/
Автор: Спрингер Дж.
Теги: математика математический анализ высшая математика функциональный анализ
Год: 1960
Текст
INTRODUCTION TO RIEMANN SURFACES
BY
GEORGE SPRINGER
Department of Mathematics
University of Kansas
19 5 7
Addison-Wesley Publishing Company, Inc.
READING, MASSACHUSETTS, U. S. A.
ДЖ. СПРИНГЕР
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ
РИМАНОВЫХ
ПОВЕРХНОСТЕЙ
Перевод с английского
Л. А. Маркушевич
и Г. Ц Тумаркина
ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва, 1960
АННОТАЦИЯ
В современной математике теория римановых
поверхностей и идеи, так или иначе с ней связанные, играют
весьма важную роль, и несомненно, что возможности
развития этих идей в их взаимосвязи с многими
областями математики еще далеко не исчерпаны.
Предлагаемая книга американского математика
Дж. Спрингера является хорошим введением в теорию
римановых поверхностей. Она написана четким и
простым языком и для ее чтения требуется только знание
основ теории функций комплексного переменного и
алгебры. Необходимый материал по топологии и теории
гильбертовых пространств изложен в самой книге в весьма
доступной форме.
Книга будет весьма полезной для студентов и
аспирантов математических специальностей, изучающих
теорию римановых поверхностей.
Редакция литературы по математическим наукам
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
Растущий интерес к предмету теории римановых поверхностей
вызвал потребность в книге на английском языке, могущей служить
введением в эту область. В предлагаемой работе дается современное
изложение фундаментальных понятий и основных теорем, относящихся
к римановым поверхностям. Мы предполагаем, что читатель знаком
с элементами теории функций комплексного переменного и алгебры.
Широко используются понятия топологии и теории гильбертовых
пространств, однако предварительного знания этих вопросов от
читателя не требуется. Все необходимые сведения из этих областей можно
найти в книге. Эта книга задумана не как обзор новейших работ по
римановым поверхностям, но, скорее, как современное представление
классической теории и её задачей является подготовить читателя
к дальнейшему изучению теории римановых поверхностей и связанных
с нею областей.
Великолепная работа проф. Германа Вейля „Die Idee der Riemann-
schen Flache", заложившая основы теории абстрактных римановых
поверхностей, влияет, конечно, на каждого, кто пытается писать книгу
о римановых поверхностях. Я в особенности обязан этой работе, так
как для меня она явилась введением в этот предмет. Серьезное
влияние оказали на меня также лекции по римановым поверхностям,
прочитанные проф. Ларсом В. Альфорсом в Гарвардском университете
в 1948 году.
Идею написать эту книгу подал д-р Л. Геллер, который помог
выработать общий план и принял участие в написании глав 6 и 7.
Я глубоко обязан ему как за его помощь, так и за его энтузиазм.
Я хочу выразить благодарность проф. Максуэллу Розенлихту,
многочисленные замечания которого позволили сделать доказательства ряда
теорем более изящными, в особенности в главах по комбинаторной
топологии и абелевым интегралам. Я сердечно благодарю также всех
тех, кто читал рукопись и внес конструктивные предложения,
способствовавшие ее улучшению.
Январь 1957 г.
Дж. С.
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
1.1. Алгебраические функции и римановы поверхности. Обычно
изучающий теорию функций комплексного переменного впервые
сталкивается с понятием римановой поверхности в связи с
многозначностью функции w = y~z. В этой книге мы сначала будем
рассматривать риманову поверхность с более абстрактной точки
зрения. Во введении мы намереваемся провести читателя от понятия
римановой поверхности как совокупности нескольких листов,
покрывающих ^-плоскость, к абстрактному определению, а также указать
цели изучения римановых поверхностей и пути достижения этих целей.
Определения, даваемые во введении, по необходимости нестрогие,
а рассуждения носят эвристический характер; строгое обоснование
будет дано в дальнейших главах.
Один из важных разделов теории функций комплексного
переменного имеет дело с изучением алгебраических функций и их
интегралов. Аналитическая функция w = w(z) называется алгебраической,
если она удовлетворяет функциональному уравнению
a0(z)w- + a1(z)w^+ ... +an(z) = 09 a0(z)^0)
в котором at(z) — полиномы по г с комплексными коэффициентами.
Из этого алгебраического уравнения относительно w видно, что
каждое значение z определяет несколько значений w, так что w является
многозначной функцией от z. Вопрос о том, как из этих различных
значений можно образовать непрерывные ветви w(z), является одним
из ббъектов нашего исследования.
Далее, рациональная функция от z и w имеет вид
D(7 „л— h (*) *>т + Ьг(г)п™-1+ ... + Ьт (г)
где bj(z) и Cj {z)— полиномы по z с постоянными коэффициентами
и знаменатель не равен тождественно нулю. Мы будем заниматься
изучением функции F(z)9 определяемой следующим образом:
выбираем одну из ветвей алгебраической функции w(z) в точке z0 и путь,
соединяющий z0 с z, а затем полагаем
2
F(z) = j R(z, w(z))dz,
z0
8
Г Л 1 ВВЕДЕНИЕ
где значения w(z) определяются аналитическим продолжением
фиксированной в z0 ветви вдоль пути интеграции. В общем случае/7^)—
также многозначная функция от z. Для этих интегралов мы найдем
такую систему канонических форм, что любой интеграл этого типа
преобразуется в каноническую форму подходящим выбором
переменных. Затем для более глубокого исследования природы
рассматриваемых интегралов мы будем изучать найденные канонические формы.
Из одного функционального элемента алгебраической функции
можно, используя аналитическое продолжение, получить всю функцию
и исследовать при этом характер ее многозначности. Однако в этой
книге мы будем, следуя идеям Римана, искать новые поверхности
(вместо ^плоскости), на которых алгебраические функции становятся
однозначными. Эти поверхности и называются рамановыми
поверхностями.
Простейшие алгебраические функции определяются уравнением
вида a0(z)w -Jral(z) = 0, где а0 и ах — полиномы по z. В этом еду-
чае w = — a1(z)/a0(z) является однозначной рациональной функцией
от z. Функции этого типа характеризуются тем, что они регулярны
в расширенной ^-плоскости (^-сфере), за исключением конечного
числа полюсов. Если полюсы функции w расположены в точках
bi, b2, ..., bn, то w может быть разложена на простейшие дроби:
w = p(z) + h1(z) + ... +-М*).
где
U (~\ СЬ k | с2, k I I Ст, k
nkW — z-bk^ {z-bk)^ •*• -Т- (z-bk)m
— главная часть w(z) в точке bk, a p(z) — полином от z, который
с точностью до постоянной является главкой частью w(z) в
бесконечности. Всякая рациональная функция R(z,w) от z и этой
рациональной функции w является также рациональной функцией от z и
разлагается на простейшие дроби. Каждый интеграл
г
F(z)= f R (z, w) dz
непосредственно вычисляется; в результате получается рациональная
функция от z и добавочные члены вида A log (z—b). Таким образом,
F (z) является многозначной функцией от z, которая изменяет свое
значение на 2тг/Л, когда z описывает окружность достаточно малого
радиуса вокруг полюса b функции R(z,w) с ненулевым вычетом А.
Кроме того, согласно теореме о вычетах, изменение F (z) вдоль лю*
бого замкнутого простого пути равно умноженной на 2тг/ сумме
вычетов R(z,w) в точках, лежащих внутри области, ограниченной этим
путем, так что многозначность F (z) полностью определяется членами
вида Alog(z — b). Таким образом, мы получили некоторые важные
1 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ 9
свойства алгебраических функций, определяемых уравнением первой
степени относительно w.
Рассмотрим далее алгебраические функции, определяемые
уравнениями второй степени относительно wf а именно уравнениями вида
#0^2-f-#!?& +#2 = 0, где al^=^ai(z)—полиномы от z и а0^0.
Выполнив простую замену переменной С= 2a0w-\-aif мы получаем
С2 —р(*) = 0,
где > р (z) = а± — Аа0а2 — полином от z. Для любого фиксированного z
переменная С является однозначной функцией от w, и обратно; мы
будем изучать функцию С (г) вместо w(z). Начнем со случая, когда
степень p(z) по z равна 1, а затем рассмотрим случаи, когда
степень p(z) равна 2, 3, 4 и, наконец, п.
Алгебраическая функция, определяемая уравнением w2— z = 0,
не является однозначной в расширенной ^-плоскости. Действительно,
используя полярные координаты z = reifi, мы имеем w = ]/г е1^2.
Отправляясь от некоторой точки r0eib°, г0=рО, и продолжая w(z)
вдоль замкнутого пути, обходящего вокруг начала координат один
раз так, что б возрастает на 2тг, мы приходим к значению w (z),
равному j/70 el (9о+27с)/2 = — Уг0е1^2, которое отличается от исходного
значения только знаком. Продолжая w(z) вдоль этого пути еще раз,
приходим опять к исходному значению. Разрезав расширенную
^-плоскость вдоль положительной части действительной оси и
ограничиваясь продолжениями w(z) вдоль путей, не пересекающих этот
разрез, мы получаем две однозначные ветви w(z), а именно w =
= y~f е№9 О<0<2тг,и<ш = у7 е^2, 2тг<6< 4тг. Чтобы „построить"
риманову поверхность функции w(z), возьмем два экземпляра
^-плоскости с разрезами вдоль положительной части действительной оси
и назовем их листом I и листом II. Разрез на каждом листе имеет
два берега; пометим берег первого квадранта знаком -f~ и берег
четвертого квадранта знаком —. Затем склеим -f-берег разреза листа I
с — берегом разреза листа II и склеим — берег разреза листа I
с -f- берегом разреза листа II. Тогда при пересечении разреза мы
будем переходить с одного листа на другой.
Теперь координата z определяет точку на листе I и точку на
листе И. Желательно найти обозначение, определяющее единственную
точку на римановой поверхности. Мы ставим в соответствие точке z
на листе I фиксированное значение Уг, равное У г £/е/2, 0 <; 6 < 2тг,
и обозначаем эту точку на листе I через (z, Уz\ Затем, отправляясь
от значения ?е> = |/~£ и продолжая функцию w(z), определяемую
уравнением w2 — 2 = 0, вдоль простого замкнутого пути, обходящего
начало координат, мы пересекаем разрез и переходим на лист II и при
возвращении к точке на листе II, имеющей координату z, w будет иметь
значение —У^ . Мы обозначаем точку z на листе II через (г, —Уz)
10
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
п отличие от точки (z, Yz) на листе J. Таким образом, каждая точка
на римановой поверхности может рассматриваться как упорядоченная
лара (z, w)t где w2— z ~ 0, причем две точки (zl9 Wj) и (z2, w2)
совпадают на римановой поверхности в том и только в том случае,
когда zl = z2 и wl(z) = w2(z) в окрестности z = zl. Очевидно
также, что функция w(z), удовлетворяющая уравнению w2— 2: = 0,
однозначна на построенной поверхности и принимает значение w
в точке (z, w). В рассматриваемом случае каждой точке z на плоскости
соответствуют два значения wt за исключением точек z = 0 и z= со,
которые являются точками разветвления функции w = Yz.
К сожалению, только что рассмотренная двулистная поверхность
не может быть реализована в нашем трехмерном евклидовом
пространстве в виде двух листов, лежащих над z-плоскостью и
склеенных крест-накрест вдоль данных разрезов; мы сразу убеждаемся
в этом, пытаясь склеить таким образом два листа бумаги с разрезами.
Именно этот факт создает вокруг нашей поверхности атмосферу
нереальности, и поэтому вообще римановы поверхности могут не
внушать доверия и показаться нам неудобными. Чтобы рассеять
подобные сомнения, покажем, что наша двулистная поверхность может
быть топологически отображена на сферу *). Мы снова начинаем
с представления поверхности в виде двух листов, лежащих над
расширенной z-плоскостью и склеенных вдоль положительной части
действительной оси. Используя стереографическую проекцию, можно
Рис. 1.1
рассматривать эти два листа как сферы, разрезанные вдоль
меридиональной окружности от северного полюса к южному (рис. 1.1),
причем каждый -f-берег склеивается с —берегом другого листа.
Допустим теперь, что сферы сделаны из резины, и, раздвигая берега
!) Отображение называется топологическим, если оно взаимно однозначно
и непрерывно и обратное отображение также непрерывно.
/./. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ \\
разрезов, деформируем каждый лист в полусферу. Далее, повернем
листы так, чтобы полости полусфер расположились друг против друга
(рис. 1.2) и берега, отмеченные + и —» находились друг против
друга. Склеив вместе две полусферы, мы получим сферу.
Выполненное отображение можно записать аналитически, положив, что каждая
точка (г, ]Лг ) римановой поверхности переходит в точку / = Yz Рас*
ширенной /-плоскости (/-сферы).
Что мы можем теперь сказать относительно интеграла
2
F(z) = f R{z,Vz)dz,
где R(ztw) — рациональная функция от z и w? Если рассматривать
этот интеграл на римановой поверхности (г, Y z) и отобразить эту
поверхность на /-сферу при помощи функции t— Уz % то он
примет вид
VT
F(z) = f R(t*.t)2tdt.
д это есть интеграл от рациональной функции от /, рассмотренной
нами выше. Мы видели тогда, что многозначность его вызывается
только наличием вычетов у функции 2R(t2, t)t. Таким образом,
F (z) — многозначная функция на римановой поверхности w2— z=0;
многозначность этой функции определяется ее логарифмическими
особенностями. Наконец, на самой 2-плоскости F (z) имеет еще
двузначность в силу отождествления листов.
В случае w2 = a0z~\-a1 дело обстоит в сущности так же, как
и для w'1 — z = 0. Здесь мы делаем разрез в z-плоскости от z —
= --^/¾ до z — ~о вместо разреза от 0 до со и далее рассуждаем
12
Г Л 1 ВВЕДЕНИЕ
по приведенному образцу. В действительности даже рассмотрение
уравнения w2 = a0z2Jr atz-\-а2, а\— 4а0а2 Ф О, а0 Ф О, не приносит
ничего существенно нового, так как, разлагая на множители, мы
получаем w2 = a0(z—r)(z — s), г Ф s. Две точки, z — г и z = sy
являются точками разветвления этой функции, и, сделав разрез в
^-плоскости вдоль какой-либо кривой, соединяющей г и s, мы
получим две однозначные ветви функции w = Ya0(z — r)(z— s).
Склеивая два экземпляра расширенной плоскости вдоль этого разреза,
мы получаем двулистную риманову поверхность, на которой
функция w(z) однозначна. Понятно, что если представить себе
поверхность сделанной из резины, то ее можно непрерывно деформировать
в поверхность для w2 = z, сдвигая г в 0, a s в оо и деформируя
разрез в положительную действительную ось. Таким образом, эта
поверхность также может быть топологически отображена на сферу.
Это отображение можно выразить аналитически, применяя вначале
дробно-линейное преобразование x = (z — r)/(z — s), переводящее
^-плоскость взаимно однозначно и конформно в т-плоскость так,
что г переходит в 0, a s в оо. Двулистная риманова поверхность
над ^-плоскостью отображается на двулистную риманову поверхность
над т-плоскостью с точками разветвления т = 0 и т = оо. Затем
преобразование t=yz развертывает эту риманову поверхность и
отображает ее, как и в предыдущем случае, на ^-сферу.
Рассмотрим теперь интеграл
Z
J R(z* V~aoz2+ aiz + #2) dz
Z0
от рациональной функции no z и w, где w2 — a0z2-$r а^-+-а2.
Используя ту же замену переменных, что и при отображении рима-
новой поверхности над 0-сферойна^-сферу, имеем t = Y(z—r)l(z—s) и
Z—T
z0 Zo~r
Zq-S
ИЛИ
f z-s
f z0-s
т. е. мы получили интеграл от рациональной функции по t на ^-сфере.
Этот интеграл является многозначной функцией от t = y(z — r)j(z — s)
вследствие логарифмических особенностей, соответствующих полюсам
1 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ 13
подинтегрального выражения с ненулевыми вычетами. Таким образом,
как и в предыдущем случае, многозначность F (z) в 2-плоскости
возникает от логарифмических особенностей F (z) и двузначности
отображения z-+t.
Положение существенно изменяется при переходе к
алгебраической функции, определяемой уравнением w2 = a(z — r1)(z — r2)(z — r3),
где корни r1$ г2, гъ различны между собой. Снова каждому
значению z здесь соответствуют два значения w, отличающиеся друг от
друга знаком. Мы переходим от одного значения к другому,
продолжая w(z) вдоль любого замкнутого пути, обходящего один раз
вокруг одного из корней г1э г2, г3. В самом деле, w = Ya Vz—riX
\YZ— ггУz — гз и множитель Yz— ri изменяет знак, когда
2xg(z — rt) изменяется на 2тг. На плоскости z с разрезом от гх до г2
мы не сможем обойти вокруг только одной из точек гх или г2, не
пересекая разрез. Однако мы можем найти путь, одновременно
обходящий вокруг и гх и г2 (см. пунктирную линию на рис. 1.3). Но при
этом как arg(z — rj, так и 2Sg(z — г2) изменяются на 2тг и оба
множителя Yz — г\ и Vz — г2 меняют знак, так что значение w не
меняется. Разрежем теперь ^-плоскость от г3 до оо. Это не позволит
нам обходить одновременно вокруг всех трех корней гх, г2 и г3.
В плоскости z с такими разрезами обе ветви w(z) являются
однозначными. Если мы возьмем теперь два экземпляра ^-плоскости с
такими разрезами (рис. 1.3 и 1.4) и склеим их, как прежде, крест-
накрест вдоль разрезов, то получим двулистную риманову
поверхность, на которой функция, определяемая уравнением w2~a(z — f*i)X
X (z — r2)(z — r3), является однозначной. Опять-таки точки на этой
поверхности можно обозначить через (z, w(z)), где z определяет
точку на обоих листах, a w(z) определяет, на каком листе эта точка
лежит.
Такая двулистная риманова поверхность не может быть
топологически отображена на сферу, но мы покажем сейчас, что ее
можно топологически отобразить на тор (бублик). Это можно
14
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
увидеть, прикладывая одну к другой две сферы с разрезами от гх до г2
и от г8 до оо (рис. 1.5). Вообразим, что сферы сделаны из резины,
и растянем каждый разрез в круговое отверстие (рис. 1.6). Затем
повернем сферы так, чтобы эти отверстия оказались друг против друга,
и вытянем берега разрезов в небольшие трубки (рис. 1.7). Заметим, что
теперь -f берега трубок на одной сфере находятся напротив
—берегов трубок на другой. Таким образом, мы можем соединить края
трубок и образовать поверхность, изображенную на рис. 1.8,
которая топологически отображается на тор (рис. 1.9).
/IeiKO видеть, что тор не может быть топологически отображен
на сферу. В самом деле, на сфере всякую замкнутую кривую можно
деформировать в точку, и это свойство должно сохраняться при-
топологическом отображении поверхности. Напротив, на торе мери-
/. /. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И РИМА НОВЫ ПОВЕРХНОСТИ J5
диональиые окружности Ct и широтные окружности С2, показанные
на рис. 1.10, не могут быть непрерывно деформированы в точку.
Кривые, обозначенные через Сх и С2 на рис. 1.3 и 1.4, отвечают
меридиональной кривой Сх и широтной кривой С2 на торе
соответственно. На двулистной римановой поверхности, изображенной на
рис. 1.4. часть С2, проведенная сплошной линией, лежит па одном
листе, а пунктирная часть — на другом.
Существование на поверхности кривых, которые, подобно Ct
или С2. нельзя стянуть в точку, обусловливает многозначность
интегралов от алгебраических функций. Заметим, что при обходе вдоль
кривой Сх или С2 функция w = У a (z — г,) (z — г2) (z — г3) не меняет
своего значения.
16
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
В рассмотренных нами случаях многозначность интеграла
г
F(z)= fR(z, w{z))dz,
где R — рациональная функция от z и w% проистекала от вычетов R
1'ис. 1.9
Рис. 1.10
(логарифмических особенностей F) или от двузначности w(2). Мы
убедимся вскоре, что интеграл
f R(z, w(z))dz.
1 1 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ \J
взятый по замкнутому пути, подобному С1 или С2 на рис. 1.3 и 1.4,
может иметь ненулевое значение, несмотря на то, что w(z) остается
однозначной на этих кривых и области, ограниченные этими кривыми,
не содержат полюсов R с ненулевыми вычетами. Рассмотренные
интегралы, для которых
w2 = а (г — rx) (z — г2) (г — г3),
называются эллиптическими интегралами. Аналогичное положение
имеет место, когда
w2 = a (z — rx) (z — r2) (z — r3) {г — г4),
где корни rls г2, г3, г4 различны. В этом случае сделаем разрезы
между гх и г2 и между г3 и г4. Их опять можно растянуть и склеить,
как и ранее, и получить тор. Здесь также
Z
Г R (z, w) dz
называется эллиптическим интегралом.
Чтобы закончить изучение случая w2 — р(,г) —О, мы возьмем
функцию w(z), определяемую уравнением
W2 = а (z — rx) (z — r2) ... (z — г J,
где корни гх, г2, ..., гЛ различны. Каждому z соответствуют два
значения w, так что мы получаем двулистную риманову поверхность
с точками разветвления rlt г2, ..., гп. Как и ранее, продолжение w
вдоль пути, окружающего нечетное число точек разветвления,
приводит к значению -®, в то время как продолжение вдоль пути,
содержащего четное число точек разветвления, приводит обратно
к исходному значению w. Таким образом, если разбить точки
разветвления на пары, скажем (rlt г2), (г3, г4), ..., и сделать разрезы
вдоль кривых*, соединяющих гх с г2, гъ с г4, . . ., то мы выделим
две ветви w(z)t каждая из которых однозначна в плоскости с этими
разрезами. Если п нечетно, то гп остается без пары, и мы делаем
разрез от гп до со. Мы получим, таким образом, п/2 разрезов в
случае четного п к{п-\- 1)/2 разрезов в случае нечетного п. Если склеить
две сферы, каждая из которых имеет разрезы между парными
точками разветвления w, как мы делали это в случае п = Ъ или м=-4,
то мы получим поверхность, подобную изображенной на рис. 1.11.
Эта поверхность составляется из двух сфер, соединенных /г/2
трубками при п четном и (п -)-1)/2 трубками при п нечетном.
Если представить себе на время, что две сферы соединены только
одной трубкой, проходящей через разрезы от гх до г2, а остальные
разрезы закрыты, то мы получим поверхность, топологически
эквивалентную сфере. Восстановим теперь оставшиеся g трубок на этой
новой сфере; Здесь g равно м/2—1, если п четное, и (лг -f- 1)/2—1,
18
ГЛ. I В ВИДЕНИЕ
если п нечетное. Каждая трубка напоминает ручку на сфере; мы
получаем окончательную топологическую модель римановой
поверхности в виде сферы с g ручками, изображенной на рис. 1.12. Число g
Рис. 1.11
называется родом поверхности. Таким образом, каждая
алгебраическая функция, определяемая уравнением a0(z)w2-\-al(z)w-\-a2(z)=Ot
а0(г)фО, имеет риманову поверхность, топологически эквивалентную
сфере с g ручками. Можно показать, что любая алгебраическая
функция имеет риманову поверхность, топологически эквивалентную
1 2 поток жидкости НА плоскости
19
сфере с g ручками, причем алгебраическая функция является
однозначной функцией точки на этой поверхности.
Это наводит нас на следующую мысль. Почему бы, отправляясь
от поверхности в пространстве, например от сферы с ручками, на
которой определены функции, соответствующие аналитическим
функциям в 2-плоскости, не выяснить, какие из этих функций
однозначны на поверхности? Это приведет к классификации
аналитических функций соответственно их римановым поверхностям. Далее,
знание однозначных и многозначных аналитических функций на ри-
мановой поверхности и топологической природы поверхности позволит
нам судить о поведении интегралов от алгебраических функций. Это
и является подходом Римана к изучению алгебраических функций и их
интегралов.
1.2. Поток жидкости на плоскости. Нас интересуют функции,
определенные и аналитические на поверхности в пространстве. Чтобы
получить более ясную наглядную картину таких функций, будем
искать физическую интерпретацию аналитических функций сначала
на 2-плоскости, а затем на поверхности.
Представим себе стационарный поток несжимаемой жидкости,
текущий в (х, _у)-плоскости. Скорость потока в каждой точке имеет
х-компоненту Р(х,у) и у-компоненту Q(x,y). Рассмотрим
прямоугольник с горизонтальной стороной Ах и вертикальной стороной Ау.
Пусть плотность жидкости постоянна и равна 1. Тогда за единицу
времени из прямоугольника вытекает масса жидкости, равная
Г {Р(х-+-Ах, у-±и)—Р(х, y + a))da +
о
+ f [Q(x + v, y±^y)--Q(x + v, y)}dv.
О
По теореме о 'среднем эта масса равна
[Я(*+Д*. у + 62Ьу) — Р(х9 у-±-В2Ау)]Ау +
-HQCtf-T-M*. y-\-±y) — Q(x-+-bbbx, у)]Ьх,
где 0 < 6^ < 1, k — 2, 3. Далее, из теоремы о среднем следует,
что это выражение равно
1Рх(х + ЬгАх, y + b2&y) + Qy(x + b3bx, у4-64Ду)]Д.гЬу,
где 0 < 8Й < 1, k—1, ..., 4. Если А — произвольная область, то
ее можно аппроксимировать изнутри областями, составленными из
прямоугольных ячеек. Тогда масса жидкости, вытекающая из А за
единицу времени, приближенно равна сумме масс жидкости,
вытекающей за единицу времени из прямоугольных ячеек. Но эта сумма
20
ГЛ 1. ВВЕДЕНИЕ
является интегральной суммой для интеграла
А
Так как жидкость несжимаема и мы считаем, что жидкость не
возникает и не исчезает ни в какой области Л, то мы имеем
А
для всех Л, т. е. dPjdx -{-dQ/dy= 0. Это означает, что
дивергенция потока равна нулю. Циркуляция потока вдоль замкнутой
кривой С определяется как Г Р dx-\-Qdy. Мы скажем, что поток без-
с
вихревой, если циркуляция вдоль любой замкнутой кривой С равна
нулю. В этом случае выражение Р dx~\-Qdy является полным
дифференциалом и существует функция и(х,у), такая, что Р — ди/дх,
Q = ди/ду. Из того, что дивергенция потока равна нулю, теперь
следует, что д2и/дх2-\~д2и/ду2 = 0, т. е. и является гармонической
функцией. Функция и называется потенциалом скорости потока.
Кривые и = const называются эквипотенциальными линиями.
Касательная к эквипотенциальной линии образует такой угол а
с осью х, что tga —— (du/dx)j(du/dy), если только (ди/дх)2 -\-
-\- (ди/ду)2 Ф 0. Вектор скорости образует угол р с осью х, для
которого tg$==Q/P = (ди/ду)!(ди/дх), откуда мы заключаем, что а и р
отличаются на 90° и что поток течет ортогонально к
эквипотенциальным линиям в направлении возрастания и,
Если дана гармоническая функция и, то сопряженная ей
гармоническая функция определяется уравнениями Коши — Римана ди/дх =
= dv/dy, ди/ду = — dv/dx. Тогда f(z) = и (х, y)-\-iv (х, у) является
аналитической функцией от z, называемой комплексным
потенциалом потока. Касательная к кривой v = const образует угол f с осью х9
для которого tg 7 = — (dvjdx)l(dvldy) = (du/dy)j(du/dx). Таким
образом, tg р = tg- y и жидкость течет вдоль кривых v = const, которые
вследствие этого называются линиями тока. Условие (ди/дх)2-^
-f- (ди/ду)2 Ф 0 может быть записано в виде /'(г)Ф0, т. е. линии
тока ортогональны эквипотенциальным линиям, за исключением
точек, в которых f'(z) — Q.
Когда функция u-\-iv аналитическая, функция v — iu также
является аналитической, так как гармонические функции v, —и
удовлетворяют уравнениям Коши — Римана. Таким образом, мы можем
взять в качестве линий тока кривые # — const, а кривые v= const—■
в качестве эквипотенциальных линий. Поток, получаемый таким
образом, называется сопряженным потоком к исходному.
12 поток жидкости нл плоскости
21
Если аналитическая функция w = f(z) регулярна в точке z0, но
f(zQ) — О» т0 кривые u — const и г> = const не пересекаются в %
под прямым углом. Пусть
/ (*) = % + я/г (2 — *ь)* •+- aft+1 (2 — zQ)k+1 4-..., aft =£ '0;
тогда кривые ^ = const и т/ = const пересекаются под углом тт/2й.
В этом случае /¾ эквипотенциальных линий проходят через точку г0>
образуя между собой равные углы, и эти углы делятся пополам k
линиями тока, проходящими через zQ. Такая точка z0 называется
стационарной точкой или точкой скрещивания {Cross-point)
порядка k— 1. Рисунок 1.13 иллюстрирует точку скрещивания порядка 2
(пунктирными линиями обозначены эквипотенциальные линии,
сплошными— линии тока).
Рис. 1.13
Используя стереографическую проекцию, мы можем изобразить
этот поток на сфере более наглядно, чем на плоскости. Чтобы
изучить поток в точке 2 = оо, мы обычным образом заменяем z на 1/С
и рассматриваем получающуюся функцию от С в окрестности точки
С=0. Таким образом, мы приходим к точке скрещивания порядка
k — 1 в z = оо, если в разложении / (z) по возрастающим степеням
\\z первым непостоянным членом является ak(l/z) •
Изучим теперь поток в окрестности точки z0, в* которой f(z)
обращается в бесконечность. Ограничимся рассмотрением
аналитических функций f(z), у которых производная ff(z) может иметь в
качестве особенностей только полюсы. Таким образом, главная часть
разложения f (z) в окрестности z0 имеет вид
22
ГЛ I ВВЕДЕНИЕ
Первый член называется логарифмической особенностью, второй
член — алгебраической бесконечностью, или полюсом порядка 1,
и т. д. Мы рассмотрим действие каждой особенности в отдельности,
а затем наложим потоки для получения результирующего действия
всей главной части. Коэффициент А называется логарифмическим
вычетом особенности.
Вначале мы изучим логарифмическую особенность A log (z — z0).
Рассмотрим случаи действительного А и чисто мнимого по
отдельности, а общий случай получится наложением двух этих потоков.
Если вычет А действительный, то мы полагаем z = zQ -f- reto и
A log (z — z0) = и -\- iv и получаем
и = A log r, v = Ay.
Линии тока v = const являются радиусами, выходящими из точки z=z0,
в то время как эквипотенциальные линии являются окружностями
Рис. 1.14 Рис. 1.15
с центром в z = z0 (рис. 1.14). Таким образом, z~z0 является либо
источником, из которого вытекает жидкость, либо стоком, в
котором жидкость исчезает, в соответствии с тем, положителен или
отрицателен вычет А. Для вычисления мощности источника или
стока мы интегрируем величину скорости вдоль эквипотенциальной
окружности. Так как скорость направлена по радиусу, то ее величина
равна dujdr — А/г, так что мощность источника равна
Г —г^ср==27гЛ.
о
Далее, если вычет А чисто мнимый, то мы полагаем Л = Ш,
\л* В действительно, и получаем и = — Бср, v = B log г. Это — поток,
сопряженный рассмотренному выше; линиями тока являются теперь
12. ПОТОК ЖИДКОСТИ НА ПЛОСКОСТИ
2а
окружности с центром в z0, а эквипотенциальными линиями — радиусы,
выходящие из z0 (рис. 1.15). Этот поток является вихрем в точке z0,
в котором жидкость движется по часовой стрелке или против
часовой стрелки в зависимости от положительности или отрицательности В.
Циркуляция равна
о
Теперь мы рассмотрим полюс порядка 1, скажем AJ(z — z0).
Если положить z — zQ = rei(? и А1 = ре1^, то мы получим
^1 =.Р-г*(Ф-?)
Z — z0 г
так что
и = у cos (<]> — ср), ^ = у sin (Ф — ?)•
В этом случае линии тока v = const образуют семейство
окружностей, касательных к линии ср=:ф в точке z = z0. Эквипотенциальные
Рис. 1.16
линии образуют семейство окружностей, касательных к линии
ср = ф_|_-_.тс в точке z = z0 (рис. 1.16).
Предположим, что мы можем экспериментально создать на
поверхности источник или сток жидкости, проделав отверстие в
поверхности, из которого жидкость будет либо вытекать, либо втекать
в него. Мы покажем теперь, как создать полюс слиянием
логарифмических особенностей. Рассмотрим источник мощности \[h в zQ и
Рис. 1.17
Рис,
1.18
12 поток ЖИДКОСТИ НА плоскости
25
сток мощности—1//г в zQ-\-h. Соответствующий комплексный
потенциал имеет вид
1
h
[log (z — z0) — log (z — z0 — h)\.
Если теперь слить эти особенности, устремив /г к 0, то в пределе
получим потенциал
d 1 / \ 1
_log(s-*0)= —
^0
имеющий полюс порядка 1 в точке z = zQ. На рис. 1.17 показано,
как получается полюс порядка 1 при слиянии источника и стока,
а на рис. 1.18 показано, как он также может быть получен слиянием
двух противоположно ориентированных вихрей.
Рис. 1.19
Поток, соответствующий полюсу порядка v, получается "тем же
путем. Для полюса A J (г— zQy имеем
tt = iCosv(i — ср), * = -£sinv(i— ср),
где А^ = ре^, z — z0 = rei(?. Линиями тока теперь являются
замкнутые петли с началом в z0, причем в z0 они касаются v прямых,
пересекающихся под равными углами. (На рис. 1.19 показан поток
для v = 2.) Полюсы порядка v также могут быть получены слиянием
полюсов низшего порядка.
26
ГЛ 1 ВВЕДЕНИЕ
Рациональные функции— это аналитические функции, все
особенности которых в расширенной ^-плоскости являются полюсами. Если
построить теперь поток на сфере наложением рассмотренных выше
полюсов и логарифмических особенностей, то производная
соответствующего комплексного потенциала будет иметь в качестве
особенностей только полюсы и, следовательно, она — рациональная функция.
Поэтому самый общий поток, который мы можем таким путем создать
на сфере, имеет своим комплексным потенциалом интеграл от
рациональной функции.
1.3. Потоки жидкости на поверхностях. Последующие
рассмотрения широко используют лекции Феликса Клейна [I]1). Мы изучим
теперь поток несжимаемой жидкости на поверхности в пространстве.
Пусть поверхность задана уравнениями xi = xi(p, q), /=1, 2, 3,
в (xlt х2, х3)-пространстве, а переменные р, q могут изменяться в
некоторой области на плоскости. Мы можем предположить для
упрощения последующих вычислений, что все функции, с которыми мы
здесь имеем дело, обладают столькими непрерывными производными,
сколько нам понадобится. Пару (/?, q) можно рассматривать как
координаты точки на поверхности S. Кривая С на S задается
уравнениями p = p(t), q~q(t), a^t^b; элемент длины дуги
выражается через вектор х = (хг, х2, х3) как
ds2 — dx - dx = (хр dp -j- xq dq) (xp dp -j- x^ dq),
или
ds2 = (xp • xp) dp* -\-2(xp- xq) dp dq + (x^ • x^) dq*.
Общеприняты обозначения xp • xp = E, xq - xq — G и xp • xq~ F,
так что
ds2 = E dp2 + 2F dp dq -f- G dq2. (1)
В силу того, что ds2 всегда положителен, W2 = EG— F2 также
положителен.
Удобнее всего выбрать вместо (р, q) специальную систему
координат (и, v), в которой элемент длины дуги имеет вид
ds2 = l(u, v)(du2-\-dv2). (2)
Такие координаты, называемые изотермическими координатами,
можно найти в окрестности любой точки на S. Это нам станет более
ясным, если разложить (1) на множители:
d* = [VEdp + ?+™ dq) (VEdp + P-^f dq).
!) Цифры в квадратных скобках относятся к списку литературы, noj
щенному в конце книги.
13 потоки жидкости НА ПОВЕРХНОСТЯХ
27
Предположим, что мы можем найти такой интегрирующий множитель
а = a1-}-ia2, что
F + iW
Тогда
a(VEdp + r-^J^- dq\ = da + idv.
(3)
a (YE dp
—=r- dq) = du — idv
и, наконец,
| a I2 ds2 = du2-+-dv2.
Полагая |a]2=l/X, мы имеем искомые изотермические
координаты (a, v). Таким образом, мы получим изотермические координаты,
найдя интегрирующий множитель, который превращает выражение
YEdp
~^~z=^~dq в полный дифференциал. Дифференциал du-A-idv
Ye
может быть записан как
du ~^-tdv =
сравнение с (3) дает
да
да
dp
.dv\ , . /да , .dv\ ,
, . uu -tfi^ oa . . ov
-\-t— = g\/E, \~i — = a-
dp dp dq dq У E
Исключая a, получаем
EK + <9=C + 'M0 +
. dv
1 'dpi'
или просто
„ да ^ да TV7 dv
E — = г w —
dq dp dp'
dq dp ' dp
Разрешая эту систему относительно неизвестных dv/dp и dv/dq,
имеем
dv dp da dv
dp
Аналогично
„ da „da
p £
dp dq
Y EG — F°
„„„ „da
dp dq
Y~EG — F9-
(4)
da
dq dp
da
„dv ^dv
dq dp
dp YEG~F^
dq У EG — F*
Из (4) находим, что u удовлетворяет уравнению
,da~
dq
Гп- да
FrP-
■dq
W
+
др
„да „да
oq dp
W
:0,
(5)
(6)
которое называется уравнением Белътрами.
28
ГЛ 1 ВВЕДЕНИЕ
Если известно другое семейство изотермических координат (л:, у)
в окрестности точки, то ds2 = \b(dx2-\-dy2). Используя (х, у)
вместо (р, q) в (4), мы имеем Е = G = \i, F = 0, так что
dv да dv да т
дх ду ' ду dx'
мы получили уравнения Коши — Римана, откуда видно, что и и v
являются сопряженными гармоническими функциями, af — u-\-iv —
аналитической функцией от z = x-\-ty. Уравнение Бельтрами (6)
принимает вид известного уравнения Лапласа (д2и/дх2)-\-(д2и/ду2)=0.
Поэтому вообще мы можем сказать, что комплекснозначная
функция f (р, q), определенная на S, называется комплексным
потенциалом на S, если ее действительная и мнимая части удовлетворяют
уравнениям (4). Таким образом, действительная и мнимая части
комплексного потенциала на S дают нам изотермические координаты
в окрестности каждой точки на S.
Чтобы говорить об углах на поверхности S, возьмем две кривые Сх
и С2, пересекающиеся в точке Р на 5. Примем за параметр вдоль Ct,
/=-1, 2, длину дуги st вдоль Ct, так что Сь задана параметрически
функциями p — p(si), q = q(sl). Далее, единичный вектор
касательной a.t к кривой С/ в Р равен
я —х ^Е1л-Х *qi
*i~xp ds^xv dSt9
и угол 6 между кривыми Сх и С2 определяется равенствами
cos б = ai • а9 — Е
■2 "
dpi dp2 ■ р idpx dq2 . dp2 dqx \ , Q dqt dq2
ds1 ds2 ' \ ds1 ds2 ' ds2 dsx J ' ds1 ds2 '
sin 6 = Yfa X a2) • (ax X a2) = (ax • at) (a2 - a2) — (ax - a2)2 =
\dsi ds2 ds2 dsi ) '
Мы назовем параметрическими кривыми на 5 р-кривые, вдоль
которых <7=const, и <?-кривые, вдоль которых p=const. Вдоль р-кри-
вых dq=^0, а вдоль ^-кривых dp = 0. Если за Сх взять р-кривую,
проходящую через Я, а за С2 — ^-кривую, проходящую через Р, то
мы получим для угла между параметрическими кривыми формулу
о г? dpi dq2 F
cos б = F — — = -^^== .
dst ds2 у EG
Таким образом, параметрические кривые пересекаются под прямым
углом тогда и только тогда, когда F = 0. Все семейство р-кривых
ортогонально всему семейству ^-кривых в том и только в том случае,
когда F = 0; в этом случае (р/У~Е, qiy G) являются изотермическими
координатами.
i з потоки жидкости НА поверхностях
29
Пусть, далее, S и S — две поверхности с координатами (р, q)
и (р, q) соответственно. Предположим, что мы имеем взаимно
однозначное отображение S на S, заданное функциями р = у(р, q)
и q = ty(p, q). Тогда пара (р, q) определяет также точку на § и
может рассматриваться как координаты на S. Элемент длины дуги
на S и S дается соответственно выражениями
ds2 =,Edp2-^ 2F dpdq + Q dq2
ds2 = Edp2-+-2Fdpdq-+Gdq2.
Отображение S—>S называется конформным, если угол между двумя
ориентированными кривыми, проходящими через точку Р на S, всегда
равен углу между двумя соответствующими ориентированными
кривыми, проходящими через соответствующую точку Р на S. Докажем
теперь, что отображение конформно в том и только в том случае,
когда ds и ds пропорциональны, т. е. когда ds = o(p, q)ds.
Пусть Сх и С2 — образы Сг и С2, а 0 и б — соответствующие
углы пересечения. Тогда
sin9 = lW^-^-^A)
\ asi ds2 ds2 ds\ )
sin 8 = W l^L -^- — -^- dqi\
\ dsi ds2 ds2 af?! / *
Если отображение конформно, то 6=9 и
W _ W
dsi ds2 ds1 ds2
За кривые C2 и C2 мы примем р-кривые, проходящие через Р и Р,
вдоль которых ds2 = VЕdp и ds2==V Е dp. Тогда
W _ W
dsx V~Edp rf5i УЪйр *
или просто
dSi W Ye
для любых соответствующих кривых Сг и С2, что и доказывает наше
утверждение в одну сторону. Далее, пусть элементы дуги
пропорциональны; вдоль р-кривой ds = dp и ds = Уе dp, так что если
ds = pds, то Е = р2Е. Вдоль q-кривой ds = V G dq и ds = YG dq,
30
ГЛ 1 ВВЕДЕНИЕ
так что G = p2G. Следовательно, чтобы выполнялось равенство
dl;==p ds, мы должны также иметь F — p2F и W = p2W. Далее,
ds1 — pds1 и ds2 = p ds2, так что sin 6 = sin 9, и отображение является
конформным.
В частности, отображение конформно тогда и только тогда, когда
оно переводит изотермическую систему координат на 5 в
изотермическую систему координат на S. Действительно, ds2 = \(dp2~-\-dq2)
на 5. Отображение конформно тогда и только тогда, когда ds = р ds,
так что ds2 = p2k(dp2-\-dq2) = \(dp2-\-dq2), а это свойство
характеризует изотермические координаты, и
А* наше утверждение доказано.
Комплексный потенциал /(/?, q) на
поверхности S может рассматриваться как
функция точки (р, q) на поверхности S,
являющейся конформным образом S. Так как
Е=^р2Е, F = p2F, G = p2G и W = p2W,
то в силу того, что уравнения (4)
однородны степени нуль, мы заключаем, что
f (Р> Я) является также комплексным по-
Рис. 1.20 тенциалом на S. Обратно, если два
комплексных потенциала f(p, q) на S и
F (р, q) на S принимают одинаковые значения в соответствующих
точках, то действительная и мнимая части каждого из этих
потенциалов дают нам изотермические координаты соответственно на S и S, и из
соответствия этих координат следует, что отображение S на S является
конформным. Поэтому, желая изучить совокупность всех комплексных
потенциалов на S, мы можем рассматривать все взаимно однозначные
и конформные образы S как эквивалентные и можем выбрать один
из этих образов в качестве модели, на которой и будем производить
наши рассмотрения.
Пусть (х, у)— изотермические координаты в области N на S.
Мы можем определить отображение N на область G плоскости z = x-{-
-\~iy, переводя точку (х, у) на N в точку х-\-1у на ^-плоскости.
Это отображение конформно, так как ds2 — X (dx2 -j- dy2) на S и
ds2 = dx2-\-dy2 на ^-плоскости. Но для всякого комплексного
потенциала / = и -\-iv на N выполняются соотношения ди/дх = dv/dy,
du/dy=- — dv/dx, и следовательно, / является обычной аналитической
функцией комплексного переменного z в области G.
Так как действительная и мнимая части комплексного
потенциала f = x-\-iy на S образуют семейство локальных изотермических
координат, мы можем сказать, что всякий комплексный потенциал
на S является аналитической функцией в обычном смысле от любого
другого комплексного потенциала на S.
1.3. ПОТОКИ ЖИДКОСТИ НА ПОВЕРХНОСТЯХ
31
Безвихревый стационарный поток несжимаемой жидкости на
поверхности S имеет потенциал скорости u(p, q)t удовлетворяющий
уравнению Бельтрами (6) (которое, как мы видели, является
обобщением уравнения Лапласа). Линиями тока являются кривые v = const,
Рис. 1.21
Рис. 1.22
где v — сопряженная функция к н, определяемая уравнениями (4).
Мы можем теперь создать поток жидкости на поверхности 5,
помещая источники, стоки, вихри или полюсы, получаемые их слиянием, в
некоторых точках на S. Каждый поток порождает комплексный
потенциал u-\-ivf и каждый такой комплексный потенциал является
аналитической функцией всякого другого.
32
ГЛ 1 ВВЕДЕНИЕ
Говорят, что поверхность имеет род g, если g— максимальное
число непересекающихся замкнутых кривых (называемых циклическими
сечениями) на поверхности, которые не разделяют поверхность на
несвязанные куски. Для упрощения последующих рассмотрений
используем тот факт, что всякая замкнутая поверхность рода g может
быть топологически отображена на одну из перечисленных ранее
в этой главе моделей, а именно на сферу с g ручками. При g = 0
мы получаем сферу, при g— 1 мы получаем тор, а для g* —3 мы.
имеем поверхность, изображенную на рис. 1.12. Эти модели
называются нормальными поверхностями рода g. Некоторые
циклические сечения на нормальной поверхности рода g особенно
интересны. Это „меридианы" и „параллели" на каждой ручке. Мы
обозначим меридиональные кривые через Аи А2, . . ., А , а параллели
через Ви В2, . . ., В (рис. 1.20). В гл. 5 будет доказано, что каждая
замкнутая кривая на поверхности S может быть деформирована
в целую линейную комбинацию циклических сечений Аь и Bt,
i=l, 2, ..., g. Например, на торе замкнутую кривую,
изображенную на рис. 1.21, можно деформировать в кривую 2А-\-В рис. 1.22.
1.4. Регулярные потенциалы. Посмотрим теперь, какие потоки
возможны на нормальных поверхностях. Мы скажем, что потенциал и
регулярен в некоторой точке, если комплексный потенциал u~\-tv
конечен и дифференцируем в этой точке. На сфере не имеется
потоков с всюду регулярным потенциалом, ибо только константа
является всюду конечной аналитической функцией на сфере. Поэтому
потоки могут появиться только тогда, когда введены некоторые
особенности (источники, стоки, полюсы, вихри и т. д.). Эти же
особенности могут быть использованы для создания потока на
поверхности рода g (g > 0). Здесь, однако, такие потоки не являются
единственно возможными, так как мы можем провести циклическое
сечение, не делящее поверхность на несвязанные куски, и принять
это циклическое сечение за эквипотенциальную линию, через которую
будет течь жидкость.
Чтобы лучше понять это, рассмотрим дугу на сфере с вихрями
на обоих концах, имеющими противоположную ориентацию (т. е.
их мощности отличаются знаком). Жидкость будет течь через дугу,
как показано на рис. 1.23. Допустим теперь, что концы дуги
сближаются так, что образуется замкнутая кривая. Поток будет
продолжать течь через кривую, но если кривая — граница области
(как это должно быть на сфере), то должен существовать источник
или сток в области, ограниченной этой кривой (рис. 1.24). На
поверхности рода g > 0 картина другая, так как теперь за кривую мы
можем взять циклическое сечение А и жидкость может течь вдоль
циклических сечений В, пересекающих А, как показано на рис. 1.25
для тора. Такой поток не имеет особенностей и ему соответствует
всюду регулярный потенциал и. Этот потенциал не является, однако,
1.4 РЕГУЛЯРНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
33
однозначным, так как жидкость течет в направлении наиболее быстрого
возрастания потенциала, и потенциал и должен увеличиваться на
некоторую постоянную величину при каждом обходе вдоль замкнутой
Рис. 1.23
Рис. 1.24
линии тока. Мы назовем изменение потенциала вдоль замкнутой линии
тока модулем периодичности или просто периодом потенциала и
вдоль кривой С; период и вдоль С равен j du.
с
Пусть и — всюду регулярный потенциал на
замкнутой поверхности S, и пусть С —
замкнутая кривая на S. Если подвергнуть С малой
непрерывной деформации в другую замкнутую
кривую С', то изменение и вдоль С и С
будет одинаковым. Таким образом, если кривую С
можно непрерывно деформировать в другую
замкнутую кривую С\ то периоды и вдоль С
и С будут одни и те же. Так как всякая кривая С
может быть деформирована в линейную
комбинацию циклических сечений Alt Ви А2, В2, .
Рис. 1.25
g'
вг<
целыми
коэффициентами и так как интеграл есть функция аддитивная, мы
имеем
fdu—ai fdu-^^ I du-\- ... -\-ocg idu-±~$g j du.
Ax
#i
g g
Таким образом, если периоды и вдоль всех циклических сечений А1%
Bt, i= 1, ..., g, равны нулю, то период и вдоль любой замкнутой
кривой С равен нулю и и является однозначной функцией.
На всякой замкнутой поверхности единственным однозначным всюду
регулярным потенциалом и является константа. В самом деле, если
бы и не являлся константой, то существовало бы максимальное
34
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
значение и в некоторой точке S. В окрестности этой точки максимума мы
можем выбрать изотермические координаты (х, у) так, что этот
максимум будет достигаться в (х0, у0). Однако потенциал и
удовлетворяет уравнению д2а1дх2-\-д2а/ду2—-0 и является гармонической
функцией (х, у), которая не может иметь точек максимума в
области регулярности.
Если два потенциала, и и и\ имеют одинаковые периоды вдоль
циклических сечений At, Bt, /=--1, ..., g, то их разность (и — и')
имеет нулевые периоды вдоль всех циклических сечений и,
следовательно, является всюду регулярной и однозначной функцией. Значит,
и — и' есть константа. Отсюда мы заключаем, что всюду регулярный
потенциал и определяется с точностью до произвольной аддитивной
постоянной своими периодами вдоль 2g циклических сечений A-v Bt,
i= 1, ..., g.
Теперь можно построить поток с всюду регулярным
потенциалом и, который имеет ненулевой период только вдоль одного
циклического сечения. Мы проиллюстрируем это, показав линии тока для
таких потоков на поверхностях рода g=\ и g = 2. Следует
заметить, что, хотя мы и можем построить потенциал и, имеющий
нулевые периоды вдоль всех, кроме одного, циклических сечений,
гармоническая функция v, сопряженная к и, вообще говоря, не обладает
этим свойством; действительно, ^полностью определена уравнениями (4)
п. 1.3 и мы не можем диктовать ей периоды, коль скоро и
задана.
На торе (g = \) мы можем взять за эквипотенциальную кривую
меридиональный круг А и получить поток, линиями тока которого
являются окружности параллелей. Потенциал для этого потока имеет
ненулевой период вдоль параллели В и нулевой период вдоль
меридиана А. Рисунок 1.25 показывает поток на верхней стороне тора;
поток на нижней стороне течет в том же
направлении. Если взять параллели В за
эквипотенциальные кривые, то мы получим сопряженный
поток, в котором меридиональные окружности
являются линиями тока. Рисунок 1.26
показывает линии тока на верхней стороне;
направление потока будет обратным на нижней стороне.
Здесь мы получаем нулевой период вдоль В и
ненулевой период вдоль А.
Мы можем изобразить поверхность рода 2
Рис. 1.26 в виде кренделя (сферы с двумя ручками).
Если мы вытянем из тора (рис. 1.25) трубку
и повернем ее так, чтобы она снова встретилась с тором, то
поток рис. 1.25 перейдет в поток рис. 1.27, в котором левая часть
соответствует исходному тору, а правая часть — трубке, вытянутой
нами из тора. Этот поток имеет потенциал с ненулевым периодом
вдоль циклического сечения ^ и с нулевыми периодами вдоль Ах>
1.4. РЕГУЛЯРНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
35
В2, А2. Линии тока, указанные здесь, проходят в верхней части,
в нижней части они имеют те же направления. Если вытянуть две
трубки из тора рис. 1.26 и концы их соединить вместе, то мы
получим поток, изображенный на рис. 1.28. Здесь потенциал имеет
ненулевой период вдоль А1 и нулевые периоды вдоль Blt Л2, В2. Линии
тока на нижней стороне должны быть направлены противоположно
Рис. 1.27
Рис. 1.28
линиям тока на верхней стороне, изображенной на рисунке. Если
отразить каждую из поверхностей, изображенных на рис. 1.27 и 1.28,
в их вертикальных осях симметрии, то мы получим еще два потока,
один из которых имеет нулевые периоды вдоль Alt Blt А2, а
другой— нулевые периоды вдоль А1$ Ви В2. Мы можем продолжить
подобный процесс для получения потоков на поверхностях рода g,
имеющих нулевые периоды вдоль всех, кроме одного, циклических
сечений. Если и имеет период р вдоль циклического сечения С, то
ujp имеет период 1 вдоль С. Таким образом, мы можем найти всюду
регулярней потенциал и, имеющий период 1 вдоль данного
циклического сечения и нулевые периоды вдоль всех остальных
циклических сечений. В частности, пусть ut — всюду регулярный потенциал
с периодом 1 вдоль At и с нулевыми периодами вдоль остальных
циклических сечений Aj, J Ф i, и всех Bj, j = 1, . .., g, и пусть
ug+l имеет период 1 вдоль Bt и нулевые периоды вдоль остальных Bjt
36
ГЛ. 1 ВВЕДЕНИЕ
]Ф I, и всех Аи j = 1, • • • , g- Тогда если задать периоды рь на At,
/=1, ..., g, и gt на Bt, /==1, ..., g, то
« = А«1+ • • • +PA+^+i+ • * * +?Аг
будет всюду регулярным потенциалом с предписанными периодами
вдоль циклических сечений. Если и' — всюду регулярный потенциал
с теми же периодами, что и периоды и вдоль циклических сечений,
то и' отличается от и на аддитивную действительную постоянную.
Говорят, что п функций #lf #2, . . ., ап на поверхности S линейно
независимы (с точностью до аддитивной постоянной) над полем
действительных чисел, если всякое тождество
aiwi + a2%+ ••• -\~апап — const
влечет за собой равенство нулю действительных постоянных at,
i= 1, 2, . . . , п. Определенные выше 2g потенциалов ui линейно не-
зависимы; действительно, сумма 2аЛ> в которой какая-то а;- отлична
от нуля, имеет период ау- вдоль Aj при j^g или вдоль Bj_g при j>g
и, следовательно, не является постоянной. Так как всякий
регулярный потенциал а может быть выражен (с точностью до аддитивной
постоянной) в виде линейной комбинации потенциалов и., i = 1, ... , 2g,
то мы говорим, что эти 2g функций образуют базис всюду
регулярных потенциалов на 5.
Отметим еще один интересный факт, касающийся регулярных
потенциалов аь. Из рис. 1.25 и 1.26 мы видим, что эти регулярные
потоки на торе не имеют стационарных точек. На рис. 1.27 и 1.28
мы замечаем, что на поверхности рода 2 эти потоки имеют две
стационарные точки. И каждый раз, когда мы вытягиваем трубку из
поверхности для образования новой ручки, мы вводим две новые
стационарные точки. Вообще мы можем утверждать, что всякий
регулярный поток на поверхности рода g имеет 2^ — 2 стационарных
точек. Можно также доказать, что если потенциал имеет т полюсов
на поверхности рода g, то он имеет 2m-\rg— 2 стационарных точек.
Изучим теперь комплексные потенциалы на поверхности S. Если
а1 — всюду регулярный потенциал на S, го сопряженный к нему
потенциал v1 также всюду регулярен, так что a1-Jrivi является
комплексным потенциалом. Мы начнем с доказательства линейной
независимости аг и vt. В изотермических координатах dujdx = dvjdy,
dajdy — — dvjdx. Если aux -j-bvl = const, то имеем
Но из уравнений Коши — Римана следует, что
дх ду ду f дх
1.4. РЕГУЛЯРНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
37
Следовательно, (а2-[-b^dujdx = 0 и (cfi-^-b^duJdy^Q, откуда
их= const; полученное противоречие доказывает линейную
независимость их и vv
Если мы затем выберем всюду регулярный потенциал и2, линейно
независимый с й1 и vt, и возьмем сопряженный к нему потенциал v2,
то четыре потенциала ait vit и2, v2 будут линейно независимы.
Действительно, снова допустим, что
аи1 ~\- bv1 -f- си2 -\- dv2 = const,
где d Ф О в силу линейной независимости alt г\ и и2.
Дифференцирование и применение уравнений Коши — Римана дает нам
соотношения
(ас + М)-^-+(- ad + *c)-g- + (C2+rf2)^.s0,
Интеграция теперь дает нам линейную зависимость между их, г\, и2
в противоречии с нашим предположением. Продолжая таким образом,
мы получим 2g линейно независимых потенциалов ult vx, и2,
v2, ..., ug, vg, где Uj, Vj— сопряженные функции. Мы можем
образовать комплексные потенциалы Wj = Uj-\-iVj, j-—\, ..., g. Функции
wlt w2, ..., wg линейно независимы (с точностью до аддитивной
постоянной) над полем комплексных чисел, так как соотношение
clwl-\-c2w2-\- ... -\-cw=z const
можег быть разложено на линейные соотношения между
действительными и мнимыми частями. Однако действительные и мнимые части
линейно независимы, чем и заканчивается доказательство.
Далее, наиболее общий всюду конечный комплексный потенциал w
имеет форму
w = clwi-\- ... -{-cgwg-\-k,
где к—комплексная константа. Действительно, иг, vit ..., ug, vg
линейно независимы над полем действительных чисел; поэтому они
образуют базис регулярных потенциалов, и мы можем взять их
линейную комбинацию для получения тех же периодов, что и периоды
действительной части w на 2g циклических сечениях. Таким образом,
g
Re*^ = ]S af4}-\-bfvf-\-klt k1 = Reki
j=i
и если положить с, = я-— ibj, то мы получаем
w=y\ CfWf-4-k.
Функции wlt . . . , w таким образэм, образуют базис всюду
конечных комплексных потенциалов.
38
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
1.5. Мероморфные функции. Теперь мы можем получить форму
произвольного комплексного потенциала / на 5, имеющего заданные
особенности допускаемых типов. Пусть / в г точках Р1} Р2, . . ., Рг
на 5 обращается в бесконечность так, как это описывалось ранее.
Прежде всего, сумма логарифмических вычетов / должна равняться
нулю. Действительно, если / имеет член (A-\-iB)\og(x-\-iy) в
изотермических координатах (х, у), то А представляет мощность
источника или стока потока, имеющего потенциалом действительную часть /.
Для стационарности потока необходимо, чтобы полная мощность
источников равнялась мощности стоков, так что сумма
действительных частей вычетов равна нулю. Аналогично В есть мощность
источника или стока сопряженного потока, так что сумма всех В равна
нулю. Это, в частности, доказывает, что, не существует комплексного
потенциала с одной только логарифмической особенностью. Для
данных двух *точек Р и Q на 5 мы можем построить поток, имеющий
источник заданной мощности А в Р и сток мощности —А в Q.
Сопряженные потоки будут тогда иметь вихри с равной, но
противоположной по знаку циркуляцией. Слиянием логарифмических
особенностей мы можем создать поток, комплексный потенциал которого
будет всюду конечен, за исключением единственного полюса на 5.
Мы выберем точку Q на 5, отличную от точек Pv Р2, . . ., Рп>
в которых/ имеет особенности. Построим такие функции Fv F2, ..., Fn,
что F. имеет в Р, ту же особенность, что и /, и конечна во всех
остальных точках* на 5, за исключением Q, где Fj имеет
логарифмическую особенность с вычетом, равным вычету F. в Q со знаком
минус. Так как сумма вычетов / равна нулю, то функция F1-\-F2-\- ...
. . . -\-Fn не имеет особенности в Q и, таким образом, имеет на S
в точности те же особенности, что и /. Далее, / — Ft — F2 —
— F3— ... —Fn есть всюду регулярный конечный комплексный
потенциал на 5 и может быть представлен в виде линейной
комбинации wt, i=\, 2, ..., g. Следовательно, выражение
/ = ^1 + ^2+ ••• +^я+ ^1+ ^2+ ••• +CgWg-\-k
является наиболее общей формой комплексного потенциала на S,
не имеющего иных особенностей, кроме логарифмических и полюсов.
Мы можем произвольно задавать особенности (однако так, чтобы
сумма вычетов равнялась нулю) и периоды действительной части /.
Коль скоро это сделано, потенциал / полностью определен с
точностью до аддитивной постоянной. В самом деле, если /' имеет те же
особенности и действительная часть /' имеет те же периоды, что и
действительная часть /, то потенциал / — /' всюду конечен и
действительная часть его имеет периоды, равные нулю. Но тогда
Re(/ — /0 — const, откуда следует, что / — /' = const.
Произвольный комплексный потенциал F на 5 может иметь модули
периодичности двух типов: 1) периоды, обусловленные наличием
логарифмических особенностей (вихрей), и 2) периоды, возникающие
1.5. МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
39
вследствие того, что некоторые из 2g циклических сечений являются
линиями тока или эквипотенциальными линиями. Таким образом, для
того чтобы комплексный потенциал был однозначным, необходимо,
чтобы в качестве особенностей он имел только полюсы. Но тогда
возникает вопрос: существуют ли какие-либо однозначные
комплексные потенциалы?
Комплексный потенциал, который имеет в /качестве особенностей
только полюсы и который является однозначным на. 5, называется
мероморфной функцией. Так как всякий полюс порядка п может
быть получен слиянием простых полюсов, мы попытаемся построить
мероморфные функции, имеющие только простые полюсы. Пусть
заданы т точек, в которых искомый потенциал должен иметь
простые полюсы, и пусть Fv F2, ..., Fm— комплексные потенциалы,
необязательно однозначные, каждый из которых имеет простой полюс
в одной из заданных точек. Тогда выражение
^ = 01^1 + 02^2+ ••• +^Л + ^Л+ ••• +^Л+С'
где at, bt, с—комплексные постоянные, представляет наиболее общий
вид функции, имеющей простые полюса в т заданных точках.
Можем ли мы подобрать постоянные a*, bj таким образом, чтобы
функция F стала однозначной? Вычислим периоды F вдоль каждого
из 2g циклических сечений и приравняем их нулю:
fdF=ai fdFt+... +ат fdFm +
Aj Aj Aj
-\-Ьг J dwt-{- ... -\-bg j dwg=0, j= 1, ..., g,
Aj Aj
fdF = ax fdFt + ... +am f dFm +
в j в j Bj
+ 6X j dwx+ ...+^ f dwg=0, J= 1, ..., g.
BJ BJ
Это дает нам 2g линейных уравнений относительно m-\-g
неизвестных постоянных а1г а2, ... ат, bv b2, ..., bg. Если ранг системы
уравнений равен г, т. е. г уравнений линейно независимы, то мы
можем произвольно выбрать m-\-g — г чисел а и Ь, и,
следовательно, считая константу с, имеется m-\-g — г -(-1 произвольных
постоянных в F, любой выбор значений которых делает F
однозначной. Так как r^2g, мы можем сказать вообще, что по меньшей
мере т — g-\- 1 постоянных являются произвольными, и при т > g
мы можем быть уверены в существовании по меньшей мере одной
мероморфной функции на S, имеющей самое большое по одному
простому полюсу в т данных точках. Полный ответ на вопрос о числе
40
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
независимых мероморфных функций с заданными полюсами
содержится в теореме Римана — Роха.
Каждая из этих мероморфных функций на замкнутой поверхности
обладает важным свойством, общим с полиномами и рациональными
функциями на сфере. Если мероморфная функция / обращается в
бесконечность ровно т раз на S (т. е. имеет т простых полюсов), то
/ принимает любое значение ровно т раз на S. Чтобы представить
себе, почему это происходит, вернемся к линиям тока вблизи
простого полюса Р, где каждая линия уровня и-—и0 (и v = v0) есть
окружность, проходящая через Р. Для больших значений а0 и v0
эти окружности пересекаются еще раз вблизи Р, так что имеется
т точек, каждая вблизи полюса, в которых / принимает значение
u0-\-iv0. Если непрерывно изменять и0 и v0, то кривые уровня и = и0
и v—-v0 непрерывно деформируются, имея всегда одну точку
пересечения. Две кривые и = а0 могут пересекаться только в одной из
конечного числа точек скрещивания; мы говорим тогда, что значение
uQ-{-iv0 принимается k раз функцией / в точке скрещивания
порядка k— 1.
Комплекснозначная мероморфная функция f = u-{-iv отображает
поверхность S на расширенную комплексную плоскость (сферу), и
мы видели, что это отображение конформно. Так как / принимает
каждое комплексное значение т раз, значения / покрывают сферу т
листами. Точка скрещивания / на S порядка k—1 отображается
в точку разветвления порядка k—1 этой /я-листной накрывающей
поверхности сферы. В самом деле, взглянув на рис. 1.13, мы видим,
что k кривых а = а0, проходящих через точку скрещивания Р
порядка k—1, делят окрестность Р на k секторов, в каждом из
которых / принимает одно и то же множество значений. Образ пути,
идущего из одного из k секторов в другой, будет переходить с одного
листа на другой, и после пересечения k листов вернется к своей
начальной точке.
Исходная поверхность S является, таким образом, конформно
эквивалентной ш-листной римановой поверхности, накрывающей
комплексную сферу. Мы можем теперь в нашем дальнейшем изучении
комплексных потенциалов рассматривать вместо поверхности 5 в
пространстве m-листную накрывающую поверхность сферы, ибо в
качестве модели S мы можем брать любую конформно эквивалентную
поверхность. Может возникнуть вопрос: не выгоднее ли с самого
начала рассматривать накрывающие поверхности сферы вместо
поверхностей в пространстве? Дело в том, что на поверхностях в
пространстве не имеется отпугивающих нас точек разветвления и
очевидна причина возникновения разного рода периодов многозначных
функций. Таким образом, мы избежали некоторых осложнений с самого
начала, но только теперь выясняется, что на самом деле мы изучали
всего лишь другое представление /?г-листной накрывающей
поверхности сферы.
1.5. МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
41
Чтобы лучше понять природу мероморфных функций на
поверхности S, возьмем на S мероморфную функцию z = х-{-1у с т
простыми полюсами и используем ее для того, чтобы отобразить S взаимно
однозначно и конформно на яг-листную накрывающую поверхность SH
сферы. Тогда всякая другая мероморфная функция w = a-\-iv на S
соответствует яг-значной аналитической функции комплексного
переменного z== х-\~iy в силу однозначности w на m-листной
накрывающей поверхности S*. Мы предполагали, что w имеет полюсы в
качестве единственных особенностей на S и, следовательно, как
функция z она не имеет существенных особенностей. Таким образом, w
есть алгебраическая функция от z.
Имеется .значительный произвол в выборе мероморфной
функции w, и если взять в качестве w функцию, принимающую различные
значения wx, w2, ..., wm на множестве т различных точек, в
которых z принимает одно и то же значение, то можно показать, что
алгебраическое уравнение / (z9 w) = 0 степени т относительно w
неприводимо. Если п есть сумма порядков полюсов w, то f (z, w)
имеет степень п по z. Каждой точке на S* соответствует пара чисел,
удовлетворяющих уравнению f (z, w) = Q, и, обратно, каждой паре
(z, w) соответствует, вообще говоря, одна точка поверхности. Таким
образом, 5* (или S) является как раз римановой поверхностью для
алгебраической функции-до, удовлетворяющей уравнению f (z, w) = 0.
Если wt — другая мероморфная функция на S, то она также
является алгебраической функцией от z. Однако мы можем о w1
сказать больше, коль скоро мы уже выбрали функцию w,
удовлетворяющую неприводимому уравнению f (z, w) = Q. В самом деле, мы
покажем теперь, что wl является рациональной функцией от z и w и,
обратно, что всякая рациональная функция от z и w есть
мероморфная функция на S. Последнее очевидно, так как всякая рациональная
функция от z и w однозначна на S* и не имеет иных особенностей,
кроме полюсов. Что касается первой части утверждения, то
допустим, что wl принимает т значений w^\ w&\ ..., wW в точках,
соответствующих данному zt и пусть w принимает т значений wM,
wW, ..., wW в той же точке z. Тогда сумма
w^lw^-^w^lw^Y-^ ... +^w)Mm)]v
является симметрической функцией и, следовательно, однозначна как
функция z на сфере. А так как эта сумма является и алгебраической
функцией, то она должна быть рациональной функцией от z для всех
целых степеней v. Но из всякой системы т таких линейных
уравнений относительно w&) (для различных значений v) мы можем
выразить wW, w^\ ..., w№ в виде рациональных функций от z и w№,
^(2), .. ., w(mK Таким образом, мы приходим к искомому результату.
Мы отложили на время рассмотрение многозначных потенциалов
на 5, имеющих только полюсы и логарифмические особенности. Если
42
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
W — такая функция, то W будет также многозначной функцией от z
после того, как 5 отображена на m-листную накрывающую
поверхность 5* сферы. Многозначность W на S* сводится к постоянным
аддитивным периодам, и, следовательно, производная dW/dz одно -
значна на S* и имеет в качестве особенностей только полюсы. Ко,
как уже показано, dWjdz должна тогда быть рациональной функ -
цией от z и w, и, следовательно,
W = f R(z, w)dz,
где R — рациональная функция от z и w. Обратное утверждение
также справедливо; именно, каждый интеграл такого типа сводится
к многозначной функции на S с особенностями допущенного типа .
Таким образом, мы видим, что изучение алгебраических функций w
от z и интегралов от рациональных функций w и z есть то же самое,
что изучение на S (однозначных) мероморфных функций и
многозначных комплексных потенциалов с особенностями описанного типа.
Мы видим теперь, что дал нам наш подход. Сначала мы
столкнулись с трудностями, связанными с изучением многозначности
интегралов I R(z, w)dz. Использование только теоремы Коши о вычетах
дало нам объяснение периодичности, происходящей из
логарифмических особенностей. Изучение же функций на замкнутой поверхности 5
ясно выявило природу других периодов, соответствующих
интегрированию вдоль циклических сечений 5. Таким образом, мы получили
полную картину возможной многозначности таких интегралов. Наше
изучение приведет и к возможности делать подстановки в таком
интеграле, так как z и w—любая пара независимых мероморфных
функций на S, удовлетворяющих неприводимому алгебраическому
уравнению. Мы можем выбрать любую другую пару, скажем zx и wlt где
zt и wx — рациональные функции от z и w соответственно, a z и
w—в свою очередь рациональные функции от zx и wi. Таким
образом, мы видим, что zt и wx можно подставить вместо z и w, не
изменяя общего характера интеграла.
1.6. Теория функций на торе. Для конкретизации предыдущих
рассмотрений изучим простой случай, когда поверхность S есть тор.
Здесь g=l, и мы можем построить мероморфную функцию на S
с двумя полюсами (т^> g). Эта функция имеет 2т-\-2g— 2 = 4г
точки скрещивания, и она должна отображать S на двулистную
накрывающую поверхность сферы с четырьмя точками разветвления;
обе эти поверхности с топологической точки зрения одинаковы, как
это мы показали выше при отображении двулистной римановой
поверхности с четырьмя точками разветвления на тор, однако теперь
отображение является конформным.
Конформное отображение тора на двулистную накрывающую
поверхность плоскости можно легко выписать в явном виде. Рассмотрим
1.6. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ НА ТОРЕ
43
тор в (х, у, ^-пространстве, получаемый вращением окружности
(х — /?)2~)-^2 = р2, у = 0 вокруг оси z:
x = (R-\-p cos a) cos ср,
у = (R -|- р cos а) sin ср,
z = p sin а,
где ср — угол „долготый и а—угол „широты". Чтобы перейти от (а, ср)
к изотермическим координатам, заметим, что
ds = Vdx2-+-dy2-{-dz2 = Y(R -|- р cos a)2 tfcp2 -f- р2 da2.
Если положить £ = cp и
а
р do.
>-ь
+ р cos а *
то получим
ds = (R-\-p cos а) V<№-\-d-t\2.
Итак, (?, т]) являются изотермическими координатами на торе,
отображающими тор конформно в (?, т))-плоскость. При изменении ср
и а между — тг и тг 5 изменяется
между — тг и тс, а т] изменяется
между —р и р, где
/
) й?а
/? -у- Р cos а '
так что точки (£, т]) заполняют
прямоугольник В (£, 7])-ПЛ0СК0СТИ.
На рис. 1.29 видна только
верхняя часть тора. Мы заштриховали
одну четверть тора и обозначили ее
цифрой I. Она отображается в
заштрихованный прямоугольник,
помеченный на рис. 1.30 также
цифрой /. Другая видимая часть тора,
помеченная цифрой //, отображается
на незаштрихованный прямоугольник,
также помеченный цифрой П. Часть поверхности, расположенную
под /, считаем незаштрихованной и помечаем цифрой IV, в то время
как часть, расположенную под //, заштриховываем и обозначаем ТУ/.
Заметим, что точки на линиях Е = тг и 5 = —тг, имеющие одинаковые
^-координаты, соответствуют одной и той же точке на торе.
Аналогично точки на прямых ч\=р и 7} —— р, имеющие одни и те же
координаты £, соответствуют одной и той же точке на торе. Для
получения тора из этого прямоугольника мы „отождествляем" эти пары
прямых.
44
ГЛ. 1.\,ВВЕУДЕВИЕ
Рассмотрим теперь в плоскости z = x-\-iy четыре точки (см.
рис. 1.31) z = —\\k% — 1, 1, l/k (k< 1). Функция
1 J 1/71.2
dz
отображает верхнюю полуплоскость (у > 0) конформно на некоторый
прямоугольник в плоскости £-f-iTj = С, причем четыре заданные точки
переходят в вершины. Мы можем выбрать k так, что этот
прямоугольник будет подобен прямоугольнику 1 на рис. 1.30, а затем
Рис. 1.31
подобрать а и b таким образом, чтобы С (-г) действительно
отображала полуплоскость у > 0 в прямоугольник / и при этом имели
место соответствия
Z
С
1
k
ip
— 1
0
1
тс
1
k
ъ + ip
как показано на рис. 1.32.
Каждая из точек — 1/&, — 1, 1, l/k является точкой разветвления
порядка 2 для функции ]Л(1—z2)(\—k2z2), так что если разрезать
плоскость от —l/k до —1 и от 1 до l/k (рис. 1.31) и склеить
два листа вдоль этих разрезов крест-накрест, то мы найдем, что
функция С = С(2) отображает эту двулистную риманову поверхность
конформно на весь прямоугольник, изображенный на рис. 1.30.
Обратное преобразование z = z (С) дает нам тогда взаимно
однозначное и конформное отображение тора на двулистную риманову
поверхность. В самом деле, две стороны прямоугольника, лежащие на
прямых £ = 7г и £— = — тг, являются образами отрезков от 1 до l/k,
а стороны, лежащие на прямых т\ = р и т\== — р, являются образом
отрезка, соединяющего точку—\\к с l/k через оо, так что
отождествляемые точки на сторонах прямоугольника являются образами
одной и той же точки на двулистной римановой поверхности.
Функция z = z(l), отображающая тор взаимно однозначно * и
конформно на двулистную риманову поверхность, дает возможность
16. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ НА ТОРЕ
45
лом для потоков в прямоугольнике, изображенных на рис. 1.34, и
для потоков на торе, изображенных на рис. 1.35. Пунктирами обо-
I к
Рис. 1.34
значены эквипотенциальные линии х = const, а сплошными линиями—
линии тока у = const, причем стрелки указывают направление потока.
На нашей двулистной римановой поверхности мы можем взять z
в качестве одной мероморфной функции и w = Y(l—з2)(1—к2гг)
46
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
в качестве другой независимой мероморфной функции. Они
удовлетворяют алгебраическому уравнению
w2 — (1 — z2) (1 — k2z2) == О,
и всякая другая мероморфная функция на этой римановой
поверхности, а следовательно, и на торе является рациональной функцией
от z и w. Многозначный комплексный потенциал на торе является
рациональной функцией от z и w. Многозначные комплексные
потенциалы на торе, следовательно, имеют форму ] R (zt w)dz; где
w=\{\— z2)(1—k2z2). Интегралы такого типа являются
эллиптическими интегралами.
Так как g=l9 то существует только один независимый всюду
конечный (многозначный) комплексный потенциал; он изображен на
1.6. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ НА ТОРЕ
47
рис. 1.25. Аналитическая функция
J W
о
отображает двулистную поверхность в прямоугольник и,
следовательно, конечна на поверхности. Таким образом, имеется (с точностью
Рис. 1.36
до постоянного множителя) только один всюду конечный
многозначный и комплексный потенциал на торе. Он является, как известно,
эллиптическим интегралом первого рода и служит канонической
формой для всякого эллиптического интеграла, конечного на двулистной
поверхности. Многозначные функции на торе, не имеющие иных
особенностей, кроме полюсов, называются эллиптическими интегралами
второго рода, а функции, которые, кроме полюсов, могут иметь
логарифмические особенности,—эллиптическими интегралами третьего
рода. Поток, соответствующий эллиптическому интегралу второго
рода, показан на рис. 1.36, а поток, соответствующий эллиптическому
48
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
интегралу третьего рода, — на рис. 1.37. Канонические формы для
этих интегралов могут быть также сразу найдены. Это дает нам
полную картину характера поведения эллиптических интегралов и
приводит к их классификации на три рода.
Другой вопрос, который может возникнуть у читателя, относится
к изотермическим координатам. Мы видели, что на любой поверхно-
Рис. 1.37
сти можно найти систему изотермических координат, имеющих смысл
в окрестности данной точки и дающих нам конформное отображение
окрестности этой точки в область комплексной плоскости. А нельзя ли
найти систему изотермических координат, годную для всей
поверхности? В дальнейшем мы покажем, что для поверхности, которую
всякая простая замкнутая кривая делит на два куска, можно найти
изотермические координаты, отображающие взаимно однозначно и
конформно всю эту поверхность в область расширенной комплексной
плоскости. Это дает нам вместо прежних локальных координат
глобальную систему координат. Мы также покажем, что в других
случаях можно найти такие изотермические координаты a-\~ix = t, что
ЗАДАЧИ
49
различные значения t определяют различные точки на поверхности,
но одной точке на поверхности будет соответствовать несколько
значений t. Аналогичное положение имеет место, когда мы записываем
параметрическое представление кривой, скажем окружности х2-\-у2=1,
в плоскости. Если положить x = :os6, j/ = sin0, то каждому
значению 9 соответствует только одна точка на окружности, в то время
как всякой точке на окружности соответствует много значений 6.
Если считать, что риманова поверхность алгебраической функции w (z)
определяется парами (z, w), то мы можем также смотреть на эту
поверхность как на алгебраическую кривую [в том же смысле, в каком
множество точек (х, у), для которых х2-\-у2~1, есть кривая] и
координата t позволит нам записать z = z(l), w=w(t)
параметрически, как и в случае круга, так что каждому значению t будет
соответствовать одна точка (z, w). Мы назовем тогда t унаформи-
зирующам параметром риманозой поверхности.
Наметим теперь глаза за главой путь, по которому мы будем
следовать в остальной части книги при изучении абстрактных рима-
новых поверхностей и их возможных связей с алгебраическими
функциями и их интегралами. Вторая глава имеет дело с основными
понятиями топологии точечных множеств, которые мы используем
для определения абстрактной римановой поверхности или
аналитического многообразия. В гл. 3 показывается, что риманоза поверхность
аналитической функции является также римановой поверхностью и
в абстрактном смысле. В гл. 4 мы познакомимся с накрывающими
поверхностями и фундаментальной группой. Содержание гл. 5
составляют ориентируемость, триангулируемость, нормальные формы
поверхностей, а также понятие групп гомологии и их инвариантность.
В гл. 6 мы увидим, что более естественно на поверхности
рассматривать дифференциалы и их интегралы, чем функции. Эти
дифференциалы образуют гильбертово пространство, изучаемое в гл. 7.
В гл. 8 мы приходим к существованию гармонических и
аналитических дифференциалов и функций на абстрактных римановых
поверхностях, соответствующих потокам, рассмотренным в этом введении.
Задача нахождения униформизирующего параметра для всей
поверхности составляет содержание гл. 9 наряду с рассматриваемыми также
там автоморфными функциями. Наконец, мероморфные функции и
многозначные функции на римановой поверхности изучаются в гл. 10,
что и позволяет связать изучение замкнутых римановых поверхностей
с изучением алгебраических функций.
ЗАДАЧИ
1. Показать, что /г-листная риманова поверхность алгебраической
функции wn — 2 = 0 топологически эквивалентна сфере.
2. Показать графически, как может быть получен поток с
комплексным потенциалом \/z2 слиянием двух простых полюсов.
50
ГЛ. 1 ВВЕДЕНИЕ
3. Точка z = x-\-iy на ^-плоскости соответствует при
стереографической проекции точке ($, т], С), отличной от точки (0, 0, 1),
на сфере S2 —i— т]2 —)— С2 = 1; в этой точке (£, т], С) прямая, идущая
из (0, 0, 1) к (х, у, 0), пересекает сферу. Показать, что jc ===== 5/(1 —5),
j/ = 7]/(l-—S) и что для элемента длины дуги do на сфере имеем da=
==(1—Qds, где ds2 = dx2-\-dy2, так что (х, у) являются
изотермическими координатами на сфере, исключая точку (0, 0, 1).
4. Найти униформизирующий параметр t на торе, пользуясь
изложенным в п. 1.6.
Глава 2
ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ
2.1. Топологические пространства. Во введении мы пришли
к методу, сводящему изучение многозначных функций комплексного
переменного к изучению функций на поверхности. В этой главе мы
заложим основы для изучения поверхностей. Краеугольным камнем
анализа является понятие сходимости. Общая топология имеет дело
с проблемой введения в произвольную совокупность объектов понятия
„окрестности" или „замкнутости", что позволяет нам рассматривать
вопросы о сходимости. Термины множество и класс будут означать
любую совокупность объектов, которые в свою очередь будут
называться элементами или точками множества или класса. Такое
множество становится топологическим пространством, если в нем
введено понятие сходимости, позволяющее отличать некоторые
последовательности как сходящиеся. Мы здесь введем понятие
сходимости в множествах таким образом, чтобы получить пространство,
известное под названием хаусдорфова пространства. Далее мы
введем некоторые дополнительные условия, которые превратят эти
множества в многообразия или поверхности.
Пусть Е— произвольное множество элементов. Множество А,
каждый элемент которого является одновременно элементом Е,
называется подмножестзом множества Е. В нижеследующем объяснении
обозначений А и В являются подмножествами Е.
р^Е означает „р есть элемент Еи\ читается также „р
принадлежит Е" или „р находится в Еи.
p(t Е означает „р не является элементом Еи.
А с: В означает „А есть подмножество В".
А = В означает „А Я В и В ^ А\
АаВ означает „А есть собственное подмножество В", т. е.
А Я: В и А Ф В.
А[}В означает „сумма А и В", т. е. множество, состоящее из
элементов, входящих либо в А, либо в В, либо и в А и в В.
А(]В означает „пересечение А и В", т. е. множество тех
элементов А я В, которые принадлежат одновременно А и В.
0 означает „пустое множество", т. е. множество, не содержащее
никаких элементов.
Множества An В называются непересекающимися, если А П В=0.
Под А — В мы подразумеваем множество тех элементов А, которые
52
ГЛ 2 ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ
не принадлежат В. Если Л££, то дополнением А в Е является
множество Е — А. Если ясно из контекста, что подразумевается под Еу
то мы будем просто писать СА для дополнения А в Е. Нетрудно
проверить, что С (A U В) = (СА) П (СВ) и С (Л П Я) = (СА) U (СЯ).
Например, С (А [} В) есть множество точек, не принадлежащих ни Л,
ни В. Таким образом, С (A U В) является как раз множеством тех
точек, которые лежат одновременно в дополнении к Л и в
дополнении к В, и нами доказано первое из двух утверждений. Заметим
также, что из определения дополнения немедленно следует
соотношение С(СА) = А.
Пусть /—множество, которое мы назовем множеством
индексов, и пусть каждому индексу i^I соответствует подмножество At
множества Е. Тогда М At означает множество всех тех элементов
х £ Е, для каждого из которых найдется по крайней мере один такой
индекс /£/, что x£At. Под f]At мы подразумеваем множество
всех таких элементов х£Е, что х £ At для всех i£I. Легко
проверить, что
c(UAi)-f)(CA0 и c((VA = (J(c^)-
Множество E назовем топологическим пространством, если
в нем выделены подмножества, называемые открытыми множествами,
и эти открытые множества удовлетворяют следующим четырем аксиомам:
Аксиома 1. Пустое множество 0 открыто.
Аксиома 2. Все множество Е открыто.
Аксиома 3. Сумма произвольного числа открытых множеств
является открытым множеством.
Аксиома 4. Пересечение любого конечного числа открытых
множеств является открытым множеством.
Топологическое пространство Е называется хаусдорфовым
пространством, если оно, кроме того, удовлетворяет следующей аксиоме
„отделимости":
Аксиома 5. Для любых двух элементов р и q в Е найдутся два
непересекающихся открытых множества А и В, таких, что р£А
и q£B.
Прежде чем двигаться дальше, рассмотрим несколько примеров
хаусдорфовых пространств. Пусть Е — множество, состоящее из двух
элементов р и q. Тогда мы можем определить в качестве открытых
множеств пустое множество 0, одну точку р, одну точку q и все
пространство Е. Ясно, что все пять аксиом удовлетворяются. Если,
однако, определить в качестве открытых множеств только множе-
2 1 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
53
ства 0 и Е, то аксиома 5 не будет выполняться и Е не будет хаус-
дорфовым пространством.
Особый класс хаусдорфовых пространств составляют
метрические пространства. Метрическое пространство М есть множество,
для которого определена действительнозначная функция расстояния
d(p, q) двух элементов р и q из М, которая удовлетворяет
следующим трем условиям:
Аксиома a. d(p, q)~0 тогда и только тогда, когда p = q.
Аксиома b. d(p, q)=-d{q, р).
Аксиома с. d(p, q)-*Cd(p, r)-\-d{r, q) для всех /?, q, r£M.
В метрическом пространстве М открытые множества определяют
следующим образом: говорят, что множество А открыто, если каждой
точке р £ А соответствует такое положительное число 8, что всякая
точка q£M, для которой d (/?, q) < s, принадлежит А. Аксиомы 1—5
удовлетворяются. Множество точек, удовлетворяющих неравенству
d{p, q) < е для некоторой фиксированной точки р в М, называется
сферической окрестностью радиуса е точки р и обозначается
через S(p, г). Из аксиом a, b и с для метрического пространства
следует, что сферические окрестности являются открытыми
множествами в М. Примером метрического пространства служит множество
всех наборов из п действительных чисел x = (xt, х2, . . . , хп), причем
за расстояние между точками x = (xlt . . . , хп) и у=.(у1, . . . , уп)
принимается
d(X,y)=y 2(½-л)2-
Это дает нам я-мерное евклидово пространство $п. Однако, вообще
говоря, мы будем иметь дело с топологическими пространствами,
в которых никакой метрики не введено, используя только свойства
открытых множеств, вытекающие из аксиом 1—5.
В дальнейшем Е будет фиксированным хаусдорфовым
пространством. Подмножество А пространства Е называется окрестностью
элемента /?, если существует такое открытое множество В в Е, что
р£ В cz А. Элемент р множества А называется внутренней точкой Ау
если А есть окрестность р. Под внутренностью А мы
подразумеваем множество внутренних точек А. Внутренность А будем
обозначать через А°. Докажем теперь несколько теорем, касающихся этих
понятий.
Теорема 2.1. А° — А тогда и только тогда, когда А является
открытым множеством.
Если А открыто, то, как следует из определения окрестности, А
является окрестностью всякой точки р£А. Обратно, если А есть
окрестность любой точки /?, содержащейся в А, то точка р
принадлежит открытому множеству Вр, которое в свою очередь содержится
54
ГЛ 2. ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ
в Л. Составив сумму всех Вр : (J Вр, получим Л cz |J £^ с Л. Сле-
довательно, ^4 = II^ и, по аксиоме 3, множество А открыто.
р£А
Теорема 2.2. А° есть открытое множество, и оно является
наибольшим открытым множеством, содержащимся в А, т. е.
если В открыто и В с А, то В с А°.
В самом деле, пусть В открыто и В cz А. Тогда А является
окрестностью всякой точки из В и В с А°. Покажем теперь, что А°
открыто. Пусть р£Л°. Тогда найдется такое открытое множество Вр,
что Врс:А. Следовательно, Вр cz Л°, т.е. Л° является
окрестностью р. Таким образом, А° является окрестностью каждой своей
точки и по теореме 2.1 открыто.
Теорема 2.3. А° f] В° = (А П В)°.
Действительно, А° [) В° есть открытое множество по аксиоме 4
и А° [)В° СА[)В. Но из теоремы 2.2 следует, что A0 f] В° £ (А П В)°.
Мы имеем также, что (Л П ^)° — открытое множество, содержащееся
как в А, так и в В. Таким образом, (A f] В)° сд° и (Л П В)° cz 5°,
или, наконец, (A f| £)° cz Л° fl В°, что и доказывает наше утверждение.
Множество А называется замкнутым, если открыто множество СЛ.
Из аксиом 3 и 4 для открытых множеств следует, что сумма
конечного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество и
пересечение произвольного числа замкнутых множеств замкнуто. Мы скажем,
что элемент р является точкой прикосновения для множества Л,
если всякая окрестность р содержит по крайней мере одну точку Л.
Замыкание А, обозначаемое А, есть множество всех точек
прикосновения Л. Заметим, что A cz А. Существует тесная связь между
понятиями замыкания и внутренности множества. А именно имеет место
Теорема 2.4. СЛ = (СЛ)° и СЛ = СЛ°.
Для доказательства первого равенства заметим, что р £ СЛ в том
и только в том случае, когда р имеет окрестность, не
пересекающуюся с Л, т. е. окрестность, лежащую в СЛ. Таким образом, р £ СЛ
означает, что СЛ является окрестностью р, или просто р£(СЛ)°.
Аналогично доказываем второе утверждение, заметив, что р£СЛ°
тогда и только тогда, когда Л не есть окрестность р, т. е. когда
всякое открытое хмножество, содержащее р, пересекается с СЛ.
Следовательно, р£СЛ° означает, что каждая окрестность р пересекается
с СЛ, откуда р^ СЛ.
Следствие 2.1. Л замкнуто.
Действительно, по теореме 2.4, СЛ = (СЛ)° является открытым
.множеством.
2.1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
55
Теорема 2.5. А замкнуто тогда и только тогда, когда А = А.
В самом деле, А замкнуто в том и только в том случае, когда СА
открыто. Но СА открыто тогда и только тогда, когда СЛ = (СЛ)°.
Так как (СЛ)° = С Л, мы видим, что СА = СА и, наконец, А = А.
Теорема 2.6. А является наименьшим замкнутым
множеством, содержащим А, в том смысле, что ,если В замкнуто и
А с В, то А Я В.
Действительно, если А с В, то Acz В = В.
Мы замечаем, что существует определенная двойственность между
теоремами о замкнутых и открытых множествах. В частности,
открытый и замкнутый, внутренность и замыкание, сумма и пересечение
являются двойственными категориями по отношению к операции
образования дополнения. Любое утверждение об открытых множествах
влечет за собой утверждение относительно замкнутых множеств,
получаемое из исходного утверждения подстановкой двойственной
категории. Например, утверждение „сумма произвольного числа открытых
множеств открыта" имеет своим двойственным утверждением
следующее: „пересечение произвольного числа замкнутых множеств замкнуто",
а утверждению „пересечение конечного числа открытых множеств
открыто" двойственно утверждение „сумма конечного числа
замкнутых множеств замкнута".
Внешность множества А определяется как внутренность
дополнения А, т. е. как (СЛ)°. Граница А есть множество точек,
принадлежащих как А, так и СА, т. е. множество Af[CA. Мы видим, что
для любого множества А в пространстве Е все пространство Е
является суммой трех взаимно непересекающихся множеств:
внутренности А, границы А и внешности А. Для иллюстрации рассмотрим
евклидово двумерное пространство S2. Круг x21-{-x\<i 1 является
открытым множеством. Его замыкание есть замкнутый круг
xi~t~*2^** Границей является окружность х21-{-х\-=\, а
внешностью — множество х\ -\- х\ > 1.
Понятия открытого множества и окрестности позволяют нам
говорить о сходимости последовательностей точек. Прежде всего под
проколотой (deleted) окрестностью точки р £ Е мы подразумеваем
окрестность р, из которой удалена сама точка р. Мы скажем, что точка р
является предельной точкой, или точкой накопления, множества
/1с£, если каждая проколотая окрестность р содержит по крайней
мере одну точку из А. Множество предельных точек А называется
производным множеством А и обозначается через А'. Отсюда
следует, что какая-либо точка является точкой прикосновения А в том
и только в том случае, когда она принадлежит либо А, либо А',
т. е. А = А{]А'. Точка р, которая принадлежит А, но не является
предельной для А, называется изолированной точкой А.
56
ГЛ 2 ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ
Мы говорим, что дана последовательность {рп} элементов из Е,
если каждому целому числу п поставлен в соответствие элемент
рп£Е. Говорят, что последовательность {рп} сходится к пределу р,
если каждой окрестности U точки р соответствует такое целое
число N, что pn(zU при п > ЛЛ Аксиома 5 позволяет утверждать,
что последовательность не может сходиться к двум различным
пределам; действительно, если р и q — две различные точки, то мы
можем найти две непересекающиеся окрестности Uр точки р и Uq
точки q. Если {рп} сходится к р, то существует такое N, что
Рп 6 Up для всех п > ^. Таким образом, для всех п > N pn^Uq и q
не является предельной точкой для последовательности {/?„}.
Пусть F — подмножество топологического пространства Е; мы
можем превратить само F в топологическое пространство, определяя
открытые множества в F как пересечения открытых множеств из Е
с множеством F. Итак, если А — открытое множество в Е, то A (] F—
открытое множество в F. Легко проверяется, что так
определяемые открытые множества удовлетворяют аксиомам 1—5. Введенные
таким образом открытые множества дают нам так называемую
индуцированную топологию в F. Подмножество А множества F
замкнуто в F в том и только в том случае, когда существует такое
замкнутое множество В в Е, что А = В [)F. В самом деле, пусть
такое множество В существует; тогда Е — В = ВХ — открытое
множество в Е и F — А = Вг[\ F. Таким образом, F — А
открыто и А замкнуто в F. Обратно, если А замкнуто в F, то
F — А открыто в F и F — A = Bi[)F, где Bt открыто в Е. Тогда
множество В==Е — Вг и, очевидно, А = В (] F, где В замкнуто в Е.
Пусть каждому индексу i, принадлежащему некоторому
множеству индексов / (таких, как целые числа, действительные числа и
т. д.), поставлено в соответствие открытое множество Ut в
пространстве Е. Мы скажем, что совокупность открытых множеств {Ut}
образует открытое покрытие Е, если E = l\Ui, т. е. если вся-
кая точка Е принадлежит по крайней мере одному из множеств Ut.
Открытое покрытие называется конечным, если в совокупности [Ut]
имеется только конечное число различных множеств. Пространство Е
называется компактным пространством, если каждое открытое
покрытие содержит по крайней мере одно конечное открытое
покрытие Е. Пусть А — подмножество Е\ мы скажем, что А компактно,
если А является компактным пространством с топологией,
индуцированной Е в А. Если {Ut)—произвольная совокупность открытых
множеств в Е и А с: \JUt, то мы скажем, что {Ut} есть открытое
покрытие А в Е. Множество А компактно в том и только в том
случае, когда всякое такое открытое покрытие А содержит конечное
открытое покрытие А. Например, теорема Гейне — Бореля утвер-
2.1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
57
ждает, что всякое замкнутое ограниченное подмножество
пространства tn компактно (см., например, Александров и Хопф [1],
стр. 881)).
Теорема 2.7. Всякое замкнутое подмножество компактного
множества компактно.
Пусть Е компактно, и пусть А — замкнутое подмножество Е.
Пусть также [Ut)—открытое покрытие А. Тогда [Uь) и СЛ
образуют открытое покрытие Е. Существует конечнбе покрытие £",
содержащееся в этом покрытии. Таким образом, А также покрыто
конечным числом множеств из {Ut}.
Теорема 2.8. Если Е — компактное пространство и
А—подмножество Е, содержащее бесконечно много точек, то АгФ0,
т. е. каждое бесконечное подмноэюество Е имеет хотя бы одну
предельную точку в Е.
Предположим, что А' = 0. Тогда А = А и А есть замкнутое
множество, а Е — А — открытое множество. Далее, так как А'=г0,
то каждой точке pf А соответствует открытое множество U р, не
содержащее, кроме р, никаких других точек А. Совокупность
открытых множеств U вместе с Е — А образует открытое покрытие Е,
содержащее в силу бесконечности А бесконечно много множеств.
Ни одного множества U мы не можем удалить из покрытия, ибо
вместе с ним удаляется точка р и оставшиеся множества уже не
образуют покрытия. Таким образом, это покрытие не содержит
конечного открытого покрытия, что противоречит компактности Е.
Это свойство -замкнутых ограниченных множеств в %п составляет
как раз содержание известной теоремы Больцано — Вейерштрасса.
Теорема 2.9. Компактное множество замкнуто.
Предположим, что А компактно и р£СА. Тогда, по аксиоме 5
хаусдорфова пространства, для любого q£A существуют два таких
непересекающихся открытых множества Uq и Vq, что q^Uq и
p£Vq. Очевидно, Acz М Uq, так что {Uq)q^A есть открытое покры-
тие А. Из компактности А следует, что конечное число множеств \Uq\t
скажем UQl, UQ2, ..., Uq , покрывает А. Так как Vq.czCUQ., имеем
f\Vg^f]CUq=c(jU^CA.
1 = 1 / = 1 /=1
п
Однако flV^. является открытым множеством, содержащим р, так
что СЛ открыто и А замкнуто.
Пространство Е называется локально компактным, если каждая
точка Е имеет компактную окрестность. Примером локально
г) Или Александров [1*], стр. 41. — Прим. перев.
ГЛ. 2. ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ
компактного пространства служит $л, так как каждая точка х —
=(xv х2, • • -, хп) является центром компактного шара, состоящего из
п
точек y = (ylt y2i ..., у)9 для которых 2 (.У*— xk)2"C%2 ПРИ
любом положительном R.
Пусть Et и Е2 — два хаусдорфовых пространства; новое хаус-
дорфово пространство Ех X Е2, называемое топологическим
произведением Е1 и Е2, определяется как множество всех упорядоченных
пар (plt р2), для которых р1^Е1 и р2£Е2, со следующей
топологией. Пусть At cz Ег и А2 с Е2, тогда Ах X А2 есть подмножество
ЕгУ^Е2, состоящее из всех пар (ри р2), для которых pi^At и
р2^А2. Открытыми в Е1у<^Е2 называются множества, получаемые
как всевозможные суммы множеств Ах X А2, где Ах открыто в Ег
и А2 открыто в Е2. Легко проверить выполнение аксиом 1—5 для
этих множеств. Таким путем, например, мы можем рассматривать
евклидову плоскость S2 как топологическое произведение двух
евклидовых прямых S1 X S1. Аналогично квадрат [0^.^^1, 0^х2-^1]
есть топологическое произведение двух прямолинейных отрезков
0<х1<1и0<х2<1.
Пространство Е называется связным, если его нельзя
представить в виде суммы двух непустых непересекающихся открытых
множеств. Так как дополнение к каждому открытому множеству есть
замкнутое множество, то мы видим, что Е может быть разложено
на два непустых непересекающихся открытых множества в том и
только в том случае, когда оно может быть разложено на два
непустых непересекающихся замкнутых множества. Итак, Е связно
тогда и только тогда, когда оно не имеет непустого собственного
подмножества, являющегося одновременно открытым и замкнутым.
Мы скажем, что подмножество А множества Е связно, если оно
образует связное пространство с индуцированной топологией. Таким
образом, А связно тогда и только тогда, когда можно найти такие
два открытых (замкнутых) множества Вх и В2 в Е, что А П Вх и
А(]В2 не пусты и не пересекаются и AczBl\J В2.
Теорема 2.10. Пусть [Aj], ££/, — совокупность связных
множеств в Е, причем все они содержат общую точку р. Тогда
множество С = I!Аь также связно.
Предположим, что С = В1[] В2, где Вг и В2 открыты в С (в
топологии, индуцированной Е в С) и В1(] В2~- 0; докажем, что
либо Blt либо В2 должно быть пусто. Ясно, что общая точка р
принадлежит либо Bv либо В2, скажем Вг. Тогда, так как At с: Bt [) Bv
мы можем разложить At: At == (At П Bt) [} (Ai f| B2). Две части
Aif]B1 и Atf]B2 открыты в Л^ и не пересекаются; отсюда ввиду
связности At следует, что одно из этих множеств пусто. Так как
2 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
59
p^iAi(]B1, то B2(]AL=0 для всех i£I\ таким образом,
\J(B2f]At)=0.
А это может быть записано как В2(]С = 0, и из того, что B2czC,
мы заключаем, что В2—0. Таким образом, С связно.
Отрезок / : а ^ х ^ b в $* связен; в противном случае мы бы
имели 1—А[}В, где Aw В — два непустых непересекающихся
замкнутых множества в /. Пусть хх £ А и х2£В, и предположим, чта
xi < х2- Затем пусть с — нижняя грань тех точек в интервале хг <
< х < х2, которые лежат в В, с > хх. В силу замкнутости В с£В,
но интервал хх ^ х < с лежит полностью в Л и, следовательно,
с является предельной точкой точек из А. Так как А замкнуто, то
с £ А, что невозможно, ибо А и В не пересекаются.
Теорема 2.10 позволяет нам использовать связность / для дока-
оо
зательства связности S1; действительно, &1 = 11 1п, где 1п — интер-
/7=1
вал —п^х^п и каждый 1п связен. Чтобы доказать связность S2,
заметим, что S2 есть сумма всех прямых, проходящих через
фиксированную точку, рассматриваемую как начало.
Рассмотрим далее все связные множества в пространстве Е,
содержащие фиксированную точку р. Согласно теореме 2.10, сумма С
всех таких связных множеств в Е, содержащих р, является также
связным множеством. Оно является наибольшим связным множеством^
содержащим р, так как если А — какое либо связное множество,
содержащее р, то А является одним из членов в сумме,
образующей С, и ЛсС. Мы назовем это наибольшее связное множество,
содержащее р, компонентой Е9 определяемой р.
Теорема 2.11. Две компоненты Сх а С2 пространства Е либо
не пересекаются, либо совпадают.
Действительно, если Сх и С2 пересекаются, то они содержат
общую точку q. Так как и Сх и С2 связны, то Сх (J С2 также связно.
Но Сх и С2 являются наибольшими связными множествами,
содержащими фиксированные точки рх и р2 соответственно. Следовательно,
С1[}С2Я:С1 и C^UCaCCa, т. е. Сг = С2.
Множество, которое является и открытым и связным, мы будем
называть областью или открытой областью. Замкнутое связное
множество называется континуумом. Замыкание области называется
замкнутой областью,
Пусть в хаусдорфовом пространстве Е дана совокупность В
открытых множеств Ut, где i£I для некоторого множества индексов /.
Эта совокупность открытых множеств В образует базу Е, если
каждое открытое множество UаЕ является суммой множеств из В.
Говорят, что Е имеет счетную базу, если найдется база В,
состоящая только из счетного числа различных множеств.
60
ГЛ. 2. ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ
Хаусдорфово пространство Е называется метразуемым, если на
нем можно определить функцию расстояния d(p, q),
удовлетворяющую аксиомам метрического пространства и такую, что открытые
множества, определяемые этой метрикой, являются открытыми
множествами в Е. Это имеет место, очевидно, тогда, когда каждая
сферическая окрестность d (р, q) < с является окрестностью q в Е,
а каждая окрестность q£E содержит сферическую окрестность q.
Множество А точек хаусдорфова пространства Е называется
плотным в Е, если А = Е. Хаусдорфово пространство в Е называется
сепарабельным, если оно содержит счетное плотное множество точек.
Теорема 2.12. Метризуемое пространство Е имеет счетную
базу в том и только в том случае, когда оно сепарабельно.
Если Е сепарабельно, то существует счетное множество точек
А~{рг, рг, ...}, плотное в Е. Пусть Umtn — сферическая
окрестность S(pm, 1/п), т. е. множество таких точек q£E, что d (q, рт) <
< 1/п. Множества Umtn составляют счетную совокупность открытых
множеств. Докажем теперь, что они образуют базу Е. Пусть
V — открытое множество в Е. Тогда для каждого р £ V существует
такое г > 0, что S (р, r)aV. Фиксируем п, для которого 1/я<г.
Найдется точка рт£А, для которой d(p, рт) < 1/4/г. Применение
неравенства треугольника (аксиома с) для метрического пространства
дает р£$(Рт> l/2ft)cS(p, r)aV. Таким образом, каждому р
соответствует такое множество Um%n, что p£UmitlczV, откуда следует,
что V равно сумме UmiH для всех p^V. Итак, множества {Umin}
образуют счетную базу для Е.
Другая половина теоремы легко доказывается, так как если Е
имеет счетную базу {^/7}^=1, то мы просто выберем по точке рп
в каждом Un и положим А = {рп)с^=г Если р£Е, то всякая
окрестность V точки р содержит множество Un, а следовательно, и точку рп.
Таким образом, р является предельной точкой А и А = Е. Нами
доказано, что А счетно и плотно в Е, так что Е есть сепарабельное
пространство.
Последнее замечание в этом пункте связано с определением
другого свойства некоторых метрических пространств, с которым мы
будем встречаться далее. Последовательность точек [рп] в
метрическом пространстве Е называется последовательностью Коши, если
по любому данному г > 0 можно найти такое положительное целое
число N, зависящее от е, что при п >Л/, k > 0 имеем d(pn, /?„+.&)< £-
Метрическое пространство Е называется полным, если каждая
последовательность Коши в Е сходится к точке из Е, т. е. если
[Рп)—последовательность Коши точек из Е, то существует такая
точка р£Е, что lim рп=р. Евклидова плоскость является примером
/2->OQ
полного метрического пространства.
2 2 ФУНКЦИИ И ОТОБРАЖЕНИЯ
61
2.2. Функции и отображения. На пространстве Е задана
функция f со значениями в пространстве F, если каждому элементу из Е
поставлен в соответствие некоторый элемент из F. Говорят, что
функция / на Е со значениями в F осуществляет отображение Е
в F. Если функцией / элементу х £ Е ставится в соответствие
элемент y^F, то мы пишем y = f(x) и называем у образом х при
отображении /. Если каждый элемент F является образом по
крайней мере одного элемента Е, то мы говорим, что / отображает Е
на F. Если каждый элемент F, являющийся образом элемента Е,
есть образ только одного элемента Е, то мы говорим, что / есть
взаимно однозначное отображение Е в F. Таким образом, /— взаимно
однозначное отображение, если из равенства / (лгг) = / (лг2) вытекает,
что хг — х2 в Е.
Пусть / — отображение пространства Е в пространство F,
a g— отображение пространства F в пространство О; мы обозначим
через gof составное отображение Е в G, при котором элементу
х £ Е ставится в соответствие элемент g(f(x)) в О.
Пусть А— множество в Е\ то^да f (А) обозначает множество
точек в F, которые являются образами точек А при отображении /,
С другой стороны, множество всех точек в Е, образы которых при
отображении / лежат в множестве BczF, обозначается через f-1(B)
и называется прообразом В. Мы используем теперь понятие
окрестности в топологическом пространстве для определения непрерывности.
Мы назовем функцию / непрерывной в точке х£Е, если для
каждой окрестности V точки f (х) в F существует такая окрестность U
точки х в Е, что /([/)cl/. Короче это может быть
сформулировано так: / непрерывна тогда и только тогда, когда прообраз
окрестности f (х) есть окрестность х. Это определение составлено,
очевидно, по образцу определения непрерывности действительнозначной
функции действительного переменного, когда в качестве окрестности V
берется г-интервал, содержащий / (х), а за окрестность U
принимается В-интервал, содержащий х. Говорят, что функция непрерывна
на множестве А, если она непрерывна в каждой точке А.
Интересный критерий непрерывности функции на Е содержится в
следующей теореме.
Теорема 2.13. Функция /, отображающая Е в F, непрерывна
на Е в том и только в том случае, когда прообраз каждого
открытого множества в F есть открытое множество в Е.
Пусть / непрерывна на Е. Всякое открытое множество В с F
есть окрестность любой точки у£В. Тогда если х ^f~1(B)i то
существует такая окрестность Ux точки х в Е, что UХЯ: f~1(B).
Таким образом, f~1(B) является окрестностью всякой своей точки и,
следовательно, открыто. Для доказательства другой половины
теоремы предположим, что f~x(B) является открытым множеством для
всех открытых множеств В с F, и пусть х — произвольная точка
62
ГЛ. 2 ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ
в Е, а V — любая окрестность точки f (х). Тогда V содержит
открытое множество В, содержащее f (х), и /~1(Б) является открытым
множеством, содержащим х. Таким образом, f~1(B) есть
окрестность х и / непрерывна в х.
Так как f-l(CB) = Cf~1(B), мы можем использовать
двойственность между открытыми и замкнутыми множествами и
переформулировать теорему 2.13 следующим образом: „/ непрерывна на Е
тогда и только тогда, когда f~l(B) замкнуто для каждого
замкнутого множества В cz Fu.
В связи с теоремой 2.13 следует отметить, что при непрерывном
отображении открытые множества не обязательно отображаются
в открытые множества. Например, мы можем дать тривиальный
пример постоянной функции, отображающей все пространство S1 в одну
точку из Ц1. Здесь каждое открытое множество отображается в
замкнутое множество, состоящее из одной точки. Однако, как
показывают следующие теоремы, свойства компактности и связности
множества сохраняются при непрерывных отображениях.
Теорема 2.14. Пусть функция f непрерывно отображает
пространство Е в пространство F. Тогда всякое компактное
множество А в Е отображается в компактное множество В в F.
Пусть {Ut}, i£I, образуют произвольное открытое покрытие В.
Тогда, по теореме 2.13, Vi = f-1{U^) является открытым множеством
для каждого / и {V^}, /£/, образуют открытое покрытие А. В силу
компактности А мы можем выбрать из [Vt) конечное открытое
покрытие. Тогда образы множеств этого конечного покрытия Ui = f(Vi)
образуют конечное открытое покрытие В и В компактно.
Теорема 2.15. Пусть функция f отображает Е непрерывно
в F. Тогда образ любого связного мноэюества при отображении /
связен.
Предположим, что А с Е связно, и пусть f(A) = B. Допустим
затем, что В не связно, Следовательно, должно существовать
разложение В на сумму двух открытых непересекающихся непустых
множеств В± и В2. Тогда f~1(B1) и f~1(B2)— также открытые
непересекающиеся и непустые множества и А с /-г(Вг) [} /_1 (В2), что
невозможно в силу связности А.
Когда функция / осуществляет взаимно однозначное
отображение Е на F, мы можем определить обратную функцию /-1,
отображающую F на Е, полагая f~1(f(x)) = x. Обратная функция f~l
определена на всем F, так как каждый y£F является образом
в точности одного х£Е. Если /, кроме того, является непрерывным
отображением Е на F, то мы, вообще говоря, не можем заключить,
что f'1 является также непрерывной. Действительно, рассмотрим
функцию и -f- iv — f (х) = eix, определенную на пространстве Е : 0 ^
^х<27г (используя топологию, индуцированную S1) и принимаю-
2.2 ФУНКЦИИ И ОТОБРАЖЕНИЯ
63
щую значения из пространства F, состоящего из точек окружности
^2_j_^2-_i (с топологией, индуцированной S2). Эта функция /
непрерывна и осуществляет взаимно однозначное отображение Е на F,
однако обратная функция имеет разрыв в точке и=\, v = 0,
Непрерывная функция, для которой обратная функция также
непрерывна, называется взаимно непрерывной или непрерывной в обе
стороны. Функция /, осуществляющая взаимно однозначное
непрерывное в обе стороны отображение Е на F, называется
гомеоморфизмом Е на F. Два пространства Е и F называются гомеоморфными,
если существует гомеоморфное отображение Е на F. Теоремы 2.13—
2.15 показывают, что при гомеоморфизме образы открытых множеств
открыты, образы замкнутых множеств замкнуты, образы компактных
множеств компактны и образы связных множеств связны. Вообще
свойства, которые сохраняются при гомеоморфных отображениях
одного пространства на другое, называются топологическими
инвариантами.
Пусть А— множество элементов р, q, г, ... . Предположим, что
задано отношение cR между некоторыми парами элементов из Л,
которое мы будем обозначать pSiq. Это отношение называется
отношением эквивалентности, если оно удовлетворяет следующим трем
условиям:
a) р§{р для всех р ^ A (Si рефлексивно).
b) Если pSiq, то qSip (Si симметрично).
c) Если pSiq и qSir, то pSir (Si транзитивно).
Пусть cR — отношение эквивалентности; мы скажем, что все те
элементы q из ,4, для которых qSip для некоторого фиксированного
элемента р, образуют класс эквивалентности, который мы
обозначим через Ер. Согласно а), р £ Е . Два класса эквивалентности Ер
и Eq либо не пересекаются, либо совпадают, т. е. либо Ep[)Eq= 0,
либо Ep = EQ. Действительно, если Е и Ед имеют общий элемент г,
то rSip и rSiq и в силу с) и Ь) имеем, что pSiq. Пусть теперь
$£Ер, тогда sSip и pSiq, так что sSiq и s£Eq. Следовательно,
Epc^Eq и аналогично EqczEp, откуда Ep-=Eq. Это позволяет нам
определить новое множество В, элементами которого являются классы
эквивалентности элементов множества А. Мы скажем, что В
образовано отождествлением эквивалентных элементов в А. Элемент
q £ Ер называется представителем класса эквивалентности Ер.
Рассмотрим все непрерывные отображения интервала a^t ^Ь,
лежащего в S1, в топологическое пространство Е. Мы скажем, что
непрерывное отображение а интервала a^t^b в Е эквивалентно
непрерывному отображению [3 интервала c^t^d в Е, если
a(0 = p(c + £=£(d-c))
для всех a^t <^b.
64
ГЛ 2 ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ
Тем самым будет определено отношение эквивалентности между
отображениями интервалов в Е (которое мы будем обозначать a — ft),
ибо, как легко проверить, условия а), Ь) и с) выполняются. Это
отношение эквивалентности делит непрерывные отображения
интервалов S1 в Е на классы эквивалентности. Путь, или кривая, на Е
определяется как класс эквивалентности непрерывных отображений
замкнутых интервалов S1 в Е. По заданному отображению а
интервала a^t^.b в Е мы можем найти отображение (3 интервала
0<^<;i в Е, которое эквивалентно а; нам нужно только положить
^(t) = a(a^rt(b — а)) для 0^£<^1, чтобы получить а~(3. Если
ничего другого не оговорено, мы будем брать в качестве
представителя отображений для каждой кривой С непрерывное
отображение а единичного интервала I'.O^t-^l и представлять С в виде
упорядоченной пары (а, /).
Пусть С—кривая (а, /) на Е\ образ / в Е является компактным
связным множеством, которое мы будем называть носителем
(carrier) С и обозначать через \С\. Точка ос(0) называется началом или
начальной точкой, а а(1) называется концом или конечной точкой С.
Если a (0)--= а (1), то говорят, что С — замкнутая кривая. Мы
определим для кривой С = (а, /) обратную кривую С~ как С~ = ф, /),
где (3(f) = oc(l—t), t£ L У кривой С-1 начальной является точка а (1),
а конечной — точка сс(0). Говорят, что путь С соединяет точку р£ Е
с точкой q^E, если а(0) = р и a(l) = q. Если каждая пара точек
в хаусдорфовом пространстве Е может быть соединена путем, то мы
скажем, что Е линейно связно1).
Пусть р, q и г — три точки Е, С1 = (а, I) — кривая,
соединяющая р с q, и С2 = (р, /)—кривая, соединяющая q с г; мы можем
определить кривую (д, /), соединяющую per, следующим образом:
7(0 =
а (20, 0 <*<-!-,
Р(2*—1), 1<*<1,
Кривая (^, /) называется произведением Сх и С2 и обоаначается
через QCg.
Теорема 2.16. Линейно связное пространство связно.
Предположим, что в Е всякие две точки соединимы путем, но Е
!) Дугой называется путь (а, /), если а есть гомеоморфизм. Общее
топологическое пространство Е называется линейно связным, если каждая пара
точек Е может быть соединена дугой. Можно показать, однако, что в хаус-
дорфовых пространствах (рассмотрением которых мы здесь ограничиваемся)
пара точек может быть соединена дугой в том и только в том случае, когда
эти точки можно соединить путем. Таким образом, в определении линейной
связности можно заменить слово „дуга" словом „путь". Для детального
рассмотрения этого вопроса смотри Холл и Спенсер [1], стр. 208.
2.3. МНОГООБРАЗИЯ
65
не связано. Тогда
E^A±UA29
где Ах и А2 — непустые непересекающиеся замкнутые множества.
Должна существовать по крайней мере одна точка р1^А1 и одна
точка р2^А2, и эти точки можно соединить путем С в Е.
Носитель С есть замкнутое связное множество в1) Е; он может быть
представлен в виде |C|=|C|n£=(|C|n^i)U(|C|n А2).
Два множества \С\ f) At и | С | П А2 замкнуты, не
пересекаются и не пусты, так как Pi^\C\f] Аг и р2^\^\(\А2. Это
противоречит связности |С|. Таким образом, Е должно быть
связным.
2.3 Многообразия. Связное хаусдорфово пространство Ж
называется многообразием (размерности 2), если каждая точка М
содержится в открытом множестве, гомеоморфном открытому множеству
в евклидовой плоскости2) $2. Таким образом, утверждение „М есть
многообразие" означает, что каждой точке Р0 на М соответствует
открытое множество U, содержащее Р0, и гомеоморфизм Ф
множества U на открытое множество V в (х19 х2)-плоскости. Мы будем
писать, что Ф(Р) = (ср1(Р), ср2(Р)) для Р £ U, где ^ (Р) и ср2 (Р) —
непрерывные действительнозначные функции Р с ср1(Р0)=а1, ср2(Р0)=а2.
Так как V — открытое множество в С>2, то при достаточно малом
положительном г для круга К : (хх — ах)2 -+- (х2 — а2)2 < г2 имеет место
включение KczV. Тогда Ф_1(/<Г) есть открытое множество в М,
которое содержит Р0 и гомеоморфно кругу в §2. Поэтому мы можем
сказать, что связное топологическое пространство М является
многообразием в том и только в том случае, когда каждая точка М
содержится в открытом множестве, гомеоморфном кругу в S2.
Отображение Ф ставит во взаимно однозначное соответствие
каждой точке Р в окрестности U точки Р0 точку (^ (Р), ср2 (/^))
евклидовой плоскости, так что всякая пара чисел (хг, х2),
соответствующая точке, лежащей в У = Ф(£/), определяет точно одну точку Р
на Ж и может быть использована в качестве координат точки Р.
Мы скажем, что пара (cpt(P), 92(^3)) определяет локальную систему
координат в окрестности точки Р0 на Ж. Числа х1 = cpi (Р), х2 = ср2 (Р)
называются локальными координатами или локальными (унифор-
мизарующими) параметрами в окрестности Р0. Множество точек D
!) См. теорему 2.15.— Прим. перев.
2) Более общо, связное хаусдорфово пространство М называется я-мер-
ным многообразием, если каждая точка М содержится в открытом
множестве, гомеоморфном некоторому открытому множеству в евклидовом я-мер-
ном пространстве. Большинство понятий, вводимых в остающейся части этой
главы, может быть распространено очевидным образом на я-мерные
многообразия, но, поскольку мы главным образом будем рассматривать 2-мерные
многообразия, имеет смысл ими ограничиться с самого начала. О я-мерных
многообразиях см. Уайльдер [1] или Ходж [1].
66
ГЛ. 2. ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ
на М с локальными координатами (xt, х2), для которых (х1 — а^2-]-
_|_ (Х2 — я2)2 < г2, называется координатным или параметрическим
кругом.
Очевидно, что сама евклидова плоскость является многообразием,
так как каждая точка (х0, у0) содержится в круге (х — х0)2-{-
~\"{у — Уо)2<г2> который переводится в евклидов круг
тождественным отображением. Подобным же образом любая область в
евклидовой плоскости является многообразием. Сфера S2: Е2 -f- tf + С2 = 1
в пространстве S3 будет многообразием, если мы введем следующие
локальные униформизирующие параметры. Для всякой точки Р0 на S2
мы рассмотрим касательную к S2 плоскость Т в точке Р0. Проведем
на Т взаимно ортогональные оси х,у с Р0 в качестве начала
координат, и пусть Ф — ортогональное проектирование окрестности Р0
на 5 на плоскость Т. Мы можем следующим образом выразить
аналитически эти локальные координаты в окрестности точки Р0(£о> ^о» ^о):
повернем сферу так, чтобы точка Р0, двигаясь вдоль меридиана,
перешла в точку (0, 0, —1), и затем спроектируем окрестность точки
(О, 0, —1) на плоскость С = —1. Мы имеем для точки Р(£, т], С)
в окрестности Р0
У = <?2 (^) = -^0+^
Такие поверхности, как тор, параболоид и т. д., могут быть
превращены в многообразия таким же образом. Конус К : I2-j- ?]2 = С2
не является многообразием с топологией, индуцированной S3, так
как точка Ро(0,0,0) не имеет окрестности, гомеоморфной кругу. Это
нетрудно проверить; действительно, каждая окрестность U точки Р0
должна содержать точки Рх с С > 0 и точки Р2 с С< 0. Если бы К
являлся многообразием и U была бы гомеоморфна кругу, то образы Рг
и Р2 в круге возможно было бы соединить дугой, не проходящей
через образ Р0. Но таким свойством, являющимся топологическим
инвариантом, К не обладает, и мы доказали, что К не есть
многообразие. С другой стороны, если рассмотреть только половину /С,
т. е. множество Е2-|-7]2 = С2, С^-0, то мы получим многообразие
тем же способом, как в случае сферы.
Вообще говоря, локальные координаты в окрестности данной
точки Р0 могут задаваться не единственным образом. В самом деле,
пусть ^1 = ^(-^-½) и ^2 = ^(-^1^2) — гомеоморфизм евклидовой
окрестности У = Ф(Ц) на другую евклидову окрестность W\ тогда
составное отображение yi = \(yi(P)t ср2(Р)), ^2 = ^(^1(^)^ ?г(-Р))
определяет другую локальную координатную систему (ylt у2) в
окрестности Р0. Далее, пусть Ux и U2— две окрестности Р0, гомеоморф-
ные евклидовым кругам; тогда Ux [\ U2 также является окрестностью Р0.
V 1-е2*
2 3. МНОГООБРАЗИЯ
67
Пусть Ф (Р) — (cpi (Я), ср2(Р))—локальный параметр в Ul и \Р(Р) =
= (1^(^ ^2 (^)) — локальный параметр в U2. Тогда оба локальных
параметра действуют в U1(]U2u отображение (уи у2) = W [ф-1^, х2)]
определяет гомеоморфизм евклидовой окрестности Ф фх f] U2) на
Следует заметить, что если G— область на многообразии М, то О
сама является многообразием, ибо каждая точка P£G содержится
в открытом множестве UczM, гомеоморфном открытому множеству
в S2. Тогда U [\G есть открытое множество в О и (/fjO
отображается взаимно однозначно и непрерывно в обе стороны при
отображении U в §2. Так как G открыто в М, G (] М открыто в М и
отображается в открытое множество в S2. К тому же G связно,
поэтому G является многообразием.
Теорема 2.17. Каждое многообразие линейно связно.
Пусть А— множество точек в М, которые можно соединитз
с некоторой фиксированной точкой Р0 £ М путем на М. Множество А
открыто; в самом деле, если Р £ А, то мы можем взягь
параметрический круг D для Р и каждую точку Q (~D соединить с Р
радиусом L в D, который, будучи непрерывным образом радиуса в евкл!-
довом круге, является кривой. А так как Р может быть соединена
с Р0 кривой С, кривая LC будет соединять Q с Р0 и Q£A.
Следовательно, D £ А и А открыто. Далее, Ж — А также открыто, ибо
всякая точка Р £ М— А является центром параметрического круга D,
каждая точка которого Q соединима с Р радиусом L. Если Р0 можно
было бы соединить с Q кривой С, то путь CL соединил бы Р0 с Р
и Р лежала бы в Л, а не в Ж — А. Таким образом, и А и М—А
открыты, причем А не пусто, ибо Р0 можно соединить с самой
собой кривой С, для которой a(t) = P0, O^t^l. Так как, по
определению, М связно, М — А должно быть пустым и М — А.
Следовательно, для всякой пары P,Q£M точку Р можно соединить с Р0
и точку Р0 можно соединить с Q, а поэтому Р можно соединить
с Q. Таким образом, любые две точки М можно соединить путем.
Каждая точка многообразия М имеет параметрический круг с
центром в этой точке. Поэтому совокупность параметрических
кругов образует открытое покрытие М. Докажем теперь следующее
утверждение.
Теорема 2.18. Многообразие М имеет счетную базу в том и
только в том случае, когда существует покрытие его счетным
множеством параметрических кругов.
Предположим, что М имеет счетную базу B=^{Un)^L1. Тогда
каждая точка р£М является центром параметрического круга D и О
является суммой множеств из В, так что /?£ UnczD для некоторых п.
Мы обозначим эти Vп через Un(p) и поставим в соответствие
каждому Un(p) один из параметрических кругов, скажем Dn, такой,
68
ГЛ. 2 ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ
что Un(p)czDn. Эти Dn образуют счетног покрытие М
параметрическими кругами.
Обратно, пусть М имеет счетное покрытие параметрическими
кругами {Dn}™=1. Выберем тогда в каждом Dn совокупность
всевозможных кругов S:(x — #i)2 + (.y — b2)2<^r2, где blt Ь2и г —
рациональные числа, подобранные так, чтобы SczDn. Совокупность В всех таких
кругов 5 для всех Dn, п—1, 2, ... , образует счетное множество
открытых множеств; мы докажем, что В— база для М. Если VczM—
открытое множество и p£V, то p£Dn для некоторого п и р имеет
координаты (с1,с2) в Dn. Существует такое е > 0, что круг
D : (х — £\)2-\-{у — с2)2 < £2 лежит в V. Если мы подберем
рациональные числа г, Ь1 и Ъ2 так, чтобы г < е, | Ъх — с1 | < г/4 и | Ь2 — с2 | <
< г/4, то круг Sp:(x — Ьг)2-\-(х — Ь2)2<С г2№ принадлежит V,
p^SpczV и V■= Ы S . Это показывает, что В является базой, и
доказательство теоремы закончено.
То, что не всякое многообразие имеет счетную базу, видно из
примера Прюфера, который мы здесь приводим (см. Радо [1], стр. 107,
и Калаби и Розенлихт [1], стр. 335).
Для каждого действительного числа t рассмотрим упорядоченную
тройку (х, у, t), в которой (х, у) — точка в евклидовой плоскости $t.
Две такие тройки эквивалентны [пишем (хг, уг, £)~(лг2» у2, $)], если:
a) У\ = Уъ и
b) при ^==^2^0 имеем t = s и хг = х2, а при ух =•• у2 > 0
имеем x2y2-j-s = xlyl-\-t.
Это отношение эквивалентности можно использовать для
определения точки на многообразии М как класса эквивалентности. Пусть
Vt — множество точек (х, у, t) на М. Для любой точки (х, у, t)
на Vt будем называть кругом радиуса г с центром в (х, у, f)
множество Dr(x, у, t) точек из Vt, для которых (л: — х)2-\-(у— У)2 < г2-
Мы скажем, что множество UczVt открыто, если каждая точка U
является центром некоторого круга, лежащего целиком внутри U.
Таким образом, мы по существу используем топологию &t в Vt.
Открытые множества, лежащие целиком внутри одного Vt называются
элементарными множествами. Если множество U лежит
одновременно в Vt и Vs, причем оно открыто в Vt, то оно также открыто
и в Vs. Действительно, пусть U czVt Л Vs\ тогда U содержится в
полуплоскости yt > 0 в Vt и также в полуплоскости ys >> 0 в Vs. Но
преобразование xs = xt-{-(t — s)lyt, ys = yt является гомеоморфизмом
полуплоскости yt > 0 на полуплоскость ys > 0, откуда следует
справедливость нашего утверждения, что U открыто в Vs. По
определению будем считать теперь произвольное множество U на М
открытым, если оно является суммой элементарных открытых множеств.
Мы должны проверить, что это определение открытых множеств
удовлетворяет аксиомам хаусдорфова пространства 1—5. Выполнение
2.3. МНОГООБРАЗИЯ
69
аксиом 1—4 очевидно. Проверим выполнение аксиомы 5. Для этого
рассмотрим по отдельности могущие представиться возможности. Пусть
(хг, ylt s) и (х2, у2, t) — две точки на М, и пусть Dt = Dr(xlt ylt s)
и D2 = Dr(x2i y2, t)—круги радиуса г с центрами в этих точках.
Выберем теперь г настолько малым, чтобы Dt и D2 не пересекались.
1) Если у1 Ф у2, то положим г = -т-\ух — у2\.
2) Если Vi = )!2> t = st то хх Ф х2 и мы полагаем г —
— "J" I Х1 Х2\-
3) Если ух = у2 < 0, t Ф s, то при г=-^-1 уг | мы имеем Dx fl D2=<0.
4) Если yt = у2 > 0, t Ф s, то хгух — х2у2 Ф s — t. Из
непрерывности хгух — х2у2 следует существование такого г, что при (xl9 yt) £ D±
и (х2, y2)(zD2 имеем л;^— x2j/2 Ф s—t, так что Dx и D2 не
пересекаются. Наконец,
5) если у1 = у2=0, 1фз, то найдется г, для которого при
(хг, уи s)£Dt и (х2, у2, t)£D2 имеем \ххуг— ^3^1^15— ^ I» так
как x1y1 — x2y2=--0i когда уг = уи у2 = у2.
Мы заключаем, таким образом, что D1f]D2=0. Следовательно, М
является топологическим пространством и каждая точка (х, у, f) на М
содержится в круге Dr(x, у, t), гомеоморфном евклидову кругу
(х — х)2-\-(у — у)2 <С г2> Поэтому М является многообразием,
в котором точки (0, —1, f) составляют несчетное множество
изолированных точек. Но отсюда следует, что М не имеет счетной базы,
так как в противном случае среди счетного числа покрывающих М
кругов нашелся бы один, скажем Dlf который содержал бы
бесконечное число точек (0, —1, t), и замыканию Dt принадлежала бы
предельная точка множества (0, —1, t), что является противоречием.
Таким образом, мы имеем пример многообразия без счетной базы.
Функция /, определенная на многообразии М, может
рассматриваться локально как функция локальных координат, и ряд ее свойств
может быть исследован в терминах этих локальных координат. Мы
должны интересоваться только теми свойствами функции в одной
локальной координатной системе, которые не теряются при переходе
к другой координатной системе. Например, совершенно естественно
говорить о непрерывности функции / на многообразии в терминах
локальных координат, так как / непрерывна в окрестности U точки Р0
в том и только в том случае, когда в локальной координатной системе
ф (Р) = (?i (Р), Ъ (Р)) = (*i. х2)> действующей в U9 f (Ф-1 (xl9 х2))=
= §■(•^1. -½) является в Ф(Ц) непрерывной функцией двух
действительных переменных хг, х2. Если мы перейдем к новой локальной
системе координат W (Р) = ($г (Р), <{ 2 (Р)) = (ух, у2), действующей
в U и связанной с (xlt х2) гомеоморфизмом х1=Х(у1, у2), х2=р (ylt у2),
70
ГЛ. 2. ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ
то /(¥ 1(yl, y2)) = g(K(yuy2)> Р(У1>У2)) = Ь(У1>У2)) останется
непрерывной функцией от ylt у2.
С другой стороны, неестественно говорить о дифференцируемости
действительнозначной функции на многообразии. В самом деле, пусть
действительнозначная функция / задана на многообразии М; мы можем
фиксировать локальную систему координат ф(Р) = (ср1 (Р), ср2(Р)) =
= (xlt х2) в окрестности точки Р0 и посмотреть, существуют ли у
/{ф~1(х1, х2)) = g (xt, х2) частные производные dgjdxx и dg/dx2.
Но даже при условии существования этих частных производных мы
не гарантированы, что при переходе к локальным координатам
W(P) = (ylt j/2), где функции xl = 'k(yl, у2), х2 = \ъ(у19 ^ —
непрерывны, функция /(ч?_1(Р))=-gfr(ylt у2), p(ylt y2)) = h(yl9 у2)
будет обладать частными производными dh/dy{ и дп!ду2, ибо
дифференцируемая функция от непрерывной функции не обязательно
дифференцируема.
Желание говорить о дифференцируемости функций приводит нас
к понятию дифференцируемого многообразия. Говорят, что
действительнозначная функция, определенная в области Ra$2, принадлежит
классу Ся, если все ее частные производные порядков ^ п существуют
и непрерывны в R. Две действительнозначные функции fu f2,
определенные в области Pel2, дают отображение R в подмножество S2.
Говорят, что это отображение принадлежит классу Ся, если ft и /2
обе принадлежат классу Сп в R.
Мы скажем, что многообразие М дифференцируемое, или,
иначе говоря, является С1-многообразием, если
1) дана совокупность [Uit Ф1}1,р где для множества
индексов I{Ui}t^/ есть открытое покрытие М, а Ф1—
гомеоморфизм Ut на открытое множество в $2 (отображение Фь
определяет систему локальных координат в множестве Ut), и
2) при Ui[\Uj4z0 отображение Ф;. (Ф,7"1) является
^-отображением Ф1{1!1{\и]) на OjiU^Uj).
Мы скажем, что совокупность [Uit Фь}1~1 определяет
дифференциальную структуру в многообразии М. Если дано другое
покрытие {Vj}, j^J. и соответствующая система гомеоморфизмов Ф •
множеств Vj в S2 так, что удовлетворяются условия 1) и 2), то на М
определена другая дифференциальная структура. Мы скажем, что эти
две дифференциальные структуры одинаковы или что они определяют
одно и то же дифференцируемое многообразие, когда покрытие,
состоящее из всех открытых множеств [U\] и {Vj} с соответствующими
отображениями Ф^ и 4PV удовлетворяет условиям 1 и 2. Следует
помнить, что дифференцируемое многообразие определяется как
многообразие вместе с множеством допустимых локальных систем
координат, причем только эти локальные координаты должны использоваться.
Пусть / — действительнозначная функция на С^-многообразии М.
В каждом параметрическом круге U мы можем выразить / как функ-
2 3. МНОГООБРАЗИЯ
71
цию локальных координат в U. Если / принадлежит классу С1 в
локальных координатах в каждом параметрическом круге, то мы
скажем, что / принадлежит классу С1 на М. Это свойство не зависит
от специального выбора локальных координат, так как всякий
переход к другой локальной системе координат производится при
помощи (^-отображений, а (^-функция от С1-функций есть снова
С1-функция.
Ясно, что S2 является Сх-многообразием; круги радиуса 1 с
центрами в каждой точке и тождественные отображения этих кругов
определяют дифференцируемую структуру в S2. Можно также показать,
что сфера с локальными координатами, введенными выше, является
дифференцируемым, многообразием.
Чтобы рассматривать дифференцируемость более высоких
порядков, мы должны потребовать, чтобы преобразование координат
осуществлялось только отображениями с более высокими порядками
дифференцируемое™. Многообразие М называется Сп-многообразием,
если отображения Ф. (Ф/"1) в условии 2) обязаны принадлежать
классу Сп. Мы намерены изучать комплекснозначные аналитические
функции на многообразич в терминах локальных координат. Для этого
мы должны потребовать, чтобы преобразование координат
осуществлялось аналитическими функциями и, следовательно, отображения
множеств на плоскости в условии 2) должны быть конформными.
Для полноты мы дадим определение аналитического многообразия.
Многообразие М называется {комплексным) аналитическим
многообразием или (абстрактной) римановой поверхностью
1) если дана совокупность {Ut, Ф/}^-/, где для множества
индексов I{Ui)iri образует открытое покрытие М и Фь есть
гомеоморфизм Ut на открытое множество в комплексной z-пло-
скости (z = x-\-ly), и
2) при иьГ[11)Ф0 отображение Ф;.(Ф/"1) есть конформное
отображение ФД^П^О «я Ф/ (U^Uj), т. е. w = <£j(pT\z))=:
= / (z) является аналитической функцией z в Ф^(^П^у).
Из того, что ФДФГ1) является взаимно однозначным
отображением, следует, что f (z) Ф 0. Отображение Ф( определяет локальный
униформизирующий параметр (или локальные координаты) в
множестве Ut. Как .'прежде, мы скажем, что совокупность {Uit Ф/}^7
определяет аналитическую структуру в многообразии М. Мы
скажем, что* другая совокупность {Vy, ЧР/}^/ определяет ту же
аналитическую структуру на М, если покрытие, состоящее из
открытых множеств обоих покрытий и соответствующих отображений,
дает нам совокупность, удовлетворяющую условиям 1) и 2). Мы
снова подчеркиваем, что риманова поверхность есть многообразие
вместе с определенным множеством координатных систем, и только
эти координаты следует использовать.
72
ГЛ. 2. ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ
Пусть Р0 — точка на М; Р0 может содержаться в нескольких
из множеств Uit так что может существовать несколько локальных
параметров, действующих в окрестности Р0. При этом мы можем
получить новые локальные параметры, замечая, что если ф(Р) = г
определяет одну локальную координатную систему в окрестности Р0
в U, a w = f(z) — произвольное взаимно однозначное конформное
отображение Ф (U) на открытое множество в 'Ш-плоскосш, то
f(<&(P)) = w является также локальным униформизирующим
параметром в окрестности Р0. Пусть, например, Ф(Р0) = £0; круг
\z — ^о 1 ^г Для достаточно малого г содержится в U, и, если
положить w = (z — z0)/r, мы получим новый локальный параметр
w = W(P) с W(P0) = 0 и | Т2> | ^ 1. Таким образом, каждая точка Р0
на М является центром параметрического круга D: \w\<C 1.
Комплекснозначная функция / на М называется (регулярной)
аналитической или голоморфной в точке Р0, если, будучи
выражена через локальный параметр г = Ф(Р), 0 = Ф(Р0), функция
/(Ф-1 (z)) есть регулярная аналитическая функция от z при | z | < г
оо
для некоторого г > 0, так что /(Ф-1 (z)) = 2 апгП- ^:0
определено
ние не зависит от взятого локального параметра, так как если
перейти к другой локальной системе координат, то новый параметр
будет связан с z аналитической функцией, а аналитическая функция
от аналитической функции является снова аналитической.
Следует заметить, что отображение, связывающее две локальные
системы координат, конформно, так что углы сохраняются
неизменными в каждой такой координатной системе, и мы можем определить
угол между двумя пересекающимися кривыми на М как угол между
их касательными в любой локальной системе координат. Таким
образом, мы можем говорить об углах на аналитическом многообразии,
так как углы инвариантны при конформных отображениях. Однако
расстояния не сохраняются при конформных отображениях, так что
мы не можем говорить о расстоянии между двумя точками на
аналитическом многообразии.
Определение аналитического многообразия, даваемое здесь,
совпадает с определением абстрактной римановой поверхности у Вейля
([1], стр. 35, 36) и Радо ([1], стр. 101). Вейль первоначально
требовал, кроме того, триангулируемости многообразия, но Радо показал,
что это требование можно отбросить.
Комплексная z-плоскость дает пример римановой поверхности;
все единичные круги с тождественными отображениями определяют
аналитическую структуру в ^-плоскости. В этом случае мы имеем
одну систему координат на всей плоскости. Сфера с локальными
координатами, определяемыми ортогональными проекциями на
касательные плоскости, не является римановой поверхностью, так как
при таком проектировании углы не сохраняются.
2 3 МНОГООБРАЗИЯ
73
Однако сферу можно превратить в риманову поверхность,
определяя локальные координаты с помощью стереографической проекции.
Рассмотрим сферу S"2 : £2 + т]2 + С2 = 1 в I3 и экваториальную
плоскость Т :1. = 0. Через V1 обозначим множество точек, состоящее
из всей сферы S2 с удаленным северным полюсом (0, 0, 1); через Уг
мы обозначим S2 с удаленным южным полюсом (0, 0, —1). Тогда
любая точка Р (£, i], С) на S2 имеет в качестве окрестности либо Vl9
либо V2, или оба эти множества. В V1 мы введем локальные
координаты
я в V2 — локальные координаты
Соответствие между точками в Vl и V2 и точками комплексной
плоскости получается геометрически, если заметить, что zx есть точка
пересечения прямой Llt проходящей через северный полюс и точку
Р$, у], С) с плоскостью 7\ a z2 есть точка пересечения с плоскостью Т
прямой, проходящей через южный полюс и точку Р (рис. 2.1).
Для любой точки Р в Vx П У г две локальные координаты связаны
между собой соотношением
Если P£V1(]V2t т0 Р не является ни южным, ни северным
полюсом, т. е. zx Ф О и z2 ф 0, и отображение z2:=llz1 является
конформным. Таким образом, описанные локальные параметры превращают
сферу в риманову поверхность.
Мы до сих пор рассматривали на римановой поверхности ком-
плекснозначные функции, т. е. функции, которые отображали риманову
74
ГЛ. 2. ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ
поверхность в комплексную плоскость. Нас интересуют также
функции /, определенные на одной римановой поверхности Sj и
принимающие значения на другой римановой поверхности S2. Пусть Р0 £ Sx
и / (Р0) = Q0; мы можем взять локальный параметр z = Ф (Р)
в окрестности Р0 и локальный параметр w — W(Q) в окрестности Q0.
Тогда мы скажем, что / аналатична на Sl9 если сложная функция
<ш = Ф*[/{ф-1(,г)}] — g(z) является аналитической функцией от z
для всех P0^S1. Говорят, что две римановы поверхности 5Х и S%
конформно эквивалентны, если существует взаимно однозначное
аналитическое отображение / поверхности Si на S2. Любая комплексно-
значная аналитическая функция g на St переходит в комплексно-
значную аналитическую функцию gf~A на 52, и, обратно, всякая
комплекснозначная аналитическая функция h на S2 переводится
в комплекснозначную аналитическую функцию hf на S{. Таким
образом, с точки зрения изучения класса комплекснозначных
аналитических функций на римановой поверхности мы можем
рассматривать две конформно эквивалентные римановы поверхности как
одинаковые.
Во введении (гл. 1) мы рассматривали поверхности в &3,
определяемые уравнениями xi = xi(py q), /=1, 2, 3. На такой
поверхности мы ввели элемент длины дуги (риманова метрика). Мы
находили локальные изотермические координаты, которые давали нам
конформные отображения в ^-плоскость. В окрестности Up каждой
точки Р на поверхности S мы выбираем систему изотермических
координат (и, v) и определяем структуру на поверхности 5 : [Up , &p}PrS*
где фр = u-]-iv. Было показано, что замена координат производится
конформными сохраняющими направление отсчета углов
отображениями. Таким образом, поверхности, рассмотренные в гл. 1, с этими
локальными координатами являются абстрактными римановыми
поверхностями в описанном выше смысле. Однако римановы поверхности
представляются теперь более общими, так как они не обязаны лежать
в S3 и обладать римановой метрикой. Получая наши поверхности, мы
по сути дела склеивали вместе малые окрестности таким путем»
чтобы налегающие куски прикладывались друг к другу конформно.
В следующей главе мы увидим, что риманова поверхность любой
аналитической функции является как раз определенной выше
абстрактной римановой поверхностью.
ЗАДАЧИ
1. Показать, что в хаусдорфовом пространстве множество,
состоящее из одной точки, замкнуто. Показать, что если не требовать
выполнения аксиомы 5, то можно построить пространство,
удовлетворяющее аксиомам 1—4, в котором одна точка не является
замкнутым множеством.
ЗАДАЧИ 75
2. Показать, что аксиомы метрического пространства могут быть
заменены следующими двумя аксиомами:
a) ?(р> Я) = 0 тогда и только тогда, когда p = q;
b) р(р, Q)^.p(p* r)^-?(Q, г) Для любых трех точек /?, q и г.
3. Доказать, что топологическое произведение двух компактных
хаусдорфовых пространств компактно.
4. Доказать, что хаусдорфово пространство связно тогда и только
тогда, когда оно не содержит собственного подмножества,
являющегося одновременно открытым и замкнутым.
5. Доказать, что всякое компактное метрическое пространство
сепарабельно и, следовательно, имеет счетную базу.
6. Доказать, что на компактном множестве в хаусдорфовом
пространстве непрерывная действительнозначная функция принимает
максимальное и минимальное значения.
7. Показать, что тор является топологическим произведением двух
окружностей. Аналогично показать, что цилиндр есть топологическое
произведение окружности и прямой. Ввести изотермические
координаты на цилиндре, чтобы показать, что он является аналитическим
многообразием.
Глава 3
РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
3.1. Полная аналитическая функция. Изучение аналитических
функций в ^-плоскости приводит к введению римановых
поверхностей, на которых аналитические функции однозначны. Обычно
представляют себе эти поверхности составленными из нескольких листов,
лежащих над ^-плоскостью. Мы покажем теперь, что этот тип
поверхностей является как раз римановой поверхностью в абстрактном
смысле, определенной в гл. 2.
Элементом для построения римановой поверхности аналитической
функции служит степенной ряд
оо
P(z — а)= Уап{г — а)}\
л = о
сходящийся либо во всей г-плоскости, либо в круге \z—а | < г
и, может быть, на части границы \z — а | = г. Степенной ряд Р (z — а)
сходится к регулярной аналитической функции в круге \z — а ] < г
(г = оо в случае сходимости во всей плоскости). Мы назовем этот
степенной ряд (регулярным) функциональным элементом. Мы
будем строить полную аналитическую функцию при помощи процесса
аналитического продолжения. Точка z = a называется центром
функционального элемента.
Если разложить каждое выражение (z — а)п = (z — b-\-b — а)п
по степеням разности z — 6, где \а — Ь \ < г, при помощи формулы
бинома, а затем перегруппировать члены, то мы получим новый
степенной ряд
оо
Q(*-*)=2m*-*)";
/1=0
новый степенной ряд сходится в круге, радиус которого не меньше
чем г — \Ь—а\. Если радиус сходимости Q(z — b) больше чем
г — \Ь — а\, то мы продолжили функцию за пределы исходного
круга \z — а \ < г. Мы скажем, что Q(z — b) есть
непосредственное аналитическое продолжение Р (z — а).
Пусть /Clf К2, . .., К„—конечная последовательность кругов
в ^-плоскости, такая, что центр а^х круга Kt±t лежит внутри
круга Kt, 1=1, 2, ..., п — 1. Такая последовательность кругов
называется цепью. Если P. = P.(z — at) является функциональным
элементом с кругом сходимости Кь и Pt гЛ является непосредственным
3 1 ПОЛНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
77
аналитическим продолжением Pt, j= 1, 2, . . ., п — 1, то мы скажем,
что Рх аналитически продолжен вдоль цепи кругов.
Аналогично мы можем определить аналитическое продолжение
вдоль пути в ^-плоскости. Пусть С = (а, I) — путь в ^-плоскости,
определяемый уравнением z — QL(t), 0^^^1, так что а (0) = а и
a(1)--6. Предположим, что каждому значению t соответствует
функциональный элемент Pt = Pt(z — <x{t)). Для любого t0
обозначим через tt такое число, что a(t) лежит внутри круга сходимости Ptj
для всех t в интервале t0^t ^tlt и пусть Р(х является
непосредственным аналитическим продолжением Р/о. Мы скажем тогда, что
P1-=P1(z—6) получено аналитическим продолжением Р0 =
— P0(z — а) вдоль- пути С. Обратно, Р0 получается аналитическим
продолжением Рг вдоль пути С-1.
Теорема 3.1. Аналитическое продолжение данного
функционального элемента вдоль данной кривой С всегда приводит
к одному и тому же функциональному элементу Рг.
Действительно, пусть Pt и Qt — два продолжения одного и того же
функционального элемента P0==Q0 вдоль кривой С—-(а, /); мы
покажем, что подмножество Е интервала /:0^^^1, состоящее
из таких t, для которых Pt = Qt, одновременно открыто и замкнуто
в /". Заметим сначала, что £ = 0 принадлежит Е, так что Е не пусто.
Для любого t0 ряды Pto и Qto сходятся оба в круге \z — ос(^0)|<
<s(^0), где e(t0) равно наименьшему из их радиусов сходимости.
Существует такое 8 = 8(¾ > 0, что |а(£0)— а(г)| < e(tQ) для всех tt
\t—101 < 8. Следовательно, Pt и Qt являются непосредственными
продолжениями соответственно Ptc и Qto при \t —10 | < 8. Если
tQ£E, то Pto=Qt0 и их непосредственные аналитические
продолжения Pt и Qt совпадают (т. е. t£E) для \t — t0\<C 8. Таким образом,
Е открыто в /. С другой стороны, пусть t0 — предельная точка Е\
тогда существует такое t1^E, что \t0 — ^i|<8(^o) и ^,-Q*i- Но
круги сходимости элементов Р^, Р/0 и Qto пересекаются, и в
пересечении кругов суммы этих рядов совпадают. Таким образом, PtoE=~Qti
и t0£E. Следовательно, Е одновременно открыто и замкнуто в /,
а так как Е не пусто, Е = 1. Итак, Pt===Qt для всех t£I и, в
частности, P1 = Q1.
Теорема 3.2. Радиус сходимости г (а) ряда Р (z — а) либо
тождественно равен бесконечности, либо является непрерывно 1
функцией центра а.
Действительно, если г (а)< со и [6 — а | < г (а)/2, то
г(6)>-г(а) — \Ь — а|>г(а)/2. Таким образом, а лежит в круге
сходимости P(z — 6) и r(a)^>r{b) — | 6 — а\. Следовательно,
|г(6) — >"(я)1<!|6 — а\ и г (а) является непрерывной функцией а.
Теорема 3.3. Если возможно аналитическое продолжение
функционального элемента Р0 вдоль кривой С = (ос, /), то его
78 ГЛ. 3. РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
всегда можно выполнить аналитическим продолжением вдоль
конечной цепи кругов.
Справедливость утверждения легко проверяется, если заметить,
что радиус сходимости r(<x(t)) функционального элемента Pt как
непрерывная функция от t имеет положительную нижнюю грань о.
Если выбрана последовательность значений 0 = £0<^</2< •••
. . . < tn— 1 так, что |а(^) — а(£/+1) | < о для/= 0, 1,2 п — 1,
то круги Kt : \z— а (^)] < /*(а(^)), / = 0, 1 п, образуют
конечную цепь, а элементы Р0, Ptx, Pti Pt образуют аналитическое
продолжение вдоль этой цепи кругов.
Если Р0 продолжен аналитически вдоль кривой C:z{t),
соединяющей а с Ь, то аналитическое продолжение Р0 вдоль любой другой
кривой, соединяющей а с b и достаточно близкой к С (ниже мы
скажем, в каком смысле), приводит к тому же функциональному
элементу Pv Именно, справедлива
Теорема 3.4. Пусть 8 — минимальное значение радиуса
сходимости r(fx(t)) функционального элемента Pt на кривой С.
Пусть С1=^(а1, I) — другая произвольная кривая, для которой
аг(®) — а и 0^(1) = ^ и \хг(1) — ос(£)|<8/4. Обозначим через Qt
функциональный элемент, получаемый продолжением P0 = Q0
вдоль кривой Сг. Тогда P^^^Q^
Рассмотрим последовательность 0 = t0 < tt < . . . < tn— 1, такую,
что для всех t в интервале ti_1^t^.ti имеем |а(£) — a(^/_i)|<<V4,
i=l, 2, . . ., п. Тогда продолжение Р0 в Рг осуществляется вдоль
цепи кругов при помощи конечной последовательности
непосредственных продолжений. Пусть Lt — прямолинейный сегмент,
соединяющий ос(^) с ах(^). Продолжение вдоль любого пути, соединяющего
центр функционального элемента с данной точкой и лежащего
целиком внутри круга сходимости этого элемента, приводит к одному и
тому же элементу, так как всякое непосредственное продолжение
производится путем перегруппировки в исходном ряде. Таким
образом, продолжения Р0 от а к a(tt) вдоль кривой С и вдоль
составного пути, образованного отрезком кривой Сг от а до 0^(^)и затем
путем Li до a (^), оба приводят к одному и тому же
функциональному элементу Ptx. Мы продолжим теперь Ptx от a(tt) к a (t2)
вдоль С и получим Pt2, но мы можем также продолжить Р^ от а (/х)
к а(£2) вдоль пути, составленного из Lx — отрезка пути Сх от (x1(t1)
до 0^(^), и затем L^ , и мы получим тот же самый функциональный
элемент Р^2, так как мы не покидали при этом круга сходимости Pt .
В этом процессе мы проходим Lt последовательно в обоих
направлениях, поэтому тот же результат получается, если отбросить 11% Таким
образом, мы продолжили Р0 вдоль двух путей и пришли к Р^,
а именно от а до a(t2) вдоль Сг или от а до at(^2) вдоль пути,
составленного из С1 от а до ах (£2) и пути L^ . Повторяя этот
3 1. ПОЛНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
79
процесс, мы после конечного числа шагов достигнем Ъ и получим,
ЧТО PjEShQj.
Аналитическое продолжение вдоль данной кривой не всегда
возможно. Пусть существует значение t, скажем t = it такое, что
функциональный элемент Р0 может быть продолжен аналитически
вдоль дуги С от 0 до tQ для любого ^о<т> но не Для ^о>т-
Тогда мы скажем, что точка a(t) является особой точкой по
отношению к С и Я0.
Мы можем теперь сформулировать определение Вейерштрасса
аналитической функции: (полной) аналитической функцией
называется совокупность А всех функциональных элементов,
которые можно получить из данного функционального элемента
аналитическим продолжением.
Из этого определения ясно, что каждый функциональный элемент
из А может быть получен из любого другого аналитическим
продолжением. Далее, две аналитические функции Ai и А2, имеющие
общим один функциональный элемент, совпадают, т. е. каждый
элемент из Аг содержится в Л2, и обратно. Если функциональный
элемент
Р (z — a) = aQ -f- а1 (z — a) -f- аг (z — a)2 -j~ . ..
принадлежит аналитической функции А, то а0 называется значением А
в точке z — a.
Определенная здесь аналитическая функция не является функцией
в обычном смысле, так как данному значению z соответствует не
обязательно одно значение функции, а, быть может, несколько значений в
зависимости от того, приводит ли продолжение функциональных элементов-
к одному и тому же значению или нет при возвращении в данную
точку. Чтобы иметь возможность рассматривать А как функцию
в обычном смысле, мы свяжем с А аналитическое многообразие МА,
на котором А будет однозначной функцией. С этой целью мы
напомним, что аналитическая функция А есть совокупность
функциональных элементов P(z — a), получаемых из данного элемента
аналитическим продолжением. Мы рассмотрим множество упорядоченных
пар (а, Р(z — а)) и назовем две такие пары эквивалентными, если
выполнены следующие два условия:
1) а = Ь\
2) P(z—a)==zQ(z — b) в их общем круге сходимости.
Очевидно, что это—отношение эквивалентности и всякий класс
эквивалентности (а, Р(z — а)) определяет точку на многообразии МА.
Определим теперь топологию в МА, которая превратит Мд в
аналитическое многообразие. Пусть (а, Р (z — а)) — точка МА и К? (а) — любой
круг \z — а | < р, радиус которого меньше радиуса сходимости г (а)
функционального элемента Р (z — а). Круг D на многообразии МА с центром
в точке (а, Р (z — а)) состоит из всех таких точек (b, Q (z—b)) в МА, что
Ь^Кь(а), и Q(z — b) является непосредственным аналитическим про-
80 ГЛ 3 РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
должением Р (z—а). Подмножество V в МА называется открытым
если каждая точка (a,P(z — a))£V является центром круга Ь,
содержащегося в V. Таким образом, подмножество V в МА открыто,
если каждой точке (a,P(z — a))^V соответствует такой круг К (а),
р<г(а), что все точки (b, Q(z — b))£MA, для которых Ь£1\р(а)
и Q(z — b) является непосредственным аналитическим продолжением
P(z — а), принадлежат множеству V. Ясно, что каждый круг D есть
открытое множество.
Проверим сначала, что это определение превращает МА в
топологическое пространство.
a) Пустое множество 0 является открытым множеством, так как
в 0 не имеется элементов, которые не удовлетворяли бы условиям,
сформулированным выше.
b) Все множество МА является открытым множеством, так как
всякий круг с центром в любой точке МА лежит в МА.
c) Сумма произвольного числа открытых множеств есть открытое
множество, так как каждая точка (а, Р), принадлежащая сумме, должна
лежать по крайней мере в одном открытом множестве из этой суммы.
А это открытое множество содержит круг с центром в (а, Р).
d) Пересечение любого конечного числа открытых множеств открыто.
Действительно, пусть Vu V2, ..., Vn — открытые множества; любая
точка (а, Р) из их пересечения V принадлежит каждому Vu и
каждое Vt содержит точки (b, Q), где b — любая точка круга
Kt (а) : | z — а\ < pt, pt < г (а), и Q — непосредственное аналитическое
продолжение Р. Пересечение V, таким образом, содержит все точки
(b, Q), где b£K0(a), p = minp;, /=1, 2, ..., п, и Q является
непосредственным продолжением Р; эти точки образуют круг с центром (а, Р)
в V.
e) Пусть (а, Р) и (b, Q) — две точки МА\ мы должны указать два
непересекающихся открытых множества, каждое из которых содержит
одну из данных точек. Могут представиться два случая, в которых
(a/P)^(b,Q):
1) а + Ъ и 2) а = Ь, но P^Q.
В случае 1) мы можем найти два непересекающихся круга, К (а) и
К(Ь), причем Р сходится в К (а) и Q сходится в К(Ь). Пусть теперь
U — открытое множество, состоящее из таких точек (а^Р^, что
#i 6 К (а) и Рх является непосредственным продолжением Р, и пусть V —
открытое множество, состоящее из точек (&1э Qx), где Ьг£К(Ь), a Qt
является непосредственным продолжением Q. Имеем (a,P)£U, и
(b, Q) £ V, и U П V = 0, так как К (а) П К (Ь) = 0. В случае 2) мы можем
найти общий круг К0 (а), в котором сходятся и Р, и Q. Пусть U —
открытое множество, состоящее из точек (alt Рх), где а1^К?(а) и Рх —
непосредственное продолжение Р. Пусть V— открытое множество,
состоящее из точек (blt Qi), где Ьх^Кр(а) и Qx — непосредственное
продолжение Q. Если U и V имеют общую точку (av Pi) = (blt Q^»
3 1. ПОЛНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
то а^ — bx и P1e==Q1. Но это означает, что мы продолжили Р от а
к а{ и, обратно, от аг к а, оставаясь в К (а), и пришли к другому
функциональному элементу Q, что невозможно, так как оба
непосредственных продолжения являются просто перегруппировками
ряда Р. Таким образом, (а, Р) £ U, и (&, Q) £ К, и £/f|^—0.
Доказательство того, что МА является топологическим пространством,
закончено.
Пусть (а, Р) — точка МА\ тогда точка z — а в комплексной
плоскости называется проекцией (а, Р) на ^-плоскость. Пусть V
множество точек наЖл; проекцией V на ^-плоскость будет называться
множество проекций всех точек V на ^-плоскость.
Если (а, Р) и (b, Q)— две точки на <ЧА, то мы можем найти такую
кривую С (а,/), соединяющую а с Ъ в ^-плоскости, что
продолжение Pt элемента Р вдоль С приводит к функциональному элементу Q,
т. е. Р0 = Р, Pt = Q. Если мы рассмотрим точки (a(t),Pt) на МА>
то получим путь Г на Жл, соединяющий (а, Р) с (6, Q). Для
доказательства того, что Г — путь, мы должны показать, что (a(t), Pt)
является непрерывным отображением интервала / в МА. Для
любой заданной окрестности U точки (a(Y0), Ptt) на МА найдется
круг /Cp(af^o))» лежащий внутри проекции U на .г-плоскость. Мы
можем выбрать р столь малым, чтобы круг K0(a(t0)) лежал внутри
круга сходимости Рд, и можем затем найти ' такое положительное
число 8, что a (t) £ /Ср (a (£0)) при \t — tQ | < 8. Тогда Р, при | ^ —-£0 | < 8
является непосредственным продолжением Р^п, и точки (a (t), Pt) лежат
внутри U при \t — £0|<8. Таким образом, Г является путем на МА,
соединяющим (a, Р) с (b, Q), так что в МА любые две точки можно
соединить путем и, следовательно, МА связно.
Остается еще ввести локальные координаты на МА, которые
превратят МА в аналитическое многообразие. Обозначим для произволь--
ной точки (a, Р) на МА через D круг с центром в (a, Р), состоящий
из всех точек (b, Q), для которых Ь£Кр(а), где К0(а) содержится
в круге сходимости Р, и Q — есть непосредственное продолжение Р.
Тогда проекцией D на ^-плоскость является круг КЛа). Это
определяет взаимно однозначное непрерывное в обе стороны отображение D
на К0(а). Если два таких круга D{ и D2 пересекаются, то общая
точка' (а, Р) отображается в точку а при обоих координатных
отображениях, так что разные локальные параметры связаны
тождественным отображением z-плоскости, которое, конечно, конформно. Таким
образом, нами доказана
Теорема 3.5. МА является аналитическим многообразием.
Аналитическое многообразие МА называется аналитическим
многообразием регулярных функциональных элементов А.
С точкой (а, Р) на МА мы можем связать значение А в точке z = a,
которое получается из функционального элемента Р. Это определяет
однозначную функцию / на МА, которая, кроме того, является
82 ГЛ. 3. РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
аналитической функцией на МА. Действительно, /, выраженная через-
локальный параметр z— проекцию (z, Q) в окрестности (а, Р),
является аналитической функцией от z:
f (z, Q) = P(z — a) = a0-\-at(z — a)-f-a2(z — a)2 +
Таким образом, полная аналитическая функция А в смысле Вейер-
штрасса определяет однозначную функцию / на аналитическом
многообразии МА. Другая однозначная аналитическая функция на МА
получается при рассмотрении проектирующей функции, которая ставит
в соответствие каждой точке (а, Р) на МА комплексное число z = а.
Аналитическое многообразие МА, соответствующее любой целой
функции, есть вся ^-плоскость, так как в этом случае
проектирующее отображение является взаимно однозначным конформным
отображением МА на кохмплексную плоскость г). Совсем иначе дело обстоит
в случае функции yz. Начнем с функционального элемента
Р (z—l) = 1+~ (z- 1)-1(2:- 1)2 + ^(^- 1)3 + ...
в окрестности z=l; заметим, что его радиус сходимости равен К
Полагая £= 1-j-re*9, имеем
P(z—l) = V7elBl2.
Если мы теперь продолжим Р (z — 1) вдоль пути ^ : z = е2Ш, О <^ t ^ 1,
то найдем, что Pt сходится в круге \z — е2Ш \ < 1 и имеет вид
Pt = e%it + Ye~rit (z — e2%U} — \ е~ЗШ(z — e2%it)2 +.•••
Таким образом, ^(1) = -4-1 при t—l и Px =— P0. Далее, две
точки (1,Р0) и (1, —Р0) имеют одну и ту же проекцию. Если мы
снова продолжим элемент Р1 = — Р0 вдоль того же самого пути, то
мы вернемся к исходному элементу Р0. То же положение имеет место
для каждой точки ^-плоскости, отличной от z== 0. Две точки [z, Yz)
и (zt —Уz) проектируются в одну точку z. Когда z движется по
какому-либо пути, обходящему начало координат один раз,
соответствующая точка на Муу, проектирующаяся в z, движется от (z, V~z)
к (z,—y^j.-Mbi придем к известной модели римановой поверхности ]/'z ,.
если представим My— состоящей из восходящей винтовой
поверхности, которая, сделав два оборота вокруг центра, возвращается
к исходной линии.
3.2. Аналитическая конфигурация. До сих пор мы
рассматривали только регулярные аналитические элементы аналитической функ-
*) Точнее, в этом случае М конформно эквивалентно г-плоскости. —
Прим. пер ее.
3 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ КОНФИГУРАЦИЯ
83
ции. Теперь мы будем также рассматривать некоторые особые
элементы. Пусть S (С) — функциональный элемент
оо
5(9=2<Л (1)
где v — целое число. Рассмотрим множество упорядоченных пар
(a, s(fyz — a))9 (2)
где к— положительное целое число. Для краткости мы будем
обозначать эту пару через (a, S)k. При а = оо мы рассматриваем пару
°°.*(уНГ)). (3)
пли, короче, (сю, S)k. При к = 1 и v^-О пара (a, 5)j ■= (а, 5) является
как раз тем регулярным функциональным элементом, с которым мы
имели дело в предыдущем пункте.
k
Функция £==]/z — а при кф\ не является однозначной, а
принимает ровно k различных значений в каждой точке z в проколотой
окрестности £ = а. Однако мы не можем сказать этого про S \\/~z— а
/4
как показывает простой пример 5 (С) = С2 при к — 4: здесь 5 \у z — а) =
= Уz — а принимает только два различных значения в каждой точке
вблизи а. В этом случае мы получили бы ту же функцию, взяв к'= 2
со
и S(Q = С. Предположим, что 5(С)= 2 ап*1 для некоторого
ПОЛОЛА
жительного целого I и что для элемента (а, S)k целые числа I и к
имеют наибольший общий делитель т > 1. Тогда 1 = \т и к = ът,
где \Ф1 и х^£. Если мы обозначим через г примитивный корень
степени к из 1, то
со со оо
S (К) s 2 ап (в*)»"* за 2 ая**»К"1 ^ 2 «„С"' ^ 5 (С).
/Z = V /2 = V /Z = V
СО /Д, N
так как г*=1. Также ясно, что если ^(С) = 2а«^ , toS\J/2— а)
fx \
и Т\Уг — а) представляют одну и ту же функцию. Для исключения
вытекающей отсюда неопределенности мы потребуем, чтобы S (С) ф
^S(eC), где е*= 1 и еф\.
Далее, две пары (a, S)k и (Ь, Т)1 мы назовем эквивалентными
1пишем (a, S)k^:(biT)l] тогда и только тогда, когда
1) а = Ь и к=^1,
2) существует такое s с s*=l, что 5(£)=Г(г£).
Немедленно проверяется, что мы имеем здесь отношение эквивалентности.
84 ГЛ. 3 РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
Множество классов эквивалентности этих упорядоченных пар будем
обозначать через R. Когда можно не опасаться двусмысленности, мы
будем использовать обозначение (a, S)k для самой упорядоченной пары
и для класса пар, эквивалентных (a, 5)^,. Упорядоченная пара, не
эквивалентная регулярному функциональному элементу, называется
особым функциональным элементом 1).
оо
Пусть г (5) — радиус сходимости регулярной части ^ апС ряда 5(C).
Круг D с центром в точке (a, S)k на R, афсо, будет состоять и»
самой точки (а, 5)^ и всех регулярных функциональных элементов
(Ь,Р) из R с \b — a\<Cpk, р</-(5) и рядом P = P(z— b),
сходящимся к функции, тождественно равной одному из k определений
(Ь \
S[y z—а) в общей области определения, т. е. Р (z — b) =
( k г ^
===-S\ey z— aj, где г (ek = 1) фиксирует одно определение корня k-Ш
степени в окрестности z = b. (Там, где не может возникнуть
недоразумения, мы будем использовать обозначения Р и 5 как для
функций, к которым сходятся эти ряды, так и для самих рядов. Говорить
о равенстве Р и 5 имеет смысл только в общей области определения Р
и 5.) Обозначим через р радиус круга D. В качестве круга D с центром
в (сю, S)k мы возьмем множество точек, состоящее из точки (сю, 5)¾
и всех регулярных функциональных элементов (b, Р) с \b\~1<Cpk,
р < г (5) и рядом Р = Р (z — b), сходящимся к функции, тождественно
равной одному из определений S\yz — а) в их общей области
определения. Множество V на R называем открытым множеством, если
каждая точка (a, S)k в V содержится в круге D с центром в (а, 5)^,
причем Del/. Опять легко проверяется, что сам круг D является
открытым множеством.
Это определение открытых множеств превращает R в
топологическое пространство. Снова легко проверить выполнение первых
четырех аксиом топологического пространства для R. Убедимся в
справедливости аксиомы отделимости е). Пусть (a, S)k и (Ь, Т)1 — две
различные точки на R. Случай афЬ не представляет затруднений;
при а = Ь мы рассмотрим круги U и V с центрами соответственно
в (a, S)k и (b,T)lt каждый радиуса р, р<г(5) и р<г(Г). Тогда,
fb \
если U и V имеют общую точку (с, Р), то Р(z — c)==zS[y z — а
и Р(z—c) = T^yz — aj в некоторой окрестности z = c.
k
Пусть t — корень степени / из Y z— а — выбран так, что вблизи
[(с — а) ] мы имеем t =YZ—а и Vх — a = e\t , где et — пер-
!) Эти элементы часто называют алгебраическими или дробными
элементами.— Прим. перев.
3 2 АНАЛИТИЧЕСКАЯ КОНФИГУРАЦИЯ 85
вообразный корень степени / из 1 и а — положительное целое число ^/.
Тогда S(tl)=zT{tkei) в некоторой окрестности [(с— aflk] . Отсюда
следует, что эти аналитические функции совпадают также в большем,
круге с центром в z = а. Заменив t на ett, мы находим, что
Т (ehltk) = S (4ll) = 5 (*') =; 7 (/*е?).
Если положить С = г*/*, то
Г (С) э Г (eft).
Если s* = е, то в1 = 1; в этом случае Т (С) = 7(гС), что возможно только»
при е=1; таким образом, k кратно /. Аналогично показывается,
что / кратно k и, следовательно, k = l,
(k > f k r ^
В окрестности z = а имеем теперьS\y z — a = 7дт]У z—ajf
где r\k = 1. Таким образом, (a, S)k и (b, T)t представляют одну и туже
точку на R, а это противоречит нашему предположению, и
справедливость аксиомы отделимости доказана.
Рассмотрим теперь регулярный функциональный элемент Р {z—а).
Мы определили аналитическую функцию А, содержащую P(z— а), как
множество всех регулярных функциональных элементов Q(z—b)f
получающихся из Р (z — а) аналитическим продолжением. Каждый
такой регулярный функциональный элемент Q(z — b) определяет
регулярный функциональный элемент (b, Q) в R. Множество МА, которое
мы назвали аналитическим многообразием регулярных
функциональных элементов А, состоит из пар (b, Q), где Q {z— b) является
регулярным функциональным элементом, получаемым аналитическим
продолжением из P(z — а). Отождествление (blt Q1) = (b2t Q2) в ^4 а
(когда bx = Ь2 и QiEEiQz в общей области их определения) совпадает
в точности с отождествлением регулярных функциональных элементов
в R, и мы можем, таким образом, рассматривать МА как
подмножество R. Круг с центром в точке (b, Q) в МА, используемый для
определения топологии в МА, состоит из тех же элементов, что и
круг с центром в регулярном функциональном элементе (b, Q) в R.
Таким образом, множество в МА открыто тогда и только тогда,
когда оно является открытым как подмножество R. Так как МА
линейно связно, МА целиком лежит в одной компоненте RA в R.
Мы можем поэтому дать следующее определение. Совокупность
функциональных элементов (регулярных или особых), принадлежащих
компоненте RA множества R, содержащей функциональные элементы
полной аналитической функции А, называется аналитической кон-
фигурацией аналитической функции А,
Теорема 3.6. Аналитическая конфигурация аналитической
функции А вместе со структурой, задаваемой в R опреде-
£6 ГЛ. 3. РИМАНОВЛ ПОВЕРХНОСТЬ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
ленными выше кругами, является аналитическим
многообразием.
Из определения Ra как компоненты R следует связность Ra-
Мы покажем, что круги в R гомеоморфны евклидовым кругам и
определяют аналитическую структуру на Ra- Напомним сначала,
что в окрестности регулярного функционального элемента Ra
проектирующее отображение (а, Р) -> а дает искомый гомеоморфизм
на евклидов круг. Проектирующее отображение окрестности точки
(a, S)k, кф\, не будет взаимно однозначным, здесь k точек R
соответствуют каждой точке евклидова круга, т. е. все k точек (С, Р)
k
с P(z — С) = S (е |/£ — а) в общей области определения Р и 5,
где г принимает k различных значений корня &-й степени из
единицы, проектируются в одну и ту же точу z = С. Эта точка (^, Р)
k
отображается в точку z = еу С — а в круге (z | < р с (a, S)k -> z = 0.
В круге D радиуса р с центром в (оо, S)k мы отображаем каждую
точку (С, Р), где P(z — C) = SU у — j, е*=1, в общей области
k —
определения, в точку z = ey 1/С, причем снова (оо, 5)^->0.
Каждая из & точек R, проектирующихся в £ = С, теперь отображается
в различные корни k-ft степени из С — а. Таким образом,
устанавливается гомеоморфизм D на евклидов круг. Отсюда вытекает
связность D. Следовательно, D целиком принадлежит Ra, если его
центр (a, S)k принадлежит Рд. Таким образом, гомеоморфизм D на
евклидов круг доставляет нам локальную координатную систему
в окрестности (a, S)k в Ra.
Эти локальные координаты превращают Ra в аналитическое
многообразие. Действительно, два круга, Dt с центром в (a, S)k и D2
с центром в (bt T)lt могут иметь в пересечении только обыкновенные
k
точки (С, Р). Параметром в Ог для (С, Р) является г = г1у^—а,
i
si = 1, а в D2 параметром служит ш = г2]/С — Ь, г2=1. Так
/
как '^Фа и^ФЬ, мы получаем, что «до = е2|/2* + я—£
определяет w как аналитическую функцию от z. Доказательство
теоремы закончено.
Определим теперь риманову поверхность аналитической
функции А как аналитическое многообразие Ra, получаемое введением
аналитической структуры, описанной выше, на аналитической
конфигурации А.
Мы получили аналитическую конфигурацию, добавляя к
аналитической функции А функциональные элементы R, лежащие в той же
компоненте, что и А. Докажем теперь, что при этом никаких новых
регулярных элементов к Л не добавилось.
3.2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ КОНФИГУРАЦИЯ
8Г
Теорема 3.7. Регулярные функциональные элементы
аналитической конфигурации аналитической функции А являются
функциональными элементами, составляющими 1) А.
Мы знаем, что всякий регулярный элемент ф, Q) в RA может
быть соединен с фиксированным элементом (а, Р) функции А кривой
на RA. Чтобы доказать, что сам ф, Q) принадлежит А, нужно
доказать, что ф, Q) можно соединить с {а, Р) кривой в подмногообразии МА
многообразия RA, где МА является аналитическим многообразием
регулярных функциональных элементов А. Каждый функциональный
элемент RA (регулярный или особый) есть центр круга, в котором
все точки, за исключением центра, являются регулярными
функциональными элементами. Таким образом, особые функциональные
элементы образуют множество F изолированных точек на RA, не
имеющее предельной точки на RA, и G — RA — F есть открытое
множество на RA. Мы докажем, что G, кроме того, связно.
(Доказательство, между прочим, покажет, что множество точек,
остающееся после удаления из многообразия множества изолированных
точек, не имеющих предельной точки, все еще является
многообразием.)
В случае несвязности G можно было бы разложить G на сумму
двух непустых непересекающихся открытых множества Gx и G2.
Но Gx Г) G2 =£ 0 в RA. Действительно, пусть G1(]G2 — 0; из того,
что каждый элемент F имеет проколотую окрестность, состоящую иа
элементов G, следует, что RA = G= G1\JG2 = G1[)G2. Но это —
разложение RA на два непустых непересекающихся замкнутых
множества, что противоречит связности RA. Также ясно, что G1f] G2aF\
в самом деле, если/? ф F, то или p^Glf или p^G2. Пусть,
например» PG^iJ тогда G1 является окрестностью р, не содержащей
элементов G2, так что р ф G2. Итак, 0 Ф G1f]G2czFi и мы можем
выбрать некоторую точку р ^G1(]G2. Пусть D — круг с центром
в pt причем2) D — pcCL Тогда D — р = (D П GJ [} (D П G2)>
r&eD{]G1 и Df|G2 — открытые непустые непересекающиеся
множества3). Но D — р как образ евклидова круга с выколотой точкой
связен; мы получили искомое противоречие и доказали
связность RA — F. Таким образом, RA — F является многообразием,
а в нем любые две точки можно соединить путем. Итак, мы
доказали, что любую пару регулярных функциональных элементов RA
можно соединить путем, состоящим целиком из регулярных
функциональных элементов, т. е. RA — F = МА. Теорема 3.7 доказана.
х) Напомним, что А — полная аналитическая функция. — Прим. перев.
2) Такой круг существует, ибо р £ F, а множество F состоит из
изолированных точек RA. — Прим. перев.
8) Действительно, р £ F и поэтому p£G = (¾ (J ^¾. — Прим. перев.
ГЛ 3 РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
Пусть (a, S)k — особый функциональный элемент RA\ проколотый
круг D с центром в (a, S)p содержит только регулярные
функциональные элементы. Пусть (b, Р) — регулярный функциональный
элемент в D; это значит, что в локальных координатах в D эле-
k
мент (£, Р) имеет координаты eyb — a, где tk=\, и Р (z— b) ===
k
= S(ey z — а) в их общей области определения. Определим путь
к
*(a(t), Pt), t£I в D, положив, что ey a(t)— a, t^I есть прямо-
k
линейный отрезок, соединяющий гуЬ — а с 0, и Pt(z —a (^))===
ъ
===5(г]/2 — а), 0<;^-^1 в их общей области определения, при-
k
чем Pt (z — a) = S(y z— а).
Мы доказали, что каждый особый функциональный элемент RA
можно соединить с любым другим регулярным функциональным
элементом путем, который, за исключением своего конца, целиком
лежит в МА. Это побуждает нас дать следующее определение.
Говорят, что функциональный элемент (a, S)k (регулярный или особый)
«соединен аналитически с регулярным функциональным
элементом (Ь, Р), если существует путь (а,/), а(0) = а, а(1) = b в
комплексной плоскости (или сфере), такой, что (z(t)tPt), 0<;^<1
являются регулярными функциональными элементами,
осуществляющими аналитическое продолжение Р, и если для всех t, достаточно
близких к 1, Р, тождественно равен фиксированному определению 5,
причем (a, Pl) = (a, S)k. Нами, таким образом, доказана
Теорема 3.8. Аналитическая конфигурация аналитической
функции А состоит аз множества функциональных элементов
{регулярных или особых), которые можно соединить
аналитически с данным регулярным функциональным элементом в А,
Риманова поверхность RA аналитической функции Л, таким
образом, содержит в качестве подмногообразия многообразие МА
регулярных функциональных элементов в А. Добавляемые к МА для
образования RA особые функциональные элементы (a, S)k, k > 1
называются алгебраическими точками разветвления RA. Заметим,
что аналитическая функция А стоит в том же отношении к
аналитическому многообразию МА регулярных функциональных элементов,
в каком аналитическая конфигурация А стоит к римановой
поверхности RA аналитической функции А. Мы скажем, что в точке
(а, S)k в форме (2) или (3) аналитическая функция А принимает
значение а0 [см. (1)] при v ;> 0 и значение сю при v < 0.
Мы теперь абстрактно определили, что означает риманова
поверхность, и показали, что риманова поверхность аналитической функции
(используемая для превращения функции в однозначную) является
как раз римановой поверхностью в абстрактном смысле. Возникает
ЗАДАЧИ
89«
вопрос: не будет ли любая абстрактная риманова поверхность рима-
новой поверхностью некоторой аналитической функции или
поверхностью, ей конформно эквивалентной. Один из важнейших
результатов, содержащихся в этой книге, заключается в доказательстве того,
что на самом деле всякую компактную абстрактную риманову
поверхность можно реализовать как риманову поверхность некоторой
алгебраической функции.
ЗАДАЧИ
1. Описать римановы поверхности аналитических функций
a) w°°—1—2: = 0, Ъ) z — w =-0.
w
2. Описать риманову поверхность функции w = \ogz. Показать,,
что она топологически эквивалентна конечной комплексной плоскости.
Следующие задачи выясняют характер рамановой
поверхности произвольной алгебраической функции (см. Кнопп [1], гл. V).
3. Пусть уравнение G (z, w) = а0 (z) -\~ ах (z) w + ...
. . . -f- ат (z) wm = 0, где at (z) — полиномы от z, определяет
алгебраическую функцию w = f(z). Предположим, что полином G (z, w)
неприводим, т. е. G (z, w) ф Gx(z, w)G2(z, w), где Glt G2 — полиномы
положительной степени по w. Для каждого z = z0 (за исключением
конечного числа точек, называемых критическими) мы имеем полином
степени т по w, имеющий т различных корней w^\ w^\ ..., w{™\
Критические точки clt с2, . . ., сТ появляются тогда, когда am(z0) = Q*
или когда G (z0, w) имеет кратный корень, т. е. когда равен нулю
дискриминант, который сам является полиномом по z. Доказать,
что пг корней зависят непрерывно от точки zt т. е. доказать, что
если am(z0) Ф 0 и w0 — корень уравнения G (z0, w) = 0 кратности v„
то для любого заданного достаточно малого положительного г
существует такое 8 = 8(е, z0), что при каждом z, для которого-
\z — 20|<8, уравнение G(z,w) = 0 имеет в точности v различных
корней в круге \w — ч2/0|<е.
4. Пусть am(z0) Ф 0, и пусть, кроме того, все m корней
различны; тогда в круге \z — £0|<8 определены m различных
непрерывных однозначных функций f1(z),f2(z), . . ,, fm(z), для которых
G(z, ft(z))==z 0. Показать, что ff(z) является регулярной
аналитической функцией от г; в круге \z-—zQ\<b, т. е. что f/(z)
существует в каждой точке круга \z — £0|<8.
5. Через Pt(z— z0), /=1,2, ...,m, мы обозначим m
различных функциональных элементов, найденных в задаче 4. Показать,
что каждый из них может быть аналитически продолжен на всю
плоскость с удаленными из нее критическими точками сх, с2, . . ., сГ
Пусть проведена ломаная L без самопересечений, которая соединяет
критические точки clt с2, . . ., сг и оо; тогда уравнением G(z, w)~&
90 ГЛ. 3 РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ аналитической функции
определяются т различных однозначных аналитических
функций F1(z), F2(z), ..., Fm(z) в ^-плоскости с разрезом вдоль L.
6. Показать, что функции Ft{z) имеют в критических точках
в качестве особенностей или полюсы, или алгебраические точки
разветвления.
7. Показать, что аналитическим продолжением вдоль
подходящих путей, пересекающих разрез L, каждую функцию Ft(z) можно
продолжить в другую функцию Fk(z). Таким образом, риманова
поверхность алгебраической функции w — f (z) является как раз
/я-листной накрывающей поверхностью сферы с конечным числом
-точек разветвления. Показать, что эта поверхность компактна.
Глава 4
НАКРЫВАЮЩИЕ МНОГООБРАЗИЯ
4.1. Накрывающие многообразия. Пусть М—двумерное
многообразие. Говорят, что другое двумерное многообразие М* вместе
с непрерывным отображением / многообразия Ж* в М является
для М накрывающим многообразием, если выполнены следующие
условия [здесь для всякой точки Р* £ Ж* мы полагаем / (Р*) = Р0 £ Ж]:
1) в окрестности Р* существует локальный параметр x*-{-iy* =
= 2* = Ф*(Р*), Ф*(Р*) = 0, и
2) существует локальный параметр x-{~iy = г = Ф (Р), Ф (Р0) = 0=
в окрестности Р0, причем эти локальные параметры таковы, что
3) при выражении / через z и z* отображение / в
окрестности z* = 0 принимает вид z •== 2*Л для некоторого положительного*
целого *) я.
Мы назовем Р0 проекцией Р* на Ж. Говорят, что Р* лежит
над Р0 и отображение,/,, есть проектирование М* в Ж.
Так как отображение z = z*n переводит п различных точек
в одну, в то время как Ф* и Ф — локально взаимно однозначные
отображения, то в окрестности Р* имеется п точек,
соответствующих каждой точке вблизи Р0. Число п является характеристическим
д тя каждой данной пары точек Р* и Р0, ибо каждой паре
соответствующих точек отвечает только одно такое число. При п > 1 мы
называем точку Р* точкой разветвления Ж* но отношению к Ж
порядка п— 1. Если п= 1, то Р* называется регулярной точкой.
При отображении z*n = z каждая точка z* Ф О имеет окрестность
(не содержащую £* = 0), которая взаимно однозначно и непрерывна
отображается на окрестность z[n (т. е. мы ограничиваемся однойг
ветвью функции zm = z). Таким образом, каждая точка в
проколотой окрестности точки разветвления Р* является регулярной
точкой, и, следовательно, точки разветвления — изолированные точки
на Ж*. Накрывающее многообразие Ж, не имеющее точек
разветвления, называется гладким2).
г) Мы дали здесь определение (разветвленного) накрывающего
многообразия для двумерного многообразия. Обобщение этого понятия на
накрывающие многообразия для я-мерных многообразий см. у Зейферта и Трель-
фалля [1].
2) Или неразветвленным. — Прим. перев.
*92
ГЛ. 4. НАКРЫВАЮЩИЕ МНОГООБРАЗИЯ
Очевидно, всякое многообразие М является гладким
накрывающим многообразием для самого себя с тождественным отображением
в качестве проектирования. Приведем менее тривиальный пример
накрывающего многообразия. Пусть ЛГ—бесконечная полоса
0< х< 1,
■ оо < у < оо,
и М — кольцо 1<г<£ в (а, г>)-плоскости, где г cos® = и,
rsind = w, на обоих этих многообразиях мы используем топологию,
индуцируемую на них $2 (рис. 4.1). За проектирующее отображение
Рис. 4.1
мы можем взять г--ел\ Ь=у. Это отображение локально взаимно
однозначно в полосе ЛР, и оно преобразует каждый
прямоугольник О < х < 1, 2т?& <Cj/ < 2ic(&-f- 1) взаимно однозначно в кольцо М.
В окрестности каждой точки ЛГ мы можем выбрать локальный
параметр z* = ex~viy, а. в окрестности соответствующей точки М —
локальный параметр z = reiB. Тогда проектирующее отображение /,
выраженное через локальные параметры, имеет вид z = z* и каждая точка
является регулярной точкой. Таким образом, Ж* — гладкое
накрывающее многообразие М. Наглядно топологически это можно описать
следующим образом. Вообразим, что полоса Ж* закручивается,
принимая форму геликоида, расположенного рад кольцом М (рис. 4.2);
отображение / становится обычным проектированием геликоида на
кольцо. В этом смысле М* буквально накрывает М. На этой
накрывающей поверхности кольца бесконечно много точек М* „лежит
над" каждой точкой М. Мы получим другую накрыв'ающую
поверхность Ж, рассматривая только N прямоугольников 0<л;<1,
2кк ^. у ^С2к(к-\-\), k — Q, 1,..., N—1, отождествляя край
у = 2кМ с краем у-=0 и принимая за проектирующее то же
4.1. НАКРЫВАЮЩИЕ МНОГООБРАЗИЯ
93
отображение, что и раньше. В этом случае только N точек Ж*
лежит над каждой точкой Ж.
Примером разветвленного накрывающего многообразия £-сферы
является риманова поверхность функции У z вместе с
проектированием, описанным в гл. 3. Это накрывающее • многообразие имеет
две точки разветвления: одну г = 0 и другую z = co, причем для
каждой из них п = 2. Над каждой точкой £-сферы лежат в точности
две точки1). На самом деле, риманова
поверхность любой аналитической
функции, определенная в гл. 3, является
разветвленным накрывающим многооб- м'
разием £-сферы с проектирующим ото-
k
бражением (a, S(у z — а))->а. Если
аналитическая функция А является
алгебраической, такое накрывающее
многообразие имеет только конечное число
листов. Действительно, пусть уравнение
а0 (z) wn + аг (z) w*1-1 -f- . . .
...-ЬМ*) = о
определяет w как алгебраическую
функцию от z\ тогда, вообще говоря, для
каждого z имеется п различных функ- М
циональных элементов. Сфера является
компактной поверхностью; я-листное
разветвленное накрывающее
многообразие, соответствующее алгебраической
функции, также является компактным многообразием, как мы видели
в задаче 7 из гл. 3.
Кривая С* = (а*,/) на Ж* является образом при непрерывном
отображении а* единичного интервала / в Ж*. Если
спроектировать С* на многообразие Ж, используя отображение
проектирования /, то мы получим кривую С = (а, /) на Ж, где a(t) = f (a*(t)).
И обратно, пусть дана кривая (а, /) на Ж с а (0) = Р0 и точка Р* на Ж*,
такая, что /(Р*) = Р0; существует ли кривая (а*,/) с а*(0) = Р*,
которая проектируется в (а, /)? Если это так, то мы скажем, что
продолжала кривую (а*,/) из Р* над кривой2) (а,/).
Теорема 4.1. В случае гладкоста накрывающего многообра-
зая Ж* две кравые (а*, /) а (а*, /) на Ж*, леоюащае над одной а
той owe кравой (а, Г), лабо совпадают, лабо не пересекаются.
*) Кроме, конечно, точек г = 0а z = со. — Прим. перев.
2) (а*,/) называют также путем наложения для (а, /). Вместо термина
„продолжение над кривой (а, 1)а говорят также о „перенесении на М*
пути (а, 1)«. —Прим. перев.
cc=g>
94
ГЛ. 4. НАКРЫВАЮЩИЕ МНОГООБРАЗИЯ
Действительно, пусть /t — подмножество /, на котором а* (£) = а*(О
и /2==/— /t; как /lf так и 12 открыты в /. В самом деле, если £0(:Л
и а* (^0) = а* (^о) = Q*, то вся окрестность U* точки Q* отображается
взаимно однозначно на окрестность U точки a(t0) = Q при
проектирующем отображении /. Мы видим, что в окрестности любой
точки Q* в силу свойств отображения / продолжение кривой (ос*, I)
или (ос*, /) из Q* возможно осуществить лишь единственным
образом. Можно найти интервал V: t0 — § < t <£0-|-$, § > 0,
содержащий tQ, такой, что a(t)£U для t£V. Таким образом, f~1(a(t)) =
— ос* (f) = ос* (/) при t£V, т. е. It открыто. Аналогично, если tQ£I2>
то локальная взаимная однозначность / позволяет нам найти
непересекающиеся окрестности U* точки a*(tQ) и (J* точки а*(£0), которые
проектируются в одну и ту же окрестность U точки а(£0). Тогда
включение t £ V влечет включение a (t) £ /У, и если кривая
/~1(а(0) = а*(0 продолжается из ос*(£0), то oc*(f) оказывается в [/*;
в то же время, если /-1 (<х (t)) = a* (t) продолжена из cn*(t0), то а* (О
будет лежать в £/*, так что все значения / £ V принадлежат /2.
Таким образом, мы разложили / на два непересекающихся открытых
множества, откуда следует в силу связности /, что либо Ilt либо
/2 пусто. Это доказывает наше утверждение, и мы видим, что
на гладком накрывающем многообразии продолжение единственно.
Пусть накрывающее многообразие не является гладким; тогда
продолжение кривой из я-листной точки разветвления (z*n = z) не
будет единственным, а может производиться /г различными способами.
Может также случиться, что продолжение над данной кривой
невозможно, и если вести продолжение от точки Р* лежащей над
началом Р0 кривой (а, /), то может и не существовать кривой, лежащей
над всей (а, /); в самом деле, если накрывающее многообразие Ж*"
накрывает только часть (а, /), то продолжение может привести
к „границе" Ж*. Рассмотрим, например, кольцо Ж: 1 < г < е в (и, г>)-
плоскости (и = rcos6, v = г sin 6), накрываемое прямоуюльником Ж*:
О < х < 1, 0 < j/ < Зтс с отображением проектирования г — ех\
Q = y. Возьмем кривую (а,/), где а(£) = 2езш/2, и попытаемся
осуществить продолжение из точки (log 2, 2тс) над кривой (а,/).
Это возможно лишь до t = 2/3, когда кривая a* (t) = (log 2, 2тг -f- <W/2)
встречает граничную точку (log 2, Зтг) многообразия Ж*.
Мы говорим, что Ж*— безграничное накрывающее многообразие Ж,
если продолжение над любой кривой всегда возможно. Более точно,
Ж*—безграничное накрывающее многообразие Ж, если для любой
данной кривой (а, /) на Ж с ос(0) = Р0 и для любой точки* Р* на Ж*,
лежащей над Р0, найдется такая кривая (а*, /) на Ж*, что ос*(0) = Р*
и /(а*(0) = а(0 для всех ^6^- Учитывая это определение, получаем
следующее следствие теоремы 4.1.
4 1. НАКРЫВАЮЩИЕ МНОГООБРАЗИЯ
95
Следствие 4.1. На гладком безграничном накрывающем много-
образии продолжение над любой кривой всегда возможно и
единственно.
Приведенные выше накрывающие многообразия кольца являются
примерами гладких безграничных накрывающих многообразий х). В
первом случае бесконечной полосы каждая точка кольца покрывается
бесконечным числом точек (х0, y0-Jr2'Kk)i k = 0, ± 1, ± 2, . . . .
Во втором случае полосы длины 2тш, у которой концы отождествлены,
каждая точка кольца покрыта ровно п точками. Этим свойством
покрывать каждую точку многообразия одинаковое число раз также
обладают разветвленные безграничные накрывающие многообразия,
как это показывает следующая теорема.
Теорема 4.2. Если М* — безграничное накрывающее
многообразие М, то каждая точка М покрывается одинаковое число раз
при условии, что точка разветвления порядка п—1 считается
п раз.
Рассмотрим множество точек Еп на М, покрываемых не менее п раз,
и докажем сначала, что Еп открыто. Пусть точка Р0 принадлежит Еп\
тогда обязательно найдется п точек Р*, /=1, 2, ..., п, лежащих
над Р0 (считая точки разветвления с соответствующей кратностью),
и каждая Р? имеет окрестность U*, проектирующуюся в окрестность Ui
точки Р0 при проектирующем отображении. Если Р* не является
точкой разветвления, то проектирование взаимно однозначно и каждая
точка в Ui покрывается одной точкой из U*. Если Р*— точка
разветвления порядка k — 1, то каждая точка Ut покрывается k раз
точками U*. Пересечение U множеств Ut снова есть окрестность Р0,
и каждая точка U покрывается п раз точками, лежащими в /У*;
следовательно, Uc:En и Еп открыто.
Но, как мы можем теперь показать, Еп также замкнуто, или,
что то же самое, Еп = М — Еп открыто. Пусть Р0£Ёп; Р0
покрывается самое большее п—1 точками, скажем, Р?, /=1, 2, ..., k,
k-^n—1. Пусть снова U*. — окрестность Р?, проектирующаяся при
отображении вида z = z*m в окрестность Ui точки Р0. Положим
k
г/ = П^ = ^п^п ... №.
и пусть, наконец, К — параметрический круг | 2 | < г с центром в Р0,
лежащий целиком внутри U. Тогда существует самое большее k
точек, лежащих над каждой точкой Q£K, и эти k точек лежат
в множествах U*., так как каждая Р* была сосчитана в соответствии
г) Кроме, конечно, только что приведенного. — Примт перев.
96
ГЛ. 4 НАКРЫВАЮЩИЕ МНОГООБРАЗИЯ
с порядком разветвления. Другие точки, кроме только что
указанных, не могут лежать над Q, так как если Q* — точка над Q(zK>
то мы можем соединить радиусом L точки Р0 и Q в К и в силу
безграничности ЛГ осуществить продолжение над L от Q* до одной
из Р* лежащих над Р0. Далее, Q* лежит в окрестности U* точки Р*
и является одной из уже сосчитанных k точек. Таким образом, имеется
самое большее k^ti—1 точек, лежащих над каждой точкой К,
и Еп открыто, т. е. Еп замкнуто.
В силу связности Ж множество Еп либо совпадает с Ж, либо
пусго. Если при некотором п множество Еп не пусто, а ЕпЛ_х пусто,
то каждая точка Ж покрывается ровно п раз. В противном случае Ж*
покрывает каждую точку Ж бесконечное число раз.
4.2. Теорема монодромии. Теперь мы ограничимся
рассмотрением гладких и безграничных накрывающих многообразий Ж*. Если
каждая точка Ж покрыта ровно п раз, то мы скажем, что Ж* имеет п
листов. Мы уже указывали, что две кривые, лежащие над одной и
той же кривой, либо совсем не пересекаются, либо полностью
совпадают. Рассмотрим две кривые Сх и С2 на Ж, соединяющие точку Р0
с Рх\ мы можем фиксировать точку Р*, лежащую над Р0, и,
осуществив продолжения из точки Р* над обеими кривыми Сх и С2,
получить две (однозначно определенные) кривые С* и С*. Концы С* и С*
обозначим соответственно через PJ и Р*. Возникает вопрос: будет ли
Р* = Я*, т. е. приводят ли оба продолжения к одной и той же
конечной точке? Ответ на этот вопрос тесно связан с понятием
гомотопной деформации кривых.
Пусть С1 = (а1, /) и С2 = (а2, /) — две кривые на Ж, каждая из
которых соединяет точки Р0 и Рх. Мы скажем, что Сх гомотопна С2,
если Сх можно „непрерывно деформировать" в С2. Это понятие мы
сейчас точно определим. Каждая точка ax(t) на Сх сдвигается вдоль
непрерывной кривой в точку a2(t). Эта кривая может быть
представлена с помощью параметра и как ср(£, и), 0^и^\. Мы требуем,
чтобы ср (t, и) являлась непрерывной функцией обеих переменных t
и и, давая нам для каждого фиксированного и кривую,
соединяющую Р0 с Рх. Эти последние кривые дают нам искомую
непрерывную деформацию Сх в С2. Таким образом, мы скажем, что кривая Сх
гомотопна кривой С2, если существует такое непрерывное
отображение ср#, а) квадрата / X / в Ж, что
9(t, 0) = ax(t), t£I,
<f(t9 1)-=¾ (0, t£/,
cp(0, u) = P0, u£I,
cp(l, u) = Plt a£I.
Если Cx гомотопна C2, то мы пишем Схя&С2- Мы будем называть ф
деформацией Сх в С2.
4 2 ТЕдРЕМА МОНОДРОМИИ
97
Теорема 4.3. Пусть Сг = (%, /) — кривая на М и С2 = ((3, /) —
другая кривая на М, и пусть существует непрерывная функция g>
отображающая I в I с g(0) — О, g(l) = 1 a a>(t) = $(g(t)). Тогда
Обе кривые имеют один и тот же носитель на М, и мы можем
рассматривать (3 как другую параметризацию кривой ос. Для
доказательства теоремы заметим, что cp(tf, и) = Р(и£-|-(1—ti)g(t)) дает
нам искомую деформацию Сг в С2; действительно, ср непрерывно
отображает /X/ в Л* и cp(f, 0) = р(^(0) = а(0, <р(Л 1) = Р(0.
ср (0, й) = Р(0) = а(0) и ср(1, й) = Р(1) = а(1).
В качестве иллюстрации понятия гомотопии кривых возьмем кольцо
1 < | z | < 3 и предположим, что Сх — кривая, лежащая целиком
в полуплоскости \mz^0 и в кольце и соединяющая точку z = 2
с z = —2. Если С2 — другая такая же кривая, то С1^^С2, но если С2
лежит в полуплоскости Im z ^ О и в кольце и соединяет z = 2
с z = —2, то Cj не гомотопна С2, так как Ct нельзя
деформировать в С2, не пересекая при этом внутренней границы |z|=l.
Вернемся теперь к вопросу о том, приводят ли два
продолжения, начинающиеся в одной и той же точке Ж*, к одной и той же
конечной точке. Ответ содержится в следующей теореме, называемой
теоремой монодромии.
Теорема 4.4. Предположения:
1) М* является гладким безграничным накрывающим
многообразием М;
2) С0 = (а0, I) и Cj —(а1э /) — две кривые на М с а0(0) —
= ai(0) = P0 « ao(l) = ai(l) = Pi;
3) С^С,;
4) Р^— точка М\ лежащая над Р0;
5) С* —(а*, Г} —продолжение над С0 из Р^;
6) С*—(а*, Л — продолжение над С± из Р*.
Заключение: С^^С^ и а*(1) = а*(1).
Так как С0^С{, существует непрерывная деформация С0 в Ct
осуществляемая непрерывной функцией ср, которая дает отображение
1Х1->М с cp(^,0) = ao (*), cp(f, 1) = ^(0.^(0,^) = ^ и ср(1,й) = Р1.
Для каждого фиксированного значения и£1 ср(£, и) определяет
кривую Си на М. Пусть C*u = (y*(t, и), I) — кривая на М\ полученная
продолжением над Си из Р0. Таким образом, на / X / определена,
функция ср*(^, а), отображающая / X / в ЛГ с ср*(£, 0) = a*(f)
<?*(*» 1) = а*(0 и ср* (0, и)=Р*. Теорема будет доказана, если мы
покажем, что ср*(^> и) непрерывна в 1X1 и ср*¢1, и) постотт.
С этой целью рассмотрим Е — подмножество /, состоящее из таких
точек t0, для которых ср* (t, и) непрерывна в прямоугольнике 0<С£ < tQt
98
ГЛ. 4. НАКРЫВАЮЩИЕ МНОГООБРАЗИЯ
0<^и^1. Так как ср*(0, #) = Р* для всех и, ср*(0, и) непрерывна
в 0<;и<; 1, и мы можем считать, что t0 = 0 принадлежит Е. Таким
образом, Е не пусто, а доказав, что Е одновременно открыто и
замкнуто, мы получим, что Е = 1.
Для доказательства замкнутости Е покажем, что его
дополнение Е = 1—Е открыто. Пусть tx^E\ все t > t1 также принадлежат Е
по определению, и y*(t, и) разрывна в прямоугольнике 0<С£<£1,
0<С#^1. Пусть (t2, и2)— точка разрыва в этом прямоугольнике,
так что ^2< tx. Тогда все t в полосе £2 < ^^ 1 принадлежат Е и Е
открыто в /.
Покажем теперь, что Е открыто. Пусть t^^E. Тогда все t < tx
также принадлежат Е по определению. Мы покажем, что cp*(Y, и)
также непрерывна в достаточно малом промежутке справа от t = tit
т. е. что для некоторого положительного числа т\ ср*(£, и)
непрерывна при *i < * < *! -Ь т], О О < 1. Пусть (tl9 их) — точка, лежащая
на прямой t = tlt и Q* = cp*(^, их). Докажем непрерывность cp*(Y, и)
в некоторой окрестности (tlt их). Пусть U* — окрестность Q* на Ж*,
которая проектируется взаимно однозначно и непрерывно в обе
стороны в окрестность U точки Q на М при проектирующем
отображении / многообразия Ж* на Ж. Из непрерывности cp(Y, и) вытекает
существование квадрата k-.ti— 8<*<*i + 8, их — 8<и<и1-г-3,
8 > О, с центром в (tlt uj, который целиком отображается
функцией ср (t, и) в U. Пусть t2 — любая точка, для которой tx — 8 < t2 < tv
Функция ср* непрерывна для всех t<tlt в частности, и для t = t2,
О <; и <; 1. Следовательно, существует такое г (0 < s < 8), что образ
отрезка L:t = t2, щ — е < и < и1 -f- s при отображении ср* лежит
внутри U* и ср* непрерывна в области t^t2, их—г < и < и1-{-г.
Функция /~ (cp(Y, а)) непрерывна в А, совпадает с cp*(Y, и) на L и для
фиксированного и дает нам продолжение над частью кривой Са,
лежащей в U. В силу единственности продолжения, ср* (^, u)=f~\y(t, и))
в Д и, следовательно, эта функция непрерывна в А. Для каждого и на
прямой t = t1 мы можем построить квадрат Аи : t1 — 8а<^<^ + 8а,
ui — 8tt< и < иг-{-Ъи, в котором ср*(£, и) непрерывна. Конечное число
таких квадратов покрывает отрезок t = tl9 0О-<1, и если для
этого конечного числа квадратов положить т\ = min 8И, то мы найдем
полосу tx — ^ < ^ < ^1 + ^1, 0-0^1, полностью покрытую этими
квадратами; в ней y*(t, и) непрерывна. Таким образом, все t <^t1-{-i\
содержатся в Е и Е открыто. Итак, доказано, что Е = 1 и что ср*(£, и)
осуществляет непрерывное отображение при 0 <; ^ < 1, 0<><;1.
Подобным же образом доказывается, что функция ср* также
непрерывна для t=l9 0<><; 1. Пусть U*— окрестность ср*(1, их),
которая взаимно однозначно проектируется на окрестность U точки ср(1, ах)
на Ж. Таким образом, для некоторого 8 > 0 прямоугольник А : 1 — 8 <
<t^l, их — 8<#<#1-[-8 отображается функцией ср в U. Для
любого t2, 1—8<^2< 1» функция ср*(^, и) непрерывна, как дока-
4 3 ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА
99
зано нами выше. Поэтому существует такое е, О < s < Ь, что образ
отрезка L:t = t2, их — е<^и<^и1-\-е при отображении ср* лежит
в (7* и ср* непрерывна в полосе t^t2, и1 — е< */<#! +е.
Функция /~ (ср(^, и)) непрерывна в А, равна ср*(/, и) на L и для
фиксированного а дает нам продолжение над частью кривой Си,
попадающей в U. В силу единственности продолжения ср*(^, #) = /_1(ср(/, #))
в А и ср* непрерывна в А, а следовательно, и в (1, их). Таким
образом, ср* непрерывна на всем квадрате / X /.
Функция ср*(1, и) является непрерывной функцией и при 0<;# <С 1,
и все ее значения должны проектироваться при проектирующем
отображении / в одну и ту же точку Pv Так как точки, лежащие
над Plt являются изолированными, то непрерывная функция ср*"(1, и)
обязана сохранять постоянное значение и ср*(1, и) = Р*. Итак, нами
доказано, что а* (1) == а* (1) = Я* и С*0^С*.
4.3. Фундаментальная группа. Гомотопия играет
фундаментальную роль в изучении накрывающих многообразий, поэтому мы
рассмотрим это понятие более подробно. Нами уже введено
произведение двух кривых, когда конец одной является началом другой,
а именно для двух кривых С1 = (а, I) и С2 = ф, I) с a (1) = ^(0)
в качестве произведения принимается кривая С1С2 = (^, /), где
Т(0 =
а (20, 0<*<1,
р(2*—1). у<^<1.
Мы принимаем за единицу точечную кривую 1 =(ф, /), где $(t)s=PQ
при всех t £ / (здесь Р0 может быть любой точкой М). Если С = (сс, I)
и а(1) = Р1, а 1=ф, /) — точечная кривая с (3(0=^1, то CI-5rfC,'
ибо С\ есть просто другая параметризация С. Подобным же
образом, если 1=((3, /), где (3(0=а(0), то lCst;C. Наконец, С"1
определяется как кривая ф, /), где Р(£) = а(1—0- Имеем СС~ «1.
Действительно, СС~ — (f, Л, гДе
[ а(20, 0<^<i,
Р(2/— 1) = а(2 — 20, j<*<1.
Тогда гомотопная деформация
[a(2f(l—a)), 0<*<-i, 0<и<1.
<Р0. «) = { !
!а(2(1— 0(1— «)). Y<i<L 0<и<1,
100
ГЛ. 4 НАКРЫВАЮЩИЕ МНОГООБРАЗИЯ
непрерывно деформирует СС в точечную кривую. При этом
кривая СС1 попросту непрерывно „стягивается" в точку а(0).
Описанное выше умножение кривых применимо не ко всем парам
кривых на М, а только тогда, когда конец одной кривой является
началом другой. Чтобы умножение было возможно для всех
рассматриваемых кривых, мы ограничимся совокупностью кривых,
начинающихся и кончающихся в одной и той же точке, т. е. кривых (а, /)
с а(0) = а(1) = Р0. Определенное здесь умножение кривых,
проходящих через одну точку, не является ассоциативным в связи с
различием в параметризации. Действительно, пусть Сх = (al5 /), С2 = (а2, Л
и С3 = (аз> lY тогда у кривой С1С2 = ($, I) интервал 0, -^-
отображается в Cit а -~-, 1 —в С2. Далее, у кривой {СХС2)С3
интервал 0, -j- отображается bC1s U-, -^- — вС2и -^-, 1 — вС3. С
другой стороны, у кривой С1(С2С3) интервал 0, у отображается в Clt
2"> х — в Q и т ' 1 — в Q- Таким образом, Ci (С2С3) Ф (СХС2) С3.
Однако эти кривые, так как они отличаются только способами
параметризации, гомотопны. Совокупность замкнутых кривых,
начинающихся в Р0, с определенным выше умножением мы обозначим через F (Р0).
Точечная кривая (а, /) с a(t)==P0 обозначается через 1.
Отношение гомотопии между двумя кривыми, Сх ^ С2, является
отношением эквивалентности. Действительно: а) С^С с
тождественной деформацией <р(£, u) = a(t), где С = (а, I); Ь) если С1^С2,
то и С2 ^ С1э так как если ср (t, и) деформирует Сх в С2, то ср (t, 1 — и)
деформирует С2 в Сх\ с) С1с^С2, С2^С% влекут за собой Cl^iC3,
так как если срх(^, а) деформирует Сх в С2, а ср2(£, и) деформирует С2
в С3, то
ср(^ и) =
^(t, 2и), 0<я<т
ф2(^, 2и—1), -^-о-<i
2
деформирует Сх в С3. Таким образом, отношение гомотопии делит F (Р0)
на классы эквивалентности. Класс кривых, эквивалентных С,
обозначим через G -
Докажем, что если C1/^iD1 и С2^ь D2, то СгС2 -¾ Д02. В самом
деле, пусть срх(£, я) деформирует Ct в /^ и ср2(^, и) деформирует С2
в £>2; тогда
?1(2/, а), 0<^<~,
ф(/, ^):
<ря (2^ — 1, и), -<*<!,
4.3. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА \Q\
деформирует СХС2 в DXD2. Далее, если C^D, то C_1^^D_1, так
как если ср(£, а) деформирует С в D, то ср(1 —t, и) деформирует С'1
в D~ . Таким образом, мы можем производить умножение
гомотопических классов Q и Q), выбирая любой представитель С в Q и D
в Q) и полагая (5^ равным гомотопическому классу CD. Далее,
обозначим через g класс точечной кривой 1; тогда g будет единицей
при умножении классов: Qg=Q и gQ — Q. Эти классы
эквивалентности гомотопных кривых с введенным умножением и
единичным элементом g образуют группу, которую мы называем
фундаментальной группой <^"(Р0) относительно Р0. Точку Р0 мы назовем
базисной точкой группы <£Г(Р0).
Может показаться, что фундаментальная группа зависит от выбора
точки Р0— начала и конца всех кривых в F(P0). Однако это неверно,
так как если Рх — другая базисная точка, то группа <&* (Рг) будет
изоморфной группе <^~(Р0). (Изоморфизм групп мы будем обозначать
знаком ~.) Действительно, в силу связности М любые две точки можно
соединить путем, поэтому найдется кривая J, соединяющая Р0 и Рх.
Каждому классу кривых Q в <&~ (Р0) мы можем поставить в
соответствие класс кривых ¥~Х G ¥ в ^ (Pi)- Получаем гомоморфизм &~(Р0)
в S^ {Р\)- В самом деле, пусть Q и Q) принадлежат ^ (Р0); тогда
(r'Cj) (r'Dj) ^ r'CWJ ^ J"3 (CD) J, и в терминах классов гомо-
топии (j?1 G¥) (^~]£*¥) == ¥~Х QQ)¥- Этот гомоморфизм является
взаимно однозначным отображением на S^ (Pi), так как каждому классу
кривых &}(z<3^(pi) обратный гомоморфизм Q) ->¥2$¥~Х ставит
в соответствие элемент <^(Р0).
Изоморфизм $~ (Р0) ~> £Г (РО определяется кривой У,
соединяющей Р0 с Р1у так как при использовании другой кривой Jl9 соединяющей Р0
с Рх, получаем другое отображение oF* (Р0) -> <&~ (Р^. Если P0=zPli
то J^P(Pq) и Q ~> ^~ Q ^ определяет автоморфизм
фундаментальной группы. Так как of(Р0)д^:(£Г(Рг) для всех точек РХ^М, то мы
можем обозначать абстрактную группу <^(Р0) просто через £Г и
называть ее фундаментальной группой М.
Кривая, гомотопная единичной кривой 1 из F(P0), может быть
непрерывно деформирована в точку (точечную кривую). Это свойство
используется обычно для определения односвязности области. Итак,
дадим следующее определение. Многообразие называется односвяз-
ным, если его фундаментальная группа состоит только аз
единичного элемента g. Таким образом, каждую замкнутую кривую на
односвязном многообразии можно непрерывно стянуть в точку.
Например, круг j z | < 1 односвязен; действительно, рассмотрим
множество F (0) всех замкнутых кривых с началом и концом в точке 2 = 0.
Пусть С = (а, I)£F(Q)\ тогда ф(£, a) = a(t)(l—я) является
деформацией С в единичную кривую 1=((3, /), $(t)=0.
102
Г Л 4 НАКРЫВАЮЩИЕ МНОГООБРАЗИЯ
Теорема 4.5. Фундаментальная группа многообразия Ж
топологически инвариантна, т. е. если Ж гомеоморфно ЛГ, то
фундаментальная группа of многообразия Ж изоморфна
фундаментальной группе <&~г многообразия Ж'.
Пусть / — гомеоморфизм многообразия Ж на М''. Тогда каждая
замкнутая кривая С = (а, /) на Ж отображается в замкнутую
кривую /(С) = (/оа, /) на Ж'. Пусть ср: / X /—^ Л1 — гомотопическая
деформация С1 в С2 на Ж; тогда / о ср—гомотопическая
деформация / (Сх) в / (С2) на Ж', так что кривые, принадлежащие одному
и тому же гомотопическому классу на Ж, переходят в гомотопные
кривые на ЛГ. Наконец, пусть Ci и С2— замкнутые кривые на Ж
с началом в Р0; тогда
f{C&*) = f{C1)f{C2)-\
где / (Сх) и / (С2) — замкнутые кривые на ЛГ с началом в Р/0 = f (Ро).
Таким образом, / определяет гомоморфизм <^(Р0) на Ж в £Г'' (Р'Л
на Ж' и, следовательно, гомоморфизм <$~ в $*!. В силу взаимной
однозначности отображения / многообразия Ж на ЛГ, оно имеет
обратное отображение /~Л при котором f~^ (С) = (/-1 о а', /) для
каждой кривой С/ = (а', /) на М/'. Таким образом, / определяет
изоморфизм фундаментальных групп £F' ^qF''.
Следствие 4.2. Односвязность является топологически
инвариантным свойством.
Пусть Ж*— гладкое безграничное накрывающее многообразие Л!
Фиксируем точку Р* £ Ж*, лежащую над Р £ Ж, и допустим, что /С (Р*)
есть множество кривых в F(P), являющихся проекциями замкнутых
кривых на Ж* с началом в Р\ Тогда кривая С принадлежит К (Р*)
в том и только в том случае, когда продолжение над С из Р* всегда
приводит обратно в Р*. Из теоремы монодромии следует, что еслиС^О,
то продолжение над С и над D приводит к одной и той же
конечной точке; поэтому если С£К(Р*), то и D принадлежит /С(Р*).
Таким образом, если С £ АГ(Р*), то каждая кривая из класса кривых Q у
гомотопных С, находится в К(Р*). Обозначим через &%* (Р*)
совокупность гомотопических классов кривых из АГ(Р*), т. е. Q £<?ЗГ(Р*),
если С£К(Р*), где С—представитель класса Q. Можно доказать,
что <££ (Р*) является подгруппой группы ^ {Р) = ^Г\ в самом деле,
при С£АГ(Р*) и D£K(P*) продолжение над CD'1 из Р* приводит
обратно в Р*, так что CD-"1 £ К(Р*). Таким образом, гладкое
безграничное накрывающее многообразие Ж* и точка Р* £ Ж* определяют
подгруппу off (Р*) фундаментальной группы ^ многообразия Ж.
Над точкой Р£М может лежать несколько точек Ж*. Обозначим
точки (не обязательно составляющие счетное множество), лежащие
4 3. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА
103
над Р, черезх) Р*, Р*, .... Каждой из этих точек соответствует
подгруппа оЖ* (Р*)> е?Г (Р1)> ••• группы (зУ. Мы докажем теперь
следующую важную теорему, касающуюся накрывающих многообразий
и подгрупп фундаментальной группы.
Теорема 4.6. Пусть Ж*— гладкое безграничное накрывающее
многообразие Ж. Гомотопические классы всех замкнутых
кривых с началом в точке Р £ Ж, являющихся проекциями замкну-
тых кривых с началом в точке Р*£М*, лежащей над Ра
образуют подгруппу е%*(Р*) фундаментальной группы ^
многообразия Ж. Группы o%r{Pi), отвечающие всем точкам Р* над Р,
образуют полное множество сопряженных подгрупп группы <&"\
и, обратно, всякое полное множество сопряженных подгрупп £Г
соответствует некоторому гладкому безграничному
накрывающему многообразию Ж.
Пусть сначала Р* и Р* — две точки Ж\ лежащие надР^Ж.
Соединим Р* с Р*. кривой У* на Ж*, которая проектируется в
замкнутую кривую J на Ж. Тогда отображение Q —> ¥ С ¥~г группы
G%"(Py) в о/Г (Р*) определяет внутренний автоморфизм группы F,
переводящий ^(Р*) в ^(Р*). Таким образом, еТ (?*) и еТ (PJ)
являются сопряженными подгруппами <^Г.
Фиксируем точку Р* над Р; каждый гомотопический класс
замкнутых кривых ^ определяет единственную точку Р* над Р,
получаемую продолжением над J£ % из Р*. Тогда каждая подгруппа <^~,
сопряженная к o7f (Р*Л, получается как <£Р (Р*Л. Тем самым
доказано, что таким образом мы получаем полное множество
сопряженных подгрупп <&*.
Докажем последнюю часть теоремы. Пусть <££— подгруппа <&*.
Фиксируем точку Q на Ж. Мы построим теперь накрывающее
многообразие Ж* для Ж, которое будет соответствовать подгруппе <££
группы £Г. За точку Ж* мы принимаем класс эквивалентности,
состоящий из пар (Р, С), где Р — точка на Ж и С — кривая,
соединяющая Q с Р. Две пары (Рх, Сх) и (Р2, С2) отождествляются как
одна точка Ж*, если 1) Pi = P2 и 2) в^^1 € еТ. где С±£ Ci и
С*2 G С 2- Легко проверяется, что это есть действительно отношение
эквивалентности.
Введем топологию в Ж* следующим образом. Пусть N— круг,
скажем, |^|< 1 с центром в Р0£Ж в некоторой системе локальных
координат. Открытый круг с центром в точке (Р0, С0) на Ж* будет
состоять из всех таких точек (Р, С), для которых Р £ Л/ и C = C0J,
*) Если Л1* имеет счетную базу, что, как это доказывается далее, имеет
место, когда М* есть риманова поверхность, то число точек Р счетно. —
Прим. пере в.
104
ГЛ. 4. НАКРЫВАЮЩИЕ МНОГООБРАЗИЯ
где j—любая кривая, лежащая в N и соединяющая Р0 с Р. В силу-
односвязности N точка (Р, С) определяется независимо от выбора
кривой J в N, так как если 7Х и J2— две такие кривые,
соединяющие Р0 с Р в N, то 7гУ<Г есть замкнутая кривая, гомотопная 1,
откуда с0;^ад и (e0/i)(e02^)"1 = 5re ^Л
Множество 1/ точек ЛГ определяется как открытое, если каждая
точка V содержится в открытом круге, целиком лежащем в V.
В частности, сам открытый круг является открытым множеством.
Это определение открытых множеств удовлетворяет аксиомам хаус-
дорфова пространства. Покажем, например, выполнение аксиомы
отделимости 5. Пусть (Pl5 Сх) и (Р2, С2)— две различные точки
на ЛГ; в случае Рх ф Р2 мы берем непересекающиеся круги Nx и Nz
с центрами в Рх и Р2 соответственно. При Рг — Р2 класс 6162х
не принадлежит <£%*. Рассмотрим открытый круг N в локальных
координатах с центром в Рх, и пусть V1—множество всех точек
(Р, CXJ) и V2 — множество всех точек (Р, C2J), где Р£Л/ и J
соединяет Рг с Р внутри Л/. Тогда Vx и К2— непересекающиеся открытые
множества; действительно, если (qx, C1J1)£V1 и (q2, C2J2) £ V2,
причем (qu C.J,) = (¾. C2/2), то имеем q1 = q2 и (<? ХЛ) ( 6гЛ)"1 6 g#\
Так как ^«1, то 6^1(62^2)^ = 61^1^6^=61621.
а этот класс не принадлежит g^T; полученное противоречие
доказывает, что Vx и V2 не пересекаются.
В М* всякие две точки можно соединить кривой; в самом деле,
пусть (Pl5 CJ и (Р2, С2) — две точки М*, ^ = (^, /) и С2 = (а2,/) —
кривые, соединяющие Q с Рг и Р2 соответственно. Тогда С^ С2 = (^, /)
есть кривая, соединяющая Рх с Р2, где
1
^(1 — 20, 0<^<
7 (О
Пусть СХ = (РХ, /), где
Рх(0 =
2 '
«2(2*—1), |<^<1.
а1(*(1—2т)), 0<т<1 0<*<1,
2
а2(/(2т—1)), 1<т<1, 0<*<
Тогда отображение t-~>(j(t), Сх) отрезка / в М* определяет кривую
на М*, соединяющую (Рх, Сх) с (Р2, С2).
Отображение / : (Р, С) ~-+ Р ставит в соответствие каждой точке
(Р, С)£ М* точку Р£ Л1 таким образом, что для каждой точки (Р, С)
существует открытый круг с центром в этой точке, отображающийся
взаимно однозначно и непрерывно в обе стороны на открытый
круг с центром в Р£М. Это отображение можно использовать для
4 3 ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА
105
перенесения локальных координат из М на Ж" и превращения М
в многообразие, которое к тому же является гладким безграничным
накрывающим многообразием М.
Наконец, М* соответствует подгруппе &%* фундаментальной
группы £Г. Действительно, пусть Q =(Q, 1), где 1 —точечная кривая.
Отправляясь из точки Q\ выполним продолжение над замкнутой
кривой С с началом в Q. Это продолжение приводит к точке (Q, С)
на М\ причем (Q, C)~(Q, 1) в том и только в том случае, когда
G (zgsF- Таким образом, ЛГ соответствует o/f\ Мы получим
подгруппы <ff', сопряженные ^}{\ если начнем с других точек, лежащих
над Q.
Докажем, что многообразие М* действительно определено
классом сопряженных подгрупп в ЗГ\ для этого покажем, что если e^il
и Q/f^ — сопряженные подгруппы ^, то они соответствуют одному
и тому же многообразию М в следующем смысле. Если G/f1
соответствует многообразию М'* и ^f0 — многообразию Ml, то можно
определить гомеоморфизм h многообразия М* на Ml так, что
проектирующие отображения fx многообразия М* на М и /2
многообразия Ж* на М выражаются через h как /л (Р*Л = /2 (h (Р*)) для всех
Р*£М*. Так как ^У£х и o/f2— сопряженные подгруппы, существует
замкнутая кривая J, дтя которой (Жг = ¥&УС\¥~ • Пусть h —
отображение, переводящее точку Р^ — (Р, С) па Л1* в точку Pl = (P,JC)
на -М*. Нужно показать, что h однозначно определено на Mhv т. е.
не зависит от того, какую кривую С мы выбираем для
представления Р*. Пусть Ct и С2 обе определяют одну и гу же точку Р* на Л!*;
тогда 6\б7>л £ <Ж^ Нужно показать, что JCX и JC2 определяют одну
точку на М>, т. е. что (¥б\)(¥боУ бЛ- Но это так, ибо
(^61)(^62)^ = ^6162^^^2^2: если eie^teZTi. Таким
образом, h ставит в соответствие точке Р* единственную точку Р*. Это
отображение /г дает нам искомый гомеоморфизм М'г на М* и
показывает, что полному классу сопряженных подгрупп соответствует одна
и та же накрывающая поверхность. Доказательство теоремы закончено.
Фундаментальная группа <&* всегда содержит две тривиальные
подгруппы: д—подгруппу, состоящую только из единичного класса,
и саму группу $*. Накрывающее многообразие, соответствующее <^~,
есть само М с тождественным отображением в качестве
проектирующего. Единичной подгруппе д соответствует универсальное
накрывающее многообразие М многообразия М. Таким образом, на
универсальном накрывающем многообразии М кривая замкнута тогда и
только тогда, когда ее проекция гомотопна точке. Следовательно,
каждая точка М покрывается точками М столько раз, сколько
различных гомотопических классов содержится в ^.
106
ГЛ. 4. НАКРЫВАЮЩИЕ МНОГООБРАЗИЯ
Теорема 4.7. Многообразие М односвязно тогда и только
тогда, когда единственным гладким безграничным накрывающим
многообразием М является само М (или тогда и только тогда,
когда каждое такое накрывающее многообразие М имеет только
один лист).
Пусть односвязное многообразие М имеет накрывающее
многообразие ЛГ с точками Р* и PJ, лежащими над данной точкой Р.
Пусть кривая С* соединяет Р* с Р*; тогда ее проекция С является
замкнутой кривой на М и, следовательно, С^1. Но по теореме
монодромии продолжение над С приводит опять к той же самой
точке, так что Р\ — Р*2 и М* имеет только один лист. Обратно,
если <£Г' Ф 0', то универсальное накрывающее многообразие М имеет
более одного листа.
Следствие 4.3. Пусть G— односвязная область расширенной
комплексной плоскости, и пусть аналитическое продолжение
функционального элемента Р (z— a), a£G, возможно вдоль всех
путей в G (т. е. в G не содержится особых точек); тогда
аналитическая функция А в G, получаемая продолжением P(z — а),
является однозначной в G.
Действительно, риманова поверхность функции А является гладким
безграничным накрывающим многообразием G и, следовательно, имеет
по теореме 4.7 только один лист. Таким образом, функция А
однозначна. Мы можем применить аналогичное рассуждение для
произвольного односвязного многообразия (строя накрывающее многообразие),
используя комплекснозначные непрерывные функции взамен
аналитических, и придем к результату, что непрерывные функции на одно-
связных многообразиях однозначны.
Следствие 4.4. Дополнение к односвязной области G на сфере
(расширенной комплексной плоскости) имеет самое большее одну
компоненту.
Предположим, что дополнение CG области G содержит более
одной компоненты. Бесконечно удаленная точка может принадлежать
самое большее одной такой компоненте, поэтому по крайней мере
одна компонента, скажем, Л является ограниченной. Пусть B=CG— А.
Выберем две точки а£А и Ь£В. Множества А и В — замкнутые1)
непересекающиеся подмножества расширенной плоскости, поэтому
расстояние между ними р > 0; оно может быть равным и
бесконечности. Покроем теперь плоскость сетью квадратов а, проводя
вертикальные и горизонтальные линии на расстоянии 8<р/3. Мы можем
провести их так, чтобы а лежало в центре одного из квадратов,
скажем а1# Пусть ot, /=-1, 2, . . ., N, —множество замкнутых квад-
х) Замкнутость А следует из того, что А — компонента замкнутого
множества CG. Затем, используя равенство СВ — G(]CAf устанавливаем
замкнутость В. — Прим. перев.
4 3 ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА
107
ратов а, имеющих общие точки с А, и пусть ^г обозначает границу а/5
ориентированную по часовой стрелке. Пусть f — граница множества
N
Ъ= \}°i — также ориентирована по часовой стрелке; ^ — замкнутая
ломаная, составленная из горизонтальных и вертикальных
прямолинейных отрезков. Покажем теперь, что f лежит в G. Так как каждая
точка т находится от А на расстоянии, меньшем чем о < р/3, то f
не пересекается с В. Если точка с, лежащая на стороне квадрата ah
принадлежит Л, то все квадраты, содержащие с, принадлежат £ и,
следовательно, с является внутренней точкой £. Таким образом, ^
лежит в G.
Рассмотрим теперь в G функцию f (z) = log[(z — a)j(z — b)]. Так
как единственные ее особенности находятся в точках а и Ь (обе они
не принадлежат G), из следствия 4.3 следует однозначность / в G.
Однако подсчитаем изменение Дт/ функции / вдоль -\. Оно равно
Д7/= C—L-dz— f —Ц- dz.
V J z — a J z — b
т т
Вычисляем каждый интеграл, замечая, что каждая сторона о.,
лежащая внутри 2, имеет противоположную ориентацию в двух соседних
квадратах £. Таким образом, интеграция по f и по ^Т* приводит
к одному и тому же результату, и мы получаем
Так как # лежит вне всякого квадрата ^,
Г (z — b)~ * dz-^0, 1= 1, 2, . .., Л/.
Аналогично
f (z — a)~idz = 0, 1 = 2, 3, ..., Л/,
в то время как
J (<г — a)"1 dz —2т.
Ti
Таким образом, Д / = 2ти£ и / не является однозначной в G. Из этого
противоречия следует, что дополнение G имеет не более одной
компоненты.
Теорема 4.8. Пусть многообразие М имеет фундаментальную
группу £F'. Пусть М* — накрывающее многообразие М, соответ-
108
ГЛ. 4. НАКРЫВАЮЩИЕ МНОГООБРАЗИЯ
ствующее подгруппе <££ группы &'. Тогда фундаментальная
группа <&** многообразия Ж* изоморфна q?£.
Каждая замкнутая кривая на ЛГ проектируется в кривую из К,
и всякая кривая из К является образом некоторой замкнутой кривой
на Ж*. Пусть С* и С* представляют один и тог же элемент из S^*>
С\^С*2\ их проекции Сг и С2 также гомотопны в силу
непрерывности проектирующего отображения, так что Сх и С2 представляют
один и тот же элемент из ^}f. Обратно, если С1^С2, то С\^С*2
по теореме монодромии. Это взаимно однозначное соответствие
определяет изоморфизм между ^" и jyf.
Следствие 4.5. Универсальное накрывающее многообразие Ж
многообразия Ж односвязно.
В самом деле, Ж соответствует g, и, следовательно, его
фундаментальная группа &Г ~ g, а значит, Ж односвязно.
Пусть Ж* и Ж*-—накрывающие многообразия Ж с
проектирующими отображениями fx и /2 соответственно. Кроме того,
предположим, что Ж* также накрывающее многообразие Ж* с
проектирующим отображением h. Мы можем Ж* отобразить на Ж двумя
способами: во-первых, при помощи /2, во-вторых, при помощи fx°h, где
/1 о h (Р~Л = f1 (h (Pl\ \ для Р^ £ М*. Если /2 = Д о h, то мы говорим,
что Ж*— более сильное накрывающее многообразие, чем Ж*. Пусть
для некоторой точки PJ £ А1* многообразию Ж* соответствует
подгруппа фундаментальной группы еЖ'., ~ е?Г2 (Pi) и для Р* = Ь(Р*Л
пусть многообразию Ж* соответствует подгруппа ^х = G7ft (Р*) •
Замкнутая кривая на Ж^ обязательно проектируется в замкнутую
кривую на М*х и, следовательно, на Ж; таким образом, ^с^.
Применяя сказанное к Ж — универсальному накрывающемзг
многообразию Ж, имеем ^ = g, и всякое более сильное накрывающее
многообразие обязательно соответствует подгруппе g, которая
совпадает с g. Это говорит о том, что не существует накрывающего
многообразия, более сильного, чем универсальное накрывающее
многообразие. В этом смысле универсальное накрывающее многообразие
является сильнейшим накрывающим многообразием Ж.
Мы введем сейчас несколько понятий, которые будут полезны
в дальнейшем. Замкнутая кривая С = (а, /) называется простой, если
из равенства а(/) —а(^) следует, что число \t — tr | есть либо 0,
либо 1. Говорят, что простая замкнутая кривая С = (а, I) локально
разделяет Ж, если каждая точка o,{t) имеет такую окрестность Nr
что N — \С\ состоит из двух непересекающихся компонент. Далее,
мы скажем, что С разделяет Ж, если Ж — \С\ состоит из двух или
более непересекающихся компонент. Многообразие Ж называется
4 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НАЛОЖЕНИЯ
109
подобным однолистному, если М разделяется каждой замкнутой
кривой, которая локально разделяет М.
Теорема 4.9. Каждое односвязное многообразие подобно одно-*
листному.
Предположим, что существует простая замкнутая кривая С на М,
локально разделяющая М, для которой множество М — \С\ связно.
Тогда М — \С\ линейно связно, и мы попытаемся определить гладкое
безграничное двулистное накрывающее многообразие М*
многообразия М. Возьмем два экземпляра М, скажем, Мх и М2. Пусть Сх и
С2 — экземпляры С на Мх и М2 соответственно. Точка Р на М, не
принадлежащая С, -теперь обозначается через Р* на Ж1 и через PJ
на Л42. Локальный параметрический круг N с центром в точке Р
на М становится параметрическим кругом N* с центром в Р* на М
и N* с центром в Р* на М2; каждый из них гомеоморфен N и,
следовательно, кругу в $2. Любая точка Р£|С| имеет окрестность /V,
которую С делит на две части: /V' и N". На Afx имеем две
компоненты, N'± и Л/^, по обе стороны от Cv а на М2— две компоненты,
Nrt> и N^t по обе стороны от С2. Склеим Л/^ с А/^ над С и над
точкой Р на \С\ получим Р*. Затем склеим N" с 7V' над С и получим
точку Р* над Р на |С|. Окрестность Р| состоит из А/^, Л/«" и точек,
лежащих над С, а окрестность Р%^ состоит из N^, М' и точек,
лежащих над С. Обе они гомеоморфны окрестности N точки Р на М.
Таким образом, над каждой точкой М лежат точки Р[ и Р;2, которые
вместе с определенными выше окрестностями образуют
многообразие ЛГ, накрывающее М\ нужно только показать, что М' связно.
Последнее с очевидностью следует из того, что Мх—\С1\ м М2—\С2\
линейно связны и любую точку Мх — \С1\ можно соединить с любой
точкой М2—\С2\ кривой, пересекающей кривые, лежащие над С.
Но так как не существует двулистного накрывающего многообразия
односвязного многообразия, то многообразие М подобно однолистному.
4.4. Преобразования наложения. Преобразованием наложения
гладкого безграничного накрывающего многообразия ЛГ называется
гомеоморфизм М* на себя, который переводит каждую точку Р*
над Р в другую точку, лежащую над этой же точкой Р. Таким
образом, преобразование наложения просто переставляет точки, имеющие
одну и ту же проекцию на М. Существует только одно
преобразование наложения п, отображающее точку Р* в Р^. Для
доказательства этого утверждения покажем, что задание соответствия
Р*~+Р*2 полностью определяет /г. Пусть Р —произвольная точка
на ЛГ, а С\ — кривая, соединяющая Р\ с Р . С\ располагается над
кривой С, лежащей на М. Когда Р* переходит в Р*, С[ преобра-
по
ГЛ 4. НАКРЫВАЮЩИЕ МНОГООБРАЗИЯ
зуется в кривую С* на ЛГ с началом в Р*, также лежащую над С.
А так как конец кривой С*, а вместе с тем и образ Р*, определяется
однозначно, то отображение h полностью определено. Множество
преобразований наложения, очевидно, образует группу по отношению
к операции умножения преобразований.
Группу преобразований наложения ЛТ* назовем транзитивной,
если существует преобразование наложения, переводящее любую
точку Р* над Р в любую другую заданную точку Р* над Р. Докажем
теперь следующую теорему.
Теорема 4.10. Группа преобразований наложения М* транзи-
тивна в том и только в том случае, когда соответствующая М*
подгруппа ^)f группы <Zf является нормальным делателем
группы S^'. В этом случае группа преобразований наложения
изоморфна факторгруппе <^"7g2T.
Заметим сначала, что подгруппа ^ тогда и только тогда является
нормальным делителем группы ^Гt когда для всякой кривой C£F(P0)
кривые в М*, лежащие над С, одновременно все замкнуты или
незамкнуты. Действительно, если С*— кривая, лежащая над С, с
началом в Р* над Р, то С* замкнута (или незамкнута) в зависимости
от того, принадлежит Q (или не принадлежит) с£Г (Р*А- Если все
подгруппы, сопряженные с Qy£ (Р}), равны &£ (т. е. &%*—
нормальный делитель группы ^), то либо С£К(Р*А для всех Р* над Р и
все С* замкнуты, либо С не принадлежит никакому К (Р*А и в этом
случае все С* не замкнуты.
Если е2Г(Р*) ф &%* (Р*Л, то существует кривая С,
принадлежащая К (Р*), но не принадлежащая К (Р%\. Тогда С* — замкнутая
кривая, a CJ — незамкнутая. Пусть теперь q%" не является нормальным
делителем группы ^Г. Тогда существует замкнутая кривая С* и
незамкнутая кривая CJ, проектирующиеся в С. Пусть преобразование
наложения h переводит начало С*— точку Р* (над РЛ в начало С* —
точку Р* (над РЛ. Это преобразование должно переводить С* в С*,
а так как /г—гомеоморфизм, то при этом замкнутая кривая обязана
переходить в замкнутую, откуда следует, что такого отображения
не существует.
С другой стороны, если &%* — нормальный делитель группы £Гt
то мы можем найти преобразование наложения, переводящее Р*
в любую другую точку PJ, лежащую над той же точкой Р0. Мы уже
видели, что любая точка Р* на ЛГ может быть записана в форме
P*=z(Pt С), где Р — проекция Р*, а С — проекция кривой,
соединяющей Р* с Р*, причем Р* лежит над Р0. Имеем (Р, C1) = (Qt С2)
тогда и только тогда, когда P = Q и G1G21 ^o/f- Пусть Г — кри-
4 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НАЛОЖЕНИЯ
111
вая, соединяющая точки Р* и Р*, лежащие над Р0, a J—проекция J*.
Определим отображение hj многообразия М* на себя: hj(P, С) =
— (Р, JC). Отображение hj непрерывно; докажем, что оно также
взаимно однозначно. Если (Р, JC) = (Q, JCJ, toP = Qh^Q (^G i)_1: =
= ^ееГ^-'СеЯГ. Отсюда следует, что С С Г1 €^0^ = ^.
так как q/^—нормальный делитель. Таким образом, hg — взаимно
однозначное отображение, а обратное ему отображение hj1 = fij~\
является также непрерывным. Далее, Р{ — (Р0, 1) и Р*9 — Р А, так
чго hj(P0> 1) = (Р0, 7), и мы получили искомое преобразование
наложения.
Каждое преобразование наложения ЛГ может быть записано как hj
для некоторой замкнутой кривой J. Тогда hjx и hj^ задают одно и
то же преобразование наложения, если (Р, J1C) = (P, J2C), или если
Ле (ЛеГ'^еТ. Но (^Q^Cy^JiCC-'j^^J^1, так что
hji=hj2 в том и только в том случае, когда ^^21 ^о/Г- Таким
образом, имеется взаимно однозначное соответствие между
преобразованиями наложения и смежными классами группы $* по подгруппе oj%\
А так как hj1 о hj2 = hj^,, то группа преобразований наложения
изоморфна группе смежных классов £>* по подгруппе о^Г, т. е.
факторгруппе gT/gT-
Универсальное накрывающее многообразие М многообразия М
соответствует нормальному делителю g группы <ff. Таким образом,
преобразования наложения для М образуют транзитивную группу,
изоморфную <&~\$ =(^'.
Закончим эту главу следующим замечанием. Если М — риманова
поверхность, то любое гладкое безграничное накрывающее
многообразие М* поверхности М также имеет естественную аналитическую
структуру. Любой точке Р*£М* соответствует локальный униформи-
зирующий параметр z*t который при помощи проектирующего
отображения может быть выражен в окрестности точки Р — проекции
Р* — через локальный параметр z как z* = z. Если параметрические
круги с центрами Р* и Q* (с соответствующими локальными
параметрами z* и С*) пересекаются, то их пересечение проектируется
в область на М, в которой z является аналитической функцией от С.
Так как z = z* и С = С*, то z* также является аналитической
функцией от С*, и мы имеем аналитическую структуру на М*, что делает
ее римановой поверхностью, которую мы называем накрывающей
поверхностью М (или поверхностью наложения ЛГ).
Преобразования наложения поверхности ЛГ являются конформными
отображениями М* на себя. Далее, проектирующее отображение М*
на М также является конформным отображением. Эти замечания
относятся не только к гладким безграничным накрывающим
многообразиям римановой поверхности, так как, очевидно, любое
накрывающее многообразие римановой поверхности имеет естественную
112
ГЛ 4 НАКРЫВАЮЩИЕ МНОГООБРАЗИЯ
аналитическую структуру и проектирующее отображение является
аналитическим отображением накрывающего многообразия на
поверхность !).
ЗАДАЧИ
1. Пусть G—односвязная область на римановой поверхности и
/ — регулярная аналитическая функция на G. Доказать, что /
однозначна, показав, что в случае многозначности / возможно
построить многолистное гладкое безграничное накрывающее
многообразие G.
2. Описать фундаментальную группу и универсальное
накрывающее многообразие кольца. Описать подгруппы <^"\ соответствующие
накрывающие многообразия и их группы преобразований наложения.
3. Тор рис. 1.29 топологически эквивалентен прямоугольнику
рис. 1.30, у которого отождествляются противоположные стороны. Для
каждой точки z в ^-плоскости существует одна и только одна пара
целых чисел т и п, для которых точка Т (z) — z -f- 2mpl -f- 2/гтг лежит
в прямоугольнике — р < у <С р, —т:<^х^к. Пусть ЛГ— вся
конечная ^-плоскость, а /— отображение, переводящее z в точку
тора, соответствующую Т (z). Показать, что М* является
универсальной поверхностью наложения для тора и описать ее группу
преобразований наложения.
4. Провести то же построение, что и в предыдущей задаче, для
цилиндра £2-|-7j2—1, —со << С < со, используя тот факт, что
цилиндр топологически отображается на бесконечную полосу
Ф<^-£<С27г, —оо < у < со отображением (х, у) = (Arc tg(7]/E), С).
1) По этому поводу см., например, Неванлинна [1], п. 2.88. — Прим.
пере в.
Глава 5
КОМБИНАТОРНАЯ ТОПОЛОГИЯ
В гл. 2 мы изучали свойства многообразий с „локальной" точки
зрения. Нас прежде всего интересовало, что происходит в
окрестности точки многообразия, и в этом направлении мы находили свойства,
общие для всех многообразий. При дальнейшем изучении римановых
поверхностей нас будет интересовать природа функций, гармонических
или аналитических, на всей поверхности. Для этого потребуются
знания свойств многообразия „в целом", или „глобальных" свойств
многообразия. Нас будут интересовать те свойства, с помощью
которых можно классифицировать различные многообразия. Важнейшие
из этих свойств определяют, могут ли два многообразия быть
топологически эквивалентными, т. е. существует ли гомеоморфизм одного
многообразия на другое. Имея это в виду, продолжим изучение
топологии многообразий.
5.1. Триангуляция. Начнем с новых обозначений для известных
геометрических фигур в евклидовой плоскости £2:
евклидов О-симплекс — точка,
евклидов 1-симплекс — замкнутый прямолинейный отрезок,
евклидов 2-симплекс—замкнутый треугольник1).
Под п-симплексом sn. я —О, 1, 2, на многообразии М
понимается евклидов /г-симплекс еп вместе с взаимно однозначным и
непрерывным в обе стороны отображением ср симплекса еп в М. Будем
писать sn — [en, ср]; образ еп при отображении ср назовем носителем sn
и обозначим его через \sn\, т. е. ср(?л) == | sn |. Мы скажем, что
точка Р принадлежит sn, если P£\sn\. Образы сторон и вершин е2
называются сторонами и вершинами s2 = [e2, ср], а сам s2
называется треугольником на М. Каждая сторона s2 является
1-симплексом, а каждая вершина s2—О-симплексом, если рассматривать
отображение ср только по отношению к стороне или вершине е2.
О Понятие симплекса легко обобщается на п измерений. Евклидов
/г-симплекс есть выпуклое множество в евклидовом r-мерном пространстве
(г > п), натянутое на п + 1 точек, никакие k из которых не лежат в (k — 2)-
мерной гиперплоскости. Понятие триангулируемого многообразия также
обобщается на п измерений, как и большая часть материала в этой главе.
В качестве хорошего введения в /х-мерную комбинаторную топологию может
служить книга Зейферта и Трельфалля [1].
114
ГЛ. 5. КОМБИНАТОРНАЯ ТОПОЛОГИЯ
Предположим теперь, что на М определена такая совокупность А
треугольников (2-симплексов), что каждая точка Р на М
принадлежит по крайней мере одному треугольнику из Л и:
1) если точка Р принадлежит треугольнику s2 из А, но не лежит
на его стороне, то s2 является единственным треугольником,
содержащим Р, а | s21 есть окрестность Р;
2) если Р принадлежит стороне s1 треугольника s2 из А, но Р
не есть вершина s2t то существует в точности еще один
треугольник s2 из А, такой, что I s2 I f] | s~21 = \ s11, причем s2 и s2—
единственные треугольники, содержащие Р, и \s2 I U I s21 есть
окрестность Р;
3) если Р — вершина s2v то существует конечное число
треугольников s2, s22, . . ., s2k, имеющих Р своей вершиной, причем каждая
пара следующих друг за другом треугольников s2 s2,+1 имеет только
одну общую сторону, треугольник s| имеет одну общую сторону
с s2 и s2, s2, ..., s2k — единственные треугольники, содержащие Р,
а \s2\ (J \s\\ U • • • U I s\\ является окрестностью Р. Говорят, что
треугольники sf, s2, . . ., s2k образуют звезду треугольников в А.
Заметим, что во всех случаях 1), 2) или 3) Р содержится в
открытом множестве, пересекающемся лишь с конечным числом
треугольников из А.
Если выполнены указанные выше условия, то А называется
триангуляцией М, а М называется триангулированным многообразием.
Если триангуляция М существует, то говорят, что М
триангулируемо. Триангулируемое многообразие называется поверхностью.
Не все многообразия размерности 2 триангулируемы. Докажем
прежде всего, что каждое триангулируемое многообразие имеет счетную
базу. Отсюда будет следовать, что пример Прюфера многообразия,
не имеющего счетной базы, является одновременно примером нетриан-
гулируемого многообразия. Впоследствии мы докажем, что каждая
риманова поверхность триангулируема (гл. 9) и, следовательно,
использование слова „поверхность" здесь оправдано. В дальнейшем
мы будем употреблять букву 5 для обозначения поверхности, а когда
нам нужно будет отметить, что на поверхности 5 дана определенная
триангуляция А, то триангулированную поверхность будем обозна-
через 5д.
Теорема 5.1. Каждое компактное множество на
триангулированной поверхности 5д пересекается только с конечным числом
треугольников триангуляции А.
Предположим противное; тогда компактное множество К имеет
непустое пересечение с бесконечным числом треугольников из А.
Внутри каждого из этих треугольников можно выбрать по одной
5 1 ТРИАНГУЛЯЦИЯ
115
точке *) К. В силу компактности К множество этих точек имеет
предельную точку Р0 в К, обладающую свойством: любое открытое
множество, содержащее Р0, пересекается с бесконечным числом
треугольников. Но по определению триангуляции точка Р0 лежит в
некотором открытом множестве, которое пересекается только с конечным
числом треугольников, а следовательно, содержит только конечное
число точек из выбранного множества точек. Полученное
противоречие доказывает теорему.
Мы видим теперь, что любая триангуляция компактной
поверхности должна содержать только конечное число треугольников.
Обратно, так как каждый треугольник есть компактное множество и
сумма конечного числа компактных множеств компактна, всякая
поверхность с конечной триангуляцией компактна. Таким образом, нами
доказана следующая теорема.
Теорема 5.2. Поверхность компактна в том и только в том,
случае, когда она имеет конечную триангуляцию.
Обычно при изучении римановых поверхностей называют
компактную поверхность замкнутой поверхностью, а некомпактную
поверхность— открытой поверхностью. Мы будем часто пользоваться
этими определениями.
Конечную совокупность треугольников slt s2, ..., sn, в которой
каждая пара рядом стоящих треугольников имеет общую сторону,
называют (простой) цепью треугольников. Мы говорим, что sx и sn
соединены этой цепью.
Теорема 5.3. На поверхности 5Д каждая пара
треугольников s и sr может быть соединена простой цепью треугольников
триангуляции Д.
Пз'сть Р и Рг — любые две внутренние точки соответственно для s
и sr. Так как поверхность 5 связна, то Р и PF можно соединить
дугой С, носитель которой компактен и пересекается только с
конечным числом треугольников А. Будем двигаться из Р в Рг вдоль С,
и пусть Рх — последняя точка пересечения С с s. Если Р1 не является
вершиной s, то Рх лежит на стороне только одного отличного от s
треугольника из А, который мы обозначим через s^ sx — второй
треугольник в искомой цепи. Если Рх— вершина s, то звезда относи-
1) Для полноты доказательства надо предусмотреть возможность
существования треугольников, не имеющих общих с f( внутренних точек, но
имеющих общие с К точки, лежащие на их сторонах. Поэтому выбираемая
в каждом треугольнике точка из К может лежать и на стороне (а не
обязательно внутри) треугольника. В силу того, что любая точка
принадлежит лишь конечному числу треугольников триангуляции (условия 2 и 3),
каждая выбранная точка может встретиться лишь конечное число раз и
полученное множество будет содержать бесконечное число различных точек.
В силу компактности /С множество этих точек имеет предельную точку Р0
в К, и далее рассуждаем, как у автора. — Прим. перев.
116
ГЛ. 5. КОМБИНАТОРНАЯ ТОПОЛОГИЯ
тельно Р, состоит из треугольников 5, 51§ . .., 5„. Пусть Р2 —
последняя точка пересечения С с этой звездой; Р2 не принадлежит 5,
так как Pt — последняя точка пересечения С с 5. Пусть 5,,— первый
треугольник звезды, в котором лежит Р2. Тогда искомая цепь
начинается с 5, sx, 52, . ... sk. Мы повторим этот процесс, используя Р2
вместо Рх и т. д., для построения цепи треугольников. Эта цепь не
возвращается ни к одному уже использованному треугольнику, так
как мы всегда выбираем последнюю точку пересечения С с уже
взятыми треугольниками. Процесс обрывается после конечного числа
шагов, так как С пересекается только с конечным числом
треугольников на пути от s к sf.
Теорема 5.4. Любая триангуляция поверхности состоит
только из счетного или конечного числа треугольников.
Возьмем произвольный треугольник 5, в триангуляции А.
Присоединим к s{ конечное число треугольников s2, s:it ..., snr
пересекающихся с 5,. Далее, присоединим конечное число новых
треугольников 5rti+i, £/1,+2. • • •, s„it которые имеют непустое пересечение с уже
выбранными. Продолжая таким образом, мы исчерпаем все
треугольники Д после конечного или счетного числа шагов, так как каждый
треугольник из Д можно соединить с sx конечной цепью, и,
следовательно, мы придем к нему после
конечного числа шагов.
Так как каждый треугольник есть
компактное множество на 5, он может
быть покрыт конечным числом
параметрических кругов. Тогда из того,
что существует только счетное число
треугольников, следует, что S имеет
счетную базу *). Таким образом,
доказана следующая теорема.
Теорема 5.5. Каждая поверх-
ность обладает счетной базой.
Дадим теперь несколько
примеров поверхностей.
Рис. 5.1 1) Сфера может быть
триангулирована па восемь сферических
треугольников, если мы построим экватор и четыре полуокружности
больших кругов: меридиан 0", меридиан 90°, меридиан 180 ,
меридиан 270° (рис. 5.1).
2) Для триангуляции тора рассмотрим его как прямоугольник,
у которого противоположные стороны отождествляются. На рис. 5.2
показана триангуляция тора на 18 треугольников.
!) См. теорему 2 18. — Прим. персе.
5.1. ТРИАНГУЛЯЦИЯ
117
3) В двух предыдущих примерах мы имели дело с компактными
поверхностями, обладающими конечными триангуляциями. Евклидова
плоскость дает пример некомпактной (открытой) поверхности, которая
может быть триангулирована
проведением прямых х = п, у = п,
y=zx-{~n, где я = 0, :±1,
±2, . . . (рис. 5.3).
4) Открытый квадрат 0 <
< х < 1, 0 < v < 1 является
также открытой поверхностью,
которую можно триангулировать
следующим образом. Проведем
прямые л; = 7з. -*; = 2/з. У — Чг, Рис. 5.2
у = 2/3> в центральном квадрате
(только он не имеет общей стороны с исходным квадратом)
проведем диагональ с положительным угловым коэффициентом. Затем
начертим прямые х — г1в, х = ь/6, у^1^, у=^^>/в. В каждом
прямоугольнике, не имеющем общей стороны с исходным квадратом,
проведем диагональ с положительным угловым коэффициентом.
Продолжаем этот процесс, пока квадрат не будет исчерпан счетным числом
треугольников (рис. 5.4).
5) Другим интересным примером открытой поверхности является
лист Мёбиуса. Если мы возьмем прямоугольную полосу бумаги и
склеим два узких конца, мы получим цилиндр. Если перекрутить
один раз полосу, перед тем как склеить ее концы, то получится лист
Мёбиуса. Лис г Мёбиуса топологически эквивалентен прямоугольнику,
у которого отождествляется одна пара противоположных сторон таким
образом, что точке Р на одной стороне отвечает точка Рг на другой
118
ГЛ. 5. КОМБИНАТОРНАЯ ТОПОЛОГИЯ
стороне, являющаяся концом отрезка прямой линии проведенного
через точку Р и центр прямоугольника. На рис. 5.5 показана
триангуляция листа Мёбиуса.
6) И, наконец, последний пример поверхности — проективная
плоскость II. Точка на проективной плоскости — это класс
эквивалентных троек действительных чисел (xlt х2, лг3), не обращающихся
одновременно в нуль; две тройки (хи х2, х3) и (_у1? у2, уъ)
представляют одну и ту же точку, если хх: х2 : хъ = ух: у2 : уъ. Мы
превратим П в топологическое пространство, если примем за s-окрестность
точки (alt а2, а3) множество всех точек (xv х2, х3), для которых
(хха2 — х2а1)ъ -f (-½% — -½%)2 + С*зД1 — -^1%)2 < ^
{А + 4 + 4) (4 + 4 + 4)
Так как каждая прямая в I3, проходящая через начало координат,
также однозначно определяется тройкой действительных чисел (напра-
5 2. БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
Ш
вляющие коэффициенты), то мы можем отождествить каждую точку
проективной плоскости с прямой в g3, проходящей через начало
координат. Тогда каждая s-окрестность данной прямой состоит из
прямых, составляющих с данной такой угол 6, что sinO<s. Мы
получили одну из моделей проективной плоскости.
Каждая прямая, проходящая через начало, пересекает единичную
сферу в двух диаметрально противоположных точках. Таким
образом, мы получаем другую модель, рассматривая поверхность сферы,
в которой диаметрально противоположные точки отождествлены.
Модель может быть упрощена, если отбросить одну полусферу.
Следовательно, П может быть топологически реализована как
полусфера, у которой отождествляются диаметрально противоположные
точки на экваториальной окружности. Если спроектировать теперь
полусферу на ее экваториальную плоскость, то в результате получим
модель II в виде круга, у которого отождествлены диаметрально
противоположные точки ограничивающей его окружности. На рис. 5.6
показана триангуляция проективной плоскости на десять
треугольников.
5.2. Барицентрические координаты и барицентрическое
подразделение. Пусть Р0, Рг, ..., Рп, я —0, 1, 2, —вершины
евклидова ^-симплекса еп в евклидовой плоскости S2. Выберем
координатную систему (х1) х2) в t2. В этой системе каждая вершина Pk
имеет координаты (х1]{, х2к). В каждой вершине Рк поместим
неотрицательную точечную массу \ik так, что полная масса во всех п-\-1
п
вершинах равна единичной массе: \bk^>0, 2^=1- Это распре-
& = о
деление масс имеет центр тяжести P = (xlt х2), определяемый
формулами
п
*у-=2 Рк*)» /=1. 2- (1)
Числа [х0, \ll, . . ., ая называются барицентрическими координатами
точки Р в еп (см., например, Зейферт и Трельфалль [1], стр. 47).
Если перейти в плоскости к новой системе координат (уи у2), не
обязательно прямоугольной, при помощи аффинного преобразования
/ = 1
то равенства (1) принимают вид
2 2 п
У( = 2 <*цх, + bt = 2 «ц 2 Hxjk + bi =
k = 0
ftj 22^*7* + **
= ^ НУik*
k=o
120
ГЛ 5 КОМБИНАТОРНАЯ ТОПОЛОГИЯ
откуда видно, что центр тяжести имеет опять те же самые
барицентрические координаты. Мы можем выбрать новые аффинные
координаты {ух, у2) таким образом, чтобы точка Р0 лежала в начале
координат, а вершины Pk имели координаты y.k = 0, если j Ф k, и
ykk= 1. Тогда ylt . . ., уп образуют координатную систему в /г-мер-
ном подпространстве £2, содержащем еп, имеющую P0Pk в качестве
единичных базисных векторов. Если /г<2, то точка Р в еп имеет
координаты у- = 0 при j > п и у- = 2 У*ьУ\> = Iх/ ПРИ J ^ п- Таким
J J k=o J
образом, эти аффинные координаты у1$ . . ., уп точки Р в еп
совпадают с барицентрическими координатами \±i$ ..., pn.
Барицентрическим (симплацаалъным) отображением п-сим-
плекса е^ на r-симплекс eTv r^ п, называется отображение,,которое:
1) переводит каждую вершину е* в одну из вершин е^;
2) при этом каждая вершина ег2 является образом по крайней
мере одной вершины еп{;
3) если массы (лх, ..., \ъп помещены в вершинах е" и такие же
массы помещены в образах вершин в х) еТ< ю центр тяжести е*[
переходит в центр тяжести егг
Эти условия определяют отображение в каждой точке е^. Если
г < п, то отображение называется вырожденным-, в этом случае по
крайней мере две вершины е^ отображаются в одну и ту же
вершину #£. Если г = п, то отображение является гомеоморфизмом 2).
Теорема 5.6. Для евклидовых симплексов etlx и ert
соответственно размерностей п и г барицентрическое отображение е*
на ег2 осуществляется аффинным преобразованием n-мерного
подпространства S2, содержащего е^, на r-мерное подпространство,
содержащее eTk).
Пусть х1з ..., хп — аффинные координаты в подпространстве^,
a v1( . . ., уГ — координаты в ег0. Пусть xlk, . . ., xnk— координаты
вершины Pk симплекса е*, k = 0, 1, ..., п, и ylk, ..., yTk —
координаты Ръ — образа Pk в е\. Если поместить массы |а0, ..., \хп
в Р0, ..., Ря, то центр тяжести Р будет иметь координаты
п
*/= 2 \xkxik> *=■= 1, . . ., л, (2)
*) То есть в каждой вершине ег2 помещена масса, равная сумме масс,
расположенных в переходящих в нее вершинах <?J*. — Прим. перев.
2) Это вытекает из теоремы 5.6 и гомеоморфизма евклидовых симплексов
а симплексов на поверхности. — Прим. перев.
5 2 БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
121
а образ Р' точки Р — координаты
п
yj= SptOV*» j= 1,--., г. (3>
Так как векторы Р0Р},, k=l, ..., п, линейно независимы, то из.
уравнений (2) можно выразить \ik через xt\ подставляя, далее, эти
выражения для \хр в (3), получим систему уравнений вида
г
У; =-^1^^,, j=\ г.
1 = 1
Это и есть искомое аффинное преобразование подпространства e!f на:
подпространство ег.
Точка в евклидовом я-симплексе еп, все барицентрические
координаты которой равны между собой, называется центром симплекса.
В 2-симплексе вершины имеют барицентрические координаты (1, 0, 0),
(0, 1, 0) и (0, 0, 1). Точки, одна из координат которых равна нулю,
лежат на стороне, противоположной вершине, несущей
соответствующую единичную массу. Таким образом, точки (|х0, [х19 0) лежат на
стороне Р0РХ и имеют барицентрические координаты (р,0, ^), если
рассматривать Р^Р^ как 1-симплекс.
Геометрическим местом точек, для которых jx0 == jxt, является
медиана, проведенная из Р2 к стороне P$PV И вообще в еп
геометрическое место точек, у которых какие-либо две из барицентрических,
координат равны, делит /г-симплекс на (п-\- 1)! я-симплексов, которые
образуют так называемое барицентрическое подразделение /г-сим-
плекса еп. В случае 0-симплекса барицентрическое подразделение
совпадает с этим 0-симплексом. Для 1-симплекса единственной точкой
с равными барицентрическими координатами является центр, который,
таким образом, делит прямолинейный отрезок е1 на два равных
отрезка. 2-симплекс делится на шесть треугольников тремя своими
медианами. Диаметр треугольника равен длине его наибольшей
стороны. Отрезок медианы от вершины до центра равен 2/3 ее длины,
следовательно, диаметр любого треугольника подразделения не больше
2/з диаметра исходного треугольника. Если барицентрически
подразделить каждый треугольник уже раз подразделенного треугольника,
то мы получим второе барицентрическое подразделение (рис. 5.7).
Повторение этого процесса подразделения N раз приводит к N-му
барицентрическому подразделению /г-симплекса, в котором диаметр
каждого треугольника не превосходит произведения (2/3) на диаметр
исходного треугольника.
Пусть 5 — поверхность с триангуляцией А. Для каждого
треугольника s^==[^, ф.]£Д, ср- есть гомеоморфное отображение евклидова
треугольника е2. в s2r Мы можем приписать барицентрические коор-
122
ГЛ. 5. КОМБИНАТОРНАЯ ТОПОЛОГИЯ
динаты каждой точке P(zs)> Давая Р те же координаты, какие имеет
точка срг1(Р) в е2. Таким образом определяется аффинная структура
в каждом треугольнике s2 триангуляции А. Точка Р, принадлежащая
только одному треугольнику s2 из А, имеет однозначно определенные
барицентрические координаты в s2. Однако точка Р, лежащая на
общей стороне s1 треугольников s2 и s2, имеет одни координаты,
„индуцируемые s2. на s1, и другие координаты, индуцируемые $2.
Докажем теперь следующую теорему.
Теорема 5.7. Для любой триангуляции A = !s2}, s2.^^2., ср .1
поверхности S можно так подобрать множестзо отображений ср.,
что координаты точек Р, лежащих на сторонах треугольников,
будут одинаковы для обоих треугольников, содержащих Р.
Этот набор барицентрических координат называется нормальными
(барицентрическими) координатами на 5. Существование
нормальных координат на 5 означает, что каждая соседняя пара
треугольников в А гомеоморфна паре соседних евклидовых треугольников
и что каждая звезда треугольников в А гомеоморфна звезде
евклидовых треугольников в S2.
Для получения нормальных координат на 5 возьмем
произвольный треугольник s2 = \e2, cpJ в Ас вершинами PQ, Pv Р9. Так как
-барицентрические координаты аффинно инвариантны, то мы можем
считать, что е\ — равносторонний треугольник £ вершинами р0, pv р2,
соответствующими PQ, Pv Р9. Пусть 52 = Г#2, ср2]— треугольник в А,
имеющий общую с St сторону РгР2, и точка Р3—ег0 третья
вершина. На стороне РгРг, рассматриваемой как образ рхрг при
отображении cpt, уже определены барицентрические координаты. Нам нужно
распространить эти координаты на весь s2. Пусть ргр2р3—
равносторонний треугольник, имеющий с е2 общую сторону р±р2. Мы можем
5 2 БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
12а
также считать треугольник е\ = ср"1 (sfj равносторонним треугольником,
у которого вершины prv pr2, p's соответствуют Ри Р2, Р3.
Отображение ср~1оср1 есть гомеоморфизм р±р2 на р[р2. Этот гомеоморфизм
можно продолжить до гомеоморфизма ^ треугольника PiP2Ps на
Р1Р2Р3 так' что каждая точка Q^P1p2ps переходит в q' = 1 (q) в р[р2р3
следующим образом. Прямая, проходящая через р3 и q, пересекает рхрг
в точке р\ тогда рг = ср2-1 о <р (/?), и мы
определяем точку qr так, что
pW _ т
HP IhP
(см. рис. 5.8). Определим гомеоморфное
отображение ф1>2 ромба р0ргр2р3 на I 5j I U I ^ |
как
. , ч ( ?l(/>). еСЛИ P£PoPlP2>
I Ъ°УАР)* еСЛИ p£plP2p3-
Используем теперь фЬ2 для перенесения
барицентрических координат в р0Р±рор3 на
I si I U I sl I • ^TH координаты будут совпадать
с уже приписанными в sj и продолжаются
теперь в s^; мы примем их за нормальные
координаты в 5; и s-*.
Мы можем тем же способом определить
нормальные координаты в других
треугольниках, пересекающихся с s^, затем в
треугольниках, пересекающихся с уже рассмотренными, и т. д. до тех пор, пока
не исчерпаем триангуляцию Д. Если мы придем к треугольнику с более
чем одной стороной, общей с уже встретившимися треугольниками, то
в этом случае достаточно заметить, что отображение / оставляло
барицентрические координаты на сторонах рхръ и р2р3 неизменными.
Таким образом, осуществляя этот процесс один раз для каждой
стороны с уже определенными нормальными координатами, в
результате получим нормальные координаты во всех треугольниках Д.
Пусть теперь Т — звезда треугольников в А и t — евклидова
звезда, составленная из того же числа треугольников. Т гомеоморфно
отображается на t, если каждая точка Р £Т с нормальными
координатами (^0, \ilt \i2) переводится в точку р с теми же
барицентрическими координатами, лежащую в соответствующем треугольнике из t.
Каждый треугольник А может быть барицентрически
подразделен (в нормальных координатах). Это дает Дг— барицентрическое
подразделение Д. В нормальных координатах каждая сторона
124
ГЛ. 5 КОМБИНАТОРНАЯ ТОПОЛОГИЯ
треугольника имеет вполне определенный центр, так что треугольники
в Дг прилегают друг к другу таким образом, как требуется в
определении триангуляции, и мы получаем новую триангуляцию S. На рис. 5.9
сплошные линии обозначают треугольники в Д, а пунктирные линии
вместе со сплошными определяют триангуляцию \.
На триангулируемом многообразии М можно использовать то же
построение, что и выше, для доказательства возможности в любой
цепи треугольников Т на М ввести барицентрические координаты,
совпадающие на общих сторонах треугольников. Эти координаты мы
снова назовем нормальными барицентрическими координатами на Г.
Рис. 5.9
Каждую точку Т можно окружить параметрической окрестностью,
совокупность которых образует покрытие Т открытыми множествами.
Если s2± и s* — два соседних треугольника в Т, то нормальные
барицентрические координаты определяют гомеоморфизм I s* I (J \s?z I на два
соседних евклидовых равносторонних треугольника е2 и е\. Открытые
окрестности, покрывающие I s\ I U \s\ | , отображаются в открытые
в е\\]е\ множества {U;}, покрывающие е\\$е\. Множество е\\]е\
есть компактное подмножество £2 и, следовательно, является
компактным метрическим пространством, в котором за расстояние d(p, q)
между двумя точками р и q принимается обычное евклидово расстояние.
Вспомним, что в абстрактном метрическом пространстве Е
множество точек р^Е, удовлетворяющих соотношению d(p, q) < р для
некоторой данной точки q£E к положительного числа р, называется
сферической окрестностью точка q радиуса р и обозначается S (q, р).
Если А — подмножество Е, то диаметр А определяется как верхняя
грань d(p, q) для всех р(^А, q^A. Установим следующую лемму.
5 3 ОРИЕНТИРУЕМОСТЬ
125
Лемма 5.1. В компактном метрическом пространстве Е
каждому открытому покрытию {0\} соответствует такое
положительное число 8 (называемое числом Лебега покрытия {Ut})t
что любое подмножество Е, диаметр которого меньше Ь, целиком
лежит внутри одного из множеств {Ui}.
В самом деле, предположим, что существует последовательность
подмножеств {At), для которых диаметр Ап меньше \\п и каждое Ап
„слишком велико", т. е. оно не содержится внутри ни одного
множества из покрытия. Пусть qn—произвольная точка в Ап. Так как
Е компактно, последовательность qn обладает предельной
точкой q£E. Из последовательности {qn} мы можем выбрать
подпоследовательность [Япи}> где nk (&—1» 2, . . .) — такая
возрастающая последовательность положительных целых чисел, что
d (qn , Я) < 1/&- Точка q содержится в некотором открытом
множестве Uj£{Ui), и, следовательно, существует положительное число р,
для которого S(q, p)£Uj. Если \jk < р/2, то диаметр Ап меньше
\jnk < 1/&<р/2, так что Ап лежит целиком внутри S(q, р), а
значит, и Uj, что противоречит нашему предположению, что Ап „слишком
велики".
Вернемся теперь к рассмотрению равносторонних треугольников
е\ U е\> каждый из которых имеет стороны длины а. Тогда Л/-е
барицентрическое подразделение состоит из треугольников, диаметры
которых не превосходят (2/3) а. Пусть покрытию {Ut}, состоящему из
образов параметрических окрестностей *), соответствует число Лебега о;
мы можем выбрать N столь большим, что (2/з) а< 8/2. Тогда каждая
пара соседних треугольников в Л/-м барицентрическом подразделении
*\\]е\ лежит целиком внутри одного из множеств покрытия {Ut),
а образ ее в Л/-м барицентрическом подразделении |^|UU|| лежит
внутри одной параметрической окрестности. Так как существует только
конечное число различных соседних пар треугольников в Г, то мы
можем взять наибольшее N и получить N-e барицентрическое под*
разделение Ддг для Т, при котором каждая пара соседних
треугольников в Адг будет лежать целиком внутри одного параметрического
круга. Нами доказана
Теорема 5.8. Для каждой конечной цепи Т треугольников на М
существует такое целое число N, что всякая пара соседних
треугольников в N-м барицентрическом подразделении Т поме-
щаешся в одной параметрической окрестности.
5.3. Ориентируемость. Говорят, что /г-симплекс, п = 0, 1, 2,
на многообразии М ориентирован, если для его п-\-\ вершин уста-
г) Под Ui следует подразумевать образы пересечений параметрических
окрестностей точек, лежащих в l^lul^j, с | s\ | U | s\ |. — Прим. перев.
126
Г Л 5 КОМБИНАТОРНАЯ ТОПОЛОГИЯ
новлен определенный порядок. Мы скажем, что два порядка вершин
определяют одну и ту же ориентацию в sn, если один порядок может
быть получен из другого четной подстановкой множества его вершин.'
Если п > О, то симплекс sn имеет две возможные ориентации;
обозначим симплекс с одной ориентацией через sn, тогда симплекс с про*
тивоположной ориентацией следует обозначить через —sn. Например„
1-симплекс с вершинами Р0 и Рх имеет две ориентации (Р0, Рх) и
(Рх, Р0), где мы используем скобки { ) для обозначения симплекса,,
вершины которого имеют порядок, указанный в скобках. 2-симплекс
с вершинами Р0, Pl5 Р2 имеет две ориентации
(Р2, Ри Р0) = (Л. Р0. Рг) = <Л» Р*. Pi)-
Для удобства мы будем также говорить, что О-симплекс с одной
вершиной Р0 имеет две ориентации, обозначаемые (Р0) и —(Ро)-
Как видно из рис. 5.10, ориентация 2-симплекса индуцирует
ориентацию на каждом 1-симплексе, являющемся его стороной. Например,
ориентация (Р0, Рх, Р2) индуцирует ориентации (Р0, Рх), (Pl5 Р2),
(Р2, Р0) на трех его сторонах. Два примыкающих треугольника
называются когерентно ориентированными, если они индуцируют
противоположные ориентации на их общей стороне (рис. 5.11).
Простая цепь треугольников sj, s2, . . t, s2, n > 2, называется
замкнутой, если «^ и s^ имеют общую сторону. Говорят, что
замкнутая цепь треугольников когерентно ориентирована, если каждый
треугольник ориентирован так, что любая пара прилегающих
треугольников имеет когерентную ориентацию. Многообразие является
ориентируемым, если каждая простая замкнутая цепь треугольников
на многообразии может быть когерентно ориентирована. В противном
случае многообразие называется неориентируемым.
Сфера, плоскость и квадрат дают примеры ориентируемых
многообразий. В действительности, как мы докажем позднее, каждая рима-
нова поверхность ориентируема. Но существуют ли вообще неориен-
5 3. ОРИЕНТИРУЕМОСТЬ
127
тируемые многообразия? Искомые примеры неориентируемых
многообразий дают нам лист Мёбиуса и проективная плоскость. На листе
Мёбиуса (рис. 5.5) цепь /, /У, . . . , VIII является замкнутой, так как
/ и VIII имеют общую сторону RS. Если приписать / указанную на
рисунке ориентацию, то сторона RS будет нести ориентацию (5, R);
если затем приписать когерентные ориентации сначала //, потом ///
и т. д., то мы придем к указанной на чертеже ориентации VIII,
которая опять индуцирует ориентацию (S, R) на стороне RS. Таким
образом, мы нашли замкнутую цепь, которая не может быть
когерентно ориентирована. Аналогично в проективной плоскости (рис. 5.6)
замкнутая цепь 1,2,5,6,4 не может быть когерентно ориентирована.
Если (Р0, Pt) — ориентированный 1-симплекс, то его
барицентрическое подразделение состоит из двух ориентированных 1-симплексов
(Л>» Ли) И —(Л> Лн)> гл-е Лн — центр (Р0, Рг). Далее, если мы
возьмем неориентированный 1-симплекс s1 с вершинами Р0, Р1 и
припишем ориентацию одному из двух 1-симплексов его
барицентрического подразделения, то это определит ориентацию в s1; например,
(Р0»Л)1/ определяет (Р0,Рг), а — (Р0,Р01) определяет —(Р0, Pt). В
ориентированном 2-симплексе (Р0, Plt Р2) мы обозначим центр стороны
(Р,, Р/г) через Pjk, а центр 2-симплекса (центр тяжести) (Р0, Рг, Р2)
через P0i2- Тогда барицентрическое подразделение состоит из шести
ориентированных 2-симплексов (Р0, Р01, Р012), —(Р^ Poi» ^012)»
VI» "l2» "012)» V 2» "l2» "oi2/> V 2» ^2Э> "oi2/> V 0» ^20» "oi2/*
Таким образом, если (Р0, Plt Р2) — ориентированный 2-симплекс
с центром1) Р, а Р^ = Р;Ч — центр стороны (Р/5 Pj), то
барицентрическое подразделение (Р0, Plt Р2) состоит из шести
треугольников вида £tjk(Pit Ptj, Ptjk), где е^ = 1 или —1 в зависимости
от четности или нечетности перестановки (I, j, k) множества (0, 1, 2).
Заметим, что эти шесть треугольников образуют когерентно
ориентированную замкнутую цепь (рис. 5.7). В неориентированном
треугольнике s2 с вершинами Р0, Plt Р2 выбор ориентации одной стороны
определяет ориентацию треугольника; например, (Р0, Pt) определяет
ориентацию (Р0, Pv Р2) треугольника s2. Пусть s^ и s2— два
прилегающих неориентированных треугольника; s2 имеет вершины Р0,
Plt Р2, a si — вершины Ри Р2, Р3, причем сторона РХР2 общая.
Используя нормальные координаты для пары треугольников s2± и S2,,
мы барицентрически подразделим их, а затем когерентно
ориентируем цепи из шести треугольников, входящих в барицентрическое
подразделение каждого из них. Предположим теперь, что каждая
сторона подразделения, лежащая на РгР2, получает противоположную
ориентацию от двух треугольников подразделения, так что замкнутая
Цепь из двенадцати треугольников оказывается когерентно ориенти-
1) Р = ptjki (7f J, k) — перестановка множества (0, 1, 2). — Прим. перев.
128
Г Л 5 КОМБИНАТОРНАЯ ТОПОЛОГИЯ
рованной. Тогда сторона РхРг получает противоположную ориентацию
от каждой пары треугольников подразделения, имеющих общую
сторону вдоль Р1Р2, и, таким образом, определяется когерентная
ориентация в s2± и s^. Итак, нами доказана следующая теорема.
Теорема 5.9. Когерентная ориентация в барицентрическом
подразделении двух прилегающих треугольников определяет
когерентную ориентацию в исходных двух треугольниках.
Чтобы доказать ориентируемость любой римановой поверхности,
мы должны изучить ряд свойств кривых на плоскости. Пусть
С = (а, /) — замкнутая кривая в I2 и Q — точка, не лежащая на С.
Проведем луч из Q к точке a (t), t £ /, и введем „угловую функцию" v
со следующими свойствами:
a) v — однозначная непрерывная функция t для t£I;
b) для каждого t£I v (t) равна одному из значений полярного
угла 6 для луча, идущего от Q к a(t).
Построим такую угловую функцию v. Пусть наименьшее
расстояние \С\ от Q есть о > 0. Разделим / точками 0 = t0 < t1 < ...
... <^tm=l [пусть Ik обозначает интервал подразделения tk^t^tk^t
и Ck = (<x, Ik)\ так, что для любых t', t"£Ik расстояние между a(t)
и си(?') меньше о. Тогда каждая дуга Ck лежит целиком в четверти
плоскости, ограниченной парой перпендикулярных прямых,
проведенных через Q. Если определить v (tf) для одного значения V в Ik, то
существует однозначная непрерывная функция, удовлетворяющая
условию Ь), значения которой при t£Ik не отличаются от v (tr) более
чем на тг/2. Если произвольно выбрать значение v(0), то функция v(Y),
удовлетворяющая условиям а) и Ь), определяется единственным
образом во всех точках /0, а следовательно, и в начальной точке Iv
Продолжая этот процесс, мы определим на / функцию v,
удовлетворяющую условиям а) и Ь).
Из Ь) следует, что v (1)== v (0)-\-2кп, где п—целое число.
Из Ь) видно, что если взять другую угловую функцию v*, для
которой выполнены условия а) и Ь), то v*(£)—v (t) = k (t) 2ти, где k(t)
принимает только целые значения. Так как функции v* и v
непрерывны, функция k также непрерывна; поскольку она принимает целые
значения, k должна быть постоянной и v*(£) — v(t) = 2v:k. Таким
образом,
v* (1) — v* (0) = v (1) — v (0) = 2тгл,
и число п не зависит от используемой угловой функции. Мы
назовем п порядком точки Q по отношению к кривой С; для этого
порядка введем обозначение о (Q, С).
Пусть Qi и Q2—точки в &2, не лежащие на С, которые можно
соединить дугой А, не пересекающейся с кривой С; тогда о (Qlt С) =
= о (Q2, С). Действительно, угловая функция v (t) зависит непрерывно
5 3 ОРИЕНТИРУЕМОСТЬ
129
от О, а так как о (Q, С) = (1/2тс) [v (1) — v (0)] принимает только целые
значения, то порядок не изменяется вдоль дуги А.
Если кривая С = (ос, 7) гомотопно деформирована в кривую
С = (<хг, У), минуя в процессе деформации Q, то о (Q, С)= о (Q, С).
[Точнее, мы требуем, чтобы функция ср, осуществляющая деформацию
IXJ-+&2 с ?(?, 0) = а(Г), ?(?, 1)=а'(*), была такова, что Q^cp (7, 7).]
Действительно, угловая функция v (t) при деформации С изменяется
непрерывно, а так как (1/2тс) [v(l) — v (0)] = о (Q, С) может быть
только целым числом, то это число не меняется в процессе
деформации. Таким образом, если G— область в I2 с Q^G и кривые С
и С принадлежат одному и тому же гомотопическому классу на
многообразии G— Q, то о (Q, С)= о (Q, Сг). Покажем теперь, что
обратное также справедливо в случае односвязности G.
Теорема 5.10. Для односвязной области G гомотопический класс
в G — Q, содержащий кривую С, характеризуется величиной
о (Q, С), так что С^С в G—Q в том и только в том
случае, когда о (Q, C) = o(Q, Сг).
Пусть ^ = ^0 + ^0 — координата Q, круг \z— z0 | ^ р лежит
в G и К — его граница | z — Zo\ = p, ориентированная против часовой
стрелки; /С=({3, 7), где $ (t) = ре2Ш. Пусть С = (а, 7)— произвольная
замкнутая кривая в G — Q. Точку а (0) можно соединить с р (0) = z0-\- р
дугой Л = (^, I) в О — Q. Тогда кривая А~ С А представляет
элемент фундаментальной группы $Г для области G — Q относительно
точки (3 (0), а так как G односвязна, то А~ С А можно деформировать
в G в точку р (0). Далее, А~1СА^С в G — Q, так как если положить
Аи = (*[и, 7), где^ц(0 = 7 (и+*(1 — и)), то кривая Л^СЛц изменяется
в G — Q непрерывно от А~гСА к С. Пусть функция ср : 7 X /-*G
деформирует кривую Л~1СЛ = (а1, 7) в [3(0) так, что ср(£, 0) = ^(^),
ср (£, 1) — р (0). Определим новую деформацию ф : / X I -^G — Q
кривой А~1СА в кривую С', лежащую в круге \z — £0|<; р. Для всех t9
при которых | осх (t) — z0 | <С р, и всех и £ / полагаем ф (£, и) = оЛ (t).
Пусть теперь t таково, что | ах (t) — z0 | > р. Заметим, что при
изменении и от 0 до 1 ср(£, а) непрерывно изменяется от ах (t) до £0Ч~"Р
и, таким образом, существует первое значение и, скажем ии для
которого
|ср(*. и) — z0\ = p.
Мы определяем ф(£, м) следующим образом:
( ср(Л и), 0<и< alf
ф(£, w) = {
I Ср(^, «J, «!<«< 1.
Пусть С' = (а', 7), где а'(0—-ф(^, 1); С' является замкнутой кривой,
лежащей в круге |z-0o|<p, и С'^А^СА^С в G —Q, так что
o(Q, C) = o(Q, СО-
130
ГЛ. 5. КОМБИНАТОРНАЯ ТОПОЛОГИЯ
Как мы это проделывали выше, разделим С на дуги С'. — (а'г /Л,
У = 0, 1, ..., т—\ так, чтобы | v(*') — v(f") ]< тг/2 для *', Г £ /у.
Пусть Kj = (fyj, Ij) — дуга на \z — 20| = Р» где
Прямолинейный отрезок от (3;.(f) до a'(f), t£fj, не проходит через Q,
так как и С, и /С, лежат в угле раствора тг/2 с вершиной в Q.
Следовательно, мы можем определить деформацию ср. кривой С. в /С.,
которая минует Q, следующим образом:
Фу 0, а) = ^ (*) + (1 _ я) а' (0, * 6 /у.
Так как
m-l
27Г О (Q, С) = V (1) - V (0) = 2 [v (*у + 1) - v (*у)] =
; = о
т-1
/ = 0 у у
то кривая /Co/Ci ... Km_i = Kn, где /г = о (Q, С). Далее, С —
= С^...С^г_1, и из того, что C'^Kj, следует, что С ^Кп
в G— Q. Таким образом, С^Кп в G — Q, где п~ о (Q, С). Если
°(Q»C1)=°(Q» С2) = /г, то C1^^Knt С2^Кп, откуда вытекает,
что С^С2, Если С±^Кп и С2«/Сш, то СА^^™; таким
образом, АГ является образующей фундаментальной группы £f' (G— Q>
для G — Q, и S^ (О — Q) изоморфна аддитивной группе целых чисел.
Если G — односвязная область в $2, то q?~(G)2^c7, и если G
гомеоморфна G' с!2, то (по теореме 4.5) S^\G')^^" {G)~ g,
так что G' также является односвязной. Более того, если Q£G
отображается в Q'£G\ то <Zf(G — Q)^^(Qf — Q0. Пусть К'—
окружность с центром в Q' £ G'\ тогда К', ориентированная против
часовой стрелки, является образующей группы $~' (Gr — Q') и
°(Q/, А7) = 1. Окружность К отображается в замкнутую кривую f (К),
которая также является образующей ST {Gr — Q'), ибо <ff' (Gr — Q) =
~^(G—Q), в силу чего o(Q',/(/C))=± 1. Более того, o(Q'f/(C))=
= °(Q/» f(K))°(Q> С) для любой замкнутой кривой С в G — Q,
Справедливость этого соотношения вытекает из того, что если п —
= o(Q, С), то С^Кп и f(Qttf(Kn)^lf(K)]n. Но тогда
o(Q',/(C))=o(Q', [/(/C)n = /i[o(Q\/(^))]=o(Q>C)o(Q'f/(/C))f
что мы и утверждали. Если o(Q', /(/^)) = -^1, то мы скажем, что
отображение / сохраняет направление вращения в Q; в этом
случае o(Q', /(С))= o(Q, С) для всех С в G —Q.
Порядок Q по отношению к кривой К дается также формулой
К к
5.3. ОРИЕНТИРУЕМОСТЬ
131
где z0 — координата Q. При конформном гомеоморфизме w = f(z)
области G на G' кривая К переходит в кривую f (К), и порядок Qf
по отношению к f (К) будет равен
о (СУ. /СО) = ^гД/(дг)агг(«'-«'о) = ^г /~^W =
/да
_ 1 Г /' (^ dz
2ni J f(z)-f{Zo) '
К
Этот интеграл может быть подсчитан по теореме вычетов, и он ра-
f(z)
вен вычету функции ,( .__ ' , в точке z = z0, а именно
Так как Q — произвольная точка G, мы заключаем, что
конформный гомеоморфизм сохраняет направление вращения во всех
точках G. Это позволяет нам определить порядок точки Q на ри~
мановой поверхности 5 относительно кривой С, лежащей целиком
внутри одного локального параметрического круга, содержащего Q„
Для этого мы рассматриваем С как плоскую кривую в ее
параметрическом круге и вычисляем о (Q, С). В силу того, что переход к
другому параметру осуществляется конформным отображением, при
использовании другого параметра направление вращения сохраняется.
Пусть Т — произвольная замкнутая цепь треугольников на рима-
новой поверхности S. Мы можем подразделять Т барицентрически N
раз до тех пор, пока каждая пара прилегающих треугольников в N-m
подразделении Тп не будет целиком лежать в одном параметрическом
круге. Каждый треугольник s2 из 7V является гомеоморфным
образом евклидова равностороннего треугольника е2; границу е2 мы можем
параметризировать так, что она будет замкнутой кривой, порядок
относительно которой для любой внутренней точки е2 равен ± 1;
знак зависит от способа параметризации. Поэтому граница s2 есть
также замкнутая кривая С на S, которая предписывает порядок ± 1
всякой точке внутри s2 в зависимости от параметризации С.
Возьмем теперь такую параметризацию каждого треугольника Т^, для
которой порядок любой внутренней точки треугольника был бы
равен -f-1. Эта параметризация границы каждого s2 в 7V определяет
порядок вершин s2 и, следовательно, ориентацию s2, которую мы
назовем положительной ориентацией. Мы докажем, что
положительная ориентация является когерентной ориентацией в Т^, и,
следовательно, она определяет когерентную ориентацию в Т.
Если sf и sj — два прилегающих треугольника в TN, то они
содержатся в параметрическом круге D. Пусть Р0, Р1э Рг — веРшины2^^
а Ри Р2, Р3— вершины s22, так что сторона РхРг общая.
Предположим, что ориентация (Р0, Pv Рг) является положительной для s2^
132
ГЛ. 5 КОМБИНАТОРНАЯ ТОПОЛОГИЯ
Можно произвести в 1 s\ I гомотопную деформацию стороны РХР2
в кривую, составленную из двух сторон РХР3 • ^W Тогда кривая С,
составленная из отрезков Р2Р0 • PqP\ ' ^Л * ЛЛ» придает порядок -f-1
любой точке Qlt внутренней к s2. Мы можем соединить Qx с
точкой Q2, лежащей внури I s2, |, кривой, расположенной внутри I sj I |J \s* I
так что Q2 будет также иметь порядок -f-1 по отношению к С.
Деформируем затем кривую Р2Р0-Р0Р1 гомотопно в Р2Р\ в | s2!
Тогда замкнутая кривая Р2РХ • РЛ * ^з^2 предписывает порядок -f-1
точке Q2, так что треугольник (Р2, Pls Р3) имеет положительную
ориентацию. Сторона Р1Р2 получает, таким образом,
противоположные ориентации от положительных ориентации sj и s%. Этим
закончено доказательство следующей важной теоремы. .
Теорема 5.11. Всякая риманова поверхность ориентируема.
Возвратимся теперь к случаю произвольной поверхности S с
заданной триангуляцией А.
Теорема 5.12. Если поверхность S ориентируема, то можно
приписать ориентацию каждому треугольнику из А таким
образом, чтобы всякая пара прилегающих треугольников оказалась
когерентно ориентированной.
Для доказательства возьмем произвольный треугольник из А,
скажем s2, и припишем s^ какую-либо ориентацию. Ориентируем затем
когерентно все треугольники в А, имеющие общую сторону с s*.
Далее, припишем когерентную ориентацию всем треугольникам,
имеющим общую сторону с уже ориентированными. Если на этом пути
мы придем к треугольнику s2, имеющему две общие стороны с уже
ориентированными, то мы можем найти две различные цепи
треугольников, ведущие из s2 к s2, в которых все треугольники, за
исключением 52, ориентированы. Это даст нам замкнутую цепь
треугольников, из которой можно выделить простую замкнутую цепь,
содержащую s2. В силу ориентируемости S эта простая замкнутая цепь
треугольников может быть когерентно ориентирована, так что s2
может быть приписана ориентация, когерентная по отношению к его
обоим соседям. Так как все треугольники в А могут быть соединены
с s2 конечной цепью треугольников, в этот процесс обязательно
включится каждый треугольник, и, следовательно, когерентная
ориентация вводится во всех треугольниках триангуляции А.
В гл. 9 мы докажем, что всякая риманова поверхность
триангулируема, и, таким образом, использование слова „поверхность" будет
оправдано. Мы также уже видели, что всякая риманова поверхность
ориентируема. Эти два свойства в действительности характеризуют
класс римановых поверхностей.
5 3. ОРИЕНТИРУЕМОСТЬ
133
Теорема 5.13. На всяком многообразии М, которое является
одновременно триангулируемым а ориентируемым, можно
определить аналитическую структуру, превращающую М в рима-
нову поверхность 2).
Мы должны доказать существование на М совокупности
координатных окрестностей, в которой пересекающиеся окрестности
индуцируют конформные отображения в координатные плоскостях.
Предположим, что ориентируемая поверхность S имеет триангуляцию А,
в которой введена когерентная ориентация и нормальные
барицентрические координаты. Фиксируем равносторонний треугольник е2
в S2 и отобразим каждый треугольник s2 из А барицентрически на е2
таким образом, что ориентация s2 переходит в положительную
ориентацию е2. Эти отображения определяют координаты в окрестности
каждой точки, лежащей внутри какого-либо треугольника из А.
Если точка Р лежит на стороне треугольника s2£ А, но не является
его вершиной, то существует другой треугольник S;£A, на стороне
которого также лежит точка Р. Отобразим затем барицентрически
I 5i I U I $21 на СУММУ ДВУХ прилегающих равносторонних
треугольников е2 и е\ так, что ориентации s\ и s\ переходят в положительные
ориентации е2 и е\. Точка Р отображается в точку р^е\[\е\.
Примем за координаты в окрестности точки Р координаты
соответствующих точек в окрестности р. В окрестности любой точки из е2 или е\
эти координаты являются аналитическими функциями ранее
определенных координат, так как аффинное отображение одного
равностороннего треугольника на другой является конформным, будучи
в действительности преобразованием подобия $2 и, следовательно,
целым линейным преобразованием.
Остается рассмотреть только случай, когда Р — вершина, общая
для п треугольников s2, s2, ..., s2t из А. Отобразим сначала s2^
барицентрически на равносторонний треугольник е2 в <§2, вершина
которого, соответствующая Р, лежит в начале координат. (При этом
отображении, так же как и при последующих, ориентация s2.
переходит в положительную ориентацию е2Л Затем отобразим s2
барицентрически на равносторонний треугольник е\ с вершиной,
соответствующей Р, в начале координат и общей с е\ стороной,
соответствующей стороне | ^i [ П (*5| [- Продолжая таким образом,
отобразим s2 барицентрически на равносторонний треугольник е2 с
вершиной, соответствующей Р, в начале и общей с е2._г стороной,
соответствующей |sj_1|n|^|. Цепь треугольников e2v е\, ..., е2п покроет
х) Эта теорема была впервые доказана Стойловым ([1], стр. 77). Другое
доказательство было дано Хейнсом ([2], стр. 951). Приводимое здесь
доказательство предложено М. Розенлихтом.
134
ГЛ 5 КОМБИНАТОРНАЯ ТОПОЛОГИЯ
окрестность начала координат полностью один раз только при п = 6.
В противном случае произведем преобразование С = £6//г, и образ-
цепи треугольников образует окрестность начала в С-плоскости,
Используем в качестве локальных координат относительно Р коор->
динаты соответствующих точек в С-плоскости. Так как отображение
С = £€//г конформно в проколотой окрестности Z—Q, то эти
координаты являются аналитическими функциями ранее определенных, и они
дают нам аналитическую структуру на S. Поскольку аналитическую
структуру мы можем ввести на S не единственным образом, мы
видим, что каждое ориентируемое многообразие соответствует целому
классу римановых поверхностей.
5.4. Дифференцируемые и аналитические кривые. В <§2 кривая
С = (а, I) называется дифференцируемой, если функция z = a(t) =
= ai (0 ~г~ *'а2 (0 имеет непрерывную первую производную по
действительному переменному t£I и doc/dt^O. Следуя этому,
скажем, что кривая С = (а, /) на римановой поверхности S
дифференцируема, если:
a) функция f (t)-y(tt(t)), выраженная через локальный параметр
z = y(P) в окрестности всякой точки Р0 = а(£0) на С, имеет
непрерывную производную по t в интервале, содержащем f0, и
b) f (to) Ф 0 (при ^0 = 0 или t0=\ мы имеем в ввиду
односторонние производные).
Это определение инвариантно относительно замены переменных
на S; действительно, если w = ty(P) — другой локальный параметр
в окрестности Р0, то w = ^(^"1(z))=^w(z)— аналитическая
функция от z и ?УГ^)Ф0. Для g(t) = ty(<x(t)) имеем g' (t) = w' (z) f (t)t
так что gf (t) непрерывна и не обращается в нуль. Если
С—-замкнутая кривая на 5, то мы можем периодически продолжить
определение а на интервал —со < t < сю, положив <x(t-\-l) — (x(t).
Замкнутая кривая С дифференцируема, если условия а) и Ь) выполняются
для интервала — со < t < со.
Аналогично мы скажем, что кривая С — (а, /) на S аналитическая*
если:
а;) функция / (t) = ср (a (t)), выраженная через локальный
параметр z = ср (Р) в окрестности любой точки Р0 = a (t0) на С, является
аналитической функцией действительного переменного t в интервале,
со
содержащем tQ, т. е. f(t) = ^an(t — t0)n и ряд сходится в окрест-
/1 = 0
ности t0t и
Ь') «1 =Т(!о)фо.
В случае замкнутой кривой С опять распространяем
определение а на —со<£<со, полагая a(t-\-I) = a(t); мы скажем, что
С аналитична, если а') и Ь') выполняются для всех t, —оо<£<оо.
5.4. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ 135
Так как переход к другой системе координат производится
конформным отображением, это определение инвариантно на 5.
с»
Если ряд 2а/г(? — ^о)Л сходится для \t — /0|<8, 8>0, то он
/г = 0
сходится для комплексного z = t-±-is в круге D: | т —10\< 8.
Таким образом, функция f (t) = y(a(t)) аналитически продолжается
в круг D комплексной т-плоскости, а так как f'(t0)=f=Q, мы можем
выбрать 8 столь малым, чтобы / осуществляла взаимно однозначное
конформное отображение D в окрестность точки £0 = cp(P0) в
^-плоскости. Мы можем, таким образом, использовать функцию т =
= /~1(ср(Р)) в качестве локального параметра в окрестности точки Р0.
Дуга С в окрестности Р0 будет в этих локальных координатах
соответствовать отрезку действительной оси. Кривая С = (а, /) называется
кусочно аналитической, если С = СХС2 ... Сл, где Ck = (a, Ik),
Ik — интервал ^fe_t ^t ^.tk, 0 = £0 < ^ < . . . < tn = 1 и каждая Ck
есть аналитическая кривая. Аналогично определяется кусочно диф»
ференцируемая кривая как кривая, в которой дуги Сх> С2 Сп
являются дифференцируемыми кривыми.
Теорема 5.14. Всякая простая замкнутая кусочно
аналитическая кривая С на римановой поверхности S локально
разделяет S.
Пусть точка Р0 на С не является концом аналитических дуг,
составляющих С. Мы можем взять за разделяемую окрестность Р0
параметрический круг, в котором С служит диаметром. Если Р0 —
конец аналитических дуг Ck и Ck+1, то мы можем взять
параметрический круг D:\z\<i 1 с центром в Р0, в котором Ck служит
радиусом от 0 до 1, а Ск+1 — аналитическая дуга, исходящая из центра.
Пусть z = ср (Р) — локальный параметр в D с ср (Р0) = 0; тогда часть
Ck+1 в D представляется как z = f (t) = ф (a (t)), tk^.t ^ ^+i <^ tk+1,
где /(£)— аналитическая функция t и f(tk) — Q. Функция \f(t)\
возрастает при изменении t в интервале1) tk4^t < £'. Обозначим через р0
*) Это легко доказать, оценивая производную вблизи t = /#.
Пусть /(/) = (Y — ^) (аг -\~(t — tk) а2 + ...), где d^ =^ 0 по определению
-аналитической кривой. Тогда при t > t%
tk)\*i + (t-tk)a2+ ...(
*k)*2+ ...\ + (t-tk)d]ai +'"', (*>
l/(OI = C-
dt
l*i + (f —
136
ГЛ. 5 КОМБИНАТОРНАЯ ТОПОЛОГИЯ
минимум |/(01 Для t^>tr. В качестве разделяемой окрестности Р0
мы можем взять любой круг |г|<р при р < р0. В круге |г|<р0
дуга Ck+l имеет уравнение в полярных координатах 0 = /г(г), где
z = reib и h определяется единственным образом при условии
О < h < 2тг.
Дуги Ck и СкАЛ делят круг | z | < р на два непересекающихся
непустых открытых множества Ах и Л2, где Лх состоит из тех
точек reib, для которых 0 < г < р, 0 < 8 < /г (г), а Л2 состоит из
точек reiH, для которых 0 < г < р, h (г) < 8 < 2тг. Таким образом,
доказательство закончено.
Говорят, что замкнутая простая кривая С = (а, /) на 5 имеет
дзе стороны (является двусторонней), если существует область (/
на S, для которой \C\aG, такая, что G — \С\ распадается на два
непересекающихся непустых
множества. В противном случае С
называется односторонней. Суще-
R ствование односторонних кривых
на некоторых поверхностях иллю-
0, стрирует лист Мёбиуса, показан-
Рис. 5.12 ный на рис. 5Л2, в котором
вертикальные стороны
прямоугольника отождествляются, как указано на чертеже. Горизонтальная
линия RR, соединяющая середины вертикальных сторон, является
замкнутой кривой С, и любая область, содержащая С, остается связной»
если из нее удалить С.
Теорема 5Л5. На рамановой поверхности S каждая простая
замкнутая кусочно аналитическая кривая С является
двусторонней.
Любая точка С есть центр параметрического круга, разделяемого
кривой С. В силу компактности \С\ достаточно конечного числа этих
кругов Uit U2, ..., Uп, чтобы покрыть \С\. Можно найти другое
покрытие \С\ параметрическими кругами V1, V2, ..., Vn, при
котором VnczUk. В самом деле, если \С1\ — часть \С\, лежащая в Uu
но не попадающая в другие Uk, k~2, 3, ..., я, то \СХ\ компактна
и \C1\czUl. Пусть z1 = yi(P)— локальный параметр в U^ тогда
круг | zx \ < 1 — е содержит | Ct | при достаточно малом
положительном г. В качестве множества Vx возьмем круг | zi \ < 1 — г и
заметим, что открытые множества Vx, U2, ..., Un также образуют покры-
причем d\ax-\- . ..\ jdt существует в некоторой окрестности t^ ибо а{ Ф 0.
При t достаточно бкизких к tk второе слагаемое в (*) будет как угодно
мало и d\f(t)\ldt>0. — Прим. перев.
5 4 ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
137
тие | С |. Предположим теперь, что Vl9 V2> ..., Vj уже определены
так, что Vk cz Uk, и Vl9 V2, ..., VJt UJ+1, ..., Un образуют
покрытие \C\. Пусть \CJ+l\ — часть С, лежащая в UJ+l, но не попадающая
ни в одно Vk, k= 1, . . ., j или Uk, k = j-\-2% . . ., п. Так как \CJ+l\
компактна и лежит в Uj+1, мы можем использовать локальный
параметр zJ+1 в UJ+l и определить круг VJ+1:\zJ+1\ < 1—s, где
г— достаточно мало, такой, что | С^ \ cz Vj+1. Тогда Vlf V2, ...,
Vjjli, Uj+2> • • •> Un образуют покрытие \C\. Таким образом, по
индукции определяем искомые множества Vl9 V2, ..., Vn.
Найдем теперь новое конечное покрытие С параметрическими
кругами, каждый из которых разделяется кривой С, причем это
покрытие должно обладать добавочным свойством: если два из этих
кругов пересекаются, то они лежат в одном и том же множестве Uk
исходного покрытия \С\. Пусть Р0 — произвольная точка на С;
Р0 лежит внутри одних Vk, k£K, и на границе других множеств Vp,
k£K\ где К и Кг — множества индексов, составленные из целых
чисел 1, 2, . . ., п. Если Р0 лежит на границе множества 1/;>, k^K',
то Р0 — внутренняя точка для Uk, так как VkczUk. Множество
образует окрестность P0, и мы можем взять параметрический круг W
с центром в Р0, который разделяется кривой С и содержится в N.
В силу компактности | С | конечное число множеств W, скажем
Wt, W2, ..., Wm, покроет С. Предположим теперь, что Wt и Wj
имеют общую точку Р. Центр круга Wt находится на С и,
следовательно, принадлежит некоторому Vk\ таким образом, по определению,
WtczVk и P£Vk. Но так как множество Wj содержит точку из Vk,
все множество Wj должно содержаться в Uk по определению. Таким
образом, Wt и Wj оба содержатся в одном и том же круге Uk, что
нам и требовалось.
т
Пусть G~\\Wt\ мы покажем, что область G, которая, очевидно,
содержит кривую С, распадается на две непересекающихся непустых
области, когда С удаляется из О. Каждый из кругов Ut (или Wt)
делится на две части кривой С. В каждой точке С в Ut (или Wt),
в которой С аналитична, кривая С имеет вектор касательной,
ориентированный в направлении возрастания параметра вдоль С. Таким
образом, если С = (а, I) и z = o(P) — локальный параметр в Ui
(или Wt), то z = (fl<x(t)) = f(t) — уравнение С в этом круге и
направление касательной определяется углом zxgdfjdt. Говорят, что
/л. 5. КОМБИНАТОРНАЯ ТОПОЛОГИЯ
часть U\ (или Wt), лежащая с той же стороны, что нормаль к-
кривой С с направлением [arg(df/dt) — тс/2], лежит справа от С,
а часть Ut (или W^, которая находится со стороны нормали к С,
проведенной в направлении [arg(<i//^) + Tc/2], лежит слева от С.
(Эти определения остаются в силе и при замене локального параметра,
так как преобразование координат конформно и направление
вращения не изменяется.) Очевидно, если Wtcz>Uit то часть Wt, лежащая
справа от кривой С, лежит справа от С также и в Ut. Обозначив
через W? часть Wt, лежащую справа от С, и через Wf часть Wt>
т т
лежащую слева от С, положим G+ = MW7b hG~=M\#7\ Тогда
/=1 i=1
G+\J0~ = G — |С|; докажем, что G+f|G~ = 0. В самом деле,
пусть P^G+(]G~; тогда Р ^W? и Р £WJ для некоторых i и j\
Поскольку Wt и Wj имеют общую точку Р, они лежат в одном
и том же Uk. Таким образом, Р лежит в Uk как справа, так и слева
от С, но это невозможно, так как Uk делится кривой С на две
непересекающиеся части, одна из которых лежит справа, а другая
слева от С. Таким образом, доказательство двусторонности С
закончено.
В заключение этого пункта укажем на другое свойство
аналитических кривых. Пусть С1 = (а, /) и С2 = ([3, I) — замкнутые
аналитические кривые, пересекающиеся по бесконечному множеству точек; тогда
носители Сх и С2 совпадают: J Сх j = [ С2 j. В самом деле, \СХ\ и
\С2\—компактные множества, и точки их пересечения должны иметь
предельную точку Р0 = a(t0) = Р(т0). Мы можем найти затем такую
последовательность точек пересечения {Рп}, что Рп —>Р0, Рп = а (tn) =
= р(тд), tn~+t0£I и т:я->т0£/. Примем ^ = ^ + ^ и С = т + /<5
за параметры в окрестности Р0, так что в .г-плоскости Сх будет
располагаться вдоль действительной оси, а в С-плоскости С2 будет
располагаться вдоль действительной оси. Получаем конформное
отображение С = /(г), для которого 1т/(*я) = 0 при п=1, 2, ...
оо сх>
и tn -> t0. Если /(г) = 2 К+И»„) (г-г0)л. то /(/)=2 (an+ibn) (t-t0f
п-0 /2 = 0
со
и lmf(t) = ^bn(t — t0)n. Таккак lmf(tn) = 0 для последовательности,,
я = 0
имеющей t0 своей предельной точкой, то Ьп = 0 для /г = 0, 1, 2,.. .
и lm/(f) = 0, т. е. f(z) отображает действительную ось в
действительную ось. Таким образом, в окрестности Р0 носители Сх и Сг
совпадают. При помощи аналитического продолжения получаем,,
что \Сг\ и | С21 совпадают во всех точках.
5.5. Нормальные формы компактных ориентируемых
поверхностей. Имея дело с топологией поверхностей, удобнее наглядна
представлять себе модель, гомеоморфную рассматриваемой поверх-
5 5 НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
139
ности, чем мыслить ее абстрактно. Такие модели способствуют
интуитивному пониманию решаемых проблем и помогают более полно
осмыслить найденные результаты. Для компактных поверхностей такие
модели легко указать. Эти модели называются нормальными
формами и обладают тем свойством, что каждая компактная
ориентируемая поверхность гомеоморфна одной и только одной нормальной
форме *).
Первое, к чему мы собираемся приступить, это „развернуть"
данную компактную ориентируемую поверхность S. Фиксируем
триангуляцию А на S с когерентной ориентацией
и нормальными барицентрическими
координатами. В силу компактности 5 эта
триангуляция содержит только конечное число
треугольников. Отобразим один из этих
треугольников, скажем s*t барицентрически на
евклидов треугольник е\. Возьмем затем
прилегающий к s\ треугольник s\ и отобразим
его барицентрически на евклидов
треугольник е\, прилегающий к е\ вдоль
соответствующей стороны. Когерентная
ориентация s\ и s\ индуцирует ориентацию границы
многоугольника j^|U|^[, а следовательно,
и границы многоугольника е\ U е\ (рис. 5.13).
Многоугольник е\ I) е\ можно топологически г°
отобразить на квадрат так, что стороны пе- Рис. 5.13
рейдут в стороны, и вместо е\ U е\ мы будем
рассматривать теперь этот квадрат. Выберем затем треугольник s\,
имеющий общую сторону либо с s\, либо с s\, и отобразим его
барицентрически на евклидов треугольник #|, прилегающий к
соответствующей стороне е\ или е\ и не налегающий ни на e2v ни на е\.
Когерентная ориентация этих трех треугольников снова определит
ориентацию границы многоугольника ё\ (J е\ (J е\. Этот многоугольник
е\ U е\ U е1 можно топологически отобразить на правильный
пятиугольник так, что стороны перейдут в стороны, и этот многоугольник
мы будем рассматривать как е\ U е\ U е\- Этот процесс будет
продолжаться до тех пор, пока мы не используем все треугольники из А,
причем мы все время заботимся о том, чтобы уже выбранные
треугольники не перекрывались. Мы придем, таким образом, к плоскому
!) Мы следуем здесь Лефшецу ([2], стр. 73—80) и Зейферту и Трель-
фаллю ([1], стр. 153—164). В доказательстве, представленном Лефшецем,
имеется пробел (на стр. 78, строка 3). Оба доказательства, на которые мы
ссылаемся, проводятся для любых компактных поверхностей, однако мы
рассматриваем здесь только ориентируемые компактные поверхности.
140
Г Л 5 КОМБИНАТОРНАЯ ТОПОЛОГИЯ
правильному многоугольнику П с ориентацией на границе, индуц;>
рованной ориентациями отдельных треугольников 5д. Назовем эту
ориентацию положительным направлением обхода границы П.
Пусть А состоит из п треугольников; легко доказать индукцией
по п, что П имеет п-\-2 стороны. Так как каждая сторона
принадлежит в точности двум треугольникам в А, в точности две стороны
многоугольника II соответствуют одной и той же стороне в А. Таким
образом, П имеет четное число сторон. Топологическую модель S&
мы получим теперь простым отождествлением (склеиванием) парных
сторон многоугольника П.
а ь-1
Рис. 5.14
Пусть s1 = (/?, q) — сторона А, соответствующая двум сторонам П.
Вершина р стороны s1 тогда соответствует двум вершинам П, которые
мы обозначим буквой Р\ подобным же образом q соответствует двум
вершинам П, которые мы обозначим буквой Q. При обходе
границы П в положительном направлении мы встретим один раз
сторону PQ (сначала мы встретим Р и потом Q) и встретим один раз
сторону QPt так как два треугольника из А, имеющие сторону pqf
индуцируют противоположные ориентации на ней. Обозначая
сторону PQ буквой а, мы используем а-1 для обозначения стороны QP
(рис. 5.14). Таким образом, мы припишем букву каждой стороне П.
Мы получим символ для многоугольника П, выписывая эти буквы
в том порядке, в котором они встречаются при обходе границы П
в положительном направлении. Символ для многоугольника,
изображенного на рис. 5.14, имеет вид abcb_1a-1 dc-1d-1.
Если многоугольник II разрезать теперь на два многоугольника
вдоль прямой, соединяющей две его вершины, а затем эти две части
5 5. НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
141
снова склеить вдоль пары отождествленных сторон, чтобы
эквивалентные точки соответствовали друг другу, и отождествить две
стороны разреза, то мы получим новый многоугольник П/ с парами
отождествленных сторон. Оба многоугольника П и II7 представляют
одну и ту же поверхность S, так как отождествляемые точки не
менялись в этом процессе. Имея это в виду, приступим к упрощению
структуры многоугольника П, представляющего данную поверхность 5.
Во-первых, циклическая подстановка букв в символе для II при-
водит к другому символу для того же самого многоугольника П.
Далее, если буквы аа-1 появляются в символе как соседние
стороны П и если символ имеет по крайней мере еще одыу букву
(а следовательно, имеет самое меньшее четыре буквы), то буквы аа-1
R R R
можно выкинуть из символа, и мы получим новый символ для II.
Рисунок 5.15 достаточно доказательно иллюстрирует этот процесс.
Многоугольник с двумя сторонами, аа-1, с которым мы не можем
поступить таким образом, является одной из наших нормальных форм.
В дальнейшем мы можем предполагать, что многоугольник II имеет
по меньшей мере четыре стороны.
Мы преобразуем теперь П в многоугольник, в котором все
вершины соответствуют одной и той же точке на S. Обозначим одну
из вершин II через Р и этой же буквой пометим все другие
вершины П, соответствующие той же точке на S, что и первоначально
взятая. Так помеченные точки образуют класс эквивалентных вершин.
Если имеется сторона а многоугольника II, у которой одна вершина
не помечена, то обозначим эту вершину через Q, так же как и все
другие вершины П, эквивалентные Q. Мы получим тогда второй
эквивалентный класс вершин. Покажем сейчас, как уменьшить число
вершин Q на 1, увеличив при этом число вершин Р на 1. Пусть
a = PQ, а Ь— сторона многоугольника II, имеющая с а общую
вершину Q. Мы знаем, что b не есть а-1, ибо в противном случае
мы имели бы в символе аа-1, что уже исключено. Соединим другую
вершину R стороны b (R может быть Р или Q) с вершиной Р
142
ГЛ. 5. КОМБИНАТОРНАЯ ТОПОЛОГИЯ
стороны а диагональю с; получим треугольник А со сторонами а, Ь, с.
Отрежем треугольник Л вдоль стороны с от многоугольника Л и
затем приклеим А вдоль его стороны b к стороне Ь""1 оставшейся
части П. Полученный новый многоугольник IP имеет то же число
сторон, что и П. Вначале треугольник А присоединялся к
многоугольнику П по стороне PR, так что вершина Q располагалась снаружи.
После только что указанного преобразования тот же треугольник А
будет присоединен к II по стороне RQ и снаружи окажется уже
вершина Р. Таким образом, многоугольник IP имеет на одну
вершину Р больше и на одну вершину Q меньше, чем П. Идя таким
путем, мы получим многоугольник IP, в котором все вершины
эквивалентны и обозначаются буквой Р.
Пару сторон а и b будем называть сцепленной, если она
появляется в символе для многоугольника П в следующем порядке:
-1 <-i
.a... b... а"
(1)
Покажем теперь, что каждая сторона многоугольника П (у
которого все вершины эквивалентны) сцеплена с некоторой другой
стороной. В противном случае существовала бы такая сторона с,
что все стороны между сие-1 попарно отождествлялись бы между
собой, так что для каждой стороны е, расположенной между с и с-1,
противоположная сторона е-1 также лежит между с и с-1. Выберем
затем точку на стороне с, не являющуюся вершиной Я, и соединим
ее прямолинейным отрезком d в П с эквивалентной точкой на с-1.
Эта прямая разделит II на две части, П^ и П2, в которых Р и точки
а 4
а-'\ i
с-*
Рис. 5.16
на d отождествляются. Но одна вершина Р стороны с лежит в Ии
а другая вершина Р лежит в П2, а это невозможно, так как тогда Р
не имела бы евклидовой окрестности на поверхности. Таким образом,
каждая сторона П сцеплена с другой. На рис. 5.16 показано, каким
образом можно преобразовать П так, что сцепленная пара (1)
заменится на последовательность cdc~1d~1. Дальнейшее применение
процесса соединения сцепленных пар не затрагивает уже соединенных,
и в конце концов мы получим искомую нормальную форму.
5.5. НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
143
Теорема 5.16. Нормальной формой компактной ориентируемой
поверхности является многоугольник, имеющий символ
я) аа_ * или
Ь) aiMr^brV'M^biT1 ... ashgag]bg\
В случае а) мы говорим, что нормальная форма имеет род нуль..
а в случае Ь)— что нормальная форма имеет род g.
Рис. 5.18
Нами получены теперь нормальные формы компактных
ориентируемых поверхностей в виде многоугольников определенного вида
с парами отождествляемых сторон. Топологической деформацией
нормальная форма может быть преобразована в выпуклый правильный
многоугольник. Как будут выглядеть эти нормальные формы, когда
мы в действительности склеим отождествляемые стороны? Начнем
с нормальной формы рода нуль. Склеивая стороны а и а _1 на рис. 5.17,
мы получим поверхность, топологически эквивалентную сфере. Нам
будет удобно представлять сферу сделанной из резины; разрезая
144
ГЛ. 5. КОМБИНАТОРНАЯ ТОПОЛОГИЯ
затем сферу вдоль пунктирной линии а и развертывая ее, мы
получим „многоугольник" с двумя сторонами, который мы принимаем
за нормальную форму рода нуль.
Нормальная форма рода 1 является четырехугольником aba~1b""1,
гомеоморфным прямоугольнику рис. 5.18. Склеив отождествляемые
Рис. 5.19
стороны а и а-1, мы получим цилиндр, у которого два конца b
и Ь-1 отождествляются. Далее, склеивая концы b и Ь-1, будем
иметь тор в качестве модели нормальной формы рода 1.
Топологически можно прийти к тору и другим путем. Отрезав
диск от тора, как показано на рис. 5.19, мы получим ручку.
Отверстие, образовавшееся в результате удаления диска, ограничено
кривой h, причем можно сделать так, чтобы h
проходила через точку на поверхности,
соответствующую вершине Р на многоугольнике П.
В прямоугольнике aba" b~ отрезанный диск
соответствует заштрихованному вырезу на
рис. 5.20. Если мы теперь раздвинем концы
кривой h в точке Р, то наш прямоугольник с
вырезом превратится в пятиугольник (рис. 5.21)
с символом aba" b~ h; этот символ является
символом ручки. Удаляемая часть тора может
быть деформирована в сферу, из которой выброшен сферический
сегмент, ограниченный кривой h. Таким образом, мы можем
представлять себе тор как сферу, к которой прикреплена ручка.
Это приводит нас к нормальным формам более высокого рода.
Пусть из сферы вырезано g дисков, ограниченных кривыми Ъ1?
h2, • • •, h^., имеющими только одну общукЗ точку Р. Развертывая
полученную поверхность, мы придем к ^-стороннему многоугольнику
с символом h^ . . . hg. Если прикрепить к каждой кривой hk ручку
a^b^a^b^hb то, склеивая кривые hk, мы получим нормальную
форму рода g.
Рис. 5.21
5.5. НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
145
Теорема 5.17. Нормальная форма рода g топологически
эквивалентна сфере с g ручками.
На рис. 5.22 показана сфера с тремя ручками.
Нами установлено, что каждая ориентируемая компактная
поверхность гомеоморфна нормальной форме рода g и, следовательно,
сфере с g ручками. Род g полностью определяет нормальную форму,
Рис. 5.22
так что две триангулируемые поверхности гомеоморфны, если их
нормальные формы имеют одинаковый род. С другой стороны, для
нахождения нормальной формы мы исходили из определенной
триангуляции поверхности. Получили бы мы нормальную форму того же
самого рода, взяв другую триангуляцию той же поверхности? Другими
словами, можно ли нормальную форму рода g гомеоморфно
отобразить на нормальную форму другого рода? Ответ на этот вопрос
опирается на тот факт, что род нормальной формы зависит только
от поверхности, а не от используемой триангуляции, так что го-
меоморфные нормальные формы имеют одинаковый род. Это позволяет
нам определить род компактной ориентируемой поверхности как род
гомеоморфной ей нормальной формы. Для доказательства этих
146
ГЛ. 5. КОМБИНАТОРНАЯ ТОПОЛОГИЯ
утверждений мы выразим род через величины, которые являются
топологическими инвариантами для поверхности. Эти инварианты — числа
Бетти — будут определены в следующем пункте.
5.6. Группы гомологии и числа Бетти *). На поверхности S
с триангуляцией А мы обозначаем через ±s", ± s%, ..., ± s£, • • *
все ориентированные /г-симплексы в А, /г = 0, 1, 2. Целочисленная
функция сп, определенная на /г-симплексах в А, принимающая
значение нуль на всех симплексах в А, за исключением конечного их числа*
и удовлетворяющая условию сп (— sn) = — сп (sn), называется (симпла-
цаалъной) п-цепъю. Для двух цепей с* и с% суммой с*-\-с*
называется функция, принимающая значение с* (sn)-{-с* (sn) для всякого
/г-симплекса sn в А. С этой операцией сложения п-цепи образуют
группу Сп — Сп (Sa). Нулем этой группы (обозначаемым 0) являете»
функция, принимающая значение нуль на всех s/z£A.
Каждому симплексу s^ £ А ставится в соответствие специальная
/г-цепь, принимающая значение 1 на s", значение —1 на —snk и
значение 0 на всех $п., j Ф k. Мы будем эту /г-цепь обозначать также
через 5^ и в этом смысле рассматривать /г-симплекс sj* как /г-цепь.
Далее, произвольная /г-цепь, принимающая значение щ на /г-сим-
плексе $?, может быть записана в виде сп = 2<^s?, где сумма со-
держит конечное число членов, так как только конечное число
коэффициентов аь отлично от нуля. Таким образом, всякая /г-цепь
является конечной линейной комбинацией /г-симплексов с целыми
коэффициентами. Если c* = ^aisT} и £? = 2fys?»T0 с^-\-с^=^
= ?(«! + *,)-?.
Граничный оператор д есть гомоморфизм С в С""1, который
мы намерены сначала определить на /г-симплексах, а затем
распространить линейно на все цепи. Для ориентированного 0-симплекса.
(Р0) мы полагаем д(Ро) = 0. Граница ориентированного 1-симплекса
(Л)» ^l) есть 0-Ц^пь д (Р0, Pt) = {Pi) — (Л))- Наконец,
ориентированный 2-симплекс (Р0, Plf Р2) имеет своей границей 1-цепь
^ (Р0. ^i. Р2) = (Ри Рг) ~ {Ро. Рг) + <Л>. Pi)-
Определенная нами здесь граница 1- или 2-симплекса отвечает тому»
что мы обычно понимаем под границей соответственно прямолинейного'
!) Для чтения этого пункта желательно знакомство с основными
понятиями теории групп, такими, как группа, подгруппа, гомоморфизм,
изоморфизм, факторгруппа и т. д. Существует много источников, в которых можно
почерпнуть эти сведения. Прекрасный обзор читатель найдет в первой главе
„Непрерывных групп" Понтрягина [1]. Доступное изложение имеется также
у Биркгофа и Маклейна [1].
5.6. ГРУППЫ ГОМОЛОГИИ И ЧИСЛА БЕТТИ
147
отрезка или треугольника, как видно из рис. 5.10. Легко проверить,
что граница ориентированного симплекса одна и та же независимо
от того, какую из эквивалентных ориентации мы рассматриваем;
таким образом, оператор д действительно однозначно определен на
ориентированных симплексах. Мы видим также, что д(—sn) = — dsn
для каждого sn. Распространение определения д на цепь сп = 2 as?
I
немедленно получается, если положить
дсп = У, a. ds? .
**?* i i
i
Те /г-цепи сп, для которых 6^ = 0, называются {симплацаальными)
п-циклами или замкнутыми п-цепями. (Использование последнего
термина вызвано тем, что для всякой замкнутой ломаной, предста-
k-i
вляемой 1-цепью £1 = 2(Р/, ^/+i). ^* = Л)» имеем
1 = 0
dc1 = i(Pi+1)-{Pl) = 0,
1 = 0
так как каждый 0-симплекс (Pt) появляется один раз со знаком плюс
и один раз со знаком минус, как это можно видеть на рис. 5.23.)
Совокупность я-циклов образует ядро
гомоморфизма д (т. е. множество элементов,
переходящих в нуль) и, следовательно,
образует подгруппу Сп, которую мы обозначим
через Zn.
Если для /i-цепи сп выполнено соотношение
^-3^+1 для некоторой (/г-4-1)-цепи сп+1,
то сп называется п-границей или точной
п-цепью. Как гомоморфный образ группы
Сп+1у совокупность /г-границ образует группу
Вп, являющуюся подгруппой Сп. Положим
Сп = 0 для п > 2, так что В2 = 0. Далее, Вп является также
подгруппой Zn. Для доказательства этого важного факта мы должны показать,
что если Ьп = дсп + х, то dbn — 0t или просто, что д (дсп+1) = 0 для всех
сп+1. В силу линейности оператора д достаточно показать
справедливость этого для симплексов. Для любого 0-симплекса 5° имеем ds° = 0,
так что dds° == 0. Для s1 = (Р0, Рх) имеем dsl = (Рг) — (Р0) и
dds1 = d (Рх) — д {Р0) = 0. Наконец, для s2=(P0, °l9 Р2) имеем
д* = (Plf Р2) - (Р0, Р2) + (Р0, Рх)
dds* = [(Р2) - (Рг)] - [(Р2) - (Р0)] + 1{Рг) - (Р0)] = 0,
так как каждый 0-симплекс (Pt) появляется один раз со знаком
плюс и один раз со знаком минус. Это выражает тот геометрический
факт, что граница треугольника есть замкнутая ломаная.
Рис. 5.23
148
Г Л 5 КОМБИНАТОРНАЯ ТОПОЛОГИЯ
Ядром гомоморфизма д, переводящего Сп в Б"""1, является Zn.
Поэтому группа Вп~1 изоморфна факторгруппе Сп по Zn, или
символически Bn~1^Cn/Zn. Суммируем эти результаты в следующей
теореме.
Теорема 5.18. Для любой п-цепи сп имеем ддсп = 0, так что
BnaZn a B^^C/Z*.
Мы видели, что каждая граница есть цикл; обратное, вообще
говоря, неверно. Например, на рис. 5.24 показана бесконечная
I 1 — -
19--"" с ! .9---"" с
Г ^ ^
1 ' 1 ^
с ./' | с /'
А У 1 /
У С ! /-' С
1 /^
1,9,:-:-""с"!.с:--с"
— . . .
__ — — """~Г ъ
.9-"""с
с /
""" с
J
,9,.---с'
-6 >* __----■
Рис. 5.24
триангуляция кольца, получающегося из прямоугольника
отождествлением его правой и левой сторон. Не существует 2-цепи,
з
имеющей своей полной границей 1-цикл c* = ^£sl. Действительно,
i = l
если бы мы имели с1 = дс2, то 2-цепь с2 принимала бы ненулевое
значение на некотором 2-симплексе s2, имеющем своей стороной $*.
Тогда с2 принимала бы то же самое значение и на каждом
2-симплексе, лежащем по ту же сторону от с*, что и s2. В противном
случае в дс2 могла бы появиться новая сторона, не фигурирующая
в с*. Но это бы означало, что цепь с2 принимает ненулевое значение
на бесконечном числе 2-симплексов. Полученное противоречие
доказывает, что с* не является границей. На торе рис. 5.2 и 5.18
сторона а является 1-циклом, который не является границей.
5 6. ГРУППЫ ГОМОЛОГИИ И ЧИСЛА БЕТТИ
149
Группа Вп есть нормальный делитель Zn (в силу
коммутативности Сп), и мы можем образовать факторгруппу Zn по Вп. Назовем
эту группу Нп =-Zn/Bn /i-й симплициалъной группой гомологии 5Д.
Всякий /г-цикл г", входящий в Вп, представляет нулевой элемент Нп;
мы выражаем этот факт, говоря, что всякий /г-цикл zn, являющийся
границей, гомологичен нулю, и пишем zn^0. Два /г-цикла z* и z%>
такие, что z* — z%~0, входят в один и тот же класс смежности Zn
относительно Вп и, следовательно, представляют один и тот же
элемент Zn/Bn; они называются гомологичными г) циклами, что
записывается в виде z*^z%. В кольце на рис. 5.24 Г-цикл с\ гомологичен
б
1-циклу c\ = ^s\. Действительно, пусть с2 есть 2-цепь, принимающая
/ = 4
значение -f-1 на каждом из 2-симплексов с указанной ориентацией
и значение 0 на всех остальных симплексах. Тогда с\ — с* = дс2, так
как каждая сторона треугольника в с2, не лежащая на с\ и cj, является
стороной в точности двух треугольников в с2 и появляется с
противоположными знаками в границах этих треугольников.
Предположим, что можно найти совокупность /г-циклов z1} т
/=1, 2, ..., Ъп, удовлетворяющих следующим двум условиям:
a) zni% /=1, 2, ..., Ьп гомологически линейно независимы, т. е.
Ьп
всякое соотношение 2^^7 ~0> где ai — целые числа, влечет равен-
i = l
ства ai = 0, i=l, 2, ..., Ъп\
Ьп
b) для любого /г-цикла zn из Zn имеем zn — 2^^, Где ai — целые
числа.
Число Ьп называется n-мерным числом Бетти поверхности S^
Поскольку числа Бетти определены в терминах гомологии, мы можем
их также определить непосредственно в терминах Нп. Если
обозначить через [zn] класс гомологии цикла zn, то [zn] является
элементом Нп. Пусть существуют Ьп элементов Нп, скажем Гг?1,
1=1, 2, ..., Ьп, со следующими свойствами:
%
а) из того, что 2 ^[.zf] = 0 при целых at, вытекает, что ai = 0>
i = i
/=1, ..., Ьп, и
*■) Две цепи с\ и с\ называются гомологичными, если с\—с% = дсп +
для некоторой (п -\- 1)-цепи сп+1. В частности, запись с\<^с\ означает, что
цепи с\ и с\ имеют одну и ту же границу; в самом деле, дс\ — дс\ =
= ддсп+1 =0. Таким образом, понятие гомологичных циклов может быть
перенесено на цепи, имеющие одну и ту же границу.
150
ГЛ. 5. КОМБИНАТОРНАЯ ТОПОЛОГИЯ
Ь) каждый элемент [zn] группы Нп может быть записан в виде
Ьп
тогда Ъп является /г-мерным числом Бетти 5Д, а элвхменты Гг?1
образуют базис Нп.
Вообще говоря, группы гомологии не имеют такого базиса, и
в этом случае числа Бетти определяются иначе. Говорят, что
совокупность элементов хи ..., хп порождает аддитивную абелеву
группу G, если каждый элемент О представляется в виде линейной
комбинации этих х19 . . ., хп с целыми коэффициентами. Группа
с одной образующей х, элементы которой имеют вид 0, ±#,
± 2л:, ..., такая, что равенство пх — 0 влечет за собой равенство
х = 0, называется свободной циклической группой. Группа с одной
образующей х9 такая, что kx-—0 при ^0 и х^О, в то время
как для любого /г, 0 < п < k, из равенства пх = 0 вытекает, что
# —0, называется циклической группой порядка k. Пусть 01э
02, ..., Gn— подгруппы аддитивной абелевой группы О; говорят,
что G является прямой суммой этих подгрупп, и пишут G = G1-{-
-f-G2~f~ ... -\-Gn, если каждый элемент х £ О единственным
образом представляется в виде суммы х = х1-\-х2-\- ... -\-хп, xt^Gi9
i=l, ..., /г, с перестановочными членами, т. е1). xi-{-Xj = x.-^-xi.
Структура аддитивной абелевой группы О с конечным числом
образующих дается теоремой, утверждающей, что G является прямой
суммой р циклических групп порядков clt с2, ..., ср и Ь свободных
циклических групп. Числа с19 ..., с0 называются коэффициентами
кручения группы G, а Ъ называется' числом Бетти группы G.
Доказательство этой теоремы можно найти у Зейферта и Трельфалля
([1], гл. 12), а также и в большинстве книг по современной алгебре.
Группа гомологии Нп является аддитивной абелевой группой и, если
она имеет конечное число образующих, то Нп может быть представлена
в виде прямой суммы Ьп свободных циклических групп и р
циклических групп порядков cj, с%, ..., сп Если все коэффициенты
кручения равны нулю, то число Ьп совпадает с числом Бетти группы Нп,
определенным нами ранее. В случае ориентируемых поверхностей
коэффициенты кручения всегда равны нулю, что означает
эквивалентность обоих определений чисел Бетти.
5.7. Инвариантность групп гомологии. Из определения /г-мер-
ной группы гомологии и /г-мерных чисел Бетти триангулированной
поверхности SA может показаться, что они зависят от
триангуляции А. Замечателен факт, что если взять другую триангуляцию А'
поверхности S, то группа гомологии Hn(S^) оказывается изоморфной
1) Здесь приведено определение прямой суммы произвольной (не
обязательно абелевой) группы. См., например, Курош [1], гл. 5, § 17.— Прим.
лерев.
5.7. ИНВАРИАНТНОСТЬ ГРУПП ГОМОЛОГИИ
151
#л(5д) и, следовательно, числа Бетти совпадают. Отсюда видно, что
группы гомологии и числа Бетти зависят только от внутренних
свойств поверхности. Так как гомеоморфизм поверхности S на
другую поверхность S' переводит триангуляцию А для 5 в
триангуляцию А' для S\ сохраняя соотношения между симплексами, группы
гомологии Яя(5д,) и Hn(S^ изоморфны, и мы получаем искомые
топологические инварианты.
Для групп Н° и Н2 доказательство инвариантности, так же как
и вычисление чисел Бетти Ь0 и #2, проводится особенно просто^
так как мы можем связать их с уже изученными топологическими
инвариантами групп. Для Н1 доказательство труднее; оно будет
дано в следующем пункте.
Прежде всего, так как каждая поверхность по определению связна,
число Бетти Ь0= 1. Чтобы показать это, заметим, что всякая 0-цепь
является 0-циклом. При каких условиях 0-цепь является границей?
Пусть ^ — ^cijSJ есть 1-цепь; тогда дс1 = 2 а;. ds1. = 2 aj №— Sy)*
где мы положили ds^^s0. — s0.. Заметим, что коэффициент а-
появляется в дс1 один раз со знаком плюс и один раз со знаком минус,
так что сумма всех коэффициентов в дс1 равна нулю. Поэтому,
чтобы 0-цикл являлся границей, необходимо, чтобы сумма
коэффициентов всех О-симплексов была равна нулю. Таким образом, 0-цикл,
состоящий из одного (произвольного) О-симплекса 5°, не является
границей. Покажем теперь, что всякий другой О-симплекс sj
гомологичен 5°. В силу связности S вершины 5° и s® можно соединить
конечной цепью сторон треугольников из Д. Обозначим эти стороны
в порядке их следования через s|, s*, . . ., sxk и ориентируем их
k
в направлении обхода от 5° к sj; тогда будем иметь д 2 s* = s® — 5°.
Таким образом, s°~ 5°, и нами доказано, что класс гомологии 5°
образует базис группы гомологии Н°, и, следовательно, Ь0=\.
Припишем теперь когерентную ориентацию треугольникам в А.
N
Пусть c2=^a.s2. есть 2-цепь на 5д. Если с2 является 2-циклом,
то либо все а- = 0 и тогда с2 есть нулевой 2-цикл, либо каждый
2-симплекс s2. вместе с тремя 2-симплексами, имеющими с s2.
общую сторону, появляются в с2 с одними и теми же
коэффициентами. Действительно, в дс2 каждая сторона S* симплекса sj
должна входить с коэффициентом ± а^ и, чтобы погасить член
± a.sxk, в с2 должен также входить другой 2-симплекс со стороной s^
2-цепь с2 может содержать все треугольники, примыкающие к
каждому из своих членов, только при условии, что с2 содержит с од-
152
ГЛ. 5. КОМБИНАТОРНАЯ ТОПОЛОГИЯ
ним и тем же коэффициентом все 2-симплексы в А. В случае
некомпактности S триангуляция А состоит из бесконечного числа
треугольников, а с2 может содержать только конечное число из них, так
что, кроме нулевого 2-цикла, на некомпактной ориентируемой
поверхности не существует 2-циклов и в этом случае Ь2 — 0.
С другой стороны, если поверхность 5 компактна, то, чтобы
N
цепь с2 являлась циклом, мы должны иметь с2 = а 2 s2-> гДе сумми-
N
рование распространяется по всем 2-симплексам в А. Цепь с2= ^ s2
7-1 J
есть 2-цикл, так как каждый 1-симплекс в дс2 появляется как
сторона двух когерентно ориентированных треугольников. При этом
цикл с2 не гомологичен нулю, ибо В2 — 0. Таким образом, класс
гомологии с2 образует базис группы гомологии Н2 компактной
ориентируемой поверхности, и в этом случае b2—l. Мы
объединим результаты этого пункта в следующей теореме.
Теорема 5.19. Для любой поверхности Ь0=\. Для
компактной ориентируемой поверхности Ь2—\. Для всякой
некомпактной ориентируемой поверхности Ь2 — 0.
5.8. Фундаментальная группа и одномерная группа гомологии.
Мы встречались уже с двумя важными группами, связанными с
кривыми на поверхности SA: фундаментальной группой ^ и одномерной
группой гомологии Я1. Из определения Н1 может показаться, что
Н1 зависит от триангуляции А, в то время как в определение ^
триангуляция не входит. Чтобы установить инвариантность Н1, мы
выясним связь Н1 с <&~-
Фундаментальная группа <ff не всегда коммутативна, т. е.
кривая СХС2 не обязательно гомотопна С2Си или, что то же самое,
CjC^Cf^Cr1 не гомотопна 1. Следуя обозначениям гл. 4, мы
обозначаем класс кривых, гомотопных кривой С, через Q, где 6
представляет собой элемент ^. Элемент группы вида 61626^62
называется коммутатором; мы будем обозначать его [Gv (32]- Группа
коммутативна в том и только в том случае, если каждый коммутатор
равен g—единичному элементу группы. Обратный элемент к
коммутатору lQit е2Г1= 62616^6^ = 162^ вх\ также является
коммутатором, и группа, образованная всевозможными произведениями
коммутаторов, называется коммутантом группы ST и обозначается
1<&~, <&~]. Коммутант группы 6 является ее нормальным делителем,
так как 6 [6ц 62] б'1 = [б 61<3~\ 6 6i6'\ Мы можем,
следовательно, образовать факторгруппу &' 1\<HF', <&*], которая в свою
очередь является коммутативной группой, так как каждый коммута-
5 8 ОДНОМЕРНАЯ ГРУППА ГОМОЛОГИИ
153
тор в ^ будет отождествляться в образованной группе с единичным
элементом х). Группа <&"\\<£Г, <&~\ называется коммутированной
(abelianized) фундаментальной группой.
Любой элемент \^Г', ^\ может быть записан в виде
где сумма показателей для каждого множителя Q равна нулю.
Справедливо также обратное; действительно, пусть элемент Л^^
обладает только что указанным свойством, и пусть каждый член Qm
заменен на (5(3(3---(3 с (3, записанным т раз. Пусть v — число
множителей в Л, где каждый член расписан таким образом. Мы
имеем тогда
л = ^е ... О)®'1^ ... S,
где <$~х не встречается в последовательности ggQ ...&?. Далее»
л={^(е ... ®)&-че ... т'г}(е ... &)№* ••• в).
Выражение в фигурных скобках является коммутатором, а
выражение вне скобок имеет тот же вид, что и исходное, но содержит
только v—2 членов. Продолжая таким образом, мы представим Л
в виде произведения коммутаторов.
Теорема 5.20. Н1 ~ с^7[<^", ^\, т. е. одномерная группа
гомологии изоморфна коммутированной фундаментальной группе.
Фиксируем вершину Р0 в триангуляции А, и пусть s1i==(Pi1 Pi+1)>
j~0, 1 п—1, являются 1-симплексами в А, причем Р0 = Рп^
Тогда 1-цепь
т 1 = 2 s] = (Р0, Р,) + (Р1г Р2) + • • • + {Р„-1. Ро)
i = o
образует замкнутую кривую на S, началом и концом которой
служит Р0; такие 1-циклы называются элементарными циклами на S.
Каждый \-цикл может быть записан в виде целой линейной
N
комбинации элементарных циклов, В самом деле, пусть сх = 2 ais\ +
Пусть 5j = (P1, Р2)\ из того, что дс1 —0, следует, что Р2 не
принадлежит дс1 ив с1 — S* должен быть представлен симплекс (Р2, Р3).
Продолжая таким путем, мы получим последовательность симплексов
!) Действительно, пусть (3, В— представители двух классов
факторгруппы, (3 ~\ Q)~x — представители обратных им классов. Тогда
т. е. является представителем единичного класса <^7[<^, <^]. Итак, каждый
коммутатор в группе <^7[<^\ оГ\ равен единице и эта группа коммутативна.—
Прим. перев.
154
ГЛ. 5. КОМБИНАТОРНАЯ ТОПОЛОГИЯ
{Pu P2)f (^2> ^з)> • • •» (Рп* pk+i)> входящих в с1. Так как с1
содержит только конечное число симплексов, мы должны вернуться
к Рх и должна существовать последовательность (Р15 Р2), (Р2, Р3)> • • •
..., (Рт, Pi), составленная из симплексов, входящих в с1.
Следовательно,
ci = ci _ в1 ((Plt р2) 4- (Р2, Р3) -Ь • • • + {Рт. Л»
является циклом, не содержащим s*t причем в состав с\ входят
только симплексы, представленные в с1. Повторяя этот процесс с с1,
мы снова уменьшим число симплексов в с1 и т. д. до тех пор, пока
не придем к 1-циклу, состоящему только из одного симплекса s1,
который должен быть 1-циклом 0: 51 = 0. Соединим теперь Рх с Р0
ломаной линией в А с последовательными вершинами Q0Q1Q2 • • • Q4,
Qo = Л> и Qn= Рх. Пусть X (Р,) = (Q0, Qx) -f (Q1§ Q2) + ...
... +(<2я_1, Qn)> и мы можем записать каждый из 1-циклов
{Ри Р2) + ... + </>и, Л) в виде X(PJ+ </>!. Р2}-(- ...
... +(Pm,Pi)—Ц£\)> чт0 является элементарным циклом.
Исходный 1-цикл с1 является целой линейной комбинацией таких циклов.
Каждый 1-симплекс s1 является гомеоморфным образом
единичного интервала / при отображении ср, так что он представляет
кривую С = (ср, /), где параметризация берется соответственно
ориентации 51. Пусть 1-симплекс (Pit Pi+1) представляет кривую Ct,
соединяющую Pt с Pi+i, тогда элементарный цикл fl = (P0i Рх)-{- ...
... 4~(^я-1» Ро) представляет замкнутую кривую с началом и
концом в Р0, которую мы обозначим через Г(^1) = С0С1 . .. Сп_1. Далее,
каждый 1-цикл с1 есть целая линейная комбинация элементарных
т
циклов, сх = 2 а/Тг и представляет замкнутую кривую
i = i
ги = Р(тОГ[г(т»Г---Р(тУГя-
Когда мы говорим, что замкнутая кривая С является 1-циклом, мы
подразумеваем, что С = Т(с1) для некоторого 1-цикла с1 в А.
Лемма 5.2 (симплициальная аппроксимация). Каждая замкнутая
кривая С с началом в Р0 может быть гомотопно деформирована
в 1-цикл триангуляции А.
Мы начнем с того, что разделим С на малые куски, каждый из
которых „близок" к некоторому 1-симплексу А. Пусть для всякой
вершины Q из А через St(Q) обозначена внутренность суммы всех
треугольников с вершиной в Q, т. е. звезды относительно Q.
Открытые множества St(Q) для всех Q образуют открытое
покрытие S. Пусть С = (ср, /); множества ср-Ц \С | f) St(Q)] дают нам
открытое покрытие отрезка /. Разделим / точками 0 = £0<^1< ...
. .. < tk — 1 на части так, чтобы каждый отрезок tt^.t 4^ti+l
5 8 ОДНОМЕРНАЯ ГРУППА ГОМОЛОГИИ
155
лежал в одном открытом множестве этого покрытия. (Для этого нам
нужно только потребовать, чтобы tl+1 — ^<е/2, где s — лебегова
число покрытия.) Пусть ср(^) = р. и PjPl+l—-дуга С от Pi до Pt+1l
имеем P0 = Pk. Как обычно, обозначаем отрезок tt^t ^tl+l через/^
Дуга PJPi+1 лежит в некотором St(Q). Точке Pt, £:=0, 1, ...
..., k—1, мы ставим в соответствие такую вершину Qt, чтобы
дуга PiPi+1 лежала в St(Qt). Может существовать несколько Q}>
удовлетворяющих этому условию, но выбрав одну из них, мы
считаем ее фиксированной в продолжении всего рассмотрения. Заметим,
что Р0 является уже вершиной А, так что дуга P0Pi должна
полностью содержаться в St (Р0) и PQ = Q0. Далее, точки Qt, Qi+1 либо
совпадают, либо являются концами 1-симплекса Qfii+i в А. Чтобы
убедиться в этом, заметим, что дуга PtPi+1 лежит как в St(Q^), так
и в St(Q;+1), а две звезды могут иметь общую точку, только если
они совпадают или обладают общей стороной QtQi+1.
Определим теперь деформацию PtPiJrl в 1-симплекс QiQi+i.
Используя нормальные барицентрические координаты на S в каждой
звезде St(Q), мы можем говорить о прямолинейных отрезках в звезде
как о барицентрических образах прямолинейных отрезков в
евклидовой звезде, определяющей координаты. В аналогичном смысле
говорят о точках этих отрезков, делящих их в данном отношении.
Отношение не меняется, если рассматривать отрезок относительно
другой звезды, так как последняя является аффинным образом
исходной евклидовой звезды. Теперь каждая дуга PtPi+1 и каждая
сторона QtQi+i лежат в замыкании St(Q^). Таким образом, мы можем
соединить всякую точку Р на дуге PtPi+1 прямолинейным отрезком,
лежащим в замыкании St(Qt), с любой точкой Q на Qfii+i. 1-сим-
плекс QiQi+1, для которого Qi Ф Q/+i, определяется гомеоморфизмом
§i(f) некоторого интервала в S. Зададим гомотопную деформацию
В; : ItX /-> S дуги Р/Р/+1 в QtQi+1 следующим образом:
а) 0,0, 0) = ср(0, t£Iit
фДО. если Q^Qi+1, t£fi9
если Q. = Qi+li t£It,
с) Qt(t, s) есть точка на прямолинейном отрезке, соединяющем
<р (0 с tyt(tt 1), которая делит этот отрезок в отношении s к 1—s,
0<s< 1, t£It. ^
Нетрудно проверить непрерывность функции вг Каждая дуга Р^Р/+1
деформируется в 1-симплекс так, что Qt(tl+it s) = Ql+1(tl+1, s). Если
определить функцию Q(t,s), полагая Q(t, s) = Qi(t, s) для t^Iti
£ —0, 1, ..., k—1, то мы получим гомотопную деформацию С
ь>е,(М) = {\
156
ГЛ. 5. КОМБИНАТОМ!ЛИ ТОПОЛОГИИ
it кривую
к -1
I* о
Те сегменты QiQiitf для которых Qi — Ql 1% являются точечными
кривыми, так что кривая С гомотопна кривой
i «о
где штрих означает пропуск всякого сегмента, v которого Qi —Vim-
Тогда С* ^ Г (Т»), где f ^ zx (¢,,. Q>) -+- г2 (Q„ Q2> -Ь . '• «
• - • -+-**(<V.i. %>J si ~ !» есл11 Qi-fJ'-Qi> « s,--^0, если ¢,.., ^Q,-
Полученный l-цнкл 71 является клк pa;* элементарным циклом на Д
с началом a /\b(--~Qu)* и С гомотопна Г(т1К что и требовалось
докапать,
Следует заметить» что если носитель исходной замкнуто!! криво!!
лежит на еимнлицналыюм 1-цикле с1 и Д» то 1-цикл Г(Т!)» которому
кривая С гомотопна» составлен из симплексов еК Далее, если точка
Iй ..^: у (f) иа С лежит п треугольнике sz из Д. то й(/\ s), 0 -^ 5 -^ 1*
лежит также и а*-. Таким образом производимая деформация
затрагивает только симплексы, содержащие точки С.
Для завершения доказательства того, что ИХ'^^\\^Г%^\% нам
потребуется следующая связь гомологии и гомотопин.
Лемма 5.3. Гомотопный точке l-цикл гомологичен нулю.
Эта лемма устанавливает интуитивно очевидный факт» что если
.кривая может быть деформирована и одну иа своих точек, то эта
кривая ограничивает область, которую она гзаметает" при
деформации. То, что обратное утверждение неверно» показывает пример
кривой С на кренделе (g.. ~ 2) рис. 5/25. Здесь кривую С можно
рассматривать и качестве границы любоН на половин поверхности,
5 8 ОДНОМЕРНАЯ ГРУППА ГОМОЛОГИИ
157
но С нельзя деформировать в точку. Это пример кривой из
коммутанта группы с^"\ которая не является единичным элементом;
действительно, на нормальной форме рода 2 с символом
а^а^Ь-Ч^а-^-1 кривая С гомотопна а^а^Ь"1 (рис. 5.26).
Докажем теперь сформулированную лемму.
Мы видели, что 1-цикл с1 определяет кривую Г (с1) с началом
в Р0. Пусть Г(^) = (9, /), где 9(0) = 9(1) = ^0- в СИЛУ того, что
Г (с1) гомотопна точке, существует такое непрерывное
отображение Ф(£, s) квадрата /Х^ в S, что Ф(*. 0) = ср(*), Ф(^, 1) = Р0-
Если с помощью функции z = (\—s)e2rJt отобразить / X I в КРУГ
D:\z\<C 1, то можно заметить, что сторона 5 = 0 переходит в | z | = 1
и 5=1 отображается в точку z = 0. Определим непрерывное
отображение ф круга D в S, положив
ф (z) = ф [(1 — s) e2nit] = Ф (/, s).
Вершины симплексов в с1 дают нам конечное подразделение
о = е0<о1< ... <ел_1<ел = 2тг
окружности \z\ = | гещ \ — 1. Мы получим триангуляцию круга D,
проведя радиусы из z = 0 в z = elk, где & = 0, 1, 2, ..., п—1.
Введем нормальные барицентрические координаты в этой
триангуляции D и барицентрически подразделим триангуляцию
достаточное число раз так, чтобы каждая звезда треугольников в
подразделении Л отображалась в множество на поверхности S,
содержащееся целиком внутри некоторого открытого множества St (Q)
в покрытии звездами поверхности S. Это барицентрическое
подразделение вводит ряд новых вершин на |£|=1 между каждой парой
el k и el k+i. Обозначим эти новые вершины через el k*J, 0^.j^.mk)
где
158
ГЛ. 5. КОМБИНАТОРНАЯ ТОПОЛОГИЯ
Отображение ф круга D в S может быть теперь модифицирована
в новое непрерывное отображение в круга D в S, которое переводит
каждый треугольник а2 триангуляции Л в треугольник s2 из А.
Положим сначала 0(У &) = ф(У9&), & = 0, 1, ..., п—1. Если 6^ ^
таково, что Qk < QkiJ < (6Л + бЛ+1)/2, то мы полагаем в (е1^) = 0 (Л);
в противном случае полагаем Q(elk>J')-= в (У ^+1). Теперь для любой
вершины /*£*9 из Л, г< 1 мы положим 0 (reifi) = Q, где Q — вершина
в центре звезды St(Q), содержащей образ замкнутой звезды
относительно reib. Это определение может не обеспечивать единственности,,
но раз сделанный выбор мы используем в продолжение всего
рассмотрения. Отображение 0 распространяется на любую точку z = reib,
r^ 1. Для этого заметим, что z лежит в треугольнике Л с
вершинами qlt q2, Яз- Мы полагаем тогда ®(z) = P, где Р — точка S
в треугольнике 0(^), 0(#2)> 0 (#з) с теми же нормальными
барицентрическими координатами, что и z в qv q2, q^ Таким образом,
определено непрерывное отображение 0 круга D в S, так как
нормальные барицентрические координаты совпадают на общих сторонах
треугольников. [Заметим, что некоторые из вершин 0(^), 0(<72). 0(#3)
могут совпадать; мы получаем в этом случае вырожденный
треугольник на S.] Отображение 0 переводит каждый треугольник из А
в треугольник из Д (который может быть и вырожденным), причем*
стороны переходят в стороны. Образ каждой дуги eib, 0£<^9^6Л+1,
покрывает соответствующий 1-симплекс ф(У9), 6д^6^6й+1, в точ~
ности один раз.
Ориентация против часовой стрелки окружности D приписывает
когерентную ориентацию каждому треугольнику (qx, q2, q3) из Л.
Мы можем образовать 2-симплекс (qlt q2, q3) с приписанной ему
ориентацией и также 2-цепь ^2 = 2(#i» #2> #з)> в которой каждый
2-симплекс из Л появляется один раз с коэффициентом -f-1,
соответствующим приписанной ориентации. Каждая сторона а1 2-симплекса
(9i. Чг> ?з)» лежащего внутри D, фигурирует с противоположной
ориентацией в каждом из 2-симплексов, пересекающихся по о1, так что
л-1 mk~1
<?Т2 = 2 2 (А/, А Л-*).
& = 0 7 = 0
Ориентация (#lf q2, q2) индуцирует в образе этого симплекса на 5
ориентацию (Qv Q2, Q3). Мы можем затем формально образовать
2-цепь c2 = 2(Qi» Q2» Q3)» в которой фигурирует каждый симплекс
(Qi» Q2» Q3)» соответствующий симплексу (#lf <?2> #з) в f2. Затем,,
формально вычислив границу с2 по обычному правилу
d(Qu Q2. Q8) = (Qi. Q2> —(Qi. Q3) + (Q2. Q8>.
мы видим, что
dc8=S 2 (в (Ао. 6(^+1)). (1)
й=0 у=о
5 8 ОДНОМЕРНАЯ ГРУППА ГОМОЛОГИИ
159
К сожалению, с2 и выражение в правой части (1) не являются цепями
в А, так как некоторые из симплексов {Qlt Q2, Q3) или (в (A»-^),
ф (У k, ;+i^ имеют равными две или более вершин (являются
вырожденными). Будем считать нулевым каждый 1-симплекс (Р, Р),
в котором совпадают две вершины. Тогда граница всякого
вырожденного 2-симплекса есть нуль, так как если две вершины совпадают,
скажем Qx = Q2, то
д (Qi. Qv <2з> = (Qi. Qi) — (Qi. Q3) + (Qu Q3> = 0.
а если Qx=zQ2 = Q3, то
Поскольку вырожденный 2-симплекс не оказывает влияния на
границу цепи, содержащей его, мы будем также отождествлять с нулем
все вырожденные 2-симплексы. После этого отождествления с2
становится 2-цепью с2 в А и с2 имеет своей границей те же
невырожденные 1-симплексы, что и с2. При таком отождествлении каждая
1-цепь
тк-1
2 (в(А'), в (A-^+1))
становится 1-симплексом
(9(A), 0(A+i))
и
п-1
2 (в (А), 6(^+1)) = ^.
& = 0
Таким образом, сх = дс2, и мы доказали, что соотношение rfc1)^!
влечет за собой сх^^0.
Приступим теперь к доказательству того, что Н1 — <&~\\£¥", <&*\.
Определим гомоморфизм группы £f в Н1 следующим образом. Для
любой замкнутой кривой Сх с началом в Р0 мы полагаем h(C^
равным 1-циклу в А, гомотопному Сх. Для кривых Cf и С^ мы
полагаем
h{CT1) = — h(C1) и h{C1C2) = h(C1) + h{C2).
Если С±жС2, то СхСз"1^! и fifaC?1)"*), или A(Ci)~A(Q.
Таким образом, /г определяет гомоморфизм h группы <^(Р0) в Я1.
Этот гомоморфизм есть отображение на Я1, так как каждый 1-цикл с1
является целой линейной комбинацией элементарных циклов, скажем
п
с1—2адЬ так что Г. = ТМ\ является кривой с началом в Р0
и А(Г^)~Т1. Следовательно, h I Дг^Л = 2 а./г(Г.)~ 2 а{\\ = с1>
ш h осуществляет отображение ^(Р0) на Я1.
160
ГЛ. 5. КОМБИНАТОРНАЯ ТОПОЛОГИЯ
Для завершения доказательства мы должны показать, что ядро
гомоморфизма h совпадает с [<^, <&~\. В силу коммутативности
группы Я1 коммутант [^, ^\ содержится в ядре h. Таким образом,
мы должны показать, что при /г (С)— 0 кривая С определяет элемент
коммутанта [<&~, <&*]. Опять в силу того, что кривая С гомотопна
1-циклу, мы можем положить С = Т (с1) и h{C) = cl. Поставим
в соответствие каждому 2-симплексу s2=(Q0, Qlt Q2) путь
Л (ds*) = Л (Q0) . (¾¾. (¾¾ • (¾¾ • A"1 (Q0),
где A(Q0)— ломаная, составленная из симплексов в А и
соединяющая Р0 с Q0. Далее, каждому 1-симплексу s' = (Q0, Qx) мы ставим
в соответствие путь
A(sO = A(Q0).^Q1.A-1(Q1).
Пусть теперь X(Q^) является 1-цепью, симплексы которой составляют
&(Qi). Имеем
h (А (д«2)) = X (Q0) + ds* -1 (Q0) = ds*. (2)
Путь QoQ! • QXQ2 • Q2Qo гомотопен точке, откуда следует, что A (ds2)
также гомотопен точке и представляет единичный элемент группы <^.
Для любого пути С = Г(с1) = РоР1.РЛ ... Р^^, Ял ='Р0.
мы можем теперь написать
С = Л (Р0) • /у\ • Л"1 (Pt) • Л (Рх) • p?2. л-1 (р2).. .
...Л^О-Р^Л-Л-1^),
где А(Р0) = Р0Р0. Вспоминая определение А (У), получим
С = ACPpPi) • Л (/\Р2) ... Л (Р7^„). (3)
Для каждого РгРг+1 имеем
Л (Л (F\Pi+1)) = л (Я,) + (Рг, Я<+1) - X (Рт) -
Из последнего соотношения имеем, учитывая (3), что
A(Q = SV,. ^o-xfdsV*. ^+1));
i=0 \ 1=0 J
л-1
а так как ^ (Р., Р/+1) есть цикл, то его граница равна нулю и
1 = 0
последний член исчезает. Следовательно, мы можем записать /z(C) =
N
— i^5^; здесь ап равняется сумме показателей A(s^) в
представлении (3) кривой С.
5 8 ОДНОМЕРНАЯ ГРУППА ГОМОЛОГИИ
161
Предположим теперь, что /г(С)~0, откуда следует, что
/2 = 1 /2 = 1
N
Определим кривую A = JJ Г Л (ds2n\\bn. Согласно (2),
HA) = h (jj [Л (dsj)f «) =±у (Л (<^) ) = ±Ьп д*л = h (С)
и h {СА'1) = h (С) — /г(Л) = 0. Таким образом, САГ1 является
произведением замкнутых кривых Л(sxY в котором каждая кривая
встречается с суммой показателей, равной нулю. Но это и есть критерий,
определяющий СА~ как элемент коммутанта группы <&*. Поскольку
каждая A(dsn)ttl, имеем Л^1 и СA'1 -¾С, так что С также
определяет элемент [^", 3^\. Это заканчивает доказательство того,
что Н1 ~ S^WgT> ЗГ\, и тем самым устанавливается инвариантность
группы Н1.
Предыдущая теорема позволяет нам определить группу гомологии
циклов, составленных из произвольных замкнутых кривых, вместо
симплициальных 1-циклов на S. Таким образом, классы гомологии
кривых могут быть определены на произвольном двумерном
многообразии, на котором нет триангуляции. В последующих главах мы
используем этот факт при рассмотрении гомологии на римановых
поверхностях, доказательство триангулируемости которых будет дано
только в гл. 9.
Теперь 1-циклом с является конечная целая линейная комбинация
N
замкнутых кривых ch скажем с — ]£ af^ Здесь мы более не требуем
i = i
прохождения каждой ct через Р0. На каждой ct мы выбираем
точку Q£, которую принимаем за начало и конец ct. Пусть jt—дуга,
соединяющая Р0 с (¾. Тогда JicJl1 = Ci есть замкнутая кривая
с началом в Р0 и она представляет элемент S^(PQ). Мы скажем,
N
что с = 2 ^ici гомологична нулю и запишем с ~ 0 тогда и только
i = i
N
тогда, когда JfC^ представляет элемент из коммутанта [<^"\ <fjT\
i = i
группы <У(Р0).
Мы должны показать, что это определение зависит только от с
и не зависит от выбора точек Qt и путей jt. В самом деле, пусть Р0
с Qt соединяет другой путь //; тогда J-t ===^ j-t JJ1 — замкнутая кривая
с началом в Р0. Затем,
с] = па/Г1 = ОиТ1) (JicuT1) U if Г1) = JiCiJi1.
162
ГЛ. 5 КОМБИНАТОРНАЯ ТОПОЛОГИЯ
Пусть II Cf* ¢[^, <5П; тогда
/=i * = i
так как, очевидно, каждая кривая Jt фигурирует в произведении
с суммой показателей, равной нулю. Таким образом, с^>0 независимо
от выбора jt. Выберем теперь другую точку Qf. на ct, и пусть с'.
представляет ту же кривую ct, но с параметризацией, в которой
началом и концом кривой служит Qrr Пусть lt представляет дугу сь
от Q. до QJ, а в качестве дуги от Р0 до Q'. возьмем дугу j^%. Тогда
Ci = JiCijf1, в то время как Ct = jilicilj' 1jY1. Замечаем, что hcilj1
совпадает с кривой С/////-1 и что /,/f «1, откуда UcilJ1 ^с%
N N а.
и С'.^С.. Таким образом, ЦС^* и И ^/ ' представляют один и
/ = 1 i = 1
тот же элемент группы 3~ (Р0) и могут лишь одновременно
принадлежать коммутанту [&Г, &*\.
Пусть с1 и с2— два 1-цикла; мы скажем, что сх гомологичен с2%
и запишем сх~съ если сг — с2^0. Из этого определения следует,
что с1-\-с2~c2-{-clf или с1-\-с2 — сх — с2^0, так как
соответствующая кривая C1C2Ci1C2~1 представляет элемент коммутанта
[<?Г, 3~\- Обозначим аддитивную группу 1-циклов через з1. Пусть
сг^->0 и с2~ 0; тогда с1—- с2—'0 и 1-циклы, гомологичные нулю,
образуют подгруппу &1 группы ъ1. Определим факторгруппу
£%?* = ъхШх и назовем <§6Х одномерной группой гомологии S.
Так как каждый элемент группы ъ1 определяет элемент
фундаментальной группы <&~(Р0), причем каждая замкнутая кривая с началом
в Р0 сама является элементом з1, и так как мы отождествили с нулем
те циклы в ,^1, которые соответствуют кривым в [$~', <^~], мы видим,
что &61 = S^W^Ti 3~\. На триангулированной поверхности мы тогда
имеем е%?г = Нг. Далее, каждый 1-цикл в ъ1 может быть гомотопно
деформирован в симплициальный 1-цикл и, следовательно,
гомологичен симплициальному 1-циклу. Наконец, симплициальный 1-цикл
гомологичен нулю в этом новом смысле тогда и только тогда, когда
он симплициально гомологичен нулю. Таким образом, мы получили
важное распространение симплициальной группы гомологии до группы
гомологии, определяемой при помощи произвольных замкнутых кривых.
Для завершения аналогии между группами гомологии, одна из
которых использует симплициальные циклы, а другая — замкнутые кривые,
обозначим через а1 = (а, /) кривую на S (не обязательно замкнутую) и
назовем ее особым (или сингулярным) l-симплексом. Точки Р на 5
будут называться особыми ^-симплексами и обозначаться (Р). Целая
N
линейная комбинация особых 0-симплексов ^ап (Рп)* где ап — целые
/2 = 1
5 9. ГОМОЛОГИЯ НА КОМПАКТНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
163
числа, называется особой О-цепью. Пусть а1 = (а, /) и а(0) = Р,
a(l) = Q; определим dc1 = (Q) — (Р) как границу а1. Особая
\-цепъ 71 есть целая линейная комбинация особых 1-симплек-
N N
сов, f1 = 2^^, и мы полагаем д^г = ^апда^. Определив,
/2 = 1 П = 1
как мы это делали выше, сложение 1-цепей, мы получим группу
особых 1-цепей, в которой особыми 1-циклами являются особые
цепи т1 с д^г = 0. Как и в случае симплициальных 1-циклов, каждый
особый 1-цикл может быть записан в виде целой линейной
комбинации замкнутых кривых с началом в некоторой точке на SK и мы
скажем, что f1 гомологичен нулю, если f1 представляет кривую
в [g?"\ aF*], и что ч\ гомологичен ^ №■—^^\ если fj — Т2— 0.
Группа классов гомологии особых 1-циклов (сингулярная группа
гомологии) и является как раз группой е%\
5.9. Гомология на компактных поверхностях. До сих пор мы
вычислили числа Бетти для групп гомологии Н° и Н2. Мы видели,
что для компактных поверхностей b0=l и #2=1. В силу
топологической инвариантности групп гомологии для вычисления числа
Бетти группы Н1 достаточно рассмотреть только нормальные формы
(многоугольники с отождествляемыми сторонами) с удобно
подобранной триангуляцией.
Нормальной формой компактной поверхности рода g ^ 1 является
4^-сторонний многоугольник П с символом aibia["1bi~1a2b2a^1b^1 . . .
. . .ag-bg-a^b^1. Используемая нами триангуляция А указана на рис. 5.27.
Эта триангуляция обладает тем свойством, что не существует двух
симплексов, имеющих одно и то же множество вершин, так что
вершины полностью определяют каждый симплекс. Каждая сторона а^
или Ъь является симплициальным 1-циклом (соединяющим Р0 с Р0),
и мы докажем, что 2g 1-циклов а1? blf ..., а Ь„ образуют базис
гомологии для группы гомологии Н1.
Начнем с доказательства того, что замкнутые кривые alf blf а2,
b2, ..., а^., bg являются полной системой образующих
фундаментальной группы. Пусть С — произвольная замкнутая кривая на S. По
теореме о симплициальной аппроксимации (лемма 5.2) С гомотопна
симплициальному 1-циклу т в А. Выберем в треугольнике из А
произвольную внутреннюю точку Q. Пусть ^ = (а, /), где а
отображает / в нормальный многоугольник П. Для значений t£I, при
которых кривая f пересекает стороны а^ или Ь^, функция a(t)
определена не единственным образом, так как две точки на границе П
соответствуют каждой точке стороны а^ или Ь^ на компактной
поверхности 5 рода g, получаемой отождествлением эквивалентных
сторон П. Для удобства положим a(t) равной произвольно выбранной
одной из этих двух точек. Луч, проведенный из Q в a(t), пересекает
границу П в точке, которую мы обозначим через $(t). Пусть
164
ГЛ. 5. КОМБИНАТОРНАЯ ТОПОЛОГИЯ
0(£, s) — точка на отрезке от a(t) до (3(£), делящая его в
отношении 5 к 1 — s, 0 <; s <^ 1, т. е.
в (*, s) = (1 — s) a (t) -h s$ (t).
Для точек a (t), расположенных на границе П, Q(t, s) = oc(t) при
всех s, так что в осуществляет гомотопную деформацию f в
замкнутую кривую Ст на 5, лежащую целиком на сторонах а^ и Ъ1У
i= 1, 2, . . ., g. Снова применим теорему о симплициальной
аппроксимации (лемма 5.2) к С и получим, что С гомотопна симплициальному
1-циклу т', составленному из 1-симплексов триангуляции А, лежащих
вдоль 1-циклов а^ и Ь^, /= 1, 2, . . ., g.
Таким образом, 1-цикл у' задается (см. рис. 5.27) следующим
образом:
Т=%№ЧР„ Qw> + Pi*>(Qw. QtJ+YiHQ». Po)+i^{P0> Q,,)4-
+^(Qi,rQi,i)+'4i)(Q^po)}'
где [хФ — целые числа, и
+ (^ - К0) (^/,7) + (^ ~ К°) <QW> + (:4° - ^ + pf - Кг)) (ро>-
5.9. ГОМОЛОГИЯ НА КОМПАКТНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
165
Так как d^f = Of pV) === pV) = pV) и ^ = ^ = ^, a так как
а,= (Л>. Qt.i) + (Qi,u Qi,2>+ (0/,2. Л>>
Ь, = (P0> Q,3) + (Q,3, Qui) + (Qm. ^o>.
мы имеем
/=i
В силу того, что кривая С гомотопна 1-циклу^ т', мы получаем,
что С гомотопна целой линейной комбинации a.t и ht, т. е.
совокупность сторон а, и Ь; является системой образующих фундаментальной
группы.
Так как
aibia^ Ь± а2Ь2а^ Ь<Г ... %b^aj b^
образует границу односвязного многоугольника П, мы видим, что
эти 2g образующих удовлетворяют соотношению гомотопии
aibiaf ЬГ~ • • • &gbg&g Ь^ «1.
Можно также показать, что все соотношения гомотопии
фундаментальной группы порождаются этим соотношениемги тривиальными^соот-
ношениями а*аГ »1 и b/b/"1 ^^ 1. Доказательство этого результата
мы здесь не приводим, так как он нахМ в дальнейшем не понадобится.
Так как группа гомологии Н является коммутированной
фундаментальной группой, то а/ и Ь/( /= 1, 2 g, являются системой
образующих также и для группы гомологии. Но чтобы убедиться
в этом, мы должны еще показать, что они гомологически линейно
g g
независимы. Предположим, что 2^/а/ + У/Ь/~ 0, так что 2^/а/ +
/=i /=i
N
-\~Р;Ъ: = дс2\ где o2 = 2v;5? и s? являются 2-симплексами в А.
Если треугольник $2 фигурирует в а2 с коэффициентом vlf то
треугольники из А, обладающие общей стороной с s*, лежащей внутри П,
также должны фигурировать с коэффициентом vlf ибо их общая
сторона не входит в да2. Так как любой треугольник в А может
быть соединен с s2± цепью треугольников, в которой каждая соседняя
пара пересекается по стороне, лежащей внутри П, то мы видим,
что а2 содержит каждый треугольник из триангуляции А в точности
один раз с одним и тем же коэффициентом, скажем v. Тогда
N
a2=v25f,
/ = i
166 ГЛ. 5. КОМБИНАТОРНАЯ ТОПОЛОГИЯ
где s2., 1=1, 2, . . ., Л/, представляют каждый треугольник в А
один раз и
da2 = v2a, + bi —а, —Ь, = 0.
g
Таким образом, имеем 2^^ + ^^ = 0, откуда \l = \Ji = 0f i=\%
2, . .., g. Это доказывает, что а^ и Ь^ линейно независимы и
образуют базис гомологии, когда g^>l, а поэтому число Бетти b1 = 2g.
В случае g = 0 нормальный многоугольник имеет две стороны;
а и а-1. Триангуляция дана на рис. 5.28. Как и прежде, всякая
замкнутая кривая С может быть
гомотопно деформирована в
линейную комбинацию внешних
сторон П, в данном случае а и а-1.
Таким образом, C^jxa-f-va х =
= (\i — v)a. Чтобы (|х — v)a
являлся циклом, необходимо,
чтобы д ((х — v)a = ([х — v) [(Р) —
— (Q)] = 0, и мы заключаем, что
jx = v, т. е. С £& 0. Таким образом,
Ьг = 0 при g = 0; итак, мы можем
утверждать, что вообще bx = 2g
для компактных ориентируемых
поверхностей рода g^O.
q Из того, что b1 = 2g для лю-
Рис 5 28 бой компактной поверхности,
следует, что две компактные
ориентируемые поверхности топологически эквивалентны тогда и только
тогда, когда они имеют один и тот же род. Действительно, числа Бетти
являются топологическими инвариантами, и два нормальных
многоугольника различных родов не могут быть гомеоморфными.
Пусть А — произвольная триангуляция ориентируемой компактной
поверхности 5. Пусть ап — число /г-симплексов в А. Сумма
2(-1УЧ = х
/2=0
называется эйлеровой характеристикой 5д. Докажем теперь, что х
является топологическим инвариантом и у = 2 — 2g для поверхности
рода g.
Совокупность ап я-симплексов образует базис группы /г-цепей
Cn(Sb). Так как Zn — группа я-циклов — является подгруппой Сп*
мы можем выбрать базис z[n\ z^\ ..., zW я-циклов, который можно
дополнить до базиса zj\ г", . .., z£ для группы Сп. Далее,
5 9. ГОМОЛОГИЯ НА КОМПАКТНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
167
Вп~1^Cn\Zn!, так что группа В4'1 изоморфна подгруппе Сп с
образующими Zk +ъ • ••> Za- Таким образом, Вп~1 образована базисом,
состоящим из rn_1 = an — kn элементов. Так как C° = Z°i то мы
имеем г_! = 0. Учитывая соотношение Hn = Zn/Bn, получаем, что
группа Нп обладает базисом, состоящим из Ъп элементов, bn = kn—гп.
Таким образом, имеем an = bn-{~rn_l-\-rn и, следовательно,
Х-2(-1)"ал-2(-1)л^ + /-2-
/2=0 я = 0
Тот факт, что В2 = 0, означает отсутствие ненулевых 2-границ, т. е.
г2 = 0 и
2
x = S(-i)"ft„.
/2 = 0
Мы получили формулу Эйлера — Пуанкаре и доказали, что %
является топологическим инвариантом. На компактной ориентируемой
поверхности рода g b0—\, bl = 2g, b2=\ и
X=2 — 2g.
Пусть A — произвольная триангуляция на компактной
ориентируемой поверхности рода g. Мы назовем 1-цикл простым, если он
представляется в форме
(Р0> ^) + (^. Я2)+ • • • +{РЙ-и Ро).
где Pi=hPj при 1ф]. Конечное число 1-циклов ^и Т2> •••> Тт>
никакие два из которых не пересекаются по 1-симплексу, образует
цепь С, и мы скажем, что С разделяет 5, если множество S — С
не связно. Из представления поверхности S в нормальной форме
очевидно, что базис гомологии als Ьи а2, b2, ..., а^., bg образует
систему простых 1-циклов, которые не разделяют S в силу связности
внутренности многоугольника. Таким образом, на поверхности рода g
мы можем найти в подходящей триангуляции систему, содержащую
по меньшей мере 2g* простых 1-циклов, не разделяющих эту
поверхность.
Мы докажем, что на поверхности рода g любая система, состоящая
из более чем 2g простых 1-циклов, разделяет S. Пусть zlt z2, . . ., zr,
г > 2g— такая система. Мы должны показать, что множество 5—С,
где
c=|*ilul*2|u... U|*r|.
не связно. Так как b1 = 2g) мы заключаем, что zlt z2, . . ., zT
гомологически зависимы. Таким образом, существует 2-цепь с2, для которой
г
kxzx -f- k2z2 -+-...-(- krzr = дс2, причем 2 *? > О-
168
ГЛ. 5. КОМБИНАТОРНАЯ ТОПОЛОГИЯ
Поскольку никакие 2-симплекса zt и Zj не имеют общего
1-симплекса, дс2Ф0. Таким образом, |с2| не пусто. Если \с2\ совпадает
со всей поверхностью S, то пусть с2— 2-цепь, принимающая
значение 1 на каждом когерентно ориентированном 2-симплексе в Д.
N _ N
Пусть с2 = 2 X.s2.; тогда 2-цепь ^2 == с2—\с2 = 2 fy5/ не содержит s2.
_i = l 1 = 2
Так как дс2 = 0, имеем
М1 + М2+ ••• -f-W = dT2»
причем теперь уже | f21 не пусто и не совпадает со всей S.
Пусть Ох = | Т21—| df | и G2 = S — | т21- Тогда 0± [} G2 = S—\ df\;
Gx и G2 — открытые множества и 0^^2 = 0. Поскольку \d^2\czCt
множество S -С не связно и система г простых 1-циклов zlf z2, . . ., zr
разделяет S. Таким образом, доказано, что на поверхности рода g
наибольшее число циклов в системе неразделяющих поверхность
простых \-циклов равно 2g.
ЗАДАЧИ
1. Показать, что в замкнутой цепи треугольников, которые нельзя
когерентно ориентировать, существует замкнутая кривая, не являющаяся
двусторонней.
2. Вычислить группы гомологии кольца рис. 5.24.
3. Вычислить группы гомологии проективной плоскости рис. 5.6.
4. Мы можем определить компактную поверхность с краем
(далее обозначается через S) как компактную поверхность рода g,
из которой удалено конечное число непересекающихся дисков Du
D2, ..., Dr, г > 0 (Di — внутренность топологического образа круга
\z\^ 1). Пусть ri — граница Dt\ каждая точка Р0 на г/ имеет
окрестность (в S), гомеоморфную полукругу х2-\- у2 < 1, з>^> 0 с точкой Р0>
соответствующей (0, 0), и отрезком rt, соответствующим j/ = 0,
— 1 < х < 1. Доказать, что S имеет в качестве нормальной формы
многоугольник с символом
члчГ1 • • • ч/гЧ^ъ^ъ;1... а^а^ь;1,
где q^ являются разрезами, ведущими из точки Р (общей для всех Я|
и bj) к каждой кривой rt. Мы скажем, что поверхность S имеет
род g и г граничных кривых.
5. Пусть S — компактная поверхность с краем; мы построим
новую поверхность S, называемую дублем S, взяв гомеоморфный
экземпляр S' поверхности S и отождествляя точки на границе,
соответствующие при гомеоморфизме. Показать, что если S имеет
род g и г граничных кривых, то S является компактной (замкнутой)
поверхностью рода 2g-{-r—1.
Глава 6
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ
6.1. Дифференциалы второго порядку и поверхностные
интегралы. Мы уже видели, что локально евклидова структура римано-
вой поверхности позволяет перенести на эту поверхность ряд понятий
из анализа на плоскости. Мы рассмотрим теперь, как это следует
сделать при введении интегрирования.
Пусть / = fx -f- if2 — комплекснозначная непрерывная функция
на римановой поверхности S. Предположим, что О—-область,
лежащая внутри одного параметрического круга D с локальным параметром
Ф(Р) = (х, у). Прежде всего напрашивается определение интеграла /
по О в виде
fff=ffe(x.y)dxdy, (1)
G Ф(в)
где g(x, y) = f [Ф"1 (х, у)] и интеграл справа является двойным
интегралом от непрерывной функции g ti0 области в плоскости1).
Однако координатная система Ф(Р) был^ произвольно выбрана из
многих возможных, и мы могли бы, например, в качестве локального
параметра в круге, содержащем область Qt взять ЧГ(Р) = (#, v).
Тогда получилось бы
f f f = f f h(a9 v)ua dv, (2)
G W(G)
где h(a, v) = f{W~1(u, v)). Но интегралу (i) и (2) не обязательно
равны. Локальные параметры на риманоВой поверхности связаны
соотношением (a, v) = W[0"1(x9 у)], где w = u+iv является
аналитической функцией от z = x-\-iy. Мы ^меем
//«"(*• y)dxdy = f f h(a, v) ^ У) dadv% (3)
$>{G) w{G) \ > )
где д (х,у)[д (u,v) = \ dzjdw |2 — функциональный определитель замены
координат. Интеграл (3) равен интегралу (2) тогда и только тогда,
когда ] dz/dw |2 =з 1, что представляет собой весьма
исключительный случай.
х) Для удобства мы будем записывать элемент площади в (х,
^-плоскости как dx dy. Это не означает, что мы выбрали порядок повторного,
интегрирования в двойном интеграле. Интегралы берутся в смысле Лебега
170
ГЛ. 6 ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ
Теперь становится ясно, какие трудности возникают при попытке
определить интегрирование на поверхности 5. Во-первых, нас должна
беспокоить зависимость интеграла от выбора локальных координат
в области G, и, во-вторых, нужно рассмотреть области, не
лежащие целиком внутри одного координатного круга, и подумать,
как склеить куски их вместе. Эти проблемы не возникали при
определении интегралов на плоскости, ибо мы имели там единственную
(макроскопическую) координатную систему на всей плоскости,
которую обычно считают фиксированной в продолжение всего
рассмотрения.
Одним из возможных подходов является разделение римановой
поверхности на малые куски (треугольники, если предполагается
известной триангулируемость поверхности), каждый из которых
помещается в одном координатном круге, и фиксирование
локального параметра в каждом из этих кругов в продолжение всего
рассмотрения. Тогда для произвольной области G фиксированное
подразделение поверхности S делит G на куски; в каждом из них
параметр фиксирован, и выраженную через него функцию / можно
интегрировать по правилу (1). При этом \ \ f есть сумма интегра-
G
лов по кускам G. Если взять другое фиксированное подразделение S,
то интеграл ( | / получит, вообще говоря, другое значение. Этот
G
подход имеет ряд недостатков; в частности, желательно было бы
иметь определение, не зависящее от фиксированного выбора
локальных координат. Многие из последующих рассуждений будут
проводиться с целью избежать зависимости от выбора локальных
координат. Мы не предполагаем заранее, что риманова поверхность может
быть триангулирована или разбита на счетное число множеств, каждое
из которых лежит в одном параметрическом круге. И, хотя в
дальнейшем эти факты будут доказаны, здесь они не будут
использоваться. Приступим к поискам другого подхода к определению
интеграла.
Наши трудности возникают при попытке интегрировать функцию
по области G на поверхности 5, так как интеграл от функции не
инвариантен относительно замены координат. Поэтому будем искать
другой объект для интегрирования. Ключ к нашим дальнейшим
действиям дает нам равенство (3). Мы должны потребовать, чтобы
g (х, у) dxdy = g (х (и, v), у (и, v)) °д ^ ^ da dv. (4)
Таким образом, выражение, которое мы интегрируем, имеет вид
g(x, y)dxdyt и оно должно удовлетворять условию (4) при замене
переменных. Это приводит нас к следующему определению
дифференциала второго порядка Q в области G на S.
6.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
171
Дифференциал (второго порядка) 2 в области G на 5 есть
выражение, определенное в G, которое при любом локальном
параметре (х, у) имеет вид
2(х, y)~g(x, y)dxdy,
где g(xty)— комплекснозначная функция от (х, у), которая при
замене локальных координат преобразуется по правилу (4), т. е.
если и = и(х, у), v — v(x, у), то
2 (a, v) = h (и, v) du dvt
где
h(u, v) = g(x(ut v),y(u, v)) д{*ау^ . (5)
Если локально Q = g(x, y)dxdy, то мы можем потребовать, чтобы
функция g(x, у) удовлетворяла некоторым условиям регулярности. Но
при этом следует убедиться, что эти условия имеют смысл для 2, т. е.
мы должны знать, что рассматриваемые свойства сохраняются при
замене локальных координат. В новых локальных координатах
2 = h (u,v) du dv, где h определяется из условия (5) и
д(х, у)/д(и, v) = | dzjdw\2, a dz/dw — аналитическая функция, когда
z = x-\~iy, w = u-\-iv. Таким образом, на g(xfy) мы можем
наложить условия интегрируемости, непрерывности, дифференцируе-
мости и т. д., так как h(u, v) тогда также обладает
соответствующими свойствами. Мы говорим в подобных случаях, что этими
свойствами обладает дифференциал 2. Итак, 2 £ Сп в G, если g(x, у) £ Сп
в локальном представлении 2; или дифференциал 2 интегрируем, если
локально функция g(x, у) интегрируема. Далее, дифференциал 2
действителен, если g(x, у) является действительной функцией
в каком-либо локальном представлении в окрестности каждой
точки G, и дифференциал 2 положителен, если g(x, у)
положительна в каком-либо локальном представлении в окрестности каждой
точки G; это определение имеет смысл, так как для конформных
преобразований д (xt y)jd (и, v) = \ dz/dw |2 > 0.
"Если / — комплекснозначная функция, определенная в области G,
то выражение /2, представленное при помощи локального параметра
ф (Р) = (х, у), имеет вид
/(Ф~1(х, y))g(xt y)dxdy
и является также дифференциалом второго порядка в G, так как
при замене переменных на Чг(Р) = (и, v) мы получаем
f(W-\ut v))g(x(u9 v), у {и, v))^^ = f(JS'1(a, v)) h(a. v).
что соответствует правилу преобразования для дифференциалов.
Далее, если 22 и 22 — дифференциалы соответственно с локальными
представлениями gx(x, y)dxdy и g2(x, y)dxdy, то Qt-{-Q2 есть
дифференциал с локальным представлением [giix, y)-\-g2(x> y)]dxdy.
172
ГЛ. 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ
Если область G лежит в одном параметрическом круге и
дифференциал Q интегрируем в G, то интеграл I I Ь определен единствен-
G
ным образом независимо от выбранных для представления Q
локальных координат, так как
j j 9 (х, у) = j j g (x,y) dx dy =
G Ф(<5)
= f fg(x(u.v),y(a. v))^Jldudv =
W(G)
= f ) h(u, v)dudv= f | Q(«, <t/).
W(<5) о
Рассмотрим теперь задачу распространения этого определения на
области G, выходящие за пределы одного параметрического круга.
Для этого введем понятие разложения единицы.
Пусть область G имеет компактное замыкание G на S. Каждая
точка P£G имеет параметрический круг D(Р) с локальным параметром
Ф(Р) = (х, y)t z = xA- iy, в котором D имеет вид \z\< 1. Пусть
U(Р) — подмножество D(P), определяемое условиями: —я<х<&,
— Ъ < у < й, а < 7г» й < 7г- Так как О компактно, конечное число
множеств £/(Р) покроет G; пусть это будут множества Ul9 U2% ...
.., £/л, причем каждое Uk содержится в параметрическом круге Dk
с локальным параметром Фк(Р) = (х9 у). Определим функцию fk
на 5 следующим образом:
/ар)=
(Х2 _ fl2)4 (у _ #2)4, Р £ £/ft,
О, P£S — Uk.
Таким образом, Д (Р) > О для P(jt/ft, Д(Р) = 0 для P$;Uk
П
и Д£С2 на 5. В любой точке P0^G сумма 2Д(^о)>0' так
Л = 1
как Р0 принадлежит некоторому £/у и /у(Р0)>0, в то время как
остальные Д (Р0) ;> 0. Мы можем определить функции ^, & = 1, 2, . . *
..., л, на G, положив
Л(Р)
*%<Я) =
/2
21/у (р)
Функции е^, k=l, 2, ..., п, имеют свойства
a) eft(P)>0 при Яе^,
b) е»(Я) = 0 при P(£t/*,
6.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
173
c) 2«*(Я) = 1 при P^G,
d) ek£ С2 в О.
Любая совокупность функций {^}, удовлетворяющих условиям а) — d),
образует разложение единицы для G по отношению к покрытию {Uk}.
Пусть Q — интегрируемый дифференциал второго порядка в G,
который имеет представление gk(x, y)dxdy в каждом параметриче-
п п
ском круге Dk. Заметим, что Q = Q 2 (¾) = 2 (*^) в G. Это при-
fc = 1 fc = 1-
водит нас к определению
п п
f /g=2 / / <Q**>= S //«*<*■"' {x>y)} л(x' ^ ^x ^(6)
так как в каждом G (]Uk интеграл от Qefc инвариантно определен.
Остается доказать, что величина (6) зависит только от G и Q, но
не от используемого специального разложения единицы.
Пусть функции еру к = 1, 2, ..., т% образуют другое разложение
единицы для G относительно покрытия {Uk}, где локальный параметр
в Uk обозначается через Ф^ = (х, у). Согласно (6),
п п т
G k = lGC]Uk k = lGf)Uk / = 1
т
так как 2^=1 в G. В силу аддитивности интеграла в каж-
дом G Г) Up мы можем написать
п т
Яа=2£Я^;,
Функция ekej отлична от нуля только на множестве Uk Г) ^;-;
переходим здесь от переменных (х, у) к (х, зО и получаем
J J Q (*, jr) V~ = f f 2 (x, y) ekej.
GViUppiUj Gr\ukc\u.
Суммируя no J и k, имеем
n m m
J72=22 // Q(x,j)V~=2//2^^>^
174
ГЛ. 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ
так как ek = 0 вне Uk, jj Uk => G и 2 ek — * B G- Ho последнее
выражение и является как раз определением J ) & через е;-. Таким
G
образом, наше определение не зависит от используемого разложения,
и интеграл от дифференциала второго порядка определен теперь для
любой области G с компактным замыканием.
Если замыкание области G не компактно, то наше предыдущее
определение можно распространить следующим образом. Пусть V —
произвольная область с компактным замыканием, содержащаяся в G.
Предположим сначала, что дифференциал 2 действителен и
неотрицателен в G. Тогда интеграл Г Г 2 уже определен, и мы полагаем
v
Па = №аП*
vca v
Для любого дифференциала 2 в О абсолютное значение | 2 | может
быть определено как дифференциал с локальным представлением
\g(x, y)\dxdy. Мы действительно получаем при этом дифференциал,
так как если от локального параметра (х, у) перейти к локальному
параметру (и, v) и если z — x-\-iy и w = a-^-iv, то
| £2 12
dz |2
dw *
т. е. 2 преобразуется по правилу для дифференциалов. Для
действительного £2 имеем 2 = 2 +— 2~, где 2+=-^-( I ^ |~Ь^) и 2"" =
= -^(|2|— 2), так что дифференциалы 2"*" и 2"" неотрицательны и
действительны. Интеграл от произвольного действительного
интегрируемого дифференциала 2 по произвольной области G
определяется теперь как
//"=;/"*-/;»-■
если оба интеграла справа конечны. Для любого комплекснозначного
интегрируемого дифференциала интегралы от его действительной и
мнимой частей уже определены, и мы полагаем интеграл от 2 по G
равным
G G G
Следует проверить, что так определенный интеграл аддитивен.
Для областей G с компактным замыканием аддитивность следует из
6.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
175
аддитивности интеграла .на плоскости, в силу которой каждый член
в (6) аддитивен. Для произвольных областей G достаточно будет
доказать аддитивность в случае неотрицательных дифференциалов Qt
и 22, для которых
Я<21== sup Г Г ^i и Г Г 22= sup Г Г £2,
G ^- V G ^<-^ ц
где U и V — произвольные области с компактными замыканиями
в G. Тогда
Г />i + £2)= sup Г Г(^1-+-92)<8ир Г f 9t+ sup Г Г92.
С другой стороны, для данного s > 0 найдутся такие множества U0
И Vq, что
Объединение U0 (J У0 является открытым множеством, но не
обязательно связным. Соединим точку P0£UQ с Q0 £ V0 дугой С в G и
покроем С конечным числом параметрических кругов в G, сумму
которых мы обозначим через WQ. Тогда U0 U V0 U ^о =1 ^ есть
область с компактным замыканием в G и
w v0 w uQ
так что
G W WW
> f f 2,+ / { Q2> f f Qt+ f f Q2-b%
V0 V0 G G
и аддитивность доказана в силу произвольности выбора е.
6.2. Дифференциалы первого порядка и криволинейные
интегралы. Если С = (а, /) — дифференцируемая кривая в (х,
^-плоскости, р(х, у) и д(х, у)— непрерывные комплекснозначные
функции в области, содержащей С, то мы, как обычно, полагаем
1
fpdx + qdy=f{p(<i1(t), а2(t))-¾. + q{*At), a2{t))^\dt =
с t=o
1
= 1{Р(*-У)Ж+«<Х-»%}*<• (1)
где a(t) = (ai(t)t a2(t)) = (xt у), аг и а2 — дифференцируемые
функции от t при 0<^<^1. Распространим теперь это определение так,
176
ГЛ. 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ
чтобы получить криволинейный интеграл на римановой поверхности S.
Имея это в виду, перейдем к новым координатам с помощью
конформного преобразования переменных z — g(w), w=u-{-iv, z —
= x-\-iy. Тогда С будет задаваться в виде w = g-1(<x1(t)-\-ia2(t)) и
dx дх da , дх dv dy ду du , ду dv
ЧГ~~дйЧГ~^~дгГ~Ж' ~dt ~~~du~~Tt *~dv~dF'
Та^ким образом,
j р(х9 y)dx + q(x, y)dy =
с
i
= J{[p(%W.ч(0) £■+*<«,(0. «aW)¾£ +
*=0
s= I p(u9 v)du-\-q(u, v)dv9 (2)
где
p(u, v) = p(x(u, v), у (a, *0)-gj +?(*(«. *>). J>(«. *0 )-55-•
?(«, v) = p(x(u, v)9 y(u, v))-£- + q(x(u, v)9 y(u, ^))¾. (3)
Отсюда мы видим, что подинтегральное выражение есть
дифференциал (первого порядка) р(х, y)dx-\-q(x9 y)dy9 который
преобразуется в р(и, v)duA-q(uy v)dv при замене переменных, где р
п q связаны с р и q соотношениями (3). Это позволяет нам
определить выражения, которые мы будем интегрировать на
поверхности 5.
Пусть G — область на S. Мы назовем дифференциалом (первого
порядка) о) на G выражение, которое в любом локальном
параметре (х9 у) записывается в форме
о>(л\ у) = р(х, y)dx-\rq(x9 y)dy9
где р и q — комплекснозначные функции (х, у), причем это
выражение при замене переменных преобразуется в
<!>(#, v) = p(u, v)du-\-q(u, v)dv,
где /?, #, р9 q удовлетворяют соотношениям (3). Если / — комплексно-
значная функция на G, то /<о является дифференциалом первого
порядка, который через локальный параметр Ф(Р) —(х, у)
выражается в виде
/а> = /(Ф"1(д:, у))р(х9 y)dx-\-f(<$)-l(x, y))q{x9 y)dy.
6.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
177
Действительно, при замене переменных это выражение преобразуется
по правилу для дифференциалов и
/[Ф-1(х(г/, v)9 у {a, v))\p(u9 v) =
( ci у
=:/[Ф_1(х(г/, v), у (и, v))]{p(x(u, v)9 y(*.v))-g£-\-
-\-q(x(u, v), у (и, v))-£^,
/1Ф"1 (дг (a. v)9 у (и, v))]q(u9 v) =
= fl^~1(x(ui v), y(u9 v))]{p(x(u, v), у (и. ^))-^- +
+ ?(*(«, v). у (и, *))-£}.
Если локально о)2 = p1dx-\~ q1 dy и о)2 — р2 dx -j- q2 dy, то о)2 -j- ^2
есть дифференциал с локальным представлением (A-f-/¾) ^ ~Ь
+ (01+02^-
Пусть дифференцируемая кривая С = (а, /) лежит целиком внутри
одного локального параметрического круга с параметром Ф(Р)=(х, у);
пусть Ф (С) = (Ф о а, /) и дифференциал о) определен и непрерывен
в области, содержащей кривую С. Тогда, согласно (2), однозначно
определен интеграл от о) вдоль кривой С
Го)= \pdx-\-qdy.
с Ф (С)
Нам остается еще распространить это определение на кривые С —(а, /),
которые не умещаются целиком в одном параметрическом круге. Так
как точки С составляют компактное множество, мы можем разделить
отрезок 0 ^ t <; 1 на конечное число частей 0 = t0 < tl < . . . < tn = 1
так, что образ каждого отрезка It: t^i^t ^tt лежит внутри одного
параметрического круга. Положим Ct = (a, It) и определим
п
С i^lCl
Наше определение не зависит от используемого подразделения.
Проверим это. Рассмотрим сначала новое подразделение, которое
получается из данного добавлением одной точки V между tt_x и tt\ эта
точка делит Ct на C't и С". Из аддитивности криволинейного
интеграла и из того, что в одном координатном круге криволинейный
интеграл инвариантен относительно замены переменных, следует, что
с' < с'!
178
ГЛ. 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ
и Г о) сохраняет прежнее значение при вычислении с этим новым
с
подразделением. Пусть теперь 0 =■ t'0 < t[ < . .. < t'm = 1 — другое
подразделение единичного интеграла /. Присоединяя к первому
подразделению последовательно по одной точке из второго
подразделения, а ко второму — точки деления первого, получим подразделения,
которые совпадают. Интеграл, вычисленный для этого подразделенияу
равен интегралам, вычисленным для первого и второго
подразделений, следовательно, оба интегралы равны.
Если С ==- СХС2 . . . Сп — кусочно дифференцируемая кривая, где
каждая Ct дифференцируема, то мы определяем
f»=tt /ш-
с l = lCi
Таким образом, нами определен криволинейный интеграл от
непрерывного дифференциала о> по кусочно дифференцируемой кривой.
Как и в случае дифференциалов вторскю порядка, мы скажем,
что дифференциал о) обладает некоторым свойством, если этим
свойством обладают коэффициенты р и q в локальном представлении
со = pdx-\-qdy, причем это свойство сохраняется при замене
локальных координат.
Пусть / — комплекснозначная функция на S с непрерывными
частными производными первого порядка, т. е. если Ф(Р) — (х, у) —
локальные координаты в параметрическом круге D, то функция
/[Ф_1(х, у)] дифференцируема и df/dx и df/dy являются локально
непрерывными функциями. Далее мы можем определить полный
дифференциал df функции / формулой
df^fjx + ^dy.
Этот полный дифференциал функции / является в самом деле
дифференциалом первого порядка на 5 с р — df/dx и q = df/dy, так
как при замене координат х-=х(и, v) и у = у(и, v) имеем
df dx , df dy
dx dv ' dy dv *
что соответствует правилу преобразования (3). Дифференциал,
который является полным дифференциалом для некоторой функции / £ С2
на 5, называется точным duффepeнцuaлoм.
Если о — точный дифференциал, то локально имеем ш = р<2х-|-
-\-qdy, где
dy ~ дх' KV
df _ df дх , df ду
да дх ди ' ду да'
df
dv
6 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
179
Обратно, когда условие (4) выполняется в односвязной области на
плоскости, со является полным дифференциалом некоторой функции /.
Таким образом, когда дифференциал со удовлетворяет условию (4)
в каждом параметрическом круге, со является локально точным
дифференциалом. Однако при распространении на всю поверхность S
локально определенной функции /[Ф"1(х, у)], для которой локально
со = df, может получиться, что она не будет однозначной на S, так
что, вообще говоря, со не является полным дифференциалом
однозначной функции на S. Дифференциал со, который имеет
непрерывные первые производные в области G на S, удовлетворяет условию (4)
в каждом параметрическом круге и, следовательно, является локально
точным, называется замкнутым дифференциалом в G.
Пусть со— замкнутый дифференциал и С —(а, /) —
дифференцируемая кривая, лежащая в одном параметрическом круге D, и
х = ^(^), y = a2(t), t ¢/— представление С в D. Имеем со = df (х, у)
в D и
1
J со = J ^/ = J ^/ (а, (0, М0) = /(а(1))-/(а(0)).
с с / = 0
Таким образом, если а(0) = Ро и а(1) = Р1э то мы можем записать
/со = /(/\)-/(Ро).
с
так что интеграл зависит только от значений / в конечных точках С.
Если С не умещается в одном параметрическом круге, то мы можем
так разделить С на дуги Ck = (a, Ik), где Ik — интервал tk_1 ^ t ^ tk,
причем 0 = t0 < tx < t2 < ... < tn = 1, что каждая дуга Ck будет
лежать в одном параметрическом круге Dk. Пусть a(tk) = Pk —
конечные точки дуг Ck. Далее, локально w = dfk, где функция
fh{P) определена для P£Dk. В Dk функция fk определяется с
точностью до аддитивной постоянной; в то же время ясно, что разность
fk{P) — ff?(Q) ПРИ Р* QG £*/? не будет зависеть от используемых в Dk
координат. Имеем
п п
/со = 2 /^==2(/^)-/^-0}. (5)
При определении криволинейного интеграла от дифференциала со
мы вынуждены были ограничиться кусочно дифференцируемыми
кривыми на S. Однако, когда дифференциал со замкнут на S, мы
можем использовать формулу (5) для распространения определения
криволинейного интеграла от со на произвольные кривые. Пусть С = (а, /) —
кривая на S и Ci9 С2, . . ., Сл> — как и выше, такое подразделение С,
что каждая дуга Ck лежит в одном параметрическом круге Dk. Так
180
ГЛ. 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ
как дифференциал о) замкнут, w> = dfk для некоторой функции fk(P)>
определенной в Dk, и мы просто полагаем, используя формулу (5),
п п
f * = %[h(P*)-f*(P>-i)} =%{/*(*«*))-fk(*(t*-i))l
С k=l k=l
Нам нужно показать, что это определение не зависит от
подразделения С. При добавлении к этому подразделению новой точки ¥9
^_i<£'<^, мы получим дуги C'fe = (a, /£) и C£ = (a, /£), где
/£ : tk_x^t ^t' и I^:tr^t^tk; обе эти дуги лежат в D,,, и если
a(t') = P't то
{/* (П - /* 0^-i)} + (Л iPk) ~ /* (Р')} = Л (/¾ - Л (^-i).
При всяком подразделении, получающемся из данного добавлением
новых точек, величина интеграла не изменится, так как мы можем
добавлять эти точки последовательно по одной. Пусть теперь
0 = t'0 < t[ < . . . < trm = 1 — другое подразделение С. Рассмотрим
третье подразделение, состоящее из всех точек tk, t'., k — 0, 1, ..., nt
/===0, 1, ..., т. Интеграл, вычисленный для этого подразделения
(полученного добавлением новых точек к исходным), равен интегралам
для исходных подразделений, и, таким образом, интегралы для обоих
подразделений оказываются равными. Следовательно, интеграл Г со
с
определяется единственным образом для замкнутого дифференциала о>
и произвольной кривой С.
Пусть С = (а, /), тогда С-1 = ф, /), где p(*) = a(l — t).
Подразделение С, используемое при вычислении Гоо, определяет подразде-
с
ление С1 с теми же самыми точками деления (3(1—tk) = P
k>
/m=S{/»-*(p«-*)-/»-*(p«-ft+x)}=S{/*(/>*_1)-/Ji(pft)}=
п
= -Ц {/*(*>*)-A(^-i)} = -/«>.
Далее, если С = С£г, то 10)=100-1-100. Пусть С = (а, /) — то-
чечная кривая, для которой a(t)==PQ; тогда в приведенном выше
определении интеграла Pk = Рй._1 = Р0» и f °> = 0.
6.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
181'
Если со—точный дифференциал, то со = df, где функция /
определена на всей поверхности S. Тогда для любой кривой С = (а, /)
имеем
/<o = /rf/ = /(a(l)) —/(а(0)).
с с
Если со — точный дифференциал и С — замкнутая кривая, a(l) = a(0),
то
/■
(о = 0.
с
Теорема 6.1. Если кривые С0 = (а0, /) а Сг = (а1У I) гомотопны,
а со— замкнутый дифференциал, то
В самом деле, пусть Ф — непрерывное отображение /X/ в Sr
деформирующее С0 в Clf Ф(7, 0) = а0(£), Ф(£, 1) = ^(^), ££/, и
¢(0,5) = 0^(0) = ^(0), Ф(1, 5) = ^(1) = ^(1),5(=/. Квадрат /X/
можно разделить на /г2 равных квадратов диаметра У"2/#, меньшего, чем
лебегово число покрытия квадрата / X / прообразами параметрических
кругов на 5 при отображении Ф. Образ каждого малого квадрата
целиком лежит внутри одного параметрического круга. У каждого-
квадрата с вершинами
(1 ±\ (1+1 А\ ^+1 ±±1\ (L k + l\
\п$ п )' \ п ' пу \ п ' п )у \п* п У
у, fe = 0. 1, ..., п— 1,
отображение Ф переводит границу с указанной ориентацией в
замкнутую кривую Гу>й, лежащую в одном параметрическом круге. Из того,
что со является локально точным дифференциалом, следует, что
| о) = 0. Каждая сторона квадрата подразделения, лежащая внутри
IX Л является стороной двух смежных квадратов и входит в них.
с противоположной ориентацией. Таким образом,
/i-i
0=/, | со == | со —|— J со —|— I со —j— I со,
j,k=ov.tk Со с c-i с-1
где С представляет кривую Ф(1, s), $£/, а С — кривую Ф(0, s),
s£I. Так как Ф(0, 5) = а0(0) и Ф(1, 5)==а0(1), то
|(о = 0 и I со == 0.
с г-1
182 ГЛ. 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ
Итак, Г а> —|— Г ш = 0, и наше утверждение доказано. В частности,
если Сг — точечная кривая (точка), то I со = 0. Отсюда следует, что
Q
если замкнутая кривая С гомотопна точке и со является
замкнутым дифференциалом, то | со = 0.
с
Это заключение говорит о том, что криволинейный интеграл от
замкнутого дифференциала в действительности зависит только от класса
гомотопий замкнутой кривой. Далее, интеграл по СгС2 равен интегралу
по С2Сг, так что | со = 0 для любой замкнутой кривой С из коммутанта
с с
фундаментальной группы. Следовательно, интеграл I со зависит только
с
от класса гомологии кривой С, и мы можем утверждать следующее:
Теорема 6.2. Если кривая Сг гомологична кривой С2 и со —
замкнутый дифференциал, то I а>= I а>. Если С—>0, то ■ со = 0.
с, с2 с
В дальнейшем мы будем отождествлять кривую, по которой мы
интегрируем, с элементом из группы гомологии замкнутых кривых.
6.3. Теорема Стокса. В этом пункте мы докажем теорему Стокса,
которая даст нам соотношение между криволинейным интегралом по
границе области и поверхностным интегралом по области. Пусть со —
дифференциал первого порядка с локальным представлением со(х, у) =
= р(х, y)dx -\-q{x, y)dy, где функции р и q имеют непрерывные
частные производные по х и у, т. е. со ([С1. Мы определим
дифференциал второго порядка dm (называемый внешней производной со)
как дифференциал с локальным представлением
аш = {ш-^г)ахаУ-
Чтобы доказать, что эта формула действительно дает нам
дифференциал второго порядка, покажем, что при замене переменных х =
= х (u,v), у —у (и, v) функция dqjdx — др/ду преобразуется по
соответствующему закону. Согласно формулам (3) из п. 6.2,
dq др_ дх_ дх^ , др_ ду_ дх , д9х , dq дх ду ,
ди дх да dv ' ду ди ди ~^~ ^ да dv ' дх да ~ди~*
ду ди dv 1 ч диdv '
dp др_ дх_ дх_ . др ду дх , д2х , dq дх ду
dv dx dv du * ду dv du ' ^ du dv ~*~ дх ~dv da
dq ду ду , д9<у
ду dv du ' ч du dv
6.3. ТЕОРЕМА СТОКСА
183
Таким образом,
Sq dp I dq dp \/ дх ду дх ду \
да dv \ дх ду )\диди dv да )'
т. е. й?оо преобразуется по правилу (5) из п. 6.1.
Говорят, что дифференциал ао равен нулю в точке Я0 на S*
если в выражении ш = р(х, y)dx ~\~q{xi y)dy в локальных
координатах Ф(Р)=(х, у), где Ф(Ро)=:(0, 0), имеем /?(0, 0) =
= #(0, 0) = 0. Подобным же образом дифференциал второго порядка 2
с локальным представлением Qi^=g{x, y)dxdy обращается^ нуль
в Я0, если g"(0, 0)=-0. В силу правила преобразования
дифференциалов эти определения не зависят от выбранной локальной
системы координат. Носителем дифференциала ш или & является
замыкание множества точек, в которых этот дифференциал отличен
от нуля.
Формулу Стокса мы докажем для специального класса областей
на 5, называемых нами регулярными областями. Область G называется
регулярной областью, если: а) ее замыкание компактно на S, Ь) ее
граница состоит из конечного числа кусочно аналитических кривых
и с) G лежит только по одну сторону от границы. Поскольку каждая
кусочно аналитическая кривая границы G является двусторонней1),
мы, таким образом, потребовали, чтобы каждая кусочно аналитическая
кривая С границы G содержалась в области А/, которую С делит
на две части, причем G имеет общие точки только с одной из этих
частей. Обозначим границу G через dG и зададим ориентацию каждой
кривой С в dG таким образом, чтобы G лежала слева от С (слева
от касательного вектора, проведенного в положительном для С
направлении).
В евклидовой плоскости рассмотрим прямоугольник R: — я < х< а,
— Ь <.у<# и дифференциал ш = p(xt y)dx-{-q(x,y)dy1
причем ш^С1 в R. Тогда теорема Стокса (называемая также теоремой.
Грина) утверждает следующее:
fp(x9 y)dx + q(x. y)dy = ff(^—^)dxdy>
dR R
или просто
dR R
*) Напомним, что понятие двусторонней кривой вводилось для
замкнутых кривых (см. стр. 136), так что здесь имеются в виду замкнутые кривые»
входящие в состав границы. —Прим. перев.
184
ГЛ. 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ
Доказательство немедленно получается сведением двойного интеграла
правой части к повторному:
Ь а Ь
dq
] йУ f^cdx= J ^{<^^ y) — Q{—at y)\dy =
-b -а -Ь
ь ь
= §q{a»y)dy— J q(—a, y)dy = j q(x, y)dy
-b -b OR
Я
di b a
J dx J^dy = f[p(x,.b) — p(x,—b)]dx =
—a -b -a
a a
= Гp(x, b)dx— J p(x, —b)dx=— J p(x, y)dx.
—a —a OR
Мы получим другую полезную форму теоремы Стокса, если
заменим со на /о), где /^С1 в R. Тогда р заменится на /р, a q на fq
и мы будем иметь
ff(pdx + qdy) = fff(^c-dfydxdy +
OR
эта формула является аналогом формулы интегрирования по частям.
Сформулируем теперь и докажем теорему Стокса на поверхности 5.
Теорема 6.3. Пусть G—регулярная область на поверхности
S, о) — дифференциал первого порядка, (о^С1 в G. Тогда
dG G
Существует только конечное число точек Р1э Р2, ..., Рт на dG,
в которых кривая dG не аналитична. Мы фиксируем такой
параметрический круг Dk с центром в Рй, что Dkf]Dj= 0, ]Фк, с
локальным параметром z = yk(P), \ z | < 1 в Dk. Для каждого р < х/з
определяем функцию Д>р в Dk следующим образом1):
( 0 при И<р, * = срл(Р),
ил?)-
1(1^1 —р)2(|г| — 3Р)2 при р<|*|<2р, г = ?й(Р),
1 при 2p<|z|< 1, z = yk(P).
!) Это построение было предложено К. Шевалле в „Записках семинара
Бурбаки".
6 3. ТЕОРЕМА СТОКСА
18S
Функция Д принадлежит классу С1 в Dk и неотрицательна.
Определим теперь функцию / на S:
[ Д.ДР) при P£D„ ft=l, 2, ..., «,
^р(Р) I 1 при P£S— [)Dk.
Из определения / следует, что / £ С1 на S, /р обращается в нуль
в круге |г|< р с центром в каждой из точек Plf Р2, .. ., Рт и /р
равна 1 всюду вне кругов Dk. Мы докажем сначала теорему Стокса
для дифференциала а>р = /а>, который обращается в нуль
в-окрестности каждой точки Pl9 Р2, . . ., Рт\ теорему для общего случая
получим, заметив, что lim/0 =5 1 в G.
р->0 {_
Рассмотрим покрытие G открытыми множествами, получаемыми
следующим образом: каждой внутренней для G точке сопоставляется
параметрический круг, в котором берем прямоугольник U : —я<
< х < я, —Ъ < у < Ь, лежащий целиком внутри G. С каждой
точкой dG, отличной от Ри Р2, ...,Рт, связываем параметрический
круг, в котором отрезок С границы dG расположен вдоль
действительной оси, а затем берем прямоугольник V: — а < х < а, — Ь < у < Ь,
в котором отрезок у = 0, —я < х < я лежит вдоль С. С каждой
точкой Pk мы связываем прямоугольник Wk: — я < х < я, — b < _у< ft,
лежащий целиком внутри круга |г|<р в Dp. Эти прямоугольники
образуют открытое покрытие G. Выберем из этого открытого
покрытия конечное покрытие Ut, i=l, 2, ..., m-\-n~{-k; здесь
Ul = Wl при /=1, ..., т, для * = /n-f-l, ..., т-\-п мы
выбираем У; из множеств V, а для i = m-\-n~\- 1, ..., лгх —i— /z —j— .fe
мы выбираем Ut из множеств U покрытия. Пусть {et}t /==1, ...
. .., m~\-n~\-k является разложением единицы для G по
отношению к покрытию {Ut}. Имеем
т +n + k
Рассмотрим интеграл, входящий в сумму в правой части (3), для
которого т-^п-}-1^1^.т-]-п-\-к. Тогда L^czG, интеграл
берется по евклидову прямоугольнику и мы можем применить фор-
МУЛУ О) интегрирования по частям; получаем
f f e,d% = J е,.,- fJ (f,qd£~f,p^)dx<l, =
vi dut u,
186
ГЛ. 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ
так как еь = 0 на dUt. Подобным же образом для каждого
интеграла в сумме в правой части (3), для которого т-\- 1 ^/<] т-\-п,
Ut[\G является прямоугольником — а < л: < а, 0 < у < Ь, и опять
мы можем применить формулу (1):
Пе*а"*= f e^-ff[fp9M-f^)dxdy =
UfiG d(Uif)G) UfiG
= f ^ ~f f (¼ Ш - f?P if) dx dy*
где Ct представляет собой дугу кривой dG, лежащую в Ut. Наконец,
первые т членов суммы в правой части равенства (3) исчезают,
так как а) = 0 на каждом Wt. Суммируя, имеем
m+n m+n + k
f(d.= 2 jv,- 2 Я(/Р?Й-//1)^- (4)
G t = m+lCi i = m + l UJT\G
Докажем, что первая сумма в правой части (4) является инте-.
тралом от о)р по dG. Так как et = 0 всюду на dG вне Clt то
/ ei°>?= J4<V
Ct dG
Следовательно,
m + n m+n m + n
Ду
/ = /ra+l С i = m+l dG dG i = m+\
Далее, a)p = 0 в Ut[\dG, /=1, 2, . .., m, так что Г ^а)р = 0 для
ким образом, мы можем f
/га+я m-f/z
/ 2 *р?= f 2^
i=l, 2, ..., w. Таким образом, мы можем написать
m+n т+п
dG / = /72+1 dG / = 1
Для любой точки P0£dG множества Ult i = rn-{-n-{-l, .... /и-f-/&-(■-&
/га+я
не содержат Р0, поэтому 2 ^(Л>) = 1» и мы наконец получаем для
/ = i
.первой суммы в (4)
т + п
2 /^=/^-
= /га+1 С, dG
Рассмотрим теперь вторую сумму в (4). В силу того, что fpp = 0 и
J q=0 в £/; для /= 1, . . ., т, мы, не изменяя суммы, можем к ней до-
6.3. ТЕОРЕМА СТО КС А
187
бавить члены с номерами от 1=\ до i = m. Пусть теперь
D : z= ср(Р) —произвольный параметрический круг в G. В каждом Uit
для которого ^(1^^=0, выразим ^., fpp и /р# через z и запишем
сумму интегралов по D. Имеем
m+n+k
/-1 D
m + n + k
-//"Se-v 2
D I
m+n + k
/ = 1 / = 1
dei
ду
dje dy =
m+n+k
/=i
/=i
<2x й(у —0,
^ПО
так как 2 et=\. Таким образом, мы доказали теорему Стокса1
/ = i
ДЛЯ (Dp=/p(D.
Когда р убывает, интегралы Г Г <io)p и Г wp изменяются только*
за счет изменений в кругах Dk, £=1, . .., /я, ибо 0)==0) вне
этих Dft. Далее, имеем в Dk
= /№-£)^+ //(44-4) *»*='.+'--
Семейство функций {/0} равномерно ограничено и сходится к 1 в
области Dk Г) О, так что
lim 1=11 din.
Равенства df?fdx = 0 и д/9[ду = 0 имеют место всюду в Dk, кроме
множества А? : р ^ | z | ^ 2р. Непосредственное вычисление показывает,
что |grad/ | ^ 12/р в Лр. В DftflO для некоторого Л1 имеем
1/К*. У)\<М и [?(*, j/)|< Ж,
и, таким образом,
1Л
ЛРП0
n{i£-p-k)dxdy\<ш f !\s™df?\dxdy<
\с\°
Op* —= 24Жяр..
188
ГЛ. 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ
Следовательно, НшУ =0, и мы заключаем, что
Urn
Й,//*0^//*0-
Аналогично в силу сходимости функций {/р} к 1 всюду на кривой dG,
за исключением конечного числа точек Р19 Р2, .. ., Рт и
равномерной ограниченности {/р}, мы делаем вывод, что
lim
р>
dG dG
Таким образом, доказательство формулы (2) закончено.
6.4. Исчисление внешних дифференциальных форм. Введение
дифференциалов на римановых поверхностях позволило нам
определить инвариантную теорию интегрирования на S. Действия с этими
дифференциалами намного упрощаются введением ряда ведущих свое
начало от Э. Картана [1] формальных правил, называемых
исчислением внешних дифференциальных форм.
Нам будет удобно называть комплекснозначные функции на S
дифференциалами порядка нуль и обозначать их строчными
латинскими буквами /, g, . . . . Дифференциалы первого порядка, которые
локально представляются как pdx-\-q dy, будем обозначать
строчными греческими буквами а), тг, ^, . .., а дифференциалы второго
порядка, которые локально имеют вид А(х, y)dxdy, будем
обозначать прописными греческими буквами 2, Г, .... Суммы
дифференциалов одного и того же порядка уже были определены. Мы теперь
введем внешнее произведение двух дифференциалов таким образом,
ято (внешнее) произведение дифференциала порядка k на
дифференциал порядка п будет дифференциалом порядка к-\-п, если k-\-n^ 2,
и будет тождественно равно нулю, если k-\-n > 2. Произведение
двух дифференциалов нулевого порядка, fug, обозначается через fg,
причем (fg)(P) = f(P)g(P), где f(P)g(P) есть обычное
произведение комплексных чисел f (Р) и g(P). Произведение дифференциала
нулевого порядка / и дифференциала первого порядка о) = р dx -j- q dy
есть дифференциал /w =• (fp) dx -\- (fq) dy. Чтобы определить
произведение двух дифференциалов первого порядка, условимся, что
dxdx — Q, dydy = 0t dxdy = — dydx.
Затем, предполагая справедливым дистрибутивный закон для
умножения и сложения, мы получаем произведение двух дифференциалов
первого порядка, ш1= p1dx-\-q1dyt ы2 = p?dx-\-q2dy:
0)^2 == (^ dx + Яг dy) (р2 dx + q2 dy) =
= pxp2 dx dx -f- pxq2 dx dy -+- qtfz &У dx + qxq2 dy dy =
6.4. ИСЧИСЛЕНИЕ ВНЕШНИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 189
jVlbi должны проверить, что этот дифференциал является
действительно дифференциалом второго порядка, показав, что при замене
переменных ргд2 — дгр2 преобразуется по установленному закону. Это
производится простым вычислением. Умножение, определенное таким
образом, не коммутативно, более того ао^ —— ао^. Произведение
дифференциала нулевого порядка / на дифференциал второго
порядка Q=Adx dy является дифференциалом второго порядка /2 =
=:(fA)dxdy. Легко проверить, что умножение, определенное здесь,
ассоциативно и дистрибутивно по отношению к сложению.
Теперь мы введем линейный дифференциальный, оператор d,
который, действуя на дифференциал порядка k, порождает
дифференциал порядка k-\- 1, k-^ 1. Вообще локально d представляет собой
линейный оператор (d/dx)dx-\-(d/dy)dy, который действует
следующим образом. Если /^С1, то
Если о) £ С1, то
</о) = (dp) dx -j- (dq) dy =
-№**+%<ь)<*+$<*+Щ<у)<у-®-%)**'*
что является дифференциалом второго порядка, с которым мы имели
дело в связи с теоремой Стокса. Применение d к дифференциалу
второго порядка 2 дает
dQ = (dA)dxdy = (^—dx-\--^- dy\dx dy = 0.
Интересно заметить, что оператор d обладает свойством dd = 0;
действительно, для / £ С2 имеем ddf = l-^—i я / ) ^х ^У — 0 и для
<*> £ С2 имеем dd(u = 0, так как dm является дифференциалом второго
порядка.
Для сумм дифференциалов оператор d линеен. Для произведений
получаем
d(fg) = fdg + gdf,
d (/«>) = W) «> + /do> = —© (d/) + /(do>).
Другим полезным линейным оператором является оператор
сопряжения ■#, который определяется только для дифференциалов первого
порядка. Если <о — р dx-\-qdy, то полагаем
■#<!) = — qdxArpdy.
Убедимся в том, что -х- о> является дифференциалом, путем
подстановки другого локального параметра (и, v) и проверки
выполнения при этом закона преобразования дифференциалов при замене
переменных. Имеем
190
ГЛ. 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ
Так как замена координат производится конформным преобразованием,
то дх/ди = dyjdv и дх/dv = — dy/du. Поэтому
--4{^da+dfvdv)^-p{d-£da + d^dv) = ~qdx+pdy,
так что закон преобразования дифференциала выполнен.
Дифференциал -к со называется (звездным) сопряженным для дифференциала <о.
Мы перечислим несколько важных свойств оператора сопряжения -ж
Если локально о^ = рх dx -\- qx dу и ш2 —p2dx-\-q2dy, то
* линеен: -)f (co1-f-">2) =-х- о>г —|— -^-со2, -*(/u>) = /(-#u>); (1)
^^.(0 = ^.(^-0)) = — со; (2)
а)! * а>2 = а>2 -х- а)1 = (/7^2 4- ?!?2) tf х dу; (3)
О) -£ О) = (jp2 _|_ gr2) ^х ^ (4)
Если записать d = (d/dx)dx ~-{-(d!dy)dy, то мы можем определить
оператор *d = — {dldy)dx-\-{djdx)dy. Тогда для / £ С1
^(^Л = *(Й^ + ^^) = -^^+^^ = (^й)/. (5)
что позволяет нам писать просто #-<2/. Пусть для /£С2 имеем
<o = .)f<2/; тогда мы говорим, что со— котонный дифференциал.
Так как оператор -х- действует только на дифференциалы первого
порядка, -x-<2gd имеет смысл только как (#-<2)о>. Далее,
*^о> = (— -^dx-Ь j^dy^ip dx-\-qdy) = (—%L — ^jdxdy,
в то время как
Следовательно,
^-^0)= ^-^-0). (6)
Если для дифференциала со £ С1 имеет место равенство <2-&о) = 0, то
мы говорим, что о) — козамкнутый дифференциал. Если ^со = 0,
то дифференциал -х-со локально точный, т. е. локально -х-а> = <2/, или
o) = ^-d(—/), так что козамкнутый дифференциал является локально-
коточным.
Очень важен оператор h = d#d, определенный на функциях / £ С2:
Д/ = d* d/ = (g+ ^) rfx rfy. (7).
Мы называем А оператором Лапласа. Различные формы теоремы
Стокса могут быть теперь кратко выражены в терминах этих one-
6.4 ИСЧИСЛЕНИЕ ВНЕШНИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 19]
раторов. Пусть G— регулярная область, f £Сг и со £ С1 в G; тогда
4 (/со) = — со df -4-- / <ico и, следовательно,
f fd(fu) = — f fudf + f ffd*.
G G G
По теореме Стокса
JJrf(/co)=J7co,
о do
и мы получаем
f ffd«> = ff<»-\-f f*df. (8)
G dG G
Мы еще раз написали формулу (1) п. 6.3 для интегрирования по
частям на поверхности S. Если функция g^C2 в G, то, заменяя в (8) со
на Xdg, имеем
fff(d*dg) = ff*dg-\-ff(*dg)df,
G dG G
ИЛИ
f f'fbg=f f*dg — ff df*dg. (9)
G dG G
Меняя в (9) ролями / и g в предположении, что /£С2 и g^C2
в G, а затем вычитая из (9) получающееся при этом тождество,
получаем
f f(fbg — gbf) = f (f*dg — g*df). (10)
Пусть D — параметрический круг с центром в точке Р0 на dG,
и пусть С —(а, I) — аналитическая дуга на dG, лежащая в D.
Если Ф(Р) — (х, у)— локальные координаты в D, то длина дуги 5
вдоль кривой С вычисляется по формуле
/ = 0
где Ф [а (*)] = (х (О, J> (0). Далее, f df = f (-¾) rfs и
с с
ее с
где д//д/г — производная функции / по направлению нормали к С,
направленной внутрь G, т. е. лежащей по левую сторону от ориен-
192
ГЛ. 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ
тированного вектора касательной к С. В этом смысле справедливы
равенства
fdf = fvds> f*df=-f*d.. (11)
dG dG dG dG
Мы закончим этот пункт другим специальным следствием теоремы
Стокса, которое будет нам особенно полезно в дальнейшем.
Теорема 6.4. Если / £ С1 и со^С1 на римановой поверхности S
и либо /, либо со имеет компактный носитель К на S, то
f fd(f<») = f ffda — J J со ^//=0. (12)
s' s s
При доказательстве рассмотрим два случая: a) S компактна и
b) S не компактна.
а) Если S компактна, то можно покрыть S конечным числом
локальных прямоугольников Ut, /==1, 2, ..., п, и образовать
разложение единицы {et} для 5 относительно {£//}. Затем, применяя (8)
к каждому Uit получаем
п п ( \
f fd(M = ^f fe^if^^^l J4/°> + / ff<°det\ =
S / = 1 ut / = 1 \dVi ut J
/г
так как ^ = 0 на dUt и 2^ — 1- ^ СИЛУ Т0Г0> чт°
i = i
f ( d (/СО) = J J/ rfcO — J J СО rf/,
s s s
равенство (12) доказано.
в) Когда S не компактна, покрываем К конечным числом
параметрических кругов Di% /==1, 2, ..., п\ граница каждого Dt есть
п
аналитическая кривая |,г|=1. Далее, G= l\Dl является областью
на 5 с компактным замыканием и с границей, состоящей из
конечного числа кусочно аналитических кривых. На dG либо /, либо со
обращаются в нуль, а поэтому применение (8) дает нам (12).
6.5. Гармонические и аналитические дифференциалы.
Дифференциал со называется точным, если существует функция / £ С2 на 5,
для которой со = df. Дифференциал со называется замкнутым, если
6 5 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ J 93
он локально точный, т. е. если в каждом параметрическом круге D
найдется такая определенная в D функция / £ С2 в D, что со = df. Для
замкнутости дифференциала со £ С1 на S необходимо и достаточно,
чтобы др/ду = dq/dx, атак как dco = (-^ ~-\dx dy, то можно
сформулировать это следующим образом.
Теорема 6.5. Дифференциал со замкнут тогда и только тогда,
когда со £ С1 и dco = 0 я# S.
Каждый точный дифференциал является замкнутым (ddf = 0), но
обратное неверно.
Пусть со — замкнутый дифференциал и С — замкнутая кривая;
назовем I со периодом со вдоль С. Если С и С1 — гомологичные
с
замкнутые кривые, то I со = I со; таким образом, период зависит
с с
только от класса гомологии С. В частности, когда С—0 и dco = 0»
Г со = 0. Если со — точный дифференциал и С — замкнутая кривая,
с
то, как мы показали, | со ^= 0, т. е. все периоды точного диффе-
с
ренциала равны нулю. Докажем теперь обратное утверждение.
Теорема 6.6. Замкнутый дифференциал является точным
в том и только в том случае, когда все его периоды равны
нулю.
Предположим, что у замкнутого дифференциала со все периоды
обращаются в нуль. Фиксируем точку Q на 5 и заметим, что
р
интеграл I со однозначно определен для любой точки Р на S, если
Q
его понимать как интеграл по любому пути от Q до Р, так как
если Сг и С2 — какие-либо кривые, соединяющие Q с Р, то С^-1 —
замкнутая кривая и I со = 0. Мы можем, таким образом, опреде-
схс^
р
лить функцию F (Р) = I со. Докажем, что F £ С1 и dF — ы. Для
Q
произвольной точки Р0 на 5 возьмем параметрический круг D с
локальным параметром Ф (Р) = (х, у), Ф(Я0) = (0, 0). Тогда для любой
Л) р
точки Р в D имеем F (Р) = I со —(— | со, где второй интеграл берется
Q Ро
по прямолинейному отрезку в D от Р0 до Р. Вычислим dF/dx
194
ГЛ. 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ
и dF/dy в точке (0, 0), полагая со = pdx-\-qdy\
|f = lim I [F (ОТ1 (x, 0)) - F (Ф-1 (0, 0))] =
= lim — Г p(x, 0)dx = p(0, 0),
4£ = lim L[F(Q>-\0, y))-F(Ф-Х(0, 0))]==
1 Г
= limi- (q(0, y)dy = q(0, 0).
Так как dF/dx = p, dF/ду = q и p, q^C1, то F£C2 и a> = dF.
Функция / £ С2 называется гармонической на 5, если Д/ = 0.
Это означает, что локально d2f/dx2 -f- d2f/dy2 = 0.
Дифференциал со £ С1 на 5 называется гармоническим дифференциалом, если со
является полным дифференциалом гармонической в D функции в
каждом параметрическом круге D. Если со — гармонический дифференциал,
то из того, что со — локально полный дифференциал, вытекает его
замкнутость, и, следовательно, <ico = 0; далее, по определению
гармонического дифференциала, имеем co = <i/, причем d ■# df — 0, или
просто <2-х-0) = 0. Обратно, когда <ico = 0 и я? # со = 0, то из первого
равенства вытекает, что локально (o = df, а из второго — что d (-# df)=0,
т. е. функция / гармоническая и, следовательно, о — гармонический
дифференциал. Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 6.7. со £ С1 является гармоническим дифференциалом
в том и только в том случае, когда du> = 0 и tf?-x-u> = 0, т. е.
когда со одновременно замкнут и козамкнут.
Если со =/? <!*;-f-# <i_y — гармонический дифференциал, то
^=(-^--^-)^^=°.
й*ш=(ё+0)^^=о.
Таким образом, локально др/ду = dq/dx и др/дх = — dq/dy. Но эти
соотношения являются уравнениями Коши — Римана для р и — q,
так что дифференциал ш гармоничен тогда и только тогда,
когда р — iq является локально регулярной аналитической
(голоморфной) функцией от z = x-\-iy. Термины „регулярная аналитическая"
и „голоморфная" будут в дальнейшем равнозначны.
Функция f £С1 является регулярной аналитической на S, когда
локально f (х, у) = и(х, y)-\-iv(x, у)% где и и v удовлетворяют
уравнениям Коши — Римана. Выразим это условие, используя диф-
6.5. ГАРМОНИЧЕСКИЕ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ 195
ференци
так что
записать
ал от
dv =
du и
df-.
/;
dv
дх
dv-
имеем df =
dx + -~dy
du-\-idv, где
ди , . ди
= ?г~ dx 4- -3—
ду ' дх
— сопряженные дифференциалы.
= du-\~i*du,
xdf = *du — Ida
dy-
= -x-du,
, Поэтому мы
=n-
-idf.
можем
С другой стороны, если /^С1 и #df = —idf, то / — голоморфная
функция, ибо отсюда следует, что dv = -x-du, и, следовательно, уело-
вия Коши — Римана выполняются. Таким образом,, мы получили
критерий голоморфности функции / на S, выраженный в терминах
операторов на S. Именно, функция f £ Сх голоморфна на S тогда
а только тогда, когда -xdf — — idf. Мы показали также, что
если действительные функции и и v связаны соотношением dv — ^rdu,
то и и v являются сопряженными гармоническими функциями, ибо
они удовлетворяют уравнениям Коши — Римана.
Дифференциал со на 5 называется регулярным аналитическим
или голоморфным дифференциалом, если в каждом параметрическом
круге он является полным дифференциалом голоморфной функции,
определенной в этом круге. Дифференциал to £ С1 локально точный
в том и только в том случае, когда da) =-0. Мы имеем,
следовательно, локально to = df, и для голоморфности / необходимо, чтобы
выполнялось соотношение $rdf = — i df, или -х- со = -— до. Таким
образом, в качестве критерия аналитичности дифференциала имеем
следующую теорему.
Теорема 6.8. Для голоморфности дифференциала со £ С1 на S
необходимо и достаточно, чтобы dw = 0u #0) = — до.
Если со — голоморфный дифференциал, то, замечая, что <ico == О
и d-¥r со = — idu> — 0, мы заключаем, что со также гармоничен.
Рассмотрим условия, налагаемые на коэффициенты р и q
требованием #• со = — /со. Имеем ■# со = — q dx -\- р dy и — £со =
= — ip dx — iqdy. Таким образом, условие -#со =— до эквивалентно
условию q=zip, т. е. и>=р dx -\-ipdy = p(dx -\-i dy). Естественно
положить dz = dx-\- i dy; тогда -х- ш == -^- /ш в том и только в том
случае, когда локально 1) со = р dz. Мы назовем со чистым
дифференциалом, если со удовлетворяет соотношению -* со = — до.
Дифференциал со голоморфен тогда и только тогда, когда он замкнутый
и чистый. Если со — чистый дифференциал, то условие dm = 0
означает, что d(pdx-\- ip dy) = О, т. е. др/ду = i др/дх. Если р = и-\- iv„
где и и v действительны, то мы имеем уравнения Коши — Римана
Для р: ди/ду = — dv/дх, dujdx — dvldy. Таким образом, для
аналитичности со необходимо и достаточно, чтобы локально a> = pdz9
х) р называют в этом случае также ковариантой (см. Неванлинна [1]»
СТР- 115). — Прим, перев.
196
ГЛ 6 ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ
где р является голоморфной функцией от z = x-\-iy. Для
голоморфного дифференциала u> = pdz правило преобразования при переходе
к новому параметру (3) п. 6.2 дает
p(U, *) = />(*, у)1[Ж+1ж} = р(х< у) — ,
так что pdw = р-—dw = pdz, где w = u-\-iv.
Определим модуль | со | голоморфного дифференциала со следующем
образом: локально |со( = |р(х, y)\\dz | = | р(х, у) \ Y dx2-Jrdy2.
При переходе к переменным (и, v) имеем pdz = pdw, w=u-\-iv,
и | со | = | p (a, v) [ | dw \ — \p(u, v)\ Ydu2 -\- dv2. Используем это для
определения интеграла от | со | по дифференцируемой кривой С = (ос, /).
Предположим сначала, что С лежит в одном параметрическом
круге с локальными координатами Ф(Р) = (х, у). Полагая
Ф [a(t)] = (х (t), y(t)), 0<*<1, определим
1
/м=/|р(*(о. v(0)i-|/"(^)2+(4-)2^-
с t=o \ / \ /
Очевидно, что это определение инвариантно относительно замены
переменных. Если С не помещается в одном параметрическом круге,
то разделим С на дуги Сг, С2, ..., Сп, каждая из которых лежит
в одном параметрическом круге, и положим
/1ч=2/1н.
С х i = l с.
Опять-таки легко проверить, что интеграл слева не зависит от
подразделения кривой С. Заметим, что интеграл I | со | всегда неотри-
с
дателен. В частности, если кривая С_1 = (р, /), р (^) == а (1—f)
лежит в одном параметрическом круге, где Ф [(3 {t)\ = ($х (t), (32(0)
и ¢[010)1 = (04 0), «2(0). то
с-1 /=0
= /1^(0,(1-0.0,(1-0)11^(^^^-^4-(-^^)^/ =
w = l
6 5 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ 197
Итак, j |о)[= I | со | для любой дифференцируемой (или фактически
с"1 с
кусочно дифференцируемой) кривой С.
Если / — голоморфная функция на 5, то локально
^ * df . , df , (да i . dv\ . \ I du , . dv \ .
= {~Jx~+1 ~ш) (dx+l dy) = ff ^ dz>
т. е. мы имеем просто df = f (z)dz, где f {z) обозначает
производную от / по комплексной переменной z = x-\-iy.
Для любого замкнутого дифференциала со в регулярной области G
теорема Стокса дает I со = J J dco = 0. В силу замкнутости
голоде? G
морфного дифференциала мы получаем теорему Коша.
Теорема 6.9. Если со — голоморфный дифференциал и
G—регулярная область, то
/(0 = 0. (1)
dG
Если со — гармонический дифференциал, то dco = 0 и d^fco = 0.
Ввиду этого для ■* со будут также выполнены условия d (■# со) = 0
и d -¾ (#■ со) = —й?о) = 0, означающие, что -)f со является гармоническим
дифференциалом. Дифференциал ■%■ со называется сопряженным
гармоническим дифференциалом к со. Далее, дифференциал у = со -[- £ ■# со
голоморфный, так как ясно, что <iy == dco-f-Jd^f со = 0 и #-^ = -^- со —
— /со = —iy. Таким образом, каждому гармоническому
дифференциалу со соответствует голоморфный дифференциал иь-\-1*т.
Дадим теперь определение комплексно сопряженного
дифференциала; оно будет отличаться от данного нами выше определения
звездно сопряженного дифференциала. Для комплекснозначной
функции f = g-\-ih мы полагаем f = g — ih. Комплексно сопряженный
дифференциал со к дифференциалу со = р dx -\-q dy полагаем равным
o)=z pdx-\- q dy, где p и q—комплексно сопряженные к комплексно-
значным функциям р и q. Для дифференциала й = A dx dу мы
просто полагаем Q = Adx dy. Оператор комплексного сопряжения
линеен и коммутирует с d и •#, т. е. dco = dco и #■ со — ■# со. Пусть со —
комплексный дифференциал; тогда
является действительным дифференциалом, называемым действительной
частью со. Если со — гармонический дифференциал, то его действи-
198
ГЛ. 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ
тельная часть также гармонична, в частности гармонична
действительная часть каждого голоморфного дифференциала. Обратно, если дан
действительный гармонический дифференциал у, то со = -^ —(— i -^ у
является голоморфным дифференциалом с действительной частью у,
так что всякий действительный гармонический дифференциал есть
действительная часть голоморфного дифференциала. Такая
двойственность между действительными гармоническими и голоморфными
дифференциалами не имеет место для функций. Действительная
гармоническая функция / на 5 может не иметь однозначной на S
сопряженной гармонической функции g, для которой выполняются
условия df/дх = dg/dy, df/ду —— dg/dx, так что может не
существовать однозначной голоморфной функции на S, имеющей / своей
действительной частью. Для доказательства существования
голоморфных дифференциалов на 5 достаточно показать, что имеются
действительные гармонические дифференциалы. С другой стороны, чтобы
проверить, существуют ли на S однозначные голоморфные функции,
надо еще посмотреть, имеются ли среди голоморфных дифференциалов
точные.
Гармонические и голоморфные функции и дифференциалы, которые
мы до сих пор рассматривали, принадлежали классу С1 в области О
или на всей римановой поверхности 5; они называются регулярными
функциями и дифференциалами. Нас будут также интересовать
функции и дифференциалы, которые не принадлежат классу С1 в
изолированных точках; говорят, что в этих точках функции и дифференциалы
имеют особенности. Пусть h — функция, определенная в окрестности U
точки Р0, гармоническая (или аналитическая) и регулярная в U — Р0.
Мы скажем, что гармоническая (или аналитическая) функция / имеет
особенность h в Р0, если разность / — h регулярна и гармонична
(аналитична) в U. Аналогично пусть дифференциал б определен
в окрестности U точки Р0 и является гармоническим (аналитическим)
и регулярным в U — Р0; тогда гармонический (аналитический)
дифференциал со имеет особенность б в Р0, когда со — б является регулярным
гармоническим (аналитическим) дифференциалом в U.
Пусть аналитическая функция /, выраженная в локальных
координатах ср(Р) = z = x-\-iy, ср(Р0) =- 0, разлагается в ряд
g(z) = f(c?-Hz)) = anzn + an+lz^+ ..., апФ0;
мы говорим тогда, что / имеет нуль порядка п, если п > О,
и полюс порядка —п, если п < 0. Порядок полюса или нуля
инвариантен относительно замены координат. Локально п характеризуется
тем, что
lim z~kg(z)
Г-> О
имеет конечное ненулевое значение только при одном целом k,
г именно при k = п. При переходе к другой системе координат
конформным преобразованием z = £(w), £(0) = 0, С'(0)=^0, полу-
6.5. ГАРМОНИЧЕСКИЕ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
чаем g(w) = g(Z(w)), и предел lim w~ng(w)== \im w~ng $(w)) =
W ->■ 0 w -> 0
= lim (w~n/z-n) z~ng (z) = С'(0)Л lim z~n'g (z) отличен от нуля и
конечен. Таким образом, порядок нуля и полюса определен
независимо от системы координат.
Если / имеет полюс порядка п в точке Р0, то его главной частью
является
*(?-'(*) ) = -^+-^+ ••• +*=*:
Аналитическая функция, у которой все особенности на поверхности 5
являются полюсами, называется мероморфной функцией.
Мы также будем рассматривать аналитические дифференциалы,
имеющие локальное представление вида
(ii = p(z)dz = (anzn + an+1zn^-\- ...)dz, апфО.
Здесь мы снова скажем, что оз имеет нуль порядка п в точке Р0
если п > 0, и полюс порядка —п, если п < 0. Порядок п определен
независимо от системы координат. Действительно, при конформном
отображении z = £(w), £(0) = 0, С(0)=£0 имеем p(w)=p(^(w))(dQdw)t
так что предел
lim wnp(w) = \im -^^
ку-Х) w + 0 [С (W)]~n aw 2-Х)
является конечным и не равным нулю числом в том и только в том
случае, когда конечен и не равен нулю lim z~np(z), а это свойство
2->0
и определяет п. Если аз имеет полюс порядка п, то главная часть
дифференциала имеет вид
6 = (я_л*-л + 0_я+1*-я+1+ ... +a_1z-1)dz.
Полюс порядка 1 называется простым полюсом. Аналитический
дифференциал, который в качестве особенностей на 5 имеет только
полюсы, называется мероморфным дифференциалом.
Пусть D — параметрический круг |,г|<г с центром в точке Р0,
в котором аз не имеет других особенностей, кроме полюса в Р0
с главной частью 6. Тогда в D дифференциал аз— б голоморфен и
dD dD dD
По теореме Коши (1) Г (со — 0) = 0, и, следовательно,
dD
j о)= J 6 = J] f ia_kr1-bei(1-k)vdy~2ma_l.
dD dD k = l <p = 0
200
ГЛ 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ
Так как интеграл | со не изменяется при замене локального пара-
дЪ
метра, то не изменяется и коэффициент а_г в локальном разложении о>
в ряд. Коэффициент а_х называется вычетом дифференциала со.
Теорема 6.10. Сумма вычетов мероморфного дифференциала со
на компактной поверхности S равна нулю.
Так как поверхность 5 компактна, существует только конечное
число изолированных точек Рг, Р2, . .., Рт, в которых со имеет
полюсы. Пусть вычет со в Pk равен а^\, и пусть параметрический
круг с центром в Pk настолько мал, что Dkf\Dj=0, j Ф k. Тогда
т
G — S— М Dk является регулярной областью на 5, и в силу (1)
k = i
имеем I со = 0. Так как dG состоит из кривых dDk, которые мы
дО
обходим в отрицательном направлении по отношению к Dk, то
т т
/") = — ^ /(0 = -2^2^-1=0,
dG k = l dDk k = l
что и доказывает нашу теорему.
Теорема 6.11. Если (ol = pldz и m2=^p2dz— мероморфные
дифференциалы на поверхности S, то — = Plу' = f (z) является
мероморфной функцией на S.
Локально / (z) имеет в качестве единственных особенностей полюсы
дифференциала cot и нули дифференциала со2. При этом каждой точке 5
соответствует только одно значение / (независимо от выбора
локального параметра). Это вытекает из того факта, что cot и со2 при замене
переменных преобразуются как дифференциалы; если замена
координат производится конформным преобразованием z — С (w), то
Л М = Pi (2) %. Рг («О = Рг (*) ^
и
Pi О) .__ Pl (*)
p2 (w) p2 {z)
т. е. любой точке поверхности 5 соответствует одно определенное
значение / независимо от выбора координатной системы.
Если / — мероморфная функция на 5, то df и df/f —
мероморфные дифференциалы. Пусть / локально разлагается в ряд
g(z) = f{<t-i(z)) = anz«+an^z* + i+ ... =
= zn(an-+-an+lz-\~ ...), апф0;
6 5 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ 201
тогда локально
df __ g' (г)
f
= ^dz = d(\ogg{z)) = (^ + b0 + blz-\- ...)dz.
Таким образом, вычет дифференциала dflf в нуле или полюсе /
равен в точности порядку нуля или взятому со знаком минус порядку
полюса функции /. Из того факта, что на компактной поверхности
сумма вычетов равна нулю, вытекает, что для мероморфяой
функции на компактной римановой поверхности сумма N порядков
нулей равна сумме Р порядков полюсоз. Если то же рассуждение
применить к мероморфной функции / — А, где Л — некоторое
комплексное число, то мы получим, что мероморфная функция принимает
комплексное значение А на компактной поверхности столько раз
(с учетом кратности), сколько у нее полюсов с учетом кратности.
Таким образом, доказана
Теорема 6.12. Мероморфная функция на компактной
римановой поверхности принимает все значения одинаковое число
раз.
На сфере мероморфные функции являются рациональными
функциями, и мы, таким образом, распространили хорошо известное
свойство рациональных функций на произвольную компактную риманову
поверхность.
Если G— регулярная область на S и со — аналитический
дифференциал в G, имеющий полюсы во внутренних точках Plt Р2, - . •
. . ., Рт области G, причем вычет в Pk равен а-\, k=l, 2, . . ., т,
то
т
(и = 2т^а{%
дЬ k = l
Для доказательства возьмем опять Dk — такой параметрический круг
с центром в Pk£Dkc:G, что Dk{\Dj= 0, когда кф]. Тогда
т
С = G—LJ^/г — регулярная область и
k = i
т
dG' dG й=1 dDk
причем I со = 2та^\.
dDk
Если / — аналитическая функция в G с конечным числом нулей
и полюсов, расположенных внутри G, и / регулярна на dG, то
интеграл ~—;; Г -j- равен сумме вычетов дифференциала -j- в G и,
следе
202
ГЛ. 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ
довательно, равен N— Р, т. е. числу нулей минус число полюсов
функций /. Таким образом, имеем
fQ = 2itl(N—P),
f
dG
где N — сумма порядков нулей / в G, а Р — сумма порядков
полюсов / в G.
ЗАДАЧИ
Задача как в конце этой главы, так и в конце следующей
гл. 7 приводят к теоремам де Рама и Ходжа для компактных
рамановых поверхностей.
1. Пусть 5—-компактная риманова поверхность рода g с данной
триангуляцией А. Как будет показано в гл. 9, можно считать, что
каждый треугольник ограничен аналитическими дугами. Доказать, что
множество всех дифференциалов порядка п (=0, 1, 2) с
коэффициентами из класса С ~п на S образует группу D* (S) по отношению
к сложению.
2. Две группы, G и Н, называются спаренными 1) в третьей группе К
[мы пишем (G, Н)-+К], если существует дистрибутивная по обоим
переменным функция (g, h), g^Gt h£ H, со значениями в К (см.
Лефшец [1], стр. 88—90). Пусть Сп (5д) — группа симплициальных
/г-цепей на 5Д. Показать, что Cn(SA и D* (5) спарены в группе
комплексных чисел /С, если положить:
/ т \ т
для л = о 2^,)./=2^/^),
для п = 1
для п = 2
W = l I Ul A
Sl
m \ m
* = 1 / £ = 1 c2
S. Доказать, что для ^+1 £ Сл+1(5д) и a)n(=D*(*S) справедливо
тождество (¾^1. ^) = ((:1+1. (/ш") при /г = 0, 1, 2 (когда п = 2,
обе части этого тождества обращаются в нуль).
4. Дифференциал o)w£D*(S), /1==0, 1, 2, называется замкнутым,
если d(un = 0, и называется точным, если существует дифференциал
к"-1 £D*n_1(S), для которого 0)^ = ^7^-1. Показать, что точные диф-
) Или сопряженными относительно группы К- — Прим. перев.
ЗАДАЧИ
203
ференциалы образуют подгруппу В*п (5) группы замкнутых
дифференциалов, которые в свою очередь образуют подгруппу Z* (5) группы
D* (S). Определить затем факторгруппу Я* (S) = Z* (£)/£* (S),
которая называется группой когомологий де Рама порядка п на 5.
5. Пусть Zn (5Д) — группа симплициальных /г-циклов. Случай п = 1
задачи 2 определяет спаривание (Z^-CS^, Z*(S))—>A'. Доказать, что
i?*(S) является аннулятором Zx(5a), т. е.
a) (с, со) = 0 при c^Z^S^) и со (=£*(£),
b) если (с, со) = 0 для всех c^ZJ(5A), то со ££*(£).
6. Пусть Bn(S±)— группа симплициальных я-границ. Доказать,
что ZX(SA) является аннулятором Z*(S) при спаривании
(Z*(SA), Z* (£))-* А, т. е.
a) (с, со) = 0 при c£B1(Sl) и co£Z*(S),
b) если (с, со) = 0 для всех o>£Zj(S), то ^(^(Зд)
(можно провести построение 7rt п. 10.1 для нахождения
дифференциала с данным периодом вдоль заданного цикла).
7. Пусть сг и с2 принадлежат Z1(S^), а со1 и со2 принадлежат
Z*(5). Показ-ать, что (q, (%) = (с2, со2), когда сг — с2£Вг(8ь) и
^i — ^2^^1^)- Д°казать> чт° это позволяет определить спаривание
(Н1^^, Я* (£))->/С, где К — поле комплексных чисел. Показать,
что при этом спаривании:
a) для любого [с]^Я1(5д) равенство ([с], [со]) = 0,
выполняющееся при всех [со]£Я*(5), влечет [с] = 0;
b) для любого [со]£Я*(5) равенство ([с], [со]) = 0,
выполняющееся при всех [с]^Я1(5д), влечет [со] = 0.
Такое спаривание называется ортогональным спариванием.
8. Провести аналогичное исследование для п = 0 и п = 2.
Глава 7
ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
7.1. Определение и свойства гильбертова пространства. В
следующей главе будет дано доказательство существования гармонических
дифференциалов с заданными особенностями на произвольной
абстрактной римановой поверхности. Введение понятий, связанных с
гильбертовым пространством, даст возможность изложить доказательство
короче и понятнее. Гильбертово пространство является обобщением
ft-мерного векторного пространства, и оно действительно сохраняет
большинство важнейших свойств гг-мерных векторных пространств.
Дадим точные определения.
Множество Н элементов (точек) х, у, г, ... называется
(комплексным) гильбертовым пространством, если оно удовлетворяет
следующим аксиомам.
A. Н есть комплексное векторное пространство, т. е. для любых
точек х, у, z, . . . в Н:
1) определено сложение (-J-) элементов [так что из х^Н, у^Н
следует, что (х -\- у) £ Н], которое ассоциативно и коммутативно;
2) существует элемент 0 в Я, для которого 0-\-х = х Для всех
х£Н;
3) каждый элемент х £ И имеет обратный по отношению к
сложению, т. е. существует элемент —х со свойством х-\-(—х) = 0;
4) любому комплексному числу а (называемому скаляром) и
каждому х £ Н соответствует элемент ах в Я, и это умножение на
скаляр дистрибутивно и ассоциативно, т. е. если а, (3 — комплексные
числа и х, у£Н, то (<х-{-ф)х = а,х-\-фх, а (х-\-у) = ах-\-ау >
(оф) х = а ($х);
5) 1 • х = х для всех х £ Н.
B. В Я определен комплекснозначный билинейный функционал
(х, у), называемый внутренним произведением, который обладает
следующими свойствами:
О (х> зО — Су» •г)' т- е- внутреннее произведение эрмитово;
2) (ах, у) = а(х, у) для всех комплексных а, причем из В1
получаем (х, ау) = а(х, у);
3) (х + у, z) = (x, z) + (y,z);
4) (х, х)">0, и (х, х) = 0 в том и только в том случае, когда
х = 0.
C. Н полно по норме, определяемой следующим образом: норму
7 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 205
элемента х£Н полагаем равной \\х\\ = У(х, х), и расстояние между
х и.у£Н полагаем равным р(х, у)=\\х—у\\. Такая полнота Н
по норме означает, что если [хп] — последовательность точек в Н,
для которой при любом положительном г существует целое N,
обладающее свойством р (хт, хп) < г при т > N и /г >> 7V, то найдется
такой элемент х£Н, что lim р(хп, х) = 0.
/г->оо
Если ограничиться в качестве скаляров действительными числами,
то и внутреннее произведение будет принимать только действительные
значения. Мы скажем тогда, что Н — действительнее гильбертово
пространство.
Теорема 7.1. Для любого х£Н, Ох = 0 и (—I) х = — х.
Первое следует из В2 и В4, так как (Ох, Ох) = 0 (х, х) = 0
влечет Ох = 0. Далее, х-\-(—1)х = (1 — 1)х —0, откуда вытекает,
что (— 1) х = — х.
Теорема 7.2. И является полным метрическим пространством
с функцией расстояния г) р(х, у) = \\х — у\\.
Как следует из В1 и В4, если р(х, j/) = 0, то х = у и р(х, у) =
= р(у, х). Справедливость неравенства треугольника вытекает из
неравенства Шварца, заключающегося в том, что для х£Н, у^И
\(х.у)\<\\х\\.\\у\\. (1)
Чтобы доказать (1), заметим, что, как следует из В4, для любого
комплексного числа X
||х-^||1/2>0.
Но, согласно С,
||*-Хур =
— (х — Ху, х — Ху) = (х, х)- l(y, х) — l(y, x)-Jrll(y, у) =
= ||x||2_2ReX(x, у) + \Ц2 ll^ll2-
Если (х, у) — reib и \ = ^eib, где г и |а- действительные числа,
то Х(х, j/) = {a|(x, у)\ действительно. Далее,
||*-W=||*P-2H(^ j0| + |*4.У||2>о
для всех действительных \i, а следовательно, дискриминант
квадратного уравнения относительно \ь неположителен, т. е.
К*. .у)|2-И121М1г<:о,
и неравенство (1) установлено. Равенство может иметь место тогда
и только тогда, когда х = Xу для некоторого комплексного числа X.
!) Иногда добавляют к определению гильбертова пространства
требование, чтобы Н являлось сепарабельным метрическим пространством. Мы
следуем современной тенденции опускать требование сепарабельности из
определения абстрактного гильбертова пространства.
206 гл- 7 ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
Чтобы получить неравенство треугольника р(х, у)^Ср(х, z)-\-
-\-p(z, у) из неравенства Шварца (1), заметим, что
||*+.У||2 = (* + .У. *+У)= ||x||2 + 2Re(x, _у)+|Ы12-
Так как 2Re(x, _у)<21(х, _у)|<2||л:|| • ||_у||, имеем
ll* + .vll2< 1Н2 + 2 ||*|| • Ы| + 1Ы!2 = (1М1 + 1Ы1)2.
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем
Н*+.у||< 11*11-НЫ1. (2)
Поскольку (х — z)-\-(z— у) = х— у, (2) дает
ll*-^l = ll(*-*) + (*--jOII<ll*-*ll + l!*-.y||.
а это и есть неравенство треугольника для р, и тем самым доказано,
что Н является метрическим пространством. Условие С обеспечивает
полноту этого метрического пространства.
Как отмечалось ранее, простейшим примером гильбертова
пространства является ?г-мерное комплексное векторное пространство,
элементами которого являются наборы из п комплексных чисел
x = (xlt хъ . . ., хп). Сложение и умножение на скаляр определяются
формулами (хи х2, . .., *J + 0>i. 3>2> ••«> Уп) = (х1 + Уи Х2+Уъ •••
..., хп-\-уп) и a(xlt х2, ..., хп) = (ах1, ах2 &хп).
Внутреннее произведение векторов х — (xlt х2, ..., хп) и у = (уг, у2, ..., уп)
полагаем равным (х, 30-^1^1 + -^2^2 + ••• цгхпУп- Легко
проверить, что это пространство удовлетворяет всем условиям А, В, С.
Хорошей наглядной моделью служит действительное /г-мерное
векторное пространство. Элементами его являются наборы из п
действительных чисел x = (xlt х2, ..., хп), и действительные числа
используются для скалярного умножения. Внутреннее произведение
действительно, и условия А, В, С выполнены. В частности,
трехмерное векторное пространство дает нам очень полезную модель,
так как при выводе геометрических свойств мы можем использовать
нашу интуицию.
Мы будем рассматривать гильбертово пространство, состоящее
из измеримых дифференциалов со на римановой поверхности S при
условии, что дифференциал со ^-со интегрируем по Лебегу и интеграл
}|со||2= Г I со-^-со конечен. Если локально со = pdx-\-qdy, то
_ s__ _
tuXu> = (pp-{-qq)dxdy. Таким образом, требование измеримости со
означает, что локально измеримы р и q, а требование интегрируемости
по Лебегу со -х- со означает, что \р\2 и \q\2 локально интегрируемы.
Сложение и умножение дифференциалов, определенное в гл. 6,
удовлетворяет условиям А. Проверим лишь, что в результате этих
операций мы получаем элементы этого же пространства. Действительно,
7.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 207
если локально со1 — рг dx-\-q1 йу и ы2 — p2dx -\~q2dy, то cot-}— ш2 =
~(Pi+p2)dx + (9i + Q2)dy и коэффициенты (рг-+-р2) и (^4-¾)
локально интегрируемы с квадратом. В самом деле,
I A + /½ I2 = I Pi I2 + I Pi I2 + P1P2 + P1P2
и _ _
0<|A — A I2 H A I2+ 1/½ I2 — Aft — РхРгг
откуда
AA + AA<|aI2 + IaI2 и |А+р2|2<2(|Лр+|р2|2).
2). При умножении на
a)1|f; таким образом,
Таким образом, Н^ + созЦ2^ 2 (||со^ ||2 —|— || со2
комплексное число а имеем jjacojl = |а| •
ш1 Ч~ ш2 и aa)i имеют конечную норму, если ш1 и со2 оба имеют
конечную норму.
Внутреннее произведение дифференциалов со1 и со2 определяем как
(<*>1, <°2) = J J ^1^^2- (3)
Локально со1 = рг dx-f-q1 dy и ы2 — p2dx -{-q2dy; тогда o)1^w2==t
= (P\p2-\-Q\Q2)dxdy, и, чтобы получить (col9 со2), мы интегрируем
этот дифференциал по S. (Позднее нам понадобится пространство
дифференциалов, определенных на подмножестве S' поверхности 5;
в этом случае внутреннее произведение будем обозначать, ставя
букву S' внизу справа от скобок, (со19 со2)5, = Г f ш1-х-ю2, а норму
sf
положим равной ЦсоЦ^, — (со, со)5,. Из линейности интеграла и
операторов ■# и ~ следует выполнение свойств Bl—В4. Далее, так как
со ->f (0=:( \р ^-^-\q)f)(ixdy, то (со, со)^ 0 для всех со. Вторая часть В4
причиняет нам некоторое беспокойство, так как коэффициенты могут
быть отличны от нуля на множестве лебеговской меры нуль в любом
параметрическом круге и при этом (со, со) = 0. Поэтому, чтобы
условие В4 выполнялось, мы должны установить соглашение, по которому
всякий дифференциал, обращающийся в нуль всюду в каждом
параметрическом круге, исключая множество меры нуль, является нулевым
элементом пространства. Таким образом, мы отождествляем любые два
дифференциала, разность которых равна нулю всюду, кроме
множества локальной лебеговской меры нуль, и символ со представляет
теперь класс эквивалентности дифференциалов, не совпадающих лишь
на множестве локально меры нуль. Принимая это во внимание, имеем
(со, со) = 0 тогда и только тогда, когда со = 0. Так как сумма двух
множеств меры нуль есть также множество меры нуль, то операций
сложения и умножения на скаляр определены для этих классов
эквивалентности дифференциалов. В дальнейшем следует каждый раз
проверять, что определение, даваемое для представителя класса, не
зависит от выбранного представителя. Подобную простую проверку мы
будем опускать.
208 гл 7 ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
Теорема 7.3. Пусть L2(S) — множество классов
эквивалентности измеримых дифференциалов со на г) S, для которых
интеграл I I co-)f со конечен. Тогда L2(S) является гильбертовым про-
s
странством с обычным сложением, умножением на комплексные
скаляры и внутренним произведением (3).
Нам остается доказать полноту L2(S), т. е. доказать, что всякая
последовательность Коши со^, п=\, 2, ..., в L2(S) имеет предел
в L2(S). Доказательство будет опираться на ряд теорем относительно
интегрирования по Лебегу и будет аналогично доказательству
полноты пространств Lp (р^> 1), которое содержится в большинстве книг
по интегрированию (см. Мунро [1], стр. 243 2)). Мы используем лемму
Фату, которая состоит в следующем: если \fn) — последовательность
неотрицательных, действительнозначных интегрируемых функций на
ограниченном открытом множестве G плоскости (х, у) и /0 = lim fn,
п ->оо
то функция /0 интегрируема, если lim J j fn dx dy конечен, и в этом
G
случае
I \f0dxdy^ lim \\fndxdy.
G п+~со« Q
Так как {co^} образует последовательность Коши по норме, то
существует такая последовательность целых чисел Nk, Nk+1^> Nk,
k= 1, 2, ..., что
Ihm-^IK^r. m>Nk, n>Nk. (4)
Это означает, что для произвольной области V с компактным
замыканием на 5
Я еч+1 ~ч)*(ч+1 -%) < £ •
Покроем теперь V конечным числом открытых параметрических
прямоугольников Оt, i =■ 1, 2, . . ., М, и образуем разложение единицы
для V относительно {U^. Тогда если со^ = р$ dx-\-q$ dy в Uit
то
м
/ = 1 U.(\V
х) Два дифференциала шг и со2 представляют один и тот же элемент
£2 (S), если локально wj — w2 = 0, исключая, возможно, множество меры
нуль.
2) См. также И. П. Натансон [1], стр. 186, 218. — Прим. перге.
7 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 209
Тем более
П\^-^***у<±-
utnv
где et > 0 в Ur
Отсюда следует, что \ р$ —р§ \Vei < 1/2* в U:(]V, исклю-
I 2yik + l nk I
чая множество Лй, мера которого не превосходит 1/2*.
Действительно,
/ / IР^+г ~Р\\$е>ахаУ> Н\р(1+г ~Р\ Гв'dX dy >
1
>^Udxdy'
Ak
и, чтобы интеграл слева был ^ 1/8*, необходимо, чтобы интеграл
справа был ^ 1/2*. Отсюда вытекает, что lim р^ (х, у) = р(1)(х, у)
&->со k
существует в Ut(]V, исключая, быть может, множество меры нуль.
В самом деле, для любого т^> п
т — 1 т — 1
I'».-'«.|<S|'«.«-'«.|<S^7<T7Sf
к=п к=п у 1 ' 1 к=п
т — 1 оо
кроме, быть может, множества (J Ak cz М Ak = Bn, мера которого
k=n k=n
^ zL ~~Т — ~И~Г • Далее> Вп образуют убывающую последователь-
2* 2'
k = n
ность множеств, мера которых стремится к нулю, и так как
1 1
всюду, кроме, быть может, Вп, то мы доказали, что lim p^j (х, у) =
п ->оо п
= pW(x, у) существует в Ut П V, исключая множество меры нуль.
Подобным же образом
lim q<$ (х, y) = qW(x, у),
п > оо п
исключая, быть может, множество меры нуль в Ut П V, и так как Ui
покрывают V, мы можем определить дифференциал в V, который
имеет локальное представление ю~р№(х, y)dx-\-qW(x, y)dy. Так
210 ГЛ. 7. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
как V—-произвольное открытое множество с компактным замыканием
в S, то дифференциал со определен на всей поверхности S. Нужно
еще показать, что со является пределом (по норме)
последовательности со^ и что co£Z,2(S) (или || со || < оо).
Из (4) видно, что ||com—coJ| < 1/8*, когда m^Nki n^Nk.
Таким образом, если локально <um = P®dx-\-qWdy в Ut, то
т
2 Я {\p^-p{lf+\^-^}eidxdy<h
при m^Nu и n^Nk. Из леммы Фату следует, что
ut{\v «->°° uf[V n
такое же неравенство имеет место для интеграла, в котором р заме*
нено на д. Таким образом,
//к-^)^ К—и)=
т
= 2 // {\Р{%-Р{* f + \€-^f}eidxdy<ju
i=i utnv
для m^>Nk, а так как V— произвольная область с компактным
замыканием на 5, то
11^-41= SUP f/К* — <»)* Кг — <°)<-^-.
и со является пределом по норме последовательности Ю- Наконец>
чтобы доказать, что co£L2(S), полагаем со = со — ^т-\-^т и>
используя неравенство треугольника ||со|| ^ Цсо — com|| -(- ||com||, замечаем,
что оба выражения справа конечны. Доказательство полноты
пространства L2(S) закончено.
Замечательным свойством внутреннего произведения в любом
гильбертовом пространстве является непрерывность его по обоим
аргументам.
Теорема 7.4. Если lim ||х — л;Л||=0 и lim \\у— yn\\=.0f та
п -> с» п ->00
(х, у)= lim (хп, уп).
Это следует немедленно из неравенств
| (х, у) — (хп, уп)\ = \ (х — хя, у)—(х—хп, у—уп)-\-(х, у—уп) | <
<|(Х — Х„, У)\ + \{Х — Ха, У — Уп)\ + \(Х, у — уп)\^
< \\х-хя\\ ■ I^H + llx-xJI • ||^-Л|| + ||х|| . \\у-уп\\.
7./. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 211
Подмножество Нг гильбертова пространства Н называется
подпространством Н, если Нх само является гильбертовым
пространством с операциями и внутренним произведением, определенными
для Н. Например, подпространство трехмерного действительного
векторного пространства образуют векторы, лежащие в плоскости,
проходящей через начало координат, и имеющие вид (хи х2, 0).
Простым примером подпространства L2 (S) является множество всех
дифференциалов со в L2(S), которые обращаются в нуль вне
фиксированного подмножества V в 5. Заметим, что подмножество Нх
пространства Н является подпространством, если оно% есть комплексное
векторное пространство, замкнутое по норме пространства, т.. е. если
хп£Нг и lim \\хп — х0\\—0, то xQQHi. Непосредственно из опре-
/г->оо
деления также заключаем, что если Нх и Н2— подпространства
гильбертова пространства Я, то Н1{\Н2— множество всех элементов,
общих Н1 и 7/2, — образует опять подпространство //.
В трехмерном действительном векторном пространстве
внутреннее произведение двух ненулевых векторов, x = (xlt х2, хг) и у —
— (ylt у2, уг), можно записать в виде
(X, У) = Х1у1+Х2у2 + Х9уг=\\х\\ ' Ilj^H COS 6,
где б — угол между этими двумя векторами. Вектор х ортогонален
вектору у тогда и только тогда, когда (х, у) = 0. Мы перенесем
это определение на абстрактное гильбертово пространство и скажем:
два элемента х и у в Н ортогональны в том и только в том
случае, когда (х, _у) = 0. Из условий В4 следует, что 0 является
единственным элементом в Н, который ортогонален самому себе. Далее,
(0, у) = (х — х, у) = (х, у) — (х, у) = 0;
таким образом, 0 ортогонален каждому элементу в Н и является
единственным элементом в Н, обладающим этим свойством.
Два подпространства, Нх и Н2, в И называются
ортогональными, если (х, j/) = 0 для всех х£Нг и у^Н2. Для обозначения
ортогональности Нг и Н2 пишем НХ±_Н2. Пусть Их —
подпространство Н и Нх —множество тех элементов у£Н, для которых
(х, у) = 0 при всех х^Н1. Таким образом, Н{- состоит из тех
элементов, которые ортогональны всем элементам Нг. Мы назовем Hi
ортогональным дополнением к Нг.
Теорема 7.5. Если Нг — подпространство Н9 то Н}~ также
является подпространством Н.
Как следует из предыдущих замечаний, достаточно показать, что
Hi есть комплексное векторное пространство, замкнутое в Н. Пусть
212 ГЛ 7. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
х и у принадлежат Н±- и z £ Н{, тогда для произвольных
комплексных чисел аир имеем
(ах + $у, z) = a(x, z)-\-$(y, ^) = 0 + 0-=0,
так что ах -\-$у £Hi , т. е. Ht— комплексное векторное
пространство. Пусть \хп)— последовательность элементов Н^, сходящаяся
по норме к элементу х0 £ Н. Имеем для любого z £ Нг
(х0, z)— lim (хп, z)~0,
п -> оо
и, следовательно, доказано, что х0£Нг, т. е. установлена
замкнутость Hir в Н.
Под прямой суммой Н3 = НгфН2 двух подпространств Н1 и Н2
в Н мы понимаем множество всех элементов х£Н, представимых
в виде х = х1-\-х2, х1£Н1 и х2£Н2. Вообще говоря, Н3 не будет
подпространством Н, так как оно может и не быть замкнутым в Н.
Однако, если образовать замыкание Н1($Н2 множества НХ@Н2,
присоединяя к Нгф Н2 все элементы х £ Н, являющиеся пределами
по норме последовательностей элементов из Нг 0 Н2, то Нх © Н2
будет подпространством Н, причем оно будет наименьшим
подпространством Н, содержащим как Ни так и Н2.
Сделаем замечание, полезное нам в дальнейшем. Если в качестве Н2
взять ортогональное дополнение к Нх в Я, тогда прямая сумма
Нг @ Hi замкнута и, более того, совпадает со всем пространством Н.
Мы установим это в следующей теореме.
Теорема 7.6. Пусть Нг — подпространство Н и Н± — его
ортогональное дополнение. Тогда
H = Ht®Hl, (5)
т. е. каждый элемент х£Н может быть представлен в форме
х = хг-{-х2, хг^Нг и х2£Нг; это представление единственно,
Коль скоро доказано существование одного такого разложения,
единственность его тривиальна; действительно, пусть х = хг-\-х2 =
= Ух~\-Уъ\ тогда хг — Ух^Нх и у2 — х2£Н^, а следовательно,
(л?! — уг, у2 — х2) = 0. Но х1 — у1 = у2 — х2, откуда хх — уг
ортогонален самому себе, т. е. хг — j/1==0, а поэтому и у2 — х2 = 0,
что и доказывает единственность.
Прежде чем приступить к доказательству возможности такого
разложения, рассмотрим, однако, пример 2-мерного действительного
векторного пространства. Как поступить, если мы хотим разложить
вектор х £ S2 на две компоненты вдоль двух взаимно
перпендикулярных осей? Естественно, мы опустим перпендикуляр уг из конца х
на Нг-осъ и положим хх == х-\-yv Тогда векторы х2 = х — xx£Hi
7 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 213
и х1£Н1 дают нам искомое разложение (рис. 7.1). Чтобы перенести
этот процесс на гильбертовы пространства, более общие, чем % , нам
нужно охарактеризовать опускание перпендикуляра из „конца"
данного элемента на подпространство в этом общем случае. Такую
характеристику подсказывает нам фундаментальное свойство
перпендикуляра, а именно: из всех векторов, началом которых служит точка
Ях-оси, а концом — конец вектора х,
х2 имеет наименьшую длину. Таким
образом, мы пришли к одной из задач
о нахождении элемента наименьшей
длины, часто встречающихся в
доказательствах существования. В
гильбертовом пространстве Н длина элемента
х есть ||х||. Таким образом, по
аналогии следует ожидать, что искомое
разложение х £ Н дается векторами
х1^Н1 и х — х1 £ Hi (если они
существуют), причем при х1=^х1 величина Рис. 7.1
|| х —xx|| принимает наименьшее
значение, когда хх пробегает все Нх. Имея это в виду, мы должны показать
следующее: а) существует такой х±£Ни что
V
т
Х2
X//
Нт
х-
■х,
■ x^W = mm
_ Хг £ Н
и Ь) х — хх£Н^-
Чтобы доказать а), положим х £ Н и d2 = inf
x1£Hi
обязательно найдется последовательность элементов Hlt скажем W^L
такая, что
х — хЛ\2. Тогда
■ х1
(") II
-.d2-\-en, Нтел = 0,
г„>0-
Теперь
\\х[т) —
Х[п)\
| (*("*) — X) — (*(*)
= | х[т) — х f — 2Re (*0
х) =-
*(*) — х) + \х^) —
х\\
] х[т) -
-*(*>-
2x1
Складывая оба равенства, получаем
! = | х[т) — х f + 2Re (хИ — xt х[п>> -^) +
+ИЛ)-
■х
I 1
-хЩ
2II х[т)
- х f + 21| х[") — х ]| —1| 4т) + х[п) —
Так как I (х[т) + х^У) £ Н1 при х[т) £ Н1 и х[п) £ Hv из
ния числа d следует, что
■2х
Лт)
X -
+ -4У
.(л)
>d2,
(6)
определе-
214 ГЛ. 7. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
ИЛИ
Используя последнее неравенство в (6), получаем
|| *(Г} - xin) If < 2 (d* + е J + 2 (rf2 + £«) ~ 4d* < 2 (em + e„).
Таким образом, \х[пЛ является последовательностью Коши,
сходящейся в силу полноты пространства Hv Поэтому существует
х1 = lim х№
П->СО
И
11^_1^1=[^_4л>+4л) —^i||<||^ —4Л)1+||4Л)—^1
для всех га. Так как lim ||#— М^!! —<^ и lim \\х[п) — х 11 = 0, имеем
||х — хг\\ =d,n хг является элементОхМ Ни минимизирующим ||х— хг\\
при всех х1 £Н\-
Остается доказать Ь), т. е. доказать, что х — хх самом
деле, пусть хг — произвольный ненулевой элемент Нг. Тогда хг-\-
-\~Ххг^Н при всех комплексных числах X и
\\x — lx1--xl\\2^d2t
или
II* —^И2 —4*1. * —*i) —X(*i, х — xJ-f-IXI2 \\xx\\2^>d2.
Подставляя \\х— хх\\2 = й2, получаем
2Re{X(*lf х — хг)} < | X \2 \\хх\\2.
Пусть (хг, х— x1) = reiB; положив Х = |Х|е-/е<, имеем
2|Х|.|(^, х-х^К^МЫ!2.
или просто 2|(хх, х — *i)|-^|X| • ||^i||2. Так как X может быть
сделано сколь угодно малым при фиксированном xlt то (х1} х — .^) = 0.
Таким образом, утверждения а) и Ь) доказаны и наша теорема
установлена. Из доказательства утверждений а) и Ь) можно извлечь еще
один резз'льтат.
Теорема 7.7. Пусть Ht и Н2— ортогональные
подпространства Н; тогда Ht © Н2 также является подпространством Н.
Нужно показать, что Н1 © Н2 = Н1 © Н2. Пусть х £ Н1 © Н2\
применим а) и Ь) для нахождения такого элемента хг £ Ни что
II* — *i 11^11*—*i|| ПРИ всех х1£Н1. Тогда y = x — x1£iHi'
и J^#i®#2- Имеем у = \im {/»)-+-у£А9 уф£Нх и yW£H2.
/г->оо
7.2. ОПЕРАТОРЫ СГЛАЖИВАНИЯ
215
Но lim (у[п\ У{1)-\-у{2п))= Ит (у[п\ у)— О, в то время как
(y[n\y[n)+yin)) = (y[n)' Лп)) — 1У[п)(- Таким образом,
Нт II у[пЦ\ = 0 и у = Нт У2")£#2,
м^Ч „ ■"• „,: .._:; о)
к2 >• 2*
п ->- оо" " /г ->■ оо
и наше утверждение доказано.
7.2. Операторы сглаживания. В этом пункте мы определим
оператор, действующий на дифференциалы из L2 и переводящий их
в дифференциалы из С1, сохраняя при этом некоторые ценные
свойства этих дифференциалов. Мы ограничимся рассмотрением круга
D:\z\<il в евклидовой плоскости. Для определения
сглаживающего оператора на дифференциалах в L2(D) мы сначала определим
его на функциях /в Д которые интегрируемы на D и для которых
Г Г) / \2dx dy < оо. Для удобства мы также обозначим этот класс
D
функций через L2(D). Из контекста будет всегда ясно, что означает
L2 (D) — класс дифференциалов или функций на D. Через D
обозначим круг | z | < 1 —р.
Начнем с введения функции
k(p2 — x2 — y2)2, х2-\-у2<р2,
0, х2 + .у2>р2,
где k подобрано так, чтобы выполнялось равенство Г Г 5 "(х, у) dx dy =■
= 2ic fk(p2— r2)2rdr= 1, т. e. ft==3/icpe.
о
Заметим, что sp(x, у) имеет непрерывные частные производные
первого порядка по х и у во всей (х, _у)"плоскости. Оператор
сглаживания Мр, примененный к комплекснозначной функции /£Z,2(D),
дает нам новую функцию M?f, где
2тс р
Мр/(х, У)= Г Г/(-*; +г cos 6, j/ ~Ь ^ sin ") sp (г cos 0, г sind) г drdd.
о о
(2)
При р < 1 и (х, y)£D9 точка (x-{-rcosdt 3; —|— гз!п6), 0^г<р,
лежит в круге D, где функция / интегрируема; таким образом,
функция Alp/ определена при всех (х, y)£Dp. Будут полезны другие
формы записи (2):
Mff(x, y) = f J7(*-M. y-\-n)se$. 4)dUyi (3)
216 ГЛ. 7. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
Mpf(x, y) = fff£, Ti)s?$-x, y]~-y)dUri. (4)
Для дифференциала со = р (х, у) dx -\-q (х, у) dy £ L2 (D) мы
полагаем
Мрсо — [М?р (х, у)] dx + [M9q (х, у)} dy.
Сразу же видно, что М? — линейный оператор на L2(D),
переводящий каждый дифференциал co£L2(D) в дифференциал Л4рсо,
определенный на DQ. Приступим теперь к выводу следующих четырех
свойств М-
Ml) если (*£L2(D), то А10со £ С1 (£>Р);
М2) если со гармоничен в D, то Л4рсо =• о
МЗ) если co£L2(D), то \\т ||со —Мсо|| =0;
р->0 р
Di>
М4) если носитель у содержится в Dp, то носитель М^
содержатся в D и
(Ж0со, Т) =(со, М0ч)о.
р
Для установления свойства Ml вычислим производную дМрр/дх
и докажем ее непрерывность. Аналогично доказывается
существование и непрерывность другой производной. В силу непрерывности
производной dsp(dx в D она ограничена здесь, скажем \ds9/dx\<C М,
и мы имеем
sp (х + h,y) — sp (х, у)
h
1 x+h * /
l r dsp (x, y)
1 /• иъ
~h J —
dx
dx
<
x-\h
<t!
ds? (x, y)
dx
dx < Af.
Далее, разностное отношение стремится к производной ds9/dx в
каждой точке, так что мы можем применить теорему Лебега о
мажорируемой последовательности к функциям
М9р (х + h, у) — М9р (х, у)
/J>(^)
*р(£-
•К -ц — У) — $Р (6—х, f\ — У)
dbdi\
и получим
дМрр (х, у)
дх
Я/, ч ds? (* — ^» Ti — У) л ,
7 2 ОПЕРАТОРЫ СГЛАЖИВАНИЯ
217
Для доказательства непрерывности заметим, что dsp/dx равномерно
непрерывна, так что по данному s > 0 найдется такое о > 0, что
при (х — х')2 + СУ — У)2< S2
dsp (х\ yr) dsp (х, у)
дх
Тогда
дМрр (х\ уг) дМрр (х, у)
дх
дх
<
<ff\p(lrl)\
дх
dsp{h — xr, -ц~уг)
<е.
dsp(Z — x^i\ — y)
дх
дх
dUi)<
<*f f\P$, T\)\dldn,
и для /?£L2(D) последнее выражение вместе с е стремится к нулю.
Свойство М2 мы докажем в два этапа. Пусть со — гармонический
дифференциал в D; тогда M=--df, где / — гармоническая функция
в D. Докажем теперь, а) что при /(^(^(D)
Mpdf = dMJ
(5)
(6)
и b) что для функции, гармонической в D,
Mpf(x, y) = f(x, у)
в Dp. Соединяя эти равенства, получим Л4рсо = Жр df = dMJ =
= rf/ = (0.
Для доказательства а) нужно показать, что
Установим, что Мр (df/дх) =- д(М f)/dx; доказательство
соответствующего равенства для производной по у аналогично. Так как
f^Cx(D), то, применяя правило Лейбница дифференцирования под
знаком интеграла, получаем
~М9/(Х, У) = ~ / / f(x + l y + r,)sf(l, yi)dU-q =
Dl-?
= //^/(^ + ^ y-\-tisf& Ti)did-n = Mf-^f{x, y).
Далее, для доказательства b) замечаем, что sp(rcos6, г sin 6) =
= k (p2— г2)2 при r<p является функцией только от г, так что
Mpf (х, у)= Г rk (р2 — г2)2 J / (х -f- г cos 6, у + г sin 6) dd dr.
218 ГЛ. 7. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
Если мы покажем, что
2%
Г /(x + rcosfl, y-\-rslnQ)dQ = 2v:f (х, у), (7)
о
р
то Мр/ (х, з>) = 2тг J /¾ (р2 — г2)2 г/ (х, y)dr = f (х,у) в силу вы-
0
бора k;'(7) выражает теорему о среднем для гармонических
функций, которую для полноты мы здесь докажем. Применение теоремы
Стокса и тождеств (И) п. 6.4 к *df дает нам, что для любого
круга D: (х — а)2 + (у — Ь)2 < г2
f£ds = -f*df=-ffd*df = 0.
дп
dD 6D
Но в полярных координатах х — a = г cos 6, у — 6 = г sin 6 это
соотношение принимает вид
2%
/£"»■
= 0,
или
г-^г С f(a-\-rcosQ, £4-rsin6)^6 = 0.
о
Таким образом, интеграл
2тс
J/(a + rcos6, 6-f-r sin 6)^6
о
#ie зависит от г, и при г-+0 мы получаем
2% 2%
Г /(a + rcos6, 6 + rsin6)</6=-- lim Г /(a + rcos6, £ + rsin6)rf9=
= J /(a, b)dQ = 2izf(a9 b),
о
«то доказывает наше утверждение.
Для доказательства МЗ нужно показать, что при р -> 0
Цсо-Жрсо]^ =JJ[|^_Mp/7|2 + |g-^|2]rfx^->0.
7.2. ОПЕРАТОРЫ СГЛАЖИВАНИЯ
219
Покажем, что lim Г \ \р — М p\2dxdy = 0; доказательство для q
р->оо£ J
аналогично. Пусть р — рг -\-ьрг> так что
f f\p — M?p\2dxdy = f f[\Pl — M?Pl\2 + \p2 — M?p2\4dxdy;
P P
достаточно показать, что Г)1а — M?px \2dx dy-+Q, т. е., иными
D?
словами, мы можем предполагать функцию р действительной.
Так как p£L2(D), для любого е>0 найдется непрерывная в D
функция g, аппроксимирующая р так, что Г C\g— р \2dx dy < s2.
D
Затем мы можем написать
fflp — MrPpdxdyy^fflp — gpdxdyl-t-
(8)
+
J f\g — Mtg\*dxdy\ 2+N f\Mfg — Mtp?dxdy
В силу равномерной непрерывности g в D найдется такое S > О,
что
\g(x', y') — g(x, y)\<s, если (х — x'f-\-(y — y'f <_ 82.
Мы можем теперь утверждать, что при р < 8
\Mfg{x, y) — g(x, у)\ =
ff{g(x + l. y + -n)~g(x, y)}sf^,Ti) d\d^
Ji-p
<
< ( f\ g(x+l, y-\--n)—g(x, ^)|sp(£,ii)rfUii<s J J*sp(5,ii)d?dTi=8.
Di-?
Следовательно,
"i-p
f f\g — Mfgfdxdy
<V«'<
когда p •< 8. Для завершения доказательства нужно показать, что
f f\M9[g — p]\2dxdy^e.
220 ГЛ 7 ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
Из интегрального неравенства Шварца имеем
\M0[g(x, у) — р(х, у)]\> =
я
2
X f Jsf(t, T))dUi) =
= ff\g(X+t, y-\-T[) — p(x + \, y + ^s^rudtd-n.
Таким образом,
f f liWpfc — p\\*dxdy<C
^f Jdxdy f f\g(x + Z, у + т)) — р(х + Ч, y + ^lzSpiZ.^dS.dT],
di-p
и применение к правой части теоремы Фубини дает
f f\M? [g — p] \*dxdy4£
<ffs9(l rOdU-qf flgix + l.y + TU-pix + t.y + TdPdxdy.
В силу выбора g последний интеграл в правой части ^ г2 при всех
{£, 7])£Dp, и наша теорема доказана.
Наконец докажем М4. Если носитель функции / содержится в D
то существует положительное число о, при котором носитель /
содержится также в Dp+n. Далее, из (2) видно, что если / обращается
в нуль в круге радиуса р с центром в (х, у), то M?f{x, у) = 0.
Мы можем распространить определение / на всю (х, з/)-плоскость,
положив / = 0 вне D. Тогда Mpf определена в D, и так как / = 0 при
| z | > 1 — 8 — р, то M?f = 0 при | z | > 1 — Ь, так что носитель Mpf
содержится в D. То же самое имеет место при применении М0 к
дифференциалу f с носителем, содержащимся в Dp. Вычислим теперь
{Жрсо, ^)D и покажем, что это произведение равно (аз, Mj)D, применив
для этого теорему Фубини. Внутреннее произведение (со, М *\)D имеет
смысл, так как, положив ^ = 0 вне D мы можем считать, что диф-
7 3 ЛЕММА ВЕИЛЯ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ
221
ференциал Мр^ определен во всем круге D. Пусть со = pdx -\-q dy и
^ = adx-\-bdy; тогда
(iMpd), t)d = j j [Mpp(x, y)a{x, y)-\~M?q{x, y)F[x, y)]dxdy.
Имеем
Г \ M?p(x, y)a(x, y)dxdy =
D? '
= J С a (x, y) \ j С p (£, 7j) sp (£ — x, 7] — y) d\ di\ \dxdy =
£>P L £> J
= j j p (?, tj) Г Г л (x, 3;) s0 (£ — x, 7] — 3;) dx dj/ б?Ыт] =
— } ) P$, ?]) Г Г a (x, j/) sp (x — £, у — 7]) dx tf j/ б?Ыт] =
£> L /) J
= ffP$, 7l)M?a(l 7|)dU7|.
Аналогично
Г С M?q(x, j/) &(.*;, y)dxdy = С С q$, r\)M?b{^, r\)dldr\.
Л? D
Итак, свойство М4 установлено.
7.3. Лемма Вейля и ортогональные проекции. В дальнейшем
мы дадим доказательство существования гармонических и
аналитических дифференциалов на римановой поверхности S. В этом
доказательстве фундаментальную роль будут играть некоторые
подпространства гильбертова пространства L2(S), которые мы сейчас определим.
Говорят, что комплекснозначная функция / на 5 принадлежит
классу Ck = Ck(S), если локально / имеет непрерывные частные
производные порядка k. Если к тому же / имеет компактный
носитель в S, то мы говорим, что /£Co = C0(S). Подобным же
образом дифференциал ю£Ск = Ck(S), если локально его коэффициенты
имеют непрерывные частные производные порядка k; если, кроме
того, со имеет компактный носитель в S, то со £ С0 = С0 (5). Из
контекста всегда будет ясно, когда Ck и С0 обозначают классы функций
или дифференциалов на S.
Мы будем использовать следующие подпространства L2 (5):
E — E(S) язляется замыканием в L2(S) векторного
пространства точных дифференциалов df, где /£Cq(S);
Е* = Е* (S) является замыканием в L2(S) векторного
пространства котонных дифференциалов *dft где f£Co(S)
(заметим, что со £ Е тогда и только тогда, когда -к со £ Е*)\
222 ГЛ. Т. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
Н=Е±г] (Е*)1, т. е. Н состоит из всех дифференциалов,
которые ортогональны как Е, так и Е* в L2(S).
Сначала мы установим важную теорему о разложении L2 (5) в
прямую сумму всех трех подпространств.
Теорема 7.8. Подпространства Е, Е* и Н попарно
ортогональны а Z,2(S) = £ ©£*©#.
Это означает, что каждый дифференциал co£Z,2(S) единственным
образом представляется в виде суммы со = со^~f-^ —]— тг, где со^//,
7 £ Е, тс £ Е*. Докажем сначала, что Е и Е* — ортогональные
подпространства. Пусть со £ Е и f £ Е*. Тогда со = lim dfn, f = lim ■# dgn
rt>oo rt>oo
по норме в L2(5), причем fn,gn(zCo и С03» T) =lim (^/Л> *dgn).
п ->оо
Так как носители /л и gn компактны, мы можем применить
теорему 6.4. Получаем
(<*/*. * <*«"я) = —/ / <*/„ dgn= f f fn ddgn=0
s s
для всех /г и, следовательно, (со, ^) = 0, что доказывает
ортогональность Е и Е*. В конце п. 7.1 было доказано, что Е © Е* является
подпространством L2(S), откуда
Докажем теперь, что Н==(Е © £*)-Ч Пусть со £ Я, ?i G Z:» 72 € ^**
тогда (о), fi —f~Т2) = С03» тО + С03' Т2) = 0» так что #£■(£©£*)"*"•
С другой стороны, если со £ (£ © ZT)~K то (со, ^1-|-^2) = 0 для всех
7i(:£\ 72(:^ и, в частности (со, ^) = 0 и (со, f2) = 0. Таким
образом, со £ Е-1- Г) (Е*)^~ = И, откуда Яз(£0 Б*)-1-. Следовательно,
Н = (Е ©Z:*)"1", и теорема доказана.
Коэффициенты дифференциалов из £ и £*, вообще говоря, весьма
плохо ведут себя в отношении гладкости. Действительно, они являются
пределами в среднем дифференцируемых функций, а как показывают
простейшие примеры, таким пределом может быть функция,
разрывная в каждой точке. Тем замечательнее тот факт, что все элементы Н
являются гармоническими дифференциалами. Этот факт лежит в основе
метода ортогонального проектирования, который мы используем в
доказательствах теорем существования. Для доказательства того важного
факта', что Н состоит только из гармонических на S
дифференциалов, нам понадобятся следующие леммы относительно Е, Е* и //.
Лемма 7.1. Если со^С1, то:
a) do) = 0 тогда и только тогда, когда со £ Е*-^-;
b) ^-к u) = 0 тогда и только тогда, когда со£Я-Ч
7.3 ЛЕММА ВЕИЛЯ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ 223
Докажем утверждение а); доказательство Ь) аналогично.
Предположим сначала, что со £ С1 и dco = 0. Тогда для всех / £ Со в силу (12)
п. 6.4 и в силу того, что ^0) = 0,
(со, *df)=-ffu(df) = —fffdu = 0.
S S
Если
Т££*, т= lim *rf/„ fn£Cl
Я>оо
то (со, 7)= Нт (со, ■xdfn) = Q. Таким образом, co^f;*-1-. Обратно,
Л>О0
если о) £ С1 fl f*-1", то для всех / £ Со #
0 = (о), *df) =
=-//^/-;/
б? О).
Если предположить теперь, что
^(о =£ 0 в некоторой точке Р0, то,
представляя dco в виде А (х, у) dx dy
в параметрическом круге с центром
в Р0, будем иметь Л^=0 в точке Р0.
Из этого следует, что либо Re А Ф 0,
либо Im А Ф 0 в Р0; пусть, например,
Re^4>0 в Р0, а следовательно, и
в некоторой окрестности N точки Р0.
Мы можем построить действительную
неотрицательную функцию / £ Со (Л/),
которая будет строго положительна
Рис. 7.2
в /V
лучим
Распространим затем / на 5, полагая /=з0 в 5 — Л/. По-
Re(o), *df) = — Re J Jo,df== — Re J f fd<o =
s s
= — RefffAdxdy = —CJfReAdxdy<0.
N N
Полученное противоречие доказывает, что d® = 0.
Для запоминания полезно представлять себе Е, Е* и Н как
'взаимно ортогональные оси в действительном трехмерном векторном
пространстве. Тогда плоскость, натянутая на Е, Н, содержит
замкнутые дифференциалы, а плоскость, натянутая на Е* и Я,— козамк-
нутые (рис. 7.2).
Из леммы 7.1 немедленно следует
Лемма 7.2. со ^ С1 П ^ тогда а только тогда, когда со —
гармонический дифференциал.
224 ГЛ 7 ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
Действительно, если со гармоничен, то со^С1, tfto = d * со =-- О,
и применение леммы 7.1 дает со £ Е*^~ П Е = Н. Далее, если со £ Н П С1,
то по лемме 7.1 dco = 0 и <2-&и) = 0, т. е. со гармоничен.
Для доказательства того, что Н представляет собой в точности
совокупность всех гармонических дифференциалов в силу леммы 7.2,
нам осталось показать, что HczC1. Свойство принадлежать классу С1
локальное, и если мы докажем, что со дифференцируем в любом
параметрическом круге D, то искомый результат будет установлен.
Для любой функции /£С2(5) с компактным носителем,
содержащимся в D, и для со £ Н
(to, df) == Г С со * dj^ О, (со, * df) — — С С со df = 0.
D D
Мы можем сам круг D рассматривать как риманову поверхность или
принять L2(D) за гильбертово пространство дифференциалов со на D,
для которых норма ||со]]^= I I co-)fco<oo, а внутреннее произве-
D
дение (со1? co2)D = I I со^о^. Тогда если co£L2(S), то co£L2(D),
d 9
и, если co£/f(S), то для всех / £C5(D) имеем (со, df)D = 0 и
(со, xdf) = 0, так что со £//(D). Докажем теперь лемму о том, что
co^C^D). Эта лемма принадлежит Г. Вейлю, который первый
применил ее к случаю гармонических векторов в трехмерном пространстве.
Его метод показал себя весьма плодотворным в доказательстве
существования гармонических дифференциальных форм как в специальном
случае римановых поверхностей, так и для более общего случая
^-мерных комплексных римановых многообразий (см., например,
Вейль [1] и Кодаира [lj).
Лемма 7.3 (лемма Вейля). Если co£L2(D) и, для всех /£Cq(D),
(со, df)D = 0 и (со, xdf)D = 0, то co^Cx(D) и, следовательно,
со—гармонический дифференциал в D.
Заметим, что дифференциал со будет также удовлетворять
условиям леммы, если его коэффициенты изменить на множестве меры
нуль в D. Таким образом, мы можем только доказать, что со почти
всюду совпадает с дифференциалом из Cl(D), но именно в таком
смысле нами понимается равенство дифференциалов в L2(D).
Пусть для co£L2(D) имеют место соотношения (со, df)D = 0 и
(со, xdf)D=0 при всех /£ Со(D). Тогда для дифференциала Жрсо и
любой функции /^Co(Dp) выполняются равенства
(Мрсо, d/)Dp = ((o, M?df)D = (u, dM9f)D = 0
и
(Л!рсо, *d/)D =(<«>. M?*df)D = {v, *dM?f)D = 0,
7 3. ЛЕММА ВЕИЛЯ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ 225
так как операторы ■¥■ и Мр перестановочны, •# МР = Мр ■#, и M9f £Cl(D).
В силу того, что Л1 со £ С1 (D ), по лемме 7.2 заключаем о
гармоничности в D дифференциала М0ш.
' 1
Докажем теперь, что М0оу не зависит от р, т. е. если р<-~-,
с < -к , то Л1рсо = Л1асо в D +а. Если применить Л40 к
дифференциалу М?о), определенному в Dp, то получим дифференциал MaMpo)f
который определен в Dp Ьа. В силу гармоничности Л1рсо в Dp из
свойства М2 заключаем, что маМ?ш = Мрсо в Dp+a. Аналогично >MpMGo) =
= Мао) в Dp+a, и нам остается только показать, что МрМаы = МаМ со.
Это мы сделаем, применяя теорему Фубини. Если со = р dx -\~ q *dy, то
МаМрр(х, у)= f fM?p(x-\-t, y + 7i)sa(t, ri)dtdri =
= f Г 5Л^> ^) Г Г />(* + £ + #> .У + ^ -i~v)so (tt> v)dudv didr\=
= Г J sp(u, v)\ I I /?(x + £_|_af j/ -+-^+-^)^(^ v\)dldr\ da dv=^
bi_p L ^1, J
= MpMa/?(x, j/).
To же самое справедливо и для q, так что независимость Мр от р
нами установлена.
В силу этого свойства Мрсо можно взять предел Л1 со при р —> О
и показать, что Л10со —со. Действительно, из свойства МЗ следует,
что lim ||Масо— со[|* == 0. Так как D+aczDa и ||Л1ва> — со|| -<
<||Л1асо— (o||D , то lim ||Л4вш — ®\\D = 0. В D +а имеем Маа)—
а а->0 Р + а
= Ж(одля всех о > 0, так что lim || Л4 со—- со 11 =0. Далее, для
любого 8>0 Dp+sczDp+a, если a < 8. Поэтому
(|Л40со — со|[ < ||М0со — со|f
для всех а < 8. Отсюда вытекает, что |Ш0со— colL =0 для
" Р Dp + 8
любого 8 > 0. Таким образом, Мрсо = со почти всюду в D +ь для
любого 8 > 0, а значит, и в D0. А так как Мрсо £C\D?), то тем самым
Доказано, что со £ С1 (Dp) для любого р > 0, т. е. co^C^D), и лемма
Вейля установлена.
Сопоставляя лемму Вейля и лемму 7.2, получаем следующий
результат.
Теорема 7.9. Дифференциал со принадлежит Н(S) тогда и
только тогда, когда со — гармонический дифференциал на S.
226 ГЛ. 7. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
Мы можем теперь разложить произвольный дифференциал со £ L2(S)
на три взаимно ортогональные компоненты, со = Mh -}- f -\- к, где ооЛ £ Я,
т££ и к£Е*. Мы назовем (оЛ проекцией ы на Н или
гармонической компонентой со. К сожалению, мы не можем сказать, что у
и тс являются точной и коточной компонентами со, так как о них
известно только, что они являются пределами по норме точных и
коточных дифференциалов. Интересно установить условия на о),
гарантирующие, что 7 является точным, a iz — коточным
дифференциалами. С этой целью докажем следующее предложение.
Лемма 7.4. Пусть fn(zcUs) * 7-те 6^(5)0^(5). Тогда:
a) если lim Ц^—dfn\\=0, то у— точный дифференциал;
/г->оо
b) если lim |[тс — x-dfn\\=0, то к— котонный дифференциал.
П ->оо
Другими словами, если ^ (: С1 П £, то f—точный
дифференциал, тогда как из того, что тс £ С1 f] Е*, следует, что к — коточ-
мый дифференциал.
Достаточно доказать а), ибо соотношение т: = lim *dfn означает,
П ->оо
что ^ж= lim (— dfn), а если *■ к = —-d/, то тс = -к df. Пусть ^ £Е;
П >оо
тогда 7 ££*-Ч а так как ^ ^С1, то из леммы 7.1 следует, что df = 0.
Чтобы доказать, что ^—точный дифференциал, теперь остается
доказать, что периоду вдоль любой замкнутой кривой С = (а, I) равен нулю.
Мы можем разделить / на интервалы Ik: tk_t <^ t ^ tk, 0 = t0 < tx < ...
. . . < tn = 1 так, чтобы каждая дуга a(Ik) целиком лежала в одном
параметрическом круге Dk. Соединим теперь точки а(^_х) и a(tk)
прямолинейным отрезком Lk в Dk, и пусть L — замкнутая кривая
LtL^ . . . Ln. Из определения криволинейного интеграла от замкнутого
дифференциала имеем I ^ — | ^. Кривая L кусочно аналитическая
l с
с не более чем конечным числом точек самопересечения. Поэтому мы
можем разложить кривую L на конечное число простых замкнутых
кривых, и если мы покажем, что период ^ вдоль каждой такой
кривой равен нулю, то отсюда будет следовать, что f — точный
дифференциал.
Мы предполагаем, таким образом, что L — кусочно аналитическая
простая замкнутая кривая. Так как L — двусторонняя кривая, то,
покрыв L конечным числом параметрических кругов, мы получим
содержащую L область G, которую кривая L делит на две
компоненты; пусть, скажем, Gf лежит справа от L, a G~— слева от L.
Мы назовем G полосой относительно L. Определим действительную
функцию / на 5 следующим образом:
( 1 для P£G~\}L,
"'Но для pes-о. к*™-
7 3 ЛЕММА ВЕИЛЯ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ
227
Такую функцию / можно построить, покрыв L конечным числом
прямоугольников, лежащих внутри G. Пусть [еь)—разложение
единицы относительно этих прямоугольников. Тогда функция g = ^ei
равна 1 на L и 0 в 5 — G. Определим теперь f = g в G+, /=1
в G~ \J L и / = 0 в 5—G. В G~ имеем df = 0 и, точно так же,
df = Q в 5 — G, поэтому, хотя / и делает скачок, равный 1, вдоль
границы G" и 5 — G, дифференциал df здесь непрерывен и
дифференцируем. Определим t]l£C10(S) следующим образом:
df в G,
О в S — G.
Из определения ясно, что dy\L = ddf — § в G и df}L = 0 в S— G,
так что 7jz замкнут и носитель j\l содержится в G . Область G
регулярна. Для ^^Е(]СХ имеем
(т. *ъ) = -//тъ = -./7тъ =
s Qr
■=-//т"/= J7t-/J7*t = /t.
так как dG+ состоит из L и кусочно аналитической кривой, на
которой / обращается в нуль. В силу того, что f ££ и
дифференциал 4f7jz козамкнут, -)f7]z £ Е-1-, мы получаем (j» #-^) = 0. Итак,
I Y == 0, и y является точным дифференциалом.
Z
Пусть дифференциал о) разлагается в сумму со = о>Л-|-^/~г~ #■ dg-,
где f,g^C2 (5); тогда dw = d *-dg = Ag\ Если локально о) = р dx 4-
-\~qdy, то локально kg = (дд/дх— др/ду) dx dy, т. е. g* является
решением уравнения
Мы найдем сейчас некоторые достаточные условия, чтобы такое
уравнение локально имело решение.
Лемма 7.5. Если функция у(х, у)^С2 имеет компактный
носитель в (х, у)-плоскости, то уравнение
дЧ , дЦ , ,
-3^+-^ = ^- >°
имеет решение ф£С2.
Покажем, что
ОО ОО
228 гл- 7- ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
Этот интеграл сходится, так как вблизи точки (0, 0) подинтегральное
выражение ведет себя как (log г) cpr dr db, a r\ogr—>0 при г —► 0
(£ = г cos 6, т] = г sin 6). Покажем, что ф£С2. Для этого вычислим
разностное отношение
b(x-\-h, у) — 6 (х, у)
_ _
оо оо
—со —оо
Так как разностное отношение под знаком интеграла сходится
равномерно к ду/дх, получаем
ОО ОО
U = -i/ / log/147¾ ? (^+ *■ r^y)dUri.
—оо —оо
Из непрерывности ду/дх следует непрерывность dty/дх. Подобным же
образом мы можем показать, что производные dty/dy, д2$/дх2, д2$/ду2
существуют, непрерывны и
со со
^=-^/ flogVWT^b^lx + t. y + ^dU-n,
— со —оо
где А^у — д2/дх2-{-д2/ду2. Покажем, что интеграл справа есть просто
9(х, у). Имеем Д .^ср (х-)-£, у-\-ц) = Д^ср (х -f-£, .У + 7])- в
полярных координатах £ = г cos 6, tj —г sin 6, и
^ дга "^ г дг "^ г2 доз >
откуда
G<r <oo
Если носитель cp(x, 3;) содержится в круге x2 + j/2 < /?2, то
носитель ср(х + £, ^ + 7]) содержится в круге г < 2/? для любых (х, У)
в круге x2+v2</?2. Таким образом,
А*уФ(*. У) =
£<Г<2/?
Применяя теорему Стокса, получаем
Г = £
7 3. ЛЕММА ВЕИЛЯ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ
229
так как ср = 0 в окрестности r = 2R. На окружности г = е имеем
dr = 0, и мы можем написать
Д^(х, v)=Um-i f [г log г %г-9]ае.
Далее,
а эта величина ограничена, и limrlogr = 0; следовательно,
£>0
Д*УИХ' j0 = lim "о~ \ у(х-\-r cosd, y-\-r sin 6)d6 = ср(х, зО»
/•=£
что доказывает лемму 7.5. Установим следующее предложение.
Лемма 7.6. Если co£C3(S), mo локально и>=:df-{-xdg, где
/у g G С2 локально.
Выберем параметрический круг D : | 2 | < 3 с центром в точке Р0
на 5. Построим сначала функцию
( 0, 0<г< 1,
t(r) = \ (1— г)4(2 — г)4, 1<г<2,
1 0, г >2.
Имеем t £ С3 и £ (г) ^ 0 для г ^> 0. Определим затем для г ^ 0
функцию а {г):
т
u(r)=-- j t(r)dr.
о
Функция и £ С4 обращается в нуль для 0 ^ г ^ 1, возрастает при
1^г<^2 и постоянна при г > 2. Далее, положим
*(*.у)=1- KVa(2Jy ;
Функция 5 принадлежит к классу С4 на всей (х, ^-плоскости, равна
единице в круге x2-hj/2< 1, убывает до нуля при 1 <x2-+-j/2<4
и равна нулю при x2-j-^y2^>4. Дифференциал sco принадлежит
к классу С3 в D, равен со при х2-\-у2<^ 1 и имеет компактный
носитель. Если мы покажем, что ^ — su> = df -^--x-dg в D, то отсюда
будет следовать, что to = df -{-xdg при х2-^-у2<С 1, и лемма будет
доказана. Пусть у = pdx-Arqdy\ тогда d^ = ((dq/dx) —-(dp/dy))dxdy.
Функция dqldx — dpjdy £ С2 и имеет компактный носитель в D, а
следовательно, и во всей комплексной плоскости. Поэтому по лемме 7.5
мы можем найти функцию g £ С2, для которой
&g i &g = dq_ dp
дх* ' ду2 дх ду '
230 ГЛ. 7. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
или d*dg = d^. Отсюда d(j—xdg) = 0, и ^—*dg является
замкнутым дифференциалом, который локально точен; другими
словами, существует функция / £ С2, для которой 7—^dg = df. Таким
образом, доказательство леммы 7.6 закончено. Суммируем теперь
полученные нами результаты.
Теорема 7.10. Если со £L2(S) (] С3 (5), то to = а>л + <// + *^,
где /,g* £ С2 (5) и со^Я. Это представление единственно.
В самом деле, теоремы 7.8 и 7.9 дают нам разложение co=^co/2-U
-f-7 +^ ^(:^. Т €^> тс G^*- Локально в силу леммы 7.6 ш = <i/ -f-
-r--#fi?g\ Таким образом, в некоторой окрестности D каждой точки
со^ -|-y — df = — тс-)--^^. В D мы положим 6 = о>л —(— ^—df =
= — n-\~xdg и докажем гармоничность 6 в D, используя лемму
Вейля. Пусть h £ С2, (D); тогда (6, dh)D = —(v:y dh)D-+-(*dg, dh)D.
Мы можем распространить функцию /г на всю поверхность 5,
положив h = 0 в 5 — D. Тогда (тс, dh)D — (тс, б?/г)5 = 0, так как тс £ E*(S) и
dh£E(S). Далее,
(*d£, dh)D = — ff (dg) (M) = — ff bddg = 0,
D ' D
так что (0, dh)D=.0. Ho (0, *dh)D = (u>h, *dh)s-{-(y, *dh)s —
— (df y xdh)D, и, поскольку со^Я, ^^-E.^dh^ E*t мы получаем
(о)л, xdh)s = 0 и (^, *rdh)s = 0. Кроме того,
(df, *dh)D = (*df, dh)D = 0.
Таким образом, (6, -%-dh)D = Q и 6 — гармонический дифференциал.
Так как 7 =df — 6 — со^ и iz — ^dg — 6 и все дифференциалы в
правых частях этих равенств принадлежат классу С1, мы заключаем,
что 7 и тс также принадлежат С1. Из леммы 7.4 следует, что *f
является точным, а тс — коточным дифференциалами, и мы получили
искомое разложение.
Каждый точный дифференциал со = б?/г, со^С1!!^2, замкнут и,
следовательно, принадлежит E*-^ = E(QH. Совокупность точных
дифференциалов в С1 П Е1 образует линейное подпространство L2, не
обязательно замкнутое. Пусть Е обозначает замыкание в L2 векторного
пространства точных дифференциалов из С1 П ^2. Тогда ЁсЕ ф Я;
ортогональное дополнение Е в Е ф Я обозначим через Я, так что
Е ф Н — Е ф Я, причем ЕаЁ и НаН. Мы получили следующий
результат.
Теорема 7.11. Каждый дифференциал со£С3П£2 может быть
разложен на три компоненты:
со = со0 + ^/ + ^£> f,g£C2,
где df£E, *dg£E*9 со0£Я.
ЗАДАЧИ
231
ЗАДАЧИ
1. Доказать, что регулярные гармонические дифференциалы на
компактной римановой поверхности 5 образуют группу Н (S) по
сложению. Доказать, что Н(S) изоморфна первой группе когомологий
де Рама, определенной в задаче 4 из гл. 6, т. е. если со —
замкнутый дифференциал, то существует один и только один гармонический
дифференциал, отличающийся от со на точный дифференциал. Это
утверждение составляет содержание теоремы Ходжа [1] для
компактных римановых поверхностей.
2. Мы называем я-коцепью (лг = 0,* 1, 2) комплексную,
функцию, определенную на всех симплициальных я-цепях в Сп (5д) со
следующим свойством: /(a^jf 4~a2C2)==ai-^(ci)~^a2^(C2) для всех ком"
плексных чисел at и всех д-цепей с" £Сп (Sa). Показать, что
множество всех ^-коцепей образует группу Сп (5Д) с операцией сложения
<J + g){c«) = f{c») + g{c«).
3. Мы определяем оператор взятия кограницы о на Сп (5Д) так,
что для всех / £ Сп (5Д) имеем 8/ £ Сп + 1 (5Д), а именно (8/)(сл+1) =
= / (дсп+1). Показать, что о определяет гомоморфизм Сп (5Д) в Ся+1 (5Д),
при котором ЪЪ/ = 0.
4. Пусть Zn (5Д) — ядро гомоморфного отображения 8, и пусть
&п (5Д) — образ С/г_1 (5Д) при этом отображении 8. Доказать, что Вп (5Д)
является подгруппой Zn(Sb). Мы назовем я-коциклами элементы
группы Zn(Sb) и назовем /г-кограницами элементы группы БЛ(5Д).
Определить симплициальные группы когомологий 5Д порядка п в виде
5. Доказать, что значение каждого 1-коцикла на всяком 1-цикле
полностью определено его значениями на базисе гомологии а1? Ьх, ...
. . ., а^., Ь^. для 5. Доказать также, что 1-коцепь является кограницей
тогда и только тогда, когда она обращается в нуль на всех 1-циклах.
6. Используя спаривание (Cn(SJ, D*(S))->AT (задача 2 из гл. 6),
установить, что каждому дифференциалу сол £ D* (S) соответствует
1-коцикл /г[о)л], определенный как (h [сол]) (сп) = (сп, со"). Доказать, что h
определяет гомоморфизм D*n(S) в Cn(SA. Показать затем, что
b(h[u>n]) = h[dun], т. е. что (h[o)n])(dcn + l) = (h[do)n])(cn4'1) яля всех
сп+1 £ Сп ^1 (Sb), а это эквивалентно утверждению задачи 3 из гл. 6.
Следовательно, h переводит каждый замкнутый дифференциал в коцикл
и каждый точный дифференциал в кограницу. Показать, что,
следовательно, h индуцирует гомоморфизм h группы #*(S) в H±(SA.
7. Показать, что из ортогональности спаривания (Я1 (SA, Я* (S)) -> К
{задача 7 из гл. 6) следует, что гомоморфизм h является
изоморфизмом.
ui. 7. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
8. Построив дифференциалы tz{2lj) с периодом 1 на а/ и 0 на
всех других aj, J Ф /, и на всех by и, точно так же,
дифференциалы тс (by) с периодом 1 на ht и 0 на всех других by, j ф i, и на
всех а;-, показать, что h отображает H*(S) на НХ($А- Таким
образом, h осуществляет изоморфизм группы H{(S) на H1(SA, и обе
эти группы изоморфны векторному пространству над полем
комплексных чисел с базисом ^(а.^, ^(Ь/), /—1, 2, ..., g. Это
составляет содержание теоремы де Рама [1] для компактных римано-
вых поверхностей. Из теоремы Ходжа (задача 1) мы заключаем, что
HJSX H\(S) и Н(S) являются изоморфными группами.
Глава 8
СУЩЕСТВОВАНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ И АНАЛИТИЧЕСКИХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
8.1. Теоремы существования. Мы займемся теперь
доказательствами существования гармонических и аналитических
дифференциалов с заданными особенностями на произвольной римановой
поверхности. Эта проблема во всей своей общности была впервые
сформулирована Риманом в 1851 г., который тогда же дал ее „решение".
Вейерштрасс показал в 1870 г. на примере, что Риман без должного
обоснования использовал так называемый принцип Дирихле. Это
привело к открытию других подходов к теореме существования. Для
компактных пространств проблему разрешили в 1870 г. Г. Шварц,
используя альтернирующий процесс, и К. Нейман, используя метод
средних арифметических; оба эти методы комбинаторные. Пуанкаре
доказывал существование гармонических функций, введя метод
выметания (methode de balayage) в 1883 г. К 1900 г. Гильберту удалось
усовершенствовать метод Римана, опиравшийся на принцип Дирихле.
В том же году Осгуд, используя теорию потенциала, доказал
теорему Римана об отображении для любой односвязной области на
плоскости.
Связанная с этим проблема униформизации (см. п. 1.6, 9.1 и 9.2)
была разрешена для алгебраических функций Ф. Клейном в 1882 г.
В 1883 г. Пуанкаре дал решение проблемы униформизации для
аналитической функции w = f (z), не принимающей по крайней мере трех
значений. Клейн в доказательстве существования опирался на
результаты Шварца и Неймана, в то время как Пуанкаре строил унифор-
мизирующие функции аналитически, при помощи 6-рядов. Наконец,
общая теорема об униформизации была доказана Кёбе в 1908 г.
чисто теоретико-функциональными методами.
Введение субгармонических функций привело к доказательству
существования гармонических функций при помощи процесса
Перрона в 1928 г. В этой главе в доказательствах теорем
существования мы будем использовать метод ортогонального проектирования,
предложенный в современной редакции Г. Вейлем в 1940 г., но
восходящий в своем первоначальном виде еще к Риману.
Рассмотрим сначала задачу о построении всюду регулярного
гармонического или аналитического дифференциала на римановой
поверхности 5. Для этого докажем следующую теорему о разложении
Для замкнутых дифференциалов.
234
ГЛ. 8. СУЩЕСТВОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
Лемма 8.1. Пусть 0)(=^(5)(1^(5) iidu = 0. Тогда со ^о^ + йГД
где ш^Я и f£C*(S).
Как мы показали в теоремах 7.8 и 7.9, со = (о^ + Т+ тс'где 7 G^"
итс££*. Так как tfo) = 0, то1) со £ f*J-; следовательно, 0 = (ш, тс) =
= (тс, тс), откуда тс = 0 и ш = ш/г+" Т* ^3 тог°. что co^£ С1 и со £ С1,
мы заключаем, что у^&ПЕ, а значит, ^=df, /£С2.
Таким образом, если мы найдем замкнутый дифференциал на 5"
с ненулевыми периодами и разложим его на гармоническую и точную
компоненты, то искомый всюду конечный гармонический
дифференциал на 5 будет найден. Действительно, точная компонента имеет
нулевые периоды, поэтому гармоническая компонента будет иметь те
же периоды, что и замкнутый дифференциал, и, следовательно, не
может быть тождественно равна нулю. Справедливо следующее
утверждение.
Если можно построить замкнутый дифференциал со £ С1 f| Lz
на 5, который не является точным, то существует всюду
регулярный гармонический дифференциал w>h на S с теми же
периодами, что и со. Если найдется простая замкнутая кусочно
аналитическая кривая С на 5, не разбивающая 5 (т. е. 5—\С\
связно), то можно построить замкнутый дифференциал со £ С1 П ^2>
период которого на С не равен нулю.
В самом деле, пусть D — параметрический круг с центром в точке Р0г
лежащей на С, в котором С является действительной осью. Тогда
в D мы можем выбрать две точки Рг и Р", которые С локально
разделяет (например, точки i/2 и —i/2). Точки Рг и Р" можно
соединить в 5— \С\ простой кривой, которую можно выбрать кусочно
аналитической. Соединив точки Р' и Р" с Р0 прямолинейными
отрезками в D, мы получим простую замкнутую кусочно
аналитическую кривую L на S, пересекающую С только в одной точке.
Построим дифференциал со = у\ используя полосу относительно L,
пересечение которой с С лежит в D (см. лемму 7.4). Тогда со —
замкнутый дифференциал и I со = | df=\, так как / возрастает от О
с с
до 1, когда мы пересекаем полосу, и df = 0 вне полосы. По
лемме 8.1 со можно спроектировать в его гармоническую компоненту
о)^ с тем же периодом вдоль С, что и со. Так как w>h — всюду
регулярный гармонический дифференциал, то юл-|-г-к шА является всюду
регулярным аналитическим дифференциалом и нами доказана
Теорема 8.1. Если существует простая замкнутая кусочно
аналитическая кривая С, не разделяющая 5, то существует
и всюду регулярный гармонический дифференциал со на 5 с не-
нулевым периодом вдоль С и всюду регулярный аналитический
дифференциал со —f— г-х- со.
1) См. лемму 7.1. —Прим. перев.
8 1 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ 235
Дифференциалы, построенные в теореме 8.1, имеют ненулевые
периоды и, следовательно, не являются точными, поэтому при
интегрировании их мы не получим однозначных гармонических или
аналитических функций. Так как наряду с дифференциалами нас
интересуют и функции, то мы исследуем вопрос о существовании всюду
регулярной гармонической функции на 5. Следующая лемма показывает,
что, вообще говоря, подобная функция не существует.
Лемма 8.2. На компактной римановой поверхности S
дифференциал со, который является гармоническим и точным, равен
тождественно нулю.
Так как ш = df и / имеет компактный носитель (S — компактная
поверхность), то со££ и co£/f, но EJ_H, и поэтому со = 0.
Таким образом, для доказательства общей теоремы существования
точных гармонических дифференциалов на произвольной поверхности 5
мы должны снять наше требование регулярности дифференциала всюду
и допустить некоторые особенностих).Пусть D — параметрический
круг с центром в произвольной точке Р0 на 5 с локальной
координатой ср (Р) = z, ср (Р0) = 0, | z | < 3. Определим в D
дифференциал д — d(\/zn) = — (n/zn + 1)dz, п^> 1, и докажем следующий
результат.
Теорема 8.2. Существует единственный дифференциал со,
удовлетворяющий следующим условиям:
a) со— гармонический и точный дифференциал в S — Р0;
b) со— 6 = m-\r(n/zn+1)dz, п~^>1, является гармоническим
дифференциалом в некоторой окрестности N точки Р0;
<0 Ilwll5_iv=//a)')fa)< °°;
S-N
d) для любой функции /г£С2(5), такой, что \\dh\\<. оо и /г = 0
в окрестности Р0, имеем (со, dh) = 0.
Для построения со обратимся к функции s(x,y), определенной
в лемме 7.6, и положим р (z) = р (х -\--iy)=z s (х, у) в D. Тогда
d(p(z)/zn) = b при|2|<1 и d (р (z)/zn) = 0 при |г|>2, причем
d (р (z)jzn) £ С3, когда | z | > 0. Распространим дифференциал d (р (z)/zn)
на всю поверхность 5, полагая дифференциал ф равным d(p(z)/zn)
в D и 0 в 5 — D. Так как дифференциал 6 аналитичен в D — Р0,
то-х-6 = — /6, или t*Q = 6. Ноф = 6 при| z | < 1, так что ф— /#ф = 0
для |г|< 1 и в 5 — D. Ввиду этого
ф_^ф£СЗ(5)П£2(Я
!) Можно показать, что на некомпактных римановых поверхностях всегда
существуют всюду регулярные точные гармонические дифференциалы, а также
точные голоморфные дифференциалы, не обращающиеся в нуль тождественно.
См., например, Беенке и Зоммер [1]*, стр. 565.
236
ГЛ. 8. СУЩЕСТВОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
и, по теореме 7.11, рассматриваемый дифференциал может быть
разложен на гармоническую, точную и коточную компоненты:
ф — i * ф = (о0 + df + * dg,
где f,g£C2{S)tdf£Et *dg£E* и co0£tf.
Положим
со == ф — d/ = / -Х- ф + ^о + *■ ^g"
и докажем, что дифференциал со удовлетворяет всем условиям а) — d).
a) Из определения следует, что со £ С1 (5 — Р0), и ^со = ^ф —
— ddf = 0, так как ф является точным дифференциалом в 5 — Р0>
в то время как d-XM= — idty-\-dx-u)0— ddg=0 в S — Р0 в силу
гармоничности со0. Таким образом, дифференциал со гармоничен в 5 — Р0.
Тот факт, что оба дифференциала фиг// являются точными,
означает, что со — также точный дифференциал в 5 — Р0. '
b) ф = / -к ф = 6 при | z | < 1, следовательно, дифференциал со — 6=
= — df = (u0-{-yrdg принадлежит С1. Далее, d(w — 6) = — ddf = О
и
d #■ (со — 6) = d -х- со0 — ddg = О,
что доказывает гармоничность со — 6 в окрестности N : 12| < 1
точки Р0.
c) lhlls_iv=llt-rf/lls_iv<lltl!s_Jv+ll^/l!s_iv. Но \\П5-й<
< со, что следует из определения ф, а из включений df £Е £L2
получаем, что \\df ||5_др<||df \\s < со.
d) (со, dh) = i(*ty, dh)-\-(u)09 dh)-{-(*dgt dh). Так как dh^E
и со0£Я, a xdg£E*, заключаем, что (со0, dh) = Q n(^dg, dh) — 0.
Если Л = 0 в окрестности Р0, то /г = 0 при|,г|^8, 8 > 0. Пусть Q
представляет кольцо 8 < | г | < 2. Имеем
(* ф, dA) = — J J ф dh = j Г /г </ф + Г /гф = 0,
о о о
так как г/ф = 0, ф = 0 при \z\ = 2 и /г = 0 при |г| = 8.
Доказательство свойства d) закончено.
Осталось еще доказать единственность дифференциала со,
удовлетворяющего условиям а) — d). Предположим, что существует
другой дифференциал сох, удовлетворяющий всем этим условиям. Тогда
со — со^С1!!^2 на S, ибо особенности в Р взаимно уничтожаются
при вычитании. Так как оба дифференциала точные, то со — со1=^^/г,
где функция h гармонична на 5. Мы определим новую функцию g
на 5 следующим образом:
__ | p(z)h(z) в D,
g~^[0 в S — D.
8 1 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
237
Тогда g£C*(S) и g = h в N :\z\< 1. Далее,
\\d(h-g)\\^\\dh\\s^+\\dg\\s_u^
<lhlls-Jv+lhills-Jv+lld«rll<00-
Таким образом, согласно свойству d), (ш — а^, d(h — £-))=:0. Мы
имеем
||ш— 0)^2 = ((1) — a)lf dh) = ((Q— (%, б? (/г — £))-Ь(ш— ш1» ^g) = 0>
так как dg£E и ш — (%£//. Доказательство единственности
закончено.
Непосредственно из теоремы 8.2 мы можем вывести
существование некоторых других гармонических и аналитических
дифференциалов, представляющих для нас интерес. Пусть сначала
ш—дифференциал, найденный в теореме 8.2; тогда (ш -\- ш)/2 = 7 является
точным действительным гармоническим дифференциалом с
особенностью Red(l/zn) в Р0, причем ^ удовлетворяет условиям с) и d);
далее, (со — ш)/2/ является точным действительным гармоническим
дифференциалом с особенностью lmd(llzn) в Р0, удовлетворяющим
условиям с) и d). В обоих случаях функцию /г, фигурирующую в d),
можно взять действительной.
Пусть 7—точный действительный гармонический дифференциал
с особенностью l^ed(\jzn) в Р0; тогда ху является действительным
гармоническим дифференциалом с особенностью lmd(l/zn), который,
однако, не будет, вообще говоря, точным. Дифференциал ш = f + *'#• Т
является аналитическим дифференциалом на 5 с особенностью d (1 \zn)
в Р0, причем его действительная часть является точным
дифференциалом и удовлетворяет условиям с) и d) теоремы 8.2.
Наконец, так как дифференциал о), построенный в теореме 8.2,
является точным, ш = df, где / — функция на S, гармоническая
в 5—Р0 с особенностыб \\zn в Р0, и df удовлетворяет условиям с)
и d). Мы отложим отыскание точных аналитических дифференциалов
(аналитических функций) с заданными особенностями на 5 до гл. 10,
а теперь суммируем сделанные замечания.
Следствие 8.1. На произвольной римановой поверхности S
существуют при п^>\\
1) точный гармонический дифференциал с особенностьюd(l/zn)
« Л>;
2) точный действительный гармонический дифференциал с
особенностью Red(l/zn) [или lmd(\/zn)] в Р0;
3) гармоническая функция с особенностью \jzn в Р0;
4) аналитический дифференциал с особенностью d(l/zn) в Р0,
действительная часть которого является точным
дифференциалом.
238
ГЛ. 8. СУЩЕСТВОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
Принцип Дирихле, на котором основываются многие
доказательства существования, утверждает, вообще говоря, что гармоническая
функция минимизирует определенного вида интеграл в некотором
классе функций. Если f ^ С1 (S) (] L2 (S), то норма df определяется
равенством
\\df\\*s = f fdf*df.
s
где локально df *df = (| dfjdx |2 + | dfjdy |2) dx dy. Интеграл
Г J df' -к df называется интегралом Дирихле функции / на 5.
5
Выберем точку Р0 и зададим особенность \\zn в круге D с центром
в Р0. Мы показали, что существует гармоническая функция / на 5
с особенностью \\zn в Р0, для которой \\df\\s_^<C оо и (df, dh) = 0
при всех h£C2(S), таких, что ||б?/г||< оо и /г = 0 в окрестности N
точки Р0. Если изменять /, добавляя к ней любую функцию h,
удовлетворяющую выписанным только что условиям, то f-\-h—\jzn £
£C*(D) и f-\-h£C*(S — D). Мы видим, что
\\d(f + h)\\\_u = (df + dh, df + dh)s_N =
= Ш\\1^+ \\dh\\2s_R + (df, dh) + (dJ7dh).
Поскольку (df', dh) = 0, мы показали, что
Hd(/ + A)lls_ff= \\df\\2s_N-\- \\dh\\l_^>\\df\\2s_N.
Таким образом, гармоническая функция f минимизирует
интеграл Дирихле по S — N в классе всех функций f-\-h. Этот факт
называется принципом Дирихле.
Все особенности d(l/zn) = — (n/zn+1)dz, я>-1 имеют нулевые
вычеты, так что все дифференциалы, построенные до сих пор, имеют
нулевые вычеты на 5. Нам желательно найти дифференциал с
особенностью dz/z. Но мы не можем произвольно задавать точки и
вычеты в них, ибо, как мы показали, в случае компактной поверхности
сумма вычетов должна равняться нулю. Чтобы обойти это
затруднение, мы будем искать дифференциал с двумя особыми точками,
в каждой из которых вычет не равен нулю, но с суммой вычетов,
равной нулю. Конкретно, пусть D — параметрический круг с
локальным параметром cp(P) = 2, [2|<3, и пусть N — круг | z | < 1 в D.
Выберем две точки А и В в N с ср(Л) = а, ср(Б) — Ь. Тогда
dz dz д
z — a z — Ь
является аналитическим дифференциалом в D, исключая точки z = а
и z = b. Так как д = dlog((z—a)j(z — b)) и в силу однозначности
8.1. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
239
log((z — a)/(z — b)) при |г|>1, дифференциал 0 является точным
при |я| > 1. Мы можем теперь доказать по аналогии с
доказательством теоремы 8.2 следующий результат.
Теорема 8.3. Существует единственный дифференциал ш на 5,
удовлетворяющий следующим условиям:
a) а)—гармонический дифференциал в S — (А [} В);
b) а) — 0 — гармонический дифференциал в N;
С) 11а)115-ЛГ<СО;
d) если h£C2(S), ||dft||<oo и /г = 0 в N, то (а>, dh) = 0;
e) ш является точным дифференциалом в S — N и» имеет
те лее периоды в N, что и 0.
Снова полагаем
[О, P^S — D.
Мы видим, что ф— /-#ф = 0 в N:\z\<^ 1, причем рассматриваемый
дифференциал принадлежит С1 (S) f) ^2 (S). Разложим дифференциал
ф — /-Х-ф на три компоненты, ф — j-эе ф= ш0 -f- df-\-^r dg, ы0£Н>
/»&(:£2(S)> df £Е я *dg £Е*, и положим а> = ф— ^/ = /-^ф-(-
+ w0-|--3f dfg. Доказательства того, что для ш условия а) — d)
выполняются, аналогичны доказательствам в теореме 8.2. Чтобы
доказать е), заметим, что ф является точным в 5 — N и ш = ф — dfy
откуда ш также является точным в S— N. ф = 0 в Л/, так что а>
и 0 имеют одни и те же периоды. Для доказательства
единственности заметим, что если бы существовал другой дифференциал ю19
удовлетворяющий условиям а) — е), то ш — шх являлся бы точным
и гармоническим на 5 дифференциалом без особенностей, а далее
доказательство проводится, как в теореме 8.2.
Снова (0)-)-0))/2 = 7 и (ш — ю)/2/ являются действительными
гармоническими дифференциалами, имеющими соответственно особенности
d\og\(z — a)/z — b)\ и darg((z — a)/(z—b)). Следует заметить, что,
хотя функция log((z — a)j{z — b)) не является однозначной в Л/,
log \(z — a)l(z — b)\ является однозначной функцией, а значит,
согласно е), 7 является точным дифференциалом на 5. Таким образом,
мы можем найти действительную гармоническую функцию на 5,
имеющую особенности log|(z— a)/(z — b)\ в А и В. Наконец,
7 —{—i -X* 7 = ш является аналитическим дифференциалом с особенностями
log((z — a)/(z — b)) в А и В, действительная часть которого
является точным дифференциалом.
Теперь можно отбросить требование, что А и В должны лежать
в одном параметрическом круге. Пусть А и В — любые две точки
на S\ тогда их можно соединить кривой С = (а, /), а(0) = Л>
240
ГЛ 8. СУЩЕСТВОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
а(1) = £. Мы можем разделить С на дуги Ck — (a, Ik), Ik:tk^
<; t <; tk+1, 0 = t0 < ^ < . . . < £л = 1, такие, что дуга С# лежит
в параметрическом круге Dk с локальным параметром yk(P) = zki
\zk\<i 1, и можем построить, согласно теореме 8.3, гармонический
дифференциал ^#» & = 0, 1, ..., /г—1, имеющий особенность
dl°g((^ — ЗД^ — Рн)) в кР^ге Dft» где a(fk) = pk и<рЛ(ЯЛ) = р*
и ср (Р J = p£. Точка Р^ лежит в кругах D^el и D^,, так что
дифференциалы ^-i и Y& оба имеют особенность в Pk: ^-i имеет
особенность с вычетом -f-1 и ^к — с вычетом —-1. Мы видели,
что при переходе от координат zk_1 к zk вычет и порядок полюса
не меняются. Следовательно, —^-1 и Т* имеют одну и ту же
сингулярную часть в Pk, и Тй-1~1~Тй не имеет особенности в Рр.
Таким образом, дифференциал со = -у0 —|— -yi Н— • • • ~^~7/г-1 гармоничен
на 5 — (A U В) и имеет особенности —(\\z)dz в А и (\jz)dz в В.
Если вести построение с помощью действительных гармонических
функций Д, имеющих особенности logI(zk— /^)/(¾— Pk)\ в^
и Pj,+i> то функция f = f0-^rf1-\- ... -)-//г-1 будет гармонична
на 5 — (A U В) и будет иметь особенности —log|2| в Л и log ( z |
в В, выраженные в локальных координатах в окрестностях А и В.
Мы можем суммировать эти результаты следующим образом.
Следствие 8.2. Если А и В — любые две точки на рамановой
поверхности S, то существуют:
1) гармонический (или аналитический) дифференциал на S
с особенностями — dzjz в А и dz\z в В\
2) действительная гармоническая функция на S, имеющая
особенности —^og|^| в А и log|^| в В.
Наконец, мы можем построить гармонический (или аналитический)
дифференциал с заданными вычетами в данных точках, если только
сумма этих вычетов равна нулю. В самом деле, пусть Pv
Р2, ..., Рп — любые различные между собой точки на S, и пусть
с1з с2, ..., сп — произвольные не равные нулю комплексные числа,
такие, что c1-\-c2-Jr ••• -\-сп = 0. Пусть Q — точка на 5, отличная
от P., i-=l9 ..., п. Построим теперь аналитический дифференциал
со., /= 1, 2, . . ., п, с вычетом -|-1 в^и вычетом —1 в Q, который
существует согласно следствию 8.2. Тогда дифференциал о) = с1ш1-\-
-f-^2a)2-j- ... -{-споуп имеет полюсы порядка 1 в Pt с вычетами ct,
i -= 1, 2, . . ., п, и имеет полюс порядка 1 с вычетом 0 в точке Q.
Таким образом, со регулярен в Q и является искомым
дифференциалом. Итак, доказано
Следствие 8.3. Пусть Р1у Р2, . . ., Рп — любые различные между
собой точка на S и сх, сг, . . ., сп — произвольные не равные нулю
комплексные числа, такие, что с1-\-с2-\- ... -\-сп — 0. Тогда
существует аналитический (или гармонический) дифференциал
на 5, который имеет полюсы порядка 1 в Pt с вычетами сь,
8 2. СУЩЕСТВОВАНИЕ СЧЕТНОЙ БАЗЫ
241
/= 1, 2, . . ., п, а в остальных точках на S этот
дифференциал регулярен.
Проблемой существования другого типа, которую следует
упомянуть в связи с ортогональным проектированием, является краевая
задача для гармонических функций. Пусть G— область с компактным
замыканием на римановой поверхности 5. Область G называется
жордановой областью, если ее граница dG — G — G состоит из п
связных компонент Сх, С2, ..., Сп, каждая из которых является
жордановой кривой, т. е. топологическим образом окружности.
(Регулярные области, определенные в гл. 6, ^дают примеры жор-
дановых областей.) Пусть / — действительная функция,
определенная в G, принадлежащая классу С2 в G, непрерывная в G и
такая, что ||б?/||0<оо. Краевая задача заключается в отыскании
гармонической функции h в G, для которой lim (h(p) — /(/7)) = 0,
P + dG
т. е. гармонической функции h в G с теми же граничными
значениями, что и /.
Дифференциал df замкнут, так что df (^Е*1- по лемме 7.1. Поэтому
df = w-}~7> где ^° — гармонический дифференциал и f принадлежит
пространству Е для области G. Но со и df оба принадлежат С1, так
что ^^Сг(]Е, и из леммы 7.4 следует, что ^ = dg для g£C2(G).
Тогда w = d(f — g)— точный дифференциал, и мы можем
определить гармоническую функцию h как разность h = f — g. Мы
знаем, что существует последовательность функций gn^C2(G), для
которой \\dgn — dg\\G->0. Из того факта, что каждая функция gn
исчезает в окрестности границы, мы должны вывести, что сама g
стремится к нулю (в действительности к константе, которую мы
отбрасываем) при приближении к границе и, следовательно, h—/->0.
Это дало бы решение краевой задачи. Мы не приводим здесь
доказательства, а отсылаем к интересному доказательству П. Лакса,
изложенному Шиффером и Спенсером [1] в недавно вышедшей
монографии. В этой книге также проводится рассмотрение различных
важных функций области на конечных римановых поверхностях (т. е.
на поверхностях, получаемых из компактной поверхности удалением
конечного числа топологических кругов). Авторы распространяют на
конечные римановы поверхности изучение керн-функции Бергмана
и связанных с ней функций области, которое дало уже много
интересных результатов в случае однолистных областей (см. Бергман [1]).
8.2. Существование счетной базы римановой поверхности.
Теперь мы в состоянии доказать, что любая риманова поверхность
имеет счетную базу. Это свойство также следует из
триангулируемости поверхности, которая будет независимо доказана в гл. 9, но
доказательство, приводимое здесь, также представляет интерес. Мы показали
242
Г Л 8 СУЩЕСТВОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
в гл. 2, что достаточно доказать метризуемость и сепарабельность
римановой поверхности.
С этой целью выберем точку Р0 на 5 и возьмем точный
действительный гармонический дифференциал со, удовлетворяющий
условиям а) —d) с особенностью Red(l/2) в Р0, который был
построен в теореме 8.2. Пусть N — круг |г|< 1 в параметрическом
круге D0 : |z|< 2 с центром в Р0; покажем, как определить метрику
на 5 — N. Пусть *[ = со -\- i -эе со— аналитический дифференциал с
действительной частью со и Ifl — модуль дифференциала -[• Пусть Р
и Q — две точки на 5 — N и С = (а,/), а(0) = Р, a(l) = Q,—
кусочно дифференцируемая кривая; тогда I | т I — неотрицательное
с
число. Положим d(P, Q) = inf Г | f I Для всех кусочно дифферен-
с __
цируемых кривых С, соединяющих Р с Q на 5 — N. Тогда в силу
равенства l\^\= Mfl имеем d(P, Q) = d(Q, Р). Очевидно,
с-1 с
d(P, Р) = 0, и если P=f=--Qy то мы можем взять параметрический
круг D:\z\<Cr, г > 0, с центром в Р, не содержащий точки Q.
В D для дифференциала f имеем ^=^zdf, где /(г)— некоторая
аналитическая функция, /(2:) = a0 +^^ + ^+1^ + 1 -f- ..., апФ&.
Тогда f (z) = nanzn-x ~{-(п~\- 1) an+1zn-\- ... = nanzn-1^(z)t где
cp (<г) — аналитическая функция в D, причем ср (0)=1. Таким образом,
| ср (я) | > х/г в некотором круге | 2 | < гх < г, гх > 0. Пусть 2^—первая
точка пересечения кривой С с \z\ = r1 и Сх — часть кривой С,
лежащая между точками z = 0 и z — zx\ тогда
/ ItI> JV(*)l-|d*l > /у/г|^|.|^-Ч-|^|>
с, d
> -о Л! а* I
Q
тК1'?>°>
1
так что d(P, Q)^>Y\an\ri>®' ПУСТЬ» наконец, Р, Q и R—
произвольные три точки на 5 — N, и пусть кривая Cpq соединяет Р
с Q, а кривая CQ/? соединяет Q с /?; тогда CPqR — CpqCqR
соединяет Р с R и
/ 1т1= /1т1+ /1т1-
CPQR CPQ CQ%
Если Cpq и Cq# пробегают класс всех кривых, соединяющих Р с Q
и Q с /?, то кривые Cpq# пробегают некоторый подкласс кривых,
соединяющих Р с /?, поэтому d(P, R)^d(P, Q)^-d(Q, R). Таким
8 2. СУЩЕСТВОВАНИЕ СЧЕТНОЙ БАЗЫ
243
образом, d(P, Q) определяет метрику в S — N, и остается доказать,
что эта метрика согласуется с топологией 5 — N.
Покажем, что каждая сфера с центром в произвольной точке Рг
содержит параметрический круг с центром в Рг и, обратно, каждый
параметрический круг содержит сферу с центром в той же точке.
Пусть D— параметрический круг с центром в Рг с локальным
параметром (f(P) = zt ср(Рг) = 0 и |,г|<1. Как и выше, y = df, где
/ — аналитическая функция в D. Мы видели, что для некоторого
ri > О \f/(z)\^>^-\anzn"1\ при \z\<Crly так что если ср (Q) == С
с KI < rv то
d(P'. Q)>yKI|Cr.
С другой стороны, если \f/(z)\<^K при \z\<^rlt то
KI
d(P\ qxJ |/'(*)|.|^|</c|q,
о
так что для ср(Р/) = 0, cp(Q) = C
■j|a„|Ki"<d(/>\ QX^iq.
Таким образом, любая сфера d (Р', Q)< /? содержит круг |С|< /?/ЛГ
и любой круг |С|<р содержит сферу d(P\ Q)< у | #„ | Рп> и мы
показали, что введенная метрика определяет в 5 — Л/ ту же
топологию, что и локально-евклидова структура 5—N.
Доказательство сепарабельности 5 — N проводим следующим
образом. Согласно теореме 8.2, HtIIs_;/v = Г Г Т ^ Т < °° и локально
_ s~n
^ -)f 7 = | /' (z) |2 dx dj/ является положительным дифференциалом. Из
определения интеграла по области 5 — N следует существование
последовательности {Оп} областей Gn с компактными замыканиями
в S — Л/, таких, что Г Г 7 # 7 = lim Г Г 7 ^ 7 < °°- Каждое мно"
J j/ iV->oo ^ J
S-N Gn
жество Gn может быть покрыто конечным числом параметрических
кругов, в которых точки с рациональными действительными и
мнимыми частями образуют счетное плотное множество. Тогда множество
оо
0= (I Gn также содержит счетное плотное множество точек К, так
как сумма счетного числа, счетных множеств есть счетное
множество, и каждая точка G принадлежит некоторому Gn% а значит,
244
Г Л 8 СУЩЕСТВОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
является пределом точек из счетного плотного множества в Gn, так
что K = G. Докажем теперь, что 5 — NczK. В противном случае
найдется точка Р в 5 — N, не принадлежащая К. Это значит, что
существует окрестность D точки Р (DczS — N), не содержащая
точек G и, следовательно, точек Gn. Аналитический дифференциал f
не может быть тождественно равен нулю в D; действительно, локально
^=p(z)dz, где р — аналитическая функция, а если р обращается
в нуль всюду в D, то путем аналитического продолжения получим f ==0
на 5, что невозможно, ибо f имеет заданную особенность. Таким
образом, 1 1 f -эет = 8 > 0. Мы можем выбрать Gn так, чтобы
D
I I Т"^Т > I I Т^Т—^/2- Соединим затем некоторую точку в Gn
'оя S-N
с Р кривой С и покроем С конечным числом параметрических кругов
Dlt D2 Dk, каждый из которых лежит в S — N. Положим
Ог == Gn U D U D1 U ... UOft. Область Gf имеет компактное
замыкание в 5 — Л/ и
л
а это противоречит определению | |7"*Т- Итак, /С является счет-
_S~N _
ным плотным множеством в 5 — /V, так что 5 — N — сепарабельное
метризуемое многообразие и, следовательно, обладает счетным
покрытием параметрическими кругами. Если добавить к нему круг Dq,
с центром Р0, то мы получим счетное покрытие параметрическими
кругами всей поверхности S. Следовательно, справедлива
Теорема 8.4. Любая риманова поверхность S имеет счетную
базу *).
ЗАДАЧИ
1. Пусть P/ = h(P) — гомеоморфизм (например, тождественное
отображение) римановой поверхности 5 на поверхность S'. Введем
следующую структуру на 5: если ср(Р) = г— локальный параметр
в окрестности Ро = ср~1(0), то за локальный параметр в окрестности
Р^ = /г(Р0) мы принимаем величину ф(р ) = ср(/г"1 (р )) = z,
комплексно сопряженную к z. Доказать, что S' является римановой
!) Представленное здесь доказательство аналогично доказательству
в книге Неванлинна [1], стр. 163—166.
ЗАДАЧИ
245
поверхностью. Мы называем S' сопряженной поверхностью к S,
а точку Рг—сопряженной точкой к Р.
2. Пусть G — жорданова область с компактным замыканием на
римановой поверхности S. Предположим, что каждая точка P0£Ct,
1=1, 2 п (где Ct — компоненты границы области G), является
центром такого параметрического круга N в S, что N (] G
отображается взаимно однозначно и конформно функцией z = ^(P) в область
верхней полуплоскости Im z > 0 с ^ (Я0) = 0 и отрезок Сг,
попадающий в N, переходит взаимно однозначно и непрерывно в отрезок
действительной оси*). Мы можем теперь из области G и
сопряженной к ней Qr образовать дубль G для G, отождествляя сопряженные
граничные точки. В качестве локального параметра в окрестное™
отождествляемых граничных точек PQ и PfQ мы возьмем
fX(P), Р£0,
4 1Х(/Г](Я)), P<ZQ'.
Доказать, что G является компактной римановой поверхностью.
3. Построив на G гармонический дифференциал, все особенности
которого содержатся в G', доказать, что существует бесконечное
число независимых однозначных регулярных гармонических функций
на G.
4. Пусть h (Я; Q, Q')— действительная гармоническая функция
с особенностями —log|2| в Q и log | z | в Q\ где Q'— точка,
сопряженная точке Q на G. Тогда полагаем
g(Pl Q) = ~(h(P; Q, Q')-h(P>; Q, Q'))-
Показать, что g(P\ Q) обладает следующими свойствами:
a) g(P'> Q) — регулярная гармоническая , функция переменной Р
в G —Q;
b) g(P\ Q) имеет особенность —log | z | в P = Q;
c) g (Р; Q) непрерывна в G — Q и g (Р; Q) = 0 для Р £ dG.
Функция g"(P; Q) называется функцией Грина для G с особенностью в Q.
5. В предположении, что граничные кривые G все являются
аналитическими кривыми и функция и гармонична в G, доказать, что
u^=~k f »(P)*dPg(P; Q),
P£dG
где dpg обозначает дифференциал от g по переменной Р.
*) Это всегда возможно сделать; доказательство содержится в
большинстве книг по конформным отображениям; см., например, Каратеодори [1].
Глава 9
УНИФОРМИЗАЦИЯ
9.1. Поверхности, подобные однолистным. На римановой
поверхности S каждая точка имеет окрестность, которая является
конформным образом круга на плоскости. Таким образом, мы получаем
систему локальных координат в окрестности взятой точки. Вообще
говоря, эта локальная система не может быть продолжена до
координатной системы над всей поверхностью так, чтобы каждой точке
на поверхности ставилось в соответствие комплексное число, причем
соответствие было бы взаимно однозначным и конформным.
Подобная „глобальная координатная система" дала бы нам взаимно
однозначное и конформное отображение поверхности S на область в
плоскости, и, обратно, такое отображение дало бы нам искомую
глобальную координатную систему.
Прежде чем искать такое отображение, мы должны выяснить,
возможно ли оно с топологической точки зрения. Из теоремы Жор-
дана1) следует, что любая область плоскости подобна однолистной,
а так как последнее свойство топологическое, то всякая
поверхность S, отображаемая конформно на область плоскости, должна им
обладать. В этом пункте мы увидим, что свойство поверхности S
быть поверхностью, подобной однолистной, также и достаточно,
чтобы каждую риманову поверхность, обладающую этим свойством,
можно было взаимно однозначно и конформно отобразить на область
плоскости2).
В гл. 8 мы установили существование на 5 действительной
функции U, обладающей следующими свойствами:
a) U гармонична в S — Я0, где Я0— фиксированная точка на S;
b) U—-Re(1/я) гармонична в окрестности N точки Я0;
c) \\dU\\s_N= f f dU*dU<oo;
S-N
d) для любой действительной функции h£C2(S), такой, что
\\dh\\ < со и /г = 0 в окрестности Я0, имеем (dUt dh)~0.
!) Имеется в виду теорема Жордана о том, что замкнутая жорданова
кривая разбивает плоскость на две области и является их совместной
границей; см., например, П. С. Александров [1], гл. 2. — Прим. перев.
2) Доказательство, данное здесь, принадлежит Кебе ([1], стр. 192—253).
Имеется много других доказательств, среди которых выделяется весьма
простое доказательство М. Хейнса [1], использующее функцию Грина.
9 1 ПОВЕРХНОСТИ, ПОДОБНЫЕ ОДНОЛИСТНЫМ
247
Мы видели, что U является гармонической функцией, которая
минимизирует интеграл Дирихле над 5 — N в классе функций U -\-h.
Дифференциал dU-{-ixdU аналитичен на 5 с особенностью d(lfz)
в точке Я0. Несмотря на то, что dU — точный дифференциал, нет
a priori оснований, чтобы дифференциал ^dU был точным. Однако
мы докажем, что именно так обстоит дело в случае, когда
поверхность 5 подобна однолистной.
Нужно показать, что | xdU — 0 для каждой замкнутой кривой С
с
в 5 — Р0. Действительно, функция U гармонична в 5 — Р0, а это
значит, что d *dU = 0, или что дифференциал xdU 'замкнут.
Подразделяя С на дуги, каждая из которых целиком помещается
в некотором параметрическом круге, и заменяя дуги кривой С
в кругах на прямолинейные отрезки, мы получим кусочно
аналитическую кривую, вдоль которой дифференциал -х- dU имеет тот же самый
период, что и вдоль кривой С. Если мы покажем, что вдоль всякой простой
замкнутой кривой, составляющей эту кусочно аналитическую кривую,
X dU имеет нулевой период, то этим будет доказано, что период * dU
вдоль С равен нулю. Предположим теперь, что С — простая замкнутая
кусочно аналитическая кривая на 5-—Р0. Так как поверхность S
подобна однолистной, то С разделяет 5 на две компоненты Sf и S",
из которых одна, скажем S", содержит Р0. Мы покроем С конечным
числом параметрических кругов, замыкания которых не содержат Р0.
Множество точек этих кругов, лежащих в S", назовем G. Затем
определим функцию h на 5 следующим образом:
причем h£C2(S). Функция h удовлетворяет условию d), поэтому
(dU, dh) — 0. Это означает, что
0 = {dU, dh) = J j dU*dh = j J dh*d(J =
G G
= J*h*dU — J Г hd*dU = Г *dUf
dG G С
так как dxdU — 0, a dG состоит из двух компонент, причем /г=1
на С и /г = 0 на dG — С. Следовательно, доказано, что
^dU—точный дифференциал. Поэтому можно положить xd(J = dV. Итак, мы
нашли аналитическую функцию f = U~\-iV на 5, которая имеет
особенность \\z в Р0 и действительная часть которой удовлетворяет
условиям с) и d). Функция w = f(P) осуществляет конформное
отображение поверхности 5 в расширенную комплексную ^-плоскость;
оно взаимно однозначно и дает нам искомое отображение 5.
248
ГЛ. 9 УНИФОРМИЗАЦИЯ
Приступим к доказательству того, что это отображение взаимно
однозначно.
Покажем сначала, что если Р1 и Р2— две точки на S, отличные
от Р0, в которых d/фО, то f (Рх) ф /(Р2)- Предположим противное:
f(P1) = f(P2) = U1-^riV1. Линии уровня U = U1 и V = Vt делят S
на области, в каждой из которых выполняется одна пара неравенств
из следующих четырех:
1) U>U19 V>VX\
2) U>Ult V<Vl9
3) U<UX, V>VX\
4) U<Ul9 V<VV
Так как df Ф О в Px (или P2)s то локально функция f~x
осуществляет взаимно однозначное и конформное отображение окрестности
точки (Ult Vt) плоскости на окрестность точки Рх (или Р2), и только
одна линия U = U1 и одна линия V = V1 проходят через Рх (или Р2),
причем они пересекаются под прямым углом. Таким образом,
окрестность Рх (или Р2) делится на четыре области линиями U==U1,
V — Vx. То же самое справедливо и для окрестности Р0, так как /
отображает эту окрестность взаимно однозначно и конформно на
окрестность w = oo на ч^-сфере, и эта окрестность точки w = со
делится на четыре части линиями U==U1 и V = VX.
Докажем, что каждая из областей, на которые поверхность 5
делится линиями U = U1 и V = Vlt имеет Р0 в качестве граничной
точки, и, следовательно, эти линии уровня делят S только на четыре
области. Предположим противное: допустим, что существует область G
на S, ограниченная кривыми U = Ult V = VX, причем точка Р0 не
является граничной точкой для G. Определим для действительного
переменного t, —со < t < со, функции
<p(0 = |arctg*3, _1<?0)<lf
Тогда
Положим
g{P)--
_ №
0"+ *4)2
V(t)=nT*v 0<lf(0l<2.
О для P£S~G,
<?(U(P) — U1)^(V(P) — V1) для P£G.
Следовательно, g обладает следующими свойствами:
1) g£C*(S),
2) ^ = 0 в окрестности Р0.
9.1. ПОВЕРХНОСТИ, ПОДОБНЫЕ ОДНОЛИСТНЫМ
249
Из свойств 1) и 2) вытекает, что если \\dg\\ < со, то (dU, dg) = Q
в силу d). Но мы вычислим ||^|| и (dU, dg) непосредственно,
рассматривая произвольную область RczG с компактным замыканием
п
на 5 и разложение единицы {et} на R, для которого 2 */— 1 на R
и et£C2(R). Пусть (xt, yj)— локальные координаты в
окрестности Nh где et > 0; тогда
/-1 Nt
1 = 1 N.
Но в О
= r?'{u~u1)^(v-v1)^-<?(u-u1)Y(v-v1)^;
и
Поэтому
так что \\dgf<C S\\dU\\G< со. Далее,
дхь dxt дУ1 дУ1 — ? * [ WJ "+ W/ j J
и ср'>0, Ф>0,(-л—) + (з—j >0 (исключая, возможно,
изолированные точки) в G, откуда (dU, dg) > 0. Это противоречие
свойству d) показывает, что 5 делится на четыре области линиями U = Uu
V — Vlt причем каждая область имеет точки Р0, Р1 и Р2 на своей
границе. Обозначим эти области:
I) u>ult v>vi;
II) U<Ult V>V±;
III) U<Ult V<Vt\
IV) U>Ult V <VV
250
ГЛ. 9 УНИФОРМИЗАЦИЯ
Мы можем соединить Рх с Р2 дугой Сх, лежащей целиком в I, и
дугой С2, лежащей целиком в III, исключая концы. Покрывая Сх
конечным числом параметрических кругов и заменяя отрезки Сх
прямолинейными отрезками в этих кругах, мы заменяем кривую Ct
кусочно аналитической, а отбросив замкнутые кривые в Cl9 превращаем
Сх в кривую без самопересечений. Аналогично поступаем с С2. Таким
образом, можно считать, что 0^2 = 0 — простая замкнутая кусочно
аналитическая кривая, и, следовательно, она делит 5 на две части Dt
и D2 (в силу того, что поверхность 5 подобна однолистной). Одна
из этих частей, например Dlt содержит Р0. Так как в окрестности
точки Р0 имеются точки как области II, так и IV, то области II и IV
полностью содержатся в Dx. Действительно, если бы область II (или
IV) пересекалась и с Dt и с D2, то мы бы для области II имели
Н = (D1 Г) Н) U (Ц> П И), т- е. получили бы разложение II на два
открытых непересекающихся множества. Но в окрестности Рх точки
области II лежат по одну сторону кривой С, а точки области IV — по
другую *), и, следовательно, обе области II и IV не могут
содержаться в Dx. Это противоречие доказывает, что / принимает разные
значения в Рх и Р2.
Отсюда также следует, что df не может обращаться в нуль ни
в одной точке 5. Действительно, если бы df = 0 в некоторой точке Р19
то в локальной системе координат z относительно Рх мы бы имели
f (z) = anzn-\-an+1zn-rl-Jt~ ..., ап Ф 0, я>1. Но тогда в
окрестности z = 0 функция / принимала бы каждое значение п раз в п
различных точках S, что противоречит только что доказанному. Итак,
функция w = f(z) отображает 5 взаимно однозначно и конформно
на область Sf на -ш-сфере, которая содержит внутри себя точку w = со.
Докажем теперь, что S/ ограничена прямолинейными сегментами,
параллельными действительной оси (некоторые из них могут вырож-
(¾.¾)
даться в точки). Предположим
противное, т. е. пусть существует
часть С границы Sf, соединяющая
точки (U^VJ и (£/2, V2)5 при-
\и~из чем Vx < V2. Продолжаем линии
V = V1 и V = V2 вправо от С
до тех пор, пока отрезок U = U3,
р и с. 9.1 ^1 < ^ < У2 не будет целиком
лежать внутри Sf (это возможно,
так как Sr содержит окрестность со). Обозначим через G' область,
ограниченную справа прямой U=U3; сверху — прямой V = V2 и
компонентами границы S', снизу — прямой V= Vt и компонентами гра-
х) Это сразу следует из того, что, как отмечалось, функция /_1 дает
взаимно однозначное и конформное отображение окрестности (U\, V{) на
окрестность точки Р1 (или Р2). — Прим. перев.
9 1 ПОВЕРХНОСТИ, ПОДОБНЫЕ ОДНОЛИСТНЫМ
251
ницы S' (рис. 9.1). Определим функцию g на S' следующим образом:
{0 для (U,V)es'-Q',
Заметим, что g^C2 в S' и g" = 0 в окрестности w = U -j- iV = оо.
Взаимная однозначность и конформность отображения w = f(P)
поверхности 5 на область S' позволяет нам использовать w = U-\-iV
как локальный параметр на S, и тогда определенная на 5 функция g
имеет свойства: ^ = 0 в окрестности Р0 и |)^||<оо. Далее,
так как производная dgjdU = 3(U— US)2(V—V^fV — V2)3
отрицательна при Vx < V < V2, U < £/3. Но это опять противоречит
свойству d); отсюда следует, что граничные компоненты должны быть
горизонтальными прямолинейными сегментами или точками. Назовем
область расширенной плоскости, содержащую точку оо внутри себя,
граница которой состоит из прямолинейных параллельных сегментов
(или точек), областью с (прямолинейными) разрезами. Таким
образом, доказана
Теорема 9.1. Каждая риманова поверхность, подобная
однолистной, может быть отображена взаимно однозначно и
конформно на область с разрезами, параллельными действительной
оси.
Это отображение дает нам координатную систему на всей
поверхности 5. Следует заметить, что таких сегментов (разрезов) может
быть бесконечное множество на границе Sf', и они не обязательно
изолированы, т. е. точки одного разреза могут являться предельными
для точек, расположенных на других разрезах.
Когда поверхность 5 односвязна, граница области с разрезами
может содержать самое большее одну компоненту. Здесь могут
представиться три случая:
1) S' есть полная сфера (эллиптический случай);
2) S' есть полная сфера с одной выкинутой точкой
(параболический случай);
3) S' есть сфера с разрезом положительной длины, параллельным
действительной оси (гиперболический случай).
Данная односвязная риманова поверхность 5 может быть
отображена только на одну из этих трех поверхностей, и этот факт не
зависит от выбора отображения. Мы докажем сейчас это
утверждение, т. е. установим, что 5 можно отобразить только на одну из
этих трех областей.
Сначала преобразуем каждую из трех областей в канонические
области. 1) Полная сфера принимается за каноническую область.
252
ГЛ. 9 УНИФОРМИЗАЦИЯ
2) Сферу с выкинутой точкой w = c всегда можно преобразовать
в конечную плоскость дробно-линейным преобразованием w' = ———.
3) i^-сферу с разрезом вдоль горизонтального сегмента длины L
с центром в w = с отображаем на 12^-сферу с разрезом вдоль
действительной оси от wx = — 2 до wt = 2 линейным преобразованием
w1 = 4t/L(w — с). Затем преобразование w^^^w^-^- 1/ку2 отображает
эту область с разрезом на внутренность единичного круга | w21 < 1,
которую мы и принимаем за третью каноническую область.
Если бы поверхность 5 можно было отобразить на две из
областей перечисленных трех типов 1),.2) или 3), то одну каноническую
область можно было бы преобразовать в другую. Докажем, что
такое преобразование невозможно.
a) Полная сфера не может быть отображена конформно и взаимно
однозначно ни на конечную плоскость, ни на единичный круг из
чисто топологических соображений: сфера компактна, в то время как
другие канонические области некомпактны.
b) Топологическое отображение wr = w/(\ — \w\) гомеоморфно
преобразует единичный круг в конечную плоскость, поэтому одних
топологических соображений еще не достаточно для доказательства
невозможности конформного отображения этих канонических областей
друг на друга. Но взаимно однозначное конформное отображение
| w | < оо на | wr | < 1 влекло бы существование всюду регулярной
ограниченной аналитической функции в 12J-плоскости, которая по
теореме Лиувилля является константой.
Мы классифицируем односвязные римановы поверхности на три
типа, говоря, что риманова поверхность будет:
1) эллиптического типа, если она конформно эквивалентна
полной сфере;
2) параболического типа, если она конформно эквивалентна
конечной плоскости;
3) гиперболического типа, если она конформно эквивалентна
единичному кругу.
Мы уже классифицировали компактные триангулируемые римановы
поверхности топологически соответственно их роду g. Единственной
такой односвязной поверхностью является поверхность рода нуль,
топологически эквивалентная сфере. Так как компактность должна
сохраняться, то из сказанного выше следует, что компактные
поверхности рода нуль также и конформно эквивалентны сфере.
Рассмотрим теперь, что будет давать нам теорема об
отображении для односвязных областей на сфере? Полная сфера эллиптична,
а сфера с выключенной точкой параболична. Если поверхность 5
представляет собой односвязную область на сфере с границей,
имеющей не менее двух точек, например w = anw = b, toS
гиперболична. Действительно, граница 5 тогда обязательно содержит связную
компоненту, соединяющую точки w — a и w — b. Если имеется точка
9.2. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НАЛОЖЕНИЯ 253
■w = c, внешняя для S, то ^=1/(^ — с) отображает 5 на
ограниченную область ^-плоскости. Если такой точки нет, то функция
w1 = y~(w — a)/(w — b), которая будет в силу односвязности 5
однозначной в 5 (мы фиксируем ее ветвь в одной точке), отображает S
на область Sv причем если wi = — с лежит внутри Sit то wt — c
лежит вне St. Далее, St можно будет отобразить на ограниченную
«область плоскости. Применение теоремы Лиувилля позволяет
исключить возможность параболичности или эллиптичности 5. Таким
образом, мы приходим к теореме Римана об отображении.
Теорема 9.2. Всякая односвязная область плоскости, граница
которой содержит по крайней мере две точки, конформно
эквивалентна единичному кругу.
9.2. Универсальные поверхности наложения. Универсальная
поверхность наложения 5 произвольной римановой поверхности 5
односвязна. Следовательно, существует взаимно однозначное и
конформное отображение w = f(P) поверхности S на одну из трех
канонических областей G. Было определено также конформное
проектирующее отображение тс поверхности S на 5. Таким образом,
определено однозначное отображение Р — тс (/-1 (w)) = F (w)
области G на S, которое будет конформно, но не взаимно однозначно,
так как несколько точек G могут отображаться в одну и ту же
точку Р на 5. Но w = F~1(P) и является как раз искомым унифор-
мизирующим параметром, так как двум различным значениям Р
соответствуют различные значения w, и мы можем использовать w как
параметр над всей поверхностью 5 (помня, что F~l не является
однозначной).
Если g(P) — многозначная аналитическая функция, регулярная
в каждой точке поверхности S, то g(F(w))— однозначная функция
ют w в G. Это немедленно следует из теоремы монодромии: в силу
односвязности G регулярная в G функция g о F должна быть
однозначной. Мы видим, что отображение Р — F (w) „униформизирует"
любую функцию на 5. Существование функции Р = F (w),
осуществляющей отображение G на 5 и такой, что каждая многозначная
аналитическая функция g на 5 становится однозначной аналитической
функцией g(F(w)) от w в G, составляет содержание общей теоремы
униформизациа, принадлежащей Клейну, Пуанкаре и Кёбе.
Сколькими способами можно отобразить поверхность S на
каноническую область G? Если две функции fug отображают S на G,
то fog-1 отображает G на самое себя. Задача, таким образом,
сводится к изучению конформных отображений области G на
себя.
1) Если G — полная сфера (эллиптический случай), то един-
ственными взаимно однозначными и конформными отображе-
254
ГЛ. 9. УНИФОРМИЗАЦИЯ
паями G на себя являются дробно-линейные преобразования
w — г—г, ad — ЬсфО.
cz-\- d
Эта преобразования образуют группу преобразований с шестью
действительными параметрами.
2) Если G — конечная плоскость (параболический случай), то
единственными взаимно однозначными и конформными
отображениями G на себя являются целые линейные преобразования
wr — aw-\-b, афО, которые образуют группу с четырьмя
действительными параметрами.
3) Если G — единичный круг (гиперболический случай), то
единственными взаимно однозначными и конформными
отображениями круга на себя являются дробно-линейные
преобразования
1 — aw
б — действительное число, |а|<1, которые образуют группу
с тремя действительными параметрами.
Для доказательства этих утверждений заметим сначала, что
единственной целой функцией /, осуществляющей взаимно однозначное и
конформное отображение плоскости на себя, является линейная
функция wr = aw-\-b, афО. Действительно, целая функция разлагается
сю
в степенной ряд в окрестности нуля 2 CLnwn, имеющий бесконечный
п = 0
радиус сходимости. Если найдется бесконечно много чисел ап Ф О,
то w = оо является существенной особенностью. По теореме Казо-
рати — Вейерштрасса w'' = /(w) принимает значения, сколь угодно
близкие к любому наперед заданному числу в каждой окрестности
-ш —оо. Но это противоречит взаимной однозначности w' = /(w)\
действительно, если /(0) = с, с Ф оо, то образ круга | w ) < г
покрывает окрестность точки w/ = c, так что w' не может сколь угодно
близко приближаться к с вблизи <ш = оо. Таким образом, w' — a0-\-
-j-a^-f- ...+ anwn, ап Ф 0. При п > 1 w/ принимает каждое
значение п раз; опять имеем противоречие. Следовательно, w' = aQ-\-
-\-atw, аг Ф 0.
1) Эллиптический случай. Пусть w' = f (w) отображает G на
себя и / (оо) = k Ф оо. Тогда w"' =—-, -=——-- -— переводит
к ; wr — k f(w) — k v
w=oo в «о/'= oo и является целой функцией, дающей взаимно
однозначное отображение <ш-плоскости. Но тогда w/r = а0-\-axw, ахф
Ф 0, или
1 ,
w —k и ' 1
9 2 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НАЛОЖЕНИЯ 255
^ , aw -\~ b * г * , ,
Следовательно, w'= —у, где a — kau b = kan-4-lt с = а, и
cw -\- а и i » 1
d = a0, причем ad — be = — агфО. Если /(со) = оо, то мы имеем
непосредственно w' = а0 -f- axw.
2) Параболический случай. Здесь wr — f (w) — целая функция,
дающая взаимно однозначное отображение. Следовательно,
wr = aw-\-b, афО.
3) Пусть G — круг |^|< 1 и f(a) = 0. Далее,
„ w — а , ч
w" = =- = g (w)
1 — aw
отображает |t^|< 1 взаимно однозначно и конформно на | w" | < 1,
причем w = a переходит в wrf— 0. Функция w' = f(g~l{w"))
отображает \w"\<i\ конформно и взаимно однозначно на \wr\<^\,
причем 0 переходит в 0. Используем теперь рассуждения,
проводимые при доказательстве леммы Шварца: wrjwrr является регулярной
функцией w" в круге |тг/'|< 1, а на окружности \w" \ = г < 1
имеем \w'lw"\^\lr. Тогда по принципу максимума заключаем, что
\w'lw" \^\jr в круге | ад" | < г, и это верно для всех /*< 1.
Поэтому \wrjwrr \^\ в круге |тг/'|<1. Те же рассуждения,
примененные к \wrrjwr\, дают \w"lw'\-^i\ в круге | wr | < 1. Сопоставляя
эти неравенства, получаем 1^7^1=^ что возможно только если
wrjwrr = еш, где б—действительное постоянное. Отсюда
w' =
1 —aw
Соберем наши результаты в следующей теореме.
Теорема 9.3. Униформизирующая функция определяется
единственным образом с точностью до дробно-линейного
преобразования.
Преобразования наложения универсальной поверхности
наложения 5 являются взаимно однозначными и конформными
отображениями S на себя. Пусть w = g(Р) — отображение поверхности S на ее
каноническую область G, и пусть Q = /(Р) — преобразование
наложения S. Тогда w'= g о f о g-1 является отображением области О на
себя, которое должно быть дробно-линейным преобразованием.
Группа преобразований наложения поверхности S соответствует
группе Г дробно-линейных преобразований области G. Группа Г,
таким образом, изоморфна фундаментальной группе &* поверхности *■) S.
1) Ибо группа преобразований наложения поверхности S изоморфна
фундаментальной группе поверхности 5, что непосредственно следует из
определения универсальной поверхности наложения; см. стр. 111. — Прим. перев.
256
ГЛ. 9. УНИФОРМИЗАЦИЯ
В группе Г, кроме тождественного, не имеется преобразования
с неподвижной точкой (т. е. с точкой, которая отображается сама
в себя); действительно, это справедливо для преобразований
наложения, которые переставляют „листы" поверхности наложения, и только
тождественное преобразование наложения оставляет точку на месте.
В эллиптическом случае, как можно убедиться, решая уравнение z =
= —~-т, каждое взаимно однозначное конформное отображение сферы
на себя имеет по крайней мере одну неподвижную точку, поэтому Г
состоит только из одного элемента — тождественного преобразования.
Следовательно, 5 является однолистной поверхностью наложения 5,
т. е. она представляет собой ту же риманову поверхность, что и 5.
Таким образом, доказана
Теорема 9.4. Риманова поверхность с эллиптической
универсальной поверхностью наложения конформно эквивалентна сфере.
Точки Pv Р2, ... на S, лежащие над точкой Р на поверхности 5,
отображаются в точки wu w2, . . . в О. Преобразования наложения S
переводят точки Pi в Р. так, что дробно-линейные преобразования,
входящие в Г, просто переставляют точки wt, w2, ..., а в силу
транзитивности группы преобразований наложения существует
отображение в Г, которое переводит любую wt в любую другую W-. Мы
говорим, что точки wu w2, . . . образуют множество эквивалентных
точек по отношению к группе Г. Вообще, множество точек Е в
области О называется эквивалентным по отношению к Г, если а) для
любой функции / £ Г и w £ S имеем / (w) £ S и Ь) для любых* двух
точек w^fYi и w2 £ S существует такая функция / £ Г, что w2 —
= /(^1). *"
Группа Л преобразований О в себя называется дискретной, если
любое множество Е эквивалентных по отношению к Л точек не имеет
предельной точки в О. Докажем теперь следующую теорему.
Теорема 9.5. Группа Г дробно-линейных преобразований,
соответствующих преобразованиям наложения S, является
дискретной.
Действительно, предположим, что w0 £ О — предельная точка Е;
тогда существует отображение 5 на О, при котором P0-+w0. Далее,
Р0 имеет окрестность N, которая только один раз покрывает 5 (т. е.
взаимно однозначно отображается в S); пусть N отображается
в окрестность N точки w0. Тогда N содержит бесконечно много
эквивалентных точек, что невозможно, так как N покрывает 5 только
один раз.
Пусть теперь F — любая однозначная аналитическая функция
на 5, регулярная всюду, за исключением, быть может} точек,
которые являются ее полюсами. Взяв отображение 5 на О: >P = g(w) и
9.2. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НАЛОЖЕНИЯ 257
проектирующее отображение тс(Р) = Р поверхности 5 на S,
определим функцию Р = тс о g (w), дающую униформизирующий
параметр w на 5. Тогда F (Р) = F (тс о g (w) ) = Н (w) — аналитическая
функция от w в О, которая на каждом множестве эквивалентных
^ . aw 4- Ь г г,
точек принимает одно и то же значение. Если wr = —-j—j £ Г, то имеем
H(w) — H( x~j)« Мы видим, что H(w) является автоморфной
функцией по отношению к группе1) Г.
Мы можем теперь построить конформную модель 5. Образуем
из канонической области О риманову поверхность Ог, принимая за
точку Ог множество эквивалентных точек X по отношению' к Г.
Очевидно, существует взаимно однозначное соответствие между
точками 5 и точками Ог. Отображение 5 на Ог дает нам конформное
отображение окрестности любой точки Р на 5 в окрестность любой
точки из множества Е (соответствующего взятой точке Р), причем
последние окрестности инвариантны по отношению к Г. Таким
образом, отображение 5->0г является взаимно однозначным и
конформным,, и мы можем принять Ог за нормальную форму S. Связное
подмножество О, содержащее ровно по одной точке из каждого
эквивалентного множества точек по отношению к Г, называется
фундаментальной областью. Фундаментальная область является
в сущности образом одного „листа" S в G.
Мы можем теперь перечислить все возможные римановы
поверхности с параболическими универсальными поверхностями
наложения. Ответим на вопрос: какие существуют целые линейные
преобразования, не имеющие конечной неподвижной точки? Если wr =
= aw-\-b, то единственной неподвижной точкой является w= * ■,
причем неподвижной конечной точки не существует в том и только
в том случае, когда а=\. Отсюда имеем, что группа Г может
состоять только из преобразований сдвига плоскости wr = <w-\~b.
Для Г существуют всего три возможности:
a) Г состоит только из одного элемента — тождественного
преобразования ?г/=-ш. В этом случае 5 = 5, т. е. 5 конформно
эквивалентна конечной плоскости (сфере с одной выкинутой точкой).
b) Г является группой с одной образующей wr = w-\-b. Таким
образом, Г состоит из всех преобразований сдвига wr = w-\-nb,
п = 0> ±1, ±2, .... В этом случае фундаментальная область —
бесконечная полоса ширины \Ь\9 включая один из краев, и моделью 5
служит круговой цилиндр бесконечной длины. Отображение
w = e2ltizlb отображает Ог взаимно однозначно на сферу с выколо-
!) Вообще пусть Г — группа конформных гомеоморфизмов области G
на себя и F—аналитическая функция в G. Тогда F называется автоморф'
ной функцией по отношению к Г, если F(g (w)) = F(w) для всех #£Г.
См., например, Форд [1].
258
ГЛ. 9. УНИФОРМИЗАЦИЯ
тыми северным и южным полюсами. Таким образом, 5 конформно
эквивалентна сфере с двумя выколотыми точками.
Рассмотрим теперь случай, когда £ состоит из точек вида
ma-{-nb, т,п — О, ±1, ±2, . . ., где а = ЬЬ для действительного 8.
Покажем, что тогда должна существовать точка £^£, для которой
a = kc, b = lc, где k и /—целые числа. Действительно, на прямой,
проходящей через 0, а и Ь, найдется ближайшая к нулю точка
с = тха~\- щЬ £ £ (в противном случае нуль являлся бы предельной
точкой £). Тогда существует такое целое к, что \ck — а | < с,
т. е. \(mlk—1) a-\-nxkb | < с, что возможно только тогда, когда
ck — а = 0. Аналогично cl = b, и, следовательно, группа Г имеет
одну образующую — преобразование сдвига wr — w-\-c. Это
позволяет перейти к следующему случаю.
с) Группа Г порождается преобразованиями wl = w-\-a и w2 =
= w-{-b, где а и Ь — неравные нулю комплексные числа с разными
аргументами (lni-т- Ф 0). Тогда Г состоит из отображений
wr = w-{-na-{-mb, п,т = 0, ±1, ±2,....
Фундаментальная область получается из параллелограмма с
вершинами 0, a, b, а-{-Ь, если включить в нее внутренние точки
параллелограмма, начало координат и внутренние точки сторон,
выходящих из нуля. Для построения модели GT отождествляем
противоположные стороны параллелограмма, т. е. с топологической точки зрения
получаем тор. Таким образом, область Gr, или ее конформный
образ S, должна быть компактной поверхностью рода 1. В
следующей главе мы покажем, что каждая компактная риманова
поверхность рода 1 имеет подобную параболическую универсальную
поверхность наложения.
Группа Г не может иметь более двух образующих. Обычно
доказывают этот факт, показывая, что периодическая функция на
плоскости не может иметь более двух независимых периодов, так
как в противном случае множества эквивалентных точек имеют
конечные предельные точки1). Таким образом, доказана
Теорема 9.6. Риманова поверхность с параболической
универсальной поверхностью налоэюения конформно эквивалентна
либо сфере с одной выколотой точкой, либо сфере с двумя
выколотыми точками, либо компактной поверхности рода 1.
Вернемся теперь к гиперболическому случаю, когда область G
является единичным кругом. Для простоты изложения введем в
единичный круг неевклидову (н. е.) геометрию, в которой движениями
являются взаимно однозначные и конформные отображения круга на себя.
[) См., например, Кнопп [1].
9 2 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НАЛОЖЕНИЯ
259
В этой геометрии н. е. точками G являются обычные точки
-^-плоскости, внутренние для | ад | < 1. Н. е. прямыми в О будут дуги
окружностей, лежащие в \w\ < 1 и ортогональные окружности | w| = 1.
(В частности, диаметры круга | w | < 1 также являются н. е.
прямыми.) Мы назовем О н. е. плоскостью. Движения в О, которые
являются дробно-линейными преобразованиями | w | < 1 на себя,
переводят н. е. прямые в н. е. прямые. Через любые две точки wx
и w2 из О проходит одна и только одна прямая; это следует из
того, что если движением wt переводится в 0, a w2 в w2, то через
О и w'2 проходит единственная н. е. прямая — диаметр круга \w\ < 1.
Обратным движением, переводящим 0 в wit диаметр переводится
в н. е. прямую, проходящую через wt
и w2. Углы в этой геометрии —
обыкновенные евклидовы углы между
дугами. Движения сохраняют также и
углы. Так определенная геометрия
удовлетворяет всем аксиомам евклидовой
геометрии, за исключением постулата
о параллельных, так как через данную
точку Р, не лежащую на прямой L,
проходит бесконечно много прямых,
которые не пересекают L (рис. 9.2).
Эта геометрия, следовательно,
удовлетворяет аксиомам Бойяи и
Лобачевского. Разработка этой модели принад- Рис. 9.2
лежит Пуанкаре. Более полное
рассмотрение н. е. геометрии можно найти в книге „Конформное
отображение" Каратеодори [1] или в его курсе [2], том I.
Если Р' = f (Р) является преобразованием наложения S
и w = g(P) — отображение S в G, то, как мы видели,
L = gо f о g-i£T является движением в О, т. е. Г есть подгруппа
группы всех н. е. движений. Если изменить униформизирующий
параметр w, применяя отображение wl = gt (Р) поверхности 5 на G,
то wl=-F(w) является также движением в О. Используя
униформизирующий параметр wx, имеем для преобразования наложения /
следующее соотношение: Lt = gt о f о g-1; мы получаем новую
подгруппу движений, которую обозначим через 1\. Так как F = ^о g~1t
то для любого Lt £ 1\ мы можем написать Lt = gt о f о g~1=
= ^о^ 1 о (gofo gr-i) о g оg~1 = F о L о F~ для некоторого L —
~ S°f °g~i(zF- Таким образом, L и Lt являются сопряженными
элементами группы всех движений, и мы можем сказать, что Г1 = РГр-1,
т. е. 1\ и Г — сопряженные подгруппы. Таким образом, 1\ и Г —
одни и те же группы движений, но выраженные через разные
координатные системы в О.
260
ГЛ. 9. УНИФОРМИЗАЦИЯ
Каждое дробно-линейное преобразование сферы, не являющееся
тождественным, имеет либо одну, либо две неподвижные точки.
Исходя из этого факта, подразделим н. е. движения на три типа.
1) Н. е. вращения имеют только одну неподвижную точку
w — w0 внути круга |*г>|< 1. Тогда т=\/т0 — другая
неподвижная точка и н. е. вращение w-±wr удовлетворяет уравнению
W' — Wq /fl W — Wq л
== ею " t у — действительное число.
w'—=- W — z=~
W0 Wq
Это движение состоит из отображения w0 в 0, поворота круга на
угол б и затем отображения 0 обратно в w0, и оно всегда
переводит круг в себя.
2) Н. е. переносы имеют две неподвижные точки на окружности
|<о>| = 1. Пусть эти точки w = wl и w = w2, \wl\ = \w2\ = \;
тогда н. е. перенос удовлетворяет уравнению
^ L = r L, Г > 0.
w —w2 w — w2
Это движение состоит из отображения | w | < 1 на полуплоскость,
при котором wl—>0, w2-+oo, умножения на множитель г, а затем
отображения обратно в единичный круг, при котором 0—>wl%
со —> w2. Так как умножение оставляет точки 0 и со на месте, wx
и w2 являются неподвижными точками этого движения.
3) Н. е. предельные вращения имеют только одну
неподвижную точку wx, которая расположена на окружности |ад|=1. Эти
преобразования удовлетворяют уравнению
_^—L_ — 1—L.# i) — действительное число.
W —Wi W — W\ '
Мы можем рассматривать такое предельное вращение как состоящее
из следующих производимых последовательно преобразований: сначала
инверсия, переводящая wt в со и |i^|< 1 в полуплоскость
1пт^>1/2» затем перенос на Ь единиц параллельно действительной
оси и наконец инверсия, переводящая полуплоскость обратно в
единичный круг с co—>w1. Так как со является единственной
неподвижной точкой переноса, wx есть единственная неподвижная точка
предельного вращения.
Поскольку движения из Г не имеют неподвижных точек, Г не
содержит н. е. вращений. Движение в Г, переводящее wr в w",
единственно. Действительно, если Lj (wr>) — wrr и L2 (wr) = w,r, то
Fjo F21 (w't) = wrr и w" является неподвижной точкой
преобразования Fx о F^t откуда следует, что Ft о F2 есть тождественное
преобразование, т. е. Ft === F2.
Нами получены следующие результаты.
9.2. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НАЛОЖЕНИЯ 261
Теорема 9.7. Каждой римановой поверхности S с
гиперболической универсальной поверхностью наложения соответствует
однозначно определенная дискретная группа Г н. е. движений
н. е. плоскости G, не сод ерошащая н. е. вращений.
Отождествляя эквивалентные точки G, мы получим риманову
поверхность Gr, конформно эквивалентную S.
Если h — конформный гомеоморфизм римановой поверхности Sx
на S2, то существует также такой конформный гомеоморфизм А*
поверхности St на 52, что для проектирующих отображений
/iJSi —>St и f2' S2 ~-+S2 имеет место соотношение f2o h* = ho ft.
Тогда каждому преобразованию наложения 7\ : 6\ -+ Sx соответствует
А А
преобразование наложения Т2 = X о Тх : S2 -> S2, определяемое как Т2—
— /г* о 7\ о /г*-1. Проверим, что Г2 является преобразованием наложения.
Заметим, что из соотношения fx о 7\ (Рх) = /х (Рх), Pi £ 5Х следует,
что hofloT1 (Pj) = hof1 (P1)t и поэтому /2 о /г* о 7\ (Pt) == /2 о A* (PJ.
Положим /г* (Pt) = Р2; мы получаем /2 о (А* о^о /г*-1) (Р2) —
= f2°(h*° й*-1) (Л>)> или просто
/2оТ2(Р2) = /2(Р2),
и, следовательно, Г2 есть преобразование наложения. Отображение X
определяет изоморфизм группы преобразований наложения
поверхности Sx на группу преобразований наложения поверхности S2.
Предположим теперь, что g2 : S2 —> G отображает S2
конформно на G; тогда g2°h* = gi отображает Sx конформно на G.
Преобразованию наложения Tl:Sl->Sl соответствует н. е.
движение gi°T1o g-1. Однако
gi°Txo g-i = (g2 о А*) о 7\ о (g2 о A*)-1 = (g2 о А*) о 7\ о (A*-* о g-i) =
= g2 о (А* о 7\ о AJ-1) о £-1 = ^ о Т2 о gr2-l,
так что и 7\, и Г2 соответствуют одному и тому же н. е.
движению G. Таким образом, изоморфизм X индуцирует тождественный
изоморфизм в группе н. е. движений и мы можем сказать, что две
конформно эквивалентные поверхности St и S2 соответствуют
одной и той же группе н. е. движений G.
Обратно, если дана дискретная группа н. е. движений G,
в которую не входят н. е. вращения, то отождествление точок,
эквивалентных по отношению к Г, приводит к римановой
поверхности G. Таким образом, доказана
Теорема 9.8. Две римановы поверхности соответствуют
одной и той же группе движений тогда и только тогда, когда
они конформно эквивалентны.
Изучение фундаментальной области упрощается введением
„расстояния", определенного в н. е. плоскости G. С этой целью заметим,
262
ГЛ. 9. УНИФОРМИЗАЦИЯ
что для любых четырех точек wlt w2, чыъ, w4 в комплексной
плоскости ангармоническое отношение
(w2 — WA) Q3 — Wi)
(w2 — w{) (w3 — w4)
инвариантно относительно дробно-линейных преобразований. Если
четыре точки лежат на одной окружности в порядке обхода вокруг
этой окружности, то можно найти дробно-линейное преобразование,
переводящее внутренность круга в верхнюю полуплоскость, а четыре
точки—-в четыре последовательных точки на действительной оси.
Ясно, что для этих точек
ангармоническое отношение является
действительным положительным числом,
большим *) 1.
Пусть теперь w1 и w2— две точки
в О : \w\ < 1. Н. е. прямая,
проходящая через wl и w2, пересекает | -о/1 = 1
в двух точках; ближайшую из них к wt
обозначим через оо^ а ближайшую
к w2—через оо2. Ангармоническое
отношение
(wi — оо2) (w2 — сор
(w1 — ooj) (w2 — co2)
действительно и больше 1,
следовательно, половина логарифма от этой
величины является положительным числом, которое мы примем за
н. е. расстояние между wt и w2:
Рис. 9.3
d(wlt w2) = ~y log
-OOj
1
log:
Wi —OOj
Wi — oo2
w2 — co2
(рис. 9.3). Это н. е. расстояние, будучи логарифмом
ангармонического отношения, инвариантно относительно н. е. движений О.
Если wx, w2 и w3 расположены в указанном порядке на одной
и той же н. е. прямой, то точки ос^ и оо2 одни и те же для каждой
пары, и мы имеем
d (wlt w3) = d (wlt w2)-f- d (w2, w3).
Если i^ = 0 и w2 — heiB, 0 < h < 1, то получаем
d(0,Ae'») = -i-log|±4 (1)
— возрастающую функцию от евклидова расстояния от 0 до hei%,9
эта функция стремится к бесконечности, когда h стремится к 1,
!) Действительно, пусть точки wb w2, w& w± переходят соответственно
в точки а,\ < а2 < as < а4. Теперь достаточно заметить, что \а2 — а±\ >
> | аъ — д4 | и \а% — #i | > | а2 — ах\.— Прим. перев.
9.2. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НАЛОЖЕНИЯ 263
т. е. когда точка приближается к идеальной границе G. Множество
точек w, удовлетворяющих условию d(w0, w) = k > 0, называется
н. е. окружностью с центром в wQ и радиусом k< Если
движением перевести w0 в 0, то при этом н. е. окружность перейдет
в обычную окружность с центром в 0. Таким образом, н. е.
окружность является образом евклидовой окружности при дробно-линейном
преобразовании, т. е. она является евклидовой окружностью, лежащей
в |*г>|< 1. Чтобы получить другое выражение для d (wlt w2) только
W — W-i
через wx и w2, заметим, что г=~- является движением, перево-
1 — W\W
дящим wx в 0 и w2 в —*___—ц так что применение (1) дает
1 — W1W2
, 1 +
1-
w2— W\
1 —W1W4
W2 — Wi
1 — WiW2
(2)
Из этого выражения следует, что d(wlt w2) = d (w2, wj.
H. е. расстояние удовлетворяет неравенству треугольника
d (wlt тг) ^.d(wlt w2) -+-d(w2, w3), (3)
в котором равенство имеет место только в том случае, когда все
три точки wu w2, w3 располагаются в указанном порядке на н. е.
прямой. Для проверки этого переведем движением w2 в 0, wx
в а > 0 и wz в be®, b > 0. Тогда (3) принимает вид
1 + |*1 ^ *+* !+а ,_ Ье1* — а ш
^> 1 А 1 „> 1 1 * /В * VV
1-|*|^ \~b I-a' 1—abe*
Левая часть (4) является монотонно возрастающей функцией \t\, так
что мы докажем (3), оставляя а и b фиксированными и находя ма-
ксимум 111 для 0 <; р ^ 2тг. Отображение t = •=— переводит
\w\ = b в евклидову окружность с центром на действительной оси;
, b -\-а
при этом точка — b переходит в точку 1 ' , , котйрая
является самой удаленной от 0 точкой образа \w\ = b. Для этой точки
i л b 4-а
i'l=i+7S и
1 -j- 11\ _ 1 + ab + a + b (1 + b) (1 + a)
X — | ^ | \-\-ab-a~b~ (\—b)(\—a)9
Когда выражение в левой части (4) достигает максимума, все три
точки лежат на одной н. е. прямой, что доказывает неравенство
треугольника.
Фиксируем теперь точку w0 в н. е. плоскости О. Пусть
£ — множество точек, эквивалентных w0 по отношению к Г. Так как
группа Г дискретна, то всякий н. е. круг с н. е. центром в точке
264
ГЛ. 9. УНИФОРМИЗАЦИЯ
w'^G содержит только конечное число точек из £. Таким образом,
существует конечное число точек Wj£%t для которых d(wf1Wj)<^
^Cd(wr, wk) для всех wk £ S. Мы говорим в таком случае, что
точка wr будет ближайшей к w, (wr располагается ближе к w*, чем
к другим точкам £), и называем множество всех точек w£G,
ближайших к w-, нормальным множеством N* с центром w..
Пусть Nq — нормальное множество с центром w0.
Теорема 9.9. Нормальное множество содержит внутренние
точка.
Если d (w't w0) < d(wr, wk) для всех wk £ S, wk ф w0t то мы
говорим, что wr располагается строго ближе к w0l чем к другим
точкам X. Тогда для некоторого s>0 весь н. е. круг d(w, w )<^е
располагается строго ближе к wQ. Действительно, пусть
г = -у- min [d (wf, wk) — d (w', w0) ], wk £ £, 1¾ =£ w0. Тогда если бы
нашлось w", для которого d (wr, w") < s и
</(-ш", wk)^.d(w"9w0),
то мы бы имели
tf (ад', wk) <; d (чя/, ад") -\-d (w"% wk) <;
<2a(«^) + ^K. ™о)< 2b-\~d(w', w0)9
т. e.
Y [d (w\ wk) — d (w't w0)] < e ,
и, таким образом, пришли бы к противоречию *).
Теорема 9.10. Никакая пара внутренних точек в N0 не может
быть эквивалентной.
В самом деле, 'пусть wr и w" — внутренние точки Л/0,
являющиеся эквивалентными; тогда движение в Г, при котором wr
переходит в w", переводит w0 в точку wk£% 1И)кФЩ. Далее,
d(w', wQ) = d(w", wk)> d(w", w0). Движение в Г, переводящее w,r
в w', переводит w0 в wn% wn Ф wQ. Тогда d(wn\ w^) = d{wri wn) >
^>d{wr, wQ). Сопоставляя эти неравенства, приходим к
противоречию: d(wf, w0)<^d(w\ w0).
Движение в Г, переводящее w0 в «до., переводит при этом N0
в Nj, так как расстояния сохраняются. Таким образом, все
нормальные множества Nj с центрами в w;- £ £ конгруентны.
Любая точка w£G принадлежит по крайней мере одному
нормальному множеству (например, Л/у), и всякое нормальное
множество Nk содержит по крайней мере одну точку,
эквивалентную w. Движение в Г, переводящее Wj в wk, переводит w в эквива-
1) Для полноты доказательства следует заметить, что нормальное
множество N0 содержит хотя бы одну точку, которая строго ближе к w0. Такой
точкой является сама точка w0. — Прим. перев.
9.2. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НАЛОЖЕНИЯ 265
лентную точку в Nk. Таким образом, совокупность всех
нормальных множеств покрывает н. е. плоскость, причем в каждой паре
нормальных множеств внутренности не пересекаются. Так как всякое
нормальное множество имеет внутренние точки, то мы можем внутри
каждого нормального множества выбрать по точке с рациональными
действительной и мнимой частями, и, таким образом, нормальные
множества могут быть поставлены во взаимно однозначное
соответствие с подмножеством счетного множества. Итак, число
нормальных множеств, а следовательно, и их центров, счетно, и S
является счетным множеством.
Теорема 9.11. Каждое нормальное множество является вы-
пуклым многоугольником в н. е. плоскости.
Множество точек, для которых н. е. расстояния от двух
фиксированных точек wl и w2 равны, составляет н. е. прямую,
ортогональную н. е. прямой, соединяющей точки wl и w2
(перпендикуляр, проведенный через середину отрезка, соединяющего wt и w2).
Действительно, переведем движением точки wl и w2 в точки —а
и а, а > 0, на действительной оси. Тогда, используя (2), видим, что
для точек w, равноудаленных от а и —а, имеет место равенство
I w -f- а I 1 w — а [
I I -{-aw [ I I — aw |
Выраженное через и и v, где w = u-\-iv, это равенство примет вид
4аи(1—а2)(1—и2 — v2) = 0, т. е. для точек, составляющих это
множество, либо # = 0, либо | ад |=1; при этом второе равенство
соответствует множеству точек, бесконечно удаленных от а и —а. Таким
образом, искомым геометрическим местом точек является мнимая
ось — н. е. прямая, ортогональная сегменту от а до —а. Граница
нормального множества состоит из точек, равноудаленных от двух
или более (но всегда от конечного числа) эквивалентных точек.
Пусть b — граничная точка NQ. Для любого R > 0 существует только
конечное число точек множества X со следующим свойством: каждая
из них отстоит от некоторой точки w н. е. круга d (b, w) < R на
таком же расстоянии, как и расстояние от w до wQ; действительно,
все эти точки помещаются в круге1) d(b, w) < 3/?. Таким образом,
только конечное число отрезков н. е. прямых, равноудаленных от w0
и некоторой точки, эквивалентной w0, пересекают круг d(b, w) < R.
Граница NQ тогда состоит из отрезков таких н. е. прямых, что
любой н. е. круг пересекается только с конечным числом этих
отрезков, и N0 является н. е. многоугольником, имеющим либо
конечное, либо бесконечное число сторон с вершинами, не имеющими
конечной предельной точки.
!) Последнее утверждение заведомо справедливо при R^> р = d (bf Wq).
Если же R < р, то для дальнейшего достаточно, что все точки 2 с
рассматриваемым свойством лежат в круге d (b, w) < 2R -\- p. — Прим. перев.
266
ГЛ. 9. УНИФОРМИЗАЦИЯ
Чтобы показать, что многоугольник N0 выпуклый, установим
что для любых двух точек а и Ь, лежащих в N0, н. е.
прямолинейный отрезок, соединяющий их, полностью содержится в N0.
Заметим сначала, что любые две н. е. прямые пересекаются самое
большее в одной точке внутри О, а если они имеют более одной
общей точки в О, то прямые совпадают. Пусть с— точка на н. е.
прямой /х, соединяющей а и Ъ, и пусть с лежит вне N0, так что
d (с, wk) < d (с, w0) для некоторого wk £ Е, wk Ф w0. Рассмотрим н. е.
перпендикуляр /2, проходящий через середину н. е. отрезка от w0
до wk. Так как d(a, w0)-^d(a, wk) и d{b, w0)4^d(b, wk)> то c
и wk лежат по одну сторону от /2, в то время как а и Ъ либо
лежат по ту же сторону от /2, что и w0, либо лежат на /2. Таким
образом, отрезок /2 должен пересекать 1Х самое меньшее в двух
точках, так что 1Х и /2 совпадают. Следовательно, d(c, w0) — d(c, wk),
и полученное противоречие доказывает выпуклость N0. В
дальнейшем мы будем называть N0 нормальным многоугольником.
Нормальный многоугольник содержит по меньшей мере по одному
представителю из каждого класса точек, эквивалентных по
отношению к Г. Таким образом, N0 содержит фундаментальную область.
Фундаментальная область состоит из внутренних точек NQ и
некоторых его граничных точек. N0 имеет стороны двух типов: 1) целиком
лежащие на |<а/|=1, их мы назовем свободными сторонами, и
2) так называемые внутренние стороны, которые либо целиком
лежат внутри | w \ < 1, либо у такой стороны один или оба конца
лежат на | w \ = 1.
Теорема 9.12. Внутренние стороны N0 попарно эквивалентны,
т. е. каждой внутренней стороне s соответствует одна
и только одна сторона sf и такое движение L^T, что L(s) = s'.
В самом деле, пусть 5 — сторона NQt состоящая из точек,
равноудаленных от w0 и wk. Единственное движение L в Г,
переводящее wk в wQl переводит Nk в NQ, а их общая сторона 5 переходит
при этом в другую сторону sf многоугольника NQ, которая
эквивалентна s. Далее, любое движение в Г, переводящее 5 в другую
сторону Af0, выводит w0 из N0, а на место щ ставит wk. Но это
и есть движение, переводящее 5 в sf, следовательно, 5 эквивалентна
только sr. Мы можем также установить, что 5 и sr не являются
соседними сторонами в Af0. В самом деле, если бы s к s' имели
общую вершину w, то движение, переводящее 5 в s', оставляло бы w
на месте, так как прилегающие к 5 точки iV0 должны перейти в
прилегающие к sr точки, внешние для N0.
Теорема 9.13. Внутренняя точка w свободной стороны NQ не
имеет эквивалентных точек в N0.
Предположим противное: точка wr в N0 эквивалентна w и
переводится в w движением L £ Г. Тогда L отображает окружность
9.2. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НАЛОЖЕНИЯ 267
1-0/1=1 на себя и поэтому переводит свободную сторону,
содержащую w, в свободную сторону, содержащую wr. Возьмем
окрестность U точки w относительно | до | ^ 1, лежащую в N0; тогда L (U)
будет окрестностью wf, которая также должна лежать в1) 7V0. Но
это означает, что внутренние точки N0 эквивалентны, и мы пришли
к противоречию.
Теорема 9.14. Движения {Ми М2, . ..} = В£Г, которые
переводят внутреннюю сторону N0 в эквивалентную сторону N0,
порождают всю группу Г.
Начнем доказательство с замечания, что если L — движение в Г,
переводящее N0 в N, то движение, переводящее сторону N в
эквивалентную сторону N, может быть записано в форме L о Mt о L""1,
где Л^£в. Пусть М — произвольное движение в Г и M(w0) = wk.
Мы можем соединить w0 с wk н. е. ломаной тг, составленной из
конечного числа отрезков н. е. прямых в \w\ < 1. Эта ломаная
является компактным множеством и пересекает только конечное число
нормальных многоугольников. В противном случае существовала бы
точка w' на тг, являющаяся пределом последовательности точек
w'v wf2, ..., лежащих в различных нормальных многоугольниках. Но
сама w' есть либо внутренняя точка для нормального многоугольника,
либо принадлежит границе конечного числа этих многоугольников,
которые образуют полную окрестность w'. Так как вершины
конечного числа нормальных многоугольников, пересекающихся с тг,
не имеют конечной предельной точки, то мы можем выбрать такую
ломаную ти, которая не проходит ни через одну вершину
нормальных многоугольников. Пусть iV0, Nt, ..., Nk — нормальные
многоугольники с центрами w0, wlt ..., wk, взятые в той
последовательности, в какой их пересекает тг на своем пути от w0 к wk (с
возможным повторением). Тогда N0 и Nt имеют общую сторону, и
движение в Г, переводящее w0 в wlt принадлежит в; обозначим его
через Mt. Далее, Мх и N2 имеют общую сторону, и движение в Г,
переводящее w1 в w2, переводит эту сторону Nt в эквивалентную
сторону Nt\ оно может быть записано как Lt = Mto М;-о Mi1 для
некоторого Му£в. Движение L±o Mt переводит N0 в N2. Движение,
переводящее w2 в ws, переводит сторону N2 в эквивалентную
сторону N2i так что оно может быть записано в виде
L2 = (Lx о Mt) о Mt о (Li о Л!,)"1.
Mt ^ в, а движение в Г, переводящее N0 в N3, — в виде L2 о Lx о Mt.
Продолжая этот процесс, мы выразим М через движения из В,
откуда и следует справедливость нашего утверждения.
*) Здесь фактически используется то, что движение L должно было бы
переводить свободную сторону многоугольника N0 опять-таки в свободную
сторону того же многоугольника. — Прим. перев.
268
ГЛ. х9. УНИФОРМИЗАЦИЯ
Вершина v многоугольника N0 принадлежит п ^> 3 нормальным
многоугольникам, и v равноудалена от центров этих п
многоугольников. Движения в Г, переводящие центры этих нормальных
многоугольников в w0, переводят v в п различных вершин N0
(включая тождественное преобразование), и эти вершины являются
эквивалентными точками, п углов с вершиной v переводятся в п
различных углов, внутренних для NQ, с вершинами в эквивалентных v
точках, так что сумма углов NQ для каждого множества эквивалентных
вершин равна 2тг.
Для многоугольника NQ имеются две возможности: 1) NQ ограничен
в н. е. плоскости [существует такое R < оо, что N0 содержится
в н. е. круге d(w0, w)<^.R] или J2) NQ не ограничен (точки*NQ
произвольно близки к | «до |=1).
Теорема 9.15. Нормальный многоугольник ограничен в том
и только в том случае, когда риманова поверхность
компактна.
Если отобразить G на 5, а затем спроектировать 5 на S, то О
при этом непрерывно отобразится на S, причем образ Лт0 покроет 5.
В случае ограниченности множества N0 оно будет компактно как
ограниченное замкнутое множество в метрическом пространстве. При
обратном отображении любое открытое покрытие 5 переводится
в открытое покрытие О. Так как NQ компактно, конечного числа
этих множеств достаточно для покрытия NQ, и их образы в 5
образуют конечное подпокрытие исходного покрытия в 5. Таким
образом, поверхность 5 компактна.
С другой стороны, пусть 5 компактна. Отображение G->S
локально взаимно однозначно, так что каждая точка wr £ О является
центром круга d(w, ад'Хе, который для достаточно малого s го-
меоморфен открытому множеству на 5. Каждая конечная точка NQ
может быть сделана центром такого круга, и, следовательно, образы
этих кругов на 5 образуют открытое покрытие S, из которого можно
выбрать конечное покрытие. Внутренность NQ отображается взаимно
однозначно на часть S, так что конечное число кругов, являющихся
прообразами кругов этого конечного покрытия, снова покроет
внутренность NQ. Множество, составленное из конечного числа кругов,
ограничено, а следовательно, и внутренность NQ ограничена, откуда
вытекает ограниченность N0. Из ограниченности N0 следует, что
NQ имеет конечное число сторон в силу того, что вершины
многоугольника N0 не могут иметь конечной предельной точки.
9.3. Триангуляция римановой поверхности.
Теорема 9.16. Каждая риманова поверхность может быть
триангулирована, причем таким образом, чтобы стороны
треугольников являлись аналитическими дугами.
9.3. ТРИАНГУЛЯЦИЯ РИМАНОВОИ ПОВЕРХНОСТИ 269
Пусть 5 — произвольная риманова поверхность, и пусть ее
универсальная поверхность наложения 5 отображается на каноническую
область G на ^-сфере.
1) Если G — полная сфера, то S конформно эквивалентна сфере,
а сфера может быть триангулирована, используя экватор и две
ортогональные меридиональные окружности.
2) Если О — конечная плоскость, то могут представиться три
случая:
a) 5 конформно эквивалентна G; в этом случае О можно
замостить прямоугольниками и получить триангуляцию, проведя в них
диагонали.
b) Фундаментальная область есть бесконечная полоса,
содержащая только одну из своих сторон. Ее триангуляция показана на
1 • ч ' / v
к—#—1
\ /1 \ /
ч / • \ •
X | X
\ / \ . / \
к-—*—->
Ч /Л /
Ч / 1 Ч /
XIX
• ч , у ч
\ / ч ' ' \
к—*—*
ч / , ч /
ч / ч /
XX
/ \ / \
/ \ 1 / ч
f * ■>
4 1 4 /
1 4 ' 1 \ •
XX
/ \ 1 / ч
/ ч 1 ' \
/ 4 / ч
\ *■ Ъ
\Ч
fro! YV
\ \ \ ч
Nj\ I
Л^ \
1 Ч /,ч / 1 >s*i
Рис. 9.4
Рис. 9.5
рис. 9.4. Следует позаботиться, чтобы вершины на сторонах полосы
попадали в эквивалентные точки, иначе при отождествлении сторон
мы не получим триангуляцию 5.
с) Фундаментальная область есть параллелограмм, содержащий
одну из своих вершин и две стороны, выходящие из этой вершины.
На рис. 9.5 показана триангуляция этого параллелограмма, причем
противолежащие вершины триангуляции на сторонах параллелограмма
отождествляются. Таким путем получаем триангуляцию 5.
3) В случае, когда О — единичный круг, могут представиться
две возможности:
a) нормальный многоугольник N0 ограничен;
b) Nq не ограничен.
В случае За) Л/0 имеет конечное число попарно эквивалентных
сторон. Проведем н. е. прямые из w0 — центра N0 — к каждой из
вершин, подразделяя N0 на треугольники. Но таким образом мы
270
ГЛ. х9. УНИФОРМИЗАЦИЯ
еще не получим триангуляцию S, так как если сторона 5
многоугольника NQ эквивалентна sr — другой стороне N0, то два треугольника
со сторонами shs' имеют не только общую сторону, но и общую
вершину w0, в то время как в триангуляции треугольники самое большее
могут иметь одну общую сторону. Мы выйдем из положения, произведя
дальнейшее подразделение каждого треугольника Т. Мы разделим на
три н. е. равные части сторону /V0 и пополам две остальные н. е.
стороны Т. Пусть wr—точка в 7\ равноудаленная от трех вершин Т.
Проведем из wr пять н. е. прямых к двум точкам деления на
стороне N0, к серединам двух других сторон и к точке w0. Проведем
еще два отрезка, которые соединят середины двух сторон с
ближайшими к ним точками деления стороны N0J Аналогичное
подразделение для евклидова треугольника Т
показано на рис. 9.6. Поскольку
движения в Г сохраняют расстояния,
новые вершины на внешних сторонах
попадают в эквивалентные пары точек, и
мы получим искомую триангуляцию,
отождествляя стороны N0. Итак, нам
удалось триангулировать компактные
римановы поверхности. Применяя в
данном случае все движения в Г к NQ,
мы получаем триангуляцию н. е.
плоскости н. е. треугольниками.
В случае ЗЬ) N0 простирается
вплоть до границы единичного круга.
Рассмотрим сначала произвольную триангуляцию внутренности
единичного круга н. е. треугольниками. В части а) была построена
одна такая триангуляция, полученная из триангуляции Л/0 для
компактной поверхности с последующим применением Г. Та:с как N0
и каждый треугольник Г£, /=1, 2, ..., данной триангуляции G
выпуклы, то их пересечение N0f]Tt— также выпуклое множество
(в н. е. геометрии); действительно, если точки Р и Q обе
принадлежат N0 {\Ti, то н. е. прямолинейный отрезок, соединяющий Р и Q,
лежит одновременно в NQ и Т\. Так как Tt компактно, то только
конечное число вершин NQ принадлежит Tlt так что N0(\Tt —
выпуклый многоугольник лишь с конечным числом вершин. Пусть Pt —
любая внутренняя точка N§[\T{, проведем н. е. прямые из Pi к
каждой вершине NQ fl Tt. Таким образом, мы получим триангуляцию
многоугольника NQ, но это еще не будет триангуляцией Gr (или S),
ибо при отождествлении эквивалентных сторон N0 может найтись
вершина, эквивалентная точке, не являющейся вершиной. Чтобы
избежать этого, добавим к нашей триангуляции новые вершины на
каждой паре эквивалентных сторон s и sf. Только конечное число
вершин триангуляции N0 лежит на s и s\ Добавляем к sr точки,
эквивалентные вершинам на s, а к s— точки, эквивалентные верши-
9.4. ОТОБРАЖЕНИЯ РИМАНОВОИ ПОВЕРХНОСТИ НА СЕБЯ 271
нам на sf. Каждая новая вершина лежит на некотором N0f\Tt, и мы
соединим ее с соответствующей Pt н. е. прямой. Это дает
триангуляцию Ог, а следовательно, и S, если отождествить эквивалентные
точки N0. Таким образом, каждая риманова поверхность может
быть триангулирована, используя геодезические дуги в
геометрии униформизирующей плоскости,
В случае компактной поверхности рода g > 1 мы можем
получить соотношение между числом сторон нормального
многоугольника N0 и родом g. Пусть Л/q имеет 2е сторон и v различных
множеств эквивалентных вершин. Триангулируем N0, как и ранее,
проводя н. е. прямые от w0 к вершинам и затем подразделяя каждый
треугольник, как на рис. 9.6. Эта триангуляция N0 имеет 8е-\-\
вершин, 24^ сторон и 14^ треугольников. Для получения
триангуляции 5 отождествим эквивалентные стороны N0. Если в этой
триангуляции 5 имеется F треугольников, Е сторон и V вершин, то,
согласно п. 5.9, имеем
2-2^ = ^-^ + 1^.
Но F = Не и Е = 21е, так как каждая пара внешних сторон N0
отождествляется, V= 1 -f-v-\-6e, откуда получаем, что 2 — 2g —
= 1 -\-v — £, или
2g= 1 —v-\-e.
Таким образом, можно вычислить род компактной римановой
поверхности, если известна группа н. е. движений Г (или нормальный
многоугольник с надлежащим отождествлением сторон).
Мы можем также получить теперь оценки для е, выраженные
через g. Многоугольник N0 имеет 2е вершин, и каждая вершина
является ближайшей по крайней мере к трем точкам £, так что
каждый класс эквивалентности вершин N0 содержит самое меньшее
2
три вершины. Таким образом, 3v^i2e, или — т/>-—^-е и е—1/>-
1 6
^-~e. Имеем
^ + 10-^4-1 = 2^,
или просто 2e^i\2g — 6. Поскольку v^> 1, мы также получаем
2е ^ 4g, так что мы имеем оценки числа сторон нормального
многоугольника, соответствующего поверхности рода g:
4g<2e^\2g — 6.
9.4. Отображения римановой поверхности на себя. Пусть
Г—группа дробнолинейных преобразований круга | w | << 1 на себя.
Тождественное отображение в Г обозначим через /. Мы скажем, что
Г содержит бесконечно малые преобразования, если существует
последовательность {Тп}, Тп£Г, Тпф[, для которой lirn Тп (w) = w
п->оэ
272
ГЛ. 9. УНИФОРМИЗАЦИЯ
для каждого w в |?2/|< 1. В дальнейшем Тп->Т будет означать,
что lim Tn(w) — T(w) для всякого w в \w\ < 1. В силу теоремы Ви-
л ->оо
тали о сходимости, сходимость этой равномерно ограниченной
последовательности отображений в каждой точке влечет равномерную
сходимость на каждом компактном подмножестве | <до|< 1. Таким
образом, группа Г содержит бесконечно малые преобразования, если
существует такая последовательность Тп £ Г, ТпФ /, что Тп -> /.
Каждое Тп £ Г может быть записано в виде
Гя.(«) = ¢^.2=^-. 0<ая<2тс, |а„|<1.
1 — anw
Это отображение непрерывно зависит от параметров eian ц ап,
откуда следует, что для того, чтобы Тп-+Т, где
T(w) = eia — ,
1 — aw
необходимо и достаточно, чтобы eia = lim eian и a — lim ап. Так как
п -> оо п -> оо
id
Т-1 (w) = e~ian ™ + апе п
л — -/о
1 + апе nw
и
T~l (w) = £-'а—Ц=—:—
из сходимости Тп-*Т следует сходимость Т^-^Т"1. Аналогично,
если Мп->М, где
Мп (w) = elK W~-n , Ж (w) = е* W~~- ,
1 — 6„ze/ 1 — bw
то Ж^оГ^ЖоТ, так как
М оТ = с^ w &*" + ь.пёп) ~ ifi*n ап + Ьп)
{\ + апЬпе*") — т{ап + ЪпеШп)
и
(1+аЬеы)-т(а+Ъы)'
и параметры в Мп о Тп сходятся к соответствующим параметрам в Ж о Г.
После этих предварительных замечаний мы выясним
взаимоотношение между понятием дискретности группы Г и ее свойством
обладать бесконечно малыми преобразованиями.
Теорема 9.17. Группа Г дискретна в том и только в том
случае, когда Г не содержит бесконечно малых преобразований.
Пусть Г содержит бесконечно малые преобразования Тп-+1,
Тп ф I; каждое Тп имеет самое большее одну неподвижную точку
9.4. ОТОБРАЖЕНИЯ РИМАНОВОИ ПОВЕРХНОСТИ НА СЕБЯ 273
в |^|< 1, так что неподвижные точки всех Тп образуют не более
чем счетное множество. Поэтому мы можем выбрать некоторую
точку а в |?#|<1, которая не является неподвижной точкой ни
одного Тп. Далее, точки, {Тп(а)} эквивалентны а, и lim Тп(а) = а.
Таким образом, группа Г не является дискретной. л->оо
Обратно, пусть группа Г не дискретна. Тогда существует
последовательность различных точек {ал}, эквивалентных по отношению
к Г, которая сходится к точке а в |^|<1, апФа. Отображение
ГЛ£Г, переводящее ап в ап+1, записывается в виде
w'-an+1 /« w-an Q . 2
1 — cin+1w 1 — anw
Мы можем выбрать подпоследовательность ап% сходящуюся к
некоторому пределу а, и эту последовательность мы также обозначим
через [Тп]. Так как ап-+а и ал->а, то Тп -> /?а, где
1 — азд/ 1 — aw
является н. е. вращением на угол а вокруг а. Если а = 0 или 2тс,
то Ra = I и Г содержит бесконечно малые отображения. В противном
случае Т~г -> Я"1, так что Tnli *Тпф1, Т~1± оГ^Ги 77^ о Тп -*
-*R7 о/?а = /, что и заканчивает доказательство.
Взаимно однозначные и конформные отображения римановой
поверхности 5 на себя образуют группу, которую мы обозначим через
Л. Множество точек Е на S называется эквивалентным множеством
точек по отношению к Л, если 1) включение Р££ влечет
включение /(Р)£Е для всех /^Л и 2) из включений Р££, Q££
следует, что существует отображение /£Л, для которого /(P) = Q.
Снова мы назовем группу Л дискретной, если ни одно из
эквивалентных множеств точек по отношению к Л не имеет предельной точки
на 5.
Некоторые из перечисленных нами поверхностей имеют группы
отображений на себя, которые не являются дискретными. В
частности, таковы поверхности с универсальными поверхностями наложения
эллиптического или параболического типа. Они распадаются на четыре
класса конформно эквивалентных поверхностей, и мы сейчас
перечислим их, указывая представителя каждого класса:
1) сфера (компактная поверхность рода нуль);
2) сфера с одной выколотой точкой (сфера, из которой удалена
одна точка);
3) сфера с двумя выколотыми точками (сфера, из которой
удалены две точки);
4) тор (компактная поверхность рода 1).
Кроме перечисленных, существуют три очень простые поверхности
с гиперболическими универсальными поверхностями наложения,
которые не имеют дискретных групп Л, а именно:
274
ГЛ. 9. УНИФОРМИЗАЦИЯ
5) круг;
6) круг с выколотой точкой (круг, из которого удалена одна
точка);
7) кольцо.
И „тор" и „кольцо" являются представителями классов, состоящих
из бесконечного числа конформных типов (задача 3 из гл. 9).
Теорема 9.18. Из всех римановых поверхностей только семь
поверхностей, перечисленных выше, не имеют дискретных групп
взаимно однозначных конформных отображений на себя.
Для доказательства этой теоремы предположим, что 5 имеет
гиперболическую универсальную поверхность наложения S. Пусть Р' =
= /(Р)— взаимно однозначное конформное отображение 5 на себя.
Тогда / индуцирует взаимно однозначное конформное отображение F
поверхности 5 на себя. Действительно, если Р = ср(Р)—
проектирующее отображение 5 на 5, то /о ср является проектирующим
отображением 5 на/(5). С этим новым проектирующим отображением / о ср
поверхность S становится новой безграничной неразветвленной
поверхностью наложения для f(S) = S, которую мы обозначим через
F(S). Все точки 5, лежащие над точкой Р£ 5, будут теперь лежать над
/(Я) ¢5. Так как поверхность F(S) односвязна, то она является
универсальной поверхностью наложения 5. Мы получили, таким
образом, взаимно однозначное конформное отображение F
универсальной поверхности наложения S для S на универсальную поверхность
наложения для /(S) = S (следовательно, на саму S), так что каждая
точка Р £ 5, лежащая над точкой Р £ S, отображается в точку F (Я),
лежащую над точкой f(P)£S. Это отображение определено с
точностью до преобразования наложения F (S), и оно определяется
однозначно, если мы потребуем, чтобы данная точка PQ£S, лежащая
над P£S, отображалась в заданную точку, лежащую над /(Р).
Когда 5 отображается на единичный круг, отображение F
поверхности S на себя определяет отображение 7 единичного круга на себя.
Тот факт, что множество точек, имеющих одну и ту же проекцию
на 5, отображается в другое множество точек, проектирующихся
в одну точку, находит свое выражение в единичном круге в том,
что 7 переводит каждое множество точек, эквивалентных по
отношению к группе Г (преобразований наложения S), в другое
множество точек, эквивалентных по отношению к Г. Если М — движение
из Г, то Т~х о М о Г есть также движение, соответствующее
преобразованию наложения S, и, значит, оно принадлежит Г. Следовательно,
7 обладает свойством Т~г оГ оТ — Г, или Г о Т = Т о Г, т. е. 7
коммутирует с группой Г. Обратно, любое движение, коммутирующее с Г,
должно отображать каждое множество точек, эквивалентных по от-
9.4. ОТОБРАЖЕНИЯ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ НА СЕБЯ 275
ношению к Г, в другое такое же множество, так что Г
соответствует отображению Gr на себя и, следовательно, отображению 5 на
себя.
Пусть Гс — группа движений н. е. плоскости, коммутирующая с Г.
Группа Г является нормальным делителем группы Гс, и каждое
преобразование из Г соответствует тождественному отображению 5 на
себя. Таким образом, группа отображений 5 на себя изоморфна
факторгруппе Гс/Г. Если бы группа Л не была дискретной,
эквивалентные точки Plt Р2, ... на 5 имели бы предельную точку Р0. Но
тогда соответствующие точки в Gr имели бы предельную точку и
группа Тс не была бы дискретной. Таким образом, чтобы доказать
дискретность Л, достаточно показать дискретность Гс. Это можно
установить, доказав, что Г^ не содержит бесконечно малых
преобразований.
Чтобы найти все те исключительные случаи, когда группа Тс не
дискретна, предположим, что Г^ содержит бесконечно малые
отображения 7\, Т2, . . ., Тп Ф I и Тп-+1. Если Г состоит только из
тождественного преобразования /, то Gr является внутренностью
единичного круга и 5 должна быть конформно эквивалентна кругу, т. е.
мы имеем дело с исключительным случаем 5). Таким образом, мы можем
предположить, что найдется Л4£Г и М Ф I. Движение Т„ оМоТп
принадлежит Г, так что М~х о(т~1оМоТп) также принадлежит Г.
Так как Тп -> /, имеем
M"1oTn1MoTn-^L
Но Г не содержит бесконечно малых преобразований, так что
последнее возможно только, если М~1 о Г„ 1М о Тп = I для достаточно
большого п, или просто
М о Тп = Тпо М для /г>д0.
Мы должны теперь определить, когда н. е. перенос или
предельное вращение М может коммутировать с движением Т п. Так как
T'n1 о МоТп — М, М и Тп1 ° МоТп имеют одни и те же неподвижные
точки. Это значит, что если M(wi) = w0nTn(w0) = wi, причем M(wl) =
==w2, то Tn1(w2) = w(). Но Тп1 (w1) = w0, так что тх = т2 и
M(w1)==w1. Следовательно, Тп отображает неподвижную точку М
в неподвижную точку М.
а) Если М — предельное вращение с единственной неподвижной
точкой wQl то w0 также должна быть неподвижной точкой для всех
Тп, п > п0. Если бы отображение Тп имело другую неподвижную
точку wl Ф w0, то М-1 о Тп о М — Тп для п >/г0, причем М (wx) = w2,
где w2 Ф wt и w2Ф w0. Пусть Тп (w2) = w%\ тогда М~х (w3) = wx. Ho
M"l(w2) = wlt так что ^2 = ^3 и w2 является тоже неподвижной
точкой Тп, но это невозможно, так как Тп имеет самое большее две
неподвижные точки. Таким образом, Тп имеет единственную непо-
276
ГЛ. 9. УНИФОРМИЗАЦИЯ
движную точку w0 для всех п > п0. Но так как любое Ж £ Г
коммутирует с Тп, то же рассуждение показывает, что все Ж£Г
являются предельными вращениями с одной и той же неподвижной
точкой w0 на 1^1=1. Отображение a = (2iw0)/(w— w0) — i
переводит круг |«;|<1 в полуплоскость Im а > 0; предельные вращения
в Г переходят при этом в группу переносов параллельно
действительной оси. Дискретная группа отображений Г состоит теперь из
переносов:
с' — a-\-kb, k = 0, ±1, ±2 b — положительная постоянная.
[Отображение ^ = e2%hlb переводит полуплоскость в кольцо 0< | С| < I
таким образом, что каждое множество эквивалентных точек a-\-kb,
k = 0, ±1, ±2 отображается в одну и ту же точку С. Итак,
Ог конформно отображается на круг с выколотой точкой, т. е. мы
имеем исключительный случай 6).]
Ь) Мы потребуем теперь, чтобы Г не содержала предельных
вращений. Если Ж£Г является н. е. переносом с неподвижными
точками wt и w2 на окружности | w \ = 1, то либо Тп имеет те же две
неподвижные точки и является также н. е. переносом, либо Тп
переставляет неподвижные точки Ж. Обращаясь к определению трех
типов н. е. движений, мы видим, что единственным движением,
переставляющим две граничные точки на окружности | -вгг | == 1 ж является
н. е. вращение на угол тт. Но н. е. вращение на угол тг имеет одну
неподвижную точку w2 внутри круга \w | < 1. Чтобы выполнялось
соотношение Ж-1 о Тп о Ж = Тп, w2 должна быть неподвижной точкой Ж.
В самом деле, M(w2) = w3, Tn(w3) = w4: и M~l{w^ = w2. Но
M~l(w^ = w2i а поэтому ^ = ^4 и ^/2(^3) = ^3- Отсюда, наконец,
следует, что ^ = ^2. или Ж (w2) = w2, что невозможно. Итак,
преобразование Тп при л > п0 имеет те же неподвижные точки, что и Ж.
Так как Ж — произвольное отображение из группы Г, то Г состоит
только из н. е. переносов с одними и теми же неподвижными
точками wx и w2. В этом случае
г w1 w — w2
где arg w2 > arg w19 отображает круг | w | < 1 на полуплоскость t > 0.
H. е. переносы в Г являются теперь растяжениями a/ = ekcci с —
действительная постоянная, k = 0, ±1, ±2, .... Отображение С = log о
переводит верхнюю полуплоскость в полосу — оо < £ < оо, 0 < т) < тс
плоскости С = Е-f-/т]. Н. е. переносы соответствуют теперь переносам
этой полосы параллельно оси £:
С' = С + £с, ft = 0, ±1, ±2, ... .
Наконец, отображение (a = e~2izi^c переводит полосу в кольцо 1<
< | о) | < е2к^с так, что каждое множество эквивалентных точек £>-\-kc
отображается в одну и ту же точку о). Таким образом, Gr
отображается конформно на кольцо, что является исключительным случаем 7).
ЗАДАЧИ
277
Этим исчерпываются все возможные случаи, и доказательство теоремы
закончено.
Применение доказанной теоремы к компактным поверхностям
позволяет сделать следующий вывод. На компактной римановой
поверхности 5 группа отображений 5 на себя дискретна в том и только
в том случае, когда она состоит из конечного числа отображений,
так как множество эквивалентных точек только тогда не будет иметь
предельной точки на компактной поверхности, когда оно конечно.
Отсюда мы получаем теорему Шварца.
Теорема 9.19. Компактная риманова поверхность рода g > 1
допускает только конечное число взаимно однозначных и
конформных отображений на себя.
ЗАДАЧИ
1. Показать, что всякая двусвязная область на плоскости
конформно эквивалентна одной из трех следующих канонических
областей: а) сфере с двумя выколотыми точками, Ь) кругу с выколотой
точкой, с) кольцу 1). Показать, что только у этих поверхностей
группа преобразований наложения Г является свободной циклической
группой с одной образующей.
2. Показать, что для кольца f1<£<r2 различным числам т =
= | log (г2/гх) | соответствуют различные конформные классы двусвяз-
ных областей.
3. Пусть р — число действительных параметров в группе
конформных отображений римановой поверхности на себя. Определить р
в тех семи случаях, когда группы не дискретны. Показать, что для
компактных поверхностей р = б при g" = 0, р = 2 при g— 1 и р = 0
при g> 1.
4. S — компактная риманова поверхность рода g^>2. Пусть Г —
группа н е. движений круга G:\w\<^ 1, соответствующая
преобразованиям наложения 5. Показать, что существует число 8 > 0, для
которого всякий н. е. круг d(w, ?2/0)< Ь не содержит ни одной пары
точек, эквивалентных по отношению к Г.
б. Дифференцируя равенство (1) из п. 9.2 и используя
инвариантность расстояния при движениях, показать, что элемент н. е.
длины дуги имеет вид
\dw\
as— 1_|«,«|-
6. Во что переходят н. е. прямые и движения при отображении
единичного круга на верхнюю полуплоскость? Показать, что элемент
1) Говорят, что область гс-связна, если ее фундаментальная группа
имеет п—1 независимых образующих. Таким образом, для двусвязной
области фундаментальная группа есть свободная группа с одной образующей.
278
ГЛ. 9. УНИФОРМИЗЛЦИЯ
н. е. длины дуги выражается через w — u-\-iv в полуплоскости v > О
в виде
V
7. Всякое н. е. предельное вращение может быть представлено
как евклидов перенос верхней полуплоскости wf=^w-{-b, где Ъ —
действительное число, так что w0 и wQ-\-b всегда являются
эквивалентными точками. Из задач 4 и б вывести, что группа Г для
компактной поверхности рода g^>2 не содержит н. е. предельных
вращений.
8. Доказать, что универсальная поверхность наложения 5 для
2-сферы с тремя выколотыми точками а1% а2, аъ является
поверхностью гиперболического типа. Это можно осуществить следующим
образом. Отображаем сначала дробно-линейным преобразованием
точки а19 а2, а3 в 0,1, со. Затем строим эллиптическую модулярную
функцию w = \(z\ 0, 1, оо), рассматривая для этого отображение
верхней полуплоскости на область 0 < # < 1,1а — -к-) -Ь^2 > х»
t/>0 в плоскости w=:u-\-iv, при котором 0 —>■ 0, 1-+1 и со->
—> оо. Существование такого отображения следует из теоремы Ри-
мана об отображении и возможности произвольного выбора трех
граничных точек. Затем, аналитически продолжая X через три отрезка
действительной оси (принцип симметрии Шварца), получим
отображение 5 на верхнюю полуплоскость, которая в свою очередь может
быть отображена на единичный круг. Построенное отображение
поверхности 5 на единичный круг обозначим через 'k(z; alt а2, а3).
9. Доказать теорему Пакара о том, что всякая мероморфная
функция z — f(t), определенная в комплексной /-плоскости и не
принимающая трех значений а1у а2, а3, есть константа.
[Воспользоваться тем, что \(f(t); alt а2, а3) является ограниченной
однозначной регулярной аналитической функцией на всей /^-плоскости.]
10. Доказать, что универсальная поверхность наложения сферы
с п выколотыми точками (я^-3) является поверхностью
гиперболического типа. (Предположить, что она параболическая, и применить
теорему Пикара.)
Глава 10
КОМПАКТНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
10.1. Регулярные гармонические дифференциалы. Мы
сосредоточим теперь внимание на изучении гармонических и аналитических
функций на компактных римановых поверхностях. Здесь ставятся
следующие основные вопросы: выяснение условий существования
аналитических функций (точных аналитических дифференциалов)
с заданными особенностями, количество „различных" функций среди
них, взаимоотношения этих функций. Мы начнем с изучения всюду
регулярных гармонических дифференциалов на рассматриваемых
поверхностях.
Совокупность конечного числа ненулевых дифференциалов со^ со2, ...
.., , со^ на римановой поверхности S называется линейно зависимой
над числовым полем F, если существуют числа cv с2, . . ., сп из F\
хотя бы одно из которых отлично от нуля, такие, что с1ы1-]-с2(й2 + ...
... -j-^Л — О на S- Если таких чисел не существует, то мы
говорим, что дифференциалы coj, со2, ..., соЛ линейно независимы
над полем F. В качестве поля F мы будем брать либо поле
действительных, либо поле комплексных чисел.
Пусть S имеет род g. Изучим гильбертово пространство Н
гармонических дифференциалов на 5. Нормальная форма 5 есть
многоугольник с Ag сторонами и символом a1b1a~1b~1 ... ао-Ь а~1Ь"1.
Замкнутые кривые а,- и Ьь можно взять кусочно аналитическими
на S, ибо мы уже видели, что поверхность 5 можно триангулировать
треугольниками, стороны которых являются аналитическими кривыми.
Далее, а£ и ht образуют базис гомологии для S, и любой цикл с
на S гомологичен целой линейной комбинации а^ и bt« Если
дифференциал со £ Н, то со замкнут и период со вдоль любого цикла с
равен периоду со вдоль всякого цикла, гомологичного с. Так как
g
с~^ Mj + [ijbj, имеем
t = i
с Ы.а.+нЪ. Ы1 V a. b. /
Таким образом, период со вдоль любого цикла может быть выражен
как линейная комбинация его периодов вдоль базисных циклов at
и bj, /==1, 2, ..., g. Обозначим через Аь и Bt периоды со соот-
280
ГЛ. 10. КОМПАКТНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
ветственно вдоль а^ и Ъь> так что
Если Л-==0 и Bt = 0 для /=1, 2 g\ то дифференциал со
точный, но точный гармонический дифференциал на компактной
поверхности должен тождественно равняться нулю.
Тот факт, что период w вдоль любого цикла полностью
определяется периодами At и Bi% позволяет доказать, что Н является
комплексным векторным пространством с размерностью, не
превосходящей 2g. Пусть сох о)я — гармонические дифференциалы
из Н, и пусть
Aij= J4« Ви= /<**•
Рассмотрим теперь следующую систему однородных уравнений
относительно неизвестных Xlf Х2, . .., Хя:
М11 + М21+ • .. +Мя1 = °-
Х1Л12 + Х2Л22+ ... +Мя2 = 0.
Х1Б1^ + Х2Б2^+ ... +KBng=o.
Если /г > 2g\ то эта система 2g уравнений с п неизвестными Х1$
Х2, ..., Хя имеет нетривиальное решение, для которого не все \t
равны нулю. Тогда все периоды дифференциала
о)==Х1а)1+Х2а)2+ ... +Хяа)я
равны нулю, так что <о = 0. Таким образом, при n>2g любая
система п гармонических дифференциалов на S линейно зависима над
полем комплексных чисел, а следовательно, Н является векторным
пространством размерности, не большей чем 2g, над полем
комплексных чисел. В частности, если g = 0, то dim#=0, т. е. на ри-
мановой поверхности рода нуль не существует всюду регулярных
гармонических дифференциалов.
Чтобы показать, что в действительности имеется 2g линейно
независимых гармонических дифференциалов на 5, построим в Н такие
действительные гармонические дифференциалы а^, /=1, 2, ..., 2g%
что каждый из а);, /= 1 g, имеет период 1 вдоль а^ и период 0
вдоль a,, j Ф I, и вдоль всех Ь;-, а каждый ug+i, /=1, 2 g,
10.1. РЕГУЛЯРНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ 281
имеет период 1 вдоль bt и период 0 вдоль by, j ф I, и вдоль всех а^
Мы проведем построение со^ все остальные со^ строятся аналогично.
В нормальной форме, соответствующей 5, мы выберем
последовательно точки Я, Q, R, являющиеся внутренними точками кривой аи
и обозначим через Р', Q', Rr точки на а"1, которые отождествляются
соответственно ,с Я, Q, R. Проведем прямолинейные отрезки PPr,
QQ! и RR'. Перенеся их обратно на S, построим функцию / на S
следующим образом:
a) / = 0 в части S, лежащей вне а,-1
четырехугольника PPfRrRP (эта часть
поверхности заштрихована на рис. 10.1);
b) / === 1 в четырехугольнике
QQ'R'RQ (на рис. 10.1 эта часть
поверхности заштрихована пунктиром);
c) / так определена в
четырехугольнике PP'Q'QP (не заштрихован
на рис. 10.1), что имеет здесь и на
сторонах PPt и QQf непрерывные
вторые производные.
Заметим, что / делает скачок,
равный 1, при переходе через линию RR'
и постоянна по обе стороны от RR'.
Таким образом, мы можем положить
7гх = df на всей поверхности 5,
исключая линию RR', на которой полагаем тгх = 0. Дифференциал 7гх замкнут,
так как 7^ = 0 вне четырехугольника PP'Q'QP, а внутри его тсх = df
и dit1 = ddf =0. Период к1 вдоль а: равен
J\= f df = f(Q)-f(P)=l-0=L
Рис. 10.1
так как 7гх = 0 на части аг вне PQ. Далее, тгх = 0 на всех а^
/ = 2, 3, . .., g, и на всех hh i== 1, 2, ..., g\ так что периоды?^
вдоль этих циклов равны нулю. Используем теперь теорему о
разложении (лемма 8.1), чтобы найти действительный гармонический
дифференциал сох, имеющий те же периоды, что и замкнутый
дифференциал 7г1# Дифференциал сох и есть искомый.
Ясно, что эти 2g дифференциалов со:, со2,-. .
зависимы; действительно, если
со2 линейно не-
: Ххсох ■
-X2co2-f~ ... -f-X2^.co2g. = 0,
то период со вдоль а^, i^Cg, равен \t, так что ^ = 0, и период со
вдоль bt, /<g\ равен \g+l, так что \g+l = 0t и, следовательно,
все X., /=1 2g, равны нулю. Тем самым доказана
282
ГЛ. 10. КОМПАКТНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
Теорема 10.1. На компактной римановой поверхности рода g
векторное пространство регулярных гармонических
дифференциалов над полем комплексных чисел имеет размерность 2g.
10.2. Билинейные соотношения Лимана. Каждый гармонический
дифференциал о>£7/ может быть представлен в виде линейной
комбинации 2^ дифференциалов юи о>2, . . ., а>2 построенных выше:
Коэффициент At равен периоду а) вдоль цикла а^, а В1 есть период о>
вдоль Ь^. Периоды о> вдоль а,- назовем А-периодами
дифференциала со, а периоды а> вдоль Ь^ — В-периодами дифференциала to.
Множество {^i}ig=1 называется каноническим базисом гармонических
дифференциалов на S. Гармонический дифференциал о> однозначно
определяется своими 2g периодами Аи Blt А2, В2, ..., Ag, Bg.
В дальнейшем мы изучим подпространство Л пространства Н,
состоящее из голоморфных дифференциалов на S. Каждый
гармонический дифференциал а> порождает голоморфный дифференциал ср =
= 0)4-/^.0). Другое подпространство Н—это пространство
^дифференциалов, комплексно сопряженных к голоморфным
дифференциалам; если ср £ Л, то ср£с/£. Если о> £//, то о>£Я и ср/ = а)-г-
-\-1*ы£Л. Тогда ср' = со— /#. <*>(: с?£, и, складывая, получаем
<о = ср/2 -)—ср//2. Таким образом, каждый дифференциал из Н является
суммой дифференциалов из i и i, так что Н разлагается на Л
и Л-
Теорема 10.2. Л и Л являются ортогональными
подпространствами И и н=л®л.
_Пусть ср£с?£ и ср' ^Л. Тогда ^ ср = —/ср и * ср7 = — /ср', или
^ ср' = /ср'. Имеем
(ср, ср') = (* ср, * ср') = (— /ср, /ср') = (— /) (— /)(ср, ср') = — (ср, ср'),
так что (ср,^') = 0 и Л±_Л.
Оператор комплексного сопряжения ~ определяет изоморфизм Л
на Л, так что dim Л = dim Л. Также dim Л ■+-dim Л — 2g, поэтому
dim Л = g. Таким образом, справедлива
Теорема 10.3. Размерность пространства голоморфных
дифференциалов на компактной римановой поверхности рода g
равна g.
Голоморфные дифференциалы на S называются абелевыми
дифференциалами первого рода.
Далее мы изучим периоды голоморфных дифференциалов. Пусть о>—
замкнутый дифференциал на 5 и kj-регулярный дифференциал
10 2. БИЛИНЕЙНЫЕ СООТНОШЕНИЯ РИМАНА
283
(т] (^С1) в окрестности каждой точки циклов at и hiy /— 1, 2, . . . , g.
Пусть Го) = Л£, f (0 = /^, j*q=zA'. и Г т] = Z^# Внутренность
a. b. а, Ь£
нормальной формы П есть односвязная область и соответствует области
«a S, которую мы снова обозначим через П. Замкнутый
дифференциал является точным в П;
действительно, в силу односвязности П каждый ь -t
цикл на П гомотопен точке, и,
следовательно, все периоды о)вП равны нулю.
Таким образом, а> — df, где функция/
имеет непрерывные вторые производные
в П, и ее можно даже продолжить
таким образом, что она будет иметь
непрерывные вторые производные на дИ
и будет выполняться соотношение
a) = df, хотя / уже не будет
однозначной функцией на S.
Каждая точка Q на аг
отождествляется с некоторой точкой Q' на аГ
в дЛ. Пусть QQ' — прямолинейный
отрезок, соединяющий Q с Q' в П; тогда QQ' соответствует циклу
на о, и интеграл Г а> определен и может быть вычислен как
QQ'
Рис. 10.2
Ja> = /rf/ = /(Q0 —/(Q).
QQ'
QQ'
Но цикл QQ' гомологичен циклу QP-\-PPf -\-P'Q\ где PP' — Ь{
(рис. 10.2); поэтому f(Q') — f(Q)= f ш-+- f а>-+- Га>. Вспо-
QP
P'Q'
миная, что QP и Q'Pr— одна и та же дуга на 5, мы видим, чта
Г а) = — Г со, а С & = ВЬ, Таким образом, /(Q')— f{Q) = Bt.
QP Р7^' bi
Аналогично точка R на Ь^ отождествляется с R' на Ь/ и /(/?') —
Имеем
■/(/?) = •—Л;. Вычислим теперь интеграл \ ff\.
дп
//ч= //ч-h ]7ч- /(/ + В|)ч- /(/-
а.+ Ь. + агЧьг1 а£ bi ai bt
*• *■ i i
= -Btf7i-\-At f-n = AtB't-BtA'r
■А,)-ч =
284
ГЛ. 10. КОМПАКТНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
Таким образом,
g
ffri = ^i(AlB'i-BlA'i). (1)
дП i = l
Это важное соотношение будет нам весьма полезно в дальнейших
рассмотрениях.
Если ср и ср7 — абелевы дифференциалы первого рода на S, то ср
и ср' ортогональны. Мы можем выразить (ср, ср7) через периоды Ajt Bj,
j — 1 g. для ср и периоды А1., В'.% j == 1, . .., g, для ср7:
(<р> <?) = ff v * ?' = —l f f w' = — * fj w'•
S S П"
Но ср замкнут на S, поэтому ср = df в П, в то время как <2ср' == О
на S. Хотя а,- и Ь,- — кусочно аналитические кривые и П компактно
в S, П не является регулярной областью для теоремы Стокса, так
как XI лежит по обе стороны каждой из кривых ау- и by. Но мы можем
разделить II на конечное число (4g) регулярных областей, соединив
внутреннюю точку П с каждой из вершин П, а так как теорема
Стокса верна для каждой из этих областей, то она верна и для их
суммы. Таким образом,
(ср,,')=- * //?'=-« s (ajbj - м-)-
дП ; = 1
Из теоремы 5.2 вытекает
Теорема 10.4. Л- а В-периоды любых двух абелевых
дифференциалов первого рода ср и ср7 удовлетворяют соотношению
i («р. ?о = i (л-в; - BiA'i)=о. (2)
Вычисление (ср, ср7) приводит также к другому интересному
соотношению для Л- и ^-периодов. Имеем
(ср, сро = f f ср * ? = / J j* ср?' = г- J /y = i ^ (л,.в; - b,a'}).
s s din
Применяя это к ||<p|| =(<p. <p), получаем следующий результат.
Теорема 10.5. Л- а В-периоды любого абелева дифференциала
первого рода удовлетворяют соотношению
цср||2 = г-2(лД.-вД.)>о. О)
Соотношения (2) и (3) называются билинейными соотношениями
Римана для абелевых дифференциалов первого рода.
10.2. БИЛИНЕЙНЫЕ СООТНОШЕНИЯ РИМАНА
285
Из (3) немедленно вытекает
Следствие 10.1. Всюду голоморфный дифференциал, у
которого все А-периоды (или все В-периоды) равны нулю,
тождественно равен нулю.
Таким образом, дифференциал первого рода полностью
определяется своими Л-периодами (или ^-периодами). Кроме того, из (3)
вытекает
Следствие 10.2. Любой абелев дифференциал первого рода,
у которого все периоды действительны, тождественно равен
нулю.
Пусть <!>!, ф2 tyg—базис абелевых дифференциалов первого
рода. Обозначим период ^ вдоль ау через Ау. Определитель
| (Ау) | Ф 0. Действительно, если бы он обращался в нуль, то система
однородных уравнений
2Vv = o. j=\. ..., g,
i=i j
имела бы нетривиальное решение для Xlt . . ., kg. Но тогда все
Л-периоды голоморфного дифференциала M^i + М*2 + ... +V!V
были бы равны нулю и он был бы тождественно равен нулю, что
противоречит линейной независимости фг. Таким образом, мы можем
разрешить систему уравнений
g
где 87, = 0 при ]Фк и bkk=l для каждого k9 k=\9 2, ..., g9
g
и определить yk = 2^/$/» & = 1 £• Дифференциалы ср^ снова
образуют базис абелевых дифференциалов первого рода, и yk имеет
период 1 вдоль ak и период 0 вдоль ау-, j Ф k. Если обозначить
через Bkj период cpfe вдоль by, то мы получим следующую таблицу
периодов для базиса срх, ср2 ср^.:
?2 I и А • • • и ^21 ^22 • • • &2g (4)
Мы нааовем полученный базис каноническим базисом абелевых
дифференциалов первого рода.
1 ч
1 1
0
0
а2 •
0 .
1 .
0 ..
.. а^
. 0
. 0
. 1
bi
Вц
вч\
Bgl
b2 .
#12 •
#22 ..
Bg2 .
- *V
• Blg
. B2g
• Bgg
286
ГЛ. 10. КОМПАКТНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
Матрица ^-периодов канонического базиса
(В и)-
Вп В12 ... Blg
Bgl Bg2 ... Bgg
является симметрической матрицей, так как, применяя (2) при cp = ?f
я
и ср/ = ср/» мы получаем ^(AikBjk— BikAfk) = 0. А так как периоды
Лу = 8у, то отсюда получаем В- — Ву = 0, что доказывает
симметрию. Кроме того, матрица
/lm Вп Im£12 ... Im Bl8:
(ImBy)=
\Im Bffl Im^ ... lm Bgg
положительно определена. Это станет видно, если применить (3)
к аналитическому дифференциалу ср = х1<^1 + . . . + х у где
X; — действительные числа, не обращающиеся одновременно в нуль.
Тогда |Ы12>0, Ak = xk и
Bk = xtBlk + x2B2k +...+ xgBgk.
Имеем
g
О < i 2-^/(^1/+ • • • +xgBgj) — xj{xlBlj+ . . . + xgBgJ),
или просто
g g
0 < 2 %XjXklmBJk9
y=i k=i J J
что доказывает положительную определенность матрицы (ItruB-).
10.3. Билинейные соотношения для дифференциалов с
особенностями. Определив число голоморфных дифференциалов на
компактной римановой поверхности 5 и получив некоторые сведения
о характере их периодов, вернемся теперь к изучению аналитических
дифференциалов с особенностями. В предыдущих рассмотрениях
случай ^ = 0 всегда исключался как тривиальный, ибо на сфере не
существует всюду голоморфных нетривиальных дифференциалов.
Однако теперь, при изучении дифференциалов с особенностями, этот
случай следует также включить. Мы рассмотрим только мероморфные
дифференциалы, все особенности которых, выражаемые в локальных:
координатах z = х + jj/, имеют вид
(ап . Ад-! _j_ _^i_\
\zn~r ^-1 ~г • • • -г ^ )
dz.
На компактной поверхности 5 мероморфный дифференциал о> имеет
только конечное число особенностей этого типа. Действительно9,
локально u = f(z)dz, где f(z) — аналитическая функция от z~
10.3. БИЛИНЕЙНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ 287
Если бы особых точек было бесконечно много, то существовала бы
предельная точка особых точек, в которой / имела бы существенную
особенность, а не особенность описанного типа. Вообще, будем
называть голоморфные или мероморфные дифференциалы на 5 абелевими
дифференциалами.
В гл. 8 мы установили существование абелевых дифференциалов,
имеющих особенность
(5+-..+¾^. »>2,
в одной точке 5, а также дифференциалов, имеющих особенность
— dz в Р и ~dz в Q, где Р и Q — различные точки 5.
Пусть ($1 и о>2 — аналитические дифференциалы с одинаковыми
особенностями на 5. Тогда ср == coj -— оз2 -— голоморфный дифференциал
на S. Если Alt Л2, ..., А — Л-периоды дифференциала ср, то
дифференциал ср — ^41ср1 — Л2ср2 —- . . . — Ag9g имеет нулевые Л-периоды
и должен быть тождественным нулем. Итак, а^ = о>2 -j- ^41ср1 ~|-
-f- Л2ср2 -f- . . . -\- Agygi и мы видим, что абелев дифференциал
полностью определяется своими особенностями и Л-периодами.
Мероморфный дифференциал, у которого все особенности—полюсы
порядка >2 с локальным представлением ( —+ • • • + — + v(z)\dzt
\ г2 zn J
где ср(£) — регулярная функция, называется абелевым
дифференциалом второго рода. Другими словами, мероморфный дифференциал,
у которого все вычеты равны нулю, называется абелевым
дифференциалом второго рода. Абелевы дифференциалы третьего
рода — это все абелевы дифференциалы на1) 5. Заметим, что
дифференциалы первого рода являются также дифференциалами второго
рода, а дифференциалы второго рода являются также
дифференциалами третьего рода.
Пусть а) — абелев дифференциал с Л-периодами Al9 Л2, ..., А\
тогда дифференциал
о/ = а) — Afli — Л2ср2 — ... — Ag<pg
является абелевым дифференциалом с теми же особенностями, что
и со, и с нулевыми Л-периодами. Мы назовем такой дифференциал
с нулевыми Л-периодами нормированным абелевым дифференциалом.
В частности, для данных двух точек Рх и Р2 на 5 мы можем
!) В книге Р. Неванлинна «Униформизация» абелев дифференциал
второго рода определен как дифференциал с локальным представлением
(~ + <Р (z)) dzy а абелев дифференциал третьего рода — как дифференциал,
имеющий локальное представление ( (- ср (-г) j dz, где ср (z) — регулярная
функция (см. Неванлинна [1], стр. 201, 202). — Прим. перев.
288 ГЛ. 10. КОМПАКТНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
построить нормированный дифференциал (Qlt 2 с особенностью — dz
в Pt и dz в Я2. Этот дифференциал называется нормальным
дифференциалом третьего рода.
Произвольный абелев дифференциал может быть следующим
образом разложен на сумму нормированного дифференциала
второго рода, конечного числа нормальных дифференциалов третьего
рода и конечного числа дифференциалов первого рода. Пусть
а) имеет вычеты си с2 сп в точках Plt Я2> •••» Рп> выберем
точку Я0 на S, Р0ФР-, j=l, ..., п, и построим нормальные диф-
п
ференциалы третьего рода а>х 0, а>2 0, ..., а>Л|0. Так как ^с* = 0,
п
дифференциал 2 ^/^/,о регулярен в Р0, и он имеет вычеты с-
п
в точках Я,. Если у дифференциала о> — 2 О0*/ о ^-периодами
служат числа Ах, Л2 А то
со2 = со — 2 <7">у-, о — 2 ^*?#
7 = 1 £ = i
является дифференциалом второго рода с нулевыми Л-периодами.
Таким образом,
п g
0) = 0)2-(- 2 сДо + 2^?й (О
.7 = 1 ' ' ft-1
есть искомое представление произвольного абелева дифференциала.
Теорема 10.6. Пусть со3 — дифференциал третьего рода, все
особенности которого простые полюсы (полюсы порядка 1)
с вычетами сь в точках Рь, /= 1, 2 т, а пусть ых —
произвольный дифференциал первого рода. Выберем канонические циклы
а1э hi ^g, bg таким образом, чтобы ни один полюс о>3
не лежал на а,- и bt. Положим затем At= I (alt Bt= Г и>х,
А'.~ Го)3 и В'ь = Г о)3 для 2=1, 2 g*. Фиксируем точку Р0
в нормальном многоугольнике П, # пусть Lt — фиксированный
путь в TL от Р0 к Рь. Тогда
g *п
j {АЖ - В.А[) = 2ТГ/ J с* / *!• (2*
/=1 * = 1 zft
Э/тго билинейное соотношение для абелевых дифференциалов
первого и третьего родов.
10 3. БИЛИНЕЙНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ 289
Заметим прежде всего, что в силу конечности числа полюсов со3
можно найти канонические циклы, не проходящие через эти полюсы.
Пусть / — голоморфная функция, определенная в односвязной
области П таким образом, что u>t = df в II и /(Р0) = 0 для
фиксированной точки Р0 в П. Тогда из соотношения (1) п. 10.2 следует, что
g гп
2 (л& - вьАЪ = //а)з=2™ 2 res"ft(M).
/ = i an k=i
где reso (/а>3) означает вычет /ш3 в Pk. Вычет /со3 в Pt равен f(P^)ciy
где f(Pt)= Г о>1э и теорема 10.6 тем самым доказана.
h
Следствие 10.3. Пусть со3 — нормированный дифференциал
третьего рода (все A't = 0) и (o1 = ^k— дифференциал первого
рода с периодом 1 вдоль ak и с равными нулю остальными
А-периодами\ тогда
т
f щ = Вгк = 2т^С; J*cp*.
где с- = resp.(о3.
Следствие 10.4. Пусть о>3—нормальный дифференциал третьего
рода, имеющий вычет 1 в Р и —1 в Q и не имеющий других
полюсов. Если Lp и Lq—пути, ведущие в П соответственно
от Р0 к Р и от Р0 к Q, то
Q
f<os = B'k= 2тг/| f 9k~ $<?!*)=—2lzif yk,
bk \Lp LQ J P
где интеграл в правой части берется по пути от Р к Q, не
пересекающем ни один из циклов ait Ь/э i= 1 g, и,
следовательно, лежащем в П.
Пусть снова (о3 — произвольный дифференциал третьего рода;
сделаем еще одно замечание относительно его периодов.
Триангулируем П так, чтобы все полюсы о>3 лежали внутри треугольников и
чтобы в каждом треугольнике оказалось не более одного полюса.
Если f1 — симплициальный 1-цикл в этой триангуляции Д, то
Ifх гомологичен целой линейной комбинации at и Ь^. Мы имеем тогда
g
Т1 = 2 (* А + kg+iht) + тJ.
290
ГЛ. 10 КОМПАКТНЫЕ РИМА НО ВЫ ПОВЕРХНОСТИ
где -|4 гомологичен нулю, т. е. ^= д 2 ^,-^-. где s2£ Д и т. — целые
числа. Теперь
N N
Далее,
I щ= 2j mJ I ^3 = 2lzi ^ m/ (res Шз в *?) •
Если 2-симплекс s2 содержит точку Ph в которой ш3 имеет вычет cz,
то мы полагаем т.= тгг в противном случае полагаем /я. — 0.
Тогда
га
Период о)3 вдоль ^1 равен тогда
f /=i ;=i
Л-периоды и Б-периоды дифференциала о>3 мы называем
циклическими периодами о>3, а числа 2щ'с-, которые появляются в связи с
периодами о>3 вдоль циклов, гомологичных нулю, называются
полярными периодами а>3.
Пусть С — произвольная замкнутая кривая на поверхности
S' = S—{Я-}™, так что С не проходит на 5 ни через один
полюс о)3. Мы можем взять параметрический круг D, с центром
в каждой точке Pj так, чтобы Dj не пересекался с кривой С.
Подразделим барицентрически триангуляцию Д поверхности 5 (а
следовательно, и П) так, чтобы треугольники подразделения Д',
содержащие точки С, не пересекались с Dj. Слегка сдвинув стороны
треугольников в D;., мы фиксируем триангуляцию Д', для которой
Pj не лежат на сторонах и в вершинах Д'. При гомотопной
деформации кривой С в симплициальный 1-цикл ^1 так определенной
«триангуляции Д' мы минуем точки D;., ./=1, 2, ..., т. Так как
<ш3— регулярный замкнутый дифференциал на S', мы имеем
g т
f со8= f со3= J] (*Д' + \+/5/) + 2Ta'S W7Cy
Таким образом, доказана
10 3 БИЛИНЕЙНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ 291
Теорема 10.7. Всякий период дифференциала о>3 является целой
линейной комбинацией циклических а полярных периодов а>3.
Применим теперь аналогичное рассуждениие к дифференциалам
первого рода ш1 и дифференциалам второго рода о>2. Предположим,
что о)2 имеет единственный полюс в Р0 с главной частью —^ dz
в фиксированной локальной системе координат Ф(Р) = 2, Ф (Р0) — 0'„
В этой же локальной системе координат а^ имеет представление
Опять полагаем At— I со-,, Bt= I (ov A/i= I (о2 и Л^ = | ш2.
а/ ь/ а* Ь/
Пусть (B1 = df в II. Тогда из соотношения (1) п. 10.2 следует, что
2 (AiB'i - ВА) = f /¾ = 2^ res^0 (/а>2).
Oil
Так как разложение / в окрестности Р0 имеет вид
f(z) = c + c0z + ^-z*+ ... 4-7^x^+1+ ....
то вычет /а>2 в Р0 равен ++* Таким образом, доказана
Теорема 10.8 (билинейные соотношения для дифференциалов
первого и второго родов). Пусть со2— дифференциал второго рода,
единственный полюс которого в Р0 имеет главную часть dz/zn.
Пусть сох — дифференциал первого рода и его представление
в окрестности Р0 имеет вид т1 = (с0-\- c1z-\-c2z2-\- . . .)dz. Пусть
Aj = Г (olf £;. = Г о)г Л' = Г о>2 а В'. = Г а)2 для у=1,2, ..., g.
a. b • a • b •
т л У J J J
Тогда
Следствие 10.5. Пусть ш2 — нормированный дифференциал
второго рода (все A'. = G\ и 0^ = ¾— дифференциал первого рода
с периодом 1 вдоль а/г а равными нулю остальными А-периодами;
тогда
/■
с(*)
с/г-2
^2=2^-^-^, (4)
где ®k == V с(%Л <£г а о>2 имеет особенность —^dz в Р0.
W = o /
292
ГЛ. 10. КОМПАКТНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
Если взять п—2, так что о>2 имеет особенность —% dz в Я0, то
CoA)^(SLo = (S)p/ " МЫ П0ЛУЧЗеМ
Следствие 10.6. Пусть о>2 — нормированный дифференциал
второго рода с единственным полюсом в точке Р0, в которой
<о2 имеет особенность (l/z2)dz, и пусть yk — канонический
дифференциал первого рода, у которого период вдоль a,k равен 1, а
все остальные А-периоды равны нулю; тогда
Таким образом, мы получили выражения для /^-периодов
нормированных дифференциалов второго и третьего родов через
дифференциалы первого рода.
10.4. Дивизоры. Рассмотренные нами выше дифференциалы
второго рода имели ненулевые периоды и не являлись точными. Можно
найти точные дифференциалы второго рода, исходя из того, что
частное двух абелевых дифференциалов является мероморфной
функцией / на S, дифференциал которой df есть дифференциал второго
рода. Трудность заключается в том, что мы не можем точно
охарактеризовать размещение особенностей /. В дальнейшем мы изучим
вопрос о том, какой свободой мы располагаем, задавая полюсы
мероморфной функции (точного дифференциала второго рода). То, что
здесь не может быть полного произвола, ясно уже из необходимости
существования по меньшей мере одного полюса, так как
невозможность существования всюду регулярной (отличной от константы)
аналитической функции на компактной римановой поверхности была доказана.
Для упрощения рассуждений введем ряд новых понятий. Если
в окрестности точки Я на 5 аналитическая функция / имеет
разложение в ряд f(z) = anzn-\-an+1zn+l-\- ..., ап Ф 0, то мы говорим,
что п есть порядок f в Р, и пишем vp(f) — n. Это обозначение
появляется в связи с термином норма (valuation) / в Я, часто
используемым в алгебраической геометрии. Удобно считать, что если / = 0
на S, то vp(/) = -)-00. Мы уже видели, что величина vp(f)
инвариантна относительно замены координат. Если Д и /2 —
аналитические функции на 5, то, перемножая степенные ряды, немедленно
убеждаемся в том, что vp(f1f2) = ^(/1) + ^(/2). Аналогично
vp(Л + Л) ^ min [vp(Л)» vp(А)}* ^ля анали™ческого
дифференциала а) с локальным представлением u) = (anzn-\-an+1zn+1-\- . . ,)dz,
ап Ф 0, мы говорим, что порядок о> в Р равен п, и пишем vp(^) = n.
Нас будет интересовать распределение полюсов функций на 5.
В связи с этим нам придется рассматривать несколько точек, Рг,
10 4. ДИВИЗОРЫ
293
Р2, . . ., Рп вместе с предписанными в каждой из этих точек
порядками аи а2 ап. Мы используем символ
*i ^2 • • • г п
для обозначения точек Plf Я2, . . ., Я/7 с соответствующими им целыми
числами alt a2, ..., ап. Символ Р*гР** . . . Р^п называется дивизором
и будет обозначаться строчными готическими буквами, а = Р"1Р*2 ••• Р*п*
Целое число ар называется порядком дивизора а в Pk и будет также
обозначаться как vp (a) = ar Под степенью &[а] дивизора а мы
подразумеваем сумму порядков а, т. е.
п
d[a]= 2а<
£=1
3ai Па2
Произведение двух дивизоров а = Ра±1Ра22 . . . Р^п и 6 = ^1^2 . .. QP/я
мы определяем кдк
йЬ = Р*Р% ...Р*ппс$с$ ...Q^,
и мы требуем, чтобы умножение было коммутативным (P*iQ?j =•
= QyPil)> и полагаем Ра1Р1=Ра1+^. Подобным же образом
определяем-
a-i =± = р-**р-ь ... р~*п
a 1 2 л
и берем в качестве частного двух дивизоров а и Ь дивизор а/Ь=йЬ~1.
Из этих определений немедленно следует, что d [ab] = d [a] -f- d [Ь] и
^[a/b] = fl?[a] — d[b]. Для полноты обозначим через 1 дивизор
порядка нуль в каждой точке, откуда а[а= 1.
Назовем дивизор a = Pa1iPa22 . . . Рапп целым, если cck^0 для
й=1, 2 я. Если дивизор а/6 целый, то мы говорим, что Ъ
делит а, и пишем 6 | а, или что а есть кратное Ь. Два целых
дивизора взаимно просты, если не существует целого дивизора *),
делящего каждый из них.
Пусть / — мероморфная функция, не равная тождественно нулю
на 5, и со — абелев дифференциал (а>.^0) на 5; определим
дивизор (/) функции / как
(f)=UpvpU)
и дивизор (и>) дифференциала а> как
((D) = П>*Р(в)-
1) Кроме дивизора \.—-Прим. перев.
294 гл. JO. КОМПАКТНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
Для двух мероморфных функций Д и Д из того, что ^p(f1f2)z=
= ^(^1) + ^(/2^ вытекает» что (/1)(/2) = (/1/2). и аналогично
(/о)) = (/)(а>). Если / = c = const, с Ф О, то мы имеем (/)=1. Мы
скажем, что / является кратным дивизора а, если а|(/), так что
vp (/)^^р.(сО для каждого множителя Рь в а.
В конце гл. 6 мы показали, что для мероморфной функции на
компактной римановой поверхности сумма порядков ее нулей равна
сумме порядков ее полюсов. Таким образом, d [(/)] = 0 для всякой
мероморфной функции /, а значит, не всякий дивизор является
дивизором мероморфной функции. Мы назовем дивизоры
мероморфных функций (не равных тождественно нулю) главными дивизорами.
Множество всех дивизоров образует коммутативную группу
с определенными выше умножением, единицей и обратными
элементами. Если а = (/) и Ь = (g), то а-1 = (1//) и ab = (fg), так что
главные дивизоры образуют подгруппу всех дивизоров, и мы можем
построить факторгруппу группы всех дивизоров по подгруппе
главных дивизоров. Каждый элемент этой факторгруппы есть класс
смежности дивизоров, такой, что а и Ь находятся в одном и том же классе
смежности (а~6) тогда и только тогда, когда a/b = (f) для
некоторой мероморфной функции / на 5. Мы назовем для краткости
класс смежности дивизоров классом дивизоров. Очевидно, если а*—'6,
то d[u/b] = d [(/)] = 0 или d[a]=d[b]. Если а—6, то мы будем
говорить, что дивизор а эквивалентен дивизору Ь.
Пусть «>! и а)2 — Два произвольных абелевых дифференциала на S;
тогда w^cag — мероморфная функция и, следовательно, (^)^(0)2).
Таким образом, дивизоры всех дифференциалов входят в один и
тот же класс дивизоров. Степень дивизора (ш) абелева
дифференциала со поэтому не зависит от о>, а только от самой поверхности 5.
Далее мы докажем, что d[(u)]~2g— 2.
Нас интересует теперь вопрос о существовании мероморфных
функций на 5, являющихся кратными фиксированного дивизора а.
Мы обозначим через L (а) множество мероморфных функций на Sy
являющихся кратными дивизора а (т. е. дивизоры которых кратны
дивизору а). Таким образом, если vp(a) = п, то в окрестности точки Р
функция /£L(a) представима в виде/(г) = akzk-\-ak+1zk+1-\- ...,
где k^>n. Для любой комплексной константы X X/£L(a), если
только /£А(а), а так как
vp (Д + Д) > min {vp (Д), vp (Д)},
то Д + Д €£(&)» если Д и Д входят в L(o). Таким образом, L(a)
является комплексным векторным пространством. Мы
обозначим через г[й] размерность Ь(й), т. е. число линейно независимых
функций в пространстве L (а) над полем комплексных чисел. Если
а | Ь, то *>р(а)Ор(6), так что L(b) с А (а) и г [а] >-/* [6]. Если а= 1,
то vp(1) = 0 для всех Р, а если выполняется неравенство vp(f)^>0
10 5. ТЕОРЕМА РИМАНА — POX А
295
при всех Я, то все такие функции / являются постоянными. Таким
образом, А(1) является одномерным векторным пространством
комплексных чисел и г [1] = 1. Если d[a]>0, то для любой /£Л(а)
должно выполняться неравенство d [(/)]> 0, но мы знаем, что
d [(/)] = 0, и, таким образом, пространство L(a) пусто и r(a) = 0,
когда d [a] > 0. Знание числа г [а] позволяет нам не только ответить
на вопрос о существовании функций, являющихся кратными
дивизора а, но и сделать заключение о количестве таких линейно
независимых функций.
Важную роль будет играть также другое векторное
пространство 2(a), состоящее из абелевых дифференциалов а>, у -которых
дивизоры (а)) являются кратными а. Размерность пространства 2(a)
мы обозначим через i[a]. Докажем теперь, что числа /[а] и г [а]
зависят только от класса дивизоров, в который входит а, но не
зависят от выбора представителя этого класса. В самом деле, если
a ^-'Ь, то а/Ь = (/г), где h—некоторая мероморфная функция. Как мы
знаем, для каждой функции g^L(b) дивизор (g)/b является целым
и, следовательно, (gh) = ((g)/b) а является кратным а и gh£L(a).
Соответствие g-+gh дает нам линейное отображение Ь(Ъ) в А (а).
Это отображение является отображением на L(a), ибо каждая / £ L (а)
является образом ///г^А(Ь); оно взаимно однозначно, так как из
gh==z0 следует, что ^=0. Таким образом, r[a]—г[Ь], если а~6.
Аналогично, если а> £ 2 (Ь), то /га> £ 2 (а), так что соответствие a> -+ /za>
есть линейное отображение 2(b)—>* 2(a), которое является взаимно
однозначным отображением на А (а). Отсюда следует, что / [a] = / [b],
когда a—Ь.
Мы суммируем результаты этого пункта в следующей лемме.
Лемма 10.1 Числа d[a], г [а] и /[а] зависят только от класса
дивизоров, в который входит дивизор а.
Теорема 10.9. Если а> — абелев дифференциал, со^О, то
*ы=гШ (1)
для любого дивизора а.
Действительно, пусть тс £2 (а). Тогда (тс)/а — целый дивизор и
/гс\_(гс) а
\а>; а (со)
является кратным дивизора a/(u>). Функция тс/ю G^(u/(a>)), так что
соответствие тс —> тс/а) есть линейное отображение 2 (а) —>• А (а/(о>); оно
является, очевидно, взаимно однозначным отображением я# L(a/(a>))»
что и доказывает наше утверждение.
10.5. Теорема Римана—Роха.
Теорема 10.10 (теорема Римана — Роха). Пусть S —
компактная риманова поверхность рода g. Пусть a -*— дивизор сте-
296
ГЛ. 10. КОМПАКТНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
пени йЩ. Обозначим через flu"1] размерность векторного про-
с транс те a L (а-1) мер о морф них функций, являющихся кратными
дивизора а-1, и через i[a\—размерность векторного
пространства й(а) абелевых дифференциалов, кратных а. Тогда
г[а-1] = й[а] + Ла] —«г+1. (1)
Докажем сначала эту теорему для случая, когда а — целый
дивизор, а позднее освободимся от этого ограничения. Тогда
a = P^Pl2 ... Pnmt nk > 0, k = 1, 2, ... , т.
Пусть (dj>) — нормированный дифференциал второго рода с главной
частью (\fzn)dz в точке Pk% регулярный в остальных точках. Если
/(^(й"1), то df является дифференциалом второго рода, и в
окрестности Pk мы имеем, используя тот же локальный параметр, что и
для выражения а>М,
df=( 2 of Adz. ^ = 0.
Дифференциал
имеет ту же главную часть в Pk, что и df, а поэтому
T=d/-2«.* = d/-S 2 '«ЭД (2)
есть дифференциал первого ,рода. Обратно, если по данному
множеству чисел {сЩ, k=l, 2, ..., т\ у = 2, .... %-f~l. мы можем
найти такой дифференциал первого рода <р, что
& = 1 / = 2
является точным дифференциалом, то (o = df и /^Цй"1).
Множество комплексных чисел {с&\\, &—1, ..., /гс; / = 2, ...
..., /гЛ —J— 1 • мы можем рассматривать как элемент комплексного
векторного пространства V, так как если [сЩ\ и {^¾] —Два мя0~
жества, соответствующие дифференциалам функций в £,((1-1). то
{Acl} + P<"~;} является также множеством, соответствующим
дифференциалу в £,((1-1). Каждой функции /g£.(a-1) соответствует
множество комплексных чисел {№)}, ft= 1 tft; У =2, ..., ft;?-f-l»
причем две функции Д и /2 в £,((1-1). соответствующие одному и
тому же множеству {№)}, отличаются на колстанту. Таким образом,
мы имеем линейное отображение L(a~1) на 1/, ядро которого состоит
10.5. ТЕОРЕМА РИМАНА -~ РОХА
297
из постоянных функций на 5 (т. е. является пространством
размерности 1). Следовательно,
[\} = ^L{l) = ^mV+l.
Наша задача состоит теперь в вычислении dim У.
Если {с(^}, k= 1, .... т; /=2 л*-И
является
Элементе п^+1
том V, то в силу (2) дифференциал о = ^ 2 ^-j^k} имеет те же
периоды, что и дифференциал ср первого рода. Обратно, если а имеет
те же периоды, что и дифференциал первого рода, то {c-;}£V.
Пусть период щ* вдоль bz равен Въ}\ тогда период а вдоль Ь* равен
^=2 И C-jBki' Если а имеет те же периоды, что и дифферен-
&=1/=2
циал первого рода ср, то все Л-периоды ср будут равны нулю, а
отсюда следует, что ср===0 и Bt==-0t /==1, ..., gt или
П^ = 0, 1=1,2 g. (3)
£ = 1 j = 2
Обратно, пусть {с_у}- удовлетворяют такой системе линейных
уравнений; тогда построенный для этих С-j дифференциал а имеет
нулевые периоды и является точным, т. е. {c^-J^V. Таким образом, для
принадлежности {с-)} к V необходимо и достаточно, чтобы \С-)}
удовлетворяли системе уравнений (3).
Задача заключается теперь в определении числа линейно
независимых {с-}}, удовлетворяющих системе уравнений (3). Имеем g
уравнений относительно d [а] неизвестных {^¾}. Таким образом,
существует по крайней мере d [а] — g линейно независимых решений и
dimV^d\&\ — g9 или
r[±]>dla] — g + l. (4)
Это —неравенство Рамана, которое говорит о том, что число
линейно независимых мероморфных функций с полюсами порядков, не
больших nk, в т различных точках Pk, k= 1, 2, . . ,, т, не меньше
т
чем ^jnb~g-\~ *• Таким образом, мы убеждаемся в существова-
нии по меньшей мере одной непостоянной мероморфной функции
на S с полюсами порядка, не превосходящего 1, в g-\-l различных
точках S.
298
ГЛ. 10. КОМПАКТНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
Чтобы получить соответствующее (4) точное равенство для г - ,
рассмотрим матрицу системы уравнений (3)
в{2) £(*) Б(«1+1) в{2) B(nm+i)\
11 ^11 • • • И 21 ' ' ' ml '
В(2) Б(3) в(п1+1) в(2) {пт+1)
12
э(2)
1 #;' ^
Б(«.+ 1) Б(2) Б(««+1)
1^ 2# ' ' /я#
■«
(5)
Если (В%{) имеет ранг р (т. е. имеется р линейно независимых строк,
что влечет также существование р линейно независимых столбцов),
то только р уравнений системы (3) линейно независимы, и мы можем
найти в точности d[<x] — р линейно независимых решений {с-у}. Таким
образом,
r[I] = rf[a]-p + l.
Выразим теперь р в терминах дифференциалов первого рода. Пусть
<ft — дифференциал первого рода в каноническом базисе с периодом 1
вдоль а^ и с равными нулю остальными Л-периодами, и пусть
разложение в ряд ср/ в окрестности Pk имеет вид
^ = (0^) + 0^ + ^+ ...)dz
в том же локальном параметре, в котором о>^) имеет особенность
(l[zn)dz. В соответствии с формулой (4) п. 10.3 имеем
Матрица
ву-ьи&З-
[ at1*
аю
а20
а^
1 V
2 ii '
2 a2i • •
2 V ''
' яг ai.*i-i
aio ••
a20 "
agQ
1аи
nm m
J_a(™>
' n 2>»^-l
Я/и /и
JLaw
=(¾)
имеет тот же ранг p, что и (5), т. е. существует g— р линейно независи-
g
мых векторов (е1$ е2, ..., г), таких, что 2^^==0 для j = 0,
ё i=i
1 Яд,— 1; &=1 т. Имеет место взаимно однозначное
соответствие между векторами (et, е2 е^ и дифференциалами
g
первого рода <р = 2^<Р/ с порядком ^>nk в Pk, так что а|(ср).
i=i
Таким образом, существует ровно g— р линейно независимых
дифференциалов первого рода, кратных дивизору а, а следовательно,
10 5. ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА
299
>g— p = i[&], и теорема Римана—Роха доказана для целых
дивизоров а.
Чтобы завершить доказательство теоремы Римана — Роха для
произвольных дивизоров, нам понадобится следующий важный факт.
Теорема 10.11. Для произвольного абелееа дифференциала о>
d[(co)] = 2£-2. (6)
Пусть g > 0 и ср1э ср2 ср —базис дифференциалов первого
рода. Дивизор (cpi) является целым дивизором, так что для него
справедливо равенство (1), и
Если (%—другой абелев дифференциал, кратный (срх), то ^11^1
является функцией без особенностей на компактной поверхности S и,
следовательно, является константой. Таким образом, ыг = сг^>1 и
*[(?i)l=l- Далее, г [(fi)-1] = g, так как g функций
линейно независимы и кратны 1/(^). Если функция / кратна l/(cpi)»
то /cpt является дифференциалом первого рода и
/91 = ^+^2 4- ... -)~Cg<pg,
ИЛИ
f=Cx Ь-С2 \- ... +С^ .
Таким образом, ^-=^1(^)]—^+l-f-l, или ^[(^)1-2^— 2. Так
как в силу леммы 10.1 степени всех абелевых дифференциалов на 5
одинаковы, мы заключаем, что d [(со)] — 2g — 2.
Остается еще случай поверхности рода нуль. В этом случае
каждый дифференциал второго рода является точным, так как все его
периоды полярные, а все вычеты равны нулю. Таким образом, мы
можем построить дифференциал о> второго рода с одним только
полюсом d(ljz) в Я0. Тогда ы — df и / имеет единственный простой
полюс \\z в Я0. А так как / принимает каждое комплексное
значение столько же раз, сколько раз / обращается в бесконечность, то
функция / дает нам взаимно однозначное конформное отображение S
на ^-сферу, причем P0-+w— оо. Мы можем, таким образом,
использовать w = f(P) как униформизирующий параметр в окрестности
любой точки 5, исключая Р0. Тогда dw не имеет нулей и имеет
полюс порядка 2 в Р0, так что d [(&)] = — 2, и мы пришли к
равенству (6) для g — 0.
Вернемся к теореме Римана — Роха для произвольного дивизора а.
Пусть (со) — дивизор абелева дифференциала о>; тогда в силу соот-
300
ГЛ. 10. КОМПАКТНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
ношения (1) п. 10.4 / [й] = г [а/(о>)] для любого дивизора а. Также
d[a-1] = — d[a], d[a/(iu)] = d[a] — d[(iu)] и d[(u)] = 2g—2, поэтому
равенство (1) может быть переписано в виде
Тождество (7) не изменится, если а заменить на (о>)/а, так что
справедливость (7) доказана для любого дивизора а, для которого а или
(а>)/а является целым дивизором. Далее, i, г и d зависят только от
класса дивизоров, и, таким образом, теорема Римана — Роха
справедлива для всякого дивизора, эквивалентного такому дивизору а, что
либо сам является целым, либо (и>)/а является целым.
Пусть а и (о))/а не являются целыми дивизорами. Тогда г[а-1] = 0
и /[а] = г [а/(а))] = 0, так как, вообще, если г[Ъ]фО для дивизоров Ь,
то существует мероморфная функция /(~L(b) и с = (/)/Ь является
целым дивизором. Тогда с/Ь"~1 = (/), или 1/Ь~с. Мы видим, что при
г[Ь]фО дивизор 1/Ь эквивалентен целому дивизору. Следовательно,
теорема Римана — Роха для такого дивизора а, что а и (о>)/а не
являются целыми, имеет вид d[a] = g—1, и это все, что нам еще
осталось доказать.
Мы предположим теперь, что г[а~1] = 0 и г [а/(а>)] = *' [а] = 0, и
докажем, что d[a]=g—1. Пусть а = Ь/с, где Ь и с — целые и
взаимно простые дивизоры. Тогда d[a] = d[b] — d [с] и
r[j]>dlb] — g+l = dli]+dl<t\ — g-\-l.
Таким образом, при d[a]^g мы также имели бы
/■[!]><* [с]+ 1.
Пусть c = Q*1 . . . Qkk'9 тогда условие, что мероморфная функция /
имеет нули порядка rtj в каждой точке Q/, даст d[c] линейных
соотношений. Так как существует самое меньшее d [с] -f-1 линейно
независимых функций в Ь(Ъ~г), которые регулярны в точках Qj9
j — 1э 2, . .., k, то найдется одна такая функция f £L($~1)* Для
которой vpm(f)^n.t 7=1, ..., k. Следовательно, / ^ Z. (c/b) == /. (ci_1).
Но по предположению г [a-*1] = 0; полученное противоречие доказывает*
что для любого дивизора а с r[a_1] = Q имеем d[a]<g. Тогда из
равенства г [a/(a>)] = 0 следует, что d [(a>)/a] < g, или d [(a>)] — d [a] < g.
Так как d[(u)] = 2g — 2t получаем d[a]>g"—2. Таким образом,
fl?[a]=g-—1, и доказательство теоремы Римана — Роха закончено*
Теорема Римана — Роха дает нам некоторые сведения о существовании
мероморфных функций с заданными особенностями на компактных
римановых поверхностях. Следует сказать здесь пару слов
относительно открытых (некомпактных) римановых поверхностей. Для ко»
нечной плоскости (сфера с выколотой точкой) теорема Миттаг-Леф-
флера утверждает, что мы можем произвольно задать главные части
10.6. ТОЧКИ ВЕИЕРШТРАССА
301
полюсов в произвольной последовательности точек, не имеющей
конечной предельной точки, и всегда найдется мероморфная функция
с этими предписанными особенностями. Беенке и Штейн [1] доказали
для произвольной некомпактной римановой поверхности 5
аналогичную теорему, которая устанавливает, что если задать главные части
полюсов в произвольной последовательности точек, не имеющей
предельной точки на 5, то существует мероморфная функция на 5,
имеющая в точности эти заданные особенности. Доступное
доказательство этой теоремы читатель найдет в книге Беенке и Зоммера [1],
стр. 555—567.
10.6* Точки Вейерштрасса. Мы получим теперь ряд
непосредственных следствий теоремы Римана —Роха.
Пусть g — 1; тогда поверхность 5 топологически эквивалентна
тору, В этом случае d[(u})] = 2g— 2 = 0 для любого абелева
дифференциала а) и всякий дифференциал должен иметь одинаковое число
полюсов и нулей. В частности, дифференциал первого рода не имеет
полюсов и, следовательно, не имеет нулей. Если задать дивизор & = Р
для произвольной точки Я, то из теоремы Римана — Роха следует, что
rlP-1]— 1, так как d[P]~ 1 и /[Р] = 0. В силу того, что
постоянные функции принадлежат L(P~1) и сами образуют одномерное
подпространство, L(P~1) состоит из одних постоянных функций. Таким
образом, доказана
Теорема 10.12. На поверхности рода единица (тор)
мероморфная функция не может иметь единственный простой полюс.
Если d[a]'^>2g — 2, то /[а] = 0; действительно, мы знаем, что
d [(ш)] = 2g— 2 для любого дифференциала со, а чтобы
дифференциал со принадлежал пространству 12(a), должно выполняться
неравенство d[o)]>2g*—2. Таким образом, при d[a]>2g—2 теорема
Римана — Роха утверждает, что г [l/a] = ci [a]—«g'-f-l, и здесь
осуществляется равенство в неравенстве Римана.
Теорема 10.13. Если g*>0, то не существует точки Р на S9
в которой все дифференциалы первого рода обращаются в нуль,
т. е. i[P] <g\
Действительно, в противном случае i/p(co)>0 для всех со^О,
и мы имеем i[P] = g и г [Я-1] = d[P] -\- 1 = 2. Это означает, что
найдется мероморфная функция / с простым полюсом в Я, отличная
от постоянной. Следовательно, функция / принимает значение каждого
комплексного числа в точности один раз и дает нам конформное
отображение поверхности 5 на сферу. Так как это отображение
топологическое, род 5 должен быть равен роду сферы, т. е. g=0.
Полученное противоречие доказывает, что i[P]**Cg— 1 при g > 0.
Пусть теперь а-—целый дивизор и аф\\ тогда существует такой
дивизор Р, что Р|а, и, следовательно, 2(a)£S(P). Мы имеем,
следовательно, i[<x] < g, если g > 0, и так как не существует дифферен-
302 ГЛ. 10. КОМПАКТНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
циалов первого рода при g- = 0, то £[а] = 0, если g — Q. Итак,
справедлива
Теорема 10.14. Если а — целый дивизор, то
r[!]<tf[a] + l,
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда g = Q,
и только в этом случае i[a]=g.
Исследуем более подробно условия, при которых i[a] = Q, так что
r[l] = d[a]-g+l.
Для любого целого дивизора а имеем г [а-1] ^ 1 и, следовательно, d [&]-\~
*-M[G] — £^-0- Пусть а = РгР2 ... Рп для п различных точек Рх,
Р2, ... , Рп\ тогда d[a] = n и мы заключаем, что i[ti\^>g— п. Это
соотношение содержательно только при n^g, так как i[a]^>0 при
всех а. В предположении, что n^g, отыщем ifPj. Как мы видели
выше, U^il-^g'—1» что вместе с предыдущим неравенством дает
нам [[P^ — g— 1 для любой точки Рх на S, g^>> 1. Далее, мы знаем,
что Q(PtP2) с: 2 (Р^, и если t[P1P2]=g—1, то g—1 линейно
независимых дифференциалов из 12 (Рг) обращаются в нуль в Р2. Но
эти дифференциалы образуют базис для 12 (Pt), так что каждый
дифференциал из пространства Q (Рг) обращается в нуль в точке Р2.
При g^>2 существует по крайней мере один дифференциал ср в 12 (Рг),
не равный тождественно нулю. Возьмем в качестве Р2 точку, в
которой ср не равен нулю. Тогда l[PiP2]^.g— 2, что на самом деле
означает, что t[PiP2]== g— 2. Повторение этого рассуждения п раз
приводит к результату, что при g^n существует п различных
точек Ри Р2, . . ., Рп на 5, таких, что / [PtP2 • - • PJ = g—#• В
частности, имеется g различных точек на 5, таких, что J [Р1Р2 • • -^1 = 0,
и, следовательно,
rLp1p2... pj""1-
Итак, установлена
Теорема 10.15. На поверхности рода g можно найти g
различных точек, таких, что-не существует мероморфной функции,
отличной от постоянной, все особенности которой суть полюсы
порядка, не превосходящего 1, расположенные в точках Р1э Р2, ...
...,/Y
С другой стороны, если d[a]>g, то имеем г[а_1]>.2.
Следовательно, справедлива
Теорема 10.16. Если d [a] > g, то существует отличная от
постоянной мероморфыая функция, принадлежащая
пространству А (а™1).
Пусть 122 представляет векторное пространство над полем
комплексных чисел дифференциалов второго рода на 5, и пусть 2е — под-
10.6. ТОЧКИ ВЕЙЕРШТРАССА
303
пространство Q, состоящее из точных дифференциалов второго рода.
Тогда факторгруппа &2/Q^ будет также векторным пространством.
Докажем теперь следующую теорему.
Теорема 10.17. Пусть поверхность S имеет род g. Тогда
размерность факторпространства &2№е Равна 2g.
Всякий дифференциал из Q2 с нулевыми А- и Б-периодами
принадлежит Qe. Каждому классу смежности Q2 по ®е соответствует
набор из 2g чисел (Аи Л2, . .., Ag, Ви В2, . .., Я), составленный из
Л-периодов и Б-периодов представителя из класса смежности. Так
как Л-периоды (Б-периоды) являются линейными функциями классов
смежности Q2 по 2е, то факторпространство Q2/Qe изоморфно
подпространству 2^-мерного пространства наборов из 2g чисел и
dim &2/&e^C2g. Для доказательства того, что размерность Й2/й<,
на самом деле равна 2g, выберем g точек Р1э Р2, ... Pg на 5,
для которых i[PtP2 ... Pg] = 0. Тогда не существует отличной от
постоянной мероморфной функции на S, единственными особенностями
которой являются полюсы порядков, не превосходящих 1,
расположенные в Ри Р2, . . ., Р . Мы можем построить дифференциалы
(%, о)2, ..., (o^^Q2, такие, что о>у. имеет единственную особенность
в Pj, которая является полюсом порядка 2. Пусть также <р1э ср2, ...
. . ., ср^. — канонический базис дифференциалов первого рода. Тогда
о)1э ..., (о^., срх, ..., ср^. являются 2g линейно независимыми
дифференциалами в S2/Q^; действительно, если дифференциал
to = с1ш1-\-с2оу2 -f . . . 4- Cg^g+ Cg+l9l + • • • +¾¾
является точным, то о) является дифференциалом мероморфной
функции с простыми. полюсами в каждой из точек Р1э Р2, ..., Р^., для
которой скФ0, k = 1, ..., g. Но это невозможно, откуда q = с2 = ...
...=^=0. Далее, остальные ck также равны нулю, так как
никакая линейная комбинация yk не может быть точным
дифференциалом. Следовательно, dim 22/2tf^>2g, и мы доказали, что
dimQ2/Qtf=2g.
Пусть Р — произвольная точка на римановой поверхности S. Для
единичного дивизора 1 имеем t[l] = gt ^[1] = 0, откуда г [ 1] = 1,
и пространство L(l) состоит только из постоянных функций. Это
является лишь повторением того факта, что на компактной
поверхности не существует всюду регулярных аналитических функций. Для
а = Р d[P]=l\ следовательно,
г[т] = 2—в+пР].
Если / [Р] = / [1] = g, то существует функция с простым полюсом в Р,
регулярная в остальных точках S. Если i[P] = i[l] — l=g—1,
то г[Р_1]=1, и не существует мероморфной функции, регулярной
всюду, за исключением простого полюса в Р. Перейдем теперь от
а = Рп~1 к й = Р\ Имеем r[P'(n~1}] = п — g^l[pn'"1]9 в то время
304 ГЛ. 10. КОМПАКТНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
как г[Р'п] = п -И— g + i [РП\ Если /(^ = /(^1]. то
г [р~Л] = г [р-^""1)]-!- 1, и найдется функция с полюсом порядка п в Р,
регулярная всюду, кроме Р. Если ifp^j^ifp^""1]—1, то r[P~wJ =
= г[Р~~ ], и не существует функции, единственной особенностью
которой является полюс порядка п в точке Р. Таким образом,
если l[Pn] сохраняет свое значение при увеличении п на 1, то
к L{P~n) добавляется новая линейно независимая функция при
переходе от L(P~n) к Z,(P~("+1)). При этом / [Рп] изменяет свое
значение g раз, так как t[l] = g, /[Я2^~1] = 0, и при каждой
перемене убывает на 1 (см. теорему 10.11). Таким образом, доказана
ТЕОРЕма 10.18 (теорема Вейерштрасса о лакунах). Существует
в точности g порядков nlt 0 < nt < п2 < . . . ng<2g, которые
определяются для каждой точки Р так, что не существует
мероморфной функции, имеющей в качестве единственной особен"
ности полюс порядка nt в Р.
Так как d[Pn] = nt мы видим, что г[Р~п]^2 при п > g, и мы
сможем найти отличную от постоянной мероморфную функцию,
единственной особенностью которой является полюс порядка, не
превосходящего п, в Р. Но при n — g отличная от постоянной функция
в L(P~g) существует только при *[Р^]>0. Докажем теперь
следующую теорему.
Теорема 10.19. Существует только конечное число точек Р
на St для которых i[Pg]>0.
Предположим, что найдется бесконечно много точек [Рп] на S,
для которых *'[Pf]>0, л=1, 2, 3 Это множество точек
имеет предельную точку Р0 на 5. Выразим в локальном параметре z
в окрестности Р0, 2 = Ф(Р), Ф(Р0) = 0, все g базисных
дифференциалов первого рода еру, у = 1, 2 g, в виде <?j = fj(z)dz, где
/./.7=1.2 g, — линейно независимые функции в окрестности Р0.
Мы можем предположить, что точки Рп лежат в параметрической
окрестности Р0 и что Ф (Pn) = zn. Так как *[Pf]>0, для каждой
точки zn найдется дифференциал ср = схсрх + с2ср2 -j- ... -f- с^ср £ Q (Pf),
g g g
для которого 2 | ci |2 > 0 и
i = l
cJi (zn) + C2/2 (¾) + ■ • • + cgfg (zn) = 0,
cji (zn) -f- cjf2 (zn) 4-...+^ (Zn) = 0,
cJi (zn) + cjl (zn) + ... + c/g (zn) = 0,
где через /(**) обозначена производная порядка т от функции /.
10.6. ТОЧКИ ВЕИЕРШТРАССА
30S
Таким образом, определитель
Wg{z) =
/iW
Ш
/[{г)
h (*)
ш
/Uz)
...fg(z)
.../*(*)
.../>)
должен обращаться в нуль в точках zn. Так как Wg(z) является
аналитической функцией от z, то Wg(z)E==0 во всей окрестности Я0.
Но Wg(z) является определителем Вронского для функций Д, /2, • • •. fg*
и тождественное обращение его в нуль влечет линейную зависимость
функций Д, /2 / что приведет нас к противоречию.
Покажем, что из условия W (^)=8.0 следует линейная
зависимость функций /i»/2, ..., fg. Заметим, что для некоторого ft,
I -^k <С g, определитель Wk(z) не равен тождественно нулю, ибо
WJl(g) = fl(z) при ft=l. Выберем ft так, чтобы Wk(z)j£0, но
Wk+i(z) = 0. Тогда, если ult u2i . . .9uk+1 — миноры элементов
последней строки определителя
Л h ---fk+i
/i /2 • • • fk+i
Ak) fik)-ffU
имеем
№.
fW.
i0, r = 0, 1 k.
Каждый из миноров tij, у == 1, 2, ..., Jfe —f— 1, является аналитической
функцией от 2^ в окрестности z = 0 и uk+1 — Wk^0. Мы можем
разделить это тождество на tik+1 и получим
f(r)_
vJV+v2fV+ ... + V*+/*ii^o, r = 0, 1,..., ft, (1)
где Vj= tij[uk+1 является аналитической функцией от £, имеющей
самое большее конечное число полюсов в окрестности точки z = Q.
Таким образом, найдется такая точка z't что все функции Vj будут
регулярны в некоторой окрестности z't и мы сможем
дифференцировать тождества (1) по z. Использование при этом тождества (1)
для г + 1 дает
<ДГ) + <ДГ)+ ••• + <ОТ —°« ' = °. 1 *— L
Определитель этой системы уравнений есть Wk (z), а так как Wk (z) Ф 0
в окрестности z\ получаем <i;' = 0, j= 1, 2 ft. Таким
образом, Vj-
= Cj = const, и мы имеем
306
ГЛ. 10. КОМПАКТНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
что доказывает линейную зависимость функций Д, /2 /
Мы доказали сейчас, что существует только конечное число
точек Р на поверхности 5, для которых i[Pg] > 0. Только в этих
точках мы можем задавать полюс порядка, не превосходящего g, как
единственную особенность отличной от постоянной мероморфной
функции на 5. Эти точки называются точками Вейерштрасса
поверхности 5. При g = 0 и g= 1 не существует точек Вейерштрасса
на 5. Можно доказать, что если g^2, то такие точки на самом
деле существуют. Как показал Гурвиц (см. [1], стр. 409—442), на
поверхности рода g^>2 существует по крайней мере 2g-\-2 точек
Вейерштрасса, причем равенство имеет место только для
гиперэллиптических поверхностей. Верхняя граница для числа точек
Вейерштрасса равна (g—l)g(g+l).
Если n^>g-\-\, то, как бы ни был задан произвольный
дивизор а степени п, всегда найдется отличная от постоянной мероморф-
ная функция в L(a_1). Пусть z(P)— отличная от постоянной меро-
морфная функция из L(a_1). Тогда z(P) принимает значение каждого
комплексного числа одно и то же число раз на 5, и если функция
z(P) обращается в сю в точности п раз, то z (Я) принимает каждое
значение z=a в точности п раз. Таким образом, z(P) дает нам
такое конформное отображение поверхности 5 на комплексную
сферу S0, что каждая точка S покрывается ровно п раз. Следовательно,
мы показали, что z(P) дает взаимно однозначное конформное
отображение поверхности 5 на я-листную поверхность наложения сферы 50.
Если условиться говорить, что точка Я, в которой Z(P) = a,
лежит над точкой а сферы 50, то мы можем представлять S как
я-листную поверхность наложения 50. Не обязательно различны между
собой п точек, в которых z(P) = a. Если в Р0 функция £(P)
принимает г раз значение а, то в терминах локального параметра t
в окрестности Я0 имеем z(t) — a = crtr-\- cr+1tr+1 -\- ... . Мы видим,
что за локальный параметр в окрестности Я0 можно принять У г — а,
и точка Я0, лежащая над а, является точкой разветвления порядка
г — 1 поверхности наложения S сферы 50. Если значение z = оо
принимается s раз в точке Р0, то z(t) = c_st~s-\-C-.s+1t~s+1-\- .. .,
S
и мы можем за локальный параметр принять у \jz\ мы скажем, что
2 = 00 является точкой разветвления порядка s—1. Пусть V равно
2(/—1)Ч~2(5—1)» гДе первая сумма берется по всем конечным
кратным точкам, а вторая сумма — по всем полюсам функции z(P).
Число V называется индексом разветвления поверхности
наложения 5 сферы 50.
Точки разветвления 5 как поверхности наложения 50 могут
располагаться только в кратных точках функции z(P). В этих точках
дифференциал второго рода dz имеет нули порядка ^> 1 или полюсы
порядка ^-3. В каждой кратной точке, где значение а принимается
10.6. ТОЧКИ ВЕИЕРШТРАССА
307
г раз, dz имеет нуль, порядка г— 1, в каждой кратной точке, в
которой значение оо принимается 5 раз, dz имеет полюс порядка s+1.
Так как степень дивизора (dz) равна 2g—2, имеем
2(r—1)-2(5+1) = 2«Г —2.
или
2(^-1) + 2(^-1)-2 2^ = 2^-2.
Но 25==/г» откуда
V — 2n=2g — 2,
или
1/ = 2(/1+^-1). (2)
Таким образом, справедлива
Теорема 10.20. Для всякой римановой поверхности 5,
рассматриваемой как п-листная поверхность наложения сферы 50,
род может быть вычислен по формуле (2) в терминах числа
листов п и индекса разветвления V.
Если выбрать точку Р0 на 5, не являющуюся точкой Вейершт-
расса, то мы можем задать полюс порядка g+1 в Р0 в качестве
единственной особенности мероморфной функции1) z(P). Итак,
справедлива
Теорема 10.21. Каждая компактная риманова поверхность
рода g конформно эквивалентна (g + \)-ластной поверхности
наложения сферы.
В начале нашего изучения римановых поверхностей могло
создаться впечатление, что абстрактное понятие римановой поверхности
охватывает более широкий класс поверхностей, чем класс
разветвленных поверхностей наложения сферы. Теперь мы показали, что
каждая компактная риманова поверхность конформно эквивалентна
разветвленной поверхности наложения сферы с конечным числом
листов. Имея в виду, что с функционально-теоретической точки
зрения конформно эквивалентные поверхности можно рассматривать
как совпадающие, мы можем утверждать, что в случае компактности
абстрактная концепция не дает нам ничего иного, кроме
разветвленных поверхностей наложения сферы с конечным числом листов.
Особенно интересен случай, когда род g равен 0. Тогда
поверхность 5 конформно эквивалентна самой сфере, и мы снова
заключаем, что сфера является единственной компактной римановой поверх-
*) В самом деле, если Р0 не является точкой Вейерштрасса, то / [Р((] = 0
и г IPqS] = g + i [Р%] — g+ 1 = 1. Далее, г [Pq^1] - g -j- 1 + i [/f] - g +
+ 1 > 2. Поэтому найдется отличная от постоянной мероморфная функция
с единственной особенностью — полюсом порядка <! g ~\- 1 в точке Р0- Н°
порядок п этого полюса должен быть в точности равен £+1, так как при
n^Cg мы бы имели г [P~g\ > 2, что противоречит только что
доказанному. — Прим. пере в.
308
ГЛ. 10. КОМПАКТНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
ностью рода нуль. При £"=1 не существует мероморфной функции
с единственным простым полюсом, но найдется мероморфная
функция, не имеющая иных особенностей, кроме полюса порядка 2 в
одной точке. Таким образом, любая поверхность рода 1 может быть
отображена на двулистную поверхность наложения сферы. Когда
g^>>2, число листов поверхности наложения может быть
сделано меньшим или равным g, если в качестве отображающей
функции использовать функцию, имеющую единственной особенностью
полюс в точке Вейерштрасса.
10.7. Теорема Абеля. Пусть 5 — компактная риманова
поверхность, и пусть г(Р) — фиксированная (отличная от постоянной)
мероморфная функция на 5, отображающая 5 конформно на /г-листную
разветвленную поверхность наложения сферы 50. Таким образом,
сама поверхность 5 может рассматриваться как разветвленная
поверхность наложения 50, такая, что каждая точка z сферы 50 являeтqя
проекцией п точек Plf Р2, .. ., Рп (не обязательно различных) на 5.
Пусть / — произвольная мероморфная функция на 5; мы определим
след f как функцию на 50, задаваемую равенством
Trf(z) = f(P1)+f(P2)-\- ... + /(Р„).
Аналогично пусть а> — абелев дифференциал на 5; тогда в окрестности
каждой точки Рк
где tk—локальный параметр в окрестности Pk, k=\, 2, ..., п.
Определим след о> как дифференциал на 5, задаваемый равенством
Тг со = ht (tt) dtt + h2 (t2) dt2 + ... + Ая (tn) dtn.
Чтобы проверите, что Tro> является аналитическим
дифференциалом на 50, вспомним, что локально в окрестности Pk z =
= csJskk-\-csk+itkk+1-\~ •••» и мы можем принять z1,s& за локальный
параметр в окрестности Рп вместо tk. Тогда skt^""1dtfc = dzt и мы
можем записать
\ sih S2V sntnn J
где H(z) является локально аналитической функцией от z, так как
tk = £k(zllSk)> а Функция gk аналитична в окрестности z=0.
Мы докажем теперь, что если а> — дифференциал первого рода,
то Тго) является дифференциалом первого рода на 50 и,
следовательно, он равен тождественно нулю. Пусть сначала точке z
соответствуют п различных точек Р1% Я2, ..., Рп; тогда за локальный
параметр мы можем взять tk = z, k=l, 2, ..., п, и будем иметь
Tr a) = [ht (z)-{- ... -f- hn (z)] dz, где hk (z) является локально регу-
10 7. ТЕОРЕМА АБЕЛЯ
309
лярной функцией, и, следовательно, дифференциал Тга> регулярен
в окрестности этой точки. Если 5 точек Рг, Я2, ...s Ps совпадают,
со
то z = c/ + cs+/+1+...,cs^Otui»^h(t)dt==]>jaitJdt. Произ-
7=о J
ведем замену координат t = skzVs, где sk = e2lzik!s, fe= 1, 2 5,
и 5 различных значений k соответствуют 5 точкам, отображающимся
в z\ ветвь z1,s выбирается так, что zlfs принимает действительные
значения при действительном z. Тогда
со оо
у-о 7=о
При образовании дифференциала Тга> мы суммируем эти ряды для
ft = 1, 2 5 (так же, как и ряды, соответствующие остальным п — s
точкам, отображающимся в z) и получаем
ТИМЕ-**1 ^-^.
7-о U = i /
Но сумма 2£i+1 = S^27rt(/+1)ft/,y равна 0, если у —)— 1 не кратно s,
и равна 5 в противном случае. Пусть j-\~l=ms; тогда точкам Ри
Р2 Ps в Тго) соответствует ряд
т = 1
ldz,
т. е. точкам Plt Р2 Ps соответствует регулярный член в Тга>.
Таким образом, даже в точках разветвления 5 — поверхности
наложения S0 — дифференциал Тга> регулярен. Таким образом, Тга>=0
для любого дифференциала первого рода.
Пусть f1 — особая 1-цепь на 5. Ее граница является особой
0-цепью, и мы запишем ее как ду1 =^a,f(Pf)t гд.е а,—целые числа.
Таким образом, границе д^1 соответствует дивизор P^Pl* ... Р N,
т
который мы также обозначим д^1. Если f1= 2 сгР\* т0 для кажД^го
п = 1
симплекса о* граница да* = (Q) — (Я), так что степень дивизора,
соответствующего да*, равна нулю (drdajl==0). Далее,
Г т ~\ т
d [df] = d \д 2 cnal \=%cnd [do*] = 0,
так что граница любой особой 1-цепи, рассматриваемая как дивизор,
имеет степень нуль.
-310 ГЛ. 10. КОМПАКТНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
Ранее указывалось, что не каждый дивизор является дивизором
мероморфной функции на S. Мы найдем сейчас условия, которым
должен удовлетворять дивизор, чтобы он был главным дивизором.
Ответ содержится в теореме Абеля.
Теорема 10.22 (теорема Абеля). Чтобы дивизор а являлся
дивизором мероморфной функции, необходимо и достаточно, чтобы
существовала особая l-цепь f1, для которой
df = a (1}
и
/ф = 0 (2)
т1
для каждаго дифференциала первого рода <р на S.
При g = 0 не существует дифференциалов первого рода, так что
условие теоремы означает только, что а = дуг. В силу связности S
условие а = д^г эквивалентно условию d [а] = 0. Но хорошо известно,
что на сфере можно задать любые точки в качестве нулей и полюсов
рациональной функции, если только сумма порядков полюсов равна
сумме порядков нулей. Это доказывает теорему Абеля в случае,
когда g = Q.
Мы предположим теперь, что g^>\. Докажем сначала
необходимость условий теоремы. Пусть / — мероморфная функция на 5
с дивизором а = (/). Тогда / дает нам конформное отображение 5
на сферу 50. Каждой точке z на 50 соответствует п точек P1(z)f
P2(z), ..., Pn(z) на S (не обязательно различных). Пусть
<р-—дифференциал первого рода; мы можем взять его след, используя ото»
бражение / и вспоминая, что Тг<р = 0 на 50.
Предположим теперь, что ^ — любой меридиан на 50,
ориентированный в направлении от северного полюса к южному. Тогда *[
является образом п кривых fi, ^2, . . ., ^п на 5, соединяющих полюсы
фуНКЦИИ / С НуЛЯМИ /. ЕСЛИ ПОЛОЖИТЬ ^1 = ^1-|~72+ ••• + Т/7'
то будем иметь (/)==^1. Проинтегрируем теперь ср по ^1 и получим
/?= / cp=Jcp+Jcp+...+Jcp=jTrcp = G,
Т1 Т1+72+-.. +7„ Ti Ь 1п 7
и необходимость условий теоремы Абеля доказана.
Для доказательства достаточности условий теоремы Абеля
положим, что cpi» ?2> •••> <?g—канонический базис дифференциалов
первого рода с таблицей периодов вида (4) из п. 10.2. Пусть а =
.?
= Р*Р% ...P*sm Так как a = df, то d[a]=0, т. е. 2«/ = °-
/ = i
Таким образом, существует дифференциал третьего рода т\ с простыми
10 7. ТЕОРЕМА АБЕЛЯ
311
полюсами в Plt Р2 Ps, вычетами at в Pit не имеющий иных
особенностей на S.
Далее мы можем нормировать т] так, чтобы все его Л-периоды
равнялись нулю.
Применим теперь билинейные соотношения для дифференциалов
первого и третьего рода [см. следствие 10.3]. Получаем
/-4 = 2^2¾ /?; = 2*/JV J=L 2, ..., g, (3)
где Lk— фиксированный путь в нормальном многоугольнике П,
соединяющий фиксированную точку Р0 в П с точкой Pk, k= 1, 2 s,
и yJ — особая 1-цепь Tj = a;iA + a2^2 + ... -4-asLs, причем каждый
путь Lk ориентирован в направлении от Р0 к Рк. Тогда, так как
2^ = 0, д^ = ai С\) + *•• + as(^s) = ct = ^1. Следовательно,
^J— Y1 является 1-циклом, гомологичным целой линейной
комбинации а;- и bj, у=1, ...,?, где а;-, Ь;— стороны нормального
многоугольника П:
Т5 — Т1 — Л^-h*2a2Ч- .. . -\-kgag-\-kg+1bt+ ... +^А;
здесь kj — целые числа.
Мы можем теперь переписать (3) в следующем виде:
Jt) = 2tuJcp;. + 2tu j ср; =
= 27zi(kJ~}-kg+1BJ1~}-kg+2Bj2-i- ... +k2gBJg).
Зададим теперь дифференциал третьего рода 6 в виде
^ = ^-2^(^4-1^1+^+2^2+ ••• -hk2g<?g)'
Тогда
С б = — 2nikg+J , j 6 = 2ти&;, 7=1, 2 g.
Наконец, если описать малую окружность с;- вокруг каждой точки Р*
в некотором параметрическом круге с центром в Р;., то мы получим
/■
СУ
= 2тиа,, 7=1, 2, . . ., 5.
Таким образом, все циклические и полярные периоды 6 являются
целыми кратными 2тс/.
Пусть С — произвольная замкнутая кривая на S, не проходящая
через точки Ру., у= 1, 2 5. Тогда период 6 вдоль С является
312 ГЛ. 10. КОМПАКТНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
целым кратным 2тг/, так что если взять фиксированную точку Р0
р
на S, Р0фР., /= 1, 2 s, то интеграл Г б будет определен
Л,
с точностью до аддитивной постоянной, которая является целым
кратным 2ти и зависит от кривой, соединяющей Р0 с Р. Функция
г Р и
/(Р) = ехр
г
L^O _1
является, таким образом, однозначной на S, и мы сейчас докажем,
что /-—мероморфная функция и (/) = а.
Пусть t=<$)(P) — локальный параметр в окрестности Р\ тогда
[resp0 "|
-f~+fi(t)\
dt,
где h(f) — локально регулярная аналитическая функция вблизи t = О
и resp б представляет вычет б в Р. Для любых точек Q и R в
окрестности Р имеем
/(Q) = exp
где
/■+/
К = ехр
Q "1
-
= /Сехр
Г Q 1
J**
L# J
г JR -1
1_я0 J
•
Пусть Ф(<3) = /2 и Ф(#) = ^; тогда
Q
f В = [(ttspB)logt2 + H{tj\.
где
г2
И (t2) = Г h(t)dt — гesp б log ^
является регулярной аналитической функцией от t2 в окрестности
^2=0. Таким образом,
/ (Q) = /^(ге8Рв)I0S V(« = С"\е»Ш.
Пусть Р Ф P., j = 1 s; из определения б имеем, что res р б = О
и /(Q) регулярна в окрестности Р. С другой стороны, если Р= Р.,
resp б = ау. и
10 7 ТЕОРЕМА АБЕЛЯ
313
а значит, / — мероморфная функция, имеющая а своим дивизором.
Этим доказательство теоремы Абеля закончено.
Если записать дивизор а в виде
Р\Р2
Q1Q2 ... Qn9
то теорема Абеля утверждает следующее: чтобы точки Р, являлись
единственными нулями и точки Qj — единственными полюсами
некоторой мероморфной функции на S {т. е. чтобы РгР2 ... Рп~
^QiQo • • • Qn)> необходимо и достаточно, Чтобы каждую
точку Q; можно было соединить с Pjt ./=1, . . ., п, такой ду-
J п J
гой f., что V I <? — 0 для каждого дифференциала первого
7 = 1 Ту
рода ср на S.
Пусть cplf 92 Vg* g^>^>—базис дифференциалов первого
рода на 5, и пусть Р0 — фиксированная точка на 5. Тогда
р
ut = ut(P)= f ср,, /=1, 2, ..., g,
является всюду регулярной многозначной функцией на S, значение
которой зависит от пути интегрирования f, соединяющего Р0 с Р. Если
*1Г — другой путь, соединяющий Р0 с Р, и J у.= сг I у. = с'., то
Y Т'
с. — crt= | ср/5 где f—^г есть 1-цикл. Таким образом, ct — c't
т-т'
является периодом ср., и мы будем говорить коротко, что разность
с.—с', сравнима с нулем по модулю периодов, и записывать с,—с^==
= 0 (mod периодов); эти периоды, естественно, берутся вдоль одного
и того же цикла для всех /= 1, 2 g. Мы скажем, что
(cv с2 c^=a(c'v с2 </) (mod периодов), когда с. — с\ =
==0(mod периодов) при 1= 1, 2 g.
По данному целому дивизору РХР2 • • • Рп мы определим
соответствующий вектор (clt с2 cg), в котором
п п pj п
п
где ^ = 2т/- Два ие^ых дивизора находятся в одном классе
эквивалентности дивизоров тогда и только тогда, когда соответствующие
векторы сравнимы по модулю периодов (по теореме Абеля).
314
ГЛ 10 КОМПАКТНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
10,8, Проблема обращения Якоби. Поставим теперь следующий
вопрос: если даны произвольные комплексные числа ct, 1=1, ..., g,
то можно ли найти п таких точек Qlt Q2 Qn на S, что
п
2"/(Q/) —с/ (mod периодов), /=1, 2 g? Мы спрашиваем,
следовательно, заполняют ли пространство g комплексных переменных
наборы (clt с2 cg) из g абелевых сумм. Поскольку ct,
соответствующее целому дивизору, представляется в виде с
=/
ср^ ДЛЯ
некоторой особой 1-цепи f, мы прежде всего хотим узнать; какую
часть пространства g комплексных переменных заполняют наборы g
чисел
/?1. /?2. /?8. .-.. /
ь
когда f пробегает все особые 1-цепи. Мы замечаем, что
(t)=(7?i. /?2..... /<
является гомоморфизмом группы особых 1-цепей на 5 в
пространство g комплексных переменных Kg. Мы докажем, что h является
гомоморфизмом на Kg, так что образ группы особых 1-цепей при
отображении h заполняет все пространство Kg.
Пусть Plt Р2, ..., Pg—различные точки на S, для которых
1[Р1Р2 • • • Pg] — 0. Пусть Zj — локальный параметр в круге Dj
с центром в Р. с Zj = Фу(Р), Ф.(Р;.) = 0. Выберем точку Qj в
окрестности Pj и положим Ф;-(Qj) = tj. Прямолинейный отрезок в D-,
соединяющий Pj с Q;., обозначим через -^. Мы можем затем
определить отображение
hx{tx, t2,..., tg)=hr^lVj = (f<fl, /% f<?A,
g
где ^ = 2т/' это отображение переводит топологическое произве-
дение параметрических кругов Dx X £>2 X • • • X Dg в пространство g*
комплексных переменных Kg. Якобиан (функциональный определитель)
этого отображения имеет вид
:/
Ti
dtc
/
<Pi
d*i J '
dtc
■/■
10 8 ПРОБЛЕМА ОБРАЩЕНИЯ ЯКОБИ
315
Но Г <?i = 2j J 9i> и только интеграл Гср^ зависит от tj. В Dj
имеем '•?i = vij(Zj)dZj, где t;^— регулярная функция в D;., и
д
Ч
1 о
Таким образом, якобиан равен
tfn (h) via (¾) ---¾ (У
V (¾) ^2 (¾)
wgg \*g>
Если бы этот определитель обращался в нуль в (0, 0 0), то
мы могли бы найти такие числа eu е2 egt не все равные нулю,
что
2^^(0) = 0, j=l,2,...,g.
1 = 1
g
Отсюда следует, что дифференциал первого рода ср = 2j e№i имеет
i = l
нули в точках Plt Р2 Р Но, так как i[PxP2 ••• Pg] = 0,
такого дифференциала первого рода не существует. Отсюда вытекает,
что якобиан не обращается в нуль в (0, 0 0), и отображение hx
локально взаимно однозначно в окрестности (0,0 0) в Dty(D2y(...
.. . X Dg и отображает эту окрестность на полную окрестность
(0, 0 0) в Kg. Таким образом, для достаточно малой
окрестности U точки (0, 0 0) в К8 каждая точка (cit с2, ..., cg)
б этой окрестности является образом особой 1-цепи f при
гомоморфизме h. Пусть теперь (с1, с2 cg) — любой вектор в Kg-
Существует такое целое число Л/, что вектор
/ сг с2 cg\
\N'9 ~N ~N)
принадлежит U. Тогда
(тГ'ТТ" £) = *<*>
и (cu c2 с ) = h(N^), т. е. преобразование h отображает
группу особых 1-цепей на Kg.
Пусть Plt Р2 Р —любые точки на 5, g* > 0, и пусть
(clt с2 с ) — произвольная точка в Kg. Тогда существует такая
особая 1-цепь f0, что h(^0) = (cii с2 cg). Положим dfQ = a. Тогда
d[a] = 0 и
d[bPtP2...Pg] = g.
316
ГЛ. 10 КОМПАКТНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
По теореме Римана — Роха
1
] = ilaP1P2...Pg]+l>l,
аРхР2 ...Pg
так что найдется мероморфная функция /, кратная дивизору -, р р—-р-т.
Таким образом, • (f)uPxP2 • • • Pg является целым дивизором с
d [(f) аР1Р2 . . . Pg] = g (так как d [(f)] = 0). Следовательно, имеется g
таких точек Qlt Q2 Qg (не обязательно различных) на 5, что
или
Q1Q2...Qg^aP1P2...Pg.
По теореме Абеля найдется особая 1-цепь flt для которой
QiQ2 • • • Qg
aTl:
аРгР2 ...Pg
и Н(чх) = (0, 0, ..., 0). Таким образом, /*(7o+Ti) — (ci> с2 cg)
и д (fo+ Ti) = Q1Q2 • • • QgPi1?*1 • • • Pg1- Мы можем выбрать из
g
Т0 + Т1 такие ПУТИ h* соединяющие точки Р, с Qff что ^//-(To~+"Ti)
; = 1 у
является циклом. Тогда
V fylEEzci (mod периодов), /= lt 2, . . ., g.
/=1 ч
Добавляя циклы к 1}-, мы получим пути L] от Р}- к Q;-, для которых
^ f'?i = ch 1=1, 2 g.
J-ii,
Итак, проблема обращения Якоби, как она была сформулирована
в начале этого пункта, решена. Действительно, возьмем Р^Р2 ...Pg = Po.
Тогда найдется g точек Qlt Q2 Q , для которых
Qj
2/^=2 J^=Mm°d пеРи°д°в). /= 1,...,g-.
y=uy р0
Но Г¥i = tit(Qj), и мы нашли ^ точек Qx, Q2, ..., Qg, для которых
■'
2 w* (¾) = ^ (m°d периодов).
/-1
10 8 ПРОБЛЕМА ОБРАЩЕНИЯ ЯКОБИ
317
Если я >g\ то мы можем найти п точек Qlt Q2, ..., Q„, решающих
задачу обращения, произвольно задавая п — g точек и затем решая
исправленную задачу для оставшихся g точек. Задача не имеет реше-
п
ния при n<ig, так как тогда векторы (cu с2, . . ., cg), £. = 2 ut(Pj),
зависят от п параметров Ри Р2, ..., Рп и не могут заполнять
пространство g комплексных переменных.
Рассмотрим снова множество J классов эквивалентности векторов
в Kg, где
(cv с2, ..., cg) = (c[, c'v ..., c'g) (mod периодов)
тогда и только тогда, когда с'. = с. (mod периодов), t — 1, 2, . . ., g.
(J является компактной коммутативной комплексной группой Ли
комплексной размерности g и называется многообразием Якоба
поверхности S.) Каждому дивизору а нулевой степени, скажем
Vi V2 • • • Vm i =i / = i
соответствует особая l-цепь f, для которой д^ = а; нам нужно для
построения if выбрать только произвольную точку Я0 на S и взять
пути *fi> ведущие из Р0 в Pt, и пути bit ведущие из Р0 в (¾. Тогда
п т
2а/Т*—2 РА =7- Две такие 1-Цепи if и f/ с <^if=:^f/ = a отли-
1=1 i = i
чаются на цикл, так что
^(Т) — /г(т') —О (mod периодов),
т. е. /z(if), рассматриваемая как точка У, зависит только от а, а не
от 1-цепи f с (?к = а. Мы можем определить отображение А
дивизоров степени нуль в J как h(a) = h(^), где (?if = a. Дивизоры
степени нуль образуют мультипликативную группу D0, и если a £ D0,
b£D0, причем a = did и Ь==^Т2» то ^ (Ti~t~ Т2) == аЬ. Таким образом,
h(ab) = h (fi)4-^(T2) = ^(u) + ^(b), и h является гомоморфизмом D0
на J.
Согласно теореме Абеля, /fc(a) = (0, 0, ..., 0) тогда и только
тогда, когда а является дивизором мероморФной функции. Таким
образом, ядро гомоморфизма h является в точности классом главных
дивизоров, и мы заключаем, что существует изоморфизм Ъ классов
дивизоров степени нуль на J.
Наконец, если фиксировать точку Р0 на S и отобразить Р0
произвольным образом в J [скажем, положив k(P0) = (Q, 0, ..., 0)], то
мы сможем определить отображение k поверхности S в J следующим
образом. Для каждой точки P£S мы можем найти такую особую
318
ГЛ. 10 КОМПАКТНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
\ -цепь if, что df = Р — Р0. Затем полагаем
(р р р \
Л> Л> Ре '
это определение зависит только от точки Р и не зависит от f. Для
данной произвольной точки (cit с2, . . ., cg) из J существует g таких
точек Q1$ Q2 Q (не обязательных различных), что
(cuc2 cp = fc(Qi)-r-ft(Q2)+ ••• + *(Q*)-
Если Р1$ Р2 Р —другое множество точек, переходящее в ту же
точку (clt с2, . . ., cg), то
и по теореме Абеля существует мероморфная функция, имеющая
PiP*...Pg
Q1Q2 ...Qg
своим дивизором. Следовательно,
LQiQ2...Q^J>1'
так как по крайней мере одна точка Pt отлична от точек Q,, и
* * PlP* '"Ре
мероморфная функция с дивизором -^-~ т=е- не является констан-
V1V2 • • • Qg
той и обращается в нуль в Pt. Тогда по теореме Римана — Роха
*[QiQ2...Q*]=£0.
Обратно, если i[QiQ2 - - - Qg] Ф 0, то существует отличная от
постоянной мероморфная функция / на S, кратная l/(QiQ2 • • • Qg)>
так что дивизор
P1P2...Pg = (f)Q1Q2...Qg
приводит к другому множеству g точек, отображающихся в ту же
точку (с1> с2 cg), что и QtQ2 . . . Qg. Мы заключаем, что каждая
точка J соответствует целому дивизору а степени g на S. Это
соответствие однозначно тогда и только тогда, когда /[а] = 0.
В случае g= 1 поверхность S топологически эквивалентна тору
и существует только один независимый дифференциал первого рода ср.
Тогда /г(к)= I ср отображает группу особых 1-цепей на S на комп-
г
лексную плоскость К1. Так как ах и Ьх образуют базис гомологии для 5,
всякий период ср является линейной комбинацией с целыми
коэффициентами Л-периода Л и Л-периода В. Мы можем нормировать ср
так, чтобы Л=1. Тогда 1тЛ>0, так как мнимая часть Б-матрицы
положительно определена. Для образования J мы отождествляем
с каждой точкой с в К1 все точки вида с -\-nA-\-mB,
10 9. ПОЛЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
319
я, т — 0,± 1, ±2, .... Мы получим по одному представителю каждой
точки в J, построив параллелограмм с одной вершиной в начале
координат О и векторами А и В в качестве смежных сторон. Внутренность
этого параллелограмма вместе с внутренними точками отрезков О А
и ОБ и точкой О содержит по одному представителю для каждой
р
точки J. Тогда k (Р) = I о отображает S взаимно однозначно и кон-
р»
формно на J, так как / [Р] = 0 для всех Р £S. Кроме того, это
показывает, что универсальная поверхность наложения 5 тора будет
р
параболического типа, так как k (Р) = I ср дает нам комплексный
униформизирующий параметр, отображающий ее на всю конечную
комплексную плоскость и имеющий параллелограмм своей
фундаментальной областью.
10.9. Поле алгебраических функций.
Теорема 10.23. Пусть z = z(P) — мероморфная функция на
компактной римановой поверхности S, принимающая каждое
комплексное значение п раз. Пусть f=f(P) — любая другая
мероморфная функция на S. Тогда f удовлетворяет
алгебраическому уравнению степени п
Г + гх{г)Г~1+ ... +rn_1(z)f + rn(z)^0,
где rk(z), &—1, 2 п, являются рациональными функциями
от z.
Для доказательства теоремы рассмотрим отображение z = z(P)
поверхности S на /г-листную разветвленную поверхность наложения
.г-сферы. Удалим из .г-сферы конечное множество точек, состоящее
из точки 2==oo, точек разветвления поверхности наложения и точек,
прообразы которых на S являются полюсами /. Тогда существует п
точек Plt Р2 Рп на- 5, лежащих над каждой точкой z, и мы
можем определить симметрические функции
ri(z) = -f(Pd — f(PJ— ... —f(Pa),
r2(z) = f(P1)f(P2) + f(P1)f(Ps)^- ...= 2 /(W (/>,).
/,/=1
К J
r, (г) - (- 1 )v 2 / (/>„,) / (ЯЯ1) ...f(Pn),
n1< n2< ... <n^
rn (z) = (- 1Г / (Л) / (/¾ • • • / (P„).
320
Г Л 10. КОМПАКТНЫЕ РИМА НО ВЫ ПОВЕРХНОСТИ
При изменении порядка, в котором записаны точки Plt Р2, ..., Рп>
симметрические функции сохраняют свое значение. Таким образом,
продолжение rv (z) на сфере с выколотыми точками приводит к
однозначной функции. В окрестности точки Pi на S, 1= 1, 2, ..., nt
для которой z0 = z\P°i)y функция z — z0 служит локальным унифор-
мизирующим параметром и, следовательно, / (Pj) представляется
в этом локальном параметре в виде регулярного степенного ряда
по z — z0. Таким образом, rv (z) является однозначной регулярной
аналитической функцией на £-сфере с выколотыми точками.
Во всякой конечной точке из числа удаленных нами униформизи-
k
рующим параметром является у z—-z0, так что функция rv(z) может
быть разложена в ряд Лорана по дробным степеням z — z0. Но так
как rv(z) однозначна в окрестности каждой удаляемой точки, то
в этом разложении в ряд функции rv(z) фигурируют только целые
степени z — z0. Наконец, так как каждая f(Pj) может иметь
особенностью только полюс, ряд Лорана содержит лишь конечное число
членов с отрицательными степенями z — 20, и, следовательно,
функция rv (z) может иметь особенностями только полюсы в конечных
точках z.
Пусть теперь z~oo\ тогда при некотором k, 1 ^ k ^ п, локаль-
*/
ным параметром в окрестности полюсов z(P) служит у l/z, и
предыдущее рассуждение показывает, что rv (z) имеет самое большее
полюс в бесконечности. Таким образом, rv(z) является рациональной
функцией от z.
Так как симметрическая функция rv(z) является коэффициентом
при un~v в полиноме (и — f{Pi))(u — /(¾) ••• (и—f(Pn))> мы
видим, что / удовлетворяет алгебраическому уравнению
Fz(a) = (a — f(P1))(u—f(Pd) ... (u-f(Pn)) =
= ^-+-/4(2)^ + ... + гя(*) = 0.
где rv (z) являются рациональными функциями от z.
Теорема 10.24. Пусть на S задана мероморфная функция z,
принимающая каждое значение п раз; можно найти другую меро-
морфную функцию f на S, такую, что алгебраическое уравнение
степени п, которому удовлетворяет /, выраженное через z, будет
неприводимым.
Говорят, что полином Fz(u) неприводим, если он не может быть
разложен в произведение двух полиномов Fg (и) Fg (и), каждый из
которых имеет положительную степень по и и в качестве
коэффициентов рациональные функции от z.
Заметим сначала, что если z принимает одно и то же значение z0
в п различных точках Р\\ Р\\, . . ., Рп на S, то мы можем найти
10 9 ПОЛЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
321
функцию /, принимающую различные значения в каждой из этих п
точек. Действительно, пусть cov, v=l, 2, ... , п,—дифференциал
второго рода на 5, имеющий единственной особенностью на 5 полюс
порядка 2 в P(v0) с главной частью
dz
(*-*о)2
в терминах локального параметрам — zQ. Пусть, далее, cv с2, . . ., сп —
различные между собой постоянные. Мы полагаем
/=<*-^(* ■£+*,-£+. ■•+*,.-£).
Каждый член (z — zQ)2 ajdz является мероморфной функцией на S,
обращающейся в нуль в точках Р£, [i.=£v, и равной 1 в P(v0). Таким
образом, / является рациональной функцией и принимает
значение cv в Pv, v = 1, 2 п.
Предположим теперь, что алгебраическое уравнение /^(^) = 0,
которому удовлетворяет функция /, приводимо: F z (a) = Fg (и) Fg (и).
В окрестности точки Ру функция / может быть разложена в
степенной ряд по локальному параметру z — z0. Для этого ряда либо
Fz1\u) = 0t либо F^\u)=^Q\ предположим, что выполняется
первое равенство. Мы можем соединить точку Pf^ с каждой точкой Р^
кривой fv на S» которая не проходит через кратные точки z. Затем
мы продолжим функциональные элементы {zt /) вдоль fv, причем
для каждого (z, /) все время выполняется уравнение F^\u) = 0. Таким
образом, полином Fg\u) имеет п различных корней и должен сам
иметь степень п, а значит, Fy(tt) имеет степень нуль. Таким
образом, полином Fz(u) неприводим.
В окрестности каждой точки Р на 5, где z(P) = z0> мы можем
использовать (z — z0)llk, 1 ^.k <^ я, в качестве униформизирующего
параметра и разложить / в ряд по степеням (z — z0) . Это дает
нам функциональный элемент (z, /), где / разлагается в ряд по
степеням (z — Zq)1' и удовлетворяет неприводимому алгебраическому
уравнению Fz(u) = Q степени /г. Продолжая (z, /) на все
пространство z, мы получим риманову поверхность этой алгебраической
функции /, которая является /г-листной разветвленной поверхностью
наложения .г-сферы и, следовательно, компактной римановой
поверхностью.
Пусть Р1 и Р2— различные точки на S и z (Pi) = z1, z(P2) = z2',
iMoryT представиться две возможности:
1) если zt ф z2, то (zv /х) Ф (z2, /2);
2) если z1 = z2, то /==/1[(,г: — ^х)1'к] в окрестности Pv и
/ = /2((2— zifll\ в окрестности Р2, где fx и /2 — различные
функциональные элементы / и, следовательно, (zv /х) ф (z2, /2).
322 ГЛ. 10 КОМПАКТНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
Так как существует п точек Pt, соответствующих каждому
значению z, и также п функциональных элементов (z, ft),
соответствующих каждому z, то отображение Р —> (z, /) является взаимно
однозначным отображением 5 на риманову поверхность алгебраической
функции. Наконец, для точки Р, в которой z(P) = zQt (z — z0)llk
является локальным параметром на 5 и служит также локальным
параметром в окрестности точки (z, /) на римановой поверхности
алгебраической функции. Следовательно, отображение P~>(z, /)
конформное. Таким образом, доказана
Теорема 10.25. Отображение Р -» (z, /) дает взаимно одно-
значное конформное отображение компактной римановой
поверхности S на риманову поверхность алгебраической функции f(z).
Итак, мы можем реализовать каждую абстрактную риманову
поверхность (если она компактна) в виде римановой поверхности
некоторой алгебраической функции.
Совокупность мероморфных функций на поверхности 5 образует
поле K(S), так как сумма, произведение или частное двух
мероморфных функций есть снова мероморфная функция. На
поверхности S можно найти z и /, удовлетворяющие неприводимому
алгебраическому уравнению Fz(u) = Q степени п. Докажем теперь
следующий результат.
Теорема 10.26. Всякая мероморфная функция g на S может
быть представлена как рациональная функция от z и /, так
что поле К (S) всех мероморфных функций представляется как
поле всех рациональных функций от z и f.
Для доказательства теоремы используем интерполяционную
формулу Лагранжа 1). Пусть uv и2, ..., ип — различные комплексные
числа и vlt v2, ..., vn— другое множество комплексных чисел. Тогда
мы полагаем
F(и) = (и — иг)(и — и2) ... (и — ап)
и определяем G (и) равенством
F(u) u — ui~^"u — u2~^~'''~1~u--iin'
Следовательно, G (и) является полиномом степени п—1 по и.
Значение, принимаемое полиномом G (и) в Uj, легко вычислить, умножая
обе части равенства на F (и) и устремляя и к uJt Получаем
G(uj) = VjF'(aj).
Положим теперь Uj = f (Pj) vtVj = g (Pj), где Pv P2 Pn являются n
различными точками, в которых z принимает одно и то же значение,
1) См. Уолш [1], стр. 50.
10 9 ПОЛЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
323
так что поверхность наложения £-сферы не имеет точки
разветвления, лежащей над точкой z. Тогда
Gz(u) g(Pj) ■ g(P2) . , g (Pn)
Fz(u) u-fiPJ^ u-f(P2)^ '" "Г a-f(Pn) '
Коэффициенты при uJ' в выражении
Ox(u) = g(P1)[(u—f(P2))(tt~f(P3)) . . . (a _/(/>„)) ] +
+ ^(^2)[("-/(^i))(«-/(^)) ••• (и-/(Яя))Ц- ...
••• +^(Р„)[(й —/(Л))(« —/(Pa))... (и — /(Я„_!))1
также являются симметрическими функциями Plf Р2> ..., Р^ и,
следовательно, определяют рациональные функции от z. Мы имеем,
наконец,
' fz («)
2*v 7 da
Полином Fz(u) степени п неприводим, так что полином Fr (и)
степени п—1 взаимно прост с Fz(u). Мы можем, таким образом,
применить алгорифм Евклида1) для нахождения двух полиномов
Нг(и) и Jz(u), коэффициенты которых являются рациональными
функциями от z, таких, что
Hz{a)Frz{a) + J2{a)Fz{a)=\.
Но
= 0,
откуда
/=»=
1
'г (u)\u = f(Pj^
и g(P
g(Pj)=Gx(u)Ht(u)\a_nPj).
Это тождество справедливо для всякой точки Р- на S, не
являющейся кратной точкой z, а так как в обеих частях стоят
аналитические функции, то оно справедливо для всех точек S, и мы
доказали, что g является рациональной функцией от z и /. Так как fn
может быть выражена как рациональная функция от z и /, /2, . . ., fn~x,
то мы всегда можем записать функцию g в виде
£ = Л1(г)/л-1 + Я2(*)/в-!Ч- ••• +Rn-x(*)f + Rn(z). (О
где Rj (z) — рациональные функции от z.
Вообще, если / удовлетворяет алгебраическому уравнению Fz (и) =0,
коэффициенты которого являются рациональными функциями от z,
то совокупность функций, выражаемых в форме (1), представляет
собой так называемое поле алгебраических функций К (z, f),
образованное переменными z и /, удовлетворяющими уравнению Fz(f)~ 0.
!) См. Биркгоф и Маклейн [1], стр. 94.
324 ГЛ 10 КОМПАКТНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
Мы установили, что мероморфные функции на S образуют поле
алгебраических функций.
Если С — любая другая рациональная функция на 5,
принимающая каждое значение т раз, то мы можем использовать С как
независимое переменное вместо z. Тогда мы можем найти функцию g,
удовлетворяющую неприводимому алгебраическому уравнению G^(g) = 0
степени т. Всякая другая мероморфная функция на S может быть
теперь выражена рационально через С и g. В частности, z и / могут
быть выражены как рациональные функции С и g, а С и g могут быть
выражены как рациональные функции znf. Отображение (zt /) ^± (С, g)y
где
*=/?iG, g). f = R2& g)
и
(s=Rs(z, /), g = Rt(z, f)
и /?v, v= 1, 2, 3, 4, являются рациональными функциями своих
аргументов, называется бирационалъным преобразованием поля
алгебраических функций. Алгебраическое уравнение Fz(f) = 0
преобразуется при бирациональном преобразовании (z, /)^±(С, g) в
неприводимое алгебраическое уравнение, которому удовлетворяют (С, g), и,
следовательно, преобразуется в уравнение Gc(g) = 0.
Пусть S'— риманова поверхность, конформно эквивалентная Sf
и пусть Рг = ср (Р) — взаимно однозначное конформное
отображение 5 на 5'. Тогда каждая мероморфная функция / на S переходит
в мероморфную функцию f°y~l(Pr) на S\ и каждая мероморфная
функция g на S' преобразуется в функцию g°cp(P), которая является
мероморфной функцией на S. Это соответствие между мероморфными
функциями на 5 и 5' определяет изоморфизм полей алгебраических
функций на S и на S'. Если S задается в виде (z, /), где Fz(f) — О,
a S' задается в виде (С, g), где Gc (g) = 0, то С о ср (Р) и g* о ср (Р) являются
мероморфными функциями на S и, следовательно, ^00== R1(zt /) и
g оу = R2(z, /). Аналогично zoy~l(P') и / о ср"1 (РО — мероморфные
функции на Sf и, следовательно, zo^~1== /?3(С, g*) и /о f'1 = /?4(С, /).
Таким образом, конформному отображению ср соответствует бирацио-
нальное преобразование /С (2, /) и К (С, g*)« которое переводит Fz (/) = О
в Gc(g*) = 0. С другой стороны, каждое такое бирациональное
преобразование поля алгебраических функций, при котором уравнение
Fz(f) — Q переходит в Gc(g) = 0, определяет конформное
отображение римановой поверхности (z9 /) на риманову поверхность (С, g).
Мы видели ранее, что две компактные римановы поверхности
топологически эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют
один и тот же род. Любая риманова поверхность рода нуль
конформно эквивалентна сфере, так что в этом случае топологическая
эквивалентность влечет конформную эквивалентность. Мы видим теперь,
что для конформной эквивалентности мы должны иметь бирациональ-
10 10 ГИПЕРЭЛЛИПТИЧЕСКИИ СЛУЧАЙ
325
ное преобразование, определяющее изоморфизм полей алгебраических
функций обеих поверхностей. В случае g > О топологическая
эквивалентность не гарантирует еще конформной эквивалентности. В
случае тора, g=l, два действительных параметра определяют
конформный класс римановой поверхности. Если £>1, то 6g— б
действительных параметров определяют конформный класс поверхности. Эти
параметры называются модулями поверхности. Мы не будем здесь
заниматься вопросами, связанными с модулями поверхности, а
рассмотрим пример применения развитой выше теории.
10.10. Гиперэллиптический случай. Если существует на-5 меро-
морфная функция z, принимающая каждое значение один раз, то z
отображает S взаимно однозначно и конформно на комплексную
сферу, так что поверхность 5 должна иметь род нуль. В этом
случае Fz(u) имеет степень 1 и каждая мероморфная функция на S
может быть представлена как рациональная функция одного z; мы
назовем поле алгебраических функций на 5 рациональным полем.
Если на 5 не имеется функции, принимающей каждое значение
один раз, но имеется функция, принимающая каждое значение дважды,
то мы можем найти функцию и на 5", удовлетворяющую уравнению
вида
u^-{-R1(z)u-+-R2(z) = 0i
где коэффициенты R^(z) являются рациональными функциями от z.
Если мы заменим и функцией
v = u-\ ^+
то получим другую мероморфную функцию v на 5,
удовлетворяющую уравнению
V __tf2(2) + ___ {z__h){z__h)^{z_bn) .
Заменим теперь v на функцию
w = v (z — b,) (z — b2) . . . (z — bn)
и получим мероморфную функцию w на S, для которой
w^=^{z — at){z — a2)... (z — an){z — bt)(z — b2) . . . (z — bn).
Наконец, если какие-либо корни многочлена в правой части равны,
скажем ах = а21 то мы полагаем у = w/(z — at) и получаем
y2 = (z — a3)(z — a4) . .. (z — ajiz — bjiz — b2) . . . (z — bn).
Таким образом, мы можем удалять все пары равных корней, пока
полином в правой части не будет иметь только различные корни.
Тогда мы придем к мероморфной функции / на S, удовлетворяющей
326
ГЛ 10 КОМПАКТНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
неприводимому уравнению
P = (z — et)(z — e2) . . . {z — ek)9
где числа ev е2, .... ek различны между собой.
Точки ev е2, . . ., ek являются точками разветвления римановой
поверхности (zt /), покрывающей 2:-сферу, причем если k нечетно,
то z= со также является точкой разветвления. Мы можем выразить k
через род поверхности S, используя формулу V = 2(n-\~g—1)
[см. формулу (2) п. 10.6]; когда п — 2, g = (k— 2)/2, если k четно,
и g=(k—1)/2, если k нечетно. Если k—\ или k — 2, то £- = 0,
и мы снова получаем рациональное поле. Если k ~ 3 или k = 4\
то g=l, и поле алгебраических функций называется полем
эллиптических функций. Наконец, при &>4 мы имеем дело с полем
гиперэллиптических функций.
Мы всегда можем выбрать функции z и / таким образом, чтобы
полином в правой части уравнения для / имел нечетную степень
k — 2m-\~l. В самом деле, если k четно, k = 2m-{~2, то нам нужно
только перевести ер в со инверсией С =1/(2 — ek) и / заменить на
rtn + l f
h= _t J =.
]/ fi(ej-ek)
Тогда h будет удовлетворять уравнению
A2 = (^-^)^-^)...(^-^-1).
где k—1 = 2/тг —f— 1 нечетно и си с2 с\_1 — различные корни.
Итак, мы рассмотрим случай, когда z и / удовлетворяют уравнению
/2 = (з — ег) {z—e2)...{z — е2т+1).
Здесь g = m и существует g линейно независимых дифференциалов
первого рода на 5
dz z dz z^ dz zm~1 dz m
Чтобы проверить, что это действительно всюду регулярные
дифференциалы на 5, замечаем прежде всего, что в окрестности всякой
точки Р на S, отличной от полюсов и кратных точек z, мы можем
взять С = z — z0, z0 = z(P), в качестве локального параметра и
дифференциал zldz/f, \ = 0, 1, 2 т— 1, будет регулярен в
окрестности ¢ = 0. В окрестности точки Р, где z(P) = ej, мы можем
принять ¢ = 1/2:—£;. за локальный униформизирующий параметр;
тогда l2 = z — ej, или 2¢ Л = ^2:. В окрестности ¢-0 дифференциал
** rf* 2 (С2 + в;-)х ^
/ У 2m + l
1/ II [^-(^-¾))
10 10. ГИПЕРЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ
327
является регулярным. Наконец, если z(P) = оо, то локальным уни-
формизующим параметром будет С=1/]/£, откуда z= 1 /С2, т. е.
dz = — (2/С3) dL Тогда
/2 = ^ ^1 ] \JT e2j ' ' - \jb e2m + l) =
-^ПГ(1 -^2)d ~^2) • • • (1 -егт+&)
и
g*dfc __ —2<:2т+1<к
f /~2т + 1 v*
Так как \^т—1, мы видим, что 2Х-|-3 ^ 2т-{- 1, так что zxdz/f
является регулярным дифференциалом в окрестности С=0. Этим
наше утверждение доказано.
Для g=l теорема Римана — Роха утверждает, что для любой
точки Р на поверхности г [Я-1] = 1 и г[Р~2] = 2, так что мы
всегда можем найти функцию z на 5 с полюсом порядка 2 в Р,
не имеющую других особенностей на 5. Таким образом, каждая
поверхность рода 1 имеет поле эллиптических функций. Если g = 2,
то каждый дифференциал ср первого рода имеет 2g—2 = 2 нулей.
Пусть Р1 и Р2 — нули дифференциала ср. Тогда i[PxP^=z\ и
r[llPiP2] = 2- Так как г [1//^1=1 и г[1/Р2] = 1. т° найдется
функция z на S, имеющая простые полюсы в Р1 и Р2 и регулярная
в остальных точках S. Таким образом, всякая поверхность рода 2
имеет поле гиперэллиптических функций.
Однако при g*>2 такие общие утверждения уже не имеют места,
так как существуют поверхности рода 3, не являющиеся
гиперэллиптическими. Примером поля алгебраических функций рода 3,
которое не является гиперэллиптическим, служит поле, в котором z и /
удовлетворяют уравнению
/4 = ^4—1.
Чтобы видеть, что это поле имеет род 3, заметим, что риманова
поверхность (z,f) над ^-сферой покрывает каждую точку сферы
четыре раза, так что п = 4. Далее, V =12, так как имеются четыре
точки разветвления 1, /, —1, —/, каждая порядка 3. Тогда из
равенства V = 2(n-\~g—1) получаем, что g" = 3.
На этой поверхности дифференциалами первого рода являются
dz/f3, zdz/f3 и fdz/f3. Для проверки нужно только исследовать
точки разветвления z — 1, — 1, /, — / и точку z — оо. В окрестно-
сти z=\ мы можем взять униформизирующий параметр С = У^—1,
откуда C4 = £—1 и 4№d^ = dz. Тогда
/4_с4(С4 + 2)(С4+1-И)(С4+1— О
328
ГЛ. 10. КОМПАКТНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
И
dz 4d£
я
z dz
Я
fdz __
[(С* + 2)(С<+1 + 0(С«+1-
4(C*+l)dC
t(C* + 2)(C*+l+/)(C*+l-
4UC
-О]''4
-Of'
/з [(£4 + 2)(£4+1 + 0(С4+1-/)]1/2'
эти дифференциалы регулярны в окрестности С = 0. То же
рассуждение проходит для 0 = — 1, i, —j, и остается исследовать только
2 = оо. В окрестности z = оо в качестве локального параметра мы
возьмем С =1/2, так что dz~(—1/С2)Л и /4 = С~4(1—С4). Имеем
ate __ — С^С
/з — (\ — ЩАи »
/•з (1 —С*)7"'
т. е. дифференциалы регулярны в окрестности С = 0. Эти три
дифференциала линейно независимы, так как не существует линейного
соотношения между 1, z и /, следовательно,
dz z dz fdz
образуют базис дифференциалов первого рода. Замечая, что
отношение третьего и первого из выписанных выше дифференциалов равно /,
а отношение второго и первого дифференциалов равно z, мы видим,
что отношения дифференциалов первого рода образуют все поле
алгебраических функций.
В случае гиперэллиптического поля базис дифференциалов
первого рода образуют дифференциалы zldz/fy Х = 0, 1, ..., g—1,
и отношения дифференциалов первого рода образуют собственное
подполе поля алгебраических функций, а именно это будут степени z.
Такое различие между полем/4 = 2:4—1 и гиперэллиптическим полем
доказывает, что поле алгебраических функций, для которого /4 = z4--l,
не является гиперэллиптическим.
Пусть 5 — произвольная компактная риманова поверхность, на
которой z и / представляют пару мероморфных функций,
удовлетворяющих неприводимому уравнению Fz (/) = 0. Пусть со —
произвольный абелев дифференциал на 5. Тогда u>/dz является мероморфной
функцией на 5 и, следовательно,
10 10 ГИПЕРЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ СЛУЧАИ
329
где R— рациональная функция своих аргументов. Мы получаем, что
наиболее общий вид абелева дифференциала на 5 есть R(z)f)dz.
Назовем интеграл
Z
f R(z,f)dz
абелевым интегралом. Согласно соотношению (1) п. 10.3,
п g
R (z, /) <te = а>2 -+- 2 Cyco^ + 2 Ag?p*
где o)2—нормированный дифференциал второго рода, Cj — вычет Rdz
в Pj, о)у0 — нормальный дифференциал третьего рода и yk образуют
базис дифференциалов первого рода. Таким образом,
Z Z П Z g k
/ R(z, /)^ = ^(02 + 2^/^0+2^/^-
zn zQ y = l 20 k = \ 20
Мы назовем
2 2 2
/o)2, /o)yo и /срй
Zq Z0 20
нормированными абелевыми дифференциалами соответственно второго,
третьего и первого родов.
Когда уравнение F2 (/) = 0 имеет гиперэллиптическое поле,
Z
/ R (z, /) dz
zQ
называется гиперэллиптическим интегралом, а если Fz(f) = 0
имеет эллиптическое поле, то
г
/ R (z, /) dz
Z0
называется эллиптическим интегралом. Мы отыщем теперь
нормированные гиперэллиптические и эллиптические интегралы первого,
второго и третьего родов.
Построим сначала дифференциал второго рода в
гиперэллиптическом случае:
P = (z — e1)(z — e2)...(z — e2g+1)t g>l.
который будет иметь полюс порядка 2 в заданной точке Р0 и будет
всюду, кроме Р0, регулярен. Если z(P0) = a конечно и а ф ev.
330
ГЛ 10 КОМПАКТНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
v=l, 2 2g-\-li то мы можем использовать z— а в качестве
локального параметра и разложить / в ряд
f(z) = b0 + b1(z-a)-\-b2(z — а)2+ . . . , Ь0 Ф 0.
Тогда
f+b0 + bx(z-a) f(z)+f(a)+f(a)(z-a)
(*-*)*/ aZ— {z-a)*f{z) ~aZ
есть дифференциал второго рода, единственным полюсом которого
является полюс второго порядка в Р0 с нулевым вычетом. Если
z(P0)= £v> то С = У-2 — ev служит локальным параметром и
dz
(z-e,)f
является дифференциалом, единственная особенность которого — полюс
порядка 2 в Р0 с нулевым вычетом. Наконец, если z(P0)— оо, то
£=1/"|/2 является локальным параметром и
zgdz
имеет полюс второго порядка с нулевым вычетом в Р0.
Мы построим далее дифференциал третьего рода с вычетом —1
в Р0 и вычетом -+-1 в Рх; все его полюсы простые и расположены
только в этих двух точках. Примем за Р0 точку, в которой z(P0) = оо,
и пусть Р1 — любая другая точка, не являющаяся кратной точкой z:
тогда z(P^=a, а Ф ev, v = 1, 2, . . ., 2g-{-l. В окрестности Рх
локальным параметром служит z — а и / может быть представлена
в виде ряда
f(z) = b0 + bt(z — a) + b2(z — af+ ....
Тогда
1 f+b0 dz 1 f(z)+f(a) dz
2 z — a f 2 z — a f(z)
есть искомый дифференциал третьего рода. Если z(Pi) = evt то это
выражение принимает простой вид
dz
Рассмотрим теперь эллиптический случай g*—1; представим
каждую точку на 5 в виде (z, f), где f2 = (z — et)(z — e2)(z— e3) для
трех различных точек elt е2) еъ на ^-плоскости. Пусть Р0 — точка,
где z(P0) = oo, так что Р0 = (оо, со). Предположим, что абелев
дифференциал R(z,f)dz имеет полюсы в точках Pi = (#i,&i), ..., Рп =
— (ап> &п) порядков а1$ а2, ..., а с вычетами сг, с2, . .., сп (неко-
10 10 ГИПЕРЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ СЛУЧАИ
331
торые из них могут равняться нулю). Дифференциал
v = l
(где штрих у знака суммы показывает, что при ak = oo член с v = &
исключается из суммы) имеет нулевые вычеты во всех точках 5.
Из теоремы Римана — Роха и из того, что любой дифференциал
первого рода не обращается в нуль ни в одной точке при g=l,
следует, что мы можем построить функцию g*v для каждого v о av> 1,
которая имеет простой полюс в Р0 = (оо, оо) и полюс порядка av— 1
в точке /\, в которой dgv имеет такую же главную часть, что и о>.
Если Pv = Р0 для некоторого v и av > 2, то мы можем построить
функцию g*v с полюсом порядка av—1 в Р0, в котором dgv имеет те же
члены порядков 3,4 av в своей главной части, что и со в Р0.
п
Тогда g" = 2 g"v (штрих означает пропуск v, для которых av=l)
есть мероморфная функция, для которой dg имеет те же особенности
на S, что и со, за исключением полюса порядка 2 в точке Р0. Далее,
2 gv = Ri(z, /), где /?! — рациональная функция своих аргументов.
Наконец, чтобы уничтожить особенность, которая еще осталась
у со — dg в точке Р0, замечаем, что при подходящей постоянной А
дифференциал Azdzjf имеет такую же главную часть в Р0, что и
о) — dg. Таким образом,
. Az dz
Ф — dg j—
— дифференциал первого рода, и, следовательно, он является просто
произведением некоторой комплексной постоянной В на единственный
дифференциал базиса dz[f. Отюда получаем
г z z п z
f R(z, f)dz^R,{z, /)-+-В f ^+ A f -^+2' f сч
f—b, dz_
г —a, ' f
— наиболее общий вид эллиптического интеграла.
Мы заканчиваем на этом изучение связи между компактными ри-
мановыми поверхностями и алгебраическими функциями и их
интегралами. Наше введение предназначено служить трамплином,
пользуясь которым читатель начнет изучение различных важных разделов
теории римановых поверхностей, не затронутых здесь. Остались еще,
например, вопросы, касающиеся модулей компактных римановых
поверхностей. Для некомпактных (или открытых) римановых
поверхностей остается не изученный нами вопрос о классификации
поверхностей и характеристике функций на поверхности. Далее, весьма
плодотворное поле деятельности доставляет обобщение понятия римановой
332 ГЛ. 10. КОМПАКТНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
поверхности на /г-мерное аналитическое многообразие или
алгебраическое многообразие п переменных. Понятия теории римановых
поверхностей применяются к задачам прикладной математики в связи
с решением эллиптических дифференциальных уравнений с частными
производными1). Таким образом, читатель может продолжать изучение
римановых поверхностей во многих направлениях.
ЗАДАЧИ
1. Доказать, что на гиперэллиптической римановой поверхности
w2 — (z — ех) [z — е2) ... (z — e2g+1)
функция F = \/(z — ej) имеет полюс второго порядка в z — et, w = 0r
и в остальных точках регулярна. Доказать, что точки z=et, яу = 0*
для /=1, 2,..., 2g-\-l являются точками Вейерштрасса этой
поверхности.
2. Пусть со — произвольный абелев дифференциал и а — любой
дивизор; доказать, что
»(«.]-.[S4)=«p?Hi..
(теорема обратимости Брилля — Нётер).
3. Доказать, что число неподвижных точек (не являющегося то-
ждественным) конформного отображения / компактной римановой
поверхности S рода g на себя не превосходит 2g-\-2. [Рассмотреть
функцию h, имеющую полюс порядка n^g~\-l в единственной
точке Р0, не являющейся неподвижной точкой /. Затем найти число
нулей и полюсов h(P) — h(f(P)).\
4. Доказать, что любое взаимно однозначное конформное
отображение компактной римановой поверхности на себя переводит точки
Вейерштрасса в точки Вейерштрасса. Используя тот факт, что
существует только конечное число точек Вейерштрасса, вывести, что
всякая компактная риманова поверхность рода g^>2 имеет только
конечное число взаимно однозначных конформных отображений на себя.
5. Пусть на ■ш-сфере заданы V=2(n-{-g—1) произвольных
точек разветвления. Показать, что существует конечное
положительное число различных /г-листных компактных римановых поверхностей,
имеющих точки разветвления заданных порядков над заданными
точками.
6. Показать, что из теоремы Римана — Роха вытекает
существование при n^>2g — 2 на компактной римановой поверхности 5 рода g
семейств с 2/г —(— 1—g комплексными параметрами конформных
отображений 5 на /г-листную поверхность наложения сферы. (Заметим,
что расположение п полюсов также произвольно.)
!) См., например, Бергман [1].
ЗАДАЧИ
33$
7. Пусть поверхность S имеет группу отображений на себя с р
действительными параметрами (задача 3 из гл. 9); показать, что
семейство с 2п-\-1—g — р/2 комплексными параметрами /г-листных
поверхностей наложения рода g состоит из конформно эквивалентных
поверхностей.
8. Из задач 5 и 7 вывести, что существует семейство с 3g— 3 -+-
+ р/2 комплексными параметрами конформно различных римановых
поверхностей рода g. Эти параметры называются модулями
компактной поверхности.
ЛИТЕРАТУРА^)
Александров П. С.
[1 '] Комбинаторная топология, Гостехиздат, М. — Л., 1947.
[2 *] Введение в общую теорию функций и теорию множеств,
Гостехиздат, М, —Л., 1948.
Александров П. С. и Хопф (HopfH.)
[1] Topologie, Springer-Verlag, Berlin, 1935.
Альфорс (A h 1 f о г s L. V.)
[1] Complex Analysis, McGraw-Hill, New York, 1953.
[2] Zur Uniformisierung, Nouvieme Congress des Mathematiciens Scandina-
ves, Helsingfors, 1938, p. 235 — 248.
Аппель и Гурса (Appel P., Goursat E.)
[1] Theorie des fonctions algebriques, Gauthier-Villars, Paris, t. 1, 1929;
t. 2, 1930.
-Ароншайн (Aronszajn N.)
[1] Introduction to the Theory of Hilbert Spaces, Research Foundation,
Stillwater, Oklahoma, 1950.
A x и e 3 e p H. И. и Глазман И. M.
[1*] Теория линейных операторов, Гостехиздат, М. — Л., 1950.
Беенке и Зоммер(Веппке Н., Sommer F.)
[1] Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veranderlichen,
Springer-Verlag, Berlin, 1955.
Беенке и Штейн (Stein К.)
[1] Entwicklung analytischer Funktionen auf Riemannschen Flachen, Math.
Ann., 120, 430 — 461 (1949).
Бергман (Bergman S.)
[1] The Kernel Function and Conformal Mapping, A. M. S. Survey, 5,
New York, 1950.
[2] On Solutions of Algebraic Character of Linear Partial Differential
Equations, Trans. А. M. S.f 68, 461 — 507 (1950).
Биркгоф и Маклейн (Birkhoff G., MacLaneS.)
[1] A Survey of Modern Algebra, Macmillan, New York, 1951.
Ван дер Варден (van der Waerden B. L)
[1] Topologie und Uniformisierung der Riemannschen Flachen, Bericht iiber
die Verhandlungen der Kgl. Suchsischen Akademie der Wissenschaften
zu Leipzig, Math.-Natur wis s. Klasse, 93, 147—160 (1941).
Вей ль (WeylH.)
[1] Die Idee der Riemannschen Flachen, 2. Aufl., Teubner, Leipzig, 1923;
3. Aufl., Teubner, Stuttgart, 1955.
[2] Method of Orthogonal Projection in Potential Theory, Duke Math. /.,
7, 411—444 (1940).
Г о л у з и н Г. М.
[1*] Геометрическая теория функций комплексного переменного,
Гостехиздат, М. —Л., 1952.
Г у р в и ц (Н и г w i t z А.)
[1] Algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich, Math.
Ann., 41 (1893).
Зейферт и Трельфалль (Seifert H., Threlfall W.)
[1] Lehrbuch der Topologie, Teubner, Leipzig, 1934. (Русский перевод:
Топология, Гостехиздат, М. — Л., 1938.)
1) Книги, отмеченные звездочкой, добавлены переводчиками. Во всех
ссылках на книги, переведенные на русский язык, указываются страницы
перевода. — Прим. перев.
ЛИТЕРАТУРА
335
Калабии Розенлихт (С а 1 a b i Е., RosenlichtM)
[1] Complex Analytic Manifolds without Countable Base, Proc. A. M. S.,4,
335 — 340 (1953).
Каратеодори (CaratheodoryC.)
[1] Conformal Representation, Cambridge Univ. Press, New York, 1932.
(Русский перевод: Конформное отображение, Гостехиздат М. — Л.,
1934.)
[2] Theory of Functions of a Complex Variable, v. I, II, Chelsea, New York,
1954.
Картан (CartanE.)
[1] Les systemes differentiels exterieur et leurs applications geometriques,
Hermann, Paris, 1945.
К ё б e (Koebe P.)
[1] Uber die Uniformisierung beliebigen analytischer Kurven, J. fur reine
u. angew. Math., Heft 3, 138, 192 — 253 (1910).
Клейн (Klein F.)
[1] On Riemann's Theory of Algebraic Functions and Their Integrals, Mac-
millan and Bowes, Cambridge, 1893.
[2] Riemannschen Flachen, B. I, II, Gottingen, 1894.
Кнопп (К nopp К.)
[1] Theory of Functions, v. II, Dover, New York, 1947.
Кодаира (KodairaK.)
[1] Harmonic Fields in Riemannian Manifolds, Ann. Math., 50, 587 — 665
(1949).
Курант (CourantR.)
[1] Dirichlet Principle, Conformal Mapping, and Minimal Surfaces, Intersci-
ence, New York, 1950. (Русский перевод: Принцип Дирихле,
конформные отображения и минимальные поверхности, Издатинлит, М.„
1953.)
Курант и Гурвиц (HurwitzA.)
[1] Geometrische Funktionentheorie, Springer-Verlag, Berlin, 1929.
(Русский перевод: Курант Р., Геометрическая теория функций
комплексного переменного, Гостехиздат, М. — Л., 1934, и Гурвиц, Теория
аналитических и эллиптических функций, Гостехиздат, М. — Л., 1933.)
К у р о ш А. Г.
[1] Теория групп, Гостехиздат, М., 1953.
Лефшец (L е f s с h е t z S.)
[1] Algebraic Topology, A. M. S. Colloqium Publication 27, New York,
1942. (Русский перевод: Алгебраическая топология, Издатинлит, М.,
1949.)
[2] Introduction to Topology, Princeton University Press, Princeton, 1949.
M у н p о (M u n г о e R. E.)
[1] Introduction to Measure and Integration, Addison-Wesley, Reading,
Mass., 1953.
Натансон И. П.,
[1*] Теория функций вещественной переменной, Гостехиздат, М., 1957.
Неванлинна " (NevanlinnaR.)
[1] Uniformisierung, Springer-Verlag, Berlin, 1953. (Русский перевод:
Униформизация, Издатинлит, М., 1955.)
Нейман (Neumann С.)
[1] Vorlesungen uber Riemanns Theorie der Abelschen Integrate, 2. Aufl.,
Leipzig, Teubner, 1884.
Нехари (NehariZ.)
[1] Conformal Mapping, McGraw-Hill, New York, 1952.
Перрон (Perron О.)
[IJ Uber die Behandlung der ersten Randwertaufgabe fur V% = 0, Math.
Zeit,. 18, 42 — 54 (1923).
336
ЛИТЕРАТУРА
П о н т р яг и и Л. С.
[1] Непрерывные группы, изд. 2, Гостехиздат, М , 1954.
Пуанкаре (Poincare Н.)
[1] Ouevres, Gauthier-Villars, Paris, t. II, 1916, t. IV, 1950; t. IX, 1954.
Радо м (Rado T.)
[1] Uber den Begriff der Riemannschen Flachen, Acta Szeged, 2, 101 — 121
(1925).
ДеРам (deRhamG.)
[1] Sur l'analysis situs des varietes a n dimensions, J. Math. Pares AppL,
9 (10), 115 — 200 (1931).
Риман (RiemannB.)
[1] Gesammelte Mathematische Werke, 2. Aufl., Teubner, Leipzig, 1892.
(Русский перевод: Сочинения, Гостехиздат, М. — Л., 1948.)
Стинрод (SteenrodN.)
[1] Topology of Fibre Bundles, Princeton University Press, Princeton,
1951. (Русский перевод: Топология косых произведений, Издатинлит,
М., 1953.)
Стоилов (StoilowS.)
[1] Legons sur les principes topologique de la theorie des fonctions analy-
tiques, Gauthier-Villars, Paris, 1938.
Стройк (Stru ik D. J.)
[1] Differential Geometry, Addison-Wesley, Reading, Mass:, 1950.
Уайльдер (W i 1 d e r R. L.)
[1] Topology of Manifolds, A. M. S. Colloquium Publication 32, New York,
1949.
У о л ш (W а 1 s h J. L.)
[1] Interpolation and Approximation by Rational Functions in the
Complex Domain, A. M. S. Colloquium Publication 20, New York, 1935.
Фрике и Клейн (FrickeR., Klein F.)
[1] Theorie 'der automorphen Funktionen, Teubner, Leipzig, B. I, 1897;
B. II, 1912.
Форд (Ford L.)
[1] Automorphic Functions, McGraw-Hill, New York, 1929. (Русский
перевод: Автоморфные функции, Гостехиздат, М. — Л., 1936.)
X а л м о ш (Н а 1 m о s P. R.)
[1] Introduction to Hilbert Space, Chelsea, New York, 1951.
I e й н с (Heins M.)
[1] The Conformal Mapping of Simply Connected Riemann Surfaces, Ann.
Math., 50, 686 — 690 (1949).
[2] Interior Mappings of an Orientabie Surface onto S\ Proc. A. M. S.,
2 (6), 951—952 (1951).
Ход ж (Hodge W. V. D.)
[1] Harmonic Integrals, 2nd ed., Cambridge University Press, New York,
1952.
Холл иСпенсер (HallD. \V., Spencer G. L.)
[1] Elementary Topology, Wiley, New York, 1955.
Чеботарев H. Г.
[1*] Теория алгебраических функций, Гостехиздат, М.—Л., 1948.
Шварц (S с h w а г z Н. А.)
[1] Gesammelte mathematische Abhandlungen, Springer-Verlag, Berlin,
В. I, II, 1890.
Шиффери Спенсер (SchifferM., Spencer D. C.)
[1] Functionals of Finite Riemann Surfaces, Princeton University Press,
Princeton, 1954. (Русский перевод: Функционалы на конечных римановых
поверхностях, Издатинлит, М., 1957.)
УКАЗАТЕЛЬ
Абелев дифференциал 287
второго рода 287
первого рода 282
третьего рода 287
— интеграл 329
Абеля теорема 310
Автоморфные функции 228
Аксиома отделимости 52
Алгебраическая точка
разветвления 88
— функция 7
Александров П. С. 57
Аналитическая конфигурация 85
— кривая 134
— структура 71
Аналитическое многообразие 71
регулярных функциональных
элементов 81
— продолжение вдоль пути 77
цепи кругов 77
непосредственное 76
База открытых множеств 59
— счетная 59
Базис регулярных потенциалов 36
Барицентрические координаты 119
Барицентрическое отображение 120
вырожденное 120
— подразделение 121
Беенке Г. 235, 301
Безграничное накрывающее
многообразие 94
Бельтрами уравнение 27
Бергман С. 241, 332
Бергмана керн-функция 241
Бесконечно малые преобразования 271
Бетти число 149, 150
Билинейные соотношения Римана для
абелевых дифференциалов первого
рода 284
и второго рода
291
— — — — третьего
рода 288
Бирациональное преобразование поля
алгебраических функций 324
Биркгоф Г. 146, 323
Бойяи И. 259
Вейль Г. 5, 72, 224, 233
Вейля лемма 224
Вейерштрасс К. 233
Вейерштрасса теорема о лакунах 304
— точки 306
Векторное пространство 204
Вершина симплекса 113
Взаимно простые дивизоры 293
Вихрь 23
Внешних дифференциальных форм
исчисление 188
Внешность множества 55
Внутреннее произведение 204
дифференциалов 207
Внутренность множества 53
Внутренняя точка 53
Вронского определитель 305
Вырожденное барицентрическое
отображение 120
Вычет 200
Гармоническая компонента 226
— функция 194
Гармонический дифференциал 194
Гильберт Д. 223
Гильбертово пространство 204
Гиперболического типа односвязная
риманова поверхность 252
Гиперэллиптический интеграл 329
Гиперэллиптических функций поле
326
Главный дивизор 294
Голоморфные функции 72, 194
Гомеоморфизм 63
Гомеоморфные пространства 63
Гомологии группа симплициальная
149
сингулярная 163
Гомологичные циклы 149
338
УКАЗАТЕЛЬ
Гомотопия кривых 96
Граница 55
— симплекса 147
Граничный оператор 146
Грина теорема 183
— функция 245
Группа свободная циклическая 15Э
— циклическая порядка k 150
Гурвиц А. 306
Двусторонняя кривая 136
Действительный дифференциал 171
Де Рама теорема 202, 232
Диаметр множества 124
Дивизор 293
— главный 294
— целый 293
Дивизора степень 293
Дивизоров классы 294
Дивизоры взаимно простые 293
— эквивалентные 294
Дирихле интеграл 238
— принцип 238
Дискретная группа преобразований
256
Дифференциал 171
— гармонический 194
— голоморфный 195
— действительный 171
— замкнутый 179
— козамкнутый 190
— коточный 19Э
— полный 178
— положительный 171
— порядка 0 188
1 176
2 171
— сопряженный гармонический 197
— точный 178
— чистый 195
Дополнение к множеству 52
Дубль римановой поверхности 168, 245
Жордана область 241
— теорема 246
Замкнутая я-цепь 147
— поверхность 155
Замкнутый дифференциал 179
Замыкание 54
Звезда треугольников 114
Звездно сопряженный дифференциал
197
Зейферт Г. 91, 113, 119, 139, 150
Значение аналитической^ функции
в точке 79
Зоммер Ф. 235, 301
Изолированная точка 55
Изотермические координаты 26
Индекс разветвления 306
Индуцированная ориентация 126
— топология 56
Интеграл от дифференциала 174
второго порядка 174
первого порядка 177, 178
Источник 22
Калаби Э. 68
Канонический базис абелевых
дифференциалов первого рода 285
гармонических дифференциалов
282
Каратеодори К. 245, 259
Картан Э. 188
Кёбе П. 233, 246, 253
Класс Сп 70
Клейн Ф. 26, 233, 253
Кнопп К. 89, 258
Кодаира К. 224
Козамкнутый дифференциал 19Э
Коммутант 152
Коммутатор 152
Коммутированная фундаментальная
группа 153
Компактное пространство 56
Компонента 59
Комплексный потенциал на плоскости
20
поверхности 28
Континуум 59
Конформно эквивалентные римановы
поверхности 74
Конформное отображение 29
Координатный круг 66
Коточный дифференциал 193
Коши последовательность 60
— теорема 197
Коэффициенты кручения 150
Краевая задача для гармонических
функций 241
Кривая 64
— локально разделяющая
многообразие 108
— разделяющая многообразие 108
Кусочно аналитическая кривая 135
— дифференцируемая кривая 135
Лагранжа фоомула 322
Лаке П. 241
Лебега число 125
Лефшец С. 139, 202
Линейная Связность 64
Линейно зависимые дифференциалы
279
УКАЗАТЕЛЬ
339*
Линейно независимые
дифференциалы 279
Линии тока 20
Лобачевский Н. И. 259
Логарифмический вычет 22
Локальная система координат 65
Локально компактное пространство
57
— разделяющие кривые 108
Локальные координаты 65
Локальный униформизирующий
параметр 65
Маклейн С. 146, 323
Мёбиуса лист 177
Мероморфная функция 39, 287
Мероморфный дифференциал 199, 287
Метризуемое пространство 60
Метрическое пространство 53
Миттаг-Леффлера теорема 300
Многообразие 65
— класса Сп 71
— накрывающее гладкое 91
— неориентируемое 126
— ориентируемое 126
— подобное однолистному 109
— со счетной базой 67
Множество замкнутое 54
— открытое 52
— производное 55
Модули римановой поверхности 325
Модуль дифференциала 196
— периодичности 33
Монодромии теорема 97
Мунро Р. 208
Накрывающее многообразие 91
я-листное 96
Наложения поверхность 111
Нейман К. 233
Неванлинна Р. 244
Неевклидова геометрия 258
Неевклидово вращение 260
— расстояние 261, 262
Неевклидовы движения 260
— переносы 260
— предельные вращения 260
Непосредственное аналитическое
продолжение 76
Неразветвленное (гладкое)
накрывающее многообразие 91
Норма 204, 205
Нормальная поверхность рода g 32,
139
— форма компактной ориентируемой
поверхности 139, 143
римановой поверхности 257
Нормальные барицентрические
координаты 122
— множества 264
Нормальный дифференциал третьего
рода 288
— многоугольник 266
Нормированный абелев
дифференциал 199
Носитель дифференциала 183
— компактный 221
— кривой 64
Нуль порядка п дифференциала 199-
• — функции 198
Область Жордана 241
— замкнутая 59
—открытая 59
— регулярная 183
— с разрезами 251
Обратная кривая 64
Односвязное многообразие 101
Односторонняя кривая 136
Окрестность 53
— проколотая 55
— сферическая 124
Оператор звездного сопряжения 189
— комплексного сопряжения 197
— Лапласа 190
— сглаживания 215
Ориентированный я-симплекс 125
Ортогонального проектирования
метод 222
Ортогональное дополнение 211
— подпространство 211
Ортогональные элементы 211
Осгуд В. 233
Особая точка при аналитическом
продолжении вдоль кривой 79
Особенность дифференциала 198
— функции 198
Особый функциональный элемент 84
— (или сингулярный) 1-симплекс 162
— __ __ 1-цикл 163
Открытая поверхность 155
Открытое множество 52
— покрытие 56
Отображение 61
— взаимно однозначное 61
Параболического типа односвязная:
риманова поверхность 252
Параметрические кривые 28
Параметрический круг 66
Пересечение множеств 51
Период 33, 193
Периоды полярные 290
— циклические 290
340
УКАЗАТЕЛЬ
Перрон О. 233
Пикара теорема 278
Плотное множество 60
Поверхность 114
— замкнутая 115
— наложения 111
— открытая 115
Подпространство 211
Поле алгебраических функций 323
— гиперэллиптических функций 326
— рациональных функций 326
— эллиптических функций 326
Полное метрическое пространство 60
Полный дифференциал 178
Положительная ориентация 131
Положительный дифференциал 171
Полюс порядка п дифференциала 199
функции 198
Полярные периоды 290
Понтрягин Л. С. 146
Порядок дивизора 293
— дифференциала в точке 292
— точки по отношению к кривой
128
— функции в точке 292
Последовательность 56
— Коши 60
Потенциал скорости 20
Поток жидкости на плоскости 19
— поверхности 26
Прикосновения точка 54
Продолжение над кривой 93
Проективная плоскость 118
Проекция 81, 91
— дифференциала на пространство
гармонических дифференциалов 226
Произведение кривых 64, 99, 100
Проколотая окрестность 55
Простая замкнутая кривая 108
— цепь треугольников 115
Простой полюс 199
— 1-цикл 167
Прюфера многообразие без счетной
базы 68
Прямая сумма 212
Пуанкаре А. 233, 253, 259
Путь 64
Радо Т. 68, 72
Разложение единицы 173
Рациональная функция 7
Регулярная аналитическая функция
72, 194
— область 183
— функция 198
Риман Б. 19, 233
Римана неравенство 297
Римана — Роха теорема 295
Римана теорема об отображении 253
Риманова поверхность 71
— — аналитической функции 86.
Род поверхности 18, 143
Розенлихт М. 68, 133
Ручка 144
Симплициальная аппроксимация 154
— я-цепь 146
Симплициальный я-цикл 147
Сингулярная группа гомологии 163
Скаляр 204
След дифференциала 308
— функции 308
Сопряженная поверхность 245
Сопряженный поток 20
Сохранение направления вращения
130
Спаренные (сопряженные) группы
202
Спенсер Г. 64
Спенсер Д. 241
Сравнимость по модулю периодов
313
Стационарная точка 21
Степень дивизора 293
Стереографическая проекция 73
Стоилов С. 133
Сток 22
Стокса теорема 184
Сторона симплекса ИЗ
Структура аналитическая 71
— дифференциальная 70
Сумма множеств 51
Существования теоремы 233
Сферическая окрестность 124
Сцепленная пара сторон 142
Счетная база 59
римановой поверхности 241
Теорема о хмонодромии 97
— о среднем для гармонических
функций 218
— Стокса 184
— униформизации 253
Топологическое отображение 10
— произведение 58
— пространство 52
Точка изолированная 55
— предельная или точка накопления
55
— прикосновения 51
— разветвления порядка п 91
— регулярная 91
— стационарная или точка
скрещивания 21
УКАЗАТЕЛЬ
341
Точная /г-цепь 147
Точный дифференциал 178
Транзитивная группа преобразований
наложения НО
Трельфалль В. 91, 113, 119, 139, 150
Треугольник на многообразии 113
Триангулируемое многообразие 114
Триангулируемость римановой
поверхности 268
Триангуляция 114
Уайльдер Р. 65
Угловая функция 128
Универсальная поверхность
наложения 253
Универсальное накрывающее
многообразие 105
Униформизация, общая теорема 253
Уолш Дж. 322
Форд Л. 257
Фундаментальная группа 101
— область 257
Функциональный элемент особый 84
регулярный 76
Функция аналитическая полная (по
Вейерштрассу) 79
— взаимно непрерывная
(непрерывная в обе стороны) 63
— непрерывная 61
Хаусдорфово пространство 52
Хейнс М. 133
Ходж У. 65
Ходжа теорема 202, 231
Холл Д. 64
Центр симплекса 121
Цепь кругов 76
— особая 163
— симплициальная 146
Цикл особый 163
— симплициальный 147
Циклические сечения 32
Циркуляция 20
Чистый дифференциал 195
Шварц Г. 233, 277
Шварца неравенство 205
Шевалле К. 184
Шиффер М. 241
Штейн К. 301
Эйлера — Пуанкаре формула 167
— характеристика 167
Эквивалентности класс 63
— отношение 63
Эквивалентные дивизоры 294
Эквипотенциальные линии 20
Элементарный цикл 153
Эллиптический интеграл 329
Эллиптических функций поле 326
Эллиптического типа односвязная
риманова поверхность 252
Якоби многообразие 317
Якоби проблема обращения 314
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава 1. Введение 7
1.1. Алгебраические функции и римановы поверхности ... 7
1.2. Поток жидкости на плоскости 19
1.3. Потоки жидкости на поверхностях 26
1.4. Регулярные потенциалы . 32
1.5. Мероморфные функции . 38
1.6. Теория функций на торе 42
Задачи 49
Глава 2. Общая топология 51
2.1. Топологические пространства 51
2.2. Функции и отображения 61
2.3. Многообразия 65
Задачи 74
Глава 3. Риманова поверхность аналитической функции .... 76
3.1. Полная аналитическая функция 76
3.2. Аналитическая конфигурация 82
Задачи 89
Глава 4. Накрывающие многообразия 91
4.1. Накрывающие многообразия 91
4.2. Теорема монодромии 96
4.3. Фундаментальная группа 99
4.4. Преобразования наложения 109
Задачи 112
Гл.ава 5. Комбинаторная топология 113-
5.1. Триангуляция 113
5.2. Барицентрические координаты и барицентрическое
подразделение 119
5.3. Ориентируемость 125
5.4. Дифференцируемые и аналитические кривые 134
5.5. Нормальные формы компактных ориентируемых
поверхностей 138
5.6. Группы гомологии и числа Бетти 146
5.7. Инвариантность групп гомологии 150
5.8. Фундаментальная группа и одномерная группа
гомологии 152
5.9. Гомоло/ия на компактных поверхностях 163
Задачи 168
ОГЛАВЛЕНИЕ 343
Глава 6. Дифференциалы и интегралы 169
6.1. Дифференциалы второго порядка и поверхностные
интегралы 169
6.2. Дифференциалы первого порядка и криволинейные
интегралы 175
6.3. Теорема Стокса 182
6.4. Исчисление внешних дифференциальных форм .... 188
6.5. Гармонические и аналитические дифференциалы .... 192
Задачи 202
Глава 7. Гильбертово пространство дифференциалов 204
7.1. Определение и свойства гильбертова пространства . . . 204
7.2. Операторы сглаживания 215
7.3. Лемма Вейля и ортогональные проекции 221
Задачи 231
Глава 8. Существование гармонических и аналитических
дифференциалов 233
8.1. Теоремы существования 233
8.2. Существование счетной базы римановой поверхности . 241
Задачи 244
Глава 9. Униформизация 246
9.1. Поверхности, подобные однолистным 246
9.2. Универсальные поверхности наложения 253
9.3. Триангуляция римановой поверхности 268
9.4. Отображения римановой поверхности на себя .... 271
Глава 10. Компактные римановы поверхности 279
ЮЛ. Регулярные гармонические дифференциалы 279
10.2. Билинейные соотношения Римана 282
10.3. Билинейные соотношения для дифференциалов с
особенностями 286
10.4. Дивизоры 292
10.5. Теорема Римана — Роха 295
10.6. Точки Вейерштрасса 301
10.7. Теорема Абеля 308
10.8. Проблема обращения Якоби 314
10.9. Поле алгебраических функций 319
10.10. Гиперэллиптический случай 325
Задачи 332
Литература 334
Указатель • • 337
Дж. Спрингер
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ
РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Редактор Е. Д. Соломенцов
Художник М. В. Борисова-Мусатова
Технический редактор А. Д. Хомяков
Сдано в производство 27/1 I960 г.
Подписано к печати 20/Х I960 г.
Бумага 60x927i6=10,7 бум. л.
21,5 печ. л.
Уч.-изд. л. 21,3. Изд. № 1/4642.
Цена 16 р. 90 к., с 1/1 1961 г. цена 1 р. 69 к.
Зак. № 1093.
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.
Москва, 1-й Рижский пер., 2.
Типография № 2 им. Евг. Соколовой
УПП Ленсовнархоза.
Ленинград, Измайловский пр , 29