Математика. Прокачай свой уровень на максимум

Теги: общее школьное образование общеобразовательная школа математика
ISBN: 978-5-04-230950-2
Похожие
Невероятные числа профессора Стюарта
ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В
Представительная власть в Алтайском крае: время, люди, территории
Строители цивилизации
Текст
                    Т. А. Колесникова

МАТЕМАТИКА

( Прокачай свой.. <к	/\

УРОВЕНЬ

ОСНОВНЫЕ
♦ ТЕМЫ
школьного

к КУРСА ЗА

КЛАССЫ

УДК 373.5:51
ББК22.1я721

КбО

Макет подготовлен при содействии ООО «Айдиономикс»

Колесникова, Татьяна Александровна.

К60 Математика: прокачай свой уровень на максимум /
Т. А. Колесникова. — Москва : Эксмо. 2026. — 320 с. —
(Школьный курс. Справочник в стиле аниме).

ISBN 978-5-04-230950-2

Справочник содержит сведения по всем темам школьного курса
математики за 5—11 классы. Пособие, оформленное в аниме-сти-
листике, превращает изучение непростых теоретических вопросов
в увлекательное приключение. Материал сопровождается удобными
схемами и таблицами, что упрощает восприятие сложных понятий
и тем. а визуальные образы аниме-персонажей и их подсказки помо-
гают преподнести теорию наиболее наглядным, интересным, а самое
главное — запоминающимся способом.

Книга предназначена для школьников и учителей, для любителей
аниме и манги, а также для всех, кто интересуется вопросами мате-
матики.

УДК 373.5:51

ББК22.1я721

ISB^ 978-5-114-23095(1-2

© Колесникова Т. Л., 202b

© ООО «Айдиономикс», 202b

© Оформление. ООО «Издале.1ьс1во «Эксмо», 202b
£&Д£рЖМЩ£

ВВЕДЕНИЕ...............................................................6

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА...............................................7

Числовые множества...............................................      7

Натуральные числа......................................................8

Дроби.................................................................11

Целые и рациональные числа............................................23

Иррациональные и действительные числа.................................27

Вычисление и преобразование выражений.................................31

Тождественные преобразования..........................................31

Многочлены............................................................32

Алгебраические дроби..................................................36

Иррациональные выражения............................................  38

Логарифмические выражения ......................................      39

Тригонометрические выражения..........................................14

Уравнения...........................................................  56

Линейные уравнения....................................................57

Квадратные уравнения..................................................57

Рациональные уравнения..............................................  63

Иррациональные уравнения..............................................65

Показательные уравнения...............................................67

Логарифмические уравнения.............................................68

Тригонометрические уравнения..........................................74

Неравенства...........................................................78

Числовые неравенства и их свойства....................................80

Числовые промежутки................................................... 81

Неравенства с одной переменной........................................82

Линейные неравенства..................................................84

Метод интервалов......................................................85

Квадратные неравенства................................................86

Рациональные неравенства..............................................91

Иррациональные неравенства............................................92

Показательные неравенства.............................................93

Логарифмические неравенства...........................................94

Простейшие тригонометрические неравенства.............................99

Системы уравнений и неравенств.......................................101

Системы уравнений с двумя неизвестными...............................101

Системы неравенств с одной неизвестной...............................104

Функции..............................................................108

Понятие функции. Способы задания функции.............................108

Преобразование графиков функций......................................109

Обратная функция.....................................................111

Свойства функции.....................................................111
Основные элементарные функции.......................................117

Числовые последовательности. Прогрессии.............................128

Числовые последовательности.........................................128

Прогрессии......................................................    130

Начала математического анализа......................................131

Производная. . ...................................................  132

Первообразная и интеграл............................................157

Элементы теории множеств .........................................  172

Основные понятия....................................................172

Отношения на множествах...........................................  173

Элементы математической логики......................................177

Высказывания....................................................    178

Предложения с переменными...........................................180

ГЕОМЕТРИЯ...........................................................181

Планиметрия.........................................................181

Начальные геометрические сведения...................................181

Треугольники........................................................188

Четырёхугольники....................................................202

Многоугольники......................................................211

Окружность и круг...................................................212

Площади фигур.......................................................220

Правильные многоугольники...........................................227

Векторы.............................................................229

Метод координат.....................................................232

Стереометрия........................................................237

Введение в стереометрию.............................................237

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве............238

Многогранники.......................................................248

Тела и поверхности вращения.........................................258

Векторы в пространстве........................................      266

Метод координат в пространстве......................................268

Подобные тела.......................................................277

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И СТАТИСТИКИ........................................................279

Элементы комбинаторики..............................................279

Правила выбора элементов. Перестановки, размещения
и сочетания.........................................................280

Элементы теории вероятностей........................................285

Случайные события и действия над ними...............................285

Элементы статистики.................................................296

Категории и характеристики случайных	величин........................296

ПРИЛОЖЕНИЕ..........................................................304

Таблицы квадратов и степеней........................................304

"	4	@

G)-------------------------------
Формулы сокращённого умножения....................................305

Решение задач с экономическим содержанием.........................306

Задачи на кредиты.................................................306

Задачи на вклады................................................  311

Задачи на оптимальный выбор.......................................312

Построение сечении многогранников.................................316

Задачи на построение сечений......................................317




Перед вами справочник, который поможет обобщить, систематизи-
ровать и закрепить знания по математике за курс средней шко-
лы. В книге рассмотрены следующие разделы математики: «Алге-
бра и начала анализа», «Геометрия», «Элементы комбинаторики,
теории вероятностей и статистики».

Весь теоретический материал систематизирован и сопровождает-
ся наглядными схемами и таблицами, поясняющими рисунками,
примерами решения задач. Это обеспечит максимальную сконцент-
рированность внимания, эффективное повторение и качественную
подготовку по предмету.

На страницах книги читателя встретят различные персонажи, ко-
торые расскажут интересную информацию, дадут полезные и со-
держательные ответы и пояснения. Это поможет проанализировать
научные факты и проблемы, связанные с выполнением отдельных
заданий, сделать процесс усвоения материала более насыщен-
ным и продуктивным.

Пособие поможет учащимся и выпускникам
при подготовке к школьным занятиям, раз-
личным формам текущего и промежуточно-
го контроля, а также к сдаче государствен-
ной итоговой аттестации.

Книга будет полезна школьникам, студен-
там и учителям, а также всем, кто интере-
суется математикой.

Желаем успехов!
г	и tf/WM \

числовые МНОЖЕСТВА

Числовыми называются множества,
элементами которых являются числа.

Множество натуральных висел образуют числа, которые использу-

счёте предметов.

ются при

/V ={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10...}

Натуральные числа (1; 2; 3: 4; 5...), числа, им
противоположные (-1; —2; -3; —4; —5...), и число
нуль образуют множество целых чисел.

Z ={...-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3...}

Множество рациональных чисел составляют числа, которые мож-

но представить в виде дроби —, где zneZ, n<=.N (конечные или
п

бесконечные периодические десятичные дроби). Обозначение: Q.

Множество иррациональных чисел составляют числа, которые не

могут быть представлены в виде —, где те Z, ne N (бесконеч-
п

ные десятичные непериодические дроби). Обозначение: I.

Рациональные и иррациональные числа составляют множество
действительных чисел. Обозначение: /?.	аж

£ СВЯЗЬ МЕЖДУ ЧИСЛОВЫМИ МНОЖЕСТВАМИ У

Множество действительных чисел

Множество рациональных чисел

Множество целых чисел

Множество натуральных чисел
Немецкий математик XIX в. Л. Кронекер, же-
лая подчеркнуть естественные причины появле-
ния множества натуральных чисел, сказал: «Бог
создал натуральные числа, всё остальное — дело
рук человека».



Множество натуральных чисел является бесконечным, т. к. для
любого натурального числа п найдётся натуральное число боль-
ше, чем п.

рЫЧиТМЮ (ДСйфМ, (frpSfrffi МФ&МФ/

a-b-c

а-(Ь + с) = (а-Ь)-с = (а-с)-Ь

разность

вычитаемое

уменьшаемое

МНОЖИМ*

а • Ъ = а + а + ... + а
b слагаемых

а Ь-с

а-О = а
а — а = О

множители \

произведение

Вариант обозначения: axb.

а-Ь = Ьа

(a b) c = a (Ь-с)
(а + Ь)-с^а-с+Ь-с
(а-Ь)с = ас-Ьс
al-а
а 0 = 0

*	@ мГсда и Wav aww
дсфМ* (Д£^ТЬ^,

(a:h):c = a '(be)
a (b :e) = (a :b) e
(ab):e = (a :e)b
(ab):c = a(b:c)

a :l — a

О: a = О (а Ф 0)

— или a/b.
b

★ Если частное с является на-

туральным числом, то гово-
рят, что а делится (без остатка)
на Ъ.

★ Если частное с не является
натуральным числом, то говорят,
что а не делится (без остатка)
на Ъ.

Разделить с остатком число а

ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ

делитель

неполное частное

на число b

значит найти два Проверка: 70 = 3-23+1.

таких числа q и г, что а = b • q + г
и г <Ь.

ВАЖНО! Остаток должен быть меньше делителя.

МЗ#£Д&Ш£ b	6 tf/tTfpWbqbW

Выражение ап называется степенью числа а.

Вторая степень числа называется квадратом числа, третья сте-
пень — кубом числа.

показатель степени

п множителе»

а а а ... а

основание степени
Для упрощения работы с большими числами в мате-

матике было придумано новое действие

в степень. Множителей может быть

мер, 520

это произведение 20

из которых равен 5. Современным
ни позволяет сэкономить время, а

возведение

очень много. Напри-
множителей, каждый
людям знание степе-
в древности оно по-

могало уменьшать ещё и финансовые затраты на записи,
поскольку пергамен и папирус в Древней Греции стоили
очень дорого.

Сложение и вычитание, умножение и деление, а также возведение в сте-
пень и извлечение корня попарно представляют собой обратные действия.
Свойства сложения, вычитания, умножения, деления и возведения
в степень представляют собой равенства, которые можно использовать
не только слева направо, но и справа налево.

Действия сложения, вычитания,
умножения и деления называют
арифметически ми деист виями.

Только в результате сложения
и умножения натуральных чисел
получаются тоже натуральные
числа.

порядок действий

★ Действия

★ Действия

★ Действия

1-Й

2-й

3-й

ступени:
ступени:
ступени:

сложение и вычитание.

умножение
возведение

I ВЫРАЖЕНИЯ БЕЗ СКОБОК J

В выражении без скобок сначала выпол-
няют действия большей ступени. Если
выражение содержит действия одной сту-
пени, то их выполняют в порядке, в ко-

тором они записаны,

слева направо.

Возведение в степень

умножение/деление

сложение/выч итание

✓ Запись решения в строчку:

и деление.

в степень.

17-5-6:3-2 + 4:2

=17-30:3-2+2=

=17-10-2+2=7-2+2=7.
f ВЫРАЖЕНИЯ CO СКОБКАМИ J

В выражении со скобками сначала
выполняют все действия в скобках,
а затем действия большей ступени.
Скобками пользуются, чтобы изме-
нить порядок действий.

Действия в скобках

возведение в степень
умножен ие/делен ие
сложение/вычитание



Дробь — форма представления числа в математике. Существует
два вида дробей: обыкновенные и десятичные.

Число вида —, где т е Z, п е N, назы- т <— числитель
п
_	п -<— знаменатель

вают ооыкновеннои дробью.

На древних вавилонских глиняных табличках и египет-
ских папирусах встречаются не только натуральные числа,
но и дроби. Этим источникам около 5000 лет. Первона-
чально применялись в основном обыкновенные дроби, они

выражали результат измерения
длины, площади и массы в тех
случаях, когда выбранная едини-
ца измерения не укладывалась
в целое число повторений.

Правильная дробь — это обыкновенная дробь, числитель которой

меньше знаменателя, т. е. т<п.

т

Любая правильная дробь меньше единицы: —<1, еслитсп.
п

3	1

✓ Правильные дроби: — (3<8); — (1 < 5).

8	5

ЧИСЛОМ	©

11
Неправильная дробь

это

обыкновенная дробь, числитель
которой больше знаменателя
или равен ему, т. е. т>п.

Любая неправильная дробь
больше единицы или равна ей:

✓ Неправильные дроби:

|(8>3); |(5 = 5).
О	э

✓ Представление натурального числа
в виде неправильной дроби:

4 4	8

4=— или 4 = — .

1	2

— > 1, если т > п.
п

Любое натуральное число можно представить в виде
неправильной дроби.

ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ДРОБИ Д

Если числитель и знаменатель дроби
умножить (разделить) на одно и то же
число, отличное от нуля, то получится
дробь, равная данной.

а аса а .с	л

- =--; — =-,

b b•с b Ь:с

ВАЖНО! При использовании основного свойства из-
меняется только внешний вид дроби, её значение при
этом остаётся неизменным.

Сокращение дроби — действие
перехода к новой дроби, равной
заданной, но с меньшими числи-
телем и знаменателем.

Сократить дробь — значит разде-

38 9

— = — (числитель и знамена-
26 13

тель дроби разделили на 2).

лить числитель и знаменатель на общий делитель, который боль-

ше 1.

Несократимой называется дробь,
числитель и знаменатель которой —
взаимно простые числа.

Сокращать дробь можно сразу на
наибольший общий делитель числи-
теля и знаменателя либо несколько
раз на общий делитель.

Приведение дроби к новому знаме-
нателю — действие замены задан-
ной дроби равной ей дробью, но
с большими числителем и знамена-

телем.

12	@ лдГсррл и /ГЛ</ЛЛЛ лфмилд
Приведение к новому знаме-
нателю используется при сло-
жении, вычитании, сравнении
обыкновенных дробей, а также
при представлении обыкновен-
ной дроби в виде десятичной.

1	25 z

T = Yqo (числитель и знамена-
тель дроби умножили на 25).

СМЕШАННЫЕ ЧИСЛА

Число, содержащее целую и дробную части, называется смешан-
ным.

и обыкновенной дроби, записанная без знака «+•».

Смешанное число

это сумма натурального числа

Умение представлять смешанное число в виде неправиль-
ной дроби и переводить неправильную дробь в смешан-
ное число необходимо для удобства выполнения различ-
ных математических операций. При сравнении, сложении
и вычитании удобнее использовать смешанные числа, тог-
да как умножение, деление и возведение в степень про-
ще выполнять с неправильными дробями.

числовое МЦОХССГВА @

13
СРАВНЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ
И СМЕШАННЫХ ЧИСЕЛ

СРАВНЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДРОБЕЙ

* Из двух дробей с одинаковыми
знаменателями больше та дробь,
у которой числитель больше.

★ Из двух дробей с одинаковы-
ми числителями больше та дробь,
у которой знаменатель меньше.

5 5

✓	, т' Кв 9<И.

У 1 1

( СРАВНЕНИЕ СМЕШАННЫХ ЧИСЕЛ

♦ Из двух смешанных чисел
с разными целыми частями больше
то число, у которого целая часть
больше.

т. к. 7>6.

8	13

★ Если целые части смешанных
чисел равны, надо сравнить их
дробные части по правилам сравне-
ния обыкновенных дробей.

z 9 3 ^9 1	31

✓ 2~ >2-—-, г. к. —> —.

20	20	20 20

Если у дробей разные знаменатели (числители), необ-
ходимо сначала с помощью основного свойства дроби
привести их к одному знаменателю (числителю).

I АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ С ОБЫКНОВЕННЫМИ
ДРОБЯМИ И СМЕШАННЫМИ ЧИСЛАМИ
СЛОЖЕНИЕ СМЕШАННЫХ ЧИСЕЛ

Привести дробные части данных чисел
к наименьшему общему знаменателю.

Отдельно выполнить сложение целых
частей и отдельно — дробных.

7х2	О5х3	.,14	15	.29	11

— 4-3-	— 2 —ГЗ — — 5-	— О-—

9	6	18	18	18	18

о3 с 5	,9 с10 ,19

✓ 2-4-5-=2— 4-5— =7---.

8	12	24	24	24

✓ 7-4-2 — = 7-4-2 —«9—.

6	12	12	12	12

Если при сложении дробных ча-
стей получилась неправильная
дробь, нужно выделить целую часть
из этой дроби и прибавить её к по-
лученной целой части.

ВЫЧИТАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ

Привести дроби к общему знаменателю, если
знаменатели разные.

Вычесть числители полученных дробей, зна-
менатель оставить прежним:
а b а-Ь

2 3 10 9

3 5 15 15 15

с с с

5 3 19 1 _7	1

14 14 14 14 2'

Если получилась сократимая дробь, её надо сократить.

f ВЫЧИТАНИЕ СМЕШАННЫХ ЧИСЕЛ

Привести дробные части данных чи-

сел к наименьшему общему знамена-
телю.

Отдельно выполнить вычитание целых
частей и отдельно — дробных.

=0 в

, з11-25=311-210=1±.
12	6	12	12	12

7—-41=71^-4—= 3—

8	6	24	24	24

I Если дробная часть уменьша-
1 Г емого меньше дробной части
вычитаемого, нужно превра-
тить её в неправильную дробь,
г— уменьшив целую часть на еди-

ницу.

2 о5 о7+2
--о— = о---

7	7	7

5 о9 5 _4

— О“ — о—“О“ — Э—•

7	7	7	7

7}2 25’5

15	6

= 9“-2^-2^бЯ
30	30	30	30	30
УМНОЖЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ

Найти произведение числителей и про-
изведение знаменателей данных дробей
(произвести сокращение, если возмож-
но): £.£=£££
b d bd

Первое произведение записать в числи
теле, второе — в знаменателе.

Если получилась неправильная дробь,
нужно представить её в виде смешан-
ного числа.

2 4 2-4 = 8

3 5 3 5 15'

4 5	4 5	11	1

15 8	15-8	3	2	б'

4 35	4-35	2	7	14	(2

5 6	5 6	1	3	3	3	’

УМНОЖЕНИЕ СМЕШАННЫХ ЧИСЕЛ

Записать смешанные числа в виде
неправильных дробей.

Найти произведение числителей
и произведение знаменателей этих
дробей.

Первое произведение записать в чис-
лителе, второе — в знаменателе.

21.4 2=^-£30=1(

3 7 3 7	3-7

е1 л 1	16-81 4-27

3 20	3 20	1 5

2 4 7 32 32 '2.

1 — -4— =-= — = 6--.

5 7 5 7	5	5

108

5
Любое число, знаменатель дробной
единицей с одним или несколькими
в виде десятичной дроби.

части которого
нулями, можно

выражается
представить

целая часть

a,bcde

а+----4-----4-------4--------4- ...

10 100 1000 10 000

дробная часть

Десятичная дробь — это не но-
вый вид числа, а особый способ
записи обыкновенных дробей
со знаменателями 10, 100, 1000
и т. д. Десятичные дроби впер-
вые появились в Китае в III в.
до н. э.

В России десятичные дроби
получили широкое применение
лишь в XIX в. после введе-
ния метрической системы мер
и весов.

ГПРИВЕДЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ

К ОБЫКНОВЕННОЙ

В числителе записать число, стоя-
щее после запятой.

В знаменателе записать разрядную
единицу (10. 100, 1000 и т. д.),
которая содержит столько же ну-
лей, сколько знаков находится по-
сле запятой в десятичной дроби.

’	10‘	’	1000'

Если десятичная дробь содержит
целую часть, то дробь переводят
в смешанное число, в котором целую
часть записывают перед дробной.

При необходимости получившуюся
обыкновенную дробь надо сократить.

✓ 17,11 = 17—.	✓ 8,2 = 8—= 8—.

100	Ю 5
{ ПРИВЕДЕНИЕ ОБЫКНОВЕННОЙ ДРОБИ К ДЕСЯТИЧНОЙ j

Способ 1

Домножить числитель и знаменатель дроби
так, чтобы в знаменателе получилась раз-
рядная единица.

В случае смешанного числа домножа-
ют только дробную часть, а целая часть
не меняется.

Способ 2

Разделить числитель на зна-
менатель *уголком».

1,0
0

10

12
0

5_ _
0,2

2

= 9,016.

дробь, то для

в десятичную.

0,25.

можно записать только целое

125	125 8	1000

28	16

—— — У*-

3 = 325=jl=075

4 4-25 100

1 = 112=-2=0,2.

5 5 2 10

Не каждую обыкновенную дробь можно представить
в виде конечной десятичной дроби. Несократимую обык-
новенную дробь можно перевести в конечную десятичную
дробь, если в разложении ее знаменателя на простые
множители есть только 2 и (или) 5.

Потребность представлять обыкновенные дроби в виде десятичных
возникла у российских школьников в том числе после появления
ОГЭ и ЕГЭ. Ответы на большую часть экзаменационных заданий
вносятся в бланк, который проверяет компьютер. В такой бланк

число или конечную десятичную

дробь. Если при выполнении задания получилась обыкновенная

внесения ответа в бланк её необходимо перевести

„ 1 «

Например, ответ — записывается в бланк в виде

4

СПОСОБ 1

СПОСОБ 2

срденение десятичных дробей

Чтобы
дроби,
в них

сравнить

надо
число

> две
сначала

десятичные

десятичных

уравнять
знаков.

Десятичные дроби сравнивают по-
разрядно, начиная слева направо.

приписав к одной из них справа
нули, а затем, отбросив запятую,
сравнить получившиеся натураль-
ные числа.

✓ Сравним 12,16 и 12,051.

12,16 = 12,160; 12160>12 051.

Тогда 12,16 >12,051.

Целая часть сравнивается с

лой, десятые

тые

с сотыми

с десятыми,
и т. д.

це-
со-

✓ 1,78<4,1 (1 <4).

✓ 36,74 >36,29 (7 >2).

✓ 0,416 <0.4163

(0,416 = 0,4160 и 0<3).
Чтобы сравнить десятичную дробь V
с обыкновенной, надо обыкновен-
ную дробь представить в виде
десятичной, а затем выполнить
сравнение. Можно также преобра-
зовать десятичную дробь в обык-
новенную и далее уже сравни-
вать две обыкновенные дроби.

* Если дробная часть десятич-
ной дроби оканчивается нулями,

то их можно не писать

зна-

чение дроби не изменится.

♦ Если к дробной части припи-
сать любое число нулей, то зна-
чение десятичной дроби пе изме-
нится.

дрисрмбтические действия
с десятичными дробями

СЛОЖЕНИЕ (ВЫЧИТАНИЕ)
ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ

Уравнять в дробях количество зна-
ков после запятой.

Записать дроби друг под другом
таким образом, чтобы запятая раз-
местилась под запятой.

УМНОЖЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ
ДРОБЕЙ

Выполнить умножение, не обращая
внимания на запятые.

Отделить запятой справа налево
столько цифр, сколько их стоит после
запятой в обоих множителях вместе.

Выполнить сложение
не обращая внимания

(вычитание),
на запятые.

✓ 3,25 2,8 = 9,100 = 9,1.

у3,25

2,8
+2600
650

9,100

Поставить в ответе
запятой.

запятую под

✓ 2,35 + 11,7 = 14,05.

11,70

+ 2,35

14,05

✓ 12-10,346 = 1,654.

12,000

10,346

1,654

ДЕЛЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ
НА НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО

ДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА
НА ДЕСЯТИЧНУЮ ДРОБЬ .

Разделить
число, не
запятую.

дробь на
обращая

натуральное
внимания на

В делимом и делителе перенести за-
пятую вправо на столько цифр,
сколько их после запятой в делителе.

Выполнить деление на натуральное
число.

J 25,6:0,08 = 2560:8 = 320.

✓ 12,35:2,5 = 123,5:25 = 4,94.

Поставить

в частном

да кончится деление

запятую, ког-
целой части.

✓ 70,15:23 = 3,05.

_70,15 23

69

115

115

0

3,05




ОКРУГЛЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ

Десятичную дробь можно округлить:
★ до определённого разряда дробной ча-
сти: десятых, сотых, тысячных, десяти-
тысячных и т. д.;

★ до целого числа с точностью до еди-
ниц, десятков, сотен и т. д.

При округлении десятичных дробей следует быть особен-
но внимательными, поскольку десятичная дробь состоит
из целой и дробной части. В каждом случае округление
выполняется по своим правилам.

{ ПРАВИЛА ОКРУГЛЕНИЯ /

138,76-~ 14

138,76

140

Найти цифру округляемого разряда.

Отделить вертикальной чертой все
цифры, стоящие справа от округ-
ляемого разряда.

Если первая отбрасываемая циф-
ра — 0, 1, 2, 3 или 4, то послед-
няя оставшаяся цифра записывается
без изменений, а все цифры после
вертикальной черты отбрасываются.

Если первая отбрасываемая циф-
ра — 5, 6, 7, 8 или 9, то к по-
следней оставшейся цифре надо
добавить 1, а все цифры после вер-
тикальной черты отбросить.

✓ Округлить до десятых:

37,4|49 = 37,4.

Округлить до сотых: 0,64'51=0,65.

у Округлить до единиц (до целых):
957,(802 = 958.

Если при округлении десятичной
дроби последняя из оставшихся
цифр в дробной части — 0, то от-
брасывать этот нуль нельзя. В та-
ком случае нуль в дробной ча-
сти показывает, до какого разряда
округлено число.

✓ Округлить до тысячных:

2,8491613 = 2,850.

Если десятичную дробь нужно
округлить до разряда выше единиц
(десятков, сотен и т. д.), то дроб-
ная часть отбрасывается, а целая
часть округляется по правилам
округления натуральных чисел.

✓ Округлить до десятков:

96 3,806 = 960.

V Округлить до сотен:

54|71,83 = 5500.

ЗАДАЧИ НА ЧАСТИ И ПРОЦЕНТЫ

Процент

это сотая часть числа. Обозначается символом «%»,

используется для выражения доли чего-либо по отношению к це-
лому.

20	@ лдГсррД И /Г/К/МЛ ЛФМИ5Д
— =0
100

Проценты имеют широкое применение в разных сферах
жизни человека. Без понимания операций с процента-
ми невозможно представить оформление вкладов, креди-
тов, начисление зарплаты, расчёт цен на распродажах.

Чтобы

число в

на 100

выразить целое или дробное
процентах, надо умножить его
и к полученному результату

приписать знак процента (%).

НАХОЖДЕНИЕ ЧАСТИ
(ПРОЦЕНТА) ОТ ЧИСЛА

♦ Чтобы найти дробь (часть) от числа,
нужно это число умножить на данную
дробь.

q

У Найти от 28.

7

Q
28—= 12.

7

★ Чтобы найти процент от числа, нуж-
но данное число умножить на дробь,
выражающую указанный процент.

J Найти 30 % от 54.

30 % = 0,3; 54 0,3 = 16,2.

НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛА

от 50

половина,

3 равна 1,5.

что
это

Например, 3 %
то же самое,
от 3, 50% —
а половина от

। — это
и 50 %

✓ Наити — от 45.

5

9

45-=18.

5

НАХОЖДЕНИЕ ТОГО, КАКУЮ

При вычислении процентов
можно использовать малень-
кую хитрость. Её суть за-
ключается в простой переста-
новке чисел: х % от у — это
то же самое, что и у % от х.

’ ПО ЕГО ЧАСТИ (ПРОЦЕНТУ)

★ Чтобы найти число по его
части, выраженной дробью, нуж-
но данное число разделить на
эту дробь.

✓ Найти число, если 0,4 данного
числа равно 10.

10:0,4 = 100:4 = 25.

★ Чтобы найти число по его
проценту, нужно данное число
разделить на дробь, выражающую
указанный процент.

✓ Найти число, 25 % которого
составляют 18.

25%=—; 18: —= 18-4 = 72.

4	4

ЧИСЛО СОСТАВЛЯЕТ ОТ ДРУГОГО

★ Чтобы найти, какую часть первое
число составляет от второго, надо
первое число разделить на второе
(т. е. найти отношение чисел).

✓ Какую часть 30 составляет от 25?

30 G

--- — - — 1.,^ .

25 5

★ Чтобы найти, сколько процентов
первое число составляет от второго,
надо первое число разделить на вто-
рое и умножить на 100% (т. е. най-
ти отношение чисел, умноженное на
100 %).

✓ Сколько процентов число 12 состав-
ляет от числа 60?

— 100% =
60

1 100%

5

= 20.


В вариантах ВПР, ОГЭ и ЕГЭ по математике можно встре-
тить задачи, в которых требуется вычислить, на сколько
процентов одно число больше или меньше другого. В этом
случае к алгоритму решения добавится ещё один шаг:
из большего числа вычесть меньшее. Важно понимать, что
в знаменателе дроби будет то число, с которым сравнива-
ем.

Например, выясним, на сколько процентов увеличилось
за год число абонентов телефонной компании «Юг», если
в начале года число абонентов составляло 400 000 человек,
а в конце года их стало 420 000.

За год число абонентов увеличилось на 420 000 - 400 000 =
= 20 000 человек. Чтобы узнать увеличение в процентах,
найдём процентное отношение 20 000 к первоначальному
количеству 400 000:

20^000 10() о/о_ J_ юо о/о = 5 о/о

400 000	20

Значит, число абонентов увеличилось за год на 5 %.

Пропорция
вида:

это равенство двух отношений, т. е. равенство

ас	.	,

— = —, или а:Ь = с:а,
b d

где a, d — крайние члены пропорции; Ь, с — средние члены
пропорции.

Произведение крайних членов пропорции равно произведению
средних членов, т. е. a d = b с.

Неизвестный член пропорции можно найти, пользуясь основным
свойством.

★	Крайний член равен произведению средних членов, разделён-
ному на другой крайний член:

Ьс , Ьс
а=---; d---.

d а

★	Средний член равен произведению крайних членов, разделён-
НАХОЖДЕНИЕ ПРОЦЕНТА
ОТ ЧИСЛА
_________________________

Найти а % от числа Ь.

Ь —100%	b 100	ah

=i> — =-=> х =-.

х — а'Уо	х а	100

НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛА
~ ПО ЕГО ПРОЦЕНТУ

Найти число, а % которого состав-
ляют с.

с— а % с а е 100

х —100% х 100 а



Числа, отличающиеся друг от
друга только знаком, называют-

-а — число, противоположное а.

ся противоположными.

КООРДИНАТНАЯ ПРЯМАЯ

Координатной называется прямая,
на которой выбраны начало отсчё-
та, направление и единичный от-
резок. Координата точки — чис-
ло, которое отображает положение
точки на координатной прямой.

----------------------------'Ч

Противоположные числа изобра-
жаются на координатной прямой

с разных сторон от начала от-
счёта, но на одинаковом рассто-
янии от него. Число 0 противо-
положно самому себе.

0	1	х

отрицательное направление	положительное направление

-{ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛаЗ

★ Изображаются точками на отри-
цательном луче О В.

★ Записываются со знаком «—».

✓ -5 — координата точки В.

Записывается: В (-5).

' ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 1

“_____________________________Г

★ Изображаются точками на поло-
жительном луче ОА.

★ Записываются без знака или со
знаком « + ».

✓ 6 — координата точки А.

Записывается: А (6).

ЧИСЛО НУЛЬ (0)

♦ Изображается точкой О.

★ Число 0 не является ни положи-
тельным, ни отрицательным.

✓ Число О — координата точки О.
Записывается: 0(0).

ЧИСЛОМ WfOikCCTbA ©

2?
Нуль, или ноль, впервые появился н древневавилонской си-
стеме исчисления для обозначения пропущенных разрядов
в числах. Нуль выполнял только роль пробела.

Изобретателем формы нуля считается греческий астро-
ном Птолемей. В своих текстах на месте знака пробела
он использовал греческую букву «омикрон» (О), напомина-
ющую современный знак нуля. Значительно позднее, начи-
ная с IX в., индийские математики пришли к пониманию
и применению нуля в современном значении.

МОДУЛЬ ЧИСЛА. СВОЙСТВА МОДУЛЯ

Модулем (абсолютной ствительного числа а это число, если а>0, и число -а, если а < 0.	величиной) дей- называется само противоположное Модуль числа а	|«1«’	а, если а>0, —а, если а < 0
			

обозначается |а|.

★ Модуль любого числа — неотрицательное число: aj>0.

★	Модули противоположных чисел равны: |а| = |-о|.

★	Величина числа не превышает величину его модуля: а<|а|.

★	Модуль произведения двух чисел равен произведению модулей

этих чисел: ia b< =|а|- \b\.

★	Модуль частного двух чисел равен частному модулей этих чи-

а

а

Ь*0.

сел:

b

b

★	Модуль квадрата числа равен

квадрату его модуля:
★ Модуль суммы не
ет сумму модулей

Геометрический смысл: модуль

числа

это расстояние от на-

чала отсчёта до данного числа.

слагаемых:

а2 =|а|2.

превыша-

J срдвненые чисел

★ Из двух чисел больше то число, которое на координатной
прямой изображается правее.
★ Из двух положительных чи-
сел больше то число, модуль
которого больше.

★ Из двух отрицательных чи-
сел больше то число, модуль
которого меньше.

★ Любое положительное число
больше нуля.

★ Любое отрицательное число
меньше нуля.

★ Любое положительное число
больше любого отрицательного.

Чтобы определить операции над целыми числами, надо указать
модуль и знак числа, полученного в результате выполнения опе-
рации.

Арифметические действия с положительными
и отриидтельными числдми
ВЫЧИТАНИЕ [

Чтобы
другое,

из
надо

данного числа вычесть

бавить число,
читаемому.

Z -2-(-5) = -2 + 5 = 3.

к уменьшаемому при-
противоположное вы-

как «долг»,

Рассмотрим пример сложения чисел -5 и 3. Если пред-
ставить, что мы должны 5 рублей, а получили прибыль

В 6 классе мы познакомились с положительными и отрица-
тельными числами, но у учащихся часто возникают трудно-
сти при их сложении. Это неудивительно, исторически люди
долго привыкали к отрицательным числам, которые казались
им непонятными. Для удобства положительные числа пред-

ставляли как «прибыль», а отрицательные
«убыток».

3 рубля, то долг оказывается больше прибыли. В этом
чае при сложении останется долг в 2 рубля, т. е. -2.
Так получается правило сложения чисел с разными
ками: сначала определяем знак суммы, т. е. решаем.

слу-

зна-

что

больше — долг или прибыль, а потом вычитаем модули.

При сложении отрицательных чисел, например -7 и -5,
сложим два долга в 7 и 5 рублей. Получим долг 3 2 руб-
лей.

Таким образом, получаем правило: при сложении отрица-
тельных чисел нужно сложить их модули, а затем поста-
вить знак «-».

| УМНОЖЕНИЕ ДВУХ ЧИСЕЛ С РАЗНЫМИ ЗНАКАМИ ]

Перемножить модули данных чисел.

Поставить перед полученным чис-
лом знак «—».

✓ 10(-3,5) = -35.

✓ -0,25 4 = -1.

( УМНОЖЕНИЕ ДВУХ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ~^

✓ -7 (-10) = +70 = 70.

модули данных чисел.
( ДЕЛЕНИЕ ДВУХ ЧИСЕЛ С РАЗНЫМИ ЗНАКАМИ J

Разделить модули данных чисел.

Поставить перед полученным числом знак

✓ -6:0.2 = -60:2 = -30.

z 110:(-20) = -7.

7=-2г.

3	3

1л	чи&м

Арифметический квадратный корень
, и его свойства

Квадратным корнем (арифметическим квадратным
корнем) из неотрицательного числа а называется
такое неотрицательное число, квадрат которого ра-
вен а.

Символическая запись арифметического квадратного
корня: \а=х, если х =а и а, х>0.

— любое число.
ir Чтобы

возвести

если

ко-

1

3

в степень, достаточно

56 =V523 =53=125.

г 1 Vм

3

1
si

★ Корень произведения равен
произведению корней:

★ Корень из дроби
рень из числителя
из знаменателя:

корень
возвести

корень

в эту степень подкоренное вы-
ражение: |уП1 = \ап при а>0.

Свойство может быть

записа-

а '.yjb.

но в виде

16 = 4.

(х 0,1 |6=уо,16 =ч 0,000001 =
= 0,001.



8 =2?.

3 3

Для нахождения значений ква-
дратных корней можно восполь-
зоваться таблицей квадратов

(см. с. 304).

КОРЕНЬ

СВОЙСТВА

ЕГО

СТЕПЕНЙ

НАТУРАЛЬНОЙ

Ариср/летическиы



Корнем n-й степени (neW, п>
называется такое действительное
равна а.

из

число

действительного числа а
Ь, и-я степень которого

степени справедливы
пеЛг, ke N.

п-й

для а > О, b > 0, п > 2, k > 2,

Свойства корней

«по-

било

© vtfippA и Начала анализа

Знак корня \ , или радикал, появился в математике
в современном виде в 1525 г. Эволюция этого знака дли-
лась около пяти веков. Одним из предшествующих вари-

антов записи служил символ Rx (от лат. radix
рень»). В такой символике выражение \ 10 + >У
—5	---2

бы записано следующим образом: ЯоЮр-йаЗ.
степень с целым и рациональным показателем



(-п)-й степенью (п — нату-
ральное число) числа а, не
равного нулю, считается число,
обратное п-й степени числа а.

а п =----, а О

п

Любое число, кроме нуля, в ну-
левой степени равно единице.

а° = 1, а*0

Обыкновенную дробь с отрица-
тельным показателем степени
можно заменить на обратную
ей дробь с положительным по-
казателем.

MffOXCCTty @	29
&T£Fj£ffb a РАЦШМА\ьМ>Щ

Пусть a>0, — — рациональное число (n>2, meZ, ne N), тогда
m _____ n

an =^arn. Положительное число а в рациональной степени —
п
является арифметическим корнем степени п из числа а в степе-
ни т.

СРАВНЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Для сравнения иррациональных
чисел можно пользоваться их де-
сятичными приближениями.

★	Если показатели степени кор-
ней одинаковы, а подкоренные
выражения различны, то, чем
больше подкоренное выражение,
тем больше значение корня.

★	Если подкоренные выражения
одинаковы, а показатели степени
корней различны, то, чем больше
показатель, тем меньше данное

выражение.

★ Если различны и степени корней, и подкоренные выражения,
необходимо найти наименьшее общее кратное для показателей
корней и возвести оба выражения в степень, равную наименьше-
му общему кратному. Затем нужно сравнить полученные рацио-


" w.' w _ 'Ч,	4 ' Wk—--W

вычисление
и преоБрдзовдние
вырджений
lit '*- \Ч--, \. _  "Ь 4*^^^

Данный раздел содержит основные све-
дения о преобразованиях выражений,
включающих арифметические операции.

Тождественные преобразования
используются для упрощения
алгебраических выражений,
а также при решении уравне-
ний и неравенств.

✓ m ¥(-3-n) = m.-3-п.

✓ 5 + (х-4) = 5 + х-4 = 1 + х.

Тождеством называется равенство,
которое верно при всех значениях
переменных. Тождественное пре-
образование выражения (преобра-
зование выражения) — подмена
одних выражений другими, тож-
дественно равными друг другу.

рле^рЬПЪВ	f> Л\Г£&РЛ1лЧ£&к0й

★ Если перед скобками стоит знак « + », то можно опустить скоб-
ки и знак « + », сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках.

* Если первое слагаемое в скобках записано без знака, то его
следует записать со знаком «+».

й Если перед скобками не стоит знак,
следует считать, что стоит знак « + ».
★ Если перед скобками стоит
знак «-», надо заменить этот знак на
« + », поменяв знаки всех слагаемых
в скобках на противоположные, а за-
тем раскрыть скобки.

MtMXWW 3/f

Вынесение общего множителя за скоб-
ки — преобразование, при котором ис-
ходное выражение представляется в виде
произведения общего множителя и выра-
жения в скобках, состоящего из исход-
ных слагаемых без общего множителя.

31

И np£0BPA30ftfftH£	©
ИМЗЫЫ* беглецы*

Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называются
подобными.

Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффици-
енты и результат умножить на общую буквенную часть.

✓ 5с+8с = (5+8)с = 13е.

✓ -7х-х + 10х = (-7-1+10)х = 2х.

✓ k + 5т-2k -9т = (l-2)fe + (5-9)m= -k- Im.

Коэффициент — числовой
множитель, стоящий перед
буквой или произведением
нескольких букв.



' одночлен, действие

с одночленами

Произведение числовых и (или) буквенных множителей называет-
Д^ВОЗВЕДЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА В НАТУРАЛЬНУЮ СТЕПЕНЬ

Чтобы возвести одночлен в степень, надо его
числовой множитель (коэффициент) возвести
в эту степень, а также каждый буквенный мно-
житель возвести в степень.

✓ (2cc/3)5 =25 c5 (</3)5 =
= 32c5d15.

многочлен. ДЕИстенд с многочленами
И ОДНОЧЛЕНАМИ

Многочленом называется алгебраиче-
ская сумма нескольких одночленов.

ЗАПИСЬ МНОГОЧЛЕНА
В СТАНДАРТНОМ ВИДЕ

Записать каждый член (слагаемое)
в стандартном виде.

Привести подобные члены (слагаемые).

✓ labc + x y-t.
у m0,8cd+3.

3

✓ бху — xz-3xzx-8xi •—y + 25xL 0,2z+xyx-x yz = 3xyz-3x z-2x2y+5x2z+

2	4	----=

+ x2y - x2yz = 2x2yz + 2x2z - x2y.
Степенью многочлена называют наибольшую из степеней вхо-
дящих в него одночленов.

В примере ниже степень первого одночлена равна 5, второ-
го — 2, третьего — 7, значит, степень многочлена равна 7.

СЛОЖЕНИЕ (ВЫЧИТАНИЕ)
МНОГОЧЛЕНОВ

УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА
НА ОДНОЧЛЕН

Раскрыть скобки.

Привести подобные члены.

Каждый член многочлена умножить
на данный одночлен.

Полученные произведения упростить
и сложить.

✓ (8ab + db2-3) + (b2-15аЬ) =
= 8ab+5b2 -3+b2 - 15аЬ-

= -7ab + 6&2-3.

✓ (т?Л^6)-(-14 + 2nk) =

= nfc+6 +14-2nk = -nk + 20.

✓	(2p2r + 3pr2)(3pr) =

= (2p2r)(3pr) + (3pr2)(3pr) =

= вр3г2+9р2г3.

✓	(7a-3b) • (-4c) =

= (7a)(-4c)+(-3b)(-4c) =

= -28ac + l 2bc.

УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА
НА МНОГОЧЛЕН

Каждый член одного многочлена
умножить на каждый член другого
многочлена.

Полученные произведения упростить
и сложить.

Каждый член многочлена разделить
па данный одночлен.

ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА
НА ОДНОЧЛЕН

z (7х-2р)(3х-5р) =
= (7х)(3х) + (7х)(-5у) +
+(-2р)(Зх)+(-2р)(-5у)=
= 21х2-35ху- 6хр + 10р2 =
= 21х2 - 41хр + 10р2.

Полученные результаты упростить
и сложить.

•	/ (2a~b + 4ab‘ +8abc):(2ab) =

= (2a2b): (2ab) + (iab2): (2ab) + (8abc): (2uft) =
= a + 2b + 4c.

74	@	и ft/WW АНАЛИЗА
РРОРМУЛЫ СОКРАЩЁННОГО УМНОЖЕНИЯ

р( КВАДРАТ СУММы"^

КВАДРАТ РАЗНОСТИ РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ )

(a + ft)2 = а2 +2аЬл Ь2

(a-b)2 =а2-2ab + b2

a2— b2 =(a-b)(a + b)

О о

На множестве действительных чисел сумму квадратов а +Ь

нельзя представить в виде

произведения.

Разложение многочленов на множители используется при сокра-
щении алгебраических дробей, при решении уравнений и нера-
венств.

Вынесение общего множителя за скобки.

✓ 6a + 3ab = 3a(2 + b). J 5у9-бу6 + у3 = у3(5у&-бу3 + 1).

★ Способ группировки. Некоторые многочлены содержат груп-
пу слагаемых, имеющих общий множитель. Такие группы можно
заключать в скобки и далее выносить общий множитель за эти
скобки.

✓ 7х + ах + 7у + ау = (7х + 7у) + (ах + ау) = 7(х + у) + а(х +у) = (х +у)(7 + а).

J т2 -Зт - mk + 3k = (m2 - mk) + (-3m^3k) -m(m-k)-3(m-k) = (m -k)(m -3).

★ Использование формул сокращённого умножения.

✓ 49d2-l = (7d)2-l2=(7d-l)(7d + l).

✓ 9а2 -12ab + 4Ь2 = (За)2 - 2 (За) (2Ь) + (2d)2 = (За - 2d)2.


★ Применение нескольких способов разложения на множители.

✓ i2+2^ + l-25s2=(/2+2 t l + l2)-25s2=(« + l)2-(5s)2=(f + l-5s)(i + l+5s).

Дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами
(причём знаменатель отличен от нуля), называется алгебраиче-
ской (рациональной).

Любой многочлен (в частности, одночлен или число) можно пред-
ставить в виде алгебраической дроби со знаменателем 1.

Сокращение алгебраической дроби — деление её числителя
и знаменателя на общий множитель. Им может быть многочлен,
в частности одночлен или число.

* Чтобы сложить (вычесть) дроби с одинаковыми знаменателями,
нужно сложить (вычесть) числители, а знаменатель оставить без

зб	® MfitfA и /Нала анализа
★ Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями,
нужно привести дроби к общему знаменателю, а затем сложить
(вычесть) дроби с одинаковыми знаменателями.

Злп-llfe2 Зт-llfe2 life Зги-life2 life2 3/n-llfe2 + llfe2 Зт
----------1 11к —

k

k

1

k

k

k

Чтобы умножить алгебраические
дроби, необходимо умножить их
числители (это будет числитель
произведения) и умножить их
знаменатели (это будет знамена-
тель произведения).

Прежде чем выполнять умноже-
ние числителей и знаменателей,
необходимо разложить много-
члены на множители. Затем,
если возможно, нужно сократить
дробь.

ь~3 _(	Ь-3 _(Ь + 3)(Ь-3) _ь-з

b2+fib + 9	‘ (6 + 3)2	(&+3)2	fe + 3'

AWW

Чтобы разделить алгебраические
дроби, необходимо первую дробь
умножить на дробь, обратную
второй.

Для получения обратной дроби
надо поменять местами числитель
и знаменатель.

m 18г/. 18i!/~ -my_ m 18г/. г/(18г/-иг)	(m-18y)m2	-(Д8у-пг)т2 m

m

т

m

т2

ту(18у-т) т-у(18у-т) у

Х-У .

3

_х-у 1__________ (х-г/)-1 _	1	1

3 хг-2ху + у2 3	(х-г/)2 3(х-г/)2 З(х-у) Зх-Зу'

x-y

1

Мз$£Д£М£ £	фпець

Чтобы возвести алгебраическую
дробь в степень с натураль-
ным показателем, надо возвести
в эту степень числитель и зна-
менатель дроби.

4г + 1

Jxy6

2 (4г+1)2 16г2+8г + 1

Г Ых2у*

И ГрЕОБРАЗОММе	ф з7
9ЫПС\Ц£Ци£

Если выражение содержит несколько действий с алгебраическими
дробями, то действия выполняются в том же порядке, что
и действия с натуральными числами.



Выражения, содержащие корень, который нельзя извлечь, назы-
ваются иррациональными.

WCXtoTW из-ГТМ 3tfW

Вынесение множителя из-под
знака корня — преобразова-
ние, которое представляет со-
бой замену выражения '^Ап В
на выражение А\[В, если

п — нечётное число, и на выражение |А| ^|В|, если п — чётное
число.

WXtfTM* ПСА W*

Внесение множителя под знак
корня представляет собой пре-
образование	произведения

А\[в в выражение вида
^АпВ или -\1апВ.

зх

© /trftppfi И tfA4A*A AftAWA
ИСКЛЮЧЕНИЕ (ОСВОБОЖДЕНИЕ ОТ) ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ
В ЗНАМЕНАТЕЛЕ

Умножить числитель и знамена-
тель дроби на такое не равное
нулю иррациональное число (вы-
ражение), чтобы из произведения
в знаменателе можно было из-

a a-yjy'1 1

Ь\У Ь^у^уп~} ЬУ

влечь корень.

Умножение числителя и знаменателя
на сопряжённое иррациональное вы-
ражение:



В 1614 г. шотландский математик Дж. Непер опублико-
вал книгу «Описание удивительной таблицы логарифмов».
В своей работе ему удалось раскрыть идею логарифма
числа как показателя степени, в которую нужно возвести
данное основание, чтобы получить это число. В сочинении
Непера было дано описание логарифмов и их свойств, опу-
бликованы восьмизначные таблицы логарифмов. Термин «ло-
гарифм» утвердился в науке, а Дж. Непера по праву стали
считать отцом логарифмов.

В 1620 г. Э. Уингейт предложил модель логарифмиче-
ской линейки. С того времени до изобретения кальку-
лятора логарифмическая линейка оставалась незамени-
мым помощником мореплавателей, инженеров, учёных
и всех тех, кому приходилось работать с большими
числами.
Логарифмом положительного числа Ъ по основанию а, где а > О,
tz^l, называется показатель степени, в которую нужно возве-
сти а, чтобы получить Ь.

logad = c: ас = Ь

при

а ф 1.

log3243 = ?

3? = 243
log3243 = 5

Логарифм определён не для всех чисел.
Эти ограничения очень важны при ре-
шении уравнений и неравенств.

Из определения следует, что, вычисляя логарифм, например 243
по основанию 3, мы отвечаем на вопрос «В какую степень нуж-
но возвести число 3, чтобы получилось 243?». Ответ: «В пятую
степень». Значит, логарифм 243 по основанию 3 равен 5.

Логарифм числа 1 по любому допусти-
мому основанию равен 0:

logal = 0.

Логарифм числа по своему основанию
равен 1:

logua = l.

J iog18l=0.

S 1о£>2з23 = 1.

Для нахождения логарифма 1/125 по основанию 5 надо вспом-
нить, что отрицательные показатели степеней, можно сказать,
«переворачивают» числа. Значит, чтобы получить 1/125» следу-
ет возвести число 5 в степень —3. Таким образом, логарифм
будет равен -3.

log.-.----= -3

5 125

основные СВОЙСТВА АОГАРЫРРМА

Для упрощения и вычисления значений логарифмических выра-
жений, кроме определения, используются свойства логарифма.

ВАЖНО! Свойства можно использовать как сле-
ва направо, так и справа налево.
Рассматривая свойства, будем полагать, что все действия, в том
числе и логарифмы, определены, т. е. основания положитель-
ны и не равны 1 и числа под знаками логарифмов больше О,

Вычислим 91ог913. цо основному логарифмическому тождеству
значение этого выражения равно 13.

ОСНОВНОЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ
ТОЖДЕСТВО

Свойство, которое вытекает непо-
средственно из определения.

logob-c: d'=b ► а''ёаЬ-Ь

Если с заменить на логарифм,
получим формулу, называемую
основным логарифмическим тож-
деством.

В данном примере нельзя сразу применить тождество, т. к. основание
степени — 49, а основание логарифма — 7. Представим 49 в виде 72.
Поскольку при возведении степени в степень порядок неважен, поменя-
ем местами 2 и логарифм. Заметим, что теперь в скобках можно ис-
пользовать основное логарифмическое тождество. Получим 5. 5“ =25.

J ЛОГАРИФМ ПРОИЗВЕДЕНИЯ^

ЛОГАРИФМ ЧАСТНОГО

loga(ft c) = loguft+logu c
Логарифм произведения равен
сумме логарифмов.

logd - =logu5-loguc
\c >

Логарифм частного равен разности
логарифмов.

Обратите внимание: в данных свойствах логарифмы долж-
ны иметь одинаковые основания.

8
0,0625

✓ log4(256 0,25) = log4 256 + log40,25 = 4 + (-1) = 3.

✓	log312,5 + log510 = 1°g5(l 2,5 • 10) = log5125 = 3.

= log0 58-log050,0625 = logj 8-lug030,0625 = -3-4 = -7.

2

18 '

✓	log318 -log32 = log3 — = log39 = 2.
logo^S + logj 0,25

2

1о£о,25 = 1°£1 5 = -1

5

log! 0,25 = log! =2

2 *

-1+2=1

‘ \ogа b^ - p \ogab

Показатель степени числа b вы-
носится вперёд таким же мно-
жителем.

Рассмотрим этот пример отдельно. В дан-
ном случае свойство использовать нельзя,
т. к. у логарифмов разные основания.
Вычислим значение каждого слагаемого
по определению логарифма. Для удобства
перейдём к одному виду дробей в каж-
дом слагаемом. Вычислим сумму.

ЛОГАРИФМЫ И СТЕПЕНИ

по

а

числа

множителем,

1,

1о&4 32

log rbp = — \ogab
а г

рифм по своему основанию равен
получим окончательный ответ: 2,5.

Показатель
выносится
обратным
казателю.

степени
вперёд

гарифм числа 32
В данном примере
в какую степень
чтобы получить

свойствами логарифма. Представим 4
и 32 в виде степени числа 2. Выне-
сем показатели степеней множителями
перед логарифмами. Так как лога-

Рассмотрим пример.

совсем неочевидно,
нужно возвести 4,
32. Воспользуемся

первоначальному по-

log^d = ^loga&

Вычислим ло-
основанию 4.

log432 = log22 25

log432 = log 2 2° = |log22 = 2,5 1 = 2,5

2

log4 8 = log 2 8 = -log2 8 = - 3 = 1,5.

z 2	2

r3=^log55 = -6.

2

десятичные и натуральные логдрисрмы

Среди логарифмов существует два особых.

Первый из них

десятичный.

log10& = lgb
Десятичным называется логарифм с основанием 10. Читается как

«десятичный логарифм числа Ь».

Второй особый логарифм — натуральный.

logeb = lnb

Натуральным называется логарифм по основа-
нию е. Читается как «натуральный логарифм
числа Ь».

Число е представляет собой бесконечную
непериодическую десятичную дробь.

е -2,7

Константа е имеет большое зна-

Для запоминания числа е можно ис-
пользовать тот факт, что после запя-
той и цифры 7 дважды следует чис-
ло, совпадающее с годом рождения
Л. Н. Толстого, — 1828. Дальше
цифры не повторяются.

е = 2,71828182845904523...

сложных
которые
позднее.

чение в
матики,
изучить

разделах мате-
вам предстоит

СВОЙСТВА десятичных U НАТУРАЛЬНЫХ ЛОГАРИФМОВ

Для десятичных и натуральных логарифмов справедливы все ра-
нее сформулированные свойства, отличается только вид записи.

(_ основное логарифмической тождество J

’ ЛОГАРИФМ ПРОИЗВЕДЕНИЯ )

lg(b c) = lgb + lgc	ln(bc) = lnb-i-Inc
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЛА 8 ВИДЕ ЛОГАРИПРМА
ПО ОПРЕДЕЛЕННОМУ ОСНОВАНИЮ

Иногда при вычислениях, решении уравнений и неравенств воз-
никает необходимость представить число в виде логарифма. Рас-
смотрим два способа, как это можно сделать.

Представим число т в виде логарифма по заранее известному
основанию а.

т = log??	Vy

1

Первый способ основан на ис-
пользовании определения ло-
гарифма. Чтобы определить
число под знаком логарифма,
возведём число а в степень т,
т. е. основание логарифма воз-
водится в степень того числа,
которое необходимо предста-
вить в виде логарифма.

m = logao"

Представим число т в виде
логарифма вторым способом:
допишем множитель 1 и при-
меним свойства логарифма.

т = т • 1 = т logu а = logfl ат



Единичной окружностью в тригонометрии называют окружность
радиуса 1 с центром в начале системы координат хОу.

СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС

Синусом угла a (sin а) называется ордината точки, полученной
поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол а.
Косинусом угла a (cos а) называется абсцисса точки, полученной
поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол а.

Тангенсом угла a (tg а) называется отношение синуса угла к его
косинусу.

Котангенсом угла a (ctg а) называется отношение косинуса угла
к его синусу.

Оси координат разбивают плоскость на че-
тыре части — координатные четверти, или
квадранты. Порядковые номера четвертей
принято считать в направлении против ча-
совой стрелки.

КАК ЗАПОМНИТЬ СИНУС И КОСИНУС?

Чтобы запомнить, что синус — ордината, а косинус — абсцис-
са можно воспользовался мнемоническими правилами.

«Косинус — траву косим». Смотрим на
граву, т. е вниз, а там ось х. Значит,
косинус — это координата по оси Ох,
т. е. абсцисса точки.

'Синус — небо синеет». Смотрим на
небо. т. е. наверх, а там ось у Зна-
чит, синус — это координата по оси
Оу. т е. ордината точки.

ЗНАКИ СИНУСА, КОСИНУСА, ТАНГЕНСА
И КОТАНГЕНСА УГЛА

Тригонометрические круги с расставленными знаками «+» и «-» иллю-
стрируют знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса (см. с. 46—47).
Давайте разберемся, как определять знаки, не заучивая их наизусть.
Для этого используем определения синуса, косинуса, тангенса и котан-
1енса угла

РЫЧИС&ННЗ И ЯрЫБРАЗОММе	©	43
Отметим произвольно точку в I четвер-
ти, ее ордината положительная, значит,

Отметим точку в II четверти, ее ор-
дината также положительная, значит,

Отметим точку в III четверти, её орди-
ната отрицательная, значит, и синус от-
рицательный.

Отметим точку в IV четверти, ее ордина-
та также отрицательная значит, и синус
тоже отрицательный

Отметим произвольно точку в I четвер-
ти, ее абсцисса положительная, значит,
и косинус положительный

Отметим точку п II четверти, ее абс-
цисса отрицательная, значит, и косинус
отрицательный.

Отметим точку в III четверти, ее абс-
цисса также отрицательная, значит,
и косинус отрицательный

Отметим точку в IV четверти, её абс-
цисса положительная, значит, и косинус
тоже положительный.
Чтобы расставить знаки (ангенса и ко1ангенса
в зависимости от четвертей, вспомним их опреде-
ления

Тангенс угла а — эю отношение синуса
угла а к его косинусу. Котангенс угла а — это
отношение косинуса угла а к его синусу.

При одинаковом наборе знаков синуса и косинуса
тангенс и котангенс будут иметь одинаковые знаки

Отметим точку в I чет-
верти Как мы выяснили
ранее, синус и коси-
нус здесь будут поло-
жительными, частное от
деления положительных
чисел также положитель-
ное.

Отметим точку в II чет-
верти. Синус будет по-
ложительным, косинус —
отрицательным, частное
от деления положитель-
ного и отрицательного
чисел — отрицательное

Отметим точку в III чет-
верти. Синус будет от-
рицательным. косинус
тоже, частное от деле-
ния отрицательных чи-
сел — положительное.

Отметим точку в IV чет-
верти Синус будет от-
рицательным, косинус —
положительным, частное
от деления отрицательно-
го и положительного чи-
сел — отрицательное.

Восстановил эти рассуж-
дения, вы зсегда сможе-
те определить знак си-
нуса, косинуса, тангенса
или котангенса угла, где
бы ни находилась со-
ответствующая данному
углу точка.
ГРАДУСНАЯ U РАДИАННАЯ МЕРА УГЛА

а	0		ft  5	я  4	л  3	л  2	%	Зя 2	2л
sin а	0		1  2	/2 2	Уз  2	1	0	- 1	0
cos а	1		з  2	у 2  2	1  2	0	-1	0	1
tga	0		'3 i	1	Уз	—	0	—	0
ctga	—		3	1	Уз  3	0	—	0	—

к экзамену

от 0 до 90

ко-

остальных углов с помощью формул приведения, кото-
рые будут рассмотрены далее (см. с. 52).

что к данным величинам можно свести значения для

Таблица значений синуса, косинуса, тангенса

тангенса, размещаемая в дополнительных материалах

составляется преимущественно для углов
(или от 0 до ^). Это объясняется тем,
4_

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным.
Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна
радиусу окружности, называется углом в один радиан (1 рад).

Как правило, при обозначении угла
в радианах наименование «рад» опуска-
ют. Если мы видим запись ZAOB = 15
без значка градуса, то подразумевается,
что угол равен 15 рад, а не 15 ’.

' 4s © /МГгррД И WAV АНАЛИЗА
® -
Установим взаимосвязь между радианной и
дусной мерой угла.

Полуокружности соответствует центральный
величиной 180°. Длина окружности равна

гра-

угол
2л/?,

значит, длина полуокружности равна л/?. Полу-
чается, что дуге длиной nR соответствует угол
величиной 180°, значит, дуге длиной R соответ-

ствует угол в л раз меньше, т. е. 1 рад =

(180 f

л



180

Если угол содержит

ная мера составляет

ос рад, то его градус-
<180 Y

ос рад =

Из этой формулы

л рад = 180’. Значит,

следует,

1° = —
180

— а .

л )

что угол

рад. Отсюда

получаем формулу перевода угла из гра-
дусной меры в радианную:

о л

ос =---а рад.

180

.	<180?

1 рад = -

л

1° = —рад

180

а рад =

180
----а

о

к л

о 71

“ =180aPM

Находить градусную меру угла, величина которого выражена
в радианах, можно и более простым способом. Для этого до-
статочно помнить, что ISO^n рад.

Найдём радианную меру угла 60°. 60" = ?

Для этого
разделить

ответим на вопрос «На какое число нужно
180, чтобы получилось 60?».

60"^
?

Ответ: на

180°

3. 60 =-----. Отсюда получим:

3

?

60°=-

3

Из примера ниже легко узнать, скольким радианам соответ-
ствует 150°.

Поскольку 30'=—, а 150° = 5 30°, решение будет следующим:

150 =5 30° = 5 —= —.

6	6

30э = ?

30’=^

6

30° = -.
6
-#-------------------------J------------------V-

✓ В случае когда сложно подобрать делитель 180, можно
воспользоваться пропорцией.

Например, выразим в радианах 32°. jgpo

Для этого необходимо вспомнить, что

X

180° л
Составляем пропорцию:	= —.

о А	х

„  320 Я

Из основного свойства пропорции имеем: х= •
8л

Сократив дробь, получаем ответ: 32' =— .

45

✓ Определим градусную меру угла, выраженного ь радианах.

градусах. Необходимо помнить, что л = 180 '. Вместо л

чим: — = 3-45° = 135°.
4

тт	Я

Представим — в

подставляем 180'

л 180

и сокращаем дробь: — ------=45 .

4	4

Зл
выразить в градусах значение — рад. Поскольку
1

3 раза больше, т. е. 45 надо умножить на 3. Полу-

Отсюда нетрудно

Л	Зл

— = 45 , то — в

4	4

Градусиая и радианная мера основных углов

Градусы	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270е	360°
Радианы	0	л  6	я  4	л  3	л  2	л	Зл  2	2л

Представленные в таблице значения величин основных
углов, выраженные в градусной и радианной мере, по-
лезно знать наизусть. Однако в случае необходимости
забытые сведения легко восстановить в памяти, поль-
зуясь приёмами, рассмотренными выше.

Области применения тригонометрических формул:

♦	преобразования и вычисления числовых и буквенных
тригонометрических выражений;

й доказательство тригонометрических тождеств;

★	решение тригонометрических уравнений;

♦	решение тригонометрических неравенств.
основные тригонометрические срормулы

Синус, косинус угла	Тангенс, котангенс угла
Основные тождества	
sin2a+cos2a = l  sina = ±71-cos2a	cos a = ±71-sin2 a  Знак выражения определяется по четверти	sm a	cos a  tg a =	 ctg a=	  cos a	sin a  tgactga = l
О	1	9	1  l + tg2a =—5—	l+ctg2a-=—5—  cos a	sin a	
Углы a и —a	
sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa	tg(-a) = -tga ctg( -a) =-ctga
Формулы сложения	
si n( a ± P) = sin a cos P ± cos a si n P cos(a ± P) = cosacosp sinasinp	1-tgfX tgP ctg(a±₽)=^5«^^ ctg a ± ctg p
Формулы двойного угла	
sin2a = 2sin acosa  cos2a = cos2 a - sin2 a = 1 - 2sin2 a = 2cos2 a -1	tg2«=-^ ftg2a=£jp_l 1-tg a	2ctgu
Формулы половинного угла (формулы понижения степени)	
. 2 a 1-cosa sin — =	  2	2  2 a 1+cosa cos - =	  2	2	. 2 a 1-cosa tg —=	  2 1 + cosa  2 a 1 + cosa ctg — - — —  2 1-cosa
Формулы преобразования суммы, разности в произведение	
ПО- «+Р  sina + smp = 2sin — --cos —  н	2	2  sina-sinP = 2sin———cos——-  2	2  cos a + cosp = 2eosa + ^cos ——-  2	2  „	_ a+p . a-p  cosa-cosp = -2sin— -sin — —  2	2	tg„+tgij=i!i&±a  cosacosP tga-tgp.iM	>  cosacosp  sin(a + P) ctga + ctgP= -  sinasinp  „ sin(a-P) ctga-ctgp = - 		т-5;  sinasinp

И npfo5P/JOP/fftWf <’р>Р/*£ГГИИ ©	5+
Если в качестве аргумента тригонометрической функции ВЫСТуПа-
ЯП	<7

ет выражение вида —±а, где nez, то такое тригонометриче-

ское выражение можно привести к более простому виду, исполь-
зуя формулы приведения.

Sin  cos  / tg  ctg	Л - + u 2  ' n —+a  I2 л — +« 2  л — 4-0  I2	-cosa  = - sinot,  = -ctga  = -tga	sin(n+ a cos(h+o tg(n 4-a Ctg( Я 4-0	J =-sin a  t) = -cosa  = tga  t) = ctga	sin  cos  tgj  ctg	3л  —+a 2  | 3л —+ a  1 2  3л  T  3л  —+ a  I2	= -cosa  = sina  = -ctga  = - tga	sin(2n 4- a) = sina cos(2n + a) = cosa  tg(2n 4-a) = tga  ctg(2n:-t-a) = ctgu	
sin cos tg ctg	a	з ''TT*'' 5  i	i	$	i  К1СЧ *lc\	= cosot  -sin a  - ctga  = tga	sin(n-a) = sina cos(x-a) = -cosa  tg(n-a)--tga ctg( л-a ) =-ctga		sin cos tg ctg	а а	а  1	, з .  «И «Н	= -cosa  = -sina  -ctga  = tga	sin(2n-a  cos(2k-(x  tg|2n-a)  ctg(2n-a	) = -sina  ) = cosa  = -tga  ) = -ctga

ПРАВИЛА ДЛЯ ЗАПИСИ ФОРМУЛ ПРИВЕДЕНИЯ у.

В правой части формулы ставится
тот знак, который имеет левая

часть, при условии, что 0<а< —.

g

Если под знаком преобразуемой три-
гонометрической функции содержит-
ся аргумент вида л±а или 2л ± а,
то наименование тригонометрической
функции следует сохранить.

Если под знаком преобразуемой тригонометрической функции со-

держится аргумент вида —±а или —±а, то наименование

тригонометрической функции следует изменить (синус на косинус,
косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс).
хорошо запо-

Кофункция:
sina
cosa
ctga
tga

Порядок
минается
лошади».

Зл
2~

ИЗМЕНЕНИЕ НАИМЕНОВАНИЯ ФУНКЦИИ.
«ПРАВИЛО ЛОШАДИ»

Функция:
cosa
sina
tga
ctga

изменения наименования

с помощью мнемонического «правила
Лошади надо задать вопрос: «Нужно ли

менять функцию на кофункцию?

Если опорная точка лежит на оси Оу,
то лошадь будет кивать головой вдоль
этой оси, будто отвечая: «Да, нужно».

Если опорная точка лежит на оси Ох,
то лошадь будет мотать головой, отве-
чая на вопрос: «Нет, не нужно».

cost к+а)

Ш

найдём
на оси
ляется,
стрелки

ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛ
ПРИВЕДЕНИЯ

Рассмотрим на примерах, как упрощать тригонометрические выражения,
опираясь на правила записи формул приведения.

Представляем/находим расположение точки.

Определяем знак.

Решаем, меняем ли функцию на кофункцию.

Упростим выражение соэ(л + а). Для начала

опорную точку л. Она расположена
Ох слева. Так как угол а прибав-
то двигаемся от л против часовой
на произвольный острый угол. По-

лучаем точку в III четверти.
ьерги по правилам, которые рассма- | | Теперь ответим на вопрос «Нужно ли
тривали ранее (см. с 46}. В данном	менять функцию на кофункцию?». При-

случае необходимо определить знак ко- ( I	I	меняем	«правило лошади». Поскольку

синуса. Запоминаем, что косинус — это	.	опорная	точка расположена на оси Ох.

абсцисса. В III четверти косинус отри-	I	I	лошадь	будет мотать голоной вдоль

нательный, поэтому после знака равен-	.	,	этой оси, и мы получим ответ «Нет»,

ства ставим «-».	I I Итак, cos(n + a) = -cosa.

I

7t

— a

2

tg --a = +

— a

—a

л
tg --a

Упростим выражение tg	Используем правила

записи формулы приведения, Определяем расположе-
ние опорной точки, на оси Оу сверху. Так как
л

угол а вычитается, то от — двигаемся по часовой
стрелке на произвольный острый угол Получаем точ-
ку в I четверти

tg 2 a

= +ctga = ctga

Определяем знак тангенса. Тангенс
в I четверти положительный, поэто-
му после «=» можно поставить «+»
или не указывать знак.

Для ответа на вопрос «нужно ли менять
функцию на кофункцию?» применяем «правило
лошади», Так как опорная точка расположе-
| на на оси Ov, лошадь будет кивать головой |
вдоль этой оси, отвечая «Да>. Для тангенса
I | кофункцией является котангенс. Получим- |
||	tij "a =+ctga = ctga.	|
У

+60°

150' -90 +60

150' = 180°-30

180’

Формулы приведения помогают выразить синус, косинус,
тангенс и котангенс других углов через табличные значе-
ния Рассмогрим это на примере Вычислим sin 150 .	>

130°/

/ П

Чтобы
синуса,
(см с.

Чтобы понять, какую опорную точку нужно
задействовать, определим четверть Точка,
соответствующая углу 150°, расположена
в II четверти

использовагь таблицу значений
косинуса, тангенса и котангенса
50), 150 можно представить как

90' + 60 или как 180 - 30

Убедимся, что результат не зависит от
способа представления 150 .

180°

sina

> cosa

способом.

другим

Представим 150 в виде суммы. В II чет-

Вычислим sin 150

верти синус положительный и опорная точ-
ка расположена на оси Оу, значит, надо

Представим величину 150е в виде разно-
сти. Г II четверти синус положительный.

менять функцию на кофункцию	I | опорная точка расположена на оси Ох,

значит, менять функцию на кофункцию не
sinl50° = sin(90° + 60<’)= cos60° = —	| | нужно.

Получим cos60 — табличное значение. ' I sinl50 =sin(180 -30 ) = ein30 = —

1	। I

равное —.	| г Получим sinSO'', что, согласно таблице,

I I 1

1 равно —.

Аналогично вычисляются значения синуса, косинуса, танген-
са и котангенса других углов Для этого следует предста-
вить величину угла в виде суммы или разности опорной
точки и табличного значения угла


УРАВНЕНИЯ

Равенство с одной или несколькими
переменными называется уравнением.
Значение переменной, при котором
получается верное числовое равенство,
называется корнем уравнения.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать,
что уравнение не имеет корней.

Уравнения, имеющие одно и то
же множество корней, называ-
ются равносильными.

Равносильные преобразования
позволяют упростить решение
уравнения.

.( СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ j_

Любой член уравнения можно пере-
нести из одной части в другую, из-
менив его знак на противополож-
ный.

✓ Зх-8 = 10<=>Зх = 10 + 8.

Обе части уравнения можно ум-
ножить или разделить на одно
и то же число, не равное нулю.

Z 7х + 14х2 =28|:7<=>х+2х2 =4.

✓ 3-0,5х = 1,5|-2<=>6-х = 3.

Догадка о корне уравнения и его проверка
подстановкой не считаются правильным решением.
Помимо определения корня, необходимо пояснить,
почему уравнение не имеет других корней. Только
в таком случае решение будет полным и верным.

---[ ПОТЕРЯ КОРНЕЙ 

Потеря корней может про-

Неравносильные преобразования мо-
гут привести к получению посто-
ронних корней либо к их потере.

изойти при делении обеих
частей уравнения на выраже-
ние, содержащее неизвестное.
----- -f ОБРАЗОВАНИЕ ПОСТОРОННИХ КОРНЕЙ j—

Посторонние корни могут получиться:

★	при умножении обеих частей уравнения на выражение,
содержащее неизвестное;

*	при возведении обеих частей уравнения в чётную степень;

★	при освобождении от логарифмов.

Алгебраическое уравнение вида ах2 + Ьх + с = О, где х — пере-
менная, а, Ь, с — коэффициенты, а Ф О, называется квадратным

уравнением.

Прежде чем вычислять корни квадратного уравнения, обычно на-
ходят его дискриминант, который обозначается буквой D. Слово
«дискриминант» происходит от латинского слова discriminare, что
означает «обособлять», «разделять», «различать». Таким обра-
зом, дискриминант действительно помогает различать квадратные
уравнения. Его знак определяет количество корней: два корня
при положительном дискриминанте, один корень — при нулевом
и ни одного корня, если дискриминант отрицательный.
Если D > 0, то =

-ь+4р
2а

V 5х2+8х + 3 = 0;

Л = 82-4-5 3 = 64-60 = 4 = 22;

-8 + 2

Xl'2~ 2 5 ’

х^ = ———— =—1; x2=Z^^ = -0,6.

10	10

fОДИН КОРЕНЬ

Y (ДВА ОДИНАКОВЫХ КОРНЯ) у

Если D = 0, то х =—.

2а

J х2-6х + 9 = 0;

Л = (-6)2-4 1 9 = 36-36 = 0;

-f НЕТ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ у

Если Л<0.

✓ 7х2-х + 2 = 0; Л = (-1)2-4-7-2 = 1-56 = -55;

х — нет действительных корней.

ФОРМУЛА РАЗЛОЖЕНИЯ КВАДРАТНОГО
ТРЁХЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ

ах2 + 6х + с = а(х-х1)(х-х2),
где xv х2 — корни квадратного уравнения ах?+дх + с = 0.

ЧАСТНЫЕ
И

СЛУЧАИ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИИ
СПОСОБЫ ИХ РЕШЕНИЯ

★ Уравнение со вторым чётным
коэффициентом: ахг+2тх + с = 0.

Формула для вычисления корней
квадратного уравнения со вторым
чётным коэффициентом позволяет
упростить вычисления. Для слу-
чая с большими коэффициентами
это особенно актуально.
★ Приведённое квадратное урав-
нение: х2 + px + q = 0.

Теорема Виета:

1*1 x2=q.

• Обобщённая теорема Виета

для квадратного уравнения

✓ х2-х-42 = 0.

Найдём подбором такие числа,
которые удовлетворяют усло-
виям:

Х1 +х2 = 1»

*1 х2 =-42.

Значит, корнями данного квад-
ратного уравнения являются
числа -6 и 7.

• Метод переброски старшего коэффициента основан на том,
что корни квадратных уравнений ах2 + Ъх + с = 0 и у2 +Ъу + ас = Ъ

У\ V?

связаны соотношением: Xj=—;х2= —
а

Тогда х1= —= 5; х2=~

-0,5.

У1+У2~

Подбором найдём корни: ^=10;

У\ У2 --Ю.

✓ 2х2-9х-5 = 0.

Перебросим старший коэффициент: у2 -9у-2-5 = 0; у2 -9у-10 = 0.

Из теоремы Виета: -

★ Сумма коэффициентов квадратного уравнения ах2 +Ьх + с = 0
равна нулю (а + fe + <? = 0).

Если а-Ь + с = 0, или Ь = а + с, тогда

------О------------------©------

•/ 5х +8х + 3 — 0.

Поскольку 5 + 3 = 8 (а + с = 5), получим:
ПОДРОБНЕЕ О ТЕОРЕМЕ ВИЕТА

Теорема Виета — одна из самых зна-
менитых теорем школьното курса алге-
бры. Её автором является французский
ученый Ф Виет.

Чтобы разобраться в сути теоремы,
вспомним, что квадратное уравнение,
старший коэффициент которого равен
единице, называется приведённым Кс
эффициент, равный единице, обычно не
записывают.

х2-2х-8 = 0

xi +х2=2,

Х1 х2 ~ “$•

Решим квадратное уравнение. Данное
| уравнение является приведённым, т. к. |

старший коэффициент равен единице.

Найдем такие числа, сумма i

। равна второму коэффициенту
I воположным знаком т. е 2,
। ведение — свободному члену,

которых i

с проти-
а произ-
т. е -8

Обратимся к формулировке теоремы:
сумма корней приведенного квадрат-
ного уравнения равна второму коэф-
фициенту с противоположным знаком,
а произведение корней равно свобод-
ному члену.

Знак системы (фигурная скобка) гово-
рит о том. что оба условия должны
выполняться одновременно Теорема
Виета позволяет решать приведенные
квадратные уравнения устно, без вычис-
ления дискриминанта.

| xi + х2 ~ 2,

2 и -4

и —1;

и -2. I

8

4

।	х1=+...

I х2=-...

[ Начинать подбор следует с

произведе- |

ния. Какие числа при умножении мо-
I гут дать - 8? Точно можно сказать, что |
। одно из них должно быть положитель- .
I ным, а друюе — отрицательным, воз- I
I можно только четыре целых варианта: ।
' 1 и -8, 8 и -1, 2 и -4, 4 и -2.	'

6$	@ /МГгррД И ЛФМИЗЛ
х1 + х2=2,—>4 и -2.

Х1 ‘ х2 = “$• —;

4 и -2.

х1 =4; х2 = -2,
Ответ: 4; -2.

Чтобы выбрать нужную пару, обратимся !
к первому условию Только сумма чисел 4 .
и -2 равна 2 Следизательно, корни уравне- !
ния 4 и -2	I

При записи ответа неважно, какое из чисел
обозначить хр а какое — хг.	।

-х2 + 1 l.r-18-О

-х2+11х-18 = 0|(-1);

х2-11х + 18 = 0.

Рассмотрим следующее уравнение Они 1
не является приведённым, т. к стар- |
ший коэффициент равен -1.

Выполним преобразование: умножим |
обе части уравнения на -1 и получим
приведённое квадратное уравнение. I

2х2+10х+12-0

2х2+10х + 12 = 0|:2,

х‘ +5х + 6 = 0,
X] + х2 = —5,
х1х2=6.

х2 — 2.

Ответ: -3; —2.

Х1 + х2 =11»

X) х2 =18.

xt=2; х2=9.

Ответ: 2; 9.

Найдем корни с помощью теоремы |
Виета. Подберём два числа, которые
в сумме дают 11, а в произведении — |
18 Это числа 2 и 9

I Рассмотрим еще одно уравнение Оно ,
' также не является приведённым, т. к ।

I старший коэффициент равен 2. За- ।
' метим, что все коэффициенты четные. '

I и разделим обе части уравнения на 2

1 Получим приведенное квадратное урав- 1

I нение Найдём корни подбором По
теореме Виета сумма корней равна -5.

I произведение — 6 Поскольку сумма
отрицательная, а произведение положи-

| тельное, корнями являются отрицатель-
ные числа. -3 и -2

I_________ ___ ____________________________I

Почему не всегда получается подобрать корни?

* Не получилось определить нужные числа.

♦ Корни не являются целыми числами.

* Нет корней.

Разберёмся, почему возникают ситуации, когда не получается подобрать корни приведен-
ного квадратного уравнения

.io-первых, бывает трудно определить, какие числа удовлетворяют сразу двум условиям
Во-вторых, корни могут быть нецелыми, а мы подбираем именно целые числа
И в-третьих, уравнение может просто не иметь корней

Какой бы ни была причина затруднений, устранить её помогает дискриминант

х2 -х+10-0

।	Х1+Х2=1,

| х1,х2=10.

Р = (-1)2-4 1 10 = 1-40 = -39.

Ответ: нет корней.

Решим приведенное квадратное уравнение.

По теореме Виета сумма корней равна 1, про-
изведение — 10 Подобрать числа для решения
такой системы не получается, поэтому следует
вычислить дискриминант. Он равен -39 Значит,
уравнение не имеет действительных корней
2х2 + 21х-65 = 0

Если найти корни с помощью
теоремы Виета сложно, тс мож-
но решить уравнение другим
способом, а затем проверить
правильность решения, используя
данную теорему В таком случае
говорят об обобщенной теоре-
ме Виета. Она справедлива для
любого квадратного уравнения.

х2 =

Решим квадратное уравнение по фор-
муле, предварительно вычислив дис-
криминант.

-21-31 -52

£> = 212-4-2 (-65) = 441 + 520 = 961 = 312.

х, >-------- —

1	4	4

-21+31 10

-21±31

Xi 2 —-------

1,2	2 2

4

верно.

корней.

Х1 + х2 ~ ~

и 2 5 Она |
произведение

с
хгх2=-.
а

сумму чисел -13

-10,5 Вычислим

Проверка:

21

*1+*2=-

65

*1	2''

Xi + x2 =-10.5.
<

Xj * х2 = —32,5.

Чтобы проверив, нерно ли найдены
корни, применим обобщённую теорему
Виета.

Теорема Виета
х'+ рх+д-0

= -13;

— = 2,5.
2

-13 + 2,5 = -10,5 — верно

, о 5	65

—13 2,5 = -13 — =----—

2	2

Отвег. -13; 2,5.

Найдём
равна

П	65	„

Получим —Следовательно,

корни найдены верно

Если хп х2 — корни квадратного уравнения/^

Xj + х2 = -р

Х1 х2=д.

Обобщённая теорема Виета
ох ’ +Ьх + с = 0

Очень важно научиться решать квадратные уравнения правильно и быстро
В дальнейшем встретятся более сложные задания, в которых работа с квадрат-
ным уравнением будет только одним из этапов решения
НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЕ

CXOTQ БЫ ОДИН ИЗ КОЭсрсриЦИЕНТОб е и С РАВЕН НУЛЮ)

★ Если 6 = 0, с*0: axJ4-c = 0.

ВАЖНО! Уравнение будет иметь корни, если подкоренное
с

выражение —^0.
а

★ Если с = 0, b*0: ax' tbx = 0.

9

ах +Ьх = 0 <=> х{ах + Ь) = 0 <->

★ Если 6 = с = 0: ах2=0.

ах2 = 0<=>х' -0с->х = 0.

х = 0,
ах+6=0

х = 0,



Рациональное выражение — алгебраическое вы-
ражение, составленное из чисел и перемен-
ной х с помощью операций сложения, вычитания,
умножения, деления и возведения в степень с на-
туральным показателем. Если г(х) — рациональ-
ное выражение, то уравнение г(х) = 0 называют
рациональным уравнением.

Уравнение с одной переменной называют целым уравнением,
если обе его части являются целыми выражениями.
или
х2+4 = 0,
х2=-4 (корней нет).
Ответ: 1.

х3 — х2 + 4х — 4 = 0.

(х3 -х2) + (4х-4) = 0,
х2(х-1) + 4(х-1) = О,

х -1 = О,
х = 1

х -5х2 + 4 = 0.	'

Пусть t = x2,
t2-5t+4 = 0.

а + 6 + с = 1 + (-5) + 4 = 0,

4
тогда получим: < = 1; t = — = 4.

Вернёмся к исходной переменной.

Если t = 1, то х2 = 1 <=> х = ±1.

Если t = 4, то х2 = 4 <=>х = ±2.

Ответ: -2; -1; 1; 2.

ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Дробными (дробно-рациональными) называют уравнения, в которых
присутствуют дроби, содержащие в знаменателе переменную.

При решении дробных уравнений необходимо помнить про
область допустимых значений (ОДЗ) уравнения и исключить
посторонние корни, при которых знаменатель исходного уравнения
обращается в нуль.

= 0, х*4.

х2 -6х + 8

На практике удобнее пользовать-

х-4

х2-6х+8

х-4
х2-6х + 8

= 0| (х-4),

ся более
термина
ние —
Л(х) = ?(х),

широким толкованием
рациональное уравне-
это уравнение вида
где Л(х) и q(x) —

рациональные выражения.

х-4

(х-4) = 0(х-4)

х:?-6х + 8 = 0, хх =2, х2=4,

х-4

т. к.

— посторонний корень,
х*4.

Ответ: 2.

ВАЖНО! Альтернативой на-
хождения ОДЗ при решении
дробно-рациональных уравне-
ний является проверка.

64 © мГс&РА и НаЧаьа анализа


Иррациональным называется уравнение, в котором переменная

содержится под знаком корня.

2^f(x)=2^g(x),

Д2^’(*))“"'Ц’Ч£<*))"" » или М(2\Л*)) =(2^И*)) ,

f(x)2O	g(x)>0

ВАЖНО! Если пе следить за равносильностью переходов,
то проверка является обязательным элементом решения.

@ «я
Для решения некоторых видов иррациональных уравнений
можно использовать метод оценок. Рассмотрим пример:

В левой части два неотрицательных слагаемых. Их сумма
может быть равна нулю только в том случае, если каждое
из них равно нулю. Получим систему уравнений:

х2-4 = 0,

5х + 10 = 0;

х = ±2,
х = -2.

Решением системы, как и единственным корнем исходного
уравнения, является число -2.

✓ ^2х-1=^Зх + 2«(^2х-1)3=(^Зх + 2)3«2х-1 =
Ответ: -3.

- 3 = 8х <=> Зх2 - 3 = 8х «• Зх2 - 8х - 3 = 0;

£> = 64 + 36 = 100; xj =

~	1 о

Ответ: —; 3.

3

6

8-10	1	8 + 10 о

—; х2=----= 3.

3	6

© лдГгррд и ЦаЧААА анализа


Уравнение, в котором неизвестное содержится в по-
казателе степени, называется показательным.

а['Л1 =ай(х), а>0, а* 1 <=> f(x) = g(x)

= 0,2 52х.

0,2 5

,2х=А.5:

5х-3 =5'

10

2х-1

,2х=1.52х = 5-1-52х=52х-1;

5

Для сведения уравнения
к простейшему показательно-
му уравнению степени приво-
дят либо к одному основанию,
либо к одному показателю, по-
этому полезно будет повторить
свойства степеней.

Ответ: -2.

В более сложных случаях
кладывают левую и (или)

вую часть на
вводят новую

множители
переменную.

рас-
пра-
либо

Иногда встречаются показательные уравнения с не-
удобной правой частью. Например, 3х =7. В таком
случае нужно найти показатель степени, в кото-
рую нужно возвести 3, чтобы получить 7. Это
и есть логарифм: x = log37.

5-Зх

3+3 Зх = 5 <=> 6-х-1 = 5;

1 = log6 5 <=> -х = log6 5 + 1 <=> х = -log6 5-1
т: -log65-l.

Однако если уравнение имеет вид 3х = -7, то ситуация I
иная. Кажется, что можно записать x = log3(-7), но такой I
логарифм не определён, поскольку основание логарифма |
и число под логарифмом должны быть положительными.
А также при возведении числа 3 в любую степень ре-
зультат всегда положителен, поэтому уравнение 3х = —7 J
не имеет корней. Таким образом, уравнение с отрицатель- I
ной правой частью решения не имеет.	I
носительно t.

-----©-------------------©------------------—©-------------1

✓ 16x+4x-6 = 0.

(4 ) +4 -6 = 0, |4') +4X —6 = 0; замена: 4x = f, t>0, тогда уравнение
примет вид: f2 + f-6 = 0, tx =-3 (не удовлетворяет условию, что t > 0),
t2 = 2; обратная замена: 4Х=2, 22х=2\ 2х = 1, х = 0,5.

Ответ: 0,5.

A&TAP^^Mf^tAf УРА^Ц^А*

Уравнение, содержащее пере-
менную под знаком логарифма
(в основании логарифма), назы-
вается логарифмическим.

loga f(x> = с <=> аС = f(x)

logZ(x)a =с<=>

(f(x))r = а,
f(x)>0,
f(x)*l

6S @ Arft&PA n ЦаЧаьа AttAWA
log3(x -1) = log3(2 -x) + 1.

!og3(x -1) = log3(2 -x) +1 <=> log3(x -1) = log3(2- x) + log3 3;

log3(x-l) = log3(2-x) + log33 « log3(x-l) = log3((2-x)-3)

x-l = 6-3x,
x>l

4x = 7,
x>l

x = l,75,

<=>x = l,75.

Ответ: 1,75.

1о£ф(х)/(*) = Ь§ф(х)#(х) <=»<	f{x) = g(x), (p(x)>0,  z v z	или -  f(x)>0	7(x) = g(x), (p(x)>0, <p(x)*l, £(x)>0

Ответ: 4.

2x -1 = x + 3,

x + 3 > 0,

x + 1 >0,

x + 1 *1

x = 4,

x*0

x*0,

3x2 + 2x -1 = x2 4- 2x + 1

l°gx+1(3x2 + 2x -1) = 2 <=>
x +1 > 0,

<=> X 4-1 Ф 1,
3x2+2x-1 = (x+1)2

x^O, <=> x = 1. Ответ: 1.
x = l,
x = —1

x2 = l

(f(x»b = g(x),
f(x)>0,
Уравнения, сводящиеся к квадратным:

Пусть t = logab, тогда kt2 + mt + n = 0

k(logab)2 + mlogab + n = 0.

— квадратное уравнение

относительно t.

По

теореме Виета:

Ответ: 4; 8.

1)

2)

t = 2; log2x = 2 <=> х = 4.
t = 3; log2x = 3<=>x = 8.

^2 —

t2 =6.

✓ log2x-51og2x + 6 = 0.

Пусть t = \og2x, тогда f2-5f + 6 = 0.

✓ 61og8x-51og8x+l = 0.

Пусть f = log8x, тогда 6i2-5i + l = 0.

Z) = (-5)2-4 6 1 = 25-24 = 1.

. _5±1

1,2 " 2 6 ’

Тогда <i=|; t2=|.

о

1)	тогда получим:

log8 x = — <=> X = V8i<=> X = 2V2.

2)	t = ~, тогда получим:
О

log8x = i<=>x = ^/8 <=>x = 2.
О

Ответ: 2<2; 2.

СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ

каждого из этих подходов, решим одно уравнение несколькими спо-
собами.
Первый способ не требует от
решающего глубокою погруже-
ния в логарифмы Он основан
на том, что з процессе ре-
шения совершаются некоторые
преобразования, а в конце вы-
полняется проверка.

Поскольку логарифмы равны
и основания равны, то и вы-
ражения под знаком логарифма

log5(x2 - 2х) = log5(3x - 4)

Преобразования	Проверка
о	||  I'	гН  II  7	о	л  Н	II	I	11  СО	т*	т~	С1  ||	+	II	4  И	Ч	i  см	л	+  1	।	•?	II  ГЧ	М	т	_  Н	Н	Сз	И	

также должны быть равными	|

Заметим, что данное преобразование не является равносильным, оно приводит к урав-
нению-следствию Перенесем все слагаемые влево, упростим и получим квадратное |
уравнение Решать его можно по-разному по Формуле через дискриминант или с по-
мощью теоремы Виета Можно также заметить, что сумма коэффициентов равна нулю, |

1  L	следовательно, один корень равен		„ - С  1, а другой — -,  3			т. е. 4 	_Г	1  L		 _1	
Г							-L		“I
1	Преобразования					Проверка		1
1	х2 — 2х = Зх—	1;			х = 1	— посторонний	корень	1
1  1  1  1	х2-5х + 4 = 0;  а + & + е = 1-5 + 4 = 0;  1	с 4	1  Х|=1; х2= —= —= 4. а 1  Ответ: 4.				log5(l2-21) = log5(31-4) log5(-l) = log5(-l)  х-4 — корень  log5(42-2 4) = log5(3-4-4) log^S-log.jB — верно			1  1  1  1
1  1  1  1  L	Выполним проверку. Для этого в исход- ное уравнение вместо х подставим снача- ла значение 1, затем 4  Пусть х = 1. В левой и правой части под знаком логарифма получится -1, но логарифм для отрицательного числа не определен, значит, х = 1 является посто- ронним корнем.			Пусть х-4 В левой и правой части под знаком логарифма получится 8 Это верное равенство, значит, х = 4 является корнем.  В ответе запишем только число 4.				1  1  1  1  1  □

+ Преимуществом данного способа явля-
ется быстрый переход от логарифми-
ческого уравнения к более простому

— К недостаткам можно отнести то об-
стоятельство, что учащиеся часто забы-
вают сделать проверку или выполняют
её устно и записывают ответ без по-
яснений. Такое решение не будет за-
считано как верное

— Самым большим недостатком данного
способа является невозможность его
применения при решении неравенств.
Решая неравенство, мы обычно полу-
чаем бесконечное множество
СПОСОБ

О

2 х

Преобразования

Область

допустимых значений
(ОДЗ)

не2 -2х> О,
Зх—4>0;

х(х-2)>0,

4
х?—.

3

4

3

х I

(2; +«>)

Рассмотрим второй способ Он основан

на

следующем: прежде чем выполнять преоб-
разования, необходимо записать все ус-
ловия существования выражений в левой
и правой части. Это так называемая об-
ласть допустимых значений (ОДЗ) ОДЗ
части записывают справа, чтобы особо вы-
делить

В данном уравнении два логарифма Что-
бы каждый из них сущесгвовал, выражения

под знаком логарифма должны быть поло-
жительными Запишем в ОДЗ систему не- )
равенств

Первое неравенстве решим методом ин- |
тервалов, второе неравенство приведем
к линейному.	I

На числовой прямой для каждого неравен-
ства изобразим множество решений I

и определим, где эти множества Пересе- ।
каются Получим открытый луч (2; + «>).	।

Преобразования

х2—2х = 3х —4;

х2 - 5х + 4 = 0;

Xj = 1 — не удовлетворяет ОДЗ;

х2=4 — удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 4.

Область допустимых значений (ОДЗ)

х' -2х > О,
Зх-4 >0;

х(х-2) >0,

4
х > —.

3

О

2 х (2; +««)

На области допустимых значений перей-
। дем к равенству выражений под знаком
логарифма. Такое квадратное уравнение
I мы уже решали и знаем, что его корнями
являются числа 1 и 4 Прежде чем запи-

К преимуществам данного способа
можно отнести отсутствие необходи-

мости делать проверку,
учащиеся часто забывают.

Данный подход можно

о которой

использовать

также при решении логарифмических
неравенств.

+ Оптимально использовать запись ОДЗ,
когда выражения под знаком логариф-
ма простые и решение неравенств не
займёт много времени.

:4 х	।

3	I

сать ответ, необходимо вспомнить, что
все преобразования выполнялись на мно- |
жестве (2; + <«). Число 1 не принадлежит

ОДЗ, а число 4 — принадлежит, поэтому |
в ответе следует записать только 4

данного

спосо-

начале

выраже-
занима-
гребует
решение

— Если под знаком логарифма

встречаются сложные
ния. нахождение ОДЗ
ет много времени и
больших усилий, чем
самого уравнения.

Еще один недостаток
ба записывая ОДЗ в

учащиеся часто забывают
к нему и проверить наличие
них корней.

решения,
вернуться
посторон-

72	@ /МГс^РЛ И /ГЛУЛЛЛ Л/ГМИЛЛ
log5(x2-2x) = log5(3x-4)

Решая уравнение третьим способом, необходи-
| мо выполнять только равносильные преобразо-
вания. т. е. такие преобразования, которые не

I изменяют множество корней

। Чтобы не заучивать равносильные переходы,
I можно заменить данное уравнение системой,
 записав в неё равенство выражений под зна-
I ком логарифма и все условия, которые в ре-
 шении вторым способом записывали отдельно
I в ОДЗ

Равноеильные преобразоваиия

х2-2х = Зх-4,
х2-2х>0,
Зх-4>0

| Проанализируем записанное В первой
строке записано равенство двух выраже-
| ний, а дальше — требования, чтобы каж-
дое из них было положительным. Но если
| из двух равных выражений одно является
положительным, то и второе также будет
| положительным Значит, можно исключить
из системы одно неравенство, оставив то,

I которое проще решить

Равносильные преобразования

х2-2х = Зх-4,

х2 — 2х > О, — избыточное

Зх-4>0

Равносильные преобразования

х2 -2х = Зх-4,
х2-2х> О,
Зх-4>0;

х2-2х = Зх-4,
Зх-4>0;

х = 1,

х = 4,

4

о—;

3

Ответ: 4.

Решим уравнение и

оставшееся неравенство. Из двух

ству удовлетворяет только 4. Следовательно, решением

корней уравнения неравен-
системы является число 4.

+ Преимуществом данною способа явля-
ется быстрый переход от логарифми-
ческого уравнения к более простому.

+ Главное достоинство метода равно-
сильных преобразований: все условия
записаны вместе и есть возможность
исключать избыточные условия

+ Нет необходимости возвращаться
в начало процесса, чтобы выполнить
проверку или соотнести с ОДЗ Реше-
ние полученной системы является ре-
шением исходного уравнения.

+ Данный способ можно использовать
при решении логарифмических нера-
венств.

— Метод равносильных преобразований
неудобен в использовании в случае,
когда ограничения слишком простые.
Например, если под знаком логариф-
ма находится только х. Тогда проще
определить ОДЗ. х > 0, чем несколько
раз писать систему с этим условием

— Использование равносильных
переходов требует от ученика
хорошего понимания решения
и умения анализировать.


Простейшими тригонометрическими уравнениями называются
уравнения вида sinx = a, cosx = a, tgx = a, ctgx = a, где a — про-
извольное число. Решить простейшее тригонометрическое уравне-
ние — значит описать множество значений переменной х, для
которых данная тригонометрическая функция принимает заданное
значение а.
cosx = a, ae [-1; 1]

x = ±arccosa + 2nn, ne Z.

Частные случаи

cosx - 0;

л	„

x = - +кп, ne Z.

2

cosx = -1;

x = n+ 2nn, ne Z.

cosx = 1;

х = 2лл, ne Z.

Простейшие тригонометрические уравнения с нетабличной

правой частью решаются в зависимости от самого уравне-
ния. Значения синуса и косинуса находятся в диапазоне
от —1 до 1 включительно, поэтому если правая часть мень-

ше -1 или больше 1, то уравнение не имеет решений. На-
пример, cosx = \2>l, значит, уравнение не имеет решений.
Если же число принадлежит отрезку [—1; 1], то ответ будет
записан с помощью арккосинуса (или арксинуса):

cosx = —, х = ±arccos-l + 2itk, keZ.
3	3

В случае с тангенсом и котангенсом значения могут быть
любыми, поэтому ответы записываются через арктангенс
и арккотангенс соответственно.
ctgx = a, ae R

x = arcctga + лп, где neZ. [

Частный случай

ctgx = O;

л

х = — + лп, пе Z.

2

★ Для описания множества углов, отвечающих
ке тригонометрической окружности, нужно взять
один угол из этого множества и прибавить 2лп.

* Для описания множества углов, отвечающих

диаметраль-

одной точ-
какой-либо

ной паре точек тригонометрической окружности, нужно взять
один угол из этого множества и прибавить Ttn.

Уравнения вида sin(/rx + &) = a могут рассматриваться
как простейшие тригонометрические уравнения отно-
сительно kx + b. В таком случае применяются рассмо-
тренные ранее подходы для нахождения угла kx + b,
после чего останется только выразить х. В уравнении
вместо синуса может быть косинус, тангенс или котан-
генс.

7б @ ЛДГСРРЛ И If/WAW АПЛШЗА
основные СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Основная задача при решении тригонометрического уравнения —
сведение его к одному или нескольким простейшим тригономе-
трическим уравнениям вида sinx = a, cosx = a, tgx = a, ctgx = a.

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ

/ Gsir/x-sinx-l =0.
Замена: sinx = t,

2

тогда уравнение примет вид: Gt -t-l = 0,

т\ I 1 л к I 11	1	1 + V25	1

D = (-l) -4-6 -11 = 25, t, =------=—, tn=— = —

2 6	3	2-6	2

Обратная замена: 1) sinx =—, х =—+2лл и х = _^ + 2лл, neZ;

2) sinx =—, x = -arcsin—-f2nn и x = л + arcsin-•+ 2itn, neZ.

3	3	3

Ответ: —+ 2лл; —+ 2ял; -arcsin—+2ял; л + arcsin — т2лл, п е Z.
6	6	3	3

РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ

cos' х +cosх = 0.

cos"х + cosх = 0; cosx(cosx + l) = 0;

Ответ:  + лл; л + 2лл, neZ,
2

cos| —+ 2х |=\2sinx.

i 2 I

cosx = 0,
cosx = -l;

Используя формулу приведения, получаем:

л
х = —+ лл,

2

х = л+ 2лп, ne Z.

cos —+ 2х =\f2sinx<=>-sin2x =
2

= x/2sinx <=> -2cosxsinx = y2sinx <=> -2cosxsinx - % 2sinx = 0 <=>

sinx = 0.

sinx = 0.

x = л/r, /ге Z,

x = ±—+ 2л/г, /?eZ.

4

3n

Ответ: л/г; ±- -+2л/г, /ге Z.

4

cosx =---

2
ПРИВЕДЕНИЕ К ОДНОРОДНОМУ УРАВНЕНИЮ

✓ 2sinx-3cosx = 0 :cosx, cosx^O.
2sinx 3cosx 0	„	„	r,

-------------=-----, 2tgx-3-0, tgx = l,5, x = arctgl,5 + Tin, ne Z.

cosx cosx cosx

Ответ: arctgl,5 + nn, ne Z.

✓ sin x-4sinxcosx + 3cos2x = 0pros'x, cosx^O.

\2	. .

sinx ; 4sinx

sin x 4sinxcosx 3cos x 0

9	2	2

COS X COS X COS X

tg~x-4tgx + 3= 0; замена:
i2-4t + 3 = 0, fj=3,	= 1;

cos2x

cosx ; cosx

+ 3-0,

tgx = f, тогда уравнение примет вид:
обратная замена:

1) tgx = 3, x = arctg3 + nn, ле2;

Я

2)tgx = l, x = arctgl + nn = +пл, ne Z.

4

Л

Ответ: arctg3+nn; + nn, ne Z.
4

Решая однородные тригонометрические уравнения, нужно
разделить обе части на cos х или на соя2х (в зависимо-
сти от степени уравнения). Это можно делать, не опаса-
ясь деления на нуль, потому что, если предположить, что
cosx = 0 и подставить это значение в левую часть уравне-
ния, получится, что синус тоже равен нулю. Однако это
противоречит основному тригонометрическому тождеству (си-
нус и косинус одного и того же угла не могут быть равны
нулю). Следовательно, при решении однородных тригономе-
трических уравнений можно безопасно делить на cosx или
cos2x, поскольку эти выражения не равны нулю.

нердвенстед

Неравенства — это имеющие смысл
алгебраические выражения, составлен-
ные с использованием знаков «^»,
« < », « > », « < », « > ».
Числовые неравенства — два числа или числовых выражения,

соединённые знаком неравенства.

z О,ЗзД.

3

z -10<-3.

z 4>3,99.

Буквенные неравенства — два буквенных выражения, соединён-
ные знаком неравенства.

лК	I—р—\

?	Z 26-3*15.	✓ —<0.	✓ а2 + 17>18.	\

/	х-9	\

Знаки «<» и «>» называют знаками строгих неравенств, а за-
писанные с их помощью неравенства — строгими неравенствами.

Знаки «<» и «>» называют знаками нестрогих неравенств, а со-
ставленные с их использованием неравенства — нестрогими не-
равенствами.

I--------------------------©	i

/ Z а>0,3-4.	✓ п2 + 2п<4.	J -3,4<0. \

Всякое верное числовое неравенство, а также всякое буквенное
неравенство, справедливое при всех числовых действительных
значениях входящих в него букв, называется тождественным.

Все неравенства состоят из двух частей (левой и пра-
вой), соединённых одним из знаков неравенства. Зна-
ки «>» и «<» противоположны. Если в неравенстве
один из этих знаков заменить на другой, то говорят,
что знак неравенства изменился на противоположный.
В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с фраза-
ми вроде «разрешена скорость не более 60 км/ч» или

«на аттракцион допускаются

дети ростом не ниже

150 см». Эти условия можно рассматривать как нера-

венства.

Слова «не более» подразумевают, что значе-\
ние не должно превышать указанного уров-
ня, то есть исключается возможность понятия
«больше». Остаются варианты «меньше» или
«равно», что соответствует знаку «<». Таким об-
разом, условие «скорость не более 60 км/ч» за-
писывается как v<60.

________________________________т______________

Аналогично слова «не менее» подразумевают, что
значение не может быть меньше, то есть остаются
понятия «больше» или «равно». Это соответствует
знаку «>». Потому условие «на аттракцион допуска-
ются дети ростом не ниже 150 см» записывается как
I>150.

4* 40

Числовые

неравенства возникают при сравнении чисел.

>Ь, Ь>с, то а>с.	----Д7----------

★ Если а>Ь,
★ Если а>Ь

то а + с > Ь + с.

и т > 0, то ат>Ьт.

✓ Если 5>3, 3>-4, то 5>-4.

✓ Если 5>3, то 5 + 2 >3 + 2.

✓ Если 5>3 и 10>0, то 5-10>3 10, т. е. 50>30.

W © льГг&РА И tfA4AAA AffAWSA
★ Если а>Ъ и т<0, то ат<Ьт.

* Если

★ Если

★ Если

★ Если

★ Если

✓ Если 5>3 и -2<0, to 5-(-2)<3 (-1), t. e. -10<-3.

a>b, то

a>b, c>d, то a + c>b + d.

✓ Если 5>3, то -5<-3.

'Z Если 5>3, 4 >2, to 5 + 4 >3 + 2, t. e. 9 >5.

a>b>Q и c>d>0, то uobd.

✓ Если 5>3>0 и 4>2>0, to 5 4>3 2, t. e. 20>6.

a>b>Q, ne N, то

✓ Если 5>3>0, 2eN, то 52>32, t. e. 25>9.

, л	11

n > ft > 0, TO — < — .

a b

✓ Если 5>3>0, to —.

5 3



Название и чертёж	Обозначение	Неравенство
Открытый луч	—.{////////////////^	(а; +°о)	х>а
Луч «////////////////» а	х	[а; +«>)	х>а
Открытый луч	//////////($	>  b	х	(-«; Ь)	х<Ь
Луч	//////////^	>  Ь	х	(-со; Ь]	х<Ь
Интервал	>  а	b	х	(а; ь)	а<х<Ь
Отрезок		&//////.	  а	b	х	[а; ft]	а<х<Ь
Полуинтервал	►  а	b	х	[а; ft)	а<х<Ь
Полуинтервал	Ь	х	(а; ft]	а<х<Ь
Оформление числовых промежутков:

★	неравенство строгое (>, <) — точка на числовой прямой вы-
колотая (—О—), скобка в записи числового промежутка круглая;

★	неравенство нестрогое (>, <) — точка на числовой прямой

закрашенная I—•—), скобка в записи числового промежутка ква-
дратная;

★	символы «-«>» и «+°=» всегда записываются в круглых скоб-
ках.

Неравенством с одной переменной называется такое неравен-
ство, в котором одна или обе части содержат одну (и ту же)
переменную.

Решить неравенство — значит найти все его решения или уста-
новить, что таковых нет. Неравенства, имеющие одно и то же
множество решений, называются равносильными.

Существуют неравенства, решениями которых явля-
ется одно-единственное число. Например, х2<0.
Даже не зная, как решать такие неравенства, мож-
но вспомнить правила возведения числа в квадрат
(программа 5 класса). При возведении в квадрат
результат не может быть отрицательным, но может
быть равен нулю. Это возможно только тогда, когда
х-0. Таким образом, единственным решением дан-
ного неравенства является число 0.

Рассмотрим основные равносильные преобразования неравенств.

★	Если из одной части неравенства перенести в другую слагае-
мое, изменив при этом его знак на противоположный, то полу-
чится неравенство, равносильное данному.

★	Если обе части неравенства умножить или разделить на
одно и то же положительное число, то получится неравенство,
равносильное данному.
о

✓ 10х + 20<-30|:10<=>х + 2<-3.

--7 >2m|5 <=> m-35> 10m,
5

Если обе части неравенства умножить или разделить на
одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак не-
равенства на противоположный, то получится неравенство, равно-
сильное данному.

Z -20х+5<-30|:(-5) <=>4х-1 >6.

Z -0,5у + 4,5>1,5у|(-2)<=>у-9<-Зу.

★ Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же
выражение, не приводящее к изменению ОДЗ, то получится не-

равенство, равносильное данному.

✓ х-(20х-7)<5-(20х-7)|+(20х-7)<=>х<5.

✓ у2-4 + ^3>у/у~-з\-/у-3^у2-4>0 (ОДЗ: у>3).

★ Если обе части неравенства умножить или разделить на
одно и то же выражение, положительное при всех значениях пе-
ременной из ОДЗ исходного неравенства и не приводящее к изме-
нению ОДЗ данного неравенства, то получится неравенство, рав-
носильное данному.

★ Если обе части неравенства умножить или разделить на
одно и то же выражение, отрицательное при всех значени-
ях переменной из ОДЗ исходного неравенства и не приводя-
щее к изменению ОДЗ данного неравенства, изменив при этом
знак неравенства на противоположный, то получится неравенство,
равносильное данному.

I---------------\

/ z -7х(х + 6х2)<-7х(х3-11х2)|:(-7х<0)<=>х + 6х2>х3-11х2. \

/ j j£tL>o|(-x2-4<O)<=>3x + 5<O.	\

/ -хг- 4	1	1
★ Если обе части неравенства возвести в одну и ту же нечёт-
ную степень, то получится неравенство, равносильное данному.

★ Если обе части неравенства неотрицательны в ОДЗ, то после
возведения обеих частей неравенства в одну и ту же чётную сте-
пень получится неравенство, равносильное данному в его ОДЗ.



Неравенство вида ах > b или ах < Ь, где х — переменная,
а. и b — некоторые числа, называют линейным неравен-
ством с одной переменной.

Неравенство называется сводящимся к линейному, если его мож-
но с помощью равносильных преобразований привести к линей-
ному.

__[ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ, СВОДЯЩИХСЯ К ЛИНЕЙНЫМ

3-7(х + 1)>6х + 9.

3-7х-7>6х + 9

1)	Раскрыть скобки (если они имеются).

-7х-6х>9-3+7

2)	Перенести все слагаемые с неизвест-
ным в одну сторону, числа — в другую.

-13х>13

3)	Привести подобные слагаемые в ле-

вой и правой части неравенства.

Разделим обе части неравен-
ства на коэффициент при
неизвестном. Так как это от-
рицательное число, то знак

4)	Разделить обе части неравенства

на коэффициент (множитель) при неиз-

вестном.

и4 ® И ЦаЧАМ AftAWA
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ, СВОДЯЩИХСЯ К ЛИНЕЙНЬНМ

неравенства поменяется на противопо
ложный: х<-1.

Ответ:

\\\\\\\\\\\>

-1 х

5)	Изобразить множество реше-
ний на числовой оси.

6)	Записать ответ в виде число-
вого промежутка.

Пункты 5 и (> алгоритма не являются обязательными.
Ответ может быть записан в виде х<-1.

Метод интервалов — способ решения некоторых видов нера-
венств. Методом интервалов можно пользоваться, если в левой
части неравенства содержится произведение, частное или квадрат-
ный трехчлен, а в правой части неравенства — пуль.

tj£pAP£fjCTM ©	«5 \S9

---- ~ @
АЛГОРИТМ ДЕЙСТВИЙ ПРИ РЕШЕНИИ
НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ

3) Определить знак левой части на каждом промежутке.

Для этого па каждом промежутке нужно взять любую удобную точ-
ку, принадлежащую этому промежутку, не включая его концы,
ИЛИ определить знак на одном из промежутков, а далее расставить
знаки с учётом кратности корней:
★ при переходе через корень нечётной кратности знак чередуется;
★ при переходе через корень чётной кратности знак не меняется.

Подставим х-0 в левую часть
неравенства: -10 7<0. значит,
на крайнем левом промежутке
ставим знак «-». Далее знаки
чередуются.

Корень 5 имеет чётную кратность,
на оси он отмечен буквой «ч» (чётный).
Подставим х = 0 в левую часть неравен-
ства: (-10)2 7>0, значит, на крайнем
левом промежутке ставим знак « + ». При
переходе через 0.5 знак чередуется, че-
рез 5 — не меняется.

4) Выбрать нужные

Так как знак неравенства «>»,
выбираем промежутки со зна-
ком «+».

Ответ: |0,5;5].

промежутки и записать ответ.

Так как знак неравенства «>», выбираем
промежутки со знаком « + ».

Ответ: (-«>о;0,5]кД5}.



Неравенство вида ах' +Ьх + с >0 или ах‘ +Ьх + с <0, где х — пе-
ременная, а, Ъ, с — некоторые числа, <2^0, называют квадрат-
ным неравенством.

На месте знака «>» или «<» может стоять знак нестрогого не-
равенства: «>» или «<».

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ НЕРАВЕНСТВ С ПОМОЩЬЮ
ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ (ПАРАБОЛЫ)

✓ Зх2-7х + 4>0.

Зх2 -7х + 4 = 0;

П = (-7)2-4 3 4 = 49-48 = 1,

7-1 ,	7+1 ,1

тогда х1=-—= 1; х2 = --1-.

о	о 3

1) Найти корни квадратного трёхчлена
(т. е. решить квадратное уравнение).
Г" ----- --------------------------------------------

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ НЕРАВЕНСТВ С ПОМОЩЬЮ
ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ (ПАРАБОЛЫ)

1-

3

X

2) Если трёхчлен имеет корни, надо отме-
тить их на оси Ох и построить схематиче-
ски параболу (если а > 0, то ветви параболы
направлены вверх; если ж 0, то ветви па-
раболы направлены вниз).

Если трёхчлен не имеет корней,
матнчески построить параболу,
ную в верхней полуплоскости,

следует схе-
расположен-
если а > О,

или в нижней полуплоскости, если а<0.

ZZ/ZZZ

1

////////.

х1

3

3) Если ах2 гбх + оО, надо найти на
Ох промежутки, для которых точки
раболы расположены выше оси Ох;

ах2 + Ьх + с<0, нужно найти на оси Ох
межутки, для которых точки параболы
положены ниже оси Ох.

Если неравенство нестрогое, точки на

оси
на-

вели
про-
рас-

оси

Ох необходимо учесть при записи ответа.

3

4) Записать ответ.



РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ НЕРАВЕНСТВ
МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ

Квадратные неравенства можно решать методом интервалов. Корни квад-
ратного трёхчлена можно находить любым способом (по формуле корней
квадратного уравнения, по теореме Виета, другими способами).

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ИНТЕРВАЛОВ

* Произведение: (х-3)(8-4х)(х2-49).

*	Квадратный трехчлен 6x2+jc-2.

n г (х-9)2(х + 1)

*	Дробь: -----------.

7х*5

О

Вспомним, что методом интервалов можно решать неравенства, з левой части которых
содержится произведение, квадратный трехчлен или дробь, а в правой части — нуль.
х

I ।

СПОСОБ

х

X

Второй способ —

расстановка

знаку старшего коэффициента.

стоит

I способ

значения х,

левая

х

<////////&

X

Определим
В исходном

знаков по
В данном

отметим
строгое,

2

3

1

2

1

2

-о

2

3

J.

2

о
2

3

о

2

3

о

1

2

Существует два
знаков на каждом

о
1

2

2

З’

1

2’

Поскольку точки на |

способа расстановки
интервале.

Изобразим числовую прямую и
точки. Поскольку неравенство

ше нуля Это промежуток со
знаком «-». Запишем ответ. |

2.J
3’2

X» =----

12

оси выколотые, в записи про- I
межутка скобки должны быть ।
круглыми	'

1

И 2

знак «о, т. е мы ищем такие |

при которых
часть неравенства будет мень- |

нужный интервал |
неравенстве стоит

= =0=

Ох2 +х-2<0

2
формуле. Получим: —-
*5

2

3

II способ

Xi о —

1,2	2 6

- zlzZ ~8

Х1 12	12

-1 + 7 6

6х“ + х-2 = 0;

£> =12-4 6 (-2) = 1 + 48 = 49;
-1±7

-8	2.

Х1‘ 12	12	3’

-1 + 7	6

2	12	12

СПОСОБ

6х2+х-2<0

6 0 + 0 2=-2

о

2

3

о
1

2

х

о
2

3

о
1

2

х

Рассмо1рим первый способ,
точку из любого интервала, за
нием отмеченных, и подстаеим

иыберем
исключе-
в исход-

ное неравенство. Удобно взять 0. Он на-

ходится на числовой оси между

2

3
часть

1

и Если поставить
2

исходного неравенства.

числами

в левую

О

-2 Это о1 ридательное число,

то

получим

поэтому на

выделенном промежутке поставим знак
«-». Далее при переходе через отмечен-
ные точки знаки чередуются.

6х +х—2<и

6х* + х-2 = 0;

Д> = 12-4 6 (-2) = 1 + 48 = 49;

-1±7

Ответ:

12

2 Р
3’2

© И АНАЛИЗА

Рассмотрим применение метода интервалов при
решении квадратных неравенств. Найдем корни |
левой части, т. е. квадратного трёхчлена. Для
этого составим и решим квадратное уравнение }
Дискриминант равен 49 значит, уравнение имеет
два различных корня Вычислим эти корни по |

точки изобразим выколотыми Точки раз-
бивают числовую прямую на интервалы.

неравенстве старший коэффициент равен
6 Поскольку это положительное число,
справа от больше!и корня будет стоять
тот же знак т е «+». При переходе че-
рез отмеченные точки знаки чередуются.
_ — — — — — —-------------------------— — -]

Решим ещё одно неравенство Найдём корни .
левой части, для этого составим и решим ква- I

-х2 + 2х-1 = 0| (-1);
х2-2х + 1 = 0;

Xj + х2 = 2,
Х1-Х2=1.

Xj = 1; х2 =1.

дратное уравнение. Заметим, что старший коэффициент — -1 г
Умножим обе части уравнения на -1, получим приведенное ква-
драг ное уравнение Корни можно найти подбором по теореме |
Виета Ищем числа, сумма которых равна 2, а произведение —
1 Эю числа 1 и 1, т. е. мы получили два одинаковых корня |
Аналогичная ситуация возникает, когда дискриминант равен О
В таком случае говорят, что получен корень кратности 2, или |
чётной кратности Особенность заключается в том. что при пе-
реходе через корень чётной кратности знаки не чередуются. '

Корень чётной кратности -------> знаки не чередуются.

Отмегим 1 на числовой прямой выколо- | |
той точкой, т. к неравенство стригое.
Чтобы не забыть учесть четность кор- | |
ня. над единицей напишем букву «ч».
Определим знак справа от большего I I
(и единственного) корня по знаку стар- . .
шего коэффициента. Будьте внимательны I I
старший коэффициент мы ищем в не- . ।
равенстве Он равен -1, поэтому спра-
ва от 1 необходим  поставить знак «-». । ।
Поскольку при переходе через чётный I I
корень знаки не чередуются, слева от 1 । ।
также ставим знак «-».	' '

_____________________________________________I L

________________________________________I

— — — — — — — — — -!

-х2 + 2х -1 > О	।

-х2 + 2х-1 = 0; | •(—1)

-х2+2х-1 = 0|(-1);	|

х2-2х + 1 = 0;	|

*1+*2=2,	_____-_____J|

Xj X2=l.	1	X |

X] =1; х2 = 1.

Корень четной кратности ----> знаки не ।

чередуются	I

Ответ нет решений.	,

Обратимся к исходному неравенству Мы .
ищем такие значения х, при которых ।
левая часть неравенства будет больше 
нуля Это промежутки со знаком «+». I
Поскольку таких промежутке в нет, нера- ।
венство не имеет решений.	।

_______________________________     _1

Рассмотрим, как изменилось бы решение г слу- ।
чае нестрогого неравенства Корни квадратного ।

-х2 + 2х-1 = 0'(-1);	уравнения будут такими же. но точка на число- г

вой прямой будет изображаться уже закрашен- '

х -2х + 1 = 0;	цой, т к неравенство нестрогое. По знаку старшего коэф- |

г _р ।	фициента и с учётом кратности корня расставим знаки.

Х1 ’	’	'	Обратим внимание на исходное неравенство. Нам нужны |

такие значения х, при которых левая часть неравенства бу-
_ ч _	дет положительна или равна нулю Знака «+» на числовой I

оси нет, поэтому и промежутка, где левая часть положи-
тельна, тоже нет. Однако есть точка, ь котооой достигается |
равенство нулю. — это точка 1. Поэтому ответом к данно
му неравенству является единственное значение х = 1.	!

rjEpAPSfjCT^ ©	*9 @3 --------
по теореме Виета:

2х2 + Зх+1>0

Z х -11х + 30>0.
х2-11х + ЗО = О;

Xi + х2 = 11,
Xj  х2 = 30;

Ответ: (—°°; 5) о (6; +<»).

-О < '

6

5

2х2 + Зх+4 = 0;

Z> = 32-4 2 4 = 9-32<0.

✓ —х *6х-9>0.

-х2+6х-9 = 0|(-1),
х2-6х + 9 = 0,

(х-3)2=0,

х-3 (корень кратности 2, т. е. чётный корень).

— ч —

х

Ответ: любое число <или>

Решим еще одно неравенство Составим и ре-
шим квадрашое уравнение Вычисляя дискрими- I
нант, заметим, что он отрицательный. Значит ураане- .
ние не имеет действительных корней.	I

Но решение неравенства продолжается Изобразим ।
числовую прямую, на которой нет отмеченных точек, '
т. к. уравнение не имеет корней. Старший коэффици- |
ент положительный, поэтому на всей числовой оси
ставим знак «+». Он не может чередоваться, т к. нет |
отмеченных точек Согласно знаку неравенства, нас
будет интересовать вся числовая прямая. Ответ можно |
записать либо словами «любое число», либо проме-
жутком (-~>;+оо). Заметим, что данный промежуток I
всегда записывается в круглых скобках вне зависимо- |
сти от знака неравенства

подбором найдём: Xj=5; х2-6.

На оси знака
нулю.

Ответ: х = 3.

✓ х2-Зх + 10>0.

3 х

нет, но есть точка 3, в которой выражение равно

х

Ответ: (-м; + °°).

х2-Зх + 10 = 0,
£> = 9-40<0.

Уравнение не имеет действительных корней.
Квадратные неравенства можно решать как с помощью
параболы, так и методом интервалов. Решение с помо-
щью параболы изучается после знакомства с графиками,
а затем рассматривается использование метода интерва-
лов. Этот способ применим не только к квадратным,
но и к другим типам неравенств, поэтому рекомендует-
ся хорошо освоить именно метод интервалов.

РАЦ1А^А^Ы£ tfZPAVWtyA

Неравенство вида f(x)>g(x) или f(x)<g(x) называется рацио-
нальным, если /(х) и g(x) — рациональные выражения. Ква-
дратные и линейные неравенства относятся к рациональным не-
равенствам.

Дробно-рациональным называют неравенство, содержащее дроби,
в знаменателе которых имеется переменная.

С помощью равносильных преобразований дробно-рациональное
неравенство приводят к виду й(х)>0, где й(х) — алгебраическая
дробь, и применяют метод интервалов.

ВАЖНО! Корни знаменателя на оси изображаются
выколотыми точками вне зависимости от знака не-
равенства. Таким образом, выполняется требование
«на нуль делить нельзя».

Корни числителя: х + 11 = 0<=>х = -11.

Корни знаменателя: х-7 = 0<=>х = 7.

(2х-1)(х-1)2
V ------------и«

х-3

Корни числителя: 2х-1 = 0с=>х = 0,5;
2

(х-1) =0<=>х = 1 (корень кратнос-
ти 2).

Корни знаменателя: х-3 = 0<=>х = 3.

0,5	1	3 х

Ответ: (-<»;0,5]kj{l}kj(3; + «>).
В общем случае умножать обе части нера-
венства на знаменатель даже при записан-
ном ОДЗ нельзя. Это возможно только, если
точно известно, положительным или отрица-
тельным является знаменатель.

При решении дробно-рациональных неравенств в числителе и зна-
менателе появляются одинаковые множители. В таком случае может
возникнуть желание сократить дробь, но есть один нюанс. Надо
не забыть исключить из окончательного ответа число, которое обраща-
ет в нуль то, что сократили, поэтому желательно не сокращать дробь,
чтобы ничего не забыть.

Рассмотрим на конкретном примере:

__?2-25 < о «< 0.

(х + 5)(2-х)	(х + 5)(2-х)

В числителе и знаменателе множитель х + 5 не будем сокращать. Кор-

выколотой точкой,

к.

Ответ: {

5 и -5.
кратности

Корни знаменателя: -5 и 2. Заметим, что
2, на числовой прямой он будет изображён
это корень знаменателя.

ни числителя:

-5 — корень

-5

ЦРРАЦ^АЛМЫС ntpAVWJfy

Неравенство, содержащее неизвестную под знаком корня, назы-
вается иррациональным. Иррациональные неравенства решаются
с помощью перехода к равносильным рациональным неравенствам
или их системам.

Исходное неравенство	Равносильное неравенство или система	Пример
yj'f(x) >а,а >0	f(x)>U2	^З-х >4 <=> 3-х>16 <=> х<-13.	+  Ответ: (-<*>;-13]	а
sjf(x) >а,а<0	/(х)>0	>/7х + 14 >-9<=>7х + 14>0<£Фх>-2.  Ответ: [-2; + «>)	-ф.
Исходное неравенство	Равносильное неравенство или система		Пример		
<а, а > 0		Лх)>0, f(x)<a~	>/10-2x <3<=>  <-> U,5<x<5.  Ответ: (0,5; 5]	10-2х>0, j-2x>-10,	х<5,  10-2х<9	-2х<-1	х>0,5	
•jf(x) <а,и<0	Нет решений		V2 + 7x<-14.  Ответ: нет решений		
yjf(x) < g(x)	<	f(x)>0, g(x)>0, f(x)<g2(x)	л/x-t 3 <х + 1 «	х + 3>0,	х>-3,  х + 1>0,	х>-1,  х + 3<(х + 1)2	х2+х-2>0.	
yjf(x) < я(х)	«	f(x)>Q, g(x)>0, f(x)<g-(x)	«г			iz//Z v		
			г?	‘ -		
				г и	X  р  +	i-	.  °_2	।	Х Ответ: (!; + «•)		
^f(x)>g(x)  *		g(x)<Q, /(x)>0, Я(х) > 0, f(x)>g2(x)	V3x + 1> х + 1« <  Первая система решения. Вторая  -?	Го 1		, Л	х < -1,  х + 1< 0, Зх + 1>0,	х>--,  <=>	з  х + 1>0,	г -1  Зх + 1>(х + 1)2	2	л  х -х< 0.  в совокупности не имеет система имеет решение:  + 	*	Ответ: (0;1)
vftx) > yjg(x)	<	g(x)>0, f(x)>g(x)	Vx + 2 > х/4-x <=>  Ответ: (1;4]		4-х>0,	х<4,  <=>	<=>1<х<4.  х + 2>4-х	(х>1



Показательным называется неравенство вида а '1 ' * >agu
а 1где а>0, а*1, либо неравенство, сводящееся к данно-
му виду. Па месте знака «>» или «<» может стоять знак не-
строгого неравенства: «>» или «<».
д'1'1	'1 <=> f(x)> g(x), если а>1

alix}>agixt <=>f(x)<g(x), если 0<а<1

Более сложные показательные нера-
венства решаются разложением на
множители или с помощью введения
новой переменной (аналогично пока-
зательным уравнениям).

Л$Г4РЦфЩИЧ£&к1л£ tf£pAV£t1£-TM

Логарифмическим называют неравенство вида loguf(x)>logug(x),
п>0, а 1, и неравенство, сводящееся к данному виду. При этом
учитывается, что выражение, стоящее под знаком логарифмиче-
ской функции, строго положительно, т. е. f(x) > 0, g(x i > 0.

f(x)>g(x),
£(х)>0;

f(x)<g(x),
Дх)>0.
При решении логарифмических
неравенств всегда следует об-
ращать внимание на основа-
ние логарифма. Если основа-
ние логарифма соответствует
условию а>1, то при переходе
к неравенству без логарифмов
знак исходного неравенства со-
храняется. Если основание
логарифма 0 < а < 1, то знак
неравенства меняется на проти-
воположный.

4х-3>х+1, 4х-х>3 + 1, Зх>4,
х + 1>0;	х>-1;	х>-1;

х>—,	х

3	>

х>-1.	-1 А

3

Ответ:

Существуют различные подходы к решению логарифмических не-
равенств. Они аналогичны подходам, применяемым при решении

логарифмических уравнений. Можно отдельно записывать область
допустимых значений (ОДЗ) перед выполнением преобразований
либо выполнять равносильные преобразования. Обычно в спра-

вочниках записываются уже готовые равносильные переходы.

РАВНОСИЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ПРИ РЕШЕНИИ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ
НЕРАВЕНСТВ

Рассмотрим на примерах как получаются системы, равносильные ло-
гарифмическим неравенствам

log j (х“’ — Зх) < log J (4 - Зх)
3	3

х2 - 3х£4-3х,
х2 - Зх > О.

4-Зх>0

щес1вования логарифмов. Прежде чем
решать, проанализируем систему нера-
венств левое выражение х‘ -Зх должно
быть больше правою 4-Зх либо равно
ему, значит, достаточно того, чтобы мень-
шее выражение было положительным

В данном неравенстве слева и справа
представлены логарифмы по одному осно-

ванию, равному т. е меньше 1, по-

этому при переходе к неравенству для
выражений под знаком логарифма изме-
ним знак неравенства на прогивонолож-
ный. Запишем в систему все условия су-

I----------'-------------------------*• I

|	0	4 - Зх	х2 - Зх х

. ' Понять это поможет числовая прямая.

I Выражение х2-3х расположим правее.

чем 4-Зх, т. к. большее значение рас-

полагается правее.
x2 -3x£4-3x,
x2-3x>0, — избыточное

4 - Зх > 0;

log J (x2 -3x)<log1 (l-3x)

x2 -Зх >4-3x,
4-3x>0;

x2-4>0,
x<1—.

3

Если 4 —Зх будет больше нуля, го ।
и хг-3х тоже окаже1ся больше
нуля Следовательно, второе нера- |
венсгво в системе является избы- .
точным и его можно исключить. По- ।
лучим систему, состоящую из двух I
неравенств Решим каждое неравен- I
ство и найдем пересечение мни- ।
жеств их решений: (-«>;-2].

х + 5<—,

9

х + 5 > 0;

х<-4К,

9
х > -5.

Рассмотрим еще одно неравенство.

Число в правой части можно предста-
вить в виде логарифма по основа-
нию 3 Перейдем к равносильной си-
стеме, заметив, что основание
логарифмов больше единицы (3 > 1),
т е. знак неравенства менять не нуж-
но Второе неравенство — это усло-
вие существования логарифма.

Решим систему неравенств.

-5	-4-8	х I

9

I

( г 8	.

Ответ: _5» ~ 4 — .

I У-1

I

Решением первого неравенства являются
все числа, которые меньше либо равны I
8

-4$ • Решением второго неравенства явля- |
ются все числа больше -5 Штриховки ne- I
8

ресекаются от -5 до -4-. Ответ следует ।
записывать с учётом тою, что -5 — выко- 
лотая точка, поэтому нужно поставить кру- ।
.	„8	I

гяую скобку, а -4— — закрашенная точка, |

значит, нужно поставить квадратную скобку |
2

Неравенства, сводящиеся к квадратным: k\1ogab) + m\oga b + n >0.

квадратное неравенство

относительно t.

Пусть t = \ogab, тогда kt2 + mt + п >0

В случае когда в основании логарифма содержится неизвестное,
мы не знаем, оно больше или меньше единицы и нужно ли
в последующем менять знак неравенства на противоположный.
Тогда можно рассматривать два случая. Решение получается до-
вольно громоздким. Так выглядит соответствующий равносильный
переход.

<р(х)>1,



g(x)>0,
[0<ф(х)<1,
f(x)<#(x),

f(x)>0

Существует другой, более лаконичный и простой для восприятия
способ решения — метод рационализации, или метод знакотождес-
твенных множителей.
МЕТОД РАЦИОНАЛИЗАЦИИ
(ТЕОРЕМА О ЗНАКЕ ЛОГАРИФМА)

На ОДЗ знаки выражений log^ Ь -
и (6-1)(а-1) совпадают, т. е. вы-
ражения знакотождественны. При
этом вместо знака «>» может быть
любой знак неравенства.

(б - 1)(а - 1) £ О,

log,, b > 0 <^>

а > О,

а * 1,

b > 0.

✓ log2x_5(5x-2)>0.

Решим неравенство с помощью ме-
тода рационализации. Область до-
пустимых значений можно запи-
сать отдельно. Но чтобы не забыть

учесть все условия, выполним пере-
ход к равносильной системе и ре-
шим каждое неравенство в получив-
шейся системе.

(5х-2-1)(2х-5-1)>0,

2х-5>0,

2х- 5*1,

5х-2>0;

(5х-3)(2х-б)>0.
х > 2,5,
х * 3,
х>0,4.

Заметим, что первое неравенство
удобнее решать методом интервалов.
Изобразим множество решений
па числовой прямой и выберем об-
щее решение системы. Получим от-
крытый луч (3;+«>).

✓ logx_3(2x-4)>logx_3(3x + 5).

Рассмотрим более сложное неравен-
ство. Заметим, что неизвестное на-
ходится и в основании логарифма.
Чтобы не запоминать новых теорем,
перенесём слагаемое из правой части
неравенства в левую:

logx_3(2x-4)-Iogx.3(3x + 5)>0.

Воспользуемся свойством и заменим
разность логарифмов на логарифм
частного:

, 2х -4
°gx-33x + 5

Используем метод рационализации.
При этом в равносильную систему
запишем ограничения на исходные
выражения, чтобы область допусти-
мых значений оставалась неизменной:

9у — 4

- —	(х-3-1)>0,

Зх + 5

х-3>0,

х—3*1,

2х-4 >0,

Зх + 5>0.

В первом неравенстве выполним вы-
читание и решим его методом интер-
валов. Для неравенств под номера-
ми 2, 4 и 5 общим будет условие 2.

-±-i.(x-4l>0, (1)
оХ + Э

х>3,	(2)

х*4,	(3)

х>2,	(4)

(-х-9)(х-4)^о

Зх+5
х>3,
х*4.

Найдём общее решение системы. По-
лучим интервал (3;4).

Ответ:

+ — , + , —

-9-	------х

I "Hl 1	1

____J__]___Q......
3	। х

ii	'	'4	х

II	II

Ответ: (3;4).
МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ

Используя обобщённый ме-

тод интервалов для
неравенств, важно
стаповке знаков па

решения
при рас-
числовой

прямой учесть область допу-
стимых значений.

Область допустимых
Решим неравенство
Для этого приведём

J Iogx5 + 21og5x<3.

—-— + 21og5x<3 <=>
log;>x

значений: х>0. хтН.
методом интервалов,
его к виду

21og|x-31og5X + l^0

log5x

log5x = 0 при x = l.

значения на числовой

Найдём нули числителя:
21og|x-81og5x + l = 0.

Пусть log5x = i/, тогда 2у2-3^ + 1 = 0.

прямой и определим промежутки знакопо-
стоянства на области допустимых значе-
ний.

у = 1. Следовательно,

Получим: у - 0,5,
х1 = <5; х2=5.

Нули знаменателя:
Отметим найденные

Ответ: (0; l)kj[v5; 5J.

*

Если на ЕГЭ в задании
с развёрнутым ответом по-
ставить на числовой прямой
знак там, где левая или
правая часть неравенства
не определена, то по крите-
риям оценки за такое реше-
ние эксперт поставит 0 бал-
лов.

Ещё раз напомним: решая показательные и логарифмиче-
ские неравенства, не забывайте обращать внимание на ос-
нование степени и основание логарифма. Если оно больше
нуля, но меньше единицы, то при переходе к неравенству
без степеней или без логарифмов нужно поменять знак не-
равенства на противоположный. В случае ошибки перехода
при решении неравенств на ЕГЭ в части с развёрнутым от-
ветом эксперт поставит по критериям оценки и баллов.

ffip/ftwsyfyt

Тригонометрическими называются неравенства, в которых неиз-
вестная находится под знаком тригонометрической функции (си-
нуса, косинуса, тангенса, котангенса).

Для решения тригонометрических неравенств необходимо
знать таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и ко-
тангенса (см. с. 48), хорошо ориентироваться в тригоно-
метрическом круге и уметь решать простейшие тригономе-
трические уравнения.
tgx>a, ae R

100 © АЛТАФА H НАЧАЛА анализа
® ------------ --------------------
ctgx<a, ae R

Решать тригонометрические уравнения можно и с помощью фор-
мулы. В случае с неравенствами окружность необходима: по ней
определяют дугу, которая является решением неравенства.

системы уравнений
и нердеенсте

Системой
уравнения
ще всего
буквами х
в общую

уравнений называют два
с двумя неизвестными (ча-
неизвестные обозначаются
и //), которые объединены
систему фигурной скобкой

и рассматриваются совместно.

& дъущя

Решением системы уравнений с двумя неизвестными называется
пара чисел, при подстановке которых в каждое из уравнений си-
стемы уравнения превращаются в истинные числовые равенства.

У А^тод^подстдное^

При решении системы уравнений с двумя неизвестными методом
подстановки необходимо соблюдать следующий порядок действий:

И tf£P/tP£tfCTP ©	101
1)	выразить из какого-нибудь уравнения системы одну перемен-
ную через другую, подставить во второе уравнение системы вме-
сто этой переменной полученное выражение;

2)	решить уравнение с одной переменной;

3)	найти значение второй переменной, подставив в первое урав-
нение значение найденной переменной.

£

Корнями

являются

(!)

Ответ: (3; 1), (-1;-3).

У2 ~
х2=-1.

4 + 4z/ + 2i/2-10 = 0,
х = 2 + у,

у2 + 2у-3 = 0,
х = 2 + у.

уравнения у2 + 2у -3 = 0

У1=1, !/2=-3-

/п\

или (2)

Xi — о

22+4у + у2 +у2 = 10,
х = 2 + у\

х2 + у2 = 10,
х-у = 2.

х2 + у2 =10,
х = 2 + у;

(2+у)2+ у2 =10,
х = 2 + у;

МЕТОД АЛГЕБРАИЧЕСКОГО СЛОЖЕНИЯ

Применение метода сложения заключается в следующем:

1)	умножить почленно уравнения системы, подбирая множители
так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали про-
тивоположными;

2)	сложить почленно левые и правые части уравнений системы;

3)	решить получившееся уравнение с одной переменной;

4)	найти соответствующее значение второй переменной.

введение новых переменных

Суть данного метода состоит в нахождении некоторых повто-
ряющихся выражений и обозначении их новыми переменными.
Новая система имеет упрощённый вид, и её решение сводится
либо к методу подстановки, либо к методу алгебраического ело

графический метод

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя неизвестны

ми

2)

3)
ков

графическим методом:

построить график первого уравнения;
построить график второго уравнения;

найти точки
(координаты

пересечения

графи-

сечения служат

каждой точки пере-
решением системы

уравнений);

4) записать ответ.

2
!/ = -,
х

У = 2х.

Если графики не пересека-
ются, то система не имеет
решений.

Построим графики уравнений в од-
ной системе координат. Найдём ко-
ординаты точек пересечения, полу-
чим: (1; 2), (-1; -2).

Ответ: (1; 2), (-1; -2).

Следует помнить, что с графиков мы снимаем прибли-
жённые значения. Чтобы убедиться в том, что коорди-
наты точек действительно являются решениями систе-
мы, их нужно подставить в каждое уравнение.

Графический способ очень хорошо работает, когда необ-
ходимо найти не решения системы, а их количество.

ОСТЕНЫ	И ^PAefftCTe @ W3


Системой линейных неравенств на-
зывается совокупность двух и более

ли неиных
одну
чину.

неравенств, содержащих
tv же неизвестную вели-

x<10.

Ответ: (2; 10).

В математике знак системы, т. е. фигурная скобка, явля-
ется синонимом союза «и». Этот символ говорит о том,
что все условия должны выполняться одновременно.

Например, в приведённом примере решением системы бу-
дут являться все числа больше 2, но меньше 10. Данная
система является простейшим примером систем неравенств
с одной переменной. Ответ обычно записывается в виде
числового промежутка.

Изображение числовых множеств на числовой прямой
и их запись в зависимости от знака неравенства отра-
жены в таблице на с. 81.

Решением системы неравенств с одной переменной называется
значение переменной, при котором верно каждое из неравенств
системы. Решить систему неравенств означает найти все её ре-
шения или доказать, что решений нет.

Чтобы решить систему линейных неравенств, необходимо:

1)	решить каждое неравенство в системе по отдельности;

2)	отметить решения каждого неравенства на числовой прямой
и выбрать общие для всех неравенств решения; если общих ре-
шений нет, то система не имеет решений.

ЗНАК НЕРАВЕНСТВА КАК СТРЕЛКА. ПОЛЕЗНЫЙ СОВЕТ

При определении множества решений каждого неравенства важно пра-
вильно задать направление штриховки от точки на числовой прямой.
В качестве подсказки можно использовать совет: знак неравенства на-
поминает стрелку указывающую направление.
------------•---->

-8	-lx

Рассмотрим простейший пример систе-
мы неравенств. Для нахождения реше-
ния системы построим числовую пря-
мую Отметим на ней закрашенную точку
-1 и выкологую точку -8. При этом важ-
но помнить, что большее число на пря-
мой располагается правее -1 больше,
чем -8.

\\\х^<ХлХХХХХЮу////

-8	-1 х

Выделяем штриховкой (или дугой) мно-
жество решений каждого неравенства,
используя подсказку, знак неравенства
похож на стрелку, которая указывает на-
правление

Если знаку «<» в верхнем неравенстве
дорисовать древко стрелки, становит-
ся очевидным, что от точки -1 надо
двигаться влево. Аналогично, дорисовав
стрелку для знака «>» во втором не-
равенстве, понимаем что от точки 8
штриховка пойдёт вправо.

Ответ:

При записи ответа важно учитывать, что
-8 — выколотая точка, поэтому скобка
в записи промежутка круглая, а -1 —
закрашенная точка, значит, скобка долж-
на быть квадратной

Множес1В", где пересеклись штрихов-
ки. является решением системы Если
штриховки не пересекаются, то система
решений не имеет.

X > БОЛЬШЕГО, X < МЕНЬШЕГО. ПОЛЕЗНЫЙ СОВЕТ

одинаковый знак, то мож-
и «х меньше меньшего»,
имеет знак «>» (или «>»),

Если в простейшей системе все неравенства имеют
но воспользоваться правилами «х больше большего»
Для решения систем, в которых каждое неравенство
можно пользоваться правилом «х больше большего»

Для решения простейших систем, в которых каждое неравенство имеет знак
«<» (или «<»), можно пользоваться правилом «х меньше меньшего».

(ЧИН об

-5

Ответ: (2;ч-«>).

х > большего

х < меньшего

Рассмотрим систему где все неравенства имею! знак «>».
Есть два способа решения. Первый — используя подсказку. |
что знак неравенства похож на стрелку, которая указывает
направление штриховки на числовой прямой. Изобразим I
множество решений каждого неравенства. Штриховки пересе-
каются правее числа 2, которое не включено в интервал, |
поэтому ответ записывается в круглых скобках (2; +<»).

листгмы yPAfitfZttUH И trzPArtttCTP @ юн
—(>----------< >-----Ответ: (2; + °°).

-5	2 х

СПОСОБ

Для решения данной системы вторым спо-
собом можно воспользоваться правилом
«х больше большего». В рассмотренном при-
мере из чисел -5 и 2 большим является 2.
Значит, решением системы высыпает второе
неравенство.

I Ответ (-о°;-6).

Решим двумя способами си-
стему, в которой все нера-
венства имеют знак «<».

Первый способ заключается в изображении множества
решений каждого неравенства с использованием под-
сказки. что знак неравенства похож на стрелку, кото-
рая показывает направление штриховки на числовой

х<(1,

х < меньшего

прямой. Штриховки пересекаются левее числа -6 От-
ветом является ингервал (-оо;-6).

Для второго способа вос-
пользуемся подсказкой если
каждое неравенство системы

11

СПОСОБ

-6

имеет знак «<», можно применить правило «х мень-

Овет I -«»;-6). ше меньшего». В рассмотренном примере из чи-
сел 0 и -6 меньшим является -6 Значит, решени-

О	ем системы выступает второе неравенство

----------------/ Г г

-35 + 5х<0,	'—iJ

6-Зх>-18;	'	' I

.	5х<35,	5х<35|:5,	Гх<7,

-Зх>-18-6;	-Зх>-24|;(-3);	х<8.

' Ответ- (	'

| Рассмотрим систему из двух неравенств, сводя- | I
щихся к линейным Решение каждого неравенства

| можно выполнить отдельно, но обычно неравенства | |
решаются параллельно и записываются в системе.

| Перенесём слагаемые с неизвестным влево, чис- | |
ла — вправо. Важно помнить, что при переносе

| слагаемою из одной части неравенства в другую | |
необходимо менять его знак на противоположный.

| Приведем подобные слагаемые, где это необходи- | |
мо Затем первое неравенство разделим на 5, вто- . .

I рое — на -3. Обратите внимание на то. что при I I
. делении на отрицательное число знак неравенства . ,
I меняется на противоположный.	I

। Решив каждое неравенство, получим систему из . 

I двух простейших неравенств. Для поиска решения I 1
 системы можно изобразить множества на числовой । ।
I оси, а можно воспользоваться правилом «х меньше । '
 меньшего». В данном случае наименьшим является  ।
число 7, входящее в промежуток (-»;7|

I_________________________________2_________________I L

Ответ:

Рассмотренные правила удобно
использовать, когда в системе
три и более неравенсгва.

R приведённом примере у всех
неравенств знаки «>» и «>»,
наибольшим из L-cex чисел яв-

ляется 9—. Значит, решением

является неравенство х > 9у.
Остаётся только записать ответ
в вице числовою промежутка:

9—;+°°

I 7
✓ 12х + 1>-3,

3 - 2х > х + 6;

2х>-4, (л

-3х>3; |л

2х>-3-1,

-2х-х>6-3;

2х-3>4,

2х>4 + 3,

1

2’

х > 3,5,

Отметим решение первого и второ-
го неравенств системы на число-
вой прямой и найдём пересечение

каждое неравенство, входящее в систему, при этом используются
методы решения неравенств. Затем нужно найти общее решение
всех неравенств, входящих в систему, или доказать, что общих
решений нет.

1

3

1

✓ (х + 5)((2х-4)-(5-х))<0;

2х-4>0,

5-х>0.

1)

(х + 5)(Зх-9)<0;
х>2,

х<0,
1	3	1

2) Решим первое

неравенство системы

х-1 х-1 х+1

(х + 5)(Зх-9)<0:

(х + 5)(Зх-9) = 0; х = -5 и х = 3. хе(-5; 3).

х + 3

1о ;

х

-5

3) Решим второе неравенство

системы х > 2:

3

4) Решим третье неравенство

системы х < 5:

Л. ..

5) Найдём общие решения трёх неравенств
системы: хе(2;3).

Ответ:	-3]l>(-1; 0).

,///////,

Ответ: (2; 3).

х

3


Функция — одно из основных поня-
тий алгебры.

Функция является одним из инструментов описания реального
мира. В повседневной жизни мы часто встречаемся с её проявлени-
ями, т. е. с различными зависимостями. Например, сдавая куртку
в гардероб, мы получаем номерок. Так устанавливается соответствие
между курткой и натуральным числом. Всем нам хорошо знакома
зависимость между временем и пройденным расстоянием, количе-
ством купленного товара и его стоимостью. Более сложные процес-
сы, такие как рост народонаселения, радиоактивный распад веще-
ства, описываются с помощью показательной функции, изменение
напряжения в розетке — с помощью тригонометрической функции.

Ф^Ц,М.

ЗДДМЩЯ

Если даны числовое множество X и правило f, позволяющее по-
ставить в соответствие каждому элементу х из множества X опре-
делённое число у из множества У, то говорят, что задана функ-
ция у = f(x) с областью определения

ФОРМА ЗАПИСИ

D(f)

ОБОЗНАЧЕНИЕ ОБЛАСТИ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ

ОБОЗНАЧЕНИЕ

ОБЛАСТИ ЗНАЧЕНИЙ

Множество всех значений функции
y = f(x), хеХ, называют областью
(множеством) значений функции.

Переменную х называют неза-
висимой переменной (аргумен-
том), а переменную у — зависи-
мой переменной.

E(f)
Фупкция подразумевает, что
соответствовать только одно

При этом одно и
ние у может быть
различных х.
Функция является

то же

одному значению аргумента х может
значение зависимой переменной у.

значе- -----------------------------

получено при

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ

заданной

че говоря, известной), если
каждого значения возможного
ла аргументов можно узнать

(ина-
для
чис-

соот-

ветствующее значение функции.

Графический способ

Достоинства графического способа за-
ключаются в лёгкости и целостности
восприятия, в непрерывности изме-
нения аргумента.

Табличный способ

Основное достоинство таблич-

ного способа

возможность

получения числового значения
функции.

2

3

9

4

5

16

25

Аналитический способ
(с помощью формулы)

Основным достоинством аналити-
ческого способа является высо-
кая точность определения значения
функции от интересующего аргу-
мента.

' -4х + 5, где хе (-5; 25).

HP£g&p/f3£ifyftM£ ГР/1ФНК0Р ФУ^ЦШл

Графиком функции называется множество всех точек коорди-
натной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумен-
та, а ординаты — соответствующим значениям функции.

★ График функции у - f(x) + b
получается параллельным переносом
графика функции у = f(x) вдоль оси
Оу вверх на Ъ единиц при b > О
и вниз на Ь единиц при Ъ < О.
★ График функции у = f(x + а)

получается параллельным пере-
носом графика функции у = f(x)
вдоль оси Ох влево на а единиц
при а > 0 и вправо на а еди-
ниц при а < 0.

★ График функции у = -f(x) по-
лучается симметричным отображе-
нием графика функции у = f(x)
относительно оси Ох.

★	График функции у - f(—x) по-
лучается симметричным отображе-
нием графика функции у = f(x)
относительно оси Оу.

★	Для построения графика функ-
ции г/ = |/'(х)| следует построить
график функции y = f(x] и ту
часть графика, которая расположе-
на в нижней полуплоскости, ото-
бразить симметрично относительно
оси абсцисс.

★	Для построения графика функ-
ции у = /I х ) необходимо:

1)	отбросить часть графика функ-
ции y = f{x), лежащую в левой
полуплоскости;

2)	часть графика функции y = f\x),
лежащую в правой полуплоскости,
оставить неизменной и отобразить
её симметрично относительно оси
Оу в левую полуплоскость.
З&рлТмя Функция

Если функция y = f(x) принимает каждое своё значение только
при одном значении х, то эту функцию называют обратимой.

ОБОЗНАЧЕНИЕ

ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

У = ГЛ(х)

ПОЛУЧЕНИЕ ФОРМУЛЫ,
ЗАДАЮЩЕЙ ОБРАТНУЮ ФУНКЦИЮ

Выразить х через у (или, говоря
иначе, решить уравнение f(x)-y
относительно х).

J Найдём функцию, обратную
функции у = 4 х + 7.

4х=у-7<^>х = \(у-7).

4

Поменяем местами х и у:

У=}(х-7).

4

Поменять местами х и у.

Область определения обратной функ-
ции совпадает со множеством значе-
ний исходной функции, а множество
значений обратной функции совпада-
ет с областью определения исходной
функции.

Примерами взаимно обратных функций являются:

★ кубическая функция у = х3 и функция кубического кор
ня у = Ух;

* показательная функция у = а ’ и логарифмическая функ
ция y = logax.

Квадратичную функцию на всей области определения об
ратить нельзя, но при х>0 обратной к функции у = х'

является у-\'х.

График обратной функции симметричен	\

графику исходной функции относительно У ~
прямой у = х.

Если точка (х0; у0) принадлежит графи-
ку исходной функции, то точка (t/0; х0)
принадлежит графику обратной функции.

О	х

У = f }(х)



НУЛИ ФУНКЦИИ

Нулями функции y = f(x) называются такие значения
аргумента, при которых /(х) = 0.

Можно также сказать, что точки, в которых график
y = f(x) пересекает ось Ох, называются нулями функции.
—

ПРОМЕЖУТОК ЗНАКОПОСТОЯНСТВА
-----------j

Промежуток знакопостоянства — ин-
тервал, в каждой точке которого
функция положительна либо отрица-
тельна.

Найти промежутки знакопостоянства
можно, решив неравенства f(x)>0,

/(х)<0 или с помощью графика
функции.

График функции расположен выше
оси абсцисс (Ох), если f(x)>0.

График функции расположен ниже
оси абсцисс (Ох), если /(х)<0.

Найдём промежутки знакопостоянства
функции /(х) = 5х2 + 9х-2.

5х2 + 9х-2 = 0.

О = 92-4 5 (-2) = 121;

х1.2=4т1 = -2; °’2‘

J э

/(х)>0 при хе (-«>; -2)и(0,2; +<*>).

/(х)<0 при хе (-2; 0,2).

МОНОТОННОСТЬ функции.

ПРОМЕЖУТКИ ВОЗРАСТАНИЯ и УБЫВАНИЯ

Исследование на монотонность — определение промежутков воз-
растания и убывания функции.

Функция у = f(x) возрастает [убывает] на интервале X, если для
любых ххе X, х2&Х, х2>х1 выполняется неравенство /(х2)>/'(х1)
[/(х2)</(х1)].

Концы промежутков возрастания (убывания), в которых функция
определена, включаются в ответ.

112 © алГ&Ра и НаЧааа АНАЛИЗА

6) ----------------------------------
_________________________Л/

Исследование на монотонность
функции, заданной аналитиче-
ски, выполняется с помощью
производной (см. с. 141).

ЧЁТНОСТЬ К нечётность СРУНКЦЦЦ

Функцию y = f(x) (рис. а) на множестве X называют чётной,
если для любого хе X выполняется равенство /(-х) = /(х). Функ-
цию y = f(x) (рис. б) на множестве X называют нечётной, если
для любого хеХ выполняется равенство /(-х) = -/(х). Функция
может быть ни чётной, ни нечётной (рис. в), в этом случае её
называют функцией общего вида. Если функция y = f(x) чётная
или нечётная, то её область определения симметрична относи-
тельно начала отсчёта. График чётной функции симметричен от-
носительно оси ординат (рис. а). График нечётной функции сим-
метричен относительно начала координат (рис. б).

/ Исследуем на чётность функцию f(x) = -7x4+5х2-2.
Л(Г)=(--;+~).

f(-x) = -7(-x)4 + 5(-х)2-2 = -7х4 + 5х2-2 = f(x), значит, функция чётная.
7
✓ Исследуем на чётность функцию /(х) =—.

£>(/) = (-“;0)и(0;+оо).	х

7	7

f(-x) = —- = -— = -f(x), значит, функция нечётная.

@ из
периодичность «рункции

g

✓ Исследуем на чётность функцию f(x) =-----------.

х + 2

^>(/) = (-°°;-2)<j(-2;+oo) — область определения
несимметрична относительно начала отсчёта,
значит, функция общего вида.

Из определений чётной и нечётной функций следует, что если х при-
надлежит области определения, то и значение — х тоже должно при-
надлежать ей. Следовательно, область определения чётных и нечётных
функций — это множество, симметричное относительно нуля.

и	8

Например, при исследовании функции у —------— нет необходимости рас-

сматривать у( х). При исключении только —2 из области определения
функция автоматически становится функцией общего вида.

Функция у = f(x) на множестве X имеет период Т, если для лю-
бого хе X выполняются равенства /’(х-77) = /?(х) = /’(х + 7'). В та-
ком случае функцию /(х) называют периодической.

Если Т является периодом функции у = /(х), то 4Т, -4Т... так-
же являются периодами данной функции, т. е. числа вида пТ,
где n<=Z, являются периодами функции у = /(х).

Периодическая функция имеет бесконечное множество периодов,
наименьший среди положительных периодов называют основным

114 @ /trftfPA И /ИЛ4Л АНАЛИЗА
ОГРАНИЧЕННОСТЬ РРУНКЦИН

Функцию y = f(x) называют ограниченной сверху или снизу на
множестве X, если существует такое число М, что для всех хе X
выполняется неравенство f(x)<M [f(x)>M].

Если функция ограничена сверху и снизу на всей области опре-
деления, то данную функцию называют ограниченной.

График функции, огра-
ниченной сверху

✓ Определим, ограничена ли функция у = 5совх-2.

Так как -1<cosx<1, то -5<5cosx<5, -7<5cosx-2 <3, т. е. уе[-7;3],
следовательно, функция ограничена снизу числом -7, сверху — чис-
лом 3.

хе [-2; 2].

если

снизу.

4-х2 >0, значит,

НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ЧРУНКЦНИ

✓ Исследуем на ограниченность функцию f(x) = VT-x2.

74-х2 >0. значит, функция ограничена

Квадратный корень определён,
На этом отрезке 4-х2 <4, тогда
сверху.

\4-х <2, значит, функция ограничена

Число f {х0) называют наибольшим [наименьшим] значением
функции y = f(x) на множестве X, если существует такое хое X,
что для любого х из множества X выполняется неравенство
/(х0)>/(х) [/(x0)</(x)].

Наибольшее (наименьшее) значение функции на множестве X — это
самое большое (маленькое) значение зависимой переменной у при
хое X.
существу-

снизу,
сверху.

существу-

у неё не

ограничена
ограничена
у неё не

называ-

а - е

Интервал
ют окрестностью точки

а, чис-

Если у функции существует 1/паим, то она
Если у функции существует 1/наиб, то она
Если функция не ограничена снизу, то
* ^наим’

Если функция не ограничена сверху, то
2/нанб*



ло е

радиусом окрестности.

Точку х0 называют точкой мак-
симума [минимума] функции
y = f\x\, если у данной точки
существует окрестность, для всех
точек которой (кроме самой точ-
ки х0) выполняется неравенство
Г(х0)>/(х)	[/(х0)</(х)].

Точки максимума и минимума
называют точками экстремума
функции (от лат. ext remits —
«крайний»).

Значения функции в данных

точках записывают так:

^(^Тпах )’

УI ^min )•

/ Исследуйте функцию, график которой изображён на рисунке.

функция убывает при
и [3; 4].

[1; з] и

2)Е(Г) = (-4;+оо).

3) Функция возрастает при х: (-2; 0],

4)	Функция ни чётная, ни нечётная.

5)	Функция не является периодической.

6)	Функция ограничена снизу.

7)	Унаим=_4: наибольшего значения функ-
ции нет.

8)	Точки максимума: О и 3; точки ми-
нимума: —2; 1 и 4.

9)	Значения функции в точках экстрему-
ма: У(Хтах) = 2:5; y(xmin) = -4;4-

а + с

На представленном графике а, с,
е — точки максимума, b, d —
точки минимума
9\£х/№(ГлрЦЫ£ ФМ*-ЦЬШ

Линейной

записать
висимая
Число k
График

линеындд срункиид

называется функция, которую можно
формулой вида y = kx+b, где х — неза-

переменная, k и b

некоторые числа.

называют угловым коэффициентом.

пересекает

функции
ось Оу

у- Itx- Ь
в точке

Если /? = 0,

Графиком линейной функции является
прямая, для её построения достаточно
найти координаты двух точек.

получим

прямую

вида у = Ь, параллельную оси Ох, проходящую через точку (0: Ь).
Уравнение у = 0 задаёт ось Ох.

y = kx + b, k >0

У

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ

io. D(y) = (-~; +~).

2°. £(у) = (-оо; +оо).

3 Функция общего вида (ни чётная,
ни нечётная).

4°. Функция не является периодиче-
ской.

5°. Функция не ограничена ни сверху,
ни снизу.

6". Нет ни наибольшего, ни наимень-
шего значения.

= kx + b, k<0

На графике выше изображены прямые с наклоном вправо и влево,
но существуют также горизонтальные и вертикальные прямые. Чтобы по-
нять, относятся ли они к линейным функциям, нужно вспомнить, каки-
ми уравнениями они задаются. У вертикальной прямой значения х оди-
наковы, а у горизонтальной значения у одинаковы. Например, уравнения
могут быть вида х = 4 или у = -2.

Уравнение горизонтальной прямой можно записать в виде у = kx + b, где
k = 0, что даёт уравнение у = Ь. Однако с вертикальной прямой дело об-
стоит иначе. Надо заметить, что уравнение вида х = т вообще не задаёт
функцию, т. к. не получится каждому значению х поставить в соответ-
ствие определённое значение у, таких значений бесконечно много.
ЕСЛИ *>0

ЕСЛИ /г<0

* Нуль функции: х = х1.

★	Промежутки знакопостоянства:
У>0 при Х>Хр У<0 при Х<Ху.

★	Функция возрастает.

*	Нуль функции: х = х2.

♦	Промежутки знакопостоянства:
I/> 0 при Х<Х2! У<® при х>х2.

♦	Функция убывает.

независимая переменная,

Кривую, являющуюся графи-
ком обратной пропорциональ-
ности, называют гиперболой.

в I и

лои у — —, где х

срункцыз, опысыедющдд обратную
ПРОПОРЦМОНАЛЬНОСТЬ

Обратной пропорциональностью называет-
ся функция, которую можно задать форму-
k

k —

Если
жен

х
число,

k О.
то
ш

k < О, то график
и IV четвертях.

график располо-
четвертях; если
расположен в II

— СВОЙСТВА ФУНКЦИИ

1°. D(y) = (^; 0)u(0; + «,).

2°. ВД = (-~; 0)о(0; +~).

3°. Функция нечётная.

4°. Функция не является
периодической.

5°. Функция не ограничена
ни сверху, ни снизу.

6°. Нет ни наибольшего,
ни наименьшего значения.

★	Нулей функции нет.

★	Промежутки знакопостоянства:
i/>0 при х>0; у<0 при х<0.

★	Функция убывает при х<0
и при х>0.

★	Нулей функции нет.

★	Промежутки знакопостоянства:
у>0 при х<0; г/< О при х>0.

★	Функция возрастает при х<0
и при х>0.
свойства

рую можно задать формулой вида

переменная, а,

координат, а функция

иметь

(парабо-

где

График функции у

секает ось Оу в точке (0;

свойства.
графика

с и зна-

ет х''

4- Ьх 4- с, где х
числа, а * 0.

В зависимости

КВАДРАТИЧНАЯ срУНКЦЫЯ, £& ГРАЯРИК

ка дискриминанта D график квадратичной
функции может по-разному располагаться

Квадратичной называется функция, кото-

9
у = ах
Ъ и с

от чисел а, Ь

точка (х0; у0),

4- Ьх + с пере-
с).

В реал ьн он жизни параоолу часто можно наблюдать как
траекторию движения какого-либо тела: струя воды в фон-
тане; баскетбольный мяч, летящий в корзину; ядро, кото-
рым выстреливают из пушки; дельфин, выпрыгивающий
из воды, и т. п.

в системе
различные
Вершина
лы) —
Ь
Х°_~2а’



При а > 0 ветви параболы
направлены вверх; при а < 0
ветви параболы направлены
вниз.

Знак дискриминанта D опреде-
ляет количество точек пересе-
чения с осью Ох.

Кривую, являющуюся графиком
квадратичной функции, называ-
ют параболой.

ОБЩИЕ СВОЙСТВА ДЛЯ ВСЕХ
КВАДРАТИЧНЫХ ФУНКЦИЙ

1". 2)(у) = (—о°; +«>).

2°. При д-0 функция j/ = ax2 + c
является чётной, в остальных слу-
чаях — общего вида.

3*’. Функция не является периоди-
ческой.
СЛУЧАЙ а>0, О О, Л>0 (6*0)

1°.

2°.

3°.

Ветви параболы направлены
Парабола пересекает ось Оу
Парабола пересекает ось Ох
£(</) = ко; +°°)-

Нули функции: х = х1,х2.

вверх.

выше оси Ох.

в

двух точках.

Промежутки знакопостоянства:

у<0 при xt<x<x2.

у>0 ПрП Х<Хр х>

4°.

5°.

6°.

Функция убывает при х<х0,

возрастает при х >

Функция ограничена снизу, не ограничена сверху.
Унаим = Ui)> наибольшего значения нет.

д j ЕПЕ Z

СЛУЧАЙ а<0, с< 0, D>Q (6*0)

★	Ветви параболы направлены вниз.

★	Парабола пересекает ось Оу ниже оси Ох.

★ Парабола пересекает ось Ох в двух точках.

1°. ад = (-~; у0].

2°. Нули функции: x = Xj,x2.

3°. Промежутки знакопостоянства:

,у>0 при xj<x<x2;

у<0 при х<х1, х>х2.

4°. Функция возрастает при х<х0,
5". Функция ограничена сверху, не
6°. Унм1б=Уо> наименьшего значения

убывает при х > х
ограничена снизу,
нет.

vx

СЛУЧАЙ а>0. с>0, 7) = 0 (6*0)



1°.

2°.

3°.

4°.

5°.
б°.

Ветви параболы направлены
Парабола пересекает ось Оу
Парабола пересекает ось Ох
£(*/) = [$ + °°)-

Нули функции: х = х0.

вверх.

выше оси Ох.

в

одной точке (вершине).

Промежутки знакопостоянства:
Функция убывает при х<х0,

у>0 при х*х0.
возрастает при х>х0.

Функция ограничена снизу, не ограничена сверху.
Унаим = 0» наибольшего значения нет.



СЛУЧАЙ а<0. с<0, D<0 (6*0)

1°.

2°.

3°.

4°.

5°.

6°.

Ветви параболы направлены вниз.

Парабола пересекает ось Оу ниже оси Ох.

Парабола не пересекает ось Ох.

Е(у) = (-оо; £/„].

Нулей функции пет.

Промежутки знакопостоянства: у<0 при любом х.

Функция возрастает при х<х0, убывает при х>х0.
Функция ограничена сверху, не ограничена снизу.
Унаиб=!/0’ наименьшего значения нет.

Уо
.2

1°. Функция чётная.

2°. Нуль функции: х = 0.

3”. Промежутки знакопостоянства:

при а > 0 у > 0, х Ф О;

при п<0 </< О, х^О.

4°. Если а>0, функция убывает при х<0, возрастает
при х>0.

Если а<0, функция возрастает при х<0, убывает
при х>0.

5°. При а>0 функция ограничена снизу, не ограниче-
на сверху. г/наим = 0, наибольшего значения нет.

6”. При а<0 функция ограничена сверху, не ограничена снизу. УНаиб=®>

наименьшего значения нет.

СТ&П&ННД9 QVHKLluq, её СВОЙСТВА К ГРАФИКИ

Функция вида у = х", где р — действительное число, называется
степенной.

р — ЧЁТНОЕ НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО

-	_	_	-П

✓ у = х2. z у = х14.	✓ г/ = х9?.

1°.	D(i/) = (^oo; +«).	+	♦

2°. Е(у) = [О; +«).	Т	♦

3°. Функция чётная.

4°. Функция убывает при х<0, возрастает при х>0.

5°. Функция ограничена снизу, не ограничена сверху.

6°. ^наим=®’ наибольшего значения нет.
р — ЧЁТНОЕ ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО

-10

-58

. 4

ни наименьшего значения.

-9

-23

наименьшего значения.

1°.

2°.

3°.

4°.

5°.

Функция

Функция

Функция

сверху.

6°. Функция

Р>(у) = (-о°; 0)о(0; +«,).

ВД = (0; +«=)•

и при х>0.

сверху, ни снизу,
ни наибольшего,

чётная.

возрастает при хсО, убывает при х>0.

ограничена снизу, не ограничена

не принимает ни наибольшего,

(П

У *

1)(г/) = [0; +«).

E(i/)= 0; +°°).

1°.

2°.

3°.

4°.

5°.

6°.

ни

D(y) = (-«
£(</) = (—
Функция
Функция
Функция
Функция

р — НЕЧЁТНОЕ ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО

; 0)о(0; +°°).

; O)kj(O; + <»).
нечётная.

убывает при х<0
не ограничена ни
не принимает

НЕЦЕЛОЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО

1°.

2°.

3°.

4°.

5°.
б°.

Функция
Функция
Функция
Унаим-0.

общего вида.

возрастает при х>0.

ограничена снизу, не ограничена сверху,
наибольшего значения нет.

1

0 1

.0.5

Р

НЕЦЕЛОЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО, 0<р<1

1
у = х3.

з

У = Х 2 .

У *

1°.

2°.

3°.

4°.

5°.

6°.

W = [0;+~).

ВД = [0;+«).

Функция
Функция
Функция
•^наим

общего вида.

возрастает при

х>0.

ограничена снизу, не ограничена сверху,
наибольшего значения нет.

1+—

X

0 1

122 @ ЛЛГЯРА и Wv анализа
1

Важно понимать разницу между функциями у = Х3 и у--\Х.

Согласно определению степени с рациональным показателем, первая
функция задаётся при х>0, в то время как вторая определена при
всех действительных числах, поэтому свойства и графики этих функций

р — НЕЦЕЛОЕ ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО

Z у = х к”.	✓ у = х *. j у — х "5.	у*

1°. £>(</) = (О; +оо).	I

2°. ВД = (О;+ос).	1

3°. Функция общего вида.

4°. Функция убывает при х>0.

5°. Функция ограничена снизу, не ограничена
сверху.	------

6°. Функция не принимает ни наибольшего,
ни наименьшего значения.

' ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ, ЕВ ГРАСРЫК Ы СВОЙСТВА

Показательной называется функция, которую можно задать

формулой вида у = а ‘, где х

переменная, а>0, а*1.

График показательной функции проходит

через точку (0; 1).

Графики функций у = ал и

симметричны относительно оси Оу.

При п>1: чем больше основание, тем

график ближе к осям координат.

При 0<п<1: чем меньше основание,

тем график ближе к осям координат.

@ из
------- --ч

СВОЙСТВА ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ

1°. 2Лу) = (—; +~).

2°. ад = (О; +оо).

3°. Функция общего вида.

4”. При а>1 функция возраста-
ет на всей области определения.
При 0<а<1 функция убывает
на всей области определения.

5”. Функция ограничена снизу,
не ограничена сверху.

6". Функция не принимает
ни наибольшего, ни наименьше-
го значения.

Кривую, являющуюся графи-
ком функции у = ех, называют
экспонентой.

------------ ------------------ .. ----- ,

ЛОГАРИ<РМИЧЕСКАЯ <РУНКЦЫ9, 66 ГРА<РЫК И СВОЙСТВА

Логарифмической называется функция вида	y = \ogl}x,	где

а >0, а *1.

График логарифмической функции проходит через точку (1; 0).

Графики функций y = \ogax
и у = log, х симметричны относи-

а

тельно оси Ох.

При а>1: чем больше основание,
тем график ближе к осям коорди-
нат.

При 0<а<1: чем меньше осно-
вание, тем график ближе к осям
координат.

Кривую, являющуюся гра-
фиком функции у - logo х,
называют логарифмиче-
ской кривой.

Логарифмическая функция у = log^ х
и показательная функция t/ = ux, где
а>0, а*1, взаимно обратны. Их гра-
фики симметричны относительно пря-
мой у = х.

СВОЙСТВА ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ
ФУНКЦИИ

1°. 7)(г/) = (0; +~).

2°. ад = (-«; +~).

3°. Функция общего вида.

4°. При а>1 функция возраста-
ет на всей области определения.
При 0<п<1 функция убывает
на всей области определения.

5°. Функция	не	ограничена

ни сверху, ни снизу.

6°. Функция	не принимает

ни наибольшего, ни наименьше-
го значения.
Кривую,
функции
ИДОЙ.

у - cosx

t/ = sinx

ТРИГОНОМЕТРИИЕСкЫЕ РРУНКЦЫЫ
их сеойстед и tpappuku

являющуюся графиком
y = sinx, называют синусо-

у = sin x

У*

1-

2л x

-1+

1°. D{y) = (-oo; +<
2°. Е(4/) = [-1;1].

3°.

Функция периодическая с основ-

ным периодом 2л.

4°. Функция нечётная.

5°. Функция возрастает на промежут-

ках

на

+2лй; Л' + 2лй

2	2

и убывает

Кривую,
функции
соидой.

являющуюся графиком
y = cosx, называют косину-

1

y= cosx

-2л 3л

Зя 2л х

2 +-1 2

1°. = +”)•

2°. Я(у) = [ 1; 1].

3°. Функция периодическая
ным периодом 2л.

с основ-

4».

5°.

ках

Функция чётная.

Функция возрастает на промежут-
[-л + 2яй; 2яй] и убывает на нро-

межутках 12лк-, я + 2лй], где ke Z.

сверху,

промежутках

сверху,

Функция ограничена

где
6°.

и снизу.

• • Укяиб ~ Унаим — — I-

6". Функция ограничена
и снизу.

• • Унаиб — 1’ Унаим — —•

—+ 2дй; '*Л+2лй ,
2	2

тригонометрических функций
звуковые, но и электромагнит-
пружины, маятника и другие

Когда мы записываем голос на диктофон телефона,
то видим нечто похожее на график тригонометриче-
ской функции. Это и есть график звуковой волны,
которая тоже описывается тригонометрической функ-

сложнее, чем синусоида или

цией, но значительно
косинусоида.

В физике с помощью
описываются не только
ные волны, колебания
подобные процессы.
y = tgx

Кривую, являющуюся графиком
функции y = tgx, называют тан-
генсоидой.

1°. £>(у) = Г”—+лА; —+ лй , где ke Z.
I 2	2 J

2°. £(«/) = (-«;

3°. Функция периодическая с ос-
новным периодом л.

-+/л4л1 / -Л* / о <5 / 3л1 /5л
nW

5л' x

4°.

5°.

Функция

Функция

нечётная.

возрастает на

промежутках

--+л/?; - +лй I,
2	2	1

где ke Z.

6°.

7°.

Функция

Функция

не ограничена
не принимает

ни сверху, ни снизу.

ни наибольшего, ни наименьшего значения.

i/ = ctgx

Кривую, являющуюся графи-
ком функции y-ctgx, называ-

I

у= ctg х1

ют
1°.
2°.
3°.

котангенсоидой.

=	л + л^г), где /те Z.

Функция

с основным
4°. Функция
5П. Функция

периодическая
периодом л.
нечётная.

убывает на про-

межутках (л/?; л+л/?), где ke Z.
6°. Функция не ограничена ни

сверху, ни снизу.

 2л

7". Функция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значения.

у = a resin х

ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

График

функции j/=arcsinx может быть получен из графика функции

t/ = sinx,

хе

л л

2’ 2 ’

с помощью преобразования симметрии относительно

прямой

р = х.

1°.

О(г,) = [-1;1].

2°.

£(»)=-

л л

2’ 2

3°.

4°.

5°.

6°.

Функция
Функция
Функция
л

нечётная.

возрастает на всей области определения,
ограничена и сверху, и снизу.

f/чаиб £ ’ ^наим

л

2'
у = arccosx

График функции у = arccosx
= cosx, хе[0;л|, с помощью
у = х.

1°. D(z/) = [-l;l].

2°. A’(t/) = [O; л].

3°. Функция ни чётная,
arccos(-х) = л - arc-cos х.

может быть получен из графика функции у =

преобразования

4”. Функция убывает на всей области опре-
деления.

5". Функция ограничена и сверху, и снизу.

6 • Унаиб ' Я, Уцаим '

,y = arctgx

симметрии относительно прямой

у = arcctgx

ни нечётная;

График функции
быть получен из

у- arctgx
графика

может
функции

i/ = tgx, XG

л

л

2’ 2 ’ °

помощью

График функции i/ = arcctgx может
быть получен из графика функции
у = ctgx, хе (О; л), с помощью пре-

преобразования симметрии
тельно прямой у~х.

относи-

образования симметрии

относитель-

1°.



2°.

3°.

4°.

Функция нечётная.

Функция возрастает на

всей об-

ласти определения.

5°. Функция ограничена и сверху,
и снизу.

6”. Функция не принимает ни наи-
большего, ни наименьшего значе-
ния.

но
1°.
2°.
3°.

прямой у = х.

Е(») = (0; л).

Функция ни чётная,

ная.

4°. Функция убывает на
сти определения.

5°. Функция ограничена
и снизу.

ни нечёт-

всей обла-

и сверху,

6°. Функция не принимает ни наи-
большего, ни наименьшего значе-
ния.

ФУНКЦИИ @	127
V!

числовые
последовдтельности,
прогрессии

В разделе рассмотрены понятия и спо-
собы задания числовых последователь-
ностей, приведены основные формулы
и свойства арифметической и геоме-
трической прогрессий.



Числовой последовательностью {[хп ]
называется закон (правило), соглас-
но которому натуральному числу
п = 1;2;3;4... ставится в соответствие
некоторое число хп. Элемент хп на-
зывают п-м членом или элементом
последовательности, п — номер эле-
мента последовательности.

В современной математике числовая последовательность является част-
ным случаем функции, это так называемая функция натурального ар-
гумента. Понятие числовой последовательности возникло и получи-
ло развитие задолго до того, как появилось представление о функции.
Прогрессии можно встретить в письменных памятниках II тыс. до н. э.
Упоминания о прогрессиях присутствуют в трудах Евклида и Архимеда.

Функцию y=-f[x)., хе Л7, называют функцией натурального аргу-
мента или числовой последовательностью и обозначают y = f(n)
или у}; у2; у3; у4... уп.

Последовательность {хп} называют возрастающей, если каждый
её член (начиная со второго) больше предыдущего.

Последовательность {хп} называют убывающей, если каждый её
член (начиная со второго) меньше предыдущего.

Возрастающие или убывающие числовые последовательности назы-
ваются монотонными.
СПОСОБЫ ЗАДАНЫ^ ПОСЛБДОеАТБЛЬНОСТБй

★ Словесное задание: последовательность описывается словами
без указания формул или когда закономерности между элемента-

ми последовательности нет.

✓ Последовательность простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31... .

✓ Последовательность чётных натуральных чисел:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16... .

J Последовательность цифр после запятой в десятичной записи
числа л/7: 6, 4, 5, 7, 5, 1, 3... .



★ Формула n-го члена: любой
n-й элемент последовательности
можно определить с помощью
формулы.

★ Рекуррентный способ: ука-
зывается правило, позволяющее
вычислить п-й элемент после-
довательности, если известны
её предыдущие элементы.

14, 21... .

= 14: 14, 14,

14... .

1 1 _1
3’ 4’ 5

4, 8, 16, 32... .

-о-------------------®---------

✓ хя+1=2х„+3, х1=-4:

-4, -5, -7, -11... .

Последовательность Фибоначчи:

Уп = Уп-2 + Уп-1> У1=1’ У2=1:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...

2

• -tllL _i
п ~	• х

П

1

2

★ Графический способ: число-
вая последовательность задаётся
графиком, который представля-
ет собой изолированные точки.
Абсциссы этих точек — нату-
ральные числа:

п=1; 2; 3; 4... .

Ординаты — значения членов
последовательности:

ЧИСЛО?#£ ПОСЛ*ДО?ЛТ£Л^ОСТИ Прогрессии ©	129

Ур У2; Уз’ #р- •
Цр$Гр£^СШ

арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — последо-
вательность чисел, каждый член которой,
начиная со второго, равен предыдущему,
сложенному с постоянным для данной по-
следовательности числом, называемым раз-
ностью прогрессии.
Разность прогрессии обозначается буквой d.
★ Рекуррентная формула: an+1=an+d.
★ Формула n-го члена арифметической
прогрессии: ап - аг +(п-l)d.
★ Формулы суммы п первых членов про-
с ai+an о 2a1+(n-l)d
грессии:	=	- *-п; Sn =	- - п.

★ Характеристическое свойство: каждый член арифметической
прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому

двух соседних с ним членов: ап =	1 u,f'1. п>2.

2

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ""""^ ~

Геометрическая прогрессия — последова-
тельность чисел, каждый член которой, на-
чиная со второго, равен предыдущему, ум-
ноженному на отличное от нуля постоянное
для данной последовательности число, на-
зываемое знаменателем прогрессии.

Знаменатель прогрессии обозначается буквой q.
it Рекуррентная формула: bn+1=bnq.

★ Формула п-го члена геометрической прогрессии: bn=b1gn“1.

★ Формулы суммы п первых членов прогрессии:

s" ——

ИЛИ —	у Q 1,

п 1-q	1

Sn=nb}, (/ = ].

it Характеристическое свойство: каждый член геометрической
прогрессии с положительными членами, начиная со второго,
равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов:
bn=\bn_1bn+1, п>2, Ьп>0.

ио @ ллГ&йа и Мала анализа
Обобщенное свойство: квадрат каждого члена, начиная со второго,
равен произведению предыдущего и последующего членов, т. е.
Ьп=Ьп-ГЬп+1’

Особым случаем геометрической прогрессии при |<; <1 является
бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Формула суммы всех членов бесконечно убывающей геометри-

Q &1
ческой прогрессии: о=——.
1-9

Индийский царь Шерам (V—VI вв.) позвал
изобретателя шахматной игры, своего под-
данного Сету, чтобы щедро наградить его
за столь удачную и остроумную выдумку,
пообещав исполнить любое требование учё-
ного. В насмешку над высокомерным пове-
лителем Сета попросил за первую клетку
шахматной доски 1 зерно, за вторую — 2

вёртую — 8 и т. д. Обрадованный столь скромным запросом Шерам при-
казал немедля выдать награду. Однако оказалось, что царь не в состоянии
выполнить желание Сеты, т. к. для этого потребуется количество зёрен,
равное сумме 64 членов геометрической прогрессии 1,2,22,23 ..263, т. е.

1-(264 -1)

S64 =--------= 18446744 073709551615. Урожай из такого количества зёрен

2 1

можно собрать на планете, поверхность которой примерно в 2000 раз боль-
ше поверхности Земли.

'---Г--V-Т,--

НАЧАЛА
математического

АНАЛИЗА

разделе
изводных и
функций, а
цирования и

приведены понятия про-
первообразных основных
также правила дифферен-
интегрирования.

XVII в. считается рубежом перехода от элементарной мате-
матики к современной. Это время появления математического
анализа, создания аппарата нового дифференциального и ин-
тегрального исчисления. В математику вошли переменные ве-
личины и движение.

пА^АЫ 1ЧЛТ£МАТИЧ£СК<>Го АНАЛИЗА @	131
ПрдизРОМ**

Производная функции в точке — основное понятие дифференци-
ального исчисления (раздела математики), характеризующее ско-
рость изменения функции в данной точке.

_____o////4/Z/Z//Z4///Z///z//Z//0____>
х0 - е	х0 + £

Пусть х — произвольная точка,
лежащая в окрестности точки х0.

Операция вычисления про- |
изводной называется диффе- *•
реннированнем, т. е. про-
изводная — это результат
дифференцирования функции. •*<
• 
*

I И Н I И И И I И Н И Н И I I И I и !*•'

Дх = х - х0 — приращение аргумента.

Д/ = /(х)-/(х0) = /’(х0 + Дх)^/(х0) — приращение функции в точ-
ке х0.

ВАЖНО! В данном случае Дх и Д/ являются едиными символами.

Производной функции у - f(x) в точке х0 на-
зывается число, к которому стремится отно-
ДУ /(х0+Дх)-/(х0)

шение ----=--------------- при Дх, стремя-

Дх	Дх

ОБОЗНАЧЕНИЕ

ПРОИЗВОДНОЙ

У = f\x0)

щемся к нулю.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ
СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

геометрический смысл производной

Значение производной функции
/(х) в точке х0 равно угловому
коэффициенту касательной к гра-
фику функции в точке (х0; f(x0)).
Угловой коэффициент равен тан-
генсу угла между прямой и поло-
жительным направлением оси Ох.

---------- СЛУЧАЙ Г(х0)>0

f'(x) = fc = tga,

где y = kx + b — уравнение ка-
сательной, k — угловой ко-
эффициент, a — угол между
касательной и положительным
направлением оси Ох.

f(xo) = fr = tga>O

Касательная наклонена вправо.

Угол наклона острый.

Тангенс острого угла положительный.
СЛУЧАЙ f\xQ)<0

СЛУЧАЙ f(xo) = O

★	Касательная наклонена влево.

★	Угол наклона тупой.

* Тангенс тупого угла отрицатель-
ный.

у = kx+ Ь

У-fix)

/'(x0) = fc = tgoc<0

Уравнение горизонтальной каса-
тельной имеет вид: у = Ь.

★ Касательная параллельна осн Ох.

★ Угол наклона равен 0 .

* tgO =0.

У = fix)

у = ь

f'(xo) = k = tga = O

тангенсы смежных углов имеют
противоположные значения.

v На рисунке изображены график функции у — fix) и касательная к нему

1) Построим прямоугольный ДАБС,

проходила

(в этом случае катеты

выражаются натурал ь-

острый

угол, расположенный

Тангенс

это

ной функции fix) в точке

ложенный
гипотенуза

изображены
касательная
х0. Найдите

распо-
чтобы

клеток

ними числами).

2) Рассмотрим
по горизонтали,

и найдём тангенс этого угла,
отношение противолежащего

в точке С с абсциссой х0. Найдите значение
в точке х0.

через уголки

ниже касательной, так,

катета к прилежащему: 1g А =
3) /'(x0) = tgA = 2,5.

Ответ: 2,5.

На рисунке
у = fix) и
с абсциссой

?С-Л=2А.

АС 2

производной функции fix)

Рассуждая аналогично предыдущему
получим:

1)	tgA - — = — = 3,5;
АС 2

2)	tga = tg(180°- ZA) =-tgA = -3,5;

3) f(x0) = tga = -3,5.

Ответ: —3.5.

график

к нему
значение
ко-

х

ЧАНАМ МЛТсматмсскоГо АНАЛИЗА © 1зз
Если точка движется вдоль оси Ох и её координата изменяется

по закону x(t), то мгновенная скорость точки:

v(t) = x'(t).

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
ПРОИЗВОДНОЙ

v=s'(t)

При решении задач следует раз-
личать мгновенную и среднюю
S
скорость: омгн£—.

Материальная точка движет-
ся прямолинейно по следую-

щему
где х
t —

дите

закону: x(t) = t2-4t + 5,
— расстояние в метрах,
время в секундах. Най-
её скорость в момент

времени f = 10c.

= 2f-4;

2) у(10) = 2 10-4 = 16.

Ответ: 16.

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
НА ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Вычислить производную в соответ-
ствии с правилами дифференцирова-
ния.

Если надо найти скорость в опреде-
лённый момент времени, подставить
соответствующее значение t.

Если необходимо найти момент вре-
мени, когда достигалась определён-
ная скорость Vq, решить уравнение
x'(t) = v0 относительно t.

--------(©----------------------------------------------(©---------------

✓ Материальная точка движется прямолинейно по следующему закону:
x(f) = /2-6t + 8, где х — расстояние в метрах, t — время в секундах.
В какой момент времени скорость тела будет равна 5?

1) v(z) = x'(i) = (i2-6^ + 8) = 2f-6; 2) 2/-6 = 5, 2t = ll, f-5,5.

Ответ: 5,5.

производные ЭЛЕМЕНТАРНЫХ РРУНКЦий

Производная числа равна нулю: с =0, где с—число.
СТЕПЕННЫЕ ФУНКЦИИ	Частные случаи

В частных случаях вычисления производной степенной функции указан
квадратный корень. Если корень нр квадратный, а, например, кубический
или седьмой степени, тогда производную можно вычислить, представив
корень в виде степени. Вспомним, как представить корень в виде степени.
т

По определению степени с дробным показателем \а'1-ап. Значит,
1

чх=^х' = х3. Получается, что кубический корень можно представить в виде

степени и воспользоваться формулой:

Можно оставить ответ в таком виде, но если будет необходимо вычислить
значение производной в какой-то точке, т. е. подставить число вместо х,
то делать это будет неудобно. В таком случае лучше вернуться к корням:

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

(sinx) =cosx (cosx) =-sinx (tgx)=— — (ctgx) =--------------=—

cos“x	sin2x

МЛПМ/тусС&Го	@	135
основаниями

новыми

1

2=Х2.

так:

1Д

ПРАеИЛА AUqPPP&peHLIUPOBAHKQ

3 9 3\/
— хл =—

2	2

( 3

х2

Рассмотрим задание, в котором нужно найти производ-
ную Х\х. В этом случае необязательно пользоваться прави-
лом произведения.

Корень можно представить в виде степени с дробным пока-
зателем и вспомнить, что при умножении степеней с одина-

показатели складываются. Получится
з

Это значительно упрощает вычисление производной:

★ Постоянный множитель (кон-
станту) можно вынести за знак
производной.

★ Производная суммы равна
сумме производных.

ВАЖНО! Количество слагае-
мых может быть любым.

' = (бл/х) =6(Vx) =6-

4\

4

= 4

✓ г/ = (41пх) =4(1пх) =4

4 -

1
х2

★ Производная произведения функ-1 -бх’+Зх*.
ций вычисляется по формуле:	I z y'=|_L+5-

-8х-8-1 +5 = --<г + 5.
ху

у= (>/х sinx) =(>/*) sinx + Vx (sinx) =	sinx+ \^х-cosx = ^^J^ + Vx cosx.

f	f	f	1	ж__4

✓ i/' = ((3x-4)tgx) = (3x-4) tgx + (3x-4)(tgx) =3tgx+(3x-4)--r—= 3tgx+----z—

cosz x	cos x
★ Производная частного функций вычисляется по формуле:

при g-(x) Ф 0.

О------------------------------------------------—---------------

х2 \х2] (Зх-1)-х‘ (Зх-1)	2х(Зх-1)-х2-3 6х2-2х-Зх2 Зх2-2х

'	3x1	(Зх-1)2	(Зх-1)2	(Зх-1)8	(Зх-1)2’

СЛОЖНЫЕ ФУНКЦИИ

Сложная функция — математическое понятие, не связанное с ка-
кими-либо особыми трудностями вычисления или исследования,
Её можно охарактеризовать как функцию от функции.

/	Элементарная функция:	Элементарная функция:

/	f(x) = cosx	(p(x) = S.x	♦

I	СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ

*	f (ф(х)) — cos \ х	Ф ф

f(x) — внешняя функция, ф(х) — внутренняя функция

*	tp(f(x)) = \/cosx	+

Ф(х) — внешняя функция, Цх) — внутренняя функция

При работе со сложной функцией важно определить, какая функция будет внешней,
а какая — внутренней. При составлении двух элементарных функций по разному
можно получить две совершенно отличные друг от друга сложные функции.

производная сложной функции

(фИ(х)))' = ф'Н(х)) Г(х)

производная внешней функции

производная внутренней функции

Рассмотрим вычисление производных сложных функций. Для этого достаточно знать
таблицу производных элементарных функций и следующее правило; производная
сложной функции равна произведению производной внешней функции на производ-
ную внутренней функции
внешняя функция

(ф(Лх)))' = ф'(/(х)) f'(x)

(ln(8inx))Z = 1 cosx = ctgx
sinx /

производная внутренней функции

производная внешней функции

Вычислим производные некоторых сложных функций. В данном примере внешней функци-
ей является натуральный логарифм (In). Ею производная ранна (lnx)z =—. Аргументом
1	х

является sinx. поэтому его записываем в знаменатель: ------ Затем пч правилу умножа-

Sinx

ctux.

е.

sinx

ем на производную внутренней функции, т. е. на (sinx)', которая равна cosx Получим
cosx

I Ф( = ф'(/(х))-/'(х)

элементарная

= e

(kx + b) -k

?х -Зх+8

В школьном курсе математики часто
встречаются сложные функции, в которых
внугренние функции являются линейными

= ех -Зх+8 (2х-3)

Ф(Ах + Ъ), где ф(х)
функция.

| Рассмотрим ещё один пример. Внешняя |
функция при дифференцировании не меня-

ется:

_____	. -ех, а производная внутренней
I квадратичной функции равна (2х-3).

(ф(йх + 5)) =(t>'(kx + b) k = k-<p(kx+b)

(ф( kx + b)) =/г-ф'(Ах + Ь)

✓ (cos(6 + 7x)j =-7 sin(6 + 7х) I

(cosx)'= -sinx	।

| Теперь вы знаете, как вычислять производ- |
ные сложных функций, в которых внут-
| ренние функции являются линейными |
В первом примере показательная функция

I является внешней, к = 2 Во втором при I
| мере внешняя функция — косинус, к = 7. |

| ✓ 7 + 4х --------> й = 4

✓ 8-х ---------> Л = -1

, х . 1	,	.	1

—+1 ——хч-1 --------т? k — —

5	5	5

| Потренируемся определять к Это не |
всегда первое число, к является множите-

| лем при х В последнем примере, чтобы |

I	,	х	1	।

| определить к, запишем - в виде - х	|

5	5
•	/ y = sin2x — сложная функция, где f(x) = sinx, <p(f(x)) = (p(sinx) = (sinx)2;
у - 2sinx(sinx) = 2 sinxcosx.

✓	t/ = log2(x6) — сложная функция, где /(x) = x6, ф(/'(х)) = ф| x6 ) = log2x6;

/ = (log2(x6 |1 = -7'-lx") =—1 — 6x5=——.

x6ln2 x6ln2 *ln2

✓	j/ = \6x — сложная функция, где /(xJ-Gx, ф(Дх)) = ф(6х) = \6х;

|\6x) = —	(6x| = —	=-6 = —i==.

' 2v6x 2y6x V6x

✓	y = ln(7-3x) — сложная функция, где Дх) = 7-3х,

В геометрии касательная к окружности определяется как прямая, имею-

щая с окружностью только одну общую точку. Однако в алгебре понятие
касательной к графику функции трактуется иначе: это предельное поло-

жение секущей.

Рассмотрим на примере. Пусть АВ — се-
кущая к графику некоторой функции. Если
точка А остаётся неподвижной, а точ-
ка В по графику приближается к точке А,
то секущая АВ постепенно превращается
в касательную. Вблизи точки А она имеет
с графиком только одну общую точку, но при
продолжении прямая может пересекать гра-
фик функции и в других местах.

Всякая невертикальная прямая задаётся уравнением вида
y = kx + b, где k — угловой коэффициент. Касательная не являет-

ся исключением.

Даны функция	и точка Л/(х0; Лхо))- Тогда уравнение

касательной к графику функции y = f(x) в точке М можно за-
дать по формуле:

// = /?(хо) + Г(Ло)(х-лси)-

ЧАЧАМ HAnHAWtCttfo АПАЛИЛЛ @	139
3	2

S Составьте уравнение касательной к графику функции у = х -4х -х + 5
в точке х0=2.

1)/(2) = 23-4 22—2 + 5 = 8-16- 2 + 5 = -5;

х3-4х2

= Зх2-8х-1;

3)/'(2) = 3 22-8 2-1 = 12-16-1 = -5;

4) j/ = f(2) + /'(2)(x-2); г/ = -5-5(х-2); у = -5х + Ъ.

Ответ: г/ = -5х + 5.

✓ Составьте уравнение касательной к графику функции у = > + 3х в точке
х0=-1.

1) f (-1) = (-1)2+ 3 (-1) = 1-3 = -2;

3)f(-l) = 2 (-1) + 3 = -2 + 3 = 1;

= 2х + 3;

Ответ: j/ = x-l.

УСЛОВИЯ, ПРИ КОТОРЫХ ПРЯМАЯ ЯВЛЯЕТСЯ
КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ Хо



1)	Угловой коэффициент пря-
мой равен значению производной
в точке х0.

2)	Значения исходной и линей-
ной функций в точке касания х0
равны.

✓ Прямая у=Зх-2 является касательной к графику функции
/(х) = х3-5х2 +6х + 7.

Найдите абсциссу точки касания.

1) Из уравнения касательной k = 3.

f(x) = Зх2 - Юх + 6.	врИЬ

Найдём такую х0, что f'(x0) = k. Составим уравнение:

Зхд - 1Охо + б = 3<=>Зх(| -1Охо+3 = О.	Jf

D = 100 - 36 = 64, тогда х0 = 3; х0 =—.

3	‘-Т'д z + В

2) Проверим выполнение второго условия.
Для х0 = 3: /(3) = 7; у(3) = 7 => Г(3) = у(3).

Для х0=|

&

-5+2+7; у 1 |=-1^|

27 9

(IHD

1

3

1

5

Ответ: 3.
РАСПОЛОЖЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ

Рассмотрим различные случаи расположения касательной.

y = f(x)

y = f(x)

f'(xQ) = k = iga>0

Если касательная наклонена вправо, то
она образует острый угол а с положи-
тельным направлением оси Ох. Тангенс
острого угла больше нуля. значит,
и производная в точке х() также положи-
тельна. Обратите внимание на то, что
точка х0 поинадлежит промежутку воз-
растания функции y = f(x).

f'(x0)*=k = tga<0

Если касательная наклонена влево, то
она образует тупой угол а с положи-
тельным направлением оси Ох. Тангенс
тупого угла меньше нуля, значит, и про-
изводная в точке х0 также отрицательна.
Обратите внимание на то, что точка
х0 принадлежит промежутку убывания
функции у = Цх).

f(xo) = fc = tga = O

Существуют такие точки, в которых касательная
параллельна оси абсцисс. Угол между двумя па-
раллельными прямыми считается равным нулю,
тангенс такого угла также равен нулю Следова-
тельно. значение производной в точке х0 равно
нулю. На графике представлен пример точки экс-
|ремума функции. В данном случае это точка ми-
нимума.

исследование ррункцин на монотонность
с помощью производной

Производная широко используется для исследования функций,
в том числе для определения промежутков возрастания и убыва-
ния функции.

Если f (х)>0 на промежутке X, то функция y = f\x] возрастает
на промежутке X.

Если f'[x)<0 на промежутке X, то функция y = f\x) убывает на
промежутке X.
НА ГРАФИКЕ ФУНКЦИИ # = /(*)]

[-2; 1]; [2; 4]; [7; 9|; [10; 11].

Промежутки, на которых производ-
ная положительна:

(-2; 1); (2; 4); (7; 9); (10; 11).

Промежутки убывания функции:
[1; 2|; [4; 7]; [9; 10]; [11; 12].

Промежутки, па которых производ-
ная отрицательна:

(1; 2); (4; 7); (9; 10); (11; 12).

— Ф 142 © ЛАГЕРА И АНАЛИЗА
---______________________________________
y = f{x) возрастает при хе [а: с]

Рассмотрим функцию y = f(x),
заданную на отрезке |а:£>| На
промежутке от а до с функ-
ция возрастает Поскольку точ-
ка а включена по условию, она
также входит в промежуток воз-
растания. Точку с договорились
включать и в промежуток возрас-
тания, и в промежуток убывания

Построим схематично график производной функции
у - f(x) на отрезке [а; с] В точке а производная
не определена. Эю можно объяснить тем, что про-
изводная связана с касательной, но однозначно
провести касательную на конце отрезка нельзя.
В точке с касательная параллельна оси абсцисс,
значит, производная равна нулю, и точка с абсцис-
сой с лежит на оси Ох

Если в каждой точке интервала (а:с) к графику
исходной функции проводить касательные, то они
будут наклонены вправо, значит, производная по-
ложительна, т. е । рафик производной на интерва-
ле (а; с) будет лежать выше оси Ох

если

на

а. с

то ее

дная будет положительной на интервале (а; с).

На промежутке [c;D] функция
убывает. Точка b включена по
условию, поэтому в промежу-
ток убывания она также входит.
Точку с договорились включать
и в промежуток возрастания,
и в промежуток убывания

Построим схематично график производной на про-
межутке убывания [с;Ь| исходной функции y = f(x).
В точке b производная не определена. В точке
с касательная параллельна оси абсцисс, значит, про-
изводная равна нулю Точка с абсциссой С уже от-
мечена на оси Ох Если в каждой точке интервала
(с; О) к графику исходной функции проводить каса-
тельные, то они будут наклонены влево, значит, про-
изводная отрицательна, т. е график производной на
интервале (с;Ь) будет лежать ниже оси Ох

Сделаем вывод если функция убывает на отрезке [с;£>], то её производ-
ная будет отрицательной на интервале (с:Ь).
На рисунке
определенной
чество целых
положительна

Рассмотрим на конкретных примерах, как исследуются
функции с помощью производной.

изображен график функции

на интеоваие (-6: 8). Определите коли-
точек, в которых производная функции

Приступая к решению, важно обратить внимание на то. что
в условии задания представлен i рафик исходной функ-
ции. а спрашивается про знак производной

L

Как известно, производная положительна
на интервалах возрастания функции. Об-
ратите внимание речь идет об интерва-
лах, куда концы не включаются

На рисунке изображён график произво-

Ответ 4

Точки с целыми абсциссами визуально
можно определить так: они лежат на вер-
тикальных линиях сетки Таких точек 4
Это число и следует записать в ответе

дной функции y = f(x), определённой на
интервале (-2; 12) Найдите промежут-
ки убывания функции y = f(x). В ответе
укажите длину наибольшего из них
Обратите внимание, в условии задания
представлен график производной функ-
ции, а найти требуется промежутки убы-
вания исходной функции

Как
там,
ки,

известно, исходная функция убывает
где производная отрицательна Тич-
в которых производная равна нулю,

также включены в промежутки убывания
исходной функции.

Ответ- 6

У*

y = f'(x)

у-/ о*/

Мы видим, что производная меньше либо равна нулю

на двух отрезках,

это и есть промежутки убыва-

ния исходной функции Единичный отрезок равен одной
клетке. Значит, чтобы найти длину каждого отрезка,
нужно посчитать клетки. Получаем значения 6 и 4 Так
как в ответе нужно указать длину наибольшего из про-
межутке: убывания, записываем число 6

ш @ и анализа
Найти

АЛГОРИТМ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ
С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛЫ

область определения функции y = f\x).

Найти

производную

Найти
равна

стационарные и критические точки (точки, в которых производная
нулю или не существует).

Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и опреде-
лить знаки производной на получившихся промежутках.

Если на получившемся промежутке X производная положительна, то функ-
ция на промежутке X возрастает; если на получившемся промежутке X про-
изводная отрицательна, то функция на промежутке X убывает.

✓ Определите

1)

D(t/): х

промежутки монотонности функции у = 2х3 + 0,5х2-х + 5.
— любое число.

2)

/ / 3	2

Найдём производную данной функции: у = 12х + 0,5х

= 6х2 +Х-1.

3)

Найдём

нули производной: 6х2+х-1 = 0;

1 1

X, =—, х., =----

1 3	2	2

4)

Нули производной разбивают число-

вую прямую на три промежутка,
дём знаки производной на данных
межутках.

Ответ:

Г -1

’ 2

функция

1
и на —;

3

возрастает

; функция убывает

на

Най-
про-

отрезке

2 3

1

3

на

Если

точке
Если
то х0
Если
то х0

экстремумы функции

функция у = fIх) имеет
производная равна нулю
в точке х0 производная
— точка максимума,
в точке х0 производная
— точка минимума.

экстремум в точке
или не существует.

меняет свой знак

меняет свой знак

max

f\x)

min

x()

f<x) x

x0

с

с

0, то в

на

«—» на

f'{x)

f(x) x

этой

«—»
ИССЛЕДОВАНИЕ ЯРУНКЦИИ НА ЭКСТРЕМУМУ

В зависимости от формулы, задающей функцию, ис-
следовать функцию на экстремумы можно с помощью
производной или без неё.

Следует различать понятия «точки экстремума*
и «экстремумы функции*. В случае если речь идёт
об экстремумах или максимумах/минимумах, то име-
ют в виду значения функции, т. е. у. В случае если
говорят о точках экстремума или точках максимума/
минимума, имеют в виду значения х, в которых до-
стигаются экстремумы или максимумы/минимумы.

На графике
ния на оси
ния на оси
максимума,
экстремума;
функции, 5

функции точки экстремума — это значе-
Ох, а экстремумы функции — это значе-
()у. Например, на графике —2 — точка
1 — точка минимума, -2 и 1 — точки
5 — максимум функции, 2 — минимум
и 2 — экстремумы функции.

Ш <§• ЛАГАРД И WV Л/ГЛЛИ5Д


Точка экстремума сложной функции вида
f(x) — монотонная функция, совпадает с
b
и вычисляется по формуле: х0=——.

Zcz

у - f(ax2 + bx + c), где
вершиной параболы

Как правило, в заданиях данного типа внешней монотонной
функцией являются следующие функции:
у = 4х\ у = ах (а>0, a^l); z/ = loga х (а >0, a^l).

Гч			Л)	
ч?	Ч/
Z Найдите точку минимума функ-	✓ Найдите точку максимума функ-
ции i/ = log5(x2-14х + 73)-9.	,,	1 <jx2+8x  ции У = 13
-14 „	8
Xnun — хи - о 1 ~	Хтах ~ х0 ~ 9
Ответ: 7.	Ответ: —4.
✓ Найдите точку максимума функ-	✓ Найдите точку минимума функ-
ции у = х/бх — х2 +34.	ции y = log7(4-2x-x2) + 3.
5	
х..,;1У - х0 =	= 2,5.  max 0	2 (-1)	*max	2(-1)“
Ответ: 2,5.	Ответ: -1.

Точки, в которых производ-
ная равна нулю, называ-
ют стационарными точ-
ками. Точки, в которых
производная функции рав-
на нулю либо не существу-
ет, называют критическими
точками.

UMWWWffUC &	ПРЯМЫМ	*

1)	Найти область определения функции y = f(x).	И

2)	Найти производную Л(х).

3)	Найти стационарные и критические точки.

4)	Отметить стационарные и критические точки на числовой пря-
мой и определить знаки производной на получившихся проме-
жутках.

5)	Если в стационарной или критической точке х0 производная
меняет свой знак с « + » на «—», то х() — точка максимума;
если с «—» на « + », то х0 — точка минимума.
max

-3

У =

У'(х)

min

2)у =

-2

2

У(х)

3)

.2

Ответ: 2.

ч
о
О

4

х

X2 4-4

х2 4-4

1 )£>(</) = (-оо; 0)и(0;+=»).

х2 -4

. 1 х2 -4

“1 ~2~	2

х х

= 0; х = ±2, х^О.

У Найдите точку максимума функции i/ = (x + 3) (х-1) + 2.
1)ВД = (-оо; 4-«).

НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ АРУ НК ЦИН

x(2x-2-t-X4-3) = (x4-3)(3x4-l).

3) (х4-3)(Зх4-1) = 0;

х = -3, х = ——.

3

Ответ: -3.

V Найдите точку минимума функции

Наибольшим значением функции
зывают такое значение f(x0), что
неравенство f(x0)> f(x).

Наименьшим значением функции
зывают такое значение f(x0), что
неравенство f(x0)< f(x).

Г---------------------------------

НА ГРАФИКЕ ФУНКЦИИ у = /(х)

На графике функции y = f(x) наи-
большее значение — это ордината
самой высокой точки.

Унаиб =ftxinax) — функция принимает
наибольшее значение в точке макси-
мума.

У (X)

У(х)

y = f(x) на промежутке X на-
для любого хеХ справедливо

y = f(x) на промежутке X на-
для любого хе X справедливо

НА ГРАФИКЕ ПРОИЗВОДНОЙ 1
ФУНКЦИИ y = f'(x)

Унаиб=/,(Хтах) — ФУНКЦИЯ y = f(x)
принимает наибольшее значение
в точке максимума.

х

14s ® АЛТАФА И ft/VXV АНАЛИЗА
НА ГРАФИКЕ ФУНКЦИИ у = f(x)

НА ГРАФИКЕ ПРОИЗВОДНОЙ
ФУНКЦИИ y = f'(x)

Унанб=А/’) — функция принимает
наибольшее значение на конце от-
резка.

Уи&яб~/(ь) — Функция у-/(х)
принимает наибольшее значение
на конце отрезка.

Унаим =Axinin) — функция прини-
мает наименьшее значение в точке

Унаим =/(xmin) — функция y = f(x)
принимает наименьшее значение
в точке минимума.

У,1аим=/‘(а) — функция принимает
наименьшее значение на конце от-
резка.

Унаим=ЛЬ) — функция y = f(x)
принимает наименьшее значение
на конце отрезка.

ИАНАМ МЛПМАТУЧсСКоГо АНАЛИЗА @	149 Q)

---------------- ~ @
У = f(x)

У1'

Если в задании требуется
указать наибольшее или наи-
меньшее значение функции,
в ответе нужно записать у.

=5

На рисунке изображён график функции у = /'(х), определённой на интер-
вале (-5;7). Найдите наименьшее значение функции на отрезке [1;6,5].
Рассмотрим график функции на отрезке |l;6,5j.

Наименьшим значением функции будет являться ордината самой низкой
точки па рассматриваемом отрезке.

На отрезке	самой низкой точкой графика является точка А,

её ордината у = -4 и есть наименьшее значение функции.

Ответ: —4.

На рисунке изображён гра-
фик функции y = опреде-
лённой на интервале ( 3;11).
Найдите наибольшее значение
функции на отрезке О; 8].

Рассмотрим график функции
на отрезке [0; 8J.

Наибольшим значением функции будет являться ордината самой высокой
точки на рассматриваемом отрезке.

На отрезке |0;8| самой высокой точкой графика является точка В, её ор-
дината у - 0 и есть наибольшее значение функции.

Ответ: 0.

На рисунке изображён график про-
изводной функции y = f(x), опреде-
лённой на интервале (-9; 2). В какой
точке отрезка [-8;-4] функция y = f(x)
принимает наименьшее значение?

По знаку производной определим, что
на указанном промежутке функция
y = f(x) возрастает. Тогда наименьшее
значение она принимает в точке —8.

Ответ: -8.

Если в задании требуется указать точку, в которой функция принимает
наибольшее или наименьшее значение, в ответе нужно записать х.

1*0 @ WfftfA И НАЧАЛА анализа
На рисунке изображён график произ-
водной функции y = f{x), определённой
на отрезке [-4; 4]. В какой точке данно-
го отрезка функция y = f{x) принимает
наибольшее значение?

По знакам производной определим про-
межутки возрастания и убывания функ-
ции y = f(x).	3 — точка максимума,

в ней функция будет принимать наи-
большее значение.

Ответ: 3.

:ция может принимать наибольшее и наимень-
значение в точках экстремума либо на концах



I ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА НАИБОЛЬШЕЕ (

У	И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ	\

ищсДМЩ#	ПРСизМДМй

Сложная функция вида y = f(ax2+bx + c), где f(x) — монотонная
функция, достигает своего наибольшего (наименьшего) значения
либо на концах промежутка, либо в вершине параболы, которая
b

вычисляется по формуле х0 =--.

Как правило, в заданиях данного типа внешней монотонной
функцией являются следующие функции:

у = 4х\ у = ал (а > 0, а *1); у = loga х (а > 0, а Ф1).

✓ Найдите наибольшее значение
функции у - ^5-4х~х2.

х -	~4 - 2-

°	2(-1)

у(х0) = 7б-4(-2)-(-2)2 =>/9=3.

Ответ: 3.

—------------------$---------------

S Найдите наименьшее значение
функции у = 2х +2х+5_

X — 2 - 1-
»“ 24’ *’

»<»о) = </Ы) = 2(-1)212|_|’’5 = 24 = 16.

Ответ: 16.

НАЧАЛА МДПМАТиЧЕСроГо	@	151
---------------©---------------------

/ Найдите наибольшее значение
функции у = log5(4-2x-x2) + 3.

--= -1;

°	2(-1)

У(х0) = у(-1) = log5(4 -2 (-1)-(-I)2) +

+3 = log55 + 3 = l + 3 = 4.

Ответ: 4.

-------------©------------------

✓ Найдите наименьшее значение
функции у = \1х2 -6х + 13.

х0=-—=3;

0	2 1

у(х0) = 7з2-6 3 + 13 = л/4 = 2.

Ответ: 2.

Важно помнить, что в заданиях на нахождение точек максимума и мини-
мума в ответе записывается значение х, в заданиях на нахождение наи-
большего и наименьшего значения в ответе записывается у.



1)	Найти производную

2)	Найти стационарные и кри-
тические точки функции, среди
этих точек отобрать те, которые
принадлежат отрезку [а; д].

3)	Вычислить значения функ-
ции в точках, отобранных во
втором шаге, и на концах отрез-
ка (/(а) и f(b)). Выбрать среди
получившихся значений функции
наибольшее и наименьшее. Обо-
значение: г/Наиб(Унайм ) ’

Если необходимо найти наиболь-
шее (наименьшее) значение функ-
ции на отрезке, а единственная
стационарная или критическая
точка, принадлежащая отрезку
[а; Ь], является точкой максиму-
ма (минимума), то наибольшее
(наименьшее) значение функции
на отрезке будет достигаться
в точке максимума (минимума).

✓ Найдите наименьшее значение функции

на отрезке

2х+18+х-12 Зх + 6

2\/х + 9

2х'х + 9	2^х + 9	2\/х + 9

2) 3* + 6 = 0; х = -2, х * -9; -2е [-8; 71.

2\х + 9	1 J

min

У'(х)

-'“min “ 2 => Унаим
Ответ: -14>/7 +5.

7 х
У(х)

= у(-2) = (-2-12)7-2 + 9+ 5 = -14х/7 +5.

1*2 ® МГ&РД И /ГЛУДЛА AttMHJA
S Найдите наибольшее значение функ-
ции у = (х-8)е9 х на отрезке |3;10].

1) у'=(х-8)'е9~х + (х-8)(е9~х) =

У'(х)

3

= 1 е9~х

е9 Хх

9

ив х

У(х)

х (1-(х-8)) = е9 ^(9-х).

2) е9-х(9-х) = 0 <=> х = 9, 9б [3;10].

3) -"'шах — 9 => </наиб — У(9) —
= (9-8)<?9-9=1.

Ответ: 1.

Производная
ной функции

функции
y = f(x).

называется второй производ-

Вторая производная

может

быть

использована для исследования функций
с целью построения графика.

✓ Вычислите вторую производную функции

1)	г/' = (х3-х2 +

2)	i/' = ^3x2 -2х)

Г) = 3х2-2х+0 = Зх2-2х;
= 3 2х-2 = 6х-2.

✓ Вычислите вторую производную функции

1)	i/ = (sinx + 2x) =cosx + 2;

2)	У = (cosx + 2) =-sinx.

y = sinx + 2x.

у = х3-X2 +7.

Найдите точки перегиба
функции 1/ах3-10х2.

По знаку второй производной
находить интервалы выпуклости
ции.

★ Если f*(x)<0 для всех хеХ,
множестве X функция выпуклая
★ Если /'(*)> 0 для всех хе X,
множестве X функция выпуклая

можно
функ-

то на
вверх.

то на
вниз.

★ Если f"(xo) = O и меняет свой знак
при переходе через точку х0, то х0 —
точка перегиба функции y = f(x).

у = (х -lUx j
у"- (Зх2 -20х)

= Зх2-20х.

= 6х-20.

6х-20 = 0;х = 3—.
3

з-
3

У(Х) Х

п ч1

Ответ: 3—.

3
ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ

Если точка движется вдоль оси
Ох и её координата изменяется
по закону x(t), то ускорение равно:

✓ Материальная точка движет-
ся прямолинейно ио следующе-
му закону: х(£) = £2-24/ + 5, где

расстояние в метрах, t

время в секундах. Найдите уско-
рение материальной точки.

1) n(t) = x'(l) = (f2-24/ + 5) =2t-24;

2)a = v'(t) = (2t-24)' = 2.

х

a =xr(t) = v'(t).

Ответ: 2.

производные

а вторая производная

Кроме первой и второй производных существуют и более высокие

третья, четвёртая, пятая и т. д. Их принято назы-

вать производными третьего, четвёртого, пятого порядка и т. д. При-

вычная для нас производная

это производная первого порядка

производная второго порядка. Из-за частоты

использования для них существуют сокращённые названия, но в об-
щем случае говорят о производной n-го порядка.

Рассмотрим пример:

у = 9хх - 14х6 + 6х.

Производная

первого

порядка:

Производная

второго

Производная

третьего

Производная

Производная

Вычисление
на том же
производную
производной,

..V
пятого порядка: У

у = х9 -2х' +3х \

IV
четвертого порядка: у

порядка: у' = (у') =72х' -84х5 + 6.

порядка: у~ = (у“) =504х6-420х'.

= (у”)' = 3024х5 -1680х3.
Л Г = 15 120х4 -5010х2.

производных высших порядков основано
принципе: нужно последовательно находить
от функции, затем производную от первой
потом от второй и т. д.

Для обозначения производных п-го порядка приме-
няются специальные записи. Начиная с производ-
ной четвёртого порядка, производные обозначают
римскими цифрами или числами в скобках. Напри-
мер, производную пятого порядка можно записать
V (о)
так: у = у
порядок исследоедния срункции и построения
её ГРАЯРиКА с помощью производной

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Нахождение области определения.

Исследование функции на чётность.

Исследование функции на периодичность.

Нахождение нулей функции.

Нахождение точек максимума и минимума.

Нахождение промежутков возрастания и убывания функции.

Постройте график функции у--х4 + 2х* 2 +8.	+ Ж.

l)Z>(y) = (-oo;+«).	♦

2) /(—х) = —(—х)4 +2(-х)2 + 8 = -х4 + 2х2 + 8 = f(x).	♦

Функция является чётной, её график симметричен относительно оси Оу.

Значит, можно построить график функции при х>0 и отобразить его
симметрично относительно оси Оу.

3) Функция не является периодической.

4) -х4+2х2+8 = 0; х4-2х2-8 = 0; х = 2 и х = -2.	х.

Нули функции: х = 2 и х = -2.	-< S

5) Найдём точки максимума и минимума.

а)у' = (-х4 + 2х2 + 8| =
-4х3 4 5 1+4х = 0; -4х[х2
х = 0, х = —1, х = 1.

-4х3 + 4х;

у'(х)

max min . max

1 х

У(х)

-''max 1» -^inax ~ •'•min —

б)	Найдём значения функции в точках максимума и минимума:
Г(-1) = -(-1)4+2(-1)2 + 8 = -1 + 2 + 8 = 9; /(1) = 9; /(0) = -02+2 О2+8 = 8.
Получили точки (-1; 9), (1; 9), (0; 8).

6) Функция возрастает на промежутках при х: (->=; -1] и [0; 1]; убывает

при х: [-1; 0] и [1; +оо).

уАЧААА	AtfAWJA @	(В)
решение задач на нАивольшее
и нАименьшее значение

Рассмотрим примерный алгоритм использования производной
для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах.

✓ Фирма решила поставить в офисе аквариум, имеющий форму
прямоугольного параллелепипеда высотой 1 м, объём которого pa-
вен 9000 л. При каких размерах дна на изготовление аквариума
уйдёт наименьшее количество материала?

1)	Проанализировав условие задачи, выделим величину, наи-
большее значение которой необходимо найти, и обозначим её
как у (зависимую переменную).

Задача сводится к нахождению наименьшей площади поверхности аквариума,
обозначим данную площадь как S.

9000 л = 9000 дм® - 9 м3.

Яда=0:1=9|м2).

2)	Одну из неизвестных величин обозначим как х (независимую
переменную) и определим её границы с учётом условия задачи.
Допустим, что независимая переменная х определена на множе-
стве X.

Дно аквариума имеет форму прямоугольника. Примем одну из его сторон
за х, тогда смежная сторона равна 9:х, х>0.

3)	Выразим зависимость одной величины
(у) от другой (х) и получим функцию

,(/ = /(х), определённую на множестве X.

о л 9 9	.	----

8 = х + х + 9-< 1—,	ж. л	1

XX	Т	г

18

S-----н2х + 9 при х>0.	'	4"

х

9 : х

9 м2

4)	Исследуем полученную функцию y-f(x) с помощью производной
на наибольшее и наименьшее значение на множестве X.

S'=f—+2х + 9 =-1%2; -	4-2 = 0,

X	)	X2

18	2

— = -2, х =9, х = ±3: с учётом условия, что х>0, получаем: х = 3.
хг

х- 3 — точка минимума, больше точек
экстремума на промежутке <0;+«) нет,

18

значит, в этой точке функция S =— +2х+9
х

принимает наименьшее значение. Одна из сторон прямоугольника, представ-
ляющего дно аквариума, должна быть равна 3 м.
5)	При необходимости выполним действия, чтобы
ответить на вопрос задачи.

Найдём вторую сторону прямоугольника: 9:3 = 3 (м).

Получается, что на аквариум уйдёт наименьшее количество

материала, если его дно будет иметь форму квадрата со стороной 3 м.

6)	Запишем ответ.

Ответ: 3 х 3 м.

/Задачами	на нахождение наибольших/наименыпих

(т. е. экстремальных) значений люди интересовались
с античных времён. Первым из сохранившихся в исто-
рии математики примеров является задача Дидоны. Су-
ществует легенда о том, как финикийская царевна Ди-
дона основала поселение на берегу залива в Северной
Африке. Она уговорила вождя местного племени отдать

ей участок земли, который можно охватить во-
ловьей шкурой. Воины Дидоны разрезали шку-
ру на тонкие полоски, а Дидона связала их.
Получившимся канатом она охватила участок
земли на берегу залива. Так возник город
Карфаген.

Задача Дидоны состоит в указании формы гра-
ницы участка, имеющей заданную длину, при
которой площадь участка будет максимальной.

Если знать экстремальное свойство круга, то решение оказывается довольно
простым: граница участка представляет собой полуокружность, имеющую за-

данную длину.



В дифференциальном исчислении решается следу-
ющая задача: по данной функции f(x) найти её
производную.

Интегральное исчисление решает обратную задачу:
найти функцию F(x), зная её производную.

Интегралы позволяют вычислять площади фигур и объёмы тел различной
формы. Но интегралы полезны не только математикам. Учёные часто стре-
мятся выражать физические явления с помощью математических формул,
что значительно упрощает расчёты. Интеграл является одним из основных
инструментов работы с любыми функциями. Посредством интегрирования
можно вычислить работу, энергию, массу, давление, электрический заряд
и прочие важные физические величины. В школьном курсе мы изучаем
только неопределённый и определённый интегралы, в то время как в науке
применяется значительно больше видов интегралов.
Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x)
на заданном промежутке X, если для любого х g X выполняется

равенство F'(x) = f(x).

F'(x) =

f(x) = sinx, xeR,

функции

функция

является

✓ Первообразной

F(x) = -cosx + 8,

3

V Первообразной функции /(х) = х , хеЯ, является функция

т. к.

х4

4

х

7

^- = x3 = f(x).
4

т. к. F'(x) = (-cosx + 8) =-(-sinx) + O = sinx = Дх).

Если функция F(x) является
первообразной функции f(x)
на множестве X, то множество
всех первообразных для f(x)
задаётся формулой Е(х) + С, где

С

постоянное число.

Первообразной функции Дх) = х7,
х8

хе Я, является функция Г(х) = -^- + С:

Г г8 X йг7

F\x)= ^- + С = —^- + 0 = х7 =/(х).

О	о

Если функция

имеет

на X первообразную y = F(x\
то множество всех первообраз-
ных вида z/ = F(x) + C называют
неопределённым интегралом от
функции y-f(x).

Операция нахождения неопреде-
лённого интеграла от функции
называется интегрированием
этой функции.

ОБОЗНАЧЕНИЕ

НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА

х

Здесь Дх) называется подынте-
гральной функцией, f(x)dx
подынтегральным выражением,
х — переменной интегрирования,
f — знаком неопределённого ин-
теграла.

Из ранее рассмотренных примеров получим:

.8

Геометрически неопределённый ин-
теграл представляет собой семейство
«параллельных» кривых у = F(x) + C,
где каждому числу С соответствует
определённая кривая семейства.

y = F(x) + Cl

y = F(x)

y = F(x) + C2 х

i/ = F(x) + C3

ж @ и начала анализа
График каждой первообразной
(кривой) называется интегральной
кривой.

С помощью определения перво-

ТЕОРЕМА

Любая непрерывная на множе-
стве X функция имеет на этом

образной
называть,
ция F(x)
функции
функций.

можно не только до-
что некоторая функ-

является первообразной

множестве
вательно,
иметь и
грал.

первообразную. Следо-
эта функция будет
неопределённый инте-

f(x), но и решать задачи, связанные с графиками

F(x)

нулей фупк-

2)

провести

необходимо
производная

Таких касательных можно
три.

Ответ: 3.

✓ На рисунке изображён график пер-
вообразной y-F(x) некоторой функ-
ции y = f(x). Пользуясь рисунком,

определите количество
ции y = f(x).

1) f(x) = F'(x),	т. e.

определить, когда

функпии y = F(x) равна нулю.

2) Производная функции равна
нулю в точке с абсциссой х0 тог-
да, когда через данную точку мож-
но провести касательную к графику
функции, параллельную оси абсцисс.

F(x)

формулы неопределённых ынтегрдлое
спереооБРДзных)

J 0•dx = С

jdx = х +С

f xr dx = —-

1	r +1

jexdx =е

Г х j ®
a dx —------

J In ci

J sin xdx = — cos х + С

J cos xdx = sinx +C

dx

--2--- = - Ctg X + С
sin х

dx , л

— 2— = tg х + С
COS X
НАХОЖД&НЫЗ ПеРВООБРАЗНЫХ

ПРАВИЛА

★ Правило суммы.

разных: пусть F(x)

Первообразная
и G(x) —

суммы равна сумме первооб-
первообразные функций f(x)

и g(x) соответственно на некото-
ром промежутке, тогда F(x) + G(x)
является первообразной функции
f(x) + g(x).

J Найдите одну из первообразных
для заданных функций.

у = х + х3;

Правило суммы справедливо для
любого количества слагаемых.

6х

i/ = 6xln6; F(x) = ln6 — = 6Х.
1пб

НЫЙ
за
Г(х)
f(x)

160 © /irft&A и ЦаУлла анализа

•/ Найдите одну из первообраз-
ных для заданных функций.

1/ = —; F(x) = 71n|x|.

F(x) =

х1+1 хЗ+1

1+1 3+1

1 2	1 4

= —X +—X .

2	4

1

z/ = sinx + vx =sinx + x2;

F(x) = -cosx +

1

X2

1

2

= -cosx +

хух

3

2

2 г

= -COSX+—Хх/Х.

3

2х

у = 2-1; F(x) = —
V 7 1п2

★ Правило вынесения
янного множителя.

множитель можно

посто-
Постоян-
выносить

знак

тогда

на

первообразной: пусть
первообразная функции
некотором промежутке,

осР(х) является первооб-

разной функции а/(х).
★ Линейность. Пусть F(x) и G(x)

первообразные функций

f(x) и g(x) соответственно на некотором промежутке, тогда
ccF(x)±|3G(x) является первообразной функции oc/(x)±Pg(x).

з

3	х4	х2

✓ у=-г+10х; F(x) = 3~+10~ =

<JX	«5	2

4

Правило справедливо для любого
количества слагаемых.

₽»х	,	1 4х у®

✓ у =-------2х° + е*; F(x) =-----------2 — +

8	8 In 5	6

к* 6

. X О X X

+е ----------

81п5 3

★ Первообразная сложной функ-
ции вида f(kx + b). Если Г(х) —
первообразная для функции /(х),
то первообразной для функции

служит

функция

1

k

★ Правило

✓ Найдите одну из первообразных
для заданных функций.

i/ = sin5x;

1

F(x) = — (-cos5x) = -—cos5x.

5	5

5

«/ = 32ж-1;
1 q2x-1	q2x-1	q2x-1

F(x) =--------=------=------

v 7 2 1пЗ 21n3	1п9

ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ

суммы. Интеграл

от суммы двух функций равен
сумме интегралов этих функ-
ций.

(f(x) + g(x))dx = f(x)dx+ g(x)dx

v Найдите неопределённые интегралы.

2х +

2х dx + f—dx =
J x

2х

1п2

1

+J-^dx + jexdx =

з

X2 х 1 х

-Х-+---+ ех + С =

3	-4

2

Формула справедлива для любого
количества слагаемых.

3
★ Правило вынесения посто-
янного множителя. Постоянный
множитель можно выносить за
знак интеграла.

.	у.2	41-2

Z \3xdx = 3\xdx = 3——+ C=—+C.

J J 2	2

7

★ Линейность. Правило суммы
и правило вынесения множителя
за знак интеграла позволяют за-
писать общую формулу:

7

1 6x6

2-7

—+С.
7

6

J (aft*) ± Pg(x))dx = a J f(x)dx ± p J g(x)dx.

2

Z J(4x + 9)dx = 4jxdx + 9jdx = 4- X- + 9x + C = 2x2 + 9x + C.

, 1	7.Q*

3xdx-5[—dx =------51nix| + C.

Jx	1пЗ	11

★ Неопределённый интеграл сложной функции вида f(kx + b).

Если J7(x)dx = E(x) + C, то j(ftfex + fr)dx) = —^+ + С.

Разобьём отрезок [a; b] на п частей точками хр х2, х3... хп_г
и проведём через эти точки вертикальные прямые (см. рису-
нок на с. 163). Получим п криволинейных трапеций. Если п—
то Аха=(ха-ха_1)^О.

Следовательно, площадь криволинейной трапеции с основанием
[хА-1; хА] будет стремиться к площади прямоугольника со сторо-
нами (xA-xA_i) и /(с).
у = fM

Х„-

Площадь криволинейной трапе-

и Xj

числу

интегралом от функции y-f(x)

по отрезку

подынтегральная

пределы

интегрирования.

limSn

fl и b

ции с основанием
приближённо равна:

Полученную сумму называют
интегральной суммой функции

xk- ]

y = f(x) на отрезке [а; />].

При п —интегральная сумма стремится к некоторому

этот предел называют определённым

где f(x)
функция,

Определённый интеграл является
одним из основных понятий мате-
матического анализа. Потребность
его изучения связана с необхо-
димостью решать геометрические
и физические задачи.

Рассмотрим фигуру, ограниченную прямы-
ми х = а, х = Ь, у =0 и графиком непрерыв-
ной функции y-f(xi. f(x)>0 на отрезке
I а; b . Такую фигуру называют криволи-
нейной трапецией, а отрезок |а: б| её
основанием.

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ТРАПЕЦИЙ
— - -

Прямоугольная трапеция. если
f{x) = kx + b и график не пересекает
ось Ох на отрезке |а;ё].

Прямоугольный треугольник, если
f(x) = kx + b и график пересекает ось
Ох при х = а или при х-Ь.

В данных случаях можно пользоваться геометрически-
ми формулами для вычисления площадей.

Площадь трапеции равна произведе-
нию полусуммы оснований на вы-
соту.

Площадь прямоугольного треугольни-
ка равна половине произведения его
катетов.

МЛТ£МАТУЧ£С^оГо AtfAMlfr ® из
СРОРМУЛА НЬЮТОНА

ЛЕЙБНИЦА

Если функция

какая-либо
формула:

её

y = f(x) непрерывна на отрезке
первообразная на отрезке

[а;д| и F(x) —
то имеет место

Одна из

англичанина И. Ньютона и немца

двух выдающихся учёных XVII в.
Г. Лейбница.

Согласно историческим данным,

самых известных формул математического анализа носит имена

И. Ньютон открыл дифференциальное

Исаак Ньютон
(1642—1727)

Готфрид Лейбниц
(1646—1716)

и интегральное исчисление ещё в 1665—1666 гг., но первое краткое из-
ложение опубликовал только в 1693 г. Г. Лейбниц разрабатывал свой ва-
риант анализа с 1675 г. и, в отличие от Ньютона, сразу же опубликовал
свою теорию. Ньютон подошёл к решению вопроса с физической точки
зрения и рассматривал изменения переменных со временем. У Лейбница
был более абстрактный, аналитический подход.

Долгие годы длились споры учёных о том, кто же первым разработал
теорию интегрального исчисления. Длительное изучение вопроса привело
историков математики к единому выводу: основы анализа были открыты
Ньютоном и Лейбницем независимо, причём несомненно, что открытие
Ньютона было сделано несколькими годами ранее.

Данная формула называется
формулой Ньютона — Лейбни-
ца, она даёт удобный способ
вычисления определённого ин-
теграла.

е

е

3	3

—= 9-1 = 8-.

rdx	е

✓ f— = 1пх = Ine-lnl = 1 -0 = 1.

I х	1

3	3

1

Неопределённый интеграл
функция.

Определённый интеграл
число.

это

ЭТО

9 ,	9

г ах г

1

х2

JVx J 1

4V 4
2

= 2ч/9-2>/4=6-4 = 2.

9

4

© 44И5А/ и /ГЛ<МЛЛ АНАЛИЗА
СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА

Вычисление определённого интеграла часто производится с ис-
пользованием свойств. Некоторые из них аналогичны свойствам
неопределённого интеграла.

★ Основные свойства.	_ч

dx = 31-0.6 = 31-l=20z3=H=25.

3	3 2	6	6	6

U,и

• Если пределы интегрирования рав-
ны между собой, то определённый

интеграл равен нулю.

я

6

= 0.	J Jsinx</x = 0.

ь

J (f(x) + g(x))dx = J f(x)dx + J g(x)dx	Формула справедлива для любо-

„	J	го количества слагаемых.

★ Правило суммы. Определённый интеграл от
суммы двух функций равен сумме определённых
интегралов этих функций.

ь

ь

а

а

а

★ Вынесение постоянного множителя.
Постоянный множитель можно выносить
за знак определённого интеграла.

ь	ь

j (af(x))dx = а| f(x)dx
а	а
★ Линейность. Правило суммы и правило вынесения множителя
за знак интеграла позволяют записать общую формулу:

ь

ь

ь

J (af(x)±Pg(x))dx = a j f(x)dx±py g(x)dx.

а

а

а

1

О

О

О

1 1

5 1
= 8х‘

1

-e
о

1	1

jex + 7 j
о	о

*4

Т/д-=10 -
Э

4

О

О

8

8

к

6

О

- j cosxdx=-sinx
л

6

h	1

J f(kx + b)dx = - F(kx + b)
a

= - sin0-sin

6

•/ | dx+ J dx = | dx= 8 -(-7)-15.
-7	-4,6	-7

1

= 8(1-0)-(<’1 -еп)ч-(1-0) = 8-е + 1 + 1 = 10-е.

о

★ Определённый интеграл слож-
ной функции вида f(kx + b).

★ Смена пределов интегрирования. При
смене пределов интегрирования знак инте-
грала меняется на противоположный.

-е2х

2

1 е2-е° е2-1



-4,6

★ Свойство аддитивности. Инте-
грал по всему отрезку равен сум-
ме интегралов по частям этого
отрезка.

166 мГ&РА n WAV ЛПАМЫ

Ф	-----------
Площадь криволинейной трапеции,
расположенной выше оси абсцисс
(/( jt) > 0), равна соответствующему
определённому интегралу.

ь

S = $f(x)dx
а

Интегральное вычисление позволяет точно рассчитать площади
фигур, имеющих неправильную форму.

•/ Па рисунке изображён график некоторой функции у = f(x). Пользуясь

-1

рисунком, вычислите определённый интеграл

8

1) S= Jf(x)d(x), где S

-1

площадь трапе-

f(x)

ции с основаниями 4 и 7 и высотой, рав-
ной 3.

7 + 4

2) S = — -3 = 16,5.

2

-8

-8

3

-1

О х

Ответ: 16,5.

8Ычисление площадей

ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА

Выбор способа вычисления площади фигуры зависит
от её расположения относительно оси Ох.

Перед вычислением площади фигуры необходимо по-
строить графики кривых, ограничивающих её.

Ь

★ S = \f(x)dx.

а
•/ Вычислим площадь фигуры, ограниченной
параболой t/ = 9-x2, прямыми х = -1, х = 2
и осью Ох.

S= J (9-х2)с?х = 9х — =9(2-(-1))-1(8-(-1))=
-1 -1 3 -1 3

о

= 27 — = 27-3 = 24.
3

J Вычислим площадь фигуры, ограниченной

косинусоидой у = cosx
оси Ох.

Зя

2

S = -f cosxdx = -sinx
л

Зл
2

л

U8 @ ЛАГАРД и ЛЛЛУ анализа
J Вычислим площадь фигуры

ограниченной синусоидой j/ = sinx и отрез-

ком

о

Л. Л
2*4

оси Ох.

Я
4

S-- J siuxdx + Jsinx«/x =

г.

2

о

У*

у = sinx

1

-2л

X

Зл

2

Одл

-1+42

о

= -(-cosx)

-COSX
я

2

г.

4 _

О

cost) -

cos

л

2

cos— -cost) 1=1—0—— + 1 = 2 —

я

4

2

2

I-V2

2

★ Во всех трёх случаях справедлива формула:
ь

S = ^(f2(x)-f1(x))dx.

Найдите площадь фигуры, ограниченной пара-
болой у = 4-х2 и прямой у = 2-х.

Парабола и прямая пересекаются в точках х = -1

и х = 2.

2

2

-1

2

2

\dx = 2х-

-1

х3 X2V

-]

3	2

-1

1

„ 1 1 1 J J	-

— -2ч---1— — 3—1-1 — = 4,о.

3 2	3 G

3

6

х2-2+х)<7х =

4-—+ 2
3

у = 2х" - 1

V Вычислим площадь фигуры, ограниченной
болами У = х‘. у = 2х2-\. Найдём абсциссы
пересечения парабол из уравнения:

ха = 2х2-1<=>х2-2х2 =-!<=> х2 =1<=>х = ±1.

1

«ч

-1

1



х3

3

1

1

= 1±

3

У I

пара-

точек

-1

У = х2

МЛТШАТУЧгскоГо @ из
J Вычислим площадь фигуры, ограниченной парабо-
лами у = х2, i/ = 2x-x2 и осью Ох.

Найдём абсциссы точек пересечения парабол

из уравнения:

х2 = 2х-х2 2х2-2х = 0 <=> х2-х = 0 <=> х(х-1) = 0.

Отсюда получим: х^О, х2=1.

Тогда искомая площадь равна сумме площадей
двух криволинейных трапеций:

х3 А 2

1	2

S = jx2dx + [(2x-x2)dx
о	1

=|(1-0)+

О

ь

★ S = 2$f(x)dx.
о

Если фигуру можно разбить на равные
части, то вычислять площадь фигуры
следует, умножив площадь одной части
на количество таких равных частей.

У f

у = f(x)

S Вычислим площадь фигуры, ограниченной парабо-
v	2

лои у-х +4, прямыми х = -1, х = 1 и осью Ох.
У = f(x)

•/ Вычислим площадь фигуры, ограниченной

re

2

косинусоидой у = cosx и отрезком

оси Ох.

л
2

S' = 4J cosdx = 4sinx

л_ Зя
2* 2

= 4 sin—-sinO -4(1-0)-4.

Зл х

2

1

у = cosx

о

С помощью определённого интеграла можно вычислять не только площади,
но и объёмы. В школьном курсе геометрии для вычисления объёма наклон-
ной призмы, пирамиды, конуса и шара используется формула нахождения
объёма тела по площади параллельных сечений:
ь

а

где S(x)

площади сечений тела плоскостями, перпендикулярными не-

которой оси (например, оси Ох), £>(х) является непрерывной функцией
на отрезке [а;ё].	__________

ррызичЕский смысл определённого интеграла

Точка движется по прямой со
скоростью v = v(t) за промежуток
времени t от а до Ь, тогда
ь

S = ^v(t)dt	— физический

а

смысл интеграла.

✓ Тело движется прямолинейно со ско

ростью ~3г + 4/-1. Вычислите
путь, пройденный телом за 4 с
с момента начала движения.

4	4

S = j(3/2+4f-l)^ = (/3 + 2?2-f) =92.

О	о

Ответ: 92.


элементы теории
множеств

Множество в математике относится к не-
определяемым понятиям. Обозначение:
прописные буквы латинского алфавита.

Множества в неявной форме фигурировали в математике ещё
со времён Древней Греции. Теория множеств была создана
во второй половине XIX в. немецкими математиками Г. Канто-
ром и Р. Дедекиндом. Однако официальное признание она по-
лучила только в 3 897 г. на Первом международном конгрессе
математиков в Цюрихе. Учёные Ж. Адамар и А. Гурвиц в сво-
их докладах привели многочисленные примеры применения тео-
рии множеств в различных разделах математики.



Предметы или понятия, из ко-
торых состоит множество, на-
зывают его элементами. Эле-
менты обозначаются строчными
буквами латинского алфавита.

Множество, не содержащее ни
одного элемента, называется
пустым.

Элементами множества могут
быть другие множества, а так-
же пустое множество.

 ОБОЗНАЧЕНИЕ ПУСТОГО МНОЖЕСТВА

f ЭЛЕМЕНТ ПРИНАДЛЕЖИТ МНОЖЕСТВУ е

[ ЭЛЕМЕНТ НЕ ПРИНАДЛЕЖИТ МНОЖЕСТВУ <£

---------------(©-------------------

✓ N — множество натуральных чи-
сел.

71еЛг, 693e7V;

7,If N, f N.

8

✓ A — множество квадратов целых

чисел.

25е А, Ос А;

-36г A, 7? А.

----------------©---------------

✓ В — множество решений квадрат-

9
ного уравнения х -8х = 0.
Ое В, 8е В;

-8г В, Юг В.

✓ С = {-5;-1;3;{О;4};0}.

0сС, ;0;4}сС;

-6г С, |5;8}сС.

172	© ЛЛГ&ЙА Я НАЧАЛА АНАЛИЗА
-V------------V-

У М = {х: хеУ, 2<х<11}.

★ Характеристическое свойство, по ко-
торому можно судить, принадлежит
или не принадлежит данный элемент
рассматриваемому множеству.

В .зависимости от числа элементов множества делятся па конеч-

ные и бесконечные.

Множество, которое содержит
конечное количество элемен-
тов, называют конечным.

✓ Множество цифр.

✓ Множество двузначных натураль
ных чисел.

Z А = {7; 10; 23}.	✓ В=  г:.

1 ’ ’ '	I х2 125 1

Под мощностью множества для ко-
нечных множеств понимают количе-
ство элементов данного множества.
Обозначение мощности множе-
ства А: А .

Если множество содержит бес-

s А={7;10;23}, |А| = 3.

✓ С = {-5;-1;3;{О;4};0}, [С| = 5.

✓ |0| = О. НО: Я={{0}},	=

конечное количество

тов, его называют

элемен-

бесконеч-

ным.

Для бесконечных
понятие мощности

множеств
не опреде-

✓ Множество простых чисел.

✓ Множество иррациональных чисел.

S А=[а: ае N, и' >2].

✓	5 + 8>Ь-3}.

лено.



Несмотря па всю абстрактность и разнообразие множеств, есть
несколько основных операций, аргументами которых могут высту-
пать абсолютно любые множества.

Современная математика определяет алгебру как совокупность
объектов, над которыми можно производить действия (операции).
Множества можно рассматривать как объекты, для которых опре-

делены операции сложения и умножения.



соотношение и операции над множестедми

А

Если каждый элемент множества В явля-

ется элементом множества А, то
ство В называется подмножеством
ства А.

J ОБОЗНАЧЕНИЕ	ч

В а А или А э В

Любое множество является своим
подмножеством, а пустое множе-
ство является подмножеством лю-
бого множества.

Если В о А и A В. то множе-
ство В называется собственным
(строгим) подмножеством множе-
ства А.

V А={1;2;3}.

Перечислим подмножества мно
жества А:

АсА, 0 с А,

{1}сА, {2} с A, {3}gA,
{1;2}сА, {1;3}сА, {2;3}сА.

Если В с А и А = В, то
подмножеством множества

множество

В называется несобственным

✓ Собственные подмножества множества А:
0,{1},{2},{3},{1;2},{1;3},{2;3}.

Несобственные подмножества множества А: {1;2;3}.

174	@	И /ГЛМЛ Л/ГМИ5Л
рлз/№Ть

Множество, элементами которого являются
все элементы множества А, не принадле-
жащие множеству В, называется разностью
множеств А и В.

ОБОЗНАЧЕНИЕ

А\В

•/ А = {а;6;с}, B = {b-,c\d],	/ C = [-l;l], В = (0;2),

А\В = {а].	C\D = [-1;0].

•/ М={2;4;6}, Р = {3;8},
М\Р-М.

S S = {1;3}, Т = {1;3;5;7},
S\T = 0.

У В = [8;10), К =[11; 15],
F\K = F.

C\D = 0.

ДО

Если В с: А, то разность А \ В называется до-
полнением множества В до множества А.

тогда А\В = {а} — дополнение множества В до множества А.

Множество, состоящее из всех тех и только
тех элементов множеств А и В, которые при-
надлежат хотя бы одному из этих множеств,
называется объединением множеств А и В.

ОБОЗНАЧЕНИЕ

АиВ

A={a;d;c}, B = {b;c;d},
Au B = {a;b; c;d}.

У Af = {2;4;6}, N={3;8},
МиА = {2;3;4;6; 8}.

-----------©--------

У JC = (1;5), М = (4;7),

T = {0;a;b}, S = {c;d],
SuT-{0;a;b; c;d}.

ПО&1Ц Nffoxccn? @	17?
Если B<^A, то AuB-A.

У С={2;3;6;8}, D={3;8},
CuB = C.

ОБОЗНАЧЕНИЕ

АгхВ

Множество, состоящее из всех тех и толь-
ко тех элементов, которые принадлежат как
множеству А, так и множеству В, называется
пересечением множеств А и В.

У М = {2;4;6},У={3;8},МпУ = 0.

Если В с А,

J А = {2;3;6;8}, В = {3;8},
Аг\В -В.

Cr\D = C.

Аналогичным образом опреде-
ляется объединение и пересече-
ние трёх и более множеств.

✓ В = {1:2}, С = {2;3;6;8}, D = {l;3;10},
BuC^Z> = {1; 2;3;6; 8; 10}.

✓ Л7 = [-2;7], L = (-oo;4), М = [-3;6),
Kr^L^M =[-2;4).

ОБОЗНАЧЕНИЕ

U

сеойстед сложения ы умножения множеств

Универсальным называется множество,
состоящее из всех возможных элементов,
обладающих данным признаком.

17б ф /trfippA И tfA^IA^A AlfAWA
Сложение (объединение) множеств	Умножение (пересечение) множеств
Переместительный закон (коммутативность)	
А« В - В А	А п В - В п А
Сочетательный закон (ассоциативность)	
(А	= А и|ВиС)	(Аг\В)г\С = Аг\{Вг\С}
Распределительный закон сложения относительно умножения (дистрибутивность):  (4иВ)пС = (АпС)и(ВнС).  Приоритетной является операция умножения, скобки можно опустить: (A^>B)r>C = Ar^C^jBr^C	
Существование нейтрального элемента	
Аи0 -А (0 — нуль по сложению)	AoU=A  (U — единица по умножению)
Другие свойства	
АоА = А AuU = U	АпА = А  Ап0-0

| элементы мдтемдтической

=	логики

Математическая логика изучает математи-
ческие обозначения, формальные системы,
доказуемость математических суждений.

Слово «логика» произошло от греческого logos, что означает «слово», «по-
нятие», «рассуждение», «разум». Законы и правила формальной логики не-

обходимо знать
были заложены
Математическая
С конца 1930-х

для построения правильных рассуждений. Основы логики
древнегреческим философом Аристотелем.

логика с античных времён прошла длинный путь развития,
гг. идеи и методы современной математической логики по-

лучили широкое применение в разных научных и практических областях,
нгшример в конструировании и эксплуатации различных автоматических
устройств (в том числе вычислительных машин) и даже в лингвистике
(языковедении).




Математический язык состоит из предложений. Верные и невер-
ные предложения в математике называются утверждениями или
высказываниями.

Из каждого высказывания А можно получить новое высказыва-
ние, отрицая его, т. е. утверждая, что высказывание А не имеет
смысла. Такое высказывание называется отрицанием и обознача-
ется А.

Из двух высказываний А и А одно является истинным, а дру-
гое — ложным.

J общие еыскдзыеднид V.

Общими называются высказывания, в которых <—
утверждается, что все элементы заданного множе- Ц ----------

ства обладают определённым свойством.	v

Общие высказывания содержат или подразумевают следующие
слова: «любой», «всякий», «каждый», «все» и т. п.

Для доказательства истинности
общего высказывания недоста-
точно привести даже большое
количество примеров. Если за-
данное в высказывании мно-
жество состоит из бесконечно-
го числа элементов (например,
множество треугольников), то
истинность высказывания до-
казывается с помощью других
высказываний, истинность ко-
торых установлена ранее и не
вызывает сомнения (определе-
ний, теорем).

Для опровержения общего вы-
сказывания (утверждения) до-
статочно привести хотя бы
один контрпример.

★ Способ 1.

Перед словами «любой», «вся-
кий», «каждый», «все» и т. п.
поставить «не» (или «неверно,
что»).
♦ Способ 2.

Слова «любой», «всякий»,
«каждый», «все» и т. п. заме-
нить словами «найдётся», «су-
ществует», а свойство, которое
стоит после этих слов, заме-
нить его отрицанием.

Отрицанием общего высказы-
вания является высказывание
о существовании.

17*	@ VftPPA И WAV АНАЛИЗА
V Утверждение «сумма углов тупоугольного треугольника равна 180 » явля-
ется общим, т. к. подразумевается, что речь идёт о любом тупоугольном
треугольнике.

Докажем его истинность. По теореме имеем, что сумма углов любого
треугольника равна 180°, а значит, и тупоугольного в том числе.

Отрицание: «Существует тупоугольный треугольник, сумма углов которого
не равна 180 ». Так как исходное утверждение было истинным, то от-

рицание ложно.

✓ Утверждение «в любой прямоугольник можно вписать
ется общим.

Докажем, что оно ложно. Для этого достаточно при-
вести пример такого прямоугольника, в который
окружность вписать нельзя (см. рисунок).

Отрицание: «Существует прямоугольник, в который
нельзя вписать окружность». Так как исходное ут-
верждение было ложным, то отрицание истинно.

окружность» явля

В высказывании о существовании утверждается,
что существует хотя бы один элемент заданного
множества, обладающий определённым свойством.

СИМВОЛ

3

Высказывания о существовании содержат или подразумевают сле-
дующие слова: «существует», «найдётся», «хотя бы один» и т. п.

Для доказательства высказы-
вания (утверждения) о суще-
ствовании достаточно привести
хотя бы один пример.

ПС£]рСЯ1М 0Тр1лЦЩЮ1

* Способ 1.

Перед словами «найдётся», «су-
ществует» поставить «не» (или
«неверно, что»).

(ЩР(№Р*£№Я

Для опровержения высказыва-
ния о существовании приводят-
ся рассуждения в общем виде.

Отрицанием высказывания о су-
ществовании является общее вы-
сказывание.

★ Способ 2.

Слова «найдётся», «существует» заменить слова-
ми «любой», «всякий», «каждый», «все» и т. п.,
а свойство, которое стоит после этих слов, заме-

нить его отрицанием.
Утверждение «существуют три прямые, ко-
торые проходят через одну точку» является
утверждением о существовании. Для его до-
казательства приведём пример (см. рисунок).

Отрицание: «Неверно, что существуют три прямые, проходящие через
одну точку». Так как исходное утверждение было истинным, то отрицание
ложно.



Математика часто использует утверждения,
зависящие от переменной. Утверждения
подобного рода называют предложениями
с переменной (переменными).

Предложение может зависеть от одной или
нескольких переменных.

Для каждого предложения с переменной
принято указывать, на каком множестве X

{ СИМВОЛ }
р(х)\ р(х;у)

оно задано (если это непонятно из условия задания).

Множество X, на котором задано предложение р(х), можно раз-
бить на два подмножества:

♦ А — содержит те элементы X, для которых предложение р(х)
истинно (множество истинности);

А — содержит те элементы
ние р(х) ложно.

для которых предложе-

✓ Для неравенства х2 - 36 > 0:

А = [-6;б], А=(-оо;-6)о(6; +

Предложение р(х), определённое на множестве X, называют от-
рицанием предложения р(х), определённого на том же множе-
стве X, если оно обращается в истинное (ложное) высказывание
для тех и только тех значений х, для которых р(х) ложно (ис-
тинно).

★	А — множество истинности р(х);	* +	*

★	на множестве А р(х) ложно.	♦	+

•/ Отрицанием неравенства х~ 36 >0 является неравенство
х2-36<0.

Его множество истинности — множество, на котором ложно
исходное высказывание, т. е. ( -6:6).

1x0 © 4ДИ5РЛ И АНАЛИЗА

Ф	---------------


Геометрия — одна из древнейших областей математики. Геометриче-
ские тела были известны задолго до того, как учёные вывели матема-
тические принципы. Главной причиной возникновения геометрии стали
практические потребности человека: измерять длины, площади, объёмы,
строить определённые углы, возводить здания и сооружения. Слово
«геометрия» происходит от двух корней: geo — «земля» и metria —
«мерить». Можно сказать, что геометрия — это землемерие.

Геометрия как наука появилась в Древней Греции. Её систематическое
построение описано в «Начатых» Евклида (около 300 г. до н. э.). Труд
содержит 13 томов, большая часть из которых посвящена планиметрии
и стереометрии. Для своего времени и примерно до XIX в. «Нача-

ла» считались образцом логического изложения математической теории.

С учётом большого вклада Евклида геометрию, которую мы изучаем,

называют евклидовой.

ПЛАНИМЕТРИЯ

Планиметрия — раздел геометрии, изуча-
ющий геометрические фигуры и их свой-
ства на плоскости.

цлчлмые

К основным неопределяемым понятиям планиметрии относятся
точка и прямая. Точки обозначаются одной заглавной буквой ла-
тинского алфавита (D, М, Е, F). Прямые обозначаются одной
строчной буквой латинского алфавита (а, Ь) или двумя заглавны-
ми буквами (EF).

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Две
точки, ограничивающие отрезок, называются концами отрезка.

Отрезки обозначаются указанием их концов, т. е. двумя заглав-
ными буквами латинского алфавита (АВ или ВА).

Чтобы измерить отрезок, необходимо выбрать единицу
измерения и выразить его длину некоторым положительным

числом.

Длина отрезка является расстоянием между его концами, т. е.

расстоянием между двумя точками.

Равные отрезки имеют равные длины. Меньший отрезок имеет
меньшую длину. Длина отрезка равна сумме длин частей, на
которые отрезок разбивается любой его точкой.
Основные единицы измерения длины:
1 см = 10 мм;	1 дм - 10 см - 100 мм;

1 м - 100 см;	1 км = 1000 м.

Середина отрезка — точка, которая	•---/----•----/-----

лежит на отрезке и делит его по-
полам.	М — середина отрезка АВ

(Mt АВ, АМ^МВ)

ЛУЧ

Луч — часть прямой, ограниченная
точкой. Эта точка называется началом
луча.

Лучи обозначаются одной строчной
буквой латинского алфавита (/?) или
двумя заглавными буквами (ОА), где
первая буква обозначает начало луча,
а вторая — какую-нибудь точку на нём.

Измерения

Так как луч имеет начало, но
не имеет конца, то измерить
его длину нельзя.

Точка и прямая относятся к неопределяемым понятиям.
Однако в истории геометрии предпринимались попытки
дать им определение. В III в. до н. э. древнегреческий
математик Евклид сформулировал такие определения:
«Точка есть то, часть чего — ничто. Линия — длина
без ширины. А прямая есть такая линия, одинаково
расположенная по отношению ко всем своим точкам».

1S2 @ геометрия
УГОЛ

Угол

лучей,

D
М

геометрическая фигура, кото-

один градус;

Измерения

Основные
углов:

единицы измерения

развёрнутого угла —

рая состоит из точки и двух
исходящих из этой точки.

Лучи называются
их общее начало —
Углы обозначаются
буквой латинского

сторонами
вершиной

угла,
угла.

v 1

60
нута:

градуса — одна ми-

одной заглавной
алфавита (ZM),

или двумя строчными буквами латин-
ского алфавита (Z.hk либо Zfr/i), или
тремя заглавными буквами латин-
ского алфавита (Z.COD либо Z.DOC),
где вторая буква обозначает вершину
угла, или одной строчной буквой гре-
ческого алфавита (а).

1

★ 1 = —- минуты — одна се-
60

кунда.

Равные углы имеют равные гра-

дусные меры.

Меньший угол имеет меньшую
градусную меру.

Если луч делит угол на два
угла, градусная мера всего угла
равна сумме градусных мер этих
углов.

Биссектрисой угла называется луч,
исходящий из вершины угла и деля-
щий его пополам.

СВОЙСТВО

БИССЕКТРИСЫ УГЛА

Любая точка биссектрисы неразвёрнутого
угла равноудалена (т. е. находится на оди-

наковом расстоянии) от сторон этого угла.

МС — биссектриса ZAMB
{ААМС = ЛСМВ)

ОБРАТНОЕ
УТВЕРЖДЕНИЕ

Любая точка внутри неразвёрнутого
угла, равноудаленная от сторон этого
угла, лежит на его биссектрисе.

Биссектрису угла можно опреде-

лить как геометрическое место 'Л
точек внутри угла, равноудалён- .V
ных от его сторон.	ГЛ

/МЛ/ТИМГГРИ* © из
ВИДЫ УГЛОВ

Углы можно
Острый угол
Прямой угол
Тупой угол
(рис. в).

Развёрнутый
прямой (рис.

классифицировать в зависимости от градусной
меньше прямого угла (рис. а).

равен половине развёрнутого угла (рис. б).

больше

угол
г).

меры.

прямого, но меньше развёрнутого

угол, стороны которого лежат на

угла

одной

и

б)

г)

углы

два угла,

у которых стороны од-

ного угла являются продолжениями сторон другого.

дру-

ДРУГ

Смежные

рых одна

друга.

Вертикальные углы

свойство

СМЕЖНЫХ УГЛОВ

СМЕЖННЕ И ВЕРТЫкДЛЬНЫЕ УГЛЬ'

СВОЙСТВО
ВЕРТИКАЛЬНЫХ УГЛОВ

сторона общая, а две

два угла, у кото-

Сумма смежных углов равна 180°.

Z1 + Z2 = 180°

гие являются продолжениями

Вертикальные углы равны Z1 = Z2

между собой.	Z3 = Z4

в)

00<ZEFl <180

Zhm=90

ZU = 180

★	Все прямые углы равны.

★	Все развернутые углы равны.

★	('умма двух прямых углов равна развёрнутому
углу, значит, прямой угол равен половине развёрну-
того угла.

1*4	© ГСОМГГРИ*
Две пересекающиеся прямые называются пер-
пендикулярными (взаимно перпендикулярны-
ми), если они образуют четыре прямых угла.

ОБОЗНАЧЕНИЕ

а А-Ь

Две прямые, перпендикулярные
к третьей, не пересекаются (парал-
лельны; см. определение на с. 186).
Серединным перпендикуляром к от-

I — серединный перпендикуляр
к отрезку АН

резку называется прямая, перпендикулярная этому отрезку и про-
ходящая через его середину.

некоторые^ теоремы об углах

★ Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны
сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме
составляют 180 .

W/ГИМГТРия @ ня
★ Если стороны одного угла соответственно параллельны сторо-
нам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме со-

Углы с соответственно перпендикулярными (или параллельными)
сторонами равны, если они оба острые или оба тупые.

Две прямые на плоскости называются па-
раллельными. если они не пересекаются.

ОБОЗНАЧЕНИЕ
а \Ь

ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ
ДВУХ ПРЯМЫХ

★	Если при пересечении двух прямых
секущей накрест лежащие углы равны,
то прямые параллельны.

★	Если при пересечении двух прямых
секущей сумма односторонних углов
равна 180% то прямые параллельны.

★ Если при пересечении двух прямых
секущей соответственные углы равны,
то прямые параллельны.

СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
ПРЯМЫХ

1". Если две параллельные прямые пе-
ресечены секущей, то накрест лежащие
углы равны.

2°. Если две параллельные прямые пе-
ресечены секущей, то сумма односто-
ронних углов равна 180°.

3°. Если две параллельные прямые пе-
ресечены секущей, то соответственные
углы равны.

Если на одной из двух прямых отложить последовательно не-
сколько равных отрезков и через их концы провести параллель-
Взаимное расположение двух ис-

ные прямые, пересекающие вто-
рую прямую, то они отсекут на
второй прямой равные между
собой отрезки.

ходных прямых

т. е.

теорема

пересекающихся

не играет роли,
верна как для
прямых, так

и для параллельных.

ОБРАТНОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ

Если прямые, пересекающие две
другие прямые (параллельные или
нет), отсекают на обеих из них рав-
ные отрезки, начиная от вершины,
то такие прямые параллельны.

Если AjA.) = A2A:i..., то =



м p(M;N) = MN

p(F-,c) = FH

Расстоянием между двумя точками
(рис. а) называется длина отрезка, со-
единяющего эти точки.

Расстоянием от точки до прямой
(рис. б), не содержащей этой точки,
называется длина перпендикуляра,
проведённого из этой точки к прямой.
Расстоянием между параллельными
прямыми называется расстояние от
произвольной точки одной из этих
прямых до другой (рис. в).


Треугольник

геометрическая

катет

Остроугольный треугольник

ZM = 9Q

/F — тупой

Тупоугольный треугольник

фигура, образованная тремя от-
резками, которые соединяют
три точки, не лежащие на од-
ной прямой.

Фигуру, состоящую из сторон тре-
угольника и его внутренней обла-
сти, также называют треугольни-
ком.

Треугольник — очень важная фи-
гура в геометрии. Решение за-
дач, доказательство теорем, вывод
формул можно свести к рассмот-
рению треугольников. Одним из
приёмов решения геометрических
задач является триангуляция —
разбиение фигуры на треуголь-
ники.

Прямоугольный треугольник

соотношение между сторонами
U УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Сумма углов треугольника (рис. а) равна 180 .

ZM + ZN + ZK =180’

Внешний угол треугольника
(рис. б) равен сумме двух углов

треугольника,
с ним, т. е.

не

смежных

Теорема о сумме углов треуголь-
ника используется для нахождения
третьего угла треугольника по из-
вестным двум углам.

М



1яя
НЕРАВЕНСТВО
 ТРЕУГОЛЬНИКА 

Каждая сторона треугольника
меньше суммы двух других
сторон.

PQ<PT + TQ, QT<PQ + PT,
PT<PQ+QT

В треугольнике (рис. в, с. 188):

★	против большей стороны лежит
больший угол;

★	против большего угла лежит
большая сторона.

Если СЕ > DE > CD, то Z/J > ZC > ZE.

Если ZD> ZC > ZE, то СЕ> DE>CD.

Q

Теорема используется для определения су-
ществования треугольника с заданными
сторонами.

Для решения вопроса о существовании треугольника необходимо про-

верять выполнение всех трёх неравенств. Однако удобнее начинать

проверку с самой большой стороны: если хотя бы одно неравенство

не выполняется, треугольник построить нельзя.

Рассмотрим пример: утверждается, что существует треугольник со сто-
ронами 1, 2 и 4. Начнём проверку с наибольшей стороны — 4. Она
должна быть меньше суммы двух других сторон: 4<1+2. Это условие
не выполняется, значит, треугольника с такими сторонами не суще-
ствует. Таким образом, утверждение «треугольник со сторонами 1, 2,
4 существует» неверно, а верным будет утверждение «треугольника
со сторонами 1, 2, 4 не существует».

ПС

★ Остроугольный треугольник: все три угла тре-

угольника острые.

Остроугольный треугольник

rjbAftUMCTpH* © U9
★ Прямоугольный треугольник:
один из углов прямой, осталь-
ные — острые.

♦ Тупоугольный треугольник:
один из углов тупой, осталь-
ные — острые.

Прямоугольный треугольник
Z7W = 90°

Q

EF — тупой

Тупоугольный треугольник

^Л^Ф^/ЩИЯ /де

★ Разносторонний
все стороны имеют
★ Равнобедренный
две стороны равны
★ Равносторонний
все стороны равны.

Разносторонний треугольник

Равнобедренный треугольник

треугольник:
разную длину.

треугольник:
между собой.

треугольник:

С каждым треугольником связаны четыре точки: точка пересе-

МО = МК

Равносторонний треугольник

HS=SE=HE

МЕДИАНЫ, БИССЕКТРИСЫ, ВЫСОТЫ,
СЕРЕДИННЫЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРЫ ТРЕУГОЛЬНИКА

чения медиан,
высот (или их
пендикуляров.

треугольника.

точка пересечения биссектрис, точка пересечения
продолжений), точка пересечения серединных пер-
Эти точки называются замечательными точками

Отрезок, соединяющий вершину треугольни-
ка с серединой противоположной стороны,
называется медианой треугольника.

AR, ВЫ, CN

медианы

СВОЙСТВО МЕДИАН

Медианы в треугольнике пересека-
ются в одной точке и делятся этой
точкой в отношении 2:1, считая
от вершины.

ABr BMnCN = О.

СО: ON = АО :OR = ВО: ОМ =2:1

м

С

Точка пересечения медиан являет-
ся центром тяжести треугольника.
Отрезок биссектрисы угла треугольника,
соединяющий вершину треугольника
с точкой противоположной стороны,
называется биссектрисой треугольника.

А4], ВВ}. ССг — биссектрисы .1ДВС

Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к пря-
мой, содержащей противоположную сторону, называется высотой

Серединным перпендикуляром к стороне треугольника называется
прямая, проходящая через середину данной стороны и перпенди-

т, п, k — серединные перпен-
дикуляры к сторонам \АВС

СВОЙСТВО СЕРЕДИННЫХ
ПЕРПЕНДИКУЛЯ РОВ
-	—>

Серединные перпендикуляры в тре-
угольнике пересекаются в одной
точке.

т Г', п Г', k - О

Точка пересечения серединных перпен-
дикуляров является центром окруж-
ности, описанной вокруг треугольни-
ка (см. тему «Треугольник, вписанная
и описанная окружность», с. 217).
Высота

Биссектриса

Чтобы легче запомнить определения элементов треугольни-
ка, можно использовать забавные выражения (мнемонические
фразы).

★	«Биссектриса — это крыса, которая бегает по углам и де-
лит угол пополам».

*	«Медиана — обезьяна, прыгающая в середину стороны
против вершины».

★	«Высота — как хвост кота: кот соединяет под прямым
углом точку на вершине и сторону хвостом».

признаки рдеенстед

ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА'1
ТРЕУГОЛЬНИКОВ
(по двум сторонам
и углу между ними)

Если две стороны и угол между
ними одного треугольника соот-
ветственно равны двум сторонам
и углу между ними другого тре-
угольника, то такие треугольники
равны.

ВТОРОЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА
ТРЕУГОЛЬНИКОВ
(по стороне и двум
прилежащим углам)
__________________________
Если сторона и два прилежащих
к ней угла одного треугольника со-
ответственно равны стороне и двум
прилежащим к ней углам другого
треугольника, то такие треугольни-
ки равны.

АВ = МК, AC = MN,
/А - ZМ => л АВС = *МКН

СЕ =SQ, АС = AQ,
АЕ = AS =>£&DE =aQPS

ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
(по трём сторонам)

Если три стороны одного треуголь-
ника соответственно равны трём сто-
ронам другого треугольника, то та-
кие треугольники равны.

GH = TU, GK = VT, НК =UV => &GHK = bVUT
ПРИЗНАКИ ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Два треугольника называются
подобными, если их углы со-
ответственно равны и стороны
одного треугольника пропорцио-
нальны сходственным сторонам
другого.

Стороны, лежащие напротив
равных углов, называются сход-
ственными.

ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК ПОДОБИЯ
ТРЕУГОЛЬНИКОВ
(по двум углам)

Если два угла одного треугольника
соответственно равны двум углам
другого, то такие треугольники по-
добны.

N	Р

АМ =АР, AN -AS => &MNF ~ &PES

ТРЕТИЙ ПРИЗНАК
ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
(но трем сторонам)

Если три стороны одного треуголь-
ника пропорциональны трём сто-
ронам другого, то такие треугольни-
ки подобны.

Число k, равное отношению сходственных сторон подобных тре-

угольников, называется
Отношение периметров
енту подобия.

коэффициентом подобия.

подобных треугольников равно коэффици-

Отношение площадей

аАВС _ j,
подобных треугольников

равно квадрату коэффициента подобия.

8*лвс ^2
S.AlBlC1
CPEAH9Q AUHUQ ТРЕУГОЛЬНИКА

U Efe СВОЙСТВА

Отрезок, соединяющий середины

сторон треугольника,
средней линией.

1°. Средняя линия

называется

треугольника

раллельна одной из его сторон и
на половине этой стороны.

AVRE: ТТГЦВУ, TW = -RV
2

2°. Средняя линия треугольника

двух
его

па-
рав-

Е

от-

секает от него подобный треугольник
(в соотношении 1 : 2), площадь кото-
рого в четыре раза меньше исходного.

AWEТ - AVER, k = -, S*WET =-

S^VER 4

3°. Три средние линии тре-
угольника делят его на четыре
равных по площади треуголь-
ника.

TW — средняя линия AVRE

В каждом треугольнике три
средние линии.

$ьАМК - ^MBN - S&KNC - S^MNK

MN, NK, КМ
линии △АВС

средние

При подготовке к ОГЭ может встретиться такая задача: «В тре-
угольнике АВС проведена средняя линия MN, параллельная стороне
АВ. Площадь треугольника АВС равна 10. Необходимо найти пло-
щадь трапеции AMNB».

Известно, что средняя линия отсекает от треугольника подобный, при-

чём площадь отсечённого треугольника (в данном случае

ДММС)

в 4 раза меньше площади исходного треугольника АВС, следователь-
но, равна 10:4 = 2,5. Чтобы найти площадь трапеции, необходимо вы-
честь из площади треугольника АВС площадь треугольника MNC'.
Samnb=Sabc ~smnc = 10-2,5=7,5.
СВОЙСТВА Биссектрисы ТРЕУГОЛЬНИКА

I'1. Биссектрисы внутреннего и внеш-
него углов треугольника перпенди-
кулярны (рис. а).

ВК — биссектриса /АВС, ВН —
биссектриса /СBE, тогда ВК ± ВН.

2°. Биссектриса треугольника
(рис. б) делит противополояспую
сторону на отрезки, пропорцио-
нальные прилежащим сторонам.

ас	х у	ах

— = — , или — = —, или — =—.

х у	ас	су

Е

РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Треугольник называется равнобедренным, если
две его стороны равны.

Равные стороны называются боковыми сторо-
нами, а третья сторона — основанием равно-
бедренного треугольника.

основание

1°. В равнобедренном треугольнике углы при основа-
нии равны.

Если дАВС равнобедренный (АВ = ВС), то ZA-ZC.

2°. В равнобедренном треугольнике биссектриса, про-
ведённая к основанию, является медианой и высотой.

3°. В равнобедренном треугольнике высота, проведён-
ная к основанию, является медианой и биссектрисой.

4°. В равнобедренном треугольнике медиана, проведён-
ная к основанию, является высотой и биссектрисой.

ВН — медиана, биссектриса и высота, проведённая
к основанию равнобедренного лАВС.

ПРИЗНАКИ

★	Если в треугольнике два угла
равны, то он равнобедренный.

★	Если ZA-ZC, то дАВС — рав-
нобедренный.

★	Если высота треугольника совпа-
дает с его медианой, проведённой
из того же угла, то такой треуголь-
ник — равнобедренный.

★	Если высота треугольника совпа-
дает с его биссектрисой, проведён-
ной из того же угла, то такой тре-
угольник — равнобедренный.

★	Если биссектриса треугольника
совпадает с его медианой, проведён-
ной из того же угла, то такой тре-
угольник — равнобедренный.
< равносторонний треугольник и его свойства

Треугольник, все стороны которого равны
равносторонним.

Равносторонний треугольник является частным
случаем равнобедренного треугольника.

1". В равностороннем треугольнике
все углы равны 60 .

2°. В равностороннем треугольнике
медиана, проведённая к каждой сто-
роне, является биссектрисой и высо-
той, и они равны между собой.

3°. В равностороннем треугольнике
биссектриса, проведённая к каждой
стороне, является медианой и высо-
той, и они равны между собой.

4°. В равностороннем треугольнике
высота, проведённая к каждой сто-

роне, является биссектрисой и меди-
аной, и они равны между собой.

ПРИЗНАК РАВЕНСТВА РАВНОСТОРОННИХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
(по стороне)

Если сторона одного равностороннего равностороннего треугольника, то та-
треугольника равна стороне другого кие треугольники равны.

Все равносторонние треугольники подобны по первому признаку
подобия.

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Треугольник, один из углов которого прямой, называется прямо-
угольным. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая напро-
тив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие — ка-

тетами.

♦ В прямоугольном треугольнике гипотенуза боль-
ше катетов.

NT>MN, NT>MT

★ Сумма двух острых углов прямоугольного тре-
угольника равна 90\

Z2V 4-ZT = 90°
★	Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла
30 , равен половине гипотенузы (гипотенуза в два раза длиннее
катета, лежащего напротив угла 30 ).

Если ZA = 30°, то ВС = - АВ(АВ = 2ВС).

★	Если катет прямоугольного треугольника ра-
вен половине гипотенузы (или гипотенуза
раза длиннее катета), то угол, лежащий
тив этого катета, равен 30°.

Если	АВ( АВ-2ВС), то ZA = 30°.

ТРЕУГОЛЬНИКОВ

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ

Основываясь на общих признаках равенства, для прямоугольных
треугольников можно сформулировать свои признаки равенства,
потому что в прямоугольном треугольнике угол между двумя ка-
тетами прямой, а любые два прямых угла равны.

★	Признак равенства по двум катетам
(рис. а): если катеты одного прямоугольно-
го треугольника соответственно равны кате-
там другого, то такие треугольники равны.

ЛС = Л1С1, СВ - Ct By => £ABC=LAyByCr

i По катету и прилежащему острому углу
(рис. б): если катет и прилежащий к нему
острый угол одного прямоугольного тре-
угольника соответственно равны кате-

ту и прилежащему к нему острому углу другого, то такие тре-

угольники равны.

ВС = ВуС}, ХВ = ХВу	ААВС^АуВуСу

it По катету и противолежащему’ острому углу (рис. в): если
катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольно-

го треугольника соответственно равны катету и противолежащему
ему острому углу другого, то такие треугольники равны.

АС = АуСу, =	=> l\ABC = LA.ByCy
★	По гипотенузе и острому углу (рис. г): если гипотену-
за и острый угол одного прямоугольного треугольника соответ-
ственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие тре-
угольники равны.

АВ-A, ЛА = ХА1 -> △АВС=ДА1В1С1

★	По гипотенузе и катету (рис. д): если гипотенуза и катет од-
ного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотену-
зе и катету другого, то такие треугольники равны.

АВ = А1В1, BC = B1Cj => ДЛВС =

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем гео-
метрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямо-
угольного треугольника.

19*	@ ггомпРи*

-----------------------л
ТЕОРЕМА, ОБРАТНАЯ
ТЕОРЕМЕ ПИФАГОРА

Если квадрат одной стороны тре-
угольника равен сумме квадратов
двух других сторон, то треугольник
прямоугольный. То есть для всякой
такой тройки положительных чисел
2	2	9

а, b и с, что с = а + b , суще-
ствует прямоугольный треугольник
с катетами а и b и гипотенузой с.
Пифагоровыми тройками чи-
сел называются числа, равные
длинам сторон прямоугольного
треугольника и удовлетворяю-
щие теореме Пифагора. Этих
чисел существует огромное
множество, но полезно помнить
две пифагоровы тройки:
★ 3, 4 и 5;	★ 6, 8 и 10.

Книга рекордов Гиннесса называет теорему Пифагора теоремой
с максимальным числом доказательств. В 1940 г. была опу-
бликована книга, которая содержала 370 доказательств теоре-
мы Пифагора, одно из которых было предложено президентом
СП1Л Дж. А. Гарфилдом. Следует заметить, что только одно
доказательство этой теоремы нам неизвестно — доказательство
самого Пифагора.

ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ

ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ

Отрезок XY называется средним пропорциональным (или средним
геометрическим) для отрезков АВ и CD, если XY = \‘AB CD (или
XY2 = АВ CD).

Высота прямоугольного тре-
угольника, проведённая из

вершины прямого угла, есть
среднее пропорциональное для
отрезков, на которые делится
гипотенуза этой высотой:

Катет прямоугольного треуголь-
ника есть среднее пропорцио-

нальное для гипотенузы и от-
резка гипотенузы, заключённого
между катетом и высотой, про-
ведённой из вершины прямого
Если трудно запомнить теоремы о пропорциональных
отрезках в прямоугольных треугольниках, можно обой-
тись без них. Но тогда нужно как следует разобраться
с признаками подобия треугольников. Каждую из фор-
мул можно получить, рассматривая подобные треуголь-
ники. Обратимся к примеру с высотой, проведённой
к гипотенузе.

Треугольники ВСН и СНА подобны по двум углам,
значит, сходственные стороны пропорциональны. Отсюда
Л ЬС

получим: — = —. Теперь применим основное свойство
ас п

пропорции: Л2 = аг  Ьс, или Л = а(.  Ьс.

СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС, КОТАНГЕНС ОСТРОГО УГЛА 7

ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА	\

Синусом острого угла прямоугольного треугольни-
ка называется отношение противолежащего катета
к гипотенузе:

а

sma = —.

с

Косинусом острого угла прямоугольного треуголь-
ника называется отношение прилежащего кате-
та к гипотенузе:

b
cosoc = —.
с

Тангенсом острого угла прямоугольного треуголь-
ника называется отношение противолежащего кате-
та к прилежащему катету:

а

tga = - .

b

Котангенсом острого угла прямоугольного треуголь-
ника называется отношение прилежащего катета
к противолежащему катету:

2<Ю ©• геометрия
V В треугольнике АВС угол С равен 90°, косинус угла А равен
Длина стороны АС равна 4,8. Найдите длину стороны АВ.

Построим прямоугольный треугольник.

24

25

Для вычисления

АВ воспользуемся определением:

косинус

это

к гипотенузе, т.

отношение прилежащего
е. косинус угла А равен

катета

отноше-

нию АС к АВ:

ные значения и

АС
сояА =---. Подставим все

АВ	24 4,8

извест-

получим пропорцию: — = ——

25 АВ

Ответ: 5.

0,2

— = 5.

Чтобы найти АВ, воспользуемся основным свой-

ством пропорции, согласно которому произведение крайних членов равно
произведению средних членов: 24АВ = 25-4,8.

„ лО 25 4,8 лО
Отсюда Д В = - ——. АВ =
24

ТЕОРЕМА CUHYCOB, ТЕОРЕМА KOCUHYCOB

Теоремы синусов и косинусов используются для решения тре-
угольников, т. е. для нахождения всех элементов (сторон и углов)

треугольника по каким-нибудь трём
щим треугольник.

данным элементам, определяю-

ТЕОРЕМА СИНУСОВ

Стороны треугольника пропорциональны
синусам противолежащих углов.

ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ
(обобщённая теорема Пифагора)

а

h

с

sina sinp sin у

-2R,

где В — радиус описанной окружности.
Отношение стороны треугольника к си-
нусу противолежащего угла равно диа-
метру описанной окружности (или удво-
енному радиусу).

Квадрат стороны треугольни-
ка равен сумме квадратов двух

других сторон минус
ное произведение этих

на косинус угла между

удвоен-
сторон
ними.

р2 = т2 + п2 -2/nncosa
Теорема косинусов используется для нахождения косинуса
угла треугольника по известным сторонам.

Рассмотрим задачу из контрольно-измерительных материа-
лов ОГЭ по математике.

В треугольнике АВС известно, что АВ = 5, ВС = 7,
АС = 9. Найдите косинус угла АВС.

Заметим, что напротив угла АВС лежит сторона АС, по-
этому запишем формулу для стороны АС:

АС2 = АВ2 + ВС2 - 2 АВ ВС cos АВС.

Затем можно выразить косинус угла АВС либо подста-
вить все известные длины и решить уравнение. В дан-
ном случае удобно искомый косинус угла обозначить
через х. Получится уравнение 92 =52+72-2-5-7-х. Пре-
образуем его и получим: 70х = 25 + 49-81, т. е. 70х = -7,
откуда х = -0,1.

Ответ: -0,1.

Четырёхугольник

геометрическая фигу-

ра, состоящая из четырёх точек, никакие
три из которых не лежат на одной пря-

мой, и отрезков,
ющих эти точки.

последовательно соединя-

Четырёхугольник ABCD (или BCDA, CDAB,
DABC), АС и BD — диагонали

D

еыпуклые и нееыпуклые четырёхугольники

ВЫПУКЛЫЙ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК

Четырёхугольник называется выпук-
лым, если он находится по одну
сторону относительно прямой, содер-
жащей любую его сторону.

Диагонали выпуклого четырёхуголь-
ника лежат внутри него и пересека-
ются.
] НЕВЫПУКЛЫЙ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК

называется невы-

внутри него, и эти ди-

а другая

агонали не пересекаются.

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360 .

Четырёху гол ьн ик
пуклым, если он
ные стороны от
щей какую-нибудь

находится по раз-
прямой, содержа-
его сторону.

Одна из диагоналей невыпуклого
четырёхугольника лежит снаружи,

парА'л.ле гог ПЛ М/Л

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого про-
тивоположные стороны попарно параллельны. Параллелограмм яв-
ляется выпуклым четырёхугольником.

^^7^4 ПАРА^^фРА^А

1°. В параллелограмме противоположные
воположные углы равны.

MN = PQ, NP = MQ

АМ = ^Р, AN = AQ

2°. Диагонали параллелограмма точкой
пересечения делятся пополам.

FO = OH, GO = OK

3°. Диагонали параллелограмма делят
его на четыре равновеликих треуголь-

ника.

стороны равны и проти-

Safog

~ $AGOH ~ $АНОК ~ ^AFOK

rjPWfAKU ПАрАМ£А$ТрА*МА

★	Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллель-
ны, то этот четырёхугольник — параллелограмм (см. рисунок
на с. 204).

AB = CD, АВ С1)=> ABCD — параллелограмм.

★	Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно
равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

@ 2Q3 (В)

-------------- - @
AB = CD, BC = AD=>ABCD — парал-
лелограмм.

★ Если в четырёхугольнике диаго-
нали пересекаются и точкой пере-
сечения делятся пополам, то этот
четырёхугольник — параллело-

грамм.

ACr\BD = О, АО = ОС, BO = OD=±>ABCD — параллелограмм.

2) Z3=Z1=8O

противоположные углы.

противоположные углы.

3) Z2=Z4 = (280’-80°):2 = 100
Ответ: 80°, 100°, 80°, 100э.

Z Сумма трёх углов параллелограмма равна
280 . Найдите все углы параллелограмма.
1) Zl = 360 ’-280° = 80''.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны
равны. Поскольку ромб является параллелограммом, он обладает

всеми свойствами параллелограмма.

1°. В ромбе (рис. а) противоположные
углы равны.

ZA = ZC, ZB = ZD

2". Диагонали ромба (рис. б) точкой пе-
ресечения делятся пополам.

АО = ОС, BO = OD

1°. Диагонали ромба (рис. в) взаимно перпенди-
кулярны.

AC .LBD

2°. Диагонали ромба делят его углы пополам
(т. е. являются биссектрисами).

Z1 = Z2 = Z3 = Z4, Z5 = Z6 = Z7 = Z8

BD — биссектриса ЛАВС и zlABC, АС —
биссектриса ZBAD и zLBCD.
Призри рдн&л	в

* Если диагонали параллелограмма (рис. а) л) ХлХ
перпендикулярны, то данный параллелограмм /	1 \

является ромбом.	л/с । \ С

ABCD — параллелограмм, АС _1_ ВD ABCD —	\.2	/

ромб.	\	/

it Если диагонали параллелограмма (рис. п)	\ /

являются биссектрисами его углов, то данный
параллелограмм является ромбом.

ABCD — параллелограмм, AC, BD — биссек- в	(

трисы => ABCD — ромб (или ABCD — па- V '	\

раллелограмм, Z1 = Z2, Z3 = Z4=> ABCD —	\	\

ромб).	\	\

★ Если в параллелограмме (рис. б) две смеж- 2---------------Х D

ные стороны равны, то данный параллело-	б)

грамм является ромбом.

ABCD — параллелограмм, АВ - ВС => A BCD —	---

ромб.	г

ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все
углы прямые. Поскольку прямоугольник является параллелограм-
мом, он обладает всеми свойствами параллелограмма.

1°. Особое свойство: диагонали прямоугольника равны. *	*

AC-BD

2°. Диагонали прямоугольника точкой пере- В
сечения делятся пополам.

С учётом особого свойства получается, что
АО = ОС = ВО - OD.

Точка пересечения диагоналей называется (
центром прямоугольника и является цент-
ром описанной окружности.

npU3tfA^U ПРЯ^дуг^ь^ъА

it Если в параллелограмме хотя бы один
угол прямой, то данный параллелограмм

является прямоугольником.

FGHK — параллелограмм, в котором
ZF = 90 => FGHK — прямоугольник.


★ Если все углы параллелограмма равны,
то данный параллелограмм является прямо-
угольником.

FGHK — параллелограмм, AF = AG = AH-
~AK=>FGHK — прямоугольник.

♦ Если диагонали параллелограмма равны,
то данный параллелограмм является прямо-
угольником.

FGHK — параллелограмм, FH = GK=>FGHK

— прямоугольник.

КВАДРАТ

Квадратом называется прямоугольник, у которого
все стороны равны.

Квадратом называется ромб, у которого все углы
прямые.

Квадратом называется параллелограмм, у которого
все стороны равны и все углы равны.

ВАЖНО! Все свойства параллелограмма, ромба,
прямоугольника верны и для квадрата.



1°. Вее стороны квадрата равны.

AB = BC = CD = AD

2°. Все углы квадрата прямые.

ZA = ZB = ZC = ZD = 903

3°. Диагонали квадрата рав-

ны и точкой пересечения делятся пополам.

AC = BD, АО = ОС= BO = OD

4". Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны

и являются

биссектрисами его углов.

Z1 = Z2 = Z3 = Z4 = Z5 = Z6 = Z7 = Z8 = 45°

BD — биссектриса ААВС и ZADC, АС
ABAD и ABCD соответственно.

биссектриса
ОБОБЩЕНИЕ ПО ТЕМАМ «ПАРАЛЛЕЛОГРАММ»,
«ПРЯМОУГОЛЬНИК», «РОМБ», «КВАДРАТ»

Знание определений и понимание того, как параллелограмм, ромб,
квадрат и прямоугольник связаны между собой, позволяет обходиться
без лишнего заучивания теорем.

Параллелограмм, ромб, прямоугольник
и квадрат — частные случаи выпуклых
четырёхугольников. Установим взаимосвязи

между перечисленными
угольников.

Параллелограмм —

видами четырёх-

четырёхугольник,

у которого противоположные стороны по-
парно параллельны.

Четырехугольники

+ стороны попарно параллельны

Параллелограмм

+ все углы прямые

Прямоугольник

+ все стороны равны

+ все углы прямые

Квадрат

★ Квадрат

это прямоугольник,

Параллелограмм

+ все стороны равны

называется

которого все

грамм, у которого
равны.

Прямоугольником
параллелограмм, у
углы прямые.

Можно сформулировать два экви-
валентных определения квадрата.
★ Квадрат — это ромб, у кото-
рого все углы прямые.

Ромбом называется

параллело- + все сторонь1 равны
все стороны	у

у которого все стороны равны.

Четырёхугольники

+ все стороны равны

+ все углы прямые Кв f (1ат

По определению ромб

сечения.

параллелограммом. Это отражено
ставленной схеме. Следовательно,

является
на пред-
диагона-

ли ромба также делятся пополам точкой
пересечения.

Ромб

Ромб

+ стороны попарно параллельны

+ все углы прямые

Прямоугольник

Если на получившуюся схему посмотреть
как на родословную, то можно говорить
о том, что «потомки» наследуют свойства
всех предыдущих поколений.

Например, по свойству диагонали парал-
лелограмма делятся пополам точкой пере-
Четырёхугольники

+ стороны попарно параллельны

чю каждый из

Рассмотрим ромб. Его диагонали являются
биссектрисами углов. По одному из опре-
делений квадрат является ромбом. Значит,
ею диаюнали также делят углы пополам
Но в случае с квадратом нам известно,

его углов равен 90 Сле-

довательно, можно установить, что каждая
диагональ образует со стороной квадрата
угол 45



ТРАПЕЦИЯ

Четырёхугольник, у которого две сторо-
ны параллельны, а две другие стороны
не параллельны, называется трапецией.
Параллельные стороны трапеции назы-
ваются её основаниями.

Стороны, которые не параллельны, на-
зываются боковыми сторонами трапе-

ции.

ВАЖНО! Трапеция является выпуклым четырёхугольником.

1°. Сумма углов трапеции (рис. а) равна 360е.

ZA + ZB + ZC + ZD =360°

2°. Сумма углов, прилежащих к боковой
стороне, равна 180 .

ZA+ZB = 180°, ZC + Z2) = 180<'

@ геометрия
3°. Биссектриса любого угла трапеции (рис. б) отсекает иа её ос-
новании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.
МК — биссектриса, MN = NK.
Равносильное утверждение: биссектриса
трапеции отсекает от неё равнобедрен-
ный треугольник.
МК — биссектриса, 1MNK — равнобед-
ренный.
4П. Диагонали трапеции (рис. в) делят
её на четыре треугольника.	В

Треугольники, прилежащие к ос-

нованиям, подобны.	/ / \1	/ О

ДАОП-ДВОС	//	\	//

Треугольники, прилежащие к бо- A	da	d

ковым сторонам, равновелики.
&ДАОВ ~ &&COD
5”. Точка пересечения диагоналей трапеции
(рис. г), точка пересечения продолжений её
боковых сторон и середины оснований лежат
на одной прямой.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, назы-
вается средней линией трапеции.

★	Свойство средней линии. Средняя ли-
ния трапеции (рис. б) параллельна осно-
ваниям и равна их полусумме.

МЛ^ЦВС, MN\\AD, MN = AD + BC

2

★	Отрезок, соединяющий середины диаго-
налей трапеции (рис. е), параллелен её ос-
нованиям и равен их полуразности.

RF\\BC, RF\\AD, RF-'^ ВС

♦	Меньший из отрезков, па которые диа-
гональ делит среднюю линию трапеции
(рис. ж), равен половине меньшего осно-
вания данной трапеции.

МО =

ВС

2
★ Больший из отрезков, на которые диагональ делит среднюю
линию трапеции, равен половине большего основания данной

трапеции.

ON =

AD

2 '

МО), можно рас-

из отрезков (в данном случае

треугольник АВС. По теореме Фалеса точка О явля-

МО

средняя линия треугольни-

Теоремы
линию,
меньший
смотреть

ка АВС и равна половине сторо-
ны ВС. Аналогично ON — средняя
линия треугольника ACD, значит,
ON в два раза меньше АО.

ется серединой АС, следовательно,

про отрезки, на которые диагональ делит среднюю
заучивать необязательно. Если необходимо найти

Трапеция

Трапеция называется равнобедренной, если её
боковые стороны равны.

AB = CD

1°. В равнобедренной трапеции (рис. а) углы
при каждом основании равны.

ZA = ZD, ZB=ZC

2°. В равнобедренной трапеции (рис. 6) диа-
гонали равны.

АС = BD

3°, Высоты равнобедренной трапеции

(рис. в), проведённые к большему основанию,
делят трапецию на два равных прямоуголь-
ных треугольника и прямоугольник.

ТРлПециЯ

Трапеция, один из углов которой прямой, на-
зывается прямоугольной.

ZA = /.В = 90°

В прямоугольной трапеции меныпая боковая
сторона является высотой трапеции.

АВ — боковая сторона и высота трапеции
✓ Дана равнобедренная трапеция ABCD с ос-
нованиями ВС и AD. Из вершины В про-

В 8 С

Все теоремы о трапециях справедливы так-
же для равнобедренных и прямоугольных
трапеций.

ведена
среднюю
нование

высота ВН, равная 5. Найдите

линию трапеции, если верхнее
ВС равно 8 и ZA = 45 .

ос-

1) lABH

— прямоугольный, ZA = 45

4) НВСК

прямоугольник, значит,

=>ZABH= 45 =>ДЛВН

равнобед-

репный. Следовательно, АН =5.

2)	Опустим высоту СК.

3)	ЛАВН = .WCK (ЛА = ZD, АВ = CD) =>
=>KD~AH~5.

НК =8.

5)	АР = 5 + 5+8 = 18.

6)	18 + 8 =1з
2

пеции.

Ответ: 13.

средняя линия тра-



Многоугольник

фигура, состоящая из не-

скольких точек (больше двух) и соответствую-
щего количества отрезков, которые их ио-

следовательно соединяют. При

два
мой

них

соседних отрезка не лежат
и никакие два не сосед-
отрезка не пересекаются.

этом никакие
на одной пря-

Многоугольник (n-угольник) А^А.^А^... Ап

еыпУклые и нееыпУклыЕ многоугольники

Многоугольник называется вы-
пуклым (рис. а), если он на-
ходится по одну сторону отно-
сительно прямой, содержащей
любую его сторону.

В противном случае многоуголь-
ник называется невыпуклым

(рис. б), т. е. он находится по

разные стороны от прямой, содержащей какую-
нибудь его сторону.
Сумма внутренних углов выпук-
лого многоугольника (и-уголь-
ника) равна (и-2) 180°.

Сумма внешних углов выпуклого
n-угольника равна 360' и не
зависит от количества его углов
(сторон).

----------------

•/ Найдите сумму углов выпукло-
го пятиугольника.

(5-2)180° = 3 180° = 540°.

Ответ: 540°.



Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из
всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от
данной точки. Данная точка называется центром окружности.

Отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности,

называется радиусом окружности.

Все радиусы имеют одну и ту же длину (равны).

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хор-
дой.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется

диаметром.

Любая хорда окружности не превышает её диаметра.

О — центр окружности.

г, ОМ, ON — радиусы окруж-
ности.

PT, MN — хорды окружности.

MN — диаметр окружности.

Любые две точки делят окружность на две
этих частей называется дугой окружности.

uALB, и АМ В

части. Каждая из

Диаметр разбивает окружность на две равные

дуги — полуокружности.

Круг — часть плоскости, ограниченная окруж-
ностью, вместе с этой окружностью.

Круг — множество всех точек плоскости, рас-
стояние от каждой из которых до данной точ-
ки не больше данного расстояния.
Аналогичным образом
радиус, диаметр круга.

определяются центр,

о

центр круга.

О А, О В, ОС

радиусы

Диаметр окружности (кру-
га) вдвое больше радиуса:
D = 2R.

круга.

А В — диаметр круга

1°.

Диаметр, перпендикулярный

сеойстед

ХОРД И ДУГ ОКРУЖНОСТИ

ду и стягиваемые ею две дуги
2°. Диаметр, проходящий через

а), делит эту

хор-

а)

и том же расстоянии от цен-

б)

равные

хордами,

равны

равноудалены (находятся па
расстоянии) от центра окруж-

к хорде (рис.
пополам.

середину хор-
к этой хорде

2и.

ды

(рис. а), перпендикулярен

и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

3”. Если хорды равны (рис. б), то они нахо-

дятся на одном
тра окружности.
4 . Если хорды
одном и том же

ности (рис. б), то они равны.

5°. Большая из двух хорд (рис. в) расположе-

на ближе к центру окружности.

б”. Равные хорды (рис. г) стягивают
Дуги.

7”. Хорды, стягивающие равные
дуги, равны (рис. г).

8 . Дуги, заключённые между па-

раллельными
(рис. d).

9°. Дуги, заключённые между ка-
сательной и параллельной ей хор-
дой, равны (рис. е).

Перечисленные свойства устанав-
ливают зависимость между хорда-
ми и их дугами не только
в одной и той же окружности, но
и в равных окружностях.

В свойствах 6—9 имеются в виду
дуги меньше полуокружности.
Пусть Н — радиус окружности, d — расстояние от центра
окружности до прямой а.

it Прямая и окружность (рис. а) не имеют общих точек (не пе-
ресекаются).

★	Прямая и окружность имеют одну общую точку (рис. б). Пря-
мая, имеющая с окружностью только одну общую точку, назы-
вается касательной к окружности, а их общая точка — точкой
касания прямой и окружности.

★	Прямая и окружность (рис. в) имеют две общие точки. Пря-
мая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секу-
щей по отношению к окружности.

ТЕОРЕМЫ О КАСАТЕЛЬНЫХ^,

Касательная к окружности перпендикулярна ра- х'	ft

диусу, проведённому в точку касания: b — ка- /	;	\

сательная, В — точка касания, тогда b LOB. I / I

Если прямая проходит через конец радиуса
окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является
касательной к окружности: ОВ — радиус окружности с цен-
тром О, В^Ь, Ь1ОВ, тогда b — касательная.	*

«литеры*	*

Отрезки касательных, проведённых из од- S
ной точки к окружности, равны и со- ( о
ставляют равные углы с прямой, прохо- \ J \
дящей через эту точку и центр	. \

окружности: ДВ, АС — отрезки каса- В  „	\

тельных, тогда АВ-AC, Z.BAO = ZOAC.
ТЕОРЕМЫ О ДЛИНАХ ХОРА, КАСАТЕЛЬНЫХ И СЕКУЩИХ Ч

каждая

равенство:

2

★ Для
пых к

★ Для двух секущих (рис. в), проведённых из од-
ной точки вне круга, справедливо равенство:

из пересекающихся хорд, равны:
AEBE-CEDE.

касательной и секущей (рис. б), проведён-
окружности из одной точки, справедливо

★ Произведения длин отрезков (рис. а), на которые разбита

ZAOB = \uAMB

Угол с вершиной в центре окружности
называется её центральным углом.

Свойство:	центральный угол равен

дуге, на которую он опирается.

ЦЕНТРАЛЬНЫЕ U ВПИСАННЫЕ УГЛЫ

ВАЖНО! Центральному углу АОВ соответствуют две дуги
с концами А и В.

Если дуга АВ меньше полуокружности или является полуокруж-
ностью, то её градусная мера равна градусной мере центрального
угла АОВ. Если дуга АВ больше полуокружности, то её градус-
ная мера считается равной 360 — ZAOB.


Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пере-

секают окружность, называется вписанным углом.

1°. Вписанный угол (рис. а) равен половине дуги, на которую он

опирается.

ЛАБС =-и АС, или лАС=2ЛАВС
2

2®. Вписанный угол (рис. б) равен по-
ловине центрального угла, опирающегося
на ту же дугу.

ЛАВС = - ЛАОС, или ЛАОС - 2 ЛАБС
2

3°. Вписанные углы (рис. в), опирающие-
ся на одну и ту же дугу, равны.

ЛА DC = Л АВС = ЛАЕС

ВАЖНО! Утверждение «вписанные углы, опирающиеся на одну
и ту же хорду, равны» неверно (см. следующие свойства).

4°. Вписанные углы (рис. г), опирающиеся на одну и ту же хор-
ду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой
хорды.

а=ф

5”. Если два вписанных угла (рис. б) опираются на одну хор-
ду и находятся по разные стороны от неё, то сумма этих углов
равна 180'.

ос-ьр = 18О-

6°. Вписанный угол (рис. е), опирающийся на диаметр, прямой.
Другой вариант формулировки теоремы: вписанный угол, опираю-
щийся на полуокружность, прямой.

ЛАСВ = 90°, если АВ — диаметр (или оЛВ — полуокружность).
Следствие: медиана прямоугольного треугольника, проведён-
ная к гипотенузе, равна её половине (рис. ж, с. 216).

СО = АВ, где СО — медиана.

/ понятие ВПИСАННОЙ К ОПИСАННОЙ окружности

Если все стороны многоугольника касаются

окружности, то окружность называется впи-

санной в многоугольник, а многоугольник —
описанным около этой окружности.

Окружность вписана в пятиугольник ABCDE,
пятиугольник ABODE описан около окруж-
ности (рис. а).

Стороны АВ, ВС, CD, DE, ЕА касаются

окружности.

Центр вписанной окружности ле-
жит внутри многоугольника, в ко-

•• торый она вписана.

Если все вершины многоугольника лежат на

окружности, то окружность называется опи-
санной около многоугольника, а многоуголь-

ник — вписанным в эту окружность.

Окружность описана около шес-
тиугольника ABCDEF, шести-
угольник ABCDEF вписан
в окружность (рис. б).

Точки А, В, С, D, Е, F лежат

Центр описанной окружности может
не лежать внутри многоугольника,
; около которого она описана.

/Дт----------- ---------------------

на окружности.

ТРЕУГОЛЬНИК, ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

(ferfXffWTb,	9 JpeyrcwtuK

В любой треугольник можно вписать един-
ственную окружность.

Центром вписанной окружности является точка
пересечения биссектрис углов треугольника.
Отрезки от вершин треугольника
до точек касания вычисляются по
формулам:

Ь+с-а а+с-Ь
•V — ____• л - ----•

а + Ь-с

Около любого треугольника (рис. а) можно
описать единственную окружность.

Центром описанной окружности является
точка пересечения серединных перпендику-
ляров треугольника.

Центр описанной окружности (рис. б) нахо-
дится внутри остроугольного треугольника.
Центр описанной окружности (рис. в) нахо-
дится снаружи тупоугольного треугольника.
Центр описанной окружности (рис. ?) нахо-
дится на стороне прямоугольного треуголь-
ника.

Центр окружности, описанной около прямоугольного тре-
угольника, всегда лежит в середине гипотенузы, поэтому
для вычисления радиуса достаточно знать её длину.

Например, в задаче «Найдите радиус окружности, опи-
санной около прямоугольного треугольника, катеты кото-
рого равны 6 и 8» легко воспользоваться пифагоровой
тройкой 6, 8, 10. Гипотенуза равна 10, значит, ради-
ус окружности равен половине гипотенузы, т. е. 5. От-
вет: 5.
в четырёх-

четырЕхугольник, еписАннАЯ
И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

&<ру>Ю1(№Ть,	чггырёьугв^и*

(СПи^МЫй чг^ыр^уг^^^

Не во всякий четырёхугольник можно впи-
сать окружность. В четырёхугольник NEFM

можно вписать окружность, а
угольник NDKM — нельзя.

СВОЙСТВО ОПИСАННОГО
— ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА —

Если четырёхугольник описан око-
ло окружности, то суммы длин его
противоположных сторон равны.

NE-* FM = NM + EF

	ПРИЗНАК 
(обратное утверждение)

Если у четырёхугольника сум-
мы длин противоположных сторон
равны, то в этот четырёхугольник
можно вписать окружность.

д*-руж*1бс-Ть, впис-лннля четырёъугсмиъ*

ЧЕТЫР^УГС^^)

Около четырёхугольника не всегда можно
описать окружность.

Около четырёхугольника A BCD можно
описать окружность, а около четырёх-
угольника A BSD — нельзя.

Если четырёхугольник впи-
сан в окружность, то сум-
мы его противоположных
углов равны 180\

ZA + ZC = ZB + ZB = 180"

СВОЙСТВО ВПИСАННОГО
ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА

(обратное утверждение)

Если сумма противоположных углов
четырёхугольника равна 180 , то около
этого четырёхугольника можно описать
окружность.

УСЛО8ИЯ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ	(

ЧЕТЫРЁХ ТОЧЕК ОДНОЙ ОКРУЖНОСТИ \

Если выполняется одно из следующих условий, то четыре точки
А, В, С и D лежат на одной окружности.
★	ACAD = ACBD = 90° (рис. a).

★	Точки А и В лежат по одну сторону от
прямой CD и ACAD = ACBD (рис. 6).

★	Точки А и В лежат по разные стороны от
прямой CD и ACAD + ACBD = 18(У (рис. в).

★	Прямые АС и BD пересекаются в точ-
ке О и ОАОС = OBOD (рис. г).

ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ, ДЛИНА ДУГИ

Чтобы получить наглядное представление о дли-
не окружности, вообразим, что окружность сдела-

на из тонкой нерастяжимой нити. Если
нить в какой-нибудь точке А и рас-
прямить её, то получится отрезок

ААР длина которого и есть длина
окружности.

Длина окружности (рис. д):

★	С-2л7?, где В
ности;

★	С = TtD, где D

радиус окруж-

диаметр окружности

л«3,14.

Длина дуги
центральный
, лВа

(рис. е), на которую опирается
угол а:

а 180°

где В

радиус окружности.

разрезать

д)

Фигур

Площадь фигуры — величина той части плоскости, которую за-
нимает данная фигура.

При выбранной единице измерения площадь фигуры выражается
положительным числом.
Равные фигуры имеют равные площади.

★	Если =F2, то =Sf

★	Если фигура составлена из несколь-
ких фигур, то ее площадь равна сумме
площадей этих фигур.

S — Sj + S2 + S3 + S4

Утверждение «если фигуры име-
ют равные площади, то они
равны* неверно.

В зависимости от вида треугольни-
ка и известных исходных данных
для вычисления площади могут быть
использованы следующие формулы.

Ь'1

S3

s2

Si

ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ

1 см2 = 100 мм2

1 дм“ = 100 см“

1 м2 = 100 дм2

1 а = 100 м2

1 га = 100 а

1 км~ = 100 га

1 км2 = 1 000 000 м2
некоторые свойства ПЛОЩАДЕЙ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

★	Медиана треугольника (рис. а) делит его
на два треугольника, равных по площади
(равновеликих).

★	Площади треугольников, имеющих одина-
ковый угол (рис. б), относятся как произве-
дения сторон, образующих этот угол.

★	Площади треугольников, имеющих одина-
ковую высоту (рис. в), относятся как основа-
ния, к которым проведена эта высота.

★	Площади треугольников, имеющих одина-
ковое основание (рис. г), относятся как высо-
ты, проведённые к этим основаниям.

.ABD - Sf.DBC

В АВ  АС
^l ab'c’ АВ

S&ABC _ ВС

SbABCi ВС1

IBC _
^ААВС\

ПЛОЩАДИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ

ПРОИЗВОЛЬНЫЙ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК
11 АР АЛЛ ЕЛ ОГРА М М
Округа

V ПЛОЩАДЬ КРУГА И СЕКТОРА

лЯ2
—------ОС

сектора ggQ-j

л = 3,14 — постоянная величина, яв-
ляющаяся бесконечной непериоди-
ческой десятичной дробью. Чис-
ло Я равно отношению длины
окружности к её диаметру.

Площадь сектора можно вычис-
лить, зная, какую часть он со-
ставляет от круга.

ПЛОЩАДИ ПОДОБНЫХ срцрур

В геометрии фигуры одинаковой
принято называть подобными.
Отношение площадей подобных
фигур равно квадрату коэффици-
ента подобия (или квадрату от-
ношения их соответствующих ли-
нейных размеров).

S , 2 S АВ У

Si Si ^iBj

★	Для многоугольников коэффи-
циент подобия вычисляется как
отношение сходственных сторон.

★	Для кругов коэффициент по-
добия равен отношению радиусов
(или диаметров).

формы, но разных размеров

ПЛОЩАДИ ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

S2

s2

Как известно, отношение площадей
подобных треугольников равно ква-
драту коэффициента подобия. Это
означает, что если стороны подобно-
го треугольника изменились в к раз,
то его площадь изменится в /с2 раз.
I Рассмотрим два подобных треугольника. Вычислим площадь меньшего из них. По дан-
 ным чертежа можно установить, что стороны правого треугольника меньше сторон лево-
• го в 3 раза. Значит, площадь правого треугольника меньше в 9 раз и будет равна 2.
1_ ___ ____ ___ ____ ____ ___ ____ ____ ___ ____ ____ ___ ____ ____ ___ ____ ____ ___ ____ ____

Часто встречаются задачи, в решении которых необходимо сначала
установить факт подобия треугольников. Рассмотрим следующий пример.

В треугольнике АВС проведена средняя линия MN так, что площадь |
треугольника MCN равна 3. Найдите площадь треугольника АВС.

Z.C — общий,
АС СВ 2

МС CN 1
$,.авс = 3 4 = 12.

Ответ: 12.

дАСВ и aMCN подобны
(2-й признак), к = 2

Треугольники АСВ и MCN имеют общий угол С, а отношение стороны АС к МС и сто-
1 роны СВ к CN равно 2:1, поскольку М и N — соответственно середины сторон АС
и СВ. Отсюда можно сделать вывод, что треугольники АСВ и MCN подобны по двум
пропорциональным сторонам и углу между ними (второй признак подобия). Коэффициент
। подобия равен 2, значит, площадь треугольника АВС больше в 4 раза и равна 12.

✓ Найдите площадь меньшего из кругов, изображённых
на квадратной решётке, если площадь большего из них
равна 60.

Определим, какое количество клеток составляет диаметр
каждого круга.

n Л 6 3

Вычислим коэффициент подобия: « = —^- = -=—. Исходя
Dq 10 5

из того что отношение подобных фигур равно квадрату

S 3
коэффициента подобия, составим пропорцию: —*- = — .

S6 V5)

Итак, площадь меньшего круга относится к площади боль-

шего как "Z” =	По условию площадь большего круга равна 60, под-

S6 25	S 9

ставляем значение в пропорцию:	= Отсюда по основному свойству

пропорции получим площадь меньшего круга:

=	=21,6. Ответ: 21,6.

25
способы вычисления площддей <ригур

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ФИГУР
НА КВАДРАТНОЙ РЕШЁТКЕ

Рассмотрим различные способы на примере.

На клетчатой бумаге с размером клетки
1 см х 1 см изображена трапеция. Найдите
ее площадь Ответ дайте в квадратных сан-
тиметрах.

СПОСОБ

Проведем
обозначим
длины по

Применим

высоту трапеции h, основания
буквами а и b Вычислим их
клеткам.

а = 6, ft = 10, Л =4.

формулу площади трапеции:

2
Ответ; 32.

a.»i* Л.«М«.4.м.

Разобьём данную фигуру на части. Полу-
чим прямоугольник и два прямоугольных
треугольника:

^=5-4 = 20, S2 =--1-4 = 2,

2

So = --5-4 = 10.

3 2

Тогда площадь искомой фигуры равна.

S = S, + So +	= 20 + 2 + 10 = 32.

1	ZJ	О

Ответ: 32.

Дополним фигуру до прямоугольника и вы-
чтем площади лишних прямоугольных тре-
угольников:

я = 5прям0Уг -	+ s2) --11 4 - (2 +10) =

= 44-12 = 32.

Ответ: 32.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ФИГУР
НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ

Рассмотрим применение различных способен' вычисления площа-
дей на конкретных задачах

Г — — — — — — — — — — — —

 Найдите площадь параллелограмма, изображенного
на рисунке

' Площадь параллелограмма равна произведению ос-

| нования на высоту, проведённую к этому основанию
или его продолжению

Основание параллелограмма равн<, 6-1=5, высота:

I 9-3 = 6.

Отсюда 5 = 5 6 = 30.

I Ответ: 30.

I___________________________________________________

Найдите площадь треугольника, вершины ко-
торого имеют координаты (1; 3), (5; 9),
(9; 7).

Площадь треугольника S равна разности площади
прямоугольника S] со сторонами 9-1 = 8, 9-3 = 6
и трех прямоугольных треугольников, гипотенузы кото-
рых являются сторонами заданною треугольника.

Площадь прямоугольника: Sj =6 8 = 48.

Площади треугольников S2 =— (9- 1)(7-3) = 16;

2

S3 = l (9-3).(5-1, = 12; S4=|(9-5)(9-7) = 4.

Отсюда площадь заданного треугольника. 5 = 48-16-12-4=16.

Ответ. 16

Правильным называется выпуклый многоуголь-
ник, у которого все углы равны и все стороны
равны.

Многоугольник, у которого п вершин, сто-
рон и углов, называется и-угольником.

@	227 @)
Сумма внутренних углов правильного п-уголь-
ника равна (тг-2)180°.

Внутренний угол правильного л-угольника вы-

числяется

д_2

по формуле а= — -180°.
п

Внешний

числяется

угол правильного и-угольника вы-
о 360°

по формуле р =-----. а	*

п	'

а

О

В

R

Aj

А-2

Если вы забыли формулу для вычисления внутреннего
угла правильного многоугольника, то при решении за-
дач можно использовать описанную окружность и свой-
ство равнобедренного треугольника.

Рассмотрим это на примере.

Угол между двумя соседними сторонами правильного
многоугольника, вписанного в окружность, равен 108 .
Найдите число вершин многоугольника.

। Рассмотрим равнобедренный треугольник AjOA2,
I в котором А], Ад — соседние вершины многоуголь-
I ника, О — центр окружности. Углы при основа-
I нии треугольника равны 108’: 2 = 54°, следовательно,
1 ZA1OA2=18() -54 2 = 72	— центральный угол окруж-

1 1 ности. Выяснив, сколько таких углов может поме-
I 1 ститьея в окружность, можно найти число вершин:
I I 360 :72 =5. Таким образом, многоугольник имеет
I \ 5 вершин. Ответ: 5.

В любой правильный многоугольник можно
вписать окружность.

Около любого правильного многоугольника
можно описать окружность.

Центры вписанной в правильный многоуголь-
ник окружности и описанной около правильно-
го многоугольника окружности совпадают. Эту
точку называют центром правильного много-

угольника.

Для правильных многоугольников справедливы формулы:

о 1	1 г.

S =—anr=—Pr,
2	2

но • 180°
а = 2/? sin---

п

„	180е

г - /?c.os----

п

где п — число вершин многоугольника, а — сторона правильно-
го многоугольника, г — радиус вписанной окружности, R — ра-
диус описанной окружности, Р — периметр, S — площадь.

‘ ° 22&	® ГСОНГГруя

G)
Отрезок, для которого указано, какая из его	N

граничных точек считается началом, а ка-
кая — концом, называется направленным
отрезком или вектором. Другими словами,	л

вектор — отрезок с выбранным направлен	•

нием:

MN, а, АА.

Любая точка плоскости является нулевым вектором. Другими
словами, вектор, начало и конец которого совпадают, называется
нулевым вектором:

А4 = 0. 

Длиной или модулем ненулевого вектора MN называется длина
отрезка MN:

\MN = MN.

Длина нулевого вектора считается равной нулю:

|о|=о.

Ненулевые векторы называются коллине-
арными, если они лежат либо на одной
прямой, либо на параллельных прямых:

а||Ь, FF\\k.

Нулевой вектор считается коллинеарным
любому вектору.

Ненулевые векторы называются неколлине-
арными, если они не лежат ни на одной
прямой, ни на параллельных прямых:

b и k — неколлинеарные.

Два ненулевых вектора называются сона-
правленными, если они являются коллине-
арными и их направления совпадают.
Нулевой вектор сонаправлеп с любым ненулевым вектором:
аТТЬ, пТ?с, ЬТТс, а И ММ, d ТТ ММ.

Два ненулевых вектора называются противоположно направлен-

ными. если они являются коллинеарными, но
противоположны:

а Т1 d, cTJ<d.

Два вектора называются равными, если они
сонаправлены и их длины равны:
а — т, т. к. аТТтп, |п| = |/п1.

Два вектора называются противоположными,
если они противоположно направлены и их
длины равны:

их направления

а = -с.

Если векторы неколлинеарны,

не могут быть ни равными, ни противо-
положными.

действие над векторами

они

От любой точки можно отложить вектор, равный данному векто-
ру, и притом только один.

. ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКА |

1)	Отметить произвольную точку А
и отложить от этой точки вектор
АВ = а.

2)	От точки В отложить вектор
ВС = &.

3)	Вектор, идущий из начала
первого вектора к концу второго,
является вектором суммы, т. е. АС.

j ПРАВИЛО ПАРАЛЛЕЛОГРАММА _
—

1)	Отметить произвольную точку А
и отложить от этой точки векторы

АВ = а и AD = b.

2)	Построить параллелограмм ABCD.

3)	Вектор АС, идущий вдоль диа-
гонали параллелограмма, является
вектором суммы.

a + b, AB+AD-AC
1)	Отметить произвольную точ-
ку А и отложить от этой точки вектор
АВ - а.

2)	От точки В отложить вектор ВС = Ь,
от точки С отложить вектор
CD =с и так далее до FG = f.

3)	Вектор, идущий из начала первого
вектора к концу последнего, является
вектором суммы, т. е. AG.

Для любых двух векторов а и Ъ
справедливо равенство:	= a +

Иными словами, чтобы вычесть из
вектора а вектор Ь, можно к век-
тору а прибавить вектор, противопо-
ложный вектору b (по правилу тре-
угольника или параллелограмма).

1)	Отметить произвольную точку А
и отложить от этой точки векторы
АВ-а и АС-Ъ.

2)	Вектор, идущий из конца второго
вектора к концу первого, является век-

тором разности, т. е. СВ.



Произведением ненулевого вектора и на
число /? называется такой вектор /?, длина
которого равна /?| 1сь, причём векторы а
и b сонаправлены при /?>0 и противопо-

ложно направлены при /г<0.

ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА

ТЕОРЕМА

Если векторы а и b колли-
неарны и	то существу-

ет такое число k, что b-k'a.

Векторы а
и* 0, k —

если а ТТ Ь,

и b-kd коллинеарны (где
некоторое число). При этом

то & = если aTJ-d.
|al
/ свойства действий НАД векторами ч

г\$Ж£*цля

Для любых векторов ci, b, с справедливы следующие
равенства.

1°. a+b = b+d (переместительный закон).

2°. | a + b ( vc =d +(b +c J (сочетательный закон).

М^жения	41^0

Для любых векторов a, b, с и любых чисел /?, I справедливы

следующие равенства.

1°. а 0 = 0, a kd (следствия из определения произведения вектора
на число).

2°. (kl)a ~k{la'} (сочетательный закон).	я

3°. {k + l)a = kd +ld (первый распределительный закон). * .

4°. k\d + b I = kd+ kb (второй распределительный закон).

I РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО ДВУМ
НЕКОЛЛИНЕАРНЫМ ВЕКТОРАМ

На плоскости любой вектор можно
разложить по двум данным некол-
линеарным векторам, причём коэф-
фициенты разложения определяются
единственным образом:

с - kb + та.



ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ

Положение точки на плоскости
деляется двумя координатами.
Координата точки по оси Ох
вается абсциссой.

Координата точки по оси Оу
вается ординатой.

опре-

назы-

назы-

Прямоугольную систему
ординат с одинаковыми
ничными отрезками но

ко-
еди-
осям

Ох и Оу называют декарто-
вой в честь французского ма-
тематика Р. Декарта.
КООРДИНАТЫ РЕКТОРА

i, j — координатные векторы.
I/1 = 1, /1 = 1, вектор i направлен
вдоль оси абсцисс (рис. а) в по-
ложительном направлении, а век-
тор ./ — вдоль оси ординат в по-
ложительном направлении.

Любой вектор на плоскости мож-
но разложить по координатным
векторам (рис. б), коэффициенты

разложения определяются единственным образом.

а)

Коэффициенты

разложения вектора по координатным векторам называются коор-

динатами вектора.

По координатам точки можно
местоположение, а с векторами
одних и тех же координат можно
количество векторов, т. к. равные
координаты.

точно определить её
ситуация иная. Для
построить бесконечное
векторы имеют равные

Пл/гММЕТрн?’ @ 2зз
ОБОЗНАЧЕНИЕ

ОА{3; 4}, NM{0; 2}

Координаты равных векторов соот-
ветственно равны.

позволяющие по координатам векторов на-

Рассмотрим правила

ходить координаты их суммы, разности, произведения вектора на

число.

★ Каждая координата суммы
двух векторов и более равна
сумме соответствующих коорди-
нат этих векторов:



★ Каждая координата произве-
дения вектора на число равна

a + fe{x1+x2;i/1+y2}.

★ Каждая координата разно-
сти двух векторов равна разно-
сти соответствующих координат
этих векторов:

произведению
координаты
число:

соответствующей

вектора

на это

/ d{-l;O}, б{6;-3}, с{0;7}, тогда вектор d=2d-—b+c бу-
3

дет иметь координаты:

2 (-1)-1.6 + 0;2 0-|(-3) + 7|, или
3	о

ka [kx; ky}.

d{-4; 8}.

Правила позволяют определить координаты любого вектора, пред-
ставленного в виде алгебраической суммы данных векторов с из-
вестными координатами.

ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 8 КООРДИНАТАХ

^зь между KegpwMTwu

Каждая координата вектора
ветствующих координат его



АВ{х2-х1;у2-у1}.

А(*г, г/i)

В(х2; у2)

равна разности соот-
конца и начала.
kCCpAWTU гередщы вурез*м

Каждая координата середины отрезка рав- A(xi; yj

на полусумме
его концов:

соответствующих координат

хм

Л+Х2. п -У1+У2
—  Ум- 2

л/(хм; Ум)

Т$Ч*4л, делящей (ГГрез^

9 длм$м втмшеми

Координаты точки С, которая де-
лит отрезок АВ в отношении Л,
находятся по формулам:

_хЛ+Х-хВ1 _Уа+^Ув
с~ 1 + Л ’ Ус~ 1 + л

В(х2; у2)

ДЛйМ

Длина вектора
муле:

а [ х; у । вычисляется

по фор-

р^цяцм между Твч^ми

Расстояние между точками

и В{х2; у2] вычисляется по формуле:

А(хв i/1)

В(*2> У2)

Вычислять расстояние между двумя точками можно, ис-
пользуя векторы. Зная координаты точек, можно вы-
числить координаты вектора, а потом определить длину
этого вектора. Тогда не придётся запоминать ещё одну
формулу.

Например, найдём расстояние между точками _К(1;-5)
и М(8;2).

Сначала определим координаты вектора, причём
не имеет значения, какого: КМ или МК, длина отрез-
ка от этого не изменится. 7fM{8-l;2-(-5)}, КМ {7:7},
тогда КМ = \км\ = у72 + 72 = VF 7^ = 7^2.

Рассмотренные простейшие задачи в координатах позволяют при-
менять методы алгебры при изучении геометрических фигур и их
свойств.
угол между век торами

Два вектора а и Ъ всегда образуют угол.

Отложим от произвольной точки А векторы
(рис. а), равные векторам с и Ь. ЛВАС на-
зовём углом между векторами с и Ь.

Если два вектора являются сонаправленными (рис. 6), то угол
между ними равен 0°. Если векторы противоположно направле-
ны, то угол между ними равен 180 .

Если один из векторов или оба вектора нулевые, то угол между
ними будет равен 0е.

Скалярным произведением двух векторов называется произведе-
ние их длин на косинус угла между ними:

ab - а b cos(ад )•

Скалярное
вектора a
Скалярный

произведение а а называется скалярным квадратом

и обозначается а .
квадрат вектора равен
а =|а|2.

квадрату его длины:

В прямоугольной системе коорди-
нат скалярное произведение век-

и Ъ{х2;у2] выра-

жается формулой:

а • b = хг х2+у1у2.

Косинус угла а между ненулевы-

ми векторами	и dJx2;t/2]

выражается формулой:

cosa

Х1Х2+у] У2

♦	Скалярное произведение двух
ненулевых векторов равно нулю
тогда и только тогда, когда эти
векторы перпендикулярны.

★	Скалярное произведение двух
ненулевых векторов положительно
тогда и только тогда, когда угол
между векторами острый.

★	Скалярное произведение двух
ненулевых векторов отрицательно
тогда и только тогда, когда угол
между векторами тупой.

торов ajxpi/j

2
стереометрия

Стереометрия — раздел геометрии,
в котором изучаются свойства фигур
в пространстве. Множество всех точек,
рассматриваемых в стереометрии, на-
зывается пространством.



К основным неопределяемым понятиям стереометрии относятся

точка, прямая и плоскость.

Точки обозначаются одной заглавной буквой латинского алфавита
(А, М, О, И7).
Прямые обозначаются одной
строчной буквой латинского ал-
фавита (6) или двумя заглавны-
ми буквами (KL).
Плоскости обозначаются одной
строчной буквой греческого алфа-
вита (а) или тремя заглавными
буквами (АВС).

AKCUOMb?^T£P£O^^PUU

- ЗАПИСЬ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ]_,

★	Меи — точка М принадлежит
прямой а.

★	МеР — точка М принадлежит
плоскости Р.

★	lay — прямая I лежит в плос-
кости у.

Аксиома — утверждение, принимаемое без доказательства.

★	Аксиома 1. Через любые три точки, не
лежащие на одной прямой, проходит пло-
скость, и притом только одна (рис. а).

★	Аксиома 2. Если две точки прямой ле-
жат в плоскости, то все точки данной пря-
мой лежат в этой плоскости. В таком слу-
чае говорят, что прямая лежит в плоскости
или что плоскость проходит через прямую
(рис. б).

★	Аксиома 3. Если две плоскости имеют
общую точку, то они имеют общую пря-
мую, которой принадлежат все общие точ-
ки этих плоскостей. В данном случае гово-
рят, что плоскости пересекаются по прямой
(рис. в).
Следствие J: через прямую и ие лежащую
на ней точку проходит плоскость, и при-
том только одна (рис. г).

Следствие 2: через
ся прямые проходит
только одна (рис. <?).

две пересекающие-
плоскость, и притом

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПЛОСКОСТИ

★	Согласно аксиоме 1, плоскость можно провести через три точ-
ки, не лежащие на одной прямой (рис. а, с. 237).

★	Согласно следствию 1, плоскость можно провести через пря-
мую и не лежащую на ней точку (рис. г).

★	Согласно следствию 2, плоскость можно провести через две
пересекающиеся прямые (рис. <?).

^AlA^t РА4П0Л0*МЦА£ ПРЯМЫ*
ia П№^@&Т£1а Р npfaTpW&TP£

I взаимное рас положений	7

/ двух прямых е пространстве \

1°. Через две параллельные прямые (рис. а, с. 239) можно про-
вести плоскость, и притом только одну.

2°. Если одна из двух параллельных прямых (рис. б, с. 239) пе-
ресекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
3°. Если две прямые параллельны третьей (рис. в, с. 239), то
они параллельны между собой.
ТЕОРЕМА 1
(признак скрещивающихся прямых)

Если одна из двух прямых лежит
в некоторой плоскости, а другая пря-
мая пересекает эту плоскость в точ-
ке, не принадлежащей первой прямой,
то эти прямые скрещивающиеся.

★	При пересечении двух прямых образуются четыре угла
(рис. г).

★	Углом между двумя пересекающимися прямыми считается
угол, величина которого не превышает 90 (угол (3).

★	Угол между двумя параллельными прямыми (рис. д) считается
равным 0 .

★	Чтобы найти угол между двумя скрещивающимися прямы-
ми с и d (рис. е), необходимо взять произвольно точку К на
прямой d и через неё провести прямую т, параллельную пря-
мой с. |3 — искомый угол между прямыми с и d.
*

перпендикулярные прямые

Две прямые называются перпендикулярными (взаимно перпенди
кулярными), если угол между ними равен 90 .

Перпендикулярные

прямые

мо-

гут быть как пересекающимися

так и скрещивающимися.

ТЕОРЕМА

Если одна из двух параллельных
прямых перпендикулярна к тре-
тьей прямой, то и другая прямая
перпендикулярна к этой прямой.
Если тп||с, т Lk, то с±А.

с

с

Скрещивающиеся прямые

alc(a с)

) ездимное рас положение прямой (
у и плоскости е прострднстее

★	Прямая лежит в плоскости (рис. а), если все её точки при-
надлежат плоскости, т. е. прямая и плоскость имеют бесконечно
много общих точек.

Для того чтобы прямая лежала на плоскости, необходимо и до-
статочно, чтобы две любые точки этой прямой принадлежали этой

плоскости.

★	Прямая пересекает плоскость (рис. б), если только одна точка
прямой принадлежит плоскости.

★	Прямая параллельна плоскости (рис. в), если ни одна точка
прямой не принадлежит плоскости, т. е. прямая и плоскость не
имеют общих точек.
Прямая и плоскость называют-
ся параллельными, если они не
имеют общих точек.

ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ
ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

L__________________________

Если прямая, не лежащая в дан-
ной плоскости, параллельна какой-
нибудь прямой, лежащей в этой
плоскости, то она параллельна
данной плоскости.

1°. Если плоскость (рис. а) (на
рисунке — [5) проходит через
прямую (на рисунке — а), па-
раллельную другой плоскости (па
рисунке — ос), и пересекает эту

плоскость, то линия пересечения
плоскостей (на рисунке — Ь) па-

раллельна данной прямой.

2°. Если одна из двух параллельных прямых параллельна (рис. б)

данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна

данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

перпендикулярность пряллои и плоскости

Прямая называется перпендикулярной к пло-
скости, если опа перпендикулярна к любой
прямой, лежащей в этой плоскости.

★ Через любую точку пространства прохо-
дит плоскость, перпендикулярная к данной
прямой, и притом только одна.

★ Через любую точку пространства про-
ходит прямая, перпендикулярная к данной
плоскости, и притом только одна.

4Т£Р?ОМГГР№ @	241 Q)

----- ~ @


вс

BA
A

AC

перпендикуляр;

основание перпендикуляра;
наклонная:

основание наклонной;

проекция наклонной

НАКЛОННАЯ к

перпендикуляр и

1°. Если плоскость перпендикулярна одной
из двух параллельных прямых, то она
перпендикулярна и другой.

2°. Две прямые, перпендикулярные од-
ной и той же плоскости, параллельны



*

угол между прямой и плоскостью

★	Если прямая лежит в плоскости (рис. а),
то угол между ней и плоскостью полагают
по определению равным нулю.

★	Углом между прямой и плоскостью

(рис. б, с. 243), пересекающей эту прямую и не перпендикуляр-
ной к ней, называется угол между прямой и её проекцией па
плоскость: Z(a, cz) = Z(n, а') = <р.
A

★	Если прямая перпендикулярна плоскости (рис. в), то угол
между прямой и плоскостью считается равным 90 .

★	В случае когда прямая параллельна плоскости (рис. г), угол
между прямой и плоскостью не определяется (иногда принято
считать угол равным 0 ).

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
В ПРОСТРАНСТВЕ

Пересекающиеся плоскости име-
ют общую прямую (рис. д).

Две плоскости называются па-
раллельными (рис. е), если они
не пересекаются, т. е. не имеют
общих точек.

Случай, когда плоскости совпала -

ют, рассматривать
дем считать, что
•- скость, а не две.

не будем. Бу-
это одна пло-

ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙJ

Если две пересекающиеся прямые одной
плоскости соответственно параллельны
двум пересекающимся прямым другой
плоскости, то эти плоскости парал-
лельны:

а || а', Ь ||Ь' => а| р.
1°. Если две параллельные пло-
скости (рис. а) пересечены тре-
тьей, то прямые их пересечения
параллельны между собой: а * Ь.
2°. Отрезки параллельных пря-
мых (рис. б), заключённые
между параллельными плоско-
стями, равны: AC = BD.

ДВУГРАННЫЙ УГОЛ Ц УГОЛ

между плоскостями

Двугранный угол — фигура, образованная двумя полуплоскостя-
ми, имеющими общую прямую (рис. в). Полуплоскости называ-
ются гранями, общая граница полуплоскостей — ребром.

Чтобы измерить двугранный угол (рис. г), нужно из произволь-
ной точки на ребре провести в каждой плоскости по перпендику-
ляру к этому ребру. В плоскости а провели перпендикуляр MD
к ребру АВ, в плоскости р провели перпендикуляр ND к реб-
ру АВ. Получили плоский угол ф — линейный угол двугранного
угла. Двугранный угол измеряется величиной своего линейного

угла.

Величина двугранного угла находится в диапазоне от 0 до 180

включительно.

Две пересекающиеся плоскости образуют
четыре двугранных угла с общим ребром
(рис. д). Если величина одного из них
равна ф, то величины трёх остальных
углов равны соответственно 180 — ф, ф,
180J — ф.

Угол между плоскостями — наименьший
из двугранных углов, образованных при
пересечении плоскостей.
Величина угла между плоскостями находится в диапазоне от О
до 90' включительно.

Различие между двугранным углом и углом между плоско-
стями: двугранный угол может быть и острым, и прямым,

и тупым, а угол между

плоскостями

только острым пли

прямым. Если плоскости параллельны, то угол между ними
равен 0 по определению.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ УГЛА МЕЖДУ ПРЯМЫМИ
НА ПЛОСКОСТИ И УГЛА МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ

D

мы
кон-
двух

за-

Угол между прямыми находится в диа-
пазоне от 0г до 90 включительно.

Определяя на плоскости угол между

Для определения величины угла между двумя плоскостями
важно уметь находить угол между двумя пересекающимися
прямыми на плоскости

Острый угол

В параллелограмме ABCD
АВС равен 140". Найдите
между прямыми АВ и ВС

угол
угол

В

140°

двумя пересекающимися прямыми,
действуем следующим образом:
стагируем. что при пересечении
прямых образовались четыре угла,

мечаем, что эти углы попарно равны
как вертикальные; среди образовавшихся
углов выбираем наименьший, Он и яв-

ляется углом между двумя прямыми
На представленном чертеже угол между
прямыми острый.

В случае перпендикулярности прямых
угол будет равен 90 Таким образом,

Угол между АВ и ВС

140°

I Решая вышеприведенную задачу, важно по-
। нимать. что очевидный на первый взгляд

I ответ 140° не является верным, поскольку
угол между прямыми не может быть боль-

| ше 9С

величина угла между прямыми находит-
ся в диапазоне от 0е до 90 включи-
тельно.

= = 0= = = = =0= = =!

На чертеже представлены отрезки АВ ।
и ВС. Продлим их, чтобы увидеть пря-
мые. Поскольку уюл между прямыми — |
это наименьший из четырёх углс-в, об-
разовавшихся при пересечении, найдем |
угол, смежный с углом ЛВС Как из-
вестно. сумма смежных углов равна |
180\ поэтому искомый угол имеет ве-
личину 40
Угол между прямыми находится в диа-
пазоне от 0 до 90° включительно.

sinq> = a => ip = arcsina

Аналогичным образом можно опре-
делить и угол между плоскостя-
ми Две пересекающиеся плоскости
образуют четыре двугранных угла
с общим ребром Угол между пло-
скостями — наименьший из дву-
гранных углов, образованных при
пересечении плоскостей, поэтому

costp = a	<p=arccosa	n

v	при a>0

tg<p-a => rp-arctga

Если cos(a)<0, значит, a — тупой угол.
cos<p-a => (p-arccos(-a) при a<0

При решении стереометрических задач повы-
шенного уровня сложности угол между пло-
скостями определяют, предварительно вычис-
лит его синус, косинус или тангенс. Тогда
угол будет равен соответственно арксинусу,
арккосинусу и арктангенсу.

Будьте внимательны! Косинус может полу-
читься отрицательным Значит, в этом слу-
чае найден тупой угол. Помните, что угол
между плоскостями не может превышать
90 Тогда искомым углом будет арккосинус
от противоположного числа.

величина угла между плоскостями
находится в диапазоне от 0° до 90'
включительно Эго становится оче-
видным, если построить линейные
углы каждого из образовавшихся
двугранных углов так, как показано

1

1

1

cosrp^-—=><p = arccos—=> <p = arccos—.

на рисунке. Получим две пересека-
ющиеся прямые, угол между кото-
рыми мы уж.е умеем определять

Например, если косинус одного из двугранных

1

углов получился равным —, то угол между

I	14

плоскостями равен arccos - В данном случае
I знак «-» писать не нужно. *

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ
ПЛОСКОСТЕЙ

Две плоскости называются пер-
пендикулярными, если угол
между ними равен 90е.

1°. Плоскость, перпендикуляр-
ная прямой, по которой пере-
секаются две данные плоско-
сти, перпендикулярна каждой
из них (рис. а, с. 247).

ПРИЗНАК ПЕР11ЕНДИКУЛЯРНОСТИ

ПЛОСКОСТЕЙ

Если одна из двух плоскостей
проходит через прямую, перпен-
дикулярную другой плоскости,
то эти плоскости периендику-
2°. Если прямая лежит в одной из двух взаимно перпендику-
лярных плоскостей и перпендикулярна линии их пересечения, то
эта прямая перпендикулярна другой плоскости (рис. б).

Расстояние от точки до прямой — длина
перпендикуляра, проведённого из данной
точки к данной прямой (рис. в) (на ри-
сунке — МН).

Расстояние от точки до плоскости рав-
но длине перпендикуляра, опущенного из
точки на плоскость (рис. г) (на рисун-
ке — МН).

Расстояние между параллельными плоско-
стями — расстояние от произвольной точ-
ки одной из параллельных плоскостей до
другой плоскости (рис. д).

Расстояние между параллельными прямой
и плоскостью — расстояние от любой
точки заданной прямой до заданной пло-
скости (рис. е).

р(М, а)-МН

г)

р(а, у1) = р(М1, у1) = М1Я1
Расстояние между скрещивающимися прямыми — расстояние
между одной из скрещивающихся прямых и параллельной ей
плоскостью, проходящей через другую прямую (рис. ж, с. 247).
Справедлива и другая формулировка, согласно которой расстояние
между скрещивающимися прямыми — это расстояние от некото-
рой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, про-
ходящей через другую прямую параллельно первой прямой.

М

Существует ешё один способ определения расстояния
между скрещивающимися прямыми: оно равно рассто-
янию между их проекциями на плоскость, перпендику-
лярную одной из данных прямых.

Рассмотрим пример использования этого способа на чер-

тоже. Пусть прямые а и b

скрещивающиеся, пло-

скость а перпендикулярна прямой Ь. Тогда а

на плоскость а, точка В

t — про-
проекция

прямой b на эту плоскость. Для
нахождения расстояния между пря-
мыми а и b можно найти рассто-
яние от точки В до прямой аг
На чертеже показано, что это рас-
стояние будет равно длине общего
перпендикуляра MN между скрещи-

екция прямой а

h

вающимися

прямыми.

N



Многогранником называется поверх-
ность, составленная из многоугольни-
ков и ограничивающая некоторое гео-
метрическое тело.

Грани — многоугольники, из которых
состоит многогранник.

Ребра — стороны граней (отрезки).
Вершины — концы рёбер (точки).
Отрезок, соединяющий две вершины,
не принадлежащие одной грани, назы-
вается диагональю многогранника.

Многогранник называется выпуклым,
если он расположен по одну сторону от
грани.

Выпуклый многогранник
плоскости каждой своей
В выпуклом многограннике сумма всех
плоских углов при каждой его вершине
меньше 360 . Все диагонали лежат внут-
ри выпуклого многогранника.

Невыпуклым называется многогран-
ник, у которого есть по крайней мере
одна такая грань, что плоскость, прове-
дённая через эту грань, делит данный
многогранник на две части и более.

Невыпуклый многогранник

Многогранник с п гранями называют п-гранником. В част-

ности, тетраэдр

четырёхгранник, додекаэдр

тигранник, икосаэдр

двадцатигранник и т. д

ПРИЗМА

двенадца-

п-угольной призмой называют
многогранник, составленный из
двух равных п- угольников, лежа-
щих в параллельных плоскостях,
и п параллелограммов, которые
образовались при соединении вер-
шин и-угольников отрезками па-
раллельных прямых.

Если боковые рёбра перпендику-
лярны основаниям, то призма на-

зывается прямой, в противном
случае — наклонной.

Высота прямой призмы совпада-

ет с боковым ребром. Все боко-
вые грани являются прямоуголь-
никами.

Высота наклонной призмы — это
перпендикуляр, проведённый меж-
ду основаниями призмы. Часто
перпендикуляр проводят от од-
ной из вершин верхнего основа-
ния. Без дополнительных условий
невозможно определить, в какую
точку проецируется высота на-
клонной призмы.

В зависимости от многоугольника,

высота
боковая грань

Прямая шестиугольная призма

Наклонная шестиугольная призма

лежащего в основании, призмы
бывают треугольные, четырёхугольные, пяти-

угольные, шестиугольные и т. д.

Площадью боковой поверхности призмы назы-
вается сумма площадей всех её боковых граней
(рис. а).__________________________

обозначение"] s6ok

ТЕОРЕМА

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна
произведению периметра основания на высоту призмы:

С — Р  h

’-’601; ‘осн '‘•

Площадью полной поверхности призмы называ-
ется сумма площадей всех её граней.

[ ОБОЗНАЧЕНИЕ J 5ПОДН

*$полж	^^осн

Объем призмы равен произведению площади ос-
нования на высоту (рис. б):



У прямой призмы в качестве высоты можно
использовать боковое ребро I. Тогда для вы-
числения объёма при известной длине бокового
ребра достаточно найти площадь основания.

Для наклонной призмы (рис. в) справедлива
формула:

V = Sr/,
где SL — площадь сечения, перпендикулярного
боковому ребру, I — длина бокового ребра.

ОБЪЁМ НАКЛОННОЙ ПРИЗМЫ

Гычислить объем как прямой,
так и наклонной призмы мож-
но. умножив площадь основа-
ния S на высоту h
7 / '
/ /U--

i

J.-------------

У наклонной призмы длина высоты h не совпадает
с длиной бокового ребра /, поэтому в задачах на нахож-
дение объёма наклонной призмы имеются дополнитель-
ные данные, чаще всего указывается угол между боко-
вым ребром и плоскостью оснспания

Важно помнить, что для случая, когда прямая пересекает
плоскость и не перпендикулярна к ней, угол между пря-
мой и плоскостью равен углу между этой прямой и её
проекцией на плоскость.

Построим проекцию бокового ребра на плоскость основа-
ния Получим угол между боковым ребром и плоскостью
основания на чертеже он обозначен а.

sina = y Л=/эша ^ = $осн 17 lz = SorH Zsina

Установим взаимосвязь между высотой и боковым ребром,
зная угол и. Заметим, что боковое ребро, его проекция
и высота образуют прямоугольный треугольник. Из опреде-
ления синуса острого угла прямоугольного треугольника по-

лучим, что sma= , тогда высота равна rt = /sina. Следо-
вательно, формулу для вычисления объёма можно
преобразовать. Получим У - S0CH /sina.

Основанием правильной треугольной при-
змы является равносторонний треугольник.
Основанием правильной четырехугольной
призмы является квадрат.

_________________ свойство____________________

Боковые грани правильной призмы — равные пря-
моугольники. Высота равна длине бокового ребра.

Для правильной п-угольной призмы со сто-
роной основания а и высотой h справедли-
ва формула:

S6oK=naA.

*^полн *^бок 2^OCH


Если основание правильной четырёхугольной призмы

является квадратом, а боковые
основаниям, то такая призма не
В правильной четырёхугольной
могут быть прямоугольниками,

рёбра перпендикулярны
всегда является кубом,
призме боковые грани
что недопустимо для

куба. Потому7 любой куб является правильной четырёх-
угольной призмой, но не всякая правильная четырёх-
угольная призма является кубом.



ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД И ЕГО СвОЙСТВ А

11 ара л л ел епип ед

четырёхугольная призма, все грани которой

являются параллелограммами.

ВАЖНО! Не всякая четырёхугольная призма явля-
ется параллелепипедом.

Виды параллелепипедов:

★ наклонный

боковые рёбра не пер-

пендикулярны основаниям (все грани
параллелограммы) (рис. а);

★ прямой
кулярны

боковые рёбра перпенди-

основаниям (в

жит
ни

параллелограмм, а

основании
боковые

прямоугольники) (рис. б);

★ прямоугольный —
жит прямоугольник,

в основании

ле-

с(й)

Ч = Ч + 2 ч
‘-’поли ‘-’бок т ^‘’осн

v=sOCH-ft

ле-
гра-

а боковые рёбра

перпендикулярны основанию (все гра-

ни

прямоугольники) (рис. в).

СВОЙСТВА

1°. Противолежащие грани параллелепипеда
параллельны и равны.

2°. Диагонали параллелепипеда пересекаются
в одной точке и делятся ею пополам.

3°. Все диагонали прямоугольного параллеле-
пипеда равны между’ собой. Квадрат диагона-
ли равен сумме квадратов его измерений:

d2 =а2 + Ь2 +с2.
Для прямоугольного параллелепипеда справедли-
вы формулы:

5ПОЛН =	+ Ьа + ас); V = abc.

Правильной четырёхугольной призмой является
прямоугольный параллелепипед, в основании ко-
торого лежит квадрат.

J КУБ и ЕГО СВОЙСТВА

Частным случаем прямоугольного параллелепи-
педа является куб.

Кубу можно дать определение различными спо-
собами, каждый из которых подчеркнёт тот или
иной класс тел в пространстве, выделит основ-
ные признаки и особенности:

♦	многогранник, у которого все рёбра рав-

ны, а грани — попарно перпендикулярны;

★	прямая призма, все грани которой — квадраты;

★	прямоугольный параллелепипед, все рёбра которого равны.

1°. Вее грани куба являются равными квадратами.

2°. Диагонали куба пересекаются в одной точке
и делятся ею пополам. Пересечение диагоналей куба
является его центром — точкой, равноудалённой
от всех вершин, рёбер и сторон куба.

3°. Все диагонали куба равны между собой. Квадрат
диагонали равен утроенному квадрату его ребра:

d2 = 3а2.

ПИРАМИДА И ЕЁ СВОЙСТВА

Многогранник, одна грань которого яв-
ляется и-угольником, а остальные гра-
ни — треугольниками с общей верши-
ной, называется и-угольной пирамидой.
В зависимости от многоугольника, ле-
жащего в основании, пирамиды бы-
вают треугольные, четырёхугольные,
пятиугольные, шестиугольные и т. д.
Площадью боковой поверхности пирами-
ды называется сумма площадей всех её
боковых граней.

(ОБОЗНАЧЕНИЕ ] 5бок

Площадью полной поверхности пи-
рамиды называется сумма площадей
всех её граней.

(' ОБОЗНАЧЕНИЕ ) 8ПОЛН

Объём пирамиды равен одной трети произведения
площади основания на высоту:

V = l-S0C„h.

)J ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА И СВОЙСТВА

★ Пирамида, основанием которой является А
правильный многоугольник и вершина кото- / ;'Д
рой проецируется в центр основания, называ- / ;• \
ется правильной.	А

★ Пирамида называется правильной, если л
её основание — правильный многоуголь-
ник, а отрезок, соединяющий вершину пира- // :\\
миды с центром основания, является её вы-	д„

сотой.	'А/

Основанием правильной треугольной пирамиды А
является равносторонний треугольник с цеп- // - \
тром в точке пересечения медиан, биссектрис,	а\

ВЫСОТ.

Основанием правильной четырёхугольной пи- Ч' “;Л<.
рамиды является квадрат с цен-
тром в точке пересечения диагоналей. .
Высота боковой грани правильной пи- "Ж-	/

рамиды, проведённая из её вершины, *	// : ’

называется апофемой (d). Все апофе-	/ / • \

мы правильной пирамиды равны.	/ /

Площадь боковой поверхности пра-	/ / :

вильной пирамиды равна половине
произведения периметра основания на	\'/'

апофему:

'^боК п ^осн •

‘“’полн  г, ^оСН ' d + ‘Чен	> $осн

2?4 © ГТОМГГРИ*
СВОЙСТВА

1°. Все боковые рёбра правильной
пирамиды равны.

2°. Все боковые грани являют-
ся равными равнобедренными тре-
угольниками.

3°. Углы между всеми боковыми
рёбрами и основанием одинаковые.

•4°. Все грани наклонены к основа-
нию под одним и тем же углом.

ТЕТРАЭДР Ц ЕГО СВОЙСТВА

Тетраэдр (четырёхгранник) — многогран-
ник, гранями которого являются четыре
треугольника.

Тетраэдр является треугольной пира-
мидой. У тетраэдра 4 вершины, 6 рё-
бер и 4 грани.

Один из треугольников называется осно-

ванием тетраэдра, а три остальные —
боковыми гранями тетраэдра.

Тетраэдр, у которого все рёбра равны,
называется ирави.тьным.

------ свойство -------------

Все грани правильного тетраэдра
являются равносторонними тре-
угольниками.

ВАЖНО! Правильная треугольная
пирамида не всегда является пра-
вильным тетраэдром.

УСЕЧЕННАЯ пирамида И ЕЕ свойства

Усечённой пирамидой называ-
ется часть пирамиды между
её основанием и плоскостью,
параллельной ему. Другими
словами, усечённая пирами-
да — многогранник, который
образован пирамидой и её се-
чением, параллельным основа-
нию.

Усечённая шестиугольная пирамида
л-угольники, расположенные в параллельных плоскостях, называ-
ются основаниями усечённой пирамиды — два основания.

Четырёхугольники называются боковыми гранями пирами-
ды — п боковых граней. Всего л + 2 граней.

Отрезки, соединяющие соответствующие вершины оснований, на-
зываются боковыми рёбрами пирамиды — п боковых ребер.

Стороны многоугольников называются рёбрами оснований —
2п рёбер оснований.

Всего Зи рёбер. 2п вершин.

Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного осно-
вания к плоскости другого основания, называется высотой усе-
чённой пирамиды.

В зависимости от многоугольников, лежащих в основаниях, усе-
чённые пирамиды бывают треугольные, четырёхугольные, пяти-

угольные, шестиугольные и т. д.
Площадью боковой поверхности
усечённой пирамиды называется
сумма площадей всех её боковых
граней.

' ОБОЗНАЧЕНИЕ j S^K

Площадью полной поверхности усечён-
ной пирамиды называется сумма пло-
щадей всех её граней:

‘%олн ' ‘%ок + & + $1 •

Объём усечённой пирамиды вычисляет-
ся по формуле:

V = ^h^S + Sl+sIS Si).

------- СВОЙСТВА --------------

1°. Все боковые грани усечённой
пирамиды являются трапециями.

2°. Основания усечённой пирами-
ды — подобные многоугольники.

ПРАВИЛЬНАЯ УСЕЧЁННАЯ ПИРАМИДА И ЕЁ СВОЙСТВА

Усечённая пирамида, полученная из пра-
вильной пирамиды сечением, параллель-
ным её основанию, называется правильной
усечённой пирамидой. Высота боковой гра-
ни правильной усечённой пирамиды назы-
вается апофемой.

( ОБОЗНАЧЕНИЕ ) d

Все апофемы правильной усечённой пира-
миды равны.
--------------------------СВОЙСТВА ---------------------------------


1". Все боковые рёбра равны.

2°. Все боковые грани являются равными равнобедренными трапециями.

З1’. Все боковые рёбра наклонены к каждому основанию под одним и тем
же углом.

4°. Все грани наклонены к каждому основанию под одним и тем же углом.

Площадь боковой поверхности правильной
усечённой пирамиды равна произведению по-
лусуммы периметров оснований на апофему:

5бок=^(р + р1)	где Р = па, Р} =п-а1.

Zj

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ



Выпуклый многогранник называется правильным, если:
★ все его грани — равные правильные многоугольники;
★ в каждой его вершине сходится одно и то же число рёбер.

Правильный тетраэдр (четырёхгранник)
состоит из четырёх равносторонних
треугольников. 4 вершины, 6 рёбер,
4 грани. Сумма плоских углов при
каждой вершине равна 180°.

Правильный гексаэдр (куб) (шести-
гранник) состоит из шести квадратов.
8 вершин, 12 рёбер, 6 граней. Сумма
плоских углов при каждой вершине
равна 270'.

Правильный октаэдр (восьмигранник)
состоит из восьми равносторонних
треугольников, б вершин, 12 рёбер,
8 граней. Сумма плоских углов при
каждой вершине равна 240L.

S, За 2
полн *

а\;2

12

*$полн — &а

V = a3
Правильный икосаэдр (двадцатигран-
ник) состоит из 20 равносторонних
треугольников. 12 вершин, 30 рёбер,
20 граней. Сумма плоских углов
при каждой вершине равна 300°.

Правильный додекаэдр (двенад-
цатигранник) состоит из 12 рав-
носторонних пятиугольников.
20 вершин, 30 рёбер, 12 гра-
ней. Сумма плоских углов при
каждой вершине равна 324°.

$полн ~

Г=^(з+Т5)

«поли =3t/\5(5 + 2^5)

V = --(15+7л/б)

Платоновы тела — это совокупность правильных многогранников,
впервые описанных Платоном. Им также посвящена заключительная
XIII книга «Начал» Евклида, ученика Платона. При всем бесконечном
многообразии правильных многоугольников существует всего пять пра-
вильных многогранников, в соответствие которым со времён Платона
ставятся пять стихий мироздания: тетраэдр (четырёхгранник) — огонь;
гексаэдр, или куб (шестигранник), — Земля; октаэдр (восьмигран-
ник) — воздух; икосаэдр (двадцатигранник) — вода; додекаэдр (двенад-
цатигранник) — Вселенная.	_________—

цилиндр8*^^

Круговым цилиндром называется
тело, которое состоит из двух рав-
ных кругов, размещенных в парал-
лельных плоскостях, и всех отрез-
ков, соединяющих соответствующие
точки этих кругов. Существуют
наклонные и прямые круговые ци-
линдры.

Круги называются основаниями
цилиндра.

основание цилиндра

Прямой и наклонный цилиндры

25*

G) ------
В основании цилиндра могут быть и другие фигуры (напри-
мер, эллипсы). В этом случае цилиндр не является круговым.
В школьном курсе под термином «цилиндр» подразумевают
прямой круговой цилиндр.

Радиус каждого из оснований —
Отрезки, соединяющие соответ-
ствующие точки кругов, называ-
ются образующими цилиндра.

Образующие составляют боковую
поверхность цилиндра.

радиус цилиндра.

Цилиндр и призма схожи, но
у призмы в основаниях лежат
многоугольники, а у цилиндра —

круги. Так как круг

это пре-

Прямая,
нований

соединяющая
называется

центры ос-

осью ци-

линдра.
Высота

цилиндра

расстояние

между его основаниями.

Прямой круговой цилиндр

дельный случай многоугольника,
многие факты и теоремы для
цилиндра аналогичны тем. кото-
рые верны для призмы.

тело, которое полу-

чается при вращении прямоугольника вокруг его
стороны.

Прямая, проходящая через сторону, вокруг которой

происходит вращение

является осью цилиндра.

Противоположная ей сторона прямоуголь-
ника при вращении описывает боковую
поверхность цилиндра.

Две другие стороны при вращении описы-
вают основания цилиндра.

Длина окружности основания цилиндра:

С = 2лг.

Площадь основания цилиндра:	-ф-

5осн=^2.	*	-*•

равна произведению

Площадь боковой
длины окружности

поверхности

основания на

цилиндра

высоту цилиндра:

с

*^осн

= 2л/-А.

Площадь полной поверхности
цилиндра:

5поли =	+ 25осн = 2яг(г + А).

Объём цилиндра равен произ-
ведению площади основания
на высоту:

У-8осн-А = тгг2А.

СВОЙСТВА ПРЯМОГО

КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА
____________ J

1°. Каждая образующая цилиндра
параллельна его оси.

2". Образующие цилиндра равны
и параллельны друг другу.

3°. Длина образующей равна высоте
цилиндра.

Приведённые формулы справедливы для прямого кругового ци-

линдра.

©	2V9
CE4EHUQ ЦИЛИНДРА

Осевое сечение
ние цилиндра
проходит через

цилиндра — сече-
плоскостью, которая
ось цилиндра.

Это сечение является прямоугольни-
ком. Прямоугольник A BCD — осе-
вое сечение цилиндра (рис. а).

При сечении цилиндра плоскостью,
параллельной его основанию, в се-
чении получаем круг, равный осно-
ваниям цилиндра (рис. б).

КОНУС

«2

ь>1

а)

вершина конуса

образующая конуса

Круговой конус — тело, кото-
рое состоит из круга, точки, не
принадлежащей плоскости это-
го круга, и всех отрезков, со-
единяющих эту точку с точками
окружности.

Существуют наклонные и пря-
лмые круговые конусы.

Круг — основание кругового ко-
нуса.

Точка, не принадлежащая пло-
скости этого круга, — вершина
конуса.

Отрезки, которые соединяют вер-
шину конуса с точками окружно-
сти основания, называются обра-
зую щи ми конуса.

Образующие составляют боковую
поверхность конуса.

Прямая, соединяющая верши-
ну и центр основания, называет-
ся осью конуса.

Высота конуса — расстояние от
вершины до плоскости основания.
Прямой круговой конус — тело,
полученное при вращении прямо-
угольного треугольника вокруг его
катета.

высота конуса

,s

основание конуса

высота конуса
радиус основания

Прямой и наклонный конусы
Прямая, проходящая через катет, вокруг которо-
го происходит вращение, является осью конуса.
Другой катет при вращении описывает основа-
ние конуса. Гипотенуза при вращении описывает
боковую поверхность конуса.

кругового

СВОЙСТВА ПРЯМОГО КРУГОВОГО КОНУСА L. „

1°. Образующие конуса равны друг другу.

2°. Углы наклона образующих к основанию равны.

3°. Углы между осью и образующими равны.

4°. Ось перпендикулярна плоскости основания.

Длина окружности основания конуса:

С = 2лг.

Площадь основания конуса:

Зоей = ™'2.

Площадь боковой поверхности конуса равна
произведению половины длины окружности
основания на образующую:

S0CH=JrrZ.

Площадь полной поверхности конуса:
“^ПОЛН — *$бох + 'S’oCH ~

Объём конуса равен одной трети произведения пло-
щади основания на высоту:

1	1	9

^30СН h = ^nr2h.

3 ос 3

Приведённые формулы справедливы для прямого
конуса.

СЕЧЕНИ9 КОНУСА

Сечение конуса плоскостью, проходящей че-
рез его ось (или высоту), называется осевым
сечением конуса.

Осевое сечение
угольником, в
диаметр круга,
сечение конуса

является равнобедренным тре-
основании которого находится

Треугольник SA В
(рис. а).

осевое
При пересечении конуса любой плоскостью,
параллельной его основанию (или перпенди-
кулярной оси), получается круг (рис. б}.

УСЕЧЁННЫЙ КОНУС

★	Усечённый конус — часть конуса, распо- /	*._

ложенная между его основанием и секущей
плоскостью, параллельной основанию.

Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого
конуса, называются основаниями усечённого конуса.
Отрезок, соединяющий центры оснований, — высота.

Часть боковой поверхности исходного конуса, заключённая между
основаниями, называется боковой поверхностью.

Отрезки образующих исходно-
го конуса, заключённые между	*	s

основаниями, называются обра- *	/\

зующими усечённого конуса.	ось ' 1 '

основание конуса

СВОЙСТВА
УСЕЧЁННОГО КОНУСА

1°. Образующие усечённого ко-
нуса равны друг другу.

2°. Углы наклона образующих
к каждому основанию равны.

3°. Ось перпендикулярна пло
скостям оснований.

высота конуса
образующая

боковая поверхность

основание конуса

Усечённый конус

★	Усечённый конус — тело,
полученное вращением прямоухольной трапеции вокруг меньшей
боковой стороны.

Прямая, приходящая через меньшую боковую сторону трапеции,
является осью конуса (рис. в).

Другая боковая сторона трапеции при вра-

щении описывает боковую поверхность усе-	’""х

чённого конуса. Основания трапеции при Д. Г
вращении описывают основания усечённого /	\

конуса.	/	:	\

Соотношение между высотой, радиусами /	______ \

оснований и образующей в усечённом ко- Д'	;

нусе:	к
Площадь боковой поверхности усечённо-
го конуса равна произведению полусум-
мы длин окружностей оснований и об-
разующей:

Площадь полной поверхности усечённо-
го конуса:

^полн — ^бок +	4 ‘^1 •

Объём усечённого конуса:

r=ift(S+S1+VSS1);

Объём усечённого конуса может быть найден как разность объ-
ёмов исходного конуса и отсечённой части.

Приведенные формулы справедливы для усечённого конуса, полу-
ченного из прямого кругового конуса.

сечения усечённого КОНУСА

Осевое сечение усечённого ко-
нуса — равнобедренная тра-
пеция, образованная в ре-
зультате пересечения конуса
плоскостью, проходящей через
его ось. АВС1) — осевое сече-
ние (рис. а).

При пересечении усечённо-

го конуса любой плоскостью, параллельной его основаниям (или

Сферой называется поверхность, состоящая из
точек пространства, расположенных на дан-
ном расстоянии от данной точки.

Данная точка называется центром сферы,
данное расстояние — радиусом сферы.

Отрезок, соединяющий две точки сфе-
ры и проходящий через её центр, называет-
ся диаметром сферы (рис. в):

D-2R.
Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Центр, радиус и диаметр сферы называются центром, радиусом
и диаметром шара.

Сфера является поверхностью шара.

Сфера — тело, полученное вращением полуокружности вокруг
диаметра.

Шар — тело, полученное вращением полу-
круга вокруг диаметра.	/	'	\

Площадь поверхности сферы (шара)
(рис. г):

3 = 4тгК2.

т:	3

Объём шара: V=— л/?.

сечения ссреры и шара

Любое сечение сферы плоскостью есть окружность. Любое сече-
ние шара плоскостью — круг.	_____

Секущая плоскость, проходящая через диа-
метр, называется диаметральном.	г""----У______—

Сечение сферы диаметральной плоскостью А ___________

называется большой окружностью.	i,-'	'	!	'4

Сечение шара диаметральной плоскостью	О*------------а

называется большим кругом.	---------—/

Если секущая плоскость не проходит че- \	/

рез центр сферы (шара), то радиус сече- v	У

ния меньше радиуса сферы (шара).	——L—

При удалении секущей плоскости от центра сферы (шара) радиус
сечения уменьшается.

При подготовке к ЕГЭ следует обратить внимание на сече-
ние, которое определяется как «большой круг шара». Осо-
бенность заключается в том, что его радиус равен радиусу
шара. Знание данного факта значительно упрощает реше-
ние задач типа «Площадь большого круга шара равна 15.
Найдите площадь поверхности шара». Необходимо вспом-
нить, что площадь поверхности шара вычисляется по фор-
муле 6'11ОВ-4лЛ/, а площадь круга: SKp=nr . Поскольку
радиусы большого круга и шара равны, формулу можно
записать так: SKp=nH2. Сравнив формулы, можно заме-
тить, что площадь поверхности в 4 раза больше площади
большого круга. Получим ответ: 15 4-60.
ЧАСТИ ШАРА

★	[Паровой сегмент — часть шара, отсе-
каемая от него плоскостью.

Круг, получившийся в сечении, называет-
ся основанием сегмента.

Площадь поверхности шарового сегмента:

5пов = 2лЯЛ;	Sn0B = л(г2 + h’).

2f 1

Объём: V = 7ifr R——h .

I $ >

★	[Паровой сектор — часть шара, огра-
ниченная кривой поверхностью шарового
сегмента и конической поверхностью, ос-
нованием которой служит основание сег-
мента, а вершиной — центр шара.

Площадь поверхности шарового сектора:

2	9

Объём: V =— itR^h.

3

★	Часть шара, заключённая между двумя

секущими параллельными плоскостями

называется шаровым слоем, а поверх-
ность шарового слоя, заключённая между
секущими плоскостями, называется шаро-
вым поясом (или зоной).

Площадь поверхности шарового слоя:

£Пов = 2лЛЛ.

Объём: V ~ - лЛ‘‘ + - лI г,' + r92 Ih .

6	2 '	’

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ СФЕРЫ
И ПЛОСКОСТИ

★	Сфера и плоскость не имеют общих точек:
d>R,

где R — радиус сферы, d — расстояние от
центра сферы до плоскости а.
it Сфера и плоскость пересека-
ются по окружности:

♦ Сфера п плоскость имеют

только одну общую точку:

СВОЙСТВО КАСАТЕЛЬНОЙ
ПЛОСКОСТИ

ПРИЗНАК КАСАТЕЛЬНОЙ
ПЛОСКОСТИ

Радиус сферы, проведённый
в точку касания сферы и пло-
скости, перпендикулярен каса-
тельной плоскости.

Если радиус сферы перпендикулярен
плоскости, проходящей через его копен
и лежащей на сфере, то эта плоскость
является касательной к сфере.



В пространстве векторы и дей-
ствия с векторами определяются
так же, как и на плоскости.

Векторы называются компланар-
ными, если при откладывании
их от одной точки они будут
расположены в одной плоскости
(рис. а). Из данного определе-

ния следует несколько утверждений.

★	Любые два вектора компланарны.

★	Любые три вектора, среди кото-

рых имеются два коллинеарных век-
тора, компланарны (рис. б).

★	Если хотя бы один из трёх век-
торов нулевой, то три вектора тоже
считаются компланарными.
ПРИЗНАК КОМПЛАНАРНОСТИ ТРЁХ ВЕКТОРОВ

Обратное утверждение: если векторы

и

компланарны, а векторы

и

неколлинеарны, то вектор

можно

разложить по векторам

и

где

х, у

некоторые числа,

причём коэффициенты разложения определяются

единственным образом.

Построить

параллелепипед

идущии вдоль

суммы:

Отметить
отложить

диагона-
вектором

2)
бы

1)

и

рами.

3) Вектор

так, что-
его рёб-

ли параллелепипеда, является

произвольную
от этой точки

отрезки ОА, ОВ, ОС были

точку О
векторы

т. е. представить в виде

В,

Говорят, что вектор

если

и

некоторые

разложен по
он представ-

векторам

лен в виде:

где х, у, z

числа.
г называют

При этом числа х, у и

"ЕКОМПЛДЧАРНЫМ

ВИКТОРАМ

ПРАВИЛО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА ДЛЯ СЛОЖЕНИЯ
TPfeX НЕКОМПЛАНАРНЫХ ВЕКТОРОВ

РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО

коэффициентами разложения.

В данном случае вектор является
линейной комбинацией векторов
и




ТЕОРЕМА

Любой вектор можно разложить по трём данным некомпланарным векторам,
причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

♦	Если	РН».	то	y = Z = O.
	Если	Pi|&,	то	Х-2 = 0.
'А	Если	Р 1	то	х = у = О.

векторам
делить

Теорема о разложении векто-
ра по трём некомпланарным

позволяет

координаты

в пространстве

опре-
вектора



* ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ

6 ПРОСТРАНСТВЕ

_	—_— Z

Три попарно перпендикулярные прямые,
пересекающиеся в одной точке, с вы-
бранным направлением и единицей из-
мерения задают прямоугольную систему

координат в пространстве.

Положение точки в пространстве
определяется тремя координата-
ми М(х; у; z).

Координата точки по оси Ох на-
зывается абсциссой.

Координата точки по оси Оу на-
зывается ординатой.

Координата точки по оси Oz на-
зывается аппликатой.

Оху, Oxz, Oyz — координатные
плоскости.

ордината

М(х; у; 2)
абсцисса аппликата

ПОСТРОЕНИЕ ТОЧКИ ПО ЕЁ КООРДИНАТАМ

Остановимся подробнее на вопросе построения точки по
заданным координатам.
Если ненулевая только абсцис-	Если ненулевая только апплика-

са. го точка лежит на оси Ох	га, то точка лежит на оси О/

z	z	z

М(х;0;0) -> Ох	М(0;у;0) -> Оу	_М(0;0;2) -> Oz

Если ненулевая только ордината,
значит, точка лежит на оси Оу

Рассмотрим случай, когда точка лежит на координатной оси Визуально это легко распо-
знать и без построения, поскольку точка имеет только одну ненулевую координату,
Прежде чем отмечать точки в координатной плоскости, вспомним порядок работы с си-
стемой координат на плоскости. Для определения местоположения точки восстанавлива-
ются перпендикуляры к осям. Для пространственных изображений подобные действия не
подходят, поскольку в этом случае перпендикулярность искажается.

Заметим, что прямую, перпендикулярную оси Ох, можно охарактеризовать как парал-
лельную оси Оу, а прямую, перпендикулярную оси Оу, — как параллельную оси Ох.

F(4;-2;0); H(l;0;3); tf(0;5;-3)

Используем параллельность для построения точек,
лежащих в координатных плоскостях.

Точка Е(4;-2:0) лежит в плоскости Оху На оси
Ох отметим 4, на оси Оу — -2, построим пря-
мые, параллельные этим осям. Точка пересечения
является искомой точкой F

Точка /7(1; 0;3) лежит в плоскости Oxz. На оси
Ох отметим 1, на оси Oz — 3 и найдём точку
пересечения прямых, проходящих через эти точки
и параллельных осям Ох и Oz.

Точка /С(0;5;-3) лежит в плоскости Oyz. На оси
Оу отметим 5, на оси Oz — -3 и найдем точку
пересечения прямых, проходящих через эти точки
и параллельных осям Оу и Oz.

Построим точку /Vf(x0;y0;z0), где х0 *0; у0 #0; z0 *0.

М'(хо\уо;О) — проекция точки М на плоскость Оху.

Для точки /7(1; 0; 3) можно по-
ступить иначе: отметить на
оси Ох 1, а затем подняться
на 3 единичных отрезка вверх.
Для точки К {0,5,- 3) можно
поступить и таким образом: от
точки 5 на оси Оу опуститься
вниз на 3 единичных отрезка.

Рассмотрим общий случай, когда ни одна из коорди-
нат точки не равна нулю. Построим точку М с коорди-
натами (x0;y0;z0). Сначала построим проекцию иско-
мой точки на плоскость Оху. Затем поднимемся на
z{j единиц вверх, если z0 > 0, или опустимся вниз на
число -zQ единиц, если z0 < 0.	_________________
Построим точку Р с координатами (3 6 4) Для этого сначала построим точку с коор-
динатами (3.6 0) в плоскости Оху. Поскольку единичный отрезок равен одной клетке.

 поднимемся вверх на 4 клетки, получим искомую точку Р

КООРДИНАТЫ РЕКТОРА

координатные векторы.

вектор i направлен вдоль

оси абсцисс в положительном направ-
лении, вектор j — вдоль оси орди-

нат в положительном направлении,
вектор Z? — вдоль оси аппликат в по-

ложительном направлении.
i ± j ± k

Любой вектор в пространстве можно
разложить по координатным векторам,
коэффициенты разложения определяются
Коэффициенты разложения вектора по

единственным образом.

координатным векторам

называются координатами вектора.

ОВ{хр у}; г]}

★	Координаты равных векторов соответственно равны.

★	У противоположных векторов противоположные координаты.

★	Координаты коллинеарных векторов пропорциональны.

Рассмотрим правила, позволяющие по координатам векторов на-
ходить координаты их суммы, разности, произведения вектора на

число.

★	Каждая координата суммы двух векторов и более равна сумме

соответствующих координат этих векторов:

«{xpi/pZi}, b{x2;y2;z2

a + b{x1 + x2;y1 + y2;z1 +z2}.
★ Каждая координата разности двух векторов равна разности со-

ответствующих координат этих векторов:

°(xi W2i}> b{x2;y2-,z2}',
d-b{x1 -х2; yr -у2; z1-z2},

* Каждая координата произ-
ведения вектора на число рав-
на произведению соответствую-
щей координаты вектора на это
число:

5{х; у; г};

ka [fex; ky; kz}.

Правила позволяют определить координаты любого вектора, пред-
ставленного в виде алгебраической суммы данных векторов с из-

вестными координатами.

СРОРМУЛЫ ПРОСТЕЙШИХ ЗАДАЧ 6 КООРДИНАТАХ

Каждая координата вектора равна разности соответствующих ко-
ординат его конца и начала (рис. а):

♦	ф	’ У1’ '‘'l ) ’	(*^2 ’ У 2 ’ ^2 ) ’

+	+	АВ{х2~х1; у2~У]\z2-zx}.

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответ-
ствующих координат его концов (рис. б):

хм

Ум

_У1+У2.

Л,	’

2М

21 + 22

Координаты точки С, которая делит отрезок АВ в отношении 1
(рис. в), находятся по формулам:

‘ - 272	© Г£ОМ£Тру*

G)
 ДЛИНА ВЕКТОРА

Длина вектора a{x;y;z}
вычисляется по формуле:

Расстояние между точками Afxjj^jZj}
и В{х2; i/2;z2} вычисляется по формуле:

^(xpi/i;^)

B(x2;y2;z2)

Формулу для нахождения расстояния между точками мож-
но рассматривать через понятие длины вектора на пло-
скости. Для этого сначала находят координаты вектора,
соединяющего данные точки, причём выбор начальной
и конечной точки не имеет значения — длина отрез-
ка остаётся той же. Затем вычисляют длину полученного
вектора по стандартной формуле. Поскольку длина вектора
совпадает с длиной соответствующего отрезка, таким спо-
собом легко определить расстояние между точками в про-
странстве.

Z Найдите расстояние между точками В(2; -2;-6) и С(3;0;-4).

Для решения можно использовать готовую формулу, в результате полу-
чим вычисление:

ВС = 7(3-2)2+(0- (-2))2 + (-4 - (-6))2 = V1 + 4 + 4 = 3.

Эту же задачу можно решить и без использования готовой формулы.
Сначала найдём координаты вектора: ВС{3-2;0-(-2);-4-(-6)}, тогда
ВС{1;2;2}. Теперь по координатам можно вычислить длину вектора. Эту
формулу усвоить значительно проще, она напоминает теорему Пифагора:

ВС= ВС = >/12+22+ 22 =х/1 + 4 + 4=3.

Ответ: 3.

Скалярным произведением двух векторов называется произведе-
ние их длин на косинус угла между ними:

ab= а

bcos аЪ
С помощью скалярного произведения можно найти не толь-
ко угол между векторами, но и угол между прямыми
в пространстве, прямой и плоскостью, а также между пло-
скостями.

По знаку скалярного произведения можно

определить вид угла

между ненулевыми векторами.

Скалярное произведение а а называется скалярным
-
вектора а и обозначается а .

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины:

квадратом

_2
= а

В

прямоугольной

системе

ведение векторов

произведений соответствующих координат:

= а

-2
а

(L — ЛГ1  ЛГо “Ь i/j * У2 4-	•

0’<а<90°

90 <«<180

= 180

координат скалярное произ-
и &{х2; у2', 22] равно сумме

0°<a<18U°

Угол между векторами может быть любым из диапазона от 0 до 180
включительно. Для определения угла между векторами их следует отло-
жить от одной точки. Можно представить несколько вариантов углов в за-
висимости от расположения векторов:
★ в случае когда векторы сонаправлены (1), угол между ними равен О1";
★ острый угол (2);

★	если векторы перпендикулярны (3), угол составляет 90 ;

★	тупой угол (4);

★	если векторы противоположно направлены (5), угол между ними развёр-
нутый, т. е. равен 180 .

а

а

о=0°

а = 90

h
КОСИНУС УГЛА МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ

В некоюрых задачах требуется не только определить
вид угла между векторами, но и вычислить его ве-
личину Для решения подобных задач не нужно за-
учивать новые формулы. Можно поработать с теми,
которые уже знакомы.

alxp.ypzj, b{x2,y2,z2}

\b cos a => cosa =

Пусть даны координаты векторов. Из определения
скалярного пооизведения векторов выразим коси-
нус угла между ними.

а д = х1х2 + !/1!/1!+г1г2

р|=ч;,г+!,,2+г?
ь =\^2+J/2 + 22

Записываем в числитель скалярное произведение
в координатах, а в знаменатель — длины векторов
Мы получили формулу для вычисления косинуса
угла между векторами через их координаты. Теперь,
зная косинус, можно найти угол по таблице либо
записать ответ в виде арккосинуса

V x'f + y'l + zf л х% + yl + zj

УРЛ&т£щ£	ПрЖДЯЩЫ Ч£Р£3 AMffiQ)

Пусть А(х(); г/п;20)е a,
скости а, п [а; Ь; с] ± а, п
Так как ri 1 А В, то ri АВ - О,

произвольная точка пло-
вектор нормали к плоскости.
ТОГДа	Л п{а;Ь;с]

a(x-x0) + d(i/-i/o) + c(2-2o) = 0.

Полученное уравнение можно запи-
сать в виде:

ах + by + cz + d = 0,
где d = -(ax0+by0+cz0).

yp^£tfM£	b &Тр£з^х

Если плоскость пересекает оси координат
в точках А, В, С, то плоскость задаётся
уравнением:

*+»+£=1.

АВС

&Т£Р£оМГТРцр ©	27V
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ АО ПЛОСКОСТИ

Расстояние от точки до плоскости:
|axj + byx + czx + <7|
₽” 7а2+&2+с2 ’

где ах 4- by + cz + d = 0 — уравнение пло-
скости, (хр ух; Z]) — координаты точки.



✓ Дан прямоугольный параллелепипед ABCBA1BlC1Dl, АВ = 4, ВС = 6,

А4Х=3. Найдите расстояние от точки В до
1) Введём систему координат с началом
pa DA направим ось абсцисс, вдоль ребра
ребро DDX — ось аппликат.

2) Составим уравнение плоскости, прохо-
дящей через точки А(6; О; 0), С(0; 4; 0),
£>1(0; 0; 3).

плоскости АСВу.

в точке D, вдоль реб-
DC — ось ординат, через

6а + с? = 0,
4b + d = 0,
Зе + d = 0;

</ = -12,
а = 2,
Ь = 3,
с-4.

у: 2х + 3</ + 4г-12 = 0.

3) Найдём расстояние от точки В(6; 4; 0) до у.

вычисление углов между прямыми и плоскостями

уг(М между Прямыми

Ненулевой вектор называется направляющим
вектором прямой, если он лежит на этой
прямой или параллелен ей.

_	\xr-x2^yxy2-vz1-z2\

а= / 2	2	2	/ 2	2	2	“ КОСИНУС угла

^x‘+y‘+zf -jx22+y‘+z‘

между прямыми, где «{xj г/х; zj и b{x2;y2;z2}.


ах + by + С2 + d = 0
скости, п'•{ а', b
пендикулярный

У1; zj —
прямой.

уравнение
вектор,

плоскости (нормаль),
направляющий вектор

пло-

пер-

cos р = cos( 90° - а ) = sin а

sin а =

..г, a+ylb + zlc\

,2

1

2

синус

угла между прямой и плоскостью.

УГ^ *1£*ДУ

m 10, m{x2; у2; z2}.

cos cz =

\XfX2 + y1 y2 + z} -z2[

угла между плоскостями.

косинус



Два тела подобны, если одно из них может быть получено из

другого путём увеличения (уменьшения) всех
меров в одном и том же отношении. То есть
ют одинаковую форму, но разные размеры.

его линейных раз-
подобные тела име-

многогранника

называют-

ся подобными, если они имеют со-
ответственно равные многогранные
углы и соответственно подобные
грани:

• правильные тетраэдры (кубы, ок-
таэдры, икосаэдры, додекаэдры):

• правильные треугольные (четы-
рёхугольные, пятиугольные и т. д.)
пирамиды.

★ Два цилиндра, конуса или усечён-
ных конуса называются подобными,

если подобны их осевые сечения:
• конус и конус, полученный
параллельной основанию.

★ Любые две сферы подобны.

ТЕОРЕМА

Отношение
верхностей
гогранников

площадей по-
полобных мн о-

равно

ту коэффициента

квадра-
подобия

(или квадрату сходственных
линейных элементов много-
гранников):

q

*^пов2

сечением первого плоскостью,

дТгргоМГГРия @
ТЕОРЕМА

Отношение площадей боковых
и полных поверхностей подобных
цилиндров, конусов и усечённых
конусов равно квадрату коэффи-
циента подобия (или квадрату
их сходственных линейных элемен-
тов — радиусов оснований, высот,
образующих):
Q	С

бпк1_^2. ^полн]
С	’ Ч

бок2	*~ъолн2

♦ Любые два шара подобны.

------- ТЕОРЕМА
- _____________________

Отношение объёмов подобных тел
равно кубу коэффициента подобия
(или кубу отношения их соответ-
ствующих линейных размеров):

На ЕГЭ может встретиться такая задача: «Объём ко-
нуса равен 16. Через середину высоты параллельно
основанию конуса проведено сечение, которое является
основанием меньшего конуса с той же вершиной. Най-
дите объём меныпего конуса*. Здесь удобно применить
теорему об отношении объемов подобных тел. Исход-
ный и отсечённый конусы подобны с коэффициентом
подобия 1:2, т. е. все линейные размеры меньшего
конуса в 2 раза меньше, чем большего. Следовательно,
его объём уменьшится в 23 = 8 раз и составит
16 : 8 = 2.

✓ В сосуде,

жидкости

имеющем форму конуса, уровень

достигает высоты. Объём жидко-

О

сти равен

35 мл. Сколько миллилитров

кости нужно долить, чтобы наполнить
доверху?

жид-

сосуд

Жидкость и сосуд являются подобными

кону-

Ь 1 П

сами, причем А = Поскольку отношение
о

объёмов подобных тел равно кубу коэффициента
сосуда в 27 раз больше объёма налитой

35-27 = 945 мл. Следовательно, необходимо долить

Ответ: 910.

подобия, объём всего
жидкости и равен
945-35 = 910 мл.


Вероятностно-статистическая линия сравнительно недавно
стала полноправной частью школьной программы по ма-
тематике. Разделы по теории вероятностей, комбинаторике
и статистике входят также в программы техникумов и ву-
зов. Их изучение в школе помогает сформировать базовые
представления и способствует более осознанному усвоению
курса высшей математики в дальнейшем.

F элементы комбинаторики J/"

Комбинаторика

область математики

в которой изучаются вопросы о том
сколько различных комбинаций, под-

чиненных тем или
можно составить из
надлежащих данному

иным условиям,
элементов, при-
ми ожеству.

В некоторых случаях количество комбинаций можно опреде-
лить перебором возможных вариантов. Однако при большом
количестве элементов перебор занимает слишком много вре-
мени, при этом существует опасность потери некоторых ком-
бинаций. В таких ситуациях следует применять формулы.


Термин «комбинаторика» ввёл в обиход немецкий учёный
Г. Лейбниц в XVII в., хотя основные понятия и вычис-
лительные результаты этой области знаний были извест-
ны ещё математикам Древнего мира. В IV в. до н. э.
упоминалась классическая задача комбинаторики: «Сколь-
ко есть способов извлечь т элементов из п возможных?»
К XVII в. можно отнести рождение комбинаторики как
раздела математики. Это связано с трудами Б. Паска-
ля и П. Ферма по теории азартных игр. Окончательно
комбинаторика как самостоятельный раздел математики
оформилась в XVIII в. в трудах Л. Эйлера.



Произведение всех натуральных чисел от 1 до и включительно
называется факториалом числа п и записывается п! (читается
как «эн-факториал»):

п! = 1-2-3-...п.

Принято, что 0! = 1.

Факториал не определён для отрицательных и для нецелых чи-
сел. Факториал числа п можно выразить через факториал преды-
дущего числа:

п! = (п-1)!-п.

---------- ПРАВИЛО СУММЫ 
— -

Если элемент А можно выбрать п способами
а В — т способами, то А или В можно вы
брать (п + т) способами.

.-----©----------------------------------------------------

I J На полке стоит 30 книг, из них 20 математических, 6 технических
и 4 экономические. Сколько существует способов выбора одной мате-
матической или одной экономической книги?

Математическая книга может быть выбрана п = 20 способами, эконо-
мическая — т =4 способами.

По правилу суммы существует п + т = 20 + 4 = 24 способа выбора мате-
матической или экономической книги.

Ответ: 24.

2s0 wMeffTp роМБИНдторири, теории вероятностей...
ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Если существует п способов вы-
бора элемента А и т способов
выбора элемента В, то существу-
ет пт способов выбрать пару
А и В одновременно.

/ Сколько различных двузначных
чисел можно записать с помощью
цифр 0, 1, 2, 3?

Первой цифрой не может быть О,
п=3. Второй цифрой может быть
выбрана любая из четырёх цифр,

т -4.
чисел
равно
Ответ:

Количество двузначных
по правилу произведения
пт = 3-4 = 12.

12.

ПЕрестдноекы

Перестановкой из п элементов называется каждое расположение
этих элементов в определённом порядке. Перестановки отличают-
ся только порядком расположения элементов.

ПЕРЕСТАНОВКИ
---- С ПОВТОРЕНИЯМИ ---------

Если элемент аг повторяется
раз, элемент повторяется А 2
раз и так далее до последнего
элемента аг, который повторяется
kr раз, при этом fej+^2 + ... Агг = п,
то количество перестановок с по-
вторениями вычисляется по фор-
муле:

Z Слова составляются на основе ал-
фавита U = {a;b;c}. Сколько раз-
личных слов из 7 букв может
быть составлено, если в этих сло-
вах буква «а» должна повторять-
ся 2 раза, буква «Ь» — 1 раз,
а буква «с» — 4 раза?

В данной задаче:

ах = а, a2=b, а3=с, k^-2, А2=1,

Аз =4, п = 7.

Р7(2;1;4) = ——— = ^7=Ю5.

7	2I-1I-4!	12

Ответ: 105.

ПЕРЕСТАНОВКИ

БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ
_______________-

Если элементы в выбор-
ке не могут повторяться,
то число перестановок без
повторений из п элементов
вычисляется по формуле:

Р„=п!

четырёх

из

элементов:

значит,
становок

Р4 =41 = 4 3 2 1 = 24.

Ответ: 24.

WMcffTb	@	281

✓ Из цифр 2, 3, 4, 5, 6 составили все
возможные пятизначные числа без по-
вторяющихся цифр. Сколько среди этих
пятизначных чисел таких, которые на-
чинаются с цифры 6?

На первом месте уже стоит цифра 6,

необходимо найти число пере-
РАЗМЕЩЕНИЕ

Размещением из л элементов
но k (/? < л) называется любое
множество, состоящее из k эле-
ментов, взятых в определённом
порядке из данных и элемен-
тов. Размещения отличаются
либо порядком, либо составом
элементов. Задачи на размеще-
ния можно решать с помощью
правила произведения.

РАЗМЕЩЕНИЯ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ ]

Если элементы в выборке не мо-
гут повторяться, то число разме-
щений без повторений из п эле-
ментов по k (k < ri) вычисляется
по формуле:

Afc=- —
п (n-fe)l'

= 10 9 8-7 6 5 = 151 200.

(10-6): 4!

4 3 2 1

на каждое место или сколькими спо-

★ Способ 2.

Определим количество претендентов
собами можно выбрать предмет на
Это соответственно 10, 9. 8, 7, 6
уменьшается, т. к. уроки должны

✓ Учащиеся шестого класса изучают 10 предметов. Сколькими способами
можно составить расписание на один день из 6 различных уроков?

★ Способ 1.

1-й,
и 5
быть

произведения искомое количество равно
Ответ: 151 200.

Ajo -

2-й, 3-й, 4-й, 5-й и 6-й уроки,
предметов (количество предметов
различными). Тогда по правилу
10 9-8-7 6-5 = 151 200.

10!	10! 10-9-8-7 6 5-43-21

РАЗМЕЩЕНИЯ С ПОВТОРЕНИЯМИ

V Сколько пятизначных чисел
можно составить из цифр 1,

Если элементы в выборке могут по-
вторяться, то число размещений с по-
вторениями из п элементов по k (k<n)
вычисляется по формуле:

2, 3, если цифры
вторятьея?

★ Способ 1.

могут По-

—~к	ь

= л. «

а! = 35 = 243.

★ Способ 2.

ГОЧЕ*А^Е

Сочетанием из п элементов
по k называется любое множе-
ство, составленное из /? элемен-

Каждую цифру из пяти мож-
но выбрать тремя способами,
тогда по правилу произведе-
ния получим:

3 3 3 3 3 = 243.

Ответ: 243.

тов, выбранных из данных п элементов. Сочетания отличаются
только составом элементов, порядок неважен.
СОЧЕТАНИЯ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ

Если элементы в выборке не могут
повторяться, то число сочетаний
без повторений из п элементов
по k (k<n) вычисляется по фор-
муле:

У В классе 24 учащихся. Сколькими
способами классный руководитель
может выбрать двух дежурных?

С2 -
с24 ~

24!

24!	24 23

2!(24 —2)! 2! 22!	2 1

= 276.

C* n!

n fe!(n-fe)!'

Ответ: 276.

СОЧЕТАНИЯ С ПОВТОРЕНИЯМИ

Если элементы в выборке могут
вторяться, то число сочетаний с
вторениями из п элементов по k
числяется по формуле:

по-

по-

вы-

/ Сколько наборов из 7 пирож-
ных можно составить, если
в продаже имеется 4 вида
пирожных?

★ Способ 1.

В данном

k>n,

-k _ (п + fe-l)!

" (n-l)lfe!’

т. к.

случае

каждый

допустимо,

что

элемент исход-

ной совокупности может в сочетании
встречаться несколько раз:

с! =

8 9 10

(4-1)! 7! ' 3! 7!	12 3

★ Способ 2.

a=ci0=-1O! x

10 71(10-7)!

= 120.

-l°L=120.

7! 3!

Ответ: 120.

да

Размещения

=^n+k-l-

нет

Для выбора нужной формулы в комбинаторике необходимо
задать себе два вопроса и последовательно ответить на них.

1)	Совпадает ли количество выбираемых элементов с об-
щим количеством?

2)	Важен ли порядок расположения элементов?

Получится следующая схема:

Количество выбираемых элементов
совпадает с общим количеством?

Перестановки

нет

Важен ли порядок?

да

Сочетания

После этого остаётся только понять, возможно ли повторе-
ние. В зависимости от результата выбираем формулу с по-
вторениями или без них.

КОМБИНАТОРИКИ @	2X3 (В)

--------------- ~
ЧИСЛО СОЧЕТАНИЙ

В применении данной формулы есть одна
сложность: её необходимо знать наизусть.
Рассмотрим прием, который помогает на-
ходить число сочетаний без использования
этой формулы

Можно в числителе написать к натураль-
ных множителей, начиная с п. по убыванию,
а в знаменателе — к натуральных множителей,
начиная с 1, по возрастанию

= 100-33-19 = 161 700.

<100 -

Поясним на примере. Вычислим C^qq. В числителе
запишем три множителя, начиная с числа 100 100
99 и 98. Заметим, чго множители уменьшаются
на единицу В знаменателе запишем три множите-
ля, начиная с числа 1: 1, 2 и 3. Здесь множители
увеличиваются на единицу.

Сократим дробь и выполним
умножение. Получим 161 700. I

действий неудобен в случае
большого значения к Например,
если погребуется наити С]00,
полученная дробь будет очень
неудобна для вычислений.

| | В подобных случаях на помощь приходит свойство |
сочетаний, которое упрощает вычисление. Применим

। | это свойство для данного примера. Получим что |

I I Сдю — Эт0 то же самое, что и С,'^. результат ।
* * чего уже известен из предыдущего примера	1

Рассмотрим еще один пример Вычислим I

Заметим, что это равнозначно С?о. |

Запишем в числителе четыре множителя, на-
чиная с 20, а в знаменателе — четыре мно- I

I <>16 _ г,20-1б z«4 _ ^0 19 1817	, жителя, начиная с 1. Сократив дробь и вы-

г20=<20	=<2о=	12.3.4	=4845. полнив умножение, получим 4845
~”—-



элементы теории
вероятностей

Теория вероятностей — раздел мате-
матики, который изучает закономер-
ности случайных явлений: случай-
ные события, случайные величины,
их свойства и операции над ними.

Теория вероятностей — относительно новый раздел математики,
который не имеет ни античных, ни средневековых предшествен-
ников. Её основные понятия и методы начали формироваться
в XVII в. и были связаны прежде всего с азартными играми.
В последующем теория вероятностей получила широкое практиче-
ское применение. Существует даже так называемая «теория массо-
вого обслуживания» (или «теория очередей»), в которой использу-
ются методы теории вероятностей и математической статистики.

и	НМ ними

★ Событие называется случайным по отношению к некоторому
испытанию (опыту), если в ходе этого испытания оно может про-
изойти, а может и не произойти.

V Если испытание состоит в одном бросании игрального кубика, то воз-
можны следующие события (исходы испытания): на верхней грани
кубика окажется число 1, 2, 3, 4, 5, 6.

★ Событие называется достоверным
по отношению к некоторому испы-
танию, если в ходе этого испытания
данное событие обязательно произой-
дёт.

★ Событие называется невозможным
по отношению к некоторому испы-
танию, если в ходе этого испыта-
ния данное событие заведомо не про-
изойдёт.

✓ В случайно выбранном ме-
сяце года есть 28-е число.

V Выпадение числа 7 при
бросании игрального ку-
бика.

HeMetfTp Теории вероятностей @ 2*5
★ Несколько событий назы-
вают равновозможными, если
в результате опытов ни одно
из них не имеет большую
возможность появления, чем
другие.

Z При подбрасывании монеты оди-
наково вероятны два равновоз-
можных события: выпадение
решки и выпадение орла.

★ Два события называются несовместными, если одно из них
исключает другое в одном и том же испытании.

:-----------------$—

✓ Бросая игральный кубик, можно выделить такие события,
как выпадение чётного числа очков и выпадение нечётного
числа очков. Эти события несовместны.

★ События называются совместными, если наступление одного

из них не исключает наступления другого.

✓ Бросая игральный кубик, можно выделить такие события,
как выпадение нечётного числа очков и выпадение числа
очков, кратного 3. Эти события совместны (когда выпадает
число 3, реализуются оба события).

★ Два события называются независимыми, если появление одно-
го из них не изменяет вероятность появления другого.

✓ При подбрасывании двух монет и более вероятность выпаде-
ния орла или решки на любой монете не зависит от того,
что выпадет на других монетах.

★ События называются зависимыми, если одно из них влияет
на вероятность появления другого.

-----------------------------------------$---------

/ Если две производственные установки связаны единым
технологическим циклом, то выход из строя одной из них
зависит от того, в каком состоянии находится другая.

✓ Последовательно вынимаются две карты из колоды. Какой
будет вторая карта, зависит от того, какую карту достанут
в первый раз.

★ Событие А называется противоположным событию А, если
событие А происходит тогда и только тогда, когда не происхо-
дит событие А.
/ Событие А — ручка пишет хорошо; событие
пишет плохо или не пишет.

действия над событиями

Суммой (объединением) событий А и В называется событие, ко-

торое состоит в том, что
событий.

происходит хотя бы одно из данных

А — выпадение чётного числа, В
выпадение числа, кратного 3, в ре-
зультате одного броска игрального ку-
бика, тогда А + В — выпадение одного
из чисел 2, 3, 4, 6.

Событие, противоположное сумме событий, является произведени-
ем противоположных событий: А + В-А В,
Произведением (пересечением) событий А и В называется собы-
тие, которое состоит в том, что происходят оба эти события.

Событие, противоположное произведению событий, является сум-
мой противоположных событий: А В = А + В.

рдзличные подходы к определению
вероятности события

В теории вероятностей существует несколько подходов к объясне-
нию понятия «вероятность события».

ВАЖНО! Каким бы определением вероятности мы ни руководство-
вались, числитель дроби в формуле никогда не превысит знаме-
натель. Значит, вероятность любого события 0^Р(А)^1. Причём
Р(А) = О, если А — невозможное событие; Р(А) = 1, если А — до-
стоверное событие.

Теории еероггщостей @ 2*7 О)

------------==—^	@


Вероятностью события А назы-

вают отношение
ствующих этому
ходов к общему
равновозможных
исходов:

благоприят-
событию ис-

числу всех
несовместных

Р(4)=т-

п

где m —
событий,
событию А;

число элементарных
благоприятствующих

общее число

всех элементарных событий.

$£р&ф№Уь

Относительной частотой собы-
тия, или просто частотой, на-
зывается отношение числа опы-
тов, в которых появилось это
событие (лг), к числу всех про-
изведённых опытов (п).

Обозначим частоту события А
через W(A), тогда по определе-
нию:

m
W(A)= —
п

Ответ: 0,4.

г.

них

частоту рождения
округлите до ты-

было
тыся-

относительную
девочек. Ответ
сячных.

Относительная

в Российской Федерации

зарегистрировано 1481
ча новорождённых, из

частота равна

ж=ш = 1481 762= 719
п 1481	1481

На детском празднике 6 девочек
и 9 мальчиков. По жребию опре-
деляется один ведущий в игре.
Какова вероятность того, что это
будет девочка?

Найдём общее количество детей:
6 + 9 = 15. Тогда искомая вероят-
ность по формуле классической
п m 6 пл
вероятности равна г’ = — = —— = 0,4.

ZZ- 15

<✓ По данным Росстата, в 2019

762 тысячи мальчиков. Найдите

Ответ: 0,485.

При достаточно большом числе произведённых опытов отно-
сительная частота изменяется мало, колеблясь около одного
числа. Это свойство называется свойством устойчивости отно-
сительной частоты.

п



Геометрической

вероятностью

Ц(П)

события А называется отноше-
ние меры области, благопри-
ятствующей появлению собы-
тия А, к мере всей области:

В

качестве меры могут высту-

пать длины отрезков, площади,
объём ы.
квадрат со стороной 50 бросается точка. Найдите вероятность
её попадания в круг, вписанный в квадрат.

Радиус круга равен половине стороны квадрата, т. е. R = 25.

g(A) = SKpyra =лЯ2 =625я;	ц(О) = 5квад = а2 =502 =2500.

Значит, р(Л) = 625я = —
2500 4

Ответ: —.

4

Каждое из определений вероятности используется
в зависимости от характера рассматриваемого
события. Вероятность понимается как мера
случайного события, поэтому выбор подхода
определяется условиями задачи. Среди
определений нельзя выделить лучшее или
худшее — каждое применяется в своих условиях.
Однако при решении школьных задач чаще всего
используется классическая вероятность.

основные теоремы о вероятностях

Сумма вероятностей противоположных событий
равна 1:

Р(А) + Р(Л) = 1.

V Вероятность того, что случайно взятая из партии деталь будет ве-
сить более 12 г, равна 0,016. Найдите вероятность того, что деталь
будет весить 12 г или менее.

События «деталь весит больше 12 г» и «деталь весит 12 г и ме-
нее» являются противоположными. Р = 1 - 0,016 = 0,984.

Ответ: 0,984.
★ Если
ные, то

события А и В несовмест-
вероятность того, что насту-

Теорема
любого
вместных

справедлива для
количества несо-
событий.

пит хотя бы одно из двух событий
равна сумме их вероятностей:

Р(А + В) = Р(А)+Р(В),

Z На экзамене по аналитической геометрии студенту достаётся одна за-
дача из сборника. Вероятность того, что это задача по теме «Кониче-
ские сечения», равна 0,15. Вероятность того, что это задача по теме
«Уравнения прямой на плоскости», равна 0,3. В сборнике нет задач,
которые одновременно относятся к этим двум темам. Какова веро-
ятность того, что на экзамене студенту достанется задача по одной
из этих двух тем?
Р = 0,15 + 0,3 = 0,45.
Ответ: 0,45.

★ Если события А и В совместные, то вероятность их суммы
равна:

Р(А + В) = Р( А) + Р(В)-Р(АВ).

•J Боря выступает на соревнованиях по спортивной гимнастике. Вероят-
ность того, что он потянет ногу, равна 0,1, а вероятность того, что
он вывихнет плечо, равна 0,05. Обычно, даже получив повреждения,
Боря не подаёт виду, так что вероятность потянуть ногу и вывихнуть
плечо за одни соревнования составляет 0,04. Какова вероятность того,
что соревнования пройдут для Бори без таких травм?

Вероятность наступления по крайней мере одного из двух событий
равна Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = 0,1 + 0,05 - 0,04 = 0,11.

Следовательно, вероятность не получить ни одной травмы равна
1-Р(А + В) = 1-0,11 = 0,89.

Ответ: 0,89.



★ Если события А и В независимы,
то вероятность одновременного насту-
пления обоих событий равна произ-
ведению их вероятностей:

Теорема справедлива для
любого количества независи-
мых событий.

Р(АВ) = Р(А) Р(В).


J В кафе три официанта. Каждый из них занят с клиентом с вероят-
ностью 0,6. Найдите вероятность того, что в случайный момент вре-
мени все три официанта заняты одновременно.

Вероятность произведения независимых событий равна произведению
вероятностей этих событий, поэтому вероятность того, что все три
официанта заняты, равна 0,6 0,6 0,6 = 0,216.

Ответ: 0,216.

★ Событие, противоположное сумме событий, равно
произведению противоположных событий, т. е.

J В бизнес-центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность
того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,45. Вероят-
ность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите

вероятность того, что к концу дня кофе останется в

Введём обозначения событий:
те, В — кофе закончится во
кончится в обоих автоматах,
те, В — кофе останется во

А — кофе закончится
втором автомате. Тогда
А — кофе останется
втором автомате, А В

обоих автоматах.

в первом автома-
А В — кофе за-
в первом автома-
— кофе останется

в обоих автоматах.

Так как А + В = А В, то сначала найдём вероятность

события А + В

кофе закончится хотя бы в одном автомате.

Р( А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = 0,45 + 0,45 - 0,2 = 0,7.

Следовательно,	Р(Д + В) = 1 — Р(А + В) = 1 — 0,7 = 0,3. Данная вероят-

ность равна искомой.

Ответ: 0,3.	____——

★ Если события А и В зависимы, то вероят-

ность произведения двух событий равна:

Р(АВ)=Р(А) Р(В\А)

СЛЕДСТВИЕ

при условии, что первое событие произошло.

✓ Какова вероятность того, что две кар-
ты, последовательно вынутые из коло-
ды в 36 карт, окажутся масти пики?
Пусть А — появление первой карты
масти пики, В — появление второй
карты той же масти. Событие В за-
висит от события А, т. к. его веро-
ятность меняется от того, произошло
или нет событие А.

Р(А) = -,Р(В А) = -^~ (после вы-
4	35

нимания первой карты осталось
35 карт, из них той же масти,
что и первая, — 8).

Р(А В) = - —= —

4 35 35

„	2

Ответ: —.

35
На ЕГЭ может встретиться такая задача: «Па диаграмме Эйлера пока-
заны события Л и В в некотором случайном эксперименте, в котором
10 равновозможных элементарных событий. Элементарные события пока-
заны точками. Найдите Р(В|А) — условную вероятность события В при
условии А».

Разберёмся. как в данном случае можно использовать формулу
Р(В|Д) = ^-51.

Р(А)

Начнём с числителя. В нём записана вероятность произведения двух со-
бытий. На диаграмме Эйлера произведение событий — это пересечение
событий А и В, содержащее 3 точки, т. е. 3 элементарных события,
3

а всего событий 10. Значит, Р(В А) = —. Событие А включает в себя

4 элементарных события (1 точка слева и 3 — на пересечении с В).

4	3 4 3

Следовательно, Р(А) = —. Тогда получим, что Р(В|А) = -	- = — = 0,75.

ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ

Два события могут быть зависимыми или независимыми

События А и В являются независимыми, если вероятность насту-
пления любого из них не зависит от появления другого события
Событие В называется зависимым от события Д, если вероятность
наступления события В зависит от появления или непоявления со-
бытия А

Например, если из колоды последовательно
вытаскиваются две карты, вероятность собы-
тия «вторая карта является тузим» зависит
от того, какую каргу достанут в первый раз.

Для зависимых событий используют по-
нятие условной вероятности

Условной вероятностью называют ве-
роятность события В вычисленную
в предположении, что событие А уже
наступило
—

Р(В\А) = Р(В / А) = РЛ(В)

Существуют разные обозначения услов-
ной вероятности. Данная запись читает-
ся как «вероятность события В при ус-
ловии, что событие А произошло» или
«вероятность В при условии Д».

292	©	Т£ОрЩ4 e^ffTtfOCTCH
Если событие Д может произойти при выполнении одною из событий Hv Н?.. Нп, кото-
рые образуют полную группу несовместных событий, го вероятность события А вычисля-
ется по формуле

р(А) = р(А\Н1}р(Н1)+р(А\Н2)р(Н2)+... + р(А\Нп)р(Нп\	Ж Ж

----------------*

ГИПОТЕЗА	*	*

Рассмотрим событие А Пусть оно может произойти при выполнении одною из событий
НУ,Н2. Нп, образующих полную группу несовместных событий. Тогда вероятность собы-
тия А вычисляется пс- формуле, которая может содержать любое количество слагаемых
События Н],Н?. Нп называют гипотезами

Г — — — — — — — — — —------------------------------— — — — — — _

. Ковбой Билл попадает в цель с вероятностью 0.9. если стреляет из пристрелян-
I ного револьвера. Если Билл стреляет из неприсгрелянмого револьвера, то вероят-
 ность поражения цели равна 0.4 Из ружья Билл попадает с вероятностью 0.7.
I В ящике лежит 5 пристрелянных револьверов. 2 — непристрелянных и 3 ружья
I Ковбой Билл берёт не глядя оружие и стреляет. Какова вероятность того, что он
поразит цель?

L ___ ____ ___ ___ ___ ___ ___ ____ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ____ ___ ___ ___ _

СПОСОБ

ковбой Билл поразил цель;	I

। Н| — ковбою достался пристрелянный револьвер. 1

• Н? — ковбою достался непристрелянный револь- г .

I вер;	| I

А73 — ковбою досталось ружьё.	L_

Р(Я1)="10 0,5;	Р(А!Н1)=0.9: |
Р(яг)=^=о,2;	Р(А|Я2) = 0,4;
р(н3)=А=о,з.	Р(А|Н3) = 0,7. I  	 	 	 	 _1

по формуле класси-

Решим задачу с помощью формулы полной
I вероятности Введем следующие обозначе-

ния событий: А — ковбой Билл поразил
цель. От чего будет зависеть поражение

цели9 Конечно, от того, какое оружие по-
падется ковбою, поэтому пусть событие

H-f заключается в том. что ковбою достал-
ся пристрелянный револьвер, Н2 — ков-
бою достался непристрелянный револьвер,
Н3 — ковбою досталось ружьё.

В ящике лежит 5 пристрелянных револь-
веров, 2 — непристрелянных и 3 ружья,
т е. всего 10 единиц оружия. Тогда от-

дельные вероятности по формуле класси-
ческой вероятности равны соогнетственнс |

0,5, 0,2 и 0.3.

Запишем условные вероятности, исходя

из текста задачи. Вероятность поражения
цели при условии, что ковбой стрелял из

пристрелянного револьвера, составляет 0,9.
Вероятность поражения цели при условии,
что ковбой стрелял из непристрелянного
револьнера. — 0 4 Ворон)ность поражения
цели при условии, что ковбой стрелял из
ружья. — 0.7.

Z Z ============= = =G = = п
p{A) = p(A\H})p(Hl) + p(A\H2)p(H2)^p(A\Hii)p(H3)	I

р(А) = 0,5 0,9 + 0,2 0,4 + 0,3 0,7 = 0,45 + 0,08 + 0,21 = 0,74.	Ответ: 0,74. j

Воспользуемся формулой полной вероятности. Выполним все вычисления, получим 0.74

WMtffTbi теории реро^щостей © 2^з
II

СПОСОБ

0,2

Пристрелянный револьвер

Попадание

Промах

0,5 0,9 = 0,45;

Непристрелянный револьвер

Промах

ВЫБОР ОРУЖИЯ

0,3

Ружье

Промах

Попадание

0,3-0,7 = 0,21;

Попадание

0,2 0.4=0,08;

0,45 + 0,08+0,21 = 0,74. Ответ: 0,74.

' Если условные вероятности и формула
। полной вероятности трудны для восприя-
I тия, то можно решать задачу, применяя
теоремы об умножении и сложении веро-
| ятностей

Для решения данным способом оформим
I краткую запись в виде дереза возмож-
I ных вариантов. Можно выбрать один из
трёх видов оружия и из каждою попасть
I или промахнуться. Пи условию Биллу мо-
1 жет достаться любое оружие. По формуле
. классической вероятности имеем веро-
I ятность 0 5 — пристрелянный револьвер

(5 из 10), 0,2 — непристрелянный револь-
L _____ _____ ____ _____ ____ _____ _____

вер (2 из 10), 0,3 — ружьё (3 из 10).
Нас интересует только поражение цели ।
Согласно условию, вероятность попадания I
из каждого оружия составляет соответ-
ственно 0,9; 0,4 и 0,7
Чтобы найти вероятность попадания из
пристрелянного револьвера, вероятности 
надо перемножить. Подобным образом |
найдём вероятность попадания из непри-
стрелянного револьвера, а затем — веро- I
ятность попадания из ружья.	1

Поскольку нас устраивает любой из пере- .
численных вариантов, найденные вероятно- |
сти следует сложить Получим 0,74.

___ _____ _____ ____ _____ _____ _____ _1

✓ Детали производятся двумя автоматами. Вероятность изготовления 1

стандартной детали первым автоматом равна 0,8, вероятность из-
готовления вторым автоматом — 0,9. Первый автомат производит
60 % всех деталей, второй — 40 %. Найдите вероятность того, что
наугад выбранная деталь окажется стандартной.

Пусть событие А — деталь признана стандартной.

Введём систему гипотез: Нг — деталь была произведена на первом
автомате, Н2 — деталь была произведена па втором автомате.

Из условия: р(И1) = 0,6. р(7/2)-0,4, р(А\Н1)-0,8, р(А|Я2) = 0,9.

По формуле классической вероятности получим:

р( А) = р(А | Wj) р(Я]) + р( А |	) • р(Я2) = 0.8 0.6 + 0.9 0,4 = 0,84.

Ответ: 0,84.



Следствием теоремы умножения
вероятностей и формулы полной
вероятности является формула
Байеса:

/.(4|ZZft)j>(ZZ*)
Pt А)



294 ©	РОМВИ/ГДГОРИРИ. Тсерми КрОЯТНОСТСИ
✓ При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправ-
ляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест под-
тверждает его в 86 % случаев. Если заболевания нет, то тест выяв-
ляет отсутствие заболевания в среднем в 94 % случаев. Известно, что
5 % пациентов, поступающих с подозрением на заболевание, действи-
тельно больны. При обследовании некоторого пациента врач направил
его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероят-
ность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

Пусть событие А — ПЦР-тест оказался положительным.

Введём систему гипотез: Ну — пациент болен, Н2 — пациент здоров.
Из условия: р(Н]) = 0,05, р(Н2) = 1-0,05 = 0,95, p(Al/41) = 0,86,
р(А\Н2)~ 1-0,94•=• 0,06. По формуле полной вероятности получим:
р(А) = р( А | Ну)р(Ну) + р(А Н2) р(Н2) = 0,86 0,05+ 0,06 0,95 = 0,1.
Тогда по формуле Байеса искомая вероятность равна:

° 6
е

p(dP^i) O6J).05

Р(#1|Л)=

= 0,43.

0,1

P(A)

Ответ: 0,43.

✓ Монета брошена 5 раз. Какова



Пусть вероятность появления

события А
постоянна
вероятность
зависимых

в
и

каждом

равна

ТОГО, ЧТО

Р-
в

испытаниях

тие А появится ровно

опыте
Тогда
п не-
собы-
k раз,

рассчитывается по формуле:



где С*

вероятность
дет ровно 3
По формуле

того, что орёл вы па-
раза?

для схемы Бернулли:

P5(3) = C5W =

5 4 3 (1 ]3(

10	5

32 16

л 5

Ответ: —

16

число сочетаний, q = 1 - р.

12 3

1 f

2

Отличительной особенностью задач на применение схемы Бер-
нулли является неопределённое место успешных исходов в серии
испытаний. Например, надо найти вероятность двух попаданий
из пяти. Но это может быть первое и второе попадание, второе
и третье и т. д.

Сравним две задачи.

Задача 1. Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько
раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше веро
ятности события «выпадет ровно 4 орла»?

Задача 2. Биатлонист
попадания в мишень
вероятность того, что
ни, а последние 2 —

5 раз стреляет по мишеням. Вероятность
при одном выстреле равна 0,8. Найдите
биатлонист первые 3 раза попал в мише-
промахнулся.
В задаче 1 нужно определить вероятность пяти и четырёх успехов из деся-
ти, но неизвестно, когда это наступает, поэтому для решения используется
формула Бернулли, где р-0,5, q = 1- 0,5 = 0,5.

Р (Ы-С5 п5 о5-10 9 8 7-6 0 55 q 55_10 Э 8-7-6	10

Рю(5)-С10 р q - 12345	0,5 - х 2 3 4 5 0,5 .

PloW=Cfo р* / = “ —	0,5- 0,56 = 10'9'8'7 0,5й.

10 |и	1 2 3 4	1 2 3 4

Нет необходимости торопиться вычислять. Можно заме-
6

тить, что все, кроме —, сократится при вычислении от-
5

ношения: Л0^) = 6 = 1 2.

Ло(4) 5

Из условия задачи 2 точно известно, когда происходит

успех, а когда

неудача, поэтому для решения нужно

воспользоваться теоремой об умножении событий. Если ве-
роятность попадания равна 0,8, то вероятность промаха
составляет 1-0,8 = 0,2. Тогда искомая вероятность будет
равна 0,8 0,8 0,8 0,2 0,2 = 0,02048.

элементы статистики

Статистика занимается сбором, пред-
ставлением (в виде таблиц, диаграмм,
графиков и др.) и анализом информа-
ции о различных случайных величинах.



Случайная величина — это величина, которая в результате ис-
пытания может принять то или иное значение, причём заранее
неизвестно, какое именно.

Дискретная случайная величина — величина, которая в резуль-
тате испытания может принимать определённые значения с опре-
делённой вероятностью, т. е. образовывать счётное множество.
Элементы множества можно пронумеровать. Опи могут быть как
конечными, так и бесконечными.

✓ Количество выстрелов до первого попадания в цель.

✓ Число выпавших орлов при подбрасывании монеты.

✓ Число вызовов, поступающих на автоматическую телефонную станцию.

Непрерывная случайная величи-
на — величина, которая может
принимать любые значения из не-
которого конечного или бесконеч-
ного промежутка. Количество воз-
можных значений непрерывной
случайной величины бесконечно.

✓ Время службы часов.

✓ Расстояние, которое проле-
тит снаряд при выстреле.

ТАБЛИЦЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Для наглядности распределение случайной величины записывают
в таблицу. При этом используют следующие обозначения: X —
случайная величина, Xj,X2...Xv — значения случайной величи-
ны, /V — количество испытаний.

ТА&МЦА РА&ПР£Д£Л£^ Ю

Plt P2...PN — соответствующие вероятности.

КОНТРОЛЬ

X	*1	Х2	...	
р	л	?2	...	

РАгПР£Д£Л£МлЯ /де ЧАСТЯМ

д + р2 4 • • • + Л, -1

Мг, M2...MN — соответствующие абсолютные частоты (частоты).

X	*1	Х2	...	XN
м	Ml	м2	...	

рбДйЦЛ РА£ПР£Д£№№& /де	ЧАеТ&Г'М

КОНТРОЛЬ

m1+m2+...+mw=n

Ир W2...WN — соответствующие относительные частоты (частости).

X	Хг	x2	...	xN
w=— N	Wl	W2	...	WN

КОНТРОЛЬ

W, + W2+... + l^ =1
J ГРАРРЦЧЕСХОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН^ Ч,

На практике после составления таблиц распределения для боль-
шей наглядности распределение данных представляют в виде по-
лигона или гистограммы.

nCWfrf ЧАСТЯТ

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют
точки (XpMJ, (Х2;М2)... (XV;MV).

Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают
значения случайной величины Хр а на оси ординат — соответ-
ствующие им частоты М-. Точки (Х,;Л/,) соединяют отрезками
прямых и получают полигон частот.

✓ Таблица распределения по частотам:



Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки ко-
торой соединяют точки (Хр W,), (Х2; W2)... (XN; И\.).

Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс
откладывают значения случайной величины Xt, а на оси орди-
нат — соответствующие им относительные частоты И’,. Точки
(Хр1У{) соединяют отрезками прямых и получают полигон отно-

сительных частот.

29i	(§	КОМБИНАТОРИКИ, ТСОрИИ в£рояТНоСТ£И

® _---------------------------


Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую
из прямоугольников, основаниями которых служат частичные
интервалы длиной ht, а высоты (в случае равных интервалов)
должны быть пропорциональны частотам М(.

При построении гистограммы с неравными интервалами по оси
ординат наносят не частоты, а плотность частоты —-. Это не-

обходимо сделать, чтобы устранить влияние величины интервала
на распределение и иметь возможность сравнивать частоты.

✓ Таблица распределения по частотам:

	1—5	5—9	9—13	13—17	17—21
м	10	20	50	12	8
м h	2,5	5	12,5	3	2

ct/wcthw @
Термин «гистограмма» был введён английским стати-
стиком К. Пирсоном для обозначения «общей формы
графического представления» в конце XIX в., одна-
ко столбчатые диаграммы начали использовать задолго
до появления определяющего термина. Гистограммы по-
зволяют визуализировать данные, поэтому они получили
широкое применение не только в статистике, но и в дру-
гих научных областях и сферах жизнедеятельности чело-
века.

ч^ТУТ

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигу-
ру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат
частичные интервалы длиной hif а высоты (в случае равных ин-
тервалов) должны быть пропорциональны относительным часто-
там Wt.

При построении гистограммы с неравными интервалами по оси
ординат наносят не частоты, а плотность относительной ча-
W

стоты ——. Это нужно сделать, чтобы устранить влияние величи-
hi

вы интервала на распределение и иметь возможность сравнивать
относительные частоты.

✓ Таблица распределения по относительным частотам:

	0—5	5—10	10—15	15—20	20—25
W	0,12	0,2	0,16	0,32	0,2

Гистограмма относительных частот:
И’ А
Числовые характеристики случай-
ных величин лучше рассматри-
вать на примере задачи (см. блок
справа).

Мода — значение случайной ве-
личины, имеющее наибольшую
частоту в рассматриваемой выбор-
ке. Выборка может иметь более
одной моды.

ОБОЗНАЧЕНИЕ I Ми

Медиана — значение случайной
величины, разделяющее упорядо-
ченную выборку на две равные
по количеству данных части.

ОБОЗНАЧЕНИЕ

★ Если в упорядоченной выбор-

ке нечётное количество данных,
то медиана равна серединному из
них.

★ Если в упорядоченной выборке
чётное количество данных, то ме-
диана равна среднему арифметиче-
скому двух серединных чисел.

Среднее (среднее арифметическое)
выборки — число, равное отно-
шению суммы всех чисел выборки
к их количеству.

-----(О-----------------—

✓ Десять учащихся 9 «А» класса
при сдаче ОГЭ по математике
набрали следующие баллы: 84,
36, 56, 64, 27, 60. 64, 72,
56, 64.

В рассматриваемом примере
три раза встречается число 64,
два раза — 56, все остальные
числа встречаются по одному
разу. Значит, Л4о = 64.

Представим полученные дан-
ные в виде упорядоченного
ряда чисел (запишем в поряд-
ке возрастания):

27, 36, 56, 56, 60, 64, 64, 64, 72, 84.

ФОРМУЛЫ СРЕДНЕГО
АРИФМЕТИЧЕСКОГО ВЫБОРКИ

- А 1 +	+.. . + XN

М] + М2 +... + м л

где X/ — значения случайной
величины, Mj — соответствую-
щие частоты.

= 84+36+56+64+27+60+64+72+56+64

- — = 58.3.

10

Разность наибольшего и наименьшего значений случайной вели-
чины выборки называют её размахом. 

ОБОЗНАЧЕНИЕ
И ФОРМУЛА

max &min тогда 7? - Xmax Xmjn — 84 27 —5i.

max Amin
Отклонением от среднего называется разность между рассматри-
ваемым значением случайной величины и средним значением вы-
борки.

Среднее арифметическое квадратов отклонений называется диспер-
сией.

— ОБОЗНАЧЕНИЕ И ФОРМУЛЫ ДИСПЕРСИИ

р = (Х1	А')2

N

D =	Mi+(X2-X)2-.V/2 + ...+(X,t-X)2 мп

-Vj + Ип +... + XI п

У D = ((27-58,3)2 1 + (36-58,3)2 1 + (56-58,3)2 2+(60-58,3)2-1 +
+(64-58,3)2 -3*(72-58,3)2 1 +(84-58,3)2 1) :10 = 243,61.

Математическое ожидание — наиболее распространённая характе-
ристика выборки значений случайной величины для случая, ког-
да известно распределение по вероятностям.

Пусть распределение некоторой случайной величины X по веро-
ятностям Р задано таблицей.

X		*2		
р	Pv	^2		Рп

Тогда число Е называется математическим ожиданием случайной
величины X и вычисляется по формуле:

Е=Х. Р, +Аг2 Р-+...+Х, -Р.
I J.	II II

•/ X — сумма чисел, появившихся при бросании двух игральных
тетраэдров, грани которых пронумерованы от 1 до 4.
Таблица распределения по вероятностям представлена ниже.

X	2	3	4	5	6	7	8
	1	2	3	4	3	2	1
р	-	 		f			1		м	— »
	16	16	16	16	16	16	16

Математическое ожидание:
Понятие математического ожидания широко используется в тео-

рии игр.
★ Игра
★ Игра
★ Игра

называется справедливой, если Е-0.

называется выгодной для первого игрока, если Е>0.

называется невыгодной для первого игрока, если Е<0.

При подготовке к ЕГЭ может встретиться задача, в которой нужно
найти математическое ожидание, но неизвестны вероятности, напри-
мер такая: «В таблице показано количество билетов и возможные
выигрыши беспроигрышной денежной лотереи. Цена билета лотереи
равна 200 рублей. Всего выпущено 1000 билетов. Участник поку-

пает

чем

Для

один случайный билет. На сколько рублей цепа билета выше,
математическое ожидание выигрыша?»

Выигрыш	20	500	5000	10 000
Количество билетов	850	145	4	1

вычисления вероятности следует вспомнить определение клас-

сической вероятности и разделить благоприятные исходы на всевоз-

можные. Билетов с выигрышем 20 рублей

850 штук, значит,

„ г	850

вероятность купить такой билет равна ^qqq~‘ Рассуждая далее по-
добным образом, составим таблицу распределения по вероятностям.

Выигрыш (X)	50	500	5000	10 000
Вероятность (Р)	852  1000	145  1000	4	1
			1000	1000

Теперь воспользуемся формулой для математического ожидания:

Я = 50

-8— +500 215-+ 5000—^—+10 000—-

1000

1000

1000

1000

= 145.

Получается,
200-145=55
Полученный

что цена билета будет
рублей.

результат показывает, что, хотя

выше на сумму

лотерея и беспрои-

грышная, каждый раз, покупая билет, участник в среднем будет
терять 55 рублей.


ТАБЛИЦЫ КВАДРАТОВ S
ы степеней

Таблица квадратов

Десятки	Единицы				
	0	1	2	3	4
1	100	121	144	169	196
2	100	441	484	529	576
3	900	961	1024	1089	1156
4	1600	1681	1764	1849	1936
5	2500	2601	2704	2809	2916
6	3600	3721	3844	3969	4096
7	4900	5041	5184	5329	5476
8	6400	6561	6724	6889	7056
9	8100	8281	8464	8649	8836

Десятки	Единицы				
	5	6	7	8	9
1	225	256	289	324	361.
2	625	676	729	784	841
3	1225	1296	1369	1444	1521
4	2025	2116	2209	2304	2401
5	3025	3136	3249	3364	3481
6	4225	4356	4489	4624	4761
7	5625	5776	5929	6084	6241
8	7225	7396	7569	7744	7921
9	9025	9216	9409	9604	9801

з&4 © приложение
Таблица степеней

а"	Значения л					
	1	2	3	4	5	6
2n	2	4	8	16	32	64
3"	3	9	27	81	243	729
Дп	4	16	64	256	1024	4096
5"	5	25	125	625	3125	15 625
6"	6	36	216	1296	7776	46 656
	7	19	343	2401	16 807	\ /  -©г  / х
8П	8	64	512	4096	32 768	
9"	9	81	729	6561	59 049	

л"	Значения л			
	7	8	9	10
2*	128	256	512	1024
3"	2187	6561	19 683	59 049

ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО
умножения

Формулы для квадратов	Формулы для кубов
Квадрат суммы: (а + Ь)2 = а2 + 2ab + b2	Куб суммы:  (а + Ь)3 = а3 + За2Ь + ЗаЬ2 + Ь3
Квадрат разности: (a-fe)2 -а2 - 2ab + b'	Куб разности:  (а - &)3 = а3 - За2& + ЗаЬ2 - Ь3
Разность квадратов: а2 - b2 =(a-b)(a + b)	Разность кубов:  а3-Ь3 = (а -&)(а ’ + ah + b'')
ВАЖНО! На множестве действительных чисел сумму квадратов а~+Ь2 нельзя представить в виде произведения	Сумма кубов:  a3+ b3 =(a + b)(a2-ab+Ь2)

ФормуtQKPAti,£tfflt>ro yMtfo*£tt№ © 30V (s')
решение задач
с экономическим
содержанием

ЗАДАЧ U ЦА

В мировой практике существует два способа погашения кредитов:
дифференцированный и аннуитетный.

В случае применения дифференцированного способа периодиче-
ский платёж включает постоянную сумму для погашения основ-
ного долга по кредиту, к которой прибавляются проценты на
оставшуюся часть долга. При такой схеме погашения кредита
платежи разные. Задачи на дифференцированные платежи мож-
но распознать по фразам «долг уменьшается равномерно», «долг
уменьшается на одну и ту же величину», «долг должен быть на
одну и ту же сумму меньше долга предыдущего года».

При погашении кредита аннуитетным способом кредит выпла-
чивается равными платежами. Задачи на аннуитетные платежи
можно распознать по фразе «долг выплачивается равными плате-
жами».

ВАЖНО! Если некоторая величина S увеличилась
( X ]

на х%, то она будет равна	1 + —— Р*

I МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
/	НА АННУИТЕТНЫЕ ПЛАТЕЖИ

Введём обозначения: S — размер кредита, г —
ка, р — ежегодные (ежемесячные) выплаты, п
г
срок кредитования. Пусть ос = 1+у^.

Через 1 год: aS-p.

Через 2 гола: (aS-р)а-p = a2S-ap-р.

Через 3 года: (a‘’S-ap-p)a-p = a'iS-a*’p-ap- р

процентная став-
лет (месяцев) —

Через п лет кредит будет погашен, поэтому:

(ап 1S-an 2р-,..-ар -р)а-р-0 « anS-an 1 р-...-а2р-ар-р-0.

anS-p(an 1+...+а2+а+1) = 0 или anS-р(\ + а + а~ + ... + ап1) = 0.

Me @
В скобках записана сумма п первых членов геометрической про-
грессии. Вычислим её по формуле Sn = —. (В случае когда
<7-1

срок кредита известен и невелик, можно обойтись без данного
п	Ot” — 1

преобразования.) Тогда ос S-p------= 0.

ос-1

Далее в зависимости от условия и вопроса задачи выражается
искомая величина.

Тогда a4S - р——- = 0.
a-1

В скобках записана сумма четырёх членов геометрической
Вычислим ее по формуле Ьп =—--------—.

прогрессии.

Z 13 января 2010 г. Максим взял в банке кредит на открытие малого
бизнеса под 10 % годовых. Условия кредитования таковы: 13 января
каждого следующего года банк увеличивает долг на 10 %, 15 января
нужно перевести платёж в размере 292 820 рублей. Найдите сумму, ко-
торую Максим взял в кредит, если известно, что кредит был погашен
за 4 года.

Введём обозначения: S руб. — размер кредита, 1<С<4 — процентная
ставка, р = 292 820 руб. — ежегодные платежи, п-4 года — срок кре-
г

дитования. Пусть a = l + j^ = l,l.

Через 1 год: aS-p.

Через 2 года: (aS-р)а-p = a~S-ap-р.	+

Через 3 года: (a2S-ap-p)a-p = a3S-a2p-ap-р.

Через 4 года кредит был погашен: (a3S-a‘ р-ар-р)а-р = 0 <=>
<=>a4S-a3p-a2p-ap-p = 0.	♦

a4S-p(a3 +a2 + a+l) = 0, или a4S-p(l + a + a2 + a3) = 0.	+

г,	г, о Р(«4-1) 292 820 0,4641

Выразим S: S = —-------= ———-----------= 928 200 (руб.)

a (а-1)	1,4641 0,1

Ответ: 928 200 рублей.

Если выплаты совершаются не ежегодно (ежемесячно), но они
равны, можно использовать модель решения задачи на аннуитет-
ные платежи, вычитая р (выплату) только в том случае, когда
она совершалась по условию задачи.
J Дмитрий Казимирович взял кредит в банке на 4 года на сумму
7 320 000 рублей. Условия возврата кредита таковы: в конце каждого
года банк увеличивает текущую сумму долга на 20 %. Дмитрий Ка-
зимирович хочет выплатить весь долг двумя равными платежами —
в конце второго и четвёртого годов. При этом платежи в каждом
случае выплачиваются после начисления процентов. Сколько рублей
составит каждый из этих платежей?

Введём обозначения: S = 7 320 000 руб. — размер кредита, г = 20 % —
процентная ставка, р руб. — равные платежи в конце второго и чет-
г

вёртого годов. Пусть а = 1 + у^=1,2.

Через 1 год: aS.

Через 2 года: a2S-p.

Через 3 года: (a2S- p)a = a3S-ap.

Через 4 года кредит будет погашен: (a3S-ap)a-p = 0«a4S-a2p-/> = 0.

Подставим известные значения: 1,24-7 320 000-1,22р-р = 0=>
=>2,44р = 7 320 000 1,24 => р = 6220800 (руб.).

Ответ: 6 220 800 рублей.

мдтемдтыческАЯ модель решения задачи?

на дцфсреренцироеднные плдгежи 2s

Введём обозначения: S — размер кредита, г — процентная став-
ка, рр р2... рп — ежегодные (ежемесячные) выплаты, п лет (ме-
Г
сяцев) — срок кредитования. Пусть а = 1+-----.

Через 1 год: aS-pr= ——-S=>pl=aS~——-S.
п	п

тт «	п-1 о л-2о п-1	п-2 ~

Через 2 года: ---aS - р2---S=> р2=----ctS----S.

п	п	п п

тт о	п~2 О	п-2 о п-Зо

Через 3 года: ---aS - р3 =-S => р3 =--aS-----S.

п	п	п	п
Для вычисления суммы платежей сгруппируем слагаемые и вы-
несем общий множитель. Для этого удобно выполнить преобразо-

~ п-1 „ п _ п-1_
ванне: рх = aS------S = —aS-------Я.

п п п

Pi + Р2 + Рз + ••• + Рп-1 + Рп =-(т?+(тг-1) + (т? - 2) + ... + 2 + 1)-

п

((тг-1) + (п-2) + ... + 2 + 1).

п

В каждой скобке записана сумма последовательных натуральных
чисел, которые являются арифметической прогрессией. Сум-
му п первых членов арифметической прогрессии можно найти по

формуле

Sn

_а1+ап

2

п.

Тогда получим:

aS

Р1+Р2 + Рз + - + Рп-1+Рп = —
п

1 + 77 S 1 + (77-1)
------П------------------72-1).

2	77	2

После сокращения дробей:

Р1+Р2 + Рз+ — + Рп-1+Р>

 аЯ(1 + тг) S(t?-1)

п

2

2

Дальнейшие преобразования выполняются в зависимости от усло-
вия и вопроса задачи.



✓ Семья Васильевых взяла в банке потребительский кредит для покупки
автомобиля. Срок кредита составляет 12 лет. Условия кредитования та-
ковы: в конце каждого года к оставшейся сумме долга добавляется г %
от этой суммы, затем Васильевы погашают эти добавленные проценты
и уменьшают сумму долга. Ежегодные платежи подбираются так, что-
бы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый год. Известно,
что общая сумма, выплаченная Васильевыми банку за весь срок креди-
тования, оказалась на 13 % больше, чем сумма, взятая ими в кредит.
Найдите г.

По условию задачи долг уменьшается на одну и ту же величину, зна-
чит, это задача на дифференцированные платежи.

Введём обозначения: S руб. — размер кредита, pi руб. — платёж
г

в i-м году, п = 12 лет — срок кредитования. Пусть a = ^ + YQQ*

11	11

Через 1 год: aS — р~[ =—S -s> pj = aS-S.

12	12

о 10 t,	11 „ Ю _,

Через 2 года: —aS-p2 =—S=> p2 =—aS-—S.
Xi-	X^	X^ 1
Найдём сумму

платежей:

aS(1+ 12

12

2

12

2

12

12

2

2

уравнение:

13aS 11S

Для
лой

По
на

сумма
значит,

S 1^11

* X U	I	'

(t. e. сумма платежей p,-)
она равна 1,13S. Получим

aS „o S 13aS IIS

•11 =----7o----66 =------------

Через

Через

Через

3 года:

11 лет:

12 лет:

10 „	9 o 10

—aS - рл =—S => p , -—aS S.

12	3 12	3 12	12

2 о	’о	2 о 1

—aS — Pi 1 — — S —Pi 1 ——aS-S.

12	11 12	1 12	12

X «S-p12=0=>p11 = Д aS.
Xu	x u

р1 + р2 + р8 + ... + Рп+Р1>’т|(12 + 11 + 10 + ... + 2 + 1)-—(П + Ю + 9 + ... + 1).
Au	Xu

нахождения суммы чисел в скобках можно воспользоваться форму-
суммы членов арифметической прогрессии:

условию задачи выплаченная
13% больше суммы кредита,

Ответ: 2 %.

= 1,13S <=> 6,5а -5,5 = 1,13 <=? 6,5а = 6,63 <=> а -1,02 => г - 2 %.

2

2

Если долг не уменьшается равномерно, но после каждой выпла-
ты известен остаток, можно использовать модель решения задачи
на дифференцированные платежи.

✓ В январе 2001 г. в банке брали кредит в размере S млн рублей сро-

ком на 3 года. Кредит возвращался в
★ каждый февраль долг увеличивался
предыдущего года;

★ с марта по август каждого года

соответствии с условиями:

на 30 % по сравнению с концом

выплачивалась одним платежом

часть долга;

★ в сентябре каждого года долг составлял часть кредита согласно при-
ведённой ниже таблице.

Месяц и год	Янв. 2001	Янв. 2002	Янв. 2003	Янв. 2004
Долг (млн руб.)	S	0,6S	0,25S	0

При каком наибольшем целом значении S каждая из выплат будет
меньше 5 млн рублей?
Пусть Pj млн ру В январе 2002 г. В январе 2003 г. В январе 2004 г. По условию каж/  ставим систему:  Наибольшее целое Ответ: 7 млн руб	б. — ежегодные платежи.  : l,3S-p1=0,6<S=>p1=0,7S.  : 1,3 (0,6S)-p2=0,25S^p2=0,53S.  : 1,3 (0,25S)-p3=0=>p3=0,325S.  1ый платёж должен быть меньше 5 млн рублей. Со-  0, 7S< 5,  0,53S<5, <=>S<— <=>S< — <=>S<7—.  0,7	7	7	-Ж-  0,325S<5	’  > >  решение системы: S = 7 млн рублей.  лей.
	3/ЩЧМ ЩА 		
(©)  J Владимир Петрови год возрастает на момент продать а счёт. Каждый год чение какого года акцию, чтобы чер ковском счёте был Акцию выгодно от её цены будут Если продать акщ В конце 1-го года В конце 2-го года В конце 3-го года В конце 4-го года В конце 5-го года Значит, акцию вы Ответ: 6.	I  ч купил акцию за 8000 рублей. Цена акции каждый 1  1000 рублей. Владимир Петрович может в любой 1  кцию и положить вырученные деньги на банковский 1 сумма на счёте будет увеличиваться на 8 %. В те- 1 после покупки Владимир Петрович должен продать 1  ез 25 лет после покупки этой акции сумма на бан- 1  ia наибольшей?	1  продать и положить деньги в банк, когда 8 % 1 превышать 1000 рублей.  по сразу после покупки: 8000 0,08 = 640 <1000.	1  : 9000 0,08 = 720<1000.	1  : 10 000 0,08 = 800 <1000.	1  : 11000 0,08 = 880 <1000.	|	а	1  : 12 000 0,08 = 960 <1000.	▼	>  : 13 000 0,08 = 1040 >1000.	+	♦	1  годно продать в течение 6-го года.	1
		IZ
Г  J У Сергея Никанор он открыл в банк щий год 28 мая ( По условиям догов вклада. Через 6 л крыл в банке «Экс дующий год он по начислял 44 % на сына суммы на из вкладов не изы	7  эвича 28 мая 2010 г. родился сын. В связи с этим е «Мечта» вклад на 1000 рублей. Каждый следую- Зергей Никанорович пополнял вклад на 1000 рублей, ора банк ежегодно 18 мая начислял 20 % на сумму ет у Сергея Никаноровича родилась дочь, и он от- :перт» ещё один вклад на 2200 рублей. Каждый сле- полнял этот вклад на 2200 рублей, а банк ежегодно сумму вклада. Через сколько лет после рождения каждом из двух вкладов сравняются, если деньги маются?
Рассмотрим вклад в банке «Мечта».

Через 1  Через 2  Через 3	год: 1000 1,2 + 1000.  года: 1000 1,22+1000 1,2 + 1000.  года: 1000 1,23+1000 1,22+1000 1,2 + 1000.
Через п	лет: 1000 1,2" +1000 1,2"-1 +... +1000 1,22 +1000 1,2 +1000 =

= 1000(1,2" +1,2"-1 +... + 1,22 +1,2 + 1).

Для выражения в скобках применим формулу суммы членов геометриче-
ской прогрессии (в данном случае п + 1 слагаемых, q = l,2, £>]=1).

। 2«+1 _ -j

Получим: 1000- ’ —— = 5000(1,2"+1 -1).

Рассмотрим вклад в банке «Эксперт» (срок меньше на 6 лет).

Через 1 год: 2200 1,44 + 2200.	ГЖ~

Через 2 года: 2200 1,442+2200 1,44 + 2200.	*

Через 3 года: 2200 1,443 + 2200 1,442+2200 1,44 + 2200.

Через п-6 лет: 2200 1,44"6 + 2200 1,44я-7 +... + 2200 1,442 +2200 1,44 + 2200 =
= 2200(1,44" ti + l,44" 7+... + 1,44”+1,44 + 1). Для выражения в скобках приме-
ним формулу суммы членов геометрической прогрессии (в данном случае
п-5 слагаемых, </ = 1,44, 6Г=1).

1 44"-5 -1

Получим: 2200 ’	=5000(1,44" 5

Так как суммы на каждом из двух
ны сравняться, составим уравнение:
5000(1,2"+1 -1) = 5000(1,44"-5-1)<=>

1,2"+1-1 = 1,44я-5-1 <=>

<=>1,2"+1 =1,44""5 <=>1,2л+1=(1,2"-5)2.

Отсюда получим:

п + 1 = 2п-10 <=> п = 11 (лет).

Ответ: через 11 лет.

-1).

вкладов

долж-

Формулировка вопроса может
быть различной.

Через сколько лет после рожде-
ния дочери суммы вкладов срав-
няются? Ответ: через 5 лет.

В каком году суммы вкладов
сравняются? Ответ: в 2021 г.

ЗАДАЧ!* ЦА (MfyMAWfbtf

J Строительство нового маслосырзавода обошлось предпринимателю
в 75 млн рублей. Затраты на производство х тыс. единиц продукции
на данном маслосырзаводе равны 0,5х2 + х + 7 млн рублей в год. Если
продукцию маслосырзавода продавать по цене р тыс. рублей за едини-
цу, то прибыль за один год составит рх-(0,5х2+х + 7) млн рублей.
-о--------------------------------------------------о—

Когда маслосырзавод будет построен, он станет выпускать продукцию в та-
ком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем
значении р строительство маслосырзавода окупится за 3 года?

Строительство маслосырзавода окупится, когда прибыль будет не менее
75 млн рублей за 3 года, значит, ежегодная прибыль должна быть не ме-
нее 25 млн рублей. Составим неравенство: рх-(0,5х2+х + 7) >25;
-0,5х"-х+рх-7 > 25; -0,5х2+(р-1)х-7>25. Рассмотрим функцию прибыли
за один год: /(х) = -0,5х2+(р-1)х-7. Это квадратичная функция, графиком
которой является парабола, ветви направлены вниз. Наибольшее значение

b р — 1

эта функция принимает в вершине: х0--=--------= р-1.

2ti	2*(—0,5)

2	2

Значит, /нанб(х) = /(х0) =	~1} +(р-1)2 -7 = 'р -1 ’— 7.

А

Тогда можно перейти к неравенству: /наиб(х)> 25 «-7 > 25 (р-1)2 >64;

2

р~ -2р-63>0 <=>

Р-~7,
р>9.

Отрицательные значения р не удовлетворяют условию задачи, поэтому наи-

меньшее значение р = 9.

Ответ: 9.

----О-----------------------------------------------------О----------

✓ Компания владеет двумя предприятиями — «Альфа» и «Бета». Оба
предприятия производят одинаковые бытовые приборы. На предприятии
«Бета» установлено более современное оборудование, поэтому на нём
может быть выпущено больше единиц продукции. Известно, что если
рабочие предприятия «Альфа» суммарно трудятся t2 часов в неделю,
то выпускают t единиц продукции. А если рабочие предприятия «Бета»
суммарно трудятся t2 часов в неделю, то выпускают 2t единиц продук-
ции. Ставка заработной платы рабочего составляет 500 рублей в час.
Компания выплачивает рабочим 30 250 000 рублей в неделю. На какое
максимальное количество единиц продукции она может рассчитывать?
Заработная плата рабочих составляет 30 250 000 рублей, а ставка —
500 рублей в час. Вычислим количество часов: ^0 250 000	.

500

Пусть на предприятии «Альфа» рабочие трудятся х2 часов, тогда они
выпускают х единиц продукции.

Пусть на предприятии «Бета» рабочие трудятся у2 часов, тогда они вы-
пускают 2у единиц продукции.

Общее время составляет 60 500 часов, поэтому х2 +у2 =60500. Выра-
зим у: г/ = 7б0500-х2	(t/>0).

R£Lj£ffH£ ЗААЛУ С 9KOffOMU4£CWM СОД£рж^У£М @	313 @)
-2х

f\x) = 1 + 2

60 500-х2 =4х2,

точка максимума на отрезке

хе

Ответ: 550 единиц продукции.

l0;>/60 500J. Получим искомое количество единиц продукции:
4aH6(^) = /(110) = 110 + 2v60500-1102 =550 (ед.).

/'(х) = 0, следовательно, \j60 500- х2 -2х = 0 <=> \60 500-х2 = 2х;

х2=12 100,

Рассмотрим функцию «сумма единиц продукции»:

/(х) = х+ 2^60 500-х2, хе^'боТоО .

Исследуем функцию на наибольшее значение с помощью производной:

-2х	_ у 60 500-х2 -2х

2^60 500-х2	х/бО 500-х2	ч/6° 500-х2

—----------------------------------------$—

✓ ОАО «Мясной двор» производит тушёнку в двух видах тары — стеклян-
ной и жестяной. Производственные мощности позволяют выпускать в день
90 ц тушёнки в стеклянной таре или 80 ц в жестяной таре. Необходимо,
чтобы тушёнки в каждом из видов тары было выпущено не менее 20 ц.
В таблице приведены себестоимость и отпускная цена завода за 1 ц про-
дукции для обоих видов тары.

Вид тары	Себестоимость (за 1 ц, руб.)	Отпускная цена (за 1 ц, руб.)
Стеклянная	1500	2100
Жестяная	1100	1750

Прибыль — это разница между отпускной стоимостью всей продукции
и её себестоимостью. Определите, какую наибольшую прибыль получит
ОАО «Мясной двор» за один день, если вся продукция реализуется без

остатка.

Прибыль от тушёнки в стеклянной таре: 2100-1500 = 600 (руб.).

Прибыль от тушёнки в жестяной таре: 1750-1100 = 650 (руб.).

Пусть х ц тушёнки было произведено в стеклянной таре, у ц — в же-
стяной. Общая прибыль равна 600х + 650у рублей. В день может быть

произведено 90 ц тушёнки в стеклянной таре, значит, за

1

дня выпу-

скается одна стеклянная банка. С другой стороны, в день может быть

произведено 80 ц в жестяной таре, значит, за — дня выпускается одна
80

жестяная банка.

ЗМ ©
Так как наибольшая прибыль достигается, если использовать всё рабочее

.	,	X у

время (один день), получаем:	+

8

9

По условию задачи нужно выпустить не менее 20 ц. Получим неравен-
Q

ство: 80 — х>20«=>х<67,5.

9

Рассмотрим функцию прибыли: р(х) = 600х + 650

Выполним пре-

образования: р(х)=х + 52 000 — возрастающая линейная функция, зна-
9

чит, наибольшее значение будет достигаться на конце промежутка,
при х = 67,5.

т. е.

Вычислим это значение: рнанб(х) = р(67,5) = ^^ 67,5 + 52000 = 53500 (руб.).

9

Ответ: 53 500 рублей.

О

✓ Пират Джек обнаружил затонувшее судно с изумрудами и рубинами.
У Джека с собой был мешок. Полный мешок изумрудов весит 200 кг,
полный мешок рубинов — 40 кг, а пустой мешок ничего не весит.
Килограмм изумрудов можно продать за 20 тенге, а килограмм ру-
бинов — за 60 тенге. Капитан Джек может унести с собой не более
100 кг. Какую наибольшую сумму денег он может выручить?

Пусть х кг — масса унесённых изумрудов, у кг — масса унесённых
рубинов. Так как капитан Джек не может унести больше 100 кг,
то х + р<100.	i

Примем объём мешка за 1, тогда килограмм изумрудов занимает ———

й 1

часть мешка, килограмм рубинов занимает — часть мешка. Получим,
что —х + ^—у<1. Рассмотрим функцию S(x, у) = 20х + 60у — сумма вы-

ручки. Таким образом, мы ищем наибольшее значение функции
х + р<100,

8(х, у) = 20х + 60р при следующих ограничениях: 1

1 1

---х+—р<1.

200	40

Преобразуем второе неравенство в системе:

х + р<100,

х + 5р<200.

Сложим неравенства: 2х + 6р < 300 =>20х + 60р< 3000, т. е. S(x, р)<3000.
Значит, наибольшее значение функции равно 3000. Убедимся, что суще-
ствуют такие х и у, при которых S(x, р) = 3000. Подбором находим
х = 75, р-25.

Ответ: 3000 тенге.
ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНЫЙ
МНОГОГРАННИКОВ
--- —	-	.	- 	- V. л.	--

Секущей плоскостью многогранников на-
зывается такая плоскость, по обе сторо-
ны от которой есть точки данного мно-
гогранника: а — секущая плоскость.

Сечением многогранника называется фи-
гура, состоящая из всех точек, которые
являются общими для данного много-
гранника и секущей плоскости.

Секущая плоскость пересекает грани мно-
гогранника по отрезкам, поэтому сечение
есть многоугольник, лежащий в секущей
плоскости, сторонами которого являются
указанные отрезки: EFG — сечение.

Секущая плоскость а

ПОРЯДОК ПОСТРОЕНИЯ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ J.

1)	Провести прямые через точки,
лежащие в плоскости одной грани.

2)	Найти прямые пересечения пло-
скости сечения с гранями многогран-
ника. Для этого необходимо найти
точки пересечения прямой, принад-

лежащей плоскости сечения, с пря-
мой, принадлежащей одной из гра-
ней (лежащие в одной плоскости).

Параллельные грани плоскость се-
чения пересекает по параллельным
прямым.

СВОЙСТВА ПРАВИЛЬНО
ПОСТРОЕННОГО СЕЧЕНИЯ

1°. Все вершины сечения лежат
на рёбрах многогранника.

2°. Все стороны сечения лежат
на гранях многогранника.

3°. В каждой грани многогранника
лежит не более одной стороны се-
чения.

Свойства помогают проверять пра-
вильность построения сечений.
★ Вершина В не лежит на ребре
(нарушено свойство 1). Стороны АВ,
ВС не лежат на гранях (нарушено

★ Сторона АВ не лежит на грани
(нарушено свойство 2), стороны AD
и DC лежат в одной грани (нару-

задача п/а rwrfptf&fue

М и

соеди-

соеди-

точки

AS В,

Я)

(точка

АСВ,

плоскости

со-

ETr'iBC = jR (рис. в).

точки

М и

и Т принадлежат
точки (рис. в).

продолжим

(рис. б).

4) Точки Е
единим эти

1) Точки
ним эти

2) Точки
ним эти

3) MN

б)

в)

/ Построите сечение тетраэдра плоскостью, со-
держащей точки М, N, Т.

N принадлежат грани ASB,
отрезком (рис. а).

Т принадлежат грани ASC,
отрезком (рис. а).

и АВ принадлежат плоскости

MN и АВ до пересечения

5)

6)

NMTR

искомое сечение

(рис. г).

построение ceHeffM	® зч7
V Постройте сечение пирамиды плоско-
стью, содержащей точки К, Т, Е.

1)	Точки Т и Е принадлежат грани
SBC, соединим эти точки (рис. а).

2)	Продолжим ТЕ и ВС до пересече-
ния (точка У) (рис. б),

3)	Точки Y и К принадлежат плоско-
сти основания, соединим эти точки.

YKnAB = X, YKr\AD = I (рис. в).

4)	Точки X и Т принадлежат грани
ASB, соединим эти точки (рис. г).

5)	Продолжим YI и CD до пересече-
ния (точка Я) (рис. д).

6)	Точки R и Е принадлежат плоско-
сти грани SDC, соединим эти точки.
REr\SD = Н (рис. е).

7)	Пятиугольник XTEHI — искомое
сечение (рис. ж).

лх @ приложение

Ф 	___
о

iiMilJilJb

Спасибо за выбор книг нашего
издательства!

Поделитесь мнением о только что
прочитанной книге.

ПОСТРОЕНИЕ MtfoforPAfftf^e ® 319
Все права защищены. Книга или любая ее часть не может быть Скопирована, воспроизведена н электронной или
механической форме, в виде фотокопии, записи в память ЭВМ, репродукции или каким-либо иным способом,
а также использована в любой информационной системе без получения разрешения от издателя. Копирование,
воспроизведение и иное использование книги или ее части без согласия издателя является незаконным и влечет
уголовную административную и тражданскую ответственность.

Справочное издание
Аныктамалык, басылым

Для старшего школьного возраста
Жокарты мектеп жасына арналган

ШКОЛЬНЫЙ КУРС СПРАВОЧНИК В СТИЛЕ АНИМЕ

Колесникова Татьяна Александровна

МАТЕМАТИКА
ПРОКАЧАЙ СВОЙ УРОВЕНЬ НА МАКСИМУМ
(орыс Т1л1нде)

Ответственный редактор 7 Судакова
Редактор А Митрохина
Выпускающий редактор А. Самоорская
Художественный редактор А Самборская

В коллаже на обложке и титуле использованы иллюстрации.

'ibadash, miniwide, riconco, Izzul fikty, Papei Trident ApoevAit/Shutteistock.com

Во внутреннем оформлении использованы иллюстрации'

3D Vector. 69 Continental. ApoevAit. Bioadash, cybermagician Daniela Baneto. diawhunter, Drawlab19, Geiman Vizulis,
Giuseppe Ramos. Glebova Galina. HappySloth, Ingotr, Iprax Jemastock, johavel Klein Creion Lyudmyla Kharlamova
mijatmijatovic. miniwide Minoru Mizuno Naci Yavuz. Nadya Ershova Natasha Chetkova, Natata, Net Vectoi, netsign33,
PK Designs riconco, Shiratama Anco WinWin aitlab / Shutterstock.com

Используется по лицензии or Shutteistock.com

Соответствует техническому регламенту TP ГС 007/2011

ER[

КО ТР 007/2011 техникалы регламенпне сайкес келсд!

Страна происхождения- Российская Федерация
Шыгарушы ел. Ресеи Федерациясы

ЧИТАЙТЕ
И СЛУШАЙТЕ
В Литрес 

Хочешь стать
автором «Эксмо»?

eksmo.ru

Официальный
интернет-магазин
издательства «Эксмо»

ТЕ1РИТОРИЯ

КНИЖНЫЙ МАГАЗИН

Официальная франшиза
издательства «Эксмо»

ООО -Издательство «Эксмо

123308. Россия г. Москва, ул. Зорге, д. 1, стр. I, эт 20, кэб. 2013. Теп.: 8 (495| 411-68-86.
Home page: www.eksmo.ru E-mail: infoOeksmo.ru

Ондрушг -Издательство-Эксмо- ЖШК,

123308. Ресеи Москву кдласы, Зорге кошеа. 1-уй, i-курыльк 20кабат, 2013-кэб.
Тел.: 8 (495) 411 *68*86. Home раде wwweksmo.ru E-mail into&eksmo.ru.

Тауар бвлпа -Эксмо-

Интернет-магазин www book24 ш

Интернет- магазин www. book24. kz

Интернет-духом «MMw.book24.k2

Импортер в Республику Казахстан ТОО - РДЦ-Алматы*
Казахстан Республикасына имлорттаушы -РДЦАлматы- жшс

Дистрибьютор и представитель по приему претензий на продукцию
в Республике Казахстан: ТОО -РД Ц-Алматы -

Дистрибьютор жене Казахстан Республикэсында енмдер» е шэгымдэрды кдбылдау
жонгкдеп о*ал -РДЦ-Алыаты- ЖШС

Алматы к,, Домбровский кеш., 3-а-, Б литер, 1 -кексе.

Тел : 8 (72?) 251-59-90/91/92. E-mail: ROC-AJmaty®>eksmokz

Съедения о подтверждении соответствия издания согласно законсдапельству РФ
о п/хнимеском регулировании можно получить на сайте Издательства -Эксмо-;
wav. eksmo щ‘certification

РФ техникалык рвггеу туралы заннамасыма сайкес басылымнын сэйкесппн растау
туралы мал1метп -Эксмо- басласштыц сайтынан алута болады: wwweksmo.ru/
certification

ЭКСМО

Издательство «Эксмо» — универсальное
издательство №1 а России, является
 дним из лидеров книжного рынка Европы.

Пром «едено в Российской Федерации
Реоей Федерациясымда оцд!р«лген

Сертификаттау» а жагады

О eksmo ru О О Q eksmo

СЧИТАЙ-ГОРОД

Дага изготовления / Подписан- в печать 12 02 2026 Формат 70x100'/,в.

Печать офсегная. Бумага офсетая не пухлая Усл печ л 25 93
Тираж экз. Заказ
Т. А. Колесникова

подробный теоретический

МАТЕРИАЛ

для подготовки

УРОКАМ И ЭКЗАМЕНАМ

ПРИМЕРЫ

НАГЛЯДНЫЕ СХЕМЫ

ТАБЛИЦЫ

ISBN 978-5-04-230950-2

785042

309502

ПО ВСЕМ ТЕМАМ КУРСА

ПОДСКАЗКИ НА СТРАНИЦАХ ОТ ГЕРОЕВ
В ЛУЧШИХ ТРАДИЦИЯХ АНИМЕ.

Каждый
ВЕЛИКИЙ ГЕРОЙ
КОГДА-ТО БЫЛ
НОВИЧКОМ.
КАК И КАЖДЫЙ
ОТЛИЧНИК
НАЧИНАЛ С ПЕРВОЙ
СТРАНИЦЫ. Твой
ПУТЬ МОЖЕТ БЫТЬ
ТРУДНЫМ. НО С ЭТИМ
СПРАВОЧНИКОМ
ты точно
СПРАВИШЬСЯ! Г

Классный и наглядный справочник!

С ТАКОЙ ЗАПОМИНАЮЩЕЙСЯ И ЯРКОЙ F '
ПОДАЧЕЙ ЛЕГКО ВЫУЧИТЬ ЛЮБОЙ МАТЕРИАЛ

CEAMBEPCTOBAj^Am

ПОПУЛЯРНЫЙ БЛОГЕР И ОСНОВАТЕЛЬ ОНЛАЙН“ШКОЛЫ •СТАДИКЭТС

Справочник предназначен
для ПОВТОРЕНИЯ, изучения
И СИСТЕМАТИЗАЦИИ
ШКОЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ ПО МАТЕМАТИКЕ
ЗА 5-11 КЛАССЫ. И ЗДЕСЬ ТЫ СМОЖЕШЬ НАЙТИ