Текст
i Рхтсящий itpoграммно-методический комплекс предназначен для изу-ченил^методсв обработки и анализа данных, полученных экспериментально. Комплекс состоя! из методического руководства и пакета прикладных программ Для ПЭВМ. В него включены лпериалы по следующим темам: интерполирование функций с помощью мжчичленов Ньютона и Лагранжа, эмпирические формулы, метод наименьших квадратов, системы случайных величин, регрессном ный *анал из.
Руководство содержит основные теоретические положения, примеры с не дробными решениями, варианты индивидуальных заданий для расчетнографических работ, рекомендации по использованию пакета прикладных программ. \
ihiKCT прикладных программ состоит из компьютерной программы ”1пн1пип” (раздел интерполяция), демонстрационно-обучающей программы '’Эмпирические формулы, метод наименьших квадратов”, нрогрнммно-f инструмсптапэши о средства ’’Корреляция и регрессия”.
Данные программы ориентированы на решение задач этого пособия и предназначены доя нсль^тзхшой с минимальной компьютерной подготовкой.
Форма ^ебных занятий с использованием программно-методического комплекса предполлгт кгш аудиторные занятия, гак и занятия в компьютерном классе. Объем ннднаидуо^ных заданий зависит от времени, оз веденного на изучение темы,
Настоящий программно-методический комплекс может использоваться при освоении соответствующих там курса ’’Высшая математика" студентами всех специальностей дневной и за чкой форм обучении.
Авторы:
Рецензент:
доцент Белугин Виталий Ильич,
доцент Замыслов Владимир Нагепьснич,
ст. прсп. Суровцев Геннадий Ильич,
ст. преп. Толмачева Майя Александровна
доцент кафедры ’’Высшая математика” УрГАПС к.ф.-м.н. Г.А. Тимофеева
© Уральская государственная академия путей сообщения (УрГАИС), 1998
1. Интерполирование функций
/
1.1. Постановка задачи интерполирования
Пусть по результатам наблюдений или измерений в некотором эксперименте получена таблица значений, определяющая зависимость между двумя племенными величинами х и у. Можно также предположить, что задана функция у = Xх), У которой известны значения только при небольшом чис-. ле значений аргумента х (табл, !.!)*.
Таблица 1.1
I х *0 *1 • • • хп-{ хп I
I У УО Л • • « Уп-1 Уп 1
Требуется найти с определенной степенью точности значения функции при значениях аргумента х, не входящих в таблицу.
Подобную задачу приходится решать, когда функция у(х) слишком сложна для непосредственного вычисления или ее значения измерялись в дорогостоящем эксперименте. В этом случае выгодно заменить функцию г(х) приближенной формулой, т.е. подобрать такую функцию ^>(х), которая близка, в некотором смысле, к у(х) и при этом просто вычисляется. Если (р(х) подбирается так, чтобы в точках она принимала те же значения у$,чтои исходная функция, го этот процесс называется интерполяцией (или ин тер-полированием), а функция <р(х) называется интерполирующей функцией. I абличгп ie значения аргумента xq, Х|, xj ,...,хл называют узлами интерполяции. Чаще всего интерполирующую функцию ищут в виде многочлена.
Интерполирование называется линейным или квадратичным, если выбирается многочлен соответственно первой или второй степени.
VWVTtf , У U J • I’ew
4
1.2. Интерполяционный многочлен Лагранже
При интерполировании функции, если число узлов в таблице невели! используют интерполяционный многочлен Лагранжа. Этот многочлен состав ляют, используя значения х^ и у к из таблицы 1,1» по формуле:
(х-х0)(х-Х1)... (x-Xj)... (х-Хп-!)
(хп — Xg)(xn — Xj) ... (xn — Ху)... (хл — Хд_[ )
Каждое слагаемое в правой части (1.1) представляет собой многочлен степени . . поэтому и сам многочлен Лагранжа будет многочленом л-ой степени.
Призер 1.1. Пусть задана таблица значений функции У = Я»):
X 1 —1 0 2
У 1 4 -1 3
Требуется построить для этой функции интерполяционный многочлен Лагранжа.
Решение. Число узлов равно трем, поэтому многочлен Лагранжа будет многочленом второй степени. Запишем его, используя формулу (1.1) :
/
J (Х) =4 (*-°Хх-2> _, (* + 1Х*т2) (х + 1)(х - 0)
' (-1-0Х-1-2) (0 + 1)(0-2) (2 + 1X2-0) ’
После преобразований получаем окончательный вид многочлена:
7 2 8
L2U) = -х--х-1 .
3 j
Интерполирование функций 5
1.3. Интерполяционный многочлен Ньютона
Одним из видов интерполяционных многочленов является многочлен Ньютона*.
Pn(x) = C’o-t Ci(x-x0)+C2(x-x0)(x-xl) + ...
... +C*(x-x0)(x-x1)...(x-x*_i) + ... (12)
... +C„(x-x0)(x-X])...(x-xn_j).
Этот многочлен применяют, когда требуется вычислить приближенное значение функции Xх) Для значения аргумента х, находящегося вблизи точки *о •
Коэффициенты С/, / = 0, 1, ... , и вычисляют таким образом, чтобы значения многочлена в узлах интерполяции совпадали со соответствующими значениями функции, т.е.
^и(х/) = Уь i = °. !> ••• . ”•
Формула (1.2) определяет многочлен Ньютона для интерполирования вперед.
Пример 1.2. Требуется построить интер’ эляционный многочлен Ньютона для интерполирования вперед и найти приближенное значение функции Xх) при х = 1,5. Функция Xх) задана таблицей:
Решение. Запишем многочлен Ньютона третьей степени /Vх) :
/Vх) = О) + Qp - О + С2(х - 1)(х - 2) + С3(х - 1)(х - 2)(х - 4).
Найдем последовательно коэффициенты Cq9 С], С2, С3 , подставляя в э го равснст во ра тличные значения х :
при Xj = 1, /^(1) - 2, получим Со = 2;
х2 ~ 2, - 4,
^3(4) = 2.
Q = 2;
С2 =-1;
6 , Раздел 1
5
при #4 «5, получим Q~ —.
Подставим найденные коэффициенты в многочлен:
Затем вычислим /5(1>5);
^(1,5) - 2 + 1 + О,5 О,5 + ~0>5-(-0.5)(-1,5) « 3,40625. Л 4М
Таким образом, ХЬ^) « 3,40625.
Если нужно вычислить значение функции вблизи хп, применяют многочлен Ньютона для интерполирования назад:
Рп(х) = d0+di(x-x„)+d2(x-x„Xx-xn_1) + ...
...+d„(x-x„Xx- х„_!) ...-(х - Xj).
Коэффициенты такого многочлена последовательно находят из условии:
Рп(х/) = У1, где / = л,н-1......0.
1.4. Многочлен Ньютона при равноотстоящих узлах
Пусть функция У = у(х) задана таблицей l.l. Предположим, что раз-ность между двумя любыми соседними значениями аргумента есть постоянное число. Это число h = хн j - х/ называется шагом таблицы.
Разностями первого порядка называют разности между соседними значениями функции: Ду/ = - у/, где i = 0, I, 2,..., п - I.
Разностями второго порядка называют разности, полученные из
2
раяюстей первого порядка: Д у/ = Д}’/ + | ~ Ду/, где / = 0, I, 2,..., и - 2 .
Интерполирование функций 7
Разностями порядка т называют разности:
Д"'у/ = Д'” ’yj+i-A7” xyit i = 0,1,..., л-m,
полученные из разностей порядка т - 1.
Вычислим разности различных порядков и запишем их значения в таб-
лицу:
Таблица 1.2
X, yi ^У/ Д2у, А3Л д4^
I Уо Ауо а2уо £уо ^4Уо
У\ Ari Д2У] Д3У1 1
х2 У2 АУ2 А2У2
х3 Уз Ду3
*4 У4
Для интерполирования вперед применяют многочлен Ньютона, который в данном случае имеет вид:
V
... + —~(x-x0\x-xt)... (х-Х„_х). I _ м " ’
л!-Л
Для его записи используют разности второй строки таблицы 1.2:
Л
Дж Л Ж • • • ^"уо •
При интерполировании назад, составляют многочлен Ньютона, используя
разности Дуг/-ь ^уп-2 > • • » ^Уо, расположенные по диагонали таблицы 1.2.
Л«(Ч = yf>+y^(^-x/l) + ~-~Y~(x-x„Xx-x„_l) + ... ни 2!-Л
• + “Г7« '” х")(Л “ х» -1) • • (* “ Л'1) /7 ‘ • h
8
Раздел 1
Пример 1.3. Требуется составить многочлен Ньютона для интерполирования вперед и вычислить приближенное значение функции Xх) при х~- 3,14. Функция у(х) задана таблицей:
X 1 3,0 3,5 4,0
у 1 0,544 0,602
Рашоино. 1) данной таблице узлы являются равноотстоящими, шаг таблицы Л - 0,5, Составим таблицу рнзностсй:
X/ У1 Ау/ Л2^/
3,0 0,477 0,067 -0,009
3,5 0,544 0,058
4,0 0,602
Многочлен Ньютона для интерполирования вперед:
0,067 0,009
Р2(х) = 0,477 + (х-3,0)---------у (х-3,0)(х-3,5)
0.5 2(0,5)2
или
%х) = 0,477 + 0,134(х - 3,0) - 0,018(х - 3,0)(х - 3,5).
Вычислим теперь значение >>(3,14) « /^(3,14):
Р2(3,14) = 0,477 + 0,134 0,14-0,018(0,14Х-036) « 0,497.
Многочлен Ньютона при интерполировании назад для этой таблицы выглядит так:
/^(х) = 0,602+ ^^(х-4,0)(х ~ 4,0)(х - 3,5.) или
Яг(х) = 0,602 + 0,116(х-4,0)-0,018(х-4,0)(х-3,5).
Интерполирование функций 9
1.5. Интерполирование с заданной точностью
Если интерполируемая функция у = Xх) известна и имеет непрерывную производную n + I порядка на отрезке [а, Р] , где а, р - наибольшее и наименьшее значения из чисел х, х1» х2»••• >хл > то тогда погрешность интерполяции у(х) с помощью многочлена Л?(х) оценивается по формуле:
П + 1 | |
Д„О) <
где Л«О) = | У(х)-Р„(х)\ - величина абсолютной погрешности, с которой находят приближенное значение функции, а
м„¥1= max |/"+0О) a < х
-максимум производной (п+1)- го порядка на отрезке [а, р].
Если функция задана только с помощью таблицы на системе равноотстоящих точек, то при достаточно малом шаге h производные (п+1)- го порядка можно заменить конечно-разностными отношениями и для константы
+ J получить приближенное равенство:
w»+i • max /
a" " у, Л"*1
На практике часто встречается такая задача: функция задана таблицей с большим количеством точек х0, Х|, ..., хп. Требуется найти значение
функции Xх) при промежуточном значении х с заданной точностью е. В такой задаче возникают вопросы: какие ближайшие к х *узлы интерполяции следует выбрать и какой степени должен быть интерполяционный многочлен?
Узлы интерполяции выбирают из таблицы по порядку и так, чтобы х находился между двумя крайними узлами, т.е. между двумя первыми, либо двумя последними Степень многочлена /л(х) и соответственно количество узлов подбирают с помощью порядка разностей таблицы, а именно разнос™
У i должны быть постоянными и примерно равны заданной точности. Разберем это правило на примере.
10
Раздел 1
Пример 1.4. Пусть функция у = Xх) задана таблицей:
ГТ" 3,40 3,45 3,50 3,55 3,60 3,65 3,70 3,75 3,80 3,85 1
L 29,964 31,500 33,115 34,813 36,598 38,475 40,477 42,521 44,701 46,993 [
Требуется с точностью не более чем 8 = 5 10 вычислить значения функции при х » 3>42 их- 3,83.
Решение. Определим степень многочлена Ньютона. Для этого составим таблхшу разностей. Шаг таблицы h « 0,05.
Х1 У1 Д yt А2;// Д3>7 А43'/
3,40 29,964 1,536 0,079 0,004 0,000
3,45 31,500 1,615 0,083 0,004 0,000
3,50 33,115 1,698 0,087 0,005 0,001
| 3,55 34,813 1,785 0,092 0,003 -0,002
3,6° 36,598 1,877 0,095 0,007 0,004
3,65 38,475 1,972 0,102 0,004 -0,003
3,70 40,477 2,074 0,106 0,006 0,002
3,75 . 42,521 2,180 0,112
3,80 44,701 2,292
3,85 46,993
Из таблицы видно, что четвертые разности меньше по абсолютной величине заданной точности, а третьи разности примерно равны 8. Поэтому за степень многочлена возьмем п - 3. У такого многочлена 4 коэффициента, следовательно, берем 4 узла.
Чтобы вычислить Х3,42), составим многочлен Ньютона для интерполяции вперед, выбирая узлы xq = 3,40, Xj = 3,45, Х2 = 3,50, xj = 3,55;
1,536 0,079
Л(х) = 29,964 + -^—(х-3,40) + -^—-(х-3,40)(х-3,45) + ...
0,004
•+оЖПГб(х-3’4О)(х-3’45)^-3’5о)
или
Интерполирование функций 11
р3(х) = 29.964 4-30,720(х- 3,40) + 15,800(х - 3,40)(х - 3,45) + + 5,333(л - 3,40)(л - 3,45)(х - 3,50).
Вычисляем:
(3,42) = 29,964 + 0,6144 - 0,00948 + 0,0002559 « 30,568.
Последнее слагаемое в этой сумме меньше заданной точности, поэтому ею можно отбросить.
Итак, М3,42) = 30,568 ± 0,005.
Чтобы найти значение функции при х - 3,83, построим многочлен Ньютона для интерполяции назад. Узлы интерполяции выберем в точках: хп- 3,85, 3,80, х„~2 =3,75, хп_3 = 3,70. Тогда
2 292 0112
1}(х) = 46,993 + -^——(х-3,85)+——^-——(х-3,85)(х-3,80) +
+ бда7(-3-85Хл-3-80Х-3-75)-
упоошая. получаем:
/>3(Л) = 46,993 + 45,840(л-3,85) + 22,400(х-3,85)(х-3,80) + + 8,000(х т- 3,85Х* - 3,80Хл - 3,75).
Подставляя здесь х = 3,83 и отбрасывая слагаемые, которые меньше 0,005, вычислим:
/з(3,83) = 46,993 - 0,9168 - 0,01344 - 0,000384 « 46,062
Следовательно, М3,83) = 46,062 ± 0,005.
Приведенный пример показывает, что при вычислении по формуле Нью* юна первые слагаемые вносят основной вклад в сумму, а последние имеют характер поправок. Если эти слагаемые быстро убывают, то при вычислении суммы pi брасы ванн тс из них, которые меньше заданной точности.
12
Раздел 1
1.6. Допустимость интерполяции по таблице и выбор шага таблицы
Интерполяция таблично заданной функции с помощью многочлена невысокой степени имеет смысл, если в результате вычислений получаются значения, погрешность которых не превосходит по абсолютной величине погрешности исходных данных. Это не для каждой таблицы возможно.
Допустимость линейной или квадратичной интерполяции можно установить при помощи следующего правила. Именно, если для всех / = О, I, 2,... величина Д )>i нс превосходит четырех единиц последнего разряда данных । вблпцы, то таблица допускает линейную интерполяцию.
Аналогично, если для всех /«==0,1,2,... величина Д У/ не превосходит Шести единиц последнего разряда табличных данных, то таблица допускает квадратичную интерполяцию.
Пример 1.5. Определить, какую интерполяцию допускает таблица:
1 х | о;оо 0,01 | 0,02 0,03 0,04 0,05 |
1 У | 1,000000 1,010050 | 1,020201 1,030459 1,040821 1,051292 |
Решение. Погрешность данных этой таблицы не превосходит величины 5 10-7 (половина единицы последнего разряда). Составим таблицу разностей:
*1 У> А у; Д2у,- д\/
0,00 1,000000 0,010050 . 0,000101 0,000006
0,01 1,010050 0,010151 0,000107 -0,000003
0,02 1,020201 0,010258 0,000104 0,000005
0,03 1,030459 0,010362 0,000109
0,04 1,040821 0,010471
1 0,05 1,051292
2
Данная таблица не допускает линейной интерполяции, так как > 4 10 \ но квадратичная интерполяция здесь допустима. Действи-
6Ю~6
гель но,
Если на отрезке [и, 6] необходимо построить таблицу значений функции ;'(х) с точностью, не превышающей 8 ~ 5 10 т, гак, чюбы она допускала
Интерполирование функций
13
линейную или, соответственно, квадратичную интерполяцию, то шаг h таблицы определяют из условий:
где
где
тах |у"(*)| а<,х<,в
Му £ max |у"’(х)| а£х£в
для линейной интерполяции и
для квадратичной интерполяции.
1.7. Варианты индивидуальных заданий
Задание 1.1. Для функции, заданной таблицей, составить интерполяционный многочлен Лагранжа. С его помощью найти приближенное значение Функции в точке х.
1.1
X 8,7 8,8 9,0
У 75,7 77,6 82,0
1.3 X = 8,75.
X 7,6 7,7 7,8
У 57,8 56,3 62,0
1.5 X = 7,76.
X 7,4 7,5 7,8
У 54,8 56,3 62,0
1.7 X = 7,6.
X 6,5 6,7 7,0
У 42,3 44,9 49,0
1.9 X = 6,9.
Л' 6,1 6,4 6,9
у 37,9 41,0 48,0
.г ~ 6,3.
1.2
X 1,1 1,5 1,7
У 0,10 0,41 0,53
х = 1,56.
1.4
X 2,5 2,7 3,2
У 0,92 0,99 1,16
х = 2,9.
1.6
X 3,5 3,7 4,0
У 1,26 1,33 1,39
х = 3,8.
1.8
X 4,2 4,4 4,8
У 1,44 1,48 1,60
х = 4^
1.10
X 5,1 5,4 5,5
У 1,64 1,70’ 1,71
1 -5,3-
14
Раздел 1
I.II
. x 0,7 0,9 1,0
У 2,02 2,46 2,72
X л 0,8.
1.13
X i.io i.i5 1,30
~ У ' 3,00 3,16 3,67
x~ I.20.
Si is
к/
X . 1.3 1.4 1.5
у" 3,69 4,06 4,50
x - 1,45.
4- 1.17
X 1,3 1,4 1,5
у 0,96 0,97 .0,99
x - 1,35.
1.19
X 1,6 1,7 1,9 1
4,95 5,47 6,69 |
x = 1,8.
1.21
2,7 2,9 3,0
у 14,9 18,7 20,1
x = 2,8.
1.12
X 0,6 0,7 0,9
У 0,55 0,50 0,41
x - 0,8.
1.14
X 1,10 1,15 1,30
у' 0,33 0,32 0,27
X - 1,20.
1.16
X 1,3 1,4 1,5
У 0,28 0,25 6,23
x-' 1,42.
1.18
X 1,3 1,4 1,5
У 0,28 0,17 0,07
х- 1,37. 1.20
X 1,6 1.8 1,9
У 0,21 0,17 0,15
х = 1,7. 1.22
X 2,7 2,8 з,о
У 0,07 0,06 0,05
х =- 2,9. 1.24
X 3,1 3,2 3,5
У 0,05 0,04 0,03
х =-- 3,4. 1.26
X 2,0 2,5 3,5
У 0,69 0,92 1,26
х - 3,2. 1.28
X з,о 3,5 4,2
У 1,10 1,25 1,44
х - 3.8
Интерполирование функций
15
1.29 1.30
X 4,1 4,3 5,0
У 1,41 1,46 1,61
X 2,0 2,5 3,5
У 6,28 7,85 11,00
х = 3,0.
Задание 1.2. Функция у = у(х) задана таблицей. Требуется составить мно-гочлены Ньютона для интерполирования вперед и интерполирования назад и с их помощью найти значения функции в точках *1 и ^2 с погрешностью не более чем 5-10 3
2.1
X 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,65
У 3,320 3,491 3,669 3,857 4,055 4,263 4,482 4,712 4,953 5,113
jq = 1,2?, х2 = 1,58. 2.2 V * X1
X 1,0 1,1 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9
У 1,175 1,336 1,509 1,698 1,904 2,129 2,376 2,646 2,91) 3,419
х, = 1,03, х2 = 1,87. 2.3
0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55
у 0,099 0,149 0,199 0,247 0,295 0,343 0,390 0,435 0,479 0,512
л, =0,16, х2 = 0,48. 2.4
X 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
У 0,100 0,199 0,296 0,389 0,479 0,565 0,644 0,739 0,844 0,965
2.5 *!=0,12, *2=0,88.
X 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 о,6 0,7 0,8 0,9
У 1,000 0,995 0,980 0,955 0,921 0,878 0,825 0,794 0,723 0,632
2.6 х, = 0,04, х2 = 0,82.
X 1 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 1 0,50
у 10,934 0,935 0,940 0,952 0,972 1,003 1,049 1,110 1,231 | 1,341
.г, =0,07, х2=0,42.
16 Раздел 1
2.7
X 0,08 0,11 0,14 0,17 0,20 0,23 0,26 0,29 0,32 0,35
у 0,729 1,066 1,361 1,616 1,834 2,020 2,175 2,303 2,521 2,732
2.8 • = = 0,12, х2 = 0,30. п
X 6 7 8 • 9 10 11 12 13 14 15 ii
У 0,182 0,202 0,223 0,246 0,272 0,300 0,332 0,365 0,401 0,443
2.9 = = 6,5, х2 =12,8.
X 0,65 0,75 0,85 0,95 1,05 1,15 1,25 1,35 1,45 1,55
У 1,916 2,117 2,340 2,586 2,858 3,158 3,518 3,905 4,281 4,572
2.10- • = 0,73, х2 = 1,48.
X 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1.0
У 0,100 0,199 0,296 0,386 0,479 0,565 0,644 0,721 0,805 0,921
2.11 • • = 0,12, х2 = 0,83. <
X 3,50 3,55 3,60 3,65 3,70 3,75 3,80 3,85 3,90 3,95 1
: У 33,12 34,81 36,50 38,48 40,45 42,52 44,70 46,56 48,61 50,25
2.12 *1 = 3,53, х2 = 3,82.
X 0,09 0,29 0,49 0,69 0,89 1,09 1,29 1,49 1,69 1,89
у 0,0872 0,1219 0,1564 0,1908 0,2249 0,2588 0,2861 0,3178 0,3456 0,3772
2.13 *1 = 0,15, х2 = 1,53.
X 0,26 0,76 1,26 1,76 2,26 2,76 3,26 3,76 4,26 4,76
У 0,259 0,342 0,423 0,500 0,573 0,642 0,707 0,766 0,811 0,865
2.14 *1 = 0,65, х2 - 3,5.
X 1,11 1,21 1,31 1,41 1,51 1,61 1,71 1,81 1,91 2,01
У 1,601 2,456 3,332 4,236 5,176 6,156 7,183 8,265 9,025 10,110
2.15 = 1,14, х2 = 1,95. (
X 2,21 2,31 2,41 2,51 2,61 2,71 2,81 2,91 3,01 3,1 1
У 15,68 17,70 19,87 22,18 24,66 27,31 30,15 33,18 35,34 39,12
xi = 2,35, х2 - 3,0
Интерполирование функций
17
2.16
X 2,20 2,25 2,30 2,35 2,40 2,45 2,50 2,55 2,60 2,65
У 3,35 3,51 3,72 3,88 4,15 4,33 4,51 4,81 4,96 5,11
*1 = 2,22, *2 = 2,62. ’ 2.17
X 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9
У 2,175 2,336 2,510 2,698 2,904 3,129 3,376 3,646 3,946 4,125
^=2,08, *3=2,82.
2.18
X 2,10 2,15 2,20 2,25 2,30 2,35 2,40 2,45 2,50 2,55
У 1,099 1,149 1,199 1,247 1,295 1,342 1,389 1,435 1,479 1,511
^=2,13, х2=2,53.
2.19
X 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 '
у 0,199 0,393 0,591 0,779 0,959 1,128 1,288 1,528 1,808 2,088
*, = 3,15, *2 = 3,92. 2.20
X 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9
V * 2,000 1,990 1,961 1,911 1,842 1,755 1,650 1,547 1,301 1,267
х, = 2,08, хг = 2,83.
2.21
X 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50
У 0,934 0,936 0,941 0,952 0,972 1,003 1,049 1,111 1,182 1,243
х, = 1,17, х2 = 1,48.
2.22
X 1,08 1,11 1,14 1,17 1,20 1,23 1,26 1,29 1,32 1,35
У 0,829 1,166 1,461 1,716 1,935 2,121 2,275 2,403 2,555 2,686
*j=l,!2, х2 = 1,ЗО.
2.23
X 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
У 1,202 1,223 1,246 1,272 1,301 1,332 1,364 1,396 1,438 1,470
*, = 8,5, *2 = 15,6. 2.24
У 1,65 2~9Т.5 1,75 1,85 1,95 2,05 2,15 2,25 2,35 2,45 2,55
3,1 17 3,340 3,586 3,858 4,158 4,439 4,748 5,199 5,4 /1
г, = 1,68, л\ ---2,38
18
Раздел 1
2.25
X 1,340 1,345 1,350 1,355 1,360 1,365 1,370 1,375 1,380 1,385
У 4,2556 4,3533 4,4552 4,5618 4,6734 4,7904 4,9131 5,0419 5,1774 5,3202
*,=1,342, *2 = 1,378.
2.26
X 0,01 0,06 0,11 0,16 0,21 0,26 0,31 0,36 0,41 0,46
У 0,9918 0,9519 0,9137 0,8769 0,8416 0,8078 0,7753 0,7441 0,7142 0,685У
*,=0,027, х2 = 0,425:
2.27
X 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24
У 4,4817 4,9530 5,4739 6,0496 6,6859 7,3891 8,1682 9,0250 9,9742 11,0232
jq =0,158, х2 =0,231.
2.28
X 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54
У 20,195 19,613 18,943 18,175 17,301 16,312 15,198 13,948 12,551 10,994
*,=0,463. *2 = 0,537.
2.29
X 3,75 3,80 3,85 3,90 3,95 4,00 4,05 4,10 4,15 4,20
У 42,521 44,701 46,993 49,402 51,935 54,598 57,398 60,340 63,434 66,686
*,=3,82, х2 = 4,18.
2.30
X 0,140 0,145 0,150 0,155 0,160 0,165 0,170 0,175 0,180 0,185
У 7,0961 6,8482 6,6166 6,3999 6,1966 6,0055 5,8256 5,6558 5,4954 5,2543
*, = 0,143, х2 = 0,177.
«2. Эмпирические формулы
2.1. Постановка задачи
При проведении эксперимента или в результате наблюдений во время некоторого процесса получена таблица значений двух величин х, у:
Таблица 2.1
1 X 1 X) х2 « • • хк ... хп
j У | Л У2 • • • Ук ... Уп
Требуется определить функциональную зависимость, связывающую величины х и у.
Функция, которая приближенно описывает эту зависимость, называется эмпирической формулой.
Задача о построении эмпирической формулы состоит из двух частей;
1) необходимо выбрать тип аналитического выражения для функции, соответствующей таблице или процессу, который мы изучаем;
2) условиться, как будет оцениваться расхождение между значениями функции и результатами эксперимента. Определить наилучшие параметры данной функции так, чтобы это расхождение было минимальным.
2.2. Выбор типа формулы
Выбор типа эмпирической формулы является наиболее неопределенной и затруднительной частью работы, которую иногда приходится повторять не один раз С эюй целью сначала строят точки из таблицы 2.1 в некоторой системе ко
20
Раздел 2
ординат. Сравнение точечного графика с-разными кривыми, уравнения которых известны, дает в ряде случаев указание на возможный тип формулы.
Пример 2.1. На рис. 2.1 в декартовой системе координаг построены точки эксперимента:
Рис. 2.1
Эти точки располагаются вдоль некоторой прямой линии. Поэтому за эмпирическую формулу можно выбрать линейную функцию у = а о + . Ко-
эффициенты ^о, а1 являются неизвестными параметрами этой функции.
Часто бывает, что в соответствии с экспериментом можно построить грубую теорию изучаемого явления. Результаты теоретических исследований, как правило, подсказывают вид эмпирической формулы.
Пример 2.2. Изучается закон растворимости некоторого вещества в определенной жидкости. Нужно получить формулу, выражающую зависимость количества растворившегося вещества от времени.
За основу можно принять закон: количество вещества dxt растворившегося за малый промежуток времени J/, пропорционально этому промежутку и количеству нерастворенного вещества, т.е. dx = к -(М-x)dt, - общее ко-
личество вещества, х - количество растворившегося вещества до настоящего момента времени, к > 0 - коэффициент пропорциональности.
За эмпирическую формулу выбираем решение этого дифференциального уравнения: x(t) = M-ce~kt у где с и к неизвестные парамегры
Эмпирические формулы
21
2.3. Метод наименьших квадратов
Рассмотрим вторую часть задачи о подборе эмпирической формулы -задачу о нахождении оптимальных значений ее параметров. Выбор оптималь-иых параметров зависит от того, каким образом определяется расхождение между опытными величинами и значениями, полученными по эмпирической формуле.
Лежандр предложил подбирать коэффициенты эмпирической функции таким образом, чтобы сумма квадратов всех уклонений значений функции от опытных данных была наименьшей.
Пусть эмпирическая формула имеет вид: у »/(x,ao,tfi,...,aw) и - f(xbaQ*a\*"*am) ~ У! ’ уклонения при всевозможных значениях х, У! взята из таблицы 2,1). Наилучшими параметрами а/ считаются те, для которых сумма:
п п 2
S(a0,...,am) = Xе? = (2.1)
»=1 <=1
будет минимальной. Определение параметров при такой мере расхождения между опытными и теоретическими значениями носит название метода наименьших квадратов.
Чтобы найти требуемые коэффициенты, используем необходимый признак экстремума функции нескольких переменных. Приравняем частные производные первого порядка функции 5(До»аь-->ат) нулю. Для определения коэффициентов получается система уравнений:
= ' ,ат)~= °’
......................................... (2.2)
= 2$лх‘'а°....= °-
Проще всего система (2.2) выглядит для линейной зависимости у t/о ч- r/| v В ней два параметра Uq и и, следовательно, в системе бу-
Раздел .2
дет всего два уравнения:
dS
п
/ = 1
dS да^
п
= ^2(ао+а1х1~У^'х1 “°-/=1
После преобразований получается:
п п
+ *1Е^ = /=1 /=1
i=l /-1 /=1
V
Известно, что главный определитель такой системы отличен от нуля. Поэтому коэффициенты , а\ определяются однозначно.
2
Если эмпирическая формула имеет вид у = «о + а\х + а1х , то параметры а о, «1, «2 находят из следующей системы уравнений:
п п п
а0‘п +elZX< +а2^Х»? = »=1 i=l i=l
п п п п
• a0^xi + а. ТА + а2Тх^ = i=l /=1 /=1 /=)
п п п п
/=| /=1 1=1 /=1
Эмпирические формулы
23
2.4. Способы сведения эмпирической формулы к линейной
Если зависимость между величинами х и у не является линейной или параболической, то для подбора оптимальных параметров эмпирической формулы переходят с помощью подходящей замены переменных к линейной или параболической функции. Неизвестные параметры после этого определяют с помощью метода наименьших квадратов.
Рассмотрим примеры таких преобразований:
b
1. Пусть дана эмпирическая формула у~а + ~. Вводя новую перемен-ную t - 1 / х, получим из эмпирической формулы линейную функ-. цию у = а + bl. Составим таблицу значений для переменных t и у. Значения Г/ найдем с помощью таблицы 2.1 по формуле: /, = 1 / х^, а значения У! оставим прежние. Тогда неизвестные параметры at b можно определить, применяя метод наименьших квадратов к линейной зависимости: y = a + bt,
2. Проанализируем эмпирическую формулу у~ах\ Прологарифмируем ее: In j = In а + /> In х . Обозначим z = In у А = In a, t = In х. Получим линейную зависимость z ~ А + Ы. Вычислим значения переменных соответствующие X/, у^ и будем искать коэффициенты А, b у линейной зависимости. Вычислив A, b, определим а по формуле а-е .
3. Рассмотрим выражение У = Логарифмируя, найдем In у = Ina + bx, Обозначим z = In у, А ~ In а. Получили линейную функцию z = А + bx. Вычислим значения z,, соответствующие yt. Будем искать коэффициенты А, b линейной зависимости z = А + bx. Значение а найдем по фор-
4 А
муле a = е .
с
4 Рассмогрим функцию ^ ~~axVb Переворачивая дробь, получаем равен-
I их + b a b 1 а b
ст во - — у + — Обозначим * = “”<» Л = —\ и пре-
у с с с у с с
24 , Раздел 2
образуем эмпирическую формулу к линейному выражению z ~ Ах + В. Вычислим значения z,, соответствующие У}. Коэффициенты линейной зависимости z = Ах + В найдем по методу наименьших квадратов.
2.5. Оценка точности эмпирической формулы *
При нахождении эмпирической формулы, используют понятие среднеквадратичного уклонения, Эта величина определяется выражением:
где -сумма квадратов уклонений из формулы (2.1). Среднеквадра-
/ = 1
тичное уклонение показывает примерную величину отклонения опытных значений от теоретических, полученных по эмпирической формуле.
Каждое измерение в эксперименте производится с некоторой noipeiuкостью и табличные значения функции у = у(х) отличаются от истинных. Одной из задач построения эмпирической формулы является сглаживание случайных погрешностей измерений путем подбора такой зависимости между переменными х и у, которая наилучшим образом приближает не только исходные, но и промежуточные значения. Величину е используют при этом для определения пригодности эмпирической зависимости. Если ее значение примерно равно погрешности экспериментальных данных и число параметров формулы много меньше чем точек я таблице, то формулой можно пользоваться. Если величина среднеквадратичного уклонения £ много больше, либо много меньше, чем погрешности исходных значений, то следует поискать другой, более подходящий, вид эмпирической формулы.
Когда число параметров формулы совпадает с числом точек в таблице, то эмпирическая формула переходит в интерполяционную. Если исходные значения измерены с большой погрешностью, то подобная формула их не сглаживает, а просто повторяет, т.к. ее значения совпадают с измеренными значениями в узлах интерполяции. Среднеквадратичное уклонение в этом случае, очевидно, равно нулю.
Эмпирические формулы
25
Пример 2.3. При определении зависимости электрического сопротивления 7? проводника от температуры t получена таблица значений:
t°C | 19,1 25,0 30,1 36,0 40,0
R<)m 1 76,30 77,80 79,75 80,80 82,35
45,1
83,90
50,0
85,10
Требуется найти эмпирическую формулу, определить методом наименьших квадратов ее параметры и вычислить среднеквадратичное уклонение.
Решение. Выберем систему координат, удобные единицы масштаба, построим точки (Т/, R{), рис. 2.2:
90
85
80
75
70
15 20 25 30 35 40 45 50 55
Температура t°C
Рис. 2.2
На графике видно, что точки лежат вдоль некоторой прямой. Возьмем за эмпирическую формулу функцию R = • t.
Ее два параметра , а1> определим из системы уравнений:
7 7
ао7 +«iEo = /=1 »=1
7 7 7
«оЕо + °iE'2 = Хм »=1 i=i г=1
(2.3)
Чюбы найти коэффициенты этой системы, проделаем предварительные расчеты, роулыаты которых сведем в следующую таблицу
26
Раздел 2
Таблица 2.2
1 п 6 Rj 4
1 19,1 76,30 364,81 1457,33 76,26 -0,04 0,0016
1 2 25,0 77,80 625,00 1945,00 77,96 0,16 0,0256
3 30,1 79,75 906,01 2400,47 79,43 -0,32 0,1024
4 36,0 80,80 1296,00 2908,80 81,13 0,33 0,1089
5 40,0 82,35 1600,00 3294,00 82,28 -0,07 0,0049
6 45,1 83,90 2034,01 3783,85 83,75 -0,15 0,0225
7 50,0 85,10 2500,00 4255,00 85,16 0,06 0,0036
i 245,3 566 9325,83 20044,495 0,2695
Последняя строка таблицы содержит коэффициенты системы. Подставляя их в систему (2.3), получаем:
7ац + 245,3^1 = 566, 245,3ао + 9325,83^ = 20044,495.
Главный определитель системы А = 5108,75 отличен от нуля. Применяя правило Крамера для решения систем линейных уравнений, найдем неизвестные коэффициенты:
Да0 = 361505,2 , Aat = 1471,67 ,
а0 = 70,76, = 0,288 .
Окончательный вид эмпирической формулы: R = 70,76 + 0,288 /.
Для вычисления среднеквадратичного уклонения заполним последние три столбца таблицы 2.2:
/?(/>) - зна1' ния, полученные по найденной эмпирической формуле в точках С,
= Rj - R(tj) - уклонения между опытными и теоретическими значениями.
Суммируя значения последнего столбца, вычислим среднеквадратичное уклонение:
11 Л , / 0,2695 ,------
£= J = ^85 =0.196
Эмпирические формулы
27
2.6. Варианты заданий для самостоятельной работы
При проведении опыта получена таблица значений двух величин. Задана эмпирическая формула, которая в пределах опыта достаточно точно определяет * зависимость между ними.
Требуется, используя метод наименьших квадратов, найти параметры эмпирической формулы, вычислить среднеквадратичное уклонение и постро-, ить на одном чертеже графики эмпирической и табличной зависимости.
1. Опыты Реньо привели к следующей зависимости между коэффициентом расширения ртути а и температурой /°C :
t°C 0 100 150 200 250 ЗСО 360
аЮ8 18179 18216 18261 18323 18403 18500 18641
2
Эмпирическая формула: a = a>t + b*t + с.
2. Зависимость от абсолютной температуры 0° количества безводного хлористого аммония 5 (в граммах), способного раствориться в 100 г воды, приведена в таблице:
(Г 273 283 288 293 313 333 353 373
S 29,4 33,3 35,2 37,2 45,8 55,2 65,6 77,3
Эмпирическая формула: 5 = к0&.
3. При исследовании зависимости давления Р(кГ / ам2) насыщенного пара от удельного объема v(m* / кг), составлена таблица:
_Л23_ 1,63 0,87 0,43 0,27 0,17 0,12
р 0,48 1,04 2,03 4,25 7,16 11,48 17,60
Эмпирическая формула Р - и
28 Раздел 2
4. Для падающего в воздухе парашюта получены результаты наблюдений над зависимостью между скоростью У(м/сек) и давлением Р(кГ1см2) на поверхности парашюта:
V 2,40 3,50 5,20 6,89 10,00 12,55 13,67
р 0,014 0,028 0,056 0,119 0,225 0,314 0,567
2
Эмпирическая формула: P=a + bV .
5. Небольшая паровая машина тройного расширения испытывалась при семи различных постоянных нагрузках каждый раз в течение трех часов. В таблице приведены данные этого эксперимента:
j 36,8 31,5 26,3 21,0 15,8 12,6 м
5,67 5,85 5,94 6,03 6,40 6,58 7,39
]¥(кг) ~ количества пара потребовавшегося в течение часа на 1 л.с. в зави-
симости от нагрузки,
J - индикаторная мощность машины в л.с.
Эмпирическая формула: В7 » а + ~,
6. Опыты с намагничиванием железа дали результаты, приведенные в таблице:
Н 3,8 7,0 9,5 11,3 17,5 31,5 45,0 64,0
В 10,0 12,5 13,5 14,0 15,0 16,0 16,5 17,0
Я- напряженность поля в амперах на 1 см, В - магнитная индукция в тысячах гаусс.
Эмпирическая формула: В = —— .
\7уВ опыте изучалась зависимость скорости корабля от мощности двигателя , результаты измерений приведены в таблице:
к 7
К 8 10 12 14 16 17 18
W 1000 1900 3300 5400 9000 11400 15600
г г •; * «.
И - скорость корабля в узлах, W - мощность в л.с. г
Эмпирические формулы
29
2
Эмпирическая формула: V « а 4- bW .
, 2
8. В опыте изучалась зависимость между давлением Р(кГ / см ) и объе-мом У(м ) насыщенного пара. Результаты измерений приведены в таблице:
V 1,034 1,232 1,462 1,725 2,027 2,370 2,760 3,198
р 1,650 1,398 1,191 1,026 0,876 0,756 0,656 0,671
Эмпирическая формула:
9. Дана опытная зависимость характеристики вольфрамовой лампы 1(a) от напряжения v(e):
V 2 8 16 25 50 64 100 150
I 0,024 0,057 0,085 0,112 0,171 0,200 0,260 0,329
Эмпирическая формула: / » а • vb.
10. Закон охлаждения тела, сформулированный Ньютоном, представляет эмпирическую формулу: 0° » а • е~° , где
0° - разность температуры нагретого тела и окружающей среды,
1(мин) - время от начала опыта.
Результаты опыта приведены в таблице:
t 0,00 3,45 10,85 19,30 28,80 40,10 53,75 70,95
е0 19,9 18,9 16,9 14,9 12,9 10,9 8,9 6,9
11. В эксперименте изучалась характеристика вольтовой дуги длинной 4 мм, интересовались зависимостью разности потенциалов v(e) от силы тока 1(a). Результаты эксперимента приведены в таблице:
/ 2,46 2,97 3,445 3,96 4,97 5,97 6,97 7,97
V 67,70 65,00 63,00 61,00 58,27 56,25 55,10 54,30
Эмпирическая формула. v
Раздел 2
30
л.
12. При перестановке вагонов маневровым локомотивом из одною района станции в другой определялось время 1(мин) одного полурейса в зависимости от числа вагонов в составе тс. Данные наблюдений приведены в таблице: _________________________________________________________________
тс V 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42
t _У_ 5.2 5,8 6,3 го _L2_ 8,3 8,8 9.5 10,0
Эмпирическая формула: г = а 4- b * тс.
13. В таблице приведены данные наблюдений о времени расформирования состава с горки:
тс 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45
t- _А2_ 7,5 _М_ 10,1 11,0 11,8 12,6 13,3 14,0
тс - число вагонов в составе, / - время расформирования в минугах. а .
Эмпирическая формула: * ~ + °.
14. В таблице приведены результаты наблюдений за п - числом групп вагонов, поступающих на данный путь сортировочного парка станции, от т -числа вагонов в группе:
т 2 4 6 8 10 12
п 40 2Ь 13 7 9 2
Эмпирическая формула: п = ае^т.
15. В эксперименте изучалась зависимость между мощностями на концах гидравлической трансмиссии. В таблице приведены результаты наблюдений:
Ри 100 150 200 250 300 350 400 450 500
96,5 138 172 196 206 297 308 356 397
Ри(я.с.) - исходная мощность, приложенная на одном конце линии передачи,
Рп(л.с.) - полезная мощность, полученная на друюм конце.
Эмпирическая формула. Рп = а 4- Ьри .
Эмпирические формулы
31
16. Изучались свойства линзы. В таблице приведены результаты наблюдений:
X 320 240 180 140 120 100 80 60
р 21,35 21,80 22,50 23,20 23,80 24,60 26,20 29,00
х(мм) - расстояние от линзы до предмета, Р(лш) - расстояние от линзы до его изображения.
п х
Эмпирическая формула: Р - •
17. При исследовании некоторой химической реакции через каждые 5 минут определялось количество вещества, оставшегося в системе. Результаты измерений приведены в таблице:
t 7 12 17 22 27 32 37 42
А 83,7 72,9 63,2 54,7 41,4 36,3 32,1
t - время после начала реакции в мин, А - количество вещества в процентах.
b
Эмпирическая формула: Л - а + у.
18. Изучалась зависимость коэффициента сцепления электровоза по-' стоянного тока с рельсом от его скорости V(km/h). В таблице приведены результаты наблюдений:
V 50 60 70 80 90 100 ПО 120
0,296 0,290 0,285 0,281 0,277 0,274 0,271 0,268
Эмпирическая формула:
19. Изучалась зависимость магнитной индукции от напряженности магнитного поля (опыты с намагничиванием железа). Результаты приведены в таблице'
н 8 10 15 20 30 40 60 80
в 13,0 14,0 15,0 16,3 17,2 17,8 18,5 18,8
/7 - напряженность поля в амперах на I см,
32
Раздел 2
В - магнитная индукция в тысячах гаусс.
Эмпирическая формула:
.
а + ЬН •
20. Конденсатор, заряженный до напряжения С/О = 100я, разряжайся через некоторое сопротивление. Зависимость напряжения U(e) между обкладками конденсатора от времени /(с) представлена в таблице:
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
и 100 75 55 40 30 20 15 10 10 5 5
Эмпирическая формула: U = at.
21. Удельное электрическое сопротивление молибдена р в зависимости от* температуры t характеризуется данными таблицы:
t 22,89 21,32 19,88 18,30 14,94 12,86 11,78
Р 61,97 57,32 52,70 47,82 37,72 32,09 28,94
р - измеряется в микроомах на см, t - в градусах. Эмпирическая формула: р~а + bt.
22. Себестоимость у(рублей) одного экземпляра книги в зависимости от тиража х(тысяч экземпляров) характеризуется данными, собранными издательством:
X 1 2 3 5 10 20 30 50 100 200
10,15 5,52 4,08 2,85 ALL 1,62 _М1_ 1,30 1,21 U5
b
Эмпирическая формула: д/ = а + —
23. Результаты некоторого эксперимента представлены в таблице:
t 1. 2 3 4 5 6 7 9
S 15,3 20,5 27,4 36,6 49,1 65,6 87,8 117,6
Эмпирическая формула: ' s - а-е
Эмпирические формулы
33
24. Результаты некоторого эксперимента представлены в таблице:
X 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
У 1,30 1,44 L59 1,78 1,97 2,19 2,46 3,06 3.42 3,84
* Эмпирическая формула: у-а-е
25. Результаты некоторого эксперимента представлены в таблице:
t 273 283 288 293 313 333 353 373
S 15,3 33,3 35,2 37,2 45,8 55,2 65,6 77,3
Эмпирическая формула: S = a-tb.
26. Результаты некоторого эксперимента представлены в таблице:
t 2 5 8 11 14 17' 27 31
_2_ 94,8 87,9 81,3 74,9 68,7 64,0 49,3 44,0
Эмпирическая формула: у = а*,
27. Результаты некоторого эксперимента представлены в таблице:
j 36,8 31,5 26,3 21,0 15,8 12,6 8,4
W 5,67 5,85 594 6.03 6,40 6,58 7,39
Эмпирическая формула: IF - а + .
28. Результаты некоторого эксперимента представлены в таблице:
V 120 131 140 161 174 180 200 214 220
Q 540 590 670 760 850 970 1070 1180 1270
2 Эмпирическая формула: Q - a* +bv + c.
29. Результаты некоторого эксперимента приведены в таблице.
X 2 3 4 5 6 7 8 9 _ 396,9
19,6 44,1 78,4 122,5 176,4 240,1 313,о
34 Раздел 2
i 4
Эмпирическая формула: у » а • .
30. Результаты некоторого опыта представлены в таблице:
X 273 283 293 313 333 353 373
У 29,4 33,3 37,2 45,8 55,2 65,6 77,3
Эмпирическая формула: у = ах + Ь.
Порядок выполнения работы
1. Перейти с помощью преобразований от заданной нелинейной зависимости к линейной. Используя исходную таблицу с данными Х/, составить для нее таблицу значений Xj, Yi для линейной зависимости.
2. Взязь прямоугольную систему координат, подобрать масштаб, построить точки (Xj, Yj) из таблицы линейной зависимости.
3 Проверить правильность выбора эмпирической формулы: точки (X,, Yj) должны располагаться примерно вдоль некоторой прямой.
4. Найти методом наименьших квадратов коэффициенты в линейной зависимости, перейти к коэффициентам нелинейной эмпирической формулы и записать эту формулу для исходной таблицы в виде функции
У - А*) •
5. Найти уклонения эмпирической зависимости от значений исходной таблицы Ъ =/(Xj)-yif i ~ 1,2,
_ IJL v 2
6 Вычислить среднеквадратичное уклонение: Б -J у п i = I
7. Построить график эмпирической формулы и на этом же чертеже нанести точки (Xj, yj) исходной таблицы.
2.7. Варианты индивидуальных заданий
По результатам наблюдений, проведенным на железнодорожной станции, составлена таблица зависимости времени расформирования составов на сортировочной горке от числа вагонов в составе
(ребуется найги зависимосзь времени расформирования /(мин) от числа
а ?
Bai онов т в виде трех формул, / = am т b, t - — b ч / = ат г Ьт + с
Эмпирические формулы
35
Вычислить среднеквадратичные уклонения и выбрать наиболее подходящую эмпирическую формулу. Построить графики эмпирических зависимостей вместе с точками исходной таблицы.
/ - номер варианта,
т - число вагонов в составе грузового поезда,
1(мин) - время расформирования состава (приведено в строчках таблицы с номером варианта).
i т
20 24 28 32 36 40 44 48 52 54
•
1 11,2 13,1 14,8 16,5 18,1 19,6 21,0 22,3 24,2 25,6
2 9,8 10,4 10,9 п,з Н,7 12,1 12,4 12,8 13,6 14,2
3 6,0 7,1 8,5 9,8 11,5 12,0 13,5 14,3 15,5 16,1
4 1 5’3 6,5 7,8 9,5 11,6 14,1 17,1 20,0 21,5 23,2
5 j 10,0 10,7 11,1 И,5 П.8 12,0 12,2 12,3 12,8 13,0
6 1 11,0 12,7 14,4 16,0 17,6 19,1 20,6 22,1 23,5 24,2
7 1 5>° 5,7 6,7 7,5 8,1 8,9 9,9 10,6 П.5 12,8
8 1 10,8 12,3 13,6 14,9 16,1 17,2 18,2 19,1 20,3 21,5
9 12,2 12,7 13,2 13,7 14,3 14,9 15,5 16,1 17,1 18,5
10 12,0 12,8 13,4 13,9 14,2 14,5 14,7 14,9 15,3 16,1
и 12,2 14,1 15,8 17,5 19,1 20,6 22,0 23,3 25,2 26,6
12 10,8 11,4 11,9 12,3 12,7 13,1 13,4. 13,8 14,6 15,2
13 7,0 8,1 9,5 10,8 12,5 13,0 14,5 15,3 16,5 17,1
14 6,3 7,5 8,8 10,5 12,6 15,1 18,1 21,0 22,5 24,2
15 11,0 11,7 12,1 12,8 13,0 13,2 13,3 13,8 14,2 15,6 1
16 12,0 13,7 15,4 17,0 18,6 20,1 21,6 23,1 24,5 25,2 |
17 6,1 6,8 7,8 8,5 9,1 9,9 10,9 11,6 12,4 13,7 |
18 11,8 13,4 14,6 15,9 17,1 18,2 19,3 20,1 21,5 23,4 |
19 13,2 13,7 14,3 14,8 15,6 16,0 16,5 17,1 18,2 19,2 I
20 13,0 13,8 14,4 14,9 15,7 15.9 16,0 16,1 17,3 17,9 j
21 13,2 15,1 16,8 18,5 20,1 21,6 23,0 24,3 25,6 27,0
22 11,8 12,4 12,9 13,3 13,7 14,1 14,4 14,8 15,2 16,0
23 8,0 9,1 Ю.5 11,8 13,5 14,0 15,5 16,3 18,2 19,7
24 7,3 8,5 9,8 11.5 13,6 16,1 19,1 22,0 23,4 24,8
25 12,0 12,7 13,1 13,5 13,6 14,0 14,2 14,5 15,6 16,0
26 13,0 14,7 16,4 18,0 19,6 21,1 22,6 24,1 25,8 26,7
27 7,0 7,7 8,7 9,5 10,1 10,9 11,9 12,6 13,7 14,0 j
28 12,8 14,3 15,6 16,9 18,1 19,2 20,2 21,1 23,2 24,5
29 14,2 15,7 16,2 16,7 17,3 17,9 18,6 19,1 20,5 21,7
30 14,0 14,8 15,4 15,9 16,2 16,5 16,7 17,0 17,8 М&араАШЖпзк к 18,5
3. Системы случайных величин
3.1. Зависимость случайных величин. Уравнение регрессии
Результаты опыта часто описываются не одной величиной, а двумя и более. Две случайные величины X и К, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин или двумерную случайную величину (У, К) Геометрически двумерную случайную величину (У,У) можно представить как случайную точку С(ХХ) на плоскости (т.е. как точку со случайными координатами).
Примеры:
1. Станок-автомат штампует стальные плитки. Контролируемь$^)азмера-ми являются длина X и ширина У, образующие двумерную случайную величину (XX).
2. Метеорологическая обстановка на определенный день характеризуется температурой воздуха, давлением, влажностью, образующими систему грех случайных величин.
3. При стрельбе из орудия фиксируется абсцисса X и ордината Y точки падения снаряда, которые образуют двумерную случайную величину (ЛУ>.
4 Если X - курс доллара по отношению к рублю, a Y - величина средней заработной платы в России, то можно изучать двумерную случайную величину (XX-
Законом распределения дискретной двумерной случайной величины (XX) называется перечень возможных значений этой величины, т.е пар чисел (*/,У/), и их вероятностей ), (/ = 1,2, ..., и, у - 1,2, .. , т).
Обычно такой закон задают в виде таблицы. Первая строка таблицы содержит все возможные значения составляющей X, а первый столбец - все возможные значения составляющей Y. В клетке, стоящей на пересечении
Системы случайных величин
’’столбца х$" и ’’строки yf\ указана вероятность того, что дву-
мерная случайная величина примет значение (*/, yj ).
Таблица 3 1
У \ X X} Х2 Xj pixhy})
V] PtXi.yO Р(Х2,У\) ... p(xn,yi)
У2 Р(Х\,У2) р(х2,У2) • • p(xhy2) Р(х„,У2)
yj р(хьу/) p(x2,yj) •• Ptxi,yj) ... p(xn,yj)
«• • • • • • •. «• • . • *
Ут р(х\,ут) ... P<Xi,ym) Р(хт Ут)
Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из составляющих. Действительно, например, события (X = Х|» Y = Ji), (X = *1, У Уг \ • •• , (X - -Ч, У = ут) несовместны, поэтому вероятность p(*i) того, что X примет значение *],по теореме сложения такова:
/4*1) = р(х\,У\) + Р(хьу2) + ... +p(xi,ym).
Таким образом, вероятность того, что X примет значение Xj, равна сумме вероятностей ’’столбца X) ”. В общем случае, для того, чтобы найти вероятность р(Х х,) нужно просуммировать вероятности “столбца хр*. Аналогично, сложив вероятности “строки Уj", получим вероятность р(У ж yj)
Числовые характеристики случайных величин X и У находят по стандартным формулам.
Математические ожидания:
п <т
М(Х)= тх = '£ixipi, = ту =^yjPj , (3
дисперсш^^^
£)(.¥) = М(Х2)- т2,
' D(Y)= М(У2)-т2у -, (3.2)
средние квадратические отклонения:
<7Х = ДХ),
ау = ДХУ)
38
Раздел 3
Для люб^ю двумерного дискрегного распределения справедливо равенство:
i j
/ При изучении систем случайных величин следует обращать внимание степень и характер зависимости между ними.
у В теории вероятностей мы встречаемся с вероятностной или стохастической зависимостью, когда, зная значение X, нельзя точно указать значение К, а можно указать только ее закон распределения, зависящий от того, какое значение приняла величина X.
Одним из важных понятий теории вероятностей является понятие о независимых и зависимых случайных величинах.
Случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое’ значение приняла другая. В противном случае величины X и Y называются зависимыми.
Понятие зависимости случайных величин тесно связано с условными законами распределения.
Условным законом распределения одной из величин (X,Y)> входящих в систему, называется ее закон распределения, найденный при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение.
Для дискретных случайных величин условные законы распределения представляют в виде таблиц:
а) закон распределения Y при условии, что Х~х^
У1
У2
рО'!хО
р{у\1х<) p(yzlxi)
Ут
Р(Ут1х0
где i = 1,2,..., п ;
б) закон распределения X при условии, что Y- У/,
/ 1,2,
Системы случайных величин
39
Вероятности в этих таблицах определяют по формулам:
Зная условные законы распределения, вычисляют условные математические ожидания случайных величин X и Y:
т
M(Y/X = xt) = YLyj^yj 1 xi^' j=l
n M(X/Y=yj) = 'Y,xiP^xil УА 4-4—
Вид и характер зависимости одной случайной величины от другой определяется с помощью понятия регрессии.
Регрессией Y на X называется функциональная зависимость условного математического ожидания случайной величины Y от значений, которые принимает случайная величина X. Уравнение у(х) = M(Y / X = л) называется уравнением регрессии У на X, а ее график - линией регрессии У па X.
Аналогично определяется регрессия и уравнение регрессии X на К .
Регрессией X на У называется функциональная зависимость условного математического ожидания случайной величины X от значений, которые принимает случайная величина Y. Уравнение х(у) = М(Х / Y = у) называемся уравнением регрессии X на У, а ее график - линией регрессии X на У.
При исследовании зависимости между случайными величинами X и Y определяют вид функции регрессии. Наиболее часто функции репрессии оказываются линейными Для их нахождения вычисляется корреляционный момент (ковариация)
Рху = W-V-zn, ХУ-
Агу
и коэффициент корреляции Рху = _ ' , где <хх * 0, ст у * 0.
На практике вычислять Рху удобнее по формуле:
XY) ~
(3 3)
40
Раздел 3
Тогда
Рху ~
M(XY)-mxmy
&х°у
Корреляционный момент есть характеристика системы двух величин (XX), описывающая связь между ними. Самое главное, что для независимых случайных величин корреляционный момент равен нулю Таким образом, отличие от нуля корреляционного момента есть признак наличия зависимости между ними.
' Определение. Две случайные величины X и Y называются коррелированными, если их корреляционный момент (или, что тоже самое, коэффициент корреляции) не равен нулю, *
Коэффициент корреляции всегда удовлетворяет неравенствам:
Рху 1 ’
Если I Р*у\ - 1, то величины X и Y связаны линейной функциональной зависимостью
Неравенство Рху ^0 указывает на наличие вероятностной зависимости между X и Y, При этом коэффициент корреляции характеризует не всякую, а только линейною зависимость. Именно, неравенство РХу > 0 указывает на то, что при\гшфастании одной случайной величины другая имеет тенденцию возрастагь, а если Рху < 0, то убывать пб линейному закону.
Если Рху ~ 0, то X, Y являются некоррелированными. Отметим, что при нормальном распределении величин X, Y понятия независимости и некоррелированности совпадают. В общем случае некоррелированные случайные величины могут быть зависимы.
Когда значение | Рху\ мало отличается от единицы, то практически можно считать, что X и Y связаны линейной зависимостью.
Если линия регрессии Y на X является прямой линией, то ее уравнением будет линейное уравнение вида
аУ
У~ ту= рху _--(х - тх) (3.4)
Ух
а для регрессии X на Y
х ~ ,пх = Рху (У ~ ) (з 5)
Системы случайных величин
41
Данные уравнения называются уравнениями линейной регрессии Г на X и X на К Если линия регрессии не является прямой линией, но значение I Рху\ >0,5, то в качестве приближенной формулы для линии регрессии можно взять уравнение линейной регрессии. Если линия регрессии - не прямая и !Pxyl< 0,5, то пользоваться уравнениями линейной регрессии не рекомендуется в виду плохого их совпадения с истинной регрессией.
3.2. Построение линии регрессии
Пример 3.1. Распределение вероятностей двумерной случайной величины (X,Y) задано таблицей:
Y \ X ол 0,2 , о.з
21 0,01 0,02 0,30
39 z 0,03 0,10 0,10
82 ' 1 0,20 0,20 0,04
Найти одномерные законы распределения составляющих величин X и У, вычислить их числовые характеристики, коэффициент корреляции рху. В чае I Pxyl > 0,5 записать уравнения линейной регрессии. Найги условные законы распределения, условные математические ожидания и построить линии регрессии.
Решение. Сложив вероятности "по столбцам", возможных значений X. р0М) ® 0,24, р(0,2) » 0,32, шем закон распределения составляющей Х\
получим вероятности р(0,3) = 0,44. Напи-
1 т 1 0,1 0,2 о,з
1 р 1 0,24 0,32 0,44 J
комтроль: 0,24 + 0,32 + 0,44 = 1 .
Сложив вероятности значений составляющей У:
"по строкам", получим вероятности возможных р(21) = 0,33, />(39) = 0,23, />(82) - 0,44.
42
Раздел 3
Закон распределения составляющей Y:
1 к I 21 39 82
| р | 0,33 0,23 0,44 II
контроль 0,33 0,23 + 0,44 - 1 .
Теперь вычислим Л/( X) = 0,1 • 0,24 + 0,2 • 0,32 + 0,3 ♦ 0,44 = 0,22 .
Дисперсию найдем по формуле (3.2):
М(Х2) = 0.I2-0,24 + 0,22-0.32 + 032-0,44 = 0,0548,
D(X) = 0,0548 - 0,222 = 0,0064, <тх = = V°.0064= 0,08.
Точно также M(Y) = 21 0,33 + 39 0,23 + 82 0,44 = 51,98, M(Y2) = 212 • 0,33 + 392 • 0,23 + 822 • 0,44 = 3453,92, /)(К) = 3453,9 -51,982 = 752,0 и = ДХУ) = л/752,0 = 27,42.
Чтобы вычислить корреляционный момент, воспользуемся при расчете формулой (3.3). Для этого предварительно составим ряд распределения произведения АТ:
2,1 0,01
Тогда
3,9 8,2 4,2 7,8 16,4 6,3 Н,7
0,03 0,20 0,02 0,10 0,20 0,30 0,10
0,04
M(XY) - 2,1 0,01 + 3,9 0,03 + 8,2 0,2 + 4,2 0,02 +7 ,8 0,1 + 16,4 0,2 + + 6,3-0,3 + 11,70,1 + 24,60,04 = 9,966,
Мху = 9,966-0,22-51,98 — 1,47.
Далее
Мху -1,47 Рху ~ <тх(г ~ 0,08 '27,42 “ "°’67’
Гак как | рХу\ ~ 0,67 > 0,5, в соответствии с формулой (3 4) запишем уравнение линейной регрессии Y на X.
Системы случайных величин 43
274 у - 51,98 = - 0,67 • ---й • (х - 0,22).
V,Uo
После преобразований у = 102,5 - 229,5 • х,
Аналогично, по формуле (3.5) для линейкой регрессии X на Y получа-
ем:
0,08
х- 0,22 = -0,67—^-51,98); А* /
после преобразований
л= 0,322-0,002>>.
Найдем условные законы распределения величины У, для этою вычислим условные вероятности:
jr=2l
//2/= 0,1; У = 21) 0,01 1
/>СГ = 0,1) ~ 0,24 ~ 24 ’
у = jo/ \ _ 0,03___________3
/* = 0,1/ “ 0,24 " 24’
v (yj/ ) J_ 2 2о_
Контроль L /х = xj = 24 + 24 + 24 “
Продолжая аналогично для остальных значений X, получаем условные законы распределения в виде таблицы:
Y 21 39 82 .
p{r/X = 0,l) 1/24 3/24 20/24
p(Y/X = 0,2) 2/32 10/32 20/32
p(y[X = о,з) 30/44 10/44 4/44
Вычислим условные математические ожидания:
44
Л/(У/АГ = 0,3) =
Раздел .3
.» I
214-3-394-20-82 1778 = 741
24
24
42 + 390 + 1640
32
2072
-ту- = 64,75,
6304-3904-328
44
= 30,64.
Итак, мы нашли зависимость условного математического ожидания от значений случайной величины А", т.е. регрессию У на X.
На координатной плоскости изобразим линии истинной и линейной регрессии Y на X (рис. 3.1):
“—Регрессия - • Линейная регрессия
Аналогично составим условные-законы распределения X на У:
1 X 0,1 0,2 0,3
р(х/У = 2') 1/33 2/33 30/33
f^X/Y = 39) 3/23 10/23 10/23
p(x/Y = &2) 10/22 10/22 2/22
Вычислим условные математические ожидания:
Системы случайных величин
45
ЛУ(У/У = 21) =
0,1+ 0,4+ 9 9,5
33 33
= 0,29,
0,3 + 2+3 5,3
Л/(%/У = 39) = —— = — = 0,23,
Л/(Х/У = 82) =
3,6
22
= 0,16.
Изобразим на рисунке (рис. 3.2) линии истинной и линейной регрессии X на Y:
3.3. Выборочная линейная регрессия
Статистическая задача о зависимости двух случайных величин решается аналогично примеру 3.1, разобранному выше.
Рассмотрим эту задачу для нахождения линейной регрессии
46
Раздел ,3
Пусть в результате неоднократных испытаний получена выборка значений двух случайных величин X и Y:
Таблица 3.2
Если неизвесгны вероятности то для решения вопроса о ли-
нейной зависимости величин X, Y вычисляют их выборочные числовые характеристики.
Выборочные средние:
I Д 1 А
= - L ’ у в = ~ Ё У1;
/=1 1-1
выборочные дисперсии и средние квадратические отклонения:
1 f X? -п /.1
-2
1 w /Л(У) = 11 у] - у2в п , / = 1
<^Х) = JdJJC),
о-в(Г) = J/W);
выборочный корреляционный момент Хху и выборочный коэффициент корреляции
п
Х^У/~пХяУв
к /=1 ^ХУ
Кху = --------------, = ---------.
" <7в(*)ав(П
Если lrxyl близок к единице, то составляют выборочные уравнения линейной регрессии:
стя(Г) _ °в(Х), -
У~У* ГхУ '<т„(Х){Х Хв)' Х ~Хв " Г*У'0~(У){У~Ун)' (36)
О линейной зависимости между X и Y можно судит ь также по графическому изображению корреляционного почя. Для этого на плоскости в системе координат строят точки из таблицы 3 2 (рис. 3 3).
Системы случайных величин
47
Ь)
Рис. 3.3
Если точки располагаются вдоль некоторой воображаемой прямой (случай а), то стоит искать линейную регрессию, в случае (Ь) зависимость не является линейной, а для (с) можно предположить, что X и Y независимы.
Пример 3,2. Результаты 10 испытаний для системы двух случайных величин (%,У) приведены в таблице:
X 19,6 11J 9,4 16,9 13,7 4,9 13,9 9,4 8,3 5,3
Y 20,8 11,3 11,6 19,2 13 7,4 15,1 14,4 11,1 7,2 J
Требуется вычислить их выборочные числовые характеристики и в случае найти уравнение выборочной линейной регрессии У на X.
Решение. Для величин X и У вычислим выборочные средние:
1 Д
= - Ё xi’ = П.25
~ Ёл = 13,11 . /= 1
Найдем выборочные дисперсии и средние квадратические отклонения:
1 " /ЭЙ(Х).= - £ х1 2 - х2 = 20,6 ,
Д,(О = -Ез'/?-Ув= 17,9,
о'в(А') = 4,54,
ств(У) = 4,23 .
48
Раздел 3
Найдем выборочный коэффициент корреляции:
Х/У, - п хв ув
i = l__________________1656,53-10 11,25-13,11
п ae(X) cre(Y) ~ 10-4,54-4,23
Так как выборочный коэффициент корреляции близок к единице, то можно считан», что X и К связаны линейной зависимостью. Выборочное уравнение линейной регрессии Y на X в соответствии с формулой (3.6) имеет вид:
4 23
у - 13,11 = 0,946---’--(х-11,25)
или после преобразования:
у = 3,194 + 0,881 х.
На координатной плоскости изобразим точками полученные в результате испытаний пары значений случайных величин и построим линию регрессии (рис. 3.4):
• Результаты испытании Линия регрессии
Рис. 3.4
Системы случайных величин
49
3.4. Варианты индивидуальных заданий
Задание 1. Распределение вероятностей двумерной случайной величины (А', У) задано таблицей. Найти одномерные законы распределения составляющих величин X и Y, вычислить их числовые характеристики, коэффициент корреляции Рху- В случае IPxjJ >0,5 записать уравнения линейной регрессии. Найти условные законы распределения, условные математические ожидания и построить линии регрессии.
Y\X 0,1 0,2 0,3
6,7 0,15 0,10 0,02
14,0 0,06 0,25 0,08
26,0 0,01 0,03 0,30
1.2
Y\X 2 3 4
3,6 0,16 0,10 0,02
11,0 0,05 0,26 0,08
22,9 0,01 0,02 0,30
Y\X 1 2 3
2,0 0,15 0,15 0,01
5,5 0,02 0,38 0,02
12,0 0,01 0,01 0,25
1.4
Y\X 0,1 0,2 0,3
0,67 0,15 0,02 0,08
1,40 0,01 0,25 0,10
2,50 0,06 0,03 0,30
Y\X 2 4 6
1,0 0,20 0,10 0,01
3,5 0,02 0,36 0,04
5,0 0,01 0,01 0,25
1.6
r\x 0,2 0,3 0,4
0,5 0,05 0,20 0,04
1,0 0,04 0,30 0,05
3,0 0,01 0,01 0,30
1 7
Y\X 0,1 0,2 0,3
2 2 0,01 0,02 0,08
3,9 0,03 0,10 0,15
7,8 0,06 0,30 0,25
1.8
Y\X 2 4 10
0,5 0,02 0,05 0,35
2,0 0,03 0,20 0,05
2,5 0,25 0,03 0,02
1.9
Y\X 1,5 3,5 5,5
0,5 0,20 0,10 0,01
3,0 4,5 0,02 0,01 _0,36_ 0,01 0,04 0,25
1.10
Y\X 1 3 6
0,2 0,35 0,01 0,02
o,6 0,03 0,25 0,05
1,0 0,02 0,02 0,25
50
Раздел 3
1.11 1.12
Y\X 2 4 5 Y\X 6 7 10
1,0 0,01 0,02 0,03 2 0,40 0,10 0,02
1,5 0,02 0,25 0,40 5 0,03 0,03 0,30
3,0 0,25 0,01 0,01 6 0,02 0,04 0,06
1.13 1.14
Y\X 20 40 50 Y\X 10,0 11,4 12,0
о,1 0,03 0,03 0,01 1 0,20 0,02 0,01
0,4 0,40 0,05 0,04 4 0,02 0,23 0,20
0,8 0,02 0,02 0,40 5 0,01 0,06 0,25
1.15 1.16 —
YVX 1 3 5 Y\X 1 4 6
0,2 0,30 0,02 0,01 4 0,01 0,04 0,30
0,6 0,02 0,20 0,07 5 0,10 0,20 0,10
0,8 0,01 0,02 0,35 6 0,20 0,04 0,01
1.17 1.18
Y\X 2 3 4 Y\X 1,00 2,25 3,50
0,1 0,30 0,02 0,01 1,0 0,30 0,02 0,01
0,5 0,10 0,20 0,10 1,5 0,05 0,25 0,03
_LL_ 0,01 0,01 0,25 2,0 0,01 0,03 0,30
1 19 1.20
Y\X 15 20 40 Y\X 0,5 1,0 2,5
1 0,01 0,02 0,14 1 0,20 0,03 0,01
2 0,03 0,04 0,14 2 0,20 0,31 0,02
4 0,35 0,25 0,02 4 0,01 0,02 0,20
1.21 1.22
Y\X 5,5 7 8 Y\X 1,5 4,5 6,0
0,1 0,01 0,02 0,22 15 0,25 0,02 0,01
0,2 0,02 0,2 0,20 30 0,02 0,20. 0,04
0,30 0,02 0,01 40 0,01 0,20 6,25
1 23 1.24
Y\X 0,10 0,20 0,25 Y\X 2 3 6
5,0 0,20 0,02 0,01 1,0 0,01 0,02 0,2
6,0 0,10 0,15 0,02 1,5 0,02 0,04 0,25
L 7,5 0,01 0,24 0,25 ^4,0 0,25 0,20 0,01
Системы случайных величин
51
1.25
Y\X 0,5 0,8 1,0
10 0,27 0,03 0,02
20 0,02 0,10 0,25
25 0,01 0,03 0,27
1.26
Y\X 3 5 9
0,2 0,20 0,04 0,01
о,3 0,20 0,20 0,02
0,7 0,01 0,02 0,30
1.27
Y\X 7 8 10
2,2 0,01 0,03 0,30
2,6 0,02 0,19 0,02
3,0 0,30 0,12 0,01
1.28
Y\X 0,1 0,4 0,5
2 0,25 0,02 0.01
5 0,04 0,16 0,05
8 0,01 0,15 0,30
1.29
Y\X 10 12 15
1,0 0,01 0,02 0,30
3,0 0,04 0,28 0,02
4,5 0,28 0,04 0,01
1.30
Y\X 1 2 3
0,5 0,30 0,04 0,01
2,0 0,04 0,25 0,05
0,01 0,05 0,25
Задание 2. Результаты 10 испытаний для системы двух случайных величин (XX приведены в таблице. Требуется вычислить их выборочные числовые характеристики, найти выборочный коэффициент корреляции и в случае | Гху| > 0,5 найти уравнение выборочной линейной регрессии Y на X. На координатной плоскости изобразить точками значения двумерной случайной величины (XX и построить линию регрессии.
2.1
X 2,26 2,24 2,24 2,20 2,13 2,13 2,06 2,16 2,06 1,92
Y 5,94 6,12 6,11 6,12 6,55 6,35 6,69 6,38 6,50 6,91
2.2
X 1,80 2,00 2,14 2,19 2,50 1,20 1,31 1,40 1,61 J.,74_
9,7 10,7 11,8 12,7 15,3 5,4 7,6
2.3
X 5,0 4,5 3,5 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 . 0.2 0,0
Y 1,67 1,82 2,22 2,86 3,33 4,01 5,40 6,67 8,33 8,99
52
Раздел.3
Системы случайных величин ______________________ 53
2 4
X 1,44 1,59 1,78 1,97 2,19 2,46 2,74 3,06 3,42 3,84
Y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2.14
X 3,0 3,1 3,4 3,5 3,8 _A°„ 4,2 4,3 4,4 Л5_
Y 8,0 7,5 7,0 _L0_ 7,0 6,0 6,0 5,5 5,5
2.5
X 12,0 13,1 14,0 16,1 17,4 18,0 20,0 21,4 21,9 25,0
Y _м_ _^9_ _AZ_ 7,6 8,5 9,7 10,7 11,8 12,7 15,3
2.15
X -1,0 -0,5 0,0 1,0 1,2 2,0 2,3 2,5 2,8 3,0
Y 2,5 3,0 3,1 4,0 4.0 4,6 4,6 4,8 5,0
X 0,67/1 0,85 1,07 1,18 1,27 1,39 1,53 1,60 1,78 2,03
LyJ 1,40 2,00 2.14 2.19 2,41 2,50 2,68 2,81 3,00
2.16
1.0 3,0 5,0 6,0 7 3 8,0 8,5 9,0 10,0 12,0
Y 3,0 4,6 6,4 7,0 8,4 9,0 10,0 10,0 12,0
2.7
_х_ 19,2 14,8 19,6 13,7 16,9 9,4 11,1 4,9 5,3 7,9
21,8 15,4 20,8 13,0 19,2 11.6 11,3 7,4 7.2 10.5
28
X _ 3.3 3,4 3,4 3,6 3,7 3,8 3,8 3,9 3,9 4,0
Y 0,27 0,42 0,32 0,28 0,37 0,38 0,40 0,51 0.40 0,52
2.9
_X_ 0,5 6,0 10,0 16,5 22,0 -24,0 -20,2 -14,0 -8,8 -3,0
Y -4,0 -3,0 -2,5 -3,0 -4,5 8,0 3,0 2,5 1,0 0,2
2.17
X 0,5 0,8 1.0 1,2 ' 1,3 1.5 _L8_ 2,0 2,2 2,4
Y 7,0 6,5 6,5 6,0 6,0 6,0 _5A_ 4,5 4,6 5,0
2.18
X -8,0 -7,3 -7,1 -7,0 -6,8 -6,5 -6,2 -6,0 -5,4 -5,0
Y 6,0 6,5 6,8 6,8 7,0 7,0 _2г5_ 7,0 Ibid 8,0
2.19
X 2,5 2,8 3,0 3,1 3,2 3,5 4,0 4,2 4,8 5,° _
Y 0,0 0,5 0,5 1,0 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,4
2.10
X 1,2 1,7 1,8 1,2 1,4 1,5 1,7 1,8
Y 11 10 14 14 16 11 10 16 15 18
2.20
X~1 1,0 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,0 2,5 3,0 3,5
Y 0,0 -1,0 -1,0 -1,5 -2,0 -2,5 -4,0 -5,0 -5,0 -7,0
^21
x_ 1,5 ._LL_ 2,1 2,2 2,4 2,5 3,0 3,2
| Y 4,5 5,0 5,5 6,0 6,0 6,5 7,0 7.8 8,0
2 12
x_ J),5_ 0,7 1,1 1 3 1,5 1,6 1,7 2,0 2,2 2,5
JY_ -1,6 -1A -0,8 -0,5 -0,3 -0,2 0,0 0,3 0.6 0,9
2 13 •
~X -l^ 2,0 2,5 2,7 2,8 3,0 3,1 3,4 3,5 4,0
L 3,5 5,9 7,0 7,5 7,5 _8,(T .A2j 9,1 ’ 10,0 ’
2.21
X -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
Y -6,00 -4,00* -2,00 -0,37 0,36 3,20 3,00 6,80 8,00 9,00
2 22
X 1 0,0 0,7 0,8 bo 2,0 3,0 4,0 4Л-. 5,0 5,5
Y 10 10 • 11 11 _ io . 8 9 8 / _7
2.23
X -1,0 0,0 1,0 '1,2 ._1A. _io j 2,3 3,0 4,0
Y l~7,3 7,0 6,2 6,2 5,5 5,0 5,0 5,2 4,2 _ J,2_
54
Раздел <3
2,24
X 1,0 1.5 2,0 2,4 2,8 3,0 3,5 4,0 4,2 4,5
Y 1 1-м -0,5 0,0 0,0 0,5 0,5 1,0 _L2_ -ML 2,1
2.25
1 X 2,0 2,2 2,3 2,5 2,8 3,0 V 4,0 _A2_.
1 Y 0,8 1,6 1,6 2,0 3L_ 3,0 -2,5 4Д_ 4,9 4,8
2.26
X 5 10 12 15 18 20 21 24 25 30
Y 6,1 5,0 4,2 4Л 2,0 _L0 l,o 0,0 4,0
2 27
X 1,0 1,3 1,5 1,8 2,0 2,2 2,5 2,8 3,0 3,2
Y -1,0 -1,0 -0,8 0,0 _P>5 0,5 2,0 1,0 2,5
2 28
X 1 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
Y _L-l,0 u 0,0 1,0 —2,0 2,9 _1L_ 3,0 3,0 3,2 3,8
2.29
X -9 -8 -7 —6 -5 -4 -3 -2 -1 0
Y -1,0 L__LoJ 3,0 2,1 3,5 4,0 4JL 5,2 6,0 6,0
2 30
X 5£_ 5,5 6,0 6,2 6,4 7,0 7,2 7,4 7,6 7,8
_Y_ 0,0 0,1 1,0 1,0 _LL 2,0 2,7 5,0
4. Программное обеспечение
При выполнении расчетных работ в индивидуальных заданиях рекомендуется использовать программные средства, облегчающие нахождение неизвестных величин. Стандартные программы, позволяющие проводить подобные расчеты, как правило, требуют предварительного серьезного изучения и Некоторого опыта их. использования. В данном разделе предлагаются три программы для ПЭВМ, ориентированные на решение задач из этого пособия. Они не требуют большого времени на изучение и предназначены для пользователей с минимальной компьютерной подготовкой.
4.1. Инструкция по использованию программы "Instrum" (раздел интерполяция)
Программа находится в файле "Instrums.exe". Программа составлена таким образом, что позволяет находить коэффициенты интерполяционного полинома Ньютона с равноотстоящими узлами и контролировать точность расчетов при вычислении значений функции.
Выполните следующие действия:
I) после запуска программы отметьте с помощью клавиши "Enter19 нужные пункты меню и нажмите 99 Esc" \
2) выберите пункт "интерполяция99. Появится окно, где в соответствующие клетки необходимо занести исходные данные;
3) введите число точек в таблице;
4) занесите значения аргументов и соответствующие им значения функции. Коэффициенты многочлена Ньютона появятся в таблице в правой чаЬти экрана;
5) введите значение х. Рядом с коэффициентами появятся значения слагаемых многочлена, вычисленных при заданном д;
62
Раздел 4
Если есть необходимость повторить расчет, то нужно одновременно нажать клавиши ctrl+c и снова загрузить программу.
Рекомендуется в качестве упражнения проделать расчет из примера 3.2 на Сф. 47.
Литература
I. Вентцель E.Gt Овчаров Л.А, Теория вероятностей и ее инженерные приложения. -М.: Наука, 1988.
2 Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 1979.
3 Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1979.
4 Демидович Б.П., Марон И. А.. Шувалова Э.З. Численные методы анализа. - М.: Наука, 1967.
5. Егоров В.Я. Руководство к решению прикладных задач. - Свердловск.: Изд. УЭМИИТ, 1974.
6. Колде Я.К. Практикум по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 1991.
7. Норкин С,Б, и др. Элементы вычислительной математики. - М.: Высшая школа, 1966.
8 Яковлев К.П. Математическая обработка результатов измерений. - М : Тех нико-теоретическая литература, 1953.
63
Содержание
1. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ..............................3
J.I. Постановка задачи интерполирования............... 3
1.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа...............4
1.3. Интерполяционный многочлен Ньютона................5
1.4 Многочлен Ньютона при равноотстоящих узлах.........6
1.5. Интерполирование с заданной точностью.............9
1.6. Допустимость интерполяции по таблицей выбор шага таблицы .... 12
1.7. Варианты индивидуальных заданий..................13
2. ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ.................................19
2.1. Постановка задачи................................19
2.2. Выбор типа формулы...............................19
2.3. Метод наименьших квадратов.......................21
2.4. Способы сведения эмпирической формулы к линейной.23
2.5. Оценка точности эмпирической формулы.............24
2.6. Варианты Заданий для самостоятельной работы......27
2.7. Варианты индивидуальных заданий..................34
3. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН............................36
3.1. Зависимость случайных величин. Уравнение регрессии.36
3.2. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ РЕГРЕССИИ...................... 41
3.3. Выборочная линейная регрессия....................45
3.4. ВАР11А1КЫ индивидуальных заданий................ 49
4. ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ..............................55
4.1 Инструкция по использованию программы "Instrum" (раздел интерполяция).........................................55
4.2. Инст-рукция но использованию программы "Эмпирические формулы, метод Наименьших квадратов"..................56
4.3. Инструкция по использованию программного средства "Корреляция и регрессия"..............................61
ЛИТЕРАТУРА
62