/
Автор: Крылов А.Н.
Теги: математика задачи по математике точные науки приближенные вычисления
Год: 1954
Текст
A. H. КРЫЛОВ
-.гСМАЧ 1 sn ' «г
ЛЕКЦИИ
О ПРИБЛИЖЕННЫХ
ВЫЧИСЛЕНИЯХ
ИЗДАНИЕ ШЕСТОЕ
Допущено Министерством высшего образования
СССР в качестве учебного пособия
для высших учебных заведений
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1954
11-5-2
Л. Я. Крылов. Лекции о приближенных вычислениях
Редактор А. Т. Цветков
Техн, редактор С. С. Гаврилов Корректор И. С. Цреткова
Сдано в набор 4/VIII 1954 г. Подписано к печати 13/XI 1954 г. Бумага 70X108/16
Физ. печ. л. 25,04*1 вкл. л. "Услов. печ. л. 34,42 Уч.-изд л. 37,59 Тираж 10 000 экз. Т-С842О
Цена книги 12 р. 80 к. Заказ № 1345
Государственное издательство технико-теоретической литературы
Москва, Б Калужская, 15
Типография Госэнергоиздата. Москва, Шлюзовая наб., 10.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Отиздательства .... •................................ 6
Предисловие к первому изданию....................*. . . . 7
Предисловие ко второму изданию........................ 8
Г л а в а I
Введение. Общие правила приближенных вычислений
§§ 1—3. Понятие о точности вычисления. Погрешности абсолютная и относительная 9
§§ 4, 5. Основные арифметические действия................................... 11
§ 6. Вычисление по логарифмам............................................... 13
§ 7. Гауссовы логарифмы сумм и разностей.................................... 15
§ 8. Общие правила приближенных вычислений.................................. 17
Глава II
Решение численных уравнений
§§ 9—13. Основы метода Лобачевского........................................ 19
§§ 14, 15. Примеры вычисления вещественных корней по методу Лобачевского ... 23
16—18. Способы вычисления мнимых корней................................ 28
§§ 19, 20. Случаи равных или весьма близких корней ........................ 88
§§ 21, 22. Исправление приближенных значений корней..................• . . . ,44
§ 23. Случаи мнимых корней................................................49
§ 24. Примеры вычисления вещественных и мнимых корней...................• . 50
Глава III
Приближенное вычисление определенных интегралов
§ 25. Выражение площадей, объемов и пр. простыми определенными интегралами . . 58
§ 26. Правило трапеций.................................................. 62
§ 27. Правило Симпсона.................................................' 64
§ 28. Интерполяционная формула Лагранжа................. . ; ............ 65
§ 29. Правило Котеса ...............................................«... 67
§ 30. Формула Чебышева ......................................... 72
§ 31. Формула Гаусса .................................................... 79
§ 32. 33. Примеры.................•.................• • •............... 86
§ 34. Вычисление интеграла с переменным верхним пределом, аналитическое и гра-
фическое . •..................................... •.....................98
§ 35. Особенные случаи................................................. 101
§ 36. Вычисление кратных интегралов................................... 105
Глава IV
Механические приборы для вычисления определенных интегралов
§ 37. Общая теория планиметров...............................................
§ 38. Планиметр Амслера......................................................
§ 39. Интегратор Амслера..........................•..........................
§ 40. Планиметр-топорик......................................................
§ 41. Интеграф Абданк-Абакановича .............. » .........................
107
ПО
114
118
120
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава V
Разложение функций в тригонометрические ряды
§§ 42—44. Общие формулы для вычисления коэффициентов тригонометрического
ряда.................................................................. 123
§§ 45—47. Теорема Дирихле....................................................128
§§ 48, 49. При.меры разложения функций в тригонометрические ряды ........ 138
§ 50. Сходимость тригонометрических рядов. Интегрирование и дифференцирова-
ние их . •..................................................................144
§ 51. Решение одной задачи теории вероятностей............-..................148
§ 52. Формулы Фурье..........................................................152
§ 53. Нахождение коэффициентов тригонометрического ряда, ограничиваясь в нем
заданным числом первых членов...............................................156
§§ 54—59. Усиление быстроты сходимости тригонометрических рядов..............159
§ 60. Гармонический анализатор Генрици.......................................181
§ 61. Анализатор Мадера......................................................185
§ 62. Разложение функции, данной графически, на составные волны, коих длины не-
известны ................................................................. 187
§§ 63, 64. Разложение функции, данной графически, на составные волны, коих длины
известны......................»....................................... 192
Глава VI
Формулы, выражающие связь между суммою и интегралом разностями
и производными» Формулы интерполирования
§ 65. Формула Эйлера.......................................................197
§ 66. Примеры пользования формулою Эйлера..................................201
§§ 67, 68. Интерполирование по разностям, различные формулы такого интерполиро-
вания . ...............................................................207
§ 69. Формулы для вычисления интегралов по разностям.......................224
§ 70. Выражение производных через разности.................................227
§§ 71—73. Методы интерполирования, изложенные Гауссом. Приложение этих мето-
дов к вычислению интегралов и производных..............................231
§ 74. Примеры..............................................................244
Глава VII
Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений
§ 75—77. Пользование теоремой Тейлора для разложения решения в ряд по степе-
ням независимой переменной..................................................248
§§ 7 8, 79. Разложение решения в ряд, расположенный по степеням малых парамет-
ров, входящих в уравнение...................................................254
§ 80. Интегрирование линейных уравнений по методу последовательных приближе-
ний ........................................................................259
§ 81. Разложение решения в ряд по степеням начальных значений неизвестной
функции и ее производных....................................................264
§ 82. Примеры. Движение сферического маятника..............................266
§§ 83—87. Способ последовательных приближений в применении к уравнениям коле-
бательного движения.........................................................273
§ 88. Метод Пикара........................................................• 285
§§ 89, 90. Метод Эйлера приближенного численного интегрирования обыкновенных
дифференциальных уравнений..................................................288
§ 91. Замечание о методе Коши...........................................292
§ 92. Метод Рунге.......................................................293
§§ 93—95. Метод Адамса...................................................296
§§ 96, 97. Метод Штермера................................................303
§§ 98—100. Примеры.......................................................306
§§ 101 —106. Вычисление траектории снаряда.................................317
§ 107. Вычисление формы капли..............................................340
§ 108. Вычисление фундаментальных функций в задачах математической физики . . 344
§§ 109, 110. Замечание о методе Лежандра численного вычисления интегралов. . . 347
§§ 111—116. Интегрирование уравнения движения поезда ......................349
§ 117. Замечание Лапласа...................................................360
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
Глава VIII
Способ наименьших квадратов
§ 118. Введение....................................................... 361
§§ 119, 120. Классификация погрешностей или ошибок......................361
§§ 121—126. Формула Гаусса и поверка ее.................................365
§ 127. Простейшее следствие формулы Гаусса.............................374
§§ 128, 129. Средняя ошибка и ее свойства.............................375
§§ 130, 131. Решение системы уравнений по методу наименьших квадратов .... 378
§ 132. Составление нормальных уравнений................................381
§ 133. Вычисление вероятных ошибок.....................................383
§ 134. Приведение условных уравнений к одному весу.....................386
§ 135. Пример..........................................................388
§ 136. Случай, когда кроме условных уравнений неизвестные связаны уравнениями
точными.......................................................•.........394
Приложение
Таблица значений коэффициентов для интерполяционной формулы Стирлинга . . . 399
Таблица значений коэффициентов для интерполяционной формулы Ньютона.....400
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
«Лекции о приближенных вычислениях» выдающегося советского
математика и инженера акад. А. Н. Крылова были первым в мировой
литературе курсом приближенных вычислений и послужили образцом
Для вышедших после них курсов других авторов. Это классическое
руководство стало настольной книгой для тех работников различных
областей науки и техники, которым приходится доводить до численных
результатов решения встречающихся в их практике математических задач.
Конечно, область прикладной математики, которой лекции А. Н. Крылова
посвящены, значительно развилась за последние десятилетия, так как
в практику повседневных расчетов оказались широко вовлеченными
задачи, не рассматривавшиеся в этих лекциях; чрезвычайно обогатились
средства, которые современная техника может представить для машини-
зированного решения математических задач. Однако «Лекции» А. Н. Кры-
лова полностью сохранили свое значение как лучший курс, вводящий
читателя в эту важную область практической науки.
Настоящее, шестое издание, перепечатывается с пятого, вышедшего
в 1950 г., без изменений.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Заключающийся в этой книге курс лекций о приближенных вычисле-
ниях был прочитан мною в 1906 г. небольшому кружку лиц, собиравшихся
в помещении гимназии К. Мая и образовавших вольный математический
факультет, руководимый проф. Н. М. Гюнтером. Этот курс тогда же был
отлитографирован в ограниченном числе экземпляров’, которые вскоре
и разошлись.
В настоящее издание вошло все то, что заключалось в литографиро-
ванном, и, кроме того, добавлено в главе VI об интерполировании
и о механических квадратурах, и написана вновь глава VII о прибли-
женном интегрировании дифференциальных уравнений.
Содержание курса видно из оглавления его, что же касается изло-
жения, то оно предполагает читателя, знакомого с основаниями высшей
алгебры и дифференциального и интегрального исчисления и имеющего
некоторый навык в производстве численных вычислений.
Причина, побудившая меня к составлению этого курса, следующая:
в современных руководствах математического анализа преимущественное
внимание обращается на вполне строгое установление основных понятий
и на строгое доказательство всех получаемых из них выводов. Ввиду
этого зачастую весьма обстоятельно доказывается существование реше-
ния какого-либо вопроса и устанавливается теоретическая возможность
получения его с любою степенью точности, и гораздо меньшее внимание
уделяется практической части дела, т. е. действительному получению
решения с данным, обыкновенно грубым, приближением, которое только
и требуется в приложениях, но которое надо получить с возможно
меньшею затратою труда и времени. Составленный мною курс лекций
о приближенных вычислениях и имеет целью показать: действительно
применимые практические приемы и способы вычисления корней числен-
ных уравнений, вычисления определенных интегралов, пользования
тригонометрическими рядами и приближенного решения дифференциаль-
ных уравнений. Главная забота при этом была о том, чтобы показать,
как и когда тем или иным приемом или способом пользоваться, а не
о теоретической строгости обоснования самого приема или способа.
Я не касался разложений функции в ряды, расположенные по степеням
переменной независимой, и пользования ими для вычислений, ибо этот
вопрос обыкновенно весьма обстоятельно рассматривается в обычных
руководствах анализа, отдел же об определении истинных значений
выражений, принимающих неопределенный вид, может доставить мно-
жество упражнений, если вычислять значение этих выражений для зна-
чений переменной независимой, близких к тем, при которых имеет место
неопределенность.
В заключение считаю своим долгом принести глубочайшую благодар-
ность Совету Института инженеров путей сообщения, удостоившему
этот курс напечатания в Сборнике Института.
Март 1911 г.
А. Крылов
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Первое печатное издание этого курса уже давно разошлось, между
тем на эти лекции часто является спрос как со стороны многочис-
ленных высших учебных заведений, особенно технических, так и со сто-
роны проектировочных бюро, поэтому Редакционно-издательский совет
Академии Наук включил эти лекции в серию справочно-технической
литературы, издаваемой Академией Наук.
Первоначальный текст пересмотрен и где надо исправлен, кроме того,
сделан ряд существенных добавлений, а именно — в главе V изложены
общий метод усиления быстроты сходимости и суммирования тригоно-
метрических рядов и общий метод вычисления периодов и коэффициентов
таких рядов, в главе VII добавлено изложение метода Адамса — Штер-
мера численного интегрирования дифференциальных уравнений, и, наконец,
добавлена глава VIII, содержащая изложение метода наименьших квад-
ратов, ограничиваясь тем, что из этого метода бывает нужно технику
и инженеру.
Сентябрь '1932 г.
А. Крылов
ГЛАВА I
ВВЕДЕНИЕ. ОБЩИЕ ПРАВИЛА ПРИБЛИЖЕННЫХ
ВЫЧИСЛЕНИЙ
§ 1. Математика прилагается теперь к решению многих вопросов,,
встречающихся не только в таких прикладных науках как астрономия^
геодезия, физика, но и в разных отраслях техники. При таких прило-
жениях требуется часто не только установить зависимость между
разными величинами, входящими в вопрос, т. е. не только составить
надлежащую формулу, но и применять эту формулу к определенным
частным случаям и найти численные величины искомых по данным.
В астрономии и геодезии обыкновенно начинают изложение с указания
тех приемов и способов, которыми надо пользоваться при выполнении-
встречающихся в этих науках численных вычислений. Мы не будем
останавливаться на этих специальных методах, но позаимствуем лишь
общие их основания, одинаково приложимые ко всякого рода вычисле-
ниям, из которых мы будем иметь в виду главным образом те, которые
встречаются в приложениях математики к вопросам техническим.
§ 2. Необходимые для численного определения какой бы то ни было
искомой величины данные доставляются обыкновенно наблюдениями или
измерениями.
Всякому известно, что никакое измерение не может быть произведено
абсолютно точно; напротив, результат всегда заключает некоторую по-
грешность, которая и обнаруживается при повторении измерения тем, что
получается результат, отличающийся от первого. По этим отклонениям
результатов друг от друга судят и о пределах погрешности в них.
Само собою понятно, что погрешности в данных переходят и в опре-
деляемые по этим данным искомые, даже и в том случае, когда вычис-
ление или расчет производится по совершенно точным формулам и с пол-
нейшею точностью.
В технических вопросах искомые определяются обыкновенно для того,
чтобы быть осуществленными или исполненными на деле. Здесь опять
возникают неизбежные погрешности исполнения или выделки; для всякого
изделия существуют так называемые «допуски», т. е. пределы погреш-
ностей, при которых изделие признается годным.
Отсюда ясно, что для прикладных вопросов нет надобности произ-
водить вычисления по абсолютно точным формулам и с совершенною-
точностью; напротив, можно пользоваться заведомо неточными форму-
лами или приемами, лишь бы была уверенность, что происходящая
от этого погрешность не превышает тех пределов, которые в данном
вопросе допускаются.
К такому пользованию неточными или приближенными формулами
и приемами вычисления побуждает следующее обстоятельство: в прило-
жениях обыкновенно интересует не процесс вычисления, а результат его;.
40
ВВЕДЕНИЕ. ОБЩИЕ ПРАВИЛА ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
[гл. I
поэтому и стараются получить этот результат с достаточной точностью
при наименьшей затрате труда и времени.
Этой технической точки зрения мы и будем придерживаться в этих
..лекциях, предметом которых будет служить изложение общих приемов
и способов приближенных вычислений в приложении: 1) к решению
численных уравнений, 2) к нахождению численной величины определен-
ных интегралов простых и кратных, 3) к нахождению сумм рядов и
4) к численному интегрированию обыкновенных уравнений. При этом
мы будем знакомить и с теми механическими приспособлениями, которые
имеются для автоматического выполнения некоторых из вышеупомянутых
операций.
§ 3» Прежде всего необходимо остановиться на самом понятии о точ-
ности какого-либо результата.
Разность между истинным и приближенным значением какой-либо
величины называется абсолютною погрешностью этого значения.
, Указание одной только абсолютной погрешности обыкновенно недо-
статочно характеризует достоинство результата. Так, например, если
сказать, что погрешность некоторой длины составляет 1 мм, то еще
нельзя сказать, хорошо или плохо произведено измерение,—необходимо
знать и самую измеряемую величину. Так, если бы сказанная погреш-
ность относилась к базису длиною в 10 км, то можно сказать, что
результат получен с небывалою еще до сих пор точностью, если же
измерялся, например, диаметр, проволоки или толщина металлического
листа и вместо 3 мм намерили 2 мм, то, вероятно, всякий скажет, что
это измерение никуда не годится.
Достоинство результата гораздо лучше характеризуется указанием
так называемой относительной погрешности, которая представляет собою
отношение абсолютной погрешности к самому значению величины.
Ясно, что относительная погрешность выражается всегда отвлеченным
1
числом; так, в первом из наших примеров она составляет 10000000,
1
во втором у .
Чем меньше относительная погрешность, тем больше точность, с ко-
торою величина известна; поэтому относительная погрешность и при-
нимается за меру точности результата.
Результат всякого вычисления и измерения выражается числом; усло-
вимся писать эти числа так, чтобы по самому их начертанию можно было
•судить о степени точности; для этого стоит только принять за правило
писать число так, чтобы в нем все значащие цифры, кроме последней,
были верны и лишь последняя цифра была бы сомнительна и притом
не более как на одну единицу.
Наиболее точные результаты получаются при взвешивании, здесь для
грузов около 1 кг достигается точность до мг, так что относитель-
ная погрешность составляет всего "уоо^оооо-; следовательно, первые
восемь цифр числа были бы верные и лишь девятая сомнительная, или,
как говорят, результат верный до девятого знака. Но зато такое взве-
шивание требует таких предосторожностей, что продолжается, например,
в Bureau International des Poids et Mesures около 24 часов.
Самое точное измерение длин достигает лишь седьмого знака. В боль-
. 1
шои части технических вопросов точность до , достаточна, значит,
и все вычисления, могут быть производимы на четыре знака.
.(§ 4 ] ' ОСНОВНЫЕ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ 11
Обратим еще внимание на способ написания больших чисел. Пусть,
например, в числе 12732000 четвертая цифра уже сомнительна, тогда мы
это число будем писать так: 1.273-107; если бы была сомнительна пятая
цифра, то это число написали бы так: 1.2732-107.
Точно так же, чтобы показать, что в величине, выражающейся целым
числом, например 37, ошибка начинается лишь с пятого знака, надо это
число писать так: 37.000.
§ 4. Рассмотрим теперь, как отражается на точности результата
производство разного рода арифметических действий над приближенными
числами.
Сложение. Пусть даны числа
М, W2, ....
относительные погрешности коих соответственно суть
е1» е2, .... е*.
Легко видеть, что относительная погрешность е, суммы этих чисел
заключается между наибольшею и наименьшею из относительных погреш-
ностей слагаемых.
В самом деле, обозначая через
81. 82. • ••.
абсолютные погрешности слагаемых, видим, что
___ 81 + + • • • + 6fe
е —n1+n24-... + n/
•С другой' стороны, имеем равенства
'“М’ 2“N2’ ()
а так как все дроби (*) рассматриваются лишь по цх численной, вели-
чине, то дробь
814-^+-.-4-йл
м-ь^+-..+^’
представляющая отношение суммы числителей к сумме знаменателей,
заключается между наибольшею и наименьшею из дробей (*).
: Поэтому, в том случае, когда все слагаемые приблизительно одина-
ковой величины (отношение наибольшего из них к наименьшему менее 10),
надо все их писать с одним и тем же числом знаков—столько же
верных знаков будет и в сумме.
Но часто приходится складывать числа хотя и известные с одинаковою
степенью точности, но сильно разнящиеся по величине; тогда без ущерба
точности окончательного результата можно упростить действие.
Пусть, например, надо сложить числа
52.374, 2.8232, 0.52181 и 0.014253,
которые все четыре пятизначные, тогда не следует делать сложения так:
52.374
2.8232
0.52181
0.014253
55.733263
ибо очевидно, что последние три цифры в сумме не могут быть верны;
незачем было и выписывать как их, так и те цифры, из которых они
12
ВВЕДЕНИЕ. ОБЩИЕ ПРАВИЛА ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИИ
[гл. I'
получились, а следует поступать так:
52.374
2.823
0.522
0.014
55.733
т. е., написав наибольшее из слагаемых, удерживать в остальных лишь,
столько цифр после точки, сколько их у наибольшего из слагаемых (в на-
шем примере —три), отбрасывая остальные цифры, последнюю из удержан-
ных усиливать на 1, когда первая отброшенная цифра 5 или более.
В связи с сложением приближенных чисел находится такой вопрос:
погрешность обыкновенно может быть как положительною, так и отри-
цательною, следовательно, при сложении может происходить взаимная
компенсация погрешностей, в особенности когда число слагаемых велико.
Этот вопрос рассмотрен и решен в теории вероятностей, и мы еще
вернемся к нему в главе V.
Умножение. Покажем, что при умножении относительная погреш-
ность произведения равна сумме относительных погрешнсстей сомножи-
телей. В самом деле, пусть сомножители суть и/У2, и их относительные
погрешности в} и е2, следовательно, истинные величины этих сомножи-
телей суть
A^JVJl + ei) и W; = 2V2(l + e2).
Значит, истинная величина произведения будет
N1N2= N ^2(1 4-®1)(1 + ®2) = Л^^2[1 -J-(ei4-s2)4-e1e2].
Обыкновенно дроби в] и е2 весьма малые, например , тогда произ-
ведение е1е2 будет весьма мало по сравнению с суммою Si4“e2» и им
можно пренебречь, а тогда имеем:
= N,N2 [14- (г, 4- е2)] = N,N24- N,N2 (в, е2),
что и подтверждает высказанное свойство для случая двух сомножителей.
Очевидно, что оно тотчас же распространяется и на любое их число.
Деление. Так как деление на число N равносильно умножению
на число , то при делении относительная погрешность частного равна
сумме относительных погрешностей делимого и делителя. Здесь надо
заметить, что этой величины она достигнет, когда абсолютные погреш-
ности делимого и делителя разных знаков.
Возвышение в степень. Из сказанного об умножении непосред-
ственно следует, что относительная погрешность квадрата числа равна
удвоенной относительной погрешности этого числа, куба — утроенной
и т. д. Это свойство справедливо и для дробных степеней; в самом деле,
пусть N] есть приближенная величина возвышаемого количества ив] —
относительная погрешность его.
Тогда истинная величина есть N— Л4 (1 -|- si)» откуда, возвышая
в степень р, имеем:
Np = Nf (I + S1r = Nf (1 4-pei 4-Pjf^ef 4-.. .)•
Обыкновенно дробь e, настолько мала, что всеми членами, содержащими
эту дробь в степени выше первой, можно пренебречь, и тогда будет
Np = Np (1 4- р8) = Nf 4- psNp ,
§6]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПО ЛОГАРИФМАМ
13
•откуда следует, что относительная погрешность величины N* есть рг,
что и подтверждает высказанное свойство.
При многих вычислениях приходится пользоваться квадратами и
кубами чисел. Для квадратов и кубов целых чисел от 1 до 10000
составлены таблицы, где квадраты и кубы показаны вполне точно.
При пользовании этими таблицами надо избегать выписывания лишних
знаков. Так, например, пусть дано число
^ = 11.66.
Значит, за последнюю цифру нельзя ручаться, и истинное значение
числа могло бы быть, например, и 11.67, но
11.662=135.9556 и 11.663= 1585.242296
и
11.672=136.1889 и 11.673= 1589.324463.
Отсюда ясно, насколько бесполезно было бы выписывать все цифры
-следующие за четвертой или даже за третьей, ибо все эти цифры для
нашего приближенного числа неверны, и выписывание их составляет
лишь напрасную трату труда и времени.
§ 5. При вычислениях с приближенными числами особенно невыгодным
действием является вычитание в том случае, когда разность мала по
отношению к уменьшаемому и вычитаемому. В самом деле, пусть даны
числа 52.287 и 51.939; как видно, в каждом из них мы можем ручаться
за первые четыре цифры, а так как в последней погрешность не более 1,
то относительная погрешность наших данных не более . Между тем,
в разности этих чисел 0.348 последняя цифра может быть неверна на две
2
•единицы, и относительная погрешность может составить ^g, т. е. в 300 раз
бблыпую величину, нежели в данных.
Поэтому при вычислениях надо стараться так преобразовать фор-
мулы, чтобы малые разности двух величин вычислялись непосредственно,
не вычисляя самих величин. Если же этого сделать нельзя, то необходимо
иметь в виду, что относительная погрешность разности во столько же
раз больше относительной погрешности в слагаемых, во сколько раз
сама разность меньше каждого из них.
Отсюда понятна и выгода, доставляемая вычислением ряда значений
какой-либо величины, мало разнящихся между собою, производя это
вычисление так: вычислив лишь одно из этих значений непосредственно,
для получения остальных вычислять те поправки, которые надо к сказан-
ному значению присовокупить, чтобы получить все прочие. Поправки эти
можно вычислять с тем меньшею относительною точностью, чем они
меньше по сравнению с самою величиною.
Большая часть вычислений в астрономии и производится подобно
вышесказанному — всегда стараются вычислять поправки и отклонения.
§ 6. Логарифмы. При большей части вычислений вспомогательным
средством служат логарифмы, поэтому необходимо рассмотреть, какая
при вычислении по логарифмам с разным числом знаков, происходит
относительная погрешность.
Наиболее употребительные таблицы логарифмов, т. е. 4-, 5- и 7-знач-
ные, располагаются всегда так, чтобы для приискания логарифмов чисел,
в таблице непосредственно не указанных, можно было пользоваться лишь
первыми разностями, или пропорциональными частями. Это достигается
тем, что разность между двумя смежными аргументами достаточно мала
14
ВВЕДЕНИЕ. ОБЩИЕ ПРАВИЛА ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИИ
[гл. Г
по сравнению с ними. В самом деле, пусть N ъ N-]-h суть два после-
довательных аргумента; тогда разность их логарифмов (обыкновенных;)
будет
4 = ig(W4-A)-igW==ig"±* =Ц1 +
Но по известной формуле
ip-( 1 □_ JLA — мГ л_ЛА3________________ 1
причем М есть модуль обыкновенных логарифмов, равный 0.43429...;
чтобы при приискании логарифмов пользоваться лишь пропорциональ-
ными частями, надо, чтобы в формуле (*) член
2\N)
был настолько мал по сравнению с первым, чтобы не влиять на послед-
ний знак показанного в таблице логарифма; так, для четырехзначных,
таблиц, если взять (как и сделано) <
JV^lOO’
то будет
1 ( h Y s 1
2 N ) 20 000 ’
т. е. меньше пяти единиц пятого знака, поэтому в четырехзначны»
таблицах аргументы идут от 100 до 1000 через 1.
Точно так же в пятизначных таблицах берут
й 1
w юоо »
тогда ।
1 ( h 1
2 W у 2000000 '
Наконец, в семизначных таблицах аргументами служат целые числа»
от 10000 до 100000, и, следовательно,
h . 1 1 / й \2 1
N 10000 И 2 ( N ) 200000000 ’
т. е. меньше 0.000000005, что не оказывает влияния на седьмой знак..
Таким образом, для всякой таблицы логарифмов табличная разность Д,.
т. е. разность между двумя последовательными, соответствующими
числам W и Af-J-1, логарифмами с достаточною точностью выражается
формулой
Д = 214^ = 0.434- (1)
Отсюда ясно, что когда данное число для которого надо найтн
логарифм, заключается между Д/ и N 1, так что
W<AG<JV+1,
то полагая
будем иметь:
IgAf^lg?^ 0.434 A. = lgW-H-A. (2>‘
§7]
ГАУССОВЫ ЛОГАРИФМЫ СУММ И РАЗНОСТЕЙ
15;
На этой формуле и основано приискание, пользуясь пропорциональными,
частями, логарифма для данного числа и наоборот.
Все показанные в таблице логарифмы заключают в себе погрешности»
которые могут достигать до у единицы последнего знака.
Отсюда ясно, что если число задано даже совершенно точно, все-таки
его логарифм будет найден лишь приближенно с вышеуказанной погреш-
ностью.
Но если самое число известно лишь приближенно, например с относи-
тельною погрешностью= е, то из формулы (2) видно, что погрешность,
в логарифме, происходящая от погрешности в числе, составит 0.43г.
Поэтому, чтобы эта погрешность отражалась не более как на единицы
последнего знака логарифма, надо, чтобы относительная погрешность,
числа составляла как раз столько, как одна единица последнего знака
, 1 1
логарифма, т. е. для четырехзначного 10 0^0-, для пятизначного -iqqqq0.
и т. д., иными словами, чтобы в числе было столько верных цифр,
сколько их всех в мантиссе логарифма.
Отсюда ясно, насколько бесполезно приискивать для числа, в котором,
например, всего четыре верных цифры,—семизначный логарифм.
При обратном приискании числа по данному логарифму, которого
погрешность составляет одну единицу последнего его знака, мы сделаем
в числе относительную ошибку е= г-r, т. е.' 2.30 этой единицы, т. е'.
. 2.30 1
для пятизначного логарифма независимо от величины
числа.
Отсюда видно, что, определяя число по его логарифму, можно полу-
чить в числе лишь столько же верхних цифр, сколько их всех в мантиссе
логарифма, когда первая цифра числа есть 4 или меньше, и одною
цифрою меньше, когда эта первая цифра есть 5 или более.
При этом предполагается, что ошибка в логарифме составляет одну
единицу последнего знака. Надо заметить, что тот логарифм, по кото-
рому приходится приискивать число, обыкновенно происходит от сло-
жения по крайней мере двух других логарифмов, а потому ошибка в нем
на одну единицу последнего знака вполне возможна.
Лишь при извлечении корней, в особенности высокой степени, ошибки
в последнем знаке логарифма может наверняка не быть.
Отсюда следует такое практическое правило: пользоваться логариф-
мами с таким же числом знаков, сколько их всех в подлежащих вычис-
лениям числах, поэтому для большей части технических вопросов вполне
достаточно четырехзначных таблиц, и даже часто было бы достаточно
и трехзначных, но трехзначными таблицами пользоваться не стоит,,
гораздо удобнее пользоваться логарифмической линейкой, которая при
длине в 25 см доставляет такую же точность, как трехзначные таблицы.
При длине 50 см можно получить почти такую же точность, как и от
четырехзначных таблиц логарифмов.
§ 7. При вычислении по логарифмам необходимо привыкнуть пользо-
ваться гауссовыми логарифмами сумм и разностей.
Положим, что числа А и В известны лишь по своим логарифмам»
и требуется найти логарифм их суммы, т. е. 1g(Л-1-В).
16
ВВЕДЕНИЕ. ОБЩИЕ ПРАВИЛА ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
[гл. I
Пусть будет Очевидно, имеем:
ign+B)=ig^(i+4)=ig^+ig(i+4}
Так как логарифмы чисел А и В заданы, то, взяв разность
1gА—lgB = lg-g, имели бы возможность вычислить величину Igl 14"д4 •
Это и сделано в таблицах, в которых с аргументом разности 1g Л — Ig В
прямо находится 1g придав который к 1g Л и получим Ig(X-f-B).
Так, например,
1g А = 0.47712,
1g В =0.30103;
тогда
1g Л —1g В = 0.17609;
с этим аргументом в таблице логарифмов сумм находим:
0.176 0.22189 ’
0.177
0.2214940
следовательно, аргументу 0.17609 соответствует 0.22189 — ...3.6 = 0.22185
и, значит, будет
1g (Л + В) = 0.47712 4- 0.22185 = 0.69897.
Таблица для нахождения логарифма разности составлена следующим
образом. Имеем:
1&(Л—В)=1£Л(1 — 4-")=1ел—1g—Ц-.
А
Пусть будет -^- = а, тогда 1g a = 1g Л — IgB, и для аргументов а может
-быть вычислена величина
г—4r=is^r=ig₽-
1~~А
Эти величины и показаны в таблице, имеющей, следовательно, такой
вид:
Iga 1 1g?
Такое расположение таблиц сделано для сокращения их объема.
В самом деле, когда а изменяется от 1 до со, то р изменяется от оо
до 1, и когда а = 2, то и р = 2.
Из равенства ^Т= ₽ следует такое: а = -р~~1; поэтому, если за аргу-
мент 1g-^-принять 1gр, то соответствующая величина 1g—найдется
Х—А
§8]
ОБЩИЕ ПРАВИЛА ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИИ
17
в столбце 1g а, и, следовательно, принятое расположение уменьшает
объем таблиц вдвое.
Пусть, например,
1g А = 0.69897, . .
1g В ==0.30103.
Тогда
lg а = IgA = 0.39794.
В таблицах находим:
I________II
Iga Igp
0.3979 0.221887
0.3980 0.22181
Следовательно,
1g р = 0.22188 — 2.8 = 0.22185.
Затем
1g (Л — В) = 1g А — 1g ₽ = 0.69897 — 0.22185 = 0.47712.
Совершенно так же, если бы было дано
1g Л = 0.69897,
1g В = 0.47712,
то имели бы
Iga = 0.22185.
Ближайшее к этому число найдем во II столбце, и по столбцу I нахо-
дим число, ему соответствующее, именно:
0.39790 + 10. у = 0.39794 = 1g 0,
и, следовательно, будет:
1g (Л — В) = IgA — 1g р = 0.69897 — 0.39794 = 0.30103.
Пятизначные таблицы гауссовых логарифмов помещены, например,
в сборнике С. П. Глазенапа «Пятизначные таблицы логарифмов»,
изд. Академии Наук. Семизначные — в таблицах Zech’a «Tafeln der
Additions und Subtractions Logarithmen ftir sieben Stellen».
§ 8. Выскажем теперь сводку тех общих правил, которые вытекают
из приведенных выше рассуждений:
1. О точности результата судят по относительной его погрешности.
2. Точность вычисления должно сообразовать с точностью данных,
а точность данных — с той практическою потребностью, для которой
результат вычисления нужен.
3. При вычислении надо избегать выписывания лишних знаков, огра-
ничивая всегда числа так, чтобы в них все цифры, кроме последней,
были верны, и лишь последняя была бы сомнительной.
4. При сложении многих чисел, значительно различающихся по вели-
чине, но одинаковой относительной точности, надо написать вперед
наибольшее из слагаемых и удерживать в остальных лишь столько цифр
после запятой, сколько их в этом наибольшем слагаемом.
5. Логарифмами пользоваться с таким числом знаков, сколько их
в числах.
2 А. Н. Крылов .
J *** * 1 -/V ж яих-ч
1 л. ' I W.K. ЫМ
18
ВВЕДЕНИЕ. ОБЩИЕ ПРАВИЛА ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИИ
f ГЛ.
6. Малые разности стараться вычислять непосредственно, не вычисляя
самих чисел.
7. Когда надо иметь ряд мало разнящихся значений какой-либо вели-
чины, то, вычислив непосредственно одно из них, для получения осталь-
ных вычислять «поправки», которые надо присовокуплять к сказанному
значению. При вычислении поправок довольствоваться тем меньшею
относительною точностью, чем поправка меньше самой величины.
8. Для всякого вычисления следует предварительно, составить схему,,
так чтобы каждое число писалось в свое место. При составлении схем
надо заботиться о том, чтобы при действиях над рядом чисел одно дей-
ствие не шло бы вперемежку с другими, а, напротив, один однообразный
процесс сменялся другим, тоже однообразным, производимым над всеми,
числами ряда.
ГЛАВА II
РЕШЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 9. Для уравнений, степень коих выше 4, не существует формул,
которые выражали бы величины корней через коэффициенты уравнения,
и разыскание иррациональных корней может быть производимо лишь
помощью приближений.
Самый процесс вычисления корней состоит из двух операций: 1) от-
деление корней, 2) вычисление корня с требуемою степенью точности.
В высшей алгебре доказывается знаменитая теорема Штурма, вполне
решающая вопрос об отделении вещественных корней в теоретическом
смысле. Вычисление мнимых корней вида х = а 4- £ V — 1 может быть
приведено к нахождению величин а и — вещественных, следовательно,
по исключении одной из этих неизвестных, останется одно уравнение для
определения другой, и так как для этого уравнения надо знать лишь ве-
щественные величины корней, то теорема Штурма и здесь решает вопрос.
Но такое решение, безукоризненное в теоретическом отношении, на
практике весьма затруднительно по длинноте и утомительности сопряжен-
ных с ним вычислений, в особенности относительно мнимых корней.
Между тем, если для практического вопроса надо решать численное
уравнение высокой степени, то это приходится тогда, когда надо ин-
тегрировать какую-либо систему линейных уравнений с постоянными
коэффициентами, относящуюся к малым колебаниям какой-нибудь мате-
риальной системы или к вопросу о распределении токов в цепи, заклю-
чающей самоиндукцию и емкость.
В этих же случаях надо знать не только вещественные, но и мни-
мые корни.
Мы остановимся поэтому подробно на способе, с теоретической сто-
роны не столько совершенном, как применение теоремы Штурма, но
зато весьма удобно исполнимом практически.
§ 10. Этот способ вкратце изложен в «Алгебре» Лобачевского, из-
данной в 1834 г., затем вновь предложен в 1837 г. цюрихским профес-
сором Греффе и подробно разработан и пояснев многими примерами
астрономом Энке, поместившим изложение этого метода в «Berliner Astro-
nomisches Jahrbuch» на 1841 г.
Сущность способа Лобачевского состоит в следующем.
Положим сперва для простоты рассуждений, что предложенное урав-
нение
/(*) = *-]-a2x" 2-|~a8x'* 3Н“-•х + ал = 0 (0
имеет только вещественные и положительные корни и притом нерав-
ные; пусть эти корни будут
al« ag,..., ад
2*
20
РЕШЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ УРАВНЕНИЙ
[гл. II
и положим, что они расположены по порядку их величины, так что
a2 > a3> .. . ^>an_( > an .
Таким образом, у нас будет
f (х) = (х — <ч) (X — а2)... (х — ал_]) (X — ). (2)
Если в первой части уравнения (1) заменить х на —хи затем умно-
жить на ( -1)л, то, каково бы ни было число п, четное или нечетное,
получится уравнение
f1(x)=xn—а{хп 1-j-a2xn 2 — а3хп 3-j~(——
корни которого суть
а2> • • • ♦ ая »
и, следовательно, первая часть этого уравнения разлагается на произве-
дение следующих сомножителей:
(х 4- a ]) (х -|~ as) • • • (х + ал )•
Положим, что по данному уравнению (1) составляется такое, корни
которого суть
2* 2ft „2ft.
-ai • —a2........—%’
пусть это уравнение будет
F(z) = znAizn~i• • • +A.-iz +А» = 0-
В силу равенства
Г(г) = (24аП(г + 4А)...(г + а“)
будем иметь:
д __ „2* I „2ft . „2ft | f„2ft
-^1 — а1 + а2 + а3 +••• + an »
Аг = (<х 1 а.2)2* —(а. 1 а8)2* -]“••• + (ав-1ап)2*’
Л8 = (ai^aj)2*.-)- (aia2a4)2*-1-..., }
Ап = (аха2...%Г.
Если показатель 2k взят достаточно большим, то в каждой из сумм (3)
первый член будет настолько велик по сравнению с прочими, что с при-
нятою для вычисления степенью точности можно всеми этими членами
пренебречь.
Тогда система (3) заменяется такою:
л 2ft
Л = 4 , 1
Л —(а1аг)2*,
Л8 = (а1а2а3) ,
«I.............................................. (4)
,=(410, ...а ,)2&.
Ап — (а1а2 • • • % I2*, ।
откуда непосредственно следует
и корни а1( а2, ..., ап будут найдены из равенств (5).
В этом и состоит сущность метода Лобачевского.
2*
§ П]
ОСНОВЫ МЕТОДА ЛОБАЧЕВСКОГО
21
§ 11. Итак, все сводится к составлению по данному уравнению (1)
такого уравнения (2), которого корни были бы столь высокими степе-
нями корней предложенного уравнения, чтобы равенства (4) имели место
с требуемой степенью точности.
Для составления уравнения (2) Лобачевский ведет преобразования
последовательно, составляя прежде всего такое уравнение, которого
корни были бы равны квадратам корней предложенного уравнения, взя-
тым со знаком (—), т. е. коего корни
„2 2 2
а1 ’ а2 ’ • • • ’ % •
Повторив над этим уравнением тот же процесс, который служил
для получения первого преобразованного уравнения по данному, получим
второе преобразование, коего корни будут четвертыми степенями корней
предложенного, т. е.
4 4 4
— а, , .— а„ , .. ., — а .
1 ’ 2 * » п 4
Сделав еще раз то же преобразование, получим уравнение, коего корни
будут восьмыми степенями корней предложенного и т. д., пока не дойдем
до столь высоких степеней, что равенства (4) будут иметь место, что,
как покажем ниже, само собою обнаружится при наших преобразованиях.
Чтобы по данному уравнению составить первое преобразование, за-
метим, что мы имели:
f(x)=xn ~{-а\Хп 1 -j- а2х* 2-\-а%хп 3-|- . • - + ал—=
= (X cq) (х а2) (X а3). . . (х ),
и
(—1)л/(—х) = х а{х 1-\-а2х 2 а3хп 3-|- -1)п ап =
= (x + aj)(x Jra2)(x 4- а3). . . (х Ь ал ).
Следовательно, будет
(- 1 Г /(*)/(- X) = (Х2 — a2 ) (х? а2 ) (х2 - . (х* - а2 ) = (Х>) .
Это равенство показывает, чтр если выполнить произведение много-
членов
хп —|—tZjx” 1 —]-а2хп 2 4~ а$хп 3—|~ДдХя 4 ... —
и (5-)
х”—atx" 1 + а2хп 2 — а3х" 3-{-a4x” 4-[- • • • 4~(—
то получится многочлен, содержащий только четные степени х, начиная
с х2"; пусть этот многочлен будет
х2” 4- N1x2n-2+ Д^х2”-4 + Ч - ... + Nn ;.
заменив в нем х2 через z и переменив знаки у членов через один,
мы получим многочлен
гп - N,2n-1+^Z-2-N82f!-34.... + (_.lfA/n, (6)
который и есть требуемый, т. е. коего корни суть:
Этот многочлен есть
Я-Ц г’-Ц-а3
— 2a2 —2аха3
22
РЕШЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ УРАВНЕНИИ
[гл. II
Формула (6') показывает, каким образом по коэффициентам данного
уравнения составляются коэффициенты преобразованного, а именно:
в преобразованном уравнении коэффициент при всяком члене равняется
квадрату коэффициента при члене с той, же степенью неизвестной дан-
ного уравнения, минус удвоенное произведение коэффициентов тех двух
членов, между которыми этот член заключается, плюс удвоенное
произведение коэффициентов, между которыми заключаются эти
два, минус и т. д., пока не дойдем до крайнего члена предложенного
уравнения.
Таким образом, составление преобразованного уравнения сводится
к довольно простому и однообразному процессу.
§ 12. Спрашивается, когда же остановиться в преобразованиях, т. е.
как узнать, что равенства (4) уже имеют место.
Как уже сказано, это узнается по самому процессу; в самом деле,
положим, что после того как сделано h преобразований, т. е. когда
2k = 2h, равенства (4) имеют место; представим себе, что преобразова-
ние сделано еще раз, очевидно, что для этого преобразованного урав-
нения равенства (4) и подавно имеют место; обозначая коэффициенты
этого уравнения через , А '2, ..., А'П, будем иметь:
а' _ 4k
Л а( ,
Л=(а1а2)4*.
Л' =(aia2aJ4*,
в силу же равенств (4) отсюда следует:
4 = а22 .
а' = £ ,
О о
(7)
(8)
А' = А2,
п П 7 )
т. е. в преобразованном уравнении коэффициенты будут равны квадра-
там соответствующих коэффициентов преобразуемого (с принятою при
вычислении точностью); иначе говоря, если вычисление производилось
по логарифмам, то в преобразованном уравнении логарифмы коэффици-
ентов равны удвоенным логарифмам коэффициентов преобразуемого.
Как только такое удвоение логарифмов наступило, дальше преобра-
зовывать незачем, равенства (4) имеют место, и, значит, можно найти
и величины корней.
§ 13. Спрашивается, сколько же раз надо будет делать преобразова-
ние, пока это наступит.
Обращаясь к формулам (3), которые можно написать так:
а,=<«,«,>“ [ 1 + (-j-V*++• • 1=с «а
I \ * / \ * / 1
§ 14]
ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПО МЕТОДУ ЛОБАЧЕВСКОГО
23
видим, что преобразование закончится тогда, когда дроби* е, и е2 и
т. д. будут столь малы, что не окажут влияния на последний знак ло-
гарифма.
Так, например, если вычисление производится с пятью знаками, то
надо, чтобы эти дроби были не более .
/ Яо \ 2Л
Главный член в выражении в! есть (~J I в выражении е2 это есть
/ а \2Л v
'_L] и т. д поэтому чем больше отношение двух смежных корней
“2 /
отличается от 1, тем меньше надо преобразований.
В самом деле, пусть наименьшее из этих отношений есть , сле-
довательно, надо, чтобы было
(— j2* > 200 000,
\ “2 )
откуда
2fe>lg 200000
ИЛИ 26 а. 5”'Ю, . lg № Задавая разные величины получаем: Таблица I
а1 2Л 2й > 2Л h
2 18 26= 32 5
1.5 30 25= 32 5
1.1 128 2^= 128 7
1.01 1227 2«= 2048 11
1.001 12 215 2В * * * * * 14 = 16 384 14
Примечание. В этой и последующих таблицах числа без знака плюс надо по-
нимать как положительные.
В большей части случаев семи преобразований бывает достаточно,
четырнадцать преобразований дадут корни даже в том случае, когда
отношение их равно 1.001. Но практически выгоднее столь большого
числа преобразований не делать, а принять в первом приближении эти
близкие корни за равные между собой и трактовать их так, как будет
показано ниже.
§ 14. Прежде чем излагать дальнейшее развитие способа, т. е. раз-
бирать случаи равных и мнимых корней, проделаем Простейший пример,
чтобы пояснить самый ход преобразований и производство этой операции.
Положим, дано уравнение
Xs — 2x2 _ 5х _|_б = (х — 1)(х 4-2)(х — 3) = 0.
Корни этого уравнения суть: 3, —2 и 1.
Вычислим их по методу Лобачевского, пользуясь пятизначными ло-
гарифмами.
Это вычисление мы расположим, как показано в таблице 2.
Таблица 2
tn а1 a2
1 1 —2 -5 6
; 2 1 4 = 4 — 2а2 = 10 И a| = 25 — 2a1a3 = 24 49 36
2. ; 1 - 14 49 36
22 1 4 = 196 . •—2а2=— 98 98 4= 2401 —2a1<73 = —1008 1393 1296
22 = 4 1 98 1393 1296
23 1 4 = 98« = 9604 — 2а2 — . — 2785 6818 1g 6818 = 3.83366 4=1 940449 — 2ata3 = 254 016 1 686 433 1g 1 686 433 = 6.22698 I 679616
23 = 8 0.00000 1g at = 3.83366 ’ 1 lga2 = 6.22698 1g = 6.22522
24=16 \ < _ 0.00000 2 Iga, = 7.66732 - 4 = 4-6484,107 ig 2 at = 6.52801 — 2a2 = 0.3373-10’ 4.3113-10’ 7 .’63461 2 Iga, = 12.45396 4= 2.8442-10» . Ig2at= 4.13469 — га^з =-0.0229-10» lga3= 6.22522 2.8213-10» 1g 2aia3 “ 10.35991 12.45045
РЕШЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ УРАВНЕНИЙ _____(гл. II
24= 16 0.00000 7.63461 12.45045 12.45044
2» = 32 0.00000 21g «! = 15.26922 af= 1.8587-1015 1g 2о2= 12.7Ё148 — 2ал = — 0.0056-Ю15 2 1g а2 = 24.90090 4 = 7.9599-1024 lg2a2 = 7.93564 — 20^ = — 0.0002-1QM
1.8531.1015 15.26790 1g а-, = 12.45044 7 # 9597.1024 20.38608 24.90089
25 = 32 0.00000 ' 15.26790 24.90089 24.90088
24 = 64 0.00000 21g at = 30.53580 а2 = 3.4340-108® 1g 2<?2 = 25.20192 —2а2=-0.0000-103® 3.4340 30.53580 49.80178 49.80176
2® = 64 0.00000 30.53580 49.80178 49.80176
И ЧТО а2 = мея величину = —2.0000, а 641g а, = 30.53580 1g а, = 0.47712 а,= 3.0000 корней, непосредственной подстановкой определ остальные два имеют знак -|-- 641ga2= 19.26598 lga2= 0.30101 а2= - 2.0000 1яем, какой знак каждому из них должно приписг 64 lg a3 =Т. 99993 1g a3 = 0.00000 a8 = 1.00000 ать; так окажется,
§ 14] ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПО МЕТОДУ ЛОБАЧЕВСКОГО
26
РЕШЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ УРАВНЕНИИ
[ГЛ. II
Схема для этого вычисления получается из общей
схемы (6') и есть
следующая.
Данное уравнение:
Преобразованное:
х3-4- а\Х2-^а2х-~ а8 = 0.
23 + «1
— 2а2
— 2ахаъ
2 + йз •
Таким образом, не выписывая неизвестной, а лишь коэффициенты
при разных степенях ее, получаем приведенную выше таблицу 2
(стр. 24 — 25).
В этом примере вычисление проделано со всеми подробностями.
Первые три преобразования сделаны, не пользуясь логарифмами, на-
чиная с четвертого вычисления ведены по логарифмам, причем вместо
коэффициентов везде написаны их логарифмы.
Из самих преобразований видно, как относительная величина тех
членов, которые присоединяются к квадратам коэффициентов, стано-
вится все меньше и меньше, и в первом коэффициенте при шестом пре-
образовании уже перестает влиять на пятый знак. В коэффициенте при
первой степени неизвестной это наступает уже при пятом преобразовании.
Таким образом, окончательное уравнение будет то, которое дает
26 = 64-ю степень неизвестной х, а именно:
z3-j- A\Z2 ~ 0»
причем
lg At = 30.53580,
lgA2 = 49.80178,
IgA, = 49.80176.
На основании формулы (4) имеем:
641g «ч = lg Ai = 30.53580,
64 lg a2 =4g ф = 19.26598,
Я1
641ga8 = lg4,= T.99998.
я2
Отсюда сейчас же находятся и самые корни, и как видно, они ока-
зываются верными до пятого знака.
§ 15. Первые три преобразования мы делали, не пользуясь логарифмами,
так как коэффициенты предложенного уравнения были весьма просты.
Если же эти коэффициенты выражаются многозначными числами, то
выгоднее сразу вести вычисление по логарифмам. При этом вычисление
может быть несколько упрощено, если преобразовать уравнение введе-
нием новой неизвестной так, чтобы известный член в новом уравнении
был равен 1.
Для пояснения сделаем это для предыдущего примера, начиная
с третьего преобразованного уравнения.
Это уравнение такое:
г3 -'г aiZ2-\-a2z-\-a9 = 0, (*)
причем
lg а! = 3.83366,
1g «2 = 6.22698,
lg a« — 6.22522.
§ 151
ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПО МЕТОДУ ЛОБАЧЕВСКОГО
27
Пусть будет
1
3
z = y-az .
Тогда уравнение (*) примет вид
2 1
asyz + а1Оз3 У2 -\~агДз у + as = О
или по разделении на аъ
____________________________1_ __2
!/8~Ьс1аз 3 3уН_1=О>
и логарифмы новых коэффициентов будут:
lg а, = 1.75859; 1g а' = 2.07683,
так что уравнение для определения у есть
У3+а'1 УЧЧ У + 1 = °’
и дальнейшие преобразования будут выполняться следующим образом
Таблица 3
п = 1 0.00000 1.75859 2.07683 0.00000
л = 2 0.00000 3.51718 3.2899-103 2.37786 — 0.2387.103 4.15366 1.4245-10* 2.05962 - 0.0115-10* 0.00000
3.0512.103 3.48447 1.4130-10* 4.15014
2 0.00000 3.48447 4.15014 0.00000
22 0.00000 6.96894 9.3098-10® 4.45117 —0.0283-10® 8.30028 1.9965-108 3.78548 — 0.0000-108 0.00000
9.2815-106 6.96762 1.9965-108 8.30028
2» 0.00000 6.96762 8.30028 0.00000
23 0.00000 13.93524 8.60131 13.93524 16.60056 0.00000
23 = 8 0.00000 13.93524 16.60056 0.00000
Таким образом, если обозначить через
__8
С = у8 = (х8-а3 3)8 = х64-а3 3
то уравнение для С будет такое:
сз4-Л' c24-4c+i ==о,
28
РЕШЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ УРАВНЕНИИ
[ГЛ. В
причем
1g Л' = 13.93524 и 1gЛ' = 16.60056;
следовательно, уравнение, в коем неизвестная z = x64, будет такое:
8 16
Z3 Л| 4“ ^2 ^3 Z а3 = 0»
причем
1g аа = 6.22522, -|-lga8= 16.60059.
Таким образом, получаем:
641g а, = 13.93524+ 16.60059 = 30.53583.
641g а2 = 2.69532 +16.60059 = 19.26591.
641g а8 = 16.60059 — 16.60059 = 0.00003,
откуда .
lg aj = 0.47712; lga2 = 0.30103; lga8 = 0.00000
и
at = 3.0000; a2= -2.0000; a8=1.0C00,
как и раньше.
§ 16. Положим теперь, что предложенное уравнение имеет мнимые
корни; пусть, например, ___
a2 = g (cos ср + V— 1 sin ср),
a8 = g-(cos<p—V—1 since);
тогда • ___
а2 = [cos mt? + ]/ — 1 sin /пер],
аз = [cos ту—|/—1 sin/пер] ’ *
и
' а7+аГ = 2^”с°8/П(?. (Ч*з)т=в2т- (9>
Положим также, что остальные корни вещественные и что имеют
место неравенства
ai>^>a4>a5.. .>ал. ч. (10)
Тогда, если уравнение
F(z) = za + +Z-1 + Л2гп~2 + Л8г"-3+... + An_xz + Ап = 0
есть то, корни которого суть /п-е степени корней предложенного, взя-
тые со знаком —, то, как мы видели, будет
Л2 = (сца^У” + (а1а2)'”+ (а]а8)т + . . .,
А» ~ (а1а2аз)"* (а1а2а4)т 4“ (а 1аза4)т + • • •»
А4 = (а1а2а8а4)т + (а1а2а8а5)’п+ ....
Если т настолько велико, что будут иметь место неравенства
^>Kgm,
<>^5т . . -
(11)
и т. д., причем К. есть столь большое число, что для вещественных
корней имели бы место формулы (4) [т. е. для вычисления по пятизнач-
§ 16]
СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ МНИМЫХ КОРНЕЙ
29
ным таблицам №=200 000], то предыдущие формулы пишутся так:
A = <(14-«1),
Л2 = а™ (а” + ) + аГаГ Н-* • • = 2а(cos т<о-^е2),
Л8^(а1а2а8)т(1+ез)= <^/"(1 + s8),
Л4 = (а1а2а8а4)т(1 +е4)= (1 4-е4),
причем еь е2, е8, е4, ... — малые по сравнению с 1 дроби, не большие IfK, и,
следовательно, не влияющие на последний знак логарифма; если эти
дроби отбросить, то предыдущие формулы можно написать так:
Лт
1 — а1 >
A = 2af’ ^mcos(m<f + e2).
Л3 = ai g ,
л __т 2ГПГПГП
Ас = a. g а. а_ ,
о 1 о 4 5’
(12)
Из этих формул видно, что по мере возрастания числа т все коэф-
фициенты в преобразованных уравнениях, кроме коэффициента Л2, будут
стремиться к тому, что их логарифмы начнут удваиваться.
Совсем не то будет с коэффициентом Л2 — старший и главный член
его заключает множитель cos/n<p, при изменениях числа т этот косинус
может изменяться, принимая самые разнообразные значения и зачастую
меняя свой знак; таким образом, при преобразованиях, в ходе этого
коэффициента не будет никакой правильности, а перемена в нем знака
будет служить явным признаком наличия мнимых корней. Из формул (12)
мы сейчас же получаем:
a"-4.1 (>3)
* Л
а" =А
5 Л
и т. д., т. е. мы найдем величины всех вещественных корней и модуль
мнимых. Мы получили формулы (12) в силу допущенных неравенств (10).
Легко убедиться, что если бы величина g занимала в ряду корней
место между at и а/+3, то в предельном преобразованном уравнении
коэффициенты расположились бы так:
л „т
Л1=а, ,
л т т
А = а! а2 •
я ___„ tn т т т
— а( а2 а3 . . . aj ,
Д+1 = 2а. a/'"g'" (cos mcp -j- в{) [неопред.и меняет знак],
А+2 а1 а2 а3 • ' • й1 S »
я т т т т ^2т т
А+З а1 а2 а3 • • • ai & а/-|-3
(14)
И т. д.
30
РЕШЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ УРАВНЕНИЙ
[ ГЛ. 11
Из этих соотношений найдем все вещественные корни: аь а2,..., а.„
а.+3отношениедоставит величину модуля g мнимых
корней.
Совершенно так же, предположив, что имеется две пары мнимых кор-
ней, так что, например, ___
a2 = g\ (cos Ф14- V— 1 sin <р]),
as = 5i (cos <pi — /— 1 sin <р()
и
а5 = & (cos <?2 + sin <р2),
аб = 5г (cos <р2 — V— 1 Sin <р2),
мы получили бы такие соотношения:
А2 = 2а”^ (cos m<fi + S2),
Лт 2т
8 а1 Sy >
Лт 2т т
4 = а1 51 а4 ’
Аб = 2а75ГаГ5Г (cos mtP2 + еб).
А, = <5,4"^
(15)
и т. д., из которых опять-таки найдутся величины вещественных кор-
ней и модули мнимых.
Нетрудно убедиться, что, каково бы ни было число пар мнимых
корней и каков бы ни был порядок мест, занимаемых их модулями
в ряду неравенств (10), всегда из отношения тех коэффициентов, ход
которых правильный, найдем величины вещественных и модули мнимых
корней.
Исключения составят те случаи, когда величины вещественных кор-
ней и модули мнимых будут между собою равны.
Эти исключительные случаи мы рассмотрим отдельно. Теперь же
покажем, каким образом для каждого модуля находить соответствую-
щий аргумент.
§ 17. В том случае, когда мнимых корней одна или две пары, нахо-
ждение аргументов по известному модулю почти не требует вычислений.
В самом деле, обращаясь к данному уравнению
f (х) = хп -|- aiXn~} а2х”-2 -)- ••• 4 ап-\х + ап = 0,
замечаем, что по известному соотношению между корнями и коэффици-
ентами имеет место равенство
— О| = а.] 4- а2 4~ • • -4" 2^cos!p4~ • • • +an , |1б)
из которого и найдется аргумент tp, соответствующий модулю g.
В этом случае, когда имеется две пары мнимых корней
5i(cos<pizt sin^)
и
52 (cos <р2 zt sin <р2),
то стоит только в предложенном уравнении положить
§ 17]
СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ МНИМЫХ КОРНЕЙ
31
а, значит,
1
как получится новое уравнение
апУп-\-^п-\УП 1~Ьал-2У" 2~i~ • • -4” агУ2Ч~а1У~Ь 1 ~ О»
или иначе
корни которого суть
4’ Т-’ • * • ’ ^"(cos<?i — У~~1 sin<?i). ~~ (cos <?2 =t sin-f2),..., 4"к
а1 ал SI 52 ап
и из которого следует соотношение
—— ~~+V-+• • -Я—cos ¥1 + C°S <?2 + • . .4—— , (17)
ая а, । а2 1 1 gt T1 1 g2 Т2 1 “n ' '
которое вместе с соотношением
— а, = aj 4-а2 + ... -\-2gi cos + 2g2 cos <р24~ • • • 4~ % . (18>
следующим из заданного уравнения, и доставит величины аргументов
<Р1 и <?2-
Нетрудно также и в случае трех пар мнимых корней, не прибегая
к общей теории, по найденным вещественным корням и модулям мни-
мых найти соответствующие им аргументы, стоит только к уравнениям
(17), (18) присоединить аналогичные им, относящиеся к первому преоб-
разованному уравнению, т. е. к тому, коего корни суть
a2, a* , ..., g2 (cos 2<р! ± У—1 sin2<р]), g2 (cos2^2—V— 1'sin 2<р2),
(c°s 2?3 zt У~ 1 sin 2cp3), . .., a2 .
И у нас получится такая система уравнений:
<4 + аг+ • • • +2^! cos <₽i + 2g2 cos<р2+2g3 cos <о3 -f-...-f- % = — ah
— 4- — -4-... + 2 cos -j-2 — cos <?2 4-2 4- cos <p3 4- ... 4- — — — ^4,
«1 ’ «2 ’ 1 Si T1 1 Si Y2 1 131 a„ ’
a, +<4 + • • • + 24 cos 2<pi 4- 2^ cos 2?24- 2^ cos 2<p3 + ... + a2 = — A, (19)
4+ t+ • • • +24cos 2<ft 4- 2 1 cos2<p24-2± cos 2<p3 4-... +1 = — ^4.
f “2 «1 «2 S3 a„ An
Полагая для краткости
costpi = /i; cos<p2 = /2; cos<p8 = f3
и замечая, что
cos2<pi = 2cos2<pi—1, cos 2<p2 = 2 cos2<p2—1, cos2<p3 = 2cos2<p3—1,
видим, что предыдущие уравнения принимают вид
^414-^2 4-^8 = ^.
Ti*1 +?2/2"^58^ = /’2’
32 РЕШЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ УРАВНЕНИЙ [ ГЛ. И
из первых двух уравнений найдем выражения вида
и, по подстановке в последние два, получим два уравнения вида
fnitf + n^l = Pb
т2^ ~Ьп2?1=Р2>
или иначе
/2 ! 771 / _£l
т1 1 тг ’
Л I П2 _Р2_
т2 т2 '
и так как ti есть общий корень обоих этих уравнений, то
4 Ргт2 — Р2т1 (21)
Г1 п1т2 — п2т19 * '
после чего по формуле (20') найдутся f2 и t3.
§ 18. В общем случае, когда число пар мнимых корней больше трех,
изложенные выше частные приемы не ведут к цели, поэтому покажем
общий способ нахождения аргумента, соответствующего данному модулю.
Паре мнимых корней соответствует трехчлен х2— 2gxcos<p4~£2> на
который должна делиться нацело функция / (х), представляющая первую
часть данного уравнения.
Обозначая для краткости '
2^cos(p==p,
мы приходим к такой задаче: дан многочлен
/(x)=xn4~aix” ~\~ап (22)
и дана величина g2; определить величину р так, чтобы многочлен /(х)
делился нацело на трехчлен
Х2_рх + ^ (23)
Решение этой задачи может быть выполнено весьма разнообразными
способами. Простейший :по идее такой: оставляя р неопределенным,
будем выполнять деление’ многочлена /(х) на трехчлен х2— р* + й2 Д°
тех пор, пока получим остаток первой степени относительно х.
Пусть этот остаток будет
Px + Q;
здесь Р и Q выразятся как известные функции от р, а именно: Р будет
целый относительно р многочлен степени п—1, и Q — таковой же мно-
гочлен степени п — 2, т. е. будет
P = p«-*+Z,1P»-2+... + V2p+V1. (24)
Q = рП 2 +’С1РП—3 4“ • • • ~г Сп-зР "Г Сл-2- (25)
Так как величина р должна быть такова, чтобы деление выполня-
лось нацело, то необходимо, чтобы было
Р = 0 и Q = 0, (26)
следовательно, р есть общий корень уравнений (26), и, значит, его ве-
личина может быть найдена также простым делением, а именно: мно-
гочлены Р и Q будут иметь общий делитель вида p—h', тогда величина
p = h
и есть искомая.
§18]
СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ МНИМЫХ КОРНЕИ
33
Поясним это рассуждение примером.
Положим, что для уравнения
f(x) = х4 + 2x3 х _|_ 2 = о
найдено, что
£2=1,
т. е. что f(x) имеет трехчленный делитель вида
х2 — рх -|-1;
надо найти р.
Совершаем деление:
х4 + 2xs + х -f- 2 I х2 — рх -+- 1
— х*±рхздзх» |х«4-(р-|-2)х + (р« + 2р— 1)
(р -]- 2) х* — х» 4* х
- (р + 2) х» ± (р2 +'2р) х» + (р + 2) х
(р2 + 2р_1)х»-(р-Ь1)х + 2
_-(р2 4-2р—1)х»±(р» + 2р^ —р)х + (ра+2р—1)
(р» + 2р«-2р-1)х-(р8 + 2р-3)’
Значит, искомая величина р есть общий корень уравнений
Р = рЗ_|_2р2 — 2р — 1 = Q
и
Q = р2 —2р — 3 = 0.
Чтобы определить этот общий корень, ищем общий
литель многочленов^
р3-|-2р2 — 2р — 1 и р24~2р — 3.
Имеем:
наибольший де-
рЗ_|_2р2 —2р — 1
— p3zp2p2±3p
р2 + 2р —3
Р
Затем
р24-2р-3 р-1
p2ztp РН~3
Зр —3
Зр —3
Значит, общий наибольший делитель есть р—1, и искомое значе-
ние р есть
Р = 1;
следовательно, искомый трехчлен есть
и, в самом деле,
х42x3 4-х + 2 = (х2 — х + 1) (х2 + Зх + 2).
Хотя описанный прием и весьма прост по идее, но по выкладкам он
сложен, в особенности для уравнений высокой степени, поэтому Энке,
развивший способ Лобачевского-Греффе в статье, помещенной в «Berliner
Astronomisches Jahrbuch» за 1841 г., предлагает другой метод, сущность
которого состоит в следующем.
Какой бы степени ни было предложенное уравнение
/(x) = x'*4_aiA:" 1 + а2х" 2 +• • •4-ал_1х-|-ап = 0,
3 А. Н. Крылов
34
РЕШЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ УРАВНЕНИЙ
[гл. II
всегда можно распорядиться так, чтобы эта степень была четною, так
как если п нечетное, то стоит только, умножив первую часть уравне-
ния на х, рассматривать новое уравнение
x"+l 4-aiXa 4- а2хп~1 +... + + апх = О,
которое имеет все те же самые корни, как и предложенное, и, сверх
того, еще корень х = 0.
Итак, будем писать наше уравнение в виде
х2*4~ С]*2*-1 -|- а2х2к~2 -\-... + аА_,хл+1 + акхк 4~
~Ь an+ix 4“ • • • 4“ а2и—1х 4~ a2k 0 (27)
и положим, что величина g есть найденная величина модуля одной из-
пар мнимых корней, так что эти корни суть
ai = £(cos ср + V — 1 sin ср),
аг+( = g (cos ср — ]/-Л sin ср);
(28>
требуется определить величину аргумента ср.
Подставив величины (28) в первую часть уравнения (27) и приравни-
вая отдельно нулю вещественную и мнимую части, мы получим для
определения ср уравнения
cos2&p4~nig2ft 1 соэ(2Л— 1)ср—. .4-aA_1^*+’cos(^-|- 1)<р +
4-а^* cos Лер +... -f- а2к = 0,
^2*sin2^cp4-aI/*_|sin(2^— 1) ср -]- ... 4-aft_1£*+1 sin (Л -f- 1)ср4~
(29)
+ akg sin Лерsin ср = 0.
Умножив первое уравнение на cos Лер, второе — на sin Лер и сложив оба
произведения, а затем умножив первое уравнение на $1пЛ<р и второе на
cos Лер и вычтя первое произведение из второго, получим два новых
уравнения, которые по разделении на £к окажутся:
,В cos Лер-I-A cos (Л--1) ср 4-А со8(Л —2) ср 4-... 4—^4} cos ср 4-^=0, (30)
S & g 1 2й; '
Y sin Лер 4—~ sin (Л— l)cp4~~iFsin(^ — 2)ср4~...
4^&incp=0,
(31)
причем положено
i+v~2* = ?> ’-<w-2*=t.
+^-.^ (2*~2>= - ^-(2к~2> = 7ь
“2 + ^-г^2^4' = «2 — «2*_2g-<2ft~4) = 72.
(32)
а*-1 + аи+1^ ~ ?Л-1 ’ ак— 1 а*+1£
ак 4~ ak ~ J
Для решения уравнений (30) Энке пользуется тем обстоятельством,
sinn«
что для всякого целого числа п как cos пер, так и sin т выражаются
через целые степени cosep.
§ 18
СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ МНИМЫХ КОРНЕИ
Формулы, сюда относящиеся, были даны И. Бернулли и затем Эйле-
ром еще в 1720-х годах. Эти формулы следующие:
2 cos nto = (2 cos ф)" —т~(2 cos <p)n~Jra ~ — (2 cos <p)n-4 —
1 1 • z
_ „^ 4) (л-5) (2 cos r„+ n(n-5)(n-6)(n-72 (2 cos ^„.8 _
1*Z*O l*Zeoe4
1ЙГГ = (2cos~^T”2(2 cos(р)П~8+ (Я~ ьа”"4'^2cos'?)n'5-
_ (w-4)(n-5)(n-6) (2 cos yx-7 +
1 • Z • о
(n — 5) (n — 6) (n — 7) (n — 8)
1-2-3-4
(2 C0S<p)n"9
Полагая: —2g,cos<p = Z или 2cos<p = —делая затем в формулах
(33) п — к, k — 1,..., подставляя полученные величины в уравнения (30),
получим для определения t следующие два уравнения:
_ ₽/-1 + (- 1 -
- ё1 М?-2 - (к - 1) ук~2+(к - 2) ук~* -...] +
+ g4ГЦ^З).^-4.(^-1)^-4) ₽1?-5+ .. 1
1 • Z 1•Z 1 • z
fA(fe-4)(fe-5)0^_6 (4-l)(4-5)(fc-6)0>7 , ] ,
[----ьГз---Pr-----------П^з------Pi* T • • •] +
_|_^Г [ fe(fe-5)(fe-6Hfe-7) ^-8_ ] _ = о (34)
/"* _ y ,Z*-2 _|_ y/-3 _ y/~4 (_ 1 )*-‘Уй_] —
- g2 [(* ~ 2) Y^-3 - (k - 3) Y,Л4+(k - 4) Uk~5 -.••] +
(A-3)(fe-4) „,й-5 (fe-4)(fe-5) „ ^-6 ( 1
1.2 ‘‘ Ь2
(fe-4)(fe-5)(fe-6) л-7 _ (fe-5)(fe-6)(fe-7) ,*-8 , I ,
1.2-3 1.2-3 Yl1 “Г-*- J"T
:(fe_5)(fe-6)(fe-7)(fe-8).^-.9 , 1_- _n (35)
1.2- 3-4 •••] ------
Искомая величина t есть общий корень этих двух уравнений и, следо-
вательно, найдется разысканием общего наибольшего делителя много-
членов, представляющих первые части уравнений (34) и (35).
В простейших случаях уравнения (34) и (35) суть следующие:
1) Предложенное уравнение 4-й степени
f (х) == х4 -}-aiX34- a2x2~l~asx -j-a4 = 0,
1+а4£“4=?> !—«4^4 = Y»
ai + as^-2 = ₽1, «1—a85“2 = Yb
2а2 = Рг»
^2-^ + (Р2-2₽^) = 0,
у/_ У1 = 0;
з*
36
РЕШЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. II
как видно, в этом случае второе из уравнений и дает искомую
чину t, первое может служить поверкою.
2) Предложенное уравнение 6-й степени
f (х) = х6 + а]Х5 + «г*4 + азх3 + а4х2 + а5х + ав — О ’
вели-
1 +a6g~6 — ₽; 1 ~ aeg~6 = Y,
ai + a5£"4= ₽b ai~ a5£~4 = Yb
a2+a4g~2—k a2 — a4g-2 = 72.
2a3 =
₽/3 _ p1/2 + (₽2 _ 3^2) t _ (₽# _ = o,
у/2 — Yi^+(Y2 — Y£2) = o-
3) Предложенное уравнение 8-й степени
/(х) = х8-|-а1х7-|- а2х6 + а3х5 +
+ а7х-|-а8 = 0;
14-<W8=?»
ai + a7^6 = pj,
°2 + a6g~4 = Is?
а8 4-а5^-2=?3>
2а4 = р4,
1 — a8g’8==Y.
«1— с7^г-6 = Ть
——Y2>
а3 — «5£"2=Лз.
^4-Pi^3 + (P2-W)/2-(^3-3^2)/ + (^-2^24-2^) = 0
It3 — Yi/2 + (y2 — 2Y^2) t — (Тз — Yi£2) = 0- ,
Таким образом, по данному модулю g найдется ^соответствующий
трехчлен
х2 — 2gcos<f'X-[-g2 = x2-[-tx-]-g2,
что только и требуется для определения величин обоих мнимых корней.
Как видно, для определения величины t не придется решать уравне-
ния (34) и (35), а все сводится к делению и подстановкам.
Так как и зависящие от него коэффициенты в уравнениях (34) и
(35) будут по большей части несоизмеримыми, и все вычисление произ-
водится по логарифмам, то и разыскание общего наибольшего делителя
многочленов (34) и (35) Энке советует производить, пользуясь гаус-
совыми логарифмами сумм и разностей, следующим образом.
Пусть данные многочлены суть
х2+-• • 4-С„_/-|-Сл,
bf~' + b{tn~2 + b2tn~3 +.. . +
подыскав логарифмы коэффициентов с, .....сп, b, bit..., bn_x и вычи-
тая 1g с и lg b из остальных, напишем наши многочлены так:
+ г/-!+...+s„_,/+s„
вычитаем соответствующие коэффициенты один из другого и по аргу-
ментам
'I8l-ell> l82 — е2|,..., |8n_l-sn-il
абсолютных величин разностей их ищем сообразно знакам гауссовы
логарифмы сумм или разностей, которые, будучи приданы к соответ-
ствующим логарифмам, дадут логарифмы коэффициентов первого остатка
в таком виде:
§18]
СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ МНИМЫХ КОРНЕИ
Вычитая $ из остальных коэффициентов и полагая
^2 5 == Я2, . . . ,
получим:
/»->+Л1Г-2+...+;л_1
И
±п— 1 | 2 I [ ~
t “Hl/ +••• + »„_!•
Вычтя и подыскав гауссовы логарифмы, получим остаток первого
деления в виде
,п—2 I /П—3 I 1 .
+Н1* + • • • + нп_2.
на который затем совершенно так же делим многочлен
^-* 1+^1г2+-.-+%_1
и определяем остаток и т. д.
Так, например, положим, надо найти общий корень уравнений
t4 — 0.56807Z3 — 8.7762/2 + 0.73914/-|- 9.6278 = 0,
/34- 0.56807/2 —4.3881/ —4.2464 = 0.
Написав оба многочлена с логарифмическими коэффициентами, перед
которыми поставлены надлежащие членам знаки, имеем:
t4 —Т.75440/3 _ 0.94331/2 -|- Т.86872/+0.98353
/з 4- Т.75440/2 — 0.64228/ — 0.62802
Аргументы 0.00000А/ 0.301033и/Ю.75930Л</
Лог. Гаусса 0.30103 0.30103 0,06969____________
—0.0 5543/3 — 0.64228/2 0.69771 /+0.98353
/з + 0.58685/2 — 0.64228/ — 0.92810
/з 4-Т. 75440/2 _ 0.64228/ — 0.62802
Аргументы 0.83245Sub0.00000 £«£'0.30008Sub
Лог. Гаусса 0.06909 оо 0.30198
0.51776/2 —0.62612
I остаток /2 —0.10836
/з -j-T .75440/2 _ 0.64228/ — 0.62802
/2__________—0.10836_______________
Аргументы . .. 0.53392£«£
Лог. Гаусса . . 0.15025______________
4-Т.75440/2 — 0.49203/ — 0.62802
/2—0.73763/ —0.87362
_______________________—0.10836
Аргументы______________0.76526£м£
Лог. Гаусса..............0.08181
0.73763/ —0.79181
/4-0.05418
Итак, общий наибольший делитель есть
/4-0.05418,
а так как число, соответствующее логарифму 0.05418, есть 1.1326, то
общий корень есть
/ = — 1.1326.
38
РЕШЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ УРАВНЕНИИ
[гл. II
§ 19. Прежде чем перейти к примерам, заметим, что в случае двух
весьма близких корней, например а2, а3, система (*) § 16, т. е.
Л = <+%т+а3т+*'П+ ,
л2=(а1а2)”’+(а1а8),п4-,
•^3 = (а1а2аз)т_Ь(а1а2а4)/”4- • • •>
не доставила бы величины корней в отдельности, ибо логарифмы коэф -
фициента А2 не стали бы удваиваться, так как в этом коэффициенте
члены (а1а2)'” и (а^д)*" имели бы весьма близкую друг к другу вели*
чину, но та же система из отношения коэффициентов — дает произве-
дение а2а8 этих корней.
Таким образом, для пары множителей
(х — а2) (х а3) = X2 (а2 -ф- а3) X а2а8
будет соответствующий трехчлен
в котором величина ф известна, и, следовательно, надо будет найти
соответствующее значение t.
Само собою разумеется, что первый из указанных в § 18 методов
приложим без всяких изменений.
Нетрудно показать, что и второй метод точно так же приложим
в этом случае, но, прежде чем выводить относящиеся сюда ф°РмУлы»
сделаем следующее замечание: когда рассматриваемый трехчлен соот-
ветствует паре мнимых корней, то известный его член непременно по-
ложительный; в случае же вещественных корней о знаке величины ф
ничего сказать a priori нельзя; так как эта величина определяется по
четной ее степени, то и неизвестно, какой знак ей приписать; поэтому
следует брать первое из преобразованных уравнений, коего корни суть
2 2
—а2 и —а3
и, значит, соответствующий трехчлен есть
(Х + а2 )(А'Н_ аз ) = х2+ЛХ +(а2аз)2»
причем величина (а2а8)2 непременно положительная, и мы попрежнему
обозначим ее через
Пусть первое преобразованное уравнение будет
/(*) = z2* W*"1 +с2г2Й-2 +... + ckz* + ...+^_,г + с2к = 0;
сделаем
z = gy,
тогда это уравнение примет вид
(36)
пара корней этого уравнения, которую мы ищем, есть
= и (37)
и притом
§ 19]
СЛУЧАИ РАВНЫХ ИЛИ ВЕСЬМА БЛИЗКИХ КОРНЕЙ
39
и соответствующий трехчлен есть
у24~^/4" 1 = (у 4'л)(у 4“ и*)»
так что
Л = t |
и J (38)
Лр. = 1. J
Так как —Ли —у. суть корни уравнения (36), то будет
q 02£—1 I с2 э2£-2 / ПЛ Ck | с2Л-1 0 । C2k n
Х g Л + g2 ** • V gk * ~Г - • • ^2A-1 ЛН“ *рГ— U’
или иначе
х» _ X*-1+-^ Л*-2 _...+1 +... - *+1;+^ а~а=о,
g g2 1 4 ' О» 1 «2Л—1 * £2#
а так как
Л"*1 — [1,
то это уравнение можно написать так:
х* _ Я*-1 _L Xft-2 1)« 4+
g ~ g g* '
I C2fe-1 ..*—1 । c2* * n /on\
T • • •-+ prP' =°- (39)
Совершенно так же поступив с корнем р, получим уравнение
+ ..— |й=ГЯ‘-‘+ ^Sl‘ = °- (40)
Сложив уравнения (39) и (40), а затем вычтя (40) из (39) и делая
нижепоказанные обозначения, будем иметь:
₽. + и*) - (а^1.+ /“’) 4- % (^~2 + ^~2) - • • • +
+(-’)^=о,
Y (А* - -f (А4"1 - НЛ-’) + f (А*"2 - jx*-2) - • • • +
+ (-!)*-* ^(А-н) = 0,
причем
х, I г, (2Л-2) Q
С1Ч~С2И—1& ?Ь
^+^-2^ <2Л 1) = ₽2.
^-^-(2Й-2, = Ти
С2 — С2Л-2§’-<2Л-4) = Т2.
(41)
(42)
^Ск ^Л’ Ск— I C*+l£ Y*—Г
Эти формулы, как видно, совершенно аналогичны формулам (30),(31)
и (32), только вместо cos пер стоит Лл -|-р.” и вместо sinnep стоит Л"—р",
но если обратиться к выводу формул (33), то мы увидим, что 2cosn<p
40
РЕШЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ УРАВНЕНИИ
(гл. II
sin я<р о
и sin выражаются совершенно так же через 2 cos ср, как величины
Л” 4^” и ' через Л4ь где Лир. суть корни уравнения
** *2—fx4-i=o,
а значит, —Ли —р — корни уравнения
y2-\-ty Я- 1 — 0.
Наиболее общий выйод этих формул дан Лагранжем в его «Calcul des
fonctions» (le^on XI). Лагранж рассматривает уравнение
z2 —2pz+l =0,
коего корни суть
Zi^P + l^P2— Ь
z2 = P — Vp2— 1.
и обращает внимание, что, сделав
p = coscp
и, следовательно, _____
]/Ч — р2 = sin ср,
получим: ___
z{ = cos ср —1 sin ср,
z2 = cos<p— V—1 sin ср,
откуда следует
2 cos nep = z" +zn2 = (р + /р2 - 1 )п+ (р - Vp^Tj"
и
2/— 1 sinnep —z”— z" = (p+Fp2 — 1)я — (p — Vp2— !)"•
Разлагая затем вторые части этих равенств по степеням р, получим вы-
ражения z"-}-z% и _!_!_ в функции р, из которых, сделав p = coscp,
*1— *2
и получим формулы (ЗЗ)1)- Таким образом получается
2я4-^= е—я(я74)-(^-~5)^-6+-• •> (43)
\п — ц,п _ _fa_2) ^-з j * (п 3) (л — 4) ^п-5_(п 4) (л 5) (п — 6) ^-74
К —[»
*) Формулы (43) могут быть выведены также следующим образом: возьмем произве-
дение
и, обозначая через /, имеем тождество
1g [(1-м(1—т)
откуда, взяв логарифмы
= 1g(1 -U) 4-lg(l - -р) = lg [1 -«(<-*)]•
Разлагая логарифмы в ряды, получаем:
^+4- ***+-§- ржз+• • •+-т +• • •+
х ‘ , 1 •*’ । । 1 ,
+ л + 2 "г 3 >3 +•••+ п +-------
-ж(/-ж)4-4'ж3(/-лг)2 + "-+^-я’(<-ж>П + -"
Так как это равенство есть тождество, то коэффициенты при одинаковых степенях z
§20]
СЛУЧАИ РАВНЫХ ИЛИ ВЕСЬМА БЛИЗКИХ КОРНЕЙ
4)
и следовательно, все дальнейшие преобразования будут совершенно
подобны тому, как в § 18, и формулы (34) и (35) будут иметь место
и для нашего случая без всяких изменений и, следовательно, послужат
для определения трехчлена, соответствующего паре весьма близких корней.
§ 20. Прежде чем приводить ряд примеров, обратим внимание на
такие случаи, когда изложенные выше приемы не ведут к цели, т. е.
к определению вещественных корней, весьма близких между собою.
Самый невыгодный случай тот, когда имеется несколько пар мнимых
корней, имеющих равные модули; так, например, если взять уравнение
=0,
в обеих частях его должны быть между собою равны. Отберем члены с хп. В левой
части коэффициент есть V* + "“7Г )» в правой части надо их отобрать из члена
— zn(t — z)n и членов, ему предшествующих, именно:
для члена zn (t — *)п будет 4<"
» — •„-if"
а 1 - ю й 1 Ю й 1 ю 1 + 1 (л —2)(п —3) л—2 1-2 1 ’
> ’ —Цжп-3(< — ж)«-3 П — о » — 1 "(л —3)(л —4)(л —5) л —3 1-2.3 1
Вообще для члена - — zn~h (t — будет
-(— 1 )ft (л — ft) (л — Л — 1)(л — Л — 2)...(д — 2ft 4-1) k
1.2.3...Л
Отсюда, по сокращении, следует
причем в правой части надо окончить ряд, пока степень t не стала отрицательной.
Таким образом, получим первую из формул (43), ибо -у- = ц.
Для вывода второй из формул (43) продифференцируем по X обе части равенства
(43'): тогда, замечая, что t — \ и, следовательно, —-yj-, получим:
п V-1
^) = лГ’-<-л(л-2)Г’-8 +
л(л-3)(л-4) л(я —4)(л —5)(л —6)
-Г 1-2 1 ~ Ь2-3 * "+••• +
Отсюда, по
+ (- 1)* я й-1) (л - 2ft +1) (л - 2ft)_ +..
сокращении, имеем:
Г.
L
---= /«-1 — (и— 2)Г-з+ /"-5
х —V
(л —4)(л —5)(л —6)
— 1.2-3
Г-7 + ...+
+ (_ 1)ft(n-ft-l)(n-/i-2)...(n-2ft+l)(n-2ft) +
42
РЕШЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ УРАВНЕНИИ
[гл. II
то первое преобразованное уравнение будет
22
= 0,
т. е.
24— z3-\-z2— z-|-l =0,
второе преобразованное уравнение будет
г4 4-1
— 2
22 4-1 z 4-1
— 2
= 0,
т. е.
24 — z3 z2 — z 4- 1 — о
— 2
+ 1 2 + 1
— 2
и т. д., что ясно показывает, что преобразования не ведут к цели.
Если при вычислении обнаружится, что шесть или семь преобразо-
ваний не отделяют корней, а присутствие отрицательных коэффици-
ентов в преобразованных уравнениях укажет на существование мнимых
корней, то это будет служить указанием, что модули этих корней
собою; тогда придется все вычисление начать
весьма близки между
вновь, предварительно преобразовав уравне-
ние, приняв за новую неизвестную величину
у = х — Ь,
выбирая b так, чтобы оно было приблизитель-
но равно среднему значению модуля корней,
1_
т. е. величине а".
Тогда очевидно, что если были раньше,
например, две пары корней, которым (фиг. 1)
соответствуют точки iWj, М[ и 2Vb
причем OAf!=CW|, ОВ= Ь, то для урав-
нения, в котором неизвестное есть у,
модули этих корней будут М\В и N\B, уже не равные между собою,
и последовательными преобразованиями модули этих корней отделятся
и найдутся, и, следовательно, в уравнении могут остаться лишь близ-
кие или равные между собой вещественные корни. Число и присутствие
таких корней легко обнаружить по ходу коэффициентов в последова-
тельных преобразованиях; так, например, положим, что два корня а2 = а8;
тогда формулы (*) § 16 при достаточно большом т будут:
А == аГ (1 + ei)»
А = 2 (а1а2)т (1 + ег)»
А ~ (aia2as) 0 ~Н®#)
и т. д.
При повторении преобразования было бы
А'=а^(1+<) = ^,
4=2(а1а2)2т(14-е2')=-1-^,
А = (а1а2аз)2/” С1 + es ) = -^з ’
§20]
СЛУЧАИ РАВНЫХ ИЛИ ВЕСЬМА БЛИЗКИХ КОРНЕЯ
43
т. е. логарифм коэффициента Л2 не удвоился, но разность
2 lg A —1g ^2' = 1g 2 = 0.30103.
Совершенно так же, если бы было три равных корня, например
а2 === а3 === а4»
то при достаточно большом т коэффициенты стали бы
Лт
1 = а1 >
—3(aia2) ,
= 3 (а 1а'2<хз) »
А = (а1а2а3а4)'”, (44)
При переходе к следующему преобразованию, т. е. к2/п, степени кор-
ней будут:
A'=<"=^,
A'=3(a1a2)2m = ±42,
A =3(ala2a8)2/" === “У А ’
А = (aIa2asa4)2/n = Л2 .
•Соотношения
24g Л2 — 1g Л2 = 1g 3 = 0.47712
и
' 2 lg А - 1g лз' = 1g 3 = 0.47712
укажут на присутствие трех равных корней, которые по формуле (44)
тотчас же и определятся.
Совершенно так же для случая четырех равных корней будет
2.1g Л2 — 1g Л2 = 1g 4 = 0.60206,
2^Л3 — lgA' = lg6 = 0.77815,
21g Л4 — 1g Л4' = 1g 4 = 0.60206
и т. д., причем очевиден порядок биномиальных коэффициентов:
(X + a)4 = X4 + 4х3а 6х2а2 4хаз а4.
Само собою разумеется, что если бы равные корни занимали место
не после корня alt а после корня а., то вместо
Л], Л2, Л8,...
надо бы написать
А+р Ач-г» ^1+3
и т. д., но указанный выше характер соотношений сохранился бы.
Если бы корни не были равные между собою, а лишь весьма близ-
кие, то тогда вышеприведенные соотношения имели бы место не точно,
а лишь приближенно, т. е., например, для трех корней были бы при-
ближенные равенства
]2^Л2 — 1g Л2 прибл. = 1g 3 = 0.47...,
21gA3 — IgA* прибл. = lg 3 = 0.47 ...
44 РЕШЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. И
Когда, таким образом, присутствие равных или весьма близких корней
будет обнаружено, то, чтобы убедиться, в точности ли корни равны
между собою, надо поступать по известным приемам разыскания равных
корней, отыскивая общий наибольший делитель между функцией f(x)
и ее производной.
Во всяком случае формулы (44) доставят приближенные значения этих,
корней, по которым нахождение точных значений может быть произве-
дено, как покажем ниже.
§ 21. Итак, положим, что для уравнения /(х) найдены приближенные
значения корней. При вычислении с пятизначными логарифмами величины
простых корней получатся обыкновенно с точностью до четвертого знака
включительно. С тою же точностью получатся: модули мнимых, произве-
дения корней равных или близких и величины t коэффициентов при первой
степени х в трехчленах вида х2 -|- tx -|- g2. Если бы по характеру вопроса
такая точность была бы недостаточной, то по найденным приближенным
величинам корней весьма легко находить более точные значения, вычисляя
их не вновь с большим числом знаков, а находя те малые поправки,,
которые надо присовокуплять к приближенным значениям корней для
получения более точных их значений.
Начнем с простейшего случая исправления значения простого корня,
в смежности с которым нет близкого ему. (Здесь под словом «в смеж-
ности» и «близкого» надо разуметь, что разность между рассматриваемым
приближенным значением корня и истинным его значением весьма мала
по сравнению с разностью значений этого корня и ближайшего к нему.)»
Итак, пусть
есть сказанное приближенное значение корня, и пусть
х = а ] Л =
есть истинное его значенйе; следовательно, должно иметь место ра-
венство
Г(а,+А) = 0.
Но
f(<Ч + А) (а,) + | f (aj + (а,) + ... = 0, (45>
и так как h предполагается малой величиной и так как в смежности
с корнем а] другого корня нет, то величина Л(а.]) не есть малая, и, зна-
чит, в предыдущем уравнении главный член есть -у-Г(«ч) и приближенная
величина h есть £, .
<46>
Для численных вычислений удобнее вместо этой формулы брать
такую:
JL—______На<)
в особенности, когда вычисление производится по Логарифма^, ибо
из сказанного в § 6 следует, что
lg(ai4-A)-lga1 = A4A = 0,43429 А (47'>
и, значит, величина — доставит прямо поправку, Которую надо;, присово-
куплять к логарифму величины ab чтобы получить логарифм (a^-j-A);.
s 21]
ИСПРАВЛЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ КОРНЕИ
45
кроме того, самое вычисление величины а]/'(а]) гораздо проще, нежели
вычисление величины f (а,), — в самом деле, когда
^(ai) = а" + а1а? 1 —Нага7 2+--- + а„_1а1 + °о.
то
(а1)~Ла" (п — Oflrift” 1_Ь(ге — 2)а2а" 2~|~• • •Ч-Оя_1а1,
значит, когда вычислен^ члены ft" , а^"-1,..., то стоит их умножить
на целые и притом малые числа п, п — 1 и т. д., чтобы получить соот-
ветствующие члены выражения ^/'(а.]).
Вместо вычисления по формуле (47) можно применить и следующий
прием, аналогичный тому, которым пользуется Гаусс при решении кепле-
ровой задачи.
Сущность этого приема состоит в следующем: положим, что к |gaj
мы придадим, например, десять единиц последнего знака; тогда к lg а"
придается 10>п единиц, к Igaja"-1 придается 10(п—1) единиц и т. д.;
при приискивании чисел: а", а}а"~1 и т. д. по их логарифмам приискиваем
по пропорциональным частям и приращения, соответствующие вышеука-
занным приращениям их логарифмов; пусть алгебраическая сумма этих
приращений будет S; тогда поправка е в единицах последнего знака,
очевидно, получится по формуле
е = —Ц1.Ю.
О
Самое вычисление расположится по такой схеме:
Таблица 4
Корень at; lga1= . . .
I II III IV V
1g коэффиц. 0Q ft •-«г Числа, cqotb. (II) Перемены в логар. Пропорц. части, CQOTB. (IV)
1g “л-1 lg a»-2 lg 02 lg «1 0.000000 lg “1 21g “i (Л — 2) lg aj (Л— 1) lg «1 л lg 04 an an-\ ’1 an—2 *1 02 “"~2 01 «"-1 10 20 (n — 2). 10 (/z — 1). 10 n-10 I v * : ю ....
f (“1) s
Поправка s =— • 10 (единицы последнего знака логарифма);
lg(al + A) = lgal4-e.
46
РЕШЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ УРАВНЕНИЙ
[ ГЛ. It
Само собою разумеется, что величинам 8Ь 82, • • •. %_] надо приписы-
вать те же знаки, как соответствующим членам ata"~*, а2а"~г,...,
Такой прием обыкновенно сразу приводит к цели, т. е. если принять,
найденную величину lg (at -{- h) за логарифм искомого корня, то /(aj-j-A}
будет отличаться от нуля лишь на такие величины, которые соответ-
ствуют точности самих логарифмических таблиц, и, следовательно^
практически большей точности с этими таблицами и не достигнуть.
При предыдущем вычислении предполагалось, что вблизи с x = at
нет другого корня, так что в разложении
при малых величинах h член 4/'(а,]) является главным, сравнительно,
с которым все члены с высшими степенями h весьма малы. Но в том
случае, когда а] есть приближенная величина одного из пары равных
корней, то величина /'(aj) будет также малою, и член 4^/"(ai) может
h ... .
и не оказаться малым по сравнению с —/'(«ч); в этом случае надо вели-
чину h определять из уравнения
f (<Ч) + yf (<Ч)+(«1) = 0 (48>
или величину — из уравнения
f(ai) + 4-. -^^=0, (48'}
1 1 (Х| *
которое для величины — Доставит два значения, из которых непосред-
ственной проверкой надо будет выбрать то, которое дает требуемое
значение, т. е. для которого /(»]) и /'(а() равны нулю.
Если at есть приближенное значение одного из двух весьма близких
между собою корней, то величины А] и А2, следующие из уравнения (48),
доставят два значения ах—и <*•!—f— А2, из которых одно будет прибли-
женным значением одного корня, а другое—другого. Для дальнейшего
более точного определения этих корней надо сперва найти лежащую
между ними величину 0, при которой /'($) = 0, и затем сближать пре-
делы, между которыми заключается каждый из корней, как показано^ниже.
§ 22. В тех случаях, когда необходимо знать пределы погрешности
в величине корня, то надо определить две величины, между которыми
корень заключается. Пусть эти величины суть
с. >₽!>*!;
чтобы корень заключался между С{ и сь надо, чтобы величины /(CJ
и /(С]) были разных знаков. Поэтому, найдя приближенную величину а,
нашего корня, надо найти другую величину близкую к а( и такую,
чтобы значения /(а,) и /(Yi) были разных знаков и между ах и ух других
корней кроме 3] не заключалось.
Тогда вычисляем величины
/'(<Ч), /"(<ч),
^(Ti)» /'(Yi)> /"(Т1)
и, обратив внимание на знаки их, строим один из следующих схематиче-
ских чертежей, представляющих ход функции y=f(x) в пределах от
х = а} до x = Yi-
§22]
ИСПРАВЛЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ КОРНЕИ
47
Пусть (фиг. 2)
О А. । = Л|,
ОС1=Т1.
И1В=/(а1),
CjD=/(n).
Знак величин/'(aj) и /'(у[) показывает направление касательной в точ-
ках В и D, знак величин /"(aj и f"(Y1)— сторону вогнутости кривой
Так, для фиг. 2 будет
'(<ч)<о, f(Yl)>o,
/'(ч)>0, f'(Yi)>0,
/"(a!)>0, /"(Yl)>0-
Именно, если /"(ai)>0, то кривая обра-
щена вогнутостью в сторону положительной
оси у.
Новые два предела, между которыми заключается искомая величина
х = ОЕ, получатся, если провести хорду BD, пересечение которой с осью х
дает точку Л2, и касательную C2D в точке D, которая дает точку С2.
Таким образом, будет
И
U] a2<^<Y2<Yl,
т. е. пределы а2 и у2 для искомого корня более тесные, нежели а, и Yl.
Если бы провести касательную в точке В, то получили бы некоторую
точку N ее пересечения с осью х, и хотя было бы
OA2<OE<ON,
но нельзя с уверенностью сказать, что будет и
ОЛГ<ОС,;
так, например, на нашем чертеже (фиг. 2)
и, значит, мы не получили бы более тесных пределов.
Надо брать ту касательную, которая идет между кривою и ордина-
тою, как в нашем примере касательная в точке D.
Совершенно подобно, если бы было
^(<чХ0, f(Y1)>o;
'f'(ai)>0, /'(Yi)>0,
/"(Y.)<0,
то надо было бы вести касательную в точке В (фиг. 3), т. е. вычислять
новые пределы по формулам
(50)
48
РЕШЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ УРАВНЕНИИ
[ГЛ. И
т. е. здесь надо касательную проводить в точке В, так как именно эта
касательная идет между кривою и ординатою и доставит абсциссу
ОА% = а2,
удовлетворяющую неравенствам
91 < а2 **'•* \ Y2
было (фиг. 4)
Точно так же, если бы
/(Г1)<0,
HYi)<0,
f"(ai)>0; /"(Yi)>0,
то надо бы брать касательную в точке В
и вычислять предел а2 по формуле
a -a
а2 — a,i-----—г •
2 1 f (“1)
Наконец, если бы было (фиг. 5)
f(ai)<0,
f"(ai)< о,
/"(Yi)<0,
то «надо бы вести касательную в
по формуле
точке D, т. е. вычислять предел у2
у — у. НЬ)
T2-Y! Г(71) •
(51)
Отсюда видно, что во всех случаях надо касательную вести так,
чтобы она проходила между хордою и крайнею ординатою.
Само собою разумеется, что все вышеприведенные формулы написаны
алгебраически, и при вычислении по ним надо обращать внимание на
знаки количеств, в них входящих.
При вычислении величин /(Yi), /'(11) надо сообразоваться с той сте-
пенью точности, которая требуется от величин а2 и Уг-
S 23]СЛУЧАИ МНИМЫХ КОРНЕЙ 49
§ 23. Покажем теперь, каким образом, зная приближенные значения
модуля и аргумента пары мнимых корней, вычислить более точные
их значения.
Пусть
ai=Pi(cos(pi + /—1 sin<₽i)
есть приближенное значение одного из пары мнимых корней, в смеж-
ности с которым нет другого корня.
Формулы (46) и (47) попрежнему имеют место, и, следовательно,
поправка h к найденному значению корня будет
но при вычислении по этой формуле радо иметь в виду, что величины
. /(ai), ai/'(ai)
будут мнимые. Пусть, например,
/(a,) == Р Q И—1 = Р [cos <» 4- У— 1 sin ш],
причем
Р = р“ cos /г?! 4- alP“-1 cos (n — 1) 4-... + an_! pi cos (₽! 4- ая>
Q = p" sin n<pi 4- a^1 sin (n — 1) <?! 4-... 4- an_t p, sin
И
/?=4-|/p2=pQ2; •
p cos a> = P, pj
P sin a» = Q,
так что
= (**)
Вместе с тем
aif (ai) = Pi 4- Qi У—1 = Pi (cos ®i 4- К—Tsin ш1)-
причем
P, = Пр" cosn<pi4~(« — 1) al p”—1 cos(n — 1) <P1 4*’ ••4-a»-lPl COS<₽|.,
Q) = np" sin npi 4- (n — 1) a^1 sin (n — 1) 4-... 4- an_,P! sin <p,
И _______
Pl=4_]/P’ + Qf,
P|COS®i = Pb P1sinc»1 = Q1,
tg®i = •!;-,
откуда
A — _ A- [cos (<o — ®j) 4- ]/'—Г sin (<» — W|)|
или иначе
А = A. [Cos (w — o>| 4- «) 4* К — i sin (<» — a>i 4* W)K (52)
обозначая для краткости
Я ।
-р- = Г И <0 — Ш14-К = С,
4 А. Н. Крылов
50
РЕШЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ УРАВНЕНИИ
( ГЛ, IE
будем иметь:
‘ A = = pi (cos cpf-У—1 sin -sj) - г (cos с -±-У—1 sin с) =
= rpi [cos Cf 1 + с) + К23? sin (<Р! + с)]
и новое значение корня будет
а, 4- h = р! [cos (pj + г cos (<?! + с)] + р! [sin ф! 4- г sin (<Р14- с)] У^Т. (53)
Совершенно так же для сопряженного корня
a2 = Pi (cosepi — У—1 sintpj)
будет
а2+А = Pl [cos ф! 4- г cos (ф! 4- с)] — р! [sin Ф14- г sin (?14- с)] /ZT. (54)
Само собою понятно, что в том случае, когда имеются две пары
весьма близких мнимых корней, то поправку h или надо определить
из уравнения 2
/(ai)+ —ai/ (ai) + “2--По— —
1 я । * **
которое хотя и будет с мнимыми коэффициентами, но решение которого
затруднений не представит.
§ 24. Дадим теперь несколько примеров для пояснения предыдущих
способов, взяв эти примеры из названной выше статьи Энке.
Пример 1.
х7____1хв4- — Xs— -17-л4 4- 175 х3 63 л24____7 х 1 —О
• л 2 13 52 ^ 143 286 429 3432 —
Если это уравнение написать с логарифмическими коэффициентами,
то оно будет
х7 — 0.5440680л6 4- 0.6853971л5 — 0.5270347л4 4-
4- 0.0877020л3 — Т.3429745л2 4- 2.2126407л — 4.4644527 = 0.
Для вычисления удобнее распорядиться так, чтобы известный член
1
был 1, для чего стоит только за новую неизвестную принять ха77 , как то
пояснено в § 15; придавая к логарифмам коэффициентов соответству-
ющие кратные—ylg^qjjo =0.5050782, получим новое уравнение
л7 — 1.0491462л6 4- 1.6955535л5 —2.0422693л4 4-
4- 2.1080148л3 — 1.8683655л24- 1.2431099 — 0.0000000 = 0.
Первые два преобразования следует сделать с семизначными лога-
рифмами, ибо при вычислении с пятизначными было бы, например,
lga^ = 3.39111,
lg—2a,a8 = 3.39245 (-),
lg2a4 = 2.40904
и при разности 0.00134 двух первых логарифмов ошибке в одну единицу
пятого знака в таблицах гауссовых разностей соответствует перемена
в 330 единиц.
Понятно, что при дальнейших преобразованиях эта погрешность пере-
ходила бы и в другие коэффициенты.
§• 24 ] ’ ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ И МНИМЫХ КОРНЕИ 51
Таким образом, последовательно будет:
Степень корней 21 * ’
х7 + 1Л180045х6 + 2.3959870Х5 3.0189949Х* + 3.2738401 х3 4-
Ц- 3.0739348Х24- 2.2004297x4- 0.0000000 = 0
Степень корней 22 ' ,
х7-]- 2.2735725х64- 4.041089ех®4 5.3386202х44 6.0534451х34
4- 5.9093643x2 4- 4.3578860Х 4- О.СОСОООО =.
Дальнейшие вычисления ведутся на пять знаков, и получается:
Степень корней 23
х74-4.12268х«4-7.61495х5 4- 10.3617бх44 11.96640х34
4- 11.78333x24-8.71441x4 0.00000 = 0.
Степень корней 24
х74 7.97094Х® 4 15.03723Х5 4 20.65591х44 23.91840х3 4
4 23.56553x24 17.42882x40.00000 = 0., i
Степень корней 2®
х7415.81746х«4 30.04231х54 41.30800х44 47.8367934
' 4 47.131C6x2434.85764x4 0.00000 = 0. ’.
Степень корней 26
х74 31.61214х®4 60.08366Х5 4 82.61598х44 95.67358х3 4
4 94.26212х24 69.71528x4 0.00000 = 0. ,
Степень корней 27
х7 4 63.22365х6 4121.16732x5 4 165.23196х44 191.34716х3 4
4 188.52424х24 139.43056x40.00000 = 0. ;
На этом преобразование оканчивается, так как логарифмы коэффит
циентов удвоились, и, следовательно, приближенные равенства (4) наст у-с
пили с точностью до пятого знака логарифмов. i
Отсюда следует
1281g а, = 63.22365, 1g а( =0.493935, 1281g а' = 56.94367, 1g а' = 0.444872, 1281g а'= 45.06464, 1g а'=0.352067, 1281g а'= 26.11520, 1g а'= 0.204025, 1281ga' = 125.17708 — 128, 1g а'=7.977946, 1281g а' = ' 77.90632 — 128, lga' = Г.616456, 1281g а'= 116.56944 —256, lg а'7 = 2.910699.
Придавая лучим: ко всем логарифмам корней величину l/7 lga7 = 1.494922, no- lga^ Г.98886, lg aG = Г.47287, > lga2 = Т.93979, lga6 = 7.11138, lg as = 7.84699, lga7 = 2.40562. . , lg a4 = 7.69895,
4*
52
РЕШЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ УРАВНЕНИИ
[ГЛ. II
Если бы мы пожелали получить более точные значения корней, то
оказалось бы, что семизначных логарифмов для этой цели недостаточно;
так, приняв, например, lg а2 = 1.9397900, будем иметь:
0.3789047, 74= 2.6523329,
^1^2 == — 1.5233790, 6a,a'™ — 9.1402740,
5 a2ap — 2.4229648, ~~~ 12.1148240,
fl3a2 = — 1.9328347, 4a8a* = __ 7.7313388,
a4a| = 0.8073689, 3a4a2 = 2.4221067,
05^2 = — 0.1669377, 2a6a% — — 0.3338754,
O6a2 == 0.0142047, a7a2 = 0.0142047,
a7 = — 0.0002914, «2/'(a2) = — 0.0020199
f (аг)= 0.0000003
и, следовательно, было бы
h _ —0.0000003
02 — —0.0020119 ’
но этой величине нельзя придавать веры, ибо за величину числителя
ручаться нельзя, так как при вычислении по семизначным логарифмам
не только восьмая значащая цифра в числах, из которых произошло
0.0000003, но и седьмая — сомнительны.
Следовательно, здесь для вычисления поправки h надо бы или поль-
зоваться десятизначными логарифмами, или производить самое вычисле-
ние величины /(а2) без логарифмов и притом с двенадцатью знаками,
причем, понятно, и самое уравнение надо бы брать с точными значе-
ниями его коэффициентов.
Рассмотренное уравнение относится к числу тех, которыми опреде-
ляются значения абсцисс в гауссовом методе приближенного исчисления
интегралов, и у Гаусса вычислены корни этого уравнения с шестнад-
цатью знаками.
Пятизначные логарифмы этих истинных корней суть
Разность
1g а1= Т.98881 0.00005,
1g а2= Г.93990 0.00011,
. 1g а8 = Т.84691 0.00С08,
1g а4 = Т.69897 , 0.00002,
1g а5= Т.47287 0.00000,
lga6 = T.H138 О.СОЭОО,
1g а7 = 2.40562 . 0.00000.
Пример 2. Для второго примера Энке берет следующее уравнение:
х> — 2х5 — Зх3 4- 4х2 _ 5х 4- 6 = 0.
Тогда последовательно получается:
Степень корней<2*
х7 4- 4х5 — 2х5 —;2х4 4- 29х3 т- 14x2 — 23х 4- 36 = 0.
Степень корней 22
х7 4- 20х8 4- 78х5 4- 54х4 4- 589х3 + 1386x2 4- 1537х 4- 1296 = 0
§ 24) ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ И МНИМЫХ КОРНЕИ 53
или с логарифмическими коэффициентами
* 7+1.30103*®+1.89209*5+1.73239*4+2.77012*3 +
+ 3.14176*2 + 3.18667*+ 3.11261 =0.
Степень корней 23
* 7+ 2.38739*® + 3.70774*5 — 4.56350*4+5.58565*’+
+ 5.39859Х2 — 6.08996х + 6.22522 = 0.
Степень корней 24
* 7+4.69313*6 +7:б4995*5 — 9.39198*4+ 11.18557*3+
+ 11.94810*2+11.82750* + 12.45044 = 0.
Степень корней 25
* 7+9.37002*8 + 15.34998*5 — 18.87б58*4+
+ 22.44623*3 + 23.75387*2 — 24.65849* + 24.90088 = 0.'
Степень корней 2е
* 7+ 18.73969*® + 30.70300*® — 37.83535*4 +
+ 44.89718*3 + 47.76037*2+49.06887* + 49.80176 = 0.
Степень корней 27
* 7+ 37.47942*®+61.40601 *5 — 75.51594*4 +
+ 89.79441 *3 + 95.49582*2+ 97.80854* + 99.60352 = 0.
Степень корней 28
* 7 + 74.95884*® +122.81202*5 — 151.32153*4 +
+ 179.58882*3+ 190.99129*2+ 195.21132*+ 199.20704 = 0.
Отрицательные коэффициенты при *4 и *, встречающиеся в преобра-
зованных уравнениях, указывают на мнимые корни.
Применяя формулу (15), имеем:
2561g а, = 74.95884, 1g <4 = 0.292898,
2561g а2 = 47.85318, 1g а2 = 0.186927,
256 lg ^f = 56.77680, lgg, = 0.221785,
2561g а5 = 11.40247, lg а5 = 0.044541,
2561g ^2= 8.21575, lg^ = 0.032093.
Подыскав соответствующие этим логарифмам числа, найдем величины
корней
а, = — 1.96249, g* = 1.66642,
а2 = + 1.53790, £ = 1.07669,
а5=+1.10800,
ибо нетрудно убедиться, что а( — отрицательный, остальные два корня —
положительные, т. е
/(*) = (*+! .96249) (* — 1.53790) (* — 1.10800) X
X (*2 — Л* + 1.66642) (*2 — f2* + 1.07669).
Б4
РЕШЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ УРАВНЕНИЙ
(гл. II
Чтобы найти величины и /2, составляем уравнения (18') и (17'),
а именно:
— 1.96249+ 1.53790 + 1.10800 +1\ + = 0
или
/, + ^2 = —0.68341, ' (18»)
_ 1 I 1 _|_ 1 । 1 , - 1 , _ ~5
, 1.96249 "Г .1.53790 1.10800 f 1.66642 г1“Г 1.07669 ?2~ 6
ИЛИ
0.60009^1 + 0.922877/2 = — 0.20988, (17')
откуда
tx = — 1.29258,
/2=+0.60917
и, следовательно, трехчленные множители суть
х2+1.29258х+1.66642
и
л2 — 0.60917л +1.07669.
Чтобы получить аргументы и <р2, стоит только заметить, что
2^005?] = Л и 2g2 cos 2 = /2,
откуда следует
Т1 = 180° — 59°57'25".3 = 120°02'34".7,
<р2 = 84°5б'28".6.
Чтобы найти более близкие величины, принимаем за первое прибли-
жение:
1g £1 = 0.11089;
<pi = 120°02'40",
округлив ЧИСЛО секунд у для простоты.
Тогда оказывается
cos 7 = — 3.0148035 7g] cos 7ft = — 21.1036245
<z2gi cos 5<р $ = + 3.5605688 ' 5a2£fj cos 5?! = + 17.8028440
a4gf cos 3? J = — 6.4534218 3a4g® cos 3?! = — 19.3602654
cos 2<pi = — 3.3238460 2a5g^COs2ft = — 6.6476920
<z6^cos <p! = +3.2315655 a6gicos ft = + 3.2315655
6.0000000 S = — 26.071724
p = 4- о.ооообзо
g[ sin 7<fi = — 5.1569226 . 7g, sin 7ft = — 36.0984582
a2g\ sin 5f i = — 6.2226992 §a2g®sin5?i = — 31.1134960
sin 3ft = + 0.0150177 3a4g® sin З^ = + 0.0450531
a6g] sin 2<p । = + 5.7777520 2а5^мп2<р; = + 11.5555040
aeg’isin <p] = +5.5872230 Qegisin <pi = + 5.5872230
। . Q = +0.0003709 /? = — 50.0241741
$'2«Р
ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ И МНИМЫХ КОРНЕЙ
65
Отсюда следует, что, полагая
а = gi (cos <pi + / sin cpj),
получим
f(a) = p_\-Q l/ZZT = 0.0000630+ О.ОЭ037О9/=П,
af (а) = S 4 R = — 26.071724 — 50.0241741
или иначе, полагая ' ’ •
f (а) = г (cos «> + К — 1 sin о>),
а/' (а) = р (cos ф 4~ И —1 81Пф),
имеем
1g г = 4.575433, <о = 80°21 '36",
lg р = 1.7513S0, ф = 242°28' 2"
и, следовательно,
= — y[c°s(<D —ф)-Ь/~1 sin(<« —ф)),
' <. f
Но удобнее находить поправки lg gi и аргумента
В самом деле, написав
а —£1® *,
имеем
1П а == In gx <f>] V'^T,
ln(a+A) = lna^l4--Jj==lna+ln(l 4-А) = 1Па_|_А.
Следовательно, будет
и, следовательно, для исправленного корня
а -ф- h = gx (cos <p' + sin <p')
будет
1 n gx = In gi — у cos (<1> — Ф),
—7sin(w—H .
Если же вместо неперовых логарифмов брать обыкновенные, то надо
обе части формулы (*) умножить на -^- = 0.434 , тогда, замечая,
что A-ln^ = lg^ И -Jj-ln£! = !££!, получим:
lg g'l = lg gl — 7 cos (Ш — Ф)
'?!= — -ySin(o> — ф). .
56
РЕШЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ УРАВНЕНИИ
[ГЛ. II
Так, в нашем случае будет
= 0.43429 .... 1g= Т.637780,
1g у = 6.824053,
360°-{-ш —<{i= 197°33'34" .... igcos(® — 6) = Г.979277 (—)
6.441110 (—>
— 4г — cos (<•> — Ф) = 0.00000276 ...
М р ' *'
Значит,
lg = 0.1108900 + 0.0000028 = 0.1108928.
Чтобы получить величину <р'—<р1 в секундах дуги, надо числовую
величину этого угла умножить на число секунд, заключающихся в угле,
равном 1, т. е. 206265:
1g 206265 = 5.31442,
lg -L = 6.82405,
lg sin (o> — ф) = 1.47954
T.61801
<?i= + 0".42.
Следовательно,
= 120°02'40"4- °".42 = 120°02'40".42.
Чтобы привести пример нахождения поправки к 1g вещественного
корня, возьмем корень аь для которого
1g ах = 0,2928080 (—)
и
ах=— 1.96249,
тогда получим, производя вычисление по семизначным логарифмам.
а, = — 112.112997
а2а® = + 58.219704
а4а’ = + 22.674894
а5а’ = + 15.405508
а6а1=+ 9.812460
а7 = 4- 6.000000
7= —784.790979
5а2а® = +291.098520
За4а’ = + 68.024682
2а5а’ = 4- 30.811010
a6ai=-|- 9.812460
а1Да1)=—385.044301
/'(а1) = — 0.000431
§ 24]ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ И МНИМЫХ КОРНЕЙ 5F
Отсюда
f(g|) _ 0.000431
385.04
0.00000112,
л
»1
Д 1g <4 = 4- * — = — 0.0000005.
М оц
Значит
1g <4 = 0.2928075 (—),
а, = — 1.9624901.
Совершенно подобным образом, вычислив поправки для остальных,
корней, получим следующее разложение функции /(х) на множители:
/(*) = х7 — 2х5 — Зх34x2 — 5х6 =
= (х-Ь 1.9624901 )(х —1.5378905) (х— 1.1080166) X
X (х2-- 0.6092132Х +1.0766801) (х 24- 1.2926302х 4- 1.6664238)»
В большей части технических вопросов такой большой точности по-
требуется, и первого приближения, получаемого по пятизначным лога-
рифмам, более чем достаточно.
ГЛАВА III
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ
ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
§ 25. Вычисление площадей, объемов, положения их центра тяжести
и пр. сводится к нахождению некоторых определенных интегралов,
которые мы сперва и приведем, а затем покажем общие приемы вычис-
ления численной величины любого такого определенного интеграла,
независимо от того, что он собою представляет.
Вычисление площади, ограниченной какою угодно сомкнутою
кривою, приводится к вычислению так называемых простых площадей.
Простою площадью называется площадь (фиг. 6), ограниченная двумя
ординатами АВ и CD, частью оси абсцисс BD и кривою АС.
Длину BD называют основанием этой площади. В частном случае
-одна из крайних ординат, АВ или CD, или даже обе могут быть равны
и нулю, площадь от этого не перестает быть простою.
Если дана какая-нибудь кривая, то, чтобы привести вычисление пло-
щади, ею ограниченной, к вычислению простых площадей, поступают так:
проводят прямую Ох (фиг. 7), которую принимают за ось абсцисс, затем
проводят к кривой касательные, перпендикулярные к Ох; пусть эти каса-
тельные будут АВ, EK, DH, FG, тогда легко видеть, что предложенная
площадь, ограниченная кривою BCDEFJN, может быть представлена
в виде следующей алгебраической суммы простых площадей:
площ. BCDEFJN =площ. АВСК. —площ. ABN -4-площ. KCDH —
— площ. KEDH-\- площ. КЕМН -ф- площ. HMFG — площ. JFG -ф- площ. JPN.
Остается показать, каким образом вычисляется простая площадь.
Пусть данная площадь есть ABCD (фиг. 8) и уравнение кривой ВС есть
y—f(х), тогда, как известно, площадь ABDC выражается следующим
-определенным интегралом:
ь ь
площ. ABDC — S = [ у dx = С f (х) dx, (1>
§ 25] 1 ВЫРАЖЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ простыми определенными . интегралами
59-
где а есть абсцисса точки В и b — абсцисса дочки С. Вр многих случаях
практики функция f(x) не задается аналитически, т. е. не будет известно
уравнение кривой ВС, а эта кривая будет изображена на чертеже, с кото-
рого и можно снять ординату, соответствующую любой данной абсциссе»
что и выражают тогда обозначением
• У=/(х).
Вычисление положения центра тяжести простой площади
-сводится также к нахождению простых определенных интегралов.
Как известно, абсцисса Хо центра тяжести G площади ABCD получится,
если момент этой площади относительно оси Оу разделить на самую
площадь. Разбив основание площади AD на бесконечно малые части,
такие, как PQ, и проведя через точки деления ординаты, мы разобьем
самую площадь на бесконечно малые площадки, такие, как PMKQ, которые
отличаются лишь на бесконечно малые величины высших порядков от
соответствующего каждой из них прямоугольника, такого, как PMNQ.
Площадь ABCD = S есть предел суммы площадей указанных бесконечно
малых прямоугольников, момент этой площади есть предел суммы
Моментов площадей всех этих прямоугольников. Момент же площади
прямоугольника PMNQ при сделанных на чертеже (фиг. 9) обозначениях
выражается так:
мом. площ. PMNQ = площ. PMNQ- (лdx\ =
= ydxJx4--^dx'\ — yxdx-]-~y.dx>dx;
последний член представляет собою бесконечно малую величину второго
порядка по отношению к dx и, следовательно, при разыскании предела
суммы, не изменяя этого предела, может быть отброшен, и- мы .таким
образом получим:
мом. площ. ABCD
ух dx,
откуда
X0 = -±-{yxdx.
(2)
Чтобы найти ординату центра тяжести Уо, надо взять момент данной
площади относительно оси Ох и разделить на самую площадь.
Совершенно так же, как и выше, этот момент будет представлять
собою предел суммы моментов таких бесконечно малых площадей, как
60
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
[ГЛ. 111
PMNQ, который, очевидно, выражается так:
ydx^y = ^y2dx;
следовательно,
ь
мом. площ. ABCD = SY0= -|-J y2dx.
а
откуда
ь
^о== “2s” J y2dx. ' (3)
а
Когда предложенная площадь не простая, то, разбив ее на простые
и вычислив в отдельности координаты центра тяжести каждой из этих
последних, найдем по следующим формулам координаты центра тяжести
заданной площади.
Пусть sb s2, $з, ... , sk суть те простые площади, на алгебраическую
сумму коих данная площадь S разбита, и пусть хь ух; х2, у2, .... ;
хк, Ук сУть координаты их центров
тяжести и Хо, Уо—кобрдинаты
центра тяжести площади S.
Если
то
$1*1 + $2*2“ «3*8 +...•+ 5кХл
А о--------------(4 >
И
v «101 + ^2 — «i + ... + м»
К 0 — s , (5)
что вытекает непосредственно ив
известной теоремы моментов.
Вычисление объема, ограниченного кривою поверхностью, может
быть приведено к вычислению простых определенных интегралов.
Пусть дан объем V, ограниченный какою-нибудь сомкнутою поверх-
ностью.
Проведя к этой поверхности касательные плоскости, параллельные
плоскости zOy, мы получим абсциссы а и b крайних точек этой поверх-
ности, разделив отрезок CD на бесконечно малые части и проведя через,
точки деления плоскости, параллельные zOy, мы рассечем данный объем
на бесконечно тонкие слои, такие, как указанный на чертеже (фиг. 10).
Каждый из этих слоев ограничен двумя плоскостями и заключенною*
между ними частью псверхнссти. Эта поверхность пересекается со ска-
занными плоскостями по кривым К. и К'.
Вообразим, что из всех точек кривой К, проведены прямые, парал-
лельные оси Ох, до пересечения их с плоскостью Q, тогда получится
прямой цилиндр с основанием К. и высотою PQ, и в сечении этого цилиндра
с плоскостью Q получится кривая^ равная К. Совершенно так же, взяв
кривую К' и построив соответственно ей цилиндр до пересечения с пло-
скостью Р, мы и на этой плоскости получим ту же фигуру, что и на
плоскости Q. Таким образом, на каждой из этих плоскостей получаются
две кривые, К и К.'.
§25] ВЫРАЖЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПРОСТЫМИ ОПРЕДЕЛЕННЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ
61
Очевидно, что рассматриваемый слой будет заключаться внутри
цилиндра, коего основание есть кривая NK'MK\> цилиндр же с основа-
нием K.HK\G будет весь заключаться внутри слоя.
В пределе, когда расстояние PQ обращается в нуль, то обе кривые,
К. и К', сливаются в одну, значит, заштрихованная на чертеже (фиг. 11).
площадь обращается в пределе в нуль и, следовательно, есть бесконечно
малая, а так как высота PQ рассматриваемых цилиндров и слоя есть также
бесконечно малая, то, значит, объем слоя отличается от объема каждого
из этих цилиндров, а значит, и от объема цилиндра с основанием /С, на
бесконечно малые величины высших порядков, и при разыскании предела
суммы можно эти бесконечно малые высших
порядков отбрасывать и рассматривать за- N
данный объем как предел суммы объемов
цилиндра с основанием Д’.
Обозначим через <о площадь, ограничен- мг
ную кривой К соответствующей плоско- [ „ Ид*'
сти Р, абсцисса коей есть х; очевидно, л 1
что <о будет некоторой функцией от х. н
Пусть "V?
w = F (х).
Тогда объем сказанного цилиндра с ос- М
яованием а> будет: <o-dx, и предел суммы та- Фиг. 11.
ь
«их объемов будет выражаться интегралом J<odx, и мы получим формулу
а
Ь Ь
V — §a>dx — §F(x)dx, (6)
а а
где о> = р(х) есть площадь сечения, соответствующего абсциссе х. Таким
образом, вычисление объема приводится к вычислению площадей сечения
и затем определенного интеграла (6).
Чтобы найти\ абсциссу Хо центра тяжести объема V, стоит только
рассуждать подобно тому, как было сделано для площадей, беря моменты
относительно плоскости zOy, и тогда получится следующая формула:
*
^0 = -p-СшхсГх. (7)
а
Чтобы вычислить координату Уо центра тяжести рассматриваемого
объема, надо рассекать его плоскостями, параллельными плоскости zOx,
совершенно подобно тому, как сделали выше. Обозначая через а площадь
сечения, соответствующую расстоянию у от плоскости zOx, и через cud
расстояния до нее касательных плоскостей к данной поверхности, парал-
лельных ей, очевидно, получим:
а
Y0 = ^T^ydy, (8)
С
ибо числитель этой дроби представляет момент объема V относительно
плоскости zOx.
Совершенно так же, чтобы вычислить координату Zo, надо проводить
секущие плоскости параллельно уОх и брать сумму моментов бесконечно
малых цилиндров, на которые тогда объем V разобьется относительно
62 ПРИБЛИЖЁННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ [ га. ПТ
этой плоскости. Обозначая через т площадь сечения поверхности, огра»
ничизающей объем V плоскостью, проведенной в расстоянии z от хОу.>
и через gn h расстояния до нее касательных плоскостей, ей параллельных^
увидим, что
h
Z0==-^r^xzdz, (9>
g
Сведя таким образом главнейшие из обычно встречающихся вычислений
к определенным интегралдм, нам надо показать, каким образом находить,
величину этих последних, в особенности когда не дано аналитического
выражения функций, стоящих под знаком интеграла, а они заданы,
графически.
§ 26. Вычисление определенного интеграла
ь
а
когда функция /(х) задана аналитически и когда может быть' найден
неопределенный интеграл
производится по формуле
ь
* ^f(x)dx=F(b) — F(a).
а
В тех случаях, когда неопределенный интеграл найден быть не может,,
приходится для вычисления определенного интеграла пользоваться при-
ближенными формулами.
Точность этих формул может быть сделана сколько угодно большою,,
но для практики обыкновенно нет .надобности в большой точности^
и здесь надо руководствоваться правилами, изложенными в главе I.
Итак, положим, что надо найти величину определенного интеграла
ь
S = jf(x)dx.
а
Какое бы количество этот интеграл собою ни представлял, всегда
можно вообразить такую кривую, уравнение которой было бы
У =f(x);
тогда интеграл будет представлять собою площадь ABCD, ограниченную
частью оси х, двумя ординатами и кривою, значит, численно эта площадь
и будет равна интегралу S.
Чтобы найти площадь ABCD (фиг. 12), один из простейших приемов
состоит в том, что основание AD разделяется на несколько равных частей,
через точки деления проводят ординаты, и концы их соединяют прямыми
линиями и получают таким образом ломаную, вписанную в данную кривую,
как показано на чертеже, и вместо площади ABCD берут площадь, огра-
ниченную этой ломаной ВМ\М2 . .. Мк_{С. Эта последняя площадь, пред-
ставляя собою сумму площадей трапеций, таких, как NXMXM^2, легко
§ 261:
ПРАВИЛО ТРАПЕЦИИ
6$.
вычисляется, если измерены или вычислены ординаты уь у& yhr_
именно будет
площ. C =-^ (t/o-!-У1) А-|-у2)А-}-уСУгН-Уз)• • •
• • ’4" У (Уи—г4~ У*-1) ^4“ у (У*—i4“ У>г)к —
= (у ^о4~ У\4- Уг4“ • • • 4- У*-14- у
1 b — а
где h есть расстояние между двумя смежными ординатами, равное -г- •
Л
Фиг. 12.
Приняв эту площадь за площадь, ограниченную кривой, мы получим-
ft
для вычисления определенного интеграла J у dx такую приближенную'
а
формулу:
ь
Уу^ = Ц1£(уГо4-У14-У2-4---;4-у*_14-4’^)- .
а
Если y=f(x), то, полагая
Xq = а,
Xi = a~]-h,
x2 — a-\-2h,
xk_x = a-\-{k— \)h,
xk = a-\-kh — b,
получим
Уо=/(*о).
У\=!(хх),
У2=/(х2),
У.-f^k),
и предыдущая формула напишется так:
ь
^f(x)dx= L^^/(xo)4-HxO4V(*2)4-- • •+/(^_1)4-
•64
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
[ГЛ. 1П
Эта формула называется формулою трапеций и может служить для
вычисления любого определенного интеграла по частным значениям под-
интегральной функции.
Нетрудно видеть, что чем число k будет больше, тем точнее будет
результат, даваемый этой формулой. Мы не будем выводить общего выра-
жения погрешности этой формулы, а приведем его ниже без доказатель-
ства, совместно с подобными же выражениями, относящимися до других
формул.
§ 27. Другой прием вычисления площади S основан на замене частей
.данной кривой не прямыми, как в правиле трапеций, а дугами парабол,
оси которых параллельны оси У. Получаемая
таким путем приближенная формула называется
формулою Симпсона.
Перенесем начало координат в точку А, со-
храняя направление осей, и возьмем участок ВМ2
нашей кривой (фиг. 13). Уравнение параболы,
коей ось параллельна оси у, есть
проведем эту параболу так, чтобы она проходила
через точки В, М[ и М2, ею и заменим часть ВМ2
данной кривой.
Чтобы парабола (*) проходила через точки В, М}, М2, надо опреде-
лить коэффициенты Ло, А2 так, чтобы координаты этих точек удов-
летворяли уравнению (*), что даст следующие условные уравнения:
Уо = 4.
yi = A0 + Aih+A2&, (••)
y2 = A0 + 2Aih + 4A2&.
Площадь, заключенная между параболой (*), осью х и ординатами ОВ
«и N2M2, выражается интегралом
2Л 2Л
j ydx=\ (Л04-Л1х + Л2х2Мх = 24Л4-2Л1А2Ч-^ =
О о
= 4(6Ло + 6АА+ &М2).
В силу же уравнений (**) величина, стоящая в скобках, равна */0 +
+ 4у14 У%, в чем убеждаемся, умножив второе из этих уравнений на 4
•и приложив его к двум остальным.
Таким образом, получаем приближенную формулу
площ. ОВМ2К2 = (у0 + 4, +«/2) 4 • (***)
Положим, что число делений, k четное, Л = 2п; тогда совершенно так
же, заменив дугу М2М3М4 данной кривой параболой, проходящей через
точки М2, М3 и М4, получим:
площ. N2M2M4N4 = (у2 + 4з + у4) у .
Точно так же
площ. N4M4M4M3 = (у4 + 4у6 + у$) -|-
и т. д. Сложив эти формулы, получим:
площ. ABCD = у [Уо + 41 + 2у2 4 4з + 21/4 + • • • + 42л_| + 1/2пЬ
§ 28]
ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА
65
а значит,, и такую, формулу для вычисления определенного интеграла:
ь
J/(x)dx = l^[/(x0)4-4/(xI) + 2/(х2) + ...+4/(ха,_1)+/(х2л)], (2)
а
которая и называется формулой Симпсона.
§ 28. Прием, служивший для вывода формул трапеций и Симпсона,
может быть обобщен и доставит какое угодно число аналогичных этим
двум формул.
Сущность изложенных приемов состоит, как было видно, в том, что
данная кривая или части ее заменяются или прямою (уравнение ее вида
у = Л0-|-Л|Х), или параболою (уравнение коей вида у =Ло-|~Л(х 4~Л2х2),
поэтому естественное обобщение этих приемов будет состоять в замене
данной кривой другою, имеющей с данною назначенные общие точки и
уравнение коей было бы вида
у = Л0+Л1х + Л2х2+...4-Ллхп. (*)
Возьмем на основании данной площади AD несколько промежуточных
между Л и D точек и обозначим через
х0, хь х2,..., хя
абсциссы их; в числе этих точек могут быть и сами точки Л и D. Про-
ведем соответствующие этим абсциссам ординаты и обозначим их через
Уо> Уъ У2...Уп
и определим коэффициенты Ло, Ль Л2,... ,Ап в уравнении (*) так, чтобы
кривая (*) проходила через точки
х0, у о, хь х2, у2;...; х„,
эти условия выразятся следующими п уравнениями, из коих, например,
первое представляет условие, чтобы кривая (*) проходила через точку
(х0, Уо)» т- е- чтобы координаты этой точки удовлетворяли уравнению
кривой:
Уо == ^0 4“ А Хо +АХ0 4“ ‘ ••-Ь'^ПХО >
yi = 4- • • •4_^лх" >
У2 = Л04-Л1Х2 -j-A2x2 + •. • +Д,х",
(**>
yn = ^o-r^x„ + A2x2a + ...-i-Aax".
Эта система и.-ф-1 уравнений с п 1 неизвестными
•А> А» • • •»А,
доставит для каждой из этих неизвестных одно вполне определенное
значение; подставив эти значения в' уравнение (*), мы и получим урав-
нение требуемой кривой.
Но решить систему (**) относительно неизвестных Ло> Ль Л2,..., Ля
« найденные значения подставить в уравнение (*) — значит исключить
эти буквы в числе п-|-1 из п-|-2 уравнений (*) и (**), и нам нет на-
добности знать величины неизвестных, а надо иметь лишь результат
исключения их. Это же исключение можно выполнить, и не решая урав-
нений (•*), на основании следующих соображений.
Нетрудно видеть, что если уравнения (**) решить относительно Ло,
Ль Л2,..., Ля, то эти решения заключали бы буквы yQ, уи у2,. ,.,у№
лишь в первой степени и друг на друга не умноженные.
5 А. Н. Крылов
66
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
[ГЛ. Ill
Значит, и по подстановке найденных значений Ао, Ait.;Ап уравне-
ние (*) будет заключать буквы у0, уь ..., уп лишь в первой степени,
буква же х будет входить в это уравнение в степени не выше п.
Таким образом, результат исключения будет вида
У = Уоро (х) + yfi (*) + • • • + УпРп (*)» (*)
где F0(x), Fi (х),..., Fn (х) представляют собой некоторые целые функции
переменной х степени не выше п.
Таким образом, нам надо только определить вид этих функций.
Для этого составим те условия, которым эти функции удовлетворяют.
Уже сказано, что при х = х0 у должно равняться у0, следовательно,
когда х = х0, то функция F0(x) обратится в 1, а остальные функции —
в нуль, так что будет:
при х.= х0, прих = хь ..., прих = хя,
У = Уо’ • У = •••: У — Уп-
ро(хо)=1> ^о(х1) = О> •••> Fо(хп) = О;
Л(*о) = О; F1(x1) = l; ...; Fi(X„) = 0;
р2 (хо)= 0» •••> ^з(хл) = 0;
^л(хо) = О; ^.(хО^О; ...; F„(x„)=l.
Вообще условие, чтобы кривая (*) проходила через точку х., у., вы-
ражается тем, что когда х = х., то у должно равняться у(, значит-
функция Д;(х;) равна 1, остальные — нулю, и получается вышенаписан-
ная таблица.
Так как каждая из этих функций Fo, Fj,...,Fn целая, то из выше-
приведенной таблицы заключим, что, например, функция F0(x) делится
без остатка на произведение
(х— Xj)(X — х2)... (х — хп)
и вообще функция /\(х) на произведение
(х — х0) (х — х()... (х — хж) (х — х.+1)... (х — х J,
а так как это произведение степени и, той же самой, как и каждая из
функций, то частное буквы х* содержать не может и будет некоторое
число, обозначая которое для ’функции Ft через Р., получим:
^(х) = РИХ — Хо) (X — Х[) ... (X — Х._[) (X — хж)... (X — Хп).
Чтобы определить число Р., стоит только обратиться к оставшемуся
условию относительно функции F(, именно, что при х = х{ она обра-
щается в 1, т. е. надо, чтобы было
1 = Pi (хг “ хо) (*i — xi) • • • (xf — *»_]) (х/ — xw) ...(x. — xn),
откуда
p ==----------------------!______________________
‘ (*i — x0) (Хг — Xj) ... (Xf — Xi_{) (Xi — Xi+1)... (xt — xB)
и, следовательно,
_ (X —X0)(X —Xi)...(X —Х,-_,)(X — Х; и) (X — X„ )
(X, — X0)(Xj — Xi)... (Xi— xi_l)(xi — хж)...(хг— x„)
$291 i
ПРАВИЛО KOTECA
I
67
и, значит, кривая (*) будет иметь уравнение :
_ (х —xt)(x —х2)(х —х3)...(х —х„) t
У — У о (Хо _ (Ха _ Х2) (Хо _ х8)... (х0—х„) "Г
. (X— ХО)(Х — х2)(х — х3)...(х — х„)
• . ' " (*1 — X0)(Xt— X2)(Xj — Хв)...^! — Х„) -Г
1 ' 1 • (X —Х0)(Х—Xi)(X —х8)...(х —х„)
“Г ^2 (Х2 — Х0) (Х2—Х1) (х2—х8)... (х2 — хп) "Г
{X — Х0) (X — Xt) (X — Х2) ... (X — хя_,)
~^~У п(хп — ха)(хп,— хх)(хп — х2).. .(хп — хп_х) • '
Заметим, что полученная формула доставляет решение такого во-
проса: составить целую функцию n-й степени относительно переменной
независимой х, которая при n-|-1 частных значениях этой переменной:
х0, хь •*?»:•••» хц ’принимала бы заданные частные значения у0, ух,
> Уя-
Решение этого последнего вопроса, составляет одну из задач так на-
зываемой интерполяции (см. главу VI), почему и формула (1) носит на-
звание интерполяционной формулы Лагранжа, который ее вывел.
Пример. Составить трехчлен второй степени относительно х, ко-
торый при х = 1 принимал бы значение 5, при х = 2 значение 13 и при
х — 5 значение 17. 1 ’
Полагая в формуле (1)
х0=1; Xj = 2; х2 = 5;
0о = 5: 01 = 135 02=17
и п —2, получаем:
,._ г (х-2)(х-5) , ,о (х—1)(х —5) ,
у~ °' (1— 2) (1 — 5) “Г10" (2—1)(2 —5) "г
I 17 (х— 1)(х — 2) _ _ 5 2 I «о __19
I-7 (5— 1)(5 — 2) ~~ 3 Х +13х з*
§ 29. Покажем теперь, как, пользуясь формулою Лагранжа, получить
ряд формул для приближенного вычислений определенных интегралов.
Если дан интеграл
ь
S = \f(x)dx,
то всегда можно преобразовать переменную так, чтобы пределы в этом
интеграле были .0 и 1.
Действительно, возьмем
х = а-\-(Ь — a)z,
тогда будет
dx = (b — a) dz,
и при х = а будет z = 0.
» х = b » z= 1,
5*
68
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
(гл. III
и предложенный интеграл примет вид
a)z]dz.
Нетрудно видеть, что это преобразование равносильно тому, что
начало координат перенесено в точку' Л и основание площади принято
за 1.
Положим, что основание площади разделено на п равных частей;
тогда абсциссы точек деления будут, если положить
п
х0=а; Xj«=a-|-A; x2 = a-^2h\...-, =а-|-(л — 1)й; xa = b,
и соответствующие им значения z будут
zo = 0; zj = —, z2 = —; z . =
о ’ * n ’ z n “—i n n
ординаты же соответственных точек данной кривой будут
Уо> Уъ У2.........Уп>
т. е;
f(x0), /(х(), Г(х2),..., /(х„).
Вместо заданной кривой возьмем ту, уравнение которой есть
TZ__ Л I Л ~ I Л —9 1 I /I «Л
и которая проходит через вышеуказанные п-1-1 точек данной кривой.
Применяя формулу Лагранжа, введя в нее вместо переменной х пере-
менную z, очевидно, получим:
Y = y0
п
п — 1
п
п— Г
п
Вместо площади данной кривой y=f(x) возьмем площадь кривой У,
которая будет близка к данной; иначе, полагаем приближенное равенство
Ydz.
$29]
ПРАВИЛО КОТЕСА
69
внося в которое вместо Y его значение, получим:
Стоящйе под знаками интегралов функции — целые относительно z,
и как только число п будет задано, то эти интегралы могут быть вы-
числены для каждого данного п раз навсегда.
Полагая
1
1
J (*—о) (*—4) • • • чdx
.1 __ _0____________________________
\п )\п п ) " \п
j(x«-O) (ж - . ( ж - Hr) (ж - ЦрЛ ... (ж-1) di
Г(ж-О)(ж—^)--(ж-^)йж
и задавая п, можно вычислить числа или коэффициенты , С\, ..., Спп,
и формула (**) примет такой вид:
ь
P^«(Z>-a)[C°n!/04-C;!/I + ... + C^/+...+c:^l (1)
70
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
[ гл. Щ
или иначе ‘ •
= (b - a) [C°nf(x0) + ф(Х|) + ... 4-
где 6'
х0 = а; Xi = a-\-h, х2 = а-[-2к,..., хп = Ь и А = ——
Эта формула носит название формулы Котеса, предложившего ее
для вычисления площадей в начале XVIII столетия.
Вычислим теперь для примера коэффициенты С* при различных зна-
чениях числа п, начиная с наименьшего из них.
Итак, пусть п = 1. Значит, кривую заменяем прямой. Тогда
и формула (1) будет
\ydx = (b —
Это есть формула трапеций.
Пусть п = 2. Данная кривая, значит, заменяется параболой второй
степени, и мы получим:
1 1
и формула (1) примет вид
*
ydx = b-^(y0-[-4yi-]-y2)t ,
а »
т. е. формулы Симпсона.
Совершенно подобным же образом могут быть вычислены коэффи-
циенты для п=3, 4, 5 и т. д., и получится следующая таблица их:
§ 29]
ПРАВИЛО КОТЕСА
71
Коэффициенты формулы Ко теса
b f ydx = (b — a) [C^t/04-C‘ У1- +-- н-с;#.):
« — 1; -
л-2; <*-<%- Г с1_±. С2 6 ’
л-3; с°-сзвА; 3 3 8 С1 - с2-—; 3 3 8
л—4; С4 С4 90’ с1—С3 — ~ ; 4 4 45 ’ С2-^« С4 15*
л-5; С5 5 288 ’ С1-С4-2!- 5 5 96 * с2-с3-— • С5 С5 144’
л-6; с°=с6-— • 6 6 840 * С6 С6 35 ’ •сЗ-с4- — • 6 6 280 ’ G6 105 *
л-7; сР^с7- 751 - °7 7 17280 . ci-c6_J^L. • 7 7 17280 * .7 7 17280 ’• 7 7 17280 ’
л—8; с°—с8— 989 8 8 28350 . ci-c?--8888.- ’ 8 8 28350 * с2-сб»~928 • 8 и8 28350 ’ СЗ.С5.10496. 8 8 28350 * С4,—«540. 8 28350 *
л—9; 9 9 89600 ’ . cUc8-18™-. ’ 9 9 89600 ’ ^^7. J080. 9 9 89600 ’ С3вс6. 1934£. 9 9 89600 ’ С4-С5--^ 9 9 896001
л-10; со eCioe 16Q6L 10 10 598752 . Н -г9 Юбзоо . ’ 10 10 598752 * 2^^^-48525. 10 10 598752* •
г3 „7 272400 . н fi - 260550. „5 . 427368
10 и10 598752 ’ 10 10 598752' 10 598752 '
Формула Котеса дает при том же числе ординат тем более точный
результат, чем величина b—а меньше, поэтому часто вместо того, чтобы
брать ту формулу, которая соответствует большому числу п, подраз-
деляют основание площади b—а на несколько равных частей и к каждой
из них применяют формулу Котеса для меньших значений п.
Так, например, разбив b—а на k равных частей и применив для каж-
дой части формулу Котеса для п=1,' получим, обозначая через
У о» Уъ У2,--->Ук
ординаты, проведенные через точки деления и через концы основания;
площадь 1-й части
площадь 2-й части
b — a fl । 1
^2 к \2 ' 2^)’
площадь 3-й части
л , b л ( 1 । 1 \ *
, г>8,С= k ’ \ТУ2"!- ’
площадь А-й части
—ь —а (х । 1 \
k д2^*—1 I 2^*)*
Сложив эти равенства и положив
получим площадь всей кривой:
$ — Ь(тьУо~\~У\ +^2~Ь • •• + {/*_! У*^'
т. е, ранее выведенное.правило трапеций.
72
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ [ гл. III
Совершенно так же, если бы к каждой части применить формулу для
п=2, то надо бы было сперва подразделить основание каждой части
на 2 и провести кроме вышеуказанных еще средние между ними орди-
наты; тогда полное число ординат будет 2А-|- 1 —нечетное, и промежу-
ток между двумя смежными ординатами будет А = . Тогда получим,
нумеруя ординаты по порядку от 0 до 2k:
площадь 1-й части
= у (уо + 4t/1 -f- у2);
площадь 2-й части
•$2 — у (У2+4t/8 4- у4);
площадь А-й части
= ‘3^‘(^24-2-Ь^2Л—1 4~ ^2»)
и, сложив эти равенства, будем иметь:
S »= у • (t/0 + 4у 1 + 2Уг + 4t/8 -j- 2ул 2у2к_2 4t/2ft_1 -|- У 2*)>
т. е. формулу Симпсона, которую имели и раньше.
§ 30. Формула Чебышева. Выведенная в § 28 интерполяционная фор-
мула Лагранжа дает возможность составить бесчисленное множество
приближенных формул вида
»
.J/(x)dx = (A-a)[C1f(x1)-|-C2/(x2)4-...-bC„/(xn)], (1)
а
где xlt х2, ..., хп — некоторые промежуточные между а и b числа.
Действительно, задав хь х2, .... хп как угодно и рассуждая совер-
шенно так же, как мы делали для вывода формулы Котеса, мы получим
для вычисления коэффициента С{ такую' формулу:
ъ
С 1 (* • • •(х xi—j) (х xi+l) •••(•*• — Хп ) , /]\
tt xli"‘(xi — xi—l)C^i -^,+1) • • • (-VZ xn)
Обыкновенно такие коэффициенты будут выражаться сложными дробями,
и полученная формула будет неудобная для вычислений.
Чебышев поставил обратную задачу: именно задать не абсциссы
Х\, .... хп, а коэффициенты С, и искать соответствующие им абсциссы.
При этом коэффициенты С задаются так, чтобы формула была воз-
можно проще для вычислений, что, очевидно, будет тогда, когда все
коэффициенты между собою равны, т. е.
С| = С2 = С8 = ... = Сп,
и тогда формула (1) примет такой вид:
ь
р(х) dx = (b - а) сп • [/(х 1) + f(x2) +... +/(%„)], (2)
а
и требуется определить как величину Сп, так и значение абсцисс
хь х2,..., хп.
Формула (2), подобно формуле Котеса, представляет собою прибли-
женное равенство, которое обращается в точное, лишь когда функция.
§ 301
ФОРМУЛА ЧЕБЫШЕВА
/(х) целая и степень ее не выше п—1. Это последнее условие и по-
служит для определения неизвестных Сл, хь х2, ..., ха. Чтобы иметь
эти величины в форме, удобной для в?ех случаев, приведем сперва
пределы интеграла к—1 и-f-l. Положим
тогда будет
J/(x) dx = jr dz
а 1
и, следовательно, вышеуказанная подстановка сводит вычисление всякого-
интеграла к такому, у которого пределы 4“1 и —Ь т. е- к интегралу
вида
4-1
J f(x)dx.
—1
Итак, формула
+1
j /(х)dx =.2C„ [/(х,) 4-/.(х2)+ ... +/(х„)] (*>
—1
должна быть точною для всякой функции /(х) вида
/(х) = а0-|-а1х + а2х2+а8хЗ-|-...+ая_1 х"-1; (**>
ВО
+1 +’1
У f(x)dx = J (а04-а1х4-о2х,-|-.. .-^а^х"-') dx =
-1 —1
__О (п I а2 I а4 I а® I \
-2^ао + т+-5+v+--J-
Сумма же, стоящая в правой части равенства (*), будет
2С„ {а0 4"а1Х1 4" fy*! + а8Х1 4" • • • 4" ап—1 х" 1 4"
4~ ^0 4~^1Х2 4~^2Х2 4~ ^8Х2 4” ’ • •4~ал_1 Х2~*4'
+ ао+а1Хз + а2Хз Ч~а8ХзЧ~ • • •4'ап-1 Х3 *4"
+ ао + а1Хп+а2А^+аЗХп+ • • Х^~1}
или иначе
2СЛ {па0-}- Qi (xi 4~хг 4“ • • • 4" хп) 4~
4”a2(xf + хг4- • • • 4'xn)4'.as(xi 4- хг4~ • • •4-хл) 4" • • •
• • • + ап_х (х?-1 + х"-1 +... + хГ ’) j.
а так как эта величина для всякой функции /(х) вида (**) должна рав-
няться величине интеграла, т. е.
9/д U- ^.-4-J_2® I \
, *^в0 Т з Т 5 I 7 • -J ♦ ’
74
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
( ГЛ, Ш
значит, при всяких значениях букв а0, а1г а2>... должно иметь место
равенство
2 (ао + т| + у+’ • {rtao+ai(х1+хг + - • • + •*„) +
+ а2(х1 + Х1+* • •+*«) +
+ a„_l«-1+xn-,+-. • + <-*)}• "
Это требует, чтобы было
пС„=1,
откуда
С = —,
п п
л затем
*1+ хг +• • •+хя =
^+^+•••+4=1.
х? + х23 + -.- + 4 = 0,
V4 । И । । и _ « (3>
Х1 +х2 + "- + хл = -5'’
х? + х1 + ... + х3=0,
причем этих уравнений получится как раз столько, сколько коэффициентов
^о,. £1» ^2» • • • > Ля_1 »
т. е. п, значит, как раз столько, сколько неизвестных.
Для решения системы уравнений (3) пользуются тем обстоятельством,
что левые части этих уравнений представляют собою суммы одинаковых
степеней букв х2,..., ха, т. е. простейшие симметрические функции
этих букв. В алгебре доказывается, что суммы одинаковых степеней
корней уравнения n-й степени выражаются рационально через коэффи-
циенты его и наоборот, поэтому, пользуясь системою (3), нетрудно со-
ставить такое уравнение n-й степени, коего корни были бы как раз
Пусть
F(x)=-x» + Ax"-l + .«..'+ Ля_, х+Л„
есть требуемая первая часть этого уравнения, т. е. что
F(x) = (x—xl)(x — x2)...(x — xn).
Составить эту функцию — значит найти коэффициенты
- Ль Л2,..., Ля.
Очевидно, име.ем тождественно
r_W=_J_____।___1__। । 1
F(x) х — Xi~* х — х2~* х — хп ’
откуда следует тождество '
F,(x\_ I I I
' ' Х — Х1~Х — Х2'*"~Х — ХЯ ’
С**)
§ 30]
ФОРМУЛА ЧЕБЫШЕВА
75
НО ', । •
F' (х) = пхя~{ + (п — 1) Atx"~2 + (п — 2) Л2х"~3 +.. .+,
частное же
=х"-1 4- (Л 1 +’х,) хя~2 + (Л2 + лх, + X2) Xя-3 + ...
• • - + (^,-1 + А,-2*1+• • • +Ах" 24-х" *)>
точно так же
^—Х2=Х" 1-|_(^>_ЬХ2)х/’_| + Из + '41*2+*2 3-Ь---
• • -4" (Л-1 ~\~^п-2 Х2Ч“- • . + Л1Х2 2 +Xj ’)
и т. д. Обозначая соответственно через •
$1» S2> 5з> • • •» Sn—1
суммы 1-х, 2-х,.... (га — 1)-х. степеней букв xj, х2,..., хя-1 , мы получим
из тождества (***) такое тождество:
F'(x) = лх"-1 4*(«— 1) Atxa~2 (п — 2)Л2х“~34- • • - + Л-1 =
= пхя 14~(nAi 4-S|) хя 24-(лл24“-F7§2)х 4-
4-(rt^8_|_^2SlH_^lS2 4~5з)х
... 4- (nAi-i 4~ Л-г si4-^as s2 + • • • 4- Л«л-2 4- ^n—1
из которого вытекают следующие равенства (коэффициентов при одина-
ковых степенях х в обеих частях)?
(п— 1)Л1 = пЛ14~«ь
(л — 2) Л2 — лЛ24“ Л1«14~ s2,
(п—з) л8=пл84-л2$,4“^1$2 “I- $з»
или иначе
. Л-1 = «Л-1 4- Л-25' 4- Л-3 S2 + • • • 4" ^1?я-2 4* 5я-1 .
Л^^О, '
2Л24~ $1Л 4”®2 = 0»
ЗЛ84-$1Л4-52Л4_$з==0» j
(« - 1) X-l + S И„-2 + s2^+ •• + «„_!= 0; j
(4)
так как в силу системы (3) величины S|, s2,..., $л_, известны, то из этих
уравнений, число коих (п — 1), и можно найти величины А{, Л2, ..., А^.
Чтобы найти величину Ап, заметим, что, по предположению,
Г(Х1) = х"4-Л1х” *4-Лх" 24-->-4-Л-1 xi4-^„=o.
F(х2) = хя 4- А[ХЯ 1 4- ^гх2 2 4“ • • • 4“ Д|-1 хг4“ ^я = о»
(*я)=<+^ХГ1 4- ^Г2 4-. • •+Л„_, х„ 4- Ля = 0;
сложив эти равенства имеем: t
sn 4- 4- Л5я-2 4- • • • 4- Л-i s> 4- ПЛ=°» (5)
т. е. уравнение совершенно того же типа, как и прочие уравнения си-
стемы (4), к которой мы его и присоединим.
76
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
[ГЛ. 1Н
Подставляя вместо sj, s2,... ,sn их величины из системы (3), увидим,
что система (4) примет вид
л3=о,
4Л+-|-Я2+1 = 0,
(6>
Л5 = 0,
6>1б+л.л4+|л+^=о,
из которого очевидно, что она допускает решение относительно неиз-
вестных
Ль Л2,..., Ап. - < '
Найдя эти значения, составляем функцию
F(x) = Жп4- Atxn~l 4- А2х"~2 4-... 4- An_tx + Аа,
уравняв которую нулю и решив полученное уравнение, и найдем
величины
Xi, х2...хп.
Заметим относительно уравнения /г(х) = 0, что в нем коэффициенты
Л1 = Л8 = Л6 =... = ^2*4-1 ~ О’
следовательно, если п число нечетное, например 2^4-1, то это уравне-
ние будет вида
х2*+* 4- ЛгХ2*-14т Л4х2*-3 4~ • • • + А2кх = 0;
один из его корней есть х = 0, а остальные корни попарно равны по
величине, но обратных знаков; когда же п число четное, 2k, то уравне-
ние F(x) = 0 будет
х2» + Л2х2й-2 + .. .4-Л2й_2х2,4-Л2й = 0;
х = 0 не будет его корнем, но все корни попарно равны и обратных
знаков.
Величина х — 0 соответствует середине основания площади, значит,
при всяком числе ординат они располагаются симметрично относительно
середины, причем при нечетном числе средняя ордината проходит через
середину основания.
Покажем теперь на численных примерах вычисление абсцисс для
правила Чебышева.
Пусть п=1, уравнение F(x) = 0 будет
х = 0
и соответствующий коэффициент Cj = 1.
Пусть п=-2; система (6) будет..........................
Ai = 0,
А+т-о,
откуда . 1
Л2 = — у .
•§ 30]
ФОРМУЛА ЧЕБЫШЕВА
77
Уравнение F(x) = 0 будет
х^-1 = 0,
О
«откуда
Х1 = —1Л 4=—¥ = —0-577350,
г О О
х2 = +1/ГА- = + ^?’= + 0.577350,
г О О
Г __ *
С2 — у .
При п = 3 система (6) будет
Л| = 0,
2Л2 4-1=0,
Л8 = 0.
Уравнение F(x)==0 будет
х’-1х = 0.
Его корни
*1 = — ~ = — 0.707107,
х2 = 0,
х3 = 4~ ^ = 4-0.707107,
Г __ 1
с8— 3 .
При л = 4 имеем:
Л1 = 0, Л3 = 0,
2Л24-| = 0,
4А=4л,+4—о.
откуда
л___________________________л________!_
( д2— -д-, л4—
Уравнение F(x) — 0 будет
«='-4l!+i=0-
Его корни
Х1 = —0.794654,
х2 = —0.187592,
х8 = 4-0.187592,
х4 ==4-0.794654,
78
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
( ГЛ, I»
Продолжая совершенно так же, мы получим при
п = 5.. . F(x) — Xs — -|-х34- х = 0;
n = 6...F(x) = x6-^+4-x2-^ = 0;
П = 7 .. .F(x) = x7 360 *3 1480 х = 0’
ra==9...F(x)_x9_|x7+gx5_^oX3+_^_x = O.
Уравнение при п — 8 имеет корни мнимые, почему его и не приводим.
По этим уравнениям составлена следующая таблица значений абс-
цисс для разного числа ординат в формуле Чебышева:
Р1 2 •
J f(x)dx= — [Г(Х1)+/(х2)-|-...+/(хл)].
—1
Число
ординат Значение абсцисс
п х
2.......................*1 = — х2 = 0.577350
3.......................х1 = —х8 = 0.707107
х2 = 0
4.......................х1 = —х'4 = 0.794654
х2=?—х8 = 0.187592
5........................х j = — х5 = 0.832498
х2 = —х4 = 0.374541
. Хд = 0
6 Xj = — х6 = 0.866247
х2 = — х5 = 0.422519
х8 = — х4 = 0.266635
7.............., . . . . Х1 = —х7 = 0.883862
х2 = — х6 = 0.529657
х8 = — х5 = 0.323912
х4 = 0
9 X] = —Хд = 0.911589
х2 =—х8 = 0.601019
х3 = —х7 = 0.528762
х4 — — х6 = 0.167906
х5 == 0
Когда заданный интеграл имеет пределы а и Ь, то формула Чебы-
шева принимает вид
f f(x)dx =^-WI)+/№)+ . • • +Ж )].
а
где
у _а-^Ь , Ь — а-
Л1 ~ 2. ~1~ 2 Х1
и х. имеет указанное в таблице значение.
§ 3il ]
ФОРМУЛА ГАУССА
70
§ 31. Формула Гаусса. Общая формула
ь
J/(х) dx = (b —a) [Ctf(Xi) + С2/(х2)+... + Caf(xn)] (1>
а
для приближенного вычисления интеграла заключает в себе 2п произ-
вольных величин: Сь С2, ...,Сп и хь х2, ...,хп. Гаусс предложил
избрать их так,, чтобы при данном числе ординат п эта формула давала
возможно большую точность, что будет достигнуто, если величины
коэффициентов С], С2,..., Сп и абсцисс Х|, х2,..., хп определить так,
что формула (1) будет справедлива (а не только приближенная) для
всякой функции/(х), целой относительно х, степени не выше 2п— 1,
т. е. вида
/(x) = ao+aix-;|-a2x2-|-.. х2"
тогда как формулы Котеса и Чебышева, при том же числе ординат, верны
лишь для целых функций степень которых не выше п — 1.
Для вывода формулы Гаусса предположим, что пределы интеграла
суть — 1 и -4-1, и начнем с вычисления абсцисс хь х2, ...,х„, когда
же абсциссы будут найдены, то соответствующие коэффициенты могут
быть вычислены по формуле (I) § 30.
Пусть функция
F (х) = х” + Ах”"1 + Ах”"2+ ... + H„_,x + А„
будет такова, что корни ее суть
хъ х2, ...,хп,
так что
F (х) = (х — хО (х — х2)... (х — хп).
Если мы сумеем найти функцию F(х), т. е. коэффициенты А\, А2,..., Ап,
то нахождение величины абсцисс
Xi, х2, ...,хя
сведется к решению уравнения
F(x) = 0.
Какова бы ни была функция
/ (х) = а0+а}х + а2х2 .... + а^х2"-1,
для которой должна иметь место точно формула
+1
' J/^)^ = C1/(x1)+C2/(x2)+... + C„/(x„), (*)
—1
всегда можно, разделив многочлен/(х), степень коего 2п — 1, на F (х),
коего степень п, и обозначив через Q(x) частное и через /?(х) остаток
такого деления, написать, тождество
/(x) = F(x)Q(x)+tf(x),
причем степени функций Q(x) и R.(x) будут не выше п—1.
! Тогда очевидно, что
/(х1) = /?(х1), /(х2) = /?(Х2), . . . ,/(Хя) = /?(х„),
ибо при .
Х = Х|, X = Х2, . . . , X =ХП
so
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
[t-л. ПГ
функция F(x) обращается в нуль, и формула (*) примет вид
+1 44 +1
J /(x)dx=j F (х) Q (х) dx + у/? (х) dx =
= CtR(Х])+ C2R(х2)4-... + CnR(xn).
С другой стороны, так как функций R(x) целая и степени п. — 1,
т. е. ниже 2л— 1, то эта же формула будет иметь место точно и для
функции R(x), т. е. будет
+1
У R (х) dx = СiR (х,) + C2R (х2) +... + сп R (х„);
-1
вычитая это равенство из предыдущего, получаем:
4-1
У F(x)Q(x)dx = 0. (I)
—1
Этим равенством функция F(x) вполне определяется—действительно,
так как/(х) — произвольная целая функция степени2п — I, то Q(x)ecTb
произвольная целая функция степени п—1, т. е. вида
Q(X) = Ь0ХП Х-]-Ь\ХП 2 +• • •4-^л_2Д'“Ь^л-1»
равенство же (I) должно иметь место при всяких величинах
^о» bn_2, ba_v
следовательно, должно быть в отдельности
+1
У х"-1 F(x)dx = 0,
— 1
-н
j хп~2 F (х) dx = 0,
-1
4-1
J xF (х) dx = 0,
4-1
yF(x)dx = 0.
-1 :
Подставляя вместо F(x) ее величину и выполняя интегрирование, мы
из вышенаписанных уравнений получаем для определения коэффициентов
А» Л2,..., Ля
такую систему п уравнений:
Ф I ^3 I ^5 I _____________А
2п— 1 ‘ 2л —2л —5 ' ‘ “ и’
--!_ _1 4- —:
2л — 1 ‘ 2л — 3 • 2л — 5 ‘ ’
А | ^3 1 ^5 1 _
2л — 3 ‘ 2л — 5 ‘ 2л —7 ’ * ’ ’ —
I I ^2 , | ^4 I __
2л —3‘2л —5‘ 2л —7 ‘ ’ ,—
I
$ 31 1
ФОРМУЛА ГАУССА
81
Из этих уравнений нетрудно видеть, что
А[ = А3 = Л5 = Л7 = ... = О
и, следовательно, если п число четное, n = 2k, то вид функции Р(х)
таков:
х2* + Л^2*-2 + Л^2*-4 -J- • • • +
и корни уравнения F(x) = 0 попарно равны по абсолютной величине и
противоположны по знакам. Когда же п 244’ 1. т. е. число нечетное,
то функция F(x) имеет вид
х2*+14- ЛгХ2*”14- Л4х2*-3 4-... 4~
из которого следует, что один из корней ее есть х—0, а остальные
корни между собою попарно равны по абсолютной величине и противо-
положны по знакам.
Найдя из уравнений (II) коэффициенты Л, Составляем функцию F(x)
и, уравняв ее нулю и вычислив корни полученного уравнения, найдем
величины
хь х2,..., хп,
по которым затем, пользуясь формулой (I) § 30, вычислим коэффици.
енты С. ,
Возьмем для примера п = 2; тогда функция F(x) определяется уело«
виями
+1
JxF(x)dx = 0
и -1
+1
j F(x)dx = 0,
— 1
причем Г(х) = х24-Л1х4-Л2.
Система уравнений (II) будет
А- = о: 4+Л=0.
значит,
F(x) = x2
откуда
Х1==_ =—0.577 ...,х2 = 4--^ = 4-0.577...
Коэффициент Cj найдется цо формуле
и совершенно так же увидим, что С2=1.
Якоби показан, что по условиям (I) может быть составлен "общий
вид функции F(x), без того чтобы решать систему уравнений (II), опре-
деляющих коэффициенты Л; именно функция F(x) есть такая:
ptr\—K dn(^-i)n
<6 А. Н. Крылов
82
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
( ГЛ. П>
причем постоянная К может иметь любое значение. Это значение выби-
рают обыкновенно так, чтобы при х = 1 функция F(x) принимала зна-
чение, равное 1.
Тогда
/С=-----?---- .
Ь2...л.2“
Чтобы убедиться в справедливости того, что функция F(x) этого
вида удовлетворяет вопросу, достаточно показать, что интеграл
^~^dx
dx
равен нулю для всякого целого значения Л, меньшего п.
Интегрируя по частям, имеем:
S,=f [ж*
* J dx" I
-1
+1
d"~> (Х2_ 1)« +1 f dn~l (Х2— 1)
dx"-1 J ЛП~1
но легко видеть, что производная порядка л — 1 от (х2—1)" заключает
множитель х2—1, и значит, при обоих пределах интеграла обращается.
в нуль, так что
S, d*.
* J dx"~*
-1
Совершенно так
+1
С „л-i d*-‘(x»—1)*
I X -
же увидим, что
________
dx"-1
dx =
Л-2 d"-’(x2—1)"
dx"-2
X
,Л-2
dx"”2
хЛ-2 ^-2g.-J)Ldx.
dx"~2
„Л-2 d"-"2(x2—1)"
Л -
dx"“2 dX~
^-3dXt
dx^~3
л-гл-i) d" 1)"
dx»-(A-i)
—dx-
—1
предполагая, что k<Zn.
Перемножив эти равенства, имеем:
5. = (-!)*. 1.2.3...4 dx.
J dx"*
—-1
S 31 ]
ФОРМУЛА ГАУССА
83
но интеграл . .
+1
Г d»~*(x2—1)” . Г d»—*~'(х2 — if
J dx»~* [ dx»"*"1
—1
а значит, и 5ft = 0, и, следовательно, функция
F{x)=-d^-^
' 1 dxn
удовлетворяет условиям (I) и есть требуемая.
Можно доказать, что всякая другая функция, удовлетворяющая этим
условиям, отличается от в’чпеприведенной лишь постоянным множи-
телем, за который, как выше указано, принято
К___ i
1-2...».2" ’
но можно принять и всякий другой, например, если взять
I’ iz ___________1_______
А 2л (2n—1)... (л-|-1) ’
то коэффициент при хп будет равен 1.
Так, например, при п = 2 будет
i. V*/ 1-2.2* dx2 1-2.2* I* ах -+-1J —
3 1
т. е. F(x) отличается лишь множителем — от функции х2— кото-
, 2 "
рую мы нашли раньше.
Для вычисления коэффициентов Сл можно вместо общей формулы
§ 30 получить другую более простую, применив формулу
+ 1
f Цх) dx = С1/(х1)+С2/(х2)+.. . + Сл/(х„)
—1
к функциям частного вида, выбирая эти последние так, чтобы во вто-
рой части этой формулы оставался всего один член; так, например,
можно взять
f (x) = 2Fk(x)Fk(x),
где
которая степени 2п — 3, и, следовательно, для нее формула верна.
Но
К(Х— Х1)(х—х2) ... (х — хА_, )(х— xft+1 )...(Х-ХЛ),
а-**)2
4хй
-1
= 4x* F2 (1) =_____________________
(1-X2p U (1-4)2’
ибо, очевидно,
{F(—1)}2= {F(l)}2= 1.
С другой стороны, по формуле (*)
j 2F, WF', (x)dx - 2C, F, (x„)f; (x,).
6*
84 ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ [гл. 1Ц
ибо все остальные члены, очевидно, обращаются в нуль. Но
(х— =
дифференцируя дважды это равенство и полагая затем х = xk, получим:
f.(S) = n^)
Внося эти величины в формулу (**) и уравняв полученный результат
значению интеграла, найдем:
Г = 4jfft ' 1 '
о-4)2 * •
Функция F(x) удовлетворяет следующему дифференциальному урав-
(X2 -1) F" (х)+2xF' (х) - п (п +1) F(x) = Q»).
Делая в нем х = хли замечая, что F(xft)==0, получим:
(xl-l)F"(xft) + 2x4F'(^) = 0,
откуда
1-х2 1
подставляя, будем иметь:
Q _________?_______ /•)
Этот же результат можно получить и иначе, взяв вместо F(x) функ-
цию [Fft(x)]2, причем
и, составив интеграл
s = J [F, WF dx = j [F (Х)Р ,
- 4-rl •—I '
вычислить его двумя манерами, а именно:
1) так как подинтегральная функция степени 2п— 2, то по формуле
Гаусса имеем: ;
+1
—1
ибо все остальные члены равны нулю; но очевидно, что
F((x»)=P(x,);
таким образов,
$=сит)13; (0
2) с другой стороны, интегрируя по частям, имеем:
s=jv W1! +2 р гД;=
—1 —1
л -1
!) Предлагается в виде задачи проверить это.
sail
ФОРМУЛА ГАУССА
65
Но, замечая, что
(Х — Xft ) Гк\ХЬ
т. е. б последнем интеграле Подинтегральная функция есть целая и
притом степени 2л — 2, и, значит, формула Гаусса, будучи к нему при-
менена, даст верный результат, так что будет
f F(л!)F' (х) Fk (к)Р> (x)d* ~ О, {Р'(хк )]*;
.-ч- ' -м
подставляя и сличая. <с формулой (1), получим для определения Ск
уравнение
A U" (*» )Р “ гЦз+ 2С* [f' №.
1 ~Хк
откуда следует
£ ________?______
т. е. Та же самая формула, которую мы имели и раньше.
При вышеприведенном вычислении абсцисс и коэффициентов формул
Гаусса предположено, что пределы интеграла суть —1 и -|-1. Отсюда
легко перейти к общему случаю, когда пределы какие угодно, например
а и Ь.
Тогда формула Гаусса напишется в таком виде:
»
J f(x)dx = (b—a) р1/(Х1)+Л/(Х2)+,.. + Л„/(Х„)},
а
где
Xt = d~\-(b — a)-xit
причем абсциссы и коэффициенты показаны в следующей таблице для
значений пределов интеграла
а = 0, Д=1,
при которых формула Гаусса будет
1
Абсциссы и коэффициенты формулы Гаусса
п= 1: Х1 — 0.5, Л1 = 1,
• п=±2: А = 0.21132487, х2 — 0*78867513, ^“4“’ IgA = 1.698Й700,
п = 3: *! = 0.11270167, х2 = 0.5, х3 = 0.88729833, со ю — II IL II ®| a'i01 lg Ai = Г.4436975, lg A2 = 7.6478175.
п 4: Xi = 0,06943184 х2= 0.33000948 х3 = 0.66999052 х4 = 0.93056816 А} = А4 = 0.17392742 lg« 1.2403681 А2 = А, = 0.32607258 lgA2 = Г.5133143
86
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ. ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
[ГЛ. Щ
п = 5: xt = 0.04691008
х2 = 0.23076534
хй — 0.5
х4 = 0.76923466
х5 = 0.95308992
п = 6: = 0.03376524
х2 = 0.16939531
х8 = 0.38069041
х4 = 0.61930959
х5 = 0.83060469
х6 = 0.96623476
п = 7: х, = 0.02544604
х2 = 0.12923441
х8 = 0.29707742
х4 — 0.5
х5 = 0.70292258
х6 = 0.87076559
х7 = 0.97455396
х = 8: X] = 0.01985507
х2 = 0.10166676
х8 = 0.23723379
х4 = 0.40828268
х5 = 0.59171732
х6 = 0.76276621
х7 = 0.89833324
х8 = 0.98014493
At = Л5 = 0.11846344 1g Л, = 1.0735843
Л2 = Л4 = 0.23931433 1g Л2 =“1.3789687
Л8 = 0.28444444=-^. 1g Л8 = Т.4539975
> г
At = Л6 = 0.03566225 1g Л1 = 279327895
А2 = Л6 = 0.18038079 1g Л2 = L2561903
Л3 = Л4 = 0.23395697 1g Л3 = L3691360
Л, = Л7 = 0.06474248
Л2 = Л6 = 0.13985269
Л8 = Л5 = 0.190915025
Л4 = 0.20897959
Л1 = Л8 = 0.05061427
Л2 = Л7 = 0.11119052
Л8 = Л6 = 0.15685332
Л4 = Л5 = 0.18134189
1g Л! = 2.8111894
^Л2= Г. 1456708
^Л8= L2808401
1g Л4= Г.3201039
1g Л! = 2.7042730
1?Л2= Г.0460677
1g Л8 = L1954937
1g Л4 =1.2584981
При одинаковом числе ординат формула Гаусса дает вообще ббль-
шую точность, нежели другие формулы, но зато вычисление по ней
сложнее, поэтому ее выгодно применять в том случае, когда вычисле-
ние ординат затруднительно; когда же ординаты легко снять с чертежа,
то проще снять большее их число, нежели множить эти ординаты на
сложные множители, и тогда выгоднее применять другую формулу, на-
пример, Чебышева, трапеций или Симпсона'.
§ 32. Дадим теперь несколько примеров, чтобы показать приложение
предыдущих формул. Пусть надо найти интеграл
тс
Т
J sin x dx = — |cos x j 2 = 1;
о
вычислим этот интеграл по приближенным формулам.
1) Формула трапеций. Возьмем п = 10; тогда величина проме-
жутка h будет
А = -^ • у = 0.1570796... = 9°.
§ 32]
ПРИМЕРЫ
87
Значения аргументов x будут
0°, 9°, 18°, 27°,..., 81°, 90°
sin 54° = 0.80902
и, следовательно,
тс
*2
Csinxdx = 0.157 ... Г у sin 0°-}-sin 9°.. .-|-sin81o -J-y siQ90°] .
о
Итак, имеем:
у sin 0° = 0.00000
sin 9° = 0.15643
sin 18° = 0.30902.
sin 27° = 0.45399
sin 36° = 0.58779
sin 63° = 0.89101
sin 72° = 0.95106
sin 81° = 0.98769
ysin90° = 0.50000
sin 45° = 0.70711
2.21434
4.13878
4.13878
2 = 6.35312
lg 2 = 0.8029871
lgA = T.1961198
IgS = 1.9991069 5 = 0.997946.
2) Правило Симпсона:
ТС
~2
Jsinxdx=-|-.0.157 ... [у sin0°-|-2sin 9°4-sin 18° +
о
Таким образом, будет
у sin 0° = 0.00000
sin 18° = 0.30902
".Z sin 36° = 0.58779
Z sin 54° = 0.80902
sin 72° = 0.95106
~ sin 90° = 0.50000
sin 9° = 0.15643
sin 27° = 0.45399
sin 45° = 0.70711
sin 63° = 0.89101
sin 81° = 0.98769
3.15689 3.19623
6.39246
2 = 9,54935
12 = 6.36623 lg 2 = 0.8038823
lgA = Г.1961198
IgyA 2 = 0.0000021
5 = |Л2=1.00000.
О
88 ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЙ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
[ гл. Ш
Само собою понятно, что за последнюю цифру ручаться нельзя, ибо
ординаты вычислены на пять знаков.
3) Правило Чебышева. Вычислим тот же интеграл, применив
правило Чебышева и взяв, например, пять ординат.
Тогда будет
*
2
(sin х dx = [sin -I- sin X2-|- sin Xgsin X4-{- sin ХБ].
I О £•
0
Аргументы Xt, ., X$ определяются по формулам
у ______________________d-J-i’ । & Д v
Л1~ 2 ’ 2 *»>
причем по таблице имеем:
X] = — х& =Д832498,
х2= —х4=> 0.374541,
xs = 0.000000.
Вместе с тем
а = 0, Ь = у = 90°,
так что
^ = 45°, h^_° = 45o
Таким образом, будет
Xi = 45°+45°. 0.832498 = 82°27'.74,
,Х2 = 45°+45°-0.374541 = 61°51'.26,
Х6 == 45ф+45°«О.ООО000 ь= 45°00,
Х4 = 45° — 45° -0.374541 = 28с08'.74,
Х5 = 45° — 45° • 0.832498 = 7°32'.26.
sin Х1== 0.99136-
sinX2 = 0.88176-
sin Х8 = 0.70711
sin Х4 = 0.47171
sin Х5 = 0.13117
2 = 3.18311
1g 2 = 0.5028517
1g Г.4971499
lgS = lg^ 2 = 0.0000016
5= 1.000004.
Ж
~2
Jsinxdx= 1.000004.
о
4) Формула Гаусса. Применим к вычислению того же интеграла
формулу Гаусса, взяв также пять ординат. У нас будет
Ж
"2
sin х dx = -g- [у4i sin Xj —|- sin «ХаЧ- sin Xg sin A§ sin X§J^
о
§ 32]
ПРИМЕРЫ
89
прячем величины абсцисс Xt даются формулой
X, ==«+(* —а)
где величины х{ и А. даны на стр. 86 для п==5.
В нашем случае
а = 0;
Ь-а = ^=ООь.
ИТак будет
X, = 90°-0.04691008 >= 4°13'1В".87,
Х2 = 90° - 0.23076534 = 20с46' 7".96,’
Хв==90°-0.5 = 45°0'0",
Х4 = 90° • 0.76923466•= 69*13'52".03,
Х5 = 90° - 0.95308992 = 85°46'41". 13,
•• Таблица 5
А lg fein lg lg At siriXi sinJQ
4®13Т8"-87 ‘ “5.8669931 T.0735813 3.9405774 0.00872122
20°46' 7"-97 T.5497377 T. 3789687 2.9287064 0.08486067
45’ О' 0" T. 8494850 I.4539975 7.3034825 0.20113260
69°13'52"-03 1.9708201 7.3789587 7.3497888 0.22376325
85°46'41"-13 T. 9988199 T. 0735843 7.0724042 0.11814196
0.-63661970
1 g 0.63661970 = Г.8038801.
1g у = 0.1961199
lgу 2 = 0.0000000.
2
у S = Jsin х dx = 1.0000000.
о
При вычислении по формулам Чебышева и Гаусса интегралов, заклю-
чающих тригонометрические функции, выгодно пользоваться таблицами
с новым десятичным делением углов. Такйе таблицы изданы Depod de la
Guerre, пятизначные и восьмизначные.
Выгода здесь та, что вычисление абсцисс совершается гораздо проще,
нежели при градусном делении, и не .требуется перевода в минуты
и секунды десятичных частей градусов.
Для примера вычислим интеграл
К
. ' 2
S = J]/1— £2sin2<pd<p,
о
9G ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ [гл, Ш
причем IgA2 — 1.78734. Интеграл этот представляет собою длину чет-
верти эллипса, коего большая полуось равна 1.00000 и малая равна
0.62222.
Для вычисления возьмем формулу Гаусса при пяти ординатах и рас-
положим вычисление следующим образом:
Таблица 6
I II III IV V VI VII VIII IX
Apr. у в новом дел. sin у (п)-г (99313'0 = у-3l) -у 3i + (m) lg (1 — sin2?) по табл, разно- стей > -Н ао (VI) + (VII) AV1 — fc2sin2?
4.6910 23.0765 50.000 76.9235 95.3090 1.13301 0.45026 0.150515 0.02918 0.00118 2.26602 0.90052 0.30103 0.05836 0.00236 2.47868 1.11318 0.51369 0.27102 0.21502 I.99856 Т.96517 Т.84109 Т. 66673 Т. 59161 Т. 99928 Т. 98259 1.92054 Т. 83337 Т.79580 Т. 07358 Т.37897 Т.45400 Т. 37897 Т.07358 Т.07286 Т. 36155 Т.37454 Т.21234 2.86938 0.11827 0.22990 0.23689 0.16306 0.07402
2 = 0.82214
lg 2= 1.91494
lg-£ = 0.19612
lg5 = 0.11106
5 = 1.2913.
Для проверки найденного значения можем воспользоваться табли-
цами длин четверти эллипса (см., например, Schlomilch, Funfstellige
Logarithmentafeln, стр. 151), в которой с аргументом отношения
малая полуось Ь
большая полуось ~а ’ нах°Дим-
- = 0.62, 5=1.28991,
а ’
683
- = 0.63, 5=1.29674,
а *
688
А = 0.64, 5=1.30362.
а
Отсюда следует, что при
—=0.62222 будет 5= 1.28991 +0.00683= 1.29143.
a J 1 9
Приведем еще несколько примеров вычисления интегралов по выше-
приведенным приближенным формулам.
§ 32Г 1
ПРИМЕРЫ
91
Возьмем интеграл
1
S = = In 2 = 0.69314718,
о
приводимый в сочинении Bertrand «Traite de calcul differentiel et integral»
(t. II). t
Взяв равноотстоящие ординаты и полагая п=10 и, обозначая -.
. 1 т х
через <р(х), имеем:
<? (0) = 1.00000, у = 0.62500,
<р (А) = 0.90909, <р (fy = 0.58824,
<р (А) = 0.83333, ср = 0.55556,
<р = 0.76923, <р = 0.52632,
<р (А) = 0.71429, <р(1) =0.50000.
= 0.66667.
Применяя формулу трапеций, т. е. полагая
j <p(x)dx = 1 [1 <₽(0) + <р Г А} + ? (9.) + A<p(l)j ,
О
получим:
0.
0.69377.
Взяв формулу Котеса при п = 10, т. е. полагая
1
J <р (X) dx = АО’О (0) 4- А !<р (А) 4-... 4- Л10<р (1),
о
причем согласно таблице (стр. 72)
Ао — —
16067 д — д ,106300
598752 ’ я1“‘Я9”“598752 ’
Л _Д _ 48525 . _ д _272400 Л2 —Л8 — 598752 » - ?17- 598752 ’ л _л _ 260550 д _427368 Л4 Л6 598752 ’ 598752 ’
получим: i 1 s = = 0.69314733. 0
Применим для вычисления того же интеграла формулу Чебышева,
взяв семь ординат.
92
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
[ ГЛ. Ill
1 I JT г*
Сделаем сперва х — —; тогда пределы у нового интеграла будут
— 1 и —|— 1, и мы получив:
1 +1
~__f dx _____ Г dx .
- J з-ьж ’
О —1
обозначая j-j-j = <|> (г), по формуле Чебышева будем иметь при семи
ординатах
J<j>(z) dz = у [ф(zj) + ф(z2). + ф (г7)],
причем по таблице (стр. 79) имеем:
Zj = — z, = 0.883862,
z2 = — z6 = 0.529657,
z8 = —z5 = 0.323912,
z4 = 0.000000-
тогда получаем:
ф (z0 = 0.4725587
6 (z2) =*0.4048019
ф(г3) = 0.3736798
ф (z4)=fc 0.3333333
ф(г5)= 0.3008503
ф(г6) = 0.2833137
Ф (z7) = 0.2574757
2 = 2.4260134
у. 2=0.6931467.
Точная же величина, как мы видели, есть
5 = 0.69314718.
Для того же примера формула Гаусса при пяти ординатах дает
Таблица 7
1+х ^8 1 + х 1g А 1g * 1 х А' 1+*
1.04691008 Т. 98009062 7.07358435 7.05367497 0.11315532
1.23076534 Т.9098247 7.3789687 7.2887934 0.19444350
1.5 Т. 8239087 Т. 4539975 7.2779062 0.18962965
1.76923466 1.7522146 7. 3789687 7.1311833 0.13526433
1.95308992 Т. 7092778 7.0735843 "2.7828621 0.06065437
Z ! Е=ь 0.69314718
§32}
ПРИМЕРЫ
93
Итак,
1
5 = Jj^_,= 0.69314718.
0 !
Как другой пример, Бертран берет интеграл
t
=41g2 = 0.2721982613. ..
J I -j- X* о -
0
и, вычисляя его по формуле Симпсона при 10 промежутках, получает
5 = 0.2722012...
а
По формуле Котеса при п = 5 получается
5 = 0.2722091.
Формула Гаусса при п = 5 дает
5 = 0.27219801.
Сам Гаусс в своем мемуаре «Methodus Nova integralium valores per
approximationem inveniendi» (Werke, Bd. 3) применяет выведенную им
формулу к нахождению величины интеграла
200 000
5= f .— = 8406.24312
J to*
looooo
и приводит следующие результаты, где сделаны такие обозначения:
Д 200 000 ~ 100 00Q 100 000,
Д — коэффициенты формулы Гаусса.
I. При п = 1 ДЯД = 8390.394608
II. При п = 2 дЯД =4271.810097
ДЯ'Л' =4134.144502
5 = 8405.954599
III. Прип = 3 ДЯД =2390.572772
• ДЯ'Д' = 3729.064270
ДЯ"Д" =2286.599733
5 = 8406.236775
IV. При п = 4 ДЯД =1501.957053
ДЯ'Д' =2763.769240
ДЯ"Д" =2711.454637
. . , ДЯ'"Д'" =1429,062040
5 =£406.242970
94
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
( ГЛ. П>
V. При л = 5 Д/М =1024.879445
&R'A' =2041.833335
ДЯ"Л« =2336.601133
\R’"A'" = 1980.509616
Д/?""Л"" = 972.419588
5 = 8406.243117
VI. При п = 6 ДДЛ = 741.912854
Д/?'Л' = 1545.757256
Д₽"Л" = 1976.737668
bR'”A"' =1950.466223
ДЯ""Л»"' = 1488.588550
Д₽УЛУ = 702.780570
5= 8406.243121
VII. При п = 7 Д/М = 561.1213804
AR’A’ =1202.0551998
Д/?"Л" = 1621.6290819
Д/?"М"' = 1753.4212406
Д/?""Л""= 1584.9790252
Д/?УЛУ = 1152.0681116
AR™ А41 = 530.9690816
5 = 8406.2431211
§ 33. Предыдущие примеры показывают, какая высокая степень точ--
ности может быть получаема по вышеприведенным формулам, в осо-
бенности по формуле Гаусса, но не надо думать, что это всегда имеет
место; легко составить такие примеры, где применение данной прибли-
женной формулы даст какую угодно ошибку.
Возьмем, например, функцию
F (Х)= (63хБ — 7Сх3-}- 15х)2 = 3969х10 —8820х8-[- 6790х® — 2100x4 -|- 225х2.
Тогда
+1
Jf (х) dx = [360.81818 — 980-f- 970 — 420+ 75] • 2 = 11.63636.
Если мы для вычисления этого интеграла применим формулу Гаусса,
взяв п = 5, то получим:
5 = 0,
ибо функция
/ (х) = 63хБ>— 70х3 + 15х
обращается в нуль при значениях х, соответствующих пяти гауссовым
абсциссам, т. е. при следующих:
х = =t (1 — 2 • 0.046910...) = zt 0.90617985,
х = + (1 — 2-0.230765 ...) = =t 0.53846931,
х= (1 —2-0.5) = 0.00000000.
§33 J
ПРИМЕРЫ
95
Чтобы нагляднее представить ход функций /(х) и F(x) = [/(х)]2, при
водим в таблице 8 еще следующие их значения:
Таблица 8 •
X f (X) f(x)=[f(x)F
0.0 0.00000 0.0000
0.1 1.43063 2.0466
0.2 2.46016 6.0523
0.3 2.76309 7.6345
0.4 2.16512 4.6877
0.5 0.71875 0.5166
0.6 —1.22112 1.4912
0.7 —2.92159 8.5357
0.8 —3.19616 10.2155
0.9 —0.32913 0.1083
1.0 8.00000 64.0000
и составляем чертеж (фиг. 14):
у = F (х) = (63х5 — 70x3 4- 15х)2.
По вышеприведенным данным, применяя правило трапеций, получим
14.656
и по правилу Симпсона,
12.448,
как видно, приближение также весьма грубое.
Понятно, что если взять формулу Котеса при п = 10, то так как
функция F(x) есть целая и десятой степени, то мы должны получить
верный результат и, действительно, получаем (табл. 9, стр. 96).
lgS = L54215
colg 5.98752 = 1.22275
_________lg2 = 0.30103
lgS = 1.06593
S = 11.639,
тогда как истинное значение 11.6363.
Разница — вполне понятная при вычислении на пять знаков.
Таким образом, предыдущие примеры показывают, что при вычисле-
нии интегралов по приближенным формулам, при том же числе орди-
нат и при той же формуле, можно получать весьма различную степень
точности.
96
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
[ ГЛ. Ш
Таблица 9
I II III IV " ’ V '
) + + ^^10-/) lg (I) lg At -5.98752 (II)+(III) Числа соотв. (IV)
64.000 2.1549 16-2678 16.1702 6.1789 0.5166 1.80618 0-33343 1.21133 0.20872 0.79091 Т.71316 T. 20593 0.02653 1.68597 (—) 0.43521 0.41589 (-) 0.63080 0.01211 0.35996 0.89730 (—) 1.64393 1.20680 (—) 0.34396. 10.2828 2.2907 —7.8940 46.0480 —16.0990 .2.2078
58.8393 —23.9930
34.8463
Сам собою возникает вопрос, как судить о пределах погрешности,
которую мы сделаем, применяя к вычислению заданного интеграла кото-
рую-нибудь из приближенных формул.
Теоретически этот вопрос можно считать решенным, так как состав-
лены выражения остаточных членов для этих формул. Эти выражения
и вывод их можно найти в сочинении акад. А. А. Маркова «Исчисле-
ние конечных разностей». Мы приведем- главнейшие из них без доказа-
тельств.
Пусть предложенный интеграл есть
е =
тогда при вычислении по правилу трапеций по п-|-1 ординатам, т. е.
при разделении основания площади b—а на л частей, погрешность в
выражается так:
причем 6 есть некоторая промежуточная между а и b величина.
Для формулы Симпсона та же погрешность выражается так:
___I y6-g\s.flv(e)
45 \ Г/ п* •
причем число делений есть 2п,
Для формулы Гаусса при п ординатах остаточный член выражается
так:
(»_а)2»-Ц-. 1-2...и /2Л) ,
2« -4- 1‘ [(«4-1) (л-1- 2)... 2n]*J W
Присутствие в этих выражениях производных /"(;), де'
лает пользование ими на практике часто довольно затруднительным,
а когда функция/(д?) задана не аналитически, а чертежом,— то и со-
вершенно невозможным; поэтому на практике приходится часто, прибе-»
гать не к этим точным выражениям остаточных членов, а к другого
рода приемам.
§ 33]
ПРИМЕРЫ
97
Когда функция /(х) задана аналитически, а надо вычислить инте-
грал ь
S = ^f(x)dx,
а
то полезно прежде всего ознакомиться с ходом этой функции в преде-
лах интегрирования и хотя с грубым приближением построить эту функ-
цию графически, чтобы наглядно видеть: 1) меняет ли в промежутке
между а и b предложенная функция свой знак, и если меняет, то при
каких значениях х обращается в нуль, 2) имеет ли maxima и minima
и при каких значениях х.
Построив ход функции, следует выбрать ту приближенную формулу,
по которой предполагают произвести вычисление интеграла, и нанести
на чертеж соответствующие ординаты и определяемые ими точки кривой,
затем надо вообразить, что заданы только эти точки и провести через
них «согласную», т. е. такую кривую, кривизна которой изменяется не-
прерывно. Если избранные точки приходятся так, что они характери-
зуют собою ход функции f(x) и проведенная через них согласная кривая
по необходимости будет близка к действительной, то от применения
избранной формулы и взятых ординат можно ожидать удовлетворитель-
ного результата. Если же избранные ординаты придутся на такие места
кривой, что этими точками кривая не характеризуется, т. е. обойдены,
например, места максимумов или минимумов, или случайно .точки при-
шлись или только вблизи нулей, или только вблизи максимумов и т. п.,
то не стоит и времени тратить на точное вычисление интеграла по
избранной формуле—результат не может быть удовлетворительным.
Тогда надо взять или другую формулу, или другое, обыкновенно боль-
шее, число ординат. Когда вычисление производится по равноотстоящим
ординатам, то в тех местах, где кривизна кривой y=f(x) значитель-
ная, надо вводить дополнительные ординаты, подразделяя соответствую-
щие промежутки на несколько равных частей. Затем полезно применить
разные правила к взятым равноотстоящим ординатам, т. е. трапеций,
Симпсона, Котеса. Если вычисление по всем этим правилам дает близ-
кие между собою результаты, то по ним можно составить и некоторое
суждение о степени их точности; если же эти результаты значительно
разнятся между собою, то число ординат недостаточно и результат
доверия не заслуживает.
Для проверки полезно затем перевычислить тот же интеграл и по
правилам Чебышева или Гаусса, беря для чебышевского правила при-
близительно половинное число ординат, нежели для правила трапеций,
и для гауссовского—половинное число сравнительно с котесовским пра-
вилом; обыкновенно результаты должны получаться близкие между
собою.
В некоторых вопросах, например в теории корабля, приходится иметь
дело лишь с кривыми, вид которых приблизительно один и тот же;
тогда можно предыдущие вычисления проделать раз навсегда и опре-
делить, какую степень точности дает каждое правило при данном числе
ординат, чтобы затем уже действовать с уверенностью.
Из предыдущих замечаний видно, что мнение, высказываемое Лора-
ном1) о приближенных формулах для вычисления интегралов,—«Эти
формулы доставляют численное значение искомого интеграла с прибли-
жением, которое в общем зависит от терпения вычислителя», — на прак-
тике оправдывается, несмотря на то, что для этих формул выражения
остаточных членов и известны.
*) Laurent, Traits d’analyse, т. Ill, стр. 498.
7 А. Н. Крылов
98
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
[ГЛ. III
$ 34. Во многих технических вопросах встречается надобность вы-
числять значение определенного интеграла
х
F(X) = §f(x)dx
а
с переменным верхним пределом X, причем функция f(x) задается гра-
фически.
Значение интеграла F(X) надо представить или в виде таблицы»
аргументом в которой будет X, или также графически.
Это вычисление производят следующим образом.
Пусть ВС (фиг. 15) есть заданная кривая.
y=f(x).
Отложив начальную абсциссу ОА—.0, строим ординату АВ = у0, за-
тем откладываем по оси Ох от точки А длины
Aat = аха2 = a<fls = ...= ауа^ = ...=h,
выбрав h так, чтобы каждая из площадей между двумя смежными
ординатами могла быть принята за трапецию, при той точности, с ко-
торою чертеж составлен.
По формуле трапеций, положив X = Оак = a-]-kh = Xk,имеем
a-^kh
F(X^— j = A j^y£/0-]-+ + у •
а
точно так же при X = Xk^ = a-\-[k-\-\)h будет
а+(*+1)Л
^(^+1)= J ydx — h Уо4~!/1 + !/2+ • • - + у*+ T#a+i] ~
а
= F{Xi)+^h(ys+liw'l.
Итак,
F = F (X,) + 4- Л +F,+i).
Эта формула показывает, как от одного значения функция F(X) пе-
реходит к следующему F(X-\-h). Вычисление это располагается в схеме
(табл. 10, стр. 99).
$94]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА С ПЕРЕМЕННЫМ ВЕРХНИМ ПРЕДЕЛОМ
99
Таблица 10
х
Вычисление F (Л) »= J yyix
I II III IV V VI
Суммы чисел (IV), (V)4a
Суммы чисел (III) начиная сверху
k. X Vt, попарно л—Л
s/l = yk^i + ylt S sn
/1=1 л—1
0 а Уз = Уз + У1 0 0
1 /
1 a-}-h У1
3* = У1 + У2 1
2 a+2h a + %h У2 s3 = У2 + Уз $1 + 52 ~2“Л(«1 + «2)
3 Уз 54 — !/з + У± + S2 + s3
4 a-\-±h У* *= #4 + УЗ + *2 + $3 +$4
5 a + $h Уз = У5 + Уз
6 a + 6h Уз
Предыдущее вычисление может быть выполнено и графически сле-
дующим образом: пусть ВС (фиг. 16) есть заданная кривая; построив
ординаты, соответствующие абсциссам: a, a-\-h, a-\-2h.подразде-
ляем промежутки между ними пополам и строим вторую серию ординат,
которые в отличие от первых проводим пунктиром. Отложив затем от
точки — основания первой пунктирной ординаты длину bxE\ = I, ко-
торая принята за масштаб для площадей, соединяем точку Е\ с точкою
Cj — кондом первой пунктирной ординаты, и через точку А проводим
прямую AN], параллельную £iCi; точка ЛГ] будет принадлежать искомой
кривой F(X), т. е. длина a^Ni изобразит в принятом масштабе площадь
первой трапеции ABd^.
7*
100
ПРИБЛИЖЕННОЕ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ:ИНТЕГРАЛОВ'
[гЯЛН
Действительно, площадь
ABdxax = bxcx • Аах.
а так как за масштаб принята длина dxEx = l (т. е. площадь квадрата,
сторона коего равна должна изображаться длиною /), то в этом
масштабе площадь ABdxax должна изображаться длиною
Из подобия же тре-
угольников ЬхЕхсх и AaxNx
следует
axNx-.bxcx = Аах\ЬхЕх.
откуда
1 1 ЬХЕХ ’
т. е. имеет как раз требуемую величину. Отложив от точки Ь2 длину
Ь2Е2 = 1, соединив точку Е2 с точкою с2— концом второй пунктирной
ординаты, и проведя через ах прямую параллельно Е</:2 до пересечения
с a2d2, получим длину, изображающую в принятом масштабе площадь
второй трапеции axdxd<fl2, чтобы получить сумму площадей обеих тра-
пеций, надо к этой длине придать axNx, а для этого стоит только про-
вести прямую NXN2 параллельно с2Е2 не через точку аь а через точку
Nf, тогда и получится сразу точка N2 такая, что ордината a2N2 и пред-
ставит в принятом масштабе площадь ABd<fl2.
Продолжая это построение совершенно так же, получаем точки Ns,
N4,..., проведя через которые кривую, и получим графическое изобра-
жение функции
х
F(X) = $ydx
а
в принятом масштабе.
При построении точек N2,..., очевидно, нет надобности проводить
такие прямые, как Ехсх, Е2с2, ANb NXN2 и т. д., а достаточно только,
приложив по этим линиям чертежный треугольник, делать надлежащие
засечки на сплошных ординатах.
За длину I удобно брать целое кратное длины h — промежутка между
ординатами той же серии; тогда точки Е будут совпадать с точками Ь.
Так, например, на чертеже взято Z = ЗА, и тогда Е4 совпадает с Ьх, Е3
с Ь2 и т. д.
Существует также весьма удобный графический прием для непосред-
ственного получения функции
X X
{ F(x)= ^dx^f(x)dx,
а а
т. е. результата дважды повторенного интегрирования заданной функ-
ции /(х).
Пусть кривая (фиг. 17) представляет заданную функцию /(х).
Сделав то же построение ординат, которое описано выше, прини-
маем какую-нибудь длину ОК за 1 для построения кривой F(x) и по-
ступаем так (фиг. 18): проводим прямую ОК и к ней в точке К перпен-
дикуляр, по которому откладываем длины: Ках = ух, аха2 = у2, а<р3 —
§35]
1Г.1
ОСОБЕННЫЕ СЛУЧАИ
101
= ул;... и проводим затем лучи: Oah Oa2i Оай и т. д. Считая, что точке О
соответствует абсцисса х = а, откладываем Ob\ — h, Ob2 = 2h,..
проводим ординаты, им соответствующие. fit* .
Затем отмечаем точку пересечения П] луча Oat с первой ординатой,
проводим через точку nt прямую п^, параллельную второму лучу Оа2,
до пересечения со второю ординатою и т. д.; кривая Оп\П2... и будет
искомою, представляющею функцию F{x), причем кривая эта вычерчена
в масштабе 1:Л.
§ 35. При вычислении интегралов по приближенным формулам неко-
торую особенность представляют те случаи, когда или пределы инте-
грала бесконечные, или когда подинтегральная- функция обращается в
бесконечность для какого-либо частного значения независимой^перемен-
ной между пределами интегрирования.
Пусть, например, надо вычислить интеграл
р xf*~l-dx к
J I-]—* sina«
о
102
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
[ГЛ. 1П
при т. е. интеграл
&
В этом интеграле как раз заключаются обе указанные особенности.
Чтобы избавиться от бесконечного верхнего предела, подразделяем
интеграл на два, а именно:
00 1 00
г ^х ________С &х_________u С ^х
J(l+x)/r J(l+x)VT J (1 +x)Vx
О 0 1
и во втором из этих двух интегралов делаем х=-|-, так что будет
и пределы:
когда х = ео, то z = 0
и
когда х = 1, то z=l;
таким образом, будет
оо О 1
С __ С ____________С .
J(i+x)/7 J(«+1)VF—J (1 + »)VT ’
1 1 о
итак имеем:
5= (-----dx = 2 (-------^-=- .
J (14-х)Гх J(l + x)/x
о о
При х = 0 подинтегральная функция, очевидно, обращается в беско-
нечность; чтобы избавиться от этого обстоятельства, стоит только вы-
полнить интегрирование по частям, и у нас будет
j(14-x)Vx = (21/* )о + 2 j 0+*)2 dX = 1 +2 У 0 + *)2 dX'
О 0 0
Таким образом, будет
S = 2+4
О •
причем последний интеграл никаких уже особенностей не представляет
и, применяя к вычислению его формулу Гаусса (см. таблицу 11), получим:
5 = 24-451 = 24-1.14427 = 3.14427,
точное же значение интеграла есть
5 = 3.14159...
§35]
ОСОБЕННЫЕ СЛУЧАИ
103
' Таблица 11
I II III IV V V!
1 21g(l + x) (!)-(!!) = =ig K*— 8 (1-i-xp IgA Л (2-|-x)i
7.33563 0.03982 7.29581 1.07358 1.36939 0.023410
7.68159 0.18035 7.50124 1.37897 2.88021 0.075893
7.84949 0.35218 1.49731 7.45400 1.95131 0.089392
7.94303 0.49557 7.44746 1.37897 2.82643 0.067055
7.98957 0.58144 7.40313 7.07358 2.48171 0.030317
St = 0.286067
Случай, когда подинтегральная функция обращается в бесконечность
при одном из пределов, встречается в приложениях при следующем
вопросе.
Часто приходится исследовать прямолинейное движение материаль-
ной точки, или центра тяжести тела, на которую действует сила, зави-
сящая от расстояния точки до начала, т. е. надо интегрировать урав-
нение такого вида:
(*)
dx
при условиях: при t = 0 должно быть х = а и = 0. При этом функ-
ция /(х) бывает часто задаваема не аналитически, а чертежом.
Из уравнения (*) следует
откуда
(^)=2 j/(x)dx + C;
так как при х — а должно быть равно 0, то будет
(тг)2 = 2 X\fWdx = F(x)-F(a),
а
причем очевидно, что F'(x) = 2/(x).
Далее имеем:
dx - = dt
VF(x) — F(a)
и, интегрируя, получаем:
[ __ dx -
J Vf(x) — F (а)
(**)
104
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ (ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
[УЛ. П1
Так как по предположению функция /(х) задана чертежом, то по-
нятно, что как функция F(x), так и интеграл ♦(*•) могут быть вычис-
ляемы лишь по приближенным способам.
Но в последнем интеграле при х = а подинтегральная функция обра-
щается в бесконечность, и, значит, непосредственное его вычисление
по приближенным формулам невозможно.
Здесь следует применить такое преобразование: умножим числитель
и знаменатель подинтегральной дроби на
2F'(x) = 4/(x);
тогда получим:
Г----dx _2 (------------F(x)dx _ = Г 1 d у(а)
jVF(x) — F(a) — J 2F'(х) F (х) —F (a} J f (*)
a a a
последний интеграл преобразуем, интегрируя по частям, и мы получим:
X _ л
/^(x)-F(a) VF(x)-f(a) ]* + j2И. |/f(x)-F(a) dx =
а а
=-^F(x)-F(a) +J VF(x)-F(a)
k- a
Последний из этих интегралов уже не заключает никаких особенно-
стей, но непосредственное
его вычисление представляется неудобным
ввиду того, что подинтегральная функция
содержит множитель /'(х), по предположе-
нию же функция /(х) задана графически, а
для функции, так заданной, нахождение про-
изводной требовало бы нахождения угловых
коэффициентов касательной к кривой у =f(x)„
проведение же касательной и нахождение ее
уклона для графической кривой представляет
затруднения и не дает уверенности в точ-
ности.
Чтобы избавиться от необходимости
проводить касательные, следует поступать
так.
представляет кривую: y—f(x). Само собою
Пусть чертеж (фиг. 19)
разумеется, что с этого чертежа, задавая у, можно снимать соответ-
ствующие им значения х, а это равносильно тому, что у принимается
за переменную независимую, ах—за функцию от у.
Понятно также, что когда дана кривая у=/(х), то нетрудно по-
строить и другую кривую
2=TW’
Введем теперь в наш интеграл вместо переменной х
уравнением
1
z = у?—1;
f(x)
тогда будет
dz-----------------------------. dx
а IfWP ах-
переменную г
При х — а пусть будет z = j^ = b.
§36]
ВЫЧИСЛЕНИЕ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
105
Так как для всякого данного значения z сейчас же имеем и соот-
ветствующее значение х, то функцию F(x) .можно рассматривать как
некоторую заданную функцию F\(z), и мы получим:
' VF'V-F^
ь
Вычисление этого последнего интеграла уже никаких затруднений
не представит.
§ 36. Показанные выше приближенные формулы прилагаются и к вы-
числению кратных интегралов, из которых особенно часто встречаются
в приложениях те, которые выражают объем,, ограниченный данной по-
верхностью, и статические моменты этого объема, нужные для опре-
деления положения центра тяжести его.
Пусть, например, дан объем V. ограниченный поверхностью, уравне-
ние которой есть
z=f(x, у),
и четырьмя плоскостями, коих уравнения соответственно суть
х = а, у — с\ x = b, y = d;
тогда объем этот выразится интегралом
b d b d d b
§dx^zdy= (rfxj f(x,y)dy= ^dy^f(x, y)dx.
а с a с c a
Положим, что' для вычисления этого объема мы будем пользоваться
первым его выражением, т. е. что первое интегрирование делаем по
переменной у.
Геометрическое значение интеграла
d
, y)dy = ® = F(x).
есть величина площади сечения данного объема плоскостью х, парал-
лельной плоскости координат zOy. Очевидно, что ш будет некоторой
функцией от х.
Таким образом, наш объем выразится формулой
ь ь
V= §&dx — ^F(x)dx,
а а
т. е. простым интегралом, для вычисления коего мы можем применить
любое из правил, и, значит, получим вообще приближенное выражение
вида
ь
^F(x)dx = (b-a)[AlF(xl)-\-A2F(x2) + ...-]~Af(xn)],
а
причем абсциссы х(, х2,..., хп суть частные значения величины х, за-
ключенные между а и Ь. Эти значения могут быть или равноотстоящие,
или нет, смотря по тому, каким правилом пользуются.
Для вычисления величин F(xt) имеем формулу
d
F(Xi) = ^f(x(, y)dy;
106 ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ [ гл. Щ
так как здесь величина xt есть постоянная, то и этот интеграл найдется
по любой из приближенных формул, и мы будем иметь формулу вида
y)dy = (d — c)[Ctf(xif yi)+C2f(xt, !/2)+...4-Са/(х/, #*)].
С
Очевидно, что это вычисление становится особенно простым, если
в обоих случаях применить формулу Чебышева, в силу которой будет
Vz=A=-a[/7(*l)+/?(x2) + ...+F(x„)l
F(xi)=^T^if(xiy У1) +f(xi> №)+•••+/ (xi> У*)]
л, следовательно, подставляя, .получим:
У= ^’^С1/(хьУ1)+/(хъУ2)+-+/(хъ Ук) +
+ /(Х2> У1)+/(х2> Уг)Ч" •••+/(Х2> У*) +
+/(хл> У1)+/(хл> Уг)+ —+/.(хл» У*)1-
Так как f(xt, у^) есть не что иное, как величина ординаты г, соот-
ветствующей значениям х{ и двух других координат, то наша поверх-
ность
z=f(x. У)
может быть задана и чертежом, например, ее сечениями плоскостями
-х = постоянной и у = постоянной.
ГЛАВА IV
МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
§ 37. Для вычисления определенных интегралов имеется множество
^разного рода механических приборов. В этой главе мы дадим общую
теорию их, пользуясь которой уже нетрудно для прибора любого
•устройства составить соответствующие ему формулы и разобрать смысл
-его показаний.
Эта теория принадлежит французскому корабельному инженеру
Андраду (Andrades) и помещена в «Memorial du Genie Maritime» за 1874 г.
Так как это издание считается секретным,
то, несмотря на свою простоту и общность,
теория Андрада не нашла себе места в
обычных руководствах.
Теория Андрада основана на рассмотре-
нии площади, описываемой прямой линией
-определенной длины при движении ее по
плоскости.
Если прямая линия АВ скользит по плос-
кости, каждый элемент этой линии оставляет
след на плоскости; мы будем рассматривать
площадь этого следа как положительную, когда, смотря по направлению
• от А к В, площадь, описываемая элементом, будет оставаться налево от АВ,
и как отрицательную, когда площадь будет направо. Полная площадь,
описываемая линией АВ, будет алгебраической суммой всех элементар-
ных следов, взятых с принадлежащими им знаками. Таким образом,
если оставить неподвижной середину линии АВ и повернуть ее на не-
который угол, то полная площадь, описываемая линией АВ, будет равна
нулю, так как сумма отрицательных следов равна сумме положительных.
Сделав вышеуказанные положения, будем иметь следующую теорему.
Теорема. Бесконечно малая площадь, описываемая прямой линией
АВ при бесконечно малом перемещении от первоначального положения
АйВ$ до второго положения А^, равна площади прямоугольника, одна
-сторона которого АВ, а другая — проекция пути, пройденного среднею
точкою М, на перпендикуляр к направлению линии АВ.
Положим, что А0В0 и A^i (фиг. 20) представляют два последова-
тельных положения линии АВ; описанная ею площадь есть A0B0BiAi.
Проводя перпендикуляры AXD и В\Е, мы получаем трапецию DAJiiE,
площадь которой отличается от А0В0В]А| алгебраической суммой пло-
•щадей AqA\D и ВйВхЕ. Эти две площади в общем случае будут каж-
дая второго порядка малости, когда площадь AqBqB^! будет первого
108 МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ [,гл. IV
порядка; предельное отношение к DAXB\E равно единице,
и эти две площади эквивалентны. Очевидно,
площ. DA\BXE = DE'M\P = АВ-МР^ = AQ
с точностью до бесконечно малых второго порядка, ибо длина DE от-
личается от АВ на бесконечно малые величины, и MPi есть также ве-
личина бесконечно малая.
Всякая конечная площадь Q, описываемая линией АВ, есть предел
суммы таких элементарных площадок, как J0B0B^!, согласно основной
теореме теории пределов, при разыскании предела суммы, каждый эле-
мент суммы может быть заменен ему эквивалентным без изменения
предела суммы.
Таким образом, будет
Q = limSA0B0Bp4, = lim = HolYaB-MPi = АВlim SmPj.
Последний предел limSAfP] представляет длину дуги, на которую
повернулся бы острый край колесика, ось которого есть прямая АВ и
плоскость которого проходит через точку М.
М1 £ Таким образом, мы имеем следующее
Д' /^3 у 4-j следствие: площадь, описываемая, прямой
I I ,м / ' # линией АВ данной длины I, измеряется произ-
I / / / / ведением этой длины I на длину дуги, на
‘ ' которую повернется вышеуказанное колесико,
расположенное в средней точке М линии АВ.
Рассмотрим теперь, какая разница получится
в длине дуг, на которые повернутся колесики,
расположенные одно в М и другое в 7V, причем
расстояние jWV равно длине а.
Всякое бесконечно малое перемещение ли-
нии АВ может быть заменено вращением на угол d<f около соответст-
вующего мгновенного центра D. Элементарные дуги, описываемые коле-
сиками М и N, будут соответственно ME и NF (фиг. 21), но
- ME = MMt - cos (МiME) = DMd<f • cos M{ME = KM-d<f,
NF = NN}. cos (NiNF) = DNdy • cos = KN • dy,
откуда
NF — ME = [AjV — KM ] • = MN • d<? = a • d<?.
Этот результат показывает, что при конечном перемещении линии
АВ разность полных дуг поворота колесиков в М и в N равна а<о, где
<р есть угол, образуемый двумя крайними положениями прямой АВ.
Если конечное положение этой прямой совпадает с начальным и если
в продолжение перемещения линия АВ не описала полного оборота, то
угол <р равен нулю, и тогда местоположение мерительного колесика
совершенно безразлично, так как дуга поворота остается одна и та же,
где бы колесико ни помещалось. Если прямая АВ сделала полный обо-
рот, то угол <р = 2те; и если мерительное колесико помещено в N, в
расстоянии а от середины, то к длине дуги поворота s должна быть
прибавлена длина 2яа или, иначе, величина 2то/ должна быть прибав-
лена к площади si, вычисленной по показанию колесика.
Положим, что точка А линии АВ описала замкнутую кривую С, при-
чем точка В двигалась по данной кривой L, и положим, что колесико
находится в точке N. Тогда, если линия АВ, выйдя из первоначального
положения Л0В0 (фиг. 22), придет снова в это положение, причем точка
§37]
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНИМЕТРОВ
109
А опишет всю кривую С, то полная площадь, описанная линией АВ,
равна площади Q, ограниченной этой кривой С, так как части плоскости,
заключенные между С и L, будут пройдены, линией АВ дважды, при-
том в двух противоположных направлениях, и в сумме сократятся. В
этом случае площадь Q измеряется произведением l-s, где s есть длина
Фиг. 23. Фиг. 24.
Фиг. 22.
s есть дуга поророта
Мы предположили ведущую линию L разомкнутой и не имеющей
петель; но если ведущая линия L будет так же замкнутая, как и обво-
димая кривая С, то площадь, описываемая (фиг. 23) прямою АВ при ее
перемещении от начального положения А0В0 до того же самого конеч-
ного положения, будет равна алгебраической р
вой С и площади Р кривой L, которая описана
точкой В.
Для того чтобы определить относитель-
ные знаки площадей Р и Q, достаточно при-
нять, согласно указанному выше, площадь,
ограниченную кривой, описываемой точками А
или В, за положительную, когда соответст-
вующая кривая будет обойдена движущейся
по ней точкою А или В по направлению часо- С
вой стрелки, и за отрицательную — обходи-
мую, в обратном направлении.
Таким образом, на фиг. 23 обе площади
Р и Q—положительные, а на фиг. 24 пло-
щадь Q—положительная, а площадь Р —
отрицательная. В первом случае (фиг. 23), есл
мерительного колесика N, то будет
Q — P = ls,
откуда
Q = ls-]-P.
Во втором случае (фиг. 24)
Q —[— P] = Q4-P = /s,
откуда
Q = ls — P.
Если замкнутая кривая С, площадь которой желают измерить, вполне
объемлет собою ведущую кривую L (фиг. 25), то АВ сделает полный
оборот в то время, когда точка А опишет кривую С, и площадь Q
будет
Q = Is -]- Р 2п1а.
ПО МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ [тл. IV
Эта теория показывает, что ведущая кривая L может быть взята,
произвольно. В общеупотребительных полярных планиметрах Амслера,
эта кривая есть окружность; в его интеграторе и линейном планиметре
ведущая линия есть прямая.
§ 38. Устройство планиметра Амслера в общих чертах следующее:
два стержня АК и ВО (фиг. 26) соединены в точке В шарниром. В конце
О стержня ВО имеется остр&й штифт, которым этот конец укрепляется
неподвижно к чертежу. На конце А стержня АК укреплено острие, ко*
торым обводят по контуру обмеряемой площади: на конце К того же
_ * стержня насажено коле-
© " сико с острым ободом,
причем плоскость этого
С колесика перпендикуляр-
-------------д на к линии АК- К этому
г------------колесику прикреплен вто-
( , _---pog обод с делениями,
Vw по которым, по установ-
У ленному на стержне ин-
д -------——' дексу, можно отсчиты-
- °* ц * вать угол поворота коле*
Фиг. 26. сика.
Употребление прибора
весьма просто. Чтобы измерить площадь, заключенную внутри задан*
ного контура С, укрепляют точку О к чертежу, ставят острие А в какую
угодно точку Ао на контуре С, производят отсчет положения колесика
по индексу (пусть этот отсчет будет 0о), затем обводят острием А по
контуру С, например по часовой стрелке, и когда острие, после пол-
ного обхода контура, снова придет в Ао, производят второй отсчет
положения колесика; пусть этот отсчет будет 6(; тогда разность от-
счетов —60 будет пропорциональна площади Q, заключенной внутри
контура С, так что
Q = A(6I?-6O).
Из предыдущего видно, что величина k выражается так: k = l-r, где
I есть длина стержня АВ и г — радиус колесика. Обыкновенно, чтобы
определить коэффициент пропорциональности А, обводят острием А та-
кой контур, заключенная внутри коего площадь легко вычисляется, на-
пример прямоугольник данных сторон, квадрат или круг заданного ра-
диуса; очевидно, что этот коэффициент k может быть определен для
данного прибора раз навсегда. В большинстве случаев прибором поль-
зуются так, что точка О располагается вне обмеряемой площади.
Из формулы k — rl видно, что постоянная прибора пропорциональна
длине стержня АВ, заключенной между шарниром и острием. Этим свой-
ством пользуются для устройства планиметров, назначенных для обмера
индикаторных диаграмм, где надо знать не самую площадь, а среднюю
ординату, т. е. отношение величины площади к длине основания ее.
В этом случае стержень планиметра делается так, что его легко про-
двигать в муфте шарнира; тогда, устанавливая длину АВ равной осно-
ванию площади, по отсчетам колесика будем получать величины,
пропорциональные средней ординате. На фиг. 26 и изображен такой
планиметр.
В том случае, когда точка О взята внутри обмеряемой площади, то,
как видно (фиг. 27), описанная длиною АВ площадь есть та кольцевая
площадь, которая заключается между ведущим кругом, т. е. кругом,
описанным точкою В, и контуром С. Кроме того, при переходе от своего
§38]
ПЛАНИМЕТР АМСЛЕРА
11k
начального до конечного положения прямая АВ совершила полный)
оборот, а так как мерительное колесико находится не по середине
длины АВ, а отстоит от середины на длину а, то на основании ска-
занного в § 37 к длине дуги, описанной колесиком, Дадо прибавить,
величину 2rc.<zZ.
Таким образом, будет
Q — idR2 = (s 4- 2ica) I,
где
s = r(9i— 0o)
или
Q = si + 2~al + *£2 = £ (e, _e0) K (£2 2al).
Величина /?24-2а/ имеет весьма простое геометрическое значение
(фиг. 28).
А
В самом деле, вообразим себе, что прибор поставлен так, что пло-
скость колесика проходит через точку О; тогда будет
бД2==-д^2_|_б^2>
М2 = (6j+ 4 У = а2 4- 4+al,
OK2^R2-(a-^=R2 — a2 — ^--\-al.
Значит, ___
~OA2 = R2 + 2al.
Таким образом, полагая О А2 — R2, получим:
Q = A(eI_e0)4-K/?2.
Амслер, кроме описанного планиметра, строит другой, основанный
на том же принципе, но в котором колесико /С катится не по чертежу,,
а по особому диску, вращающемуся пропорционально повороту стержня
ВО, благодаря чему увеличивается поворот колесика в большое число
раз и, значит, увеличивается точность отсчета угла 0! — 80, кроме того,
самые показания прибора точнее, ибо устранена возможность скольжения
колесика, когда, например, чертеж на очень гладкой бумаге или колен-
коре; вместе с тем, таким планиметром с диском можно обмерять и
чертеж, на котором остались следы складок (фиг. 29).
112 МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ (гл. IV
Схема устройства этого планиметра такая: цилиндр Е (фиг. 30а) имеет
выступающий обод, на котором насечены весьма мелкие зубцы.
Радиус ОВ, вращающийся свободно около центральной оси О ци-
линдра, несет на себе шестеренку D, ось которой параллельна оси О
Фиг. 29.
и которая катится по ободу цилиндра С. Эта шестеренка неизменно
соединена с диском G, делающим, следовательно, такой же поворот, как
и шестеренка. На конце В радиуса ОВ укреплена вторая ось, парал-
лельная первой, и около нее может свободно вращаться коленчатый
стержень АВК, оканчивающийся
острием А и вилкою, несущей мери-
тельное колесико К, плоскость
которого перпендикулярна к АВ
и которое катается по диску G.
Само собою разумеется, что
острием А обводят контур изме-
ряемой площади и делают отсчеты
по колесику К.
Понятно, что в существенных
чертах это есть тот же полярный
планиметр, у которого ведущею
/
I
/
Фиг. 306.
«кривой служит круг, описываемый точкою В, все прочие части служат
-лишь для увеличения точности показаний мерительного колесика.
Чтобы составить формулы, относящиеся к этому планиметру, стоит
только найти соотношение между углами поворота мерительного коле-
сика /С, имеющегося действительно и катающегося по диску, с тако-
$.38] ПЛАНИМЕТР АМСЛЕРА ........'НВ
вым же К|, которое было бы насажено где-нибудь на самом стержне АВ
и каталось бы по плоскости чертежа.
Для этого составим в линиях схему прибора и вообразим, что ко-
лесико К] помещено в точке В (фиг. 30а).
Пусть острие А описало элемент АА' дуги контура, площадь коего
обмеряется, прямая АВ описала при этом площадь АВВ'А'; тогда колесо
прошло бы путь ВВ', и угол его поворота будет
, ВР
d<f = — t
где точка Р есть проекция точки В' на направление плоскости коле-
сика Кх.
Плоскость колесика К совпадает с плоскостью Kt; если бы диск
был неподвижен, то дуга, пройденная точкою К, была бы RK' и ново-
рот колесика К определился бы из формулы
Так как угол между направлениями АВ и А'В' бесконечно малый,
то и угол между перпендикулярными направлениями ВК. и В1 К.1 беско-
нечно малый, и, следовательно, длина NP проекции прямой В' К' раз-
нится лишь на бесконечно малые величины высших порядков от длины
самой прямой, т. е.
К'В' = K.B = NP-}-бесконечно малые высшего порядка,
откуда следует ™ DD
Д/V = Dr
или иначе
г. е. углы поворота колесиков К и К\ были бы одинаковы, если бы
диск оставался неподвижным.
Остается, следовательно, рассмотреть, на какой угол повернется
колесико К. от поворота диска.
Пусть будет
О В *= Я, ОС0 R\
и пусть радиус шестеренки есть р.
Тогда поворот радиуса ОВ будет
. ВВ'
d®=-R-’
Угол поворота шестеренки, а значит, и диска по отношению к ради-
усу OB':
d^^dc^^d?
* Р Р Я Р
Следозательно, диск пройдет под колесиком К путь КН, длина
коего есть
HK = KC0-d^ = dsi
и заставит колесико К повернуться на угол d<o, определяемый формулой
а<»= —-----------------------— — ^Cb0-cosa-cfa1.
Но из треугольника КС0В (фиг. 306) имеем:
КС0 _ ВСв
din (90° — р) din (90° — «) ’
откуда
К.Са• cos a = fiC0• cos f = (/? — Ri) cos .
8 А. Н. Крылов.
И4 МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ [гл. IV
Итак, будет.
с?<д= # г~* -cosp-da!;
Г
подставляя вместо da] его величину, имеем:
fm— R—Ri Ri BB'.cosi
г ’ R ’ P ’
HO
BB1- cqsp = BP = r-d<f.
Значит, будет
da>=- R
Этот^угрл d«> приложится к углу d<f, на который повернулось бы
колесико л при неподвижном диске; значит, полный угол его поворота
будет
drc + 1) ,
'т. .е. пропорционален тдму углу поворота d<f, который имело бы коле-
сико К\ обыкновенного планиметра.
р __ р | ‘ R
1 Величина —б-1- близка к величина же отношения —- обыкно-
R 2 р
венно большая, около 10, отсюда ясно, что 1 1 будет состав-
к р
лять около 6.
Таким образом, отсчеты в дисковом планиметре могут быть увели-
чены в любое число раз, что -и способствует большей точности, им
•доставляемой. , : .
Точность планиметра Амслера, при обмере площади величиною около
Г00 кв. см, до ~y%, точность дискового —1 до -^q% •
§ 39. Интегратор Амслера отличается в простейшем своем виде от
его планиметра только тем, что точка В стержня АК ведется не по кругу,
как у планиметра, а по данной прямой хх (фиг. 31), а так как формула
Q=£(81—80) показывает, что площадь Q, заключенная внутри контура,
описанного точкою А, пропорциональна углу поворота колесика, причем
коэффициент пропорциональности не зависит от радиуса круга, описы-
ваемого точкою В, то эта формула будет иметь место и в том :случае,
когда этот радиус,, неопределенно увеличиваясь, обратится в бесконеч.
> 391
ИНТЕГРАТОР АМСЛЕРА
115
ность, т. е. точка В будет двигаться по прямой, а тогда планиметр
полярный обратится в изображенный на схеме интегратор.
Нетрудно и непосредственно убедиться в справедливости соотно-
шения
Qer/(9,-0o) •
между площадью контура, обведенного острием А интегратора, длиною I
стержня АВ (фиг. 32) и радиусом колесика г. Для этого стоит только
разбить заданную площадь на элементарные прямоугольники, коих осно-
вание есть dx, и заметить, что при обходе сторон такого прямоуголь-
ника, перпендикулярных к оси х, повороты колесика взаимно уничто-
жаются, при обходе же сторон, параллельных оси х, выражаются так:
dx*cos(90°— <i) = -^-dx*sina,
но
• 'AF Y
sina = 4B =Т ’
значит, поворот колесика при обходе от Е до F по верхней половине
контура, будет . . .
ь ь
62 — 60 = j sin a • dx = -jj-J У-dx = площ-.
a a
При обходе по нижней половине контура от F до Е поворот коле-
сика будет
а а Ъ
А А 1 'С 1 Гу, 1 Г—площ.CENFD
— °2 = 7* J sina-dx = — \ydx = —--fi- J ydx =-.
b b a
Значит, полный поворот колесика при обходе контура будет
а л площ. CEAFD— площ. CENFD Q
8,-60 =-----------й---------=7Г>
откуда
Q=r/(6,-e0).
Амслер делает при своем интеграторе еще два добавочных колесика,
пользуясь которыми можно найти: Г) статический момент обводимой
острием А площади относительно оси х и 2) момент инерции этой пло-
8*
116 МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ [ гл. IV
щади относительно той же оси. Чтобы найти статический момент пло-
щади относительно оси х, заметим, что он выражается так:
b ' b ь
M=4J (Y2-.y2)dx = -^Y2dx-±-^y2dx,
а а а
где У — ордината верхней части контура, у — нижней.
Но, как мы видели,
У = Z-sin a; j = Z-sina|,
где через а и «ц обозначены углы, составляемые прямою АВ с осью х,
когда острие будет в А и в N. Значит,
ь ь ь
-^-^Y2dx =Ц-Jz2sin2adx= -|-Z2 J(1 —cos2a)dx
a a a
и, следовательно,
b b b a
M = 4 J Y2dx - 4 j J2 dx = 4 J Y2dx+4 ^dx =
a a a b
b a
= -^-l2 (1 —cos2a)dx-|- J(1 —cos2a1)dx 1 =
a b
b a
= 4^2 £ J cos 2®1 dx + J cos 2a dx J =
a b
b a
«4 [ J 8*4 idx + J s*4t ~2a)•
a b
Момент инерции площади Q относительно оси х выражается так:
ь
J=4 Jo'3-!/3)^-
а
Подставляя вместо У и у их величины y = Zsina и z/= Zsinи за-
мечая, что sin За = 3 sin a — 4 sin3 а, получим:
b b а а
J= 4 J Sin a dx — 4 J sin За dx-f- 4 j Sin a, dx 4 J sin 3a! dx,
a a b b
откуда следует
b a
J=-^-Q—12 [ J sin 3a dx~\~ J sin 3a! dxl,
a b J
ибо
b a b a b
l у sin a dx -}-1 j* sin aj dx = J У dx J у dx = j (У — y)dx — Q.
a f b aba
Таким образом, вычисление статического момента и момента инерции
площади Q относительно оси х сведено к вычислению интегралов
ь ь
Sin(“i---2a ^dx и J sin 3a dx.
a
§39}
ИНТЕГРАТОР АМСЛЕРА ’
117
Чтобы находить величины, пропорциональные интегралам
ь *
Jsin^—2a^dx и Jsin3adx,
а а
к стержню АВ (фиг. 33) прикреплено зубчатое колесо, состоящее из
двух частей, причем радиус одной в полтора раза более радиуса дру-
гой. Эти радиусы обозначим через 2R и 3/?. С этим большим колесом
сцепляются два меньших колеса радиуса R, к ободу этих послед-
них колес прикреплены оси М и J роликов, катающихся по плоско-
сти чертежа. Колеса эти устанавливаются так, что когда угол а = 0,
то ось ролика М перпендикулярна к оси х, ось же ролика J тогда
параллельна оси х; таким образом, если стержень АВ будет составлять
с осью х угол а, то ось
ролика М составит . с этою
осью угол ----2a, ось же
ролика J составит угол За,
и, следовательно, отсчеты
углов поворота этих роли-
ков при обводе острием А
по контуру и дадут вели-
чины, пропорциональные ин-
тегралам
j sin ------2a) dx
а
И
b
J* Sin3adx,
в
которые входят в выражение статического момента и момента инерции
той площади Q, величина которой дается отсчетом по ролику 5.
Кроме описанного, Амслер изготовляет и такие интеграторы, у кото-
рых счетные ролики S, М и J катятся не по плоскости чертежа, а по
отдельному диску, поворот которого пропорционален длине пути, про-
ходимого точкою В по оси х; устройство этого интегратора в общих
чертах следующее.
На раму R (фиг. 34), состоящую из двух линеек, из коих на одной
нарезаны очень мелкие зубцы,' а в другой выбрана борозда DDt, накла-
дывается рама СС2 так, чтобы ее ролики С и С2 катались по борозде DD},
а колесо Р с мелкою нарезкою катилось по нарезке линейки R. Колесо Р
насажено на общую ось с коническою зубчаткою Е, захватывающей за дру-
гую коническую* же зубчатку F, скрепленную с диском Н, углы по-
ворота которого, таким образом, пропорциональны перемещению рамы СС2
вдоль линеек. На раме же СС2 укреплены три опоры Qt, Q3, на
которые накладывается своими гнездами вторая рама L, несущая центры
О, 01 и 02 зубчатых колес, сцепленных между собою, радиусы этих
колес относятся между собою как 3:2:1, и эти колеса несут на себе
оси роликов 5, Af, J, катящихся по диску. Наибольшее из этих зубчатых
колес соединено тягою ТТ\ с шарнирами со стержнем АВ, острием
которого обводят по контуру. Отсчеты поворотов роликов S, JW и J и
дадут величины, пропорциональные; площади контура, его статического
118 МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ [ rji. IV
моментаТотносительно прямой ххь описываемой точкою А и параллель-
ной борозде на линейке, и величине интеграла J sin За dx, который вхо-
дит в выражение момента инерции площади относительно оси
Фиг. 34.
§ 40. Планиметр-топорик состоит из очерчивающего штифта А, ко-
торым обводится периметр площади, которую желают измерить, неиз-
менно соединенного с острым й закругленным лезвием В, установлен-
ным таким образом, что плоскость его острого края проходит через
точку А. Главное свойство острого края заключается в том, что, когда
он касается плоскости чертежа, он заставляет двигаться точку В по
направлению прямой линии, соединяющей эту точку с концом штифта А.
Таким образом, когда точкою А обводится какая-нибудь линия, то
точка В описывает соответствующую кривую преследования или погон-
ную линию. Это свойство указывает, что в планиметре-топорике не
имеется материально воспроизведенной, постоянной, ведущей кривой L,
напротив того, эта кривая изменяется в зависимости от обводимой
штифтом А и от начального положения прибора; одним словом, веду-
щая кривая L есть .погонная линия, соответствующая обводимой С и
движению очерчивающего ее штифта А.
Положим теперь, что точка А планиметра, выйдя от Ло, обойдет
кривую С и вернется снова в Ло, тогда лезвие В, выйдя из Во, прочер-
тит соответствующую погонную линию и придет в В\; таким образом,
конечное положение прямой линии АВ будет Л0В]. Чтобы совместить
эту прямую с ее первоначальным положением, нам надо только повер-
нуть ее на угол ® = ВДВС около точки Ло. Тогда ведущая линия L
будет дополнена дугой круга Bi Во (фиг. 35) и станет замкнутою. В этом
случае полная площадь. Q, описанная линией АВ, равна алгебраической
разности площади Q и площадей, заключенных между частями ведущей
кривой, причем каждую часть надо брать с надлежащим знаком.
£ 40]
ПЛАНИМЕТР-ТОПОРИК
119
Итак, описанная площадь будет
£2 = Q — (B0EF+ КНВХ - FGK).
' Описанная же площадь измеряется произведением длины линии АВ.
на длину дуги на которую повернулось бы колесико, установленное
в точке М,
Чтобы определить эту дугу, мы заметим, что если бы колесико
было помещено в В, причем ось его была бы направлена вдоль АВ, то
плоскость колесйка составляла бы прямой угол с плоскостью лезвия;
перемещение точки касания колесика с плоскостью чертежа всегда
было бы направлено перпендикулярно к плоскости колесика: значит,
колесико оставалось бы неподвижным и его показание было бы равно
нулю все время, пока точка А двигалась бы по погонной линии.
Сопоставляя это с теоремой 2-й, видим, что мерительное колесико,
установленное в средней точке М, должно было бы повернуться на
дугу где ф есть угол В0Л0В„ когда прибор придет в положение
ЛОВЬ Когда же прибор будет повернут около точки Ло, чтобы привести
его конечное положение в совпадение с начальным, то колесико, нахо-
дящееся в М, очевидно, повернулось бы еще на дугу
Таким образом, полная дуга поворота колесика, установленного’
в М, была бы
1 , . 1 , ,
-2"Z<P~b-у
я, следовательно, мера описанной прямою АВ площади будет
Q = I. = /2ф = i агс (В0В{).
Таким образом, мы имеем следующее точное соотношение:
/2ф = q _ +КНВх _ FGK.),
Надлежащим выбором исходной точки Ло (она должна браться близ
центра тяжести площади кривой С) можно сделать, что сумма площа-
дей (B0EF-|-K.HBX—FGK) будет близка к нулю, и мы будем иметь про-
стое соотношение
Q = /2<р или Q = I arc (В<Д)•
I2Q МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ [гл. IV
Если угол <р будет меньше 20°, то дуга В0В]. практически может быть
заменена ее хордой, и мы будем иметь соотношение:
Q “ I B0Bi.
Чтобы обеспечить более правильное движение ведущей точки В,
устройство планиметра-топорика слегка изменено; ведущее лезвие заме-
нено небольшим колесиком с острым ребром; плоскость этого колеса
установлена так, что она проходит через конец штифта А} этот же
штифт свободно вращается в своей втулке. Фиг. 36 представляет при-
бор в том виде, как он изготовлен по моим указаниям.
Для пользования инструментом надо положить кусок копировальной
бумаги под колесико, чтобы была прочерчена кривая преследования и
по ней можно было бы легко измерить расстояние ВОВЬ выбирая при
этом положение этой линии так, чтобы сумма площадей положительных
была бы на глаз равна сумме площадей отрицательных.
Очевидно также, что, имея погонную кривую вычерченной, легко вы-
шеупомянутые площади и обмерить, а следовательно, и определить
предел сделанной погрешности.
§ 41. Интеграф Абданк-Абакановича воспроизводит механически то
построение, которое • было указано в $ 34 для нахождения интеграла
X
J/(x)dx, Когда функция f(x) задана чертежом.
а
Из построения, указанного в § 34, видно, что если вообразить, что
промежуток между ординатами неопределенно уменьшается, то прямая Ес,
частные положения которой суть Е2С2 и т- Д-> будет двигаться
непрерывным образом, тогда и точка Af опишет
требуемую- кривую также непрерывным движением;
кривая эта будет, очевидно, обладать тем свойством,
I / что в каждой ее точке касательная параллельна соот-
I ветствующему положению прямой Ес, иными словами,
JJL надо точку N перемещать одновременно с прямою Ес
так, чтобы во всякий момент перемещение точки А/"
Импи происходило параллельно прямой Ес. Такое перемеще-
U ние и воспроизведено в интеграфе.
" Существенную часть этого прибора составляет коле-
Фиг. 37. сико К, изображенное отдельно на чертеже (фиг. 37);
самый же прибор представлен на фиг. 38.
Это колесико с острым, ребром может свободно вращаться в. охва-
тывающей его вилке на остриях, которыми оканчиваются винты А и Aj.
Круглый стержень D вилки проходит через подшипник в раме тележки,
которая может свободно кататься по верхнему рельсу прибора.
§4Ц
ИНТЕГРАФ АБДАИК-АВАКАНОВИЧА
12>
Этот рельс установлен параллельно осям цилиндрических катков»
на которых прибор ставится на плоскость чертежа. Оси катков выве-
рены строго параллельно между собой, и все четыре катка — равного
диаметра, поэтому, если катить прибор по плоскости, то он переме-
щается так, что рельс движется, все время' оставаясь параллельным
своему первоначальному положению.
I
Рассмотрим сперва, что произойдет, если прокатить прибор по пло-
скости чертежа на некоторую длину h (фиг. 39), удерживая стержнем СС}
(фиг. 37) плоскость колесика К под постоянным углом а к направлению
движения.
Так как тележка может весьма легко кататься по рельсу BBt в на-
правлении, перпендикулярном h, а острое ребро колесика К препятствует
ему скользить по плоскости чертежа, не препятствуя ему по этой пло-
скости катиться, то колесико К. придет не в положение К', а покатится,
оставаясь в своей плоскости, до положения /С2, причем тележка по
рельсу прокатится на длину К'К2. Таким образом, центр колесика К. и
всякая точка тележки, с ним связанная, при перемещении прибора дви-
жется параллельно плоскости колесика.
Теперь нетрудно видеть назначение и дей-
ствие прочих частей прибора. Около центра,
неизменно скрепленного с основной рамой
прибора, к которой прикреплен и верхний
рельс, может вращаться в плоскости чертежа
линейка с бороздкою посредине. Этою борозд-
кою линейка накладывается на ролики ниж-
ней тележки, катающейся по нижнему борозд-
чатому и среднему гладкому рельсу основной
рамы, эта тележка несет штифт А, который
ведут по данной кривой f(x). При помощи
параллелограмма плоскость колесика К удер-
живается параллельно бороздке поворотной
свободе движения тележки, несущей колесико К по верхнему
рельсу.
Действие прибора следующее: установив его на плоскость чертежа
так, чтобы он катился в направлении оси хх{, ставят среднюю линейку
Фиг. 39.
линейки, не препятствуя
422 МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ [гД. IV
параллельно этой оси и ведущий штифт А устанавливают на ось xxf,
тогда если прокатить прибор по плоскости чертежа, то пишущий штифт Р
опишет прямую х'х, .параллельную оси хх ] — нулевую линию площа-
дей; затем катят- прибор по плоскости вторично, ведя- все время штиф-
том А по данной кривой, тогда пишущий штифт опишет соответствую-
щую интегральную кривую (кривую площадей), масштаб которой будет
зависеть от начальной установки прибора, т. е. от расстояния от центра
вращения линейки до проекции на ось xxt центра вращения нижней те-
лежки, через посредство которой поворотная линейка связана с ведущим
штифтом, которым обводят заданную кривую y=f(x). Это расстояние,
которое обозначим буквою /, служит единицею масштаба кривой пло-
щадей и имеет то же значение, как и означенная тою же буквою дли-
на E\bi (фиг. 16).
ГЛАВА V
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
§ 42. Во многих вопросах прикладной математики приходится иметь
дело с приближенным представлением функции при помощи ряда, рас-
положенного по синусам и- косинусам аргументов, возрастающих в ариф-
метической прогрессии. Такого рода разложения встречаются постоянно
® вопросах математической физики, а теперь они проникают и в вопросы
'Чисто технические как в области электротехники, так и машинострое-
ния, поэтому мы разберем приемы этих разложений и обращения с
такого рода рядами.
Пусть задана функция
; ! У=/(0) (1)
аргумента 0 в промежутке от 0 = —те до 0 = Ц-те, и положим, что эту
функцию надо представить в виде ряда следующего вида:
/(0) = Ао Ai cos 0 + А2 c6s 20 + As cos 30 -|-... ’+ An cos n0 .
... 4" sin 0 4* B2 sin 20 —J— B9 sin 30 4“ • • • 4- Вл sin /10 4-... (2)
Само собою разумеется, что' первый вопрос состоит в указании спо-
соба вычисления коэффициентов этого ряда, а затем в исследовании по-
лученного разложения. Для вычисления коэффициентов Эйлер показал
«следующий прием:
1) Для получения коэффициента Д надо умножить обе части ра-
венства (2) на db и проинтегрировать в пределах от —те до -|-те; тогда
будет,
= /(9Ж ' (3)
2) Для получения коэффициента Ая(п=1, 2, 3,...) надо умножить
обе части равенства (2) на cosn0-d0 и проинтегрировать в пределах от
*0 = —те до 0=-|-те; тогда будет
A„ = -^-j/(0)cosn0d0. (4)
, ’ ’ ' —к
3) Для получения коэффициентов Вп надо обе части, равенства (2)
умножить на sin n0 d0 и проинтегрировать в пределах от 0 == — те до
О = -|-те; тогда будет
= [/(0)sinn0d0. (5)
124
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
[ГЛ. V
Чтобы доказать этот прием и равенства (3), (4) и (5), стоит только
обратить внимание на следующие равенства:
4*те
J cos л9 d6=> [sin л9] = -i- [sin п-к — sin (— л«)] = 0, (6}
•—те
+»
J sin л9 d9 =----[cos n9]j^ =---------[cos лк — cos (— лк)] — 0, (7}
—те
4-те Ч-те
j sinA6cosn0d9=J [sin(A-[~rt)0— sin (л — A)9]d9 = O, (8}
—те —те
+« -М
J sinA9sinn9d9=* -i~y [cos(n—k)& — cos 9] <29=0, если k=/=n, (9}
—те —те
-1 те 4~тс
У cosA9casn9d9 = -^-y [cos (л—Л) 9 —р cos (п—Л) 9]й?9 = 0, если k=£nt (10}
—it —те
I cosfe9cosfe9<29 = -у I (14*cos2A9) d6 = «, (11}
—те —те
4-те 4-те
У sin£9sin£9d9 =-i-у (1—cos2A9)d9 = n; (12}
—те ' —те
в силу этих равенств видно, что по умножении равенства (2), например,,
на cos л9 с?9 и интегрировании, чтобы получить Аа, в первой части будем
иметь интеграл
4^те
У /(9) cosn6rf9,
а во второй части — сумму интегралов вида
4-те 4-те
Ак j cos А9 cos л9 d9 и Bk у sin АО cos л9</&,
—те —те
которые все равны нулю, кроме одного, именно:
4-те
Л„у cos л9 cos nA d9 =vAn
—ГС
и, следовательно, будет
4-те
Лп = -А_у/(9)cosn9d9.
§ 43. От разложения функции/(9), заданной в промежутке от 9 = —тс
до 9=-}-л, нетрудно перейти к разложению любой функции
У = F(«),
заданной в промежутке от —I до -\-1, стоит только положить
у^ = 9,
§ 43]
ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ- ТРИГОНОМЕТР. РЯДА
125
тогда будет
и формулы (2)... (5) дают
у = Ло-|--Л1СО8б + Лсо$20+- • • + ^лС08лв+- • •
•. * —|— В| sin 0 В2 sin 26 "I- ... 4~ 5п sin лб —|—...
причем
4 = /(®)c°sn0d0, Be=yJ /(0)sinnOdO;
—те —те
подставляя в эти формулы вместо Ъ его величину у- и замечая, что /(О)
обратится в F(x), пределы в интегралах будут —I и -f-f и d0 = y-’dx,
получим
у — Ло+Ai cos у—}- А2 cos у^-+.. •+ Аа cos -(-•••
...4-B1sin^+B2sin^ + ... + Bnsin^ + .., (13)
причем
+*
4=4f p(x)dx>
Н +Z
An = j- C F(x)cos^dx, B„==-l f F(x)sin^i dx.
-i —i
(14)
Формулами (13) и (14) решается вопрос о разложении в тригономет-
рический ряд функции F(x), заданной в промежутке от —I до
Если функция /(ф) задана вообще в промежутке от ф = а до ф =
= а-|~2к, то стоит только положить
Ф = а-[~те-{-0
и рассматриваемый промежуток будет для 6 соответствовать от —тс до
+тс, причем в этом промежутке значения функции будут известны, и,
следовательно, будет
/(ф) =/(«-ЬЬ 0) 4*В(6) = Ао-Ь Ai cos О Ч- А2 cos 264-- • -+i4ncos лб-}-...
.. .-(-BisinO -f- B2sin2fl4-.. .4-B„sinne-|-...,
причем
+* 4-ic •+-«
ло = 2^У F(9)d9, 4, = 4-J ^(0)cosn9d0, B„==y- j F(0)sinn0d0!
—те —те —те
подставляя вместо в его величину, имеем:
/(ф) =\Д0—|— Л! COS (^ — а—тс)-|-л2 cos 2 (ф — а—тс)-|- ...
• • • 4~4»cosn((? —а — тс)-}-..|-.В1з1п(ф — а—тс)4~В2sin2 (ф — а —тс)-|-...
... 4“ Вд sin п (ф — а — тс) 4-...,
126
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ [ гл. ¥
причем
а+2а
Ав4г J /(М
а ‘ ‘ *
а+2те а-4-2к
Лп = -^- j /(ср) cos п (ср—а—w)dcp = (—l)*--i- j /(cp)cosn(cp—a)dcp,
а а
а+2я а+2я
3»e4j /(cp)sinn(cp—а—ir)dcp = (— 1)" .-i- j / (ср) sin n (ср — a)d<p.
a a
Отсюда видно, что функцию /(ср), заданную в промежутке от <р — а
до <р = а-|-2я, можно разложить в ряд
/С?) = А+ A cos (ср — a) + А2cos 2 (ср — а)+... 4- Аа cos Л (ср — а)+ ...
. ..-j-Bi sin (ср—a)-|~B2sin2(cp—а)-|-... -|- Ва sin п (ср—а)-[-...
Вычисляя коэффициенты по формулам
a-f-2it a-f-2ic f ‘ '
А = 4 J/(<?)<*?» А = 4" У /(?)cosn(<p — a)dcp,
а ' ф а
a-f-2rt
вя=4 У /(<p)sin«<(p—а)^ч>- .
а *
Из этих формул сейчас же вытекает, что если функция F(x)
в промежутке от х = а до х = а-\-21, то ее можно представить
(2'>
(3'>
задана
в виде
ряда
F(x) = Hi+Acos^^+^cos^^+... + Acos^4=^) + -.-
I о I Ь о. 2л(х —a) I I d (*“-а) ! /югк
...+sin —-—F s*n — + • • • + Вп sm—----------+ • • • (13 7
Вычисляя коэффициенты по формулам
a+2Z a+2Z ' *
А = 4 У f(X)^ А=т У F(x)cos”*(*~a)<fr,
° а+21 а (И'>
в„ = т У F(x)sin5^p2>dx.
a
Формулы (2') можно представить и в ином виде.
Возьмем общий .член
j4ncosn(cp — a)-|-Bnsin л (ср — a);
его можно написать так:
(Ап cos па — Вп sin па) cos nep -J- (Ап sin па -}- Вп cos па) sin пер;
в силу же выражений (3') будет
а+2те
H„cosna—Впsin па = 4 J /(<р) [cosn(cp—a) cos Па—sin п (ср—a) sinna] d<f==^
а
а+2л
1
f(cp) cos nep dtp.
$ 44]
ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТРИГОНОМЕТР. РЯДА
127
- Совершенно так же увидим, что
i4nsinna-]-Bncosna = -i- J /(<р) sinntp dtp.
Таким образом, видим, что, функция /(ср), заданная в промежутке от a
до а-|-2л, может быть представлена в виде ряда
у (<р) = Ао 4- A j cos <р + А 2 cos 2<р -|~ ч.. Ц- Ап cosntp -f-...
.. .-|-Blsin<p-|-B2sin2<p-]-- • .-|-B„sinn<p-|-.. .,(2")
причем коэффициенты вычисляются по формулам
4) “ i Л« = “Г J* /(?) cos/?<?<*?.
a > a , i ,
= T J Д'?) sin/Ир dtp.
a
Отсюда следует, что функция F(x), заданная в промежутке от х = а
'до х = а-}-21, может быть представлена в виде ряда
F(x) = Ло+Лсоэ^у—}-^2C0S^^ + -”4_^nC0S^7^-+-”
...+ В, sin 4- B2sin^- +.. ..+,В„ sin^ +..(13")
причем коэффициенты выражаются формулами
a-tfU
Ао = ~ j F(x)dx,
t . a
a+2l
Aa = -j f F (x) cos dx.
(14")
a+2l
B-~-г f ‘
dx.
§ 44. Положим теперь, что заданная функция F(x) четная, так что
F(-x) = F(x);
тогда будет
Ao~2l j
— l
An = -j- F (x) cos dx — cos—j“ dx,
о
о'
(15)
—i
+i
Вп = -^ f F(x) sin~dx = Q,
—i
так что остается разложение
В(х) = у40 + Л1СО8^+>!2С08?р-+... + ЛлСО8^р-+..., (16)
причем коэффициенты даются формулами (15).
128
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
[ ГЛ» V
Совершенно так же, если положить, цто F(x) есть функция нечет-
ная, так что
F(-x) = -F(x),
то все коэффициенты А в формуле (13) обратятся в нули, и останется
только разложение, заключающее синусы, а именно: ,
F (х) = В! sin ^4- В2 sin sin . 4- В sin < 17)
причем
B„==4jF(x)Sin^.^
о
§ 45. Как видно, все эти результаты сами собою следуют из фор-
мул (2), (3), (4), (5), но по поводу этих формул возникают следующие
вопросы:
1) Вывод формул (3), (4), (5) основан на допущении, что разложе-
ние (2) имеет место и что ряд (2) можно интегрировать почленно. Это
требует проверки.
2) Относительно функции /(8) мы н% делали никаких ограничений,
кроме того, что при вычислении коэффициентов эта функция подвер-
гается только интегрированию, и, следовательно, она может быть и раз-
рывною. Пусть функция /(6) при 8 = 8О имеет разрыв непрерывности;
тогда абсциссе 80 соответствуют две ординаты BE и СЕ. Между тем
во второй части будет -стоять ряд
Л04--Л1соз о04-л2со8 2804“-. .4“4«cosn®o4*« —
...4~В[ sin604-B2sin2804-• • • +•^nsinzj8o~4“ • -
имеющий только одно значение. Спрашивается, которую же из ординат,
BE или СЕ, этот ряд представляет, или ни ту, ни другую?
3) Если сделать 8 = — я, и 8 = 4~я то получится во второй части
одна и та же величина
Л+-^1СО8те+^2СО82те+H8cos3z4- ...
или
n0-A4-^-^+...+(-i)M„4-...,
в первой же части при 8 = —я получится/(—тг), и при 0 = я получается
/(тг), если, как на нашем чертеже (фиг. 40, стр. 129), /(— я) не равна
/(-1- я), то спрашивается, которую же из этих двух величин представляет
наш ряд, или ни ту, ни другую?
На все эти вопросы дал ответ Дирихле, доказавший теорему, кото-
рую мы формулируем и докажем ниже. Предварительно введем некото-
рые новые понятия. Положим, что /(0) терпит разрыв непрерывности
при 8 = 80, но обладает тем свойством, что /(80 — h) и /(8О4~А) при
стремлении положительного переменного h к нулю имеют определенные
конечные пределы. Мы будем обозначать эти пределы следующим об-
разом:
•/(9o-O) = lim/(0o-A); /(804-Q) = W(°o + A) (А>0).
ft-»0 Л-0
При этом говорят, что /(8) имеет при 8 = 8О разрыв непрерывности
первого рода. Мы должны иметь / (80 — 0)т^/(8о4-О), ибо в случае ра-
венства у (80 — О)=/(8о4-О) функция /(8) не имела бы разрыва непрерыв-
ности при 8 = 80. На чертеже (фиг. 40) /(80 — 0) изображается ордина-
той ЕВ и /(8о4-0) — ординатой ЕС.
§ 45]
ТЕОРЕМА ДИРИХЛЕ
129
Далее говорят, что функция /(9) удовлетворяет на конечном проме-
жутке от а до b условиям Дирихле', если
1) она непрерывна в этом промежутке или имеет конечное число
разрывов первого рода; 2) она имеет конечное число максимумов и ми-
нимумов в упомянутом промежутке и 3) предельные значения /(а-|-0)
и f(b — 0) на концах промежутка конечны.
В силу сказанного выше относительно максимумов и минимумов весь
промежуток от а до b можно разбить на конечное число таких частных
промежутков, в каждом из которых /(9) ме-
няется монотонно
Теорема Дирихле. Если удо-
влетворяет на промежутке от —it до я
условиям Дирихле, то при разложении этой,
функции в тригонометрический ряд по фор-
мулам (2), (3), (4) и (5) оказывается, что
предел суммы первых п членов ряда при воз-
растании п для всякого значения в, при кото-
ром функция /(9) непрерывна есть /(9); для
функция претерпевает разрыв, сказанная сумма есть
4-m-°)+/(0*+°)]
п 0 £ п
Фиг. 40.
тех значений 9 = 9fe, где
й, наконец, при 6 =—ли при Ь = г. сказанная сумма есть
Доказательство этой теоремы довольно сложно и длинно и основано
на непосредственном разыскании предела суммы Sn первых п членов
ряда (2) при неопределенном возрастании п. Итак имеем:
Sn = Ло Aj cos 9 + А2 cos 29 + Лп-соз «9
-|- Bi sin 9 В2 sin 29 +... -|- Вп sin n9;
заменяя коэффициенты Ао, А\,. ., Ап, *Bit..., Вп их значениями и написав
под знаком интеграла, во избежание путаницы, вместо буквы 9 букву t
и внося множители sin ЛЭ и cosA9 под знак интеграла, имеем:
—тс
cos 9• cos /—[-cos 29-cos 2t-\-.. .-|-cosn9-cos£n-|~
-|-sin9• sinsin29.sin2t-f-.. .-|-sinn9.sin nt
dt
или
-f-TC
•S„ = vf 4-+c°s(;-0) + cos2tf-9)+... + c°sn(/—9)1#.
Сумма, стоящая в [ ], представляет Собою сумму косинусов дуг,
возрастающих в арифметической прогрессии, и, как известно,
t- 9
sin (2л 4-1) —g—
-2"+ сое (t — 9) + cos 2 (t — 9)4- ...cosn (t — 9) =-j—,
2 sin—g—
так что будет
5=три
—тс
sin—j—(/ —0)
2sin^—
dt
9 A. H. Крылов.
130
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ [ гл. V
или, полагая
получим:
ТС—О
f (18)
«-t-е
2
Таким образом, весь вопрос сведен к исследованию интеграла (18).
Положим сперва, что в не равно ни —те, ни -|-те; тогда имеем:
х—е
~2~ О
С /0 + 22)’inl2;+^J^-'-J- f /(0 + 2z)8l"(X+')Jdz
о jk?
2
или, полагая во втором интеграле z =—и:
тс—6 тс-}-0
"У ~
s„-± Ь(>+2г)л"^'”'ь+т (1S'>
о о
и наш вопрос сводится к исследованию интегралов, входящих в фор-
мулу (18')-
§ 46. Для исследования этих интегралов докажем сперва так назы-
ваемую вторую теорему о среднем: Пусть f(x) есть некоторая непре-
рывная функция в промежутке от а до b и ср(х)— монотонная и огра-
ниченная в этом промежутке функция-, тогда
причем $ — некоторое значение из упомянутого промежутка.
Достаточно доказать формулу для случая убывающей функции ср (х),
ибо если ср(х) возрастающая функция, то [—ср (х)]—убывающая, и, при-
меняя формулу к [—®(х)] и меняя в обеих частях равенства знаки, по-
лучим такие же равенства для ср(х). Итак будем считать, что ср (х) —
убывающая или, лучше сказать, невозрастающая функция. Пусть будет
X
F(x)=^f(x)
d .
Разделим промежуток от а до b на k частей, и обозначим через xt,
х2, ..., хк абсциссы промежуточных точек. Тогда по первой теореме
о среднем имеем:
х<-ы
F (*ж) — F (х) J / (х) dx = (хж — xz)/ (;z),
xi
причем принадлежит промежутку от xz до хж.
§ 46]
ТЕОРЕМА ДИРИХЛЕ
131
Написав ряд подобных равенств для всех значений i от 0 до (k— 1)
и умножая каждое равенство на <р(с;) и сложив их, получим:
Ф do) Р7(*0 - Р (*о)] + <Р fr) (*2) - F(x,)]+... + <₽ (?*_,) (F(/>)- F(x*_.)] =
А—1
i-0
причем /7(а) = 0. Сумму, стоящую в левой части этого равенства, можно
переписать так:
р (хх) [ф &) - Ф d<)] +F (х2) [<₽ (?,)-<₽ &)]+...
. • •+/7(xft_1)[<?(e*_2)-<?(V1)]+/7(/’)'?(V1)-
Если обозначить через т и М наименьшее и наибольшее значения
функции F(x) в промежутке от а до Ь, где она непрерывна, то, прини-
мая во внимание, что все разности <р(^) — <р (8/+1) не отрицательны, мо-
жем утверждать, что при замене всех F(x.) на т предыдущая сумма не
увеличится, а при замене всех F(xz) на М она не уменьшится. После
первой замены предыдущее выражение будет:
m {[ф do) ~ Ф di)] + [ф di) - ф &)] + • • • + [ф (^_2) - Ф +F0)<? (£*_,) =
= т 1ф do) — Ф (^-1)] + F(b) Ф dft_j)
и после второй замены оно будет:
лПф^-ф^-ЗЛ-^^ф^-Л
Мы приходим, таким образом, к неравенству
Л-1
™ [ф do) — ф I)] + Р (ь) Ф (’*-1) < 2 (хж — xi) Ф d/)/ d/) <
Z=0
< М [<? do) - Ф d*_i)] + P(b)<f d*_j)*
Перейдем в этом неравенстве к пределу, считая, что число делений k
неопределенно растет и наибольшая из разностей (х/+1— х;) стремится
к нулю. При этом сумма, стоящая в средней части неравенства, имеет
своим пределом
ъ
^v(x)f(x)dx,
а
$0 имеет своим пределом а, так как она заключается между а и хь
точно так же имеет своим пределом Ь.
Таким образом предыдущее неравенство в пределе дает нам:
ь
т [ф(а + 0) — — 0)]-|-F(Ь)<р(Ь — 0)< J<p(x)/(x)dx<
< М +0) — <р (Ь — 0)] + F(b)y (b — 0)
и, следовательно, найдется такое число р, удовлетворяющее неравенству
что
J Ф (*) f (х)dx = р [ф (а + 0) — ф(Ь — 0)]Н-F(Ь)ср(Ь — 0).
а
Но известно, что непрерывная функции F(x) принимает все значения,
лежащие между ее наименьшим значением т и наибольшим М, а по-
9*
132
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
[ ГЛ. V
тому найдется такое значение 5 из промежутка от а до Ь, что
p = F(E)
и предыдущая формула переписывается в виде:
ь
J <р (х)/(х) dx = [ср (а + 0) - с? (Ь - 0)] F (0 + <р (b - 0) F (Ь)
ИЛИ
т. е.,
ь
ъ
J<р (х)/(х) dx = ср (а4- O)F(S)+<р(Ь - 0) [F(/>) -F($)],
Л •
принимая во внимание определение F(x):
Е Ь
^(x)^(x)dx = <p(a-{“0) J
а
образом имеем:
ъ
и таким
ь
а а £
и хотели доказать. Если ср(х) непрерывна при х — а и х = Ь,
что мы
то формула переписывается в виде:
ь е ь
J?(x)f(x)dx = <o(a) ^f(x)dx.
а а £
Так как «теоремы о среднем» будут служить основанием для всей
теории тригонометрических рядов, то остановимся еще на этих теоремах.
1-я теорема о среднем. Если /(х) и <р(х) непрерывны в проме-
жутке от а до b (включая концы) и кроме того f(x) не меняет знака
в указанном промежутке, то
ь ь
J <Р (x)f (х) dx = <р (I) ^f(x)dx,
а а
причем В принадлежит упомянутому промежутку.
Положим, что /(х) остается в промежутке от а до b положительной.
Пусть далее А и В наименьшее и наибольшее значения <р(х) в упомяну-
том промежутке. Таким образом, будет постоянно
<р(х)— В<0 и <р(х)— Л>0
и, значит, будет
ъ
j/(x)[<p(x)-B]dx<0
и
ь
j/(x) [<? (*) —
или иначе
ь
j f(x) <р (х) dx*szB^ f(x) dx
и
ь
ь
а
§ 46]
ТЕОРЕМА ДИРИХЛЕ
133
Отсюда видно, что есть такое число С, удовлетворяющее неравен-
ству Д<С<В, при котором будет
ь ь
j y(x)f(x)dx = C j/(x)dx,
а а
а так как ср(х) непрерывна, то существует такое значение х=$, при
котором
а тогда и будет
ъ ь
j ?(•*)/(*)<** = <? (5) J f(x)dx.
а а
Очевидно, что совершенно так же можно бы провести доказатель-
ство и в том случае, когда /(х) все время отрицательна.
2-я теорема о среднем, которая доказана была выше, выра-
жается равенством
ь i ь
J <р (х)/(x)dx — ср (a) J/(x)rfx-4-ts(/>) j f(x)dx. •
а а I
Мы докажем сейчас эту формулу, считая, как и раньше, /(х) непре-
рывной, а <р(х) будем считать не только монотонной, но и непрерывной
и имеющей непрерывную производную <р'(х). В силу монотонности <р (х)
эта производная сохраняет неизменный знак.
Пусть будет
X
F(x) = J/(x)dx
а
и, значит,
р(х)=/(х)>
b ь
J <Р (x)F' (x)dx = [ср (х) F (х)]^ — у ср' (х) F (х) dx =
а а
ибо очевидно, что
b
F(a) = Q и =
а
Так как по предположению
Ьй теореме о среднем будет
функция <р'(х) сохраняет свой знак, то по
ь ь К
^'(x)F(x)dx = F(i)^'(x)dx^F^)[^(b) — v (а)] = [<₽ (b) — <р (а)] J f (х) dx.
л а а
134
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
[ГЛ. V
Подставляя, получаем:
ь е » е
J <Р (*)/(*) dx = <р (a)j/(х) dx + да (b) [ J/(x) dx — J/(x) dx
a a a a
£ b
= <P (a) j/(x) dx 4- ¥ (/>) j/(x) dx.
a
Этим равенством и выражается 2-я теорема о среднем.
§ 47. Для доказательства теоремы Дирихле нам понадобятся еще
две леммы.
Лемма 1. Если F(z) удовлетворяет на промежутке от 0 до b
условиям Дирихле, то
Jim 1 j F(z)^- dz = |F(+ 0). (*)
о
При доказательстве будем пока считать, что F(z) не только удовле-
творяет условиям Дирихле, но и монотонна на промежутке от 0 до Ь.
Известно, что
dz =
ТС
У
Рассмотрим интеграл
sinz <
----dz.
z
это — непрерывная функция с, равная нулю при с = 0 и стремящаяся
к у, когда с неограниченно возрастает. Отсюда можно заключить, что
написанный интеграл при всех положительных с остается по абсолютной
величине меньше, чем некоторое определенное положительное число М.
Рассмотрим теперь интеграл с двумя любыми положительными преде-
лами
ч
р
Мы имеем:
я я р
1 Z ] Z ) Z
р о о
Прежде чем переходить к доказательству (*), рассмотрим более
простой интеграл
ь
1 с sin н х .
Т —~dz'
О
§ 47]
ТЕОРЕМА ДИРИХЛЕ
135
Совершая замену переменной u = yz, получим:
V 1
lim —
b р. ь
j • “ j « 2
о о
и, следовательно,
ь
lim - fF(+O)^-£fe = 4-F(+O).
р.-»ОО к J * 2
О
Для доказательства (*) нам достаточно показать
ь
lim | J [F (z) - F (+ 0)] dz = 0,
о
т. e. что выражение, стоящее под знаком предела, при достаточно боль-
ших j* по абсолютной величине меньше любого заданного положитель-
ного е. Разобьем промежуток интегрирования от 0 до b на два: от 0
до 8 и от 8 до Ь, где число 8 будет выбрано в дальнейшем. Покажем,
что каждый из интегралов
8 Ь
^J[F(*)-F(+O)]^<fe и 1 J[F(z)-F(+0)]^ dz (**)
0 6
при всех достаточно больших значениях у. меньше у по абсолютной ве-
личине. Можно взять 6 настолько малым, чтобы в промежутке от 0
до 8 F(z) не имела разрывов непрерывности.
Принимая во внимание монотонность F(z) и применяя вторую тео-
рему о среднем, получим:
б 8
JL f[F(z)-F(+0)]^dz = l[F(8)-F(+0)] \^dz,
о £
откуда
8
|±[[F(z)-F(+0)]^-dz I<1|f(8)-F(+0)|-2A4,
о
и можно выбрать положительное 8 настолько близким к нулю, чтобы
последнее выражение было . Обратимся теперь ко второму из ин-
тегралов (**) и применим к нему также 2-ю теорему о среднем; полу-
чим:
5 *
±[F(8)-F(4-0)] p^<fe + l[F(/>-0)-F(+0)l y^-dz.
о £
Множители, стоящие перед интегралами, суть постоянные, и нам
остается показать, что оба интеграла стремятся к нулю при неограни-
ченном возрастании [*. После этого можно будет утверждать, что вто-
рой из интегралов (**) по абсолютной величине < при всех достаточно
больших рь. Вводя новую переменную интегрирования u = ^z, получим:
Л рЛ .
Г sin цж < ' С sin и <
\-T~dz=\~du'
6 - • ' р.8
136
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
[гл. V
Так как 3 — фиксированное положительное число и то р.8 и pl
стремятся оба к бесконечности, и последний интеграл, очевидно, стре-
мится к нулю. Совершенно аналогично рассуждаем и относительно ин-
теграла
ь
С sin ц г < (* sin и 1
I Ж I и
5 i*£
Таким образом, формула (*) доказана в предположении, что F(z)—
монотонная функция. Положим теперь, что F(z) удовлетворяет усло-
виям Дирихле. В силу этих условий промежуток от 0 до b можно раз-
бить на конечное число частных промежутков, в каждом из которых F (г)
монотонна. Пусть, например, таких частичных промежутков три: (О, Ь\),
(/>ь />2), (£>2, Ь). Мы имеем:
Ь Ь\ ь% ь
1 ^F(z)^L dz = L^F{z)^L d£ + J. + 1 ^F{z)*^L.dz.
0 0 bl b2
Первый интеграл справа имеет предел F(4-0). и остается доказать, что
оба других интеграла имеют предел, равный нулю. Ограничимся рас-
смотрением первого из них. Продолжим функцию F(z) из промежутка
(/>i, Z>2) на промежуток (О, Ь\) так, чтобы полученная таким путем в про-
межутке (О, Z>2) функция F\(z) была монотонной. На промежутке (Z>b /?2)
функция F\(z) по построению совпадает с F(z). Мы имеем:
A dz = J-J F, (г) dz -± Jf,dz.
b, о 0
В правой части оба интеграла по доказанному стремятся к F\ (-1- 0),
а потому их разность стремится к нулю, что мы и хотели доказать.
Таким образом формула (*) доказана для любой функции F(z), удовле-
творяющей условиям Дирихле на промежутке от 0 до Ь, и лемма 1 до-
казана.
Лемма 2. Если F(г) удовлетворяет [на промежутке от О до b
условиям Дирихле и 0<Zb<Zit, то
о
При доказательстве будем пока считать, что F(z) положительна
и не убывает на промежутке от 0 до Ь. Отношение положительно,
возрастает и остается ограниченным в упомянутом промежутке, ибо
Следовательно, функция C>(z) = F(z)^-j положительна и не убывает
в упомянутом промежутке. Из формулы
ь ь
L\F{z}^dz = l.U{z) ^_dz
те J v,sinz те J v ж
о о
и леммы 1 непосредственно следует, что написанный интеграл стремится
к Ф(+0). Но из определения Ф(г) непосредственно следует, что Ф (-J-0)=
= F(4~0)» и формула (**•) доказана для случая неубывающей положи-
§47]
ТЕОРЕМА ДИРИХЛЕ
137
= 0) + 4р,
sin z 2 v 1 7 1 2 r
тельной функции F(z). Тем самым формула справедлива, когда F(z) —
положительная постоянная. Если F(z) не убывает и ограничена, но не
положительна, то можно выбрать положительное число, р такое, что
неубывающая функция F(z)4-p положительна. К этой функции мы мо-
жем применить формулу (***):
ь
lim у С [F(z)4-p]
О
но, как мы видели выше,
ь
v 1 С sin gz - 1
vV—*=2'’
О
и для F(z) мы имеем формулу (***). Таким образом, эта формула дока-
зана для любой неубывающей функции. Если F(z)— невозрастающая
функция, то [—F(z)]— неубывающая функция, и для [—F(z)] мы можем
написать формулу (***). Таким образом, эта формула доказана для лю-
бой монотонной функции. Обобщение формулы на случай любой функ-
ции F(z), удовлетворяющей условиям Дирихле, может быть проделано
совершенно так же, как это мы делали для формулы (*) при доказа-
тельстве леммы 1.
Переходим теперь к доказательству теоремы Дирихле о пределе
суммы Sn первых членов ряда (2). Для этой суммы мы имели форму-
лу (18'). Если—ir<9<-J-ir, то оба верхних предела у интегралов, стоя-
щих в правой части формулы, заключаются между нулем и «, так что
к обоим интегралам применима лемма 2, причем для одного интеграла
F(z) = /(9— 2г) и для другого F(z)=/(9-|-2z). В первом случае F(-|-0) =
=/(9— 0) и во втором F(-1- 0) — f (9 -)- 0), так что
lim S„=4l/(0 -0)+/(64-0)],
что мы и хотели доказать.
Пусть будет 9 = л. Тогда формула (18') принимает вид:
5 ± C/(n-2u)sin(2n + 1)-“d«.
« ТС J J v 7 sin и
о
Разобьем этот интеграл на два:
1С
~2~ я
$ =1( + l —2«)8--—
« Jt J П 7 Sinu V 7 sin и
о 2L
2
и сделаем во втором из них и = тс—z; тогда будет
2
du +1 j7(_> + ггГ1"'-»/ludz.
о
В каждом из этих двух интегралов верхние пределы меньше тс и, сле-
довательно,
lim Sn = 1 [/(* - 0) + /(- 0)].
Совершенно к тому же результату придем и сделав 9 = — я.
Таким образом, теорема Дирихде доказана.
138
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
[гл. V
§ 48. Из самого приема, которым были получены ряды для представ-
ления функции, заданной между пределами —I и —|-Z, следует, что
в тех местах, где функция непрерывна, сумма ряда представляет зна-
чение функции, в местах разрывов сумма ряда представляет среднюю
арифметическую из двух значений функции, соответствующих месту
разрыва, и, наконец, при х =—I и при х = -\-1 сумма ряда представляет
полусумму значений
Очевидно, что эти свойства относятся и к разложениям § 44 для функ-
ции четной по формуле (15) и (16) и нечетной по формуле (17).
Сумма-ряда представляет функцию
для формулы (2) и с периодом 21 для
Фиг. 42.
обозначить через Л и, считая начало в
периодическую, с периодом 2те
остальных; таким образом, если
линия ABCD представляет за-
данную функцию в промежут-
ке от—I до -J-1, то ряд пред-
ставляет эту функцию и ее
периодические повторения, как
представлено на чертеже
(фиг. 41), причем в местах
- разрывов ряд представляет
полусумму соответственных
ординат.
Если бы промежуток NM
точке 2V, принять эту функцию
за четную и разложить ее в ряд по косинусам, т. е. по формуле
причем
/(х) = Л04- Л1 cos V + 4 cos
А Л
о
X
Лл = ^-р(х)СО8^-с1Х,
о
то сумма ряда представляется чертежом (фиг. 42), ибо этот ряд пред-
полагает, что/(—х)=/(х), когда —
§ 48]
ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
139
Если же эту функцию принять за нечетную и разложить по формуле
> г> . ях < г> . 2ях п Зях , I Ь •_ ।
/(х) = Bi sin у + В2 S1Q -5—г В8 sm ——. + Вп sin —|-...,
«причем
х
то сумма ряда представляется чертежом (фиг. 43), причем при абсциссах
О, zt2, it 22, ...
сумма ряда дает 0.
Отсюда видно, что
тот же участок кривой
ABCD может быть пред-
ставлен в различной
форме.
Эту форму можно
разнообразить на бес-
численное множество
манеров, принимая за
21 или за 2 длину PQ,
большую, нежели раз-
ность MN абсцисс то-
чек А и D, например,
как показано на черте-
же (фиг. 44), и считая, что /(х) = 0 от Р до М и что /(х) также равна
нулю от /V до Q. Полученное разложение будет в промежутке от М до W
представлять ординаты линии ABCD, при точках же М и W—лишь
половины ординат AM и DN.
§ 49. Покажем теперь несколько примеров разложения функций в три
।тонометрические ряды.
Пример 1. Функция /(х) в промежутке MN представляется линией
АВ, т. е. имеет постоянное значение а; разложить ее в ряд по синусам,
принимая М за начало и считая MN — Z (фиг. 45):
Л-1
iпричем
B*=Aj7(x)sin^dx.
о
140
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
(ГЛ. V
В нашем случае для промежутка от х = 0 до х = Х функция f(x) —
— а, следовательно,
к
D 2 f . knx . 2а Г X тех ] * * 2а г« л , т
В= v I a sin-г— dx = V-- —т-соъ—— =т- [1 — cos як]
* X J X X [ foe A Jo •*’
о
отсюда видно, что при k четном
вл = о
и при k нечетном
В _ 4о
Db — kn •
Итак,
в ____________________ в ___п
^+1 — (2р + 1) тс ’ — и’
и, следовательно, наше разложение будет
/ W == - [т sin Т +-3 sin—+5-sin— + • • •] •
Отсюда следует, что при 0<x<.Z [так как У(х) = а]:
T = TsinT+3-sin—+ysin—+ ••• (19>
и в частном случае, например при х=уЛ, будет
4 — 1 3^5 7 • •
При х — Х и при х = 0 сумма ряда представляет 0, а не а. При
дальнейших значениях х сумма ряда представляет те значения, которые
вытекают из периодичности и представляются чертежом (фиг. 46).
< /7 В ))
। । —> ——। । •
_I 1 1 > — J I --
ff, ъ
Фиг. 46.
Пример 2. Функция /(х) в промежутке от О до N равна х; при-
нять длину ON за 1 и разложить /(х): 1) по синусам, 2) по косинусам.
Изобразить графически ход функции, представляемой полученными раз-
ложениями.
Итак, в промежутке от х = 0 до х = Л функция f (х) = х, следова-
тельно, будет
х
_ 2 (* . knx , 2 Г k „ kitx , V . knx 1*
В =v lx sin—— dx = -r- —g-xcos-^—L—-sin^r—1 =
*AJ Л A I ЛК A 1 Л27С2 A lg
Q
— ~iftcosftw —л* (—‘J •
Таким образом, имеем:
x 2k Г 1 •_я-Х 1 „:«2itX । 1 •„ Зтсх 1 . 4тсх
/(x) —— TsinT уsm — + 3-sin x -4-sin x
<> 49]
ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
141
причем в промежутке от х =—Л до х=-[“Л функция /(х) = х при.
х = =±Л,г±2Л, ... /(х) = 0.
Ход функции представляется чертежом (фиг. 47).
Для разложения по косинусам имеем:
х
Ло = у = — 2,
о
х
- 2 Г ккх , 2 Г X . kizx । k2 knx 1^ 2k г • i ]
4=Т у cos—dx = г х sin—+cos — ] = 5^2 [cos - 1 ь
о
следовательно,
4,=о
И
А_________~4Х
2р+1 — (2р + 1)3. Я2
и, следовательно, будет
/(х) 2^ v? [Р C0S К 4 за cos +52 cos х + •••]•
Ход функции f (х), которая в промежутке от х = 0 до х == 2. равна х,
представлен графически на фиг. 48.
Период
Фиг. 48.
Таким образом, имеем формулу, справедливую от 0 до Л:
„ 1, 4ХГ1______ъх । 1 Зкх I 1 5лх । I
х -g- Л л2 |д2 cos ~Ь 32 COS |- cos —|-... J. (20)
Если положить х = 0, то получаем:
—1 ——
2 яЗ [р^зз ' 52
142
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
[ ГЛ. V'
откуда следует
J_ । £ I 2
рТ 32 I 5*2
«2
8
—известная формула, найденная Эйлером. Если сделать х =Л, то получим?
откуда следует то же самое значение вышеприведенной суммы.
Пример 3. Функция f(x) задана в промежутке от х = 0 до х = 2[
и равна х.
Делая в формулах (13') и (14') а = 0 и полагая F (х) = х в промежутке
от 0 до 2/, имеем:
21
^о = 2Г dx — l.
о
21
л 1 ПкХ 1 f / . 7Z7CX . /2 ПИХ J2Z
Л„ = -т- Iх cos -т- dx = ——х sin —z—н-^vcos—т— =0,
n i J I inn I 1 n^Ki I Jo
0
21
D 1 nKX 1 Г i „ „„ ПКХ I /2 nnx ]2Z 21
B„ = -j- | x sin —j— dx = —-x cos ——k sin -7— =------
n l J l l ПЛ I 1 Л2*2 I 0 nn
0
и, следовательно, разложение функции F (x) будет
с. / 1 , 2/11 . r.x 1 1 . 2icx 1 1 . 3itx 1 1 /ril,
F(x) — l — 1^— sin-p + ysin-1 [--3 sin—j |-.. J . (21}
Ход этой функции, период коей есть 21 и которая в промежут-
ке от 0 до 21 равна х, представлен на фиг. 49; при х = 0 и при
х = 21 получается лишь половина соответствующих ординат, т. е.
F(O) = Z.
Пример 4. Функция /(х) в промежутке от х = 0 до х = Л задана
графически на фиг. 50; представить эту функцию в виде ряда, располо-
женного: 1) по синусам, 2) по косинусам.
Как видно из чертежа, функция f (х) определяется следующим обра-
зом.
В промежутке от х = 0 до х = /(х)=-^у^,
» » » х = -^- » х — % f(x) = 2a—
& л
§49]
ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
143»
Значит,
х
X 2 X
г* 2 Г \ . ппх . 2 С2ах .ппх . . 2 Г /о 2ах\ .ппх ,
Вп=^\ /(x)sin —dx — у I -у- sm -у- dx + у I (2а--------------jsin-y-dx,
o' о х
2
2
2
f х ~;«nizX z7v
J ys,n~iTrfx —
О
X
X . икх!2 X . пк X лк
nMSin~]0 —Zi2jt3sin2 2wTC0ST’-
X
Сх s^nnx < Г X_________nnx
_ I—sin-г—dx = — — — cos-5—
Ц А I ИК A
X
2
X . nnx ]x
-77 Sin —7—
л2к2 к |
2
1 1 X . пл X nn
- - cos mr + -77- sin -5---- — cos -o-,
лк 1 nM 2 2ик 2 ’
A
f .tvkx 1 7 Г ~ mx~\X X . X лк
\ Sin -7— dx —----COS—7— =------------COS ПК H----COS-77-.
J X пк [ к Jx лк 1 ЛК 2
X 2
2
_ 4a
Сложив эти величины и умножив результат на у, получим:
D 8a пк
Вп Л2*2 Sin 2 ’
что показывает: коэффициент В^ — 0 и
Н ”Ь* 1 -п- t
°2Л+1 — (2A-t- 1)2Я2'5Ш —2 п— I ‘(2fe+ 1)2*2
и, следовательно, будет
r/„\ 8a Г1 .„кх 1 Зкх । 1 • 5ях '
J (х) т2 12 Sin х 3<2 Sin k 4- 52 Sin х ....
Ход функции изображен на фиг. 51.
Выполнить разложение по косинусам предлагается в виде задачи.
Пример 5. Функции /(6) = sinfi9 и F(6) = cosp.6, причем у есть
какое угодно нецелое число. Разложить эти функции на промежутке
от —гс до к в ряды.
Так как предложенная функция/(9) нечетная, то будем ее разлагать,
в ряд по синусам:
f (9) = В] sin 9 4* sin 29 4" • • • 4~ sin n9 4“ • • -,
причем
те
Вп = Jj/(9)sinn9 de.
О
144
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
[ ГЛ» V
В нашем случае будет
тс Тс
= С sin р.6 sin л0 cf0 = у С [cos (и — р) 6 — cos (р+ п) =
О 0 '
= - [ —— Sin (п — р) 0--J— sin (п + р) О Г= (— 1 )"+1
я [л — j* v r/ » + p ' Jo ' к(л2—pa)
и, следовательно, будет
Sintl0=2^5r_* Sin 0 — -2-8^20+5^-8^30 —...1, ' (22)
‘ я | I2—2 2—p2 о2—р2 J ' 7
причем это уравнение имеет место для всех значений 0 от 0 до к, но не
при 0 = я.
Функцию F(6) = cosp0 разложим в ряд по косинусам и получим:
тс
Ло = — С cos 1^6 d9 = + —[sin uOp = —sin иле,
и Я J ‘ 1 К р L ‘J0 Я«р
о
тс тс
о р j г»
Ап = — I cospOcosn0d0 =— [cos(n + p)0 + cos(n — р)]d0 =
о о
= - [-J— sin (п + р) 0 + sin (п — р) бГ= sin u«
Я Ln+f* ' п—ц V JO к л2—р2
и, следовательно,
cosр0 = sm р - Г— + |22|< 2-cos’0 — cos 20 + тг—у cos 30 —.. .1,
1 up1 I2—p2 22—• 32—p2 J
причем этот ряд имеет место и для 9 = тс и 9 = —к, ибо
cos рт = cos (— рлс).
Делая 9 = 7г, получим:
смнтт = 1 Г 1 2** 2**_2^
я [ р I2— р2 22— р2 З2— р2
или иначе
, 1 1.1 1.1 1,1
«ctgpK 2-р + 24-(* з + р + з + ц •"
—известное разложение ctgpw на частные дроби.
Точно так же, делая в формуле (22) 0= у, заметив, что
sin pz = 2 sin у - cos »
получим:
л pit___________________ 2-1 2-3 । 2*5
2 sec 2 — уз—j + 52-^3 • • •:
стоит в этой формуле положить у — z, и получится разложение sec на
•частные дроби.
§ 50. Относительно тригонометрических рядов доказаны следующие
«свойства:
1) Ряд вида
Ло + Л1 cos 0 + Л2 cos 20 + ... + Ап cos п0 +... (*)
§ 50}
СХОДИМОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
145
сходящийся, если только все коэффициенты положительные или попе-
ременно положительные и отрицательные и при возрастании значка п
неограниченно убывают по абсолютной величине. В первом случае схо-
димость может нарушиться, если 6 есть четное кратное я или 0 = 0,
а во втором случае, если 0 — нечетное кратное к. В самом деле обо-
значим через Sn сумму первых («+0 членов ряда (*) и положим сперва,
что все коэффициенты положительны.
Умножив выражение Sn на 2 sin , имеем:
2S„ sin 4 = 2ЛЛ cos М sin 4 = ЛЛ [sin 2-Ш ® - sin^f^ 8],
Л-0 А-.0
откуда
2 (S.+, - S.) sin | - £ Л, [sin в - sin в 1,
Л-л+1
или, написав сумму иначе, имеем:
- 2 (^, - SJsi" = 4,+, sin в 4-(Л,+2 - Л,+|) sin?I±-3 в +
+(^+s-4«)si"2-^’ + ---
•+(4+,-Л^,_1)йп?!!±&=1«_ л,мап22±ЗШ 0.
Сравнивая эту сумму со следующей
о _ = Л ,. ”4“(Л ,л —Л_, ,)4-(Л„,, —Л_।«) —4... -4— (Л , — Л_, _ |)~4~Л |
Л, Р 1 ' Я-f-Z । V /l-f-З n-f-Z7 I I ' n-f-p П-f-p—l' I n-t-pt
все члены которой положительные, ибо Ля убывает по мере возрастания
значка, и которая равна 2Ап^р, мы можем написать:
2|\+,-^1'р!п4|<2Л„+,.
ибо множители sin2fe ~ - 6 не больше 1 по абсолютной величине. Но при
произвольном положительном р и при возрастании п величина Л„+р стре-
мится к нулю, а потому, если 6 отлично от нуля и четного кратного я,
и величина |5я+,—5Л| стремится к нулю, т. е. ряд (*) сходится.
Когда коэффициенты Л знакопеременные, то стоит положить
6 = п — <р,
и получится новый ряд, расположенный по косинусам углов, кратных <р,
и с коэффициентами знакопостоянными.
Совершенно так же можно доказать сходимость ряда, расположенного
по синусам
Л1зШ6-4-Л28{п294- • • • + Лп sin/гбЦ- ....
при прежних предположениях о коэффициентах Ля. Такой ряд Сходится
при всех 6 без исключения.
2) Покажем теперь, что если функция /(6) удовлетворяет условиям
Дирихле, то при разложении ее в тригонометрический ряд коэффициенты
будут порядка по крайней мере .
10 А. Н. Крылов
146 РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ [ гл. V
В самом деле,
А, = 4 j/(8)cosn6d0.
—те
Так как функция f (6) удовлетворяет условиям Дирихле, то можно про-
межуток от —я до -f-я разбить на такие:
от—я до ар от at. до ; от ак до
в каждом- из которых функция/(6) будет изменяться в одну сторону,
т. е. или все время возрастать, или все время убывать, или оставаться
постоянной, и число k таких промежутков будет конечное.
Возьмем один из этих промежутков: например, от at до аг+1; тогда
соответствующая часть интеграла будет
«ж
J / (0)cosn0d9;
<ч
применяя к нему 2-ю теорему о среднем, имеем:
“Ж 5 **ж
J/(0)cosn0dO=/(a/)Jcosn0d0-(-/(ai+1) J cosn0d0,
ai <н s
значит,
лж
Г ,,, , sin л? — sin ла, , ,, 4sin ла,.,—sin л? К,
t J /(0)cosn0dO^/(ai)-------------5-+/(a,+|)------------= _L,
ai
где есть величина, которая остается ограниченной при возрастании п.
Отсюда следует
где величина К остается ограниченной при возрастании п, что и дока-
зывает высказанную теорему.
Совершенно так же убедимся, что и коэффициенты Вп обладают этим
свойством.
Фиг. 52.
Примеры 1, 2, 3 представляют как раз такие ряды, где порядок коэф-
фициентов есть ^-.
Положим теперь, что функция / (0) периодическая с периодом 2те не-
прерывна и такова, что она имеет производную, удовлетворяющую усло-
виям Дирихле на промежутке от — я до я (фиг. 52). Тогда порядок коэф-
фициентов будет не менее как
$ 50] СХОДИМОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ 147
6 самом деле,
' пАп = \ /(9) cos n9 d9 = sin п9 • / (6)]+"— J sin п9/' (6) d9 ==
—к —те
-f-те
= — V sin и9/' (9) d9;
—те
последний же интеграл, как мы видели, порядка -^-,т. е. равен где К
остается ограниченной при возрастании п, и, значит, Аа будет порядка ,
т. е. вида .
Коэффициент Вп определяется из равенства
= J/(9)sinn9d9= £—-^-/(9) cos n9j+”-|- J cos n9/'(9) d9.
—те —тс
В силу периодичности /(9) внеинтегральный член пропадет, и, следо-
вательно,
-f-TC
KB„ = l-Jcosn9/'(9)d9 = l.K
—тс
в силу доказанного относительно Ап для функции /' (9). ,
Предыдущую теорему, хотя и выражают обыкновенно в вышеуказан-
ной форме, но проще ее выражать так: если представляемая рядом функция
непрерывна между пределами — яд тг и имеет производную, удовлетво-
ряющую условиям Дирихле, и притом / («)==/ (— к), то коэффициенты
Ап и Вп будут порядка , т. е. при возрастании п произведения
Ап-п2 и Вп-п*
будут конечные.
Нетрудно видеть, как это свойство обобщать далее и применять к раз-
ложениям от 0 до г., т. е. только по синусам и только по косинусам.
Фи*. 53.
Пример 4 может служить для подтверждения этой теоремы. Точно
так же пример 5 показывает, что при разложении функции
/(9) = sin |i9,
ход которой показан на фиг. 53 [если ц1, так что /(—я) не равна
/(-!-«)], коэффициент
о _(—l)n+I.2n.sinf*it
°п— Я(П«— ц2)
— первого порядка по отношению к п, а не второго, хотя сама функция
и непрерывна в заданных границах. Можно показать, что когда функция
10* 4
148
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
[ГЛ. V
представлена тригонометрическим рядом, то этот ряд, всегда можно
интегрировать. Дифференцирование же не всегда допустимо.
Так, например, интегрируя в пределах от 0 до Л формулы .(19), мы
получим формулу (20), что и предлагается проверить.
Задача. Форма, которую принимает упругая балка (фиг. 54), под-
пертая в точках Л и В, под нагрузкой Р, приложенной в точке С, абс-
цисса которой есть х=с, определяется следующими двумя уравне-
ниями:
от xs=0 до х = с z = Д--с3—• [(2Z — с) х — ,
CJ I v I
= с » x = Z 2=^-.c_l^.f(Z4-C)(Z-x)-(^],
где Е и J—некоторые постоянные. Показать, что на всем протяжении
от х = 0 до х = Z величина z может
, быть представлена уравнением
г Л-1
Фиг. 54. § 61. Дадим еще одно любопытное
приложение тригонометрических рядов
к решению следующей задачи: какова вероятность того, что ошибка
в сумме 2, составленной из s слагаемых, в каждом из которых может
быть с одинаковою вероятностью ошибка, равная одному из чисел ряда-.
— п,— (п — 1),— (га — 2),...,— 2, — 1, 0,4-1,4-2.4- (га —1), 4~п,(*)
заключается между пределами — h и4~й, причем h<^ns.
Для решения этой задачи Лаплас поступает следующие образом: он
ищет сперва, какова вероятность того, что ошибка суммы 2 равна какому-
нибудь заданному числу k, а затем берет сумму полученных вероятно-
стей, давая k значения
— й; — (й — 1);..., —2; —1; 0; 4-2; .... 4-й.
Чтобы исчислить упомянутую вероятность р(й), надо определить
число всех равновозможных случаев и число случаев, благоприятствую-
щих появлению в сумме 2 ошибки, равной й.
Очевидно, что число всех равновозможных случаев есть (2га4~1)\
число же благоприятствующих случаев есть то, сколькими способами
число й может быть составлено из s слагаемых, взятых в ряду (*), при-
чем в числе этих слагаемых могут быть и равные между собою.
Когда числа га и s малые, то непосредственный счет числа этих
случаев не представляет затруднений, но как только числа га или s ста-
новятся больше нескольких единиц, то непосредственный счет стано-
вится уже затруднительным, и Лаплас прибегает к следующему искус-
ственному приему.
Возьмем многочлен
Q=Х~п 4- х-<п~" 4- х-^-214-... 4- 4-14- х 4- х2 4-... 4- хл,
возвышаем его в степень $; тогда получим новый многочлен, в котором
наивысшая степень х будет х”5, наинизшая х~возьмем в этом мно-
гочлене член, содержащий х*; тогда коэффициент АЛ, стоящий при этом
члене, и покажет требуемое число способов составления числа й из ука-
занных слагаемых.
§51J
РЕШЕНИЙ 0ДЙОЙ ЗАДНИМ ТЕОРИЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
(49
Очевидно, Что йрй t~* будет Tot Дее коэффициент Ак, та!К Птоййого-
член Q® будет состоять из членов вида
4(х*+х-*).
Само собою разумеется, НтО коэффициент Ак не зависит от того или
иного значения, приписываемого букве х, поэтому положим
тогда будет
Q = e-„9»^T+ е—(«—о в i 1 + е+«^ +
_]_ в2" г-‘ = 1 2 COS в + 2 Cos 20 + 2 cos Зв +... 2 cos лв.
С другой стороны, будет
Ак (х* + х~к) = Ак (е4** =2Ак cos Ав.
Таким образом, должно иметь место равенство
я
(1 2 cos 6'4- 2 cos 20+ • • -4“ 2cosn0)5 = 14-2JJ H^cosAO.
л-i
Обозначая первую часть этого равенства через /(6), Видим, что коэф-
фициент Ак выражаетсП так:
Л=^ё р(в)с°8ЛёЦв= lj/(6)cosA6de.
—те 0
Написав выражение /(6) так:
/ (0) = [е-пв Г“1 . 4- е~6 У~'4-14- е94-... 4- е"9
видим, что величина, стоящая в скобках, есть сумма геометрической
прогрессии. Эта сумма равна
е->,еугг_е(л+1) 6 ггт е-("+4-)9 81П(я+4).е.
, _ .9 9 9 9 ’
е~~^~-е~ sinT
следовательно,
/(9) =
в -р
sin (2л-Ь 1) у
е
sin у
и предыдущее выражение коэффициента Ак обращается’в такое:
0 ns
— cos
sin (2л 4- l)y
о
sin у
и искомая вероятность р (k) выразится так:
р(£)
я
Л _ 1 f
— (2л-+-1)« — Я,)
sin (2л + 1) 2
0
(2Л —|- 1) sin "у
cos^OdO.
150
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
[ ГЛ. V
Нетрудно видеть, что при значительной величине $ в этом инте-
грале имеют значения лишь элементы, соответствующие малым углам 0,
при которых возвышаемое в степень з количество близко к единице.
Положим для краткости письма
2п-]~ 1 =т, у = <р.
При этом
(*)
6Is
sin(2л4-1)у _ / sinm?y
,ft , . 6 \т Sin ? /
(2л-[-1) sin-g-J ' •
и, разлагая по степеням <р, будем иметь при <р, близких к нулю:
Функция е 6 для больших з заметно отлична от нуля лишь при
<р, близких к нулю, и имеет те же два первых члена разложения по
степеням <р, что и функция (*). Заменяя в выражении р (k) функцию (*)
_ <"*-»>
функцией е 6 и подставляя 0 = 2<р, получим:
2 (m«-l)JT.
р(Л) = у Je 6 cos 2&pd<p.
о
При больших з мы можем, незначительно меняя результат, продол-
жить интегрирование до бесконечности и положить:
г
cos 2яср dtp.
00 (m«—l)s_.
P(A)=|Je 6
О
Вводим вместо <р новую переменную интегрирования х, полагая
/(/П2~ 1)Зф==у
6 т
Подставляя /п = 2п-}-1 и вводя обозначение
а = ,
1)$
получим:
со
p(A) = -£.le cos kqxdx.
о
Но
00 * ,_ _ k*q*
Je х coskq х dx =е 4
о
и, следовательно,
k*g*
₽(Ч = 2-Йе '
§ 51)
РЕШЕНИЕ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
151
Найденная величина представляет вероятность того, что ошибка рав-
на k. Чтобы найти вероятности того, что ошибка заключается между
пределами —h и -\-h, надо взять сумму
+к
*—л
Когда k увеличивается на единицу, то выражение t = k^ увеличи-
вается на -у. Принимая во внимание множитель у, а также тот факт,
что q мало при больших з, мы можем заменить написанную сумму инте-
гралом и получим, обозначая искомую вероятность через Р(А):
+я и
P(h)=-^ [ e~,*dt = ^= f e-^dt,
У ® J У я J
—н о
причем
Для функции
Я = 4й= — .Гб --Л.:
2 2/п(л4-1)з
и
J=f e~u*du = Q(H)
’ nJ
о
составлены таблицы, которые можно найти, например, в сочинении
J. Bertrand «Calcul des probabilites», выдержка из которых приведена
в главе VIII этого курса; можно также воспользоваться весьма подроб-
ными таблицами значения интеграла
И*’
А
составленными акад. А. А. Марковым.
Так, например, положим, что надо найти, какова вероятность того,
что при сложении ста чисел, в каждом из которых погрешность не пре-
вышает пяти единиц следующего за последним знака, погрешность в сумме
не превзойдет пяти единиц последнего знака, т. е. пятидесяти единиц сле-
дующего. В этом случае можно было бы взять п = 5, з=100 и h = 50;
тогда будет
У~6-Л _ /6- 50 _У~5 ! П8#
2/л.(л+1)з 2 Уб-б-100 2
по таблицам имеем:
1.118
р= 2 f е-“* .du = 0.886.
У я J
о
Очевидно, что можно было бы выражать погрешность в единицах вто-
рого знака, следующего за последним, т. е. брать п = 50, h = 500 и з=100;
вообще можно было бы выражать погрешность в каких угодно долях,
и тогда надо бы брать n = 5N, h = 5QN и з=100, и было бы
„ ViT.so.tf
П = —t.....- --'-—г.,
2K5tf.(5AH-l)-100
152 РАЗЛОЖЁНЙЁ ФУЙКЦИЙ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ [ гл. V
что при неопределённом возрастании Л/ приближается к
^•= 1.225
и искомая вероятность
. 1.225
Р = -|= f е~“* -du = 0.917.
о
Само собою разумеется, что в большей части случаев надо именно
рассматривать, что погрешность может, заключаясь между двумя дан-
ными пределами, например пять единиц следующего за последним
знака, принимать всякое 'значение, между ними лежащее, а не только
значения
— 5, — 4, —3, —2, —1, —0, +1, +2, +3, -|-4, +5,
и тогда надо постуНать, как сейчас показано.
Этот пример показывает, насколько велика вероятность того, что при
сложении большого числа приближенных чисел, округленных по обыч-
ному правилу, ошибки не накопляются, а, напротив, компенсируются.
§ 52. Формулы Фурье. Фурье, который особенно развил теорию три-
гонометрических рядов, прилагая ее к разного рода вопросам математи-
ческой физики, дал следующую формулу:
f(x) = J/(9)-c°sa(9 —x)-d9. (1>
О —оо
Для доказательства формулы Фурье предположим, что функция/(х),
определенная внутри промежутка (—во, 4-°°), подчиняется следующим
требованиям: 1) в любом конечном промежутке она удовлетворяет усло-
виям Дирихле; 2) она абсолютно интегрируема по бесконечному проме-
жутку, т. е. интегралы
J и J|/(x)|rfx
—оо О
имеют конечные значения. Мы будем доказывать формулу Фурье при
указанных выше условиях. При этом в местах разрыва надо брать по-
лусумму соответствующих пределов слева и справа, т. е. формула Фурье
имеет вид
±[/(х-0)+/(х4-°)]=1 pa j/(6)cosa(9-x)de. (2)
О —оо
Если х есть точка непрерывности /(х), то
^.[/(х_0)+/(х + 0)]=/(х)
и мы получаем написанную выше формулу. В § 47 была доказана фор-
мула Дирихле
ь
О
причем считается, что F(z) удовлетворяет условиям Дирихле на конечном
промежутке от 0 до Ь. Для доказательства формулы Фурье надо
§52]
ФОРМУЛЫ ФУРЬЕ
153
показать, <1то
4-оо
lim - (da C/(6)cosa(6—x)d6 = i-[/(x —0)-|-/(х-}-0)].
ржо я J J z
О —oo
В силу абсолютной интегрируемости /(9) интеграл
-Ню
J/(8)cos a (8 — x)d8
сходится равномерно при всех вещественных а. Действительно, инте-
гралы
N' —N
J / (8) cos a (9 — x)dB Я j*/(9) cos a (9 — x) dQ
N —N'
по абсолютной величине не превосходят интегралов
n' —Лг
j|/(6)|d9 и J |/(9) К (-)
N -4Г
которые не зависят от а, и для любого заданного положительного е су-
ществует такое No, что при всех 7V и N'>N0 интегралы (**) будут <е.
Равномерная сходимость указанного интеграла позволяет менять порядок
интегрирования в повторном интеграле основной формулы (*), и мы
можем написать, вводя специальное обозначение V ([», х) для этого
интеграла:
У(|», х) =kJ J/(®) cosa(9 — x)d9 = i J/(9)d9 j cosa(8 — x)da.
0 —oo —oo 0
Выполняя интегрирование no a во внутреннем интеграле правой части,
получим:
V(^ х) = 1 j/(8)?in^~^-d8.
—00
Разбив промежуток интегрирования (—ею, -|-оо) на два промежутка
(—ею, х) и (х, -|-ео) и вводя вместо 8 — х переменную —z в первом и г
во втором промежутке, получим:
x)=lJ/(x-2)^?
О
оо
dz+i-J/(x + 2)
о
^dz.
Оба йаййсайные интеграла суть интегралы того же вида, что и инте-
грал, входящий в формулу Дирихле, причем Для первого из них /Г1(Д)==
=/(х—г) и для второго F2(z)=j(x-\-z). Осложнением является тот
факт, что промежуток интегрирования для них бесконечен. Пользуясь
указанными выше условиями^ которым удовлетворяет /(х), нетрудно по-
казать, что, несмотря на бесконечность промежутка интегрирования для
обоих интегралов, имеет место обычная формула Дирихле, причем
^1(4-0) ==/(х-0) и Гй(+О)^/(х+О), т. е.
lim 1 f/(x - z) *^-dz - 0),
0 (***
S/(x+dz ^/(x+0)-
Q
154
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
[ГЛ. V
Из этих формул и написанного выражения V(t*, г) и следует непо-
средственно основная формула (*). Докажем первую из формул (*•*). При
1 функции 81П*— при любом вещественном р. по абсолютной вели-
чине <1, а функция/(х—г) по условию абсолютно интегрируема по про-
межутку (0, оо). Поэтому при любом заданном положительном а суще-
ствует такое число 2V, большее единицы, что при всяком р:
оо оо
^7(x-Z)8^-dZ|<4j|/(x-x)|dZ<e.
N ' ’ N
Интеграл Дирихле
N
L^f{x-z)^-dz
о
на конечном промежутке стремится к тг/(х — 0) при бесконечном возра-
стании I*, и, следовательно, при всех достаточно больших р мы будем
иметь:
17 J/(* -dz-±f(x - 0) | < в.
о
Далее мы можем, очевидно, написать:
^f(x-z)^-dz-y(x-O) =
О
N О
Принимая во внимание предыдущие неравенства, получим при всех
достаточно больших
i. J/(x-rfto^dz -i-/(x - 0)| <
О
оо N
<|ij/(x-z)^^|+||J/(x-2)8-^dZ-A-/(x-0)|<e+e=2e,
о о
откуда, в силу произвольности е, и следует первая из формул (***). Вто-
рая доказывается совершенно так же, и таким образом формула Фурье
доказана при указанных выше ограничениях.
Формулу Фурье (2) пишут иногда и так:
/ (х) = da J7(8) cos а(8 - х) d9, (3)
—со —оо
что, очевидно, равносильно (2), ибо функция cos а (8 — х) четная.
Так как sin а (8—х) нечетная функция от а, то
+оо 4-оо
jda J/(6)sina(6—х)</8 = 0, (•)
—оо —00
если написанный интеграл существует, ибо все элементы его попарно
уничтожаются.
§ 52] >
ФОРМУЛЫ ФУРЬЕ
155
Умножив формулу (*) на V — 1 и сложив с (3), получим в силу ра-
венства
ea(^*)1'=T’=cosa(9—x)-|-/=lsina(0 —х)
формулу Фурье для непрерывной функции в таком виде:
= J daT /(8)e“(e-4,r“d9
—оо —оо
ИЛИ
/(W^^ade. (*)
Формула Фурье обобщается на сколько угодно переменных. В самом
деле, положим, что функция /(х) содержит, кроме х, еще какую-нибудь
букву у, которую рассматриваем как произвольный параметр, так что
можно писать
/(х)=/(х, у)',
тогда имеем
/(X, = р(9, y)e^VZTdad9.
—•О'—00
Но, рассматривая в выражении /(9, у) букву 0 как параметр, по той же
формуле Фурье имеем:
/ (9, У) = & J* р(9, ?) «*’ d<?
—00 —оо
и, подставляя, получим:
/(*. У) = (2^)Гjjjj/(9.^е‘“(в"Ж> + w’"'^dad^d?. (5)
Отсюда обобщение на произвольное число переменных следует само
собою.
Если функция /(х) четная, так что-
/(—х)=/(х),
то, написав формулу (2) в таком виде:
ОО 4-00 00 4-00
/(x) = -i- J da J/(9)cosa9cosaxd9-}- J da j/(0) sin aS sin ax d9
О Б—oo 0 —00
видим, что интеграл, заключающий множитель sin aS, будет равен нулю,
как интеграл от нечетной функции, элементы коего попарно уничтожа-
ются, и эта формула принимает вид
00 00
(х)= 2. J da J f(9) cos aO cos ax d9. (6)
о о
156
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
[ГЛ. V
Эту формулу можно Применять и для всякой функции, но только для
положительных х, так как при выводе ее предположено, что для отри-
цательных значений х:
/(-*)=/(*)•
Точно так же, если /(—х) =—f(x) и/(0) = 0, то интеграл, содер-
жащий множитель cosa0, будет равен нулю, и у нас останется
СО со
f(x) — “ У J/(0)sinaOsinaxdx. (7)
о о
Формула Фурье имеет много приложений в вопросах математической
физики о распространении тепла, электричества^ света, звука.
§ 53. Во многих прикладных вопросах электротехники, теории девиа-
ции компасов и пр. встречается надобность разлагать в тригонометри-
ческий ряд функцию, или заданную графически, или для которой изве-
стен лишь ряд частных значений, соответствующих различным значениям
аргумента на протяжении целого периода.
Обыкновенно эти значения бывают равноотстоящие.
Итак положим, что для функции y=f(x), период которой равен I,
известны значения
Уо, Уь У^.-.У^,
соответствующие значениям
О, —, 2 —, 3-.......(п — 1)-
' п п п ' х ' п
переменной независимой х, число которых п удобнее брать четным.
Мы видели, что функция у может быть представлена в виде -ряда
/11/1 2ядг I <* । «• бтсдс » S'
^ = i40-j-i41cos —-{-j42cos —+^эсо8“ + - • •
.. 4~ В] sin — B2sin д—[- В8 sin —j- —.
?^ = 0,
или если положить
то будет
у + j4ic°s0-{-/2cos 20 + ^8cos3O-{- • • •
... —J— Bj sin 0 В2 sin 20 —J— Bq sin 30 -j-...
Обыкновенно бывает достаточно знать в этом ряду лишь небольшое
число первых его членов, например до аргумента 30 или 40.
В этом случае каждое из известных значений функции дает возмож-
ность написать соответствующее ему уравнение, система которых и послу-
жит для определения неизвестных коэффициентов Д, А\,..., Вь В2,...
Число Таких уравнений бывает обыкновенно гораздо больше числа
неизвестных, и для решения их применяют так называемый «способ наи-
меньших квадратов», который изложен в главе VIII этого курса, составляя
по этому способу по Данной системе уравнений новую систему «нормаль-
ных уравнений», в которой число уравнений уже равно числу неизве-
стных.
Правило составления «нормальных уравнений» состоит в том, что
каждое уравнение предложенной системы умножается на находящийся
в нем коэффициент при первой неизвестной и все полученные таким обра-
зом уравнения складываются, получается первое уравнение нормальной
§ 53]
НАХОЖДЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО РЯДА
157
системы; совершенно так же для получения второго нормального урав-
нения умножают каждое из уравнений предложенной системы на нахо-
дящийся в нем коэффициент при второй неизвестной и складывают полу-
ченные таким образом уравнения. Точно так же поступают и по отноше-
нию к каждой из неизвестных. Применим этот способ к нашему случаю,
ограничиваясь для простоты писания лишь членами до 39 в нашем ряду.
Система, служащая для определения неизвестных
Д)> А А2 . Bj, В2, В8
а 2л -
при обозначении — через а будет
0 = 0; Yo =
6 = а; Yi = Ао 4" Л i cos а Аа COS 2а А3 COS За 4~
4~ Bi sin а 4* В2 sin 2а 4~ В3 sin За;
О = 2а; У2 = Ло 4-Л, COS 2а 4" Л2 COS 4а 4~ Л3 COS 6а 4-
4" Bi sin 2а 4~ В2 sin 4а 4~ В3 sin 6а;
0 = х'а; = Л04" Л1 cos ха 4~ Л2 cos 2ха 4~ Л8 cos Зх'а 4~
4- Bi sin ха 4~ В2 sin 2ха 4~ В3 sin Зх'а;
6 = (п — 1) а; уп_х = Л04- Ai cos(n — 1)а4~ Л2сов2 (n — 1)а4~
4-Л8созЗ(п — I)a4-B(sin(n — 1) а 4- В2 sin 2 (п — I)a4-B8sin3(n — 1)а.
\ Соответствующая нормальная система будет
п—l п—1 n—1
Yt = nA0 4-Ai cos xa
i-0 i-0
л—1 n— 1
Yi cos i a = Ло cos ia,
4 = 0
4=0
n—1
п—1
Л—1
i-0
{4—0
1—0
yj Yt cos 2xa = Ло С08 2ха4"Л1У}
4-0 i-0 i-0
4=0
П—1
.. 4~ B3 cos xa sin 3x'a,
i-0
Л—1
cos 2ia cos l‘a 4" A2 cos2 2/a + .. .
i-0
n—1
. .. 4~ B8 cos 2/a sin 3/at
i-0
n—1 л—1 л—1 n—1
yj Y( sin 3x'a = Ло yj sin Зх'а Л| sin 3xa cos x"a 4~ • • • • 4“
i-0 i-0 4-1 i-0
Нетрудно видеть, что эти уравнения могут быть значительно упро-
щены, если воспользоваться тем обстоятельством, что стоящие под
знаком сумм значения аргументов возрастают в арифметической прогрес-
сии и обходят один или несколько раз целую окружность: именно, каж-
дое уравнение будет содержать только одну неизвестную, так как все
суммы, в него входящие, кроме одной, будут равны нулю.
158
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
[гл. V
В самом деле, возьмем например, сумму
л—1
Si = cos ta= 1 4- cos аCOS 2а. • + cos(n — 1)а.
/-о
2я
причем а = —.
Имеем следующий ряд равенств:
2 sin а = 2 sin а, •
2 cos а • sin а = sin 2а,
2 cos 2а • sin а = sin За — sin а,
2 cos За • sin а = sin 4а — sin 2а,
2 cos (п — 2) а sin а = sin (п — 1) а — sin (п — 3) а,
2cos (п— l)asina = sinna — sin(n—2)а,
сложив которые имеем:
2«Sj sin а = sin аsin (п —.1) a-f-sin па,
а так как na = 2it, то будет
sin a -|- sin (п — 1) a-f-sin na = sin a sin (2те — a) -|- sin 2те = 0,
откуда следует
S, = 0.
Совершенно так же увидим, что и такие суммы, как
л—1 л—1 л—1
sin ta = 0, sin 2za = 0; cos 2/a = 0 ...
M i-0 i-0
Что же касается, например, суммы такого вида:
Л—1
COS ia COS 2/а,
i-o
то так как
2 COS а/ • cos 2/а = cos 3/а ~|- cos /а,
то будет
л—1 л—1 л—1
cos ia cos 2ia = cos 3/a-|- COS ia — 0.
i-0 i-0 i—0
Таким образом, останутся только суммы
л—1 л—1 л—1
cos2 ia, COS22/a, cos2 3fa,
i-0 i-0 i-0
У] sin2 ia, JJsin22ia, sin2 37a.
i-0 i-0 i-0
Легко показать, что каждая из этих сумм равна £. В самом деле,
имеем:
2 cos2 ia = 1 cos 2ia.
Значит,
л—1 л—1 л—-1
2 cos2 ia = yj (1 cos 2ia) == n-|- cos ^Ia = n’
i-0 J-0 i-0
§ 54 ] УСИЛЕНИЕ БЫСТРОТЫ СХОДИМОСТИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ 159
Точно так же
2 sin2 io. = 1 — cos 2ia.
Значит,
Л—1 л—I л—1
2 sin2 /а= (1 — cos 2ia) = п — cos 2ta = n.
i-0 i-o . i-0
Совершенно так же найдем и остальные суммы.
Таким образом, нормальная система уравнений будет
л—1
i-0
л-1
I^cosia = |- Ль
i-0
п-1
Yt cos 2za = £ Л2,
i-0
л—1
J]l>in3Za = jB8,
i-0
откуда и найдутся величины коэффициентов
Лд, Л1, Л2, Л8, В), В2, В8.
§ 54. Тригонометрические ряды являются в приложениях как решения
некоторых вопросов математической физики, и часто нужно бывает знать
не только самую величину, представленную таким рядом, но и ее произ-
водные различных порядков. Так, например, в вопросе об изгибе и ко-
лебании балок получаемая в виде тригонометрического ряда величина
есть прогиб z в каждой точке балки, для расчетов же прочности ее
надо знать изгибающий момент в каждой точке и срезывающее усилие.
Первая из этих величин выражается через вторую производную, вторая—
через третью производную z.
Переходя затем к численным вычислениям, мы можем встретиться
с такого рода обстоятельствами: сама величина z представляется рядом,
быстро сходящимся, а ее производные — рядами, столь медленно сходя-
щимися, что пришлось бы брать огромное число членов для получения
достаточной степени точности.
Следующий прием часто дает возможность упростить вычисления,
усилив быстроту сходимости ряда; для этого его стараются разложить
на сумму нескольких других рядов, причем те из них, которые сходятся
медленно, суммируются непосредственно.
Поясним сказанное сперва на частном примере. Пусть, например, дан
ряд
е__ cos? ЗсозЗ? . 5cos5? . I / п” (2л 4-1) cos (2л+1)? ।
O — 94-а» “Г 25+«»-Т" •••* ( 1>' (2л4-1)»4-а2 “Г • • •
и положим, что a = 1 и надо вычислить его сумму, т. е.
si - тгрт cos f ~ зЧП cos 3»+2sTicos 5'f+ • •
• + (- 1У • (S+t).‘+, e°s(2п +1)T+
160
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
[ГЛ. V
Ряд этот будет медленно сходящийся, но если мы обратим внимание
на следующую формулу:
cos <р — ^-cos Зф+§ cos 5р+ . •.
^pTcos(2n+l)<P +
я \
2 J*
то будем иметь:
~4 = r+TC0S<P 3(94-1)cos3? + 5(25-f-l) cos 3tP“b ” •
f / 1 \П 1
♦ • • -rv— • (2n4-i)l(2n4-ip4-i]cos(2rt + 0<? + •••.
и понятно, что предложенный ряд сходится столь же медленно, как ряд,
коего общий член есть
(__________________ Пл
общий член есть
(Z/Z -f- у»
численной величины zb 7—S. и, затем, по ней величины может быть
4
выполнено гораздо проще, нежели непосредственное вычисление вели-
чины Si по ряду, представляющему ее.
§ 55. Чтобы пользоваться подобного рода преобразованиями, необхо-
димо иметь таблицу сумм некоторых наиболее замечательных и наи-
более часто встречающихся рядов, которые все получаются из
щих двух разложений:
arctg fl^cosy = у sin <р + у sin 2<р 4- у sin 3<р 4- ...
— yin (1 —2xcos <р4- х2) = у cos <р 4- у cos 2<р4~ у cos Зр4*...
Чтобы вывести эти формулы, можно поступить так: обозначим через и
и v суммы
(— 0" к
7»- /..а , преобразованный же — как ряд, коего
\£П j-
, т. е. гораздо быстрее, и ясно, что получение
следую-
(О
(2)
U = у COS <? + У COS 2<P + у COS 3? 4" • • •
о = у sin <p у sin 2<p -|- у sin 3<p -j-...;
-тогда будем иметь:
«4-o]/^J = у- ё
X1 o*iy -i । e3Tv -i
(xeVr~1p , (хе’|Г=Г)«
2
__xe Y
— 1
Замечая же разложение
«✓I \ * a2 a3
ln(l z) — з
3
имеем:
*] =— 1д[1—x(cosy4~V — 1 sin ср)].
Откуда следует
e-(«+f —о _ g-o (cos v — j/ — j sin v) — (1 — x cos <p) — ]/ — 1 -x sin <p.
§ 55]
УСИЛЕНИЕ БЫСТРОТЫ СХОДИМОСТИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
161
Следовательно,
или иначе
е “cosо=1—х cos
ё~и sin 0 = x sin ср
tgo
х sin у
1 — х cos у ’
е 2и =:( 1 — х cos ср)2 -j- х2 sin2 ср = 1 — 2х cos ср л2,
следовательно
, х sm у
v = arctg 1—
& 1 — х cos у
и = —s- In (1 — 2х cos ф 4- х2),
«6
т. е. те две формулы, которые мы имели в виду доказать.
Положив в формулах (1) и (2)<р=-|-—в и написав затем вновь
вместо буквы 0 букву <р, получим:
arctgrSb=Tcos<? + Т sin2t? — cos3<р — ^sin4<р + cos 5<р + ...,
—In (1 —2х sin <р-|-х2) =-y-sin<p— -^cos2?— ^sin3<p-j-
। X* . , X5 . r
4--j-cos4<p-f-g-smotp —...
Затем, заменив х на —х, получим:
х sin <р-|- -1-х2 cos 2? — ух3 sin3? —уx4cos 4<р-|- yX5sin5<p + ... =
=-lln(1+2xsin<P+*2).
Л
к cos? — у x2sin 2? — -|-x3cos 3? 4“ 4 x* s*n 4? + 4’x& cos — • • • =
— arrta XC0S?
— arctg J +A.sin? •
Эти четыре соотношения, по соединении попарно, дадут
1 , . о । 1 с . г 1 1 4-2xsin » 4-х»
хsin?--3 x3sin3?-f- g-x5 sin5?-... = Tln ♦
1 , Oils r 1 . 2x cos <p
xcos? — у x3 cos 3?-f-у x5 cos 5?—... =yarctg l .
Затем, заменив ? на 4- — ?, имеем'
Л
.1, п ! 1 Ч Е I 1 1 + 2х COS ? 4-X»
Xcos?4-у X3cos3?4-ух3cos5?4-... = тin 112^,4.-*-»
х sin ? 4- у х3 sin 3? 4" у х5 8Ш 5(f + • • •= у arct£ i~i»~ •
Таким образом, имеем систему формул
J]4cosn? = — yln(l — 2х COS ? 4" х2)> (А)
л—1
S 4- sin = агс*8 Г^хсо^Т ’ <В)
/1=1
tl А. Н. Крылов
162
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
[гл. V
s^Sc°s(2n+i)y—т1п ;+rcosyr: • (с>
2/z —1 4 1 ,т 4 1 — 2х cos <р +х2 v '
• п-о
2^51п(2п + 1)т = 1агс1в4Йу-. (D>
п=0
V! (—1 )n4x2n+* . ... 1 2xcos« /П,
Zj 2д+1 cos (2n + 1) ср = у arctg -1 , (Е)
л=0
^(—Ip’x^+l 1 14-2xsin?+x« ,,,
ll -2n+— Sin(2л + 1)<p = Tin-1_2xsln;^ . (F)
/1=0
Ряды A, . . . , F, сходящиеся при x2, меньшем 1, остаются сходя-
щимися и при x = ztl- Таким образом, получаем формулы
cos<p4-4-cos2<p-J-4-cos3tp4-. • • = — In(2 sin у ср) , (3>
sin ср-f-у sin 2ср -|-ysin Зср 44- II to| Я 1 (4>
COS Ср у cos Зср у COS5 ср -|-. •• = ylnctglcp, (5>
sin ср -|- у sin Зср 4- у sin 5ср тс • • ~ T’ (6)
cos ср —cos Зср 4- у cos 5ср — . | у при 0<ср<у, — у при у<ср<те, (7>
sin ср — у sin Зср 4-у sin 5<р —. •;-=-2 1ntg(y+yj» (8)
cos ср —у cos 2<р 4~ у cos S'? — • .. = In ^2 cos у ср), (9)
sin ср—^sin 2ср 4~у sin Зср —. 1 (10)
Формулы (4), (6), (7), (10) легко получить непосредственным разло-
жением в тригонометрические ряды по правилам § 43, и они имеют
место при всяких значениях угла ср, заключенных между 0 и те.
Пользоваться этими разложениями надо сообразно тому, как пока-
зано в приведенном выше примере, т. е. надо выбрать то разложение,
которое содержит синусы или косинусы тех же дуг, как и предло-
женный ряд, и у которого знаки коэффициентов чередуются так же,
как у предложенного ряда: умножив затем общий член этого разложе-
ния на неопределенный множитель, придают его к общему члену пред-
ложенного ряда и, после приведения коэффициента к простейшему
виду, получают его в виде дроби, числитель которой будет некоторой
функцией нумера члена п и будет содержать сказанный неопределен-
ный множитель. Этим множителем распоряжаются затем так, чтобы
в числителе пропал член с высшею степенью буквы п.
Если при этом окажется, что упомянутый множитель имеет посто-
янную (независимую от п) величину, то преобразование и достигает
своей цели.
§ 56]
УСИЛЕНИЕ БЫСТРОТЫ СХОДИМОСТИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
163
§ 56. Рассмотрим теперь, каков вообще будет порядок относительно
коэффициентов ряда Фурье при разложении разного рода функций.
Мы знаем, что если
ОО
/« = |а0 + (аа cos пх bn sin пх),
Л = 1
то коэффициенты ап и Ьп выражаются формулами
2тс 2тс
= С/ (?) cos п\ (R, кЬа = У /(В) sin nc di.
о о
Положим, что функция /(х) в промежутке от 0 до 2тс имеет
водные, но как сама функция, так и ее производные допускают
ное число разрывов первого рода в упомянутом промежутке.
klt k2,..., kp — места разрыва /(х).
Тогда мы можем, написав равенство
2тс
яап == J/(?) cos n5dB4'J/(^)C0Srt^+- • •+У/(?)со8п$</?>
О к\ кр
выполнить интегрирование по частям, после чего имеем:
л Г sin л?
iza= ——
« п
sin
n
*1
L • J«p
къ
^J/’(5>sinnUe —
о
и, пользуясь обозначением '
Пт/(Л+«)=/(Л4-0)
£->0
Кт/(k — s)=f(k— 0)
6->0
получим:
An
n n
произ-
конеч-
Пусть
2tc
j/'G)sinnU«
kp
(е>0)
и
где
An - sinnk\ [/(^ - 0) -f(kx + 0)] +... + sin nkp [f(kp - 0) -f(kp + 0)],
величина же bn есть коэффициент при sinnx в разложении функции,
составленной из производных /'(х) так же, как сама функция f(x) со-
ставлена из значений /(х), заданных в вышеупомянутых проме-
жутках.
Совершенно так же получим:
izb=— Ч----\
п п 1 п ’
где
&п = - {-/ (+ 0) + cos пкх [/ (kx- 0) -/+ 0)],4-
+ cos nk2 [/fo - 0)-/(Л2 + 0)] +... +/(2^-0)},
величина же а есть коэффициент при cos их в вышеупомянутом раз-
ложении функции, составленной из f'(x).
и*
164
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
[гл. V
Совершенно так же будем иметь:
' Ап кЬ"
па= —-----
п п п '
где jfe', k'g суть места разрыва /'(х),
Ап = sin nk\W(А' — 0) — (k\ + 0)]Н- sin пЛ' — 0) —(k'20)] +...
... + sin [/(Л; - 0)^- f(kg + 0)]
и b”n есть коэффициент при sinnx в разложении функции, составленной
из значений /"(х) для каждого из вышеуказанных промежутков.
Точно так же
Dr *
л п 1 п 1
где
в'п = {-/' (+ 0)+ cos ла; [/'X — 0) - + 0)] + • • . +/'(2^— 0)}
и а’п есть коэффициент при cosnx в разложении функции, составлен-
ной из значений f"(x).
Таким образом, будет
в'п
п П ' П3
а,
п3 ’
71 •
п п ~ п3 п3 ’
следовательно, чтобы полученный ряд Фурье был абсолютно сходя-
щимся, достаточно, чтобы при всяком п было
Л =0' и В =0,
ибо при этом условии полученный ряд будет иметь коэффициенты вто-
рого порядка относительно и абсолютная величина его членов будет
меньше членов ряда
с . с , с , , с ,
1 “г 2»
где с — некоторая постоянная, а тогда этот ряд будет не только абсо-
лютно, но и равномерно сходящимся.
Но мы будем иметь Ап — Bn = Q, если выполнены условия
/№-0)=/(т
/№-0)=/(^2+0),
Г(^-0) = /(^+0),
/(2к-0)=/(+0).
Таким образом, видим, что ряд Фурье, представляющий непрерыв-
ную функцию в промежутке от 0 до 2п и такую, что /(0) = /(2к),
будет абсолютно и равномерно сходящийся. При этом предполагалось
‘также, что j(x) имеет конечные производные f'(x) и f"(x) — непрерыв-
ные или с конечным числом разрывов первого рода.
§ 57]
УСИЛЕНИЕ БЫСТРОТЫ СХОДИМОСТИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
165
Если 'функция, представляемая рядом Фурье, или имеет, разрывы
непрерывности в промежутке от 0 до 2л, или значения ее, соответ-
ствующие 0 и. 2л, гмежду собою не равны, то коэффициенты в разло-
жении будут первого порядка относительно -Ь.
§ 57. Полученные в предыдущем параграфе выражения показывают,
что коэффициенты при в составе величин ап и Ьп зависят только от
величины скачков в значениях функции /(х) в местах разрывов; поэтому,
если функцию f(x) представить в виде-
/(x) = F(x)-|-<p(x)
и выбрать функцию F(x) так, чтобы она имела те же скачки, как
и /.(х), то разность <р(х)=/(х)—F(x) представится таким рядом Фурье,
порядок коэффициентов которого будет не ниже второго.
Наоборот, если дано разложение некоторой функции в ряд Фурье,
то ясно, что при нахождении суммы этого ряда или при приближенном
представлении этой функции первыми членами ряда, вообще говоря,
можно взять для достижения одной и той же степени точности тем
меньшее число членов, чем их порядок относительно выше.
Оказывается, что такое выделение функции F(x) возможно всегда
.выполнить таким образом, что остаток tp(x) представится рядом Фурье,
коэффициенты которого будут сколь угодно высокого порядка отно-
сительно . Покажем теперь общий прием такого выделения.
Мы видели, что в разложении функции /(х), заданной от 0 до 2л
в ряд вида оо
/(») = у а° + ^(«„cosrax+^sinnx)
л-1
коэффициенты ап и Ьп выражаются так:
2тс 2л
лая = J/(?) cos n? & и л/>я = J/ (?) sin (n?) d?.
о о
Воспользовавшись общею формулою интегрирования по частям
§ио<к) dx = -f- u"t/A-3) — -f-... zb
zt u(p~" v(k~p} -г J a™ v(k~p} dx,
получим, останавливаясь для краткости письма на членах
j f (?) cos n? d? =-^f (?) sin n? (?) cos n? — (?) sin n? —
- cos n?/"' (?) + ± J /IV (?) cos dS,
J /(?) sin rt? & =—(?) cos 4- (?) sin n: -f- (?) cos n? —
- 4-sin nV"'(?)--J/IV C;)sin
Обозначая затем через Aj, k2, ka,..., kp места разрывов функции /(x)
между пределами 0 и 2л, через kx, kq — места разрывов функ-
ции /'(х),- т. е. места разрывов производных тех функций, из совокуп-
ности коих для отдельных промежутков функция ./(х). составлена,
166
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
[гл. V
через kx, A2,..., kr—то же для функции/"(x) и т, д., получим:
пка„ = А„ 4 п п 1 ^1п _ ^2п । ^4/1 _а1
п п»‘ 1 * > (1)
nnb„ = — в„ 4 п п * п ’ L ^2п । Д2 ^Зп 4/1 п4 ’
где
АП = 1/(^1 — 0) —/(^1 + °Л sin nki +1Ж — 0) — f(k2 4- 0)] sin nk2 +...
* • • • + [f(kp - 0) -f(kp +. 0)] sin nkp ,
Л1П=/' (2« - 0) - f (+ 0) 4- [/' - 0) -f (k\ 4- 0)] cos nk\ 4- ...
• • •-0) -f(k'q 4- 0)] cos nkq ,
~Агп = r(<-0)-/"(<+0)]sinn^4- ...
• • • +[/"(< - 0) ~f" (< + 0)1 sin nk';,'
-Bn =/(2x - 0) -/(4- 0) 4- [/(A1 - 0) -/(A( 4- 0)] cos nkx 4-...
•.. + If (kp - 0) -f(kp 4- 0)] cos nkp,
Bin«[/' $ - 0) -f <aJ 4- 0)] sin лл; 4-... 4- [f 0) -f (<+ О)] sm пл;,
B2n = [f" (2л - 0) -f" (4- 0)] 4- [f" (k" - 0) (a"4- 0)] cos nk"+...
• • • + I/"(C- 0) (A"4- 0)] cos ,
< и обозначают коэффициенты в разложении fv (х) по косинусам
и синусам.
Полагая
/(2л _ 0) -/(4- 0) = Ко, Г(2« - 0) -Г (4-0) = <,
f(kx - 0)-/(*14-0)=Кь /' (Ь[ - 0) (а; 4- 0) = к\,
^(^_о)_/(^4-о)=^, /ч^_о)-/'(Ч+°)=к;,
Г(2к-0)-/"(+0) = <, u
/"(л;'-о)-г(^+о)=к;,
мы можем предыдущие формулы написать так:
Ап = Кх sin nkx 4~К2 sin nk2 4-... 4- Kp sin nkp, 1
A,„ = Kn + К\ cos nit. 4- K„ cos nA' 4-. • • 4- К' cos nk' ,
1 fi u’i z I ' Q
— A2n = K" sinnli’4- К2 sinnit'2 4-... 4~ sin nk",
(2\
— Bn = K0-\-Kxcosnkx-\-K2cosnk2-\-.. .-\-Kpc.osnkp, '
Bln = K\ sin nk\ 4- sin nA' 4-... 4- sin n!tq,
B2„ = Kq 4- K" cos nA" 4- K"2 cos nA" 4-... 4- K. " cos nA",
§57]
УСИЛЕНИЕ БЫСТРОТЫ СХОДИМОСТИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
167
Формулы (1) и (2) показывают, что в разложении коэффициентов ап
и Ьп в ряды, расположенные по ‘степеням 4-, коэффициенты Ап и Вп при
1
первой степени — зависят только от мест разрывов и величины скач-
ков самой функции f(x), коэффициенты А1п и В1п при зависят только
от мест разрывов и величины скачков первой производной f’(x) той
функции, которая данным рядом Фурье представляется, коэффициенты
А2п и В2п при зависят только от мест разрывов и ’величины скачков
второй производной /"(х) и т. д.
Отсюда видно, что если желательно, например, выделить функцию
Г(х) в выражении
f(x) = F(x) + <p(x) (3)
так, чтобы ряд Фурье, представляющий функцию <р(х), имел бы коэф-
фициенты порядка / относительно то надо, определив места разрывов
функции /(х) и первых ее /—1 производных, составить функцию F(x)
из отдельных кусков прямых линий и параболических кривых, уравне-
ния коих
у = a pc2[J pc 4~ Y1»
у = а2Х3 + fax2 + Тг*+ 8,
У = aj-2xJ~l + + • • • 4'
определенных так, чтобы величины скачков и места разрывов функ-
ции fi (х) и первых ее j — 1 производных были как раз те же самые,
как и найденные для заданной рядом функции /(х).
Самый процесс такого нахождения функции F(x) выполняется в сле-
дующей постепенности: прежде всего находим места разрывов и вели-
чины скачков самой функции f(x), т. е. величины
kl, kn, ..., А
и
Ко, К\, кр,
воспользовавшись для этого формулами (2) и (1), которые должны
иметь место тождественно, т. е. при всяком значении п. Сделав затем
в предложенном ряде х равным 0, kb k2,..., kp, вычисляем соответ-
ствующие значения суммы этого ряда. На основании теоремы Дирихле
эти значения будут:
4[/(2к-С)+/(+0)],
у ТО-о)+/(*14-0)],
4 [/(*2-о)+/(*2+о>].
0)+/(*„ + 0)],
168
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
(ГЛ. V
а так как
/(2к-О)-/(+О) = Ко,
/№-0)-/(А1 + 0) = Кь
/с(^-0)-Л(^ + 0) = Кл
и величины Ко, 2<j,..., Кр уже найдены, то найдутся и значения
/(4-0) и/(2« —0); /№-0) H/(^4-0);...;/(^-0) и (/^4-0).
Наносим эти значения на график и проводим через соответствую-
щие точки прямые линии, тогда функция F\ (х),~ составленная из этих
прямолинейных участков, и будет такою, которая имеет те же раз-
рывы, те же скачки и те же самые значения в местах разрывов и при
х = 0 и при x = 2ir, как и предложенная /(х). Иными словами, функ-
ция Fi (х) определяется так:
Fi(x)=/(4-0)+^-/(^-0)
Fl (X) ^f(ki 4-0)4- [/(A2 - 0)-f(ki 4- 0)]
Fl (x)=f {k2 4- 0)+И (k, - 0) - f (k2 4- 0)]
для 0<х<Ль
для Л]<х <Zk2,
для Л2’<х<Л8,
(4>
X — k
Fl «=/(^+0)4-^—^ [/(2«-0)-/(^4-0)] для kp<x<2*.
Если взять
F(x) = Fi(x),
т. е. положить
/(x) = F1(x)4-<Pl(x),
то функция
Ф1 (*)=/<*)—Л (*)
будет непрерывна на всем протяжении от х = 0 до х = 2«, и вместе
с тем будет: ,л. п еп ч „
J tp, (0) = 0 и <р](2тг) = 0,
следовательно, при разложении в ряд Фурье функции <pj (х) коэффициенты
получаются по меньшей мере второго порядка относительно -i-.
Отсюда видно, что стоит только разложить функцию Fi(x) в ряд
Фурье и полученное разложение вычесть из заданного, остаток и бу-
дет функцией
<?1 (*)•
Пусть полученный таким образом ряд для
?I(x)=/(x) — Fi (х)
будет:
ОО 00
ф1(*) = 4со+ 2 Сп cos пх 4- J d„sinnx, (5)
n—l п—1
коэффициенты сп и dn будут, вообще говоря, второго порядка относи-
тельно значит, функцию <рх (х) можно дифференцировать почленно.
Выполнив это дифференцирование, получим разложение <р,(х), в коем
коэффициенты будут первого порядка относительно .
§ 57]
УСИЛЕНИЕ БЫСТРОТЫ СХОДИМОСТИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
не-
совершенно подобно предыдущему представляем ср, (х) в виде
Т1(Х) = Ф1(*)Ч-<МХ) (6)
так, чтобы функция <Jq (х) состояла из прямолинейных отрезков и имела
те же самые скачки и те же места разрывов, как и ф,(х); тогда функ-
ция <oj (х) будет представляться рядом, коего коэффициенты — второго
порядка относительно -i-.
Интегрируя равенство (6), получим функцию
<Р1 (х) = J Ф1 (х) dx + j ®i (х) dx.
При вычислении интеграла
Ф1(х)</х
обнаруживается, что вместо прямолинейного отрезка ах -|- b получится
соответствующая ему парабола
-g- ах? —bx —С.
Постоянные произвольные С, вводимые таким интегрированием,,
определятся из того условия, что функция <pt (х) непрерывна, и част-
ные ее значения, соответствующие местам разрывов функции <]>i(x),
найдутся по формуле (5).
Интеграл же
J «>1 (х) dx
будет представлен рядом, коего коэффициенты третьего порядка отно-
сительно —.
п
Полагая
(х) dx =F2'(x) и j(o1(x)dx = <f>8fx),
получим равенство
/(х) = Л(х)+Г2(х)+<р2(х).
Очевидно, что если взять
F(x)=F,(x)-|-F2(x),
то в равенстве
/(x) = F(x)+<f2(x)
ряд, представляющий функцию <р2(х), будет иметь коэффициенты треть-
его порядка относительно разрывная же функция F(x), заданная
чертежом или аналитически, для отдельных промежутков будет со-
стоять из прямолинейных отрезков и отрезков парабол.
Функцию <р2(х) продифференцируем дважды; тогда ряд, представля-
ющий <₽g(x), будет иметь коэффициенты первого порядка; определив
места разрывов и величины скачков функции <р" (х) и составив функ-
цию ф2(х) из прямолинейных отрезков так, чтобы она имела те же
места разрывов и те же скачки, как и <р2(х), делаем:
С?2(*) = Ф2(Х) + ®2(*)-
170
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
[гл. V
Это равенство интегрируем два раза подряд почленно, причем по-
стоянные произвольные определяем по частным значениям функции
хр2(х) и ее производной; получим выражение вида
= ООН-<?#(*).
в котором <р3(х) будет представлена рядом с коэффициентами четвер-
того порядка относительно Продолжая таким образом, можем, оче-
видно, дойти до любого порядка.
Заметим, что из тех же выражений следует, что если функция f(x)
составлена из отдельных частей, каждая из которых есть целая функ-
ция относительно х, то коэффициенты ап и Ьп будут целыми функциями
от -i-, степени коих не более как единицею выше, нежели наивысшая
степень х.
Так, например, если бы f(x) была задана условиями
f(x) = ax-\-b для х от 0 до
f(X) = X2 ДЛЯ X ОТ ДО у (г ) ’
/(х) = 0 для х от до ^<x<2wj,
то коэффициенты ап и Ьп были бы вида
л ~ П3 * П3 *
Применяя вышеописанный процесс, мы получили бы <р3 (х) = 0 на
всем протяжении от х = 0 до х = 2я и, значит, по данному разложе-
нию нашли бы и самое функцию /(х). 5
Возьмем, например, ряд
$1
sinx , sin2x , sin3x
_ 1 2 “1 3“
sin пх<
п
который, как мы видели, сходящийся для всех значений х между 0
и 2те. При х = 0 и при х = 2тс величина 5j = 0.
от х = 0 до х = 2тг мест
/(2«-0)-7(4-0) = -п.
Имеем:
пкап = 0 = K\S\nnki-\-K2$\n.nk2-\-....
п-кЬп = it = — [/Со 4~ Ki cos nki 4- ...].
Из второго уравнения следует:
Ко =/(2к - 0) —/(4-0) = - п,
^1 = /<2=... = 0.
Следовательно, функция f(x) в промежутке
разрыва не имеет, но разность значений
Так как при x=ir/(x) = 0, то если мы возьмем за функцию
Fi (х) участок прямой, проходящий через точки А, В и С, то функция
(фиг. 55)
<р(х)=/(х) — Fi(x)
не будет иметь разрывов, и так как <р (0)= <р (2п), то разложение <р (х) может
иметь только коэффициенты второго порядка относительно —.
§ 58]
УСИЛЕНИЕ БЫСТРОТЫ СХОДИМОСТИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
171
Итак, функция
^(х) =
те — X
2
ДЛЯ
составив ее разложение, увидим, что
Л (*)=/(*)
и что <р(х) = 0.
Необходимо иметь в виду, что во всех этих рассуждениях предпола-
гается, что сама функция f(x) и ее производные до рассматриваемого
порядка j— 1 остаются конечными для всех значений х между 0 и 2л,
включая и эти пределы, поэтому, если бы мы взяли ряд
__ COS* J COS* I I COS nx ।
T\x)— 1 “Г 2 П “Г”*’
то для этого ряда наши рассуждения были бы неприменимы, ибо при
х = 0 и х = 2к f (x) = cQ, и значит, формулы, коими мы пользовались,
неприменимы.
§ 58. В приложениях гораздо чаще встречаются ряды, расположен-
ные или только по синусам, или только по косинусам аргументов, крат-
ных предполагая, что функция f(x) задана от х = 0 до х = 1.
В этом случае коэффициенты разложений
/(х) = а0+Jja~cosTr
Л—1
и
f(x)=£j/>„sin^
л—1
выражаются формулами
i i
а0 = -гр(5)^ и a„ = -J-j/G)cos^^,
О о
*.= -rp<!>sinT?&
о
Поступая совершенно подобно предыдущему, получим:
Ппап _ - |__1 А\п ^2п_______, А%п I 1
2 л те п те* п2 те3 * п3 ‘ ’ I
T^L__ R I ±.£1^4-—_______________{
2 n * те n ‘ те2 n2 те3 л3 • • • » j
причем
4=[/ (*I - 0) -/ (Л,+0)] sin ^ +...
+ 0) - f (^+;0)] Sin
Ain (I - °) c°s пл - f (+ 0) + [/'$ - 0) + 0)] cos .
• • • + - 0) -/'(4 + °)] c°s^-,
172
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
[ гл. V
- 4, = [/" (< - 0) —(k’[+0)] sin ^4-...
... +[/"(A;-0)-r(^+0)]sin^.
- Вп = f (I - 0) cos пк -/(+ 0) + \f (kx - 0) -f(kx + 0)] COS ^ +....
• • ♦+[/ (*, - 0) -/ (kp+0)] sin ,
Bln - [/' (*; - 0) -f (k\ + 0)] sin +
+ If - 0) -f & + 0)] sin 4-...,
В=f" (I — 0) cos пк — f (-]- 0) 4-
ft ft . fliiki
4-lH*. -())-/”(*, 4-0)1008-^+...
Полагая, подобно тому как в § 57.
Ко — 0) cos пк -/(+ 0),
К, =/№-())-/№4-0),
K=/'G-o)-/'(+o).
К\ =/'(^-0)-/'(^4-0)
кр = f (kp - 0) -/ {kp 4-0), K'q = f (kq - 0) (a; 4- 0),
мы предыдущие формулы напишем таким образом:
Ап = Kisin ~ 4- К2 sin 4-... 4- Кр sin ,
Ат = < 4- К\ cos 4-.. J-}- Kq cos п^~,
— вп = Ко4-cos^ + К2 cos—4~... 4-/Срcos ,
(8>
В1П=/С1 Sin—р—f-K2sin — 4-...4-K9sin—f-,
В остальном надо поступать совершенно так, как сказано выше.
Так, положим, что дан ряд, представляющий функцию /(х):
S^sin2?-,
n—1
заданную в пределах от х = 0 до х = 1. Пусть эта функция изобра-
жается чертежом (фиг. 56).
§58]
УСИЛЕНИЕ БЫСТРОТЫ СХОДИМОСТИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
173
Так как в пределах между 0 и I эта функция имеет разрывы при
Jf = Aj, х = Л2, x = ka, соответственно равные
*1 = AB=f(kl + 0) -f(kx - 0),
К2 == CD=/(^ + 0) -f(k2- 0),
- К8 = EF=f(ka - 0) -f(ka + 0),
то составим, определив величину и места этих разрывов, функцию (х),
которая была бы такова:
Л(*)=/(+ °) + 'х для 0<х<Л,
Л (х) =/(*! + 0)+ [/№ - 0) -/№ + 0)] для Л, < X <k2,
FAx)=f(k2+Q)-Y^=^\f(ka~Q)-f(k2+G)] для А2<х<Л3,
Л(х)=/(^ + 0)+^[/(/-0)-/(*8+0)] для *8<х</,
т. е. F\(x) представляется изображенной на чертеже линией, составлен-
ной из прямолинейных участков так, чтобы скачки были как раз равны
и на тех же местах, как у
заданной функции.
Составленную таким об-
разом функцию F\ (х) разла-
гаем в ряд Фурье по синусам
кХ
аргументов, кратных -у, и
вычитаем этот ряд из пред-
ложенного; останется такой
ряд, в котором коэффици-
енты — второго порядка
относительно —; обозначим
п
эту функцию через <р(х). Составляем производную <р'(х), дифференцируя
этот ряд почленно; получим ряд, подобный предложенному. Находим
его места разрывов и величину скачков и, подобно предыдущему, со-
ставляем функцию (pi (х), которая имела бы те же скачки и те же места
разрывов, как и <р'(х), и состояла бы из прямолинейных участков.
Тогда будет:
<Р'(Х) = Ф1(-’О+'И*).
причем ф(х) будет представлять функцию, разложение которой по коси-
нусам имеет коэффициенты не ниже второго порядка относительно ~ .
Разлагаем <pi(x) в ряд Фурье и определяем разложение <]»(х), взяв
разность рядов
<р'(х) —<М*) = Ф(х).
Интегрируя, имеем:
(х) = j <₽ । (х) dx + J ф (х) dx.
Интеграл
|(Р!(Х)(/Х
будет состоять: для участков, где ср! (х) изображается прямою, парал-
лельною оси х-в, из соответствующего прямолинейного участка вида
174
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
[ГЛ. V
ax-f-f, где же <pj (х) изображалось прямой ах~\-Ь, будет bx -J- у;
постоянные произвольные определим по значениям функции <р(х) в ме-
стах разрывов ее производной. Таким образом, выделим из нашего раз-
ложения функцию
Р\ (*)+J'PiC’Od*
такую, что остаток будет представлять ряд с коэффициентами третьего
порядка относительно Таким образом можем продолжать до тех
пор, пока получится такой ряд, вычисление суммы которого с требуе-
мой степенью точности уже не представит затруднений, ибо он будет
достаточно быстро сходящимся.
Пример 1. Возьмем ряд
... 88 Г 1 .я . ях , 1 ._ Зя ._ Зях । 1 ._ 5я ._ 5ях ।
/ (•*)— |т-Г Sin-g-Sin(--^-Sin-^-Sin—J [- -gj- Sin -y Sin —j |-... ,
который мы имели в § 49 и для которого коэффициент Ьп выражается
формулою
и положим, что мы хотим найти ту функцию, которая этим рядом
представляется.
Так как коэффициент Ьп — второго порядка относительно , то самая
функция/(х) от х = 0 до х — 1 непрерывна.
Составляем производную
/ ч 8В 1 Г 1 . л тих , 1 . Зтг Зях I 1
/'(*) = “Г’—[-rs,nTcosT“l~"rsin2’cos 7—!-•••] =
oo niz
til п I
л==1
По формуле (7) имеем:
. sin - 0) —(А, + 0)] sin +...;
так как это равенство должно иметь место тождественно, то будет:
n-ki_____________________________ПК
I —Т ’
т. е.
^1 — 2 »
/ЧА1_О)_/'(А1 + О) = ^-.
По теореме Дирихле для места разрыва
имеем:
4" If (*1 - °)+/' (*1 + 0)] = S-~ cos =ь= 0.
§58]
УСИЛЕНИЕ БЫСТРОТЫ СХОДИМОСТИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
175
Отсюда следует:
/'(^-0) = ^-; /'(*1 + 0) = -^-.
Значит, за F[ (х) следует взять функцию
F' (х) = ~ для 0 < х < ,
^(х) = —V Для-^-<х</,
т. е. Fj (х) изображается графически чертежом (фиг. 57).
4.-----\3
: . &
о (2 Г2 д—
4______I VI 1~
8 С t
Фиг. 57. Фиг. 58.
И в самом деле, разлагая (х) в ряд Фурье, получаем:
оо . пк
л=1
т. е.
/'(x)=f;(x).
Значит,
/(х) = Г!(х)+С.
Но, интегрируя величину F' (х), видим, что для участка от х = 0-
до х = — получится:
Г\(х) = ^х для 0<х<-^-,
так как при х = 0 должно быть Fi (х) = 0.
Для участка от ~ до I получится
F1(x) = -4x + C1
и так как при х = 1 должно быть F|(x) = 0, то
С1==2р
и, значит,
F' (х) = Д—(Z —х) для !•
Таким образом, будет:
/ (х) = Fj (х) =-у-х для 0<х<-у,
/(x) = Fi(x)=-y-(Z —х) для-у<х</,
т. е. графически /(х) изображается ломаною АВС, (фиг. 58), причем'-
стрелка BD = f и AD — DC = -у .
476
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
[ гл. V
Нетрудно видеть, что когда коэффициенты в ряде Фурье выража-
ются целыми функциями от-^- с коэффициентами, не зависящими от п,
то, поступая подобным образом, мы составим функцию,, им представ-
ляемую, и она на отдельных участках будет выражаться кривыми,
уравнения коих будут вида
у = ах* 4- Ах*-1 +... -|- А,
где k— целое и положительное число.
Пример 2. Возьмем теперь ряд, у которого коэффициенты не суть
целые функции от -±-. Пусть будет:
(оо 55 \
1 . их 2 1
_sm_----
n—2 /
« желательно усилить быстроту сходимости этого ряда.
Разлагаем коэффициент Ьп по степеням и остановимся на члене
с тогда имеем
п
rfl— 12
_____!—
Л2 ' Л* _1_
1~ л2
следовательно, предложенный ряд можно написать так:
оо т
п~2
причем
м лте
рос —*
е, — ?? VI_____________________________L sin пкх ,
* к п I
п~2
со лте
= sin55£
8 те л8 I
п—2
И
оо
Q.-----L°yic°sJ 1 sin"-^.
те ZJ л6 1 /
п-2 1
Обозначим функцию, представляемую рядом 5], через Fi(x); тогда для
ряда 51 имеем:
пк . пп
-bn=-acos-r =
= — [f, (/ — 0) cos пк — Fj(+ 0) + [F( (Aj — 0) — Fx (kx + 0)] • cos-^y1
откуда следует:
—0) = 0, ^(+0) = 0,
лк_пте^!
У-ПГ’
т. е.
A] g
УСИЛЕНИЕ БЫСТРОТЫ СХОДИМОСТИ ТРИГОНОМЕТРИЯ. РЯДбв
И > " ' ‘
т. е. что функция F\(x) при x = kx — делает скачок, величина коего
есть a. ' ' ' ‘ *
Чтобы найти значения F^^-J-O) и Fj(£|— 0),. поставляем,
в ряд Sp , ; •’ •• •
. ' Fi.№-0)4-Fj(^ + 0)=0. ;•
Таким образом, имеем уравнения
.F( -nO^F^p+O).^ ч .
Г1(Л1-0) + Л(А1 + 0) = 0,
откуда следует.: ... ч. j .
F^-o^-f- ‘ " *
и - ‘ > .
^(^ + 0).= --|, . ......
а так как ....
Л(4-о) = о
и - •- ' . ,,
Fi(l — 0) = 0,
то за F](x) берем функцию
F|(x)se-p’x для о<ж<*-у-’, ' *
Fi(х)== -р(х — I) для ^-<,х<.1
и представляем ее в виде ряда Фурье, расположенного; как У пред-ло-
„ тех
женныи, по синусам аргументов, кратных от -у- ..
Будем иметь: .......
Т i
Ь>.п = 4- f Т5 sin? + 7~ ( 7- - Z)sia ?=
0 J .
* 2
I I
2a Г t . лте? 2a С .„пте£ 2a • яте I <>. Р о
==_ ljsln— di- — Jsin-j-^-—cos-^.
о JL
2 \
Следовательно,
co ZZK
с- / \ c 2a VI C°S 2 nnx
F, (x) = S, = - - J]sin—
Я-1
• Таким образом, будет: ' '
f(x)__±sin^f_Fl(i:) = S, + a. ' '
Сумма ' ' ' . ''
oo cos — i<
, S8= ____L sin .
....... rt-l ‘ ' ’ * • - -
12 A H. Крылов
17 g Р.А(3>Я<»ЯВНИЕ; ФУНКЦИИ Ц ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ (вж. V
представляет функцию, непрерывную вместе с первою своею производ-
ною; поэтому, дифференцируй эту функцию дважды, получим:
«₽ птс
• Q" | 2<исГ1 С<^ 2 . Ппх c"tv\
5з =+-р- 2J ~~ Sin ~Г = F3 W ’
л-1
а эта функция на основании сказанного о функции Ft(x) определяется
равенствами
^з(х) = — ^х для х от 0 до -у-,
• 4*
—О ДЛЯ X от 4 до I.
Значит,
Р8(*)в - ^”^- + С1Х + С2 для х от 0 до 4 >
Fa(x)---^’^^+С,(х-/)+С4 для х от 4 до /.
Для определения постоянных Сь С2, Са, С4 имеем условия
F8(0) = 0, F8(/) = 0,
(-'£т+С1* + сЛ , =(-E!fc=ff+c,(x-Z) + C4)
4 >х~т . ' /Jf“T
(—‘тг4 4~Cix4~c2j =(~тг 6 ^ + С8(х —/)+с4 г,
ибо функция F8(x) сама, и первая ее производная непрерывны для
0<х</ и вместе с тем Fa(0) = F8(I) = 0.
Таким образом, будет:
Са = С4 = 0, СЬ = С3=|^,
и, значит, функция Fa(x) такова:
= — ₽*’+я7* «ля х от 0 до
p.w-'-gp-o’+^p-o для 4-<*<'-
так что (F3x) представляется графически чертежом 59.
4 Полагая
f(x)= 4 sin^ +F, (х) +F8(x)+£2,
° i- *
2 vtl.& Fi(x\ и F8(x) суть найденные выше функции,
Фиг. 59. мы сведем вычисление значений функции /(х)
к вычислению значений функций F\ (х), Fa (х),
которое весьма просто, и к вычислению суадмы £1, представляемой
рядом, коего коэффициенты — пятого порядка относительно 4 , тогда
как в предложенном ряду они были первого порядка.
§ 5J. К такому приему выделения из данного ряда тех его членов,
которые дают разрывы или в самой функции, или в ее производных,
приходится по необходимости прибегать в том случае, когда надо
вычислить или представить в виде ряда производную первого или выс-
§69) ' УСИЛЕНИЕ БЫСТРОТЫ СХОДИМОСТИ ТРНГОНОМВТРИЧ. РЯДОВ 179
шего порядка данной функции и когда непосредственно этой произ-
водной дифференцированием предложенного ряда найти нельзя.
Поясним это на примере.
Пусть, например, функция /(х) задана так:
f(x) = asin^- для
и
У(х>=*0 для-£-<х<Г
Очевидно, что такая функция лишь в месте разрыва, т. е. при
не имеет производной» для всех же остальных^ значений х существует
производная любого порядка.
Так, например, для предложенной функции производная Второго по-
рядка была бы:
f'(x)== —-2—sin^- для 0<х<-|-,
Г(х) = 0 для -у-< х < I,
между тем ряд Фурье, представляющий данную'функцию, имел бы свои
коэффициенты первого порядка относительно если бы его, дважды
продифференцировать Почленно, то получился бы; ряд, коего коэффи-
циенты были бы первого порядка относительно п, т. е. коего члены,
неопределенно возрастали бы, — такой ряд, как.расходящийся, не имел1
бы смысла.
Между тем, если представить эту функцию .так: '
где Fi(x) и F2(x) были бы те функции, которые имеют те же разрывы,
как /(х) и /'(х), и, значит, <р(х) имела бы разложение, коего коэффици-
енты были бы третьего порядка относительно тогда можно бы на-
писать равенство
причем F| (x) и F^Gc) определяли бы, пользуясь заданием функций
Fi(x) и F2(x), а не дифференцированием тех рядов-, коими они йред-
ставляются, у”(X) — дифференцированием соответствующего ей ряда
почленно.
Так, возьмем- наш пример, т. е. •
/(х) = a sin -у- для 0 <х •< -у,
/(х):== 0 для — < х < Д
тогда ряд для f(x) такой:
; <to . ПК
а 2а „л COS 2 . лях
f(x) = -rs1n-r- —j-sin—. . .
п-*\ ' '
12*
180
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В’ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ •'
[ rift -V
который рассмотрен в предыдущем параграфе,, и мы имели' равенство
Но
7(x) = -f-sin^ + ^i(^)+58+a
со пп
п—2
функция же F\ (х) состоит^ из прямолинейных^ участков, и следова-
тельно, производная второго порядка от нее равна нулю, кроме места
разрыва,этой, производной нет,. > i t > i . , ;
Таким образом, имеем:
Oft
cos —— *
. а -кх . г? / \ 2а VI 2 . ггкх
. .. f^r~lr27S”1 ~,+ ^1(х) я 2j !)Sin I ’ . :
n=2
и двукратное дифференцирование дает: _ ,
f"(x) = —Г7Я®т
к*
Р
и, значит,,
и
со
2а я» 5П п С08 ~2" •„ ппх
-Г-7г2]-5ггг81П-Г'='
, п—2
' оо пк
а их 2а VI ” С°8 2 тх
Tsiai—т.2]-^г31а— =.-
п—2 J
f'.(x)=— ^sin^- для 0<х<-у
Г(х) = 0 для 4-<х</;
«6
при х=4г функция f"(t) имеет разрыв.
Если бы функция /(х) нам была неизвестна, то полученное уравнение
rw+#/(*)« О
послужило бы для ее определения.
В самом деле, из этого уравнения следует:
f (х) = С, sin ™ -j- С2 cos ,
причем Ci и С2 суть произвольные постоянные, которые для разных
участков, функции/(х) могут име^ь и различные значения;, ибо функ-
ция /(х) при изменении х от 0 до I имеет разрывы.
Значения постоянных Ci и С2 должны быть определены по значе-
ниям'функции для начала и конца каждого участка.
Так, мы нашли в § 58, пример 2-й, что функция /(х) имеет разрыв
при х = у. Следовательно, первый ее участок — от х = 0 дох = у-
Для этого промежутка мы видели, что
f(0) = 0 и /^4-0^ = а;
следовательно,
С| == л и С2 О
и, значит, будет:,
f (х) = a sinдляО<х<-|-.
» Л
§60]
ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗАТОР ГЕНРИЦИ
181
Второй участок' нашей функции — от х = — до х = 1. В этом про-
межутке, как мы видели,
f(l+°) = 0 и /(0 = о,
следовательно,
Ct== 0 и С,=== 0,
т. е.
f(x) = O для -|-<х</.
Таким образом, функция f(x) и определена вполне.
При пользовании рядами Фурье для решения вопросов теории упру-
гости и сопротивления материалов необходимо всегда иметь в виду
сказанное в этом параграфе о вычислении производных функций, пред-
ставленных такими рядами.
Заметим также, что изложенный прием усиления быстроты сходи-
мости рядов Фурье и нахождения производных
ставляемых, может служить для .доказательства
или для проверки того, что представляемая ря-
дом функция действительно удовлетворяет
тому дифференциальному уравнению, как реше-
ние коего она найдена, хотя бы самый ряд и
нельзя было дифференцировать почленно тре-
буемое число раз.
§ 60. Разложение в тригонометрические
ряды функций, заданных не аналитически, а
графически, например в виде записи разного
рода самопишущих приборов для какого-нибудь периодического явле-
ния с заранее известным периодом, требует довольно утомительных
вычислений, указанных в § 53.
Чтобы облегчить эту работу, построены приборы для автоматиче-
ского вычисления коэффициентов искомых разложений.
Из этих приборов, называемых гармоническими анализаторами, мы
ограничимся описанием двух, а именно: анализатора проф. Генрици
(Henrici) в Лондоне и инженера Мадера в Мюнхене. Устройство анали-
затора Генрици основано на следующих соображениях. Пусть заданная
графически функция f(x) имеет своим периодом длину / (фиг. 60),
и требуется разложить ее в тригонометрический ряд, который, как .по-
казано в § 43, будет вида
f(x) = A0-{-Ai со8 0 4-Л2со8 20-|-...-j-At cosA0-|- ...
... -J- sin 0-f- B2 sin 20 - + sin£0 -J---.
причем 6 = , и коэффициенты ряда выражаются формулами
i
Л=у [/(*)<*•».
6
I
= у J/(x)cos&^- dx,
: о • ’
B* = 4J/rx)sin^dx.
'• ’ о '
от функций, ими пред-
Фиг. 60.
182
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
[riLV
Обозначим /(х) через у и преобразуем выражения для Л* и В* интегри-
рованием по частям; будем иметь:
i /
- 2 С ,2кх < 1 Г , 2icx V 1 Г т2кх •
Ль = -г | у cosA-7— dx =$— у sink-т-^ — г— 1 sinA-т— dy=-
к I J I «я I ]о J *
О 4 о
I
» If’ , 2ях ,
= -*rjsin*—
о
и
I
о 2 С i2rx < 1 Г , 2тсх 1* । 1 Г л , 2тсх
Bk = -j-\ у sink — dx —— у cos А -у I cos A -j-dy ==*
о 0
If, 2nx <
=£rjcos* —
0
так как по предположению, значения у=/(х), соответствующие эначе-
ниям х = 0 и х = 19 равны между собою. Таким образом, вычисление
коэффициентов ряда сводится к вычислению интегралов следующих
видов:
i t
A^ = ^f(x)dx=^ydx,
Q о
О
и
I
Bk== 6гУСО8^Г dy'^‘
о
Первый из этих интегралов находится обыкновенным планиметром;
для нахождения последних двух построен анализатор Генрици.
Фиг. 61.
Сущность устройства этого прибора (фиг. 61) состоит в следующем:
основная рама прибора несет ось, параллельную длинной своей сто-
1) В формулах для Ак и Вк' переменной интегрирования является х, и dy = y'dx.
« во)
ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗАТОР ГЕНРИЦИ
183
ИЗ цилиндров G.
с тем направляющим рель-
ФИГ; 62.
.роне. На концах этой осн насажены колеса Е и Е\ с весьма мелкд за-
рубцованными широкими оболами.
С передней стороны прибора к оснёвйОй же eft) раме Црйкрепл'ена
неподвижно вилка, несущая бегунок D, ось котордго параллельна оси
ЕЕ\. Будучи поставлен на чертежную доску, йрибор й касается ее Обо-
дамй колес Е, Е\ и D.
Кроме того, на ось ЕЕ} насажены цилийдрыСс гйадкиМи ободами;
диаметр этих цилиндров несколько меньше диаметра колес Е и Еь так
что цилиндры С не касаются чертежа, когда прибор катится по пло-
скости чертежа. На чертеже показан один
Передняя сторона рамы служит вместе
сом, по которому может катиться тележ-
ка W, несущая острие F, которым при
употреблении прибора обводится разла-
гаемая кривая y=f(x).
Прибор ставится на плоскость чертежа,
укрепляемого для этого йа хорошей чер-
тежной доске так, чтобы ось прибора ЕЕ\
была параллельна оси х, тогда весь прибор
будет свободно катиться параллельно
оси у. Таким образом, если острие F
вести параллельно оси х, то будет пере-
мещаться только тележка W по своему
рельсу, весь же прибор будет оставаться
неподвижным; если же вести штифт F параллельно оси у, то весь
прибор будет перемещаться, катясь на колесах EEit тележка же W
будет оставаться на своем рельсе неподвижной относительно прибора.
Понятно, что когда штифт F описывает какую-нибудь кривую, то
оба вышеупомянутых движения происходят совместно. Длина хода те-
лежки W ограничена длиною рамы и равна как раз той величине I, ко-
торая принимается за величину периода, поэтому разлагаемая кривая
должна быть вычерчена в таком масштабе, где бы это условие было
выполнено. Над каждым из Цилиндров С, насаженных на ось ЕЕ\, нахо-
дится укрепляемая в верхней части рймы втулка, сквозь которую про-
пущена свободно вращающаяся в Этой втуЛке ось 5. Эта ось и несет
на себе собственно интегрирующее приспособление (фиг. 62), состоящее
из квадратной рамки K.LMN, которая несет два интегрирующих ролика
/?! и R2, совершенно подобных роликам амслеровского планиметра;
оси этих роликов и Я2 взаимно перпендикулярны. Кроме того, рама
несет нажимной ролик г с пружиною.
На каждый из цилиндров С положен свободно лежащий шар G,
охватываемый рамою K.LMN, так что ролики Ri и R2 касаются этого
шара по плоскости большого круга, параллельного плоскости чертежа
и, следовательно, перпендикулярного к оси S. Шар же касается до
обода цилиндра точкою большого круга, перпендикулярного к оси EEi
и, следовательно, проходящего через ось 5.
Нажимной ролик г с его пружиной и служит для удержания шара
в вышеуказанном положении, не препятствуя, однако, вращению шара.
На каждую из осей S насажен барабан Н, охватываемый туго обтя-
нутой проволокой, оба конца которой, обойдя через неподвижно укреп-
ленные на раме шкивы, крепятся к тележке W. Барабаны Н сделаны
такого диаметра, что окружность первого из них равна /, второго -i-1,
третьего 4-Z и т. д.; таким образом, есЛй прокатить тележку ИГ по ее
О
<184
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ (гл. V
рельсу во всю его длину I, то первый барабан сделает полный оборот,
и следовательно, ось S вместе со своей рамкой K.LMN сделает также
полный оборот, второй барабан сделает тогда два полных оборота,
третий — три и т. д. Прибор выверяется так, что когда .тележка W
стоит в крайнем своем положении, соответствующем х = 0, то оси ро-
ликов /?2 параллельны оси х, оси же роликов перпендикулярны
•к ней. Ясно, что если тележку ^продвинуть на длину х, то первая
рамка с роликом повернется на угол вторая рамка повернется
на угол 62 = 2-^у- и т. д.
Положим теперь, что при таком положении тележки W острие F
будет продвинуто по чертежу параллельно .оси у на величину dy, весь
прибор прокатится на такую же величину, колеса ЕЕ\ повернутся на
некоторый угол dtp = , где р радиус колес Е и Е\, на такой же угол
повернутся и сидящие на оси ЕЕ( цилиндры С и на такой же угол по-
вернутся и все лежащие на цилиндрах С стеклянные шары, ибо диаметр
этих шаров равен диаметру цилиндров С, причем поворот каждого
шара произойдет около оси nd, параллельной оси EEi, т. е. оси х чер-
тежа.
Из чертежа (фиг. 62) видно, что ролик ./?, первой рамы, будучи
увлекаем шаром, повернется на угол dw^ = -psinO-dy, ролик же Ra
этой 1Уамы — на угол d<p = -^- cos 0 • dy, причем коэффициент пропорцио-
нальности Л, очевидно, равен отношению радиуса шара к радиусу
«ролика.
Вторая рамка будет стоять так, что угол xGR{ = 29 = , и, сле-
довательно, ее ролики повернутся на углы
du>2 =— sin 20 • dy,
. ' p
' d<p 2 == -j- cos 29 • dy
я т. д.
Таким образом, видно, что при обводе острием F заданной кривой CD
отсчеты углов поворотов роликов первой рамки будут:
: I
®i = — I sin-j-dy,
о . >
I
X Г 2пх' .
Ф1= — J cos— dy,
< о
второй рамки
k f . п2пх <
.“»2=у j Sin2-p-dy,
О
I ’
г Г п 2кх -
’ <р2 = у J cos2 -f-.dy,
. ‘ о ’ -
и т. д.,г т. е. эти отсчеты будут соответственно пропорциональны коэф-
фициентам At и В], А3 и Ва и т. д.'искомого разложения, причем коэф.
§61}
АНАЛИЗАТОР МАДЕРА
185
анализатора для- люоого осно-
Фиг. бз;
фициент пропорциональности зависит только от размеров чаЬтей
прибора и определяется раз . навсегда и дается в прилагаемом к нему
аттестате.
Обычный размер анализатора Генрици таков, что длина Z = 400 мм.
Как видно из предыдущего описания, прибор Генрици требует пред-
варительного приведения длины основания (периода)анализируемой кри-
вой ко вполне определенной величине, вместе с тем цена этого при-
бора высока.
§ 61. Анализатор Мадера. В № 36 «Electrotechnische Zeitschrift»
за 1909 г. помещены описание устройства и теория в высшей степени
простого и остроумного гармонического
вания, изобретенного Г. О. Мадером
(О. Mader) в Мюнхене.
Сущность устройства этого прибо-
ра состоит в следующем (фиг. 63):
тележка W7, могущая двигаться толь- г,
ко в направлении оси у, несет на себе
следующие части:
1) Коленчатый рычаг FKS, кото-
рый вращается около точки К и на
конце одного из плеч коего имеется
ролик S, на конце другого плеча—
острие F, коим обводится анализи-
руемая кривая.
2) Зубчатая рейка ZZ', которая в
свою очередь может перемещаться по
тележке W также по направлению
оси у, причем это перемещение про-
исходит от действия ролика 5 на укреп-
ленное перпендикулярно к рейке, следовательно, параллельное оси Ох,
колено.
3) Зубчатое колесо радиуса R, которое вращается около центра D,
укрепленного на тележке, это колесо сцепляется с вышеупомянутою
зубчатою рейкою ZZ'; таким образом, повороты рычага FKS передаются
колесу, которое и поворачивается на соответствующий угол около
точки D. В этом.колесе сделано два маленьких конических отверстия
и Ps, расположенных на 90° одно от другого, в расстоянии г от D.
В эти отверстия вставляется острие ведущего рычага обыкновенного
планиметра Амслера.
Положим, что мы поставили острие планиметра в отверстие Ps и уста-
новили прибор так, что когда его острие F поставлено в начальную
точку О анализируемой кривой, то радиус DPS параллелен оси х и на-
правлен в отрицательную ее сторону; тогда координаты точки Ps при^
сделанных на чертеже обозначениях будут
х5 = — (Ь±г),
, ^ = 5.
координаты же точки Рс будут:
хс=~Ь< ,
Ус = ъ+'г-
186
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЯ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
[м. V
Когда острие F переместится по кривой y=f(x) от начального по-
ложения х = 0, у=±=0 до какого-нибудь (х, у) (фиг. 64), то тележка W
переместится на величину у-(-ср(дс), где ф(х)—некоторая величина, за-
висящая от х. При указанном перемещении коленчатый рычаг FK по-
вернется на угол а — а0, такой, что проекция перемещения точки F на
ось х равна л, следовательно, центр ролика 5 переместится на такую
величийу, проекциягкоей на ось у есть , где l = KS и m — FK. На-
столько же переместится и рейка,
и значит, зубчатое колесо повер-
нется на угол цейтр жё ^то-
го колеса D переместится вследст-
вие общего передвижения Tej
на величину у 4- <р (х). Таким
зом, Новые координаты точек
Рс будут:
xs= — (Z>-J-r-cos₽),
ys = s4-у 4- ® (*) +r •si ° P
и
xe = — />-}-r-sinp,
Ус = У + ? (*) + r •cos P-
обра-
ps и
(1)
2)
Очевидно, что при обходе острием F
заданной кривой у— f(x) от х = 0 до
х==а и возвращаясь затем обратно
по оси х от х — а до х=0, мы описы-
ваем им некоторый замкнутый контур,
-следовательно, и точки Р и Рс опишут некоторые замкнутые контуры,
-ограничивающие площади Qg и Qe.
Имеем:
а 0 а
Qs = J ysdxs + J yodxs == J (ys — yj dxs,
0 a 0
где y0 обозначает значение координаты ys для обратного пути по
оси х, т. е.
В силу формул (!) и (2) имеем:
<з>
о
Совершенно так же для площади, ограниченной контуром, описы-
ваемым точкою получим:
а
^с = ^УС05^х. (4)
о
Из этих выражений видно, что стоит только брать R и г так, чтобы
было:
₽=^Г-2Г'4’ r = iK’
-5 62)
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ НА СОСТАВНЫЕ ВОЛНЫ
187
причем п = 1, 2, 3..., то будет:
Q, = К jУ sindx => КВп, Qc = K^y cos2-^dx = КАп,
О' о
т. е. Qe и Qs — пропорциональны коэффициентам Ап и Вп в разложении
•функции y=f(x), заданной в промежутке от х = 0дох = ав триго-
нометрический ряд вида
у — Ал-\-А1 cos + -^2cos2“^ 4_A3cos3-y
. .. + B,sin^.-|-B2sin
Таким образом, стоит только с точкою
сцепить ведущее острие обыкновенного пла-
ниметра Амслера и обвести заданную кривую,
как указано выше, то мы и получим величины
коэффициентов этого ряда.
Прибор Мадера изготовляется таких раз-
меров, что длина а может быть от 20 до
360 мм, причем к нему отпускается подбор
зубчатых колес, дающих возможность полу-
чать первые 12 коэффициентов А и В в раз-
ложении, размеры же остальных частей
подобраны так, чтобы К равнялось 10, т. е.
1 см2 площади Qt или Qc соответствовал
0,1 см амплитуды.
Упомянем еще о гармоническом анализа-
торе Майкельсона и Стратона (Michelzon and
Stratton), описание которого можно найти в
«Philosophical Magazine» за 1898 г.
Этот анализатор основан на совершенно
иных началах, нежели анализаторы Генрици
и Мадера, и дает первые 80 членов разложе-
ния. Кроме того, он служит для автоматического вычерчивания функции,
представляемой данным тригонометрическим рядом, причем можйо
•брать до 80 первых членов этих рядов. К указанной статье приложено
множество снимков такого рода графиков, дающих наглядное представ-
ление о приближении к разложенной функции по мере того, как берется
большее и большее число членов в ряде, коим она представляется.
Для образца прилагается копия ^фиг. 65) одного из таких чертежей,
где представлена функция
f(x) = cos х-|-cos Зх -f- 4jC0S 5* — • • •»
9 2л*
а
Р„, а затем с точкою Р
/и»
Зчлена
5членов
7членов
Нчлел
73 членов
2лг С—
3%
Фиг. 65.
2*х
О
которая равна на протяжении от х = 0 до х — -^-ъ равна----5- от
х = -у до Х — К.
§ 62. В некоторых приложениях математики приходится встречаться
с разложением данной по своей графической записи кривой на сумму
членов вида
В. 2лх . 2ях
*S1O>4 -f-C^e.os ,
188
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
[гл. V
или иначе члена вида , .
%) .
Очевидно, что оба разложения равнозначащи, стоит только взять
и 7
,%-arctg-g- .
к
Такими разложениями приходится обыкновенно пользоваться при
исследовании записей, относящихся к разного рода колебательным дви-
жениям, тогда каждый член вида A. sin -4- а/, представляет собою
й к ** )
одно из составляющих движений (колебаний или волн), коэффициент Ак
называют амплитудою этого колебания, Zk— длиною его волны (или
периодом, если х представляет собою время) и aft — начальною фазою.
При решении этого вопроса надо различать два случая: 1) периоды
(или длины волн) составляющих колебаний известны, и при данной за-
писи требуется найти лишь амплитуды и начальные фазы, и 2) как пе-
риоды, так амплитуды и фазы не известны, дана лишь запись, тре-
буется найти составляющие колебания.
Начнем с первого случая и сделаем для сокращения письма
2к
~k~nk'
Таким образом, наш вопрос ставится так. Дана функция f(x), пред-
ставляющая собою сумму членов вида
^sin(nftx-]-aJ,
т. е.
Z(x) = ^iSin(/i1x-|-a1)4-.42sin(n2x4-a2)-|-...
известно число I членов этой суммы и известны числа ль п2,... ;
требуется определить величины Ль Л2,... и ab a2,...
Написав предыдущее выражение в виде
/r(x) = BIsin41x-}-Ci cos пхх -j- В2 sin п2х -f- С2 cos п2х -j-...
....4-Btsinntx -f-Ctcos,
мы видим, что стоит только снять с чертежа значения функции /(х),
соответствующие 21 значениям переменной независимой х:
Xj, х2, х3,..., хи,
и у нас составится 21 уравнений первой степени относительно иско-
мых коэффициентов В.к и Ск, и, следовательно, вопрос сведется к ре-
шению системы этих уравнений.
Само собою разумеется, что можно брать большее число значений
функции /(х), нежели строго необходимое 21, и при решении систе-
мы составленных уравнений применять метод наименьших квадратов
(см. гл. VIII).
,Когда периоды Ль 12,...,1. соизмеримы между собою, то нетрудно
видеть, что надо взять длину L, представляющую наименьшее кратное
всех величин Ль Х2,..., и, распределив по этой длине п равноотстоя-
щих абсцисс
• *1, х2, х3, ...,хл,
§ 62<] < I ' разложений Функций на составные волны
189
мы при решении по способу наименьших квадратов полеченной системы
уравнений будем иметь упрощения, совершенно подобные описанным
в § 53.
В общем случае периоды не будут соизмеримы между собою, и ска-
занные упрощения не будут иметь места, и вычисления .становятся
весьма утомительными, если их производить по общим правилам.
Следующее замечание позволяет определять приближенную величину'
коэффициентов, не’ решая обычными приемами вышеуказанной системы
многих уравнений со. многими неизвестными, а в этом решенци и со-
стоит одна из главных трудностей.'
Возьмем равенство
/(х) = Вх sih/ii х-}- CjCos/i] BEsin л £х-(- G сс5Лгх-{- • • •. 1 (*)
в котором функция /(х) задана, величины
2те 2тс г '
nI==x; n2 = v;,.. .
известны, число членов задано, и требуется лишь определить величины
коэффициентов.
Положим, что
^1 > ^2 > ^3 " •»
выберем такую длину Lb которая представляла бы целое кратное длины
например £1=1021 или вообще £| = Л]Д|, и, умножив обе части равен-
ства (*) сначала на sin«jXdx, затем на cosnjxdx, проинтегрируем его
в пределах от 0 до L\.
Так как функция/(х) задана (хотя бы графически), то интегралы
стоящие в левой части, могут быть вычислены. Пусть будет:
Il Lt
= ^/(xJsinnjXdx, Mt = ( f (x) cos ntx dx,
о о
и у нас получаются равенства следующего вида:
Al
Nj = Bi j sintr^x dx-\-Ci J cos«ix sinn(xdx-|-
o о
Ll
+ 2J Вкз1пплх sinnix dx-]- J CftcosnftxsinHjxdx,
о 0
о
a
J Ck COS nkX COS x dx,
о
+2jjB*sinn* x cos nfx dx 2J
0 ’
а так как, по предположению,
/ n i „ и 2к „ 2я
м — Pi*i и ni — > • • •» пк = у»
причем pi есть целое число, то будет:
£
sin2n1xdx = yj(l — cos2ntx)dx = y Ц =
о
cos2n1xdx = y f(l -|-cos2n|X)dx = yZt =
. о
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
(г*. V
Z> Z,
J cos n(Jf sin ntx dx — у J sin 2n{x dx 0,
о 0
Aj Lt
j sin nkx sin ndx » у f
• 0
_ 2 pin *«)41 _ sin Qtjt+ni) 41
21 ** —ЯН »* + «!
«1) ж — cos («* 4-«i)x] dx
e sin 2к v=2i ^zz^|ип •
i, ! Z.
J cos nkx cos ntx dx = у j [cos (Л* — rti)x + cos (nA+x] dx =
о 0
= i L-4:+4vl sin »<» 2* ”4 - r -M-, sin 2,^1
n* + nlJ \ П^—П? 1* 2k\2_\2 I*
Lt Lt
( cos«Axsinnjxd»== у f[sin(/ift4-«i)x —sin(nA — nt)x]dx
1 Г 1 1 1£'
= ~2 [ COS («* — «1) x — йГ+Zh C0S K+ n«) X Jft e
= 1(_1______
2 «*
cos 2к^1
=______51_(1 _
и, наконец,
Lt L
jsin nkx cos пре dx = у j
t 0
= — 1 [ 1
2
nk
' 2 k"* —Л1 «л+"1/
= _12*h_ fl _cos2«5ik
2" If->2 V h
— dx =
—J cos(n4 — »i)x I =
nk~nt Jo
cos2«£ib-^,=A i_________cos2itP1>1 \
С052я1а; Ч Г
Таким образом, по разделении на Ь. у нас получатся уравнения
Ц = PiBt + 2ii J]х2_х2 Влsin 2п ~ jji Сь — cos 2ir^
и
- p.c.+a s х-ДB- ( - “s <-)+r. S c«sin 2" v
причем при суммировании исключается значение Л=1.
§62}
мздежвнив «мнкции насюставимеволиы
19F
Взяв затем такую величину Z2, чтобы она равнялась целому крат-
ному длины Х2, т. е. чтобы было Z®=p2X2, где р2 — целое число, и со-
ставив интегралы
М2=J/(x)cos л2х dx
и
Na^ J/(x}sinn2 х dx,
о
мы цолучцц два уравнения вида
»2
А М, - РА +1 £ В, (1 - cos 2, А)+
причем при суммировании исключается k = 2.
Суммирование во всех этих формулах и уравнениях распространяется
на значения k
1, 2, 3, 4,
Совершенно так же будем поступать и для остальных коэффициентов.
Полученная система уравнений заключает те же самые неизвестные,
но она представляет ту особенность, что в каждое из этих уравнений
входит одна из неизвестных, имея большой, коэффициент, при всех же
остальных неизвестных, содержащихся в этом уравнении, коэффи-
циенты — малые. Такая система уравнений допускает решение по спо-
собу последовательных приближений, причем за первое приближение
можно, принять систему
^-Nx = pxBx, ^Мх = р£ь
*1
2 2
N2 = РаВ2, Af 2 = PaCa,
откуда следует:
R'_ 2^i n'
‘“pAi’ 1 “pAi’
r'_2JV2 C' 2M2
2 P2k2 ’ 2 P2*2
Чтобы получить второе приближение, подставляем найденные при-
ближенные величины Вх, Схвместо Вх, Сь... под знаки сумм;
пусть значения этих сумм будут соответственно:
S] и Тх, Sa и Т2,...,
192
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ"- В'* ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
(ГЙ.-V
составляем систему
Л Л’2 = ц At, — Ра^а 2.
отсюда находим второе приближение. По нему совершенно, так же най-
дем третье и т. д., пока два последовательных приближения не дадут
для наших неизвестных значений, разность между которыми лежит
в пределах требуемой от результата точности.
Подобного рода вычисления приходится делать при исследовании
приливов в данном порте; здесь мы не можем входить в подробности
этого дела и отсылаем читателей к статье капитана 1-го ранга А. М. Бух-
теева «Наблюдения приливов на Мурмане и обработка этих наблюде-
ний» (Зап. по гидр., вып. XXXII, 1910).
§ 63. В том случае, когда величины периодов- тоже неизвестны,
а задана лишь кривая /(х), представляющая по своему характеру нало-
жение нескольких синусоид друг на друга, то разыскание этих состав-
ляющих становится еще сложнее предыдущего, и вычисление может
быть выполнено или путем последовательных приближений, или более
точно, как показано в § "64.
Понятно, что в этом случае составление уравнений вида
f(x*y= Ло+ BiSinnjXj-l-C] cos n1xA,4-;B2sinn2xA[4“ ^2 COS?22X*4".... (*)
которые мы получили бы, приписывая абсциссе х какое-либо частное
значение х = хк и снимая с чертежа соответствующее значение функ-
ции/(xfe), не ведет непосредственно к цели, ибо в этих уравнениях не
только неизвестны Ао, Blt Сь ..., но и величины nh п2,..., тем более
что уравнения по отношению к этим последним неизвестным трансцен-
дентные.
Сущность того приближенного метода, который в этом случае удоб-
нее применяется, состоит в следующем: пусть y=f(x) есть та данная
графически кривая, ординаты которой представляют сумму соответ-
ствующих ординат нескольких синусоид, или, как принято выражаться,
сумму нескольких синусоидальных кривых, наложенных друг на друга,
так что
f (х) = Ао 4- А! sin (л ХХ + а 0 -|- Aj Sin (П2Х + а2) 4-...,
причем положим, что .. .,
Возьмем какую-нибудь длину Lx, по1 возможности большую, и вы-
числим интеграл
J/(x)dx.
о
Тогда приближенная величина Ао будет:
£j-
A^ = j-^f(x)dx.
§ 63] РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ НА СОСТАВНЫЕ ВОЛНЫ
193
Переносим ось х параллельно самой себе на величину Ло и состав-
ляете функцию
fi(x)==f(x)~H0 = i41sin(n^ + ajJ + ^sin(n2x + а2).
и, пользуясь интеграфом Абданк-Абакановича или вообще юдним из
способов, изложенных в предыдущих главах, составляем функцию
Fi(x) = ^fi(x)dx.
о
Очевидно, что эта функция будет:
Fi (х) = — cos (nj* + <4) + cos (п2х + а2) +...]+
(— COS o-i 4- — COS а, -I- .. .
\Л1 л2 Z /
Взяв опять ту же длину £ь вычисляем интеграл
Х|
(x)dx.
Q
Тогда опять имеем приближенное равенство
h
f^cosaj + ^cosа24-.. .^ = г- [p\(x)dx = Д’».
\ Л| ^2 J J
О
Переносим опять ось х параллельно самой себе на величину Kj и, со*
ставив функцию
/2(x) = Fi (х) —
интегрируем ее и получаем:
F2(x) = J/a(x)dx.
о
Ясно, что будет:
f2 (х) = — [A sin (П1Х + ai) + sin (n2x + a2) -f-... +
—[-/^sin <x, —^sin a2—\.
\П1 «2 )
Вычислив затем интеграл
Jf2(x) dx,
0
получим приближенную величину постоянной
4*sin a2 + ^2sina2+ • • . = ^2
Д1 п2
и продолжаем описанный процесс далее.
Нетрудно видеть, что вследствие такого процесса происходит: у на-
чальной кривой амплитуды слагающих волн относились между собою
как числа
Л1:Л2:Л3: ...
После первого интегрирования они относятся между собою, как
числа
Aj .Л2 .Аз .
пх * л2 ’ л8 ’ ’ ”
13 А. Н. Крылов
194
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
[гл. V
После второго интегрирования — как числа
ф
Л? Л? Л?
1 Z О
вообще после &-го преобразования амплитуды составляющих кривую
д(х) волн относятся между собою, как числа
Aj .А? . Аз .
* гЛ * гЛ * ’ ‘ *
Л1 л2 л3
Если при построении кривых f} (х), f2(x)...д(х) мы будем брать
такой масштаб, чтобы наибольшая ордината преобразованной кривой
оставалась приблизительно такой же величины, как и у преобразуемой,
то мы увидим, как постепенно кривая сглаживается, причем последо-
вательно отпадают волны коротких периодов, и ясно, что когда мы
сделаем столько преобразований, что величина |—)Л2 будет настолько
\И2/
мала по сравнению с Ах (чего всегда достигнем, ибо, по предположению,
П1<СП2)> что она на чертеже становится уже незаметною, то кривая fk(x}
будет представлять собою чистую синусоиду вида
AW = ^sin(nix+a')’
п\
вычерченную лишь в ином масштабе’ для ординат, нежели предложен-
ная кривая /(х). С этой синусоиды находим длину Лх ее периода, а зна-
2«
чит, и величину П] = г-.
*1
Обратив затем внимание на масштаб ординат, найдем сейчас же,
зная nh и наибольшие по абсолютной величине ординаты кривой Д(х)
и амплитуду а по месту пересечения этой кривой с перенесенной
осью х — и начальную фазу ab
Таким образом, получается волна
Л1 sin (пхх -}- = А1 sin -|- а^,
длина которой Я| есть наибольшая.
Вычертив эту волну, составляем функцию
<р (х) =/(х) — Л] sin (п,х 4- aj)
и подвергаем эту функцию тому же процессу,, изменив в-случае надоб-
ности и весь масштаб чертежа, т. е. и масштаб для абсцисс, что удобно
делается пантографом или фотографически, и получаем вторую волну,
т. е. синусоиду
А2 sin (n2x -J-- а2)
и т. д., «отсеивая» описанным способом одну волну или слагающую за
другою, начиная с волн наибольшей длины.
Конечно, описанный процесс, если его исполнять без всяких вспо-
могательных средств, т. е. интеграфа, планиметра, пантографа, фото-
графического и проекционного аппарата, будет весьма утомителен, но
если обработка и исследование записи f (х) производится при надле-
жащем оборудовании, то описанный процесс далеко не сложен, тогда
как решение системы уравнений таких, как уравнение (*), требует про-
должительных вычислений, как то видно из следующего параграфа.
Понятно, что когда приближенные величины
Л], о.।; А2, w2, &2’ * • •
§ 64]
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ НА СОСТАВНЫЕ ВОЛНЫ
195
найдены, то можно найти более точные по общим правилам разыска-
ния поправок, которые изложены в главе VIII о способе наименьших
квадратов.
§ 64. Ряды, расположенные- по синусам и косинусам аргументов раз-
личных периодов, представляют частный Случай рядов, расположенных
по показательным функциям.
Пусть будет
Z7 (х) = а^еа,х a^easX asea,x ... (1)
такой ряд; ясно, что когда числа
а1» а2» &8, . . .
чисто мнимые, то этот ряд сейчас же преобразуется в тригонометри-
ческий, когда же эти числа комплексные, то члены ряда будут вида
geaxcosbx и geax sin bx.
Таким образом, вопрос сводится к определению коэффициентов
Я], й2» ^8> ' • •
и показателей
а1> а2> а8> • • •
в ряде (1), когда в нем для представления заданной функции или кривой
берется определенное, обыкновенно небольшое, число членов.
Для простоты рассуждения положим, что взято три члена, так что
мы хотим представить заданную кривую формулою
У а^л'ха2еЛгХ. (2)
Отметим равноотстоящие абсциссы
х0, *о ., х0 —J- nh (3)
и снимем с чертежа или вычислим соответствующие им ординаты
Уо. Уи У п. (4)
Положим
Pl = а^, Рг^а^, р3^а3еазХ°, (5)
2i = e“,A, z2=e”*, z3 = e4,h; (6)
тогда, полагая в формуле (2) последовательно х равным значениям (3),
получим следующую систему уравнений:
Уо — Pi Р2 Ч- Рз >
У1=Р121 -+-р^2 4~ Рз2з,
У2 — P\Z2X 4“ P2Z% + Ра2^ ,
Уз = Pizi + Р&?2 Н- Рз£\ >
Уь = Pi2kt 4- p3z* -|“ Рз2* ’
Ук+i = Pi2*+1 + Рг2з+1 + Рз2*+* »
Уи+2 ~ PlZ*+2~h Р&^-У Рз23+2 ’
Ук+3 =“ Р12Г3+ Р222+Ч Рз23+3 .
Уп — PlZl Н" Р^2 Н- Р&З •
13*
196
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
[гл. V
Из этой системы и надо определить неизвестные
Рь р2.Рз и 2ь *2. za-
Положим, что величины zb z2, zB суть корни уравнения
2з4-Сз24-Вг + Л = 0. (7)
Возьмем в нашей системе какую-нибудь группу четырех последо-
вательных уравнений, например группу (*), умножим первое уравнение
этой группы на А, второе на В, третье на С и приложим к четвертому,
получим:
Вук+Х + С У к+2 ~г Ук+з И + ^21 + Сз, 4~ г,) +
Ч'Рз2^ ( Bz2-{- ^z2~b г2.) “Ь Рз2* (Л4-Вгз + С4+2! )•
Так как, по предположению, zx, z2, zs суть корни уравнения (7), то
Л“|- Bzj —Cz? —}-z^ = О, А -1~ Bz2 -р Cz^ -f- z* = О, А —Bz3 —J- Cz2 —j— zB = О
и, значит, будет:
АУк 4“ ВУк+\ 4“ СУ к+2 ~Ь Ук+з ~ 0* (8)
Таким образом» полагая последовательно k равным
О, 1, 2, ...,п —3,
получим систему линейных уравнений с неизвестными А, В, С:
Ау0-\~Вух. -{-Су2
АУ1+ ВУ2 + Суа
Ау2-\-Вуа -\~Су4
+ Уз = О»
+ Р4 = °»
+ Уз = О»
(9)
Лр„_з4- Вуп_2+Cp„_t + уя = 0.
Решаем эту систему по методу наименьших квадратов (см. гл. VIII)
и, получив вероятнейшие значения величин
А, В, С,
составляем уравнение
z3-{-Cz^-{-Bz-\-A — 0
и вычисляем его корни
21» Z2> Z3
и найденные значения подставляем в первоначальную систему, которую
опять-таки решаем по способу наименьших квадратов, и находим не-
известные
Рь Рз» Рз»
после чего из уравнений (6) получаем:
ai = ylnzb a2 = ylnz2, a8 = ylnz8, (10)
затем
ах = рхе~л'\ a2 = P2e-** as^ p.e^, (11)
тогда в формуле
у = сце'4*-}- a2e“iX+a8e“^
ясе будет известно.
Очевидно, что это рассуждение само собою обобщается на тот слу-
чай, когда в формуле (1) взято не три, а бблыпее число членов.
ГЛАВА VI
ФОРМУЛЫ, ВЫРАЖАЮЩИЕ СВЯЗЬ МЕЖДУ СУММОЮ
И ИНТЕГРАЛОМ, РАЗНОСТЯМИ И ПРОИЗВОДНЫМИ.
ФОРМУЛЫ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ
§ 65. Представление функции под видом тригонометрического ряда
дает возможность вывести знаменитую формулу Эйлера, выражающую
зависимость между суммою ряда и интегралом. Эта формула имеет то
важное значение, что она дает возможность вычислять по приближению
как суммы рядов, так и интегралы.
В § 48 указано, что когда функция задана в промежутке от а до
а-[-21, то она представляется таким рядом:
+ Л, cos?L<£=£>+... +4cos .
l I •• L
причем
a+2*
c a>=4- j
a+2l a+2l
rO)cosOT(e~^< Bn=-L j
a a
Вместе с тем в главе V доказано, что если в формуле (1) положить
х = а, то получится сумма, равная
4-l/(°) + /(a+2Z)],
т. е. будет
а+21 со «4-2/
4-/(а) + 4/(а+2/)=4- j + j /(0cos n^=^-dx. (2)
а л»1 a
Полагая 21 = h, можем формулу (2) написать так:
«4-Л oo а * h
4-/(а)+4-/<а+А) = 4- + S J /(5)соз?^р1>Л.
а л—1 а
Умножая на А и написав х вместо 5 под знаком интеграла, имеем:
«4-Л оо «4-Л
-г1/(«)+/(«4-Л)1= J/(x)dx + 2j] J/(x)cos2-^=£)dx. (3)
а л-1 а
Положим теперь, что дана какая-нибудь функция /(х) в промежутке
от х = а до х = Ь (фиг. 66).
198
СУММЫ И ИНТЕГРАЛЫ. РАЗНОСТИ И ПРОИЗВОДНЫЕ
[гл. VI
Разделим промежуток b—а на произвольное число k равных частей,
и пусть
b — а ,
тогда абсциссы промежуточных точек Л2,..Ак_х будут соответ-
ственно:
а A, cl 2А,..а —[- (А — I) h.
Применим для каждого из этих промежутков формулу (3), тогда за-
мечая, что
LUd --- -----------------
h
получим следующий ряд формул:
a-^-h оо g-Kfe
4[/(«)+/(« + = J f(x)dx~\-2 J] j/(x)cos -2я”(*~а) dx,
а л=1 а
a4-2/i оо д+2Л
А[/(а + А)+/(а+2А)]= J f(x)dx + 2^ J /(x)cos 2nK<x—± dx,
a-[-h п=\ a±h
\№+<Р ~ W+f(a+ph)\ =
a+ph оо «4*М
= у /(x)dx + 2jj f(x)cos2mz{x~a)dx,
«4- h №1 «4- (/?—1) h
_л_[/(а+(^_1)А)4-/(А)] =
b co b
= У /W^) + 2£j У Дх)со82я”(*~^х.
aH^-1) h n~l «4(Л—1) h
Складывая эти все равенства, в левой части получим следующую
сумму:
т = 4-/{а + A) +f(a + 2А) + ... +/(а + (k - 1) h) 4-
т. е. как раз ту сумму, которая при вычислении по правилу трапеций,
будучи умножена на А, представляет приближенную величину площади
AqCBA# в правой же части получится:
Ь оо b
. J/(x)rfx + 2 ^y/(x)cos2,nt(^-~^dx.
а п=\ а
§ 63]
ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА
199
Итак, имеем равенство
T-h
b со Ь
= J/(x)dx + 2
а п=1 а
2лл (х —а)
COS----Ч-----
л
dx.
(4)
Заметив, что b = a-\-kh, преобразуем стоящие под знаком суммы
интегралы, интегрируя по частям 2р раз сряду; получим:
=4£/Wsi„ _±4р,.МЙ>«к=1 dx.,
=2=^ -ад? Wcos dx-
- - w +Мч>‘ P"w sin dx-
i(5r),p"«sin^^>dx =
=- Р6Ф"w c°s +P Ш’ J/,v cos ix-
— закон последовательности членов очевиден; подставляя пределы а
и b = a-\-kh, видим, что все члены с синусами пропадут, все же коси-
нусы вне интеграла при обоих пределах обращаются в 1, так что, сло-
жив полученные равенства, будем иметь:
f/Wcos dx=.
= р(хр'(',> —/'<“)! -Р(Р)‘If"<*> -/"'(«)! +
+ 7F l/V W W1 + • + (->+
b
+ (-1)' (PpP P" W
a
Делая здесь последовательно n=l, 2, 3,..., подставляя в фор-
мулу (4) и вынося постоянные величины за знаки сумм, получим:
Th = j/(x) dx + 2 (Ay [/- (6) __/r(a)] -
а л==1
- 2 (^)* [/’" m -r (“)i J -i-+2 (i)’ tzv m -f wi £ у+•
л=1 л-1
.... + 2(-1Г‘(А)2р[/^-1’(й)-/^-1’(а)] J-A + /?2r (5)
rt-1
200
СУММЫ И ИНТЕГРАЛЫ. РАЗНОСТИ И ПРОИЗВОДНЫЕ
[гл. VI
причем
= 2 (-IF(iy w‘°*
п=\ а
Известна следующая общая формула:
е „ V 1 ^•вр22Р~'1 __
^2р~ 2j nV> Ь2-3...2р — (2р)!
л-1
где Вр есть так называемое р-е бернуллиево число.
Первые из вышеприведенных сумм по этой формуле оказываются
таковы:
S2 = 4 = 1.6449341, S4 = 4 = 1 -0823232,
S6 = S= 1-0173431’ S8 = 94o = 1 -0040773,
^«=^='-'“9946-
Подставляя эти величины в предыдущую формулу, получим:
Th = р (х) dx + 4- А2 [/' (b) -f (а)] - ~ & \f" (b) -f" (а)] -f-
а
+ 3WA61/V W - -«600 A8 l/V“ & -f™ (°)] +
+ 4«ТббА,0^Х^-/1Х^----
• • • + (-1)₽"1^ГА2р ^-1) W-/<2/’"1,(a)] + ^, (6)
причем
T= 4- /(а)+/(а+A)+... +/(a+ {k- 1)h)+±-f(b)
и остаточный член
^ = 2(-1)₽(iy₽S^’J/(2/’) ^)cos--ft~a) dx.
л-I a
Это и есть знаменитая формула Эйлера, выражающая связь между
суммою и интегралом.
По поводу выражения остаточного члена заметим, во-первых, что,
интегрируя один раз по частям, имеем:
f/(2^(x)cos dx =
и
-[4-j-/!'”«sin|^+,>Wsin
а
Ъ
=-~1,1
§ 66]
ПРИМЕРЫ ПОЛЬЗОВАНИЯ ФОРМУЛОЮ ЭЙЛЕРА
2ОТ
Следовательно, можно писать:
л—1 а
Введя функцию
ОО
р / _ V 81п2я*(х—а)
2/Ж V*' — ZJ 22Рх2р+1 „2/Ж ’
Л-1
можем переписать остаточный член в виде
j>*‘ (x)P2p+i(x)dx.
а
Формула (6) может служить как для вычисления суммы
5=/(а)4-/(а+Л)+/(а+2А)+...+/(а+(Л-1)А)+/(^
так и для вычисления интеграла
J f(x)dx.
а
В самом деле, очевидно, что
5=т+4 If («)+/«
и формула (6) дает для вычисления суммы такое выражение:
5 = -Г fa)dx + 4 [/(«)+/(*Л + 4 A tf(b) -Г (а)] -
-40ЛЗ[/"'(А)-/"'(а)] + ...+
+(-1)₽"14н2р-1 ^uw-/2'“u(e)i+^ (7>
и наоборот, для вычисления интеграла имеем:
j f (х) dx = hT —L Д2 [// (/,) Л* [/"'(b) -f" (a)] -... .
• • • + (-1X A2P (b) -fp~" (a)]. (8>
§ 66. Дадим теперь несколько примеров применения формулы Эйлера
для вычисления сумм.
Пример 1. Вычислить при большом k сумму
Очевидно, что если k — число большое, например 1 000 000, то непосред-
ственно вычисление этой суммы невозможно. Воспользуемся форму-
лой (7). Для этого стоит только положить:
f{x) = ~\ a=(l; b — k и Л=1;
тогда будет:
s =/(a)+/(a+*)+..-+/(4)-1 +4-+-3-+ •• -+т
202
СУММЫ И ИНТЕГРАЛЫ. РАЗНОСТИ И ПРОИЗВОДНЫЕ
[гл. VI
я, заметив, что
b k
J-^-dx = ln£,
а 1
гм=(т-)'=• гм -гм=1 - 4-.
г" w=(4*)”'=-1 •2 •3 • у • <“> -1 •2 •3 [1 - v
имеем по формуле (7):
и
1
где
р /у\_ 1 VI sinBffltx.
5 \ ) 2Ъс& ,л5
•есть непрерывная периодическая функция с периодом, равным единице.
При беспредельном возрастании целого положительного числа k инте-
грал
1-2-3-4-5 п , ч ,
^6 ^5.(X)
1
стремится к конечном у пределу, й изшредыдущей формулы для Sk мы ви-
дим, что разность Sk — 1п£ имеет конечный предел при беспредельном
возрастании k\
liniK'S* — In £) = С.
Л-*оо
Этот предел С называется постоянной Эйлера. Мы можем таким об-
разом написать:
Sk =₽ <1П k ц- с -|- е^,
где ел стремится к нулю при беспредельном возрастании k. Обращаясь
к написанной выше формуле для Sk и считая, что в ее остаточном члене
положено £ = оо, получим следующую приближенную формулу для вы-
числения С:
С ’
где
/ 1 \ _ 1 1 Г 1 । 1-2-3 1
у k ) ~~ 2 k 12 £2 720 £4
Применим указанную выше приближенную формулу для С при £=10.
66]
ПРИМЕРЫ ПОЛЬЗОВАНИЯ ФОРМУЛОЮ ЭЙЛЕРА
203
Чтобы вычислить 510, поступаем так:
с _1 I_!_।_J_I_L_ j_!_1_J_I_1_I_?_1_!_।_L_
°Ю 1>2' *3‘4‘5 1 6 ’ 7 • 8 ‘ 9 ‘ 10
2 1 4 8! 3 ' 6 ‘ 5 1 10 । 7 9
— 9 3 з 2
8 10 7
1 .
9 ’
2 = 2.0000000
4- = 0.3750000
О
4- =0.3000000
4= 0.1428571
^-«=0.1111.111
510 = 2.9289682
In 10=2.3025851
510—In 10=0.6263831.
( 1 \ _ 1 1 1 1 । 1 1
\ k ) 2 ' k IT * k* "t" 120 * k*
-значит,
_фш =__________-4-—________L._L
Y \ 10 J 20 । 1200 120 10«
~= 0.0500000
—0.0500008
+0.0008333
— <P (ту)^ —0.0491675
5IO — In 10= 0.6263831
5 = 0.5772156 ’
причем здесь все знаки верны, так как более точное вычисление дает
С = 0,5772156649015328 ...
Пример 2. Вычислить величину
1п(Ь2-3-4...Л),
иначе сумму
5ft = In 1 + 1п2 + 1пЗ+ .. . + tak;
Непосредственное вычисление этой суммы представляется затрудни-
тельным при большом k. Пример этот доставит нам вывод знаменитой
«фррмулы Стирлинга, дающей величину суммы Sk для больших значений
числа k.
Полагаем в формуле (7)
f(x) = \nx, а=1, b = k, Л=1.
204
СУММЫ И ИНТЕГРАЛЫ. РАЗНОСТИ И ПРОИЗВОДНЫЕ
(ГЛ. VI
Имеем:
ь п
§f(x)dx = ^lnxdx = [x 1пх — x£“* = £ln& — k-\- 1,
а 1
rw=4«/'^)-/'(a)=4--1’
/"'(*) = ^ /"'(/’)-Г(а)=Ь2(^-- 1) , /v(x) = ЬУ‘4 •
Таким образом, можем написать:
5, = 41ПЛ-4+41п4НИ+Д4-1)-А(Д— 1)-
k
-^-^^-Pb(x)dx,
где Р8(х) имеет указанное выше выражение. Мы можем переписать пре-
дыдущую формулу в виде
5л-Л1пЛ-4 + 4-Ш4+С, + 4.4-315.4+|!-Ц^-Р5«А;.
Л
где
с> =1 —пг+ а - jр><»> “*
1
Обозначим:
к
Полагая х = $, получим:
р _ 1-2.3.4 СР8(^Ь
Гк~ k* J fl at'
i
Из выражения для Ръ(х) мы имеем:
1^5(х)1 < sits’ >
л-1
и, обозначая т=-^ , получим:
ОО
in 1.2-3-4.m С dt 6т
-------ki--J-f5’ = ’feT’
i
откуда видно, что Рк стремится к нулю при возрастании k, причем
произведение k*Pk остается ограниченным.
Можно показать, что и произведение №Рк остается ограниченным.
При принятых обозначениях формулу для Sk мы можем переписать
в виде
•**= (*+4)1п*-н-С1-ь*. (*>
где
_ 1 1 _ 1 1 , „
1)*“ 12 ‘ й 360 * » Т
§ 66]
ПРИМЕРЫ ПОЛЬЗОВАНИЯ ФОРМУЛОЮ ЭЙЛЕРА
Для определения постоянной Cj воспользуемся формулой Wallis'a:
я _.. (2.4-6... 2л)2 1
2 12-32-52... (2л—I)2 ‘ 2n-j-l ’
Эту формулу можно писать так:
2-4.6...2л 1 (2.4.6...2л)2 1
X 1.3.5...(2л-1) Г2^+Т = ll™ (2^)! Г2МЙ
22Я-(л!)2 1
= lim —7о\, - • ......- .
л—оо (2л)! у 2л 4-1
Логарифмируя и обозначая попрежнему:
Se= In 1 4- 1п2-|-.. .-f-lnn,
52л = 1п1 + 1п2+...4-1п(2/г),
получаем в силу формулы (*):
41птс---i- ln2 = lim|^2nln2 + 2Sn —
- [(2п + -А-) Ш (2л) - 2п + С, + т)2п] - -L ]п’(2Л + 1)} =
= lim Г41п2-41п2^±1+С1 + 271„-^1.
Л->ОО L J
При неопределенном возрастании числа п1п2я +1 имеет своим пре-
делом In 2; величины и имеют своим пределом 0, и предыдущее
уравнение дает:
Ci = 41ПТС + ”Г1112 = 1П К2«-
Таким образом, имеем формулу
5Л = ^+ 4)ШЛ- Л+1п/2^+^, (1)
где
_ __L J____L _Lj_p
— 12 ’ k 320 * Л» “т- гк'
Из этой формулы следует такая
1-2-3... А = ]/2^-Л*(2)
В этой формуле последний множитель при возрастании числа k имеет
своим пределом 1, следовательно, предыдущее равенство выражает та-
1«2*3 k
кую теорему: предел отношения — при неопределенном воз-
растании числа k есть 1. Чтобы показать степень точности этих формул,
положим k= 10 и вместо натуральных возьмем обыкновенные табличные
логарифмы; тогда формула (2) дает:
lg(l-2-3... 10) = lg]Z2^+^10+4) —10^ +
I 12 10 360 1000 * ) *
причем
М = 0.43429448.
206
СУММЫ И ИНТЕГРАЛЫ. РАЗНОСТИ И ПРОИЗВОДНЫЕ
[гл. VI
Таким образом, имеем для правой части равенства:
1 ОМ = 4.3429448
й " = 0.0000012
4.3429460'
4"lg2= 0Л505150
-^-lg* = 0.2485749
4-lg2*= 0.3990899
10 +-|-= 10.5000000
0.0036191
10.9027090
— 4.34'29460
lg^ = 6.5597630
С другой стороны, имеем:
М = 1-2-3-4... 10 = 720-5040 = 3628800, IgM = 6.5597630,
т. е. наш результат верен до последнего знака; следовательно, если бы
мы этим результатом воспользовались для определения lgCx то хотя и
получили бы lgС] = 0.3990899, по тогда формула не имела бы того изя-
щества, которое ей придал Стирлинг.
Пример 3. Вычислим по формуле Эйлера интеграл
fr^- = In 2 = 0.69314718,
о
который мы имели в § 32 и для которого при h= .
АТ = 0.69377
Мы имеем:
/'(*) = -(1+х)-2,
/"(х) = 1 -2-(1 + х)-3,
/"<(х)= — 1 -2-3-(1 -1- х)~4,
следовательно, будет:
/'(!)=—Г’ =
/"0)=-4’ Г(0)=-б;
Затем
hT^ = 0.69377
is® =-0.00062
+® 1Г (1) - Г (0)1=+-Гйб» = + 0.00000
0.69315
Таким образом, получаем:
1
dx
1+1-
о
0.69315.
§ 67]
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ПО РАЗНОСТЯМ
207
§ 67. Интерполирование. Формула Эйлера дает связь между суммою
и интегралам для таких функций, аналитическое выражение которых
задано и для которых можно составить выражение производных первого,
третьего, пятого и т. д. порядков Но во многих случаях надо иметь
возможность вычислять интеграл, имея лишь частные значения функции
для последовательных равноотстоящих значений аргумента, в других же
случаях надо по таким же частным значениям найти частные значения
первой, второй и т. д. производной для заданных частных значений
аргумента. Этот последний вопрос представляется, например, в том
случае, когда, имея графическую запись движения центра тяжести
твердого тела, требуется найти величину равнодействующей сил, к нему
приложенных.
Решение как первого вопроса, так и второго относится к так назы-
ваемому интерполированию, для выполнения которого имеется множество
различных формул и приемов; из них мы ограничимся простейшими.
Положим, что для функции
У=/(Ч
заданной или не заданной аналитически, составлен ряд частных значений
Уо> Ун* У2, • • •, Уп,
соответствующих значениям
a, a-\-h, a-\-2h, a-\-3h, ..., a-\-nh
аргумента.
По этим значениям функции составляют значения ее первых разностей^
а именно:
дУо=У1—у0; д«/1 = у2—Уй &у2=Уз—у2> •••; ^уп-х = у„—уп_х. (1>
По первым разностям составляют значения вторых разностей или
разностей второго порядка, вычитая из каждой последующей разности
предыдущую, т. е. полагая
Д2Уо = Дг/i — Дг/0. Д2У1 = ±У2~ дУь Д2Уг = ^Уз ~ д У2> ••• (2>
По разностям второго порядка составляем разности третьего порядка,
полагая
дзУо = Д21/1-дЧ. дз#1 = Д2#2—д2#ь Д3у2 = Д2]/8-Д2г/2, ••• (3>
и т. д., вообще будет:
дЧ = д* Д^1=^Д*-1!/2-Д*_^ь дЧ = д*"Ч-д*~’№,...
Таким образом, можем составить таблицу:
Т аблица 12
Аргументы Функции Первые раз- ности Вторые разности Третьи разности Четвертые разности Пятые разности
а- а~ а- а- а- а - а U2A -ЗА -4А -5А -6А Vo У1 У2 № У± J's .Уб Дуо ДУ1 д>2 Дуз Ду4 Д2Уо Д2У1 ДЪ’2 Д2_Уз Д3л Д8Л Д3№ дзу3 Д*Уо Д«У1 ДЪ'г Д5у0 д®л
208
СУММЫ И ИНТЕГРАЛЫ. РАЗНОСТИ И ПРОИЗВОДНЫЕ
[гл. VI
Эту таблицу часто располагают несколько иначе, вписывая разности
между теми двумя числами, из коих они образуются, и тогда запись
получает такой вид, как в таблице 13.
Из формул (1), (2), (3) и т. д. вытекают следующие соотношения:
Во-первых:
лУо = У1~ Уо>
Л2У0 = (Уг — Уд ~ (У\ — Уо) = У2~ 2У1 + Уо>
Таблица 13
№№ k Аргу- менты ** Функции У* Первые разности ау* Вторые разности д% Третьи разности дзл Четвертые разности д% Пятые разности Д5Л
0 1 2 3 4 5 6 а a^h a + 2h ci —J— 3/в а + 4Л а + 6Л .Уо .У1 V2 Уз У4 Уз Ул АУо АУ1 Ду2 АУз АУ4 АУз • • • Д2Л Д2_У2 Д*У4 дзл Д3у2 Д’л Д4л д!У1 Д4Л Д5у0 Дбу,
Д3Уо = А2У1 — Д2Уо = (У з — 2у2 + Уд — (У 2 — %У\ + У о) = Уз ~ 3f/2+ 3Fi — Уо«
-А4у0 = ДЗУ1 — д 3Уо = (У4 — 3Уз + Зу2 — У1) — (Уз — 3У2 + 3У1 — Уо) =
= У 4 — 4Уз + 6у2 — 4i/i + у 0,
-^Уз = У*-кук_х +
k(k-\) „ k(k-\)(k-2) "
1.2 ^*-2 1.2.3 ^*-3
... + (- I)*-1 + (О
причем в последнем выражении коэффициенты—биномиальные, т. е. те же,
как при возвышении количества (а—1)й, а вместо степеней буквы а
устоят буквы у с таким значком, как показатель при а.
Эта формула тотчас же проверяется переходом от k к
$ 67]
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ПО РАЗНОСТЯМ '
209
Во-вторых:
{/1 = !/о + Ч
У2 = У\ + ДУ1 == (Уо+дУо)+(дУо + ДЧ) — Уо + 2iy0 + Д2«/ф
Ул = У2+ЬУл в (Уо + Wo + Л2Уо)+( Чо + 2д2Уо+ Wo) =
— У о~}~ ЗДУо 4" 3 \syQ 4~ Д3«/о.
вообще
Уо+Wo+ А8Уо+*(*~!^(з~2) Д8Уо+-.- + д*Уо. (П)
причем и эту формулу легко проверить переходом от k и Л4“ I или же,
заметив, что символически можно писать
У! = (14-Д)у0, у2 = (1 +д)2Уо. Ув = (1 + д)9Уо. ••• .
допустить символическую формулу
УЛ = (!+Д)*Уо
и, обратив внимание, что тогда символически будет:
Уа+i = (1 + д) У к = (1 + д) (1 + д)*Уо = 0 + д)*+,Уо,
т. е., что приняв справедливость этой символической формулы для k,
видим, что она справедлива и вообще, а значит, справедлива и равно-
сильная ей несимволическая формула (П).
Формула (П), как видно, имеет место для целых и положительных
значений буквы k', эту формулу распространяют на любые значения k,
тогда, написав вместо буквы k букву t, получим выражение
Vt = Уо + ТдУо + Ц^-Д2УО+ Wo + -• • (Ш)
В правой части (III) мы получили бесконечный ряд от переменной /.
Сохраняя в этом ряде только п членов его, мы допустим погрешность,
которую можно оценить, исследоаав остаточный член этого ряда. Но
в этот вопрос входить здесь не будем, отослав интересующихся к сочи-
нению акад. А. А. Маркова «Исчисление конечных разностей» (стр. 20).
Очевидно, что выражение (III) представляет, такую целую функцию
•буквы t, которая обращается
при / = 0 в у0,
» i = 1 » уь •
» 1 — 2 » у2
и т. д.
Как видно, в формулы (II) и (III) при первом расположении входят
значения функции и ее разностей, находящиеся в одной горизонтальной
строке таблицы 12.
При втором расположении в эти формулы входят значения функций
и ее разностей, находящиеся в одной наклонной сверху вниз строке.
Ясно, что обе эти формулы можно писать, начиная с любого индекса п,
т. е. любого значения аргумента xn=a-\-nh, и у нас будет:
.• -+4Ч. (»')
= у„+ Л2«-+ 4Ч+ • • .. (№>
14 А. Н. Крылов
210
СУММЫ И ИНТЕГРАЛЫ. РАЗНОСТИ И ПРОИЗВОДНЫЕ
(ГЛ. VI
причем будет:
1/„+/=/[а-Нл-Н)Л].
Формулой (III), называемой интерполяционной формулой Ньютона,,
пользуются обыкновенно для составления значений функций у, соответ-
ствующих промежуточным значениям аргумента, лежащим Между а и a-\-h.
Так, например, положим, что даны значения а= 1000, А=10 и известны
значения функции у для ряда аргументов, идущих в такой арифметической
прогрессии; требуется составить значения у для промежуточных аргу-
ментов через h— 1.
' Пусть значения функции у даются таблицей 14.
Таблица 14
X У X У
1000 3.0000000 1030 3.0128372
1010 3.0043214 1040 , 3.0170333
1020 3.0086002 1050 3.0211893
По этим значениям составляем таблицу разностей:
Таблица 15
X У Д.У Д’у ДЗу
1000 3.0000000 0.0043214 - 0.0000426 0.0000008
1010 3.0043214 0.0042788 —0.0000418 0.0000009
1020 3.0086002 0.0042370 —0.0000409 0.0000008
1030 3.0128372 0.0041961 —0.0000401
J040 3.0170333 0.0041560
1050 3.0211893
Из этой таблицы ясно, что третьи разности №у в рассматриваемых
пределах аргумента можно считать постоянными и равными -|- 0.00000085
и, следовательно, писать:
у, - +i ^у.+
причем
у0 = З.ООСОСОО, &yQ = 0.0043214, Д2у0 = — 0.0000426
ДЗУо =-1-0.00000085.
12 3
Давая величине t последовательно значения^, jj, у^ит.д., распо-
лагая вычисления по следующей схеме (табл. 16), получим требуемые
значения у.
§ 67]
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ПО РАЗНОСТЯМ
211
Таблица 16
I II 111 IV , V VI
t X . /д.Уо t(t— 1) *(;_!) К-2) 1-2-3 &Уй -Уо+(1ПЖ1у)+ + (V) ~*у
0 1000 0 0 0 3.0000000
0.1 1001 0.00043214 0.00000192 0.00000002 3.0004341
0.2 1002 0.00086428 0.00000343 0.00000004 3.0008577
0.3 1003 0.00129642 0.00000447 0.00000005 3.0013009
0.4 1004 0.00172856 0.00000511 • 0.00000005 3.0017337
0.5 1005 0.00216070 0.Q00Q0532 0.00000005 3.0021661
0.6 1006 0.00259284 0.00000511 0.00000005 3.0025930
0.7 1007 0.00302498 0.00000447 0.00000004 3.0030295
0.8 1008 0.00345712 0.00000343 0.00000002 3.0031606
0.9 1009 ' 0.00388926 0.00000192 0.00000001 3.0038912
1.0 1010 0.00432140 0.00000000 0.00000000 3.0043214
При получении величины у восьмой знак после запятой отброшен,
причем седьмой усилен на единицу, когда отбрасываемый был более 5.
Взяв любую семизначную таблицу логарифмов, убедимся, что функция у
есть не что иное, как IgA:, и мы увидим, что все полученные нами зна-
чения верны до последнего знака.
Замечая, что в нашем случае
x = a-\-th
и
________________________________х — а
1 h~ ’
мы можем формулу (III) написать в таком виде
у = у„+
, (х—а)(х —д —ft)(x —a —2ft) №У() ,
“Г- 1-2-3
Само собою разумеется, что, взяв за исходное то значение, которое
соответствует индексу п,. будем иметь формулу
„ — ir-JL. ж—I (x — 9n)(X—Ha—h) Муп ।
у —Уя-|- 1 • h “Г ,1.2 fta Т“.
I (х— ап) (х~ ап ~~ h) (х ап—2h) _ №у0 । ztva
“г 1-2-3 fts ’ Д
где
а„ = а-{-лА
есть значение аргумента при индексе п.
При интерполировании по формулам (III) и (III') величине t обычно (при-
дают значения, заключенные между 0 и 1, а если исходить от ближайшего
показанного в таблице аргумента, то между—4- и +4-; то же самое
будет и со значениями -у- и при пользовании формулами
(IV) и (IV'); в этом случае все множители при разностях будут по
14*
212
СУММЫ И ИНТЕГРАЛЫ. РАЗНОСТИ И ПРОИЗВОДНЫЕ
[гл. VI
абсолютной величине меньше 1, благодаря чему эти формулы и дают
достаточно точные результаты.
Иногда приходится находить значение функции, заданной таблично,
для значения аргумента, лежащего вне границ таблицы; тогда прибегают
к так называемому экстраполированию, пользуясь тою же формулою
Ньютона, исходя от крайнего, показанного в таблице, аргумента; здесь
величине t или величине приходится придавать значение и большее
1 по абсолютной величине.
Так, например, положим, что, имея вышеприведенную таблицу значений
функции у для аргументов х от 1000 до 1050 через табличный промежуток
h = 10, мы хотим иметь значение у при х=960, тогда в формуле (IV)
пришлось бы положить
у0 = 3.0000000, h = 10, х—а = — 40,
Лу0 = 0.0043214, Д2у0 = —0.0000426, Д3г/0 = +0.0000008
и все разности выше третьего порядка считать равными нулю.
Подставляя в формулу (IV), имеем:
у0 = 3.0000000 = 3.0000000
= _ 4°,0^0043214 = — 0.0172856
х-а х - а - h _ (- 40) (- 50) [ - 0.0000426 \ _ п ППП49ЙП
1 2 Ю ~~ 1-2 Д 100 )--------U.UUU4ZOU
х—ах — a — h х — а — 2Л Д«^о_ (— 40) (— 50) (— 60) 0.0000008_ n nnnn.fin
“1 2 3 Лз — 1.2.3 1000 — v.uuuuiou
~ ~ 2.9822724
Значения множителей при Дг/0, Д2у0, Д3у0
суть 4, 10, 20;
поэтому в произведении — 0.0172856 нельзя ручаться за последний знак,
а в произведениях —0.0004260 и —0.0000160 нельзя ручаться и за два
последних знака, значит, в сумме два последних знака могут быть и не
верны, и, в самом деле, истинное значение есть
у = 1g 960 — 2.9822712. . < -„-н о
Но если бы мы захотели получить значение у, лежащее далёко вне
пределов таблицы, например при л = 500, то мы имели бы
х — а = — 500
и было бы
у0 = =3.0000000,
= _ 500 0.0043214 в _50.0.0043214 =—0.2161070,
1 Л 1U
^=^x.-a-h.^L = (-500)(-510)0.0000426 ==_1275,о оооо42б=—0 0533150,
1 2 Л* & iw
х — ах — а — h х — а — 2h Д81/о_
~ 2 3 Л» -
= (- 500) (- 510) (- 520) 00^0008. = _ 2210.0.0000008 = — 0.0176800
1 • 2. • о 1UUU
у = = 2.7128980
4 67]
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ПО РАЗНОСТЯМ
213
вместо
у = 1g 500 = 2.6989700.
Здесь накопление погрешностей произошло не только от отброшенных
в величинах Ау0, Д2у0, Д31/о знаков, умноженных затем на 50, 1275, 2210,
но главным образом от предположения, что третьи разности на всем про-
тяжении от х = 500 до х=10С0 постоянно равны 0.00С0008, а четвертые
и все следующие за ними разности в точности равны нулю, значит,
несмотря на большие при них множители, члены, этим разностям соответ-
ствующие, равны нулю. Ясно, что это предположение места не имеет.
Отсюда видно, что экстраполирование может давать надежные резуль*
таты лишь в смежности с границами таблицы, т. е. при малых значе*
* — а
ниях отношения —г— .
п
Очевидно, что Правая часть формулы (IV) представляет целый
многочлен относительно буквы х, степень которого равна порядку
последней из удержанных разностей. Этот многочлен принимает при
значениях переменной х, равных
a, a-\-h, а-|-2А, ... , a-\-kh
соответственно значения
Уо> Уъ Уг.....Ул-
Такой многочлен можно составить и не пользуясь разностями, напри-
мер по формуле Лагранжа (§ 28) или по методу неопределенных коэффи-
циентов, но какой бы метод ни применить, результаты будут тожде-
ственны между собою.
Во многих случаях при обработке опытов или наблюдений составляют
так называемые эмпирические формулы вида
у = Д -f- AjX-j- А^2 +... + Дх*.
не прибегая к методу разностей, затем применяют эту формулу не только
для значений х, лежащих в промежутке между наблюдениями, что
соответствует интерполированию, но и для значений х, лежащих вне
этого промежутка, что соответствует экстраполированию. Предыдущий
пример показывает, с какою осторожностью надо к экстраполированию
относиться и сколь малого доверия заслуживают результаты, полученные
для значений аргумента, лежащих далеко вне границ наблюдений.
При расположении, принятом для таблиц 12 и 13, предположено, что
индексы начинаются со значения 0 и идут в возрастающем порядке.
Ясно, что часто приходится пользоваться среднею частью таблицы,
тогда можно исходное значение функции принять за у0, приписать ему
индекс 0 и считать индексы в обе стороны, как показано в таблице 17,
причем разности попрежнему будут
*Уо = У1 — Уо> Ь2Уо = ЬУ\ — ЬУъ №Уо=&У1 — №Уо> ---
лУ1 = Уг — У1> ^У\ = ^У2 — ЬУъ Д3«/1 = Д21/2 —A2t/b •••
дУ2 = Уз — Уг» ^гУ2 = ^Уа~^У2> ^3У2 = ^2У» — ^2У2, •••
214
СУММЫ И ИНТЕГРАЛЫ. РАЗНОСТИ И ПРОИЗВОДНЫЕ
[гл. VI
Таблица 17
Индекс п Аргумент хп Функция Vn ^Уп ^Уп дч дч
\ *. . . со —• о *"* сч 00 . . ! Illi a—4h a~3h a—^h a—h a а+Л a+2h a-\-3h a-\-4h * «0 SI т •••I J 1 J • йУ-4 Д^-з ЬУ-2 ЬУ-l Ьуо Д^1 Д^2 . д4_4 My-i ^У-2 ^у-1 Д2№ Д2«/1 . Д2^2 Д^-4 Д^-з &У-2 Д8«/_1 Д3</0 Д^1 Д4^ Д^-з Д4У_2 Д^-1 Д4РО
(^Для^такого расположения таблицы попрежнему будем иметь формулы
Представим себе, что та же таблица разностей расположена по
индексам или аргументам, идущим в убывающем порядке, как показано
в таблице 18, причем разности для отличия помечены знаками 8, 82, 83,.. .
Ясно, что эти разности будут:
ЪУо =У-1~ Уо = —^У-и &Уо =ьУ-1 — ^Уо —д!/-2 =Д2«/-2>
= У-2 -^У-1 = — &У-2> 82У-1 = *У-2 — Ъу-t = ^У-2— &У-3 =
Ъу-2 = У-а — У-2= — ЬУ-о> .............................
так что вообще будет:
8Уо:= —82*/о = Д2У-2» ^Уо= — дз^-8. ^Уо = Д4«/-4» •••
Для таблицы 18 формула (II) будет:
у-к=Уо+k 4+ +fe(fe~jl(3~2)s4+
! *(*-1)(А-2)(6-3) ,4 ,
' 1-2-3-4 ?Уо~Г"’
Заменив разности 8у0, 82у0, ... их величинами через разности Д,
получим для таблицы 17:
^=11 ^.2-ццм^.з+
§ 68]
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ПО РАЗНОСТЯМ
215
Таблица 18
Индекс п Аргумент хп Функция Уп *Уп *Уп ^Уп ^Уп
1111 ... • • • 4Х 00 ьо о *-* to W 4* a±4h a+3h a±2h a-\-h a a—h a—2h a—3h a—4h СЧ CO . . , co о | 1 1 1 . . . »3> ду< *Уз &У2 8У1 , *Уо fy-i ^У-2 6У-» ^4 ^У2 &Уо ^y-t &У-2 ^У4 3Уз 6»уг 9*У1 «'Уз • • ^У4 *Уз ^У2 6*у0
т. е. формулу, в которую входят разности, находящиеся в косой строке,
наклоненной снизу вверх.
Очевидно, что, приняв за исходное значение уп, получим следующие
формулы:
и =и -kbit I Agu М*-1)(*-2) дзы /
Уп—к Уп ЯйУп-\\ 1.2 “ У п-2 b2?3---а Уп-Ъ~Г
, fe(fe-l)(fe-2)(fe-3) д4 _
“г 1.2.3-4 У П-4
у п-4 =• Уп-^Уп-х + &Уп-2 - АЧ-з+
I f(f-l)(f-2)(f-3) Д4 _
~r 1-2-3-4 /»-4 •••’
,. ,. X-ап &Уп-\ , (х — ап} (х — ап — Л) ^Уп-2
У~~Уп 1 h ' 1-2
• ая)(*~ «„-*) (x — gn — 2h) Ь?уп_3
1-2-3 »*••• * * '
Этими формулами приходится ^пользоваться при экстраполировании
в конце таблицы.
§ 68. Рассмотренные выше интерполяционные формулы представляют,
как уже сказано, целые многочлены относительно переменной х, при-
нимающие заданные наперед значения при данных значениях переменной х,
которые в нашем случае идут в арифметической прогрессии.
Очевидно, что более общий случай есть тот, когда эти значения не
являются равноотстоящими одно от другого, так что ставится задача:
составить такой целый многочлен
х = Л0 + Д1х4-Л2х2+... + Д)кхй. Г)
216
СУММЫ И ИНТЕГРАЛЫ. РАЗНОСТИ И ПРОИЗВОДНЫЕ
(ГЛ. VI
который при значениях х, равных
а0, аь а2........................ал,
принимал бы соответственно значения
Уо> Уь У2> • • • > Ук.
В § 28 указано решение этой задачи, данное Лагранжем, и приведена
его формула; покажем здесь решение, данное примерно за 120 лет перед
тем Ньютоном.
Полагая в формуле (•) последовательно
х = а0, х = аь х = а2, .... х = а*
я уравнивая получаемые результаты величинам
Уо> У\.........................Ук,
получаем для определения коэффициентов следующую систему уравнений:
Уо = AH' Аво+А0о4"А°о+’ •• +
yi = А~Ь Aai~b Аа1~Ь Аа1~Ь • •
у2 = ^0“f* А^Ч- •^2а*~|_ ^3a2~i~ • • • ~Ь А °2
J's = А+А°з+Ааз~1~ • • • +А*2*’
Вычитая первое уравнение из второго, второе из третьего, третье из
четвертого и т. д. и замечая, что правая часть первого из получаемых
таким образом уравнений делится на at—а0 второго — на а2—Щ третьего—
на а3—а2 и т. д., выполняем это деление и, обозначая левые части
через Зуо.Зу], 8у2, ... , мы получим уравнения
= 8J'o = ^i + A(ai + ao)+A(^ + aiao+ao)+--- >
— Ъ'! — А4" A (a2“l" al) + А (a2~b а2°1 а1)+ • • • ’
дА.дЗ' =^2= А + А(ав + Ог) +A(aj + a8°2 + a2) + ' ’ ’ ’
Поступая с этими уравнениями подобным же образом, обозначая
левые части соответственно через 82_у0, 82yb 82j2, ... , получим:
= Л,+А (о,+ а, + а0Н... ,
=&‘у1^Лг + Л3(а,+ а,+ а1)+... .
Поступим с этими уравнениями так же, и получим по разделении
на а3—a0, a4—аи :
§ 68]
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ПО РАЗНОСТЯМ
217
Отсюда ход выкладок ясен; если бы было желательно функцию у
представить полиномом третьей степени, то из предыдущих уравнений
мы получили бы:
Л8 = 83Л,
= 82_у0 — (а2 -}- а0) 83.у0,
Л j = 8у0 — (а| -j- ао) (а2°1 а1ао “I- а2°о) 83Уо»
Ао =Уо ~ ao8Jo+— «2«1ао83Л»
и, подставляя эти величины, имели бы формулу
У = У о+(х — «о) 81/о + [х2 — (а1 + Со) X + a ja0] &у0+
+ [*3 — (a2+a,+aoj х2+(aja, + aia0+а^а0) х—а^ад] 8зУ(г
или, разлагая величйнй,'стоящие й [ ], на множителей, получим:
У = Уо4- (х — a0) 81/о+(х — ад) (х — ai) 82^0+ (х — a0) (х — а{) (х — а2) &у0.
Совершенно подобно поступили бы и для функции любой степени
и получили бы формулу
У=Уо+(х— ад)Ьу0+(х — а0)(х — а,) 82^4-(х — а0) (х —а,) (х — а2)83у0+
+ . . . + (*— а0)(х— а,)(х — аг). . . (х — aft)8*+*уд .(V)
Расположение величин 8t/0, 82г/0,. . . показано в таблице 19.
Таблица 19
Индексы п Аргументы ап Функции *уп *Уп *аУп *уп . . .
0 1 2 3 4 5 ао *3 *4 «5 • • Уо У1 У2 Уз Уз Уз 4 • ^Уо ^У1 6у2 бУз ^У4 &Уо ^У1 iPy2 Ws &Уо ^У1 ^у2 • 8*00 6*У! • •
Таблица 19 составляется по следующей схеме:
8Уо = —Уо at —ао ’ 8% _9yi—Sy0 02 — Оо * 83Уо = Д»У1 —Д2у0 Оз — Oq
8У1 = У2—У1 О2-«1 ’ 821/1= __ Дуг—ДУ1 Оз — * 831/1 = ^У2—^Уз аз — °1
8У2 = УЗ — У2 Од — С^' 82 1/2 = ^6УЗ~6У2 a4 — a2 * 83 1/2 = ^Ув — ^Уг а3~
8Уз = Уз—Уз а4 — а3 821/а __ —Дуа a8 —а3 ’
218 СУММЫ И ИНТЕГРАЛЫ. РАЗНОСТИ И ПРОИЗВОДНЫЕ [ГЛ. VI
т. е. числители составляются совершенно так же, как и при равноот-
стоящих аргументах, знаменатели же в первом столбце суть разности
последовательных смежных аргументов, т. е.
6Z| ““ Яо, ^2 * а3 ~ ^2^ • • • ,
во втором столбце знаменателями служат разности аргументов, индексы
коих различаются на две единицы, т.1 е.
6^2 а0» ^8 " ^2> • • • •
е третьем столбце знаменателями служат разности аргументов, индексы
коих различаются на три единицы, т. е.
вообще в i-м столбце знаменателями служат разности аргументов,
индексы коих различаются на Г едйниц, т. е.
О/ а0> а1±1 аЪ ^/4-2 ®2» • • '•
Нетрудно видеть, что для аргументов равноотстоящих, т. е. идущих
в арифметической прогрессии с разностью к, будет:
__^Уо »2W ___ д2#о g3u _____ & Уо
Wo— h . ® Уо— тет’ 6 Уо — ьг.з.л»............
и формула (V) и обратится в формулу (IV).
Функции, стоящие в правых частях формулы Лагранжа и формулы
Ньютона при одинаковом числе заданных абсцисс х и ординат у пред-
ставляют целые функции х одной и той же степени k. Эти функции
принимают те же самые значения
Уо> Уъ Уг>. . •, Ук
при значениях х, равных
^0’ ^2» • • • » &к f-
число которых есть Л-|-1, следовательно, эти функции между собою
тождественны, т. е. в общих многочленах коэффициенты при одинако-
вых степенях х равны между собою. Это свойство составляет известную
теорему высшей алгебры, на доказательстве которой не будем останав-
ливаться, но дадим вместо того замечательный вывод Гаусса ’), кото-
рым он из формулы Лагранжа получает формулу Ньютона.
Пусть будет
_ (х — ад(х — az) . . .(х — а*) (х — ай) (х — а2) . . .(х — ак)
У («о—ai)(oo~ °г) • • ’(во — аь)'У' («1 — «о)(01 — ог) • • • («1 — ‘ ‘
(х — а0) (х — ct). . . (х — cft_])
* • --тУк^— ао)(ай— <Ч). . .{ак — ак-\)
интерполяционная формула Лагранжа. Обозначим правую часть этой
формулы через Хк и составим выражения •
Хь Х2, Х8, Х4, . . .;
1) С. F. Gauss. Werke. Bd. Ill, S. 273 u: f.
§ 68]
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ПО РАЗНОСТЯМ
219
получим:
•^1 = Уо>
х — и х~а1 । у~ао
2 ао — а, ’ ^lai — ао
у _ „ (х —at)(x-a2) , „ (х — ай){х — а2) , tt (х —д0)(г —at)
8 У° («о—01) (ао — («1—«о) fa—«г)Уз (02~ “о) («2—«1) ’
у (х—а,)(х —а2)(х^>а3) , (х—да)(х—а2)(х^-а3) ,
4 (Оо—01) (ао — аг) (ао—Оз) "I- у> (aj—До) (at—Дг) fa—ag) Т
. (х — д0)(х —at)(x —д8) . (х—Др) (х—at) (х —
~ГУ2 (ofc —ао)(аг —а^аг —а,) “ Уз(а8 —Др) (ag — at) (а3—аг) ’
Взяв разности этих количеств, имеем:
хг — %! = (х — а0) f-^4-+
2 1 ' 0/ [ао“*а1 а1 —ао J
X3 —Х2 = (х — а0)(х — aof-f-—
8 ' °'' • L (во —Oi)(oo —Ог) 1
_i_______ь_________________ft 1
п (а1~ ао)(а1 — аг) । (aj — а<0 (аг — at) J ’ ,
— Х8 = (х — а0) (х — а,) (х — а2) +
I_________gl___________[________У2___________i_
' (01 — Оо) (01 — аг) (ах — а3) “ (а2 — а0) (а2 — ах) fa—а3) “
j__________У» , 1
~ («з — Оо) (Og — at) fa— аг) J ’
Сложив эти равенства, имеем:
X = Уо+(х — а0) [aoa!] -J- (х—a0) (х — aj [a0aia2] +
4-(х—а0)(х — ajfx—a2)[a0aia2a8l+ • • ••
причем положено
[аоа^г] = (а<) _ + (aj-ao) (aj-ог) + fa-a0)fa-ai)
[Ооа^гЯвН fa^a^fa-a^fa-a^ + fa-^fa-^fa-a^ +
□___________________У2________I Уз
~(аг1— ao) fa — aj) fa— Og)(Og—a0)(ag—at)(a3—
Ух
Из этих формул и сделанных при выводе формулы Ньютона обозна-
чений следует:
[<wl=§^ = 4.
twd = "’“gLT1 “
hw.l =
220 СУММЫ И ИНТЕГРАЛЫ. РАЗНОСТИ И ПРОИЗВОДНЫЕ [гл. VI
Значит, количества
• • •
составляются по той же самой схеме, как и разности
8у0» ЗУь. . *
и могли бы быть расположены в такую же точно таблицу, как разности 8:
Таблица 20
Индексы rt Аргумен- ты X Функции Уп К«л+11 1ап ап+1ап+г1 lan an+ian+^tn+si • • •
0 1 2 3 4 5 *0 01 #2 08 04 0» • • Уо У1 У2 Уз У4 Уз [во«11 1«2«в] [в3 <*41 [Л1Д2«31 [a2a8a4] [а8а4аз] [Оо 01 02 аз] [01 0208 041 [02 а3 а4 0б] • • • • • •*
Отсюда следует, что многочлен X можно писать или в форме
х = Уо + (х — а0) [aoat] + (х — а0) (х — aj) [a0aia2] +
+ (х — а0) (х — ai) (х — а2) + . . . ,(VI>
или же в форме Ньютона
х в Уо+ (х а0) ty0 (х а0) (х — aj 82t/0-|-
+ (х — а0)(х — аО (х — а2)83Уо+ • • • (VI'>
и, таким образом, тождественность формул Лагранжа и Ньютона стано-
вится очевидной.
Так как при составлении этих формул порядок, в котором располо-
жены аргументы и функции, не играет никакой роли, важны лишь самые
значения аргументов и функций, то можно индексов не писать и заме-
нить аргументы
«о, ^], о2, Од,. . ., ак
й соответствующие им значения функций
Уо» Уь Уз» Ув» • • •» У*
через
а, Ь, с, d,. . .
и
Уа» У*. Ус» У<О • • »
так что таблица 20 примет такой вид:
«68]
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ПО РАЗНОСТЯМ
221
Таблица 21
Аргу- менты X Функции У ab] [abc] [«Ml. [abode] -[abode/] • • •
а Ъ с d е f Уа Уь Ус Ул Ус Vf [«*] »с] [«*] [de] [e/J ♦ • • [abc] [bed] [ode] [den • • [abed] [bede] [cde/] [abede] [bede/] [abode/] •
Само собою разумеется, что введя вместо скобок [ ] для обозна-
чения разностей символ 8, получим вместо таблицы 21 таблицу 22,
Таблица 22
Аргумен- ты X Функции -У азу ^у
a ‘ b c d e ; f ya Уь Ус Ул Уе Уг *Уа йУъ *Ус вУл *Ус &Уа &УЬ &Ус *Ул &Уа . ^УЬ &Ус *Уа &Уь 66Уа
и формулы (VI) и (VP) примут тогда вид
* = !/„+(* —a)laZ,l +
4~(х—а)(х— />)[адс]4~
-j-(x— а)(х — />)(х — с)[аЛсй]4-
4- (х — а)(х—Ь)(х — с) (х —d [abcde]-[-
-|-(х—а)(х — Ь){х—с)(х — d){x—e){abcdsf\-\- . » . (VI")
* = !/e + (* — e)8^»+
4-(х — а)(х — />)82уа +
4- (х — а) (х — Ь) (х — с) 83(/а4-
4- (х — а) (х — Ь) (х — с) (х — </) 8<t/e
^.^^.a^x-bUx-cKx-d^x-^e^y^. . . (VP")
222
СУММЫ И ИНТЕГРАЛЫ. РАЗНОСТИ И ПРОИЗВОДНЫЕ
(гл. VI
Те же аргументы можно расположить в ином порядке, например:
d, с, е, Ь, /, а,. . .
Ул> Ус’ Уе> УЬ> Ур Уа...
соответственно которому будет таблица 23:
-Таблица 23
Аргумен- ты X Функции У [aft] [аде] [abed} [abede] [abedef]
a yd [Л] [dee]
c Ус [efeed]
[се] [deeb]
e Ус [Л] [ceft] [сс>Л [deeb/a]
[ceba]
b Уь [ebf] [eft/a]
РЛ
f Уг [/а] [ft/а]
a Уа
Формула (VI") тогда примет вид
Х= yd 4- (х — d) [de] + (х — d) (x — c) [dee} --|-
4- (x — d) (x — c) (x — e) [deeb] 4~ (x — d) (x—c)(x — e)(x — b) [deebf]-}-
4~(x— d)(x — c)(x— e)(x— b)(x—/)[dce/>/a]4~. .
но величины [de], [dee] и т. д. не зависят, как легко видеть по их
составлению, от порядка аргументов, а лишь от их величины, поэтому
[dc]=[cd], [dce]=[cde], [dceb]=[bcde], [deebf}= [bedef], [deebfa] = [abedej]
и предыдущая формула может быть написана так:
^ = !/rf+(*-d)[cd] +
4- (х — d) (х — с) [cde] +
+ (х — d) (х — с) (х — е) [bede] 4-
+ (х — d) (х — с) (х — е)(х — b) [bedef] 4-
4- (х — d) (х — с) (х — е) (х — />) (х — /) [abedef]. (VII)
Обращаясь к таблице 21, видим, что в эту формулу входят разности,
расположенные в горизонтальной строке, аргумент которой есть d, и,
в горизонтальной строке, лежащей между строками, коих аргументы
суть end. Совершенно так же, если бы вместо порядка аргументов
а, Ь, с, d, e,f, g,...
мы взяли порядок
d, е, е, /, b, g, а,. . .,
то получили бы формулу
Х= yd-\- (х —d) [de]4~
4-(х—d)(x —е) [cde]4-
4~(х —d)(x — е)(х —c)[cde/]4-
+ (х — d) (x — e) (x — c) (x — f) [bedef] 4-
4- (x — d) (x — e) (x — c) (x — f) (x — b) [bedefg] 4- ..., (VIII)
§68]
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ПО РАЗНОСТЯМ
223
в которую входят разности, расположенные в горизонтальной строке,
аргумент коей есть d, и в горизонтальной строке, расположенной между
строками, коих аргументы суть d и е.
Само собою разумеется, что, введя вместо скобок [ ] для обозначе-
ния разностей символ 8, мы на оснований таблицы 22 вместо формул
(VII) и (VIII) получим формулы •
X^^-|-(x-d)8^+
4-(x—d)(x — c)82t/<_ +
-|-(x — d)(x — c)(x—e}8’^+
+ (х —d) (х — c)(x — e) (x — b)&yb4-
4-(x-d)(x-C)(x-e)(x-^)(x-/)85ye+ . . . (VII')
X = yd + (x — d) 8t/d+
+ (x — d) (x—e)82^4-
.+(x—</)(x—e)(x—с)83^-|-
+ (x — d) (x — e) (x—c)(x—f) &yb 4-
4- (x - d) (x - e) (x - c) (x -/) (x - b) 88f/ft+ . . ., (VHP)
в первую из которых входят разности, расположенные в таблице 22
в горизонтальной строке, аргумент которой есть d, и в горизонтальной
строке, лежащей между строками с аргументами d и с; во вторую
формулу входят разности, расположенные в горизонтальной строке
с аргументом if и в строке, лежащей между горизонтальными строками,
коих аргументы d и е.
Множители следуют тому же порядку, как аргументы.
Положим теперь, что аргументы
а, Ь, с, d, е, f,. . .
идут в арифметической прогрессии, так что
b — а = с — b = d — с — е — d=. . . = А
и аргумент d соответствует индексу п и равен dn, то будет:
а = ая — ЗА = ая_3,
—2A=so„_2, '
c^an-h = ап_х,
d-an,
e = an+h =а„+1,
/=ап-|-2А =ая+2,
^ = а„+ЗЛ=а„+3,
тогда между разностями 8 и Д имеют место соотношения, приведенные
выше, именно:
S„ j-2., _ »з.. _
^Уа— » 8 Уа—• 1.2.А2’ 8 ь2.з-Л« ’ • •
224
СУММЫ И ИНТЕГРАЛЫ. РАЗНОСТИ И ПРОИЗВОДНЫЕ
[ГЛ. VI
уо положив вообще
x — an-\-kh,
мы получим из формулы (VII')
V.»=* +М) - ».+ 4- <4-.++
. (fe-|-l)ft(ft-l) дз . (fe + 2)(fe + 0fe(fe~l) Д4„ I
“Г 1.2.3 “ »Я-2П 1.2.3-4 Уп-2~Г
+ -(^2),Ч.2!з.?.5~')(>-2)' • • (VH”)
и из формулы (VIII')
= X +kh) = у,+4 iy,+Л441 ^уп_, +
(fe+l)fe(fe-l) , (fe + l)fe(fe-l)(fe-2) д4 ,
' 1.2-3 у»-1 “1 1.2.3-4 Уп-2~Г
+ (t + 2|,t4.13t4%~')|t~2) A4-,+ - . . (VIII")
Взяв полусумму этих выражений, имеем:
„ _ „ _1_ k дУя-14-Ду„ , # А, - ,
^я+А ?«Т 1 2 “т" Ь2^^«—1~Г*
(k+\)k(k-1) Д3^2 + ДЗ^ (fe+,l)fe.fe(fe-l)
'-----ПГЗ------------2--------Г 1-2.3-4 +
. (ft + 2) (ft +1) ft (ft - 1) (ft - 2) Д3у„_а + Дв„_, , /TY.
“Г 1.2.3-4-5 '---2------<"• ♦ • (1Л)
Эта формула называется формулою Стирлинга, те же две, из которых
она получена, называются формулами Гаусса.
a+nh
§ 69. Чтобы составить формулы для вычисления интеграла j ydx,
а
Лаплас («Mecanique celeste», livr. IX, § 5) исчисляет сначала интеграл
J у dx; умножив .обе части равенства (IV) на dx и интегрируя в ука»
а
занных пределах, он получает: '
J у dx =h р0 + -L д^в — JL Д2^0 4- А дзУо _ ь<Уа 4.
а
• “ЬТбб 60480 • ’ • ] ’
e+2ft
Чтобы исчислить интеграл у у dx, Лаплас замечает, что в силу фор-
а+к
мулы (IV) можно для этих пределов заменить у величиною
У, = у, + *-=* Д91 + +
। (х — ai)(x— at — h){x— ах— 2ft) №ух ,
, ... ' 1-2.3 . ft« “г ‘ ’
§ 69] ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ ПО РАЗНОСТЯМ 225
где a\=a-\-h, и следовательно, будет:
«+2Л «i+ft
j ydx = j У14х = Л^14--|-ДУ1 + ^ + —
a4-h a i
. а+ЗЛ
Совершенно так ясе для интеграла J ydx можно писать:
а |2Л
«4-3/1 а2+Л
J ydx = J r2dx=^A.p2+4’^2_?‘i7A2^2+'i‘A3^2 —• • •].
«42Л «а ..г
причем
V . I х — аг^УЗ ) ^ — {^(х — ац — А) Д2^ ।
Г2 —У2Н j-----дН П2----------Л2--Г... . ..
И
0,2z=z fl—|~ 2Л.
Продолжая поступать таким же образом далёе и взяв затем сумму
a-f-nh a+h «4-2/1 a+3h a+nb
J ydx= J ydx-}- J уdxJ ydx-}-. . .4- J ydx,
a a a-\-h a-}-2h a-}-(n—\)h '
мы имеем: . .
a-}-nh
j" j У dx = y0-\-yx-}-y2-\- . . .+УЛ_| +
a
Ч--2" ^2+• • • + ^n-l] —
~ -ff 1Д2Уо + ^У\ + Д2Уг + •• • • Ч" Д2Ул-11 +
' +^[*4+AWA4+. . . + A4J-
Но, замечая, что
А#о4“ АУ14" АУг4~ • • .+д1/п_1 =
=(У1—Уо)-НУг — 01)+. • - + (УЛ —Ул-1) = г/п—Уо.
д2Уо Ч- Д2У| + Д2Уг + • • -Ч- Д2У{1-1=
=(ду 1—ду0)+(дУз—4У1) + • •.+(ДУ™—Ду»_1)=Ду«— ^Уо)
и т. д., получаем по подстановке . .
a-{-nh ' ‘
4" j* \У<**7=(4"^о+^ + У2+. • .+ уя_1 + 4-Уд) — Т^(аУ»-^ДУо>71-
+ (Д2У«Д2Уо) - (ДЗУ» - Д3Уо) + <д4 - Д4Уо)--
-бЙ-(д6У«-д8Уо)+...(«)
В таком виде эта формула представляет то неудобство, что раз-
ности ; :
ДУЛ. Д2УЛ. ДЗУЛ,- • •
требуют знания величин > • • ,
Un+V Уп±2* Уя+З’ * *. • ’ ' . . L , ; :
лежащих вне пределов интегрирования.
15 А. Н. Крылов
226
суммы и цнтдгРАВД, разности и, проирводщцв
[г* V»
Не выводя общих формул, сюда относящихся, ограничимся теми,
которые нам понадобятся. Из самого способа составления таблицы
разностей идое^м:
Уп+\==Уп+йУп>
A1/„ = A!/„_1 + ^4_I.
АЧ-1=Д^Я-2 + АЧ-2’
аЧ-2 = дЧ-з+дЧ-з«
Сложив эти равенства и замечая, что
Уаи-Цп = ^Уп,
имеем:
*Уп = дУй-1 + &Уп~Л ДЗУЛ_3+Д4УП—4~i~ • • • (1)
Нд основании этого равенства, можем написать тдкре:
4Ч_, +д"+' д,+!Л‘+3«_,_4+.... С)
из которого следуют:
ДЧ_1 = дЧ_2+дзуя_з+дЧ_4+аЧ-5+- .
Д3Л-2 = ДЗЛ-3 + ^«-4.+ Д5Л-6+ • • • ,
дЧ-з= дЧ-4+д6Л-6+- • •,
д%-4^ . . 45Л-5+--’
Сложив эт!и равенства, в саду формулы (.1); получим:
а!». = ^Ч-2+2дЧ-3+з1Ч-)+44Ч-5+ <2>
Совершенно так же в силу формулы (2) имеем ряд равенств
дэЛ-1=д,л-з+2iX-.--31s->v5+«4V . ..
4‘Л-, = 4*л-. + «’Л-, + +. . ..
А'Л^= 4’Л-«+24Ч-6+. ..
4’Л-,+ .
сложив которые в силу формулы (*) имеем:
дЧ = а’Л-з 4 3дЧ-.д-бд'Л-.-Н10д'Л-.--. • (3)
Обратив внимание, как из. формулы (L)- мы получили формулу (2}
и из формулы (2) формулу (3), видим, что будет:
ДЧ = дЧ-4Чт.(1 + 3) Д8л-5-М1Н- 34г &)Д6л_б+
+ (1 + 3+6+10)1^+. . .=
= дХ^тМд5Л^+ 10Д64'<м-к20д^+ . . . ? (4)
ДЧ = д5Л-5 + (1 + 4) д6Л-б+(1 + 4 + 10) ^Уя_7+
+ (1 + 4+10 + 20)Д%_8+. . .= 1бЛ-5+5А6Л^+ 15ЛХ-7+- • • (5>
Подставляя в формулу (а) вместо
ДЛ- Д2Л’ ДЧ- ДЧ» 4%
§7Qj,
ВЫРАЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ЧЕРЕЗ РАЗНОСТИ
227
их величины (1), (2), (3), (4), (5), по приведении; подобных член©» мы-
и получим следующую формулу Лапласа:
4 f ^“(-з-л+л+л+лЧ-. • • + 4“— 4Л>-
- 4 (Д!Л-а+ д !л) - я <дзл-, - ДЗЛ) - и (ДЧ-. + **л) -
-sra(4S^-s-^.>-. . . (X)
Сличая эту формулу с данною -в §• 34, мы видим величину той по-
правки, которую надо присовокуплять к формуле § 34 для получения
более точного результата-. ...
§ 70. Перейдем теперь к решению обратного вопроса, т. е, состав-
лению зависимости между производной функции и ее разностями раз-
личных порядков.
Для этого обратимся к формуле (Ш)
>> = ^о+ -г ^о + ЛЗуоЯ- •. • (МУ
и сличим ее с разложением функции у = f (/), даваемым рядом Макло-
рена, т. е.
Располагая формулу (Ilf) по степеням буквы t, получим:
y=Jo+4"[й->'0 ^дЪ'о + 4_Д^о — 4'Д4у° + ’Т Д5-Ро-• • •] +
+А [Д2^ - дг%+4 д4л - 4- Д5^+ • • • ]+ :
+-14^[дз^-4д^+4Д5>- • • •]+
+-ьйт^о-2д6^+- • J+
1.2-3-4.5 (Д5^° - - • ] “Ь • • -
Следовательно, будет:
Г (0) = Ai/0 - 4 Д2у0+4 дз^о — 4 Д4^о + у дЧ ~
/*(©>= Д2Уо — &Уо + 44 д*!/о — 4 Д^о4- • • •»
Г"(О) = дзУо-тдЧ+4д^О----’
_ л—- » / , ил
Замечая, что t = —е— и, значит, at = -г- > видим, что
’ л Л
и т. д.; условившись обозначать через yQ , yQ , у''9... значения
(dy \ (#>у\
\dx Jx^a ’ \dx2 уЖявЛ ’
15*
228
СУММЫ И ИНТЕГРАЛЫ. РАЗНОСТИ И ПРОИЗВОДНЫЕ
[гл. VI
мы получим следующие выражения: . , ,
Уо = ~Г [ — у д2^о+ у дзУо — у ДЧ+ -у ^Уо — • • • ] >
Уо = i [д2#о — дз!/о+-Й- ДЧ — V ДЧ +•••]>
Уо' = i [ДЧ — у-д4Уо+"у ДЧ ~ • • • ] . (XI)
у'о = Т? [ДЧ — 2Д50отЬ • • • ] >
Пример. Положим, что при записи прямолинейного движёния не-
которой точки получены показанные в таблице величины ее расстояния
от начального положения через каждую долю секунды. Требуется
найти скорость и ускорение точки в соответствующие моменты.
Пусть запись движения дана таблицей 24.
Таблица 24
Время t Qio6ceK*) Путь у (сл) Время t (тоб сек-) Путь у (ел) Время t (1ббсек-) Путь у {СМ) Время t (10бсек-) Путь у {см) Время t (iooceK-) Путь у . (сж)
0 1 0.000 1.519 2 3 , 6.031 13.397 4 5 23.396 35.721 6 7 50.000 65.798 8 9 82.635 100.000
Составляем таблицу разностей (табл. 25).
Таблица 25
t У д» . &У Д3«/ ’ №у Д5#
0 0.000 1.519 2.993 —0.139 —0.082 —0.004
1 1 1.519 '4.512 2.854 —0.221 —0.086 0.021
2 6.031 6.366 2.633 —0.307 —0.065 0.002
3 13.397 9.999 2.326 . —0.372 —0.063 0.018
4 23.396 12.325 1.954 -0.435 —0.045 0.014
5 35.721 14.279 1.519 —0.480 —0.031
6 50.000 15.798 1.039 —0,511
7 65.798 . 16.837 0.528
8 82.635 17.365
9 100.000
$ 70]
выражение производных через разности
220
Чтобы вычислить скорости о, составляем таблицу 26.
Таблица 26
I II III IV V IV VII УШ
t Ду —4^ |д’у 1 %- „ (VI1) 9- Л (A"ioo)
0 1.519 — 1.497 —0.046 0.020 —0.001 —0.005 —0.5
1 4.512 —1.427 —0.074 0.021 0.004 3.036 303.6
2 7.366 —1.317 —0.102 0.016 0.000 5.963 596.3
3 9.999 —1.163 —0.124 0.016 0.004 8.732 873.2
4 12.325 -0.977 —0.145 о.оц 0.003 11.217 1121.7
Совершенно так же для ускорения ио получаем таблицу 27.
Таблица 27
I II III IV V VI VII
«. (VI)
t Д2(/ —Д’у 5 -6 Д’у (У1) = (ПН-(Ш)-|- + (IV)+(V) w- л» (h__L\
\A-iooJ
0 2.993 0.139 —0.075 0.003 3.060 30600
1 2.854 0.221 —0.079 —0.018 2.978 29780
2 2.633 0.307 —0-060 -0.002 2.878 28780
3 2.326 0.372 —0.058 —0.015 2.625 26250
4 1.954 0.435 —0.041 -0.012 2,336 23 360
Как видим, таблицы 26 и 27 дают скорости и ускорения для значе-
ний t, не превосходящих 0.04, ибо для дальнейших нет разностей пятого
порядка, до которых мы ведем вычисление.
Если бы наша функция у была задана так, что можно было бы по-
лучить ее значения и для дальнейших значений аргумента t, то очевидно,
как бы продолжались таблицы; в том же случае, когда других значе-
ний у, кроме имеющихся, получить нельзя, то можно поступить так;
понятно, что мы могли бы принять за исходное значение t не 0.00, а
0.09 и расположить аргументы в убывающем порядке и обернув таким
образом таблицу, составить разности, а по ним первые и вторые про-
изводные, полагая при этом h = — 0.01 сек. Таким образом, получим
таблицу 28 (см. стр. 230).
По этим разностям для вычисления скорости составляем табли-
цу 29 (см. стр. 230).
Совершенно так же для вычисления ускорения, имеем таблицу 30
(см. стр. 231).
Чтобы судить, в какой мере этот прием дает результаты, согласные
с действительностью, вычислим истинные величины скоростей и уско-
рений для нашего случая, в котором
у= 100 (1 - cos™*);
Ж
СУММЫ Ф1 ИНТЕРВАЛЫ. РАЗНОСТИ 1И ПРОИЗВОДНЫЕ
[ГЙ.
ТабсЛи”На 28
'<1 У Ду : Му Д3У [ Д4у Д^у
1 9 100.000 ?1 -*'17.’3б5 . 0.528 0.511 —0.031 —0.1014
8 82.635 ' —16.837 1.039 0.480 —0.045 —0.018
7 65.798 — 15.798 . 1.519 0.435 , —0.063 . —0.002
Я 50.000 { — 14.279 , L954 z 0.-372 | —0.065 —OjO21
5 35.721 —12.325 ‘ 2.326 0.307 । —0.086 0.Ю04
4 23.396 — 9.999 ( 2.633 ‘ 0.221 j —0.082
13.397 — 7.366 { 2.854 0.113» | • >4
г2 6.031 — 4.512 , 2.993 1 (
1 1.519 — 1.519 i
О 0.000 t ( 4 J
Таблица 29
а II 1,1 1 IV I V VI I VII | VIII
г <1 -+ Ду -4^ / $ —4 +4’йб0 (vii) = (®) + -t-(IH)+-(IV)4- + (V) + (VI) „ (VII) v- h (k = — Too)
“9 —17.365 —0.264 0.170 [ to. 008 —0.W3 —17.454 j 1745.4
8 —16.837 —0.520 0.160 0.011 -0.004 —17.190 1719.0
7 —15.798 —0.760 0.145 0.016 -0.000 - 16.397 1639.7
М) —14.279 0.277 0.124 0.0F6 —0.004 —Т5.020 ’ 1502.0
5 —12.325 —1.Г63 0.Т02 0.021 —Ь.001 : j —13.364 1336.4 co,
Т а б лда»ц а ЭО
; 4 <• ? _j 1 " . IU IV V VI • Vll
j «1 J 1 4-W J ДЭу 11 . .. . +.12 и U?|«9 1
; . 9 0.528 -0.511 —0.029 0.012 0.000 0.4)0
“ 8’1 1.039 —0.480 ' —0.041 0.015 0.533 ! 5'330
r . <7 r I ‘ ’ X 1.519 , t —0.435, ^0,058 ; 0.002 1.Q28 10280
*!) Г6' 1.054 -0.372 - -4) .060 Ю.О18 1 1.540 №400
5 2.326 —0.307 -0.079 '. —0.003 ’ 1.937 19-370
§7Ц
МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ, ИЗЛОЖЕННЫЕ МУССОМ
231
значит,
, 10 000-я . 100л/ 1»7лк оо .„100л/
v = tf = —lg— sm-jg- = 1745.33sin -jg-,
, 1 000 000-л 2 100л/ on _ 100л/
<w = у’ =----jgj---eos—jg— = 30462cos .
О
Таким образом, имеем таблицу 31.
Таблица 31
По точным формулам (*) Йо интерполяционным
t V t> i W
0,00 0.00 30 462 —0.5 30 600
0.01 303.08 30 601 ' 303.6 2978b
0.02 596.98 28 625 '596.3 28 780
0.03 872.66 26 381 873.2 26 250
0.04 1121.9 23 340 1121.7 1 23360
0.05 1337.0 19 581 1336.4 19 370
0.06 1511.5 15 231 1502.0 15 400
0.07 1640.1 10 348 1639.7 10280
0.08 1718.8 5 289 1719.0 5 330
0.09 .и ' >. 'X. 1745.3 0.000 1745.4 0.000
§ 71. В предыдущих примерах мы придерживались обычно принятого
в исчислении конечных разностей обозначения и фбрмул, но В астро-
номии, где к интерполированию приходится прибегать особенно часто,
составляя разного рода таблицы, показывающие движение Небесных
светил, т. е. дающие их координаты в зависимости от времени, по почину
Гаусса и затем Энке и Бесселя, принято йное расположение как таблица
разностей, так и их обозначений и формул Интерполирования; мы озна-
комимся с некоторыми наиболее употребительными из этих формул, так
как во многйх случаях йх приМенениё УдЬбнее, нежели фд^Муй §§ 67,
68 и 69.
Пусть <y=f(x) естВ заданная функция, тогда таблица разностей со-
ставляется и раёйолагаеУся так, чтобы то значение аргумёйта, котЬрое
мы принимаем за исходное, располагалось посредине Таблицы, т. е.
чтобы Значения аргумента х быЛи:
...а — 3h, a — 2h, а — h, а, й-^h, а-|-2А, а-|-ЗЛ,...
Значение же каждой разносТй пйше’гСЯ посреДийе МёжДу ^ёйи двумя
числами, из коих разность образуется; порядок разйости обозначается
значком при букве /, аргументом же пишут полусумму а0гу^ейтов тех
:функций, коих разность составлена (таблиц^ 32 см. ctjk 2Й2).
Таблицу 32 затем дополняют тем, что между каждыми дйумя чи-
слами того же столбца вписывают еще их среднее ариф'мё4-иЦёскоё, йрй-
писывая ему по аналогии и аргумент, равный среднему арифметическому
аргументов функций (табл. 33 см. стр. 232).
232
СУММЫ И ИНТЕГРАЛЫ. РАЗНОСТИ И ПРОИЗВОДНЫЕ
[гл. VJ
Таблица 32
Аргу- менты f X Функции f(x) Первые разности Вторые разности Третьи разности Четвер- тые разности Пятые разности
a—3h а — 2Й а — Л а a^h а 4-2ft а 4" ЗА f (а — ЗЛ) /Да-2ft) f(a-ft) f («) f (в Ч-ft) f(a±2ft) f(« + 3ft) ч - x—x _ -ч ^-x •<! ю[сч оо |сч ~ -4 |сч со|сч m |cm 1 1 1 + + + P(a—2Л) Р(а-Л) F(«) P(a+ft) P(a+2ft) f’(a-4ft) f^a-^-ft) p(a-t-i-ft) ?(а + ТА) f4 (a -Л) f4(«) f*(a + ft) р(«+4а)
Таблица 33
Аргу- менты X Функции f(x) Первые разности Вторые разности Третьи разности Четвертые разности Пятые разности
a —Uh а — 2Л а —Л а a-j-h a-}-2h > + 3ft f(a-3ft) f(a-4h) f(a-2ft) f (a — yhj f(a-ft) f(a-4h) . f(«) f (a-h-l-h^ \ z / t (a+4h) f(a + 2ft) f (a+2’h) f(a + 3ft) p(«-4a) fi (a — 2h) f4(a—2 h) fi (a — h) p(°—4a) fi (a) P(a+4A) fi(a + h) P(a + |A) fi (a + 2h) Р(а-2Л) ..(.-Ih) P(a-ft) fS(a“4h) P(a) fi^a + yh) P(a+ft). p(a+-|h) P(«+2ft) f 3 \ P(e-TA) f»(a —h) f»(a-4A) f»(a) p(«+4a) f3 (a4-h) p(«+4a) Р(а-Л) f4(«“4h) f4(«) f4(a+4h) f<(a + A) p(a-4AJ Р(а) р(«+4а) J
§ 71Т
МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ, ИЗЛОЖЕННЫЕ ГАУССОМ
В таблице 33 собственно функции и разности напечатаны обыкно*
венным шрифтом, а добавленные их полусуммы жирным.
При таком обозначении формула Ньютона напишется так:
С(а + <Л)=/(а)+4-/’ (а+ (“+*)+
+ ,(,-'1(Г2)/|(°+4*)+-
В эту формулу мы можем ввести разности, относящиеся к аргументу
а или a-j- 4А; в самом деле,
/2(а4-А)=/2(О)+/з(а + _1.А),
У3 («+ 4 А) =/3 (а+ 4- А)+/4 (°+А> =
=/3(а+4-А)+/4(а)+/5(а+4-А)‘
Л(«+2А)=/*(а + А)+/«(а+4-й)= . *
=/4 (<*)+Уб (а+4 ^Ч-/5 («+ 4- А) +/6(а+А) =“
=Г (а) + 2/«(а+4 й)+/6(а + А),
/» (а+ 4 А) =/5 (а+4 А)+У6 <а + 2А) =
=У8(а+ 4А)+/6(«+А)+/6(а+2А)
и т. д. Подставляя, получим формулу
?(а+й)=/(0)+4/1(а+4^+Ц=2>/»(а)+
+(<+;)2<з~1) rw+
1*^*0 I l J к*4*о**х
а+пач-2)<а-1)(<-2)/5(а । 1 а I
*” Ь2-3-4-5 1 V*-1- 2 "JI"'-’
Закон составления коэффициентов в функции переменной t, очевидно,
состоит в том, что в числителе поочередно прибавляется то множитель
в начале, то множитель в конце, а в знаменателе — всегда следующее
натуральное число.
Если в этой формуле мы заменим величины, относящиеся к аргу-
ментам а-|~4^» величинами, относящимися к аргументам а—^-А.т.е.
сделаем:
/i(a+4A)=e/^a_4A)+m
, /3^+4^=/3^-4^+/4(a)>
Р (а + 4 А) = f (а - 4 а) + f (а),
234
СУММЫ И ИНТЕГРАЛЫ. РАЗНОСТИ и производные
[ГЛ; VI
И Т. Д.Г то получим формулу
/(»+«) =Ло)+тГ(«-4-л)+(2Т?ЦЛ(о)+
+ И» - 4- *)+1'+8)(,,Х2Г,-'1)/< W+
« + 2)(<4-!)/(/-1)(/-2) 5/ 1 А ,
Н-------Ь2.3“Т5------i V* ")-+-•••
Сложим эти две формулы и, взяв их полусумму, заменим величины
4-[ (° - т*)+/ (°+4-А)] =г <“>•
4-[л(«—4- *)+л^+ 4- *)]
и т. д., их значениями, вписанными в строку, относящуюся к аргумен-
ту а, тогда получим такую формулу:
/(а+й)=/(а)+4/(“) + ЙЛ(“)+
+ ('+;4Г" (“>+
4-('j-2)1't4).3!^A)<,~2|/5w+---
Таким образом, мы вновь получили формулы Таусса и Стирлинга,
которые были выведены выше иным образом.
§ 72. Разложив входящие в состав этЬй формулы коэффициенты по
степеням буквы t и сличая полученное разложение с разложением функ-
ции по ряду Тейлора, найдем такое соотношение:
.. । х \ df , t*h* d*f , t3h\ d3f (
/(a-j-M) — /(a)+ j • da +’ |#2 ' da2~b 1.2.3’ da3^",—
-/<<)+ т [ f W - 4-/3 (“>+ 4r/‘ (“) (“)+••] +
+ га [ P W ~ Ю - so/8 W + • • ] H
+ -т/‘(“Н-га>/' (»)-•••]+
+rro [/•<“)-4-/’<“)+• ]+
4*................... • • •, (*)
откуда следует
^=4-[/,to-4-/’W44r(a)-...].
. I 3 , <XI®
Й=т т-4л«>+^и-- .
$72] МЖТОИЫ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ, ИЗЛОЖЕННЫЕ tpAMCCOM ' 235
Иногда бывает нужно эвать величины производных Для 'Промежуточ-
ных значений ’аргумента х «дай a-^-Af, соответствующих дробным зна-
чениям переменной f. Для этого стоит только продифференцировать по
букве t формулу
/(о+7Л)=/(в)+- + - ®? +........
И 1ЙЫ подучим
dt(a+th) _ . df (х) _ . df , h*l d»f ,h»t» d»f(a) ,
dt ~~ dx ~ da~\ 1 ’ da»' 1-2 ’ da»
откуда следует:
df (x) _df yht d»f Л»/» d»f ,
Sx ~~da‘ 1 da» "г- Ь2 ‘ '3a? ' ‘ ’
подставляя вместо
dj_ dl
da'
их величины (XIII), получим:
i =4 ^=4 [/ «)+w+4^/4»)+
+^w+^.nt4^M+-]- <*«>
Заметив, что
/’(a) =/»(a - X й) + 4(a - Ц-A)+-17» (a - 4-A) + ...,
---l_^ + 4/3(a-4 •*)+•• •
и т. п., и подставляя в предыдущую формулу, пойучнм Такую:
df _ 1 Г л 1 *Л । 2/4-1 1 Л (
dx —‘ h |у (a 2 Ь2 f S А)~^~
2^2_| 1 -
+ 2 T-(a-4*)+ Н+' ’'I ’ (ХП,Ь>
Совершенно так же, выразив У1 (a), f2^ и т. л. через разности, от-
носящиеся к аргументу а 4- 4 А, получили бы формулу
й=4 [ / (»+44)+та1 z2 (“ + -т *)+
з/»—3/4-4
+ ,.2.з /°(а+ Я+ f‘ (»+ 4‘)Т • •] йпй)
Подобные же формулы можно составить и для вторых яроиаводных,
дифференцируя (ХШа), (ХШЬ), (ХШс) по букве /; так, например, будет:
^-=4И‘‘+4Л)+тй/3(“+4*)+
+ lfa,7^.72 4 *)+] (Х11И>
236
СУММЫ И ИНТЕГРАЛЫ. РАЗНОСТИ И ПРОИЗВОДНЫЕ"
[гл. VI
Чтобы составить формулы для вычисления интегралов, аналогичные
формуле Лапласа, но с обозначениями Энке и Гаусса, проинтегрируем
формулу (*); получим: .<
+ 14з Р2 Ю - Т?/* W+я-г W - я,™+ • •]+
+тета [ ? (“) - 4 (“>+та/ (°> ~ • - • ] +
+ гг44з[Н0)-4Л“)+---] +
+ 1.2.з'.4.5.б [/*(“>—>)+..]+...
Подставляя вместо t значения-!--^ и —1- и взяв разность, получим:
X &
+т
+-4>
=/(»)+ • • С)
Совершенно так же имеем:
1
|/(»+й)л=4 /(а)ч- 4-/ (<.)+
+ - пжЛ*+ш /• (“) + • • (->
Из схемы разностей имеем:
/,<«)=4Н«+4-а)+4/,(“—г 4
следовательно
/Ца)=/‘(a+4-Л)--1-/2(а).
Точно так же получим:
/8(a)=/8(a+4-A)-4-/e(a)’
§72]
МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ, ИЗЛОЖЕННЫЕ ГАУССОМ
237
в силу чего последняя формула напишется так:
1
j / (а + <*) Л -= 4-/(0) + -L / (а + 4- *) -1/» (а) - + 4- *)+
1440 + 46 080 120960 (а Л~ ’ '' W
Так как очевидно, что безразлично, какой аргумент считать за ис-
ходный, то заменив в формулах (*) и (I) а на a-{-ih, имеем:
+ 967W^(a + ^--... (2)
< + т
j /(а+th)dt = 4- /(°+ W+ у? [а+ (»+-§-) л] Ф -
1
-ЗЯ/3[‘г+(;+-т)*]+-Ш5^(“ + “)+--- (3)
Эти две формулы в соединении с формулами (*) и (**) и дают воз-
можность составить выражение интегралов от функции при
низшем пределе 0
В самом деле,
и -у и при высшем i и i '
3 5
2 $
2
2
2 2 2 2
Но мы имеем:
+4
J /(а4-М)^=/(а)+ ^/2(а)__^_^(а)+.........
д
~ 2
3
2
р(а+/Л)^==/(а+А)+ A-/2(a_f_A)_ _^Л(а+А)Ч
5
2
р(а+/Л)Л = /(а + 2й)+1/2(а+2А)_^_./4(а+2А)4-...,
J /(о-Н4)Л=/(<х + »)+я/2<‘,+‘А>
^./•(а + <Л)+...
238
СУММЫ И ИНЩВГРЙЛЫ. РАЗНОСТИ И ПРОМЗВОДНЬЖ
(гл. VI
Следовательно, будет:
+ Т
^/(а+/А)^=|Х(а)^/(а+А)+/(а+2Л)+...+/(а+/А)] +
+-Й- m+f (а + П+ • • • -ШаННЛД-
- Seo 1/4(а)+/4(а+А)+---+/4(«+'А)] + .--
Но так как
Г (а) = р (а 4- *) -/* (а-А) ’
/2(а+А) =/‘ (а+ 4 А) ~Р (а+ 4 *) .
/Ч«Н-ир=р [«+ (*+4) [а+ (* ~т)л]•
W
/2(а) + /2(а+А)+...+/2(а+/А)=/1
Точно так же
^(а) + /4(а + А)+ ... +/4(а+ ih)=p [а + (»+ 4) А] ~р(а - 4h
и мы получим окончательно:
'+4
f /(а + /Л)Л = (/(<j)+/(i + *>+№+ 2*)+ .+/(*+ И)1 +
2
+(а+Н т)4) (а -1АЛ -
5ж[/3(‘1+(/+^А)-/3(^^Й)] +
я [ +4) (а - *)]—• <XIV)
Заметив, что ...
2
2
§72} МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ, ИЗЛОЖЕННЫЕ ГАУССОМ 239
в силу формул (XIV) и (3) получим:
j* /(а+А/)Л = [/(а)+/(а+А)+/(а+2А)+.. ,+/(а+ ^)] -
JjL
— 4/(а+1’А)---Г2 /1[а+(/+т)А] +
+ + [а + (i + 4) А] — (а + /Л)-|- • • •
* * ‘ ~' 24 (а Т + 5760 (а ~ 2* 967 680 (° ~ ~2 ‘
Но, замечая, что
/2(а+ /А) =/1 [а+ + А] _/! р_|_ А] ,
/4(а+ ZA) ==/з |а+ (i-J- -Ь) А] —/3 [а+ — у) а] ,
и вместе с тем
f(a+ ih) = ||> (а+ (/ + 4) h')+f' (а+ 0 А)] ’
/З(а4-7А)=4[/З(а+ (/‘ + 4) А)+/3(а + (» -у) А
мы по подстановке в предыдущую формулу получим:
[ /(а + А/)<# = [/(а)+/(а + А)+/(а+ 2А)+ ...-±f(a+ iA)] -
_2_
‘А) - н/‘ (*+ »А) + ^/3(Д.+ ih} -ето/5 (^+ /А),+. • •
2?/’ (а — У А) + 576Q- f3 (а — у — 967,680 Z8 ~ У А) “Ь ' ’ ’ (XV)
Если мы- хотим иметь интегралы, у коих нижний предал* е<мгь О,
тд, пишем-’
' + т , + Т о.
0 _ JL ±.
2 *" 2.
причем в силу формулы (XV), делая в ней / = 0 имеем:
j/(a+*)«= - -!/ W+ + *>•
_ х
2
240
СУММЫ и ИНТЕГРАЛЫ. РАЗНОСТИ И ПРОИЗВОДНЫЕ
[ГЛ. VI
где
^1= 24 У У 5760 У3 Т А) 967 680 2 А)“Ь ’ ‘ ’
4+т
J У (а + А/) <// = [/(а)-{-/(а 4* А)+/(0 + 2^)+ • • •_1_У(а_1_|’А)] +
о
+ 24У [а+(1+у)А] — 5760 У2р + ^+т) Aj+
+^уф+(‘44)л]+---+с., (XVI)
причем
с, -i-/W+i/ W - ж/8 W+6та-/5 <“) - • •
Совершенно так же в силу формулы
i I о
t ° — 1 __L
2 2
будет:
р(с+Л/)Л=[1/(а)+/(а+А)+/(а^-2А)+...+/(а+(х-1)А)+ ’
+1 f (а + /Л)] - Г2 (У (а +/А) “У («Л +
Ч-^[У(а+^)-Г(а))“б&[У(а+^)-Л(а)]4-... (XVII)
• * * a-^-ih
Заметим, что для получения интеграла J f(x)dx стоит только вое;
а
пользоваться соотношением
a+ih ' I
( f(x)dx = h ff(a-\-ht)dt.
a 0
§ 73.< ПО аналогии с образованием разностей и их обозначением;
по предложению Гаусса и Энке, введено условное обозначение сумм
по схеме таблицы 34 .(стр. 241). .
Чтобы составлять числа таблицы 34, постуйают так: полагают/t (а—уА^
равным произвольной постоянной Ci (ниже мы. укажем, как эту постоян-
ную выбирать), придают к этому значению fJa,—/А величину’ У(л)(
\ ** /
стоящую от нее непосредственно вправо и ниже, полученную сумму
У1 +У (а) — ~\~f (а)
обозначают через У^+у А) и вписывают против фиктивного аргумента
к полученному числу /j^a-f-у придают стоящее непосред*
ственно правее и ниже его 'Число У (а-}- А) и, полагая
6 (а Ч- у а) = У1 (а -|- у A j -\-f (а -{- h),
§21]
МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ, ИЗЛОЖЕННЫЕ ГАУССОМ
241
Таблица 34
Аргументы Суммы 2-го порядка Суммы 1-го порядка Функции
a — 4h f2 1
a — 3h Ь(а-ЗЛ) f2 а — fj (a —3h) / 5 \ fl ( a-~2 A ) f (a— 3h)
а — 2h f2(«-2ft) f2(a— s * 1 CO |(N J> 1 z 4— f(a —2ft) f(a-yh)
а — h f2 у fj(a-h) fi(a~ yA)=ci f(a-ft) f (a-Th)
а f2 (a) = C2 h ^a+y h j Ъ (a) fi (a + ’TA) f(a) f ^a ”t" ~2
a-\-h f2(« + A) fi(a + h) f(a-)-ft)
f2 ^a-(~ ~2 h) fl \o + ‘2'a) f (a + yh)
a-\-2h f2(a + 2ft) fi(a + 2h) fi^a+y f(a + 2ft) f (a + 4h)
; а + ЗА f2(a-f-3ft) / 7 \ J2^a+yhJ fi(a + 3h) fi f(« + 3ft)
a + 4h f2 (« + «*)
, . 3 ,
вписывают его против фиктивного аргумента а-4- А; продолжая таким
• А
образом далее, заполняют всю нижнюю половину столбца, озаглавленного
«суммы рервого порядка», теми величинами, которые напечатаны обыкно-
венным шрифтом.
Чтобы получить верхнюю половину' этого столбца, берут опять число
Cx=fx (а — 4- А) и вычитают из него число /(а — h), стоящее правее
выше его, полученную разность
Сх —f(a - h) =/, (а -1 а) —/(а - А)
обозначают через /Ца—g- Al и вписывают против фиктивного аргумента
а — -~-k; взяв число /и а — h , вычитают из него число, стоящее
правее и выше, т. е. /(а — 2А), полученную разность обозначают через
(5 \ 5
а — у А) и вписывают против фиктивного аргумента а—и т. д.
Поступая совершенно подобным же образом с числами fx и начав
с произвольного значения С2=/2(а), составляем все суммы второго
16 А. Н. Крылов
242
СУММЫ И ИНТЕГРАЛЫ. РАЗНОСТИ И ПРОИЗВОДНЫЕ
[гл. VI
порядка, соответствующие аргументам a, и а —
а — 2А,... ; все эти числа напечатаны обыкновенным шрифтом.
Затем, подобно тому как и для разностей, берем средние арифметиче-
ские между каждою парою смежных чисел того же столбца и вписываем
их в промежутки, как показано, жирным шрифтом. Очевидно, что можно
было бы продолжать далее до сумм какого угодно порядка, но обыкно-
венно не приходится иметь дело с суммами выше второго порядка.
Из самого составления таблицы 34 видно, что по отношению к суммам
второго порядка суммы первого порядка являются их первыми разно-
стями, по отношению к суммам первого порядка сами функции являются
разностями первого порядка и, значит, разностями второго порядка
по отношению к суммам второго порядка.
При таком условном обозначении и такой схеме составления сумм
очевидно, что будет:
• • -4~/(а~Т z^) =/1 [а 4" “Ь у j
Cl — [/(о)+/(а — h) + f(a --2Zf) + • • • +/(а — ;А)1 =/1 [а — ( I -Г 4) h
Точно так же ввиду равенства
а
будет
=C1+/(a)+/(a + A)+/(a+2A)4-...4-ria + G-l)A] + |/(a4-zA)
и совершенно то же
fi (a— ih) =
= Ci - [/(a)+/(a - Л)+/(а - 2А)+.. -+/(a - (i - 1) h) 4/(а~/А)] •
Условившись брать постоянную Сх так, чтобы она представляла
совокупность всех постоянных, т. е. не зависящих от значка i, членов,
мы видим, что формулы (XIV,. XV, XVI, XVII) пишутся так:
J f(a-Vth)dt^= fi—4) ’“Ьт) —
- зйо /’[“+('+4) *]+«Я» I1 [“+(-•+4)4]+ • • <X1V,>
f/(a + a)<Z/«/i(a+ «Л) — + ifl —
_ 1
(XV)
причем при составлении суммы надо брать:
. ~5760^ \а~ Г ^)—967 680 ~ Т
§73]
МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ, ИЗЛОЖЕННЫЕ ГАУССОМ
243
Точно так же при нижнем пределе, равном 0, будет:
J /(а+/й)^=/1[а+^ + 1и] + ^/*Га+|'/+^А
о L
- 5Я0 I' [“ + 0 +1) *] + ‘‘ [“ + (' + т) *]+ • • <XVI')
j f(a+ th) dt =f, (a+ (a + >•*)-(-i'» (a+IK) -
причем для формул (XVI') и (XVII') при образовании суммы надо брать:
12^^ 720^3(а)“Ьб0 480
Совершенно подобным же образом для двукратного интегрирования
получаются следующие формулы.
Для нижнего предела, равного —, будет:
t
J dt J /(а+А0Л=/2р + ЬЧ-у) A]— + Л] +
_*_L _ jl 4
2 2,, . . ,
+тйо/![“ + ('+4)*]-[“+('+•?)*]+•••,. (X™)
Z * )
J f + + — 240’
2 2
ieo%o/4(a + ^)-..., (XIX)
причем при образовании сумм за величины С( и С2 надо брать:
п 1 Л [ 1 А I 17, л/ 1.А 367 .с/ 1 ,\ ,
Cl— 24f 2 5760 2 “j 967680 I \° 2 + -
С2 = + ^/(а-А)-^[2/2(а-А)+Р(а)] + ^[3/^(а-А)+2/(а)]+'7.
Когда же нижний предел интегралов есть 0, то формулу будут: i
u+4- t -
. J ^jr(a+^)d/=/2p + (t4-4>)Al-A/ra + Al- + |U]+ . ' ;
>00 7
! I 17 Z9 г I /• I 1\ tl 367 .. г , ( . , 1 \ ,
I + 1920[аНд1~Ь 2 ) ^ ] 193536 ^ [а Н" 4“ TJ
! I < ’ !
ij dty(a^ht)dt=fAa-Yih) + ^f(a-Yih)-^P(a-^ih) + .. j . !
ЪтеЛа+‘А)-...,' (ХХ^
(хх)
>i 1
!6*
244
СУММЫ И ИНТЕГРАЛЫ. РАЗНОСТИ И ПРОИЗВОДНЫЕ
[гл. VI
и при образовании сумм надо брать исходные значения
Л (“ - 4- *) - с‘ = - 4 /(»>+У' (“> - I3 W+ага» Iе (“) - • •
И
Ш=с2= —ЙЯ»)+24о^(“)-«тяо/,(“)+-
ч
Само собою разумеется, что двукратный интеграл с переменной х
приводится к интегралу с переменной t по формуле
«4-ift х i t
. j dx § f (x) dx — A2 J dt J f (a-4- th) dt
a a 0 0
й совершенно такое же соотношение имеет место и для других пре-
делов.
Этими формулами приходится пользоваться в тех случаях, когда
указанные в главе III приемы вычисления интегралов с переменным
верхним пределом, дающие, как нетрудно видеть, первые члены этих
формул, окажутся недостаточными для той точности, которую имеют
в виду достигнуть. Такой случай имеет, например, место в астрономии
при вычислении возмущений. Во всяком случае, эти формулы являются
естественным дополнением формул главы III, давая возможность оценить
погрешность, которую мы делаем, пользуясь ими.
§ 74. Дадим теперь несколько примеров применения этих формул.
Возьмем сначала пример § 67, т. е. положим, что нам известны лога-
рифмы чисел через десять единиц и мы хотим иметь их через одну
(единицу от 1000 до 1010.
В этом случае, как мы видели, h =10; если мы хотим применить
формулу Стирлинга (VII), то надо распорядиться так, чтобы число 1000
соответствовало значению £ = 0, и значит, надо выбрать логарифмы чисел,
предшествующих 1000 и следующих за этим числом, например, взять
980... 2.9912261,
990 ... 2.9956352,
1000... 3.0000000,
1010... 3.0043214.’
1020... 3.0086002,
тогда таблица разностей будет такая:
Табли ца 35
1 f(*) Л(Х) Р(х) fS(x)
980 990 1 1 2.9912261 2.9956352 0.0044091 0.0043648 —0.0000443 0.0000009
1000 0 3.0000000 0.0043431 0.0043214 —0.0000434 0.00000085 0.0000008
1010 . 1020 1 2 3.0043214 3.0086002 0.0042788 —0.0000426
§ 74]
ПРИМЕРЫ
245
Дополняем таблицу 35 теми средними, которые соответствуют зна-
чению / = 0 и которые только нам и понадобятся.
Таким образом, в формуле Стирлинга > i
/(а + /А) =/(а)+4/» (а) + (<*)+ (' + ° f3 (а) .
будет: ;
а = 1000, h = 10, / (а) = 3.0000000, /> (а) = 0.0043431, j
f2 (а) = — 0.0000434 и /3 (а) = 0.00000085, I
и наше вычисление расположится так, как показано в таблице 36. i
Таблица 36
t X ф(а) t (*з — 1) 6 fW
0 1000 0 — —. 3.0000000
0.1 1001 0.00043431 —0.00000022 —0.00000000 3.0004341
0.2 1002 0-00086862 —0.00000087 —0.00000001 3.0008677
0.3 1003 0.00130293 -0.00000196 —0.00000002 3.0013009
0.4 1004 0.00173724 —0.00000348 —0.00000005 3.0017337
0.5 1005 0.00217155 —0.00000544 —0.00000005 3.0021661
0.6 1006 0.00260586 —0.00000782 —0.00000005 3.0025980
0.7 1007 0.00304017 —0.00001065 —0.00000005 3.0030295
0.8 1008 0.00347448 -0.00001389 —0.00000004 3.0034605
0.9 1009 0.00399879 - 0.00001756 —0.00000002 3.0038912
1.0 1010 0.00434310 —0.00002170 -00.0000000 3.0043410
Как видно, результат получился тот же самый, как и при вычисле-
нии Ньютона, и самое вычисление не проще, а даже сложнее, ибо числа
больше, нежели числа
Мы выполняли интерполирование для нашего промежутка так, что
величина t изменялась от 0 до 1; но когда составляются таблицы при
помощи интерполирования, то всегда можно распорядиться так, чтобы)
величина I изменялась только от —4- до -)—так, в нашем примере'
для чисел от 1000 до 1005 надо принять за исходное число 1000, и тогда)
t изменялось бы от 0 до Н-у; а для чисел от 1005 до 1010 — принять
‘ 1 1
за исходнре число 1010, и тогда t изменилось бы от 0 до —%- Понятно,;
: что это замечание относится в равной мере ко всякой формуле йнтер-
полирования. > ;
тт у— !)’/•(* +О
Для облегчения вычислении величины множителей, , -----------х <4 •;
а о
и т. д. даются в особых таблицах по аргументу t. Такая таблица поме-
щена в конце этой книги.
Применим теперь формулу (VIII) к нашему второму примеру (§ 69),
т. е. к определению производных первого и второго порядка для функций,
заданных или графически, или таблично.
246
СУММЫ И ИНТЕГРАЛЫ. РАЗНОСТИ И ПРОИЗВОДНЫЕ
[ГЛ. VI
Таблица разностей, дополненная их средними арифметическими, для
тех пределов аргумента, которые нам понадобятся, будет при принятом
нами обозначении такова:
Таблица 37
t y=f(t) Л(0 Г2 (0 /’(О М(0 p(t)
0 0.000 1.519
1 1.519* 4.512 2.993 —0.139
2 6.031 5.939 2.854 —0.180 —0.082
9.711 7.366 2.743 —0.221 -0.081 —0.004
3 13.397 8.683 2.633 —0.264 —0.086 Н-0.009
* 18.397 9.999 2.480 —0.307 —0.075 +0.021
4 23.396 11.162
2.326 —0.340 -0,065 +0.011
29.559 12.325 2.140 —0.372 —0.064 +0.002
5 35.721 13.302 1.954 —0.404 —0.063
+0.01 J
42.860 14.279
* 6 50.000 15.038 1.737 —0.435 —0.054 +0.018
1.519 —0.457 —0.045 + 0.016
«57.899 15.798
16.318 1.279 —0.480 —0.038 +0.014
7 I <1 • ... ‘65.798 1.039 —0.495 —0.511 —0.031
' 16.837
8 82.635 17.365 0.528
9. . 100.000 -
Для вычисления скоростей составляем таблицу 38, причем равно
нулю до всех значений t в рассматриваемых пределах.
' Т а- б л и ц а 38
1 1 * Г 11 III IV V
' ' t /» -4 г (П) + (П1) (П) + (П1) v= h
t . 2 v5.939 0.030 5.969 596.9
3 8.683 0.044 8.727 872.7
‘ 4 11.162 0.057 11.219 1121.9
. 5 ' 13-302 0.067 13.369 1336.9
6 15.038 0.076 15.114 - 1511.4
7 v 16.318 0.083 16.401 1640.1
Точно так же для вычисления ускорения имеем таблицу 39.
, Сопоставление этого расчета с исполненным по формуле Ньютона
доказывает, что при обработке записи движения с целью получения
скоростей и ускорений следует для моментов, близких к началу и концу
§ 74]
ПРИМЕРЫ
247
Таблица 39
I 11 1,1 1 IV V
t Р -Г21' (11)4-(III) (II)+(III) W- А4 -
2 2.854 0.007 2.861 28 610
3 2.633 ,0.007 2.640 26 400
4 2.326 0.005 2.331 23 310
5 1.954 0.005 1.959 19590
6 1.519 0.004 1.523 15 230
7 1.039 0.003 1.042 10 420
промежутка, пользоваться формулою Ньютона, для моментов же, близ-
ких к середине,—формулою Стирлинга. Такое совместное пользование
обеими формулами дает наиболее надежные результаты.
Еще лучшие результаты можно получить, если воспользоваться
формулами (ХШс) и (XHId), сделав в них и, следовательно, опре-
делять скорости и ускорения не в моменты О, А, 2А,..., для которых
1 з
имеются отсчеты расстояний, а в моменты -^h, -^h. и т. д., лежащие
£ £
посредине этих промежутков.
Формулы интегрирования имеют особенное значение при приближен-
ном решении дифференциальных уравнений, в особенности тех, которые
встречаются в вопросах механики и астрономии, почему они и носят
название «механических квадратур», и после вышеприведенных объяс-
нений пользование ими затруднений представить не может.
ГЛАВА VII
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 75. К дифференциальным уравнениям приводит множество вопро-
сов; достаточно упомянуть динамику, чтобы видеть важность учения о
дифференциальных уравнениях для практических приложений матема-
тики.
В этом курсе мы ограничимся только уравнениями обыкновенными
и системами таких уравнений, совершенно не касаясь уравнений с част-
ными производными.
При изложении этой главы предполагаются известными те основные
общие свойства обыкновенных дифференциальных уравнений, которые
излагаются в обычных руководствах по анализу, а также те простей-
шие классы этих уравнений, интегрирование которых может быть вы-
полнено в конечном виде и в квадратурах. Предполагается также извест-
ным способ изменения постоянных произвольных в применении к ли-
нейным дифференциальным уравнениям.
Таким образом, эта глава заключает изложение приемов для нахож-
дения приближенных решений обыкновенных дифференциальных урав-
нений.
Приемы такого решения можно подразделить на следующие группы:
1) разложение общего интеграла в ряды, расположенные по степеням
переменной независимой;
2) разложение общего интеграла в ряды, расположенные по степеням
постоянных параметров, входящих в уравнение;
3) разложение в ряды, расположенные по степеням постоянных, пред-
ставляющих начальные значения искомой функции и ее производных;
4) применение способа последовательного приближения и «механи-
ческих квадратур»;
5) приближенное численное интегрирование.
§ 76. Нахождение решения дифференциального уравнения в виде
ряда, расположенного по степеням переменной независимой, производят:
а) или пользуясь теоремою Тейлора, когда разлагают по степеням ве-
личины х—а, б) или пользуясь рядом Маклорена, когда разлагают по
степеням самой переменной независимой х, в) или пользуясь методом
неопределенных коэффициентов и показателей.
Все эти три способа обыкновенно с достаточною полнотою и под-
робностью излагаются в обычных руководствах, почему мы ограничимся
лишь краткими указаниями, не вдаваясь ни в подробности доказатель-
ства того, что получаемые ряды представляют, действительно, решение
рассматриваемого уравнения, ни в разыскание условий сходимости этих
рядов.
В практических приложениях разлагать по степеням переменной не-
зависимой, например времени — в вопросах о движении, надо в том
§ 76] ПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРЕМОЮ ТЕЙЛОРА ДЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ В РЯД
249
случае, когда требуется получить решение, удовлетворяющее заданным
начальным условиям, и это решение нужно лишь для малых значений
Переменной. Подобный случай имеет место, например, когда трактуем
о движении снаряда внутри канала орудия, когда разбираем откат ору-
дия, вылет мины из аппарата и вообще разного рода движения, продол-
жающиеся весьма короткое время.
Применение теоремы Тейлора состоит в следующем: положим, что
дано дифференциальное уравнение вида
yM=f(x, у, у’, у".....у(я~1)), (1)
в котором х есть переменная независимая, у — ее искомая функция,
у1, у", . . ., г/л-|>, г/(я)— производные от у по переменной х; требуется
представить в виде ряда, расположенного по степеням х —а, такое ре-
шение этого уравнения, которое удовлетворяет следующим «начальным»,
относящимся к частному значению х = а, условиям:
при х = а величина у должна равняться Ь,
» х = а * у' » » />!,
» х = а » у" » » Ь2,
» х —а » у(п 1) » » Ьп_
причем b, bit b2t. . ., bn_xl суть заданные постоянные.
В силу ряда Тейлора можем написать, допуская, что разложение
величины у по целым и положительным степеням х — а существует,
такое равенство:
.. а । а х-а.1 а (х—аР . . , (х — а)п~х
У = Ь-^ЬХ ——---------------bi— .fr=T) +
I „(л) {х — а)п (п+1) (х —0)"+' ,
1“»0 1.2...» т»о 1-2. . . (п-(-1) ' ‘ ‘ ‘г
в котором у™, Уо"+1),. . . суть значения, которые принимают у(п\ у(а1гГ>, . . •.
при х==а.
Для нахождения этих значений обращаемся к данному дифферен-
' циальному уравнению, делая в нем
х = а, у = Ь, у' = Ьь. •. ., у{п~" =Ьп_х ;
получим:
f(a> b’ bi> ь*> -’А-i ) = со- (2>
1 Чтобы найти значение следующих производных,' дифференцируем:
предложенное уравнение, рассматривая в нем х как переменную неза-
висимую, а у и его производные — как функции х; тогда будем иметь:
„(»+!)* -4- д{ 'uw-
У дх ду У ' ду'У ' ’ *-• ' дуХп~ 1)jj ’
подставляя сюда вместо t/n) его величину из уравнения (1), видим, что
у<"+1> выразится как известная функцияjjt букв: х, у, у', у",. . ., ;
пусть будет
!/<я+1) =/1 (*, У, У', У",- - •> У{п~1))- (3}
Поступив с этим уравнением точно так же, получим:
„(л+2) _ I I ,,п _L I dfi
у — дх ду У ду' У • • • Т дуХп~1Х У ’
250 ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [гл. VII
заменив в котором у(л) его величиною из уравнения (1), будем иметь
уравнение вида
У(”+2) =/2(х» У* У',‘ • •» (4)
в котором /2 будет известная вполне определенная функция от букв,
стоящих под ее знаком.
Продолжая действовать таким образом, можем составить выражения
до производной любого порядка от у в функции букв х, у, у\. . ., у п-1)
Делая затем в этих выражениях х = а и подставляя вместо у, у,
у",. • у(я-1) те значения, которые они должны принимать при х = а,
т. е. b, bh ..., bn_x , мы получим значения
Уоп+,’=/1(«. b, by b2..., Ь„_х)=Су
уГ2) =
которые, будучи подставлены в выражение у, и дадут для него ряд
s = d+A15F+i!M+... + v,_fe1^_ +
Само собою разумеется, что если бы надо было разлагать по сте-
пеням переменной х, то стоило бы только повторить предыдущее рас-
суждение, полагая а = 0.
Пример. Дано дифференциальное уравнение движения точки:
У"+(1 + 0.1/) y + 0.1i/'2 = 0
и при / = 0 должно быть у= 1 м, у' —2 м/сек; разложить решение
этого уравнения в ряд по степеням времени t и найти амплитуду пер-
вого размаха.
Решив предложенное уравнение относительно у”, имеем:
У"= — У— 0.1/у — O.ly'2. (1)
Дифференцируя это уравнение, получим:
У’"= — у' — 0.1 (ty'-\-y) — 0.2у'у",
y1V= — У" ~0.1 (ty" + 2y') — 0.2 (у'У'+у"2),
yv = ~у'" — 0Л (/«/"'+3t/") . —0.2 (,y'ylv + 3y"y'"),
yV1 =~У™ -0.1 (ty™ + 4y"') - 0.2 {у' yv + 4y" yIV+ 3y"' 2),
Из уравнения (1), подставляя вместо t его начальное значение 0 и
вместо у и у' их начальные значения 1 и 2, имеем:
Уо=со= —1.4;
внося это значение в первое из уравнений (*), получим:
Уо=с{ = —1.54,
после чего второе уравнение (*) дает
yI0v = c2 = + 1.224.
$ 76] ПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРЕМОЮ ТЕЙЛОРА ДЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ В РЯД
251
Затем, продолжая так же
далее, получим:
у} = + 0.1768,
Уо1 = — 0.7308,
Следовательно, будет:
" "/ IV
^ = -0.7, ьёз- = - °-2567’ 1таг== + °-051>
V VI
1 Д°4 е = +0-00147, = —0.00101
1-2*о*4*э 1 1»2«3«4-5-6
и, значит, искомое разложение, ограничиваясь членами с /6, таково:
у = У1 = 1 + 2t — 0.7/2 — 0.2567/3+0.051/4+ 0.00147/5 — 0,00101/6.
Чтобы найти амплитуду первого размаха, составляем у' и ищем его
наименьший положительный корень, имеем:
у\ = 2 — 1 At — 0.77/2 + 0.204/3 + 0.00735/4 — 0.00603/5.
Нетрудно видеть, что искомый корень будет близок к / = 1. В са-
мом деле, при / = 1 будет:
у\== 2.211 — 2.176 = + 0.035.
Вычисляем соответствующее значение у":
у" = — 1.4 — 1.54/+ 0.612/2+0.0294^з _ 0.0303/4, (2)
будет:
у" = — 2.339.
Значит, искомое значение / есть
^ = 1+^=1-015
соответствующее значение ух есть
' Г1 = 1+2.030 — 0,721 —0.267 + 0.053 + 0.001 — 0.001 = 2.095.
; Чтобы проверить, насколько близко найденная величина у удовлет-
воряет уравнению, вычислим значения у, у', у" для моментов
- / = 0, 0.1, 0.2,.... 1.0
й подставим их в предложенное уравнение.
Это вычисление расположим так:
Таблица 40
t <» р /♦ /5 /в
0.1' 0.01 0.001 0.0001 0.0000 0.0000
0.2 0.04 . 0.008 0.0016 0.0003 0.0001
0.3 0.09 0.027 0,0081 0.0024 0.0007
0.4 0.16 0.064 0.0256 0.0102 0.0041
0.5 0.25 0.125 0.0625 0,0313 0.0156
0.6 0.36 0.216 0.1296 0.0778 0.0467
0.7 0.49 0.343 0.2401 0.1681 0.1176
0.8 0.64 0.512 0.4096 0.3277 0.2621
0.9 0.81 0.729 0.6561 0.5905 0.5314
1.0 1.00 1.000 1.0000 1.0000 1.0000
Затем, составляем схемы для вычисления у (табл. 41), у' (табл. 42)
л у" (табл. 43).
252
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ1 [гл. VH
Таблица 41
Вычисление у
t 1 + 2 t — 0.7/2 — 0.2567 /з + 0.05LH 4-0.00147 — 0.00101 /6 У i
0.0 1.000 0 0 0 0 0 1.000
0.1 1.200 —0.007 —0.000 0.000 0 0 1.193
0.2 1.400 -0.028 —0.002 0.000 0 0 1.370
0.3 1.600 —0.063 —0.007 0.000 0 0 1.530
0.4 1.800 -0.112 —0.016 0.001 0 0 1.673
0.5 2.000 —0.175 -0.032 0,003 0 0 1.796
0.6 2.200 -0.252 -0.055 0.006 0 0 1.899
0.7 2.400 -0.343 —0.088 0.012 0 0 1.981
0.8 2.600 —0.448 —0.131 0.020 0 0 2.041
0.9 2.800 —0.567 —0.187 0.032 0.001 -0.001 2.079
1.0 3.000 —0.700 —0.257 0.051 0.001 -0.001 2.094
1.015 3.030 —0.721 —0.267 0.053 0.001 —0.001 2.095
Таблица 42
Вычисление у'
t 2 — 1.4/ — 0.77Р 4-0.204/» 4- 0.00735 И — 0.00606/5 у'
0 2.000 0 0 0 0 2.000
0.1 1.860 —0,008 0.000 0 0 1.852 <
0.2 1.720 —0.031 0.002 0 0 1.691
0.3 1.580 —0.069 0.006 0 0 1.517
0.4 1.440 —0.123 0.013 0 0 1.330
0.5 1.300 —0.192 0.026 0 0 1.134
0.6 1.160 —0.277 0.044 0.001 0 0.928
0.7 1.020 —0.378 0.070 0.002 —0.001 0.713
0.8 0.880 —0.493 0.104 0.003 —0.002 0.492
0.9 0.740 -0.624 0.149 0,005 —0.004 0.266
1.0 0.600 -0.770 0.204 0.007 -0.006 0.035
1.015 0.579 —0.793 0.213 0.008 —0.007 0.000
$,76]
ПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРЕМОЮ ТЕЙЛОРА ДЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ В РЯД
253
Таблица 43
Вычисление у”
t — (1.4 + 1.54/) 4-0.612/2 + 0.0294 /з — 0.00303 /4 У”
о —1.400 0 0 0 —1.400
0.1 —1.554 0.006 0.000 0.000 —1.548
0.2 —1.708 0.025 0.000 0.000 —1.683
0.3 —1.862 0.055 0.001 0.000 —1.806
0.4 —2.016 0.098 0.002 —0.001 —1.917
< 0.5 —2.170 0.153 0.004 -0.002 —2.015
0.6 —2.324 0.220 0.006 —0,004 —2.102
; 0.7 —2.478 0.300 0.010 —0.007 — 2.175
0.8 —2.632 0.391 0.015 —0.012 —2.238
0.9 —2.786 0.495 0.021 —0.020 —2.290
; i.o —2.940 0.612 0.029 —0.030 —2.329
• 1.015 —2.962 0.630 0.031 -0.032 —2.333
Таблица 44
Поверка
t У\ 0.1 tyi -0.1 у? У" по уравне- нию (1) У" по уравне- нию (2) — у — У1
0.0 1.000 0.000 0.400 —1.400 —1.400 0.000
0.1 1.193 0.012 0.344 —1.549 —1.548 —0.001
0.2 1.370 0.027 0.287 —1.684 —1.683 —0.001
0.3 1.530 0;046 0.230 —1.806 —1.806 0.000
0.4 1.673 0.067 0.177 —1.917 —1.917 0.000
0.5 1.796 0.090 0.129 —2.015 —2.015 0.000
0.6 1.899 0.114 , 0.086 —2.099 . —2.102 . ч-о.ооз
0.7 ’ 1.981 0.139 , 0.050 —2.170 —2.175 4- 0.005
0.8 2.041 0.163 0.025 —2.229 —2.238 4-0.009
°’9 2.079 0.187 0.007 —2.273 —2.290 4-0.017
1.0 2.094 0.209 0.000 —2.303 —2.329 4-0.026
1.015 2.095 0.212 0.000 —2.307 —2.333 4-0.026
254
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [гл. VII
Таким образом, мы видим, что в пределах точности нашего вычис-
ления величина
у = У1 = 1 2t — 0.7/2 — 0.2567/3 + 0.051/4 + 0.00147/5 — 0.00101/6
удовлетворяет нашему уравнению вполне до момента / = 0.5, после
чего начинается систематическое уклонение, и, обратив внимание на
вычисление, мы видим, что члены высших степеней совсем не оказы-
вают влияния на саму величину у, но они становятся заметны в вели*
чине у' и еще более заметны в у".
Поэтому, если бы мы к величине у присоединили еще один член
вида kt7, то в выражении у" мы получили бы член 42А/^; следовательно»
взяв
42^ = 4-0.026,
или
£ = 4-0.0006,
мы получили бы для у, yf и у" поправки:
Таблица 45
t «</=0,0006*7 6z/'=0,0042*e §/'=0,0252/5
0 0 0
0.1 0 0
0.2 0 0
0.3 0 0
0.4 0 0
0.5 0 0 0.001
0.6 0 0 0.002
0.7 0 0 0.004
0.8 0 0.001 0.008
0.9 0 0.002 0.015
1.00 0.001 0.004 0.025
Следовательно, величина
у = 1 4- 2/ — 0.7/2 — 0.2567/3 4- 0.51/4+ 0.00147/5 — 0.00101 /6 + 0.0006/7
будет удовлетворять нашему уравнению в рассматриваемых пределах
значений / со всею желаемою точностью как по дтношению значений
самого у, так и первых двух его производных.
Этот пример в достаточной мере выясняет, каким образом в прило-
жении к практическим вопросам пользоваться разложением величины у
в ряд по теореме Тейлора или Маклорена. :
§ 77. Метод неопределенных коэффициентов и показателей приме-
няется с удобством к уравнениям линейным или приводящимся к тако-
вым, как, например, уравнение Бесселя, уравнение Рикатти и т. п.,
которые и трактуются весьма подробно в курсах анализа, почему мы
на этом методе останавливаться не будем.
§ 78. Разложение решения дифференциального уравнения в ряд, рас-
положенный по степеням постоянных, входящих в самое уравнение, примем
няется в том случае, когда уравнение заключает в своем составе двоякого
рода члены: 1) главные и 2) второстепенные, причем эти последние
характеризуются присутствием в них малых постоянных (т. е. не со-
держащих ни переменной независимой, ни ее искомой функции) множи-
телей. Так, например, в задачах о движении планет около Солнца глав*
§ 78]
РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ В РЯД ПО СТЕПЕНЯМ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ
255
ные члены будут происходить от действия Солнца, второстепенные —
от взаимодействия планет друг на друга; в задачах о движении тел
в сопротивляющейся среде, когда это сопротивление сравнительно
мало, члены, происходящие от сопротивления, и будут второстепен-
ными и т. п.
Подобные вопросы в механике носят вообще название вопросов
«о возмущенном движении», причем вышеупомянутые второстепенные
члены и представляют «возмущения». Обыкновенно все эти вопросы
такого рода, что если отбросить члены, представляющие возмущение,
иными словами, положить равными нулю постоянные множители, их
характеризующие, то уравнения допускают точное решение.
Поясним сущность метода на простейшем уравнении, относящемся,
например, к прямолинейному движению точки по оси у; такое уравне-
ние будет вида
У, У')+а?(^. у. У’)+М, у, у')+т«>(^ у> у'Н-,
где f(x, у, у’) представляет совокупность главных членов, остальные
же члены суть возмущения, причем а, £, у — малые постоянные множи-
тели, в большей части вопросов технического характера таких различ-
ных членов будет один,, редко два.
Итак, для простоты рассуждений и письма будем рассматривать
уравнение вида
y,,==f(t, у, у1)-^^, У, «/')+№(*. У» У) (О
и положим, что уравнение
У1'=/(Л У. У) (1')'
допускает точное решение
У1 = ^1(£» С2). . .
Найдя это решение, определяем значения произвольных постоянный
по начальным условиям. Уравнение
У = У\=?\& Сь С2) (*)
и будет представлять невозмущенное движение. Чтобы найти возмуще-
ния, полагаем
У = У1-\--Ч1 !
и подставляем эту величину в первую часть уравнения, а во вторую его
часть, в член f (t, у, у'), подставляем вместо у величину У14~'*и в члены
же, заключающие множители а и f, подставляем величину у = уь тогда,
ограничиваясь первыми степенями величин тц и -ц , будем иметь:
f(t, у, y')—f(t> yi + *h, y't+\) =
yi, + Уь у’) +(*’ Уь у'); (2)
заменив в этом выражении у\ его величиною (*), получим выражение
вида
f(t, у, y’)=f(t, Уь
где fait) и gift) будут известные функции времени; точно так же, по
подстановке в выражения (Z, у, у') и <[»(/, у, у') вместо у его величины
Уь мы получим их в функции времени t, т. е. вида <?i (/), ']»i (Z), и, еле-
256 ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [гл. VII
довательно, для определения величины tqj мы будем иметь на основа-
нии уравнения (Р) такое:
/1=“п i/i а)+w+a<?rW4-₽ф i (О-
Особенность этого уравнения та, что оно линейное, и если мы по-
ложим
= +
то оно распадается на два:
р"—— p-fi W = ?i(0. | (3)
д" — — ?-/1(0=Ф1(/)- i
Во всех тех случаях, когда уравнение (1') само линейное и с по-
стоянными коэффициентами, то и уравнения (3) будут также с постоян-
ными коэффициентами, и, следовательно, их общие интегралы сейчас
же найдутся. Если же предложенное уравнение было нелинейное, то
вообще уравнения (3) хотя и будут линейными, но с переменными коэф-
фициентами. ' ‘ ‘ 1
В большей части вопросов технических, относящихся к исследо-
ванию колебательного движения какой-либо, системы, будем иметь пер-
вый случай, т. е. уравнения (3) будут линейные с постоянными коэф-
фициентами, так что их интегрирование не представит затруднений. .
Таким образом, когда величина
7]1 = ар+^
будет найдена, то получим: ,
У = У\4” "’ll= У\аР 4" Р? = У 2-
Если надо второе приближение, то полагаем
P==^24-'*i2
и поступаем подобно предыдущему, удерживая в разложении функции
/(/, У* У') члены со вторыми степенями тц и -г)', т. е. с а2, и {J2, а в
разложениях <р(/, у, у') и ф(/, у, у’) лишь члены с первыми степенями
аир, ибо эти члены множатся на а и р; тогда для определения вели-
чины т)2 получим уравнение вида
= W2 (/) 4-^2 (t) 4- а2ф2 (0 4- а?ш2 (0 + ₽2 Фг (0
« величину в виде
т)2=а2р1(/)4-а₽Г1(04-р^1(/)
И т. д.
Поясним этот процесс на том же самом примере:
у" = (1-|-0.1/)р4-0.1г/'2 = 0.
Напишем это уравнение так: .
р"4-р4-а^4-₽р'2=°; (О
тогда а = 0.1 и р = 0.1 и будут те малые параметры, по степеням коих
.мы должны вести наше разложение. -
Первое приближение у^ дается уравнением
Р?4-Р1 —°-
•Общий интеграл его
Р! =<?! cos/4-^2 si*1*.
Начальные условия: при /=0 рь должно равняться 1 и у’= 2, дают
1=С,. 2 = С2
я, следовательно,
Pi = cos/4~2sint
§78] РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ В РЯД ПО СТЕПЕНЯМ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ 257
Делаем
У = У\+Ч\
и подставляем в уравнение (1), написанное так:
!/" = —(f/4-a^ + fe/'2),
получаем:
У\ 4~ "Hi = (У\+’ll + a#/i + $у \),
откуда следует для определения tq! уравнение
’ll = — а/ (cos +2 sin /) — р (2 cos t — sin t)2
и, следовательно, для определения функций р и q в выражении
’11 = — ap —
будут служить уравнения
р"4- р = t cos /+ 2/ sin t,
^"4~^ = 4cos2/— 4sinf cos/4~sin2/ =
= 2 (1 + cos 2t) — 2 sin 2t + (1 — cos 2/)= -f- + 4“ cos ~ 2 sin 2/
при начальных условиях: при / = 0 должно быть р = 0 и р’ = 0; q = 0
и q' = 0.
Из этих уравнений следует
p==C8cos?+C4sinf----t2 cos f+-^- / cos/4- -|-/2sintf-|- -^-/sin/;
определив постоянные произвольные C9 и C4 по . начальным условиям,
Тимеем:
С8 = 0, С4=.О
и, следовательно,
р =---£-/2cos/-|—|-/cos/-1—/2sini+ -i-/sin/.
Точно так же
1 2 5
g = C8cos/C4sin/-----g-cos 2/4- -y sin 2/4—%-,
причем для определения постоянных произвольных имеем:
0 = С8-4+4,С8 = -2,
0 = С4+4? с4= §-
и, таким образом,
q = — 2 cos/---£-sin/---cos2/4--|- sin 2/4—I-
и величина гц будет:
’ll = ap — $q — ^20" Z2 Jq’14 д' cos /
^40 ^"^‘-'20* 15) sin 20'COS^ -j£-.sin2f .
Совершенно так же продолжили бы разложение и дальше.
Для сличения результатов вычислим по формуле
P = Pi4-’h
17 А. Н. Крылов.
258
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [гл. VII
величину у, соответствующую моменту t— сек. При составлении
аргументов cos/ и sin/ надо помнить, что t означает здесь отвлечен-
ное число, показывающее отношение протекшего от начального до рас-
сматриваемого момента промежутка времени к промежутку, принятому
за единицу, т. е. к 14сек., следовательно, во всех формулах надо делать
__ 1/з сек 1
1 сек 2
и, значит, будет:
Ух = cos t + 2 sin t = cos Ц- -J- 2 sin = cos (28°38'.9) -J- 2 sin (28°38'.9),
а не писать так, как иногда ошибаются начинающие учиться астрономии:
Ух = cos t + 2 sin t — cos сек.) -f- 2 sin се к.) =
= cos (0c0'7".5) + 2 sin (0°0'7".5),
ибо 1 сек. времени = 15" дуги.
Итак, будет:
ух = cos 28° 38'.9 + 2 sin 28° 38'.9 = 0.8776 + 0.9588 = 1.8364.
Затем
711 ~ (вО 80.“Г 5 )C0S 2 (160+ 40 15jSin 2 4"
, 1 . I., 1
4" 20 C0S 15 S1° 4 ~
= -i-cos (28c28'.9)sin (28°38'.9)+
+ i cos (57°17'.7) - i sin (57° 17'.7)-J- =
= + 0.1755 + 0.0490 + 0.0270 — 0.0561 — 0.2500 = — 0.0546,
следовательно,
у = Ух 4- -гц = 1.8364 — 0.0546 = 127818.
Как видно, разница с более точною величиною 1.796 чувствительная,
эта разница вполне объяснима, ибо величины а2 и [Р, которыми мы
пренебрегаем, выражаются в ~.
Следовательно, для достижения большей точности надо бы продол-
жить разложение, в новом разложении прибавились бы члены вида
at3 cos’/, /z/3 sin /, с cos 3/, d sin 3/, e cos 4/, / sin’4/.
Отсюда становится понятною сложность формул небесной механики,
где приходится прибегать к подобного рода разложениям, идя до чле-
нов высших порядков.
§ 79. Составление уравнений для определения величин р, q,... мо-
жет быть упрощено, если поступать так: полагаем
у=У\+aPi +₽?i+а2Рг+ а^2+₽2^+ • • •;
составляем выражения у1 и у'2, в которых удерживаем члены, порядок
коих на 1 меньше того, до которого желаем итти в разложении вели-
чины у\ так, например, если мы хотим ограничиваться лишь членами,
второго порядка, то будет:
У' 2 = y'x'.-V 2 (aPt + К) У1
5 80] МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 259
и подставляем величину у в данное уравнение, в котором удерживаем
лишь члены до второго порядка; тогда получим:
«/"+ <»Р1 •+ ₽91 + а2Р2+ а₽Г2 + ^2 +
4“ (У\4" аР1 4“ Р914" а2Рг~Ь а₽г2 4” ?29г)4- at (У1 4" аР1 4“001)4"
4- 0 2 4- ^p'tyt 4- 2^ у)=о.
Собирая члены с одинаковыми степенями а и 0, т. е. представляя это
у равнение в таком виде:
{У\ 4-Р1)4-а(Р1 4- Р14- ty\) 4-₽(?i 4-^i 4-^2)4-а2(р2 4-Р24-PiO4-
4- 02 (я2 4~ 02 4~ yt) 4- а₽Хг 2 4- г2 Ч- 4" 2Pj ур=о.
видим, что оно распадается на такие:
- гг , _
У14“ 91 —0»
р?4-Р1=—tyi’
я[„+Я1 = -у\2,
P2 + p2= — iPb
<72 4-02 = — 2я[у'и
г’г + гг^ — 1Я1 — Ъ>\уг,
причем начальные условия в нашем случае таковы:
при / = 0 должно быть
= <7, = 2;
Pi = 0; Р^ = 0; 91 = 0; 9^ = 0;
Р2 = 0, р' = 0; г2 = 0, г' = 0; 92 = 0, 9' = 0.
Очевидно, что первое уравнение системы (*) доставит величину г/(;
подставив эту величину во второе и третье уравнения, найдем и
подставив их в следующие три уравнения, найдем р2, г2, 92 и таким
•бразом и получим наше разложение до членов второго порядка отно-
сительно а и р.
§ 80. В § 78 мы видели, что в общем случае уравнения системы,
подобной системе (*), хотя и будут линейными, но не с постоянными
коэффициентами. Линейные уравнения с переменными коэффициентами
встречаются во многих вопросах математической физики, и некоторые
из них изучены весьма обстоятельно, как, например, уравнения:
1) Бесселя
х2у" ху'~\~ (х3 — п2) у = 0;
2) Рикатти
у" — а2хту = 0;
3) уравнение гипергеометрического ряда
X (1 — х)у"4-4г — (а4- Р+ 1)х] у' — rfy = 0;
мы на этих уравнениях останавливаться не будем, а покажем один
общий метод, который приложим для получения решения, пригодного в
сравнительно небольших пределах изменяемости величины х, как то
и требуется во многих вопросах прикладных наук.
17*
260
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ- [гл. VII
Итак, положим, что дано линейное дифференциальное уравнение
y"+Py'+Qy = O,’ (1)
где Р и Q суть заданные функции переменной независимой х.
Покажем, во-первых, что это -уравнение может быть приведено к
виду
z" = Rz;
в самом деле, сделаем
у— иг;
тогда
у' = u'z + z'u, у" = u''z 2u'z’ + uz"
и наше уравнение будет:
иг" 4- (2«' -ф- Pu)z' -|- (и" Pu'4~ Qu) z = 0;
выберем теперь и так, чтобы было
2и'-|-Ри = 0,
т. е.
тогда будет:
u"4-Pu'4-Qu = u^Q-----i-P' — -J-P2)
и, следовательно, полагая
-R = Q-----Lp>-1_р2,
получим для определения z уравнение
z"=Pz, (2)
к которому надо присоединить и начальные условия: при х = а должно
быть
z — A, z'= В.
Уравнение (2), будучи написано так:
d(z') = Rzdx,
дает по интегрировании
z'=g- =В+ JPzdx
а
и по вторичном интегрировании
z = A-\-B(x—а)+ J dx §Rzdx. (3)
а а
Сделаем для сокращения письма
z ।=== А 4“ В (х — и),
тогда, подставляя под знаком интеграла в уравнение (3) вместо z его
величину
х х
z — Zj 4~ J dx J Rz dx, (?)
a a
§80] МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ 261
получим уравнение
Z
а
и, продолжая поступать таким же образом далее, будем получать:
z =
а а а а а а
а а а а >а а
Rzdx
Если условимся обозначать действие
dx J Rzx dx = 0! (zj),
a a
то же действие, повторенное дважды, т. е.
J dx j* R dx J dx J RZ' dx = Ф] [Ф, (zj] = Ф2(3]),
а а а а
и вообще
Ф1[Ф„(г1)] = Фл+1(г1),
то предыдущее равенство напишется так:
г=г, + Ф1(21)+Ф2(г1) + Ф8(г1)+... + Фл_1(г1)+Ф„(г). (4)
Таким образом, мы видим, что если только при неопределенном воз-
растании п
lim Фл (z) = О
Я->О0
при всяком значении х, лежащем между рассматриваемыми границами,
то г представится в виде ряда, каждый член коего получается из пред-
шествующего ему умножением на R и двукратным затем интегрирова-
нием от а до х.
К этому результату можно прийти и иначе, положим
z = v0-)-v1-|-»2+,..4-on4-... (**)
и постараемся распорядиться так, чтобы быть в состоянии по предыдущим
членам этого ряда составлять последующие; уравнение (2) дает
°о + »?+ + • • • + °Z + • • • = * (°о+«1 + «2+ • • • “Нл+ • • )•
Если ряд («*) таков, что при неопределенном возрастании п . вели-
чина ол приближается к нулю при всяком значении х между рассматри-
ваемыми пределами, так и при самих пределах, то мы можем удовле-
творить’ предыдущему уравнению и начальным условиям, выбрав р0,
..., ол, ... так чтобы было
®о=°> »i' = -Roo. »2 = ^» v'=Roa, = ......
262
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [ Гд. уц
при начальных условиях: при х = а должно быть
C3Q О* • О* О 11 II И •’ 11 II • • -J* • ч; о* о' , о* ° II II II - 11 Н - о о » • •
тогда будет: v0 = A-\-B(x—а), — § dx JRvodx, а а v2 = J dx J Rv{ dx, a a v*=jdxjRV*-' dx' a a
Покажем теперь, что величина va, определяемая такою последовав
тельностью действий, действительно, имеет своим пределом 0 при не-
определенном возрастании числа п.
В самом деле, положим, что пока х заключается в рассматриваемых
границах, т. е. между а и X, где X есть то наибольшее значение, для
которого нам решение уравнения нужно, что функция R(x) не превос-
ходит по абсолютной величине некоторой конечной положительной вели-
чины М; величина при конечных значениях А и В, а и X, очевидно,
не превзойдет по абсолютной величине некоторого числа Af, тогда бу-
дет по предположению
|»оКМ
следовательно |oi|<Jdx ^MMdx, a a
t. e.
затем
§NM*^=^-dx, .
а а
t. e.
§ 80] МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ 263
продолжая так же далее, видим, что будет:
P-ICA™*" (5)
таким образом, при всяком конечном значении разности х—а и чисел N
и М, предел величины |оп| есть нуль.
Остается показать, что при неопределенном возрастании п остаток
ряда (4) или равносильного ему ряда (*), представляющего величину г,
т. е. Фп(г), имеет своим пределом нуль. Для этого достаточно пока-
зать, что величина z в рассматриваемом промежутке х—а по числен-
ной величине не может превзойти некоторого конечного числа р.
В самом деле, допустим, что такое число р. существует, так что
ИО»
тогда будет:
вместе с тем сумма
г1 + Ф1(*1)+-(г.)
по численной величине меньше суммы
ду fl I Af(x — а)2 , АР(х — а)4 , , Мп~х (х — а)2”-2 '
™ L1 1-2 Ь2.3-4 1-2.3...(2л — 2) ] ’
т. е. меньше
ГеУм (х - tf) I е- Ум (дг - а)].
2*
Обозначив через Р наибольшее значение этой величины в рассматри-
ваемом промежутке, видим, что будет иметь место неравенство
И
(х— а)2п»Мп
1-2.3...2л
Значит, надо выбрать уь, так чтобы было
(х-—а)2п-Мп
Ь2...2л
При достаточно большом п всегда можно сделать
Мп (х— а)2п
1-2... 2л ®’
где в— сколь угодно малое наперед назначенное положительное число,
значит, стоит только взять
(=')
и неравенства
ио»
<5">
будут удовлетворены, вместе с тем формулы (5) и (5") дают нам пре-
дел погрешности, которую мы сделаем в величине z, остановившись на
данном члене нашего ряда.
Как видно, этот процесс требует только выполнения действия
X X
J dx^Pvk dx\
а
264
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [гл. VII
в предыдущей главе был показан тот симметричный и определенный
процесс, коим это действие совершается, когда оно не может быть вы-
полнено аналитически.
Из этого становится понятным то значение, которое имеет способ
«механических квадратур» для вычисления возмущений в вопросах
астрономии, вместе с тем ясно и самое происхождение этого термина.
§ 81. Прием разложения решения дифференциального уравнения в ряд,
по степеням начальных значений искомой функции применяется к тем во-
просам механики, когда исследуется колебательное движение какой-ни-
будь системы и заведомо известно, что эти колебания остаются ма-
лыми, причем в каждом частном вопросе надо сделать определение
того, что под словом «малое» разумеется.
Так, например, в вопросе о качаниях маятника под словом «малая»
амплитуда разумеют такую амплитуду 0, что с тою степенью точности,
которая требуется, можно считать
sin в = в,
, 03 0»
т. е. пренебрегать величиною -g- перед 0, иными словами, величиною -g
перед I. Так, например, если бы мы довольствовались относительною
точностью до -jqqq , то -g должно бы оставаться меньше -рддо , иначе
или кругло 6 <5% и т. п. В вопросе об упругих колебаниях ка-
кой-либо системы малое значит — пока деформации не превзойдут «пре-
дела пропорциональности», который обыкновенно лежит ниже «предела
упругости», так как лишь при этом условии имеют место те линейные
уравнения, коими пользуются, и т. д.
Поясним сущность этого приема на типичном примере качаний маят-
ника (или корабля) в среде, сопротивление которой выражается фор-
мулою .
Г= ao-|-to2,
где о есть скорость движущегося тела.
В этом случае придется иметь дело с уравнением вида
о" 2hu’ -|- п2и zt to'2 = О,
причем знак (-|-) при члене с и'2 надо брать пока и'>0, и знак (—)
когда «'<0, начальные условия таковы: при / = 0 должно быть о = а
и и' —0, где а предполагается положительным, так что при первом
размахе и’ будет отрицательное, и уравнение движения будет:
и" -j- 2to' -f- п2и — ku’2 = 0.
Величина а предполагается малой.
Полагаем
Ы = а(Р1 + а2(?2+---»
причем <pi, <р2 суть неизвестные функции времени t. Это уравнение пи-
шем, потому что очевидно, если а — 0, то и и будет постоянно равно 0.
Составляем выражения •*
и' = а<р' а2<р'
«" = <K?i'+a2?Z+---
Затем
и.’2 — a.2tpj2—J— ...
§ 81}
РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ В РЯД ПО СТЕПЕНЯМ НАЧАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИИ
265
и подставляем в предложенное уравнение, которое тогда примет вид
а (-^"4- 2А<р' + п2<р,) + а2 (<р" + 2Ар' п2<р, — ktf) + ... = 0.
Так как это уравнение должно иметь место при всяком значении а,
то должно быть в отдельности
2й<р| + п2?! = 0,
?2 /12<р 2 = »
Начальные же условия для функций <рь <с2 при £ = 0 должны быть
«>2 = 0, <р2 = 0,
• ••••••
Из первого уравнения находим, полагая
n1==|/n2 — дг,
ибо обыкновенно h мало по сравнению с п,
= в 1 cos/2}^—J—С?2 sin
В силу начальных условий будет:
с, = 1, с2 = -,
1 2 Л4
так что
«л =ё~м(cos nxt-1- — sinn,?).
‘1 \ * 1 «1 /
Тогда уравнение для определения <с2 будет:
+ 2^ -L n2<₽2 = ё~™ (I - cos 2nxt).
Общий интеграл этого уравнения есть
<р2 = е~м(С3 cos nxt + С4 sin п^) e-2W (S cos 2nxt -}- D sin 2n(/),
причем В и D определятся из уравнений, получаемых от подстановки
вместо величины <р2 величины
е~2Ы (В cos 2nxt^~ D sin 2nxt),
причем полученное выражение приравнивается величине
2л2
стоящей во второй части: именно, будет:
(3/г2 — 4Л2) В 4- Ahn XD = ,
4hnxB — (Зп2 — Ah2) D = 0,
откуда следует
_ kt^_ ЗлД —W
~ 2л2 ’ (Зл2 —4Й2)«+16Л2л? ’
____ kn4 4/гл1
U ~’ "^2 (3Л2_ 4Л2)2+ 16Л2,/2 5
266
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ гл. VII
{из начальных же условий следует
С8 = -(Л+В), С4 = £(Л + 5)-2Р.
Таким образом, и будет найдено решение, точное до вторых степе-
'ней величины а и относящееся до движения в сторону убывающих ам-
плитуд, т. е. до того значения времени, при котором в первый раз бу-
дет и’ — О. Эта величина приблизительно есть .
Дальнейшее исследование не относится уже к интегрированию на-
шего уравнения, которое мы взяли лишь для пояснения способа.
§ 82. По поводу всех этих разложений как по степеням малых пара-
метров, входящих в уравнение, так и по степеням начальных значений,
необходимо иметь в виду следующее обстоятельство: откидывая в са-
мом уравнении члены, содержащие параметр а в степени выше какого-
либо избранного числа к, мы не можем поручиться, что и в общем ин-
теграле будут откинуты члены, начиная с того же самого порядка,
а не с низшего.
. Последний случай может иметь место, например, когда при нахож-
дении частного интеграла линейного уравнения с постоянными коэффи-
циентами, у которого вторая часть будет вида I cos pt, придется ее де-
лить на выражение вида п2— р2, и, если окажется, что п2 — р2 будет
само малою величиною, например, порядка с относительно а, тогда
член общего интеграла, соответствующий члену I cos pt, где I по-
ложим порядка k — 1 относительно а, будет не (k—1)-го порядка,
л порядка k — 1 — с.
Следующий пример с ясностью обнаружит это обстоятельство.
Положим, что требуется исследовать малые колебания сферического
маятника. Взяв за начало координат точку привеса, направляя ось z
вертикально вниз и обозначая через N натяжение нити и через I длину
«ее, имеем следующие уравнения движения маятника:
тх" ——тУ" ~N -у» mz" — mg — 2V-y, (1)
причем уравнение связи есть
x2-\-y2-\-z2 —12 = 0
или
2 = //2_(х2+1/2). (2)
Начальные условия пусть будут: при £ = 0 должно быть
х = а, х' = О,
у=0, у' = с.
Под словом малые колебания надо разуметь, что отношения ~ и
•СТ
у, где т есть время одного полного размаха маятника, суть величины
малые, по степеням коих мы и будем разлагать наше решение.
Из уравнения (2) следует
т. е. в первом приближении можно принять z = l; тогда последнее из
уравнений (1) дает
N — mg
и тогда первые два принимают вид
х"4--|х = 0, i/" + y- у = 0,
$82]
ПРИМЕРЫ. ДВИЖЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
267
откуда следует, принимая во внимание начальные условия:
x = acos nt,'\
у = A sin nt у t
(3)
где
л*ак что
и
Таким образом, представляется, что полученное решение и есть
точное до членов первого порядка относительно а и Ь, ибо в уравне-
нии (*) откинуты члены второго порядка относительно а и Ь.
Между тем, такое заключение будет неправильно.
В самом деле, подставим в уравнение (*) вместо х и у их величи-
ны (3); тогда будет:
__a2 cos2 nt b* sin2 nt \
Z 4 1 2/5 2P I
= /[1 —^(a2-j-a2cos2nf~j-62—/>2cos2n/)j =
,/, a24-Z»2 a2 —n ,\
— 4P 4P~cos •
Обозначая для краткости письма
a2 — ai + bi R2 a2 —bi
4/2 ’ P ~ 4/2 ’
получим:
z = Z(l — a2 —P2cos2ra/), (••)
причем мы нарочно приняли обозначения а2 и fi2, чтобы показать, что
это величины второго порядка относительно почитаемых нами за ма*
лые, само собою разумеется, что мы предполагаем Ь<а.
Из уравнения (**) следует
z" = 4л2/ р2 cos 2nt = 2 cos 2nt,
что по подстановке в уравнение
mz”=mg----------------------------------j-
дает
4mgft2 cos 2nt=mg—N (1 — a2 — f2 cos 2nt)
«, следовательно,
/V = mg
1 — 4p cos 2nt
1 — (»2 -|- ₽2 cos 2nt)
=mg (1— 402 cos 2nt) (1+a2+p2 cos 2/z/4-a4+2a2p2 cos 2nt + ₽4 cos22nf+...)e
= mS [i + (a2+ a4+ 4 P4) —(3?2+2aT) cos 2nt —| cos 4nf +.. • ] =
= mg[l-h/W]
«при само собою понятном обозначении.
268
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [гл. VII
Таким образом, первые два уравнения (1) будут
X'' + «2[l +/(/)] Х = О
И
1/"+п2 [!+/(/)]«/ = о,
которые мы напишем, полагая
nf = Л2 (1 а2_|_ а4 — 2.
так:
х"4- л2 х = л2 Г(Зр2-|-2а2р2)СО82п/-]--|-р4со8 4лЛ х,
L J (4>
р" + л2 у = п2 |\зр2 4- 2а2р2) cos 2nt-j- -|- f4 cos 4л/j у.
Если подставить вместо х и у во вторые части этих уравнений их
величины из первого приближения
x = acosnt
и
у = bsinnt,
то с первого взгляда представляется, что ввиду того, что вторые части
этих уравнений третьего порядка относительно а и f, то их можно бы,
если желаем иметь только члены первого и второго порядка, отбро-
сить, между тем это не так.
В самом деле, заметив, что
cos 2nt • cos ni = -^ cos 3nf + у cos nt,
cos 2nt • sin nt — 4- sin 3nt — 4- sin nt,
cos 4л/ • cos nt—4- cos 5л/ 4~ 4- cos 3л/,
cos 4л/• sin л/ = 4-sin 5л/ —
напишем предыдущие уравнения так:
jc"+nf х = а у. р2 -j- а2^ Л2 cos л/4-
а (4. р2_|_ а2р2_|_ 3. рЛ га2 cos 3/7/4“ Л. а^4п2 cos
у" 4- л2 у = — Р 4- а«р2) П2 sZn nt _j_
4- b (4- ₽2 4- а2£2 __ 4 П2 sin 3nt 4- 3. ^4Л2 sin 5ni
и, следовательно, будет:
з
Y₽24-«2?2
x = Ci cos »i/+ C2 sin ntt-j-a —-5----л2 cos nt4-
ZIj — n2
3 3
у?2 + а2₽2 + т?4
4- a --------§-----л2 cos Зл/4-4-n ——5 «2 cos 5л/,
9Л2—л2 r 4 25л» —nf
3
-o ₽2 + »2P
у = C8 cos n.it-\- C4 sin л — b—n2~2 - n2 sin nt -f-
3 * 3
— R2_l_a282_—Й4
4-b ---------5^—n2sin3л/4- ^-b —5—= л2вШ5л/.
~ 9л2—л? 4 25л2—л2
§ 82]
ПРИМЕРЫ. ДВИЖЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
269
Заметив, что
^1 + а2+а4-4₽4),
видим, что величина
nSt — «2 = П2а2_|_ «2 (а4 —|
есть малая величина второго порядка; поэтому члены
4?2+«2Р |₽2 + «2Р
—5------a cos nt,------5----b sin nt
nf — n2 rq — n2
не третьего порядка, а первого, и, следовательно, даже в первом при-
ближении их отбрасывать нельзя, а надо удержать.
Таким образом, если бы мы хотели из этих формул иметь члены
первого порядка, то должны писать
х=С\ совп^+СгЗ^п^+у^асоз nt,
3 В2
у = С8 cos С4 sin n{t —g «а si*1 nt
и определить постоянные произвольные по начальным условиям; тогда
получим:
°=с2.
0 = С8, c = bn=zn{Ci — ^bn,
откуда
~ 3₽2 _ За’-М
а 2 а2° 2а2+Ь2)’
Г . п (. , 3 а2—Ь2\____, /. ! За1 — Ъ2\
c4 — d 2 a2-t-b2) — D 2a2-j-b2J’
и, следовательно, будет:
Л 3 a2 — b2\ ± . 3 a2 — b2 ,
x = a - -2 &+b2)cos ni*+T&+bia cos nt'
/, . 3 a2 — b2 . 3 a2 — b2 , .
У "Ь fa2-}-b2/ Sin П|* ~2 a24-d2Sm
не надо думать, что так как
ni = П -|- -^-а2-|-...) ,
то можно бы заменить nxt через nt-, время t возрастает неопределенно,
и разность между аргументами nxt и nt скоро достигнет заметной
величины.
Заметим, что характер движения, представляемый уравнениями (5),
совершенно отличный от представляемого уравнениями
х = a cos nt, у = b sin nt.
Действительно, эти два последних уравнения дают для траектории
точки постоянный, эллипс
а2 ' Ь2 ’
коего оси направлены по осям координат.
270
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [гл. VII
Чтобы выяснить характер кривой, представляемой уравнениями (5),
положим
, _ 3 а»—6*.
2 & +
тогда уравнения (5) можно написать в таком виде:
х = a cos nxt-\-2aks\n t,)
„ _n , (6>
у =/>sinntz4~2Z>^sin % ^cos"1-^-—Л I
Разность Я1^~п по предположению весьма мала по сравнению с п или
с «j, ибо она равна ^-а2п. Поэтому когда аргумент nxt изменится на 2л,
то аргумент —t==~a2nt изменится всего на а2 у, и в течение всего
этого времени кривая (6) будет весьма близка к эллипсу
х = acosn.it,
у = bslnn.it,
ибо расстояние соответствующих точек будет меньше уа2а, но после
того как аргумент nYt получит приращение 2л, кривая (6), в отличие от
эллипса, не замкнется, и, значит, полученный ее завиток будет близок
к сказанному эллипсу, но не замкнут, и, уклоняясь от этого эллипса
постепенно, может быть уподоблен тому следу, который точка оставила
бы, двигаясь по этому эллипсу, который в это время поворачивался бы
равномерно на некоторый угол.
Чтобы определить этот угол поворота, надо составить уравнение
xx,-\-yy, = Q (7>
и найти ближайший к 2л корень его.
По уравнению (5) имеем:
х'——(1 —k)anislnnit—anksinnt,
у' =(1 k) Ьп {cos n{t — bnk cos nf\
положим
nt = 2л-]-<р;
тогда
2n-(-a>,
причем
ш = <p-|- а2л,
и будет:
cos nxt = cos nt — 1,
sin п$ = >», sin nt — <p,
и уравнение (7) по приведении будет:
— <*2 [<?+(1 — k) ла2] + />2 [<р 4- (i + k) ла2] = 0;
из него следует
Таким образом, прохождение через вершину завитка (перигелий в астро-
номии) происходит в момент, когда
п/ = 2п-]- у а2.
§ 82]
ПРИМЕРЫ. ДВИЖЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
27 Ь
Соответствующие координаты этой вершины будут:
Х = а,
следовательно, направление идущей в эту вершину оси завитка, т. е-
угол поворота эллипса за время полного оборота маятника, будет:
. У 3 ab /QV
Ф — х 4 /2 ’
причем этот эллипс поворачивается в сторону движения по нему маят-
ника, ибо угол ф положительный. Таким образом, проекция траектории
маятника имеет вид, показанный на фиг. 67.
Фиг. 67
Если бы мы желали иметь угловое расстояние двумя после-
довательными, наинизшей и наивысшей, точками, занимаемыми маятником
на сфере, то для уравнения (7) надо искать корень, ближайший к — ,
т. е. в предыдущих формулах заменить 2тс через т. е. тс через и мы
получим:
, 1 . 3 ab
272
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [ гл. VII
и полный угол будет:
но
суть наибольший и наименьший углы отклонения маятника от отвесной
линии, и предыдущая формула напишется
Ф = + (8')
В таком виде эта формула обыкновенно и дается на основании'рас-
смотрения точного решения этой задачи в эллиптических интегралах.
На фиг. 67 представлена фотографическая запись горизонтальной
проекции движения центра тяжести сферического маятника, длина коего
7 = 3.34 м, масштаб записи 1:10.5.
Запись эта, исполненная в 1S05 г. в Опытовом бассейне морского
ведомства С. В. Вяхиревым, получена следующим образом: на тонкой
стальной струне, длиною около 3.3 м был подвешен свинцовый цилиндр,
диаметр и высота коего равны 10 см и вес около 8 кг. По оси этого
цилиндра просверлено отверстие диаметром около 15 мм и в него встав-
лена маленькая электрическая лампочка от карманного электрического
фонаря.
В расстоянии около 2.5 м под цилиндром была установлена фотогра-
фическая камера объективом вверх так, чтобы пластинка была горизон-
тальна. При качании маятника изображение лампочки, в виде светящейся
точки перемещаясь по пластинке, дает вышеприведенную кривую, пред-
ставляющую горизонтальную проекцию движения центра тяжести маят-
ника.
Формула (8) весьма хорошо согласуется с опытом; для маятника
снимок движения которого показан на фиг. 67,
Z = 3.34 м.
Число размахов на снимке...........41
Полный угол поворота.............104°
Угол поворота за один размах.......| = -^у- = 2<,’,54
В начале движения.................а — 65 мм на снимке
> > ..................Z> = 32 » »
В конце движения.................а = 58 » > *
> » £=30»» >
Масштаб снимка 1 :10.5 натуры.
Отсюда имеем
В начале движения...............ab = 2080
В конце движения............ . ab = 1740
Среднее. . . а6=1910
Среднее значение угла поворота
?о — 4 lob Ю00 000* \ 3.34 ) 1 *0*’
согласие получилось лучшее, чем можно было ожидать.
Мы привели эту запись, чтобы наглядно показать, в какой мере полу-
ченное решение, представляющее первое приближение, соответствует
действительности.
§ 83 j СПОСОБ ПРИБЛИЖЕНИИ ДЛЯ УРАВНЕНИИ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 273
В астрономии прямая, соединяющая центральное светило с вершинЬю
траектории, описываемой около него другим светилом, называется осью
или линией апсид, и движение, подобное вышеуказанному, имеет Луна
около Земли, и, действительно, уравнение вида
^+п2(1 Н~2а cosA/)u = 0
имеет весьма важное значение в теории движения Луны; мы же привели
предыдущий пример, чтобы наглядно показать, на какого рода обстоя-
тельства надо обращать внимание при разложении решений дифферен-
циальных уравнений в ряды.
§ 83. Изложенный выше метод последовательных приближений в при-
менении к интегрированию уравнений возмущенного движения обладает
тем недостатком, который мы встретили в примере § 78. Этот недостаток
состоит в том, что переменная независимая t, входившая в невозмущен-
ном движении лишь под знаками синуса и косинуса разных аргументов,
линейно зависящих от t, появляется в возмущенном движении вне этих
знаков, так что в состав решения входят члены вида
{at + Ы2 -|- ct3 -f-...) cos (nt+8).
Эти члены с течением времени неопределенно возрастают, вследствие
чего найденное решение пригодно лишь для весьма малых значений t-
С этим обстоятельством встретились математики XVIII столетия, когда
•они начали применять анализ к. исследованию движения планет и их
спутников в нашей солнечной системе. Лаплас и Лагранж развили до-
вольно общие методы для устранения этого недостатка. Исследования
Лапласа, изложенные первоначально в мемуарах, вышедших в томах VIII
и IX полного собрания его сочинений, включены в переработанном виде
jb его «Mecanique celeste», в главу V 2-й книги тома I.
Исследования Лагранжа помещены в томе V полного собрания его
сочинений («Oeuvres de Lagrange»).
Не излагая этих общих способов, к которым при решении техниче-
ских вопросов прибегать не приходится по трудности их применения,
ограничимся простейшим примером, на котором выясняется сущность
другого приема, являющегося обобщением и видоизменением метода, из-
ложенного М. В. Остроградским в «Мемуарах Академии Наук», VI серия,
III, 1838, приведенного также в работе Рэлея «Теория звука», г. I, § 67.
Возьмем пример Остроградского, который приведен и у Рэлея. Тре-
•буется найти решение уравнения
г/"4-п2#'+«Ч/3 = 0 (1)
при начальных условиях: когда / = 0, то должно быть
/ = 0, у —а.
Параметр а предполагается малым, и решение разлагается в ряд
ло степеням этого параметра, причем названные авторы ограничиваются
первою степенью а в этом разложении.
Если поступать, как указано в § 78, то за исходное приближение
пришлось бы взять уравнение
у"-\-п2у = 0,
решение которого, удовлетворяющее начальным условиям, есть
у = acosnt. (2)
Для первого приближения имели бы тогда уравнение
у" п2у = — аа3 cos3 nt, (3)
48 А. Н. Крылов.
274
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [гл. VII
НО
1 3
COS3 nt = Т- COS 3>nt 4- COS nt,
так что предыдущее уравнение будет:
1 3
у" 4- п2у = — * аа3 cos 3nt — аа3 cos nt, (3')
общий интеграл которого есть
у = Cj cos nt + С2 sin nt + 32 cos %nt — g- — t sm nt.
Значения постоянных произвольных, определенные по начальным усло-
виям, суть
с‘=а-45’ с*=0’
так что
У = (° — 32^-J C0S nt + Ы C0S Зл/ - 8 V* Sin nt'
В последнем члене время t вышло из-под знака синуса, и этот вид
решения пригоден только для весьма малых значений t, которыми нельзя
ограничиваться при изучении колебательного движения точки, опреде-
ляемого координатою у.
Чтобы избавиться от сказанного недостатка, положим
п2 = р2-|-с1а, (5>
где Ci — некоторая пока неизвестная постоянная, которой распорядимся,
так, как будет указано ниже.
Уравнение (1) примет вид
!/"+P2I/ + a«/3+ciai/ = 0, (1')
исходное приближение будет:
у = a cos pt,
уравнение для первого приближения будет:
р2у,— —j аа3 cos 3pt — a (aci -|-1- a3^cos pt. (6)
Чтобы решение этого уравнения не содержало времени t вне знака
косинуса, надо взять ct так, чтобы в правой части член
пропал, т. е. надо положить
aci+|a3 = 0,
что дает
q = —la3.
Значит, будет:
Р2— „2_|_|a2a>
общий интеграл уравнения (6) будет:
у = Cj cos pt+С2 sin pt cos 3pt,
причем начальные условия дают
~ 1 ea®
Ci a 32^r >
C2=0,
$ 83 ] СПОСОБ ПРИБЛИЖЕНИИ ДЛЯ УРАВНЕНИИ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
275
так что
y = ac.ospt — -^-(cospf — cos3p/). (7)
Это решение, точное до первой степени параметра а, уже не содер-
жит времени t вне знака косинуса и показывает, что движение точки
сохраняет колебательный характер с амплитудою, которая остается
конечной, но частота этих колебаний
Р = ]/ п2+^а2а
зависит от амплитуды а так, что вследствие наличия в уравнении (1)
члена си/3 изохронность колебаний утрачивается.
Если бы мы хотели иметь решение точное, скажем, до третьей сте-
пени параметра а, то проще всего поступить следующим образом.
Положить
У = Фо+аФ1"Ь а2Фг "Ь а3Фз> (8)
где <р0, <рь <р2, <р3 — новые неизвестные функции переменной t, вместе
с тем положить
n2 = p2-|-Cia-|-c2a24-c8a3, (9)
где Сь с2, с8 — пока неизвестные постоянные, которыми распорядимся
ниже. Подставляя значения (8) и (9) в предложенное уравнение, получаем:
ТоЧ" аФ1'+ ^2 + а3Фз + (Р2 + с1а + с2а2 + с8а3) (То + аФ1 + а2Фг + а3Фз)+
+ а(ф0+ аф1 + a?(p2+ а3(Рз)3 = °-
Разлагаем первую часть этого уравнения по степеням параметра а,
ограничиваясь лишь третьей степенью его, получаем:
Фо'Я" Р2Фо+ а (фГ+ Р2Ф1 + с1Фо+ Фо) +
+ »2 (ф2Ч- Р2Ъ + С2?0 "Н1Ф1 + 3<?о<р 1) +
+ а3 (<Рз'+Р2Фз + С3Ф0 + С2<Р1 + Зфот!) = °-
Так как это уравнение должно иметь место при всяких значениях
параметра а, то оно распадается на следующие уравнения:
Фо-1_Р2Фо = °,
Ф1"+Р2Ф1= — С1?о— Фо» (10)
Ф2’+р2Ф2 = — ^2ф0 — — ЗфоФь
Тз" + Р2<Рз = — СзФо — С2?1 — С1?2 —3<Ро?2 ~3ФоФ1 •
Начальные условия принимают вид: при t = 0 должно быть
Фо (°) + atPi (°) + a2<?2 (0)+a3(?s (0) = a.
К (°) + аЪ (°)!+ a2(?2 (°) + а3Фз (°) = 0
при само собою понятном обозначении/и так как эти уравнения должны
иметь место при всяком значении
следующие:
<ро(О) = а,
Ф1(О)=О,
<Р2(0) = 0,
Фз(0) = 0,
параметра а, то они распадаются на
Фо'(О) = О>
ф/(0) = 0,
ф2'(0) = 0,
Ф3'(0) = 0.
(И)
18*
276
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [ гл. VII
Таким образом, вопрос приведен к интегрированию системы (10) при
начальных условиях (11).
Первое уравнение системы (10) и первое начальное условие дают
<f0 = acospt; (12)
тогда второе уравнение будет:
<₽"+ р2<р1 — — С\а cos pt—a3 cos3 pt = — a3 cos 3pt — (ср -|-a3j cos pt.
Чтобы время t оставалось под знаком косинуса, выбираем постоян-
ную С\ так; чтобы было
cia + |-a3 = o>
т. е.
Ci = -|a2; (13)
тогда будет
<?! = (?, cosptcos 3pt;
второе начальное условие дает
f I__L а3_n
С1 + 32 pi ~~ °’
С2 = 0;
таким образом,
Ъ = (cos 3pt —cos pt). (13')
Подставляя значения <р0 и ср(, даваемые уравнениями (12) и (13'), и
значение с( из уравнения (13) в третье уравнение системы (10), имеем:
Фг'-Ь Р2Ъ = — с2 a cos pt +1-а2 • (cos 3pt — cos pt) —
— ^а2*32 p2 cos2^ (cos — cos pt)',
развив правую часть и воспользовавшись формулами
cos2 pt = -у (1 + cos 2pt),
cos 3pt cos 2pt — -i- (cos 5pt + cos pi),
. cos 2pt cos pt — -y- (cos 3pt_+ cos pt),
получим:
<?2 + p 4 = — 128 cos bpt — a \c2 — 128 COS pt.
Выбираем c2 так, чтобы член c cos pt пропал, т. е. полагаем
С2 = “Ь 128 р2" ’ ( 4)
тогда получим:
(₽2 = С] cospt + С2 sin Р*+т(Й4 jjcos 5РЛ
§83] СПОСОБ ПРИБЛИЖЕНИИ ДЛЯ УРАВНЕНИИ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
277
Постоянные произвольные С( и С2 определяются по третьему из усло-
вий (П) и будут:
г 1 а5
Ь1— 1024 р* ’
С2 = 0
и, значит, будет:
<₽2 = T^4FCOS5p/~i024^C°SP/' (14)
Таким образом, с точностью до вторых степеней параметра а, имеем
на основании формул (12), (13), (14):
= (15)
Это уравнение нет надобности решать точно относительно р2, а, за-
метив, что величину р2 надо иметь в этом случае лишь с точностью до
членов второго порядка относительно а, можно в последнем члене заме-
нить р2 через п2, что вносит погрешность лишь третьего порядка отно-
сительно а, и тогда будет:
+ (15')
величина же у будет на основании формул (12), (13'), (14'):
У = a cos pt(cos 3Pt — cos #)+т^4 a2(cos 5Pt ~ CQS Pfi- <16)
Ясно, что для получения членов третьего порядка надо в четвертое
уравнение системы (10) подставить найденные значения <р0, <рь ср2» и ^2>
степени и произведения косинусов заменить через косинусы кратных
аргументов, уравнять коэффициент при cos pt нулю, что доставит зна-
чение постоянной с3, а дифференциальное уравнение и начальные усло-
вия дадут величину <р3.
Подставив величины с2, с3 в формулу
ft2 = р2 -j- Cia 4“ ^2а2+ Сза3>
получим уравнение для определения р2, решение которого разлагаем по
степеням параметра а, ограничиваясь третьим порядком, и член а3ср3 при-
бавляем к правой части уравнения (16).
Эту выкладку предлагается проделать в виде задачи.
Ясно, что изложенный метод применим ко всякому уравнению вида
y"-|-n2y4-a/(t/) = 0, (17)
где f(y) есть целая функция от у, степень которой, очевидно, не ниже
двух.
Разложение может быть ведено до членов любого порядка k относи-
тельно а, стоит только положить
М2 = C]CL 4“ ^2а2 ~Т~ Н- ‘ ’ ’Ч- ’ (18)
У = <Ро + а(?1 + а2(₽2 + а3Ч>8+ • • • + аА<Р* (19)
и вести выкладку совершенно подобно тому, как это сделано для на-
шего частного случая.
Начальное условие: при £ = 0 должно быть
У = а, у' = 0. (20)
278
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [гл. VII
Это существенно важно, иначе во втором уравнении в правой части
будут два члена с аргументом pt, один — с cos pt, другой — с sin pt,
между тем в нашем распоряжении будет только один неопределенный
коэффициент Су и уничтожить оба члена будет невозможно.
Мы покажем ниже, каким образом общие начальные условия всегда
могут быть приведены к виду (20).
§ 84. К совершенно аналогичным выкладкам'приводит задача о раз-
ложении решения уравнения
У"+п2у+Ж = 0 (21)
при начальных условиях: когда / = 0, то должно быть
у = а, у' = 0, (20)
по степеням начальной амплитуды а, предполагаемой малой.
Поясним и этот метод на простейшем примере уравнения
у"+п2у+hy3 = 0, . (22)
решение которого хотим разложить до третьих степеней а.
Полагаем тогда
t/ = a(po+a2<?i + a3<p2, I
n2 = p2_|_Cia_|_C2a2; | (23)
подставляя эти величины в предложенное уравнение, имеем по сокра-
щении на а;
^o/+a?i,4-a2<p2,+ (P2 + cia+c2a2)((?o+a<?i + a2?2)+^a2(?o+- • .)3 = 0.
Развивая по степеням а, имеем:
% + Р2<?0 + а (<Р1"+ Р2(?1 + С1<Ро) + а2 (t?2,+ P2t?2 + С1<Р1 + С2?0 + At?o) = °«
откуда следует система
(Ро, + р2'?о=О.
<?1"+Р2(Р1 = —С1?о.
тГН- Р2(Р2 = — ci<pi — с2?о —
Начальные условия будут: при / = 0 должно быть
a = а<р0-(- a2(p] -J- а3<р2,
0 = а<ро'+а2(Р1'4-а3<Рз',
т. е. при / = 0 должно быть
<?о(О)=1, ?о'(°) = О>
<Р!(0) = 0, <?1'(0) = 0, •
<р2(0) = 0, <р2'(0) = 0,
(24)
(25)
т. е. получается система уравнений и начальных условий, совершенно
подобная рассмотренной в § 83.
Из первого уравнения и соответствующего начального условия
находим:
(р0 = cos pt.
Второе уравнение тогда будет:
<Р1"+Р2(Р1 = — cos pt.
Чтобы решение не заключало члена с fsinp/, надо положить
С] = 0,
тогда будет, на основании начальных условий,
<Р1 = 0.
§85] СПОСОБ ПРИБЛИЖЕНИЙ ДЛЯ УРАВНЕНИИ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 279
Третье уравнение будет:
<р2 -|- Р2<?2 = — сг cos pt — h cos3 pt = — (c2 + j- h) cos pt — ~^h cos Зр/.
Значит, надо взять
з ь
с2 = — 4 А;
тогда будет:
<р2 = Сх cos pt+С2 sin pt+^2 cos 3pt
n, на основании начальных условий,
С' = -^рТ. С, = 0;
значит,
t₽2 = 3^(cos3p/ —cosy/), (26)
причем
р2 = п2_|_3 Аа2
У = а cos р/+Д- а3 (cos Зр/—cos pt). (26')
'Совершенно так же повели бы разложение и до любой степени а.
§ 85. Возьмем теперь уравнение вида
У"+«2р + а/(р') = 0,
где а — малая величина и f(y') — целая функция четной степени относи-
тельно у'.
Начальные условия попрежнему: когда / = 0, то должно быть
у —а, y' = Q (20)
и начнем с простейшего, относящегося к колебаниям маятника или ко-
рабля в среде, сопротивление которой пропорционально второй степени
скорости.
Это уравнение будет:
p"4-n2y2fzat/»2 = o, (27)
причем в этом уравнении надо брать знак —, когда у' отрицательное,
и знак когда у’ положительное, поэтому, предполагая, что а положи-
тельное, для первого размаха имеем ,уравнение
у"+п?у — ay'2 = 0. (28)
Будем разлагать решение этого уравнения по степеням а и ограни-
чимся второю степенью; тогда полагаем
Л2 = р2 С[а С2а2г (29)
1/ = <Ро+а<Р1 + а2(р2; (30)
тогда будет:
ау' 2 = а (<р0' 2+ гафоф/ +...) = а<р0' Ц- 2а2^<р
по подстановке будет:
<РоЧ- a?i"+ (Р2 + С1а + Сга2) (Фо + а<Р1 +а2(?г) — (а<Ро2 + 2а2(?оХ) = °;
развив и собирая члены, имеем:
(’Ро'+рЧН <ЧЧ»Г +р2<Р1 + с1?о— <Р0'2) + а2 (? 2+Р2?2 + С1<Р1 + с2<Ро — = °»
280
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [гл. VII
таким образом, получаем систему
<РоЧ- Р2(?о = 0.
?Г+ Р2(Р1 = — С1<Ро+<?о2>
K'd- р2<?2=——с2<?о4- 2<РоК •
Начальные условия будут: при / = 0 должно быть
<?о(О) = а 'Ро(°) = 0’
Ф1(О) = О, ср,'(О) = О,
<р2(0) = 0, <р2'(0) = 0.
Первое уравнение и первое начальное условие дают
<р0 = a cos pt',
(31)
(32)
(33)
тогда второе уравнение будет:
<р"4~ р2<р1 = — сха cos pt-\-a2p2 sin2 pt = — Cya cospf-|- ^-a2p2 (1 — cos 2 pt).
Чтобы решение не содержало члена с t sin pt, положим
Су = 0. (34)
Тогда решение будет:
ср( — Су cos pt С2 sin pta2-]- ^-n2 cos 2pt;
из начальных условий следует
Су = — |а2, С2 = 0; (35)
таким образом, будет:
^у = ~а2—|-a2cospf4-^-a2cos2pt (36)
Третье уравнение будет:
ср2 Р2?2 — — с2 а cos pt — 2р2а3 sin pt (sin pt — sin 2pt 1
или
<p2"-|- p2cp2 = (— c2a p2a3) cos pt — p2a3 4“ P2a3 cos 2Pt — у P2°3 cos 3p/-
Берем c2 так, чтобы член c cos pt пропадал; тогда будет:
= М (37)
О
2 2 1
<р2 = Cj cos pt 4" С2 sin pt — j a3 — g- a3 cos 2pt+54 °3 cos 3pZ;
из начальных условий следует
Cy = f2a3, С2 = 0,
значит,
<р2 = ~ у a3 + a3 cos pt — a3 cos 2pt 4- a3 cos 3pt, (38)
причем на основании значений (34) и (37) неизвестная р2 определяется
уравнением
п2= р24-1- р2а2а2,
о
§ 86 ] СПОСОБ ПРИБЛИЖЕНИЙ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
281
значит,
Р=-г==\ (39>
у 1+5-а2д2
г О
соответствующий период т будет:
2я 2тс . f* I 1 о о 2тс f* 1 п л\
т== — = — |/ 14-о-а2а2^— 1 4- — а2а2
р п г *3 л \ 1 6 /
или, полагая
2п
'co=V
будем иметь:
-с =Ч0 j/1 L а2а2 _ То а2а2^ Ф (40)
Подставляя найденные значения (р0, <рь <р2 в равенство
!/ = <?о+а'Р1 + а2(р2.
имеем:
у— a cos pt +аа2 (3 — 4 cos pt -f- cos 2pt) —
— =^-а2а3(48— 61 cos#-]- 16cos2#— 3cos3#). (41>
Эта формула имеет место до тех пор, пока у'<0, т. е. до момента
t = ti = ^- = K-, в который у' — О.
р *
Отклонение маятника в этот момент будет:
y = at = — (а — | аа2 + у а2а3\ (42)
что показывает, что маятник по другую сторону от своего положения
равновесия не достигнет первоначального отклонения, а лишь меньшее
на величину
4 9 16 9 о
аа2------ а2а3
о У
причем продолжительность этого первого полуразмаха составит
=4 V 1-\-~а2а2 . (43)
Очевидно, что начав второй полуразмах с отклонения аь маятник его
произведет в продолжение времени
4'с1 = тх-|/ H-yafa2 (44>
и достигнет отклонения
а2 = «1 —4аа1+¥а2аь (45)
продолжая колебаться таким образом с постепенно убывающей ампли-
тудой.
§ 86. Рассмотрим еще уравнения типа
!/" + «21/ + /г(У)+/(1/') = 0, (46>
где F (у) есть целая функция от у степени не ниже второй, f(y')—целая
функция четной степени от у', причем коэффициент при 2-й степени у'
не равен нулю. С подобным уравнением приходится иметь дело, напри-
мер, при рассмотрении колебаний маятника или корабля в среде, сопро-
282
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [гл. VII
тивление которой пропорционально 2-й степени скорости, делающего
размахи настолько значительные, что надо брать
siny = y — у3. (47)
Начальные условия, как и прежде: при t = 0 должны быть
у = а, у' = 0,
и требуется разложить решение уравнения -этого движения в ряд по
степеням а, ограничиваясь членами с а3.
Уравнение движения для первого полуразмаха будет:
у” п2у — 4- п2у3 — ky12 = О,
где k — заданная постоянная.
Полагаем
У = аФо+ а2<?1 -Ьа3<р2.
п2 = р2 -j- cta + С2а2
(48)
(49)
(50)
и подставляем в предложенное уравнение, которое по сокращении на а
'будет:
Фо 4* а<?1 + (Р2+с1а+с2а2) (фо + аФ1 + а2Фг) —
-1 (р2 +...) (?03 + ... ) а2 - Аа (<+ а ср')2 = 0.
Развив до членов второго порядка относительно а, имеем:
Фо + Р2Фо + а (Ф^Ч- Р*Ф1 + с1Фо — ^Ф?) +
+ а’(ф2+Р2ф2 + <чФ1 4-с2Фо—£-Р2Фо — 2k Фо Ф1') = °;
так как это уравнение должно иметь место при всяком а, то получаем
систему
Фо,+Р2Фо = °.
Ф1" + Р2Ф1 = — С1Фо+
Ф2" + Р2Фг = — С1Ф1 — с2ф0 + 4 Р2Фо + 2ЛФо Ф1 •
(51)
Начальные условия будут: когда / = 0, то должно быть
Фо(0) = 1, Фо'(О) = О, <р](0) = 0, <р;(0) = 0, ф2(0) = 0, Ф2'(0) = 0.
Первое уравнение системы и первое начальное условие дают
Фо = cos pt;
тогда второе уравнение будет:
Ф,'4-р2<Р1 = — Ci cos pt-{-kp2 sin2 pt =—cxcospt-]—^(1 —cos2pz).
Чтобы t не выходило из-под знака косинуса, надо взять
сх = 0; (52)
тогда будет:
k k
<fi = Ci cos pt-\-C2sinptg-cos 2pt
и на основании начальных условий будет:
Cx = -^k, С2 = 0.
86 ] СПОСОБ ПРИБЛИЖЕНИИ ДЛЯ УРАВНЕНИИ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
283
Следовательно,
= y+y(cos2p( — 4cosp/). (53)
Третье уравнение системы (51) будет:
+ Р2?2 = — с2 cos Pt+-$Р2 cos3 pt+у p2k2 sin pt (4 sin pt—2 sin 2pt) =
= ( — C2~[-^P2 — у P2^2)COS Pt+у P2^2----1 P2^ cos 2pf -f~
+1 p2(l+8A2)cos3pt
Следовательно, надо положить
-c2+yP2-4-p2^2 = 0,
c2=4p2-4p2*2 = ^p2(3-8#); (54)
тогда будет:
ср2 = Cl cos pt+С2 sin pt + у #+у k2 cos 2pt — (1 + 8Л2) cos 3pt
На основании начального условия будет:
с2=о,
следовательно,
£|== 72^2 + т92’
<р2 = ^- (48 — 61cosp/-|-16cos2p£ — 3 cos 3pf) cos Pt- (55)
На основании формулы (50) имеем:
п2 = Р2Ч-Йр2(3-8П
следовательно,
—2 ____24 л2___ /гг*\
Р “24-(-а* (3 — 8*2)’ (56)
у ==acospt +у-(3 — 4 cosp/-|~cos2p/)-4~
+^7У (48 — 61 cospf+ 16cos2p^— 3cos3p/)-|--j^ cos pt.
Это уравнение имеет .место лишь пока
р'>0,
т. е. до момента
t = ti = J>'
Для следующего полуразмаха и для дальнейшего исследования дви-
жения надо поступать, как в § 85. Необходимо заметить, что изложен-
ный метод приложим в том случае, когда в каждое уравнение системы,
служащей для определения <рь <р2, <р8,..., будет входить лишь один член
с синусом или косинусом pt, ибо в нашем распоряжении будет лишь
один неопределенный коэффициент.
284
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [ГЛ. VII
Так, например, положим, что в разложении мы дошли до и в пра
вой части уравнения, определяющего оказались два члена вида
+ h. с.) cos pt + (g'i+ h[ c.) sin pt,
следовательно, c{ должно удовлетворять -уравнениям
а это возможно лишь в том случае, когда
gt __ gt .
hi ~ ht ’
(57)
(58)
если же это условие окажется не выполненным, то <pz и все функции
за этою следующие будут заключать множитель t вне знаков синуса
и косинуса.
Изложенный здесь метод представляет видоизменение метода, раз-
витого А. М. Ляпуновым в его диссертации «Общая задача об устой-
чивости движения», Харьков, 1892, для гораздо более общих систем
уравнений, нежели здесь рассмотренные.
§ 87. Остается еще показать, каким образом привести начальные
условия к виду
У —a, у’ = 0
при t = 0, если они первоначально заданы в более общем виде
у=/, y< = h. (59)
Эти начальные условия при дальнейшей выкладке входят лишь при
определении функции ср0 и были бы для общего случая таковы: при /=0
должно быть
<?о(О) = А <Ро'(О) = Л (59')
и так как <р0 определяется уравнением
<?о, + р2<Ро = О.
то при этих начальных условиях будет:
ср0 = I cos pt + j sin pt.
Положим
Z = acos8, -~ = asin§; (60)
тогда возьмем
a = + j//2+^== + l//V+A2, (61)
соответственно чему будет:
cos 8 = —; sin 8 = —. (62)
a pa '
Этими равенствами угол 8 определяется однозначно, т. е. как по ве>
личине, так и по четверти Подставляя вместо Z и окружности. h у их величины, получим: <Ро = a cos (pt — 8), (63).
§ 88]
МЕТОД ПИКАРА
285
следовательно, стоит только положить
t\ = t —10 (64)
и взять
(65)
то будет:
(p0 = acos/b (66)
так что при = 0 • будет
(?о = й. ?о=°-
Стоит только ввести переменную ti вместо переменной t в предло-
женное уравнение, которое от этой замены своего вида не изменяет, и
мы будем иметь начальные условия в требуемой форме.
Оставляя р2 неопределенным, доводим разложение до требуемых сте-
пеней и, имея выражения коэффициентов сь с2, • • •» составляем
уравнение
/X2 — р2 —I— С2о-2 —С& а ,
определяем из него р, после чего по формулам (62) и (65) находим
г и t0.
Очевидно, что эта замена переменной t через переменную t\ пред-
ставляет лишь изменение начала счета времени.
§ 88. Показанный в § 80 процесс последовательных приближений для
уравнений линейных обобщен на какие угодно обыкновенные уравнения
и системы таких уравнений, и в тех случаях, когда надо знать решение
уравнения лишь для тесных пределов изменяемости переменной незави-
симой, этот способ, будучи выполняем графически или «механическими
квадратурами», является одним из наиболее общих, но практическое его
применение требует значительной вычислительной работы, которую
можно избежать, применяя другие приемы.
Пикар в своем Курсе анализа *) доказывает с полною строгостью,
что при соблюдении некоторых условий процесс последовательных при-
ближений есть, действительно, процесс сходящийся, и получаемый по
нему результат приближается к требуемому интегралу дифференциаль-
ного уравнения или системы таких уравнений.
Для простоты рассуждений положим, что дано уравнение второго
порядка
y"—f(x, у, у') = 0;
если положить
то будет:
у" = ы'
и наше уравнение заменится системою двух уравнений
di=f(x’ У> ы); dx—u-
Поэтому Пикар рассматривает более общую систему уравнений
2Т-=71(-*> У, и, ..., w),
27 =Л (х, у, и, ..., w),
27 У> и.........
i) Е. Picard, Trait6 d’analyse, т. II, стр. 301.
286 ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [гл. VII
и полагает, что надо эту систему интегрировать, так чтобы при х = х0>
было
У — Уо, и — и0, ..., w = w0.
Функции уь /2, ..., fn предполагаются непрерывными и веществен-
ными в сопредельности с вышеуказанными значениями и остаются та-
ковыми, пока переменные заключаются между пределами
(х0 — а, х0Н-а); (у0 — b, у0+ />),..., (w0 — b, wQ-^b).
Наконец, предполагается, что можно определить такие положитель-
ные постоянные Л, В, .... L, что, пока переменным придаются любые
значения У, U,..., IF, у, и,..., w, остающиеся в вышеуказанных границах,
было бы по абсолютной величине
I/Дх..у, и, ..., У, и.....лгг)|<Л|У-У| +
-|-В|С7 —ы|4-... + £|ТГ—w|.
Подставим сперва во вторые части уравнений вместо у, и, w их
начальные значения, — получим систему
Уо, «о. •••» ^о).
^=^(х> У о, ио.....«’о).
^=/n(X» У о, «О’ • • • ’ ®*о)
и интегрируем эту систему так, чтобы при х — х0 было
У1 = Уо, «1 = «о...= до-
полученные величины уь «j, ..., подставляем опять во вторые
части данных уравнений и пишем систему
Уь “I...
^=fn(x, У\, «ь ••••
У и «ь ®i);
с нею поступаем так же, и повторяем этот процесс т раз кряду, так
что т-я система будет:
^L=/.(x, у„ ., ит ......w .),
J 1 \ ’ 1 т—I 9 ’ т—и’
^Г = /2(^. Ут-1> «т-р •••. ®т-1)’
^=/„(х, ym_v u^_v .... шт_х)
и мы ее интегрируем так, чтобы при х = х0 было
Ут = У^ ит=и^ •••’ ^т=^о-
Пикар доказывает, что .-при возрастании числа т величины
Ут* Um9 • • •,
S 88]
МЕТОД ПИКАРА
287
имеют своими пределами искомые интегралы системы, лишь бы х было
достаточно близко к х0, а именно, надо чтобы х заключалось между
пределами х0 — 8 и x0-f-8, причем 8 есть наименьшее из двух количеств
где М есть наибольшее по абсолютной величине значение функций Д
когда переменные остаются в вышеуказанных границах.
Спрашивается, если искать интегралы по методу Пикара, то когда же
остановить процесс, выполняя механические квадратуры? Очевидно —
тогда, когда два последовательных приближения не будут разниться
между собою в пределах точности вычислений.
Процесс в значительной мере ускорится, если с самого начала взять
не постоянные значения у0, и0, ..., а некоторые функции, более
близкие к искомым; такие функции практически можно получить сле-
дующим образом.
Положим, что нам надо интегрировать предложенную систему и
составить таблицу значений функций у, и....w для значений аргумента
х, лежащих между пределами х0 и Хо, ибо предполагается, что проинте-
грировать системы в конечном виде нельзя, следовательно, для искомых
функций только и можно составить таблицы или кривые, что одно и
то же, и пусть аргументы в этой таблице должны итти через Л, где
h — достаточно малая величина.
Тогда для получения исходного приближения, поступаем так: напи-
сав систему
I/о, «о, •
27=/2(*, Но, «о, •••» «’о),
^г-=/я(*, I/о, «о,--., ®о),
делаем х = х0 и вычисляем начальные значения производных, которые-
обозначим соответственно через
%, ?о, • • • » ^0
и составляем величины
1/о~Ьао^, Wo4“Po^» •••»
Подставляем эти величины на место у0, и0, ..., w0 в систему и вы-
числяем соответствующие значения производных; эти значения обозна-
чим через
и по ним составляем величины
1/о + ао^ ио + Ро^» •••» дао+*оА
и берем средние арифметические между этими значениями и предыду-
щими; полученные значения обозначим через
1/1'-. «Л ••••
это будут приближенные значения функций у\, иь ..., Wj при х =
«=Х0-|-А.
Чтобы получить значения этих функций при х = х0-{-2А, поступаем с.
у[, ...,
288
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ Гл. VII
так же, как мы поступали с у0, и0, ..., w0, т. е. подставляем во вторые
части уравнений системы вместо х величину х0Ц-А, а вместо yQl
..., w0 — вышеуказанные значения у', и вычисляем соот-
ветствующие значения производных, которые обозначим через
ab , Xj;
находим затем
y' + ^ih; u'4-^A, wf+M;
подставляем эти величины в систему, вычисляем значения производных,
которые обозначим через
ai ’ > • • •» \
и по ним
и берем средние, которые обозначим через
у'\ и", ..., w/';
это будут приближенные значения функций ..., ^ для аргу-
мента
х = х0 2А
и продолжаем таким образом далее, пока не дойдем до аргумента х=Х.
После этого, имея таблицу для функций уь ..., составляю-
щих исходное первое приближение, обращаемся к системе
У\, Щ, W1),
У и “ь •••> ®1)«
=/„(*> Уъ Wi)
и составляем таблицы значений функций /ь /2, • • •, fn Для аргументов х
от х=х0 до х=Х через промежуток h и применяем к каждой из этих
функций для интегрирования ее простейший из приемов, приближенного
интегрирования, приведенный в § 34.
Таким образом получим исходную таблицу значений функций у2,
и2,..., w2. С ними поступим подобным же образом, взяв одну из фор-
мул главы V, например формулу Лапласа, и будем продолжать этот
процесс, пока два последовательных приближения более не будут да-
вать чувствительной разницы при той степени точности, с которою вы-
числение производится.
Этот процесс, как видно, кроме утомительного однообразия и длинноты
численных вычислений, никаких затруднений не представляет; ниже мы
дадим примеры его применения в несколько упрощенном виде.
§ 89. При разработке конструкций некоторых судовых устройств
и механизмов приходится иметь дело и с такими вопросами динамики
и теории сопротивления материалов, которые требуют решения обыкно-
венных дифференциальных уравнений.
При этом по большей части нет надобности непременно иметь об-
щий интеграл уравнения с входящими в него буквенно произвольными
постоянными, а достаточно найти частное решение, удовлетворяющее
§Л91
МЕТОД ЭЙЛЕРА
289
данным начальным условиям, и притом для ограниченного промежутка
изменяемости аргумента. Для практики нет также надобности в ана-
литическом представлении искомой функции, а достаточно составить
таблицу ее значений или построить кривую, ее представляющую.
Приемы такого численного решения дифференциальных уравнений
редко излагаются в курсах, между тем по сути дела эти приемы не
сложнее вычисления определенных, интегралов.
В следующих параграфах имеется в виду изложить наиболее удоб-
ные и общие способы такого численного решения обыкновенных диф-
ференциальных уравнений..
Как в большей части вопросов интегрального, исчисления, и здесь
начало положено Эйлером, который уделяет главу VII тома Г «Institu-
tiones Calculi Integralis» изложению способа приближенного численного
решения дифференциального уравнения первого порядка, к которому
всегда можно.свести все дело.
Итак положим, что искомая функция у определяется дифференци-
альным уравнением
(О
и начальными условиями: при х — а должно быть у — b. Выбрав доста-
точно малый промежуток А, можно принять, что, пока х заключается
между а и а.А, у мало отличается от Ь, и производная сохраняет пр,-
стоянное значение /(а, Ь), так что для этого пррмежутка будет:
у = /?4-(х — а)/(а, Ь) = Ь-\-(х — а)А0
и, следовательно, для конца промежутка, когда x—a-^-h, будет
у = b -j- ЛрА = Ь\.
Таким образом, мы получили приближенное значение у = blt соответ-
ствующее значению х = а{=а-\- h.
Совершенно так же, полагая
Л1=/(аь Ь\),
получим для х=а2 —° + величину
У — А2 = b\ A\h
и т. д., таким образом составится таблица 46 ний, причем А. = f(ak, b.) К • ' Я’ К' соответствующих значе- Таблица 46
И Изложив этот прием, Эйлер говорит: «.. . чем меньше промежутки между последова- тельными значениями х,, тем точнее опре- деляются все остальные величины; тем не менее, вследствие большого числа, накопле- ние и этих, малых погрешностей мджет до- стигнуть значительной величины». X У y’=f(x,y)
а <h а2 ап ь 'bn л:
«Погрешность при этом вычислении происходит рттогр, что на про-
тяжении каждого отдельного промежутка обе переменные х и у при-
нимаются сохраняющими свои постоянные значения, соответствующие
началу этого промежутка, так что и значение функции /(х, у) остается
19 А. Н. Крылов
290 ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [гл. VII
постоянным, поэтому: чем быстрее значение этой функции изменяется
при* переходе от одного промежутка к следующему, тем большую
можно ожидать погрешность. Это невыгодное обстоятельство имеет
место обыкновенно там, где значение /(х, у) или уничтожается, или
же становится бесконечным».
Чтобы устранить это «невыгодное обстоятельство», Эйлер посту-
пает так: положим для простоты письма, что /(х, у) обращается в нуль
при х — а, у — Ь; тогда надо положить
х=а-{-£. У = +
и наше уравнение примет вид
H^l). (2)
а начальное условие будет: при 5 = 0 должно 'быть т| — 0, вместе е тем
при 5=0 будет:
(4) =/(а. Ь) = 0;
\ 5 /о
поэтому, положив
(3)
подставляем величину (3) в уравнение (2) и определяем показатели п,
р, ... и коэффициенты а,, а2< ... так, чтобы уравнение (2) имело место
тождественно, иными словами по известному приему разлагаем вели-
чину т) в ряд по возрастающим степеням 5. ,
В том случае, когда /(а, Ь) = <эо, можно уравнение (1) писать в виде
£=тояттнг ”>•
функция F(5, т)) при 5=0 и ч|=0 будет обращаться ,в нуль^ и, значит,
надо будет взять разложение вида
В == f2iqn .
и, найдя коэффициенты р2, ••• и показатели k, п, ..., этот ряд «об-
ратить», т. е. выразить iq в виде ряда, расположенного по степеням 5.
Эйлер берет такой пример:
dy __ а2
dx х2— у2
и условие — при х = а должно быть у = а.
Положив
х = а-]-5, y = a4-iq,'
получим:
a2^ = 2a(6-irJ)+(52-vl2); (••)
делая затем
£ __________________________ « „Я I Л -Г.Р —1_
6 = d|T) -f-a2T| -|-...,.
имеем:
а2 [па, т"-1 -f- pajiq'-1 -{-...] =
= 2а [—-п4-а1чяН7а2т|,’+...]+[—ц24-а®..].
Отсюда следуют уравнения
п —1 = 1, a2na, = — 2a;
р — 1=2, pa22a2 = 2aa, — 1,
§ gfyj МЕТОД ЭЙЛЕРА 291
которые дают п = 2, ,р — 3, .,.
1 . 1 . . > • '
а1 = ——, а2 ——
- и, Значит,
Легко видеть, что если положить К — ~t2, то т; будет’ разлагаться в ряд
вида
п=л/+в/2 4-с^4-...
и вместо того чтобы находить А, В, С, ... через обращение ряда (З1),
проще вернуться к самому уравнению (**) и, подставив в него, вместо 5
и т) их величины, искать А, В, С, ..., что даст
или
3_
У — а = /а.(а—х) — х)+т§7^а — xf-H--;
значит, х должно быть меньше а, чтобы у оставалось вещественным,
и при x — ai = a — h будет:
з_
° 10 у а
Пару значений x — ai = a — Л; у=Ьх можно теперь принять за исходную
и применять вышеуказанный процесс.
§90. Чтобы устранить 'первый из указанных им недостатков, т. е.
что функция/(х, у) принимается для каждого промежутка за постоян-
ную, тогда как на самом деле она претерпевает изменения, в особен-
ности если промежутки не весьма малы, Эйлер предполагает, что
в смежности с каждым из рассматриваемых значений переменной неза-
висимой искомая функция у разлагается по тейлорову ряду, так что
будет вообще
. х — аЬ ' . Iх— п . (X — вь)8 ,
^*+1 Г Ь2 1-2=3 ’
выражения же. производных составляются, пользуясь данным уравнением
y’=f(x, у), (1)
дифференцируя его последовательно и заменяя у’’ его величиною, так
что будет:'
, ^=/«+2/г;;+?/;;н'и;+//;к} 1 .(5)
Прлагая , в этих выражениях х==аА, у — Ьк, найдем значения ук, у",
у"*, ... и, делая х = ак+1—ак-\-к, по формуле (4) найдем у = Ьк и т. е.
по паре (аА, bk) получим следующую пару (а*+1, />л+|).
Таким образом, все дело сводится к вычислению количества
‘м-1-'>.=А‘+в.4+с.т+--. . (6)
19*
292
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ rfl. VII
иными словами «коэффициентов» Лй, Вк, Ск,..... которые находятся
или по формуле (5), или, как замечает Эйлер, «и не производя диф-
ференцирования», а при помощи подстановки
У = Ьк “I- *!> х = аи 5
в уравнение y' — f(x, у) и разложения величины -q в ряд по степеням 6,
чему Эйлер и дает затем примеры.
§ 91. Изложенный метод Эйлера был затем развит Коши, который
начинает с того, что по заданному дифференциальному уравнению
, «/' = /(<. У) . . (О
и начальному условию: при х = х0 должно быть у — у^ составляет ряд
равенств ... .
У\ — Уо = (хг— Xo)f(xo, у0),
y2 — y\ = (x2 — xl)f(xi, ух),
У3 — У2 = (х3—х2)/(х2, у2),
У — У п-i = (* - хп_х)/(хп_{; !/„_,)
и берет ех сумму ,
У — 00 = (*1 — XQ)f(X0, Уо)~\г(Х2— Xt)f(Xx, //,)-)
(7)
т. е. делает то же самое, что и Эйлер, но затем Кощи доказывает,
что при соблюдении некоторых ограничительных условий относительно
величины промежутка X — х0 и функции f(x,y) рассматриваемая сумма,
при неограниченном возрастании числа п и уменьшении каждой из раз-
ностей xk~~xk V имеет конечный и определенный Предел, представ-
ляющий такую функцию переменной X, которая удовлетворяет урав-
нению
F'(X)=/[X, F(X)1, (8)
равносильному уравнению (1). Кроме того, он показал, как найти пре-
дел погрешности, которую мы сделаем, если промежуток X — х0 под-
‘ разделить на какое-нибудь конечное число частей, иначе, когда раз-
ности X]—хе, х2— Xj,... будут иметь конечные значения, как э.то и
есть в методе Эйлера.
Но вычисление этих пределов .погрешности не представляет прак-
тических удобств, поэтому метод Коши имеет главным образом теоре-
тическое значение, как первое строгое доказательство того, что всякое
дифференциальное уравнение первого порядка, при соблюдении некото-
рых условий, имеет общий интеграл.
Как уже указано в § 88, Пцкар, в томе I своего «Traite d’analyse»,
изложив вышеупомянутое, доказательство Коши, излагает свой метод
последовательных приближений как для одного уравнения первого по-
рядка, так и для системы таких уравнений. Хотя’ Пикар развил свой
метод не в целях практического вычисление, -а как:, метод, дающий
строгое доказательство существования общего интеграла, но этот ме-
тод приложим и для численного интегрирования, особенно, если исхо-
дить не из начальных данных, т. е. первого приближения по Пикару,
а из более близкого, например, получаемого по методу Эйлера; чем
это приближение будет взято ближе к истинному, Тем быстрее будет
достигнута предельная функция Р(х) с избранною для вычисления сте-
пенью точности. . •
§ 92]
МЕТОД РУНГЕ
293
Если для получения первого приближения брать исправленный метод
Эйлера, т. е. тот, где он берет не только первый, но и следующие
члены разложения в тейлоровом ряду, то практическое выполнение
вычислений часто оказалось бы длинным, и потребовалось бы много
излишней работы. Чтобы этого избежать, было предложено два спо-
соба, из коих один принадлежит профессору Геттингенского универ-
ситета Рунге, другой—профессору университета в Осло (Христиании)
Штермеру, хотя еще в 1855 г. был уже развит знаменитым астрономом
Адамсом более общий метод, но он оставался до последнего времени
мало известным.
§ 92. Метод Рунге в применении к уравнению
y'=f(x, у) (I)
состоит в развитии приведенных выше слов Эйлера: «так как все дело
сводится к нахождению количества
^4-1 ^к = ~i &k “2~ С к • • •» (9)
что может быть сделано и не производя дифференцирования», после
чего Эйлер применяет подстановку и разложение в ряд при помощи
неопределенных коэффициентов.
г В § 90 приведены общие выражения производных у" и у1", получае-
мые дифференцированием предложенного уравнения; полагая в этих
выражениях
х ^=аь, у — bbt
к1 к1
получим: -
< ~f(ak' ^к^
с. = 4,АА>-! ».) Ь,) V -
или, положив для краткости
4(а*’
ГхЛа» ьк) = гл, bk) — sk, f"yy(ak, bk)=tk
И
'La. *.) avLa- ».) *.)=₽.,
(ал> Ьк) — Qk,
будем иметь:
Bk-Pk - VA-
С. =/> Qt.
к к i ^к
Из формулы (9) видно, чтб если при вычислении' разности bk+i—bk
ограничиваться членами третьего порядка относительно й, то нет надоб-
ности вычислять в отдельности величины Ак, Вк, Ск, а достаточно вы-
числить сумму
причем
/
94
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [гл. VII
Прежде чем вычислять величину этой суммы или. что то же, мно-
жителя Nk, обратимся сперва к чертежу (фиг. 68).
Положим, что координаты точки М суть
х = QGb == а ?; у = GbM —
- • к ky J к к
и MMj есть истинная интегральная кривая, проходящая через точку Л1,
т. е. кривая, ордината произвольной точки которой, рассматриваемая
как функция абсциссы х9 удовлетворяет уравнению
V=/(x, у). t.
Вообразим касательную к этой кривой в точке М и отметим тойки
пересечения Я] и этой касательной со среднею ординатою £кС
и с крайнею С?Л+,М].
Очевидно, что тангенс угла наклонения этой касательной
Ak = f(ak, &к) и ординаты точек Н\ и суть
E.W, =4.-
и
Фиг. 68.
точке; обозначим тангенс этого
~ ~Ь АД
Подставляя во вторую часть урав-
нения (1) вместо х величину
и вместо у величину тдл, получим уклон
касательной к интегральной
проходящей через точку Ht,
уклона через ак, так что будет:
кривой,
в этой
проведем прямую Н^К под этим уклоном и отметим точку ее пересе-
чения К с ординатою Так как точка Н\ весьма близка к точке С
(расстояние Н\С второго порядка относительно Л), то прямая//убудет
приблизительно параллельна касательной в точке С к интегральной
кривой, проходящей через М, значит, если провести через точку М
прямую, параллельную Н\К, то точка ее пересечения J будет лежать
весьма близко к М|, во всяком случае гораздо ближе точки соот-
ветствующей первому эйлеровскому приближению. Вместе с тем оче-
видно, что точка С интегральной кривой будет лежать между точками Hi
и D, и притом весьма близко к середине между ними. После этого
общего объяснения качественной стороны дела составим выражения
ординат точек М, Н\, D и /и уклонов касательных к интегральным
кривым, проходящим через эти точки.
Очевидно, что координаты наших точек будут:
«(“..у. +4*.
Обозначая соответственно через и тангенсы уклонов касатель-
ных в точках D и J, будем иметь:
§_92J_
МЕТОД РУНГЕ
295
Разовьем теперь величины ак, 8Й, разлагая их по степеням буквы
h и удерживая в этих разложениях лишь члены до второго порядка
включительно. > . ,
“. =/("». М +4 * М+уИ, М1+
т» =/(».. М +44Й<а- ».) + “./,(“» Ml +
+4*2^<м м+Мдм м+М1-
=ж. m+4*i4(“.. m+V,(m mi+
-л+4в^+4₽.4!+т^!
!. = A-fi.‘+vV-4«.i!
Нам надо составить величину
л'.-а+4ви+4<₽.+«.)*2-
Нетрудно убедиться, что
В.=|ВДЛ+М'>1 <Ш>
и искомая ордината £Л+) будет:
У,=».+УЛ .
Итак, процесс- перехода от пары* значений ’ •
Х = <Ь У=Ьк •
к следующей паре: .
х = аь,,, У — Ьь,. ' ' .
выполняется следующим образом:
1) вычисляется величина Ак по формуле
^й=/(ал» (И)
2) вычисляются величины аЛ, и 8Л по формулам
afe = f\ак“Ь~2 '
Тл=/(°*+4А’ ^+4а^)’ ' ' 02)
8* =/(«* + ^+%Л); '
3) составляется множитель N* по формуле
. ~»=4н»+2%+2т»+м-. . (|3)
4) величина />Л+1 будет:
NJ>. (14)
Это и есть метод Рунге в простейшей его форме.
296
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ ГЛ. VII
Заметим здесь же, что полезно вычислить еще ординату и уклон
касательной в промежуточной точке С кривой, чтобы иметь возмож-
ность сразу вдвое уменьшить промежуток при исправлении интеграль-
ной кривой по методу Пикара, как это можно будет видеть на числен-
ном примере, приведенном ниже.
Можно вести это вычисление также следующим образом:
1) вычислить величину Ak по формуле
bkY (Н')
2) вычислить величины а*, по формулам
% = f (^ak “Н 2" ’ Г ~2 Afthj »
?.=/(“.-г|. <12’>
3) составить множитель Mk по формуле
гъ); (13')
4) величина искомой ординаты bk±x будет:
^+1 = ^+^. . (14')
Это правило точнее предыдущего, ибо величина Z>ft+1 верна до чле-
нов четвертого порядка относительно h включительно, уравнение же (14)—
лишь до членов третьего порядка.
Предлагается в виде задачи вывести формулу (14').
Главный недостаток метода Рунге состоит в том, что приходится
вычислять по крайней мере три серии значений функции и,
значит, когда предложенное уравнение сколь-нибудь сложное, то эти
вычисления потребуют затраты большого труда, в значительной доле
напрасного, как это будет видно по примеру, приводимому ниже, и по
сопоставлению этого метода с методом Адамса.
§ 93. Метод Адамса не вошел в собрание его сочинений, а состав-
ляет часть отдельно изданной книги под следующим обстоятельным
заглавием: «Ап attempt to test the theories of capillary action by compa-
ring the theoretical and measured forms of drops of fluid by Francis Bash-
forth B. D. late professor of applied mathematics to the advanced class of
Royal Artillery officers, Woolwich, and formerly Fellow of S-t, John's Col-
lege, Cambridge, with an explanation of the method of integration employed
in constructing the tables. which give . the. theoretical forms of such drops
by J. C. Adams M. A. F. S. Fellow of Pembroke College and Lowndean
professor of Astronomy arid Geometry in the University of Cambridge»
(Cambridge at the University Press, 1883).
Адамс в своем методе не ограничивается первыми тремя членами
выражения (9)
Ьк,. ~ Ьк = A Ji+~ Вк№ + 4-С*А3 4- ± DJi4 -ь ...
Его метод позволяет взять в этом выражении сколь угодно членов,
вычисляя лишь одну серию значений функции f(x, у), т. е. значений Aky
непосредственно по данному уравнению, а не нескольких, как бы того
.требовал метод Рунге, и совсем не производя непосредственного вы-
числения производных высших порядков Вк, Ck, Dk, ..., как то делается
в методе Эйлера, а воспользовавшись для их нахождения или исклю-
§ 93]
МЕТОД АДАМСА
297
чения составлением для величин Akh «разностей» первого, второго,
третьего и т. д. порядков. Этот последний процесс требует лишь вы-
читаний, и по своей простоте, конечно, не может быть даже сравни-
ваем с процессом непосредственного вычисления значений Ak по данному
уравнению или значений Bk. Ck, Dk,... по уравнениям, получаемым из
данного дифференцированием.
Итак, положим, что составляются параллельно две таблицы (47 и 48),
из которых первая содержит последовательные значения неизвестной у
и их первые разности, вторая — последовательные значения величины
4 = № (Ю
и их разности первого, второго, третьего и т. д. порядков, причем
для простоты мы ограничимся лишь третьим порядком.
Положим, что в таблицах 47 и 48 мы дошли до Величин, соответ-
ствующих значению х =an = a-\-nh, так что наши таблицы будут та-
кого вида:
Таблица 47
п X У Уу
. . . . . . . . . • . •
л-3 ап—3 6 о Л—о 4*„_з
л—2 ап—2 ^п—2 ^п—2
л—1 ап-\ ЬП-1 ^п— 1
п ап ъп
Таблица 48
'П •*п
. . . . . . . . . . . .
Пл-з *4-4
*1н-2 •^‘Пл—3 •*4-3 *4—4
Яд- 1 Пл ^Пд -2 •^Пд—1 ^-т)д-2 *41з
Разности вписываются в промежуточную строку между теми двумя
числами, для коих они берутся, так:
^л-3 ~ ^п-2
А2т1л-3 ~ ^п-2 ~~ ^п—3’
^Ьп-2 Ьп—\ Ьп—2'
4-2’
^п-2 = 4Ч-1 ЬЧп-2
и т. д., как объяснено в главе VI.
Весь вопрос состоит в том, каким образохм добавить к таблицам 47
и 48 по одной косой строке снизу, т. е. перейти от п к n-j-1.
Мы этого достигнем, если получим каким бы то ни было способом
величину 2bn, ибо, придав ее к Ьп, будем иметь:
b ..=Ь 4- Ы)
п4-1 л 1 л
и таблица 47 будет заполнена. Вместе с тем сейчас же прибавится
одна косая строка и к таблице 48,— в самом деле, по данному урав-
нению
«/'=/(*, у),
298
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [ гл. VII
полагая в нем
* ~ ап+Ъ' У = *
^находим:
Уп+\ — =/(ал4-1’ ^л4-|)
и, значит, '
^«4-1 ~ Ai-н^ =/(ал-н» W
и, написав тдл+1 в свое место, сейчас же получаем:
'и затем
ДаЧп-2 = Д^1 —ДЧ-2
и, следовательно, таблица 48 будет заполнена, и можно будет перейти
-к следующему значению п~р2 и т. д.
Таким образом, надо только показать, как вычислить &Ьп по имею-
щимся в таблице 48 числам, т. е. по
V АЧ,-р дЧ-2’ АЧ-з-
Это производится по следующей формуле:
Ч - ч. + 4 Ч-i + га ДЧ-,+4 дЧ-з- (16)
..которую мы сейчас и выведем.
По тейлорову ряду, согласно сделанному обозначению, имеем:
га-+с.тг+ о«-я-+^пб+-•
:или, опуская для простоты письма значок п в правой части,
Д6„ = ЛА-f-В4+ С + Е . ,
то мы имеем:
Чп = Упк=Ак,
следовательно, по тому же тейлорову ряду будет:
= Ah-Bh^C^--D^-+E^+
^ = Ah-2Bh^W^—3D^+\&E^A-...,
Ч,-з = A h - 3Bh* + 9С 4— 27D + 81Е .
Но по самому составлению разностей имеем:
— Д2-П„_2 = ^—211Л_1Ч 4,-2-
ДЧ-3 = 4, ~ 34»-| +371п-2 - 4,-3’ • • •
на основании этого будет:
4-! = b*2-c4 +D 6 Е— -L- С 24 1
АЧ_,= 2С4 -6D^4 нс А® -14£^4
ДЧ-3 = во 4- ЗбЕ-g-
§ 93]
МЕТОД АДАМСА
299
Нам надо составить величину
Чтобы этого достигнуть, стоит только, умножив предыдущие урав-
нения на множители а, р, у, придать их к уравнению
=
и определить неизвестные множители так, чтобы равенство
1,+<“Ч_, -НДЧ-2 + тдЧ«,+ - ЛА+ в А’+с |‘+Оя+£и+
имело место до членов возможно высокого порядка относительно А,
таким образом, для определения а, р, f имеем уравнения
1
а —Т •
±(2?-а)_±,
|(6Т^6₽+«)_±,
которые дают
1 о 5 „ 3
а — 2 ’ ₽“12» Т— 8
11, значит, будет:
Ч = 11л+уН-1 -ит5дЧ,-2+удЧ-з- (16/
Само собою понятно, что эта формула лишь приближенная и точна
только до членов четвертого порядка относительно Л, ибо разность
^_^(«+14₽-Звг) = ^,
а не нулю, и, следовательно, первый из отброшенных в предыдущей
формуле членов есть
—ЕйЧ 5
144£ •
Нетрудно видеть, что если бы хотели иметь для АЬп формулу, вер-
ную до членов пятого порядка, то надо было бы принять во внимание
и разности четвертого порядка, т. е. если бы хотели иметь и
члены шестого порядка, то надо бы принять во внимание и Д5»)л_5
и т. д., и наша формула была бы вида
Ч = ч.+i <4-.+й ДЧ-!+ 4 дЧ-э + +»дЧ-а. (‘ ’)
ибо очевидно, что коэффициенты а, р, у определялись бы прежними
уравнениями и сохранили бы свои величины, и добавились бы члены
с коэффициентами 6 и е, причем оказалось бы
* _ 251 _ 95
750 ’ г ~ 288 ’
Дальнейшие коэффициенты, приводимые Адамсом, суть
19 087 5257 1 070017 1 082 753
60480 ’ 17 280 ’ 3628 800 ’ 7257600 ‘
300 ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ( ГЛ*. VII
Адамс вычислил эти коэффициенты, исходя из интерполяционной фор-
мулы
интегрирование которой дает общее выражение этих коэффициентов
под видом
х(х+1)(х + 2)...(х4-£)
1.2-3...(6+ 1)
dx.
Наоборот, если бы мы предпочли брать более мелкие промежутки h
и довольствоваться лишь членами третьего порядка, то пр'й вычисле-
нии можно было бы ограничиться разностями второго порядка, и наша
формула была бы
йЬп = Ч, + у *4-1 + п ^-2
(17')
и в этом случае таблицы приняли бы такой вид:
Таблица 49
п 1 X у Ду
п—2 ап-2 t>n—2 ^п—2
п—1 ап-\ Ьп-\ 4,-1
п ап Ьп
л+1
Таблица 50
•П Д-q Д-<, . |
0Л-2 Ол-1 Чл ^Ол—2 ДПл-1 ДЧ>-3 ДЧ-2
причем точность, ими доставляемая, одинаковая с даваемой методом
Рунге, простота же вычисления будет видна на приводимых ниже чис-
ленных примерах.
§ 94. В предыдущем показано, каким образом продолжать таблицы,
когда верхние строки их заполнены и мы имеем в нижней косой строке
все разности до требуемого порядка; необходимо показать, каким обра-
зом начать составление этих таблиц, когда для п — 0 будут известны
лишь числа
х = а = а0 и у — b = bQ
и непосредственно по ним вычисляемое
^ = А/(а0, Ьо).
Ясно, что если бы мы хотели вести вычисление до разностей
третьего порядка, то нам надо -бы получить числа, соответствую-
§94]
МЕТОД АДАМСА
301
щие значениям п = 0,. 1, 2, 3, т. е. иметь для начала таблицы:
Таблица 51
i
i 1
I
I 2
«и
«з
^3
bl
Ьч
bs
&Ь}
Ad3
Этого можно достигнуть двояким путем:
1) Положив в предложенном уравнении
Таблица 52
x=a0~\-t, y = bQ-\-z,
разложить по известным правилам z в ряд по степеням t и, положив
затем t = h, 2h, 3h, вычислить соответствующие значения у, которые и
будут представлять />ь b2, bs. Понятно, что здесь само вычисление по-
кажет, какой величины надо брать промежуток А, чтобы отбрасывае-
мые в ряду члены не влияли на результат при избранной степени точ-
ности. По полученным таким образом парам значений (аь Aj), (а2, Ь2),
(а3, Ьа) вычисляются -rjj, т\2, т)3, по ним — их разности, и таблица будет
подготовлена для продолжения.
2) Последовательным приближением, пользуясь разностями не ниж-
ней, а верхней косой строки.
Мы имели общую формулу (16)
^ьп = ’1» + Т д ДЧ-2 ч- у ДЧ_3-
Считая, что третьи разности достоянные, т. е.
ДЧ-3 = ДЧ-2 = ДЧ-| = ДЧ>
будем иметь:
ДЧ_2=дЧ-1 — дЧ-2=дч — 2ДЧ.
Н-1=Ч~АЧ-1 = Ч-ДЧ+ДЧ’
и, значит, будет:
Ч, = ч.чЧн,-1Нч,+ ^‘1Ч. (•)
^« = Ч.+т4’‘.-1 + Г2й!^-ЯдЧ-1. (")
4*„ =.ч„ +44,1.-1+ft 4н,-г +. | 4ч12- с~)
Полагая в ’формуле (*) л = 0, в формуле (♦♦) /| =1 й в формуле (*♦*)
п = 2, получим: <
д*о = 'По + у ^0 - Т2 ДЧ + й ДЧ. (18)
д*1='П1 + 1-Д71о + ^дЧ-54ДЧ. (19)
• д^ = ’12+4Д’И+пДЧ+|дЧ- , .(20)
302
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (ГЛ.~ УП
Если же ограничиться членами второго порядка, то будет:
(21>
д*1~1|1+|ч>+нАЧ- <22>
Последовательность приближений ведем следующим образом: по дан-
ным а0 и Ьо вычисляем т]0, затем берем
= 'По
и
^1 = + д^о — +“По;
по полученной паре (аь вычисляем и берем разность
Д-% = т], — т)0;
вновь вычисляем Дд0 по формуле
д^о = ,1о4-уД^о
и новое исправленное значение Ь\ — Ьа-4-&Ь0, по этому значению bt вы-
числяем к)] и затем
Д/>1 = т11+уДЧо •
и находим b2 — bi-\-&bi, и по полученной паре (а2, Ь2) вычисляем ц2,
найдя которое, составляем разности и находим Дт)0 и Д2^.
Пользуясь этими разностями, вновь вычисляем &Ь0 и Д/>1 по фор-
мулам
Д/’о = "По + у Дт1о — ДЧ>
^1 = ^о'4_Ддо’
nt =/(аь А);
&Ь\ == 1)1 у Дт]04- Д2т)0,
/>2 = />|-|-Д/>1.
Получив эти исправленные величины, если хотим итти до разностей
третьего порядка, то вычисляем сперва Дд2 и bs по формулам
Д/>2 = -q2 -|~4-^Дт]1 Д2-^,
=uZ>2-(- Д62’
и, вновь перевычислив Ьо, Ь\, Ь2 по формулам (18) — (20), повторяем
это вычисление, пока два последовательных приближения не совпадут
в пределах избранной точности. Здесь выгоднее, чем итти до разностей
третьего порядка, взять сперва более мелкие промежутки Л, так, чтобы
разностями третьего порядка можно было пренебречь и ограничиваться
формулами (21) — (22).
Когда по ходу, вычисления будет видно, что разности второго по-
рядка становятся настолько изменяющимися, что третьи разности уже
оказывают влияние на результат, то надо или принимать их в расчет,
пользуясь соответствующей формулой, или уменьшить промежуток;
наоборот, когда разности второго порядка окажутся настолько малыми,
что не влияют на результат, то можно увеличить промежуток.
$ 96]
МЕТОД ШТЕРМЕРА
303
§ 95. Само собою понятно, что изложенный метод применим к си-
стеме нескольких совокупных уравнений первого порядка.
Например, пусть дана система
s-л*. у- *)
з5=т(*. у,
и начальные условия: при х = а должно быть y = b, z = c, тогда,^положив
”4 =/(•». У. z)h и 5 = <р(х, у, z)h, (••>
составляем не одну пару, а две пары параллельных таблиц таких, как.
показанные выше, причем одна пара заключает значения
X, у, Ау; »], Дц, Д2т|, дз^
другая
X, г, Ьг; 5, Д5, Д25, Д3«,
причем для вычисления величин т] и 5 служат уравнения (••), а для вы-
числения &Ьп и Дся—формулы
Ч.=Ч, + дЧ-2+4
Л/» =₽ _1__1_Д₽ _1_Ад2р I -3-ДЗ:
“СЛ ;<11 2 8 5л-3’
Совершенно так же надо поступать для системы трех и большего числа,
уравнений.
Как известно, всякое обыкновенное дифференциальное уравнение
любого порядка и всякая система таких уравнений, если только они
разрешимы относительно наивысщей производной, в них входящей,,
могут быть приведены к системе уравнений первого порядка вида
= *2..../).(£= 1, 2, 3,...,п).
Так, например, если бы вопрос шел о движении точки в плоскости хОу„
то мы имели бы систему
^=flx и t —
dt* J У. dt > dt ]>
у-
’ dt ’ di)'
Вводя неизвестные функции и и о, приводим эту- систему к виду
^-=и- ^ = о,
dt и' dt v'
-57 =/(*, У, t, и, о); (х, у, /, и, о),
к которой уже непосредственно приложим изложенный выше метод.
§ 96. Штермер - развил свой метод в применении к системе уравне-
ний второго порядка вида
У, z, t),
= 2, t),
^t = ^(x,y,z,t),
(А>
относящейся к движению материальной точки в среде* не оказывающей
сопротивления.
зш
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ уц
Рассмотрим сперва одно уравнение вида
не содержащее первой производной неизвестной функции х; положим,
что это уравнение требуется интегрировать при начальных условиях:
при t = t0 должно быть x = xQ и х' = Хц . Положив с = А2х", со-
ставляем таблицы 53 и 54.
Таблица 53
, п . t X Мх
п—3 *л-3 хп-з &хп—3 *4,-4
л—2 2 ' Хп—2 ^Хп—2 *4,-3
п—1 *п—I Хп-1 ^хп-\ ^хп—2
п Хп
Л-Н
Таблица 54
$ де А2; Азе ДЧ
£д-3 %п—2 £/1-1 5 • • •Д?я-з &~п—2 ^£/i—1 Д^л-4 Д?«л-3 Жп-2 Дзе„_4 Д3?л-3 ^4£/1—4
Эти таблицы будут заканчиваться косыми строками, содержащими
числа
Хп>. *Хп-1’ ^Хп-2’
. 6 , Д? Д2с „ Д3Е Д4£
Si’ Si—1’ 44 Si—2’ “ Si—3’ 'n-V
Чтобы иметь возможность продолжать таблицы 53 и 54, пренебрегая
разностями пятого порядка, т. е. прибавлять к ним по одной косой
строку, Штермер применяет формулу
= + (23)
вычислив по которой А2хл_р вписываем его в свое место, затем имеем:
^хп=^хп-\+дЧ-р x«+i = хп -г
получив величину хп+[, вычисляем по данному уравнению, сделав в нем
/ = /„+Р x = xn+v величину
^1-Н = (^л+1 > хп+д
и, вписав ее в свое -место, берем разцос.тц, и таким образом нижние
косые строки таблицы 54 будут заполнены, и, пользуясь формулой (23),
можно продолжать процесс дальше.
Формула (23) выводится совершенно подобно тому, как формула (16).
Сохраняя прежнее обозначение производных неизвестной функции,
в данном случае х, по переменной независимой t и принимая за исход-
ное значение хп, соответствующее t = t0^-nh, получим по тейлорову
ряду для хп_{ и хп+1 разложения
§ 97]
МЕТОД ШТЕРМЕРА
305
Вместе с тем 5Я = х'пh2 = Bk2.
Отсюда следует
Д2*л-1 в Хл+1 2Хл ~Н 1 = ^л & 12 “Ь ? 360 ’
Написав затем разложения величин ;Ея_р $я_2, $я_3, а именно:
Е„-г = Е.- 2С4»+4D " _ 8Е* + 16f£-...
и т. д., составляем разности
Д2? 2=t" Л—2 Л -2Ел-, + Ея-2 = 2О?- -6£g-f- 14^’
дзея , = Е - п—з п -зем+зе»-2-«„-з= = 6£т~ о -36Fg,
д45„_4 = £„- -«»-, +<V2 + ^-4 = 24F
(•*)
исключаем (проще всего по методу множителей) из уравнений (*) и (**)
величины D, Е, F и получаем формулу
i’x.-, = Е. + п [ д V,+ д V3+ я Чм]. (24)
которую для удобства вычисления лучше писать в виде
- Е»+П [«.-2+«_+ 4 V.- Й 4V.] • (23)
Чтобы по начальным условиям начать вычисление, можно применять
также два способа: разложения в ряд, который йе требует пояснений,
и последовательных приближений, для которого, подобно предыдущему,
из формулы (24) составим следующие:
Дх0 = <А + 4 Но + 4- AS0 - J
Д2хо=50 4- де0+1 д% - д%
Д2Х, = 5) + Д?! + Д% Д% -^о = *2 + Т2 А2*! +24о Д%
Д% = W Д52 +г2- Д^ +п ДЗ?о +4й) Д4$о-
и ведем по ним вычисление, как показано в § 88, т. е. сперва берем
один член, со следующим приближением—два и т. д.
Понятно само собою, что когда дано не одно уравнение, а система
уравнений вида (А), не содержащих первых производных неизвестных
функций, то метод применяется совершенно подобно тому, как для
уравнений первого порядка, причем составляется столько пар таблиц,
сколько неизвестных функций имеется.
§ 97. Если брать промежутки настолько малыми, что разности
третьего порядка уже не влияют на результат, то основная формула
будет
Д2х«—1 = “F12 2» (25)
и
20 А. Н. Крылов
306
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [ гл. VII
и таблицы будут:
Таблица 55
t X Ьх Д2х
а* а* а*’ + а 1 i ; xn—i~ xn-i хп , Д*Л-2 Д*Л-1 Д^Л-3 ДЧ.-2 '
Таблица 56 .
6 • де Д2£
^п- 2 1 2 ^п—1 д<-3 Д2*Л-2
В этом случае процесс вычисления сводится к весьма простому.
, § 98. Если в методах Адамса и Штёрмера следить за тем, чтобы
промежуток п (меняя, когда нужно, его величину) оставался настолько
малым, чтобы последняя из удержанных разностей могла быть прини-
маема за достоянную с тою точностью, с которою вычисление произво-
дится, ,то результат получится сразу с требуемою степенью точности,
поправок требоваться не будет.
Но если бы мы применили другой метод Эйлера или Рунге й желали
бы полученный результат исправить, то, как уже сказано, его можно
было бы принять за исходное приближение в методе Пикара.
Для простоты рассуждений предположим, что нам предложено одно-
уравнение первого порядка
У'—/(х,у) (1)
и начальное условие: при х = а должно быть у = Ь, и что для этого
уравнения получено приближенное решение
у = Л1(х).
Если бы эта функция была точным решением уравнения (1), то имело
бы место равенство
из которого, интегрируя, получили бы
Fi(x)= ^/[x,Fi(x)]dx + />. (*)
а
Если же значения первой части не будут равны значениям той функ-
ции Fi(x), которая входит в состав подинтегральной, то это будет по-
казывать, что принятое приближение недостаточно, и надо положить
F2(x) = (x)]dx + b (••)
а
и, приняв за новое приближение
y = f2(x),
повторить этот процесс, который и продолжать, пока с принятою при
вычислении степенью точности не будет достигнуто равенство
Л (X) =^/_ [х, F* (х)] dx + b. (26)
§99]
Примеры
307
Здесь необходимо иметь в виду следующее обстоятельство: функции
Т7] (х), р2 (х),... будут нам известны не аналитическими своими выра-
жениями, а будут задаваться или определяться лишь в табличной
форме, и, значит, интегралы в правых частях равенств (*) придется вы-
числять по приближенным формулам. Ясно, что эти формулы должны
обладать тою степенью точности, которая соответствует принятой
в исполняемом вычислении, иначе вычисление интегралов будет вносить
свои погрешности в значения функций f2(x), F3(x),и мы вместо
приближения можем даже удаляться от истинных значений искомой
функции. '
Приемы такого вычисления определенных интегралов разработаны
с большою обстоятельностью в приложении к вычислению планетные
возмущений; главные из относящихся сюда формул приведены выше,
в главе VI. Подробно же их можно найти в сочинении Th. Oppolzer
«Lehrbuch zur Bahnbestimmung der Kometen und Planeten», т. II. К со-
жалению, это сочинение составляет теперь библиографическую ред-
кость.
Мы будем -пользоваться формулою Лапласа, достаточной для нашей
цели:
a-\-nh
а
\ - i - 7^ [ДЧ-3 - -Д 41- ‘
ЙЮ 4“ во 8401Д5^п-в д5Уо1-
которую напишем для краткости так:
У,- J + +
где :
Тп~ Л["Г ^о + ^ + ^Н"-•• + УЛ_Н—
есть главный член .формулы, представляюший результат вычисления
нашего интеграла по правилу «трапеций», Рп есть «поправка» этого
результата.
Понятно, что выгоднее и самое вычисление разбивать на две части,
т. е. отдельно по известной схеме («суммы попарно», «суммы сверху»)
вычислять Тп и отдельно Рп.
§ 99. Для пояснения изложенных выше способов проделаем некото-
рые примеры, выбрав их так, чтобы самое вычисление частных значе-
ний функции /(х, у), стоящей в правой части уравнения
y'=f(x, у)
было возможно проще, ибо эта часть работы пояснений не требует.
Как первый пример возьмем уравнение
У' = У
и начальное условие: прих = 0 должно быть«/=1, и составим таблицу
значений у для х через 0.1.
20*
308 ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [гл, VII
Эта таблица,
таблицы 57.
если применять метод Эйлера, будет иметь вид
Таблица 57 Процесс составления таблицы ясен из формулы уп+с~ уа+ hyn.
п X у=у’ by'
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.0000 1.1000 1.2100 1.3310 1.4641 1.6105 1.7716 1.9488 2.1437 2.3581 2.5939 0.1000 о.ноо 0.1210 0.1331 0.1464 0.1611 0.1772 0.1949 0.2144 0.2358 Примем полученные значения за ис- ходное приближение, т. е. полагая вычислим следующее приближение: f2(x) = 0 причем значения функции Fi(x) будем
Вычисление расположится брать из предыдущей таблицы, как показано в таблице 58.
Таблица 58
I II III IV V VI VII VIII
Суммы Суммы X —А 2 лду АД2у' Fa(x)=
п X у —у— = fM (I) попарно (П) сверху рп =(IV)+ H-(VII)
0 0.0 1.0000 2.1000 0.0000 0.0000 0.0100 0.0010 —0.0000 1.0000
1 0.1 I.1000 2.3100 2.1000 0.1050 0.0110 0.0011 —0.0001 1.1049
2 0.2 1.2100 2.5410 4.4100 0.2205 0.0121 0.0012 -0.0002 1.2203
3 0.3 1.3310 2.7951 6.9510 0.3476 0.0133 0.0013 -0.0003 1.3473
4 0.4 1.4641 3.0746 9.7461 0.4873 0.0146 0.0015 —0.0004 1.4869
5 0.5 1.6105 3.3821 12.8207 0.6410 0.0161 0.0016 -0.0005 1.6405
6 0.6 1.7716 3.7204 16.2028 0.8101 0.0177 0.0018 -0.0006 1.8095
7 0.7 1.9488 4.0925 19.9232 0.9962 0.0195 0.0019 —0.0008 1.9954
8 9 10 0.8 0.9 1.0 2.1437 2.3581 2.5939 4.5018 .4.9520 24.0157 28.5175 33.4695 1.2008 1.4259 1.6735 0.0214 0.0236 0.0022 —0.0010 —0.0012 —0.0014 2.1998 2.4247 2.6721
Сличая величину Fi(x) и F2(x), видим, что равенство
F2(x) = F,(x)
еще не достигнуто в пределах точности вычисления, поэтому, приняв
y = F2(x), а значит, и y' = F2(x), составляем выражение
X
Fe(x) = jF2(x)dx-H
о
и продолжаем этот процесс, пока два последовательных приближения
не будут совпадать в пределах точности вычисления.
§99}
ПРИМЕРЫ
309
Полученные результаты приведены в таблице 59.
Таблица 59
п X W W few ех
0 0.0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.00000
1 0.1 1.1000 1.1049 1.1051 1.1051 1.1051 1.1051 1.10517
2 0.2 1.2100 1.2203 1.2213 1.2214 1.2214 1.2214 1.22140
3 г 0.3 1.3310 1.3473 1.3496 1.3498 1.3499 1.3499 1.34986
4 0.4 1.4641 1.4870 1.4912 1.4918 1.4921 1.4918 1,49183
5 0.5 1.6105 1.6406 1.6475 1.6486 1.6488 1.6488 1.64872
6 0.6 1.7716 1.8096 1.8299 1.8219 1.8222 1.8222 1,82212
7 0.7 1.9488 1.9955 2.0099 2.0137 2.0138 2.0138 2.01375
8 0.8 2.1437 2.1999 2.2195 2.2249 2.2255 2.2256 2.22554
9 0.9 2.3581 2.4248 2.4501 2.4582 2.4594 2.4597 2.45960
10 1.0 2.5939 2.6711 2.7046 2.7158 2.7179 2.7187 2.71828
Так как решение нашего уравнения есть
У = ех,
то в последнем столбце таблицы приведены и эти значения, чтобы
иметь сличение приближенных результатов с точными.
Сличая F5(x) и F6(x), видим, что в пределах точности вычисления
можно считать, что предельная функция достигнута, и, действительно,
F6 (х) отличается от истинной функции ех не более, как в четвертом
знаке после запятой, за который вообще при нашем вычислении ручаться
нельзя.
Этот пример показываёт, что при избранной величине промежутка
первое эйлеровское приближение, если его принять за исходное для
процесса Пикара, потребовало бы повторения интегрирования пять раз
для получения той ограниченной степени точности, с которою наше вы-
числение производилось. Ясно, что было бы выгоднее или уменьшить
промежуток h, или применить другой прием для получения более
точного исходного приближения. Понятно, что по количеству работы
уменьшение промежутка вдвое равносильно с вычислением по упрощен-
ной схеме Рунге, т. е. для уравнения
У'=1{х, у)
по формулам
an=f(Xn>
УЯ+1 = ^Я+₽Л
ибо в обоих процессах потребуется вычисление одинакового числа
частных значений функции / (х, у), а обыкновенно это-то вычисление
и требует наибольшей затраты работы.
Вычисление для нашего примера по предыдущим формулам испол-
нено в таблице 60 (см. стр. 310).
По этим числам видно, что полученный результат по своей точности
соответствует приблизительно F4(x) и, значит, потребовал бы, для по-
лучения окончательного, еще интегрирования два раза. Таким образом,
исходя из первого эйлеровского приближения, нам пришлось бы вычис-
лить 6п значений функции / (х, у), здесь же их всего надо 4л.
310 ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
Таблица 60
п X Уп=Уп-\ + ап = =/(ХЛ>Уп) тл“л Чп=УП+
0 0.0 1.0000 1.0000 0.0500 1.0500 1.0500 0.1050
1 0.1 1.1050 1.1050 0.0552 1.1602 1.1602 0.1160
2 0.2 1.2210 1.2210 0.0611 1.2821 1.2821 0.1282
3 0.3 1.3492 1.3492 0.0675 1.4167 1.4167 0.1417
4 0.4 1.4909 1.4909 0.0745 1.5654 1.5654 0.1565
5 0.5 1.6474 1.6474 0.0824 1.7298 1.7298 0.1730
6 0.6 1.8204 1.8204 0.0910 1.9114 1.9114 0.1911
7 0.7 2.0115 2.0115 0.1006 2.1121 2.1121 0.2112
8 0.8 2.2227 2.2227 0.1111 2.3338 2.3338 0.2334
9 0.? 2.4561 2.4561 0.1288 2.5789 2.5789 0.2579
10 1.0 2.7140 2.7140
Обращаясь теперь к методу Адамса, получим таблицу:
Таблица 61
п X У Ду •») = ЙУ Дг] ДЦ
0 0.0 1.0000 0.1051 0.1000 0.0105
1 0.1 1.1051 0.1105 o.ooil
0.1160 116 „. .л
2 0.2 1.2211 0.1221 13Г1
0.1284 129
3 0.3 1.3495 0.1420 0.1350 142 13
4 0.4 1.4915 0.1569 0.1492 156 14
5 0.5 1.6484 0.1732 . 0.1648 174 18
6 0.6 1.8216 0.1916 0.1822 191 . 17
7 0.7 2.0132 0.2114 0.2013 212 21
8 0.8 2.2246 0.2350 0.2225 235 23
9 0.9' 2.4596 0.2587 0.2460
10 1.0 2.7183
Кроме того, для начала по схеме § 94 имеем в дополнение к таблице
61 еще таблицу 62.
При сличении с таблицей 59 видно, что приближение, получаемое
по методу Штермера, есть окончательное, о чем можно было заклю-
100] ПРИМЕРЫ
311
• 3
•нить и a priori по величине вторых разностей, ибо ясно, что член
1
не превышает -%• единицы "четвертого знака и, значит, не оказывает
влияния на результат.
Таблица 62
п У Аг/ •П А V) Д2 7)
< 0 1 2 1.0000 1.1000 1.2100 0.1000 0.1100 0.1000 0.1100 0.0100
0 1 2 1 1.0000 1.1049 1.2207 1» 0.1049 0.1158 0.1000 0.1105 0.1221 0.0105 0.0116 0.0011
0 1 2 1.0000 1.1051 1.2211 г 0.1051 0.1160
. Д«/о = 0.1000 4-0.0050 — 0.0001 =0.1049
&У1 = 0.1100 4-0.0050 4-0.0008 = 0.1158
Лу0 = 0.1000 4- 0.0052 — 0.0001 = 0.1051
= 0.1000 4- 0.0052 4- 0.0008 = 0.1160
Таким образом, здесь потребовалось всего вычислить п значений
функции /(х, у), т. е. приблизительно в 4—6 раз меньше работы, нежели по Таблица 63
предыдущим способам. В этом и со- стоит главное достоинство метода X f(x) F(x)
Адамса.
§ 100. Чтобы пояснить еще методы 0.0 0.00000 0.00000
Рунге и Адамса, возьмем пример, при- водимый в сочинении аббата Moigno 0.1 0.02108 0.04143
«Lemons de calcul differentiel et de calcul 0.2 0.07413 0.17368
integral», составленном по лекциям Коши. 0.3 0.15127 0.20935
Этот пример следующий: 0.4 0.24297 0.32551
у’ = Vx-\-\/”y\ 0.5 0.36624 0.46041
начальное условие: при х — 0 должно быть у = 0; требуется составить таб- 0.6 0.50089 0.61275
лицу значений функции у от х = 0 до X — 1. 0.7 0.65226 0.78176
0.8 0.80961 0.96667
По методу Коши в указанном со- чинении составлена таблица значений, 0.9 0,99175 1.16688
между которыми заключается вели- чина у (таб. 63). 1.00 1.18879 1.37687
312 ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
В рассматриваемом промежутке имеет место двойное неравенство
/(х)<у</7(х).
Как видно, пределы еще весьма широкие.
Для этого уравнения, при х = 0, как раз имеет место то ^невыгод-
ное обстоятельство, на которое обращал внимание еще Эйлер — произ-
водная у обращается в нуль, производные высших порядков обращаются
в бесконечность, поэтому для значений, близких к х = 0, изложенные
выше методы неприменимы, и проще всего разложить у в ряд по сте-
пеням переменной х (эти степени не будут целыми) и, вычислив по
этому ряду значение у для какого-либо значения х, отличного от нуля,
для получения дальнейших значений применять изложенные выше спо-
собы. Чтобы проще выполнять это разложение, положим сперва х = I4,
тогда будет:
Делая затем
и обозначая производную по t штрихом, имеем:
hf -|- 6-tq = 4/ -у ~Ь »!.
Положив
ч = а/+^4-Т/3+&4+...,
имеем:
M'4-671 = ^[7a + 8^+9Y/2+108z’+...];
для определения коэффициентов а, р, у, 8,... получим:
[7а + 8^4-9^2 + 108/3+.. .]2= 16а/Н- .
Таблица 64
X У у' = V X + V у у' по ряду
0 0 0 0
0.1 0.030898 0.49201 0.49202
0.2 0.093677 0.75328 0.75331
0.3 0.18020 0.97222 0.97228
0.4 0.28738 1.16857 1.16860
0.5 0.41337 1.35004 1.35004
0.6 0.55706 1.52096 1.52108
0.7 0.71738 1.68364 1.68386
0.8 0.89359 1.83973 1.83991
0.9 1.08519 1.99040 1.99067
1.00 1.29158 2.13648 2.13678
§ 100]
ПРИМЕРЫ
313-
Откуда следуют уравнения
49а2 = §,
112а^=16а,
64р2_|_126аТ=16р,
144ft-j~140aS= 16Г»
...............9
значит, будет:
П__±1/А r__L V— -Li/А я______2
7 V 3’ р— 7’ Т 49 у .3 ’ 8 1715 ’•••
Таким образом, получим:
3 7 __ 9 5
I I Lv2 । ll/Iv * 2 у 2
У — 3х ~Г 7 У 3 х "Г 7 х ~Г 49 У зх 1715 х । • • •
При малых значениях х (около 0.1), полученных членов достаточно,
чтобы найти у с точностью до пятого десятичного знака, в чем убе-
димся,- вычисляя у' как по предложенному уравнению
так и по ряду
что видно из таблицы 64.
Следовательно, если производить вычисление на пять знаков, та
можно принять, что у должно удовлетворять уравнению
и что при х = 0.1 должно быть «/ = 0.030898, соответственно чему
«/' = 0.49201.
Для значений х, меньших 0.1, величина у определяется приведен-
ным выше рядом, для значений же, больших 0.1, мы применим метод
Рунге и метод Адамса, чтобы иметь наглядное сравнение между этими
методами.
Для применения метода Рунге с тем добавлением к нему, которое
указано в § 92, подразделяем промежуток между х = 0.1 и х = 1.0 на
два участка: от х = 0.1 до х = 0.3 и от х = 0.3 до х=1.
На первом участке берем А = ^ = 0.025, на втором А = 0.05; тогда
вычисление расположится, как показывает таблица 65 (на отдельном
листе).
Для проверки принимаем найденные таким образом величины у за
первое приближение F\{x)t составляем по ним функцию
«/' = <? (*) = /* + Vy = f[x, Fi (х)]
и по формуле *
F2 (х) = J / [х, Fi (х)] dx 4- b
а
при a = 0.1, А = 0.030898 находим второе приближение, как это пока-
зано в таблице 66.
Для сравнения, произведя то же вычисление по методу Адамса, по-
лучим таблицу 67.
Сличение полученных результатов показывает, что метод Адамса»
при затрате работы в пять или шесть раз меньшей, даст результат,
одинаковый с предыдущим.
314 ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ гл. VII
2-е приближение
Таблица 66
I II III IV V VI VII УШ IX X
X Неиспр. значе- ние У </' = ? Сумма (Ш) попарно Суммы (IV) сверху 3 T=-2hS У о + Т Д? Поправки Исправ. У
0.100 0.03090 0.03728 0.49201 1.02050 0.00000 0.03090 0.03648 0.03090
0.52849 1.02050 0.00638 0.03728 0.00000 0.03728
0.125 0.04410 1.09205 0.03506
0.56355 2.11259 0.01320 0.04410 0.00000 0.04410
0.05136 0.59744 1.16099 3.27358 0.02046 0.05136 0.03389 0.00000
0.05136
0.150 0.05902 1.22768 0.03280
0.63024 4.50126 0.02813 0.05903 0.00000 0.05903
0.06710 1.29239 0.03141
0.175 0.66215 1.35536 5.79365 0.03621 0.06711 0.03106 0.00001 0.06712
0.07556
0.69321 1.41678 7.14901 0.04468 0.07558 0.03036 0.00001 0.07559
0.08442
0.200 0.72357 1.47678 8.56579 0.05354 0.08444 0.02964 0.00001 0.08445
0.09364
0.75321 1.53549 10.04257 0.06276 0.09366 0.00001 0.09367
0.10324 0.02927
0.225 0.78228 0.81076 1.59304 11.57806 0.07236 0.10326 0.00001 0.10327
0.02848
0.11319 0.12350 1.64343 13.17110 0.08232 0.11322 0.00001 0.11323
0.02801
0.250 0.83877 1.70504 14.82053 0.09263 0.12353 0.00001 0.12354
0.13415 0.02750
0.86627 1.75961 16.52557 0.10328 0.13418 0.00001 0.13419
0.14515 0.02707
0.275 0.89334 1.81330 18.28518 0.11428 0.14518 0.00001 0.14519
0.15647 0.02662
0.91996 20.09848 0.12561 0.15651 0.00001 0.15652
0.16813 1.86619 0.02627
0.300 0.94623 1.91836 21.46467 0.13728 0.16818 0.02590 0.00001 0.16819
0.18012
0.97213 1.99507 23.88303 0.14927 0.18018 0.05031 0.00001 0.18019
0.20507
0.350 1.02294 2.09543 1.99507 0.02494 0.20512 0.00000 0.20512
0.23125 0.04955
1.07249 4.09050 0.05113 0.23121 0.00000 0.23134
0.25867 2.19346 0.04848
0.400 1.12097 2.28980 6.28396 0.01855 0.25873 0.04746 0.00000 0.25873
0.28727
1.16843 2.38344 8.57336 0.10717 0.28735 0.00001 0.28738
0.31707 0.04658
0.450 1.21501 2.47574 10.95680 0.13696 0.31714 0.00001 0.31715
0.34800 0.04572
1.26073 2.56643 13.43254 0.16791 0.34809 0.00001 0.34810
0.38008 0.04497
0.500 1.30570 2.65567 15.99897 0.19999 0.38017 0.00101 0.38018
0.04426
0.41326 1.34995 18.65463 0.23318 0.41336 0.00001 0.41337
0.44756 2.74352 0.04360
0.550 1.39356 2.83010 21.39815 0.26748 0.44766 0.04318 0.00001 0.44767
0.48292 0.51937 1.43654 2.91550 24.22825 0.30285 0.48303 0.04238 0.00002 0.48315
.0.600 1.47896 2.99978 27.14375 0.33930 0.51948 0.04186 0.00002 0.51950
0.55685
1.52082 30.14353 0.37679 0.55697 0.00002 0.55699
*§ 101]
ПРИМЕРЫ
315
Таблица 66 (продолжение)
I II III IV V VI VII VIII IX X
Неиспр. Сумма Суммы Поправки Исправ.
X значе- 0'==? (Ш) (IV) T = ^hS У а + дв 1
ние У попар- но сверху S 2 г 12А(д₽о₽1—Л) У
3.08302 0.04138
0.59539 1.56220 3.16526 33.22655 0.41533 0.59451 0.04086 0.00002 0.59553
0.650 0.63494 1.60306 3.24654 36.39181 0.45490 0.63508 0.04044 0.00002 0.63210
0.67551 1.64348 3.32696 39.63834 0.49548 0.67566 0.04090 0.00002 0.67568
0.700 0.71710 1.68348 3.40655 42.96530 0.53707 0.71725 0.03959 0.00002 0.71727
0.75969 1.72307 3.48533 46.37185 0.57965 0.75983 0.03919 0.U0002 0.75985
0.750 0.80324 1.76226 3.56335 49.85718 0.62321 0.80339 0.03883 0.00002 0.80341
0.84778 1.80109 3.64065 53.42053 0.66776 0.84794 0.03847 0.00002 0.84796
0.800 0.89328 1.83956 3.71727 57.06118 0.71326 0.89344 0.03815 0.00003 0.89347
0.93975 1.87771 3.79321 60.77845 0.75973 0.93991 0.03779 0.00003 0.93994
0.850 0.98715 1.91550 3.86851 64.57166 0.80715 0.98733 0.03751 0.00003 0.98736
1.03551 1.95301 3.94322 68.44017 0.85550 1.03568 0.03720 0.00003 1.03571
0.900 1.08479 1.99021 4.01735 72.38339 0.90479 1.08497 0.03693 0.00003 1.08500
1.13501 2.02714 4.09094 76.40074 0.95501 1.13519 0.03663 0.00003 1.13522
0.950 1.18614 2.06377 4.10393 80.49165 1.00615 1.18633 0.03639 0.00003 1.18636
1.23890 2.10016 4.23644 84.65558 1.05819 1.23837 0.03612 0.00003 1.26840
1.000 1.29114 2.13628 83.89202 1.11125 1.29133 0.00003 1.29136
Таблица 67
I II III IV V VI I II III
X У Д»Я = Ч.+ + ~2 Д11п—1 + 5 + 12 Д211л-2 ”)= Д2Г) VT У' = у
0.100 0.125 0.150 0.175 0.03090 0.03728 0.04410 0.05136 0.05904 0.06712 0.07560 0.00638 0.00682 0.00726 0.00768 0.00808 0.00848 0.00884 0.00615 0.00660 0.00704 0.00747 0.00788 0.00828 0.00866 0.00045 0.00044 0.00043 0.00041 0.00040 0.00038 0.00038 -0.00001 —0.00001 —0.00002 -0.00001 —0.00002 —0.00000 0.31623 0.33541 0.35355 0.37081 0.38730 0.40311 0.41833 0.22661 0.24298 0.25908 0.27495 0.59742 0.63028 0.66219 0.69310
316 ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [гл. VII
Таблица 67 (продолжение)
I II 111 IV V VI I II III
A0/i = 1<U +
X У + + ц = 0'Л ДЧ Д2Т) /7 УГ = У
+ ДДЧ.-2
0.08444 0.00904 -0.00000 0.43301 0.29059 0.72360
0.00923 0.00038
0.200 0.09367 0.00942 —0.00002 0.44721 0.30605 0.75326
0.00961 0.00036
0.10328 0.00978 -0.00000 0.46098 0.32138 0.78236
0.00995 0.00036
0.225 0.11323 0.01014 —0.00001 0.47434 0.33650 0.81084
0.01032 0.00035
0.12355 0.01049 —0.00001 0.48734 0.35150 0.83884
0.01066 0.00034
0.250 0.13421 0.01083 -0.00000 0.50000 0.36634 0.86634
0.01099 0.00034
0.14520 0.01117 —0.00001 0.51235 0.38105 0.89340
0.01134 0.00033
0.275 0.15654 0.01150 —0.00000 0.52440 0.39565 0.92005
0.01166 0.00033
0.16820 0.01183 -0.00001 0.53619 0.41012 0.94631
0.01199 0.00032
0.300 0.18019 0.01215 0.54772 0.42449 0.97221
0.250 0.13421 0.02166
0.00134
0.275 0.15634 0.02300 -0.00004
0.00130
0.300 0.18019 0.02436 —0.00003 0.54772 0.42449 0.97221
0.02493 0.00127
0.20512 0.02557 —0.00003 0.57009 0.45290 1.02299
0.02619 0.00124
0.350 0.23131 0.02681 —0.00002 0.59161 0.48095 1.07256
0.02742 0.00122
0.25873 0.02803 —0.00004 0.61237 0.50865 1.12102
0.02863 0.00118
0.400 0.28736 0.02921 -0.00001 0.63246 0.53606 1.16352
0.02979 0.00117
0.31715 0.03038 —0.00003 0.65192 0.56316 1.21508
0.03096 0.00114
0.450 0.34811 0.03152 —0.00002 0.67082 0.59001 1.26083
0.03207 0.00112
0.38018 0.03264 —0.00001 0.68920 0.61695 1.30579
0.03319 0.00111
0.500 0.41337 0.03375 -0.00002 0.70711 0.64294 1.35005
0.03430 0.00109
0.44767 0.03484 —0.00001 0.72457 0.66908 1.39365
0.03538 0.00108
0.550 0.48305 0.03592 —0.00002 0.74162 0.69509 1.43671
0.03646 0.00106
0.51951 0.03698 —0.00002 0.75829 0.72077 1.47906
0.03749 0.00104
0.600 0.55700 0.03802 —0.00000 0.77460 0.74632 1.52092
0.03851 0.00104
0.59551 0.03906 —0.00002 0.79057 0.77169 1.56226
0.03958 0.00102
0.650 0.63509 0.04008 —0.00001 0.80623 0.79057 1.60315
0.04059 0.00101
0.67568 0.04109 -0.00001 0.82158 0.82199 1.64357
0.04159 0.00100
0.700 0.71727 0.04209 —0,00001 0.83666 0.84692 1.68358
§ 101 ]
ПРИМЕРЫ
317
Таблица 67 {продолжение)
I II III IV V VI I И III
• л: У + + 7 1 £ 11 S* |сч Ю |23 « + + 1)=УЛ: УТ / = = Ух+Уу
0.750 0.800 0.850 0.900 0.950 1.000 0.75985 0.80342 0.84796 0.89347 0.93994 0.98737 1.03572 1.08502 1.13524 1.18637 1.23843 1.29137 0.04258 0.04357 0.04454 0.04551 0.04647 0.04743 0.04835 0.04930 0.05022 0.05113 0.05206 0.05294 0.04308 0.04406 0.04503 0.04599 0.04695 0.04789 0.04883 0.04976 0.05068 0.05160 0.05250 0.00099 0.00098 0.00097 0.00096 0.00096 0.00094 0.00094 0.00093 0.00092 0.00092 0.00090 —0.00001 -0.00001 -0.00001 —0.00000 —0.00002 —0.00000 —0.00001 —0.00001 —0.00000 —0.00002 0.85147 0.86603 0.88034 0.89443 0.90830 0.92195 0.93541 0.94Е68 0.96177 0.97468 0.98742 1.00000 0.87169 0.89634 0.92084 0.94523 0.96950 0.99366 1.01770 1.04164 1.06548 1.08920 1.11285 1.13638 Л.72316 1.76237 1.80116 1.83966 1.87780 1.91561 1.95311 1.99032 2.02725 2.06388 2.10027 2.13638
§ 101. Дадим еще пример интегрирования системы уравнений, причем
приведем его со всею подробностью вычислений, чтобы дать образец
их расположения и производства, ибо, по словам Ньютона «exempla поп
minus doceunt quam precaepta».
Из всех движений свободного тела, после тел небесных, движение
артиллерийских снарядов обладает наибольшею мощностью. Может быть,
это является одною из тех причин, которая привлекала к исследованию
этого вопроса математиков, не бывших ни военными, ни артиллеристами.
Помимо Эйлера, всеобъемлющ^ гений которого творил во всех обла-
стях, доступных приложениям математики, достаточно упомянуть
И. Бернулли, Лагранжа, Пуассона, Якоби и М. В. Остроградского, огра-
ничиваясь наиболее знаменитыми именами из тех, кем даны общие спо-
собы исследования указанного явления.
Математики-артиллеристы развили эти общие методы, произвели
множество опытов для установления закона сопротивления воздуха,
составили вспомогательные таблицы и поставили дело вычисления тра-
ектории снаряда в соответствие с требованиями практики.
Минувшая мировая война показала, что в боевых условиях могут
быть используемы в более полной мере, нежели предполагалось ранее,
мощность и меткость современных орудий, и явилась надобность вы-
числять траектории для таких углов бросания и таких начальных ско-
ростей, для которых применение существующих таблиц требует ряда
допущений, оценить влияние которых на точность окончательного ре-
зультата а рпогГне^представляется возможным.
318 ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [гл. Vlt
Возник вопрос о проверке a posteriori этих упрощенных способов
вычисления траектории, сличая результаты, полученные при делаемых
для пользования таблицами допущениях, с результатами, полученными
помощью вычислений, этих допущений не заключающих и в этом смысле
являющихся точными. :
Такое точное вычисление траекторий может быть произведено проще*
всего, если воспользоваться методом Адамса-Штермера для численного^
решения обыкновенных дифференциальных уравнений, и является хоро-
шим примером как применения этого метода, так и некоторых вычисли-
тельных приемов, приложимых ко многим вопросам инженерного дела.'
§ 102. Примем точку вылета за начало координат, плоскость стрельбы
за плоскость хоу, направив ось у вертикально вверх, и примем за пере-
менную независимую угол наклонения траектории, считаемый от оси оу.
Основные уравнения баллистики для «плоской» траектории суть:
£f=-psincp, (1)
^ = Psin<₽, (2>
' ° = . <3>
i dx = г sin ср d<f. (4)
dy = r cos ср dcp, (5)!
где P есть вес снаряда, g— ускорение силы тяжести, о — скорость в.
момент времени t, г — радиус кривизны траектории в точке (х, у), р —
сопротивление воздуха, и — v sin ср—горизонтальная проекция скорости.
Приняв угол ср за переменную независимую и обозначая производные;
штрихами, мы имеем: . ;
, 1 f U \2
Х & \ sin ? )
^=T(siHv)2ctg<?’ (8>
t' = -—cosec ср. (9}
g sin <f T ' '
Величина p выражается формулой
p = AK(o)v7(Z/). (Ю>
причем А = Лтг/?2 есть постоянная для данного снаряда величина, Р—;
полукалибр, 2— коэффициент формы, f (у) — относительная плотность
воздуха; К (о) и f{y) даются таблицами, выдержка из которых приведе-
на ниже.
Начальные условия таковы: при ср = ср0 должно быть
(^)о = °0’ (Х)о = 0’ (у)о = °’ (0о = 0' (Н>
Для упрощения последующих вычислений напишем уравнение (6) так;
и' Р
— =-------н-cosec ср,
и Р т’
и, обозначая через М = 0.43429 модуль обыкновенных логарифмов, по-
ложим
9 = Mln-^ = lg-^; (12)
$ 10-3 J
ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИИ СНАРЯДА
31<>
тогда
Я'=-М^
и предыдущее уравнение будет:
. М?
Я =-р- cosec <р. (6'}
Таким образом, система уравнений (6):—(9) будет:
q'— C/C(t»)o2/(f/)cosec (13};
y' = -^-o2ctgtp, (14}
*'=т(а-,У’ (>5>
''“Ta^cos“’- <16>
Эта система сама собою распадается на две: 1) уравнения (13) и (14)„
содержащие переменную независимую <р и неизвестные функции у и vr
причем » = ucosec<p, q = lg , так что lgu = lgu0 — q, и 2) уравнения
(15) и (16), которые интегрируются сразу в квадратурах после того, как
и найдено.
Таким образом, по методу Адамса-Штермера нам придется интегриро-
вать систему (13) и (14), квадратуры же найдем по более простому
приему.
§ 103. Прежде чем приступить к этому интегрированию, приведем
таблицы значений логарифмов функций К (и) и f(y) (табл. 68 и 69),
Таблица 68
Значение lg K(v) (скорость v в метрах в секунду, сопротивление р — в килограммах)
V lg V 1g *(») V lg K(v) V 1g К(») V lg ’
1100 §“.4843 720 2.5605 580 Г. 5889 440 2.5955 365 §.5169
1050 2.4952 710 2.5623 570 Г. 5905 430 §".5955 360 §".4996
1000 2”. 5062 700 2.5642 560 2.5919 425 §.5955 355 §".4806
950 2.5169 690 2.5661 550 §.5930 420 §".5937 350 §“.4609
900 2". 5273 680 2". 5680 540 2.5938 415 2.5900 345 §“.4410
850 2.5372 670 2.5700 530 2.5944 410 §.5853 340 §.4210
800 §“.5465 660 2.5720 520 §“.5949 405 §.5802 335 §.4010
790 2.5482 650 2.5740 510 2.5953 400 §“.5749 330 §“.3810
780 2*. 5499 640 2.5761 500 2.5955 395 §.5696 325 2.3610
770 2.5516 630 2*. 5782 490 2.5955 390 2.5643 320 §“.3410
760 2.5533 ’ 620 2.5803 480 2’. 5955 385 §".5583 315 §“.3210
750 2.5551 610 Г. 5824 470 2.5955 380 2.5511 310 §.3010
740 2.5569 600 2.5846 460 2.5955 375 §.5421
730 2". 5587 590 Г. 5869 450 I * 2L5955 370 2". 5306
320 ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [гл. VII
Таблица 69
Значение lg f(y) (у в километрах)
У lg 1(У> У lg №) У lg Ку) У 1g №) У lg fly)
0 0.0000 5 Г,7551 10 Г. 4771 15 Т.1430 20 2.7993
1 Г. 9533 6 Г.7024 11 Г.4150 16 Г. 0719 21 2.7324
2 Г. 9053 7 1.6484 12 Г. 3502 17 Т.0000 22 2L6744
3 Г. 8561 8 1.5933 13 Г. 2833 18 2.9294 23 2?5964
4 Г. 8062 9 Г. 5366 14 Г. 2148 19 2.8633 24 2.5284
основываясь на данных «Внешней баллистики» Забудского и труда
В. М. Трофимова, сгладив в первой несколько неправильный ход разно-
стей, чтобы облегчить контроль вычислений. Для этого сглаживания
мы пользовались частью графической интерполяцией, составив чертеж
в крупном масштабе, частью таблицами Круппа и таблицею Башфорта.
§ 104. Для примера мы возьмем вычисление траектории английского
12-дюймового (304.8 мм) снаряда для пушек Армстронга, брошенного
под углом возвышения 55° (<р0 = 55°), с начальною скоростью »0 =
= 800 м]сек. Мы примем, что снаряд — легкий (вес Р = 360 кг) и с
тупой головной частью (Л =1), чтобы влияние сопротивления воздуха
•было возможно большее и все особенности вычисления обнаружились
бы с большею ясностью.
Итак, для нашего расчета имеем:
1) Данные:
Р = 360, о0 = 800, £=9.81, Р = 0.1524.
2) Формулы:
р = btR2K (v) v2/(у),
v — u cosec <р,
ш = q'h = cosec <p = AK(v) v2f (y) cosec <p,
где A=—p— ;
ц = At/’=-^-o2 ctg <p,
Д<7 = ш -I—~ Aw , —I—~ Д2ш „ -I—7Г- Д3<о
л I 2 n—l i 12 л—8 n—3*
^yn==ч»+ 4* Дт|"-1+4- дч~2+4- з-
Табличный промежуток h берется настолько малым, что член
4-дч-з
§ 104]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИИ СНАРЯДА
321
не превосходит десяти единиц пятого знака 1g«, величина же
4
не превосходит 1 м; точность при таком выборе получается более’чем
достаточная для практики.
Чтобы начать составление таблиц, мы применим способ последова-
тельных приближений.
Имеем начальные значения
<₽о = 55°00', и0 = 800, R = 0.1524,
1g «о = lg °о sin <ро = 2.81645.
Берем вначале
h = 0°15' = 0.0043633;
тогда имеем для постоянных:
Л = ^-АЛ4 В==-Г
1g „=0.49715 IgA = 3.63982
2 lg R = 2.36596 colg g = Г.00833
lg M = Г.63772 lg В = 4.64815
IgA = 3.63982
colg P= 3.44370
lg4 = 7.58435
или, округляя,
lg Л = 7.5844; lg В = 4.6481.
Затем заготовляем табличку значений lg A cosec у и 1g В ctg <р
Таблица 70
n lg cosec у lg ctg ? lg A cosec lg s Ctg t
0 55°00' 0.08664 T.8452 7’.6710 4". 4933
1 55 15 0.08531 Г.8412 7.6697 4.4893
2 55 30 0.08401 Г.8371 7.6684 4". 4852
3 55 45 0,. 08271 Г.8331 7*. 6671 Г.4812
и вычисляем <о0 и ц0:
lg A cosec <р0 = 7.6710
lgK(v0)= 2.5465
21g о0 = 5.8062
ig/(y) = 0.0000
lgo>0= 2.0237
чо0 = 0.01056
1g В ctg <р0 = 4.4933
2 lgo0 = 5.8062
lg Yto = 2.2995
•По =199.3
21 A. H. Крылов
322
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [ гл. VII
1-е приближение
д <7о = <оо Д^о = <1>0 = 0.01056 q0 = 0.00000 = 'По ^Уо = ^о= 199.3 у0 = 0.0
?1 = <7о+д?о = °-О1О56 lg«0 = 2.81645 У1 = Уо Аув = 199.3
lg ut = 1g и0 — ?i = 2.80589
lg cosec ср ] = 0.08531
Igo, = 2.89120
v, = 778.4
2-е приближение
Пользуясь значениями Uj и уь вычисляем wj и гц, а именно:
1g Л cosec <р| = 7.6697 lgK(vi) = 2.5502 21gO! = 5.7824 lg/(^i) = Г.9906 1g В ctg ср! = 4.4893 21g 01 = 5.7824 lgrh = 2.2717 7]] = 187.0
lg(D1 = 3.9929
о>1 =0.00984
по этим значениям составляем разности
Дш0 = а)] — о.'0= — 0.00072; Дт|0 = тц —т)0 = — 12.3
и берем затем
Д?о = a,-)—L Д«о = 0.01056 — 0.00036 = 0.01020,
bqt = Ш] А- Дш0 = 0.00984 — 0.00036 = 0.00948,
дУо = Чо + 4- й7)о = 199.3 - 6.2 = 193.1,
ДУ1 = ^4--1-Дф0 = 187.0 — 6.2 = 180.8,
после чего имеем:
== У о "4“ д?о == 0.01020,
lguI==lgu0 — ^! = 2.80625, lg«i = 2.89156, Uj = 779.0,
У\ = Уо + дУо = 193.1.
Значения
0] = 779.0 и {/!= 193.1
представляют второе приближение для Oj и У\.
Затем имеем:
У2 = У1 _|_ Дг/j = 193.1 + 180.8 = 373.9,
q2 = qx -|- Д?1 = 0.01020 + 0.00948 = 0.01968,
lgu2 = 1g и0 — ^2 = 2.79677, 1g02 = 2.88078, о2 = 760.0
$ 104]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИИ СНАРЯДА
323
Полученные значения
о( = 779.0 и «/1 = 193.1
представляют второе приближение для vx и уь значения
O2 = 760.0 и «/2 = 373.9
составляют первое приближение для г»2 и У 2-
3-е приближение
По полученным значениям О] и ух перевычисляем u>j и т)Ь и по зна-
чениям v2 и у2 вычисляем вновь w2 и ч\2:
lg A cosec cpi = 7.6697 IgB ctgcp। = 4.4893
lg Я (»]) = 2.5502 21g = 5.7831
2|g°i=£-7831 Ig„ =2.2724
ig/(y,>-1.99Ю = lg72
Igoi, = 39940
«>! =0.00986
lg A cosec <p2 = 7.6684 lg В ctg <p2 = 4.4852
lg Ы = 2.5533 2 lgo2 = 5.7616
2 lg p2 = 5.7616 -----------------
Ig/(!/2)=r.9826 lg^Z?764r
___________________ 7)2=1 /0.0
lg «>2 = 3.9659
«>2=0.00925
Таким образом, получается таблица:
Таблица 71
п со Дш Д2со Д-1) Д2|)
0 0.01056 -70 199.3 —12.1
1 0.00936 —61 9 187.2 -10.7 1.4
2 0.00925 176.5
(Для вычисления исправленных значений Д^о и Д«/о служат формулы
Д qQ = ">0 + До)о — ту д2(0о.
) дУо = 'По + 4~ Д71о — ЛТД2^’
следовательно, будет:
Д^о = 1056 — 4--70 —-4 • 9 = 1020,
Д«/о= 199.3 —4" • 12.1 —^.1.4=193.1,
«71 = д#о = 0.01020,
У\ — Уо 4~ дУо = 193.1,
1g««] = 1g и0 — qi = 2.80625.
21*
324
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [гл. VII
Эти величины не отличаются практически от предыдущих, следова-
тельно, в дальнейших поправках для них нет надобности.
Чтобы получить следующее приближение для v2 и у2, следует при-
нять, что вторые разности постоянны, и применить формулы
д<71 = “>1 +Ц- д<°1 — у? Д2<“0’
ДУ1 = "'ll + 4" Дт>1 —Т2 д2т,°;
таким образом, будет
Д?1 = 986-----61—^-9 = 955,
ДУ1 = 187.2 —-1--10.7----1.4 = 181.7,
42~ ^i += 0.01975,
lg «2 = lg uo ~ <7г = 2.79670,
lg»2 = 2.88071; v2 = 759.8,
У2 = У\+ д!/1 = 374.8.
Затем, при том же предположении постоянства вторых разностей
имеем формулы
Д?2 = ®2 + 4“Au>i +14 Д2ш°’
&Уг = 4- Д,»)1 Н—4 A21io’
по которым получаем:
Д<72=925------4 .61+4.9 = 898,
Ду2= 176.5----i-. 107 + 4-1.4 = 171.7,
Чз = Ч2+ *42 = 0.01975 + 0.00898 = 0.02873,
Уз = Уг+ ЛУг = 374.8+ 171.7 = 546.5,
1g «з = 1g «о — Чз = 2.78772,
lg va = 2.87043; va = 742.1;
пользуясь найденными значениями о8 и уа, вычисляем ш8 и ц,:
lg.4 cosec <р8 = 7.6671 1g В ctg <р8 = 4Л812
lg Д’ (va) = 2.5565 2 lg va = 5.7420
2 lg va = 5.7410 --------------------
lg/ (Уз) = * -9745 lg 1)8 = 2,2222
____________________ H8 = 166.8
lgo>8= 3.9391
®8 = 0.00869
§ 105]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИИ СНАРЯДА
325
Таким образом, начальная часть таблиц для вычисления будет
иметь вид:
Таблица 72
n w Дю Д2<д) д? lg и lg V V Д1) Д»ч А» У
0 0.01056 —70 1020 2.81645 2.90309 800.0 199.3 — 12.1 193.1 0.0
1 0.00986 —61 9 955 2.80625 2.89156 779.0 187.2 —10.7 1.4 181.7 193.1
2 0.00925 —56 5 898 2.79670 2.88071 759.8 176.5 —9.7 1.0 171.7 374.8
3 0.00869 2.78772 2.87043 742.1 166.8 546.5
Примечание. Разности Aq и &у вычислены так:
Д?о=1О56--j--70 —-9 = 1020, Д«/о = 199.3 — у -12.1 — ^у-1.4= 193.1,
Д?1 = 986 — -у -61 — -5 = 955, Д1д= 187.2 — у -10.7—-jy-1.0= 181.6,
11 15
Д?2=925 —у--614--1У -9 = 898, Дй=176.5 — у -10.7 --у 1.4 = 171.7.
После этого вычисление может' быть продолжено, как показано в
таблицах ниже.
§ 105. Выше объяснено, каким образом начинать вычисление, приме-
няя метод последовательных приближений; можно достигнуть той же
цели иначе, восг.ользоьаьшись разложением в ряды.
В применении к нашему примеру этот метод можно представить так:
при скоростях v от 800 до 700 м[сек величина Kv, со всею точностью
таблиц Забудского, может быть выражена формулою
К (») = 0.0352 + 0.000014»
и величина f(y)— формулою
f(y) — 1 — 0.102t/ км= 1 — 0.0001021/ м.
Мы будем писать эти формулы, для сокращения и общности, так:
Kv = a-\-bv, f(y)=l—ay,
следовательно, будет:
?' = C(a + to)»2(i — ay)_Ly
г А
где C=-y,
f/' = -£-t»2Ctg<p,
откуда следует, взяв логарифмическую производную
q" ( Ь । 2 \ . ау' .
= ( ---Т Ч---) V9-!------ctg W
q ya bv 1 v J 1 — ay 61
E_ = _Lvr —tgcpctgcp,
fir v
HO
_________________________________ и
sin f ’
(1)
326
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [ гл. VII
значит,
= тг — ctg <? = —Я'~ ctg<? = — 2.3026?' — ctgу
и, следовательно,
7 = — [тт я' + tg <? + 3 ctg <р ] = — [4.605?' + tg ? + 3 ctg ср]. (2)
Взяв величину h настолько малой, чтобы можно было принимать с
требуемой степенью точности
?1 = ?о + ?оЛ+4'?оА2’
?1=?о + ?оА+4_^оА2
И
Я2 = Я\ + ЯхЬ+4гя1'Ь2>
Уг = У\~Ь У{ У\
располагаем это вычисление так, как это ’ показано в таблице 73
(см. стр. 328 — 329).
§ 106. Приведем некоторые необходимые пояснения к таблицам, в
которых показано вычисление траектории.
1) После того как по приведенным в §§ 104 и 105 способам (следует
для контроля применять оба) заполнены первые четыре строки таблицы 74
(n=0, 1, 2, 3), дальнейшее вычисление ведется, как показывает схема.
2) Это вычисление сейчас же обнаруживает, что при значении про-*
межутка А = 0°15' вторые разности настолько малы, что без ущерба
для точности результата промежуток h можно увеличить. Это увели-
чение делается удвоением промежутка, как показано в дополнительной
таблице.
Такое удвоение произведено и в дальнейшем так, что значения про-
межутка h суть
от п= О до п= 6, h = 0°15' = 0.0043633,
» п = 6 » n = 13, h = 0°30' = 0.0087266,
»п=13 » и =19, h = 1°00'= 0.017453,
» п=19 » п = 57, h = 2°00' = 0.034907.
Соответственно этим значениям. А постоянные множители
Л = ^А, В = -у
имеют следующие значения:
1g 4 1g в
от п= 0 до 6 7.58435 4.64815
» п== 6 » 13 7788538 4.94918
» п — 13 » 19 6718641 3.25021
» п= 19 » 57 648744 3.55124
§ 106]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИИ СНАРЯДА
327
3) Для проверки результатов величина у вычислена в таблице 75,
пользуясь формулою
^Уп = Ч.+ 4"4^ —17 ДЧ ’
Уп^ = Уп +
аналогичною формулам
ч=’.+4ч--^4\.
служащим для вычисления хи/.
Формулы
4 уп=^+4- дч-2’
4^ = ^+44Е»-1+А«»-2'
4Л» = ~'п Н 2~ 4тп—1 ”1” 12 Д2тп-2
применялись лишь в конце каждого частного интервала.
4) Чтобы получить значения Ф, X, V, Т для точки падения (у = 0),
произведена интерполяция для угла ср, пользуясь вторыми разностями,
а для остальных величин, пользуясь найденным значением ср.
5) Суммирование величин $я и тп дает величины хп и tn‘, при этом
поправки -1-Д2$л оказываются настолько малыми, что для большей
части таблиц они не превышают 1 м в значениях х и 0.001 сек. в зна-
чениях t, т. е. их не было надобности вычислять, тем не менее сле-
дует вычислять разности
Д?_ , Д2;„, Ат и Д2г ,
чтобы по правильности их хода убедиться, что в вычисление не вкра-
лась ошибка;
6) Когда вычислитель производит этот расчет в первый раз, то ве-
личины Ду, Ду следует составлять не в уме, а на отдельном черновом
листке.
7) В нашем примере величина q выражается четырьмя или тре-
мя значащими цифрами, относящимися к пятому знаку логарифма
величины и или v, которые нам только и нужны; таким образом,
при вычислении выигрывается один знак, иными словами, точ-
ность его удесятеряется; благодаря этому в тех случаях, когда осо-
бой точности не требуется, величины q и ш можно вычислять, пользу-
ясь логарифмической линейкой и затем и и v — по четырехзначной таб-
лице логарифмов.
Вычисление здесь приведено со всею подробностью, т. е. в том
именно виде, как оно произведено, чтобы по нему можно было с ясно-
стью судить, как следует располагать действия, сколько требуется
работы и какие можно делать сокращения, если довольствоваться ре-
зультатами меныпей точности.
328
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [гл. VII
Вычисление началь
Формулы:
q' = СК (v) tf-f (у) cosec ?,
^ = — 2.30/ —ctg
У" W 4 .
= V-te’-ct8*’
, Л2 „
Уп+х^Уп+^Уп + j Уп •
1 n = 0 л= 1 n = 2 n = 3
IgC cosec f 4~0312 Г.0299 4*. 0280 4".0273
2 Igo 5.8062 5.7833 5.7618 5.7414
lgK(®) 2Л465 2.5502 2*. 5534 F.5565
Igf (У) 0.0000 Г.9910 Г.9825 Г.9745
0.3839 0.3544 0.3263 0.2997
Яп 2.420 2.260 2.119 1.993
ЯпК 0.01056 0.00985 0.00923 0.00870
-2.30 qa — 5.70 — 5.20 — 4.87 — 4.58
~ Ctg 7л — 0.70 — 0.69 — 0.69 — 0.68
v’n vn — 6.27 — 5.89 — 5.56 — 5.26
v'n —5020 -4590 —4280 —3905
bvn: (a-\-bvn) — 1.52 — 1.40 — 1.30 — 1.23
*>'n- vn —12.54 —11.78 —11.12 —10.52
— «»':(! — аУ) — 4.65 — 4.40 — 4.29 — 4.12
— c‘g?n — 0.70 — 0.69 — 0.69 — 0.68
Яп-Яп —19.14 —18.27 —17.40 —16.55
Яп —47.0 —41.3 —36.8 —32.9 ✓
~2 Яп — 0.00045 — 0.00039 — 0.00033 — 0.00030
^«+1 ЯП 0.0102 0.0095 0.0089 0.0084
^un 2.8165 2.8064 2.7969 2.7885
lg cosec f 0.0866 0.0853 0.0840 0.0827
Igo 2.9031 2.8917 2.8809 2.8704
V 800.0 779.3 760.1 742.7
Примечание. Сличая эти величины я и уп с предыдущими, видим, что согла
$ 106]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИИ СНАРЯДА
329
них значений qa, уп, vn.
y' = -^tftctg?; lgС = 5.9446,
</' bv’ j.2о> ay'
<f ~ a-\-bv< v 1 — ay c£?’
, t . , Л» „
h*
h = 0.004363; у = 0.0000095.
Таблица 73
lg J c‘g г 21g» л = 0 п — 1 л = 2 л = 3
2.8535 5.8062 Г. 8495 5.7833 2". 8454 5.7618 2".8414 5.7414
Ъу'п 4.6597 4.6328 4.6072 4.5828
Уп 45 680 42 930 40 460 38250
1&Уп* 2.2995 2.2726 2.2470 2.2226
y'nh 199.3 187.3 176.6 166.9
— ctg? — 0.70 — 0.69 — 0.69 — 0.68
*vn n —12.54 —11.78 —11.12 —10.52
— tgq> — 1.43 — 1.44 — 1.45 — 1.47
Уп ’ Уп —14.67 —13.91 —13.26 —12.67
Уп —671 000 -598 000 —537 000 —484 900
еч — |см — 6.4 — 5.6 — 5.1 — 4.6
Уп+l Уп 192.9 181,7 171,5 162.3
Уп 0.0 192.9 374.6 1 546.1
сие вполне удовлетворительно.
330
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ ГЛ. VII
Вычисление
Интегрирование урав
dq = C-K(v)v*f (у) cosec ? d?;
I II III IV V VI VII VIII IX X
1g — (Ш)-}-
п ? 21g v IgK (V) Igf («/) lg cosec ср lg ctg ? + (IV)+(V)+ + (VI) + A 1g ч л
0 55°00' 5.8062 Т.5465 0.0000 0.0866 Г. 8451 Г. 0237 2.2995 199.3
1 55 15 5.7832 2.5502 Г.9910 0.0853 Г. 8412 Т.9941 2.2725 187.2
2 55 30 5.7616 Т. 5533 Г. 9826 0.0840 Г. 8371 Т.9659 2.2468 176.5
3 55 45 5.7410 Т.5565 Г. 9745 0.0827 Г. 8331 Т.9391 2.2222 166.8 ।
4 56 00 5.7216 Т.5595 Г. 9669 0.0814 Г. 8290 S'. 9138 2.1987 158.0?
5 56 15 5.7032 Т.5622 Г. 9598 0.0802 Г. 8249 Т.8898 2.1762 150.0 :
6 56 30 5.6854 2.5649 Г. 9529 0,0789 Г. 8208 •Г. 1675 2.4553 285.3
7 57 00 5.6524 Т.5700 Г. 9400 0.0764 Г. 8125 Г. 1242 2.4140 259.4 t
8 57 30 5.6222 Т.5746 Г. 9282 0.0740 Г. 8042 2.0844 2.3755 237.4 ‘
9 58 00 5.5940 Т.5788 Т.9173 0.0716 Г. 7958 Т.0471 2.3389 218.2
10 58 30 5.5678 Т.5828 Г. 9071 0.0692 Г. 7873 Т.0121 2.3042 201.5 ’
И 59 00 5.5436 Т.5866 Г. 8978 0.0669 Г. 7788 Т.9803 2,2715 186.9 :
12 59 30 5.5206 Т.5898 Г. 8891 0.0647 Г. 7701 Т.9496 2.2398 173.7 :
13 60 00 5.4990 Т.5916 Г. 8810 0.0625 Г.7614 Т.2205 2.5105 324.0
14 61 00 5.4594 Т.5940 Г. 8661 0.0582 Г. 7438 Т.1641 2.4533 284.0
15 62 00 5.4238 Т.5951 Г. 8530 0.0541 Г. 7257 Т.1124 2.3996 251.0
16 63 00 5.3912 2.5955 Г. 8412 0.0501 U7072 Т.0644 2.3496 223.1/
17 64 00 5.3614 Т.5955 Г. 8308 0.0463 Г. 6882 Т.0203 2.2997 199.4
18 65 00 5.3338 Т.5955 Г.8213 0.0427 Г. 6687 Т.9797 2.2526 178.9
19 66 00 5.3086 Т.5955 Г. 8127 0.0393 Г. 6486 Т.9425 2.2073 161.2
20 68 00 5.2634 Т.5955 Г.7981 0.0328 Г. 6064 Т.1762 2.4209 263.6
21 70 00 5.2238 Т.5849 Г. 7859 0.0270 Г. 5611 Т.1090 3.3360 216.8
22 72 00 5.1900 Т.5681 Г. 7757 0.0218 Г.5118 Т.0430 2.2529 179.0.
23 74 00 5.1606 Т.5518 Г. 7674 0.0172 Г. 4575 Т.9844 2.1692 147.6
24 76 00 5.1340 Т.5278 Г. 7598 0.0131 Г. 3968 Т9221 2.0819 120.8
25 78 00 5.1114 Т.4977 Г. 7544 0.0096 Г. 3275 Т.8605 1.9900 97.7
§ 106]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИИ СНАРЯДА
331
Таблица 74
траектории
нений годографа
dy = — о2 ctg? d'f
XI XII XIII XIV XV XVI XVII XVII] [ XIX XX XXXI XXII
Ди) Д'/ У О) Дсо Д2о> д? 1g и igv=(xx)4- +(VI) V
0.0 0.0
—12.1 1.4 193.1 0.0 1056 — 70 102 2.8165 2.9031 800.0
—10.7 1.0 —0.4 181.7 193.1 986 — 61 9 95 2.8063 2.8916 779.1
— 9.7 0.9 -0.1 171.7 374.8 925 — 56 5 90 2.7968 2.8808 760.0
. ~ 8.8 0.8 —0.1 162.4 546.5 869 — 49 7 84 2.7878 2.8705 742.0
— 8.0 — 154.0 708.9 820 5 80 2.7794 2.8608 725.8
— — 44
— — 146.3 862.9 776 — 76 2.7714 2.8516 710.5
—25,9 271.6 1009.2 1471 — 140 2.7638 2.8427 696.1
3.9 —1.1 248.1 1280.8 1331 —140 24 127 2.7498 2.8262 670.2
—22.0
2.8 -116
—19.2 —0.3 227.3 1528.9 1215 16 117 2.7371 2.8111 647.3
2.5 —100
—16.7 2.1 —0.4 209.4 1756.2 1115 — 87 13 107 2.7254 2.7970 626.6
—14.6 1.4 -0.7 194.1 1965.6 1028 — 72 15 98 2.7147 2.7839 608.0
1 —13.2 — — 180.5 2159.7 956 — 65 7 93 2.7049 2.7718 591.3
— — — 167.5 2340.2 891 — 65 7 86 2.6956 2.7603 575.9
—40.0 7.0 — 302.7 2507.7 1662 —203 7 155 2.6870 2.7495 561.7
—33.0 5.1 —1.9 266.9 2810.4 1459 —164 39 137 2.6715 2.7297 536.7
—27.9 4.2 —0.9 236.5 3077.3 1295 —135 29 123 2.6578 2.7119 515.1
—23.7 3.2 —1.0 210.4 3313.8 1160 —112 23 111 2.6455 2.6956 496.2
—20.5 2.8 -0.4 188.3 3524.2 1048 — 94 18 102 2.6344 2.6807 479.4
— 17.7 — — 169.7 3712.5 954 — 78 16 92 2.6242 2.6669 464.4
— — 292.0 3882.2 876 — 161 2.6150 2.6543 451.1
—46.8 239.3 4174.2 1500 — 140 2.5989 2.6317 428.3
9.0 -215
—37.8 6.4 —2.6 196.3 4413.5 1285 -181 34 117 2.5849 2.6119 409.2
—31.4 4.6 —1.8 162.7 4609.8 1104 — 139 42 101 2.5732 2.5950 393.6
—26.8 3.7 —0.9 143.5 4772.5 965 — 129 10 92 2.5631 2.5803 380.5
—23.1 2.9 —0.8 108.2 4916.0 836 —111 18 78 2.5539 2.5670 369.0
—20.2 —0.8 87.3 5024.6 725 — 90 21 68 2.5461 2.5557 359.5
332
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [гл. VII
I II III IV V VI VII VIII IX X
п 21g v 1g к (V) lg№) lg cosec ? ] lg ctg <p +(Vl)+4 Ig'O
26 80°00' 5.0918 Г. 4668 Г. 7498 0.0066 Г. 2463 3.8024 1.8892 77.5
27 82 00 5.0750 Г. 4402 Г.7463 0.0042 Г. 1478 Г.7531 1.7735 59.4
28 84 00 5.0606 £4174 L7436 0.0024 Г.0216 Г.7114 1.6333 43.0
29 86 00 5.0480 2.3978 Г.7417 0.0011 2.8446 Г.6760 1.4437 27.8
30 88 00 5.0370 г'.звю Г. 7404 0.0003 2.5431 Г6461 1.1312 13.5
31 90 00 5.0278 Г.3670 L7400 0.0000 —со 3.6222 —оо 0.0
32 92 00 5.0202 2.3558 Г. 7403 0.0003 2.5431 3.6040 1.1144 13.0
33 94 00 5.0138 £3462 Г.7418 0.0011 Г 8446 3.5903 1.4095 25.7
34 96 00 5.0088 Г. 3386 Г.7432 0.0024 Г. 0216 Г. 5802 1.5813 38.1
35 98 00 5.0050 2.3334 Г. 7456 0.0042 Г. 1478 3.5756 1.7039 50.6
36 100 00 5.0022 £3290 Г.7485 0.0066 Г. 2468 3.5737 1.8001 63.1
37 102 00 5.0006 2.3266 Г.7522 0.0096 Г. 3275 Г.5764 1.8792 75.7
38 104 00 5.0000 Г.3258 Г.7565 0.0131 Г. 3968 3.5828 1.9479 88.8
39 106 00 5.0006 7.3266 Г. 7614 0.0172 Г. 4575 Т.5932 2.0092 102.1
40 108 00 5.0020 2.3290 Г.7670 0.0218 Г.5118 3.6072 2.0649 116.1
41 ПО 00 5.0042 Г 3322 Г 7733 0.0270 Г. 5611 £6241 2.1164 130.7
42 112 00 5.0072 2.3366 Г.7805 0.0328 Г. 6064 Г. 6445 2.1647 146.1
43 114 00 5.0112 Г. 3422 Г. 7884 0.0393 Г. 6486 Г.6685 2.2109 162.5
44 116 00 5.0156 2.3490 Г.7971 0.0463 Г. 6882 3.6954 2.2549 178.8
45 118 00 5.0210 Г. 3570 Г. 8067 0.0541 Г.7257 Т.7262 2.2978 198.5
46 120 00 5.0268 7.3654 Г. 8172 0.0625 Г.7614 Г.7593 2.3393 218.4
47 122 00 5.0330 7.3750 Г. 8288 0.0716 Г.7958 £7958 2.3799 239.8
48 124 00 5.0396 73850 Г. 8415 0.0814 Г. 8290 Г.8349 2.4197 262.9
49 126 00 5.0464 7.3954 Г. 8550 0.0920 Г. 8613 3.8762 2.4588 287.6
50 128 00 5.0534 7.4062 Г. 8697 0.1035 Г. 8928 Г. 9202 9.4973 314.3
51 130 00 5.0606 7.4174 Г.8858 0.1158 Г. 9238 Г. 9670 2.5355 343.2
52 132 00 5.0672 7.4278 Г. 9032 0.1289 Г. 9544 2.0145 2.5727 373.6
53 134 00 5.0738 7.4382 Г.9219 0.1431 Г.9848 Г.0644 2.6097 407.1
54 136 00 5.0794 7.4470 Г. 9426 0.1482 0.0152 2.1146 2.6457 442.3
55 138 00 5.0844 7.4549 Г. 9644 0.1745 0.0456 2.1656 2.6811 479.8
56 140 00 5.0866 7.4617 Г. 9876 0.1919 0.0762 £.2172 2.7159 519.9
57 142 00 — — — 1 — — — — —
§ 106]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИИ СНАРЯДА
333
Таблица 74 (продолжение)
XI XII XIII XIV XV XVI XVII XVI11 XIX XX XXI XXII
Д1} Д^ Д</ У Дш Д2'д> д? 1g « 1B^(<vX?+ V
—18.1 —16.4 —15.2 — 14.3 —13.5 —13.0 —12.7 —12.4 —12.5 —12.5 —12.6 —13.0 —13.4 -14.0 —14.6 -15.4 — 16.4 —17.3 —18.7 —19.9 —21.4 —23.1 —24.7 —26.7 —28.9 —30.6 —33.3 —35,2 -37.5 —40.1 2.1 1.7 1.2 0.9 0.8 0.5 0.3 0.3 —0.1 —0.0 —0.1 -0.4 —0.4 -0.6 —0.6 —0.8 —1.0 —0.9 —1.4 —1.2 —1.5 — 1.7 — 1.6 —2.0 —2.2 —1.7 —2.7 — 1.9 —2.3 -2.6 о о о’ 2 S о I I I I | 1 1 I I I I I I I I I I I | I | | || 68.2 51.9 35.4 20.6 6.6 — 6.4 — 19.4 — 32.0 — 44.2 — 56.8 — 69.4 — 82.0 — 95.3 —108.8 —123.4 -138.3 —154.1 —171.1 —188.9 —208.5 -228.9 -251.1 —275.2 —300.6 —328.5 —358.7 —389.8 —424.9 —460.7 —499.5 —541.1 5111.9 5180.1 5232.0 5267.4 5288.0 5294.3 5287.9 5268.5 5236.5 5192.3 5135.5 5066.1 4984.1 4838.8 4780.0 4656.6 4518.3 4364.2 4193.1 4004.2 3795.7 3566.8 3315.7 3040.5 2739.9 2411.4 2052.7 1662.9 1238.9 777.3 277.8 263.3 635 566 515 474 443 419 402 389 380 376 375 377 382 392 405 421 441 466 496 532 575 625 684 752 832 927 1034 1160 1302 1464 1649 —69 —51 —31 —24 —17 —13 — 9 — 4 — 1 2 5 10 13 16 20 25 30 36 43 50 59 68 80 95 107 126 142 162 185 21 18 10 10 7 7 4 4 5 3 3 3 5 3 3 4 5 5 6 7 7 9 9 12 15 12 19 16 20 23 60 54 50 47 43 41 40 38 37 38 38 38 38 39 41 43 45 48 51 55 60 65 72 79 88 98 109 123 138 153 175 2.5393 2.5333 2.5279 2.5229 2.5182 2.5139 2.5098 2.5058 2.5020 2.4933 2.4945 2.4907 2.4869 2.4831 2.4792 2.4751 2.4708 2.4663 2.4615 2.4564 2.4509 2.4449 2.4384 2.4312 2.4233 2.4145 2.4047 2.3938 2.3815 2.3677 2.3524 2.3349 2.5459 2.5375 2.5303 2.5240 2.5185 2.5139 2.5101 2.5069 2.5044 2.5025 2.5011 2.5003 2.5000 2.5003 2.5010 2.5021 2.5036 2.5056 2.5078 2.5105 2.5134 2.5165 2.5198 2.5232 2.5267 2.5303 2.5336 2.5369 2.5397 2.5422 2.5443 2.5456 351.5 344.8 339.1 334.2 330.0 326.5 323.7 321.3 319.4 318.1 317.0 316.4 316.2 316.4 317.0 317.8 318.9 320.3 322.0 324.0 326.1 328.5 331.0 333.6 336.3 339.1 341.7 344.3 346.5 348.5 350.2 351.2
334
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (гл. УП
Вычисление
Вычисление координат х, у
dx = — dy = — ctg ? a?,
I II III IV V VI VII VIII IX X
n 9 V Av) У lg« 5
0 55°00' 800.0 199.3 0.0 2.4543 284.7
1 55 15 779.1 187.2 —12.1 —10.7 1.4 193.1 181.7 193.1 2.4313 2.4097 270.0 256.9
2 55 30 760.0 176.5 1.0 374.8
3 55 45 742.2 166.8 — 9.7 0.9 171.6 546.4 2.3891 245.0
4 56 00 725.8 158.0 — 8.8 — 8.0 0.8 162.3 154.0 708.7 2.3697 2.3513 234.3 224.5
5 56 15 710.5 150.0 862.7
6 56 30 696.1 285.3 —25.9 — 146.3 272.0 1009.0 1281.0 2.6345 2.6015 431.0 399.5
7 57 00 670.2 259.4 3.9
8 57 30 647.3 237.4 —22.0 —19.2 2.8 248.2 228.0 1529.2 1757.0 2.5713 372.7 349.2
9 58 00 626.6 218.2 2.5 2.5431
10 58 30 608.0 201.5 —16.7 2.1 209.7 1966.7 2.5169 328.8
11 59 00 591.3 186.9 —14.6 —13.2 1.4 194.1 180.5 2160.8 2.4927 311.0 294.9
12 59 30 575.9 173.7 2341.3 2.4697
167.7 561.4
13 60 00 561.7 324.0 — 2509.0 2.7491
61 00 536.7 284.0 -40.0 7.0 303.4 2812.3 2.7095 512.3
1 15 62 00 515.1 251.0 —33.0 5.1 267.1 3079.5 2.6739 472.0
16 63 00 496.2 223.1 —27.9 4.2 236.7 3316.2 2.6413 437.8
17 64 00 479.4 199.4 —23.7 3.2 211.0 3527.0 2.6115 408.8
18 65 00 464.4 178.9 —20.5 — 188.9 3715.9 2.5839 383.6
19 66 00 451.1 322.4 — 170.0 3885.9 2.8597 724.0
20 68 00 428.3 263.6 — 8.0 12.0 292.0 4177.9 2.8145 652.4
21 70 00 409.2 216.8 —46.8 9.0 239.4 4417.3 2.7749 595.5
22 72 00 393.6 179.0 —37.8 6.4 197.4 4614.7 2.7411 551.0
23 74 00 380.5 147.6 —31.4 4.6 162.9 4777.6 2.7117 514.9
24 76 00 369.0 120.8 —26.8 3.7 143.9 4921.5 2.6851 484.3
25 78 00 359.5 97.7 —23.1 2.9 109.0 5030.5 2.6625 459.7
26 80 00 351.5 77.5 —20.2 2.1 87.4 5117.9 2.6429 439.4
27 82 00 344.8 59.4 —18.1 1.7 68.4 5186.3 2.6261 422.8
28 84 00 339.1 43.0 —16.4 1.2 51.1 5237.4 2.6117 409.0
9 —15.2 35.3
§ 106]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИИ СНАРЯДА
335
Таблица 75
траектории
и времени полета t
v
dt = — cosec у • d?
S
XI XII XIII XIV XV XVI XVII XVIII XIX XX
Дс Sx X lgT г Дт д/ t
— 14.7 277.3 0.0 Г. 6378 0.434 — 12 п 0.428 0.000
— 13.1 1.6 263.4 277.3 Г. 6250 0.422 — 12 и 1 0.416 0.428
— 11.9 1.2 250.9 540.7 1.6129 0.410 — 11 1 0.404 0.844
—10.7 1.2 239.6 791.6 1.6013 0.399 — 10 1 1 0.394 1.248
— 9.8 0.9 229.4 1031.2 1.5903 0.389 — 9 1 0.384 1.642
— 220.0 1260.6 1.5799 0.380 — 0.375 2.026
-31.5 —26.8 —23.5 —20.4 —17.8 —16.1 4,7 3.3 3.1 2.6 1.7 415.0 385.8 360.7 338.6 319.8 303.2 1480.6 1895.6 2281.4 2642.1 2980.7 3300.2 1.8707 Г.8517 Г. 8342 Г. 8177 Г. 8022 Г. 7878 0.743 0.711 0.683 0.657 0.634 0.614 СЧ 00 С© со о о СО СЧ СЧ О) СЧ О) 1 1 1 1 1 1 4 2 3 3 0 0.727 0.697 0.670 0.645 0.624 0.604 2.401 3.128 3.825 4.495 5.140 5.764
— — 287.5 3603.7 Г 7741 0.594 — 0.584 6.368
—48.9 — 536.0 3891.2 0.0621 1.154 — 62 Q 1.122 6.952
—40.3 8.6 591.7 4427.2 0.0380 1.092 — 54 О с 1.065 8.074
—34.2 —29.0 6.1 5.2 454.5 423.0 5018.9 5473.4 0.0161 Г. 9958 1.038 0.990 — 48 — 41 0 7 о 1.013 0.969 9.139 10.152
—25.2 3.8 396.4 5896.4 0.9771 0.949 — 38 о 0.932 11.121
— — 372.6 6292.8 Г 9597 0.911 — 0.893 12.053
—71.6 — 687.0 6665.4 0.2447 1.757 — 114 90 1.698 12.946
-56.9 14.5 622.9 7352.4 0.2156 1.643 — 94 17 1.595 14.644
—44.5 12.4 572.5 7975.3 0.1900 1.549 — 77 13 Q 1.510 16.239
—36.1 8.4 532.5 8547.8 0.1679 1.472 — 64 1.439 17.749
—30.6 5.5 499.1 9080.3 0.1486 1.408 — 55 У о 1.380 19.188
—24.6 6.0 471.7 9579.4 0.1312 1.353 — 46 *7 я 1.329 20.568
—20.3 4.3 449.3 10051 0.1164 1.307 — 38 о 7 1.287 21.897
— 16.6 3.7 430.9 10500 0.1036 1.269 — 31 А 1.254 23.184
—13.8 2.8 415.8 10931 0.0928 1.238 — 25 и 4 1.225 24.438
— 11.7 2.1 403.1 11374 0.0838 1.213 — 21 1.202 25.663
336 ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ гл. VII
I 11 III IV V VI VII VIII IX X
п Т V Ai) Ду У ig е
29 86°00' 334.2 27.8 -14.3 0.9 20.6 5272.7 2.5991 397.3
30 88 00 330.0 13.5 —13.5 0.8 6.7 5293.3 2.5881 387.4
31 90 00 326.5 — —13.0 0.5 — 6.5 5300.0 2.5789 379.2
32 92 00 323.7 — 13.0 —12.7 0.3 — 19.4 5293.5 2.5713 372.7
33 94 00 321.3 — 25.7 —12.4 0.3 — 31.9 5274.1 2.5649 367.2
34 96 00 319.4 — 38.1 —12.5 0.1 — 44.3 5242.2 2.5599 363.0
35 98 00 318.1 — 50.6 —12.5 0.0 — 56.8 5197.9 2.5561 359.8
36 100 00 317.0 — 63.1 —12.6 0.1 — 69.4 5141.1 2.5533 357.5
37 102 00 316.4 — 75.7 —13.0 0.4 — 82.2 5071.7 2.5517 356.2
38 104 00 316.2 — 88.7 —13.4 0.4 — 95.4 4989.5 2.5511 355.7
39 106 00 316.4 —102.1 —14.0 0.6 —109.1 4894.1 2 5517 356.2
40 108 00 317.0 —116.1 —14.6 0.6 -123.3 4785.0 2.5531 357.4
41 ПО 00 317.8 —130.7 —15.4 0,8 —138.3 4661.7 2.5553 359.2
42 112 00 318.9 -146.1 —16.4 1,0 —154.2 4523.4 2.5583 361,7
43 114 00 320.3 —162.5 — 17.3 0.9 —171.0 4369.2 2.5623 365.0
44 116 00 322.0 —179.8 —18.7 1.4 -189:0 4198.2 2.5667 368.7
45 118 00 324.0 —198.5 -19.9 1.2 —208.4 4009.2 2.5721 373.3
46 120 00 326.1 —218.4 —21,4 1.5 —229.0 3800.8 2.5779 378.4
47 122 00 328.5 —239.8 —23.1 1.7 —251.3 3571.8 2.5841 383.8
48 124 00 331.0 —262.9 —24.7 1.6 —275.0 3320.5 2.5907 389.7
49 126 00 333.6 —287.6 —26.7 2.0 —300.7 3045.5 2.5975 395.8
50 128 00 336.3 —314.3 —28.9 2.2 —328,7 2744.8 2.6045 402.3
51 130 00 339.1 —343.2 —30.6 1.7 —358.3 2416.7 2.6117 409.0
52 132 00 341.7 —373.8 —33.3 2.7 -390.3 2058.4 2.6183 415.2
53 134 00 344.3 —407.1 —35.2 1.9 —424.5 1668.1 2.6249 421.6
54 136 00 346.5 —442.3 —37.5 2.3 —460.9 1243.6 2.6305 427.1
55 138 00 348.5 —479.8 —40.1 2.6 —499.5 782.7 2.6355 432,0
56 140 00 350.2 —519.9 — —541.1 283.2 2.6397 436.2
57 142 00 351.2 — —257.9 —* —
Точка падения.
Наклонность Ф= 140° 4- а • 120'= 141 °3'.9.
Скорость И = 350.5 м сек.
Дальность X = 21 956 -f- 436 а = 22 188 м.
Время полета Т = 63.075 -р 1.940 а = 64.108 сек.
§ 106]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИИ СНАРЯДА
337
Таблица 75 (продолжение)
XI XII XIII XIV XV XVI XVII XVIII XIX XX
ДЧ Дх X 1g* т Дг Д2г М t
—9.9 —8.2 —6.5 —5.5 —4.2 —3.2 —2.3 —1.3 —0.5 0.5 1.2 1.8 2.5 3.3 3.7 4.6 5.1 5.4 5,9 6.1 6.5 6.7 6.2 6.4 5.5 4.9 4.2 1.8 1.7 1.7 1.0 1.3 1е0 0.9 1.0 0.8 1.0 0.7 0.6 0.7 0.8 0.4 0.9 0.5 0.3 0.5 0.2 0.4 0.2 —0.5 0.2 —0.9 —0.6 —0,7 392.3 383.1 375.9 369.9 365.2 361.5 358.7 356.9 356.0 355.9 356.8 358.3 360.5 364.4 366.9 371.0 375.9 381.1 386.7 397.8 399.1 405.6 412.1 418.4 424,3 429.5 434.1 438.0 11750 12142 12525 12901 13271 13636 13997 14356 14713 15069 15325 15682 16040 16400 16764 17121 17492 17868 18249 18636 19034 19433 19839 20251 20669 21093 21552 21956 0.0762 0.0699 0.0650 0.0615 0.0591 0.0579 0.0578 0.0588 0.0610 0.0642 0.0686 0.0739 0,0802 0.0875 0.0960 0.1052 0.1157 0,1270 0.1392 0.1523 0.1663 0.1813 0.1972 0.2136 0.2311 0.2490 0.2678 0.2873 1.192 1.175 1.161 1.152 1.146 1.143 1.142 1.145 1.151 1.159 1.171 1.185 1.203 1.223 1.247 1.274 1.305 1.340 1.378 1.420 1.467 1.518 1.575 1.635 1.703 1.774 1.853 1.938 —17 —14 — 9 — 6 — 3 —• 1 3 6 8 12 14 18 2° 24 27 31 35 38 42 47 51 57 60 68 71 79 85 4 3 5 3 3 2 4 3 2 4 2 4 2 4 3 4 4 3 4 5 4 6 3 8 3 8 6 1.183 1.168 1.156 1.149 1.144 1.143 1.143 1.148 1.155 1.165 1.178 1.194 1.213 1.235 1.260 1.290 1.323 1.359 1,399 1.443 1.493 1.546 1.605 1.669 1.739 1.814 1.896 1.984 26.865 28.048 29.216 30.372 31.521 32.665 33.808 34.951 36.099 37.254 38.419 39.597 40.791 42.004 43.239 44.499 45.789 47.112 48,471 49.870 51.313 52.806 54.352 55.957 57.626 59.365 61,179 63.075 65.159
0 = 283.2 — 541.1а — 41.6—------
2
а = 0.5326
22 А Н. Крылов.
338
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (Гд. Vft
Прибавление к таблице 74
УдВвение промежутков
п •п Д1) Д*7) Д3^ А? О) Д2ш Д3Ю д?
0 393.6 —45.6 0.02112 —^262
2 ' 4 353.0 —37.0 8.6 —2.3 1850 —210 52 —И
316.0„ —30.7 6.3 —2.5 1640 —169 41 —12
6 285.3 259.4 —25.9 4.8 271.5 1471 —140 29 0.0140
7 - 248.1 1331 ' 127
518.8. -82.4 19.8 2662 —432
9 436*4 -62.6 —7.0 2230 —318 114 68 —46
11 373.8' —49.8 12.8 —3.0 1912 —250 —21
13 324.0 —40.0 9.8 —2.8 302.7 1665 —20^ 47 — 8 155
14 284.0 —33.0 7.0 —1.9 266.9 1459 —164 39 —10 137
15 251.0 —27.9 5.1 236*5 1295 —135 29 123
16 223*1 210.4 1120 111
13 648 —146 3324 —7^4
15 502 , — 103.2 ,42.8 —16.0 2590 —494 240 —90
17 398.8 : 76.4 26.4 —9.2 2096 -344 150 —58
19 322.4 17.6 292.0 1752 92
263.6-• -ь- 58.8 —5.6 -252 —55 161
20 — 46.8 12.0 —3.0 239.3 1500 —215 37 — з' 140
21 216.8 9.0 196.3 1285 34 ।
— 37.8 —2.6 —1В1 8 117
22 179.0 — 31.4 6.4 162.7 1104 —139 42 101
23 147.6 143.5 ' ‘ 965 92
$ foe]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИИ СНАРЯДА
339
Таблица 76
Общая сводка
п е V X У t п 0 V X У t
0 35°00' 800.0 0.0 0.0 0.000 29 4°00' 334.2 11750 5267.4 26.865
1 54 45 779.1 277.3 193.1 0.428 30 2 00 330.0 12142 5288.0 28.048
2 34 30 760.0 540.7 374.8 0.844 31 0 00 326.5 12525 5294.3 29;216
3 34 15 742.2 791.6 546.5 1.248 32 — 2 00 323.7 12901 528^.9 30.372
4 34 00 725.8 1031.2 708.9 1.642 33 —• 4 00 321x3 182? 1 5268.5 31.521
5 33 45 710.5 1260.6 862.9 2.026 34 — 6 00 319.4 13636 5236.3 32.665
6 Зз 30 696.1 1480.6 1009.2 2.401 35 — 8 00 318.1 13997 9192.3 33.808
7 33 00 670.2 1895.6 1280.8 3.128 36 — 10 00 317.0 14356 5135.5 34.951
8 32 30 647.3 2281.4 1528.9 3.825 37 — 12 00 316.4 14713 5066.1 36.099
9 32 00 626.6 2642.1 1756.2 4.495 38 —14 00 316.2 15069 4984.1 37.254
10 31 30 608.0 2980.7 1965.6 5.140 39 —16 00 316.4 f532S 4888.8 38.419
И 31 00 591.3 3300.5 2159,7 5.764 40 —18 00 317.0 15682 4780.0 39.527
12 30 30 575.9 3603.7 2340.2 6.368 41 —20 00 317.8 16040 4656.6 40.791
13 30 00 ‘ 561.7 3891.2 2507.7( ,6.952 42 — 00 318,9 16400 4518.3 42.004
14 29 00 536.7 4427.2 2810.4 8.074 43 —24 00 320.3 16764 4364.2 43.239
15 28 00 515.1 5018.9 3077.3 9.139 44 —26 00 322.0 17121 4193.1 44.449
16 27 00 496.2 5473.4 3313.8 10.152 45 —28 00 324.0 17492 4004.2 45.789
17 26 00 479.4 5896.4 3524.2 11.121 4б —30 00 326.1 17868 3795.7 47.112
J8 25 00 464.4 6292.8 3712.5 12.053 47 —32 00 328.5 18246 3566.8 48.471
19 24 00 451.1 6665.4 3882.3 12.946 48 -34 00 331.0 18636 3315.7 49.870
20 22 00 428.3 7352.4 4174.2 14.644 49 -36 00 333.6 19034 3040.5 51.313
21 20 00 409.2 7975.3 4413.5 16.239 50. —38 00 336.3 19433 2739.9 52.806
22 18 00 393.6 8547.8 4609.8 17.749 51 —40 00 339.1 19839 2411.4 54.352
23 16 00 380.5 9080.3 4772.5 19.188 52 \ —42 00 у 341.7 20251 2052.7- 55.957
24 14 00 369.0 9579.4 48116.0 20.568 53- —44 00 344.3 20669 1662.9 57.626
25 12 00 359.5 10051 5024.6 21.897 54 —46 00 346.5 21093 1238.0 59.365
26 10 00 351.5 10500 5111,9 23 Л 84 55 —48 00 348.5 21552 ,777.3 61.179
27 8 00 344.8 10931 5180.1 24.438 56 —50 00 350.2 21956 277.8 63.075
28 6 00 339.1 11347 ч 5232.0 25.663 57 —52 00 351.2 —263.3 65.159
22*
Дальность 22 188 м.
Угол падения 51 °3'. 9.
Скорость 350. f mJ сек
Время полета 64.108 сей
340
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [ГЛ. VII
§ 107. Мы уже упоминали, что метод Адамса был им развит для
определения формы меридионального сечения капли тяжелой жидкости,
лежащей на горизонтальной плоскости.
Общее уравнение граничащей капиллярной поверхности есть
где z есть вертикальная ордината точки поверхности, р] и р2 — главные
радиусы кривизны в этой точке, а2 — некоторая постоянная для данной
жидкости, имеющая, размерность длины.
В нашем случае граничащая поверхность есть поверхность вращения
около вертикальной оси, т. е. оси z, направленной вниз. ,.
Для каждой точки такой поверхности один из главных рддйусов
кривизны есть радиус кривизны меридиана в этой точке, примем его
за Р1; второй радиус кривизны р2 равен отрезку нормали в рассматри-
ваемой точке, заключенному между этою точкой и осью вращения.
Обозначая через г радиус параллели, проходящей через рассматривае-
мую точку, и через ср — угол между нормалью и осью z> будем иметь:
__ г
?2 sin?
и, следовательно, наше уравнение будет:
(2)
иначе
1 ___________________________2ж sin ч
Р1 “ «2 г •
Но, так как вообще dz=dssincp, dr ="</$• cos<р, где ds есть”диффе-
ds
ренциал дуги меридиана и р( =? —, то будет:
и т
dz = Pi sin <р dtp, dr = pi coscpdcp. (3)
Приняв ср за переменную независимую и обозначая производные знач-
ками, мы видим, чтб наш вопрос приведен к интегрированию следую-
щей системы уравнений:
, . . 1 2л sin -о г. , л <
z'=p1sincp, r'=picoscp, где —=-^-------------—. (4>
Нетрудно видеть,
чин. z, р, г и а, и их
что эти уравнения однородны относительно вели-
можно написать в таком виде:
/я\ /Р4 \ . л fry /Pi \ 1 л (*\ sin?
I — ) = ( — J sin cp\ (—)=( — ) cos <p, 7—;=2-------
\az \a ! T \a J \a / T f Pi \ \aJ I LX
\ a / \a/
следовательно, г, г й рг можно выражать в долях а, иными словами,
можно без ущерба общности полагать а=1 и рассматривать систему
zr = Pi sincp, rr = picoscp, -~=2z--—r. (5)
! Г1 •
! В верхней точке капли, которая, очевидно, лежит на оси вращёния,
будет <р=0, значитэ начальные условия будут: при ср = 0 должно быть
г=0 и z = b9 где b — некоторая постоянная.
§ 107]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ФОРМЫ КАПЛИ
341
Так как при* бесконечно малом ср будет и г бесконечно малое, то
следовательно, при ср=О будет: -! = />.
Для численного примера возьмем тот случай, когда /> = 1, и, по-
ложив C=z'A, X — r’h, где h есть избранный промежуток между смеж-
ными значениями <р, который принимаем за 5° = 0.087266, располагаем
наше вычисление как приведено ниже, выполняя его логарифмической
линейкой (50 см длины).
Для получения исходных значений гиг проще всего разложить z
и г по степеням ср, что выполним так: легко видеть что pi есть четная
функцйя угла ср; поэтому ^полагаем р! = 1 аср24~ рср44~-...; тогда
Pi sin ср = ср 4-(a — -11)<р3-|_ (р — _^_a+lj)<p5+...,
P,coscp = l-|- (a— -L) (р2_|_ (р _ 2-a+ ^<Р4 + ---
Следовательно, ввиду условий, что при ср = 0 должно быть z=l и
г = 0, на основании уравнения (5), имеем:
z= 1 Ч ^"4 24) ("6 ^6 Ч"72о)(Р6+- • • ’
г = ? + (т-- 4") *Р3+ (4- —R1 + Ео)?8+ * • •
Затем имеем:
2rz-sincp=cp + (-|-a+-|-') тз+^а4__2_р_^ <р5 + ...
(2rz — s i п ср) р! = ср + ^-1 а 4-1 + a'j срз+а 4-1 а2 +1-р _ <рб .
Приравнивая эту последнюю величину величине г, получаем для
определения неизвестных коэффициентов аир уравнения
5.5 1 1 7 е . 22 . 2 2 29 1 0 1 . 1
3 a + 6 — 3 a 6 • 5 Р ' 15аЧ“ 3 а 120— 5 * 10аЧ~ 120’
которые дают a = — т- ₽ имеем: . 7 __ 1__ “ 8 * Таблица 77
Подставляя, я <р X г Р1
-6 — ь- 1 II 1 tol сл ьэ| И с -6 -А 1 | 80 + -F'?4 "4 4 48* и 1 31 5 1 Ьт20'₽ Н 720* •••’ (6) 0° 5 10 15 1.0000 1.0038 1.0150 1.0332 0.0000 0.0870 0.1723 0.2546 1.0000 0.9943 0.9780 0.9527
Полагая в этих выражениях последовательно ср = О°, 5°, 10°, 15°,
т. е. делая ср равным 0; 0.087266; 0.17453; 0.26180, получаем таблицу 77
исходных значений, имея которые и, продолжаем вычисление по общей
схеме, приведенной ниже, в таблице 78.
Таблица 78
Вычисление формы капли
Интегрирование системы:
1 sin ?
dx = ptsin ?-а?, dr~ ptcos <p-dft —-=2л ———
Начальные условия: при ? = 0 должно быть: г = 0, л = Г.
sin ? COS^P Г 2ж sin ? 1 = Pi = 2ж — sin ? ~~ г Z Ьх с Д2? г Дг X АХ Д2Х По табл. Башфорда
г т X
0е 0.0000 1.0000 0.0000 2.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.000 0.0000 0.00 0.00 0.0000 0.000 0.0873 0.00 0.00 0.00000 1.00000
0.038 0.76 0.870 —0.09
5 0.0872 0.9962 0.0870 2.0076 1.0023 1.0053 1.0038 0.112 0.0076 0.72 -0.04 0.0870 0.853 0.0864 —0.24 —0.15 0.08699 1.00379
10 0.1736 0.9848 0.1723 2.0300 1.0075 1.0225 1.01.50 0.182 0.0148 0.67 —0.05 0.1723 0.823 0.0840 —0.37 —0.13 0.17236 1.01502
15 0.2588 0.9659 0.2546 2.0664 1.0165 1.0499 1.0332 0.246 0.0215 0.59 -0.08 0.2546 0.781 0.0803 -0.49 —0.12 0.25462 1.03324
20 0.3420 . 0.9397 0.3327 2.1156 1.0279 1.0877 1.0578 0.301 0.0274 0.51 -0.08 0.3327 0.724 0.0754 -0.56 —0.07 0.33255 1.05779
25 0.4226 0.9063 0.4051 2.1758 1.0432 . 1.1326 1.0879 0.347 0.0325 П.43 -0.08 0.4051 0.661 0.0698 —0.60 —0.04 0.40523 1.08787
30 0.5000 0.8660 0.4718 2;2452 1.0597 1.1855 1.1226 0.385 0.0368 0.34 —0.09 0.4718 0.606 0.0638 —0.65 -0.05 0.47203 1.11262
35 0.5736 0.8192 0.5324 2.32?2 1.0764 1.2458 1.1611 0.415 0.0402 0.28 -0.06 0.5324 0.540 0.0574 -0.62 0.03 0.53260 1.16117
40 0.6428 0.7660 0.5864 2.4050 1.0963 1.3087 1.2026 0.442 0.0430 0.18 -0.10 0.5864 0.482 0.0512 —0.64 —0Д)2 0.58681 1.20274
45 0.7071 0.7071 0.6346 2.4934 1.4142 1.3792 1.2467 0.453 0.0448 0.12 -0.06 0.6346 0.415 0.0448 —0.J60 0^04 0.63469 1.24658
ЪО 0.7660 0.6428 0.6761 2.5840 1.1330 1.4510 1.2'920 0.461 0.0460 0.08 —0.04 0.6761 0.359 0.0388 -0.60 0.00 0.67636 1.29203
Ъ5 0.В192 0,5736 0,7120 2.6762 1.1507 1.5255 1.3381 0.470 0.0468 0.04 —0.04 Q.7120 0.2.8 О.0ЭД$ -0.54 0Л)6 0.71206 1.33851
60 0.8660 0.5000 0.7418 2.7702 1.1678 1.6024 1,3851 0.472 0.0472 -0.03 -0.07 0.7418 0.250 0.0274 -0.55 —0.01 0.74203 1.38552
*65 0.9063 0.4226 0.7668 2.8646 1.1821 1.6824 1.4323 0.470 0.0469 —0.04 -0.01 0.7668 0.192 0.0219 -0.50 0.05 0.76656 1.43261
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (гл. уц
70 0.9397 0.3420 0.7860 2.9586 1.1956 1.7630 1.4793 0.463 0.046b —0.08
75 0.9659 0.2588 0.8006 3.0512 1.2068 1.8444 1.5256 0.451 0.0457 -0.10
80 0.9848 0.1736 0.8104 3.1414 1.2149 1.9265 1.5707 0.0447 —0.14
0.441
85 0.9962 0.0872 0.8164 3.2296 3.3148 1.2204 2.0092 1.6148 0.0433 —0.16
0.426
90 1.0000 0.0000 0.8182 1.2225 2.0923 1.6574 0.0417 —0.17
3.3968 0.410
95 0.9962 —0.0872 0.3164 1.2204 2.1764 1.6984 0.0400 -0.20
3.3748 0.390
100 0.9848 —0.1736 0.8112 1.2142 2.2606 1.7374 0.0380 —0.21
3.5486 0.369
105 0.9659 —0.2588 0.8030 1.2027 2.3459 1.7743 0.0359 —0.22
0.348
НО 0.9397 —0.3420 0.7919 3.6182 1.1868 2.4314 1.8091 0.0337- -0.24
0.324
115 1.9063 —0.4226 0.7786 3.6836 3.7432 1.1663 2.5167 1.8415 0.0313 —0.24
0.301
120 0.8660 —0.5000 0,7628 1.1372 2.6060 1.8716 0.0289 —0.25
0.277,
125 0.8192 —0.5736 0.7453 3.7986 3.8488 1.0992 2.6994 1.8993 0.0264 —0.25
0.251
130 0.7660 —0.6428 0.7260 1.0554 2.7934 1.9244 0.0239 —0.25
0.227
135 0.7071 —0.7071: 0.7052 3.8942 1.0030 2.8912 119471 0.0214 -0.26
0.201
140 0.6428 —0.7660 0.6833 3.9342 0.9407 2.9935 ’ 1.9672 0.0188 —0.26
0.175
145 0.5736 0.5000 —0.8192 0,6606 3.9694 0.8727 3.0967 1.9847 0.0162 —0.26
0.149
150 —0.8660 0.6373 3.9992 0.7847 0.690© 3.2145 1.3996 0.0136 —0.25
0.123
155 0.4226 —0.9063 0.6137 4.0238 3.3338 2.0119 0.0111 —0.24
0.5822 0.099
160 0.3420 —0.9397 0.5900 4J0436 3.4614 2.0218 0.0087 —0.25
0.075 0.0062
165 0.2588 —0.9659' 0.5664 4.0586 0.4585 3.6001 2.0293 0.050 —0.22
170 175 0.1736 0.0872 —0.9848 0.5433 4.0686 0.3197 3.7488 2.0343 0.030 0.0041 0.0019 —0.22
—0.9962! 0.5206 4.19746 0.1682 3.9064 2.0373 —0.19
180 * 0.008 •
0.0000 —1.0000 0.4989 4.0762 0.0000 4.0762 2.0381 0.0000
-0.04 0.7860 0.146 0.0169 —D.47 0.03 0.78596 1.47939
—0.08 0.8006 0.098 0.0122 —0.43 0.04 0.80052 1,52552 1.57070
—0.04 0.8104 0.060 0..0079 0.02 0.81055
—0.41
-0.02 0.8164 0.0038 0.03 0.81635 1.61466
0.018 —0.38 1.65717
—0.0i; 0.8182 -0.019 0.0000 —0.35 0.03 0.81822-
1.69802
—0.03 0.8164 —0.052 —0.0035 —0.32 0.03 0.81645
—O.Of 0.8112 —0.082 —0.0067 —0.30 0.02 0.81133 1.73702
—0.01 0.8030 —о.ш —0.0097 —0.26 0.04 0.80314 1.77401
-0.02 0.7919 —0.134 —0.0123 —0.24 0.02 0.79216 1.80886
—0.00 0.7786 —0.158 —0.0147 -0.20 0.04 0.77868 1.84143
-0.01 0.7628 —0.175 —0.0167 —0.18 0.02 0.76297 1.87162
0.00 0.7453 —0.193 —0.0185 -0.16 0.02 0.74531 1.89935 1.92456
о.ов 0.7260 —0.208 —J0.0201 -0.13 0.03 0.72598
1.94720
-0.01 0.7052 —0.219 —0.0214 —0.09 0.04 0.70525
1>96723
0.00 0.6833 —0.225 —0.0223 —0.07 0.02 0.68339
с 1198467
0.00 016608 —0.235 —0.0230 —0.05 0.02 0.66068
1.99952
- 0.01* 0.6373 —0.236 —0.0235 —0.02 0.03 0.63738’
0.01 0.6137 —0.237 —0.0237 0.01 о.оз 0.61375 2.01183
-
0.00 0.5900 —0.236 —0.0236 0.03 0.02 0.59003 2.02466
0.56647. 2.О201О;
0.03 0.5664 —0.231 -0.0233 0.03 “0.00
0.5433 —0..227 —0.023Q 0.08 0.05 0.54329 2.03425
45.03 0.5206 —0.217 —0.0222 1 0.52009 2.03713:
6.4989 0.49885 2.03819
ВЫЧИСЛЕНИЕ ФОРМЫ КАПЛИ
344 ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ гл. VII
Формы капель вычислены с большою точностью, и для них состав-
лены обширные таблицы в сочинении Башфорда1), в котором и разра-
ботан знаменитым астрономом Адамсом метод численного интегрирова-
ния уравнений, и на стр. 18 указанного сочинения приведена формула,
отличающаяся лишь обозначениями от нашей основной формулы (16),
а именно:
Ух - У о = <» (?о+4- Д <7о + Д2?о + 4- дз<7о + тез Д^о+Ц д5<7о +
_1_,9087 Л6„ I 5257 Л7„ I 1070017 A8z, I 2082753 .а . А
“I" 60480 Д 17280 Д 3628800Д 7257600Д )’
где <о есть промежуток между последовательными значениями перемен-
ной независимой уравнение, предложенное для интегрирования, Адамс
пишет
y) = q
и через <?0, Д(7о, • • •» д9?о обозначены частные значения величины q и
ее разностей до девятого порядка.
Но Адамс для вычисления вместо этой формулы берет другую,
представляющую разность у0— у_х ; в этой формуле коэффициенты при
Д2«/0» ...., А9<?0 значительно меньше, нежели в предыдущей, вследствие
чего вычисление может быть произведено с большею точностью, на
самый процесс сложнее.
Уравнение, определяющее форму поверхности, Адамс пишет в таком
виде:
т+Й=2+»(т)’
т. е. выражает величины р, z и х или, при нашем обозначении, г в до-
лях радиуса кривизны в вершине, т. е. Ь, и за начало координат при-
нимает вершину.
Таким образом, в таблицах Башфорда наш случай соответствует
значению р = 2, и наше z получится, если придать 1 к показанному
в таблице. Сличение покажет, что разница не превышает двух или трех
единиц четвертого знака (таблицы Башфорда вычислены на пять зна-
ков), так что полученный нами результат даже лучше, чем можно
было ожидать при вычислении на четыре знака и притом линейкой.
§ 108. Скажем еще несколько слов по поводу тех многих уравнений
математической физики, интегрирование которых приводится к нахож-
дению так называемых фундаментальных функций. Эти функции опре-
деляются в каждом вопросе обыкновенным линейным дифференциаль-
ным уравнением, заключающим неизвестный параметр, значения которого
даются некоторым трансцендентным уравнением, получаемым на осно-
вании граничных условий.
Так, например, исследование колебаний упругого стержня перемен-
ной площади поперечного сечения приводится к разысканию функций X,
определяемых уравнением
и граничными условиями.
Здесь 2 есть некоторый параметр, значение которого также тре-
буется найти, р(х) и q(x)— заданные функции.
*) Bashforth, «Ап attempt to test the theories of capillary action» (Cambridge, 1883)
§ 108]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
345
dX а
и j— = 0;
dx ’
Граничные условия выражаются различно, смотря по тому, закреп-
лен, подперт или свободен рассматриваемый конец стержня, для кото-
рого абсцисса х — 0 или х = I.
Пусть этот конец есть тот, для которого х — 0; тогда граничные
условия выразятся так:
а) если конец закреплен, при х = 0, должно быть Х = 0
б) > » подперт » » » » X = 0
в) » » свободен * » » » ^ = 0
' (Lx*
^ = о-
dx2 ’
d3X
Совершенно подобно выражаются эти условия и для другого конца,
для которого х — 1.
Положим, например, что оба конца стержня свободны (корабль, пла-
вающий на воде); тогда граничные условия будут:
при х — 0 должно быть
d2X n d*X п
dx2 dx* '• ' 7
при х = I должно быть:
d2X л d*X
3^ = 0 и5^- = 0. (***)
Так как уравнение, служащее для определения X, линейное, то об“
щий его интеграл есть линейная функция произвольных постоянных,
т. е.
X = AY+BZ4- CU + D V,
где Y, Z, U, V — частные решения уравнения (*), А, В, С, D — произ-
вольные постоянные. Очевидно, что Y, Z, U, V суть функции как пе-
ременной х, так и параметра 2.
Граничные условия будут, обозначая значками производные по х:
AY" (0, 2)4~BZ" (0, Л)4-С[7" (0, 2)4~£>У" (0, 2) = 0,
AY'" (0, 2) 4- BZ"'.(0, 2) -j- CU’"\0, 2)DV" (0, 2) = 0,
AY" (I, L) + BZ" (I, 2.)-\-CU" (I, 2)4- DV" (I, 2) = 0,
AY'" (1,2) + BZ"' (I, 2) 4- CU"* {I, 2) 4- DV"(I, 2) = 0.
Чтобы эти уравнения для А, В, С, D допускали решения, отличные
от нуля, необходимо, чтобы определитель системы В (2) был равен
нулю, т. е. чтобы было:
Г(2) = |Г"(0,2), Z"'(0,2), l/"(Z,2), У'"(Z,2)| = 0. (1)
Это и есть то трансцендентное уравнение, о котором сказано выше
и которым определяются значения параметра 2.
Но ясно, что лишь для весьма немногих частных видов функций
р(х) и q(x) вопрос может быть проведен аналитически до конца,
в остальных же случаях, особенно когда функции р(х) и q(x) заданы
графически или таблично, не только решить, но и составить в развер-
нутом виде уравнение (1) невозможно, и следовательно, надо прибе-
гать к приближенным способам.
Для того чтобы найти значения 2, удовлетворяющие уравнению (1),
нет надобности иметь аналитическое выражение функции F(2), доста-
точно иметь возможность вычислить частное ее значение, соответ-
ствующее любому избранному частному значению параметра 2 = п.
346 ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [гл, уц
. В самом деде, если на основании каких-либо соображений, изложе-
ние которых здесь опускаем, было 6pi известно, что приближенно зна-
чение 2. есть п, то, вычислив F{n), полагаем затем 2,=^n-\-k и вычис-
ляем F(nA-k); если эти величины окажутся ррзнцх знаков, то искрмое
значение Л лежит между п и n-\-k, после чего обычным приемом Я
найдется с любой степенью точности. Нетрудно видеть, как поступать,
если бы F(n) и F(n-\-k) оказались одного знака.
Ход этого вычисления численного значения F(n) и надо показать.
Постоянные произвольные можно воображать выбранными так, чтобы
они представляли частные значения функции X и первых трех ее про-
изводных при х = 0.
Для этого стоит только вообразить, что Y, Z, U, V суть такие
частные решения уравнения
что при х = 0 значения этих функций и их производных таковы:
У=1,. У'==0, У"=0, У"' = 0,
Z = Q, Z'=l, Z" = 0, Z'!' = 0,
J7 = 0, U'=^Q, U* = l, U,n = 0,
V==0,‘ V' = Q, V"=Q, V"'=l.
Так как X должно удовлетворять условиям (**), то при таком вы-
боре функций У, Z, U, V будет:
С = 0 и D = 0,
и останется только найти функции У и Z.
Чтобы найти функции У, положим
и заменим уравнение, коим определяется У, системою
. I
§ = п,(х)Г. I
Начальные значения при х = 0 должны быть:
у —6, у' = 0,1
У=1, У' = 0. /
(2)
(3)
(4)
К системе (3) при условиях (4) непосредственно применим метод
Штермера, по которому и составим таблицу значений функций У и у
на протяжении от х = 0 др х —I, причем попутно получится и таблица
значений У".
Совершенно так же составим и таблицу значений функции Z и по-
путно с нею Z",
Искомая функция X будет:
X — AY+BZ.
Пользуясь составленными таблицами значений функций У" и Z", на-
ходим величины их, соответствующие х=1', пусть эти величины будут
Р и Q. Пользуясь значениями Y" и Z" и известными формулами^ выра-
жающими зависимость между разностями и производными, составляем
§ 1091
ЗАМЕЧАНИЕ О МЕТОДЕ ЛЕЖАНДРА ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ
347
значения У"' н Z'" при х = 1 [если функция р(х) и д[х) заданы анали-
тически, а не таблично, то эти значения найдем и из предложенного
уравнения, продифференцировав его]; пусть они будут М и N, тогда
на основании условий (•*) и (***) должно быть:
ЛР + ВД = 0,
и частное значение определителя F(n) есть
F(n) — PN — QM.
Если оно окажется равно нулю, то 1=^« есть одно из истинных
значений параметра Л, если же нет, то радо повторить процесс, поло-
жив 2 ==«-]-А и т. д., применяя известный метод разыскания значения
корня, близкого к данному числу п-
Таким образом, изложенный мет°Д дает практическую врзцржность —
при решении физических вопросов на самом деле составлять таблицы
и вычислять значения фундаментальных функций, существование и свой-
ства которых устанавливаются другими способами. Примера численного
вычисления мы не приводим, так как оно ничем не отличается от по-
казанных выше и не может представить никаких затруднений, кроме
некоторой утомительности по своему однообразию.
§ 109. Приведем одно замечание исторического характера по поводу
изложенных методов.
В 1826 г. вышло в двух больших томах in 4° сочинение А. Лежандра
«Traite des fonctions elliptiques et des integrates Euleriennes», в котором
этот знаменитый математик ддет сводку своих сорокалетних изысканий
по теории эллиптических и эйлеровых интегралов.
Во втором томе содержатся таблицы значений интегралов первого
и второго рода, т. е. функций
F(c, ?) = I,,, / . : Е(с,<р) = ( /1 — 0?sin2<pd<p.
J У 1 — С2 S1H1 « J
0 0
В этих таблицах значения функций F и Е даны для всех значений
амплитуды ф через 1° от. 0 до 9Э° цри всех значениях модульного
угла 6 (определяемого равенством sipO = c) также через 1°, т-,е. таб-
лицы заключают 2 • 90-90 =? 16200 результатов.
Все эти числа даны с десятью знаками для 6 от 0 до 45° и с де-
вятью знаками от 45 до 90°. Самое же вычисление производилось с 14
и 12 знаками.
Кроме этих таблиц, Лежандр дает ряд других весьма обширных
таблиц, вычисленных также с 12 и 14 знаками, причем все вычисления
произведены им самим.
Отсюда ясно, каким огромны^ навыком и какою огромною опыт-
ностью обладал Лежандр в производстве численных вычислений.
Объясняя способ составления сроих таблиц, он развивает метод раз-
ностей для вычисления интеграЛов простых и повторных. Между про-
чим, он рассматривает и двукратный интеграл, т. е. нахождение функ-
ции у, определяемой уравнением • '
и начальными значениями у& й у0.
348
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [гл. VII
Формула, которую он для этого дает, напишется при наших обозна-
чениях так:
Д2У„_1 ==Т1„_Ь j2 A2lrln-i 240 60 480 Д6"%—3’
где
’!„ = А2/(х„),
и промежуток h он рекомендует брать настолько малым, чтобы
в этой формуле достаточно было удерживать только первые три члена..
Чтобы пользоваться этою формулою, он составляет две параллель-
ные таблицы, совершенно подобные показанным в § 96 таблицам 53 и
54, из коих одна содержит’величину у и ее первые и вторые разности,,
вторая содержит «вспомогательную», как Лежандр ее называет, вели-
чину ц и ее разности до четвертого порядка. Предполагая, что в пер-
вой части таблицы дошли до значения уп соответствующего значению
х=хя, он вычисляет для второй части величины -»}я+1и т)„+2, поль-
зуясь которыми находит нужные ему разности и Д4т|л_2» сто-
ящие в той же прямой строке, как и т)я; по ним он составляет по фор-
муле (*) величину Д2!/п_1 ♦ затем
*УЯ = ^Уп-i + дЧ,-1 и «/я+, = уа + Дуп .
Изложив этот метод, он говорит: «Было бы желательно подобными
же способами и при помощи столь же быстро сходящихся рядов иметь
возможность вычислять последовательные значения функции н, опреде-
ляемой дифференциальным уравнением
или уравнением более высокого порядка. Эта задача того же рода, как
и задачи, относящиеся к вычислению простых и повторных интегралов,.
но ее решение представляет гораздо большие трудности, и до сих
пор мы не видим другого способа к его достижению, как применение
формулы Тейлора*, после чего он излагает метод Эйлера.
Но стоило бы Лежандру выразить величины Д2-пя_1 и Д4т)„_2 через-
имеющиеся в его таблице разности, стоящие в последней косой строке,,
идущей от т)я наискосок вверх, и заметить, что отбрасывание всех раз-
ностей, коих порядок выше четвертого, равносильно предположению,
что разности четвертого порядка постоянны, он получил бы:
ДЧ-2 = ДЧ-3 - ДЧ-4 = •• • .
ДЧ-1 = ДЧ-2 + ДЧ- 2 = ДЧ-2 + ДЧ-3 4" ДЧ-3 =
= дЧ_24-дЧ-з4-дЧ_4.
и по подстановке его формула приняла бы вид
ДЧ_! = *i„ 4- п [ дЧ-14- дЧ_з 4- ДЧ-4 — дЧ-4] •
Это и есть формула Штермера, которая как раз решает намеченную
Лежандром задачу именно так, как Лежандр имел это в виду.
Это замечание может служить примером того, как решение, которое
представляется, после того как оно дано, весьма простым и очевидным,
ускользало от внимания даже таких математиков, как Лежандр.
§ 111 1 •
ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПОЕЗДА
349
§ 110. В вопросах инженерного дела встречаются уравнения вида
tZIV=/(x,y)
(изгиб балки на упругом основании). Для уравнения такого вида можно
воспользоваться тем приемом, который Лежандр применяет для вычис-
ления четырехкратного интеграла, т. е. исходить из формулы
^4^Л-3 = ^-1 "б" Д2т>л—2 720 Д^л-З + 4755.1024 ^6^n—4 " ’ ’
где
T|„ = A4t/lv + A4/(x„, t/„).
Ограничиваясь разностями четвертого порядка, можем положить
Д4« —Д4,,
•П—о ’Л—4 т
и наша формула будет:
№Уп—3 = ’•л—1 “1“ ~б~ ^1 2^л—2 720 4 ’
При достаточно малом промежутке А последний член может быть
сделан также настолько малым, что он не будет оказывать влияния
на результат, и мы получим формулу
^4Уп—3 = ^л—1 + ~б* А^л—2 »
вычисление по которой настолько очевидно, что дальнейших пояснений
не требует.
Заметим еще, что при численном „решении дифференциальных урав-
нений по методу Шгермера в том виде, как он здесь изложен, не. при-
ходится дифференцировать функции /(х, у), стоящей в правой части
уравнения, а приходится иметь дело лишь с частными значениями этой
функции, следовательно, эта .функция может заключать и такие эле-
менты, которые задаются графически, что особенно важно для вопросов
прикладной математики.
§ 111. Мы привели целый ряд способов приближенного численного
интегрирования дифференциальных уравнений; спрашивается, какой же
способ применять в каком-либо конкретном случае, в особенности если
затем требуется произвести не отдельное единичное вычисление, а це-
лую серию однообразных расчетов.
В этом случае надо сцачала обстоятельно обследовать подробно
проделанными примерами степень точности, достижимую тем или иным
способом, требуемую затрату труда и времени и остановиться на том
способе, где требуемая практическими потребностями точность дости-
гается наименьшею затратою работы. Для примера такого изучения
дадим применение изложенных способов к численному интегрированию
уравнения движения поезда для того случая, когда он, выйдя со стоянки
на станции, проходит сначала площадку, а затем входит на подъем.
Все данные и обозначения заимствуем из сочинения проф. Ю. В. Ло-
моносова «Тяговые расчеты».
При движении поезда по площадке имеем уравнение
(1)
причем
С = 120, WO= 1.5 + 0.05О,
* “i Ч
350 ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ ГЛ. VII
где F—сиМ тяги паровоза, в^с поезда,4 w0—удельное сопро-
тивление, v — скорость. За единицы приняты километр, час, тонна для
веса поезда, килограмм для силы тяги.
При переходе поезда с площадки на подъем уравнение движения
его есть
= (2)
где s есть длина той части поезДа, которая уже вошла на подъем,
причем i2 есть уклон в тысячных, L — длина поезда.
Наконец, движение поезда по подъему дается уравнением
d£’=^[f-Wo-i2]. (3)
Все эти три уравнения можно соединить в одну систему
^- = C[/-w0-A(x-Z)], | ,
условившись считать:
k(x— Z)=0, пока x<Z,
Z)±=~s » Z ^:X Z, (5)
k (x I) t= i2 » x>L+Z;
здесь х есть расстояние ТсДоеы Поезда от станции (пройденный путь),
I — длина площадки. Начальные условия суть: при Z = 0 должно быть:
X — 0, ОЬ=:0.
§ 112. Для нашего частного примера численные задания таковы:
С ^=120,
P+Q= 1830 m,
i2 = 6,
I ==i0.640 KMj
L. s=a 0^560 KMt
CA^ 1280.
Таблица 79
Значение функции p = C (f Wq)
V P P P Ь p
0 820 10 676 20 446 30 266
2, 808 12 625 22 408 32 235
4 796 14 575 24 370 34 205
6 784 16 ' Й28 26 334 36 188
8 735 18 486 28 299 38 148
10 676 20 446 30 266 40 122
§ 113} ’ ЙНТЁтФЙРОЙАНЙЁ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ поезда
351
ПололаШ для сокращения письма
P = 4/-^0) = c[p^Q-w0],
(6)
тогда, взяв величины силы тяги F товарного паровоза серии «Э» при
езде со вполне открытым регулятором
и наполнением 0.4, имеем
приведенную таблицу 79 зна-
чений функции р.
Эти значения сняты с кри-
вой, построенной в крупном
мйсштабё, уменьшенный сни-
мок которой дан на фиг. 69,
а именно: для иА см за еди-
ницу, для р 1 см за двад*
цать единиц. Участок от п = 0
до у = 6 представляет прямую
линию.
Приняв время i за пере-
менную независимую, берем
его через равные промежутки
т= 0.005, значения р снимаем
по аргументу v с упомянутой
кривой или выбираем из вы-
шеприведенной таблицы и рас-
полагаем вычисление, как по-
казано в таблице 80.
Это вычисление произведено при помощи логарифмической линейки
длиною 50 см.
Задаваясь показанными в таблице значениями х и беря соответ-
ствуКнцие им значения vat,
строим кривые (фйг. 70), пред-
ставляющие движение поезда
графически, причем vat бу-
дут выражены в функций
расстояния х.
§ 113. Показанное в таб-
лице 80 вычисление произве-
дено с точностью, даЛеко пре-
вышающей не только достижи-
мую на практике,, но и самую
практическую потфебность,—
смысл такОСО Вычислений
может состоишь ЛиШЬ в том,
чтобы сличать результаты,
получаемые другими упро-
щенными приемами, с этими
излишне тойныМи и таким
образом судить о точности
эти^ приемов и способов.
ДйдиМ в пояснение этого
Некоторой численные примеры.
Возьмем способ Чечетта («Тяговые расчеты», стр. 135), сущность
которого состоит в том, Что кривая
p=j — Wfj
352
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [ гл. УП
Таблица 80
Движение поезда
Уравнения
Формулы
пл = [ря — Щ*—% t =
15 1
Д»л = Ъ + -2"т'л-1 i- 12 ^п-2> ^п = -2 *•
vn+\=vn + ^>n> *л+1 = хл + ДХ„ .
п д»я Qn т\п Ат|я Д«1СЯ хп Ахя tn
0 0 4.10 820 4.10 —0.12 —0.19 А 1 *7 0 0.010 0
1 4.10 3.92 795 3.93 —0.31 0.010 0.031 0.005
2 8.02 3.41 735 3.67 —0.48 —0.17 0.12 0.06 0.06 0.041 0.048 0.010
3 11.43 2.88 638 3.19 —0.36 0.089 0.065 0.015
4 14.31 2.70 567 2.83 —0.30 0.154 0.079 0.020
5 17.01 2.41 507 2.53 —0.24 0.233 0.092 0.025
6 19.42 2.20 458 2.29 0.21 0.03 0.325 0.103 0.030
7 21.62 1.98 415 2.08 0.19 0.02 0.428 0.113 0.035
8 23.60 1.80 378 1.89 —0.33 —0.96 —0.84 —0.79 —0.72 0.10 —0.14 0.541 0.123 0.040
9 10 * 11 25.40 25.72 26.59 1.32 —0.13 —0.61 311 120 — 49 1.56 0.60 —0.24 —0,63 0.12 0.05 0.664 0.797 0.931 0.133 0.134 0.133 34 201 373 0.045 0.050 0.055
12 25.98 0.40 —207 —1.03 0.07 1.064 0.129 541 0.060
13 24.58 —1.71 —350 —1.75 — 1.193 0.116 710 0.065
14 22.87 —1.61 —329 —1.65 0.16 0.10 0.12 — 1.299 0.108 720 0.070
15 21.26 —1.42 —298 —1.49 — 1.407 0.103 720 0.075
16 19.84 —1.35 —277 —1.39 — 1.510 0.096 720 0.080
17 18.49 —1.17 —244 —1.22 — 1.606 0.090 720 0.085
18 17.32 1.696 720 0.090
' 16 18 19.84 17.32 —1.92 —220 —2.77 —2.20 0.57 0.42 0.38 0.31 0.22 0.21 —0.15 1.696 0.167 720 0.090
20 15.40 —1.63 —178 —1.78 —0.04 1.863 0.146 720 0.100
< 22 13.77 —1.20 —140 —1.40 —0.07 2.009 0Д32 720 0.110
, 24 12.57 —0.96 —109 —1.09 —0.09 2.141 0.121 720 0.120
1 26 11.61 -0.80 — 87 —0.87 —0.0L 2.262 0.112 720 0.130
28 10.81 -0.56 — 66 —0.66 2.374, 0.105 720 0.140
30 10.25 2.479 720 0.150
26 —1.74 —1.04
30 10.25 —0.69 — 52 0.70 0.40 0.36 — 2.479 0.198 720 0.150
34 9.56 —0.44 — 32 —0.64 — 2.677 0.186 720 0.170
38 9.12 —0.10 — 14 —0.23 2.863 0.181 720 0.190
42 9.02 3.044 720 0.210
§ 114]
ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПОЕЗДА
353
заменяется ломаной, в нее вписанной (фиг. 69) или около нее описан*
ной; для каждого такого прямолинейного участка уравнение движения
интегрируется в конечном виде, и следовательно, в результате полу*
чается таблица, подобная таблице 81 (стр. 356).
Понятно, что замена кривой р ломаною может быть выполнена на
бесчисленное множество манеров и что, взяв звенья ломаной доста-
точно малыми, можно достигнуть какой угодно точности, но задача
состоит не столько в достижении этой точности, сколько простоты
расчета, с тою ограниченной степенью точности, которая требуется
для практики. Этой части касаться здесь не будем.
На каждом звене ломаной будет:
р = а — bv, (7)
причем а и Ъ для каждого отдельного звена постоянные, от звена же
к звену меняются. Обозначим через ап, Ьп значения а и b для п-го уча-
стка кривой, т. е. для участка, заключенного между точками
v — v„, Р = Р„ и v = v„,, и р = р„,,;
n’ г • п л 4*1 г /7 л*Н
тогда будет:
L _ Рл Ря+1
п V it — V ’
ап = Ра + Ьп°п = Рл+1 + =
Рлрл4-1 Рл-Н^л
vn^~vn
Уравнение движения поезда будет:
dv
dt
dx
dt=v'
и начальные условия: при t—tn должно быть:
X = Х„ И Р = Ри.
п п
Отсюда следует:
? tn bn^an-bnz> bn* p *
Затем
an ~ bnv — (an — bnvt) e b"
v — v —-г- (a — bv) [1 — e~bn V~tnl
n h \ п п П» L
П
(8)
(9)
(10)
(И)
(H')
~ап~ bnV>
п П 1
^-^=f„(/-U+y-(«„-Wfe-U—/-(1-* bn" 'я,)1.
л L л J
t. e.
* —= (12)
n
Из формул (11) и (12) видно, что для пользования ими удобнее за-
даваться значениями v, но тогда не получится сразу то значение х = /,
при котором поезд вступает на подъем, и соответствующие этому
значению х величины о и t придется определять или методом после-
довательных приближений, или интерполированием, как будет показано
на примере, где показан порядок и схемы вычисления по формулам (11)
и (12) (табл. 81).
23 А. Н. Крылов
354
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [гл. VM
§ 114. После того как вычислены значения
о = р0 и t = tOi
соответствующие значению х = 1 или з = 0, т. е. вступлению поезда на
подъем, уравнение движения его будет:
- <1з>
и начальные условия: при i = t0 должно быть:
п fds\
s = Q, v==o0=
\ас/о
предполагая, что для соответствующего промежутка Скоростей
Интеграл
р — а — bv.
уравнения (13) при указанных условиях есть
s = eh (Cl cos 2-^=^ + C2 sin + J
I 1 r 12 V j 1 -
, b 2tc
T==—=,
2 Vk— Л*
___ a r' ___In ha\ 1
bl- k, c2-(v0
(14)
(15)
Формулы (14) и (15) не могут быть признаны удобными для вычис-
лений, когда требуется лишь небольшое число значений s.
Уравнением (13) приходится пользоваться лишь в течение того про-
межутка времени, пока поезд не войдет целиком на подъем, т. е. для
значений s от s = 0 до s = L, причем L не превышает 0,6, поэтому
выгоднее заменить уравнение (13) системою
~ — а— bv—ks,
at ’
ds
dT = °
(13')
(13")
и принять з за переменное независимое, т. е. писать эту систему так:
vdv , ,
—г— — а — bv — ks,
as
di= ds.
Вообразим, что промежуток L подразделен на несколько частей,
равных или неравных, обозначим через s0, s2,..., $„,••• соответ-
ствующие началу каждой части значения з, тогда для промежутка
'S/j+I Sn
имеем уравнение
— а — bv — ks„ — b(v — v ) — k(s — sn)
as n n \ n ' \ n 7
или .
v-^. = pn-ksn-b(v-vn)-k(s-sn).
С другой стороны, при достаточно малом значении $ — sn в разло-
жении v—vn по тейлорову ряду можно ограничиться одним первым
членом и писать:
(16)
v — v=(s — s„)v'.
n v fl ' fl
Но из уравнения (16) следует:
'__ Рп bsn ___
- П~~ ”П ~
S 114]
ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПОЕЗДА
поэтому уравнение (16) напишется так:
которое по интегрировании дает:
полученная формула (17) и послужит для последовательного вычисле-
ния скоростей; после того как скорости
°о. °2.....
вычислены, вычисляем время по формуле
. . 1 Г 1 । 1 1 Г ,
^+1 ^п— 2 [
<18)
и суммируем эти
Чтобы судить
лить наибольшее
будет:
промежутки.
о степени точности формулы (17), достаточно вычис-
значение первого из отброшенных членов, который
-Ь
6 1
Из уравнения (16) следует:
vv11 -\-vr2 = — bv1 — k,\
откуда
<=-+><+*+< 1-
vn
В нашем случае наибольшее значение qn есть 360, vn около 26,
Л = 1280, />=19.3, значит,
< = >=14,
vn
о" = —1(270 + 1280+196] =-67.
Если брать
s — $л<0.2,
то будет:
1 )3 < 119.3 • 67 • 0.008 < 1.7 < 2.
Такая точность может почитаться более чем достаточной, следо-
вательно, длину L можно подразделить на три части, ибо погрешности*
равной 2 в значении я2, соответствует при v = 25 погрешность в самом
значении v, равная ^=0.04. Если довольствоваться в значении v по-
грешностью в 0.1, то в значении о2, при » = 25, погрешность будет .5
(в самом деле, ]/625 = 25; |/ 630 = 25.0998),
следовательно, можно было бы брать:
l/>.v"(s-jn)3<5,
т. е. при значениях, приведенных выше,
s—s 30 <0.28,
« Г 19.3-67
т. е. длину L достаточно подразделить пополам.
23*
356
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [ гл. VII
Так, в нашем случае заменим кривую
следующих звеньев:
0<о< 6; а = 820;
6<о<16; а = 937;
16<о<26; а = 837;
26<о<36; а = 746;
р ломаной, составленной из
Ь= 6.00,
b = 25.6,
b = 19.3,
£=15.8.
Тогда вычисление расположится, как показано в следующих
таблицах.
Таблица 81
Движение на площадке
I II III IV V VI VII VIII IX
р Р lg р lg Рл+1 2.302 a»-(V) t X
0 6 16 26 820 784 528 335 2.9138 2.8913 2.7226 2.5250 0.0195 0.1717 0.1976 0.0075 0.0154 4.0237 6.15 14.50 19.80 0.025 0.175 0.507 0.0000 0.0075 0.0229 0.0466 0.000 0.025 0.201 0.708
Таблица 82
Вход поезда на подъем
Вычисление скоростей формулы (17)
I II III IV V VI VII VIII IX X XI
sn Ph k$n -(III) (IV)-ft (A=0.140) h 4n' (VI+6) -(Vll)Xg 2[(V)+ +(VIII)]
0 350 0 350 49.0 267 1547 —15.1 69.8 632 25.13
0.140 325 130 145 20.3 106 1386 —13.6 13.4 702 26.50
0.280 321 360 — 39 —5.6 —28.2 1252 —12.5 —36.2 715 26.74
0.420 334 540 —206 —28.1 —152 1128 —11.2 —78.6 679 26.06
0.560 720 600 24.52
Интерполирование: 0.708 — 0.640 — 0.068,
т = = 0.0026,
26
v = 26 — 335 • 0.0026 = 26 — 0,87 = 25.13
^ = 2-Й1 = 0-00266’
Pi = 26 — 325 • 0.00266 = 26 — 0.87 = 25.13.
§ 114]
ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПОЕЗДА
357
Таблица 83
Вход поезда на подъем
Вычисление времени (формула 18)
5 1 V h 2 t
0 0.0389 0.0054 0.0440
0.140 0.0378 0.0053 0.0493
0.280 0.0374 0.0053 0.0546
0.420 0.0384 0.0055 0.0599
0.560 0.0408 0.0654
Таблица 84
Ход по подъему
I II III IV V •VI VII VIII IX
V о см L lg II lg-^_ ~~ *n = =dV).2-F (V).(a- —720) xn+~xn t X
24.52 16.0 9.0 8.15 —361 —192 —14 0 2.5575 2.2333 1.1461 0.2742 1.1372 0.0248 0.0985 3.86 21.70 0.642 1.100 0.0654 0.0982 0.1967 oo 1.200 1.842 2.042 oo
Итак, при
х = 0.640
будет:
о = 25.13, / = 0.0440.
Предельная скорость V = а ^7 720— ^^- = 8.15.
Согласие результатов, вычисленных по этому приему, с результа-
тами, полученными по первому приему, видно, например, из сопостав-
ления следующих чисел:
X t no I np. t no II np.
0.640 0;0437 0.0440
1.200 0.0653 0.0654
2.900 0.194 0.193
Для большей наглядности по результатам вычислений по первому
приему построена кривая (фиг. 70, стр. 351), на которой соответствую-
щие точки отмечены маленькими кружочками. Результаты вычисления
по второму приему нанесены на ту же кривую и отмечены двойными
кружочками.
Мы видели, что при вычислении по формулам (17) и (18) времени
и скорости по выходе поезда на подъем возможно брать промежутки
<0,28, т. е. подразделять длину L пополам; в таком случае расчет
сведется к следующему.
358
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ гл. VII
Таблица 85
Вход поезда на подъем
Вычисление скоростей
I II III IV V VI VII VIII I ! IX X 1 XI
«Л Рп ksn ^ = (11)-(III) (IV)-A (Л = 0.280) <lnb vn (VI) -1- k > 2((V) + -MVIII)] vn
0 350 0 350 98 264 1544 -6Э 76 632 25.13
0.280 323 360 —37 —10 —27 1253 —49 -118 708 26.61
0.560 504 24.29
Таблица 86
Вход поезда на подъем
Вычисление времени
sn 1 vn — f— + _±_ > 2 T vn¥lJ t
0 0.280 0.560 0.0308 0.0376 0.0412 0.0108 0.0110 0.0440 0.C548 0.C658
Этот поверочный расчет с ясностью показывает, что при пользова-
нии формулами (17) и (18) длину поезда достаточно подразделять по-
полам при расчете его входа на подъем.
§ (15. Заметим по поводу формул (17) и (18), что практически ими
решается вопрос об интегрировании уравнения
(2)
движения поезда при выходе на подъем с требуемой для практики сте-
пенью точности для всякого вида функции /, ибо входящая в эти фор-
мулы величина b в том случае, когда функция / задана аналитически,
есть не что иное, как
b=f(vn);
когда же функция / задана графически, то величина b получится по
формуле
ь=---------2а--------
где а—достаточно малая величина; при этом величину b достаточно
bqn
знать с грубым приближением, ибо член —-, в который она входит,
Л2
мал по сравнению с k и имеет малый множитель .
§ 116]
ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПОЕЗДА
359
Так,. ,р- нащем случае скорость vn близка к 25; из таблицы значений
функции р видно, что
Ь = У-0---33-* =18;
повторяя расчет с этим значением Ь, получаем, выбирая все числа из
таблицы 85, совершенно тот же результат, как и выше при b = 19.3,
Таблица 87
Вход поезда на подъем
Вычисление скоростей (6=18)
I п III IV V 1 VI VII VIII к IX XI
1 I СМ
Рп (III) - (п)=и* (IV)-ft у-9" (IV) + k (пл) — 2[(V)f(VIII)]
0 350 0 350 98 249 1529 —60 76 632 25.13
0.280 0.560 323 360 -37 —10 —27 1253 —49 —118 708 590 26.61 24.29
которое взято для промежутка от о =16 до и = 26; вместе с тем ясно,
что значение Ь, взятое для более тесного промежутка, более соот-
ветствует действительности.
§ 116. Рассмотрим теперь, какова будет погрешность, если формулы
(17) и (18) применить, совсем не делая подразделения, т. е взяв h — L\
в таком случае наши формулы будут:
v? = v* + 2p0£-(p0£+*)^
(19)
при само собою понятном обозначении.
В нашем случае будет:
о0 = 25-13;
р0 = 350; /> = 18; k = 1280; /0 = 0.0440, . %
я мы получим:
о* = 633
2р0£ = 392
^ + Л)£2=—480
v2= 545; t»! = 23.32.
4-=0.0398
— = 0.0429
°-0231
t0 = 0.0440
Иначе
it = 0.0671
2L
0.0231
t0 = 0.0440
ti = 0.0671,
тогда как при подразделении получались истинные значения,
О] = 24.52 и ^ = 0.0654.
360
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ гл. VII
Такая точность едва ли достаточна, и в формуле (17) надо
и следующий член, тогда формула (17) заменится такой:
брать
L3,
(20)
которую удобнее для вычисления писать так:
2
gРо +4Vs + т Ч А. + * W + 1ЬL*. (20')
\ V j и l j
Таким образом, при наших данных будет:
о0 = 25.13, о* = 632
2p0L = 392
-(|оРо + £) А2 =-480
т^[1л»+4]£!=+ 64
о, = 616, о1 = 24.84
/1-/о=^Ь?= 0-0224
t0= 0.0440
tx = 0.0664.
Эти значения, как, видно, гораздо ближе к истинным О] = 24.52
и t\ = 0.0654, и формула (20), несмотря на кажущуюся сложность при
вычислении, если пользоваться логарифмической линейкой, решает во-
прос с достаточной простотой.
§ 117. Таблицы 80 — 84 (§§ 112 —114) и кривая фиг. 70 показывают,
насколько согласуются результаты расчетов, производимых по различ-
ным способам. Для целей практики вообще нет надобности в такой
точности, которая является чисто расчетною и представляет лишь по-
верку вычислений, убеждая в отсутствии в них грубых ошибок»
Лаплас в предисловии к громадному тому своего «Исчисления ве-
роятностей» говорит: «.... la theorie des probabilites n’est que le bon
sens onfirme par le calcul». Техник, применяя математику к практическим
вопросам, сам должен заботиться, чтобы она служила подспорьем здра-
вому смыслу; он должен помнить, что вычисление можно произвести
сколь угодно точно, но результат вычисления не может быть точнее
тех данных и тех предположений, на коих оно основано, поэтому точ-
ность вычисления должна соответствовать точности данных и той прак-
тической потребности, для которой оно производится.
ГЛАВА VIII
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
§ 118. В древнейшей и точнейшей из наук, основанных на измере-
ниях и наблюдениях—астрономии, уже более ста лет для обработки
наблюдений и получения из них наиболее достоверных результатов
применяются определенные правила, составляющие так называемый «спо-
соб наименьших квадратов».
Способ этот изобретен Гауссом в 1794 г., когда Гауссу было 17 лет,
но опубликован им лишь в его знаменитом сочинении «Теория движения
небесных тел по коническим сечениям вокруг солнца», изданном в 1808 г.
Здесь надо заметить, что еще в 1806 г. Лежандр в своем сочине-
нии «Новый способ определения орбит комет» предложил этот метод,
но далеко не так полно, как это сделано Гауссом в его «Теории дви-
жения».
Гаусс затем в течение своей долгой жизни (он умер в 1855 г.) не-
однократно возвращался к изложению своего метода с разных точек
зрения и довел его до высшей степени законченности и совершенства.
Мы дадим здесь краткое изложение этого метода, имея в виду об-
работку тех весьма простых наблюдений или измерений, которые при-
ходится делать в простейших технических вопросах.
§ 119. Всякое измерение чего бы то ни было и чем бы измерение ни
производилось всегда заключает некоторую погрешность. Понятно, что
чем эта погрешность меньше, тем измерение точнее, но практика всех
измерений показывает, что избежать погрешностей невозможно, Это
обнаруживается тем, что при повторении несколько раз тем же самым при-
бором того же ^измерения получаются результаты, разнящиеся между
собою. По величине этих разностей можно уже иметь общее суждение
о точности измерения и о точности результата, но чтобы сделать это
суждение объективным, надо, чтобы оно производилось по определен-
ным правилам и выражалось числами.
Наша задача и состоит в изложении этих правил.
Прежде всего необходимо условиться, какие погрешности состав-
ляют предмет нашего рассмотрения.
Погрешности при измерениях могут происходить от разных причин,
как, например:
1) Неправильно проведенного отсчета (скажем, вместо 17 записано 12),—
такого рода погрешности составляют просчет или описку и не отно-
сятся к предмету нашего рассмотрения. При обработке наблюдений та-
кие просчеты обыкновенно сами собою обнаруживаются и могут быть
исправлены.
2) Может оказаться, что самое измерение производилось неточным
прибором—скажем, с чертежа, составленного, пользуясь «верною»
миллиметровой линейкой, снимались ординаты другою линейкой,.
362
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
[ гл. VIII
500 делений которой, хотя и названных миллиметрами, составляют
всего 498 делений первой. Ясно, что все измеренные ординаты бу-
дут заключать погрешность, пропорциональную величине самой орди-
наты, так что эта погрешность следует определенному закону, на
основании которого ее можно учесть и исключить. Такая погрешность
называется систематической', определение ее, учет и исключение
относятся в каждом частном случае к изучению и выверке того
прибора, которым измерение производилось, и также не входят
в нашу задачу.
3) Погрешности могут происходить от какой-либо постоянно дей-
ствующей причины, вследствие которой в ходе этих погрешностей яв-
ляется возможность заметить ясно выраженную закономерность, по ко-
торой затем можно обнаружить и самую причину погрешностей.
Приведем два примера погрешностей этого рода из курса астроно-
мии, читанного в Парижской политехнической школе известным астро-
номом Файем.
1) При определении широты Парижской обсерватории по наблюде-
ниям прохождения через меридиан различных звезд обнаружено, что
широта получается различная, смотря по зенитному расстоянию, как по-
казано в следующей таблице:
Зенитное расстояние Широта
0° 48°50' 10". 9
10 48 50 11 .8
22 48 50 11 ,9
31 1 48 50 12 .1
Зенитное расстояние Широта
40 48°50'13".2
53 48 50 13 .3
63 48 50 13 .5
74 48 50 14 .3
Здесь закономерность ясно видна — определяемая широта тем
больше, чем больше зенитное расстояние, послужившее для ее опре-
деления.
Эта закономерность станет еще нагляднее, если представить эту таб-
лицу графически (фиг. 71). Из этого чертежа видно, что «согласнаяж
7И
ю'о' /Ь’ г'о' dr & Л* б'о ?b° dr sU'z
Фиг. 71.
кривая, проведенная возможно близко к нанесенным точкам, имеет ясно
выраженный синусоидальный характер. В самом деле, положив
8 = 3"-5-sinZ,
<?! = ? —8,
§ 119]
КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЛИ ОШИБОК
363
получим «исправленную таблицу» результатов:
Z —а
0° 48°50'10".9 0".0 48°5Э'10",9
10 48 50 И .8 0 .6 48 5011 .2
22 48 50 11 .9 1 .3 48 50 10 .6
31 48 50 12 .1 1 .8 48 50 10 .3
40 48 50 13 .2 2 .2 48 54 11 .0
53 48 50 13 .3 2 .8 48 50 10 .5
63 48 50 13 .5 3 .1 48 5010 .4
74 48 50 14 .3 3 .4 48 50 10 .3
В ходе величины <₽i уже нет явно выраженной закономерности, вме-
сте с тем все значения этой величины гораздо ближе друг к другу,
нежели неисправленные значения.
Дальнейшее исследование показало, что причина погрешности 8 лежит
в изгибании трубы меридианного круга под действием ее собственного
веса и веса объектива ее.
2) Другой пример, приведенный в том же курсе, относится к наблю-
дениям Брадлея склонения звезды у Draconis, произведенным в 1736 г.,
приведшим к открытию им аберрации.
Эти наблюдения сведены в таблице 88 (364).
Здесь систематический ход отклонений от среднего также ясно ви-
ден, причем можно заметить и годичный его период, поэтому, положив
e==asin&(*+a)’
Таблица 88
/ Месяц и число Наблюденное полярное расстояние $ Отклонение от среднего е = д-60 Число дней от начала наблюдений t
Декабрь 31 38°39'54".1 5".4 0
Январь 30 38 39 63 .5 13 .8 30
Февраль 29 38 39 69 .2 20 .5 60
Март 30 . ; 38 39 69 .2 20 .5 90 .
Апрель 29 38 39 64 .0 15 .3 120
Май 29 38 39 54 .9 6 .2 150
Июнь 28 38 39 44 .1 — 4 .6 180
Июль 28 38 39 36 .8 —11 .9 210
Август 27 38 39 30 .3 —18 .4 240
Сентябрь 26 38 39 28 .8 —19 .9 270
Октябрь 26 . 38 39 31 .4 —17 .3 300
Ноябрь 25 38 39 39 .1 — 9 .6 330
Среднее §0 я 38°39'48". 7 — —
Январь 4 38°39'52".2 3.5 370
364
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
( ГЛ. Vllf
легко находим:
а = 20", а =17 дней,
и, придав «поправку», увидим, что остающиеся «отклонения» станут
гораздо меньше и не будут иметь закономерного характера.
Погрешности или отклонения, имеющие закономерный характер, так-
же относятся к систематическим и не составляют предмета нашего
изучения, относящегося лишь к погрешностям, которые остаются
после исключения систематических и которые называются слу-
чайными.
Случайные погрешности не следуют какой-либо определенной законо-
мерности, выражающей величину погрешности в зависимости от времени
или какой-либо иной переменной независимой: они следуют тем законам,
которые выводятся в теории вероятностей по отношению к повторению
так называемых случайных явлений.
§ 120. В теории вероятностей рассматриваются явления или, как их
вообще называют, «события», для наступления которых мы не можем
точно указать определенной причины и сказать, наверное будет собы-
тие иметь место или нет, а можем лишь указать число случаев, благо-
приятных появлению данного события в общем числе всех равновозмож-
ных случаев, представляемых испытанием.
Так, например, пусть имеется колода из 52 карт, хорошо смешан-
ных, и из этой колоды вынимают одну карту на удачу, тогда число слу-
чаев, благоприятных тому, что эта карта будет данной, например буб-
новой, масти, есть 13, общее число всех равновозможных случаев есть 52.
Делают такое определение: вероятностью события называется
отношение числа случаев, благоприятных его появлению, к числу всех
равновозможных случаев. Так, в нашем примере вероятность, что вы-
13 1
нутая карта будет бубновой масти, есть fs = -7-; вероятность, что это
4
будет туз бубен, есть вероятность появления девятки любой масти
4 1
€СТЬ 52=13 И Т- Д-
Из этого определения следует, что вероятность всегда выражается
правильною дробью, т. е. дробью, заключенной между 0 и 1.
На понятие о вероятности распространяют и эти пределы, именно,
если вероятность события равна нулю, то, значит, нет случаев, ему
благоприятных, следовательно, оно и случиться не может; если вероят-
ность события равна 1, то это значит, что все случаи ему благоприятны,
следовательно, оно наверное при испытании произойдет, т* е. оно до-
стоверно.
На теории вероятностей основаны весьма многие практические при-
ложения, например: страховое дело, лотереи, разного рода игры, при-
стрелка и оценка меткости стрельбы и пр. Наука эта весьма обширна;
так, теория вероятностей Лапласа представляет громадный том в 980
страниц in 4°; ясно, что нечего и пытаться дать хотя бы беглый очерк
этой науки в нашем курсе, а необходимо ограничиться теми начальными
понятиями, которые будут необходимы.
Два события называются независимыми, если появление одного из*
них не изменяет вероятности появления другого.
Докажем следующую теорему: вероятность совместного появления
двух независимых событий равна произведению вероятностей появления
каждого из них в отдельности.
§ 121 ]
ФОРМУЛА ГАУССА И ПОВЕРКА ЕЕ
365
Пусть pi = есть вероятность первого события и р2 = вероят-
ность второго. Приведем эти дроби к одному знаменателю и напишем
их так:
_ mtna. _ т2п1
’ "2 Л1П2 ’
Совместное появление обоих событий можно рассматривать как но-
вое событие; чтобы определить его вероятность, надо сосчитать число
всех равновозможных случаев и число случаев, ему благоприятных.
Каждый из «[«2 случаев, при котором может появиться первое со-
бытие, можно сопоставить с каждым из ntn2 равновозможных случаев,
при которых может появиться второе событие, поэтому число всех рав-
новозможных случаев есть — (П1П2)2-
Совершенно так же увидим, что число случаев, благоприятных сов-
местному появлению обоих событий, есть miti2-tn2nb значит, вероят-
ность р их совместного появления есть
____ mi т2_п „
Р (л1лг)2 «1 ”2 Pi Р2'
что и доказывает высказанную теорему.
Само собою понятно, что эта теорема обобщается на любое число
независимых событий: вероятность совместного их появления будет:
Р = Pl * Pz" Рз • • • Pk*
причем pi, р2, ..., рк суть вероятности каждого из этих событий в от-
дельности.
§ 121. Перейдем теперь к одному из простейших выводов знамени-
той формулы Гаусса, называемой «Законом вероятности случайных по-
грешностей».
В соответствии с приведенными выше объяснениями разницы между
погрешностями или ошибками случайными и систематическими первым,
т. е. случайным, приписывают следующие свойства:
1) При большом числе испытаний число погрешностей положитель-
ных и отрицательных одинаково, точнее говоря, одинаково часто про-
исходят равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку
погрешности.
2) Частота появления малых погрешностей больше, нежели частота
появлений больших в той же серии испытаний.
-а о dx +а
-----1-------------+ ++♦+++------+ +----!' ...
---X ----»
Фиг. 72.
Положим, что произведено весьма большое число Af испытаний и что
наибольшая по абсолютной величине погрешность есть а; вообразим,
что промежуток от—а до-]-а подразделен на весьма большое число п
равных частей, и будем это число п увеличивать беспредельно (фиг. 72).
Ясно, что из общего числа N погрешностей некоторое число будет
заключаться между х и x-]-dx. Число это будет:
1) пропорционально dx;
2) пропорционально 7V;
3) будет зависеть от величины х.
366
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
[ гл. VII!
Таким образом, обозначая это число через ds, будем иметь:
ds = N-f(x)dx, (1)
значит, вероятность dp того, что погрешность лежит между х и x-\-dx,
будет:
dp=f(x)dx. (2)
По свойству первому такова же вероятность и. того, что погреш-
ность лежит между—х. и —х—dx, поэтому функция/(х) есть функция
четная переменной х. Примем, что это будет функция от х2, т. е. по-
ложим:
/(*) = <р(х2), (3)
так что будет:
dp=<p(x2)dx. (4)
Все дело теперь свелось к определению вида функции <р(х2).
Положим, что наши испытания можно уподобить стрельбе в цель,
причем начало координат служит точкою прицеливания, отклонение же
от начала координат точки попадания составляет погрешность, появив-
шуюся при испытании.
Положим, что на щит наложена мишень, разграфленная на элемен-
тарные прямоугольники dx dy, как показано на фиг. 73а.
Фиг. 736.
Вероятность того, что точка попадания будет лежать в прямоуголь-
нике, коего ближайшая к началу вершина имеет координаты (х, у), равна
произведению вероятностей того, что погрешность лежит между х и x-\-dx*
т. е. <p(x2)dx, на вероятность отклонения равного у по оси Оу, т. е.
<р(У2Му, так что эта вероятность будет:
dp = <р (х2) <р (у2) dx dy. (5>
Вообразим также, что положена еще вторая мишень, разграфленная,
как показано на фиг. 736, на элементарные прямоугольники dtd’<\, при-
чем и ось О; проведена через точку т, тогда будет:
— х2 у2>
и также вероятность dp выразится произведением вероятности <р (0) d-t\,
что попадание лежит в полосе, прилегающей к оси 0$ (для которой т] — 0),
на вероятность, что оно лежит в полосе 5 = ]/ха-|- у2', эта вероятность
равна
< р (?2) dt = <р (х2 у2) (fc.
Таким образом, имеем:
dp = <? (0) <р (х2 + у2) dt df[, (6)
но <Rdr\ = dx dy, следовательно, на основании (5) и (6) .будет:
Ф (-с2) У (I/2) = Т (0) Т (х2 + р2). (7)
§ 121]
ФОРМУЛА ГАУССА И ПОВЕРКА ЕЕ
367
Это есть так называемое функциональное уравнение, которым опреде-
ляется функция <р(х2).
Сделаем на время
х2 — и, yz = v, <р(О) = с; (8)
тогда уравнение (7) напишется так:
< р(и)(р(п) = с<р(а+п). (9)
Придадим букве и какое-либо произвольное постоянное, независимое
от п, значение k, тогда будет:
< Р(и)<Р(Л) = с<р(и4-А); (Ю)
дифференцируя это равенство, имеем:
<р'(«)(р(Л) = с<р'(ы + Л); (11)
из (10) и (11) следует:
?'(и) __?'(« + *) .
?(«) т(и-1-А) ’ '
положив
4? = £2(«),
напишем предыдущее равенство так:
£2 (и) = £2 (я -ф* ^)»
которое должно иметь место ;при всяком значении букв и и k\ поло-
жив и = 0, получаем:
£2(0) = £2 (Л),
т. е. при любом значении аргумента k функция £2 сохраняет свою вели-
чину £2(0), значит, это есть величина постоянная", обозначив ее через Ь,
имеем:
44=^
<р (и)
откуда по интегрировании имеем:
In <р (u) = Z>«+In С, (13)
где С — произвольная постоянная, так же как и Ь.
Итак,
<о(и) = СеЬи, (13>
т. е.
<р(х2) = Се*Л
По свойству второму случайных ошибок функция <р(х2) должна быть
убывающая, значит постоянная b должна быть отрицательная. Положим
тогда будет:
. _ X_L
<Р(х2)=Се й* .
Очевидно, что, каково бы число испытаний N ни было, все погрет-
ности, число которых также 7V, заключаются между—оо и -(-©о, по-
этому на основании формул (1) и (3) будет:
+оо
<^ = д/ = д^ j <t(x2)dx,
—00
^68
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
[ гл. VIII
*г. е.
4-ао 4-оо л2
^(x2)dx=C Je лг =1.
—00 —оо
Но интеграл
4-оо _ х2 4-оо
j е л’ dx =h J е z dz = h-У к,
—оо —оо
следовательно,
С = Ц=,
,и мы имеем окончательно:
X5
1 Л2
/(х) = <Р(х2) = -^е . (14)
Л Г я
Это и есть знаменитая формула Гаусса.
§ 122. Приведенный вывод формулы Гаусса заключает ряд более или
менее произвольных допущений, другие выводы этой формулы также
не свободны от этого недостатка, поэтому формула Гаусса подвергалась
многократно проверке опытным путем.
Все такого рода проверки основаны на сличении действительного
распределения погрешностей при большом числе испытаний с распреде-
лением их, рассчитанным по формуле Гаусса.
Пусть полное число испытаний есть TV, тогда число погрешностей,
лежащих между—/и 4”Л будет на основании формул (1) и (3):
Заметим здесь же, что это есть вместе с тем и число погрешностей,
абсолютная величина которых лежит между 0 и I.
Для функции
^-* = 0(0
О
-составлены таблицы, выдержка из которых приведена ниже. (стр. 370).
Таким образом, будет:
(16)
Очевидно, что число погрешностей, абсолютная величина которых
лежит между 0 и т, будет:
5«=Л/0(т). <17’
следовательно, число погрешностей, лежащих между I и т (по абсолют-
ной величине), будет:
[° (т)-»(£)]• <18>
поэтому, зная для данной серии наблюдений величину h и задаваясь
^значениями I и т, распределим число погрешностей по величине их.
§ 124]
ФОРМУЛА ГАУССА И ПОВЕРКА ЕЕ
369
§ 123. Как видно, чтобы пользоваться предыдущими формулами,
надо определить величину h для рассматриваемой серии наблюдений.
Эта величина находится лучше всего по сумме квадратов погрешно-
стей, происшедших при данной серии испытаний, принимая, что эта
сумма равна тому ее значению, которое рассчитывается по формуле
Гаусса.
В самом деле, число погрешностей, заключенных между х a x-\-dx,
есть
X»
1 №
ds = Nf(x) dx = N e dx,
h V w
величина же этой погрешности есть X, значит в состав суммы квадра-
тов войдет от нее величина
x2ds = N' х2е * dx
Л К»
и, значит, теоретическая величина суммы квадратов погрешностей
будет:
J J
—ОО о
но интеграл
ОО ___X2 00 оо
0 0 о
Отсюда следует:
Л2 _ S
2 ДО ’
Как уже сказано, величину S полагают равной действительно полу-
ченной при испытаниях сумме квадратов погрешностей, т. е. полагают
где
е1> ®2» е3> • • •»
— сказанные погрешности.
Таким образом, будет:
Л2 _ g? + e2 + £3 + ‘-*+,fcN ^20)
Величина
(21)
называется среднею квадратичною или просто среднею ошибкою данного
ряда наблюдений, и формулу (19) пишут часто так:
h = 1.414ри (22)
и вместо h задают у..
§ Г24. Чтобы ознакомиться с общим ходом функции
t
0(/)=-^Ce-2’dz,
г к J
о
приводим краткую таблицу значений ее (табл. 89).
24 А. Н. Крылов
370
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
[ ГЛ. УШ
Значения функции 6(0 = 2 й ‘Л 0 Таблица 89-
t 0 (0 t ©(0 t в(0 t 0(0 t о (0
0.00 0.0000 0.50 0.5205 1.00 0.8427 1.50 0.9661 2.00 0.9953
0.05 0.0564 0.55 0.5633 1.05 0.8624 1.55 0.9716 2.05 0.9963
0.10 0.1125 0.60 0.6039 1.10 0.8802 1.60 0.9763 2.10 0.9970
0.15 0.1680 0.65 0.6420 1.15 0.8961 1.65 0.9804 2.15 0.9976
0.20 0.2227 0.70 0.6778 1.20 0.9103 1.70 0.9838 2.20 0.9981
0.25 0.2763 0.75 0.7112 1.25 0.9229 1.75 0.9867 2.25 0.9985
0.30 0.3286 0.80 0.7421 1.30 0.9340 1.80 0.9891 2.30 0.9989
0.35 0.3794 0.85 0.7707 1.35 0.9438 1.85 0.9911 2.35 0.9991
0.40 0.4284 0.90 0.7969 1.40 0.9523 1.90 0.9928 2.40 0.9993
0.45 0.4755 0.95 0.8209 1.45 0.9597 1.95 0.9942 2.45 0.9995
0.50 0.5205 1.00 0.8427 1.50 0.9661 2.00 0.9953 2.50 0.9996
2.60 0.99976 2.90 0.999959 3.20 0.9999940 3.50 0.99999926 3.80 0.999999922
2.70 0.99987 3.00 0.999978 3.30 0.9999969 3.60 0.99999963 3.90 0.999999965
2.80 0.999925 3.10 0.999988 3.40 0.9999985 3.70 0.99999982 4.00 0.999999985
Из таблицы 89 видно, насколько быстро функция 0(/) прибли-
жается к 1.
Заметим здесь же, что, положив в (16) 1 — р, получим, так как
j«____L•
h У2 ’ ...
s =W0(-LA,
* \/2Л
и мы, интерполируя, получим:
0 (0.707) = 0.6.827,
т. е. приблизительно 68% общего числа погрешностей меньше средней
ошибки.
2
Положив / = -^==1.414, т. е. Z = 2|i, получим:
в (1.41) = 0.953,
т. е. 95% числа погрешностей не больше 2|*.
Взяв t = ~.— = 2.12, увидим, что 99.70% всех погрешностей не пре-
У 2
вышают 3(1, и, наконец, взяв /=-^==2.83, видим, что из 100 000 по-
грешностей, следующих закону Гаусса, лишь семь будут превышать 4ji,
т. е. четырехкратную величину средней погрешности.
§ 125. Приведем теперь некоторые результаты проверки формулы
Гаусса.
Первая такая проверка была произведена в 1818 г. знаменитым астро-
номом Бесселем при обработке им наблюдений Брадлея и своих собст-
венных. Числа третьего столбца таблицы 90 рассчитаны по форму-
лам (16) —(18).
S 125]
ФОРМУЛА ГАУССА И ПОВЕРКА ЕЕ
371
Таблица 90
Наблюдения склонений
Число наблюдений N = 300; ц== 1".6239
Пределы погрешностей Число погрешностей Разность теор.—дейст- вит.
действит. теоретич.
0",0—0".4 66 58.5 —7.5
0.4—0.8 58 54.9 —3.1
0.8—1.2 55 48.6 —6.4
1.2—1.6 28 40.8 • 12.8
1.6—2.0 27 31.8 4.8
2.0—2.4 23 22.7 —0.3
2.4—2.8 10 16.5 6.5
2.8—3.2 15 10.8 —4.2
3.2—3.6 8 6.6 —1.2
3.6—’4.0 4 3.9 —0.1
4.0 и более 6 4.2 —2.8 -
Так, например, первое из них
h = 1.414р. = 2.295, / = 0.4, -^- = 0.174, W = 300,
0(0.174) = 0.195, АЛ=300-0,195 = 58.5.
Таблица 91
Наблюдения прямого восхождения
Число наблюдений # = 300; ц =-0".2283
Пределы погрешностей Число погрешностей Разность теор.—дейст- вит.
действит. теоретич.
0".0—0".1 114 100.5 — 13.5
0 .1-0.2 84 84.0 0.0
0 .2—0.3 53 57.6 4.6
0 .3—0.4 24 32.7 8.7
0 .4—0.5 14 15.3 1.3
0 .5—0.6 6 6.0 0.0
0 .6—0.7 3 2.1 —0.9
0 .7—0.8 1 0.6 —0.4
0 .8—0.9 1 0.0 —1.0
24*
372
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
[ гл. VIII
Таблица 92
Наблюдения прямого восхождения
Число наблюдений N = 470; р = 0".4033
Пределы погрешностей Число погрешностей Разность теор,—дейст..
действит. теоретич.
0".0—0".1 94 92.3 —1.7
0.1—0 .2 88 86.5 —1.5
0.2—0 .3 78 76.7 —1.3
0.3—0 .4 58 64.0 6.0 :
0.4—0 .5 51 49.8 —1.2
0.5—0 .6 36 36.7 0.7
0.6—0 .7 26 25.4 —0.6 ।
0.7—0 .8 14 16.9 2.9
0.8—0 .9 9 9.0 0.0
0.9—1 .0 7 6.1 —0.9
1.0 и более 9 6.1 —2.9
Приведем еще два примера: при сводке землемерных работ северной
Италии определены погрешности суммы трех углов треугольника в двух
сериях наблюдений, из которых в первой был 661 треугольник, во вто-
рой 1577.
Результаты приведены в таблицах 93 и 94.
Таблица 93
Наблюдения углов
Число наблюдений А7=661; р=14".О8
Пределы погрешностей Число погрешностей Разность теор —действит.
действительное теоретическое
От 0 до 1".768 68 АГ-0.1000=66 —2
0 > 3.566 139 АГ-0.2000=132 —7
0 > 5.424 200 АГ-0.3000=198 —2
0 » 7.383 265 АА0.4000=264 —1
0 > 9.500 333 7V.0.5000=331 —2
0 > 14.08 457 АГ-0.6827=451 . —6
0 » 23.16 586 N-0.9000=595 9
0 » 36.27 , 653 АА0.9900=654 1
0 > 46.35 661 AA0.9990=660 —1
0 > 54.79 661 АГ-0.9999=661 0
§ 126]
ФОРМУЛА ГАУССА И ПОВЕРКА ЕЕ
373
Таблица 94
Наблюдения углов
Число наблюдений №=1577
Средняя ошибка (*=17". 13
Пределы погрешностей Число погрешностей Разность теор.—действит.
действительное теоретическое
От 0 до 2".141 133 ^0.1000=158 25
0 > 4.334 303 №0.1000=315 12
0 > 6.595 473 №0.3000=472 — 1
0 > 8.976 672 №0.4000=631 — 1
0 > 11.564 760 № 0.5000=788 28
0 > 17.13 1044 №0.6827= 1077 33
0 > 28.08' 1408 №0.9000=1419 11
0 > 44.12 1570 №0.9900=1561 — 9
0 > 56.39 1577 № 0.9990= 1575 — 2
0 » 66.65 1577 №0.9999=1577 , , 0
Эти примеры с достаточною ясностью показывают степень согласия
формулы Гаусса с действительностью. Формула эта проверена множе-
ство раз на самых разнообразных наблюдениях, и согласие всегда полу-
чалось примерно такое же, как в примерах, приведенных выше, поэтому
формулу Гаусса можно считать отвечающей действительности и приме-
нять выводы, из нее следующие, к обработке наблюдений всякого рода.
§ 126. Прежде чем показать упомянутые применения, поясним неко-
торые термины, принятые при этом.
Уже было сказано, Что среднею ошибкою для данного ряда наблю-
дений называется величина, определяемая равенством
где в,, е2, s3,..., eN — полученные при наблюдениях погрешности, 7V—
число наблюдений.
Из таблицы значений функции 0(f) (табл. 89) и формулы (16) сле-
дует, что из общего числа М погрешностей
0.843А/
будут заключаться между пределами —h и -J-Л.
Из той же таблицы видно, что аргументу
t = 0.477
соответствует значение ©(/)= 0.500, следовательно, O.5O2V, т. е. поло-
вина всех погрешностей, будет заключаться между
—0.477Л и Ч-0.477А,
374 СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ [ гл. VIII
а так как Л= j/2p-= 1.414[», то предыдущая величина составит:
—0.674р. и 4-0.674p,
т. е. половина всех погрешностей заключается между этими пределами,
а вторая половина — вне их.
Величина
г = 0.674р.
называется вероятною ошибкою или вероятною погрешностью.
Любая из величин Л, г, р., которые связаны между собой соотноше-
ниями
А= 1.414р. = 2.097г,
г = 0.674р. = 0.477А, (23)
р. = 0.707Й = 1.483г,
может служить характеристикою точности данного ряда наблюдений,
ибо, зная любую из них и имея таблицу значений функции 0(£), легко
рассчитать, как показано выше, распределение погрешностей при боль-
шом числе наблюдений.
Обыкновенно такого расчета не делают, а приводят для характери-
стики ряда наблюдений или величину вероятной ошибки г, или же ве-
личину средней ошибки.
§ 127. Итак, примем закон Гаусса и посмотрим, какие следствия из
него вытекают в применении к обработке наблюдений.
Положим, что при измерении, произведенном k раз при одинаковых
условиях и тем же самым прибором, получены такие результаты:
^2> • • •»
спрашивается, чему равно наиболее вероятное значение этой величины.
Пусть это значение есть х, тогда погрешности измерений суть
Sj = X —
ей = х- а*.
Вероятность совместного появления этих k погрешностей, предпола-
гаемых попарно независимыми, будет пропорциональна величине
следовательно, то значение х будет вероятнейшим, при котором вели-
чина (**) будет наибольшею, т. е. сумма
квадратов погрешностей будет наименьшею.
Заменяя величины гь г2,..., &к их выражениями (*), видим, что опре-
деление х свелось к нахождению такого его значения, при котором
величина
V=(x- atf + (х- а2у +. + (х - aj*
становится наименьшею.
Отсюда следует для определения х уравнение
о= -^- = 2[(х — а1) + (х-^а2)+... + (х — аЛ)],
§ 1281
СРЕДНЯЯ ОШИБКА И ЕЕ СВОЙСТВА
375
которое даст
_ а1 + °2 + аз + • • • + °*
k \’
что показывает, что вероятнейшее значение есть среднее арифметиче-
ское из наблюденных значений.
Таким образом, закон Гаусса привел к тому правилу, которое как
бы инстинктивно применялось без всякой теории.
Заметим, что и наоборот, если принять за постулат или основное
допущение, что из ряда наблюдений той же самой величины наивероят-
яейшее значение есть среднее арифметическое из наблюденных значе-
ний, то из этого допущения следует закон Гаусса (так его вывел и сам
Гаусс). Более того, Чебышев показал, что если вероятнейшее значение
из трех наблюденных есть их среднее арифметическое, то выводится за-
кон Гаусса для вероятности погрешностей1).
§ 128. Во многих случаях искомый результат находится не непосред-
ственными измерениями, а измеренная величина вводится в какую-нибудь
формулу, по которой искомая затем вычисляется, — ясно, что всякой
ошибке в данных будет соответствовать и ошибка в искомой. Пусть
искомая величина есть z, величина, непосредственно измеренная, есть х,
зависимость между г и х:
г=/(х). (24)
Пусть истинная величина х есть
х = а,
значит, истинная величина z есть
z=f(a) = b.
Положим, что при измерении величины х получены значения
и, значит, сделаны погрешности
®1 — О ^1, 1 ^2» • • ~
так что средняя ошибка величины х есть
(25)
(26)
спрашивается, чему равна средняя ошибка величины г.
Очевидно, что значения г, рассчитанные по формуле (24), будут:
bi=f(al)=f(a — еО,
b2=f(a2)=f(a — е2),
^=/(ай) =/(«-**).
соответственно чему будут ошибки
*11 = b — bi —f(a) —f(a — ei) = е/ (a),
т)2 = b — b2 —f(a) —f(a — e2) = e2/' (a),
= b — bk —f(a) —f(a. — вЛ) = 8ft/'(a),
1) П. Л. Чебышев. Теория вероятностей. Изд. АН СССР, 1936, стр. 233.
376
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
[гл. VIII
ибо величины еь е2,..ек предполагаются столь малыми, что в разло-
жении функций
/(a —si). /(а — е2),...,/(а — eft)
по тейлорову ряду можно ограничиваться лишь первым членом.
Средняя ошибка величины z будет:
. •п— |/ к — / W у ; к ’.
т. е. на основании формулы (26)
•П = е/'(«)- (27)
Заметим простейший случай этой формулы, именно когда
z = Ax, ' . (28)
причем А есть постоянная, то будет:
ц«=Л«. (29)
§ 129. Положим Теперь, что искомая величина z получается как
функция двух переменных х и у, каждая из которых определяется
й отдельности по самостоятельным наблюдениям независимо одна от
другой. Эти величины могут быть и различных наименований, напри-
мер х может представлять длину, ay — угол.
Если в величине х средняя ошибка есть а, а в величине у средняя
Ошибка р,—спрашивается, чему равна средняя ошибка у величины z,
определяемой уравнением
z=f(x, у).
Начнем с простейшего случая
z=x^-y,
и пусть истинная величина х есть а, а измеренные
аь а2, а3,..., ал
и» значит, ошибки измерений
Л । — CL ^1» • • • , k
тогда средняя ошибка переменной х
a. j= у л , , (•jU)
точно так же пусть истинная величина у есть Ь, измеренные
Ь2,..Ьп,
ошибки измерений
$1 = Ь — ЬЬ $2 = b — b2, .... P„ = /> — bn
и средняя ошибка -
Р = + + + # (31 )
Чтобы вычислить равновозможные ошибки для величины z, необхо-
димо иметь в виду, что измерения х и у между собою независимы, по-
этому было бы неправильно комбинировать только
а\-^-'Ьу ' а2-\^Ь2........
и т. д. и соответствующие ошибки
al + Ph а2+?2
§ 129]
СРЕДНЯЯ ОШИБКА И ЕЕ СВОЙСТВА
377
и т. д., а при независимости наблюдений каждая из ошибок ряда а мо-
жет с одинаковою вероятностью произойти совместно с каждою из
ошибок ряда 0, так' что возможные значения величины у суть:
а1“Ь₽1» а1 + ₽2» а1+ ?з» • • •» а1+ ₽я»
аз+ ₽ь аг + ₽2». а2~Ь ?з» -• •» аг+
а*+ ?1» ?2» а*+ ?8> • • •» а*+ ₽»,
т. е. у принимает kn возможных значений. Сумма квадратов этих зна-
чений будет:
Еу* = nSa* + kbft -f-2Еа.. E₽z,
но по основному свойству случайных ошибок (ошибки с-1- и с—одина-
ково вероятны) будут иметь место равенства
Eaz = 0, Е^ = 0.
Значит, будет:
но
следовательно, будет:
у = (32}
т. е. средняя ошибка суммы двух независимых величин равна корню
квадратному из суммы квадратов их средних ошибок.
Из этой теоремы по сопоставлении с предыдущею следует, что для
величины
z = Ax-]-By (33)
средняя ошибка у будет
у = УЛ2а2-|-В2^ (34)
стоит только положить на время
и^=Ах, о=*Ву,
так что
z = и -|- V,
и применить формулы (29) и (32).
Отсюда ясно, что для величины
z = Ах-]-By-]-Ct (35)
будет:
у = / Л2а2+ В2[$2_|-С282, (36)
где а, р, у суть средние ошибки величин х, у и t, стоит только, положив
на время
v = By-]-Ct,
. применить предыдущие формулы к сумме
, z = u-]+v.
Отсюда заключаем, что вообще для величины
z = Ах-]- By-]- Ct-]- .. . -j-Fw
378
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
[ ГЛ. УШ
средняя ошибка будет:
Y = УЛ2а2 + В2?» + С282 +... + F2®2, (37)
при само собою понятном обозначении.
Если положим теперь, что вообще
z = /(x, у, t...да),
то ошибка в величине z, соответствующая ошибкам
будет на основании тейлорова ряда
Ъ=/(а, b, ..., h)—f(a — al9 b — $lt ...,/1 — ^) =
== °-1-fx {a- b.h) + ^ify («. b.k) + • • • + °>i ‘f'w («, b.A),
«ли, полагая
Л=4(а,А,...,А), B=4(a, A,..., A),.. .,Г=/Ш(а, b........A),
будет:
Y/ = Ла/-}-В₽/4- • • • + ^7<bp
t. e. yz выражается совершенно так же, как каждая отдельная ошибка
линейной функции
z = ЛхЦ- By-]-.. .-|-Гда,
следовательно, будет:
Y=K Л2а3 + В2^2+...4-Г2ш2 . (38)
Если бы величина z определялась как неявная функция уравнением
O(z, х, у, /,..., да) = О, (39)
то ее частные производные будут:
А ==— Q'x^c' а' b.А) В = — Gy^C' а,Ь....
й'г (с, а, Ь,..., Л) ’ О’г (с, а, Ь,..., Л)
р ____О (г, л, bt •.., Л)
* ’’ G'z (с, а, Ь,,.., Л) ’
причем с есть истинная величина z, определяемая из уравнения
G(c, а, Ь, ..., А) = 0. (40)
Само собою разумеется, что формула (38) как общая заключает в себе
формулы (36), (37) как частные случаи.
§ 130. Мы видели, что если величина х определяется непосредст-
венно из наблюдений, то ее вероятнейшее значение есть среднее ариф-
метическое
______ а1 + а2 4- ... 4- ак
, Х___1----------------
«з наблюденных значений, которые все предполагаются одинаковой точ-
ности и имеющими среднюю ошибку е; спрашивается, какова средняя
ошибка величины х.
Можно вообразить, что х есть линейная функция переменных.
х2....хл,
х----------k Х2+’ +
131 ] РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ ПО МЕТОДУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 379
причем каждая из переменных xlt х2,..., xk имеет среднюю ошибку в,
тогда по формуле (38) средняя ошибка х будет:
В этом же отношении 1 k будет и вероятная ошибка величины х
« величин аг
Заметим здесь же, что формула (41) получена в предположении, что
средняя ошибка величин а{ известна, для этого же надо, чтобы было
известно и истинное значение а величины х, тогда ошибки еь е2,..., еА
отдельных наблюдений будут:
в] = а — aJt е2 = а—а2,...,гл = а — ак (42)
и средняя ошибка
по большею частью истинное значение х неизвестно, тогда вместо него
берут вероятнейшее, т. е. полагают
в1 + + • • • + аь •
a— k
я, рассчитав по формуле (42), величины
®1> е2» • • • »
рассчитывают величину е не по формуле (43), а по формуле
так что будет:
(44)
(45)
Формулу (44) выводить не будем.
§ 131. Мы рассмотрели тот случай, когда искомая величина одна
« когда она определяется из непосредственных наблюдений; более общий
и часто встречающийся случай такой: имеется несколько, скажем п,
неизвестных величин
х, у, z,, w, (46)
для определения которых каждое наблюдение доставляет уравнение вида
F(x, у, z....®) = Л-|-а. (47)
так что если произведено k наблюдений, то* получается k уравнений
F{(x, у, z,. ..,w) = Nl = ?l14-a1, |
F2(x, у, z, ...,w) = N2 = A2 + a2, I
................................ ( (4Й)
у, z............................w) = ^ = 4 + %, j
причем Fi, F2,.. .,Fk будут вполне определенные функции, ЛГ,» N2,.... Nk—
величины, даваемые наблюдениями, Ai А2,..., Ak—некоторые постоянные,
•о которых будет сказано ниже, ab a2,— малые поправки к ним.
Если число наблюдений k равно числу неизвестных п, то из урав-
нений (48) получаются значения этих неизвестных, в точности этим урав-
380
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
[ гл. УПГ
нениям удовлетворяющие, но тогда судить о величине ошибок наблю-
дений нельзя, поэтому распоряжаются так, чтобы число k наблюдений,
а значит, и число уравнений (48) было значительно больше числа п
неизвестных.
Взяв в системе (48) п уравнений, определяем из них значения неиз-
вестных х, у, z,...,w, которые для простоты дальнейших вычислений
округляем, так что они будут представлять приближенные значения этих
неизвестных; обозначаем эти значения через
х0, Уо, До,..., w0. (49>
Подставляем эти величины в первые части уравнений (48) и вычисляем
значения Fi(x0, Уо, д0,..., и»о) = Ль F2 (х0, Уо, z0, ..., w0) = А2, (50> F* (хо, Уо, Zo,..., w0) = АЛ;
тогда будет:
aj=jVj. — Л1, a2 = TV2 Л2,... , а/1 — Ь7к—А*,
причем единственно только величины а подвержены погрешностям
наблюдений' вместе с тем эти величины будут малые.
Так как величины хс, уй, z0,..., w0 уравнениям (48) удовлетворяют
лишь приближенно, то, чтобы получить более точные значения, полагаем;
х = хо + ^. У = г/о + 'П> Z=s=Zo+^ • • • . W = ®o + “>
причем 5, т], С,..., ш суть те поправки, которые надо присовокупить-
к значениям х0, у0, z0,..., we. Эти поправки предполагаются настолько-
малыми, что при разложении функций
Уо + 'П, + (г=1, 2,... ,k)
по тейлорову ряду можно ограничиться лишь первыми степенями величин
?, 7]................................ш,
так что будет:
Уо + Ч> • • • > woЧ-®) =
= (F)0 + ?('-^-') +..« + ®йг^ (i=l,2, 3...........k),
4 i дх Jo 1 \ ду Jo 1 1 \ dw , о '
при само собою понятном обозначении; тогда на основании равенств (50)
уравнения (48) заменяются следующими:
4-...=а, (i=l,2...k), (51)
\ дх Jo 1 1 \ ду /о 1 1 \ dw Io • ' ' ' '
причем величины коэффициентов
(дРЛ /dFA
\ дх Jo* \ ду Jo.\dw Jo
будут известные постоянные, происходящим при наблюдениях погреш-
ностям не подверженные. Обозначая их соответственно через
ар bt,...,g.,
будем для определения неизвестных
6, 7|, ..., о>
3 132]
СОСТАВЛЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
381
иметь k линейных уравнений вида
Ч- ~h с1’ + • • -Ч-£1® = аь
^г'ПЧ- С2^Ч“ • • • Ч~ Si*0 — а2»
(52)
а^Ч-МЧ-с^Ч- • • •+^*ш—ai
число которых k значительно больше, числа неизвестных, и величины
а1» а2» • • ’ ’ а*
доставляются непосредственными наблюдениями.
Является вопрос, каким образом сочетать эти уравнения для полу-
чения вероятнейших значений наших неизвестных.
Примем сначала, что средние ошибки всех величин а,, а2,..., ая оди-
наковы, т. е. что все наблюдения имеют одинаковую степень точности.
§ 132. Итак, мы пришли к такому общему вопросу: дана система k
уравнений
a154-^i‘*l4-ci^4’-. • 4_£’i<D = ai» а2^Ч~ ^2 ^Ч- С2^Ч~ • • • 4" ^2Ш = а2» (53)
МЧ- ^Ч- • • .Ч-&<“=%
5, »}, С...............................................«>,
с п неизвестными
число которых значительно меньше числа уравнений; известные члены
а1» а2> ••••»
этих уравнений доставляются непосредственными наблюдениями, тре-
буется найти вероятнейшие значения неизвестных.
Положим, что мы взяли какую-нибудь систему значений
5 = ?о> *1 = Чо. • • •»°»= °>о»
подставили в уравнения (53) и составили разности
ai^o_b ^ГПо ~Ь....Ч" Si^o — ai = е1»
°2^о 4- + • • • Ч* £гшо — а2 = ®2»
(54)
(55)
Мо+ • • • + — % = еА,
то эти разности будут представлять те случайные ошибки, которые
должны бы иметь место в наблюденных величинах ab a2,..., aA при
системе значений (54).
Вероятность такого совместного появления этих ошибок по закону
Гаусса пропорциональна величине
( 1 \*
ибо, по предположению, средняя ошибка всех величин а, одинакова,
значит величина h везде одна и та же.
Сказанная вероятность будет наибольшею, когда сумма
будет наименьшею.
382
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
[ ГЛ. VIII
Отсюда следует, что для разыскания вероятнейших значений наших
неизвестных надо составить выражение
.+gi®—а,)2 4- (0254- М+ •••+&<*> — а2>2 +
+•. • ♦ •4~£лш %)2 (бб>
и определить неизвестные
5, 1) , . . . ,
так, чтобы величина V была наименьшею.
По известному правилу эти значения определяются уравнениями
дУ
di
= 0,
£ = 0,.
которые в развитой форме будут:
ai (а1£~Н 4“ • • • + £1“) + а2(а^~Ь • • • + £г®) + • • •
• • • + (^+ М + • • • + ^®) = 2 atai'
I
bi (at 4- 4- ... 4- ^ш) 4- b2 (а25 + • • • + &®) + • • •
• • • + ьь (а*5+^+ • • • + &®) = ЪЬ1а1'
I
(58)
4Г1 (а1^ + ^1Ч+ • • • + £1®)+ ^2(а2« + • • • +&“’)+ • • •
• • • +& +м + • • •+&ш)=2
Уравнения (53) называются условными или основными, уравнения (58) —
нормальными. Очевидно, что число нормальных уравнений равно числу
неизвестных, каково бы число условных ни было.
Формулы (58) выражают следующее правило составления нормальных
уравнений по данным условиям.
Основное правило. Для составления первого нормального урав-
нения по данным условным надо каждое из условных уравнений умножить
на коэффициент при первой неизвестной, в этом уравнении стоящий,
и все полученные таким образом уравнения сложить.
Для составления второго нормального уравнения надо каждое из
условных уравнений умножить на коэффициент при второй неизвестной,
в этом уравнении стоящий, и все полученные таким образом уравнения
сложить.
Совершенно так же поступать и для составления прочих нормаль-
ных уравнений.
Таким образом, нормальная система уравнений будет, если опустить
для простоты письма значки под знаками сумм:
Sq2.54.4.£ас.;;4., ф .4- %ag-& = Еаа,
Е/ю-54-Е/>2 -т]4-Е/>С<4-.. .4-Е/>£-ш=Е6а,
Еса^4~^с^ •,»i4~ Ес2 ’С+ • • • 4~2С£Г,Ю = 2с а,
Е^а-64-Е^&"»)4-2^с^+ • • .4-2£2-®= 2^а-
Очевидно, что суммы
SaZ> — Е/>а, Еас = Еса,...,
(59)
(60)
§ 133]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНЫХ ОШИБОК
38»
т. е. все суммы, симметричные относительно главной диагонали, между
собою равны, таким образом, составление нормальных уравнений сводится
к вычислению следующих сумм:
Еа2, 'Sab, Sac...Sag, Sa а,
Sb2, Sbc,...,Sbg, Sb a,
Sc2 Scg, Sc a,
S^2, Sg a;
каждая сумма состоит из k членов, вычисление которых по логариф-
мической линейке совершается весьма просто по схеме, которая будет
указана ниже.
Ввиду множества умножений необходимо при самом вычислении
иметь постоянный контроль, чтобы убеждаться, что не сделано ошибок.
Для этого для каждого условного уравнения надо составить сумму
всех коэффициентов и известного члена, т. е. надо составить суммы
Si = ai4"^i4-Ci4’-• •4~£г14-аь
s2 = a24-/>2 + c2-]- .. .+^2+ а2»
sk — аи + Ьк~^~ сл+ • • • + Sk + а*:
тогда, очевидно, будет:
Sas —Sa2 -|-Sab 4-Sac-j- .. .-f-Sa^+Saa,
Sbs = Sba -j- Sb2 —Sbc -}-... -I- ^bg —Sb <1,
Sgs = Sga + Sgb4- Sgc -j-... -j- Sg2 4- Sg'a;
эти равенства и служат контролем вычисления.
§ 133. Прежде чем объяснить составление схемы для вычислений
покажем, каким образом вычислить средние ошибки неизвестных
5, -»), С.<•>.
Положим, что найденные решением нормальных уравнений вели-
чины 5, т)....«> подставлены в заданные основные уравнения и вычис-
лены отклонения
а^ + ^ + сЛ + -•• + £?> — ai = vi G=l. 2,...,b).
Эти отклонения будут представлять величины погрешностей в наблю-
денных значениях ai, a2,..., aft, если определенные из нормальных урав-
нений вероятнейшие значения величин 5, т),..., <о принять за истинные
их значения, что мы на время сделаем, и положим
a,-&4~ М+СЛ+ ••• + «?> — ai = е/ («= 1, 2,.... k)\
тогда средняя ошибка наблюденных величин ab a2,..., ак будет:
8 = |/ ^ + ^4-... + ^
Но так как 5, ц,..., <о не суть истинные, а лишь вероятные значения,
то, подобно тому как для одного уравнения, полагают
8 = 1 f ^ + ^ + ... + 4 . (бз<)
У k — п
Очевидно, что суммы
Sa a, Lb a, Sc а,. (64}
-384
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
[ ГЛ. VIII
-суть линейные функции величин
а1> а2> • • • »
(65)
коэффициенты ab bb ...,gk не подвержены ошибкам наблюдений и суть
постоянные, то ясно, что и, искомые величины В, .<о будут линей-
ными функциями сумм (64)? а значит, и линейными функциями величин
аь а2,..., а*. (66)
Пусть будет:
5 = X1ai-f-i2a2-[-. ...4* (67)
причем множители
^1» ^2» • • • »
зависят только от коэффициентов
«ь ...................................g*
основных уравнений.
Если бы мы эти множители нашли, то по формуле (38) нашли бы
я среднюю ошибку 0 величины $, именно было бы:
?2 = (^ + ^ + -.. + ^)е2.
ибо средняя ошибка всех наблюденных величин (66) одна и та же
.и равна е.
Все дело, таким образом, свелось к определению величины
Представим себе, что мы систему нормальных уравнений решали бы
ло способу множителей, т. е. первое уравнение умножили бы на множи-
тель Mi, второе — на множитель М2 и т. д., последнее —на множитель Мп
и, сложив полученные уравнения, определили бы множители А4Ь М2, ...,Мп
так, чтобы было:
MiSa2 + M2£a/>4-M3Sac+... + A4„Sa^= 1, '
'AfiSa/>4- M2Zb2 + Ms^c+... 4- MZbg = 0,
Mfiac 4- M2Zbc 4- М3Ъс2 4-... + MnZcg = 0,
M£ag-\- M2Zbg-\- Af3Sc^4-.. .4- M^,g2 = 0, )
-то мы получили бы:
5 = Mfia a -J- M^Lb a 4“ M^g a
или, собирая члены иначе,
5 = ai [А!1014* M2bx-\- • • •4_-Мп£1]4~
4~ а2 [Mja24- А42/>24~ ••• 4” Mng2] 4"
(68)
(69)
+ % ‘м2Ьк-\- * (69')
Это выражение В должно тождественно равняться выражению (67),
ибо равенство этих двух выражений должно иметь место при всяких
значениях букв
а1» а2» • • •» а*>
§ 133]
ВЫЧЙСЛЁНЙЕ ВЕРОЯТНЫХ ОШИБОК
385
следовательно, будет:
, A1 = M1ai4-Af2^ + --- + Mngi,
2.2 = М ,а2 М2Ь2 + • • • + Mng2,
Л3 == М2^« + • • • + Mng3,
(70)
h = M*b* + • • • +
Отсюда следует:
А’-}-- = (aiMi+ ^1^2-1- • • •4-£’iAJ„)2+
^(a2Ml+'b2M2+:.:-]-g2Mny+
+ + (71)
Очевидно, что в правой части этого равенства находится однород-
ная функция второй степени букв
МЬМ2,..., Мп,
Обозначим эту функцию через
ф(Мь м2........................мпу,
по теореме об однородных функциях будет:
2Ф(АГ1.. M) = Mi ^ + М2^+Ма^+
' ° ’ Л* 1 dMi 1 2 дМ2 3 О/Ид 1 * п оМп
Но стоит только сличить функцию (71) с функцией V [формулы (56)],
чтобы видеть, что между ними разница лишь в том, что вместо букв
5, 7], С,..<о
написаны
Мь М2,.... Мп
и все величины ab a2,..., aft взяты равными нулю; поэтому первые
части уравнений (68) будут как раз:
-дФ дФ дФ
dMi ’ дМ2 ’ * ’ * ’ оМп 9
следовательно, на основании этих уравнений будет:
-^=1, *1=0, j£-=0............ Й-=0, (72)
dMi ’ дМ2 дМ^ ’ аЛ1п '
и значит, будет:
^4-^+-..+ ^ = ^, (73)
и средняя ошибка £ неизвестной В будет:
₽ = е|ЛЙр
Совершенно так же увидим, что, определяя множители
7Vb W2............................Na
так, чтобы было:
A^1Ea2+A/'2Sa^4-A^3Sac+. .. + N„Sa^ = 0,
N1Sa/? + iV2S^2+ /V3S/?c + . •• + Л7„£^=1,
^1SacЧ-^2S^ + ^8Sc2+• .. + N„lcg = 0, (74)
Ni^ag~hN2^bg-|-N^g2 = 0,
*25 А. Н. Крылов
386
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
[ гл. VIII
мы получим среднюю ошибку Л неизвестной -ц по формуле
y = sVA/2. (75}
Для определения средней ошибки о неизвестной С надо составить
систему
PiSa2+ P2Sab 4- P3Sac -L .. .4- Pnbag = 0,
P^ab -4 P^4- P^bc 4-... 4- PnZbg = 0,
Pi Sac 4- P2S*c 4- P3Sc2 + ... 4- Pn %cg = 1,
(76}
Pi^ag + P2Zbg+PBZcg4-... 4- Pn£g2 = 0;
тогда будет:
8 = s]/7V (77}
Имея средние ошибки, найдем и вероятные ошибки, умножив сред-
ние на 0.674, как указано в § 126, формулы (23).
§ 134. Мы предполагали, что все наблюдения, служащие для состав-
ления основных уравнений, обладают одинаковой точностью, т. е. что-
средние ошибки всех величин ,
а2» • • •>
одинаковы.
В том случае, когда почему-либо точность определения этих вели-
чин не одинакова и средние их ошибки различны и заданы или известны,
То надо сначала все условные уравнения привести к одинаковой сред-
ней ошибке или, как говорят, к «одинаковому весу». Это делается
следующим образом.
Пусть заданные средние ошибки наших наблюденных величин
ab a2> • • •»
суть
н,
тогда, вычислив величину
составляем величины
Р1= —, Р2 — ~ , • •Рк— —
I*! Н2 1*2 * I**
(79)
и каждое из основных уравнений (53) умножаем на соответствующего
ему множителя р.; очевидно, что мы получим систему уравнений, экви-
валентную (53), в которой вторые части будут:
и . м. и
а, — : а, ,.. .,а. —
1 н 1*2 * В*
(80)
т. е. все будут иметь одну и ту же среднюю ошибку у..
Из формулы (79) очевидно, что вместо самих средних ошибок можно
брать любые величины, им пропорциональные, чтобы сделать вычисле-
ние проще, например, если ^ = 0.02, то если мы все величины умнойсим
на 50, то у всех дробей (79) числитель будет 1. Ясно также, что для
всех тех уравнений для которых
будет:
pz=l.
$ 134]
ПРИВЕДЕНИЕ УСЛОВНЫХ УРАВНЕНИИ К ОДНОМУ ВЕСУ
387
Сделав приведение всех основных уравнений к одинаковой средней
ошибке или весу ’), поступаем с приведенными уравнениями для состав*
ления нормальных уравнений, как указано в § 127.
Необходимость и способ приведения всех уравнений к одному весу
или к одинаковой средней ошибке можно обосновать и несколько иначе,
исходя из формулы Гаусса.
Положим, что в уравнениях (53) § 132 известные члены аь а2,..., ай
подвержены средним ошибкам |i2,..., различной величины, со*
ответственно которым значения h в формуле Гаусса будут также раз-
личные, а именно:
I1! , h2 = 2....hk — 2,
так что вероятность совместного появления погрешностей
еЬ е2> • • ; ек
будет пропорциональна величине
1 _ (г2 + г2 +... + г2)
Й!Й2...ЙЦ^)* в
причем
г1= и 32=22.,..., зй=2»,
1 Й! 2 Й2 ’ * й*
следовательно, наименьшею должна быть не величина
*»
а величина
Очевидно, что одновременно с V\ будет минимумом и величина
V2 = q* Vt = (<А)2+(<?М2+ • • • + (<№
любое постоянное число.
причем q есть
Положив
^2 = °2, •••> ?3* = 3*>
будем иметь:
2
которое и должно быть минимумом.
Возьмем q = y.]/2, тогда будет:
°1 = — еь а2 — — г2> • • •• = — еА,
Н £*2 к V-к к
т. е. на основании уравнения (55)
н ' * ' * ' * ' '°1 и
а2= £;(а2?+М4-^+--- + ^2«’ — аг).
4*2
*) «Весом» называются величины р?.
24*
388 . . . , . СПОСОБ. НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. [ ГЛ. VJII
что показывает* что в этом случае для составления нормальных урав-
нений надо сначала . все условные уравнения привести к одйнаковой
средней ошибке, умножив их соответственно на
Н ’ 1*2 ’ ’ ‘ в* ’
причем у. может быть какое угодно.
Мы взяли выше
р, — +^2 +•••+4 .
можно было вместо этого брать, например,
1
или
Р = IV
или всякое другое значение, которое почему-либо упрощало бы вычис-
ление— результат от этого не изменится.
Величина у. есть та средняя ошибка, которой приписывается «вес»,
равный 1, и которую можно брать произвольно, ибо в окончательные
результаты значение ее не входит.
§ 135- Составим теперь схемы для вычисления, поясняя их одновре-
менно примером.
Пример этот мы возьмем из курса астрономии, читанного в Морской
академии Н. Я. Цингером, который был профессором в Морской ака-
демии более 40 лет.
Пусть величина W есть функция переменной f, определенная равен-
ством
‘ N = X4-yf+Z/2,
и требуется определить вероятнейшие значения коэффициентов X, У, Z
и их средние ошибки: р, у, 8, по следу ощчм девяти данным 7V, полу-
ченным из наблюдений с различными «весами».
Значения аргумента t ошибкам наблюдений не подвержены (табл. 95).
Таблица 95
i р? ' Pl
1 4-1,5 6.20 1/2 0.707
2 +1.1 3.45 1 1
3 +0.7 2.00 1 1
4 +0.3 1.80 1 1
5 -0.1 2.40 1 1
6 —0.5 4.55 1 1
7 — 1.0 8.85 1 1
8 —1.5 15.70 1/2 0.707
9 —2.0 24.40 1/4 0.500
§135)
ПРИМЕР ‘ '
389
Таким образом, составленные по непосредственным наблюдениям урав-
нения (47) будут:
х-1 Н.5КН -2.25Z = H - 6.20,
X- -1.1У- l 1.21Z = - - 3.45,
X- -0.7К- -0.49Z = - - 2.00,
X- - 0.3У- -0.09Z = - - 1.80,
X- -0.1У-1 -0.01Z=- - 2.40,
X- -0.5Г- -0.25Z = - - 4.55,
X- - 1.0Г- - 1.00Z = - - 8.85,
X- -1.5У- -2.25Z = - -15.70,
X- -2.0KJ -4.C0Z = - -24.40.
Прежде всего находим приближенные значения величин X, Y, Z; для
этого берем уравнения первое, пятое и восьмое и из них находим,
округлив,
Х0 = 2-4» Ко = — 3.2, Zo = 3.8.
Подставляя эти величины в левые части уравнений (*), находим те
гзначения, которые обозначены через А1г А2,..именно будет:
2.4— 1.5-3.2- 1-2.25 -3.8 = 6.15,
2.4- -1.1-3.2- -1.21-3.8 = 3.48,
2.4- -0.7-3.2- -0.49-3.8 = 2.02,
2.4- -0.3-3.2- -0.09-3.8 = 1.78,
2.4- L0.b3.2- -0.01-3.8 = 2.76,
2.4- - 0.5-3.2- -0.25 3.8 = 4.95,
.2.4- -1.0-3.2- h 1.00-3.8 = 9.40,
2.4- -1.5-3.2- -2.25-3.8 = 15.75,
2.4- -2.0-3.2- -4.00-3.8 = 24.00.
Вычитая эти значения из величин N, получаем следующие величины
чисел аь а2,..., а9:
-|- 0.05, —0.03, — 0.02; + 0.02, — 0.36, — 0.40, — 0.55, — 0.05, -J- 0.40;
таким образом, положив
Х = 2.4-Н, У=—3.2-Н, Z=3.8-|-C,
получаем следующие условные уравнения, написанные нами в таблице 96,
само собой понятной.
Таблица 96
i ai bi Ci ai Pi
t E00 1.5 2.25 0,05 0.707
2 1.00 1.1 1,21 —0,03 1
3 1,00 0.7 0.49 —0.02 1
4 1.00 0.3 0.09 0.02 1
5 1.00 —0.1 0.01 —0.36 1
6 1.00 —0.5 0.25 —0.40 1
7 1.00 — 1.0 1.00 —0.55 1
8 1.00 —1.5 2.25 —0.05 0.707
9 1.00 —2.0 4.00 0.40 0.5
390
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
( ГЛ. VIII
Умножив все показанные в этой таблице коэффициенты при неиз-
вестных и величины а, на р{, приведем все эти уравнения к таким, у
которых средняя ошибка известных членов ai pt будет одна и та же.
Эти приведенные уравнения и вписываем в столбцы И, III, IV, V
таблицы 97, в первом столбце которой вписаны нумера уравнений.
В столбец VI вписаны, суммы
$ = о—]- b —|“ с—|-<i.
В столбцы VII —XVIII вписаны произведения a2, ab, ас, . .., cs, как
показано в заголовках этих столбцов.
Вычисление начинается с заполнения столбца VI, после того для
проверки составляются суммы чисел, стоящие в столбцах II, III, IV, V,
VI. Число, стоящее в строке «суммы» и в столбце VI, должно быть
равно сумме чисел, стоящих в одной строке; так,
14.506 = 7.914 — 0.50+8.232 — 1.140.
Это служит поверкою.
После этого, поставив на логарифмической линейке ползун на число
Oj, заполняем первую строку столбцов VII, VIII, IX, X, XI. Затем ста-
вим ползун на число а2 и заполняем вторую строку тех же столбцов
и т. д. до последней их строки, после чего берем суммы чисел, стоя-
щих в этих столбцах, и проверяем вычисление по равенству
12.310 = 7.250 + 0.0 + 6.300 — 1.240.
Затем в таком же порядке заполняем столбцы XII, XIII, XIV, XV и
проверяем по равенству
6.300 + 0.0+1.425 + 0.620 = 5.495.
После этого в таком же порядке заполняем столбцы XV I, XVII, XVIII
и проверяем вычисление по равенству
11.837+ 6.300 — 1.425 — 0.298 = 16.414.
На этом заканчивается вычисление коэффициентов и известных чле-
нов нормальных уравнений. Решение нормальных уравнений и . вычисле-
ние отклонений приведены в таблицах 98 и 99 (стр. 392).
Когда вычисление производится логарифмической линейкой, и надо
иметь не только вероятнейшие значения неизвестных, но и средние или
вероятные их погрешности, то. выгоднее всего заменить известные члены
буквами, например А, В и С, и писать нормальные уравнения для на-
шего примера в таком виде:
7.2505 + 6.300С=Л,
6.300ч— 1.425С = В,
6.3005 — 1.425ч + 11.837С = С.
(81»
Исключение неизвестных для решения этих уравнений выгодно про-
изводить так: разделив каждое уравнение на коэффициент при первой
неизвестной (в нашем частном случае только первое и третье уравне-
ния), имеем: ;
5 +0.869Z = 0.1377 А,
6.300ч —1.425:= В,
5 — 0.2263ч + 1.880: = 0.1588 С;
Таблйца 97
Схема а пример составлений и рёшенйя нормальных уравнений
I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV XV XVI XV1I xvm.
№№
услов- ных урав- нений i е 5 с Cl «/ Si в/ «А aicl bia $ cFi
1 0.707 1.06 1.591 0.035 3.393 0.5 0.75 1.125 0.025 2.398 1.125 1.687 0.038 3.600 2.531 0.056 5.402
2 1 1.10 1.21 -0.03 3.28 1 1.10 1.21 —0.03 3.28 1.21 1.331 —0.033 3.608 1.464 —0.036 3.972
3 1 • 0.70 0.49 —0.02 2.17 1 0.70 0.49 -0.02 2.17 0.49 0.343 -0.014 1.519 0.240 —0.010 1.054
4 1 0.30 0.09 0.02 1.41 1 0.30 0.09 0.02 1.41 0.09 0.027 0.006 0.423 0.008 0.002 0.127
5 1 —0.10 0,01 —0.36 0.55 1 0.10 0.01 -0.36 0.55 0.01 —0.001 0.036 —0.055 0 -0.004 0,006
6 1 -0.50 0.25 -0.40 0.35 1 -0.50 0.25 —0.40 0.35 0.25 —0.125 0.200 —0.175 0.063 —0.100 Ю.088
7 1 -1.00 1.00 -0.55 0.45 . 1 -1.00 1.00 —0.55 0.45 1.00 —1.000 0.550 —0.450 1.000 —0.550 0.450
8 0.707 -1.06 1.591 -0.035 1.203 0.5 -0.75 1.125 -0.025 0.852 1.125 —1.687 0.037 —1.275 2.531 —0.056 1.915
9 0.500 —1.00 2.000 0.200 1.70 0.25 —0.50 1,00 0.10 0.85 1.00 2.000 -0.200 —1.700 4.000 0.400 3.400
Суммы 7.914 —0.50 8.232 —1.140 14.506 7.250 0 6.300 —1.240 12.310 6.300 -1.425 4-0.620 4-5.495 11.837 —0.298 16.414
§135] ПРИМЕР
Поверка: 7.914-0.5004-8.232—1.140=14.506 7.250-|-0.ООО6.300—1.240=12.310
6.300 4-0.000 —1.425 4-0.620= 5.495
11.837 4-6.300 —1.425 —0.298=16.414
Нормальные уравнения: 6.300?—1.425») 4'Ч'837?=—0.289
6.300q — 1.4255=4-0.620
7.250; 4-6.300?=—1.240
Таблица 98
Общее решение нормальных уравнений
Вычисление отклонений
5 с А В С
1 1 0 —0.2263 0.869 1.880 0.1377 0 0 0 0 0.1588
6.300 —0.2263 —1.425 1.011 0 —0.1377 1.000 0 0 +0.1588
1 1 • —0.2263 —4.469 0 0.609 0.1588 0 0 —0.702
—4.243. 0,609 —0.1588 —0.702
Таблица 99
№№ урав- нений i I II III IV V VI VII
сг$ Сумма (1)+(П)4-(П1) а1 4=(IV)-(V)
1 —0.214 0.141 0.242 . 0.169 0.035 0.13 0.017
2 —0.303 0.146 0.183 0.026 -0.03 0.06 0.004
3 —0.303 0.093 0.066 —0.144 —0.02 —0.12 0.014
4 —0.3Q3 0.039 0.014 —0.250 0.02 —0.27 0.073
5 —0.303 —0.013 0.002 —0.314 —0.36 0.05 0.003
6 —0.303 —0.066 0.038 ,—0.331 —0.40 0.07 0.005
7 —0.303 -0.132 0.152 —0.283 -0.55 0.27 0.073
8 —0.214 —0.141 0.242 —0.113 —0.035 —0.08 0.006
9 -0.152 -0.132 0.303 40.019 -Г 0.20 -0.18 0.032
** = 0.227
$=—0.14354 +0.374В 4-0.1654С
0.2263$=0.0323 4-0.0084 +0.0373
т)=—0.03234 +0.1672В +0.373(7
—0.869$= 40.12474, —0.0325В —4.1437С
5=0.26244 —0.0325В —0.1437С
0.225
=0.0375
У—о
t=0.19
Значение
неизв.
Средние ошибки
Вероятные
5= 0.2624 • (—1.240)—0.0325 • 0.620—0.1437 • (—0.298)=—0.3256—0.0201+0.0434=—0.3027, ₽=ё . 1^0.2624=0.19 • 0.51=0.10, р1=+-0.067.
г,= — 0,0323 • (—1.240)+0.1672 • 0.620+0.373’ • (—0.298)=+ 0.0401+0.1036—0J0112=40.1325, ?=& • /0.1672=0.19 • 0.41=0.08, ра=+0.054,
$=—0.1435 . (—1.240)+0.0374 • 0.620+0.1654 • (—0.298)=+0.1780 f 0.0232—0.0496=4-0.1516. «=е • /0. 1654=0.19 • 0.41=0.08. р3=+0.054.
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ [ гл. ущ
§ 135]
ПРИМЕР
393
исключая В, имеем:
6.300 т]—1.425 С=В,
—0.2263»] + 1.011С = — 0.1377А + 0.1588С,
Поступив с этими уравнениями так же, имеем:
т] —0.2263С= 0.1588В,
т] — 4.469» = 4- 0.609Л — 0.702С.
Исключая т], имеем:
— 4.243:= + 0.609Л — 0.1588В — 0.702С,
откуда следует:
С = — 0.1435Л + 0.0374В 4-0.1654С.
Затем, подставляя, имеем:
0.2263; = — 0.0323Л 4- 0.0084В 4- 0.0373С,
т] = — 0.0323Л 4-0.1672В 4- 0.0373С
и после того
— 0.869С = + 0.1247Л — 0.0325В — 0.1437С
и по подстановке
$ = 0.2624Л — 0.0325В — 0.1437С.
Таким образом, находим, что общее решение есть
5= 0.2624Л—. 0.0325В —0.1437С,'
т] = 0.0323Л + 0.1672В + 0.0373С,
С = — 0.1435Л+,0.374. В + 0.1654С..
(82)
Чтобы получить значения неизвестных, полагаем
Л = — 1.240, В = 0.620, С = — 0.298,
тогда будет:
g =—0.3027, »] = 0.1325, С = 0.1516.
Затем, положив
. > . . Л=1, в = о, с = о,
имеем:
М! = 0.2624.
Положив
Л = б, В=1, С = 0,
получим:
N2 = 0.1672,
и, наконец, при
Л = 0, В = 0, С=1
будет: 1
Р3 = 0.1654.
Очевидно, что эти величины можно было бы написать сразу, они
суть стоящие по главной диагонали коэффициенты в формуле (82).
Остается найти величину средней. ошибки, наблюдений е.
Для этого вычисляем сначала «отклонения» еь г2> ... , е9, и затем
по‘формуле (64) будет:
4+‘2 + --- + ь9 ./’ 0.225 Л1О
k—n 9 —3—)- 9-
394
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
[ГЛ. VIII
Следовательно, средние ошибки неизвестных будут:
для неизвестной 5 £ = /0.2624-е = 0.10,
» » т| у = /0.1672-е = 0.08,
» » С 8 =/0.1654-е = 0.08,
и вероятные ошибки их
р! = 0.670 = 0.067,
р2 = 0.67; = 0.054,
р8 = 0,678 = 0.054.
Таким образом, величины $, rj, С будут:
£=—0.303 zz 0.067,
ц = 4-0.133 zt 0.054,
С =-j-0.152 zt 0.054,
-а значит,
Х= 2.4004-$ = 4-2.097zt0.067,
Y = — 3.200 4- -п = — 3.067 zt 0.054,
Z=4- 3.800-j- С =4- 3.948 zt 0.054.
§ 136. В § 132 показано, что нахождение вероятнейших значений
неизвестных
$, т|, С, •.. , <»,
число которых п из системы условных уравнений
а1$4_^1,,1_!_сЛ'4_ • • •~ig'iu) = аь
а25-г^2,П-г^Ч-...4-&<" = а2. (53)
+М+ • • • 4- .
зю методу наименьших квадратов равносильно задаче о нахождении
минимума функции
V= • •4_^i") г-ai)2~H- • •4~(ал*4_^*',14“ • • -4“^*® — %)2. (56)
принимая величины
5, ц, С, ... , <о
за переменные независимые, т. е. такие, что величина ни одной из них
не определяется через прочие.
В таком случае искомые значения $, •»],..., а> определяются п
уравнениями
<-=0, -£- = 0.......-^ = 0, (83)
которые в развитом виде и представляют собою систему нормальных
уравнений, соответствующих заданным условным.
Но в некоторых вопросах величины
X, у, Z, .. . , W,
к которым $, »], С ,... , о» представляют малые поправки, связаны между
собою некоторыми соотношениями, независимыми от наблюдений. Так,
например, если х, у, z суть углы того же самого треугольника, то
должно быть:
x4-j4-z= 180°,
$ 136]
СЛУЧАИ, КОГДА НЕИЗВЕСТНЫЕ СВЯЗАНЫ ТОЧНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ
395
и значит, поправки ?, т„ С должны быть таковы, что их сумма
54-^44=0,
как то следует из. дифференцирования предыдущей формулы.
Итак, положим, что между переменными
S, 7], с, ... ,0»
имеют место i линейных уравнений вида
^1’4-5171+.. •4-(7i<b = L1,
4” •®2Т1 4“ • • • 4~ ^2® =^-2>
- + =L.t,
(84)
число которых i меньше п и которые имеют место независимо от наблю-
дений, так что наблюденные величины аь а2, ... , ак в эти соотношения
не входят.
В таком случае нахождение таких значений переменных 5, т], С, ... , <о,
которые обращают величину V в минимум, уже не.определяются уравне-
ниями (83), ибо теперь задача привелась к нахождению так называемого
относительного минимума функции V.
Для решения этой задачи можно применять различные способы, из
которых мы рассмотрим два.
Первый способ состоит в следующем: из уравнений (84) мы можем
определить i переменных; например
5, 71, С, ... , р,
в функции остальных п — i: ....
а, т, ср, ... , ш;
ясно, что получаются выражения вида
е=л1О4-/1т4-...4-^1«>— г,, 1
7) = Й23+/2Т+ • • --Г ?2® — Г2,
>
Р = h? + • • • + ЯР — G,
(85)
где hi, fi, ... , qt, rf будут известные постоянные числа.
Подставив величины (85) в выражение V, мы получим сначала фор-
мулы вида
«15 + М+- • - + £1® — = + + г',
+ М + • • • + — % = А' а 4- Д-с 4- ... 4- ^«) — гк,
(86)
где А,, /р ... , qk, гк будут также известными постоянными, значит,
.выражение V после этой подстановки обратится в такое:
]Г= (До-)-/]'' + • • • + Яр — ri)2 + • • • + (^*®+Лх+ • • • + Яр —г *)2-
Здесь уже переменные а, х, ... , и ничем между собою не связаны и
являются независимыми, следовательно, значения их, обращающие V
«.а минимум, будут определяться уравнениями
^ = 0, Т=о,..., ^ = 0,
09 ОХ О<л>
(87)
396
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
[Гл. VH1
т. е. уравнениями
SA'2a 4- SA'/Ч +... + ЕА'<?'® = SA'r',
S/'Л'а 4- Е/'ат 4-... 4- W® = E/r',
(88>
^q'h's 4- E^/t4- ... 4- Zq12® = 'Lq'r'-
Ясно, что эти уравнения представляют «нормальные» уравнения для
системы следующих «условных» уравнений:
h'f +/j\+ 9i® = rv 1
. . . . .... . . ! (89>
+/>+•.•+9*® = < ]
Отсюда следует такое правило: выразив из уравнений (84) i пере-
менных
5, Ч, С, ,... , р
в функции остальных п — i:
а, т, ... , <о,
подставить найденные выражения в заданные условные уравнения и при-
вести их к виду
A1o4"/j‘c+ • • • +91® = гр
^2а+J2T + • • •+9г® = г2* (до).
A*e+/*T+---+9>=< >
Для этих преобразованных условных уравнений составить по правилу
§ 132 соответствующие нормальные*.
Составленные таким образом нормальные уравнения надо решить
относительно величин ..............
о, т, , ш,
принимаемых за неизвестные, и подставить найденные значения в выраже-
ния (85) остальных неизвестных, чем эти последние также определятся.
Второй способ состоит в применении к определению относительного,
минимума. функции V лагранжевого метода множителей, состоящего,
как известно, в следующем.
Написав уравнения (84), связывающие переменные
5, С, ... , <о
в форме' ’ ' '
Л]£4“ ^1’1+ • • -4~ ^1® — £1 = 0, \
Л^4-В21Г1+-..- + <?2®—£2 = 0,1 -
> (84 Л
^.$4-^+ • • • ++® — £; = 0, )
умножаем первые части этих уравнений соответственно на неопреде-
ленные постоянные множители
$ 136]
СЛУЧАЙ, КОГДА НЕИЗВЕСТНЫЕ СВЯЗАНЫ ТОЧНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ
397
и составляем выражение
U7= У+ (ЛЛ+ В,ЛН- • • • + <?!«> — ^1) +
Ч-^гС^Ч" 527i+ • • • Ч"^0 — ^г)Ч~
+w+X^+--’+^-4).’ ’ (эн
•в котором попрежнему
V=(a1$+M + ---~‘4)2 +
Ч~(а2^+Ч- •••—аг)2+• • • •+(аЛЧ- ^Ч- • • •—%)2;
затем имеем уравнения
^ = 0, *L = 0..........-^ = 0, (92)
число которых есть п.
Эти п уравнений вместе с i уравнениями (84) и служат для опреде-
ления n-\-i неизвестных
5» "*1» 1»» • • • » ^Т» ^2> • • • »
Мы не останавливаемся на доказательстве этого способа нахождения
относительных максимумов и минимумов, ибо его можно найти в любом
курсе анализа, и мы предполагаем этот способ читателю известным.
Развив уравнения (92), мы получим систему
Sa% —Sabt[ -|— ... “j- Ч* ^41 Ч” ^2^2 Ч- • • • Ч- г=
Хда$-{- S/>2tj -|-. .. -j~ Sbg<*> -|- . т|- B2Z = Sba, /031
2^и5Ч*2^т1Ч_ • • -4“ -^“Ч- ^41Ч" ^2^2 Ч- • • "Ч~ — S£a.
Обратив внимание, что совокупность членов, заключающих знак S,
представляет как раз систему нормальных уравнений для первоначально
заданной системы (53) условных уравнений, получаем такое правило.
По заданной системе условных уравнений (53) вычисляем по схеме
§ 135 коэффициенты
Sa2, Sab, Sac, ... , Sag, Saa,
Sb2, Sbc, ... , Sbg, Sba,
Sc2, .... Scg, Sea,
S^2, Sg-a
и для контроля суммы
Sas, Sbs, ... , Sgs.
Тогда система нормальных уравнений будет:
Sa2?-4- Sabt\ • • Ч~ Sagw -f- -J- А<^-2 АХ^ == Saa,
Sbaz —Sb2i\ -{-... -j- Sbg» —]- B4i —Bjij—|- ... —|-B = SZ*a,
S^4“ ^^яЧ" • • • Ч- (?4i -J- G2l2 4~ • • • 4“ = ^ё°-
Из этих уравнений и уравнений (84) и найдем величины
5, 7), ... , <о; Х2, ... , iz;
398
СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
(Гл. VZ/I
найденные величины
!, TQ, . . . , ®
и будут искомые вероятнейшие значения, нам нужные.
Сравнив эти два способа, видим, что в первом способе вычисление
коэффициентов
К» ...» qit г\
и затем по ним коэффициентов соответствующей системы нормальных
уравнений требует приблизительно столько же работы, как и во втором
способе; что же касается решения уравнений, то в первом способе
придется сначала решить систему i уравнений (48) и затем систему п — I
уравнений (88).
Во втором способе придется решать систему n-\-i уравнений, что?
может потребовать гораздо больше работы, но зато во втором способе
вычисления гораздо симметричнее и более удобно контролируются.
При большом числе неизвестных и относящихся к ним условных
уравнений составление йормальных уравнений, их решение и вычисление
вероятных ошибок представляют весьма большую работу, о которой
'Могут дать суждение следующие числа. В 1822 г. Гаусс производил
съемку Ганновера; в одном из своих писем к астроному Ольберсу он
пишет: «Я на днях, после трех месяцев упорной работы, закончил по
методу наименьших квадратов уравнительные вычисления, заключавшие
около 300 условных уравнений с 55 неизвестными».
Кажется, наибольшее число неизвестных, с которыми в методе
наименьших квадратов имели дело, было в индийской съемке—около
2500 условных уравнений и 88 неизвестных; работа вычислительного
бюро продолжалась два года.
П риложение-
Таблица значений коэффициентов для интерполяционной
формулы Стирлинга
Интерполяционная формула Стирлинга, см. стр. 224, формула (IX):
Уп+и = уn-+k------2-----+ Т Д Уп~х +
(fc+W_l) Д31/п_2 + (k+\)k-k(k-\)
-----6--------------2--------+--------24-------11 + • • ’
k* „ (k+\)k(k— 1) „ (k4-\)kk(k— 1)
Значения коэффициентов: Д = £-; В—--------; С —---------------------
k А В С 1 k 1 А В С
0.00 4-0.00000 —0,0000 —0.0000 0.25 4-0.03125 —0.0391 —0.0024
.01 .00005 .0017 .0000 .26 .03380 .0404 .0026
.02 .00020 .0033 .0000 .27 .03645 .0417 .0028
.03 .00045 .0050 .0000 .28 .03920 .0430 .0030
.04 .00080 .0067 .0001 .29 .04205 .0443 .0032
0.05 4 0.00125 —0.0083 —0.0001 0.30 4-0.04500 —0.0455 —0.0034
.06 .00180 .0100 .0001 .31 .04805 .0467 .0036
.07 .00245 .0116 .0002 .32 .05120 .0179 .0038
.08 .00320 .0133 .0003 .33 .05445 .0490 .0040
.09 .00405 .0149 .0003 .34 .05780 .0501 .0043
0.10 4-0.00500 —0.0165 -0.0004 0.35 4-0.06125 —0.0512 —0.0045
.11 .00605 .0181 .0005 .36 .06480 .0522 .0047
.12 .00720 .0197 .0006 .37 .06845 ,0532 .0049
.13 .00845 .0213 .0007 .38 .07220 .0542 .0051
.14 .00980 .0229 .0008 .39 .07605 .0551 .0054
0.15 4-0.01125 —0.0244 —0.0009 0.40 4-0.08000 —0.0560 —0.0056
.16 .01280 .0260 .0010 .41 .08405 .0568 .0058
.17 .01445 .0275 .0012 .42 .08820 .0576 .0060
.18 .01620 .0290 .0013 .43 .09245 .0584 .0063
.19 .01805 .0305 .0014 .44 .09680 .0591 .0065
0.20 4-0.02000 —0.0320 —0.0016 0.45 4-0.10125 —0.0598 —0.0067
.21 .02205 .0335 .0018 .46 .10580 .0604 .0069
.22 .02420 .0349 .0019 .47 .11045 .0610 .0072
.23 .02645 .0363 .0021 .48 .11520 .0616 .0074
.24 .02880 .0377 .0023 .49 .12005 .0621 .0076
0.25 4-0.03125 —0.0391 —0.0024 0.50 4-0.12500 —0.0625 —0.0078
Таблица значений коэффициенте? для интерполяционной
формулы Ньютона
Интерполяционная формула Ньютона, см. стр. 209, формула (III):
Уп+л = УпЛ-k Ьуп± k^- &уя+ ft*-1 X*-2) Д8уи4.. . .
Значения коэффициентов: 4= —%— 1 ° =-------ё----I С =-------~ 24 -------
k А В С k A В С
0.00 —0.00000 ч-О.ОООО —0.0000 0.50 —0.12500 +0.0625 —0.0391
.01 .00495 .0033 .0024 .51 .12495 .0621 .0386
.02 .00980 .0065 .0048 .52 .12480 .0616 .0382
.03 .01455 .0095 .0071 .53 .12455 .0610 .0377
.04 .01920 .0125 .0093 .54 .12420 .0604 .0372
0.05 —0.02375 -4-0.0154 —0.0114 0.55 —0.12375 +0^0598 —0.0366
.06 .02820 .0182 .0134 .56 .12320 .0591 .0361
.07 .03255 .0209 .0153 .57 .12255 .0584 .0355
.08 .03680 .0235 .0172- 1 .58 .12180 .0576 .0346
.09 .04095 .0261 .0190 .59 .12095 .0568 .0342
0.10 —0.04500 4-0.0285 —0.0207 0.60 —0.12600 +0.0560 —0.0336
.11 .04895 .0308 .0223 .61 .11895 .0551 .0329
.12 .05280 .0331 .0238 .62 .11780 .0542 .0322
.13 .05655 .0352 .0253 .63 .11655 .0532 .0315
.14 .06020 .0373 .0267 .64 .11520 .0522 .0308
0.15 —0.06375 -4-0.0393 —0.0280 0.65 —0.11375 +0.0512 —0.0301
.16 -.06720 .0412 .0293 .66 .11220 .0501 .0293
.17 .07055 .0430 .0304 .67 .11055 .0490 .0285
.18 .07380 .0448 .0316 .68 .10880 .0479 .0278
.19 .07695 .0464 .0326 .69 .10695 .0467 .0270
0.20 —0.08000 -4-0.0480 —0.0336 0.70 —0.10500 +0.0455 —0.0262
.21 .08295 .0495 .0345 .71 .10295 .0443 .0253
.22 .08580 .0509 .0354 .72 .10080 .0430 .0245
.23 .08855 .0522 .0362 .73 .09855 .0417 .0237
.24 .09120 .0535 .0369 .74 .09620 .0404 .0228
0.25 —0.09375 -4-0.0547 —0.0376 0.75 —0.09375 +0.0391 —0.0220
.26 .09620 .0558 .0382 .76 .09120 .0377 .0211
.27 .09855 .0568' .0388 .77 .08855 .0363 .0202
.28 .10080 .0578 .0393 .78 .08580 .0349 .0194
.29 .10295 .0587 .0398 .79 .08295 .0335 .0185
0.30 —0.10500 +0.0595 —0.0402 0.80 —0.08000 +0.0320 —0.0176
.31 . 10695 .0602 .0405 .81 .07695 .0305 .0167
.32 .10808 .0609 .0408 /82 .07380 .0290 .0158
.33 .11055 .0615 .0411 .83 .07055 .0275 .0149
.34 .11220 .0621 .0413 .84 .06720 .0260 .0140
0,35 —0.11375 +0.0626 —0.0415 0.85 —0.06375 +0.0244 —0.0131
.36 .11520 .0630 .0416 .86 .06020 .0229 ,0122
.37 .11655 .0633 .0416 .87 .05655 .0213 .0113
.38 .11780 .0636 .0417 .88 .05280 .0197 .0104
.39 .11895 .0638 .0416 .89 .04895 .0181 .0095
0.40 —0.12000 +0.0640 —0.0416 0.90 —0.04500 +0.0165 —0.0087
.41 .12095 .0641 .0415 .91 .04095 .0149 .0078
.42 .12180 .0641 .0414 .92 .03680 .0132 .0069
.43 .12255 .0641 .0412 .03 .03255 .0116 .0060
.44 .12320 .0641 .0410 .94 .02820 .0100 .0051
0.45 —0.12375 +0.0639 —0.0408 0.95 —0.02375 + 0.0083 —0.0043
.46 .12420 .0638 .0405 .01920 .0067 .0034
.47 .12455 .0635 .0402 Q7 .01455 .0050 .0025
.48 .12480 .0632 .0398 .00980 .0033 .0017
.49 .12495 .0629 .0395 < C7O .99 .00495 .0017 .0008
0.50 —0.12500 40.0625 —0.0391 1.00 —0.00000 +0.0000 —0.0000
©йГ' •. , . _>аа»аж Ь'
и ^лПМОТЕКДГ
I II III IV V VI VII VIII IX . X XI XII XIII XIV
4м 1 *=y+
X У P=f(*.y + y M /n w 7=f(M) yftT + 4Л? F* 6=f(5,«) u=y+ht Vu
0.100 0.03090 0.49201 0.00615 0.03705 0.14248 0.33541 0.52789 0.00660 0.03750 0.19365 0.52906 0.03090
0.125 0.150 0.04410 0.56355 0.00704 0.05114 0.22614 0.37081 0.59695 0.00746 0.05156 0.22707 0.59788 0.04410 0.21000
0.05902 0.63024 0.00788 0.06690 0.25865 0.40311 0.66176 0.00827 0.06729 0.25940 0.66251 0.05902 0.24294
0.175
0.07556 0.69321 0.00866 0.08422 0.29020 0.43301 0.72321 0.00904 0.08460 0.29086 0.72387 0.07556 0.27488
0.200
0.09364 0.75321 0.00941 0.10305 0.32101 0.46098 0.78199 0.00977 0.10341 0.32157 0.78255 0.09364 0.30600
0.225
0.11319 0.81076 0.01013 0.12332 0.35117 0.48734 0.83851 0.01048 0.12367 0.35157 0.83901 0.11318 0.33642
0.250
0.13415 0.76627 0.01083 0.14498 0.38076 0.51235 0.89311 0.01116 0.14531 0.38119 0.89354 0.13415 0.36627
0.275
0.15647 0.91996 0.01150 0.16797 0.40984 0.53619 0.94605 0.01183 0.16830 0.41024 0.94643 0.15647 0.39556
0.300
0.18012 0.97213 0.18013 0.42441
0.300 0.350 0.18012 0.97213 0.02430 0.24442 0.45213 0.57009 1.02222 0.02555 0.20517 0.45350 1.02356 0.18012
0.23125 1.07249 0.02681 0.25806 0.50799 0.61237 1.12036 0.02801 0.25916 0.50918 1.12155 0.23122 0.48085
0.400
0.28727 1.16843 0.02921 0.31648 0.56257 0.65192 1.21449 0.03036 0.31763 0.56358 1.21550 0.28727 0.53397
0.450
0.34800 1.26073 0.03152 0.37952 0.61605 0.68920 1.24525 0.03263 0.38063 0.61695 1.30613 0.34799 0.58990
0.500
0.41326 1.34996 0.03375 0.44701 0.66859 0.72457 1.39316 0.03483 0.44809 0.66939 1.39396 0.41326 0.64285
0.550 0.600 0.48292 1.43654 0.03591 0.51883 0.72030 0.75829 1.47859 0.03696 0.51988 0.72102 1.47931 0.48292 0.69492
0.55685 1.52082 0.03802 0.59487 0.77127 0.79057 1.56184 0.03905 0.59590 0.77195 1.56252 0.55684 0.74621
0.650
0.63494 1.60306 0.04008 0.67502 0.82160 0.82158 1.64318 0.04108 0.67602 0.82220 1.64378 0.63495 ’0.79684
0.700
0.71710 1.68348 0.04209 0.75919 0.87131 0.85147 1.72278 0.04307 0.76017 0.87187 1.72334 0.71710 0.84682
0.750
0.80324 1.76226 0.80324 0.89623
0.800 0.04406 0.84730 0,92049 0.88534 1.80083 0.04502 0.84826 0.92101 1.80135
0.89328 1.83966 0.89328 0.94518
0.850 0.04599 0.93927 0.96916 0.90830 1.87746 0.04693 0.94021 0.96965 1.87795
0.98715 1.91550 0.04789 1.03504 1.01737 0.93541 1.95278 0.04882 1.03597 1.01784 1.95325 0.98714 0.99355
0.900
1.08479 1.99021 0.04975 1.13454 1.06515 0.96177 2.02692 0.05067 1.13546 1.06558 2.02735 1.08479 1.04153
0.950
1.18614 2.06377 0.05159 1.23773 1.11254 0.98742 2.09906 0.05250 1.23864 1.11294 2.10036^ 1.18613 1.08909
1.000 1.29114 2.13628 1.29114 1.13628
A. H. Крылов.
Метод Рунге
XIV XV XVI XVII XVIII XIX XX XXI XXII XXIII XXIV
Vu 1Пс (х, u) у (Ж) у (Ж) -4(Ж) 1 6 • 1 3 9 = (XVII)+ +(ХХ) а) = 7 — -(XXI) уМ
0.31623 0.51053 0.52778 0.00011 0.00002 0.00004 0.51055 0.52785 0.00638
0.21000 0.35355 0.56355 0.58072 0.59690 0.00005 0.00001 0.00002 0.58073 0.59692 0.00726
0.24294 0.38730 0.63024 0.64638 0.66172 0.00001 0.00001 0.00001 0.64639 0.66175 0.00808
0.27488 0.41833 0.69321 0.70854 0.72321 0.00000 0.00000 0.00000 0.70854 0.72321 0.00886
0.30600 0.44721 0.75321 0.76788 0.78199 0.00000 0.00000 0.00000 0.76788 0.78199 0.00960
0.33642 1.47434 0.81046 0.82488 0.83851 0.00000 0.00000 0.00000 0.82488 0.83851 0.01031
0.36627 0.50000 0.86627 0.87990 0.89311 0.00000 0.00000 0.00000 0.87990 0.89311 0.01100
0.39556 0.52440 0.91996 0.93320 0.94605 0.00000 0.00000 0.00000 0.93320 0.94605 0.01166
0.42441 0.54772 0.97213
0.54772 0.99786 1.02230 —0.00008 —0.00001 —0.00003 0.99785 1.02225 0.02495
0.48085 0.59161 1.07246 1.09702 1.12046 —0.00010 —0.00002 —0.00003 1.09700 1.12039 0.02742
0.53397 0.63246 1.16843 1.19196 1.21458 —0.00009 -0.00001 —0.00003 1.19195 1.21452 0.02980
0.58990 0 67082 1.26072 1.28344 1.30534 —0.00009 —0.00001 -0.00003 1.28343 1.30528 0.03208
Э.64285 0.70711 1.34996 1.37196 1.39325 —0.00009 —0.00001 -0.00003 1.37195 1.39319 0.03430
3.69492 0.74162 1.43654 1.45792 1.47868 —0.00009 —0.00001 —0.00003 1.45791 1.47862 0.03645
3.74621 0.77460 1.52081 1.54167 1.56195 —0.00011 -0.00002 —0.00004 1.54165 1.56188 0.03854
1.79684 0.80623 1.60307 1.62342 1.64328 —0.00010 —0.00002 —0.00003 1.62340 1.64321 0.04057
>.84682 0.83666 1.68348 1.70341 1.72287 —0.00009 —0.00001 —0.00003 1.70340 1.72281 0.04259
L89623 0.86603 1.76226 1.78180 1.80091 —0.00008 —0.00001 —0.00003 1.78179 1.80086 0.04454
.94518 0.89443 1.83956 1.85876 1.87753 —0.00007 —0.00001 —0.00002 1.85875 1.87748 0.04647
.99355 0.92195 1.91550 1.93438 1.95285 -0.00007 —0.00001 —0.00002 1.93437 1.95280 0.04836
.04153 0.94868 1.99021 2.00879 2.02699 —0.00007 -0.00001 —0.00002 2.00878 2.02604 0.05022
.08909 0.97468 2.06377 2.08207 2.10002 —0.00006 —0,00001 -0.00002 2.08205 2.09998 0.05205
.13628 1.00000 2.13628
Таблица 65
XXIV XXV XXVI XXVII XXVIII XXIX
уЛ? (П)+ +(XXIV) Лео 11 t9 =£ и II + => II VT /=Гх +
0.03090 0.17578 0.49201
0.00638 0.03728 0.01320 0.04410 0.21000 0.56355
0.00726 0.05136 0.01492 0.05902 0.24294 0.63024
0.00808 0.06710 0.01654
0.07556 0.27488 0.69321
0.00886 0.08442 0.01808 0.09364 0.30600 0.75321
0.00960 0.10324 0.01955 0.11319 0.33642 0.81076
0.01031 0.12350 0.02096 0.13415 0.36672 0.86627
0.01100 0.14515 0.02232 0.15647 0.39556 0.91996
0.01166 0.16313 0.02365 0.18012 0.42441 0.97213
0.18012 0.42441 0.97213
0.02495 0.20507 0.05ПЗ 0.23125 0.48088 1.07249
0.02742 0.25867 0.05607 0.28727 0.53597 1.16843
0.02980 0.31707 0.06073 0.34800 0.58991 1.26073
0.03208 0.39008 0.06526 0.41326 0.64285 1.34996
0.03430 0.44756 0.06966 0.48292 0.69492 1.43654
0.03645 0.51937 0.07393 0.55685 0.74622 1.52082
0.03854 0.59539 0.07809 0.63494 0.79683 1.60306
0.04057 0.67551 0.08216 0.71710 0.84682 1.68348
0.04259 0.75969 0.08614 0.80324 0.89623 1.76226
0.04454 0.84778 0.09004 0.89323 0.94513 1.83956
0.04647 0.93975 0.09387 0.98715 0.99355 1.91550
0.04836 1.03551 0.09764 1.08479 1.04153 1.99021
0.05022 1.13501 0.10135 1.18614 1.08909 2.06377
0.05205 1.23819 0.10500 1.29114 1.13628 2.13628
5 -
> «вал j