518
Ш35
Эта книга, предназначенная для преподавателей
математики средних школ и вузов, посвящена
уточнению основных понятий теории прйближен-
ных вычислений. Автор рассматривает ряд теоре-
тических проблем, без решения которых невозможны
научно обоснованные методические построения
курсов приближенных вычислений в средней и в
высшей' школе.
Некоторые рекомендации автора книги требуют
обсуждения со стороны учительской и научной
общественности.
ХАРЬКОВСКАЯ ТИПООФСЕТНАЯ ФАБРИКА
6—4—1
281—68
ПРЕДИСЛОВИЕ
)
Несмотря на то, что приближенные вычисления прочна
вошли в жизнь и составляют необходимый элемент сред-
него и высшего образования, основные понятия теории
приближенных вычислений в настоящее время, не могут i
считаться однозначно установленными, а некоторые вы-
воды ее — строго обоснованными. Об этом свидетельствует
большой разнобой в толковании этих понятий и выводов
в научной и методической литературе, а также неодно-
кратные выступления ученых и школьных учителей по i
вопросам приближенных вычислений, дискуссии в жур- i
нале «Математика в школе» и т. д.
Объясняется это тем, что в строгом обосновании теории
приближенных вычислений имеются значительные труд- i
ности принципиального характера, преодоление которых
требует широкого обсужденияг* теоретических рассмот-
рений и практических экспериментов.
Для того чтобы возможно было разумное построение i
курса приближенных вычислений и эффективное приме-
нение его на практике, необходимо глубоко проанализи- i
ровать исходные понятия теории погрешностей.
Целью настоящей работы и является попытка такого i
анализа. Автор не претендует на то, чтобы исчерпать i
эту проблему и выработать окончательные формулиров-
ки— наоборот, некоторые его утверждения будут иметь
3
дискуссионный характер, привлекая внимание специа-
листов к отдельным трудным местам обоснования теории
погрешностей.
Не перечисляя всех затронутых в работе вопросов,
отметим Лишь, что автор подробно рассматривает понятие*
точных цифр, особенности округления в произвольных
позиционных системах счисления, предлагает новый под-
ход к определению понятия значащих цифр (едва ли не
самого трудного!), к принципу Крылова — Брадиса и т. д.
Работа не является систематическим и полным введением
в теорию погрешностей: некоторые вопросы рассмотрены
в ней подробно, с углублением в детали, другие — слегка
намечены, третьи — вовсе не упомянуты. Некоторые обще-
известные подробности внесены для систематичности изло-
жения соответствующих вопросов.
Известно, что в средней школе положение с прибли-
женными вычислениями хуже, чем в вузе, поскольку там
прибавляется еще одна трудность — методическая — необ-
ходимость учета возрастных особенностей и ограничен-
ности математических знаний учащихся V — VI классов.
К сожалению, автор не имел возможности касаться в
этой работе методических вопросов. Цель работы — чисто
теоретическая, но без решения затронутых в ней теоре-
тических " проблем невозможны никакие методические
построения.
Автор выражает глубокую признательность профессору
В. М. Брадису и проф. И. К. Андронову за цен-,
ные замечания, способствовавшие улучшению книги.
Замечания и пожелания по поводу содержания этой
книги просим направлять по адресу: Киев — 53, ул. Юрия
Коцюбинского, 5, издательство «Радянська школа», редак-
ция математики.
Одесса, май 1967.
Автор

ВВЕДЕНИЕ
1. Исходными данными всякой конкретной математи-
ческой задачи служат числа, над ними в процессе реше-
ния задачи выполняются различные операции, приводящие
к новым числам и заканчивающиеся получением число-
вого результата.
Каждое число выражает значение некоторой величины.
Будем считать известным понятие точного значения вели-
чины1 как объективно существующей количественной
характеристики ее. В подавляющем большинстве случаев
точное значение величины остается неизвестным или
практически непригодным, его приходится заменять дру-
гим значением, несколько отличающимся от точного2 и
называемым приближенным значением данной величины.
1 Во многих случаях не так просто дать строгое определение
етого понятия.
8 См. по этому поводу п. 1—2 § 11,

Число называется точным или приближенным
в зависимости от того, выражает оно точное или прибли-
женное значение величины. Эти названия выражают не
абсолютные свойства отдельных чисел, а лишь относитель-
ные, зависящие от связи их с рассматриваемой величиной
и не имеющие смысла вне такой связи. Действительно,
так как одно и то же число может выражать значения
различных величин, то оно может быть в одном случае
точным, а в другом — приближенным. Например, если
число 5 выражает количество пальцев на руке человека,
то оно точное, а если оноч выражает положительный-
корень уравнения
х2 — 5х —0,00001 = О,
/
то это число приближенное. Таким образом, понятие
точного или приближенного' числа существенно связано
с конкретным смыслом этого числа, т е. с его происхож- , ,
денйем. Этот генетический, относительный характер точ-
ности мы всегда будем подразумевать, рассматривая числа, I
как правило, в абстрактном виде
2. С какими числами имеет дело вычислитель или счет-
лая машина при решении математических задач? Нетрудно
видеть, что, за редкими исключениями/ эти числа при-
ближенные. Действительно, имеется четыре основных
источника чисел:
1)	счет предметов,
2)	измерение величин,
3)	таблицы и счетные машины и
4)	действия над числами, .	>
Операция счета в некоторых случаях приводит к точ- %•
ным числам, однако в большинстве практически важных
случаев она дает только приближенные результаты (насе- ч
ление города или страны, учет поголовья скота в стране,
6
подсчет деревьев в лесу, молекул в грамм-молекуле
вещества — число Авогадро и т. д.). Если пересчитываемое
множество достаточно'обширно и непостоянно, то опреде-
ление точного числа его элементов во многих случаях
весьма затруднительно и чаще всего це является необхо-
димым — по сути важно определить только порядок этого
числа, т^е. подходящее приближенное значение (округ-
ление) его.
В особо важных и ответственных случаях для обеспе-
чени я высокой точности подсчета приходится осуществ-
лять весьма громоздкие и дорогостоящие мероприятия.
Известно, например,- с какой широтой и тщательностью
организуются переписи населения в стране и как скрупу-
лезно они проводятся. Конечно, абсолютная точность
при этом не достигается, да она и невозможна, так как
численность населения страны быстро изменяется. Целью
переписи является установление возможно более точного
порядка числа всех жителей или отдельных групп их,
т. е. определение нескольких первых надежных цифр этих
чисел.	.
В 1961 г. в газетах было опубликовано сообщение, чточ
население Токио составляет 9992542 чел. Ясно, что с
доверием можно отнестись толька к первым трем цифрам
этого числа. Остальные 4 цифры не могут быть верными
уже потому, что в таком большом городе колебание
численности населения в несколько тысяч человек является
естественным даже на протяжении одного дня. Эти цифры
не имеют также никакого практического значения, даже
если они верные; например, при' расчете объема продо-
вольственного снабжения населения Токио следует исхо-
дить просто из 10000000 чел. Какой же смысл имеет
такое«точное» число? Только тот, что оно указывает
количество учтенных переписных" бланков^ и в этом смысле
его действительно можно считать точным. К численности
7
населения Токио это число имеет то отношение, что оно
выражает ее приближенно с тремя верными первыми
цифрами.
Зачем же тогда стремиться к такой высокой точности
в проведении переписи? Дело в том, что окончательные
итоги переписи получаются суммированием многочислен-
ных. частных итогов, а при сложении происходит накоп-
ление'’ ошибок слагаемых, которое может совершенно
исказить сумму.
Процесс измерения величин (длин, площадей, объемов,
весов, скоростей, электрических зарядов и т. д.) прин-
ципиально не может дать точных результатов. Это связано
не только с тем, что измерительные приборы и органы
наших чувств неспособны различать слишком мелкие доли
величин, но также с тем обстоятельством, что само поня-
тие точного значения измеряемой физической величины
не имеет строго определенного смысла. В геометрии,
пользуясь. математической абстракцией, идеализацией
реальных величин, мы просто предполагаем, что
одни из них измеряются точными числами, а другие точно
вычисляются по известным точным формулам. Когда же
речь идет о конкретных физических величинах, то здесь
нет места предположению — нужно выполнить фактическое
измерение, и задача состоит в том, чтобы погрешность
его была возможно меньшей. Осмысленность этой задачи
основана на том, что, хотя, точное значение измеряемой
величины неизвестно, но при определенных физических
условиях процесс измерения дает результаты, лишь незна-
чительно колеблющиеся около некоторого среднего зна-
чения, — оно-то и принимается за «точное» значение „
величины.
Кроме счета и измерения, числа доставляют разнооб-
разные таблицы, справочники, вычислительные машины
и приборы. В некоторых случаях они дают точные числа,
8
например, таблицы умножения или сложение на арифмо-
метре, конечно, если исходные данные сами точные (это
предполагается во всех таблицах). Однако ввиду крайней:
редкости пользования точными данными, точность этих
таблиц и иструментальных операций не имеет большого
значения для вычислительной практики. Тем более это-
касается подавляющего большинства других таблиц, при-
ближенных по существу, т. е. дающих приближенные
результаты и для точных значений исходных данных (за
редкими исключениями, например: 1g 100 = 2, sin 30° =
= 0,5). Это преимущественно таблицы важнейших транс-
цендентных функций: логарифмической, показательной,
тригонометрических, интегральных и т. д. Значения этих
функций, как правило, иррациональны, поэтому таблицы,
содержат только приближенные (округленные) числа.
Все вычислительные приборы и машины непрерывного-
действия (счетные линейки, планиметры, интеграторы и
др.) также доставляют существенно-приближенные числа
и притом невысокой точности. Цифровые вычислительные-
машины (арифмометры, счетно-аналитические, электрон-
ные автоматические) наряду с точными дают большей
частью приближенные результаты довольно высокой точ-
ности.
Наконец, четвертый источник чисел — действия над.
числами — тоже доставляет, как правило, приближенные-
числа Уже простое деление целых чисел часто приводит
в систематической записи к бесконечным последователь-
ностям цифр и требует неизбежных округлений. Что-
касается других операций — иррациональных, то они
дают точные результаты лишь в исключительных случаях.
Итак, приближенные числа составляют основной и
почти единственный материал (сырье и продукцию) вычи-
слителя и счетной машины. Заметим в связи с этим, что-
вычислительная практика не знает ни периодических
э»
дробей, ни иррациональных чисел, так как она всегда
•оперирует лишь е ограниченным числом цифр система-
тических чисел. Тем не менее такие постоянные, как
у, V2, я, е, занимают особое место при вычислениях,
так как их приближенные значения могут быть взяты
«с, любой точностью1, в отличие от опытных, точность
которых существенно ограничена.
Нет оснований сожалеть о том, что на практике при-
ходится пользоваться лишь приближенными значениями
величин Во-первых, точные значения, если бы они были
известны, не могли бы быть использованы на практике
из-за очень большого (в большинстве случаев бесконеч-
ного) количества цифр. Во-вторых, оказывается, что эти
точные значения и не нужны: вполне удовлетворительные
решения подавляющего большинства практических задач
получаются при сравнительно небольшой точности исход-
ных данных и промежуточных результатов вычислений.
Достаточно указать на предсказание солнечных и лунных
затмений с точностью до секунды на много лет вперед, —
а ведь оно основано на расчетах с приближенными чис-
лами. Далее, обычные инженерные расчеты требуют не
•более 3—4 значащих цифр используемых чисел, а шести-
значные числа достаточны для определения начальной
скорости искусственного спутника Земли при выведении
•его на орбиту (около 8000 м/сек) — это соответствует
допустимой ошибке в 5—10 см/сек.
Вычислитель должен примириться с тем, что его труд
1 Для числа тс, например, сейчас известно несколько десяаков
тысяч цифр. Впрочем, можно с уверенностью сказать, что такая
точность не понадобится в вычислительной практике ни теперь, ни
в будущем.
10
неизбежно приводит к приближенным, а не точным резуль-
татам. Главной заботой его должно быть получение этих
результатов наиболее рациональным (коротким) путем и
определение границ допущенных ошибок.
В этой работе мы рассмотрим прежде всего различные
.способы характеристики точности приближенных чисел.
Это приведет нас к необходимости глубоко проанализи-
ровать основные понятия теории приближенных вычи-
, слений и поставить 'вопрос об их более строгом Обосно-
вании. В первых десяти параграфах излагается система-
тически и весьма подробно (хотя и не совсем полно)
теория характеристики точности приближенных чисел.
Именно этот материал остро нуждается в совершенство-
вании. Поэтому здесь имеется и полемика и конструк-
тивные предложения автора.
Арифметика приближенных чисел здесь не рассматри-
вается, так как она не. содержит принципиальных труд-
ностей^
Некоторые. существенные, места работы, на которые
автор хочет обратить взимание читателей, выделены под
заголовком «Важные замечания».
Особое , место в работе занимает последний параграф —
11-й. В нем анализируются отдельные не рассмотренные
ранее важные вопросы теории и практики приближенных
вычислений. Здесь-отсутствует систематичность изложения:
предполагается, что читатель знаком с указанными вопро-
сами и примет участие в их обсуждении.
§ 1. ЗАПИСЬ ЧИСЕЛ
В вычислительной практике используется только систе-
матическая запись чисел, т. е. представление их с помощью
цифр в какой-нибудь позиционной системе счисления.
Пусть число х имеет вид:
X = ±	+ am-2Rm~2 + ... + asRs) = t
= ± Rm (.Om-iR-1 + am_2R-2 + ... 4- asRs~m),
где R — целое >1, <u — цифры /?-ичной системы счисле-
ния, т. е. 0<cu<R — 1, s</n.
Целые числа т и s могут быть произвольными (Ж 0),
лишь бы выполнялось условие s < т. Число Rk (k — целое)
называется единицей k-vo R-ичного разряда, а а* — циф-
рой &-го разряда. Номера разрядов убывают слева
направо:
U....3.2, 1,0, —1, -2,-3.......
поэтому следующий разряд для данного — это соседний
с ним меньший (правый) разряд, а предыдущий — сосед-
ний больший (левый). Каждая разрядная единица в R раз
больше следующей и в R раз меньше предыдущей: Rk »
12	’	'
= R • Rk~'. /?-ичное число x записывается последователь-
ностью своих цифр (число их т — s):
X = '± 0, am-iam-2. ..a„-Rm.
Показатель"/?! определяет положение запятой: она ста-
вится после*/n-й цифры числа х, причем в случае /п<0
передвижение запятой вправо через т цифр означает
передвижение влево через | т | цифр (нулей). Если число
задано как-нибудь иначе (например, или у 6), то его
необходимо предварительно записать в систематическом
виде, ограничиваясь определенным числом цифр.
Наиболее употребительны следующие системы счисле-
ния: десятичная (R = 10), двоичная (R = 2), троичная
(R = 3), восьмиричная (R = 8). Для определенности мы
будем пользоваться десятичной системой счисления, как
самой употребительной. Выводы, полученные для деся-
тичной системы, без существенных затруднений перено-
сятся на другие позиционные системы счисления, и мы
будем выполнять такое перенесение в надлежащих местах.
Заметим здесь же, что формулы учета погрешностей, сос-
тавляющие основу всей теории приближенных вычисле-
ний, вообще не зависят от выбора системы счисления.
Итак, рассматриваются числа
X = ± (lO^-'am-! 4- 10n,~2am_2 4- .. . + 10»as) =
= + 0, Om-iam-2 ...as- 10m, 0 < at < 9, s < tn.
Цифры дробной части числа (расположенные справа от
запятой) называются десятичными знаками его. Так как
А.. 10* = 5 • 10*-1, то половина единицы какого-нибудь
десятичного разряда составляет пять единиц следующего
разряда.
13
Ясно, что это верно только для десятичной системы;
в 7?-ичной системе счисления соответственно ^-7?* =
D
= у • Rk~l, причем, если основание R нечетное, то число
Rk не целое. Особенно просто обстоит дело в двоичной
системе: так как • 2* = 2*“*, то половина единицы
двоичного разряда равна единице следующего разряда.
Эти замечания понадобятся нам в дальнейшем.
§ 2. АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Пусть х— точное число, а а — приближенное число,
являющееся одним из приближенных значений числа х;
тогда говорят, что х приближенно равно числу а и за-
писывают: хка (приближенное равенство). Вместо «при-
ближенное значение» говорят также «приближение». За-
метим, что в то время как точное число х как точное
значение некоторой величины однозначно определено, егЬ
приближение не обладает такой определенностью; вместо
а можно взять любое другое число, близкое к х, т. е.
приближенных значений данного точного числа сущест-х
вует бесконечное множество. Эта неопределенность приб-
лижения позволяет выбирать в каждом конкретном случае
, то приближение, которое по условиям задачи оказывается л
предпочтительным.
Приближенное равенство имеет точный смысл только
- в том случае, когда известна его погрешность. Пегреш- <
ностью (или истинной погрешностью) приближенного ра-
венства х^а, а также приближения а, называется раз-
ность а = х — а. Если а = х, то а = 0, т. е. точное число
и.	'
можно рассматривать, как приближенное с погрешностью
нуль.
Если а > 0, т. е. х > а, то а называется недостаточ-
ным приближением (или приближением по недостатку),
а в случае а<0, т. е. х < а, приближение а называется
избыточным (или приближением по избытку).
Абсолютной погрешностью приближения а и прибли-
женного равенства хлга называется абсолютная величи-
на погрешности его, т. е. число
| а | = |х — а|.
Абсолютная погрешность не имеет практического зна-
чения, так как в подавляющем большинстве случаев она
остается неизвестной вместе с точным числом х. Поэтому
на практике употребляется предельная абсолютная погреш-
ность (или граница абсолютной погрешности)1 прибли-
жения а. Так называется неотрицательное число Да, кото-
рого не превосходит абсолютная погрешность приближен-
‘ ного числа а:
| х — а | < Да (Да	0).
- Если известна предельная абсолютная погрешность Да, то
приближенное равенство хжа записывается более точно-
в виде
х»а(±Да).
Чем меньше Да, тем ближе приближение а к точному зна-
чению х, тем точнее приближенное число а. Указание пре-
дельной абсолютной погрешности служит, таким образом,.
1 По более удачной (но менее распространенной) терминологий
В. М. Брадиса, имеющего большие заслуги в развитии и популяри-
зации теории и практики приближенных вычислений.
15
характеристикой точности приближенных чисел. Это пер-
вый способ такой характеристики.
.Свойства предельной абсолютной погрешности
1)	Предельная абсолютная погрешность определяется
неоднозначно: если т = Да, то и всякое число /и', боль-
ше, чем т, тоже является предельной абсолютной погреш-
ностью числа а1 Это следует из самого определения пре-
дельной абсолютной погрешности. Возникающая при этом
неопределенность предельной абсолютной погрешности при-
суща ей по существу дела и не только не создает каких-
либо практических неудобств, но даже оказывается полез-
ной, позволяя вибирать то или иное значение предельной
абсолютной погрешности в зависимости от условий зада-
чи. Конечно, на практике стараются брать предельную
абсолютную погрешность по возможности меньшей — чем
юна меньше, тем точнее приближение а. Однако, в то
время как увеличение предельной абсолютной погрешно-
сти ничем не ограничено, уменьшение ее требует большой
осторожности: надо строго следить за тем, чтобы она не
стала меньше абсолютной погрешности приближения.
2)	Предельная абсолютная погрешность Да является
вообще размерной величиной (именованным числом) — ее
размерность такая же, как у самого приближения а.
1 Заметим, что всякие, часто предпринимающиеся попытки ввести
в определение предельной абсолютной погрешности условие мини-
мальности ее^не выдерживают научной критики. В самом деле, если
-потребовать минимальности предельной абсолютной погрешности, то
мы придем к истинной абсолютной погрешности |х — а |, а она вооб-
ще неизвестна. Другие оговорки: «по возможности меньшее», «наи-
меньшее из известных» и т д. не содержат никакого математического
условия и поэтому несерьезны и бесполезны.
16
3)	Теорема. Приближенное равенство х»а(±Аа) рав-
носильно системе неравенств
(*)	а — &а х < а + Аа.
Действительно, х а (± Аа) означает, что | х — а | <
< Аа, а это равносильно неравенствам —Аа < х — а<&а,
т. е. а — Аа < х < а 4- Аа.
Таким образом, если выполняются неравенства (*), то
число Аа является предельной абсолютной погрешностью
приближенного равенства хжа1.
4)	Так как предельная абсолютная погрешность при-
меняется только для характеристики порядка точности
приближенного числа, то вычислять ее с большим числом
значащих цифр не имеет смысла. На практике ограни-
чиваются одной-двумя значащими цифрами предельной
абсолютной погрешности, округляя ее надлежащим обра-
зом. При этом, если необходимо найти предельную абсолют-
ную погрешность приближенного числа или результата
< ряда действий над приближенными числами, то ее можно
округлять только в сторону увеличения2 (по избытку),
иначе может получиться число, меньшее абсолютной
погрешности рассматриваемого приближения Здесь исполь-
зуется возможность увеличения Аа. (Уточнение понятий
значащих цифр и округления чисел рассматривается
дальше).
Сделаем еще некоторые замечания.
Два знака в записи хжа (±Аа) учитывают любой знак
гС помощью неравенств (*) определяется предельная абсолютная
погрешность в книгах В. М. Брадиса.
2 В некоторых случаях, именно при решении так называемой обрат-
ной задачи теории погрешностей, приходится округлять искомые пре-
дельные абсолютные погрешности в сторону уменьшения (см. по этому
поводу: В. М. Брадис, Теория и практика вычислений, М., Учпед-
гиз, 1937, стр. 123).
2 М. Н. Швец
17
погрешности а = х — а. В случае, если знак а известен,
наряду с равенством х«а( + Да) можно писать более
точные приближенные равенства с одним знаком, а именно:
х«а(±Да), если а>0, т. е. х>аи
х«а(—Да), если а<0, т. е. х<а.
Первое из них равносильно неравенствам а < х •< а ± Да,
а второе — неравенствам а — Ьа<х<а.	__
Например: «^3,14(±0,002)и«»3,14(4-0,002); /10^
» 3,2 ( + 0,04) и точнее: /10 ^3,2 (—0,04).
- Далее, точное число характеризуется тем, что его
погрешность равна нулю: х — а = 0, а = х\ поэтому и
предельную абсолютную погрешность точного числа будем
считать равной нулю: Дх = 0 — это возможно по опреде-
лению Да. Очевидно обратное: если Да = 0, то а = х —
точное число. Этот редкий случай оценки погрешности
точного числа приходится учитывать в теоретических
выкладках и в вычислительной практике, поскольку точ-
ные числа все же иногда встречаютсях.
Важное замечание I.
Наконец, необходимо условиться о смысле соотношений
между предельными погрешностями и операций над ними.
Ввиду неопределенности предельной абсолютной погреш-
ности [в дальнейшем то же будет касаться предельной,
относительной погрешности (обозначение: §а)1 эти соот-
ношения и операции обладают некоторыми особенностями.
Конечно, когда рассматриваются конкретные частные зна-
1 И это показывает, что часто встречающееся определение пре-
дельной абсолютной погрешности при помогай строгих неравенств
| х — а | < Ла, Ла > 0 (и даже | х — а L < Ла, Да > 0) несостоятельно.
18
чения предельных погрешностей (а так будет в большин-
стве практических случаев), то никакой проблемы не воз-
никает— все соотношения и операции имеют обычный
числовой смысл. Но мы должны учитывать и те случаи,
когда предельные погрешности выступают в полном виде
в формулах общего характера, например:
Д (а ± Ь) = Да + Д&;
Да = | а |8а;
0,5 • 10-*-* < 8а < 0,5 - Ю-**1;
min 8а,- < 8 (Sa,) < max 8ал
Как понимать эти формулы, если фигурирующие в них
выражения Да, Д&, 8а можно произвольно увеличивать,
не меняя их смысла, т. е. если каждое из них обозначает
любое из бесконечного множества чисел?
По смыслу предельной абсолютной погрешности равен-
ство Да = т означает, что |х— а|</п, т. е. что одно
из значений Да равно т. Отсюда сразу видно, что ра-
венство Да = т не подчиняется закону транзитивности:
из Да — mi и Да = т2 не следует mi = т2 (т) т^
т2 — фиксированные числа).
Аналогично, неравенство Да<т(как будто противоре-
чащее неограниченности Да) будем понимать в том смысле,
что одно из значений Да меньше т, т. е. существует число
т' такое, что
|х — а| < т' < т.
Конечно, в этом случае можно записать также Да = т,
но это не противоречит неравенству Да < т в силу пре-
дыдущего.
Несколько иной смысл следует приписать неравенству
2*	1Э

Да>m: оно будет означать, что любая предельная
абсолютная погрешность числа а больше т, т. е. что
|х— а| > т.
(Сказать, как в прежних случаях, что некоторое значе-
ние Да больше т, не имеет смысла, так как это триви-
альное утверждение, верное для любых Да и /и).
Обобщим теперь эти соотношения.
Пусть В — любое неотрицательное выражение, зави-
сящее от некоторых предельных погрешностей и опре-
деленных чисел (в частности: одно число или одна Да,
или 8а). Обозначим через {В} множество значений выра-
жения В \ а знаком ** — эквивалентность соотношений.
Тогда по смыслу предельных погрешностей будем иметь сле-
дующие эквивалентности. Соотношение Да = В означает, что
всякое значение В есть предельная абсолютная погреш-
ность числа а, т. е. всегда |х — а|<СВ, а это значит,
что {В} az {Да} (возможно равенство: {В} = {Да}). Таким
образом:
Да = В *► |х— а| <В ** {В} az {Да}.
Геометрически равенство Да = В можно изобразить так:
(причем возможно \х — а| = В0).
1 Если В—фиксированное число, то под {В} понимаем множество
чисел > В.
20
Иначе равенство Да = В можно прочитать так: либо
все значения Да и В совпадают, либо некоторые значения
На меньше всех значений В1.
Неравенство Да < В исключает возможность равенства:
Да < В — |х— а| < В — ({В} с: {Да} и {В} =# {Да})
(тот же рисунок, причем |х— а|<Во) и читается так:
некоторые значения Да меньше всех значений В.
Соотношение Да < В объединяет оба предыдущих усло-
вия и потому выражает то же, что и равенство Да — В:
Да<В — |х —а|<В — {В}с {Да}.
Таким образом, условия Да = В и Да > В неразличимы.
Неравенство Да > В считаем равносильным условию
В < Да и, согласно предыдущему, читаем так: некоторые
значения В меньше всех значений Да или все значения
На больше некоторых значений В:
Да> В*»|х —а|> В- ({Да} с {В} и {Да} =£ {В}).
Геометрически это изобразйтся так (Вв<|х— а|):
Теперь ясно, что
Да > В — | х — а | > В *► {Да} cz {В)
(тот же рисунок, возможно Во = | х — а|). Мы исходим здесь
1 Отмечаем, что равенство Да = В несимметрично, т. е.
из него не следует В = Да, иначе было бы {Да} = {В}.
21
из условия, что Да > В равносильно неравенству В < Да1»
а это означает {В}	(Да). Соотношение Да>В читается
так: либо все значения Да и В совпадают, либо все зна-
чения Да больше некоторых значений В. Как - мы видим,
соотношения между предельными погрешностями обладают
специфическими особенностями.
Операции над предельными погрешностями, заданными
в общем виде, понимаются в смысле соответствующих
операций над их значениями (как для функций). Пусть,
например, а/ — произвольное значение Да, а р(- — произ-
вольное значение Д6; тогда значениями суммы и разно-
сти Да + Д6, произведения Да  Д6 и произведения на
число k • Ьа являются соответственно:
а/ ± Pi, аф/, kai.
Такое толкование операций определяется их происхожде-
нием в связи с действиями над приближенными числами.
Заметим в заключение, что все приведенные разъясне-
ния смысла соотношений и операций охватывают как общий
случай неопределенных предельных погрешностей, так и
частные случаи их конкретных значений (когда, в сущ-
ности, никакие разъяснения не нужны).
§ 3. ГРАНИЦЫ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Второй способ характеристики точности приближенно-
го числа состоит в указании границ неопределенности
соответствующего точного числа. Само точное число,
конечно, никакой неопределенности не содержит — неопре-
1 Но отнюдь не из условия, что Да > В равносильно дизъюнк-
ции «Да > В или Да = В», — здесь это неверно, так как Да = В
равносильно Да < В; в то же время Да < В «» (Да < В или Да == В).
22
деленно (в большинстве случаев) только наше знание о
нем: часто, не зная точного числа х, мы знаем лишь, где
его следует искать, т. е. на каком отрезке оно содер-
жится. Если этот отрезок [g, G], т. е. если
(1)	g < X < G,
то числа (известные, точные) g и G называются граница-
ми неопределенности (короче: границами) точного числа х,
точнее, g называется низшей (нижней, левой) границей,
a G — высшей (верхней, правой) границей числа х;
сокращенно:
g = НГх, G — ВГх.
Связь границ неопределенности точного числа с при-
ближенными значениями его выражается в том, что в
качестве приближений числа х берутся сами границы или *
числа, лежащие между ними:
g < а < G, хжа.
Так как |х— а| < G—g, то приближение а тем точнее
(тем ближе к х), чем меньше разность границ числа х,
т. е. чем уже отрезок [g, б]. Поэтому уточнение прибли-
женных значений числа х равносильно сближению его
границ, т. е. сужению отрезка [g, б].
Если точное число х известно, то будем считать, что
его границы совпадают с самим числом х: б =g = х —
это согласуется с определением границ.
Наоборот, если установлено, что g = б, то из (1) сле-
дует'х = g = б, т. е. точное значение х известно. В боль-
шинстве практических случаев число х неизвестно и вы-
полняются строгие неравенства
(!')	g<x<G.
Однако эти неравенства отнюдь не эквивалентны условию,
что х неизвестно: хотя мы и не знаем точного значения х,
23
но способ вычисления его границ может иногда привести
именно к этому значению, т. е. дать фактическое равен-
ство: g = х или х = G (так случается, например, при
нахождении границ вещественных корней алгебраических
уравнений). С другой стороны, и для известного х можно
составить строгие неравенства (Г). Это следует из оче-
видного факта неоднозначности границ: высшую границу
можно произвольно увеличивать, а низшую — произвольно
уменьшать. Ясно, что такое расширение границ исполь-
зуется крайне редко — почти всегда приходится их сужать,
т. е. уменьшать неопределенность точного числа х.
Заметим, что зная предельную абсолютную погрешность
приближения а, мы можем получить границы точного
числа х, так как из х^а(± Да), как мы видели, сле-
дует а — Да < х < а + Да. Таким образом,
а — Да = НГх и а-(-Да==ВГх.
Поставим теперь обратный вопрос: как определить пре-
дельную абсолютную погрешность приближения а, взя-
того произвольно на отрезке [g, G], определенном грани-
цами числа х?
Имеем: g<x<Gng<a<G, х^а.
Геометрически ясно ((а) означает различные положения
точки а),
(а) И » (at
gl -------- I - 1 х——t----1 в
что при любом взаимном расположении точек х и а
между границами выполняется неравенство:
(2)	|х —а|<тах(а—g, G— а)1
1 max (а, Ь) означает «наибольшее» яз чисел а и Ь, т. е. большее
из них, если они различны, и любое, если они равны.
24
и что эта оценка в общем случае не может быть улуч-
шена, т. е. правая часть неравенства (2) не может быть
уменьшена. Последнее утверждение обосновывается тем,
что в предельных случаях в неравенстве (2) достигается
знак равенства (при максимальном расстоянии между
точками х и а). Именно, если a — g и х = G, то
|х—a| = G—g, max (а—g, G— а) = max (0, G—g) =
= G —g и, следовательно, | x — a | = max (a —g, G — a);
аналогичное положение имеет место в случае x=g, а = G.
В силу (2) имеем:
(3)	Да = max (а—g, G — а).
Таким образом, если в приближенном равенстве х^а
число а взято между1 границами g и G точного числа х,
то предельная абсолютная погрешность этого равенства
равна наибольшему из двух чисел а—g и G — а.
В Частности, если в качестве приближения берется одна
из границ точного числа, то предельная абсолютная
погрешность равна разности границ:
(4)	6g = ДО = G — g.
Действительно, при а = g или а = G
max (а—g, G — а) = G—g.
Этот часто применяемый результат ясен и непосредствен-
но, так как |х—g| < G—g и |х— G| < G—g. Конечно,
разность границ можно взять в качестве предельной абсо-
лютной погрешности любого приближения а € [g, G], т. е.
всегда Да=О—g, но эта оценка хуже (грубее) оценки
(3), так как	z
G—g>max(a—g, G — a).
1 «Между» — в обобщенном смысле: g < а < G, допускающем ра-
венства; обычный смысл: g < а < Q — «строго между».
25
В каком случае число Л1 = тах(а—g, G— а) будет
наименьшим и, следовательно, приближение а — наилуч-
шим? Если а—g =# G— а, то геометрически ясно, что
а
£1---------------------------*---------------IG
М > 6 2 8 , а при а—g = G — а, т. е. а =	, М =
— а—g— G — а — °~^8 • Поэтому число М принимает
наименьшее значение в случае а—g = G — а или а =
G g	G — g	<<
= - 2 s , и это значение равно • 2 -.
Так получается важный вывод:
Если о точном числе неизвестно ничего, кроме границ,
то наилучшим приближением этого числа является полу-
сумма (среднее арифметическое) его границ; при этом
предельная абсолютная погрешность равна полуразности
границ.
Таким образом, наилучшее приближение числа х,
g < х < G, записывается в виде:
(5)
«Наилучшее» — в том смысле, что его предельная абсо-
лютная погрешность наименьшая:
А / G gA	G'— g	. А
Д( —= min Да,
Последняя запись означает: наименьшее для всех а
между g и G, ,
26,
§ 4. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Абсолютная погрешность, как характеристика точности
приближенного числа, имеет свои недостатки. Во-первых,
будучи числом именованным, она годится для сравнения
точности измерения только одной и той же величины
и неприменима для сравнительной оценки точности раз-
нородных величин. Во-вторых, даже в случае однородных
величин, значительно отличающихся между собой, абсо-
лютная погрешность не дает представления о сравнитель-
ной точности (о качестве) их измерения1.
Дело здесь в том, что при оценке ’ качества измерения
имеет значение не столько сама абсолютная погрешность,
сколько доля этой погрешности, приходящаяся на еди-
ницу измеряемой величины; вполне естественно, что изме
рение считается тем более точным, чем меньше эта доля
Она называется относительной погрешностью приближе
ния, поскольку в ней абсолютная погрешность соотно-
сится ко всей измеряемой величине. Учитывая незначи-
тельность различия между точным числом и его прибли-
жением2, а также возможность отрицательных значений
величин, примем следующее определение.
Определение, Относительной погрешностью прибли-
жения а точного числа х (а также приближенного
-1 Мы говорим здесь и дальше об измерении величин в обобщенном
смысле — как о нахождении их приближенных значений, независимо
от того, являются ли эти величины физическими (размерными) или
абстрактными (безразмерными) числами.
2 Если считать погрешность а = х — а малой величиной первого
а а а2
порядка относительно величин х и а, то разность - —- = ~~ ха(ха^
ф 0) будет величиной второго порядка малости и обычно игнорируется,
т. е. принимается равной нулю.
27
равенства х^а) называется отношение абсолютной пог-
решности, этого приближения (равенства) к абсолютной
величине приближения а:
8 — 1 * ~ ° ।
Р . |«1 ‘
Предполагается, конечно, что ау=Ох.
Ввиду непрактичности относительной погрешности
(она, как правило, неизвестна вместе с точной величи-
ной х) на практике обычно используется ее оценка, назы-
ваемая предельной относительной погрешностью. Это
неотрицательное число 8а, которого не превосходит отно-
сительная погрешность приближения а:
(б)
Ц=£! < 8а, . 8а > 0.
Ясно, что чем меньше предельная относительная погреш-
ность, тем ближе а к х, тем точнее известно приближе-
ние а. Предельная относительная погрешность является
поэтому третьей характеристикой точности приближен-
ного числа.
Выведем важную формулу связи между предельной
относительной погрешностью и предельной абсолютной
погрешностью2 г
(7)
8а =
Да
Пг
1 Для а == 0 (что вполне возможно) относительная погрешность
не определяется, в то время как абсолютная погрешность нуля рав-
на |х|.
8 Многие авторы равенством (7) определяют предельную относи-
тельную погрешность.
„ e	а I* — а I Да
Действительно, так как | х — а | < Да, то “jyp <
Да *
и, следовательно = оа.
Отметим еще полезное равенство
(8)	Да = | а | За,
позволяющее находить предельную абсолютную погреш-
ность по известным предельной относительной погреш-
ности и приближению а. В случае а > 0 имеем просто:
8а — — и’Да = аВа.
а
Свойства предельной относительной погрешности
1) Предельная относительная погрешность определяется
неоднозначно: ее можно произвольно увеличивать. На
практике чаще всего приходится, наоборот, уменьшать
предельную относительную погрешность, добиваясь воз-
можно большей точности приближенного числа. Здесь
уместны все замечания, которые были приведены по поводу
свойства 1) предельной абсолютной погрешности.
ч 2) Предельная относительная погрешность, как отно-
шение однородных величин, является абстрактным (без-
размерным) числом. Поэтому она пригодна для сравни-
тельной оценки точности приближенных значений совер-
шенно произвольных величин, как однородных, так и
разнородных, являясь универсальной характеристикой
точности (качества измерений и вычислений).
3) При нахождении предельной относительной погреш-
ности приближенных чисел или результата действий над
ними она округляется до одной-двух значащих цифр
только по избытку.
Заметим еще, что предельная относительная погреш-
ность на практике обычно выражается в процентах и про-
29
милях (1°/оо = 0,001). При этом употребляется запись:
х^а(± р%) или x^a(±g°/00),
где значки % и °/00 указывают на то, что имеется ввиду
относительная, а не абсолютная предельная погрешность
Ясно, что при таких записях р = 1008а и q = 10003а.
По поводу смысла равенств и неравенств, содержащих
предельные относительные погрешности, здесь можно
повторить все то, что было сказано в этом отношении
о предельной абсолютной погрешности (с понятной заме-
ной терминов).
§ 5. ТОЧНЫЕ ЦИФРЫ
Рассмотрим пример:
х « 204,70683 (± 0,005).
Это значит, что
204,70183 <х< 204,71183.
За какие цифры приближения а = 204,70683 можно по-
ручиться, т. е. утверждать, что они наверное входят
в точное число х? Очевидно, это можно сказать о первых
четырех цифрах 204,7, так как они общие у обеих гра-
ниц числа х. Пятая цифра числа х может иметь одно из
двух - значений: 0 или 1 — хоть она и не определяется
однозначно, но колеблется очень мало. Это значит, что
за цифру сотых числа а можно поручиться с небольшим
колебанием — не более чем на единицу в ту или другую
сторону. Что же касается остальных цифр числа а, то
они не заслуживают никакого доверия, так как в записи
30
точного числа х они могут принимать совершенно произ-
вольные значения. Эти последние три цифры естественно
назвать сомнительными. Первые же пять цифр принято
называть точными или верными. Учитывая связь этих
понятий с погрешностью приближенного числа а, примем
следующее определение.
Определение. Цифра z числа а называется точной
(или верной), если абсолютная погрешность числа а не
превосходит половины единицы разряда, занимаемого циф-
рой г, т. е. если |х— а| • 10* (или Да = у • 10*=
= 5 • 10*—1), где k — номер разряда этой цифры. В про-
тивном случае, т. е. когда |х— а|>у* 10*, цифра г
k-го разряда числа аназывается сомнительной1.
Из этого определения следует, что всякая цифра, рас-
положенная левее точной,— точная, а всякая цифра,
расположенная правее сомнительной,— сомнительная.
Если абсолютная погрешность числа не превосходит по-
ловины единицы его последнего разряда, и только в этом
случае, то все цифры этого числа точные. У точного числа
все цифры точные.
Замечание. Для различения точных и сомнительных
цифр числа нет необходимости знать абсолютную погреш-
ность его |х— а\ точно, а необходимо и достаточно знать
только первую отличную от нуля цифру этой погреш-
ности, если она (цифра) не равна 5, а для цифры 5
нужно знать еще, следует ли за ней хоть одна цифра,
отличная от нуля.
1 Иногда при определении точных цифр кладут в основу погреш-
ность Да = 10* или Да = <о • 10й, £ < “ < 1 (см. Дальше — стр. 45).
31
Пусть
|х — а| =am10m 4-am-f Ю"1-’ + ..., ат =£0,
тогда в случае ат < 4 или ат = 5, ат-\ = ат_2 = ... = '
= 0 цифра разряда 10от будет первой сомнительной циф-
рой числа а, а в случае ат 6 или ат = 5 с последую-
щей цифрой #= 0 — первой сомнительной цифрой числа а
будет цифра разряда Ю^+Ч
Пример:
к яг у = 3,142857...,
|к—у | = у — 1Г = 0,00126....
22
У приближения у = 3,142857 ... три точные цифры, все
остальные (начиная с тысячных) сомнительные.
Очень важно иметь в виду, что в математических
таблицах даются только точные цифры; таким образом,
абсолютная погрешность каждого табличного значения
не превосходит половины единицы последнего табличного
разряда (или пяти единиц разряда, следующего за пос-
ледним табличным). В этом состоит основной принцип
составления таблиц.	'
Обратим внимание на то, что точные цифры прибли-
женного числа не всегда являются цифрами соответствую-
щего точного числа.
Пусть, например, точное число х = 5,3047; рассмотрим
три его приближения:
at = 5,305 — все цифры точные (| х — ai | = 0,0003 <
<0,0005);
а, = 5,30 — все цифры точные (| х — а21 = 0,0047 <
<0,005):
а8 = 5,304 — последняя цифра сомнительная, а осталь-
ные точные (| х — а31 = 0,0007 > 0,0005, но 0,005 > 0,0007).
Ясно, что в избыточном приближении цифры точного
числа не могут сохраняться полностью уже потому, что
это приближение больше точного числа1. Нельзя также
утверждать, что точные цифры недостаточного приближе-
ния совпадают с соответствующими цифрами точного
числа, как показывают следующие примеры:
1) х = Г, а = 0,999 — здесь цифры 0, 9, 9 точные;
2) х = 20,3427; а = 20,3389 — здесь х — а= 0,0038 и,
следовательно, только цифры 2, 0, 3, 3 точные.
Зато, если все цифры недостаточного приближения
точные, то они совпадают с соответствующими цифрами
точного числа.
Действительно, пусть
х = О1... ak, ал-1-1 ..., а = а\,... а^ 0 <х — а < 0,5;
тогда
Д1 ...flfc, ak+\ ...	5)
ai ••• ak
0 ... О, ak±\ ...
и, следовательно, а\ =	..., ak — ak (если бы [х] — а =#
#= 0, то было бы х — а>1, вопреки условию).
При другом положении запятой рассуждения анало-
гичны.
1 При этом учитывается, что точное число имеет бесконечное мно-
жество точных цифр, включая период нуль для конечной система-
тической дроби; поэтому случай х — 0,2304 и а = 0,230451 не про-
тиворечит нашему утверждению, поскольку нужно считать, что х =
= 0,230400, и последние нули не сохраняются. \;
3 М. Н. Швец	33
Заметим, что точная часть приближенного числа не
может отличаться от соответствующей части точного
числа более, чем на одну единицу ее последнего разряда.
(Под «точной частью» числа следует понимать часть его,
выраженную точными цифрами).
Действительно, пусть
х == А, а^ ... akak+i • • •,
а = В, bi ... bkbk+i ....
хха(± 0,5 • 10-*).
Точная часть числа а:
Ь' = В, bi ... bk,
соответствующая часть числа х:
a' = A,ai ... ak.
Имеем:
5 • 10~<*+n > |х — а\ — 1а' — Ь' 4- (a»+i — &*+i) X
х ю-(*+1) + ... | > | d — b' | —	|aft+1 —
— bk+t I — •••'.
I a' — b’ | -C 10~- —1 (5 4* | at+i — bk+t |) 4*... <
< 14 • 10-*-' 4-... < 15 • 10-*-1 = 1,5 • 10-*.
Итак:
|a' — 6'|<1,5- 10-*.
Но число | a' — b' | выражается целым числом единиц
k-ro десятичного разряда, поэтому
\а'— &' | С 10—*,
т. е. либо а' = Ь', либо la' — b' | — 10~*.
34
Важное замечание П.
Так как точные цифры приближенного числа могут
не совпадать с соответствующими цифрами точного числа,
то нужно оправдать само название «точные цифры». Дело
в том, что при оценке качества приближения играет
роль его погрешность, т. е. близость приближения к
точному числу, а не совпадение соответствующих цифр.
Во многих же случаях изменение цифр точного числа
приводит к уменьшению погрешности. Например, если
х = 0,364829...,
а' = 0,364 и а = 0,365,
то
|х— а| < |х— а'\.
Докажем вообще такую теорему:
Теорема. Пусть х ^а(± 0,5 • 10-*) и а'— соответ-
ствующая часть точного числа х (состоящая из столь-
ких первых цифр числа х, сколько цифр имеет а). Если
все цифры числа а точные, то всегда
|х —а| < |х— а'|,
т. е. а приближает число х не хуже, чем а'; при этом
равенство имеет место только в следующих двух случаях:
1) когда а<х (при этом а’ = а) и
а-^а'
2) когда а> х и х == ——.
В остальных случаях число а приближает х лучше, чем
число а’, т. е. имеет место строгое неравенство:
|х — а| < |х — а! |.
3*
35
Если же приближение а содержит хоть одну сомни-
тельную цифру и а' 4= а, то
|х— а|> |х — а’ |,
т. е. а приближает число х хуже, чем а'.
Доказательство. Пусть, как и раньше,
х ^4, dj ... akOk-j— i ...,
а = В, bi ... bkbk+t ...»
а' — A, ai ... ak,
b' — В, bi ... bk.
~ Если а — Ь’ и а < х, то, как мы видели, а' =\Ь’,
т. е. а' = а, следовательно, х — а = х — а'.
Пусть теперь а = Ь' >х, тогда а > а'. Имеем:
х — а' = ак+\  10-*-* 4-а*+2 • IO74-2 + ...,
|х— а\ = а — х = а —а' — ak+t • Ю-*-1 —
-ak+2-
Так как а>а', то, в силу предыдущего замечания,
а — а' = КУ-*,
поэтому
a— v = (10 — аж) • Ю-*-1 — ak+2 • 10~ft-2 — ....
Так как по условию
а — х<5-	,
то
(5 —а*+1) • 10-fe-* -ak+2 • 10—*—2 - ... < 0,
откуда следует ak+t 51.
1 Период (9) предполагается исключенным, поэтому всегда
10“ > Ci • 10“-1 + с2 • 10“-2 + ... (0 < cz < 9).
36
Далее:
10 —	5 dk^- t
поэтому
а — х< a*+i • 10-*-1 —ak+2 • 10-*-2 — ... <
<a*+i • IO-*”1 +a^+2 • 10-/г~2+ ... = х — а\
а — х <х— а'.
Знак равенства здесь возможен только в случае
си = 0 (i > k + 2),
тогда получаем
а -£• а'
Х ~ ~2~ •
Пример достижимости:
х = 3,715; d = 3,72; а' =3,71.
Пусть, наконец, приближение а содержит сомнитель-
ную цифру bk+\, т. е. \х— а| > 5 • 10~*-2. Возьмем для
простоты 1
d'^A^di ...
d = Ь' = В, bi ... bkbk+it
тогда
| X — d' | = dk+2 • Ю~^~2 + ...,
x — d = d' —a-|- a*4-2 • 10—k~2 + ....
1 Если сомнительных цифр больше одной, то рассуждения ана-
логичны.
Если а' > а, то
х — а = | х — а | > | х — а' |,
причем равенство возможно только в случае а = а'.
Пример:
х = 0,27849; а = 0,2784 = а'.
Пусть а' < а. Тогда
|х — а'\ = х — а' = а*+2 ♦ Ю~*-2 +0*4.3-10~*-3 4- ... = а.
Очевидно, из а>а' следует а>х. Поэтому |х — а| =
= а — х == а — а' — а.
Если а — а' — Ю-*-1, то
а — х = 10—*—1 — а>5- 10-*~2, а <5- 10—*—2,
откуда
| х — а | > а =х | х — а' |.
Если же а — а' > 2 • 10-*-1 (эта разность равна
с - 10—*-1, с—натуральное), то
| х — а\ = а — х = а — а' — а > 2 • 10-*-1 — а =
= 10—*—1 4- (10—*~1 — а) > 10-*-1 >а = |х —а'|.
Итак, если а=£ а', то всегда
|х — о| > |х — а'\.
Теорема доказана полностью.
Между числом точных цифр приближенного числа и
его абсолютной погрешностью имеется следующая связь.
Теорема. Предельная абсолютная погрешность числа а
равна g- • 10* тогда и только тогда, когда оно имеет
п — k точных цифр, где п — число цифр целой части
числа а (предполагается k^n).
за
Действительно, если целая часть а имеет п цифр и
Да = 5- -10*, то а — an-i...ak'...a^, a_t... a_s...; при
к = — s < 0 имеется п + з = п — k точных цифр (от an-i
до a_s); при А = 0 имеется п = п— 0 точных цифр (от
ап-\ До ао) и при га>£>0 число а имеет также п — k
точных цифр (от an-i до а*).
В предельном случае k = п точных цифр не будет
совсем (так как первая цифра ап_\ будет сомнительной:
1  10"	• 10"_|), значит, и здесь число точных цифр
равно п — k{= 0).
Обратно, если число точных цифр а равно п — k, где
п — число цифр до запятой, то при га > А > 0 будет
Да = s- • 10* и при k = — s<0 Да = к • 10-s — I- • 10*.
Заметим, что при этом доказательстве мы не предпо-
лагали, что an-i #= 0, т. е. теорема останется верной и
в случае приписывания любого количества нулей в на-
чале целой части числа а (все такие нули являются точ-
ными цифрами, если справа от них имеется хоть одна
точная цифра). Это вносит некоторую неопределенность
в понятие числа точных цифр. Неопределенность устра-
няется естественным соглашением начинать целую часть
числа первой отличной от нуля цифрой, если она (целая
часть) не равна нулю, и записывать ее с помощью од-
ного нуля в противном случае.
Примеры: а == 23,037451; Да = ^- • 10~3; число точных
цифр = 5 = 2 — (—3) (п — 2, k = —3).
а = 0023,037451; Да = |- • 10-3; число точных цифр =
= 4 — (—3) = 7 (га = 4, k = —3).
39
a — 0,0002974; Да = ^ • IO-5; число точных цифр равно
1 — (—5) = 6 (п = 1, k = —5).
Следствие 1. Число а имеет т точных цифр (т>0)
тогда и только тогда, когда Да = • 10я-'", где п — число
цифр целой части а.
Действительно, если п — k = т, то k = п — т.
Следствие 2. Число а имеет т точных десятичных
знаков тогда и только тогда, когда Да = у • 10-т.
Действительно, число а имеет т точных десятичных
знаков тогда и только тогда, когда оно имеет га 4- т точ-
ных цифр (п — число цифр [а]); теперь достаточно при-
менить следствие 1. Предполагается, что /п>0. Впрочем,
следствие 2 вытекает непосредственно из определения
точных цифр.
Сделаем еще одно полезное замечание.
Может встретиться случай, например,
а = 0,2744, Да = • 10~7,
когда в записи приближенного числа отсутствуют цифры,
которые должны считаться точными *.
Нельзя ли восстановить эти цифры?
1 Такие случаи возникают, например, при пользовании .некото-
рыми приближенными формулами. Так, при малых а 1 + а «Д -J-
4-с погрешностью	поэтому У1,002	1,001 и Адк
~(2 . Ю~3)2:8 = 1. • 10~6,
40
Конечно, места недостающих цифр можно заполнить
нулями, т. е. записать
х 0,2744000 ( ± ~ 10-7),
так как это приближенное равенство имеет тот же смысл,
0,27439995 < х,< 0,27440005,
что и исходное1: хх 0,2744	Ю-7). Этим дано
одно из возможных решений поставленного вопроса, и
для практики его достаточно. Но будет ли это решение
единственным?
Примеры
х = 0,27439995 ) х = 0,27440005
а = 0,2744000 а = 0,2744001
а' = 0,2743999 { а' = 0,2744000-
показывают, что вообще не 'будет: а и а' — два различ-
ных приближения числа х с одной и той же абсолютной
погрешностью • 10~7j и одним и тем же числом (точ-
ных) десятичных знаков (/и=7)1 2. Легко показать, что
больше двух <аких решений быть не может. Действитель-
но, пусть а и а' — приближения числа х с т десятичными
1 Дело в том, что равенство а = 0,2744 точное!
2 Если не ограничивать число десятичных знаков, то, конечно,
решений будет сколько угодно.
Между приближенными числами 0,2744000 и 0,2744 есть суще-
ственная разница: в первом известны семь десятичных знаков, а во
втором — только четыре (подробнее об этом см. дальше).
41
знаками каждое и пусть Да = Да' =	• 10~т = е;
тогда
а — е< х<а + е и а' — е < х < а' -|- е,
откуда а — е < а' + • и а' — е а + е, т. е. | а — а' | < 2е.
Так как 2е = 10~т, а разность |а — а'| имеет последний
разряд 10-'”, то либо |а — а'| = 0 (когда |а — а'|<2е),
либо |а — а' | = 10-от; в первом случае а' — а, во вто-'
ром — эти числа отличаются единицей последнего (т-го)
десятичного разряда. Других возможностей нет. Что обе
эти возможности достижимы, мы видели на примерах.
Уместно отметить, что второй случай не имеет значе-
ния для вычислительной практики, так как он реали-
зуется крайне редко и предполагает знание точного
числа х; действительно, считая а > а', найдем, что
а — а' = 2е возможно, в силу а — е х < а' + е, только
при условии а — е = х = а' 4- е. Итак:
Если х^А,а1Оъ ... a*(±|-" 10_,nj и т> k, то можно >
писать
m—k
х«Л,аха2 ... а* 00 ... 0	10-mj,
и все дописанные нули будут точными.
В некоторых случаях тому же условию
х^а • 10~mj [а = А.а^г ... а*]
будет удовлетворять одно из двух чисел а ± 10~т: первое
|хл*а10~m(± g’• 10-mj j при х = а + ^ • 10-m и
второе 1х та а — 10~"? (± • Ю-"1) 1 при х = а —	Ю-"1.
42
Важное замечание П1.	'
Если известна только предельная абсолютная погреш-
ность Да приближенного числа а, то точные цифры его
могут быть определены, вообще, неполностью.
Пусть, например,
х а = 3,0734152 ( ± i • 10~3);
так как здесь
|х — а \ < £ • 10~3,
то мы можем с уверенностью утверждать, что цифры 3,
0, 7 и 3 точные. Но все ли это точные цифры? Будут
ли все остальные цифры 4, 1, 5, 2 сомнительными? Без
дополнительных данных на эти вопросы мы не можем
ответить. Ведь-для того, чтобы цифра 4 была сомнитель-
ной, необходимо выполнение условия
|х-а|>1- 10-“,
а оно не следует из равенства = ~ • 10~3. Ведь фак-
тическая абсолютная погрешность | х — а | может быть
значительно меньше предельной, и это имеет большое
практическое значение, так как правила учета погреш-
ностей почти всегда дают завышенные значения предель-
ных погрешностей. Поэтому необходимо иметь в виду
следующее. ,
Строгое различение точных и сомнительных цифр числа
требует знания первой отличной от нуля цифры абсолют-
ной погрешности его (см выше). Если эта цифра неиз-
вестна, а дана лишь некоторая предельная абсолютная
43
погрешность Да, то условимся понимать термины «точные»
и «сомнительные» цифры в более широком смысле:
Цифру разряда 10* будем считать точной, если
Да < у • 10*, и сомнительной, если Да > у-10*. При
этом точные цифры будут точными и в первоначальном
смысле, но возможно не всеми, а сомнительные цифры
в широком смысле будут включать в себя все сомнитель-
ные цифры и, вообще, некоторые точные цифры в перво-
начальном смысле.
Схематически это можно представить так:
В обычном	точные	сом нит.
смысле ,-------------------*---------------ч,----а-----ч
-Ы4.	xlz	six	\lx	\lx	\L>	.
Л'	л> /|х	Л'	л>	л^"	л>
В широком ---------------------* V---------'
смысле	точные	сомнйт.
Для практики достаточно учитывать, что точные цифры,
определенные с помощью предельной абсолютной погреш-
ности, действительно являются точными, а сомнительные
могут быть частично точными (вначале) и частично сомни-
тельными (в конце).
Некоторые авторы определяют точные и сомнительные
цифры с самого начала не через абсолютную погрешность,
а через предельную абсолютную погрешность. При этом,
ввиду известной неопределенности Да, эти понятия не
получают однозначно определенного смысла — они оказы-
ваются зависящими от выбора предельной абсолютной
погрешности или от способа вычисления, в то время как
естественно считать понятия точных и сомнительных цифр
зависящими только от данного приближенного числа.
44
Важное замечание IV.
Не всегда точные цифры определяются так, как здесь
Часто, особенно в инженерной практике, цифра г раз-
ряда 10* числа а считается точной (верной), если | х — а | <
< 10*, т. е. если Да = 10*.
Вообще, поступают так. Выбирают некоторый положи-
тельный параметр ш и условливаются считать цифру
разряда 10* числа а точной (верной), если Да = • 10*,
и сомнительной в противном случае. Выбор параметра <о
определяется потребностями вычислительной практики.
Рассуждения, которых мы не будем здесь проводить1,
показывают, что имеет смысл выбирать <о только в сег-
менте 1 j, т. е. 0,5 < <о < 1. На практике чаще всего
берут крайние значения: ш = у и <о = 1. У нас всюду
1
ПРИНЯТО О) = у .
Увеличение параметра ш ослабляет требования к точ-
ности вычисления: сомнительную цифру оно может сделать
точной.
Примеры:
1) х ж 4,037126 (± 0,0003);
здесь раздел (вертикальная черта) между точными и сомни-
тельными цифрами сохраняется при любом выборе
1 С ними можно познакомиться по книгам: И. С. Березин
и Н. П. Жидков, Методы вычислений, т. 1, JVL, Физматгиз, 1959;
Г. Н. Положий и др., Математический практикум, М.» Физмат-
гиз, 1960.
45
2)	4,0317126 (±0,0008).
Теперь положение изменилось: если <о = -^ , то раздели-
тельная черта — левая, а если <о — 1 — правая. При увели-
чении <о от у до 1 сомнительная цифра 7 переходит в
разряд точных.
§ 6. ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ
1. ОБЗОР ОПРЕДЕЛЕНИЙ
Ни одно понятие теории приближенных вычислений
не вызвало такого хаоса в толковании и использовании,
как понятие значащих цифр. Почти каждый автор опре-
деляет это понятие по-своему, причем чаще всего различия
заложены довольно глубоко. Такой разнобой вызывается
самим существом дела — принципиальной трудностью
исчерпывающей характеристики сущности значащих цифр.
Об этом как раз и свидетельствует обилие разноречивых
определений. Некоторые из них мы здесь рассмотрим и
прокомментируем Ч
Наиболее распространенным сейчас является опреде-
ление значащих цифр, принятое в работах профессора
1 Недостатки отдельных определений значащих цифр отмечает
В. У. Грибанов («Приближенные вычисления в средней школе»,
М.» Учпедгиз, 1958). О толковании этого понятия самим В. У. Гри-
бановым см. ниже.
Отметим здесь же, ^что, связывая определение с именем того или
иного автора, мы не имеем в виду абсолютного приоритета, а лишь
показания доступной нам литературы.
46
В. М. Брадиса1. Такое же в сущности определение дают
Н. Б. Скарборо2 и Жюль Таннери3. Приведем, напри-
мер, определение Таннери:
«Я буду называть значащими цифрами этого числа те
цифры, через которые оно написано, за исключением
нулей, которые могут быть слева, и нулей, которые можно
поставить управа, чтобы занять место цифр, которые
неизвестны или которыми пренебрегают».
Это определение с некоторыми уточнениями почти
неизбежно в случае вычислений без строгого учета по-
грешностей (терминология В. М Брадиса), и оно хорошо
обслуживает этот случай. Однако его ни в коем случае
нельзя признать строгим научным определением понятия
значащих цифр. Настоящее определение должно характе-
ризовать свойство цифры приближенного числа быть
значащей в зависимости от основных параметров этого
числа: его величины и погрешности. Определение Таннери
не учитывает этих параметров. Далее, по этому опреде-
лению незначащей цифрой может быть только нуль; таким
образом различение значащих и незначащих цифр про-
исходит не по существенным свойствам цифр в составе
числа, а по чисто случайным внешним признакам: нуль
или не нуль (причем нуль может быть и значащим, и
незначащим). Если взять уже приведенное число жителей
Токио — 9992 542 чел. (в 1961 г), то, по определению
Таннери, все его цифры нужно считать значащими, хотя
1 Назовем лишь последнюю из них: В. М. Б р а д и с, Вычисли-
тельная работа в курсе математики средней школы; М., Изд-во АПН,
2 Н. Б. Скарборо, Численные методы математического ана-
лиза, 1934.
8 Ж. Таннери, Курс теоретической и практической арифме-
тики, 1894.
47
последние"" из них не имеют никакого реального смысла
(значения). Мы вправе считать их неизвестными и прене-
брегать ими, но мы не вправе объявить их незначащими,
так как они отличны от нуля. Мы можем заменить их
любыми другими цифрами, отличными от нуля (это ни-
сколько не повлияет на реальный смысл числа), но свойство
быть значащими не нарушится. И лишь в тот момент они
перейдут д незначащие, когда мы заменим их нулями!
Все это выглядит довольно странно, искусственно.
Если у нас есть основание не доверять некоторым
цифрам приближенного числа, то определение Таннери
разрешает заменить их нулями, а затем различать зна-
чащие и незначащие цифры. Таким образом, это опреде-
ление по существу применимо не ко всякому приближен-
ному числу, а лишь к числам специально обработанным.
Но вполне естественно требовать, чтобы определение
значащих цифр зависело от исходного приближенного
числа, а не от результата его обработки. Поэтому ясно,
что в основу различения значащих и незначащих цифр
должен быть положен более серьезный принцип: способ-
ность цифры приближенного числа нести ту или иную
информацию о соответствующем точном числе.
Некоторые авторы (П. С. Александров и А. Н. Кол-
могоров1, Г. Н. Положий1 2, К. П. Яковлев3 и др.) объяв-
ляют незначащими только «левые» нули. По-видимому,
1 П С. Александров и А. Н. Колмогоров, Свойства
неравенств и понятие о приближенных вычислениях. Статья 1941 года.
См. сборник «Вопросы преподавания математики в средней школе»
под ред. П. В. Стратилатова, М., Учпедгиз, 1961.
2 «Математический практикум» под ред. Г. Н. П о л о ж е г о, М.,
Физматгиз, 1960.
8 К. П. Яковлев, Математическая обработка результатов изме-
рений, М., ГИТТЛ, 1953.
48
при этом молчаливо предполагается, что речь идет о
числах, записываемых десятичными дробями. Но как
быть с целыми числами? Тут нужна либо особая оговорка,
либо эти числа необходимо представлять в виде десятич-
ных дробей по специальным правилам. Во всех случаях
подобное определение неполно.
Другие авторы (М. Я. Выгодский1, К. С. Кунц2,
Heinrich3 и др.) отождествляют значащие цифры с точны-
ми значащими цифрами.
Такой подход вполне законен и достаточен для теории
вычислений со строгим учетом погрешностей, но он
непригоден для обычных вычислений, основанных на
статистических методах. Кроме того, такое определение
не соответствует духу общепризнанного принципа акад.
А. Н. Крылова, согласно которому в записи приближен-
ного числа, кроме точных цифр, сохраняется одна сомни-
тельная4. Ведь вполне естественно считать, что цифры,
оставляемые в составе приближенного числа на основании
некоторого разумного принципа^ должны относиться к
значащим (кроме левых нулей).
Существуют определения значащих цифр, основанные
именно на этой идее Это определения И. К. Андронова5
и А. Г. Головейко®. Вот они.
1	М. Я. Выгодский, Справочник по элементарной математике,
М., ГИТТЛ, 1952.
2	К. С. Кунц, Численный анализ, К., изд-во «Техшка», 1964.
3	Н. Heinrich, Einfphrung in die praktische Analysis, Teil 1,
Leipzig, 1963.
4	Подробнее о принципе Крылова см. дальше (§ 11, п. 4).
5	И. К. Андронов, Арифметика дробных чисел и основных
величин, М., Учпедгиз, 1955, стр. 159; И. К. Андронов, Ариф-
метика, М., Учпедгиз, 1959, стр. 262.
6	А. Г. Головейко, Математическая обработка опытных дан-
ных, Минск, Редакционно-издательский отдел БПИ (Белорусского
политехнического ин-та), 1960, стр. 10.
4 м. Н. Швец
49
И. К. Андронов: «Значащими цифрами числа, записан-
ного согласно правилу Крылова, называются все его
цифры, кроме нулей, записанных левее первой отличной
от нуля его цифры».
А. Г. Головейко: «Значащими цифрами приближенного
числа являются все его цифры, начиная с первой слева,
отличной от нуля, и кончая первой сомнительной вклю-
чительно».
По существу сюда же примыкает определение БСЭ1:
«Значащие цифры в приближенных вычислениях — все
цифры числа, начиная с 1-й слева, отличной от нуля, до
последней, за правильность которой можно ручаться».
По нашему мнению, определения этой группы наиболее
точно отражают-существо дела. Определение И. К. Андро-
нова обладает приоритетом в смысле идеи, но в деталях
оно имеет некоторые недостатки: во-первых, оно тоже
’ требует предварительной обработки чисел (записи по
принципу Крылова) и поэтому неприменимо к любому,
приближенному числу; во-вторых, оно игнорирует целые
приближенные числа и, в-третьих, это определение, к
сожалению, недостаточно точно в том смысле, что автор
не дает четких разъяснений смысла абсолютной погреш-
ности, верных цифр и принципа Крылова. • Объясняется
это тем, что в своих книгах И К. Андронов обращается
непосредственно к школьникам и апеллирует лишь к
наглядным, интуитивным представлениям, стремясь макси-
мально упростить изложение.
Более совершенным (как и более поздним) является
определение А. Г Головейко в его книге «Математическая
обработка опытных данных»: оно не требует предвари-
тельной обработки числа, всегда применимо (если известна
1 БСЭ, изд. 2, т. 17, стр. 135.	~
50
погрешность или предельная абсолютная погрешность) й
допускает любые цифры в качестве незначащих (не только
нули!) — об этом имеется и прямое указание автора
(стр. 10, Примечание 1). Из определения сомнительной
цифры (там же, стр. 9) видно, что А. Г. Головейко при-
нимает <!>== 1. Кстати, определение БСЭ также не требует
предварительной обработки чисел и не препятствует любой
цифре быть незначащей.
В настоящей работе найдут обоснование определения
И. К. Андронова и А. Г. Головейко. Они будут полу-
чены из предлагаемого автором «основного определения»
значащих цифр, основанного на естественной идее учета
фактической роли цифры в составе числа и ее поведения
при изменении масштаба.
После некоторого ослабления условий основного опре-
деления мы получим из него также (уточненные) опре-
деления Таннери — Брадиса и БСЭ.
Рассмотрим теперь примеры большой путаницы и без-
заботности в отношении понятия значащих цифр.
В известной и очень ценной книге А. С. Хаусхолдера
«Основы численного анализа»1 принято следующее опре-
деление:
«Пусть число
(1) х* = ± (*!?-' + х28-2 + ... + ххЗ-1) . р»
представляет величину, точное значение которой есть х,
и пусть
(6)	|х* —х| <	• Р—\
тогда цифры xi, х2,... ,хх называют верными (или зна-
1 А. С. Хаусхолдер, Основы численного анализа, М., изд-во
иностранной литературы, 1956, стр. 16.
4*	51
чащами). Если при этом хх #= О, то про х* говорят, что
оно содержит к верных (значащих) цифр. Если неизвестно,
выполняется ли неравенство (6), то последняя цифра хх
считается сомнительной».
Тут много путаницы. Первая фраза относит к знача-
щим цифрам и левые нули, а вторая ей противоречит.
Смешиваются понятия верных и значащих цифр. Третья
фраза вообще странная: из нее следует, что число не
может иметь больше одной сомнительной цифры.
Автор хорошо бы определил верные значащие цифры
(но не «верные или значащие» !), если бы в первой фразе
потребовал Xi =j= 0, тем более, что при таком условии
представление (1) для каждого конечнозначного ?-ичного
числа (кроме нуля) существует и единственно.
Небрежно определяет значащие цифры и В. Л. Загус-
кин1. Но мы обратимся теперь к авторам, совершенно
игнорирующим понятие значащих цифр, пытающимся
обойтись без него. Таковы прежде всего И. С. Березин
и Н. П. Жидков. В своей книге «Методы вычислений»
они не употребляют явно общего понятия значащих цифр
(повезло лишь «первой значащей цифре», которую авторы
вынуждены ввести на 52 стр.). Но это понятие присут-
ствует неявно, и его игнорирование привело авторов к
большим неудобствам. Так, на 47 стр. при доказатель-
стве теоремы о связи относительной погрешности с числом
верных цифр авторы, говоря о верных цифрах, на самом
деле рассматривают лишь верные значащие цифры. И это
не просто терминологические неувязки.
Дело в том, что авторы вводят и термин «верные деся-
1 В. Л. Загускин, Справочник по численным методам решения
уравнений, М., Физматгиз, 1960, стр. 43.
62
точные знаки», а это приводит к такому казусу, который
иллюстрируется примером (стр. 48):
«... если в числе 0,000304 все цифры верны (под-
черкнуто нами— М. Ш.), то говорят, что оно имеет шесть
верных десятичных знаков. В то же время это число имеет
три верных знака. При подсчете верных знаков нули,
стоящие слева, не считаются».
Итак, в числе 0,000304
7 верных цифр («все цифры верны!»),
6 верных десятичных знаков,
3 верных знака (!).
Читатель должен различать верные цифры, верные знаки
и верные десятичные знаки, которые не входят в число
верных знаков. Это громоздко, коряво и непоследователь-
но. Между тем, введя понятие значащих цифр и верных
цифр обычным способом (например, по Брадису), мы ска-
жем четко и ясно, что в данном числе
7 верных цифр,
6 верных десятичных знаков и
3 верных значащих цифры.
Эта неудача не. случайна: без понятия значащих цифр
в теории и практике приближенных вычислений обойтись
невозможно без больших и неоправданных жертв. Об этом
понятии можно не упоминать, но оно всегда будет под-
разумеваться, а неявное употребление его приведет к
излишней тяжеловесности формулировок и рассуждений.
В последнем, третьем издании этой книги (И. С. Б е р е-
зин и Н. П. Жидков, Методы вычислений, т. 1, Физ-
матгиз, 1966) положение не улучшилось, а, наоборот,
ухудшилось, так как выпало даже замечание о том, что
при подсчете верных знаков левые нули не учитываются.
В результате этого стали неверными некоторые дальней-
шие выводы. Например, неверно заявление авторов на
стр. 40: «Получается большая потеря верных знаков».
63
Ведь по определению авторов левые нули тоже верные,
следовательно, никакой потери знаков не возникает.
Теряются значащие верные знаки, и в этом суть
дела, но авторы не вводят понятия значащих цифр.
Беззаботно относится к значащим цифрам и Л. 3. Рум-
шиский1; он использует их без всякого определения (как
и верные знаки).
Заслуживают упоминания толкования значащих цифр
В. У. Грибановым в книге «Приближенные вычисления
в средней школе» (М., Учпедгиз, 1958, стр. 30—32), по-
скольку она является едва ли не единственным пособием
для учителей в области приближенных вычислений. К
сожалению, введение автором понятия значащих цифр
нельзя признать удачным ни в научном, ни в методи-
ческом отношении.
Первое определение В. У. Грибанова, которое он счи-
тает отражающим сущность значащих цифр, выглядит так:
«Значащими цифрами числа считаются те его цифры,
расположение которых остается неизменным при переносе
запятой влево или вправо».
Отметим, что выделение в приближенном числе устой-
чивой группы цифр относительно изменения десятичного
масштаба — это важный подход к характеристике знача-
щих цифр, и мы будем в дальнейшем специально зани-
маться его рассмотрением. Но, во-первцх, это характе-
ристика не единственная, а во-вторых, важно и то, как
приведенное определение ее описывает.
В нем идет речь о постоянстве расположения
цифр при переносе запятой. Но ведь движение запятой
никак не может повлиять на расположение цифр, — оно
1 Л. 3. Румшиский, Вычислительный лабораторный практи-
кум, М.» Физматгиз, 19GL
54
может влиять лишь на сами цифры в смысле появления
и исчезновения некоторых нулей. Поэтому надо говорить'
о самих цифрах, об устойчивой группе цифр, а не об их
расположении. С другой стороны, движение запятой — это
чисто формальная операция, в результате которой из
данного числа получаются новые числа, и к рассмотре-
нию этих чисел автор сводит распознавание значащих
цифр данного числа. Это слишком громоздкий путь (по
нашему мнению, это вообще не путь — подобное рассмот-
рение у нас служит лишь для того, чтобы оправдать
причисление левых нулей к незначащим цифрам)1. Нако-
нец, определение В У. Грибанова совершенно неудобно
для практических применений; ведь одно движение запя-
той еще ничего не даст: учащимся необходимо сообщить
основные сведения о приближенном числе (его погрешность
или другую характеристику точности) и правила записи
его, чтобы они могли сообразить, какие цифры сохраня-
ются при перемещении запятой. Но имея такие сведения,
можно отказаться от движения запятой и обнаружить
значащие цифры проще, по другим признакам.
Как видим, основное определение Грибанова, хотя и
содержит правильную идею, настолько несовершенно мето-
дически, что не может быть рекомендовано даже сту-
дентам.
В лучшем случае оно может служить (при подходящем
уточнении) лишь основой для определения значащих цифр,
более удобного для практического пользования. И нет
ничего удивительного в том, что, как с огорчением заме-
чает автор, оно было непонятно учащимся V класса;
однако автор полагает, что в X классе такое определение
вполне уместно (см- книгу В У. Грибанова, стр. 31).
1 Об этом см. дальше (стр. 65).
S5
Потерпев неудачу с первым определением, В. У, Гри-
банов предложил второе, которое, как утверждает автор,
«оказалось вполне понятным и практически удобным».
Вот оно (там же, стр. 32):
«Значащими цифрами числа являются цифры: 1, 2,
3, ..., 9; нуль или несколько нулей считаются также
значащими-цифрами, если они стоят между другими зна-
чащими цифрами в числе. Нули же в начале и конце
числа считаются незначащими, за исключением случая,
когда нуль в конце стоит в том разряде, с точностью до
которого взято число (короче, когда нуль стоит в разряде
данной точности)».
Прежде всего это определение неверно по существу, так
как оно допускает не более одного правого значащего
нуля (того, который стоит в разряде данной точности).
Дело в том, что для таких нулей действует вторая часть
определения (о нулях в начале и конце числа), а она
допускает лишь одно исключение.
К тому же мы очень сомневаемся в том, что это опре-
деление понятно и удобно, — слишком оно тяжеловесно.
По идее это определение можно отнести к группе Андро-
нова—Головейко, но в нем 60 слов (считая цифры), в то
время как в определении И. К. Андронова всего 21 сло-
во, а у А. Г. Головейко — 20 слов. И столько же слов
в менее точном, но очень практичном определении
В. М. Брадиса1.
Такое загромождение формулировок вовсе не способ-
ствует их ясности, наоборот, оно лишь затуманивает поня-
тия и отталкивает учащихся.
1 Энциклопедия элементарной математики, т. I, М<, ГИТТД, 1951.
стр. 379.
56
На этом закончим обзор 1 существующих определений
значащих цифр.
Считаем важным заметить еще раз, что в точном аспек-
те приближенных вычислений общее понятие значащих
цифр не нужно, можно обойтись более узким (и несравнен-
но легче определяемым) понятием точных значащих цифр.
Автор убедился в этом на собственном опыте во время
работы над курсом «Методы приближенных вычислений»
в Одесском университете. Однако едва дело доходит до
вычислений без строгого учета погрешностей, как этого
узкого понятия значащих цифр уже становится недоста-
точно поскольку учет точных цифр невозможен, а не
оперируя понятием значащих цифр, нельзя сформулиро-
вать даже основных правил приближенных вычислений —
правил подсчета цифр.
Сейчас мы перейдем к реализации нашей положитель-
ной программы — к выяснению сущности значащих цифр
с точки зрения той информации, которую они несут о
точном числе, и их инвариантности относительно прео-
бразования масштаба.
Предлагаемое нами определение, как уже было отме-
чено, будет совпадать по существу с определением
А. Г. Головейко. Но здесь важно не только само опре-
деление, а тот путь, который приведет нас к нему, т. е.
способ обоснования этого определения. Автору этот путь
представляется вполне естественным и неизбежным (это
подтверждается тем, что на этом пути получаются все
важнейшие из корректных определений значащих цифр),
хотя, возможно, он и несколько длинноват. По-видимому,
иначе и нельзя. Но это ведь не методическая разработ-
ка урока — это разговор с учителем о сущности, природе
*На полноту его мы, конечно, не претендуем,
67
значащих цифр, о том, что должен знать учитель для
себя, чтобы иметь возможность глубоко и неформально
ориентироваться в разнообразных трактовках проблемы
значащих цифр и сознательно сделать свой выбор для
изложения в классе.
Автор не уверен в том, что его рассуждения получат
признание. Но пусть они вызовут обсуждение. Так или
иначе, а пора уже приступить к наведению строгого
порядка в основаниях теории приближенных вычислений.
2. СУЩНОСТЬ ЗНАЧАЩИХ ЦИФР
Каждая цифра в систематической записи числа играет
двоякую роль: с одной стороны, она имеет количест-
венный смысл (выполняет количественную функцию),
показывая, сколько единиц данного разряда содержит
число, а с другой стороны, ее смысл порядковый —
она указывает место занимаемого ею разряда, т. е. его
положение относительно других разрядов, в частности,
относительно запятой. В отдельных случаях та или дру-
гая роль цифры выступает на первый план. Так, в деся-
тичной записи точного числа цифры 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
и 9 выполняют прежде всего количественную функцию,
а цифра нуль — главным образом порядковую. Это сле-
дует понимать в том смысле, что цифры, отличные от
нуля, сохраняются в других выражениях данного числа
(в десятичной системе!) и при изменении масштаба деся-
тичного измерения, а нули могут перемещаться, изме-
няться по количеству, появляться и исчезать. Например:
214 000000 = 214 миллионов = 214 • 10® = 2,14 • 108;
0,0003701 = 3 • 10—4 + 7 • 10-5 + 1 • 10—7; 0,015 км =?
= 15 м = 1500 см = 15000 мм.
Ц

Если бы числа записывались на стандартном листе,
разделенном на вертикальные полосы, в каждую из кото-
рых помещается цифра только одного определенного раз-
ряда, то без цифры нуль можно было бы совсем обойтись
(как это и было на самом деле у древних абацистов).
Количественная роль цифры является главной в вычис-
лительной практике, а порядковая — подсобной. Поэтому
приходится выделять особо цифры, имеющие количест-
венный смысл.
В приближенном числе количественная функция циф-
ры, даже отличной от нуля, может выполняться только
приближенно или совсем теряться, а цифра нуль часто
имеет только порядковый смысл (если она заменяет неиз-
вестные или отброшенные цифры). Например, в упоми-
навшемся нами числе жителей Токио — 9 992542 чел. с
доверием можно отнестись только к первым трем цифрам,
четвертая цифра (2) уже вызывает сомнение (ее коли-
чественная роль приближенная), а последние три цифры
совсем не имеют того количественного смысла, который
определяётся их начертанием, а создают только ложное
впечатление точности — они не заслуживают никакого
доверия, так как не несут никакой реальной количест-
венной информации. Но отбросить эти цифры .нельзя,
так как они выполняют порядковую функцию, определяя
разряды остальных цифр (без них число уменьшилось бы
примерно в тысячу раз)1. Заметим, что в рассмотренном
примере при определении характера цифр мы руковод-
ствовались просто здравым смыслом, т. е. категорией
явно нематематической.
1 Обычно такие цифры, которые имеют чисто порядковый смысл,
заменяют нулями — ведь на их месте могут стоять любые цифры!
(См. дальше).	х
59
ГЛЛг
Более точные и обоснованные суждения о роли цифр
приближенного числа получаются в том случае, когда
известна предельная абсолютная погрешность его.
Пусть, например, а — 2,0375410 и Да = 0,001 (подобное
положение может возникнуть в результате действий над
приближенными числами). Таким образом,
2,0375410 (±0,001)
или
(1)	2,0365410 < X < 2,0385410.
Точное значение х содержится на отрезке (1 и больше о
нем ничего не известно. Но и по этим данным можно
установить, что первые три цифры 2, 0, 3 приближения а
(это точные цифры его!) несут полную количественную
информацию о точном числе х — они просто совпадают с
соответствующими цифрами х1.
Рассмотрим роль остальных цифр. Из неравенств (1)
видно, что цифра тысячных числа х может иметь одно
из трех значений: 6, 7 и 8; хотя эта цифра не определена
однозначно, но все же о ней многое известно: небольшое
число возможных значений, узкий диапазон изменения в
пределах 6—8. На этом основании мы вправе признать
цифру 7 числа а несущей приближенную количественную
информацию о точном числе х (это первая сомнительная
цифра приближения а). Мы можем даже составить обо-
снованное суждение о том, какое из трех значений циф-
ры тысячных является наиболее правдоподобным. Для
этого примем естественное предположение о том, что все
1 Как мы • знаем, такое совпадение необязательно во всех точных
цифрах. Но различие точной части приближения а и соответствую-
щей части х не превосходит одной единицы последнего разряда ее —
см. выше, стр. 34.
60

числа отрезка (1) как возможные значения числах равно
вероятны и что правдоподобие какой-нибудь цифры пони-
мается в смысле вероятности ее. Подсчитаем «геометри-
ческие» вероятности значений 6, 7 и 8 для цифры тысяч-
ных — отношения отрезков, соответствующих этим цифрам,
ко всему отрезку (1):
—I—
2,036
2,036541 с
А 2,037'""
D 2,038541
Вероятность цифры z обозначим через P(z). Имеем:
р _____АС___ 0,000459 __, л по.
Р'Ь>~АВ~ 0,002
р (Т)__СР___0,001 __л еа.
Р I7' ~ АВ ~ 0,002 ~ U,b0,
р /о\ DB  0,000541	л пу
~ АВ »	U,Z‘-
Мы видим, что цифра 7 наиболее вёроятна. Это под-
тверждает ее (приближенный) количественный характер.
Остальные цифры числа х, как видно из неравенств (1),
совершенно не определены, они могут принимать любые
значения. Поэтому цифры 5, 4, 1, 0 числа а не заслу-
живают никакого доверия — они не имеют количественного
смысла, а только порядковый. Правда, и эти цифры ока-
зывают небольшое косвенное влияние на выбор первой
сомнительной цифры, изменяя вероятности ее значений.
Так, если бы а = 2,0371410 (вместо 2,0375410) при той
же погрешности Да = 0,001 (изменилась вторая сомни-
61
тёльйая цифра!), то мы нашли бы для цифры тысячных:
Р (6) л: 0,43; Р (7) = 0,50; Р (8) st: 0,07;
вероятность цифры 8 значительно уменьшилась, а для
цифры 6 — возросла. Таково частичное влияние второй
сомнительной цифры на первую; поэтому, несмотря на ее
полную неопределенность, этой цифре при желании можно
приписать незначительный приближенный количественный
смысл. Что же касается дальнейших сомнительных цифр,
то их влияние настолько ничтожно, что нет никаких
оснований связывать с ними какой-либо количественный
смысл, даже отдаленный.
Будем называть для краткости цифры, имеющие коли-
чественный смысл (точный или приближенный), количест-
венными цифрами, а не имеющие количественного смысла —
порядковыми. На основании проведенных рассуждений,
которые имеют общий характер, хоть и касались кон-
кретного примера, к количественным цифрам числа сле-
дует отнести все точные цифры его и одну или две сом-
нительные цифры; все остальные цифры (если они есть)
относятся к порядковым. Вторая сомнительная цифра
разделяет оба класса цифр и может быть отнесена к
любому из них, в зависимости от условий решаемой зада-
чи. Для определенности мы будем в этом разделе считать
вторую сомнительную цифру порядковой1.
У точного числа все цифры количественные. Слева к
точному числу можно приписать сколько угодно точных
нулей, а если число — конечная десятичная дробь, то и
справа (в конце дробной части) также можно приписать
сколько угодно точных нулей.
1 Так поступают в большинстве обычных практических вычислений.
«2
ёИЖЦ.1
Этого на практике не делают, так как такое припи-
сывание нулей не изменяет точного числа.
Количественные цифры естественно разделяются на
точные (точные цифры числа) и приближенные (сомни-
тельные цифры его); основой такого разделения служит
абсолютная погрешность числа а или ее верхняя грани-
ца Ла.
Введем еще одно разделение количественных цифр.
Назовем нули, расположенные слева от первой отлич-
ной от нуля цифры числа, левыми нулями этого числа,
а нули, расположенные справа от последней отличной от
нуля цифры, — правыми', остальные нули (содержащиеся
между отличными от нуля цифрами) будем называть про-
межуточными.
Каждое число имеет бесконечно много левых нулей;
однако левые нули целой части всякого числа (кроме
числа, целая часть которого равна нулю) и правые нули
дробной части точного числа можно не писать (опускать),
так как это не изменяет числа. Так обычно и поступают
на практике1.
Например: 0,015/си = 0015 м = 15 м, 1500 см — 15,00 м=
= 15 м.
Какие цифры следует и какие не следует сохранять в
записи не округленного приближенного числа? Об этом
мы будем подробно говорить ниже, но уже сейчас полезно
сформулировать на этот счет основные соглашения, кото-
рые, кстати, являются вполне естественными.
* Впрочем, иногда левые нули целых чисел употребляются, если
нужно подчеркнуть постоянное количество разрядов числа. Так, на
облигациях и лотерейных билетах пишут: серия 000354, билет 027
и т. д. Иногда это даже необходимо, например в выражении: 00
часов 03 мин. Левые нули употребляются и в счетных цифровых
машинах.
63
Цифра z приближенного числа (не подлежащего округ-
лению) сохраняется в записи этого числа:
1) если она количественная, так как в этом случае она
содержит информацию о соответствующем разряде числа;
отбросить такую цифру — это значит потерять некоторые
сведения о числе или изменить его величину;
2) если она порядковая, но нужна для указания вели-
чины числа (это может быть в случае, когда г — одна из
последних цифр целого приближенного числа); отбросить
такую цифру — значит уменьшить число; зато такие циф-
ры можно заменить любыми другими — это не нарушит
смысла приближенного числа
В остальных случаях цифру z можно отбросить, так
как это не повлияет на величину числа и на сведения о его
разрядах. В частности, всякую порядковую цифру в кон-
це дробной части приближенного числа можно отбросить,
что мы и будем делать в дальнейшем.
Рассмотрим приближенное число
х^ 0,00407 т (±0,1 г),
или
а = 0,00407 (±0,0000001) т.
Как известно, к числу а можно приписать один точный
нуль, а желая учесть все количественные цифры, мы
припишем еще один сомнительный нуль, т. е. запишем
х яг 0,0040700 (± 10-7) т,
причем все цифры этого приближения (и только они)
количественные. Здесь имеются нули всех трех типов.
То же число можно записать в других десятичных еди-
ницах— килограммах, граммах и миллиграммах:
х яг 4,0700 (± 10-4) кг,
хж4070,0(±0,1) г,
х«4070000(± 100) мг.
В соответствии с принятыми соглашениями, при всех
таких записях сохраняется группа цифр 4, 0, 7, О, О,
а остальные цифры (нули!) такой устойчивостью не обла-
дают: при переходе от одной записи к другой они могут
появляться и исчезать, вообще число их меняется. В свя-
зи с этим мы будем различать устойчивые и неустойчи-
вые цифры приближенного числа.
Назовем цифру приближенного числа устойчивей^ если
ее нельзя произвольно изменять (не меняя смысла числа)
и если она сохраняется в записи числа при изменении
десятичного масштаба. В противном случае, т. е когда
цифру можно заменять любой другой (без изменения
смысла числа) или когда при изменении десятичного мас-
штаба она может появляться и исчезать (в силу приня-
тых соглашений), — будем называть эту цифру неус-
тойчивой.
Естественно расширить это определение на точные
числа, условившись, что все цифры точного числа, отлич-
ного от нуля, за исключением левых нулей, устойчивы.
По этому определению порядковые цифры всегда неус-
тойчивые — ведь они могут заменяться любыми цифрами
без нарушения смысла * числа. Среди количественных
цифр могут быть устойчивые (но не обязательно) и могут
быть неустойчивые (тоже не обязательно). Неустойчивые
количественные цифры — это левые нули; они могут
появляться и исчезать при изменении десятичного масштаба
Иначе говоря, к устойчивым количественным цифрам
числа относятся все его количественные цифры, за
исключением количественных1 левых нулей. Устойчивость
1 Левый нуль может быть порядковым, например, в числе 0,0|00034
(± 0,1) три порядковых левых нуля. Это же пример числа без
устойчивых цифр.	•
5 М. Н. Швец	65
можно понимать здесь как инвариантность относительно
десятичного преобразования масштаба, т. е (в абстракт-
ном смысле) относительно переноса запятой.
Пример:
Количественные Порядковые
неустойч. устойч. (неустойчив.)
(2)
х= 0,00036002095
(± 2-1(Г6)
точные сомнительные
Заметим, что первая слева устойчивая цифра обязатель-
но отлична от нуля!
Теперь можно перейти к определению значащих цифр
числа.
Предварительно попытаемся сформулировать более или
менее естественные требования к этому понятию на
основании практики записи приближенных чисел, техники
действий над ними (письменных и инструментальных) и
самого названия (оно тоже кое к чему обязывает).
1.	Значащая цифра приближенного числа должна нести
определенную количественную информацию (точную или
приближенную) о соответствующем разряде точного числа,
т. е. она должна быть количественной, а не порядковой.
2.	Значащая цифра не должна зависеть от выбора
десятичного масштаба (переноса запятой), т. е. она должна
быть устойчивой.
3.	Цифры, входящие в результат обработки прибли-
женного числа по правилам, выработанным вычислитель-
ной практикой (принцип А. Н. Крылова, принципы со-
ставления математических таблиц и др.), и отличные от
левых нулей Г должны быть значащими.
4.	Значащими должны быть все цифры, даваёмые
; 66
логарифмической линейкой и другими счетными приборами
и машинами непрерывного действия.
5.	Значащие цифры должны полностью определять циф-
ровой состав произведения и частного.
6.	Количество значащих цифр приближенного числа
должно служить характеристикой его точности1. - '
В сущности уже первые два требования (даже одно
второе!) достаточны для выполнения всех остальных.
Покажем это.
Существенной особенностью устойчивых цифр является
то, что они играют главную роль при выполнении дей-
ствий высших ступеней — умножения, деления, извлече-
ния корня и др.
Отметим прежде всего, что порядковые црфры прибли-
женных чисел вообще не оказывают никакого влияния на
величину чисел и на результаты действий над ними —
ведь эти цифры по существу неизвестны, они чисто
бутафорные, обманчивые и потому не могут и не должны
учитываться в вычислениях любых ступеней. Во всех
действиях будут участвовать поэтому только количест-
венные цифры.
При сложении и вычитании приходится учитывать все
количественные цифры, и имеет большое значение поло-
жение запятой. Совсем иначе обстоит дело при умноже-
ний и делении: здесь результаты зависят почти исключи-
тельно от устойчивых цифр исходных чисел, а запятые
влияют только на положение запятой результата. Точнее
можно сказать так: устойчивые цифры суммы и разности
зависят не только от устойчивых цифр данных чисел, но
также от положения запятых в них, в то время как
1 Ниже (стр. 80) мы выставим еще одно требование к понятию
значащих цифр.
5*
устойчивые цифры произведения и частного зависят то л ь к о
от устойчивых цифр исходных чисел, но не от положения
запятых. В обоих случаях место запятой результата
зависит только от положения запятых в исходных данных.
Это выражается в том, что при фактическом выполнении
умножения и деления левые и правые нули вообще от-
брасываются— онй учитываются только для определения
места запятой результата, но не для нахождения его циф-
рового состава
Так как для постановки запятой в произведении и ласт-
ном имеются очень простые правила, а главную трудность
составляет нахождение цифрового состава результатов
действий, то при умножении и делении имеют основное
значение только устойчивые цифры исходных чисел;
таким образом, требование 5 выполняется.
Если число записано согласно принципу Крылова (см.
стр. 49), то оно заканчивается последней устойчивой
цифрой, следовательно, такая запись содержит все устой-
чивые цифры числа. Если число обработано для помеще-
ния в таблицу, то все его цифры точные, следовательно,
если они не левые нули, то они устойчивые. Таким
образом, выполняется требование 3.
Как известно, логарифмическая линейка «принимает»
и «выдает» только «цифровой состав чисел», а он как раз
и представляет группу устойчивых цифр (правда, огра-
ниченную тремя-четырьмя разрядами). То же имеет место
для других приборов и машин непрерывного действия,
так что и требование 4 выполняется.
Наконец, как известно, имеет место следующая теоре-
ма (в ее формулировке мы, конечно, заменяем термин
«значащий» термином «устойчивый»):
Если число а имеет k точных устойчивых цифр, то
8а < 0,5 • 10“ и если 8а<0,5-10~\ то число а
имеет k точных устойчивых цифр.
68
Таким образом, число устойчивых цифр тесно связано
с предельной относительной погрешностью данного числа
и может служить поэтому характеристикой его точности:
число тем точнее, чем больше у него устойчивых цифр.
Требование 6 выполняется.
Все это обосновывает целесообразность следующего ос-
новного определения.
Основное определение.Значащими цифрами числа
называются устойчивые количественные цифры его', все ос-
тальные цифры числа называются незначащими.
Таким образом, к незначащим цифрам относятся по-
рядковые цифры и левые нули.
Сопоставим схематически различные категории цифр
для числа (2): [напоминаем, что Да = 2 • 10~6]:
Количественные		Порядковые
Неустойчивые	Устойчивые	Неустойчивые
0, | 0 | 0 I 0	3 | 6 | 0	0 | 2 1 0 1 9 1 5
Точные	|	Сомнительные		
Незначащие	|	Значащи^ |	Незначащие
Приведенное выше основное определение значащих цифр,
безупречное (по нашему мнению) с теоретической стороны,
не совсем удобно для практических применений, так как
оно требует проверки свойств количественности и устой-
чивости цифр. Поэтому мы приведем сейчас некоторые
модификации этого определения, эквивалентные основно-
му, но более практичные. Кстати, мы увидим здесь, что
из нашего определения получаются другие известные
определения значащих цифр.
I.	Значащими цифрами числа называются все его коли-
чественные цифры, кроме левых нулей,	мы исклю-
чили термин «устойчивые цифры»).
69
II.	Значащими цифрами числа называются все его точ-
ные цифры, кроме левых нулей, и первая сомнительная
цифра. (Здесь мы исключили термины «устойчивые» и «ко-
личественные цифры»)/
1Г. Значащими цифрами числа называются его цифры,
начиная с первой слева, отличной от нуля, и кончая пер-
вой сомнительной. (Это—определение А. Г. Головейко).
III.	Значащими цифрами числа, записанного' согласно
принципу Крылова, называются все его цифры, кроме
левых нулей. (Это определение проф. Й. К. Андронова).
IV.	Значащими цифрами числа называются все его циф-
ры, кроме левых нулей и порядковых цифр.
В дальнейшем, после некоторых дополнительных согла-
шений, мы получим из этой формулировки определение
Теннери — Брадиса.
Основное определение и все его модификации пригодны
как для дробных, так и для целых чисел. Излишне от-
мечать, что число может совсем не иметь левых нулей
или порядковых цифр. Если нет ни тех, ни других, то
все цифры числа значащие.
Из определения ясно, что различать значащие и не-
значащие цифры числа можно только в том случае, когда
известна предельная абсолютная погрешность его.
Отметим, что по этому определению незначащими циф-
рами могут быть не только нули, но и цифры, отличные,
от нуля, если они порядковые. Этим наше определение
отличается от принимаемых обычно определений, согласно
которым незначащими цифрами могут быть только нули.
Например, в числе жителей Токио — 9992542 чел. по об-
щепринятому определению все_ цифры значащие, в то вре-
мя как последние три цифры этого числа явно не до-
ставляют никакой количественной информации и~ нелепо
считать их значащими. По нашему мнению, отнесение к
незначащим цифрам всех порядковых цифр, независимо
70
от того, равны они нулю или нет, более отвечает суще-
ству дела. При этом незначащими следует считать и те
явно неверные отличные от нуля цифры, которые могут
возникнуть при подсчетах и вычислениях.
Принятое определение касается как приближенных, так
и точных чисел. Ясно, что у точного числа незначащими
цифрами могут быть только левые нули, а правые незна-
чащие нули могут быть только у приближенного числа.
Все цифры точного числа, отличного от нуля, кроме
левых нулей его, значащие, т. е. точное отличное от нуля
число всегда имеет бесконечное множество значащих цифр:
к = 3,14159265 . .2 = 2,0000 . ..;
0,00729 = 0,00729000.. .;	= 0,272727 ....
Особое место занимает точное число нуль. Так как
первая значащая цифра Должна быть отлична от нуля
(как первая устойчивая), то точный нуль не имеет ни
одной значащей цифры1.
Заметим, что поскольку определение значащих цифр
связано (через количественные цифры) с понятием точных
цифр, то при различении значащих и незначащих цифр
в случае, когда приближенное число характеризуется не-
которой предельной абсолютной погрешностью, будет
иметь место известная неопределенность (точнее, неполная
1 Нуль — единственное число без значащих цифр среди точ-
ных чисел; но существуют приближенные числа с тем же свой-
ством, например: 0,000037 (± 0,1). Хотя понятие левых и правых
нулей к числу нуль неприменимо, в определенном смысле можно
считать, что все нули числа нуль левые: 0 = lim 10*“n.
zi-*«
71
определенность), которую мы отмечали при рассмотрении
точных цифр. Она связана с тем, что строгое определение
значащих (как и точных) цифр основывается на истинной
абсолютной погрешности (или на первой значащей цифре
ее), а предельная абсолютная погрешность позволяет, во-
обще говоря, указать только часть этих цифр. Учитывая,
что на практике приходится иметь дело как раз с пре-
дельными погрешностями, примем (по необхсдимости)
следующее соглашение:
В практических. вычислениях различение значащих и
незначащих цифр (а также, конечно, точных и сомнитель-
ных цифр) приближенного числа производится на основа’
нии наименьшей известной предельной абсолютной ПО’
грешности этого числа.
Это значит, что точные и сомнительные цифры пони-
маются в широком смысле (см. выше), определяемом
данной предельной абсолютной погрешностью.
Если приближенное число получено из опыта или из
справочника, то характер его цифр определяется из ус-
ловий опыта1 или с помощью непосредственных указаний
Если же приближенное число является результатом вы-
числений, то его точность (а значит, и характер его цифр)
определяется по специальным правилам приближенных
вычислений. Приходится, к сожалению, отмечать и такие
случаи, когда данные, помещенные в справочниках, не
содержат никаких указаний о погрешности, например:
«Экваториальный диаметр Солнца составляет 1 391 000 кю
(БСЭ, изд. 2, т. 40, стр. 29). В подобных случаях все
правые нули следует считать незначащими, а остальные
цифры (кроме, левых нулей) — значащими.
1 Подробно эти вопросы исследует специальная наука — математи-
ческая обработка результатов измерений.
72
Так как значащие цифры числа — это устойчивые ко-
личественные цифры его, то их число не зависит от вы-
бора масштаба в случае десятичного измерения величин.
Так, в (точном) равенстве 1 км = 1000 м одна и та же
величина выражается разным количеством цифр(1 и 4);
однако это не значит, что она выражается разным коли-
чеством значащих цифр — дело в том, что оба числа здесь
точные и, следовательно, каждое из них имеет бесконеч-
ное количество значащих цифр:
1,000 ... км = 1000,000 ... ж.
В случае приближенных чисел положение аналогичное.
Пусть, например, измерение длины дало 2,57 м, причем
дальнейшие знаки неизвестны; тогда имеют место ра-
венства	-
2,57 м = 0,00257 км = 257 см = 2570 мм,
и каждое число имеет три значащих цифры 2, 5 и 7 (по-
следний нуль незначащий).
Конечно, при этом десятичная система записи сущест-
венна; в другой системе счисления (7?-ичной) для сохра-
нения числа значащих цифр при изменении масштаба
пришлось бы потребовать соответствующего (7?-ичного)
измерения величин. Ясно, что если система счисления и
способ измерения величин не соответствуют друг другу
в этом смысле, то число значащих цифр вообще зависит
от выбора масштаба. В частности, это будет при перехо-
де от одной системы счисления к другой. Только для
точных чисел и при точных коэффициентах изменения
масштаба выбор единицы измерения не может влиять на
число значащих цифр, так как оно бесконечно.
73
§ 7. ЗАПИСЬ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЧИСЕЛ
Как мы видели, к незначащим цифрам приближенного
числа относятся левые нули и порядковые цифры На
практике обычно порядковые'цифры заменяются нулями.
Такая замена возможна потому, что порядковые цифры
не несут никакой количественной информации и их мож-
но заменить чем угодно, лишь бы сохранить занимаемые
ими места. Выгода от такой замены состоит в том, что
она унифицирует обозначение незначащих цифр, предо-
ставляя для них только один знак—нуль1. Этим умень-
шается (но не устраняется!) опасность смешения знача-
щих цифр с незначащими: сомнение может вызывать
только цифра нуль, но" не другие цифры, как при обыч-
ной записи.
Впрочем, как уже было отмечено, не все порядковые
цифры следует заменять нулями: если они расположены
в конце дробной части числа, то их можно просто отбро-
сить, так как это не повлияет ни на величину числа, ни
на точность его. Только в конце целой части числа не:
значащие нули необходимо сохранять, чтобы не изменить
величины его. На основании всего сказанного сформу-
лируем правило (А):
(А) Правило записи порядковых цифр
Порядковые цифры целой части приближенного числа
нужно заменять нулями, а в дробной части просто от-
брасывать.
1 Другого общего знака быть не может, поскольку левые нули
незначащие.
74
Разумеется, если порядковая цифра целой части равна
нулю, то она не меняется от такой замены
По этому правилу, сохраняемые незначащие цифры
могут быть только нулями. Следует, однако, иметь в виду,
что принятое правило касается только целесообразной
«обработки» приближенных чисел, в то время как при
вычислениях могут появиться и незначащие (порядковые)
цифры, отличные от нуля.
После обработки приближенных чисел по правилу (А)
значащие и незначащие цифры можно характеризовать
следующим образом:
Значащими цифрами приближенного числа, записанного
согласно правилу (А), являются все его цифры, за исклю-
чением левых нулей и тех нулей справа, которые заменя-
ют порядковые цифры.
Выясним теперь природу порядковых цифр. С одной
стороны, как мы знаем, это просто неизвестные цифры,
цифры, не заслуживающие никакого доверия. Но бывают
порядковые цифры другого рода — известные, но ненуж-
ные. Они возникают в результате округления чисел,
т. е. сознательного, умышленного отбрасывания некото-
рых цифр, которые из количественных превращаются
в порядковые, так как абсолютная погрешность числа
возрастает1. Такие порядковые цифры, хоть они и известны,
конечно, являются незначащими. Поскольку других типов
порядковых цифр не бывает, то можно характеризовать
порядковые цифры как «неизвестные или отброшенные».
Поэтому модификацию IV основного определения можно
сформулировать так:
Значащими цифрами числа, записанного согласно правилу
Округлению чисел посвящаются три следующих параграфа.
75
(А), называются все его цифры, кроме левых нулей
и riiex нулей справа, которые заменяют неизвестные или
отброшенные цифры.
Это и есть несколько уточненное определение Таннери —
Брадиса.
Впрочем, это определение, следуя из основного, не
эквивалентно ему (как модификации I—IV). Дело в том,
что при переходе к определению Таннери — Брадиса поте-
рялось одно существенное свойство основного определе-
ния: учет абсолютной погрешности числа. Точные поня-
тия «порядковых» цифр заменились неопределенными
терминами «неизвестные» и «отброшенные» цифры. Но это
даже лучше! Потому что определение Таннери — Брадиса
оказывается более широким, более общим, чем основное
определение, — оно охватывает как случай известной, так
и случай неизвестной предельной абсолютной погрешности,
к которому точное основное определение неприменимо.
Таким образом, определение значащих цифр по Таннери —
Брадису может стать основой теории вычислений без стро-
гого учета погрешностей, как это и делается в книгах
В. М. Брадиса.
Из основного определения легко получить также опре-
деление БСЭ. Ведь устойчивые количественные цифры —
это и есть все цифры числа, «от первой слева, отличной
от нуля, до последней, за правильность которой можно
ручаться». Первая сомнительная цифра — последняя из
тех, которые несут количественную информацию о числе
(в данном случае приближенную) — за нее еще можно
ручаться. Конечно, «правильность» имеет здесь несколько
неопределенный смысл —это не то же, что и «точность»
цифры. Если считать «правильными» цифрами наши коли-
чественные цифры, то определение БСЭ будет эквивалентно
основному. Если же не связывать «правильность» с точным
учетом погрешности, то определение БСЭ, как и опреде-
76
ление Таннери — Брадиса, будет лишь необратимым след-
ствием основного определения.
Из определения значащих цифр с учетом правила (А)
следует, что всякая цифра, отличная от нуля, — знача-
щая, а цифра нуль, может быть как значащей, так и не-
значащей. Левые нули всегда незначащие, а промежу-
точные нули всегда значащие. И только правые нули
могут быть частью значащими, частью незначащими. При
этом, согласно правилу (А), незначащие нули в конце
дробной части не пишутся. Поэтому:
если в конце десятичной дроби стоят нули, то они
непременно значащие.
Подчеркнем теперь, что эти значащие правые нули ни
в коем случае не должны быть отброшены! Такое отбра-
сывание допустимо только для точных чисел, у которых
можно писать любое число правых десятичных нулей или
не писать их совсем, подразумевая бесконечное количество
таких значащих нулей. Но для приближенной десятичной
дроби каждый лишний правый значащий нуль означает
увеличение точности числа. Записи приближенных чисел
2,03 и 2,030 далеко не равнозначны: первая означает,
что цифра тысячных неизвестна, а вторая — что она равна
нулю. Такая оговорка необходима потому, что для точ-
ных чисел обе записи выражают одно и то же, но пере-
носить это свойство на приближенные числа незаконно.
Это касается только цифры нуль — никто не станет сом-
неваться в различии чисел 2,03 и 2,034.
Приведем примеры значащих правых нулей из научной
практики:
атомный вес водорода—1,0080;
1 дюйм = 2,5400 см\
предел взвешивания на аналитических весах — 100,000 г.
Обратимся теперь к правым нулям целого приближен-
ного числа. Среди них могут быть и значащие, и незна-
77
чащие, однако отбрасывать незначащие Нули теперь нельзя.
Для выделения незначащих нулей предлагались и пред-
лагаются разные способы их обозначения:
?, О, б, О, О,
но для практики они оказались неудобными1. В послед-
нее время получило распространение правило, которого
и мы, будем придерживаться:
Незначащие (порядковые) нули в конце целого числа не
пишутся, а вместо них ставится множитель 10*, где k —
число незначащих нулей.
Например, число 40370000 записывается в виде 4037 х
х 104, а число 53800000 — так: 53800 • 103 (два нуля зна-
чащих и три незначащих).
Такие записи удобны своей наглядностью: они ясно
выделяют значащую и незначащую часть целого числа,
в частности, показатель десяти выражает число незнача-
щих нулей. Но, конечно, эти записи не единственны, так
как показатель при десяти можно увеличивать (хотя не
всегда уменьшать!), если не требовать целости значащей
части:
53800 • 103 = 5380,0 • 104 = 538,00 - 105 = 53,800 • 10е =
= 5,3800 . 107 = 0,53800 • 108 = 0,053800 • 109 =
= ..., но #=538000- 102,
так как значащих цифр должно быть пять, а не шесть.
Основным требованием к такому способу записи является
1 В случае необходимости мы будем отмечать незначащие правые
нули черточкой сверху: б.
сохранение значащей части числа. Запись строится по
общему принципу и для целых, и для дробных чисел:
значащие нули обязательно сохраняются, а незначащие
справа не пишутся, причем величина числа нормируется
множителем вида 10* * Запятая может перемещаться влево
произвольно, а вправо — только до конца значащей
части числа.
Пример: 0,0640 = 0,00640 • 10 = 0,000640 • 102 = ... =
= 6,40 • 10-2 = 64,0 • 10-3 = 640 • IO-4 ф 6400 • 10~5.
Среди таких записей некоторыми преимуществами обла-
дает так называемая нормальная запись, т. е. запись вида
(*)	а — а0, ai, аг... ат • 10*,
где а0, alt..., ат — все значащие цифры числа (в преды
дущих примерах нормальные записи подчеркнуты). Ясно,
что при т число а целое и содержит k — пг незна-
чащих нулей. Нормальная запись унифицирует числа:
она одинакова и для целых, и для дробных чисел; так,
294,37 = 2,9437 • 102; 0,00025400 = 2,5400 • 10~4;
1,0080 = 1,0080 • 10°; 100,000 = 1,00000 • 102.
Легко проверить такие свойства нормальной записи (*):
1) показатель k при десяти есть характеристика лога-
рифма числа а при положительной мантиссе;
2) если k <0, то число а имеет—&(|&|) левых нулей.
Несколько иная форма записи чисел, тоже называемая
нормальной, нашла широкое применение в электронных
цифровых вычислительных машинах с плавающей запятой:
а = 0, а&г... ат • 2*,
причем в. ячейку памяти записывается (в двоичном коде)
только два числа: мантисса а^а-г. .ат и «порядок» k.
79
Если Я1 ¥= 0 (запятая стоит перед первой 'значащей
цифрой), то число а (точнее, представление его) называется “
нормализованным.
Важное замечание V.
В принятом нами определении значащих цифр имеется
один недостаток, мешающий его универсальности: оно
связано с понятием точных цифр, а определение точных
цифр зависит от выбора параметра ш1. Таким образом,
для одного и того же приближенного числа и при одной
и той же погрешности^ данная цифра должна считаться
значащей при одном выборе ю и незначащей — при дру-
гом. Конечно, это различие будет касаться только иногда
одной лишь последней значащей цифры, но все же оно
будет, а это нежелательно. Естественно к требованиям
к значащим цифрам прибавить еще одно: их определение
должно зависеть только от самого числа, а не от способа w
определения точных цифр (выбора ю).
Чтобы удовлетворить этому требованию, можно посту-
пить так:
если о) = 1, то относить к значащим (количественным)
цифрам только одну сомнительную (как мы делали вообще),
а если <0 = 0,5, то относить к ним одну или две сомни-
тельные цифры, в зависимости от погрешности. Именно:
одну цифру — разряда 10*, если Д < 5 • 10*, и две цифры —
разрядов 10*+1 и 10*, если 5* 10* < Д < 10*+1.
Так как при ш — 1 и 0 < Д < 10*+! цифра разряда
10* — первая сомнительная, то ясно, что при таком согла-
шении, независимо от выбора <о, к разряду значащих
всегда будут относиться одни и те же цифры.
1 Например, в нашей работе принято > а У А. Г. Голо*
8ейко ш = 1. (См. стр. 45).
80
Это соглашение (оно требует квалифицированного обсуж-
дения) представляется вполне естественным, поскольку
различение количественных и порядковых цифр, конечно
же, зависит от величины погрешности числа! Автор убеж-
ден в необходимости такого соглашения — оно хорошо
соответствует духу всех наших рассуждений: именно те
сомнительные цифры, о которых в нем идет речь, несут
приближенную количественную информацию, именно «за
их правильность можно ручаться» — они заслуживают
сохранения как значащие.
Мы рассмотрели только два значения со: 0,5 и 1; но,
во-первых, они наиболее распространенные, а во-вторых,
ясно, что все наши выводы сохраняют силу и для про-
межуточных значений от. 0,5 < со < 1.
§ 8. ОКРУГЛЕНИЕ
Во многих случаях оказывается невозможным или не-
нужным использование всех значащих цифр данного
числа. Поэтому приходится упрощать число, т е. «уко-
рачивать» его значащую часть или заменять его более
удобным.
Такое преобразование числа, выполняемое по строго
определенным правилам, называется округлением его.
Точное определение округления состоит в перечислении
этих правил1. Округление числа состоит в замене этого
числа некоторым его приближенным значением с фикси-
рованным последним разрядом; главное требование, кото-
рое предъявляется такому приближению,— это минималь-
1 Нельзя определять округление просто как уменьшение числа
значащих цифр, так как, во-первых, такое уменьшение можно произ-
водить по-разному, а во-вторых, иногда округление не уменьшает
числа значащих цифр (см. об этом дальше).
6 м. Н. Швец
81
ность его абсолютной погрешности. Ниже мы увидим,
что это требование действительно выполняется при округ-
лении, а теперь перейдем к точному описанию его правил.
Существует три типа округления: округление по не-
достатку, округление по избытку и округление с по-
правкой. При каждом округлении часть цифр числа (воз-
можно, пустая) отбрасывается (или заменяется нуля-
ми), а часть сохраняется.
Разные типы округления отличаются «правилами
сохранения», а «правило отбрасывания» у них общее.
Можно говорить об округлении до данного разряда или
до данного числа десятичных знаков, или до данного
числа значащих цифр, или до данного числа точных цифр.
Мы сформулируем правила округления до данного раз-
ряда1— округления по другим признакам будут иметь
понятный аналогичный смысл.
Говоря о k-м разряде, мы имеем в виду, как обычно,
разряд 10*, причем k — любое целое число (положитель- -
ное, отрицательное или нуль).
^начале мы сформулируем правила округления точ-
ных чисел. Случай приближенных чисел будет рассмот-
рен дополнительно.
Правила округления точного числа до &-го разряда (10*)
Л. Правило «отбрасывания»
При округлении данного точного числа до &-го разряда
(до 10*) все цифры его, расположенные правее &-го раз-
ряда, превращаются в незначащие, т. е., в соответствии
с правилом (А), заменяются нулями, если они находятся
в целой части числа, и отбрасываются — если в дробной
части.
1 Как будет видно из дальнейшего, это самый общий способ
округления.
82
II. Правила «сохранения»
1)	Округление по недостатку (другие названия: простое
округление, недостаточное округление, округление вниз,
округление в меньшую сторону): при округлении до fe-ro
разряда по недостатку все цифры сохраненных разрядов
(т. е. цифры &-го и предыдущих разрядов) остаются без
изменения. Таким образом, в этом случае округление
ограничивается процессом «отбрасывания».
2)	Округление по избытку (другие названия: округле-
ние с усилением, избыточное округление, округле-
ние вверх, округление в большую сторону): при округ-
лении до k-ro разряда по избытку цифра fe-ro разряда
(последнего сохраненного) увеличивается («усиливается»)
на единицу; это может вызвать изменение и некоторых
(или даже всех) предыдущих цифр, если последние (или
все) цифры сохраненных разрядов — девятки. Иначе: округ-
ление по избытку до #-го разряда получается, если к ре-
зультату соответствующего округления по недостатку при-
бавить единицу £-го разряда: 10*.
Округлениям по недостатку и по избытку присвоим
общее название односторонних округлений (только в мень-
шую сторону и только в большую сторону).
3)	Округление с поправкой (другие названия: округле-
ние по правилу дополнения, основное правило округле-
ния): при округлении точного числа с поправкой до &-го
разряда последняя сохраненная цифра не меняется, если
первая отброшенная цифра < 5, и увеличивается на 1,
если первая отброшенная цифра > 5.
Иначе говоря, округление точного числа с поправкой
равносильно округлению по недостатку или по избытку,
смотря по тому, будет ли первая отброшенная цифра < 5
или > 5.
6е
83
В случае округления по другим признакам (если оно
возможно) в приведенные правила необходимо внести соот-
ветствующие терминологические изменения, учитывая, что
округление до k цифр данного рода (теперь k — натураль-
ное число) — десятичных знаков, значащих цифр, точных
цифр — означает сохранение только первых k цифр этого
рода (а в случае десятичных знаков — и цифр целой
части). При этом, как обычно, цифры упорядочиваются
по убыванию их разрядов (слева направо), так что пер-
вые цифры — это крайние левые цифры данного рода.
Примеры округления точного числа 237,49965 (сокра-
щения: зц — значащие цифры, дз — десятичные знаки):
Характер округления	по недостатку	по избытку	с поправкой
До 102 (до сотен, до 1 зц)	200 = 2-102	зоб = 3 -102	200 = 2-102
До 10 (до десятков, до 2 зц)	230 = 23-10	240 = 24 10	240 = 24-10
До 10° (до единиц, до целых, до 3 зц)	237	238	237
До 10*”1 (до десятых, до 4 зц, до 1 дз)	237,4	237,5	237,5
До 10“2 (до сотых, до 5 зц, до 2 дз)	237,49	237,50	237,50
До 10~3 (до тысячных, до 6 зц, до 3 дз)	237,499	237,500	237,500
До 10~’4 (до десятитысячных, до 7 зц, до 4 дз) До 103 (до тысяч)	237,4996	237,4997	237,4997
	0	1000	О1
Сделаем теперь некоторые замечания и дополнения
в связи с принятыми определениями.
1 Здесь использован левый нуль: 0237,49965.
84
1.	Эквивалент определения. В случае округления с поп-
равкой правило «сохранения» формулируется иногда
несколько иначе, чем у нас. Заметим прежде всего, что
при округлении всегда некоторая часть числа действи-
тельно отбрасывается: ведь если число
а = art-i • 10"-1 + ал_2 • 10"-2 + . .. + ak - 10* +
+ ak_r 10*-i + ...
округляется до 10*, то все цифры	... заме-
няются нулями, т. е отбрасывается часть a = a£-i х
X Ю*-1 + .. ..
Например, при округлении любого типа числа 4058,376
до сотен (102) отбрасываемая часть а = 58,376, а сохра-
ненная часть = 4000 или 4100 в зависимости от типа
округления.
Модификация определения округления с поправкой
формулируется в зависимости не от одной лишь первой
отброшенной цифры а от всей отбрасываемой части
числа — а:
Если отбрасываемая часть < у-10*, то округлять сле-
дует по недостатку, а если она > у - 10* — то по из-
бытку.
Будем называть это правило эквивалентом обыч-
ного правила округления с поправкой. Поскольку при
округлении основным является условие минимальности
погрешности, то этот эквивалент лучше выполняет свою
роль: ведь он по существу указывает погрешность округ-
ления Впрочем, он действительно эквивалентен обычному
1 Подробнее о значении эквивалента см. § 10, о погрешности
округления — § 9.
85
правилу, при условии исключения , периодических
десятичных дробей с периодом 9: легко проверить, учи-
тывая, что у • 10* = 5 • 10*-1, что расхождение с обыч-
ным правилом округления будет только в случае a*_i = 4,
ak-2 = &/г-з = ... = 9 (что равносильно случаю а^-х = 5,
аь-2 = ал-з = . *. = 0), когда обычное правило сохранит
цифру akt а его эквивалент увеличит ее на 1. Мы видим,
что эквивалент более точно отражает сущность округле-
ния, учитывая не способ изображения, а фактическую
величину отбрасываемой части.
Однако если условиться (как это всегда делается в
математике) исключить и& рассмотрения период 9, заме-
няя его периодом нуль:
А, aia2 .. ak (9) = Л, 01^2.. . а/? + Ю~*, .
то различие исчезнет и «эквивалент» по названию будет
точным эквивалентом принятого нами правила округле-
ния с поправкой.
2.	Машинное округление. Еще одна модификация пра-
вила «сохранения» при округлении с поправкой удобна
для цифровых вычислительных машин. Она состоит в
следующем:
Чтобы округлить число а до 10* с поправкой, следует
прибавить к нему 5 • 10*-1 (пять единиц следующего
{k—1)-го разряда) и отбросить все цифры, начиная с
(k—\)-го разряда.
Ясно, что это правило равносильно эквиваленту обыч-
ного правила и, значит, равносильно самому этому пра-
вилу при условии устранения периода (9).
3.	Округление приближенных чисел. Случай, когда
округляемое число является приближенным, требует
специального рассмотрения потому, что при этом всегда
имеется в виду округление соответствующего точного
86


числа, и эта особенность должна повлиять на правила
округления.
Пусть, например, х = 31,2465^31,25 = а и мы хотим
округлить приближенное число 31,25 до 10-1 с поправ-
кой. Если бы это было «независимое» точное число, то мы
сразу написали бы 31,3; но оно «связано» точным чис-
лом х, поэтому, округляя а, мы должны думать факти-
чески об округлении х, а его округление с поправкой
до 10—1 дает 31,2, а не 31,3.
Легко понять, что эти рассуждения имеют общий
характер.
Например, если х т 0,300 — округление с поправкой
и мы хотим найти одностороннее округление этого при-
ближения до Ю-3, то, имея в виду точное число х, мы
не можем сделать этого без дополнительных сведений:
ведь если это недостаточное приближение, то округление
числа х в меньшую сторону будет 0,300, а в большую
сторону — 0,301, а если избыточное, то округление вниз —
0,299, а вверх —0,300.
Таким образом, при округлении приближенных чисел
необходимо учитывать соответствующие им точные числа,
а для этого нужно знать происхождение последних цифр
приближений. В соответствии с правилами округления
точных чисел это приводит к следующим дополнительным
правилам:
I.	Приближенные числа округляются по тем же пра-
вилам, что и точные, за исключением оговоренных ниже
случаев.
II.	Общая установка: округлять следует не прибли-
женное число, а соответствующее ему точное число.
III.	Если а — избыточное округление точного числа х
до 10*. то перед округлением а следует вычесть из него 10*.
Пример: х = 0,47998 ж 0,4800 = а, а—10-4 = 0,4799,
а теперь можно округлять.
87
IV.	Если а — округление точного числа х, оканчиваю-
щееся цифрой 5, то при отбрасывании одной этой цифры
предпоследняя цифра сохраняется, если округление а избы-
точное, и увеличивается на 1, если а — недостаточное
округление.
Это следует из III.
Примеры:
х = 4,00516; а =4,005; а1 = 4,01.
х’= 0,3148; а'= 0,315; а', = 0,31.
Здесь а — округление числа х, а — округление <
числа а. ,
V.	Если происхождение приближенного числа неизве-
стно, то оно округляется, как точное.
Так, - если в предыдущих примерах х неизвестно, то
получим ai = 4,01 и aj = 0,32.
Теперь отметим следующее важное обстоятельство:
Если всегда округлять приближенное число, как точ-
ное, то допущенная ошибка (по модулю} не превзойдет
единицу последнего сохраненного разряда.
Действительно, различие между двумя способами окру-
гления ’ обнаруживается только при округлении избыточ-
ного округления, и в этом случае, в силу III, сначала
.вычитается 10* — это и составит ошибку.
4.	Округление точного числа возможно до любого раз-
ряда 10*(—со < £ < +оо), так как точное число содер-
жит бесконечное (в обе стороны) множество точных цифр
[и бесконечное (вправо) множество значащих цифр1 (и
десятичных знаков)].
1 Если число 0.	,
88
Например, точное число 27 имеет округления:
	1 10е |	10* I	1 1	1 10-' |	|	10~10
по недостатку	0	0	27	27	27
по избытку	10е	102	28	27,1	27+10“10
Однако если число приближенное, то правила округ-
ления касаются не всех его цифр — они не имеют смысла
для правых незначащих нулей. Так, число 32000= 32 х
X Ю3 невозможно округлить до десятков и сотен. Дей-
ствительно, округление в меньшую сторону не дает
ничего нового (не изменяет числа), а округление в
большую сторону вообще не имеет смысла, так
как правые незначащие нули замещают неизвестные
цифры и прибавление к ним единицы даст также неиз-
вестные цифры (а вовсе не единицы!). Таким образом,
для целых чисел с незначащими правыми нулями округ-
ление возможно только в пределах его значащих цифр
и влево от них. Так, для числа 32000 возможны лишь
округления:
1	1 ДО ю» |	до 10*	|	до 10б	ИТ. д.
по недостатку по избытку	32000 ззбоб	збббб 400бб	0 166666	
Это не относится к левым незначащим нулям — для
них округление всегда имеет обычный смысл.
89
Так, округляя число 0,0000497, получаем:
	1 до 10-5	ДО 10 4	| до 10—2 |	до 1
по недостатку	0,00004	0	0	0
по избытку	0,00005	0,0001	0,01	1
Здесь сказывается различие между левыми и правыми
незначащими нулями: правые — чисто бутафорные, лишен-
ные всякого количественного смысла, а левые имеют точ-
ный количественный смысл (их следовало бы по спра-
ведливости называть не незначащими, а полузнача-
щими).
5.	Округление до данного разряда (до 10*) является
наиболее общим и универсальным способом округления
в том смысле, что к нему можно свести округление по
любому способу, но не наоборот.
Например, число 0,00049067 (±10~8) можно округлить
до 10* при любом k > — 7, в то время как возможное
округление-до данного числа значащих цифр (десятичных
знаков) соответствует округлению до 10* только при
й = —7, —6, —5, — 4(£ = — 7, —6, ..., —1).
6.	Округление не всегда изменяет число. Округление
по недостатку не меняет числа, если отбрасываются пра-
вые нули дробной части точного числа: 2,39000 = 2,390 =
= 2,39.
Округление по избытку, как правило, увеличивает
число (прибавление 10*), однако и здесь есть исключе-
ния: 0,274 (9) «0,275 — число сохранилось! При устра-
нении периода (9) (что мы и будем всегда предполагать)
таких случаев не будет.
7.	Избыточное округление до k значащих цифр не
всегда достигается одним приемом. Например, при округ-
лении числа 998 до двух значащих цифр сначала полу-
90
чим 1000 (сйова три значащих цифры) и лишь после
вторичного округления, а именно 1000 = 10 • 102 получим
две значащие цифры.
8.	Можно ли сказать, что округление всегда уменьшает
число значащих цифр? Нет, в силу п. 7. Еще пример:
0,99917 1,000 — число значащих цифр сохранилось.
Точно так же нельзя сказать, что округление всегда
увеличивает число незначащих цифр. Например, округляя
по недостатку число 0,00044 с четырьмя незначащими
цифрами (нулями) до 10~2, получим число 0,01 с двумя
незначащими цифрами.
§ 9. ПОГРЕШНОСТЬ ОКРУГЛЕНИЯ
Пусть х — данное число и а — результат его округле-
ния1, тогда х^а и ставится вопрос об оценке погреш-
ности х — а этого приближенного равенства (или при-
ближенного числа а). Будем называть ее погрешностью
округления. Так же, как правила округления сформули-
рованы по-разному для точных и приближенных чисел,
оценка погрешности округления для этих классов чисел
также различна. Нетрудно понять причину этого: при
округлении точного числа возникает только погрешность
этого округления, а в случае приближенного числа не-
обходимо учесть и погрешность самого числа.
Теорема. При округлении точного числа абсолютная
погрешность не превосходит:
а)	в случае одностороннего округления — одной еди-
ницы последнего сохраненного разряда,
1 Иногда вместо «результат округления» будем говорить просто
«округление».
91
б)	в случае округления с поправкой — половины единицы
последнего сохраненного разряда.
Доказательство. Пусть точное число
х = ап • 10я 4- ... + а* • 10* 4-	• 10*-1 4-
4-	.. = а + а (k < п),
а = ап- 10” -4- ... +	• 10*, а = ak-t • 10*—1 4-....
а)	Недостаточное округление:
х а, | х — а | = а,
а = ak-ilO*-1 + .. . < 9 • 10*-* + 9 • 10*-2 + • • • = Ю*.
Избыточное округление:
х^а', а' = а + Ю*,
\х —а'\ = а' —х = а + 10* — (а 4-а) = 10* —а < 10*.
б)	Округление с поправкой: если ak-i <4, то х^а,
| х — а | = а < 4 • 10*-' 4- а*_210*-2 + ... < 4 • 10*-' 4-
4- 9 (10*- 4- ...) = 5 • 10*-1 = 0,5 • 10*.
Если а*_1 > 5, то хтаа', |х— а'| = 10* — а, но
а > 5 • 10*-* = 0,5 • 10*, поэтому |х—а' | < 10* —
-0,5- Ю* = 0,5- 10*.
Доказательство б) несколько упростится, если заме-
тить, что, как показано в а), истинные абсолютные по-
грешности недостаточного и избыточного округлений
равны соответственно а и 10* — а, так что сумма их
составляет 10*. Отсюда ясно, что хоть одна из них не
превосходит 0,5 • 10* — наименьшая Но при округлении
с поправкой, как легко видеть, как раз и берется такое
приближение, которое дает наименьшую из этих двух
погрешностей.
92
Очень легко изобразить это все геометрически:
Содержание теоремы усматривается из этого чертежа
мгновенно: так как х лежит на отрезке аа' длины 10*,
то погрешность каждого из односторонних округлений а
и а' не превосходит 10*; далее, а — это отброшенная
часть числа х; если а^\ <4, т. е. ak~\ <5, то х на-
ходится в левой половине отрезка аа', округление с
поправкой равно а, его погрешность а < 0,5 • 10*; если
же afe-i >5 (значения цифры ak-i указаны на чертеже),
то х находится в правой половине отрезка аа' (или в
центре), округление с поправкой равно а', его погреш-
ность ха' < 0,5 • 10*.
Следствие. В результате округления с поправкой точ-
ного числа получается приближенное число, все цифры
которого точные
Замечание. Если число х оканчивается цифрой 5
(k — 1)-го разряда и мы округляем его до 10*, то оба одно-
сторонних округления имеют одну и ту же абсолютную
погрешность: 0,5 • 10*. С точки зрения величины ошибки
безразлично, какое из двух приближений выбирать. Мы
условились брать при округлении с поправкой избы-
точное приближение. Есть и другие мнения (см. ниже —
правило четной цифры).
Теперь нам необходимо оправдать декларированную
ранее минимальность погрешности округления Точный
смысл этого утверждения состоит в следующем:
93
Теорема. Среди всех чисел, оканчивающихся k-м раз-
рядом, ближайшим к числу х является его округление
до k-ro разряда.
Более точно:
Среди чисел, не превосходящих (больших1) данного точ-
ного числа х и оканчивающихся разрядом 10*, ближайшим
к числу х является его недостаточное (избыточное) округ-
ление до 10k.
Среди всех чисел, оканчивающихся разрядом 10*, бли-
жайшим к числу х является его округление с поправкой
до 10*.
Рассмотрим сначала пример, который, между прочим,
покажет и то, что можно по-разному уменьшать коли-
чество значащих цифр числа (не только путем округле-
ния). Возьмем для простоты точное целое число 37543,
построим для него ряд приближений с тремя значащими
цифрами (до 102) и укажем абсолютные погрешности:
Приближение	Абсолютная погрешность	Приближение	Абсолютная погрешность
37100	443	37600	57
37200	343	37700	157
37300	243	37800	257
37400	143	37900	357
37500	43		
—	—		
Мы видим, что приближения, полученные округлением
(они подчеркнуты), имеют наименьшие погрешности, а
1 Учитывается, что (см. § 8, п. 6) недостаточное округление может
совпадать с данным числом, а избыточное не может.
94
абсолютно наименьшую погрешность дает округление
с поправкой.
Переходим к доказательству теоремы.
Пусть снова
х — ап 10я 4- ... 4- а* 10* 4-	10*~’ 4- .. . = а 4- а,
а = ап 10я 4- ... 4- cik 10*. а = at-i 10*~’ 4- •. •
и пусть
Ь — Ьп Юя 4-... 4- bk Ю*. а' = а 4- 10*, п> k.
Ясно, что если b содержит разряды, старше 10я, то
|х— Ь|>|х —а| и |х—b | > | х — а’\,
поэтому мы исключаем такие случаи. Нужно доказать
неравенство
(*)	|х— а | < | х — &|,
где а — округление числа х, т. е. а = а или а = а'.
1)	b < х, а — недостаточное округление х,
а = а, |х — а\ = х — а= а;
| х — Ь | = х — b -(а — Ь) 4- а;
если а^Ь, то |х — b | > а = |х — а\.
Случай а < b здесь невозможен, так как иначе было бы
а — Ъ а = а — т • 10*, т > 1, и поскольку а < 10*, то
а—Ь + ^ — х—Ь < 0, вопреки условию. Итак, неравен-
ство (*) выполняется.
2)	b > х, а = а 4- 10* — избыточное округление,
|х—а| = |х — а' |=10* — а;
95
имеем:
|х—b \ = b—х = Ь — а — а. — (& — а} — а = т- 10* — а,
т — целое.
Случай т < 0 невозможен, так как он противоречит
условию b > х.
Если т > 0, то
| х — b | = т • 10* — а > 10* — а = | х — а '| = | х — а |.
Случай т = 0 дает а = 0, а — b = х, что невозможно,
так как b > х. Итак, и при b > х неравенство (*) выпол-
няется.
3)	Пусть теперь а — округление с поправкой, & b —
любое (с последним разрядом 10*).
f а, если а < 0,5 • 10*;
а = I
|а', если а > 0,5 • 10*.
Предположим сначала, что а = а, т. е. а < 0,5 • 10*;
если b < х, то по 1) |х —	— а|; если b > х,
то по 2) |х— b | > |х— а' | = 10* — а > 10*-•	10* =
= у • 10* > а, т. е. | х — b | > | х — а |.
Пусть теперь а = а', т. е. а >	• 10*. Если- b < х, то
по 1) |х — Z>|>|x — а| = а>10* — а = |х — а' |; если
b > х, то по 2) |х—6|>|х — а'|.
Теорема доказана полностью.
Короче это доказательство можно провести так.
Всякое число, оканчивающееся k-м разрядом, одно-
96
значно представимо в виде т  10*, где т — целое: если
а = ап 10я 4-On-i 10я-1 4- .. 4-я* 10й (га > k),
то
а = (ап 10" ~* 4- а«-110я-1-* 4- • . . 4- di) • 10й = т • 10*.
Пусть х— данное точное число. Тогда для всякого
целого k существует целое т такое, что
(*•)	т- 10*<х<(/п4- 1) • Ю*.
Число т однозначно определяется по х и k.
Существование т следует из аксиомы Архимеда и
принципа наименьшего натурального числа, а единствен-
ность его доказывается так: если наряду с (**) справед-
ливы неравенства отх • 10й < х < (mi 4- 1) 10й (т— целое),
то mi • 10й < (т 4-1) 10й и т • 10й < (/пх 4- 1) Ю* , т. е.
/Их</п4-1 и /и</Пх4-1. откуда /пх<т и т</Пх>
т. е. /Их = т.
Пусть теперь а — недостаточное округление числа х
до 10й, тогда а' = а 4- Юй — его избыточное округление
с той же точностью, и имеют место неравенства (**) при
а = т • 10й. В силу единственности т никакое другое
число вида т.1 • 10й не может удовлетворять тем же не-
равенствам, т. е. либо оно меньше а, либо больше а', но
всегда дальше от х, чем соответствующее округление.
Перейдем теперь к оценке погрешности округления
приближенного числа. Имеется в виду следующее.
Пусть х — точное число, а — его приближение и ах —
приближение а (мы берем более общий случай — любого
приближения а): хяка, а?«ах. Мы считаем ах прибли-
жением числа х и должны оценить погрешность при-
ближенного равенства х^ах. Имеем:
|х — ах| = |(х — а) 4- (а — ах)| <|х — а| 4-|а — <hl,
? М. Н. Швец
91
где |х — а| — абсолютная погрешность приближенного
числа а, а \а— ах|— абсолютная погрешность прибли-
жения (в частности, округления) ах приближения а.
Будем называть х — ах — полной погрешностью числа
01, а а — а! — его частичной погрешностью. Таким обра-
зом, справедлива-
Теорема. Полная абсолютная погрешность округления
приближенного числа не превосходит суммы абсолютной
погрешности этого числа и частичной абсолютной погреш-
ности его округления.
Короче: при округлении приближенного числа к погреш-
ности округления следует прибавить погрешность самого
числа.
Пример: 1g 2 0,30103 (из таблицы); а =0,30103, ах =
= 0,301; Да=5-10~6, |а-ах | = 0,00003, lg2a= 0,301
(± 0,000035). •
Теперь мы можем продолжить рассмотрение замечаний
по поводу сущности округления.
9. Правило четной цифры. Принятые нами правила
округления применяются в современной машинной мате-
матике и в средней школе. Что касается обычных вне-
школьных вычислений, то правило округления с поправкой
чаще всего формулируется для них несколько сложнее —
оно дополняется следующим правилом четной цифры’.
если отбрасывается одна только цифра 5, то округление
выполняется так, чтобы последняя сохраненная цифра
была четной («округление на четную цифру»). Полностью
правило «сохранения» для округления точного числа с
поправкой формулируется при этом так:
а)	если первая отбрасываемая цифра < 4, то округ-
ляют по недостатку;
б)	если ak-i > 6, то округляют по избытку;
внесли а*_1 = 5 и справа от нее имеется хоть одна
цифра 0, то округляют по избытку;
98
г) если a*_i = 5, а все следующие цифры — нули," и
если последняя сохраненная цифра а* четная, то округ-
ляют по недостатку;
д) если ak-i = 5, все следующие цифры — нули и а*
нечетна, то округляют по избытку.
Вместо двух случаев здесь приходится различать пять. >
Кроме того, добавляются' еще три случая округления
приближенного числа, соответственно IV и V п. 3, § 8,.
причем в случае V неизвестного происхождения последней
пятерки рекойендуется округлять на четную цифру..
“В защиту правила четной цифры приводятся следующие
доводы. Во-первых, при отбрасывании одной лишь цифры 5
ошибка округления получается одинаковой как при округ-
лении вниз, так и при округлении вверх, поэтому тип,
округления можно взять произвольно (см. стр. 93). Во-
вторых, обычное.округление с поправкой для этого случая
(только в большую сторону!) является односторонним,
а правило четной цифры якобы устраняет эту односто-,
ровность (то в большую, то в меньшую сторону). В-третьих,
выбор четной цифры диктуется удобством пользования
четными числами (например, при делении на 2). В неко-
торых странах, например в ГДР, правило четной цифры
узаконено ГОСТом.	'
- Тем не менее случай отбрасывания одной пятерки'
настолько редкий, что преимущества правила четной
цифры не оказывают заметного влияния на результаты
массовых вычислений, т. е. эффект его применения не
оправдывает усложнения формулировок и программиро-
вания более сложных правил округления. Поэтому пра-
вило четной цифры не применяется в автоматических
цифровых вычислительных машинах (см. выше — машин-
ное округление). В связи с этим оно не вошло в наше
основное определение округления. По той же причине
правило четной цифры по рекомендации Главного управ-
7* 7-24 С 4
99
ления школ Министерства просвещения РСФСР исключено
из программы средней школы (см. жури. «Математика
в школе», 1960, № 2, стр. 68—69).
Против правила четной цифры можно привести еще^
следующее принципиальное возражение, снимающее вто-
рой— основной (!)—довод в его защиту («устранение
односторонности»). Естественно считать, что каждая из
десяти цифр встречается в вычислительной практике
одинаково часто. Поэтому можно сказать, что правило
четной цифры не устраняет односторонности округления, "
а наоборот, вызывает ее. Действительно, округление по
недостатку дают пять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, а округление
по избытку — только четыре: 6, 7, 8, 9 (всегда). По обыч-
ному правилу округления цифра 5 относится ко второй
группе, и, таким образом, обе группы уравновешиваются.
Что касается правила четной цифры, то оно относит
цифру 5 частично ко второй группе, а частично к первой,
что вызывает в среднем больше округлений по недо-
статку, чем по избытку.
10. Тип округления (недостаточное — избыточное) не
всегда зависит от вычислителя, иногда он диктуется обсто-
ятельствами, условиями задачи. Бывают случаи, когда
допустимо только округление по недостатку, а иногда
можно округлять только по избытку.
Например, при округлении предельной абсолютной'
погрешности Аа можно брать только избыточное прибли-
жение, иначе есть опасность нарушить определяющее
условие х	,
| х — а | < Да.
Обычно предельные погрешности Да и 8а округляют по
избытку до 1—2 значащих цифр (ср. стр. 17 и 29).
Поэтому нельзя ограничиться ’ рассмотрением только
округления с минимальной погрешностью — округления
100
с поправкой. Тем не менее надо иметь в виду, что случай
вынужденных односторонних округленйй сравнительно
редки — чаще всего тип округления может быть выбран
по усмотрению вычислителя. Вдаких случаях целесооб-
разнее всего пользоваться округлением с поправкой, так
как оно дает меньшую ошибку. Ввиду этого часто округ-
ление с поправкой называют просто округлением, а одно-
сторонние округлейия специально оговаривают.
11. Отметим, наконец, что при округлении приближен-
ного числа некоторые точные цифры его могут стать
сомнительными. Вот пример:
4,6418 (± 0,004) 4,615 (± 0,006) «
4,16 (± 0,052)	5 (± 0,356).
Только округление до одной значащей цифры имеет
все точные цифры1.
§ ю: ОКРУГЛЕНИЕ В ПРОИЗВОЛЬНЫХ
СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ
Рассмотренные правила округления десятичных чисел
не переносятся непосредственно на другие позиционные
системы счисления. Дело в том, что эти правила осно-
ваны на некоторых частных свойствах основания 10 (де-
сять): четности его, наличии десяти цифр системы и
Других.
1 Здесь существенно то, что у нас as = -g-. Если же <о == 1, то
нетрудно видеть, что, округляя (любым способом) число, содержащее
лишь точные цифры, мы получим число, содержаще^ тоже лишь
точные цифры. Для этого, в частности, и вводится <о >	•
101
Мы уже отмечали, что число значащих цифр прибли- ’
женного числа существенно зависит от выбора системы
счисления для его записи. Добавим теперь, что то же
относится и к числу точных цифр и к самому их опре-
делению.
В R-ичном числе
а = amRm 4-... 4- akRk 4- a*-i £*“*.4- • • •
цифра а* называется точной (верной), если ~R* = Aal,
т. е. | х — а | <	• Rk (х — соответствующее точное число,
"возможно х = а). Здесь уже ^Rk не только не равно
5 • Rk~l, но может, быть вообще не целым (при нечетном .
R). При R = 7, 8 или 9 последняя цифра числа 2,3046
(± 0,00005) сомнительная, а при R > 10 она точная.
При . округлении чисел любой позиционной, системы,
счисления (R-ичной) правило «отбрасывания» и правила
«сохранения» для односторонних округлений сохраняются
полностью. Изменяется лишь правило «сохранения» для
округления с поправкой, которое должно быть сформу-
лировано иначе: если первая отброшенная цифра меньше
^R, то округляют по недостатку, а если она > ^-R, то
округляют по избытку (т. е. цифра 5 заменяется -g-Rj.
При нечетном основании R знак равенства здесь не
может иметь места, и это обстоятельство сразу указывает
на неудобства нечетного основания. Действительно, во-
первых, число цифр, меньших у R, равно (вот
1 И здесь можно ввести параметр и> (см. стр. 45).
102
D __ 1 \
они: 0, 1, 2,..., -	-1, т. e. на единицу больше, чем
число цифр, больших R > • • • > R —	, и, таким,
образом, недостаточных округлений приходится делать
больше, чем избыточных. Во-вторых, при нечетном R
теряет ценность хорошее правило округления с поправкой
до &-го разряда, применяемое в математических машинах
(см. § 8; п. 2): прибавление ^Rk' и отбрасывание цифр»
после &-го разряда. Дело в том, что число изобра-
жается в R-ичной системе бесконечной периодической
о______________________ |
дробью с периодом —:
1*1
1 Я* = Rk • О, = 0,00..	(* < 0).
и так как теперь прибавляется число с бесконечным,
множеством цифр, отличных от нуля (в десятичной системе
была лишь одна такая цифра — 5), то приобретают зна-
чение все отбрасываемые цифры, а не одна первая, и.
поэтому сумма может увеличить результат округления.
Вот пример: R = 7, нужно округлить число 0,124335 до*
7-3 с поправкой. По обычному правилу найдем 0,124;
по «машинному» правилу, учитывая, что -% • 7~d =-
® 0,00033333 ..., получим
, 0,124 335
+ 0,000 33333...
0,125 I 00133...
10$
(сложение производится в семиричной системе), что дает
результат округления: 0,125.
: Кроме того, при'нечетном основании правило округ-
ления с поправкой не совпадает с его эквивалентом
.(см. § 8, п. 1)х если отбрасываемая часть'числа <-^7?*,
то округлять следует по недостатку, а рели она >^-Rfc—
то по избытку. Так; в только что рассмотренном примере*
обычное округление до 7-3 дает 0,124, а эквивалент.
" : 0,125, так как отбрасываемая часть
0,000335 > 0,000 (3) = | • 7-3.
Перейдем к оценке погрешности округления точного^
числа. Легко видеть, что рассуждение § 9, касающееся
, одностороннего округления, переносится на любую систему
счисления — достаточно под 10 понимать /?. То же каса-
ется округления с поправкой при четном основании /?.
Самым Интересным здесь является тот факт,, что погреш-
ность округления с поправкой до Rk при нечетном R
может быть больше, чем yR* (если, конечно, пользо-
ваться обычным правилом округления: по одной цифре
ak-i, а не по всей отбрасываемой части).
Действительно, пусть
х = anR" + ... 4* akRk +Mk-iRk~l + ... = a -f- а,
а = OnRn + ... + a,kRk, « = «л-i R*-1 + ...,
а' — а 4- Rk.
404
Если ak-i<.^R, то округлением будет а и по-
грешность
|х—а\ = х — а — а < Ь Rk-4- a*_2R*-2 4-... <
< Rk + (R -1) (Rk~2 4- Rk~3 + ...) =4 Я* 4- Rk~l •
p________________________1
Из неравенства	< —— можно получить уточне-
ние оценки:
х-а
Отсюда видно, что может быть х — a>^-R*.
Пример: R = 5, х = 10,24; а= 10.	'
i.	х —а = 0,24 >0,2222... = 1-.
Здесь 6 = 0, 1-₽о = О,(2), 1 . 5-> = 0,0(2),
/	х —а = 0,24<4 • 5°-|4 • 5-'=0,2(4).
Если ан-i >^-R, то округлением будет а' и
\x — a'\.= a,-rx = Rk — a. = Rk — ai!-xRk-i —
-ak^R^-...<R>‘-
-^R^-ak-iRk-^-...<^Rk.
Таким образом, при округлении по избытку все в по-
рядке. Большая погрешность может появиться только
при округлении по недостатку.
105
Теперь как раз .уместно решительно высказаться в
пользу эквивалента обычного правила округления.
Вполне естественно требовать, чтобы определение ок-
ругления основывалось на существенных, а не на слу-
чайных признаках этого преобразования чисел. Сущест-'
венным же здесь является свойство минимальности
погрешности, и именно оно должно быть определяющим.
Обычно принимают (как и в настоящей работе) правило
округления с поправкой по первой отброшенной цифре.
В то же время эквивалент определения исходит из учета
всей отброшенной части, а не одной лишь цифры ее, и
это как раз отражает существо дела, поскольку погреш-
ность округления и есть отброшенная часть числа или
ее дополнение. Правда, в десятичной системе (как и в
каждой системе с четным основанием) эквивалент опре- ’
деления действительно эквивалентен ему, но уже при
переходе к нечетным основаниям обнаруживаются рас-
хождения между этими двумя определениями. Эти рас-
хождения проникают и глубже. Именно, мы покажем,
что те неожиданности, с которыми мы встретились. при
•округлениях в .системах счисления с нечётными -основа-
ниями, . являются следствиями принятого .правила округ-
ления, и что они исчезнут, если это определение заме-
нить ег.о эквивалентом. ’
Действительно, округляя по отброшенной части, мы ’
устраним превосходство округлений по недостатку (при
-нечетном R), так как отброшенные части заполняют
•сплошь промежуток (а, а'), а округления по недостатку
и по избытку определяются половинами этого промежут-
ка:
•------------—и--------------1
а по недостатку по избытку о'
106
так что случаи округлений разных типов равновероятны—
они встречаются в среднем, одинаково часто. Далее,
«машинное» правило округления всегда равносильно эк-
виваленту определения1, так что это правило восстанав-
ливается, если заменить обычное правило округления его
эквивалентом. Таким образом, в этом случае оба возра-
жения против нечетных оснований отпадают.
Исчезает при этом и странность с погрешностью ок-
ругления: если а < ~ Rk. то это и есть погрешность
округления а — опенка тривиальна; если же а > - Rk, то
|х —а'|=а'-х = R - а < Rk— I Rk = 7?*
— и здесь теорема о погрешности остается в силе.
Все рассмотренное приводит к таким выводам
Принимаемое обычно правило округления с поправкой
(по одной цифре) основано на случайном и несуществен-
ном признаке, поэтому его применение приводит к нару-
шению основных свойств округлений в некоторых сис-
темах счисления. «Эквивалент» этого правила (округле-
ние по всей отброшенной части), наоборот, основан на
самых существенных признаках и допускает прямое пе-
ренесение на любые позиционные системы счисления с
сохранением основных свойств округления. Поэтому более
оправданным является принятие «эквивалента» в качестве
основного определения округления. При этом теория ок-
ругления существенно выигрывает в общности и строй-
ности. Единственное неудобство состоит в том, что «экви-
валент» требует обозрения всех цифр отброшенной части,
1 При условии исключения периода (7?— 1).
107
вместо одной, как в обычном правиле. Зато выигрыш
перекрывает это неудобство. В конце концов, для случая
четных оснований можно перейти на обычное правило,
но это должно вытекать из «эквивалента» как основы
теории и практики округления.
Отметим в заключение случай наиболее важной для
машинных вычислений двоичной системы счисления
(7? = 2). В этой системе правило округления с поправкой
(как и все другие операции) предельно упрощается; ок-
ругление по недостатку или по избытку выполняется
смотря по тому, равна ли первая отброшенная цифра
нулю или единице. При этом предельная абсолютная
погрешность составляет единицу разряда этой цифры:
L. 2* =2*-'.
§ 11. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
1. ЧТО ТАКОЕ ПРИБЛИЖЕННОЕ ЧИСЛО?
Это ' приближенное значение величины. А прибли-
женное— значит, близкое к точному. Такое разъяс-
нение, как правило, устраивает учащихся, так как
оно соответствует здоровой интуиции, основанной на фи-
зических представлениях о близости двух значений ве-
личины. Такая интуиция не только не вредна, но даже
полезна для сознательного восприятия теории прибли-
женных вычислений (впрочем, для формального построе-
ния ее—тоже). Но если бы учителю был поставлен воп-
рос: «Что значит «близкое»?», то это вызвало бы большие
затруднения принципиального характера.
Невозможно установить некое универсальное, единое
понятие близости, пригодное для всех величин и для
108
всех случаев. Если ширина комнаты около 4 ж, .то мож-
но ли считать, что она приближенно равна 6 ж? 10 м? 100 ж?
Здравый смысл подсказывает, что надо взять «близкое»
значение — 3,8 ж и ли 4,1 ж и т. д. А если х як 149 000 000 км,
то 150000000 км близкое значение или нет? А если мы
округляем по избытку число 3,047 до тысяч (такая необ-
ходимость может встретиться в жизни) и получаем его
приближенное значение 1000 (а ведь может быть и 10е,
и миллион и больше), то это близкое значение или нет?
Словом, речь идет о том, что общее математическое оп-
ределение приближенного числа может быть только таким:
если а и b — любые числа, то одно из них можно счи-
тать точным, а другое —его приближенным значением:
аяк& или b^ta. Здесь выражена и относительность по-
нятий точного и приближенного числа (см. Введение).
Нельзя думать, что при этом утрачивается определен-
ность понятия приближенного числа — ведь ее и не было!
Наоборот, таким образом вносится в это понятие чет-
кость и ясность, без которых оно не может быть объек-
том математической теории. А необходимая степень бли-
зости приближенного числа к точному задается, исходя
из конкретных условий задачи. Какой бы сильной ни
была эта близость, мы никогда не придем к противоречию
с установкой, что приближенным значением данного числа
может быть любое число: раз любое, значит и сколь
угодно близкое. А вот если бы мы чем-нибудь ограни-
чили эту близость, то противоречие обязательно возникло
бы (см. предыдущие примеры).
. 2. ПРИБЛИЖЕННОЕ ЧИСЛО КАК ВЕКТОР
Самое важное в понятии приближенного числа — это
то, что оно становится вполне определенным только в
том случае, когда тем или иным способом указывается
7-2404
109
его погрешность. Это указание реализуется по-разному:
или задается приближенное число вместе с. соответствую-
щим точным чиёлом, или указывается его предельная
абсолютная (относительная) погрешность, , или даются
границы неопределенности точного числа, или фиксиру-
ется число точных значащих цифр (точных десятичных
знаков) данного приближенного числа и т. д. Во всех
случаях приближенное число (если оно хорошо опреде-
лено) выступает не самостоятельно, а в паре с другим
числом, характеризующим его погрешность. Даже тогда,
когда погрешность явно не указывается (в вычислениях
без строгого учета погрешностей), она всегда подразуме-
вается более или менее расплывчато и отмечается такими
словами, как «надежные» и «ненадежные», «нужные» и
«ненужные» цифры, а также специальными способами
записи приближенных чисел (принцип акад. Крылова) и
правилами действий над ними (правила подсчета цифр,
правила сокращенных действий и т. д.).
IjJce это — средства, позволяющие садить не только о
самом приближенном числе, но и о его погрешности,
причем чаще всего не в точном, а в вероятностном
смысле. Если же погрешность приближенного числа со-
вершенно неизвестна, то с ним и делать нечего, так как
оно не дает возможности судить о соответствующем точ-
ном числе и поэтому не имеет никакой теоретической и
практической ценности — полученные с его помощью
результаты не будут обладать необходимой определен-
ностью и достоверностью.
Итак, строго говоря, приближенное число это не одно
число, а упорядоченная пара чисел, t. е. двумерный1
вектор, например: (а, Да), первая компонента которого —
значение этого числа (а), а вторая — его предельная
абсолютная погрешность (Да).	• ;
на
Возможны и другие записи (с помощью других ха-
рактеристик точности):
|х, а|, [а. За], {g, G} и т. д.
Все они могут быть сведены друг к другу, хотя не все
одинаково удобны во всех случаях.
Толкование приближенного числа как вектора вносит
полную ясность и четкость в теорию и практику приб-
лиженных вычислений. Действия над приближенными
числами — это ’действия над соответствующими векто-
рами. В частности, известные правила оценки погреш-
ностей арифметических действий и функций1 (мы их не
касаемся в этой работе) выражаются следующим образом:
(а, Да) ± (6, Д6) = (а ± Ь, Да 4- Д6);
(а, Да) • (Ь, Д6) = (ab, | а | Д6 +| b | Да);
(а, Да)п = (ап, а|а|'!-|Да);
cos (а, Да) = (cos а, | sin а | Да);
[а, За] • [6, 86] = [ab, За 4- 86];
Ж Да) = (/(а), |/'(а)|Да).
и т. д.
Все правила метода границ и метода предельных по*
- грешностей1 легко и удобно выражаются на языке соот-
ветствующих векторов: :	>
{£ь Gi} + {ё’г» G2} = {gi+g2, Gi + G2};
{£i, Gi}— {gz, G2} = {gi — G2, Gi—g2};
[a, 8a]: [b, 86] = [a: 6, 8a + 86] (6	0).
1 См.: В. M. Брадис, Вычислительная работа в курсе матема-
тики средней школы, М., Учпедгиз, 1962.
Ш
Связь векторных представлений приближенного числа:
[а, За] = (а, | а | За), (а, Да) = {а — Ьа, а 4-Да}
и т. д.
Если векторное представление приближенных чисел
невозможно (как в вычислениях без строгого учета погреш-
ностей), то и точность результатов либо совсем теряется,
либо приобретает лишь вероятностный характер.
3. НЕКОТОРЫЕ ПАРАДОКСЫ
И при строгом, и при нестрогом учете погрешностей
возникают иногда парадоксы, вызывающие растерянность
и даже разочарование у учителей математики. Разными
авторами отмечались, например, прискорбные случаи
«неоднозначности» результатов, получаемых по правилам
подсчета цифр В. М. Брадиса.
Вот два характерных примера:
1) (1,5—1,1) • 6,1. Этот пример рассматривает
А. С. Косихин1. Вычисления производятся двумя спосо-
бами по правилам подсчета цифр:
х = 0,4 • 6,1 = 2,44 да 2;
х = 1,5 - 6,1 —1,1 • 6,1 = 9,15 — 6,71_= 2,44 = 2,4.
1 См. его статью «К вопросу о приближенных вычислениях в
VI__VII классах» в журн. «Математика в школе», 1964, № 6
(стр. 55).
112
Л Л	<
Два способа—два результата. (Второй из них — 2,4
автор считает более точным). На основании подобных
примеров автор полностью отвергает правила подсчета
цифр.
2) 5,7-2= 11,4 «11;
5,7 4-5,7=11,4.
Этот пример рассматривает К. И. Нешков1.
И здесь применялись правила подсчета цифр: сначала
для умножения, затем для сложения. Вычисления пра-
вильны, а результаты разные. Правда, К. И. Нешков не
отвергает правил, а относит подобные парадоксы на счет
неопределенности понятия «надежная цифра» и стати-
стического характера правил подсчета цифр. Такую ар-
гументацию нельзя признать убедительной: хотя «пра-
вила» и используют некоторые не вполне определенные
понятия, но сами-то они вполне определенные. Откуда
же разнобой в результатах?
Попробуем разобраться в этом вопросе.
Рассмотренные примеры характеризуют две принци-
пиальные особенности правил подсчета цифр. Первая из
них состоит в том, что эти правила устанавливают оп-
ределённые способы оперирования над приближенными
числами, отличные от тех, которые действуют в точной
арифметике, — они определяют по существу новую ариф-
метику — «арифметику приближенных чисел». В этой
новой арифметике сохраняются прежние названия опера-
ций: «сложение», «вычитание», «умножение» и т. д., и
это вызывает желание применять законы соответствую-
1См. его статью в сборнике «Приближенные вычисления
в школе», М., Учпедгиз, 1963-
м-н. Щвец	ЦЗ
щих операций обычной арифметики. Но фактически это
не те же операции, а другие — «псевдооперации», как их
называют теперь в вычислительной математике1. Для них
выполняются не все законы обычных арифметических
операций, в частности, не выполняются дистрибутивный
закон и ассоциативность умножения1 2. Поэтому, если мы
заменяем выражение (а — Ь) • с выражением ас — Ьс (как
в первом примере), то результаты будут вообще различ-
ными. В этом и заключается первая принципиальная
причина расхождения ответов в примерах, подобных пер-
вому: замена вычисляемого выражения другим, эквива-
лентным ему в обычной арифметике, но не эквивалентным
в арифметике подсчета цифр. Правда, такая замена не
может дать большого расхождения 2.
Но эта причина не единственная. Гораздо более силь-
ное влияние на результаты вычислений оказывает при-
ближенный характер правил подсчета цифр, постоянно
подчеркиваемый их автором В. М. Брадисом: «Применяя
правила подсчета цифр, следует твердо помнить, что они
совсем не гарантируют точности последней цифры резуль-
тата. Эта последняя цифра может иметь погрешность,
достигающую в отдельных случаях даже нескольких еди-
ниц, но небольшие значения этой погрешности более ве-
роятны, чем большие»3. Ввиду этого нет ничего стран-
ного в том, что вычисления по разным формулам при-
водят к расхождению результатов.
1 См.: А. С. Хаусхолдер, Основы численного анализа,
М., изд-во иностранной литературы, 1956; И. С. Березин
и Н. П. Жидков, Методы вычислений, т. 1, М.» Физматгиз,
1959.
2 Подобные вопросы составляют открытое и благодарное поле
исследований.
3 В. М. Б р а д и с, Четырехзначные математические таблицы.
114
В первом примере оба ответа 2 и 2,4 вполне сопоста-
вимы, так как, если ближе к точному первое значение
(2), то второе (2,4) имеет погрешность около 4 единиц
последнего разряда, а если точнее второе, то первое
имеет погрешность около 0,4 единицы последнего разн
ряда — все это допускается правилами. Кстати, именно
ввиду возможной погрешности последней цифры, нет ни-
каких оснований считать, что второй ответ (2,4) точнее
первого (2). Это подтверждает и прямое вычисление ме-
тодом границ, которое в предположении, что каждое из
исходных чисел имеет Да = 0,05, дает (по правилу сред-
него арифметического):
(1,5— 1,1) • 6,1» 2,445 (±0,630)»
» 2,4(± 0,675)»2(± 1,075);	_
1,5 • 6,1 — 1,1 • 6,1 »2,44 (± 0,74)»
»2,4(± 0,78)»2 (± 1,18).
Как видим, цифра 4 не заслуживает никакого дове-
рия, поэтому ответ 2 здесь точнее.
Те же замечания применимы, вообще, и ко второму
примеру, но здесь сыграли роль еще два обстоятельства,
требующие уточнения некоторых правил подсчета цифр.
Во-первых, умножение числа на натуральное (точное) по
смыслу равносильно сложению этого числа с собой, а
при сложении точность определяется по десятичным зна-
кам, а не по числу значащих цифр. Поэтому умножение
5,7 • 2 = 5,7 + 5,7 =11,4 верно, а результат 5,7 • 2» 11—
чисто формальный и в данном случае неверный. Впро-
чем, потребителя правил нельзя упрекать в формализме,
если он правильно применяет их, а надо дополнить
правила таким естественным замечанием:
115
При умножении приближенного числа на точное на-
туральное число п< 10 следует сохранить результат
полностью.
Во-вторых, не все значащие цифры обладают одинако-
вым «запасом значности» в количественном смысле: ясно,
что цифра 9 более «весомая», чем цифра 1,—трехзначное
число 999 и четырехзначное 1001 количественно равно-
ценны. Поэтому, если речь идет о числе значащих цифр,
то нужно учитывать это различие Мне кажется, что
правила подсчета цифр следует дополнить еще таким
общим примечанием:
Если первая значащая цифра приближенного числа равна 1,
то она не входит в подсчет числа значащих цифр его1.
При таком дополнении (даже без предыдущего!) пара-
доксы будут устранены из обоих примеров без ссылок
на другие причины. Действительно, в первом примере
числа 1,5 и 1,1 будут однозначными, а поэтому и оба
результата дадут один знак 2. Во втором примере первый
ответ 5,7 • 2 = 11,4 будет верным, так как он считается
двузначным. Конечно, в других случаях придется устра-
нять или объяснять парадоксьГ другими средствами, о кото-
рых мы говорили выше.
Хочется подчеркнуть, что речь идет об устранении
парадоксов арифметики подсчета цифр путем выяснения
характерных свойств ее правил и совершенствования,
уточнения этих правил, а вовсе не об устранении самих
правил, как предлагают некоторые недальновидные авторы.
1 В. М. Брадис придерживается такого же мнения, но он не вклю-
чил его в свои «Правила подсчета цифр». Вот что он говорит: «Есть
основания не считать значащей цифрой единицу, если она является
цифрой старшего разряда приближенного числа». (Энциклопедия эле-
ментарной математики», т. I, М., ГИТТЛ, 1951, стр. 379).
П5
Теперь отметим еще одну группу парадоксов, связан-
ных со строгим учетом погрешностей, именно с методом
предельных погрешностей. Рассмотрим формулу погреш-
ности алгебраической суммы:
Д (о 4- b — с) = Да + ДЬ + Де,
и положим а = 6 = с; это даст
Д(а4-а — а)=Д(а) = Да,
а с другой стороны,
Д (а 4- а — а) = Да + Да + Да = ЗДа,
откуда ЗДа = Да и Да = 0, т. е. число а — точное. Так
можно «доказать», что всякое приближенное число точное,
т. е. что неточных чисел не существует.
Разумеется, аналогичную выкладку можно применить
и к другим формулам теории погрешностей, например:
Д(ад) = |а|Д6 + |6|Да (b =	;
8 (aft) = 8а 4- 8ft (b = и т. д.
и получить соответственно Да = 0, 8а = 0 и т. д.
В чем тут дело? В специфичности соотношений между
предельными погрешностями (см. стр. 18—22). Например,
равенство
Д (а 4- b — с) — Ьа + Ь.Ь + Ьс
означает следующее:
1(х 4- У— z) — (а 4- Ь —с) | < Да 4- ДЬ 4- Дс,
если
#»а(±Да), у^ Ь(± Д6), г«с(±Дс).
117
Полагая здесь х = у = z и, следовательно, а = b = с,
мы получим неравенство
|х — а \ < ЗДа
тривиальное, но отнюдь не парадоксальное
Мы уже отмечали на стр. 19, что равенства типа Да =
= т не транзитивны, поэтому из Д (а + а — а) = ка и
Д (а + а — а) == ЗДа нельзя выводить равенство Да = ЗДа.
По-видимому из-за такой специфичности некоторые
авторы избегают записи подобных равенств. Я не думаю,
что их следует бояться, тем более, что такие равенства
во многих случаях полезны — просто следует иметь в виду
отмеченную особенность их.
4.	О ПРИНЦИПЕ КРЫЛОВА - БРАДИСА
Под названием «принцип акад. Крылова» в настоящее
время в литературе встречается несколько несовпадающих
формулировок, общую часть которых составляют (если не
буквально, то по смыслу) следующие слова:
«Приближенное число следует писать так, чтобы в нем
все значащие цифры, кроме последней, были верны
и лишь последняя цифра была бы сомнительна» (подчерк-
нуто А. Н. Крыловым).
У самого А. Н. Крылова1 к этим словам добавлено:
«и притом не более, как на одну единицу».
Другие авторы либо не прибавляют ничего1 2, либо тре-
1 А. Н. Крылов, Лекции о приближенных вычислениях, МТ,
ТИТТЛ, 1950, стр. 10.
2 Интересно отметить, что у самого А. Н. Крылова (там же,
стр. 17) имеется другая формулировка, не ограничивающая погреш-
ности последней цифры.
1W
бу ют «небольшой ошибки» в последней цифре (И К. Андро-
нов), либо допускают в ней погрешность в 1—2 единицы.
Серьезным научным анализом рекомендации А. Н. Кры-
лова занялся В. М. Брадис. Он предложил добавить
к формулировке самого А. Н Крылова слова «в среднем»,
имея в виду не абсолютную, погрешность числа, а его
среднюю квадратичную погрешность1. В такой форму-
лировке принцип записи приближенных чисел приобрел
в методической литературе название «принцип Крылова —
Брадиса».
Соглашаясь полностью со всеми замечаниями В. М. Бра-
диса по поводу формулировки принципа самим А. Н. Кры-
ловым, я не могу согласиться с модифицированной
формулировкой этого принципа, предложенной В. М. Бра-
дисом. Мое возражение касается не существа модификации
В. М. Брадиса, а именно формулировки ее, которая ведь
должна быть практическим руководством к действию.
В модификации В. М. Брадиса это условие не учтено.
Если речь идет о требованиях' формулировки А. Н. Кры-
лова, то вычислителю ясно, как обеспечить их выполне-
ние: для этого достаточно произвести подходящее округ-
ление. А как должен вычислитель применять на практике
принцип Крылова — Брадиса? Он может обеспечить вер-
ность предпоследней цифры подходящим округлением, но
как ему обеспечить нужную среднюю квадратичную по-
грешность последней цифры? Что он должен делать для
этого? Формулировка принципа и сопутствующие ей разъяс-
нения В. М. Брадиса ничего не говорят об этом. Я пони-
маю, чем вызвано это упущение. Слова о средней квад-
ратичной погрешности последней цифры ни к чему не
1 В. М. Брадис, Вычислительная работа в курсе математики
средней школы, М., Учпедгиз, 1962, стр. 160.
Л9
обязывают вычислителя. Он просто должен знать, что
если к исходным числам, содержащим исключительно
точные цифры, применять операции по правилам подсчета
цифр в некоторых пределах, то результаты будут авто-
матически удовлетворять принципу Крылова — Брадиса.
В этом утверждении, конечно, содержится солидная тео-
рема, но вычислителю или инженеру достатсчно знать,
что она где-то кем-то доказана или может быть доказана
(кстати, нам неизвестно полное доказательство этой
теоремы).
Все это хорошо, но может возникнуть необходимость -
непосредственно обработать данные приближенные числа
так, чтобы они удовлетворяли принципу Крылова—Бра-
диса. Ведь смысл принципа в том, что он дает разумную
рекомендацию для записи конкретных, отдельных при-
ближенных чисел, а не средних результатов массовых
вычислений (что, безусловно, тоже очень важно). Для при-
менения принципа, однако, нужно объяснить, как это
сделать (конечно, простое, но грубое решение, состояшее
в округлении до одних точных цифр, исключается). Кроме
того, в связи с принципом Крылова — Брадиса возникают
некоторые важные вопросы. Если число
а = а„10л 4- ... + аА10* + a^-JO*-*
записано в соответствии с принципом Крылова — Брадиса,
то это уже накладывает определенное ограничение на
абсолютную погрешность, именно: Да = 5 • 10*~1, так как
точность цифры аь означает, что |х — а|<0,5-10* =
= 5- 10*-1. Условие относительно средней квадратичной
погрешности должно как-то ограничить эту максимальную
погрешность. Но как? Или, может быть, достаточно обес-
печить точность цифры а* (предпоследней), чтобы условия
принципа были выполнены? Если нет, то какую среднюю
120
квадратичную погрешность гарантирует равенство Аа =
==5- 10*-'?
Произведем расчеты, начиная с последнего вопроса.
Считая, что истинная погрешность а. = х— а принимает
все значения от —5 • 10*-1 до 5 • 10*“', найдем среднюю
квадратичную погрешность числа а1:
s-io*-1
о2 = -1_ f	8,333... • 102*-2; а = 2,887 • 10*-'.
10* _5.^-1	-----'-----------
Таким образом, максимальная абсолютная погрешность
числа а при условии точности его предпоследней цифры
вызывает среднюю квадратичную погрешность последней
цифры около трех единиц (2,887) ее разряда. Это уже
означает, что округление числа до точной предпоследней
цифры еше не гарантирует условий принципа Крылова —
Брадиса (а < 1).
Как же надо округлять, чтобы оба условия выполня-
лись? Рассчитаем и это. Зададим а = 1 и найдем Да
(в единицах последней цифры):
°2 = i { a2da = (Да)2 = 3’ Да = КЗ ~ 1»732-
Итак, чтобы обеспечить условия принципа Крылова —
Брадиса, достаточно округлить данное число так, чтобы
погрешность составляла не более 1,732 разряда последней
сохраненной цифры.
Здесь уже содержится практическая рекомендация по
округлению чисел в соответствии с принципом Крылова —
Брадиса.
*См. цитированную книгу В. М. Брадиса, гл. 5.
121
Например, если а = 0,2438 (± 0,007), то 0,244 (± 0,072)
еще не удовлетворяет условиям принципа, а 0,24 (± 0,0108)
является желаемый округлением Но в таком случае нет
надобности упоминать в формулировке принципа о сред-
ней квадратичной погрешности, а следует сформулировать
его более просто и удобно для практики:
Приближенное число следует писать так, чтобы послед-
няя цифра его имела погрешность не более
Ясно, что точность предпоследней цифры этим обеспе-
чивается. Кстати, теперь видно, что от формулировки
самого А. Н. Крылова приведенная формулировка отли-
чается лишь заменой 1 на УЗ и устранением лишних
слов.
5.	О СОКРАЩЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ
Издавна существуют сокращенные приемы умножения,
деления и извлечения квадратного корня, они очень хо-
рошо согласуются с правилами подсчета цифр. При руч-
ных вычислениях эти приемы оказывают неоценимую
услугу, существенно сокращая вычислительную работу,
а значит, и время, и умственную энергию. Они избав-
ляют от нелепой тенденции пользоваться при вычислениях
точными методами, а только при округлении результа-
тов— приближенными.
Обучать правилам приближенных вычислений, не обу-
чая приемам сокращения действий, — это значит, внедрять -
вычислительную культуру лишь наполовину, дискредитиро-
вать идею разумной организации процесса вычислений.
Тем не менее, сокращенные приемы действий не изу-
чаются в школе, их не знают и многие учителя мате-
матики.
122
Нигилистическое отношение к этим приемам по-йиди-
мому объясняется распространением технических средств
вычислений, как об этом пишет в своих книгах В.-‘М, Бра-
дис. Но этот аргумент нельзя принимать всерьез по сле-
дующим причинам.*	г
Во-первых, вычислительных машин пока еще нет
в достаточном количестве нет только в школах, но даже
в вузах. Во-вторых, если, бы даже счетными машинами
и были полностью обеспечены учебные заведения, то и
тогда надо было бы учитывать, что вычислять приходится
не только в классах (аудиториях), но и дома, в библио-
теках и других местах, где машин нет.
В-третьйх, сокращённые приемы действий имеют важное
самостоятельное значение, независимое от наличия счетных
машин: они приучают к экономным, рациональным вы-
числениям, повышают вычислительную культуру; они
упрощают Не только результаты, но и весь процесс вычис-
лений (чего нехватает машинам), обладая свойством опти-
мальности.
Я убежден в том, что сокращенные приемы действий
необходимо знать каждому культурному человеку, неза-
висимо от состояния машинной вычислительной техники.
Поэтому они должны быть немедленно включены в школь-
ный и вузовский курсы математики.
Хочется оспорить мнение В. М. Брадиср б том, что
сокращенные приемы действий «часто переоценивают».
Мне кажется, что их, Наоборот— нёдооценивают. Они
вполне заслуживают широкой популяризации. Начало
этому должна положить средняя школа.
м
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие...........................3
Введение..............................5
§	1.	Запись чисел...................J2
§	2.	Абсолютная погрешность.........14
§	3.	Границы неопределенности	.	.	.	.22
§	4.	Относительная погрешность	....	27
$	5.	Точные цифры.................30
§	6.	Значащие цифры.................46
1.	Обзор определений....... 46
2.	Сущность значащих цифр . .	58
§ 7.	Запись приближенных чисел ... 74
§ 8.	Округление.....................81
§ 9.	Погрешность округления ....	91
§ 10.	Округление в произвольных
Системах счисления............ 101
§ 11.	Некоторые общие замечания . . 108
1.	Что такое приближенное число’* 108
2.	Приближенное число как вектор 109
3.	Некоторые парадоксы ...	112
4.	О принципе Крылова — Брадиса 118
5.	О сокращенных вычислениях 122*
Марк Никитич Швец
о ПРИБЛИЖЕННЫХ ЧИСЛАХ
Редактор Г. Д. Шиманская
Художеств, редактор И. 3. Мартьянов
Обложка художника Н. В. Левчишиной
Технич. редактор Я. Я. Горбунова
Корректор Г. Т. Марчук
Сдано в набор 18/Х 1967 г. Подписано к печати
19/11 1968 г. Бумага 70X108*/ti № Ь	<
Условн. печ. лист. 5,42, уч.-изд. 4,49.
Тираж 27 000. БФ 07572.
Издательство «Радянська школа» Комитета
по печати при Совете Министров Украинской GGP
Киев, ул. Юрия Коцюбинского, 5. Изд. № 18978.
Цена И9 коп. Зак. 7-2404.
Типоофсетная фабрика Комитета по печати
при' совел Министров Украинской ССР.
Харьков, ул, Энгельса, 11*
Замеченные опечатки
с£ 5	Строка	Напечатано	Должно быть
37	сверху	10 —аА+1 < 5 < аА+	Ю — ^4-1 < 5 <
	^4 сверху	?, е, о, о, о	о о I |О
79	12 сверху	а = а0,а1,а2...ат' 10* 1	а = а0, а,а2 ... ат • 10* 1
Зак. 7-2404
ЗА СТРАНИЦАМИ УЧЕБНИКА
SHEBA.SPBPU/ZA
Хочу всё знать (теория)
ЮНЫЙ ТЕХНИК (ПРАКТИКА)
ДОМОВОДСТВО (УСЛОВИЯ)