Текст
                    ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
ЧАСТЬ II
Под общей редакцией А. В. НЕТУШИЛА
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебника для студентов вузов, обучающихся по специальностям «Автоматика и телемеханика», «Электронные вычислительные машины», «Информационно-измерительная техника»
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА» МОСКВА — 1972
6Ф6.5
Til
УДК 62-50
Til Теория автоматического управления. Ч. II. Под ред. А. В. Нетушила. Учебник для вузов. М., «Высш, школа», 1972.
432 с. с илл.
На обороте тит. авт.: Л. С. Гольдфарб, И. М. Александровский, А. В. Балтрушевич и др.
Вторая часть написана в соответствии с программой подготовки специалистов по автоматике, информационно-измерительной и вычислительной технике. Вместе с первой частью, вышедшей в свет в 1968 г. под ред. ироф. А. В. Нетушила, она завершает курс теории автоматического управления. В ней изложена теория нелинейных и оптимальных автоматических систем при детерминированных воздействиях, рассмотрены системы автоматического управления при случайных воздействиях и элементы теории самонастраивающихся систем. Все теоретические положения книги широко подкреплены примерами и иллюстрациями. На первую часть учебника в журнале «Вестник высшей школы» в 1969 г. была опубликована положительная рецензия.
Учебник предназначен для студентов, специализирующихся по автоматике и телемеханике, вычислительной и информационной технике.
3—3—13
90—72
6Ф6.5
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый учебник содержит изложение ряда разделов курса, читающихся авторами в Московском энергетическом институте для специальностей «Автоматика и телемеханика», «Вычислительная техника», «Информационно-измерительная техника» и «Электропривод и автоматизация промышленных установок».
Вместе с частью I, вышедшей в 1968 г., книга составляет учебник по курсу «Теории автоматического управления», написанный в соответствии с программой, утвержденной Министерством высшего и среднего специального образования СССР.
На подбор материала и его изложение в книге большое влияние оказали лекции проф. Л. С. Гольдфарба и проф. Я. 3. Цыпкина по этому курсу, читавшиеся в МЭИ в течение ряда лет. Материал некоторых лекций Л. С. Гольдфарба включен в часть I и частично в часть II учебника.
При подготовке части II учебника авторы стремились сохранить как обозначения, так и стиль изложения, принятый в части I. Незначительные отступления в обозначениях связаны с различием символов, принятых в теории линейных систем и в теории оптимального управления.
Все теоретические положения подкреплены расчетными примерами, связанными с практическими системами, рассмотренными в вводной главе книги.
Последовательность изложения материала основывается на изучении логической <эвяз{1 между отдельными разделами курса. При заданном объеме программы в зависимости от места смежных курсов в учебном плане специальности возможна различная последовательность изложения’разделов курса. В настоящей книге принята последовательность изложения, предусматривающая минимизацию суммы разрывов во времени между логически связанными разделами данного курса.
На рис. 1 показана схема логических связей между разделами курса. Здесь римскими цифрами обозначены следующие разделы курса: Часть I:
1.	Общая характеристика объектов и систем автоматического управления (гл. I).
II.	Детерминированные воздействия в линейных непрерывных системах (гл. II—XI).
III.	Детерминированные воздействия в линейных импульсных системах (гл. XII—XIV).
з
Часть II:
IV.	Детерминированные ействия в нелинейных системах (гл. I—VI).
V.	Оптимальные системы (гл. "VII—VIII).
VI.	Случайные воздействия в линейных системах (гл. IX—X). VII. Случайные воздействия в нелинейных системах (гл. XI). VIII. Самонастраивающиеся системы (гл. XII).
На рисунке сплошными линиями показаны основные связи, а штрихом — вспомогательные связи, зависящие от характера изложения. Из рассмотрения схемы видно, что правильная последовательность изложения допускает существование связей только слева направо. При этом возможны различные варианты последовательности изложения, так, например, раздел VI может излагаться сразу после раздела II, а раздел III — после раздела V или VII.
Часть /
Часть /?
Рис. 1
Некоторые вопросы, как, например, элементы теории чувствительности, теории инвариантности и теории нестационарных систем, в книге не рассматриваются, так как они относятся к материалу части I курса и включены в программу после ее выхода в свет.
Гл. I, II, IX, X, XI и приложение, а также §4.1, 4.3, 5.1, 5.3, 5.4 и 5.7 написаны А. В. Нетушилом; гл. III — Е. Б. Пастернаком; гл. IV, V и VI — А. В. Балтрушевичем с включением материалов Л. С. Гольдфарба, А. В. Нетушила и В. В. Бурляева; гл. VII и VIII — Н. М. Александровским и Р. Е. Кузиным совместно. Кроме того, Н. М. Александровским написаны § 12.1, 12.7—12.9, а«Р. Е. Кузиным — § 10.5, 12.2—12.6; § 4.4 — В. В. Бурляевым.
При подготовке рукописи к печати большую помощь оказали сотрудники кафедры автоматики МЭИ инж. Т. Д. Федорова, Е. С. Толкачева, Э. Ф. Ишмаева, взявшие на себя труд по вычитке рукописи и унификации обозначений, И. К- Скороход и В. И. Гаврилова, принимавшие участие в оформлении рукописи.
Большое значение для окончательной редакции рукописи имели рецензии проф. Н. Н. Миролюбова, проф. Л. Т. Кузина, проф. Я. 3. Цыпкина, проф. Е. Л. Львова, доц. С. В. Первачева и обсуждение рукописи на кафедре автоматики МЭИ.
Всем, принимавшим участие в рецензировании, обсуждении и оформлении рукописи книги, авторы выражают благодарность.
Замечания по книге просьба направлять в издательство «Высшая школа» по адресу: Москва, К-51, Неглинная, 29/14.
4
ГЛАВА I
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
§ 1.1. ВВЕДЕНИЕ
В части I учебника рассматривались системы управления, которые с той или иной степенью точности можно описать линейными дифференциальными уравнениями.
Для непрерывных систем эти уравнения имеют постоянные коэффициенты, а для импульсных систем коэффициенты уравнений, описывающих импульсные элементы, представляют собой дискретные функции времени. Во всех рассмотренных случаях широко применен принцип наложения.
Такое описание процессов в системах управления применимо далеко не ко всем системам. Существует множество систем, процессы в которых принципиально не могут быть описаны линейными дифференциальными уравнениями, и при их исследовании необходимо пользоваться нелинейными дифференциальными уравнениями.
Переход к нелинейным дифференциальным уравнениям определяется как учетом нелинейностей реальных характеристик элементов системы, так и дополнительным введением в систему элементов с существенно нелинейными характеристиками.
Обычно в первом случае нелинейности учитывают для рассмотрения изменения качества процесса управления за счет влияния нелинейностей, присущих реальной системе, и исправления нежелательного эффекта, возникающего под влиянием этих нелинейностей.
Во втором случае речь идет о повышении качества процессов или о получении принципиально новых алгоритмов в управлении за счет введения дополнительных нелинейных элементов. При этом удается повысить быстродействие и точность системы, уменьшить перерегулирование или компенсировать нежелательное действие имеющихся нелинейностей.
Кроме того, для управления нелинейными объектами с немонотонными экстремальными характеристиками применяют особые схемы управления с автоматическим поддержанием оптимального режима работы объекта. В этом случае решение задачи управления нелинейным объектом можно осуществить с помощью как линейных, так и нелинейных элементов.
Если в линейных системах работоспособными оказываются только устойчивые системы и появление нарастающих колебаний рассматри-
5
бают как недопустимое явление, то в нелинейных системах вопрос об устойчивости ставят иначе.
Существует большое число нелинейных автоколебательных систем управления, в которых колебания являются свойством нормального режима работы системы. В этом случае под устойчивой работой системы понимают устойчивость автоколебаний в неустойчивой, с точки зрения линейной теории, системе. Само по себе определение устойчивости в этом случае изменяется. В линейных системах признаком устойчивости является возврат системы в исходное состояние при снижении внешнего воздействия до нуля.
Такую устойчивость называют асимптотической, или устойчивостью в точке. Этим понятием можно пользоваться и для характеристики нелинейных систем.
Однако в нелинейных системах большее значение имеет устойчивость в некоторой области, характеризующаяся возвратом системы в заданную область при уменьшении внешнего воздействия до нуля. При оценке устойчивости обоих видов применяют понятия устойчивости в малом, в большом (см. гл. I части I) и в целом, введенные в связи с рассмотрением процессов в нелинейных системах. Все виды устойчивости будут рассмотрены далее при анализе различными методами конкретных систем управления.
При изучении нелинейных систем неприменим принцип наложения: при сложных воздействиях процесс в системе не может быть представлен как сумма процессов, получающихся от каждой из составляющих воздействия в отдельности. Это обстоятельство чрезвычайно осложняет количественный анализ нелинейных систем автоматического управления.
Математический аппарат анализа нелинейных систем связан с необходимостью исследования нелинейных дифференциальных уравнений, теория которых содержит множество индивидуальных методов, присущих различным видам уравнений, описывающих систему. Сложность решения нелинейных дифференциальных уравнений вызывает необходимость создания ряда приближенных методов, позволяющих судить о характере процессов, наблюдаемых в системе. При этом нелинейные характеристики реальных элементов системы заменяют некоторыми идеализированными приближенными характеристиками, которые обусловлены как характером нелинейного элемента, так и принятым методом анализа системы.
Таким образом, при анализе процессов в реальной системе пользуются двумя этапами приближения: первый этап—составление нелинейных дифференциальных уравнений, приближенно описывающих систему, а второй—приближенное решение этих уравнений.
Если для полученных на первом этапе приближения уравнений находится точное решение, то говорят о точном решении задачи. Если же имеют место два этапа приближения, т. е. полученные нелинейные уравнения решают рядом упрощений, то говорят о приближенном методе решения задачи.
Для решения нелинейных уравнений, кроме аналитических и графических методов, широко применяют методы моделирования с помо-6
щью аналоговой вычислительной техники и численное решение задач с помощью цифровых вычислительных машин.
§ 1.2. ПРИМЕРЫ УЧЕТА НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ В РЕАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ
В гл. I части I показано, что многие объекты систем регулирования, например генератор, двигатель, летательный аппарат и др., описывают нелинейными дифференциальными уравнениями, и только при
Рис. 1.1
небольших отклонениях исследуемых величин от номинальных значений для исследования этих отклонений систему можно приближенно рассматривать как линейную.
7
Кроме того, во всех механических системах не учитывались такие принципиально нелинейные явления, как сухое трение и влияние зазоров, ограничений и упоров в системах передачи. Однако при значительных возмущающих воздействиях и более детальном изучении процессов, происходящих в этих системах, учет нелинейных характеристик становится необходимым.
Рассмотрим примеры систем автоматического управления, в которых необходимо учитывать нелинейность характеристик.
С истема авт матияш с абииизации напряжения генератора по стоянного тока. Статическая система автоматической стабилизации напряжения генератора постоянного тока схематически показана на ри4.1 . ,Д ля этой системы Цри лиженные линейные уравнения ы-ли рассмотрены в гл. VI части I. Если учесть нелинейные характеристики генераторов и усилителя, то уравнения этой системы, составленные по схеме (рис. 1.1, а) с учетом инерционности усилителя У, имеют следующий вид:
иу = иу(их)-,
~ Гв £у 4"	= ГВ 1у 4"	•
еа ав фв = «в (гв «у);
• ।	^/фр	• । rrt de?
^в = £в 4"	.. ~ ГГ £В 4~ Л J, >
at	at
ес = аг фг = ег(гг1п);
иц — ег — гя^и< x = Ea—kua,
(1-1)
где Тв-=щв/ав и Тг = а?г/аг.
Здесь обозначено: i — ток, и — напряжение; х — напряжение рассогласования; е — э. д. с.; ф — магнитный поток; г — сопротивление; Т — постоянная времени; w — число витков; а и k — коэффициенты пропорциональности; индексами в, г, у, и, я соответственно обозначены величины, относящиеся к возбудителю, генератору, усилителю, нагрузке и якорю генератора.
В этой системе уравнений нелинейные зависимости «у (их), еа (ty), er(iB) выражаются графиками (рис. 1.1,6, в и г). Если не учитывается гистерезис характеристики генератора, то имеет место однозначная зависимость (см. рис. 1.1, в и г) При учете гистерезиса необходимо было бы иметь дело с неоднозначной характеристикой ет(1ъ).
Структурная схема системы, составленная по уравнениям (1.1), показана на рис. 1.1,3.
Геометрическая интерпретация системы уравнений (1.1) может быть дана как в виде структурной системы, так и в виде направленного графа (рис. 1.1, е). Направленный граф представляет собой совокупность 8
йёршйн, соответствующих физическим величинам, описывающим процесс. Вершины соединены между собой дугами, выражающими связи между этими величинами. Каждая дуга описывает некоторое преобразование передаваемой величины и соответствует звену в структурной схеме.
Операторы преобразования на графе указаны рядом с соответствующими дугами. Там, где дуга изображает передачу сигнала без его преобразования, оператор преобразования равен единице. Оператор
преобразования для линейных связей Дописывается передаточной функцией, а для нелинейных’безынерционных связей—некоторой функциональной зависимостью. Если к вершине подходит несколько дуг, то это выражает суммирование подводимых к ней величин.
Из рассмотрения структурной схемы и направленного графа (рис. 1.1, д, ё) видно, что они полностью эквивалентны и представляют собой различные способы начертания одной и той же структуры, описываемой определенной системой уравнений.
Для описания процессов в системах пользуются как структурными схемами, так и направленными графами. В дальнейшем изложении будем пользоваться структурными схемами, имея в виду, что каждая из них может быть представлена и в виде соответствующего направленного графа.
9
Следящая система. Астатическая следящая система показана на рис. 1.2, а. Приближенные линейные уравнения подобной системы были рассмотрены в гл. VI части I. Однако при более полном рассмотрении этой системы необходимо учитывать нелинейность характеристик измерительно-преобразовательного устройства, усилителя и механической системы передачи.
Для измерения угла рассогласования между задающим 0! и отрабатывающим 02 валами следящей системы, кроме потенциометрических датчиков, рассмотренных в гл. VI, применяются сельсины, работающие в трансформаторном режиме. Трехлучевые обмотки статоров сельсинов соединены между собой так, что появление пульсирующего магнитного поля в сельсине-датчике вызывает возникновение токов в обмотках статора сельсина-приемника, создающих магнитное поле в сельсине-приемнике, ориентированное так же, как и в сельсине-датчике.
Пульсирующее поле в сельсине-датчике создается обмоткой ротора, питаемой от источника синусоидального тока. Если ось ротора сельсина-приемника повернута на угол 90° по отношению к оси сельсина-датчика, то в обмотке ротора сельсина-приемника не будет наводиться э. д. с., так как магнитное поле направлено перпендикулярно оси обмотки ротора. Всякое отличие этого угла от 90° приведет к появлению э. д. с. в обмотке ротора сельсина-приемника. Наибольшая э. д. с. в этой обмотке имеет место, если угол между осями роторов сельсинов составляет 0 или 180°.
Принимая за начала отсчета углов положения роторов обоих сельсинов две перпендикулярные оси I—I и II—II и обозначая углы поворота роторов соответственно 0t и 02, получим следующее выражение для напряжения на роторе сельсина-приемника:
rza = f/msin(Oi — 02)sinW.	(1.2)
Это напряжение подается на фазочувствительный усилитель-выпрямитель У, который преобразует модулирующее напряжение
(1.3)
в напряжение постоянного тока двигателя ид.
Питание усилителя от того же источника напряжения, что и обмотки ротора сельсина-датчика, обеспечивает учет знака фазы напряжения ид.
Если на вход усилителя дополнительно подать напряжение ик коррекции от тахометрического генератора, то выходная величина ия зависит от разности и± — ик, которую следует рассматривать как сигнал «2, подаваемый на вход усилителя.
В соответствии с выражением (1.3) характеристика сельсинной передачи «i(0i — 02) выражается нелинейной зависимостью (рис. 1.2, б).
Нелинейной зависимостью выражается и характеристика фазочувствительного усилителя ид(«2), упрощенно показанная на рис. 1.2, в.
Учет зазоров в системе механической передачи от вала двигателя к отрабатывающему валу следящей системы приводит к тому, что характеристика редуктора 02(0Д) не может быть представлена пропорциональным звеном, а имеет неоднозначный вид (рис. 1.2, г). При dS^dt > 0 эта зависимость выражается прямой, смещенной относительно начала координат на некоторую величину 0а вправо, а при 10
dQ2ldt <0 — аналогичной прямой, смещенной относительно начала координат на величину 0а влево.
При всяком изменении направления вращения имеет место холостой ход в течение времени, когда угол 0Д изменяется на величину 20а в ту или другую сторону. Это время называют временем отработки люфта.
Рис. 1.3
Структурная схема следящей системы с учетом описанных нелинейностей показана на рис. 1.2, д.
Система стабилизации курса. Для стабилизации курса корабля, торпеды или летательного аппарата применяются системы автоматического управления рулями, обеспечивающие поддержание неизменным заданного курса. Простейшая система стабилизации курса показана на рис. 1.3, а.
11
Объект схематически изображен в виде корабля 1, ось которого составляет угол ф с заданным курсомф0, фиксируемым гироскопическим компасом 2. Отклонение от курса ф0 — фх воздействует при помощи усилителя гироскопического компаса на рулевую машинку 3, через соответствующую передачу, поворачивающую руль 4 корабля на угол 5.
На рис. 1.3, б схематически показан привод пневматической рулевой машинки. Заслонка, управляющая подачей воздуха в рабочий цилиндр двигателя, поворачивается на угол у, создавая этим перепад давления воздуха в рабочем цилиндре и перемещение у поршня. Перемещение рабочего поршня ограничено упорами и может происходить при —уь < у < + уь.
Зависимость между скоростью v = dyldt движения поршня и положением у управляющей заслонки выражается графиком (рис. 1.3, в). При любом значении у, лежащем в пределах от —уь до +уь, эта зависимость сохраняется и имеет вид симметричной кривой с областями нечувствительности и насыщения. Однако как только рабочий поршень достигает упора, он останавливается; если дальнейшее изменение у соответствует прижатию поршня к упору, то скорость поршня остается равной нулю при любом значении у.
Таким образом, скорость v движения поршня является функцией двух переменных ц(у, у) и выражается следующими уравнениями:
<р(т) ( при ~Уь^у< + Уь ДЛЯ 7>0;
( при — yh<y^+yb для у < 0;
при у= +уь для у >0; при у= — уъ для у<0.
(1.4)
Переход с кривой <р(у) на прямую и — 0 происходит скачком при у = ±уь (штриховая линия на рис. 1.3, в).
В системе передачи от рулевой машинки к перу руля могут быть зазоры, создающие неоднозначную зависимость типа 6 (г/), показанную на рис. 1.2, г.
Таким образом, даже при упрощенном рассмотрении система стабилизации курса содержит две нелинейности, обусловленные упорами и зазорами системы передачи.
Структурная схема рассматриваемой системы показана на рис. 1.3, г. Здесь принято, что объект описывается инерционно-интегрирующим звеном 1, а усилитель гироскопа и корректирующая обратная связь по положению руля—пропорциональными звеньями 2, 5 с коэффициентами передачи k2 и k3. Систему управления рулем описывают нелинейные звенья 3 и 4.
Случайные возмущающие воздействия, приведенные к углу поворота руля, обозначены составляющей/.
Рассмотрение структурных схем (см. рис. 1.1. д, 1.2, д и 1.3, г) показывает, что все они описываются нелинейными уравнениями, линеаризация которых может привести к очень грубым приближениям 12
и получению решений, недостаточно соответствующих процессам, наблюдаемым в реальных системах. Например, наличие зазоров в системе передачи исключает возможность суждения об асимптотической устойчивости, так как по окончании внешнего воздействия в зависимости от его знака возможны различные положения рабочих точек на характеристике (см. рис. 1.2, г). Неоднозначность этой характеристики может служить причиной автоколебаний, отсутствующих в линейных системах. Неучет насыщения в характеристике усилителей приводит к значительному преувеличению значений перерегулирования в системе по сравнению с реально существующими. Таким образом, нелинейности, существующие в системах, могут привести как к увеличению, так и к уменьшению показателей качества системы по сравнению с результатами анализа линеаризованной задачи.
§ 1.3. ПРИМЕРЫ СИСТЕМ СО СПЕЦИАЛЬНО ВВЕДЕННЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ
При изучении линейных систем рассматривались методы повышения качества переходных процессов за счет введения линейных корректирующих устройств. Применение нелинейных элементов в схемах управления значительно расширяет возможности повышения качества переходных процессов в системе.
Примерами таких нелинейных элементов являются нелинейные непрерывные и релейные усилители, функциональные преобразователи с несколькими входами, цифровые вычислительные устройства, включающие преобразователи «аналог — цифра» и «цифра—аналог».
Введение релейных усилителей в схему управления может перевести ее в режим малых автоколебаний, существование которых повышает ее быстродействие и уменьшает перерегулирование при скачкообразных воздействиях.
Рассмотрим некоторые простейшие примеры систем с нелинейными элементами, введенными специально для повышения качества переходных процессов.
Нелинейная коррекция непрерывных систем. Для знакомства с принципом нелинейной коррекции рассмотрим отработку скачка u(t) простейшей следящей системой при двух различных значениях коэффициента усиления (рис. 1.4, а).
При большом коэффициенте усиления [кривая ^(Z)] процесс носит резко колебательный характер, величина перерегулирования велика и время /], в течение которого наступает момент равенства уг и и, мало. При малом коэффициенте усиления [кривая р2(/)] процесс протекает апериодически, перерегулирование отсутствует, и время компенсации рассогласования /2 велико. Естественно, возникает стремление создать такую систему, которая, имея высокий коэффициент усиления при больших рассогласованиях х = и — у, уменьшала бы его по мере уменьшения рассогласования. В этом случае переходный процесс должен иметь вид кривой г/н(/). Уменьшение коэффициента усиления по мере уменьшения рассогласования достигается включением нелинейного усилителя с характеристикой (1.4, б).
13
Чтобы защитить исполнительный механизм от перегрузок при больших значениях управляющего воздействия, применяют усилители с насыщением, характеристика которых имеет перегиб при больших-значениях входного сигнала (см. рис. 1.4, б).
Релейные системы управления. Вместо непрерывных нелинейных усилителей (см. рис. 1.4, б) могут быть применены релейные усилители различных типов. Структурная схема системы управления показана на рис. 1.5, а. Характеристика релейного усилителя может быть трех- и двухпозиционной (соответственно рис. 1.5, би рис. 1.5, в, г). В первом случае в системе имеется зона нечувствительности, в пределах которой может изменяться рассогласование х = и — у без замы-
кания системы регулирования. Во втором случае система автоколебательная: в ней в рабочем режиме существуют автоколебания, величина которых зависит от динамических характеристик линейной части и ширины петли гистерезиса релейной характеристики (см. рис. 1.5, в). Всякое изменение управляющего воздействия и приводит к колебательному процессу уменьшения рассогласования. При этом длительность процесса может быть меньше, чем в непрерывных системах.
Для повышения качества релейной системы так же, как и в линейных системах, применяют корректирующую обратную связь, которая может быть как линейной (см. рис. 1.5, а), так и нелинейной (рис. 1.5, б). В последнем случае для систем второго порядка при отсутствии гистерезиса релейной характеристики (рис. 1.5, г) соответствующим выбором зависимости z2((/i) может быть получен оптимальный по быстродействию переходный процесс. Такое корректирующее устройство было предложено Д. И. Марьяновским и Д. В. Свечарником в 1935 г. [Л. 117].
Системы с переменной структурой. На рис. 1.6 показана схема простейшей системы с переменной структурой, предложенная С. В. Емельяновым [Л. 39]. Рассмотрим структурную схему без участка, выделенного штриховой линией. Это — структурно-неустойчивая система с передаточной функцией разомкнутой системы (й1/г2)/р2.
14
С целью стабилизации системы, повышения качества и уменьшения чувствительности к изменению ее параметров применяют релейное устройство, влияющее на коэффициент обратной связи в зависимости от управляющего сигнала х и его производной по времени dxtdt = х.
На рис. 1.6 это устройство выделено штриховой линией. Здесь и = — x/kj ни, — х[ах + (P/^Jxl при ф() — const. Величина ut поло-
Рис. 1.5
жительна, если х > 0 и [ax + (P/^Jx] > 0 или х < 0 и [ах + (p/^jxl < <0 (а и р — коэффициенты пропорциональности). При этих условиях релейный элемент пропускает сигнал и2 = х дополнительно через звено у. Тогда передаточная функция разомкнутой системы
= kl-2p2~y) •	О-5)
Если отрицательно, что имеет место при х> 0 и [ах + (p/^Jxl <0 или х < 0 и [ах + (р/А^х] > 0, то и2 — 0, и через звено у не поступает сигнал в систему управления. При этих условиях
№р-(М>2.	(1.6)
Хакках обычно у > 1, то в зависимости от знака х изменяется знак обр£тгно&связи и структура системы. Как будет показано в гл. III, т^«ое изменение структуры системы в процессе ее работы не только ‘	15
стабилизирует систему, но и весьма благоприятно сказывается на ее качестве.
Релейное устройство с переменной структурой применяется как в следящих системах (см. рис. 1.2), так и в устройствах управления (см. рис. 1.3) вместо корректирующих звеньев kK или k3.
Цифровая следящая система. Еще большие возможности создает введение в систему управления цифровых элементов. Рассмотрим действие цифровых элементов на примере следящей системы.
Цифровая следящая система служит для преобразования цифровых сигналов, являющихся, например, результатом вычислений управляющей цифровой вычислительной машины, в линейные или угловые
Рис. 1.6
механические перемещения. Функциональная схема цифровой следящей системы показана на рис. 1.7, а, а ее работа была описана в гл. XII части I. На рисунке приняты следующие обозначения: ЦСУ—цифровое сравнивающее устройство; А1Ц и Ц/А — аналого-цифровой и цифро-аналоговый преобразователи; Ус — усилитель; ИД — исполнительный двигатель; Ред — редуктор; иц— преобразуемый входной сигнал; у—выходное перемещение; уц — результат измерения выходного перемещения в цифровой форме; — цифровое рассогласование; их — аналоговое > напряжение рассогласования; ия — напряжение управления исполнительным двигателем.
При составлении математического описания цифровой следящей системы было учтено квантование сигналов по времени, в результате которого система становится импульсной, но остается линейной; при этом не было учтено, что цифровые сигналы квантованы по уровню, т. е. могут принимать лишь ряд дискретных значений. Физическим
элементом в системе, в котором производится квантование сигналов по уровню, является аналого-цифровой преобразователь А1Ц. Ef® статическая характеристика имеет вид ступенчатой кривой с мносцчислен-ными разрывами, между которыми лежат горизонтальныв^участки. Эта кривая показана на рис. 1.7, б, через q обозначена велифЛЬоЛего кванта выхода системы у.	, / f
16	•	\ <ft.
При изменении у на q цифровой сигнал г/ц изменяется на единицу младшего разряда.
Преобразуемый входной цифровой сигнал иц также можно представить как результат прохождения аналогового сигнала и через аналого-цифровой преобразователь со ступенчатой характеристикой. Поэтому в структурную схему цифровой следящей системы, показанную на рис. 1.7, в, включены два нелинейных элемента НЭг и НЭ2 со ступенчатыми характеристиками. Линейная часть ЛЧ системы на этой схеме учитывает постоянную времени Т и интегрирующие свойства двигателя. Кроме того, в схеме имеются импульсный ИЭ и формирующий ФЭ
Рис. 1.7
элементы (см. гл. XII, часть I), а также два нелинейных элемента, учитывающих ограничение в усилителе (НЭа) и люфт в редукторе (НЭ4).
Цифровая следящая система представляет собой пример нелинейной импульсной системы автоматического регулирования.
Заметим, что возможен случай, когда в цифровой следящей системе отсутствует квантование по времени. Это связано с тем, что в аналого-цифровых преобразователях и цифровых сравнивающих устройствах может производиться непрерывный съем и передача сигналов. Тогда вместо двух нелинейных преобразователей аналог—цифра /7Эг и НЭ2 в схеме (см. рис. 1.7, в) вводится один нелинейный элемент, включаемый вместо импульсного ИЭ и формирующего ФЭэлементов. Такая система представляет собой пример нелинейной непрерывной системы.
При соответствующем усложнении цифрового сравнивающего устройства (см. рис. 1.7, а) в нем могут производиться дополнительные вычисления и коррекция сигнала х , поступающего в контур управления^ "Яа. например, могут быть произведены вычисления, соответ-ству;др,щ^^йствиям нелинейных элементов гл(х) и z2(y) в схемах, на рис. 1-4, б и 1.5, а и б, а так же проведена коррекция влития нмЖжйности ИЭ4 в схеме (см. рис. 1.7, й).
363201
Мчи. мкш. **\
* л. сяеп
§ 1.4. ПРИМЕРЫ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ОБЪЕКТАМИ С НЕМОНОТОННЫМИ (ЭКСТРЕМАЛЬНЫМИ) ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
При управлении объектом е нелинейной экстремальной характеристикой, произвольно изменяющейся во времени, возникает задача поддержания регулируемой величины в точке экстремума. Эта задача решается средствами непрерывной и импульсной техники. Рассмотрим примеры простейших решений задачи и встречающиеся при этом характерные нелинейности.
Непрерывная автоколебательная система экстремального регулирования. В системах экстремального регулирования для поддержания значения регулируемой величины вблизи экстремума применяются схемы, содержащие нелинейные звенья с еще более сложными характеристиками, чем рассмотренные ранее.
На рис. 1.8, а показана функциональная схема системы экстремального управления с непрерывным пробным движением, предложенная и разработанная В. В. Казакевичем. На ней объект управления с неконтролируемым воздействием f обозначен звеном 1. Система регулирования состоит из устройства 2 запоминания экстремума ут и определения величины отклонения от него ут — у = у, статического симметричного триггера 3, срабатывающего, когда отклонение от экстремума достигает заданного максимального значения, и исполнительного двигателя 4, управляемого триггером.
Нелинейными звеньями, кроме самого объекта управления, являются устройство запоминания экстремума и симметричный триггер. Рассмотрим каждое из этих устройств и его нелинейные характеристики.
Объект управления. Объектом управления может являться любое устройство с экстремальной характеристикой у(х), где х — управляющая величина, ay — целевая функция, служащая показателем качества процесса. Цель регулирования —поддерживать у на максимальном (или минимальном) уровне. Связь между х и у в общем случае зависит от скорости изменения х и может быть весьма сложной.
В наиболее простых случаях эту зависимость можно представить в виде соединенных последовательно нелинейного и линейного звеньев. В одном случае эта зависимость может быть представлена нелинейным звеном г(х) и линейным звеном с z на входе и у на выходе. В другом случае объекту соответствует линейное звено с х на входе и у на выходе и нелинейное звено z(y). На рис. 1.8, б изображена структурная схема, соответствующая первому случаю, а на рис. 1.8, в — примеры нелинейных характеристик z(x). Показаны две характеристики 1 и 2, соответствующие различным значениям f и, соответственно, различным координатам точек экстремума х01 и х02. В дальнейшем под величиной х будем понимать отклонение от координаты точки экстремума — — х01 при фиксированном значении х01. Простейшим линейид! звеном является инерционное звено первого порядка или звеДУгзайизды-вания. В качестве точки экстремума будем рассматриватщтакцййг у. Аналогичные рассуждения могут быть применены и для ^и^Имул^ТОРЙ функции.	Л /
Устройство запоминания максимума. Для запоминания максимума целевой функции у в зависимости от метода ее измерения могут быть применены механические, электромеханические или электрические устройства. На рис. 1.8, г показана элект
Piic. 1.8
рическая схема устройства запоминания максимума. По этой схеме конденсатор С через вентиль заряжается до напряжения у. При возрастании входной величины у напряжение ис на конденсаторе всегда устанавливается равным у, и напряжение на вентиле u2 = v = 0.
19
Однако при убывании у напряжение на конденсаторе ис = ут и разность у — ут прикладывается к вентилю К-
При достижении на вентиле напряжения и2 = пт разрядник Р начинает пропускать ток, и напряжение на вентиле снижается до нуля за счет разряда конденсатора через цепь разрядника (ток гю). Характеристика ‘ разрядника показана на и	]	!	рис. 1.8,5.
।	। 1 t Для рассматриваемой схемы не-
।	|	линейные характеристики	ис(у) и
—	1...	'	v(y) показаны на рис. 1.8,	е. На
ней характеристика ис = у соот-
Рис. 1.10
Рис. 1.9
ветствует dyldt > 0. Если dy/dt < 0, то при v < vm выполняются равенства Ис = ут и v = ут — у. При достижении равенства v = vm происходит разряд конденсатора до значения у, и снова восстанавливается равенство у = ис (т. е. v = 0).
Симметричный статический триггер. Пример симметричного статического триггера, выполненного на электронных лампах, показан на рис. 1.8, ж. Опрокидывание триггера происходит при отрицательных импульсах s, по величине превышающих $0. В анодные цепи электронных ламп триггера включены обмотки дифференциального поляризованного реле и Р2 так, что при всяком опрокидывании триггера переключается контакт реле Р, и напряжение и изменяется от +t/0 до — Ua или, наоборот, от —UQ до + U0.
Характеристика симметричного триггера как нелинейного звена изображена на рис. 1.8, з. На характеристике показаны скачкообразные переходы из точки 1 в точку 2 и обратно, когда^напряжение s убывает и достигает значения — s0.
^Структурная схема системы, включающая все три рассмотренных нелинейных звена, показана на рис. 1.8, и. При этом предполагают, 20
что линейная часть объекта может быть представлена инерционным звеном с постоянной времени Т, включаемым после нелинейности z(x), а исполнительный двигатель описывается интегрирующим звеном kjp.
На вход симметричного триггера поступают импульсы, получаемые путем дифференцирования величины и в схеме запоминания максимума.
Временная диаграмма работы каждого из звеньев системы для случая Т = 0, т. е. безынерционного объекта, показана на рис. 1.9. Из графика видно, как в нормальном режиме работы системы периодически в моменты времени, когда уход от максимума достигает величины vm, происходит изменение направления вращения двигателя и у снова приближается к максимуму. Всякое изменение характеристики объекта и координат точки максимума за счет воздействия / автоматически сопровождается переходом в окрестность новой точки максимума у.
Импульсная система экстремального регулирования. В импульсной системе экстремального регулирования, функциональная схема которой показана на рис. 1.10, а, периодически через интервал времени Ти измеряется величина производной dzldx статической нелинейной характеристики объекта z(x) (на рис. 1.10, а приняты обозначения: О — объект; ИП — измеритель производной; ИУ — исполнительное устройство). Измеритель производной ИП представляет собой вычислительное устройство, которое на основании информации об изменениях сигналов z и х вычисляет dzldx. Время То, необходимое для измерения приращений г и х и вычисления dzldx, составляет некоторую часть общего периода Ти.
Измеритель производной ИП может иметь самые различные реализации, однако наиболее распространенным его видом является синхронный детектор. В этом случае на вход объекта О и на измеритель производной ИП дополнительно поступает периодический пробный сигнал х = Xnm sincon£, а в измерителе производной вычисляется произведение zx и путем интегрирования этого произведения по времени за время То выделяется постоянная составляющая, пропорциональная dzldx. Измеренные дискретные значения производной поступают в исполнительное устройство ИУ. Исполнительное устройство изменяет в течение времени ТР координату х0 со скоростью, пропорциональной значению dzldx. Во всех случаях То + Тр < Та. Если для управления п объектами в качестве управляющего устройства используют одну цифровую вычислительную машину, то
п
^СГо + Л.)^7^-	(1-7)
Уравнение равновесного состояния системы имеет вид:
dzldx -- 0, что совпадает с условием экстремума.
21
На рис. 1.10, б показана структурная схема импульсной экстремальной системы, в которой объект регулирования О изображен последовательным соединением линейной части с передаточной функцией W0(p) и элемента с нелинейной характеристикой z(xx), имеющей экстремум. Дискретный характер системы отражен включением импульсного элемента ИЭ и формирующего элемента ФЭ с передаточной функцией
1 — й—рГр
.	(1.8)
Р
что соответствует прямоугольной форме управляющих импульсов. Исполнительное устройство ИУ содержит интегрирующее звено с передаточной функцией kiiylp.
Заметим, что период Та и время часто выбирают такими, при которых переходные процессы в линейной части объекта практически заканчивались бы за время Т„. В этом случае передаточная функция объекта W0(p) при рассмотрении процесса в главном контуре управления может быть принята равной k0 = U/o(0).
При этом в измерителе производной в зависимости от соотношений периода пробных сигналов Тл = 2л/<оп, времени То и постоянных времени объекта динамические характеристики последнего могут оказывать влияние на работу системы.
В рассматриваемой системе имеется два нелинейных элемента: объект и измеритель производной, содержащий множительное звено.
Рассмотренная система экстремального регулирования представляет собой пример нелинейной импульсной системы, обеспечивающей поддержание оптимального значения регулируемой величины.
§ 1.5.	НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗВЕНЬЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Из рассмотрения приведенных ранее систем автоматического управления видно, что в них встречаются нелинейности самого различного вида. Будем характеризовать каждую нелинейность соответствующей функцией 2 = 2(х). При этом будем считать, что имеет место одномерная нелинейность, т. е. переменная z представляет собой функцию только одной переменной х. Возможны случаи и многомерных нелинейностей, когда переменная z— функция нескольких переменных. Примером двумерной нелинейности является рассмотренное в § 1.2 (рис. 1.3) звено, в котором скорость и движения поршня представляет собой функцию переменных у и у. В дальнейшем будем рассматривать одномерные нелинейности, а некоторые многомерные нелинейности сведем к соединению одномерных.
Нелинейные звенья можно классифицировать по различным показателям: симметрии, гладкости, однозначности характеристик. Рассмотрим каждый из этих показателей.
Симметрия. Для нелинейных характеристик можно указать два типа симметрии:
1)	если функция z(x) удовлетворяет условию
z(x) = z( —х),	(1.9)
22
то такую характеристику называют симметричной относительно оси ординат, или четно-симметричной. При однозначной зависимости такие характеристики могут быть представлены рядом с четными степенями х\
оо z(x) = 2 C2ix2/, 1 = 0
где С — постоянный коэффициент;
2)	если функция z(x) удовлетворяет условию
z(x) =—z( — х), (1.10),
то характеристику называют симметричной относительно начала координат, или нечетно-симметричной. При однозначной зависимости z(x) такие характеристики могут быть представлены рядом с нечетными степенями х:
Z(x) = 2 C2i+lX2i+'.
i=--0
Характеристики, не удовлетворяющие ни одному из приведенных условий, называют несиммет
ричными.
В ряде случаев путем перемещения координат несимметричные характеристики могут быть приведены к симметричным. Перемещение
начала координат соответствует введению дополнительных слагаемых на входе и выходе звена. Например, для несимметричной характеристики z1(x1) (рис. 1.11, а, б) можно ввести подстановку х!==хо +х так, чтобы полученная характеристика z(x) = zx(x) оказалась симметричной относительно оси ординат. Такое преобразование координат соответствует введению сигнала х0 на входе звена и переходу от несимметричной характеристики z1(x1) к четно-симметричной z(x) (рис. 1.11, в, г).
Аналогично для характеристики гх(хх) (рис. 1.12, а, б) можно путем подстановки хх = х0 + х и zY = z0 + z получить нечетно-симметричную характеристику z(x). Структурная схема и характеристика z(x), соответствующая данному преобразованию координат, показаны на рИС. 1.12, в И 2.
Примером характеристик, которые путем преобразования координат сводятся к четно-симметричным, могут служить экстремальные характеристики, показанные на рис. 1.8, в. Примерами нечетно-симметричных характеристик являются графики, показанные на рис. 1.2,8, г;
23
1,3, в; 1.5, б, в, г. Характеристика сельсииа (см. рис. 1.2, б) в зависимости от выбора х0 может быть отнесена как к четно-симметричной, так и к нечетно-симметричной. К несимметричным характеристикам относятся графики, изображенные на рис. 1.1.6; 1.8, е, з и др,
Гладкость. Если в любой точке характеристики г(х) существует производная dzldx, то характеристика относится к гладким. Если на характеристике имеются изломы, в которых производная dzldx имеет разрыв, то характеристика относится к ломаным. Большую группу ломаных характеристик представляют кусочно-линейные характеристики, состоящие из отрезков прямых.
Примеры гладких характеристик показаны на рис. 1.1,6, в, г и 1.2, 6; ломаных кусочно-линейных характеристик — на рис. 1.2, в, г и др. При этом ломаные характеристики могут быть как непрерывными (см. рис. 1.2, в, г), так и разрывными (см. рис. 1.5, в, г). В ряде случаев с целью облегчения расчета гладкие характеристики бывает удобно приближенно заменять кусочно-линейными ломаными. Например, путем соответствующей аппроксимации и преобразования координат характеристика, изображенная на рис. 1.1,6, может быть сведена к ломаной кусочно-линейной характеристике (см. рис. 1.2, б).
Однозначность. Если каждому значению х соответствует одно определенное значение г, то характеристику называют однозначной. Если каждому значению х соответствует несколько значений г в зависимости от режима, предшествовавшего рассматриваемому моменту, то характеристику называют многозначной. При этом число возможных значений z может лежать в пределах от 2 до оо.
Примерами однозначных нелинейностей являются характеристики, показанные на рис. 1.1, б, г; 1.2, 6, в; 1.5, а; двузначных нелинейностей — на рис. 1.5, б, в; 1.8, д, з. Нелинейные звенья, характеристики которых представлены на рис. 1.2, г; 1.8, е, являются многозначными.
t Рассмотрим наиболее распространенные типовые звенья, характеристики которых при соответствующих упрощениях симметричны относительно начала координат (нечетно-симметричные) и могут быть достаточно хорошо представлены кусочно-линейными кривыми.
Звенья, встречающиеся реже, характеристики которых носят более сложный характер, будем относить к нетиповым, или особым, звеньям. К особым звеньям также будем относить искусственно создаваемые нелинейности, удовлетворяющие определенным задаваемым требованиям.
§ 1.6. ТИПОВЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗВЕНЬЯ
Типовые нелинейные звенья имеют как однозначные, так и неоднозначные характеристики. Эти характеристики могут быть всегда приведены к нормированному безразмерному виду путем изменения масштаба входной х и выходной z величин. Если известна характеристика z(x), то, вводя преобразование | = kxx иг = k2t,, которое выражает изменение масштаба, можно получить нормированную нелинейную характеристику £(|) в относительных единицах. Описанному преоб
разованию соответствуют структурные схемы, показанные на рис. 1.13, а, в. На них xakx = 1 и xak = kz. Типовые нелинейные звенья и их нормированные характеристики были введены Л. С. Гольдфарбом в 1947 г. [Л. 32] для приближенного анализа различных систем автоматического регулирования.
Рассмотрим основные нелинейные звенья, описывающие наиболее типичные нелинейности автоматических систем.
Звенья с однозначными непрерывными характеристиками. Звено типа зона нечувствительности. Характеристики звена типа зона нечувствительности показаны на рис. 1.13, б, г. Такими характеристиками обладают некоторые схемы электронных, магнитных и гидравлических усилителей в области малых входных сигналов. Простейшей механической моделью зоны нечувствительности является система соединения двух валов с пружинным возвратом ведомого вала в нейтральное положение при наличии участка свободного хода (люфта) в системе передачи. Такое соединение двух валов показано схематически на рис. 1.13, д. Здесь зона свободного хода ведущего вала имеет ширину 2ха. Характеристика звена (см. рис. 1.13, б) выражается следующими уравнениями:
25
о k(x—ха) k(x+xa)
при при при
Вводя переменные | = х/ха и £ = z/(£xo), получим нормированную характеристику
при при при
(1-12)
Звено типа ограничение (или насыщение). Характеристики звена типа ограничение или насыщение показаны на рис. 1.11, б, г. Подобными характеристиками обладают практически все реальные усилители (электронные, магнитные, пневматические, гидравлические), ограниченные по мощности в области больших входных сигналов. Примером простейшей механической модели ограничения является система соединения двух валов через упругую пружину при наличии ограничений или упоров в системе ведомого вала.
Такая связь схематически показана на рис. 1.14, а. Здесь зона рабочего хода ведомого вала имеет ширину 2гь.
Характеристика этого звена (рис. 1.14, б) выражается следующими уравнениями:
г=[ kx при |х|<хь;
I zbsignх при |х|>хь.
(1.13)
-Вводя переменные £ ную характеристику
х/хь и С = а/(&хь), получим нормирован-
I sign |
при при
ISI<1 1
|||>1.1
(1-14)
О ?= ё-i
В + 1
(1.11)
Звено типа ограничение с зоной нечувствительности. Многие элементы системы регулирования описываются нелинейной зависимостью, обладающей как зоной нечувствительности, так и ограничением. Характеристика звена, сочетающего оба этих типа нелинейностей, показана на рис. 1.15, а. При малых входных сигналах оно ведет себя подобно звену типа зона нечувствительности, а при больших сигналах—подобно звену типа ограничение.
Характеристика звена описывается следующими уравнениями:
0	при
6(х-ха)	при
й(х+ха)	при
zbsignx	при
(1-15)
26
Вводя обозначения В = х/ха, нормированную характеристику
О
£-1
£ — z/(kxa), т = хь/ха, получим
при при при
(116)
(т— 1)sign g
при
Потенциометрическая модель элемента, обладающего подобной характеристикой, показана на рис. 1.15, б.
Такое типовое звено представляет собой

Звенья с однозначными разрывными характеристиками. Звено типа дву х поз и ци он ное реле без гистерезиса. Однозначная характеристика двухпозиционного поляризованного реле показана на рис. 1.16, а. При модуле входного сигнала |х|<хй контакты реле разомкнуты и о величине напряжения г, снимаемого с контакта реле, ничего сказать нельзя. Величина z не связана с значением входного сигнала х и в этом диапазоне изменения х не существует зависимости z(x). При |х| xh в зависимости от знака х величина z принимает значение +zb или —zh и функция z(x) может быть выражена с помощью знаковой функции.
Таким образом характеристика нелинейного звена во всем диапазоне изменения х выражается следующим образом:
z=f zbsignx при |х|>хь;| ( не существует при | х | < xb. J
Пример потенциометрической схемы, соответствующей этой зависимости, представлен на рис. 1.16, б. На нем движок потенциометра при |х| •< хь скользит по изолятору и напряжение г на выходе никак не фиксировано.
Звено типа трехпозиционное реле без гистерезиса. Однозначная разрывная характеристика трехпози-
27
ционйого поляризованного реле без гистрёзиса показана на рис. 1.16, в.
Аналитически эта характеристика может быть выражена следующим образом:
zb sign х
z = О
при при при
IX К ха; ха<|х|<хь..
не существует
Пример потенциометрической схемы, соответствующей этой характеристике, показан на рис. 1.16, г.
При анализе и синтезе различных релейных систем управления очень часто пользуются идеализированными характеристиками двухпозиционного реле, типа показанной на рис. 1.5, г. Такая характеристика может быть получена путем предельного перехода одной из характеристик, показанных на рис. 1.14, б и 1.15, а или 1.16аи 1.16, в. при ха -> 0 и хь -> 0. Однако полученные таким об-
разом в результате предельного перехода характеристики при х = — 0 имеют различные значения.
Так, полагая в уравнении (1.13) хь 0 и k -> оо при kxb = zb, получим
I zb signх при |х|>0;1 I—zbCz<Zzb при х = 0. J
(1-19)
Производя аналогичный предельный переход в уравнении (1.17),
получим
zb sign х не существует
при при
(1-20)
И >0; 1 х — 0. J
(1-18)
Для уравнений (1.15) или (1.18) предельный переход дает
г_Д zb sign х при | х | >0;
1	0 при х = 0.
(1-21)
В некоторых случаях при анализе релейных систем с обратной связью необходимо обращать внимание на различие условий поведения системы при х=0, получаемых в каждом из этих трех случаев. 28
Ё дальнейшем под нелинейностью типа sign будем пбнймйТь характеристику, выражаемую уравнением (1.19).
Эта характеристика может быть аналитически выражена параболой нечетной степени 2n + 1 при п —> оо
z = гь sign х zb lim x<2'1 + 1) 1 п —>оо
(1.19а)
Обратную зависимость x(z) будем обозначать
х = asign z[zb = 1 ini (z/zZl)2n +1.	(1.196)
П -+OO
Рис. 1.17
Рис. 1.18
Звено типа аналог о-ц ифровой проебразо-ватель без гистерезиса. К числу звеньев с однозначными разрывными характеристиками относится звено со ступенчатой характеристикой, преобразующее аналоговую величину в дискретную с квантованием по уровню.
Такая характеристика показана на рис. 1.17, а. Аналитически она может быть выражена следующим образом:
? = £^+ysign^„	(1.22)
где под £(/) понимается целая часть t.
Подобные характеристики имеют устройства, вводящие аналоговый сигнал в цифровую вычислительную машину (см. рис. 1.7, б). При учете влияния скачков напряжения на движке реостата в потенциомет-29
ричёёких приборах при переходе движка от одного витка к другому (рис. 1.17, б) получим аналогичную зависимость между положением: движка и снимаемым напряжением. Величина скачка напряжения и0 равна напряжению на одном витке реостата. В этом случае
а = п0£(х/Д+0,5sign х),	(1-23)
где Д — толщина провода реостата.
Звенья с двузначными характеристиками. Звено типа двухпозиционное реле с гистерезисом. Рассмотренные выше однозначные релейные характеристики соответствуют некоторой идеализации реальных систем. В действительности обычно величина входного сигнала, при котором происходит скачок выходной величины 2, бывает различной для переключения контакта в прямом и обратном направлениях. Например, в двухпозиционном поляризованном реле при его симметричной регулировке переключение контакта в одном направлении происходит при некотором напряжении, а переключение в обратном направлении —при таком же напряжении противоположного знака.
Характеристика двухпозиционного реле показана на рис. 1.18, а. Математически она выражается следующим образом:
( +?b При —Ха<Х<оо; |	(124)
I— 2Ь При — ОО<Х<Ц-Ха. I
На участке — ха<Z. x<Z ха величина z имеет два значения+zb или —zb в зависимости от предшествовавших значений х. Условия скачка при переходе с нижней ветви на верхнюю выражаются следующим образом: х = ха, z = — zb, dx/dt > 0. Аналогично могут быть записаны условия скачкообразного перехода с верхней ветви на нижнюю: х = — ха, z — zb, dx/dt < 0.
Свойствами релейного элемента с характеристикой двухпозиционного реле обладают охваченные положительной обратной связью усилители с характеристикой типа ограничение (см. рис. 1.14, а). В этом случае характеристика имеет вид непрерывной кривой (рис. 1.18, б).
Участок характеристики при —ха < х < ха для —zb < z < zb имеет отрицательный наклон и обычно неустойчив. Таким образом, хотя при —xa<Zx <. ха каждому значению х и соответствуют три значения z, только два из этих значений гь и —zb отвечают устойчивому состоянию схемы и, следовательно, характеристика (см. рис. 1.18, б) сводится к рассмотренной ранее двузначной характеристике (см. рис. 1.18, а).
Эквивалентность рассматриваемых двух видов характеристики может быть использована при анализе релейных автоматических систем.
Звено типа трехпозиционное реле с гистерезисом. При учете различия в значениях входной величины, соответствующих переключениям контактов в одном и другом направ-' лении, характеристики трехпозиционного реле приобретают неоднозначный характер.
30
Так, если переход от z = 0 к z = zb происходит при х = ха, а возврат—при х = хь, то характеристика приобретает вид, показанный на рис. 1.18, в. Математически она выражается так:
г=( zb sign х при |x|>xb; 1
(	0 при |х|<ха. /
На участках хь < |х| < ха величина z имеет два значения.
Аналогичная характеристика получается при охвате усилителя с зоной нечувствительности и ограничением (см. рис. 1.15, а)
положительной обратной связью. В этом случае непрерывная характеристика (рис. 1.18, г) имеет два участка с отрицательным наклоном, которые обычно оказываются неустойчивыми и соответствуют зоне скачка. При учете скачкообразных переходов в характеристике получаем условия ее эквивалентности характеристике трехпозиционного реле с гистерезисом. Этот вопрос подробнее рассматривается в § 2.4.
Для получения характеристики, изображенной на рис. 1.18, в, может быть применена электрическая схема (рис. 1.18, д); состоящая из двух электромагнитных реле
Рис. 1.19
и Р2, включенных через вентили
Bi и В2. Контакты реле Pj и Р2 замыкают цепь между источником пи-
тания с напряжением zb и выходными зажимами так, что в зависимости от значения х напряжение z па зажимах принимает значение — zb, О или -\-zb в соответствии с характеристикой (см. рис. 1.18, в).
Звенья с многозначными характеристиками. Звено типа люфт. Одна из нелинейностей, наиболее часто встречающихся в механических системах, связана с наличием зазоров в системе передачи. Эта нелинейность, описываемая звеном типа люфт, была рассмотрена в примерах, приведенных в § 1.2. Если в механической модели нелинейности типа зона нечувствительности (см. рис. 1.13, д) убрать пружину, стремящуюся возвратить ведомый вал в нулевое положение, то получится модель нелинейности типа люфт (рис. 1.19, а).
В этом случае зависимость между положением ведущего х и ведомого z валов неоднозначна. Характеристика, выражающая зависимость между положениями ведущего и ведомого валов, показана на рис. 1.19, б. Каждому положению ведущего вала х соответствует мно
31
жество положений ведомого вала г, лежащее в пределах k(x — ха) <;
+ ха). Выбор того или иного из возможных положений определяется максимальным или минимальным отклонением г, предшествовавшим рассматриваемому моменту времени.
Аналитически характеристика звена типа люфт выражается следующим образом:
при х > 0 и v = kxa\ прих<0 и v=—kxa; при х>0 и — kxa^.v<Zkxa\ при х<0 и — kxa<v^kxa,
(1.26)
где х = dxldt и z = dzldt, v = kx-— z.
Зависимость z от x, выражаемая уравнением (1.26), для различных значений v показана на рис. 1.19, в.
Вводя обозначение <р(х, и) для звена, преобразующего сигналы х иов сигнал г, можно для звена типа люфт получить структурную схему (рис. 1.19, г).
Характеристиками типа люфт обладают механические системы как с зазором, так и с сухим (кулоновым) трением. Схематически простейшая модель механической системы с сухим трением показана на рис. 1.19, д. Здесь вращающий момент М уравновешивается моментом пружины аг (а — коэффициент пропорциональности) и моментом сухого трения ± ха, знак которого зависит от знака z. В этой системе входным воздействием является вращающий момент х = М, а выходной величиной—угол поворота вала г. Составляя уравнение моментов, получим
х = М =-- az ± ха,
или, обозначая & = 1/а,
z = k{x^xa\	(1.27)
что соответствует графику, показанному на рис. 1.19, б, и уравнению (1.26).
При этом
dzldx = 0 при |х—az|<xa.	(1.28)
Если в модели кроме момента пружины учесть момент вязкого трения fidzldt или момент, обусловленный инерцией yd2z/d^(p и у — коэффициенты пропорциональности), то уравнение, описывающее систему, принимает более сложный характер и модель не можетдбыть сведена к звену типа люфт. В этом случае влияние момента сухого трения должно быть выделено в виде нелинейного звена обратной связи, охватывающей линейное звено. Такая нелинейность будет рассмотрена дальше. 32
Звено типа упор. В различных механических системах перемещение одной из частей механизма бывает ограничено в двух направлениях и при этом ведущая часть может неограниченно перемещаться. Примером устройства, обладающего таким свойством, является механизм, показанный на рис. 1.20, а. Здесь ведущий вал связан с ведомой частью с помощью фрикционной муфты, которая расцепляется как только момент сопротивления превышает некоторую предельную величину. Ведомая часть механизма имеет упоры с двух сторон, поэтому как только она доходит до упора и возникает большой момент соп
ротивления, фрикционная	Рис. 1.20
муфта расцепляется и ве-
дущий вал начинает проворачиваться при неподвижной ведомой части. Однако как только направление вращения ведущего вала изменяется, муфта снова входит в зацепление и ведомая часть меха-
низма приходит в движение вместе с ведущим валом.
Если обозначить углы поворота ведущего и ведомого валов через х и z, то зависимость между ними выразится графиком, показанным на рис. 1.20, б.
Каждому положению ведущего вала х в этом случае соответствует множество положений ведомого вала в пределах—zb^Cz^4-zb.
Аналитически характеристика такого звена, называемого звеном типа упор, записывается так:
. I при х>0 и kx i .
I при 0 и
( при х>0 и
° •
I при х < 0 и
(1.29)
Зависимость z от х, выражаемая уравнением (1.29), показана на рис. 1.20, в. Структурная схема, соответствующая этому уравнению, изображена на рис. 1.20, г.
2 Зак. 447	33
Нелинейные характеристики, соответствующие звену типа упор, описывают процессы в системах с пневматическими и гидравлическими усилителями (см. рис. 1.3), а также электрическими двигателями рулевых машинок, имеющими концевые выключатели в цепи якоря.
Допустим, что при замкнутой цепи якоря двигателя (см рис. 1.20, д) (замкнута одна из параллельнх ветвей—контакт КД
Рис. 1.21
вентиль Вг или контакт КД, вентиль В2) скорость двигателя z пропорциональна напряжению и на якоре, т. е. z = ku. При повороте вала двигателя до одного из упоров размыкается контакт KBt или К,В2 и двигатель останавливается, z = 0. Если пренебречь выбегом электрического двигателя, то зависимость между и = х и z выражается графиком (см. рис. 1.20, в) и система (см.рис. 1.20, 0) описывается нелинейностью типа упор.
Сравним нелинейные характеристики звеньев типа люфт и упор. Для характеристик обоих типов всякое циклическое изменение х приводит к циклическому изменению г и на графике z(x) выражается некоторой замкнутой кривой. На рис. 1.19, б и 1.20, б такие замкнутые кривые циклов показаны контурами абвг. Интересно обратить внимание на различное направление обхода по этим циклам. Для характеристики звена типа люфт направление обхода против часовой стрелки, а для звена типа упор—по часовой стрелке. Соответственно для характеристик типа люфт, так же как и для характеристик типа релейный гистерезис (см. рис. 1.18)
f z dx < 0,
(1.30)
34
тогда как для характеристики типа упор
f zdx>Q.
(1-31)
При стремлении коэффициентов усиления k в звеньях типа люфт и упор к бесконечности их характеристики становятся прямоугольными (рис. 1.21, а, б).
Примером характеристики типа у пор с бесконечно большим коэффициентом усиления может служить влияние сухого (кулоновского) трения в системе механической передачи, если входным воздействием х считать поворот зала, а выходной величиной—момент трения z, напри-
мер, в механизме, схематически
изображенном на рис. 1.21, в. В этом случае вращающий момент М уравновешивается моментами пружины ах, вязкого трения fidx/dt, сухого трения г(х) = ± zb и инерции yd^x/dt2. При этом
z — 2Ь sign х	(1.32)
и
М—г = ах -\-$dx!dt -f-y d2x!dt2.	(1.33)
Структурная схема, соответствующая последнему уравнению, имеет вид, изображенный на рис. 1.21, г.
Здесь
W(p)=--------!----.	(1.34)
w <%+₽/>+ ур’
Цепь обратной связи, описываемая нелинейным звеном z(x), имеет характеристику, изображенную на рис. 1.21, б, и соответствует последовательному соединению дифференцирующего звена и нелинейности типа sign.
Звено типа магнитный гистерезис. При рассмотрении устройств магнитной памяти большое распространение получили нелинейные характеристики, в которых гистерезисные петли представлены в виде кусочно-линейных замкнутых кривых. Пример характеристики звена типа магнитный гистерезис показан на рис. 1.22, а. Здесь характеристика может быть описана следующими уравнениями:
2 = Ц1 (X±Xa),
Z = р2 X + С,
(1.35)
где —zij<C<zl), а pj и р2—постоянные коэффициенты. 2*
35,
—Zh ДО Z = Ц.2х + 2Ь.
При щ —>- оо и ц2 -> 0 гистерезисная петля имеет прямоугольную форму (рис. 1.22, б). Эта характеристика отличается от характеристики типа люфт при k оо (см. рис. 1.21, а) ограничением величины z, которая может лежать только в пределах от —zb до -f-zb.
§ 1.7. ВИБРАЦИОННАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ТИПОВЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗВЕНЬЕВ
Одним из способов борьбы с отрицательным эффектом .производимым нелинейностями типов зона нечувствительности и люфт, служит наложение на сигнал на входе нелинейного звена периодической переменной составляющей и фильтрация этой составляющей на выходе звена. Так, если к постоянному или медленно изменяющемуся сигналу х0 прибавить быстро изменяющуюся периодическую переменную составляющую х, то результирующий сигнал на входе х = х0 + х
вызовет на выходе сигнал г, который, в свою очередь, может быть представлен в виде суммы постоянной или медленно меняющейся составляющей z0 и переменной составляющей z (рис. 1.23).
Так как в нелинейных си-
стемах принцип суперпозиции не применим, то переменная составляющая х влияет на зависимость между z0 и х0.
I, ; Рассмотрим, как изменится характеристика звена типа зона нечувствительности для постоянной составляющей х0 и z0 при введении дополнительного периодического сигнала х. Действие периодического сигнала зависит от его формы. Будем рассматривать два крайних случая, когда переменный сигнал имеет треугольную и прямоугольную формы. При синусоидальном сигнале решение лежит между результатами, получаемыми в случае треугольного и прямоугольного сигналов.
На рис. 1.24, а жирной линией показана нелинейная характеристика z(x), которая совпадает с характеристикой z0(x0) при х = 0.
При увеличении х характеристика z0(x0) изменяется, приближаясь по мере роста амплитуды А сигнала х к прямой линии. Построение, дающее зависимость z0(x0) для переменной составляющей треугольной формы, показано на рис. 1.24, а. Оно выполнено в наиболее существенной точке х0 = 1 для А = 1 и А = 4. Из построения видно, что с ростом А растет z0 вблизи зоны нечувствительности и при А оо зависимость z0(x0) принимает вид прямой, проходящей через начало координат.
36
При переменной составляющей прямоугольной формы (рис. 1.24, б) влияние ее на спрямление нелинейной характеристики заметно еще более.
Для нелинейности типа зона нечувствительности наложение на входной сигнал переменной составляющей прямоугольной формы с амплитудой, в п раз превышающей половину ширины зоны нечувст-
Рис. 1.24
вительности, делает для постоянной составляющей нелинейную характеристику линейной на участке шириной, равной п — 1 ширины зоны нечувствительности.
Еще более разителен эффект линеризации характеристики звена типа люфт. В этом случае наложение сигнала треугольной (или прямоугольной) формы обеспечивает линеаризацию при амплитуде сигнала, превышающей половину ширины зоны люфта.
37
Построение, соответствующее этому случаю, показано на рис. 1.25, а, характеристики z0(x0) при различных значениях А — на рис. 1.25, б.
Из построений видно, что наложение переменной составляющей уменьшает влияние нелинейности в характеристиках типа зона нечувствительности и люфт, а при определенных, достаточно больших значениях амплитуды А, придает нелинейным звеньям свойства пропор-
Рис. 1.25
циональных линейных звеньев. Такое придание нелинейному звену свойств линейного звена в результате наложения переменной составляющей носит название вибрационной линеаризации. Для нелинейностей типа ограничение и упор вибрационная линеаризация повышает ширину линейной зоны, что сопровождается уменьшением коэффициента усиления на этом участке.
Рассмотрение вибрационной линеаризации приводит к выводу о пользе применения схем управления, в которых существуют малые автоколебания. Наличие малых устойчивых колебаний в системе может повысить качество переходных процессов и нейтрализовать нежелательное влияние некоторых нелинейностей.
38
по коэффициентам С^. В БС запоминаются величина и знак Сд, а также осуществляется операция умножения Сд/д(/).
В соответствии с текущим значением определяемым в АДХ-2 МЭИ, БС автоматически подстраивает модель.
Самонастраивающаяся модель, построенная на АВМ, является частью двушкальной системы, реализуемой на аналого-цифровом комплексе (АЦК), представляющем собой аналоговые и цифровые вычислительные устройства, предназначенные для решения задач оптимального управления (рис. 12.30).
На АВМ воспроизводится модель объек-
Рис. 12.29
Рис. 12.30
Так, например, с помощью АЦК легко может быть решена задача нахождения близкого к оптимальному по быстродействию управления линейным объектом.
На модель объекта, работающую в ускоренном масштабе времени, подается сформированное в ЦВУ управление из класса кусочно-постоянных функций с учетом наложенных ограничений. Предварительно в модель вводятся начальные условия (Ввод НУ), учитывающие влияние входного сигнала на интервале времени переходного процесса, предшествующего моменту поиска управления.
Каждый реализованный вариант управления оценивается в соответствии с выбранным критерием оптимальности (например, минимум времени процесса) блоком оценки качества управления БОКУ. Оценка каждого варианта управления на модели осуществляется за время, которое может быть взято достаточно малым. Принтом просмотр всех допустимых управлений и из некоторого замкнутого множества S3, формируемых в ЦВУ, позволяет найти и запомнить вариант, близкий к оптимальному, для его последующей реализации на объекте. Отыскание близкого к оптимальному управления по быстродействию сводится к нахождению моментов переключения ?;(i = 1, 2, ..., п). Процесс поиска управления 408
§ 1.8. ОСОБЫЕ ЗВЕНЬЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Рассмотренные типовые звенья далеко не исчерпывают разнообразия звеньев нелинейных систем. Достаточно рассмотреть примеры, приведенные в § 1.2, 1.3 и 1.4, чтобы заметить много иных нелинейных звеньев, не рассмотренных в § 1.6.
Среди звеньев линейных и нелинейных систем особое место занимает множительное звено. В зависимости от схемы включения это зве
но может присутствовать как в линейных, так и в нелинейных системах.
Если на входы множительного звена подаются независимые сигналы, то наличие этого звена характе-
Рис. 1.26
ризует изменение параметров
системы и не нарушает ее линейности. Так, множительным звеном является идеальное импульсное звено (см. гл. XII части I), осуществляющее умножение сигнала x(t) на последовательность 6-функций.
При этом в системе выполняется принцип наложения и она остается линейной. Структурная схема такого перемножения независимых сигналов z = ху показана на рис. 1.26, а.
Рис. 1.27
Рис. 1.28
Иначе обстоит дело, когда сигналы хну зависимы. В этом случае даже при линейности всех остальных звеньев система становится нелинейной (рис. 1.26, б).
Пример получения нелинейного звена с параболической четной характеристикой г = х2 (рис. 1.27, а) с помощью множительного звена показан на рисунке 1.27, б. Такие характеристики рассматриваются при изучении экстремальных систем управления (см. рис. 1.8, б, в, и}.
С помощью множительного звена и более простых нелинейных звеньев с кусочно-линейными характеристиками может быть получено звено, обладающее параболической нечетной характеристикой
г = х\ х | =x2sign;x.	(1.36)
39
На рис- 1-28. а показан график этой характеристики, а на рис. 1.28, б — структурные схемы получения звена с этой характеристикой путем соединения множительного звена и нелинейных звеньев с характеристиками
Л = И	(1-37)
или
z/2 = signx.	(1.38)
о)
Нелинейные элементы с нечетной параболической характеристикой (1.36) применяются для получения систем, оптимальных по быстродействию (см. рис. 1.5, д).
Множительное звено входит также в состав более сложных нелинейностей, в которых выходная величина представляет собой функцию двух или большего числа входных сигналов.
Так, если статический нелинейный объект с п входными величинами хь х2, ..., хп и одной выходной величиной z имеет непрерывную характеристику z(xlt х2,  , хп),то она может быть представлена зависимостью
п	и п
z = 2 а,*,-+ 2 2 bi}xtx} +
i=i	t=i /=i
к/
40
п п п
+ 2 2 2 cukxix] xki	(i-39)
i.i/=1
/</<*
где ai,bij,cijk—постоянные коэффициенты, причем при i>j а при 1>/ или j>k cijk = O.
Такие объекты рассматриваются в многомерных задачах оптимизации. Уравнение (1.39) соответствует соединению пропорциональных, множительных и суммирующих звеньев.
Некоторые релейные звенья вместе с преобразованием сигнала выполняют функции умножения. Реализация таких звеньев часто бывает проще, чем построение независимого множительного звена.
Рассмотрим релейный преобразователь, структурная схема которого изображена на рис. 1.29, а.
Здесь
z = z(xx, Х2)=Х110(х2)	(1.40)
и сигнал на выходе отличен от нуля и равен сигналу на входе только при положительном знаке сигнала х2. Пространственное изображение характеристики релейного преобразователя дано на рис. 1.29, б. Характеристика г(х1у х2) изображается двумя плоскими поверхностями z = Xi при х2 > 0 и z = 0 при х2 < 0. Если — const = £70, то сечение I — / этих поверхностей дает релейную характеристику z — t/0l0(x2).
Схема устройства, имеющего рассматриваемую характеристику, показана на рис. 1.29, в. На ней катушка поляризованного реле Д питается от управляемого сигналом х2 операционного усилителя У, величина сигнала на выходе которого ограничена двумя опорными диодами Дг и Д2, включенными в цепь обратной связи	Таким
образом, ток, протекающий через обмотку реле Ръ пропорционален signx2 и реле замыкает нижний контакт при положительном значении х2. Сигнал г на выходе равен входному сигналу хг при лу > 0 и нулю при Ay < 0.
Несколько сложнее реализуется элемент со структурной схемой 1.30, а, имеющий характеристику
z = z(Xj, xa) = x1signx2.	(1.41)
В этом случае для получения характеристики, изображенной на рис. 1.30, б, необходимо иметь два реле и Р2, замыкающие контакты при разных знаках сигнала х2 (рис. 1.30, в). Изменение знака сигнала xlt подаваемого в цепь z, в зависимости от знака сигнала х2 осуществляется переключающимися контактами реле Р± и Р2. Для исключения возможности короткого замыкания при ошибочном одновременном срабатывании двух реле в цепь последовательно включаются размыкающие контакты реле и Р2. При jq = const = Uo получаем на характеристике разрывную кривую I — I, соответствующую z = = {/0signx2(CM. рис. 1.30, б).
41
В системах с переменной структурой (см. § 1.3, рис. 1.6) применяются релейные звенья, выполняющие преобразование
u2 = z = z(xl, х2) = х110(х1 х2).	(1-42)
Структурная схема такого звена показана на рис. 1.31, а. В этом случае пространственное изображение характеристики (рис. 1.31, б)
а) _________
Рис. 1.30
имеет вид соприкасающихся в точке 0 четырех плоских участков двух поверхностей z =-- xt и z = 0. Так же, как и для схемы, изображенной на рис. 1.29, а, сечение, соответствующее Xi = Uo, дает релейную характеристику z = [/010(х2).
Звено, выполняющее преобразование (1.42), применяется в системах с переменной структурой и получило название tp-ячейка [Л. 30]. В соответствии с принятым обозначением i|? = z/xj — 10(хг х2).
42
Существуют различные реализации ф-ячеек. Два простейших варианта выполнения ^-ячейки показаны на рис. 1.31, в и г.
Первый вариант (см. рис. 1.31, в) выполняется с помощью поляризованного реле Plt контакты которого включены в мостовую вентильную схему так, что при положительном знаке х± этот сигнал передается через нижний вентиль в цепь z только при х2 > 0, а при отрицательном знаке Xi связь с цепью z осуществляется с помощью верх-
а)
Рис. 1.31
него вентиля и имеет место только при х2 < 0. Второй вариант ijj-ячейки выполняется без релейно-контактных элементов и имеет еще более простую схему (см. рис. 1.31, г). В этом случае при положительном знаке сигнала хх его передача через сопротивление t\ и вентиль в цепь z может происходить только при положительном знаке сигнала х2. При этом вторая цепь замыкается через вентиль Bi. В противном случае цепь замыкается через вентиль Ва и z == 0. При отрицательном знаке сигнала его передача по нижней ветви через сопротивление г2 и вентиль В2 может происходить только при отрицательном знаке сигнала хг. Сопротивления г\ и г2 принимаются равными и ограничивают мощность, передаваемую в цепь z. Обычно на выходе z имеется усилитель мощности.
43
На рис. 1.6 показан один из примеров включения ф-ячейки в систему управления. Если в этой схеме принять = 0, то на вход ф-ячейки поступят сигнал хг и его производная х2 = dxjdt (рис. 1.32, а). В этом случае ф-ячейка вместе с дифференцирующим звеном образует нелинейное звено, преобразующее входной сигнал хх в сигнал z с ха-
рактеристикой, показанной на рис. 1.32, б. Здесь прямая z Xi соответствует условию х1х1>0, а прямая z = 0 — условию xtXi < 0. При х^ = 0 происходит скачок с одной прямой на другую.
Рис. 1.32	Рис. 1.33
Полученное звено z(xj с неоднозначной характеристикой, подобно звену типа упор, обладает обратным (отрицательным) гистерезисом, так как для этой нелинейности jzdXi > 0 (например, цикл абвг на рис. 1.32, б).
С помощью релейных элементов могут быть построены и другие нелинейные звенья с отрицательным гистерезисом. Например, в отличие от двузначной характеристики двухпозиционного реле с положительным гистерезисом, показанной на рис. 1.18, а, могут быть получены аналогичные характеристики, но с отрицательным гистерезисом.
Два способа получения релейной характеристики с отрицательным гистерезисом с помощью поляризованных реле Plt Р2, Р3, Pt показаны на рис. 1.33, а, в. В обоих случаях характеристика выражается уравнением (1.24), однако условия скачка в зоне неоднозначности различаются. В первом случае скачок при переходе с нижней ветви на верх-44
нюю выражается условием х = -±2Ха, z — — гь и dxldt > 0, а с верхней ветви на нижнюю — условием х = ±ха, 2 = +zb и dxldt < О (рис. 1.33,6). Во втором случае скачок происходит также при перемене знака dxldt в любой точке зоны неоднозначности, переход с нижней ветви на верхнюю—при dtx/dt2 >0 и dxldt = 0, а при d2xldt2 <0 и dxldt = 0—в обратном направлении (рис. 1.33, г).
Обе рассмотренные схемы релейных элементов с отрицательным гистерезисом применяются для повышения качества регулирования [Л. 7, 24]. Аналогично могут быть получены и трехпозиционные релейные элементы с отрицательным гистерезисом.
В примерах нелинейных систем (§ 1.2, 1.3 и 1.4), кроме уже рассмотренных звеньев, встречались и другие. Например, в схеме реальной следящей системы (см. рис. 1.2) встречаются нелинейные звенья с синусоидальной характеристикой
2 = ^sin(2nx/x7),	(1-43)
где хт — период синусоиды.
При рассмотрении систем экстремального управления встречаются многозначные звенья с пилообразной характеристикой (см. рис. 1.8, е), обеспечивающие запоминание экстремума, и симметричные триггеры с двузначной характеристикой (см. рис. 1.8, ж, з), обеспечивающие преобразование входного переменного сигнала в сигнал с частотой, в два раза меньшей, чем входной сигнал.
ГЛАВА fl
СТАТИКА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. СОЕДИНЕНИЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗВЕНЬЕВ
§ 2.1. ОСОБЕННОСТИ ХАРАКТЕРИСТИК СОЕДИНЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗВЕНЬЕВ
В нелинейных системах преобразование сигнала описывается в общем случае дифференциальным или интегральным нелинейным уравнением и может быть выражено некоторым оператором преобразования А. Если входной сигнал x(f), а выходной 2(f), то
z(Z) = A{x(0).	(2.1)
В зависимости от характера нелинейности и от динамических свойств звена оператор А может выражаться достаточно сложно. В отдельных частных случаях преобразование сигнала нелинейным звеном может быть представлено в виде последовательного воздействия линейного оператора W(p), выражающего динамические свойства звена, и нелинейного оператора /, выражающего статическое преобразование сигнала.
Такое представление соответствует эквивалентной схеме, состоящей из последовательного соединения линейного динамического и нелинейного статического звеньев.
В зависимости от последовательности действия линейного и нелинейного операторов имеет место различное преобразование сигнала. Так, если
(t) =AX {х (/)} = f <£-* {W (p) L [x (/)]}>, ) z2(/) = A2{x(/)} = £-> (W (p) L {f [x(t)]})>, j
то в общем случае
Z2 (0 zi (0-
Здесь L и Л-1 — прямое и обратное преобразования Лапласа.
Эквивалентные схемы, соответствующие двум видам преобразования, показаны на рис. 2.1 а, б.
Так как z2(t) zff), то при последовательном соединении нелинейного статического и линейного динамического звеньев их перестановка недопустима. Исключение представляет звено запаздывания т, для которого W(p) = е~рх и
{е-р* Д [х (/)]} = х (/ — т).
46
В этом случае
Zi(/)=f [*(/— т)] =z2(0
(2-3)
и перенос звена запаздывания через нелинейное статическое звено f(x) не изменяет свойств рассматриваемой системы.
Для записи решения уравнения (2.1) относительно переменной x(t) вводится обратный оператор Л-1, соответствующий условию
Тогда
А-1 {Л[х(01| =x(t).
x(t) = Л—1 (z(/)},
(2.4)
Рис. 2.1
если, конечно, решение уравнения (2.2) для заданного z(Z) существует. Если Лг — прямой оператор последовательного соединения линейного динамического и нелинейного статического звеньев
Al [x(0} = f<L-' |№ (р)Е[х(0П>, то обратный оператор
ЛГ> (z(/)} =	|f-> [z(/)]j >•	(2.5)
Здесь символом /-1 обозначена нелинейная функция, обратная f. При этом /-1|(/(х)} = х. Эквивалентные схемы, соответствующие прямому Л2 и обратному Ад1 операторам, показаны на рис. 2.1, а, в.
При рассмотрении статики нелинейных систем сигналы х и г не зависят от времени, а линейное звено может рассматриваться как пропорциональное IV'(O) и объединяться с нелинейным статическим звеном. Рассмотрение статических задач имеет большое значение в нелинейных системах и представляет основное содержание настоящей главы.
При выводе эквивалентных характеристик различных соединений нелинейных статических звеньев, аналогично рассмотрению соединений линейных звеньев (см. ч. I, гл. V) будем исходить из трех видов соединений:
а)	последовательное соединение,	,
б)	параллельное согласное соединение,
в)	параллельное встречное соединение.
При этом во всех случаях предполагается, что звенья являются направленными и что соединение не изменяет их характеристик. Рассмотрим особенности каждого из этих видов соединения нелинейных звеньев на конкретных примерах.
47
§ 2.2.	ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ЗВЕНЬЕВ
При последовательном соединении нелинейных звеньев, так же как и для линейных звеньев, выходная величина одного звена является входной величиной другого.
При последовательном соединении п звеньев (рис. 2.2) для каждого соединения
x/ + i=z;	(2.6)
и так как z; = /г (х;), то
(2.7)
xi +
z = w =	= zn(x,)
Рис. 2.2
Решая совместно п нелинейных уравнений вида (2.7), получим для последовательного соединения п звеньев следующую нелинейную функцию, выражающую характеристику г(х) = г,^):
п— 1
z(x)=fln(x) = fn{f„_i ... 1Л(х)]}.	(2.8)
Определение общей характеристики г(х) может быть сведено к проведенному п — 1 раз нахождению эквивалентных характеристик двух последовательно соединенных звеньев и определению Za^), z3(xj) И Т. Д. ДО Zn(Xj).
Графическое построение характеристики /12(xi) при заданных характеристиках Д(хх) и /2(^2) показано на рис. 2.3. При построении, выполняемом в четырех квадрантах, удобно пользоваться вспомогательным третьим квадрантом с прямой z2(z2), облегчающим переход от оси za в характеристике г2(х2) к оси za в характеристике z2(xi). Производя такое построение п раз, можно найти результирующую характеристику Zn(Xj) = fm(Xi).
Путем построений для конкретных случаев легко убедиться в том, что при изменении последовательности соединений звеньев в большинстве случаев результирующая характеристика изменяется.
Пример 2.1. Найти характеристику последовательного соединения нелинейных звеньев типа зона нечувствительности z1 = fl(x-^ и ограничение z2 = = /2(х2) при различной последовательности их соединения.
На рис. 2.4 выполнены два варианта построения характеристик таких соединений. На рис. 2.4, б построена зависимость z2(xx) =	для соединения,
изображенного на рис. 2.4, а. Соответственно на рис. 2.4, г — зависимость г1(ха) = Л.[^а(ха)1 Для соединения, показанного на рис. 2.4, в.
Из построения видно, что в обоих случаях получено звено типа ограничение с зоной нечувствительности, однако значения выходной величины, соответствующей ограничению zc, и входной величины, соответствующей зоне нечувствительности хе, оказываются различными.
48
В первом случае они совпадают со значениями для исходных нелинейностей: ге = гь и хс ха, а во втором случае они существенно отличаются: гс = гъ — — ха, а хс — ха//г2. При z& < ха второе соединение приводит к разрыву цепи
передачи сигнала.
Пример 2.2. В последовательном соединении нелинейного звена с однозначной характеристикой, интегрирующего звена и звена типа упор (рис. 2.5, а) необходимо два нелинейных звена привести к одному нелинейному звену. Такая задача может быть решена, если ввести понятие звена, характеристика которого выражает связь не только между сигналами, но и между их производными или
интегралами по времени.
Если характеристику звена типа упор представить в виде описанной ранее структурной схемы, показанной на рис. 1.20, г, то, заменяя звено z(x) на рис. 2.5, а схемой, изображенной на рис. 2.5, б, и учитывая, что соединенные последовательно интегрирующее и дифференцирующее звенья взаимно компенсируются, получим эквивалентную схему, показанную на рис. 2.5, в. Здесь нели-
нейные звенья х(у) и z(x, г) сое-динены последовательно и могут быть заменены одним нелинейным звеном с характеристикой z(y, z), показанным на рис. 2.5, г.
Построение характеристики z(y, z) выполнено на рис. 2.6.
Сравнивая рис. 2.5, а и рис. 1.3, г, легко убедиться, что полученная в результате преобразования схема (см. рис. 2.5, г) соответствует рассмотренной в § 1.2 рулевой машинке (см. рис. 1.3, б, в,г). Таким образом, приведенное па рис. 2.5, а последовательное соединение трех звеньев выражает связь между положениями заслонки и поршня в пневматической рулевой машинке.
При последовательном соединении двух нелинейных звеньев с характеристиками / и /-1 может оказаться, что
результирующая характери-
49
стика получается линейной, а коэффициент усиления системы равен единице. Два нелинейных звена, последовательное соединение которых образует пропорциональное звено с единичным коэффициентом усиления, будем называть взаимно обратными.
Для двух взаимно обратных нелинейных звеньев с характеристиками zx = /(хх) и г2 = /-1(х2) справедливо равенство
(2.9)
Рис. 2.5
Легко показать, что перемена местами таких звеньев не изменяет общей характеристики системы, т. е. что для них выполняется принцип коммутативности и
ПГ‘(Х2)] = Х2.	(2.10)
Действительно, если выполнимо условие (2.9), то f (f-‘ If (*l)]}=f (Xi).
Но так как /(xx) = x2, то, следовательно, это выражение совпадает с (2.10).
Указанное свойство справедливо только для монотонных характеристик, не имеющих горизонтальных или вертикальных участков. Можно показать, что при наличии зоны, в которой dzjdx-i = 0 и dz^ldXi = оо, изменение мест нелинейностей /(хх) и / -1(х2) меняет общую характеристику соединения. 60
Пример}2.3. Найти характеристику нелинейного звена гг = fi(xi), которое необходимо включить последовательно с звеном типа люфт z2 = f2(x2) для того, чтобы результирующая характеристика последовательного соединения была линейной и выражалась прямой z2(xx) = хх.
Для этого из построения известных характеристик z2 = f2(x2) и z2(xx) = xr (рис. 2.7) обратным путем можно найти требуемую характеристику zx = fx(xx). Из приведенного на чертеже построения видно, что для выполнения условия z2(xx) = xi необходимо, чтобы две характеристики гх = /х(хх) и г2 = )2(х2) в Двух квадрантах координат хх, zx = х2, г2 представляли собой кривые, зеркально симметричные относительно оси zx = х2.
Полученная в результате построения кривая г1“/1(х1) является обратной по отношению к характеристике типа люфт и
21= fl (*l)=/2~‘ (Xi)-
Звено с такой характеристикой может быть применено для компенсации вредного действия нелинейности типа люфт.
§ 2.3.	ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОГЛАСНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ЗВЕНЬЕВ
При параллельном согласном соединении нелинейных звеньев на их входы подается одна и та же величина, а выходные величины суммируются с соответствующими знаками.
Если параллельно соединены п звеньев, то входная величина
х = х} =х2= ... = хп,	(2.11)
а выходная величина
z=fW=2	(2.12)
1=i
Из выражения (2.12) видно, что характеристика параллельного согласного соединения ряда нелинейных звеньев может быть получена
51
путем непосредственного суммирования соответствующих ординат составляющих характеристик.
Схема параллельного согласного соединения п нелинейных звеньев показана на рис. 2.8.
Пример 2.4. Найти характеристику параллельного согласного соединения нелинейных звеньев типа зона нечувствительности 2Х и z2 соответственно с зонами нечувствительности ха1 и ха2 и крутизной и й2 (рис. 2.9, а, б).
Рис. 2.9
На рис. 2.9, в построена характеристика z(x) = Zj+ г2 в случае, когда в суммирующем узле сигналы гг и z2 складываются с одинаковыми знаками (рис. 2.9, г). Соответственно на рис. 2.9, д построена характеристика г(х) = г2 — г2 для случая, когда в суммирующем узле сигналы z2 и z2 складываются с разными знаками (рис. 2.9, е).
Из рассмотрения участка характеристики (рис. 2.9, б) при х > ха2 видно, что если fej — k2, то наклон характеристики равен нулю и она соответствует звену типа зона нечувствительности с ограничением.
Пример 2.5. Звено с характеристикой 21(х1), полученное в примере 2.3 (см. рис. 2.7), представить в виде параллельного согласного соединения двух более простых типовых звеньев.
Рассматривая звено типа упор с прямоугольной характеристикой (см. рис. 1.21, б), легко заметить, что параллельное соединение этого звена с пропорциональным звеном, имеющим единичный коэффициент усиления, дает звено с требуемой характеристикой Zj^J.
При параллельном согласном соединении двух нелинейных звеньев и соответствующем выборе их характеристик может оказаться, что результирующая характеристика линейна и коэффициент усиления 52
системы равен единице. Такие два нелинейных звена, параллельное согласное соединение которых образует пропорциональное звено, будем называть взаимно дополнительными. Разумеется, что оба звена равноценны в этом соединении и перемена их местами ничего не изменяет.
Для двух взаимно дополнительных нелинейных звеньев справедливо равенство
!1(х) + ^(х) = х	(2.13)
или
=	(2.14)
Из равенства (2.14) следует, что условием взаимной дополнительности характеристик Zi=A(x) и гъ~Мх) является равенство расстояний
Рис. 2.11
а и b от этих характеристик по оси z до прямой г = х/2 (рис. 2.10). Это условие будем называть эквидистантностью по оси z относительно прямой z = х/2.
Если дана нелинейная характеристика f(x), то дополнительную характеристику будем обозначать 7(х). Уравнение (2.13), связывающее две взаимно дополнительные характеристики, в этом случае имеет вид:
f (*)+/(*) = *•	(2.15)
Пример 2.6. Найти характеристику f(x), дополнительную по отношению к заданной характеристике f(x) типа ограничение с линейной зоной хъ = 1 /2 и единичной крутизной.
Проводя прямую z = х/2 (штриховая линия на рис. 2.11), из условия эквидистантности по оси 2 относительно этой прямой получаем требуемую характеристику f(x). Эта характеристика описывает звено типа зона нечувствительности с ха = хь= 1/2.
Таким образом, звенья типа зона нечувствительности и ограничение при ха — хъ и единичной крутизне имеют взаимно дополнительные характеристики.
§ 2.4.	ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ВСТРЕЧНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ЗВЕНЬЕВ
При параллельном встречном соединении двух звеньев (рис. 2.12) выходной сигнал первого звена (прямой связи) подается на вход второго звена (обратной связи), а выходной сигнал второго звена с соответствующим знаком суммируется сообщим входным сигналом и по-53
дается на вход первого звена. Общим выходным сигналом является выход звена прямой связи. Обратная связь в зависимости от знака сигнала, поступающего в суммирующий узел, может быть отрицательной или положительной.
Соответственно уравнения замыкания имеют вид:
Xj = х ± з2,
(2.16)
где знак плюс соответствует положительной обратной связи, а знак минус — отрицательной.
При этом
г = з1 = х2.	(2-17)
Для построения общей ха-
рис 2.12	рактеристики параллельного
встречного соединения z(x) необходимо уравнения (2.16) и (2.17) рассматривать совместно с характеристиками нелинейных звеньев и /2(х2).
Тогда, преобразуя (2.16) с учетом (2.17), получим
x=fr'(z) ±^(г).	(2.18)
В этом уравнении знак минус соответствует положительной, а знак плюс—отрицательной обратной связи.
Рис. 2.13
По уравнению (2.18)’легко построить общую характеристику г(х) или x(z).
Пусть характеристики ^(хг) и f2(x2) имеют вид графиков, построенных на рис. 2.13, а, б. Тогда для получения г(х) необходимо построить кривые/^(xj) = z(x1), f2~r(z^ =z(z2) и затем алгебраически сложить абсциссы этих кривых в соответствии с уравнением (2.18).
Для отрицательной обратной связи на рис. 2.13, в выполнено построение путем суммирования абсцисс.
Пример 2.7. Построить характеристику звена типа ограничение с зоной нечувствительности Zj = fiiXi), охваченного отрицательной (рис. 2.14, а) или положительной (рис. 2.14, б) жесткой обратной связью с коэффициентом усиления ka.
54
В этом случае характеристика обратной связи линейна z2 — fe0x2 или х2 = «= z2/kg. Построение результирующей характеристики для обоих случаев показано на рис. 2.14, в, г.
Как видно из построения, в первом случае результирующая характеристика однозначна и соответствует звену типа ограничение с зоной нечувствительности. Пределы линейной зоны усиления при этом возрастают с хь— ха до х^ — — ха, где хщ == хь + 2bk0. Во втором случае результирующая характеристика при k0Zb > хь — ха становится неоднозначной и соответствует трехпозиционному реле с гистерезисом (см. § 1.5). В этом случае ширина петли гистерезиса равна Ха Xfj‘2 ~ k0;'h X* хй.
Пример 2.8. То же, что и в примере 2.7, но только для звена типа двухпозиционное реле без гистерезиса с характеристикой, выражаемой уравнением (1.20).
В этом случае, производя построения, аналогичные примеру 2.7, легко убедиться, что при отрицательной обратной связи при —k0Zb <Z х <Z^ozb Для каждого значения х не существует определенного значения z.
Реле находится в режиме непрерывных переключений, частота которых зависит от паразитных параметров системы. При этом постоянная составляющая сигнала на выходе может с достаточной точностью совпадать с линейным законом z = x/k0.
Такой вибрационный режим носит название скользящего режима.
При положительной обратной связи общая характеристика становится двузначной и имеет вид зависимости, показанной на рис. 1.18, а, для которой ха = ~~ ^агЬ-
Подобно рассмотренным ранее соединениям звеньев можно поставить вопрос: какова должна быть нелинейность в цепи обратной связи г2(х2) для того, чтобы коэффициент передачи равнялся единице или 2(х) = х? Будем полагать, что знак обратной связи отрицателен.
Тогда уравнение (2.18) принимает следующий вид:
х = 2 = Л- (г)	(2.19)
55
или в соответствии с (2.15)
/2(г) = 2-Л->(2) = Л->,(2).	(2.20)
Пример 2.9. Пусть нелинейная характеристика прямой связи zx = ^(дц) выражается зависимостью (рис. 2.15, а)
( (2.21)
( кхг —	1) Ха при Xt > Ха- j
Найти характеристику нелинейной обраткой связи, компенсирующей нелинейность прямой связи, т. е. делающей систему линейной (г -- х).
На рис. 2.15, б согласно уравнению (2.20) построена характеристика х2 = = /2"’(г2). Как видно из построения, она получается нз характеристики fi(Xi) на основании условия эквидистантности но оси х относительно прямой z == 2х. Эта характеристика выражается уравнением
0 при Х2 ' ха', fe —1
—;----(х2—ха) при х2 > ха.
k
В отличие от параллельного согласного соединения перемена местами нелинейностей прямой и обратной связи существенно изменяет общую нелинейную характеристику системы. Если в рассматриваемом примере поменять местами нелинейности прямой и обратной связи и построить суммарную характеристику, то это построение изобразится графиками, показанными на рис. 2.15, в. Как видно из построения, результирующая характеристика z(x) существенно отличается от полученной ранее прямой z(x) = х (см. рис. 2.15, б).
§ 2.5.	СТАТИЗМ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ
С помощью описанных выше методов может быть легко построена зависимость между статизмом системы регулирования и внешним воздействием. Будем рассматривать построение этой зависимости на примере системы автоматической стабилизации напряжения генератора постоянного тока, рассмотренной в § 1.2 (см. рис. 1.1).
Статическая система непрерывного регулирования в установившемся режиме может быть описана соединением двух звеньев прямой и обратной связи. Для структурной схемы системы регулирования (см. рис. 1.1, д) такое соединение имеет вид схемы, показанной на 66
рис. 2.16, а. На ней г(х) представляет собой суммарную характеристику последовательного соединения нелинейных звеньев, соответствующих усилителю ну(х), возбудителю ев(иу) и генератору z = = ег(ев). Падение напряжения, обусловленное током нагрузки гягя = = /, представляет собой внешнее возмущение, которое вычитается из э. д. с. генератора z = ег. Разность z — f = ин представляет собой регулируемую величину, которая после делителя напряжения с коэффициентом k преобразуется в у = kutl и сравнивается с напряжением уставки Ео. Рассогласование х = Ео — у является входным сигналом цепи обратной связи.
Задачей расчета статизма системы регулирования по возмущающему воздействию является определение зависимости y(f), выражающей влияние нагрузки на регулируемую величину.
Эта' зависимость находится как характеристика параллельного встречного соединения линейного k и нелинейного z(x) звеньев.
Построение выполнено на рис. 2.16, б и в. Оно вытекает непосред-стенно из уравнений замыкания нп -- ylk = z(y) — / при у == Ео — х. График y(f) получен путем суммирования абсцисс характеристики прямой связи у = —kf и обратной связи y(z). При этом / определялось как г(у) — ylk. На рис. 2.16, г полученная зависимость y(f) вынесена отдельно.
Как видно из построения, величина рассогласования может быть существенной даже при отсутствии внешнего воздействия (/ ~ 0).
В этом случае соответствующим выбором уставки Ей или коэффициента k погрешность 6 между требуемым (эталонным) значением регулируемой величины уй и фактическим значением у может быть сни
57
жена и при некотором заданном значении f равняться нулю. Так, например, если поставить условие, чтобы при f = 0 величина у = уп, то это можно всегда обеспечить соответствующим выбором, k или Ео. На рис. 2.16, г показан график зависимости y(f) и обозначены величины статизма или рассогласования в установившемся режиме х = Ео — — у и погрешности 6 = у0 — у.
Выбором рабочей точки на характеристике z(x) при f = О (рис. 2.16, б) на участке с наибольшей крутизной можно обеспечить необходимую точность в определенных пределах изменения воздействия /.
Для уменьшения влияния воздействия f на регулируемую величину у можно применить воздействие по возмущению и включить в цепь сравнения дополнительный сигнал коррекции а/, показанный штриховой линией на рис. 2.16, а. Если выбрать а = k, то корректирующий сигнал нейтрализует влияние воздействия / в цепи объекта и регулируемая величина станет независимой от воздействия /. В этом случае характеристика y(j) принимает вид горизонтальной прямой у = у0 и статизм х = х0 не зависит от величины нагрузки. Такая коррекция по возмущению в схемах генераторов носит название компаундирования.
Если в цепи обратной связи имеется интегрирующее звено и при х = 0 коэффициент усиления цепи не равен нулю, то характеристика г(х) принимает вид вертикальной прямой, проходящей через точку х — 0.
В этом случае построение дает прямую у = Ео и величина статизма оказывается равной нулю. Этого и следовало ожидать на основании линейной теории, изложенной в гл. IX части I.
§ 2.6.	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ
Для линейных систем преобразование структурных схем рассмотрено в § 6.2 части I. Введение в систему нелинейных звеньев несколько ограничивает возможности структурных преобразований. Однако и в этом случае они имеют большое значение для синтеза и построения моделей различных систем.
Рассмотрим правила преобразования линейных систем и возможность их распространения на нелинейные системы.
Описанные в части I правила сводятся к четырем видам преобразований:
1)	перемещение суммирующего узла через узел разветвления;
2)	перемещение линейного звена через узел разветвления;
3)	перемещение линейного звена через суммирующий узел;
4)	перемещение линейного звена через другое линейное звено.
Невозможность распространения правил структурного преобразования линейных систем на нелинейные системы связана с невыполнением в нелинейных системах двух принципов: принципа наложения (суперпозиции) и принципа коммутативности. Невыполнение принципа наложения исключает возможность применения третьего вида 58
преобразования, а невыполнение принципа коммутативности — применение четвертого вида преобразований. Что же касается первых двух видов преобразований, то они не противоречат этим двум принципам и, следовательно, вполне могут быть применены для преобразования нелинейных систем.
Для нелинейных систем полностью могут быть применимы два правила перемещения суммирующего узла через узел разветвления [Л. 33, стр. 1391.
Первое правило. При перемещении суммирующего узла через узел разветвления по направлению ветвления (или по направлению переда-
Рис. 2.17
чи сигнала) необходимо в отходящих от разветвления ветвях добавить такие же, как и перемещаемый узел, суммирующие узлы.
Второе правило. При перемещении суммирующего узла через узел разветвления против направления ветвления (или против направления передачи сигнала) необходимо в отходящих от разветвления ветвях добавить суммирующие узлы, отличающиеся от перемещаемого узла знаками суммируемых величин.
Оба эти правила не связаны с условиями нелинейности и их применение достаточно подробно описано при рассмотрении линейных систем.
Применительно к нелинейным системам правила перемещения звена через узел разветвления могут формулироваться следующим образом:
Третье правило. При перемещении звена через узел разветвления по направлению ветвления (по направлению передачи сигнала) необходимо в отходящих от узла ветвях добавить звенья с оператором перемещаемого звена.
Четвертое правило. При перемещении звена через узел разветвления против направления ветвления (против направления передачи сигнала) необходимо в отходящих от узла ветвях добавить звенья с обратными операторами перемещаемого звена.
59
Пример 2.10. Переместить безынерционное нелинейное звено г(х) через узел разветвления по направлению ветвления.
На рис. 2.17, а, б показано применение третьего правила для перемещения нелинейного звена с кусочно-линейной характеристикой.
Пример 2.11. Переместить инерционное нелинейное звено, состоящее из соединенных последовательно линейного W(p) и нелинейного z = f(y) звеньев, через узел разветвления против направления ветвления.
Применение четвертого правила для этой цели показано на рис. 2.17, в, г.
Здесь нелинейная характеристика у = обратная по отношению к z -== = Ку), а IV-*(Р) = 1/U7(p).
Рис. 2.18
На основе понятия обратных операторов можно показать, что схема с прямой Лг и обратной Л2 связями, изображенная на рис. 2.18, а, эквивалентна схеме (рис. 2.18, б), построенной из звеньев с обратными операторами Л^1 и Л2-1, если звено Л^1 включено вместо звена Л2, а звено Л2-1 — вместо звена AP
Действительно, записав уравнение замыкания
2 =Aj [х—Л2 (z)]	(2.26)
Рис. 2.19
или
Ax-> (z) = x—Л2 (z),	(2.27)
после элементарных преобразований получим
z = A2->[x-A1->(z)J,	(2.28)
что соответствует схеме, показанной на рис. 2.18, б.
Таким образом на основе введения обратных операторов можно сформулировать еще одно правило преобразования, справедливое как для линейных, так и для нелинейных структурных схем.
Пятое правило. В системе с отрицательной обратной связью можно менять местами звенья, включенные в цепи прямой и обратной связи, с заменой операторов звеньев обратными.
Применение этого правила важно в том случае, когда необходимо перейти от нереализуемых или трудно реализуемых структурных схем к схемам реализуемым.
60
Пример 2:12. Для схемы (рис. 2.19, а), состоящей из пропорционального звена k, охваченного обратной связью по знаку производной, т. е. последовательным соединением дифференцирующего звена р и нелинейного звена z(tii), найти лучше реализуемую эквивалентную схему, состоящую из звеньев с обратными характеристиками.
Применение пятого правила приводит к эквивалентной схеме (рис. 2.19, б).
Нелинейные характеристики m(z) и г(ш) могут быть описаны кусочно-линейными зависимостями
аг	при | г [ - z,t;
аго+Р(г— го)	при г > га;
— ага + Р(г + га) при г < — га
(2.29)
при |ш|< ага;
(2.30)
При а -► 0 и Р -> оо эта характеристика переходит в г = zasign w.
Так как реализация интегрирующего звена осуществляется точнее, чем дифференцирующего звена, схема, изображенная на рис. 2.19, б, более удобна для выполнения.
§ 2.7.	ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СХЕМЫ НЕОДНОЗНАЧНЫХ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ
В § 2.4 было показано, что для наиболее часто встречающихся двузначных нелинейностей может быть построена эквивалентная схема, представляющая собой параллельное встречное соединение безынерционных звеньев с линейными и однозначными нелинейными характеристиками. Для неоднозначных нелинейностей, например, типа люфт и упор, также могут быть построены эквивалентные схемы, состоящие из линейных и нелинейных звеньев с однозначными характеристиками. В этих случаях многозначность нелинейных характеристик приводит к повышению порядка дифференциального уравнения, описывающего звено, и к появлению лишней постоянной интегрирования, отражающей предысторию системы и выражающей неоднозначность нелинейной характеристики.
Так, в структурных схемах нелинейностей типа люфт и упор, показанных на рис. 1.19, г и 1.20, г, неоднозначность характеристики получила выражение в интегрирующих звеньях структурных схем. Однако представление нелинейных уравнений (1.26) и (1.29) этими структурными схемами отнюдь не единственное, тем более, что в таких схемах содержатся нелинейные звенья, выражающие функцию двух переменных, которые могут быть представлены в виде соединения более простых звеньев.
61
Рассматривая уравнения (1.26) и (1.29), можно для них составить ряд структурных схем, содержащих линейные и однозначные нелинейные звенья.
Схемы, показанные на рис. 2.20, а и 2.21, а, получены путем рассмотрения люфта и упора в виде соединения линейных пропорционального и интегрирующего звеньев и нелинейного звена asign х, коэффициент усиления dz/dx которого стремится к 0 или к оо в зависимости от величины сигнала, поступающего на вход.
В первом случае это нелинейное звено ведет себя как разрыв цепи, что соответствует неоднозначным участкам характеристики, обусловленным значением постоянной интегрирования С на выходе интегрирующего звена 1/р,
Для люфта (рис. 2.20, а)
zi
а для упора (рис. 2.21, а)
zx =k! (%!—С).
Рис. 2.20
Рис. 2.21
Во втором случае нелинейное звено вместе с линейной схемой образует идеальную следящую систему, которая в случае люфта следит за приращением входного сигнала — z-Jkx = ±хй, а в случае упора имеет выходной величиной рассогласование zx = ± Z* и обеспечивает отсутствие изменения сигнала на выходе при изменениях входного сигнала.
Путем применения пятого правила преобразования нелинейных структурных схем легко от схем а перейти к схемам б, показанным на рис. 2.20 и 2.21. Обе эквивалентные схемы точно соответствуют рассматриваемым нелинейностям только в идеальных условиях, когда можно с достаточной точностью принимать, что тангенс угла наклона на разных участках характеристики стремится к нулю или к бесконечности. Учет действительных значений коэффициентов усиления дает возможность оценить погрешности, имеющие место при переходе от идеальных к реальным схемам. При этом большое значение имеют малые паразитные параметры схем, влияние которых особенно важно учитывать при рассмотрении предельных случаев и при переходе от рассчитанных схем к их реализации.
62
§ 2.8.	МАЛЫЕ ПАРАМЕТРЫ РЕАЛЬНЫХ БЕЗЫНЕРЦИОННЫХ ЗВЕНЬЕВ
При рассмотрении пропорциональных и дифференцирующих линейных звеньев в части I курса уже отмечалось, что всякие реальные направленные звенья всегда характеризуются некоторым отставанием сигнала на выходе по отношению к сигналу на входе. Если частота входного сигнала невелика, то этим отставанием можно пренебречь и считать, что в статических звеньях выходной сигнал мгновенно следует за входным. Однако при больших скоростях сигналов такое допущение перестает быть справедливым и неучет отставания сигнала на выходе звена может привести к ошибочным выводам.
В линейных системах правильный учет малых параметров обычно обеспечивается выполнением условия lim У7(/со) = О, показывающим, (0-* оо
что порядок числителя W(p) меньше порядка знаменателя и, следовательно, передаточная функция W(p) составлена с учетом отставания сигнала на выходе по отношению к входу.
При рассмотрении нелинейных систем обычно бывает нежелательно повышение порядка дифференциального уравнения и при составлении приближенного уравнения легко отбросить малые параметры, имеющие существенное значение.
Если нелинейное статическое звено описывается уравнением
z(t) = z[y(t)],	(2.31)
то при учете малого запаздывания т между входом и выходом уравнение (2.31) следует представить в виде
z (t) = z [x(Z — т)].	(2.32)
Структурная схема, соответствующая этому уравнению, показана на рис. 2.22, а или б. Обе эти схемы равноценны (см. § 2.1) и выражают запаздывание на время т сигнала на выходе по отношению к сигналу, который был бы в случае статической нелинейности.
Если разложить в ряд
ерг=1+рт + (Р1)1 + ...	(2.33)
и пренебречь более высокими степенями разложения, то учет запаздывания на время т можно приближенно выразить в виде инерционного звена с постоянной времени т, включаемого либо до безынерционного звена z(z/), либо после него (рис. 2.22, в, г).
Теперь уже схемы, изображенные на рис. 2 22, в и а, оказываются не эквивалентными, однако при достаточной малости величины т каждая из них может служить для необходимого учета малого параметра направленного звена.
Неучет малых параметров может привести к неверным выводам относительно устойчивости различных линейных и особенно нелинейных схем. Теоретический анализ влияния малых параметров на устойчивость нелинейных систем впервые был проведен А. А. Андроновым и С. Э. Хайкиным в 1935 г.
63
Пример 2.13. Нелинейное звено с безынерционной характеристикой г(х) охвачено положительной обратной связью с передаточной функцией W(p) =
= 1 + рТъ (Рис‘ о).
Найти значения координат х и г в точках равновесия при / = 0 и составить суждение об их устойчивости.
Так как в установившемся режиме у = х = z, то координаты точек равновесия определяются по точкам пересечения 1, 2, 3 кривой z(x) и прямой z = х
(рис. 2.23, 6).
Найдя (dz/dx)i в полученных трех точках пересечения (i = 1,2, 3), легко составить характеристическое уравнение линеаризованной системы вблизи точек равновесия:
Рис. 2.22
! 1+РЛ
или
+рТ’2[1-\ дх ' i
Из этого уравнения следует: чтобы коэффициенты характеристического уравнения имели одинаковые знаки и, соответственно, система не имела положительных корней, необходимо одновременное выполнение неравенств:
или
(dz/dx)t < 1 и (Г1/Т2) (dz/dx)i < 1
(dz/dx)i > 1 и (7\/Т2) (dz/dx)t > 1.
(2.36)
(2.37)
Соответствующим выбором 7\И\ можно обеспечить выполнение этого условия во всех трех точках равновесия, однако это отнюдь не значит, что во всех трех точках может быть обеспечена устойчивость.
Учет малого параметра вне зависимости от малости т приводит к дополнительному множителю 1 + рт в знаменателе передаточной функции линейной части (рис. 2.23, в).
С учетом малого параметра т характеристическое уравнение приобретает вид:
1 + р7\	( дг\
1 —----------------- — = 0	(2.38)
(1 + рТг) (1 + Р^) \ дх I i
или, учитывая, что т« Т2,
( дг \ Г 71 ( dz \ 1
(2-з9)
64
В этом случае условием устойчивости является выполнение следующих двух неравенств, обеспечивающих положительный знак всех коэффициентов характеристического уравнения:
(дг/дх'ц < 1 и (Л/Л) (<Эг/5х)г < 1.	(2.40)
Отсюда следует, что точка 1 всегда неустойчива, так как в ней не выполняется первое из этих неравенств. В зависимости от отношения T-JT^ точки 2 и 3 могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми.
Рассмотренный пример показывает, как, пренебрегая малым запаздыванием, можно сделать неверный вывод об устойчивости состояния равновесия, в действительности оказывающегося неустойчивым.
Если правильно учесть малые параметры в схемах, показанных на рис. 2.20, а, б и 2.21, а, б, то их эквивалентность нарушится. Учет малых параметров приводит к появлению звеньев с малой инерционностью в замкнутом контуре обратной связи, которые влияют на следящий режим на различных участках характеристик. С учетом малых параметров схемы (см. рис. 2.20, а, б и 2.21, а, б) описываются не взаимно обратными операторами и их поведение в реальных условиях несколько различается.
§ 2.9. МОДЕЛИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗВЕНЬЕВ
В части I (§ 5.7) были рассмотрены модели типовых линейных звеньев, получаемые с помощью включения различных линейных сопротивлений в цепь решающего (операционного) усилителя. Аналогичный принцип может быть применен и при моделировании нелинейных звеньев.
Если в цепь решающего усилителя (рис. 2.24, а) включить нелинейные двухполюсники / и 2, для которых зависимость между напряжением и током выражается некоторым оператором Л, в общем случае зависящим от протекания процесса во времени i(f) = Л[ц(/)1, то такая схема может быть применена для моделирования самых различных нелинейностей.
Так, если коэффициент усиления идеального решающего усилителя /г->оо, а его входное сопротивление бесконечно велико, то для токов входной цепи 1Х и цепи обратной связи iz (см. рис. 2.24, а) может быть записано следующее очевидное равенство:
t; = A1(x) = iz = A2(Z),	(2.41)
откуда
г^Л^ЧАЛх)].	(2.42)
Таким образом, выбирая нелинейные двухполюсники с соответствующими характеристиками, можно получить операционный усилитель У, воспроизводящий заданную нелинейную функцию. Он обычно изображается на схемах так, как показано на рис. 2.24, б.
Пример 2.14. Пусть нелинейный двухполюсник имеет схему, показанную на рис. 2.24, в. Характеристика ix — f(x) зависит от опорных напряжений Xj и хг на потенциометрах Пг и Пг и имеет вид графика (рис. 2.24, г). Она состоит 3 Зак. 447	65
из трех участков, соответствующих различным условиям пропускания тока вентилями В, и Вг.	-
Рассматриваемый двухполюсник включен в цепь 1 (см. рис. 2.24, о), а в цепь 2 обратной связи —сопротивление г«.	,	.„
Так как ix = f^x) = f(x) и iz = h(z) = z/r3, то по формуле (2.42) получим l=r,f(x)	(2.43)
и, следовательно, характеристика соответствует звену типа зона нечувствительности.
Рис. 2.24
При хг = х2 и гг = г2 она симметрична и ее наклон в области пропускания dz/dx = k„=r3/r1 = г3/г2.	(2.44)
При kH -* оо характеристика соответствует звену типа asign [см. (1.196)].
Если рассматриваемый двухполюсник включить в цепь 2 обратной связи, а в цепь 1 — сопротивление г3, то ix = х/г3 и i2 = f2(z) = f(z). По формуле (2.42) получим
г=Г'Ш	(2.45)
При Xj = х2, г\ = г., и rt/r3 = r2/r3 -► 0 характеристика соответствует звену типа sign [см. (1.19а)].
С помощью различных нелинейных двухполюсников, включаемых в цепь операционного усилителя, могут быть получены модели самых различных нелинейностей.
Модели нелинейных звеньей получили широкое распространение при исследовании нелинейных систем управления с помощью аналоговой вычислительной техники.
66
ГЛАВА III
ДИНАМИКА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ
§ 3.1. УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ. ПРОСТРАНСТВО ИХ СОСТОЯНИЙ
К динамическим системам относятся такие физические системы, поведение которых в ходе времени t может быть описано системой дифференциальных уравнений
фДуб dyddt\	dy2ldt;...; dsy2/dts
...-,ym\ dym/dt;...-, dPym/dtP;t)=-O,
(3.1)
число которых m конечно.
В начале части I курса показано (см. § 1.1—1.4 и в особенности стр. 7—9), что система автоматического управления может рассматриваться как объект (рис. 3.1, а), т управляемых переменных которого Уй У2’, • ; Ут связаны с внешними воздействиями —управляющими сигналами и = (и^ и2; ....; ип), контролируемыми возмущениями (нагрузкой) z = (zx; z2; .... zr) и неконтролируемыми возмущениями (помехами) f=(A; f2,...; /й),—системой из т дифференциальных уравнений. Поскольку внешние воздействия u, z и f в каждом конкретном случае работы системы определенные, хоть и не всегда заранее известные функции времени, система автоматического управления удовлетворяет математическому описанию (3.1). Исключение, вообще говоря, составляют системы с распределенными параметрами и запаздыванием, однако в ряде практически важных случаев их анализ тоже удается свести к исследованию системы типа (3.1).
Систему (3.1) можно преобразовать в эквивалентную ей систему дифференциальных уравнений первого порядка
(Pj(dyj/dt- yr; у2‘,...; yN-,t)=Q; / = 1,2,
(3.2)
число уравнений которой N = r + s+ ...+p равно сумме порядков уравнений по каждой из т управляемых переменных. Такому представлению отвечает схема, изображенная на рис. 3.1, б.
Из многочисленных рассмотренных ранее примеров математического описания автоматических систем следует, что система уравнений (3.2) получается непосредственно по математическим описаниям элементов (звеньев) системы управления и просто согласуется с ее структурной схемой, а вывод нелинейной системы из т уравнений (3.1) сопряжен с известными трудностями [Л. 1]. Уравнения (3.2), как пра-3*	67
вило, удается разрешить относительно производных dyjldt и записать в форме
y}^dyjldt^P}(yi, у2;(3.3)
или в векторной (матричной) записи
v-= у =Р(у;О = Р(Ус).	(3.3а)
где v = у — {yi, у2\ •••; Уи\ —вектор фазовой скорости; Р — векторная функция вектора состояния системы ус.
Такую форму записи уравнений называют нормальной формой Коши.
Ч
r*J
Рис. 3.1

В геометрической теории дифференциальных уравнений (динамических систем), часть результатов которой служит основой дальнейшего изложения, рассматривают именно системы типа (3.3). Такую форму записи мы и будем считать стандартной формой точного математического описания нелинейной системы управления.
Пример 3.1. На основании общего описания характеристик нелинейных элементов, приведенного в § 1.2 и структурной схемы рис. 1.3, вывести уравнения (3.3) для системы автоматической стабилизации курса (гирорулевого).
Введем стандартные обозначения основных переменных dipt
= —77 1 Ул = У at
и перейдем от передаточной функции линейного блока 1 (см. рис. 1.3) к его дифференциальному уравнению
d2 ф, ЛЬ,
+ М *1 17 (/) + 6 Ш
После этого, исходя из рис. 1.3, г, можно непосредственно записать
4- = Pi at
dy<>
68
ГДЙ
Р1ЛУг)~У2\ Ръ'ЛУъ’ Ул'< =	{ —щ + ^1 [/(0 + ^ (</з)1|1
1 1
Рз(У1,Уз'< t)=--v {—k2[yi_ — ^0 (t)] — k3y3- у3}-, N=3.
Многозначная нелинейность типа люфт z б(</3) подробно рассмотрена в §1.5, а сложная нелинейная характеристика гиродвигателя (см. рис. 1.3,6) v(y, Из); Т = У(У1'< Уз< 0	621Фо(О — И11 — кзУз Приведена на рис. 1.3, в.
Если правые части уравнений (3.3) Р^уй у2, , у/, ...; Ум', t) непрерывны и конкретно заданы, то состояние системы и дальнейшее протекание процесса управления может считаться однозначно определенным, если известны значения N зависимых переменных у^ в некоторый фиксированный момент времени t tt. Эти значения можно трактовать как координаты [у0 = I; уг; у2, ...; ум\ точки, называемой изображающей точкой в N + 1-мерном пространстве состояний исследуемой системы, или как положение вектора состояний ус. Изменение состояния в процессе управления соответствует изменению координат изображающей точки, т. е. ее перемещению по некоторой линии — траектории в пространстве состояний. Система (3.3) определяет связь между вектором состояния системы ус и компонентами dy^dt = dy^ldy^ вектора скорости его изменения v = dyjdt = dyjdyo. Решение (интеграл) системы (3.3), который всегда можно вычислить с помощью современных цифровых или аналоговых машин, дает численные значения координат траектории.
Основная и принципиальная трудность исследования нелинейных динамических систем состоит не в трудоемкости вычисления решений нелинейных дифференциальных уравнений, а в том, что эти решения могут качественно зависеть от начального состояния. Приведем простейший пример: если остановить маятник заведенных часов, то они будут стоять неограниченно долго, несмотря на малые вибрации поверхности, к которой они прикреплены. Но стоит отклонить маятник на некоторый конечный угол, больший чем некоторое граничное значение, и затем отпустить, как часы начнут работать и будут идти неопределенно долго при условии своевременного возобновления завода.
Такое поведение невозможно в случае линейной системы, и этот пример показывает, что механически вычислять конкретные процессы в нелинейной системе без ее предварительного обдуманного иссле -дования, вообще говоря, не имеет смысла. Далее, требование непрерывности функций Ру даже в примере 3.1 оказывается слишком жестким и условия перехода через точки их разрыва должны быть заданы по физическим соображениям.
В исследовании этих вопросов геометрическое представление решений системы (3.3) как траекторий изображающей точки в пространстве состояний обладает несомненными преимуществами. Первое и наиболее очевидное преимущество достигается при исследовании си-
69
ь(У1>у»г •••; Уы>'
стёмы 6 отсутствии переменных внешних воздействий и изменения ее параметров в зависимости от времени.
В этом случае исследования автономной динамической системы время не входит явно в правые части дифференциальных уравнений Pj = Pj(yi, t/a Ун) и переход к пространству позволяет уменьшить число уравнений системы (3.3) на единицу. Действительно, рассматривая координату уг как независимую переменную, можно перейти к системе
, d^н-1	р	-
и =—=-—х----------------------=/•
dyi Р1(Уй Уг, •••; yN)
k= 1,2,... ,N — 1,
содержащей N — 1 дифференциальное уравнение первого порядка, простым делением второго и последующих уравнений системы (3.3) на первое.
В векторной записи системе (3.4) соответствует уравнение
У'=Р(У).	(3.4а)
Систему (3.4) называют системой уравнений интегральных кривых в N-мерном фазовом пространстве, а след перемещения изображающей точки в этом пространстве, однозначно соответствующий изменению состояния системы в ходе времени, — фазовой траекторией.
Следующее, не менее значительное преимущество фазового пространства—возможность наглядного разграничения областей, в каждой из которых система ведет себя качественно одинаково и с течением времени достигает одного и того же установившегося режима работы. Установившиеся режимы не зависят от начального состояния. Положениям равновесия (покоя) соответствуют изолированные особые точки пространства, а периодическим режимам — замкнутые изолированные траектории, по которым изображающая точка может перемещаться неограниченно долго.
Следует также упомянуть, что все переменные, определяющие состояние реальной системы, физически ограничены. Поэтому нет практической необходимости рассматривать удаленные области фазового пространства. В то же время в процессе исследования системы можно наметить искусственные ограничения физических переменных (скоростей, ускорений, напряжений, токов и т. п.), требуемые по соображениям безопасности ее работы, и обеспечить выполнение этих ограничений устройствами защиты и блокировки.
Пример 3.2.• Вывести уравнения (3.4) интегральных кривых системы стабилизации курса (см. пример 3.1) в автономном режиме навигации ф0(/) = Фо = = const; f(t) = 0.
Определить размерность и конфигурацию ограничений фазового пространства.
При заданных условиях система дифференциальных уравнений фазовых траекторий, полученная в примере 3.1, примет вид
dyi/dt = y2,
dy2/dt =1/Т1[—у2-\- 6 (уз)];
dya/dl = v [fe2 (фо — уг) — ka ya, z/a].
70
Разделив второе и третье уравнения этой системы на первое, получим систему из двух уравнений:
dy? _ 1	[ — f/a +fei Д (Уз)1 .
dt/l Т\	У 2
dya_ v[k2 Сфо —У1) —fe3 Уз; Уз!
dyi	У2
Фазовое пространство трехмерно у => (у^, у2, у3} (рис. 3.2). Поскольку отклонение от курса на целое число оборотов возвращает объект в первоначальное положение, можно рассматривать в фазовом пространстве полосу, ограничен-
ную вертикальными плоскостями у, = ф0 + л и у2 = ф0 — л, выйдя на одну из которых изображающая точка должна быть перенесена на другую без изменения координат i/г и Уз и затем продолжать дальнейшее движение.
Координата у3 ограничена жесткими упорами: —уь ‘С Уз < Уь (см. рис. 1.3, б), поэтому фазовое пространство заключено внутри горизонтальных плоскостей уя = Уй и Уз = —Уь, Дойдя до одной из которых изображающая точка может лишь перемещаться по ней до момента возврата внутрь ограниченного пространства.
Скорость поворота объекта у2 не имеет жестких ограничений, однако если рассматривать только его движение, обусловленное отклонением руля д(у3), то в силу ограничения у3 и эта координата окажется ограниченной /г16(—уь) < Уг < М(Уь)-
Эскиз ограниченного фазового пространства системы представлен на рис. 3.2.
Основы геометрической теории динамических систем как математической дисциплины заложены в знаменитых мемуарах Анри Пуанкаре «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями» 1881 г.
Инициатива применения ее методов (Л. 76, 91] к физическим системам принадлежит акад. Л- И. Мандельщтаму. Работы его учеников:
71
акад. А. А. Андронова, акад. Л. С. Понтрягина, А. А. Витта, Г. С. Горелика, С. Э. Хайкина [Л. 9,40,67), а также Б. В. Булгакова [Л. 22] обеспечили отечественной теории колебаний мировую известность. Многие из ее задач получили развитие в трудах Е. А. Леонтович, Н. Н. Баутина, А. Г. Майера, Ю. И. Неймарка, Н. А. Железнова и др.
Из- работ зарубежных ученых следует отметить Н. Минорского, С. Лефшеца [Л. 58], И. Флюгге-Лотц [Л. 120] и В. Каннингхэма [Л. 44].
В теории нелинейных систем автоматического регулирования заслуживают особого внимания работы А. А. Фельдбаума [Л. 114, 116, 119], А. И. Лурье [Л. 61], М. А. Айзермана и Ф. Р. Гантмахера [Л. 1, 2], В. В. Петрова [Л. 88], Г. М. Уланова [Л. ПО], В. В. Казакевича [Л. 41].
Существенно новые результаты по улучшению качества систем автоматики за счет применения специальных нелинейных методов управления и реализующих их элементов достигнуты А. А. Фельдбау-мом [Л. 117], Л. С. Понтрягиным и его учениками [Л. 90, 91], С. В. Емельяновым [Л. 39].
Наглядность геометрического представления быстро падает с ростом размерности исследуемого пространства. Одновременно возрастает трудоемкость самого анализа.
Классические [Л. 9, 10] точные исследования динамических систем, описываемых невырожденным дифференциальным уравнением третьего порядка N = 3, имеют большое теоретическое и познавательное значение, однако безусловный практический смысл представляет точное исследование динамических систем при N 2. При этом система уравнений интегральных кривых (3.4) вырождается либо в одно дифференциальное уравнение, либо в набор независимых дифференциальных уравнений первого порядка.
В следующих параграфах рассматриваются именно такие системы.
§ 3.2. ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ И ЕЕ СВОЙСТВА
Существенные для инженерной практики результаты применения точных геометрических методов связаны с такими системами, исследование которых сводится к анализу набора дифференциальных уравнений первого порядка по одной независимой переменной:
у.' = ^ = Р^УйУ^.
dyt Рik (Ui, Уч)
(3.5)
В этом случае пространство состояний вырождается в г двумерных поверхностей (листов), границы которых заданным образом соединяются друг с другом. Такая поверхность называется двумерной многолистной поверхностью.
Закон движения изображающей точки в пределах каждого листа задается соответствующей номеру этого листа зависимостью из набора (3.5) — уравнением интегральных кривых, а геометрия поверхности, границы листов и условия перехода с одного листа на другой опреде-72
Ляются дополнительными уравнениями, введенными по физическим соображениям.
Простейший вид таких систем—системы, исследуемые на фазовой плоскости.
В пределах каждого плоского ее листа уравнение интегральных кривых имеет вид*
 Р2 (У1'> у2)	(3 6)
dyi Pl (У1, уг)
где Рг и Р2 — функции однозначные, непрерывные и дифференцируемые по обеим переменным z/x и у2 на всем листе плоскости.
К числу таких систем относятся системы, описываемые дифференциальным уравнением первого порядка (ух = /), и системы, описываемые дифференциальным уравнением второго порядка, которое не содержит заданных функций времени (автономные системы второго порядка).
При помощи специального выбора фазовых переменных к системам (3.6) могут быть приведены дифференциальные уравнения систем второго порядка в некоторых простых конкретно заданных неавтономных режимах работы при импульсном, скачкообразном, равномерном и мо-ногармоническом воздействиях.
Движение изображающей точки по фазовой траектории должно однозначно соответствовать изменению состояния исследуемой системы в функции времени yr = yi(t); у2 — уз (О-
В параметрической форме уравнение интегральных кривых (3.6) записывается как система дифференциальных уравнений фазовых траекторий:
dy1/dt=P1(y1,y2);)
dy2/dt = P2(y!, у2), J или в векторной форме
N = dytdt = Р(у),	(3.7а)
где вектор фазовой скорости может быть задан своими компонентами
v = dy/dt = Рх (t/j; у2) i + Р2 (ух; у2) j
или модулем v = ds/dt = УРг2 + Р22 и направлением а = arctg х; к = Р21Р1-
Система (3.7) более информативна, чем уравнение (3.6). Она и ее решения (фазовые траектории) дают возможность однозначно и непосредственно оценить направление и характер движения изображающей точки и, следовательно, правильно судить об устойчивости и качестве процессов в системе.
Из уравнения (3.6) следует, что в любой обыкновенной точке фазовой плоскости направление касательной к интегральной кривой х =
* Исторически сложилось [Л. 10] несколько иное обозначение фазовых координат: х и у и, соответственно, Р(х, у) и Q(x, у).
73
— dy2ldyt имеет только одно определенное значение, поэтому фазовые траектории нигде не пересекаются друг с другом.
В особых точках фазовой плоскости обе функции Р± и Р2 одновременно обращаются в нуль. Их координаты (yla; у23) (s — а, Ь, ..., т) можно вычислить, решив систему алгебраических или трансцендентных уравнений:
РЛУГ,Уг) = 0-,]	(38)
Р2(УъУ,) = 0.]
Количество особых точек т определяется конкретным видом уравнений (3.8) Для линейной системы
Р1 (Уit Уз) ~ У1 + ^12 Уч\ 1	(3 9)
Pi (У11 Уз) = ^2о+ ^21 У1 + ^22 Уз I
в ограниченной области фазовой плоскости существует только одна особая точка, координаты которой у13 и у2з вычисляются по формуле (3.67).
Из (3.7) следует, что в особых точках одновременно обращаются в нуль обе компоненты фазовой скорости dyjdt = dy2ldt = 0. Это значит, что изображающая точка оказывается неподвижной. Состояние системы в отсутствие внешних воздействий не может измениться.
Таким образом, особые точки соответствуют положениям (состояниям) равновесия исследуемой системы управления.
Каждая из особых точек представляет собой отдельное (как говорят—тривиальное) решение системы дифференциальных уравнений (3.7)
#1(0 = #13 = const,
#2(0 = #2S= const
и должна рассматриваться как отдельная фазовая траектория.
На фазовой плоскости сравнительно просто построить поле направлений касательной к интегральным кривым. Уравнение изоклины — геометрического места точек, в которых угол наклона вектора фазовой скорости а = arctg(dy2/dyi) имеет одно и тоже фиксированное значение и
х = dy2ldyt = [Р2 (уй y^VlPx (yr, #а)1 = const (3.10)
получается из дифференциального уравнения (3.6), если приравнять правую его часть численно заданному значению параметра семейства х. Для удобства, в нескольких точках построенной изоклины отмечают соответствующее ей направление касательной, проводя короткие отрезки прямой, расположенные под углом а = arctg х к оси абсцисс. Повторяя эту процедуру для последовательно задаваемых значений параметра, строят семейство изоклин и поле направлений, подробность (густота линий) которого зависит от конкретно поставленных задач исследования и требуемой точности их решения.
Из условия однозначности функций Р± и Р2 в пределах одного листа фазовой плоскости следует, что изоклины пересекаются только в его особых точках.
74
Обычно абсциссой фазовой плоскости считают основную переменную исследуемой системы, например, сигнал с выхода объекта управления, а ординатой у2 — скорость изменения этой переменной у2 = = dyjdt = у±. Пример характерных траекторий на фазовой плоскости этого типа изображен на рис. 3.3. При этом закон движения изображающей точки приобретает особенно простую форму:
у2' = dyi!dy1 =.[Р2 (г/ь г/2)]/у2	(3.11)
или
dy^/dt^y^, dy2ldi = P2(yi,y2).
(3-12)
Рис. 3.3
Для такой фазовой плоскости справедливы следующие простые правила (см. рис. 3.3):
1.	Согласно уравнению (3.11) изоклина вертикальных касательных совпадает с осью абсцисс у2 = 0, фазовые траектории пересекают ее под прямым углом и отклонение уг(1) изображающей точки на этой оси принимает экстремальное значение.
2.	Особые точки расположены только на оси абсцисс там, где ее пересекает изоклина горизонтальных касательных Р2(У1, у2) = 0.
3.	Поскольку положительным значениям скорости у2 = у± > 0 соответствует рост переменной уъ а отрицательным — уменьшение, изображающая точка перемещается с ростом времени t в верхней полуплоскости (см. рис. 3.3) слева направо, а в нижней—справа налево. Замкнутые траектории или витки спирали она проходит по движению стрелки часов.
Эти правила устанавливают однозначное соответствие между интегральными кривыми у2 = /(г/j; yw\ у2а), полученными в результате интегрирования уравнения (3.11) и изменением состояния исследуемой динамической системы во времени.
75
Если же для удобства исследования системы управления, или по соображениям физической наглядности представления результатов этого исследования предпочтителен другой выбор фазовых переменных, то направление движения изображающей точки должно быть определено согласно системе дифференциальных уравнений (3.7). Ни уравнение (3.6) интегральных кривых с исключенным временем ни его решения y2(yi, у10; yw) этих сведений не дают.
Пример 3.3. Вывести уравнения, описывающие изменение состояния следящей системы, структурная схема которой и характеристики нелинейностей приведены на рис. 1.2, считая люфт редуктора пренебрежимо малым (0а ~ 0).
Определить, при каких управляющих воздействиях (S^f) система допускает анализ на фазовой плоскости. Найти особые точки.
Перейдем от передаточных функций линейных элементов к их дифференциальным уравнениям:
£д ид = Тд (dwn/d/) + шд; (Яд, = Мл/<Н,	(3.13)
где <0д — угловая скорость и 6Д —угол поворота двигателя, приведенные к исполнительному валу нагрузки. Поскольку величина люфта 0а пренебрежимо мала, 0д — 02*
Введем безразмерное время т = ИТЯ, тогда
dtopjdt ~ (1/Т’д) (^<0д/(/т) и (0д= (1/Тд) (с10д/^т).
Выберем в качестве фазовых переменных рассогласование системы i/i = = 0=0! — 02 и нормированную безразмерную скорость его изменения:
1 de 1 dyt 1 / d0t
Uць 7д dx	dx Qm \ dx
--&Д 7д--------<0дт 7д,
(3.14)
откуда
<0д=(1/Гд) (<Й1/(/т)—йд ияЬу2.
При этом первое дифференциальное уравнение фазовой плоскости dt/i/dT = Qm i/2 = 7i (j/2).
Запишем аналитические выражения для нелинейных характеристик измерительного устройства (см. рис. 1.2, б)
fi = «i = ^im sin 0=L/lm sin ух = Л. (щ)	(3.15)
и электронного усилителя (см. рис. 1. 2, в) (-1; и2, 1;
ид _~ Т'д*
где при жесткой обратной связи по
U1—U1 m
2 ^Дб ^Д*	^дй
С учетом равенств (3.13) — (3.16)
Йд “д= — ^дЬ~ +
и2 < — 1;
— 1 < «2"
Н2 1,
скорости
('1ГП .	КК ______ ^1Ш .	. ,
= ~—sin ух— (Од — sin ух + кц.КдУа б'д*	б'дй
^дь7д dx
(3.16)
1
7д
d2 0i . ,,	, 1 d0j
— -кяияЬу2+ Гд-
76
или
.	. ILL	кд 1 d61
Л1 sin z/i + feK кя yt—	
дЬ * д dx
dy2	1	/ d2 6i </6i \
= ~~dx~yi+ kn Uab Тя\ dx2 + dx J ’
A\ = U im/С’д,,.
Разрешим полученное уравнение относительно производной
^{/2	с I л 	। l	de2 \
=-—Уг — /2 Mi sm г/iН-fec у2 — ~ • —
dx	\	“Hi dx I
1 /<ге1	</91 \	„ ,
+ „ I , « + j ) — Т’з (</i; </2; т), ЙП1 \ dx2 dx I
где
где
кои
+ — ^Д •
Таким образом, изменение угла рассогласования следящей системы с жест-корректирующей обратной связью по скорости при произвольном управляющем воздействии 0Х (т) = 01(-?/— tj соответствует изменению координат {</0 «" = т; ух\ у2\ изображающей точки в пространстве состояний, описываемом неавтономной системой из двух дифференциальных уравнений:
dtji/dx—P^ (угу, dy2/dx = P2 (t/j; у,-, т).
(3.17)
Для исследования системы уравнений непосредственно на фазовой плоеко-ти нужно, чтобы функция
1 ddi\ Pz=~Уг~/а (-41 sin </i + *c</2 — kc — — +
““П1	/
1 M29i	d9i\
Qm \ dx2	dx !
явно не зависела от времени. Это условие выполняется при отработке заданного рассогласования с последующим равномерным слежением 0i = a0+QmaiT, поскольку в этом случае d291/dx2 = 0 и ddL/dx = Qm ar = const.
При этом
Р2 (1/1! У2, Т)= — (f/2 —°1)—Ml sin 1/1 +
+ *с (t/2 — ai)l = ^ (i/iitf-i).
Скорость задающей оси Qmai входит в дифференциальные уравнения фазовых траекторий как фиксированный параметр аг.
Система уравнений фазовых траекторий
</1/1
J =	У2<
ах dy.> — (/2 [-41 sin i/i+*c (</а—«1)1 + (//а —«1)}. dx
(3.17а)
и уравнение интегральных кривых
dy2 f2 [-41 sin <л + kc (у2 — aj] + ((/а—fli)	/0 17 1
dy-i	Пщ У?
относятся к типу (3.11) и (3.12). Кроме того, правая часть (3.17а) периодична по координате ух, поэтому на фазовой плоскости (рис. 3.4) достаточно рассматривать
11
полосу —л ‘С У1 ’С п> перенося изображающую точку с одной из вертикальных границ на другую без изменения ординаты у2.
Изоклина горизонтальных касательных Рг = 0 (см. рис. 3.4)
Уг—= [ — Л1 sin t/j —/гс (у2 —аг)]
пересекает изоклину вертикальных касательных у2 — 0 в особых точках y19t определяемых из уравнения
al = f2(Alsin yls — kc Д1).
Функции /з и sin у1 ограничены и из этого равенства следует ограничение возможных скоростей равномерного слежения
I aL | <
Л1 . At
1 + kc	1 -Ь kc
1; Л>‘-
1 + ^с
(3.18)
На рис. 3.4 определены особые точки у1а и уь, а также построено семейство изоклин при At = 2, kc = 0,75, Йт = 2 в режиме слежения с безразмерной скоростью aj = 0,25.
Практически следящие системы делятся на два типа. Большая часть принадлежит к числу систем с высоким коэффициентом усиления (добротностью), для которых Удь « <71 щ и ограничение /2 соответствует малым отклонениям угла рассогласования от 0 и 180°. Эти системы можно рассматривать как кусочно-линейные, поскольку | sin у, j » Pi при | i/i + kn) < л/6. Их исследование при-вбдится в примерах-3.4 и 3.7.
•78
Ro второму типу относятся системы с низким Коэффициентом усилений йб напряжению (безусилительные или с усилением по мощности). Таковы системы медленной синхронной передачи угла и некоторые системы фазовой автоподстройки частоты. Их дальнейшее исследование дается в примере 3.5.
§ 3.3. ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ ПРИ МАЛЫХ ОТКЛОНЕНИЯХ ОТ ПОЛОЖЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ
Если условия, наложенные в § 3.2 на правую часть уравнения (3.6), соблюдаются, то работу системы в малой окрестности каждого из т положений равновесия, как правило, с достаточной точностью характеризуют линеаризованные дифференциальные уравнения. Это утверждение, доказанное применительно к оценке устойчивости еще Ляпуновым, обосновывает практическое применение теории линейных систем для того, чтобы оценить поведение нелинейной системы «в малом».
Рис. 3.5
При этом приходится выводить и анализировать по меньшей мере столько линеаризованных уравнений, сколько особых точек (z/ls; y2s) s=a, b, .... m получается в результате решения системы уравнений (3.8).
В каждом из этих т случаев производят замену фазовых переменных:
I/2 = l!/28+X2.
что равносильно переносу начала отсчета в рассматриваемую особую точку (рис. 3.5).
Разложив затем правую часть уравнений (3.7) и ограничившись линейными членами, как это изложено в § 2.3 части I курса, получают систему линейных дифференциальных уравнений для приращений фазовых переменных ух и у2 относительно особой точки:
dxjdt = kn Xj +&12 ха; dxajdt = kal Xi+k^Xg,
(3.19)
79
где
h _ 3pi l/i “ У1з .
,/гп — Il	’
tyi I Уг = Ум
ь _ дР21 уг = yls .
^21 — 7	1
дуг I Уъ — Уъ$
__ dPi I У1 = Уи .
12 ду2 I у2 = y2s
, _дР2\У1 = yls '22 — 	•
&У2 | У2 = У 25
Для систем типа (3.12) всегда kyy = 0, £12 = 1.
Решение линейной системы (3.19) при условии, что в начальный момент времени ty = t — /0 = 0 приращения фазовых координат принимают значения Хх(/0) = х10 и ха(/0) = х2о, удобно определять операторным методом. Преобразуем (3.19) с учетом начальных условий по Лапласу
рХу (р)—х10 = kyy Ху (р) + Л12 Х2 (р), 1
рХ2 (р) х20 = k21	(р) -|- Р22 Х2 (р), /
или
(Р~ 6ц) Xj (р) — 612 Х2 (р) = х10,
—k2yXy (р) + (р — k22)X2 (р) = х20,
откуда следуют два уравнения в изображениях
[Р® — (^11 + 622) Р + (6ц 622— 612 621)1 *1 (р) = (Р— 622) Х1о — &12 Х20;
(Ра -(6ц + 622)р+ (6ц 622 —612 62i)l Х2 (р) = (р —6ц)/20 —621 Х10,
свидетельствующие, что обе фазовые переменные х2 и х2 удовлетворяют однородному дифференциальному уравнению второго порядка
d2x/dt2 — a(dx/dt)-{- Ах= 0,
(3.20)
где
6ц; 612 621; 622
Изображение решений системы (3.19) в явном виде
/ s_(Р — feaal^io fei2X2o .
1	(Р —Р1)(Р —Ра)
(п) ~	*юН~(Р — ^11) *20
2	(Р —Р1)(Р —Рг)
a = kn+k22; А =
— 6ц 622 ky2k2y.
(3.21)
где ру и р2 — корни характеристического уравнения р2 — ар + А= 0, вычисляемые по формуле
О± — 4Д	(^ii + ^aa) i 1^(611 — ^2a)24-4^12 ^21
Р1, 2 —-------2------ ----------------------------------
. (3.22)
2
В дальнейшем, для определенности, индексом 1 всюду обозначается меньший по модулю корень.
80
Переходя от изображений (3.21) к оригиналом, получим параметрическое уравнение фазовой траектории:
[(pi—k22) еР'«-‘<Р—(р2—/г22) ePHt-M] +
Pl — P2
| fcl2 *г0 [gPi(i—io)—gPiit—io)],
P1~p2	(3.23)
X2 = feat X10 [eP1(i-i0) _ep,(i-io)] +
Pi — P2
Pl — Pa
которое связывает текущее значение координат изображающей точки с ее начальными координатами.
„	. .	о
Если pi и р2 комплексно-сопряженные; р\,2 = —а ± /со; а =--%>
со = 1/2]^4А—а2, то для систем (3.12) удобнее пользоваться выражением:
хх	[х10 coso»(^ — /0) + аХ1°*2° sin ю (t —10)
со
x2 = e~“((--io) [х20 cos <о(/— ta)—Ах1о + «хао sjn й)
(3.23а)
Для нелинейной системы эти уравнения отражают ход фазовых траекторий в малом при небольших отклонениях от исследуемой особой точки. Для линейной системы они справедливы на всей фазовой плоскости, что будет применено далее в § 3.5 для анализа кусочно-линейных систем.
Устойчивость и качество системы в малом зависит от корней характеристического уравнения, которые согласно (3.22) определяются его коэффициентами о и Д.
Разобьем плоскость этих коэффициентов на области, соответствующие качественно различному поведению исследуемой системы (рис. З.б) и подробно рассмотрим процессы, характерные для каждой из этих областей.
Д = kuk22— k12H2i > 0 — правая полуплоскость (см. рис. 3.6). Обозначим в этом случае Д = соо2; о = —2£о>0, после чего дифференциальное уравнение (3.20) примет знакомую по § 3.4 части I курса форму уравнения колебательного звена:
d2x!dt2 + 2£соо (dx/dt) + <в02 х = 0.
Колебательному звену соответствуют значения степени затухания 0	1. В нашу задачу входит исследование решений этого урав-
нения при — оо < £ < оо.
Упростим анализ, введя безразмерное время т = ш0/, тогда
d2x/dx2 + 2^(dx/dT) + х = 0.	(3.24)
81
Ё качестве фазовых переменных при исследовании в малом выберем отклонение Xi и безразмерную скорость его изменения х2 = dxjdx. Заметим, что	*
da xjdx2 =• dx2/dx = dx2/dx1  dxjdx = x2 (dx^dx^.
Подставляя это значение второй производной в (3.24), получим
х2 (dx^dxj) + 2£ха Xi = 0.
Рис. 3.6
(3.26)
Таким образом уравнение интегральных кривых dx2/dxl = — (2^х2 + х1)/х2	(3.25)
и система дифференциальных уравнений фазовых траекторий
dx-Jdx = х2, dx2/dx = —Xi—2£х2
принадлежат к типу (3.11) и (3.12), поэтому все правила, приведенные в § 3.2 для таких систем, справедливы в рассматриваемом случае, а корни характеристического уравнения
q‘+Kq+ 1 =0;	— р
со0
зависят только от степени затухания 82
Область 1. Начнем с больших положительных значений степени затухания £>1, откуда <J<Z — 2<о0 = —2 Д<0. Значения координат плоскости (о, Д) (см. рис. 3.6) принадлежат к области 1, расположенной в четвертом квадранте, ниже параболы о1 2 * = 4Д.
В этом случае корни характеристического уравнения
<7i = -e+rt2-i=-V и <7а= —v4s—1 =
J1
при этом, как показано в примере 5.2 части I курса, система эквивалентна последовательному соединению двух инерционных звеньев, отношение постоянных времени которых^
Тг ^С+П2-1 т2 Б-Па-1

быстро возрастает с увеличением С (рис. 3.7). При Z 1,75 постоянная времени 7\ превосходит постоянную времени Т2 более чем в 10 раз. Система при таких соотношениях ведет себя как одно инерционное звено с W(p) ~ М(7\р + 1).
Уравнение изоклин
Рис. 3.7
*14-
X
2
соответствует семейству прямых
1
х + 2£
(3-27)
проходящих через начало координат фазовой плоскости (jq; х2) (рис. 3.8).
Ось абсцисс представляет собой изоклину вертикальных касательных н = оо, ось ординат—изоклину с х = —2£, а изоклина горизонтальных касательных х2 = —(^)*i проходит через второй и четвертый квадранты. С ростом степени затухания угол, образуемый ею с осью абсцисс, уменьшается.
На рис. 3.8, а представлена фазовая плоскость для t, = 1,25; Л/Т2 = 4.
Поскольку корни t/j и q2 вещественны, изоклины x1 = q1 и n2—q2 являются одновременно и фазовыми траекториями системы (3.26). В этом нетрудно убедиться, подставив в (3.27) любое из этих особых значений, например Xj — qA. Действительно
1	1
Ха=-----— Х1 = — Х1 = 91Х1 = Х1Х1
91 + 2J	9а
83
и, следовательно, вектор фазовой скорости направлен вдоль такой изоклины.
На фазовой плоскости общего вида (3.19) также существуют аналогичные особые направления, значение углового коэффициента х которых должно одновременно удовлетворять уравнению изоклин
х = dx2/dx1 = (й21 х± + k22 x2)/(k11 х± + k12 х2)	(3.28)
и уравнению прямой х2 = пх^
Решая эти уравнения совместно, получим квадратное уравнение
— (fen — ^22)	(fen—fegg)3 —F~4feia fe2i
корни которого
(3.29)
связаны с корнями характеристического уравнения (3.22а) соотношением
fel2	fel2	fel2	fel2
Особые направления существуют, если корни и р2 вещественны.
Запишем решение дифференциальных уравнений (3.26) при начальных условиях Xj = х10; х2 = х20, т = 0 в параметрической форме:
х _ Хго—Xl°	Хго—Яг Х1° е42
<71—<7 2	<71	<?2
х2=-я— (х20—</2 х10)е91Т----------— (х20 —<71 х10)е^т.
<71—?2	<71—<?2
(3.30)
Поскольку в этом случае корни qr и q2 отрицательны, отклонения %! и х2 при т -> оо стремятся к нулю, что определяет асимптотическую устойчивость рассматриваемого положения равновесия в малом.
Наклон вектора касательной
X = — = 1 ^2 =	(х20 —<72Хю) eq,x — g22 (x^ — qt х10) еЧгХ (331)
dxi х2 'dx ?i(x2o —<?2Xio)e’*T —<7а(х20—
84
с ростом т, независимо от начальных условий х10 и х20, стремится к значению х1 = ^1. Таким образом, все фазовые траектории вблизи особой точки имеют общей касательной изоклину х2 = хру.
Исключение составляют точки, лежащие на втором особом направлении х2 = n2Xt, для которых согласно (3.31)
dx*	,
х — —= х2 —- q2 = const.
К этому значению асимптотически стремится наклон фазовых траекторий при удалении от особой точки (т-> — оо). Таким образом, в точках, удаленных от начала координат плоскости (х2; хх),фазовые траектории практически параллельны изоклине х2 = x2Xj.
Сходство получающейся картины (фазового портрета) (см. рис. 3.8, а) с перевязанным посредине пучком ниток побудило назвать особую точку этого типа узлом.
На рис. 3.8, б в функции безразмерного времени т построены процессы, соответствующие фазовым траекториям 1, 2 и 3 (см. рис. 3.8, а).
В результате изложенного следует, что область 1 плоскости (а, Д) соответствует устойчивым положениям равновесия с неколебательным протеканием переходных процессов. Такие особые точки называются устойчивыми узлами. '
Фазовый портрет вблизи точки, параметры которой удовлетворяют условию о = —2(о0 = —2]Ад, т. е. границе между областями 1 и 2 (см. рис. 3.6), приведен на рис. 3.9. При этом £ = 1 и корни qY = q2 = = — 1 — система эквивалентна последовательному соединению двух одинаковых инерционных звеньев.
Изоклина горизонтальных касательных проходит под углом а ~ = — arctgl/2, а особые направления х2 = х^у и х2 = х^у совпадают с биссектрисой второго и четвертого квадрантов. Фазовые траектории вблизи особой точки касаются этой прямой, а по мере удаления становятся ей параллельны. Такая особая точка, называемая вырожденным устойчивым узлом, соответствует условиям критического демпфирования динамической системы.
85
Переходные процессы при этом протекают, как показано на рис. 3.9, б.	_
Область 2. При 0> о > —2соо = —2]^ Д, что соответствует области 2 (см. рис. 3.6), степень затухания 1 > £ > 0 и система становится эквивалентной колебательному звену, типовые процессы в котором, включая и их изображение на фазовой плоскости (/г, ш), рассмотрены в § 3.4 части I курса.
В этом случае корни характеристического уравнения—комплексносопряженные с отрицательной вещественной частью
Ч1=— £+/£2; Яг= — £ — /П;	S2 = <0(/<00.
а (й( =	1 — С2 — круговая частота затухающих колебаний.
Рис. 3.10
Подставляя эти данные в параметрическое уравнение фазовых тректорий (3.30), после простых преобразований получим:
xt = fx,0 cos Пт + -2°^10 sin Пт;
L	й
х2 = е~^х Гх20 cos Пт —sin ^т-
(3.32)
С ростом времени t = т/ш0 отклонение хт и скорость его изменения х2 = dxx!dx стремятся к нулю, совершая при этом затухающие колебания, период которых Т = 2n/®z соответствует изменению параметра т за полный оборот Д<р = Д(Нт) = 2п спиральных фазовых траекторий (рис. 3.10, а) вокруг их фокуса (xj = 0; х2 = 0).
Это — логарифмические спирали, поскольку логарифм относительного изменения отклонения за оборот постоянен:
. xj (2fen) I I	.
In ———— = — = . -- = const.
xi[2(fe+l)n] 9 П.-p
86
Максимум ординалы ха достигается при пересечении изоклины горизонтальных касательных ха = —(1/2?)х1( проходящей по-прежнему через второй и четвертый квадранты (—1/2 > —1/2? > — оо).
На рис. 3.10, б представлены соответствующие переходные процессы Х1(т) при ? = 0,25.
Область 2 плоскости (ст, Д) соответствует устойчивым положениям равновесия с колебательным протеканием переходных процессов. Такие особые точки называются устойчивыми фокусами.
На правой полуоси абсцисс плоскости (ст, Д)степень затухания ? становится равной нулю. Корни характеристического уравнения чисто
мнимые 71 = /; 72=—/, система представляет собой идеальный колебательный контур, моделируемый замыканием двух интегрирующих звеньев отрицательной обратной связью.
Фазовая плоскость (хх; х2) представлена на рис. 3.11, а. Изоклина горизонтальных касательных совпадает с осью ординат хх = 0. Из уравнения (3.32) с учетом, что ? = 0, й = 1:
хх = Xi0cos т+ х20 sin т; 1	(3 33)
х2 = х20 cos т—х10 sin т. J
Фазовые траектории представляют собою семейство концентрических окружностей
Х12 + х22 = Хюа + ^2о2 = ''2,	(3.34)
радиус которых определяется начальными условиями. Переход к фазовой плоскости типа (3.19) лишь деформирует окружности в эллипсы.
Особая точка xls = 0; x2s = 0, называемая в этом случае центром., соответствует нейтральному положению равновесия, расстояние изображающей точки x^t), х2(/) от центра при любых начальных отклонениях в ходе времени не меняется.
Таким образом правой полуоси абсцисс плоскости (см. рис. 3.6) ст = 0; Д > 0 соответствуют нейтральные особые точки типа центр.
87
Изменение отклонения хх(т) представлено на рис. 3.11, 6.
Следует заметить, что в этом случае об устойчивости и поведении исследуемой нелинейной системы нельзя судить по линеаризованному уравнению (3.19). В разложении функций Р^у-у, у2) и Р2(у^, у2) существенную роль начинают играть нелинейные члены. Такие системы по А. А. Андронову [Л. 10] относятся к негрубым системам, поведение которых качественно зависит от значения малых параметров.
Область 3. При 0 < ст < 2<оо = 2]/ Д степень затухания £ становится отрицательной. Поэтому в области 3 (см. рис. 3.6) вещест-
Рис. 3.12
венные части обоих комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения положительны
^ = «+/£2; q2 = a — jQ; 1>а = —£>0.	(3.35)
Уравнение фазовых траекторий
xt — еах [х10 cos Пт + Х2° ~ “Х11) sin Нт
х2 = еах х20 cos Пт +	%1° sin
(3.36)
в этом случае геометрически изображается семейством расходящихся логарифмических спиралей (рис. 3.12, а). Изоклина горизонтальных касательных х2 = (1/2а)х1 проходит через первый и третий квадранты оо>1/2а > 1/2. С ростом времени / = т/ш0 фазовые траектории удаляются от своего фокуса (х3 = 0, х2 — 0). Положение равновесия системы неустойчиво. Переходные процессы представляют собой колебания с экспоненциально возрастающей амплитудой (рис. 3.12, б).
Особые точки, для которых значения коэффициентов о и А принадлежат к области 3, называют неустойчивыми фокусами.
Верхней ветви 0 < о = 2(о0 = 2 j А границы между областями 3 и 4 (см. рис. 3.6) соответствует неустойчивый вырожденный узел. Фа-68
Рис. 3.15
зовый портрет и графики переходных процессов представлены на рис. 3.13, а и б соответственно.
Область 4. Фазовый портрет в окрестности неустойчивого узла (рис. 3.14, а), для которого значения коэффициентов ст и Д лежат в области 4 (см. рис. 3.6), представляет собой зеркальное отражение окрестности устойчивого узла (см. рис. 3.8) относительно координатной оси Xi с одновременным изменением направления движения изображающей точки вдоль фазовой траектории. Значения степени затухания — 1 > С > — оо, корни характеристического уравнения вещественны и положительны:
Рис. 3.1G
<?! = « —У£2—1 ; q2 = a+yt,2— 1 ; а = —£>0.
Параметрическое уравнение фазовых траекторий получается при подстановке этих значений в (3.30). Нарастание отклонения Xj в функции времени представлено на рис. 3.14, б.
Область 5. Левая полуплоскость (см. рис. 3.6) Д — kuk22 — —k12k21<ZG. В левой полуплоскости (ст, Д) свободный член характеристического уравнения (3.22) становится отрицательным Д < 0. Обозначая — Д = (оо!>0и приводя к безразмерному времени, получим взамен (3.24)
daXj/dT2 4-2£(dx!/dT)—Xi =0.
(3.37)
Корни характеристического уравнения
ft = -? + v42+ 1 >0;	+	(3.38)
независимо от значения £ (а следовательно, и ст), вещественны и имеют разные знаки.
Положение равновесия (xj4 = 0, xit = 0) всегда неустойчиво.
90
Особые направления
х2 = ?1%1 = я1х1 и х2 — у2хг = н2хх	(3.39)
проходят через разные квадранты фазовой плоскости (С > 0) (рис. 3.15, а), (£ = 0) (рис. 3.16, а) и (I < 0) (рис. 3.17, а). Изоклины горизонтальных и вертикальных касательных всегда- находятся по разные стороны от изоклин (3.39).
Фазовый портрет имеет характерный вид топографической карты горного перевала (седла), что послужило поводом назвать неустойчивые особые точки, в окрестности которых параметры ст и Д принадлежат к области 5 (см. рис. 3.6), седлами.
Из параметрического уравнения (3.30) фазовых траекторий с учетом значений (3.38) следует, что с ростом времени t = 1 /<лот любая фазовая траектория асимптотически стремится к прямой х2 = qpc^. При этом фазовые переменные неограниченно возрастают (Xj —► оо, х2 -* оо) или убывают (лу -> — оо, х2 -> — оо) в зависимости от того, находилась ли изображающая точка в любой момент времени (в частности при t = /0) по ту или другую сторону от особого направления х2 = = q^. Действительно, при больших т
. л20 — 92*10  е171Т, а х2 « —(х20—72x10)e‘?>'t, 91 — ?2	91	92
что положительно при х20 > <у2х10 (изображающая точка выше и правее прямой х2 = q2xY) и отрицательно при х20 < q2xia (изображающая точка левее и ниже прямой х2 = q^xd- Особое направление х2 = q2xv служит водоразделом — сепаратриссой фазовых траекторий, по обе стороны от которого изображающая точка удаляется от седла асимптотически по второй сепаратриссе в диаметрально противоположных направлениях х2 = q1xl > 0 и х2 = qpcx < 0. Вдоль самой сепаратрис-сы и2 = q2 изображающая точка приближается к положению равновесия
Y „	— *20 р-(г+ И?+ 1) Т .
A.J-—	>
91 — 9а
91
*2 = —(9i*io—*го)^ (£ + 1/£2 1И,
<71 — ?2
но сама по себе эта сепаратрисса неустойчива, так как любое, сколь угодно малое, отклонение от нее с течением времени неограниченно возрастает.
В частном случае £ = О или при выборе координат и х2 системы (3.19) так, что kn = —k22, уравнение интегральных кривых принимает особенно простой вид dx2idxY = х±1х2, откуда
§ х3 dx2 = § xt dxx ^20	*10
и интегральные кривые строятся как семейство симметричных гипербол
х22—х/2 = х202—Хю2 = const,
изображенное на рис. 3.16, а. Апериодическое неустой-
чивое протекание переходных процессов в зоне справедливости линейного приближения показано на рис. 3.15, б, 3.16, б и 3.17, б.
Вырожденный случай А = 0. Осталось рассмотреть точки, лежащие на оси ординат диаграммы (см. рис. 3.6), когда по физическим соображениям А = kxlk22 — kl2k21 = 0.
Уравнение (3.20) в этом случае принимает форму
d2x/d/2 — ст (dx/dt) = 0.
(3.40)
Система эквивалентна последовательному соединению инерционного и интегрирующего звеньев, подробно рассмотренных в примере 5.1 части I курса.
Обозначив Xi = х; х2 = dxldt, запишем систему дифференциальных уравнений фазовых траекторий
dxd dt = x2, dx2/dt = ох2,
(3.41)
из которого следует, что ось абсцисс х2 = 0 в этом случае вся состоит из особых точек.
Поскольку Au = k21 = 0, k12 = 1 и k22 = а, то корни характеристического уравнения pY = 0; р2 = а.
Параметрическое уравнение фазовых траекторий (3.23) записывается В виде
xi - *юН--*2о [1—е° ];
а
(3.42)
*2 = *20 е° (' ~<с) •
92
Определив из второго уравнения	= х2/х20, подставим
это значение в первое. При этом окажется, что фазовые переменные связаны уравнением прямой
х2 —х20=о(х1—х10).	(3.43)
При g < 0 изображающая точка (рис. 3.18, а) перемещается к оси абсцисс и достигает ее в точке xls = х10 + (lAO-^o- Таким образом, точки этой оси представляют собой положение устойчивого равновесия (покоя) исследуемой системы.
При ст > 0 фазовые координаты неограниченно возрастают (рис. 3.18,6). Точки оси абсцисс в этом случае представляют собой положение неустойчивого равновесия.
Заметим, что исследование вырожденных динамических систем представляет практический интерес только в том случае, когда условие
А = k1Y k22— k12 k2l -=0
следует из физических соображений, а не определяется численным (и заведомо приближенным) соотношением коэффициентов Лп&22 = = ^12 ^21 ПРИ линейных членах разложения функций 7’1(х1; х2) и /’2(х1; х2) в степенной ряд.В этом, последнем, случае система принадлежит к числу негрубых и ее поведение необходимо оценивать при тех, ненулевых, значениях А, которые получатся с учетом возможных изменений параметров системы за счет схемного или эксплуатационного разброса.
Пример 3.4. Исследовать работу следящей системы, ранее рассмотренной в примере 3.3, при малых отклонениях от особых точек
•	*с	л
У is = arcsin —-— щ; y2s = 0-
Линеаризуем систему дифференциальных уравнений фазовых траекторий (3.17)
dy^jdx = Qm у2 = Pi (</2);	)
dy2[dx =- — ((y2 — ад + f2 [Ax sin yi + kc (y2 — сц)]} = P2 (щ; y2) J
вблизи особых точек yls по формуле (3.19) с учетом ограничения скорости слежения аг, заданного (3.18)
*n = dPJdyi = 0;	*i2 = dPildy2 = Qnl;
i.	д?2	л	л	. 1 + *с
*21 = а,.	= — Ai cos yis = — Ах cos arcsin —-— а, —
=	Ai
= T KAi*-(l+*c)W,
где отрицательное значение соответствует особым точкам — л/2±2*л < у1п < л/2 ± 2*л; * = 0, 1,2, ..., а положительное—особым точкам
л/2 ± 2*л < у1Ь < 3/2 л ± 2*л.
Наконец,
*22 — дР 2 / ду2 — — (1 + *с).
93
Таким образом, система (3.19) примет вид
dxi/dx — Qm хг;	1
dx2/dr= Т V Лха—(1 Ч-Лс)а «ia *i -(1+ /гс)х2.)
В каждой полосе —л <	< л следует различать две особые точки. Рас-
смотрим их порознь:
Л	е 1 Zip л
1)	— — <i/ie = arcsin—<-р
Рис. 3.19
Значение угла рассогласования (кинетической ошибки) при этом зависит от скорости равномерного слежения и обращается в нуль при отработке заданного постоянного угла (а± = 0). Подставляя значения kc и из примера 3.3, получим
Л	. 1 + Лд kK
У1а = 0кин = arcsin ———
«до'ип 1 д
dQi dx
= arcsin
1 ~Ь fee kac
<B1,
где йас 1/сек — добротность следящей системы; Uj Мсек — скорость вращения задающей оси.
Корни характеристического уравнения вблизи этого положения равновесия
-u + fec) ±'/(l+fec)a-4Qm/Aa-(l + fec)2^ia = Гд Р„, = --------------Ъ-----------------
Система устойчива при отрицательной обратной связи по скорости £с > О-Переполюсовка обратной связи kc	—1 может вызвать неустойчивость;
л
7
< У1Ь = я — arcsin
1 kc Ai
2
2
2)
94
Значение угла рассогласования близко к 180е. Корни характеристического уравнения при этом
<71,2 — 1 дР1,2 —	2
Особая точка — седло, угловой коэффициент сепаратрисе которого согласно (3.29)
1	-(1-F-fec) ±~К(1 -^fec)ii + 4Qmy ^?-(l 4-fec)2 Д?
Xl'2 От 91,2	2Qm
На рис. 3.19, а показан ход фазовых траекторий вблизи первой особой точки у1а, соответствующей устойчивому слежению. Значения параметров те же, что и в примере 3.3: А± = 2, kc = 0,75, Qm = 2 и (ц = 0,25. При этом yi — 0КИН = = 0,227, границы линейной зоны определяются прямыми |	| л/6 и участ-
ками границ областей насыщения | /21 = 1 (см. рис. 3.4).
На рис. 3.19, б для тех же параметров построена линейная область в окрестности неустойчивой особой точки t/iь = 2,913.
Уравнения сепаратрисе для этого случая
1/2 = Xi (У1—у1ь) = — 1.9(1/1 —2,913) = — 1,9yi 4-5,52 и
Уч = Х2 (1/1 - f/ib) = 0,774 (1/1 - 2,913) = 0,774^1 - 2,25.
§ 3.4. ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ ПРИ БОЛЬШИХ ОТКЛОНЕНИЯХ.
АВТОКОЛЕБАНИЯ
После того как на листе фазовой плоскости определены особые точки и выяснен характер протекания процессов вблизи каждого положения равновесия (в малом), можно приступить к постановке и решению следующей задачи исследования нелинейной системы, которая формулируется так:
определить, какие установившиеся процессы, кроме состояний равновесия, возможны в ее работе и каковы условия, обеспечивающие неизменность работы системы в каждом из этих устойчивых режимов.
Первый из этих вопросов выясняется определением периодических колебательных режимов, которым на фазовой плоскости соответствуют особые устойчивые замкнутые траектории—устойчивые} предельные циклы.
Для решения второго нужно выделить такие области значений координат изображающей точки, в каждой из которых с течением времени достигается лишь один из возможных установившихся режимов работы. Границы таких областей, называемых областями притяжения этих режимов, образуются особыми неустойчивыми траекториями— неустойчивыми предельными циклами и сепаратриссами седел.
Техническое затруднение на этом этапе исследования — трудоемкость построения и анализа хода больших дуг фазовой траектории. Аналитический подход применим тут практически только для кусочно-линейных систем, методы исследования которых излагаются в § 3.5.
В остальных случаях применяются графические и численные методы. Именно здесь большую помощь может оказать пользование
95
цифровыми вычислительными средствами и моделирование системы с применением решающих усилителей.
Остановимся на простых графических способах построения фазовой траектории и процесса в функции времени.
Метод изоклин. Параметр семейства изоклин х = dyjdyi = = Ar/a/Az/i (рис. 3.20, а), вычисленный по уравнению (3.10), равен тангенсу угла а наклона касательной к фазовой траектории при одинаковых масштабах обеих осей координат фазовой плоскости.
I 2 3^5 у,2р, см
Рис. 3.20
Однако такой выбор масштаба может оказаться недопустимым для графического построения. При соблюдении этого условия фазовый портрет получается сжатым по одной из осей и для построения фазовых траекторий системы приходится выбирать отличное от единицы соотношение масштабов ш.
Так как на графике z/lrp = т>У1 см и у2гр = m2z/2 см, то
tg а = Az/arp/Az/i.p = (m2 Az/2)/(m1Az/1) = m х.	(3.44)
При графическом построении фазовых траекторий методом изоклин их семейство строится так, чтобы изменение угла между двумя соседними изоклинами было примерно одинаковым:
Аа2 = arctg m х1+1 — arctg in xf а const.
96
Выбор значения Да определяется требуемой точностью построения и зависит от масштаба графика, качества чертежных приспособлений, опыта, времени и сил, которыми располагает исследователь. Обычно выбирают 10° Да 30°.
Построив семейство изоклин (рис. 3.20, б), проводят из начальной точки Л40, лежащей на одной из них к = х0, два луча под углами а0 = = arctgmxo и ах = arctgmxp Угол Дах между этими отрезками делят пополам и точку Afi, лежащую на пересечении полученной биссектрисы со следующей изоклиной и = хъ считают новой расчетной точкой фазовой траектории.
Далее процесс построения повторяется, как показано на рис. 3.20, б. Точки Mi, i = 0, 1, 2, ..., N по лекалу соединяют плавной кривой.
Метод Льенара и дельта-метод. Для построения фазовых траекторий часто встречающихся систем, дифференциальное уравнение которых имеет вид
dPyJdt? + Fx (dihJdt) + <о02 yY = 0,	(3.45)
Льенар в 1928 г. предложил удобный графический метод (рис. 3.21).
Перейдем для простоты к безразмерному времени т=<о0/ и, обозначив у2 = dyjdx, запишем уравнение интегральных кривых, эквивалентное исходному уравнению (3.45),
dy2ldyr = —[yi + F (у2)]/у2.	(3.46)
Поскольку F(y2) — функция с ограниченной производной, то можно считать, что вблизи заданной точки с координатами у± = г/1г; Уз = Узб F(y2) « F(y2i) = const.
Разделим переменные и проинтегрируем уравнение (3.46)
ifi	У1
$ Уз dy2 + $ [F (z/2i) + yr] dy1 = O, откуда
Уз* + [F (у2г) + У1]2 = y2i* + [F (y2i) + yu]* r?.	(3.47)
Очевидно, что это уравнение дуги окружности, проведенной через заданную точку Mt из центра с координатами г/2ц = 0; У-щ = =—F(y2i). Заметив, что уг = —F(r/2) — уравнение изоклины горизонтальных касательных, получим последовательную графическую процедуру построения фазовой траектории, при подготовке к которой из всего семейства изоклин нужно построить одну только изоклину горизонтальных касательных х = 0. Далее, из заданной начальной точки Mo(i/io; у20) (см. рис. 3.19) проводят горизонтальную прямую до пересечения с этой изоклиной и, опустив из точки пересечения перпендикуляр на ось абсцисс, определяют центр дуги окружности д/1ц0 = = —F(y20), которую и вычерчивают из Мо в направлении движения изображающей точки при т > т0. Принимая конец этой дуги Mi за следующую заданную точку траектории, повторяют построение.
4 Зак- 447	97
Определяя длину отдельных дуг (Л/г;	исходят из того,
' что угол Д<р;, стягиваемый каждой такой дугой, может быть тем больше, чем меньше соответствующий этому этапу построения наклон изоклины % = 0 к оси ординат.
Действительно, если F(y2) = const и dFldy2 = 0, то фазовые траектории уравнения (3.45) обращаются в семейство концентрических окружностей.
Удобство и изящество метода Льенара привели к тому, что с 1952— 1953 г. аналогичное построение применяется не только при исследовании фазовых траекторий уравнения (3.45).
Так называемый дельта-метод (6-метод) позволяет строить интегральные кривые систем, соответствующих уравнению (3.11), а также и неавтономных систем, для которых уравнение интегральных кривых может быть записано в форме
Луг । Т(щ; i/2; /) Q 4У1	У-2
Сущность этого метода состоит в том, что если функция F(yy, у2, t) однозначна, непрерывна и дифференцируема в любой точке рассматриваемого листа плоскости (jyy. у2) и непрерывна и дифференцируема по времени, то функция 8(у1; у2, /), полученная в результате тождественного преобразования уравнения (3.48)
dy^dy^ + yjy.^ — [Л(У1; у^ t'j + yj/y^
=	Уг, ()1/У-2	(3.49)
в уравнение (3.49), тоже обладает этими свойствами. Исключение, разумеется, составляют состояния равновесия, особые точки y2s = 0; z/i, -= —8(уу, у2; t), но вблизи этих точек систему можно исследовать иначе, как показано в § 3.3. Из сказанного следует, что вблизи заданного неравновесного состояния yt = у];; у2 = у2у, t = ti функцию 6 можно считать примерно постоянной: 6 » 6; = const.
Разделив переменные и проинтегрировав (3.49)
и 2	Ut
^У2<1у2+ $ [6(«/к; y2i-, td + y^dy^Q, t'-ll	«и
получим аналогичное (3.47) уравнение
М? + (6г + й)2 = Уи2 + (бг + Ук)2 = г?	(3.50)
дуги окружности, проходящей через точку Мг, центр которой лежит в точке у1ц1	—6;; у2ц = 0.
Принципиальное отличие (3.50) от (3.47) состоит в том, что значение 6i4-i для следующего этапа построения вообще говоря не может быть непосредственно определено графически. Это значение вычисляют графо-аналитически по координатам конца проведенной дуги yt== yt(i+l), у2 =- //2(14-1) и соответствующему значению t = /i+1, которое можно определить так, как показано далее, поскольку у2 =-- dyjdt. Сложность вычислений зависит от конкретно заданной функции 6. Во многих слу
чаях здесь приходится применять метод последовательных приближений.
Определение времени движения изображающей точки. Построение процессов в функции времени. Связь между изменением координат изображающей точки и временем ее перемещения в общем случае определяется системой (3.7).
Уравнение дуги фазовой траектории, не содержащей особых точек
/ (f/iJ i/ioi Уг'г У-2о) — ^1	(3.51)
позволяет в принципе исключить переменную ух из правой части первого уравнения системы (3.7) или переменную z/2 из правой части второго, после чего интервал времени движения находится интегрированием
Д/ = /_/о =
У1
Г dyr
J Pi (f/i)
У1о
У, f dy2
J Р2 (Уг)
У 20
(3.52)
Для малых соотношение
изменений координат можно записать приближенное
Ayi	Лу2 .
Pi (f/icp! Угср) Pityicp', Угср)
f(ylcp, y2cp) = 0.	(3.53)
Решение существенно упрощается для систем (3.12), поскольку в этом случае dyjdt = Р^; у2) = у2. Фазовая траектория выражает у2 4*	99
Как явную функцию уи Поэтому Интеграл (3.52) может быть записйЦ в форме
/-4 = С—(3.54)
J ,У'. {У1> У ю,
и его определение сводится к вычислению площади под кривой /(yj = = l/ly2(z/i)l, перестроенной из фазовой траектории (рис. 3.22), что может быть выполнено и механически—планиметрированием.
Особенно просто опреде гяется время движения изображающей точки по дуге окружности. В этом случае, т. е. при £ = О, А = — fe12fe2i > > 0, как показано в § 3.3, компоненты безразмерной фазовой скорости
dyjdx — — (у2—у.,8); 1
dy2/dx =(yl—yls), J
где У1з, Уц— координаты центра, x — aot.
Уравнение интегральных кривых
dy2ldyt = — (t/x— yls)l(y2—y2s)
допускает разделение переменных и интегрирование, в результате которого
(У1—Уи)2 + («/2 —{/2J2 =г2 = const,	(3.56)
где
г2 = (У ю—У1з)2 + (№0 — </2з)2-
Скорость перемещения изображающей точки j
ds/dt = w0 (ds/dx) = too V {dy^dxf + (dy2/dx)2 =
= ®0 /(1/1 — У13)2 + (у2—t/2s)2 = «o' = const
постоянна и пропорциональна радиусу этой окружности, а время движения
=	(ds == — (<₽—Фо) = —
<й0Г J <£>0	<00
«о
пропорционально соответствующему приращению центрального угла
Д/ = (1/(в0) Atp.	(3.57)
Время обхода полной окружности Аф = 2л, как и следовало ожи дать, равно периоду незатухающих колебаний
Т ~ 2л/соо.	(3.58)
Покажем, что если на фазовой плоскости yL = mjzz; у2 m2(du/dt) (рис. 3.23, а) существует замкнутая траектория, близкая к эллипсу, 100
одна из осей симметрии которого АВ = 2у1т лежит на оси абсцисс, а другая CD = 2 у2т — шраллельна оси ординат, то приближенно
У1 — yi8 = i/imsina)o^ = in1t/msin(o0Z; 1
z/2=y2mcosco0/ = m2£o0{/mcosw0Z, J
откуда
ЙОЛ5---------
п12 У 1т
И
Т = — - х 2л	= 2л т — .	(3.59)
<йо	П11 у2т	CD
Рис. 3.23
Применяя соотношение (3.59), следует помнить, что оно справедливо для траектории, близкой именно к симметричному эллипсу, а не к любому овалу.
Так для траектории, составленной из двух параболических сегментов (рис. 3.23, б),
Ш1 Уят	CD
а для прямоугольника (рис. 3.23, в)
Т = 4 1712 • У1т — 4т АВ , т1 Уят	CD
что достаточно далеко от (3.59).
При исследовании динамической системы на фазовой плоскости заслуживают предпочтения простые графические способы, дающие возможность нанести на траекторию такие метки, дугу между которыми изображающая точка проходит за один и тот же заданный отрезок времени А/ = с = const. Имея размеченные таким образом траектории, по фазовому портрету легко, в частности, построить и графики yi(t) или t/2(Z), начиная от заданного значения у10 или у2й. При необходимости это построение можно вести одновременно с разметкой.
К числу удобных методов разметки фазовых траекторий систем (3.12) относится метод вписанных равнобедренных треугольников.
Из рассмотренных способов построения фазовых траекторий системы (3.12) следует, что дуга (Mit Af(-+l) может быть с достаточной
101
точностью представлена дугой окружности, центр которой расположен на оси абсцисс фазовой плоскости (рис. 3.24). Проведем из точек Л4; и Л4/+1 две секущие так, чтобы они пересеклись на оси абсцисс
симметрично перпендикуляру, восставленному из точки их пересечения. Из построения видно, что угол а,, образованный этими секущими, независимо от радиуса г аппроксимирующей окружности и смещения ylsii ее центра всегда равен центральному углу Дсрг, стягиваемому дугой (Л4;, Л4,4-1).
Это значит, что если между фазовой траекторией и осью абсцисс вписать последовательность равнобедренных треугольников с углом а = const при вершине (рис. 3.25, а), то в силу (3.57) время движения изображающей точки между вершинами соседних треугольников будет постоянно:
Д/г = (1/ы0) а = const. (3.60)
Остается дополнить процедуру разметки фазовой траектории так, чтобы время движения между вершиной последнего
треугольника по одну сторону от оси абсцисс и первой по другую ее сторону также определялось формулой (3.60).
Рассмотрим рис. 3.25, б, на котором детально изображен интересующий нас участок построения. Находящиеся по обе стороны от точки пересечения А дуги фазовой траектории допускают аппроксимацию соответствующими дугами окружностей МА и AN, стягивающими равные центральные углы а. Дуга между точкой А и Mit полученной в результате предыдущих этапов построения, опирается на центральный угол Д<рх < а. Из (3.57) следует, что нужно построить дугу АМщ так, чтобы Дф1 + Д<р2 — “•
Но отношение
Д<Р1  Mt А a MMi A-Mt А откуда
Дфа  а — Дф1  MMj а а ММ, +М,А С другой стороны,
Дф2
~а~ = AN
AMi+x
MMj
MMi + MiA
(3.61)
102
Поэтому, доведя процесс построения до треугольника, основание которого выходит за точку пересечения оси абсцисс, следует: провести из этой точки А две секущие под углом а/2 к вертикали, найти отношение дуги MMj между концом секущей М и последней точкой Mt разметки к полной дуге МА сегмента и разделить дугу Л/V второго сегмента в этом отношении. Поскольку угол а выбирают достаточно малым (20—40°), при расчетах по формуле (3.61) дуги можно заменять хордами.
Полученная таким образом точка М,^ отвечает условию (3.60) и обеспечивает продолжение разметки, как показано на рис. 3.25. На рис. 3.26 построены графики уг (т) и г/2 (т), соответствующие рис. 3.25, а.
Рис. 3.25
Перейдем к анализу характерных режимов работы нелинейных систем на конкретных примерах.
Пример 3.5. Исследовать следящую систему низкой добротности (маятник с постоянным моментом [Л. 10]).
Из примера 3.3 следует, что в отсутствие обратной связи по скорости (kc — — 0) и при Лг 1 ограничение, вносимое нелинейным элементом /,2, не влияет на работу следящей системы и дифференциальные уравнения ее фазовых траекторий (3.17) принимают вид:
) (3 62)
dy2/dt = — Hjsinz/i—(уг— Qi). J
Шкала рассогласований системы ух — 0 выглядит, как показано на рис. 3.27. Совершив любое целое число оборотов, она возвращается в прежнее положение.
Однако цилиндрическая поверхность (см. рис. 3.27) неудобна для построения фазовых траекторий и, тем более, их разметки по времени. Обычно пользуются разверткой цилиндра на полосу фазовой плоскости, соблюдая при этом правило переноса изображающей точки, указанное в примерах 3.1 и 3.3.
При детальном изучении процессов отработки угла и слежения, линию разреза удобно проводить вдоль образующей ±180°, как показано на рис. 3.27.
Применим метод изоклин для построения фазовых траекторий при различных скоростях равномерного слежения
103
1	d0i	Тд	dBi
O211	dr	fim dt
Приравняв уравнение интегральных кривых заданному
параметру
От У2
получим уравнение семейства изоклин
dy2 Al sin У! + (1/2 — ^)
-— = —-------------------------- - X,
di/i
Изоклины (рис. 3.28) представляют собой синусоиды, пересекающиеся в осо-точках у28 = 0; у1а = arcsin угъ = л — arcsin (см. пример 3.4),
бых
вблизи которых линеаризованные уравнения фазовых траекторий в отклонениях
*2 = Уг. Xi = {/! — у18:
dx2/dx— k±2 х2 —	х2\
dx2/dx = k21x1 + k22x2= — A1cosz/lsx1— х2= Т а22 Xi—х2-
Отрицательное значение коэффициента k21 соответствует меньшему рассогласованию у1а, поскольку cos (arcsin j1) =	— «Л а положительное —
рассогласованию Угь> так как
Ajcosl л—arcsin —j- j — —	,
104
Рис. 3.28
Экстремальные значения изоклин:
+	,п	ai—-Д1	„ ,п
|/2э= , -— при р1=—л/2 и у23=——--------------- при У1 = Л/Ч.
14-Qmx	1 + Qmx
При а2 = 0 (см. рис. 3.28) особые точки расположены диаметрально противоположно в нуле и ±л шкалы углов рассогласования системы .Семейство изоклин
У1 = —~	--sin У1	(3.63а)
14-ЙтХ
и фазовый портрет симметричны относительно начала координат. Отработка заданных рассогласований из положения покоя z/20 = 0, yt = у10, т. е. из точек, лежащих на оси абсцисс, происходит по кратчайшему направлению с поворотом исполнительного вала, не превышающим 180° + Д/1Ю, где ДЛт — максимальное перерегулирование.
40в
Сепаратриссы	у1а и угь< b, с, d седла делят фазовую плоскость на
области I, II, III начальных значений угла рассогласования у10 и скорости его изменения //20. Из этих областей следящая система приходит в одно и то же устойчивое положение yls = y2s = 0 вследствие вращения исполнительного вала по движению стрелки часов соответственно на 021	—(л + А/г1П)‘, 0211 < —2л;
02iii —4л. Начальные условия из симметричных областей III', ... нижней полуплоскости система отрабатывает, вращаясь против движения часовой стрелки. Таким образом, при ах = 0, независимо от начальных условий, система приходит к началу координат, которое в этом случае называют устойчивым в целом.
Следует отметить, что для всякой реальной системы, значение начальных Уд d02o
скоростей //>() = — • ~— вращения привода ограничено. Вращаемая собствен-Qnl dt
ным двигателем разомкнутая система не может обеспечить начальную скорость большую, чем | у2а | = Аг, что соответствует амплитуде изоклины горизонтальных касательных (см. рис. 3.28).
Фазовые портреты (рис. 3.28—3.30) построены для Аг = 0,75, Qm = 1,75 при различных значениях ах.
При заданных скоростях Oj равномерного слежения, заметно меньших, чем граничное значение сц = Ах, работа системы (рис . 3 29, а) качественно не изменяется .
Количественные изменения характеризуются тем, что особые точки у1а и у^ сближаются друг с другом, стремясь к предельному значению | yls\—n/2 . Фазо -вый портрет становится асимметричным.
107
Вблизи устойчивой особой точки у1а поведение системы определяется корнями характеристического уравнения
?2 + q + Qm	=0;	д = Тлр,
-1±/ 1-4От/Л12-а12 '
2-	2
которые комплексны, если 4Qmp^A,—а,=4Л > 1.
Переходные процессы при этом колебательные, но показатель их затухания
5=----г ...2_____— = $0 —г 1
2 V Qm^A^-ai2	, /	П?
V	л?
медленно возрастает сравнительно с показателем затухания соответствующим отработке постоянного рассогласования аг = 0.
Неустойчивая особая точка — седло, начальный наклон сепаратрисе которого согласно (3.29) будет
-1 ±У~ l+4Qm/Л^-а?
2 Рис. 3.29, а построен для значения av = 0,5 = ~ At.
3
Сравнивая рис. 3.28 и рис. 3.29, а, отметим, что сепаратриссы i/jj а </1о (jq > > 0) и t/ib Ьс(и2 < 0) сближаются в зоне ab верхней фазовой полуплоскости у2 > 0. При некотором граничном значении параметра alt которое по А. А. Анд-роновуУназывается бифуркационным (а2 = ai6i), эти сепаратриссы сливаются (рис. 3.29, б).
Начиная с этой скорости вращения задающего вала, поведение системы качественно меняется. Начальные рассогласования, соответствующие точкам, лежащим выше границы с, а, угъ, с, система уже не может отработать и, как говорят, выпадает из режима слежения (из синхронизма).
Рассмотрим рис. 3.30, а, построенный для значения ж 0,739 = 0.985Л!, большего, чем a^i- Координаты особых точек
i/la = arcsin 0,985 = 8/18л = 80°; у1Ь = л—у1о = —- л= 100°.
18
Устойчивая особая точка у1а—узел, вблизи которого [см. (3.29)1 все фазовые траектории имеют общей касательной прямую с угловым коэффициентом
-1 + V l-4Qm/A12-a12
Второе особое направление вблизи узла xi2 = —0,372. Сепаратриссы седла обладают начальным наклоном
-1 + V l+4Qm /Л,2-a?
И
х22 = —0,639.
Область Sj синхронизации в пределах рисунка ограничена кривой abcdyibf. В ней'существует только одна асимптотически устойчивая особая точка у1а = у1а', уи =*0, к которой с течением времени стремится изображающая точка из любо-103
У|
Рис. З.ЗО.а

го начального положения, принадлежащего области Sx. Переходные процессы не колебательные.
Вне области ST все фазовые траектории стремятся к траектории АВА, соответствующей периодическому решению системы уравнений (3.62) — устойчивому предельному циклу.
Графики изменения рассогласования y^t), а также вращения задающего 01(т) и исполнительного 02(т) валов системы, построенные по двум размеченным
траекториям (см. рис. 3.30, а), представлены: на рис. 3.31, а для начальных условий / из области Sx и на рис. 3.31, б для начальных условий 2 вне этой области.
Наконец, если скорость задающего вала превзойдет предельное значение а1 — а1б2 : ^1> т0 система вообще теряет возможность следить за вращением задающего вала и единственный установившийся режим ее работы соответствует предельному циклу (рис. 3.30, б). Система вращается, непрерывно отставая от задающего вала, причем скорость этого вращения периодически меняется относительно постоянного среднего значения. Рис. 3.30, б построен для ах = 1 > Лх.
Рассмотренный пример показывает, что в зависимости от задаваемых значений скорости равномерного слежения (параметра щ) в системе (3.62) наблюдаются следующие характерные и для других нелинейных систем режимы работы:
НО
1. При |аг| < a16i < Ai на фазовой поверхности существует единственная устойчивая особая точка уг = у1а', у2 = 0, характеризующая синхронное равномерное слежение. Этот режим рано или поздно устанавливается при любых начальных отклонениях, таким образом область
его притяжения охватывает всю фазовую поверхность.
2. При п1б1 < | а± | < а102 = А± на фазовой поверхности одновременно существуют устойчивая особая точка у± = у1а\ у2 = 0, область S,
притяжения которой ограничена сепаратриссой седла (см. рис. 3.30, а), и устойчивая предельная траектория АВА, соответствующая циклическим колебаниям скорости вращения вокруг среднего значения. Амплитуда и период этих колебаний зависят от параметров системы и величины внешнего воздействия а±. Они не зависят от начальных условий, если эти начальные условия принадлежат к области S2 притяжения предельного цикла. Характер процессов установления обоих режимов представлен на рис. 3.31, а — синхронизация и на рис. 3.31, б—асинхронный периодический режим.
3. При | «11 > Н1б2 = = Ах на фазовой поверхнос-
0)
ти существует только устойчивая предельная траектория у^, у^ (цикл) АВА, область притяжения которой охватывает всю фазовую поверх-
ность (см. рис. 3.30, б).
Пример 3.6. Исследовать модель системы стабилизации курса (авторулевого [Л. 10]).
Рассмотрим работу модели системы стабилизации курса, описание которой дано в § 1.2, а структурная схема — на рис. 1.3. Модель собрана на решающих усилителях по схеме (рис. 3.32, а) так, что в ней считается несущественной нелинейность пневматического усилителя и учитывается нелинейность усилителя корректирующей обратной связи. Цель исследования — выяснить влияние коэффициента линейной обратной связи, задаваемого сопротивлением г на суммирующем входе А.
Характеристика z1(«BX) усилителей приведена на рис. 3.32, б, а характеристика z2(uBX) нелинейного блока НБ модели — на рис. 3.32, в,
Вследствие насыщения решающих усилителей |2Цс 100 в фазовые переменные жестко ограничены и фазовая плоскость представляет собой квадрат (рис. 3.33)<
На линейном участке 2Х коэффициент усиления | k | = 105 > 1 и, как показано в § 5.7 части I курса, с помощью таких усилителей можно интегрировать дифференциальные уравнения (моделировать звенья динамических систем).
111
Из схемы (см. рис. 3.32, а) непосредственно следует, что исследуемая модель решает уравнение
(3.64)
di* 2\ di ] Г di и	г
при
Полученное уравнение сводится к (3.45), если положить F(y2) = z2(z/2) — — fet/2; <а0 = 1. Воспользуемся методом Льенара для построения фазового портрета.
При этом, если изображающая точка пересекает изоклину горизонтальных касательных раньше (позже), чем вертикальную ось = 0, то отклонение изображающей точки от начала координат уменьшается (увеличивается). Области, где это имеет место, на рис. 3.33 обозначены 1(11}.
При сравнительно больших значениях г прямая г = —fey2 пересекает кривую г2(уа) только в начале координат (см. рис. 3.32, в). В этом случае изоклина горизонтальных касательных t/2 = ky2 — z2(y2) целиком лежит во втором и четвертом квадрантах фазовой плоскости.
На рис. 3.33, а построен фазовый портрет для k = 0,75, г = 1,34 Мом, когда прямая z касается кривой z9 (положение а на рис. 3.32, в). Из построения следует, что единственный установившийся режим системы соответствует устойчивому 112
равновесию при t/ls = y2S = 0. Вблизи этого положения Система ведет себя согласно
линеаризованному уравнению
at at
Система аналогична устойчивому колебательному звену с сильным демпфированием.
Совершенно иная картина получается при k = 1, г = 1 Мом, что соответствует положению б прямой г (см. рис. 3.32, в). В этом случае изоклина горизонтальных касательных (рис. 3.33, б) многократно пересекает ось ординат фазовой плоскости. Из построения следует, что помимо устойчивого равновесного состояния (покоя) в точке у1в = у2в = 0, система может совершать незатухающие колебания, амплитуда и частота которых не зависят от начальных условий, если только эти начальные условия лежат в области притяжения устойчивого предельного цикла 1. Этот режим работы системы называется автоколебаниями, а сама система — автоколебательной. В рассматриваемом случае существенно то, что автоколебания не могут возникнуть, если системе не сообщено начальное отклонение, выводящее ее за пределы неустойчивого (водораздельного) предельного цикла 2, внутри которого лежит область притяжения положения равновесия Такое возбуждение автоколебаний называют жестким.
113
При дальнейшем уменьшении сопротивления г прямая 2 = —ky2 (см. рис. 3.32, в) поворачивается по движению стрелки часов, изоклина горизонтальных касательных (см. рис. 3.33) перемещается в первый и третий квадранты, амплитуды устойчивого 1 и неустойчивого 2 предельных циклов растут. После совпадения этой прямой с прямой z = ydz!dy | у==0 вся изоклина х = 0 переходит через ось ординат и нарушается устойчивость положения равновесия. Система ведет себя, как показано на рис. 3.33, в, построенном для k = 5, г = 0,2 Мом (положение в на рис. 3.32, в).
Модель автоколебательной системы с мягким возбуждением получается, если инвертировать сигнал, подаваемый на нелинейный блок z2 и сопротивление г, т. е. переключить их вход В на выход у2 в точку D (см. рис. 3.32, о).
При этом дифференциальное уравнение (3.G4) примет вид
d2 y1/dt2 = — z2 (dyi/dt)— ki (dy1/dt)—y1	(3.65)
и изоклина горизонтальных касательных yl = —F(y2) изменит знак. На рис. 3.33, г построен фазовый портрет для случая г = 1 Мом, k 1 (положение г на рис. 3.32, в). Особая точка — неустойчивый фокус, кривая 1 — устойчивый предельный цикл. Вне неустойчивого водораздельного цикла 2 система неустойчива и процессы в ней определяются ограничениями характеристик усилителей 2Х = 100 в.
Рассмотренный пример показывает, что в зависимости от параметров автономной нелинейной системы в ней могут возникать незатухающие колебания, форма и период которых определяются только характеристиками самой системы и не зависят от начальных условий, если они принадлежат к области притяжения этого режима. Такие режимы называют автоколебаниями, а системы, в которых они наблюдаются — автоколебател ьным и.
§ 3.5. КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
Из предыдущих параграфов и приведенных в них примеров следует, что процессы в нелинейной системе (3.6) при конкретных, численно определенных функциях Рг и Р2 можно построить с заданной точностью.
Принципиальные трудности возникают при решении основных задач проектирования и расчета систем управления:
задачи анализа системы, т. е. исследования зависимости режимов ее работы от параметров элементов системы;
задачи синтеза системы, т. е. обоснования выбора структуры схемы и значения параметров элементов, обеспечивающего требуемое или наилучшее в заданном смысле качество работы.
Реальные успехи достигнуты здесь для двух конкретных классов динамических систем:
1. Для генераторов незатухающих гармонических колебаний (к числу таких систем относится, в частности, система, рассмотренная в примере 3.6). Они подробно рассматриваются также в теории колебаний [Л. 10] и специальных технических дисциплинах, связанных с разработкой и применением генераторов периодических сигналов [Л. 121].
2. Для систем, нелинейные характеристики элементов которых могут быть представлены отрезками прямых линий (кусочно-линейных 114
систем). В теории автоматического управления и Практике создания автоматических систем их изучение представляет особый интерес.
В § 1.4 указано, что ломаная кусочно-линейная характеристика может быть получена при аппроксимации гладкой характеристики z(x). Так, из однозначной характеристики электронного усилителя получается нелинейность типа ограничение (см. рис. 1.2) и из семейства экспериментальных циклов перемагничения ферромагнитного сердечника—нелинейность типа магнитный гистерезис (см. рис. 1.22). Осуществляя подобную аппроксимацию следует помнить, что она не должна сказаться на результатах качественного анализа системы. Иными словами, количество и тип особых точек, качественная картина границ областей их притяжения, наличие и устойчивость предельных циклов не должны меняться при аппроксимации. Мощным средством проверки допустимости принятой кусочно-линейной аппроксимации служит сравнение результатов анализа с результатами контрольного моделирования исходной системы.
Важнее то, что в большинстве существенно нелинейных систем управления кусочно-линейное математическое описание получается не из аппроксимации гладких кривых, а следует из; самой физической природы элементов, применяемых в этих системах. Таковы устройства с внезапно меняющимся механическим (люфт, упор) или электрическим (реле, выключатель, контроллер) контактом, а также бесконтактные схемы с аналогичными характеристиками (полупроводниковое реле, ключ, триггер).
Разрывная кусочно-линейная характеристика — естественное представление экспериментальных свойств таких элементов (см. § 1.5).
Рассмотрим, как отразится кусочно-линейный вид характеристик элементов на фазовой плоскости системы. Каждому линейному участку характеристик z;((/j) и Zj(y2) элементов, входящих в систему, на котором ни одна из них не имеет изломов и разрывов, соответствует отдельная область или лист k = а, Ь, с, ..., в пределах которого правые части системы дифференциальных уравнений (3.7) линейны по обеим фазовым переменным.
Таким образом, можно записать:
--kjo-j-kjj у1-^к12Уз',)	(3 66)
dy-Jdt = k20 + k2l yx k22 y2,)
где kl0^Plh (Ух =0; y2 0) = Pift (0) и fc2o = Луг’(0)-Координаты особой точки dyx! dt = dy2!dt = 0;
,,	__—feio ^22~Ь ^20 ^12	,,	,,   fell) ^21	^20 k
y^S----,	, L L И C/2S L L h h
^11 ^22 — ^12 ^21	КЦ ^22	^12^:
(3.67)
В силу ограниченности листа особая точка зачастую лежит вне его пределов, не является положением равновесия системы и ее окрестность недостижима в процессе перемещения изображающей точки по фазовой траектории.
115
Поскольку из (3.66) следует, что А1о = — (^иУь + ^хаУал) и
— —(^21У1Я + ^ааУа8)> то дифференциальные уравнения фазовых траекторий можно упростить в соответствии с (3.19):
dyi/dZ =fe11(y1—yle) + A12(y2—y2e); j	(3
dy2/dt = k21(y1—yu)4-A!22(ya—y2s). /
Из сопоставления (3.68) и (3.19) следует, что единственное их от-
личие заключается в смещении
Рис. 3.34
особой точки из начала координат в точку с координатами (3.67) и, с учетом этого, весь анализ, проведенный в § 3.3, полностью применим для каждого листа фазовой плоскости кусочно-линейной системы.
Специфичным оказывается вырожденный случай Д = 0. В частности, при
dyjdt =уг‘, dy2/dl = о(у2~у2а),
(3.69)
что отличается от (3.41) только наличием постоянной компоненты й2о = = Р2(0) = —oz/2s, фазовый портрет не похож на рис. 3.20.
Уравнение интегральных кривых в этом случае имеет вид
dl/j __ Уг — Угз dyi уг
(3.70)
Изоклины представляют собой прямые
Уг—
дуга
X — я
(3-71)
параллельные оси абсцисс (рис. 3.34), причем изоклина горизонтальных касательных и = 0, у2 = у2а^является одновременно предельной фазовой траекторией системы.
Интегрируя сначала второе из уравнений (3.69), а затем первое, получим параметрическое выражение семейства фазовых траекторий 116
У1—У23 = (.У2ь~^)^(‘ Zfc);
У1 - Уik = -у {Угк-У^ - Ч) _ 1) 4- у2>(I_ tk).
Система (3.72) допускает исключение параметра t, после чего yi выражается как явная функция у2:
У1ь) = (Уъ~ йл)+&в1п Уз-~У\ •	(3.73)
У2k —Уза L
Ход фазовых траекторий при о < О (нейтральная система) показан на рис. 3.34, а и при о > 0 (неустойчивая система)—на рис. 3.34, б.
При о=0 можно записать
dz/i/d/ = //a; j	(3 74)
dy2/dt — С. J
В этом предельно вырожденном случае последовательного соединения двух интегрирующих звеньев фазовые траектории представляют собой семейство парабол, эквидистантных по оси абсцисс,
У1-У1к = -^(У2—У2к)2>	(З-75)
представленное графически на рис. 3.35.
Излому или разрыву кусочно-линейной характеристики 2,(t/) при переходе к новому линейному участку соответствует граница листа фазовой плоскости.
При этом будут рассматриваться два типа переходов:
а)	переход с сохранением непрерывности правой части дифференциальных уравнений (3.66) и, следовательно, компонент фазовой ско-рости, характерный для непрерывных кусочно-линейных систем;
б)	переход с разрывом значений компонент фазовой скорости, но с сохранением непрерывности фазовых траекторий, характерный для кусочно-линейных систем с переключением.
Непрерывные кусочно-линейные системы. Поскольку функции Р1(У1, Уя) и Рг(У1'' У2) меняются с сохранением непрерывности, то и изоклины системы (3.66) также непрерывный представляют собой ломаные линии. Фазовые траектории лишены изломов. Характерным примером системы такого типа служит следящая система с1 ограничением скорости исполнительного двигателя.
Пример 3.7. Исследовать отработку заданного постоянного рассогласования — const следящей системой с Ах = 2; Qm = 1; kc = 0;
Из примера 3.3 следует, что в этом случае система дифференциальных уравнений фазовых траекторий
dj/i/dT =р2;
dy2/dx = — (2 sin уъ, |/21 < 1-
Фазовая плоскость делится на четыре листа (рис. 3.36).
Лист а. Линейная зона малых углов
117
Границы листа — вертикальные прямые у2 arcsin 1/2	л/6
= arcsinl/2 = л/6. В пределах этих значений аргумента приближенно положить sin i/j = уг, откуда
dyjdx^yi, 1
dy2/dx = —у1—уг-)
Рис. 3.36
Особая точка у13 = у2S =0 — устойчивый фокус, переходные процессы колебательные с показателем затухания £ = 1/2.
Лист Ь. Область положительного насыщения /2 = 1, л/6 < уг < л — — л/6 = 5/6л, откуда
dy1/dx — y2;	|
dy2/dx = — уг — 1, j
.118
«^ответствует (3.69) при CT = —1; yw — —1.
р (3.71) следует, что семейство изоклин у2ь ~ — (1 + к)-*. Согласно (3.72) метричес ое уравнение фазовой траектории
У2+ 1 = (Угъ+ 1) е~ (т~ T&) 1	)
г /_ - \,	/	(<э.7и)
J/i —l/ib=(j/2b+l) [1 —е <	хь)]~(т — тй) )
и из (3.73) получается уравнение с исключенным параметром т:
, I У 2 + 1 I
У1—УкЪ ~ УгЪ—Рг+'п ГТ ‘	(3.77)
I P2b+1 I
Фазовые траектории в области положительного насыщения усилителя, когда линейная часть системы находится под постоянным воздействием, эквидистантны по оси абсцисс и с течением времени стремятся к особой прямой уг = —1 = = const, что соответствует равномерному вращению двигателя.
Лист d. Линейная зона углов, близких к л, dsinpi I 2 sin pi | с 1;	-------- < 0.
'	dpi
Границы листа—вертикальные прямые
ух — arcsin 1/2 = л — л/6 = 5/6л и yl = arcsin — 1/2 = л-|-л/6 = 7/6 л,
В пределах этих значений ух приближенно можно положить sin ух х л — — ylt откуда
dy1/dx=y2',	1
dy2/dx=yx — р2 + л. )
Особая точка yxs = л; p2s = 0 — седло, угловой коэффициент сепаратрисе которого
-1 ± /5 х112 =-----------•
а уравнения сепаратрисе соответственно
14-/5
Уг = —-----£--(Pi —л) ——1,618 (р! —л)
и
/5 — 1
У г =------(Pi — л) ж 0,618 (pi — л).
Лист с. Область отрицательного насыщения
z2 =—1;	—5/6л<р!<л/6.
При этом
dp1/dx = p2;
dy2/dx = —р2 + 1,
откуда ст = —1; у2в = 1- Соответственно уравнение изоклин у2 = —(1 — «)“’• Фазовые траектории листа с
Уг~\=(Угс~ 1)е~(т~тс);	1
Pi-Pic = (P2c-0 [1-е“^_тс)] + (т-тс), J
119
Рис. 3.37
Гладкость перехода фазовой траектории с листа на лист и непрерывность изоклин очевидна из рис. 3.36.
Кусочно-линейные системы с разрывными нелинейностями. Границы листов, при переходе через которые правая часть дифференциальных уравнени й (3 66)терпит разрыв, называют линиями переключения. 190
«Давление фазовой траектории по одну сторону от линии переключи вообще говоря не совпадает с ее направлением по другую сто-У-
На рис. 3.37, а изображен переход с одного лйста а на другой лист b фазовой плоскости, когда переключение происходит с гистерезисом 2е в соответствии с характеристикой (рис. 3.37, б) переключающего элемента.
Достигнув линии ч>(у1, t/а) = е < 0 на участке А В, изображающая точка в результате переключения переходит На лист Ь. Такой переход возможен, поскольку вектор va фазовой скорости до переключения направлен к линии переключения, а уь после переключения— от нее. При этом проекции векторов van и иЬп фазовой скорости на нормаль к линии переключения имеют один и тот же знак. Фазовая траектория покидает полосу гистерезиса и с изломом уходит на лист Ь.
Картина переключения меняется, если вектор vb фазовой скорости оказывается направленным к линии переключения, как это имеет место на участке ВС. При этом проекции van и vbn противоположны по знаку и векторы va и уь фазовых скоростей направлены навстречу друг другу. Изображающая точка после переключения перемещается внутрь полосы гистерезиса — е < фОа; у2) < е. Скорость ее перемещения по этой полосе определяется разностью перемещений ме|жду каждыми двумя переключениями или, приближенно, разностью тангенциальных проекций векторов фазовой скорости в точках переключения.
Если на концах полосы ВВ'СС векторы этой разности направлены навстречу друг другу, то на ней существует по меньшей мере один устойчивый предельный цикл SS', к которому стремится изображающая точка. Этот предельный цикл соответствует автоколебательному режиму, частота и амплитуда которого полностью определяются параметрами переключающего элемента (шириной петли гистерезиса) и его настройки (наклоном линии переключения). Заметим, что осью симметрии предельного цикла служит общая изоклина хо = кь листов а и Ь.
Если ширина петли гистерезиса пренебрежимо мала (е -> 0) и характеристика переключающего элемента может рассматриваться как идеальная (безгистерезисная) (рис. 3.37, в), то полоса —е < ф < е стягивается в линию переключения ф = 0 (рис. 3j37, г), на которой различают участки притяжения (переключения) АВ и CD и участки отталкивания—скользящего режима — ВС, на которых переключающий элемент (реле) работает в вибрационном режиме. Частота его переключений при этом определяется параметрами самого реле и оказывается настолько высокой, что объект управления реагирует только на изменение среднего значения сигнала. Предельный цикл SS' стягивается в особую точку S скользящего режима, которая лежит на пересечении линии переключения ф = 0 с общей изоклиной иа = х& листов фазовой плоскости. Если эта особая точка устойчива, как показано на рис. 3.37, г, то она соответствует устойчивой стабилизации объекта управления при вибрационном высокочастотном режиме переключения управляющего устройства.
121
Ранее в гл. I и II опиД^ вались возможные функМ| релейного переключающей^ устройства. Рассмотрим в начале его работу при переключении сигнала, действующего на объект управления с неизменными параметрами.
Пример 3.8. Исследовать процесс отработки заданного начального рассогласования—л/2< <0О < л/2 следящей системой, содержащей в качестве усилительного устройства трехпозиционное реле с гистерезисом, характеристика которого рассмотрена в § 1.6 и изображена на рис. 1.18, в. Структурная схема такой системы приведена на рис. 3.38, а.
В соответствии с (3.13), (3.15) и (1.25) можно записать
Ф<йд	^02
Ад“д = Гд_щ-+й,д: Шд=1Г: “1 = Л (0) = t/im sin 6 = t/]m Sin (01—62); U2 “ Ц1—
(гь sign u2 при ид — /2 (ua) — { n
(О при
I I > xb;
I «2 I < xa-
По заданию система отрабатывает ограниченное начальное рассогласование 0О. Кроме того, для реле достаточно высокой чувствительности ха < хь С Ulm. Эти ограничения позволяют считать, что 0=—02; и2 ~ ~ fi/im 0 + kK —— I. \ /
1
Введем безразмерное время т= —— t и фазовые переменные у1 — ‘д
= ---------0; Уъ = —после чего система дифференциальных уравнений
йдгьТд	dr
фазовых траекторий примет вид
d^dx = ^	)	(з.8О)
dy^jdx——2(y1-[-kcy2)—у2, J
где функция
z_ ( sig” (f/1 + *С f/з);	I f/i + *c f/a I > *-«’.
I о	; 1уг \-kcy.3 I .<£ ,
как изображено на рис. 3.38, б. С учетом выбранного масштаба, kc — kx/Uijn', е = ха/(кд t/im ZbTjj)-, X — xb/xa.
Каждому из трех постоянных значений 0, 1 и —1, которые принимает функция z, соответствует лист фазовой плоскости (рис. 3.39).
Зона нечувствительности реле (z = 0) представлена листом а, ограниченным двумя прямыми переключения
Уг= — ((/1—е)/йс и у2= — (yi + e.)/kc.
122
ЛСистема дифференциальных уравнений фазовых траекторий здесь
Т*	dy1/dx = y2,	)
%	(	(3.81)
?	dy2/dx = — у2 J
совпадает с (3.41) при о=—1. Фазовые траектории этого листа, согласно (3.42) и (3.43), представляют собой прямые, наклоненные под углом —45° к оси абсцисс, по которым изображающая точка стремится к отрезку покоя —е < у1 ' е. Вследствие гистерезиса на этот лист фазовой плоскости частично накладываются соседние листы.
Рис. 3.39
Лист b соответствует положительному значению 2=1, При этом дифференциальные уравнения фазовых траекторий
dyi/dx=y2, )
dy2/dx = — у2 — 1 J
совпадают с (3.69) при о = —1; y2s — —•• Семейство фазбвых траекторий удовлетворяет равенствам (3.76) и (3.77) и полностью аналогично построенному на листе Ь (см. рис. 3.36). Поведение релейной системы при включенном реле аналогично поведению непрерывной системы в зоне насыщения усилителя.
Линия переключения представляет собой прямую у2 = —(уг— Хе)//гс, которая параллельна правой линии переключения листа а и при 1 > X > О расположена между ней и началом координат.
Отрицательному значению г = —1 соответствует лист с, в пределах которого
dyi/dx = y2;
dy2/dx = — i/a+1
(3.83)
123
й фазовые траектории, вычисляемые по формулам (3.78) и (3.79), симметрией фазовым траекториям листа b относительно начала координат.
Рассмотрим несколько характерных случаев:
1. Система без обратной связи по скорости (рис. 3.40, а, б и в).	<
Рис. 3.40
При /гс = 0 линии переключения вертикальны. В зависимости от соотношения между шириной е зоны нечувствительности и показателем А возможна устойчивая работа системы, когда все фазовые траектории оканчиваются на отрезке покоя (рис. 3.40, а), и автоколебательная, когда при достаточно больших начальных отклонениях (вне заштрихованной зоны S застоя) фазовые траектории стремятся к устойчивому предельному циклу АВА'В' (рис. 3.40, б).
Граничный случай между этими двумя режимами соответствует критическому соотношению параметров X = Хкр; е = екр, при котором предельный цикл и границы области S совпадают друг с другом (рис. 3.40, в).
124
. Определим граничное соотношение меЛДу Параметрами системы Непосредственно на рис. 3.40, в. Катет у 2а — АС равнобедренного прямоугольного треугольника АВС равен ^крекр + екр = 0 + ^кр)екр- О другой стороны, координаты точки А должны удовлетворять уравнению (3.79) фазовой траектории, начальная точка которой В' лежит на оси абсцисс у2С — О на расстоянии у1с = = —екр от начала координат. Подставим эти данные в уравнение (3.79)
.	,	1,,1 (1 + 8кР ~1 |
— Лкр8.кр + 8кр——(Д“гЛкр)8кр 1П	__1	»
откуда
— 2ккр —In [1 — (1 + ХКр) Екр!
или
1+^кр=—-(1-е-2^р).	(3.84)
екр
2. При относительно слабой обратной связи по скорости картина качественно не меняется. Учтем отрицательный наклон линии переключения при определении критических значений параметров. На рис. 3.40, г представлен граничный случай при наличии обратной связи. Координаты точки А определяются из условия пересечения прямой АВ, уравнение которой
Уг~ —У1 + вкр
с линией переключения листа с
Уг~ 1/*с (У1 + ^-кр бкр)-
Совместное решение этих уравнений дает:
О)
_	^Кр + fec
У la---»	,	8кр»
1 —Яд
1 + 1кр
У2а—	»	, 8кр«
1 —«с
Подставляя эти данные в уравнение (3.79), получим:
^-кр + ^с ,	1+^КР
1 -fec екр + Екр = _' !-fec екр~'П
1 Н~ ^кр 1-fec
екр — 1
(3.85)
откуда
—2екр— In 1
1 + ^кр l-k0 ЙНР
или
——(1~е 2е«р) = т^Т-(1 + Хкр). ькр	I—«с
(3.86)
125
Очевидно, что выражение (3.84) — частный случай уравнения (3.86) при *с = 0.
Поскольку левая часть уравнения (3.86) зависит только от Евр, а правая — только от Лкр при параметре kc, то это уравнение допускает простое графическое решение, представленное на рис. 3.41, а. Из этого рисунка, в частности, следует, что при ka > 0,5 и 0 < 1 в системе не может существовать автоколебательный режим.
На рис. 3.41, б представлено семейство кривых для разных значений 0 < kc < < 0,5. Системы, параметры которых е и А. лежат ниже соответствующей граничной кривой, автоколебательные, выше — устойчивые.
3. При весьма сильной обратной связи (kc > 1) наклон линии переключения становится меньше, чем наклон фазовых траекторий листа а. Отработка отрицательных начальных отклонений ух < —е, у2 = 0 после первого переклю
чения на нуль идет в скользящем ре-
жиме одного контакта реле, а положительных ух > е, = 0 — другого. Переброс реле из положения г == 1 в положение z = —1 вообще не наблюдается. Фазовый портрет такой системы представлен на рис. 3.42.
В гл. I рассматривалась работа реле в качестве элемента, выполняющего более сложные функции — переключателя связей между элементами системы в зависимости от сигнала, поданного на его управляющую обмотку (см. § 1.8).
На таких элементах основаны системы с переменной структурой
(см. § 1.3).
Рассмотрим простую структурную схему, в которой реле с характеристикой (см. рис. 1.5, а) осуществляет переключение знака обратной связи, охватывающей два интегрирующих звена в функции линейной комбинации фазовых координат и2 =	+ а2^2 (Рис- 3.43).
При этом функция ф, подаваемая на множительное звено структурной схемы, принимает значения 4-1 или —1 так, как это показано на плоскости (t/jj t/2) (рис. 3.44, а), реализуя две линии переключения ух = 0 и у2 = —kyt, где k = а,/а2 — настраиваемый параметр ф-ячейки.
126
Первоначально положим k0 = 1, тогда при ф = — 1 дифференци альные уравнения фазовых траекторий системы
d^'di = ^	|	(з,87)
dy2ldt=—y1. J
Как показано в § 3.3, в начале координат (рис. 3.44, б) лежит особая точка типа центр, система колебательная с нулевым затуханием.
При ф = 1 дифференциальные уравнения фазовых траекторий
(3.87а)
dy 1 /dt = у dy2/dt=y1.
Рис. 3.44
В начале координат (рис. 3.44, в) лежит симметричное седло с се-паратриссами у2 = —yY и уг = yv и система неустойчива.
На рис. 3.44, г представлена фазовая плоскость в условиях переключения ф-ячейки, при настройке коэффициента 0 < k < 1. В системе
127
наблюдается скользящий режим вдоль линии переключения у2 = kylt причем единственная устойчивая особая точка этого скользящего режима— начало координат фазовой плоскости. Переходные процессы в такой системе протекают тем быстрее, чем круче лежит линия переключения, т. е. чем k ближе к единице. Однако стоит настроить k > 1 и поднять линию переключения выше сепаратриссы у2 — —ylt как система станет колебательной (рис. 3.44, д) и переходный процесс, обеспечиваемый переменой структуры системы, резко ухудшится.
Но и при такой настройке устойчивость системы управления сохраняется.
;; Таким образом, система с переменной структурой дает возможность получить устойчивую систему управления, которая в различные промежутки времени описывается линейными уравнениями нейтральной (колебательная с нулевым затуханием) и неустойчивой систем.
Если коэффициент k0 отличен от единицы, то фазовые траектории (см. рис. 3.44, бив) будут представлять собой семейства эллипсов и несимметричных гипербол. При этом характер скользящего режима (см. рис. 3.44, г) не изменится. В этом случае изменение в определенных пределах практически не сказывается на переходном процессе и система оказывается нечувствительной к изменениям параметров. Это преимущество систем с переменной структурой обусловило распространение их на практике [Л. 39].
§ 3.6.	МЕТОД ТОЧЕЧНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
При определении периодических режимов нелинейных систем и, в особенности, при точном исследовании устойчивости этих режимов и границ областей их притяжения важную роль играет метод точечных преобразований (отображений), разработанный А. А. Андроновым и его сотрудниками [Л. 9, 74].
Пусть на фазовой плоскости (рис. 3.45) можно найти отрезок кривой О А, не содержащий точки контакта (касания} с фазовыми траекториями, фазовые траектории пересекают отрезок ОА в одном и том же направлении.
Рассмотрим фазовую траекторию, проходящую через произвольную точку Af0 (см. рис. 3.45). Если удастся проследить ход этой траектории и определить точку Afxee возвращения к отрезку ОА, то под точечным преобразованием Т отрезка ОА будем понимать оператор, выражающий однозначную зависимость Alx = TfAfo). Таким образом, преобразование Т переводит точку отрезка, не содержащего точек касания и особых точек, в последующую точку того же отрезка. С помощью оператора Т можно точку Afx в свою очередь преобразовать в точку Af2:
Мг = Т {/Их) = Т2 [Af0]	(3.88)
и т. д.
Если существует такая точка АГЦ, которую преобразование Т переводит самое в себя, не изменяя ее положение на линии ОА; А1ц = == /'(АР), то эта точка лежит на замкнутой фазовой траектории — предельном цикле,
Вопрос об устойчивости определенного таким образом периодического режима решается применением преобразования Т к точкам, соседним с неподвижной ЛР. Если повторное точечное преобразование приближает их к Л4Ц, то предельный цикл устойчив, а если удаляет, то нет.
Допустим, что в частном случае преобразование Т оказалось простым и зависимость координаты /х точки Л4Х от координаты 10 точки Ма удалось построить в виде графика
l=T(l0),	(3.89)
который называют диаграммой Кенигса-Ламерея (рис. 3.46). Повторному применению преобразования Т согласно (3.88) соответствует наглядное построение.
Из начальной точки Мо на оси /0 восставляют перпендикуляр до кривой (3.89). Полученную ординату /х переносят на биссектрису Zx = /0 координатного угла и таким образом получают абсциссу следующей преобразуемой точки.
Предельным циклам на диаграмме Кенигса-Ламерея в этой и более сложных ее модификациях (см. далее примеры 3.9, 3.10) соответствуют точки, координаты которых при таком построении не изменяются. На рис. 3.46 это точки пересечения кривой (3.89) и прямой /х = /0. Неподвижные точки Л1ХЦ и Л43ц—устойчивы, а Л42ц — неустойчива, что определяется наклоном кривой (3.89) в исследуемой точке пересечения. Предельный цикл устойчив, если |^| < 1 и кривая пересекает прямую в заштрихованной на рис. 3.46 зоне, и неустойчив, если | | > 1 и пересечение происходит вне заштрихованной зоны.
Практическое применение этого метода сопряжено с рядом трудностей:
1.	Аналитическая связь между двумя точками одной и той же фазовой траектории, вообще говоря, устанавливается только для кусочно-линейных систем.
5 Зак. 447
129
2.	В случае кусочно-линейных систем преобразование Т распадается на несколько отдельных преобразований Т = ТаТь ... Тг, по числу листов, проходимых изображающей точкой в ходе ее перемещения от одной точки преобразуемой линии до другой ее точки.
3.	На каждом листе связь между начальной и текущей точкой, как правило, выражается трансцендентной параметрической зависимостью.
4.	Зависимость между координатами преобразуемой точки A4(z/ljW; ^2М), устанавливаемая уравнением <р(г/1Л1; z/2jW) =--0 линии ОА, должна допускать исключение одной из координат в ходе преобразования.
В силу изложенного, практическое применение находит точечное преобразование прямой в прямую при исследовании кусочно-линейных систем с типовыми нелинейностями, описанными в гл. I.
Более сложные задачи могут быть решены с применением средств вычислительной техники.
Перейдем к исследованию конкретных систем.
Пример 3.9. Определить параметры и устойчивость автоколебаний следящей системы без обратной связи по скорости с двухпозиционным релейным усилителем, характеристика которого приведена на рис. 1.18, а.
В соответствии с примером 3.8 дифференциальные уравнения фазовых траекторий
dy^dx-y^,	)
dy.Jdx- —z(yi)~y.,J
где
Фазовая плоскость системы (рис. 3.47, а) состоит из двух листов b (z = 1) и с (г =—1), заполненных симметричными фазовыми траекториями (3.76) и (3.78) В качестве отрезка без контакта выберем вертикальную прямую переключения у± =- е; г/, > 0. Преобразование Т, переводящее точку у20 этой прямой в точку 1/22 той же прямой, состоит из двух последовательных преобразований: Th, преобразующего у.,,, в у.,, и Тс, преобразующего у2, в у22, Т — ТъТс. В силу симметрии фазовых траекторий листов b и <; вместо полного преобразования достаточно рассмотреть любое из его составляющих.
Рассмотрим преобразование Тъ, которое в параметрической форме выражается формулой (3.76), если подставить в нее
У1Ь — в; У1~ в; х ть = тх; Угь — Уяо-
Чтобы построить диаграмму Кенигса-Ламерея в первом, а не в четвертом квадранте, примем у21 = —у2с > 0. При этом
1—Ун = (1 + </го) е Т1	|
— 2е = (1 +//го) (1—е~т«)—тг /
Определив t/20 из второго уравнения и подставив его в первое, получим параметрическое выражение преобразования
Ун = 1 —
тх— 2е ”1 -с-г'
тх—2е
(3.90)
130
Минимальное значение параметра Tt — безразмерного времени движения по траектории листа b (см. рис. 3.47, а) — получается из условия у.,а = 0. При этом
Timln— 2е ----------—1 = 0 или 1 —,mln
Timln 2e— 1	£-T
1Ш1П
что графически соответствует абсциссе точки пересечения экспоненты 1 с прямой 2 (рис. 3.47, б). Очевидно, что т1тщ монотонно возрастает вместе с е; Tlmtn = 0 при е = 0. Подставив значения Tlmin в (3.90), убедимся в том, что
f/21 (Timin) - 1 — е~ Tiniln > 0.
5*	131
Далее, у20 при Ti -* 00 безгранично увеличивается, а у21 стремится к единице. Эти рассуждения поясняют построенную на рис. 3.47, в диаграмму Кенигса-Ламерея. Точка пересечения кривой (3.90) с прямой у21 — у2а определяет значение максимума безразмерной скорости у2 на предельном цикле (см. рис. 3.47, а). Автоколебания устойчивы.
Период автоколебаний Т = 2т^ можно найти, приравняв значения у20 и у21 в выражении (3.90). Полученное при этом трансцендентное уравнение, называют уравнением периодов. В этом конкретном примере оно имеет сравнительно простой вид:
Йт| с/ 1m
-i-^z(0H; <йд) —0.	(3.91)
1 д
и выражает зависимость Т(е), представленную графиком рис. 3.47, г.
Пример 3.10. Исследовать следящую систему (см. рис. 1.2) при существенном люфте редуктора. Ограничиться анализом отработки малых начальных рассогласований | 0О | < л/6.
Как показано в примерах 3.3 и 3.7, в зоне малых рассогласований характеристики измерительного элемента (сельсинной пары) и усилителя можно считать линейными:
Ui = /i = t/jmsin0ss 7/1гг1 0; ил = (7Д?) f2 = t/im (0 kit <0д).
Выпишем уравнения системы. Согласно рис. 1.2 и (3.13)
Уд (б/сОд/Л) -}- Щд = &д ид;	о>д~ dQa/dt.
Изменение угла 0 рассогласования по знаку обратно изменению угла 9Д поворота двигателя, приведенного к оси нагрузки, и связано с ним нелинейной характеристикой люфта в редукторе
О — —2 (0д; Щд) 
Многозначная кусочно-линейная функциия z задана формулой (1.26). Выписанные зависимости сводятся к уравнению
Гд (а!20/Л3) +d^/dt -.£д Uim [2 (0д; d^/dt) + kK (d^/dt)] или
<Р0Д	1 4~ £д kK Оцц с/0д
dt2 + 7Д dt
Перейдем к безразмерному времени
т == (1 + йд kK Ulm) t/Тц, после чего уравнение (3.91) примет вид
, ^9д .	^im	г _о
dx2 dx (1 + йд/гк 77jm)2
Приняв ширину люфта А = 2ха за базу нормирования, введем безразмерные фазовые переменные
i/1=(l/2xa) г; </2=(1/2ха) 0Д;
р3=(1/2ха) (d^ldx) = dy2/dx.
Запишем соответствующую систему уравнений фазовых траекторий
]
dya/dx — — Ayr— уз, J где
, _ Тл 1гл Ulm_ k (1 | /гд Him)2 0+Ма
132
Согласно (1.26) и рис. 3.48, а, в полосе — 1/2 < Уу *- у2 < 1/2 система выбирает люфт. При этом сигнал 0 рассогласования не меняется, откуда dyjdx = = 0 и й = ylh = const.
В режимах люфта, выбранного влево, у2 — уг + 1/2; уа > 0, или вправо У г = Щ — 1/2; уа < 0, механические связи не нарушаются, поэтому dy-Jdx = = dy2/dx = ys.
Рис. 3.48

Система входит в полосу люфта при изменении направления вращения (при реверсе): Уз = dy2/dx = dy-Jdx = 0. Начнем исследование с этого момента. Для определенности положим, что непосредственно перед реверсом у3 > 0. Это значит, что в начальном состоянии изображающая точка находится на прямой N (рис. 3.48, а), где у20 = f/io + К2! Узо = О-
Система (3.92) в полосе люфта принимает вид
dt/2/dT = </3;
dya!dx= —(уз Л(/10),
что соответствует (3.69). Согласуй индексы и подставляя значения а = —1; Узе = — Л//10; t — th = т; Узо = Ум + 1/2; Узо = О, получим из (3.72) параметрическое уравнение текущих координат фазовой траектории
!/з=—Л(/1о(1—е~г);
Уз~Ую + ДГ"—^У1о (с Т — !)•
(3.92а)
133
В момент т = т, при уг — уг1 = у13 — 1/2 система выберет люфт. Обозначив </3(Т1) = у31, получим зависимость между координатами конечных точек этого участка фазовых траекторий у31 и уп = уи от параметра тх:
//31 =
е~х'-1
1
//it—
Л(е т, + т1 —1)
(3.93)
Выражение (3.93) определяет точки кривой Л, на рис. 3.48, б.
Дальнейшее движение системы удовлетворяет (3.92) при уя — dy,,/dt — = dyi/dx:
dy1/dT = y3-	|
dy3/di = — AyL — y3. I
(3.926)
Параметрическое уравнение фазовой траектории может быть записано согласно (3.23) при А < 1/4 или (3.23а) при А > 1/4. В данном примере к более наглядным результатам приводит непосредственное решение уравнения интегральных кривых
dysltyt = ~(Ау1 + у3)/у3.
Это — однородное дифференциальное уравнение. Подстановкой г ~ у^у^, dz/dy1 — [(dyn/dyj уг — уя]/у? оно приводится к уравнению
У1 (dz/dyt)^= — (г2-\-г-\-А)/г,
допускающему разделение переменных
dy}/У1 = — 2 dz/ (г2Ч-г + А).
Заметим, что точки, для которых z const, лежат на прямой = гуух, Проинтегрируем (3.94)
Ун	2 а
f dydyr= — J zdzHf + z + A).
Ун	2t
(3.94)
Уч —
При А > 1/4
1П 1011
Ун
У 4А — 1 > 0 и интегрирование приводит к выражению
1	1	2z-J-l
= — — In | га + г-ЬЛ | + г ___ arctg —-------
2	/4Л—1	]/4Л —1
г2
Выберем в качестве верхнего предела интегрирования горизонтальную прямую М (см. рис. 3.48, б), в точках которой у22 = у12 — 1/2 < 0; у32 = z2 = 0 осуществляется реверс системы и она вновь попадает в полосу люфта. В качестве нижнего предела рассмотрим прямую i/31 -= Zji/ц для которой | у12 | = ,| уи |. Подставив эти значения, найдем, что
0 = —33333- arctg —	—
У4А — 1 L V4A — 1
2zt +1 arctg —
V 4Л — 1
1 , zia А~г1А~А -- IП 1	------
или, преобразуя разность арктангенсов, получим
, г^ + ^ + А 2
In ——----= ^=3^
А	/4Л — 1
zj У4А— 1 arctg ——--------
2Л + г£
134
Потенцируя, получим трансцендентное уравнение
2	х г, Й4Л—1
г. : arctg --------
, ,	. .	. У4А-1	2Л + -г,	„
г12 + г1+Л = 4е	•	(3.95)
zi /4Л —1
первый отрицательный корень которого 0 < arctg ———---------< л определяет
2Д 4“
значение наклона прямой г1 в зависимости от параметра А.
Рассмотрим преобразование Т\ точки уг = Ую > О прямой N (см. рис. 3.48, б) н точку у2 = у12 < 0 прямой М.
Если исследуемая точка лежит левее перпендикуляра у{\), проходящего через пересечение прямой Zj и кривой Llt то к моменту реверса на прямой М окажется, что | у12 | > | у10 |. В силу симметрии каждое дальнейшее точечное преобразование Th будет увеличивать модуль координаты у^, приближая его к значению у1[0.
Если же у10 > у^0, то, как видно из рис. 3.48, б, в результате преобразования 7\ окажется, что | у12 | < уы. Дальнейшие преобразования Ту и здесь приводят к последовательности, сходящейся к у^0. Таким образом показано, если прямая zx пересекает кривую при уу > 0, то единственный устойчивый режим работы следящей системы с люфтом — автоколебания, амплитуда которых 0Ц = 2ау“0 пропорциональна величине люфта редуктора.
Пересечение и при yf0 > 0 имеет место, если гг > dy31/dylljZii=0 = — — А. Если же zt < —А, то единственной точкой пересечения (рис. 3.48, в) будет состояние покоя S(y1 у3 — 0; —1/2 < уг < 1/2). Система устойчива и автоколебаний в ней нет.
Найдем граничное значение Л гр, подставив ------Лгр в (3.95). Численное
решение полученного уравнения
2	_______
In Лгр =	- =- arctg }/4Лгр—1
дает Лгр = 3,045.
График границы устойчивости в плоскости k, kG представлен на рис. 3.48, г.
Пример 3.11. Определить параметры установившегося режима работы экстремального регулятора, схема которого описана в §1.4 и изображена на рис. 1.8, и.
В соответствии со структурной схемой запишем уравнения системы управления
1 dx	, ,,хч ( Uи; v < vm; dxldt > 0;
fej ’ dt ~~ L>’ X ~ I — Ua\ v < dx/dt < 0; z (x) =z0 — ka x2;
Г г (dyldt} ~T y = kzZ.
Из этих уравнений следует, что фазовая плоскость состоит из двух листов; соответственно значению и = Uq — сканирование вправо и и = —U№ — сканирование влево. Переключение с фазовой траектории одного листа на фазовую траекторию другого в соответствии с логикой переключения триггера происходит при ут ~ У = vm-
Перейдем к безразмерному уравнению в отклонениях
Т12±^1=-т1Л	(3.96)
dT]!
где
_ х у —fe2 Zp 
135
Во втором члене уравнения (3.96) знак меняется всякий раз, когда
От
112111 1,2 k0 k2 (Т2 fex i/0)2 s'
(3.97)
Таким образом, имеем двулистную фазовую плоскость, в которой переход с одного листа на другой происходит в момент, когда r|2m — т]2 = 6.
Уравнение первого листа (dx/dt =	= const > 0)
1)2 + dT]2/dTli = — ’ll2-	(3-98)
а уравнение второго листа (dx/dt = —ktU0 = const < 0)
т]2 —= —Г]!2.	(3.99)
Рис. 3.49
В данном случае в отличие от ранее рассмотренных примеров связь между фазовыми координатами т]2 и т)! не выражается путем прямого дифференцирования, а носит более сложный нелинейный характер. Зависимость между т^ить следует из уравнения (3.96):
T2d x\2/dt = dx\2ldx = — тн2—т]2.	(3.100)
В координатах тн и т]а фазовые траектории процессов могут быть легко получены с помощью изоклин, которые, как это следует из уравнений (3.98) и (3.99), представляют собой семейство эквидистантных парабол. Изоклина горизонтальных касательных для обоих листов представляет собой параболу
Л2=—Т]12.
Она совпадает с геометрическим местом точек экстремумов значений т)2, в которых Л|2/^г — driz/d^i — 0.
Примеры изоклин и фазовых траекторий для первого и второго листов показаны на рис. 3.49, а и б. Там же показаны точки Л и В, в которых т)2т —tj2 достигает значения 6 и, следовательно, происходит переход с одного листа на Другой.
В зависимости от начальных условий переходный процесс состоит из нескольких переходов с одного листа на другой и завершается установившимися автоколебаниями, описываемыми на фазовой плоскости замкнутой траекторией, имеющей вид лежащей восьмерки (рис. 3.49, в).
Для определения параметров установившихся автоколебаний необходимо проинтегрировать одно из уравнений (3.98) или (3.99) и решить уравнение периодов, устанавливающее соответствие между начальным и конечным положением изображающей точки на каждом из листов, имея в виду условия переключения триггера, 136
При этом симметричные установившиеся автоколебания могут быть характеризованы абсциссой т]1а точки максимума Лаш и максимальным значением отклонения Him при Паш — Ла = &
Уравнения, связывающие эти координаты, могут быть записаны следующим образом:
Т)а(П1т) = Пг( —Tlim) (3.101) и	т]2 (т]1а) — Па (т]1т) =в.	(3.102)
Для решения этих уравнений необходимо получить в явном виде зависимость Т)<(Л1) на основании интегрирования, например, уравнения (3.98).
Решение неоднородного линейного уравнения (3.98) можно представить в виде суммы свободной и принужденной составляющих соответственно:
Паев-Ие-’’-,	П2пр--(111-1)2-1 	(3.103)
Подставляя т]2 = т)2сп + Пгпр в уравнения (3.101) и (3.102) и имея в виду, что Т)2 (т]1а) = —i)ia2, после преобразований и исключения постоянной Л = 2-qtm/(sh Tjim). получим
nim/(sh Him) = (1 — Пю) е1,‘а;
nia^dlrm-l)2--^e^+l-S.	(3J04)
sh Him
Графическое решение уравнений (3.104) для различных значений 6 приведено на рис. 3.50, а.
Рассматривал б, как аргумент, удобно полученное решение представить в виде кривой Him(^) (рис. 3.50, б). Зная Him, легко найти период колебаний в системе. Так как | dxldt I = kiUB = const, то для симметричных автоколебаний
7’ = (4xm)/(^^o)=4nimTa.	(3.105)
Таким образом, зная Him, легко найти период и соответственно частоту колебаний
<оц = 2л/7’ = л/(2н1т Г2).	(3.106)
По величине хт = Uo То п,т можно определить потери на рысканье вблизи экстремума
хт	’hm
дг/ср=— -—	(x — k2zB)dx = —------------- 1 П2^Н1 =
ххт ,)	^im	J
~хт	“Чип
3 П1т’
Потери на рысканье ДуСр выражают уменьшение среднего значения регулируемой величины у относительно максимального значения в точке экстремума при отсутствии внешних воздействий f(t).
Определим значения шц и хт, если kB = 104 град/м1, k2 = b  10—4 м!всек, k2 = 1 в!град, Т2 = 1 сек, Uo = 36 в и = 1 в.
Определив
6=-------________ =________!_____=0 31
kBk2(T2klUB)i Ю4 (1.8.10-2)2	’ '
по графику (см. рис. 3.50, б) находим Him = 1,23,
По формуле (3.106)
<вц = л/(2н1т Т2) = л/(2-1,23-1) = 1,28 1/сек, при этом
xm ~ ilim ^2	~ 2,2-10	л<.
ГЛАВА IV
ГАРМОНИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ
§ 4.1.	ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МЕТОДА ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ
Наиболее широкое распространение для исследования нелинейных систем автоматического управления высокого порядка (п > 2) получил приближенный метод гармонической линеаризации (или гармонического баланса) с применением частотных представлений, развитых в теории линейных систем. Метод гармонической линеаризации, основанный на работах Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова, был предложен Л. С. Гольдфарбом в 1940 г. [Л. 68] и применен им для анализа систем автоматического управления. Значительно позже к различным модификациям этого метода пришли ученые многих стран: Тастин в Англии, Оппельт в ФРГ, Дютиль во Франции и Кохенбургер в США. В СССР этот метод получил развитие и обоснование во многих последующих работах. Здесь следует указать работы Е. П. Попова и И. П. Пальтова [Л.94], Я- 3. Цыпкина [Л. 125], М. А. Айзермана и И. М. Смирновой [Л. 3], Ю. И. Топчеева [Л. 105], В. А. Тафта [Л. 109] и многих других.
Основная идея метода сводится к следующему. Пусть замкнутая автономная (без внешних воздействий) нелинейная система состоит из последовательно включенных нелинейного безынерционного звена НЗ и устойчивой или нейтральной линейной части ЛЧ (рис. 4.1, а).
Для суждения о возможности существования моногармонических незатухающих колебаний в этой системе предполагается,что на входе нелинейного звена действует гармонический синусоидальный сигнал х(/) = Хт sin<ju/ (рис. 4.1, б). При этом сигнал на выходе нелинейного звена z(t) = z!x(t)] содержит спектр гармонических составляющих с амплитудами Zml, Zm2, Zma и т. д. и частотами <о, 2<о, Зш и т. д. Предполагается, что этот сигнал z(t), проходя через линейную часть Ц7л(/а>), фильтруется ею в такой степени, что в сигнале на выходе линейной части y(f) можно пренебречь всеми высшими гармониками Ym2, Ym3 и т. д. и считать, что y(f) Kmlsin(<o/ + <р).
Последнее предположение носит название гипотезы фильтра и выполнение этой гипотезы является необходимым условием гармонической линеаризации.
Условие эквивалентности схем, изображенных на рис. 4.1, а и б, можно сформулировать в виде равенства
x(t) + y(t) = O.
(4.1)
139
При выполнении гипотезы фильтра //(/) = Vmlsin(co/ + ср) и уравнение (4.1) распадается па два
Xm = Yml	(4.2)
и ср = л.	(4.3)
Уравнение (4.2) и (4.3) носят название уравнений гармонического баланса’, первое из них выражает баланс амплитуд, а второе — баланс фаз гармонических колебаний. Таким образом, для того чтобы в рассматриваемой системе существовали незатухающие гармонические колебания, при соблюдении гипотезы фильтра должны выполняться условия (4.2) и (4.3).
Рис. 4.1
Для суждения о выполнении гипотезы фильтра'рассмотрим частотные спектры сигналов x(t), z(t) и y(t) в разомкнутой схеме (см. рис. 4.1, б). При моногармоническом сигнале х(/) спектры сигналов z(/) и y(t) кроме основной гармоники Zml и Yml содержат высшие гармонические Zmft и Ymh. В зависимости от вида нелинейности z(x) амплитуды высших гармоник в сигнале z(t) будут большими или меньшими. Сигнал y(t) на выходе линейной части имеет иное относительное содержание высших гармоник. Если предположить, что линейная часть обладает свойствами низкочастотного фильтра, то удельный вес высших гармоник в сигнале y(f) меньше, чем в сигнале z(/). Справедливости гипотезы фильтра соответствует такая характеристика линейной части 1Гл(/со), чтобы, проходя через нее, все гармоники, кроме первой, затухали до пренебрежимо малых значений.
Количественно это условие можно выразить следующим образом:
Z,nk I (/^м) I ।	(4 4)
Z„a I Гл(/м) Г' ’	V ‘ ’
где k — номер рассматриваемой гармоники.
В общем случае условие (4.4) должно выполняться для любого целого значения k 2. В том случае когда рассматриваются симметричные колебания, в сигнале //(/) отсутствуют четные гармоники и условие (4.4) должно рассматриваться для /г > 3.
С помощью метода гармонической линеаризации решаются две основные группы задач:
а)	исследование автоколебаний в нелинейных замкнутых системах;
140
б)	исследование условий отсутствия моногармонических автоколебаний в нелинейных замкнутых системах.
В первом случае условие (4.4) должно выполняться для частоты <в предполагаемых автоколебаний, во втором случае—во всем диапазоне частот 0 io < оо. Так как обычно Zmh!Zmi < 1 при k 2, то для приближенных расчетов условие (4.4) может быть смягчено и сформулировано так: наклон логарифмической частотной характеристики линейной части должен быть по крайней мере—20ч—40 дб!дек.
При наклоне характеристик—20 дб/дек
Гл(/2(о) (/(о)
Гл (/Зю) I	1
Гл(я) |	3 ’
а при наклоне—40 дб[дек
[ Гл(/2а>)	I	1	и I	Гл'(/3т) I _ 1
_	I Гл	|	4	|	Г л (/со) I 9	’
Исследования автоколебаний несколько различаются в зависимости от симметрии или несимметрии рассматриваемых колебаний. При исследовании несимметричных автоколебаний большое значение имеет постоянная составляющая сигнала в системе. При нечетном характере нелинейностей и отсутствии внешнего воздействия lu(t) = 0 на рис. 4.1, а] наибольший интерес представляют симметричные автоколебания.
Выполнение гипотезы фильтра в форме сильного неравенства (4.4) встречается в практических задачах сравнительно редко. Поэтому применение гармонической линеаризации бывает строго обосновано далеко не всегда. Однако даже при отсутствии строгого обоснования этот метод во многих практических задачах является наиболее простым и дает удовлетворительное приближенное представление о процессах, протекающих в реальных устройствах. При этом в каждом случае невыполнения гипотезы фильтра полученное решение нуждается в экспериментальном или теоретическом подтверждении на математической или физической модели.
§ 4.2.	КОМПЛЕКСНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ УСИЛЕНИЯ (ПЕРЕДАЧИ) НЕЛИНЕЙНОГО ЗВЕНА
Нелинейное звено при действии на его входе гармонического сигнала может быть описано комплексным коэффициентом усиления (или передачи), зависящим от амплитуды сигнала на его входе.
Эту характеристику нелинейного звена иногда называют описывающей функцией.
Рассмотрим безынерционное нелинейное звено со статической характеристикой z = z(x) (рис. 4.2, а). Если на входе нелинейного звена действует гармонический сигнал х = X,„sina>/ =	то перио-
дический сигнал ?(/) на выходе нелинейного звена (рис. 4.2, б) может быть представлен в виде ряда Фурье
оо	оо
2(0 = /0 + 2 ZpkS\nkat + 2 Z.Qkcoskat, (4.5) 4=1	4=1
J4l
i где коэффициенты Zpk и Zq* определяются по формулам
2Я
Zpk= — \ z(X ^in®/)sinfe®/ d(at),	(4.6)
п о 2л
ZQk — — \ z (Х,п sin (О/) cos kat d(<at).	(4.7)
Л ц
Будем пока рассматривать нелинейные характеристики, для которых постоянная составляющая в рассматриваемом режиме равна нулю (Zo = 0). Практически это условие выполняется достаточно ча-
сто, например, при нечетных характеристиках z(x). Таковы, в частности, типовые нелинейные характеристики, рассмотренные в гл. I.
Периодический сигнал ?(/) при гармонической линеаризации приближенно представляется своей первой гармоникой
z(t) as Zpi sin®/ + Zqi cos at,	(4.8)
или в комплексной форме
z(t)^ Im (ZPl +jZQl)eial,	(4.9)
где 2л
Zpi = — z (X sin ®/) sin ®/d («)/),	(4.10)
n ’ 2Л
Zqi = — г (Xm sin w/) cosa>td(wt).	(4.11)
Комплексным коэффициентом усиления нелинейного звена называют отношение основных гармоник выходного и входного сигналов, выраженных в комплексной форме:
142
7	Z	~
^н(*,п) = Л. (*,„) +iQu (* т) = ~	= I I <4-12)
лт	лт
2л
Рн (Хт) =	= ПТ" 5 2	5‘П	3]П d <4'1 3)
Л/а ЯЛт Q 2л
QH(*m)= -^- = -7- 5 z (Xmsin (Of) cos arid (СО0,	(4.14)
Л™, КЛт о
I wn I =	Z^L , <pH = arctg _^L .	(4.15)
лт	лт	“Pl
Комплексный коэффициент усиления показывает соотношение амплитуд и фаз первой гармоники выходного и входног&гармонического сигналов и в этом смысле напоминает комплексный коэффициент усиления линейного звена. Однако зависит он в случае безынерционного нелинейного звена не от частоты, как это имеет место для линейного звена, а от амплитуды входного сигнала Хт. Составляющие комплексного коэффициента усиления Рн(Хт) и Qu(Xm) называют коэффициентами гармонической линеаризации.
Нетрудно показать, что гармонический сигнал претерпевает фазовый сдвиг при прохождении через нелинейное звено только в случае неоднозначной нелинейности. Для этого запишем мнимую составляющую lTn(Xm) в виде
2л
QH (Xm) = -4- $ 2 (хгп sin a/) cos (О/ d (®i) =
0	0
= "77 S z(Xmsin®O^(^msin®/)= $ z(x)dx. (4.16) лХ,„2 ч	лХт2
На рис. 4.3 показана неоднозначная гистерезисная характеристика с направлением обхода ветвей против часовой стрелки. Интегрирование в выражении (4.16) ведется от х = 0 (/ = 0) до х — Xm(t = л/2ы), затем от х= Хт до х = —Xm(t ~ Зл/2®) и от х = —Хт до х = 0 (/ = 2 л/а). Нетрудно заметить, что результат интегрирования в соответствующем масштабе равен площади S петли гистерезиса, взятой со знаком минус (знак определяется направлением обхода неоднозначной кривой). Таким образом, мнимая составляющая комплексного коэффициента усиления имеет выражение
QH(4) = -5/№)	(4.17)
и в случае однозначной нелинейности она равна нулю.
Пример 4.1. Определить комплексный коэффициент усиления релейного звена с неоднозначной характеристикой (рис. 4.4, а). Релейное звено имеет параметр срабатывания ха и параметр отпускания хь; выходной сигнал сработавшего релейного звена +га.
143
При малых входных сигналах Хт < ха выходной сигнал равен нулю, поэтому №н(Хт) = 0. При Хт > ха выходной сигнал имеет вид прямоугольных импульсов (см. рис. 4.4, б). Момент ta срабатывания определяется условием
Хт sin cota=xa	(4.18)
или
sin v>ta = xaIXm.	(4.19)
Момент отпускания определяется условием
/л \
Xmsin<o —— th =*ь	(4.20)
или
sin (л— atb)=xblXm.	(4.21)
Используя формулу (4.13) и учитывая нечетность характеристики z(x), получим для вещественной составляющей
'ь
рн(Х,„) = ——	га sin atd (at) =	[cos ata — cos со?ь]. (4.22)
лХп; [	лХгп
a
На основании (4.19) и (4.21) получим
COS cos <о/й =	(4И’ "I/1-©’'	<4М>
144
поэтому
Мнимая составляющая IVH(Xm) согласно (4.17) будет
2za(xa-xb)
<3п(Хт)~ ПХт* '	(	’
Общее выражение для комплексного коэффициента усиления релейного звена имеет вид:
(4.27)
. 2za (ха хь)
1 лХт2
На рис. 4.5, а представлен характер зависимостей коэффициентов Ри и Qu гармонической линеаризации от амплитуды Хт. Они имеют разрывы при Хт = ха, поскольку при Хт = *а на выходе сразу получается импульс конечной длительности.
Для однозначной релейной характеристики ха = Хь, Он(Хт) = =- 0 и комплексный коэффициент усиления становится равным вещественному коэффициенту гармонической линеаризации
Вид зависимости И7И (Хт) для этого случая показан на рис. 4.5, в (кривая /).
При ха = 0 реле делается двухпозиционным, а формула (4.28) принимает вид
42
W„(Xm)=~^	(4.29)
/И
и ей соответствует кривая 2 на	Рис. 4.5
рис. 4.5, в.
В ряде случаев бывает удобно перейти к нормированной форме выражения комплексного коэффициента усиления. Для этого на характеристике нелинейного элемента г(х) выделяются некоторые характерные значения входного и выходного сигналов, которые и используются для нормирования коэффициентов гармонической линеаризации. Для релейного звена в качестве таких значений можно выбрать ха и га, записав формулы (4.25) и (4.26) следующим образом:
145
Вводя обозначения:
^—хь/ха— коэффициент возврата; N = zalxa — нормирующий множитель; А =Хт/ха — безразмерная амплитуда; 1ГНО (Л) = Рн0 (Л) + jQm (Л)—нормированный комплексный коэффициент усиления, можно записать
ГП(Л)=АПГНО(Л),	(4.32)
где _ о ___________________________ __________
«’'но (Л) = — [/Л2-1 + /Л2-Х2 - /(1-Х)].	(4.33)
2T/L
При Л = 1
1^но (1) = —	-;/ (I - X)]
Л
и
Рпо(1) = —Qne(l)=--- — (1-Х), л	л
Для коэффициентов гармонической линеаризации 4
^ho(1)+Qho2(1)=-—Qno(l). л или 2 ]2 Quo ( 1) +	—
л |
Р3Н0 (1)+ [
Таким образом, геометрическое место точек годографов 1ГНо(Л), соответствующих Л = 1 при различных значениях X, представляет собой окружность (точнее, правую половину ее), центр которой лежит на мнимой оси в точке (0;
. 2\	» п
—/— и которая проходит через начало координат при А = 1).
Я 1
Семейство годографов 1ГНО(Л) при различных X для рассматриваемого примера показано на рис. 4.5, г. При графических расчетах нелинейных систем бывает удобно пользоваться обратными годографами с отрицательным знаком — ^То(Л) = 1/но(Л). Для рассматриваемого случая семейство таких годографов показано на рис. 4.5, г.
Так как
то при А = 1
W~l w нО
пЛ2
4
1^  РМ /Quo  Рно + /QlIO	Р2Н0 + Q3no
(/д2ГЛ+У>-Х2') + /(1-Х) Л2 — X2 + /(Л2—1) (Л2-X2)
(4.34)
~ । л
^’но (>) = т
1-Х
4
1+Х
1-Х
Таким образом, геометрическое место точек годографов —W'ho* (Л) для Л = 1 при различных значениях X представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс и лежащую в третьем квадранте на расстоянии л/4 от оси абсцисс.
146
Габлица ч /
Аналог -цифра
Переменная структура		Трехпозиционное ре-	Аппозиционное реле	Аппозиционное реле
	Трехпозиционное реле оез гистерезиса	ле с положительным гистерезисом	с отрицательным  гистерезисом переменной	с отрицательным гистерезисом постоянной
			ширины	ширины
mab/t 41
Подобно примеру 4.1 могут быть найдены комплексные коэффициенты усиления для различных нелинейностей, рассмотренных в гл. I. Формулы и годографы №Н(А) и ]/„(Л) для различных нелинейностей даны в табл. 4.1. Можно отметить целесообразность применения логарифмического масштаба для коэффициентов гармонической линеаризации [Л. 25].
§ 4.3. АНАЛИЗ СИММЕТРИЧНЫХ АВТОКОЛЕБАНИЙ
В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
Ранее была рассмотрена система автоматического регулирования, содержащая нелинейное звено и линейную часть (см. рис. 4.1), и было отмечено, что условием существования автоколебаний в системе является гармонический баланс колебаний на входе нелинейного звена и на выходе звена сравнения. Воспользовавшись комплексным коэффициентом усиления, можно записать уравнение гармонического баланса следующим образом:
=	(4.35)
При этом предполагается, что исследуются симметричные автоколебания при отсутствии постоянной составляющей, а это получается при нечетных характеристиках нелинейного звена и при и = 0.
Записанное условие можно рассматривать как уравнение относительно неизвестных частоты и амплитуды автоколебаний (амплитуда определяется на входе нелинейного звена). Это уравнение распадается на два (оно записано для комплексных величин) и его действительные решения, если они существуют, дают частоту и амплитуду возможных автоколебаний в системе.
Согласно Л. С. Гольдфарбу уравнение автоколебаний удобно решать графически следующим образом*. Запишем уравнение (4.35) в виде
№л(» = -^— - -tn-,(/l) = V'nM). (4.36)
W'h И)
На рис. 4.6 изображены годографы частотной характеристики линейной части и инверсного коэффициента гармонической линеаризации, взятого со знаком минус: ГН(Л) = —WV’(Л). Они пересекаются в двух точках 1 и 2, определяющих искомые автоколебательные режимы. Частоты и амплитуды автоколебаний соД ЛГ1 и год Лч могут быть прочтены на соответствующих годографах в точках пересечения.
Не каждое из найденных решений соответствует устойчивым автоколебаниям, т. е. таким автоколебаниям, которые в случае вариации, вызванной кратковременным возмущением, восстанавливаются.
Для суждения об устойчивости автоколебаний будем рассматривать УН(Л) как некоторый комплексный параметр ZJ-разбиения (см. [Л. 68], а также § 8.4 части I). В таком случае уравнение (4.35) можно рассмат-
* Возможны другие способы решения уравнения автоколебаний (см., например, [Л. 94]).
149
рюягь как условие принадлежности годографа ЕН(Л) к той или иной облети D-разбиения плоскости
Vtt = WM = X+jY.	(4.37)
Заштриховав плоскость \^л(/ю) по комплексному параметру Ун, будем рассматривать не только ось вещественных значений, как это имело место в § 8.4 части I, а всю плоскость X, Y. Если весь годограф УН(Л) лежит в области Е)(0),то в системе отсутствуют моногармониче-ские автоколебания. Если весь годограф УН(Л) лежит в области Dim)
при т 1, то система неустойчива и в ней могут возникать только бесконечно нарастающие процессы. Если же годограф УН(Л) пересекает границу области D(0), то в системе могут возникать близкие к гармоническим автоколебания и для суждения об устойчивости этих колебаний необходимо провести дополнительные рассуждения [Л. 68].
Рассмотрим например, точку 1 пересечения годографов VH(A) и И7Л(М) на Рис- 4.6. Допустим, что по какой-либо причине амплитуда автоколебаний увеличилась и мы переместились по годографу ]/п(Л) в сторону возрастания Л. При этом из точки 1 переходим в область £>(!). Наличие корня с положительной вещественной частью должно привести к дальнейшему увеличению амплитуды Л и нарушению режима, соответствующего точке 1 (см. стрелку на рис. 4.6). Если допустить, что амплитуда автоколебаний уменьшилась, то мы перемещаемся по годографу в область 0(0), где все колебания должны затухать и, следовательно, амплитуда должна уменьшаться.
Таким образом, при любых изменениях амплитуды колебаний в точке 1 имеет место процесс, характеризующийся возрастанием амплитуды или снижением ее до нуля. Это приводит к выводу о неустойчивости автоколебаний в точке 1.
Проводя аналогичные рассуждения, можно сделать вывод, что отклонение от режима в точке 2 в сторону возрастания Л приведет в область D(0) и будет сопровождаться уменьшением Л. Уменьшение Л, наоборот, приведет в область £)(1) и вызовет нарастание колебаний и 150
возврат в точку 2. Таким образом, точка 2 соответствует устойчивым автоколебаниям.
На основании проведенных рассуждений можно сформулировать следующие правило суждения об устойчивости автоколебаний: автоколебания устойчивы, если, двигаясь по характеристике нелинейного элемента в сторону возрастания амплитуды, переходим из неустойчивой в устойчивую область О-разбиения. Наоборот, автоколебания неустойчивы, если, двигаясь по характеристике нелинейного элемента в сторону возрастания амплитуды, переходим из устойчивой в неустойчивую область D-разбиения.
Точка 1 соответствует неустойчивому предельному циклу в фазовом пространстве, а точка 2 — устойчивому.
Рис. 4.8
Возможны случаи односторонне неустойчивых автоколебаний, в которых случайное возрастание амплитуды нарушает режим, а уменьшение ее на режиме не сказывается или, наоборот, уменьшение амплитуды нарушает режим, а возрастание ее па режиме не сказывается. Такие случаи соответствуют точкам касания амплитудного Иц (Л) и частотного	годографов.
Все четыре возможных типа автоколебаний и соответствующие им фазовые портреты показаны на рис. 4.7
Пример 4.2. Найти параметры симметричных автоколебаний в релейной следящей системе со структурной схемой, изображенной па рис. 4.8 и имеющей следующие данные: коэффициент усиления измерительного звена йи — 1 в!град; напряжение срабатывания реле ха = 0,1 в; напряжение на выходе реле 2а = 6 в; коэффициент усиления и постоянная времени усилителя Ау = 5 и Ту = 0,2 сек; коэффициент усиления (по скорости) и постоянная времени двигателя Ад — --= 300 градЦсек-в) и Тд = 2 сек; передаточное отношение редуктора 1ред = = 7500.
Частотная характеристика линейной части записывается в виде
ь
Гл (jw) = ----------------------,	(4.38)
]ш (1-Н®Ту) (I +ja>T„)
где k — АиАуАд(1/1ред) 0,2 1/сек — общий коэффициент усиления следящей с истемы.
Нормирующий множитель N = za/xa '= 60.
Произведение NWB(ja>) с подставленными значениями постоянных будет
1УП7Л(/Ш) =
(4.39)
151
]<£> (1 ф- j • 0,2 (о) (1 ф- /. 2,0 <о)
На рис. 4.9, а показано взаимное расположение годографов	и
VHo(4). Годографы имеют две точки пересечения при одной и той же частоте (Oj1 ==	= щЦ’ которая может быть найдена из условия
arg Wj! (/'соц) = —л
отку;1а соц = 1,58 сек~1 -
Две амплитуды автоколебаний Af и А% удобно искать с помощью графика №но(4) (рис. 4.9, б), на котором проведена горизонтальная линия на уровне | NW (jtDv) | = чт0 соответствует записи уравнения автоколебаний в виде ^ноИ) = -у (/ш).	(4.41)
Меньшая амплитуда 4^ = 1,10 соответствует неустойчивым, а большая амплитуда 4J} = 2,59 — устойчивым автоколебаниям, что следует из сформулированного выше правила для определения устойчивости автоколебаний. В перевод; на градусы амплитуда устойчивых автоколебаний составляет „ ха	0,1
42ц	= 2,59 • — =0,259 град.
«и	1
152
Если в начальный момент автоколебания отсутствуют и х = 0, то для возбуждения в системе автоколебаний необходимо дать начальный импульс, превышающий значение меньшей амплитуды. Только после этого в системе возникнут устойчивые автоколебания. Такое возникновение колебаний называют жестким, возбуждением.
Для решения этой же задачи для двухпозиционного реле (ха = 0, все остальные данные сохраняются) можно обойтись без графических построений, воспользовавшись формулой (4.29). Условия баланса фаз и частота автоколебаний остаются прежними: <о11 = 1,58 секГ1. На этой частоте уравнение автоколебаний принимает вид
—Ц7Л (/шц)= — 1	(4.42)
ИЛИ
^(-0,0364) = -!,
Рис. 4.10
откуда
Х''т =0,278 в,
что в переводе на градусы составит
Х£/£и = 0,278 град.
Для проверки правомерности применения гипотезы фильтра в рассматриваемой задаче определим коэффициент фильтрации линейного звена при частоте <в11 автоколебаний. Так как характеристика реле нечетная симметричная, то в системе могут быть только нечетные гармоники. Тогда после подстановки <оц = = 1,58 сек~'1 в формулу (4.38) получим
^л(13ыц) гл(/0)‘9
_L ,/ [1 4-(0,2-1,58)g[ [ 1 -f- (2 -1,58)2] 3 V [1 + (0,6-1,58)2] [1+6.1,58)2]
что свидетельствует об удовлетворительном выполнении гипотезы фильтра (см. § 4.1).
Пример 4.3. Найти параметры автоколебаний в структурно-неустойчивой астатической системе второго порядка с нелинейностью типа упор. Структурная схема системы показана на рис. 4.10, а.
Линейная часть имеет характеристику
(/со)2 (I +/g>T,) (1+/соГ2) ’
(4-43)
где /е = 0,35 сек 2, 7’1 = 7’г = 0,2 сек.
153
Построив частотный годограф и7л(/<о) и амплитудный годограф VH(Xm) (рис. 4.10, б), находим точку пересечения годографов, для которой = l,25za и <о 1 — 0,55 Мсек.
Здесь 2za — зона перемещения входной координаты от упора до упора.
§ 4.4. АНАЛИЗ НЕСИММЕТРИЧНЫХ АВТОКОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
Кроме рассмотренных симметричных автоколебаний, при которых постоянная составляющая отсутствует, в нелинейных системах возникают и несимметричные автоколебания, в которых существенную роль играет постоянная составляющая сигнала в нелинейном звене*. В этом случае также может быть произведена гармоническая линеаризация нелинейного звена; однако коэффициенты гармонической линеаризации теперь зависят нс только от амплитуды гармонической составляющей, но и от постоянной составляющей сигнала.
Если на вход нелинейного звена с характеристикой г(х) поступает сигнал х — Хо + Хт sin <о t, то в соответствии с гипотезой фильтра, пренебрегая высшими гармоническими составляющими и опуская индекс 1 для первой гармонической составляющей, можно аналогично (4.8i сигнал на выходе представить в виде
z(t) — Zo + Z,„ sin (<at + q>) Za -\-Zp sin at -\-Zq cos at (4.44) или в комплексной форме
z(/) = Z0 + Ini(Zp-H/Zp)e/M',	(4.45)
где
‘2Я
Zo = — z (X0 + Xmsinco/)d((o/),	(4.46)
2л
2л
Zp = — \ z (Хо+ sin со() sin с/(<Щ),	(4.47)
л
2Л
Zq —— \ z (Хо sin оК) cos at d (co().	(4.48)
л
В этом случае для нелинейного элемента могут быть введены два коэффициента усиления:
для постоянной составляющей
^ = Z0/X0,	(4.49)
для гармонической составляющей
®„=^±® = ₽„+й,= |1Г,1|А	(4.50)
Л-т
" Постоянная составляющая может быть обусловлена как внешним постоянным сигналом, так и несимметрией характеристики нелинейного звена (см. § 1.5). 154
Рис. 4.11
При неоднозначной нелинейности Zq ф 0 и 1Г„ представляет собой комплексную величину.
Оба коэффициента усиления зависят от постоянной Хо и амплитуды гармонической Хт составляющих сигнала на входе:
АН = ЙН(ХО, Хт) и = (Хо, Хт).	(4.51)
Зависимость коэффициентов гармонической линеаризации /гп, Рн и Qi от двух величии Хо и Хт несколько усложняет расчет автоколебаний в системе, однако при этом с некоторыми изменениями могут быть применены приемы, описанные при рассмотрении симметричных автсколебаний.
Рассмотрим структурную схему нелинейной замкнутой системы (рис. 4.11, а). Полагая на основании гипотезы фильтра, что сигнал х состоит из двух составляющих х = Хо + Xmsino)/, можно рассмотреть уравнения замыкания для каждой из составляющих:
для постоянной составляющей
Хо = (/о-7о(Хо,Хт)Гл(О),	(4.52)
для гармонической составляющей
-Xm=XmlV;n(X(),Xm)W7JI(/(D).	(4.53)
Составление различных уравнений для постоянной и гармонической составляющих соответствует расщеплению нелинейного звена на два параллельных различных квазилинейных звена с коэффициентами передачи kK(X0, Хт) и lFn(X0, Хт). По одному из этих звеньев проходит постоянная, а по другому — гармоническая составляющая. Структурная схема, соответствующая такому представлению, показана на рис. 4.11, б.
Совместное решение уравнений (4.52) и (4.53) может быть легко проведено графически. В этом случае (рис. 4.11, в) строится семейство кривых Z0(X0) при различных значениях Х,„. Это построение полностью аналогично вибрационной линеаризации нелинейных характеристик (см. § 1.7). Точки пересечения этих характеристик с прямой
—Хр
°~ Гл(0) ’
полученной из уравнения (4.52), дают зависимость Х0(Х'т).
С другой стороны, можно построить семейство годографов VH(X0, Хт) =—W/71 (Хо, Хт) при различных значениях Хо (рис. 4.11, а). Точки пересечения этих годографов с годографом в соответствии с уравнением (4.53), записанным в виде — -------= Ц7Л (;и),
н (Хо, Хт)
дают зависимость Хт(Х0). Совместное решение уравненийХщ= Хт(Х0) и Хо = Ха (Хга) дает искомые параметры автоколебаний: Хо = Х« и Хт == Х« (рис. 4.11, д).
Для однозначных нелинейностей построение семейства годографов Уи(Х), Xт) бывает затруднительно, так как все они лежат на оси вещественных значений. В этом случае удобно строить график — Vlt = 156
= 1^7* в зависимости от Хт при различных значениях Хо (рис. 4.11, е) и по точке пересечения этих кривых с прямой —№я(](ая) = С, где юя— частота пересечения (см. рис. 4.11, г), определить зависимость Хт(Х0).
Частота автоколебаний о>ц находится по точке пересечения 1^л (/со) с годографом Ун(Ао. Хт) для Хо = Xq- При однозначной нелинейности частота автоколебаний равна соя.
Устойчивость автоколебаний определяется на основании правила, приведенного в § 4.3 для симметричных колебаний.
Пример 4.4. Найти параметры автоколебаний вибрационного регулятора в системе стабилизации напряжения генератора постоянного тока (см. § 1.2), если несимметричная нелинейная характеристика усилителя z(x) соответствует двухпозиционному реле с гистерезисом (рис. 4.12, а). Параметры системы:
157
k
W n =---------------------<
(1 + /ЮЛ) (l+joTa)
где k =50, Т\ = 1 сек, Тг = 4 сек, Uo = 30 в, га = 1 в, ха = 2,0 в, Д = 0,5 в.
По формуле (4.46) определяется зависимость Z0(Xa, Xm) при различных значениях Хт. Графики этих зависимостей и точки их пересечения с прямой Zo = _ .^2 —- _ Q g — 0,01 показаны на рис. 4.12, 6.
k	\ Д /
По найденным точкам пересечения на рис. 4.12, г построена кривая 2. Годографы 1/H(XO, -Хт), рассчитанные по выражениям (4.47) и (4.48) для значений Х„, найденных по рис. 4.12, б, изображены на рис. 4.12, в. Точки пересечения годографов Vi^Xi), X'm) с характеристикой 1Ул(/ы). дают зависимость 1, показанную на рис. 4.12, г.
Пересечение кривых 1 и 2 дает значения Х'Д = 2в и Х^ = 2в, характеризующие автоколебания в системе. Пересечения годографа I/a(2, Xm) (см. рис. 4.12 ,в) с го Догргф ом И7-(/Ы) дает значение частоты автоколебаний ш" = 3,15 Мсек. Так как с ростом амплитуды Хт точка годографа Мн(2, Хт) при этой частоте переходит из неустойчивой области в устойчивую, то полученные автоколебания ока-зывиотся устойчивыми. Поскольку найденная частота выше, чем 1/7’1 = 1 сек-1 и 1/7’,= 0,25 сек-1, то наклон логарифмической частотной характеристики линейного звена примерно равен — 40 дб!дек и, следовательно, условия фильтрации необходимые для гармонической линеаризации, выполняются.
§ 4.5. УСЛОВИЯ ОТСУТСТВИЯ МОНОГАРМОНИЧЕСКИХ АВТОКОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
Как было указано ранее, условием отсутствия моногармонических автоколебаний в нелинейных системах автоматического регулирования (ограничим себя случаем систем с устойчивой или нейтральной линейной частью) является принадлежность годографа VH при 0
А < оо1 к области .0(0). При этом во всех точках границы области должна быть применима гипотеза фильтра. Так как выполнение гипотезы фильтра при всех частотах обеспечивается только при наличии по крайней мере одного интегрирующего звена, то только для астатических систем можно говорить об отсутствии моногармонических колебаний в нелинейных системах на основании указанных условий.
(^формулированное правило отсутствия автоколебаний представляет собой аналог критерия Найквиста, в котором критическая точка —/, ]0 трансформировалась в целую критическую кривую — годограф УН(Д) = —IV'T1 (Л). Не следует забывать, что это правило для нелинейных систем не является строгим критерием устойчивости, поскольку метод гармонической линеаризации является приближенным.
Пример взаимного расположения годографов И7л(/а») и УН(Д) для случая отсутствия автоколебаний показан на рис. 4.13, а. Вместо годографов №л(/<о) и УН(Д) могут быть взяты годографы NWn(j(a) и ?н0 (Я).
Пример 4.5. Найти условия отсутствия моногармонических автоколебаний в системе автоматического регулирования, показанной на рис. 4.13,6 при нелинейности типа трехпозиционное реле без гистерезиса (см. в табл. 4.1) и при отсутствии внешнего сигнала (и = 0) в двух случаях;
158
k,
а)Гл(/<й)	(/fi)p(1+/toT) ;
6)	+ W •
На рис. 4.13, в изображено взаимное расположение годографов М'лО'и) и ун(Л): в случае а система неустойчива при любых значениях параметров; в случае б условием отсутствия моногармонических автоколебаний является неравенство
(4.54)
Пример 4.6. Пользуясь методом гармонической линеаризации, определить предельный коэффициент усиления /гпр линейной части с передаточной функцией
1Гл(р) -----------. если в качестве нелинейного звена взято звено типа люфт.
Тр(\+рТ)
Построив для нелинейного звена типа люфт характеристику ^Я(Л) и семейство характеристик Wn(ja>) при различных k (рис. 4.13, г), можно заметить, что при k < 3,5 все характеристики Ц7л(/'<о) не охватывают годограф УН(Л) и, следовательно, в системе отсутствуют моногармонические автоколебания. При k ~> > 3,5 характеристика	пересекает годограф 1/а(Л) и, следовательно,
159
в системе могут существовать моногармоническце автоколебания. Таким образом ^пр =~ 3,5.
Если сравнить полученный результат с точным расчетом методом фазовой плоскости, дающим йпр = 3,04 (см. пример 3.12), то видно, что метод гармонической линеаризации приводит к некоторому завышению значения fenp- Это обгясняется недостаточно хорошими фильтрационными свойствами линейной части и существенным влиянием высших гармоник.
Пример 4.7. Исследовать условия отсутствия моногармонических автоколебаний в системе, состоящей из двухпозиционной релейной схемы с отрицательным гистерезисом постоянной ширины (см. рис. 1.33 и табл. 4.1) и линейной k
,асг" + 
На рис. 4.13, д построены годографы Wn(ja>) и ЙН(Л) для этого случая. Ус-лоЕием отсутствия моногармонических автоколебаний является расположение пр5:мой 1/н(4) выше годографа Ц7л(/со). Однако более точный анализ показывает, что в этом случае в системе существуют полигармонические автоколебания, осциллограмма которых показана на рис. 4.13, е [Л. 24], т. е. система неустойчива, хотя весь годограф УН(Л) лежит в области 0(0).
§ 4.6. ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ МЕТОДА ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ
Как уже указывалось, метод гармонической линеаризации является приближенным методом, в результате чего при его использовании неизбежно появление ошибок. Так, например, для систем с однозначными нелинейностями, для которых годографы КП(Л) располагаются на отрицательной действительной полуоси, согласно методу гармонической линеаризации частота автоколебаний остается постоянной при изменении коэффициента усиления линейной части системы (см. приме]) 4.2), тогда как на самом деле она при этом изменяется.
Количественное представление об ошибках при методе гармонической линеаризации могут дать графики, приведенные на рис. 4.14, а, б, где даны результаты расчета и моделирования на электронной модели автоколебаний в релейной следящей системе, рассмотренной ранее в примере 4.2.
На рис. 4.14, а показано изменение безразмерной амплитуды Лц, а на рис. 4.14, б — частоты соц автоколебаний при изменении произведения Nk — нормирующего множителя на коэффициент усиления линейной части. Сплошной кривой показана расчетная зависимость, точками—данные, полученные на модели. Крайние левые расчетные и экспериментальная точки соответствуют предельному значению (^;)Пр, левее которого происходит срыв автоколебаний: расчетное значение равно 8,6 сек-1, экспериментальное—6,3 сек-1.
При этом, к сожалению, расчет дает завышенное значение (А^)пр (см. также пример 4.6), т. е. в системе на самом деле могут возникать автоколебания (при достаточных начальных отклонениях), хотя метод гармонической линеаризации говорит об их отсутствии.
Из рис. 4.14 видно, что по мере увеличения Nk амплитуда и частота автоколебаний растут и расхождения между расчетными и действительными значениями Лц и заметно уменьшаются.
160
•Причиной ошибок метода гармонической линеаризации является влияние неучтенных высших гармоник на выходе нелинейного звена. Их влияние особенно увеличивается по мере уменьшения частоты автоколебаний, поскольку при этом уменьшается наклон логарифмиче- * ской амплитудной частотной характеристики линейной части и ослабевает ее фильтрующее действие. Именно по этой причине в рассмотренном выше примере наибольшие ошибки получились при предельном значении Nk, когда частота автоколебаний резко уменьшилась. При увеличении Nk частота автоколебаний повышается и ошибки уменьшаются.
Приведенный пример позволяет сделать выводы о степени достоверности результатов, получаемых с помощью метода гармонической линеаризации в различных случаях его применения. Наиболее надежные результаты получаются при определении параметров автоколебательных режимов в системах, которым эти режимы присущи rto характеру их работы, например, в системах экстремального регулирования или в системах с вибрационными регуляторами. Менее достоверные результаты получаются при определении условий отсутствия автоколебаний. Тем не менее, простота и наглядность метода гармонической линеаризации, связь его с привычными частотными представлениями приводят к широкому применению его в инженерной практике.
Точность метода гармонической линеаризации может быть повышена путем частичного учета влияния высших гармоник. В случае однозначных нечетных нелинейных зависимостей наиболее сильное влияние оказывает третья гармоника на выходе нелинейного звена. Ее влияние можно учесть следующим образом. Будем считать, что, пользуясь обычной процедурой метода гармонической линеаризации, мы нашли частоту со и безразмерную амплитуду А автоколебаний на входе нелинейного звена (см. рис. 4.1). Можно определить амплитуду и фазовый сдвиг третьей гармоники на выходе нелинейного звена как функцию амплитуды А гармонического сигнала на его входе. Пользуясь частотной характеристикой линейной части, найдем амплитуду и фазу третьей гармоники, пришедшей на вход нелинейного звена; при этом получившиеся амплитуда и фазовый сдвиг будут функциями не только амплитуды А, но и частоты <о. Добавим найденную третью гармонику к гармоническому сигналу на входе нелинейного звена и рассмотрим прохождение получившегося периодического сигнала через нелинейное звено. Первая гармоника сигнала на его выходе будет отличаться от первой гармоники, полученной в первом приближении с помощью обычной процедуры. Изменение параметров первой гармоники является функцией А и <о. Оно может быть учтено путем соответствующего изменения коэффициента гармонической линеаризации, который делается теперь уже функцией не только амплитуды А, но и частоты о.
Далее составляется уточненное уравнение гармонического баланса
Гн(/Ч А) 1F, (/«)= -1	(4.55)
или
^л (/<*) - -	(/Ч А) = 17НШ Л),	(4.56)
6 Зак. 447	161
лять параметры пластов и скважин. Определение параметров пластов по данным указанных исследований относится к так называемым обратным задачам гидродинамики, при решении которых по измеряемым велининам на скважинах (дебиты, давления, температура) устанавливаются параметры пластов и скважин (проницаемость, пористость, пьезопроводность пласта, несовершенство скважин и др.).
В настоящее время разработаны и в разной степени внедрены промышленностью следующие методы исследования скважин и пластов.
Гидродинамические методы, а) исследование скважин при установившихся 1 режимах работы (исследование на приток);
б)	исследование скважин при неустано-вившихся режимах или со снятием кривых изменения давления на забое (после закрытия скважин на устье, смены режимов их работы или после изменения статического уровня в скважине);
в)	исследование скважин на взаимодействие (одна или несколько скважин являются возмущающими, а другие — реагирующими), этот способ иногда называется методом гид-ропрослушивсния;
г)	определение профиля притока (расхода) и параметров по разрезу пласта;
д)	контроль за текущей нефтенасыщенно-стью пласта при вытеснении нефти водой.
Термодинамические методы. Определение профиля притока нефти и газа по разрезу пласта с помощью калориметрического эффекта.
1. ТЕХНОЛОГИЯ И ТЕХНИКА ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН
Исследование скважин на приток должно осуществляться минимум на трех установившихся режимах работы (с целью обеспечения надежности результатов). На каждом из режимов должны измеряться величины дебитов жидкости (нефти, воды) и газа, забойных и пластового (статического) давлений. Дебиты жидкостей измеряются в сепараторе или в мерниках (после сепаратора), а дебиты газа — после сепаратора с помощью газовых расходомеров. Забойные давления на каждом режиме измеряются с помощью глубинных .манометров. Пластовое давление в случае ожидаемых депрессий по величине, значительно превышающих точность измерительных приборов, может измеряться на одном из режимов после оста-
1 Понятие «установившиеся режимы» предусматривает практическую неизменность показателей работы скважин в течение нескольких суток.
Рис. VI. 8. Схема эксцентричной планшайбы на устье скважины, оборудованной штанговым глубинным насосом.
новки скважины. При соизмеримости величин депрессий и точности приборов необходимо на каждом режиме снимать кривую восстановления на забое после остановки скважины и определять величины забойного и пластового давлений.
Типы и технические характеристики некоторых глубинных манометров представлены в таблице VI. 16.
Замеры забойных давлений в глубиннонасосных скважинах при небольшой глубине производятся малогабаритными глубинными манометрами, если устье их оборудовано эксцентричной планшайббй, а низ насосно-компрессорных труб—фонарем. При этом манометр опускается в затрубное пространство через отверстие в эксплуатационной планшайбе.
Планшайба (рис. VI. 8) создает односторонний увеличенный зазор между подъемными трубами и обсадной колонной. Рекомендуемые размеры планшайбы приведены в табл. VI. 17.
Глубиннонасосные скважины и скважины, оборудованные центробежными электронасосами, можно также исследовать с помощью лифтовых глубинных или дистанционных манометров.
169
Таблица VI. 16
Характеристика глубинн-ых манометров и дифманометров_______________
Технические данные	Типы и модели глубинных манометров								
	геликсные			пружинно-поршневые				дифференциальные	
	МГГ—63/250	МГИ—1М	МГН-2	мгп—зм	МПМ—4	МГН—1	ДЛМП—2М	ДГМ—4М	Самотлор —1 | 1
Пределы измерения давления, МПа .....	6,3	16; 25	10; 16	25	0,5н-12	0,3—6		10-20%	0,25—1,2
Приведенная погрешность, % 	16 25 ±0,5	40; 60 80 ±0,5	25; 40 60; 80 100 ±0,25	40 ±1,5	1,0—18 1,0-25 ±0,5	0,5—10 1,0—20 1,5—30 ±0,1 —	1,5—25 ±0,35	от давления зарядки	при 40
Наименьшее значение предела измерений МПа Рабочая температура, °C ... Габариты, мм: длина ....	0,01—		—0,4 0,01 —	0,1-	0,02	—0,25 0,004—	0,01—	0,0005	0,0002
	—0,05 100		—0,2 160	—0.2 130	60	—0,03 100	-0,02 70	80	100
	1385		1500—	1660	1460	1800	1600	1000—	2000
диаметр . - -	36	36	—1800 32—36	33	25	32	88	—1400 36	36
Масса, кг ....	8,0		10,0	7,0	2,9	15	35	6,3	12,5
Разработчик • - .	ВНИИКАНефтегаз				УфНИИ	ВНИИКА	УфНИИ		ВНИИКА
						нефтегаз			нефтегаз
Таблица VI. 17
Рекомендуемые размеры планшайбы в мм
—0Л—|
Размеры	Отношение диаметра обсадной колонны к диаметру насоснокомпрессорных труб		
	168/89	168/73	146/73
....	107	89,5	89,5
d		М4Х1.5	М4Х1.5	М3х1,5
а .....	25	25	23
ь		57	55	47
с		27	27	22
н ....	155	155	147
При снятии кривых восстановления давления обычными глубинными манометрами на забое скважин, оборудованных погружными центробежными насосами, используются специальные приспособления ВНИИ (рис. VI. 9) или ТатНИИ. Приспособления обеспечивают перекрытие проходного сечения в подъемных трубах над насосом (после его остановки) и сообщение рабочей части глубинного манометра с забоем через насос (в приспособлении ВНИИ) или с затрубным пространством (в приспособлении ТатНИИ).
170
Рис. VI. 9. Схема приспособления ВНИИ для снятия кривых восстановления давления в скважинах, оборудованных погружными центробежными насосами.
1 — посадочное гнездо; 1 — наконечник манометра; 3—манжета из нефтестой-кой резины; 4— направляющие лопасти на корпусе манометра.
Для определения профиля притока (в эксплуатационных скважинах) или расхода (в нагнетательных скважинах) по разрезу пласта применяются глубинные дебитомеры-рас-ходомеры. Эти приборы спускаются в работающие скважины и регистрируют распределение величин дебита или расхода жидкости по разрезу пласта (соответственно снизу вверх или сверху вниз). Общая величина дебита или расхода жидкости измеряется на поверхности либо с помощью мерников, либо поверхностных расходомеров. Минимальной мощностью интервалов разреза, в пределах которых измеряются дебиты или расходы, является несколько метров (не менее одного).
Типы и технические характеристики глубинных дебитомеров и расходомеров приведены в табл. VI. 18.
Из таблицы следует, что некоторые из де-битомеров-расходомеров могут быть опущены в скважину в насосно-компрессорные трубы (диаметром 63 мм и более), а другие— только в обсадные трубы. Последнее затрудняет применение указанных приборов.
Температуру по разрезу пласта в скважинах можно измерять электротермометрами, применяемыми при геофизических исследования;: скважин. Эти приборы спускаются на электрическом кабеле. Распределение температуры по разрезу пласта дистанционно передается на поверхность и фиксируется на бумажной ленте.
При избыточном давлении на устье скважин глубинные приборы (манометры, термометры и дебитомеры-расходомеры) спускаются через специальный лубрикатор — сальник, который предварительно устанавливается на буфере или на планшайбе.
2. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН
Исследование скважин при установившихся режимах работы
Для скважин, эксплуатирующихся при условии фильтрации по пласту однофазной ЖИДКОСТИ рзаб > ^нас) с постоянными де-битами нефти (в течение от нескольких часов до нескольких суток) на трех или более режимах работы, строится индикаторная кривая (рис. VI. 10). Индикаторные кривые, построенные по результатам качественных исследований, могут быть прямолинейными 1, выпуклыми к оси дебитов 2 и вогнутыми 3. Первые соответствуют линейному закону фильтрации на всем диапазоне дебитов, вторые — нелинейному закону и третьи — неус-тановившимся режимам притока либо подключению бездействующих ранее пропластков по мере увеличения депрессии на пласт.
171
кривые при фильтрации по пласту однофазной жидкости (^заб > %ас)
В первом случае коэффициент продуктивности скважины определяется из простого соотношения (для массового расхода дегазированной нефти)
Ч=Д^	(VI.9)
где QH£ — установившийся дебит скважины при соответствующей ему депрессии
Рпл Рзаб i *
По коэффициенту продуктивности определяются гидропроводность и проницаемость □ласта в зоне, примыкающей к скважине:
kh
Ни
(VI. 10)

k
(VI.I1)
где о>н, p’er — объемный коэффициент и плотность дегазированной нефти; /?к — радиус окружности, на контуре которой давление равно рпл (принимается условно как средняя половина расстояния до соседних действующих скважин); гс— радиус скважины по долоту; h — эффективная мощность вскрытого скважиной пласта; с — дополнительное фильтрационное сопротивление притоку жидкости к скважине, вызванное ее несовершенством (по степени или по характеру вскрытия).
Для смешанного несовершенства величина с выражается суммой
с — С1 4- <2,
(VI.12)
Рис. VI. II. Перестроение выпуклой к осп дебитов индикаторной линия для получения прямолинейной зависимости.
каждая из составляющих которой может быть определена по кривым В. И. Шурова,
исходя из степени вскрытия пласта
М
=	1» плотности перфорации и диаметра
скважины (nD), диаметра отверстий в ко-
лонне
и глубины
каналов в пласта
рис. VI. 10, ли-
при перфорации I = —) . Во втором случае (см.
ния 2) для гранулярного пласта инди-
каторная диаграмма должна быть пере-Др
строена в координатах Q, и если при
этом получается прямолинейная зависимость
(рис. VI. 11), то по отрезку з, . Др
прямой на оси находятся
отсекаемому
гидропровод-
ность и проницаемость пласта
(VI. 13)
(VI.14)
Основным уравнением для обработки индикаторных линий по скважинам, эксплуатирующим трещиноватый пласт при нелинейной фильтрации однофазной жидкости (при Рзаб >Рпас)’ является
е—
----=,bQ+.Q\ (VI. 15)
еде Др = рпл —рза3; а, Ь, с — постоянные коэффициенты для исследуемой скважины (а — характеризует изменение проницае мости пласта и упругость (Зж) жидкости при изменении давления; b — коэффициент, обратный продуктивности скважины;
172
б — учитывает роль инерционных сил при фильтрации):
а = ак + зж; (vi.ie)
v-н ( RK \
1
с = (VL18)
где kg — проницаемость пласта при начальном пластовом давлении.
Коэффициенты а, Ь, с находятся по трем точкам (замерам), расположенным равномерно на индикаторной линии.
По величинам дебитов и депрессий трех точек bpi, Q2, hp2; Q3, &p3 можно ориен-
тировочно оценить величину коэффициента по фор муле
2 (ВДр2 — ЛДр! — СДр3)
а — -----9------9----7--9~ » (VI. 19)
ВДр2 — ААр । — СДрд
где
Л = Q2Q3 (Дз —
в = Q1Q3 (£?з — Qi);
с = Q1Q2 (<2г Qi)-
Точнее величину коэффициента а можно определить графическим способом, исходя из уравнения
1 _ е—ас.рг	।  е— аЛр,	।  е—аАрз
Ю 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Оигщт
Рис. VI. 12. Индикаторная линия, построенная по данным, полученным при эксплуатации трещиноватого пласта (₽заб > ₽нас).
Пример. Скважина, эксплуатирующая трещиноватый пласт мощностью 83 м, исследована при установившихся отборах нефти со следующими показателями.
Результаты исследования скважины
Режим	QH. т/сут	Др, Па
1	28	1,0-10»
2	67	3,0-10»
3	93	4,4 -105
4	104	6,0-10»
(VI. 20)
Левая и правая части этого уравнения рассчитываются независимо для произвольно заданных значений а, близких к ориентировочному значению (VI. 19), и величины их наносятся на график. По пересечению двух рассчитанных кривых определяется искомое значение а. Поскольку при этом получаются два значения коэффициента, из них выбирается ближнее по величине к ориентировочному.
Коэффициенты b и с (при найденном значении а] находятся путем совместного решения системы двух уравнений, например для двух первых точек:
1 __p—abPi
—-а------ =bQ1+< (VI.21)
1	— е_а4р”
--------- = bQ2 + CQ2. (VI.22)
Проницаемость трещиноватого пласта при начальном давлении определяется по фор-
муле
\1п ~7С
k4= 2xhb
Свойства нефти дегазированной и в пластовых условиях:
р^ег = 0,82 г/см3; рн — 0,3 мПа с; а>н = 1,9.
Скважину можно считать совершенной по степени и характеру вскрытия (гс = 0,128 м, Як = 312 м).
Индикаторная линия по скважине приводится на рис. VI. 12. Для расчетов выбираем точки 1, 2 и 4, лежащие на кривой. Для этих точек имеем
Номер точки на рис. VI. 12	<3Н. м’/с	Др, П а
1	74,9.10-5	1,0-10»
2	179,5.10-5	3,0-10»
4	278,6.10-5	6,0-10»
Определяем вспомогательные коэффициенты Л, В и С:
А = 179,5 • 10-5 - 278,6 - 10~5 (278,6 —
(VI.23)	— 179,5). 10-5 = 4,96. 10“у;
173
В = 74,9  10~5 - 278,6 • 10-5 (278,6 — — 74,9) • 10~5 = 4,25 • 10-9;
С = 74,9  10~5 • 179,5 • 10“5 . (179,5 —
— 74,9) • 10-5 = 1,41 • 10-9.
По формуле (VI. 19) рассчитывается величина коэффициента а:
2	(4,25  10~9 . 3 . 10“ — 4,96 . Ю~9х X1Q6 - 1,41 - 10~9  6  1Q6 )	_
° = 4,25  10~9 . 9 • 101“ — 4,96 . ю~9 х ~
X 101“ _ 141 . 10-9 . 36  101“
= 0,766. 10~6 м2/Н.
В соответствии с уравнением (VI. 20) при подстановке в правую и левую части а = = 0,766; 0,8; 0,9 и т. д. уточняем, что величина коэффициента а = 1,1 • 10-6 м2/Н (подстановка имено этого значения а обеспечивает равенство правой и левой частей уравнения).
Коэффициенты b и с находятся путем решения двух уравнений для первого и второго режимов работы скважины:
0,0943  Юн = 74 91, + 5 600 с;
0,255 - Юн = 179,5/, + 32 Ю0 с.
Отсюда
Н с	Н • с2
Ь = 1,148  10“	; с = 1,544 -
По величине коэффициента b рассчитываем гидропроводность и проницаемость
/М ь \ -пласта I и «0 I:
. Лк	312
/ой ° гс	2,3 /£'0,128
рн — 2пЬ — *2 -3,14 • 1,148 • 10“ =
= 1,08 - 10—8,т——; ’	г! • С
*0= 1,08 • 10~8-р = 1,08  10“8 X
0 3 10“3
X——по-------= 3,91 • Ю-14 м2 = 39 мД.
OU
Для скважин, эксплуатирующихся при фильтрации по пласту газированной нефти (Рзаб < Рнас)’ индикаторная кривая должна строиться в координатах QH, Д/7. Здесь ЛИ = (Дк — /7С) — депрессия на забое скважины, выраженная в функциях, учитывающих двухфазную фильтрацию по пласту (жидкости и газа):
₽к
О С (Р)
АД = \ ----77л---77Г dp,	(VI.24)
J МР)“н(Р) »с
где FH (р) — относительная проницаемость пласта для нефти при наличии свободного газа; рн (р), <ин (р) — зависимости вязкости и объемного коэффициента пластовой нефти от давления.
Определяемый по прямолинейному участку коэффициент г]' является аналогом коэффициента продуктивности скважины (при однофазном потоке) и связан с ним соотношением
’1' = ’111н<“н (Рнас)- (VI.25)
Величины Д/7 рассчитываются для каждого установившегося режима работы скважины при рзаб < рнас по данным замеров в процессе ее исследования величин рмб рпл газового фактора Г и материалов лабораторных исследований зависимостей свойств нефти от давления (рн, <ин и растворимости газа в нефти S).
Функции Н определяются с помощью безразмерных зависимостей Н* от р* (рис. VI. 13), которые построены для семи значений коэффициента а, характеризующего соотношение свойств газа и нефти в пластовых условиях:
a = vx-	(VI.26)
Гн
где	5 (Рнас)
Х Рнас
Безразмерные функции Н* и р* имеют следующие связи с функцией Н' и давлением
— г
Рат 9Н
(VI.27)
Р
₽ат н/
Р
(VI.28)
Для обработки результатов исследования скважин удобно пользоваться аналитическими зависимостями Д(р*) для соответствующих интервалов р* (см. табл. VI. 19).
Анализ методики расчетов А Н показал, что при снижении пластовых давлений до 40% ниже Рвас, а забойных —до 50% их можно производить упрощенно. С этой целью для каждой рассматриваемой залежи предварительно строятся прямолинейные графики Г(р) по формуле
11н(Рнас) Нг (Рнас) Рпер
Р.
(VI.29)
Г
где р*ер — значение безразмерного давления, которому соответствуют переломы зависимости Н* (р*) при данном а.
174
Рис. VI. 13. Зависимость Н* (д’) несцементированных песков
Аналитические формулы
зависимости Н* (р*) для несцементированных песков
а =	- л Нн	Интервалы р*			«• (₽•)
aj = 0,005 аа = 0,010 а3 = 0,015 а4 = 0,020 а5 = 0,030 а, = 0,040 а7 = 0,050	0 < р* < 15 15 < р* < 50 50 < р* < 200 0 < р* < 15 15 < р* < 30 30 < р* < 100 0 < р* < 20 20 < р < 66,7 0 < р* < 13,8 13,8 < р* < 50 0 < р* < 7 7 < р* < 33,3 0 < р* < 7 7 < р* < 25 0 < р* < 7 7 < р* < 20			Я* = 0,375 • р* //* = 0,649 -р* — 4,175 Я* =0,852 • р* — 16,231 Я* = 0,390  р* Я* = 0,623  р* — 3,306 Я* = 0,814 . р* — 10,030 Я* = 0,428 -р* Я* = 0,784 • р* — 7,219 Я* = 0,383 • р* Я* = 0,751 . р* — 5,372 Я* = 0,278 • р* Я* = 0,697 - р* — 3,273 Я* = 0,285  р* Я* = 0,683  р* — 3,013 Я* = 0,301 • р* Я* = 0,678  р* — 2,746
Если точки для рассматриваемого режима работы скважины (рпл, Г и рззб> Г) располагаются в одной области зависимостей Г (р), т. е. не разделяются прямой, то величина ДН определяется по формуле лн-	а	.					где а — угловой коэффициент зависимости И* (р*) в соответствующей области; р — среднее давление (между рпл и Рзаб). Если точки рпл, Г, и Рзаб» Г расположены по разным сторонам от разграничительной	
	Р)	“р. (vi.зо)	прямой, то величины Я* и ^зав необходимо рассчитывать по табл. VI.19 (или оп-	
173
ределять по рис. VI. 13) в зависимости от Рпл и Рзаб- Величина ДЯ при этом определяется как
. „	£ (Нпл ~ ^заб)
Дп =------------~---
Рн“н (Р)
где
Величина проницаемости при этом рассчитывается по формуле
I RK \
fc =-----9^------•	(VI.32)
Пример. Скважина эксплуатирует Пласт мощностью 8,2 м. Результаты исследования ее приводятся в табл. VI. 20.
Давление насыщения нефти газом равно 140-10s Па, следовательно скважина эксплуатировалась при фильтрации по пласту двухфазного потока (нефть и газ).
Для определения параметров пласта можно использовать следующие величины: RK = 200 м, гс = 0,124 м; при перфорации для 10 отверстий на 1 м pi = c= 10.
Свойства нефти и газа при рнас: р-н = = 1,5 мПа-c; рг = 0,016 мПа-c, о>н=1,25 и раег = 0,85 г./см3.
Значения произведения (р-ншн) при средних значениях давлений (между пластовым
Рис. VI. 14. Вспомогательный график для упрощения расчетов ЛИ (Ар) при а- = 0,005.
и забойным) на режимах приводятся в табл. VI.21.
В рассматриваемом случае
0,016 = ~ГДГ"
75 • IO3
• 140 106 = 0,0057.
Следовательно, для расчетов ДЯ необходимо использовать первые зависимости Я(р) табл. VI.19 для а = 0,005. Из вспомогательного графика на рис. VI. 14 вытекает, что все точки в координатах Г(р) располагаются в области р* < 15. Поэтому расчеты надо проводить по формуле (VI.30) при а = 0,375.
Подготовка данных для построения индикаторной кривой в координатах Qy , ДЯ приводится в табл. VI.22.
Таблица VI. 20
Результаты исследования скважины при установившихся режимах работы
Режим	<Эж, Т/СУТ	Он- т/сут	Газовый фактор		Давление Па	
			м8/т	М8/Мв	Рпл	Рзаб
1	20,0	17,1	901	766	81  105	71,5 • 105
2	26,0	21,9	753	640	81  IO3	69,0 Ю5
3	32,0	28,7	663	564	81 - 105	65,8 • IO3
4	38,1	32,1	664	565	81  105	60,7 105
Таблица VI. 21
Значения (,%<%) при различных режимах работы скважины
Наименование	Режим			
	1	I	2	|	3			4
Средние давления ^пл ^3a6j, па Произведение (бв“н), мПа - с ...	76,2 • 105 2,29	75,0 - Ю6 2,31	73,4 • 105 2,32	70,3 • 10» 2,34
176
Таблица Vf. 22
Расчет Д/7 (Др) и перевод фн в л/с в поверхностных условиях
Режимы	Др, Па	“нРн <Р). па • с	акр	аАр	—1 = ojH'jh (Р> ’ С
1	2	3	4	5
1	9,5 • 106	2,29 • 10-3	3,56 • 106	1,54 • 108
2	12,0 106	2,31 • IO-3	4,50 • 106	1,95  10»
3	15,2  106	2,32 . IO-3	5,70 • 106	2,46  108
4	20,3  IO6	2,34 • IO-3	7,62 . 106	3,26 . 10s
Продолжение табл. VI. 22
Режимы	он. т/сут	Он =	Сн —. л/с Рн	0в  Л'С	Ож = Он + 0в. л/с
1	6		7	8	9
1	17,1	23,4	 10'=	3,36 . 10-5	26,76 . 10~5
2	21,9	29,9	. ю-5	4,8  10-5	34,7 • 10-5
3	28,7	38,4	 10-5	3,82 . 10-5	42,22 . 10~5
4	32,1	43,7	 ю-5	6,94  10-=	50,64  IO-5
По данным табл. VI. 22, исходя из граф 9 и 5, строится индикаторная кривая по скважине в координатах Q,„, Д Н (рис. VI. 15). По прямолинейному участку кривой определен коэффициент
34,7 • 10-5
т/=------------£ = 1,78 • 10 12ма/(с Па).
1	1,95.10-8	v ’
Проницаемость призабойной зоны пласта рассчитывается по формуле (VI. 32)
1,78  10—12 • 17,4
2 • 3,14 • 8,2	=
= 0,603 • IO-12 м2 = 0,603 Д.
Рис. VI. 15. Индикаторная кривая по скважине, построенная в координатах
Исследование скважин при неустановившихся режимах работы (со снятием кривых восстановления давления на забое)
Определение параметров пласта и скважины при данном методе исследования скважин основано на использовании процессов перераспределения давления после остановки или пуска скважины.
Методом восстановления (падения) давления можно исследовать фонтанные, глубиннонасосные (со штанговыми насосами или ЭЦН), периодически эксплуатируемые, пьезометрические и нагнетательные скважины.
Изменение давления прослеживается непосредственно на забое той же скважины, на которой изменяется режим (дебит). Для учета притока нефти после закрытия скважины на устье необходимо прослеживать изменение давления на буфере и в затрубном пространстве.
С достаточной для практики точностью изменение давления на забое после мгновенной остановки скважин (или изменения дебита) при отсутствии свободного газа в призабойной зоне может быть выражено уравнением
Доц 2,25х/
М0 = р(0-ро = 4^1п-;—. (VI. 33)
177
где &q — изменение дебита скважины в пластовых условиях; р (/) — текущее давление на забое скважины; рс —забойное давление до изменения режима работы скважины; х— коэффициент пьезопроводности пласта в районе исследуемой скважины; гс пр — приведенный радиус, учитывающий несовершенство скважины; t — время с момента изменения режима эксплуатации скважины.
Уравнение (VI. 33) можно представить в следующем виде:
2,Зар 2,Зар 2,25х
ЛР W = 4М lg 1 + 4М lg Т5 =
с пр
=ulg/ + B. (VI. 34)
Следовательно, в полулогарифмических координатах кривая восстановления давления является прямой линией с углом наклона <р к оси lg t (рис. VI. 16) и с отсекаемым прямой на оси Др отрезком В
&р2 — Apt . _ 2,3рр lg h — lg — — 4iMi '
(VI. 35)
B=/lg^. (VI. 36) r rc np
Обработка результатов исследования скважин со снятием кривой восстановления давления без учета притока жидкости к забою после ее остановки
При достаточном времени исследования скважины и большинстве случаев обработка кривой восстановления давления без учета притока жидкости дает надежные результаты. Одновременно методика обработки данных исследования является наиболее простой.
Рис. VI. 18. Кривая восстановления давления на забое скважины в полулогарифмических координатах.
Кривая восстановления давления после
остановки скважины строится в координатах Др, lg t. На прямолинейном ее участке выбираются две точки с координатами Дрь 1g/1 и Др2, lg G и определяется угловой коэффициент прямой
_ Др8 — Apt
~ 1g 6 — lg ij •
(VI. 37)
Начало и конец выбранного прямолинейного участка на кривой Др, lg t должны отвечать неравенствам
Як з
/1 > “ • 10—3;	(VI. 38)
/2< —(1-н2) . IO”1, (VI. 39)
где RK — радиус условного контура питания (в расчетах обычно принимается равным половине расстояния между скважинами).
Указанные пределы (VI. 38), (VI. 39) при выборе прямолинейного участка способствуют отсечению области существенного влияния на кривую восстановления притока жидкости в скважину после ее остановки (в начале кривой) и взаимодействия скважин (в конце кривой),
При существенной неоднородности пласта в выделенной области (ограниченной пределами) может быть несколько участков, каждый из которых будет характеризовать определенную зону пласта.
Измеряется отрезок на оси Д р от нуля до точки пересечения этой оси с прямой В.
Гидропроводность пласта в районе исследуемой скважины определяется по формуле
kh 2,3AQ
р 4ги
(VI. 40)
Приведенный радиус несовершенной скважины
(VI. 41)
k	k
где х= + М ; г-выделяется из комплекса (VI. 40); рж, Рс — коэффициенты объемной упругости пластовой жидкости и пористой среды.
Пример. Кривая восстановления давления на забое снята после остановки фонтанной скважины, эксплуатирующейся с дебитом 106 т/сут. Условный контур питания R = 300 м. Эффективная мощность пласта h =17,6 м, пористость га = 0,18. Свойства нефти; р"л = 2,6мПа с; рн = Их хЮ_|0Па_1(11.Ю~5 см2/кгс); <ан=1,16; 1п°в=0,8б; рв=1. Ю-к>Па-1(1  10-5см2/кгс).
178
Рис. VI. 17. Кривая восстановления давления на забое скважины (1 кгс/см2 *0,1 МПа).
___________213
1760 - (0,18 .114- 1). 10~5 = 4070см2^
Проверим правильность выбора прямолинейного участка кривой:
9-10в
4 = -4Q7Q-  IO-3 = 221 ,cl< 2400с;
9 - 10s	.
/2= -4Q7Q- • IO"1 = 22 100 с > 14 400 с.
Следовательно, участок заключен в указанных пределах.
Приведенный радиус несовершенной скважины
с пр
2,25 w 4070
102,15/1,42 =
2,25  4070
32,7
= 16,7 см.
Таблица VI. 23
Результаты исследования скважины со снятием кривой восстановления давления на забое
Время после остановки с 		1g i	Приращение забойного давления ДРзаб* кгс/см*	Время после остановки о	1g t	Приращение забойного давления лРзаб> кгс/см>
0			120,3	3000	3,477	7,15
120	2,080	1,50	3600	3,556	7,30
300	2,477	2,06	4200	3,623	7,40
600	2,778	3,55	4800	3,681	7,48
900	2,954	4,50	5400	3,732	7,55
1200	3,078	5,11	6000	3,778	7,65
1500	3,176	6,17	7800	3,891	7,70
1800	3,255	6,70	9600	3,982	7,85
2400	3,380	7,00	14 400	4,158	8,10
Принимаем на прямолинейном участке две точки на кривой (рис. VI. 17), по которым находим угловой коэффициент
8,10—7,00
1 = 4Д58 -3,380 = ’’42 кгс''см2-
Отрезок В, отсекаемый на оси Д р продолжением ассимлтоты кривой, соответствует значению 2,15 кгс/смл Дебит нефти в пластовых условиях по скважине
106  1,16 -10е
Д<?= 0,86-86 400 = 1650 ™3/с-
Гидропроводность и коэффициент пьезопроводности пласта
_	2-3 • 1650 о.о
Рн~ 4 -3,14 1,42- 213 мПа-с’
Обработка результатов исследования со снятием кривой восстановления давления
и с учетом притока жидкости к забою после остановки скважины
В некоторых случаях при исследовании скважины не удается получить прямолинейный участок кривой восстановления давления в координатах Др, Igt. Чаще всего это объясняется существенным влиянием продолжающегося притока (или оттока) жидкости из пласта в скважину (или наоборот) после ее закрытия на устье. В указанных случаях необходимо обрабатывать данные исследования с учетом притока жидкости в скважину после ее остановки.
Для обработки кривых восстановления давления с учетом притока жидкости необходимо одновременно с фиксацией изменения давления на забое регистрировать изменение потока жидкости во времени либо измерять изменение давления на буфере и в затрубном пространстве во времени (для фонтанных и компрессорных скважин), а для насосных скважин определять изменение уровня жидкости в затрубном про-странстзе.
Имеется несколько методов обработки кривых восстановления давления в скважине с учетом притока жидкости с целью определения параметров пластов и скважин. На основании исследований (сопоставление методов с помощью гипотетической кривой и й'"- результатам исследований скважин высокоточными глубинными манометрами) большинство авторов рекомендуют применять при обработке кривых восстановления давления два метода.
При замедленном притоке жидкости предпочтительнее применять интегральный метод
179
Э. Б. Чекалюка, а при высокой скорости затухания притока следует использовать дифференциальный метод Ю. П. Борисова. Интегральный метод также применяют и в тех случаях, когда кривые восстановления давления имеют разброс точек.
Интегральный метод Э, Б. Чекалюка
В данном случае основной формулой является
lg tD (/)______________р_
п [<20/ — V (/)] ЧтМ
lg + lg t .
гс пр
(VI. 42)
где D(t}—интеграл Дюамеля; Qo— дебит скважины до ее остановки; V(i) —суммарный приток жидкости в скважину к моменту времени t после ее закрытия на устье.
Если ввести в уравнение (VI. 42) координаты х — lg t;
D (Г) lg t
У-n[Qot-V(t]\ ’
где n — масштабный коэффициент, получим прямую линию с угловым коэффициентом
., _ Apt — Др2_______р_
1 ~ lg 4 — ig t-г ~ 2nkh
(VI. 43)
и отрезком на оси у
I 11 X
= • (VL44> с пр
Изменение суммарного притока жидкости в скважину после ее закрытия на устье
v . _ [(^зат + М АРзаб (О РнЛ
^зат^рзат W ~ ^тр^Рбуф ,,,, --------------Лй--------------• (VI-45)
“н
где Fзат, FTp — плоцади сечений столбов жидкости в затрубном пространстве и в подъемных трубах, соответственно; Дрззб (О, Дрзат (0 и Дрвуф (0 — приращения давления на забое скважины, в затрубном пространстве и на буфере, начиная от момента ее остановки; г/'л—плотность нефти в пластовых условиях.
Для построения зависимости (VI.42) необходимо вычислить координаты трех-четырех точек. Предварительно кривая восстановления давления строится в специальных координатах [рзаб (/„ - /.); G (Г)] в пред-
fl I ! 3 t S I 1 I S IO* 1 i
US t ю5с/1з
О I 3 1 4 5 6 3 в Я Ю 'в'/
0.8	'	15 tO^Glit
0 i 3 J 4 S 6 7 8 Я Ю I
I .................. ! 1,1 I |ll,. . | . I,, Ц11,,,,,, i,,,,,,,
'	45	3	<0 Gtii
0 I 2 J Я 5	6	7 8	8 ’0lt
| I | I,,^^.,.,,1.,. V|.....................1,11,1,,, i,< [,	_
fl os < t.s з t.s tocth
Рис. VI. 18. Палетки для определения вспомогательной функции.
положении , что исследование скважины длилось заданное время
П =	~	= 13
и т. д. Величины G определялись с помощью палеток (рис. VI. 18), а интеграл Дюамеля — по предыдущим кривым путем графического интегрирования:
О (D = ДО (Г) 2 <Чаб (in - ii}- (VI- 46) <=i
Здесь ДО (1)—выбранный шаг по оси абсцисс при определении интеграла.
Пример. После установившейся работы скважины с дебитом нефти Qo = 200 т/сут на забое скважины дифференциальным гту-бинным манометром снята кривая восстановления давления, а также кривые восстановления давления на буфере (Д₽буф) и в затрубном пространстве скважины 0рзат), см. табл. VI. 24. Эффективная мощность пласта равна 10 м и коэффициент пористости — 0,2. Свойства нефти: р3л— 810 кг/м3 *; |лн = 2,2 мПа -с; <о„ = 1,38;	= 10,5 X
X 10—1 см3/кгс; Рс = 1 • 10“5 см3/кгс. Площадь сечения столба жидкости в подъемных трубах frp = 30 см2, а в затрубном пространстве Рзат = 135 см2.
В последней графе табл. VI. 24 приведены результаты подсчета по формуле (VI. 45) притока в ствол скважины нефти V (/) после ее остановки. Например, для t= 600 с
[(135 -4- 30) 9,32—135 2,6—30 6,6] 1/<б00) =	0,00081
= 1,215 м3;
180
для t = 1200 с
[(135 + 30) - 12.08 — 135 X
41200) —	0,00081
X 3,6-30  7,6| 0,00081	— 1.585 м.
Таблица VI. 24
t, О	дРза5> кгс/см’	дРбуф- KrctaM8	ДРзат’ кгс/см®	v (f), м3
0	0	0	0	0
600	9,32	5,6	2,6	1,215
1200	12,08	7,7	3,6	1,585
1800	13,35	8,8	4,1	1,710
2400	14,10	9,5	4,4	1,79
3000	14,70	10,1	4,5	1,87
3600	15,10	10,7	4,5	1,93
4200	15,49	11,1	4,5	2,00
4800	15,70	11,5	4,5	2,02
5400	15,90	12,2	4,5	2,04
6000	16,09	12,7	4,5	2,06
7200	16,40	13,6	4,5	2,08
8400	16,75	14,7	4,5	2,12
9600	16,97	15,4	4,5	2,15
10 800	17,20	16,0	4,5	2,17
12 600	17,50	16,9	4.5	2,19
14 400	17,65	17,5	4,5	2.20
Примечание. |
кге/см® *0,1 мПа
Для построения кривой восстановления давления в координатах у, х определим координаты четырех точек при четырех значениях времени tn, например при = 1800 с, = 3600. <3 = 6000 и 14 = 10 800 с. 1Ти-
1
мем масштаб времени п = — . Тогда безразмерное время 7, будет равным
1800	_	3600
п\ = -g- = 300;	<4 = -g- = 600:
-	6000	,	_	10800
= — = 1000; <4 = —— =1800.
По данным табл. VI. 24 составл яем вспомогательную табл. VI. 25 для четырех принятых значений времени.
Значения величин G (7) находятся по величинам 7 с помощью палеток (см. рис. VI. 18).
Для каждого из безразмерных <( строятся кривые зависимости Дрс (<п — <) от G(t) (рис. VI. 19). По этим кривым находятся значения интегралов Дюамеля в соответствии с формулой (VI. 41). Площадь, заключенную между каждой из кривых и координатными осями, делят на вертикальные полосы принятой постоянной ширины,
Рис. VI. 19. Кривые зависимости	о
G(7j для <7 = зоо: G = боо; 7? = юоо.
а интеграл определяют как произведение сумм средних ординат для каждой из полос на ширину полосы, например:
D (71= 300) = 10  (13,2 4- 13,0 + 12,6 +
+ 12,1 + 11,6 + 10,8 + 8,8 + 7,2 +
+ 4,5+ 0,4) = 1042.
Таким же образом получают О (7 > = = 600) = 2312;
D (Га = 1000) = 3956 и D (74 = 1800) = 7240.
Величины у,- (левая часть уравнения (VI. 42) рассчитываются следующим образом:
.	2.478 • 1042
71 (^=301) = ---------------------------=
-g- (3200-1800 — 1,71.10“)
= 0,00383;
уг = 600) = 0,00402; у3 {7а = 1000) =
= 0,00415;	(74 = 1800) = 0,00435.
Величины х, определяются логарифмированием (,:
4 = lg 1 SCO = 3,26; хч = lg 3600 = 3,57-, x., = lg 6000 = 0,78;	= lg 10800 = 4,04.
По точкам в координатах у,-, х, проводим прямую (рис. VI. 20), отсекающую на оси ординат отрезок :/0 =0,00158 и расположенную к оси абсцисс с уклоном
0,00158 f = ’	 = 0,00067.
2.35
Рис. VI. 20. Зависимость V( от х^ построенная с учетом притока жидкости в скважину после остановки.
181
Таблица VI, 25
Зависимости для построения кривой восстановления давления в координатах у, х
(tt = 18оо о; 7, = зоо)
V, с	0	600	1200	1800
1	0	100	200	300
11-1	1800	1200	600	0
	13,35	12,08	9,32	0
G(7)	0	42	74	104
(t, = 3600 с! 7, = 600)
t, 0	0	600	1200	1800	2400	3000	3600
1	0	100	200	300	400	500	600
tz t	3600	3000	2400	1800	1200	600	0
&pz (tt — о	15,10	14,70	14,10	13,35	12,08	9,32	0
G(7)	0	42	74	104	133	l£0	186
(<„ = 6000 с; 7, = юоо)
t, a	0	600	1200	1800	2400	3000	3600	4200	4800	5400	6000
7	0	100	200	300	400	500	600	700	800	900	1000
tt — t	6000	5400	4100	4200	3600	3000	2400	1800	1200	600	0
4 (ta - 0	16,09	15,90	15,70	15,49	15,10	14,70	14,10	13,35	12,08	9,32	0
G(7)	0	42	74	104	133	160	186	213	238	264	288
(t, =10 800 с; G = 1800)
t, c	0	600	1200	1800	2400	3000	3600	|	4200	|	4800	5400	6000	7200	8400	9600	10 800
7	0	100	200	300	400	500	600	700	800	900	1000	1200	1400	1600	1800
ti-t	10 800	10 200	9600	9000	8400	7800	7200	6600	6000	5400	4800	3600	2400	1200	0
дрс(\ - 7)	17,20	17,10	16,97	16,88	16,75	16,60	16,40	16,28	16,09	15,90	15,7	15,10	14,10	12,08	0
G(7)	0	42	74	10'	133	160	186	213	238	264	288	330	380	430	480
Отсюда проводимость пласта
Ы 1	_ 9ОО Д'СМ
|1Н = 6,28 • 0,00067 - м мПа-с’
а проницаемость 238 • 2,2
* = 1000 = 0,523 Д‘
Пьезопроводность пласта равняется 0,523
2,2 (0,2 . 10,5  10-5+ 1,0.10~&) = 7800 см’/с, а приведенный радиус несовершенной сква жины
1/	7800	1/7800 _
а пр- У 10-(-2,35) = У 224 = 5,9см.
Дифференциальный метод Ю. Н. Борисова
Основной расчетной формулой в данном методе является
АРС (0 Z	2,3Q0(Ji	2,25х	2,3<20(х & г2 'с пр	1g в,
где		(VI. 47)
		(VI. 48)
	2 “ Г (Др) ’	
	А П ЛПЛ QoPh	
	lge = igl-M0-	(VI. 49)
В формулах (VI. 48) и (VI. 49):
где
t №р)а = FK (АРзаб п ^Рзат п) "Ь
+ Fm (ДРзаа п “ Д%ф о)’- <VL 51>
те .	тга
PK=-(D2-^-,	(VI. 52)
где D — внутренний диаметр обсадной колонны скважины; d1 — внешний диаметр колонны фонтанных труб; d — внутренний диаметр этой колонны; Д i — интервал вре-
мени между двумя соседними точками (одинаковый).
Г/(Др)	1
1>6 (ДД2_Г(Др) ₽ (0 = —--------------2- . (VI. 53)
2-3 [<ЭоРнЛ - Г (Др)]
По прямолинейному участку кривой, построенной в координатах (Дрсз), (Ig t — р), определяется уклон к оси абсцисс
(Дрсг)2- (Дрс2)1
(1g/-?)>-(1g <-₽)Х (VL54) и отрезок В", отсекаемый на оси ординат.
Параметры пласта и скважины определяются по формулам (VI. 40), (VI. 41).
Пример. Дебит нефти до остановки Qo = 42,9 т/сут. Плотность нефти в пластовых условиях и на поверхности равны РПнЛ = 794 кг/м3 и р”ов = 860 кг/м3. Объемный коэффициент <ан = 1,1. Поперечные проходные сечения кольцевого пространства F к = 133 см2 и фонтанных труб Ртр = = 30,1 см2. Эффективная мощность пласта h = 8 м, пористость — 20%. Вязкость пластовой нефти рн = 4,5 мПа-с; рн = 9,42 х X 10~5 см2/кгс; ра = 1,6 . 10-5 см2/кгс.
Таблица VI. 26
Данные гидродинамического исследования скважины
Точки	t. с	Давление, кгс/см1		
		д^заб	Дрзат	4Лбуф
1	600	2,24	0,41	1,99
2	1200	3,60	0,82	2,49
3	1800	4,23	1,03	3,08
4	2400	4,61	1,13	3,27
5	3000	4,78	1,13	3,39
6	3600	4,93	1,03	3,49
7	4200	5,03	0,99	3,54
8	4800	5,13	0,93	3,59
9	5400	5,21	0,82	3,59
В табл. VI. 27 приводятся результаты обработки данных исследования скважины, а ниже даются примеры определения промежуточных функций.
Для первой точки (f, = 600 с):
f (ДР1) = 133 (2,24 — 0,41) + 30,1 (2,24 —
— 1,99) =250,9;
. ч 403,2 — 0
f (АР i) = 2 - 600 = °'336'
Для второй точки (1з = 1200 с) аналогично:
f (Др2) = 133 (3,60 — 0,82) + 30,1 (3,60 —
— 2,49) = 403,2;
460,2 — 250,9
Г (Дра) =	2 - 600	= 0,174 и т. д.
Величины 2, р вычисляются соответственно:
1
21 =	0,336 • 0,86  86400 = 3,26;
1 — 42,9 • 1,1 - 794
1
22 “	0,174  0,86  86 400 = 1,57 и т‘ д-
1 ~	42,9-1,1.794
183
, „ /250,9	„ \
1,6 ( 600 — 0,336)
₽1 = “2,3 (0,485 — 0,336) = 0,383;
z. /403,2	\
1,6 (1200 -°’174)
₽2 = 2,3 (0,485 — 0,174) = 0,362 и т- д-
В результате, например,
ДРзаб, 21 = 2,24 • 3,26 = 7,30 кгс/см2;
1 g 0j = lg ti — pj = lg 600 — 0,383 = 2,395.
По данным табл. VI. 27 строится кривая восстановления давления в координатах (Ар3аб2)' *6 0 (рис. VI. 21). По прямолинейному участку кривой определяются В" = = 1,6 кгс/см2 и i = 1,143 кгс/см2.
Параметры пласта и скважины получаются равными
Рис. VI. 21. Кривая восстановления давления на забое скважины в координатах (Дрcz), — Р)
____________0,573_____________
4,5 (0,2 - 9,42 10-5+1,6 - 10~5)
Ай = 2,3 - 42,9 • 1,1-11,57 Д-см . рн= 0,86 - 4-3,14 - 1,143 = ,02мПГс’
102-4,5
800
= 0,573 Д;
k =
= 3660 см2/с;
гс пр
2,25  3660	/ 7550
101,6/1,143 =|/	101,4 =
= 17,4 см.
Таблица VI. 27
Обработка результатов исследования скважины с учетом притока (дифференциальный метод)
Показатели	Данные по точкам в с								
	G = = 600	fo = = 1200	G — = 1800	G = =2400	— =3000	— = 3600	^5 	 =4200	— = 480U	t* = = 5400
/ (Др), кгс		250,9	403,2	460,2	503,2	527,3	562,4	582,2	604,9	632,6
)' (Др), кгс/с		0,336	0,174	0,083	0,056	0,049	0,046	0,036	0,042	0,052
Г (Др) ^оРпл	0,693	0,359	0,171	0,115	0,101	0,095	0,074	0,086	0,110
, _ Г (Др) ^оРпл	0,307	0,641	0,829	0,885	0,899	0,905	0,926	0,914	0,890
2			3,26	1,57	1,21	1,13	1,12	1,107	1,07	1,097	1,13
Дрза6г, кгс/см2		7,30	5,65	5,12	5,20	5,35	5,46	5,38	5,63	5,88
((Др) —— , кгс/с		0,418	0,336	0,257	0,210	0,176	0,156	0,139	0,126	0,117
Г/ (Др)	1 -у- — Г (Др) , кгс/с - -	0,082	0,162	0,174	0,154	0,127	0,110	0,103	0,084	0,065
<?0Рпл - f (Др)		0,149	0,311	0,402	0,429	0,436	0,439	0,449	0,443	0,433
₽ 		0,383	0,362	0,301	0,250	0,203	0,174	0,160	0,132	0,105
igf— ₽ 		2,395	2,717	2,954	3.130	3,274	3,382	3,463	3,549	3,627
Примечание. 1 кгс* ЮН	; 1 кгс/см	2 * 0,1 М	la; 1 кг	с/с* 1 ОН	/с.				
184
Экспресс-метод
Метод предназначен для исследования длительно или временно простаивающих скважин с целью определения их продуктивности (приемистости) и фильтрационных параметров пластов. С теоретической точки зрения этот метод является разновидностью метода восстановления давления. Он разработан для условий, когда давление на забое скважин равно или выше давления насыщения.
Для исследования скважины экспресс-методом применяются два способа возбуждения: подкачка газа и «мгновенный подлив».
При первом способе в скважину, устье которой герметично закрыто, с помощью компрессора или от баллона подкачивается сжатый газ (воздух) с тем, чтобы уровень жидкости был оттеснен на несколько метров или десятков метров.
Основной расчетной формулой при исследовании скважин экспресс-методом с подкачкой в нее газа является
Др (S)	ц (. 1,26х	\
(3) = ,$7(5) = °.183	—lgS)’
\	с пр	/
(VI. 55) где
во
4p(S)=/Дрзаб(/)е^^; (VI. 56)
V (S) = f V (0 e-sldt. (VI. 57) о
Здесь S — постоянное число, рассматриваемое как параметр, который выбирается в зависимости от продолжительности периода исследования в 1/с.
В результате исследования скважины способом подкачки должны быть получены зависимости Дрзаб (0 и величины изменения объема жидкости в стволе скважины V (t).
Для построения зависимостей по уравнению (VI. 55) необходимо выбрать несколько значений параметра S. Обычно принимаются 3—4 значения, чтобы минимальная вели-2 — 3
чина S составляла —— (где Т — общая продолжительность исследований в с), а максимальная S равнялась бы (2,5-^3)5мин_ Промежуточные значения S определяются из приближенных равенств
^МИВ  ,—, f\rr “Q\
-----------s .	(VI. 58) О Од макс
Интегралы (VI. 56) и (VI. 57) вычисляются после выделения точек излома линий Дрзав(0
Рис. VI. 22. Зависимость Ф (S) от lgS, постооен. ная по данным исследования скважины с под качкой газа.
и V(/). Для точек излома выписываются значения координат t с индексами (0, 1, 2, •  А /4-1......й) и Дрзаб, V с теми ж.е
индексами.
Интегрирование осуществляется по при-олиженным формулам
М
Др (S) = S2 У ^и+1- Дрзаб/ х г/+1 -‘/
7=0
X (е-«/_е-«/+!);	(VI. 59)
i-k s L х
/=0
X (е-«/_е-Я7+1). (VI. 60)
По вычисленным значениям Др (S) и V (S) Др (S)
находятся отношения ф = т. е. полу
чаются исходные данные для построения графика ф(3), lgS (рис. VI.22).
Возбуждение непереливающих скважин осуществляется путем быстрого погружения под уровень специальных баллонов, в ре
зультате чего уровень «мгновенно» поднимается на величину Д/ = —? (где Ио — общий Г
объем погружаемых под уровень баллонов-, F — площадь внутреннего сечения обсадной колонны). Этот способ называется «мгновенным подливом».
Изменение уровня после подъема выражается величиной Д/(/) (рис. VI. 23).
При обработке результатов исследования кривая М (t) перестраивается в координатах 1g 1g г в том же масштабе, что и палетка (рис. VI. 24). Фактическая кривая переносится на кальку и накладывается на палетку таким образом, чтобы горизонтальная линия фактической кривой[Д/ (7) = д/0] совпала с осью абсцисс палетки.
185
Рис. VI. 23. Снижение уровня в скважине после «мгновенного подлива».
. А/(°)
1g • по которому потенциированием на-. Д/ (О)
ходится значение Д/ =	. Отмечается
также величина параметра п кривой палетки» с которой совместилась фактическая кривая.
При исследовании скважины способом подкачки гидропроводность и приведенный радиус скважины определяются мулам
kh 0,183 р — i
с,<пр
по фор-
(VI. 61)
(VI. 62)
где i — уклон прямой в координатах ф (S) к оси lg t:
Добившись хорошего совпадения фактической кривой с одной из кривых палетки, с палетки на кальку переносится прямая, проходяшая под углом 45° к оси lg t. В точке пересечения последней с осью ординат фактического графика получается значение

A, S — произвольная ордината на прямолинейной зависимости ф (lg S) и соответствующее ей значение S.
Рис. VI. 24. Палетка для обработки результатов исследования скважин методом «мгновенного подлива». Параметром кривых являет» ся коэффициент в.
186
При исследовании скважин способом «мгновенного подлива» параметры пласта и скважины определяются по формулам
kh F  103
Iх 4тгуД/
(VI. 64)
(VI. 65)
где 7 — относительная (безразмерная) плотность жидкости в скважине.
Пример (по исследованию скважины способом «мгновенного подлива»). Результаты исследования представлены в табл. VI. 28.
Таблица VI. 28
Результаты исследования скважин способом «мгновенного подлива»
№ п/п	в мм бланка	в мм бланка	А/ (1), мм	А/(Л	^9
				Wo	
1	8	34,0	23,0	0,125	Г,097—0,903
2	13	25,5	14,5	0,078	2,892—1,108
3	18	21,5	10,5	0,057	2,756—1,244
4	25	18,5	7,5	0,041	2,613—1,387
5	30	17,2	6,2	0,034	2,632—1,468
6	39	16,0	5,0	0,027	2,432—1,568
7	47	14,2	3,9	0,021	2,322—1,678
8	109	12,5	1.5	0,0081	3,909—2,091
9 10	,194	11,8 11,0 (Z//=0)	0,8 0,0	0,0043 0	3,633—2,367
Площадь поперечного сечения колонны исследуемой скважины F = 117 см2. Эффективная мощность пласта 86 м. ? = 1,0. Объем вытесняемой прибором жидкости V = 20 715 см3.
20715
Откуда Д/о = 117~ = 177 см. В мм бланка Д/о = 184 мм. Масштабные коэффициенты Mf = 11,09 с/мм; Л4( = 9,6 мм/мм.
По данным таблицы кривая восстановления давления строится на кальке в логарифми-
Д/ (/)
чески» координатах 1g -г-.—, lg t и сопос-
а‘О
тавляется с теоретическими кривыми, приведенными на палетке (рис. VI. 24).
Из сопоставления данных определяются параметры фактической кривой
Д/ (О)
'§-дГ = 0-10-
При потенциировании получаем:
Д1 = 1,26;
Параметр кривой п = 0,3.
Параметры пласта н скважины получаются из расчетов:
kh 117 • 10е
ц =4 • 3,14 -1,26-11,09
t 1,0 • 665 k = 860	~
0,773
665 ^. мПа-с;
0,773 Д;
1,0 (0,2 • 4,5 • 10~5 + 1,5 • 10~5) = = 32200 см2/крс;
,спр=рЛ2-тдтрб7о7з =4(94см.
103
Обработка результатов исследования скважин со снятием кривой восстановления давления на забое при эксплуатации трещиноватых пластов
Методика ВНИГРИ основана на соотношениях ф(/) для неустановившихся процессов в стволе скважины после изменения режима ее работы, соответствующих начальным и более поздним периодам изменения давления:
ф(/ ) — In t
°Н-2теМ
S АРа (0 dt
w = —9,
Qoo
(VI. 68)
где kr — проницаемость трещиноватого пласта; а — удельная поверхность трещин
187
(с = 2 7'); Т — объемная плотность трещин; — пьезопроводность пористой среды.
Время регистрации показателей после изменения режима работы скважины должно быть не менее 4—8 ч.
В качестве исходных данных для расчета выбирают значения давления (и дебита) в моменты времени , составляющие (начиная с ti) геометрическую прогрессию со знаменателем 6, не превышающим двух. Удобнее принять б = У 2.
бру(Г2= 1); Др3 (Г3=/2); Др4 (/4=2) ...
и кривая строится в координатах ф. 1 n(to +' + т)-
Если кривая ф, In 10 имеет асимптотический прямолинейный участок с уклоном к оси абсцисс (;н), то, определяя и сопоставляя с выражением (VI. 67), получим
= 0,04
х. =_______k-l_______
Р- (трн + ₽с) ’
(VI. 71)
'cnp= l.’2/7e 4,«;
Значения давлений, не совпадающие для указанных моментов времени с замеренными, находятся линейным интегрированием между двумя имеющимися точками.
Далее определяются вспомогательные функции S t.
Alt
6i=e (i = 2, 3,. . ,,n— 1); S„= 0.
(VI. 69)
В координатах p, S проводятся прямые Др = Др, и 5 = 5,- до их попарного пересечения.
Через п указанных точек пересечения в точку (0,1) проводится кривая Др, = ДрДЗД
которая соответствует величине Zo=—.
Через (и — 1) ближайшие к построенной кривой узловые точки и точку (0,1) прово-^n—1 дится кривая, соответствующая t0 =—, и т. д. до кривой, соответствующее значение /0 для которой будет t0 = 4ft.
С помощью планиметра или по формуле Симпсона определяются площади, ограниченные каждой из построенных кривых и осями координат. Произведение величин этих площадей на соответствующее значение (е дает искомую величину интеграла в формуле (VI. 68).
Кривая восстановления давления строится в координатах ф, 1п /0.
Если кривая имеет начальный прямолинейный участок, то определяется ее уклон к оси абсцисс (г'н) и отрезок, отсекаемый на оси ординат (Вн). Выбирая два достаточно больших значения 1а, вычисляются
Л>п1 ^оп2е
Ф (^ОП1) — Ф ((оп?)
в =-------------21---------- ;
в
Пример. Кривая восстановления давления на забое скважины, эксплуатирующей трещиноватый пласт, снята после ее остановки. Дебит нефти до остановки 2599 сма/с. Эффективная мощность пласта равна 9,8 м;. коэффициент пористости блоков — 0,1. Вязкость нефти в пластовых условиях 7,34 мПа -с. рь=7,5 - 10—5 см2/кгс; рс= 1- 10—5 см'7кгс.
Таблица VI. 29
Результаты исследования скважины со снятием кривой восстановления давления на забое (1кгс/см2==0,1мГ1а)
L	1, мнн	Др/ . К! С/СМ 2	t	1. мнь	Др/  кгс/см2
1	0	0	10	16	7,99
2	1	2,11	11	16/^.	8,76
3	/2	2,60	12	32	9,67
4	2	3,31	13	32/f	10,51
5	2/2	4,05	14	64	11,60
6	4	4,98	15	64/2	12.80
7	4/~	5,59	16	128	14,19
8	8	6,62	17	128/2	15,79
9	8/f	7,30	18	256	17,52
Притоком жидкости в скважину после ее остановки пренебрегается, так как не были сняты дополнительно кривые восстановления на буфере и в затрубном пространстве.
Для выбранных значений tt (с 6 до 14 точки) по формуле (VI.69) вычисляются значения S,- и изложенным выше способом наносится сетка прямых Др,-, S,-, Например, для tL = = 32 мин Др, = 9,67:
4  32 е"25б" = 0,606.
188
Рис. VI. 25. Вспомогательные зависимости дл/5/).
В координатах Др,-, S(. (рис. VI. 25) проводятся соответству юшие прямые до их пересечения. Через узлы построенной сетки проводятся кривые \р S, (с целью разгрузки графика нанесены кривые только для четных номеров I), и одним из указанных выше способов подсчитываются значения интегралов, входящих в выражение (VI. 68), а затем и самой функции ф (/0) при дискретных значениях (табл. VI.30).
Таблица VI. 30
Значения расчетных величин при обработке кривой восстановления давления
to. С	Uo-H) 14.36	In t„	in((„+T)	4 (t„)
240	1670	5,481	7,421	3,963
339	1769	5,827	7,478	4,635
480	1910	6,174	7,555	5,338
679	2109	6,520	7,654	6,066
960	2390	6,867	7,779	6,823
1358	2788	7,214	7,933	7,619
1920	3350	7,560	8,117	8,468
2715	4145	7,907	8,330	9,389
3840	5270	8.253	8.570	10,252
По данным табл. VI. 30 кривая восстановления давления строится в координатах ф ((0), In t0 (рис. VI. 26). Поскольку пласт заведомо трещиноват, а кривая имеет выпуклый характер, используем начальный прямолинейный ее участок, который соответствует зависимости (VI.66).
Рис. VI. 26. Кривая восстановления давления в координатах Ф, In t0.
Определяем величины В,, и i'H из системы уравнений для двух точек на прямой, на-пр имер:
5,338= Вн-Нн  6,174;
3,963 = ВН + «Н. 5,481, откуда Вн = — 6,92: г'н = 1,985.
Выбирая два достаточно больших значения i0 = 64 мин и tg = 32, по формулам (VI. 70) находим
Ю 252 — 8,468
0= ------2~Й98-------= °'451;
3840 - 1920е0,451
z =	ео.451_1	— 1430.
При известной величине т находятся значения In (70 + т) и строится кривая восстановления давления в координатах ф, 1п(104-т), рис. VI. 27. При больших значениях ia расчетные точки ф хорошо ложатся на прямую, соответствующую зависимости (VI.67).
Величина Ва определяется из системы уравнений для двух последних точек, лежащих на прямой
10,252 = Вп 4- in . 8,570,
9,389 = Вп + in  8,330, откуда Вп = —20,65.
Рис. VI. 27. Кривая вост анон ления давления в координатах
189
Календарное t,4
Рис. VI. 28. График гидропрослушивания (изменение забойного давления в наблюдательной скважине от изменения дебита в возмущающей).
По формулам (VI. 71) и (VI. 72) определяются параметры пласта и скважины:
. пп. 2599 • 7,34
Л, = 0.04----------1----О адо п-
т 980  1,985 ~ д’
0,392
х. = --------------? = 3050 см2/с;
7,34  1,75-10—5
20,66
ге нр = 1.121<Зб50е4 ' ‘’985 = 816 см =
= 8,16 м;
6,92
____________4 ' 3050__________ 4-1.985
8162 .3,16- /7>8. ю-з
= 1,58 1/см.
Метод гидропрослушивания
При методе гидропрослушивания используются результаты регистрации изменения давления в реагирующих (наблюдательных) скважинах, вызванные изменением дебита в возмущающей скважине. Метод применяется на залежах, эксплуатирующихся при давлениях выше давления насыщения.
Результаты исследований представляются в виде графика гидропрослушивания (рис. VI. 28). По оси ординат откладывается изменение забойного давления реагирующих скважин, а по оси абсцисс — время в часах. Время отсчитывается с момента изменения режима работы возмущающей скважины (точка В).
Изменение давления Др в момент времени tf, соответствующее вертикальному отрезку Д/,, берется между фоном (АА’) и фактической кривой в реагирующей скважине (BQ.
Фактическая кривая изменения давления на забое реагирующей скважины строится
жнн методом гндропрослушнвання.
в координатах IgAp, 1g t таким образом, чтобы она разместилась на бланке. С этой целью выбираются соответствующие мае-, штабы для оси времени и для оси давления.
На фактическую кривую накладывается эталонная, нанесенная на кальку (масштабы координатных осей у обеих кривых должны быть одинаковы), рис. VI. 29.
При совмещении кривых следует соблюдать параллельность координатных осей обеих кривых. Фиксируются значения совпадающих точек кривых эталонной и фактической по давлению и по времени (соответственно Др и — для эталонной кривой и Дрф, /ф — для фактической). Параметры пласта рассчитываются из соотношений
kh
В дРф
х =	ЮТ?2,
(VI. 73)
(VI. 74)
где AQ — изменение дебита возмущающей скважины; R — расстояние между двумя взаимодействующими скважинами.
Пример. Дебит возмучающей скважины, расположенной на расстоянии в 375 м от реагирующей, был изменен на Д<2 = = 57,1м3/сут. При совмещении фактической и эталонной кривых (рис. VI. 29) совпадающей оказалась точка с координатами на фактической (/ф = 180 мин, Зф = 120 мм) и на эталонной (lj = 3,24 мин, SL = 12 мм), откуда
&Р1 Si
АРф Зф
= 0,1;
у- = 0,018. гФ
190
Параметры пласта оказываются равными
kh
— = 0,1 • 57,1.100 = 571 Д • см/(мПа.с);
х = 0,018 • 10 • 3752 = 25600 см2/с.
Определение параметров пластов по разрезу (в многослойной системе)
Если скважина эксплуатирует несколько пластов, вскрытых единым фильтром, то ее необходимо исследовать одновременно глубинными дебитомером (расходомером) и манометром.
На рис. VI. 30 в качестве примера приводится профиль притока жидкости в скважину по разрезу пласта, зафиксированный глубинным дебитомером на одном из режимов ее работы.
Снятие профилей притока на нескольких режимах работы скважины с одновременным замером забойного давления на каждом из них позволяет определить для каждого пласта (пропластка) величины коэффициента продуктивности (или приемистости — для нагнетательных скважин) и текущего пластового давления.
Если индикаторные кривые по скважинам и по пропласткам на исследуемом объекте получаются прямолинейными, то для указанных целей достаточно исследовать скважины на трех режимах работы. Если же можно ожидать нелинейности индикаторных кривых, то исследования следует проводить на пяти — семи режимах. Результаты исследования по пропласткам и для всего пласта в целом наносятся на общий
Ряс. VI. 30. Каротажная диаграмма (а) разреза пласта и профиль притока ((), снятый глубинным дебитомером на одном из режимов работы скважины.
Рис. VI. 31. Индикаторные линии по скважине с тремя пропластками в разрезе пласта и общая индикаторная линия по скважине.
график (рис. VI. 31). Коэффициенты продуктивности определяются для каждого /-того пропластка по формуле
PaaGi	Р заб^_|_]
(VI. 75)
где Q{; Qi+l и Р„б/+]; рзаб.-дебиты пропластков и соответствующие им забойные давления на двух режимах работы скважины.
Пластовые давления в каждом из пропластков определяются путем экстраполяции индикаторных линий до пересечения с осью забойных давлений (при Q = 0 рза6 = рпл).
Величина общего коэффициента продуктивности по скважине должна быть равна сумме коэффициентов продуктивности всех действующих пропластков.
Параметры пласта по каждому из пропластков рассчитываются по формулам (VI. 10) и (VI. 11).
Пример. По скважине, эксплуатирующей одновременно три пропластка на трех режимах работы, с помощью глубинного манометра замерены забойные давления и с помощью глубинного дебитомера — величины дебитов по каждому из пропластков. Данные приведены в табл. VI. 31.
Таблица VI. 31
Режимы	0заб» кгс/см*	Дебиты нефти, т/сут			
		4,			^скв
1	153	22,4	6,0	61,5	89,9
2	150	34,9	9,7	71,4	116,0
3	148	44,0	13,3	78,0	135,3
191
На рис. VI. 31 нанесены индикаторные линии для трех пропластков (/, II, III) и общая индикаторная линия (IV) по скважине.
В соответствии с формулой (VI.75) коэффициенты продуктивности по пропласткам и по скважине равны тц = 4,39; т|[| = 1,50; >,ш = 3,58 и т1СКВ = 9,47 м2/(сут  кгс/см2), а величины пластовых давлений рПЛ[ = 158, PnJ>ll = 157> Рплш = 170иРпл= 162 кгс7см2-
Контроль за текущей нефтенасыщенностью при вытеснении нефти водой
По методике контроля за нефтенасыщенностью пласта при вытеснении нефти водой по результатам гидродинамических исследований скважин (В. Н. Васильевского) считается, что наиболее надежным путем для определения текущей нефтенасыщенности пласта является привлечение комплекса данных по скважинам: текущая обводненность добываемой продукции из скважин, изменение их коэффициента продуктивности и изменение гидропроводности пласта, определяемой по кривым восстановления давления.
При обработке результатов исследования скважин необходима диаграмма относительных проницаемостей пласта, соответствующая изучаемому объекту. Для удовлетворения этого условия желательно предварительное проведение лабораторных исследований по совместной фильтрации нефти и воды на модели пласта с использованием нефти и кернового материала из рассматриваемого объекта, а также с соблюдением условий подобия.
При отсутствии таких исследований можно использовать диаграммы относительных проницаемостей пласта, полученные для условий совместной фильтрации нефти и воды применительно к несцементированным пескам (Леверетта, Д. А. Эфроса или Перкинса и Коллинза), к сцементированным песчаникам (Перкинса и Коллинза или В. М. Березина). Кроме исходной диаграммы относительных проницаемостей, необходимы следующие дополнительные исходные данные для определения текущей нефтенасыщенности пласта:
Г) величины начальной водонасыщенности пласта (ов св ),а также вязкости нефти и воды в пластовых условиях (р.(1, ,лв);
2)	обводненность продукции скважины (в пластовых условиях);
3)	величины коэффициентов продуктивности скважины до обводнения и в процессе обводнения (на даты определения текущей нефтенасыщенности пласта);
/ kh \
4)	величины гидропроводности пласта j 1 на те же даты, определенные по кривым восстановления давления. Эти данные необходимы в случае, если величина коэффициента продуктивности изменяется незакономерно (испытывает влияние изменения состояния призабойной зоны пласта или других факторов).
Расчет текущей нефтенасыщенности производится в следующем порядке.
Строится график зависимости функции § от нефтенасыщенности пласта с использованием диаграммы относительных проницаемостей:
k’
«(’н)=-т------(VI. 76)
Йи0 -
> k „	'	А? „	'	& ,л
где ka = _«. kg = Л и feH0 =	kB-
фазовые проницаемости пласта для нефти и воды; 1ги0 — начальная фазовая проницаемость пласта для нефти; k — абсолютная (физическая) проницаемость пласта.
Строятся графики изменения во времени продуктивности, гидропроводности пласта (по кривым восстановления давления) и обводненности (процента воды) по скважине. Производится сглаживание кривых. Если колебания коэффициента продуктивности выходят за пределы погрешностей его определения, то в расчетах используются данные о гидропроводности пласта.
Намечаются даты (или дата) определения величины текущей нефтенасыщенности пласта, на которые по сглаженным кривым фиксируются значения продуктивности (или гидропроводности) и текущей обводненности продукции, которые приводятся к пластовым условиям.
По промысловым данным на выделенные даты т находятся значения
% W
5 (т) = ------т-т . (VI. 77)
^ЬнО—11н(х)1
Если продуктивность скважины в период обводнения изменяется незакономерно, то величина т]Но, входящая в формулу (VI. 77), определяется с привлечением данных, определенных по кривым восстановления давления:
(VI. 78)
В формулах (VI. 77) и (VI. 78):
^см. Др ’
Чв
^см
д^’
Др •
Др —депрессия на забое скважины.
192
= dr\Jdt, можно получить для каждой фазовой траектории y(t) соответствующую траекторию т](/) (рис. 5.2, б). Задавшись некоторой областью е, всегда внутри нее можно найти такую область 6, чтобы ни одно движение, начавшееся в б, не достигло границы области е. При этом все движения заканчиваются в начале координат и, следовательно, движение устойчиво по Ляпунову и при том асимптотически устойчиво. Область у представляет собой точку, лежащую в на-
чале координат.
Для второго случая (см. рис. 3.39) фазовые траектории невозмущенного £/н(/) и возмущенного y(f) процессов показаны на рис. 5.2, в. В качестве невозмущенного движения выбрана фазовдя траектория, при t оо приводящая в начало координат. Переходя к координатам Hi и т]2, получаем траектории, заканчивающиеся на линии покоя, соответствующей области у (рис. 5.2, а). Задаваясь об-
ластью е, всегда можно найти необходимую для устойчивости по Ляпунову область 6.
Области е, 6 и у (см. рис. 5.2, д) соответствуют случаю, когда в качестве невозмущенного движения принято состояние покоя, выражаемое точкой, лежащей в начале координат. В этом случае у" = у% = 0, а th = уг и т]2 = у„.
Таким образом, в рассматриваемом случае как движение, так и равновесие устойчивы по Ляпунову, но не асимптотически.
Пример 5.2. Составить суждение об устойчивости по Ляпунову точки равновесия типа центр линейной консервативной системы второго порядка и найти области 6 и у для области в, задаваемой неравенствами — а < уг < 2а и — 2а < уг < 2а, где а произвольное число.
Рассматривая фазовые траектории для этого случая (см. §3.3), можно убедиться, что если радиус-вектор точки, соответствующей началь-
Рис. 5.3
ным условиям, не выходит за пределы окружности с центром в начале координат, лежащей внутри области е, то движение никогда не достигает границы этой области е. Движение будет совершаться по этой окружности сколь угодно долго.
Таким образом, область 6 совпадает с областью у. Равновесие устойчиво по Ляпунову, но не асимптотически. Области е, 6 и у для рассматриваемого случая доказаны на рис. 5.3.
Пример 5.3. Составить суждение об устойчивости по Ляпунову для автоколебаний, выражаемых предельными циклами, показанными на рис. 3.33,6 и 3.33, г.
Принимая в качестве описания невозмущенных движений y"(t) определенные движения по предельному циклу и выбирая в качестве возмущенного движение*^/), отличающееся от возмущенного в начальный момент времени t = О на некоторую малую величину, можно заметить, что в координатах TJi> Иг для неустойчивых циклов процесс расходится, а для устойчивых циклов процесс сходится, но не к началу координат, а к определенной, зависящей от начальных условий орбите подобно тому, как это имеет место при нейтральном равновесии типа центр. В этом легко убедиться, рассматривая два сдвинутых во времени движения по устойчивому предельному циклу yK(f) и y{t) = ун(/ — т).
Изображение на фазовой плоскости вариации т](/) = y(t) — y*(t) дает пе-ридическое движение с амплитудой, зависящей от т. При т, равном половине периода автоколебаний, диаметр предельного цикла для т](/) в два раза превышает диаметр предельного цикла y(t) и yH(t).
Таким образом, устойчивые автоколебания представляют собой процессы устойчивые по Ляпунову, но не асимптотически. С другой стороны, возмущенные и невозмущенные движения завершаются движениями по одной и той же орбите, поэтому автоколебания относятся к орбитально асимптотически устойчивым.
186
Пример 5.4. Рассмотреть устойчивость вынужденных процессов в простейшей релейной следящей системе первого порядка с гистерезисом при внешнем сигнале u(t) == At. Структурная схема системы показана на рис. 5.4, а.
На рис. 5.4, б построены x(t) и </(/) для двух различных начальных условий: 1 — когда р(0) = 0 и 2 — когда у(0) = Цо- Первый из этих случаев принимается в качестве невозмущенного, а второй — в качестве возмущенного движения.
Оба эти процесса приводят к колебаниям с одинаковыми периодами. Так как колебания происходят в неавтономной системе и зависят от внешнего воздействия u(t), то они не могут быть названы автоколебаниями.
Период колебаний слагается из двух отрезков времени: Т = tY + G- Здесь Л. = (ха — хь)1А — время, в течение которого внешний сигнал изменяется на величину ширины петли гистерезиса, a t2 = (ха — хь)/(й — Л) — время, в течение которого следящая система отрабатывает это рассогласование при условии продолжающегося увеличения внешнего сигнала. Отставание возмущенного процесса от невозмущенного т = т]0/Л зависит от начальных условий возмущенного процесса. Для суждения об устойчивости рассматриваемого процесса определим вариацию т)(0 = 1/(0 — Цн(0- Эта зависимость построена на рис. 5.4, б. По истечении времени ta = (т]0 + ха)1А процесс становится периодическим с периодом Т = 0 + it = k(xa — хь)/Л (А — Л).
Диапазон изменения т](1) зависит от начальных условий т]0
Дт) < kx = йт]о/Л
и не может превышать величину kt2 = k(xa — хь)/ (k — Л).
187
На рис. 5.4, в построен фазовый портрет процесса л (t) в координатах — = 1) и Я» = Л1/Л
Координата Яа изменяется не непрерывно и фазовая траектория носит разрывной характер. Обозначив на кривой т] (/) точки a, b, с, d, е, f, g, h для различных моментов времени, можно нанести соответствующие точки на фазовом портрете. Процесс перемещения изображающей точки на фазовой плоскости можно описать следующим образом: неподвижность в точке ab, скачок b -> Ь, равномерное движение по линии Ьс, скачок с -> с, неподвижность* в точке cd, скачок d-> 4 равномерное движение d, скачок е -> е, непрерывное движение ef и т. д. Движение слагается из интервалов покоя, равномерного движения и скачков, а завершается разрывным предельным циклом шириной Д^. Так как рассматриваемая система описывается дифференциальным уравнением первого порядка (п = 1), то для суждения о ее устойчивости необходимо пользоваться не фазовой плоскостью, а фазовой прямой с одной координатой Th.
На этой прямой (см. рис. 5.4, г) при заданном участке е всегда можно выделить участок б, необходимый для суждения об устойчивости по Ляпунову.
Для рассматриваемого примера этот участок совпадает с участком у, в пределах которого происходят колебания в системе. Попытка обозначить область е и искать область б на фазовой плоскости для рассматриваемого примера (см. рис. 5.4, в) не может дать ответа об устойчивости системы по Ляпунову, так как вторая фазовая координата Л 2 не соответствует порядку уравнения и для суждения об устойчивости является излишней.
Все приведенные в этом параграфе определения, касающиеся устойчивости процессов в системах автоматического управления, распространяются и на случай импульсных систем, если рассматривать в них дискретные процессы.
§ 5.2.	ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
А. М. Ляпуновым предложен метод, позволяющий получать достаточные условия устойчивости нелинейных систем автоматического управления, получивший название прямого метода Ляпунова [Л.63, 56, 51]. Далее этот метод будет рассмотрен применительно к анализу устойчивости равновесия.
Рассмотрим автономную нелинейную систему, движение которой описывается системой (3.3) нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка
~ = Л(У1> Уг, •••> У Л at
................................................... (5.8)
= Р„ (Ух, Ум Уп)<
или в более краткой записи
% = Pi(yi> •••> Уп) /=1,2, п.	(5.9)
at
Здесь уъ уг......уп — переменные, описывающие состояние си-
стемы, & Pt — известные функции, заданные в пространстве этих переменных (фазовом пространстве).
188
Примеры записи уравнений движения в форме (5.3) были приведены в гл. III.
Положение равновесия определяется системой уравнений
ЗД1, 1/2> •••. 1/п) = 0; ‘ = 1> 2, .... п.	(5.10)
Будем считать далее для простоты, что система уравнений (5.10) имеет единственное решение в начале координат уг = 0, у2 = 0, ..., уп = 0.
Согласно прямому методу Ляпунова в рассмотрение вводится специальная функция V (yi, у2, Уп), заданная в фазовом пространстве и обладающая следующими свойствами.
1.	Эта функция непрерывна вместе со всеми своими частными производными первого порядка в некоторой открытой области, содержащей начало координат.
2.	В начале координат функция V (ylt у2.у,) принимает нуле-
вое значение.
3.	Всюду внутри этой области, кроме начала коррдинат, функция V (У1, У2, •••> Уп) отлична от нуля и имеет значения одного и того же знака. Такие функции называют знакоопределенными. Кроме этого, существует еще понятие знакопостоянной функции, которая может принимать в области нулевые значения не только в Начале координат, в остальных же точках она сохраняет постоянство знака.
А. М. Ляпуновым доказана справедливость следующего утверждения [Л. 63]: если дифференциальные уравнения (5.9) движения таковы, что можно найти знакоопределенную функцию V (уъ у2,  , уп)> производная которой dV/dt в силу этих уравнений была бы или знакопостоянной функцией противоположного знака с V, Или тождественно равной нулю, то равновесие системы в начале координат устойчиво.
Если производная dV/dt — знакоопределенная функция противоположного знака с V, то равновесие системы в начале координат асимптотически устойчиво.
Устойчивость (или асимптотическая устойчивость) положения равновесия при выполнении условий теоремы Ляпунова связана с тем обстоятельством, что для V-функции, обладающей перечисленными выше свойствами, всегда можно построить в некоторой окрестности начала координат семейство замкнутых поверхностей равных значений У, описываемых уравнением
.V(ylt yit ..., уп) = С.	(5.11)
и заключающих начало координат внутри себя. При этом по мере уменьшения | С | эти поверхности стягиваются к Началу координат (рис. 5.5).
На рис. 5.5 показано три типа фазовых траекторий: на траектории 1 производная dVldt знакоопределенна и имеет противоположный с V знак. Если все фазовые траектории относятся к типу /, то положение равновесия асимптотически устойчиво.
Фазовая траектория 2 соответствует случаю знакрпостоянства производной dV/dt и, следовательно, случаю устойчивости по Ляпунову
189
(но не асимптотической устойчивости). При этом фазовые траекторий могут «застревать» в тех точках фазового пространства, где производная dV/dt обращается в нуль, или даже замыкаться на поверхности V = С (см. рис. 5.5). При этом надлежащим подбором начальной точки всегда можно добиться того, что предельные точка или фазовая траектория размещалась в заданной окрестности положения равновесия.
Фазовая траектория 3 соответствует асимптотической устойчивости положения равновесия, хотя вдоль нее условия теоремы Ляпунова не выполняются. Возможность существования движения такого типа свидетельствует о том, что выполнение условий теоремы Ляпунова не является необходимым для устойчивости систем автоматического управления.
Рис. 5.6
Теорема Ляпунова относится к устойчивости положения равновесия в малом, однако если удается подобрать 1/-функцию, поверхности равных значений которой включают в себя начало координат • и имеют возрастающие по модулю по мере удаления от начала координат значения С, причем эти поверхности существуют в некоторой конечной области, то можно сделать вывод об асимптотической устойчивости в большом в пределах этой области, если dV/dt в ней знакоопределена и имеет обратный знак с V. Если эти условия выполняются во всем фазовом пространстве, то положение равновесия асимптотически устойчиво в целом. Как и в случае устойчивости в малом, условия, при которых такие V-функции Ляпунова существуют, являются достаточными условиями устойчивости.
Если Е-функция Ляпунова подобрана, то для определения знака ее производной нет надобности решать уравнения движения системы (5.9). Действительно, поскольку
dV (У1, У2....... уп)  у дУ (У1, у2.............Уп) _ dyi
dt	ду.	dt ’
190
то на основании (5.9)
dV(yi, у2,  , Уп)_"дУ(У1, у2, ...,_уп) 'Р (	}	{5 13)
dt	& dy.
Большие трудности представляет подбор У-функций при практическом использовании прямого метода Ляпунова. К сожалению, здесь нет однозначных способов построения этих функций и приходится в значительной степени полагаться на интуицию. Это обстоятельство существенно ограничивает практическое применение прямого метода Ляпунова.
Для систем автоматического управления, имеющих структуру, показанную на рис. 5.6, а, с характеристикой нелинейного звена, удовлетворяющей условиям Х2 (х) >0; z (0) = 0 (рис. 5.6, б), У-функции могут быть взяты в форме, предложенной А. И. Лурье, В. Н. Постниковым [Л. 61, 51].
X
V(yv //2... Ул)	= Мл. №. •••> {/Л) + Р Jz(B)^,	(5.14)
о
где L(yx, •••> z/J—квадратичная форма фазовых координат:
п п
ЦУ1, у2, ... ун)-- 2 2 аиУ1Ун	(5.15)
<=1;=1
а;, и р — постоянные коэффициенты, причем аг-, = а;.£..
Можно показать, что поверхности равных значений функций Ляпунова, взятых в такой форме, содержат внутри себя начало координат и имеют значения С, возрастающие по модулю по мере удаления от начала координат. Эти поверхности заполняют собой все фазовое пространство и могут при соответствующем выборе коэффициентов аир служить для суждения об устойчивости равновесия системы «в целом».
С помощью У-функций такого типа удается решить многие практические задачи, связанные с анализом устойчивости нелинейных систем автоматического управления.
Пример 5.5. Проверить устойчивость равновесия в системе (см. рис. 5.6, а), содержащей в линейной части инерционное звено
Уравнения движения системы могут быть записаны в виде
dy
Т^- + у = г(х), at
х = и— у.
(5.17)
При и = 0 у=—х первого порядка	движение системы можно описать одним уравнением dx	х k . <5Л8)
19J
Возьмем функцию Ляпунова в виде
1 с V=-x2 + (g)dg,	(5.19)
о тогда ее производная
dV dV dx	dx	[ x k
й=Тх-^ = [х+г(х)]7г -^+zW][F+FZ(x)]=
Гх2 k 14 k 1
= - [7 + 2	+ ~T~ хг W j •	(5-20)
При xz (x) > 0 производная отрицательна во всем фазовом пространстве, если k > > 0. Таким образом, достаточным условием асимптотической устойчивости в целом системы первого порядка с инерционным звеном является положительность коэффициента усиления линейной части. При этом характеристика нелинейного звена может иметь произвольный вид и лишь не должна выходить за пределы первого и третьего квадрантов (рис. 5.7). Она может иметь также разрывы, но должна быть однозначной*.
Пример 5.6. Проверить устойчивость равновесия в системе (см. рис. 5.6, а), имеющей передаточную функцию линейной части
^(P) = l/P2-	(5.21)
Уравнения движения системы имеют вид
d2///d/2 = z(x); )
(5.22)
х = и —у J
или при и = 0
d2x/dt2 = —г (х).	(5.23)
Переходим к нормальной форме, вводя новую переменную xt = dx/dt. Тогда (5.23) заменяется системой двух уравнений первого порядка
dxldt=Xi', dxjdt = —z (х).
Возьмем функцию Ляпунова в виде
V = |x12+Jz(g) dg.
b
Ищем производную V-функции
(5.24)
(5.25)
dV dt
dV dx dx dt
dV дхг
dxt dx dxt
~Z = г (x) —+xj — =Z(X)X!—x12(x) = 0. dt	dt dt
(5.26)
Производная dVIdt тождественно равна нулю во всем фазовом пространстве, что является признаком устойчивости по Ляпунову (не асимптотической) положения равновесия. Рассматриваемая система на фазовой плоскости характеризуется семейством непересекающихся замкнутых кривых, вложенных одна в другую. Равновесие соответствует точке типа центр.
* Такие системы называются абсолютно устойчивыми (см. § 5.3)
192
Более сложные примеры применения прямого метода Ляпунова можно найти в [Л. 51,61].
Применение прямого метода Ляпунова для исследования устойчивости процессов в неавтономных системах рассмотрено, например в ]Л. 66].
§ 5.3. КРИТЕРИЙ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЯ
Абсолютной устойчивостью называют асимптотическую устойчивость равновесия системы «в целом» для нелинейностей, принадлежащих к определенному классу. Наиболее часто по предложению М. А. Айзермана, сделанному им в 1946 г., рассматривают нелинейные характеристики, заключенные внутри угла, образованного прямыми z = kx и z—rx (r<.k) в первом и третьем квадрантах (рис. 5.8, а). Про такие нелинейные характеристики будем говорить, что они заключены в секторе [г, k\.
Пример системы, абсолютно устойчивой в секторе [0, оо], т. е. для всех характеристик, заключенных в первом и третьем квадрантах, был получен в предыдущем параграфе (см. пример 5.5) путем применения прямого метода Ляпунова. Собственно говоря, задача об абсолютной устойчивости и возникла впервые в связи с использованием этого метода.
В 1959 г. румынским математиком В. М. Поповым [Л. 92] был предложен весьма простой и наглядный частотный критерий абсолютной устойчивости систем автоматического управления. Теория абсолютной устойчивости получила дальнейшее развитие в работах М. А. Айзермана ]Л. 2], В. А. Якубовича [Л. 137, 138], А. X. Гелига, Я. 3. Цыпкина [Л. 122, 123), Б. Н. Наумова [Л. 71, 73] и др. в СССР, Дж. Ла-Салля, С. Лефшеца, Р. Калмана в США и в ряде других исследований.
Критерий абсолютной устойчивости формулируется следующим образом; если замкнутая система (см. рис. 5.6, а) состоит из устойчивой линейной, части с передаточной функцией Wл (р), все полюса которой расположены в левой полуплоскости, и нелинейности г (х), лежащей в угле 0 z (х)/х k ^сектор [0, k\ рис. 5.8, б), то достаточным условием устойчивости является выполнение неравенства
Ke [(1 + /р<о) Гл (/<»)] +1 = > 0, ;	(5.27)
Я
где q — произвольное вещественное число.
При этом имеется в виду, что k < оо, a lim 1ГЛ (/<о) = 0. Послед-
С1)>оо
нее условие вытекает из правильного учета малых параметров нели-нейности (см. § 2.8) или грубости рассматриваемой системы (см. § 3.4). к к Критерию абсолютной устойчивости можно дать Удобную для практики геометрическую интерпретацию. Подставив в| (5.27) выражение
^л(/®) = Рл(®)+/<?л(®),	|	(5.28)
7 Зак. 44?	193
получим
Рл((о)-^л(®) + 1 = 6>О.	(5.29)
К
Введем понятие преобразованной частотной характеристики линейной части
^л.п(<й) = Рл(со)+>(2л(<о).	(5.30)
Если построить годограф и?л.п(®) и здесь же провести прямую, описываемую уравнением
Л1(<°)= — +	(5.31)
то условием выполнения неравенства (5.29) будет расположение годографа №л.п (со) справа от этой прямой (рис. 5.8, в).
Таким образом, для критерия абсолютной устойчивости. можно дать следующую формулировку: система абсолютно устойчива, если при устойчивой линейной части через точку —i/k, j0 можно провести прямую так, чтобы годограф ^л.п (“) лежал справа от нее. Прямую, удовлетворяющую этому условию, называют прямой Попова. 194
Отметим некоторые особые свойства характеристик11 И7л.п(со), отличающие ее от №л Во-первых, характеристика Ц7Л.П (со) имеет мнимую часть, которая является четной функцией со, поскольку Q„ (со)— нечетная функция частоты. Поэтому годограф №л п (<о) уже не будет симметричным относительно вещественной оси при частотах разных знаков. Во-вторых, если №7Л (р) имеет один нулевой полюс (вопрос о применении критерия абсолютной устойчивости для таких систем будет рассмотрен ниже), т. е.
^л(Р)4тГ’	<5-32>
pDi (р)
ТО
ж (,-ю) =	j- Im	- Re ,	(5.33)
U /coDj (i«)	“ Di (jco) ш Di (ja)
откуда
P (co) = — Im } ,	(5.34)
1 co Dx(/w)	v '
Q («) = -! Re^i .	(5.35)
лК ' co РД/со)
Выражения для мнимой и действительно!) составляющих К (/со)/Дх (/со) могут быть получены путем стандартной процедуры умножения Di (/со) на сопряженную комплексную величину. При этом получаются дробно-рациональные функции со, у которых одинаковые знаменатели содержат четные степени со (включая обязательный свободный член, так как Wn (р) имеет лишь один нулевой полюс), а числи-т Ж/со)	г, Ж/со)
тель у Im содержит нечетные степени со, а у Re д — четные степени со (включая обязательный свободный член).
Поэтому множитель 1/со, стоящий в (5.34) и (5Д5), сократится у Рл (со) и останется у Qn (со), так что годограф W„ (fat) при со -> 0 будет неограниченно удаляться от начала координат вниз. Годограф же Й7л.п(со) будет начинаться при со = 0 из конечной точки комплексной плоскости, поскольку
1тй7лп(“) = и(?л(ш)=-Ке^-	(5.36)
л "	£>х (/со)	4	’
Проводя аналогичные рассуждения, можно показать, что если lim W7n(/co) = 0, то Гл.п (со) при со-> оо стремится также к нулю либо к конечному пределу.
Так как характеристики №л (/со) и 1ГЛ(со) имеют одинаковые вещественные части, они пересекают действительную ось в одних и тех же точках. Если годограф 1ГЛ.П (со) имеет выпуклую форму, то критерий абсолютной устойчивости совпадает с критерием Найквиста (см. § 7.3 части I) при замене нелинейной характеристики прямой z = = kx. ‘ Действительно, в этом случае условие неохвата годографом kW„ (/со) точки —1,/ /0 совпадает с условием абсолютной устойчивости.
7'
195
Такие нелинейные системы называют системами, устойчивыми в гурвицевом угле, понимая под гурвицевым углом угол, образованный прямой 2 = £прх, где kup — предельный коэффициент усиления линейной системы, и горизонтальной осью (в общем случае, прямой г = = гЦрх, где лПр — нижнее предельное значение коэффициента усиления линейной системы).
При более сложной форме годографа И7Л,П (ы) критерий абсолютной устойчивости более жёсток, чем критерий Найквиста (рис. 5.8, а). Из рисунка видно, что предельное значение 1/&пр по Найквисту (1/&пр1) меньше, чем по Попову (1/^прг)- Следовательно, £пр1 > knv2.
Л. П. Смольниковым [Л. 104] показано, что годограф й?л.п (ы) получается выпуклым для систем, у которых линейная часть содер-
жит любое число последовательно соединенных инерционных и колебательных и не более одного интегрирующего звена. При этом колебательные звенья должны иметь степень затухания не менее У 2/2.
k
Пример 5.7. Пусть Wa(P) = ~——	——TT • Определить
(1 + р7\) (1 + рГ2) (1 + рТ3)
значение fenpi при котором система с любой однозначной нелинейностью, лежащей в секторе {0, 1], абсолютно устойчива. В качестве нелинейности может быть, например, и ограничение (кривая 1 на рис. 5.9, а), и зона нечувствительности (кривая 2), и релейная характеристика (кривая 3), и любая иная однозначная нелинейность.
Так как кривая 1ГЛ-П(й)) выпуклая (рис. 5.9, 6), то для рассматриваемой задачи может быть применен критерий Найквиста. Условием устойчивости является неравенство — Й7л(/соя) = —Рл(<вя) < 1. Воспользовавшись результатами примера 7.4 части I, получим
^пр— (7\ -\-Т2 + Т3) (\JT\ + l/T’a-f- i/T3)— 1.	(5.37)
Если линейная часть нейтральна или неустойчива, критерий абсолютной устойчивости непосредственно не может быть применен. Однако в этом случае возможно преобразовать схему так, чтобы линейная часть системы была устойчива. Такое преобразование может быть осуществлено путем введения двух равных и противоположных по зна-196
ку прбпбрцибйалЬйых звёйкёй (рис. 5.10, а). Коэффициент- усиЛёнйй пропорционального звена г выбирается так, чтобы линейная часть №л (р), охваченная жесткой отрицательной обратной связью, стала устойчивой. В таком случае схема может быть представлена в виде устойчивой эквивалентной линейной части W„.a(p), содержащей внутреннюю обратную связь —г, и эквивалентной Нелинейной части, содержащей внутреннюю прямую связь —г. Для этой схемы условие принадлежности нелинейной характеристики z3 (х) — к сектору [0, k] соответствует принадлежности характеристики реального нелинейного звена 2 (х) к сектору [г, k + г] (рис. 5.10, б).
5.10
Рис.
При этом
1^л.э(р) =
(Р)
1+г^л (Р)
(5.38)
И
Z3 (x) = Z(x) — ГХ.
(5.39)
Если система нейтральна и имеет один нулевой корень, то добавление сколь угодно малой обратной связи г -> 0 приводит задачу к условиям, когда можно применить критерий абсолютной устойчивости.
Пример 5.8. Каким условиям должна удовлетворять нелинейная характеристика г(х) звена в системе с передаточной функцией ТГл(р) =
=	~ Для того, чтобы замкнутая система была абсолютно ус-
(Р'х — 1)(1 + рТг)
тойчива.
Найдем по формуле (5.38)
1
Ц7Л н (р) =----------------------- .
W ptT.Tz + piT.-TJ-l + r
Для устойчивости этой системы необходимо выполнение неравенств Tj > > Тг; г > 1.
Годограф И^л.э (/ш) системы второго порядка лежит Целиком в нижней полуплоскости. Так же в нижней полуплоскости лежит и годограф преобразованной частотной характеристики 1Гл.8.п(<о). Так как в этом случае прямую Попова можно провести через любую точку отрицательной действительной оси, вплоть
'	197
До начала косфЛйЙаТ, то условием абсолютной устойчивости при ti > слу^ жиг
О < г3/х < оо
и, следовательно, 1 < z/x < оо.
При Тг < Т2 система неустойчива при любой нелинейности.
Пример 5.9. Каким условиям должна удовлетворять нелинейная характе-
N
ристика в системе с передаточной функцией Ц7л(р) =	———М для то-
рг (1 +pJ)
го, чтобы замкнутая система была абсолютно устойчива? Рассматриваемая передаточная функция не соответствует условиям критерия абсолютной устойчивости по двум причинам: 1) она нейтральна, так как имеет один нулевой полюс и 2) она не стремится к нулю при <о -► оо.
Рис. 5.11
Для того чтобы было можно применить критерий абсолютной устойчивости, введем два малых параметра аир (см. § 2.8). Тогда
w =	(Р)	=___________N-MpT(l+pT)_____________
Л (1+ар)+рИ7л(р) р7’(1+ар)(1+р7’)+р[У-Мр7’(1+р7’)]'~
5.40)
~ М—МрТ (1 +рТ) ~ аГ р3 + Т2 р2 + рГ+рМ
Здесь учтена малость параметров а < Т и Р С 1.
Легко убедиться, что теперь оба препятствия к применению критерия абсолютной устойчивости сняты, так как система имеет все корни 1ГЛ 8 в левой полуплоскости и Ш'л.э (/со) -> 0 при <в -> оо.
Годограф Й'л.эО05) построен на рис. 5.11, а. Он состоит из трех четко выраженных 1	"
участков. При малых частотах, когда можно пренебречь высшими сте-
w и Ц7Л18 х	, он имеет вид дуги окружности радиуса
Р •* ’ ~I / wJ
который при Р -> 0 стремится к бесконечности.
При средних частотах, когда можно пренебречь малыми членами, содержащими множители а и Р,
пенями
N л э (/еэ) ~	,
/со? (I+jcoT)
198
и годограф имеет вид, характерный для инерционно-интегрирукмцего звена со сдвигом на —М. При высоких частотах, когда можно пренебречь низшими степенями <о,
М
Гл.в(/й)	--- ,
1 -j- /coot
и годограф имеет вид полуокружности с радиусом 0,544, лежащей во втором квадранте.
Преобразованный годограф получается путем умножения мнимой состав-
ляющей IV л а (1м) на <в (рис. 5.11, б). При этом дуга окружности бесконечного
N
радиуса преобразуется в прямую, уходящую из точки —W — М, —j — в беско
нечность параллельно действительной оси. Характеристика инерционно-интегри-рующего звена принимает вид отрезка прямой, а окружность радиуса 0,5 М преобразуется в прямую, уходящую в бесконечность из точки —М, параллельно мнимой оси.
Прямую Попова можно провести только левее точки —М—N, j0. Таким образом, условием абсолютной устойчивости является
0 < гя/х < l/(44-f-AZ) или р < г/х < l/(44-|-7V),	(5-42)
где Р — сколь угодно малая величина.
При решении задачи по Найквисту из рис. 5.11, а непосредственно следует, что
О < га/х <1/44,
так как годограф	пересекает действительную ось в точке —44, /0. В
этом угле могут быть выбраны такие нелинейности, что система будет неустойчивой.
Интересно заметить, что если не учесть условия lim IV э (/ш) = 0, то можно со—>оо
сделать неверные выводы относительно устойчивости системы.
Критерий абсолютной устойчивости Попова и прямой метод Ляпунова связаны между собой. Показано, в частности, что если критерий Попова выполняется, то существует V-функция Ляпунова в форме Лурье—Постникова, имеющая во всем фазовом пространстве знакоопределенную производную dV/dt со знаком, обратным знаку V (Л. 2, 28]. Это дает основания для предпочтения критерия Попова при практическом анализе устойчивости нелинейных систем автоматического управления с одной нелинейностью, поскольку он имеет удобную частотную форму.
При практическом применении критерия абсолютной устойчивости удобно пользоваться логарифмическими представлениями [Л. 71, 73, 25].
§ 5.4. РАСПРОСТРАНЕНИЕ КРИТЕРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НА НЕКОТОРЫЕ НЕОДНОЗНАЧНЫЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ
Рассмотрение критериев абсолютной устойчивости для систем с несколькими нелинейностями, с неоднозначными нелинейностями, а также с распределенными параметрами [Л. 137] выходит за пределы настоящего учебника. Однако некоторые задачи исследования систем
]9?
с неоднозначными нелинейностями могут быть сведены к задачам с однозначными нелинейностями путем структурных преобразований и могут быть легко исследованы описанными методами. Такое сведение более сложных нелинейностей к соединению линейных звеньев и однозначных нелинейностей было рассмотрено в § 2.7. Покажем на ряде примеров, как в этих случаях можно применять критерий абсолютной устойчивости для суждения о достаточных условиях устойчивости равновесия систем с типовыми неоднозначными нелинейностями.
Рис. 5.12
Пример 5.10. Определить условия устойчивости релейной системы с гисте" „	Л/
резисом. Пусть передаточная функция линейной части Ц7л (р) = ~	~ '
а нелинейность относится к типу релейный гистерезис и показана на рис. 5.12, а.
Как было показано в § 2.7, нелинейность типа релейный гистерезис может быть представлена в виде эквивалентной схемы, содержащей однозначную релейную (рис. 5.12, б) нелинейность, охваченную положительной обратной связью, зависящей от ширины М гистерезисной петли. Общая схема системы с такой нелинейностью показана на рис. 5.12, в. Относя линейную обратную связь к линейной части, получим структурную схему, показанную на рис. 5.12, г.
В этой схеме нелинейность однозначна и лежит в секторе [0, 1/ха], а линейная часть имеет передаточную функцию
N рТ(1+рТ)~М'
(5.43)
Таким образом, рассматриваемая задача сводится к примеру 5.9. Используя результат предыдущего примера, можно сделать вывод, что устойчивость обеспечивается при
\KM + N) > \/ха	(5.44)
или
N <ха — М=хь.	(5.45)
При этом характеристика г (х) не должна заходить в бесконечно малую область вблизи оси абсцисс.
Итак, условие абсолютной устойчивости равновесия рассматриваемой системы сводится к условию принадлежности характеристики г (х) (см. рис. 5.12, а) к углу
Р = г/х < /г= 1/xj, < 1/N.
Отсюда можно записать
fenp=l/W.	'	(5.46)
Эти условия значительно более жесткие, чем результаты анализа по Найквисту для заданного угла.
Пример 5.11. Рассмотреть устойчивость системы, содержащей линейное звено ^л(р) из примера 5.10 и нелинейность типа люфт.
Представляя нелинейность г (х) типа люфт с помощью эквивалентной схемы (см. § 2.7, рис. 2.21, а), получим схему, показанную на рис. 5.13, а. Выделяя линейную часть
№'Л1(Р) = 1/Р11 + И7Л(Р)]	(5.47)
201
и Нелинейность типа asign (рис. 5.13, б), можно считать, что нелинейная часть однозначна и принадлежит к углу
Р < Za/xa < k = « .
При этом Mk=0 и условие абсолютной устойчивости сводится к требованию, чтобы через начало координат можно было провести прямую Попова.
Рис. 5.14
На рис. 5.13, в построен годограф №,л.п1(<й) Для случая, когда годограф 117 л	+ 1 лежит в правой полуплоскости, а на рис. 5.13, г, когда этот годо-
граф заходит в левую полуплоскость. Из построения видно, что только в случае в возможно построение прямой Попова.
Таким образом, условие абсолютной устойчивости для системы с люфтом сво-
дится к выполнению неравенства
Re [№л (/«) + !] >0
или
Re №л (/<в) > -1.
(5.48)
(5.49)
202
Пример 5.12. Определить условия устойчивости для системы с упором, содержащей линейное звено из примера 5.10. Для системы с упором могут быть применены те же рассуждения, что и для системы с люфтом. Эквивалентные схе-мы для этого случая показаны на рис. 5.14, а и б. Теперь для преобразованной схемы
№л1 (Р) = ~ Р
1
1+№л(р)’
(5.50)
и так как условия принадлежности к правой полуплоскости 1 + 1ГЛ (/<о) и 1/[ 1 + 1ГЛ (/<а)1 совпадают, то условия абсолютной устойчивости для системы с упором совпадают с условиями (5.48) и (5.49) для системы с люфтом.
В качестве конкретного примера рассмотрим передаточную функцию 1ГЛ (р), соответствующую скорректированной системе стабилизации курса (см. §1.2). Для этого случая Ц7Л (р) = — у р _j_—+ 44 j и положение годографа И7Л (/®) зависит от соотношения М и N. При .V > М годограф лежит во втором и третьем квадрантах, а при М > N—только в третьем квадранте. Достаточное условие (5.49) не выполняется. Оно оказывается слишком жестким.
Требуемые выводы можно сделать из построения преобразованных годографов Fji.ni (<и) Для различных отношений М/N. Такое построение выполнено на рис. 5.14, в. Как видно из годографов, только для MIN > 1 через начало координат можно провести прямую Попова и, следовательно, только в этом случае выполняются условия абсолютной устойчивости, выражаемые неравенством
N < М.
(5.51)
§ 5.5. АБСОЛЮТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПРОЦЕССОВ
Абсолютная устойчивость положения равновесия во многих случаях оказывается недостаточной для обеспечения нормальной работы нелинейной системы автоматического управления при различных задающих и возмущающих воздействиях. Наряду с устойчивостью положения равновесия весьма важно обеспечить устойчивость процессов в нелинейной системе, вызываемых различными внешними воздействиями. Ранее в §5.1. асимптотически устойчивым был назван такой процесс в системе, который будучи возмущен, асимптотически возвращается к процессу, имевшему место в системе в отсутствие возмущений. Абсолютная устойчивость имеет место в том случае, если процесс получается асимптотически устойчивым для целого класса характеристик нелинейного звена в системе.
Б. Н. Наумовым и Я. 3. Цыпкиным [Л. 73] было найдено достаточное условие абсолютной устойчивости процессов в исходной системе при ограниченных входных воздействиях. Это условие для общего случая системы с неустойчивой линейной частью имеет вид
Re^W_+_l_
1+гГл(ущ) ' k-r
(5.52)
где г — коэффициент, обеспечивающий устойчивость линейной части, охваченной отрицательной обратной связью.
203
При этом производная нелинейной характеристики должна принадлежать полосе
г + Р dz(x)/dx k+ р,
(5,53)
где р — сколь угодно малая положительная величина.
В случае устойчивой линейной части, положив в (5.52) г = 0, получим
вых
ЕеГл(/<о)+1М>4,	(5.54)
k Re (» +1 > 0.	(5.55)
Для формулировки критерия абсолютной устойчивости процессов в общем случае преобразуем неравенство (5.52), вводя обозначениеklr=A, Re - fetl7jl + — >0,	(5.56)
где
(/со) =6Рл'(<о) + № («)•	(5.57)
Найдем на плоскости кРл !’и kQn геометрическое место точек, соответствующее замене (5.56) знака неравенства на знак равенства. Под-
ставляя (5.57) в левую часть (5.56), получим уравнение искомых кри-
ргРл + |(Д + 1)]2 + (Ш2=4<Л~1)2-	<5-58)
L 2	j	4
Уравнение (5.58) определяет семейство окружностей, проходящих через точку —1, /0, имеющих радиус R = (А — 1)/2 и расположенных левее прямой kPn = —1 (рис. 5.15). Каждой из окружностей соответствует свое значение А = klr 1.
Неравенство (5.56) будет выполняться вне А-окружностей, что легко установить, полагая Рл = <2л = 0 при & > 0, г > 0. Условие (5.56), а вместе с ним и условие устойчивости эквивалентной линейной части, будет выполнено, если годограф частотной характеристики будет находиться вне соответствующей А-окружности.
Укажем на то, что сетки А-окружностей совпадают с круговыми диаграммами, используемыми при построении вещественных частотных характеристик замкнутых систем по амплитудно-фазовым характеристикам разомкнутых систем (см. часть I, § 9.5),
При А = оо (т. е. при k = оо, или при г = 0) соответствующая окружность на рис. 5.15 обращается в вертикальную прямую, проходящую через точку —1, /0. Если условие абсолютной устойчивости выполняется для А = оо, то оно выполняется и для любого А.
204
Заметим, если в системе с устойчивой линейной частью нелинейная характеристика г (х) такова, что dz (x)ldx > г + Р, то можно пользоваться критерием абсолютной устойчивости процессов в форме (5.56), сравнивая расположение годографа частотной характеристики kWa (/ю) с окружностью для А = k!r<. оо; при этом условие абсолютной устойчивости менее жестко.
При А = 1 окружность вырождается в точку —1, /О и достаточное условие абсолютной устойчивости нелинейной системы переходит в необходимое и достаточное условие устойчивости линейной системы при k = г.
Очевидно, что при выполнении частотного критерия абсолютной устойчивости процессов будет также устойчиво и положение равновесия. В этом смысле рассматриваемый класс нелинейных систем обладает свойством, подобным свойству линейных систем.
Условия абсолютной устойчивости процессов в нелинейных системах более жестки по сравнению с условиями устойчивости положения равновесия: с одной стороны, они накладывают дополнительные условия в виде ограничений на производную нелинейной характеристики, с другой стороны, соответствуют частному случаю условия В. М. Попова при q = 0 (вертикальная прямая Попова).
При анализе абсолютной устойчивости процессов в случае, когда задана нелинейная характеристика z (х), все сводится к проверке-расположения частотной характеристики ^1^л (/со) относительно окружности с А, определяемой по заданной нелинейной характеристике, и к такому выбору параметров линейной части, чтобы характеристика /г№л (/со) находилась вне этой окружности.
Если, наоборот, задана частотная характеристика №л (/со), то можно найти зависимость допустимого значения г как функции от k. Это можно сделать, задаваясь различными значениями k, строя 6№л (/со) и определяя окружность, которой kWn (ja) касается. По А для этой окружности, зная значение k, определяется г.
§ 5.6. АБСОЛЮТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
Для нелинейной импульсной системы, у которой нелинейное звено НЗ включено перед импульсным звеном ИЗ (рис. 5.16, а), можно сформулировать достаточные условия устойчивости, основанные как на идеях прямого метода Ляпунова, так и на частотном критерии абсолютной устойчивости Попова. Более употребительными являются частотные формы достаточных критериев абсолютной устойчивости.
К числу первых работ на эту тему относится статья Я. 3. Цыпкина [Л. 122], в которой было доказано, что достаточным условием абсолютной устойчивости импульсной системы с нелинейной характеристикой, принадлежащей сектору [0, k\, является выполнение неравенства
КеИ7л*(/<о)4-1/А!>0,
(5.59)
205
где Щ7л* — частотная характеристика линейной импульсной части ЛИЧ системы, которая предполагается устойчивой. Нелинейная характеристика, принадлежащая сектору [0, k], может быть разрывной, неоднозначной и даже нестационарной.
Согласно этому критерию, абсолютная устойчивость обеспечивается, если годограф частотной характеристики №л* (/со) лежит целиком справа от вертикальной прямой, проходящей через точку —1/k, jO (рис. 5.16, б). Это условие будет не только достаточным, но и необхо-
димым в тех случаях, когда частотная характеристика Wn* (/со) такова, что ее действительная часть имеет минимум в точке пересечения с действительной осью (рис. 5.16,в). В этом случае предельное значение коэффициента k в линейной системе, в которой нелинейное звено заменено линейным с коэффициентом усиления k, определяемое по критерию Найквиста, совпадает с предельной границей сектора [0, k], определяемой по критерию Цыпкина.
Такие случаи, однако, сравнительно редки; в большинстве же случаев выполнение критерия (5.59) накладывает слишком сильные требования на параметры системы. Это связано с обязательной вертикальной прямой, относительно которой анализируется расположение частотной характеристики W*„ (jca). Напомним, что в основной формулировке критерия Попова для непрерывных систем прямая Попова, проходящая через точку —1/k, jO, может иметь любой наклон. Нетрудно увидеть, что предельные значения k для верхней границы сектора при этом получаются большими, чем при вертикальной прямой Попова.
206
Усиление критерия абсолютной устойчивости нелинейных импульсных систем в работах [Л. 96, 137] достигается за счет дополнительных условий, накладываемых на нелинейности в системе. Отметим среди этих критериев аналог критерия Попова, сформулированный я. 3. Цыпкиным [Л. 123] и справедливый для систем с монотонными нелинейными характеристиками. Согласно этому критерию достаточным условием устойчивости нелинейной импульсной системы с устойчивой линейной частью и монотонной нелинейной характеристикой, принадлежащей сектору [0, k], является выполнение неравенства
Re [1 +<7(1— е-/“ги)] ТГЛ*(»+ 1/6 = 6 > О, (5.60) где <7 — произвольное положительное число.
Оператор 1 — е~‘аТи соответствует взятию первой разности; он является аналогом множителя /со в неравенстве Попова для непрерывных систем.
Если ввести преобразованную частотную характеристику линейной импульсной части
^Л. П* (/“>) = ReHV(/со) +/ {Re [е~1^ №л* (»] - Re Ц7Л* (/со)]}, (5.61)
то критерий (5.60) получает такое же геометрическое истолкование, что и обычный критерий Попова для непрерывных систем. Нелинейная импульсная система устойчива, если при устойчивой линейной импульсной части через точку—1/6, /0 можно провести прямую с произвольным положительным наклоном 1/^так, чтобы годограф Ц7Л.П* (/со) лежал справа от нее.
В случае нейтральной или неустойчивой линейной импульсной части можно произвести структурные преобразования, сопровождающиеся охватом этой части системы внутренней отрицательной обратной связью так же, как это было сделано для непрерывных систем в § 5.3. При этом границы сектора, в котором может располагаться нелинейная характеристика, изменяются точно так же, как в случае непрерывных систем, а формулировка критерия сохраняется.
Для абсолютной устойчивости процессов в нелинейных импульсных системах автоматического управления Я. 3. Цыпкиным [Л. 122] получено достаточное условие, вполне аналогичное условию (5.52) для непрерывных систем
Re _+ _J_ = 6 > 0,	(5.62)
1 + гГл*» k-r	'	'
причем накладывается условие на производную нелинейной характеристики
г + Р <dz(x)/dx<6 + p, р->0,	(5.63)
которая в отличие от непрерывного случая может быть нестационарной Примеры исследования абсолютной устойчивости нелинейных им-
пульсных систем можно найти, например, в [Л. 25].
207
§ 5.7. СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Из рассмотренных методов анализа устойчивости нелинейных систем только метод фазового пространства дает возможность получить точно необходимые и достаточные условия устойчивости. Приближенно с точностью реализации модели, соответствующей заданной системе уравнений, необходимые и достаточные условия устойчивости могут быть получены с помощью математического моделирования.
Достаточные, но не необходимые условия устойчивости дает частотный критерий абсолютной устойчивости, причем прямой метод Ля-
пунова при определенном виде V-функции может дать область достаточных условий устойчивости более узкую.чем критерий абсолютной устойчивости В. М. Попова. Однако оба эти метода гарантируют устойчивость в заданной области.
Метод гармонической линеаризации в зависимости от степени выполнения гипотезы фильтра дает приближенное значение области устойчивости,
однако он не гарантирует устойчивость в этой области, так как
полученная с помощью метода гармонической линеаризации область может выходить за пределы границы устойчивости. В этой области
иногда возможны полигармонические автоколебания.
Схематически границы области устойчивости, полученные различными методами, показаны на рис. 5.17. Здесь аг и а2 — некоторые обобщенные параметры заданной нелинейной системы. Штриховкой отмечены области устойчивости, полученные различными методами. Если кривая 1 — действительная граница устойчивости системы, то кривой 2 показана достаточная граница устойчивости, полученная с помощью критерия абсолютной устойчивости В. М. Попова. Кривые 3 схематически показывают примеры границы, полученной на основании прямого метода Ляпунова при различных V-функциях.
Метод гармонической линеаризации дает границу (кривая 4), которая может выходить за пределы действительной области устойчи-
вости.
Приведенные общие выводы можно иллюстрировать следующими примерами.
Примерз. 13. Определить с помощью критерия абсолютной устойчивости равновесия предельный коэффициент усиления (Мй)Пр релейной следящей системы, рассмотренной в примере 4.2, и сравнить с предельными значениями коэффициента усиления, полученными с помощью гармонической линеаризации и экспериментально (см. рис. 4.14). Линейная часть системы имеет передаточную функцию
р (1 +0,2р)(1 +2р) •
(5.64)
208
Частота Переселения годографа №л0ш) с отрицательной вещественной Полуосью, найденная в примере 4.2, равна 1,58 сек-1. На этой частоте модуль частотной характеристики Ц7Л (j<a) = 0,182ft. Считая, что релейная характеристика (табл. 4.1) заключена в секторе [г, JV], где г — сколь угодно малое положительное число, А' = 2а]ха — нормирующий множитель, фигурирующий в методе гармонической линеаризации, и принимая во внимание выпуклый характер годографа (/со) для данной системы, получим согласно критерию условие абсолютной устойчивости
0,182ft < \/N,
откуда
(Мг)пр= 1/0,182 = 5,5 сек *.
Согласно рис. 4.14 точное значение (/Vft)np = 6,3 сек *, по методу гармонической линеаризации (Nk)ap = 8,6 сек~ *.
Все полученные решения соответствуют параметру аг на рис. 5.17.
Пример 5.14. Определить различными способами предельное значение коэф-N фициента N в передаточной функции линейной части 1Гл(р) =--------—;------,
рТ (1 + рТ)
если нелинейная характеристика соответствует трехпозиционному реле с гистерезисом и лежит в секторе ft — Мхь при относительной ширине М петли гистерезиса (см. пример 5.10).
Решая эту задачу с помощью фазовой плоскости (см. пример 3.10), получим точное значение Npp, которое является решением трансцендентного уравнения
2
е 1 Afnp \+Mk •
Для частного случая, когда М — 0,5 и ft = 2, получим /Vnp =^3,15.
Решая эту задачу с помощью критерия абсолютной устойчивости (см. пример 5.10), получим условие
Anp=l/ft=0,5.
При решении задачи методом гармонической линеаризации (без его уточнений для релейных характеристик) можно получить для данных параметров Апр = = 6,4.
Все три полученные решения для Afnp соответствуют параметру dj на схематическом рисунке 5.17.
Пример 5.15. Определить предельное значение коэффициента W для Ц7л(р) = А
•=	~ > если нелинейность имеет характеристику типа люфт.
Точное решение этой задачи приведено в примере 3.12. Из графика 3.49, а видно, что для данного случая Nnp = 3,04.
Решение этой задачи методом абсолютной устойчивости (см. пример 5.11) дает условие (5.49), которое при вычислении lim Re Ц7Л (/и) = —N приводит СО—
к значению А'Пр = 1.
При решении задачи методом гармонической линеаризации после соответствующих построений №л (/со) и РН(Д) можно получить Апр = 3,5 (см. пример 4-6).
Все полученные решения для А/пр соответствуют параметру ах на рис. 5.17. Сравнение методов для более высокого порядка линейной части приведено в [Л.80].
ГЛАВА VI
КАЧЕСТВО ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
§ 6.1. ОСОБЕННОСТИ КАЧЕСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Задача достижения качества процессов в нелинейных системах автоматического управления является такой же важной, как и в линейных системах. Для суждения о качестве нелинейных систем можно использовать те же показатели, что и в случае линейных систем (см. гл. IX части I). Анализ качества процессов управления в нелинейных системах сопряжен с большими трудностями, чем в линейных (см. гл. III). С другой стороны, нелинейные системы обладают большими возможностями для достижения хорошего качества. В них можно обеспечить оптимальные с какой-либо точки зрения, например по быстродействию, процессы управления.
В настоящей главе рассмотрены основные методы анализа переходных процессов и качества нелинейных систем автоматического управления, а также отдельные вопросы, связанные с синтезом нелинейных систем.
Так же, как в случае линейных систем, методы анализа качества нелинейных систем автоматического управления можно разделить на прямые и косвенные. Прямые методы основаны на построении исследуемого процесса тем или иным способом. Основные прямые методы приведены в § 6.1—6.3. Косвенные методы оперируют с теми или иными косвенными показателями, связанными с характером процессов управления. Эти методы рассмотрены в § 6.4, 6.5.
Разработка методов анализа качества нелинейных систем автоматического управления связана с именами Е. П. Попова и И. П. Паль-това [Л. 94], Я. 3. Цыпкина [Л. 122, 125], Б. Н. Наумова [Л. 71, 72], Д. А. Башкирова [Л. 83], А. В. Башарина [Л. 13], а также Боксера, Талера и др.
§ 6.2. МЕТОД ПРИПАСОВЫВАНИЯ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
Если характеристика нелинейного звена в системе (рис. 6.1, а) может быть аппроксимирована ломаной линией (рис. 6.1, б), то поведение кусочно-линейной системы можно описать совокупностью линейных дифференциальных уравнений, сменяющих друг друга в точках сопряжения. Переходный процесс выражается на отдельных ин-210
тервалах времени решениями этих дифференциальных уравнений, причем конечные значения предыдущего решения и его производных являются начальными условиями для последующего решения [Л. 97].
Если линейная часть описывается дифференциальным уравнением второго порядка, то припасовывание решений при переходе от одного участка к другому удобно производить на фазовой плоскости так, как это выполнялось в примерах в гл. III.
Пример 6.1. Рассмотрим переходные процессы в системе с переменной структурой, схема которой была изображена на рис. 3.43, а фазовый портретца рис. 3.44. При этом пусть k0 = 1, а коэффициент наклона прямой переклю-
чения (см. рис. 3.44, г) имеет*два значения: a) k = 0,5; б) k = 1,0. Переходные процессы будем рассматривать при отработке начального рассогласования-, т = = 0, уг = уы, уг = Q (рис. 6.1, а).
Движение системы на первом участке (от горизонтальной оси до линии переключения) может быть описано во временной области на основании выражений (3.33)
У1 = Ую cost, У2= —У10 sint.
(6.1)
Уравнение линии переключения
Уг= —kyi.	(6.2)
Поэтому относительное время переключения тп после подстановки (6.2) во второе равенство (6.1) и почленного деления результата подстановки на первое равенство (6.1) может быть найдено из уравнения
fe=tgTn
или
Tn=arctg k.
(6.3)
211
На втором участке движения системы имеет место скользящий режим на прямой переключения уг = —kylt описываемый согласно (3.42) в параметрической форме уравнениями
—k(x— г_) f/i=^in е п
Уя—Угпв v nh
(6.4)
где щп н у2п— значения фазовых координат системы при т = тп.
На р ис. 6.1, г показаны два варианта переходных процессов в системе (при k = 0,5 и k = 1). Время переключений соответственно будет 0,55 и п/4. Из этого рисунка видно, что при k < 1 время переходного процесса получается большим, чем при k = 1.
Рис. 6.3
Применение метода припасовывания к системам высокого порядка с нелинейными характеристиками, имеющими много участков, сопровождается в общем случае громоздкими вычислениями.
Наиболее просто в этом случае метод применяется к релейным системам В этих системах включение и выключение реле приводит к появлению в цепях управления импульсов постоянной высоты, переменной длительности и чередующейся полярности. Благодаря этому исследование процессов в релейной системе автоматического управления сводится к исследованию поведения линейной части системы при воздействии на нее указанных импульсов. Принцип суперпозиции позволяет при этом найти общую реакцию линейной части системы на 212
любое число импульсов простым суммированием реакций на каждое воздействие порознь.
Рассмотрим релейную систему автоматического регулирования, изображенную на рис. 6.2, а. Пусть релейное звено РЗ имеет характеристику, показанную на рис. 6.2, б, а линейная часть ЛЧ — переходную функцию Лл (/) (рис. 6.2, в). Пусть при t — 0 линейная часть находится в покое и у = 0 (нулевые начальные условия). Будем искать движение системы при действии на ее входе произвольного сигнала и (/) (рис. 6.3, а). При t = txx = ха, и реле срабатывает. На входе линейной части действует сигнал
z (0 = za 10 (* —G),	(6.5)
и выходной сигнал начинает изменяться по закону
y(t) = y1(t) = zahil(f-tl),	(6.6)
а рассогласование — по закону
x(0 = u(i) — y(t)=u(t) — y!(f)-=u(t)—zahn(t — ij. (6.7)
Графики изменения и (t) , у (/) и х (/) показаны на рис. 6.3, а. Рассогласование х (i) уменьшается и при t = t2 делается равным хь, в результате чего реле отпускает, что эквивалентно подаче на линейную часть системы отрицательного скачка —za 10 (/ — /2) при сохранении действия сигнала zal0 (t — /х) (рис. 6.3, б). Выходной сигнал начинает изменяться следующим образом:
P(0=-!/i(0 + i/2(0= zaha(t — /J—zahn(t — /2),	(6.8)
а рассогласование определяется выражением
х (/)= и (/)—у (0 = и (t) — za [Лл G— ti)—h„ {t — ta)].	(6.9)
Построение графика x (/) позволит определить момент t3 следующего срабатывания реле, причем в зависимости от вида и (0 и у (t) реле может сработать как в положительную (х = хо), так и отрицательную (х = —ха) стороны. Общие выражения для у (t) и х (/) имеют вид
Н0 = 2±гЛл(*-^	(6.10)
i=l
А
x(t) =u(t)—y(f) = u(t)_ 2 ±zahn(t— it),	(6.11)
i=i
где k — число переключений реле от t =0 до рассматриваемого момента времени t, знак плюс у слагаемых берется при срабатывании реле в положительном и отпускании в отрицательном направлениях, а знак минус — при срабатывании реле в отрицательном и отпускании в положительном направлениях.
По мере роста t число слагаемых увеличивается, однако это не затрудняет построений, так как в системах со статической линейной частью
213
hn (f) го мере роста t стремится к установившемуся значению, равному коэффициенту усиления линейной части k. Установившиеся значения с разными знаками взаимно уничтожаются, так что общее число слагаемых, зависящих от t, остается небольшим.
Если линейная часть
Рис. 6.4
системы содержит интегрирующее звено, и переходная функция йл (/) неограниченно возрастает с ростом времени t, то в этом случае нужно из нее выделить возрастающую линейную часть (рис. 6.4,а), соответствующую интегрирующему звену. Сумма возрастающей части йл1 (/) и оставшейся ограниченной части Лл2 (О равна переходной функции.
При построении процесса (рис. 6.4, б) в каждый момент переключения добавляются (с соответствующим знаком) две составляющие: 2ahnl (t — ti) н Za hui (t — td-
Общее выражение для сигнала у принимает вид к
//(0=2 ± 2а/гл1(/ — 1 = 1
к
— 0)+.2 ±zahSiz(t — ti).
(6.12)
Сумма смещенных линейных функций есть также линейная функция, это обстоятельство позволяет не строить бесконечно возрастающие составляющие, а сразу рисовать их сумму в виде ломаной линии, участки которой имеют наклоны 0, 4-зо£и — zak и меняют эти наклоны в моменты переключения. К этой сумме добавляются с соответствующими знаками ограниченные составляющие ±zahл2 (/ — 0), причем как и в случае статической линейной части, определение моментов переклютения производится по мере построения самого процесса (рис. 6.4, б и 6.4, в).
Метод припасовывания в рассмотренной форме пригоден для расчета переходных процессов не только в релейных, но и в цифровых системах с непрерывной передачей сигналов. Такие системы имеют ступенчатые нелинейности (см. рис. 1.17); примеры построения процессов в них рассмотрены в [Л. 12].
214
$ 6.3. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
Основная идея разностных методов состоит в приближенной замене нелинейного дифференциального уравнения разностным уравнением, которое само по себе можно рассматривать как готовое рекуррентное соотношение, позволяющее вычислять процессы последовательно, точка за точкой. Эти вычисления могут быть выполнены на цифровой вычислительной машине, причем составление программы для нее в случае разностных методов не представляет трудной задачи.
Простейшим среди разностных методов является метод Эйлера, рассмотрение которого начнем с примера нелинейного дифференциального уравнения первого порядка.
Пусть дано дифференциальное уравнение
dy/dt=f(y,i)	(6.13)
с начальным условием у (0) = у0.
Выбрав достаточно малый шаг Д/, построим сетку равноотстоящих значений
tt=lM (/ = 0,1,2, 3,...).	(6.14)
Заменим приближенно дифференциальное уравнение (6.13) на /-ом участке
_J/HL+llA£L-JL(£AfL =f [у (I bt), IА/],	(6.15)
д/
ткуда
//[(/ + 1)Д/] = у(/а/)+Ну(/а/), 1М] А/.	(6.16)
Последнее соотношение и является нелинейным разностным уравнением, с помощью которого можно последовательно вычислять дискретные значения
i/i=y(A/) = «/o + f(yo,O)A/,
Уг = У (2 А/) = У1 + f (yL, Л/) А/,
(6-17)
У1+1 = У КН I) Ы\=УгЧ (У1, /А/) А/.
Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений, записанных в нормальной форме и описывающих процессы в нелинейных системах автоматического управления при наличии внешнего воздействия,
dyddt^fityi, у2...yn,f) (/ = 1,2, ...,п).	(6.18)
В этом случае вместо одного рекуррентного соотношения (6.16) нужно записать серию соотношений
уН(/+1) Д/] = yt(l	А/), УЛ А/), - , уп{1 М)} А/, (6.19)
215
пб которым далее производить вычисления последовательных значений аналогично (6.17).
Имеется целая группа разностных методов решения нелинейных дифференциальных уравнений, основанных на той же идее, что и метод Эйлера, и отличающихся от него большей точностью: методы Рунге— Кутта, Адамса, А. Н. Крылова и др. [Л. 35]. Все они приводят в результате к рекуррентным соотношениям типа (6.19), по которым и производятся вычисления.
Для некоторых из них (например, для метода Рунге—Кутта) разработаны стандартные подпрограммы, что значительно упрощает задачу применения цифровых вычислительных машин.
Рис. 6.5
С методом Эйлера тесно связаны графоаналитические методы А. В. Башарина [Л. 13] и Д. А. Башкирова ]Л. 83, 97], в которых определение последовательных дискретных значений процесса сопровождается графическими построениями.
Переход от нелинейных дифференциальных уравнений к нелинейным разностным уравнениям может быть осуществлен путем приближенной замены исходной нелинейной непрерывной системы автоматического управления импульсной системой. Такая замена может быть выполнена различными способами. Прежде чем описывать их, рассмотрим построение переходных процессов в нелинейных импульсных системах.
Пусть нелинейная импульсная система изображается структурной схемой (рис. 6.5). Нелинейное звено НЗ с характеристикой г (х) включено перед идеальным импульсным звеном ИЗ. Приведенная непрерывная часть ПНЧ имеет передаточную функцию Wn н (р), ей соответствует передаточная функция линейной импульсной части системы
W * (0-)=	- ^^ + few_lg(m~1)P7"+- + feo
Л (Р)	2*(р) dnenpr- + dn_^pT^...+da	'	(620)
которая, в свою очередь (см. § 14.2 в части I), может быть переписана в виде разностного уравнения
^пУ[(^+п)^и] +^п-1 {/[(/+ п — 1)ГИЦ-
+ ...+<10//(/Ти) = ^г[(/+ш)Ти] +
216
z[(/+m-1) TJ + ... +Л, z(lTJ. (6.21)
Последнему соответствует рекуррентное соотношение
У К/ + п) Тя]	[(l + m) Ти] + ... + k0 г(1Тя) -
ап I
-dn_ly[(l + n-l)Ta]-...~doy(lTa)y	(6.22)
в котором
z(iT„) =z[x(iTa)] = z\[u\iTa)—y{iTa)].	(6.23)
Соотношения (6.22) и (6.23) позволяют вести последовательный расчет дискретных значений процессов в нелинейной импульсной системе при произвольном входном сигнале и (1ТЯ), начиная с I = —га, точно так же, как это делалось в линейных импульсных системах (см. пример 14.4 в части 1). Единственное отличие состоит в том, что в уравнение (6.22) входит нелинейная зависимость z (х).
В основу построения переходных процессов в нелинейных импульсных системах автоматического управления может быть положен также второй метод, использующий весовую функцию приведенной непрерывной части и)п н (/). Аналогично соотношению (14.41) из части I для нелинейной системы можно записать
//(/Ти)= 2 г 1« иТИ)-у(1ТИ)]	т„]	(6.24)
1=0
и далее рассчитывать последовательные дискретные значения у (1ТИ), начиная с I = 1, поскольку дап.н (0) =0 (при m < га). По этой же причине верхний предел в сумме взят равным / — 1.
Если весовая функция щп.н (0 не задана, то ее можно найти по реакции приведенной непрерывной части на единичный импульс или по передаточной функции Wn* (р) так, как это было показано в § 14.2 в части I.
Достоинства и недостатки обоих методов были отмечены в части I (§ 14.2). Естественно, что соотношения (6.22) — (6.24) могут быть легко использованы для составления программы цифровой вычислительной машины, применение которой желательно в случае большого объема вычислений (например, при малом Тя).
Промежуточные значения выходного сигнала в нелинейных импульсных системах тоже могут быть найдены аналогично линейным системам.
Таким образом, определение законов изменения сигналов в нелинейных импульсных системах принципиальных трудностей не представляют. Рассмотрим теперь способы приближенного перехода от непрерывных систем к импульсным.
Обратимся к нелинейной системе автоматического управления (рис. 6.6, а), содержащей-нелинейное звено НЗ и линейную часть ЛЧ Пусть под влиянием внешнего воздействия и (f) в ней существует процесс, который характеризуется временными диаграммами для сигналов z (f) и у (/) (рис. 6.6, б). Из этих двух сигналов второй у (t) является 217
следствием действия первого сигнала z (/) на линейную часть системы. Заменим непрерывно изменяющийся сигнал z (/) последовательностью периодически следующих мгновенных импульсов так, чтобы у (/) при этом не изменился (рис. 6.6, в). Площадь каждого импульса берется равной значению сигнала z (/) в момент действия импульса, умноженному на период Та. При малых 7И площади мгновенных импульсов приближенно равны площадям импульсов изменяющейся формы, на которые разбивается моментами съема действительный сигнал z (/) (на рис. 6.6, в показано для /-го момента схема). Малость Та является также условием приближенно одинакового действия, которое окажут
Рис. 6.6
на линейную часть системы действительные и мгновенные импульсы, вследствие чего у (/) почти не изменится. Чем меньше Та, тем более точным оказывается приближение.
Замена непрерывного сигнала последовательностью модулированных мгновенных импульсов соответствует переходу от непрерывной системы к импульсной (рис. 6.6, г). В ней Z* (р) л;~ Z (р), приведенная непрерывная часть системы имеет передаточную функцию №„,и (pl = Ти №л (р). Множитель Ти играет роль передаточной функции формирующего звена. Он должен измеряться в тех же единицах, в которых измеряются все постоянные времени в системе. .Для нахождения передаточной функции линейной импульсной части системы * (р), соответствующей Ти№л (р), можно пользоваться одним из способов, приведенных в части I (см. гл. XIII). Далее для расчета процессов в получившейся нелинейной импульсной системе нужно применить один из двух описанных выше методов.
Пример 6.2. Найти передаточную функцию Ц7Л (р) и рекуррентные соотно-k
шения для системы, у которой Wa (р) = —. Пользуясь формулой (12.45)
из примера 12.5 в части I и учитывая множитель Т^, получим
218
/	_£и\	/	_f±\
>,(>)- tr^'7	T- - (6-26)
(е₽7и—11 е₽?и — е~У) е2рГи— \1+е~Т) ерТ* + е~Т
Соответствующее разностное уравнение имеет вид
I	——j	——
!/[(/ +2) Тя]-\1+< т J у 1(1+1) Ги]+е г//(/Ти) =
= ^и(1-е~У)г[/+1)Ги],	(6‘26)
откуда
/ Ги\
«/[(/ + 2)	Т1 г [(/+1)7^] +
(	~т)	(6.27)
+ \1+е т ) у [(/ + 1) Ги]-е т у(1Ти),
г [(/+1) Ти] = г { и [(/+1) ТИ]-у [(/+1) Ти]}.	(6.28)
а)
Рис. 6.7
Весовая функция приведенной непрерывной части может быть получена в виде дискретных значений реакции линейной части 7’и117л(р) на единичный импульс. Для рассматриваемого примера она была найдена в части I в примере 5.1, формула (5.11), из которой получим
/ т
I йп. и (/Т’и) = ^7’и\1 — е г
Подставляя (6.29) в (6.24), имеем
У ЦТп) = 2 1“ (*Ти)-У (<ТИ)] kTa [1 -е 1=0
(6.29)
(6.30)
Замену действительного сигнала 2 (t) последовательностью мгновенных импульсов целесообразно производить, если степень знаменателя передаточной функции Wn (р) превышает степень числителя не менее, чем на 2. В противном случае степени числителя и знаменателя
219
№л* (p) могут оказаться райнЫми (т — п). Это будет Означать, ЧТО В правой части соотношения (6.22) сигнал г должен браться в тот же момент времени, что и у в левой части. В результате рекуррентное соотношение обратится в нелинейное уравнение.
Осложнения при этом получаются и с соотношением (6.24), поскольку к?п.п (0)=/=0 при т = п. Оно также обращается в уравнение.
Вместо мгновенных импульсов при замене непрерывного сигнала можно взять импульсы более сложной формы, обеспечивающие более точную аппроксимацию. На рис. 6.7, а показана замена непрерывного сигнала прямоугольными импульсами с коэффициентом заполнения, равным единице (ступенчатая аппроксимация). Соответствующая этой замене линейная импульсная часть системы (рис. 6.7, б) имеет формирующее звено с передаточной функцией
1_e~pTl1
W*<P)= —--------,
Р так что |	— РТ-щ
^п.н(р) = —------Гл(р).	(6.31)
Р
Пример 6.3. Найти передаточную функцию Ш'* (р) и рекуррентные соотношения при ступенчатой аппроксимации для системы, рассмотренной в примере 6.2. Для линейной приведенной непрерывной части имеем передаточную функцию
Р Р(Д + рТ)‘
(6.32)
Соответствующая ей передаточная функция IT* (р) может быть получена на основании формулы (13.55) из примера 13.2 в части I
(6.33)
откуда
г GT’h) +
/	— —\	- Ги
+ 1+е т )yW+^TH]-e'T у(1Та),
(6.34)
где г(«Ги) получается из (6.23).
Сравним способы перехода от дифференциальных уравнений к нелинейным разностным уравнениям, основанные на методе Эйлера (и подобных ему упоминавшихся выше методах приближенных вычисле-220
НИЙ) и на приближенной замене непрерывной системы импульсной системой. Запись уравнений движения системы в нормальной форме (6.18), применяемая в методе Эйлера, соответствует структурному представлению ее в виде соединения интегрирующих звеньев с предварительно включенными нелинейными звеньями с многими входами, перекрестными связями и внешними воздействиями (рис. 6.8, а).
Переход от (6.18) к (6.19) соответствует включению импульсных и формирующих звеньев с прямоугольными
импульсами перед всеми не-
линейными звеньями (на рис.	рИс. 6.8
6.8, б показано для одного звена).
Таким образом, метод Эйлера можно рассматривать как обобщение метода, рассмотренного в примере 6.2, на случай более сложной струк
туры.
Пример 6.4. Рассчитать переходные процессы в релейной следящей системе (рис. 6.9, а) с линейной частью, имеющей передаточную функцию
k
при k = 4 сек~!, Т= 1 сек.. Характеристика нелинейного звена приведена на рис. 6.9, б. Входное воздействие имеет вид и (/) = 10- 10(/). При расчетах воспользоваться двумя схемами импульсных систем (с мгновенными и прямоугольными импульсами).
Для нахождения рекуррентных соотношений можно использовать результаты, полученные в примерах 6.2 и 6.3. Возьмем Та = 0,1 Т = 0,1 сек. Для системы с мгновенными импульсами из (6.27) и (6.28) находим
У [(/ + 2) Ти] = 0,03808 z [(/ + 1) Ти] + 1,9048г/ [(/+1) Ги]—0,9048г/ (/Ти), (6.35)
z [(/+1) Ти] = г [и [(/+1) Тя]-у [(/+ 1) Ти]} =
= г {lO-lo [(/+ 1) Ти]-у [(/+ 1) Ти]}-	(6.36)
Для системы с прямоугольными импульсами при Тп = 0,1 сек из (6.34) находим
у [(/ + 2) TH] = 0,0192г [(/+1) Ти] + 0,01888г (/Ти) +
+ 1, 9048г/ [(/ + 1)Ти]_0,9048г/ (1Та),	(6.37)
где
z(iTu) = г [и (гТи) — у (г'Ти)] =z [ 10-10 (гТи) у (rTH)],	(6.38)
(» = /, /+1).
221
На рис. 6.9, в приведены графики переходных процессов (начальные участки графиков, соответствующие разгону системы, не показаны), рассчитанные по полученным формулам на цифровой вычислительной машине «Днепр-1». Здесь же для сравнения приведен точный график переходного процесса при тех же условиях, полученный с помощью метода припасовывания. Из приведенных графиков видно, что процесс в системе с мгновенными импульсами имеет опережение. Это объясняется тем, что при замене управляющего сигнала z (/) (см. рис. 6.6, в) последовательностью мгновенных импульсов, последние действуют в начале действительных импульсов z(f). Для уменьшения погрешности расчетов в системе с мгновенными импульсами можно ввести в линейную часть последовательно запаздывающее звено с временем запаздывания 1/2Ти.
Процесс в системе с прямоугольными импульсами совпадает с точным процессом до момента вхождения в зону нечувствительности (9,5 < у < 10,5).
Увеличение разницы между действительным и вычисленными процессами с ростом времени свидетельствует о накоплении ошибки, что вообще характерно для разностных методов.
Повышение точности может быть достигнуто уменьшением Та.
Важным вопросом при использовании разностных методов является правильный выбор периода Тя: чрезмерное уменьшение его приводит к увеличению объема вычислительной работы, выбор недостаточно малого Тк приводит к увеличению погрешностей.
Полная эквивалентность схем, изображенных на рис. 6.6, а и г имеет место при выполнении условий обобщенной теоремы Котельникова (см. § 13.1 в части I)
®гр + ®гР1^сйи = 2л/Ти,	(6.39)
222
у
где ®гр — граничная частота спектра z (/со) непрерывного сигнала z (I); ®гр1 — граница полосы пропускания частотной характеристики приведенной непрерывной части 1^п.н (/«).
Чтобы избежать анализа спектра сигнала г (7) (в общем случае это очень сложная задача) и построения частотных характеристик Гп.к (jw), можно рекомендовать следующую процедуру [Л. 35]. Производится построение процессов при периоде Та, во много раз (например, в 10 раз) меньшем, чем наибольшая постоянная времени линейной части системы. Затем повторно строят процессы при вдвое меньшем Та. Если построенные процессы близки, значит выбор Ти был сделан правильно.
Заметим, что рассмотренные разностные методы, основанные на включении импульсного звена, могут применяться для построения переходных процессов не только в нелинейных, но и в линейных системах автоматического управления. Импульсное звено можно включать в цепь входного сигнала, описывая замкнутую часть системы единой передаточной функцией Wa (р). При этом пропадает уравнение замыкания
х = и — у	(6.40)
и вычисления упрощаются. Переход от дискретных изображений к оригиналам можно выполнять с помощью любого из методов, изложенных для линейных импульсных систем в гл. XIV части I.
§ 6.4. ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ НА ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМАХ
В данном параграфе рассмотрен метод, который позволяет найти верхнюю оценку разницы между переходными процессами в нелинейной и некоторой линейной системах. Последняя получается из исходной нелинейной системы путем замены нелинейной характеристики на близкую к ней линейную. Метод может применяться как к непрерывным, так и к импульсным системам автоматического управления.
Рассмотрим непрерывную нелинейную систему автоматического регулирования (рис. 6.10, а). В ней нелинейное звено z (у) включено в середине цепи управления между линейными звеньями с передаточными функциями (р) и IV 2 (р), а выходной сигнал поступает на сравнение не непосредственно, а через звено с передаточной функцией lVa (р). Таким образом, рассматриваемая структурная схема имеет довольно общий характер.
На рис. 6.10, б изображена статическая характеристика нелинейного звена z (р). Заменим нелинейное звено с этой характеристикой параллельным соединением линейного звена с характеристикой гл (р) = = kuy (см. рис. 6.10 б), нелинейного звена с разностной характеристикой ад (р) — z (р) — kn у (рис. 6.10, в). Максимальное (по абсолютной величине) значение разности равно гд тах; линейная характеристика должна проводиться таким образом, чтобы гд тах было минимальным.
223
На рис. 6.11, а изображено параллельное соединение двух звеньев, а на рис. 6.11, б эта часть схемы системы перерисована по-новому с разорванной нелинейной связью между сигналами у и zA. Это означает, что далее не будем интересоваться реальным характером изменения сигнала 2д (/) во времени. Будем лишь иметь в виду, что по абсолютной величине этот сигнал всегда меньше 2Дтах.
В результате всех выполненных преобразований получается экви---- валентная j схема системы (рис. 6.11, в). Это линейная система, на которую помимо основного сигнала и (t) действует дополнительный сигнал 2д (0, который и отражает влияние нелинейности г (у)
Рис. 6.10
на динамические процессы в системе автоматического регулирования. Найти влияние нелинейности можно, если, пользуясь принципом суперпозиции, определить составляющую зд (/) выходного сигнала системы, возникающую при действии дополнительного сигнала 2д (/). Определить полный вид этой составляющей нельзя, поскольку неизвестен характер изменения zA (t). Но можно оценить величину этой составляющей по модулю, так как она возникает при действии сигнала, ограниченного по абсолютной величине.
Оценка влияния ограниченных сигналов на линейные системы была выполнена Б. В. Булгаковым; он дал этой проблеме название задачи о накоплении [Л. 1] (смысл этого названия станет ясным далее).
Рассмотрим решение задачи Б. В. Булгакова применительно к данному случаю. Будем считать, что и — 0 (принцип суперпозиции) и система находится при нулевых начальных условиях. Будем также считать, что полученная линейная система устойчива. Для изображения выходного сигнала имеем
(5д(Р) = ^3д(Р)2д(Р),
(6.41)
224
где
^ад(Р)
^г(Р)
1 + Ъ(₽) ’
Wp(p) = kBW1(P>W2(p)Wa(p).
(6.42)
(6.43)
Передаточная функция И73д (р) связывает выход системы с дополнительным сигналом 2д (р).
В выражении (6.41) можно перейти к оригиналам, если воспользоваться теоремой свертывания и вспомнить, что оригиналом передаточной функции №зД (р) является соответствующая весовая функция да3д(0-
<1
Зд(0 = $а'зд(т)2д(/— т) dr.	(6.44)
о!
Рис. 6.11
Возьмем модуль от правой и левой частей (6.44), переходя к неравенствам
| 5д (I) I = ^шаД(/ —т)гд(/—t)Jt) о
t	t
< J | йУзд (т) I • I 2д (t~т) I dr sC 2д max 51 ©зд (т) I dr. (6.45) 0	Q
Рассмотрим последний интеграл, заменив в нем весовую функцию на производную соответствующей переходной функции
t	t
Z\ max J | ^аД (т) | dr — Z^jnax о	о
^зд£2 dt
dr.
(6.46)
He будь символа модуля под знаком интеграла, он в каждый момент времени был бы равен /гад (/). Из-за знака модуля интеграл 8 Зак. 447	225
(6.46) приходится брать раздельно по участкам знакопэстоянства производной (у->0, рис. 6.12,а)
Ы зХ?) dx
М 3Ат)
J dx о
С и №
J dx v
Рис. 6.12
+ (^2------/11)----	,
к p(hpT)
Рис. 6.13
<1
в результате чего в общем случае интеграл (6.46) можно выразить через разность соседних экстремальных значений йзД (t)
t
J | I= I Ло I + I Л1-Ло I +1 h.-h, I +... + I йзД (t)-hr I, (6.47) о
где hr — последний экстремум переходной функции перед рассматриваемым моментом времени i.
Итак, в любой момент времени t влияние нелинейности не превышает по модулю оценки, определяемой формулой
8 (0 = 2Д max [ | ft ol + |fti—Ло 1 +1 Ла—fti 14- - - - ч-1 Лзд (t)~hr I ]. (6.48)
График верхней оценки показан на рис. 6.12, б. Он монотонно растет; это означает, чтр рлиярие недаейнортр может накапливать^ №
с ростом времени, стремясь к верхнему пределу б,», который может служить верхней оценкой для любого момента времени
б-=гДтах 2j [|Ло1 + |Л«—hi-t |].	(6.49)
i=i
Оценка 6» может быть просто получена из графика переходной функции /1зД (/) (см. рис. 6.12, а) путем суммирования модулей последовательных разностей экстремумов. В некоторых случаях она может быть выражена в замкнутой форме через параметры системы.
Описанный метод позволяет оценить разницу между динамическими процессами в нелинейной и близкой к ней линейной системе, получаемой путем замены нелинейной характеристики на линейную. Когда найденная оценка достаточно мала, можно анализировать процессы в системе, пользуясь хорошо развитыми линейными методами теории автоматического управления.
Оценки, определяемые по формулам (6.48), (6.49), получаются достаточно малыми только в тех случаях, когда величина гДтах мала, т. е. для нелинейных характеристик, мало отличающихся от линейных. Такие нелинейные характеристики получаются для люфта, гистерезиса, проволочного и секционированного потенциометров или аналого-цифрового преобразователя (см. рис. 1.17, 1.19, 1.22). Величина суммы, стоящей в выражениях (6.48), (6.49), зависит от перерегулирования и колебательности системы в линейном приближении.
Пример 6.5. Оценить влияние люфта на переходные процессы в следящей системе с линейной частью второго порядка (рис. 6.13, а). Замена нелинейного звена линейным с коэффициентом усиления Ан = 1 дает эквивалентную схему с дополнительным сигналом (рис. 6.13, б). Дополнительный сигнал действует прямо на выход системы. При этом аДтах = уа, как это следует из характеристики люфта (см. рис. 6.13, а).
Передаточная функция 1ГзД (р) выражается согласно (6.42) и (6.43)
1+р(1 + рТ)
Р(1+РГ)	1
Р(1+РП+*
(6.50)
Переходная функция в соответствии с (3.94) из части I имеет вид
__L Г /4^7—1	1	/4йГ —1
й,Л(/) = е 2г cos --------<-|- г-_----• sin --—-----<]. (6.51)
зДК ' L 2Т	/4kT— 1	27
На рис. 6.14, а представлен график переходной функции ЛаД (0 для следующих значений параметров системы: k = 14,14 сект1-, Т = 0,1 сз/. Эти значения обеспечивают запас по фазе 45° в линейной системе. На рис. 6.1а4, б показаны переходные процессы в следящей системе с этими значениями параметров при скачкообразном изменении u(t) от 0 до 5 при t = 0 и нулевых начальных условиях. Величина зазора 2t/o принята равной 0,5. Цифрой 1 на рис. 6.14, б обозначен процесс в линейном приближении системы, цифрой 2 — переходный процесс в действительной системе (он рассчитан методом припасовывания). На рис. 6.14, в даны графики изменения разности процессов 2 и 1 (т. е. величины 2Д(() и оценок 6 (0 и —6 (0, построенных согласно рис. 6.14, а при 2Дтах •=• уа = 0,25. Между кривыми б и —6 заключена область возможного изменения разности гд (7). Из последнего рисунка видно, что величина 6 (0 в данном примере позволяет доста
8*	227
точно точно оценить максимальное значение модуля разности между действительными переходными процессами и переходными процессами в линейном приближении, т. е. достаточно точно оценить сверху влияние нелинейного звена (в данном случае люфта) на переходные процессы в системе автоматического регулирования.
Выражение для максимальной оценки 6^ может быть найдено в данном примере в замкнутой форме. Для переходной функции (6.51) моменты времени для 2яТ	4яТ
экстремумов tlt t2, t3, ... соответственно будут
бяТ
—,	.Начальное значение
У 4kT — 1
экстремальные значения
— 1 ’ У 4kT — 1 ’ переходной функции равно 1, последующие
Рис. 6.14
ft	л
й1=-е“2?=-е	:
t,	2Я
h2 = e 2Т =е VikT-1 ;
G	Зя
й3 = -е 2^=-е	.
Их модули образуют убывающую геометрическую прогрессию с начальным членом 1 н знаменате-
лем е	1
Максимальная оценка 6^ сог. ласно (6.49)
^оо = гД maxima + (йо~й1) + (й2— Й1)4-
-^(^2 —^з)+ •••]= 2гд тах 2 I hi I • i=o
(6.52)
Она вычисляется по формуле суммы членов геометрической прогрессии
®оо= д тах	•
I _ g V4kT-l (6.53)
Прн k= 14,14 сек-1, Т = 0,1 сек, max = 0,25 получается
«оо= 0,67 = 2,68уа,
т. е. относительное влияние люфта, определяемое коэффициентом 2,68, в этой системе невелико.
Метод оценок позволяет делать некоторые выводы о свойствах автономной (без внешних
228
бездействий) нелинейной системы с характеристикой, близкой к Лй-нейной. Если соответствующая ей линейная система устойчива, то это означает, что в нелинейной системе отсутствуют расходящиеся процессы. Если в ней при этом имеются автоколебания, то их амплитуда не превышает б«,.
Рис. 6.15
Рассмотрим теперь нелинейную импульсную систему автоматического управления, у которой нелинейное звено НЗ включено после сравнивающего звена перед импульсным элементом (рис. 6.15, а). В других более сложных вариантах включения нелинейного звена нужно стремиться привести схему путем эквивалентных преобразований к рассматриваемому случаю. Замена нелинейного звена линейным плюс дополнительный сигнал (см. рис. 6.11) приводит к эквива-лентнойсхеме (рис. 6.15, б). Оценка влияния дополнительного сигнала (т. е. влияния нелинейности) выполняется в эквивалентной схеме (рис. 6.15, в), в которой и положено равным нулю, импульсное звено ИЗ из цепи рассогласования перенесено во входную цепь и цепь об-
229
ратной связи, и кроме того, вЬедено фиктивное Импульсноё звёнб (показано штрихами) в цепи выходного сигнала.
Передаточная функция замкнутой линейной импульсной системы (см. рис. 6.15, в)
^•(Р) =	(6-54)
1	+ *н®р (Р)
Соответствующая ей весовая функция ау3д (1ТВ) может быть найдена одним из способов, рассмотренных в части I (гл. XIV). Имея весовую функцию пу3д (1ТВ), выходной сигнал системы (см. рис. 6.15, е) можно получить при нулевых начальных условиях на основании принципа суперпозиции
[(I-i)TJ.	(6.55)
Оценка выходного сигнала по модулю получается в виде серии
неравенств
|УД(^И)1 =
I
2	аУздО'ЛЛгд [/ — i)TB] 1=0
i	i
< 21 ^зд (iTH) 112д[(1—i) Ти] I sC 2дтах 21 йУзд (iтл)\ = 6 (ITи). (6.56) 1=0	1=0
Последняя формула аналогична (6.45) для непрерывных систем. Поскольку
t
2 ^зд (iT и) = /13д (IT и),
i=i
то, как и в случае непрерывных систем, оценка 6 (1ТВ) может быть выражена через экстремальные значения переходной функции замкнутой системы, взятые в моменты съема (рис. 6.15, г):
6 (ТТВ)= гдтах [| h01 +1 ht—h01 + | /i2—hi | +... + | А3д (ТГИ)—hr |], (6.57)
где hT — последний экстремум й3д (ITB) перед рассматриваемым моментом съема 1ТВ.
Положив / ->- оо, получим общую верхнюю оценку для любого момента времени
6М = гДтах2 IIЛо I + 1 hi-h^ |].	(6.58)
<=1
Эта оценка легко получается из графика переходной функции замкнутой системы (см. рис. 6.15, г), которая, в свою очередь, может быть получена одним из способов, рассмотренных в части 1 (гл. XIV).
Замечания, сделанные ранее по поводу применения метода оценок для нелинейных систем с непрерывной передачей сигналов, справедливы и в случае нелинейных импульсных систем.
Пример 6. 6. Оценить влияние квантования по уровню на переходные процессы в цифровой следящей системе (рис. 6.16, а). Эта система была рассмот-230
рена в примерах 13.2 и 13.4 части I. Ее непрерывная часть содержит интегрирующее звено, импульсы имеют прямоугольную форму с коэффициентом заполнения 1. Передаточная функция ее (см. (13. 59) в части I].
Нелинейное звено имеет ступенчатую характеристику аналого-цифрового преобразования (рис. 6.16,6). Замена нелинейного звена линейным «с добавлением шума квантования» (t) приводит к линейной эквивалентной схеме (рис. 6.16,в), причем (/Дтах = 0,5 уа. Передаточная функция
Весовую функцию а/3д (/Ти) == —а»э (2ТИ) можно найти по формуле (14.51) части I, имея в виду, что характеристическое уравнение системы имеет один корень, определяемый уравнением
23!
epT^=\-kTa,	(6.61)
поэтому а>зД (/Ги) = - 1ЬТВ (1 - кТл)‘ - 11 .	(6.62)
Модули дискретных значений u^UTh) образуют геометрическую прогрессию при 1=1, 2, 3,...
ЛТИ, ЙТИ11 — ЙТИ I, feTH| 1—£Ти|а..
Их сумма определяет
боо = Удтах j_|	‘	(6’63)
При уДтах = 0,5уа и АТИ=1,5 (заметим, что kTu<2 из условий устойчивости линейного приближения системы)
бос = 1, 5уа.
В реальных системах величина кванта уа бывает очень малой, поэтому и влияние квантования по уровню на динамические процессы мало.
§ 6.5. АНАЛИЗ КАЧЕСТВА ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ
Для линейных систем автоматического управления наиболее употребительными методами косвенного определения качества являются частотные методы, основанные на вычислении показателя колебательности, запасов устойчивости по фазе и усилению, частоты среза (см. гл. X части I). Гармоническая линеаризация позволяет распространить эти методы и на нелинейные системы. При этом сложность процессов в нелинейных системах, не только количественно, но и качественно зависящих от амплитуды входных воздействий, а также приближенный характер метода гармонической линеаризации препятствуют установлению столь же ясной связи между косвенными частотными показателями и прямыми показателями качества, определяемыми на графиках переходных процессов. Из всех частотных методов, основанных на гармонической линеаризации, наибольшее распространение получил метод, основанный на вычислении показателя колебательности.
Рассмотрим поведение нелинейной замкнутой системы (рис. 6.17, а) при воздействии на нее гармонического входного возмущения. Частотная характеристика замкнутой системы, равная отношению комплексных амплитуд Yml и Um, записывается в виде
W3 (jd), А) =	(/ю)	(6.64)
1 +	(А) 1ГЛ (/co)
или
Г3 (/co, A) = ^н0 (Л) NWn (/M) ,	(6.65)
1 + ^й0(Л)АП17л(/й)
232
где А — безразмерная амплитуда первой гармоники сигнала х на входе нелинейного звена НЗ-, N — нормирующий множитель.
Выражение (6.65) удобно переписать следующим образом:
W3 (j<a, Д) =--------Л^д(/<о)---------=------------------- (6.66)
aV ’	^1Гл(/со)-Уво(Л)
На рис. 6.17, б показано взаимное расположение годографов МИ7Л (/®) и Уя0 И)- При некоторой частоте со и амплитуде А числитель отношения (6.62) изображается комплексным вектором СО, а знаменатель — вектором СВ.
Если зафиксировать частоту со и менять амплитуду А, то максимум модуля частотной характеристики IF3 (/со, А) будет иметь место при минимальной длине вектора СВ. Эта длина равна радиусу окружности, имеющей центр в точке С и касающейся годографа Ун0 (Д) (отрезок СВ' на рис. 6.17, б). Если таких окружностей может быть проведено несколько, то следует брать минимальный радиус. Определяя таким образом | U7a(/co, Д) |юах при различных со, можно построить график | 1У3(/со, А) |шах = / (со) (рис. 6.17, в). Показатель колебательности М определяется по графику в точке, где зависимость достигает максимального значения со = сом.	№
Установлено [Л. 68], что нелинейные системы автоматического управления имеют удовлетворительное качество, если М <2.
Для определения показателя колебательности нелинейных систем автоматического регулирования можно найти на комплексной плоскости jV!Fn (/со) и Ув0 (Д) линии равного значения |1^а (/со, Д) |. Если вести обозначения
УГл(/со) = Рл(со)+/<2л(со),	(6.67)
^но(Л) = /?вО(Д)+/5вО(Д),	(6.68)
то модуль W3 (/со, А) может быть согласно (6.66) записан
1/р2 i q2
| W а (/со, Д) | = --	-л л = — .	(6.69)
а	1 /(Рл-Яно)а + (Зл-8во)2
Полагая | Й7а(/со, Д) | = с, находим после преобразования уравнение окружности
( р Rhoc2 । / z) 8но с2 \2_______ (j?Ho2 SB0)2 с2 /л 70'1
\ Л С2 —1 )	с2_1 у	(С2 —I)2	’	' *
имеющей центр в точке с координатами
q	(6.71)
л с2—1	с2 —1
и радиус
R. = V Кио+3|о1<^
233
При Z?B0 = —1, SB0 = 0 система делается линейной и (6.70) совпадает с уравнением (10.13) части I, полученным для линейных сис
тем.
Задаваясь некоторым с, для каждой нелинейности можно построить семейство окружностей, соответствующих различным значениям /?н0 и 5в0, т. е. различным значениям А. Нетрудно заметить, что согласно (6.71) и (6.72) центры окружностей У располагаются на кривой, подоб-ной кривой VH0 (Д) (коэффициент подобия с2/(с2 — 1), а их радиусы
Рис. 6.18
пропорциональны расстояниям точек годографа Ув0 (А) до начала координат (коэффициент пропорциональности с/(с2 — 1)]. При с—>- оо центры окружностей ложатся на годограф Уи0)] (Д), а их радиусы становятся равными нулю.
На рис. 6.18, а изображено семейство окружностей (их центры отмечены крестиками) для случая однозначной релейной характеристики (см. годограф Уя0 в табл. 4.1) при с = 1,5. Здесь же проведена огибающая этих окружностей. Показатель колебательности М нелинейной системы будет равным с (в данном случае с = 1,5), если годограф частотной характеристики NWa (ja) коснется огибающей в какой-либо точке. Касание, а также пересечение NWa (/<в) и (Д) дают 234
показатель колебательности М = оо. Это соответствует существованию автоколебаний в системе.
На рис. 6.18, б показаны огибающие для однозначной релейной характеристики при различных с. Эти семейства удобно использовать при синтезе линейных корректирующих устройств, обеспечивающих такую форму (/со), чтобы показатель колебательности нелинейной системы был равен заданному. При этом можно пользоваться логарифмическим представлением характеристик NWa (/со) и огибающих, что облегчает определение частотных характеристик корректирующих устройств [Л. 851.
§ 6.6. АНАЛИЗ КАЧЕСТВА ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ КРИТЕРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
Критерии абсолютной устойчивости положения равновесия и процессов нелинейных систем автоматического управления, рассмотренные в гл. V, могут быть использованы для оценки качества процессов в нелинейных системах. Эта возможность заключается в рассмотрении достаточных условий, при которых затухание вариаций возмущенного (за счет изменения начальных условий) и невозмущенного процессов происходит быстрее, чем Мое~^. Здесь Л40 — константа, зависящая от величины начального возмущения, а Хо имеет смысл степени устойчивости. Параметр Хо может служить оценкой длительности переходных процессов в системе, не превышающей три постоянные времени затухающей экспоненты
*р<ЗД0.	(6.73)
Для вариации т] выходного сигнала системы при этом справедливо lim	—- 0.
t->ao
Умножение оригинала на экспоненциальный множитель сопровождается смещением комплексного оператора р в изображении на величину —Хо (см. табл. П. 4 части I), поэтому в формулировках условий абсолютной устойчивости для степени устойчивости Хо вместо частотной характеристики линейной части (До) должна фигурировать смещенная частотная характеристика Wn (ja — Хо). Если говорить о положении равновесия, то достаточным условием того, чтобы система, изображенная на рис. 5.6, а (и = 0), обладала степенью устойчивости Хо, является выполнение неравенства
Re (1 + /»1Гл(/<о-Х0)+1/А:>0.	(6.74)
Это неравенство аналогично неравенству (5.27) в основной формулировке критерия абсолютной устойчивости. Оно рассматривается при тех же условиях: кусочно-непрерывная нелинейная характеристика z (х) лежит внутри сектора, ограниченного осью абсцисс и прямой z = kx\ линейная часть с передаточной функцией Н7Л (р) устойчива; q — некоторое положительное или отрицательное число. Этот
235
заданной.
результат распространяется на случай нейтральной или неустойчивой линейной части с помощью структурных преобразований, аналогичных преобразованиям в § 5.3.
Вместо неравенства (6.74) при оценке степени устойчивости удобно пользоваться смещенной преобразованной характеристикой линейной части системы
^л.п(/®-М=Кеи7л(/<й-
-Х0) + /ш1тИ7л(/Со-Х0). (6.75)
Для обеспечения заданной степени устойчивости она должна лежать правей прямой Попова, проведенной через точку — 1 /Л, /0, с наклоном 1/д(см. гл. V).
Для определения степени устойчивости некоторой действительной системы нужно построить семейство характеристик №л.п ()® — М при различных Хо. Степень устойчивости определяется той характеристикой, которая пересекает все прямые Попова с различными наклонами 1/q, кроме одной (1/б70), с которой она имеет одну или несколько точек касания (рис. 6.19, а). Может быть по-
Рис. 6.19	ставлена и обратная задача: оп-
ределить области значений параметров системы, обеспечивающие степень устойчивости, не меньше
Пример 6.7. Определить области со степенью устойчивости, не меньше заданной, в пространстве параметров системы с передаточной функцией
Ar (1 Д-рТ) ^(Р)=(Т^-	(6-76)
Нелинейное звено является звеном типа люфт (см. табл. 4.1). Согласно результатам, полученным в примере 5.11 [см. (5.49)], можно написать условие смещенной характеристики
Ие1Гл(/ш—Хо)>—1.
(6.77)
236
Подставляя в (6.76) р =	— Хо и выделяя действительную часть,
найдем при Т\ = 1 сек
k Гш2 (27—По—1)—ПЛ1
Re Ц7Л (>—%.)= -J—:------?—’-----«1
°'	[(1 — Х0)2 + ш2]2
fe[X2(2T+l)-l0(2 + T) + l]
(6.78)
(6.79)
[(1-1*) + ш2]2
Приравнивая нулю производную (6.78) по со, найдем <о0, ПРИ котором (6.78) минимально
2	Тк30—ЗХ’ + (6—37) Хо — 3 + 27
<0п = ----------------------.
27 —7Х0—1
Подставляя (6.79) в (6.78) и далее в (6.77), получим условие
.	(6.80)
[7(2-%0)-1]2
На рис. 6.19, б приведены в полулогарифмическом масштабе границы областей, обеспечивающих различные степени устойчивости при разных Т.
Достаточным условием обеспечения степени устойчивости процессов в нелинейных системах является выполнение неравенства, аналогичного (5.52) и рассматриваемого при тех же условиях [Л. 73]
Re	----—1 = б^0.	(6.81)
1+гП7л(/й)-%0) k-r
Здесь использованы те же обозначения, что и в (5.52).
При синтезе линейных корректирующих устройств, обеспечивающих выполнение условий (6.74) и (6.81), можно пользоваться логарифмическими частотными характеристиками [Л. 71].
Естественно, что рассмотренные в данном параграфе методы оценки качества процессов аналогичным образом могут быть применены и для импульсных нелинейных систем автоматического управления. При оценке степени устойчивости импульсных систем ные условия устойчивости (5.59) и (5.60) принимают вид
Re	Х0) + 1/А>0,
Re [ 1 + q (1 - е~(г“)]	(/со -Хо) +1 /k > 0.
достаточ-
(6.82)
(6.83)
Интересно заметить, что частотный критерий абсолютной устойчивости может быть использован также для оценки интегральных показателей качества непрерывных и импульсных систем автоматического управления [Л. 92], [Л. 126], [Л.28].
§ 6.7. ОБ ОСОБЕННОСТЯХ СИНТЕЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
При синтезе нелинейных систем автоматического управления с процессами, удовлетворяющими заданным показателям качества, имеются следующие возможности.
237
1. Синтез корректирующих устройств в линейной части системы, видоизменяющих ее частотную характеристику так, чтобы удовлетворить некоторым косвенным показателям качества, например показателю колебательности М или степени устойчивости 10. Методы синтеза линейных корректирующих устройств аналогичны методам, рассмотренным в части ! для линейных систем, с учетом тех особенностей, которые вносят нелинейные звенья в систему. Эти особенности были рассмотрены в § 6.3—6.5. При синтезе корректирующих устройств можно пользоваться логарифмическими частотными характеристиками [Л. 711.
После того как схема и параметры корректирующего устройства найдены, целесообразно воспользоваться одним из прямых методов, основанных на построении переходных процессов, с целью расчетной проверки действия корректирующих устройств. Такая проверка должна выполняться и для линейных систем автоматического управления. Тем более она необходима для нелинейных систем, косвенные методы анализа качества которых либо приближенны, либо основаны на проверке выполнения достаточных условий. Естественно, что вместо расчетов переходных процессов может быть использовано моделирование, которое в настоящей книге не рассматривается.
2. Синтез нелинейных корректирующих устройств, который сводится либо к ослаблению влияния вредных нелинейностей, имеющихся в системе, либо к включению полезных нелинейностей, улучшающих качество процессов в системе. Компенсация влияния нелинейностей может достигаться, например, с помощью отрицательных обратных связей, охватывающих нелинейные звенья.
Включение полезных нелинейностей дает большие возможности при синтезе нелинейных систем автоматического управления. Собственно говоря, здесь речь идет о формировании нелинейных законов управления. К числу систем такого рода относятся системы с переменной структурой, примеры которых были рассмотрены в гл. III. К ним же можно отнести обширный класс оптимальных систем автоматического управления, которые будут детально рассмотрены далее в гл. VII и VIII.
ГЛАВА VII
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЗАДАЧ И МЕТОДОВ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
§ 7.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
Под оптимальной системой автоматического управления понимается наилучшая в некотором определенном смысле система. Критерии оптимальности, на основе которых строится система, могут быть самыми разными и зависят от специфики решаемой задачи. В практике автоматического управления в качестве критериев оптимальности встречаются: точность САУ (системы автоматического управления) при изменяющихся входных сигналах, время переходного процесса, интегральные критерии переходного процесса, экономичность, производительность, сложность системы управления и другие технико-экономические показатели.
К настоящему времени наибольшее развитие получили два направления в теории оптимальных САУ. Первое — это теория оптимального управления движением системы с полной информацией об объекте и возмущениях, а второе — это теория оптимального управления при случайных возмущениях.
Нужно отметить, что в развитии первого направления теории много сделано советским ученым А. А. Фельдбаумом [Л. 117], которому принадлежит заслуга в постановке и решении многих важных задач в этой области.
Принципы оптимального управления получают все большее распространение на практике. Они позволили создать новые автоматические регуляторы, следящие системы и другие устройства, которые существенно повышают эффективность промышленных систем автоматики.
Рассмотрим задачи оптимального управления при полной информации об объекте и возмущениях. Будем полагать, что объект управления линейный, полностью описан математически и его свойства менять нельзя, а управляющее устройство можно выбирать в определенных пределах. Возможности управляющего устройства, конечно, ограничиваются, исходя из специфики задачи. Как правило, ограничения наложены на управляющие воздействия и на фазовые координаты системы. Чаще всего ограничения задаются в виде систем неравенств. Для •управляющих воздействий такие неравенства можно записать в виде
М1{и) = М1{и1,...,иг)^О,	(7.1)
0 = 1.....г),
239
где
dk 1 и dtk~'
(7-2)

В дальнейшем часто будем использовать обозначения типа (7.2).
Вектор управления и, подчиненный неравенствам (7.1), принадлежит некоторой области Q (и), ограниченной гиперповерхностью
Mi (и) = О U = 1,	г), что будем обозна-
чать
и £ Q (и).	(7.3)
Управления, удовлетворяющие условиям (7.1) или (7.3), называют допустимыми.
Например, если управление ограничено только по величине а и Ъ, то областью допустимых управлений будет отрезок ab (рис. 7.1, а). Если ограничены величина и производная управления системой неравенств
^i,
Oj ^2	^2»
то областью допустимых управлений будет прямоугольник (рис. 7.1,6). Когда ограничена только величина управления снизу и сверху, то для последующих задач будет удобно полагать, что ограничение на управление имеет вид неравенства
|«|<1.	(7.4)
К такой записи ограничений, как правило, можно перейти, сдвигая начало отсчета и изменяя масштаб величины и.
Ограничению типа (7.4) могут удовлетворять функции, имеющие разрывы первого рода. Если на всем интервале времени [О, Т], в течение которого осуществляется управление, число разрывов функции и (I) конечно, то такую функцию называют кусочно-непрерывной (рис. 7.1, в) . Практически важным частным случаем кусочно-непрерывных функций являются кусочно-постоянные функции, для которых и (/) поочередно равняется +1 или —1 (рис. 7.1, г). Когда хотят охарактеризовать куЬочно-постоянную функцию, то указывают число интервалов, в течение которых функция постоянна. Например, функция, показанная на рис. 7.1, г, имеет 4 интервала постоянства.
Ограничения на управления вызваны в большинстве задач ограниченностью энергетических ресурсов системы. Фазовые координаты ограничиваются чаще всего из соображений безопасности, прочности и. т. п. Например, угол и скорость поворота руля самолета ограничи-240
ваются из соображений прочности конструкции и допустимой перегрузки экипажа, а ускорение поворота руля определяется предельным вращающим моментом рулевой установки.
Ограничения на фазовые координаты будем записывать, как и для управлений, в виде неравенств типа (7.1)
лгДу)=лгЛ1/1.<7-5) где
или в виде условий типа (7.3)
уег(у),	(7.6)
где Г(у)—область, ограниченная гиперповерхностью
^Ду) = о. (/ = 1.«)•
Фазовые координаты, удовлетворяющие условиям (7.5) или (7.6), называют допустимыми.
Наиболее важным моментом при создании оптимальных САУ является задание критерия оптимальности. Критерий Q должен представлять собой величину, зависящую от функции управления. Основной задачей при разработке оптимальной системы является обеспечение экстремального значения критерия. Например, при разработке систем, оптимальных по быстродействию, где к системе предъявляется требование наибыстрейшего перехода из одного положения в другое, в качестве критерия оптимальности можно взять время переходного процесса. В этом случае, естественно, критерий должен минимизироваться. Примером задачи, где критерий оптимальности должен достигать максимума, может быть расчет программы изменения тяги двигателей ракеты, когда при заданном количестве топлива требуется пролететь наибольшее расстояние.
Таким образом, для оптимальной системы необходимо
Q [и, у, t\ ~ extremum при и 6 й, у Е Г.	(7.7)
Условие (7.7) показывает, что критерий Q зависит от выходной координаты системы, управления и времени, азадачей оптимального управления является отыскание допустимого управления u £ й (и), доставляющего экстремум критерию Q при соблюдении ограничений на фазовые координаты у £ Г (у).
Заметим, что значение критерия Q определяется законом изменения функций у (0 во времени. Такие величины, значения которых зависят от функций, называют функционалами. Математические методы отыскания функций, доставляющих экстремальное значение функционалу рассматриваются в вариационном исчислении. Функции у (t), u (t), для которых выполняется условие (7.7), называют экстремалями.
Таким образом, критерий оптимальности представляет собой функционал Q[y (/), и (01, а задача оптимального управления заключает-
241
ся 6 нахождении экстремалей у (/), u (t) при соблюдений ограничений u (fi(u) и у ( Г (у).	ГМ -- J
Наиболее часто функционал задается в виде определенного интеграла, т
(?=4б[и(/),у(0]Л.	(7-8)
о
Для задачи о максимальном быстродействии, например Gsl, и требование Q min „<,) обращается в требование Т = min.
Наиболее распространенной в оптимальном управлении является задача определения оптимальных процессов и (/) и соответственно у (/) в функции времени при заданных граничных условиях у (0) и у (Т).
Рис. 7.2
Определение оптимальных процессов управления и (/) и последующая их реализация возможны в системах двух типов. В разомкнутой системе (рис. 7.2, а) управляющее устройство У У по заданным граничным условиям реализует требуемый закон управления. При этом текущие фазовые координаты не участвуют в формировании управления. В замкнутой системе в УУ (рис. 7.2, б) вводятся текущие фазовые координаты х = у0 — у, где у0 = у0 (0 — заданный закон управления. Управляющее воздействие при этом зависит только от фазовых координат, т. е.
u(/) = u[x(0J.	(7.9)
Конечной целью при разработке системы является установление закона (7.9) для построения замкнутой системы оптимального управления, т. е. синтез УУ. При этом находят оптимальные процессы и (/) и х (/), а затем, исключая время, получают зависимость и (х), из которой находят структуру и параметры УУ.
§ 7.2. ПРИМЕРЫ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
Управление двигателем постоянного тока. Допустим, что имеется возможность управлять током якоря двигателя постоянного тока с независимым возбуждением (рис. 7.3, а). Примем, что магнитный поток Ф неизменен. В этом случае угол а поворота двигателя связан с током через дифференциальное уравнение равновесия моментов на валу
/сФ = J ^-+МС,	(7.10
842
где i — ток якоря — управляющее воздействие; с — коэффициент; Ф —магнитный поток; J —момент инерции якоря и нагрузки, приведенный к валу двигателя; Мс — момент сопротивления; а — угол поворота вала двигателя—управляемая координата; t — реальное время.
Для простоты дальнейших выкладок примем, что моментом сопротивления можно пренебречь, т. е. Мс = 0. Кроме того, вместо реального времени t введем относительное время т= t . В этом случае уравнение (7.10) примет вид
dtajdx2 —-1.	(7.11)
Учитывая принятые обозначения: у — управляемая координата, а и — управляющее воздействие введем замену I = и, а = у. С учетом такой замены окончательно запишем уравнение управляемого о) 	fi)
объекта (рис. 7.3, б)
d2y/dx2 = u. (7.12)
Можно сформулировать несколько задач оптимального управления двигателем, которые будут отличаться критериями оптимальности и видом ограничений.
Оптимальное быстродействие. В этом случае критерием оптимальности является время переходного процесса Т, т. е. функционал имеет вид
Рис. 7.3
т Q=$dt = T. о
Задача 1. Найти оптимальные процессы управляющего воздействия и (t) и скорости у (/), удовлетворяющие уравнению (7.12) и доставляющие минимум функционалу (7.13), при условиях: 1) на управление наложено ограничение вида (7.4), т. е. | и |	1, 2) требуется
отработать угол а0, т. е.
(7.13)
f у (t) dt =ав, О
3) граничные условия по скорости вращения вала имеют вид
й(0) = ао, |
y(T) = fflr. i
(7.14)
Для простоты выкладок примем, что начальная и конечная скорости вращения вала равны нулю, т. е.
^(0)=^(Т) = 0.
(7.15)
243
Принимая в качестве цели управления отработку угла а0, следует указывать и граничные условия по координате у. Примем для всех примеров управления двигателем, что у (0) = —сс0, у (Т) = 0, т. е. у изменяется на величину а0, заканчивая движение в точке у (/) = у (Т)=* = 0.
Задача 2. В этой задаче ограничения накладываются на нагрев двигателя или на расход энергии, т. е. задана величина интегра-т
ла Ju2 (f)dt. о
Итак, найти оптимальные процессы и (/) и у (/), удовлетворяющие уравнению (7.12) и доставляющие минимум (7.13) при условии, что заданы значения интегралов.
т	т
^y(t)dt = a0; ^u2(t)dt = q0	(7.16)
о	о
и граничные условия по скорости нулевые.
Оптимальная производительность. В этом случае критерием оптимальности является угол а поворота вала за определенное время Т, т. е. функционал имеет вид
т
Q=^y(t)dt.	(7.17)
о
Задача 3. Найти оптимальные процессы и (f), у (f), удовлетворяющие уравнению (7.12) и максимизирующие (7.17), при условии, что на управление наложено ограничение вида (7.4), т. е. | и |	1, и гранич-
ные условия по скорости нулевые.
Если задан предельный расход энергии, а величина и не ограничивается, то можно сформулировать другую задачу на оптимальную производительность.
Задача 4. Найти оптимальные процессы и (t) и у (/), удовлетворяющие уравнению (7.12) и доставляющие максимум (7.17), при условии, что задано значение
т ^u*(t) dt =qQ о
и граничные условия по скорости нулевые.
Оптимальная экономичность. В этом случае критерием оптимальности является расход энергии за определенное время. Функционал имеет вид
г
Q=^u2(t)dt.	(7.18)
о
В данном случае имеется в виду расход энергиии на нагрев двигателя. 244
Задача 5. Найти оптимальные процессы u(t) и у (/), удовлетворяющие уравнению (7.12) и минимизирующие (7.18) при условии, что задано т ^y(t) dt =а0,
и граничные условия по скорости нулевые.
Можно, варьируя условия, поставить еще ряд задач, например, когда одновременно наложены ограничения на управление и расход энергии. Однако ограничимся сформулированными задачами по управлению двигателем, так как они вполне отражают встречающиеся на практике требования к оптимальному управлению.
Оптимальная по быстродействию встреча движущихся объектов. Пусть объект А совершает равномерное прямолинейное движение в соответствии с уравнением
yA = a + bt,	(7.19)
где у а — координата объекта А; а, b — постоянные; t — время.
По той же прямой в пространстве за ним движется объект В, изменение координаты ув которого описывается уравнением второго порядка
„ d2	dyR
T-^~ + ^-=U <7’20) dt*	dt
с начальными условиями
Увт=Ув (0) = 0,
(7.21)
где T — постоянная времени объекта В, характеризующая его инерционные свойства.
На управление наложено ограничение вида (7.4), т. е. |u|	1.
Ставится задача так изменять управление и (f), чтобы за минимальное время положение и скорости объектов Л и В в пространстве совпали. Изменение координат у а и у в в функции времени показано на рис. 7.4, а.
245
На практике подобная задача возникает, например, при заправке в воздухе самолетов, когда заправщик движется с постоянной скоростью и на параллельный курс к нему пристраивается заправляемый самолет. Управляющим воздействием при этом является тяга Р двигателя самолета, заходящего на заправку.
Предельные значения тяги Рш1п и Ртах положительны, поэтому для того, чтобы записать ограничения на управление в виде (7.4), вместо Р будем рассматривать управление
______2Р______^тахН" Рmln
Р max—Р mln ^тах—Р mln
Для решения задачи удобно ввести в рассмотрение рассогласование между координатами объектов
*=УВ~УА-	(7.22)
Подставляя ув из (7.22), а уА из (7.19) в уравнение (7.20), получим
—	(7.23)
dt* dt	'	'
Начальные условия для уравнения (7.23) находим по известному закону движения объекта из уравнения связи (7.22) с учетом нулевых начальных условий для движения объекта В
х(0)=Ув(0)—УА(0) = — а,
(7.24) х(0) = //в(0)-ул(0) = -й.
Если теперь ввести фазовую плоскость для переменной х, обозначив х = хъ х == х2, то задачу управления движением объекта В можно сформулировать как задачу наибыстрейшего перевода точки на фазовой плоскости из исходного положения (хх = —а, х2 = —Ь) в начало координат (рис. 7.4, б).
Задача 6. Найти оптимальные процессы и (f) и х (/), удовлетворяющие уравнению (7.23) и доставляющие минимум интегралу т
(7.13), т. е. Q = §\dt, при условии, что на управление наложено огра-о
ничение (7.4), т. е. | u| 1, начальные условия на координату х заданы равенствами (7.24), а конечные условия на координату х — нулевые, т. е. х (Т) = х (Т) = 0.
Оптимальное по быстродействию управление консервативным объектом. Пусть уравнение объекта управления имеет вид
dayldta + y = u.	(7.25)
Все коэффициенты в данном уравнении равны единице, чего всегда можно добиться нормировкой переменных и, у и t. На управление наложено ограничение | и | 1. Ставится задача нахождения оптималь-246
кого по быстродействию упрайЛёййй и (i), переводящего коорДийаТу у из начального положения
= -1,
£(0)=0 в конечное положение
у(Т) = у(Т)=0.	(7.27)
Если ввести фазовую плоскость с координатами у = уг, у — у2, то задача будет заключаться в наибыстрейшем переводе изображающей точки из исходных условий (—1, 0) в начало координат.
Примером такой задачи может служить перемещение мостовым краном груза, подвешенного на длинном тросе (рис. 7.5).
Пусть лебедка мостового крана, положение которой определяется координатой и, может перемещаться с любой скоростью в пределах — 1^ и +1. К лебедке па тросе подвешен груз т, положение которого определяется координатой у. Если пренебречь силами, демпфирующими колебания груза (трение и упругие деформации троса, сопротивление воздуха и пр.), то уравнение, связывающее у и и, имеет вид (7.25). Задача заключается в таком управлении положением и лебедки, чтобы груз наибыстрейшим образом перешел в точку у — 0 и скорость его в конце движения также должна стать нулевой.
Важно отметить, довольно необычный характер задачи. Попытка хотя бы неоптимально перевести груз из положения у = —1 в у = 0 путем перемещения лебедки из и — —1 в и = 0 с любой (малой или большой) скоростью приведет к незатухающим колебаниям координаты у. Действительно свободное решение уравнения движения консервативного объекта, т. е. уравнения (7.25), имеет вид
y(t) = A sin t,
где А — амплитуда колебаний, определяемая начальными условиями движения (в нашем примере скоростью перемещения лебедки из и = = —1 в и = 0).
Задача 7. Найти процессы и (t) и у (t), связанные уравнением т (7.25) и доставляющие минимум интегралу (7.13), т. е. Q== f \dt, о при условии, ч.то на управление наложено ограничение | и \	1, и гра-
ничные условия
1/(0) = -1, у(Т) = 0,
у(0) = 0, у(Т) — 0.
Аналитическое конструирование регуляторов. Во всех рассмотренных выше примерах ставилась задача найти оптимальный процесс изменения управляющего воздействия и (1), при котором конечная цель управления (время переходного процесса, производительность, экономичность) приобретает требуемые экстремальные свойства. Теперь рассмотрим задачу нахождения оптимального регулятора.
247
При исследовании качества переходных процессов в линейных системах (см. часть I, гл. X) вводились различные интегральные критерии качества, оценивающие переходный процесс на бесконечном интервале времени. Там же было показано, что интегральные критерии качества позволяют определить оптимальные параметры регуляторов, если структура регулятора задана.
Можно поставить более общую задачу. Найти закон регулирования, т. е. аналитическую функцию, связывающую управляемую координату и управляющее воздействие и доставляющую минимум интегральному критерию качества. Такое оптимальное конструирование дифференциального уравнения регулятора средствами математического анализа получило название аналитического конструирования регуляторов. Основ
Рис. 7.5
Регулятор Объект
Рис. 7.6
ные результаты по аналитическому конструированию получены советскими учеными А. М. Летовым [Л. 57] и Н. Н. Красовским [Л. 50]. Задача'аналитического конструирования'по методам решения [и постановке родственна уже рассмотренным. Это — такая же вариационная задача, в которой в_качестве экстремали ищется функция, связывающая х (f) и u(t).
Рассмотрим постановку задачи"7аналитического конструирования. Объект управления задан с помощью дифференциальных уравнений для отклонений, что в операторной форме и соответствует заданию передаточной функции И7 (р) (рис. 7.6). Будем считать, что на систему не действуют внешние возмущения и в ней происходит переходный процесс, вызванный начальными условиями
х0== (xi(0), х2(0, ..., хп(0)} и u(0) = {u(0), й(0)} J (7.28) где
В устойчивой линейной системе в результате переходного процесса все фазовые координаты должны сходиться к нулевому значению, т. е. в установившемся режиме должно выполняться равенство
Х1(со) = ...=хп(оо)=ц(оо)=0.	(7.29)
248
В качестве критерия оптимальности выберем интеграл
^Vdt	(7.30)
О
от положительно-определенной квадратичной формы вида
V	(7.31)
Л = 1
Интеграл (7.30) характеризует квадратичную ошибку системы. Кроме того, член и2 (/) в (7.31) характеризует стоимость управления при отработке переходного процесса (затраты энергии, нагрев и пр.), а член и2 (/) гарантирует отсутствие нереализуемых в линейных регуляторах законов, при которых скорость управляющих воздействий обращается в бесконечность.
Как уже отмечалось ранее (см. гл. II), существование интеграла (7.30) гарантирует устойчивость системы. При аналитическом конструировании задача состоит в том, чтобы найти в аналитической форме
Ф(и, и, Xj, .... хп) =0	(7.32)
закон регулирования, который с учетом уравнений объекта и при граничных условиях (7.28), (7.29) доставляет минимум интегралу (7.30).
Для дальнейшего решения в качестве примера поставим задачу аналитического конструирования регулятора в системе с объектом первого порядка.
Задача 8. Пусть объект управления описывается уравнением dx/dt -j-x+u =0.	(7.33)
Все коэффициенты уравнения приняты равными единице, чего всегда можно добиться нормировкой переменных х, и, t.
Требуется отыскать такое дифференциальное уравнение, связывающее переменные х и и, удовлетворяющие уравнению объекта (7.33), чтобы интеграл
оо
Q = \[u2(t) + ii2(t) + x2(t)]dt	(7.34)
о
достигал минимума.
§ 7.3. СИНТЕЗ ПРОСТЕЙШЕЙ ОПТИМАЛЬНОЙ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Рассмотрим решение задачи отыскания оптимальных процессов и синтеза управляющего устройства на примере задачи 1 § 7.2, где для объекта с уравнением(7.12) d2ytdt2 = и, ограничением | u |	1 и гра-
ничными условиями
£/(0)=— ар, у(Т) = 0,
г/(О)=о, у(Л=о требуется обеспечить оптимальность по быстродействию.
Оптимальные процессы управления. Естественно предположить, что для наибыстрейшей отработки величины а0 следует вначале разгонять систему с предельно допустимым ускорением, а затем в определенный момент времени управление следует переключить с разгона на торможение также с предельно допустимым, но уже отрицательным, ускорением. При точно выбранном моменте переключения с разгона на торможение скорость изменения координаты у станет равной нулю как раз тогда когда, у переместится на величину а0. Поскольку максимальное и минимальное значения управления равны по модулю, то отрезки времени, затраченного на разгон и торможение, равны между собой и будут 772, где Т — время переходного процесса. График такого процесса управления и (/) показан на рис. 7.7, а.
При движении системы с положительным ускорением (и =+1, О t 772) скорость нарастает по закону (рис. 7.7, б) dyldt = t.
Координата у (рис. 7.7, в) к моменту t = 772 достигнет половины отрабатываемой величины, т. е.
Т/1	Т/2
\ y^dt~ao = ^ -«0=v-ao = —v- (7-35) \ * J d	. А	О	2.
о	о
Отсюда найдем общее время оптимального переходного процесса
Г = 2]/^.	(7.36)
Для реализации оптимального процесса в разомкнутой системе необходимо вычислительное устройство, которое по заданной величине а0 определит Т из (7.36) и осуществит по программе управление и = +1 на интервале 0 < t < TI2 и и = — 1 на интервале TI2 < t С
Т и далее и — 0 при t>T. Оптимальность рассмотренного управления можно доказать путем простых рассуждений.
Заметим, что площадь под линией у (/) при любом управлении должна быть одной и той же и равняться заданной величине а0.
Пусть, например, на отрезке времени [О, Т/2] в течение интервала т не выполнялось равенством—~Ы. Такое неоптимальнре управление 2бо
йойазайо на рис. а пункттфом й обозначейо через uR(t). Соответствующая управлению u„(t) линия изменения скорости yn(f) при t £ [О, 772] будет проходить ниже прямой Оа оптимального процесса скорости, поэтому площадь под линией уп (t) на отрезке [О, 772] окажется меньше величины а0/2. Чтобы покрыть требуемую площадь а0 при дальнейшем движении системы, линия i/H (/) должна на каком-то участке проходить выше линии ab. Это значит, что для t Z> Т/2 линии у (/) и г/н(/) должны пересечься. Второй раз пересечься внутри отрезка {TI2, TJ, или хотя бы встретиться при t = Т, линии ув (/) и у (0 не смогут, так как для этого уп (t) должна снижаться круче, чем у (t), что недопустимо из-за ограничения величины и. Отсюда следует, что время для отработки величины а0 при управлении ив (?) будет больше, чем Т.
Таким образом, любое отклонение от управления

при О^^^Т/2,
при Т/2 <Zt ^Т,
(7.37)
приводит к увеличению времени переходного процесса, следовательно, управление (7.37) является оптимальным. Напомним, что функцию и (0, определяемую в виде (7.37) , называют кусочно-постоянной.
Синтез оптимального управляющего устройства. Введем в рассмотрение фазовую плоскость с координатами
dy _dyi _ „
dt dt У2'
(7.38)
Тогда рассматриваемая задача может быть сформулирована как задача наибыстрейшего перевода точки на фазовой плоскости (ylt у2) из положения (—а0, 0) в начало координат. С учетом обозначений (7.38) можно записать
dyi = dyi и
dt2 dt dyi dt dyi
Подставляя это равенство в уравнение (7.12) объекта, получим
(dyjdyjy^u.	(7.39)
Оптимальное управляющее воздействие, как видно из (7.37), может принимать только два значения и = —1 или и = 4-1. Подставляя эти значения в (7.39), можно найти уравнение для фазовых траекторий системы. При и == 4-1
yl/2 =У1± с.	(7.40)
Здесь с — постоянная интегрирования, величину которой можно найти, задав координату точки, находящейся на требуемой траекто-
251
рии. Например, для траектории семейства (7.40), проходящей через начало координат, с = 0, и уравнение этой траектории имеет вид
Уг2/2 = //1.	(7.41)
Семейство фазовых траекторий (7.40) для различных с показано на рис. 7.8, а. Траектория с уравнением (7.41) выделена. При и = —1
у22/2 = — t/j + c.	(7.42)
Траектория, проходящая через начало координат, определяется уравнением
^/2=-У1.	(7.43)
Семейство траекторий (7.42) показано на рис. 7.8, б, а траектория (7.43) выделена.
Поскольку целью управления является перевод точки на фазовой плоскости в начало координат, то заключительный этап движения может проходить только по траектории (7.41), если и — +1, или по траектории (7.43), если и = — 1.
252
Следует уточнить, что не вся траектория (7.41) приводит систему в начало координат, а только часть ее, расположенная в четвертом квадранте, для которой у2 <Z 0. Эта часть траектории может быть описана уравнением, эквивалентным (7.41) при у2<0,
= </2/2)(—sign у2).	(7.44а)
Аналогично для и = —1 к началу координат ведет часть траектории (7.43) при у2 > 0. Этот участок можно описать уравнением, эквивалентным (7.43) при р2 > 0,
t/i =---|^-signy2.	(7.446)
Сравнивая (7.44а) и (7.446), заметим, что эти уравнения совпадают. Таким образом, движение системы на последнем отрезке времени описывается уравнением
Л+ у sign 1/2 = 0.	(7.44)
Для попадания на завершающий участок движение должно проходить по траекториям (7.40), когда начальные координаты точки лежат под линией, соответствующей уравнению (7.44), и по траекториям (7.42), когда начальные координаты изображающей точки лежат над линией, соответствующей уравнению (7.44) (рис. 7.8, в). Например, в рассматриваемой задаче перевод изображающей точки из положения (—а0, 0) начинается при и = +1 (участок АВ на рис. 7.8, в). В точке В управление должно сменить знак, т. е. для дальнейшего движения и = —1 (участок ВО).
Поскольку при попадании изображающей точки на линию (7.44) в управляющем воздействии происходит переключение с одного предельного значения на другое, кривую (7.44) можно назвать линией переключения.
Введем в рассмотрение функцию
2
О= — ^i + -y-signf/2) -	(7.45)
На линии переключения, как это следует из (7.44), она обращается в нуль. Для точек фазовой плоскости, расположенных правее линии переключения, т. е. там, где и = —1, v <Z 0. В этом просто убедиться, переместившись с любой точки линии переключения вправо без изменения у2. Слагаемое yt при этом получит положительное приращение, a (#22/2)sign у2 останется неизменным. Следовательно, с учетом знака минус перед скобкой в (7.45) правая часть этого выражения получит отрицательное приращение. А так как на линии переключения v = 0, наше утверждение доказано. Аналогично можно убедиться, что для точек, расположенных левее линии переключения, где и = +1, функция v > 0.
253
Если с учётдм Рдвёдения функций b ПрЙняТь ЗйКбн управления й виде
u=sigfiv,	(7.46)
то полученное управление будет совладать с оптимальным. Техническая реализация закона (7.46) относительно проста. Управление и должно формироваться с помощью идеального двухпозиционного реле, переключения которого происходят при смене знака функции v. Так как функция v управляет переключениями реле, то ее можно назвать пе-
реключающей функцией. Заметим, кстати, что выражение для переключающей функции (7.45) отличается от левой части уравнения линии переключения (7.44) только знаком.
Зная уравнения (7.45) и (7.46) , можно построить управляющее устройство для реализации оптимальной системы.
В целом структурная схема синтезированной оптимальной системы показана на рис. 7.9, где управляющее устройство УУ обведено штриховым контуром. Знак минус, стоящий перед скобкой в (7.45), учитывается знаком органа сравнения. Рассогласование (в нашем случае х = —yi) проходит на суммирующий узел, на второй вход которого подается величина —(i/22/2) sign у2, формируемая из сигнала производной у2 с помощью трех нелинейных преобразователей. Производную определяет дифференциатор р. Выходной сигнал суммирующего узла управляет положением реле, воздействующего на объект.
На основе рассмотренной задачи можно сделать следующие выводы:
1.	Оптимальное управляющее воздействие представляет собой кусочно-постоянную функцию, принймающую предельные значения (±1).
254
2.	Для реализации оптимального управления может быть использовано двухпозиционное реле, положение которого определяется знаком переключающей функции.
3.	Техническая реализация оптимальной переключающей функции v даже для простейшей системы довольно сложна, поэтому при решении практических задач оптимального управления целесообразно найти эквивалентную переключающую функцию va, совпадающую с v по знаку, но более простую для технической реализации.
§ 7.4.	СПОСОБЫ УПРАВЛЕНИЯ, БЛИЗКОГО К ОПТИМАЛЬНОМУ
Хотя в вопросах теории оптимального управления к настоящему времени получены существенные результаты, практическое применение этой теории для синтеза реальных САУ пока сравнительно ограничено. Это объясняется тем, что построение систем, у которых объекты описываются уравнениями высокого порядка и имеют сложный характер ограничений, весьма затруднительно.
Возникает задача синтеза просто реализуемых на практике приближенных законов управления (квазиоптимальных), незначительно в смысле избранного критерия отличающихся от строго оптимальных. Ориентация на построение квазиоптимальных систем может быть практически обоснована еще по следующим причинам.
1.	Любое управляющее устройство строится из элементов, которые имеют ограниченные возможности, и следовательно, на свободу выбора управляющего устройства наложены определенные ограничения.
2.	Математическая модель объекта, на базе которой синтезируется управление, зачастую является приближенной, так как структура и параметры объекта не всегда известны полностью.
3.	При реализации строго оптимальных САУ необходима полная информация о координатах системы, входных сигналах и их производных. Получение такой информации в реальных системах связано со значительными трудностями. Например, измерение высших производных от управляемой координаты не может проводиться без погрешностей, причем вносимые искажения во многих случаях настолько велики, что они исключают возможность использования высших производных в законе управления.
Способы разработки квазиоптимальных систем можно разбить на две группы. К первой относятся способы, в которых применяется приближенная модель объекта и не используется знание строго оптимальных законов управления для точной модели. Ко второй группе относятся способы, в которых с помощью простых технических средств осуществляется приближение к известным заранее строго оптимальным управлениям, полученным для точной модели объекта.
Упрощение математического описания объекта управления. В качестве примера такого способа квазиоптимального управления можно рассмотреть следующую широко распространенную на практике задачу. Некоторый технологический процесс содержит систему автомати-
355
ческого регулирования параметра у. На пульте управления имеются только индикатор величины у и устройство для задания уставки регулятора и со своим индикатором. Уставка в данном случае является управляющим воздействием. Для удобства в эксплуатации все регуляторы выполняются так, что показания индикатора у индикатора и в установившемся режиме совпадают. Допустим, что возникла необходимость изменить регулируемую величину: вместо у а установить у в- Простейшим решением такой задачи будет задание уставке значения ив вместо ил, соответствовавшего величине у а (рис. 7.10). По истечении времени переходного процесса установится у — ув-
Однако опытный оператор, желая ускорить переход на новый режим, поступает следующим образом. Сразу в момент /0, когда возникла задача изменения режима, задается максимальное значение уставки u = птах (рис. 7.10, а). При этом начинает форсированно увеличиваться у (/). В момент времени tr, когда у достигнет требуемого значения, т. е. у (4) — у в, уставка переводится на значение и = ив- Момент переключения управления в рассмотренном примере заранее не рассчитывается, а определяется временем попадания в заданную точку у — = У в-
Управляющее воздействие такого вида является строго оптимальным для системы первого порядка. Действительно, изменение координаты у (t) для t0 t <Z 1 происходило под действием наибольшего значения управления, а задание в момент значения уставки и = ив = у в остановило процесс изменения у (/) , т. е. у (/) = ув для
tt. В этом просто убедиться, если в уравнение системы
Td±+y = u dt а
подставить и = у. Тогда dyldt = 0, т. е. изменение координаты у (/) прекратилось.
Для объектов более высокого порядка с апериодическими переходными процессами управление описанного типа уже не является строго оптимальным, так как после установления и = ив координата у (/) может продолжать изменяться (пунктирная линия на рис. 7.10, б). Тем не менее, благодаря форсировке на отрезке времени [/0, переходный процесс в такой системе будет устанавливаться быстрее, чем при обычном управлении в виде ступеньки от ил к ив-
Применение управления строго оптимального для систем первого порядка к системам более высокого порядка можно толковать следующим образом: заменить действительное уравнение системы более простым, разыскать для этого простого уравнения экстремаль и реализовать ее для управления исходной системой. Такой подход к задачам квази-оптимального управления и составляет суть способа упрощения математического описания.
Конечно, не всегда упрощение приводит к уравнению первого порядка . В [Л.4] описаны примеры, когда в качестве упрощенной системы используется система второго порядка.
В этом случае экстремаль является кусочно-постоянной функцией, принимающей предельные значения пщах и цвд1ц, а моменты переклю-256
чения находятся из решения соответствующей вариационной задачи строго оптимального управления.
Квазиоптимальное управление колебательным объектом. Рассмотренный выше способ квазиоптимального управления, когда управляющее воздействие принимает предельные значения, а моменты переключения находятся для упрощенной математической модели, может дать неудовлетворительные результаты на колебательных объектах, так как даже незначительные ошибки в моментах переключения могут привести к большим перерегулированиям в переходном процессе.
Рис. 7.11
Для квазиоптимального управления колебательными объектами можно предложить следующий способ [Л. 103]. Если уравнение объекта имеет вид
^ + 2S®+^-«.	<7.47>
то для перевода выходной координаты у из уд в ув на вход объекта в момент /0 подается скачок из положения ид в ис
ис=иАЛ
иВ~иА
I -}-т
(7.48)
где т — величина перерегулирования переходной функции при отработке единичной ступеньки.
Величина у (/) изменяется при этом с перерегулированием и в момент tv достигает значения ув, т. е. у (it) = у в (рис. 7.11, б). Момент соответствует максимуму функции у (/), поэтому у (4) = 0. При t = ti на вход объекта подается вторая ступенька, в результате которой и = ив- Поскольку для t = tr у = и = ив я у (ii) = 0, то из уравнения (7.47) следует, что у (/х) = 0. Равенство нулю первой и второй производных для системы второго порядка означает, что процесс изме. 9 Зак- 447	257
нения у (t) установился, т. е. при t > 4 у (/) = const = у в- Длина отрезка времени [4 — 41 соответствует половине периода колебаний, показанных штрихом на рис. 7.11, о и равна
'-‘. = 7=^-	Р.49)
Таким образом, управляющее воздействие и (t) вида, показанного на рис. 7.11, позволяет обеспечить переходный процесс без перерегулирования за конечное время (7.49) в колебательном объекте.
В задаче 7 управления консервативным объектом £ = 0, а перерегулирование т = 1,так как при единичном воздействии в объекте возникают незатухающие колебания. Подставляя эти значения в (7.48) и (7.49), найдем закон квазиоптимального управления консервативным объектом: в момент 4 на вход объекта подается ступенька, высота которой равна половине отрабатываемой величины, а в момент 4 = = t0 + л подается вторая ступенька такой же величины. Время переходного процесса при этом Т = л.
Аппроксимация оптимальной переключающей функции. Как отмечалось в § 7.3, для линейных задач оптимального управления (где объект и функционал линейны) и для ограничений в виде неравенств [типа (7.4)] оптимальное управляющее воздействие является кусочнопостоянной функцией, принимающей предельные значения. Реализа-, ция такого управляющего воздействия осуществляется с помощью реле, на вход которого подается величина v, формируемая в соответствии с выражением для переключающей функции.
Переключающая функция, как правило, представляет собой сложную нелинейную функцию фазовых координат, и для ее реализации необходимо применять вычислительные устройства. Даже для простейшей оптимальной системы второго порядка устройство, реализующее функцию v (уъ у2) (см. рис. 7.9) , содержит три нелинейных преобразователя. Для систем, где объект описывают более сложными уравнениями, форма линий переключения v (ylt у2) = 0 на фазовой плоскости может быть весьма причудливой и трудной для реализации.
Для систем выше второго порядка уравнение вида
v{yi, .... Уп) = О.	(7.50)
определяет в фазовом пространстве с координатами ylt ..., уп некоторую гиперповерхность переключения, степень сложности реализации которой определяется ее формой.
Если найдена оптимальная переключающая функция р0 (ylt уп), то задачей разработчика системы является аппроксимация этой функции удобными для технической реализации функциями ор. Главным вопросом при аппроксимации функции п0 (Уъ Уп) является простота последующей реализации.
Наиболее удобной в этом смысле является, конечно, линейная переключающая функция. В фазовом пространстве ей соответствует гиперплоскость, а для технической реализации необходимы лишь ли-258
иейные у to ли тел й й сумматор. К числу простых для реализации относятся также кусочно-линейные и релейные функции.
Осуществляя аппроксимацию оптимальной переключающей функции v0, важно оценить качественные отклонения процессов в системе, возникающие при этом. Иными словами, критерием качества аппроксимации должен быть характер процессов в САУ, а не какой-либо показатель близости функций v0 и vp. Поясним это на следующем примере.
Пусть предложено два варианта аппроксимации оптимальной переключающей функции (7.45) для простейшей оптимальной системы второго порядка в ограниченной области фазовых координат —а
«Л а; —b у г Ь. На рис. 7.12 показаны оптимальная линия переключения с уравнением ц0 = 0 (штрихом) и предложенные для сравнения линии переключения с уравнением ур1 = 0 (рис. 7.12, а, линия ABCD) и цр2 = О (рис. 7.12, б, линия ABCD). Допустим, что в ка