ю"2 Ст.
Ответ. dcmpyu~ 1,72 мм; 5,7 см3/с.
Задача VI-18. Вода вытекает через большое прямо-
угольное отверстие высотой а = 0,6 м, заглубленное под
постоянный уровень на h = 0,4 м.
Определить, какую часть z высоты отверстия надо пе-
рекрыть щитом, чтобы расход уменьшился в 2 раза. Коэф-
фициент расхода при обоих положениях щита принимать
одинаковым.
Ответ. 0,33 м.
Задача VI-19. Определить скорость перехмещения
поршня гидротормоза диаметром D = 200 мм, нагружен-
ного силой Р = 120 кН, если перетекание жидкости из
нижней полости цилиндра в верхнюю происходит через
два отверстия в поршне, диаметр которых d = 10 мм.
Коэффициент расхода отверстий принять р = 0,6,
плотность жидкости р = 865 кг/м3.
Коэффициент трения в манжете поршня шириной
b = 25 мм равен f = 0,15.
Ответ, v — 0,27 м/с.
143
р
К задаче VI-18 К задаче VI-19
К задаче VI-20 
Задача VI-20. Определить расход воды в лотке при
истечении из-под щита, если напор перед щитом Н — 4 м,
подъем щита а = 0,8 м, ширина лотка b = 2,4 м, отвер-
стие не затоплено и боковое сжатие отсутствует.
В сжатом сечении п—п (где давление распределено по
гидростатическому закону) коэффициент сжатия равен
8 = 0,67 и коэффициент скорости ср = 0,97.
Скоростью подхода к щиту пренебречь.
Указание. Расход определяется по формуле
Q = uab (Н ~~ h) ,
где h — высота сжатого сечения п — п9 равная h = га.
Ответ. Q = 10,3 м3/с.
Задача VI-21. Вода вытекает из бака через прямоуголь-
ный водослив с тонкой стенкой, который используется как
измеритель расхода. Перед водосливом установлена успо-
коительная решетка из перфорированного листа, общая
площадь сверлений в котором равна F — 0,25 м2. Сверле-
ния можно рассматривать как независимо работающие
отверстия с острой кромкой, истечение через которые
происходит под уровень (|i — 0,6).
Определить расход воды через водослив, если уровень
перед успокоительной решеткой выше порога водослива
на а = 400 м. Шйрина водослива b — 0,8 м (боковое сжа-
тие отсутствует), его коэффициент расхода принять т ~
“ 0,42. Каков при этом перепад h на решетке?
144
Указание. Приравнивая расходы через решетку и водослив, полу-
чаем	_________
р/7 к2gh = mb(a-—h)V~2g (а — h) .
Ответ. Q= 0,225 м3/с; h ~ 115 мм.
Задача VI-22. В канале, пропускающем расход Q =
= 21 600 м3/ч, установлен прямоугольный водослив с тон-
кой стенкой без бокового сжатия. Высота порога водо-
слива над дном канала равна Р — 2 м.
Найти ширину водослива В из условия, чтобы напор на
водосливе не превосходил Н = 500 мм.
При каком расходе в канале напор на этом водосливе
станет равным Н = 50 мм?
Для определения коэффициента расхода водослива вос-
пользоваться формулой (VI-19).
Ответ. В = 9,16 м; Q = 0,208 м3/с.
Задача VI-23. Вертикальный треугольный водослив
с тонкой стенкой и углом при вершине а = 90° пропускает
расход воды Q — 50 л/с при коэффициенте расхода т =
- 0,32.
Определить:
1. Какова величина напора Н на водосливе.
2. Как изменится напор, если расход уменьшится
в 10 раз (коэффициент расхода считать неизменным).
Ответ. Н — 0,262 и 0,104 м.
К задаче VI-23
145
Задача VI-24 • Определить расход через вертикальный
полукруглый водослив, радиус которого = 0,5 м, при
напоре Нх « 0,5 м, рассматривая водослив как большое
отверстие с коэффициентом расхода р, = 0,60.
Во сколько раз уменьшится расход через водослив,
если напор Н уменьшится вдвое (коэффициент расхода
считать неизменным)?
Ответ. Q = 0,48 м3/с; расход уменьшится в 3,65 раза.
Задача VI-25. Для поддержания практически постоян-
ного расхода через сопло диаметром d = 120 мм при коле-
баниях подачи воды в бак, к последнему присоединен
прямоугольный водослив	А
с тонкой стенкой. Порог	zfe-r
водослива расположен вы-
ше кромки сопла на Н = 3 м, ширина водослива
В = 0,7 м, боковое сжатие отсутствует.
Определить:-
1. Подачу в бак Q и расход через сопло Qx, если напор
на водосливе h = 100 мм; коэффициенты расхода сопла
р — 0,97 и водослива т = 0,43.
2. При какой подаче в бак истечение через водослив
прекратится.
Ответ. 1) Q—0,128 м3/с;	= 0,086 м3/с.
2) Q = 0,084 м3/с.
146
Задача V1-26. Для ограничения величины вакуума
в сифонном трубопроводе на его нисходящей ветви уста-
новлен гидравлический затвор в виде прямоугольного во-
дослива с тонкой стенкой. Диаметр трубопровода D =
= 200 мм, его верхняя точка А расположена выше уровня,
под который сливается вода, на Н = Юм.
Определить, на какой высоте гот нижнего уровня следует
поместить порог водослива, чтобы при расходе Q = 80 л/с
вакуумметрическая высота в точке А не превосходила 6 м.
Длина участка трубопровода от точки А до затвора L —
Задача VI-27. Сравнить К задачам VI-27 и V1-28
расходы жидкости через
отверстие с острой кромкой, внешний цилиндрический
насадок и коноидальный насадок (сопло) одинакового диа-
метра d = 10 мм при одинаковом напоре истечения Н =
= 5 м и двух значениях кинематической вязкости жидко-
сти v = 1 и 1000 сСт.
Воспользоваться приведенными кривыми зависимости
коэффициента расхода отверстия, насадка и сопла от числа
Рейнольдса
Re = ±!^.
Ответ. Отверстие.
Q = 0,47 и 0,51 л/с.
Цилиндрический насадок:
Q = 0,63 и 0,27 л/с.
Сопло:
Q = 0,75 и 0,53 л/с.
Задача VI-28. Через отверстие в боковой стенке резер-
вуара необходимо пропускать расход нефтепродукта Q =
= 0,25 л/с при напоре истечения, равном Н = 1,2 м.
Кинематическая вязкость нефтепродукта v = 5 Ст.
147
Определить, какой тип отверстия предпочтительнее
(отверстие с острой кромкой или внешний цилиндрический
насадок) и каков должен быть его диаметр.
Воспользоваться приведенными зависимостями коэф-
фициента расхода отверстий различного типа от числа
Рейнольдса.
Указание. Задачу решить графически, построив зависимость
расхода, пропускаемого отверстием при заданном напоре, от его диа-
метра.
Ответ. Отверстие с острой кромкой, d = 10 мм.
ГЛАВА VII
МЕСТНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ.
ПРИБОРЫ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ РАСХОДА
И СКОРОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ СИСТЕМ
ГИДРО АВТОМАТИКИ
ВВЕДЕНИЕ
Местными сопротивлениями называют короткие участки
трубопроводов, на которых происходят изменения вели-
чины или направления скоростей потока из-за изменения
конфигурации твердых границ.
Потери энергии в местных сопротивлениях, отнесенные
к единице веса потока жидкости, называются местными
потерями напора и подсчитываются по общей формуле
=	(VII-1)
где v — средняя скорость потока (обычно —в сечении
трубопровода перед местным сопротивлением или
после него);
£ — безразмерный коэффициент местного сопротивле-
ния.
Величина £ вообще зависит от формы местного сопротив-
ления, шероховатости его стенок, условий входа и выхода
из него жидкости и основного критерия динамического
подобия напорных потоков — числа Рейнольдса.
Число Рейнольдса обычно относят к сечению трубо-
провода, на котором находится местное сопротивление:
Re=^_
v nDv
148
где v и Q — средняя скорость потока и расход в трубе;
D — диаметр трубы;
v — кинематическая вязкость жидкости.
Для большинства местных сопротивлений в трубопро-
водах при числах Рейнольдса Re 10б имеет место турбу-
лентная автомодельность — потери напора пропорцио-
нальны квадрату скорости и коэффициент сопротивления
не зависит от Re (квадратичная зона сопротивления).
В тех местных сопротивлениях, где основной является
вихревая потеря напора (напр., резкое изменение сечения
трубопровода, диафрагмы и др.), автомодельность уста-
навливается при значительно меньших числах Рейнольдса
(Re 1G4).
Сводка значений £ в указанном диапазоне Re для ряда
местных сопротивлений дана в приложении 3 *.
В случае внезапного расширения трубопровода мест-
ная потеря напора при больших числах Рейнольдса выра-
жается формулой
hn.u = ^^,	(VII-2)
в соответствии с которой коэффициент местного сопротив-
ления, отнесенный к скорости v±, равен:
с=(1__Ц_у.	(VII-3)
В формулах (VII-2) и (VII-3) vr и и2 —средние скоро-
сти в узком (входном) и широком (выходном) сечениях
потока; Fx и F2 — площади этих сечений.
При постепенном расширении потока в диффузоре
=	=	(VII-4)
где фа — безразмерный коэффициент потерь, выражаю-
щий потерю в диффузоре в долях от потери при
внезапном расширении.
Для конических диффузоров коэффициент потерь ф^
зависит главным образом от угла раскрытия конуса 9 и
мало меняется с длиной диффузора (средние значения ф^
в функции 9 см. в приложении 3).
* Подробные данные по местным сопротивлениям см.
И. Е. И д е л ь ч и к. Справочник по гидравлическим сопротивлениям.
Госэнергоиздат, 1960.
149
В случае внезапного сужения трубопровода местная
потеря напора равна:
/	Р \
А„.Л = 0,5(1(VII-5)
\	Г1 /
где Fi и f 2 — площади широкого (входного) и узкого
(выходного) сечений;
и2 — выходная скорость.
Величина коэффициента сопротивления входа в трубу
из большого резервуара зависит от формы входной кромки
(см. приложение 3). В случае острой входной кромки при
больших числах Рейнольдса можно принимать ^х = 0,5.
При выходе потока из трубы в резервуар потеря напора
и коэффициент сопротивления выхода равны:
^п. м & ~ 2g ’ ~ebtx ~
где v — средняя скорость в выходном сечении трубы;
а — коэффициент кинетической энергии. При турбу-
лентном режиме а 1 и £вых 1.
При последовательном расположении в трубопроводе
различных местных сопротивлений общая потеря напора
определяется как сумма потерь в отдельных сопротивле-
Рис. VII-1
ниях, вычисляемых по ука-
занным выше значениям £,
если между этими местными
сопротивлениями имеются
участки трубопровода длиной
не менее пяти-шести диамет-
ров. На этих участках поток,
вышедший из одного местно-
го сопротивления, стабили-
зируется до входа в следую-
щее сопротивление. При бо-
лее близком расположении
местных сопротивлений необ-
ходимо учитывать их взаим-
ное влияние.
В приводимых ниже задачах предполагается, что мест-
ные сопротивления достаточно удалены друг от друга и их
взаимное влияние отсутствует.
Для расходомеров, основанных на создании пере-
пада давлений в потоке различными сужающими устрой-
ствами (труба Вентури, сопло и диафрагма — см.
150
рис. VII-1, VII-2 и VII-3), расход определяется по общей
формуле

(VII-6)
в которой ДЯ — падение гидростатического напора (пье-
зометрического уровня) на’участке меж-
ду входным и суженным сечениями по-
тока в расходомере;
nd1 2
ро	'— наименьшая проходная площадь расхо-
домера;
р, — коэффициент расхода.
Рис. VII-2
Величина р определяется опытным путем и зависит от
конструктивных форм расходомера, отношения площадей
F0IF1(^F1^-^------проходная площадь трубопровода^ и
расположения мерных точек, а также от числа Рейнольдса
Re = 4Q/jxDv Ч Зона турбулентной автомодельности по
коэффициенту расхода для этих расходомеров имеет место
в зависимости от d/D при Re > 105 — 106.
Потери напора в расходомерах вычисляются по общему
выражению (VII-1), где v — средняя скорость в трубо-
проводе и £ — суммарный коэффициент сопротивления
расходомера, также определяемый опытным путем.
Значения коэффициента расхода р и коэффициента со-
противления £ расходомеров в зоне турбулентной автомо-
дельности могут приближенно определяться и расчетным
путем. В качестве примера получим общие выражения р
и £ для диафрагмы (рис. VI1-3).
1 Значения коэффициента расхода нормальных расходомеров —
см, «Правила 28—64» для .измерения расхода.
151
Для коэффициента расхода можно воспользоваться
формулой (VI-14) гл. VI, определяющей расход при истече-
нии через отверстие из резервуара ограниченной площади;
из нее непосредственно получаем:
г — - г---------т—f—ст ’	'	'
]А + Ь-<-,(^)
где 8 — коэффициент сжатия струи, зависящий от
соотношения площадей трубы F1 =
л/?2	1	r jrd2
= - - j— и отверстия диафрагмы Fo = —;
— коэффициент сопротивления отверстия
диафрагмы;
04 и а2 — значения коэффициента кинетической энер-
гии в сечении 1 перед входом в диа-
фрагму и в сжатом сечении струи 2. (Для
больших значений Re можно принимать
(Xi — <х2	1)«
При 8 = 1 формула дает выражение коэффициента
расхода трубы Вентури и сопла (рис. VII-1 и VI1-2).
Приближенность формулы для р обусловлена неточ-;
ностями расчетных значений входящих в нее коэффициен-
тов, а также тем, что отбор давлений у сужающего устрой-
ства часто берется не в расчетных сечениях потока (/) и (2),
а в углах, образуемых сужающим устройством со стенками
трубы (угловой отбор давлений в нормальных расходоме-
рах).
Коэффициент сопротивления можно найти, рассматри-
вая потерю напора в диафрагме как сумму потерь на уча-
стках между сечениями 1—2 и 2—3:
r __ r jli	—^i)2
2g - 2g	2g ’
Применяя уравнение расхода
u1F1 = yaeF0; v2 = vlt
получим
^(-Д-У+Gk-1)2-	<™-»>
152
При 8 = 1 это выражение дает коэффициент сопротив-
ления мерного сопла. Для трубы Вентури аналогичный
расчет дает (см. также введение к гл. VI)
?=ь(4)2+Ц4-1)!. (vim)
3.	Рассмотрим в качестве примера расчета схему тру-
бопровода с местными сопротивлениями, в которой жид-
кость плотностью р перетекает по трубопроводу диаметром
D из бака А в бак В с постоянной разностью уровней h
под избыточным давлением рх в баке А (рис. VI1-4).
На трубопроводе установлены расходомер Вентури
с диаметром узкого сечения d и задвижка.
Заданы (в предположении, что имеет место квадратич-
ная зона сопротивления и безразмерные характеристики
потока не зависят от числа Рейнольдса) коэффициент рас-
хода ц и коэффициент сопротивления расходомера Вен-
тури, а также коэффициент сопротивления £3 задвижки.
Определим расход Q в трубопроводе и давление рх в баке
Д, считая известным показание hpm ртутного дифферен-
циального манометра, присоединенного к трубе Вен-
тури.
Расход в трубопроводе' по показанию дифференциаль-
ного манометра на трубе Вентури равен согласно формуле
(VII-6)
153
где перепад пьезометрических уровней (в данном случае
горизонтальной трубы — перепад давлений, выраженный
в метрах столба протекающей жидкости) равен:
дя=^~
г
Для определения давления рх воспользуемся уравне-
нием Бернулли, записанным для сечений потока на свобод-
ных поверхностях в баках:
1 РЛ ! „ VA 	( РВ । „ VB ( V А
где hn — сумма потерь напора между этими сечениями.
Так как скоростные напоры в баках пренебрежимо
малы (v2A/2g	0 и v2B/2g 0), получаем общее соотноше-
ние
выражающее, что разность Н гидростатических напоров
(пьезометрических уровней) в баках целиком затрачивается
на преодоление гидравлических сопротивлений, возникаю-
щих при перетекании жидкости по трубопроводу.
В нашем случае zB — zA = h и избыточное давление
рв = 0; следовательно:
pg
Пренебрегая потерями трения по длине трубопровода
(который предполагается коротким), определим местные
потери: вход в трубопровод hn.ex = t>exv2J2g‘, расходомер
Вентури hntp = Zpv2l2g\ задвижка hn.3 =	выход
из трубопровода hntBblx = v2/2gt где средняя скорость
в трубопроводе
Таким образом, искомое давление
^pg~ ^ex +
4.	В ряде случаев (трубы малых диаметров и жидко-
сти большой вязкости) оказывается практически важным
учет влияния числа Рейнольдса на величины коэффициен-
154
тов местных сопротивлений. При очень малых значениях
Re (примерно Re 10) существует зона ламинарной авто-
модельности, в которой местные потери напора пропор-
циональны скорости потока и коэффициент местного со-
противления выражается формулой
г = —
Re ’
где множитель пропорциональности А определяется фор-
мой местного сопротивления.
Большим значениям числа Рейнольдса (Re 104-И05)
отвечает зона турбулентной автомодельности, в жоторой
закон сопротивления является квадратичным и
£ = const.
Переход от первой автомодельной зоны к второй имеет
сложный характер и обладает индивидуальными особен-
ностями в местных сопротивлениях различного типа.
Для большинства местных сопротивлений оценку ве-
личины Z в переходной зоне можно сделать по формуле
А. Д. Альтшуля:
где ZKe — значение коэффициента местного сопротивле-
ния в квадратичной зоне.
Задачи
Задача VII-1. Вода перетекает из левого бака в пра-
вый по трубопроводу, диаметры которого = 100 мм
и d2 = 60 мм.
Определить, пренебрегая потерями трения по длине,
расход в трубопроводе при располагаемом напоре Н = 3 м
и коэффициенте сопротивления вентиля £ = 5.
Построить график напоров.
При каком значении £ расход уменьшится в два раза?
Ответ. Q = 8,6 л/с; £ = 24,2.
Задача VI1-2. Из бака А, в котором поддерживается
постоянный уровень, вода перетекает по цилиндрическому
насадку диаметром dt = 20 мм в бак В, из которого сли-
вается в атмосферу по короткой трубке диаметром d2 =
= 25 мм. Напор Н = 900 мм, а ось насадка размещена
на глубине h = 400 мм под уровнем воды в баке А.
155
Найти зависимость расхода воды, перетекающей из
бака А в бак В, от коэффициента сопротивления £ крана,
установленного на трубке.
Определить наименьшее значение £, начиная с которого
дальнейшее увеличение открытия крана (т. е. уменьше-
ние £) не будет давать увеличения расхода.
Потери на трение в трубке не учитывать.
Задача VI1-3. Из верхней секции бака при постоянном
уровне а = 1,5 м и показании манометра М = 30 кПа
вода перетекает в нижнюю секцию через 50 отверстий диа-
метром d0 = Ю мм каждое (коэффициент расхода р, = 0,6).
Из нижней секции вода выливается в атмосферу через
короткую трубу, снабженную вентилем.
К задаче VII-3
К задаче VI1-4
156
Определить подачу воды Q в верхнюю секцию, если
показание дифференциального ртутного манометра, из-
меряющего разность давлений воздуха над уровнями воды
в секциях, равно h = ПО мм.
Определить диаметр d сливной трубы из условия,
чтобы при открытом вентиле с коэффициентом сопротив-
ления £ = 4 уровень воды в нижней секции установился
на высоте b 2,5 м.
Ответ. Q = 18,6 л/с; d = 79 мм.
Задача VI1-4. Заполнение бака бензином происходи!
через воронку диаметром d2 = 50 мм, высотой h = 400 мм
с коэффициентом сопротивления £ = 0,25. В воронку бен-
зин заливается из резервуара с постоянным уровнем по
короткой трубе диаметром d1 = 30 мм с краном и уголь-
ником, коэффициенты сопротивления которых соответ-
ственно равны £ = 8,5 и 0,8.
Определить, какой наибольший напор Н можно иметь
в резервуаре, чтобы воронка не переполнялась, и каков
при этом расход бензина, поступающего в бак.
Потери на трение по длине трубы не учитывать.
Ответ. Н = 26,6 м; Q = 4,9 л/с.
Задача VII-5. По короткому трубопроводу, участки
которого имеют диаметры d± = 70 и d2 = 100 мм, вода
перетекает из закрытого бака с избыточным давлением
воздуха М = 195 кПа в открытый бак при постоянной
разности уровней Яо = 5 м. Ось трубопровода заглублена
под уровень воды в правом баке на h = 2 м.
Определить расход (пренебрегая потерями на трение
по длине) для случая, когда задвижка полностью открыта
и ее коэффициент сопротивления £ — 0, и для случая,
когда она открыта на 0,25 ее
хода и £ - 16. Для рассмо-
тренных выше двух случаев
построить линии напора и пье- ------------“7 1 .	‘ Г
зометрические линии.
При построении пьезомет-	j® ltz:
рической линии найти давле-	—4
ние в сжатом сечении после	'
задвижки, если при указанном |	|
ее неполном открытии про-
ходная площадь задвижки со- К задаче VII-5
157
ставляет 0,32 от площади трубы, а коэффициент сжатия
в сечении потока после задвижки в = 0,65.
Указание. При подсчете давления учитывать, что после сжатого
сечения за задвижкой происходит потеря на внезапное расширение»
определяемая формулой (VI1-2).
Ответ. Q = 66 и 30 л/с.
Задача VI1-6. Вода вытекает в атмосферу по корот-
кому горизонтальному трубопроводу, на котором, уста-
новлен вентиль, под постоянным напором Н = 16 м. Диа-
метры участков трубопровода равны d1 = 50hJ2 = 70 мм.
Коэффициент сопротивления вентиля £ = 4.
Определить расход в трубе, учитывая только местные
потери напора.
Построить линию полного напора и пьезометрическую
линию.
К задаче VII-7
Задача VI1-7. В экспериментальной установке изу-
чается истечение воды через круглое отверстие с острой
кромкой диаметром d0 = 50 мм, выполненное в торцовой
стенке горизонтального бака диаметром D = 200 мм. Бак
снабжен двумя успокоителями из перфорированного листа.
Сверления в каждом листе имеют суммарную площадь,
равную х/5 площади сечения бака, и могут рассматриваться
как независимо работающие отверстия с острой кромкой,
истечение через которые происходит под уровень. Вода
подается в бак из резервуара по короткой подводящей
трубе диаметром d = 50 мм, снабженной вентилем, ко-
эффициент сопротивления которого £ = 4,6.
Определить скорость истечения и расход через отвер-
стие при показании манометра на резервуаре М =
= 0,15 МПа и уровне h = 1 м, принимая для отверстия
в баке и сверлений в сетках коэффициент сопротивления
£ — 0,06 и коэффициент сжатия струи 8 = 0,62.
158
Указание. Потеря напора на сетке состоит из потери на острой
кромке £^/2g и потери расширения потока за сеткой (ус — Ve)2/2g,
где vc — скорость струи в сжатом сечении за сеткой, a v$ — скорость
в баке.
Ответ, v0 = 9,5 м/с; Q = 11,5 л/с.
Задача VI1-8. Вода вытекает в атмосферу по короткой
трубе квадратного сечения со стороной а ~ 200 мм при
постоянном напоре 'Н = 10 м. х
Определить расход по трубе и вакуум в сжатом сече-
нии п—п в зависимости от степени открытия h/a задвижки.
Подсчеты провести для двух значений h/a, используя
соответствующие им значения коэффициента сопротив-
ления £ задвижки и сжатия струи 8 в сечении п—п:
h/a = 0,8 и
£ = 0,39 »
Коэффициент сопротивления входа в трубу принять
£вх ~ 0,5, потери трения по длине трубы не учитывать.
В обоих случаях построить графики напоров.
Указание. При определении вакуума в сечении п—п считать,
что расширение потока после этого сечения приводит к потере напора,
определяемой формулой (VII—2).
Ответ, h/a = 0,8 и 0,1 a:Q = 406 и 40 л/с; рв — 58 и 14 кПа.
Задача VI1-9. Трубопровод диаметром D = 160 мм,
из которого вода вытекает в атмосферу, оканчивается на-
садком, который состоит из конуса и короткого цилиндри-
ческого участка диаметром d = 80 мм. Коэффициент со-
противления конуса, отнесенный к скорости в сжатом се-
чении п—п, равен £ = 0,1; коэффициент сжатия струи
в этом сечении е = 0,8.
159
Найти предельное избыточное давление р перед насад-
ком, при котором он перестанет работать сплошным выход-
ным сечением, считая, что вакуумметрическая высота в се-
чении п—п насадка на срывном режиме достигает 10 м.
При этом предельном давлении найти расход через
насадок и построить график напоров по его длине.
Ответ, р = 227 кПа; Q — 100 л/с.
Задача VI1-10. В трубопроводе диаметром Ь = 50 мм,
подающем воду в открытый бак с постоянным уровнем
Н = 1,5 м, установлена труба Вентури с горловиной диа-
метром d — 25 мм. Коэффициент сопротивления сходя-
щегося участка расходомера £ = 0,06, коэффициент по-
терь в его диффузоре ср,? = 0,2.
К задаче VI1-10
К задаче VII-11
Определить:
1. Какой наибольший расход можно подавать в бак
до появления кавитации в расходомере, если давление на-
сыщенных паров воды рН'П = 20 кПа (/ = 60° С).
2. Каково будет при этом расходе показание h ртут-
ного дифференциального манометра.
Атмосферное давление принять равным 98 кПа.
Ответ. 1) Q = 7,3 л/с; 2) h = 910 мм.
Задача VII-11. По трубопроводу диаметром dt = 50 мм,
в котором установлена труба Вентури с горловиной d2 =
= 25 мм, вода сливается под постоянный уровень, рас-
положенный ниже оси расходомера на h = 2 м. Коэффи-
циент потерь в диффузоре расходомера = 0,25 и коэф-
фициент сопротивления угольника с =1.
Определить, пренебрегая потерями на трение по длине:
1. Какой наибольший расход воды можно пропускать
по трубопроводу при полностью открытом вентиле (£ = 7),
160
чтобы вакуумметрическая высота в горловине расходо-
мера не превышала 6 м.
2. Каким должен быть коэффициент сопротивления
вентиля, чтобы при найденном выше расходе абсолютное
давление в горловине расходомера равнялось атмосфер-
ному.
Ответ. Q = 8 л/с; 2)	14.
Задача VII-12. Определить отношение диаметров Did.
при котором в случае внезапного расширения трубы будет
иметь место наибольшая разность показаний пьезоме-
тров АЛ для любого заданного расхода.
Ответ.	Dld~ К" 2.
К задаче VII-12
К задаче VII-13
Задача VI1-13. Труба диаметром D = 40 мм имеет
на конце сходящийся насадок с горловиной d = 20 мм
(коэффициент сопротивления £ = 0,08), переходящий
в диффузор (коэффициент потерь = 0,3), из которого
вода вытекает в атмосферу.
Какой расход надо пропускать по трубе и какое при
этом будет избыточное давление р перед насадком, чтобы
в горловину начала поступать вода, подсасываемая на
высоту h ~ 2 м из открытого сосуда?
Построить график напоров при этом расходе.
Ответ. Q = 2,25 л/с; р ~ 6,5 кПа.
Задача VI1-14. Из бака с постоянным уровнем при
показании манометра М = 175 кПа вода вытекает в атмо-
сферу через сходящийся насадок диаметром d = 25 мм,
присоединенный к вертикальной трубе диаметром Q =
50 мм и длиной L = 3 м. Труба опущена под уровень
на й 0,5 м и снабжена прямоточным вентилем.
6 Д. А. Бутаев и др.	161
Определить теоретическую высоту фонтана при пол-
ностью открытом вентиле (£в = 0,6), принимая коэффи-
циент сопротивления трения в трубе К = 0,03, коэффи-
циенты сопротивления входа в трубу tex = 0,5 и насадка
= 0,06.
Построить график напоров по высоте трубы.
Ответ. г = 12,5 м.
Задача VI1-15. В отсасывающей трубе водяной тур-
бины, выполненной в виде конического диффузора с вход-
ным диаметром D = 0,5 м и
углом раскрытия 0 = 16°, рас-
ход воды равен Q = 1 м3/с.
К задаче V1I-14
К задаче VII-15
Определить:
1. Вакуум во входном сечении, которое расположено
над уровнем воды на высоте Н == 1,6 м, если выходное
сечение трубы заглублено под уровень на h = 0,4 м, а ко-
эффициент потерь в диффузоре ср^ = 0,3.
2. Каким станет вакуум во входно^ сечении, если диф-
фузор заменить цилиндрической трубой диаметром D
(штрих-пунктир) с коэффициентом сопротивления тре-
ния X = 0,03.
В обоих случаях построить пьезометрические линии по
высоте трубы.
Ответ. — 26 и 14 кПа.
Задача VII-16. Водоспуск плотины состоит из плавно
скругленного входного участка с коэффициентом сопро-
тивления £ = 0,05, короткой цилиндрической горловины
диаметром d = 0,6 м с размещенным в ней дисковым за-
162
твором, коэффициент сопротивления которого при полном
открытии С = 0,1, и конического раструба длиной I =
== 4 м с выходным диаметром D = 1,0 м и коэффициентом
потерь фа = 0,2.
Определить:
1. Расход через водоспуск при напоре Н = 5 м и тре-
буемое затопление h его оси под низовой уровень, чтобы
вакуумметрическая высота на входе в диффузор не пре-
восходила 6 м.
К задаче VII-17
2. Как изменится расход, если вместо раструба будет
выполнена цилиндрическая труба диаметром d с коэффи-
циентом сопротивления трения X = 0,025.
Для обоих случаев построить графики напоров по длине
водоспуска.
Ответ. 1) Q = 4,65 м3/с; h = 5 м; 2) расход уменьшится в 1,9раза.
Задача VI1-17. Для увеличения пропускной способ-
ности короткой трубы длиной I = 800 мм и диаметром
d = 80 мм, работающей под постоянным напором Н =
= 10 м, к ней присоединен конический диффузор с углом
раскрытия 0 = 16° и коэффициентом потерь ф^ = 0,3.
Определить выходной диаметр* диффузора D и соот-
ветствующую ему длину L, при которых расход воды по
трубе будет наибольшим. Во сколько раз присоединение
такого диффузора увеличит расход по трубе?
Коэффициент сопротивления трения в трубе принять
X = 0,03. Построить пьезометрическую линию для этой
системы при заданном заглублении оси трубы под нижний
уровень, равном h ~ 3 м.
163
Указание. См. пример во введении гл. VI
Ответ.
D — d'\/'-~+<Рз = 166 мм-, -О*-
1,32.
Задача VII-18. Вода перетекает из одного открытого
резервуара в другой под постоянным напором Н по гори-
зонтальному коническому диффузору с диаметром входа
d = 200 мм и длиной L = 1200 мм.
Пренебрегая сопротивлением входа в диффузор, опре-
делить величину выходного диаметра D, при которой
К задаче VII-18
К задаче VII-19
Коэффициент потерь в диффузоре задан таблично в за-
висимости от угла раскрытия 0:
е°..................... 8	10	12	14	16
<рд.................... 0,15	0,175	0,20	0,25	0,30
Определить также, при каком наибольше^м напоре Н
может работать такой диффузор, если он заглублен под
уровень на h = 2 м, а вакуумметрическая высота в его
входном сечении не должна превышать 8 м.
Построить для этого случая график напоров.
Указание. Задавая ряд значений 0 и вычисляя выходной диа-
метр D диффузора при заданной его длине, провести численное иссле-
дование на максимум величины расхода при заданном напоре Н, ис-
пользуя для подсчета потерь в диффузоре формулу (VI1-4).
Ответ. D = 410 мм; //щах = 1,9 м.
Задача VI1-19., Для увеличения диаметра трубопровода
с Dr = 150 мм до D 2 = 300 мм конструктивно задан огра-
ниченный переходный участок, длина которого L =
== 200 мм.
164
Определить:
1. Оптимальный угол 0 раскрытия диффузора, при ко-
тором суммарные потери расширения потока в трубопро-
воде будут наименьшими, пользуясь для определения по-
тери расширения в диффузоре графиком зависимости
коэффициента потери расширения <рр от угла 0.
2. Во сколько раз такой оптимальный ступенчатый
диффузор снизит потери по сравнению с внезапным рас-
ширением трубопровода.
Указание. Суммарная потеря расширения равна:
.	(а — vx)2 , (vx т- v2)'2
где t’i и v2 — скорости в узком и широком сечениях трубопровода;
vx — скорость в выходном- сечении диффузора.
Задача решается численным исследованием на минимум величины hn
в зависимости от угла 0 при заданной длине диффузора.
Ответ, В опт = 17°; потеря уменьшится в 4,1 раза.
Задача VI1-20. Трубка Вентури, установленная на
самолете, должна отсасывать воздух из камеры гироскопа,
приводя последний во вра-
щение.
Оп р едел ить соотноше-
ние выходного диаметра
d2 и диаметра горловины
трубки di, при котором
вакуум в горловине будет
максимальным.
0т гироскопа
Коэффициент сопроти-	к задаче VI1-20
вления сходящегося вход-
ного участка трубки £ = 0,04, коэффициент потерь в диф-
фузоре = 0,2. Сжимаемостью воздуха пренебречь.
Указание. Вакуум в сечении 1 определяется из уравнения Бер-
нулли для движения атмосферного воздуха относительно трубки:
2	2
—___L л ।
р “ 2	2
где и0 — скорость самолета.
Так как на выходе из трубки (сечение 2) давление равно атмосфер-
ному, имеем
2	® 2	2	‘ 2 ’
Ответ. ~~
d.
vo
==2,45; максимальный вакуум pgi = 4p-~-.
165
Задача VI1-21. Для заполнения Нодой паровозного
тендера на ходу поезда, в специально устроенный между
рельсами лоток с водой опускается труба приемного
устройства диаметром D = 200 мм так, что входное сече-
ние трубы располагается навстречу потоку.
Суммарный коэффициент потерь в приемном устройстве,
отнесенный к средней скоро-	п
сти в трубе, равен £ = 2, а вы-
сота подъема воды h — З м.
К задаче VII-21

Определить:
1. Время, необходимое для заполнения тендера ем-
костью W = 10 м3 при скорости поезда v = 36 км/ч.
2. При какой наименьшей скорости поезда это прием-
ное устройство перестанет работать.
Указание. Из уравнения Бернулли для относительного движения
в трубе имеем
£)2
где w — скорость в трубе.
Ответ. / = 86 с; ymin = 27,5 км/ч.
Задача V1I-22. Определить расход воды через лаби-
ринтное уплотнение гидротурбины, расположенное на диа-
метре/) = 2 м и работающее под перепадом давлений рх—
— р2 = 0,3 МПа, если величина радиального зазора b =
= 2 мм и длина каждой щели I = 40 мм.
Для каждой щели учитывать потери: при входе (£ =
= 0,5), при выходе (£ = 1) и на трение (С = М12Ь, где
коэффициент сопротивления трения принять X = 0,04).
Как изменится расход, если выполнить уплотнение без
канавок в виде щели длиной L = 5/?
Ответ. Q = 129 и 165 л/с.
166
Задача VI1-23. Из водогрейного котла отводится
постоянный расход воды Q = 35 л/с при уровне в котле
Нъ = 1 м и уровне в питательном баке = 3 м.
Для поддержания практически постоянного уровня
в котле при значительных колебаниях уровня в питатель-
ном баке на соединяющем их трубопроводе диаметром D —
— 100 мм установлена задвижка, управляемая поплавком
через равноплечий рычаг.
Определить, как изменится уровень Я2 при том же
расходе Q, если уровень Нг поднимется на 2 м.
К задаче VI1-23
Указание. Предварительно по заданным напорам Нх и Н2 и рас-
ходу в трубопроводе определяется коэффициент сопротивления за-
движки дающий ее начальное открытие So в соответствии с приведен-
ным графиком £ в функции, S/D.
Затем при новом напоре Нх графически определяется такое повы-
шение уровня в котле ДЯ, при котором разность уровней в баке и котле
и потерянный в трубопроводе напор (при новом открытии задвижки
S = So — ДЯ) будут равны между собой. В трубопроводе учитывать
только местные потери.
Ответ. ДЯ = 23 мм.
Задача Vi 1-24. Для измерения расхода воды в трубо-
проводе на стыке двух его участков диаметрами = 50
и D2 = 80 мм установлена диафрагма диаметром d “
= 40 мм.
1.	Определить расход, если известна разность пока-
заний пьезометров Д/f = 1,5 м.
2.	Получить выражение коэффициента сопротивления
расходомера (отнесенного к средней скорости в сечении 2)
и вычислить местную потерю напора при найденном рас-
ходе.
167
3.	Определить абсолютное давление в сечении /, при
котором в расходомере возникает кавитация (упругостью
паров воды пренебречь).
Коэффициент сопротивления отверстия диафрагмы при-
нять Zo = 0,04; коэффициент сжатия струи определить
по формуле (VI-12).
Построить график напоров.
Ответ. Q — 6 л/с; £ = 18,2; hn~ 1,3 м; р± — 15 кПа.
Задача VI1-25. Литниковая система земляной формы,
состоящая из чаши, цилиндрического стояка, прямоуголь-
ного литникового хода (равной со стояком площади F)
и питателя выходной площади /, должна при работе под
напором Н — 500 мм подавать в форму массовый расход
чугуна М = 11,5 кг/с (плотность р = 6,8 г/см3).
Определить:
1. Диаметр стояка D и выходную площадь питателя f
так, чтобы в верхнем сечении стояка (расположенном под
уровнем чугуна в чаше на h = 100 мм) давление равнялось
атмосферному и тем самым была исключена возможность
засасывания газов в форму, возникающего при наличии
вакуума в стояке из-за газопроницаемости земляной
формы. Учитывать только местные потери напора (коэф-
фициенты сопротивления плавно скругленного входа
в стояк £вх = 0,06, колена tK = 1,3 и питателя tn =
= 0,1).
2. Как изменятся результаты, если кромка входа
в стояк не будет закруглена (учитывать сжатие струи,
принимая коэффициент сжатия е = 0,64).
Давление на выходе из питателя равно атмосферному.
Ответ. D = 40 мм и f = 6,6 см2; D = 50 мм и f = 6,1 см2.
168
Задача VI1-26. Водоструйный насос, получая рабочую
воду под давлением из резервуара А, подсасывает из ре-
зервуара В воду на высоту Н± = 4 м и нагнетает ее в ре-
зервуар С на высоту Н2 = 2 м. Выходной диаметр сопла,
из которого вытекает под давлением вода, d± = 20 мм,
диаметр цилиндрической смесительной камеры d2 =
= 40 мм, выходной диаметр диффузора, из которого вода
поступает в резервуар С, d3 = 100 мм.
Определить:
1. Каков минимальный напор h в резервуаре 4, при
котором насос перестанет подсасывать воду из резер-
вуара В.
2. Каков будет при этом расход воды из сопла.
Учитывать только потери на расширение потока в ци-
линдрической камере и в диффузоре насоса (коэффициент
потерь в диффузоре фа = 0,25).
Указание. Когда насос перестает подсасывать воду, величина
вакуума в выходном сечении сопла равна Нг метров столба воды.
При этом уравнение Бернулли для участка между выходным се-
чением сопла и резервуаром С дает:
2	2
Pl I -Н I	I ф ^2~^з)2	, V3
pg 2g 2 2g ~г 2g + 2g ’
где Pi — скорость на выходе из сопла;
у2 и у3 — скорости на входе и выходе из диффузора. Избыточное
давление на выходе из сопла = —PgHi-
Ответ. /zmin = 8,1 м; Q1~ 5,2 л/с.
169
Задача VI1-27. Водоструйный насос с цилиндрической
камерой смешения получает рабочую воду из бака А под
напором Ях = 20 м и поднимает подсасываемую воду из
бака В в бак С на высоту Н2 = 5 м.
Определить:
1. Расходы рабочей и подсасываемой воды Qx и Qo,
если выходной диаметр рабочего сопла d = 20 мм и диа-
метр смесительной камеры D 40 мм. Учитывать только
потерю при смешении потоков в камере и потерю при вы-
ходе из камеры в бак.
2. Как изменятся расходы Qx и Qo, если дополнить
камеру диффузором (пунктир), кинетической энергией вы-
хода из которого можно пренебречь.
Потерю в диффузоре определить по формуле
vl
где С = 0,25.
Указание. Воспользоваться следующей системой уравнений.
При параллельном смешении двух потоков однородной жидкости в ци-
линдрической камере, повышение давления в камере (с учетом потери
энергии при смешении) равно по теореме количества движения:
где цх и у0 — скорости
в камеру
v2 — скорость
чение 2) *.
* Приравнивая секундный импульс сил давления, действующих
вдоль оси потока на жидкость в камере (между сечениями 1 и 2), и
секундное приращение количества движения этой жидкости, получим
^2 (Рг — Р1) = PQl^l + PQoy« — PQ2»2-
Подставляя F2 — Q%/v2, приходим к соотношению (1).
\	41 "Г 4о	/
рабочей и подсасываемой жидкости при входе
(сечение /);
смешанного потока на выходе из камеры (се-
170
Из условия, что давление рг при входе в камеру одинаково для
обоих потоков в силу их параллельности и малой кривизны, получаем,
пренебрегая потерями при входе в камеру:
Pi ।
Pg 2g ’
Н1 + z —
Pi
Pg
где z — произвольная глубина
уровнем.
Давление на выходе из
камеры при отсутствии диф-
фузора
и с диффузором
pg	2 v w 2g
(5)
погружения оси насоса под начальным
К решению задачи VI1-27
Скорость на выходе из камеры по уравнению неразрывности
___________________Qi + Qo	FЧ~ Fоуо
У2-------р---= -------р------ >
Г2	Г2
где	F± — —-----выходная площадь сопла;
it
Fo =	(D2 — d2) — кольцевая площадь входа в камеру для
подсасываемой жидкости;
лЭ2
г2 ~ --------площадь камеры.
Исключая из уравнения (1) давления и р2 и выражая в нем
скорости v0 и у2 через vt, находим в результате совместного решения
полученной системы значения скоростей и, следовательно, расходов
(при заданных Н± и Н2 расходы не зависят от z).
Ответ. Qx = 6,3 л/с и Qo= 2,7 л/с; Qx = 6,7 л/с и Qo = 7,5 л/с.
Задача VH-28. Определить расход керосина (относи-
тельная плотность 6 = 0,8) в трубе диаметром D = 50 мм,
если показание ртутного дифференциального манометра,
измеряющего перепад давлений в сечениях потока перед
соплом и на выходе из него, равно h = 175 мм, выходной
диаметр сопла d = 30 мм, а его коэффициент сопротивле-
ния = 0,08. Сжатие струи на выходе из сопла отсут-
ствует.
171
Какова потеря напора в расходомере?
При каком абсолютном давлении перед соплом в рас-
ходомере начнется кавитация, если давление насыщенных
паров керосина рНгП = 150 мм рт. ст.?
Ответ, Q = 5,4 л/с; hn = 1,46 м; р = 42 кПа.
Задача VI1-29. Определить массовый расход насыщен-
ного пара, идущего по трубе диаметром D = 200 мм при
температуре £=110° С и абсолютном давлении р =
= 0,15 МПа, если перепад у нормальной диафрагмы h =
= 50 мм рт. ст., диаметр диафрагмы d == 160 мм, а ее
коэффициент расхода р == 0,77.
Удельная газовая постоянная пара А? = 461 Дж/(кг- К).
Каков будет перепад у диафрагмы, если такой же мас-
совый расход насыщенного пара будет идти по трубе при
t = 140° С и р = 0,36 МПа перед диафрагмой?
Ответ. М— 1,66 кг/с; h == 22 мм.
Задача VI1-30. Расход в трубопроводе диаметром
D = 100 мм измеряется нормальной диафрагмой диаметром
d = 80 мм, для которой известна зависимость коэффи-
циента расхода р от числа Рейнольдса, отнесенного к диа-
метру трубы.
Определить разность уровней в пьезометрах h при
расходе Q = 20 л/с для случаев течения воды (v =
= 10“2 Ст) и масла (v = 25-10“2 Ст).
Ответ, h — 1,38 и 1,20 м.
Задача VI1-31. Определить объемный и массовый рас-
ходы воздуха в трубе Вентури диаметрами D = 50 мм
и d = 25 мм, если показание манометра перед расходо-
172
мером М = 0,5 МПа; температура воздуха t = 20° С;
показание дифференциального водяного манометра, из-
меряющего перепад давлений в сечениях потока перед
расходомером и в его горловине, равно h = 150 мм и
коэффициент расхода р = 1. Удельная газовая постоян-
ная воздуха Я = 287 Дж/(кг-К). Атмосферное давление
принять равным 0,1 МПа.
Ответ. Q — 10 л/с; т = 0,07 кг/с.
К задаче VI1-30
Задача VI1-32. Расход воды измеряется трубой Вен-
тури с входным диаметром D = 200 мм.
Каков должен быть диаметр d сжатого сечения расхо-
домера, чтобы при расходе Q = 50 л/с показание ртут-
ного дифференциального манометра, измеряющего пере-
пад давлений в сечениях потока перед расходомером и
в его горловине, было не меньше h = 160 мм?
Каким должно быть при этом наименьшее избыточное
давление перед расходомером, чтобы в его сжатом сечении
не возникало вакуума?
Коэффициент сопротивления сужающегося участка
расходомера принять равным £ = 0,04.
Ответ, d = 100 мм; рт1п = 20 кПа.
Задача VI1-33. Мерное сопло, расходомер Вентури
и диафрагма, установленные в трубе D = 100 мм, имеют
одинаковый диаметр в свету d = 60 мм. Коэффициент
сопротивления входного участка до сжатого сечения по-
тока во всех приборах одинаков и равен £ = 0,06, коэф-
фициент потерь в диффузоре расходомера Вентури =
= 0,2. Коэффициент сжатия струи в диафрагме е = 0,66.
173
Сравнить потери напора во всех трех приборах при
одинаковом расходе воды Q = 16 л/с.
Построить линии полного напора и пьезометрические
линии при одинаковых показаниях манометров на .входе
в каждый прибор М =100 кПа и высоте расположения
манометров h = 0,3 м.
Определить наибольший расход, который при указан-
ном давлении М можно пропускать через каждый прибор,
чтобы вакуумметрическая высота в сжатом сечении не
превосходила 7 м.
Ответ. Ь-сопла 0,77 м; квентури, 0,23 м; к^цафр = 2,4 м;
Осопла Овентури ~ 54 л/cj Q диафр ~ 34,3 л/с.
К задаче VI1-33
Задача VI1-34. Воздуходувка засасывает из атмосферы
воздух при давлении рат = 760 мм рт. ст. и температуре
t = 20° С через мерное сопло диаметром D = 200 мм.
Определить, приняв коэффициент расхода сопла рав-
ным р == 0,95:
1. Расход засасываемого воздуха, если известно пока-
зание спиртового вакуумметра h = 250 мм при плотности
спирта р = 800 кг/м3.
2. Каково будет показание h прибора, если такой же
объемный расход воздуха будет засасываться из баро-
174
камеры при давлении в ней р = 405 мм рт. ст. и темпера-
туре t = —20° С. Дать в этом случае схему присоедине-
ния прибора. Удельная газовая постоянная воздуха R =
= 287 Дж/(кг-К).
Ответ, Q= 1J м3/с; h~ 155 мм.
Задача VI1-35. На оси вертикальной трубы диаметром
D = 200 мм установлена трубка А для измерения полного
напора. В этом же сечении установлена пьезометрическая
трубка В, измеряющая статическое давление.
Определить расход воды в трубе, если уровень воды
в трубке А находится выше мерного сечения на Н2 = 0,3 м,
а уровень в трубке В — ниже мерного сечения на —
= 0,2 м.
Отношение средней скорости в сечении к скорости на
оси трубы принять равным 0,84.
Ответ. Q = 82,5 л/с.
Задача VI1-36. Скоростная трубка, установленная
вдоль оси воздухопровода диаметром D — 200 мм, дает
на спиртовом микроманометре с наклонной шкалой пока-
зание L = 75 мм.
Плотность спирта в мано-
метре рс = 800 кг/м3, наклон
трубки манометра к гори-
зонту sin а = 0,2.
Давление воздуха в мер-
ном сечении равно по мано-
метру М = 40 кПа, его тем-
пература t — 16° С. Атмо-
сферное давление рат ==
= 735 мм рт. ст.
Определить массовый рас-
ход воздуха, приняв коэф-
фициент трубки равным еди-
нице (перепад давлений р±—
—pjpg воздуха в ветвях трубки равен скоростному на-
пору v2!2g в мерной точке), а отношение средней скорости
в трубе к измеряемой трубкой-скорости на ее оси vcplv =
= 0,84.
Ответ. М — 0,52 кг/с.
Задача VI1-37. Для автоматической регистрации рас-
хода, измеряемого трубой Вентури, ртутный дифманометр
175
расходомера снабжен поплавковым устройством, при по-
мощи которого величина расхода записывается на равно-
мерно вращающемся барабане.
Линия дифманометра, идущая от горловины расходо-
мера, включает цилиндрический сосуд Л, где помещается
частично погруженный в ртуть поплавок, снабженный
пишущим острием. Линия дифманометра, идущая от вход-
ного сечения расходомера, включает сосуд В с переменной
по высоте площадью. Форма этого сосуда такова, что пере-
К задаче VI1-37
мещение уровня ртути в
сосуде Л, а следовательно,
и поплавка, пропорцио-
нально расходу, в силу
чего шкала расхода на ба-
рабане равномерна.
Найти уравнение боко-
вой поверхности сосуда В,
если известно, что вели-
чина расхода связана с по-
казанием дифманометра
зависимостью
Q = k УТ.
Указание. Обозначив х — подъем уровня ртути в сосуде А и
у — опускание уровня в сосуде В, получим
х + у= h.	(1)
Условие равномерности шкалы требует
х = CQ = ck V"h.	(2)
Коэффициент пропорциональности с определяется выбором мас-
штаба шкалы:
где \х = а — длина шкалы;
AQ ~ Стах — Стш — диапазон измеряемых расходов.
Из условия неизменности объема ртути получаем
Fdx = fydy.
(3)
где F — постоянная площадь сосуда А;
fy — переменная площадь сосуда В.
Выражая в уравнении (3) dy через dx, при помощи уравнений (1)
и (2) находим зависимость fy от у, определяющую форму сосуда В.
176
Ответ.
где т = (ck)2.
Осуществление равномерной шкалы возможно только для
х > — , что ограничивает выбор масштаба шкалы условием с < —
2
Задача VI1-38. Сравнить расходы воды (v = 1 сСт)
и глицерина (v = 800 сСт) под одинаковым напором Н
= 2 м через короткую
трубку диаметром d —
— 25 мм, с установлен-
ными на ней нормальным
вентилем и двумя уголь-
никами 90°.
Воспользоваться при-
веденными кривыми зави-
К задаче VII >38
симости коэффициентов сопротивления вентиля, уголь-
ника и входа в трубу от числа Рейнольдса для потока
в трубке.
Коэффициент сопротивления выхода из трубки принять
при Re > 3000 равным ? = 1 и при Re < 2000 £ = 2.
Потерями трения по длине трубки пренебречь.
Ответ. Q= 1,07 и 0,15 л/с.
Задача VII-39., Гидравлическое реле времени (служит
для включения и выключения различных устройств через
фиксированные интервалы времени) состоит из цилиндра,
в котором помещен поршень диаметром £>х — 80 мм со
штоком — толкателем диаметром D2 = 40 мм.
177
Цилиндр присоединен к емкости с постоянным уровнем
жидкости Но = 0,9 м.
Под действием давления, передающегося из емкости
в правую полость цилиндра, поршень перемещается, вы-
тесняя жидкость из левой полости в ту же емкость через
трубку диаметром d = 10 мм.
Вычислить время срабатывания реле, определяемое
перемещением поршня на расстояние S = 100 мм из на-
чального положения до упора в торец цилиндра.
Движение поршня считать равномерным на всем пути,
пренебрегая незначительным временем его разгона.
В трубке учитывать только местные потери напора,
считая режим движения жидкости турбулентным. Коэф-
фициент сопротивления колена tK — 1,5 и дросселя на
трубке Сэ = 22.
Утечками и трением в цилиндре, а также скоростными
напорами жидкости в его полостях пренебрегать.
Ответ. Т = 10 с.
Задача VII-40. Гидравлический демпфер, (гаситель
колебаний) представляет цилиндр, в котором под дей-
ствием внешней силы перемещается поршень, перегоняя
жидкость (масло плотностью р = 900 кг/м3) из одной по-
лости цилиндра в другую через обводную трубку с регу-
лируемым дросселем.
Диаметры: поршня D± = 50 мм, его проходного штока
D2 ~ 20 мм и обводной трубки d == 5 мм.
Получить уравнение статической характеристики демп-
фера, представляющей зависимость скорости равномер-
ного движения поршня (у) от приложенной к нему по-
стоянной нагрузки (ЛД>
178
Каков должен быть коэффициент сопротивления £
дросселя, чтобы при- нагрузке 7? = 6500 Н скорость
поршня равнялась v = 0,2 м/с?
В трубке учитывать только местные сопротивления,
предполагая режим движения жидкости турбулентным.
Коэффициент сопротивления каждого из двух колен на
трубке Zk “ 1 >25.
Утечками и трением в цилиндре пренебрегать.
Ответ. £ = 27.
Задача VI1-41. В трубопроводе диаметром D = 30 мм
для ограничения расхода установлена дроссельная шайба,
имеющая центральное отверстие с острой входной кром-
кой; диаметр отверстия d =10 мм.
Определить потерю давления Др, вызываемую шайбой
в трубопроводе при расходе жидкости (керосин плот-
ностью р == 800 кг/м3), равном Q = 2 л/с.
Для заданного расхода найти критическое абсолютное
давление р0 перед шайбой, при котором в трубопроводе за
шайбой возникнет кавитация, если давление насыщенных
паров керосина рн>п ~ 120 мм рт. ст.
Отверстие шайбы имеет коэффициент сопротивления
Z = 0,06 и коэффициент сжатия струи в = 0,63.
Как повлияет на потерю давления и критическое дав-
ление перед шайбой небольшое затупление входной кромки
отверстия, при котором коэффициент сжатия струи уве-
личится до 8 = 0,75 (коэффициент сопротивления считать
неизменным)?
Ответ. Ар — 0,61 МПа и р0 =
= 0,71 МПа; при затуплении вход-
ной кромки Др = 0,41 МПа и р0 =
=0,5 МПа.
К задаче VII-41
К задаче VI1-42
Задача VI1-42. Ограничитель расхода, который слу-
жит для автоматического поддержания постоянного рас-
хода в системе при постоянном входном давлении р0 и
переменном противодавлении р, состоит из подвижного
179
поршня 1 диаметром D = 60 мм, имеющего отверстие
d = 10 мм и нагруженного пружиной 2.
При изменении противодавления р поршень переме-
щается, изменяя открытие b окон в корпусе 3 таким обра-
зом, что расход через ограничитель остается постоянным.
Высота прямоугольных окон в корпусе bQ = 5 мм,
их суммарная площадь f0 = 1,5 см2.
Считая усилие пружины постоянным и равным
R = 550 Н, определить для входного давления масла,
равного — 15 МПа:
1.	Величину расхода Q, поддерживаемого ограни-
чителем.
2.	Зависимость открытия b окон от противодавления
р и величину открытия при р = 0.
3.	Максимальное значение противодавления ртах, на-
чиная с которого расход через ограничитель будет умень-
шаться.
Коэффициент расхода отверстия в поршне и окон в кор-
пусе принять р = 0,6. Плотность масла р = 850 кг/м3.
Указание. Воспользоваться условием равновесия поршня в сле-
дующем виде:
Л	D
Др -4- = R,
где Др — перепад давлений по обе стороны отверстия в поршне.
Ответ. 1) Q = 1 л/с. 
2)	b	—-	L,
/о	I /	R
|/	Ро--р-	“ Р
где f = и F —	; при р — 0 b = 0,3 мм.
R !	f2 \
3)	Ртах ~ Ро 1 +	| = 14,75 МПа.
\	'о /
Задача VH-43. В следящей системе давление рх в кор-
пусе золотника, подводимое к силовому цилиндру, изме-
няется с перемещением золотника в пределах от давления
питания рх (при полностью открытом верхнем и закрытом
нижнем окнах)<до давления слива р2 (при закрытом верх-
нем и открытом нижнем окнах). Каждому положению
золотника (командного органа) отвечает при этом опре-
деленное усилие, которое действует на поршень силового
цилиндра (исполнительный орган) и вызывает его следя-
щее перемещение.
180
Установить зависимость давле-
ния рх в силовом цилиндре и
расхода Qx через золотник от сме-
щения плунжера золотника х из
верхнего крайнего положения.
Расход через входные окна зо-
лотника определять по формуле
Q1 = (l6(s-x)]A2^-
и через выходные окна
К задаче VI1-43
Q3 = fxbx У 2	,
где s — высота и b — ширина входных и выходных окон;
р — их коэффициент расхода.
Построить графики зависимости рх и Qx от х при р± =
= 10 МПа и р2 = 0; s = 2 мм и b = 4 мм; ц = 0,6. Плот-
ность рабочей жидкости р = 850 кг/м3.
Ответ.
Pl (S— %)2 +р2*3 .
(S — Х)2 4- X2 ’

Задача VI1-44. Ограничитель расхода жидкости дол-
жен пропускать постоянный расход Q при меняющемся
перепаде давлений Др = pt — р2. Ограничитель выпол-
нен в виде неподвижного цилиндрического плунжера с лен-
точной однозаходной резьбой, размеры которой (диаметр d,
шаг а и высота квадратного профиля Ь) даны на рисунке.
По плунжеру скользит хорошо пригнанный цилиндр,
опирающийся на пружину. На цилиндр действует сила,
создаваемая перепадом давлений жидкости, которая про-
текает по винтовому каналу плунжера. Благодаря сжатию
пружины под действием этой силы длина резьбы L, пере-
крытой цилиндром, изменяется пропорционально перепаду
давлений. В результате гидравлическое сопротивление
винтового канала оказывается также пропорциональным
Др, что обеспечивает постоянство расхода.
181
Определить величину постоянного расхода, пропускае-
мого ограничителем и диапазон изменения перепада давле-
ний, в котором обеспечивается этот расход.
Жесткость пружины С = 20 Н/мм. Длина пружины
в свободном состоянии 170 мм, а в предельно сжатом —
80 мм. Предварительное поджатие пружины и отвечающее
ему перекрытие винтового плунжера Lo — 20 мм.
К задачам VII-44 и VII-45
Динамическая вязкость жидкости р = 0,11 П, плот-
ность р = 890 кг/м3.
Для расчета сопротивления винтового канала рассма-
тривать его как прямую трубу квадратного сечения, учи-
тывая только потерю напора на трение по длине. Утечками
и сопротивлением отводящего канала в теле плунжера
пренебречь.
Указание. Воспользоваться следующей формулой для ламинар-
ного потока в квадратной трубе
Q = 2,25	\р.
64р./ г
Ответ. Q = 30,5 см3/с. Apmin = 0,9 МПа и Дргпах — 4 МПа.
Задача VI1-45. Определить расход жидкости, пропу-
скаемый ограничителем расхода, который рассмотрен в за-
даче VII-44, если динамическая вязкость жидкости р =
= 0,04 П и ее плотность р = 890 кг/м3.
182
Воспользоваться формулой для потери напора на тре-
ние при турбулентном режиме
< Др	л l v2
fln —-	-- Л ~тт х ।
п Pg О 2g
где D — гидравлический диаметр сечения и v — средняя
скорость.
Принимая винтовой канал гидравлически гладким,
коэффициент сопротивления трения определять по фор-
муле
а 0,316
где число Рейнольдса Re = —^—.
Ответ. Q — 27,5 см3/с.
Рг vn Pj
К задаче VI1-46
Задача VI1-46. Рабочая жидкость (плотность р =
= 890 кг/м3) подается в цилиндр гидроусилителя (диа-
метр поршня D = 80 мм и штока d = 30 мм) через команд-
ный золотник с прямоугольными окнами шириной b
= 2 мм и переменной
ВЫСОТОЙ X.
Давление питания на
входе в золотник под-
держивается постоян-
ным и равным рп =
= 20 МПа. Давление
слива рс~0.
1. Построить зави-
симость скорости рав-
номерного движения
поршня vn при полном
открытии окон золот-
ника (х = 2 мм) от нагрузки R на исполнительном штоке.
Указать, какова максимальная скорость поршня при
R = 0 и при какой максимальной нагрузке будет vn = 0.
2. Построить зависимость скорости поршня от вели-
чины открытия окон золотника х при постоянной нагрузке
R — 70 кН. Какова будет скорость при х = 2 мм?
Расход через каждое окно золотника определять по
формуле
<2 = ^/2^,
183
где для входного окна Ар = рп — рг и выходного окна
&р = р2 — рс (Pi и* р2 — давления в полостях гидро-
цилиндра).
Коэффициент расхода принимать постоянным при всех
открытиях и одинаковым для обоих окон (р = 0,5).
Ответ. 1) vn, max = 7 см/с; ~ 86 кПа; 2) vn — 3 см/с.
Задача VII-47. Рабочая жидкость подается к гидро-
усилителю типа сопло-заслонка под постоянным давле-
нием р0 = 10 МПа.
Командный элемент гидроусилителя включает постоян-
ный дроссель в виде жиклера d± == 3 мм и регулируемый
дроссель в виде сопла d2 = 2 мм с подвижной заслонкой
на выходе. Давление рк в камере между дросселями пере-
дается в рабочую полость исполнительного гидроцилиндра
(D = 35 мм), поршень которого оперт на пружину жест-
костью С = 200 Н/см и нагружен силой R = 7500 Н.
При изменении зазора h между соплом и заслонкой
изменяется давление рк, вызывая следящее перемещение
поршня.
Построить график зависимости между зазором h и сме-
щением s поршня из крайнего положения, отвечающего
/г = 0. Определить s при h = 1 мм. Расход через жиклер
равен
где Цх = 0,8, и через сопло-заслонку
,2	.-----
<?2 = Нг —2	’
184
где коэффициент расхода р2 задан как функция относи-
тельного зазора h/d
Построить
( h \
= для
определяемого
2*
дополнительно график зависимости ц =
коэффициента расхода ц сопла-заслонки,
из выражения
=	У2-^-.
Ответ,
I	Н14
с
\	Р2^2
S = 8 СМ.
Задача VI1-48. Исполнительный цилиндр гидроуси-
лителя (диаметр поршня D± = 60 мм и штока D2 = 30 мм)
нагружен силой R = 3500 Н. Рабочая жидкость (р =
= 850 кг/м3) подается в нижнюю полость цилиндра на-
сосохм Я под давлением
рн == 5 МПа (поддержи-
вается постоянным с по-
мощью переливного кла-
пана ПК).
Командный однокро-
мочный золотник (диаметр
плунжера d2 = 10 мм),
управляет перемещениями
штока цилиндра путем из-
менения открытия цилинд-
рического окна, через ко-
торое жидкость поступает
из верхней полости ци-
линдра на слив.
В поршне цилиндра имеется дросселирующее отвер-
стие (d1 = 4 мм), благодаря которому можно при опре-
деленных открытиях золотника реверсировать движение
поршня.
Построить график зависимости скорости vn установив-
шегося движения поршня от открытия х золотника.
. Указать, при каком х поршень останавливается (vn —
= 0). Каково будет значение vn при закрытом золот-
нике?
185
Расход через дросселирующее отверстие определять по
формуле
и через золотник
Q2 = p2nt/2x j/2 у'»
где pQ — давление в верхней полости цилиндра.
Коэффициенты расхода принять рг = р2 = 0,6.
Трением и утечками в цилиндре пренебрегать.
Указание. Воспользоваться уравнением
равновесия поршня:
ро ~4---F # =	— D2)
и выражением расхода жидкости из верхней
полости в золотник; предполагая, что пор-
шень движется вверх, имеем
лЛ?
Qo = Qi + Vn....
Ответ, x = 0,4 мм; vn = 0,2 м/с.
Задача VI1-49. Объемный насос,
подача которого QH = 240 см3/с,
питает рабочей жидкостью (р =
= 870 кг/м3) два параллельных
силовых гидроцилиндра одинакового
диаметра D =50 мм.
Для синхронизации работы гидро-
цилиндров использован делитель
К задачам VI1-49
и VI1-50
расхода (порционер), в котором две ветви потока прохо-
дят через дроссельные шайбы диаметром = 2 и цилинд-
рические золотниковые окна высотой s = 2 мм, пере-
крываемые плавающим поршеньком диаметром d2 = 10 мм.
При неодинаковых нагрузках гидроцилиндров порше-
нек смещается в сторону менее нагруженной ветви, изме-
няя сопротивления ветвей (за счет неодинаковых открытий
золотниковых окон) и поддерживая равенство расходов,
поступающих в гидроцилиндры.
Определить скорость vn установившегося движения
поршней гидроцилиндров, давление р.н насоса на входе
в делитель и смещение х поршенька из крайнего левого
186
положения при нагрузках гидроцилиндров, равных /?х —
- 20 000 Н и Т?2 - 15 000 Н.
Коэффициент расхода дроссельных шайб принять рх —
= 0,6 и золотниковых окон ц2 = 0,5.
Потерями напора в трубах, трением и утечками в гидро-
цилиндрах пренебречь.
Ответ. vn— 6 см/с; рн = 12 МПа; х — 1,9 мм.
Задача VH-50. В схеме делителя расхода по условию
задачи VI1-49 нагрузки гидроцилиндров равны /?х =
- 30 000 Н и /?2 = 20 000 Н.
Определить скорость vn установившегося движения
поршней, если известно, что давление на входе в делитель
равно рн — 16 МПа.
Каким будет при этом смещение х плавающего пор-
шенька в делителе?
Ответ. vn = 4 см/с; х ~ 2 мм.
ГЛАВА VIII
ЛАМИНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
ВВЕДЕНИЕ
1.	В настоящей главе предлагаются задачи установив-
шегося ламинарного движения жидкости в плоских и
кольцевых зазорах, а также в трубах различной формы
поперечного сечения. Можно считать, что ламинарное
течение в подобного рода трубопроводах и зазорах уста-
навливается всегда, когда число Рейнольдса потока Re =
=—меньше критического его значения, лежащего
в интервале ReKP 2000-^-3000 (Da — гидравлический
диаметр поперечного сечения потока, v — средняя по се-
чению скорость).
Метод решения задач ламинарного движения заклю-
чается в составлении дифференциального уравнения дви-
жения элемента жидкости, преобразовании этого уравне-
ния с помощью подстановки выражения закона жидкост-
ного трения Ньютона и интегрировании его при задан-
ных граничных условиях задачи.
2.	Простейшим случаем ламинарного движения яв-
ляется фрикционное безнапорное течение, вызванное пере-
187
мещением бесконечно широкой пластинки по слою жид-
кости постоянной толщины, расположенному на неподвиж-
ной плоскости (рис. VHI-1). Определим силу трения на
пластинке и расход жидкости через поперечное сечение
зазора, если известно, что пластинка перемещается парал-
лельно неподвижной плоскости с постоянной скоростью uQ,
толщина слоя равна b и динамическая вязкость жид-
кости р.
Для решения выделим в слое жидкости бесконечно
малый элемент с гранями dx и dy (рис. VIII-2). Грань,
перпендикулярную плоскости чертежа, примем равной В.
Рис. VIII-1

Рассмотрим приложенные к этому элементу силы и соста-
вим уравнение его движения. К элементу в направлении
оси х приложены только касательные силы трения xBdx
и (т + dx) Bdx, поэтому уравнение равномерного движе-
ния имеет вид
—xBdx + (т + dx) Bdx = О,
откуда
dx = О
или
т = С,
где С — постоянная.
Воспользуемся теперь законом жидкостного трения
Ньютона, согласно которому касательное напряжение,
возникающее в слое жидкости, пропорционально угловой
скорости деформации сдвига элементов этого слоя. Для
равномерного плоскопараллельного движения закон
Ньютона имеет вид
т=±н-^->	(VIII-1)
где р — динамическая вязкость и и — скорость движе-
ния слоя.
В рассматриваемом случае при выбранном направлении
осей координат следует взять знак плюс (du >> 0 при
188
dy > 0), поэтому первый интеграл уравнения движения
имеет вид
du ~
н —- = С.
' dy
Интегрируя вторично, получаем
u = —y + ci-
Постоянные С и найдем из условий на границах по-
тока:
(VI11-2)
и = 0 при у = 0;
и = при у = Ь.
Отсюда С\ = Р и С = р
После подстановки этих значений в интеграл получим
у
Найденный закон распределения скоростей потока по
сечению зазора является линейным (рис. VIП-3).
Касательное напряжение, постоянное по сечению за-
зора
du
r dy r b
и сила трения на пла-
стинке, площадь которой
равна F:
T = xF = p-^-F.
(VII1-3)
Расход жидкости через
риной В:
поперечное сечение зазора ши-
ь
Q = juBdy - ВЬ.
о
Очевидно, что средняя скорость такого фрикционного
течения равна половине скорости движения пластинки,
«о
т. е. v =
При выводе предполагалось, что температура в слое
неизменна и, следовательно, вязкость жидкости постоянна.
189
(VI П-4)
Приведенные рассуждения позволяют вычислить мо-
мент трения на вращающемся с постоянной угловой ско-
ростью валу (рис. VIП-4), концентрически расположенном
в подшипнике с малым относительным зазором
s = ТГ «
где D — диаметр вала;
b — радиальный зазор.
При малом относительном зазоре кривизной слоя жид-
кости можно пренебречь, рассматривая движение жид-
кости в зазоре как плоскопараллельное. Эпюры скоростей
Рис. VIII-5
и касательных напряжений будут тогда такими, как по-
казано на рис. VI П-5, и момент трения (формула
Н. П. Петрова)
M = wDLy = ^ JtD2L, (VIII-5)
где и0 — окружная скорость вращения вала и L — длина
подшипника.
Заметим, что фрикционное движение жидкости в за-
зоре между валом и подшипником имеет ламинарный ха-
рактер для чисел Рейнольдса, определяемых неравен-
ством Re 30 j/~-, если вращается вал, а подшипник
неподвижен. Если же вращается подшипник, а вал не-
подвижен, то ламинарное движение сохраняется в области
190
чисел Рейнольдса Re sg 2000, причем число Рейнольдса
определяется в данном случае как
Re = -^-.
V
3.	Если зазор между соосными цилиндрами сравним
с диаметром одного из них, то предыдущее решение не-
применимо. Рассмотрим общее решение такой задачи,
определив закон распределения скоростей в зазоре и мо-
мент трения на внутреннем ци-
линдре, если последний распо-
ложен соосно с наружным и
вращается с постоянной угло-
вой скоростью.
Выделим кольцевой беско-
нечно малый элемент жидко-
сти, размер которого в ра-
диальном направлении равен
dr и по образующей равен I
(рис. VIII-6).
Поскольку движение жидко-
сти в зазоре является фрикцион-
ным, то внешними силами, при-
Рис. VIII-6
ложенными к выделенному
кольцу, являются только касательные силы трения:
т2лг/ на его внутренней поверхности и (т + di) 2л (г +
+ dr) I — на наружной.
Поэтому, составляя уравнение моментов сил трения
относительно оси вращения, имеем
x2nrlr — (т 4- di) 2л (г + dr) l(r + dr) = 0.
После несложных преобразований и исключения чле-
нов более высокого порядка малости последнее уравнение
приводится к виду
d (тг2) = 0
или
тг2 = Л,	(VI П-6)
где А — постоянная.
Рассматриваемое нами плоское движение является
криволинейным, поэтому выражение закона Ньютона
(VII1-1) для жидкостного трения здесь неприменимо.
Получим выражение закона Ньютона для этого случая
движения. Выделим во вращающейся жидкости два слоя
191
на радиусах г и г + dr (рис.. VI11-7) и определим скорость
сдвига одного слоя относительно другого. За некоторый
промежуток времени
t точка А внутреннего слоя пере-
местится в Ль а точка В, которую
мы возьмем для простоты рассу-
ждений лежащей на продолжении
радиуса точки А, переместится
в Вх.
Если скорость внутреннего
слоя жидкости принять равной
и, и скорость наружного слоя
и + du, то очевидно дуга АА± =
= ut, а дуга ВВГ = (и + du) t.
Следовательно, сдвиг наруж-
ного слоя относительно внутрен-
него
СВг = ВВг — ВС = (и + du)t — u 1 = (da — и /,
а скорость сдвига
CB! i dr
—-J- = du — и------
t	r
Поэтому касательное напряжение, пропорциональное'
угловой скорости деформации сдвига:
Полученное выражение представляет собой обобщен-
ный закон Ньютона в полярных координатах.
Подставляя в уравнение (VIП-6) выражение т, полу-
чим линейное дифференциальное уравнение.
du   и .	А
dr	г ‘ рг2 ’
интеграл которого
и =---~—р Вг.
2иг 1
Граничные условия задачи:
при г = /?х и = и$
и
при г = /?2 и = О,
192
поэтому распределение скоростей
r r2r г2
и = -;-z-5Т- «о
(VIII-8)
Касательное напряжение т на внутреннем цилиндре
2^/ф0
(VIII-9)

и момент трения
R?Rl
М = 4лцЛ —5---г 0).
(VIII-10)
Если бы мы предположили распределение
в зазоре линейным:
скоростей
Я2— г
U — U° R2-Rt ’
то имели бы по формуле Петрова следующую величину
момента трения:
Мл = 2лр£-в—-й-w.
Отношение приближенного и точного выражений мо-
мента:
Мп _ 1 Г	VI
М ~ 2 L Я2 \ r2 J J ’
4.	Рассмотрим напорное ламинарное движение жид-
кости в трубе круглого поперечного сечения, вызываемое
перепадом давлений по длине трубы.
Выделив объем жидкости в виде горизонтального ци-
линдра, соосного с трубой (рис. VIП-8|,и составив урав-
нение равновесия приложенных к нему сил, приходим
к следующему дифференциальному уравнению:
du р	г
—Р -JjT ~~1	2" ,
где г — радиус выделенного цилиндра;
и — скорость жидкости на этом радиусе;
р — перепад давлений на длине трубы I: р = рг — р2,
7 Д. А. Бутаев и др.	193
Интегрируя дифференциальное уравнение, получаем
закон распределения скоростей по сечению трубы
ы = _(С —г2).
Определяя постоянную С из граничного условия, что
скорость частиц жидкости на стенке равна нулю, получаем
« = -4^-(^-Н=«тах(1 -4)’ (VIIM1)
где /? — радиус трубы.
Скорости распреде-
ляются в поперечном
сечении трубы по па-
раболическому закону,
максимум скорости
имеет место на оси
трубы:
.,	__ / Р D2
тах	4р/ Л ‘
Средняя скорость v равна половине максимальной
скорости:
п — "шах __ pR2
2	“ 8pl •
Заменяя в этом выражении через D/2 и р через
hnpg, где hn — потеря напора и р — плотность жидкости,
получаем
_ gpD2
hn.
Решая это уравнение относительно hn, получим выра-
жение потерь напора при ламинарном течении в трубе:
hn = 32 -^5- v;
п pgD2
так как р == vp, то
hn — 32 V.
(VII1-12)
Формулу (VIII-12) можно привести к виду
ЛЛ=*7Г
V2
2g ’
(VIII-13)
194
где X — коэффициент сопротивления трения, равный
Расход жидкости через поперечное сечение трубы (фор-
мула Пуазейля):
= (VIII-I4>
Следует заметить, что полученные выше зависимости,
справедливые для стабилизированного ламинарного тече-
ния, неприменимы для входного участка трубы, где про-
исходит формирование ламинарного потока. Длина вход-
ного начального участка ламинарного течения зависит от
диаметра трубы и числа Рейнольдса и определяется выра-
жением
1нач 0,03Re D.
Для приближенного вычисления потерь на начальном
участке можно пользоваться формулой (VI11-13), принимая
%= ™
Re
5. Более сложным случаем ламинарного потока яв-
ляется осевое течение жидкости под действием перепада
давлений в кольцевом зазоре, образованном двумя соосно
расположенными цилиндрическими поверхностями
(рис. VIII-9).
Чтобы найти закон распределения скоростей по сече-
нию зазора, выделим бесконечно малый кольцевой эле-
мент, рассмотрим действующие на него силы и составим
уравнение его движения.
Имеем
(р 1 — р 2) 2nrdr — n2nrl + (т + dr) 2п (г +
+ dr) I = 0.
Обозначая р± — р2 = р и пренебрегая членом
2nZdrd/, имеющим более высокий порядок малости по
сравнению с остальными членами, получаем после не-
сложных преобразований следующее дифференциальное
уравнение:
prdr + Id (тг) = 0,
495
интегрируя которое (^с учетом того, что т = полу-
чим
и —----+ Ci In г + С2.
Постоянные Сг и С2 находятся из граничных условий,
которые требуют, чтобы при г = R2 и == 0 и при г =
и = 0; поэтому закон распределения скоростей по попереч-
ному сечению кольцевого зазора будет следующим:
р2 п2
$-r2 + R^~Rl
«=-Л-
4(д7
(VII1-15)
!„А '"*
«1
Произведя далее интегрирование скорости по сечению
зазора, получим выражение для расхода жидкости
.4	р4,
А2—А1 “Г
*2
Q = [ п2лг dr = -^7-
J	8ц/
А 1
1
п~яГ
(VII1-16)
При /?, — 0 выражение (VI11-16) переходит в формулу
Пуазейля для труб круглого поперечного сечения
Рис. VIII-9
П __ яЛ2р
* — 8ц/ •
6. При решении задачи
о плоском ламинарном
течении в зазоре между
неподвижными парал-
лельными пластинками
(рис. VIII-10) из рассмот-
рения равномерного движения выделенного элемента
жидкости приходим к следующему дифференциальному
уравнению:
где р = рг — р2 — перепад давлений на длине зазора I.
Интеграл этого уравнения с учетом граничного усло-
вия — равенства нулю скорости на стенках — дает
где b — зазор между пластинками.
196
Закон распределения скоростей по высоте зазора —
параболический (в пространстве — параболический ци-
линдр), средняя скорость:
2
или
Рис. VIII-10
Из последней формулы легко получить выражение для
расхода жидкости в зазоре между пластинками
Q =	(VIII-18)
и для потери напора
hn=12-±-.-^,	(VIII-19)
где В — ширина зазора.
Формулу (VIII-19) можно привести к виду
г л I v2
где к = D? — гидравлический диаметр (Da = 2Ь);
Ке
и число Рейнольдса
Re = -^.
V
197
Если одна из пластин перемещается параллельно дру-
гой с постоянной скоростью и0, то течение жидкости в за-
зоре будет более сложным, представляя собой сумму двух
течений: фрикционного течения, наведенного перемеще-
нием верхней пластинки, и напорного течения, вызван-
ного перепадом давлений р = рг — р2. Следовательно,
эпюра скоростей представляет сумму отдельных эпюр со-
ставляющих движений и будет иметь вид, показанный на
Рис. VIII-11
рис. VIII-11. Ее уравнение (при расположении начала
координат в середине зазора)
ы = -Т*' + -т + "пИх(1(VIII-20)
где tzmax — максимальная скорость напорного течения на
оси зазора.
Имея функцию и = f (у), можно легко подсчитать рас-
ход через поперечное сечение зазора и силу трения на
пластинке.
В случае перемещения пластинки со скоростью —и0,
т. е. в противоположном направлении (рис. VIII-12), за-
кон изменения скоростей по сечению зазора будет иметь
вид
« =	+	(VIII-21)
7.	Полученным решением можно воспользоваться для
определения утечек в зазоре между поршнем и цилиндром,
если только зазор b мал по сравнению с диаметром D и
если поршень расположен в цилиндре соосно.
При неподвижном поршне имеем по формуле (VIII-18)
после подстановки В = tcD
^ = 4-^^	(VIII-22)
198
а при движущемся с постоянной скоростью ±//0
4-u^tDb, (VIII-23)
где знак второго слагаемого зависит от направления дви-
жения поршня.
Если поршень расположен в цилиндре с некоторым
эксцентрицитетом (рис. VIII-13), то зазор b между ними
Рис. VIII-12	Рис. VIII-13
будет величиной переменной по углу ср, причем легко
видеть, что при малом зазоре
b = R + a cos ф — г = bQ (1 + 8 cos ф),
где &0 = R — г и 8 = "г-----эксцентрицитет.
Рассматривая приближенно каждый элемент зазора,
отвечающий приращению угла а!ф, как плоский зазор,
имеем следующее значение элементарного расхода:
rd<p = ПЖ р (1 + е cos ф)Мф-
Интегрируя по всей окружности, получим расход в за-
зоре
,3 2л
(1+ecos<p)3d<p
(VIП-24)
где Qo =
р — расход в зазоре при соосном распо-
ложении поршня в цилиндре.
Из полученной формулы для Q следует, что при макси-
мальном эксцентрицитете, т. е. при е = 1,
Q = 2,5Qo.
199
Заметим, что при турбулентном режиме расход при наи-
большем эксцентрицитете возрастает всего лишь прибли-
зительно в 1,2 раза по сравнению с расходом при концен-
тричном кольцевом зазоре.
8.	Рассмотрим течение в клиновом зазоре, вызванное
перемещением горизонтальной плоскости относительно
поверхности неподвижного башмака, который расположен
по отношению к этой плоскости под небольшим углом
(рис. VIII-I4).
Такой случай имеет место в подшипниках и подпят-
никах скольжения, и поэтому рассматриваемая ниже за-
дача разъясняет существо процесса, происходящего в сма-
зочном слое.
Пусть угол клина равен а и пусть нижняя плоскость
движется вправо с постоянной скоростью н0.
Определим расход жидкости в зазоре и закон распре-
деления давления вдоль клина, предполагая поток плоско-
параллельным.
Связывая оси координат с неподвижным башмаком и
располагая начало координат на уровне нижней движу-
щейся плоскости, выделим в зазоре бесконечно малый
элемент жидкости (рис. VIII-14) й составим уравнение
движения этого элемента. Пренебрегая силами инерции
по сравнению с силами давления и трения, получим
—dx dx — dpdy = О
или
dx   dp
dy	dx *
200
Так как при заданном направлении осей координат
то
dp   d2u
dx	dy2
Дважды интегрируя, получим
• -у" =	+ С1У + С*2-
Для определения постоянных С\ и С2 используем сле-
дующие граничные условия:
и = п0 при у = 0; и = 0 при у = Ь.
Получим в итоге
W = «o(l —-f-)
dp by —у2
dx	2 ц
Расход жидкости в зазоре (на единицу его ширины}
ь
f < иф dp b*
о
Из последнего выражения следует, что расход жид-
кости через поперечное сечение клина представляет сумму
фрикционного расхода и расхода, обусловленного гра-
диентом давления ~ вдоль оси х. При некотором зна-
чении координаты х = хт градиент = 0 и эпюра ско-
ростей в этом сечении клина будет линейной. Для всех
координат х <ZxM, > 0 и суммарный расход жид-
кости равен разности расходов фрикционного и напор-
ного течения; этому случаю соответствует левая эпюра
скоростей.
Для всех координат х > х^, ~ <0 и суммарный
расход будет равен сумме составляющих расходов; эпюра
скоростей в поперечном сечении клина показана на
рис. VIII-14 справа.
201
Полагая далее b = (а — х) tg а (а — Ь) а, получим
следующий закон распределения давлений по длине баш-
мака:
р = 6и“°Л(/~Х!а 2 • (VI11-25)
г (2а— I) (а—х)2 a2	v '
Кривая распределения давлений показана на
рис. VIII-14. Исследуя полученную функцию р = f (х) на
экстремум, найдем, что максимум давления имеет место
при
а 1
2а — I 1
и равен
__ 3|W0	/2
Ртах 2а2	(2а — I) (а — I) а
Закон распределения давлений позволяет вычислить
подъемную силу на башмаке и координату центра дав-
ления.
9.	Случай течения между параллельными пластин-
распространить и на задачу
о радиальном течении в тор-
цовом зазоре, образованном
двумя плоскими дисками
(рис. VIII-15). Определим
расход жидкости в зазоре,
если величина последнего
равна Ь, а избыточное да-
вление подводимой жидкости
на внутреннем радиусе г0
равно р0.
Применяя для кольцевого
элемента бесконечно малой
ками можно приближенно
радиальной длины dr выведенное ранее уравнение тече-
ния между параллельными пластинками, учитывая осе-
вую симметрию задачи и пренебрегая силами инерции по
сравнению с силами давления и трения, можем написать
dp. __ _	!lQ
dr	лг№ 9
откуда
p = c
лЬ3
In Г.
202
Так как при г = р = 0, то
_ _6н£.|п_5о.
V лЬ3 г
Мы получили закон
диусу зазора.
Так как при г = г0
распределения давления по ра-
р = pQi то, очевидно,
D = In —
г0
откуда искомый расход
О — лЬЗРо 1
Ч 6|Л ' In PQ/rQ
(VIII-26)
Разобранная задача встречается при расчете торцовых
уплотнений машин, а также при расчете дисковых фрик-
ционных насосов.
10.	При установившемся ламинарном течении в ци-
линдрической трубе с некруглым поперечным сечением
(рис. VIII. 16) решение задачи оказывается более сложным,
и мы дадим поэтому здесь только окончательные формулы
определения расхода:
а)	для трубы эллиптического поперечного сечения
Q —	(VIII-27)
а2 + b2	х '
(а и b — полуоси эллипса);
б)	для трубы, имеющей поперечное сечение в форме
равностороннего треугольника со стороной а
е=‘>‘т5г-(з- (VIM8)
в)	для трубы прямоугольного поперечного сечения
Q = f (-2-\.-Я~а2Ь2,
' \ b J 4р/	»
(VIII-29)
203
где f — функция, значения которой даны ниже
(2а и 2Ь — стороны прямоугольника):
или
где Ds — гидравлический диаметр сечения;
v — средняя скорость потока;
hn — потеря напора;
р — потеря давления;
р — плотность жидкости;
X — коэффициент сопротивления трения.
Значения X для кольцевых и прямоугольных сечений даны
ниже в виде произведения X-Re:
Кольцевое сечение Прямоугольное сечение
R2/R1	к Re	а/	к Re
оо	64,0	оо	96,0
103	74,7	20	89,9
102	80,1	10	84,7
20	86,3 ,	8	82,3
10	89,4	6	78,8
5	92,3	4	72,9
2,5	94,7	2	62,2
1	96,0	1	56,9
11. Вязкость жидкости изменяется с давлением и 1ем-
пературой. Эти зависимости выражаются формулами
р (р) = роеа (₽_₽о) (t = /0 == const)
204
и
Р- (О = IM~P (<~‘й) (Р = Ро’= const),
где Цо — вязкость при давлении р0 и температуре /0;
аир — опытные коэффициенты, различные для раз-
личных жидкостей.
При одновременном учете влияния давления и темпе-
ратуры
ц(р, f) = цое“ (р~р»’ -₽ (/-Ч (VII1-30)
Формула (VIII-30) позволяет решать задачи ламинар-
ного течения, в которых необходимо учитывать перемен-
ность вязкости.
Рассмотрим, например, ламинарное течение жидкости
в зазоре между двумя параллельными пластинками
(рис. VIII-17) под действием избыточного давления ри
при начальной температуре /0. Определим закон измене-
ния давления вдоль зазора, а также расход жидкости
через него.
Так как при движении жидкости работа сил трения
переходит в тепло, то между давлением и температурой
жидкости в каждом сечении зазора существует опреде-
ленная зависимость.
Пусть в некотором сечении х от входа избыточное дав-
ление равно р и температура /. Тогда, считая, что все
тепло, выделяемое в результат^ внутреннего трения, вос-
принимается жидкостью и не передается стенкам, можно за-
писать:
~Л =	(Ри — р)-
Обозначая
205
получим
t — tQ = k (pu — p).
Здесь C— удельная теплоемкость в Дж/(кг-К);
р — плотность в кг/м3.
Подставляя этот результат в формулу (VIII-30) и учи-
тывая, что на выходе давление атмосферное (р0 = 0),
получаем
ар—3 (р — p)k
р = рое
или
(a+|U) р—fikp
И = цое
Выделив элементарный участок зазора длиной dx,
можем записать по формуле (VIII-19)
dp   12pQ
~dx	ВЬ*~9
где Q — расход жидкости;
b — высота зазора;
В — ширина зазора.
Разделяя переменные
получим после интегрирования и несложных преобразо-
ваний следующий закон распределения давления по длине
зазора (см. эпюру давлений на рис. VI11-17):
1 h	1	1	। х ( (a+₽fe) ри i Ш
Р = --i—о7Г 1 1-/ 1 о м In 1  j- I#	— 1)1.
г a + рАц (а+Р&)рм L	'	d J
и расход
с_ Bb3 е(а+№рц-1
(а + ^)еар«
Обозначим
№ри — Г) .
12p0L ~
Qo — расход через зазор, вычисленный в предположе-
нии р = const = р0.
Таким образом, окончательно получим
(а+3&) р
Ч =
(а + $k) е Ри
(VIII-31)
206
Задачи
Задача VIх 1-1. Пластина площадью F движется с по-
стоянной скоростью и0 параллельно неподвижной гори-
зонтальной плоскости О—О, образуя с ней зазор, который
заполнен двумя жидкостями со значениями динамической
вязкости рц = 1,45П и р2 = 2,4П. Толщины слоев жидко-
стей Ьг = 0,8 мм и Ь2 = 1,2 мм.
Построить эпюры скоростей и касательных напряжений
в зазоре и определить силу трения Г, действующую на
пластинку, если ее площадь F ~ 1000 см2 и скорость пере-
мещения и0 = 0,4 м/с.
А
Л
№//777^^	7
К задаче VIП-1
Указание. Скорость на границе слоев игР определяется условием
равенства граничных касательных напряжений тх = т2, что дает
Bi
Ь1 Ъ2
Касательное напряжение, одинаковое по всему зазору, будет
Ответ. Т — 3,8 Н.
Задача VII1-2. Слой жидкости (Ь = 3 мм, кинемати-
ческая вязкость v - 1,5 Ст) равномерно движется под
действием силы тяжести по наклонной плоскости, состав-
ляющей с горизонтом угол а = 15°.
Найти закон распределения скоростей в слое, а также
определить расход жидкости, протекающей через попереч-
ное сечение слоя, шириной В = 1 см.
Ответ.
где у — координата, измеряемая по нормали к плоскости течения;
хч D § sin ci ,п , i-q о /
Q = В —5---------- № = 1,53 см3/с.
ov
207
Задача VII1-3. По слою жидкости, находящемуся на
наклонной плоскости, перемещается параллельно послед-
ней пластинка с постоянной скоростью п0.
Найти закон распределения скоростей в слое жидкости
и расход, а также определить касательное напряжение т0
на пластинке, если uQ = 0,2 м/с, а = 15°,' 6= 0,5 мм,
плотность р = 900 кг/м3 и динамическая вязкость жидкости
р = 2П.
Ответ.
у , gp .sin а „ 9Ч
“ =	2iT—
т0 — 80 Па.
Задача VIП-4. Пластинка, масса которой равна
т = 0,8 кг и площадь F = 64 см2, скользит в направля-
ющих по наклонному слою жидко-
сти, толщина которого равна Ь —
= 0,5 мм.
Определить динамическую вяз-
кость жидкости, если скорость рав-
К задаче VIП-5
К задаче VIII-4
номерного движения пластинки равна п0 = 0,5 м/с, угол
наклона плоскости к горизонту а = 12° и плотность
жидкости р = 900 кг/м3.
Ответ.
_ «gfesin a .PgfeLsin а = п
г Ещ>	2и0
Задача VIП-5. В подшипнике с кольцевой смазкой
слой жидкости подается из масляной ванны к трущимся
208
поверхностям при помощи непрерывно движущегося ремня
прямоугольного поперечного сечения.
Определить толщину слоя подаваемой смазки и ее
количество в секунду, если скорость движения ремия
uQ = 0,2 м/с и его ширина В = 0,02 м. Динамическая
вязкость жидкости р = 1,5П, плотность р = 900 кг/м3.
Построить эпюру скоростей в слое.
Указание. Скорость жидкости на внешней границе, слоя равна
нулю.
Ответ.
6=1/"= 2,6 мм; Q =	= 6,9 см3/с.
Г pg	Зц
zzZZzZZZZZZZZ/ZZZZZzZZZz
К задаче VIII-6
Задача VII1-6. Кольцевой канал между двумя соос-
ными цилиндрами, радиусы которых = 0,02 м и /?2 =
= 0,032 м, заполнен жидкостью, имеющей динамическую
вязкость р = 2П. Внутренний
цилиндр движется вдоль оси
С ПОСТОЯННОЙ скоростью И о =
= 0,5 м/с.
Определить:
1. Закон изменения скоро-
стей по радиусу, а также под-
считать силу трения Т на
длине I = 1 м внутреннего цилиндра и расход Q жидко-
сти в канале.
2. При каком значении радиуса внутреннего цилин-
дра расход будет наибольшим, считая радиус /?2
наружного цилиндра заданным.
Ответ.
1	^2
In ——
« = «о----
1п-^-
Q = 2ли(
1
lnZ
2лр/«0
= 1,35Н;
Г Rl~R? R; /?, ]
л/с'
209
Исследуя выражение для расхода на максимум, приходим к урав-
нению
где
т — 1 — In т = (In m)2,
Решая подбором, получаем т^б, т. е. максимум расхода будет
иметь место при 7?i^0,4/?2-
К задаче VIII-8
Задача VI11-7. Вязкость жидкости определяется на
ротационном вискозиметре путем измерения момента тре-
ния на внутреннем цилиндре.
Определить динамическую вязкость р, если равномер-
ное вращение внутреннего цилиндра (п = 90 об/мин)
достигается с помощью груза массой т = 0,5 кг, а раз-
меры вискозиметра: DQ = 150 мм, £>, = 160 мм, О2 =
-= 200 мм и L = 400 мм.
Предварительной тарировкой незаполненного виско-
зиметра установлено, что при частоте вращения и =
= 90 об/мин момент трения в сальнике и подшипниках
Мтр = 0,0735 Н-м.
Ответ, р = 3,5 П.
Задача VII1-8. Для смазки и охлаждения подшипника
вертикального вала турбины применен самосмаз, в котором
210
подача жидкости осуществляется при помощи трубки
полного напора, введенной в жидкость, заполняющую
ковш на валу турбины.
Пренебрегая влиянием силы тяжести на распределение
давления в ковше, определить, на каком диаметре Z)o
следует разместить входное отверстие трубки, чтобы в под-
шипнике был обеспечен расход Q = 0,15 л/с при частоте
вращения вала турбины п = 200 об/мин, если ставится
условие, чтобы свободная поверхность жидкости в ковше
находилась на диаметре Dx= 1 м.
Размеры: d = 12 мм; I = 4 м; Но = 3 м.
Кинематическая вязкость жидкости v = 0,36 Ст.
Учитывать только потери напора на трение по длине
трубки.
Ответ. DQ~ 1,5 м.
Задача VII1-9. В регуляторе скорости гидротурбины
применен так называемый гидравлический маятник. При
изменении числа оборотов регулируемой турбины изме-
няется расход жидкости, прокачиваемой насосом маят-
ника через калиброванную трубку, вследствие чего из-
меняется сила давления на поршень, и последний, меняя
поджатие пружины, оказывает воздействие на систему
регулирования.
Определить диаметр d калиброванной трубки так,
чтобы при подаче насоса Q = 0,39 л/с (что соответствует
рабочему числу оборотов турбины) сжатие пружины было
s0, == 60 мм.
211
Жесткость пружины С = 7,5 Н/см, длина трубки
I = 0,7 м и динамическая вязкость масла р, = 0,ЗП.
Диаметр поршня D = 30 мм.
Сопротивлением подводящих труб пренебречь.
Ответ, d = 8,5 мм.
Задача VII1-10. Движение жидкости происходит из
области с избыточным давлением р = 0,4 МПа в область,
где избыточное давление р2 = 0, последовательно через
две кольцевые щели одина-
ковой длины I = 40 мм.
Определить зазор Ь2 так,
чтобы избыточное давление
в промежуточной камере бы-
ло рг = если d2 ” 2di.
К задаче VIII-11
К задаче VIII-10
Вычислить касательные напряжения и т2 на ци-
линдрических поверхностях, образующих зазоры, а также
расход жидкости Q, если = 25 мм, Ьг = 0,252 мм, а
динамическая вязкость жидкости р = 10 П. Потери на-
пора на входе и выходе из кольцевых щелей не учитывать.
Ответ. Ь2 = 0,2 мм; = 0,63 кПа; т2 = 0,5 кПа; Q =. 0,525 см3/с.
Задача VIII-11. Во внутренней полости гидроцилиндра
поддерживается постоянное избыточное давление р ==
- 2МПа.
Определить наибольший допустимый радиальный за-
D — d	о	,
зор b = —— между стенкой цилиндра й плунжером
(d = 40 мм, I = 80 мм), если ставится условие, чтобы
утечки из полости высокого давления при наибольшем
эксцентрицитете положения плунжера не превосходили
величины Q = 5 см3/с при температуре масла (АМГ-10),
равной t = 100° С.
212
Как изменятся утечки, если вся конструкция охла-
дится до t0 = 0° С, и если плунжер выполнен из бронзы
(коэффициент линейного расширения а = 17,5-10"6 1/° С),
а цилиндр — из стали (а = 11,5-10“6 1/°С).
Кинематическую вязкость масла АМГ-10 взять из при-
лагаемого графика. Относительная плотность масла б =
= 0,85. Потерями напора при входе и выходе из зазора
пренебречь.
Ответ. 1) b = 0,034 мм; 2)	= 2,8.
v о
Задача VIII-12. В межтрубном кольцевом пространстве
движется жидкость (р — 0,9 П) в количестве Q = 0,1 л/с.
Определить потерю давления р на длине I = 3 м, если
D = 15 мм и d = 6 мм.
Сравнить с потерей в круглой трубе, имеющей равно-
великую площадь сечения.
Ответ, р— НО кПа; в трубе круглого сечения р=30 кПа.
АЛ р0
К задаче VIII-12	К задаче VIII-13
Задача VIII-13. В рабочей полости гидроцилиндра
поддерживается избыточное давление р = 7 МПа.
Определить утечки жидкости через кольцевую щель
при концентричном расположении поршня в цилиндре,
учитывая зависимость вязкости жидкости от давления и
температуры [см. формулу (VIII-31)].
Принять для рабочей жидкости:
р = 850 кг/м3; р0 = 0,8 П; С = 2,1 кДж/(кг-°С);
К-
Диаметр поршня D = 120 мм, его длина L = 140 мм,
радиальный зазор между поршнем и цилиндром b = 0,1 мм.
Ответ. Q = 0,92 «Qo; Qo == 20 см3/с.
Задача VII1-14. В цилиндр диаметром D = 25 мм
помещен поршень с четырьмя прорезями прямоугольного
сечения ($х&).
213
К задаче VII1-14
Пренебрегая потерями напора на входе и выходе, опре-
делить расход масла динамической вязкостью р = 1,5 П
по четырем прорезям из левой полости цилиндра, избы-
точное давление в которой равно р = 200 кПа, в правую,
где давление равно атмосферному.
Результат сравнить с расходом через кольцевую щель
той же площади.
Размеры прорези: 5 = 3 мм; b = 1,5 мм, I = 150 мм.
О	D2
Ответ. Q = 20,5 см3/с; ---= 0,0215 л2 -=— = 29,5.
Окольца	sb
Задача VIII-15. Масло подается к подшипнику из
магистрали по трубке (/0 = 0,8 м и d0 = 6 мм) через
кольцевую канавку шириной b = 10 мм, выполненную
в средней части подшипника. Длина подшипника I ~
= 120 мм, диаметр вала d = 60 мм, радиальный зазор bQ =
= 0,1 мм.
Избыточное давление масла в магистрали р = 160 кПа,
динамическая вязкость масла р = 1,4 П.
Принимая режим течения масла в трубке и зазоре ла-
минарным и пренебрегая влиянием вращения вала, опре-
делить количество вытекающего в оба торца масла в двух
случаях:
1) вал и подшипник расположены соосно;
2) вал располагается в подшипнике эксцентрично с от-
носительным эксцентрицитетом, равным
где d — диаметр вала;
D — диаметр подшипника;
а — абсолютный эксцентрицитет.
214
Ответ. При соосном расположении вала и подшипника
Q-Т- 128/0.......,Р3-(Г-^) =0’65 См3/С-
<4	<и>1
При эксцентричном расположении
128/0	^3 (/ — Ь) °’88 См3/С'
+ (1 + 1,5е2)^
К задаче VIII-15
К задаче VIII-16
Задача VIII-16. Масляный радиатор состоит из четырех
параллельных трубок эллиптического поперечного сечения.
Определить потерю напора в радиаторе при расходе
масла Q = 0,2 л/с, если а = 20 мм, b = 4 мм, длина каж-
дой трубки I = 300 мм и кинематическая вязкость масла
v = 1,5 Ст.
Потерями напора на входе в трубку и выходе из нее,
а также влиянием начального участка пренебречь; раз-
меры коллектора полагать большими по сравнению с по-
перечным сечением трубки.
Ответ.
4vl	а2b2	Q п9
hn ---------------г- = 0,24	м.
ng	а3Ь3	4
Задача VI1-17. Башмак пяты способен воспринимать
нагрузку благодаря избыточным давлениям, возникающим
в клиновом слое смазки, заполняющем зазор между дви-
жущейся опорной поверхностью и наклоненной к ней по-
верхностью неподвижного башмака.
Рассматривая течение жидкости в слое смазки как
плоское, построить эпюру давлений по длине башмака и
определить, какую нагрузку он может нести, если скорость
215
движения опорной поверхности uQ = 3 м/с и размеры:
L = 60 мм, = 0,2 мм, угол установки башмака ос =
= 0,25°, его ширина (размер в направлении, перпендику-
лярном плоскости чертежа) В = 150 мм. Динамическая
вязкость масла р = 0,8 П.
Ответ.
__ 6pw0 (х—a} [L—(х — «)]
~~ а2 (2а 4- L)	х2	’
Ло
где я —
ГщА±£
а2 L а
Исследуя полученное уравнение
Р — Ртах при L!а = 1,2.
^L у] В = 450 Н.
2а -f- L J
для Р на максимум, найдем
К задаче VIII-18
К задаче VIIM7
Задача VIII-18. В масляном демпфере с линейной
характеристикой (т. е. линейной зависимостью силы Р
от скорости поршня v) в качестве регулируемого сопро-
тивления, изменяющего перепад давлений в силовом ци-
линдре в зависимости от скорости поршня, используется
кольцевая щель, движение жидкости в которой предпо-
лагается ламинарным.
Определить необходимую длину I щели так, чтобы
в уравнении характеристики демпфера Р kv было k =
- 2000 Н-с/м.
До какой максимальной скорости vmax поршня ха-
рактеристика демпфера будет сохраняться линейной?
Динамическая вязкость жидкости р = 0,16 П; плот-
ность р = 890 кг/м3; активная площадь поршня силового
цилиндра F = 9 см2; радиальный зазор (дросселирующая
щель) b = 0,3 мм; диаметр щели d = 24 мм.
21.6
Ответ.
1 = = 24 ММ’ ^тах = 3,5 М^С’
К задаче VIII-20
К задаче VIII-19
Задача VIII-19. Определить момент дискового трения
при частоте вращения п = 400 об/мин, если зазор между
диском и корпусом (Ь ~ 0,5 мм) заполнен маслом, динами-
ческая вязкость которого равна р = 0,7 П.
Размеры диска: d = 20 мм; D — ПО мм.
Ответ.
d4^o,169 Н-м.
480 b	’
Задача VIП-20. Плун-
жер пресса, опускаясь
под действием постоянной
силы Р = 40 Н, выдавли-
вает масло лерез зазор,
равный b = 0,1 мм, из
цилиндра в атмосферу.
Считая, что плунжер
и цилиндр расположены
соосно, определить время
посадки плунжера при его начальном расстоянии от седла,
равном s = 0,1 м.
Длина щели I = 70 мм; диаметр плунжера d = 20 мм;
динамическая вязкость масла р = 0,8 П.
Указание. Учесть касательные напряжения, вызываемые фрик-
ционным течением жидкости в зазоре, а также касательные напряже-
ния, возникающие при напорном течении.
Ответ.
(л d _	3	\
лц ( 4 —•—|- 3 -ту- -]—-г- • —-у- ) si
r \ Ь Ь1 4	& j
3 /d3s	л	ОЛ
Т’W"nH==4 мин 24 с‘
Задача VIII-21. Торцовый зазор между поверхностью
диска диаметром DQ = 30 мм и плоскостью b = 1 мм.
Масло, динамическая вязкость которого равна р = 1,5 П,
подается к центру зазора по трубке с внутренним диа-
метром dQ — 5 мм под избыточным давлением = 90 кПа.
Требуется:
1)	построить эпюру давления по радиусу г диска;
2)	вычислить силу давления масла на диск;
217
3)	вычислить расход масла через зазор (скоростными
напорами и потерей входа в зазор пренебречь).
Ответ.
1) Р = Р1
'"4
2)	(' +2,птг)] “,5'4Н;
К задаче VIII-21	К задаче VIII-22
Задача VIH-22. Гидравлическая пята, частота вра-
щения которой равна п = 600 об/мин, должна восприни-
мать осевую нагрузку, равную Р = 400 Н.
Определить:
1. Избыточное давление р0, которое необходимо соз-
дать в центральном подводящем канале диаметром d0 =
= 12 мм, если наружный диаметр пяты £)0 = 45 мм.
2. Чему равен расход жидкости через торцовый зазор
пяты, если величина зазора b = 0,2 мм, динамическая
вязкость масла равна р = 0,64 П и его плотность р =
= 920 кг/м3.
Указание. При определении давлений, создаваемых полем центро-
бежных сил, принять угловую скорость вращения жидкости равной
половине угловой скорости вращения диска пяты.
Ответ.
8 in D° Гр 4_ ярш’ (гР
L +~256~ ( J
Ро=?
« [oS-d’(i+2l„
(Do-do) = °>89 МПа,
218
3|X	+ 2 In
= 44 cm3/c.
Задача VII1-23. Шестеренный насос подает масло
в количестве Q = 0,4 л/с в гидравлическую пяту с тор-
цовым зазором b =0,3 мм и кольцевым зазором а = 0,4 мм.
Определить осевое усилие, с которым жидкость дей-
ствует на пяту, а также давление нагнетания р, разви-
ваемое насосом, если размеры d = 15 мм; D = 50 мм;
I = 5 м; L = 100 мм. Давление в полости С — атмосфер-
ное. Местные потери напора не учитывать.
“о
К задаче VIII-24
Р
у
Плотность масла р = 900 кг/м3, его кинематическая^
вязкость v = 0,72 Ст.
Ответ, Р = 7400 Н; избыточное давление р == 5,3 МПа.
Задача VIII-24. Круговая пластинка диаметром £>,
находясь под действием силы Р, медленно опускается и
выдавливает слой жидкости, динамическая вязкость ко-
торой равна р.
Приняв течение жидкости ламинарным, определить
закон нарастания усилия на пластинке при движении пла-
стинки с постоянной скоростью по направлению к не-
подвижной плоскости.
Определить затем закон движения (путь—время),
если сила Р постоянна.
В течение каждого бесконечно малого промежутка
времени рассматривать движение жидкости как устано-
вившееся.
Решение. Пусть в некоторый момент времени t размер зазора
равен у. Выделим для этого момента времени в зазоре элементарную
кольцевую щель радиальной длиной dr.
219
Полагая приближенно течение в зазоре только радиальным, вос-
пользуемся для решения задачи уравнением (VIII-18) для плоской
щели. Будем иметь
= —12и —-—
dr	* 2лгу3 ’
где Q — расход, выдавливаемый пластинкой, движущейся согласно
условию с постоянной скоростью w0:
Q = лг2«0.
Разделяя переменные, интегрируя при постоянном значении у
и используя условие, что р — 0 при г — Р, получим следующий
закон распределения давления по радиусу пластинки:
р = ^(/?2_г2)1
Интегрируя вторично, находим силу давления
R
Р= \p2nrdr = ^.^^-.
О	у
Полагая в полученном выражении силу Р постоянной, выражая
dy	, Л
скорость в виде uQ =---и учитывая, что у = yQ при /=0, получим
после несложных преобразований закон движения пластинки у —
= f (0:
1___________
pt 7 г~ ’
3 ’ яр/?4 + У1
Задача VIII-25. В гидравлической пяте, воспринимаю-
щей нагрузку Р = 4000 Н, течение жидкости происходит
р
К задаче VIII-25
последовательно через два
сопротивления: трубку
= 2 мм, I — 150 мм) и тор-
цовый зазор (d2 = 40 мм,
d3 — 120 мм).
Определить расход жидко-
сти Q через пяту, а также
величину зазора 6, если дина-
мическая вязкость жидкости
р = 0,4 П, а избыточное дав-
ление в питающем резервуаре
р± = 1,0 МПа. Местные по-
тери напора не учитывать.
Ответ. Q = 10 см3/с; b =
= 0,1 мм.
220
Задача VHI-26. Прямоугольная пластинка, длина
которой / велика по сравнению с шириной А, выдавливает
слой вязкой жидкости, двигаясь с постоянной скоростью Uq
под действием силы Р.
Определить закон изменения усилия в зависимости от
величины зазора у, предполагая течение жидкости пло-
скопараллельным и в каждый бесконечно малый интервал
времени установившимся.
Указание. См. задачу VIП-24.
Ответ.
п 1 ( А V
К задаче VIП-26
К задаче VII1-27
Задача VI11-27. Определить время посадки клапана
насоса под действием пружины в спокойной жидкости от
начального полного подъема у0 = 5 мм до зазора у =
= 0,01 мм, принимая ламинарный характер течения в кла-
панной щели.
Жесткость пружины С — 5 Н/см, предварительный
натяг упр = 25 мм.
Изменением усилия в пружине при посадке клапана
пренебречь. Размеры клапана d = 60 мм и D = 80 мм;
динамическая вязкость жидкости р = 0,2 П.
Указание. См. задачу VII1-24.
Ответ.
plA* / 1
2Р у2
-И = 1-76 с,
% )
n(D+d)
2
Л = g и Р — СуПр.
221
Задача VII1-28. Н. Е. Жуковским была осуществлена
идея использования внутреннего трения жидкости как
средства для ее перемещения в виде так называемого шну-
рового насоса.
Определить секундную производительность такого на-
соса, если частота вращения приводного шкива п =
= 120 об/мин, диаметр шкива D = 0,3 м, диаметр шнура
dt = 10 мм, диаметр трубки d2 = 20 мм, длина трубки
I = 6 м, кинематическая вязкость жидкости v = 2 Ст,
высота подъема жидкости Н = 4 м.
Ответ.
nSH d4_d^
12SvZ 2	1
— 0,158 л/с,
где и0 — скорость шнура.
Задача VIП-29. В дисковом фрикционном насосе
в качестве полезного движущего усилия используется
сила трения, возникающая в жидкости при вращении
диска.
Определить секундную подачу жидкости при подъеме
ее на высоту Н = 1 м, если насос состоит из одного диска,
образующего с корпусом зазор b = 1,5 мм и вращающегося
при п = 600 об/мин. Динамическая вязкость перекачи-
222
ваемого масла р = 0,8 П, плотность р = 900 кг/м3.
Размеры D = 350 мм; d0 = 80 мм.
Принять угловую скорость вращения жидкости равной
половине угловой скорости вращения диска. Скоростными
напорами жидкости в балансе напоров пренебречь.
Ответ.
q= '	бныж— ^=0-06
К задаче VIII-30
Задача VII1-30. Мно-
годисковый фрикцион-
ный насос подает жид-
кость на высоту Н = 4 м.
Определить произ-
водительность насоса
при указанных на чер-
теже размерах, если
частота вращения на-
соса п = 900 об/мин,
а перекачиваемая жид-
кость имеет динамиче-
скую ВЯЗКОСТЬ |1 ~
= 0,6 П и плотность
р = 880 кг/м3.
Число дисков z = 5.
Вычисления произво-
дить, предполагая тече-
ние в зазорах между
дисками ламинарным.
Течение в зазорах между крайними дисками и стенками
не учитывать. Потерями напора в подводящих и отводящих
элементах насоса пренебрегать.
Ответ.
G)2
“	(£>2__J2) _ Н
* = -  6ц In B/d----- 0	= 6 Л/С*
Задача VIII-31. Определить давление нагнетания р
насоса в начале масляной магистрали, подающей смазку
к трем коренным подшипникам коленчатого вала авто-
мобильного двигателя, если подача насоса Q = 50 см3/с.
Размеры: d = 6 мм; d± = 4 мм, dQ = 40 мм; L = 1000 мм;
/ = 200 мм; s = 50 мм; а = 6 мм. Зазоры в подшипниках
считать концентрическими и равными b = 0,06 мм.
223
Кинематическая вязкость масла v — 0,36 Ст, его плот-
ность р = 900 кг/м3. Течение в трубах и зазорах считать
ламинарным. Потери напора в фильтре принять равными
Иф = 5 м. Влияние вращения вала не учитывать. Сопро-
тивлением распределительного канала пренебречь, счи-
тая, что каждому подшипнику подается 1/3Q.
Ответ.
Р =
^^+Р§Лф = 2,7 МПа.
1281 , 3(s — a)1 Q
d* +	М Зя
Фильтр
К задаче VIII-31
К задачам
VIII-32 и VIII-33
Задача VIП-32. Алюминиевый шарик (относительная
плотность = 2,6), имеющий диаметр d = 4 мм, сво-
бодно падает в жидкости, относительная плотность ко-
торой б = 0,9.
Определить динамическую вязкость жидкости, если
шарик, двигаясь равномерно, прошел путь s = 15 см
за время t = 30 с.
Указание. Воспользоваться формулой Стокса для силы сопротив-
ления жидкости, действующей на медленно движущийся шарик:
F = 12ftdjw0,
где — скорость его равномерного движения.
Ответ, р = 7,35 П.
Задача VII1-33. Для определения вязкости жидкости
и ее плотности наблюдают равномерное падение в ней
двух различных шариков, алюминиевого = 3 мм (отно-
сительная плотность бх = 2,6) и пластмассового d2 =
224
= 4,5 мм (62 = 1,4). Скорости равномерного движения
шариков равны соответственно:
ut = 0,5 см/с и н2 “ 0,2 см/с.
Вычислить кинематическую вязкость и плотность жид-
кости. См. указание к задаче VIII-32.
Ответ.
 1	^2 (р2 — Pl) о < к г
v==~79 г	= 3-15 Ст; -
U Р1ф2—Мги1
Задача VIII-34. Для определения вязкости масла
измеряется потеря напора при его прокачке через калиб-
рованную трубку диаметром d = 6 мм. Каково значение
динамической вязкости
масла, если при расходе
Q = 7,3 см3/с показа-
ние ртутного дифмано-
метр а, подключенного
к участку трубки дли-
ной 1 = 2 м, равно
h = 120 мм2?
Плотность масла
р = 900 кг/м3.
Ответ, ц = 0,033 П.
К задаче VIII-35
Задача VIП-35. Фрикционная подача масла осуще-
ствляется с помощью бесконечного ремня, образующего
с горизонтом угол а и движущегося с постоянной ско-
ростью v0. Ширина ремня равна В.
8 Д. А, Бутаев и др.	225
Определить к. п. д. такого насоса и расход подаваемого
им масла, если плотность масла р и его динамическая
вязкость [х. См. указание к задаче VII1-5.
Ответ, т] = —;
О
3 у pg sin а
ГЛАВА IX
РАСЧЕТ ПРОСТЫХ ТРУБОПРОВОДОВ
ВВЕДЕНИЕ
1.	Простым трубопроводом называют трубопровод,
по которому жидкость транспортируется от питателя
к приемнику без промежуточных ответвлений потока
(рис. IX-1).
Питателями и приемниками в гидросистемах могут
являться различные устройства — насосы и гидродви-
гатели, аккумуляторы,
резервуары и др.
Трубопровод может
иметь постоянный диа-
метр по всей длине,
или же может состоять
из ряда последователь-
но соединенных участ-
ков различного диа-
метра.
Исходным при ра-
счетах простого трубо-
провода является ура-
внение баланса напоров
(уравнение Бернулли)
для потока от сечения а в питателе перед входом в тру-
бопровод до сечения b в приемнике после выхода жид-
кости хиз трубопровода. При установившемся движении
жидкости имеем
2	2
Za +	+ ““ V = Zb +	+ аь + hn’
226
где S — сумма потерь напора на пути между выбран-
ными сечениями, состоящая из потерь на трение по длине
и потерь в местных сопротивлениях, расположенных на
трубопроводе. К местным потерям напора относятся также
потеря при входе потока из питателя в трубопровод и
при выходе потока из трубопровода в приемник.
Для удобства расчетов вводится понятие располагае-
мого напора трубопровода
который представляет перепад гидростатических напоров
в питателе и приемнике и выражается разностью пьезо-
метрических уровней в сечениях а и Ь.
Преобразуя уравнение баланса напоров, получаем
общий вид расчетного уравнения простого трубопровода
vl Va
H = ab-^—aa-^ + ^hn.	(IX-1)
Если площади сечений питателя и приемника доста-
точно велики по сравнению с сечением трубопровода (на-
пример, трубопровод, соединяющий два больших резер-
вуара), скоростными напорами жидкости в этих сечениях
можно при составлении баланса напоров пренебречь.
При этом расчетное уравнение приобретает вид
/7 = S/i„,	(IX-2)
отвечая процессу, в котором весь располагаемый напор
затрачивается на преодоление гидравлических сопротив-
лений.
Уравнение (IX-2) применимо также независимо от
размеров питателя и приемника в тех случаях, когда тру-
бопровод имеет достаточно большую длину, при которой
скоростные напоры на входе и выходе из трубопровода
оказываются пренебрежимо малыми по сравнению с по-
терями напора на трение по его длине.
2.	Применим уравнение (IX-2) к простому трубопро-
воду, который соединяет два больших резервуара с по-
стоянными уровнями жидкости и состоит из k последо-
вательных участков длиной и диаметром dt (рис. IX-2).
Заметим, что показанные на схеме уровни жидкости в ре-
зервуарах следует рассматривать в более общем смысле
как пьезометрические уровни в питателе и приемнике.
227
Выражая потери на трение по длине и местные потери
напора общими формулами
получим
где Vi — средняя скорость потока в каждом участке;
Ki и — коэффициент сопротивления трения и сум-
марный коэффициент местных сопротивле-
ний на каждом участке;
Vk — средняя скорость потока в выходном се-
чении трубопровода;
— потеря напора при выходе из трубопровода
в резервуар, равная скоростному напору
потока в выходном сечении трубопровода
(для турбулентного режима коэффициент
кинетической энергии 1; для лами-
нарного режима в круглой трубе ak = 2).
Используя уравнение расхода
Q =	= ...= V.F. = VkFki (IX-3)
получим расчетное уравнение трубопровода в форме
k
2
k
V
/7 =

(1Х-4)
228
где Fk — площадь выходного сечения трубопровода;
— площадь сечения участка диаметром dt.
Для простого трубопровода длиной I и постоянного
диаметра d уравнение (IX-4) при турбулентном режиме
имеет вид
н^=~	ux-5)
где SC — сумма коэффициентов местных сопротивлений
в трубопроводе.
Выражая скорость через расход и определяя числовой
множитель при g = 9,81 м/с2, получим
Н = 0,0827	+	+ 2	(IX-6)
Единицы измерения величин в этой формуле: /, d,
Н—м; Q — м3/с.
В ряде задач на определение пропускной способности
трубопровода при турбулентном режиме движения целе-
сообразно приводить уравнение (IX-5) к виду
г> = Ф1Л>дЛ; <р = —_	1 ;
У 1	+ 2с
где ф — коэффициент скорости трубопровода. При этом
расход выражается формулой
Q = pFy2gH,	(IX-7)
. ,	г nd2
где ц = Ф — коэффициент расхода и F = ------площадь
сечения трубопровода.
В случае истечения жидкости из большего резервуара
через трубопровод в атмосферу (рис. IX-3) уравнение Бер-
нулли имеет вид
vl
H=^k-± + ^hn,	(IX-8)
где Н — располагаемый напор трубопровода, опреде-
ляемый высотой пьезометрического уровня
в резервуаре-питателе над центром выход-
ного сечения трубопровода;
vl
&k -----скоростной напор в выходном сечении;
У hn — сумма потерь напора в трубопроводе.
229
Так как потеря напора при выходе потока из трубопро-
вода в данном случае отсутствует, уравнение (IX-8) при
подстановке в него выражений потерь переходит в урав-
нение (IX-4). Следовательно, приведенные выше расчет-
ные зависимости являются общими для трубопровода
с истечением как под уровень, так и в атмосферу.
3.	Графики напоров, построение которых дано на
рис. IX-2 и IX-3, показывают изменение по длине трубо-
провода полного напора потока и его составляющих.
Линия напора (удельной механической энергии потока)
строится путем последовательного вычитания потерь,
нарастающих вдоль потока, из начального напора потока
(заданного пьезометрическим уровнем в питающем резер-
вуаре). Пьезометрическая линия (дающая изменение гид-
ростатического напора потока) строится путем вычитания
скоростного напора в каждом сечении'из полного напора
потока.
Величина пьезометрического напора
Ри
Pg
каждом
сечении (ри — избыточное давление) определяется на
графике заглублением центра сечения под пьезометриче-
ской линией; величина скоростного напора av1 2/2g — вер-
тикальным расстоянием между пьезометрической линией
и линией напора х. Построение графика напоров для вер-
тикального трубопровода дано на рис. IX-4. Напоры
в
1 На участках местной деформации поток#, где ход изменения на-
поров может быть показан только качественно, линии напоров даны
пунктиром.
230
в каждом сечении откладываются здесь по горизонтали
таким образом, чтобы ось трубы являлась началом от-
счета пьезометрических напоров.
4.	Если часть длины трубопровода находится под ва-
куумом (например,' сифонный трубопровод, рис. IX-5),
необходима проверка величины наибольшего вакуума
в опасном сечении С:
(IX-9)
где h — высота сечения С над начальным пьезоме-
трическим уровнем в баке-питателе;
v — скорость в этом сечении;
S ^/г. с — сумма потерь напора на участке трубопро-
вода до этого сечения.
Для обеспечения нормальной (бескавитационной) ра-
боты трубопровода должно выполняться условие
Рв. С < Рат Рн. п>
где рат — атмосферное давление;
Рн. п — давление насыщенных паров * жидкости при
данной температуре.
5.	При достаточно большой относительной длине ~
трубопровода скоростной напор v2/2g пренебрежимо мал
по сравнению с общей, потерей напора в трубопроводе.
Для длинного трубопровода постоянного диаметра рас-
231
четное уравнение (IX-5) или (IX-6) можно поэтому за-
менить приближенным:
(х4+М=о>О827^(х^+20- (1Х-10)
Рис. IX-5
При расчете длинных трубопроводов, в которых доми-
нируют потери на трение по длине, целесообразна замена
местных сопротивлений эквивалентными длинами по соот-
ношению
=	(IX-11)
При такой замене расчетное уравнение (IX-10) можно
представить в форме, отвечающей трубопроводу без мест-
ных сопротивлений:
= |L = o,O827X^-Q2,	(IX-12)
где L = I + S Ч — приведенная длина трубопровода.
Для трубопровода, состоящего из k последовательных
участков различного диаметра, имеем аналогичное соот-
ношение
k
Н = 0,0827Q2 “df	(IX-13)
.1
График напоров для длинного трубопровода строится
упрощенно (рис. IX-6), поскольку относительная малость
232
скоростных напоров позволяет рассматривать линию на-
пора и пьезометрическую линию как практически совпа-
дающие.
6.	Расчет трубопровода на основе приведенных выше
соотношений связан с выбором коэффициентов местных
сопротивлений £ и коэффициентов сопротивления трения %.
Значения £ при турбулентном режиме см. в гл. VII и при-
ложении 3. Значения X при различных режимах движения
жидкости определяются следующими зависимостями:
1. Ламинарный режим (Re ^2000). Коэффициент со-
А 64
противления трения л == и потеря напора на трение
32v/u - 128v/Q
hn.m— gd2 — ngdi •
(IX-14)
2.	Турбулентный режим (Re 3000):
а)	Область гидравлически гладких труб. Коэффи-
циент сопротивления трения может определяться по фор-
муле Конакова
1__________*______
~ (1,8 IgRe — 1,5)1 2 *
и формуле Блазиуса
X	(Re^lO5),
/Re
(IX-15)
(IX-13)
233
в соответствии с которой потеря напора на трение (ве-
личины — в международной системе единиц)
0,25/^1,75
/i;1.т = 0,0246	..... (IX-17)
Зависимость X от Re для гидравлических гладких труэ
Re	A 	Re	л	Re	к
4 000	0,0400	40 000	0,0225	400 000	0,0140
6 000	0,0360	60 000	0,0200	, 600 000	0,0130
8 000	0,0335	80 000	0,0190	800 000	0,0120
10 000	0,0315	100 000	0,0180	1 000 000	0,0115
15 000	0,0285	150 000	0,0165	2 000 000	0,0105
20 000	0,0270	200 000	0,0155	3 000 000	0,0100
К указанной области сопротивления относятся техни-
чески гладкие трубы (цельнотянутые из цветных метал-
лов — медные, латунные, свинцовые; стеклянные трубы
и др.) во всем диапазоне их практического использования
по числам Re, а также стальные трубы до значений числа
Рейнольдса, ориентировочно равных Rea4 = 20 (А —
эквивалентная абсолютная шероховатость).
б)	Переходная область. Значения X в функции Re
и относительной гладкости d/A для стальных труб по
данным Мурина (Всесоюзного теплотехнического ин-
ститута им. Ф. Э. Дзержинского) приведены на графике
приложения 4.	<
Близкое совпадение с опытными значениями дает уни-
версальная формула Альтшулля (применимая во всех
областях турбулентного режима)
* =	+	(IX-18)
Средние значения эквивалентной шероховатости для
стальных цельнотянутых труб новых А == 0,1 мм и бывших
в употреблении (незначительно корродированных) А =
= 0,2 мм. Верхняя граница переходной области ориен-
тировочно определяется выражением
ReK6 = 50f)-^-.
234
в)	Область гидравлически шероховатых труб (квадра-
тичная область).
Значения % в функции -д даются формулой Нику-
радзе
А = --------------у	(IX-19)
(21g -J- + 1,14)
или близкой к ней формулой Шифринсона
л = о,п (4-)0’25-	(ix-20)
Для старых водопроводных (стальных и чугунных)
труб, значительно корродированных в результате длитель-
ной эксплуатации (А 1 мм), применимо также выра-
жение (d в м)
(IX-21)
и !з
Зависимость к от в квадратичной области
d Д	К	d Д	А	d Д	А
100	0,0379	1100	0,0192	2 500	0,0159
200	0,0304	1200	0,0188	3 000	0,0153
300	0,0269	1300	0,0184	3 500	0,0148
400	0,0249	1400	0,0181	4 000	0,0144
500	0,0234	1500	0,0178	5 000	0,0137
600	0,0223	1600	0,0176	6 000	0,0132
700	0,0216	1700	0,0173	7 000	0,0128
800	0,0207	1800	0,0171	8 000	0,0125
900	0,0202	1900	0,0169	9 000	0,0122
1000	0,0197	2000	0,01-67	10 000	0,0120
V2
Для труб некруглого сечения (например, прямоуголь-
ные, овальные и др.) потери напора на трение по длине
выражаются общей формулой
и г Л_________
т ~~ “ 0г 2g ’
в которой v — средняя по сечению скорость и Ог — ги-
дравлический диаметр сечения. Последний представляет
235
отношение учетверенной площади F сечения трубы к его
периметру S:
и для круглой трубы совпадает с геометрическим диаме-
тром (Ц> = d).
Значения коэффициента сопротивления трения X опре-
деляются по формулам, приведенным выше для круглых
труб, с заменой в них диаметра d на De.
7. Можно различать три основные задачи расчета про-
стого трубопровода, методика решения которых выясняется
ниже на примере трубопровода постоянного диаметра.
Задача I. Даны: расход жидкости Q, ее свойства (v),
размеры трубопровода Z, d и шероховатость его стенок Д.
Найти требуемый напор Н.
Порядок решения задачи:
1. По известным Q, d, v находится число Рейнольдса
Re = 4Q/?idv и определяется режим движения жидкости.
2. В случае ламинарного режима напор Н опреде-
ляется из формулы
(IX-22)
где L — приведенная длина трубопровода, равная L =
= I + S /3; эквивалентные длины 13 местных сопротивле-
ний при ламинарном режиме в трубопроводе существенно
зависят от числа Рейнольдса
При турбулентном режиме напор Н определяется из
формул (IX-6) (короткий трубопровод) или (IX-12) (длин-
ный трубопровод с преобладающими потерями на трение),
в которых по известным Re, d и Д выбираются соответ-
ствующие величины X, £ и 1Э.
Задача II. Даны: располагаемый напор Я, размеры
трубопровода /, d, шероховатость его стенок Д и свойства
жидкости (v).
Найти расход Q.
1. Определяется режим движения путем сравнения
напора Н с его критическим значением (см. задачу V-19
гл. V):
(IX-23)
236
Если Н < Нкр, режим ламинарный, если Н > Нкр —
турбулентный.
2. Задача решается методом последовательных при-
ближений. В случае ламинарного режима расход опре-
деляется из формулы (IX-22), в которой последователь-
ными приближениями уточняются выбранные значения
эквивалентных длин местных сопротивлений и приведен-
ной длины трубопровода L.
В случае турбулентного режима в качестве первого
приближения принимается квадратичная область со-
противления, в которой по известным d и Д определяются
значения X и позволяющие найти из формул (IX-6)
или (IX-12) расход Q. Подсчет Re по найденному Q дает
возможность уточнить значения коэффициентов сопро-
тивлений и определить расход во втором приближении,
что обычно оказывается достаточным.
Для технически гладких труб в качестве первого при-
ближения целесообразно, использовать при нахождении
расхода формулу Блазиуса, по которой имеем
И = 0,0246 v°,25£g1,75	(IX-24)
’	d4’75
причем следует предварительно оценить приведенную
длину трубопровода L с учетом имеющихся местных со-
противлений.
Целесообразно графическое решение задачи, основан-
ное на построении характеристики трубопровода — гра-
фика зависимости требуемого напора И (перепада гидро-
статических напоров) от расхода Q (рис. IX-7).
Характеристика строится по уравнениям связи между
Н и Q, привёденным выше для ламинарного и турбулент-
237
кого режимов, с учетом зависимости А, и £ от Re, т. е.
от расхода Q.
Заметим, что при турбулентном режиме в трубопроводе
значения £ в большинстве случаев весьма слабо зависят
от Re и в расчетах могут приниматься постоянными.
Для длинного трубопровода указанная характери-
стика может рассматриваться как зависимость суммарных
потерь напора в трубопроводе от расхода:
s hn = f (<3)-
Графический прием, исключающий необходимость в по-
следовательных приближениях, особенно удобен для тру-
бопровода из нескольких участков различного диаметра,
характеристика которого, позволяющая находить расход Q
по напору Н, получается суммированием ординат харак-
теристик отдельных участков (рис. IX-8).
Задача III. Даны: располагаемый напор Н, расход Q,
длина трубопровода /, шероховатость его стенок Д и
свойства жидкости (v).
Найти диаметр трубопровода d.
1. Определяется режим движения путем сравнения
напора Н с его критическим значением (см. задачу V-20
гл. V)
(1Х-25)
Если Н <« Нкр, режим ламинарный, если Н j> Нкр —
турбулентный.
2. Задача решается графически, путем построения
зависимости требуемого напора Н от диаметра трубопро-
238
вода d при заданном расходе Q. Задавая ряд значений d,
для каждого из которых определяются величины %, t
и 1Э с учетом области сопротивления, вычисляют соответ-
ствующие значения напора Н из приведенных выше урав-
нений связи между Н и Q.
Результаты подсчетов сводятся в график Н = f (d)
(рис. IX-9), позволяющий по заданному Н определить d
и далее уточнить необходимую величину Н при выборе
ближайшего большего стандартного диаметра.
^1^
Рис. IX-11
8. В качестве примера расчета короткого трубопровода
определим скорость истечения и расход для трубы длиной I
и диаметром d при заданном напоре Н (рис. IX-10) и для
той же трубы с присоединенным к ней сходящимся или
расходящимся насадком (рис. IX-11 и IX-12); редким дви-
жения жидкости предполагается турбулентным.
Для трубы без насадка получим по формуле (IX-5)
,/=^(1+4+£-+Ч-
откуда скорость истечения
V = ф V 2gН, где ф = —--------- - ..=_=
z	у I +	+ £>вх +
и расход
Q = МЛ V2.gH, где |л = ф и ~.
239
Значения коэффициентов местных сопротивлений (входа
и задвижки Q и коэффициента сопротивления трения к
в первом приближении определяются в предположении
квадратичной области сопротивления.
Для трубы с насадком выходной площадью F2 и коэффи-
циентом сопротивления получим по формуле (IX-4)
Рис. IX-12
откуда скорость истечения
v2 = ф V^gH\ Ф = —1
F2
и расход Q2 =	р = ф (при отсутствии сжатия
струи на выходе из насадка).
Сравнение формул для коэффициента скорости ф
показывает, что присоединение сходящегося насадка (F2 <*
< FJ, коэффициент сопротивления которого всегда пред-
ставляет малую величину, увеличивает скорость исте-
чения (с/2 > 0. Отсюда, в частности, следует, что при
расчете трубопровода с таким насадком нельзя пренебре-
гать скоростным напором выхода даже при большой отно-
сительной длине lid трубопровода.
Присоединение расходящегося насадка (F2 > ^i)
уменьшает скорость истечения (v2 < v).
240
Чтобы выяснить, как изменяется расход, найдем
скорость в трубе
F2
Ц = V2 =
V^gH______________
Fl i
+ Ch) ~p2* “b "J* “Ь Евл; + b
F2
Присоединение сходящегося насадка уменьшает ско-
рость в трубе < v) и, следовательно, расход Q (t\ О
при F2—> 0). Для расходящегося насадка t/j > v, и
расход увеличивается.
Эти изменения расхода связаны с тем, что в концевом
сечении трубы перед сходящимся насадком возникает
избыточное давление, а перед расходящимся насадком —
вакуум (см. графики напоров).
Задачи
Задача IX-1. Вода сливается из бака А в бак В по
трубопроводу, диаметр которого d = 80 мм и полная
длина L = 21 = 10 м. Из бака В вода вытекает в атмо-
сферу через цилиндрический насадок такого же диа-
метра di = 80 мм (коэффициент расхода р, = 0,82).
К задаче IX-2
Коэффициенты сопротивления колена и вентиля в трубе
= 0,3 и = 4; коэффициент сопротивления трения
X - 0,03.
Определить, какой напор Н нужно поддерживать
в баке Л, чтобы уровень в баке В находился на высоте
h = 1,5 м.
Ответ. Н = 9,6 м.
Задача IX-2. Поршень диаметром D = 200 мм дви-
жется равномерно вверх в цилиндре, засасывая воду из
241
открытого резервуара с постоянным уровнем. Диаметр
трубопровода d = 50 мм; длина каждого из трех его уча-
стков' Z — 4 м; коэффициент сопротивления каждого из
колен = 0,5; коэффициент сопротивления трения X =
- 0,03.
Когда поршень находится выше уровня в резервуаре
на h = 2 м, потребная для его перемещения сила равна
Р - 2350 Н.
Определить скорость подъема поршня и найти, до
какой высоты Лшах его можно поднимать с такой скоростью
без опасности отрыва от него жидкости, если давление
насыщенных паров воды рн,п
К задаче IX-3
= 32 мм рт. ст., ее плот-
ность р = 995 кг/м3 (/ =
= 30° С) и атмосферное
давление рат = 740 мм
рт. ст.
Весом поршня, трением
его о стенки и потерями
напора в цилиндре пре-
небречь.
Ответ, vn~ 0,212 м/с;
^шах —4 м.
Задача IX-3. Вода вытекает в атмосферу из резервуара
с постоянным уровнем по трубопроводу диаметром d =
= 100 мм, состоящему из горизонтального и наклонного
участков одинаковой длины I = 50 м. Горизонтальный
участок заглублен под уровень на h± = 2 м, наклонный
участок имеет высоту h2 = 25 м.
Каков должен быть коэффициент сопротивления £
задвижки, установленной в наклонном участке трубопро-
вода, чтобы вакуумметрическая высота в конце горизон-
тального участка не превосходила 7 м? Какой расход
будет при этом в трубопроводе?
Построить график напоров по длине трубопровода.
Коэффициент сопротивления трения принять равным
% = 0,035, потерю напора на повороте не учитывать:
Ответ. £ = 20,5; Q — 24 л/с.
Задача IX-4. По сифонному трубопроводу, для кото-
рого задан напор Н = 6 м, необходимо подавать расход
воды Q = 50 л/с при условии, чтобы вакуумметрическая
высота в сечениях трубопровода не превосходила 7 м.
Опасное сечение С расположено выше начального уровня
242
воды нй h = 4 м, длина восходящей линии трубопровода
до этого сечения равна = 100 а нисходящей линии
12 — 60 м. Трубопровод снабжен приемным клапаном с сет-
кой = 5) и задвижкой.
Определить диаметр трубопровода d и коэффициент
сопротивления задвижки £, удовлетворяющие условиям
задачи.
Для коэффициента сопротивления трения восполь-
зоваться формулой (IX-21), потерями на поворотах пре-
небрегать.
Построить график напоров по длине трубопровода.
К задаче IX-4
К задаче IX-5
Задача IX-5. Определить максимальный расход воды,
который можно подавать в бак, снабженный сифонной
сливной трубой диаметром d = 100 мм и общей длиной
L = Юм, если выходное сечение трубы ниже предельного
уровня в баке на Нг = 4 м. Труба имеет два сварных ко-
лена (£ = 1,3) и вентиль (£ = 6,9). Коэффициент сопро-
тивления входа в трубу tex “ 0,5. Коэффициент сопро-
тивления трения X = 0,025.
Определить вакуум в сечении С, если это сечение выше
предельного уровня на h = 1,5 м и длина участка трубы
до него / = 4,5 м.
Каков будет вакуум в этом сечении, когда уровень
в баке понизится на Н2 = 2 м?
Указание. Из-за срыва потока у внутренней стенки в сечении С
возникает сжатие потока (коэффициент сжатия 8 = 0,5), вызыва-
ющее местное понижение давления. Потерями напора на участке по-
ворота в колене до этого сечения можно пренебрегать.
Ответ. Q == 19 л/с, рв — 34,3 и 44,1 кПа.
243
Задача IX-6. Жидкость вытекает из открытого бака
в атмосферу по вертикальной трубе диаметром d = 40 мм.
Пренебрегая сопротивлением входа в трубу и приняв
ее коэффициент сопротивления трения равным X — 0,04:
1) установить зависимости расхода Q и избыточного
давления ри в начальном сечёнии трубы А от уровня h
воды в баке и высоты трубы /;
2) указать, при каком уровне
h давление в сечении А будет
К задаче IX-6
равно атмосферному и расход не будет изменяться с вы-
сотой трубы;
3) построить в масштабе графики напоров по высоте
трубы при I = 2 м и двух значениях уровня h = 0,5
и 2 м.
Ответ.
1)
Q-
Zg(h + l)
1 +х-Г
4'+>
2) при h =
— ,1 м избыточное давление ри = 0 и расход
а=-
Ри = pgl
nd2
~4~
Y %gh независимо от высоты I.
Задача IX-7. При истечении воды из большого резер-
вуара в атмосферу по горизонтальной трубе, диаметр ко-
торой d = 40 мм и длина I = 10 м, при статическом на-
поре Н = 10 м получено, что уровень в пьезометре, уста-
новленном по середине длины трубы, равен h = 4,5 м.
Определить расход Q и коэффициент сопротивления
трения X трубы. Сопротивлением входа в трубу пренебре-
гать.
Ответ. Q = 5,5 л/с; X = 0,036.
244
Задача 1Х-8. Резервуары А и В с постоянными уров-
нями воды соединены двумя параллельными трубами оди-
наковой длины I = 8 м, диаметры которых равны dr =
= 40 мм и d2 = Ю мм.
Определить разность уровней Н в резервуарах и рас-
ходы Qi и Q2 в трубах, если известно, что показание ртут-
ного дифманометра, присоединен-
ного к трубам по середине их
длины, равно h = 67 мм.
К задаче IX-8
К задаче IX-9
Потерями входа в трубы пренебрегать, значения коэф-
фициента сопротивления трения принять для них равными
- 0,02 и - 0,04. .
Построить графики’напоров для обеих труб.
Ответ. Н = 10 м; Qx — 7,9 л/с; Q2 = 0,19 л/с.
Задача IX-9. Вода подается в открытый верхний бак
по вертикальной трубе ('d = 25 мм; I = 3 м; h = 0,5 м)
за счет избыточного давления М в нижнем замкнутом
баке.
Определить давление М, при котором расход Q =
= 1,5 л/с.
Коэффициент сопротивления полностью открытого вен-
тиля £ = 9,3. Коэффициент сопротивления трения опре-
делить по заданной шероховатости трубы Л = 0,2 мм.
Построить график напоров по высоте трубы.
Ответ. М = 0,15 МПа.
Задача IX-10. . Какой предельной длины L можно
сделать пожарный рукав диаметром D = 65 мм, если при
давлении М = 0,8 МПа (по манометру на гидранте)
245
подача через установленный на конце ствола насадок, вы-
ходной диаметр которого d — 30 мм, должна равняться
Q = 1,2 м3/мин?
Ствол поднят выше манометра на h = 10 м; коэффи-
циент сопротивления ствола с насадком £ = 0,1 (сжатие
струи на выходе отсутствует). Местные потери в рукаве не
учитывать.
1г=?к0м
(1х=80мм
di-ЮОми d.2=200MM
К задаче IX-11
Задачу решить, предполагая, что используются непро-
резиненные (X = 0,054) и прорезиненные (X = 0,025)
рукава.
Ответ. L = 17 и 37 м.
Задача IX-11. Для горизонтального трубопровода,
размеры которого указаны на схеме, определить расход Q
при заданном избыточном давлении М = 0,4 МПа и
уровне воды в резервуаре h = 5 м.
Коэффициенты сопротивления вентиля С — 4 и сопла
t = 0,06 (сжатие струи на выходе из сопла отсутствует).
Шероховатость каждого из участков трубопровода А =
— 1 мм (старые водопроводные трубы).
Как изменится Q, если диаметр первого участка уве-
личить до d± = 200 мм?
Построить графики напоров по длине трубопровода.
Ответ. Q — 68,4 и 129 л/с.
Задача IX-12. Наполне-
ние бассейна из магистрали
с заданным, избыточным да-
влением М = 245 кПа про-
изводится по горизонтальной
трубе общей длиной /=45 м,
снабженной вентилем (? =
= 4) и отводом (£ = 0,3).
246
Определить диаметр трубы, который обеспечит на-
полнение бассейна количеством воды W = 36 м3 за время
t = 30 мин.
Для коэффициента сопротивления трения восполь-
зоваться формулой (IX-21).
Ответ, d — 80 мм.
Задача IX-13. По трубопроводу размерами 1± = 5 м,
dr — 20 мм; /2 = 5 м, d2 = 40 мм подается бензин (о =
= 765 кг/м3, v = 0,005 Ст) из бака с избыточным давле-
нием М = 90 кПа в расположенный выше бак, где под-
держивается вакуум V = 30 кПа; разность уровней
в баках h = 6 м.
Шероховатость трубопровода Д = 0,1 мм, коэффи-
циент сопротивления полностью открытого вентиля £ = 4.
Определить расход бензина и найти значение £, при
котором расход уменьшится в 2 раза.
В обоих случаях построить графики напоров по длине
трубопровода.
Ответ. Q == 1,2 л/с; = 45.
Задача IX-14. Сопоставить истечение воды под по-
стоянным напором Н = 50 м через трубопровод диаме-
тром D = 250 мм, длиной L = 400 м и через тот же тру-
бопровод с присоединенным к нему сходящимся насадком
d ~ 100 мм.
В обоих случаях определить расход Q, мощность
струи N и к. п. д. трубопровода щтр, а также построить
графики напоров по длине трубопровода.
Коэффициент сопротивления трения в обоих случаях
принять одинаковым и равным Л = 0,02, коэффициент
247
сопротивления насадка £ = 0,06 (сжатие на выходе из
насадка отсутствует).
Указание. Мощность струи N = pQv2/2 и к. п. д. трубопровода,
определяемый как отношение скоростного напора струи на выходе
из трубопровода к располагаемому перепаду статических напоров т]тр =
= v42gH, где v — выходная скорость.
Ответ. Без насадка Q = 266 л/с, N = 3,9 кВт; т|шр = 3% 
С насадком Q = 179 л/с, N = 46,6 кВт, т]шр — 53%.
Задача IX-15. Мощность Л\ = 300 кВт передается
потоком воды от насоса к гидродвигателю по горизонталь-
ному трубопроводу длиной L — 1500 м и диаметром D =
= 400 мм при расходе Q = 0,2 м3/с.
Найти величину мощности, теряемой в трубопроводе,
принимая коэффициент сопротивления трения X = 0,03.
Какое давление р± развивает насос в начале трубопро-
вода и каково давление р2 перед гидродвигателем в конце
трубопровода?
Указание. Общее выражение мощности потока .
N ( р' + 'Т+^г);
для данного случая принять 2=0.
Ответ. Nn = 30 кВт; избыточное давление рг = 1,5 МПа; р2 =
= 1,35 МПа.
Задача IX-16. По напорному стальному трубопроводу
диаметром D = 0,3 м и общей длиной L = 50 км вода
подается насосом на высоту h± = 150 м в количестве
Q = 6000 м3 за сутки.
1. Определить потерю напора hn в трубопроводе и
давление нагнетания рн насоса, учитывая только сопро-
тивление трения по длине, если шероховатость стенок
трубопровода Л = 0,2 мм и кинематическая 'вязкость
воды v = 1,3 • 10"2 Ст.
248
2. Найти вакуум с в сечении С, расположенном выше
выходного сечения трубопровода на h2 = 35 м; длина
участка трубопровода между этими сечениями I = 10 км.
Ответ. hn~ 150 м и рн = 3 МПа; рв. с = 0,05 МПа.
Задача IX-17. Для трубопровода диаметром D =
= 0,5 м и длиной £ = 1000 м, снабженного в конце соплом
и работающего под напором Н = 400 м, установить за-
висимость мощности струи на выходе из сопла и к. п. д.
трубопровода от диаметра d выходного отверстия сопла.
Определить, при каком значении d мощность струи
будет максимальной. Каков будет при этом к. п. д. тру-
бопровода Г)^?
В трубопроводе учитывать только потери на трение
по длине (X == 0,02). Коэффициент сопротивления сопла
С = 0,04, сжатие струи на выходе отсутствует.
См. указание к задаче IX-14.
Ответ. Максимум мощности имеет место при
D У 2KL/D ’
К задаче IX-17
d = 0,17 м; Пир = 64%.
Задача IX-18., Какова максимальная мощность, кото-
рую можно получить в турбинной установке, работающей
под заданным располагаемым напором Н = 180 м, еслй
напорный трубопровод, подводящий воду к турбине, имеет
длину L = 2200 м и диаметр D = 1,2 м, а к. п. д. тур-
бины пт =7 0,88? Каковы будут при этом расход через
турбину Q и к. п. д. трубопровода г[тр?
В трубопроводе учитывать только потери на трение
по длине, приняв X0,02.
249
Указание. Полезная мощность установки
N = Qpg (Н — hn) i]m,
где hn — потеря напора в трубопроводе.
К. п. д. трубопровода
Пользуясь формулой для потери напора
An = 0,0827X-^Q3,
исследовать на максимум выражение для мощности N в зависимости
от расхода Q.
Ответ, Nmax — 6600 кВт;
Q-
н
3-0,08272, -А
D5
= 6,4 м3/с;
Лтр — 2/3.
Задача IX-19. Система водяного отопления с естествен-
ной циркуляцией состоит из водогрейного котла, в ко-
Расширитель
Калорифер
тором вода нагревается до темпе-
ратуры tr = 95° С, и. кольцевого
трубопровода общей длиной 1= 16 м
и диаметром d = 50 мм, включаю-
щего калорифер, где вода охла-
ждается до t2 = 65° С. Разность
высот между центрами котла и ка-
лорифера h = 4 м.
Определить расход циркулирую-
щей в кольце воды, принимая, что
местные потери напора составляют
50% потерь трения по длине и пре-
небрегая охлаждением воды в тру-
К задаче IX-19 бах. Шероховатость трубопровода
Д = 0,2 мм. Плотность воды при
температуре tr — 95° С равна р2 = 962 кг/м3 и при
/2 - 65° С р2 = 980 кГ/м3.
Указание. Движение жидкости в кольце поддерживается за счет
разности плотностей столбов жидкости в вертикальных участках кольца
высотой h. Применяя уравнение Бернулли для участков кольца с тем-
пературами и /2 (между центрами котла и калорифера), приходим
к соотношению
(р2	Р1) Р1Лп1 + р2^П2>
250
где hni и hn2 — потери напора на этих участках, равные:
Л/ц - Ai “J- 2? 
h
Вводя понятие термостатического напора
Рт = (Ра — Pi) eh
и принимая средние значения р, v и X, получаем расчетное уравнение
в виде
, L &
где L — приведенная длина всего кольца с учетом местных сопротив-
лений.
Задачу решить графически, построив в соответствии с последним
уравнением зависимость - потребного термостатического напора рт
от скорости v. Коэффициент сопротивления трения X определять по
графику приложения 4.
Средние значения плотности и ки-
нематической вязкости воды принять по
средней температуре tcp ~ 80° С:
р ~ 972 кг/м3, v = 0,367 сСт.
Ответ. Q = 0,635 л/с.
Задача IX-20. В котельной
установке с естественной тягой
при расходе дымовых газов М =
= 18 000 кг/ч вакуум у основа-
ния дымовой трубы (обусловлен-
ный сопротивлением газового
тракта) должен быть рв = 200 Па.
Определить, какую высоту Н
должна иметь труба, создающая такой вакуум, если ее
диаметр d = 1 м.
Средняя плотность дымовых газов рх = 0,6 кг/м3 и
окружающего атмосферного воздуха р2 = 1,2 кг/м3. Коэф-
фициент сопротивления трения в трубе принять X = 0,03.
Указание. Из уравнения Бернулли для движения дымовых газов
в трубе
Н
d
Pi
Pig
Р2
Pig
V2
2g’
где Pi и р2 — значения абсолютного давления дымовых газов у осно-
вания трубы в сечении 1 и в ее выходном сечении 2.
251
Обозначив рат атмосферное давление на уровне основания трубы,
получим:
Р1 “ Рат Рв и Р% ~ Рат	•
Ответ. Н — 40 м.
Задача IX-21. Центробежный насос осуществляет забор
воды из бассейна по самотечной трубе через промежуточный
колодец. Размеры самотечной трубы L = 20м,О = 150 мм
и всасывающей линии насоса I = 12 м, d = 150 мм. На-
сос расположен выше уровня воды в бассейне на h = 2 м.
Определить расход воды, откачиваемой насосом, если
известно, что вакуумметрическая высота во всасывающем
патрубке насоса равна 6 м.
К задаче IX-21
К задаче IX-22-
Коэффициент сопротивления трения в трубах принять
Z = 0,03 (значения коэффициентов местных потерь ука-
заны на схеме).
Какой будет при этом расходе разность уровней г
в бассейне и колодце?
Ответ. Q— 38,5 л/с; г — 1,7 м.
Задача IX-22. Для подачи воды в количестве Q
= 2,1 м3/мин на расстояние L 400 м под напором Н =
= 9 м можно использовать наличные чугунные трубы
диаметрами dr = 150 мм и d2 = 200 мм.
Определить необходимые длины участков трубопро-
вода, принимая шероховатость труб А = 1,2 мм.
Какой напор потребуется при заданном Q, если вы-
полнить весь трубопровод диаметром dx = 150 мм?
Ответ. 150 м и L2 — 250 м; Н — 17,5 м.
Задача IX-23. В топливной системе самолета бензин
поступает к насосу из бака с атмосферным давлением по
252
всасывающему трубопроводу общей длиной / = 3 м и
диаметром d = 15 мм в количестве Q = 0,2 л/с. В тру-
бопроводе установлены фильтр (£ = 2) и кран (£ = 0
при полном открытии).
Определить, на какой минимальной глубине h под
баком нужно расположить вход в насос, чтобы при полете
на высоте 5 км (где атмосферное давление рат —
= 400 мм рт. ст.) с ускорением а = 12 м/с2 по горизон-
тали давление на входе в насос было не меньше
350 мм рт. ст.
Расстояние по горизонтали от входа в трубопровод до
насоса sa = 2 м. Трубопровод рассматривать как гидрав-
лически гладкий, потери на поворотах не учитывать.
Относительная плотность бензина 6 = 0,72, его кинема-
тическая вязкость v = 0,007 Ст.
Указание. Воспользоваться уравнением Бернулли для относитель-
ного движения жидкости в трубопроводе при поступательном переме-
щении последнего с ускорением а:
2	2
, , Pi , Ш1 _ . , Ра , W'2 . а , ! h
?i+pF +V 2+р? + -2?+7 а+ п’
где sa — проекция относительной траектории между выбранными
сечениями на направление ускорения.
Ответ. h= 2 м.
К задаче IX-24
Задача IX-24. Прибор для дозировки небольших коли-
честв жидкости состоит из цилиндра, в котором находится
поплавок, снабженный сифонной трубкой.
Определить расходы воды (v = 0,01 Ст) и химической
жидкости (v = 0,1 Ст), если диаметр и длина трубки d ==
253
= 5 мм, I = 600 мм; выходное сечение трубки расположено
ниже свободной поверхности на h = 250 мм. Учитывать
только потери на трение по длине трубки.
Указание. Для определения режима движения жидкости в трубке
воспользоваться выражением критического напора (IX-23), сравнив
с ним величину располагаемого напора h. При турбулентном режиме
коэффициент сопротивления трения -определять по формуле (IX-16).
Ответ. Q = 20,5 и 6,3 см3/с.
Задача IX-25. В поверхностном конденсаторе паровой
машины охлаждающая вода проходит по двум последова-
тельным секциям (ходам), каждая из которых содержит
250 параллельных латунных трубок длиной L = 5 м и
диаметром d = 16 мм. Диаметр входного и выходного
патрубков для воды D = 250 мм.
Определить потерю напора в конденсаторе при рас-
ходе воды Q = 360 м3/ч.
Учитывать потери напора на трение в трубках (рассма-
тривая их как гидравлически гладкие) и местные потери
напора (вход в трубки £вх = 0,5, выход из трубок £вых =
= 1). Кинематическая вязкость воды v = 0,9 сСт.
Ответ. hn — 3,85 м.
К задаче IX-?5
К задаче IX-26
Задача IX-26. Противоточный переохладитель для
аммиака выполнен в виде четырех последовательных сек-
ций, каждая из которых образована двумя концентриче-
скими трубами. По внутренней трубе, диаметр которой
dr = 30 мм и толщина стенки 2,5 мм, течет вода, по между-
трубному пространству — жидкий аммиак (диаметр внеш-
ней трубы d2 = 50 мм). Общая длина внутренней трубы
Lj = 22 м, длина каждой секции L2 = 4 м, диаметр со-
единительных патрубков между секциями d3 = 35 мм.
254
Определить потери напора в переохладителе для воды
и аммиака, если массовый расход воды М1 = 4000 кг/ч
(v = 1,2-10’2Ст) и аммиака Л42 = 2200 кг/ч (относи-
тельная плотность 6 = 0,61 и динамическая вязкость
р - 0,225 -10-2 П при t - 20° С).
Трубы принимать гидравлически гладкими, коэффи-
циент сопротивления входа в соединительный патрубок
£ = 0,5 и выхода из него £ = 1. Потерями на плавных
поворотах внутренней трубы пренебрегать.
Указание. Потери на трение по длине для воды и аммиака опре-
делять по формуле
/ V2
hn. т = А, ~ ,
принимая для гидравлически гладких труб
.	0,316
— 4 -- ’
/Re
где Re = —(D3 — гидравлический диаметр, равный 4F/%; F*— пло-
щадь и % — периметр сечения).
Ответ. Вода hnl = 2,1 м, аммиак hn2= 1,5 м.
К задаче IX-27
Задача IX-27. Вода подается в цилиндр пресса гидрав-
лическим грузовым аккумулятором по стальному трубо-
проводу длиной L = 180 м и диаметром d = 50 мм. Масса
подвижных частей аккумулятора т = 40 т, диаметр его
плунжера Dx = 220 мм и к. п. д. рабочего хода =
- 0,95.
Определить усилие Р, развиваемое прессом при двух
значениях скорости его плунжера и = 0,1 и 0,2 м/с.
Диаметр плунжера пресса D2 = 300 мм, к. п. д. ра-
бочего хода пресса т]2 = 0,95 (весом плунжера пренебре-
гать).
255
Шероховатость стенок трубопровода Д = 0,2 мм, мест-
ные потери составляют 10% потерь на трение. Вязкость
воды v = 1,25 сСт.
Ответ. Р = 610 и 460 кН.
Задача IX-28. Определить давление на входе в шесте-
ренчатый насос системы смазки, подающий Q = 60 л/мин
масла при температуре t = 20° С (кинематическая вяз-
кость масла v = 2 Ст, относительная плотность 6 = 0,92).
Длина стального всасывающего трубопровода / =
= 5 м и диаметр d = 30 мм, его шероховатость А = 0,1 мм.
Входное сечение насоса расположено ниже свободной
поверхности в маслобаке на h = 2 м. Как изменится дав-
ление перед насосом, если масло нагреется до темпера-
туры t - 80° С (v = 0,1 Ст, 6 = 0,87)?
Местные потери в трубопроводе принимать равными
10% потерь на трение по длине.
Ответ. рв = 30 кПа и ри = 10 кПа.
К задаче IX-28
Задача IX-29. По самотечному сифонному трубопро-
воду длиной L = 44 м и необходимо обеспечить расход
нефти (5 = 0,9, v = 1 Ст) Q = 1 л/с при напоре Н = 2 м.
1. Найти требуемый диаметр D трубопровода, учиты-
вая только потери напора на трение по его длине.
2. Определить допустимое превышение h сечения К
над уровнем в верхнем резервуаре, если это сечение нахо-
дится на середине длины трубопровода, а вакуум не дол-
жен превышать рв = 53 кПа.
Ответ. D = 55 мм, h = 5 м.
Задача IX-30. По трубопроводу постоянного диаметра
подается заданный расход жидкости. Определить, на
сколько процентов необходимо увеличить диаметр трубо-
256
провода, чтобы уменьшить в нем потерю напора на тре-
ние в 2 раза.
Задачу решить, предполагая, что имеют место: 1) ла-
минарный режим; 2) турбулентный режим в области ги-
х 0,316 \
дравлически гладких труб { л —	| ; 3) турбулент-
\ ’ У Re /
ный режим в области гидравлически шероховатых труб
Ответ. Диаметр необходимо увеличить на 19; 16 и 14%.
Задача IX-31. Температура мазута, перекачиваемого
по горизонтальному трубопроводу диаметром D = 150 мм
и длиной L ~ 5 км, меняется в связи с климатическими
условиями от t = 10° С до t = 30° С.
Определить потерю давления в трубопроводе при по-
стоянном расходе мазута Q ~ 50 л/с и трех значениях
температуры t = 10, 20 и 30° С, воспользовавшись при-
веденным графиком зависимости кинематической вяз-
кости v и относительной плотности мазута 6 от темпера-
туры. Шероховатость стенок трубопровода А = 0,1 мм.
Ответ. \р = 5,4; 4,9 и 3,9 МПа.
' Задача IX-32. Выяснить влияние подогрева нефти на
пропускную способность самотечного стального трубопро-
вода длиной L — 10 км и диаметром D = 200 мм (шеро-
ховатость А = 0,2 мм), работающего под постоянным на-
пором Н = 45 м, определив расход нефти при четырех
значениях ее температуры t = 10, 20, 30 и 40° С.
9 Д. А. Бутаев и др.	257
Воспользоваться приведенным графиком зависимости
вязкости нефти v от температуры.
Указание. По формуле (IX-23) предварительно определить значе-
ние vKP, отвечающее переходу ламинарного режима в турбулентный
при заданном напоре Н (приняв ReKp = 2300).
Ответ. 10,8; 21,6; 20,3 и 2’1,8 л/с.
длиной I = 40 м
Задача IX-33. Сравнить расход воды (v = 10"2 Ст),
турбинного масла (v = 1 Ст) и цилиндрового масла (v =
= 10 Ст) при температуре t = 20° С по стальному трубо-
проводу длиной L = 200 м и диаметром D = 100 мм (ше-
роховатость Д = 0,1 мм) при
одинаковом напоре Н = Юм.
Ответ. 17,2; 12 и 1,2 л/с.
Задача IX-34. Купорос-
ное масло при t = 25° С
(р = 20 сП, 6 = 1,84) вы-
жимается из бака в атмо-
сферу давлением воздуха
ри = 0,3 МПа по трубе
гаясь на высоту h = 8 м.
Определить диаметр трубопровода, при котором объем
масла W = 3 м3 будет выжиматься из бака за Т = 5 мин,
если шероховатость трубы Д — 0,05 мм и местные потери
составляют 25% потерь на трение (изменением h в про-
цессе выжимания масла пренебрегать).
Указание. Задачу решить графически, построив зависимость по-
требного напора Н от диаметра d при заданном расходе. Для определе-
ния режима движения найти критический напор по формуле (IX-25),
приняв = 2300, и сравнить его с располагаемым напором И =
= Pu'Pg — Л-
Ответ. d~ 67 мм; округляя до d = 70 мм, получим необходимое
давление ри = 0,27 МПа.
Задача IX-35. Вода в количестве Q — 12 л/с пере-
качивается по стальному трубопроводу диаметром d =
= 125 мм, длиной L = 1000 м.
Определить потери напора при возрастающих значе-
ниях шероховатости в процессе старения трубы Д = 0,1;
0,2 и 1,2 мм. Кинематическая вязкость воды v == 0,01 Ст.
Значения X определить по графику приложения 4.
Ответ. hn = 7,9; 8,8 и 14,8 м.
258
Задача IX-36. Сравнить потери напора на трение
в круглой и квадратной трубах равной длины и равной
площади сечения при одинаковом расходе данной жидко-
сти, предполагая, что в трубах имеют место: 1) ламинарный
режим; 2) турбулентный режим (квадратичная область
сопротивления), причем шероховатость труб одинакова.
Указание. Потери на трение подсчитывать по общей формуле
I
4F
где D3=--------гидравлический диаметр (F — площадь и % — пе-
риметр сечения).
При ламинарном режиме коэффициент сопротивления трения для
А .	64	56,9 n vD3
круглой трубы л =	и для квадратной л =	, где Re — —~—
число Рейнольдса, определяемое по гидравлическому диаметру.
При турбулентном режиме в квадратичной области для обеих
труб принять:
Ответ. Отношение потерь напора в квадратной и круглой трубах
равно при ламинарном режиме 1,13 и при турбулентном 1,16.
К задаче IX-36
К задаче IX-37
Задача IX-37. Во сколько раз увеличится потеря
напора на трение в трубе при заданном расходе, если ква-
дратное сечение трубы заменить прямоугольным сечением
той же площади с отношением сторон hlb = 0,1?
Задачу решить для ламинарного режима и турбулент-
ного режима в квадратичной области.
Указание. См. задачу IX-36; для прямоугольной трубы с h/b — 0,1
л 84,7
при ламинарном режиме Л = —.
Ответ. Потеря напора увеличится при ламинарном режиме в 4,5
раза, при турбулентном — в 2 раза.
259
Задача IX-38. Во сколько раз увеличится расход
данной жидкости, пропускаемый трубопроводом при
неизменном располагаемом напоре, если диаметр трубо-
провода на половине его длины увеличить вдвое?
Учитывать только потери на трение по длине, предпо-
лагая, что в сравниваемых трубопроводах будут иметь
место: 1) ламинарный режим; 2) турбулентный режим
/а	0,316 \
в области гидравлически гладких труб л = —4- —- | ;
\	/Re /
3) турбулентный режим в области гидравлически шерохо-
ватых труб ^ = 0,11 в п°следнем случае считать
шероховатость Д одинаковой для обоих участков трубо-
провода.
Ответ, Расход увеличится в 1,88; 1,45 и 1,39 раза.
Задача IX-.39. По горизонтальному трубопроводу дли-
ной L = 17 км необходимо перекачивать нефть (плотность
р = 920 кг/м3, кинематическая вязкость v = 0,2 Ст),
массовый расход которой М == 200 т/ч, при условии,
чтобы падение давления в трубопроводе не превышало
Др = 4 МПа. Шероховатость трубопровода Д = 0,2 мм.
Определить, каков должен быть диаметр трубопровода.
Ответ, D = 200 мм.
Задача IX-40. Определить массовый расход мазута
в междутрубном пространстве трубопровода длиной L =
= 600 м и диаметром D = 200 мм, внутри которого соосно
расположена труба внешнего
диаметра d — 100 мм, если
известно, что потеря давления
в трубопроводе равна Др =
= 0,3 МПа.
Плотность мазута р =
= 920 кг/м3, его кинематиче-
ская вязкость v = 1 Ст. Шеро-
ховатость стейок трубопровода
Д = 0,1 мм.
Как изменится потеря давления, если при том же объ-
емном расходе мазута его плотность и вязкость в резуль-
тате подогрева станут равными р = 900 кг/м3 и v = 0,2 Ст?
Указание. Предварительно определить режим движения в трубо-
проводе, подсчитав критическую скорость vKP и критическую потерю
давления &ркр, которые отвечают верхней границе ламинарного ре-
260
К задаче IX-40
жима ReK0 — 2300. Потерю давления при ламинарном режиме опреде-
лять по формуле
Др = 8ix
Lv
R\ + R\-
R^-Rl
ln§-
1
где R2 и Rt — радиусы кольцевой трубы;
v — средняя скорость;
р—динамическая вязкость жидкости.
Ответ. М. = 85 т/ч; Др = 0,125 МПа.
Задача IX-41. Определить расход масла, перетекаю-
щего по трубе из бака А в бак В, и располагаемый напор Я,
если показание ртутного дифманометра, присоединенного
одной ветвью к баку А и другой ветвью — к сечению на
середине длины трубы, равно hpm = 440 мм.
Длина трубы I = 10 м, ее диаметр d = 20 мм и шеро-
ховатость Д = 0,01 мм.
Плотность масла р = 850 кг/м3, его кинематическая
вязкость v = 4 сСт.
Ответ. Q — 1,25 л/с; Н — 12 м.
Задача IX-42. Вода< вытекает из бака в атмосферу
по горизонтальной трубе, на которой установлены два
пьезометра. Диаметр трубы d = 50 мм, длина каждого
из трех ее участков, разделенных- пьезометрами, I = 4 м.
Определить напор Я в баке и расход воды, если из-
вестно, что при полностью открытой задвижке (£ = 0),
установленной на участке между пьезометрами, разность
их показаний ДЛ = 3 м.
261
Шероховатость трубы Л = 0,5 мм, кинематическая
вязкость воды v = 1 сСт.
Найти, как изменятся расход и разность показаний
ДА при том же напоре в баке, но частично прикрытой
задвижке (С = 30).
Потерей напора при входе в трубу пренебрегать.
В обои случаях построить графики напоров по длине
трубы.
Ответ. Н — 10 м; Q = 8,64 л/с; Q = 4,32 л/с; Ай = 8,25 м.
Задача IX-43. Насос откачивает бензин из подземного
резервуара по всасывающему трубопроводу, диаметр кото-
рого d = 100 мм, длина I — 120 м, шероховатость Д =
= 0,1 мм. Уровень бенЗина в резервуаре ниже оси насоса
на Яо = 3,8 м, давление в резервуаре рат = 755 мм рт. ст.
Плотность бензина р = 750 кг/м3, его кинематическая
вязкость v = 0,01 Ст.
Определить расход бензина из резервуара, если из-
вестно, что абсолютное давление всасывания насоса равно
рвс = 42 кПа.
Местные потери напора в трубопроводе принять рав-
ными 10% от потерь трения по его длине.
Ответ. Q = 13,5 л/с.
Задача 1Х-44. Определить силу Р, которую нужно
приложить к поршню насоса диаметром D = 65 мм, чтобы
подавать в напорный бак постоянный расход жидкости
Q = 2,5 л/с.
Высота подъема жидкости в установке Но = 10 м,
избыточное давление в напорном баке р0 = 0,15 МПа.
Размеры трубопровода I ~ 60 м, d — 30 мм; его шеро-
ховатость Д = 0,03 мм. Коэффициент сопротивления вен-
262
тиля на трубопроводе £ = 5,5. Потери напора на плавных
поворотах трубопровода не учитывать.
Задачу решить для случаев подачи в бак бензина (р —
= 765 кг/м3, v = 0,4 сСт) и машинного масла (р =
«= 930 кг/м3, v = 20 сСт).
Трением поршня в цилиндре пренебречь.
Ответ. Р = 1500 и 2350 Н.
Задача IX-45. Поршень диаметром D = 60 мм, дви-
гаясь равномерно, всасывает керосин (р = 850 кг/м3,
v = 2 сСт) из открытого бака при атмосферном давлении
Рат = 750 ММ рТ. СТ.
Высота’ всасывания
z0 = 3 м.
Всасывающая труба
(шероховатость А =
= 0,05 мм) имеет раз-
меры Z = 8 м; d =
— 20 мм. Коэффициент
сопротивления каждого
из колен на трубе
= 0,4.
Определить максимально возможную скорость vn дви-
жения поршня по условию кавитации в цилиндре, если
известно, что давление насыщенных паров керосина равно
рн,п = 125 мм рт. ст.
Какова при этом внешняя сила Р, которая должна быть
приложена к поршню?
Трением поршня в цилиндре пренебречь.
Построить график напоров.
Ответ. vn = 0,36 м/с, Р = 235 Н.
Задача IX-46. В системе объемного гидропривода
пневмогидравлический аккумулятор с избыточным давле-
нием воздуха pQ = 5 МПа питает маслом силовой гидро-
цилиндр диаметром D = 60 мм.
Плотность и кинематическая вязкость масла р =
= 910 кг/м3, v = 0,2 Ст.
Соединительная латунная трубка (шероховатость
А = 0,01 мм) имеет размеры I = 12 м и d = 15 мм.
Определить скорость vn установившегося движения
поршня гидроцилиндра, когда к нему приложена полез-
ная нагрузка Р = 12 кН.
263
Какой станет скорость поршня при сбросе полезной
нагрузки (Р = 0)?
Местные сопротивления трубки (вход, повороты и ар-
матура) принять равными 30% от сопротивления трения
по ее длине.
Утечками и трением поршня в гидроцилиндре пренеб-
регать.
Задача IX-47. В установке поршневого гидродвига-
теля располагаемый напор воды равен Н — 40 м. Вода
подводится к полости высокого давления цилиндра по
трубе размерами lL = 60 м, = 150 мм и отводится от
полости низкого давления по трубе/2 = Юм, d2 = 150 мм.
Шероховатость обеих труб А = 0,5 мм.
Диаметр поршня Dx = 400 мм и его штока D2 =
— 120 мм. Определить скорость vn установившегося движе-
ния поршня, когда к нему приложена полезная нагрузка
Р = 40 кН.
Местные потери напора в трубах при полностью откры-
той задвижке (£ = 0) принять равными 15% от суммар-
ной потери трения по их длине. Вязкость воды v — 1 сСт.
Найти, каким должен стать коэффициент сопротивле-
ния t, частично прикрытой задвиэКки, чтобы скорость дви-
жения поршня при заданной полезной нагрузке умень-
шилась в 2 раза.
Утечками и трением поршня в цилиндре пренебречь.
Указание. Гидродвигатель, производящий полезную работу за
счет располагаемого напора воды в установке, следует рассматривать
как полезное сопротивление, падение напора в котором равно
264
где Ар — перепад давлений в полостях цилиндра, равный
Лр = —------'
Ответ. vn ~ 0,37 м/с; £ = 43,5.
Задача IX-48. Определить расход жидкости (кинема-
тическая вязкость которой v = 0,5 Ст) по трубке разме-
рами I = 10 м, d = 20 мм при располагаемом напоре
Н = 30 м.
Для учета потерь напора в местных сопротивлениях
(вход в трубку, колено 90° и нормальный вентиль) вос-
пользоваться приведенными зависимостями относитель-
ных эквивалентных длин Ijd этих местных сопротивле-
ний от числа Рейнольдса Re при ламинарном режиме
движения в трубке.
Указание. Задачу решить графически, построив характеристику
трубопровода Н = f (Q). Потерю напора при выходе жидкости из трубки>
в бак учесть с помощью соответствующей эквивалентной длины, опре-
деляемой из общей формулы
Jl-J
d Л ’
в которой при ламинарном режиме £ = а и X =
Ответ. Q= 1,45 л/с.
64
Re ’
Задача XI-49. Найти отношение потерь напора в дан-
ной трубе при турбулентном и ламинарном режимах дви-
265
жения данной жидкости, расходы которой в обоих слу-
чаях одинаковы. Расчет выполнить для значения числа
Рейнольдса Re = 10б, предполагая трубу при турбулент-
ном режиме гидравлически гладкой.
Ответ. Отношение потерь напора равно —28.
ГЛАВА X
РАСЧЕТ СЛОЖНЫХ ТРУБОПРОВОДОВ
ВВЕДЕНИЕ
Сложный трубопровод имеет разветвленные участки,
состоящие из нескольких труб (ветвей), между которыми
распределяется жидкость, поступающая в трубопровод
из питателёй.
Сечения трубопровода, в которых смыкаются несколько
ветвей, называются узлами.
В зависимости от структуры разветвленных участков
различают следующие основные типы сложных трубопро-
водов: с параллельными ветвями; с концевой раздачей
жидкости; с непрерывной раздачей жидкости; с кольце-
выми участками. В практике встречаются также разно-
образные сложные трубопроводы комбинированного типа.
Как и при расчете простого трубопровода (см. гл. IX),
можно выделить три основные группы задач расчета слож-
ных трубопроводов:
1.	Определение размеров труб по заданным в них рас-
ходам и перепадам напоров в питателях и приемниках.
2.	Определение перепадов напоров в питателях и при-
емниках, необходимых для обеспечения требуемых расхо-
дов в трубах заданных размеров.
3.	Определение расходов в трубах заданных размеров
по известным перепадам напоров.
Последние две группы задач представляют поверочные
расчеты существующего трубопровода, выясняющие усло-
вия его работы при различных значениях гидравлических
параметров.
Встречаются также задачи смешанного типа, представ-
ляющие комбинации йз указанных выше основных групп
задач.
Для решения сформулированных задач составляется
система уравнений, которые устанавливают функциональ-
266
ные связи между параметрами, характеризующими по-
токи жидкости в трубах, т. е. размерами труб, расходами
жидкости и напорами. Эта система состоит из уравнений
баланса расходов для каждого узла и уравнений баланса
напоров (уравнений Бернулли) для каждой ветви трубо-
провода.
Поскольку обычно сложные трубопроводы являются
длинными, в уравнениях Бернулли можно пренебрегать
скоростными напорами, принимая полный напор потока
в каждом расчетном сечении трубопровода практически
равным гидростатическому и выражая его высотой пьезо-
метрического уровня над принятой плоскостью сравнения.
Кроме того, в сложных трубопроводах можно также
пренебрегать относительно малыми местными потерями
напора в узлах. Это значительно упрощает расчеты, по-
скольку позволяет считать одинаковыми напоры потоков
в концевых сечениях труб, примыкающих к данному узлу,
и оперировать в уравнениях Бернулли понятием напора
в данном узле.
Потери напора в трубах выражаются формулой
2
+ S 2g ’
которую для расчета удобно привести к виду
hnl = 0,0827X^(2?.	(X-I)
В этих выражениях1:
и dL — длина и диаметр трубы;
vt — средняя скорость потока в трубе;
Хг — коэффициент сопротивления трения;
— коэффициент местного сопротивления;
L( — приведенная длина трубы (учитывает мест-
ные сопротивления с помощью их эквива-
лентных длин //э);
Li = li + li3-,	=
k	л I
1 Числовой множитель в формуле (Х-1) равен , где ускоре-
ние свободного падения g выражено в м/с2.
267
Конкретный' вид системы расчетных уравнений и спо-
собы ее решения определяются типом сложного трубопро-
вода и характером поставленной задачи. Для получения
однозначного решения система расчетных уравнений дол-
жна быть замкнутой, т. е. число независимых неизвест-
ных в ней должно быть равно числу уравнений.
Ниже рассматриваются способы расчета основных
типов сложных трубопроводов.
1. Трубопроводы с параллельными ветвями
В таких трубопроводах разветвленные участки со-
стоят из нескольких труб, соединяющих два данных узла
(рис. Х-1, где ряд параллельных ветвей соединяет узлы А
и В).
Общая расчетная схема трубопровода с параллельными
питатель; трубу, подводя-
щую жидкость к развет-
вленному участку; парал-
лельные трубы на раз-
ветвленнохм участке; тру-
бу, отводящую жидкость
от разветвленного участ-
ка; приемник.
В частных случаях
некоторые элементы этой
схемы могут отсутствовать.
Составляя для рассма-
триваемого трубопровода
уравнения баланса рас-
ходов в узлах, имеем
Q==Qi+ ...	+	+	(Х-2)
где индекс i относится к любой из параллельных труб и
Q = Qnode ~ Qome — расход в подводящей и отводящей
трубах (магистральный расход).
Составляя уравнения Бернулли для каждой из труб,
получаем
// Уд hn
У А — Ув ~~ ^пь
(Х-3)
У В	Ьпотв'
268
В этих уравнениях Н — напор трубопровода; уА
и ув — напоры в узлах, отсчитанные от уровня в прием-
никё.
Сравнивая уравнения Бернулли, записанные для па-
раллельных труб, приходим к соотношению
hrii * * * hni ‘ • * hnn, (Х-4)
которое показывает, что потери напора в параллельных
трубах равны между собой. Следовательно, потеря напора
в разветвленном участке между узлами равна потере на-
пора в любой из параллельных труб, соединяющей эти
узлы:
hn - hni.	(Х-5)
Суммирование потерь напора в последовательно рас-
положенных участках сложного трубопровода (подводя-
щая труба, разветвленный участок, отводящая труба)
приводит к соотношению
Н hn поде
~4~ hn + hn отв
hn поде "4“ hni “4“ hfl отв.
(X-6)
которое выражает баланс напоров в сложном трубопро-
воде с параллельными ветвями.
269
Таким образом, система расчетных уравнений, с уче-
том формулы (Х-1), может быть приведена к виду
Q = Qi + • • • + Qi 4* • • • + Qn<
0.0827М A Qi = • • • = 0,0827%,- 4 $ =
dj	d,
= ... = 0,0827^ Q2„;
ап
H = 0,0827^ 4^ Q2nodS +
^подв
(Х-7)
+ 0.0827Х,- 4 $ + 0.0827AOme ^Q2m9-
4	dome
Поскольку в длинных трубах скоростными напорами
можно пренебрегать, потеря напора в каждой из парал-
лельных труб практически равна разности h пьезометри-
ческих уровней в узлах (см. рис. Х-1).
hni= ••• ~hni— ••• = hm = h. (Х-8)
Система уравнений (Х-7) позволяет решить любую
из сформулированных выше задач.
Решение этой системы приходится выполнять методом
последовательных приближений, так как, не зная размеров
труб или идущих по ним расходов, нельзя точно опреде-
лить величины коэффициентов сопротивления Х£ и £ik
в этих трубах.
Для решения системы в первом приближении прини-
мают, что в трубах имеет место квадратичный закон со-
противления и значения Xz и определяются только
шероховатостью труб (см. гл. VII и IX).
Решив уравнения с выбранными значениями коэффи-
циентов сопротивлений и определив искомые величины,
повторяют решение во втором приближении, пользуясь
более точными значениями X, и вычисленными по
расходам и диаметрам труб, которые получены в первом
приближении. Приближения повторяют до практического
совпадения получаемых результатов. Обычно уже второе
приближение оказывается достаточно точным.
В ряде случаев при аналитическом решении системы
уравнений (Х-7) удобно заменить пучок параллельных
труб одной эквивалентной трубой, которая пропускает
весь расход, проходящий через параллельные трубы,
270
при потере напора, равной потере на разветвленном
участке.
1 Размеры эквивалентной трубы (диаметр d9 и длина L9)
связаны с размерами параллельных ветвей соотношением
___ п	___
<х-9>
1
При расчете этим способом схема трубопровода с па-
раллельными ветвями приводится к схеме простого тру-
бопровода, в который эквивалентная труба входит как
один из последовательных неразветвленных участков.
Для схемы трубопровода, показанной на рис. Х-2,
уравнение баланса напоров в этом случаеч имеет вид
Н = 0,0827^ Q2 + 0,0827Хэ Q2 +
“node	da
+ 0,0827^^ Q2.	(Х-10)
“отв
Решение системы уравнений (Х-7) для трубопровода
с заданными размерами при различных постановках задач
расчета удобно получать в ряде случаев графическим ме-
тодом. Чтобы выполнить такое решение, прежде всего
строятся характеристики всех труб системы по уравне-
нию (Х-1).
Характеристика представляет собой зависимость по-
терь напора в трубе от расхода. При турбулентном тече-
нии в трубе ее характеристика является практически ква-
дратичной параболой; при ламинарном течении в длинной
трубе — практически прямой (см. гл. IX).
Характеристики параллельно работающих ветвей за-
тем суммируются согласно уравнениям (Х-2) и (Х-4),
т. е. путем сложения абсцисс кривых (расходов) при оди-
наковых ординатах (напорах). Полученная в результате
такого суммирования характеристика разветвленного
участка может рассматриваться как характеристика экви-
валентной трубы, заменяющей данные параллельные.
На рис. Х-3 построена характеристика разветвлен-
ного участка трубопровода, состоящего из двух парал-
лельных труб.
Характеристика разветвленного участка суммируется
затем с характеристиками подводящей и отводящей труб
271
согласно уравнению (Х-6), т. е. путем сложения ординат
(напоров) при одинаковых абсциссах (расходах). Полу-
ченная в результате кривая является характеристикой
сложного трубопровода (рис. Х-4).
Полная схема графического расчета сложного трубо-
провода с двумя параллельными ветвями показана на
рис. Х-5.
Построенные характеристики позволяют по заданному
расходу в одной из ветвей определить потребный напор
сложного трубопровода или по заданному располагае-
мому напору определить расходы во всех трубах.
Для решения первого вопроса нужно известный рас-
ход — например отложить на оси абсцисс и через полу-
ченную точку А провести вертикаль до пересечения с ха-
рактеристикой первой ветви. Ордината полученной при
этом точки Bt выражает величину потери напора в парал-
лельных ветвях:
hni Ьпъ — hn.
272
Если через точку В± провести горизонталь до пересе-
чения с характеристикой разветвленного участка, то по-
лучим точку С, абсцисса которой выражает величину
суммарного расхода Q = Qi + Q2- Проведя через точку С
вертикаль до пересечения с характеристикой сложного,
трубопровода, получим точку D, ордината которой выра-
жает искомый напор Н.
Для решения второго вопроса нужно на оси ординат
отложить известный напор Н и через полученную точку Е
провести горизонталь до пересечения с суммарной харак-
теристикой сложного трубопровода. Абсцисса получен-
ной при этом точки D выражает собой величину суммар-
ного расхода
Q — Q1 Q2.
Если через точку D провести вертикаль до пересече-
ния с характеристикой разветвленного участка, то орди-
ната полученной при этом точки С выражает собой вели-
чину потери напора в каждой из параллельных ветвей.
Если через точку С провести горизонталь до пересечения
с характеристками ветвей, то получим точки В2 и ВА,
абсциссы которых выражают величины расходов в вет-
вях.
Если характеристики построены с учетом изменения
коэффициента сопротивления трения и коэффициентов
местных сопротивлений в зависимости от режимов тече-
ния жидкости в трубопроводах, то отпадает необходимость
в последовательных приближениях, что является значи-
тельным преимуществом графического метода.
Соотношения (Х-2) и (Х-4) могут быть использованы не
только для расчета сложных' трубопроводов с параллель-
ными ветвями, но и для расчета сложных трубопроводов
с концевой раздачей в тех случаях, когда потери напора
273
в ветвях, расходящихся из одной узловой точки таких
трубопроводов, оказываются равными. На рис. Х-6 по-
казаны некоторые схемы таких трубопроводов.
II. Трубопроводы с концевой раздачей
В трубопроводах этого типа жидкость, поступающая
к узлам из питателей, распределяется между несколькими
ветвями, по которым она направляется к приемникам
с различными величинами напора жидкости (рис. Х-7,
где жидкость, подводимая к узлу Л, раздается по тру-
бам в приемники с напорами Нв, Нс, HD).
Расчет трубопровода с концевой раздачей рассмотрим
на простейшей схеме трубопровода, соединяющего три
резервуара и имеющего один узел (рис. Х-8).
Особенностью рассматриваемой схемы является то, что
система расчетных уравнений получается различной в за-
висимости от направления потока в трубе, соединяющей
узел со средним резервуаром 2. (Верхний резервуар 1
всегда является питателем, и жидкость поступает из него
к узлу. Нижний резервуар 3 всегда является приемником,
и жидкость поступает к нему от узла. Резервуар 2 может
быть как приемником, так и питателем).
Направление потока в трубе 2 определяется соотноше-
нием между напором в узле у и напором в среднем резер-
вуаре Я2. В зависимости от этого соотношения возможны
три случая распределения расходов в трубах и в соответ-
ствии с этим три различных системы расчетных урав-
нений.
1.	Если напор у в узле меньше напора Я2 в резервуаре 2
(у<Н), жидкость из резервуаров 1 и 2 перетекает в ре-
274
зервуар 3, и система уравнений для решения задачи имеет
вид
/У, — ^ == 0,0827М-Ь. Qh Н2 — у = 0,0827^ 4 Q2, d2 z/ —/7з = 0,0827Х3Q3; d3 Qi + Q2 = Q.3-	(X-ll) 1
2.	Если у > Я2, жидкость из резервуара 1 перетекает
в резервуары 2 и 3, и расчетная система уравнений при-
нимает вид
Hi - у = 0,0827X1 Ql;
У _ н2 = 0,0827^2 Ь- (&
у — Я3 = 0,0827Х3 4 Q23;
d3
Qi = Q2 + Qs-
(X-12)
3.	Если у = H2, расход Q2 = 0, Qi = Q3 = Q. и
жидкость перетекает из резервуара 1 в резервуар 3. Рас-
четная система уравнений принимает вид
Я1-Я2 = 0,0827Х1-Ь-32; |
г	I	(Х-13)
Я2//3 = 0,0827Х3Q2.
^3	J
Если система включает трубы, которые оканчиваются
сходящимися насадками, открытыми в атмосферу, то при
составлении уравнений баланса напоров для таких труб
следует учитывать скоростные напоры на выходе из на-
садков.
275
Выбор системы расчетных уравнений производится
различным образом в зависимости от постановки задачи.
Направление потока в трубе 2 может быть наперед
задано условиями задачи или же, если оно заранее
неизвестно, должно определяться в процессе самого
решения.
Рассмотрим, например, случай, когда известными в за-
даче являются напоры в резервуарах и размеры всех труб;
требуется определить расходы в трубах.
Решение в этом случае следует начинать с определе-
ния направления потока в трубе 2, для чего используется
специальный прием «выключения ветви». Этот прием за-
ключается в том, что вычисляется напор у' в узле при вы-
ключенной трубе 2, когда Q2 == О и Qi == Qs- Составляя
уравнения Бернулли для труб 1 и 3 и решая их относи-
тельно у', получим
у' = Hi
( А.з L3 \
(Х-14)
Если это уравнение дает значение у’ <С Н2, то при вклю-
чении трубы 2 работа сложного трубопровода будет соот-
ветствовать рассмотренному выше первому расчетному
случаю и для решения задачи нужно воспользоваться
системой уравнений (Х-11).
Если у' Г> Н2, то при включении трубы 2 имеем второй
случай, и для решения задачи используются уравнения
системы (Х-12).
Если у' = Я2, то при включении трубы 2 расход в ней
равен нулю, и расчет производится соответственно третьему
случаю по уравнениям (Х-13).
Так как расходы в трубах являются в этой задаче
искомыми неизвестными и, следовательно, значения коэф-
фициентов сопротивлений труб заранее точно определить
нельзя, аналитическое решение проводится методом по-
следовательных приближений.
Рассмотренная здесь задача может быть решена и графи-
ческим методом, т. е. путём графического решения при-
веденных выше расчетных систем уравнений.
Идея графического решения заключается в определе-
нии величины напора у в узле, при которой удовлетво-
ряется условие баланса расходов.
276
При этом сначала определяется напор у' в узле при
включенной трубе 2, для чего строятся кривые у = f (Q)
для ветвей 1 и 3 согласно уравнениям
У = Д1-0,0827Х1
^ = /73 + 0,0827X3 ^(21.
d3
Ордината точки А пересечения кривых дает величину
напора у' (рис. Х-9).
Если получается, что у' = Н2, то абсцисса точки А
дает величину действительного расхода в ветвях / и 3
(Qi ~ &)• Расход Q2 пРи этом равен нулю.
Если у' < Н2, то имеет место распределение потоков
в ветвях, соответствующее первому расчетному случаю.
Для определения расходов в этом случае следует построить
кривую у — f (Q) для ветви 2 согласно второму уравне-
нию системы (Х-11), а затем сложить кривые, построен-
ные для ветвей 1 и 2 согласно последнему уравнению
той же системы (рис. Х-10).
Ордината и абсцисса точки В пересечения суммарной
кривой ветвей 1 и 2 с кривой ветви 3 дают соответственно
величину действительного напора у в узле и расхода Q3,
равного в этом случае <2Х + Q2-
Если у' [>Н2 (рис. Х-11), то имеет место распределе-
ние потоков в ветвях, соответствующее второму расчет-
ному случаю. Для определения расходов в этом случае
следует построить кривую у = f (Q) для ветви 2 согласно
второму уравнению системы (Х-12) и сложить кривые для
277
ветвей 3 и 2 согласно последнему уравнению этой же си-
стемы.
Ордината и абсцисса точки В пересечения суммарной
кривой ветвей 3 и 2 и кривой, построенной для ветви /,
дают соответственно величину напора у в узле и расхода
Qi, равного в данном случае Q2 + Q3.
При графическом решении отпадает необходимость
в последовательных приближениях, так как характери-
стики можно строить с учетом изменения коэффициентов
сопротивлений в зависимости
от режимов движения жидко-
сти в трубах.
Заметим, что в практике
расчетов возможны такие
постановки задач, при кото-
рых расчетная система урав-
нений оказывается неопреде-
ленной, и решение приобре-
тает неоднозначный харак-
тер.
Такой, например, являет-
ся задача проектирования
трубопровода с концевой раз-
требуется определить размеры
(рис. Х-8), когда
(обычно — их диаметры) так, чтобы при заданных
дачей
ветвей
напорах в резервуарах обеспечить подачу из верхнего
резервуара 1 в нижние резервуары 2 и 3 заданных рас-
ходов жидкости. При этом можно видеть, что в расчетной
системе уравнений (Х-12) число искомых неизвестных
больше числа уравнений. Для решения задач такого типа
используются дополнительные условия технико-экономи-
ческого характера.
III. Трубопроводы с непрерывной раздачей
Трубопроводом с непрерывной раздачей называется
такой трубопровод, в котором на некоторой длине L
часть расхода Qn (путевой расход) равномерно потреб-
ляется в большом числе пунктов, расположенных на оди-
наковых расстояниях друг от друга (рис. Х-12).
Остальная часть расхода QT (транзитный расход) тран-
спортируется через участок L в последующие участки
трубопровода. Расчет трубопроводов с непрерывной раз-
дачей выполняется в предположении, что отбор жидкости
278
из трубопровода производится непрерывно и равномерно
с интенсивностью q л/с-м по всей длине L разветвлен-
ного участка. При этом путевой расход
Qn = qL, (Х-15)
и суммарный расход в начальном
сечении участка
Q = Qn + Qt = qL + Qt*
(X-16)
Потеря напора на разветвлен-
ном участке L трубопровода мо-
жет быть подсчитана по формуле
j / Q2	\
hn = 0,08271 ±	+ QnQT j =
= 0,08271-^	+ ф+ ?/.&).	(Х-17)
IV. Трубопроводы с кольцевыми участками
У
2
Перемь 1чка^'.-
2
5
Кольцевой разветвленный участок представляет собой
в простейшем случае две параллельные трубы между уз-
лами А и В с одной или несколькими перемычками, соеди-
няющими промежуточные сечения этих труб (рис. Х-13).
По перемычкам некоторое
количество жидкости пере- G А
брасывается из одной трубы
в Другую. Направление пото- '
ка в перемычке определяется
величинами напоров в соеди-
няемых перемычкой сечениях.
Жидкость может подаваться
в кольцевой разветвленный участок
него через узлы А и В смыкания участка с подводящей и
отводящей трубами или через узлы на концах перемычек К
и. S. При аналитическом расчете трубопровода с кольце-
выми участками применяется метод последовательных
приближений. Например, если при заданных размерах
труб кольцевого участка известны величины притока и
отбора жидкости в узлах и требуется определить расходы
в трубах, то в качестве первого приближения эти расходы
279
3
к
Рис. Х-13
или отбираться из
Qu задаются удовлетворяющими условиям баланса рас-
ходов в узлах. Затем выбирается первое замкнутое кольцо
разветвленного участка, и для всех входящих в него труб
вычисляются потери напора. Расходы считаются задан-
ными правильно, если алгебраическая сумма потерь на-
пора в кольце равна нулю. В противном случае следует
повторить выкладки при измененных величинах расходов
в трубах:
Q21 — Qu ~ AQi.
AQ при этом выбирается удовлетворяющей
Поправка
уравнению
AQ1 = -
2
Подбор расходов следует продолжать до тех пор, пока
алгебраическая сумма потерь напора в трубах рассматри-
ваемого кольца не станет равной нулю. Затем аналогич-
ные вычисления повторяются последовательно для каж-
дого из замкнутых контуров разветвленного участка.
Расчет кольцевых трубопроводов с заданными разме-
рами в простых случаях может проводиться графическим
способом. Рассмотрим такой способ применительно к схеме
кольцевого участка на рис. Х-13, предполагая, что жид-
кость подается в кольцо через узел А и отбирается из
кольца через узел В.
При графическом решении задачи первоначально пред-
полагается, что перемычка KS перекрыта. В этом пред-
положении Qi = Q3 и Q2 = Q4; кроме того, Qi + Q2
= Q3 + @4-
Для определения направления потока в перемычке
составляются уравнения характеристик труб 1—4:
Уа — Ук — Ул — ys^ hn2;
Ук~— Ув~ ys — Ув~ hn^
(Х-18)
где уА, ук. ys и ув — напоры в узлах;
hn — потери напора в трубах, под-
считываемые по уравнению
(Х-1).
Построения выполняются в следующем порядке.
280
Если известен перепад напоров Н = Уа — Ув и тре-
буется определить расходы в трубах, выбираем вертикаль-
ную ось у и пересекаем ее горизонтальными осями х и
х', расстояние между которыми Н.
Точки пересечения обозначаем Ot и О2-
Строим кривые потерь в трубах 1—4 из точек Ог и
О2, как показано на рис. Х-14.
Абсцисса точки т пересечения кривых 1 и 3 дает при
этом расход в ветви АКБ (Qx = Q3), а абсцисса точки п
пересечения' кривых 2 и 4
дает расход в ветви A SB —
= Q4). Ординаты точек т и п,
отсчитанные соответственно
от осей х их', дают вели-
чины напоров, потерянных
на участках 1—4. По соотно-
шению напоров, потерянных
на участках 1 и 2, можно
установить направление по-
тока в перемычке после ее
открытия. В случае, который
показан на рис. Х-14, поток
направлен от К к S. Расход
Qz и потеря напора hnb в пе-
ремычке должны удовлетво-
рять уравнениям:
Рис. Х-14
Qi — Q3 4- Qb> Q4 == Q2 4~ Qbi
+ ^/25
^пЪ 4“ ^/г4
(Х-19)
При этом равенства Qi 4- Q2 = Q3 4- Q4 и hnl 4- hfl3 =
= hn2 4~ hni остаются в силе.
Для отыскания величин Q5 и Лп5 на чертеж наклады-
вается лист кальки, на который наносятся оси х' и у,
а также кривые htl3 и Лп4. Калька передвигается влево,
если hnl < hn2, или вправо, если hnl Г> hn2.
Сдвинув кальку влево (рис. Х-14), отметим точки т!
и п и проведем через них горизонтальные прямые. Эти
прямые образуют с осями у ну' прямоугольник. На отдель-
ном листе Кальки построим кривую hnb = f (Q5) для пе-
ремычки. Наложим эту кальку на чертеж так, чтобы на-
чало кривой hn5 совпало с левым верхним углом прямо-
угольника. Кальки переместим до положения, при кото-
281
ром кривая hnb пройдет через правый нижний угол пря-
моугольника.
При этом расстояние между осями у и у' показывает
расход в перемычке, а расстояние между горизонталями,
проходящими через точки tri ип', изображает потерю на-
пора в перемычке. Абсциссы точек rri и п', отсчитанные
от оси у', выражают расходы на участках, а ординаты,
отсчитанные от осей х и х', выражают потерянные на
участках напоры. При этом уравнения (Х-19) удовлет-
воряются.
При отыскании напора Н, необходимого для пропуска
через данную систему заданного расхода Q, кальку с кри-
выми 3 и 4 и осью у накладывают на чертеж с нанесен-
ными кривыми 1 и 2 так, чтобы оси у и у' совпали, а за-
тем передвигают вверх или вниз, пока сумма абсцисс
точек пересечения кривых 1 и 3 и кривых 2 и 4 не
будет изображать заданного расхода Q. После этого
кальку с кривыми 3 и 4 передвигают вправо или влево
в зависимости от получающегося направления потока
в перемычке.
Накладывая кривую потерь в перемычке hnb = f (Q5)
на образовавшийся на чертеже прямоугольник так, чтобы
начало располагалось в левом верхнем углу, перемещают
кальки по вертикали до тех пор, пока /гп5 не станет рав-
ной hn2 — hnl или hnl — hn2.
Рассмотренные выше методы расчета трубопроводов
проиллюстрируем некоторыми примерами.
Пример 1 (рис. Х-15). Для увеличения при заданном
напоре Н пропускной способности трубопровода к нему
между сечениями А и В присоединяют параллельную
ветвь.
Определить, во сколько раз изменится расход в трубо-
проводе длиной Л, диаметром d, если к нему при-
ветвь того же диаметра дли-
ной /.
Считая трубопроводы длин-
ными и предполагая наличие в
них турбулентных потоков,
имеем для случая работы одного
трубопровода
соединена параллельная
Рис. Х-15
Н = 0,0827X1	Q1-	(Х'20)
282
Для случая работы трубопровода с параллельной
ветвью
Н = 0,0827^2 ^-<21 + 0,0827^(Х-21)
Сравнивая уравнения (Х-20) и (Х-21), имеем
Q
^LQl = X2(L-/)Q1 + W-^,
откуда
X2(L-l) + ~U
Так как при неизвестных расходах вычислить точные
значения % нельзя, задачу решим приближенно.
Принимая в первом приближении величину к для всех
труб одинаковыми, получим
I
В частном случае при L = I
имеем
Q2_   ()
Qi ~~ ’
Пример 2 (рис. Х-16). Найти, как
распределится расход Q жидкости
между двумя параллельными труба-
ми диаметрами dr и d2, длинами
(приведенными) и L2 при значе-
ниях абсолютной шероховатости труб
Дх и Д2.
Поскольку искомыми величинами в задаче являются
расходы, целесообразно избрать графический метод ре-
шения.
Построим характеристику первой трубы согласно урав-
нению
hnl = 0,08272ц Ь- Qn
задавая ряд значений и вычисляя hnl; соответствующие
величины определяются по заданной относительной
283
д
шероховатости и значениям числа Рейнольдса (см.
гл. IX)
Rex =
л
В тех же осях аналогично построим характеристику
второй трубы
/гп2 = 0,0827X2jk Qr
d2 •
в два пезеовуаоа. уповни в
Складывая построенные кривые по правилу суммиро-
вания характеристик параллельных труб, получим харак-
теристику разветвленного участка.
Далее на оси расходов находим точку, соответствую-
щую суммарному расходу Q, и проводим через нее верти-
каль до пересечения с характеристикой разветвленного
участка. Через полученную
точку В проводим горизон-
таль до пересечения с харак-
теристиками первой (точка
Вг) и второй (точка В2)
труб. Абсциссы полученных
точек пересечения выражают
собой искомые расходы
в первой и Q2 во второй
трубах.
Пример 3 (рис. Х-17).
Вода поступает из магистра-
ли по трубам заданных раз-
меров (/п df, /2>	d:i)
и шероховатостей (Дх, Д2, Д3)
которых расположены на от-
метках А и В выше уровня оси магистральной трубы.
Определить, при каком давлении р в магистрали в верх-
ний резервуар будет поступать расход Q2.
По заданному расходу Q2 и шероховатости Д2 трубы
определяются величины коэффициента сопротивления тре-
ния (Z2) и эквивалентной длины местных сопротивлений,
установленных на второй трубе
284
Затем вычисляется напор у в узловой точке трубо-
провода:
О2
у = А + 0,0827Л2Л2	,
d2
где L2 = 12 + /2э — приведенная длина второй трубы.
Расход Q3 определяется методом последовательных
приближений из уравнения
о2
У-в = 0,0827^3 -4,
аз
где L3 = 13 + 1ЗЭ — приведенная длина третьей трубы
( 1   Сз^з \
V3^"Vr
Очевидно,
Qi — Qz ~Ь
Напор в магистрали
n	Q?
-Р- = у 4- 0,0827^1-^-,
pg а -т- .	1 1	’
где величина Хх определяется по вычисленному расходу Qi
и заданной шероховатости Дх.
Задачи
Задача Х-1. Найти, как распределяется расход
Q = 25 л/с между двумя параллельными трубами, одна
из которых имеет длину /г — 30 м, диаметр dj = 50 мм,
а другая (с задвижкой, коэф-
фициент сопротивления кото-
рой £ — 3) имеет длину
/2 = 50 м и диаметр d2 ~
= 100 мм.
Какова будет потеря напора
в разветвленном участке?
Значения коэффициента со-
противления трения труб принять соответственно рав-
ными = 0,04 и Х2 = 0,03. Потери напора в тройни-
ках не учитывать.
Ответ. = 4,45 л/с и Q2 — 20,55 л/с; hn ~ 6,3 м.
Задача Х-2. Смазочное масло (относительная плот-
ность б = 0,8, v = 6 сСт) подводится к подшипникам ко-
285
ленчатого вала по системе трубок, состоящей из пяти
одинаковых участков, каждый длиной I = 500 мм и диа-
метром d = 4 мм.
Определить:
1. Сколько смазки нужно подать к узлу А системы,
чтобы каждый подшипник получил ее не менее 8 см3/с?
2. Как изменится потребное количество смазки, если
участки АВ заменить трубой диаметром D = 8 мм?
Давление на выходе из трубок в подшипники считать
одинаковым, местными потерями и скоростными напорами
пренебречь.
Ответ. 1) Q — 64 см3/с; 2) Q = 26 см3/с.
С D
К задаче Х-3
Задача Х-3. Сифонный трубопровод составлен из трех
труб, приведенные длины которых = 50 м, £2 ~ Ю0 м,
L3 = 150 м и диаметры = 75 мм, d2 = 50 мм, d3 =
= 75 мм.
Определить напор Н, необходимый для того, чтобы из
резервуара А в резервуар В поступала вода в количестве
Q2 = 3 л/с.
Найти при этом напоре величину наименьшего давле-
ния в трубопроводе, если h = 2 м и длина участка CD
трубы 3 равна 20 м.
Задачу решить в предположении квадратичной об-
ласти сопротивления труб, приняв = 0,025, Х2 =
- 0,028,	- 0,025.
Скоростным напором на выходе из трубы 3 пренебречь.
Атмосферное давление принять равным 100 кПа.
Ответ. Н ~ 11 м; pmin = 28,7 кПа.
Задача Х-4. Резервуары А и В с постоянными и оди-
наковыми уровнями воды соединены системой труб, при-
286
веденные длины которых Lt = 400, L2 = 180, L3 = 50
и £4 = 400 м и диаметры == d2 ~ d3 = 100 мм, d4 =
= 200 мм.
Определить:
1. При каком избыточном давлении р над поверхностью
воды в резервуаре А расход в трубе 4 будет равен Q4 =
- 40 л/с?
2. Каков при этом суммарный расход воды из резер-
вуара А в резервуар В?
Задачу решить в предположении квадратичной области
сопротивления, приняв	= к3 = 0,025; Х4 = 0,02.
Ответ. 1) р = 3,68 МПа; 2)	= 67,3 л/с.
Задача Х-5. Определить расход воды (v = 0,01 Ст),
поступающий под напором Н = 5 м из резервуара А
в резервуар В по сифонному трубопроводу, состоящему
из стальных (А = 0,2 мм) труб диаметрами d = 100 мм
и приведенными длинами L = 100 м.
Какова максимально возможная высота h расположе-
ния узла С сифона, если предельная допустимая в этом
узле вакуумметрическая высота равна 10 м.
К задаче Х-6
Задача Х-6. Соляровое масло подается самотеком из
резервуара А в резервуар В по трубопроводу, состоящему
287
из трех одинаковых труб длинами L = 50 м и диаметрами
d = 25 мм.
Определить:
1. Каким должен быть напор Н трубопровода, чтобы
при температуре масла t = 10° С в резервуар В поступало
масло в количестве Q = 0,2 л/с.
2. Как изменится расход при том же напоре, если
температура масла повысится до 20° С.
Местные потери в каждой трубе составляют 20%
от потерь по длине.
Зависимость кинематической вязкости масла от тем-
пературы задана графиком.
Ответ.. 1) Н — 5,75 м; 2) Q — 0,3 л/с.
Задача Х-7. Два резервуара с постоянными и одина-
ковыми уровнями воды (v = 0,01 Ст) соединены сталь-
ными (шероховатость Д - 0,2 мм) трубами, приведенные
длины которых £4 = L3 = 50 м, Ь2 ~ 200 м и диаметры
d = 100 мм.
Определить:
1. При наком напоре Н суммарный расход из баков
равен Q = 12 л/с.
2. Какова максимально возможная высота h располо-
жения узла С при этом напоре. Предельную вакууммет-
рическую высоту в этом узле принять равной 10 м.
Ответ. 1) Н = 2,05 м; 2) h= 11,4 м.
К задаче Х-7
К задаче Х-8
Задача Х-8. Определить расход воды в системе труб,
соединяющих два резервуара с разностью уровней Н =
= 24 м, если размеры труб = £2 = £3 = £4 = 100 м;
dj = d2 = d4 =100 мм, d3 = 200 мм.
Значения коэффициента сопротивления трения в тру-
бах = Х2 = Х4 = 0,025, 13 = 0,02 и коэффициента
288
сопротивления задвижки $ = 30. Потерями напора в
остальных местных сопротивлениях пренебрегать.
Как повлияет на величину расхода закрытие задвижки?
Ответ. Q ~ 23,7 и 19,6 л/с.
Задача Х-9. Вода вытекает в атмосферу из бака с по
стоя иным уровнем Н через
диаметром d == 50 мм.
Определить:
1. При какой длине Lt
параллельной ветви того же
диаметра расход увеличится
на 20%.
трубу длиной L = 150 м,
К задаче Х-9
К задаче Х-10
2. Какая длина £2 параллельной ветви диаметром d2 =
= 100 мм обеспечит такое же увеличение расхода.
3. Насколько увеличится расход, если использовать
одновременно обе параллельные ветви.
Задачу решить, пренебрегая местными потерями на-
пора и скоростным напором на выходе из трубы.
Коэффициент сопротивления трения считать постоян-
ным и одинаковым для всех труб.
Ответ. 1) LY — 61 м; 2) L2 ~ 46,7 м; 3) на 25%.
Задача Х-10. Тендер емкостью 20 м3; должен напол-
няться водой (v = 0,01 Ст) в течение 10 мин из путевого
крана К, соединенного с водонапорной башней трубопро-
водом длиной — 800 м.
Определить:
1.	Диаметр dx этого трубопровода, если напор в башне
Н = 20 м и кран соединен с тендером трубой длиной £2
= 20 м и диаметром d2 “ d1.
2.	Как повлияет на время заполнения4 тендера при-
соединение второго крана с трубой А3 = 80 м и = dj
Трубопроводы стальные с шероховатостью Д = 0,2 мм.
Местными потерями и скоростными напорами на вы-
ходе из труб пренебречь.
Ответ. 1) dL — 152 мм; 2) t = 14,8 мин.
10	Д. А. Бутаев и др*	289
Задача X-l 1. Определить расходы воды (v = 0,01 Ст),
поступающие под напором Н = 3,6 м из открытого резер-
вуара в пункты 1 и 2 с атмосферным давлением по трубо-
проводам (Д = 0,02 мм) диаметрами d ==60, dx = 60
и d2 = 50 мм и приведенными длинами L = 60,	—
= 30 и L2 = 25 м.
Вычислить максимально возможную высоту распо-
ложения узла С при предельной вакуумметрической вы-
соте, равной 10 м.
Ответ. QA — 3 л/с; Q2 ~ 2 л/с; h = 10,5 м.
Задача Х-12. По двум последовательно соединенным
стальным трубопроводам (Д = 0,2 мм) длинами Ьх~
= Ь2 = 400 м и диаметрами dt = 40 мм, d2 = 60 мм из
бака А в бак В самотеком поступает вода (v = 0,01 Ст).
Определить:
1. Расход Q воды при разности уровней в баках Н —
= 20 м.
2. Как изменится расход, если к одному из трубопро-
водов присоединить параллельную ветвь той же длины и
того же диаметра?
Местными сопротивлениями пренебречь.
Ответ. 1) Q = 1,35 л/с; 2) Q = 2,35 и 1,4 л/с.
Задача Х-13. Питание резервуаров Л и В с постоян-
ными и одинаковыми отметками уровней V 5 м осущест-
вляется подачей воды из магистрального трубопровода
= 40 м; d± = 80 мм в распределительные трубы L2 =
= L3 = 80 м и d2 = d3 = 50 мм.
Определить:
1.	Расходы, поступающие в резервуары, если давле-
ние в магистральном трубопроводе по манометру на уровне
нулевой отметки М = 0,49 МПа.
290
2.	Как изменится расход в магистральном трубопро-
воде, если одну из распределительных труб выключить?
3.	Какова в обоих случаях наибольшая возможная
высота h расположения горизонтальных участков распре-
делительных труб относительно уровня воды в резер-
вуарах?
Величиной заглубления труб под уровнями воды в ре-
зервуарах пренебречь и считать участки этих труб от
сечений С расположенными вертикально. Предельную
вакуумметрическую высоту в этих сечениях принять рав-
ной 10 м.
К задаче Х-13
К задаче Х-14
Значения коэффициента сопротивления трения в тру-
бах принять Aj = 0,025, А2 = А3 = 0,03 и коэффициента
сопротивления задвижек £ = 3. Другими местными поте-
рями напора пренебречь.
Ответ. 1) Q2 = Q3 = 7,64 л/с; 2) Q ~ 8 л/с; 3)	= 22,8 м;
/i2 = 25,5 м.
Задача Х-14. Из резервуаров А и В с одинаковыми
уровнями вода по трубам £t = 200 м, dr = 200 мм и
£2 = ЮО м, d2 = 100 мм поступает в магистральную
трубу длиной £3 = 600 м, диаметром d3 = 200 мм, а за-
тем сливается в резервуар С.
Определить:
1. Расход воды, поступающей в резервуар С при на-
поре Н = 16 м и коэффициенте сопротивления задви-
жки £ = 12.
2. Чему равна (при том же напоре Н) возможная мини-
мальная величина коэффициента сопротивления задвижки,
если минимальное абсолютное давление в системе допу-
стить равным нулю.
291
Длина горизонтального участка трубы 3 равна 160 м,
высота его расположения над уровнями h = 4 м. Принять
Aj = %3 = 0,02 и Х2 = 0,025.
Кроме потерь в задвижке, другие местные потери на-
пора не учитывать. Атмосферное давление принять рав-
ным 735 мм рт. ст.
Ответ. 1) Q3 = 60 л/с; 2) £mln = 4,9.
Задача Х-15. Трубопровод диаметром D и длиной L
заменяется двумя одинаковыми параллельными трубами
той же длины, суммарная площадь которых равна пло-
щади сечения трубопровода.
Определить, как изменится при постоянном напоре
пропускная способность системы при следующих зако-
нах гидравлического сопротивления:
1)	ламинарном;
2)	гидравлически гладких труб (формула IX-16 гл. IX);
3)	квадратичном (формула IX-20 гл. IX).
Ответ. 51 = 0,5; -51 = 0,783; -51 = 0,807.
Q1	41	41
Задача Х-16. Для увеличения пропускной способности
трубопровода длиной 2L и диаметром d к нему присоеди-
нена параллельная ветвь того же диаметра и длиной L
(штрих-пунктир). Определить, какова эквивалентная
длина разветвленного участка и во сколько раз увели-
чится расход при неизменном напоре и при следующих
законах гидравлического сопротивления:
1)	ламинарном;
2)	гидравлически гладких
труб (формула 1Х-16гл. IX);
3)	квадратичном
IX-20 гл.
Ответ.
IX).
-
(формула
Qi
= 1,33;
Задача Х-17. Определить высоту Н уровня воды в ре-
зервуаре, при которой в случае отбора из узловой точки А
расхода QA = 35 л/с в концевом сечении трубопровода
(где давление равно атмосферному) расход будет QB =
= 50 л/с. Приведенные длины, диаметры и коэффициенты
292
сопротивления трения для ветвей трубопровода следую-
щие:
Lt = 300 м; dt = 225 мм; X, = 0,030;
£2 = 150 м; d2 = 125 мм; Х2 = 0,038;
L3 = 250 м; d3 = 150 мм; Х3 = 0,032;
Lt = 100 м; dt = 175 мм; = 0,042.
Найти величину у напора в узле А системы.
Ответ. Н ~ 21,7 м; g = 12,4 м.
(«А ।
йнннм Wil
К задаче Х-17
К задаче Х-18
Задача Х-18. По магистральному трубопроводу дли-
ной L = 1000 м и диаметром D = 200 мм подается тран-
зитный расход воды QT — 40 л/с. По длине трубопровода
в точках, расположенных на равных расстояниях / =
= 50 м, из него отбираются равные расходы q =• 2 л/с.
Определить.
1. Сопротивление h трубопровода, учитывая только
потери на трение по длине при X ~ 0,025.
2. Как изменится сопротивление трубопровода, если
весь расход, идущий через его начальное сечение (равный
80 л/с):
а)	пропустить через трубопровод транзитно, не отби-
рая его по длине;
б)	отбирать по длине трубопровода при q — 4 л/с и
равном нулю транзитном расходе.
Указание. При достаточно большом числе точек отбора можно
применять формулу для непрерывной раздачи.
Ответ. 1) h ~ 24,2 м; 2) ha = 41,5 м; h$ — 13,8 м.
Задача Х-19. Трубопровод диаметром d = 125 мм
и общей длиной 2L — 400 м соединяет два резервуара
с постоянной разностью уровней воды Н = 20 м.
293
Определить, при каком расходе Q, отбираемом из
трубопровода в середине его длины, поступление воды в
нижний резервуар прекратится.
Найти, какие расходы установятся в левой и правой
ветвях трубопровода при значениях отбираемого расхода
Q, вдвое большем и вдвое меньшем найденного выше. Учи-
тывать только потери на трение по длине, принимая X =
== 0,025.
Ответ. Q — 38,4 л/с. При Q = 19,2 л/с расход из верхнего резер-
вуара Qj = 35,1 л/с и в нижний резервуар Q2 = 15,9 л/с. При Q =
= 76,8 л/с расход из нижнего резервуара Q2 ~ 28,8 л/с и из верхнего
Qi = 48 л/с.
К задаче Х-19	К задаче Х-20
Задача Х-20. Перемещение поршня гидроцилиндра
(Dt = 150 мм, D2 = 50 мм), нагруженного внешним уси-
лием /? = 200 Н, осуществляется подачей спирто-глице-
риновой смеси (v = 1 Ст, р = 1245 кг/м3) насосом в рабо-
чую полость гидроцилиндра.
Для регулирования скорости перемещения поршня
при постоянной подаче насоса к узлу А системы присоеди-
нена сбросная труба с краном К.
Определить:
1.	Какова скорость v перемещения поршня, если по-
дача насоса Q = 7,85 л/с, приведенные длины труб Lt —
= 5 м, Л2 = Ю м, диаметр труб d = 50 мм.
2.	Какова максимальная скорость перемещения пор-
шня ^тах ПРИ т°й же подаче насоса.
3.	При какой наименьшей приведенной длине сброс-
ной трубы (отвечающей наибольшему открытию крана К)
перемещение поршня прекратится?
Ответ. 1) v = 0,2 м/с; 2) с»тах = 0,5 м/с; 3) L2mln = 2 м.
294
Задача Х-21. Перемещение поршней гидроцилидров
диаметра D = 15 см, нагруженных внешними силами
= 1000 Н и 7? 2 = 2000 Н, осуществляется подачей
спиртоглицериновой смеси (v = 1 Ст, р = 1245 кг/м3)
по трубам одинаковой приведенной длины L = 10 м и
диаметра d = 4 см в гидроцилиндры 1 и 2.
Определить:
1. Скорости перемещения поршней при расходе Q =
= 7 л/с в магистрали.
2. Какое дополнительное сопротивление (выражаемое
эквивалентной длиной) и в какой трубе нужно создать,
чтобы при том же расходе в магистрали скорости поршней
Сопротивлением сливной линии пренебречь, считая
давление в нерабочих полостях цилиндров атмосферным.
Ответ. 1)	= 0,28 м/с; v2~ 0,117 м/с; 2) Еэ = 8,2 м на первой
трубе.
Задача Х-22. Шестеренный насос производительностью
Q — 4 л/с засасывает бензин из двух баков с начальной
разностью уровней h = 0,5 м по трубам одинакового диа-
метра d — 50 мм и одинаковой длины до узловой точки
L - 10 м.
Определить начальный расход из каждого бака.
Указать, при какой разности уровней h начальный
расход из нижнего бака будет равен нулю.
Определить, на какой глубине z под дном нижнего
бака следует расположить узловую точку системы, чтобы
после опорожнения верхнего бака было исключено попа-
дание воздуха в насос и нижний бак можно было опорож-
нить до конца.
295
Учитывать только потери напора на трение по длине
труб, приняв X = 0,02.
Ответ, Qe~ 3,18 л/с; QH = 0,82 л/с; h = 0,85 м; г — 0,85 м.
Задача Х-23. Найти, как распределится расход =
== 10 л/с воды (v = 0,01 Ст) между двумя стальными тру-
бами (А = 0,2 мм), длины которых Л2 = 31,2 м, =
= 71,2 м и диаметры d2 = d3 = 0,05 м, если высоты рас-
положения их выходных сечений Я2 = 4 м и Н3 = 10 м, а
суммарный коэффициент местных сопротивлений каждой
трубы £ = 5.
Определить, кроме того:
1. Какое избыточное давление р в магистральном тру-
бопроводе обеспечит указанный суммарный расход, если
размеры подводящей трубы Lr == 40 м, = 0,075 м и ее
шероховатость А = 0,2 мм?
2. Как нужно изменить диаметры d2 и d3, чтобы при
том же давлении в магистрали расходы в трубах стали
равными Q2 Q-з 5 л/с.
Ответ. 1) р = 203 кПа; 2) d2 = 44 мм, d3 = 58 мм.
Задача Х-24. Баки Л, В, С соединены трубопроводами
Lj = 75 м, dr — 75 мм и Л2 = L3 = 100 м, d2 = d3 =
— 50 мм. Напор Н = 10 м.
Принимая значения коэффициента сопротивления тре-
ния во всех трубопроводах равными \ = 0,03 и значение
коэффициента сопротивления задвижки £ = 15, опреде-
лить:
1. При каком избыточном давлении М на поверхности
воды в баке А в бак В будет поступать расход Q2 — 5 л/с?
296
2. Как нужно изменить давление М, чтобы вода не
поступала в бак В?
Ответ. 1) М = 281 кПа; 2) М' = 7,85 кПа.
Задача Х-25. По двум одинаковым, открытым в атмо-
сферу стальным трубам (Д = 0,2 мм) длинами L2 = L3 =
= 25 м и диаметрами d2 = d3 = 50 мм требуется пода-
вать одинаковые расходы Q = 5 л/с воды (v = 0,01 Ст)
при напорах II ~ 10 м, h = 7 м.
Определить:
1. Необходимый для этого диаметр d± подводящей
стальной трубы, длина которой = 50 м, а также необ-
ходимое значение коэффициента сопротивления £ вентиля,
установленного на трубе 3.
2. Какой расход Q' пойдет по трубопроводу и какое
избыточное давление будет в узле К, если полностью за-
крыть вентиль на трубе 3.
Ответ. 1)	= 85 мм, £ = 9,1; 2) Q = 5,75 л/с, == 61 кПа.
Задача Х-26. Резервуар А с постоянным уровнем
воды Я = 3 м и избыточным давлением на ее поверхности
Л4 ~ 0,4 МПа снабжает водонапорную башню В и бас-
сейн С по системе, состоящей из трех одинаковых труб
приведенной длиной L — 210 м и диаметром d ~ 100 мм
каждая.
Определить расход Qc, поступающий в бассейн С,
и высоту Л, на которой установится уровень воды в водо-
напорной башне, если из нее отбирается расход QB =
= 5 л/с.
297
Коэффициент сопротивления трения в трубах принять
равным к = 0,025.
Ответ. Qc — 19,8 л/с; h = 15,8 м.
Задача Х-27. Определить расходы Q2 и Q3 воды
(v = 0,01 Ст) в стальных трубах (шероховатость А =
= 0,2 мм), имеющих приведенные длины L± = 200м,	=
== 100 м и Л3 = 150 м и диаметры dx = d3 = 100 мм,
d2 — 80 мм, если напоры Н± — 7 м и Н2 = 3 м.
При какой приведенной длине L' трубопровода 3
расход, Q2 станет равным нулю?
Ответ Qi = 10,15 л/с; Q2 = 4,10 л/с; Q3 = 14,25 л/с; L3 = 473 м.
Задача Х-28. Вода вытекает в атмосферу через два
одинаковых сходящихся насадка (dH = 20 мм, 8Н = 1,
L == 0,06), расположенных ниже уровня питающего их
бака на = 12 м и Н2 = 18 м.
Определить:
1. Расходы через насадки и теоретические высоты по-
лета струй zt и z2 при полностью открытой задвижке
(£ = 0), если длины труб, соединяющих бак с насадками,
равны L = 50 м, = 25 м, а диаметры их одинаковы
(d = 50 мм).
2. Каков должен быть коэффициент сопротивления £
задвижки, обеспечивающей одинаковую высоту полета
струй?
Принять коэффициент сопротивления трения труб
равным к = 0,025, местными потерями в тройнике, на
входе в трубу и на поворотах пренебречь.
Ответ. 1) Qx = 2,06 л/с, Q2 ~ 3,20 л/с, гх = 2,19 м, г2 — 5,26 м;
2) £ = 64,5.
298
Задача Х-29. Из бака А с постоянным уровнем вода
поступает в баки В и С по одинаковым трубам L — 100 м,
d = 50 мм (Л - 0,03).
Из бака В вода вытекает в атмосферу через сходящийся
насадок диаметром dH = 25 мм (£ = 0,04, е = 1) при по-
стоянном напоре г.
Определить расходы в каждой из труб при напорах
Нг = 15 м и Н2 — 10 м и полностью открытых кранах
(£ - 0).
Какими станут расходы и напор г, если полностью
закрыть кран на трубе, ведущей в бак С?
Местными потерями напора в трубах пренебрегать.
Ответ. Од “3,43 л/с; Qb = 0,78 л/с; Qc ~ 2,65 л/с; z = 0,134 л.
При закрытом кране = 2,35 л]с\ г* — 1,21 м.
Задача Х-30. Три одинаковых цилиндра диаметрами
D = 50 мм заполнены маслом (б = 0,9, v = 0,3 Ст) и
соединены трубами, размеры которых Lt = L2 “ 22,5 м,
L3 = 20 м и d = 25 мм.
В цилиндрах находятся поршни, нагруженные силами
Pt 700 Н, Р2 = 640 И, Р3 = 500 Н.
Определить направления и величины скоростей пере-
мещения поршней.
Пренебречь высотами расположения поршней относи-
тельно узловой точки системы, трением в цилиндрах и
местными потерями напора в трубах.
Ответ. 0,375 м/с; v2 — 0,125 м/с; с3 — 0,5 м/с.
299
Задача Х-31. Из трех резервуаров с одинаковыми уров-
нями Н = 10 м по одинаковым трубам L = 50 м, d = 100 мм
(к = 0,025) вода поступает в магистральный трубопро-
вод, состоящий из трех одинаковых участков Lr = 80 м,
= 200 мм (X = 0,021).
Определить:
1. Расход, вытекающий из магистрального трубопровода
в атмосферу при полностью открытых задвижках (£ = 0).
Задача Х-32. Определить расход который подается
в верхний бак, если система труб = 150 м, d± =
= 100 мм, все остальные трубы Li = 50 м, = 60 мм)
работает при постоянных напорах Н = 6 м и h — 2 м.
Коэффициент сопротивления трения первой трубы при-
нять равным = 0,02, а всех остальных труб к = 0,03,
местными потерями напора пренебречь.
Определить расходы, которые установятся при этом
во всех трубах системы.
Ответ.. = 10,02 л/с; Q2 = 5,37 л/с; Q3— 3,02 л/с; — 4,64 л/с;
Q5 = 2,35 л/с; Qq = 3,02 л/с.
Задача Х-33. В три квартиры, расположенные на раз-
ных этажах (Н = 3,5 м), вода подводится из магистраль-
ного трубопровода по вертикальной трубе и горизон-
тальным отводам, размеры которых L = 4 м, d = 60 мм.
Определить давление в магистрали (показание мано-
метра /И), необходимое для того, чтобы расход, подавае-
мый в любую квартиру при полностью открытых кранах,
был не меньше 3 л/с.
300
Коэффициент сопротивления
трения труб принять равным
X = 0,03, а коэффициент сопро-
тивления полностью открытого
крана (с угольником) £ = 3; потери
в тройниках не учитывать.
Ответ. М = 259 кПа.
Задача Х-34. Насос, подача
которого Q = 0,25 л/с, всасывает
бензин одновременно из трех ба-
ков по трубам одинакового диа-
метра d = 10 мм, приведенные
длины которых = 3,6 м, Л2 =
= 4,7 м, £3 = 3 м.
Определить при указанных на
схеме отметках уровней в баках
(отметки даны в метрах):
1. Расходы в трубах, приняв
вления трения равным X = 0,035.
К задаче Х-33
коэффициент сопроти-
2. При какой подаче насоса всасывание из нижних
баков прекратится?
Ответ. 1) (?3=0,1 л/с; Q2 = 0,07 л/с; Qt — 0,08 л/с; 2) Q =
= 0,048 л/с.
К задаче Х-34
Задача Х-35. Определить
расходы Qi, О2 и Q3 масла
(6 = 0,88, v = 0,5 Ст) в тру-
бах, имеющих длины =
= L2 = А3 = 15 м и диаметры dA == d2 = 20 мм, d3 =
= 15 мм, если статический напор в баках й = 10м и к пор-
шню гидроцилиндра, диаметр которого D = 60 мм, при-
ложена сила Р — 1000 Н. Местными потерями напора
в трубах, утечками и трением в гидроцилиндре пренебречь.
Ответ. Qx = 0,91 л/с; Q2 “ 0,69 л/с; Q3 = 0,22 л/с.
301
Задача Х-36. Определить, какое давление нагнета-
ния рн должен создавать насос, перекачивающий воду
по горизонтальному трубопроводу, состоящему из трех
последовательных участков размерами /х = 400 м, dL =
= 200 мм; /2 = 200 м, d2 = 150 мм; /3 == 200 м, d3 =
= 100 мм, если в конечных сечениях участков из трубо-
провода отбираются одинаковые расходы Qa = QB =
= Qc = 10 л/с и минимальный пьезометрический напор
в конце трубопровода должен равняться Нс = 5 м столба
воды. Все участки трубопровода имеют одинаковую шеро-
ховатость А = 0,5 мм.
К задаче Х-36
К задаче Х-37
Задача Х-37. Поршень гидравлического цилиндра,
имеющий диаметр D = 60 мм и нагруженный внешней
силой Р = 2250 Н, перемещается под давлением масла
(б = 0,815, v = 0,5 Ст), поступающего в цилиндр из
пневмогидравлического аккумулятора по магистральной
трубе (I = 20 м, d = 15 мм).
1.	Определить, при каком коэффициенте сопротивле-
ния £ дросселя на сливной трубе (диаметром d = 15 мм),
присоединенной к магистрали в середине ее длины, ско-
рость поршня будет vn = 0,2 м/с, если избыточное давле-
ние в аккумуляторе р0 = 1,35 МПа.
Разностью высот расположения агрегатов системы и
местными потерями напора в магистральной трубе пре-
небречь. В сливной трубе учитывать только сопротивле-
ние дросселя.
2.	Какова будет скорость поршня, если полностью
закрыть дроссель на сливной трубе?
3.	При каком минимальном значении £ дросселя пор-
шень остановится?
Ответ. 1) £ = 257; 2) vn = 0,3 м/с; 3) £ = 22.
302
Задача Х-38. Резервуары /, 2, и 3 соединены одина-
ковыми стальными трубами длиной I = 8 м, диаметром
d = 20 мм и шероховатостью А = 0,1 мм.
Определить напор воды Н± в резервуаре 1 и расходы
воды, поступающие в резервуары 2 и <3, если разность на-
поров в этих резервуарах Я2 = 3 м и расход в трубе 1
равен Qi = 1,2 л/с. Местными потерями напора прене-
бречь.
Ответ. Нг = 13 м; Q2 = 0,4 л/с; Q3 = 0,8 л/с.
Задача Х-39. Определить коэффициент сопротивле-
ния £ вентиля, при котором расход воды в трубе 3 будет
равен Q3 = 9 л/с, если трубы /, 2 и 3 имеют одинаковые
длины Lj = L2 = L3 = 9 м и диаметры = d2 = d3 =*
= 50 мм (X = 0,025), высота уровней в резервуарах h =
= 15 м и избыточное давление М = 15 кПа. Учитывать
только потери напора на трение по длине труб и потерю
напора в вентиле.
Указание. В данной задаче нельзя определить направление потока
в трубе 1 методом ее выключения, поскольку неизвестно сопротивле-
ние трубы 3. Следует использовать метод нулевого расхода, т. е. пред-
положить, что при совместной работе всех трех труб расход в трубе 1
равен нулю и напор в узле равен напору в резервуаре 1. При этом
вычисляется расход Q2; сравнение этого расхода с требуемым расхо-
дом Q3 позволяет установить направление потока в трубе 1.
Ответ. £ = 9.
Задача Х-40. Найти, как распределится по ветвям
кольцевого участка трубопровода расход Qi = 7500 л/мин,
подводимый к участку в узле /, еслг1 известно, что из
других узлов отбираются расходы Q3 = 750 л/мин, =
= Qb = 1500 л/мин и Q6 = 3750 л/мин.
303
Размеры ветвей, составляющих кольцевой участок
трубопровода:
^12	=	335	м;	<712	=	250	мм;
^14		245	м;	<714	=	250	мм;
^25	=	245	м;	<7 25		200	мм;
^45	=	330	м;	<745	=	200	мм;
^23	=	330	м;	<7гз	—	200	мм;
7*58	=	330	м;	<7.56	=	150	мм;
7-36	=	250	м;	<7зв		200	мм.
Указать величину максимального перепада напоров
ДЯ между входным узлом 1 и одним из других узлов
кольцевого участка.
При расчете принять коэффициенты сопротивления
трения всех труб равными К = 0,03.
Ответ, Qu = 3430 л/мин; Q12 = 4070 л/мин; Q45 = 1930 л/мин;
Q25 == 1210 л/мин; Q23 = 28 60 л/мин; Q66 ~ 1640 л/мин; Q36 =
= 2110 л/мин; A77t_6 = 12,5 м.
О, 1	2 JI
--..........р .	 .
j>-......Л.......Л
ч	ч	ч
К задаче Х-40
К задаче Х-41
Задача Х-41. Трубы, составляющие кольцевой развет-
вленный участок, имеют следующие размеры:
= 300 м;
Lak ~ 250 м;
Lrb “ Ю0 м;
Lsb ~ 265 м;
Lks := ЮО м;
^AS == 75 мм;
Лак ЮО мм;
Лкв — 75 мм;
dsB == ЮО мм;
Лкв — 75 мм.
Перепад напоров в узлах А и В участка равен НАв =
== 12 м. Определить расходы в трубах и потери напора
в них, принимая коэффициент сопротивления трения
в трубах X = 0,032.
Ответ. Qak = Ю л/с; Иак — 0,6 м; —.4,8 л/с; Has =
= 7,6 м; QKs == 3,0 л/с; h^s = 1,0 м; Qsb — 7,8 л/с; hse == 4,3 м;
Qkb ~ 6,9 л/с; h^B — 5,4 м.
504
Задача Х-42. Определить направления движения и
расходы на участках А К, КМ и МВ трубопровода, соеди-
няющего резервуары, разность уровней воды в которых
Н = 23 м, если в узлах К и
М из трубопровода отбирают-
ся одинаковые расходы =
= QM = 10 л/с и участки имеют
одинаковые размеры I = 100 м,
d = 100 мм.
Учитывать только потери на
трение по длине (коэффициент
сопротивления трения X = 0,02).
Указание. Предварительно нужно
определить направление движения на
участке МВ, предположив, что при
заданных отборах в узлах К и М участок выключен, и определив при
этом перепад напоров ДЯ в резервуаре А и узле М. Если окажется,
что перепад ДЯ> Н, то резервуар В является питателем трубопро-
вода, если ДЯ << Н, то — приемником.
Ответ. Qa% — 30 л/с; Q^m = 20 л/с; Qmb = 10 л/с.
ГЛАВА XI
ИСТЕЧЕНИЕ ПОД ПЕРЕМЕННЫМ НАПОРОМ
ВВЕДЕНИЕ
1.	Истечение под переменным напором обычно имеет
место при опорожнении или наполнении резервуаров.
Дифференциальное уравнение процесса опорожнения
открытого резервуара произвольной формы при отсут-
ствии притока в него жидкости (рис. XI-I) имеет вид
—F (z) dz - Qzdt,	(XI-1)
где Qz — расход жидкости через выходное отверстие при
напоре истечения г;
F (z) — площадь свободной поверхности жидкости в ре-
зервуаре как функция напора г;
dz — понижение уровня в резервуаре за время
dt (dz < Оу.
Если плошадь поперечного сечения резервуара доста-
точно велика по сравнению с площадью выходного отвер-
стия, то переменная скорость опускания уровня в резер-
вуаре будет весьма малой; в этом случае локальными уско-
305
рениями частиц жидкости можно пренебрегать, рассма-
тривая процесс истечения за бесконечно малый промежу-
ток времени как установившийся. Мгновенный рас-
ход Qz определяется при этом по формуле
Q. = yf]/2gz.	(XI-2)
где р — коэффициент расхода выпускного устройства,
отнесенный к площади f выходного отверстия.
При квадратичном режиме истечения, который чаще
всего наблюдается для маловязких жидкостей, коэффи-
циент расхода можно принимать постоянным в течение
Рис. XI-2
всего процесса. Тогда интеграл уравнения (XI-1), даю-
щий время частичного опорожнения сосуда от начального
уровня Нq № произвольного уровня Я, будет иметь вид
Но
 1 Г F (г) dz
И/ J
(XL3)
Для призматического резервуара, у которого F (?) =
= р = const, уравнение (XI-3) дает
/ = (Жо - Ун).	(XI -4)
У/ l'2g
Время полного опорожнения призматического резер-
вуара (рис. XI-2)
т = {УТУ+У-УК). (Xi-5)
Р/ V2S
Коэффициент расхода у, выпускного устройства опре-
деляется его конструкцией. Значения у. для отверстий
С 06
и насадков при квадратичном режиме истечения см.
в гл. VI и VII и в приложении 2.
Для трубы постоянного диаметра d и длины I

где Z — суммарный коэффициент местных сопротивлений;
X — коэффициент сопротивления трения.
При истечении через отверстие или короткий насадок
(h1	0) время полного опорожнения
т _	2У0
lif	Qo ’
(XI-6)
вытекшей
где Уо = FH0 — начальный объем жидкости в резервуаре;
Qo — pf V^-gHo — начальный расход жидкости.
Вводя в уравнение (XI-4) значения начального расхода
(при уровне До) и конечного расхода (при
из резервуара, определяемые как
Qo = Р-/	и
Q = tifV2iH,
получим после преобразований
у
Qo + Q Qcp ’
где V = F (Яо — H) — объем жидкости,
из резервуара;
Qcp = 4 (Q° + Q) — средний расход за
ваемое время процесса.
Возможность расчета времени опорожнения призма-
тического резервуара по среднеарифметическому расходу
вытекает из того, что для такого резервуара зависимость
расхода от времени Q — f (/) является линейной.
Можно показать, что для резервуара, расширяющегося
вверх (dFIdz >> 0), кривая Q = f (t) имеет вогнутость
вниз, для сужающегося вверх резервуара (dFIdz < 0) —
вогнутость вверх.
2.	Если опорожнение происходит через ряд совместно
работающих выпускных устройств, то в уравнении
307
уровне И)
(XI-7)
рассматри-
(XI-1) Qj есть суммарный расход из резервуара. Так,
для схемы, показанной на рис. XI-3:
Q2 = V2g (z - а) +	V2-gz
и
п„
р ___________Fdz__________
J Mi/i /2g (г — а) + ц2/2 /2g?'
н
При а = 0 (оба выпускных устройства работают под
одинаковым напором истечения) время полного опорожне-
ния резервуара
Т = z' f Лг7лт(VK+K- Vh^-
(P1/1 + M2/2) v2g
В этом случае Т можно также вычислить и через сред-
ний расход (формула XI-7).
Для схемы на рис. XI-4, в которой одно из выпускных
устройств выключается в процессе опорожнения:
т = t +t = 2f(K^7+a- /р ।
* + 2 (НЛ + Ш/2) K2g	М1/1/2g
3.	При истечении жидкостей большой вязкости в вы-
пускном трубопроводе может наблюдаться ламинарный
режим движения.
Рассматривая истечение жидкости за каждый беско-
нечно малый промежуток времени как установившееся
308
и учитывая только потери напора на трение по длине
трубопровода, получим для мгновенного значения рас-
хода из резервуара
(?г = kz,	(XI-8)
где (см. гл, IX)
ь — я^4
~ 128vZ •
Время понижения уровня от начального положения Н№
до произвольного Н равно по уравнению (XI-1)
(XI-9)
н
Для призматического резервуара
4.	В случае замкнутого сосуда
с избыточным давлениехМ р над сво-
бодной поверхностью жидкости,
в дифференциальном уравнении
(XI-1) расход
0,-W |/23^ г
и время опорожнения при квадратичном режиме истече-
ния определяется интегралом
t =.... С , (х I- ю)
Н V pg
для вычисления которого должна быть известна зависи-
мость р = р (г).
В частности, если давление поддерживается постоян-
ным (путем подачи в бак воздуха), получаем для призма-
тического сосуда (рис. XI-5)

309
5.	В ряде случаев при расчете истечений под перемен-
ным напором можно пренебрегать фактором весомости
жидкости, принимая, что истечение происходит только
под действием давления поршня или газа в резервуаре.
К таким задачам относится, например, расчет сра-
батывания пневмогидравлического аккумулятора, пита-
ющего силовой гидроцилиндр (рис. XI-6).
Рис. ХЬ6
Дифференциальное уравнение процесса истечения
жидкости из аккумулятора в гидроцилиндр имеет вид
F dx = Q dt,
где F — площадь сечения аккумулятора;
dx — понижение уровня жидкости в нем за время dt\
Q — расход жидкости в гидроцилиндр.
Пренебрегая геодезическим напором z в аккумуляторе
относительно выходного сечения питающего трубопро-
вода, а также локальными ускорениями частиц жидкости,
получим выражение расхода в произвольный момент
времени	_______
<2-^/2-^-,
где р — избыточное давление воздуха в аккумуляторе;
рх — избыточное давление жидкости в гидроцилин-
дре.
Последнее равйо при нагрузке Р гидроцилиндра и его
площади Ft (пренебрегая трением в гидроцилиндре)
Р
FF
310
Выражая переменное давление р через начальное
избыточное давление воздуха р0, начальную высоту aQ
воздушного объема и его переменную высоту %, получим
в предположении изотермичности процесса расширения
воздуха
Р = -у- (Ро + Pam) — Рат ,
где рат — атмосферное давление.
Подставляя выражения Q и р в исходное дифферен-
циальное уравнение, получим после преобразований
dt — А
К*
КВ —Сх
dx;
(XI-11)
где
а =—;
В = а0(р0 + рат) и С = р1 + рат.
Время Т срабатывания аккумулятора, отвечающее
ходу s поршня гидроцилиндра, определяется интегралом
’=4
а0
К%
Кв — Сх
dx,
верхний предел которого аг (представляющий высоту
воздушного объема в конце процесса) находится из оче-
видного объемного соотношения
F (ах — aQ) = F^s.
Если предположить режим движения в питающем
трубопроводе ламинарным, то расход
Р~ Pi	nd*
Где/и = ж,
и дифференциальное уравнение процесса
dt = ERx-r dx; Е = -^~.	(XI-12)
В—Сх	т	'	7
Если в предыдущих уравнениях положить противо-
давление рт = 0, получим формулы для времени опорож-
нения замкнутого призматического резервуара в атмос-
феру под действием избыточного давления газа.
3i 1
6.	В более общем случае опорожнения резервуара при
одновременном постоянном притоке в него жидкости
(рис. XI-7) дифференциальное уравнение процесса
имеет вид
— F (z) dz = (Q2 — q) dt,
где q — приток жидкости в единицу времени.
Отсюда время понижения уровня от Но до Н
F (z) dz
nf ]/~2gz — q'
Рис. XI-8
Выражая приток
ния Н *:
q через постоянный напор истече-
V2gH\
получим
н0
__	1 Г F (z) dz
~ и/ J /2 — Кя* ’
н
(XI-13)
В случае призматического резервуара (F = const)
2F
Ун* In
КЯр - Ун* ,
Кя~ /я*
+ (УНО-УН) .
(XI-14)

Из формулы (XI-14) следует, что уровень Н в резер-
вуаре асимптотически стремится к напору Н *, при кото-
ром расход опорожнения Q2 равен притоку q.
312
7.	При выравнивании уровней жидкости в двух сооб-
щающихся резервуарах (рис. X1-8) имеем дифференциаль-
ные соотношения
—У7! dz} = dt;
F2 dz2 = Q2 dt,
где Fx и F2 — площади резервуаров;
dz, и dz2 — изменения уровней в резервуарах за
время dt (dZi < 0, dz2 >>0).
Выражая расход Q, через разность г уровней в резер-
вуарах
Qz = В/
и пользуясь соотношением
dz = dzx — dz2,
получим из приведенных
выражений дифферен-
циальное уравнение про-
цесса выравнивания
л/ _ _ F1F2_______
F1 F, н/ к2gz
(ХН5)
Рис. XI-9
Интегрируя для призматических резервуаров
= HQ до z = 0, найдем время выравнивания
уровней
^1+^2
ОТ 2 =
В НИХ
(XI-16)
При подстановке Fr = сю или F2 = со формула (XI-16)
переходит в формулу (XI-6), определяя в первом случае
наполнения резервуара 2 из резервуара 1 с постоянным
уровнем и во втором случае — время опорожнения резер-
вуара 1 под постоянный уровень в резервуаре 2.
8.	Процесс наполнения плавающего резервуара через
отверстие в его стенке, сопровождающийся увеличением
его погружения в жидкость (затопление резервуара,
рис. XI-9), выражается дифференциальным уравнением
Fdx = Qz dt,
где F — внутренняя площадь резервуара;
dx — подъем уровня жидкости в резервуаре за время
dt (dx ►> 0);
Qz — расход жидкости, поступающей в резервуар.
313
Обозначив z разность уровней жидкости (постоянного
вне резервуара и переменного внутри него), получим,
рассматривая истечение за малое время dt как установив-
шееся и считая, что отверстие является затопленным
в течение всего процесса наполнения резервуара:
Q2 = pf V2gz.
Переменные х и z связаны с погружением у резервуара
дифференциальным соотношением
dy = dz + dx,
где dy — опускание резервуара за время dt(dy^>ty.
Так как предполагается, что размер отверстия f мал
по сравнению с площадью F резервуара и, следовательно,
погружение последнего (увеличение у) происходит доста-
точно медленно, можно пренебрегать силой инерции резер-
вуара, считая, что в любой момент времени резервуар
находится в равновесном состоянии.
Отсюда, из условия равенства для любого момента
времени веса резервуара с заполняющей его жидкостью
и действующей на него гидростатической подъемной силы,
имеем для призматического резервуара внешней пло-
щадью Fq объемное соотношение
F dx = F 0 dy
(объем жидкости, поступившей в резервуар за время dt,
равен объему, дополнительно вытесненному им за это
время).
Получаем, таким образом:
dz = dy — dx = dx -----1 .
Очевидно, что при F = Fo (тонкостенный призмати-
ческий резервуар) dz = 0 и наполнение резервуара про-
исходит при постоянном напоре истечения z = const.
Если F < Fо, то, подставляя последнее соотношение в ис-
ходное дифференциальное уравнение, получим
dt = -	------dz
(XI-17)

Интегрируя это уравнение в заданных пределах, можно
найти время дополнительного погружения (от момента
открытия отверстия) и, в частности, полного затопления
резервуара.
314
9.	Время опорожнения резервуара, находящегося в пе-
реносном движении, определяется по общему дифферен-
циальному уравнению (XI-1), в котором — расход,
вычисляемый по относительной скорости истечения через
выпускное устройство.
Относительная скорость истечения определяется из
уравнения Бернулли для установившегося относитель-
ного движения жидкости
2	2
Zi+Pi. + ^L = Z2 + ^ + -^- + hn-T, (Х1-18)
1 pg 2g 2 Pg 2g n v z
где w — относительная скорость в рассматриваемом се-
чении потока;
Т — удельная работа сил инерции переносного дви-
жения между выбранными сечениями, равная
s
7= j —cos 0 ds	(Х1-19)
О
(j — единичная сила инерции переносного движения 0 —
угол между j и направлением относительного перемеще-
ния -ds).
Для случая равномерного
вращения канала вокруг непо-
движной оси (рис. X1-10) приме-
нение формулы (XI-19) после
подстановок j = о>2г и ds cos 0 =
= dr дает
Т =
(XI-20)
где и — переносная (окружная)
скорость в центре рас-
сматриваемого сече-
ния.
Для поступательного прямолинейного движения ка-
нала с ускорением а (рис. XI-11) формула (XI-19) дает
T =	(XI-21)
где Sj — проекция относительного перемещения между
выбранными сечениями на направление силы
инерции.
315
a.
Вектор единичной силы инерции
/
Найдем с помощью этих зависимостей скорость исте-
чения жидкости в атмосферу из открытого резервуара,
равномерно вращающегося вокруг вертикальной оси
(рис. XI-12).
Считая выходное отверстие малым по сравнению с пло-
щадью резервуара и пренебрегая в последнем скоро-
стными напорами частиц
жидкости, получим из фор-
мул (XI-18) и
(XI-20) (сече-
ние 1 —параболическая свободная поверхность жидкости,
сечение 2 — выходное отверстие, от центра которого
отсчитываются вертикальные координаты г):
йУ2 11 f	и2 —
2g
Отсюда скорость истечения
' W = ф У + ®2 (х-22 — Г1) , (XI -22)
где гх, zv — координаты произвольной точки А на сво-
бодной поверхности;
г2 — радиус вращения центра выходного отвер-
стия;
Ф — коэффициент скорости выпускного устрой-
ства.
Выбирая на свободной поверхности точку В, для кото-
рой гг = г2> получим __________
w = ф У 2g Н,
(XI-23)
316
где Н — глубина расположения центра выходного отвер-
стия под параболоидом свободной поверхности.
В тех случаях, когда можно пренебрегать силами
тяжести частиц жидкости по сравнению с их центробежны-
ми силами инерции (см. гл. IV):
^ = ф(о]/ Г 2—-
(XI-24)
где гх — радиус цилиндриче-
ской свободной по-
верхности жидкости
в резервуаре;
г2 — радиус вращения цент-
ра выходного отвер-
стия.
Аналогичным образом полу-
чим по формулам (XI-18) и
(XI-21) для скорости истечения
из сосуда, движущегося прямо-
линейно с постоянным уско-
рением а, направленным под углом а к горизонту (см.
рис. XI-13, где начало координат х, z, расположенных
в плоскости движения резервуара, совмещено с центром
выходного отверстия):

При выборе на свободной поверхности произвольной
точки А с координатами хъ величина S/
Sj = хт cos а + sin а.
Отсюда
w = ф у 2g cos axr + 1 + ~~ sin а . (XI -25)
Выбирая на свободной поверхности точку В, для кото-
рой %! = 0, получим
[0 = ф'|/Г 2g ^1 + -~ sin a) h ,	(XI-26)
где h — глубина центра выходного отверстия под сво-
бодной поверхностью жидкости.
317
Задачи
Задача XI-1. Какое избыточное давление М воздуха
нужно поддерживать в баке, чтобы его опорожнение про-
исходило в два раза быстрее, чем при атмосферном давле-
нии над уровнем воды; каким будет при этом время опо-
рожнения бака?
Диаметр бака D = 800 мм, его начальное заполнение
Н = 900 мм. Истечение происходит через цилиндриче-
ский насадок диаметром d = 25 мм и высотой = 100 мм,
коэффициент расхода которого р = 0,82.
Ответ. М = 11,8 кПа; Т — 3 мин. 12 с.
Задача XI-2. Определить время опорожнения состав-
ного цилиндрического резервуара (D± = 1,5 м; D2 =
= 2,2 м; h± = 1 м; Л2 = 1,5 м) через вертикальную трубу
высотой h3 = 2 м и диаметром d =
= 60 мм при открытом вентиле с коэф-
фициентом сопротивления £ = 4. Коэф-
фициент сопротивления трения в трубе
принять равным к = 0,03.
Ответ. Т = 14,8 мин.
Задача XI-3. Определить высоту
сливной трубы г, при которой опорож-
нение цилиндрического бака будет
происходить в два раза быстрее, чем
К задаче XI-3 через отверстие такого же диаметра.
Начальное заполнение бака Яо = 4 м,
диаметр отверстия d = 60 мм, его коэффициент расхода
р = 0,6.
Коэффициент сопротивления трения в трубе принять
равным X = 0,03.
Ответ. z = 1,2 м.
318
Задача XI-4. Призматический бак А со стороной квад-
дратного основания а — 2 м и высотой h — 1,6 м запол-
няется бензином из центрального бензохранилища В,
уровень в котором постоянен (Я =5м). Заполнение про-
исходит через гибкий шланг длиной I = 7 м, выходное
сечение которого находится на середине высоты бака.
Определить диаметр шланга d, при котором бак будет
заполняться в заданное время Т = 15 мин, приняв коэф-
фициент сопротивления трения в шланге равным X =
= 0,05; местными потерями в шланге пренебречь.
Ответ, d = 50 мм.
Задача XI-5. Определить время опорожнения кони-
ческого сосуда (0 = 30°) через трубу, диаметр которой
d ~ 15 мм и суммарный коэффициент сопротивления
С - 2,5.
Начальный уровень жидкости /70 = 0,85 м; Z)o =
= 1 м; вертикальное расстояние от выходного отверстия
трубы до дна сосуда b = 0,6 м.
Ответ. Т — 21 мин. 50 с.
Задача XI-6. Из емкости, имеющей постоянное по
высоте сечение площадью F = 20 м2, жидкость откачи-
вается насосом с постоянным расходом QH = 4 л/с, а также
вытекает в атмосферу по горизонтальной трубе диаме-
тром d = 50 мм, суммарный коэффициент сопротивления
которой $ = 5.
Определить время понижения уровня на величину
а = 1 м.
319
Ответ.
Т =----Г/ « — ///0 In ( 1 + 1/ -77-) I = № мин,
lV/2g L	\ #o/J
где
Qh n f
К задаче XI-6
Задача XI-7. Бак диаметром D = 600 мм заполняется
водой из резервуара с постоянным уровнем Н = 1,2 м.
Заполнение происходит через трубу диаметром d = 25 мм,
суммарный коэффициент сопротивления которой равен
С - 8.
Определить:
1. Время заполнения бака до уровня в резервуаре.
2. На какую высоту г следует поднять уровень в ре-
зервуаре, чтобы заполнение бака на ту
же высоту Н происходило в два раза
быстрее.
й_ —	---Л Ответ. Т — 14 мин 15 с;
¥<	- < И	*6
Задача XI-8. Определить время опо-
Iffli	рожнения целиком заполненного шаро-
К задаче XI-8 вого сосуда радиусом R = 0,8 м через
отверстие, диаметр которого d0 = 50 мм
(коэффициент расхода р = 0,62). Давление на свободной
поверхности жидкости считать атмосферным.
За какое время из сосуда вытечет половина содержа-
щегося в нем объема воды?
D	~	16 D2 /Д
Ответ. Время полного опорожнения 7\ =	~
р^ V 2 g
— 500 с и половинного Т2 = 200 с.
320
Задача XI-9. Сравнить время опорожнения полу шаро-
вого сосуда радиусом R, расположенного сферой вверх (/)
и сферой вниз (II). В обоих случаях истечение происходит
через одинаковое отверстие d0 (коэффициент расхода
К задаче XI-9
отверстия принимать постоянным). Давление на свобод-
ной поверхности жидкости при истечении считать атмо-
сферным.
12
Ответ. Т^Тц =
Задача XI-10. Определить, за какое время из резер-
вуара площадью Fo = 300 м2 через прямоугольное водо-
сливное отверстие в боковой стенке шириной В = 1,6 м
выльется объем воды W = 330 м3, если начальный уро-
вень воды над порогом равен hQ = 1,2 м.
Коэффициент расхода водослива принять m = 0,4.
Ответ. Т = 7.9 мин.
К задаче XI-10
К задаче XI-11
Задача XI-11. Определить время опорожнения целиком
заполненного цилиндрического сосуда через сопло (dr =
— 25 мм; = 0,97), если в верхней крышке сосуда
имеется отверстие (d2 — 3 мм, ц2 = 0,6), через которое
засасывается воздух по мере вытекания воды. Диаметр
сосуда D 1,2 м, его высота 1,5 м, плотность воз-
Духа рвозЭ = 1,2 кг/м3.
П Д. А. Бутаев и др.	321
Задачу решать, исходя из равенства объемных расхо-
дов воды и воздуха, пренебрегая сжимаемостью послед-
него. Высотой сопла h пренебречь.
Указание. Дифференциальное уравнение процесса истечения
dt==-nF
х воды
в котором расход воды
г \ РводыК /
где рат — атмосферное давление;
рх — абсолютное давление воздуха в сосуде.
Условие равенства в каждый момент времени объемных расходов
воды и воздуха дает
М1Л 2g (z
) = у
Ответ.
__ Рат -- Рх
Рводыё
Pi V
К задаче XI-12
в сосуде такой
2 ^ат — Рх
Рвозд
У Н = 1 ч 27 мин.
Задача XI-12. Сосуд с переменным
по высоте сечением опоражнивается
через донный сходящийся насадок.
Определить:
1. Какой должна быть зависимость
радиуса сосуда R от высоты сечения
z над насадком, чтобы опускание
уровня жидкости происходило равно-
мерно.
2. Диаметр d насадка, при котором
постоянная скорость опускания уровня
формы будет равняться v = 1 мм/с,
если начальные значения радиуса и заполнения сосуда
равны /?0 = 125 мм и г0 = 310 мм.
Коэффициент расхода насадка принимать постоянным
и равным р = 0,95.
УУЛ* воды
Ответ. R = A j/" z, где А
d = 5,15 мм.
Г 8иа ’
Задача XI-13. Открытая цистерна диаметром D =
= 2,4 м и длиной L 6 м, целиком заполненная бензи-
322
ном, опоражнивается через сливную трубу, диаметр
и длина которой d = 50 мм и I = 7 м, а выходное сече-
ние находится на уровне нижней точки сечения цистерны.
Суммарный коэффициент местных сопротивлений в трубе
£ = 8, коэффициент сопротивления трения X =-= 0,025.
К задаче XI-14
Определить время опорожнения цистерны.
г nd2
Ответ. Т =-----= 3 ч 20 мин, где f =—-г—.
Зц/ V2g	4
Задача XI-14. Определить время опорожнения цилин-
дрического резервуара, диаметр которого D = 0,8 м,
через два круглых отверстия одинакового диаметра
d0 = 10 мм, расположенных на расстоянии а ~ 0,5 м
по высоте друг от друга. Начальное положение уровня
Hq = 1,5 м.
Коэффициент расхода каж-
дого из отверстий ц = 0,62.
Ответ. Т = 1 ч 20 мин.
Задача XI-15. Бак диамет-
ром D = 600 мм заполняется
водой из резервуара с постоян-
ным уровнем b = 1,5 м через
две короткие трубы одинако-
вого диаметра d = 25 мм. Одна
из труб примыкает к дну бака,
другая — к его боковой стенке на высоте а = 0,6 м от дна.
Определить время заполнения бака до уровня в резер-
вуаре, учитывая в трубах только местные потери (коэффи-
циент сопротивления каждого из колеи £ = 1,2; коэффи-
циент сопротивления входа ^вх = 0,5).
Ответ. Т — 245 с.
323
Задача XI-16. Определить время выравнивания уров-
ней в двух резервуарах при начальном напоре Но — 4 м.
Диаметры резервуаров Dx ~ 1,6 м и D2 = 3,2 м; Ло =
= 1,5 м. Перетекание происходит через цилиндрический
насадок d = 100 мм, коэффициент расхода которого ц
- 0,82.
Ответ. Т — 7,9 мин.
К задаче XI-16
Задача XI-17. Два одинаковых резервуара диаметром
D 0,8 м, заполненные маслом (v = 1,4 Ст) с начальной
разностью уровней Яо = 1,2 м, соединены трубкой диа-
метром d = 12 мм и длиной /—6 м.
Найти время, необходимое для того, чтобы разность
уровней уменьшилась до Н = 0,1 м, учитывая в трубке
только потери трения.
Указание. Предварительно выяснить режим течения в трубке
(см. гл. IX).
Ответ. Т = 29,2 ч.
Задача XI-18. В первоначально пустой бак квадратного
сечения (а = 800 мм) подается постоянное количество
воды q = 2 л/с. Одновременно происходит вытекание
поступающей воды через донное отверстие диаметром
dQ — 30 мм (коэффициент расхода отверстия ц 0,6).
Определить:
1. Каков предельный уровень гшах, отвечающий уста-
новившейся работе системы.
2. Какое время требуется для того, чтобы разность
между zmax и текущим уровнем z стала равной Az —
— 0,1 м.
Ответ. 1) 2тах — 1,1 м; 2) I — 25 мин.
324
Задача XI-19, Шлюзовая камера заполняется из
водохранилища с неизменным уровнем путем подъема
ворот на высоту s = 2,0 м, производимого с постоянной
скоростью v = 10 мм/с.
Определить:
1. Высоту на которую поднимается горизонт воды
в камере за время подъема ворот, а также время полного
заполнения камеры, если длина камеры L — 180 м и на-
2. Какова должна быть скорость подъема ворот, чтобы
камера заполнилась целиком к моменту их подъема на
заданную высоту s.
Коэффициент расхода отверстия под нижней кромкой
ворот считать постоянным и равным р = 0,6.
Указание. Для первого этапа заполнения камеры (во время подъ-
ема ворот) дифференциальное уравнение процесса имеет вид
— Fdz = Qdt,
где F — площадь камеры (F = BL)\
z — разность уровней в водохранилище и камере;	__
Q — расход через отверстие под щитом, равный Q = \kBvt К2gz
(В — ширина камеры).
Ответ.
1)	Г«T-JltOLy-Z.lS
Т + ILLSEHI _ V
v ps У 2g
2) v = 4,7 мм/с.
325
Задача XI-20. Щит Л, опускаясь с постоянной ско-
ростью v = 0,05 м/с, перекрывает квадратное отверстие
(а = 1 м) в вертикальной стенке.
Считая уровень воды в резервуаре постоянным (Н —
= 3 м), определить, сколько воды вытечет за время закры-
тия отверстия. Коэффициент расхода ‘отверстия принять
в процессе закрытия постоянным и равным ц = 0,59.
Указание. Расход через отверстие в момент времени t от начала
закрытия	___________________
Q = |ш (а — t-'О К 2S С
Ответ. V = 50 м3.
Задача XI-21. Шлюзовая камера площадью F =
= 800 м2 имеет перепускное прямоугольное отверстие
высотой s = 2 м и шириной В ~ 4 м, которое начинает
закрываться щитом, движущимся с постоянной скоро-
стью v = 0,05 м/с.
К задаче XI-21
Определить понижение у уровня в шлюзовой камере
за время закрытия отверстия, истечение через которое
происходит под постоянный уровень.
Начальный напор Н = 5 м.
Коэффициент расхода отверстия принять постоянным
и равным р = 0,65.
Ответ. у = 1,2 м.
Задача XI-22. Квадратный ящик со стороной основа-
ния а = 3 м, высотой ft = 1,2 м и толщиной стенок б =
= 150 мм плавает, погруженный в воду на глубину ft0 =
= 0,6 м.
326
Определить время затопления ящика с момента откры-
тия донного отверстия диаметром d = 30 мм (коэффициент
расхода ц = 0,82).
Ответ.
Т = УУ 	[V_ тЛ/,_ 6 — (Л _ /(0) ^1,
г у 2g L	г	/ J
где
Fo ~ a2; F — (а — 26)2 и
_ nd2 ~
f = —-—Т = о 7 мин.
'	4
К задаче XI-22
К задаче XI-23
Задача XI-23. Определить время затопления тонко-
стенного сосуда после открытия донного отверстия диа-
метром dQ = 25 мм. Сосуд имеет два цилиндрических
участка, диаметры которых Dr = 1,2 м и D2 = 0,6 м,
а высоты /ij = 0,8 м и ft2 = 0,5 м. Начальное погружение
сосуда /г0 = 0,85 м.
Коэффициент расхода отверстия ц = 0,6.
Указание. Затопление сосуда происходит в два этапа:
1) погружение при переменном напоре истечения через отверстие
до момента времени, когда сосуд заполнится водой на высоту Л2;
2) погружение при постоянном напоре истечения (равном z =
Dl
— ho — Л2 + /12 —
£77
до момента полного
заполнения сосуда.
Ответ.
Di . D2 . ___2_
D\~D}	(% ‘ |i V 2^
327
Задача XI-24. Открытый цилиндрический сосуд (диа-
метром D — 1,5 м и высотой h2 = 1,6 м), внутри которого
свободно помещается круглый деревянный брус, плавает
будучи погружен в воду на глубину Ло = 0,6 м. Диаметр
бруса d ~ 0,8 м, его высота /г\ = 0,8 м и относительная
плотность 6 = 0,75.
Определить время затопления сосуда с момента откры-
тия донного отверстия диаметром dQ = 30 мм, коэффициент
расхода которого равен ц = 0,62.
Толщиной стенок сосуда пренебрегать,
К задаче XI-24	К задаче XI-25
Указание. Затопление сосуда будет происходить при переменном
напоре истечения через отверстие до момента всплытия бруса, а за-
тем — при постоянном напоре истечения.
Ответ.
Т = /1 4-
П2 — J2	2
Р Т 2g
Задача XI-25. Тонкостенный открытый призматиче-
ский сосуд (шириной а = 2 м, длиной Ь = 5 м и высотой
h = 1,8 м), плавает в воде, погруженный на глубину
/г0 = 0,8 м. Сосуд снабжен двумя вертикальными тонко-
стенными переборками, расстояние между которыми с =
= 1,5 м.
Рассмотреть процесс погружения сосуда после откры-
тия в отсеке между переборками донного отверстия диа-
метром d0 = 40 мм (р = 0,62), определив:
328
1) новую глубину погружения сосуда и время, в тече-
ние которого сосуд будет дополнительно погружаться:
2) предельное расстояние между переборками сП]ах,
при котором сосуд с открытым донным отверстием может
еще сохранять плавучесть.
Ответ. 1) Новая глубина погружения у = -  - Ло -= 1,14 м.
Время’ дополнительного погружения
™ abc 2	о_
i = ---- —	= 37 МИщ
Ь~с	у 2g
2) Стах = & (1--^-)=2,77 м-
Задача XI-26. Определить время затопления баржи,
заполненной нефтью (относительная плотность б = 0,85)
на высоту Но = 2 м, после получения ею донной пробоины
(диаметр отверстия dQ = 50 мм, коэффициент расхода
ц = 0,61). Размеры баржи: высота h = 3 м, площадь
F = 120 м2, ее начальное погружение а = 2 м.
Ответ.
Т =-----(/г ~	= 11,5 ч.
У 2g (а — 6//J
------ffwfa — —---------------------
К задаче XI-26
К задаче XI-27
Задача XI-27. Тонкостенный колокол начинает погру-
жаться в воду из показанного на чертеже начального
положения вследствие того, что в верхней его части обра-
зовалось отверстие, через которое сжатый воздух выходит
наружу.
Определить время полного погружения колокола при
следующих данных: D = 1,5 м; а = 0,2 м; b = 2 м.
329
Диаметр отверстия dQ = 6 мм, его коэффициент рас-
хода р = 0,6. Плотность воздуха р = 1,2 кг/м3 (влиянием
сжимаемости воздуха на расход через отверстие прене-
брегать).
Ответ. Т = 55 мин.
Задача XI-28. Шестеренный насос откачивает бензин
из двух баков одинаковой площади F = 8 м2 по трубам
одинакового диаметра d — 50 мм и одинаковой длины
(до точки их смыкания) I = 13 м.
К задаче XI-28
К решению задачи XI-28
Определить выработку из каждого бака за время
Т = 10 мин, если производительность насоса Q ~ 4 л/с,
заполнение каждого бака равно й= 1,5 м и начальная
разность уровней бензина Н = 1,0 м.
В трубах учитывать только потери на трение, прини-
мая X = 0,025. Сопротивлением дренажных трубок пре-
небрегать, считая, что давление в баках равно атмосфер-
ному.
Указание. В момент времени t расходы Qi и Q2 в трубах и раз-
ность уровней z в баках (си. рисунок к решению задачи) связаны со-
отношением
г = Л (Q2-Q22),
А = 0,0827 X -4-.
Так как Qi + Q2 = Q, то получаем:

<?2=4 (q -
г \
W) ’
330
Подставляя эти выражения расходов в дифференциальные уравне-
ния выработки баков
—Fdhi = Qidt;
—-Fdhz ~ Qzdt
(где hi и fi2 —текущие значения наполнений баков) и пользуясь соотно-
шением
dz = dhi — dli2,
получаем в результате интегрирования функцию
г = f (О
и, после ее подстановки в выражения расходов, функции
Qi = f (0 и 02 = f (0.
Ответ.
=	— е AEQ )] = 2 м3;
Задача XI-29. Пневмогидравлический аккумулятор
диаметром D --= 100 мм, заряженный воздухом под избы-
точным давлением р0 = 5 МПа, подключен к гидроци-
линдру диаметром DL = 60 мм, к штоку которого прило-
жена постоянная сила Р = 7100 Н.
Определить время полного хода поршня цилиндра
s 150 мм, предполагая режим движения в трубопро-
воде (/ = 10 м, d = 6 мм) ламинарным и расширение
воздуха в аккумуляторе изотермическим (ц0 = 120 мм).
Кинематическая вязкость жидкости v — 0,6 Ст; ее
плотность р = 900 кг/м3.
Атмосферное давление рат == 0,1 МПа.
Ответ.
Ро Рат __ ।
Г=—-£^------- Pi + Рат----------------------(а,-а.) ,
т (рх Рат) Pi + Рат Ро Рат  а1
Pl + Рат ао
331
где
nD2
f = “4
4P	«Of
Р'~~^БГ ai~ D‘2
nd4 r . o
m = W; 1 = 4’8 c-
Задача XI-30. Пневматический амортизатор шасси
с диаметром цилиндра D = 120 мм в начальном положе-
нии заряжен воздухом под избыточным давлением р0 =
= 3,2 МПа, который занимает часть вы-
соты цилиндра а0 = 150 мм.
Определить время и величину осадки
цилиндра под действием постоянной на-
грузки G = 50 кН, внезапно приложен-
ной к амортизатору, если перетекание
жидкости происходит через отверстие
диаметром d = 3 мм (коэффициент 'рас-
хода ц = 0,8).
Плотность жидкости (спиртоглицери-
новая смесь) р = 1120 кг/м3.
Указание. Дифференциальное уравнение про-
цесса истечения
К задаче Xl-30	—Fdx Qdt,
где F — площадь поршня; dx — осадка цилиндра за время dL
Расход через отверстие
G
где р!—-—------постоянное давление над поршнем и р— переменное
г
давление воздуха при занимаемой им высоте х, равное р =
= (Ро + Рат) — Рат (Рат = 0,1 МПа — атмосферное давление).
Подставляя в уравнение процесса истечения выражения для Q
и р, получаем после преобразований:
где ai — высота объема воздуха в конце процесса
Ро 4~ Рат
Р1 Рат
Ответ, Г = 4,5 с. Осадка цилиндра — ai ~ 40 мм.
332
Задача XI-31. Вода, заполняющая цилиндр аккуму-
лятора, находится под давлением, создаваемым предвари-
тельно сжатой пружиной, жесткость которой равна
С = 20 Н/см.
Открытием крана К аккумулятор
включается и жидкость благодаря
действию пружины начинает выте-
кать через трубку, диаметр которой
d = 10 мм и суммарный коэффи-
циент сопротивления £ = 4.
Определить время выработки
(опорожнения) цилиндра аккумуля-
тора, если его диаметр D = 110 мм
и предварительное сжатие пружины
в начальном положении поршня
г0 = 60 мм. Размеры: а = 70 мм,
b = 30 мм.
К задаче XI-31
Ответ.

7^- Uo-Wo) + 6] =2,6 с,
где
nD2 nd2
F^-—
Задача XI-32. Для аварийной остановки поездов
в тупиках применяют двухцилиндровый гидравлический
тормоз, в котором кинетическая энергия поезда погло-
щается работой жидкостного трения при перетекании
воды через малое отверстие в поршне.
Найти уравнение у — f (х) профиля клина, перекры-
вающего дросселирующее прямоугольное отверстие ши-
риной b = 52 мм, если торможение поезда массой т =
= 500 т, который подходит со скоростью Vo = 7,2 км/ч,
должно происходить на пути s = 0,8 м и процесс торможе-
ния желают осуществить равнозамедленным. Диаметр
цилиндра D = 300 мм. Давление в левой полости поддер-
живается равным р0 = 0,3 МПа.
Коэффициент расхода дросселирующего отверстия при-
нять постоянным и равным р = 0,6.
333
Указание. При равнозамедленном движении
его замедления
поршня величина
и скорость его движения в функции пути
К задаче XI-32
Расход, вытесняемый поршнем,
Q = vF = pf
где F — площадь поршня, f = by — переменная площадь отверстия
и р — давление в рабочей полости цилиндра. Пренебрегая площадью
штока по сравнению с площадью цилиндра, получим для перепада дав-
лений в полостях цилиндра
та
р~ Ро~
Ответ.
у — А Уs — xt
где
А =-------F ^2а	---= 0,038 м*/г.
\f 2(43--—)
\	\ 4s?p р /
Задача XI-33. Определить время опорожнения сосуда
диаметром D = 300 мм, заполненного жидкостью до
334
высоты Я = 600 мм, при равномерно ускоренном движе-
нии сосуда в двух случаях:
1) ускорение сосуда а = 2,5 м/с2 направлено вверх;
2) такое же по величине ускорение направлено вниз.
Истечение происходит через отверстие d = 25 мм
(р - 0,62).
Ответ. Т = 72,7 и 94,2 с.
Задача XI-34. Цилиндрический бак площадью F
= 0,5 м2 свободно скользит без трения по наклонной
плоскости под углом а = 30° к горизонту. В начальный
момент бак содержит V(} = 0,6 м3 жидкости, которая
вытекает при движении бака через донное отверстие пло-
щадью f = 5 см2 (коэффициент расхода ц = 0,6).
Какой объем выльется из бака за время t 60 с?
Ответ. V ™ 80 л.
Задача XI-35. Цилиндрический сосуд, диаметр кото-
рого D = 1 м и высота В = 0,4 м, вращается вокруг
горизонтальной оси при и = 1000 об/мин.
В сосуде содержится V = 0,25 м8 жидкости.
Определить время опорожнения сосуда через четыре
отверстия диаметром d = 10 мм, расположенные на боко-
вой поверхности сосуда. Коэффициент расхода отверстий
принять jx = 0,65. Влиянием весомости жидкости пре-
небречь.
Ответ. Т = 52,5 с.
335
Задача XI-36. Из сосуда диаметром D = 0,6 м, кото-
рый вращается вокруг вертикальной оси с угловой ско-
ростью со = 10 рад/'с и закрыт сверху поршнем весом
G = 2770 Н, вытекает вода через четыре боковых отвер-
стия (d = 10 мм, р = 0,6).
Определить, в течение какого времени будет продол-
жаться истечение, если в начальный момент отверстия
расположены на глубине b = 0,3 м под поршнем. Трением
поршня пренебречь.
Ответ.
Т = -------(Кb + А - ]/~А) = 90 с,
2|л/ К2g
где
А + 16<~’ ? = ”"”4..................’ = Т“ ’
Задача XI-37. Неподвижный призматический бак пло-
щадью F = 0,1 м2, заполненный жидкостью до уровня
/70 = 1 м, опоражнивается через трубку сечением f
= 1 см^ выходное отверстие которой удалено от оси вра-
щения на расстояние R = 20 см и
бака на Н 0,5 м.
расположено ниже дна
К задачам XI-37 и XI-38
Найти время опорожнения бака при неподвижной
трубке. Определить частоту вращения трубки, при кото-
рой время опорожнения уменьшится в два раза.
Коэффициент расхода трубки принимать независящим
от частоты ее вращения и равным ц = 0,4.
Ответ. Т — 5,5 мин; п = 305 об/мин.
336
Задача XI-38. Найти время опорожнения цилиндри-
ческого сосуда площадью F = 0,1 м2 через неподвижную
трубку площадью поперечного сечения f = 1 см2 (коэффи-
циент расхода трубки р — 0,4), если сосуд, заполненный
до начального уровня //0 = 1 м, приведен в равномерное
вращение с угловой скоростью со = 10 рад/с. Выходное
сечение трубки расположено на радиусе /? = 20 см и на
глубине Н = 0,5 м ниже дна бака. Какое количество
жидкости останется при этом в сосуде?
Ответ. Т = 9 мин; V — 10 л.
Задача XI-39. Определить время затопления тонко-
стенного понтона призматической формы после получения
им бортовой пробоины на глубине b = 0,5 м.
К задаче XI-40
Площадь пробоины f = 20 см2, ее коэффициент рас-
хода р 0,6.
Размеры понтона — высота h “ 2 м и площадь дна
F — 25 м2.
Начальное погружение понтона в воду а = 1 м.
Ответ. Т — 1 ч 25 мин.
Задача XI-40. Капиллярный вискозиметр имеет бачок
диаметром D 50 мм, из которого испытуемая жидкость
вытекает в атмосферу по капилляру диаметром d = 1 мм
и длиной / = 200 мм, расположенному горизонтально.
Вязкость жидкости определяется по времени опускания
уровня жидкости в бачке от начального положения Яо =
~ 50 мм на заданную величину ЛЯ = 25 мм.
Определить кинематическую вязкость жидкости, если
время опускания уровня Т = 75 мин.
Потерей напора при входе в капилляр, влиянием его
начального участка и скоростным напорохм выхода пре-
небрегать.
Ответ, v = 4 сСт.
337
ГЛАВА Xll
НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ
жидкости
ВВЕДЕНИЕ
Рис. XII-1
1. Движение жидкости называется неустановпвшимся,
если давление и скорость в каждой точке потока зависят
не только от координат, но и от времени. Для одномерного
движения, следовательно, v ~^= v (s, t) и р = р (s, /).
Дифференциальное уравнение
неустановившегося движения по-
лучим, применяя закон Ньютона
(сила равна массе, умноженной
на ускорение) к элементу массы
жидкости с размерами dF X ds
(рис. XII-1).
Проектируя силы давления и
силу веса на направление каса-
тельной к линии тока и считая
жидкость невязкой, получим
pdF — (р + ds\dF + gp dF ds cos a =
= dF dsp FFL
или
dp ,	dv
-----Г- + pg cos a = p --77-.
us 1 1	'at
Так как
cos CC ™ —
dv	dv ~ dv
dt	dt ‘ V ds
где z — вертикальная координата, то
Ф	<	№	. d / v2 \	. dv	n
—-j— -F PS —5—F P —5— (~~cT~} + p —тг~ — 0.
ds	1	ds	1 r ds \ 2 /	1 ‘ dt
Умножая на ds и интегрируя вдоль линии тока в неко-
торый фиксированный момент времени, получим (счи-
тая р = const)
dPds + gl^ds + V\d^ SC^vds^Q
р J ds ь J os ’J ds \ 2 J 1 J dt	’
Pi	Vi	Si
338
или
9	9	S2
1	^9 — VI	f fk)	_
~ (Pa — Pi) + g (Z2 — Zi) H--g----J ~дГ ds = °’
Si
Деля все члены уравнения на g и производя перегруп-
пировку членов, будем иметь
2	2	s2
-А-4-z	_р _2k_ 4-_1_	(XII-1)
Pg 1 2g pg	2g 1 g J $	'	7
Si
Полученное уравнение является уравнением Бернулли,
для неустановившегося движения невязкой несжимае-
мой жидкости. В уравнении (XI1-1) выражение
= (Х1Ь2)
S1
представляет собой изменение в единицу времени кинети-
ческой энергии жидкости в объеме между фиксирован-
ными сечениями 1 и 2, отнесенное к мгновенному весо-
вому расходу; это выражение называется инерционным
напором.
При неустановившемся движении реальной (вязкой)
жидкости уравнение Бернулли включает еще член, учи-
тывающий потери напора на рассматриваемом участке
потока. Таким образом, для реального потока (пренебре-
гая неравномерностью скоростей по сечению) будем иметь
“^ + 21+'2F=='^r + 22 + _^’ + h"» + hn< (Хп'3)
где hn — мгновенное значение потерянного напора, кото-
рое обычно подсчитывается приближенно по
соотношениям, полученным для установивше-
гося движения;
v — мгновенная средняя скорость потока.
Инерционный напор реального потока определяется
из уравнения (XII-2), в которое приближенно подстав-
ляются локальные ускорения, подсчитанные по изме-
нению средней скорости потока v.
При этом предполагается, что на участке 1—2 движе-
ние изменяется плавно. Поэтому при подсчете hUH можно
во всех сечениях на этом участке пренебрегать неравно-
мерностью распределения скоростей.
339
Для неустановившегося движения жидкости в трубе
tdv
постоянного сечения локальное ускорение = ] в каж-
дый рассматриваемый момент времени одинаково для
всех сечений по длине потока, и поэтому инерционный
напор будет:
s2
hUH = -^~\dS = ±(S2-S1)^-Ll, (XII-4)
где I = s2 — s1 — длина трубы между сечениями 1 и 2.
Рассмотрим следующий пример (рис. ХП-2).
Рис. XI1-2
Поршень, приводимый в движение с постоянным поло-
жительным ускорением /, перемещает жидкость в трубе
диаметра d, подключенной к резервуару, где уровень
жидкости равен Н0.
Определим давление у поршня в тот момент, когда он
достиг скорости ц, находясь на расстоянии / от резервуара.
Для заданного момента времени составим уравнение
Бернулли для потока от сечения 1 (уровень в баке) до
сечения 2 (у поршня).
Имеем, учитывая, что 0:
Так как рг = рапи то вакуум у поршня
Рат ~~ Ръ 

где v ==	— скорость поршня.
340
Пьезометрическая линия для данного момента времени
построена на рис. XI1-2, а. В рассмотренном случае
инерция жидкого столба приводит к понижению давления
(увеличению вакуума) у поршня. Если ускорение поршня
будет направлено в противоположную сторону, т. е.
к баку (отрицательное ускорение), то инерция столба
жидкости приведет к увеличению давления. Мгновенная
пьезометрическая линия для такого случая движения
показана на рис. XII-2, б. Случаи, когда поршень нагне-
тает жидкость в бак, двигаясь с положительным или отри-
цательным ускорениями (т. е. — ускоренно или замед-
ленно), показаны на рис. ХП-З.
2. Распространенным примером неустаповившегося те-
чения является колебательное движение жидкости. Рас-
смотрим следующую задачу.
Два резервуара переменного сечения Fx и
(рис. XI1-4) соединены между собой трубопроводом.
Уровни жидкости в резервуарах выведены из положения
равновесия так, что уровень в левом резервуаре нахо-
дится на расстоянии от положения равновесия, а в пра-
вом — на расстоянии г2.
Предоставленная самой себе жидкость совершает сво-
бодные колебания. Требуется составить дифференциаль-
ное уравнение колебаний.
Применим уравнение Бернулли (ХП-З) для некоторого
момента времени t к потоку между уровнями в резервуа-
341
pax. Считая распределение скоростей равномерным по
сечению, будем иметь
-j~ hn -j- hUH>
(XII-5)
Рис. XI1-4
где — скорость движения
левого уровня;
v2 — скорость движения
правого уровня;
hn—потери напора ме-
жду сечениями 1
и 2;
hUH—инерционный на-
пор, равный
где vs — скорость в сечении трубы, находящемся на
расстоянии s от положения уровней в состоя-
нии равновесия.
Так как
+ г2 г
и
dt
^2
dt
dz
~dF ’
а по уравнению постоянства расхода
F-v2
или
	p ~dF		 p 4Z2 ' “ Г2 ~dT ’
то имеем	dz± 		F2	dz
	dt ~	Fi + F2 dt
dz2 ___ Ft dz
dt Fi + F2 dt
!42
Поэтому уравнение (XII-5) принимает форму
2
да"-6)
Скорость ys в рассматриваемом сечении трубопровода
dz т-т
можно также выразить через По уравнению расхода
имеем
vsfs =
или, так как
_______Fi dzt__________F±F2 dz .
s ~	fs ’ dt “ fs (Ft + F2) “ dt ’
следовательно, в рассматриваемый момент времени t
2	2
1 I f dvs i	F,F2 (Fz f ds
h~ = TJ -->rds =	)t?
1	1
Подставляя полученное выражение инерционного на-
пора в уравнение (XII-6), получим дифференциальное
уравнение колебаний в таком виде:
d?z
dt2
^1 + ^2
2
J fs 2 \ dt )	F! -f- F2
+ gz = ghn.
Для интегрирования этого уравнения необходимо
прежде всего знать зависимость площади поперечного
сечения трубопровода fs от величины s.
Если в частном случае резервуары соединены трубой
постоянного сечения f и длиной /, то интеграл, распро-
страненный по всему занятому жидкостью пространству,
можно положить равным
2
Г ds _ I
J Т “Т
и тогда дифференциальное уравнение упрощается, при-
нимая следующий вид:
343
Площади резервуаров и F2 должны быть заданы
как функции 2. Однако для случая колебаний с малой
амплитудой площади Fx и F2 можно полагать постоян-
ными.
Интегрирование уравнения (X11-7) для некоторых част-
ных случаев колебаний
Рис. ХП-5
приведено в задачах этой главы.
3. Еще одним примером не-
установившегося движения яв-
ляется разгон жидкости после
открытия затвора на конце
трубопровода.
Рассмотрим следующую за-
дачу.
Пусть задан трубопровод
(рис. XI1-5) длиной I и диамет-
ром d, подключенный к резер-
вуару и предварительно за-
крытый так, что в его конеч-
ном сечении напор равен
напору в резервуаре Н 0.
Пусть, затем, трубопровод мгновенно открывается.
Определим закон нарастания скорости истечения во
времени, предполагая режим турбулентным и коэффи-
циент сопротивления трения X постоянным. Потерями
на входе в трубу для простоты будет пренебрегать. Рас-
смотрим процесс истечения в некоторый произвольно
выбранный момент времени t после открытия трубы.
Составим для этого момента времени уравнение Бер-
нулли для потока от уровня в баке до выходного сечения
трубы:
+  (Х,М’
где v — скорость в труое в рассматриваемый момент
времени;
tmp — коэффициент сопротивления трубы.
При установившемся движении имеем
н — - - I - Г	—-
0 ~~ 2g гтр 2g
где vQ — скорость установившегося движения, следо-
вательно,
vo .с. vl __ v2	о V2 I dv
2g ~г ±тр 2g ~ 2g	2g ‘ g ‘ dt *
344
Разделяя переменные, получаем
1,__	21	dv
-f- Imp V® — v2
Так как
1 I *	__ 0
Ф W - у2 ,
ТО
л, ___ $ dv
’ v2-v2 ‘
Интегрируя с учетом начального условия, заключаю-
щегося в том, что v = 0 при/ = 0, получаем
2g//0 vo~v
или, обозначая = TQ, имеем t = То In
2g//0	°’	0 f0 — v
Решая последнее уравнение относительно v, получим
V=VG
е^т» + 1
или
v = v0 thlT7’
Таким образом, средняя скорость жидкости в трубе
изменяется, асимптотически приближаясь к скорости уста-
новившегося движения vQ по закону гиперболического
тангенса (рис. XI1-5).
Практически можно считать, что скорость достигает
значения установившейся скорости при t 4Т0, так как
для этого момента времени
v = О,96уо.
Количество жидкости, вытекшее из трубы за время
с момента ее открытия, ^будет:
t	t
W = | Q dt fv01 th dt = 2fv0T0 In ch ,
0	0
где f — площадь сечения трубьь
345
4. При постепенном закрытии трубопровода с помощью
установленного на его конце затвора в трубопроводе воз-
никает инерционное повышение давления. Решение задач
такого типа, в предположении неупругости жидкости
и стенок трубопровода, также основано на использовании
уравнения Бернулли (XI1-3) для фиксированного момента
времени. Рассматривая сечения потока на свободной по-
верхности в баке и в конце трубопровода, получим
<хп-9)
где Н0 — постоянный напор в баке;
v — мгновенное значение скорости в трубопроводе;
р — давление в конце трубопровода перед затвором.
Так как затвор закрывается, то в трубопроводе про-
исходит замедление потока и dvldt <0 (инерционный
напор отрицателен).
В общем случае решение задачи, сводящееся к опре-
делению функции v (t), требует, кроме того, использо-
вания уравнения пропускной способности затвора
и =	(ХП-10)
в котором коэффициент расхода затвора р представляет
функцию времени, определяемую законом закрытия за-
твора
р-р (0.	(ХП-П)
Совместное решение этих уравнений приводит к диф-
ференциальному уравнению
интегрирование которого позволяет рассчитать процесс
торможения жидкости в трубопроводе при заданном законе
закрытия затвора.
В простейшем случае линейного закона имеем
п —н (1 ______Ро — Ь_____L\
(XII-13)
где T3 — время закрытия;
р0 и рг — значения коэффициента расхода в начале
и конце закрытия (при полном закрытии
трубопровода Pi — 0).
346
Практически в таких задачах главный интерес пред-
ставляет определение максимальной величины давления,
возникающего перед затвором в процессе закрытия.
В некоторых простых случаях этот максимум может
быть найден с необходимой точностью без интегрирования
уравнения (XII-12). Так, если в исходном уравнении
(XII-9) можно пренебречь скоростным напором и потерей
напора в трубе по сравнению с инерционным напором, то
и _ Р  I dv
0 ” pg g ’ dt '
Обозначив Нин инерционное повышение напора перед
затвором, равное инерционному напору с обратным
знаком
„ ___ I dv
~g'~dt’
получим
= н. + нт
и
f =	(777+^0-
Предполагая линейный закон закрытия, выражаемый
формулой (XII-13), найдем после преобразований
^0	\	тз J V //0
где Av = vQ —	— разность скоростей установившегося
движения в трубе перед закрытием
и после него (ц0 = РоУ^ё^о и
Vi = Hl K2g//0).
Дифференцируя последнее уравнение и учитывая, что
максимуму Нин отвечает условие = 0, получаем
после ряда преобразований
—=4 + У/г + 4“’	(Х11-14)
где
/ г А, у
~ \ гнйт3 ) ’
347
Аналогичным образом можно рассмотреть процесс посте-
пенного открытия затвора.
Если трубопровод состоит из нескольких последова-
тельных участков различного диаметра (рис. XII-6),
то инерционный напор
в трубопроводе будет ра-
вен
h = -Ь- dVl 4- А
llH g * dt g ' dt ‘
Используя уравнение
расхода
= F2v2
и приводя инерционный напор к скорости vr на участке
перед затвором, получим
i, L du±
~ g ’ dt ’
где расчетная длина трубопровода
Г2
5. Если изменение открытия трубопровода происхо-
дит весьма быстро, предположение о неупругости системы
становится неприемлемым. Учет упругих свойств жидко-
сти и стенок трубопро-
вода приводит к рас-
смотрению процесса
распространения вдоль
трубопровода волн
упругих деформаций и
связанных с ними волн
резкого повышения и
понижения давления
(явление гидравличе-
ского удара).
В предельном случае
трубопровода (рис. XI1-7) величину инерционного (удар-
ного) повышения давления легко определить энергети-
ческим методом. Рассматривая невязкую жидкость, полу-
чим, что при полном торможении всего столба жидкости
в трубопроводе освобождающаяся кинетическая энергия
348
мгновенного полного закрытия
затрачивается на работу деформации растяжения стенок
трубы и деформации сжатия жидкости:
Т ^стен + ^жидк-	(XI1-15)
В случае тонкостенного трубопровода постоянного
диаметра d и длины I
гр nd2 < VQ
Л _ 'Т'1' . п
г'стен —	4^2 2Е u ’
л _ Аруа .	,
^жидк ' '	2/(	*4
где — ударное повышение давления в трубе;
Vq — средняя скорость потока до закрытия;
6 — толщина стенок трубы;
р — плотность жидкости;
К — объемный модуль упругости жидкости;
Е — линейный модуль упругости материала сте-
нок трубы.
После подстановки в уравнение (XII-1J
преобразований получим формулу Н. Е.
^руд = vopa,
где а — скорость распространения ударной
трубопровода, равная
) и простых
Жуковского
(XII-16)
волны вдоль
(XII-I7)
Формула (XII-16) справедлива также для частичного
мгновенного закрытия затвора. Возникающее при таком
закрытии ударное повышение давления
Аруд = Avpa,	(XII-18)
где Av — уменьшение скорости в трубе, вызываемое ча-
стичным закрытием завтора.
6. Если затвор закрывается постепенно, в течение вре-
мени Т3, то весь процесс закрытия может рассматриваться
как сумма элементарных мгновенных закрытий, разде-
ленных бесконечно малыми промежутками времени.
349
Если время закрытия 713<-у, где представляет
собой время пробега ударной волны от затвора к резер-
вуару и обратно, то суммарное давление, накопившееся
у затвора за время Т3, может быть вычислено по фор-
муле (XII-16). Такой гидравлический удар называется
прямым. В противном случае (т. е. при Т3> — ] к неус-
певшему еще закрыться затвору через промежуток вре-
21	~
мени — от начала закрытия начнут прибывать одна за
другой отраженные от резервуара отрицательные элемен-
тарные ударные волны. Они складываются с волнами,
продолжающими возникать у затвора, в результате чего
суммарное давление у затвора не достигает величины круд,
вычисляемой по формуле (XII-16). Такой гидравлический
удар называется непрямым.
Задача о гидравлическом ударе в общем виде, для
идеальной жидкости, решается при помощи уравнений
Аллиеви, которые получены интегрированием дифферен-
циальных уравнений Н. Е. Жуковского для трубы по-
стоянного диаметра:
=	---+	(XII-19)
= +	v)]- <XII-20>
Здесь A/iZs — ударное повышение напора (в метрах)
в момент t в сечении s; vts — скорость в момент £ в сече-
нии s; v0 — скорость до начала удара, F и f — функции,
вид которых зависит от начальных условий.
Аналитический метод решения задач на гидравличе-
ский удар с помощью этих уравнений приводит к гро-
моздким вычислениям. Рекомендуется пользоваться более
простым и наглядным графическим методом Бержерона—
Шнидера.
Решение отыскивается на плоскости Д/г (</), где g —
объемный расход в трубе и Дй — ударное повышение
напора А/г — ~~pg^' ^Усть в сечении s в момент t режим
определяется точкой с координатами A/iZs и qts на диа-
грамме Д/г (q) (рис. XI1-8).
Из уравнений (XI1-19) и (XI1-20) легко получаются
два фундаментальных положения, лежащие в основе
графического метода:
350
1. Для наблюдателя, перемещающегося из сечения s
вдоль потока со скоростью ударной волны а все режимы,
которые он встречает в любом сечении N в момент Т,
находятся на прямой с отрицательным угловым коэффи-
циентом, равным-----, выходящей из точки с коор-
ё!тр
динатами A/i/s и qts (рис. XII-8, а). Здесь fmp — площадь
сечения трубы.
2. Для наблюдателя, перемещающегося в противо-
положном направлении, все режимы находятся на пря-
мой с положительным угловым коэффициентом, равным
-2— (рис. ХП-8, б).
QlHlp
Для доказательства этих положений следует исклю-
чить из уравнения (ХП-19) функцию f (j Д- , взяв
ее значение из (XI1-20). Тогда учитывая, что q f;riPv,
получим
= - Д- (fc - <7о) 4- 2F (t -	.
simp	х а /
Предположим, что подвижный наблюдатель отбывает
из сечения s со скоростью а в момент t в направлении тече-
ния. В момент Т он окажется в сечении N, где встретит
ударный напор A/iw, равный
ДЛГЛ/ — —	— #0) + 2F (j-------
simp	\	11 J
351
Установим связь между A/iZs и Ай1ЛГ; очевидно, что
f(T— — \ = F (t ——) ,
\ а /	\ а )
гг	~ S'
так как / Ь-------------.
а
Следовательно,
&JiTN =	— (qTN — qt^
gimp
что и представлено на рис. XII-8, а. Аналогичным обра-
зом можно получить, что для подвижного наблюдателя,
перемещающегося со скоростью а против течения, удар-
ный напор &hTN связан с напором A/iZs следующим урав-
нением (рис. X11-8, б):
= \hts + (Qtn — Qts)-
Режим в сечении s (т. е. ударный напор Ah/S и рас-
ход T/Zs), из которого выбывает подвижный наблюдатель,
должен быть известен. Обычно это сечение на одном из
концов трубы. Тогда появляется возможность определить
режим и в сечении N в момент Т.
7. Рассмотрим примеры применения графического ме-
тода для решения задач на гидравлический удар.
Пример 1. Построить кривую изменения давления по
времени у затвора при заданном законе изменения коэф-
фициента расхода затвора. Трением в трубе пренебречь.
Для решения наносим на диаграмме АЛ (q) напор Ло
и откладываем в нижней части графика заданный закон
изменения коэффициента расхода затвора р = f (t)
(рис. XI1-9, а). При этом за единицу времени принимаем
промежуток -j~. Выбираем на трубе два сечения: А —
непосредственно у затвора, В — возле резервуара. Отме-
чаем на диаграмме Ай (q) режимы течения в этих сечениях
в начальный момент (точки Ао и Так как в началь-
ный момент расход во всех сечениях трубы одинаков и
равен д0, а трением пренебрегаем, то эти точки совпадают.
Индекс 0—1 у точки В указывает на то, что начальный
режим в этом сечении сохраняется в течение времени
от нуля до единицы, т. е. до тех пор, пока первая ударная
волна дойдет от затвора до резервуара.
Определим теперь режим у затвора в момент /, иначе
говоря, найдем на диаграмме точку At. Подвижный на-
блюдатель, отбывающий из сечения В в момент 0, пере-
352
мещаясь по течению, прибывает в сечение А в момент /.
Это значит, что, с одной стороны, точка должна лежать
на прямой с отрицательным угловым коэффициентом
----, выходящей из точки В* С другой стороны, по-
Qhnp	и
движный наблюдатель встретит у затвора расход
q = hU/2^ (h0 + Мг),
Рис. XI1-9
* При выполнении графических построений нужно иметь в виду,
что угловой коэффициент ударной характеристики имеет размерность
напора, деленного на расход. Поэтому, если масштаб расхода
а м3/(с-мм), а масштаб напора (5 м/мм, то на диаграммах угловэй
коэффициент наклонной прямой будет —~—•-тг»
Simp р
12 Д. А. Бутаев и др.
353
где р соответствует открытию затвора в момент /. Следо-
вательно, точка Ат должна лежать также на параболе
расходов, соответствующей моменту /. Эта парабола от-
мечена цифрой 1. Таким образом, точка Лх находится
на пересечении наклонной прямой и параболы /.
Далее, заставляя подвижного наблюдателя отбывать
из сечения А против потока в момент /, определяем на
диаграмме точку В2. Последняя лежит на линии Ло,
так как напор в сечении В всегда равен h0.
Зная точку В2, определяем точку Л3, подобно тому,
как была найдена точка A L и т. д. Подобным же образом
может быть найдено любое количество точек, определя-
ющих режимы в сечении Л в различные моменты времени.
Например, чтобы определить точку Лод, нужно от-
править подвижного наблюдателя из сечения В в момент
—0,5, т. е. за половину принятой единицы времени до на-
чала закрытия затвора. Очевидно, что точка В^Од совпа-
дает с точкой Во-1, поэтому точка Л од лежит на той же
прямой, что и точка Аг (см. рис. XII-9, а).
Набрав желаемое количество точек Л, строим режимы
в сечении Л в функции времени (рис. XI1-9, б).
Отметим, что диаграмма АЛ (q) дает также и величину
расходов в сечениях Л и В, которые тоже могут быть
построены в функции времени.
Пример 2. Определить закон изменения давления
у поршня, совершающего гармонические колебания на
конце трубы по уравнению
Vn = ^max Sin О)/,
где vn — скорость поршня;
утах — ее максимальное значение;
со — круговая частота колебаний поршня.
Задачу решить для случая, когда период одного полного
колебания поршня составляет 16-^- с.
Наносим на диаграмму АЛ (q) закон изменения расхода
у поршня (рис. XI1-10)
QA QA max SIH 0)/,
где qA = vnFn.
Отмечаем на диаграмме положение точек Ло и Bo_i
в момент трогания поршня. Они лежат в начале координат,
так как в начальный момент расход во всех сечениях
трубы равен нулю так же, как и ударный напор.
354
Далее, заставляем подвижного наблюдателя отбывать
из сечения В навстречу движению поршня, например
в момент 1.
Наблюдатель, двигаясь навстречу поршню, встре-
чается с ним в момент 2. Поэтому точка Л2 находится на
пересечении прямой
с положительным угло-
вым коэффициентом—^—
gimp
и абсциссы, соответст-
вующей расходу qA
в момент 2.
Отбывая затем в об-
ратном направлении,
подвижный наблюда-
тель оказывается в сече-
нии В в момент 5, где
ударный напор всегда
равен нулю. Поэтому
точка В3 лежит на
пересечении отрица-
тельной прямой с осью
абсцисс. С помощью
точки В3 получаем точ-
ку Л4, соответствующую
первому положитель-
ному максимуму рас-
хода qа шах- Таким же
образом получаем ос-
тальные точки’ и строим
диаграмму давлений
в функции времени.
Получается периодиче-
ский процесс колебаний
давления, более слож-
Рис. ХП-10
ного вида, чем колебания расхода. При желании уточ-
нить ход кривой, могут быть найдены промежуточные
точки.
Пример 3. Определить графическим методом величины
максимального и минимального ударного давления у за-
твора при его мгновенном закрытии.
На диаграмме ДА (q) наносим точки Л 0 и B0-i, изобра-
жающие режимы в сечениях Л и В (рис. ХП-11). Подвиж-
ный наблюдатель, выбывающий из сечения В по потоку
355
в момент 0, прибывает к закрытому затвору в момент 1, по-
этому точка А± лежит на оси ординат (q = 0).
Возвращаясь к резервуару в момент 2, подвижный
наблюдатель находит там постоянный напор hQ и отри-
цательный расход (точка В2).
В этот момент жидкость выли-
вается из трубы в резервуар.
Режим в сечении А в момент
3 определяется точкой Л3ит. д.
Таким образом, давление
у затвора колеблется от -4-А1гл
до —ДЛЛ. Найдем величину
АЛд. Из рис. XII-11 ясно, что
\hA = <7о tg <р = q0	,
что и должно быть по формуле
Н. Е. Жуковского (XII-16)
для прямого гидравлического
удара.
Задачи
Задача XI1-1. В наклонной трубе (а = 45°), диаметр
которой d — 60 мм, движется, увлекая за собой воду из
открытой емкости, поршень с постоянным ускорением
j = 0,5 м/с2. Длина погруженной части трубы /0 = 2 м.
Определить, на какой высоте гтах над уровнем про-
изойдет отрыв воды от поршня, если в начальный момент
движения (при t = 0 и z = 0) скорость поршня v = 0
и если наибольшая допустимая при заданной температуре
воды вакуумметрическая высота всасывания равна 8 м.
Коэффициент сопротивления входа в трубу tex = 1;
коэффициент сопротивления трения в трубе X = 0,03.
Ответ. zmax = 4,1 м.
Задача XI1-2. Поршень, двигаясь в трубе вправо от
сечения Л, увлекает за собой жидкость с постоянным уско-
рением i = 1,5 м/с2. В начальном положении при х = 0
скорость поршня v = 0.
Определить место отрыва %гаах жидкости от поршня,
если относительная плотность жидкости 6 = 0,8, упру-
гость ее насыщенных паров рн,п == 147 мм рт. ст. и атмо-
сферное давление рат = 735 мм рт. ст. Диаметр трубы
356
d = 90 iMM, ее длина до сечения А равна I = 5 м; высота
а = 1 м.
Коэффициент сопротивления трения к = 0,03, коэф-
фициент сопротивления входа в трубу = 1.
Задача XI1-3. Поршень, приводимый в движение
кривошипно-шатунным механизмом, перемещает жидкость
в трубе, заканчивающейся диффузором, присоединенным
к открытому резервуару, где уровень жидкости постоянен.
Определить избыточное давление у поршня в тот мо-
мент, когда он находится в крайнем правом положении
(а = 180°), и построить пьезометрическую линию для
этого момента времени.
Решение. Для заданного момента времени составим уравнение
Бернулли для сечений 1 (у поршня) и 2 (уровень в баке):
Pg 2g , pg	g r g J dt
0
где hn — потери напора между сечениями 1 и 2;
/о — ускорение поршня (а следовательно, и жидкости в трубе);
357
----переменное по длине диффузора локальное ускорение жидко-
сти, равное
£1 _, А
'dt ~ 10 Fk ’
где Fk — площадь поперечного сечения диффузора на расстоянии х
от входа и Fq — площадь поперечного сечения трубы.
Выражая площадь Fk через координату х, имеем
^ = -^(Оо+^)2,
где Do — диаметр трубы и /? = 2 tg (3.
В крайнем положении поршня скорость == 0 и hn = 0. Поэтому
уравнение Бернулли принимает вид
Pi
Рё
Рат ।
Р£
----------------dx,
-%- [Da + kxY
где ускорение поршня равно /0 = —со2г (г — радиус кривошипа и
со — его угловая скорость). Следовательно, искомое избыточное давле-
ние у поршня при а = 180° равно
Ризб __ Р1 Рат __ уу
pg pg 2
Г/ + 4f° . L
ё L	Do (Do + kL)
Пьезометрическая линия для
этого положения поршня построена
на рисунке.
Задача XI1-4. Поршневой
насос простого действия без
воздушных колпаков перека-
чивает воду из нижнего бака
в верхний будучи располо-
жен на высоте Ht = 2 м над
нижним уровнем. Уровень
воды в верхнем баке выше
оси насоса на Н2 — 6,5 м.
Длина всасывающей трубы
1г — 3 м, длина нагнетатель-
ной /2 = 7 м, их площади
поперечного сечения / оди-
наковы и составляют поло-
вину площади F поршня.
Радиус кривошипа г — 0,1 м,
его частота вращения п =
= 100 об/мин.
358
Определить абсолютное давление рх в рабочем цилиндре
в начале хода всасывания и в конце хода нагнетания.
Ускорение поршня считать подчиняющимся закону
j = co2r cos а. Атмосферное давление над жидкостью в ба-
ках принять равным рат = 0,1 МПа.
Ответ. рх~ 15 и 12 кПа.
Задача XI1-5. Однодействующий поршневой насос без
воздушных колпаков присоединен к напорному трубопро-
воду длиной I — 35 м. В мертвой точке ускорение плун-
жера насоса / = 2,5 м/с2.
Указать место разрыва сплошности движения воды
в напорном трубопроводе, сечение которого равно V2 пло-
щади плунжера, считая, что разрыв наступает при сниже-
нии абсолютного давления до 26 кПа.
Атмосферное давление над водой в напорном баке
считать равным 0,1 МПа.
Ответ. Разрыв сплошности движения воды будет иметь место в се-
чении на расстоянии 10 м от конца трубы.
Задача ХП-6. Дозирующее устройство практически
мгновенно открывает трубу (/ = 50 м, d = 60 мм) и через
некоторый промежуток времени снова мгновенно ее за-
крывает.
Определить избыточное давление р, которое должно
быть создано в резервуаре, чтобы за время Т = 2 с,
в течение которого труба остается открытой, вытекшее
количество жидкости составляло W = 12 л. Уровень
359
жидкости (р = 1000 кг/м3) в резервуаре HQ = 1 м. Трубо-
провод и жидкость считать неупругими.
Коэффициент сопротивления трения в трубе принять
Л = 0,03, потерей входа пренебречь.
Ответ, р = 0,14 МПа.
К задаче XI1-7
Задача XI1-7. Открытие бензинопровода длиной
I = 50 м и диаметром d = 60 мм, снабженного коническим
насадком выходного диаметра d0 = 45 мм, производится
при помощи быстродействующего затвора.
Определить, какое количество бензина вытечет из бака
за время Т — 5 с с момента открытия затвора, если уровень
бензина в баке Н = 1,5 м, а избыточное давление в баке
р = 0,05 МПа. Плотность бензина р ~ 765 кг/м3. Трубо-
провод и жидкость считать неупругими.
J	Коэффициент сопротивления трения
принять Z = 0,03. Сопротивлением ко-
" ~	нического насадка пренебречь.
В момент	Т
+	Ответ. «7 = 2fv0T0 Inch у-, где То =
"	= -w  -г' = н + -w; ~площаль
выхода из насадка; F — площадь трубы; W =
Задача XI1-8. Вертикальная труба
К задаче XI1-8	диаметром d = 50 мм, длиной I = 10 м
с открытым верхним концом полностью
заполнена водой. После открытия нижнего ее конца вода
начинает вытекать в атмосферу.
Определить время полного опорожнения трубы, при-
няв в течение всего процесса коэффициент сопротивления
трения равным К = 0,025.
с 60
Решение. Поместив начало координат у нижнего конца трубы и
направив ось z вверх, составим для произвольного момента времени
уравнение Бернулли с инерционным членом:
Рв , I ,  Ро , &	2 У2 , , /
откуда	i z	и2 t	j d	2g т g
или	i	,	2	i 	F 7T~T V2 =1 , g 2gd
Так как	dv 1 ~~~ at >
то	dv	X 9 It
Обозначая	-^ = ku -j- = a2,
получаем	dV	J A4 —		T = kdt. a2 — v2
Интеграл этого	уравнения с учетом начального условия (при
t = 0, и = 0)	1 . a-\-v	,. In	!— = kt 2a a — v
или	e^ki __ j V-a e2akt j ‘
Та< как	dz V==
то	dz __	e2akt — 1 dt ~~ a	i •
Интегрируя еще раз, получаем
г = at — JL in (1 + eiakt) + С.
361
Для нахождения постоянной С используем условие: при / —О
г = Z; тогда
С=/ + 4- 1ч 2.
k
Подставляя С в интеграл уравнения и возвращаясь к исходным
обозначениям, получим
'-/J
Время полного опорожнения Т найдем, приняв г = 0:
V gk Т + Ы = In f --2~^~/
или
е2 = YgkT — 2ekieVlkT + 1=0,
откуда
Т = -2=- In (elk + VfikiZJ.).
V kg
Предполагая трение отсутствующим (& —0), получим из послед-
ней формулы после раскрытия неопределенности
Пт Г = ]/—,
k-A Г g
т. е. Т равно времени свободного падения тела в пустоте на пути Z.
Подставляя числовые-значения, найдем
2-0,05 =0>25 Чм
К0,25-9,81
In (а2,5 + тЛе5 — 1) —2 с.
Задача XI1-9. Определить время полного опорожнения
трубы с момента открытия ее нижнего конца, если ее длина
I = 10 м и угол наклона к горизонту а = 45°. Гидравли-
ческим сопротивлением трубы пренебрегать.
Ответ. То — 1,7 с.
362
Задача ХП-10. Жидкость, находящаяся в изогнутой
трубке, будучи выведена из начального положения равно-
весия так, что ее свободная поверхность сместилась на
величину г0 (начальная амплитуда), совершает затем
колебания около этого положения.
Определить период колебаний жидкого столба, пред-
полагая трение отсутствующим.
Решение. Пусть в некоторый момент времени вертикальное откло-
нение левого столба от начального положения равно ?i, а правого ?2,
причем Z2 = х sin ср, где х — отклонение, измеренное вдоль трубки.
Тогда, применяя для обоих концов жидкого столба уравнение
(XI1-3), будем иметь
Ро
Pg
+ х sin ср + —
Р£	g
d2x
dt2 ’
1 —
но zi = х, следовательно,
d2x
dt2
.	1 4- sin ф A
+ g--------—X X==Q.
Мы получили дифференциальное уравнение, имеющее вид диффе-
ренциального уравнения гармонических колебаний.
Решение этого уравнения
х = х0 cos kt,
где
, l/gU + sin Ф)
k = I/ —-----j----- и х0 — z0—начальная амплитуда.
Следовательно, период колебаний
т 2л о 1/	1
Т = ~Т~~ == ^Л I/ —71—:-:---Г .
k Г g(l + smcp)
Заметим, что для U-образной трубки (ф = 90°) Т — 2л	,
т. е. период колебаний жидкого столба равен периоду колебаний маят-
ника, длина которого равна половине длины столба жидкости.
363
Задача XI I-11. Заполняющая U-образную трубку
жидкость, будучи выведена из положения равновесия (на-
чальная амплитуда z0 = 10 см), совершает затем колеба-
тельное движение.
Определить период колебаний, а также амплитуду г'
в конце первого периода, если диаметр трубки d = 1 см,
длина жидкого столба I = 60 см и кинематическая вяз-
кость жидкости v — 0,1 Ст. Режим дви-
жения жидкости в трубке считать ла-
минарным.
Решение. Воспользуемся уравнением (XI1-7).
Полагая f i = F2 — f, имеем
I d?z .	,
у ^+sz = ghn,
где f — площадь трубки и hn — потеря напора.
Для ламинарного потока в трубке
, __ 32v/y
Iln “ ’
где скорость
__ dz± _	1 dz
v = ~^r = ~T'-dt
(2i — координата, отсчитываемая по вертикали от положения равно-
весия, а г = 221 — вертикальное расстояние между уровнями). По-
этому дифференциальное уравнение получает вид
<-'2г v dz

Введем обозначения
Тогда получаем линейное однородное дифференциальное уравне-
ние с постоянными коэффициентами
->+2Л4+г'^0'
Характеристическое уравнение имеет вид
г2 + 2Лг + Д2 == 0,
а его корни
Н» г2 — — ± V л2 — ®2-
Вычислим значения коэффициентов А и В:
А =	= 1,6 1/с; 8=^-^- = 5,71 1/с.
364
В нашем- случае
А < В и Д2 — В2< 0.
Обозначим для краткости
|/"В2 — Л3 = с.
Тогда решение полученного выше дифференциального уравнения
будет иметь вид
/ А \
z = zQe~Ai I cos Ct 4- — sin Ct j .
Мы полушли затухающие колебания с периодом колебания
Т 2я __ ______2я___
~ С ~ J/ Д2ПГД2 •
Амплитуда колебаний из-за множителя е~м с течением времени
убывает. В конце первого периода при t = Т амплитуда
г' = г„е^’7\
Подставляя числовые значения, получим:
С= 5,5 1/с; Т = 1,15 с; е~АТ = 0,155 и г' = О,15го,
т. е. колебания будут весьма интенсивно затухать.
Задача ХИ-12. Жидкость, заполняющая два соединен-
ных между собой открытых резервуара, будучи выведена
из положения равновесия, начинает совершать свободные
колебания около этого положе-
ния.
Пренебрегая сопротивления-
ми, определить период колеба-
ний жидкости, если резервуары
имеют поперечные сечения
и F2 и соединены трубой, дли-
на которой /, а площадь попе-
речного сечения f во много раз
меньше площади каждого из
резервуаров.
(XII-7) и пренебречь
Указание. Воспользоваться уравнением
/ dz \2
членом, содержащим \	•
Ответ.
V
Т = 2л
gfUy + FJ
Задача XI1-13. К паровому котлу с площадью зер-
кала Fx подключено водомерное стекло с площадью попе-
речного сечения F2. Соединительная трубка длиной I
имеет площадь поперечного сечения /.
365
Пренебрегая сопротивлениями и считая амплитуду
колебаний малой, определить период колебаний жидкости
в водомерном стекле.
Указание. Воспользоваться уравнением (XI1-7), пренебречь чле-
/ dz \2	г w г
ном, содержащим \~^ \ , а также учитывая, что г i > г 2 и амплитуда
2
колебаний мала,
нищ с h.
пренебречь в интеграле
величиной Z2 по сравне-
Ответ.
К задаче XII-14
Задача XI1-14. Предохранительный клапан, пропуская
постоянный расход жидкости, находится в потоке жидкости
в равновесии на расстоянии у = 5 мм от седла. Масса
клапана т = 0,5 кг.
Пренебрегая сжимаемостью жидкости, составить диф-
ференциальное уравнение колебаний выведенного из по-
ложения равновесия клапана и определить частоту его
колебаний, считая, что сила трения, действующая на
клапан, линейно зависит от его скорости
R = fta (t),
где и (/) — переменная во времени скорость колеблюще-
гося клапана;
й' — коэффициент демпфирования, равный
д = 2,5 Н -с/см.
366
Жесткость пружины С = 20 Н/см; начальный натяг
пружины при закрытом клапане yQ = 50 мм. Массой пру-
жины пренебрегать.
Решение. Пусть отклонение клапана от положения равновесия
в момент времени t равно г, так что подъем клапана вместо у стал у — z.
Тогда проходное сечение клапанной щели изменится от f — ndy
до /7 = nd (у — z).
Полагая коэффициент сжатия струи при истечении из-под клапана
неизменным, получим, что при неизменном расходе скорость истече-
У	( У \ 2
ния выросла в-----раз, а давление под клапаном возросло в у---- I
раз. Таким образом, если давление под клапаном в положении его
равновесия было р, то при отклонении на величину z от этого поло-
жения давление стало
Pt=^ Р
Можно приближенно считать, что увеличение усилия на клапан
со стороны жидкости выражается формулой
nd2 nd2 Г / у \ 2	11
APae=(W-p) —=р-т-	— 1J •
Уменьшение усилия на клапан со стороны пружины при уменьше-
нии его подъема на z
пиуж ~
Восстанавливающая сила, которая возникает на клапане при от-
клонении от положения равновесия,
nd2 Г / и \ 2 "I
ДР = ЬРЖ + bPWuM = р ~	) — 1 + Сг.
•JrV I llrljyjtl, Г	I \ у ___ Z J	J
В положении равновесия клапана имеем
Р -----с (yQ ф- у),
следовательно,
др = с (у0-f г/)	+сг =
Так как амплитуда колебаний г предполагается малой по сравне-
нию с подъемом клапана у, то можно приближенно полагать 2у —
— z ^2у и (у — г)2	у2; поэтому
ДР^Сг	+	=О/0г(-+—V
L . yi J \ У У»)
367
Дифференциальное уравнение движения клапана, масса которого т,
имеет вид
d-z
сРг dz
m-dF+^-dl
или
d2z
dt2
^А-^+вн^
0,020.5 c.
Положение
равновесия
।" момент
4*~ времени t
V.
где для краткости положено:
Л = ~ и В2 = -^-(-+ —
2/77	т \у у{} )
Вычисляя, имеем:
А = 250 1/с; В2 = 92 000 1/с2 и период колебаний
'/ = —2л -
К S3 — А2
Задача XIM5. Система, состоящая из пружины,
поршня и жидкого столба длиной £, выведена из состояния
покоя и затем совершает сво-
бодные колебания.
Определить период колеба-
ний, если масса поршня т и
площадь поперечного сечения
трубки [. Режим течения жидко-
сти в трубке считать ламинар-
ным; плотность и кинемати-
ческая вязкость жидкости р
и v. Массой пружины прене-
брегать.
Сравнить найденный период
с периодом колебаний, вычи-
сленным в предположении от-
сутствия трения.
Решение. Пусть в некоторый момент времени t выведенный из
положения равновесия поршень, масса которого т, двигаясь вправо,
находится на расстоянии х от положения равновесия; избыточное дав-
ление жидкости на поршень в этот момент равно р. Тогда дифферен-
циальное уравнение движения поршня будет
d2x Г
m^p^-Cx-pF.
О
К задаче XII-15
или
d2x
(1)
где С — жесткость пружины.
368
Давление р на поршень найдем, применяя уравнение (Х11-3)
для сечения у поршня и свободной поверхности в трубке:
_L_ — /у0 х -|- hn 4- hUH,
где hn — потеря напора в трубке; для ламинарного движения:
, о jivL dx
и hUH — инерционный напор,
, __ L d2x
Пин ~~g'~dtr'
Подставляя выражения потерь и инерционного напора в уравнс
ние Бернулли, получаем
Р гт ,	, о dx , L d-x
^ = //o + x+8—(2)
Объединяя уравнения (2) и (1), получим дифференциальное урав-
нение движения системы
(т 4- pLF)	+ 8	~ + (С ц- pgF) х + pgFH0 - 0.
Разделив все члены уравнения на т 4- pLF, будем иметь
а~':	„ пн*- . dx , ( С '~ №? \ , S'gFH» _ 0
dF ’	(m4-pL/?)F dt ~^\tn^pLF/ m^pLF
Удобно ввести новую переменную
тогда уравнение (3) превращается в однородное линейное дифферен-
циальное уравнение
-8-+мт+в,‘“°'
где
А — 4
(т + pLF) F
и
т 4- pLF
Если В2 >> А2, то период колебаний (см. задачу XII-11)
j. __________________2л_________________
1 /~ С + pgF	Г 4jti iL ~р *
V т 4- pLF	L (tn 4- pF F) FJ
369
При отсутствии сопротивления период колебаний
т _ 9тг 1/ m + pLF
V
Выражение То можно найти короче, используя аналогию с зада-
чей механики о колебаниях груза массой Мо, подвешенного на пружине
жесткостью Со. Период собственных колебаний груза при отсутствии
сопротивлений, как известно,
В данном случае массой груза является масса поршня m плюс
масса водяного столба pLF (массой пружины пренебрегаем), Что же
касается жесткости Со, то она равна жесткости нашей пружины С
плюс отнесенное к единице перемещения водяного столба изменение
усилия на поршень вследствие изменения напора HQ при колебаниях:
Со = С +	= С + pgF.
Следовательно, имеем
Т0==2л
V С -г pgt
Задача XI1-16. Жидкость в трубе, подключенной
к воздушному колпаку поршневого насоса, выведена из
положения равновесия. Пренебрегая сопротивлением,
определить частоту собственных колебаний жидкости,
К задаче ХП-16
если длина трубы, заполненной жидко-
стью, L, площадь ее поперечного се-
чения /, площадь сечения колпака F
и объем воздуха в колпаке при равно-
весном положении уровней П70.
Высота столба жидкости, соответ-
ствующая давлению в колпаке в поло-
жении равновесия, Н 0. Инерцией
жидкости в колпаке пренебречь, счи-
тая площадь поперечного сечения
колпака значительно большей, чем пло-
щадь поперечного сечения трубы.
Решение. Представив находящийся в кол-
паке воздух как пружину, вычислим жесткость
Со такой «пневматической пружины».
В положении равновесия объем воздуха в колпаке W70 и абсолют-
ное давление р0-
Пусть при отклонении уровня воды вверх на величину у от поло-
жения равновесия объем воздуха станет W и давление будет р.
370
Тогда, принимая процесс сжатия газа изотермическим, можем
записать
РГ= р0Г0,
откуда
_	_ 1FO
Р — Ро г - - Ро _ ру - Ро
Следовательно, увеличение давления
Fpo
Р-Р^^У-
Поэтому жесткость «пневматической пружины», пересчитанная ча
перемещение s воды в трубке,
г _ (р—Ро) Fy _ №Н0
0 - s3 ~ Го 1 ’
Масса колеблющегося на этой «пружине» груза
Л40 = Lfp,
поэтому частота собственных колебаний жидкости
Задача ХП-17. Круглый диск (D — 150 мм), к кото-
рому в его плоскости приложена и внезапно удалена пара
сил, совершает крутиль-
ные колебания относитель-
но оси О—О. Затухание
колебаний происходит
благодаря трению в вяз-
ком слое жидкости по
торцу диска.
Пренебрегая массой
стержня, определить ча-
стоту крутильных колеба-
ний, если масса диска
т = 1 кг, динамическая
вязкость жидкости р = 1
К задаче ХП-17
П и толщина жидкого слоя
b = 0,5 мм. Жесткость пружины С = 0,1 Н«м/рад.
Течение в вязком слое считать ламинарным.
При какой вязкости движение диска станет апериоди-
ческим?
371
Указание. Дифференциальное уравнение колебаний имеет вид
где (р — угол закручивания диска;
J — момент инерции диска относительно оси О—О;
.	. я D4
и — фактор демпфирования: v = -уу- н -у- ;
С — жесткость пружины.
Ответ. Частота колебаний:
П = I/-----------е,/8 Гц.
2л f J 4J-
Задача XI1-18. Затвор, установленный на конце трубо-
провода (L = 100 м; D = 100 мм), работающего под напо-
ром воды НQ = 10 м, уменьшает расход от его начального
значения Qo — 10 л/с до нуля за время Т3 = 1 с.
Принимая закон закрытия затвора линейным и считая
трубопровод и жидкость неупругими, определить макси-
мальное повышение давления в трубопроводе в процессе
закрытия.
Потерями напора в трубопроводе пренебрегать.
Ответ. &р1Ш — 0,24 МПа.
К задаче XI1-18
К задаче XI1-19
Задача XI1-19. Затвор, установленный в конце трубо-
провода, состоящего из двух участков (£, =50 м; D± =
= 100 мм и £2 = 50 м; D2 = 120 мм), закрываясь по ли-
нейному закону, уменьшает расход воды от Qo = 15 л/с
до = 5 л/с в течение Т3 = 1 с. Располагаемый напор
= 40 м.
Определить максимальное повышение давления в тру-
бопроводе в процессе закрытия, считая его стенки и жид-
кость неупругими и пренебрегая потерями напора.
Ответ. крин~ 0,15 МПа.
372
Задача XI1-20. Трубопровод, имеющий размеры
I 20 м и а = 50 мм и подключенный к баку с водой под
напором Яо = 4 м, мгновенно закрывается.
Определить скорость распространения ударной волны
и величину ударного повышения давления,'если толщина
стенок трубы б = 6 мм и материал ее — сталь (Е — 2 >
X Ю5 МПа). Модуль упругости воды К = 2-103 МПа
Как изменится ударное давление, если стальная трубг
будет заменена чугунной (Е = 0,9-105 МПа) тех ж<
размеров? Коэффициент со-
противления трения при-
нять равным к = 0,03.
Ответ, Для стальной трубы
а = 1365 м/с и	3,5 МПа.
К задаче XI1-20	К задаче XII-21
Задача ХП-21. Центробежный насос подает воду на
высоту Яо = 16 м по трубопроводу, имеющему общую
длину / = 105 м и внутренний диаметр d = 75 мм.
Внезапно двигатель насоса отключается от сети. Неко-
торое время столб воды в трубопроводе продолжает дви-
гаться за счет инерции в прежнем направлении, но затем
скорость движения уменьшается до нуля, после чего
движение жидкости происходит в обратном направлении
под действием напора Яо. В этот момент происходит
закрытие обратного клапана, установленного в нижнем
конце трубы, и возникает гидравлический удар.
Требуется определить величину ударного повышения
давления, если обратный клапан закрылся через Т — 1 с
после начала движения жидкости в обратном направлении.
При движении жидкости через насос последний следует
рассматривать как местное сопротивление с коэффициентом
сопротивления £ = 10 (отнесенным к скорости в трубо-
проводе).
373
Коэффициент сопротивления задвижки = 4, коэф-
фициент трения в трубе принять равным X = 0,025. Для
обратного клапана,
К задаче XI1-22
проходное сечение которого равно
площади сечения трубы, — 2.
Толщина стенок трубы 6 = 4 мм,
материал ее — сталь (£ = 2-Ю5
МПа). Модуль упругости йоды К =
= 2-103 МПа.
Ответ. круд— 1,75 МПа.
Задача XI1-22. Смазка парал-
лелей ползуна производится из
масленки самотеком по трубке диа-
метром d = 6 мм и длиной I == 1 м
через отверстие, периодически от-
крываемое ползуном.
Считая трубку и жидкость неупругими, определить
количество поступающего из масленки смазочного масла
за один оборот коленчатого вала, если отверстие остается
при этом открытым в течение Т = 1 с.
Кинематическая вязкость масла v = 0,5 Ст. Напор
Но = 0,8 м. '
Движение жидкости полагать ламинарным, пренебре-
гая кинетической энергией выхода из трубки.
Ответ.

где — скорость установивше-
гося течения и f = —; F =
— 4,6 см3.
К решению задачи XI1-23
К задаче XI1-23
Задача ХП-23. На конце трубы мгновенно откры-
вается кран А. Найти минимальное давление перед кра-
ном, если коэффициент расхода открытого крана р0 = 0,6,
374
скорость ударной волны а = 1000 м/с, статический напор
перед закрытым краном Ло = 100 м. Исследовать закон
изменения расхода через кран. Трением в трубе пре-
небречь.
Указание. Построив параболу расходов воды через кран по фор-
муле, q =	]^2g (hQ — Д/г) и ударную характеристику трубы
&h (9), убеждаемся, что минимальное значение напора перед краном
h0 — Д/г получается при первой фазе гидравлического удара, продол-
жающейся в течение времени 2Ца (см. рисунок к решению задачи).
Величину Д/г находим графически или аналитически из уравнения
Мо/mp К2ГО0 — АЛ) =	,
где
а
tg<p = TF—’
&I тр
Ответ: Минимальный напор перед краном /г0 — Д/г — 30 м.
Расход через кран стремится уменьшающимися ступенями к устано-
вившемуся значению qQ, каждая ступень продолжительностью 2Ца.
Задача ХП-24. В трубопроводе длиной I 100 м
и диаметром d = 100 мм, на конце которого установлен
затвор, движется вода со скоростью v0 = 2 м/с.
Построить график зависимости максимального удар-
ного повышения напора в трубопроводе от времени пол-
ного закрытия затвора. Считать, что принятый закон
закрытия дает линейное уменьшение скорости потока
перед затвором по времени. Потерями напора в трубопро-
воде пренебречь.
Построения выполнить, учитывая упругость системы
(скорость ударной волны а = 1000 м/с) и считая систему
неупругой. Для этих случаев сравнить ударное повышение
напора при времени полного закрытия Т3 = 21/а,
Указание. При непрямом ударе и линейном законе уменьшения
скорости максимальное ударное повышение напора
Для неупругой системы воспользоваться выражением инерцион-
ного напора (XII-4).
Ответ. &h~ 200 м; неупругая система Д/г = 100 м.
Задача XII-25. На конце трубы длиной I по направле-
нию к резервуару трогается из неподвижного положения
поршень с постоянным ускорением /. Найти максимальное
375
и минимальное ударное давление перед поршнем и сравнить
с результатом, полученным для неупругой системы жид-
кость — трубопровод.
Ответ. Д/ггаах = 2/~ , т. е. в два раза больше, чем для неупру-
гой системы; “ 0.
Задача ХП-26. Тупиковая труба заполнена жидкостью
под атмосферным давлением. Кран В мгновенно откры-
вается, сообщая трубу с резервуаром под постоянным
напором Ло. Определить амплитуду колебаний давления
у тупика в сечении Л.
Ответ. йтах = 2Д0; /imin — 0.
К задачам .ХП-26 и XII-27
К задаче XI1-28
Задача XI1-27. Для условий предыдущей задачи найти
давление в середине трубы в момент 311а (I — длина трубы,
а — скорость ударной волны).
Указание. Для решения задачи использовать двух подвижных
наблюдателей, выбывающих из сечений А и В навстречу друг другу
так, чтобы встреча их произошла в середине трубы в момент 31/а. Ис-
комый режим определяется пересечением прямых, выходящих из то-
чек Л2,5 и В2, 5.
Ответ. Напор равен hQ.
Задача ХП-28. На конце трубы совершает гармони-
ческие колебания поршень, так, что вытесняемый им рас-
ход изменяется по закону q = qmax sin со/, где со — кру-
говая частота колебании. Показать, что при со =	>
где I — длина трубы и а — скорость ударной волны,
имеет место резонанс, т. е. давление перед поршнем при
отсутствии трения неограниченно возрастает. Смещения
поршня считать малыми по сравнению с длиной трубы.
Указание. Воспользоваться методикой, примененной при решении
примера 2 во введении.
376
Задача XII-29. На конце трубы, присоединенной к ре-
зервуару большой емкости, установлен кран, открытый
настолько, что его коэффициент расхода и0 = 0,48. Напор
перед краном Ло = 50 м, длина трубы I = 160 м, диаметр
d = 100 мм, скорость ударной волны а = 770 м/с. Про-
изводится мгновенное частичное закрытие крана, при
котором новое значение hM
коэффициента расхода
fq = 0,016. Определить ьо
максимальное значение
ударного напора &h!jd и
построить зависимость
расхода через кран и
напора перед ним по вре-
мени.
2
Ответ.. Ahyd= 60 м.
л L В ~ J
К задачам ХП-30 и XII-31
Задача ХП-30. К насосу подключен горизонтальный
трубопровод длиной I — 12 м, диаметром d = 125 мм с кра-
ном на конце. Кран частично открыт так, что его коэффи-
циент расхода р = 0,031. При включении насоса его по-
дача нарастает по прямой от нуля до qQ = 10 л/с за время
t — 0,05 с. Скорость ударной волны а = 1200 м/с. Опре-
делить закон изменения давления у насоса (сечение А)
по времени. Трением в трубе пренебречь.
Решение. Наносим на график закон изменения подачи насоса qH
12
по времени, взяв за единицу времени На — у= 0,01 с, и параболу
расхода через кран qK — [ifmp V2gh. Ударные характеристики про-
. .	а а	ч,/ ч
водим с угловым коэффициентом —-—• где a Md/(c-мм) — масштаб
Simp Р
расходов, р м/мм — масштаб напоров.
Точки 41, А2, А3, . . . определяют напор в сечении А в моменты
времени 1,2,3,... Из графика видно, что напор в этом сечении стре-
мится к значению h0 — 36 м, определяемому из уравнения расхода he-
рез кран для установившегося режима работы:
?о = В/mp = Ю л/с.
377
Задача ХП-31. Каким будет максимальное значение
ударного напора в сечении А у насоса в предыдущей
задаче, если принять, что расход насоса qH возрастает
мгновенно от нуля до 0,010 м3/с и остается в последующем
постоянным. Найти максимальный расход жидкости через
кран. Трением в трубе пренебречь.
Ответ. Ид — 100 м и сохраняется постоянным на отрезке времени
от 0 до 0,02 с; ^тах — 0,0135 м3/с и сохраняется постоянным на от-
резке времени от 0,01 до 0,03 с.
К задачам ХП-32 и XI1-33
Найти графическим путем
Задача ХП-32. Труба длиной I = 400 м и диаметром
d = 110 мм с соплом dc = 63 мм на конце заполнена водой.
Напор Ло = 90 м, коэф-
фициент расхода сопла
= 0,98, скорость удар-
ной волны в трубе а =
= 1390 м/с. В сечении А
производится неполное
мгновенное открытие за-
слонки, так что ее коэф-
фициент расхода стано-
вится равным = 0,322.
закон изменения расхода
через сопло qc по времени. Указать установившееся зна-
чение qycm расхода, к которому стремится qc. Трением
в трубе и скоростным напором в ней пренебречь.
Указание. Параболу потерь напора в заслонке откладывать на
графике от уровня hQ вниз, а параболу напоров в сечении В перед соп-
лом вверх от линии h — 0 (от оси расходов).
Ответ.
Яуст = РсШтр У	(^тр)2 = 9’‘ Л/с'
Задача XI1-33. В условиях предыдущей задачи про-
изведено мгновенное полное открытие заслонки А. При
каком отношении площадей сопла и трубы fjfmp макси-
мальная величина напора перед соплом составит:
1)	h0; 2)	3) 2й0?
Каковы будут при этом установившиеся значения
расхода через сопло qycm?
Трением в Трубе пренебречь.
Указание. Построив схематический чертеж графического решения,
вычислить требуемые величины аналитически.
378
Ответ.
1)Т^=^^Й^ = 0’0154: ^т = бл/с:
Imp ^и[лс
2)	= °’0063'’	=2’46 л/с;
Imp 2 у 6
3)	-А- = 0; 9&от = 0.
ГЛАВА XIII
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОТОКА
С ОГРАНИЧИВАЮЩИМИ ЕГО СТЕНКАМИ.
ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ МАШИНЫ
Введение
1. Результирующая сила R действия потока на стенки
неподвижного канала (реакция потока) при установив-
шемся движении жидкости определяется по теореме коли-
чества движения векторным уравнением (рис. ХШ-1)
R = pQvL -р(М + Л + Р2 + G, (ХШ-1)
где pQux и pQu2 — векторы секундных количеств движе-
ния потока, т. е. количеств движения
массы жидкости, протекающей в еди-
ницу времени через входное и вы-
ходное сечения канала (Q расход и
р — плотность жидкости; vr и v2 —
средние скорости в этих сечениях);
Рх и Р2 — силы давления, действующие во вход-
ном и выходном сечениях канала на
заполняющую его жидкость (Рх =
= Pi/7! и Р2 = p2F2, где F — пло-
щадь соответствующего сечения и р —
давление в центре тяжести этой пло-
щади);
G — вес жидкости, заполняющей канал.
В этом уравнении вектор Rd = pQux — pQ^2'—дина-
мическая слагающая реакции потока на стенки канала,
определяемая изменением секундного количества движе-
379
ния потока при протекании жидкости по каналу. Вектор
Rcm = Рг + Р2 + G — статическая слагающая реакции
потока.
Уравнение применимо к потоку, который во входном
и вых одном сечениях удовлетворяет условию плавной
изменяемости (малая кривизна линий тока и малые углы
между ними) и обладает достаточно равномерным распре-
делением скоростей в этих сечениях.
Для определения суммарной силы, воспринимаемой
стенками канала, на несмоченную поверхность которых
действует атмосферное да-
вление в формуле
(ХШ-1) силы давления
Рг и Р2 следует опреде-
лять по избыточным да-
Рис. ХНЫ
Силу R можно определять
влениям pUl = pt — рат
и р1К р2 — piim. Если
в центре одного из се-
чений имеется вакуум
(Az<0), сила избыточного
давления в этом сечении
имеет направление, про-
тивоположное указанным
на рис. ХШ-1.
непосредственно геометри-
ческим суммированием слагающих ее векторов по урав-
нению (ХШ-1) или пользуясь методом проекций на коор-
динатные оси. В зависимости от величины и ориентации
слагающих векторов суммарное воздействие потока и
внешнего давления на стенки может сводиться к силе,
моменту или динаме.
Если в канале происходит слияние или разделение
потоков, сила R определяется из векторного соотношения
k	п	k   п _
₽ = X Р&Л/ — S Р%А< + S + X ^2/ + G,
1	1	11
(ХШ-2)
где k — число входных;
п — число выходных сечений канала.
2. Рассмотрим некоторые примеры определения реак-
ции потока на стенки каналов:
а)	сужающийся насадок с выходом в атмосферу (рис.
ХШ-2). Применяя уравнение (ХШ-1) в проекциях на
380
горизонтальную ось насадка, получим величину осевой
силы, действующей на его стенки:
F = Ри?1 — PQ (^2 — ^1),
где У7! — площадь входного сечения насадка;
ри — избыточное давление в этом сечении.
Величины, входящие в предыдущую формулу, связаны
уравнением Бернулли
Рис. XIII-2	Рис. XIII-3
где Z — коэффициент сопротивления насадка, и уравне-
нием расхода
Q — v±F j — v 2F 2-
Пренебрегая незначительным сопротивлением насадка,
получим после преобразований
п „	(Л~^)2
К - Р -2-.. F1  >
где F2 — площадь выходного сечения насадка.
Можно видеть, что результат справедлив при любом
соотношении FА и F2, в частности, также и для расширя-
ющихся насадков (F2^>F1); во всех случаях сила /?
направлена к выходному сечению.
б)	диффузор в трубопроводе (рис. ХШ-З). Сила,
воспринимаемая вертикальным диффузором, действует
вдоль его оси; считая положительным направление этой
оси вверх, получим по уравнению (ХИМ)
R = Pu2F2 — Pufi — pQ (^1 — ^2) — G,
где 44, pUl и v2, pu2 — скорости и избыточные давления
во входном 1 и выходном 2 се-
чениях диффузора;
381
и вакууме
Pt

f J
Pj'
45
XIII-4
Рис.
Fi и F% — площади этих сечений;
G — вес жидкости в диффузоре.
Если R >> 0, сила направлена вверх (к входному сече-
нию диффузора); такой случай всегда имеет место, когда
давление на входе в диффузор больше атмосферного (pUl >
во входном сечении сила R может
изменить направление на про-
тивоположное.
? Для горизонтального диф-
ii__ фузора осевая сила
R — Puf, Pu^Fl
pQ (^i — ^2)-
Пренебрегая потерями,
имеем
2	9
Vl~ U2
Риг =pui + Р —2“ И
откуда
о
Л __ п (р р \ I 0	(^2 ~~ ^1)2
К— Put \R 2	Г1) I Р g р2
9
vi / Fi \
При pU1 = —-------------F) получаем R = 0; боль-
шим величинам вакуума отвечает направление силы к вы-
ходному сечению диффузора.
в)	приточный тройник (рис. XIП-4). Пренебрегая ве-
сом жидкости, получим для проекций искомой силы на
оси ответвлений тройника
Rx = PutFi — Pu2F2 + pQi^i — pQ2^2;
Ry “ Pi^F3 + pQsV3l
где Qi — расход, входящий в тройник;
Q2 и Q3 — расходы, выходящие из тройника (Qi —
= С?2 + <2з).
Полная сила
R=Vtfx + R}.
Соотношения между входным давлением и выход-
ными давлениями ра2 и ри* определяются при заданных
расходах по уравнению Бернулли, записанному для каж-
дого ответвления с учетом его коэффициента сопротив-
ления.
382
3.	Сила действия свободной струи на преграду опреде-
ляется изменением секундного количества движения струи,
происходящим в результате ее отклонения преградой.
При этом влиянием силы тяжести можно в большинстве
случаев пренебречь, получая для динамической реакции
струи на преграду (рис. ХШ-5) следующее выражение:
7? =	— pQv2,	(XI11-3)
где Q — расход струи;
vL и и2 — векторы скоростей струи перед преградой
и после нее.
Рис. XII1-5
Рис. XII1-6
Если струя делится переградой на п частей, то
п
R=pQi\ — Sp&Ap
1
(X1II-4)
Пренебрегая силой тяжести и гидравлическими со-
противлениями, можно принимать, что скорость струи
перед преградой и после нее имеет одинаковую величину
(У1 = и3).
При сделанных предположениях сила действия сво-
бодной струи на плоскую стенку, размеры которой велики
по сравнению с диаметром струи (рис. ХШ-6),
R = pQv sin а = pFv2 sin а, (ХШ-5)
где а — угол наклона стенки к оси струи;
F — площадь струи и v — ее скорость.
Для стенки, перпендикулярной к струе,
R -	- pFv2.	(ХШ-6)
Сила действия струи на симметричную криволинейную
стенку, которая делит струю на две части, отклоняемые
383
на одинаковые углы у (у = 180° — £, где (J — дополни-
тельный угол выходного элемента стенки, рис. XIП-7)
7? = pQy (1 — cos у) = pQy (1 + cos ₽).	(XII1-7)
Сила получается наибольшей при отклонении струи
на угол у = 180°:
7? = 2pQv.
Рис. XIII-7
4.	При установившемся движении жидкости в канале,
перемещающемся прямолинейно и поступательно с по-
стоянной скоростью и, сила 7? определяется из уравне-
ния (ХШ-1), в -котором динамическая реакция потока
равна изменению его секундного количества движения,
вычисляемого по отношению к подвижным стенкам:
R = р(?Л — pQwW2 + Д + Pi + G. (ХШ-8)
Здесь wt и w2 — векторы относительных скоростей во
входном и выходном сечениях канала;
Qw — расход жидкости в канале,
Qw =	= w2F2.
Уравнение Бернулли для рассматриваемого случая от-
носительного движения жидкости имеет вид
2	2
+ ₽L + ^_=Z2 + ^ + ^L + /Zn( (XIII-9)
где потеря напора hn = £-7^- (£ —коэффициент сопро-
тивления и w — характерная относительная скорость).
Сила действия свободной струи на симметричную кри-
волинейную стенку, которая поступательно перемещается
в направлении движения струи с постоянной переносной
скоростью и (рис. ХШ-8),
R = Р<2® (te»i + cos Р),	(XIII-10)
384
где относительная скорость натекания струи на стенку
— v — и и расход струи по отношению к стенке Qw =
= wtF = (v — и) F. Пренебрегая гидравлическими со-
противлениями при обтекании стенки, получим относи-
тельную скорость отклоненной струи w2 = и силу
действия струи на стенку
7? = pF (1 + cos Р) (v — и)2.
w2
Учитывая потерю напора hn = St?—, найдем из урав-
нения Бернулли для относительного движения жидкости
^=^(1 +£);
при этом сила действия струи
=	(XIII-11)
Развиваемая струей полезная механическая мощность
равна N = Ru и к. п. д., представляющий отношение
полезной мощности к затрачиваемой мощности струи,
дается выражением
(XIII-12)
Если весь расход струи Q = Fv используется рядом
следующих друг за другом лопастей (рабочее колесо
активной турбины), то суммарная сила действия струи
на лопасти
7? = pQ + w2 cos р) = pF 11 +
COS 6 \ ,	4
—(y — u)v
(XIII-13)
и к. п. д. процесса преобразования кинетической энергии
струи в полезную механическую работу на колесе (к, п. д.
колеса)
Fu о /1 ।
п =--------- = 21 +
v	\
Р<2 -к-	к
COS (3 \ / 1 и \ и
КГ+1/ \ и ) и '
(XIII-14)
13 Д. А. Бутаев и др.
385
Максимальное значение к. п. д. достигается при — =
= г/2 и равно:
Лшах — 2^”^
cosfi \
Считая процесс идеальным (£ = 0), получим для тео-
ретического к. п. д. г]г, учитывающего только потерю
выходной кинетической энергии
Г, (определяемой скоростью v2):
„ n, = 2(l+cosP)(l
_ 1 + cos fl
Чг шах —	2
При Р = 0 (струя отклоняется
в относительном движении на угол
180°) получим Пгшах 1-
5.	При установившемся движе-
Ш2	нии жидкости в равномерно вра-
Рис. ХШ-9 щающемся канале динамический
реактивный момент действия потока
на стенки канала относительно оси его вращения опре-
деляется изменением секундного момента количества
движения потока (рис. ХШ-9):
М - PQ (r.Vu, - r.VuX (ХШ-15)
где Г1 и г2 — радиусы вращения входного и выходного
сечений канала;
vU1 = COS 04 и Vu2 = v2 cos a2 — окружные
слагающие абсолютных скоростей потока
и v2 на входе и выходе из канала.
При М £> 0 момент действия потока на стенки направ-
лен в сторону вращения канала (турбина), при М <! 0 —
против вращения (насос). Уравнение Бернулли для отно-
сительного движения жидкости в рассматриваемом случае
имеет вид
9	9	9	2
Г)	Do	U<2
21 + № + V “ V = 22 + pg + V V +
(XIII-16)
386
скорости w и перенос -
замыкающей стороной
Рис. ХПНО
где относительные скорости и w2 в канале связаны
уравнением неразрывности
а потеря напора может быть выражена как hn =
Вектор абсолютной скорости жидкости v равен геоме-
трической сумме ее относительной
ной скорости канала и, являясь
треугольника скоростей:
V = W + и.
6. В качестве примера опре-
делим момент действия потока
на равномерную вращающуюся
трубку (для которой заданы вы-
ходной радиус г и выходной угол Р)
при постоянном статическом на-
поре истечения Н (сегнерово
колесо, рис. ХШ-10).
По формуле (ХШ-15), учиты-
вая, что начальный момент коли-
чества движения потока в баке
(величины в выходном течении 2 трубки обозначены без
индекса)
равен нулю, получим
М = —pQrvu.
Если vu < 0, реактивный момент является движущим
(направлен в сторону вращения трубки). Так как из плана
скоростей
vu = и — w cos Р,
то
М = pQr (ш cos Р — и),
где расход в трубке Q = wf (f — площадь сечения трубки).
По формуле (XIII-16) имеем:
2£
и
w = ф V2gH + u1,	(XIII-17)
где ф = 1/]/1 + £ — коэффициент скорости трубки.
387
Для идеального процесса (£ = 0) момент действия
потока на трубку
= р/r [(2§Я + и2) cos ₽ — uV2gH + и2].
Обозначив и0 = ]/2g// и Qo — vj1 (v0 и Qo — ско-
рость и расход при и = 0), получим
MT=pQ0v0r	cosP —	•
(ХШ-18)
Момент на заторможенной трубке
Л4ГО = pQoyor cos р. (ХШ-19)
Полезная механическая мощность, развиваемая пото-
ком на вращающейся трубке, NT= Мта> и теоретический
к. п. д. процесса
Т1г =
Мт(й
QpgH
(ХШ-20)
Исследование полученного выражения показывает,
что максимальное значение теоретического к. п. д. дости-
гается при соотношении скоростей
и ____-j / 1 — sin р.
~ V 2 sin .fi ’
Лт. шах — 1 Sin Р.
Можно видеть, что движущий реактивный момент на
трубке (которому отвечают турбинные режимы — полу-
чение полезной работы за счет уменьшения энергии потока)
возникает только при углах выхода р <• 90°. Значениям
р 90° отвечают насосные режимы — реактивный мо-
мент потока направлен противоположно угловой скорости
трубки (М <- 0) и для ее вращения затрачивается внешняя
работа, идущая на увеличение энергии жидкости.
Задачи
Задача ХШ-1. Из диффузора, входной и выходной
диаметры которого равны Di = 250 мм и Z)2 = 500 мм,
вода поступает в бак с постоянным уровнем h = 4 м в ко-
личестве Q — 0,4 м8/с.
388
Определить:
1. Осевую силу, действующую на диффузор (коэффи-
циент потерь в диффузоре ср^ 0,25).
2. При каком вакууме над уровнем воды в баке искомая
г сила будет равна нулю.
Ответ. R = 4,6 кН; рв
=31,4 кПа.
К задаче XIПН
К задаче X1II-2
Задача XI П-2. Диаметр трубопровода на участке
заделки в опору меняется от Dr =- 1,5 м до D2 ~ 1 м.
Определить осевую силу, воспринимаемую опорой на
переходном участке при избыточном давлении перед
опорой р = 0,4 МПа и расходе воды Q = 1,8 м3/с.
Потерями в конусе пренебречь.
Ответ. R = 392 кН.
Задача XIП-3. Определить осевую силу, приложен-
ную к трубопроводу на участке АВ внезапного сужения
от Dt= 300 мм до О2 = 200 мм. Показание манометра
перед сужением М = 0,15 МПа, расход воды Q = 0,28 м3/с.
Сопротивление участка определить по формуле (VII-5),
см. гл. VII.
Ответ. R = 5870 Н.
К задаче XII1-3
К задаче XIII-4
Задача XII1-4. На поршень гидроцилиндра диаметром
D = 60 мм действует сила Р = 3000 Я, вызывающая
истечение масла из цилиндра через торцовое отверстие
с острой кромкой, диаметр которого d = 20 мм.
389
Пренебрегая трением поршня, определить, какая сила
действует на цилиндр.
Коэффициенты истечения для отверстия принять <р =
= 0,97 и ц == 0,63; относительная плотность масла б =
= 0,9.
Ответ, R = 2620 Н.
Задача XI П-5. Расход воды в отсасывающей трубе
гидротурбины, представляющей вертикальный тонкостен-
ный конический диффузор с диаметрами d = 1000 мм и
D = 2000 мм и длиной L = 4000 мм, равен Q = 5,5 м3/с.
Входное сечение трубы расположено выше уровня на
Н = 3 м. Коэффициент потерь в диффузоре = 0,25.
Определить гидравлическую осевую силу, действу-
ющую на трубу.
Указание. Принять, что: 1) давление в выходном сечении трубы
равно статическому давлению в окружающей неподвижной жидкости
и скоростной напор потока, выходящего из трубы, целиком теряется;
2) на внешней поверхности трубы, погруженной под уровень, давление
распределено по статическому закону.
Ответ,
R = pQ (vi — V2) — peF + G,
где рв — вакуум на входе в трубу;
G — вес воды в трубе над свободной поверхностью;
R = 35 кН.
Задача XIП-6. Определить гидравлические нагрузки
болтовых групп во фланцевых соединениях А и В при
истечении воды из бака через отвод и присоединенный
к нему насадок. Выходной диаметр насадка d = 50 мм,
390
диаметр отвода D = 100 мм и его радиус кривизны г =
= 400 мм. Избыточное давление в баке М ~ 1 МПа.
Гидравлическими сопротивлениями и весом жидкости
в отводе пренебрегать.
Как изменится нагрузка болтов В, если удалить на-
садок?
Ответ. Соединение А: отрывающая сила Рд — 4450 Н.
Соединение В: отрывающая сила Рв= 8350 Н; срезывающая
сила Тв— 3930 Н; изгибающий момент Мв~ 1570 Н-м.
При удалении насадка Рв — Тв — 15700 Н; Л4в— 6280 Н-м.
Задача ХШ-7. Трубопровод ГЭС, имеющий диаметр
D = 1,2 м, разветвляется в горизонтальной плоскости на
две линии, каждая диаметром d = 0,85 м, подводящие
воду к двухколесной гидротурбине.
Определить горизонтальную силу, воспринимаемую
тройником, если боковая ветвь образует с осью трубопро-
вода угол а = 45°, избыточное давление перед тройником
р = 5 МПа и суммарный расход Q = 6 м3/с делится по-
ровну между отходящими ветвями. Гидравлическими со-
противлениями в тройнике пренебречь.
Как изменится эта сила, если при выключении турбины
расход станет равным нулю, а давление в тройнике воз-
растет до р = 7 МПа?
Ответ. R — 2200 и 3000 кН.
Анкерная опора
К задаче XIII-8
Задача ХП1-8. Определить усилие, передающееся на
трубопровод ГЭС в пределах анкерной опоры, располо-
женной перед машинным зданием. Диаметр трубопровода
0 = 3 м, а патрубков, подводящих воду к турбинам,
d — 2 м; угол патрубков с осью трубопровода а = 60°.
Избыточное давление перед опорой р = 295 кПа и расход
Q = 35 м3/с (делится между патрубками поровну).
Потерями напора в пределах опоры пренебрегать.
Ответ. R = 2150 кН.
391
Задача XI П-9. По отводу типа «утки», диаметр кото-
рого d = 200 мм и радиус закругления г = 600 мм,
течет вода в количестве Q = 125 л/с. Избыточное давление
в отводе равно р = 200 кПа.
Пренебрегая потерей напора и силой тяжести воды,
определить момент сил действия потока, воспринимаемый
отводом.
При каком давлении этот момент окажется равным
нулю?
Ответ. М = 8140 Н-м; вакуум р = 15,9 кПа.
Задача XIII-10. Определить результирующую силу
и моменты.относительно осей х, у и z, развиваемые пото-
ком воды на коленчатой трубе, размеры которой указаны
на рисунке (диаметр трубы d = 400 мм). Средняя скорость
воды v = 3 м/с, избыточное давление при входе в трубу
р± = 0,2 МПа. Коэффициент сопротивления трения X =
= 0,02, коэффициент сопротивления каждого колена
£ = 1,3. Учитывать вес жидкости в трубе.
-Ответ. /? = 93 кН; Мх = 16 кН-м; Ми — 800 кН-м; Mz —
= 13 кН-м.
Задача XIП-11. По прямому длинному трубопроводу
диаметром D = 200 мм вода вытекает в атмосферу под
напором Н = 16 м.
Определить гидравлическую осевую силу, восприни-
маемую трубопроводом.
Указание. Имея в виду, что трубопровод является длинным, пре-
небречь сопротивлением входа и скоростным напором выхода, прини-
мая, что потеря напора на трение по длине трубопровода равна напору Н.
392
Ответ. Roc= H независимо от наклона (длины L) трубо-
провода; Roc — 4900 Н.
Задача XII1-12. Из бака, в котором поддерживается
заданный уровень, жидкость вытекает в атмосферу по
вертикальной трубе диаметром d и длиной /.
Найти зависимость гидравлической осевой силы, дей-
ствующей на трубу, от уровня h. Указать, при каком зна-
чении h эта сила будет равна весу
жидкости в трубе.
Сопротивлением входа в трубу пренебречь, коэффици-
ент сопротивления трения X считать постоянным.
Ответ.
R = Ы'-------1----f+ G, где f = ~ и G = pgfl.
Осевая сила R равна весу G жидкости в трубе при h = —,
л
Задача XIII-13. Из насадка гидромонитора, выходной
диаметр которого d = 150 мм, в горизонтальном направле-
нии вытекает струя воды под напором Я = 125 м.
Определить мощность струи и силу ее удара о плоскую
стенку, расположенную перпендикулярно к оси струи
и под углом а = 60°.
Коэффициент сопротивления насадка £ = 0,04; сжа-
тие на выходе отсутствует.
Ответ. N = 1000 кВт; R = 41,5 и 35,9 кН.
Задача XI11-14. Определить гидравлическую силу,
воспринимаемую анкерной опорой, в которой участок АС
трубопровода ГЭС между двумя расширительными муф-
393
тами меняет направление с наклонного (а = 45°) на го-
ризонтальное при постоянном диаметре d = 2,5 м. Расход
воды Q = 15 м3/с, избыточное давление в начале участка
р — 0,5 МПа. Гидравлические потери не , учитывать.
Имея в виду, что на длине L = 260 м между сечениями А
и В установлен ряд промежуточных опор, воспринима-
ющих нормальные к оси трубопровода силы, в искомую
К задаче ХШ-14
нагрузку анкерной опоры включать на этой длине только
осевую слагающую веса воды. На участке ВС (/ = 20 м)
в нагрузку опоры вес воды включать целиком.
Ответ. Горизонтальная и вертикальная составляющие силы:
Reop = (рСу + Р1Г) cos а — (pQy + р2Г) + Gab .
$верт = (pQv + p±F) sin а + 6Ав-sin2 а + Овс,
где pi — избыточное давление в сечении Д, р% — в сечении С;
v — скорость в трубе;
F — площадь сечения трубы;
ОАв — вес воды на участке АВ и Овс — на участке ВС;
Reop ~ 4000 кН, Rgepm = Ю 000 кН.
Полная сила R = 10 800 кН действует вправо вниз под углом 68Q
к горизонту.
Задача XIП-15. Лафетный пожарный ствол диаметром
D = 75 мм, снабженный спрыском (насадком) с выходным
диаметром d = 38 мм, работает под избыточным давле-
нием воды р = 0,8 МПа.
394
К задаче ХШ-15
Определить силу, воспринимаемую лафетом, и разры-
вающие нагрузки соединения спрыска со стволом 1 и
соединения ствола с гибким рукавом 2. Весом жидкости
в лафете пренебречь, коэффициенты истечения для спрыска
в - 1, £ - 0,06.
Указание. Сила, действую-
щая на спрыск и воспринимае-
мая соединением 1
Pi = pQ (vi — v2) + pF,
где Vi и V2 — скорости в стволе
и на выходе из
спрыска;
F — площадь ствола.
Сила, воспринимаемая сое-
динением 2, определяется как
реакция потока на конец гиб-
кого рукава, примыкающий
к стволу:
Рг = рфщ + pF.
На лафет передается сила
Р = Р2 ~ Р1 = Р(?У2,
равная динамической реакции струи, вытекающей из спрыска.
Ответ. Усилие на лафете Р = 1810 Н; Pi = 2180 Н; Р2 = 3990 Н.
Задача XIII-16. Гидромонитор с входным диаметро?л
Dr — 260 мм и насадком d = 100 мм работает при гори-
зонтальном расположении ствола под избыточным давле-
нием р ~ 1,2 МПа.
Определить усилия, воспринимаемые горизонтальным
шарниром /, соединением ствола с коленом 2 и соедине-
нием ствола с насадком 3.
Входной диаметр насадка D2 = 150 мм, длины Lr =
= 3000 мм и L2 = 2300 мм, радиус кривизны колена г ~
= 400 мм.
Весовыми нагрузками пренебречь, учитывать потери
в насадке, для которого £ = 0,1 (сжатие на выходе от-
сутствует).
Указание. Горизонтальный шарнир воспринимает вертикальную
отрывающую силу Pi = pQ^i + pF, срезывающую силу Ti~ pQvs
и изгибающий момент Mi = 7\r (vi и v3 — скорости в колене и на
выходе из насадка, F — площадь колена).
Соединение ствола с коленом воспринимает отрывающую силу
Рг = pQ (ух — у3) + pF.
Ответ. Отрывающая сила Pi = 61,7 кН; срезывающая сила Ti =
= 17,5 кН; изгибающий момент М = 7 кН-м; отрывающая сила Рг =
= 44,3 кН и Р3 = 8,1 кН.
395
Задача XIII-17. Для гидромонитора по условию за-
дачи (XIII-16) определить нагрузки горизонтального шар-
нира 1 и соединения ствола с коленом 2 при наибольших
отклонениях ствола от горизонтали, осуществляемых его
вращением вокруг вертикального шарнира (вверх и вниз
на угол 30°).
Ответ. При отклонении вверх: отрывающая сила Pi =53 кН;
срезывающая сила Ti — 15,1 кН; изгибающий момент Mi = 0;	=
= 46,5 кН; Т2 = 8,7 кН; М2 = 2,6 кН-м.
При отклонении вниз: Pi = 70,5 кН; Ti = 15,1 кН; Mi —
= 12,2 кН-м; Р2 = 46,5 кН; Т2 = — 8,7 кН; М2 = — 2,6 кН-м.
К задачам XHI-16, XIII-17 и ХШ-18
Задача XII1-18. Для гидромонитора по условию за-
дачи (XIII-16) определить внешний момент, необходимый
для вращения ствола (вместе с верхним коленом) вокруг
вертикальной оси х, если, окружная скорость выходного
сечения насадка равна и == 0,1 м/с. Механические сопро-
тивления не учитывать.
Ответ. Мвн — ПО Н-м.
Задача XIII-19. Вода подается на колесо активной
ковшовой гидротурбины из двух сопел с выходными от-
верстиями d0 = 120 мм, присоединенных при помощи
колен диаметром О2 “ 275 мм к тройнику. Входной диа-
метр тройника Dx — 400 мм.
Определить гидравлические силы, действующие на
тройник, верхнее и нижнее колена с соплами при избы-
точном давлении перед тройником р = 5 МПа. Весом
396
жидкости в тройнике и гидравлическими сопротивлениями
пренебречь, коэффициент сжатия струи на выходе из
каждого сопла е = 0,8.
Ответ. Тройник R — 180 кН; верхнее колено R = 323 кН; ниж-
нее колено R == 300 кН.
Задача XII1-20. Пластина, введенная в свободную
струю воды перпендикулярно ее оси, отсекает часть рас-
хода струи и вызывает отклонение остальной части
струи на угол а. Заданы скорость струи v = 30 м/с и
полный расход Q = 36 л/с, а также величина расхода,
отсекаемого пластиной = 12 л/с. Определить реакцию
струи на пластину и угол отклонения струи. Весомостью
жидкости и трением струи о пластину пренебрегать.
Указание. Применить теорему количества движения в проекциях
на ось струи и перпендикулярное к ней направление.
Ответ.
R = pQu 1
а = arc sin	= 30°
О 2
397
Задача XI11-21. Пластина, наклоненная к горизон-
тали под углом а = 45°, глиссирует вдоль свободной по-
верхности неподвижной воды с поступательной скоростью
v = 36 км/ч, вызывая за собой понижение уровня на
Ah = 10 мм (на рисунке показано относительное обтека-
ние пластины).
Пренебрегая сопротивлениями и весомостью жидкости
и рассматривая поток как плоский, определить в расчете
на единицу ширины пластины реакцию потока на пластину
и мощность, необходимую для ее перемещения с заданной
скоростью.
Указание. Рассматривая поток относительно пластины, приме-
нить теорему количества движения в проекции на горизонтальную ось.
Ответ,
R = р„2 L+ cos a. Д/г = 2410 Н/м;
sin a
N = jRusina = 17 кВт/м.
К задаче ХШ-22	Задача Х111-22. По трубо-
проводу диаметром D = 600 мм,
в котором установлен плоский дисковый затвор под углом
к оси a = 60° (коэффициент сопротивления затвора при
этом £ = 118), течет вода в количестве Q = 140 л/с.
Определить:
1) гидравлическую силу, передаваемую затвором на
трубопровод;
2) полную силу действия потока на затвор.
Указание. При заданном большом угле установки затвора сила
трения на поверхности затвора мала по сравнению с силой, возникаю-
щей из-за перепадов давлений по обе его стороны; полную силу дей-
ствия потока на затвор можно поэтому считать нормальной к плоскости
398
затвора. Применяя формулу (ХШ-1) к участку трубы, заключающему
затвор, и пренебрегая силами трения на поверхности трубы, получим
для осевой силы, передаваемой затвором на трубопровод:
D	4
Ргпруб — &Р >
где Др — падение давления в трубопроводе на участке затвора. Пол-
ная сила, действующая на затвор, R3ame~ *
Ответ. Rmpy6 — 4070 Н; R2ame^ 4700 Н.
Задача XIII-23. Предохранительный клапан с диа-
метром седла d = 25 мм пропускает при избыточном давле-
нии в седле р = 3,2 МПа расход масла (плотность р =
= 920 кг/м3), равный Q ~ 10 л/с; при этом открытие
клапана s = 5 мм.
Пренебрегая потерями напора в клапанной щели,
определить направление вытекающей из клапана струи
(угол а), если известно, что начальное давление открытия
клапана равно р0 = 2,5 МПа, а жесткость его пружины
С = 20 Н/мм.
Указание. 1. Начальная сила действия пружины на закрытый
клапан
nd2
ро = Р« -J-;
при открытии s сила действия пружины Р = Ро + Cs.
2. Для определения угла а воспользоваться уравнением (ХШ-1),
пренебрегая весомостью жидкости и выражая скорость струи как
где v — скорость в седле.
Ответ, а = 57°.
К задаче XIП-23
К задаче XIП-24
Задача XIП-24. Центробежный насос со всасываю-
ющим патрубком Dr = 700 мм при вакууме на стороне
всасывания рг = 20 кПа подает Q = 1300 л/с воды в на-
399
порную трубу Z)2 = 500 мм под избыточным давлением
р2 = 880 кПа. Частота вращения насоса п = 960 об/мин
и потребляемая им мощность электродвигателя Nde =
= 1250 кВт.
При указанных на схеме размерах определить, суммар-
ную гидравлическую силу, действующую на насос, и
момент внешних сил относительно оси его вращения.
Указание. Определяя силу реакции потока на насос, учитывать,
что сила избыточного давления Pi во входном сечении насоса (где
имеется вакуум) направлена в сторону трубопровода. При вычисле-
нии суммарного момента принять во внимание, что, кроме момента
гидравлических сил, к насосу приложен момент двигателя
М-=ЛУ
который направлен в сторону вращения вала.
Ответ. R = 185 кН; М — 126 кН-м.
Задача ХШ-25. Определить суммарную гидравличе-
скую силу и момент внешних сил, которые действуют на
спиральную камеру вертикальной гидротурбины в пло-
скости, перпендикулярной оси вращения вала.
Диаметр входного патрубка спиральной камеры D =
= 6,5 м, плечо центра входного сечения относительно
оси вращения L = 7,2 м.
При избыточном давлении на входе в камеру р =
= 0,3 МПа расход воды равен Q = 180 м3/с, полезная
мощность на валу турбины Nr = 50 000 кВт и частота
вращения вала п = 88,2 об/мин.
Поток выходит из камеры в осевом направлении (от-
сутствуют окружные слагающие скоростей), в силу чего
400
момент количества движения потока относительно оси
вращения турбины на выходе из камеры равен нулю.
Указание. К валу трубины приложен момент полезного сопротив-
ления Мт = NT/(&, направленный противоположно вращению вала
и передающийся на камеру турбины.
Ответ. R — 10 950 кН; М. = 73 300 кН-м.
Задача XI Л-26. Трубка диаметром d = 10 мм, запол-
ненная водой и опущенная одним концом под уровень,
вращается вокруг своей вертикальной оси с постоянной
угловой скоростью. Другой конец трубки находится выше
свободной поверхности воды на h ~ 800 мм и имеет ра-
диус вращения г = 300 мм.
Определить:
1) при какой угловой скорости вода будет находиться
в трубке в относительном покое;
2) какой расход будет откачиваться трубкой при
угловой скорости, вдвое большей, чем найденная выше,
и каков внешний момент, необходимый для поддержания
этой скорости вращения.
Суммарный коэффициент сопротивления трубки £ = 3.
Ответ, со = 13,2 рад/с; при
= 0,27 л/с и Мвн= 0,64 Н*м.
удвоенной угловой скорости Q =
Задача XIH-27. Вода вытекает из неподвижного
сосуда через вращающуюся трубку с насадком d 20 мм
под статическим напором Н — 1,2 м. Радиус вращения
выходного сечения насадка г ~ 500 мм.
Определить расход через трубку и внешний момент,
который должен быть к ней приложен при частоте вра-
щения п = 200 об/мин. Гидравлическими и механическими
сопротивлениями пренебрегать.
Ответ. Q~ 3,6 л/с; Мвн~ 18,8 Н-м.
Задача ХП1-28. В активной ковшовой гидротурбине
струя воды, диаметр которой d = 50 мм и скорость v =
401
= 70 м/с, натекает на ковш, выходной угол которого
равен Р = 10°. Коэффициент, сопротивления ковша, вы-
ражающий потери,напора при протекании воды по ковшу
через относительную скорость выхода, равен £ = 0,2.
Определить силу действия струи на неподвижной ковш
и на ковш, перемещающийся поступательно с постоянной
скоростью и = 35 м/с.
Ответ. R ~ 18 300 и 4560 Н.
Задача XII1-29. В активной наклонноструйной гидро-
турбине струя воды натекает на лопасти рабочего колеса
под углом аг — 30° к направлению их движения. Ско-
рость струи и — 50 м/с, расход через сопло Q — 250 л/с.
К задаче XIП-29
Определить:
1. Полезную мощность и к. п. д. колеса при поступа-
тельной скорости лопастей и = 30 м/с, если угол схода
воды с лопастей р2 = 20° и коэффициент сопротивления
колеса при безударном натекании на лопасти £ = 0,25
(выражает потерю напора в колесе через относительную
скорость воды на выходе из него).
2. Каким должен быть угол входного элемента ло-
пастей, чтобы при заданном режиме имело место безудар-
ное натекание струи на лопасти.
Ответ. N = 278 кВт; т] = 89%; yi = 62°.
Задача XI П-30. Рабочее колесо активной центробеж-
ной турбины имеет радиус входной и выходной окруж-
ностей = 1,25 м и = 1,5 м. Струя воды поступает
на колесо со скоростью v = 60 м/с под средним углом
к входной окружности = 25°; частота вращения колеса
п = 250 об/мин.
402
Определить:
1) входной угол лопастей при котором натекание
струи на лопасти будет безударным;
2) момент, развиваемый потоком на рабочем колесе,
если выходной угол лопастей р2 = 15° и расход воды
Q = 160 л/с.
Коэффициент сопротивления колеса, выражающий по-
терю напора через относительную скорость выхода из
колеса, равен £ = 0,25.
Ответ, yi = 50°; М 8380 Н-м.
К задаче XII1-30	К задаче XIII-31
Задача XIII-31. Сегнерово колесо состоит из двух
радиальных трубок, изогнутых на концах по окружности
радиуса г = 400 мм и снабженных сходящимися насад-
ками с выходным диаметром d — 20 мм.
Вытекающая в атмосферу вода поступает в трубки из
неподвижного сосуда под статическим напором Н = 2 м
над плоскостью вращения трубок.
Установить зависимость момента, развиваемого пото-
ком на колесе, от угловой скорости его вращения, учиты-
вая гидравлическое сопротивление трубок (£ = 0,1), и
определить:
а)	мохмент ЛТ0 на заторможенном колесе;
б)	разгонную угловую скорость соразг, при которой
момент на колесе становится равным нулю;
в)	оптимальную угловую скорость соошп, при которой
гидравлический к. п. д. колеса т] достигает максимума,
и значение т]тах.
403
Ответ. Мо = 9 Н*м;
®разг ==	= 49,7 рад/с;
<*опт = ]/~4"	0	16’9 Р2Д/С;
х	'Птах = 1	= 0,7.
К задаче ХШ-32
Задача XIП-32. В рабочее колесо осевой реактивной
гидротурбины поток воды поступает из неподвижного
направляющего аппарата с абсолютной скоростью vx =
= 30 м/с, которая об-
разует угол 04 = 20°
с направлением движе-
ния! лопастей колеса;
Определить (в расче-
те на один канал рабо-
чего колеса) окружное
усилие Ru и перпенди-
кулярное ему осевое
усилие 7?z, развиваемые
потоком на рабочем
колесе, если последнее
ине канала окружной
скоростью и 25 м/с. Шаг лопастей рабочего колеса
t = 60 мм, ширина канала (в направлении, перпендику-
лярном шагу) постоянна по высоте колеса и равна b =
= 40 мм. Выходной угол лопастей 02 = 25°, коэффициент
сопротивления колеса (выражающий потерю в каналах
через относительную скорость выхода) равен t, = 0,2.
движется со средней по
Указание. Л. Из формулы (XIII-8) окружная сила
Xu = pQ(wUl ~wu2),
где проекции относительных скоростей . на направление переносной
скорости и равны wU1= vi cos — и и wUe> = —cos рг, а расход
Q == Vi sin aibt.
Относительная скорость шг выхода из колеса определяется из ус-
ловия, что осевая скорость потока имеет одинаковые значения на входе
и выходе из колеса:
vi sin СС1 = шг sin рг.
2. Перепад давлений между входным и выходным сечениями ра-
бочего колеса (определяющий осевую силу Rz) вычисляется из уравне-
ния Бернулли для относительного движения в канале.
Ответ. Ru = 618 Н; Rz=- 706 Н.
404
Задача XI П-33. В реактивной осевой гидротурбине
рабочее колесо, средний радиус вращения которого /? =
= 500 мм и ширина В = 100 мм, получает поток воды из
неподвижного направляющего аппарата под углом ~
= 35° к окружной скорости и — со/?. Вода выходит из
колеса в атмосферу под располагаемым статическим на-
пором Нг == 12 м, имея направление относительной ско-
рости, заданное выходным углом лопастей Р2 = 25°.
1. Определить, пренебрегая гидравлическими сопро-
тивлениями направляющего аппарата и рабочего колеса,
какую полезную мощность будет развивать поток на ко-
лесе при режиме «нормального выхода», когда абсолют-
ная скорость выхода из колеса v2 перпендикулярна пере-
носной скорости и. Какую частоту вращения должно при
этом иметь колесо?
2. Как изменятся результаты, если турбину снабдить
отсасывающей трубой, которая выполнена в виде диффу-
зора и опущена под уровень воды, расположенный ниже
выхода из колеса на Н2 = 4 м?
Потерей напора в отсасывающей трубе и кинетической
энергией выхода из трубы пренебрегать.
Указание. Полезная мощность на колесе
Л7 = QpgH,
где Q — расход;
Н — полезная работа единицы веса жидкости (полезный напор),
405
связанная с располагаемым напором Hi уравнением энерге-
тического баланса:
При условии нормального выхода из колеса расход
Q = V22nRB,	(2)
где
Из выражения для момента, развиваемого потоком на колесе,
М =	получаем для полезного напора (равного по определе-
н = 7%	(4)
где
vai = vi ctgai.	(5)
При помощи соотношений (1) ч- (5) находятся неизвестные /V
и п. При наличии отсасывающей трубы все эти соотношения сохра-
няются за исключением уравнения энергетического баланса, для ус-
ловий задачи принимающего вид
Н = Hi + Я2,	(6)
так как при отсутствии потерь все падение статического напора (Я1 +
+ Hz) превращается в полезную механическую работу.
Ответ. N — 184 кВт и и = 235 об/мин; при наличии отсасываю-
щей трубы Н — 353 кВт и п — 293 об/мин.
Задача XHI-34. В центростремительной реактивной
турбине угол открытия лопаток направляющего аппарата
(определяющий направление абсолютной скорости по-
тока перед колесом) = 12°. Входной и выходной
диаметры рабочего колеса Dx = 1000 мм иО2 = 500 мм,
ширина колеса на входе Вг = 60 мм и на выходе В2 =
= 120 мм.
Определить при частоте вращения колеса п =
= 1000 об/мин и расходе воды через него Q = 2 м3/с:
1) входной Pi и выходной р2 углы лопастей рабочего
колеса, при которых натекание на лопасти будет безудар-
ным и абсолютная скорость потока на выходе из колеса
будет перпендикулярна окружной скорости (что обеспе-
чит минимальную кинетическую энергию на выходе из
колеса);
406
2) момент, развиваемый потоком при этих условиях
на рабочем колесе.
Ответ, pi = 75,5° и 02 = 22°; М = 50 000 Н-м.
Задача ХШ-35. Рабочее колесо центробежного насоса
имеет входной и выходной радиусы /?х = 100 мм, R2 =
= 200 мм, ширину на входе Ь± = 100 мм и на выходе
Ь2 — 50 мм и выходной угол лопастей (32 = 20°.
Исходя из схемы бесконечного числа лопаток, опре-
делить момент М действия потока на колесо и напор Н
(энергию, сообщаемую
единице веса потока жидкости
в колесе) при частоте враще-
ния ц - 2135 об/мин и расхо-
де воды Q = 240 л/с.
К задаче ХШ-35
Как изменятся М и Н при уменьшении расхода в два
раза? Зависят ли М и Н от плотности жидкости?
Перед входом на колесо вращение потока отсутствует.
Указание. По формуле (XIII-15)
М = —pQvtl2R2,
Из выходного треугольника скоростей
Vu2 = “2 — Vr2 ctg 02,
где радиальная слагающая абсолютной скорости выхода
Q
2xR2b2 
Удельная энергия, сообщаемая потоку в колесе,
Ответ. М = —1640 Н-м и Н = 155 м; при уменьшении расхода
в два раза М = —945 Н-м и Н = 180 м.
407
Задача X П1-36. Определить реакцию и полезную меха-
ническую мощность, развиваемую потоком воды на по-
движном сосуде, который перемещается с постоянной
поступательной скоростью и = 15 м/с и из которого
жидкость вытекает через трубку площадью f = 2S см2
под напором Н = 2 м. Гидравлическими сопротивлениями
пренебрегать.
Ответ. R = 100 Н; W = 1,5 кВт.
Задача XII1-37. Водометный реактивный движитель
судна создает тягу за счет струи воды, забираемой центро-
бежным насосом спереди судна и выбрасываемой из кормы
с относительной скоростью ш.
К задаче XIII-36
Определить:
1. Тяговую реактивную силу, создаваемую движите-
лем, и развиваемую им полезную мощность.
2. К. п. д. движителя, представляющий отношение
полезной мощности движителя к гидравлической мощ-
ности, которую сообщает насос перекачиваемой им воде.
Гидравлическими сопротивлениями в приемной и выкид-
ной трубах насоса пренебрегать.
Известны относительная скорость выбрасываемой струи
w = 7,5 м/с, подача насоса Q = 750 л/с и скорость судна
и = 4,5 м/с.
Указание. Рассматривая движение воды относительно судна
с начальной скоростью = и, получим для реактивной силы R —
= pQ (w — ш0) и напора, сообщаемого насосом перекачиваемой им
воде:
2	2
у -ш0
П —	*
2g
408
Мощность насоса
NH - QpgH.
Ответ. R = 2250 Н и N — 10 кВт; ц = 75%.
К задаче XII1-38
Задача XIП-38. Для быстрого торможения тележки
опытного стенда в канал с водой, расположенный под
тележкой, опускается цилиндрический ковш, который
отбрасывает струю воды в сторону движения тележки под
углом а ~ 30° к горизонту (на схеме изображено относи-
тельное обтекание ковша).
1. Определить толщину h
струи, которую должен за-
хватить ковш, чтобы тележке
массой т ~ 1 т, имеющей на-
чальную скорость vQ = 200 м/с,
сообщить начальное замедление
а = —20 g. Ширина ковша
В = 20 см.
2. Найти закон движения
тележки, указав, за какое время и на каком пути ее
скорость уменьшится до v = 10 м/с.
Сопротивления в ходовой части тележки не учитывать.
Силой тяжести струи и потерями напора при обтекании
ею ковша пренебречь.
Указание. Динамическую реакцию струи на ковш для каждого
момента времени определять по уравнению (ХШ-10).
Ответ, h = 13 мм.
ГЛАВА XIV
РАБОТА НАСОСОВ НА СЕТЬ
ВВЕДЕНИЕ
В предлагаемых ниже задачах насосы рассматриваются
как элементы гидросистем, сообщающие жидкости энер-
гию, но не являются самостоятельными объектами изуче-
ния. Рабочий процесс насосов в задачах не рассматри-
вается.
1. Исходным соотношением при решении задач о ра-
боте насосов на сеть является баланс напоров потока
в трубопроводе с включенным в него насосом. При уста-
409
повившемся движении жидкости в трубопроводе это
соотношение имеет вид (рис. XIV-1)
+	+	(XIV-1)
где Нг и 772 — полные напоры потока в начальном 1
и конечном 2 сечениях трубопровода,
равные:
^ + -^ + «4;
= г2 + -^ + а2 ;
1
Рис. XIV-1
Нн — напор насоса — энергия, сообщаемая на-
сосом единице веса перекачиваемой им
жидкости;
J] hn — сумма потерь напора в трубопроводе
между сечениями 1 и 2,
Отсюда
I	и2 \
Нн = ^2 +	+ «2 2^) —
/	V2 \
~ V1 +
(XIV-2)
т. е. напор насоса затрачивается на увеличение напора
потока и преодоление гидравлических сопротивлений
в трубопроводе.
410
2. Схема насосной установки при работе насоса на
простой трубопровод показана на рис. XIV-2. Насос
перекачивает жидкость из приемного резервуара А в на-
порный резервуар В по трубопроводу, состоящему из
всасывающей и нагнетательной труб.
Потери 6о всасывающей линии
Рис. XIV-2
Статическим напором установки называют разность
гидростатических напоров жидкости в напорном и прием-
ном резервуарах:
+	+	(XIV-3)
Для установки на рис. XIV-2, где давление на свобод-
ных поверхностях жидкости в резервуарах равно атмо-
сферному, статический напор установки представляет
собой разность уровней жидкости в резервуарах:
НСт ^2	^1»
т. е. высоту подъема жидкости в установке.
На рис. XIV-3 показано в виде примера определе-
ние Нст для случая, когда в приемном резервуаре имеется
вакуум и в напорном резервуаре — избыточное давление.
411
Статический напор установки равен разности пьезометри-
ческих уровней в резервуарах.
Потребным напором установки Нпотр называют энер-
гию, которую необходимо сообщить единице веса жидкости
для ее перемещения из приемного резервуара в напорный
по трубопроводу установки при заданном расходе. Пре-
небрегая малыми скоростными на-
порами в резервуарах, имеем
Н fiotnp	Нст “4“ Zj hn,
(XIV-4)
где — сумма потерь напора
во всасывающей трубе
(hn.ec) и в нагнетатель-
ной трубе, включая
потерю при выходе из
нее в напорный резер-
вуар (Лп.н):
S hn == hn, вс hn. н.
При вытекании жидкости из нагнетательной трубы
в атмосферу потеря выхода отсутствует, а потребный напор
нпотр = нст + 2 hn 4- - J,	(X IV-5)
где — — скоростной напор на выходе из нагнетательной
трубы (в предположении турбулентного ре-
жима, для которого а 1).
При работе насоса на длинный трубопровод скоростным
напором на выходе (или потерей на выходе при подаче
в напорный резервуар) можно пренебрегать (см. гл. IX).
При работе насоса на трубопровод, снабженный конце-
вым сходящимся насадком (рис. XIV-4), скоростной
напор на выходе из насадка сравним с потерями в трубах
и должен учитываться в уравнении (XIV-5).
При установившемся режиме работы установки, когда
расход в системе трубопроводов не меняется со временем,
развиваемый насосом напор равен потребному напору
установки:
Ня = нпотр.	(XIV-6)
412
3. Режим работы насоса в установке приданной частоте
вращения характеризуется подачей (объемом жидкости,
перемещаемым насосом в единицу времени) QH [м3/с],
напором Нн	и потребляемой насосом мощ-
ностью двигателя Nde [Вт].
К. п. д. насоса представляет отношение мощности на-
соса NH (энергии, сообщаемой в единицу времени потоку
жидкости) к потребляемой им мощности двигателя Nd3:
=	=	(XIV-7)
1 Nde Nde	'
Напор насоса при известной его подаче может быть
измерен с помощью манометров, установленных в его
выходном и входном сечениях. По определению напор
равен разности полных напоров потока при выходе из
насоса и при входе в него:
/	V2 \	(	V2 \
Нн = Z« + — + -тЛ ~	. (X1V-8)
н \ Pg 2g )	\ Pg 2g J '	7
Обозначим zH — zec = Ло и выразим пьезометрические
напоры ~~ и через показания манометров Мн и Мвс
(в высотах столба жидкости), отнесенные к центрам сече-
413
ний выходного и входного патрубков насоса. Тогда по-
лучим
2	9
V — V"
HH = MH-Mec + h0 + ^-w^.	(XIV-9)
При расположении насоса над приемным уровнем,
открытым в атмосферу, во входном сечении насоса возни-
кает вакуум (избыточное давление рвс <0); в этом случае
2	9
V1 — V1
HH = M + V +	(XIV-10)
где М и V — показания манометра и вакуумметра, уста-
новленных в выходном и входном сечениях
насоса (рис. XIV-2).
Величина вакуума V на входе в насос, выраженная
высотой столба жидкости, равна по уравнению Бернулли
для установившегося движения жидкости во всасывающей
трубе (давление над жидкостью в приемном резервуаре —
атмосферное):
v"
V = zec + ^ + hn.ec.	(XIV-11)
Каждому режиму работы насоса в данной установке
соответствует некоторая допустимая величина вакуума
Н^ак (так называемая допустимая вакуумметрическая
высота всасывания), которая обеспечивает отсутствие
кавитационных явлений в насосех. При эксплуатации
насоса должно выполняться условие V Ндвак, с помощью
которого из формулы (XIV-11) определяется допустимая
геометрическая высота всасывания насоса (при zde°cn <0
насос необходимо располагать ниже уровня в приемном
резервуаре).
4. Режим работы насоса в установке определяется
его рабочей характеристикой.
Для лопастных насосов рабочая характеристика
строится в виде зависимости напора насоса, потребляе-
мой им мощности и к. п. д. от подачи насоса при постоян-
ной частоте вращения.
Рабочая характеристика центробежного насоса имеет
вид, показанный на рис. XIV-5. С изменением частоты
вращения насоса его характеристика изменяется.
1 Величина Ндв°а^ зависит при данном режиме работы насоса от
упругости паров жидкости и величины атмосферного давления.
414
Пересчет характеристик лопастного насоса (рис. XIV-6)
производится с помощью законов пропорциональности,
выражающих свойства подобных режимов работы данного
насоса при разных частотах вращения х:
(XIV-12)
QhI __ п1 9
Qh2 П2 ’
(XIV-13)
В формуле (XIV-14) предполагается, что для подобных
режимов значения к. п. д. насоса можно приближенно
принимать одинаковыми (г^ = ц2) и что насос работает
на одной и той же жидкости (рг = р2).
Точки каждого семейства подобных режимов лежат
в координатах QH — Нн на квадратичной параболе, вер-
шина которой находится в начале координат (парабола
подобных режимов).
5. Задачи о работе насосов на сеть можно разделить
на две основные группы:
1. Подбор насоса для данной установки при требуе-
мой подаче QH. Решение таких задач основано на вычисле-
нии потребного напора установки Нпотр и, следовательно,
1 Предполагается, что сравниваемые подобные режимы находятся
в зоне турбулентной автомодельности, где изменение числа Рейнольдса
не влияет на распределение скоростей в каналах наесса и на величины
их коэффициентов сопротивления.
415
напора насоса Нн. Величины QH и Нн являются исходными
для подбора соответствующего. насоса и его двигателя.
2. Определение режима работы данного насоса в уста-
новке.
Решение таких задач основано на совместном рассмо-
трении характеристик насоса и установки.
На рис. XIV-7 дана схема решения задачи о работе
лопастного насоса на простой трубопровод, рассмотрен-
ная на примере центробежного насоса в трех случаях:
1) Нст>0; 2) Нст = О', 3) Нсгп<0.
Для решения задачи в координатах Q — Н строятся
в одинаковом масштабе рабочая характеристика насоса
Нн = f (QH) и характеристика установки Нпотр = f (Q),
представляющая зависимость потребного напора уста-
новки от расхода при заданном статическом напоре Нст.
Характеристика установки выражается уравнением
(XIV-4), в котором S hn = f (Q) — характеристика трубо-
провода (зависимость суммарных потерь напора в трубо-
проводе от расхода). При турбулентном режиме hn =
= sQ2. Сопротивление трубопровода s равно сумме со-
противлений всасывающей и нагнетательной труб:
~ s#c 4-
каждое из которых выражается общей формулой (см.
гл. IX)
smzW = 0,0827X^.
416
В первом приближении s = const и график характери-
стики трубопровода представляет квадратичную пара-
болу.
Таким образом, для изображения характеристики уста-
новки следует построить характеристику трубопровода,
смещенную вдоль оси напоров на величину Нст.
При стационарном режиме
насоса QH и развиваемый им
на графике точкой пе-
ресечения характери-
стик насоса и установки,
в которой выполняется
условие равенства на-
пора насоса и потреб-
ного напора установки:
Н н = Н стЛ-l^hn.
Для наглядности
целесообразно совме-
щать график со схемой
насосной установки,
располагая начало ко-
ординат Q—Н на пьезо-
работы установки подача
напор Нн определяются
Рис. XIV-8
начало отсчета напоров. При
метрическом уровне
в приемном резервуаре,
который выбирается за
этом для получения характеристики установки следует
построить характеристику трубопровода от пьезометри-
ческого уровня в напорном резервуаре.
Если Нст = 0, характеристика установки проходит
через начало координат характеристики насоса и в рабо-
чей точке имеет место соотношение
HH=^hn,
т. е. напор насоса целиком затрачивается на преодоление
гидравлического сопротивления системы.
К такому типу относятся циркуляционные установки,
где приемный и напорный уровни совпадают (рис. XIV-8).
При Нст < 0 (напорный уровень ниже приемного)
жидкость может перетекать в нижний резервуар самотеком
(в количестве Qc) и применение насоса вызывается необ-
ходимостью получения расхода QH3 > Qe (рис. XIV-7).
Если движение в трубопроводе установки является
ламинарным, характеристику трубопровода выражают
14 Д. А. Бутаев и др.	417
формулой S hn = sQ, в которой сопротивление трубо-
провода s:
_ 128vL
S jrgd4 *
В длинных трубах, где преобладают потери на трение
по длине, в первом приближении s = const и характери-
стика является прямолинейной.
6.	Подачу центробежного (лопастного) насоса можно
регулировать методом дросселирования, устанавливая
в трубопроводе дроссель с изменяемым сопротивлением
Рис. XIV-9
Рис. XIV-10
(задвижка, вентиль, кран и др.). При изменении открытия
дросселя изменяется характеристика установки (крутизна
параболы потерь) и рабочая точка перемещается по
заданной характеристике насоса (рис. XIV-9). Этот способ
регулирования подачи связан с дополнительными поте-
рями энергии в дросселе и поэтому неэкономичен.
Регулирование подачи лопастных насосов можно также
осуществлять изменением частоты вращения.. При этом
изменяется характеристика насоса, и рабочая точка пере-
мещается по заданной неизменной характеристике уста-
новки (рис. XIV-10).
На рис. XIV-И дана схема решения часто встреча-
ющегося в задачах вопроса об определении новой частрты
вращения центробежного насоса при требуемом измене-
нии его подачи.
Заданы характеристика насоса тзри п об/мин и харак-
теристика установки. Точка А их пересечения является
рабочей точкой системы; QH и Нн — подача и напор
насоса.
418
Требуется определить новую частоту вращения на-
соса пх, при которой подача увеличится (или уменьшится)
на т %.
По заданному изменению подачи (на ±т%) находим
на характеристике установки при Qi =	± Qu
новую рабочую точку системы /.
Через эту точку должна пройти характеристика насоса
при искомой частоте вращения пх. Чтобы определить пх,
проводим предварительно через точку I параболу подоб-
ных режимов и находим точку пересечения II этой кривой
с заданной характеристикой
насоса.
Применяя к точкам I и II
подобных режимов формулы пе-
ресчета (XIV-12) или (XIV-13),
получаем
Qi	1/77Г
пх = п или пх = п |/ -г~.
х Qu х г Нц
Подачу лопастных насосов
можно также регулировать
перепуском жидкости из напор-
ной линии во всасывающую
(или в приемный резервуар) через обводную трубу с ре-
гулируемым дросселем (решение таких задач см. ниже).
7.	При решении задачи о работе насоса на сложный
трубопровод следует различать две типовые схемы: тру-
бопровод с параллельными ветвями и с концевой раздачей
(см. гл. X).
В первом случае задача решается так же, как и при
работе на простой трубопровод, с помощью суммарной
характеристики сложного трубопровода, включающей со-
противление его разветвленного участка.
В качестве примера второй схемы на рис. XIV-12
рассмотрена задача определения режима работы центро-
бежного насоса на два напорных резервуара с разными
уровнями (гидростатическими напорами) жидкости. В за-
висимости от соотношений элементов установки насос
может перекачивать жидкость из приемного резервуара А
в оба резервуара С и D или может питать вместе с верхним
резервуаром D нижний резервуар С.
Решение задачи основано на определении пьезометри-
ческого уровня в узле В, при котором выполняется усло-
419
вие баланса расходов в трубах, примыкающих к узлу
(см. аналогичное решение задачи о трех резервуарах
в гл. X). Прежде всего следует построить график зави-
симости пьезометрического уровня в узле от подачи на-
соса, вычитая из ординат напорной характеристики на-
соса потери напора в трубе АВ (кривая Нв), Точка пере-
сечения этой кривой с характеристикой трубы ВС, по-
строенной от пьезометрического уровня в резервуаре С,
определяет направление движения в трубе BD, ведущей
в верхний резервуар. Если эта точка расположена выше
уровня в резервуаре D, насос питает оба напорных резер-
вуара. В этом случае строится кривая зависимости сум-
марного расхода в трубах ВС й BD от пьезометрического
уровня в узле В; точка ее пересечения с кривой Нв опре-
деляет пьезометрический уровень в узле В, расходы в тру-
бах и режим работы насоса (рабочую точку системы).
Если точка пересечения кривых Нв и ВС расположена
ниже уровня в резервуаре D, последний питает совместно
с насосом резервуар С. В этом случае (пунктирные кривые
на рис. XIV-12) строится кривая зависимости суммарного
расхода в трубах АВ и DB от пьезометрического уровня
в узле В (путем суммирования кривых Нв и DB по рас-
ходам); точка пересечения этой кривой с характеристикой
трубы ВС является рабочей точкой системы.
На рис. XIV-13 дано решение задачи о работе центро-
бежного насоса в установке, снабженной обводной трубой,
по которой для регулирования подачи насоса жидкость
перепускается из напорной линии во всасывающую.
420
8.	При параллельной или последовательной работе
нескольких насосов для определения режима работы
системы следует предварительно построить суммарную
характеристику насосов, а затем найти рабочую точку
системы обычным способом, т. е. пересечением характе-
ристики насосов с характеристикой установки.
Для построения суммарной характеристики насосов
в случае параллельного их соединения необходимо сло-
жить характеристики насосов по абсциссам (расходам),
Рис. XIV-14
а при последовательном соединении — по ординатам (на-
порам).
На рис. XIV-14 показана схема параллельной работы
центробежных насосов на простой трубопровод и дано
графическое решение этой задачи, а на рис. XIV-15 рас-
сматривается последовательная работа насосов на простой
трубопровод.
14 1550	421
Рис. XIV-lo
9.	Особенности работы на сеть насосов объемного
типа определяются свойствами их рабочих характеристик.
Для объемных насосов (поршневых, роторных и др.)
подачу можно в первом приближении принимать не за-
висящей от развиваемого насосом напора Нн и пропорцио-
нальной частоте вращения насоса. Подача поршневого
насоса, например, определяется по формуле
& = -^Г-По,	(XIV-15)
где F и S — площадь и ход поршня;
п — число двойных ходов поршня в минуту (ча-
стота вращения коленчатого вала);'
z — число рабочих камер (цилиндров) насоса;
т]0—,коэффициент подачи насоса.
В более общем виде подача объемных насосов различ-
ного типа выражается формулой
=	(XIV-16)
где W — рабочий объем насоса (геометрическая произ-
водительность его за один оборот вала), завися-
щий от типа и размеров насоса.
При указанном приближении линии напора Нн =
== f на характеристиках объемных насосов можно
422
показать в виде вертикальных прямых QH = const, каждая
из которых соответствует определенной частоте вращения
насоса (рис. XIV-16). В действительности подача любого
объемного насоса при данной частоте вращения несколько
уменьшается с ростом напора насоса.
Определение режима работы объемного насоса в гидро-
системе производится так же, как и для лопастного насоса,
путем построения на одном графике в координатах Q—Н
характеристик насоса и гидросисте
их пересечения (рабочая точка
системы).
Поскольку подача объемных
насосов почти не зависит от на-
пора, способ регулирования по-
дачи дросселированием к объем-
ным насосам неприменим (пол-
ное закрытие дросселя на вы-
ходе из объемного насоса мо-
жет повлечь за собой аварию,
если не предусмотреть специ-
альных предохранительных уст-
ройств).
Регулирование подачи в гидросистемах и установках
с объемными насосами может осуществляться изменением
частоты вращения насоса (рис. XIV-16) или применением
специальных насосов переменной производительности,
в которых на ходу изменяется рабочий объем насоса W.
Однако в большинстве случаев регулирование подачи
в гидросистемах с объемными насосами производится
менее экономичным, но наиболее простым способом пере-
пуска жидкости со стороны нагнетания на сторону вса-
сывания. Для этой цели применяются различные регули-
руемые дроссели и переливные клапаны, а также автоматы
разгрузки и другие специальные устройства.
На рис. XIV-17 показана схема насосной установки
с объемным насосом и перепускной трубой, снабженной
регулируемым дросселем.
Для определения режима работы насоса при заданном
давлении р0 в напорном баке и некотором открытии дрос-
селя можно воспользоваться графическим построением,
приведенным на рис. XIV-13. При решении аналогичной
задачи с лопастным насосом перепускная труба рассма-
тривалась как ответвление трубопровода, на который
работает насос с заданной характеристикой.
423
В ряде случаев более удобным является другой способ
решения этой задачи, при котором перепускная труба
рассматривается как дополнительный элемент самого на-
соса, изменяющий его рабочую характеристику. Нанеся
на общий график в координатах Q—Н характеристику
насоса и характеристику перепускной трубы, следует
из первой вычесть вторую по расходам. Для этого нужно
при различных значениях напора насоса вычитать из его
подачи расходы в перепускной трубе (поскольку распола-
гаемый напор перепускной трубы равен напору насоса).
Полученная в результате кривая АВ представляет
характеристику насоса вместе с перепускной трубой.
Пересечение этой кривой с характеристикой гидросистемы
(кривая LD) определяет рабочую точку системы (точка В),
т. е. расходы Q в напорный бак и q в перепускной трубе,
а также подачу Qw и напор насоса Нн (рабочая точка
насоса С).
При любом другом открытии дросселя изменяется
его характеристика, а следовательно, и характеристика
насоса вместе с перепускной трубой; при этом рабочая
точка системы смещается.
На рис. XIV-18 схематически показана установка
с объемным насосом и переливным — предохранительным
клапаном, пружина которого отрегулирована на заданное
давление Нра£Ч, определяющее момент его открытия.
424
На графике показано определение режимов работы насоса,
т. е. нахождение рабочих точек, при трех различных
давлениях в напорном баке.
Для определения режимов работы насоса следует,
как и в предыдущей схеме, из характеристики насоса
вычесть характеристику переливного клапана, т. е. полу-
чить суммарную характеристику насоса вместе с клапаном
(линия АВС). Точки пересечения этой кривой с харак-
теристиками гидросистемы а
в трех указанных случаях Л
определяют рабочие точки
насоса /, II, III.
Каквиднона рис. XIV-18,
при напорах насоса Нн <С
< Нрасч (случай 3) вся по-
дача насоса идет в напор-
ный бак; при Нн > Нрасч
(случаи 1 и 2) часть подачи
насоса возвращается на сто-
рону всасывания.
Применяя разобранные здесь способы решения задач
о работе объемных насосов на сеть, следует иметь в виду,
что опытные характеристики объемных насосов обычно
даются в виде зависимостей подачи насоса QH и его к. п. д.
т]„ от давления насоса рн (рис. XIV-19).
425
Давление насоса представляет энергию, сообщаемую
насосом единице объема перекачиваемой жидкости, и
связано с напором насоса соотношением
ря = PgHH.	(XIV-17)
Практически величина рн равна повышению давления
жидкости от всасывающего до нагнетательного патрубков
насоса.
Мощность насоса выражается формулой
Nh = QhPh-	(XIV-18)
Задачи
Задача XIV-1. Центробежный насос, расположенный
на уровне с отметкой VB — 4 м, перекачивает воду из
открытого резервуара с уровнем, VX = 2 м в резервуар
с уровнем VC — 14 м и избыточным давлением на поверх-
ности р = 120 кПа.	Расходомер
К задаче XIV-1	К задаче XIV-2
Определить подачу, напор и мощность насоса, если
манометр, установленный на выходе из насоса, показы-
вает М = 250 кПа. Всасывающий и нагнетательный тру-
бопроводы имеют длины /1 = 6ми/2 = 60ми диаметры
d1 = 100 мм и d2 = 80 мм.
При расчетах принять коэффициенты сопротивления
трения трубопроводов равными = 0,025 и = 0,028.
Коэффициент сопротивления всасывающей коробки с об-
ратным клапаном = 7 и частично закрытой задвижки
£3 = 8. Сопротивление отводов не учитывать.
Построить пьезометрическую линию для системы.
Ответ. = 7,35 л/с; Нн = 27,7 м; NH = 2 кВт.
426
Задача XIV-2. При испытании центробежного насоса,
всасывающий патрубок которого имеет диаметр =
= 80 мм и нагнетательный патрубок d2 = 60 мм, полу-
чены данные:
Показание манометра на выходе из насоса ... р2 == 125 кПа
Показание вакуумметра на входе в насос .... р± = 30 кПа
Вертикальное расстояние между входным и выход-
ным сечениями насоса......................... h	= 8 см
Превышение манометра над выходным сечением
насоса ...................................... а	— 12 см
Подача насоса ...............................QH	= 10 л/с
Вращающий момент на валу насоса ...........М = 10 Н-м
Частота вращения насоса...................... п	= 2000 об/мин
Определить напор насоса, потребляемую им мощность
двигателя и к. п. д. насоса.
Ответ. Нн = 16,5 м; Nde~ 2,1 кВт; ц = 77,5%.
Задача XIV-3. Центро-
бежный насос подает
в конденсатор паровой
турбины морского судна
охлаждающую забортную
воду (вязкость — v — 1
сСт, р = 1025 кг/м3) в ко-
личестве 1800 м3/ч.
Оп редел ить мощность
двигателя, потребляемую
насосом при следующих
данных:
1) общая длина трубо-
провода, выполненного из
d = 500 мм;
з	з
К задаче XIV-3
меди, Z = 20 м, его диаметр
2) значения коэффициентов местных сопротивлений
(отнесены к скорости в трубопроводе):
Донный клапан с приемной решеткой ............... £1	= 3
Задвижка.................•	. . -................. £2	= 0,3
Отвод под углом 90°.............................. £3	= 0,3
Отвод под углом 180°............................. £4	= 0,5
Забортный клапан.............................. '	£5 = 7
Конденсатор....................................... £	= 8
3) коэффициент полезного действия насоса ц == 0,8.
Забортный клапан 5 расположен выше ватерлинии на
Л = 1 м.
427
Как изменится Nde, если при осадке судна и той же
подаче насоса забортный клапан окажется ниже ватер-
линии?
Трубопровод считать гидравлически гладким.
Ответ. Мдв~ 50,2 и 44,1 кВт.
Задача XIV-4. Центробежный насос откачивает грун-
товую воду из колодца в количестве Q = 40 л/с. При этом
горизонт воды в колодце
устанавливается ниже оси
насоса на hr = 5 м.
Определить:
1) диаметр бЦ всасываю-
щей трубы насоса, длина* ко-
К задаче XIV-5
К задаче XIV-4
торой равна /х = 8 м, так, чтобы вакуумметрическая
высота при входе в насос не превосходила 7 м;
2) потребляемую насосом мощность при полностью
открытой задвижке на нагнетательной трубе, имеющей
длину /2 “ 5 м и диаметр d2 = 150 мм, если ее выходное
сечение расположено на Л2 = 0,6 м выше оси насоса;
к. п. д. насоса ц = 0,7.
При расчете принять коэффициент сопротивления
трения трубопроводов X = 0,03, коэффициент сопротив-
ления каждого отвода £0 = 0,4, коэффициент сопротив-
ления всасывающей коробки с обратным клапаном = 5.
Ответ, di = 150 мм; Nge = 4,55 кВт.
Задача XIV-5. Погружной насос, потребляющий мощ-
ность Nde = 37 кВт при к. п. д. г) = 80%, откачивает
воду из шахты по трубопроводу диаметром d = 150 мм
и длиной I = 120 м, поднимая ее на высоту Н = 100 м-
423
Определить подачу насоса, принимая коэффициент
сопротивления трения трубопровода равным К = 0,03
и суммарный коэффициент местных сопротивлений £ = 12.
Ответ. QH = 28,6 л/с.
Задача XIV-6. В экспериментальной установке вода
перекачивается насосом 1 из бака Л, где поддерживается
постоянный вакуум Vk = 78 кПа, в расположенный
ниже открытый резервуар В по трубопроводу общей дли-
ной I — 10 м и диаметром d — 50 мм.
Из резервуара В вода возвращается
в бак А насосом 2 по такому же
К задаче XIV-6
Определить, какие напоры должны создавать насосы,
чтобы в системе циркулировал расход Q = 6 л/с, если раз-
ность уровней воды h = 5 м.
Коэффициент сопротивления трения X = 0,03, суммар-
ный коэффициент местных сопротивлений в каждом из
трубопроводов £ = 6,5.
При каком вакууме КА в баке насосы должны будут
создавать одинаковые напоры?
Ответ. Нн1 ~ 9 м и Нн2 ~ 3 м; Уд = 49 кПа.
Задача XIV-7. Насос создает циркуляцию воды в замк-
нутой системе, состоящей из радиатора с коэффициентом
сопротивления £ = 20 и трех участков трубопровода диа-
метрами d = 40 мм и общей длиной 41 = 40 м (коэффициент
сопротивления трения X = 0,02). В сечении А к трубопро-
воду присоединен компенсационный бачок с высотой
уровня Н ~ 6 м над осью насоса. Подача насоса QH =
- 3,76 л/с.
1.	Определить напор и мощность насоса.
429
2.	Построить пьезометрическую линию для системы
и определить избыточное давление рвс перед входом в насрс.
3.	Определить наименьшую допустимую высоту Н,
при которой в системе еще не будет вакуума.
Ответ. 1) Нн = 18,3 м; = 0,675 кВт; 2) рвс-= 13, 9 кПа;
3) Ннаим = 4,58 м.
Задача XIV-8. Замкнутая циркуляционная система
состоит из насоса, котла, избыточное давление в котором
Мк = 0,11 МПа, и шести одинаковых участков трубо-
провода диаметрами d = 50 мм и длинами I = 12,5 м.
При работе насоса уровень
воды в пьезометре, установлен-
ном на середине правого вер-
тикального участка системы,
располагается на высоте h =
= 5 м над уровнем воды в котле.
Указать направление цир-
куляции воды в системе.
Определить подачу, напор
и мощность насоса, пренебре-
гая местными потерями и при-
нимая коэффициент сопротив-
ления . трения X = 0,025.
Определить избыточные давления при входе и выходе
из насоса.
Построить пьезометрическую линию для системы (верх-
ние трубы расположены на глубине а = 1,5 м под уровнем
воды в котле).
Ответ. QH = 7 л/с; Я«= 25 м; NH «== 1,72 кВт; рвс— 0,125 МПа;
рн = 0,37 МПа.
Задача XIV-9. При перекачке нефтепродуктов (плот-
ность р = 900 кг/м3 и динамическая вязкость р =
= 0,49 П) в количестве QM = 56 л/с на расстояние I =
= 16 км при высоте подъема Нст = 30 м можно ис-
пользовать трубы диаметром d = 150 мм или d = 200 мм,
те и другие для давлений, не превышающих р = 6,5-4-
ч-7,0 МПа.
Определить в обоих случаях необходимую для пере-
качки мощность насосов и число последовательно работа-
ющих одинаковых насосов.
Трубопровод считать гидравлически гладким, местные
потери не учитывать.
Ответ. NH = 900 кВт, три насоса; = 238 кВт, один насос.
430
Задача XIV-10. Поршневой насос перекачивает нефть
в количестве QH = 0,2 м3/с из резервуара А в резервуар В
по стальному сварному трубопроводу (шероховатость
А — 0,2 мм) общей длиной / = 8 км и диаметром d =
= 400 мм:
1)	определить напор и мощность насоса при заданных
отметках уровней, учитывая только потери на трение по
длине трубопровода. Кинематическая вязкость нефти
v = 0,8 Ст, ее плотность р = 840 кг/м3;
2)	найти избыточное давление в сечении К, располо-
женном на отметке +20 м, если длина трубопровода до
этого сечения /х = 4 км;
3)	до какой величины можно уменьшить подачу на-
соса, чтобы вакуум в точке К не превосходил 40 кПа?
Каков будет при этом напор насоса?
Ответ. 1) Нн = 76,3 м; NH = 126 кВт; 2) рк = 108 кПа; 3) QH =
= 146 л/с; Нн == 40 м.
К задаче XIV-11
Задача XIV-11. Насосная станция перекачивает воду
в количестве QH — 0,6 м3/с по горизонтальному трубо-
проводу длиной I = 5 км и диаметром d = 500 мм из
бассейна А в резервуар В.
Определить мощность насоса, установленного на стан-
ции, учитывая в трубопроводе только потери трения по
длине (% = 0,015).
Указать, где и какой мощности надо установить стан-
цию подкачки, чтобы по тому же трубопроводу увели-
чить подачу до 0,9 м3/с, обеспечивая по всей длине трубопро-
вода пьезометрический напор не менее 5 м. Считать, что при
431
таком увеличении расхода напор насосной станции в со-
ответствии с характеристикой насоса уменьшится на 15%.
В обоих случаях построить пьезометрические линии
для системы.
Ответ. NH = 537 кВт; на расстоянии 2,1 км от насосной станции;
мощность насоса на станции подкачки Nн = 900 кВт.
Задача XIV-12. Из пункта А в пункт В необходимо
перекачивать воду в количестве Q = 250 м3/ч по сталь-
ному трубопроводу диаметром d = 150 мм и длиной / =
= 14 км (шероховатость Д = 0,2 мм); профиль трассы
показан на рисунке.
Определить, сколько насосных станций необходимо
установить и в каких пуйктах трассы они должны быть
расположены, чтобы избыточное давление в трубах нигде
не превышало 5 МПа.
К решению задачи XIV-12
К задаче XIV-13
Указание. Число насосных станций определяется делением потреб-
ного суммарного напора насосов Нн на предельный по заданию на-
пор одной станции.
Места расположения станций определяются графически при по-
мощи построения, показанного на схеме.
Задача XIV-13. Определить мощность шестеренного
насоса, используемого в объемной гидропередаче для
перемещения поршня гидроцилиндра, если внешняя на-
432
грузка поршня при рабочем ходе (справа налево) Р =
= 5000 Н, скорость рабочего хода v =0,15 м/с, диаметр
поршня Dy = 50 мм, диаметр штока D2 = 20 мм.
Рабочая жидкость в системе — спирто-глицериновая
смесь с плотностью р = 1235 кг/м3 и кинематической
вязкостью v = 1,2 Ст.
Общая длина трубопроводов системы 7=11 м, диа-
метр d = 10 мм.
Местные потери в обратном клапане, кране управле-
ния и фильтре выражаются через относительные эквива-
лентные длины труб, равные соответственно IJd = 50,
40, 60.
Какова мощность насоса при обратном ходе поршня,
если преодолеваемое при этом усилие равно41000 Н.
Указание. Напор насоса в данной установке равен сумме перепада
пьезометрических напоров по обе стороны поршня и потерь напора
в трубопроводах:
4Р
л (D1— Оз)р£ +
К задаче XIV-14
Задача XIV-14. Центробежный насос с заданной при
п = 1600 об/мин характеристикой перекачивает воду
из резервуара с отметкой V5 м в резервуар с отметкой
V16 м по трубопроводам = 10 м, d± = 100 мм (2 Ci =
= 2, %! = 0,025) и /2 = 30 м, d2 = 75 мм (2	= 12;
Х2 = 0,027).
Определить:
1) подачу QH, напор Нн насоса и потребляемую им
мощность Nde при п = 1600 об/мин;
433
2) частоту вращения пт насоса, необходимую для
увеличения его подачи на 50%.
Ответ. = 7,3 л/с; Нн=* 14,4 м; Nge— 1,37 кВт; /11 =
= 1900 об/мин.
Задача XIV-15. Центробежный насос осуществляет
циркуляцию воды в кольцевом трубопроводе с компен-
сационным бачком, открытым в атмосферу.
1.	Определить потребляемую насосом мощность при
п = 900 об/мин (характеристика насоса задана), если
XIV-15
температура перекачиваемой воды t = 60° С (р =
= 983 кг/м3), приведенная длина трубопровода (с уче-
том местных сопротивлений) I = 200 м, его диаметр
d = 0,1 м и коэффициент сопротивления трения % =
- 0,025.
2.	Построить пьезометрическую линию для системы
и определить избыточное давление перед входом в насос,
если Но = 10 м; h = 2 м; = 100 м.
3.	Определить минимально допустимый уровень Но
в компенсационном бачке, если абсолютное давление
перед входом в насос не должно быть меньше атмосфер-
ного.
Ответ. 1) Nde == 1,47 кВт; 2) рвс = 59 кПа; 3) Но = 4 м.
Задача XIV-16. Центробежный насос с заданной ха-
рактеристикой (п = 1450 об/мин) перекачивает воду по
сифонному трубопроводу диаметром d = 50 мм и общей
длиной 31 = 75 м из резервуара А в резервуар В. Раз-
ность уровней в резервуарах Н = 8 м; верхняя точка
сифона расположена на высоте h = 5 м от уровня в верх-
нем резервуаре.
434
Определить, пренебрегая местными потерями и ско-
ростными напорами и полагая коэффициент сопротивле-
ния трения Z = 0,025:
1)	подачу, напор и к. п. д. насоса;
2)	где следует установить насос (на восходящем или
нисходящем участке сифона) и почему?
3)	какой был бы расход Qc воды по сифону без насоса?
4)	какими будут величины давления в верхней точке
сифона при отсутствии и при наличии насоса?
Ответ. 1) QH = 6 л/с; Нн = 10 м> л — 60%; 2) на восходящем
участке; 3) Qc = 4 л/с; 4) вакуум при отсутствии насоса равен 75 кПа,
при наличии насоса 10 кПа.
Задача XIV-17. При помощи центробежного насоса,
характеристика которого задана при п = 2900 об/мин,
необходимо перекачивать воду по сифонному трубопро-
воду с одинаковыми восходящей и нисходящей ветвями
каждая длиной Z = 10 м и диаметром d = 40 мм (X =
- 0,03).
Разность уровней в баках а = 2 м, верхняя точка К
сифона расположена на высоте b = 8 м.
435
Определить наименьшую частоту вращения насрса,
при которой в точке К не будет вакуума. Местными по-
терями напора в трубопроводе пренебречь.
Ответ. пнаим == 2500 об/мин.
Задача XIV-18. Центробежный насос откачивает воду
из сборного колодца
К задаче XIV-18
в резервуар с постоянным уровнем
Н = 12 м по трубопроводам =
= 8 м, = 100 мм и /2 = 16 м,
d2 = 75 мм.
Определить:
1) на какой глубине h устано-
вится уровень воды в колодце,
если приток в него Q = 8 л/с,
а частота вращения насоса п =
= 1450 об/мин?
2) наименьшую частоту вра-
щения насоса, которая обеспечит
отсутствие переполнения колодца
при том же притоке.
При расчетах принять коэф-
фициенты сопротивления трения
= 0,03 и %2 = 0,035 и суммарные коэффициенты
местных сопротивлений в трубопроводах = 6 и g2 = 10.
Характеристика насоса при п — 1450 об/мин
О.н в л/с	0	2	4	6	8	10	12	М	16
Нн в м	22,0	22,4	22,6	22,4	21,5	20,0	18,0	15,0	11,0
Г) в %	0	37	58	71	75	74	68	56	37
Ответ. 1) h= 6,1 м; 2) п = 1260 об/мин.
Задача XIV-19. Откачка грунтовой воды из колодца
производится центробежным насосом (характеристика ко-
торого задана) по Гибким шлангам общей длиной I =	+
+ /2 = 7 м и диаметром d = 100 мм. Определить время
понижения уровня в колодце на Нг — 3 м, если площадь
его поперечного сечения 6,25 м2, а выходное отверстие
напорного трубопровода расположено выше конечного
уровня в колодце на Н2 = 4 м.
436
Коэффициент сопротивления трения шлангов X =
= 0,04, суммарные коэффициенты местных сопротивлений
во всасывающем трубопроводе Ci == 6 и в нагнетательном
трубопроводе £2 = 4.
Указание. Время понижения
время откачки подаче насоса.
Ответ, t — 12,4 мин.
уровня определить по средней за
lhd
К задаче XIV-19
Задача XIV-20. Центробежный насос с заданной при
п = 900 об/мин характеристикой забирает воду из бас-
сейна с постоянным уровнем на отметке V0 и через про-
межуточный колодец подает ее в водонапорную башню
с отметкой уровня V20 м.
1. Найти частоту вращения насоса и потребляемую им
мощность, если его подача в башню = 60 л/с. Приве-
денные длины труб /0 = 10 м; = 10 м; /2 = 100 м;
диаметры d0 = 0,2 м; dr = 0,2 м; d2 = 0,15 м (% =
= 0,03 — для всех труб).
2. Определить при этом режиме работы насоса наи-
большую допустимую высоту z расположения его оси,
если вакуумметрическая высота на входе в насос не должна
превосходить 6 м.
Характеристика насоса при п = 900 об/мин
QH в л/с	0	10	20	30	40	50	60	70
Нн в м	12,5	13,25	13,5	13,25	12,5	11	9,5	7,5
Ч в %	0	45	67	77	82	82	75	60
Ответ. 1) п = 1440 об/мин; Nde— 23,4 кВт; 2) г — 5,25 м.
437
Задача XIV-21. Центробежный насос поднимает воду
на высоту Нст = 6 м по трубам 1г = 20 м, d1 = 0,2 м
(%х = 0,02) и /2 = 100 м, d2 = 0,15 м (Х2 = 0,025).
1. Определить подачу QH насоса при п = 900 об/мин.
2. Сравнить величины потребляемой насосом мощности
при уменьшении его подачи на 25% дросселированием
задвижкой или изменением частоты вращения.
Местные сопротивления учтены эквивалентными дли-
нами, включенными в заданные длины труб.
Ответ. 1) QH = 47 л/с;
2) Мдв — 5,6 и 3,9 цВт.
К задаче XIV-20
Задача XJV-22. Определить подачу Qw и мощность
Nde, потребляемую центробежным пожарным насосом при
п = 3000 об/мин, если насос подает воду по шлангам =
= 6 м, d± = 100 мм (Хх = 0,025;	= 4) и /2 = 40 м,
d2 = 90 мм (Х2 = 0,035; £2 = 10) через сходящийся на-
садок d = 40 мм (£ = 0,08, 8 = 1) на высоту Нст = 16 м.
Характеристика насоса при п = 3000 об/мин
Qh в л/с	0	5	10	15	20	25	30	35
Нн в м	140	140	136	L30	121	НО	98	83
Т] в %	0	34	55	68	75	77	73	65
Ответ. QH= 32,2 л/с; Nge= 40,6 кВт.
438
Задача XIV-23. К соплу диаметром d2 = 175 мм
центробежным вентилятором подается воздух через про-
межуточную камеру большого объема и трубу длиной
I = 2 м и диаметром dr = 200 мм.
Коэффициент сопротивления трения трубы X = 0,02,
коэффициент сопротивления сопла t>c = 0,06; сжатие
на выходе из сопла отсутствует.
К задаче XIV-22
Определить избыточное давление ри в камере и подачу
вентилятора, если его характеристика, связывающая
подачу Q в м3/ч со статическим напором в камере Нст,
задана:
Q в м3/ч	0	500	1000	1500	2000	2500
Нст В М	50	47	42	35	26	18
Сжимаемостью воздуха пренебречь, принимая его
плотность равной р = 1,2 кг/м3.
Ответ. ри = 358 Па; Q = 0,485 м3/с.
Задача XIV-24. В насосной установке вода подается
на высоту Нст — 15 м центробежным насосом с заданной
характеристикой при высоте всасывания hec = 4 м.
Нагнетательная и всасывающая трубы имеют диаметры
dH = 80 мм и dec = 100 мм.
Суммарный коэффициент сопротивления нагнетатель-
ной трубы (без учета задвижки на выходе из насоса)
£w = 22 и всасывающей трубы = 6.
439
Определить наибольшую подачу насоса, допустимую
по условиям всасывания им жидкости.
При каком наименьшем значении коэффициента сопро-
тивления задвижки будет достигнута эта подача?
Какую мощность будет потреблять насос на этом пре-
дельном режиме?
Указание. На характеристике приведена кривая Ндв^ допустимой
вакуумметрической высоты всасывания, при которой обеспечивается
отсутствие кавитации в насосе. Точка пересечения этой кривой с кривой,
выражающей вакуумметрическую высоту V перед насосом в данной
установке при различных Qw, определяет искомую наибольшую подачу.
Зависимость V = f (QH) определяется выражением:
и2
V = hec ~г hn.ec +	>
сумма потерь напора во всасывающей трубе.
V<ec
где hnt вс = Свс
Ответ. QH— 16 л/с; 4,6; Nde~ 6,85 кВт.
Задача XIV-25. Два последовательно соединенных
одинаковых центробежных насоса перекачивают воду
при пх = п2 = 1000 об/мин из водохранилища А с от-
меткой уровня V0 в бассейн В с отметкой уровня V20 м
по трубопроводу, состоящему из двух, одинаковых уча-
стков длиной I = 1 км и диаметром d = 250 мм каждый
(К = 0,02).
Пренебрегая местными потерями напора, определить
подачу насосов и потребляемую каждым из них мощность
двигателя.
440
Определить, как необходимо изменить частоту враще-
ния одного из насосов, чтобы увеличить расход в трубо-
проводе на 25%?
Ответ. Q = 128 л/с; N= 57 кВт. Увеличить частоту вращения
до п' ~ 1390 об/мин.
К задаче XIV-25
Задача XIV-26. Поршневой насос перекачивает воду
из резервуара А в резервуары В и С. Отметки уровней
в резервуарах соответственно равны +2 м; +6 м; —4 м
(отметка оси насоса принята за нуль). Подача в верхний
резервуар равна QB = 2 л/с.
Трубопровод состоит из четырех участков труб оди-
накового диаметра d = 50 мм и одинаковой длины I — 50 м.
На трубе, идущей к нижнему резервуару, установлен
кран, прикрытый настолько, что его коэффициент сопро-
тивления £ = 120.
Определить подачу QHi напор Нн и мощность NH на-
соса, пренебрегая всеми местными сопротивлениями за
исключением сопротивления крана и принимая коэф-
фициент сопротивления трения в трубах X = 0,03.
Построить пьезометрическую линию для системы.
При каких значениях коэффициента сопротивления £
крана подача в верхней резервуар будет равна: 1) нулю;
2) подаче в нижний резервуар, т. е. половине всей подачи
насоса; 3) полной подаче насоса.
Каковы в этих случаях пьезометрические линии си-
стемы?
Ответ. 4,42 л/с; Нн = 21,2 м; NH = 0,92 кВт; %	8,8;
V = 154; £>"' оо.
К задаче XIV-26
Задача XIV-27. Из резервуара А необходимо пода-
вать при помощи центробежного насоса в резервуары В
и С, уровни в которых расположены на высотах hB =
= 20 м и hc = 25 м, одинаковые количества воды Q = 4 л/с.
Трубопровод АК (до узла К) имеет приведенную
длину /j = 100 м и диаметр = 75 мм; трубы КС и КВ
одинаковы: /2 == /3 = 50
К задаче XIV-27
м и d2 = d3 = 50 мм. Коэф-
фициент сопротивления трения
во всех трубах X = 0,025.
К задаче X1V-28
Определить:
1. Какое дополнительное сопротивление £ необходимо
ввести в трубу КВ (путем прикрытия задвижки), чтобы
обеспечить требуемое равенство расходов?
2. Какой будет при этом мощность насоса?
Ответ. £ а 23,6; NH == 2,8 кВт.
Задача XIV-28. Шестеренный насос подает масло
(плотность р = 900 кг/м3; кинематическая вязкость
v = 0,76 Ст) в количестве QH = 0,8 л/с из маслосборника
в пункты А и В.
442
Давление воздуха над свободной поверхностью масла
и на выходе из труб — атмосферное.
Длины и диаметр маслопроводных труб, выполненных
из латуни:
I = 1 м; 1А = 1,5 м; 1В = 2,4 м; d = 10 мм.
Вертикальные расстояния пунктов Л, В и узла Д'
от свободной поверхности zA = 0,2 м;. zB = 1,3 м; zK ~
= 0,4 м.
Определить, пренебрегая местными потерями и ско-
ростными напорами:
1)	подачу масла в каждый из пунктов А и В;
2)	мощность насоса;
3)	давление в узле Д’.
Ответ. 1) QA — 0,48 л/с; QB = 0,32 л/с; 2) N~ 0,34 кВт; 3)	=
= 206 кПа (избыточное).
Задача X1V-29. Центробежный насос перекачивает
воду по трубопроводу (I = 5 м, = 75 мм), который
в узле А разветвляется на две линии диаметром d = 50 мм
и длиной 2/ каждая.
Расход в правой ветви
Q = 10 л/с; h = 1 м и z = 4 м.
Определить мощность на-
соса А/н, принимая коэффи-
циент сопротивления трения
в трубах X — 0,03, суммар-
ный коэффициент местных
сопротивлений всасывающей
линии Zee = 4 и пренебрегая
местными потерями в линиях
нагнетания.
Указать сечение трубопровода, в котором имеет место
наименьшее давление.
Ответ. NH = 3,2 кВт.
Задача XIV-30. Узлы А и В трубопровода соединены
двумя одинаковыми трубами 1 и 2 длиной I = 20 м и диа-
метром d = 50 мм каждая.
В трубу 1 включен центробежный насос, характери-
стика которого при п = 800 об/мин задана.
Определить:
1. Расходы в трубах 1 и 2 и напор насоса при суммар-
ном расходе, подводимом к узлу Л, равном Q = 12 л/с.
443
К задаче XIV-29
Как изменятся эти величины при уменьшении расхода
до Q = 3 л/с?
2. Частоту вращения насоса, при которой весь сум-
марный расход Q = 12 л/с будет поступать в трубу 1
и расход в трубе 2 будет равен нулю.
В трубах между узлами
А и В учитывать только
потери трения по длине
(Л = 0,03).
К задаче XIV-30
К задаче XIV-31
Указание. В уравнении характеристики ветви 1 hi = f (Qi) пере-
пад пьезометрических уровней hi между узлами
“ Ьщ — Н„
где hnl — потеря напора в трубе 1 и Нн — напор насоса.
Ответ. 1) При Q = 12 л/с: Qi = 7,4 и Q2 = 4,6 л/с; Нн = 5,4 м.
При Q = 3 л/с: Qi — 5,9 и Q2 = 2,9 л/с (движение от узла В к Д);
Нн «= 7 м; 2) п == 1500 об/мин.
Задача XIV-31. Роторный насос, подача которого
QH = 1 л/с, нагнетает масло в верхний бак из двух баков
с одинаковыми уровнями. Вса-
сывающие трубы имеют равные
диаметры = d2 = 20 мм и рав-
ные приведенные длины Zx =
= Z2 = 4 м. Диаметр и приве-
денная длина нагнетательной тру-
бы d3 = 20 мм и /3 = 6 м.
Определить напор насоса Нн
и мощность двигателя Nde при
высоте подъема Нст =5 м, если
кинематическая вязкость масла
v = 0,5 Ст, его плотность р =
= 900 кг/м3 и к. п. д. насоса т]=0,7.
Как изменится напор насоса, если уровень в левом
баке будет ниже, чем в правом, на г = 2 м?
Указание. При разнице z уровней в баках потери напора в левой
и правой всасывающих трубах связаны уравнением hni + z = Лл2;
444
решая его совместно с уравнением Qi + Q2 ~ Qh, находим расходы Qi
и Q2 во всасывающих трубах. Для установления зависимости потерь
напора от расхода, предварительно следует определить режим дви-
жения в трубах.
Ответ. Нн = 15,4 м и Nдв — 0,194 кВт; Нн = 16,4 м.
Задача XIV-32. Центробежный насос всасывает воду
из двух баков, разность уровней в которых равна а — 1 м,
и нагнетает ее в количестве QH — 10 л/с в бак с уровнем
на высоте b = 5 м по указанным на схеме трубопроводам
(1 = 5 м, dr = 50 мм, d2 = 75 мм).
К задаче XIV-33
Определить напор насоса Нн, принимая коэффициент
сопротивления трения во всех трубопроводах равным X
= 0,03 и пренебрегая местными потерями напора.
Ответ. Нн = 9,2 м.
Задача XIV-33. Шестеренный насос подает спирто-
глицериновую смесь (v = 1 Ст; р = 1245 кг/м3) в гидро-
цилиндр (диаметры поршня и штока Dr = 200 мм и D2 =
= 50 мм), нагруженный внешним усилием Р = 2000 Н;
при этом часть подачи насоса возвращается в приемный
бак по сбросной трубе /2, минуя гидроцилиндр.
Определить:
1.	Скорость перемещения поршня гидроцилиндра vn
и напор насоса Нн, если его подача QH = 6 л/с, диаметры
всех труб d = 50 мм, а их приведенные длины равны:
= 10 м; /2 = 70 м; /3 = 5 м и 14 = 10 м.
2.	Как изменятся vn и Нн, если сбросная труба будет
выключена?
3.	При какой наименьшей приведенной длине сбросной
трубы 12наим, отвечающей наибольшему открытию дрос-
селя, перемещение поршня прекратится?
445
Указание. Насос работает на трубопровод с параллельными вет-
вями при статическом напоре установки равном нулю. Гидроцилиндр
следует рассматривать как сопротивление, падение напора в котором
не зависит от расхода и равно (из условия равномерного движения
поршня)

Пользуясь характеристиками параллельных ветвей, можно опре-
делить высоту пьезометрического уровня Ид в узле при подаче насоса QH
(см. график к решению задачи).
При выключении сбросной
трубы пьезометрический уровень
узле А повышается до НА.
X арактеристики
тевой ветви правой, ветви
в
К решению задачи XIV-33
и
К задаче X1V-34
Поршень под нагрузкой не будет перемещаться в том случае,
когда характеристика сбросной трубы расположится, как указано
на графике пунктиром.
Ответ. 1) ип = 0,14 м/с; Нн = 13,5 м; 2) vn = 0,2 м/с; Нн =
== 15,5 м; 3)	14 м.
Задача XIV-34. Центробежный насос, работая при
п = 1450 об/мин, подает воду из бака А в баки С и D.
Расстояния между уровнями в баках равны Н± = 25 м
и Я2 = 15 м.
Система трубопроводов состоит из трубы АВ диаме-
тром d1 = 100 мм с установленной на ней задвижкой и
двух одинаковых ветвей ВС и BD диаметрами d2 = 60 мм
с установленными на них вентилями.
Характеристика насоса и характеристики труб с уче-
том всех местных сопротивлений при полностью открытых
запорных устройствах (£3 —- 0 и t,G = 4) даны ниже.
Определить:
1.	Подачу воды в баки С и D и мощность, потребляе-
мую насосом при полностью открытых вентилях и за-
движке.
446
2.	Каким должен быть коэффициент сопротивления
вентиля на трубе BD, чтобы подача в оба бака стала оди-
наковой; какой будет при этом подача насоса?
3.	При какой частоте вращения насоса (в случае пол-
ностью открытых вентилей и задвижки) подача в бак С
прекратится?
Характеристика насоса при п = 1450 об/мин
QH в л/м
Нн в м
т] в %
Характеристики труб АВ, ВС и BD
Q в л/с	5	10	15	20	25
На в в м	0,25	1	2,25	4	6,25
h вс	hBD в м	1,25	5	11,25	20	31,25
Ответ. 1)	4,6 л/с; QD = 18 л/с; Nдв = 13,5 кВт; 2)	=
•= 27,6; QH = 19,2 л/с; 3) п = 1340 об/мин.
К задаче XIV-35
Задача XIV-35. Центробежный насос подает воду
из бака А по трубе I = 50 м и D = 70 мм к узлу К, от-
куда вода по трубам одинаковой длины 20 м и оди-
накового диаметра d = 50 мм поступает в баки В и С.
На трубе, идущей в бак В, имеется задвижка, коэф-
фициент сопротивления которой (при неполном открытии)
I = 30. Уровень в баке С выше уровня в баке А на hr =
= 16 м, а в баке В ниже того же уровня на h2 = 10 м.
Определить:
1.	Подачу воды в баки и потребляемую насосом мощ-
ность двигателя при п = 900 об/мин.
447
2.	Как нужно изменить частоту вращения насоса,
чтобы подача в баки стала одинаковой.
3.	При какой частоте вращения подача в бак С будет
равна нулю.
При решении задачи учитывать сопротивление за-
движки и потери на трение по длине труб (Л = 0,025).
К задаче XIV-36
Ответ. 1) Qc == 4,2 л/с; Qb = 7,3 л/с; N $в == 4 кВт; 2) п2 =
«= 1150 об/мин; 3) п3 = 710 об/мин.
Задача XIV-36. Определить теоретическую высоту
полета струи г для каждого из двух насадков диаметром
dH = 30 мм, питаемых центро-
бежным насосом (п = 1450 об/мин)
и расположенных на высотах
= 5 м и h2 = 10 м над уров^
нем всасывания.
Трубопровод насоса до узла
имеет общую длину = 25 м и
диаметр = 125 мм (коэффи-
циент сопротивления трения X =
= 0,03, суммарный коэффициент
местных сопротивлений £ = 14).
Трубопроводы, ведущие к на-
садкам, имеют диаметры d2 =
= d3 = 80 мм и длины /2 = 10 м,
/3 = 20 м (X = 0,04). Коэффициент сопротивления насад-
ков == 0,1 (сжатие на выходе отсутствует).
Определить потребляемую насосом мощность двига-
теля.
Как изменятся и г2, если верхний насадок будет
отсутствовать?
Характеристика насоса при п = 1450 об/мин:
QH в л/с	0	5	10	15	20	25	30	35	40
Нн в м	27	30	32	33	32	29	24	17	8
П в %	0	40	65	75	79	80	76	66	40
Ответ. == 17,3 м; z2 = 12,3 м; = 8,75 кВт; 2^ = 10,6 м;
г2 == 0,78 м.
Задача X1V-37. Центробежный насос перекачивает
воду из бака А по трубе 1 в промежуточный бак В, откуда
она самотеком поступает в бак С по трубе 2 и частично
448
возвращается в бак А по сбросной трубе 3. Характеристики
насоса и труб заданы (см. график).
Определить расходы в трубах и уровень г, который
установится в промежуточном баке В, если разность
уровней в баках А и С равна h = 8 м.
Как изменится уровень г при выключении сбросной
трубы?
Указание. Промежуточный бак В следует рассматривать как узел,
пьезометрический уровень г в котором определится после нахождения
расходов в трубах.
Ответ. Qi = 7,8 л/с; Q2 = 4,5 л/с; Q3 = 3,3 л/с и г = 6,2 м; г' =
= 10,8 м.
Задача XIV-38. Шестеренный бензонасос, подача ко-
торого QH = 4 л/с, снабжен обводной трубой, возвраща-
ющей часть его подачи на сторону всасывания. Статиче-
ский напор установки равен Нст = 8 м.
Диаметр основного трубопровода = 50 мм, его
приведенная длина /г = 50 м (X = 0,025). Диаметр обвод-
ной трубы d0 ~ 32 мм, ее суммарный коэффициент со-
противления (включая частично прикрытый вентиль)
£ - 33.
Определить:
1.	Подачу в верхний бак и потребляемую насосом
мощность двигателя (к. п. д. насоса т) = 70%, плотность
бензина р — 750 кг/м3).
2.	При каком наименьшем значении £ обводной трубы
подача в верхний бак прекратится.
3.	Какую мощность будет потреблять насос при вы-
ключенной обводной трубе.
449
Указание. Характеристика шестеренного насоса в координатах
Qh-hh может быть приближенно показана вертикальной прямой
QH == const.
Ответ. 1) Q == 2,1 л/с;
6=3 0,56 кВт.
Nde= 0,4 кВт; 2) £наим = 6,35; 3) Nde =
К задаче XIV-38
Задача XIV-39. Центробежный насос, подающий воду
из бака А в бак В на высоту Нст = 30 м, снабжен обвод-
ной трубой, по которой часть его подачи возвращается
на сторону всасывания.
Диаметр всасывающей и нагнетательной труб d =
= 100 мм, их общая приведенная длина L = /х + /2 =
= 250 м, коэффициент сопротивления трения X = 0,025.
Диаметр обводной трубы d0 = 50 мм, ее суммарный
коэффициент сопротивления (вместе с вентилем) £. — 25.
Определить, пользуясь характеристикой насоса при
п = 2900 об/мин:
1. Подачу в верхний бак, напор насоса и потребляемую
насосом мощность двигателя.
2. Какова будет мощность двигателя, если такую же
подачу в верхний бак осуществлять при выключенной
обводной трубе, прикрыв задвижку на линии нагнетания.
Характеристика насоса при п = 2900 об/мин
Qh	в л/с		0	8	12	16	20	24	28	32	36
Нн	в	м	52	55	54	52	49	44	38	30	19
Л	в	%	0	50	63	71	75	75	70	58	36
Ответ. 1) Q = 15 л/с; Нн~ 41,5 м; Мдв — 14,4 кВт; 2)
-» 11,1 кВт.
450
Задача X1V-40. Для откачки воды из дренажного
колодца с притоком от Q = 5 л/с до Q = 30 л/с установ-
лены центробежные насосы, напорная характеристика
каждого из которых задана. Насосы имеют общую вса-
сывающую и нагнетательную линии, кривая суммарных
потерь для которых указана на графике.
Определить:
1.	Сколько насосов должно обслуживать колодец,
работая параллельно, если предельный уровень в нем не
должен превосходить отметки +12,5 м?
2.	Каковы будут минимальный и максимальный уровни
воды в колодце при параллельной работе насосов?
3.	С каким наибольшим притоком может справиться
один насос?
Ответ. 1) Два насоса; 2) от 4,0 до 12,0 м; 3) Q = 17,5 л/с.
Задача XIV-41. Два одинаковых центробежных насоса
работают совместно на магистральный трубопровод дли-
ной L = 1000 м, диаметром D = 450 мм при различных
значениях статического напора Нст1 = 20 м и Нст2 =
= 30 м.
Трубопроводы насосов (смыкающиеся в узле Л) имеют
одинаковые длины / == 100 м и одинаковые диаметры d =
= 300 мм.
Определить:
1. Подачу, напор и мощность двигателя для каждого
из насосов при п1 = 960 об/мин.
2. Какова частота вращения верхнего насоса, при ко-
торой нижний насос (сохраняя = 960 об/мин) переста-
нет подавать воду?
В трубопроводах насосов учитывать потери на трение
по длине (А = 0,03) и местные потери (суммарный коэф-
фициент сопротивления £ = 6).
451
В магистрали учитывать только потери на трение по
длине (X = 0,025).
Характеристика насосов при п = 960 об/мин .
Qh В Л/С	0	40	80	120	140	160	180	200	220
Нн в м	40	43	43	40	37	33	28	22	15
Т| в %	0	47	70	80	81	80	75	65	50
Характеристика магистрального
К решению задачи XIV-41
К задаче XIV-41
Указание. Вычитая из напора каждого насоса потери напора
в его трубопроводе до узла А и складывая полученные кривые по рас-
ходам, строим кривую зависимости высоты пьезометрического уровня Яд
в узле от суммарной подачи обоих насосов. Точка К пересечения этой
кривой с характеристикой магистрального трубопровода определяет
уровень Яд и, следовательно, режимы работы насосов. Подача* ниж-
него насоса станет равна нулю, когда начальная точка М суммарной
кривой Яд окажется лежащей на характеристике магистрального трубо-
провода (точка N). Откладывая вверх от точки N потерю напора hn
в трубопроводе верхнего насоса (при расходе Q2, отвечающем точке N),
получаем точку Я, через которую должна проходить характеристика
верхнего насоса при новом числе оборотов пг.
Ответ. 1) Qi — 162 л/с; Hi = 32,5 м; N$в1 — 64 кВт и Q2 =
= 114 л/с; Яг = 41,6 м; = 59 кВт; 2) Пг — 1400 об/мин.
Задача XIV-42. Центробежный насос откачивает воду
из баков 1 и 2, разность уровней в которых равна h =
= 6 м, и подает ее в бак 3 на высоту НСТ — 9 м.
Всасывающие трубы имеют одинаковую приведенную
длину I — 15 м и диаметр d = 80 мм (X = 0,04), а нагне-
тательная труба имеет приведенную длину = 35 м
и диаметр dL = 100 мм (X = 0,035).
Определить расходы из баков 1 и 2 и развиваемый
насосом напор при п = 1450 об/мин.
452’
При какой частоте вращения расход из бака 1 станет
равным нулю?
Характеристика, насоса при п — 1450 об/мин
Qu в л/с
Нн в м
о
29
5
31
10
32,5
15
33
20
32
25
29
30
24
35
17
40
8
Указание. Из характеристики насоса, построенной от уровня воды
в баке 2, следует вычесть суммарную характеристику совместно ра-
ботающих всасывающих труб, которая дает зависимость пьезометри-
ческого уровня в узле А
перед насосом от суммарного
расхода в этих трубах (т. е.
от подачи насоса).
Характеристики
Всасывающих труб 1 и 2
К решению задачи XIV-42
В результате вычитания получается кривая зависимости пьезоме-
трического уровня в сечении В на выходе из насоса от его подачи.
Пересечение этой кривой с характеристикой нагнетательного трубо-
провода, построенной от уровня бака 3, определяет рабочую точку
системы. При подаче насоса, равной Qo (см. рисунок к решению задачи),
расход из бака 1 равен нулю.
Ответ. Qi = 8,1 л/с; Qz = 21,5 л/с и Нн ~ 24,8 м; п ~ 1180 об/мин.
Задача XIV-43. Насосная станция состоит из двух
одинаковых центробежных насосов, которые забирают
воду из колодца с нулевой отметкой уровня и подают по
трубопроводу длиной / = 2 км и диаметром d = 130 мм
в напорную башню с отметкой уровня +20 м.
В случае пожара станция работает на специальный
водопровод (задвижка А '— открыта, задвижка В — за-
крыта) и должна обеспечить подачу Q = 7,5 л/с при на-
поре на станции Нн = 40 м.
453
Характеристика насоса при п = 1600 об/мин
Qh В Л/С	0	2	4	6	8	10
Нн в л/с	37	39	36	29	20,5	10
Т] В %	0	50	64	67	64	50
Определить:
1.	Какое соединение насосов — параллельное или по-
следовательное — выгоднее по величине к. п. д. при ра-
боте с п = 1600 об/мин на водонапорную башню.
К задаче X1V-43
Коэффициент сопротивления трения трубопровода X =
= 0,024, местные потери напора учесть как 5% от потерь
на трение.
Потерями напора в коротких всасывающих и соедини-
тельных трубах насосов пренебречь.
2.	Сможет ли один насос при п = 1600 об/мин удо-
влетворить пожарным требованиям и если нет, то как
следует соединить насосы в этом случае?
3.	Какой должна быть частота вращения насоса,
чтобы он один удовлетворил пожарным требованиям?
Ответ. 1) Параллельное; 2) необходимо соединять насосы последо-
вательно; 3) п' = 1920 об/мин.
Задача XIV-44. Насосная станция, поднимающая воду
на высоту НСТ = 40 м, включает два насоса — поршневой
и центробежный. Поршневой насос — двойного действия;
диаметр поршня D = 194 мм; диаметр штока d = 40 мм;
ход поршня S = 250 мм; частота вращения п = 120 об/мин;
коэффициент подачи -q0 = 0,96.
454
Характеристика центробежного насоса при п =
= 1450 об/мин приведена ниже
QH в м3/ч
Нн в м
120	140	173,5	193
53,5	51,7	45	38,4
Характеристика трубопровода задана уравнением hn =
= sQ2, где сопротивление s — 2-10"4 ч2/м5.
Определить подачу и напор станции при работе одного
поршневого насоса, при работе одного центробежного
насоса и при парал-
лельной работе обоих
насосов.
Как следует увели-
чить частоту вращения
центробежного или
поршневого насоса, что-
бы достигнуть суммар-
ной подачи Q = 270м3/ч?
Указание. Следует по-
строить характеристики
поршневого (вертикаль Q ~
= const) и центробежного
насосов и суммарную ха-
рактеристику при параллель-
ной работе насосов. Точки пересечения каждой из трех построенных
характеристик с кривой потребного напора Нпотр— Нст + sQ2 опре-
деляют режимы работы насосов в рассматриваемых случаях.
Ответ. Qn.H= 97,5 м3/ч; Нп,н = 42 м; н= 171 м3/ч; //ц. н =
= 45,8 м; QnapaAA = 241 м3/ч; Нн = 51,5 м.
Центробежный насос — п' = 1540 об/мин, поршневой насос —
п 200 об/мин.
Задача XIV-45. Шестеренный . насос объемной гидро-
передачи подает масло (вязкость v ~ 0,3 Ст, относитель-
ная плотность б = 0,92) в гидроцилиндр (диаметры поршня
и штока D± = 100 мм и Z)2 — 40 мм), нагруженный уси-
лием Р = 3300 Н.
Характеристика насоса при п = const задана в виде
зависимости подачи насоса QH и его к. п. д. т] от разви-
ваемого насосом давления рн.
Нагнетательная труба, идущая от насоса к гидро-
цилиндру, имеет приведенную длину = 2 м и диаметр
d = 15 мм; сливная труба гидроцилиндра имеет размеры
455
l2 = 8 м (приведенная длина с учетом сопротивления
полностью открытого дросселя В), d = 15 мм.
Насос снабжен перепускной трубой с дросселем А
и переливным клапаном С, характеристика которого
задана в виде зависимости между расходом через кла-
пан и давлением насоса рн.
. 1. Определить скорость vn рабочего хода поршня и
потребляемую насосом мощность Nd9 при закрытом дрос-
селе А и полностью открытом дросселе В.
2. Сравнить потребляемую насосом мощность при
уменьшении скорости поршня до v'n = 0»25^,г двумя
способами — прикрытием дросселя В при полностью
закрытом дросселе А и открытием дросселя А при пол-
ностью открытом дросселе В.
Ответ. 1) ип= 9 см/с; ^дв~ 0,75 кВт; 2)	1,1 и
0,68 кВт.
Задача XIV-46. Для системы по условию задачи XIV-45,
при закрытом дросселе А и полностью открытом дросселе В
определить:
1. Нагрузку Ри при которой откроется переливной
клапан С. Какими будут при этой нагрузке скорость vnl
рабочего хода поршня и потребляемая насосом мощ-
ность Ndel?
2. При какой нагрузке Р2 поршень остановится?
Какова будет при этом потребляемая насосом мощ-
ность Л/&2?
Трением и утечками в цилиндре пренебречь.
Ответ. 1) P1s=4150 Н; vni = 8 см/с; Ndei~ 0,9 кВт; 2)	=
« 6500 Н; Мдв2 == 1,24 кВт.
45,6
Задача XIV-47. Шиберный насос Н подает жидкость
(минеральное масло, плотность р = 900 кг/м3, вязкость
р — 9 -10"2 П) в гидроцилиндр с диаметрами поршня D =
= 60 мм и штока d = 30 мм.
Характеристика насоса задана в виде зависимости
между подачей QH и развиваемым насосом давлением рн.
Насос снабжен переливным клапаном К, характери-
стика которого задана в виде зависимости между расходом
через клапан QK и давлением насоса рн.
0 d
К задачам XIV-47 и. XIV-48
Для управления скоростью перемещения поршня
в сливную линию системы включен регулируемый дрос-
сель Д, который выполнен в виде переставного плунжера
с десятью продольными пазами квадратного сечения (сто-
рона квадрата а = 0,75 мм). Перемещение плунжера
изменяет дросселирующую длину I пазов плунжера и,
следовательно, сопротивление дросселя.
1.	Определить скорость vn движения поршня гидро-
цилиндра при нагрузке R — 5300 Н и дросселирующей
длине пазов плунжера I — 120 мм.
2.	Как изменится скорость поршня, если при той же
установке плунжера нагрузка возрастет до R = 7400 Н?
3.	Как нужно изменить установку плунжера, чтобы
при возросшей нагрузке скорость поршня осталась
прежней?
Потерями напора в трубах, утечками и трением в гидро-
цилиндре пренебрегать.
Перепад давлений в дросселе определять как резуль-
тат сопротивления трения по длине пазов плунжера.
457
Местными потерями напора в дросселе, а также утечками
через зазор плунжера пренебрегать.
Указание. Пренебрегая потерями напора в трубах, получаем для
давления рн, развиваемого насосом:
Рн = &Рц +
где —перепад давлений в полостях гидроцилиндра, определяе-
мый нагрузкой, и Лрэ — перепад давлений в дросселе, для определе-
ния которого воспользоваться формулой (VII1-29). Задачу решить гра-
фически, построив характеристику дросселя = f (Q^).
Ответ. 1) vn = 10 см/с; 2) vn= 8 см/с; 3) Z = 60 мм.
Задача XIV-48. Для системы по условию задачи
XIV-47, работающей под нагрузкой, R = 7400 Н:
1. Определить дросселирующую длину I пазов плун-
жера, при которой откроется переливной клапан К.
Какая при этом скорость vn движения поршня гидроци-
линдра?
2. Построить зависимость скорости поршня vn от
дросселирующей, длины пазов / при заданной нагрузке.
Ответ. I = 90 мм; vn = 9,7 см/с.
Задача XIV-49. В системе объемной гидропередачи
на поршень гидроцилиндра диаметром D = 5 см со што-
ком d = 2 см действует постоянная сила R = 6600 Н.
Система питается шестеренным насосом Н, подача
которого QH = 120 см3/с.
Рабочая жидкость — минеральное масло плотностью
р = 900 кг/м3 и вязкостью р, = 9-10“2 П.
Для защиты системы от перегрузок на выходе из на-
соса установлен переливной клапан Л, который откры-
вается при давлении насоса р0 = 5 МПа.
Для управления скоростью и направлением движения
поршня, параллельно гидроцилиндру установлен регу-
лируемый дроссель Д. Дроссель выполнен в виде пере-
ставного плунжера с продольными пазами треугольной
формы. Число пазов i = 32, сторона треугольного се-
чения паза а = 0,5 мм, его длина L = 20 см.
Рассчитать и построить в виде графика зависимость
скорости поршня vn от дросселирующей длины I пазов
плунжера, изменяемой при его перестановке.
Указать, какому значению I отвечает реверсирование
движения поршня.
Потерями напора в трубах, утечками и трением в ги-
дроцилиндре пренебрегать.
458
В дросселе учитывать только потери давления на тре-
ние по длине пазов плунжера. Местными потерями давле-
ния и утечками в дросселе пренебрегать.
Указание. Так как гидроцилиндр и дроссель работают в системе
параллельно, то, пренебрегая потерями в трубах, получаем соотно-
шения
=	(1)
Qh Qti + Qd>	(2)
где крц—перепад давлений в полостях гидроцилиндра, опре-
деляемый нагрузкой R;
Дрз — перепад давлений в дросселе, определяемый его со-
противлением;
()ц и Qg — расходы через гидроцилиндр и дроссель.
Для нахождения связи между Др^ и Q() воспользоваться формулой
(VIII-28).
Ответ. Реверс при 1= 4 см.
К задачам XIV-49 и XIV-50
Задача XIV-50. Для системы по условию задачи XIV-49
построить графики зависимостей скорости vn движения
поршня гидроцилиндра от величины нагрузки R при двух
крайних положениях плунжера в дросселе Д = 20 см
и /2 “ 2 см).
Подачу насоса принимать постоянной и равной QH =
= 120 см3/с.
Переливной клапан К открывается при давлении на-
соса р0 = 5 МПа.
Характеристика клапана выражается уравнением
Лрк = 5 + 0,01^,
W QK — расход через клапан в см3/с и
Арк — перепад давлений в клапане в МПа.
459
Найти, при каких значениях нагрузки скорость поршня
становится равной нулю и его движение реверсируется.
Указание. При нагрузках, которым отвечают перепады давлений
в гидроцилиндре Дрц<<р0, клапан закрыт и работа системы описы-
вается уравнениями (1) и (2), приведенными в указании к задаче XIV-19.
Когда Ро, клапан открыт; так как он включен параллельно
гидроцилиндру и дросселю Д, уравнения системы приобретают вид
(потерями напора в трубах системы пренебрегаем):
= &Рв = дрк;
(О
Qh — Qit + Qd + Qk-
(2)
К задаче XIV-52
Из этих уравнений сле-
дует найти зависимость рас-
хода Q4 от нагрузки R.
Ответ. Нагрузка, отвечающая
реверсу, равна Ri — 9650 Н при
первом и 7?2 = 3300 Н при втором
положении плунжера.
Задача XIV-51. Для подъема груза весом О = 100 кН
со скоростью v — 0,16 м/с используются два параллельно
работающих силовых гидроцилиндра диаметром D —
= 100 мм. Расстояние между гидроцилиндрами £ = 5 м.
При укладке груза его центр тяжести может смещаться
от среднего положения на а = £50 мм.
1. Определить, каким должен быть коэффициент со-
противления дросселя или Д2 в одной из ветвей нагне-
тательного трубопровода насоса, чтобы груз поднимался
без перекашивания. Коэффициент сопротивления пол-
460
ностью открытого дросселя в другой ветви трубопровода
принимать равным нулю.
2. Какими будут при этом подача насоса и развивае-
мое им давление?
Диаметр трубопровода d = 12 мм. Плотность рабочей
жидкости р = 880 кг/м3.
Потерями напора в трубопроводах системы, а также
трением и утечками в гидроцилиндрах пренебрегать.
Ответ. 1) £ = 23,5; 2) QH ~ 2,5 л/с; рн = 7 МПа.
Задача XIV-52. Плунжер /, имеющий диаметр D =
~ 120 мм, должен совершать возвратно-поступательное
движение, находясь под нагрузкой R = 35 000 Н. Подъем
плунжера осуществляется жидкостью, подаваемой в ци-
линдр шестеренным насосом 2 через обратный клапан 3.
Перепад давлений, возникающий на клапане 3, поднимает
золотник 4 в положение /, перекрывая линию слива 5
из полости цилиндра. При выключении насоса давление,
создаваемое плунжером под нагрузкой, смещает золот-
ник 4 в положение II, открывая путь слива жидкости
через диафрагменный дроссель 6, При этом скорость опу-
скания плунжера определяется сопротивлением дрос-
селя 6.
1. Определить скорость подъема плунжера и давление,
развиваемое при этом насосом, если подача насоса QH
= 600 см3/с, а потеря давления в клапане 3 равна Ар =
- 0,2 МПа.
Сопротивлением нагнетательных труб пренебречь.
2. Выбрать число дроссельных шайб i так, чтобы ско-
рость опускания плунжера была равна скорости его
подъема.
Диаметр отверстий в шайбах d = 6 мм, коэффициент
расхода отверстий принять р = 0,64. Плотность жидкости
р — 910 кг/м3.
Сопротивлением сливных труб и золотника прене-
бречь.
Ответ. 1) и = 5 см/с; рн = 3,3 МПа; 2) i = 6.
Задача XIV-53. Прессовый поршневой насос с заданной
характеристикой подает по трубе диаметром d = 25 мм
и общей длиной L = 12Z = 48 м эмульсию (р =
= 1000 кг/м3) из бака А в воздушный аккумулятор В с
давлением р0 = 20 МПа, откуда она равномерно расхо-
дуется в количестве Q = 7,2 м3/ч.
461
Насос снабжен обводной трубой с перепускным кра-
ном С, по которой часть расхода может возвращаться
обратно, и переливным клапаном D, отрегулированным
на давление насоса рн = 22 МПа (характеристика кла-
пана QK ~ f (рн) задана).
1. Определить условия работы насоса — подачу, дав-
ление и потребляемую им мощность. При подсчете потерь
на трение по длине труб принять Л = 0,025. Местными
потерями напора пренебречь.
2. Какое давление установится в аккумуляторе и
каково будет давление насоса, если при том же полезном
расходе Q из аккумулятора закрыть кран С на обводной
трубе?
Ответ. 1) QH = 8,1 м3/ч; рн = 20,4 МПа; Nge = 58,5 кВт; 2) р0 5=3
= 21,9 МПа; рп = 22,3 МПа.
Задача XIV-54. Объемный насос, характеристика ко-
торого приведена на рисунке, подает масло (р = 865 кг/м8,
вязкость v — 70 сСт) по горизонтальной трубе длиной
I = 20 м и диаметром d = 10 мм в цилиндр с дифферен-
циальным поршнем, диаметры которого = 150 мм и
D2 = 120 мм.
462
Предохранительный клапан ПК отрегулирован на
давление открытия 5 МПа.
Определить скорость поршня vn и развиваемое насосом
давление рн в двух случаях: при нагрузке на поршень
Р = 12,7 кН и при нагрузке Р = 0.
Ответ, vnl = 87 см/с и рн1 = 4,75 МПа; vn2 = 95 см/с и рН2 =
« 3 МПа.
Задача XIV-55. Объемный насос, характеристика ко-
торого приведена в задаче XIV-54, работает на два гидро-
цилиндра с размерами = 100 мм; = 200 мм и £>2 =
К задаче XIV-55
= 120 мм; S2 — 300 мм, нагруженных силами Р, =
= 23,6 кН и Р2 - 56,5 кН.
Рабочая жидкость — масло (v = 80 сСт, р = 870 кг/м3).
Приведенная длина трубопровода I = 7 м, его диаметр
d = 10 мм.
463
Определить, через сколько секунд после открытия
крана К каждый из поочередно срабатывающих поршней
переместится в свое крайнее правое положение. Предохра-
нительный клапан ПК закрыт.
Временем разгона поршней пренебрегать, считая их
движение равномерным.
Ответ, fa = 2,7 с; /2 = 9,2 с.
Задача XIV-56. Емкость объемом We == 200 л с по-
мощью одноплунжерного насоса подвергается гидропробе
до давления рг = 40 МПа. По мере повышения давления
в емкости подача насоса
из-за упругости жидкости
уменьшается.
1. Найти, какой дополни-
тельный вредный объем Wod
нужно подключить к цилинд-
ру насоса, чтобы последний
К решению задачи XIV-56
К задаче XIV-56
в целях безопасности не мог развивать давление больше
рн = 41 МПа.
2. При найденном Wod определить время ts, в течение
которого давление в предварительно заполненной емкости
поднимется от нуля до ps.
Диаметр плунжера насоса d = 20 мм; радиус криво-
шипа г ~ 25 мм; частота вращения кривошипа п =
= 200 об/мин.
Собственный вредный объем цилиндра W0H в 1,5 раза
больше его рабочего объема Wp = — 4— 2г.
Модуль объемной упругости воды является функцией
давления р и равен К = 6,5 (320 + р), где р и /С— в МПа.
Все элементы установки, за исключением жидкости,
принимать абсолютно жесткими. Утечками, гидравличе-
скими сопротивлениями и инерционными напорами пре-
небрегать. Давление всасывания в цилиндре насоса при«-
нять рв = 0.
464
Указание 1. При наибольшем давлении нагнетания рн подача
насоса равна нулю, т. к. вода перестает поступать из насоса в напор-
ный трубопровод, периодически сжимаясь и расширяясь в насосе от
объема $z0+ Wp (при давлении ре) до объема Wo (при давлении рн);
1Г0 =	Woq— суммарный вредный объем.
Используя выражение модуля упругости воды, получаем закон
объемной деформации:
dW ______1 dp
W 6,5 320 + p"
2. Дифференциальное уравнение процесса сжатия жидкости в ем-
кости We (имея в виду большое число циклов и принимая, что функ-
ция р (/) имеет непрерывную производную) можно приближенно пред-
ставить в виде
dt = \Vedp,	(2)
где рв — плотность воды в цилиндре при давлении всасывания рв\
, 1
=------время одного цикла;
1^6= Wo+ Wp—Woe—объем воды, поступающей в ци-
линдр за ход всасывания (уменьшается по мере увели-
чения давления р в емкости — см. рисунок к решению
задачи);
р — плотность воды при давлении р.
Используя уравнение (1), найдем
Используя соотношение
л ,,	dW
dp /р	W 9
из уравнения (1) можно получить
,	/ 320-j-р \ 1/6,5
Р/Рв \ 320 + рв )	"
Решая совместно уравнения (2), (3) и (4), найдем время
Ответ.
= /-з-2б+Х/в,5_ -	=800 см3;
\ 320 +peJ
2W „ щ __________________________________
nW° W Г1 ( 320+ Рг V/6’5| 4-Г
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
МОМЕНТ ИНЕРЦИИ Jc ПЛОСКИХ ФИГУР
ОТНОСИТЕЛЬНО ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ оси,
ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ;
КООРДИНАТА ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ s; ПЛОЩАДЬ F
Название рисунка				Jc	S	F
	—г	с		4бл’	4-ft	bh
Прямо- Г угольник			с			
	ь					
Треуголь- ник	"	£	ь		^блз		Tbh
Трапеция равнобедренная а					/г»	!	!	 36	а 4- b	1 fl+2^ 3 h a -j- b	j-h (a + &)
X с /4						
						
ш						
/^9\ 4 Круг -* (	1				4	R	nR2
Полукруг —				д. 72л	4 R 3 я	v nR2
Кольцо					R	Я (R2 — r2)
Эллипс				1 па-Ь 4	a	nab
-о						
L-20--						
466
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
КОЭФФИЦИЕНТЫ ИСТЕЧЕНИЯ НАСАДКОВ
Fcl пРии = г^--, v = <p/2^7; Q =
1
U — 8ф; ф =-
Внешний цилиндрический насадок Сопло
L=(2-3)d
£=/, 1=0,5 р=(р=О,52	5=1 1=0,05 /1=(р=О,97
Конический сходящийся насадок
Конический расходящийся насадок со скругленным входом
467
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
МЕСТНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДАХ
I. Вход в трубу £ — 0,5
R/d	0,02|0,08		0,16	0,2
	0,36	0,15	0,06	0,03
При 1	0,5d	b/d	0	0,02	0,05
	С	1-,0	0,72	0,5
Конический диффузор
II. Изменения диаметра трубы
0°	5	10	15	20	30
	0,1	0,25;	0,35	0,45	0,65
Внезапное расширение
vl
Если >\пм = £ 17’
Конический конфузор
. л rf2 V То			
D	__ 12	0°	| 10 | 20 | 30 1 40
d		.. L	|0,04|0,05|0,07|0 08
D		~4)°	| 10 | 20 | 30 j
d	£ |0,07|о,09|0,12|о 14
Внезапное сужение
4—	0° | 10 | 20 | 30 | 40
	£	]0,08|0,10|0,14|0,17

£-0,5 [1-(4)2]
468
Продолжение прилож. 3
ОтЬод

Задвижка

III.
у2
Ппн-12д
г= о,73а ь
Отводы и колена
а( r/cl)
/)=Ь(а )
Колено
Л
2q
Мате- риал, а0	15	30 .	45	60	90
Чугун, сталь, £	0,062	0,165	0,320	0,684	1,265
Цветные метал- лы, £	0,042	0,130	0,220	0,471	1,129
Вентиль
	|н=
	
V
IV. Затворы
V
D, мм 25 50 100	S/d С $	1 0,23 0,16 0,14	3/4 0,90 0,68 0,55	1/2 4,1 3,0 2,6	1/4 32 20 16
При полном откры- тии	D, мм 1	13 10,8	25 6,1	50 4,6	100 4,1
При
= 0,25
а‘
О
10
30
60
0,36
0,15
Дисковый
3,05
71,5
затвор
Кран конусный
(X
0
0
5
0,36
20
2,7
40
18,2
70
675
469
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
ЕДИНИЦЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Международная система (СИ)
Величина		Единица	
Наименование	Размерность	Наименование	Обозначение
Длина	L	метр	м
Масса	М	килограмм	кг
Время	Т	секунда	с
470
Продолжение прилож. 5
Величина		Единица	
Наименование	Размерность	Наименование	Обозначение
Температура Площадь Объем Скорость Ускорение	е L2 L3 LT'1 LT~2
Угловая скорость	T~i
Угловое ускоре-	Т~2
ние	
Частота	
Частота вращения	7-1
Объемный расход	£37-i
Плотность	ML~3
Удельный объем	UM'1
Количество дви-	MLT-1
жения	
Момент количе-	ML2!'1
ства движения	
Сила, вес	ML!~2
Момент силы	ML2T~2
Импульс силы	MLT-1
Давление	ML-1!"2
Напор, потеря	L
напора	
Массовый расход	MT'1
Работа, энергия	ML2T~2
Мощность	ML2T~3
Модуль упругости	ML~lT~2
Динамическая	ML'1!-1
вязкость	
Кинематическая	727-!
вязкость	
Поверхностное	MT'2
натяжение	
Удельная газовая	£27-20-1
постоянная	
Удельная тепло-	£27-20-1
емкость	
кельвин	К
квадратный метр	м2
кубический метр	м3
метр в секунду	м/с
метр на секунду	м/с2
в квадрате	рад/с
радиан в секунду	
радиан на се-	рад/с2
кунду в квадрате	
герц	Гц
оборот в секунду	об/с
кубический метр	м3/с
в секунду	кг/м3
килограмм на	
кубический метр	
кубический метр	м3/кг
на килограмм	кг • м/с
килограмм —	
метр в секунду	
килограмм —	кг-м2/с
метр в квадрате в секунду	
ньютон	н
ньютон — метр	Н-м
ньютон — секунда	Н -с
паскаль	Па
метр	м
килограмм в се-	кг/с
кунду	
джоуль	Дж
ватт	Вт
паскаль	Па
паскаль — секун-	Па-с
да	
квадратный метр	м2/с
на секунду	Н/м
ньютон на метр	
джоуль на кило-	Дж/(кг • К)
грамм — кельвин	
джоуль на кило-	Дж/(кг - К)
грамм — кельвин	
471
Бутаев Девлет-Гирей Асланбекович,
Калмыкова Зинаида Алексеевна,
Подвидз Лев Григорьевич,
Попов Кирилл Николаевич,
Рождественский Сергей Николаевич,
Я йьши н Борис Иванович
Сборник задач
по машиностроительной гидравлике
Редактор издательства И. Я . Доброхотова
Технический редактор Н. Ф. Демкина
Корректор А. П. Озерова
Переплет художника Е. В. Бекетова
Сдано в набор 4/П 1972 г.
Подписано к печати 1/V1H 1972 г. Т-07187
Формат 84 X Ю8х/з2 Бумага № 2
Усл. печ. л. 24,78. Уч.-изд. л. 22,6
Тираж 45 000 экз. Цена 1 р. 02 коп.
Заказ 1550
Издательство ^Машиностроение», Москва,
Б-66, 1-й Басманный пер., д. 3
Ленинградская типография As 6
Главполиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР
193144, Ленинград, ул. Моисеенко, 10