/
Автор: Шиффер М. Спенсер Д.К.
Теги: математика математический анализ высшая математика функциональный анализ
Год: 1957
Текст
Р1ШСТ1(ЖАЬ5 ОР
51ЖРАСЕ5
ВУ
М Е N А Н Е М 5СН1РРЕК
А N0
ЭОЫАЬЭ С, ЗРЕГ^СЕК
Р^Ь\СЕТО1\ N Е ДА/" ЛЕКЗЬУ
Р К I N С С Т О N и N I V Е К 5 I Т У Р К I Ь
19 5 4
М. ШИФФЕР и Д. К. СПЕНСЕР
ФУНКЦИОНАЛЫ
НА КОНЕЧНЫХ
РИМАНОВЫХ
ПОВЕРХНОСТЯХ
Перевод с английского
Е. Д СОЛОМЕНЦЕВА
Под редакцией
А В БИЦАДЗЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва, 19 57
АННОТАЦИЯ
В этой книге с точки зрения функционального ана-
анализа систематически строится теория конечных римановых
поверхностей, образующая важный раздел современной
теории функций. Изучаются, в частности, вариационные
задачи на этих поверхностях. Начиная с изложения
классических результатов, авторы вводят читателя в круг
современных идей и методов этой области математики.
Книга рассчитана на математиков, занимающихся
теорией функций, математической физикой и функцио-
функциональным анализом. Для ее чтения необходимо знакомство
с теорией функций комплексного переменного в объеме
университетского курса и с основами комбинаторной
топологии.
Редакция литературы по математическим наукам.
Заведующий редакцией проф. Л. Г. КУРОШ.
ОТ РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОДА
Теория римановых поверхностей может быть изложена с разных точек
зрения. Так, в монографии Р. Неванлинны «Униформизация» (ИЛ, 1955) эта
теория строится в связи с общей проблемой униформизации. В предлагаемой
в русскохм переводе монографии М. Шиффера и Д. К. Спенсера «Функцио-
«Функционалы на конечных римановых поверхностях» дается систематическое изложе-
изложение теории конечных римановых поверхностей (т. е. римановых поверхностей
конечного рода) с точки зрения функционального анализа. В основе лежит
здесь тесная связь, существующая между вариационной теорией римановых
поверхностей и теорией дифференциальных форм.
После появления в русском переводе известной книги де Рама «Диффе-
«Дифференцируемые многообразия» (ИЛ, 1956), посвященной дифференциальным фор-
формам, издание монографии М. Шиффера и Д. К. Спенсера является своевре-
своевременным и полезным событием. Оно может принести значительную пользу как
специалистам по теории функций, так и математикам, занимающимся совре-
современным функциональным анализом и уравнениями математической физики-
Некоторые места предлагаемой книги изложены слишком схематично
(например, §§ 12, 13 гл. 7), но, к сожалению, улучшить изложение этих мест
без существенного увеличения объема книги невозможно.- По этой причине
мы воздержались от каких-либо изменений текста.
А. В. Бицадзе
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ
Эта монография возникла из лекций, читанных авторами в Принстонском
университете в течение 1949/50 учебного года. Предметом ее являются конеч-
конечные римановы поверхности, т. е. римановы поверхности конечного рода, имею-
имеющие конечное число невырожденных компонентов края.
Основной целью этой монографии является исследование конечных римано-
рых поверхностей с точки зрения функционального анализа, т. е. изучение
различных абелевых дифференциалов, принадлежащих поверхности, в их
зависимости от самой поверхности. Римановы поверхности с краем замыка-
замыкаются путем построения двулистной поверхности наложения—дубля, и теория
их сводится этим к теории замкнутых поверхностей. В центре внимания
находятся дифференциалы третьего рода, через которые могут быть выражены
другие дифференциалы.
Изучаются соотношения между функционалами, принадлежащими двум
римановым поверхностям, одна из которых вложена в другую, и строятся
разложения в ряды для функционалов вложенной поверхности, выражающие
их через функционалы объемлющей поверхности. Находятся условия того,
чтобы локально голоморфное вложение могло быть продолжено до вложения
в целом одной поверхности в другую. Следует заметить, что понятие вложения
является естественным обобщением понятия однолистной функции комплекс-
комплексного переменного в плоской области, так как эти функции осуществляют
вложение плоской области в комплексную сферу.
Для случая, когда поверхность, вложенная в другую, сходится к этой
объемлющей поверхности, получаются асимптотические формулы, которые
естественным путем приводят к вариационной теории римановых поверхно-
поверхностей. Затем систематически строится вариационное исчисление, которое может
иметь топологический или конформный тип.
Вариационное исчисление применяется для изучения соотношений между
различными функционалами, принадлежащими заданной римановои поверхно-
поверхности, и для изучения экстремальных проблем вложения одной поверхности
в другую. В частности, изучаются приложения к классической теории кон-
конформных отображений.
В последней главе рассматриваются некоторые обобщения изложенной
ранее теории на келеровы многообразия высших размерностей.
В первых трех главах излагается классическая теория в историческом
аспекте; специалистом эти главы могут быть опущены. Было признано все же
желательным включить эти главы для того, чтобы отчетливо показать истори-
исторические тенденции в развитии теории. Более современная трактовка дана
в гл. 9, где рассматривается специальный случай келерова многообразия
комплексной размерности 1 (риманова поверхность может быть всегда превра-
превращена в келерово многообразие посредством введения келеровой метрики).
Для чтения монографии не требуется обращения к дополнительной литера-
литературе, за исключением немногих мест, где даны соответствующие ссылки.
Декабрь 1951 г. М. Шиффер и Д. Спенсер.
ГЛАВА 1
ВВЕДЕНИЕ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ
СООБРАЖЕНИЯ
§ 1. ПОВЕРХНОСТИ, КОНФОРМНО ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПЛОСКОСТИ.
УРАВНЕНИЕ БЕЛЬТРАМИ
В предисловии к своей книге [8] Ф. Клейн говорит, что вряд ли он достиг
бы надлежащего понимания римановой теории функций, если бы Прим не
написал ему в 1874 г.: «В сущности римановы поверхности вовсе не обязатель-
обязательно представлять себе многолистными поверхностями над плоскостью комплекс-
комплексного переменного; напротив, комплексные аналитические функции можно
изучать на произвольно заданных кривых поверхностях точно так же, как
на поверхностях, лежащих над плоскостью». Клейн далее говорит, что, по
его мнению, исходным пунктом исследований Римана была* физическая концеп-.
ция некоторого стационарного потока, например электрического, движущегося
по поверхности.
В этой главе мы собрали различные геометрические и физические идеи,
стимулировавшие развитие теории функций комплексного переменного и теории
римановых поверхностей. За последние годы построена общая теория гармони-
гармонических тензоров на римановых /г-мерных многообразиях. Поучительно просле-
проследить, как различные черты этой теории сочетаются в двумерном случае,
доставляя пример исключительно элегантной и простой теории. В частности,
хотя окрестность произвольной точки двумерного риманова многообразия 932>
вообще говоря, не может быть изометрически отображена на плоскую область>
она всегда может быть отображена на такую область конформно. Другими
словами, риманово многообразие -$2 может быть названо локально конформно
плоским (эвклидовым); это свойство, вообще говоря, не имеет места для много-
многообразия 35" при п > 2. Далее, оказывается, что уравнения, определяющие
гармонические функции и гармонические векторы на многообразии ЗЗ2, остаются
инвариантными при конформных преобразованиях. Эти два свойства—свойство
быть конформно плоским и то обстоятельство, что гармонические функции
и векторы зависят только от конформной структуры,—позволяют нам при
изучении гармонических функций и векторов пренебрегать метрикой многообра-
многообразия -$2, обращая внимание только на его конформную структуру. Таким путем
мы приходим к аксиоматическому определению римановой поверхности как,
многообразия, каждая точка которого имеет окрестность, отображающуюся
конформно на плоскую область.
В этой главе мы дадим краткий очерк дифференциальной геометрии
многообразия $$2 и определение гармонических функций на произвольном 93я.
Это определение возникает естественным образом при рассмотрении потока
идеальной несжимаемой жидкости, движущейся по поверхности.
Рассмотрим двумерное риманово многообразие 352, элемент длины дуги
которого определяется формулой
из2 - Е№ + 2РШ-Ц + ОАJ, (ЫЛ)
" где Б и т]—криволинейные координаты, а Еу Р, О—функции переменных 6 и т).
Пусть задана произвольная точка этого многообразия; мы хотим ввести
новые координаты х($,т]), у E,7]) в некоторой окрестности этой точки так,
чтобы эта окрестность отобразилась конформно на область эвклидовой пло-
плоскости.
10 Гл. 1. Введение
Рассмотрим уравнения
дх ду . дх ду \ , рдх ду ^
A12)
Эти уравнения эквивалентны каждой из следующих двух систем:
дг\ дщ __ д% дт; П 1 3*)
и
A.1.3)'
где корень У^ЁО — Р2 =Н может иметь любой знак. Следовательно, перемен-
переменные х и у удовлетворяют одному и тому же уравнению в частных производ-
производных второго порядка:
Это уравнение было впервые введено Бельтрами и носит его имя (см. [3],
[4*])-
Пусть переменные х и у удовлетворяют системе A.1.3) и, следователь-
следовательно, системе A.1.2). Тогда
д (х, у) дх ду дх ду
если только не обращаются в нуль одновременно все четыре производные
дх/дЬ, дх/дц, ду/д$, ду/д-ц. Для существования дважды непрерывно диффе-
дифференцируемых решений х и у уравнения A.1.4), у которых хотя бы одна
из этих четырех величин отлична от нуля в каждой точке некоторой задан-
заданной окрестности, достаточно, чтобы функции Е, Р и О были дважды непре-
непрерывно дифференцируемы, или, более общо, чтобь* они имели первые произ-
производные, удовлетворяющие условию Гёльдера в некоторой окрестности задан-
заданной точки. Существование непрерывно дифференцируемого решения системы
A.1.3) с неисчезающим в окрестности заданной точки якобианом обеспечено,
если функции Е, Р и О только непрерывны и удовлетворяют условию Гёль-
Гёльдера (см. [11а, Ь]). Условие Гёльдера в обоих случаях не может быть опу-
опущено (см. [6]). Действительно, можно подобрать непрерывно дифференцируе-
дифференцируемые в окрестности заданной точки функции Е, Р и С так, чтобы единствен-
единственным дважды непрерывно дифференцируемым решением уравнения AЛ.4) бы-
было # = соп51. Также можно подобрать такие непрерывные функции Е, Р
и С, что единственным непрерывно дифференцируемым решением системы
A.1.3) будет х = соп51, у = соп$1. В этих исключительных случаях может
не существовать отличных от постоянной гармонической или соответственно
аналитической функции в заданной окрестности. Если функции Е, Р и С
имеют производные всех порядков или являются действительными аналити-
аналитическими функциями, то такими же свойствами обладают и решения х и у
уравнения A.1.4). Заметим, что знак якобиана совпадает со знаком функ-
функции Н.
§ 1. Уравнение Бельтрами II
Введя хну как локальные координаты в рассматриваемой окрестности,
получим
A.1.6)
и, согласно уравнениям A.1.2),
Ж>2 = 5<й2 + 2РаЫ-ц + ОЛг?- а (х, у) (Лс2 + Л/2), (Ы.7)
где
д{* ^ О
как это следует из соотношения A.1.5).
Итак, функция г = х-\-1у отображает окрестность заданной точки
поверхности 832 взаимно однозначно и конформно на окрестность некото-
некоторой точки комплексной плоскости с эвклидовой метрикой \Aг\2 = с1х2-\-с1у2.
Вообще говоря, это отображение не может быть изометрическим, так
как функция а (я, у), в общем случае, не равна тождественно посто-
постоянной.
Назовем непрерывно дифференцируемую функцию типа г = х-\-1у локаль-
локальной униформизирующей поверхности 982 в окрестности заданной точки. Если
г' = х' + щ' — другая униформизирующая в той же окрестности, то функции
х' и у' удовлетворяют уравнениям A.1.2), которые необходимы для того,
чтобы имело место соотношение A.1.7). Из формул A.1.3), A.1.3)' и A.1.6)
получим
дх' __ ду' дх' ^^-ду (\ \
± ^ К
у
где верхние знаки соответствуют одному и тому же выбору знака функции
Н для униформизирующих г' и 2, а нижние —противоположному. Следова-
Следовательно, униформизирующая г' будет аналитической функцией переменной г
или ее сопряженной г в рассматриваемой окрестности. Наоборот, всякая
аналитическая функция г' = г' (г), для которой Лг'/йгфО в заданной окре-
окрестности, может быть принята в качестве униформизирующей. Функции х'
и у' удовлетворяют уравнению Лапласа:
A.1.9)
Дифференциальные уравнения Коши —Римана A.1.8) являются частным слу-
случаем уравнений A.1.3), а уравнение Лапласа A.1.9) является частным слу-
случаем уравнения Бельтрами A.1.4) при Е = О и /7 = 0. Комплексная функция
на поверхности $82 называется аналитической в окрестности некоторой точ-
точки, если она является аналитической функцией локальной униформизирую-
униформизирующей в обычном смысле.
Хотя и всегда возможно отобразить поверхность $2 локально на пло-
плоскость с сохранением углов, но не всегда можно по топологическим причи-
причинам отобразить $82 на плоскость «в целом». Например, невозможно отобра-
отобразить тор на плоскую область. Однако из общего принципа униформизации,
доказываемого в гл. 2, следует, что поверхность 352 может быть конформно
отображена на плоскость в целом, если вообще отображение в целом топо-
топологически возможно.
Уравнение Бельтрами является для поверхности 952 аналогом уравнения
Лапласа A.1.9). Чтобы лучше понять эту аналогию, предположим, что мы
12 Гл. и Введение
рассматриваем поток некоторой несжимаемой среды, заключенной между
двумя плоскостями, параллельными плоскости переменных х, у. Природа
этой движущейся среды для нас не имеет значения, но удобнее все же ее
отождествить с электрическим потоком. Предположим, что существует по-
потенциал и = и(х, у) (в случае электрического потока это будет электроста-
электростатический потенциал); через V = V(x, у) обозначим функцию тока. Тогда
ди дь ди ду
бх ди т ди дх '
Л2 Л2 л Л2 A.1.10)
■ д2иО2у д2у
Кривые ^ = сопз! называются эквипотенциальными кривыми, а кривые ю =
= сопз! — линиями тока. Ясно, что функции и и V определены только с точ-
точностью до аддитивной постоянной. Более того, уравнения A.1.10) не изме-
изменятся, если заменить функцию и на V и V на — и. При этом мы получим
второй поток, который Клейн назвал сопряженным.
С физической точки зрения уравнение Лапласа
для потенциала и выражает свойство несжимаемости текущей среды. Урав-
Уравнение Бельтрами A.1.4) имеет ту же самую физическую интерпретацию при-
применительно к потоку по кривой поверхности Э§2 в пространстве. В самом
деле, пусть Е/т] —криволинейные координаты на поверхности, элемент дли-
длины дуги которой задан формой A.1.1). Обозначим через и функцию точки
на поверхности, и пусть направление движения потока в каждой точке пер-
перпендикулярно кривой ^ = сопз1, проходящей через эту точку^ Пусть скорость
этого потока равна ди/дп, где дп — элемент дуги, проведенной на поверх-
поверхности ортогонально кривой ^ = сопз1.
В точке поверхности Э§2 компоненты направляющего вектора ^-кривой
(т* е. кривой, вдоль которой координата т\ постоянна) выражаются следую-
следующим образом:
>1 Х2
Ортогональное направление определяется- вектором с компонентами
,11-= - -
У'ё
Действительно,
Для проекции скорости потока на нормаль к ^-кривой получим следующее
выражение:
ди 1 , ди 2 1 1 / г? ди и ди\ ,* 1 1 оч
+ р = —г=-—?—=-- [ — Р & + Е-Х-} • A.1.12)
Выражение для проекции скорости потока на нормаль к т|-кривой можно
написать по аналогии:
1 /
дъ » ~ ли у• A.1.12)
Рассмотрим теперь весьма малый элемент поверхности 352, ограниченны и
координатными кривыми, соответствующими значениям параметров 5, ^ + (И и
т]> т]-\гс1т1- Количество жидкости, протекающее в единицу времени через дугу
§ /. Уравнение Бельтрами 13
координатной кривой, заключенную между точками (^, т,) и ($-|-^, т)), со-
составит
1 1 Г гди
/•^н с- I у сас= • A.1.13)
1
а через дугу, заключенную между точками (Б, т\ + с1т\) и
ди
Разность расходов жидкости через эти два участка границы элемента поверх-
поверхности будет, следовательно, равна
Прибавляя разность расходов жидкости через два других участка границы
и приравнивая сумму нулю, получим уравнение Бельтрами
+ и -^-=^-/=0. A.1.16)
У во—я
Вид уравнения A.1.16) показывает," что для каждой функции и, удов-
удовлетворяющей этому уравнению, может быть найдена другая функция у,
тесно связанная с и; эта функция V определяется из уравнений
ди ди ^ ди ди
Ж~ д' д^3~
Ж дг1 д"^^3 _Щ_л A.1..17)
УЕО — Р* ' дг\ VЕС — Я
Эти уравнения определяют функцию V с точностью до аддитивной постоян-
постоянной. Из геометрического смысла уравнений A.1.17) усматриваем, что семей-
семейства кривых г/ = сопз1 и у — сопз!, вообще говоря, ортогональны. Этот факт
легко устанавливается непосредственной проверкой:
A.1.18)
Следовательно, и + ж есть комплексная аналитическая функция точки.
Если поверхность 832 отображена конформно на другую поверхность
с элементом дуги д^, то
Из формулы A.1.18) вытекает, что
(IV2 = Ха с1з\ = >,г
Другими словами, функция и + до преобразуется в комплексную аналитиче-
аналитическую функцию точки на поверхности $8^. Это свойство является в сущности
следствием того факта, что левая часть уравнения A.1.16) и правая часть
уравнений A.1.17)— однородные функции степени нуль относительно вели-
величин Е, Р и О. Линии тока и эквипотенциальные кривые на одной поверхно-
поверхности преобразуются соответственно в линии тока и эквипотенциальные кривые
на другой поверхности. Следует заметить, что скорости потоков в соответ-
соответствующих точках обеих поверхностей, вообще говоря, различны. Гармони-
Гармонические функции остаются гармоническими при конформном преобразовании.
Г л, 7. Введение
Теорема, обратная только что доказанной, также верна: если на двух
поверхностях заданы две аналитические комплексные функции и если (эти
две поверхности отображены одна на другую таким образом, что в соответ-
соответствующих точках поверхностей значения комплексных аналитических функ-
функций совпадают, то поверхности отображены одна на другую конформно.
Этот критерий впоследствии будет использован в качестве определения кон-
конформной эквивалентности.
Другой подход к дифференциальному уравнению Бельтрами дает рас-
рассмотрение некоторых экстремальных проблем на поверхности 3§2. Пусть
9E, у\) —действительная дважды непрерывно дифференцируемая функция на
поверхности. Мы будем искать направление наиболее быстрого изменения
функции 9 в заданной точке поверхности. Для этой цели предположим, что
мы двигаемся из заданной точки вдоль произвольной кривой, и подсчитаем
производную функции ср по длине дуги 5 этой кривой. Мы получим
A.1.19)
Условие, что переменная 5 есть длина дуги, выражается * соотношением
Определим теперь экстремум величины (йу/йзJ при дополнительном условии
A.1.20) с помощью правила множителей Лагранжа. Получим
шах V =
По аналогии с символикой теории плоских векторных полей, обозначим выра-
выражение, стоящее в правой части формулы A.1.21), через [§гаЙ9]2. По опре-
определению, функция [§га<3ср]2 не зависит от выбора координат $ и т\ на поверх-
поверхности 3§2. Она называется первым дифференциальным параметром Бельтрами
и может быть записана в следующей форме:
[§гас! 9]2 =
Еи — Р*
Е Р
Р О
То О
A.1.22)
Пусть 9 и ф—дважды непрерывно дифференцируемые функции на поверх-
поверхности ЗЗ2 и {л —постоянная. Тогда справедливо соотношение
[§гаA
§гас1
где
1
ЕО — Р*
Е
Р
Ф;
Р
О
Фч
0
A.1.22)'
Очевидно, что это выражение также инвариантно по отношению к преобра-
преобразованиям координат 5 и т].
Оператор
"'■""" - A.1.23)
называется вторым дифференциальным параметром Бельтрами (см. [3], [9Ь]).
§ 2. Внешние дифференциальные формы 15
Его тесная связь с первым дифференциальным параметром устанавливается
тождеством
§гас1 ср • §гас1 ф -;- фА9 =
A.1.24)
Это тождество является обобщением на случай криволинейных координат
хорошо известного векторного тождества
§гас1ф-§гас1ф + ф-Двр== сЦу(ф §гас19)-
Более детальное изучение векторного анализа на римановых многообразиях
высших размерностей будет предпринято в гл. 9; читатель может рассмат-
рассматривать формулу A.1.24) как иллюстрацию этой общей теории.
Пусть теперь функция ф обращается в нуль на гладком 1-цикле
д$, ограничивающем подобласть 3 поверхности 3$2. Из формулы A.1.24}
получим
ф ]/ ЕС - Р2 <& Л] = - \ ф- Д?
3
так как интеграл от дивергенции преобразуется в интеграл по границе
обращающийся в нуль.
Функция 9 называется гармонической в области 5» ее ли Д9 = 0 всюду в 3
Мы получили следующий результат: если ср'— функция, гармоническая в об
ласти $, и функция ф равна нулю на границе <?3> то
§гас!ср.§гай6 УЕО-РЫЫ^^О. A.1.25)
8
Пусть теперь ^ — другая дважды непрерывно дифференцируемая функ-
функция в замкнутой области $> которая на границе д^ совпадает с гармониче-
гармонической функцией ср- Разность х~~? равна нулю на границе области §. Вос-
Воспользовавшись формулой A.1.25), получим
(§гас! ф
. 3
Мы установили формальным путем принцип Дирихле для области $: задан-
заданная гармоническая функция имеет меньшее значение интеграла от квадрата
ее градиента, распространенного по области §, чем йюбая другая гладкая
функция, имеющая те же самые граничные значения.
Принцип Дирихле * послужил отправным пунктом для доказательства
существования гармонических функций с заданными граничными значениями.
Соответствующее доказательство существования, излагаемое в § 8 гл. 27
представляет собой модификацию оригинального принципа Дирихле, устано-
установленного Кельвином, Риманом и Гильбертом.
§ 2. ВНЕШНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
* До сих пор мы занимались главным образом рассмотрением потенциаль-
потенциальной функции потока. Обратимся теперь к изучению векторного поля ско-
скоростей частиц движущейся среды. Сначала сделаем несколько замечаний
общего характера.
16 Гл. 1. Введение
Пусть /\ /2 — пара непрерывно дифференцируемых функций прямоуголь-
прямоугольных координат х1, х2, определенная в области с2 плоскости. Можно считать,
что функции /*, /2 определяют замену переменных в области с2. Если яко-
якобиан
зр_ ар
дх1 дх2
д (х1, х2)
дх1 дх2
функций /*, р (в этом порядке) относительно переменных лг1, х2 не обра-
обращается в нуль в области интегрирования, то справедлива формула
где первый интеграл распространен на образ области а2 и независимыми
переменными служат в нем величины /*, /2. Представляется удобным сохре-
нить формулу
^У^ A.2.2)
также и тогда, когда функции /*, /2 не отображают область а2 взаимно
однозначно, посредством выбора подходящих правил действий. Так как
д (!\ /2) д (/», /1)
<? (л:1, л:2) а (л:1, л:2) '
ТО МЫ ДОЛЖНЫ ПОЛОЖИТЬ
арар= -ара?. ! A.2.2)'
Будем поступать теперь формально. Дифференциалом первой степени
назовем выражение вида
Если
— другой такой дифференциал, то сложение определим естественной формулой
Если /г-функция (или, иначе, дифференциал нулевой степени), то мы опре-
определяем далее
/а = 1а1йх1 +. !а2с1х2.
Оператор й определяется, как обычно, формулой
причем предполагается, что функция / имеет непрерывные частные произ-
производные первого порядка. Дифференциалом второй степени назовем выражение
вида
а их1 их2.
Сложение двух таких дифференциалов и умножение их на функцию опреде-
определяются так же, как и выше. Определим теперь умножение дифференциалов
друг на друга, так называемое внешнее умножение. Первые правила (опре-
(определения) выражаются формулами
их1 их2 = — их2 их1,
ах1 = ах2 ах2 -о. A-2-3)
§ 2. Внешние дифференциальные формы *■*
Далее, умножение должно быть дистрибутивным, ассоциативным и должно
для функций сводиться к обычному умножению. Скаляры (т. е. функции,
или дифференциалы нулевой степени) должны быть перестановочны со всеми
дифференциалами. Следовательно, должны быть справедливы формулы:
= а (#) =
где а, р, 7 — дифференциалы любой степени и / — функций. Другими словами,
дифференциалы можно умножать как обычно, только необходимо аккуратно
применять правила A.2.3) для упрощения получаемых выражений. Наконец,
если
а = а^х1 + а2с1х2
— дифференциал первой степени, то мы определяем
= @а1) ах1 + @а2) с1х2. A.2.4)
Следовательно, За есть дифференциал второй степени. Выполнив вычисления,
получим, в силу A.2.3),
A.2.4)'
Если р, р — две (непрерывно дифференцируемые) функции, то
хдя1 дх2 дх2 дх1
д (л:1, х2)
что совпадает с формулой A.2.2).
Исчисление дифференциальных форм, определяемое описанными выше
правилами, было введено Грассманом и Э. Картаном в более общей форме.
В случае многообразий высших размерностей его интенсивно использовали
Бохнер, Э. и А. Картан, Ходж, Кодаира, де Рам и другие. В случае дву-
двумерных многообразий оно почти тривиально, но все же ведет к формальным
упрощениям, которые оказываются полезными.
Вернемся теперь к векторному полю скоростей потока, но ограничимся
пока рассмотрением потока на плоскости с прямоугольными координатами хгу
х2. Пусть а17 а2 — компоненты скорости потока по направлениям х1, х2 соот-
соответственно. Используя обозначения, употребленные в формуле A.2.4)', можем
записать классическую формулу Стокса в следующей форме:
Aа= \ а, A.2.5)
где а = а^х1-{-а2с1х2 — произвольная дифференциальная форма первой степени,
а символ до2 обозначает положительно ориентированную границу области а2.
Интеграл, стоящий в правой части формулы A.2.5), называется циркуляцией
скорости потока вдоль границы области а2. Если эта циркуляция обращается
в нуль для любой области а2, то мы должны иметь
<1а=0, A.2.6)
т. е.
= 0. A.2.7)
дх2 дх1
2 Заказ № 634
18 ' Гл. 1. Введение
Уравнение A.2.7) выражает то обстоятельство, что векторное' поле а{ является
безвихревым и обеспечивает (локальное) существование потенциала скорости
и(х1,х2), для которого
аи = а^х1 + а2с1х2, а1 = -§^[9 а2 - ~2. A.2.8)
Как мы видели в §? 1 гл. 1, потенциальная функция и потока несжимаемой
среды удовлетворяет уравнению A.1.11) или, в обозначениях формулы A.2.8),
уравнению
Уравнение A.2.9)—так называемое уравнение неразрывности — означает, что
дивергенция векторного поля а{ равна нулю или что поле а{ соленоидальное.
Векторное поле а{> являющееся одновременно безвихревым и соленоидаль-
ным, называется гармоническим. В случае плоскости гармонический харак-
характер векторного поля (а1У а2) выражается уравнениями A.2.7) и A.2.9). Воз-
Возникает вопрос о природе уравнений, определяющих гармоническое векторное
поле на кривой поверхности. Оказывается, что уравнения, определяющие
гармоническое векторное поле на произвольной римановой поверхности ЗЗ2*
остаются неизменными при конформном преобразовании. -Так как поверхность
332 локально конформно эквивалентна плоскости, то всегда возможно урав-
уравнения, характеризующие гармоническое векторное поле, выразить при помощи
эвклидовых координат плоскости. Другими словами, можно использовать урав-
уравнения A.2.7) и A.2.9) для определения гармонического векторного поля
на произвольной поверхности 332.
Тот факт, что гармонический характер дифференциальных форм первой
степени на римановой поверхности ЗЗ2 зависит только от ее конформной
структуры, является частным случаем более общего результата, часто под-
подчеркиваемого Г. Вейлем: на римановом многообразии размерности п — 2р
гармонические р-векторы (или гармонические р-формы) зависят только от его
конформной структуры. Доказательство этого утверждения требует примене-
применения тензорного анализа и поэтому здесь не приводится.
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
В конце § 2 гл. 1 было указано, что определение гармонических функ-
функций и гармонических дифференциалов на поверхности $В2 зависит только
от конформной структуры. При рассмотрении гармонических функций и гар-
гармонических 1-векторов можно вовсе не интересоваться метрикой поверхности
ЗЗ2, так как окрестность каждой точки р 6 952 может быть конформно ото-
отображена на плоскую область. Однако это положение несправедливо уже
для 2-векторов; по этой причине мы их здесь рассматривать не будем. Пусть
х, у — эвклидовы координаты точек на плоскости, соответствующих точкам:
поверхности ЗЗ2» лежащим в окрестности точки р. Функция г = х-\-1у является
комплексной функцией точки в этой окрестности' в смысле § 1 гл. 1 и назы-
называется (локальной) униформизирующей в точке р.
Мы условились рассматривать только такие поверхности, которые имеют
униформизирующие в каждой точке, причем две униформизирующие, опре-
определенные для одной и той же окрестности, должны быть связаны между собой
конформным преобразованием. Поверхности такого рода мы назвали рима-
новыми (более точное определение см. в § 1 гл. 2).
Дифференциалом первой степени на римановой поверхности называется
выражение вида
§ 3, Дифференциальные формы на римановых поверхностях 19
где а и Ъ — функции (не обязательно аналитические) локальной униформизи-
рующей г = х + 1у. Зависимость коэффициентов в выражениях этого типа от
выбора униформизирующей предполагается такой, что дифференциал а
остается инвариантным при замене униформизирующей. Мы будем предпо-
предполагать, что функции а и Ъ непрерывны вместе с их частными производными
первого порядка.
Дифференциалом второй степени на римановой поверхности называется
выражение вида
с с1х йу,
если оно обладает указанным свойством инвариантности.
Наконец, дифференциалами нулевой степени являются функции, значения
которых в точках поверхности также не зависят от выбора униформизи-
рующих.
Аналитической функцией на римановой поверхности называется ком-
комплексный скаляр, представимый степенным рядом локальной униформизи-
униформизирующей. В частности, любая униформизирующая является локально функ-
функцией аналитической*
Обозначим через г-=--х-\-1у униформизирующую в точке р и введем опе-
операторы Виртингера1)
1 + () A.3.1)
Гармоническая функция V на римановой поверхности определяет аналити-
аналитический дифференциал
йт- дг й2- 2\ дх 1 ду )пг' \\^.1)
С другой стороны, отправляясь от произвольного аналитического дифферен-
дифференциала д.ш — (и-\-1о)д,г, найдем, что его действительная и мнимая части яв-
являются гармоническими дифференциалами (в смысле § 2 гл. 1):
A.3.3)
Действительно, уравнения Коши — Римана, связывающие функции и и уг
выражают соленоидальный и безвихревой характер векторного поля.
Мнимую единицу г можно рассматривать как символ, позволяющий раз-
различать положения компонентов в сочетании и+&>- Умножение сочетания
и-\-ю на / заменяет компоненты и на —V и V на и. Другими словами,
умножение на г переводит гармоническую функцию в ее сопряженную. Мы
можем избежать пользования комплексными числами посредством введения
оператора *, действующего на дифференциалы. Если дана дифференциальная
форма
а = ах йхх + а
то сопряженную дифференциальную форму определяем следующим образом:
. A.3.4)
Заметим, что в формулах A.3.3) $ = *а; другими словами, действительная и
мнимая части аналитического дифференциала образуют пару сопряженных
гармонических дифференциалов. Для произвольных дифференциалов а и В
получим
**а = — а,
а.*C = Р-*а= —*а*Р, . A.3.5)
а. *а = (а\ + а\) их1 их2
г) Следует заметить, что эти операторы (так называемые формальные производные)
были введены еще Коши. —Прим. перев.
2*
20 Г л, 1, Введение
(ср. [2]). Дифференциал а, удовлетворяющий равенству с1а = 0, называется
замкнутым. Из формул A.2.7) и A.2.9) следует, что дифференциал а будет
гармоническим тогда и только тогда, когда дифференциалы а и *а замкнуты.
В случае скаляра 9 мы полагаем
A.3.6)
а для дифференциала второй степени, скажем сйхйу,
*<; йхйу=^с. A.3.7)
В частности,
##<р = 9 A.3.8)
всякий раз, когда 9 — скаляр или дифференциал второй степени.
§ 4. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Как показывает заглавие этой книги, мы будем рассматривать главным
образом конечные поверхности, т. е. поверхности, являющиеся конечными
комплексами в топологическом смысле. Конечными называют поверхности,
допускающие триангуляцию, состоящую из конечного числа симплексов,
каждая пара которых удовлетворяет одному из следующих условий:
а) они не имеют общих точек;
б) один из симплексов пары является стороной другого;
в) пара симплексов имеет общую сторону, являющуюся их пересечением.
Конечные поверхности полностью классифицированы. Именно, класси-
классическая теорема утверждает, что любая конечная поверхность может быть
получена из сферы посредством вырезания отверстий, заклеивания листамр!
Мёбиуса и добавления ручек первого рода. Если желают добавить ручку первого
рода, то следует вырезать два отверстия с границами Сх и С2, а затем
идентифицировать точки границ Сх и С2 таким образом, чтобы при положи-
положительном обходе кривой Сг кривая С2 обходилась в отрицательном направле-
направлении. Для заклеивания листом Мёбиуса следует только вырезать «круглое»
отверстие и идентифицировать диаметрально противоположные точки его
границы. Пусть т — число контуров края, т. е. число отверстий, к — число
ручек первого рода и с — число заклеиваний листами Мёбиуса. Поверхность
ориентируема, если число с равно нулю; в противном случае она неориен-
неориентиру ема. Если поверхность ориентируема, то род ее равен числу ручек пер-
первого рода. Если поверхность неориентируема, то, заменяя каждое присоеди-
присоединение ручки первого рода двумя заклеиваниями листами Мёбиуса, положим
род равным суммарному числу всех заклеиваний листами Мёбиуса, т. е.
2Н-\-с. Поверхности, следовательно, имеют три топологических инварианта:
ориентируемость или неориентируемость, род и число контуров (иногда мы
будем говорить «компонентов») края.
Двумерный симплекс ориентирован, если упорядочено множество его
вершин, например (Р0Р1Р2). Одномерный симплекс также ориентируется упо-
упорядочением его концов, например (Р0Л.)- Нульмерный симплекс ориентируется
посредством присоединения к нему знака -]- или —. Если
— ориентированный двумерный симплекс, или «треугольник», то
-а*= -(Р0Р1Р2)= +(Р1Р0Р2)-
Аналогично, если
о1 = + (ЛД
ориентированный одномерный симплекс, или «отрезок», то
§ 4. Элементарная топология поверхностей 21
Из ориентированных симплексов поверхности мы будем формировать цепи.
Мы будем называть &-цепью (& = 0, 1, 2) конечной поверхности совокупность
конечного числа ^-мерных симплексов, каждый из которых принадлежит этой
поверхности, обладает определенной ориентацией и входит в совокупность
с определенной кратностью. Условимся записывать й-цепь в следующей
форме:
С* * * иао*, A.4.1)
где щ — целые числа и а = а^—номера ^-мерных симплексов, принадлежащих
поверхности. Если, например, и± = 0у то симплекс а* не встречается в цепи.
Если их = 2, то симплекс о\ встречается с кратностью 2, в то время как
равенство их = — 2 означает, что противоположно ориентированный симплекс
встречается в цепи дважды. Граница симплекса о состоит из его (к—\)-
мерных сторон, на каждой из которых индуцирована определенная ориен-
ориентация. Мы будем обозначать границу симплекса ск через дск. Например:
до* = д (Р,ЛР2) = (РЛ) - (Р0Р2) + (Р0Рг),
Граница дСь цепи Ск определяется формулой
Если граница равна нулю, то"цепь называется циклом. Легко видеть, что
<92с = д (да) = 0 и, следовательно, д(дС) = О. Это означает, что граница лю-
любой цепи является циклом. Сумма двух й-цепей
Ск = и^\ + .. . + и«оЬ,
определяется формулой
Операция сложения ^-цепей коммутативна, ассоциативна и дистрибутивна.
Если й-цикл Ск является границей (к 4- 1)-мерной цепи, то его назы-
называют граничным ^-циклом или говорят, что он гомологичен нулю. В сим-
символах мы будем выражать это обстоятельство таким образом:
Классы вычетов группы й-циклов по отношению к подгруппе граничных
6-циклов являются классами гомологии, они образуют элементы ^-мерной
группы гомологии. В случае римановой поверхности представляет интерес
только одномерная группа гомологии. Заметим, что на связном комплексе
(любой размерности) одномерная группа гомологии совпадает с абелевой
одномерной группой гомотопий.
Применяя формулу A.2.5) к двумерной цепи С2, получим
= \ а. A.4.3)
ас2
Здесь а = ах их1 + а2 с1х2 обозначает дифференциал первой степени. Назовем
=^а A.4.4)
с1
периодом дифференциала а относительно цикла С1. Из формулы A.4.3) сле-
следует, что если дифференциал а замкнут и цикл С1 гомологичен нулю
(в этом случае С1 = дС2), то период Р(а, Сх) = 0. Итак, периоды замкнутой
дифференциальной формы зависят только от класса гомологии цикла С1.
В частности, периоды гармонического дифференциала зависят только от
класса гомологии.
22 Гл. /. Введение
Для дальнейшего ознакомления с элементарной топологией поверхностей
мы отсылаем читателя к специальной литературе [10], [1*]. Заметим только
еще, что во многих приложениях удобнее рассматривать цепи с действи-
действительными (не обязательно целыми) коэффициентами. Так, например, об-
обстоит дело в приложениях, касающихся интегрирования вдоль цепей на
многообразиях. В этой книге нам потребуются только простейшие резуль-
результаты классической топологии поверхностей.
§ 5. ФОРМУЛЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
В этом параграфе мы собрали формулы интегрирования, которые пона-
понадобятся в дальнейшем.
Скалярное произведение двух дифференциалов
а = а1йх+Ь1 йу, C = а2 их + Ь2 йу
над областью 3 римановой поверхности определяется формулой
1 (а, Р) = \ а-*3= \ (а^.^1- Ь1Ь2) их йу -= ф, а). A.5.1)
Заметим, что
\ *а-**3= — \ *а-Й= \ 48.# а = (а, ;3), A.5.2)
5 5 5
согласно формуле A.3.5). Скалярное произведение двух скаляров <р и ф оп-
определяется формулой
(?» Ф)= 3 9-*^= § ^йхду. A.5.3)
Пусть ф —дважды непрерывно дифференцируемая функция. Положим
дх дУ дгдг У
где г = х-\-гу — униформизирующая. Имеем
йг йг = (б/х — * б/г/) (с/х 4-1 йу) = 2/ с(х йу. A.5.5)
Мы будем часто обозначать элемент площади йхйу через йА. Тогда
йуйх= —йА. Очевидно, что выражение
&§йхйу= —21—-—йгйг A.5.6)
дг дг
является дифференциалом второй степени и
(9, Аф) = V 9^ф йхйу.
Заметим далее, что
А = *й*й.
Пусть 9 —непрерывно дифференцируемая функция (скаляр) и а —такой
же дифференциал. Справедлива следующая формула:
, *а) — (9, *йа) = — \ 9*а- A.5.7)
Эта формула немедленно следует из классической формулы Стокса A.2.5),
если положить в ней а2 = ^ и заменить а на 9*а- Полагая а = *^ф в фор-
§ 5. Формулы интегрирования 23
муле A.5.7) (ф —скаляр), получим несимметричную формулу Грина:
A.5.8)
или, в более обычных обозначениях,
Здесь д,8 обозначает элемент длины дуги границы и д/дп — дифференцирова-
дифференцирование по нормали, направленной влево от вектора (йх,йу).
Симметричная формула Грина записывается в наших обозначениях так:
(<р, Дф)-(ф, Д<р)= ^ (<р-*</ф —ф-*Лр). A.5.10)
ад
Наконец, если положим а = ^ф, то из A.5.7), поскольку й(йф) = О, получим
= - С ср-^Ф- A.5.11)
ад
Все вышеприведенные формулы весьма тривиальны и могут быть дока-
доказаны непосредственно. Однако введенные нами обозначения имеют уже здесь
некоторые преимущества.
Мы будем заниматься главным образом аналитическими дифференциалами.
Произвольный аналитический дифференциал имеет вид
# = Л/ + /Л>, A.5.12)
где
№ = *йи. A.5.13)
Следовательно,
а1=аах+ ьау, A.5.
где а и Ь представляют собой комплексные функции:
ди . .дV и ди , .
а\1& + 1
/1 с 1С\
\1—, & = ^ + 1 — . A.0.15)
дх ' ох ду ' оу ч
Далее имеем
_ . • ,
й\ = йи — 1^ = ас1х-\-Ъ с1у, A.5.16)
где а, Ь — комплексные сопряженные функций а и Ь. В силу A.3.4),
A.5.17)
Естественно поэтому было бы определить скалярное произведение аналити-
аналитических дифференциалов следующим образом:
л5 <чД «чД «о
В этой формуле й$ — /' йг. Однако по формальным причинам мы примем
^\^ A.5.18)
Заметим, что
Л 48) = (№> ^ЛГ. A-5.19)
(<*Л 48) = (№> ^ЛГ. A-5.
где (а)~ обозначает величину, комплексно сопряженную а. Далее,
(*а[, *^) = (^/, а§). A.5.20)
Положив
A.5.21)
24 Гл. 1, Введение
будем иметь
Ы{й!)^~ \й!(Ц= ^ \{'\2с1хс1у. A.5.22)
3 3
В A.5.18) и A.5.22) символ йхйу обозначает элемент площади. Итак,
Ы(с1{)>0. A.5.23)
Отметим еще полезные тождества:
^ 5 (ь5-24)
A.5.25)
3
ЛИТЕРАТУРА1)
1*. А л е к с а н д р о в П. С.
Комбинаторная топология, М.—Л., 1947.
2. Альфорс (А Ь П о г 5 Ь.)
Ореп Шетапп зигГасез апс! ех!гета1 ргоЫетз оп сотрас! 5иЬге§10П5, Соттеп!,
Ма1Ь. Не1уеИс1, 24 A950), 100—134.
3. Бельтрами (ВеНгаггы Е.)
К1сегс11е сИ апаП51 аррПса!а а11а §еоте!г1а, Ореге 1,НоерН, МНап, 1902, 107—198.
4*. Бляшке (В 1 а $ с Ьк е \У.)
Дифференциальная геометрия, М.—Л., 1935.
5. Вейль Г. (Шеу1 Н.)
Б1е Нее с!ег 1^1етапп5с11еп Р1асЬе, ТеиЬпег, ВегПп, 1923.
6. Гартман, Винтнер (Н а г 1 т а п Р., \У 1 п 1 п е г А.)
Оп 1Ье ех151епсе оГ К1етапп1ап тап^оЫз ^ЫсЬ саппо! саггу поп-сопз1ап1 апа-
1уИс ог Ьагтотс ГипсИопз 1П 1Ье зтаП, Атег. Лоигп. оГ Ма1Ь., 75 A953), 260—276.
7. Келлог (КеПо^ О.)
РоипйаНопз оГ ро1еп11а1 1Ьеогу, 5рг1п§ег, ВегНп, 1929.
8. Клейн (К 1 е 1 п Р.)
ОЬег Шетаппз ТЬеог1е *с!ег а1§еЬга15сЬеп РипсИопеп ипс! И1гег 1п1е§га1е, ТеиЬ-
ТеиЬпег, Ье1р21§, 1882.
9. Курант (С о и г а п I К.)
а) ОЬег копГогте АЬЫЫип^ уоп ВегеюЬеп, \уе1сЬе п1сЫ с1игсЬ аПе КйсккеЬгзсЬпШе
хегзШскеН \уегс1еп, аи! зсЬИсЫе Ыогта1Ьеге1сЬе, Ма1Ь. 2. 3 A919), 114—122.
Ь) Геометрическая теория функций, М.—Л., 1934.
с) ТЬе соп!огта1 тарр1п§ о\ К1етапп зигГасез по! о! §епиз гего, Кеу. Ц^шу. Кае. бе
Тиситап, 5ег. А, II A941), 141—149.
б) Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности,.
М., 1953.
10. Л е ф ш е ц (Ь е I 5 с Ь е 1 2 5.)
1п1гос1исиоп 1о 1оро1о§у, Рппсе1оп \]п[у. Ргезз, 1949.
П.Лихтенштейн (ЫсЫеп51е1п Ь.)
а) Ве^е15 с!ез 5а12ез, йазз ]ес!е5 Ыпге1с11епс1 к1е1пе, 1т ^езепШспеп з1еи§ §е-
кгитт1;е, 51п§и1аг11аЧеп!ге1е Р1аспепз1:йск аи! е1пег ТеИ е1пег ЕЬепе гизаттепЬап-
§епс! ипс! 1П с!еп к1е1пз1еп ТеНеп аЬпНсЬ аЬ^еЫЫе! шегйеп капп, АЬЬ, с!ег Ргеизз.
Акай. с!ег ^1зз., РЬуз.-Ма1Ь. С1., 1911, АпЬап§ A912).
Ь) 2иг Тпеопе с!ег копГогтеп АЬЫЫип§. Коп(огте АЬЫЫип^ П1сЫапа1у11-
зсЬег, 51П§и1агИа1еп!ге1ег Р1асЬепз1йске аиГ еЬепе СеЫе1е, Ви11. 1п1егп. с!е
ГАсай. с!ез 5с1. ее Сгаоте, 5ег. А, 1916 A91-7), 192—217.
Названия, отмеченные звездочками, добавлены переводчиком.—Прим. ред.
ГЛАВА 2
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ КОНЕЧНЫХ
РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
В этой главе мы установим существование аналитических функций
и дифференциалов на римановых поверхностях. Доказательство существова-
существования основано на применении понятия гильбертова пространства дифферен-
дифференциалов, в метрике которого возможно ортогональное проектирование. Метод
ортогонального проектирования, непосредственно связанный с классическим
принципом Дирихле, позволяет установить существование гармонических
и аналитических дифференциалов. Достаточно применить этот метод в осо-
особенно простом случае замкнутой ориентируемой римановой поверхности.
Произвольная компактная риманова поверхность $Щ (с краем или неориенти-
руемая) может быть заключена в симметричную замкнутую ориентируемую
поверхность, являющуюся двулистной поверхностью наложения поверхности Ш-
Мы будем называть в дальнейшем эту двулистную поверхность наложения
«дублем» поверхности $Щ. Функционалы, принадлежащие поверхности ?}!
(например, функцию Грина), мы будем строить, выражая их через функцио-
функционалы, принадлежащие ее дублю.
В § 3 гл. 1 было введено понятие римановой поверхности. Теперь
мы дадим более точное определение. Римановой поверхностью называется
связный комплекс, каждая точка р которого обладает окрестностью, отобра-
отображающейся взаимно однозначно и взаимно непрерывно на некоторую (открытую)
область комплексной г-плоскости. Переменная г, определенная в окрестности
точки р, называется локальным униформизирующим параметром, или, короче,
униформизирующей. Если точка ^ принадлежит упомянутой окрестности
точки р и если г' — униформизирующая в точке <7> то переменные гиг'
связаны друг с другом посредством конформного отображения первого или
второго рода. Иными словами, переменная г' является аналитической функ-
функцией переменной г или г (г — комплексно сопряженная г), имеющей в точке п
производную, отличную от нуля.
Если риманова поверхность $Ш является конечным комплексом, то мы
назовем ее конечной римановой поверхностью. В этом случае мы предпола-
предполагаем, что каждая краевая точка р поверхности $Щ обладает граничной уни-
униформизирующей, отображающей прилегающую к точке р подобласть поверх-
поверхности Ж на некоторую область верхней полуплоскости 1тг>0 так, что
дуга контура края поверхности ЭД1 переходит в отрезок действительной оси.
Каждая конечная риманова поверхность является компактом; край такой
поверхности состоит из т замкнутых кривых или контуров (т>0). В топо-
топологии доказывается, что конечная риманова поверхность Ш топологически
эквивалентна сфере с добавленными к ручками первого рода, в которой
вырезано с + т дыр и из них с дыр заклеено листами Мёбиуса. Поверхность
ориентируема или неориентируема, если соответственно с — О или с > 0. Если
поверхность $Щ неориентируема, то род ее равен 2к-{-с; если же поверхность
ориентируема, то род ее равен просто к — числу ручек первого рода. В случае
ориентируемой поверхности из двух классов униформизирующих мы сохраним
только тот класс, в котором униформизирующие связаны друг с другом
26 Гл. 2. Теоремы существования
посредством конформного отображения первого рода. Заметим, что край
конечной римановой поверхности не может содержать изолированных точек.
Единичный замкнутый круг является конечной римановой поверхностью,
но единичный замкнутый круг с выколотым центром не является уже
таковой.
С точки зрения систематической теории римановых поверхностей было бы
желательно дать более общее определение римановой поверхности и затем
показать, что оно эквивалентно приведенному вйше определению (см. [3]).
Мы не будем здесь входить в эти более тонкие топологические рассмотрения,
так как в этой книге рассматриваются главным образом функционалы, при-
принадлежащие конечным римановым поверхностям.
Если г = х + 1у — однозначная аналитическая функция на римановой
поверхности и если значение функции г в точке р поверхности равно а,
то мы скажем, что точка р лежит над точкой а (римановой) сферы. Таким
путем мы получаем реализацию абстрактной римановой поверхности в виде
многолистной поверхности, лежащей над г-сферой и конформно эквивалентной
первоначальной поверхности. Вообще, мы будем считать две римановы поверх-
поверхности конформно эквивалентными, если существует топологическое отобра-
отображение одной поверхности на другую, при котором любая аналитическая
функция или аналитический дифференциал на одной поверхности переходят
соответственно в аналитическую функцию или аналитический дифференциал
на другой. Следует различать существенные свойства, общие всем реализа-
реализациям римановой поверхности,, от несущественных свойств, связанных с какой-
либо специальной реализацией. Например, род является существенным свой-
свойством многолистной римановой поверхности, в то время как типы и поло-
положение ее точек ветвления являются несущественными свойствами.
Обычной реализацией конечной римановой поверхности рода нуль является
многосвязная область комплексной г-плоскости, имеющая т аналитических
граничных кривых. В окрестности граничной точки г0 такой области можно
пользоваться граничной униформизирующей 5, совпадающей на граничной
кривой с длиной дуги этой кривой. При этом полуокрестность точки 20, при-
принадлежащая области, отображается посредством униформизирующей 5
на полуокрестность, в границу которой входит сегмент действительной
оси 5.
Произвольная конечная риманова поверхность может быть реализована
в виде круга комплексной плоскости, имеющего на границе 2п попарно
идентифицированных дуг (см. конец гл. 8). Классическая теорема элемен-
элементарной топологии поверхностей утверждает, что произвольная конечная
поверхность топологически эквивалентна кругу (топологическому полигону),
на границе которого идентифицировано надлежащее число пар дуг. В топо-
топологии идентификация выполняется посредством топологического отображения
одной дуги на другую; при этом точки, соответствующие друг другу, рас-
рассматриваются как эквивалентные. Ниже мы покажем, что в случае римановых
поверхностей идентификация может быть осуществлена посредством взаимно
однозначного конформного отображения.
Рассмотрим в качестве примера единичный круг | г | < 1 комплексной
2-плоскости и будем идентифицировать точки верхней половины окружности
г | = 1 с точками ее нижней половины посредством конформного отображения
первого рода, переводящего точку г в точку 1/г. Получающаяся в резуль-
результате такой операции поверхность топологически эквивалентна сфере; ее нетрудно
превратить в риманову поверхность введением подходящих униформизирую-
щих. Во внутренних точках круга переменная г сама является униформизи-
униформизирующей. В точке р0 поверхности, соответствующей паре идентифицирован-
идентифицированных точек 20, 1/г0 окружности |г|=1 (г0 Ф 1, —1), определим униформизи-
рующую следующим образом. Пусть У^ — полуокрестность точки г0, являю-
являющаяся пересечением круга \г — го\ <р с кругом \г\ < 1, и ^ — аналогичная
§ 1. Определение римановой поверхности27
полуокрестность точки 1/г0. Положим
2 —20 ДЛЯ 2
1 ~ B.1.1)
Сг\ 11Л.71 С Г" Л\с\»
2 ° ^ 2
Образы полуокрестностей 91Х и 912 в плоскости переменной I склеиваются
друг с другом, образуя полную окрестность точки ^-=0; следовательно, пере-
переменная I является униформизирующей в точке р0 поверхности. Чтобы получить
униформизирующую в точке поверхности, соответствующей точке 2=1,
мы проделаем два последовательных преобразования. Первое из них
2 1 \—г
хю = 1 =
г+1 1+г
переводит окружность |2| = 1 в прямую, точку 2= 1 в точку ш = 0 и полу-
полуокрестность 91 — [|2|<1]П[12~~1|<Р] в полуокрестность точки т = 0,
лежащую правее мнимой оси. Положим теперь
В плоскости переменного I полуокрестности 91 соответствует окрестность
точки / — 0, разрезанная вдоль отрицательной действительной полуоси; при
этом противоположные точки краев разреза соответствуют идентифицирован-
идентифицированным точкам 2, 1/г, лежащим вблизи точки г — 1. Идентификация точек теперь
осуществляется посредством стирания линии разреза, и мы получаем полную
окрестность точки / = 0. Итак, переменная / является униформизирующей
в точке 2=1. Подобная же униформизирующая может быть построена для
точки г— — 1. Посредством построения указанных униформизирующих мы пре-
превратили нашу поверхность в риманову поверхность.
С топологической точки зрения проективная плоскость эквивалентна
единичному кругу с идентифицированными диаметрально противоположными
точками окружности |2| = 1. Осуществим эту идентификацию посредством
конформного отображения второго рода, переводящего точку г окружности
= 1 в точку —1/2. Пусть теперь 5Я1 — полуокрестность точки го:311==:
— [\г\ < 1] П[12~~;го1<Р]» а^2~~аналогичная полуокрестность точки — 1 /20.
Положим
2 — 20 для
^ B.1.3)
г0 для 2е9с
Переменная т отображает сумму полуокрестностей 5И1 и 912 на полную окре-
окрестность начала координат и является, следовательно, униформизирующей
в точке поверхности, соответствующей паре идентифицированных точек 20,
— 1/20. Введением этих униформизирующих наша поверхность превращена
в замкнутую неориентируемую риманову поверхность, топологически эквива-
эквивалентную проективной плоскости.
Простейший пример неориентируемой конечной римановой поверхности
с краем доставляется листом Мёбиуса. Лист Мёбиуса можно получить, вырезав
отверстие в проективной плоскости. Рассмотрим также кольцо 1<|2|</?
в 2-плоскости. Лист Мёбиуса можно получить из этой области, идентифицируя
точки 2 и —Я/г. Очевидно, в результате такой операции мы получим
неориентируемую поверхность, так как маленькая окружность, лежащая
вблизи точки 2 и ориентированная по часовой стрелке, переходит в маленькую
окружность, лежащую вблизи точки —/?/г и ориентированную против часовой
стрелки. Разрезав наше кольцо вдоль действительной оси 2-плоскости и склеив
28 Гл. 2. Теоремы существования
половинки вместе вдоль соответствующих границ, получим хорошо известный
лист Мёбиуса. Итак, кольцо 1 < \г\ < /? с идентифицированными точками г
и -— Я/г является канонической формой листа Мёбиуса.
§ 2. ДУБЛЬ КОНЕЧНОЙ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Произвольная конечная риманова поверхность всегда имеет дубль (двулист-
(двулистную поверхность наложения), который мы теперь определим. Понятие дубля
многосвязной области плоскости было впервые введено Шоттки [17] и позднее
использовано Пикаром [12] и Клейном [7]; последний обобщил понятие дубля
на случай произвольных римановых поверхностей.
Дубль § конечной римановой поверхности Щ может быть определен
следующим образом. Каждой внутренней точке поверхности 5№ ставится
в соответствие (часто мы будем говорить также «над каждой внутренней
точкой поверхности $Щ лежит...») пара точек дубля $> и каждой краевой
точке поверхности ставится в соответствие одна точка дубля. Над каждой
окрестностью внутренней точки поверхности ТО лежат две непересекающиеся
окрестности соответствующих точек дубля ^. Если г — униформизирующая
в какой-либо внутренней точке поверхности ЭД|, то переменная г будет также
униформизирующей и в одной из соответствующих ^-окрестностей, а в другой
соответствующей ^-окрестности униформизирующей будет переменная г (ком-
(комплексная сопряженная переменной г). Если г — граничная униформизирующая
в краевой точке поверхности $Щ, то униформизирующей в соответствующей
точке дубля ^ будет переменная, равная г на одном листе дубля и г на другом.
Для униформизирующих на дубле 5" допускаются только конформные отобра-
отображения первого рода. Если $Щ — ориентируемая поверхность с краем или про-
произвольная неориентируемая поверхность, то дубль % будет замкнутой ориен-
ориентируемой римановой поверхностью; если $Щ — замкнутая ориентируемая поверх-
поверхность, то дубль ^ будет состоять из двух замкнутых ориентируемых поверх-
поверхностей.
Чтобы получить более полное описание дубля $, допустим сначала, что
5Щ — ориентируемая поверхность с краем. В этом случае будем предполагать
(отбрасывая один класс униформизирующих), что две униформизирующие,
принадлежащие одной и той же окрестности поверхности ЭД}, связаны между
собой конформным преобразованием первого рода. Теперь пусть поверхность
5Щ получена из поверхности Ш введением униформизирующих того класса,
который выше был отброшен. Дубль $ получается в результате идентифика-
идентификации соответствующих точек краев поверхностей Ш и $Щ- Если р и р —
идентифицированные краевые точки поверхностей 1 и §} и г — граничная
униформизирующая поверхности Ш в точке р, то переменная г будет гранич-
ной униформизирующей поверхности Щ в точке р. В качестве униформизирую-
униформизирующей дубля $ в точке р = р может быть принята переменная т, определяемая
соотношениями
( 2 на
т = { _
1 г на
Рассмотрим, далее, неориентируемую конечную риманову поверхность
В каждой точке поверхности Ж имеются два класса униформизирующих:
униформизирующие одного и того же класса связаны между собой конформ-
конформными преобразованиями первого рода. Обозначим через 5Л относительно нераз-
ветвленное двулистное покрытие поверхности $Щ. Так как над каждой точкой
поверхности 9Л лежат две точки покрытия 5Л, то возможно с одной из этих
точек ассоциировать какой-либо из классов униформизирующих, а с другой
точкой —второй, оставшийся класс. Точки покрытия 5У1 образуют связное
§ 2. Дубль конечной римановой поверхности 29
окрестностное пространство. Действительно, кривая покрытия 91, лежащая
над 1-циклом поверхности $Щ, вдоль которого ориентация меняется, ведет
с одного листа покрытия на другой его лист. Итак, покрытие 5Л представляет
собой конечную ориентируемую риманову поверхность. Если Ш замкнута,
то покрытие 5Л и будет ее дублем. Если поверхность $Щ имеет т контуров
края (т>0), то покрытие 31 имеет 2га контуров края; при этом над каждым
контуром края поверхности $Щ лежат два контура края поверхности 91. На двух
контурах края покрытия 31, лежащих над ориентированным компонентом края
поверхности ЗЛ, индуцируются (посредством непрерывного отображения 31
на 5Щ) соответствующие ориентации; ЗЬ лежит влево от одной из этих кривых
и вправо от другой. Идентифицируем теперь два контура края покрытия 5Л,
лежащих над одним и тем же контуром края поверхности Ш (две точки
идентифицируются, если они лежат над одной и той же точкой поверхности
Ш)- Таким способом мы получим замкнутую ориентируемую риманову поверх-
поверхность ^, являющуюся дублем поверхности $Щ.
Две точки р и р дубля §, лежащие над одной и той же точкой поверх-
поверхности $Щ, называются сопряженными точками дубля. Если точка р соот-
соответствует краевой точке поверхности $Щ, то р = р. Следовательно, в точке р
дубля §, лежащей над краевой точкой поверхности $Щ, можно использовать
в качестве униформизирующей как переменную г, так и ее комплексно сопря-
сопряженную 2. Соответствие между сопряженными точками поверхности $ опре-
определяет взаимно однозначное конформное отображение второго рода поверхности
^5 на себя. Если обозначить это отображение через 5, то 32 = 1 (/ — тож-
тождественное преобразование). Клейн [7] называет замкнутую ориентируемую
риманову поверхность симметричной, если, как это имеет место для дубля $,
существует взаимно однозначное инволюционное конформное преобразование
второго рода поверхности на себя. Идентифицируя сопряженные точки про-
произвольной симметричной поверхности, получим конечную риманову поверх-
поверхность УЛ, для которой исходная симметричная поверхность будет дублем.
Для того чтобы вычислить род О дубля $, предположим сначала, что Ж
не замкнута и неориентируема, и произведем симплициальное разбиение
поверхности ?Щ- Это разбиение поверхности Ш переносится (обычным способом)
на дубль $. Применим теперь к дублю $ формулу Эйлера. Каждый внутрен-
внутренний симплекс поверхности $Щ порождает два симплекса дубля $» в то время
как каждый симплекс, принадлежащий краю поверхности $Щ, порождает
только один симплекс дубля $. Так как число нульмерных симплексов на
каком-либо компоненте края поверхности Ш равно числу одномерных симплек-
симплексов на этом компоненте, то контуры края ничего не добавляют к эйлеровой
характеристике N поверхности Ж. Следовательно, эйлерова характеристика
дубля § равна 2Ы, а его род С равен Л/+1. Если Ш эквивалентна сфере
с Н ручками первого рода, с заклеиваниями листом Мёбиуса и т отверстиями, то
и
Если поверхность Ш замкнута и ориентируема, то 0=2/1.
Формулу, пригодную для определения рода О во всех случаях, можно
получить, используя символ Я0, обозначающий число компонентов дубля (нуль-
(нульмерное число Бетти). Если $Щ замкнута и ориентируема, то Я0 = 2; в осталь-
остальных случаях /?° = 1. Формула
B.2.1)
справедлива для любой конечной римановой поверхности
Дублем односвязной области с границей является сфера, в то время как
дублем многосвязной области рода нуль с т граничными кривыми будет сфера
30 Гл. 2. Теоремы существования
с /п—1 ручками первого рода. Для листа Мёбиуса (см. § 1 гл. 2) дублем
будет тор.
Выясним теперь, что следует понимать под аналитическим дифферен-
дифференциалом й?У размерности V на замкнутой ориентируемой римановой поверх-
поверхности §• Так мы будем называть правило, ставящее в соответствие каждой
точке поверхности % мероморфную функцию §(т) локальной униформизирую-
униформизирующей т такую, что выражение
= ё (т) а&, а^ = (Л)\ B.2.2)
инвариантно относительно конформных преобразований первого рода. Другими
словами, если ^ — другая униформизирующая в той же точке поверхности
то справедливы соотношения
йЪ I %лъ \ ' . / ч . / у\ / и.*. \ ' /О О 0\г
ар V
где §! (^) — мероморфная функция, соответствующая униформизирующей
Если размерность V равна нулю, то функция § инвариантна по отношению
к конформным преобразованиям первого рода униформизирующей и называется
функцией, принадлежащей поверхности $•
Если ^ симметрична и является дублем конечной римановой поверхности
Ш> то каждому дифференциалу й2? поверхности ^ можно поставить в соот-
соответствие сопряженный дифференциал <Й\ Именно если р, р — пара сопряжен-
сопряженных точек поверхности %, то
. B.2.3)
Другими словами, если т и т — униформизирующие в точках р и р, то
Если т = т, то множитель (^(т)~/^тO равен единице. Если A2^ (р) = с12? (р)>
то говорят, что йТУ является дифференциалом размерности V, принадлежащим
5Щ. Итак, дифференциалы, принадлежащие поверхности Ж, характеризуются
тем свойством, что они принимают сопряженные значения в сопряженных
точках дубля 5 и действительные значения в точках края поверхности $0Ь
Мы будем называть операцию образования сопряженного дифференциала
«^--операцией» (тильда-операцией). Она является операцией второго порядка >
так как квадрат ^-оператора является тождественным оператором.
Если поверхность Я& неориентируема, то существуют преобразования
параметра как первого, так и второго рода. Действительно, в каждой внутрен-
внутренней точке существуют два класса униформизирующих, которые соответствуют
двум сопряженным точкам дубля §. Дифференциал й7У, принадлежащий ЗЛ,
должен принимать в одной и той же точке как значение б?2\ так и значение
V)~. Следовательно, во внутренних точках поверхности Ш дифференциал
зависит от униформизирующей таким образом > что он остается инвариант-
инвариантным при конформных преобразованиях (униформизирующей) первого рода
и переходит в комплексно сопряженный при конформных преобразованиях
второго рода. На неориентируемых поверхностях инвариантность следует
понимать как инвариантность с точностью до комплексной сопряженности.
Как мы уже отмечали, дифференциал размерности 0 называется функцией.
Дифференциалы размерностей 1,2 и —1 называются соответственно линейным >.
квадратичным и обратным дифференциалами. Здесь дифференциалы определены
только для целых значений размерности V. Вообще возможно обобщить их
§ 3. Гильбертово пространство 31
определение на дробные значения V. Однако затруднение возникает при этом
в формуле B.2.2)' благодаря присутствию множителя (Л/йт)\
Существуют также дифференциалы целой размерности, многозначные
на многообразии ?Л. Например, линейный дифференциал Прима при обходе
замкнутого не гомологичного нулю контура многообразия умножается на мно-
множитель, по модулю равный единице (см. [17]). Мы, однако, по большей части
будем заниматься однозначными дифференциалами.
Гармоническая функция и, определенная на замкнутой ориентируемой
поверхности 5» порождает принадлежащий $ линейный аналитический диф-
дифференциал, определяемый формулой
(-■■§)•
Если функция и однозначна на поверхности § и имеет особенности только
типа полюсов (включая логарифмические полюсы), то мы назовем ее гармони-
гармонической функцией, принадлежащей поверхности $. Пусть $ симметрична
и является дублем поверхности Щ; мы будем называть функцию и гармони-
гармонической функцией, принадлежащей поверхности Ж, если она однозначна и если
один из дифференциалов A2,, 1АЪ является линейным дифференциалом, при-
принадлежащим поверхности $Щ. Допустим, что 5Л имеет край и переменная г
в формуле B.2.4) является граничной униформизирующей. Если дифференциал
1йЪ принадлежит поверхности $Щ, то на краю ди/дх = 0; если же дифферен-
дифференциал йЪ принадлежит Ж, то на краю ди/ду^О. В зависимости от того,
является ли принадлежащим поверхности ЗЛ дифференциалом 1АЪ или йХ,
мы назовем функцию и принадлежащей поверхности $Щ гармонической функ-
функцией первого или второго рода.
Если поверхность $Щ не является замкнутой ориентируемой поверхностью,
то принадлежащая Щ гармоническая функция первого рода, имеющая источ-
источник в точке <7 дубля $ и сток в сопряженной точке ц, называется функцией
Грина 0(р, д) — О(р, ц, #) поверхности $Щ. Пусть * — униформизирующая
в точке ^ такая, что ^(<7) = 0. Тогда переменная ; будет униформизирующей
в точке 9» и мы будем предполагать, что функция О нормирована следующим
образом:
О = 1п —тгг + регулярные члены (вблизи <7) \
О = 1п | С | + регулярные члены (вблизи
Гармоническая функция второго рода, имеющая особенность типа диполя
в точке поверхности $Щ, играет важную роль в теории конформных ото-
отображений.
§ 3. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
Множество Н некоторых элементов /, §, ... называется гильбертовым
пространством, если оно удовлетворяет следующим аксиомам:
A) Множество Н является линейным пространством. Это означает, что
выполнены следующие условия:
(а) Существует коммутативная и ассоциативная операция, называемая
сложением и обозначаемая знаком 4-, такая, что сумма / + § принадлежит
множеству Н всякий раз, когда | и § являются его элементами.
(Ь) Существует поле чисел а, называемых множителями, такое, что для
любого элемента /€Н и любого числа X определен элемент X/, также при-
принадлежащий множеству Н. Это скалярное умножение дистрибутивно и ассо-
ассоциативно. Требуется также, чтобы 1-/ = /. Если в качестве числового поля
выбрано поле действительных чисел, то Н называется действительным гильбер-
гильбертовым пространством; если же выбрано поле комплексных чисел, то Н назы-
32 Гл. 2. Теоремы существования
вается комплексным гильбертовым пространством. В этой книге мы будем
пользоваться только полями действительных и комплексных чисел.
(с) Существует нулевой элемент пространства Н, который мы будем обо-
обозначать, вообще говоря, через 0, несмотря на то, что он является элементом
пространства Н, а не числом. Этот нулевой элемент удовлетворяет условиям
В левой части третьей формулы подразумевается нуль числового поля; в осталь-
остальных случаях символ 0 обозначает нулевой элемент пространства Н.
B) Пространство Н обладает метрикой, позволяющей измерить «длину»
любого элемента. Именно, для любой пары /, § элементов пространства Н
существует комплексное число (/, §), удовлетворяющее условиям:
(а) (X/, 8) = 41, ёУ,
(Ь) (/! + /„ 8) = (к> 8) +(^ 8У,
(с) (8, П = Ш> 8)Г,
(е) (/, /) = О тогда и только тогда, когда / = 0.
В случае действительного гильбертова пространства число (/, §) —действитель-
—действительное и условие (с) принимает вид: (§> ^) = (/, ^). Нормой, или «длиной»,
элемента обычно называют выражение
Однако нам будет несколько удобнее принять в качестве нормы величину
NA) = (/,/) = II /II2- B-3.1)
C) Размерность пространства Н бесконечна. Это означает, что, каково
бы ни было целое положительное число п, найдется п линейно независимых
элементов пространства Н; линейная независимость элементов /1, . .., /п
означает, что равенство
возможно тогда и только тогда, когда Х1 = Х2= . .. =Хп =
D) Пространство Н сепарабельно. Это означает, что в пространстве Н
существует счетное всюду плотное множество его элементов /х, /2, . . ., /п, ...,
удовлетворяющее условию: каковы бы ни были элемент §^Н и положитель-
положительное число е, найдется элемент /\, этого множества такой, что N(8 — Ы < е-
E) Пространство Н полно. Это означает, что для всякой последователь-
последовательности /х, /2, .. ., /п, ... элементов пространства Н, удовлетворяющей критерию
сходимости Коши, т. е. условию, что N (/р. — [\) —> 0 при р., V-—>оо, суще-
существует элемент /^Н, для которого N (/— Д,)—* 0 при V—^оо.
Очевидно, что структура пространства Н в значительной мере аналогична
структуре линейного векторного пространства конечной размерности.
Допустим, что наше пространство комплексное. Тогда из аксиомы B)
получим
^(^ + №) = |^|а^(/) + 2Ке{Х|1(/, §)} + Ы2^)>0, Л2.3.2)
где X, р. — произвольные комплексные числа. Отсюда следует справедливость
неравенства
именуемого неравенством Буняковского — Шварца. Полагая в неравенстве
B.3.2) Х=1, A= — 1, получим
§ 3. Гильбертово пространство 33
Мы доказали неравенство треугольника
Уи (/ - в) < УШ + УШИ)* B.з.4)
Неравенство B.3.3) показывает, что угол б между двумя элементами /,
§ можно определить при помощи обычной формулы
со5 6 = .МЬ ё)г\ -. B.3.5)
В частности, два элемента /, ^ пространства Н ортогональны, если созб =
что эквивалентно равенству (/, #) = 0. Согласно постулату Bе), единственным
элементом, ортогональным самому себе, является нулевой элемент.
Множество действительных дифференциалов
Ъ йу,
интегрируемых вместе со своим квадратом на некоторой римановой поверх-
поверхности 5Ш, является примером действительного гильбертова пространства.
Напомним (см. § 5 гл. 1), что скалярное произведение двух дифференциалов
а, р определено формулой
(а, Р)= С а.*р. B.3.6)
Полнота этого пространства следует из теоремы Фишера — Рисса.
Нам будет удобно пользоваться одновременно дифференциалами и про-
производными. Каждый дифференциал может быть записан в форме
где /' — производная, связанная с дифференциалом й\. Для обозначения ска-
скалярного произведения дифференциалов мы пользуемся символом (й/, с1§);
иногда нам будет удобнее обозначать эту же величину символом (/',§').
Пример комплексного гильбертова пространства доставляет нам множе-
множество комплексных аналитических дифференциалов Р(р), определенных и ин-
интегрируемых вместе с квадратом их модуля на римановой поверхности $Щ.
Нормой аналитического дифференциала /'(р), определенного на ЯЛ, будет в
этом случае выражение
N (/') = ^ | /' |2 их Лу - ^ ^ | /' |2 йгйг. B.3.7)
ш т
Пусть /^ (р) — последовательность дифференциалов этого гильбертова прост-
пространства, сходящаяся к элементу /'(р). Пусть р0 — фиксированная внутрен-
внутренняя точка поверхности Ш и г = г(р)—локальная униформизирующая в окре-
окрестности точки р0, такая, что г(ро) = О. Все тейлоровские разложения
оо
^ B-3.8)
сходятся в некотором круге | г |<г, радиус г которого не зависит от р-. Имеем,
далее,
B.3.9)
для V = 0, 1,2, ... . Сходимость дифференциала /^ к дифференциалу /' в
смысле метрики гильбертова пространства влечет за собой, следовательно,
3 Заказ № 63 4
34 Гл. 2. Теоремы существования
сходимость коэффициентов локальных тейлоровских разложений дифферен-
дифференциалов /^ к соответствующим коэффициентам дифференциала /'. Итак, схо-
сходимость дифференциалов в смысле метрики гильбертова пространства обеспе-
обеспечивает их равномерную сходимость в любой замкнутой подобласти, лежащей
внутри $Щ. Этот последний тип сходимости мы будем называть «сходимостьк>
в смысле Витали».
С другой стороны, сходимость в смысле Витали не влечет за собой схо-
сходимости в смысле метрики гильбертова пространства даже при условии равно-
равномерной ограниченности норм:
Ы(^М\ B.3.10)
Однако если выполнено условие B.3.10), то будет иметь место другой тип
сходимости:
Шп (/;-/',$') = 0, B.3.11)
где §'— произвольный фиксированный дифференциал пространства. Действи-
Действительно, пусть Ш' — замкнутая подобласть, целиком лежащая внутри поверх-
поверхности Ш- Тогда дифференциал ^ сходится равномерно к пределу /' на мно-
множестве $Щ' и, кроме того,
1Л—>оо
Так как замкнутая подобласть $Щ' в остальном произвольна, то справедливо
соотношение
B.3.12)
Выберем теперь для заданного ё>0 подобласть ЗК' так, чтобы выполнялось
неравенство
^ е\ B.3.13)
Фиксировав эту подобласть 9#', выберем номер по = п^(ь) настолько боль-
большим, чтобы и неравенство
(;ва B.3.14)
выполнялось при р>/г0. Из неравенства Буняковского — Шварца и неравенств
B.3.13), B.3.14) получим теперь
г. B.3.15)
Соотношение B.3.11) доказано, так как е произвольно.
В общей теории гильбертовых пространств слабой сходимостью после-
последовательности /^ к элементу / называется такая сходимость, при которой
для любого фиксированного элемента § пространства имеет место соотно-
соотношение
Мы доказали, что сходимость в смысле Витали в случае равномерной огра-
ограниченности норм является частным случаем слабой сходимости.
В теории гильбертова пространства аналитических дифференциалов /' (р)
на ориентируемой римановой поверхности Ш заслуживает быть отмеченным
одно чрезвычайно простое, но важное неравенство. Пусть /' (р) -—заданный
дифференциал, разлагающийся в окрестности точки р0 в ряд вида
оо
(\г\<г).
§ 3. Гильбертово пространство 35
Здесь 2 — униформизирующая в окрестности точки р0, такая, что г(ро) =
Справедливы неравенства
7=0
Так как ао = }'(ро) (дифференцирование по выбранной униформизирующей г),
то наше неравенство можно переписать в форме
B.3.16)
Это' неравенство устанавливает границу для локальных значений дифферен-
дифференциала, зависящую от его нормы. Возникает вопрос об определении наилучшей
константы в неравенстве
\Г(ро)\2<к(ро)Ы(П B.3.16)'
Так как /' (р0) — дифференциал, то произведение к(ро)\с1г\2 является инвари-
инвариантом. Другими словами, число к(р0) преобразуется так же, как и число
!/'(Л>)|2- Число к(р0) будет определено в гл. 4; оно связано с одним важ-
важным функционалом, принадлежащим римановой поверхности.
Вернемся к общей теории гильбертовых пространств. В гильбертовом про-
пространстве Н всегда существует полная ортонормированная последовательность
/1, 12> ••• элементов пространства, такая, что для любой пары элементов этой
последовательности
B.3.17)
и каждый элемент / € Н может быть представлен в виде ряда
оо
/=2<^> оц, = (/»Ь). B.3.18)
Действительно, из аксиомы сепарабельности D) следует существование счет-
счетного всюду плотного множества элементов ср7. Это множество может быть
ортонормировано при помощи индуктивного процесса Грамма — Шмидта. Если
элементы <рх, 92> •••> ?п Уже заменены п ортонормированными элементами
/г, !2> • • • • !п> то элемент /п+1 определяется формулой
п
/п+1 = Ч • B.3.19)
1/
Ясно, что элемент /п+1 ортогонален всем предыдущим элементам /
2, . .., пу и что М(/п+1)= 1. Множество (/\,)> получаемое таким путём, линей-,,
но эквивалентно исходному всюду плотному множеству '(^).
Попытаемся теперь аппроксимировать заданный элемент / € Н посредством
линейной комбинации п первых элементов /г, }2, .. ., /п нашей последователь-
последовательности. С этой целью в выражении
п
определим коэффициенты ау таким образом, чтобы ошибка аппроксимации
- 2 ^ /0 = # (/) - 2Ке { 2 ^ (/, М} + 2 | ^ |2 B.3.20)
7=1 7=1 7=1 '; -
3*
Гл. 2. Теоремы существовдн и я
-была наименьшей. Так как
п п п
>, /у ^ | — N1 ($\ V I /^ I \ 2 I Х^ п /гг\2 / О О ОП\'
^-1 а7 / V/ — ** \\ ) ^ \/> /7/ Т~ А- \/ > /7/ > \/,.<Э./\))
7=1 7=1 4=1
тб
п п
N (} — 2 ^7 /7) ^ N (?) У] \ (? ? ) 2 B 3 2П
причем знак равенства возможен тогда и только тогда, когда
а — *7 М /о ^ 99\
^7 — \/ у /7/* 1^.О.^^1
Из формулы B.3.22) видно, что минимизирующие коэффициенты а^ не за-
зависят от п. Кроме того, из формулы B.3.21) следует справедливость нера-
неравенства Бесселя
оо
V 1/1 М 2 <^ Л/ /А /9 *Ч 9^\
/ V/> /7/ ^ N I/)• у/,.О./,О)
Итак, сумма ряда
оо
~ (/, Ь)
является элементом пространства Н. Так как частные суммы этого ряда ап-
аппроксимируют элемент / лучше, чем какие-либо другие линейные комбинации
элементов /7, и множество (/^) линейно эквивалентно множеству (ср7), всюду
плотному в пространстве Н, то справедливо соотношение
п
1~ 2/ (/>
п->оо V=1
Следовательно, по аксиоме Bе),
оо
= 2 (/>Ы/у, B.3.24)
7=1
что совпадает с формулой B.3.18).
§ 4. ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ
Пусть Н — некоторое гильбертово пространство и Р — его полное линей-
линейное подпространство. Тогда либо Р является унитарным пространством конеч-
конечной размерности, либо Р — также гильбертово пространство. Основная формула
разложения имеет вид
Н = Р + О, B.4.1)
где О обозначает ортогональное дополнение подпространства Р относительно Н.
Пусть к — некоторый элемент пространства Н. Формула B.4.1) утвер-
утверждает, что
B.4.1)'
где /€Р> &€б и (/>#) = 0- Для доказательства формулы B.4.1)' мы найдем
элемент /6Р» ближайший к элементу к в смысле метрики пространства Н.
Иначе говоря, для элемента / норма N (к — {) должна иметь минимальное зна-
значение.
Предварительно докажем следующее неравенство Б. Леви:
B.4.2)
где /г, ^ — произвольные элементы пространства Р и Л — нижняя граница норм
к — {) для /6Р- Пусть X, р. —пара чисел (действительных или комплекс-
§ 4. Ортогональное проектирование 37
ных, в зависимости от характера гильбертова пространства), таких, что
Х + р-=1. Если элементы /х, /2 принадлежат Р, то и Х/х + р/гбР и> следо-
следовательно,
Иначе говоря, справедливы неравенства
и
B.4.3)
Неравенство B.4.3) остается справедливым и тогда, когда соотношение
Х+|л=1 не имеет места, т. е. для произвольной пары чисел X, ц. Рассуж-
Рассуждая, как при выводе формулы B.3.2), получим
B-4.4)
Следовательно,
чем и доказано неравенство B.4.2).
Пусть /^ — последовательность элементов подпространства Р, такая, что
Из неравенства B.4.2) получим
Нт
Пространство Р полное, и, следовательно, существует элемент /^Р такой,
что / = Нт/ц. Отсюда вытекает, что
Ы(Н-1) = а. B.4.5)
Наконец, пусть /0 — произвольный элемент подпространства Р. Тогда
элемент / + е/0 будет также принадлежать подпространству Р, и, следова-
следовательно, справедливо неравенство
#(й-/-в/0) = #(Л-/)-2Ке{ё(й-/, /о)}+15|2^(/о)>^- B-4-6)
Из равенства B.4.5) и произвольности числа е заключаем, что
B-4.7)
Соотношение B.4.7) означает, что элемент 1г — /=' § принадлежит подпро-
подпространству О— ортогональному дополнению подпространства Р, чем и дока-
доказана формула B.4.1)'.
В случае линейного векторного пространства конечной размерности
вышеописанный процесс соответствует ортогональному проектированию задан-
заданного вектора к на линейное подпространство Р. По этой причине название
«ортогональное проектирование» сохраняется для этого процесса и в гиль-
гильбертовом пространстве.
38 Г л, 2. Теоремы существования
§ 5. ОСНОВНАЯ ЛЕММА
На римановой поверхности дифференцирование определено через посред-
посредство локальной униформизирующей г — х-^гу. Если производные порядка к
функции 9 на поверхности непрерывны при некотором определенном выборе
униформизирующей, то они будут непрерывны и при любом другом выборе
униформизирующей. Функция 9 на поверхности называется принадлежащей
к классу Ску если она непрерывна вместе со своими производными до &-го
порядка включительно. В частности, непрерывная функция 9 называется
принадлежащей к классу С0. Дифференциал а = ас1х-\-Ь йу называется при-
принадлежащим к классу Ск> если его коэффициенты принадлежат к классу Ск.
Класс дифференциала, очевидно, не зависит от выбора униформизирующей,
использованной при его определении.
Пусть § ~~ подобласть римановой поверхности 9#. Носителем непрерывной
функции, определенной на $> назовем наименьшее замкнутое множество точек
подобласти $, вне которого функция обращается в нуль. Если т) —функция,
обращающаяся в нуль вне некоторой компактной подобласти области §, то
мы скажем (вместе с Л. Шварцем и де Рамом), что функция у\ имеет
компактный носитель.
Условимся считать две функции в области $ равными, если они отли-
отличаются друг от друга только, быть может, на множестве меры нуль. Заме-
Заметим, что множество меры нуль в плоскости одной униформизирующей пере-
переходит в множество меры нуль в плоскости другой униформизирующей. Под
мерой множеств мы здесь понимаем лебеговскую плоскую меру.
При доказательстве существования гармонических дифференциалов на
римановой поверхности, в основу которого будет положен метод ортогональ-
ортогонального проектирования, будет использована следующая основная лемма:
Лемма 2.5.1. Скаляр 9 класса Ь2, удовлетворяющий уравнению
(9, Дт])д = \ <р А?! й*й# == 0 B.5.1)
при произвольном скаляре у класса С с компактным носителем, является
гармонической функцией на 3-
Если уравнение B.5.1) удовлетворяется для более широкого класса функ-
функций, скажем для функций т) класса Сг, г>2, то утверждение леммы спра-
справедливо а {огНоп.
Приводимое ниже доказательство этой леммы проводится в основном
так же, как доказательства, данные Г. Вейлем [2Ь], Кодаирой [8] и де
Рамом [13].
Заметим прежде всего, что лемма тривиальна, если 96 С*2. Действительно,
так как функция ч\ имеет компактный носитель, то из формулы Грина A.5.10)
получим
Итак,
(А?, ч) = 0
для каждой функции -ц класса С°° с компактным носителем. Отсюда заклю-
заключаем, пользуясь непрерывностью лапласиана Дер» что Д? = 0 и что 9 есть
гармоническая функция.
Теперь предположим только, что9€^2- Без ограничения общности можно
считать, что во всей подобласти § пригодна в качестве униформизирующей
одна и та же переменная г = х1-\-1х2. Для краткости будем обозначать точки
(х1, х2), (у1, у2) соответственно через х, у и элемент площади их1их2 через
их. Пусть е — малое положительное число. Обозначим расстояние между
§ 5. Основная лемма 39
точками х и у через г(х, у) и положим
С 0, если г(х, у) > е,
П (Х, У) = ^ 1 / ч
4 *' | I, если /-(л:, у)
Для е/2<г(л;, у)<е мы полагаем 0< р (х, у)< 1; кроме того, мы можем
считать функцию р симметричной относительно начала и принадлежащей
к классу С°°. Пусть
{, у)\п г{х^у) B.5.2)
;, у) при л:
п * B.5.3)
О при х = у. ч '
Здесь символ Ах обозначает оператор Лапласа по координатам точки х.
Функция ^ (х> У) принадлежит к классу С°° и тождественно равна нулю при
г(х, у)<е/2.
Пусть ^г — множество точек области $, расстояние которых от границы
^5 больше е, и р.— функция класса С°°, носитель которой содержится в §е-
Тогда функция
ф (х) = \ со (х, у) ц' (у) д,у B.5.4)
имеет носитель, лежащий в области $, так как со (а:, у) = 0 для г(х, у) > е.
Кроме того, функция ф принадлежит к классу С°° и справедлива формула
КИх)-~^(х) + Чх), B.5.5)
где
V (х) = ^ т (х, у) р. (у) Лу. B.5.6)
Формула B.5.5) получается применением формулы Грина к кругу малого
радиуса с центром в точке х. Функция V принадлежит к классу С°°.
Положив т] = ф, т] € С°°, по условию леммы получим
(<р, Ат])= — \ ср- р. д!х + \ у-чс1х = 0.
Отсюда
{ } B.5.7)
3 3
Формула B.5.7) справедлива для любой функции р., которая принадлежит
к классу С°° и имеет носитель, лежащий внутри множества $е, и, следова-
следовательно,
У(У)= ^ Т(*> У)?(х)Aх B.5.8)
3
на множестве ^е. Формула B.5.8) показывает, что функция 9 принадлежит
к классу С°° и, следовательно, является гармонической функцией на множе-
множестве 3>е- Вследствие произвольности е наша лемма доказана.
40 Гл. 2. Теоремы существования
§ 6. СУЩЕСТВОВАНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
С ЗАДАННЫМИ ПЕРИОДАМИ
Пусть Ш — замкнутая ориентируемая риманова поверхность; обозначим
через О пространство всех действительных дифференциалов
а = ахйх + а2с1у B.6.1)
на ЗК, нормы которых конечны:
<х) = (а, а)- \ {а\ -\-а\)AхAу < оо. B.6.2)
Как было отмечено в § 3 гл. 2, О —действительное гильбертово пространство.
Мы называем дифференциал а замкнутым, если он принадлежит к классу
С1 и с1а = 0. Назовем а точным дифференциалом, если существует однознач-
однозначная функция ф на поверхности $Щ, принадлежащая к классу С2, такая, что
а = йф. Точный дифференциал всегда замкнут; обратное утверждение неверно.
Обозначим через Р линейное подпространство пространства О, состоящее
из дифференциалов а, удовлетворяющих соотношению
(а, *Р) = 0, B.6.3)
где р — произвольный точный дифференциал. Все замкнутые дифференциалы ос
удовлетворяют соотношению B.6.3). Действительно, в этом случае период
К
зависит, согласно формуле Стокса, только от класса гомологии 1-цикла
Кроме того, локально существует функция 9 класса С2, такая, что а =
Функция 9 может быть продолжена на всю поверхность УЛ, но она не будет,
вообще говоря, однозначной на Ш- Пусть к — род поверхности 5Щ и
/Сх, К2> ••• у Кчн — гомологическая база 1-циклов на поверхности, состоящая
из к двойственных пар К2р.—\у К<±\>. (р-= 1, 2, ... , Л). Кривая
V V \ V 1Г 1Г \ XV V К" V
А — А1 "т* Ао — А1"~*"Ао~Г"*«« "т" А 2Л—1 т А2Л — А2&—1 — А 2/г
ограничивает подобласть ^ поверхности Ш- Подобласть ^ может быть полу-
получена посредством разрезания поверхности 9# обычным путем вдоль 2/г циклов
Кг, К2> • • • » Кън- Обозначив период
B.6.4)
мы видим, что значение функции 9 определено в любой точке поверхности ЗЛ
с точностью до линейной комбинации периодов:
ГП1Р1 -\-Ш2Р2+ . . . -\-ГП2нР2Ну
где т^ —целые числа. Из формулы A.5.11) имеем
(а, * Р) = (^9> * ^Ф) = — \ 9 ^Ф ==
к
н B.6.5)
Первая часть формулы B.6.5) обращается в нуль, так как все периоды
функции ф равны нулю. Итак, замкнутые дифференциалы а удовлетворяют
условию B.6.3). Наоборот, если а^Р и а^С1, то из условия B.6.3) нахо-
находим, что 0
§ 6. Дифференциалы с заданными периодами 41
Обозначим через Е подкласс подпространства Р, состоящий из диффе-
дифференциалов а, удовлетворяющих соотношению
(а, *Р) = 0, B.6.6)
где р — произвольный замкнутый дифференциал. Дифференциалы р могут
быть представлены в форме р = б/ф, где ф — интеграл с произвольно задан-
заданными периодами. Следовательно, если замкнутый дифференциал а принадле-
принадлежит к подклассу Е, то из формулы B.6.5) заключаем, что а = с1<р, где <р~
однозначная функция. Итак, соотношение B.6.6) удовлетворяется всеми точ-
точными дифференциалами; наоборот, если а^Е, а^С1, то а замкнут и, следо-
следовательно, является точным дифференциалом.
Мы докажем методом ортогонального проектирования основную формулу
разложения (ср. [2Ь])
B.6.7)
где через Н обозначено пространство гармонических дифференциалов на
поверхности ЭД1. Пространства Е и Н ортогональны, так как любой гармо-
гармонический дифференциал % характеризуется замкнутостью дифференциалов у
и *х- Следовательно, если а^Е, то, согласно условию B.6.6),
где ХХ
Отметим сначала одно следствие из формулы разложения B.6.7). Эта
формула показывает, что любой дифференциал пространства Р (т. е. любой
замкнутый дифференциал) равен сумме некоторого дифференциала из прост-
пространства Е и гармонического дифференциала. Дифференциал из Е принадлежит
к классу С1, так как он равен разности двух дифференциалов, из которых
один принадлежит к классу С1, а другой является гармоническим дифферен-
дифференциалом. По предыдущему, этот дифференциал из Е будет точным; отсюда
следует, что гармонический дифференциал будет иметь те же самые периоды,
что и заданный замкнутый дифференциал. В частности, существуют гармони-
гармонические дифференциалы с заданными периодами.
Пусть у — произвольный дифференциал из пространства Р. Как было по-
показано в § 4 гл. 2, дифференциал у может быть представлен в следующем
виде:
Т = « + Х> B.6.8)
где а ^ Е и
B.6.9)
Пусть теперь т| — однозначная функция класса С3 на поверхности
носитель которой лежит в области пригодности локальной униформизирующей
г = х + /у. Обозначим через г' — х' + щ' какую-нибудь другую униформизи-
рующую в некоторой окрестности, лежащей в упомянутой области. Положим
? ~~ дх ~~ дх' дх "*" ду' дх ' V ~ ду дх' дул ду' ду '
Функции 9 и ф принадлежат к классу С2 и не зависят от выбора униформи-
униформизирующей на поверхности 5Щ; они порождают точные дифференциалы йу и йк
Положив ^ = ^9, мы получим из формулы B.6.9)
(^10 B'6Л1)
где
= ахАх 4- а^йу. B.6.12)
42 Гл. 2. Теоремы существования
Положив Р — й§> из формулы B.6.3) получим
*
Мы предполагаем, что подинтегральные выражения в этих интегралах выра-
выражены через посредство специальной униформизирующей, использованной выше
при определении функций 9 и Ф- Следовательно,
д<\>
ду дх ду дх
Вычитая равенство B.6.13) из равенства B.6.11), получаем
B.6.14)
Применяя лемму 2.5.1, мы заключаем, что я^ —функция гармоническая. Ана-
Аналогичный вывоД справедлив и дли функции а2. Отметим, что, в частности,
/<■ С1.
Для каждого точного Дифференциала с?ср имеют место, согласно форму-
формулам B.6.9) и B.6.8), следующие соотношения:
(Х> Ф)-0, (Х, *й?) = 0. B.6.15)
Отсюда, пользуясь формулами A.5.2) и A.5.7), получим
B.6.16)
B-6.17)
Так как ср — произвольная функция класса С2, то
йх = 0, й*х = О. B.6.18)
Мы установили гармоничность дифференциала х и тем самым доказали
справедливость формулы разложения B.6.7).
Заметим, что гармонический дифференциал на замкнутой поверхности
может быть точным только в том случае, если он тождественно равен нулю.
Действительно, гармонический дифференциал ортогонален любому точному
дифференциалу. • Отсюда следует, что гармонический дифференциал, все
периоды которого равны нулю, тождественно равен нулю.
§ 7. СУЩЕСТВОВАНИЕ ОДНОЗНАЧНЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ С ЗАДАННЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ
Желая получить гармонические функции и дифференциалы с особенно-
особенностями, мы должны видоизменить рассуждение предыдущего параграфа, выбрав
вместо дифференциала ? некоторый дифференциал, не удовлетворяющий соот-
соотношению .B.6.3).
Пусть р0 — произвольно выбранная точка замкнутой ориентируемой по-
поверхности Ш и г = х + й/ = ге1* — некоторая униформизирующая в этой точке,
годная при |г|<6, Ъ > 0. Пусть 0-<а<6; положим (вместе с Вейлем [2а])
С05 Ф , Г С05 Ф с\ ^ ^
-^Л—^ при 0<г<а,
О в остальных точках поверхности
Положим еще
9
к (г, ср) при 0</-<у ,
0 =
Ф в остальных точках поверхности
B.7.2)
§ 7. Гармонические функции с -заданными особенностями 43
Здесь функция /г (г, 9) должна быть выбрана таким образом, чтобы функция 6
принадлежала к классу С3 при г < а. Мы предполагаем также, что функ-
функции Ф и 6 инвариантны относительно замены униформизирующей и являются,
следовательно, функциями точки на поверхности ЭДЬ Дифференциал М при-
принадлежит к классу С2 для 0<г < а и всюду вне этого круга; на окружно-
окружности г = а дифференциал йЬ претерпевает разрыв. Вследствие этого кЬ не
удовлетворяет соотношению B.6.3).
Метод ортогонального проектирования (§ 4 гл. 2) позволяет заключить,
что всегда возможно представление
йв = а + х, B.7.3)
где а € Е и
Ос, в1) = 0, а^Е. B.7.4)
Введем снова функции 9 и Ф> определенные формулами B.6.10), и будем
рассуждать по-прежнему. Однако, так как дифференциал у = ^6 не принадле-
принадлежит теперь к пространству Р, то вместо соотношения B.6.13) мы получим
только следующее:
(а, *Л|0= ^ (б2- § + &2Ц)^Л/ = 0, B.7.5)
где
а = Ьх Л\; 4- Ь2 йу. B.7.6)
Далее, вместо соотношения B.6.14) получим (так как (х, й,у) = 0)
\ B.7.7)
Обозначим через $ носитель функции т] и через ^0 замкнутый круг
г<а в плоскости униформизирующей. Достаточно рассмотреть следующие
случаи:
О)- ЗПЗо^О- ^ этом случае, так как ^6 = 0 вне круга
^ B.7.8)
Ш
B). ^ПЗо^О» но область 3 не имеет общих точек с кругом г<а/2.
Применяя формулу Грина A.5.8) к кругу $0> мы получим
Так как дв/'дп — О на границе д$0 (т. е. при г = а), то интеграл вдоль
границы обращается в нуль; кроме того, в области 3 П Зо справедливо ра-
равенство А6 = 0. Следовательно, соотношение B.7.8) выполняется и в этом
случае.
C). $С13о- Интегрируя по частям, получим
ае а2т] . ае д2^ л . . г ае
Итак, в этом случае
\(ьг-^)Ьцйхйу = 0. - B.7.9)
т
44 Гл. 2. Теоремы существования
Пользуясь леммой 2.5.1, заключаем, что функция Ьг—гармоническая вне круга
г < а/2 и что функция Ьх — дЬ/дх—гармоническая в круге $0. Аналогичные заклю-
заключения справедливы для функции Ь2 вне круга г < а/ 2 и для функции Ь2 — дЬ/ду
в круге $0. Следовательно, Ьх и Ь2 принадлежат к классу С2 на поверхно-
поверхности Ш и существует однозначная функция V на поверхности $Щ, для которой
B-7Л°)
Пользуясь соотношениями B.7.10), B.7.3) и B.7.4), получим
B.7.11)
для каждой функции -ц класса С3 на поверхности $Щ. Аналогичное рассуж-
рассуждение показывает, что 13—гармоническая функция вне круга г<а/2 и что
функция /7 — 6—гармоническая в круге г < а. Итак, функция
и (р) = I/(р) - 6 (р) ■+■ Ф (р) B.7.12)
— гармоническая на всей поверхности 9К, за исключением точки /?0, где она
имеет особенность типа диполя. Функция и(р) однозначна, так как одно-
однозначна (/(р).
Вблизи от точки р0 функция и(р) выражается при помощи специальной
униформизирующей г = ге1(? = х-\-1у, использованной при определении функции
Ф(р), следующим образом:
и (р) = -т^—з + регулярные члены = —^ +Регулярные члены. B.7.13)
Гармоническая функция и (р) единственна с точностью до произвольной адди-
аддитивной постоянной. В самом деле, пусть иг и и2 — две функции, имеющие
в окрестности точки р0 разложения типа B.7.13); тогда разность иг — и2
будет всюду регулярной и однозначной гармонической функцией на $Щ, т. е.
эта разность будет тождественно равна постоянной.
Вместо функции B.7.1) мы можем воспользоваться какой-либо другой,
например следующей функцией:
1п/\ — 1п г« + 1п г'— 1п/*' при 0<г<а,
п ™ B.7.14)
0 в остальных точках поверхности ЭДЬ
Здесь г1У г2 обозначают расстояния до двух различных фиксированных
точек <71> ?2» лежащих в круге 0 < г < а/2, а г'19 /"^ — расстояния до точек
^1, 9г» инверсных точкам ц1У ц2 относительно окружности г = а.
Функция B.7.14) имеет равную нулю нормальную производную на окруж-
окружности г = аи является гармонической во всем круге г < а, исключая только точки
д1У <72> гДе она имеет логарифмические особенности. Вышеприведенное дока-
доказательство остается в силе, и тем самым мы устанавливаем существование
однозначной гармонической функции щ д , имеющей логарифмические особен-
ности в ^ и ^2. Точки д^ и ц2 лежат внутри круга, в котором при-
применима одна и та же униформизирующая. Чтобы построить гармоническую
функцию с логарифмическими особенностями в двух произвольных точках
<70, с/ поверхности 5Ш, образуем последовательность точек ^0 = Щ\* ?2> • • •» Яп~Я>
такую, что две последовательные точки ^-1» Як эт°й последовательности
принадлежат некоторому кругу, в котором пригодна одна униформизирующая.
Образуем теперь сумму
о 1^ гъ яп^1яп* B.7.1 о)
Сумма B.7.15) представляет собой однозначную гармоническую функцию
с логарифмическими особенностями в точках д и д0.
§ 8* Метод ортогонального проектирования 45
Если бы мы выбрали
Л Г ?1 ?2 (К ?0 РИ <<» /0 7 1^
Ф = { Л B.7.15)
I 0 в остальных точках поверхности $Щ
где, например, 91 —Угол наклона отрезка, соединяющего точки р и цх, то мы
получили бы гармоническую функцию юЯгЯ с особенностями типа вихря
в точках 91 > ?2- Эта Функция однозначна только на поверхности, разрезанной
вдоль некоторой дуги, соединяющей цх и д2. Построив сумму, аналогичную
сумме B.7.15), мы получим функцию юя^я с особенностями типа вихря
в произвольных точках <70> Я поверхности ЭДЬ Обозначим через у некоторый
1-цикл на поверхности $Щ и расположим точки <7о = 91> ?2> •••> <7п = <7о ВД°ЛЬ
цикла у таким образом, чтобы две последовательные точки лежали в круге
применимости одной униформизирующей. Так как дг = цп, то сумма
\л .B.7.17)
будет всюду регулярной, но, быть может, неоднозначной функцией. Мы
вернемся к этой функции в гл. 3 и вычислим ее периоды.
§ 8. МЕТОД ОРТОГОНАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
В ТЕОРИИ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
В § 7 гл. 2 мы установили существование гармонической функции
с заданными особенностями на замкнутой ориентируемой римановой поверхно-
поверхности. Теперь мы воспользуемся этим результатом при изучении граничных
проблем на римановой поверхности $Щ с краем С. Пусть $ — дубль поверх-
поверхности Ш и ияя — гармоническая функция типа B.7.15) на §. Логарифмиче-
Логарифмические полюсы 9 и <7о эт°й функции могут быть выбраны произвольно на по-
поверхности § и, в частности, на части Ш этой поверхности. Отсюда следует
существование бесконечного множества однозначных регулярных гармониче-
гармонических функций и на ЗК, имеющих конечные интегралы Дирихле:
} B.8.1)
Все регулярные гармонические функции и на поверхности 5Щ, имеющие конеч-
конечные интегралы Дирихле, образуют гильбертово пространство Н с метрикой,
определяемой формулой
(и, V) =-
Ж Ж
Точнее говоря, Н является гильбертовым пространством дифференциалов йи.
Однако если мы не будем различать две функции, отличающиеся только
на постоянную, то получим гильбертово пространство и для функций и.
Пусть 9 (р) — дважды непрерывно дифференцируемая на поверхности Ж
функция с конечным интегралом Дирихле, обладающая лапласианом ^9
с интегрируемым квадратом (т. е. ^ € ^2) в окрестности каждой краевой
точки. При этом подразумевается интегрирование в плоскости граничной
униформизирующей. Если, кроме того, функция <р(р) непрерывна в замыка-
замыкании поверхности Ш, то мы докажем существование функции и, принадлежа-
принадлежащей к пространству Н, которая* имеет те же самые граничные значения, что
и функция <р(р)- Возможно будет, следовательно, написать
B.8.3)
46 Гл. 2. Теоремы существования
где функция ф = 9 — и также дважды непрерывно дифференцируема на по-
поверхности 2К, имеет конечный интеграл Дирихле и непрерывна в замыкании
поверхности 2Л; кроме того, функция ф имеет граничные значения, равные
нулю.
Если V (р) — гармоническая на поверхности Ш и непрерывно дифферен-
дифференцируемая в замыкании поверхности $Щ функция, то по формуле Грина
получим
^^ B.8.4)
так как ф = 0 на краю С. Равенство B.8.4) означает, что функция ф орто-
ортогональна всему пространству Н в смысле метрики B.8.2). Естественно поэтому
попытаться доказать существование гармонических функций с заданными
граничными значениями методом ортогонального проектирования.
Две возможности возникают при применении метода ортогонального
проектирования. Во-первых, можно рассматривать гильбертово простран-
пространство М, получаемое посредством замыкания линейного пространства всех
непрерывно дифференцируемых функций на замыкании Ш[]С, имеющих
конечные интегралы Дирихле и нулевые граничные значения. Следуя этому
обычному методу, проектируют функцию 9 в N и получают формулу разло-
разложения B.8.3), в которой гармоничность разности и — 9— ф легко доказы-
доказывается (см. [2Ь]). Во-вторых, можно спроектировать функцию 9 в простран-
пространство Н, а затем показать, что разность ф —у —и обращается в нуль на краю С
поверхности $Щ. Вследствие того, что пространство Н проще, чем замыка-
замыкание N неполного линейного пространства, мы предпочитаем второй метод.
Этот метод, применявшийся уже некоторыми авторами (см. [4], [10]), приобре-
приобретает все большее значение в теории функций. В нижеследующем рассуж-
рассуждении мы будем следовать идеям нового доказательства, сообщенного нам
П. Л эксом ^
Будем искать функцию и, принадлежащую Н, для которой
B.8.5)
В соответствии с общими свойствами гильбертовых пространств, установлен-
установленными раньше, экстремальная функция и € Н существует и характеризуется
тем свойством, что для всякого элемента и ^Н имеет место соотношение
B.8.6)
Преобразуем теперь соотношение B.8.6), имея в виду показать, что
разность ф=9 —и обращается в нуль на краю С. Для этой цели возьмем
функцию II (р) специального вида
B.8.7)
где <7о и 9"~точки поверхности $Щ. Имеем
B.8.8)
Фиксируем точку <7О6:9К раз и навсегда, а точку д заставим перемещаться
по поверхности §. Тогда несобственный интеграл
О(?-и, им) = А(?) B.8.9)
представляет собой непрерывную функцию точки д на поверхностях 1 и§1.
Докажем, что функция к(д) остается непрерывной при переходе через гра-
границу С поверхности $Щ и, следовательно, что она непрерывна на всей поверх-
поверхности $. Этот результат будет иметь важное значение при изучении поведе-
поведения экстремальной функции и на границе.
§ 8. Метод ортогонального проектирования
47
ду ду
V йхбу
B.8.10)
Пусть р0 — та точка границы С поверхности $Щ, через которую проходит
точка ^ при переводе с поверхности Ш на поверхность $Щ. Используя гра-
граничную униформизирующую в точке /?0, отобразим окрестность точки р0,
принадлежащую поверхности §, на круг $, имеющий центр в начале коор-
координат Комплексной плоскости; мы можем при этом предполагать, что точка р0
переходит в центр этого круга, а часть границы С, попавшая в нашу окрест-
окрестность, переходит в отрезок действительной оси, заключенный внутри круга §•
Пусть точки нижней половины §- круга 3 соответствуют точкам поверх-
поверхности 5Щ, а точки верхней половины $+ этого же круга соответствуют точ-
точкам поверхности $Щ. Обозначим через г и С значения граничной униформи-
зирующей точки р0 в точках р и</. Достаточно показать, что интеграл
Т(Г\-{ (д^д\п\г~
^ ~0 \дх дх
3-
является непрерывной функцией переменной С в круге $. Для доказатель-
доказательства введем три вспомогательных круга: круг Й, лежащий в области $_
и касающийся действительной оси в начале координат; круг й, являющийся
зеркальным отражением круга й относительно действительной оси; круг #>
радиуса р с центром в начале координат. Для получения некоторых оценок
этот радиус р позднее будет выбран достаточно малым.
Без ограничения общности можно принять точку С лежащей на мнимой
оси между центром круга $ и началом координат. Пусть ^ — точка, инверс-
инверсная относительно окружности $ для точки С- Очевидно, что 1тС1>0. Пока-
Покажем, что абсолютная величина | / (С) — / (Сх) | может быть сделана сколь угодна
малой, если абсолютная величина 11т С | достаточно мала; это утверждение
эквивалентно доказываемой непрерывности функции Н(д) на поверхности §.
Разделим полукруг $_ на три части: ®, ($_ — Й)П^ и $_ — ® — $; инте-"
грал / (С) — / (Сх) разобьется на три слагаемых, соответствующих этим частям.
Покажем, что каждое из этих слагаемых стремится к нулю, когда С стре-
стремится к началу координат. Фиксируем произвольно малое е > 0. Выберем
радиус р круга $ настолько малым, чтобы интеграл
" х
\
«V
был меньше, чем г2. Этот интеграл сходится, так как граница области
$-*$ — й образует угол нулевого раствора в начале координат. Для |С|<р
и КеС = О справедливы следующие оценки, легко устанавливаемые геометри-
геометрическим путем:
дх
д!п|г—ил2
ду
д 1п | г — С1
8
8
Итак, мы можем оценить интеграл
I 1П -
5
(
дуду V
г-:
Лхйу,
применяя неравенство Буняковского — Шварца; он будет меньше величины Аг,
где Л —верхняя граница абсолютной величины ]/О(ф).
Рассмотрим интеграл, распространенный на область $_— ^ — $, Так как
радиус р теперь фиксирован, то мы можем утверждать, что выражение
д 1
2 — С
? ——~
С1
48
Гл. 2, Теоремы существования
стремится равномерно к нулю в области $- — Й — $, когда точка С стремится
к началу координат. Следовательно, соответствующая часть интеграла
^ может быть сделана меньше заданного е, если абсолютное значе-
значение 11гп С | достаточно мало.
Последний интеграл, распространенный по кругу $, будем интегриро-
интегрировать по частям. Предварительно необходимо вырезать окрестность начала
координат, проведя дугу с окружности малого радиуса В с центром в начале
координат, так как нет уверенности в том, что функция ф и ее первые
производные непрерывны вплоть до границы С поверхности $Щ. Обозначим
область, остающуюся после удаления из круга й внутренности дуги с,
через $'. Интегрируя по частям, получим
ф, 1п
г —С
5
г —С
г-Сх
с
Пп
1 ^Ф ,-/
^ а«
2 — С
г — '^1
—
-к
B.8.11)
где к — произвольная постоянная интегрирования. Вследствие того, что
и Сх являются инверсными точками относительно окружности й, отношение
|г—С| / |г —^1 будет оставаться постоянным, зависящим от выбора точки С>
когда точка г пробегает окружность $; выберем число к как раз равным
логарифму этого отношения. Итак, в интеграле, распространенном вдоль
границы д$', остается только выполнить интегрирование по дуге с.
Следуя известному методу, можно показать, что интеграл, распростра-
распространенный вдоль дуги с, стремится к нулю, когда радиус В дуги с стремится
к нулю, пробегая подходящую последовательность значений. Допуская про-
противное, мы должны предположить, что существует положительная постоян-
постоянная А, удовлетворяющая неравенству
дп
= Г
дг
B.8.12)
для 0 < г < /-0. Здесь г и б —полярные координаты с полюсом в начале коор-
координат. Применяя неравенство Буняковского— Шварца, получим
B.8.13)
так как дуга с меньше полуокружности. Разделив обе части неравен-
неравенства B.8.13) на величину тгг, проинтегрируем по переменному г в пределах
от 0 до г0. Получим
B.8.14)
О
Левая часть неравенства B.8.14) бесконечно велика, а правая часть его
конечна, так как О(Ф)<оо. Полученное противоречие показывает, что
числа Л, удовлетворяющего неравенству B.8.12), не существует; следова-
следовательно, существует последовательность радиусов о^,, сходящаяся к нулю
так, что для соответствующих дуг су справедливо соотношение
Нт
дп
B.8.15)
§ 8, Метод ортогонального проектирования
49
Заставляя радиус В стремиться к нулю, из формулы B.8.11) в пределе
получим1)
,1п
г —С
= - \ 1п
г —С
-/г] Цахс1у. B.8.16)
Из элементарных геометрических соображений видно, что разность
стремится к нулю, когда точка С стремится к началу координат. Следова-
Следовательно, интеграл
2—С
1
— к \ их йу
B.8.17)
стремится при этом также к нулю. Используем теперь наше предположение
относительно интегрируемости лапласиана функции <р- Согласно формуле
B.8.3), Д<р = Дф, и мы видим, что лапласиан Аф интегрируем в области ®
вместе со своим квадратом. Из формулы B.8.16) и неравенства Буняков-
Буняковского-Шварца усматриваем, что привзнос области ® в интеграл / (Сх) — / (С)
может быть сделан меньше заданного г при стремлении точки ^ к началу
координат.
Итак, каково бы ни было число г > 0, величина \к(д)\ (9€501) может
быть сделана меньше этого г посредством выбора достаточно малого абсолют-
абсолютного значения |1тС|- Действительно, интеграл /(О отличается от функции
к (д) только членом, остающимся непрерывным при переходе через границу,
а функция Н(д) обращается в нуль на поверхности $Щ. Единообразие получен-
полученных оценок показывает, что Н(д) является непрерывной функцией точки д
на поверхности $, обращающейся в нуль на границе С поверхности Ш-
Пусть теперь д — точка поверхности 9К и Й — область, являющаяся про-
прообразом круга в плоскости униформизирующей с центром в образе точки д
(в дальнейшем такие области мы будем называть «круговыми»). Функцию Н{д)
можно представить в виде суммы двух интегралов: одного, распространенного
на область #, и другого, распространенного на область Ш — 2. Интегрируя
по частям, получим
Г дид
32 р
Функция идд(р), рассматриваемая как функция точки д, является гармониче-
гармонической, и, следовательно, гармонической будет и функция со(^). Так как
= ср — и, то
- ~ о) («?)] +~И(д). B.8.19)
Член в квадратных скобках в формуле B.8.19) является гармонической функ-
цией на поверхности $Щ с теми же граничными значениями, что и заданная
функция <р(9)-
Итак, функция 9 всегда может быть представлена в виде суммы
<р = (/-ИЕ\ B.8.20)
где V — функция, гармоническая на поверхности $Щ и непрерывная в замыка-
замыкании этой поверхности, а 11Г —функция, непрерывная в замыкании поверхно-
Нетрудно установить, применяя формулу B.8.11) к разности двух областей ®' при
достаточно малых радиусах Ь7, независимость стремления к нулю интегралов вдоль дуг су
от специального выбора последовательности Ь7 и существование несобственных интегралов,
фигурирующих в соотношении B.8.16).—Прим. перев.
4 Заказ № 634
50 Гл. 2. Теоремы существования
сти 5Щ, с нулевыми граничными значениями. Остается установить конечность
интегралов Дирихле функций V\ Ч3* и найти соотношение между гармони-
гармонической функцией V и экстремальной функцией и в гильбертовом простран-
пространстве Н.
Обозначим снова через р0 краевую точку поверхности $Щ; некоторую
окрестность точки /?0, принадлежащую $Щ, отобразим на полукруг комплекс-
комплексной 2-плоскости, ограниченный сверху сегментом действительной оси. Пред-
Представим функцию 9 в виДе суммы
, B.8.21)
где функций щ и фг имеют конечные интегралы Дирихле в полукруге
и непрерывны в замкнутом полукруге, причем ^ — функция, гармоническая
в полукруге, а фг обращается в нуль на границе полукруга. Это разложе-
разложение легко осуществить, отображая полукруг на полный круг и применяя
затем известные методы.
Рассмотрим теперь гармоническую в полукруге функцию V ~ и1У обра-
обращающуюся в нуль на сегменте действительной оси, являющемся частью гра-
границы полукруга. Применяя принцип симметрии, продолжим 1] — их через
сегмент действительной оси; мы получим функцию, гармоническую в полном
круге, получаемом при отражении полукруга относительно действительной
оси. Отсюда следует конечность интеграла Дирихле функции С1~и1У а зна-
значит, и функции (/, распространенного по полукругу. Так как наше рас-
рассуждение справедливо для каждой краевой точки р0 поверхности Ш> то функ-
функция V имеет конечный интеграл Дирихле, распространенный по всей поверх-
поверхности Щ, и, следовательно, принадлежит к пространству Н. Итак, и~со/2тс^Н
и о)^Н. Мы заключаем далее, что функция Ч' = /г/2тс также имеет конечный
интеграл Дирихле. Условие, характеризующее экстремальную функцию и^Н,
может быть теперь переписано в форме
^) B.8.22)
Функция к обращается в нуль на краю поверхности Ш и, следовательно,
ортогональна всем функциям пространства Н. Из формулы B.8.22) вытекает,
что О ((!)) = 0 и, следовательно, сю^сопз!. Итак, мы доказали, что функция и,
минимизирующая интеграл О(у — и)у непрерывна в замыкании поверхности 1Т>
и на краю отличается от граничных значений функции <р только на постоянную.
§ 9. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ,
ПРИНАДЛЕЖАЩИЕ КОНЕЧНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Всякая конечная риманова поверхность 9К может быть дополнена, путем
построения дубля, до симметричной замкнутой ориентируемой поверхности 5-
Складывая две принадлежащие поверхности $ функции, особенности кото-
которых лежат в сопряженных точках, получим гармоническую функцию, сим-
симметричную или кососимметричную по отношению к конформным преобразова-
преобразованиям второго рода поверхности $ на себя. Другими словами, метод, аналогич-
аналогичный кельвиновскому методу изображений, дает возможность строить гармо-
гармонические функции первого или второго рода на поверхности Ш-
Пусть 9К -- конечная риманова поверхность, имеющая край или неориен-
тируемая, и $ — ее дубль. Обозначим через р0 точку дубля $, соответству-
соответствующую некоторой внутренней точке поверхности $Щ, и через г = х-+1у уни-
формизирующую в точке р0. Обозначим ещё через их однозначную гармони-
гармоническую функцию на поверхности %, имеющую особенность типа диполя в р0
и такую, что разность
иг ^—^ = их-Я^(-Л B.9.
§ 10. Принцип униформизации 51
регулярна и обращается в нуль в р0. Пусть ^—соответствующая гармони-
гармоническая функция, определенная при помощи униформизирующей г = х
и имеющая особенность типа диполя в сопряженной точке р0 поверхности
Так как и1(р) = и1(р) для любой пары сопряженных точек ру ру то функ-
функция иг + иг принимает одинаковые значения в сопряженных точках поверх-
поверхности %. Для гармонической функции второго рода на поверхности
и (р) = иг (р) + иг (р) - их (р0) B.9.2)
разность
и--^--2 = и-Ке( ~^) B.9.3)
х2 + у2 \ г у \ /
обращается в нуль в точке р0.
Обозначим через Жо круговую область 12 | < а с центром в р0 и через Що
сопряженную круговую область | г | < а с центром в точке р0. Пусть Ф — функ-
функция, определенная формулой B.7.1) так, что она обращается в нуль вне
области ЗЛ0, и Ф —ее сопряженная:
(р) = (Ф Ср)Г-
Положим
= м-Ф —Ф. B.9.4)
На поверхности 9#
У = м-Ф, B.9.5)
так как там Ф==0. Из формул B.7.11) и B.7.12) получим
= 0 B.9.6)
для каждой функции т\ класса С3 на поверхности $Щ. Заметим, что выраже-
выражение ((IVУ й-ц) есть не что иное, как классический интеграл Дирихле
B.9.7)
Формулы B.9.6) и B.9.7) потребуются нам в следующем параграфе.
§ 10. ПРИНЦИП УНИФОРМИЗАЦИИ ДЛЯ КОНЕЧНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Теперь мы докажем классическую теорему о конформном отсбраженш
конечной римановой поверхности рода нуль на некоторую область сферы.
Обозначим через $Щ конечную риманову поверхность рода нуль я через
и гармоническую функцию B.9.2) на $Щ, имеющую особенность типа диполя
в точке р0. Пусть хю— и-\- IV— аналитическая функция, действительной
частью которой является и. Докажем сначала, что функция V однозначна
на поверхности $?, т. е. что
&о = 0.
Здесь подразумевается интегрирование вдоль 1-цикла поверхности Ж, не
проходящего через точку р0. Разобьем Ж на конечное число треугольников.
Можно считать путь интегрирования 1-циклом С1, разделяющим $Щ на две
области Ж' и $0Г; одна из них, скажем Ж", содержит точку р0. Конечное
число треугольников области 9Х,', имеющих общие точки с циклом С1, обра-
образует область @, имеющую вид полосы, ограниченной 1-циклом С1 и другим
52 Гл. 2. Теоремы существования
1-циклом С\. Пусть т] —функция класса С3 на поверхности $Щ, равная еди-
единице в области $Щ" и нулю в части области 9Л', внешней по отношению
к полосе ©. Применяя формулу Грина к какому-нибудь из треугольников А
полосы ©, получим
\д^\ B.10.1)
где интеграл распространен вдоль границы треугольника А. Складывая ра-
равенства B.10.1) для всех треугольников полосы ©, получим
(и, -ц) = О@ (и, т]) = ^ (IV. B.10.2)
Но, согласно формулам B.9.6) и B.9.7), Аде(и, т]) = 0, и это показывает,
что функция V однозначна вдоль цикла С1. Так как функция и также одно-
однозначна, то однозначна и аналитическая функция хю = и-\-ж.
Функция и) = и + ю аналитична на поверхности $Щ, и ее мнимая часть V
имеет постоянное значение на каждом компоненте края поверхности $Щ.
Обозначим значения функции V на т компонентах края поверхности Ш через
сг, с2У ..., стУ и пусть а = а -}- /? — некоторое комплексное число, мнимая
часть р которого отлична от чисел с19 с2У ..., ст. Для того чтобы доказать
однолистность образа поверхности $Щ при отображении посредством функции
ы)=и + ю> достаточно показать, что функция хв) = и + № принимает значение
а на Ш один и только один раз. Так как функция хю может принимать
значение а только в конечном числе точек, то мы в состоянии разбить ЯК на
конечное число треугольников таким образом, чтобы хю была отлична от
числа а на границе любого из них и чтобы точка р0 лежала внутри одного
из этих треугольников. Ориентируем наши треугольники когерентно таким
образом, чтобы при обходе границы каждого из них в положительном на-
направлении в смысле индуктированной ориентации площадь треугольника
оставалась слева. Мы можем также принять треугольник, содержащий р0,
настолько малым, чтобы т Ф а всюду в этом треугольнике. Рассмотрим
изменение функции 1п {хю — а) при обходе границы одного из треугольников
в положительном направлении. При обходе границы треугольника, содержа-
содержащего р0, это изменение составит — 2ш\ при обходе границы любого другого
треугольника это изменение будет равно числу 2шу умноженному на крат-
кратность а-значений внутри треугольника. Сумма всех этих изменений равна
сумме изменений функции \п(хю — а) при обходе граничных кривых, т. е.
равна нулю. Действительно, изменение функции \п(хю - а) при обходе любого
из компонентов края, очевидно, равно нулю. Отсюда следует, что функция
т принимает значение а на поверхности 5Ш точно один раз. Итак, справед-
справедлива
Теорема 2.10.1. Всякая конечная риманова поверхность $Щ рода нуль
может быть отображена конформно на замкнутую хю-плоскость с т пря-
прямолинейными разрезами, параллельными действительной оси. Отобража-
Отображающая функция хю = и + Ь регулярно аналитична в каждой точке поверх-
поверхности ЗЛ, исключая одну точку, в которой она имеет простой полюс.
Соответствующий дифференциал йхю имеет точно два нуля на каждом из
т компонентов края поверхности $Щ и не имеет никаких других нулей.
Эти нули соответствуют концам прямолинейных разрезов.
Если Ш — односвязная конечная риманова поверхность, то функция
ю — и + ю отображает ЭД1 или на замкнутую до-плоскость (сферу), или на
плоскость с единственным разрезом вдоль отрезка, параллельного действи-
действительной оси. Случай, когда поверхность ЗЛ отображается на плоскость
с выколотой точкой, исключается для конечных поверхностей, так как
плоскость с выколотой точкой является бесконечным топологическим комплек-
комплексом и поэтому не может быть образом конечной поверхности.
§ 11. Конформное отображение на канонические области 53
Если функция до отображает 2# на плоскость с выкинутым сегментом,
то мы можем перевести этот сегмент посредством линейного преобразо-
преобразования, состоящего из параллельного переноса и преобразования подобия,
в сегмент действительной оси
у==0, -1<и<1. B.10.3)
Отображение
1 / . 1
ДО= -2
переводит до-сферу с вырезанным сегментом B.10.3) во внутренность единич-
единичного круга \г\ < 1.
§ П. КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
НА КАНОНИЧЕСКИЕ ОБЛАСТИ ВЫСШИХ РОДОВ
Теорема 2.10.1 утверждает, что любая конечная риманова поверхность
рода нуль может быть отображена конформно на замкнутую до-плоскость
с т прямолинейными разрезами, параллельными действительной оси. Если
род конечной поверхности $Щ больше нуля, то она может быть отображена
на каноническую область, имеющую, кроме граничных разрезов, еще разре-
разрезы, края которых идентифицируются. На каждом контуре края поверхности
Ш дифференциал йту порожденный отображающей функцией ы> = и-{-ю,
имеет два простых нуля, соответствующих концевым точкам конечного пря-
прямолинейного граничного разреза. В следующей главе будет доказана форму-
формула C.6.3), которая показывает, что общая кратность нулей дифференциала
йдо внутри поверхности Ш равна числу 21г + с. Допустим ради простоты,
что все эти нули простые и что ни одна из линий у = соп51 не имеет более
одной точки самопересечения. Каждая точка самопересечения порождает два
полубесконечных разреза в до-плоскости с подходящим образом идентифици-
идентифицированными краями; общее число разрезов канонической области равно, следо-
следовательно, 4/г + 2с-+т. Каждый полубесконечный разрез вполне определен
заданием положения его конечного конца, каждый конечный разрез опреде-
определен заданием положения его левого конца и длины разреза. Так как полу-
полубесконечные разрезы идентифицируются попарно и концы пары разрезов
имеют одну и ту же абсциссу и, то мы нуждаемся в 6/г + Зс-\- Зт действи-
действительных числах для задания всех разрезов. Две римановы поверхности могут
быть отображены конформно одна на другую тогда и только тогда, когда
соответствующие канонические области могут быть отображены одна на дру-
другую посредством параллельного переноса и преобразования подобия.
Итак, две римановы поверхности могут быть отображены конформно
одна на другую таким образом, что заданные точка и направление на одной
поверхности переходят в заданные точку и направление на другой, при условии
совпадения 6/г + Зс + Зт — 3 действительных параметров. Если опустить усло-
условие соответствия заданных точки и направления, то мы найдем, что число
действительных параметров, нужных для фиксации конформного типа,
необходимо равно 6/г -\- Зс + Зт — 6. Однако мы не учли при этом подсчете
некоторые непрерывные группы конформных отображений поверхности Ш на
себя. Обозначим через р число действительных параметров в непрерывной
группе конформных отображений поверхности 5Щ на себя и через а размер-
размерность пространства всех классов конформно эквивалентных конечных рима-
новых поверхностей одного и того же топологического типа. Тогда
B.11.1)
Эту формулу мы рассмотрим подробнее в следующей главе.
54 Гл. 2. Теоремы существования
ЛИТЕРАТУРА
I.* Александров П. С.
Комбинаторная топология, М. — Л., 1947.
2. В е й л ь Г. (Ш е у 1 Н.)
а) В\е Нее ёег Шетаппзспеп Р1аспе, ТеиЬпег, ВегНп, 1923.
Ь) Тпе теИюё о! ог1по§опа1 рго]"ес1юп т ро1епиа1 1Ьеогу, Оике Ма1Ь. Лоигп.,
7 A940), 411—444.
3. В и л ь д е р (Ш 1 1 <1 е г К. Ь.)
Торо1о§у о! тапНоЫз, СоПодшит РиЬНсаНопз, уо1. 32, Атег. Ма1п. 5ос.
№\у Уогк, 1949.
4. Гарабедиан, Шиффер (ОагаЬесНап Р. Н., ЗсЫНег М.)
Оп ех1$1епсе 1пеогет5 о! ро1епИа1 1пеогу апё соп!огта1 таррт^, Аппа1$ о[
Ма1Ь., 52 A950), 164—187.
5*. Келдыш М. В.
Конформные отображения многосвязных областей на канонические области,
Успехи матем. наук, вып. 6 A939), 90—119.
6. Кёб е (К ое Ь е Р.)
ОЬег (Не иш!оптп51егип§ ЬеНеЫ^ег агЫуШсЪег Кигуеп. Ег$1ег ТеИ: Баз а11§е-
те1пе иш!огт1$1егип§5рпп21р, СгеПез ^ои^п., 138 A910), 192—253.
7. К л е й н (К 1 е 1 п Р.)
Н1етапп'$с11е Р1асЬе I ипё II, Уог1е5ип§еп ОбШп^еп, Ш1п1:ег$ете$1ег 1891 —
1892 ипс! 5оттег$ете51ег 1892.
8. Кодаира (КоAа1 г а К-)
Нагтотс ПеЫз 1П К1етаптап татГоЫз (^епегаПгеё ро1епИа1 ^еогу), Аппа1з
о! Ма1Ь., 50 (-1949), 587—665.
9. Курант (С о и г а п 1 К.)
а) Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности,
М., 1953.
Ь) Геометрическая теория функций, М.—Л., 1934.
10. Л е х т о (Ь е п 1 о О.)
Атуепёищ* ог!по§опа1ег 5у$1ете аи! ^ешззе гипкИопегйЬеогеИзспе Ех1гета1-
ипё АЬЫМип^зргоЫете, Апп. Асаё. 5с1*. Репп. А. I, 59 A949).
П.* Маркушевич А. И.
Теория аналитических функций, М.—Л., 1950.
12. П и к а р (Р 1 с а г A Е.)
ТгаПё ^Апа1узе, уо1. II, Оаи1п1ег—УШагз, Раг15, 1893.
13. Де Рам и Кодаира (ее Нпат О. апё К о 6. а 1 г а К-)
Нагтотс 1п1е§гаЬ, 1пзШи1е !ог Аёуапсес! 51ис1у, Рг1псе1оп, 1950 (мимеография)ф
14. С т о й л о в E 1 о 1 1 о \у 5.)
Ьесопз зиг 1ез рг1пс1ре5 1оро1о^1яие5 ее 1а 1Ьёопе Aе5 ГопсИопз апа1уИдие5,
Оаи1п1ег—УШагз, Раг1з, 1938.
15. Тайхмюллер (Т е 1 с Ь т и 1 1 е г О.)
Ех1гета1е диаз1копГогте АЬЫМип^еп ипё диаёгаИзсЬе Б^ГегепИак, АЬп.
ёег Ргеизз. Акаё. ёег Ш155., Ма1п.-Ка1иг\у. КЬ, 1939, 22 A940).
16. Ф а т у (Р а 1 о и Р.)
РопсИопз аи1отогрпез, в книге Аппеля и Гурса: Р. А р р е 11 е!Е. С о и г 5 а I,
Тпёопе ёез гопсИопз а1§ёЬг1дие5 ё'ипе уапаЫе, 1. П,Оаи1т"ег-УШаг5, Раг15, 1930.
17. Ш о тт к и E с п о 1 1 к у Р.)
ОЬег сНе копГогте АЬЫ1ёип§ теЬггасп гизаттеппап^епёег еЬепег Р1асЬеп,
СгеНез ^ои^п., 83 A877), 300—351.
ГЛАВА 3
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ДИФФЕРЕНЦИАЛАМИ
§ 1. АБЕЛЕВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
В этой главе будут изложены различные классические результаты,
необходимые для понимания последующих разделов. Мы начнем с краткого
рассмотрения дифференциалов, принадлежащих замкнутой ориентируемой
поверхности $. В дальнейшем мы будем полагать $ дублем некоторой по-
поверхности ЗК; в этом случае некоторое подмножество принадлежащих ^
дифференциалов образует множество всех принадлежащих поверхности $Щ
дифференциалов.
Рассмотрим прежде всего линейные дифференциалы АЪ, принадлежащие
поверхности $. Если обозначить через г униформизирующую в точке р по-
поверхности $, то имеет место следующее локальное представление:
где т — целое число. Число т называется порядком дифференциала
в точке р\ очевидно, порядок не зависит от специального выбора униформи-
зирующей и является, следовательно, конформным инвариантом. Вычетом
дифференциала йЪ в точке р назовем значение интеграла
1 V ,~ х V ^ . C.1.2)
распространенного вдоль проходимой в положительном направлении окруж-
окружности к круга | г \ < а 2-шюскости с центром в образе точки р. Это опреде-
определение вычета также не зависит от специального выбора униформизирующей.
Ясно, что вычет равен значению коэффициента а_г при степени 1/г в разло-
разложении C.1.1).
Линейные дифференциалы й2, принадлежащие поверхности $, классифи-
классифицируются следующим образом: дифференциалами первого рода называются
дифференциалы, регулярные в каждой точке ^; дифференциалами второго
рода называются дифференциалы, имеющие особенности только типа полюсов
€ равными нулю вычетами; дифференциалами третьего рода называются все
остальные дифференциалы, имеющие особенности только типа полюсов. Таким
образом, дифференциал третьего рода имеет хотя бы в одной точке вычет,
отличный от нуля. Интеграл (линейного) дифференциала йЪ определяется
формулой
2 (р) - 2 (р0) -
и зависит, вообще говоря, не только от пределов интегрирования, но и от
пути интегрирования. Интегралы (линейных) дифференциалов первого, второго
или третьего рода называются абелевыми интегралами (или просто интегра-
интегралами), принадлежащими поверхности ^, соответственно первого, второго или
третьего рода.
56 Гл. 3. Соотношения между дифференциалами
Пусть А —род замкнутой .поверхности $ и К19 /С2,..., К2н — гомологи
ческая база 1-циклов 2г. В § 6 гл. 2 мы установили существование гармо
нического дифференциала х» имеющего заданные периоды:
Дифференциал йхю — % + Ы% является комплексным аналитическим диф-
дифференциалом, и действительные части его периодов могут быть заданы про-
произвольно. Кроме того, так как точный гармонический дифференциал тож-
тождественно равен нулю, то дифференциал бхю определяется заданием дейст-
действительных частей его периодов единственным образом. Тем самым установле-
установлена следующая основная теорема существования Римана:
Теорема 3.1.1. Существует единственный дифференциал первого
рода, имеющий заданные действительные части периодов.
Функция B.7.16), полученная путем расположения вихрей вдоль 1-цик-
1-цикла 7» также порождает дифференциал первого рода, как мы это теперь
покажем.
Обозначим через Т некоторую заданную триангуляцию поверхности %:
и через *Т двойственное разбиение ^, определяемое следующим образом.
Сначала построим нормальное разбиение N заданной триангуляции. Это раз-
разбиение выполняется путем выбора некоторой внутренней точки в каждом
треугольнике и внутренней точки на каждой стороне A-симплексе) заданной
триангуляции и последующего соединения выбранной внутренней точки каж-
каждого треугольника шестью дугами с его тремя вершинами и с выбранными
тремя внутренними точками его сторон. Каждой вершине (О-симплексу)
первоначальной триангуляции Т мы ставим теперь в соответствие полигон у
состоящий из треугольников нормального разбиения N', имеющих заданную
вершину общей точкой. Каждой стороне A-симплексу) триангуляции Т мы
ставим в соответствие две новые стороны разбиения Л/, встречающиеся во
внутренней точке заданной стороны. Наконец, каждому треугольнику B-симп-
лексу) триангуляции Т мы ставим в соответствие вершину разбиения УУ,
лежащую внутри заданного треугольника. Полигоны, стороны и вершины,
соответствующие вершинам, сторонам и треугольникам триангуляции 7\
образуют двойственное разбиение *Т. В частности, каждой стороне о\ триан-
триангуляции Т соответствует двойственная сторона *?& разбиения *7\ пересека-
пересекающая а\ точно в одной точкех). Ориентация стороны *а\ устанавливается
так, чтобы *оЪ пересекала сторону а\ справа налево. Определим индекс
пересечения /(о/, *о&) двух 1-симплексов о}, *оЪ посредством правила
( 1, если ] = к,
/(с}, *с#= п . , C.1.3)
у ' (О, если ] ф к. \ г
Кронекеровский индекс /(/С, *Ц двух 1-цепей
у ^-*а^ C.1.4)
полагаем равным сумме
ЦК, *Ь) = ^т3.пг C.1.5)
Пусть а} —сторона триангуляции Т, соединяющая вершину дг с верши-
вершиной <7г (т- е- да) = а2 — д1)> и 1 \ (р) — аналитическая функция, мнимая часть
з
которой определяется равенством
^ C-1.6)
Сторона #а^ составлена из двух сторон разбиения N.—Прим. перев.
§ 1, Абелевы дифференциалы 57
где юч я (р) — гармоническая функция, определенная в конце § 7 гл. 2. Если1
1 2
К= 2туо} C.1.7)
является некоторым циклом, состоящим из 1-симплексов триангуляции Т, то
мы полагаем
2> , (ЗЛ.8>
Справедлива следующая формула ([2]):
1т \<12к(р)=-1 (К, *Ь): C.1.9)
Для доказательства формулы C.1.9) достаточно установить справедли-
справедливость соотношения
1т ^ агах = -пг C.1.10)
Действительно, в этом случае формула C.1.9) будет следовать из формул
C.1.5) и C.1.8). Обозначим через *а| полигон триангуляции *7\ двойствен-
ный вершине #2 триангуляции Г. Тогда из теоремы о вычетах получим
1 =1, C.1.
так как функция 2д1 имеет вычет 1/2тг в конечной точке ^2| стороны а). Но
о\=— *о)-\- ..., C.1.12)?
д
и, следовательно, *Ь + п)д*о22 является циклом триангуляции *Т, не содер-
содержащим стороны * а}. Ясно, что цикл *^ + /гу5*а^ не имеет общих точек со»
стороной а). Так как функция 1т 2 г однозначна в области % — е), то
1т
Следовательно,
1т ^ й1яг = - п} 1т \ А2Л - -Щ. C.1.14>
Если Л# — произвольный дифференциал первого рода, то справедлива*
формула (ср. § 5 гл. 1)
(Ош, й2к) = —
где интегрирование производится вдоль границы области % — К и
= Л7к + /<Л/я- Так как значение функции 1/к н^ левом «берегу» цикла К
превышает ее значение на правом «берегу» этого цикла на единицу, то мы-
получим формулу
№, агк)= - ^ йш= -РDш, К). C.1.15>
к
Пусть теперь
4щ9 йхю^ ... , 4ьин C.1.16)
—некоторый комплексный ортонормированный базис дифференциалов первого
рода. Тогда
, ^/) &»1 = ~ 2 ^ ^1' йт^ C.1.17)
;=1 ;=1 К
Р8
Гл. 3. Соотношения между дифференциалами
Пользуясь формулой C.1.9), получим ([2])
п
, К).
C.1.18)
3=1 К
Формула C.1.18) доставляет нам определение кронекеровского индекса двух
циклов, показывающее, что значение этого индекса не зависит от выбора
разбиения поверхности $. Действительно, для произвольной пары замкнутых
циклов мы полагаем
п
$^'5<Ч}- C.1.18)'
3=1 Кг К2
Заметим, что кронекеровский индекс обращается в нуль, если хотя бы один
из двух циклов гомологичен нулю.
Всегда возможно построить гомологическую базу
К19 К2, ••• » ^2Л-1» К2ъ, C.1.19)
1-циклов на поверхности $, удовлетворяющую следующим условиям: (/)
циклы /Сг, /С3, .. . , К2п~1 принадлежат триангуляции Г, а циклы /С2, /С4, . ..
. . . , К2Н принадлежат триангуляции *Т; (и) /(/Сгц—ь /Сгц.) = 1>
/(/С2ц.-1, /С27) = 0 ДЛЯ Ц. ^ V, / (/С2ух, /B7) = 0, /(/С2ц-Ь /С2V-1) = 0. ГОМОЛО-
гическая база, удовлетворяющая этим условиям, называется канонической.
Положим
аг^ = агк^ ^ = 1,2 2Л, (зл.20)
где /Сх, .. . , /С2/1 — каноническая база. Из формул C.1.18)', C.1.15) и C.1.17)
имеем
1т
= —1т
C.1.21)
Произвольный дифференциал
писан следующим образом:
н
= йи-\- г (IV первого рода может быть за-
заC.1.22)
„Действительно, пусть йхюх — дифференциал, определяемый правой частью фор-
формулы C.1.22). Тогда из формул C.1.21) и C.1.22) получим
1т {Р
= - 1т {{йщ,
н
(ЗЛ.23)
И-=1
Дифференциал йт — йт1 имеет периоды, мнимые части которых равны нулю,
л, следовательно, йхю^йт^
Выберем из 2Н дифференциалов (Шк действительного базиса ц дифферен-
дифференциалов, между которыми не существует линейной зависимости с комплексными
коэффициентами; вместе с этим мы предполагаем, что любые 9+1 дифферен-
дифференциалов базиса линейно зависимы с комплексными коэффициентами. Пусть
выбранными дифференциалами будут (Шх, . .. , Шп. Дифференциалы
линейно независимы с действительными коэффициентами; следовательно, 2ц <2Н.
С другой стороны, каждый дифференциал базиса C.1.16) и, следовательно,
§ /. Абелевы дифференциалы 59
каждый дифференциал первого рода представим в виде линейной комбинации
дифференциалов (Ш19 ... , сШA с комплексными коэффициентами, или, иначе
говоря, в виде линейной комбинации дифференциалов (Ш\, ... , сШ' ,
ьШХ9 .. . , 1(Ш^ с действительными коэффициентами. Следовательно, 2^2/
и ц^-Н. Итак, всегда возможно составить комплексный базис (Ш/\, . .. , к
из дифференциалов действительного базиса и представить единственным об-
образом любой дифференциал <Ш первого рода в следующей форме:
C.1.24)
где С19 ... , Ск — комплексные постоянные.
Пусть теперь &Ъ — произвольный дифференциал, принадлежащий поверх-
поверхности $, Так как число полюсов дифференциала й! конечно, то возможно
построить такую триангуляцию поверхности %9 что все полюсы попадут внутрь
треугольников. Допустим, что треугольники ориентированы когерентно. Если
мы теперь проинтегрируем йЪ вдоль проходимых в положительном направле-
направлении границ всех треугольников и результаты сложим, то мы получим сумму
всех вычетов й2, умноженную на 2тс/. Вследствие когерентности ориентации
каждая сторона треугольника пробегается при этом дважды: по разу в каж-
каждом из направлений. Итак, сумма всех вычетов любого дифференциала йЪ>
принадлежащего поверхности %, равна нулю.
Обозначим через ^ ^ (р) аддитивную аналитическую функцию, действи-
действительная часть которой определяется равенством
КеО,Л(р)=-и<Л(р), C.1.25)
где ич д — функция B.7.15). Дифференциал третьего рода ^^ имеет про-
простые полюсы с вычетами -1 и +1 в точках <7о» ?1 соответственно.
Пусть теперь цх, ^2» ••• » 9Ч> и ^о являются V-4- 1 различными точками
поверхности %, а С19 С2, ... , С\, суть комплексные числа, не все обраща-
обращающиеся в нуль и такие, что
Дифференциал
к=1
имеет полюсы первого порядка в точках ^x, д2, ... , ^ с вычетами
Сх, С2, ... , Су соответственно (полюсы слагаемых в точке д0 взаимно уничто-
уничтожаются). Итак, всегда можно построить дифференциал, имеющий заданные
вычеты в заданных полюсах и регулярный в остальных точках; при этом
•единственным ограничением является равенство нулю суммы всех вычетов.
В § 7 гл. 2 мы ввели функции
СО5 СО5
щ
^^ C-1.26)
и получили дифференциалы, имеющие в точке р0 поверхности % бесконеч-
бесконечности одного из следующих типов:
.пс1г
или ~~ 1
Обозначим через А1 дифференциал* имеющий в окрестности точки р раз
ложение вида
60 Гл. 3. Соотношения между дифференциалами
где г — униформизирующая в точке р. Выражение
7п Г" • • • ~1 )
называется главной частью дифференциала А1 в точке р. Выберем теперь
произвольно полюсы и главные части дифференциала йЪ, прнадлежащего %г
с единственным условием, чтобы сумма всех вычетов была равна нулю. За-
Зададим, кроме того, действительные части периодов
Существует один и только один дифференциал йТ,, удовлетворяющий этим
условиям; он может быть построен посредством сложения описанных выше
элементарных дифференциалов. Мы установили следующую теорему (вторая;
основная теорема существования Римана):
Теорема 3.1.2. Существует единственный дифференциал с17,у регу-
регулярный и аналитический во всех точках, кроме конечного числа полюсовТ
в которых он имеет произвольно заданные главные части, и имеющий
произвольно заданные действительные части периодов; при этом един-
единственным условием является равенство нулю суммы всех вычетов
§ 2. МАТРИЦА ПЕРИОДОВ
Пусть с1щ — йих + * &О\ > ^2 = &иг + * ^2 ~ произвольные дифференциалы
первого рода. Из формулы C.1.22) имеем
н
• \ ^2 — ^2^-1 • \ ^Л . C.2.1)
^2\х—1 &2\х.
Подставляя это выражение для дифференциала йщ в скалярное произведе
ние (с1щ, йхю2) и используя соотношение C.1.15), получим
н
В частности, при йхю1 = й'ш2-= йхю получим
н
{ \ \ \ \ \ C.2.3)
если только дифференциал йхю не равен тождественно нулю. Положим
Аи, A*=\Aщ р. = 1, 2, ... , А. C.2.4)
Из формулы C.2.3) видно, что периоды Р^ обращаются все в нуль только
тогда, когда дифференциал йхю тождественно равен нулю; то же самое
утверждение справедливо и для двойственных периодов Bц. Следовательно,
существует единственный дифференциал йхю первого рода с заданными перио-
периодами Рц. Действительно, пусть йщ, йщ, ... , йщ — комплексный базис диф-
дифференциалов, принадлежащих поверхности §. Положим
= 1, 2, .. . , /г. C.2.
§ <?. Нормированные дифференциалы
61
Система однородных уравнений
к
= О
1, 2, ... , к)
C.2.6)
не может иметь нетривиальных решений (с19 с2, ... , ск): в противном случае
•существовал бы нетривиальный дифференциал 6т, все периоды Р^ которого
^были бы равны нулю. Итак, для любых заданных комплексных чисел
^ (р. ^ 1, 2, ... , к) система уравнений
к
= 1, 2, .. . , к) C.2.7)
имеет единственное решение. Полученные результаты можно записать в виде
теоремы:
Теорема 3.2.1. Периоды Р^ определяют дифференциал первого рода
единственным образом, и матрица периодов ||Р^|| всегда неособенная.
Положим
, C.2.8)
тде дифференциалы йЪ^ определены формулами C.1.20) для канонической
•базы 1-циклов. Из формулы C.1.21) имеем
C.2.9)
Пусть теперь х1У х2У ... , ^-—произвольные действительные числа. Поль-
Пользуясь формулой C.2.8), получим
2П 2П 2к
Ке {Г^}х^= 2 Г^х^^= Л^( 2 ^^) > °- C.2.9)'
V, ч=1 И-» V=1 ^ = 1
Знак равенства здесь возможен только тогда, когда
2П
л^^еееО. C.2.10)
11=1
Вычисляя период дифференциала C.2.10) вдоль цикла К^> по формуле
•C.1.21) найдем
2/1 2П 2П
0 = 1т 2 ^ 2
Из каноничности базы /Сх, .. . , /С2/1 теперь следует, что
Мтак, симметрическая матрица
-является неособенной.
= ... = х2П =- 0.
C.2.12)
§ 3. НОРМИРОВАННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
В дальнейшем мы будем иметь дело главным образом с нормированными
дифференциалами йЪ^, р.= 1, 2, ..., 2/г. Важность этих дифференциалов
ясна из соотношений
(йш, <Иу) = - Р (Аи, /Ср.), г*. = 1, 2, ..., 2/1. C.3.1)
Кроме того, мы будем иногда употреблять комплексный базис диффе-
дифференциалов первого рода
дщ, йшгУ . .., йхюНу C-3.2)
62 Г л, 3. Соотношения между дифференциалами
периоды которых
#—1
удовлетворяют соотношениям Р^ — ^» Где
{1 для м<=^,
п C'3'3>
О ДЛЯ р ф V. V /
Пусть 9 — некоторая точка поверхности % и С = 5 + и] — униформизирую-
щая в этой точке. Обозначим через ия^ (р) однозначную гармоническую функ-
функцию на поверхности $ с диполем в точке цу такую, что разность
(Р) -1^2 = и& (Р) ~ Ке (~ ) C.3.4)
регулярна и обращается в нуль в ^. Дифференциал второго рода
Ыи^ (р) = 2 —?'— с1р C.3.5)
будем обозначать через йТд^(р). Заметим, что интеграл этого дифференциала
имеет однозначную действительную часть. Прибавляя к дифференциалу C.3.5)
линейные комбинации базисных дифференциалов первого рода, получим диф-
дифференциалы второго рода. Отметим из них дифференциал (Ия^{р), периоды
которого
обращаются в нуль. Вообще, мы будем обозначать через йТ$ дифференциалу.
имеющий вблизи ц вид
дО = ( — ян + регулярные члены ) Л
и такой, что его интеграл имеет однозначную действительную часть. Через
Ш$ мы будем обозначать дифференциал, имеющий ту же самую главную
часть в точке ^ и периоды Р^у равные нулю. В частности, йТ$ = йТд>^
Наконец, интеграл дифференциала третьего рода й&д^1 (р), определен-
определенного формулой C.1.25), имеет однозначную действительную часть. Обозна-
Обозначим через йыд^1 (р) дифференциал, получаемый из й&д^1 (р) путем прибав-
прибавления такой линейной комбинации базисных дифференциалов первого рода,
что все периоды
^ я^г (р)
обращаются в нуль. Итак, имеются два способа нормирования дифференциа-
дифференциалов второго и третьего рода. Нормируя по первому способу, мы требуем,
чтобы их интегралы имели однозначные действительные части; при втором
способе нормирования мы требуем, чтобы периоды этих дифференциалов вдоль
циклов К2\х.~\ обращались в нуль. Первый способ нормирования мы назовем
«действительным нормированием», а второй — «комплексным нормированием».
§ 4. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПЕРИОДАМИ
Обозначим через $ поверхность, полученную из поверхности ^ посред-
посредством разрезания ее вдоль циклов C.1.19). Интеграл произвольного диффе-
дифференциала А] первого или второго рода однозначен на 3» и> следовательноь
§ 4. Соотношения между периодами
мы можем рассматривать интеграл
где с11± и с1}2 — произвольная пара таких дифференциалов. По теореме Копж
о вычетах, имеем
2/1
1
Л
{ ^ \ \
к=\ К2к-1 К2к К2к-1 К2к
= 2тс/х (сумма вычетов дифференциалов /хй/2 на
Полагая в этой формуле сначала й^1 = й2^, й^2 = A2^, получим
к
\.,2к-\1\, 2к — IV 2к-\1\, 2к) ~ 0.
Приравнивая нулю мнимую часть выражения, стоящего в левой части этой
формулы, получим закон симметрии:
{ й1^ р., V- 1, 2, .. ., 2А. C.4.2)
Здесь мы воспользовались тем фактом, что 1т ГЦG = /(/С1х, К\,)« Закон,
симметрии можно также немедленно получить из формул C.2.8) и C.1.15).
Полагая А^^Аш^, й]^—бт^^ получим
\ Лшч = \ Лш^, (х, V = 1, 2, . .., А. C.4.2)*"
Теперь положим й/1 = й71^) (р) = АТ^ (р), й^2 = й2^. Пользуясь унифор-
мизирующей С для точек р, лежащих в окрестности точки <7» получим
йТ$ (р) — Г — тяг + регулярные члены
Из формулы C.4.1) имеем
{IV»-!-
2 {IV.
*1
Приравнивая действительные части, получим
. ^=Ь 2, ...,2/1. C.4.3)
Полагая же й^1 = A1{д\ й$2 = йхю^., получим
^. C.4.3)'
Наконец, положим с1[г = й&цц (р), *//2 —*/2ц. Так как функция /х одно-
однозначна только на поверхности 3» разрезанной вдоль некоторой линии, соеди-
соединяющей точки <71 и <72, то вместо формулы C.4.1) мы получим формулу
\ /1^/2+ \ 0/1 ^/2 = 2тсг х (сумма вычетов). ' C.4.1)'
аЗ
4
Гл. 3. Соотношения между дифференциалами
Здесь а/г обозначает скачок функции /х при переходе с левой стороны со
единяющего точки цх и <7г разреза на правую его сторону. Имеем
Ч
Ч
Ч Ч
Из формулы C.4.1)' получим
\
Ч
C.4.4)
Аналогично, полагая ^ =
(/?), о?/2 = оЦ*, получим
C.4.4)'
Положим теперь й/1 = й71^,
уравнении C.4.1), получим
()
= с1Т(р). Приравнивая мнимые части в
Аналогично,
В случае сЦ1 =
ем мнимые части)
р (р), А]г=^
C.4.5)'
формула C.4.1) дает (приравнива-
(приравниваC.4.6)
в то время как при выборе й^г = й?4г) (р)» ^/2= ^я я получаем
(92) — (г—
1)!
Наконец, полагая ^ =
р , с1{2 = с1&д я , получаем
= Ке
то время как выбор й\х
Дает
C.4.7)'
Формулы C.4.7) и C.4.7)' выражают закон перестановки аргумента и пара-
параметра.
§ 5. ПОРЯДОК ДИФФЕРЕНЦИАЛА
Порядком дифференциала называется разность между суммой порядков
•его нулей и суммой порядков его полюсов. Порядок любого линейного диф-
дифференциала Й2, принадлежащего поверхности %, выражается формулой
C.5.1)
Для доказательства формулы C.5.1) обозначим через г принадлежащую
функцию, отличную от постоянной. Прежде всего заметим, что, каково
*бы ни было комплексное число а, дифференциал третьего рода ЗгЦг — а)
имеет вычеты, равные порядкам нулей и полюсов функции г — а. Так как
§ 5. Порядок дифференциала 65
сумма вычетов этого дифференциала равна нулю, то мы видим, что г — а
принимает значения а и оо одинаково часто на ^. Итак, функция г при-
принимает каждое значение на поверхности % одинаковое число раз, скажем
п раз.
Если в точке р поверхности $ функция г принимает значение а, то го-
говорят, что точка р лежит над точкой а г-сферы. Этим поверхность % реа-
реализуется в виде я-листного относительно разветвленного покрытия г-сферы.
Только над конечным числом точек а лежит менее чем п точек р поверх-
поверхности §5 эти точки а соответствуют тем точкам р поверхности $, в кото-
которых функция г принимает значение а с кратностью, большей единицы.
Пусть р0 — точка поверхности ^, в которой функция г принимает значе-
значение а точно т раз. Если переменная I является локальной униформизирую-
униформизирующей в точке р0, то
Следовательно, (г — аI/т является также униформизирующей в точке р0
и точка р0, лежащая над точкой а, является точкой ветвления порядка
т— 1. Дифференциал йг имеет в точке р0 нуль порядка т— 1. Если функ-
функция г принимает в точке р0 значение оо точно 5 раз, то
1 ' ' ' • ч с0 Ф 0.
Следовательно, A/гI/5 является униформизирующей в точке р0. В этом слу-
случае дифференциал йг имеет в точке р0 полюс порядка 5+1. Сумма
( 2
0 оо
называется индексом ветвления.
Докажем теперь формулу
У = 2(Л + п-1). C.5.2)
Пусть 2-сфера триангулирована таким образом, что точка г=оо и точки,
лежащие под точками ветвления, являются вершинами треугольников. Бо-
Более того, допустим, что не больше одной вершины каждого треугольника ле-
лежит под точками ветвления. Эту триангуляцию возможно перенести на по-
покрытие $. Над каждым треугольником и над каждой стороной треугольни-
треугольника сферы лежат соответственно п треугольников или п сторон треугольни-
треугольников поверхности $. Обозначим через а2, а1 и а0 числа соответственно тре-
треугольников, сторон и вершин поверхности $ и через а2, а1 и а0 —соответ-
—соответствующие числа для сферы. Тогда
а2 = па2, а1 = ла1. C.5.3)
Если V точек ветвления с порядками гх — 1, ..., г^ — 1 лежат над точкой
2 = а, то
и, следовательно,
° C.5.4)
Однако справедливы соотношения
ао-а1 + а2 = 2> а°-аМ а2- 2-2А, C.5.5)
а значит, и соотношение
2 - 2А = а2 - а1 + а0 = п (а2 - а1 + а0) - V = 2п - V.
Порядок дифференциала йг равен
0 оо оо
5 Заказ № 634
66 ' Гл. 3. Соотношения между дифференциалами
Так как г принимает каждое значение (включая оо) п раз, то
5 = П.
оо
Итак, порядок дифференциала йг равен V — 2п = 2 (Л — 1). Так как отноше-
отношение двух дифференциалов является функцией, а порядок функции равен
нулю (как мы уже установили), то каждый линейный дифференциал, при-
принадлежащий поверхности $, будет иметь один и тот же порядок, именно
2(Л— 1).
Так как V-я степень линейного дифференциала представляет собой спе-
специальный случай дифференциала размерности V, а отношение двух диффе-
дифференциалов одной и той же размерности является функцией, то мы заклю-
заключаем из формулы C.5.1), что
Иу 1 C.5.1)Л
§ 6. ТЕОРЕМА РИМАНА—РОХА ДЛЯ КОНЕЧНЫХ РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Дивизором на дубле § конечной римановой поверхности ЗК называется
0-цикл О = 2тгЛ С Целыми коэффициентами т{, состоящий из конечного
числа точек р{. Мы полагаем порядок точки равным единице: отАр{=\;
порядок дивизора Б будет равен ^ т% 0Т& Р% = 2 т* * Множество всех диви-
дивизоров образует абелеву группу, называемую группой дивизоров. Каждому
принадлежащему поверхности $ дифференциалу й7?, не обращающемуся
тождественно в нуль, мы поставим в соответствие дивизор 2тгРг» ГДе т% —
порядок дифференциала й1? в точке р{. Дивизор принадлежащей $ функ-
функции / обозначим через (/); два дивизора й и О' назовем линейно эквива-
эквивалентными, если существует принадлежащая поверхности § функция /, не тож-
тождественно равная нулю, для которой О—В' = (/). Класс эквивалентных дивизо-
дивизоров (класс дивизоров), содержащий дивизор О, обозначим через (О). Очевидно,
что все дивизоры в классе (Ц) имеют один и тот же порядок; обозначим его
через огсЦО). Также ясно, что дивизоры линейных дифференциалов й2
принадлежат одному и тому же классу, который мы условимся обозначать
через (ИР). Для дивизора О = ^Е.тгрг мы будем писать И>0, если все числа
т4>0. Множество всех принадлежащих поверхности $ функций / таких,
что (/:)+О>0, обозначим через Р{О). Размерностью класса (И) назовем
действительную размерность линейного пространства Р (п): (Нт (п) = сИт Р (О).
Если (/) + О>0, то мы скажем, что функция / кратна дивизору —Б.
Для всякого дивизора О = 2тЛ» принадлежащего дублю $, можно
построить сопряженный дивизор О=г-^т1р1- Здесь р обозначает точку по-
поверхности §, сопряженную точке р. Принадлежащий дублю § Дивизор на-
называется дивизором, принадлежащим поверхности ЭДЬ тогда и только тогда,
когда он равен своему сопряженному. Принадлежащий Ш дивизор п может
быть записан, следовательно, в форме О = 2ШЛ» гАе ^г^Рг Для краевых
точек р{ поверхности Ш и Р{ — р{ + р{ для внутренних точек р{ поверх-
поверхности $Щ. Два дивизора Б и О', принадлежащих поверхности $Щ, назовем
линейно эквивалентными на $Щ, если Ь — О' = (/), где / — принадлежащая
поверхности Ш функция. Действительная размерность линейного пространства
принадлежащих поверхности $Щ функций таких, что (/) + О>0, называется
размерностью класса (О). Справедлива следующая теорема [7], в которой
дивизоры, дифференциалы и размерности подразумеваются относящимися
к поверхности $Щ:
Теорема 3. 6. 1. Для произвольной конечной римановой поверхности Ш
справедливо соотношение
, C.6.1)
§ 6, Теорема Римана—Роха • 67
где
C.6.2)
C.6.3)
Заметим, что
Действительно, пусть ^^ — произвольный линейный дифференциал. Если
функция / такова, что (/)>!) — (б/20), то для дифференциала с12=}A20
справедливо неравенство (дB)>О. Обратно, если (о?2)>Ь, то для функции
} = й2/с120 справедливо неравенство (/) >О—(б/20).
Для замкнутых ориентируемых поверхностей формула C.6.1) выражает
классическую теорему Римана —Роха. Предположим сначала, что формула
C.6.1) справедлива для замкнутых ориентируемых поверхностей, и докажем,
что в этом случае она верна и для произвольных конечных поверхностей.
Принадлежащий поверхности Ш (или поверхности ^) дивизор назовем
главным, если он порожден принадлежащей поверхности $Ш (или ^) функ-
функцией. Группа главных дивизоров поверхности Ш представляет собой пере-
пересечение группы главных дивизоров поверхности % с группой всех принадле-
принадлежащих поверхности $Щ дивизоров. Действительно, пусть О — принадлежащий
поверхности Э# дивизор, являющийся одновременно главным дивизором по-
поверхности %. Тогда дивизор п определяет некоторую функцию /, принадле-
принадлежащую поверхности $• Так как сопряженная функция / имеет дивизор
О = О, то функция/// равна постоянной,] или, иначе говоря, / = а/. Приме-
Применяя ~-операцию к уравнению 7 = а/, получим / = #Г- Следовательно,
аа = \а\2=\. Но тогда функция ё — Уа! совпадает со своей сопряженной
и является, следовательно, принадлежащей поверхности $Щ функцией.
Дивизор й порождается функцией § и является, таким образом, главным
дивизором поверхности Ш-
Обозначим через п некоторый принадлежащий поверхности Э# дивизор
и через /х, /2, ..., /^ систему принадлежащих Ш линейно независимых
в действительном смысле функций таких, что любая принадлежащая
функция /, удовлетворяющая неравенству (/) + ^>0, представима в виде
! = {к!1+ ••• +Яц/ц,
где числа ак действительны. Тогда (Нт (О) =* р.. Положим
где ^—-комплексные числа. Мы должны показать, что в такой форме пред-
представима любая принадлежащая поверхности $ функция, удовлетворяющая
неравенству (^)+О>0. Ясно, что наша функция ^ условию (&) + !)>О
удовлетворяет. Пусть теперь ^ — какая-либо принадлежащая § функция,
удовлетворяющая условию (^)+О>0, и § — ее сопряженная. Тогда при-
принадлежащие поверхности $ функции
21
совпадают со своими сопряженными и являются, следовательно, функциями,
принадлежащими поверхности 9#. Так как (§)-\-О>0 и (^) + О>0, то
такие же неравенства справедливы и для функций §г и §2. Итак,
где коэффициенты ак и Ък действительны. Для функции § имеем, следовательно,
выражение
8 = 81 + &2 = (^1 + ьЬх) !г + .. . + (а* + 1Ь») ^.
5*
6$ Гл. 3. Соотношения между дифференциалами
Найденные соотношения показывают, что из справедливости формулы C.6.1)
для замкнутых ориентируемых поверхностей следует справедливость этой
формулы и для любых конечных римановых поверхностей.
Для полноты изложения мы укажем вкратце, как может быть получена
формула C.6.1) для замкнутой ориентируемой поверхности УЦ из соотношений
между периодами, приведенных в § 4 гл. 3 (см. [1]). Для упрощения изло-
изложения положим
где Р^ — Рг + Рг, 0* = <& + <7* и через рг, дг обозначены различные точки
поверхности ЭДЬ
Положим
(И = ск(Ир + ... + с». (Ир* C.6.4)
где (Ир^ (Иръ, ..., 61Р —- нормированные дифференциалы второго рода,
введенные в § 3 гл. 3, и с19 с2, ..., с^. — р. комплексных постоянных. Диф-
Дифференциал 6.1 имеет двойные полюсы в точках рх> р2, ..., р^, а его пери-
периоды Р^ равны нулю. Остальные периоды обращаются в нуль при условии,
что удовлетворяются следующие уравнения:
+ С++с~^^0 C.6.5)
1 ^ Г ^9 —» Г" ... ~т~ ^и
1 йрх { 2 Лр2 ] ' *
Эти уравнения следуют из формулы C.4.3)', Если уравнения C.6.5) удов-
удовлетворяются, то интеграл I дифференциала 61 является принадлежащей по-
поверхности ^ функцией. Этот интеграл будет обращаться в нуль в точках
#1» ?2» • • •» Яч> если мы сможем выбрать постоянную интегрирования с0
таким образом, чтобы удовлетворялись уравнения
= О,
= 0, C.6.6)
= 0.
Итак» Р-+1 постоянных с0> с1У с2> ..., с^. должны удовлетворять /г^-V ли-
линейным однородным уравнениям. Обозначив ранг этой системы /^ + V уравне-
уравнений с (л+1 неизвестными через г, можем утверждать, что у нее существует
\ь-\-\ — г линейно независимых в комплексном смысле решений. Следова-
Следовательно
A^т(^) = 2(^^^-1-г) = огA(^)-2А4-2 + 2(А + V-г). C.6.7)
Предположим сначала, что V=:0. В этом случае уравнений вида C.6.6)
не будет вовсе и транспонированная система, соответствующая уравнениям
C.6.5), будет иметь вид
6т \
Цл ~т гУ9~1 г • • • ~г Уь ~л— = и> /о с с\а
*к ар2 0,р2 и,р2 ^О.О.О;
- О
§ 6. Теорема Римана—Роха 69
Равенство
&т(№-В)*=2(к-г) = 2{к + ч-г) C.6.8)
выполняется, так как V = 0 по предположению. В этом случае формула C.6.1)
следует из равенств C.6.7) и C.6.8).
Допустим теперь, что V—!. В этом случае имеется одно уравнение
вида C.6.6), выражающее постоянную с0 через постоянные с19 с2, ..., с^.
Не обращая внимания на это уравнение, рассмотрим систему к уравнений
вида C.6.5) с \1 неизвестными сг, с2, ..., с^. Обозначая ранг этой системы
снова через г, получим
C.6.7)'
Но число линейно независимых дифференциалов, кратных дивизору В, равно
числу линейно независимых дифференциалов, кратных дивизору Рг-\- Р2-\-...
...+Рц = 2Э + B1. Это заключение следует из того обстоятельства, что
сумма вычетов дифференциала должна равняться нулю. Итак, мы снова
получаем формулу C.6.8) и, следовательно, формулу C.6.1).
Наконец, предположим, что V>1. Вычтем V—! последних уравнений
C.6.6) из первого и воспользуемся формулой C.4.6)'. Мы получим V —
уравнений
. . . C.6.6)'
с **"«* 4- 1 с
и одно уравнение
4) + сг{Р1 (?,) + с2*р2 (9Х) + ... + с^р^ (?2) = 0. C.6.6)"
Уравнение C.6.6)" определяет постоянную с0> и его опять можно не прини-
принимать во внимание. Следовательно, мы имеем систему 1г-\-ч— 1 уравнений
C.6.5) и C.6.6)' с \1 неизвестными с1У с2У ...,Сц.. Обозначая ее ранг через г,
получим
" -■ - ■ -.-..-.--.- . C.6.7)"
Транспонированная система имеет вид
^^^
<7<7 ^^У Л
Ш
Так как каждый дифференциал Й2, имеющий полюсы в точках ^^у может
быть представлен в форме
то мы получим
Ш№О) 2(/Ч1) C.6.8)'
Формула C.6.1) следует теперь из формул C.6.7)" и C.6.8)\
70 Гл. 3. Соотношения между дифференциалами
§ 7. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ КОНЕЧНОЙ
РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ НА СЕБЯ
Клейн [4] классифицировал конечные римановы поверхности в зависи-
зависимости от значения их алгебраического рода О, определяемого формулой C.6.2).
Существует точно семь поверхностей, для которых С</?°, а именно:
с = 0у т = 0 (сфера),
с -0, т=1 (круг),
/г = 0, с = 1У т = 0 (проективная плоскость),
(тор), 1
(кольцо или двусвязная область),
= 1, т—\ (лист Мёбиуса), }> 0 = /?°
= 2, т = 0 (бутылка Клейна или неориен-
тируемый тор).
Обозначим через а размерность пространства всех классов конформно
эквивалентных конечных римановых поверхностей одного и того же тополо-
топологического типа и через р число параметров непрерывной группы конформных
отображений поверхности на себя. Формула
а — р = б/г -^- Зс -|- 3/тг — 6, C.7.1)
установленная еще Клейном [4], обсуждалась уже в § 11 гл. 2, где мы
использовали, однако, факт, вытекающий из формулы C.6.3). Именно, если
хю = и + IV — функция § 11 гл. 2 с простым полюсом в некоторой точке
поверхности $Щ (причем функция и однозначна на поверхности %), то тоталь-
тотальная кратность нулей дифференциала йхю, лежащих внутри $Щ, равна 2к-\-с.
Как было замечено в § 11 гл. 2, дифференциал йхю имеет два простых нуля
на каждом компоненте края поверхности $Щ. Так как дифференциал йхю имеет
порядок — 2 в одной из точек поверхности 9К, то число лежащих внутри Ш
нулей дифференциала &ш будет равно 2Л, если $Щ замкнута и ориентируема,
и 2Н-\-с в остальных случаях. Тем самым наше утверждение доказано.
Справедлива следующая теорема:
Теорема 3.7.1. Число р параметров непрерывной группы конформных
отображений конечной римановой поверхности на себя отличается от нуля
только в следующих семи исключительных случаях:
= 1
б
3
3
2
1
1
1
при
при
при
при
при
при
при
н =
н =
/г =
/г =
Л =
/г =
/г =
0,
0,
0,
1,
0,
0,
0,
с = 0,
с = 0,
с= 1,
с = 0,
с = 0,
с=1,
С == А,
/п =
т =
т =
т =
т =
т =
т =
0 (сфера),
1 (круг),
0 (проективная плоскость),
0 (тор), ' C.7.2)
2 (двусвязная область),
1 (лист Мёбиуса),
0 (бутылка Клейна).
Эта Теорема является простым следствием следующей более общей тео-
теоремы (принадлежащей по существу Г. Шварцу), которую мы формулируем
здесь без доказательства (доказательство см. в [1]):
Теорема 3.7.2. Группа конформных отображений ориентируемой
римановой поверхности на себя всегда дискретна, кроме следующих семи
исключительных случаев: сфера, сфера с одной или двумя выколотыми
точками, кругу круг с выколотой точкой, двусвязная область, тор.
Действительно, если поверхность ЭД ориентируема, то теорема 3.7.2
применяется непосредственно. Если 5Ш неориентируема, то применяем теорему
3.7.2 к ее дублю $. Если некоторое конформное отображение поверхности Ш
§ 8. Обратные и квадратичные дифференциалы 71
на себя переводит точку р в точку ^> то возможно распространить это ото-
отображение на всю поверхность $, переводя точку р в точку ц. Отсюда мы
заключаем, что р = 0, за исключением случаев C.7.2), которые следует рас-
рассмотреть подробнее.
Из числа поверхностей C.7.2) заслуживают рассмотрения только неори-
ентируемые поверхности. Проективная плоскость возникает из сферы при
идентификации диаметрально противоположных точек. Группой конформных
отображений на себя будет в этом случае группа сферических вращений.
Если лист Мёбиуса представлен в нормальной форме, описанной в § 1 гл. 2,
то конформными отображениями его на себя будут только ш' = е1В хю и
эд' = /?#'8/^, где число б действительно. Наконец, бутылка Клейна возникает
из ш-плоскости с выколотой бесконечно удаленной точкой при идентифика-
идентификации точек, эквивалентных по отношению к группе преобразований
1
ш—»ау + га + ша), ш—>ы)-{--2+пг + П№, (о > 0. C.7.3)
Относительно неразветвленное двулистное ориентируемое покрытие бутылки
Клейна получим, идентифицируя точки, эквивалентные по отношению к под-
подгруппе преобразований
§ 8. ОБРАТНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
Всюду конечные принадлежащие поверхности ЭД1 обратные дифферен-
дифференциалы
аг-1=г (г) а*-1,
где г — локальная униформизирующая, связаны с бесконечно малыми конформ-
конформными отображениями поверхности ЗК на себя. Интуитивно это ясно. В самом
деле, пусть г — локальная униформизирующая в окрестности некоторой точки
поверхности $Щ. При бесконечно малом преобразовании точка со значением
параметра г переходит в точку со значением параметра г-\-гг(г), где е — неко-
некоторая действительная бесконечно малая величина. Если г' — другая унифор-
униформизирующая в той же окрестности, то переменная г' аналитична либо отно-
относительно переменной 2, либо относительно переменной г. Для простоты пред-
предположим, что переменная г' является аналитической функцией переменной 2.
Пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка, получим
2' + ггг (г') = г'(г + гг (г)) = г' + е^г (г).
Следовательно,
Далее, если переменная г является граничной униформизирующей, то она
действительна в краевой точке р. Так как краевая точка переходит в крае-
краевую, то переменная г-\~ег(г) должна быть также действительна. Итак, диф-
дифференциал г{т)\йг действителен на краю и вследствие этого является при-
принадлежащим поверхности Ш обратным дифференциалом.
Покажем теперь, что
р = сНт(-№). C.8.1)
Из формулы C.6.3) имеем
Так как порядок всюду конечного обратного дифференциала должен быть
неотрицателен, то не существует всюду конечных обратных дифференциалов
при О > Я0- Таким образом, формула C.8.1) в этом случае доказана. Пола-
Полагая (О) = (Й7) в формуле C.6.1), видим, что число линейно независимых
72 Гл. 3. Соотношения между дифференциалами
всюду конечных принадлежащих поверхности 9К линейных дифференциалов
равно
так как сИт @) = 7?°. Если С = /?°, то мы имеем 7?° всюду конечных линей-
линейных дифференциалов (с точностью до постоянного множителя), порядки кото-
которых равны нулю. Только обратные им дифференциалы являются всюду
конечными обратными дифференциалами, и, следовательно, сНт (— й?) = /?°.
Из соотношений C.7.2) видно, что формула C.8.1) справедлива и в этом
случае. Наконец, предположим, что О = 0. В этом случае дубль ^ будет
г-сферой. Все принадлежащие ^ обратные дифференциалы должны иметь
в этом случае вид рациональной функции переменного г, умноженной
на дифференциал йг~г. Принимая во внимание, что 1/г, а не г является
униформизирующей в точке со, видим, что все всюду конечные обратные
дифференциалы сферы представимы в форме
сг2
где а, Ъ и с — произвольные комплексные постоянные. Итак, для сферы
сНт( —Ш) = 6. Если поверхность $Щ есть единичный круг, то всюду конеч-
конечные обратные дифференциалы также представимы в форме C.8.2), но, кроме
того, они должны принимать действительные значения на окружности |г| = 1.
Отсюда усматриваем, что все всюду конечные обратные дифференциалы
круга являются линейными комбинациями с действительными коэффициен-
коэффициентами трех дифференциалов:
.2 . «г
Итак, для круга сНт(— Ц7) = 3. Наконец, проективная плоскость эквива-
эквивалентна единичному кругу с идентифицированными диаметрально противопо-
противоположными точками единичной окружности. Три дифференциала
г г_ / . 1 Л . г Г 1
Аг ' 6г
принимают одни и те же или сопряженные значения в диаметрально проти-
противоположных точках единичной окружности и, следовательно, являются обрат-
обратными дифференциалами проективной плоскости. Итак, и в этом случае
(Нш( — ИР) = 3. Сравнивая полученные числа с таблицей C.7.2), видим, что
формула C.8.1) справедлива и в случае E = 0.
Наконец, полагая (О) = BЙ^) в формуле C.6.1), получаем
BЩ - сИт ( - Г) = 3 (О - Д°), C.8.4)
так как огс!B1^) = 4 (О— /?°), согласно соотношению C.6.3). Из равенства
C.6.2) получим
(Нт BГ) - р = 6/г+ Ъс + Зт - 6.
Теперь сравнение с формулой C.7.1) дает
сНтB№) = а. C.8.5)
Это уравнение показывает, что квадратичные дифференциалы связаны с мо-
модулями конечной римановой поверхности
ЛИТЕРАТУРА
1. В ей л ь Г. (V/ е у 1 Н.)
Э1е Ыее с1ег Н1етапп5сЬеп Р1асЬе, ТеиЬпег, ВегПп, 1923.
2. Виртанен (V 1 г I а п е п К. I.)
ОЬег АЬеЬсЬе 1п1е^га1е аи! пи11Ъегапс1е1еп Н1етаппзс11еп ПасЬеп уоп ипепс!-
НсЬет ОезсЫесЫ, Апп. Асай. 5сь Репп., А. I, 56 A949).
Литература 73
3. Гензель и Ландсберг (Н е п з е 1 К. ипс! ЬапйзЬег^ С.)
Тпеопе с!ег а1&еЬга1зспеп РипкИопеп ешег УапаЪе1п, ТеиЬпег, Ье1р21&, 1902,
4. Клейн (К1е1п Р.)-
^(егаапп'зсЬе ПасЬеп I ипс! II, Уогкзип^еп СбШп&еп, ^1п!ег8егаез1ег 1891—
1892 Ш1с1 5оттег5етез1ег 1892.
5*. Неванлинна Р. (ИешапИппа Ц.)
Униформизация, М,, 1955.
6. Нейман (И е и га а п п С.)
Уог1езип&еп йЬег К1етапп'з ТЬеог^е Aег АЬеГзсЬеп 1п1е§га1е, ТеиЬпег, Ье1р-
21^, 1884.
7. Тайхмюллер (Т е 1 с к т 0 1 1 е г О.)
Ех1гета1е ^иаэ^копГо^те АЬЫЫип^еп ипс! ^иас1^а^^зспе ОШегепШ1е, АЬЬ.
с!ег Ргеизз. Акас1. ёег Шзз., Ма1Ь.-Ыа1иг^. К1, 1939, 22 A940).
8*. Чеботарев Н. Г.
Теория алгебраических функций, М.—Л., 1948.
ГЛАВА 4
БИЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
§ 1. БИЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ПРОИЗВОДЯЩИЕ ЯДРА
В этом параграфе мы сделаем некоторые предварительные замечания
относительно вопросов, рассматриваемых в настоящей главе, в которой пой-
пойдет речь о билинейных дифференциалах и, в частности, о производящих
ядрах. В следующем параграфе мы определим функции Грина и Неймана,
а затем постараемся выразить как можно больше наших функционалов через
эти основные функционалы. В частности, мы получим такие выражения для
дифференциалов первого рода и для отображающих функций, соответству-
соответствующих каноническим областям с разрезами, введенным в гл. 2. В дальней-
дальнейшем мы определим некоторые линейные пространства дифференциалов на ри-
мановых поверхностях и построим для них производящие ядра.
Основной задачей настоящей главы является выражение различных функ-
функционалов через один определенный функционал, именно через функцию Грина.
В последующих главах мы будем заниматься изучением зависимости этих
функционалов от самой римановой поверхности. Результаты настоящей главы
позволят нам ограничиться в основном изучением этой зависимости для функ-
функции Грина.
Комплексное аналитическое выражение \(р,д), зависящее от двух точек
р и ц римановой поверхности, мы называем билинейным дифференциалом,
если выражение
является конформным инвариантом. Через г и С здесь обозначены локальные
координаты точек ряд соответственно. Другими словами, выражение X (р, д)
преобразуется как линейный дифференциал каждого аргумента и является
вследствие этого дважды ковариантным вектором.
Пусть 5Щ — замкнутая ориентируемая риманова поверхность. Выражение
D.1.1)
где й2^0 — дифференциал третьего рода, определенный в гл. 3, является
билинейным дифференциалом. Этот билинейный дифференциал симметричен
относительно точек р и д и имеет двойной полюс при р = д. Следует отме-
отметить, что он не завирит от выбора параметрической точки <7о- Для доказа-
доказательства этих утверждений используем закон перестановки аргумента и па-
параметра в следующей форме [ср. C.4.7)]:
(р) - <Ч (А)) + B«7«70 (р))' - 04 (Ро)Г=
0 0 р0 (я)Г- 0
Дифференцируя это тождество по переменным р и <71)> получим 80
(р)
=
др дд др дд
г) Здесь и в дальнейшем вместо символов, обозначающих локальные координаты
точек, употребляются часто символы, обозначающие сами точки.—Прим. перге.
§ 1. Билинейные дифференциалы и производящие ядра 75
Итак, выражение D.1.1) представляет собой симметричный билинейный диф-
дифференциал, не зависящий от выбора параметрических точек р0 и <7о- В точ-
точках р, находящихся в окрестности точки ц, справедливы следующие пред-
представления:
&Ядо (р) = — 1п [г (р) — г (9)] + регулярные члены D.1.3)
и
дрдд = [г{р)-г(Я)\
ЧЛеНЬЬ
В этих формулах г — локальная униформизирующая в окрестности точки ц
Рассмотрим теперь случай ориентируемой конечной римановой поверх-
поверхности ЭД1 с краем С. Дополнив поверхность $Щ до ее дубля $, можем рас-
рассматривать класс регулярно аналитических на поверхности % дифференциа-
дифференциалов. Этот класс имеет конечный базис, состоящий из О принадлежащих $
базисных дифференциалов первого рода. Желая построить содержательную
теорию функций на римановой поверхности 9К, мы должны ввести в рас-
рассмотрение более широкий класс дифференциалов, регулярных и аналитиче-
аналитических внутри поверхности Щ, но, быть может, даже не определенных на краю
поверхности Ш- Мы будем называть эти дифференциалы, имеющие суженную
область определения, «внутренними дифференциалами» на $Щ. Внутренние
дифференциалы с конечной нормой на Ш образуют гильбертово простран-
пространство М, которое будет в дальнейшем одним из основных объектов изучения.
Пусть § —дубль поверхности $Щ и 9^ (р) — принадлежащий § выше-
вышеупомянутый интеграл третьего рода. В теории гильбертова пространства М
основную роль играет билинейный дифференциал
(
симметричный относительно переменных р и ц. В точках р, близких к точ-
точке <7> он имеет разложение вида [см. D.1.4)]
, Я) = ^ [г (р)_1г (д)]2 + регулярные члены. D.1.5)'
Как дифференциал точки р на поверхности ЭДЬ -^м(р, ?) следует отличать
от дифференциала Ьм(р, я), всюду регулярного на поверхности 2# потому,
что двойной полюс последнего лежит внутри поверхности Ш- Очевидно,
дифференциал Ьм(р, ^) удовлетворяет закону симметрии
^м(р, <7) = ^м(<7, р). D.1.6)
Для дифференциала тре Ьм(р, <7) мы сейчас установим закон эрмитовской
симметрии:
Ьгл(р, 9) = (^м(9, р))"". DЛ.7)
Согласно формуле D.1.6), соотношение D.1.7) эквивалентно следующему:
- D.1.8)
Для доказательства соотношения D.1.8) воспользуемся тем фактом, что
дифференциал й& ~ (р) имеет на поверхности % чисто мнимые периоды.
Следовательно, выражение
представляет собой однозначную гармоническую функцию на поверхности
Особенности обоих членов взаимно уничтожаются как в точке д, так и в точ-
76 Гл. 4. Билинейные дифференциалы
ке д. Применяя принцип максимума к этой регулярной гармонической на
замкнутой римановой поверхности % функции, получим
D.1.9)
где постоянная С не зависит от точки р. Дифференцируя это тождество по
переменным ряд, найдем
Р*ЦЯ{Р) ^ (д29^1 (Р) \ ^ D.1.10)
дрдц \ дрдд I
В этой формуле в сопряженных точках должны быть использованы сопря-
сопряженные униформизирующие. Наконец, из формул D.1.5) и D.1.10) следует
формула D.1.8), что и доказывает эрмитовскую симметрию ядра Ьт(р,
Пусть р —точка края С поверхности $Щ. Так как Р — р> то справедливо
тождество '
Пользуясь законом D.1.8), получим
1-9л(р, <7)<*2 = (^м(р, Ф&Т* Р$с- "D.1.11)
Формулу D.1.11) можно интерпретировать следующим образом. Для любой за-
заданной точки д поверхности 9К можно найти пару дифференциалов, прини-
принимающих сопряженные значения на краю С. Один из этих дифференциалов
имеет двойной полюс в точке д, а другой регулярен всюду на поверхности
9#. Нетрудно видеть, что дифференциалы 1М (р, д) и 1м (/?, д) являются,
при фиксированной точке д, принадлежащими поверхности % сопряженными
дифференциалами относительно точки р (см. § 2 гл. 2).
Дифференциал Ьм(р, д) относительно точки р принадлежит гильберто-
гильбертову пространству М. В § 10 гл. 4 мы покажем, что он обладает производя-
производящим свойством
(Л/, и(р, ?))=-П<7) D.1.12)
для любого дифференциала й/^М и что, с другой стороны, справедливо
соотношение
D.1.13)
В формулах типа D.1.12) и D.1.13) следовало бы писать (^/, Ьм(р,
но для упрощения записи мы будем опускать символ йг. Каждый раз будет
ясно, по какой переменной производится интегрирование.
Для случая плоских областей билинейный дифференциал —/,м(р, д)
интенсивно изучался и получил наименование производящего ядра для
класса М (см. [2а, Ь, с, й], [За], [4], [6а], [11], [15], [18Ь, с]). Даже в этом
специальном случае было указано (см. [ЗЪ], [18Ь]), что введение ядра
Ьт(р, д) симметричным образом завершает теорию. Однако стало обычным
считать эти два ядра существенно различными, хотя теория дубля области
и показывает, что они суть единое целое!
В частном случае плоской области можно заменить абстрактные точки
р, д их координатами г и С. Рассмотрим внутренность круга |г|<г, дублем
которой является г-сфера, и
г = ^-. D.1.14)
2
Интеграл третьего рода на сфере имеет вид
-у У
СОП51,
§ 2, Функцаи Грина и Неймана 77
и, следовательно, для Ьм(р, ф мы получим выражение
^ • DЛ.15)
Вычислим дифференциал 1М (г, О, используя формулы D.1.14) и D.1.15),
Закон преобразования дифференциалов дает
Ьм(г,
Итак, используя С в качестве униформизирующей в точке С, получим
D.1.16)
•л (г2—
Для случая многосвязной области ЗК г-плоскости можно написать
+1(г, V, D.1.17)
где функция 1(г, С) регулярна и аналитична в области $Щ. Функция /(г,
играет важную роль в теории конформного отображения плоских областей
{см. [ЗЬ], [6а, Ь], [18Ь, й]). Представление D.1.17) возможно потому, что
каждая плоская область вложена, по определению, в комплексную плос-
плоскость (риманову сферу), и мы можем в этом случае выделить особенность
принадлежащего области $Щ рассматриваемого ^дифференциала посредством
вычитания ^дифференциала, принадлежащего сфере.
Теория логарифмического потенциала и аналитических функций в пло-
плоских областях существенным образом использует тот факт, что эти области
вложены в комплексную плоскость. Аналитически этот геометрический факт
сказывается в том, что элементарные особенности имеют логарифмический
и рациональный характер не только в окрестности этих особенностей, но и
в целом. Следовательно, главные части можно вычитать в целом, оставляя
функцию, регулярную всюду внутри области.
Вместо подобластей сферы мы будем рассматривать подобласти абстракт-
абстрактно заданной римановой поверхности 91. Это более общее понятие вложения
приводит к новым результатам даже в случае плоских областей (см. [19а, Ь]).
Мы представляем дифференциал на поверхности $Щ в виде суммы дифферен-
дифференциала с особенностями на Ш и внутреннего дифференциала на Ж. Например,
обозначим через Ьж(р, ф и с5?м(р, ^) билинейные дифференциалы для по-
поверхностей 5Щ и 95 соответственно. Тогда справедливо соотношение
D.1.18)
где /м(р> ?) — внутренний билинейный дифференциал на поверхности $Щ.
В этой главе внимание концентрируется на функционалах, принадле-
принадлежащих области, й, в частности, на элементарных особенностях, принадле-
принадлежащих заданной римановой поверхности. Сравнение функционалов двух
римановых поверхностей, одна из которых вложена в другую, будет пред-
предпринято в следующей главе.
§2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ГРИНА И НЕЙМАНА
Для области Ш комплексной г-плоскости функция Грина О (г9 С) опре-
определяется как однозначная гармоническая функция в $Ш> обращающаяся
в нуль на границе 5Ш и имеющая логарифмический полюс в точке и, так что
разность
О (г, С) - 1п ,-Ц
78 Гл. 4. Билинейные дифференциалы
«
остается регулярной в точке С Функция Неймана N (г,С ) (функция Грина
второго рода) имеет в С такой же логарифмический полюс, как и функция
Грина, и на границе области $Щ — постоянную нормальную производную.
Функция Грина единственным образом определена заданием области ЭДК
в то время как функция Неймана определена только с точностью до адди-
аддитивной действительной постоянной. Функция Грина является гармонической
функцией первого рода. С другой стороны, функция Неймана не является
гармонической функцией второго рода и даже не является конформным
инвариантом. Однако разность N (г, С) — N (г, Со) является таким инвариан-
инвариантом и гармонической функцией второго рода. Вследствие этого мы и будем
принимать в качестве функции Неймана области $Щ разность N (г, С) — Л/ (г, Со),
обозначая ее через N (г, С, Со)-
Обозначим сначала через 9К ориентируемую конечную риманову поверх-
поверхность рода к (к ручек первого рода) с т компонентами края (т > 0). Дубль
поверхности Ш имеет в этом случае род 0 = 2к-\~т— 1. Обозначим через
(р) принадлежащий поверхности § интеграл третьего рода, нормирован-
нормированный тем условием, что действительные части его периодов обращаются в нуль.
Функция Грина О(р, д) поверхности $Щ определяется формулой ([19а, Ь])
4й^ D.2.1)
Заметим, что всегда имеет место соотношение
где число С не зависит от р при произвольно фиксированных точках ц и %
Действительно, эта комбинация интегралов третьего рода регулярна на всей
поверхности, так как, по определению функций 2, их полюсы взаимно
уничтожаются. Кроме того, так как действительные части обоих членов
однозначны, то действительная часть суммы представляет собой ограничен-
ограниченную регулярную гармоническую функцию на замкнутой поверхности и являет-
является, следовательно, постоянной. Итак, используя соотношение D.1.9), получим
,? ^ ^= -Bч7(р)Г+с2, D.2.2)
где числа с± и с2 не зависят от точки р. Следовательно,
6(р, ?) = Ке {9 ~ (/>)} +с3
и функция 1т О точки р является постоянной. На краю С поверхности 9#
имеем р = р и, следовательно, функция О(р, ^) обращается в нуль для
р^С. Значит, 1тС = 0 по р и ^« Так как по закону перестановки аргу-
аргумента и параметра имеем
О(р, <7) = О(?, р), D.2.3)
то
О(Р, <7) = 0 D.2.4)
всякий раз, когда какая-либо из точек р или ^ находится на краю С по-
поверхности 2#. Следующее представление справедливо, когда р находится
в окрестности внутренней точки д поверхности
О(ру 9) = 1п |з(р)_2(<у)| + регулярные члены, D.2.5)
где г — униформизирующая в окрестности точки ^- Итак, функция О обла-
обладает теми же свойствами, что и функция Грина плоской области. Отметим,
что
О(~Р, д)= -С(р, д), О(р, д)= -О(р, д). D.2.6)
§ 2, Функции Грина и Неймана 79
Функция Неймана поверхности $Щ определяется формулой
N (р, Я, Яо) = у №щ (Р) + 2Ъ~ &> + ^"о (~Р) + 2~„~ (Р)Ь D-2-7)
Функция 1тЛ/, рассматриваемая как функция точки ру постоянна согласно
соотношению D.1.9). Так как функция &ддо(р) была определена формулой
C.1.25) только с точностью до аддитивной постоянной с(ду до)у то послед-
последнюю можно определить таким образом, чтобы 1т N = 0. Имеем
> Ч> <7о)> ^(Р> <7> Чо) = м(Р> Ч> <7о)- D-2-8)
Следовательно, если через 2 = л; + и/ обозначим граничную униформизирую-
щую, то
дМ (р д, д0) = •
на краю С поверхности 5Ш. Другими словами, нормальная производная функ-
функции N обращается в нуль на краю С. Обозначим через г и г0 униформизи-
рующие соответственно в точках д и <7о- Тогда
> <70) = 1п | г (р)-г (^) 1 + РегУляРные члены,
D.2.10)
> Я> Чо) = 1п 12о (Р) - го (Чо) I + регулярные члены
для точек /?, находящихся в окрестности точек ц и % соответственно. На-
Наконец, справедлив следующий закон перестановки аргумента и параметра:
> Ч> Чо) = Ы(Ч> Р> Ро)~М(Чо> Р> Ро)- D.2.11)
Следует заметить, что функция N (р, цу ^о) определена только с точностью
до аддитивной действительной постоянной с(ду <7о)- Однако комбинация,
фигурирующая в формуле D.2.11), является единственным образом опреде-
определенной действительной /функцией на поверхности $.
Выражения '
д*{М(р, д, до)-Ы(рО1 д, до)}^д*Ы(р, д, д0) и дЮ (р, д)
^ и
др Од др дд др
аналитичны всюду на поверхности $ (кроме очевидных особенностей). Из
формул D.2.1) и D.2.7) имеем
д*а(р,д) _ 1
брдд * 2
д*Ы (р, д, д0) _
Следовательно, разность •
Р а^7 (Р)
дрдд дрдд
является всюду конечным на дубле $ билинейным дифференциалом. Согласно
формуле D.1.2) дифференциал X (ру ^) не зависит от выбора точки 9о и в своей
зависимости от точки р является дифференциалом первого рода:
где с121У (И2у .. ., д,Ъ<з — комплексный базис дифференциалов первого рода на
поверхности §• Так как \(ру д) ='К(ду р) (точнее \(р, )йК \( )^й)
Гл. 4. Билинейные дифференциалы
то
- <4-2-|6>
Пусть точки р1У р2, . .., ро поверхности УЛ выбраны таким образом, что
определитель
^ (Рк)
не обращается в нуль. Очевидно, такой выбор возможен вследствие линейной
независимости дифференциалов Л1^ (см. [5]). Решая систему уравнений
2 ^ УР) /г 1 ^, .. ., а,
для неизвестных у^ (^) получим следующие выражения (множитель тс/2 вве-
введен для удобства дальнейших рассуждений):
Я ^ V (^) / 4 О « *7\
= у 2 с^ —д^-• D-2.17)
Подставляя выражения D.2.17) в формулу D.2.15), получим
ЧР.<7)=-Т 2 с^—^ 2^—. D.2.18)
V., V— I
Так как X (р, ^) = Х (</, р), то /
Принимая во внимание формулу D.2.13), видим, что выражение
др дд
не зависит от выбора ^0- Следовательно, здесь можно заменить точку д0 точ-
кой <7о- Используя формулы D.2.6) и D.2.8), получим
'
др дд др дд ' др дд др дд
Итак,
(р, д, д0) гс ^ ^ (Р)
дрдд дрдд А ^ аР йд
Так как функции О и N действительны, то
Из соотношений D.2.19) получим
Иными словами, коэффициенты с^ действительны. Пользуясь формулами
<4.2.14), D.2.18) и D.2.20), получим
дЮ(р,д) _д2Ы(р,д,д0) . тг
дрдц ^ 2
*9 У=10 ^ D.2.22)
п у ^ () ^ ()
2
0
дЮ (р, д) = ^А/ (Р> д, д0) п у ^ ^ (р)
^ др дд 2
=
§ 2, Функции Грина и Неймана 81
Формулы D.2.22) устанавливают связь между функциями Грина и Ней-
Неймана; если одна из этих основных функций известна, то другая может быть
легко вычислена с помощью интегралов первого рода. Следовательно, гранич-
граничные задачи первого и второго рода для уравнения Лапласа оказываются
эквивалентными. Этот факт является следствием дифференциальных уравне-
уравнений Коши —Римана, в силу которых первая граничная задача для гармони-
гармонической функции эквивалентна второй граничной задаче для сопряженной
гармонической функции.
Функция Грина 0{р, #) ориентируемой поверхности с краем симметрична
относительно ее двух аргументов и антисимметрична относительно сопря-
сопряженных точек дубля. Она обладает, следовательно, двумя типами симметрии.
В случае замкнутой ориентируемой поверхности один из этих двух типов
симметрии отсутствует; остается симметрия, возникающая из закона пере-
перестановки аргумента и параметра. Итак, в случае замкнутой ориентируемой
поверхности, хотя функция Грина в строгом смысле этого слова и не суще-
существует, может быть введена некоторая функция, обладающая симметрией
по аргументу и параметру и являющаяся аналогом функции Грина. Действи-
Действительно, если поверхность *Щ замкнута и ориентируема, то обозначим через р0
и <7о некоторые ее фиксированные точки и положим
V(р, р0; ?, <70) = Ке {9дЯо (р)- 9„о (р0)}. D.2.23)
Пользуясь законом перестановки аргумента и параметра, получим
У(Р> /V. Я>%) = У(Ч>9о', Р>Ро)- D.2.24)
Справедливы также следующие соотношения:
D 2 24)'
Функция У(р9рои, ц* <7о) обладает, следовательно, такими же свойствами сим-
симметрии, как риманов тензор кривизны. Для установления аналогий нам будет
полезно распространить определение функции V на тот случай, когда один
или Несколько из ее аргументов лежат на сопряженной поверхности $0}.
Мы полагаем
= —У(Р> Ро; Ч> <7о)- D.2.24)*
Подобные соотношения для других аргументов вытекают из формул D.2.24)
и D.2.24L
Функцию V(р, ро\ ц, #о)> имея в виду ее формальную аналогию с функ-
функцией Грина, мы будем также называть функцией Грина замкнутой ориенти-
ориентируемой поверхности $ЦЬ Более того, там, где роль параметрических точек
, <7о несущественна, мы будем писать
= У(р, ро; 9> Яо)> D.2.25)
предполагая при этом, что при перестановке точек р и ^ переставляются
также и точки р0 и <70- Итак,
О(р,д) = О(д,р). D.2.26)
Из формулы D.2.24)" вытекает, что
О(р,д)=-О(р,д). D.2.26)'
Следует помнить об особом поведении функции Грина при приближении то-
точек рад соответственно к точкам д0 и р0. Следующая электрическая
аналогия будет в этой связи полезной. Дубль $ поверхности Ш
несвязен и состоит из двух компонентов 2К и 2К. Проделаем вокруг точек
6 Заказ № 634
82 Г л, 4. Билинейные дифференциалы
и 9о^9Л пару небольших отверстий и соединим эти отверстия тонкой
трубкой. Представим себе, что электрический заряд, равный +1» помещен
в точку ^ и электрический заряд, равный — 1, помещен в точку ц. Так как
все силовые линии, исходящие из точки ц, должны пройти по трубке, то
устье трубки в точке <7о будет подобно отрицательному заряду. Если обо-
обозначить через 0*{р, я) функцию Грина поверхности 5Щ*, получаемой из по-
поверхности Ш посредством вырезания отверстия вокруг точки ^0, то, как мы
покажем в § 4 гл. 7, будет выполняться следующее предельное равенство:
\ Я>Яг)> D.2.27)
когда отверстие стягивается к точке <70. В формуле D.2.27) через цх обозна-
обозначена произвольная параметрическая точка. Таким образом, выбор функции
У(р9ро\ Я> Яо) в качестве функции Грина оправдан как математически, так
и физически. /
В случае замкнутой ориентируемой поверхности (т + с = 0) мы полагаем
функцию Неймана равной функции Грина, когда обе точки р, ц лежат на
поверхности Ш или на поверхности $Щ, и равной функции Грина со знаком
минус, когда /?6 9Л> Я€Ш или р€ЯЛ> Я^Ш- Итак, мы полагаем
D.2.28)
и добавляем условие симметрии
, д0). D.2.29)
Остается определить функцию Грина для неориентируемых поверхностей.
Так как любая неориентируемая поверхность, будь то с краем или замкну-
замкнутая, имеет связный замкнутый ориентируемый дубль, то функцию Грина
неориентируемой конечной поверхности можно определить при помощи фор-
формулы D.2.1). Однако на неориентируемой поверхности 9К имеются замкнутые
внутренние пути, такие, что каждый из двух лежащих над любым из них
путей дубля ^ соединяет сопряженные точки. Это означает, что на каждом
таком замкнутом пути (вдоль которого ориентация меняется) функция Грина,
определенная формулой D.2.1), будет менять знак. Напротив, функция Ней-
Неймана, определенная формулой D.2.7), остается однозначной.
Во многих отношениях желательно дать определение однозначной функ-
функции Грина С3 (р, 9) для неориентируемых поверхностей. В случае замкнутой
неориентируемой поверхности не существует никакой однозначной функции
Грина О3 (р, д) с единственным полюсом в точке щ. Действительно, для такой
функции должно было бы выполняться равенство О8 (/?, ц) = О3 (р, ^). Но тогда
функция 03 (/?, 9) имела бы два полюса, каждый из них с вычетом +1, на
замкнутом ориентируемом дубле, что невозможно. Если положить, что одно-
однозначная функция Грина имеет полюсы в точках ц и д0, то она совпадет с
функцией Неймана D.2.7). Эту функцию мы и примем в качестве однозначной
функции Грина для замкнутой неориентируемой поверхности.
Если неориентируемая поверхность Щ имеет край, то обозначим через
ее двулистное ориентируемое покрытие (см. § 2 гл. 2). Род поверхности
равен 2А + с — 1, и дубль поверхности $Щ получается при идентификации двух
краевых точек поверхности 91, лежащих над каждой краевой точкой поверх-
поверхности 5Щ. Число компонентов края поверхности 91 равно 2т, где т — число
компонентов края поверхности ЭДЬ Если вместо идентификации соответствую-
соответствующих контуров края поверхности 91 мы построим обычным путем дубль по-
поверхности 91, то получим четырехлистное покрытие О* поверхности 5Щ. Род
этого покрытия О, равен АН,-\-2с-\-2т — 3. Обозначим через р, р две точки
поверхности 91, лежащие над ^некоторой точкой поверхности ЗК, и через
§ 3. Дифференциалы 1-го рода и функция Грина 83
р, р их сопряженные точки на дубле О поверхности %1. Ясно, что
р = ~р. D.2.30)
Следовательно, над некоторой точкой поверхности Ш лежат следующие че-
четыре точки четырехлистной поверхности О: р, /?, р = р и р.
Пользуясь четырехлистной поверхностью наложения О, определим одно-
однозначную функцию Грина О8 (р, д) формулой
(Р, Я) = |{®п (Р) + ®~~ (Р) - 2„- (Р) - 2~~ (Р)
Ср) + ^?~ (р) -
Здесь символы О обозначают интегралы третьего рода на четырехлистной
поверхности наложения с чисто мнимыми периодами. Справедливы соотноше-
соотношения
( }
Пусть Ох —функция Грина для поверхности 31. Так как точки #> <7 яв-
являются сопряженными точками дубля поверхности 5Л, то
х (Р, 7) = | ^ (Р) - 2,? (Р)}- D-2.33)
Благодаря симметрии
О D.2.34)
Ясно, что
(р, <7) = у {°1 (Р. 0) + °1 (Р» Й + О± (Р. ?) + Ох (р, 5)} -
/ ~ D.2.35)
! (Р, )
Мы видим, что функция Грина D.2.1) поверхности 5Щ имеет вид
D.2.36)
Действительно, разность левой и правой частей равенства D.2.36) является
й й фй (
()
регулярной гармонической функцией точки р (при фиксированной точке
обращающейся в нуль на краю поверхности ЭДЬ
Функцию Неймана для неориентируемой поверхности 2К определим по-
посредством формулы D.2.7). Вследствие свойства симметрии эта функция одно-
значна на $
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ПЕРВОГО РОДА, ОПРЕДЕЛЕННЫЕ
ПРИ ПОМОЩИ ФУНКЦИИ ГРИНА
В гл. 3 мы определили базисные дифференциалы <12 замкнутой ориен-
ориентируемой поверхности, размещая вершины вдоль циклов базы гомологии.
Именно, мы строили сначала дифференциалы, имеющие полюсы с вычетами
+ 1, —1 в вершинах 1-симплексов. Складывая дифференциалы, принадле-
принадлежащие 1-симплексам 1-цикла, мы получили дифференциалы первого рода,
Если производить подобную интерполяцию вдоль цикла а, используя диф-
дифференциалы, построенные при помощи функции Грина, то в случае ориенти-
ориентируемой поверхности с краем симметрия функции Грина обеспечивает одновре-
б*
84 Гл. 4. Билинейные дифференциалы
менную интерполяцию вдоль сопряженного цикла а дубля. Тагая интерполя-
интерполяция при помощи функции Грина позволяет получить дифференциалы, прини-
принимающие сопряженные значения в сопряженных точках, т. е. принадлежащие
исходной поверхности дифференциалы. Произведя такую интерполяцию вдоль
каждого из С циклов базы гомологии Кх, /С2> • • • > Ко (О = 2Л + т — 1), получим
в случае замкнутой ориентируемой поверхности дифференциалы, совпадающие
с дифференциалами йЪ^, определенными в гл. 3.
Неориентируемые поверхности отличаются от ориентируемых в том
отношении, что они не вложены в свои дубли; однако принадлежащий такой
поверхности дифференциал все же принимает сопряженные значения в сопря-
сопряженных точках дубля. Не обращаясь к понятию дубля, мы должны потре-
потребовать (см. § 2 гл. 2), чтобы эти дифференциалы оставались инвариантными
при конформных преобразованиях первого рода локального параметра и чтобы
они принимали комплексно сопряженные значения при конформных преобра-
преобразованиях второго рода. Это требование вынуждает нас при интерполировании
пользоваться дифференциалами, построенными при помощи функции Грина
D.2.33). Принадлежащие неориентируемой поверхности дифференциалы
первого рода определены только на циклах группы Бетти, имеющей О про-
производящих @ — 2Н-\-с-\-т— 1). При т = 0 имеется только один коэффициент
зацепления, имеющий значение 2; при т > 0 не существует коэффициентов
зацепления (те циклы, которые, будучи взяты с кратностью 2, были сцеплены
на замкнутой поверхности, теперь гомологичны сумме т контуров края).
Итак, мы интерполируем вдоль О циклов К±, К2, • ••, Ко базы Бетти,
используя функцию Грина D.2.33). На дубле циклам К^ соответствуют
замкнутые кривые.
Во всех случаях мы полагаем \
*{ ^У аР, D.3.1)
ли
В этих формулах символ д/дп обозначает дифференцирование по направле-
направлению нормали, направленной влево по отношению к ориентированному циклу /Сц.
Здесь мы использовали тот факт, что
дП
р
Обозначим через Г(р, д) аналитическую функцию точки р, действительной
частью которой является функция Грина О(р, д). Для последующего заметим,
что, согласно формуле D.3.1)',
Р(с1Т, /Сц)=^ ат=-2ш-1тп2]>(д). D.3.3)
Итак, в случае неориентируемой поверхности из формул D.2.34), D.2.35)
и D.3Л) получим
1т 2ц (?) = 1т 1^' (?) - 1т 1^ (д),
где
§ 3. Дифференциалы 1-го рода и функция Грина 85
Обозначая через Т8 (р, д) аналитическую функцию, действительной частью
которой является функция Грина 03(рУ 9)> аналогично получим
Р (ОГ8, К») = \ ОГ8 = - 2*с/{1т 2<!) (?) + 1т 4° (?)} =
к,,
= - 2те* {1т 4'} (•?) - 1т 2^" (?)}. D.3.6)
Наконец,
4
= — т- \ ( 30 —^г-йр ) =
др д<7
Итак,
D.3.7)
и, следовательно, дифференциалы д,Ъ^ принадлежат поверхности Щ (§ 2 гл. 2).
Заметим, что
D.3.8)
где через К^ обозначены циклы дубля, сопряженные циклам /Сц.
На ориентируемой поверхности Ш с краем мы выбираем каноническую
базу К1У К2у ..., Ко у удовлетворяющую следующим двум условиям:
A). Циклы /С1, К%у ..., /Сгл—1 принадлежат разбиению 5 дубля, а циклы
К2у К%у ..., Кчк — двойственному разбиению * 5. Каждый из остальных
циклов /Сгл-н» •••» Кчк+т—х гомологичен некоторому контуру края.
(И). Для 1 < р, V < 2А имееЦ / {Кч\х-\, /Сг^) = 1, / (/Сг^ 1» К^) =• 0 (р< # V),
/(/Bц-ь /С27—0 = 0, I{К<2\1у К2ч) = Ъ- Циклы /Сгл+ь •••» Кчк+т—\ назовем
граничными циклами.
Как мы видели в гл. 3, для произвольного дифференциала дхю первого
рода на замкнутой ориентируемой поверхности справедливо соотношение
К Аи, ^)= -Р(ахя), К»)= - \ Ош. D.3.9)
I
Эта формула немедленно распространяется на ориентируемые поверхности
с краем и остается справедливой для внутренних дифференциалов с конечной
нормой (пространство М). Достаточно доказать справедливость формулы D.3.9)
для внутренних дифференциалов, регулярных на замыкании поверхности Щ.
Если цикл Ку. не является граничным циклом, то функция 1т 2^ на всем краю
обращается в нуль и доказательство проводится так же, как и в случае
замкнутой ориентируемой поверхности. Если К^ — граничный цикл, то можно
считать его совпадающим с одним из компонентов края. Тогда функция 1т 2^
однозначна внутри поверхности и обращается в нуль на всех контурах края,
кроме контура /С^, где ^2^=1. Следовательно,
^) = — \ 1т 2^ -йш = — \ йхю.
Как и в гл. 3, обозначим
^ ^- D.3.10)
Тогда Г11У = A\11)- и
/)- D.3.11)
86 Гл. 4. Билинейные дифференциалы
Если ЗК — неориентируемая поверхность, то обозначим через 91 ее дву-
двулистное ориентируемое покрытие, имеющее 2т контуров края (т>0). Кано-
Каноническая база Кг* /Со» •••» Ко поверхности $Щ будет содержать по одному
циклу из каждой пары двойственных циклов поверхности 5Л; т из этих
циклов будут граничными циклами поверхности 31.
Хотя в случае неориентируемой поверхности $Щ скалярное произведение
(йхюу <1Ъу) и не определено, но величина
D.3.12)
все же определена единственным образом. Мы предполагаем, что каждый
дифференциал Лт остается инвариантным при конформных преобразованиях
первого рода и переходит в комплексно сопряженный при конформных пре-
преобразованиях второго рода. Дифференциалы йш^ определенные внутри Щу
не только являются дифференциалами в обычном смысле внутри двулист-
двулистного ориентируемого покрытия У1 поверхности 9К, но и принимают сопря-
сопряженные значения в сопряженных точках 91. В частности, пространство М
внутренних дифференциалов поверхности Ш совпадает с пространством тех
внутренних дифференциалов покрытия 91, которые имеют конечные нормы
и принимают сопряженные значения в сопряженных точках УЬ. Справедливо
равенство
К{(й й2)} (й ^) D.3.13)
где индекс 91 обозначает, что скалярное произведение распространено на все
покрытие 91. Если К^ не является граничным циклом, то
1 Г Г
—~ у г] то) — Т\ р \
2 3 .)
Если же /у^ — граничный цикл и дифференциал йхю регулярен на краю, то
= ~~2\
\
Итак,
[йгю, (Иу\— — Ке{Р(с(оу, /С^.)} = — Ке \ йхю. D.3.14)
Обозначим
\й1^ й2^\ = 1\^ D.3.15)
Тогда Г^ = Г711 и
1тГ^ = /(/С^ ^) = 0. D.3.16)
Для упрощения обозначений мы будем писать в дальнейшем (йш, с12[Х) вместо
[йы)у АЪу\, понимая под скалярным произведением для неориентируемой поверх-
поверхности половину скалярного произведения, распространенного на все покры-
покрытие 91.
§ 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ПЕРВОГО РОДА, ОПРЕДЕЛЕННЫЕ
ПРИ ПОМОЩИ ФУНКЦИИ НЕЙМАНА
По соображениям симметрии мы введем также дифференциалы, построен-
построенные при помощи функции Неймана D.2.7). Рассуждения будут вполне ана-
логцчны тем, которые мы провели в предыдущем параграфе, положив
в основу функцию Грина. Полагаем
(!
§ 4. Дифференциалы 1-го рода и функция Неймана 87
или
др
Из формулы D.4.2) усматриваем, что 2* (</)еееО, если К^ — граничный цикл.
Вследствие этого имеется 2Н дифференциалов D.4.1), если поверхность
ориентируема, и 2Н + с—\ в других случаях.
Имеем
7*'(п\ <7*'<п\\-- 2 ^ ( д*М(Р> Ч> Яо)
2, (д) = B, (д)) - -- ^ ^
тс ^ ^п дд ^ ^^7 •>
Соотношение
2* (д) = ~ аг; (д) D.4.3)
показывает, что дифференциал М2* принадлежит поверхности $Щ. Имеем также
Формулы D.4.4) и D.4.3) показывают еще раз, что 2*'(<7) = 0 для граничных
циклов, так как в этом случае мы можем предположить, что К^ =/С,1.
Положим
(я)=т № (д)+К' (9I V - 4- ^ дЧ0{р'%;д^е1'^] аР. D.4.5)
Из формул D.3.7), D.3.8), D.4.3) и D.4.4) получим
Л/ ( гл п п \Л
D.4.6)
По свойству симметрии,
д2 [О (р, д) —
Следовательно,
- D.4.7)
Г"
и
^<т»-Ш~. D.4.8)
Дифференциалы И^^ (^) являются нормированными дифференциалами первого
рода на замкнутом ориентируемом дубле. Действительно, функция Грина
V (р, р0; д, д0) замкнутой поверхности, определенная в § 2 гл. 4, удовле-
удовлетворяет соотношению
** др дд др дд
Следовательно, определенные формулой D.4.5) дифференциалы УР^д) совпа-
совпадают с дифференциалами 2,1 (д), 9пределенными формулой D.3.1) для циклов
дубля.
Г л, 4, Билинейные дифференциалы
Если поверхность замкнута и ориентируема, то из формулы D.4.6)'
и определений § 2 гл. 4 видно, что
. D.4.9)
г"
Из формул D.4.7) и D.4.8) в этом случае получим
D.4.10)
= Ш*. D.4.11)
Обращение в нуль дифференциала (Ш~ в нашем случае является выраже-
выражением несвязности дубля.
§ 5. МАТРИЦЫ ПЕРИОДОВ
Пусть 9К — ориентируемая поверхность с краем и х19 х2> ..., хо — про-
произвольные комплексные числа. Согласно формуле D.3.10), неравенство
о о _
*) = 2 Г^х*х^ > 0 D.5.
1
не выполняется только тогда, когда
о
2 х*A2*=0. D.5.2)
Из тождества D.5.2) вытекает, что
с
2 х*Ы2*(р) = Г(р), D.5.3)
1
где ^(^ — аналитическая функция точки р. Так как функция Р(р) постоянна
на каждом контуре края поверхности $Щ, то она тождественно постоянна на
всей поверхности 5Щ. Соотношение D.5.3) можно, следовательно, распро-
распространить на весь дубль §. Вычисляя приращения функции D.5.3) при обходе
циклов /Сц, найдем, что ху = 0 для V = 1, 2, ..., 2/г. Для V = 2Н-\-1, . .., О
имеем, согласно формуле D,4.7), 1т 2^ = 21т№^ (с точностью до аддитивной
постоянной). Применяя то же рассуждение к дублю §г (вместо поверх-
поверхности Ш), получим, что Хч = 0 для V = 2А+ 1| ..., О. Итак, неравенство
с _
2 Ги^.Л > 0 D.5.4)
не выполняется только тогда, когда хх = х2 = ... = Хо = 0. Матрица
будет, следовательно, неособенной, равно как и ее главные подматрицы
II Г*!! *у||» I1» у— 1» 2, ..., /г, 1<я<0. Итак, дифференциалы A2* (^= 1, 2, ..., О)
являются действительным базисом принадлежащих Ш всюду конечных диф-
дифференциалов и комплексным базисом принадлежащих дублю $ таких же
дифференциалов.
Пусть теперь 9К — неориентируемая поверхность и х19 х2, ..., х0 — дей-
действительные числа. Неравенство
о о
N B х^аг*) = 2 г^^^ > о D.5.5)
1 1
не выполняется только тогда, когда
о
2 х*а2* = 0. D.5.6)
1
§ 6. Соотношения между функциями Грина и Неймана
Из последней формулы следует, что
о
2 Х\х. 1т 2^ = сопз! D.5.7>
ц = 1
на дубле. Как и выше, находим, что неравенство D.5.5) не выполняется-
только тогда, когда хг = х2 = ... = д;с = 0.
Во всех трех случаях (замкнутая ориентируемая, ориентируемая с краем,
неориентируемая поверхность $Щ) матрица ЦКеГ^Ц будет неособенной. В слу-
случае т + с>0 то же заключение справедливо для матрицы ЦГ^Ц. Если
поверхность неориентируема, то 1т 1^ = 0.
§ 6. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ
ГРИНА И НЕЙМАНА
»
Если т + с>0, то поверхность имеет функцию Грина D.2.1) и функ-
функцию Неймана D.2.7), которые связаны между собой соотношением
с
д*О(Р,д)_д*М(р,д,д0) к ^ 7'(п\7'(п\ D 6
где коэффициенты с^ действительны и с1Х7 = с71Х. Эта формула была уста-
установлена для случая т>0, с = 0; однако доказательство остается таким же
и в случае с > 0. Вычислим теперь коэффициенты с^. Из формул D.4.6)
и D.4.6)' получим
о
1
7=1
а D.6.2)
2 с^Р D2», К.) Ц (Я).
Складывая равенства D.6.2) и используя форму л у D^4.7), получим
~ У, с^ КеГ^г; (9). D.6.с>
1
Так как дифференциалы 2у(д) линейно независимы, то
о
а = оVо.
Вычитая из первого уравнения D.6.2) второе и используя формулу
D.4.8), найдем
о
2?'(<7) = * 2 с]^1т{Р(а2],9К9)}2^(дУ D.6.5)
IX, 7= 1
Дифференциалы \^р(^) совпадают с дифференциалами 2р(?) для замкнутого
ориентируемого дубля, и, следовательно,
1тР (<ЯРР, /Св) = / (/Са, /СР). D.6.6)
Из формулы D.4.7) получим
1т Р (аг^, Ко) = 1т Р (Ш^ + ^П7~,
* КД если с = ,
D.6.7)
90 Гл. 4. Билинейные дифференциалы
Подставляя выражения D.6.7) в формулу D.6.5), получим
2Н
2 с^1 (/Са, /Ср.) 2^(д) для с = 0, т > 0,
2Л+С-1 D.6.8)
для с > 0.
Заметим, что 2% (у) = 0 для а > 2Л. при с = 0и для а > 2й + с — 1 при с > 0.
§ 7. КАНОНИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖАЮЩИЕ ФУНКЦИИ
Принцип униформизации для конечных римановых поверхностей рода нуль
утверждает, что такая поверхность Щ может быть отображена конформно
на Подобласть замкнутой до-плоскости, граница которой состоит из т прямо-
прямолинейных сегментов, параллельных действительной до-оси (гильбертова кано-
каноническая область). Если род поверхности $Щ больше нуля, то отображение
такого рода на подобласть замкнутой плоскости (сферы) невозможно по топо-
топологическим причинам. Однако в гл. 2 было показано, что гильбертова область
с параллельными разрезами имеет аналог для поверхностей высших родов;
в этом случае в дополнение к граничным разрезам появляется конечное число
разрезов другого рода, края которых подходящим образом идентифицируются
так, чтобы результирующая область имела требуемый род.
Напомним, как конструируется отображающая функция. Пусть $ — дубль
поверхности $Щ и ия =Иляг — однозначная гармоническая на $ функция, име-
имеющая рсобенность типа диполя в точке ц поверхности Щ,\ функция иA такова,
что/разность
D.7.1)
является регулярной гармонической функцией в окрестности ц и обращается
в нуль в самой точке ц. В формуле D.7.1) через С обозначена специальная уни-
формизирующая в ц, для которой ^(д) = 0. Функция иа определена этими
условиями единственным образом. Пусть и- =±= и-^ — аналогичная гармоническая
функция с особенностью типа диполя в сопряженной точке ц поверхности
определенная при помощи униформизирующей С в точке д. Тогда
Обозначив
и*ч(р) = иа(р) + и~(р), D.7.3)
отметим, что
ф D.7.4)
Итак, нормальная производная гармонической функции и* второго рода на
поверхности $Щ обращается в нуль на краюЗК; из уравнений Коши — Ри-
мана следует, что ее сопряженная функция V имеет постоянное значение на
каждом компоненте края. Обозначим аналитическую функцию, действитель-
действительной частью которой является функция и^ через /^. Тогда, очевидно,
(Р) = (<*/, (Р)Г- D-7.5)
Дифференциал й^ имеет чисто мнимые периоды. Так как дифференциал а
действителен на краю поверхности 9Л, то для любого компонента края
С (V = 1, 2, ..., т) справедливо соотношение
D.7.6)
§ 7. Канонические отображающие функции 91
Итак, произвольная функция /^ с вышеуказанными свойствами отображает
компонент С\, на некоторый конечный прямолинейный сегмент, параллельный
действительной оси плоскости переменной /г Кроме того, каждому выбору
униформизирующей С, соответствует своя функция с вышеуказанными свой-
свойствами. Все возможные функции /д можно построить из двух функций:
Функция
(Р) = «7*. « (Р) D-7-7)
отображает компоненты Су края поверхности $Щ на разрезы, параллельные
мнимой оси, и имеет однозначную мнимую часть. Вообще, функция
D.7.8)
где 6 — действительное число, отображает на область с разрезами, параллель-
параллельными направлению е1*. Положим
С08 8я1)>
Функция /о отображает компонент края С\, на разрез, параллельный направ-
направлению е1В, а функция §в —на разрез, параллельный направлению 1в1в. Ясно, что
и + 8я'* = Н + 8*. D-7.10)
Так как функция
г е/ес - (}дг соз 6 - /^ з1п 6)}
всюду регулярна и однозначна на дубле ^, то из принципа максимума для
гармонических функций следует, что она тождественно равна постоянной.
Итак (быть может, с точностью до постоянной),
в +/^/с з1п в) =/е ч , D.7 Л
(см. [8]).
Любая функция вида
| D-7.12)
отображает компонент Су края поверхности Ш на кривую, которая с прямой
любого направления имеет не более двух точек пересечения (см. 4.7.10).
Следовательно, функция D.7.12) отображает каждый компонент С\, на выпук-
выпуклую кривую без двойных точек. В том случае, когда род поверхности $Щ
равен нулю, можно доказать, что отображение D.7.12) однолистно (см. [6а],
[18а]). Если род больше нуля, то отображение не может быть однолистным по
топологическим причинам.
Обозначим через С = $ + щ униформизирующую в точке <7» Для которой
Тогда функция ^
является однозначной гармонической функцией точки р на дубле $. Когда
точка р находится вблизи точки д, переменная С может быть выбрана в ка-
качестве локальной координаты точки р. В окрестности точки д справедливо
выражение
^(р) = ^е(у) + регулярные члены.
Аналогичное выражение можно написать для точек р, находящихся в окрест-
окрестности точки д. Если г — х + щ — граничная униформизирующая поверхности
92 Гл. 4. Билинейные дифференциалы
то на краю, как легко видеть,
ду
Пусть
— аналитическая функция с действительной частью иЧр). Так как функция
Ке{/^(р) — ^: (р)} однозначна и регулярна на дубле %, то она равна посто-
постоянной. Следовательно (быть может, с точностью до постоянной),
Иными словами,
> <7> Яг)
И
Ке /,. к (р) = ™ (у ■ ^ . D.7.14)
И гак,
.дЫ{рудуд1)
=г 2 аДГ^> ^ ^^ D 7
Ке ^ (Р) -»Ке и к (р) = - 2 ^ ^- ^> • D.7.15)'
и
Ке /,; (р) +11т ^ (р) = - 2 ^(^' 91> , D.7.16)
Ке/?: (р)-11т^, (р) = - 2 аУУ (р'я' ^ . D.7.16)'
Обозначим через 2 = х + /у униформизирующую в точке р. Дифференцируя
равенства D.7.16) и D.7.16)' по переменной р и замечая, что
получим
: (Р)
(р) ^ (р)
Формулы D.7.13), D.7.14), D.7.18) и D.7.18)' указывают на тесную
связь, существующую между каноническими отображающими функциями
и функцией Неймана. Это и понятно, так как канонические функции имеют
постоянную мнимую часть на каждом компоненте края поверхности Щу
а значит, и действительную часть с равной нулю нормальной производной.
§ 8. Классы дифференциалов 93
§ 8. КЛАССЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
Обозначим через К^ (р= 1, 2, ... , О) каноническую базу 1-циклов,
описанную в § 3 гл. 4, и через М гильбертово пространство дифферен-
дифференциалов й$у регулярных во всех внутренних точках поверхности ЗК и имею-
имеющих над Щ конечные нормы. Если поверхность $Щ неориентируема, то диф-
дифференциалы должны принимать, кроме того, сопряженные значения при кон-
конформных преобразованиях второго рода униформизирующей.
Обозначим, далее, через РA19 12> ••• » *п) подкласс класса М, состоящий
из дифференциалов й/, удовлетворяющих условиям
(с//, 42^) = 0, 11=1, 2, ... , л, п<0. D.8.1)
Наименьшим из этих подклассов будет подкласс РA, 2, ... , О); его мы обо-
обозначим через 3.
Сначала докажем следующую лемму:
Лемма 4.8.1. Если какой-либо принадлежащий дублю $ дифференциал
первого рода принадлежит классу 5, то он тождественно равен нулю.
Лемма очевидна, если поверхность 9К замкнута и ориентируема. Если
это не так, то обозначим через йхю1У йхю2, ... , йхю<з некоторый базис прина-
принадлежащих дублю § ВСЮДУ конечных дифференциалов (дифференциалов пер-
первого рода). Так как дифференциалы с1щ, йхю2, ... , йхю<з линейно независимы,
то можно ортонормировать их над 5Щ посредством процесса Грамма— Шмидта.
Можно, следовательно, предположить, что
при р., V— 1, 2, ... , О. D.8.2)
Каждый принадлежащий дублю $ дифференциал йхю первого рода может
быть представлен в форме
Если периоды этого дифференциала равны нулю, то ^7
(йхю, аг[Х) = О, {1 = 1, 2, ... Л?. D,8.3)
Так как каждый дифференциал йхю? представляетсюбой линейную комбина-
комбинацию
с
то
с9 = (ига), ^р)=0, р= 1, 2, ... , О.
Лемма доказана.
Пусть теперь дифференциал
^ о
D.8.4)
принадлежит к классу Р(/х, /2» ••• » гп)- Тогда
о о
1х=1 ^=1 D.0.0;
У ~~~ 1, с* у ... , ГС»
Итак,
п
2 с, Г,, = - 2 ^ГР/., V = 1, 2, ... , п. D.8.6)
ц=1
94 Гл. 4. Билинейные дифференциалы
Суммирование в правой части равенства D.8.6) производится по всем целым
числам, дополнительным к числам 11У /2, ... , 1п. Если матрица ||Г* ^||
(^х, V = 1, 2, .. . , /г) неособенная, то уравнения D.8.6) всегда имеют нетри-
нетривиальное решение (с,- , ъ , ... , С( ), независимо от того, какие значения с*
заданы. В этом случае размерность пространства принадлежащих поверхности
§ дифференциалов класса Р(/х, /2, ••• » *п) точно равна О —п. Итак, в слу-
случае т + с>0, когда матрица II Г* -Ь || неособенная, базис принадлежащих
поверхности $ дифференциалов первого рода класса Р^, ... , 1п) имеет вид
бщ, йхю2У ... , йхюо-п. D.8.7)
Дифференциалы йЪь (р. = 1, ... , п) образуют ортогональное дополнение диф-
дифференциалов D.8.7). ^
Вообще, любой принадлежащий дублю $ дифференциал й] первого рода
можно представить в форме
D.8.8)
где дифференциал 6ш^(н, *2> ••• , *п)> а дифференциал Ш принадлежит
к его ортогональному дополнению: {6ту <Ш) = 0. Это утверждение может быть
доказано методом ортогонального проектирования, имеющим в данном случае
тривиальный характер, обусловленный конечной размерностью.
Если
НК^* #^) = 0, ц, V:-1, 2, ... , п, D.8.9)
то мы скаже^, что класс Р(г\, г2, • • • , 1п) симметричен. Из формул D.3.10)
и D.3.11) заключаем, что матрица ||Г/ ^ || для симметричного класса будет
действительной, симметричной и неособенной.
На периоды дифференциалов класса Р(г\, г2, ... , 1п) налагаются сле-
следующие условия:
если с = ,
= 1, 2, .. . , п) D.8.10)
, /С/11)} = 0, если с> 0.
Предположим, что т + ^>0, и обозначим через 6§ некоторый мероморфный
дифференциал, удовлетворяющий условиям D.8.10). Положим
О-п
11=1
Условие, требующее, чтобы периоды дифференциала 6] обращались в нуль
для О — п циклов Д\х (р. Ф 119 /2, ... , /п), позволяет составить О —п уравне-
уравнений с О — п-\-\ неизвестными с^\ эти уравнения имеют нетривиальное реше-
решение с с0 Ф 0. Отсюда следует возможность представления
О-п
, D.8.11)
где
Р{й!> /Ср.) = 0, если с = ,
ад-0, если ,>0. О-1-2 °> <4-8'12>
Мероморфный дифференциал, удовлетворяющий условиям D.8.12), назовем
однозначным на поверхности 9#.
На ориентируемой поверхности Ш определим класс дифференциалов 6§у
удовлетворяющих условиям
..., п. D.8.13)
§ 9. Билинейные дифференциалы для класса Р 95
Этот класс обозначим через О(/1, /2, ... , /п). Доказательство, приведенное
выше, показывает, что имеется точно О — п линейно независимых в действи-
действительном смысле базисных дифференциалов D.8.7) в классе О.
Класс Р(/г, /2> ••• » *'п) на неориентируемой поверхности ЗЛ может быть
теперь интерпретирован следующим образом. Пусть 91 — двулистное -ориенти-
-ориентируемое покрытие поверхности $Щ и О(/1, /2, ... , /п) — класс О на поверх-
поверхности 3A. Если задан какой-либо дифференциал с1§€О, то через
*8 (Р) = № (Р)Г
обозначим сопряженный ему дифференциал. Класс Р является подклассом
класса О, составленным из дифференциалов й&, удовлетворяющих условию
§ 9. БИЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ДЛЯ КЛАССА Р
В случае ориентируемой поверхности выражение Ьг(р> ^) называется
производящим ядром класса Р дифференциалов с1} на поверхности $Щ, если
оно удовлетворяет следующим условиям:
A) Для каждой фиксированной внутренней точки ц поверхности Щ
выражение Ьг(р, #) является относительно точки р дифференциалом, при-
принадлежащим классу Р.
B) Выражение Ьр(р, д)йгй(^ инвариантно, или, иначе говоря, выраже-
ние /,р(р, 9) является билинейным дифференциалом.
C) Для каждого дифференциала ^/^Р выражение Ь?{р, #) обладает
производящим свойством:
D/, ЬГс1гс11)= -й!{я). D.9.1)
Производящее ядро единственно. В самом деле, пусть /.р —другое произво-
производящее ядро. Тогда
Следовательно, разность ЬГ — Ьр тождественно равна нулю. Заметим, что
условие B) является следствием условий A) и C). Действительно, из усло-
условия D.9.1) имеем
(МР> г)> ^(Р> Ч))= -1*@?г). D.9.2)
Из этого соотношения вытекает равенство /
ЬГ(д9 7)= (ЬГ(г9 ^))~ D.9.3)
Далее будет показано, что производящие ядра Ь? (р, ^) существуют для
всех классов Р; однако уже из формули D.9.1) видно, что ядро Ьг(р, 9)
отлично от нуля тогда и только тогда, когда класс Р содержит элементы
й$3 не тождественно равные нулю.
До сих пор ядро было определено главным образом для плоских обла-
стей и эрмитовский билинейный дифференциал — Ь(р, ^) йгй^ называли обычно
«ядерной функцией».
Из производящего свойств^ ядра ЬР(р, ц), принадлежащего некоторой
ориентируемой области $Ш, можно получить важную формулу для представ-
представления ядра Ьр(р, 9) чеРез посредство дифференциалов полной ортонормиро-
ванной системы {йуп} класса Р. Так как выражение Ь?(р, ц)Лгй^ стносительно
точки р является принадлежащим классу Р дифференциалом, то оно может
быть представлено в форме
оо
(р, д) Й2 Л = 2 ап (?) Л й9п (р). D.9.4)
*96 Г л, 4. Билинейные дифференциалы
В этой формуле коэффициент Фурье ап (д) (К> выражается следующим образом:
ап (я) <% = (^ (Р> 9) * <К, Лрп (р)) = (Лрп (р), 1р (р, 9) Л ЙС)" = - (Лрп (?))".
D.9.5)
Здесь мы воспользовались производящим свойством D.9.1) ядра
Подставляя выражения D.9.5) в формулу D.9.4), получим
оо
(р, д) йг К = - 2 <*Р„ (Р) №„ (?))-• D.9.6)
1
Итак, ядро Ьг (р, 9) действительно является ядром ортонормированной си-
системы дифференциалов {с1уп(р)}. Замечательная формула D.9.6) выясняет
значение производящего свойства ядра 1р и, с другой стороны, дает удобное
средство для конструирования ядра Ьр по известной ортонормированной полной
системе класса Р. В случае замкнутой римановой поверхности пространство
Р имеет конечную размерность; напротив, в случае поверхности с краем
имеется бесконечно много независимых внутренних дифференциалов и раз-
размерность пространства Р бесконечна.
В случае поверхности ЗК с краем билинейный дифференциал Ьр(р,д)
(для фиксированной точки д поверхности $Щ) регулярен всюду на поверхности
за исключением точки р= д, где он имеет двойной полюс:
Мр,<7) = "Г г— -=—+ регулярные члены.
77 [() {)\*
Следовательно, выражение/ Ьр(р, д) является билинейным дифференциалом
на поверхности 2Л, имеющим двойной полюс в точке р~-д. Мы назовем его
сингулярным билинейным дифференциалом. Сингулярный билинейный диф-
дифференциал Ьг(р, Я) не является элементом класса Р, хотя он и удовлетво-
удовлетворяет условиям, налагаемым на периоды дифференциалов класса Р. Далее,
для каждого дифференциала й\ € Р справедливо равенство
означающее, что дифференциал Ь?(р, д) ортогонален к элементам класса Р.
Это свойство определяет дифференциал /.р (р, д) единственным образом.
В самом деле, если /,р-—другой такой дифференциал, то разность Ь? — Ц
является дифференциалом класса Р и мы снова имеем
Мы будем чаще употреблять сингулярный дифференциал Ь?(р, д) в ка-
честве основного, чем дифференциал Ь?(р,д). Когда дубль $ связен, оба
эти дифференциала, конечно, совпадают и выбор множителя 1/тс для норми-
нормирования особенности диктуется формой производящего свойства дифферен-
дифференциала 1р(р, 9)-
До сих пор понятие скалярного произведения для сингулярных билиней-
билинейных дифференциалов не было еще точно определено. Мы начнем с определе-
определения скалярного произведения для дифференциалов й], с1§, имеющих особен-
особенности в конечном числе точек дг (г = 1, ... , п). Для регулярных дифферен-
дифференциалов наше определение должно сводиться к обычному.
Допустим, что поверхность 9К ориентируема. Через 5Щ^. обозначим круг
радиуса а{ в плоскости локальной униформизирующей точки д{ с центром
в образе точки д{. Через Ш' обозначим сумму всех кругов 5Ш^. для 1=1, ... , п.
Положим
§ 9. Билинейные дифференциалы для класса Р 97
п
когда сумма ]>] аг стремится к нулю, предполагая, что этот предел Суще-
Сущего 1
ствует. Нетрудно видеть, что это расширенное определение скалярного про-
произведения сохраняет свойства B) (а) — (е) § 3 гл. 2.
Мы будем также понимать интеграл
Г (Р) (8* (Р)Г М
как предел вышеуказанного вида всякий раз, когда подинтегральное выра-
выражение сингулярно.
Сингулярные дифференциалы й§, рассматриваемые ниже, регулярны
всюду на поверхности Щ, за исключением некоторой точки 9^5Щ> где они
имеют двойные полюсы. Вычет дифференциала й& в точке ц равен нулю.
Пусть 4 — униформизирующая в точке ц, для которой С == С (р) и
Представление
§ — ^- + регулярные члены
справедливо с точностью до постоянного множителя в окрестности точки
Обозначим через $Щ0 круг | С | < Ь достаточно малого фиксированного радиуса
Ь и через ЭД}' — круг |С|<а< Ь. Обозначим границы этих областей через Со
и С соответственно. Интеграл от дифференциала с1§ определен с точностью
до постоянной и однозначен в области 9К0 —Ж'. Можно утверждать, что
скалярное произведение D.9.8) определено всякий раз, когда дифференциал
с!( регулярен на 9Л. Действительно, в силу формул A.5.24), имеем
т—те' V
'{р)г йА + Нт
тео-те'
т 27 ^ ^^-Ц 27 5
те-те0
Ясно, что
С
при а, стремящемся к нулю, и, следовательно, рассматриваемый предел суще-
существует. Заметим, что добавление аддитивной постоянной к функции § не изменит
этого результата, так как периоды дифференциала й] вдоль границ Со и С
равны нулю при достаточно малом радиусе Ъ. Таким образом, скалярное про-
произведение в формуле D.9.7) определено.
Аналогично можно показать, что скалярное произведение (о(/, й§) опре-
определено всякий раз, когда дифференциал с1[ имеет особенность указанного типа
в точке г, отличной от точки^. В частности, скалярное произведение
/-)), гфд, D.9.9)
определено при помощи формулы D.9.8). Значение этого скалярного про-
произведения дается формулой D.12.3).
С другой стороны, норма Ы(с1§)^(с1§, с1§) не определена формулой
D.9.8) и дальнейшее расширение понятий представляется необходимым. Это
расширение будет получено путем предельного перехода в скалярном про-
произведении D.9.9) при стремлении точки г к точке ц (см. § 12 гл. 4).
7 Заказ № 634
98 Гл. 4. Билинейные дифференциалы
Желая распространить определение скалярного произведения на случай
неорнентируемой поверхности $Щ, заметим, что дифференциалы ^/, й& при-
принимают сопряженные значения в сопряженных точках ц, д покрытия 5Гс,
Поэтому мы можем построить сопряженные области §Я' и 9?', содержащие
соответственно особые точки ^г и 9г- Положим -
Аналогом ядра Ьг (/?, ^) в случае неориентируемой поверхности 5Щ является
/"V/
единственным образом определенное ядро Ь?(р, </, ^)» удовлетворяющее соот-
соотношению
D/, Хр)= -Ке {/'(?)} • D.9.1)'
для каждого дифференциала й?/€Р- Сингулярный билинейный дифференциал
^г (р, 9» Я) с особенностями в точках р = ^ и р = 9 также ортогонален всем
дифференциалам с1^1г:
(с1(у 1р(р, ?» 9)) = 0-
§ 10. ПОСТРОЕНИЕ БИЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА
ДЛЯ КЛАССА М ПРИ ПОМОЩИ ФУНКЦИИ ГРИНА
Мы будем строить билинейный дифференциал ^ класса Р при помощи
функции Грина и дифференциалов первого рода и начнем со случая Р = М
Предположим сначала, что поверхность $Щ ориентируема и имеет кр&й.
Положим
Из формул D.2.6) получим
д20(рУ 1™^ 1 т[Р) . D.10.2)
* дрдя *
Мы хотим показать, что дифференциалы Ьм(р, ^) и ^/€М ортогональны
и что дифференциал Ьм(р, ^) обладает производящим свойством.
Если точки р и ^ достаточно близки друг к другу, то можно найти в
их общей окрестности униформизирующую С, для которой С = С(р) и С^)^^-
Из формулы D.10.1) следует справедливость представления
(ру я) = "тг + регулярные члены, D.10.3)
т
Обозначим через Ш' круг |С|<Д. Тогда
D.10.4)
при радиусе а, стремящемся к нулю. Теперь предположим, что дифферен*
циал й/ регулярен и аналитичен на краю С поверхности $Щ. Так как про-
изводная дО (р, 9)/^ однозначна на Ш и равна нулю в краевых точках р
поверхности 3#, то интегрирование по частям дает
ак—зк' а»—а»'
§ 10, Построение билинейного дифференциала,для класса М
Так как в достаточно малой окрестности точки д справедливо
дО (ру о) 1 , /л лп с\
—щ^и- = -— ~|~ регулярные члены, D.10.6)
дд 2С
то • , ,
^|^^ Dло-7)
Итак, свойство ортогональности
, Ьт(р, (/)) = 0, Й/6М, D.10.8)
доказано в предположении, что производная /' регулярна на краю С поверх-
поверхности ЭДЬ
Для дифференциалов й\, регулярных на краю, производящее свойство
ядра Ьгл(р, д) доказывается аналогично. В самом деле, так как ядро Ьм(р, д)
всюду регулярно на $Щ, то
D.10.4)'
Ш — Ж'
Интегрируя по частям, получим
ПУ ПУ \ I I Л| * //■У /У*7
Вместо представления D.10.6) в окрестности точки <7 имеем следующее пред-
представление: (
^~^-- = -™г + регулярные члень^ D.10.6)^
Следовательно, доказана формула
^^ ==/'(?)■ " ' ''■ D.10.7)-
Заставляя радиус а стремиться к нулю, получим формулу, выражающую про-
производящее свойство,
При выводе формулы D.10.8)' предполагалось, что производная /'регулярна
на краю С поверхности $Щ.
Устраним теперь это ограничение. Пусть задана внутренняя точка ^
поверхности 9Л. Построим последовательность конечных римановых поверх-
поверхностей $Щр., удовлетворяющую с/ледующим условиям;
A) Каждая поверхность $Щц вместе с ее краем лежит внутри поверх-
поверхности 2К.
B) Каждая поверхность $Щц содержит точку д внутри себя.
C) Для любого \1 Ш». СИ5ШЦ.+1, и для каждой внутренней точки р поверх-
поверхности $Л существует такое целое число р-о = Н-о О9)» что р€5Щ^ для ^>^0.
D) В каждой точке поверхности Ш^ униформизирующие приемлемы
в качестве униформизирующих поверхности ЭДЬ . . . .
Последовательность 5Ш1Х легко построить, используя линии уровня функ-
функции Грина О(р> 9)> гДе Я~ заданная внутренняя точка поверхности 5Ш.
Действительно, определим поверхность 9Л^ как подобласть поверхности ЭК,
7*
1оО Гл. 4. Билинейные дифференциалы
*
состоящую из тех точек р, которые удовлетворяют неравенству
где е — некоторое положительное число. Если е достаточно мало, то для каждого
целого положительного числа ^ линии уровня О(р> ?) = з/р состоят точно из т
аналитических жордановых кривых, каждая из которых гомотопична точно
одному из контуров края поверхности Ж; когда число р стремится к бес-
бесконечности, эти кривые стягиваются к контурам края поверхности 9#. Пусть
р — некоторая точка края поверхности 5Щц и г — униформизирующая поверх-
поверхности Ш в точке р. Дуга края поверхности 2Кц, проходящая через точку р,
отображается на плоскости переменной г в аналитическую дугу, ограничиваю-
ограничивающую некоторую полуокрестность, состоящую из точек, принадлежащих образу
поверхности Жц- Согласно теореме Римана, эта полуокрестность может быть
отображена на подобласть верхней полуплоскости переменной / так, что наша
аналитическая дуга перейдет в некоторый сегмент действительной оси. Ясно,
что переменная / является граничной униформизирующей поверхности $Щц.
и обычной униформизирующей поверхности Ш в точке р.
Докажем справедливость соотношения D.10.8) для любого дифференциала
Л{$М. Соответствующее доказательство для соотношения D.10.8)' проводится
аналогично. Пусть Ш' — фиксированная круговая область | С | < а с центром
в точке <7 и границей С. Обозначим через Шо замкнутую подобласть, лежа-
лежащую внутри поверхности Ш и содержащую область Ш' внутри себя. Суще-
Существует число р.1, та**бе, что замкнутая подобласть $Щ0 будет находиться внутри
поверхностей ЗД^ при р>р1. В области Шо — Ш' функции Грина Сц.(р, 9)
поверхностей $Щц вместе с их производными равномерно сходятся соответственно
•к функции Грина С(р, #) поверхности Ш и к ее производным. Отсюда следует,
что регулярная последовательность {Ьт (р, ^) — ^м} (р, ф] равномерно сходится
к нулю в области 2К0 и что последовательность {Ь^ (р, д)дО^{р9 9)/^?} схо-
сходится равномерно на границе С Из формулы D.10.8) имеем
D.10.9)
так как дифференциал й] регулярен на краю поверхности 30^. Следовательно,
)Ч-яйо- DЛ0Л0)
Применяя неравенство Буняковского — Шварца, получим
(р) A&> (р, 9)Г АА |2 < ^ \Ь*)(Р> Я)\гАА- \ \!'(Р)\ЫА.
^о ^ 9к-ая0
D.10.11)
Здесь
^ $> (р, Ч)\*AА< \ | № (р, д) |2 ЛА =
1 Г
тс' «}
С
где число К не зависит от выбора индекса р. и области 5Ш0 вследствие равно-
равномерной сходимости подинтегрального выражения на границе С. Итак,
D.10.12)
§ 10. Построение билинейного дифференциала для класса М 101
Аналогично,
1'(р)\2йА, D.10.13)
где
Заставляя число [х стремиться к бесконечности, из соотношения D.10.10)
получим
• ^ |/'(р)|2Ж4, D.10.14)
№ — №0
где число /С не зависит от выбора области $Щ0. Заставляя область Шо стре-
стремиться к поверхности $Щ, получим формулу D.10.8) для любого дифферен-
дифференциала ^/ класса М на поверхности $Щ.
Из формул D.3.1) и D.10.1) сразу получим
D.10.15)
Это соотношение остается в силе, если заменить в нем ц на <7- Заметим, что
дифференциал Ьм(р, я) симметричен относительно точек р \\ю, а дифферен-
дифференциал Ьм(ру Я) удовлетворяет закону эрмитовской симметрии.
В случае замкнутой и ориентируемой поверхности $Щ определяем опять
ядро Ьм(р, я) ПРИ помощи функции Грина поверхности $Щ> используя первое
равенство D.10.1). Дифференциал Ьм(рУ 9) определяется аналогично при
помощи равенств D.10.2) и D.2.26)'. Так как основные свойства функции
Грина в этом случае остаются такими же, как и прежде, то рассмотренные
свойства билинейных дифференциалов выводятся тем же путем. При этом,
однако, нет необходимости рассматривать поведение дифференциала й$ на краю.
В случае неориентируемой поверхности Щ обозначим через
билинейный дифференциал для ориентируемого покрытия 5Л. Ясно, что
— 2 [ д2^! (р, Я) , дЮг (р, а)
| +
| ара(у ^^ ) D.10.
Из формул D.2.34) получим
, Я)Г
и, следовательно,
. D.10.18)
Итак, выражение Ьм{р, Я> Я) относительно точки р является дифференциалом
на поверхности 5Л, принимающим сопряженные значения в сопряженных точках.
Дифференциал ^
^м(р, ?, ^^^(Р. ?) + ^(р^) D.10.19)
регулярен относительно точки р всюду на поверхности 5Я.
Очевидно, что для каждого дифференциала класса М выполняются сле-
следующие равенства:
^ D.10.20)
я, Й)к = т(^' 1*(Р> Ч> <?))*= -Ке{/'(9)}- DЛ0.21)
102 Гл." 4, Билинейные дифференциалы
Формулы D.3.5) дают
Р{ЬЯ(р, я),Ку) = г?'{я). D.10.22)
При помощи формулы D*3.4) теперь получим
д D.10.23)
§ 11. ПОСТРОЕНИЕ БИЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА ДЛЯ КЛАССА Р
Предположим сначала, что поверхность ориентируема. Положим
п
V-, V=1
где коэффициенты определены таким образом, чтобы- выполнялись равенства
р=1, 2, ... , п. D.11.2)
Условия D.11.2), наложенные на периоды дифференциала Ьг(р, д), преобра-
преобразуются при помощи формул D.10.15) и D.3.10) к следующему виду:
п
Ч 2 V 1\<ггК (?) = °» Р = 1, 2, . .. , п.
ц, V=1
Вследствие линейной независимости [производных 2^(д), отсюда получим
п
V, р-1, 2, ... , л. D.11.3)
Итак» дифференциал /,р(р, 9) существует тогда и только тогда, когда
матрица ||Г{ 1о\\ является неособенной. В этом случае
1. D.11.4)
Заметим, что справедливы равенства
/
указывающие на эрмитовскую симметрию дифференциала Ьг(р> д)-
Дифференциал Ьг(р,д), если он существует, обладает желаемыми свой-
свойствами. Действительно, для каждого дифференциала й/^Р справедливы,
согласно формуле D.10.8), равенства
D.11.6)
так как, по предположению,
(й/, A2^) = 0, ц=1, 2, ... , п.
Аналогично,
Билинейный дифференциал ЬР всегда существует, если поверхность
имеет край, так как в этом случае матрица ||Г\ 1о|| является неособенной.
Однако, как это следует из соотношений D.11.5), равенство
М/>> д) = 1*(Я,Р) D.11.8)
выполняется тогда и только тогда, когда класс Р симметричен (см. §8 гл. 4).
В том случае, когда риманова поверхность замкнута, положение совсем
иное, так как матрица ||1\ г \\ может быть особенной. Однако для симме-
г* г
§ 11. Построение билинейного дифференциала' для класса Р
тричных классов билинейные дифференциалы всегда существуют, так как
матрица ЦКеГ^Ц является неособенной. Из симметричных классов на замк-
замкнутой поверхности заслуживают быть отмеченными два: РA, 3, ,.. , 0—1)
и РB, 4, ... , С), где 0 = 2/1 (/г—род поверхности). Достаточно рассмо-
рассмотреть класс РA, 3, ... , С —1). Так как для фиксированной точки ц пе-
периоды Ри дифференциала 1Р(р, <7) первого рода вдоль циклов /С2ц-1 все
обращаются в нуль, то из формулы C.2.3) заключаем, что Ьр(р, <7) = 0- Из
формулы D.11.1) получим (заменяя ц на щ)
п
и (Р, Ч) = - 2 V 2^_1 (Р) 2^-1 (я), D,11.9)
|А, V—!
ГД6
= И
С другой стороны, при фиксированной точке ц все периоды Р^ дифферен-
дифференциала Ьг(р, 9) второго рода обращаются в нуль. В точках р, близких
к точке <7, справедливо представление
ЬР(р, 7)=—§ + регулярные члены, D.11.11)
где 2 —локальная координата, такая, что г = г (р) ,г (д) = 0. Итак,
1 A1а (р)
^{р,д) = ~-^- D.11.12)
и, согласно формуле D.11.1),
^ D.11.13)
V-, V=1
Вычисляя периоды дифференциалов D.11.9) и D.11.13) вдоль цикла ?
пользуясь формулами D.3.10) и-C.4.3)', найдем
н
= 2 Т^^-1.2-2^-1 (9), D.11.14)
г2^()^() D.1 Мб)
Если бы дубль был связным, то формула D.11.13) могла бы быть получена
из формулы D.11.9) посредством аналитического продолжения и, аналогично,
формула D.11.15) могла бы быть получена из формулы D.11.14). Несвяз-
ность дубля делает формулы для точек ц и ц совершенно различными. _г
Теперь предположим, что поверхность Щ неориентируема. Положим
л
(р, я,д) =^м (р, д,д)+ 2 V^ (/>)Ке{Гч (?)}. D.и. 16)
Действительные коэффициенты у V определяются здесь из соотношений
Ке{РAР(р, 9, ?), ЛГ1р)} = 0, Р=1, 2, ... , п. D.11.17)
Из формул D.3.14) и D.10.23) имеем
п
' (д) + *,<;>' (д)} - 2 Т^Т^? ^е &'ч № = °> Р
104 Гл. 4. Билинейные дифференциалы
— ГИ1 ■■■■ I II I I I I . .■ II . . ■ ' ' ■■■'
Иначе говоря, справедливы соотношения (см. D.3.4))
п
0. Р=1 я- D.11.18)
1 Вследствие линейной независимости имеем
п
2 Т^г^гр^о, V, р= 1, 2 Л.
Так как матрица ||Г{ . || всегда является неособенной, то
1. D.11.19)
Итак, билинейный дифференциал для неориентируемой поверхности
представляет собой простую линейную комбинацию дифференциалов ее
ориентируемого покрытия. По этой причине мы в дальнейшем всегда предпо-
предполагаем, что поверхность Ш ориентируема, если только точно не оговорено
противное.
§ 12. СВОЙСТВА БИЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
Рассмотрим некоторую риманову поверхность с краем. Обозначим через
р некоторую точку края. Тогда р — ри
Ьр(ру д)A%с1ъ = Ьг(р, д)йгй^ = Ьт{ру ц)АгАХЛ. D.12.1)
Если точка <7 находится на краю, то таким же образом
D.12.
Формулы D.12.1) и D.12.1)' являются следствием того факта, что диф-
дифференциал /.р (р, <7) йг (К> остается инвариантным при преобразованиях уни-
формизирующей. На краю же поверхности сопряженная некоторой унифор-
мизирующей также является униформизирующей.
Пользуясь сопряженными униформизирующими в сопряженных точках,
положим г^
Так как
то, заменяя точку р на точку р, получим следующее равенство:
Следовательно,
В частности, если класс Р симметричен, то дифференциал Ьг(р, ч) совпадает
с дифференциалом Ьр(р,д); в этом случае принадлежащий поверхности Щ
билинейный дифференциал Ьт(р, ^) принимает действительные значения, когда
обе точки р и <7 находятся на краю.
Так как регулярные дифференциалы принадлежат классу Р, то из фор-
формул D.11.6) и D.11.7) мы получаем
г), Ьт(р,
и
(р, д))= — ^р(9» г)
§ 12. Свойства билинейных дифференциалов 105*
Заметим, что эти интегралы не могут быть получены один из другого при
замене д на д, даже в том случае, когда поверхность ЭД1 имеет край. При-
Причиной является разрывность этих интегралов, обусловленная особым поведе-
поведением на краю подинтегральных выражений.
В частности,
D.12.2)
Рассмотрим теперь скалярное произведение двух сингулярных дифферен-
дифференциалов. Пусть д и г —различные внутренние точки поверхности $Щ. Дока-
Докажем, что
(г, д) = (Ьг (/>, ?), Ьг (р, г)). D.12.3)
Скалярное произведение в правой части этого равенства понимается в смысле
формулы D.9.8).
Докажем формулу D.12.3) сначала для случая Р~М. Обозначим через С
и т] униформизирующие в точках д и г соответственно и через 9Ла, Щг кру-
кругообразные области |С|<а, |т]|<а с центрами в точках д и г. Обозначим
еще границы областей 5Шд, Щг через Сд, Сг соответственно. Получим
С Сд
<Щм) (^м(р,/-))-^ + оA). D.12.4)
Сг
Так как производная дО(р,д)/дд обращается в нуль для точек ру лежащих
на краю С поверхности ^Щ, то надлежит рассмотреть только два последних
интеграла. Для точек р^С имеем
^1^= __|_регулярные члены D.12.5)
и
(^м(р,г)Г=Ь0 + &1С+ .... D.12.6)
Следовательно,
^^ае^)т DЛ27)
когда радиус а стремится к нулю. Наконец,
дО(р,д)
—
Сг
г.ч1 +аю^_- \ DЛ28
когда радиус а стремится к нулю. Подставляя выражения D.12.7) и D.12.8)
в формулу D.12.4), получим формулу D.12.3) для случая Р —М.
Рассмотрим теперь общий случай. Положим
D.12.9)
106 Гл. 4. Билинейные дифференциалы
где ЛР(р, д) — билинейная сумма дифференциалов, фигурирующая в форму-
формуле D.11.1). Тогда
(Ьг (р,- д), 1Р (р, г)) = (Ьм (р, д)у Ьм (р, г)) + (ЛР (р, д), ЛР (р, г)),
так как, согласно равенствам D.11.6), смешанные члены обращаются в нуль.
По доказанному, первый член равен просто дифференциалу Ь*\ (>",<?)• Второй
член преобразуется следующим образом:
(Ар (р, д), ЛР (р, г)) = 2 Т^Т.о2ц (?) 2г'а G). B[ (р), 2; (р)) =
^°р, _ , _ D.12.10)
(?) ^'о (г) = 2 Т^2-7 (?) ^а (г) = Лр (г, )
^, V, а, о ^ ' V, а /
Здесь мы воспользовались тем фактом, что матрицы ||т^||и||Г* ,• || взаимно
обратны.
Остановимся теперь на определении нормы дифференциала Л§, регуляр-
регулярного всюду на поверхности 5Ш, кроме точки ц, где он имеет двойной полюс
с вычетом, равным нулю.
Скалярное произведение в соотношении D.12.3) не определено формулой
D.9.8) в случае г = ц. Теперь положим
Г-+Ц
(р, Я),Ьт(р, г))=1м(^, ?). D.12.11)
Из формулы D.12.2) следует, что ^м (9, ?) = ^м(9, 9)<0- Это означает, что
норма, определенная формулой D.12.11), действительна. Однако в случае
сингулярных дифференциалов эта обобщенная норма может быть отрицательной.
Для любого дифференциала &\%.Ж справедливо равенство
,г)) D.12.12)
(здесь мы воспользовались соотношением D.10.8)). Следовательно, можно
положить
D.12.13)
Если дифференциал й§ регулярен всюду на поверхности 9К, кроме точки #
где он имеет ту же особенность, что и дифференциал Ьм(р, д), то мы можем
положить й/ = й§ — /.м (рл-^О)- Тогда из формулы D.12.13) получим
N№) =Ы(Лё-Ьм (р, д))+Ы (Ьт(р, д)). D.12.14)
В частности,
Ы(Ьг(р,д)) = Ы(Ьг(р,д)-Ьт(р,д)) + Ы(Ьм(р,д)). D.12.15)
V
С другой стороны, тождество D.12.3) показывает, что мы должны иметь
(Р, Ч)) = Нт AР (р, д), Ь? (р, г)) = 1Р (д, д). и 12.15)'
Чтобы установить согласованность соотношений D.12.15)' и D.12.15) между
собой, заметим, что равенство D.12.10) »мы можем переписать следующим
образом (полагая в нем г = д):
N (Ьг- 1м) = Ьг (д, д) - 1гл (?, д) = и (?, ц)-И (Ьм). D.12.16)
Здесь мы использовали также определение суммы ЛР, фигурирующей в фор-
формуле D.12.9). Для дифференциала й/бР получим аналогичным путем
, д), 1Р(р, г)). D.12.12)'
Следовательно, для сингулярных дифференциалов, удовлетворяющих усло-
условиям, налагаемым на периоды дифференциалов класса Р, должно быть
§ 12. Свойства билинейных дифференциалов 107
справедливо соотношение
D.12.14)'
^
Наши определения опять согласуются. Действительно, для регулярного диф-
дифференциала й& — Ьм(р, д) имеем
~ N
Здесь мы воспользовались формулой D.12.16) и ортогональностью дифферен-
дифференциалов Ьр и /.м. Далее, так как N (с(§~ Ьг)>0, то из формулы D.12.14)'
выводим важное характеристическое свойство сингулярного билинейного диф-
дифференциала для класса Р: сингулярный билинейный дифференциал Ь?(р,д)
среди всех дифференциалов й§, имеющих в точке д ту же самую особенность
и удовлетворяющих соотношениям периодов для класса Р, обладает наимень-
наименьшей нормой. Из формулы D.12.14) следует, что нормы всех нормированных
сингулярных дифференциалов ограничены снизу числом Ьж{д, Я)-
Если дифференциал й\€ 3 регулярен на краю С поверхности 9#, то
скалярное произведение в левой части формулы D.12.12)' можно интегриро-
интегрировать по частям при Р = 5. Обозначим через С(} и СТ границы кругообразных
областей радиуса а с центрами в точках д и г соответственно. Пусть
(р, д) — интеграл дифференциала Ь&(р,д):
Застардяя радиус а стремиться к нулю, получим
1 1 "{р) + ч-*(р,ч))(Г(р) + и{р*г)у
2/
с
D.12.17)
'(р)-ти(р,
Сг
* (Р, <?)) (/' (Р) + ^5 (Р, Г)Г (п.
Заставляя точку г стремиться к точке д и выбирая й] = с1§ — Ь$(р, д), полу-
получим простую формулу
N№=—1^8 48, ■ D.12.18)
с
справедливую для нормированных сингулярных дифференциалов с1§у имеющих
равные нулю периоды и регулярных на краю С поверхности $Щ.
При помощи производящего ядра ЬР(руд) могут быть выражены реше-
решения некоторых задач на отыскание минимума. Для произвольного дифферен-
дифференциала Й/6Р из формул D.11.7), B.3.3) и D.12.2) получим
2 " "" Ы{ЬР(р, д))= -Ь?(д,~д) ND1). D.12.19)
«Л
Знак равенства в D.12.19) имеет место тогда и только тогда, когда произ-
производная I'(р) пропорциональна функции Ь?(руд). Итак, наилучшим значением
постоянной к(р0) в неравенстве B.3.16)' является число —Ьм(р0, р0). Рас-
108 Гл. 4. Билинейные дифференциалы
суждая аналогично, получим, что наилучшим значением этой постоянной
при условии ^/^Р является число — ^р(р0» А>)-
Если ядро Ь?(р, 9) не равно тождественно нулю, то оно может быть
выражено через решение проблемы минимума, связанной с неравенством
D.12.19). Обозначим через 2//0 тот дифференциал, который имеет наимень-
наименьшее значение нормы N(A1) среди всех таких дифференциалов ^/^Р, что
и, при некоторой определенной униформизирующей в точке ^,
. Так как дифференциал <^/0 обладает упомянутым минимизирующим
свойством, то он должен быть ортогонален всем дифференциалам вида
йН (р) = Л] (р) — I' (<7) а?/0 (Р) > гДе А € Р ((Иг (ф = 0). Итак, дифференциал
— с11о(рIМ(с1}о) обладает производящим свойством р/должен совпадать с диф-
ференциалом Ь?(р, о)йг. В частности, из формулы D.12.2) видно, что мини-
минимизирующий дифференциал а(/0 может быть выражен в следующей форме:
, О)
а D.12.20)
Обозначим через Рх и Р2 два класса дифференциалов на поверхности Щт
таких, что
. D.12.21)
Допустим, что билинейные дифференциалы существуют для обоих этих
классов. В частности, Ь?х(р> 9) € Р2-
Из формул D.12.19) и D.12.2) получим
0 > ЬГ1 (9, ф > Ь?2 (?, я). D.12.22)
Так как 3 является подклассом каждого класса Р, а М содержит любой
класс Р в качестве подкласса, то
0>М<7, Я) >и (?,?)>^м (Я, я). D.12.22)'
С другой стороны, дифференциал 1-г2(р, ^) обладает наименьшей нормой
среди всех дифференциалов б/#> имеющих определенную выше особенность
в точке ^ и удовлетворяющих^условиям, наложенным на периоды дифферен-
дифференциалов класса Р2. Дифференциал Ь?х (р, я) принадлежит к числу этих диф-
дифференциалов с1§, и, следовательно, справедливы соотношения
D.12.23)
и
Я)- D.12.23)'
Величины /-р(^, ^) и ^г(Я>9) должны обязательно совпадать только тогда,
когда класс Р симметричен.
Найденные неравенства немедленно обобщаются на случай эрмитовых
форм
и 2 ^р(<^, <7*0 *^. D.12.24)
Например, из неравенств D.12.23)' получим
D.12.25)
р., Ч-=
§ 12. Свойства билинейных дифференциалов 109
Далее, воспользовавшись соотношением D.12.2), найдем
р _ _
2 D.12.26)
Итак, первая из эрмитовых форм D.12.24) неположительна; это же заклю-
заключение справедливо и относительно второй формы, если класс Р симметричен.
Билинейным дифференциалам для класса 5 можно дать геометрическую
интерпретацию в том случае, когда поверхность Ш ориентируема и имеет
край. Действительно, интеграл / любого из дифференциалов й}€$ однозначен
на поверхности 9К и, если только дифференциал й] не обращается тожде-
тождественно в нуль, отображает $Щ на некоторую риманову поверхность, лежащую
над комплексной плоскостью. Наоборот, каждому такому отображению /
«соответствует некоторый дифференциал й\, принадлежащий классу 8. В част-
частности, так как отображения такого рода существуют, класс 5 содер-
содержит элементы А\, не равные тождественно нулю, и билинейный дифферен-
дифференциал /-8 {р, я) нетривиален. Для таких отображений внутренняя площадь
области-образа равна норме N (й}). Пусть точка ^ фиксирована внутри ЭДЬ
Рассмотрим множество всех отображений, для которых ^/ (^) ^=0, нормиро-
нормированных при определенном выборе униформизирующей в точке ц условием
^'(^)=1. Отображение, для которого внутренняя площадь минимальна,
•определяется дифференциалом
ар,
)
^з (я, я)
и минимальное значение площади образа будет равно
Л А и^. D.12.27)
^ (?> Я)
Сингулярным дифференциалам й&, периоды которых обращаются в нуль,
также соответствуют отображающие функцир! §. Если дифференциал
= Аи + /Л> регулярен на краю С поверхности ЗДЬ то
с
D.12.28)
так как интеграл § однозначен.
Обозначим через Ё7 образ контура края С\, при отображении §. Ориен-
Ориентируем кривую И7 таким образом, чтобы точка ы>— § (р) пробегала ее в по-
положительном направлении, когда точка р пробегает контур С\, в отрицатель-
отрицательном направлении. Обозначим через ^ (^0) порядок цикла XIV относительно
точки ыH. Из формулы D.12.28) получим
га
D.12.29)
где каждый из интегралов суммы распространен на всю плоскость пере-
переменного 1ю0. Мы поэтому назовем выражение —Ы(с1§) внешней площадью
образа поверхности ЗЛ при отображении, определяемом дифференциалом й§.
В классе всех отображений й&> нормированных так, чтобы они имели
в точке 9 ту же особенность, что и дифференциал Ь${руд)йр, наименьшее
значение нормы имеет дифференциал Ь$(р,д). Следовательно, отображение,
НО Гл. 4. Билинейные дифференциалы
дающее наибольшую внешнюю площадь, определяется дифференциалом,
, д)йр.
Пользуясь формулой D.12.15)', найдем, что это наибольшее значение
внешней площади будет равно
Е= -Ьв(д, ?)• D.12.30)
Перемножая равенства D.12.27) и D.12.30), получаем\
АЕ = 1$ {Яу !} . D.12.31)
^8 (Я> Я)
Это равенство является обобщением известного тождества для многосвязных
плоских областей (см. [6а], [18а]). Действительно, класс 5 симметричен,
если род поверхности $Щ равен нулю, Ь$ (д, д) = Ь& (#, д) и АЕ—1. Заметим,
что в случае поверхности рода нуль функция §, для которой внешняя пло-
площадь образа достигает максимума, является однолистной и отображает
поверхность Ш на некоторую подобласть сферы.
В качестве другого приложения билинейных дифференциалов мы дадим
обобщение формулы Пуассона, выражающей аналитическую функцию внутри
круга через граничные значения ее действительной части. Обозначим через $Щ
ориентируемую риманову поверхность с краем С, и пусть д — ее внутренняя
точка. Если функция / (р) однозначна на поверхности $Щ и регулярна
на краю С, то можно интегрировать по частям в регулярном скалярном
произведении D.11.7), положив там Р = 3. ^Зтим путем получаем
(р, Ф) = Ц}' (Р) (и (р,я)Г йг <Гг =
D.12.32)
Обозначим теперь через 9Л' и С соответственно круговую область |
и ее границу. При этом предполагается, что для униформизирующей С в ок-
окрестности точки д выполняются соотношения С = С(р) и С(?) = 0. Из фор-
формулы DЛ 1.6) получим
0 = A8 (д, р),й!)=± \ Ьв (9, Р) (Г (Р)Т
D.12.33)
при радиусе ау стремящемся к нулю. Так как /,8 {д,р)Aг = Ь$ (д, р) их
на краю С, то, складывая равенства D.12.32) и D.12.33), получим
М*Р){/(Р)} D.12.34)
с
Эта формула является обобщением формулы Пуассона на случай произволь-
произвольной поверхности с краем.
§ 14. Специальная полная ортанормированная система Ш
§ 13. АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
В следующей главе будут установлены некоторые формулы для диф-
дифференциалов, регулярных на краю. Для распространения этих формул на слу-
случай дифференциалов с конечной нормой потребуется некоторый процесс
аппроксимации, который и будет изложен в этом параграфе. В § 10 гл, 4
мы аппроксимировали билинейный дифференциал посредством дифференциалов
такого же типа, принадлежащих областям ЭД^, лежащим внутри заданной
поверхности. Теперь для любого заданного дифференциала с?/ класса Р будет
построена последовательность дифференциалов й^ класса Р, каждый из ко-
которых аналитичен на краю поверхности $Щ, такая, что норма М(с1} — с1^)
стремится к нулю.
Обозначим через {Щ^.} последовательность компактных подобластей,
лежащих внутри поверхности $Щ, сходящуюся ко всей поверхности Ж при
неограниченном возрастании числа р.. Нет надобности предполагать, что под-
подобласти 5Щ1Х являются конечными римановыми поверхностями. Положим
. DЛ3.1)
Ясно, что дифференциалы оЕДх (д) регулярны на поверхности $Щ, включая
и ее край, и принадлежат классу Р. Имеем:
Г (?) I2 = $ \ Ь (р19 д) AР (л, я)Г (Г (Рг)Г Г (р.)
и, следовательно,
D.13.2)
Здесь мы воспользовались тождеством
\ ЬР(р19 д) (ЬР(р2,д))~ЛА- ^ 1Р {д, р2) AР{д, р±))-&А=
2» Ж /
Принимая во внимание соотношение ^
- 5 \^ (Р1. Л) (/' (Р1))Т (Р.) ЛАХ ЛА% =
ш ш ш
мы видим, что правая часть равенства D.13.2) стремится к нулю при нео-
неограниченном возрастании числа р.. Это означает, что
D.13.3)
§ 14. СПЕЦИАЛЬНАЯ ПОЛНАЯ ОРТОНОРМИРОВАННАЯ СИСТЕМА
В дальнейшем нам потребуется полная ортонормированная система диф-
дифференциалов в классе Р, обладающая специальными свойствами. Мы теперь
ее построим методом, весьма бл неким тому, который был применен в случае
плоских областей ([2а]).
Допустим, что поверхность ЗК ориентируема, и обозначим через д и С
соответственно некоторую\ точку поверхности Щ и униформизирующую в этой
точке. Пусть Рп(<7) ='РпО7»С) — подкласс класса Р, состоящий из дифферен-
дифференциалов &\, удовлетворяющих условиям
«0 при *=1, 2, ..., л-1; /<л>(<7) = 1, D.14.1)
112 Гл. 4. Билинейные дифференциалы
где
/(V) (п) = ±1
Рассмотрим сначала случай поверхности $Щ, имеющей край. В этом слу-
случае Рп G) непусты для каждого п> 1. Действительно, пусть гЛ ... , гп —
произвольные точки поверхности Ш- Рассмотрим дифференциал класса Р
п
(р) = ^ хгЬр (р, ;,) йр. D.14.2)
/1
Числа хг могут быть выбраны так, чтобы дифференциал сТТ принадлежал
к классу Рп(#)> при условии, что определитель
D.14.3)
не обращается в нуль. Покажем, что точки гг могут быть выбраны таким
образом, чтобы этот определитель был отличен от нуля. В самом деле, если бы
этот определитель обращался в нуль при любом выборе точек г{€Ш, то
мы бы, очевидно, имели
п—1
^(|) D.14.4)
к=0
где коэффициенты ак не зависят от то^жи г. Продолжая это тождество на со-
пряженную поверхность $Щ, мы бы получили
п—1
2 ак|^(ы?,/■)!) = <). D.14.5)
к=0
Однако ясно, что тождество D.14.5) невозможно, так как при ^ — ^ его
левая часть обращается в бесконечность.
Итак, доказано, что определитель D.14.3) не обращается в нуль тож-
тождественно при произвольном выборе точек гг. Следовательно, всегда возможно
построить дифференциалы класса Р и вида D.14.2), принадлежащие к Рп(<7).
Иными словами, класс Рп(<7) непуст для каждого п>1. Обозначим
через й нижнюю грань норм N (й$) дифференциалов класса Рп(#)> и пусть
{й/ц.} — последовательность дифференциалов класса Рп (^), для которой
ц-кэо
Ясно, что последовательность {^/ц} сходится равномерно в любой замкнутой
подобласти к некоторому дифференциалу й^{П)^п (?)• Обычное рассуждение
доказывает, что N (й^п)) — Л- Кроме того, если произвольный дифференциал й]
класса Р удовлетворяет условиям
то из минимизирующего свойства дифференциала й/(„> следует соотношение
D.14.6)
Отсюда заключаем, что минимизирующий дифференциал й$(П) единственен.
Положим
, Л=1, 2,... . D.14.7)
Система {йъп} ортонормирована. Докажем теперь, что она является полной.
Пусть о!/— произвольный дифференциал класса Р. Положим
{1 — 1,2, ... . 9 D.14.8)
Литература 1-13:
Из- § -3 гл. 2 извести©, что сумма ряда Фурье
г * ' оо
- 2 Яц <*<?*
1
является дифференциалом- класса Р. Для доказательства полноты нашей
системы достаточно показать, что й1 = й§. Пусть числа доопределены таким
образом, чтобы дифференциал
5-1
' "' • ' <*//=* 2^6>^ * * * , D.14.9)
удовлетворял следующим условиям:
/^)(9) = /(^)(9); " р- 1, 2, . ..,5—1; 5>2. * D.14.9)'
Так как
' ' ' ,D.14.10)
то числа а15) определены единственным образом. Из формул D.14.6), D.14.8)
и D.14.9) получим . . % ,
И/.-Л.^Иа^-^-О, 7 = 1,2, ...,5-1. D.14.11)
Формулы D.14.9) и D.14.9)' дают
5 <} ^=1, 2 в"- 1.
Воспользовавшись тем, что равномерно сходящиеся ряды аналитических
функций, можно дифференцировать почленно, получим, заставляя число 5
стремиться к бесконечности,
и. — 1 9 >
Итак, / = §", и существование полной ортонормировацной системы полностью;
доказано.
Э., олучае замкнутой поверхности 5Щ имеется только конечное числ®]
независимых дифференциалов, и, следовательно, построениеч полной ортонор-
мированной системы превращается в задачу элементарной алгебры,* котррад,
всегда мржет бытъ^ разрешена. Существует трлькр конечное, числр непустых
классов Рп(<7); в каждом из них мржно решить предыдущую задачу на оты-
отыскание минимума нормы и построитынормированный дифференциал йу^, орто-
ортогональный к;о реем дифференциалам .классов Рт(#) при т>п. При цомощи
описанного . процесса возможно построить специальную полную ортрнорми-
рованную систему, полезную-во многих приложениях. - , <, , ■
ЛИТЕРАТУРА ' ' " ' /
1. Ароншайн (А г о п 5 2 а ] п 1^.) ' • -■' >
Ьа 1Ьёопе Лез лоуаих гергос!и15ап18 е1 зез аррНсаНопз I, Ргос. СапгЬпе1&е РкИ.
Зое, 39 A943), 133—153.
2. Бергман ' (В ег§тапЗ.) '
а) РагНа! (Ц{!егеп11а1 е^иаиоп5, ас!уапсеA 1ор1сз,. Вго^п итуёгзНу, Рг®У1Aепсе,
" 1941 1 (мимеография). . - . .*>
Ь) 5иг 1ез ^опсиопз ог11ю§опа1ез с!е р1и51еигз уаг1аЪ1е§ сошр^хез ауес 1вз арр- •
^ . ИсаНопз а ЫЛЫот'ге йе$ !опсиопз &па\уИцае$9 Мет. с!ез 5с1. Ма1ЬЯ 'уо1. 106,
ааи!Ыег-У111а;5, Раг15, 1947. . • ' ^ . ^
с)..ТЬе кегле! ГипсНап апй соп!огта1 ^тарр^п§, ДШЬ. Зигу^у'б, Иа. 5, Атег.
Ма1Ь. 5ос, Ые\у Уогк, 1950. \ . , ^ --•> -
3 Заказ № 634
114 Литература
ё) ОЬег (Не Еп1шск1ип& ёег Ьагтошзспеп РипкИопеп ёег ЕЬепе ипё ёез Каитез»
пасп ОгИю^опаИипкИопеп, Ма1п. Аппа1еп, 96 A922), 237—271.
3. Бергман, Шиффер (Вег&тап 5., 5 с Ь Ш е г М.)
а) А гергезепШюп о! Огееп'з апё Ыеитапп'з [ипсИоп т 1пе 1пеогу ог рагИа1
ёШегегШа1 едиаНопз о! зесопё огёег, Эике Ма1п. Лоигп., Ц A947), 609—638.
Ь) Кегпе1 {ипсИопз апё соп!огта1 таррт&, СотрозШо Ма1п., 8 A951),
205—249.
4. Бохнер (ВосЬпег 5.)
ОЬег ог1Ьо&опа1е 5уз1ете агЫуИзспег РипкПопеп, Ма1п. 2., 14 A922), 180—207.
5. В е й л ь Г. (\У е у 1 Н.)
Э1е Нее ёег Шетаппзспеп Р1аспе, ТеиЬпег, ВегПп, 1923.
6. Гарабедиан, Шиффер (ОагаЪесПап Р. Н-, ЗсЫНег М.)
а) НепИИез 1П 1Ье 111еогу о[ соп!огта1 тарр1П§, Тгапз. Атег. Ма111. Зое, 65
A949), 187—238.
Ь) Оп ех151епсе Илеогетз о! ро1епИа1 111еогу апё соп!огта1 тарр1Пё, Аппа1з о!
Ма1Ь., 52 A950), 164—187.
7. Гензель, Ландсберг (Н е п $ е 1 К-, ЬапёзЬег^ С.)
ТЬеог1е ёег а1^еЬга15с11еп РипкИопеп е1пег Уаг1аЬе1п, ТеиЬпег, Ье1р21&, 1902.
8. Грётш (О г 6 1 г з с Ь Н.)
ОЬег ёаз РагаПеЬсЬПи^еогет ёег коп1огтеп АЬЬНёип^ зсЬПсЫег Веге1сЬе^
Вег. йЬег сИе УегЬ. ёег ЗасЬз. Акаё. /4^: Ш155., Ье1р21^, МаИъ-РЪуз. К1., 84
A932), 15—36. Ч
9. Ке л л о г (Ке 1 1 о^ § О. Э.)
РоипёаНопз о! ро!епиа1 111еогу, 5рпщ*ег, ВегНп, 1929.
10. Курант и Гильберт (С о и г а п 1 К. ипё Н 1 1 Ь е г 1 В.)
Методы математической физики, т. II, изд. 2, М.—Л., 1951.
11. Л е х т о (Ь е Ь 1 о О.)
Агшепёищ* огИю&опа1ег 5уз1ете аи! §е\У155е [ипкиопеп^еогеИзсИе Ех1гета1-
ипё АЬЬ11ёип^5ргоЫете, Апп. Асаё. 5сь Репп., А. I, 59 A949).
12. Л и т т л ь в у д (Ь 1 1 1 1 е \у о о ё Л. Е.)
ТЬеогу о! {ипсИопз, Ох!огё \]тч. Ргезз, 1944.
13*. Маркушевич А. И.
Теория аналитических функций, М.—Л., 1950.
14. Марцинкевич. Зигмунд (Магс1пк1е\У1С2 Л., 2 у & т и п ё А.)
А 1Ъеогет о! Ьизт, Эике Ма1Ь. Лоигп., 4 A938), 473—485.
15. Н е х а р и (Ы е Ъ. а г 1 2..)
ТЬе кегпе1 ГипсИоп апё сапошса1 соп!огта1 тарз, Эике Ма111. Лоигп... 16 A949),
165—178.
16. У о л ш (V/ а 1 з Ь Л. Ь.)
1п1егро1аИоп апё арргох1таИоп Ьу гаИопа1 {ипсИопз 1П 1Ье сотркх ёотахп,
Со11о^и^ит РиЬНсаНопз, уо1. 20, Атег. АШЬ. Зое, Ые\у Уогк, 1935.
17.* Чеботарев Н. Г.
Теория алгебраических функций, М.—Л., 1948.
18, Ш и фф е р E с Ь 1 II ег М.)
а) Тпе зрап о! тиШр1у соппес!её ёотатз, Эике Ма1Ь. Лоигп., 10 A943),
209—216.
Ь) Тпе кегпе1 1ипс1юп о! ап ог!попогта1 зуз1ет, Эике Ма1Ь. Лоигп., 13 A946),
529—540.
с) Ап аррНсаНоп о! ог1попогта1 1ипсИопз 1П 1Ье 1пеогу о! соп!огта1 тарр1п§,
Атег. Лоигп. о! Ма1п., 70 A948), 147—156.
ё) Уагюиз 1урез о! огИю^опаНгаИоп, Эике Ма1Ь. Лоигп., 17 A950), 329—366.
19. Шиффер, Спенсер EспП!ег М., 5 р е п з е г Э. С.)
а) Тпе соеШаеп! ргоЫет !ог тиШр1у-соппес!её ёота1пз, Аппа1з о! Ма1Ь.,
52 A950), 362—402.
Ь) Ьес1игез оп соп!огта1 тарр1п^ апё ех!гета1 ше!поёз, Рг1псе1ои
1949—1950 (мимеография).
ГЛАВА 5
ПОВЕРХНОСТИ, ВЛОЖЕННЫЕ В ЗАДАННУЮ ПОВЕРХНОСТЬ
§ 1. ОДНА ПОВЕРХНОСТЬ, ВЛОЖЕННАЯ В ДРУГУЮ
Предположим, что поверхность $Щ вложена в некоторую другую конеч-
конечную риманову поверхность 91. Другими словами, предположим, что поверх-
поверхность Ш является подобластью поверхности 91. Нашей целью является полу-
получение тождеств и неравенств, связывающих принадлежащие поверхности Ж
функционалы (билинейные дифференциалы, дифференциалы первого рода и их
периоды) с соответствующими функционалами, принадлежащими поверх-
поверхности 91.
Любая неориентируемая поверхность обладает покрытием, представля-
представляющим собой симметричную ориентируемую поверхность. В гл. 4 было уста-
установлено, что отсюда следует эквивалентность теории принадлежащих не-
ориентируемой поверхности дифференциалов и теории дифференциалов, при-
принадлежащих ориентируемой поверхности и удовлетворяющих, кроме того,
условию симметрии. Кроме того, если некоторая неориентируемая поверх-
поверхность вложена в некоторую другую поверхность, то и ориентируемое покры-
покрытие первой поверхности вложено в ориентируемое покрытие второй поверх-
поверхности. Итак, теория вложения неориентируемых поверхностей полностью
сводится к теории вложения симметричных ориентируемых поверхностей,.
В дальнейшем, если не будет точно оговорено противное, рассуждения будут
вестись только для ориентируемых поверхностей.
Если поверхность $Щ вложена в поверхность 91, то всегда будем пред-
предполагать (кроме оговоренных случаев), что компоненты края 331 являются
аналитическими кривыми на поверхности 91. При этом условии граничные
униформизирующие поверхности Ш будут годиться в качестве обычных уни-
формизирующих поверхности4 ЗД в соответствующих точках. Эти ограничения
введены для упрощения доказательств; они могут'быть затем устранены пу-
путем предельного перехода. Заметим, что покрытие 91 замкнутой поверхности УЛ
также замкнуто и совпадает с самой поверхностью 5Щ. В дальнейшем этот
тривиальный случай исключается; всегда будет предполагаться, что поверх-
поверхность ЗЛ имеет край.
Назовем вложение поверхности $Щ в поверхность 91 существенным, если
каждый гомологичный нулю на поверхности 91 компонент края 2К гомологи-
гомологичен нулю и на 5Щ. Вложение называется правильным, если каждая краевая
точка поверхности $Щ является внутренней точкой поверхности 91.
Обозначим через к род, через га число компонентов края поверхности.
5Щ и через
Кг> К2, . •. , Ко, С = 2/г +га— 1,
— каноническую гомологическую базу $Щ. Через /B/1+1» ... 1 К2н+т-\ здесь
обозначены граничные циклы; каждый цикл /Сгл+р гомологичен компоненту С^
края поверхности $Щ. Циклы К1У ... , Кгк гомологически независимы на по-
поверхности 91. Аналогичное утверждение для циклов /Сгл+ь •• - » К2н+т~-1 не
всегда справедливо, так как на поверхности 91 эти циклы могут частично
совпадать. Обозначим через
, ... , о/ъ 0%
8**
Л6
Гл. 5. Поверхности, вложенные в заданную
каноническую базу циклов поверхности 9$. На поверхности 9? справедливы
соотношения
ц, = У,
Обозначим через
=1, 2, ...,
функцию Грина поверхности $1 и через
E.1.1)
..
- дрдд
производящее ядро дифференциалов класса М. Для дифференциалов кано-
канонической базы имеем выражения (см. гл. 4)
= 1,2, ... ,00.
E.1.3)
Положим
, V = ?1, 2, ..
E.1.4)
Дифференциалы, соответствующие циклам /Сц. при [х= 1, 2, ... , О, опреде-
определим • соотношениями
Со
Положим
Если обозначить через
циал, соответствующий циклу
поверхности 1К, то
1, 2, ... , О.
E.1.6)
принадлежащий поверхности $Щ дифферен-
дифферен^, и через й] — дифференциал класса М на
,о = - 2 а
Со
Итак,
В частности,
Положим
= 1, ... ,0.
E.1.7)
E.1.8)
E.1.9)
= 1, 2, ♦.. , Со; V = 1, 2,
, С
Используя соотношения E.1.7), теперь получим
с0
E.1.10)
Отправляясь от равенств E.1.6), найдем
= 2 «цр^а
E.1.11)
1.<0дна поверхность, вложенная в другую Ц7
Итак, периоды дифференциалов ^ и 2/^ относительно циклов /С7 .поверх-
.поверхности Ш можно выразить через периоды базисных дифференциалов нбверх-
ностй, 91 при Помощи коэффициентов преобразования гомологической базы.
Далее, из формул E.1.1) получим
Со " '
1 E.1.12)
?>
Обозначим через Р^ некоторый класс дифференциалов на поверхности
Говорят, что класс Рэд дифференциалов на поверхности 9# соответствует
классу Р<#, если каждый дифференциал из Р^ удовлетворяет всем тем соотно-
соотношениям между периодами, которым удовлетворяют дифференциалы из'Р^
В частности, если Р«? = Рго(/1> ... , к) и, следовательно,
^а/, аАэр^ = \), р ~ /г, . . . , /^ ^0.1.1ч>)
для каждого дифференциала ^/€Рде> то дифференциалы с?/ соответствующего
класса Р^ = р5щ(г\, ... , ц), рассматриваемые как дифференциалы на поверх-
поверхности %Л, удовлетворяют соотношениям между периодами, характерным для
класса Рд#:
ШТ, аЛ0)«т> = и, Р = и ,...,?/. @.1.14)
Из формул E.1.12) заключаем, что соответствующий класс Р^ симметричек,
если симметричен класс Р^.
Если задан на поверхности 91 класс Р^, то через <%г(р,д) обозначим
билинейный дифференциал этого класса Р^ на поверхности 91 и через /,Р (р, ^) —
билинейный дифференциал соответствующего класса Р^щ на поверхности 9#.
Положим
1г(р> <7)=^р(Р> Ч) — <%г(Р> Ф- E.1.15)
Дубль поверхности Ш состоит из двух поверхностей: $Щ и ЭЛ; также
и дубль поверхности 91 состоит из двух поверхностей: 91 и 91, В каче-
качестве Ш удобно принять ту подобласть поверхности Й, которая сопряжена
подобласти Щ, дубля поверхности 91. Дубль области $Щ теперь получим,
идентифицировав границы областей 9Л и $Щ. При этом условии точка
р€Ш определена единственным образом; ее можно рассматривать либо как
точку поверхности. $Щ, либо как точку поверхности Й. При этом символы
1*(Р>Ч)' 'р (р, 9)"~также приобретают смысл.
Положим для упрощения обозначений
E.1.16)
! E.1.17)
В этих формулах
о
E.1.16)'
, V=^
н
E.1.17)'
Сравнивая эт*й формулы с формулой D.11.1), видим, что коэффициенты -о^
и р^7 обращаются в нуль, если индексы [х или V имеют Значений, отлдавые-от?
118 Гл. 5. Поверхности, вложенные в заданную
чисел /т, х = 1, 2, ... , /, или чисел /т, т= 1, 2, ... , й, соответственно. Из
формул D.11.5) имеем
- ' E,1.18)
Пользуясь соотношениями D.11.3), получим
с
/ I &\хч *■ [д.р — Оуо> р == 1\> 1%у • • • > ^ > ^5. 1.19)
И
Со
где Гц.р--=
Так как дифференциал <%г(р, 9) принадлежит к классу Р^ на поверх-
поверхности 91, то он принадлежит и к классу Р^, и, следовательно,
= /х, /2, ... , гг E.1.14)'
Подставляя сюда выражения E.1.17) и E.1.17)', получим
'?(Ч)= 2 Р^е^рг;(<7), р-/г, ...,г(. E.1.21)
1
Сравнивая формулы E.1.21) и E.1.5), получим соотношения
о
§ 2. НЕСКОЛЬКО ПОВЕРХНОСТЕЙ, ВЛОЖЕННЫХ В ЗАДАННУЮ ПОВЕРХНОСТЬ
Рассмотрим теперь случай, когда множество 9Л, вложенное в поверх-
поверхность 5К, состоит из нескольких компонентов, каждый из которых является
конечной римановой поверхностью. Итак, предположим, что 9К представляет
собой сумму конечного числа областей 9К^ 7=1, ... , к> каждая из которых
является конечной римановой поверхностью, вложенной в 91. Предположим
также, что никакие две области ЗК^ не имеют общих точек.
Если компонент 9Л\> множества Ш имеет род й7 и пгу контуров границы,
то положим
Алгебраический род множества 9К определим равенством
к
Обозначим через
каноническую гомологическую базу поверхности $Щ7. Циклы
ьгA) 1^A) ьг(к) „(к)
Дх , . . . , Л(?! , • • • , Лх , • . . , Л(?|{
пронумеруем; полученную систему циклов
К±> • • •» Ко E.2.1)
назовем канонической базой множества $Щ. Дифференциал с12$\ соответ-
соответствующий циклу К^У) на поверхности 93^7, доопределим на множестве 3? —
§ 3. Основные тождества 11
положив его там равным нулю. Совокупность дифференциалов
является базисом дифференциалов, принадлежащих множеству 5Щ. Обозна-
Обозначим этот базис через
йЪ±, ..., й1о. E.2.2)
Очевидно, что формулы E.1.1)— E.1.12) справедливы и при этом, более
общем, понимании фигурирующих в них символов.
Пусть задан класс Р^ на поверхности 91. Обозначим через Р7 соот-
соответствующий класс на поверхности ЭДЬ- Доопределим принадлежащий 50^
дифференциал й\^ на всей поверхности 91, полагая его равным нулю вне
компонента 91Ь- Обозначим через Р^ класс дифференциалов
^-^ + ^2+.-.+^ ^^6РV. E.2.3)
Дифференциалы й] тождественно равны нулю на множестве 31 — Ш и сов-
совпадают с одним из дифференциалов класса Р7 в области ЗДЬ. Класс Рэд
назовем соответствующим классу Р^.
Пусть теперь класс Р = Р^щ соответствует заданному классу Р^. Били-
Билинейный дифференциал Ьг{р, д) этого класса Р^ на Ш определим следующим
образом: если обе точки р, ц поверхности 91 принадлежат замыканию неко-
некоторой области 93^, то дифференциал ^р(р, ц) полагаем равным билинейному
дифференциалу Ь^ (р, ^) класса Р7 на Шч', в остальных случаях /,Р (р, ^)
полагаем равным нулю.
Минизирующее свойство сингулярного билинейного дифференциала,
введенного в случае одной конечной римановой поверхности, показывает,
что только что данное определение дифференциала 1р(р, 9) является вполне
естественным. Нормой дифференциала на множестве 5Ш назовем сумму норм
составляющих дифференциалов. Если точка ц принадлежит поверхности Щуу
то дифференциал, имеющий наименьшую норму среди всех дифференциалов
с заданной особенностью в точке д, обращается, очевидно, в нуль на по-
поверхностях ЗЛ^ (р- ?= V), где он регулярен, и совпадает с дифференциа-
дифференциалом Ь(г1 на 50Ь.
Для дифференциалов ^/^Рэд справедливы формулы
E.2.4)
E.2.5)
Положив ^ \
Г (^ 02) E.2.6)
видим, что матрица периодов ||Гу^|| является неособенной. Действительно,
ее определитель просто равен произведению соответствующих определителей
периодов компонентов множества ТО- Формулы E.1.16)— E.1.20) остаются,
следовательно, справедливыми. Все соотношения формально распространя-
распространяются на этот случай, в котором множество 5Щ является суммой конечного
числа непересекающихся подобластей поверхности 1
§ 3. ОСНОВНЫЕ ТОЖДЕСТВА
Предположим, что множество ЗЯ является суммой конечного числа не-
непересекающихся поверхностей, вложенных в поверхность 9?. Найдем форму-
формулы для разностей
*■ И V Ир.> **\1 *?\Х9 /р ^ /-»р
120 Гл. 5. Поверхности, вложенные в заданную
Начнем с доказательства того; что для фиксированной точки д^Ш раз-
разность /р(р, д) является дифференциалом класса Р$щ на множестве ЭДЬ Оче-
Очевидно, что разность 1р{р, д) регулярна и принадлежит, следовательно^ клас-
классу М на множестве $Щ. Остается показать, что дифференциал 1т{р> «?)
удовлетворяет соотношениям периодов для класса Р$щ. Из формул ^D.10.15)
E:1.5) получим
)ш=-РAм(р д)К») = 5
Заметим, что соотношения E.3.1) остаются справедливыми и в случае заме-
ны <7 на <?• Используя последовательно формулы E.1.16) и E.1.17), E.1.16)',
E.1.17)' и E.3.1), E.1.19) и E.1.22) для р.= гт„ т=1, 2, ...,/, получим
Я), 2.'?(р))ш-'г(ВР (р, 7), Ц(р))ш - (#р(р,
=1 [^
= -Ц (д) + У'? (д) + г;(д) - &;&) - 0.
Итак,
(/( ) 2;()H р = /!,...,//, E.3.2)
и, следовательно, дифференциал /р(р, д) принадлежит классу Р^. То же
.рассуждение применимо и к дифференциалу /р(р, д), но в этом нет необхо-
димости, так как дифференциалы Хр(р, ^) и Хг(р, о) оба принадлежат
классу Р>д^.
Основным является следующее тождество:
(/р(р, д),1г(р, 0)^= —^(^ 9)- E.3.3)
Для доказательства этого тождества заметим сначала, что
(р, д)у 1Р (р, г))п = 1р (г, ?) E.3.4)
всех точек д и г на поверхности 9?.' Действительно, если обе точки д и
г не лежат в одном и том же компоненте множества 2К, то обе части ра-
равенства E.3.4) обращаются в нуль. Если обе точки ди г принадлежат ком-
компоненту $Щц, то
> Я)у ^р (ру г))™ — ^р1 (г, д) — Ь?(г, д).
случае, когда точка д отлична от точки г, ^то равенство выводится из
формулы D.12.3); при д — г необходимо добавить предельный переход при
г—>д. Итак,
п , д). ' E.3.4)'
Из формулы E.2.4) получим -
и; следовательно,
, д). E.3.5)
§ 3 Основные тождества 121
Наконец,
, я), 1р(р,
(г, 9) + «^р(г, Я) = -/р(г, ?)»
чем и доказано тождество E.3.3).
Тождество E.3.3) остается также справедливым при замене г на г:
-^(^ ?)> E.3.6)
и при замене ц, г соответственно на 9> г:
' E.3.7)
Рднако эти тождества не могут быть получены сразу, посредством аналити-
аналитического продолжения, из тождества E.3.3). Используя формулы E.2.4) в
^5,2.5), найдем
Поступая аналогично, из формулы E.2.5) найдем
, г))" —
Положим
=к (я) - &; {я)-
В формулах E.3.3) и E.3.7) положим Р = М и зафиксируем точку 9- Вычи-
Вычислив периоды по переменной г вдоль цикла /Сц, при помощи формулы E.3ЛУ
получим
м
См(р,9). »ЛР))я= -8^(9). E-зл0>
Наконец, положив ^) '
Тц.V = И^1V —ГI^1V> E.3.11)
вычислим, периоды дифференциала E.3.9) по переменной ц вдоль цикла К^
Так как коэффициенты ^ действительны и, следовательно, симметричнкг
получим соотношения
- E,3.
Справедливо также тождество
? E.3.13)
Тождество E.3.13) показывает, что дифференциал /р(г, #) является проек-
проекцией сингулярного дифференциала Х?(р, д) в пространство дифференциалов
класса Р^ на множестве
322 Гл. 5. Поверхности, вложенные в заданную
Другие тождества выводятся столь же просто. Например, используя
соответственно соотношения E.1.19), E.1.20) и E.1.22), получим
(ВР(р, я)9Вг{р9 г))п = ВгG, ?)> 15.3.14)
= ^г (г, ?), E.3.15)
(Вр(р, д), ^р (р, г))» =22 «.XV (Рр«Г (е»ц)" ^ (Я) %* (г) =
о E.3.16)
= 2 ^^1G) г;
1
Из формул E.3.1) и E.3.2) следуют теперь соответственно соотношения
о
(/м(р, 9), Яг(р,/О)ю= ^ «^^(О^^-Вр^^), 0.3.17)
д, \ч E.3.18)
Наконец,
= A,м (Р, <7), ^р (Р, г))ж - (<5?м (р, <7), ^р (Р, г))Л = 0. |5.3.19)
Полагая г = <7, 9€Ж» в формуле E.3.3), получим неравенство
(Я, Я) + (Хг (р, 9). =Й?р (Р.
Это неравенство имеет геометрическую интерпретацию для случая Р =5,
где 5 —класс дифференциалов, имеющих однозначные интегралы. Действи-
Действительно, положим
& Я). E.3.21)
Из гл. 4 мы знаем, что % есть максимальная внешняя площадь образа по-
поверхности 91 при отображении, осуществляемом однозначной функцией #,
имеющей полюс в точке ц и такой, что разность с1§ — %&{р, #) остается ре-
регулярной в точке 9- Обозначив через Е соответствующую максимальную
внешнюю площадь образа множества 9Л, получим
Е > Ш + («5?5 (Р, <7), ^8 (р, <7))»1-ай- E.3.22)
Действительно, максимальная внешняя площадь образа множества Щ не
меньше, чем соответствующая внешняя площадь образа 9Л при отображении $,
определяемом дифференциалом й$ = <%$(р, ^)- Неравенство E.3.22) эквива-
эквивалентно неравенству E.3.20).
Аналогичное неравенство получим, сравнивая внутренние площади. Обоз-
Обозначим через ц точку множества $Щ и положим
/ ч Ч(Р. ^) ,, , ч
(Р) ^ТТ^Г ' ЙЬ (Р) =
^ (я я)
ТГ ' Ь (Р) ^ , -
5 (я> я) #8 (я, я)
Так как норма Ы%ц(с1?&) минимальна, то
(аи) >
§ 4. Неравенства для квадратичных и эрмитовых форм 123
С другой стороны,
Положив
получим неравенство
аналогичное неравенству E.3.22).
Неравенство E.3.23) может быть также получено из одного тождества,
выводимого ниже. Применяя обозначения, смысл которых ясен из вышеиз-
вышеизложенного, положим
(р, ф = ф (р) - а& (р). E.3.24)
Для точек <7> ^6 3Л имеем
, г),
^ E.3.25)
Р (у, г) ^Р (у, г)
^ ( ^) 1 {, 7) Г"
Полагая здесь, в частности, г — д, получим
11 1
(Р. 9))щ1>0^ <5.3.2б)
представляет собой обобщение неравенства E.3.23).
Заметим, что формула E.3.3) может быть записана в форме
E.3.27)
Эта формула будет играть важную роль в теории вариаций областей
Действительно, если область Ш близка к поверхности 91 (в смысле, кото-
рый будет пояснен в дальнейшем), то разность /р(г, д) — Ь?(г, ^) — «5?р(г, ^)
будет мала и по сравнению с ней первый член в правой части равенства
E.3.27) будет малой высшего порядка. Итак, справедливо соотношение
(г, <7) ^, -(#р(Р> <7)>^р(Р>>0)^*т> E.3.27)'
в котором правая часть может быть оценена, если известен ^-дифферен-
^-дифференциал поверхности 91. Таким образом, дифференциал /,р (р, ^) может быть
приближенно определен при помощи дифференциала с5?р(р, д).
§ 4. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ КВАДРАТИЧНЫХ И ЭРМИТОВЫХ ФОРМ
Применим теперь неравенства предыдущего параграфа с целью получе-
получения неравенств для квадратичных и эрмитовых форм, имеющих соответст-
соответственно следующие матрицы коэффициентов:
124 ^ Га, 5. Поверхнеети, вложенные в заданную
Этим путем будут получены необходимые условия в форме неравенств-, свя-
связывающих квадратичные и эрмитовы формы, для того, чтобы одна или не-
несколько поверхностей могли быть вложены в заданную поверхность Ш. В сле-
следующем параграфе из этих неравенств будут выведены необходимые и до-,
статочные условия для того, чтобы заданная поверхность $Л могла быть
вложена конформно в другую заданную поверхность 9?. В связи с конформ-
конформным отображением плоских многосвязных" областей частный вид этих нера-
неравенств был получен Грунским [2] (см. также [1]).
Положим
ГР (г, д) = (сЗРр (р, ?), ^р (р, г))т_ш. E.4.1)
Аналогичные обозначения введем также в тех случаях, когда точка г или
точка #-заменена соответственно точкой г или точкой ц. Например,
ГР(г, <7) =
Рассмотрим норму над множеством
N N
(
( 2 *Л (Р» 9ц.) -^ 2 ^1р (Р' ^)) > E.4.2)
где X,. х^ — произвольные комплексные числа и ^ — точки множества
Из формул D.11.7), D.9.2) и E.3.27) найдем, что норма E.4.2) равна
V=1
E.4.3)
Так как выражение E.4.3) остается неотрицательным при любом выборе
крмплексного числа X, то справедливо неравенство
2
E.4.4)
2 ^{%^^)ЧХ^' 2
Заметим, что производящее свойство доставляет следующее неравенство:
- 2 М<7и> Яч)ХрХч = 1Уш^ 2 *мМР» 91-))>°- E.4.5)
Аналогично,
Л^ N.
2 гр(^, ^)^ = %_^( 2 -*^г(Р>^))>0. E-4.6)
IX, 7=1 ^=1
Итак, , г
■ " ' 1 'М N
2 ь? (Я* > Ь) х^ху 2 гг(?7, 9[л)л:р1^<0. E.4.7>
И-, 7=1 , 4 }х, 7=1
§ 4. Неравенства для ^квадратичных « эрмитовых форм
123
Из формулы E.4.4) а 1ог1юп следует справедливость неравенства
N
2
ц
N
. ♦ Н-, У=1 Ц-, V=1
В частности, из формул E.4.5) и E.4.8) имеем
N
-, V=1
Вместо нормы E.4.2) можно рассмотреть норму
.E-4.8)
E.4.9)
2 ^
11=1
E.4.Ю)
В силу формулы E.3.7), этот интеграл равен следующему выражению:
N
' -и
ц., 7=
N
E.4.11)
,7=1
N
- 2
Так как выражение E.4.11) остается неотрицательным при любом выборе
комплексного числа X, то справедливо неравенство
N
N
2
2
ЛГ
2
E.4.12).
Следовательно,
2
N
E.4.13)
С другой стороны, из неравенств E.4.5), E.4.12) и E.4.13) получаем
2
Для упрощения записи положим
N
Ц.,7=1
N
E.4.14)
E.4.15)
Г26
Гл. 5. Поверхности, вложенные в заданную
и
E.4.16)
Из неравенства E.4.14) следуют соотношения
Следовательно,
В силу неравенства E.4.12), имеем
/1= Ь
E.4.17)
E.4.18)
E.4.19)
и, следовательно,
E.4.20)
Итак, \Х\>1\ Если |,5?|>Г, то формула E.4.20) позволяет оценить вели-
величину \Ь\. Используя неравенство E.4.13) и формулу D.9.2), примененную
для поверхности 91, получим
N
(Р. ?„
N
E.4.21)
Следовательно, неравенство E.4.20) можно записать в виде
E.4.22)
Таким образом, неравенство E.4.22) является усилением неравенства E.4.18).
Полагая в выражениях E.4.15) N —I, хх=1 и опуская индекс 1 у точки д,
получим
г = IV (<?,?)• E.4.23)
В этом частном случае неравенство E.4.22) принимает следующую форму:
(д. ?)J
(р, <?))
E.4.24)
Нетрудно убедиться в том, что неравенство E.4.24) представляет собой видо-
видоизмененную форму неравенства E.3.26).
Одно из неравенств можно получить, используя тождество E.3.12).
Положив
301
E.4.25)
рассмотрим норму
N
E.4.26).
§ 5. Продолжение локального аналитического вложения
127
Используя формулу E.3.12), найдем, что этот интеграл равен
2
+ 2 Ке {
у (<7и)
E.4.27)
Так как это выражение остается неотрицательным при любом выборе ком-
комплексного числа X, то справедливо неравенство
N
2
N
2
N
2
. E.4.28)
Так как
2
, 7=1
11=1
то и подавно
N
2
N
A,7=1
- 2
и, 7=1
E.4.29)
В частности,
л/
11, 7=1
11, 7=1
Таким образом, имеем
N
/1 Щ
, V=1
N
V=1
Здесь обе суммы неотрицательны.
Из неравенства E.4.28) можно получить и более точную оценку
2
, 7=1
Следовательно,
N
2
, 7=1
N
2
11, 7=1
N
2
1х=1
. E.4.31>
§ 5. ПРОДОЛЖЕНИЕ ЛОКАЛЬНОГО КОМПЛЕКСНОГО
АНАЛИТИЧЕСКОГО ВЛОЖЕНИЯ ОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ В ДРУГУЮ
Пусть задано локальное аналитическое отображение некоторой окрест-
окрестности заданной поверхности 9К* на окрестность, принадлежащую некоторой
другой поверхности 91. Применим теперь неравенство E.4.8) для получения
необходимых и достаточных условий существования такого продолжения задан-
заданного локального отображения на всю поверхность $Щ*> при котором эта
поверхность отображается взаимно однозначно и конформно на некоторую
подобласть поверхности 91. Д^уЬими словами, постараемся получить необхо-
необходимые и достаточные условия для того, чтобы локальное комплексное анали-
аналитическое йложение было комплексным аналитическим вложением в целом.
Для плоских областей эти условия были получены, когда поверхностью
является сфера (см. [1]).
128 Гл. 5. Поверхности, вложенные # зйданщю
В этом и следующих параграфах настоящей главы» будем, предполагать
класс Р^ симметричным. При этом условии в формулах предыдущего пара-
параграфа можно будет применить соотношения, симметрии
МР» <7) = ^р(<7>Р)> %г(Р> ч) = <%*D> р). E.5.1)
Неравенство E.4.8) может быть теперь записано таким образом:
N N \ N
2 ^г(%> <Ь)*1л*7- 2 ^р(Я[ьчйчУк^х*. {5.5.2)
1 Л
Так как
N
E.5.3)
то мы имеем а 1ог1юп
N N
2 ^г{Яцу^)Ч^)\ E.5.4)
N N • __ у-
I ^П 1 (п П \Ч* V I <Г ^ 1 ~(п Л Уу V ^ /^ ^ ^\
Ц, ,7=1 |Х, 7=1
Имея неравенство вида E.5.5) для квадратичной формы, Аюжно нёме-^
дленно получить аналогичное неравенство для соответствующей билинейной
формы. Действительно, если'^, у2-, ..., ум-^множество независимых ком-
комплексных чисел, то
4 2 'р (<7ц.» 97)^^/7= 2
Неравенство E.5.5) теперь дает
N
Следовательно,
N N
VI II \ ^ ^ VI г/ ~\/ ~~1 \ /сгс^ч
А, 7=1 Ц..7=1 ' I
Посредством предельного перехода от неравенств E.,5.5) можно перейти
к неравенствам между интегралами. Пусть р0 — внутренняя точка поверх-
поверхности ЯК и г0 — униформизирующая в этой точке. Круговую область \г{
(а > 0) обозначим через $Щ0. Координаты точек р, цу принадлежащих
обозначим соответственно через 2, С, т. е. г = го(р), С = 20(<7). Через р(г0)
обозначим некоторую комплексную функцию переменной.г0 на границе
области 5Ш0. Из неравенства E.5.5) предельным переходом получим
дующее неравенство: -
Р @ 4г<« | < - ^ 5 ^(р> д)?{г) (р
б. Продолжение локального аналитического вложения 129
В области УЛ0 справедливы следующие разложения:
оо
^=° E.5.8)
СО
- 2
Коэффициенты этих рядов, согласно предположению о симметрии E.5.1),
удовлетворяют соотношениям
(О.О.У)
Положив в неравенстве E.5.7)
получим
N
^^ | < ^ Ь^а^а^,. E.5.11)
= 0 [I, V=0
Неравенства E.5.11) справедливы при произвольном выборе чисел а0, аг, ... ,
Итак, неравенства для билинейных дифференциалов легко преобразуются
в аналогичные неравенства для коэффициентов их локальных разложений.
Рассмотрим теперь ориентируемую поверхность 91 с краем С. Говорят,
что поверхность 91 комплексно аналитически вложена в поверхность 91, если
существует взаимно однозначное конформное отображение поверхн сти 91 на
подобласть 9# поверхности 91.
Для того чтобы вложение такого рода вообще было возможно, необхо-
необходимо предположить, что существует некоторое топологическое вложение 91
в 91. Если обозначить череа Ш' образ поверхности 91 при топологическом
отображении ее в поверхность 91, то существует соответствие между циклами
ЗИ и 5Щ'- Введя в качестве униформизирующих в точках области Щ' уни-
формизирующие в соответствующих точках поверхности 91, превратим ЭДГ
в риманову поверхность, аналитически вложенную в 9^. Если задан некото-
некоторый класс Р^, то через Р^/ обозначим соответствующий класс на поверх-
поверхности $Щ' в смысле § 1 гл. 5. К классу Р^ отнесем такие дифференци-
дифференциалы на поверхности 91, периоды которых вдоль циклов 91, соответствую-
соответствующих циклам, связанным с классом Р^', равны нулю. Возникает теперь
вопрос: возможно ли это топологическое вложение реализовать аналити-
аналитически? ;
Конечно, различные топологические вложения порождают различные
аналитические вложения, если последние существуют. В качестве примера
рассмотрим случай двух круговых колец 91 и 9^ в комплексной плоскости.
Кольцо 91 можно топологически вложить в кольцо 91 двумя различными спо-
способами: при первом способе существенный цикл кольца 91 может быть стянут
в точку на поверхности Ш> при втором способе это сделать невозможно.
Первый тип топологического вложения всегда реализуем аналитически; при
втором типе топологического вложения аналитическая реализация возможна
только в том случае, когда модули колец #Ь и 9?: удовлетворяют известному
неравенству. '
Выбор соответствующего класса Р^/ зависит от топологического типа
вложения. Например, в случае колец 91 и $1 имеются два класса дифферен-
дифференциалов в каждой из этих областей: класс 5 и класс М. При первом типе
вложения классы М и 8 на кольце 91 оба соответствуют как классу М, так
9 Заказ № 634
130 Гл. 5. Поверхности, вложенные в заданную
и классу 3 на кольце 91. При втором типе вложения класс 3 на кольце 31
соответствует только классу 3 на кольце 91.
Предположим, что существует конформное отображение поверхности 31
в поверхность 91. Пусть точкам тс, % поверхности 31 соответствуют при этом
отображении точки р, ц поверхности 91. Обозначив через ЛР(тс, х) билиней-
билинейный дифференциал поверхности 31, получим тождество
ЛР(тс, %)йъй% = Ь?(р, ?)ф^, E.5.12)
где Ьг(р, я) обозначает билинейный/дифференциал множества $Щ. Справедлива
также соотношение и г
1т фу
= Ар (тс, х) ^тс дх — X? (р, ц) йр йц.
Положив
*, х) = АР (тс, х) - #Р (р, 9) ^ ^., E.5.14)
перепишем неравенство E.5.5) в следующей форме:
N N _ _
2 ^г(тси> ъ-»)ХрХч |< — 2 АР(тс1Л, тс7) х^ х7. E.5.15)
1
Неравенства E.5.15) получены из неравенств E.5.5), а последние были
выведены из неравенств E.5.2) путем отбрасывания некоторых неотрицатель-
неотрицательных членов. Сохраняя эти члены, вместо неравенств E.5.15) получим следую-
следующие неравенства:
N N _ N
2 ^р(тсц.» Ъч)Хц.Хч\ < 2 АР(тс1Х, тс7)х1ХХ7- 2 ^р(тсц> Ъу) Х^Ху,
\ь, 4=1 \1, V— 1 }х , V■» 1
E.5.16)
где
, ^) = Лр (тс, *) - %г (р, 9) ^ -^. E.5.17)
Неравенства E.5.16) представляют собой необходимые условия того, чтобы
поверхность 31 могла быть комплексно аналитически вложена в поверхность 91.
Теперь предположим, что поверхность 31 локально (комплексно аналити-
аналитически) вложена в поверхность 91. Иначе говоря, предположим, что некоторая
окрестность точки тс0 поверхности 31 отображена взаимно однозначно и кон-
конформно на некоторую окрестность, принадлежащую поверхности 91. Для то-
точек тс, х, лежащих в окрестности точки тс0, справедливы следующие локаль-
локальные разложения:
оо
тс, х)= 2
}х, V=0
оо
</р(тс, *)= 2 С^гК\ E.5.18)
0
оо
-Лр(тс, х)= 2
где г = г(тс), ^ = ^(%). Неравенства E.5Л5) и E.5.16) преобразуются соот-
соответственно в следующие неравенства:
N N
/I
N N _ N _
С^^Х^Х-^ -^ 2л ОруХрХу * 2л ^1хV ХрХу* \р.о.2\))
—С р., 7=^ ^,у=0
§ 5. Продолжение локального аналитического вложения 131
В дальнейшем будут найдены условия, при которых это локальное вложение
может быть продолжено на всю поверхность 91 как комплексное аналитиче-
аналитическое вложение в целом. Наши рассмотрения будут основываться на следую-
следующей теореме:
Теорема 5.5.1. Пусть
оо
V 1 * и, /» I * / | ^1X7^ У Ц.7 ~~^ ^71Х> ш«и14/ 1 I
Ц, 7"=0
обозначает некоторый аналитический билинейный дифференциал, опреде-
определенный для точек тс, %, лежащих в окрестности точки тс0 поверхности 91.
Если ядро Ар (тс, х) поверхности 91 имеет локальное разложение
оо
Ар(тс, *)= 2 Ь^&ф E.5.22)
и если для каждого конечного множества комплексных чисел хо> х19 ,.. , х
справедливы неравенства
N N _
у [Ь.Ь.2.6)
, 7=0
то E.5.21) является локальным разложением симметричного аналитического
билинейного всюду регулярного на поверхности 91 дифференциала 1/(тс, *)
класса Р.
Аналогично, если дифференциал
оо
*>*)= 2 ™^гК\ го^ = о^, E.5.24)
р., 7=0
определен для точек тс, %, лежащих в окрестности точки тс0, и если для
каждого конечного множества комплексных чисел х0, х19 ... , хм справедливы
неравенства
N N _
0 < 2 ^1X7*11*7 < 2 ЬрчХрХу, E.5.25)
\ь, 7=0 ' IX, 7=0
то дифференциал 1^ может быть продолжен на всю поверхность 91. Диф-
Дифференциал V? относительно точки тс является аналитическим эрмитовым
билинейным дифференциалом класса Р.
Доказательство. Обозначим через {й^} полную ортонормированную
систему дифференциалов класса Р на поверхности 91. Для точек тс, лежащих
вблизи точки тс0, можно написать
оо
E.5.26)
Существование такой системы былб доказано в § 14 гл. 4. По формальным
причинам удобнее положить Р^ — 0 для р. > V. При этом условии элементы
матрицы коэффициентов р^, расположенные ниже главной диагонали, равны
нулю.
Из формулы D.9.6) имеем ;
оо
E.5.27)
Из формул E.5.22), E.5.26) и E.5.27) теперь получим
оо
^1X7= 2-1 ГР1Х (Рр7) • E.5-28)
Р=0
132
Гл. 5. Поверхности, вложенные в заданную
Так как коэффициенты РР1Х равны нулю при р > р., то сумма в равенстве
E.5.28) содержит только конечное число членов. Заметим далее, что беско-
бесконечная треугольная матрица ||Р^|| имеет обратную матрицу Цтм^Ц того же
вида и что каждый элемент этой обратной матрицы может быть вычислен
посредством конечных алгебраических операций. Пусть коэффициенты
оо
р, а=0
Гц V
E.5.29)
определяют матрицу, ассоциированную с матрицей коэффициентов И&^И за-
заданного локального разложения E.5.21). Формальные вычисления со степен-
степенными рядами, использующие формулу E.5.26), приводят к формуле
оо
оо
р, а=0
--= 2
E.5.30)
Мы ничего не знаем относительно сходимости последней суммы, и это равен-
равенство следует понимать в том смысле, что формальные операции, произведен-
произведенные над обеими частями равенства, позволяют получить одни и те же коэф-
коэффициенты при всех членах г°Х^. С другой стороны, следует заметить, что
числа 1^ существуют, так как определяющие их суммы E.5.29) конечны.
Обозначим через а^ (^— 1, 2, ... , Л/) произвольные комплексные числа
и положим
N
V. E.5.31)
<х
IV
Из формул E.5.29) теперь следует соотношение
N N
E.5.32)
р, а =
Используя неравенство E.5.23) и тождество E.5.28), получим
N N N N
< 2
2
а,
E.5.33)
при любом выборе чисел а^.
Распространим теперь соотношение ^5.5.33) на билинейные формы. Оче-
Очевидно,
N
N
N
, V=:0
р=о
Отсюда мы заключаем, что неравенство
N N
2
V-, 4=0
, V=:0
E.5.34)
N
+
E.5.35)
Р=о
Р=0
праведливо при любом выборе конечных множеств . аг, а2,
Ь
.,
И
2
В частности, положим
E.5.36)
Из неравенства E.5.35) получим
N
- E-5-37)
,4=0
11=0
§ 5. Продолжение локального аналитического вложения
133
Если точки тс и х лежат внутри поверхности 91, то, заставив число N не-
неограниченно возрастать, в силу формулы E.5.27), получим
оо
<--[{ЛР(тс, тс)
E.5.38)
Вернемся к формальному тождеству E.5.30). Благодаря неравенству E.5.38)
оно превратилось в уравнение, связывающее два равномерно сходящихся
в некоторой окрестности точки тс0 ряда и имеющее вполне реальный смысл.
Кроме того, вторая сумма равенства E.5.30) регулярна и аналитична на всей
поверхности 91 и принадлежит, очевидно, к классу Р. Итак, продолжение
локального разложения E.5.21) на всю поверхность 91 осуществимо.
Вторая часть тес ремы доказывается аналогично. Коэффициенты
оо
ц V
ц V
E.5.39)
р, аг=
определяют матрицу, ассоциированную с матрицей коэффициентов хю?а. Введя
опять числа а^ и а7, связанные соотношениями E.5.31), получим
N N
№= 2 аураараа. E.5.40)
Из соотношений E.5.25) и E.5.28) получим неравенства
N N
о<
2 \а?
E.5.41)
Следовательно,
N
2 *
N
N
Итак,
о=0
E.5.42)
оо
E.5.43)
Для точек тг, %, лежащих в окрестности точки тт0, как и раньше, имеем
оо
оо
р, а=0
E.5.44)
При помощи этого тождества можно продолжить ряд И7(тт, %) на всю поверх-
поверхность 91. Этот ряд определяет эрмитовский билинейный дифференциал, при-
принадлежащий в своей зависимости от точки тс к классу Р. Доказательство
нашей теоремы этим закончено. /—-
Применим доказанную теорему для изучения заданного локального ком-
комплексного аналитического вложения поверхности 91 в поверхность 9{. Пред-
Предположим, что некоторая окрестность $ данной точки тсо^91 отображена
■взаимно однозначно и аналитически на окрестность некоторой точки /?0€ЭТ.
Другими словами, обозначив через г, хю локальные координаты в окрестно-
окрестностях соответственно точек тсо^91, ро^Шу предположим, что переменная ш
является аналитической функцией переменной г с производной, отличной от
нуля в окрестности $• Пусть тс и х —две точки поверхности 91, лежащие
в этой окрестности точки тс0 и имеющие соответственно координаты г и С-
Для этих точек справедливы разложения E.5.18). Теперь допустим, что
неравенства E.5.19) выполняются при произвольном выборе точек х19 х2У..., хм-
Из теоремы 5.5.1 заключаем, что билинейный дифференциал б/р(тс, %), опре-
определенный формулой E.5.14), регулярен всюду на поверхности 91.
134 Гл. 5. Поверхности, вложенные в заданную
Попытаемся теперь аналитически продолжить наше локальное отображе-
отображение. Сначала предположим, что точка %€ $ фиксирована. Из формулы E.5.14)
имеем
<ДР(р) = Лг(гс), E.5.45)
где
^ E.5.46)
и дифференциал б?B(тс) регулярен всюду на поверхности 91. Обозначим
через $0 такую подобласть окрестности 3, которая содержит точку % внутри
себя и не содержит точку тс0. Интегрируя тождество E.5.45) вдоль пути,
начинающегося в точке тс0 и не проходящего через область $о> получим
Ф(р)-Ф{Ро) = A(*)-(Н'*о)- E.5.47)
Это соотношение можно использовать для Определения функции р (тс) вне
окрестности 3- Более того, определенная таким образом функция /?(тс) регу-
регулярна и аналитична всюду, кроме тех точек, в которых производная №' (р)
обращается в нуль. Но если производная
E-5.48)
обращается в нуль в некоторой точке р^?ИУ то можно сделать дифферен-
дифференциал с^р(р, ^) отличным от нуля в этой точке, выбирая подходящим образом
точку % в области 3>о- Итак, отображение р(тс), определенное аналитическим
продолжением, будет регулярно всюду, пока точка р остается в замыкании
поверхности 91.
При этом отображении различные точки тс, % поверхности 91 переходят
в различные точки р, ц поверхности 91. Действительно, допустим, чтор(тс) =
— ц{у) для тс Ф х. Тогда дифференциал <^р(р, ^) становится бесконечным
в формуле E.5.14), что противоречит регулярности дифференциала ^р(тс, х),
если только не обращается в нуль хотя бы одна из двух производных
Ар\йъ, &ц\&ъ. Если производная йр\Aъ обращается в нуль, скажем, в точке тсг,
то в окрестности тсх существуют две точки тс', тс", отображающиеся в одну
и ту же точку поверхности 9?, такие, что производная 6р\й% в этих точках
отлична от нуля. Это противоречит регулярности дифференциала ^(тс,-/).
Итак, различные точки поверхности 9^ переходят в различные точки поверх-
поверхности 9й и производная йр\йъ является регулярной аналитической функцией,
нигде не обращающейся в нуль. Из формулы E.5.14) й регулярности диффе-
дифференциала б?р(тс,%) заключаем, что различным точкам поверхности 9? соот-
соответствуют различные точки поверхности 91. Следовательно, отображение
р(тс) однозначно на поверхности %. Итак, соответствие р(тс), определенное
аналитическим продолжением, аналитично и взаимно однозначно для точек р>
принадлежащих замыканию поверхности 91.
Предположим теперь, что усиленные неравенства E.5.20) справедливы
при произвольном выборе чисел х19 . .., ##, и докажем, что точка р остается
на поверхности Ж. Согласно формуле E.5.19), имеем
_
2 Ьц^ц^;^^ E.5.49)
11,7=0
Из формулы E.5.20) теперь получим
^ E.5.50)
IX, 7=0
Положим
*) = </Р(тс, х)-Лг(тс, х)= -<5?1.(р, 9L--^- E.5.51)
$ 5. Продолжение локального аналитического вложения 135
* Из формулы E.5.18) следует равенство
оо
р К *) = V (Ь^-С^г^. E.5.52)
Кроме того,
Итак, условие E.5.25) выполняется для дифференциала Ор(тс,%). Из теоремы
5.5.1 теперь следует, что дифференциал Ор(тс,%) может быть аналитически
продолжен на всю поверхность 91. Допустим, что некоторая внутренняя
точка тс отображается в граничную точку р = р (тс) поверхности Ш. Так как
производная ф/^тс отлична от нуля, то из формулы E.5.51) заключаем, что
значение дифференциала /)р (тс, тс) бесконечно. Мы пришли к противоречию.
Итак, отображение р (тс) переводит поверхность 91 в некоторую подобласть
поверхности 91. Следовательно, имеет место
Теорема 5.5.2. Локальное комплексное аналитическое вложение р(тс)
поверхности 9^ в поверхность 91 определяет некоторое аналитическое вло-
вложение в целом поверхности 91 в поверхность 91 тогда и только тогда, когда
N N _ N _ _
/ I 1«*<Р I "ц, , V / •/^'1Х "^г*7 *^5" / I -*■■*■ Р \ IX > V / IX •^гЧ/ * I ^* дГ \ IX У VI IX 7 \ * * ^~ /
для любых N точек ъ1У %2, ..., х^, лежащих в области определения р(тс),
и Зля любых комплексных чисел х1У х2, .. ., ##. 5 5тож неравенстве
E.5.55)
Необходимые и достаточные условия существования аналитического вло-
вложения поверхности 91 в поверхность 91 можно также выразить через коэф-
коэффициенты разложения отображающей функции р (тс) в окрестности заданной
точки тс0 б 91 и через заданный локальный параметр. Справедлива следующая
теорема:
Теорема 5.5.3. Пусть функция р(тс) отображает некоторую окрест-
окрестность точки тс0 б 91 в окрестность точки р0 = р (тс0) € 91. Используя в окрест-
окрестности точки тс0 локальный параметр г (тс), можно вычислить коэффициенты
разложений E.5.18).
Тогда для того, чтобы функция р(тс) могла быть продолжена на всю
поверхность 91 так, что она будет осуществлять аналитическое вложе-
вложение 91 в 9И, необходимо и достаточно выполнение неравенств E.5.20) для
любых N комплексных чисел х^.
Перейдем теперь к случаю замкнутой поверхности 91. Для упрощения
изложения ограничимся расдмотрением класса М. Конечно, ядра Лм(тс, %)
иЛм(тс, х) существуют на Поверхности 91 и неравенство E.5.20) снова
является необходимым условием существования аналитического вложения.
Однако теперь можно высказать более определенное суждение. Функция
р(тс) должна отображать поверхность 91 в поверхность 91. Равенство
Ам(тс, х) с1п Ах = Xм (р, ц)йрйц E.5.56)
необходимо должно выполняться, так как на поверхности существует только
один дифференциал %ж- Аналогично,
т
, д)Aр йц. E.5.57)
136 Гл. 5. Поверхности, вложенные в заданную
Итак, на поверхности 91 тождественно
с1т (тс, *) = йт (тс, %) = 0. E.5.58)
Вместо неравенств E.5.20) получим теперь равенства
с^ = 0, С^ = 0. • E.5.59)
Обратно, эти условия достаточны для того, чтобы поверхность 91 могла быть
аналитически вложена в поверхность Ж. Это доказывается при помощи фор-
формулы E.5.57) описанным выше методом.
§ 6. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ
Если поверхностью 91 является до-сфера, а^поверхностью 91 —ее под-
подобласть, то функцию р(ъ), осуществляющую влбжение поверхности 91 в по-
поверхность Ш, называют однолистной. В частйости, функцией р(п) может
быть тождественное преобразование. В качестве поверхности 91 можно взять
круг | хю | < а\ в этом случае функциями р (тс) являются ограниченные одно-
однолистные функции.
Покажем сначала, как трактуется проблема коэффициентов однолистных
функций в многосвязных областях комплексной плоскости. В этом случае
в качестве поверхности 91 выберем г-сферу. Комплексная переменная г
является униформизирующей во всех точках поверхности 91, кроме точки со.
Производящие ^?-ядра имеют простую форму
(г, 0 = гтг1^ , X (г, I) = 0. E.6.1)
Предположим, что область 91, лежащая в г-плоскости, конечносвязна
и содержит начало координат. Пусть ы) = у(г) является регулярной анали-
аналитической функцией в окрестности начала координат г = 0. Предположим еще,
что ср(О) = О- Из теоремы E.5.2) мы найдем условия возможности аналити-
аналитического продолжения функции хю так, чтобы эта функция осуществляла
однолистное отображение 91 на 9г. В качестве класса Р примем класс 5.
В нашем частном случае класс 3 симметричен.
Из формул E.5.14) и E.6.1) получим
- А (г, д -
Следует разложить это выражение в степенной ряд в окрестности начала
координат и коэффициенты полученного ряда вставить в неравенства E.5.19).
Удобнее будет ввести несколько вспомогательных функций, при помощи
которых можно будет интерпретировать наши неравенства.
Функции А'ч(г) и В!* (г) определим при помощи производящих функций:
оо
А (г, С) = 2
^=° E.6.3)
V—0
Ясно, что дифференциалы А'^ (г) и В'^ {г) определены во всей области
Действительно, обозначив через С границу области 91", получим
А (г, С)
' _ E.6.3)'
(А (г,
§ 6. Приложения к теории однолистных функций \ЪТ
Из формул E.6.3)' видно, чтоВ^(г) является регулярной аналитической
функцией во всей области 5Л и что А^ (г) имеет полюс порядка V-]- 1 в начале-
координат. Поэтому полагаем
оо
E.6.4>
Соотношение
получим, заставляя точку г стремиться к границе С области УЬ. Сравнивая1
коэффициенты в тождествах E.6.3), получим соотношения
у E.6.5>
справедливые для точек г, принадлежащих границе С. Итак, области 31
комплексной плоскости можно поставить в соответствие последовательность,
аналитических функций Л^ В7, связанных между собой равенствами E.6.5).
Так как мы оперируем с классом 3, то функции Л7 и Ву должны быть
однозначны в области 31. На границе С имеем
{г) = (В7+1 (г))™ + сопз1. E.6.6)^
Легко видеть, что функции Л7 и В-^ могут быть определены с точностью до-
аддитивной постоянной. Из формул E.6.3) и E.6.4) получим следующие раз-
разложения:
оо
2 ]
„ ""^ E.6.7)-.
л^
V-, V=1
В этих формулах
> E.0.7)
как это следует из свойства симметрии Л-ядер.
Определив последовательности функций, соответствующие заданной
области 91, обратимся теперь к определению последовательностей функций,
соответствующих заданной функции 9 (г). Рассмотрим производящую функцию
оо
Отсюда получим
оо оо
. E-6.8Г
С другой стороны, для фиксированной точки г Ф 0 функция 1п[1 —9@/? (г)}
аналитцчна по переменному С в окрестности начала координат и может
быть," следовательно, разложена в степенной ряд
со
138 Гл. 5. Поверхностиу вложенные в заданную
Легко видеть, что функция Р^ {I) является полиномом степени |х по аргу-
аргументу I, Сравнивая разложения E.6.8)' и E.6.9), получим^
E.6.10)
При V = 0 положим Ро тождественно равным нулю. Итак, функция — V^7V
■является полиномом степени V относительно 1/9B); главная часть ее в окре-
окрестности начала координат точно равна 1/<г7. Этот полином определяется
функцией 9 (г) единственным образом с точностью до аддитивной постоянной.
Полином — V/IV называется V-м полиномом Фабера функции у (г) и играет
важную роль в теории конформного отображения (см. [6]). Вышеприведенное
определение полиномов /\ позволяет их легко построить.
Дифференцируя тождество E.6.8) по переменный г и С, получим
оо
-1. E.6.11)
шшшвтя
формул E.6.2), E.6.7) и E.6.11) имеем
оо
(Г У .1 7\)'~ * ХУ~ 1 (П П I У)
V-, V=1
Теперь можно написать необходимые и достаточные условия однолист-
однолистности функции 9 (г) в области 91 в форме неравенств, содержащих коэффи-
коэффициенты а^ и C^, соответствующие области 91. Из ^неравенств E.5.19)
находим, что
N N
V В х ~х (Ъ 6 1.Т1
., 7=1 Ц., 7=1
Неравенства E.6.13) выражают необходимые и достаточные условия одно-
однолистности функции 9(^)> данные Грунским [2]. Так как коэффициенты ^
легко выражаются через коэффициенты тейлоровского разложения функции
•9B) в окрестности начала координат, то неравенства E.6.13) являются ус-
условиями, наложенными на тейлоровские коэффициенты у (г). К сожалению,
сложность этих условий весьма затрудняет получение более полных данных
относительно возможных значений этих коэффициентов.
В качестве другого примера рассмотрим ограниченные однолистные
в плоской области УЬ функции 9> удовлетворяющие, скажем, неравенству
|9|<1. В этом случае поверхностью 91 является единичный круг. Имеем
, С) =-^-1-^., -Х(г,Х)= 1 . E.6.14)
% \г Ч A СJ
8 случае применения неравенств E.5.19) мы получим снова условия E.6.13),
так как в неравенствах E.5.19) не фигурирует дифференциал % {г, С). Сле-
Следовательно, необходимо применить неравенства E.5.20).
Введем новую последовательность функций, соответствующую функции
9 (г). Отправляясь от формулы E.6.9), получим
оо
Положим
оо
^. E.6.15)'
V=0
6. Приложения к теории однолистных функций
139
Следовательно,
оо
1п[1-9B)(Т(С)П= 2
E.6.16)
Дифференцируя это тождество по переменным г и С. получим
(г) (<р> (С))
ОО
E.6.17)
ц, 7=
Из формул E.5.17), E.5.18) и E.6.17) находим
Итак, мы получили, наконец, следующие необходимые и достаточные
условия, которым должны удовлетворять коэффициенты ограниченных одно-
однолистных функций:
N
N
N
2
» 7=1
- E.6.19)
Рассмотрим частный случай, когда областью 5Л является единичный
круг с центром в начале координат. В этом случае легко находим а^ = 0,
^ = 8^/7, где 8^=1 при р. = 7 и §^ = 0 при [х ф 7. Условия E.6.19) упро-
упрощаются и принимают следующий вид:
N
., 7=1
N
2 ^^ ±
N
N
. E.6.19)'
1х, 7 =
Полагая, например, Л/=1, получим неравенство
аг |4 A - | а
а\ -
E.6.19)"
которому должны удовлетворять первые три коэффициента разложения
оо
9(^)= У а^г*.
Стоит заметить, что неравенства E.5-15) могут быть применены различ-
различными способами для получения сведений об однолистных функциях в плос-
плоских областях. Например, пусть областью 91 является единичный круг; диф-
дифференциалы Л B, С) и Л B, С) определены в этом случае формулами E.6.14).
Положим
E.6.20)
Функция ^7 (г, С) регу)|ярна в области
в этой области. При г — С получим
если функция 9 (г) однолистна
где через {9, г) обозначен дифференциальный параметр Шварца.
Принимая во внимание формулу E.6.2) и тождество
Л (г, С) =
140 Гл. 5. Поверхности, вложенные в заданную
можем переписать неравенства E.5.15) в следующей форме:
< 2 773
В специальном случае N=1 из формулы E.6.21) и неравенства E.6.22)
получим оценку
I {?> *} | < 71-1, 242 • E.6.23)
2\2 '
Пример функции 2/A— гJ показывает, что оценка E:6.23) является точной.
§ 7. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
В § 5 гл. 5 был установлен ряд неравенств для отображений поверх-
поверхности %1 в поверхность 31. Теперь мы займемся изучением класса экстре-
экстремальных отображений, для которых некоторые из этих неравенств обра-
обращаются в равенства. Для этой цели придется проанализировать те рассужде-
рассуждения, при помощи которых мы перешли от тождеств к неравенствам.
Неравенство E.5.5) было получено из неравенства E.5.2), а последнее,
в свою очередь, было получено из неравенства E.4.4). При переходах от нера-
неравенства E.5.2) к неравенству E.5.5) и от неравенства E.4.4) к неравенству
E.5.2) мы пренебрегли соответственно членами
N
И, V=1
И
2; гр(<7и,
В последней сумме
гр (<7и> ^) = (X? (р, %),<%? (р,
Если неравенство E.5.5) обращается в равенство, то необходимо
Хр х^> E.7.2)
ц, 7=
Левая часть равенства E.7.2) неположительна в силу неравенства E.5.3),,
а правая его часть неотрицательна в силу неравенства E.4.6). Следовательног
обе части этого равенства равны нулю. Приравнивая правую часть равен-
равенства E.7.2) нулю, найдем, что в каждой внутренней точке р множества
9? — 5Щ должно выполняться равенство
2 ^р(р,^)^ = 0. E.7.3)
1
Продолжая аналитически сумму E.7.3), получим, что она должна обращаться
в нуль тождественно на поверхности 91, если только в множестве 5Й — ЗД1
существуют внутренние точки. С другой стороны, дифференциал <%г{р, <7ц)
неограниченно велик при р = я^ и, следовательно, невозможно, чтобы равен-
равенство E.7.3) выполнялось тождественно на поверхности 5Й. Тем самым дока-
доказано, что в случае экстремального отображения множество 5Й — Ш
не имеет внутренних точек. В частности, из формулы E.7.1) заключаем,,
что равенство
Гр(р,<7)=0 E.7.4)
выполняется для экстремальной области-образа
§ 7. Экстремальные отображения 141
Из тождества
N I N _ \
2 Ху,Х?{р, <7и) , E.7.5)
/
, V=1
учитывая то обстоятельство, что его левая часть обращается в нуль для экс-
экстремального отображения, получим тождество
N _
2 <5?р(Р,^)^ = 0, E.7.6)
1
справедливое для каждой точки р поверхности
Если неравенство E.5.5) при некотором выборе чисел х1,х2,...,х1^
обращается в равенство, то интеграл в выражении E.4.2) должен обращаться
в нуль при некотором значении комплексного числа X. При этом специаль-
специальном значении л получим
N N
2 Ч *р (Р> Я у) =~- Ь 2 Ч ^р (Р> 9ц.)- E.7.7)
1
Составим скалярное произведение дифференциалов E.7.7) и /р(р, 9) п0 пере-
переменной /?, распространенное на область $Щ. Принимая во внимание фор-
формулы E.3.3), E.4.1) и производящее свойство дифференциала /.р (/?, ^)> получим
N ^ N
(Яу Я») + гр (9, 9и)] = х 2 Ч Ср (9» 9ц.)Г- E.7.8)
В рассматриваемом экстремальном случае справедливы равенства E.7.4)
и E.7.6). Следовательно, тождество
N _ _ _ N
2 Лф.^р(<7» 91х):=х 2 *иМ<7» ^) E.7.9)
1 1
справедливо для каждой точки 9€9К- Сравнивая тождества E.7.7) и E.7.9),
видим, что |Х|=1. Следовательно, тождества E.7.7) и E.7.9) можно запи-
записать в общей форме
N N
X1/* ^ ЬР (я, я») = ^ (XV.)-хц /Р (9, ^). E.7.10)
1
Обозначив (Х1^)"^ — у^ и заменив ^ на р, получим
N N
2 У1х^р(р,^)=2 У^1г(РуЯ^)- E.7.11)
1 1
Используя формулы E.5.12) и E.5.13), можно выразить тождество E.7.11)
следующим образом:
N
E.7.12)
Заставим точку -а стремиться к некоторой краевой точке поверхности Ш
и воспользуемся граничной униформизирующей в %. Тогда ЛР (тс, х„) =
= (ЛР(тс, х^))~. Принимая во внимание тождество E.7.12), получим теперь
142 Г л, 5. Поверхности у вложенные в заданную
равенство
N
справедливое для всех краевых точек тс поверхности 5Л. Это уравнение
определяет в каждой точке %^С направление касательного вектора йр-
образа края С поверхности 5Л на поверхности 9г. Итак, дифференциальное
уравнение E.7.13) определяет границу области ЭДЬ вложенной в 91. Исполь-
Используя граничную униформизирующую, проинтегрируем уравнение E.7.13)-
Получим
N
} E.7.14)
где
ч— ЕР(р, о) = с^Р(п, о). E.7.14)
Граничные кривые области Ш являются, следовательно, линиями уровняг
некоторой гармонической функции на поверхности 91, имеющей полюсы
в точках <7и- Эти линии уровня представляют собой обобщения изотерми-
изотермических кривых на плоскости, являющихся линиями уровня рациональных
функций.
Так как множество 9? — Ж не имеет внутренних точек, то граничные
кривые E.7.14) области Ш являются кусочно аналитическими разрезами,,
лежащими на поверхности 9^. В начале этой главы было предположено, чта
граничные униформизирующие поверхности 5Л, вложенной в 91, пригодны,
в качестве обычных униформизирующих в соответствующих точках 9?. Теперь
это ограничение может быть устранено в основных формулах и тождествах
посредством предельного перехода. Действительно, каждую конечную рима-
нову поверхность $Щ; вложенную в 91, можно аппроксимировать последова-
последовательностью конечных римановых поверхностей $ЩП> ЭД?пСИ!!Щп+1. Поверх-
Поверхность 5ЩП стремится к поверхности $Щ, когда число п неограниченно воз-
возрастает. Функции Грина поверхностей Шп (вместе с их производными) рав-
равномерно сходятся в каждой замкнутой области, лежащей внутри Ж, к функции
Грина поверхности 3#. Все рассматриваемые функционалы, принадлежащие
5ЩП, построены из функций Грина и'их производных и, следовательно, сходят-
сходятся равномерно в каждой замкнутой подобласти, лежащей внутри поверху
ности §Щ, к соответствующим функционалам, принадлежащим $Щ. Мы не будем
описывать всех деталей этого процесса аппроксимации. Заметим, что, в част-
частности, неравенство E.4.8) остается справедливым для любой конечной рима-
новой поверхности, вложенной в поверхность 9?. Это замечание очень важно,
так как мы нашли, что экстремальными областями являются области с раз-
разрезами на поверхности 91 с граничными униформизирующйми, которые должны
быть сингулярными униформизирующйми поверхности 91 в конечном числе
точек.
Выше было показано, что каждая область 9ЛСИ91, полученная экстре-
экстремальным отображением поверхности 5Л в поверхность 91, является областью
с разрезами, удовлетворяющими дифференциальному уравнению E.7.13).
Заметим теперь, что обратное утверждение также частично справедливо.
Именно, если поверхность 5Л отображена на подобласть 9Л поверхности 91
с разрезами, удовлетворяющими дифференциальному уравнению E.7.13),
и если класс Р^ таков, что ему соответствует класс Р^ = 5, то наше ото-
отображение решает некоторую проблему экстремума для неравенств E.5.16).
Действительно, допустим, что область ЯК является областью с разрезами,.
§ 8. Неоднолистные отображения 14&
удовлетворяющими уравнению E.7.13). Рассмотрим выражение
N N _
, я») - ^р (р> я*)] + 2 Ун ^р (р, я*) = д (р)- E-7-
Это выражение представляет собой дифференциал на поверхности $Щ. Пусть
точка р лежит на границе поверхности $Щ. Принимая во внимание уравне-
уравнение E.7.13) и поведение /.р-ядер на границе, получим
Ке{Д(рLр} = 0. E.7.15)'
Более того, дифференциал Д(р) регулярен, очевидно, на всей поверхности 30К
Так как Р$щ = $> то дифференциал А (р) тождественно равен нулю. Следова-
Следовательно,
N N _
— 2 У*к(Р> <7и) + 2 У^г(ру <7ц) = 0. E.7.16)
1
Вычислив норму дифференциала E.7.16) над поверхностью $Ш» при помощи
формулы E:3.3) получим соотношение
N _ N
2 УрУАк&'Я^ + Ьг^'Я-*)] — 2^е{ 2 У^г(я^ Я**)}=°- E.7.17)
Н, V=1 Н, 7=1
С другой стороны, норма первой суммы в равенстве E.7.16) должна рав-
равняться норме второй суммы, и, следовательно, справедливо равенство
2 УнУ^р (^» Я») = 2 У^У7^р (9н, ^)- E.7.17')
IX, 7=1 }х. 7=1
Итак, вместо равенства E.7.17) получаем следующее соотношение:
ТУ N __ N __ _
{ 2 У*Уч1г(я^,Яч))У= 2 У^xУV^р(?^x,9V)• 2 У^У7^р(^, 9^). E.7.18)
IX, 7=1 IX. 7=1 IX, 7=1
Сравнивая этот результат с неравенством E.4.8), видим, что область Ш
имеет экстремальный характер на поверхности Э? по отношению к этому
неравенству. Возвращаясь к исходной поверхности 91, можем выразить най-
найденное свойство как экстремальное свойство по отношению к неравенству
E.5.16). Итак, доказано утверждение, обратное результату, найденному
выше: каждая область, ограниченная разрезами, удовлетворяющими уравне-
уравнению E.7.13), для подходящего класса Р может быть получена посредством
некоторого экстремального отображения.
§ 8. НЕОДНОЛИСТНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
До сих пор мы занимались проблемой однолистного вложения поверх-
поверхности 5Л в некоторую другую поверхность 9И. Возникает вопрос: нельзя ли
получить аналогичные критерии для случая неоднолистного отображения
поверхности 5Л в поверхность 91, Желая показать возможность использования
наших Ь-дифференциалов и в этом случае, рассмотрим следующую специаль-
специальную проблему.
Возьмем ориентируемую поверхность 5Л с краем и отметим на ней неко-
некоторую точку х0. В этой точке фиксируем униформизирующую г и рассмотрим
все функции на поверхности 31, имеющие вблизи х0 разложение вида
[(г) = \+а1г + а2г2+ ... +апгп +... E.8.1)
и такие, что их действительные части положительны всюду на 31. Найдем
необходимые условия, которые нужно наложить на коэффициенты а7 таких
144 Гл. 5. Поверхности, вложенные в заданную
функций. Ясно, что наша задача является специальным случаем общей про-
проблемы вложения, когда в качестве поверхности $1 выбрана полуплоскость
0
Условия, налагаемые на функцию /(тс), выведем в следующей форме.
Выберем N точек х{ на поверхности 91 и Л/ комплексных чисел х{. Образуем
дифференциал
^ _
#'(*) = 2*гЛмК *г) E.8.2)
*=1
он интеграл
С . E.8.3)
Вследствие наших предположений относительно функции /(^), число ^
будет неотрицательным. С другой стороны, этот интеграл легко оценивается.
Используя формулы D.10.8)' и E.8.2), получим
N
E.8.4)
Итак, мы получили следующий результат:
Теорема 5.8.1. Для аналитической на поверхности 91 функции /(тс)
с положительной действительной частью ядро — Лм (тс, %) [/ (тт) -]- (/ (%))"]
является положительно определенным,
В этой теореме дифференциал Лм(тс,*) может быть заменен дифферен-
дифференциалом АР(тс, х) для любого класса Р, так как функция /(тс) однозначна
на 91.
Построим разложение
оо
нашего ядра вблизи точки х0 по степеням локальной униформизирующей.
При этом мы обозначаем г(тс) = г, г(х) = ^. Если предположить, что диф-
дифференциал Лм(тг,х) известен, то коэффициенты с^ легко выражаются через
коэффициенты а^ рассматриваемой функции /(тс). Из неравенств E.8.4) мето-
методом § 5 гл. 5 выводим следующее неравенство для коэффициентов
N _
2 *ц*^и7>0, E.8.5)
справедливое при любом выборе комплексного Л/-вектора л;ц., р = 1, 2, ..., N.
Неравенства E.8.5) налагают бесконечно много условий на коэффициенты
функции /(тс) с положительной действительной частью на поверхности 91.
Они тесно связаны с аналогичными неравенствами, установленными Кара-
теодори и Тёплицем для того случая, когда областью 91 является круг.
Легко обобщить вышеизложенный метод на более широкий класс поверх-
поверхностей Э?. Предположим, что на поверхности 91 существует функция Ф(р),
имеющая на Ж положительную действительную часть. В этом случае можно
дать необходимые условия, которым должна удовлетворять любая функция
/(тс), отображающая (неоднолистно) поверхность 91 в поверхность 91. Для
Литература 145
этой цели рассмотрим интеграл
. E.8.6)
Этот интеграл также должен быть положителен. Применяя вышеописанный
метод, получим опять бесконечно много неравенств, которым должны удовле-
удовлетворять коэффициенты а^ разложения функции /(тс).
ЛИТЕРАТУРА
1. Бергман, Шиффер (Вег&тап 5., 5 с Ь 1 ! ! е г ^ф.)
Кегпе1 ГипсИопз апй соп!огта1 таррт^, СотрозШо Ма1п., 8 A951), 205—249.
2. Грунский (О г и п $ к у Н.)
КоеШ21еп{епЪесНп&ип&еп !йг зсЬНсМ аЪЫЫепйе теготогрЬе Рипкиопеп, Ма1Ь.
2., 45 A939), 29—61.
3. Дженкинс, Спенсер (I е п к 1 п з ]. А., 5р епсег Э. С.)
Нуреге1Нрис (га]ес!ог1ез| Аппа1з о! Ма1Ь., 53 A951), 4—35.
4.* М а р к у ш е в и ч А. И.
Теория аналитических функций, М.—Л , 1950.
5. Шеффер, Спенсер E с Ь а е I [ е г А. С, Зрепсег Э. С.)
СоеШс1еп1 ге&юпз !ог зсЬНсЫ !ипс11опз, СоПодишт РиЬНсаНопз, уо1. 35,
Атег. Ма1Ь. 5ос, Ке\у Уогк, 1950.
6. Ш и ф ф е р E с п 1 I I е г М.)
РаЬег ро1упот1а1з т 1Ье 1Ьеогу о! итуа1еп! !ипс11опз, Ви11. Атег. Ма1Ь. 5ос.#
54 A948), 503—517.
7. Шиффер, Спенсер E с Ы П е г М., Зрепсег ^. С.)
Оп 1пе соп!огта1 тарр1П§ о! опе Шетапп зигГасе 1п1о апо1Ьег, Апп. За. Репп.,
А. I, 94 A951).
Заказ № 634
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ 7\ Т И 5
Как и в предыдущей главе, через $Щ будем обозначать некоторую под-
подобласть конечной римановой поверхности 91. Класс Р^ дифференциалов будем
предполагать соответствующим классу Р^ в смысле гл. 5. Для упрощения
изложения предположим, что поверхность 91 ориентируема и имеет край.
В этой главе будут рассмотрены интегральные операторы, преобразующие
дифференциалы /' класса Р^ в дифференциалы 71/' на поверхности 5Й.
* Билинейные дифференциалы поверхностей Ш и 91 будем опять обозначать
соответственно через Ьг(р,д) и <%г(руд). Введем в рассмотрение интегралы
определяемые следующими тождествами:
др
дЗР (р,
др
<7)
Р)
F.1.1)
др ^
Ка< и в гл. 5, положим
» Я) = ^р (Р» 9) — «^р (Р> ?)• F-1 -2)
Скалярные произведения и нормы над поверхностями 5Ш, 91 будем различать,
добавляя, когда это необходимо, индексы Ж, 91.
С точки зрения сравнения двух областей $Ш и 5К вполне естественным
является следующий вопрос. Умножая скалярно произвольный дифференциал
—. *****
класса Р^ на ядра — Ьг(р, <7) и ^р(Р><7)> воспроизводим в первом случае
исходный дифференциал, а во втором случае получаем нуль. Что получится
в результате скалярного умножения на ядра — %?{р, ^) и ^р(р><7)? Каждый
раз произведение будет дифференциалом на поверхности 91, являющимся
линейным функционалом заданного на поверхности $Щ дифференциала.
Эти линейные функционалы определим при помощи следующих тождеств:
F.1.3)
= (Г (Р), %г (Р, ?))зй = (^р (?, р), (/' (р)Г)зи; F.1.4)
F.1.5)
Дифференциал Г регулярно аналитичен на всей поверхности 9?; дифферен-
дифференциалы Т и 8 регулярно аналитичны в областях $Щ и Ы — Щ, но, как будет
показано в дальнейшем, они претерпевают разрыв при переходе через гра-
границу области Зй. Предположим, что дифференциал Хт{я,р) симметричен:
%А)х() Тогда
р) = Х^ (р, 9) = (^р (?, Р)Т- F.1.6)
§ 1, Операторы Т, Т и 8 147
В этом важном случае, по крайней мере формально, получим равенство
Т;(д) = (Т,(д)Г. F.1.7)
Итак, дифференциал Т получается из дифференциала Т в результате приме-
применения ^-операции, описанной в гл. 2. Во многих случаях удобно будет
доопределить дифференциалы класса Рдщ на всем дубле ® поверхности
полагая дифференциал /' тождественно равным нулю в области 91 —
и полагая /' (р) = (/' (/?))"". В этом случае
5,(G) = (Л?р(^Р),Г(Р))ф- F-1.8)
Вычисляя периоды дифференциала F.1.4) по переменной цу найдем, что
периоды ТI удовлетворяют соотношениям, характерным для класса Р^. Из не-
равенства F.2.10), доказываемого ниже, следует, что Ы<$(Т;) < оо и Г^Р^-
Следовательно, можно считать, что оператор Т проектирует дифференциалы
класса Р^ в соответствующие дифференциалы класса Р^. Если точка ц нахо-
находится в области 5Ш, то интеграл в правой части формулы F.1.3) следует
понимать в смысле предельного соотношения D.9.8). Однако из формулы
D.11.6) следует тождество
(Ьг(д, р)у }' (р))Ш = (Ьг(р, д), Г (Р))ж = °> F-1.9)
так как дифференциал /' принадлежит классу Р^. Итак, для точек <7б$Ш
Г, (</)=-(/Р (<7, р), Г(р))ш- F-1.3)'
Следовательно, дифференциал 7^ регулярно аналитичен в замыкании обла-
области ЯК. Из формул E.3.2) усматриваем, что дифференциал 7^ принадлежит
классу Рэд как дифференциал на поверхности Ш- Из формулы F.1.3) видно,
что периоды дифференциала 7^ в области Ш — Ш удовлетворяют соотноше-
соотношениям, характерным для класса Р^.
Обозначим через ц внутреннюю точку поверхности 9И, лежащую на гра-
границе С области 9#. Предположим, что дифференциал /' аналитичен на неко-
некоторой дуге С, содержащей точку ц. Покажем, что разность значений диф-
дифференциала 7'/ {$) на двух берегах границы С равна (/' (<7)Г- Обозначим через
С некоторую униформизирующую в точке ^> являющуюся одновременно гра-
граничной униформизирующей для области Щ. Обозначим еще через й круговую
область | С | < а на поверхности 91 с центром в точке щ и положим $Ш' = Ш П®-
Точки области й, лежащие в областях $Щ и 91 —Ж, обозначим соответственно
через <7г и 9е- Найдем предел разности 7^ (^) — 7^ (де)у когда точки ^г и Яв
стремятся к точке ц. Пусть ^=^(^) и ^е = ^(9е)> а Для точек р€Ш' поло-
положим г = С(р). Из формул D.11.1) и DЛ.5)' следует, что
(ч'> Р) = ^м (дг > р) + регулярные члены = Г2 + регулярные члены
7С1>^ )—г\
для точек р^Ш > Я =Яг или 9е. Итак,
где функция %{я'ур) непрерывна в окрестности точки ц. Дифференциал
Х{') также непрерывен в точке ц при р€Ш~ЗК'- Следовательно,
дЖ'
10*
148 Гл. 6. Интегральные операторы
Скалярное произведение над областью Ш' вычисляется здесь по формуле D.9.8).
Первые два члена правой части стремятся к нулю, когда цх и це стремятся
к точке <7> так как подинтегральные выражения непрерывны в ц. Вычисляя
скачок последнего интеграла с помощью теоремы Коши, получим величину
(Г (Я))"' Действительно, граница образа области *Щ' в С-плоскости состоит
из полукруга 5 и сегмента ? действительной оси. Интеграл вдоль полукруга 5
обращается в нуль в точке ^. В интеграле же вдоль сегмента т дифферен-
дифференциал йг можно заменить через йг. Величина
Ч
комплексно сопряжена этому интегралу. Замыкая сегмент ? дугой 5, мы
добавляем интеграл, обращающийся в нуль в точке ц. Вычисляя интеграл
вдоль пути т + 5 при помощи теоремы Коши, найдем, что он равен значению
производной /' в точке 1е. Устремляя цх и де к точке ц, получим в пределе
/'(^) = ^/^, где С — граничная униформизирующая. Итак,
Нт [Г/(^)-Г/(?е)]= (Г (?)Г. - FЛ.10)
«г» «в"*«
Заметим, что
5мл=5/1+5/2- FЛЛ1)
С другой стороны,
5Х/ = ХГ/ + ХГ/. F.1.12)
Полагая, в частности, Х= —/, получим
5_1/ = /(Г/-Г/). F.1.13)
Предполагая класс Р^ симметричным, получим
5E
т ж
Перестановка остается законной при замене дифференциала X? на /р. Анало-
Аналогичным путем получим, не требуя симметрии,
5 )^(Ц Т,ш). F.1.15)
Ж Ж
Складывая тождества F.1.14) и F.1.15) и приравнивая действительные части,
получим (предполагая симметрию)
Ке{E/1,«)} = Не{E/1,^)}- F-1.16)
Итак, оператор Т является самосопряженным оператором в гильбертовом
пространстве с метрикой Дирихле. С другой стороны, операторы Т и 3 будут
самосопряженными только в гильбертовом пространстве с метрикой, опреде-
определяемой скалярным произведением
FЛ.17)
§ 2. СКАЛЯРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
Операторы, определенные в § 1 гл. 6, преобразуют гильбертово про-
пространство Рэд, состоящее из аналитических на поверхности $Щ дифферен-
дифференциалов, в линейные пространства кусочно аналитических на поверхности 91
дифференциалов. В этих пространствах метрика определена опять при помощи
произведений Дирихле, распространенных над.95. В случае дифференциалов,
§ 2. Скалярные произведения преобразованных дифференциалов 149
разрывных на границе области $Щ, это скалярное произведение над 91 пред-
представляет собой сумму скалярных произведений над $Щ и над компонентами
множества 91 — ЭДЬ В этом параграфе мы займемся двумя предварительными
вопросами: во-первых, установим некоторые метрические соотношения между
упомянутыми выше пространствами, например соотношения ортогональности,
во-вторых, выразим нормы над поверхностью 9? дифференциалов-образов
через нормы над поверхностью Ш дифференциалов-прообразов.
Прежде всего установим соотношение
F.2.1)
где [[, /2' — два произвольных дифференциала класса Рэд на поверхности
Действительно, из формул F.1.3)' и F.1.4) получим
И /р (<7> ^ & (Л)Г^ (Р*> 9) (К
ттт
Так как из формулы F.1.9) следует, что
то
{Т,г, Т,Ш)Л= \\
ЯШ 3^
Но дифференциал с5?р (<7> р) ортогонален всем дифференциалам класса Р
на поверхности 91. Следовательно,
= 0,
что и доказывает формулу F.2.1). Итак, доказана следующая
Лемма 6.2.1. Т- и Т-образы двух произвольных дифференциалов
на поверхности Ш ортогональны, когда скалярное произведение берется
над поверхностью 91.
Далее, из формул F.1.3)', E.3.27) и E.4.1) получим
^ { И
(Р.)
= - 5 5 /
Итак, .справедлива следующая
Лемма 6.2.2. Скалярное произведение над поверхностью 91 двух
Т-образов может быть выражено в виде следующей эрмитовой формы над
150 Гл. 6. Интегральные операторы
поверхностью Щ с ядром /:
Аналогичное соотношение для Г-образов можно получить даже более
простым путем
$ { [[ X? {д, рг) (Я? (<?, р2))~ К (Рх
Теперь можно выразить произведение двух 5-образов через интегралы,
распространенные на поверхность ЗЛ- Из соотношений F.2.1), F.2.2) и F.2.3)
получим
•шт.
\\ 1 (Л)
!, р2) (/; (Л)Г^ (Р.)
(Рх, Р.) - -^р (Р., Рг)] (/х (Р1>)"^ (Р.) ЛАгхйАг.2 -
1. Л) - ^р (Р1. ЛI (/г {Рг)ГП (Р.)
(Р1- Р.) (П (РгТ П (Л)
С другой стороны, имеем
F-2.5)
Далее, из формул D.1.6), E.1.16), E.1.16)' и E.1.18) следует соотношение
с F.2.6)
= 2* 2 1т{а^}(с12у.,с1[1)ш((с1г„с1[2)ш)- = О
по той причине, что все члены (^2^, ^/г)9щ, фигурирующие в этой сумме,
обращаются в нуль для дифференциалов класса Р^ на поверхности Щ.
Аналогичным образом устанавливается соотношение
§ 2. Скалярные произведения преобразованных дифференциалов 151
Объединяя последние два члена формулы F.2.4), получим
2/ 1т { ^ X* (/>!, рг) (/; {рг)Г Г% (Р.)
тт
Подставляя результаты наших вычислений в формулу F.2.4), окончательно
получим
Со
F-2 8)
, 7= 1
21 \ш{\\хт (рг, р2) (П (Рх)Г « (Р.) ^х с1Аг2} .
Полагая здесь, в частности, /1 = /:2 = />, будем иметь
(Г,) =
о0 (Ь.2.9)
-21 2
V-, V=1
Эта формула показывает, что норма 5-образа с точностью до билинейной
комбинации членов вида (г/%^, ^/)$щ равна норме дифференциала с?/. Заметим,
что, в частности,
^. F.2.10)
Формула F.2.9) принимает особенно элегантный вид, когда
, р). В этом случае 1тРц,7 = 0. Следовательно,
F.2.1П
так как й/ = 0 на множестве 31 — *Щ. Итак, справедлива следующая
Лемма 6.2.3. Если класс Р^ симметричен, то оператор 8/ сохраняет
норму.
Обозначим через ^Л некоторый дифференциал класса Р^ и через &\ не-
некоторый дифференциал класса Р^. Докажем следующую лемму:
Лемма 6.2.4. Разрывные Т-образы на поверхности 91 ортогональны
всем аналитическим дифференциалам класса Р^, и скалярное произведение
Т-образрв в метрике 91 равно скалярному произведению над поверхностью Щ:
Действительно,
и
Г (р) ^4 =
аи
Следует указать, что с точки зрения метрики Дирихле на поверхности
операторы 8^ = Т)~гТ; и 5_{/ — /(Т^ — Т^) неразличимы. Очевидным обра-
152 Гл. 6. Интегральные операторы
зом из формулы F.2.1) следует тождество
F.2.13)
С равным успехом можно было бы принять 5^ = 7^ — 7^. Для определен-
определенности мы остановим свой выбор на определении F.1.5).
§ 3. ИТЕРИРОВАННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
В § 1 гл. 6 были определены различные операторы для дифференциалов
классов Рэд, которые являются одним из основных объектов изучения в этой
книге. Так как эти операторы преобразуют принадлежащие поверхности ЯК
дифференциалы в дифференциалы, аналитические на ЯК и на множестве 91 — ЯК>
то ^представляется также желательным включить такие дифференциалы на
поверхности 91 в область определения операторов Г, Г и 5. Каждый диффе-
дифференциал класса Р$од можно превратить в кусочно аналитический на поверх-
поверхности 91 дифференциал, полагая его тождественно равным нулю на множестве
94 — ЯК- Вместо формул F.1.3) и F.1.4) мы будем теперь пользоваться сле-
следующими обобщенными определениями:
Т,(д) = (ХР(д,р),Г(р))ш F.3.1)
И
F-3.2)
пригодными для всех кусочно аналитических на поверхности 91 дифферен-
дифференциалов.
Обозначим через Е^ класс дифференциалов, регулярных внутри области
ЯК и внутри каждого компонента множества 9? — 5Щ, но, быть может, раз-
разрывных на границе С области ЯК- Будем также предполагать, что дифферен-
дифференциалы класса Е^ имеют конечные нормы над 91. Специальные подклассы Оде
класса Е^ можно различать, предполагая, что дифференциалы О<$ образуют
соответствующий класс в области ЯК и в каждом компоненте множества 94 — ЯК-
В частности, О^ = Е^, если все соответствующие классы являются классами М.
Заметим, что все результаты §§ 1 и 2 этой главы остаются верными и при
этом более общем понимании символов.
Заметим, что класс Р^ содержится во всех классах О<$\ в частности,
Т-образ произвольного дифференциала й] € Е^ также принадлежит всем клас-
классам О<$. Напротив, если класс Р^ содержит собственный подкласс, являю-
являющийся также соответствующим классом, то Рэд не принадлежит связанному с
ним классу О^. Операторы Г и Г преобразуют произвольный класс О^ в
себя; это обстоятельство объясняет важность этих классов в теории указан-
указанных операторов.
Теперь мы в состоянии построить произведения операторов, действующих
на дифференциалы класса О^, повторно применяя наши операции:
(Т* (9)), = (ХГ {Я, ~р), (Т, (р))-)Я| F.3.4)
(ТТ Щ = (Хг (д, р), Т, (р))я, F.3.5)
(ТТ (<?)), = {X* (д,р), (Т, (р)Г)ш. F.3.6)
Следовательно, мы должны также положить
F.3.7)
§ 3. Итерированные операторы 153
Ниже будет доказана без предположений о симметрии справедливость соот-
соотношения
E2 (?)), =/'(?)• F.3.8)
Символически это равенство записывается так:
52 = /. F.3.8)'
Символ / обозначает здесь тождественное преобразование. Итак, справедлива
следующая
Лемма 6.3.1. Оператор 3 представляет собой инволюционное преоб-
преобразование класса О^ в себя.
В частности, для дифференциалов /бгРэд наша лемма утверждает, что
образ E2(^))у равен /'(9), если точка ц лежит в области $Щ, и равен нулю,
если <7 принадлежит множеству 91 — Щ. Этот элегантный результат оправды-
оправдывает наше распространение области применимости операторов и является
основой дальнейших важных построений.
Доказательство операторного равенства F.3.8)' построено в основном на
использовании формулы
F.3.9)
которую мы теперь докажем посредством довольно длинных вычислений.
Предположим сначала, что дифференциал й] регулярно аналитичен как в
замыкании области Щ, так и в замыкании множества 91 — ЭДЬ В этом слу-
случае дифференциал й] может быть представлен в виде суммы дифференциалов
ЙД, каждый из которых регулярно аналитичен в области Жив каждом
компоненте множества Ы — Ш и отличен от нуля только в одной из этих
областей. Все необходимые тождества достаточно доказать, вследствие линей-
линейности операторов, только для дифференциалов й/{ этого типа. В конце дока-
доказательства это ограничительное требование аналитичности в замкнутых обла-
областях будет устранено посредством предельного процесса обычного вида. Пред-
Предварительно докажем следующую лемму:
Лемма 6.3.2. Для каждого дифференциала %^ (р) на поверхности 9?,
такого, что дифференциалы класса Р^ однозначны на цикле 3^^, связанном
с дифференциалом %,!, и для каждого дифференциала ^/бгРэд справедливо
тождество
B;,71/)я = (/',2;)я. F.3.10)
Действительно, из формул E.1.17), E.1.17)' и E.1.4) следует, что
2 F.3.11)
Используя формулу E.1.20) и тот факт, что дифференциал %ж ортогонален
всем дифференциалам на поверхности 91, получим соотношение
№(Р.?).2;(р))я = 2;(?). F.3.12)
В силу формулы F.3.12), имеем
{ (р19 Р2)Г Г (Л) ЛА
= ^ Г (Р.) С \ %* (Рг, Л) B; {Р1)Т йАгХ йАг, = F.3.13)
= 5 Г (л)
откуда следует справедливость леммы 6.3.2.
154 Гл. 6. Интегральные операторы
Используя формулу D.11.1) и лемму 6.3.2, получим далее
О0
21 2 1т{р^}(^%^%;(<7). F.3.14)
1
IX, \>=
Так как разность Х?(рг, д) — Х$(р1, д) является дифференциалом класса >
то, в силу формулы F.2.12), имеем
(Хг (рх, 9) - ^з (Л, <?), Г, (л))^ = О
(X* (Р1, я), Т, (лИя = (#8 (Р1, ?), Т, (Р1))ш. F.3.15)
Предположим сначала, что дифференциал /' обращается в нуль вне
области $Щ и регулярен в замыкании $Щ; вложение области Ш в поверхность
31 будем предполагать правильным. Обозначим через С границу области $Щ,
ориентированную положительно относительно $Щ, и пусть —С обозначает эту
же границу, ориентированную в противоположном направлении. В интегра-
интегралах, взятых вдоль кривой С, мы будем предполагать граничные значения
подинтегральнь1х выражений взятыми для области ЗЛ; в интегралах вдоль
кривой—С граничные значения будут взяты для множества 91 — 9#. Край
поверхности Й обозначим через В. Пусть ц — внутренняя точка множества 5Ш
или 5Й — Ш и й — круговая область | С | < а с центром в точке д. Интегри-
Интегрируя по частям, получим
и д),
Е8 (р19 д) (Г, (Р1)Г йгх -1 \ Е8 (р19 д)
^ Е8 (р19 д) (Г, (Р1)Г йгх
с
F.3.16)
В качестве переменной интегрирования г1 в граничных интегралах принята
граничная униформизирующая. Далее,
5 *( )(^()Г^ A) F.3.17)
при а—>0, так как дифференциал Т^(р^) регулярен вблизи точки 9-Из фор-
формулы F.1.10) и теоремы Коши получим
-Ж \ 38^> 9) (Т/(Р1)Г ^ = ~ж\ Е*(Л« ?) /' (Л) ^ = /' (<7). F.3.18)
с-с с
Здесь мы воспользовались также тем фактом, что ^(9)^=0 для д^Ш —
В интеграле вдоль края В точка /?г является краевой точкой поверхности
и, следовательно, р1 = р1. Принимая это во внимание, получим
= (Г (л), ^р(л. л))и = (/'
В силу теорем Коши и формул E.1.17), E.1.17)', теперь будем иметь
в
\ Зз (Рг, д)[][' (р2)
в 9?
§ 3. Итерированные операторы 155
, д)
, р2) Г
Следовательно,
5 3
с F.3.19)
+ 2* ^ 1т (
ц, 7=1
Сравнивая формулы F.3.14) и F.3.19), получим тождество F.3.9).
Если вложение поверхности Ш в поверхность 9? не является правильным,
то обозначим через {9Ла} последовательность поверхностей, сходящуюся
к поверхности Ш при неограниченном возрастании индекса р. и такую, что
ЗЛЦ.СИ5ШЦ.+ 1 СИЗК. Через ц обозначим фиксированную внутреннюю точку
множеств 9К или 91 — 9Л. Очевидно, что функционалы Гц,, Т^ для Ш& сходятся
к соответствующим функционалам Г, Г для 9К- Следовательно, формула F.3.9)
справедлива и для таких поверхностей Щ.
Устраним теперь ограничительное требование регулярности дифферен-
дифференциала й\ в замыкании поверхности $Щ. Для этого мы воспользуемся установлен-
установленной в § 13 гл. 4 возможностью аппроксимации в смысле нормы над Ш диф-
дифференциала й} посредством дифференциалов й/п, регулярных в замыкании
поверхности ЯК. Для точек ц поверхности Ш из формулы F.1.3)' имеем
тождества
F.3.20)
Пользуясь неравенством Буняковского — Шварца, получим далее
'. Р) 11 Г (Р)-/»(Р) МЛ <
Ж
ш
Согласно формуле D.13.3), правая часть этого неравенства стремится к нулю.
Следовательно,
ТЛЯ)-+Т,(Ч) F.3.21)
равномерно в замыкании поверхности 2К. В частности,
\\Т}(Ч)-Тп(Ч)\*йМ-*0 F.3.22)
ш
при неограниченном возрастании п.
Для внутренних точек ^ множества 91 — Ш имеем соотношения
, , р),Г(р))ш,
тп(я) = (*{<! р)/А(р)) F'33)
где функция ^р(9, р) ограничена относительно р. Действительно, соотноше-
соотношение F.3.21) выполняется равномерно по переменной ц в любой замкнутой
внутренней области множества Ш — 5Щ.
156
Гл. 6. Интегральные операторы'
Для внутренних точек ^ области §Щ справедливо тождество
(Г2 Щ - G2 (д))п = - ^ /Р (^, р) (Г, (р) - Тп (р)Г
, р){Т1{р)-Тп(р))-йА1
Применяя неравенс!во Буняковского —Шварца, отсюда получим
', р)(Т,(р)-Тп(р))-с1А,
Ж
Ж
Из соотношения F.3.22) следует, что правая часть этого неравенства стре-
стремится к нулю при неограниченном возрастании п. Обозначим через $ ком-
компактную область, лежащую внутри множества 5К — $Щ. Каково бы ни была
е > 0, можно найти такую область $> чт0
\ с5?р (а, р) I2 йг < е2.
1Я—Ж — 3
Пользуясь неравенством Буняковского —Шварца, получим
-, р) (Т, (р) - Тп (р))~ йА
С другой стороны, неравенство треугольника дает
—ш
зг-зк—
Из формулы F.2.9) следует неравенство
я—«ю—
Так как
то
где число
Л =
2 2 11т
зависит только от выбора поверхности 91, Аналогично,
Мш(Тп)<АЫш(с1[п).
72
§ 3. Итерированные операторы157
Так как норма Л/^ (й/п) стремится к норме Л/эд (й/), то справедливо неравенство
где число В не зависит от п. Итак,
(д, р) (Т, (р) - Тп (р)Г с1А, <Ве.
ш — ж—з
Вследствие равномерной сходимости заключаем, что
(<7> Р) (Г, (р) - Тп (р))- ЙЛ2 -* О
для фиксированной области 3- Так как число е произвольно, то
для каждой внутренней точки д области Эй*
Предположим, что д фиксирована внутри множества Ш —5Ш. Тогда
при неограниченном возрастании п. Остается установить справедливость соот-
соотношения
, р){Т1{р)-Тп{р)ТйАх-*О.
Обозначим через $ компактную область, целиком лежащую внутри множества
— Эй и содержащую внутри себя точку д. Неравенство
, р)(Т,(р)-Тп(р)ГОА2
<Ве
выполняется опять при подходящем выборе области 3- Обозначим через
круговую область | С | < Ь с центром в д. Справедливо равенство
X?(<7, р) (Г,(р) -Тп (р)Гс1Аг= ^ %г (д, р) (Т, (р) -Тп (р)Г с!Ах-
в*(* Р)(Т,(р)-Тп(р)Гс1г,
где интеграл по области ^ь вычислен по правилу D.9.8). Правая часть
этого равенства стремится к нулю вследствие равномерной сходимости. Следо-
Следовательно, для каждой внутренней точки д множества 31 — Эй справедливо
соотношение
Очевидно, что
Тп (д) -* Г, (д)
для каждой внутренней точки д поверхности $й. Далее, дифференциал /п(?)
стремится к дифференциалу /' (д) для всех тех точек д поверхности 91, ко-
которые не лежат на границе С области Эй- Так как формула F.3.9) спра-
справедлива для дифференциалов /п, то она остается справедливой и в пределе
для всех д, лежащих внутри области Эй или внутри множества 9$ — Зй-
158 Г л, 6, Интегральные операторы
Итак, ограничительное требование регулярности дифференциала /' в за-
замыкании области 9# устранено. То же самое доказательство применяется,
наконец, и в том случае, когда дифференциал /' отличен от нуля в одном
из компонентов множества Э$ — Ш- Формула F.3.9) доказана, таким обра-
образом, в общем случае.
Справедливо, далее, и более простое тождество
(Г2 (<7)); = - Т1 (ч), или Т2 = - 7\ F.3.24)
Это тождество следует из формулы D.11.7), так как Т^Р^. Действительно,,
Наконец, можно показать, что
F.3.25)
Первое из этих тождеств следует из формулы D.11.6). Для доказательства
второго заметим, что
- Рг)ГГ
5
так как дифференциал ^Р(р2, рг) ортогонален дифференциалу с$?Р(<7,
гласно формуле D.11.6).
Объединяя наши результаты F.3.7), F.3.9), F.3.24) и F.3.25), полу-
получим тождество
52 = (Т + ТJ = Т2 + ТТ + ТТ 4 Т2 -
Соотношения, установленные для операторов Т, Т и 5, мы резюмируем
в виде следующей теоремы:
Теорема 6.3.1. Операторы Т, Т и 8 удовлетворяют тождествам
§ 4. ПРОСТРАНСТВА КУСОЧНО АНАЛИТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
Обозначим через 0^ подкласс класса 0$д, состоящий из дифференциа-
дифференциалов, ортогональных дифференциалам класса Р^. Формула F.2.12) показы-
показывает, что дифференциал 7^ принадлежит классу 0^.
Прежде всего покажем, что
- F-4Л)
Действительно, пусть задан дифференциал йк класса О^. Найдем ортогональ-
ортогональную проекцию дифференциала сИг в пространство Р^; иначе говоря, найдем
такой дифференциал й\ С Р^> Для которого норма Ы$ {йк — й\) достигает ми-
минимума. Существование такого дифференциала й\ гарантируется полнотой
гильбертова пространства. Легко видеть, что разность йН — й\ ортогональна
каждому дифференциалу й§^?^ Это утверждение очевидно геометрически;
оно может быть также установлено аналитически при помощи обычного рас-
§ 4, Пространства кусочно аналитических дифференциалов 159
суждения, основанного на минимальном свойстве дифференциала й$* Обозна-
Обозначив через е произвольное комплексное число, получим соотношение
справедливое для всех дифференциалов A§^!г^ Отсюда
Итак, разность йк — A\ принадлежит классу 0^. Следовательно,
Но соотношение Ощ ИЗ 0$ + Р$ очевидно, и, следовательно, равенство F.4.1)
справедливо.
Через Т (Р*д) обозначим класс дифференциалов 7^ для й\ € Р^- Равенства
;Г(Р^) — 0 обозначает, что каждый дифференциал класса 5П(Р^) тождествен-
тождественно равен нулю. Докажем, что справедливы следующие соотношения:
Г(Р3{)=0, Т(Гш) = Рщ,
F.4.2)
Т (Ода) с Оя, Г(Ош) = 0.
Первое из этих соотношений является следствием формулы D.11.6).
Из формулы D.11.7) получим тождество
доказывающее второе соотношение. Для доказательства третьего соотноше-
соотношения предположим, что A§^0^ о?/€Р$к- Из формулы D.11.6) следует теперь,
что
', Тд) = ^ Г (Л) [
Ж Ж
11аконец, для дифференциалов й& € 0^ получим соотношение
так как дифференциал с5?р (р, ^) относительно р принадлежит классу
Этим доказано четвертое соотношение.
Сопоставляя соотношения F.4.1) и F.4.2), получим
F.4.3)
Теперь мы в состоянии охарактеризовать операторы Г и Г их проекцион-
проекционными свойствами в пространстве О^. Действительно, обозначим через Л\
произвольный дифференциал класса О^; из формулы F.3.9) получим теперь
тождество
с1}--=Т)-Тг F.4.4)
Принимая во внимание второе и третье из соотношений F.4.3), заключаем,
что формула F.4.4) дает как раз точное представление ортогональных проек-
проекций дифференциала й\ в пространства Р^ и 0^. Итак, операторы Г2 и —Г
осуществляют ортогональное проектирование произвольного элемента прост-
пространства О^ соответственно в пространства 0^ и
160Г л, 6. Интегральные операторы
В частности, для дифференциалов ^/6 0$ имеем 7^ = 0. Формула F.4.4)
в этом случае дает
7
или
Т2 (О„) = Ош.
Но из соотношений F.4.2) следует, что
т* (Ой) = т (т (оя)) с: т (о«) с о».
Итак, справедливо соотношение
Т{ОШ) = ОШ, F.4.2)'
а следовательно, и соотношение
. F.4,3)'
§ 5. УСЛОВИЯ ОБРАЩЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛА В НУЛЬ
Рассмотрим теперь подкласс 0^ класса Р^щ, состоящий из элементов,
ортогональных всем элементам класса Р^. Заметим, что класс Р^ нетривиа-
лен, так как поверхность 9? имеет край. Так как дифференциал %?{руд)
принадлежит классу Р^, то каждый дифференциал й/ класса Оэд удовлетво-
удовлетворяет тождеству
F.5.1)
для точек д^^Я. Действительно, из формулы F.3.2) получим
Т, (Я) = (/' (Р), Хг- (Р, Я))ш = 0. F.5.1)'
Для дифференциалов й/ € Рдд положим
)^() F.5.2)
Ясно, что функция ^^{^) точки ц аналитична на множестве 34 — ЗЛ. Для
96501
и, следовательно, функция ^^{^) также регулярна в замыкании области
Для дифференциалов й/^Одя и точек д, лежащих на краю поверхности 9?
(<7 = <7), из формулы F.5.1)' получим равенство ^(9) —0. Продолжая анали-
аналитически, получим далее
= 0 для <7€Я-2», й/бОзд. F.5.2)'
Итак, элементы класса О^щ удовлетворяют условиям F.5.1) и F.5.2)'.
Докажем теперь следующую лемму:
Лемма 6.5.1. Если дифференциал й] принадлежит классу О^, то
дифференциал (Г2 {ц)I регулярен в замыкании области Ш-
Для каждого дифференциала й\ б Рдде справедливо тождество
(д, р), Г (р))ш = - (/Р (д, р), Г (р))ш. F.5.3)
Это выражение регулярно относительно д в замыкании области $Щ. В част-
частности, дифференциал Т;(д)У рассматриваемый для точек <7бЗК, принадлежит
классу Рэд. Следовательно, дифференциал
§ 5. Условия обращения дифференциала в нуль 161
регулярен относительно д в замыкании области $Щ. Для дифференциалов
сЦ€®<т и точек д^ЧИ — 9Я> используя "формулы F.5.2)', E.1.17), E.1Л7)' и
E.1.18), получим
Т{ (д) = (^Р (</, р), /' (р))эг - ({Хг (<?, р) - X? (Р, <?)), Г (/>))« =
СО :
= 2* 1: 1т{Р^}%,:(G).(^7> й!)ш. F.5.4)
Кроме того,
, р), 2;(р))«-Aр (<7, р), Ц{р))ш + {1АЯ, р), Щ(Р)) {
Эти члены регулярны в замыкании области $Щ- Для последнего члена это
утверждение очевидно. Используя формулу D.10.8) и формулы § 1 гл. 5,
для первого и второго членов правой части формулы F.5.5) получим соот-
соответственно сле/^ющие выражения:
Со
2
О
Эти выражения регулярны в замыкании области 5Ш- Пользуясь формулами
F.5.4), F.5.5) и нашими замечаниями относительно регулярности, найдем,
что функция
регулярна в замыкании области $Щ. Итак, дифференциал
(я)), = (хг (я, Р), т, (Р))ш + (хг (я, р), т, (р))зг-зк
также регулярен в замыкании области $Щ. Лемма 6.5.1 полностью доказана.
Операторное равенство F.3.9) эквивалентно тождеству
, , F.5.6)
Для дифференциалов с1(^О^ из формулы F.5.1) следует, что 7^ = 0. В этом
случае формула F.5.6) дает
(Т2 №, = Г (?)• F.5.6)'
Сопоставляя формулу F.5.6)' с предыдущей леммой, получим следующий
результат:
Лемма 6.5.2. Каждый дифференциал класса 0^ регулярно анали-
тичен в замыкании области $Щ.
Предположим, что вложение поверхности Ш в поверхность Ш правильно..
Так как разность
остается непрерывной, когда точка д пересекает границу области Ж, и диф-
дифференциал й) регулярен на этой границе, то из формулы F.1.10) следует, что
, (Яш) = Т1 (д.) - Т1 (де) = /'
Через С здесь обозначена граничная униформизирующая в точке д и /' (д) ==
= с?//^. Но из формулы F.5.2)' вытекает, что ^^(де) = ^. Итак, функция
У, (д) имеет в области $Щ граничные значения (/' (д))~. Следовательно, регу-
П Закаа № 634
162 Гл. 6. Интегральные операторы
лярные всюду в замыкании области $Щ дифференциалы /' (р) -\- ^ (р) и
(Г (Р)~~~^; (Р))Л действительны на границе и представимы в следующей
форме:
F.5.7)
^2 «(р), F.5.8)
где числа а^ и Ь^ действительны. Сопоставляя эти равенства, получим
о
( + ^) F.5.9)
Если р$щ является классом 3, то из леммы 4.8.1 немедленно следует
тождество /' (р) = 0.
Если Р^ не является классом 3, то тождество /'(р) = 0 будет иметь
место в том случае, когда дифференциал класса Р^ имеет отличные от нуля
периоды на циклах поверхности $Щ, не фигурирующих в условиях, нало-
наложенных на периоды дифференциалов класса Р>щ. Действительно, пусть
Р$щ = РэдA±у 12> • • •» Н)> где 0</<С Для произвольного цикла Кч поверх-
поверхности 5Ш, V^=/1,...,/р существует интеграл 1$% первого рода, такой, что
а^^?ш и
(<№ч, и!,,) = - Р (Ш^ К*) = ^. F.5.10)
С другой стороны, каждый дифференциал (Ш^ принадлежит классу Р^ и,
следовательно, ортогонален всем дифференциалам ^/^О^щ. Из формул F.5.9)
и F.5.10) получим
о
= с^ = 0, V Ф 11912, . .., /г F.5.11)
Следовательно,
2 F.5.12)
г- 1
Но дифференциал й\ принадлежит классу Р^щ, и для него справедливы соот-
соотношения
= 2 ^^^ = 0, *= 1,2, ...,/. F.5.13)
Так как матрица ||Г«,С^|| является неособенной вследствие гипотезы о пра-
правильном вложении, то с^ = 0, т = 1, 2, . . ., /. Следовательно, /' (р) е^0.
Для существования дифференциалов ^№%€Р$ мы должны предположить,
что класс Рэд является минимальным соответствующим классом на поверх-
поверхности Щ, т. е. что класс Р^щ не содержит никакого собственного подкласса
(с условиями, наложенными на периоды на дополнительных циклах К\),
являющегося также и соответствующим классом. Кроме того, мы предпола-
предполагаем, что вложение существенно (см. § 1 гл. 5). Мы установили следующую
лемму:
Лемма 6.5.3. Если вложение поверхности УЛ в поверхность Ш пра-
правильно и существенно и если класс Р^ является минимальным соответ-
соответствующим классом на поверхности §Ш,то единственным элементом класса
, принадлежащим классу О$щ, является нулевой дифференциал.
§ 5. Условия обращения дифференциала в нуль 163
Тождество /'(/?) = О выполняется и при более слабом предположении,
что некоторый гомологичный нулю на поверхности 91, но не гомологичный
нулю на поверхности $Щ компонент края С^ поверхности ЗК является цик-
циклом Кч, ассоциированным с классом Р^щ. Следует заметить, что предполо-
предположения такого рода необходимы. Действительно, рассмотрим случай, когда
Рэд^М, и предположим, что существует компонент С^ границы области $Щ,
гомологичный нулю на поверхности 94 и не гомологичный нулю на 9#. Обозна-
Обозначим через 22Н+Р дифференциал первого рода на поверхности $Щ, соответ-
соответствующий граничному циклу С^. Тождества
Т (д) =. (Г2Н^ (р), %п (р, д))ш = - (Р (Л?м (р, д), С,))" - 0 F.5.14)
выполняются, так как цикл С;а гомологичен нулю на поверхности 9^. Ана-
Аналогично, для д С 9? — Ш
]{д) = {Хп{р,д),22н^{р))ж=--Р(%к(р,д),С,) = Ъ. F.5.14)'
Итак, для специального дифференциала Ъ'чк+у. (р) класса М на поверхности
дифференциалы Т (д) и / (д) равны нулю соответственно в точках д
и д€& — Ш- Однако дифференциал 2'2н^^(р) не равен тождественно нулю.
Заметим, что уравнение F.5.1) характеризует класс 0^: если диффе-
дифференциал Т^(д) тождественно равен нулю для дифференциалов о?/€Рдя> то
й] 6 Од#- Действительно, обозначим через (Иг некоторый дифференциал класса Р^.
Из формулы F.2.12) получим
(й!УйН)ш^ -(ТгЩя = 0. F.5.15)
Так как Т1 является аналитическим дифференциалом на поверхности 91, то
предыдущее заключение остается справедливым в том случае, когда мы
знаем только то, что дифференциал 7^ обращается в нуль на множестве
31 — $Щ. Итак, справедлива следующая
Лемма 6.5.4. Если при предположениях леммы 6.5.3 дифференциал 7\
обращается в нуль на множестве 91—9# и с?/€Рд#, то дифференциал а}
тождественно равен нулю.
Эту лемму можно применить для оценки норм некоторых операторов.
Для симметричного класса Р^ из формулы F.2.11) получим
% E,) = % (Г,) + % (Т,) = Мш Щ). F.5.16)
Из этого тождества получим следующие неравенства:
F.5.17)
Если хотя бы одно из этих неравенств обращается в равенство, то 7\ - О
на множестве 91 — 9#. Итак, справедлива следующая
Лемма 6.5.5. Допустим, что поверхность Щ и класс Р^ удовлетво-
удовлетворяют условиям леммы 6.5.3 и что класс Р^ симметричен. Тогда для каж-
каждого отличного от нуля дифференциала класса Р^щ справедливы строгие
неравенства
мш(ап > мш(Т()
F.5.18)
Аналогичный результат можно получить для 5-оператора. Сделаем те же
предположения, что и в предыдущей лемме. Из формулы F.2.11) найдем,
что неравенство
E,)< % (<*/) F.5.19)
11*
164
Гл. 6. Интегральные операторы
не выполняется только тогда, когда 5у(<7)
5() = 0 на 5Й-9К, то
о
на множестве 91 — 501. Если
для
В этих формулах дифференциал §' регулярно аналитичен в замыкании
области 9К, так как образ 5/ регулярно аналитичен в замыкании области
для каждого дифференциала класса Р^щ. Из формулы F.3.8) получим
Так как дифференциал 5^ (^) регулярно аналитичен в замыкании области
то этими же свойствами обладает и дифференциал/'(9). Из формулы F.1.10)
имеем
5, (?,) = 5, (Й1) - 5, (дв) = Т1 (д.) - Т, (де) = (/' (д))-.
Через ^ здесь обозначена граничная униформизирующая в точке ц, и \' (д) =
= й]\^. Дифференциалы /' (ц) + 5; ($) и (/' (^) — 5; (<7))/* принадлежат поверх-
поверхности 5Ш, и, следовательно,
Г (?) + 5, (?) = 2 ^2; (?),
*01 F.5.20)
этих формулах числа а^ и Ь^ действительны. Итак,
2
Пользуясь формулами F.2.12), для любого дифференциала
соотношения
Отсюда имеем
Равенство F.5.22) показывает, что дифференциал
классу Оэд. Из леммы 6.5.3 заключаем, что
Итак,
получим
F.5.22)
принадлежит
F.5.23)
Наоборот, легко показать, что каждый дифференциал вида F.5.24)
удовлетворяет соотношениям F.5.23). Для произвольного дифференциала
к} 6 Рд# справедливо соотношение
, р), Г (Р))ж
(Я*
Отсюда
§ 5. Условия обращения дифференциала в нуль Ш>
Подставим теперь специальный дифференциал F.5.24) в общее тождество
F.5.25); мы получим следующее тождество:
5/ (Я) + Г (Ч) =
1
( (/Р (р, ?), („))]}=о.
Здесь мы воспользовались соотношением
(Р (/р (р, ?), К*)Г = Р Aт (Р. ?)- /С^), F.5.26)
справедливым в силу симметричности класса Р^ (следовательно, и класса Рэд).
Итак, доказано, что неравенство F.5.19) не выполняется только тогда,
когда дифференциал &\ имеет специальный вид F.5.24). В этом случае
имеет место равенство норм.
При предположениях леммы 6.5.5 для каждого отличного от нуля
дифференциала й/СРэд справедливо строгое неравенство
#Я»(^/)>0- F-5-27)
Рассмотрим теперь случай, когда
для каждого дифференциала с?/бРд#. Это может случиться тогда и только
тогда, когда
/р(р,0) = О F.5.28)
при р^^Ш- Действительно, для дифференциала с?/ = /Р (р, 9)бР?щ и точек
получим
' Тождество F.5.28) выполняется, например, в том случае, когда поверхно-
поверхностью $Щ является круг, концентрически вложенный в другой круг 91.
В том случае, когда тождество F.5.28) выполняется, в области $Щ
справедливо операторное равенство 8^ — Т^ (так как 7^ = 0). Лемма 6.5.5
показывает, например, что в этом случае множество возможных исключе-
исключений неравенства F.5.19) для F.5.24) должно быть пусто. Вообще, значение
формулы F.5.28) состоит только в том, что она позволяет исключить неко-
некоторые возможности, которые могут встретиться в общем случае. В случае,
когда либо Р^ = 3, либо Р^ = 8, мы покажем, что тождество F.5.28) воз-
возможно только для односвязных областей ЭДЬ
Предположим, чтоР^ = 3. Так как, по предположению, класс Р^ сим-
симметричен, то род поверхности 9? будет равен нулю. В этом случае функция
эз(р> Я) —
однолистна и отображает поверхность 91 на плоскую область с максимальной
внешней площадью (ср. § 12 гл. 4). Следовательно, с5?§(р, д)фО в каждой
точке р^91. Обозначим через С край поверхности 9#. Если тождество F.5.28)
выполняется, то для руд^С дифференциал
<5?8 (р, (?) йр йц = Ь
действителен. Фиксируем точку ц^С; тогда
166 Гл. 6. Интегральные операторы
на каждом компоненте края С. Следовательно, функция Е8(р, д), имеющая
простой полюс при р = д, отображает поверхность 9К на область с парал-
параллельными разрезами. Каждый компонент края С переходит при этом в пря-
прямолинейный отрезок, параллельный действительной оси. Компонент края С,
содержащий точку д, переходит при этом в отрезок, содержащий бесконечно
удаленную точку; остальные компоненты переходят в конечные отрезки.
Но функция %&(р> д) должна обращаться в нуль в тех точках р^С, кото-
которые соответствуют конечным концевым точкам этих отрезков. Так как
^з(Р» 9) ^= 0 на поверхности 91 и вложение поверхности $Щ в 91 правильно,
то нашей областью с параллельными разрезами может быть только полу-
полуплоскость. Отсюда следует, что поверхность $Щ односвязна.
Выполнив, если нужно, некоторое линейное преобразование, мы можем
предположить, что областью 91 является внешность т0 жордановых кривых
В19 ..., Вт на 2-сфере и что область $Щ является внешностью большого
круга, заключающего внутри себя граничные кривые области Ш. В этих
предположениях
и, следовательно,
Граничные кривые В^ области 91 характеризуются следующими дифферен-
дифференциальными уравнениями:
Интегрируя эти уравнения по переменным г и 1, найдем, что
1т Цт^.^?} =о F.5.29)
121—С2 ^2 — С^ Ч '
для точек г±, г2, лежащих на одной и той же кривой В^, и для точек ^ 2
лежащих на одной и той же кривой Ву. Из соотношения F.5.29) видно,
что каждая граничная кривая В^ должна быть окружностью, проходящей
через точки гх и г2. Область ?И ограничена, следовательно, одной-единствен-
ной окружностью. Итак, в случае Р$ = ^ предположение F.5.28) приводит
к заключению, что вложение поверхности %Щ в поверхность 9? будет конформно
эквивалентно концентрическому вложению круга в больший круг.
Предположим далее, что Р^щ является классом 8. Тогда род поверхно-
поверхности ЗЯ должен быть равен нулю. Функция
в этом случае однолистна на поверхности 9Л и отображает ее на подобласть
сферы с максимальной внешней площадью. Следовательно, функция Ч^С/?, Я)
будет однолистной и в несколько большей области Щ'. При условии F.5.28)
функция
совпадает с функцией ^(р, д) при р, д€Ш, а следовательно, и при р, д
Отсюда вытекает, в частности, что ^р(р, д)фО для р€5Щ'- Как и ранее,
заключаем, что поверхность Ш должна быть односвязной.
§ 6. ГРАНИЦЫ ДЛЯ НОРМ ОПЕРАТОРОВ ТИТ
Сделаем следующие предположения (использованные в § 5 гл. 6):
1) вложение поверхности $Ш в поверхность 91 существенно и правильно,
2) 3?г{р, д) = 3?г(ду р), 3) класс Р^ минимален. Заметим, что при условии
§ 6, Границы для норм операторов Т и Т 167
= 5 предположение относительно существенности вложения может быть
опущено.
Напомним, что дифференциал Л] класса Р$щ по определению равен нулю
на множестве Щ — $Щ. Следовательно, дифференциалы класса Р^щ преобразуются
операторами в дифференциалы класса Е^, но не обязательно в дифферен-
дифференциалы класса Р$щ. Возможно, однако, определить новый дифференциал,
совпадающий с дифференциалом-образом в области 9К и обращающийся в нуль
на множестве $Н — $Щ. Этот дифференциал принадлежит уже классу Рэд. Таким
путем вводятся новые операторы 1;(д), ^(д) И5/(^), переводящие дифферен-
дифференциалы класса Р^щ в дифференциалы того же класса. Например, оператор г()
может быть определен следующим образом:
Тг(д) при
о при
В нижеследующих формулах мы будем иметь в виду только операции
в области 5Щ. Нормы и скалярные произведения без индексов, обозначающих
область интегрирования, следует считать взятыми над областью ЭДЬ
Отличные от нуля дифференциалы класса Р^щ нормируем условием
#(йГ/)=1. F.6.1)
Докажем следующую теорему:
Теорема 6.6.1. Существуют такие действительные числа X > 1
и р > 1, что
А-, F.6.2)
-р-. F.6.3)
Неравенство F.6.3) обращается в равенство по крайней мере для одного
дифференциала класса Р$щ, удовлетворяющего условию F.6.1). То же самое
утверждение справедливо и относительно неравенства F.6.2), если только
не выполняется тождество F.5.28). Итак, нормы операторов I и 1 меньше
единицы.
Доказательства неравенств F.6.2) и F.6.3) основываются на том факте,
что для точек д € Ш имеют место тождества
*,(Я)=-A*(<1,Р), Г(Р)Ы> F.6.4)
7, (д) = (Хг (д, р), (/' (р)Пю, F.6.5)
в которых дифференциалы 1г(р,д) и <%г(д,р) регулярны в замыкании обла-
области $Щ. Регулярность в области $Щ дифференциала <%Р(дур) является след-
следствием предположения о правильности вложения.
Обозначим через {^/7} последовательность дифференциалов класса Р^,
удовлетворяющих условию F.6.1) и сходящихся в каждой точке к диффе-
дифференциалу й1 при неограниченном возрастании номера V, сходимость предпо-
предполагается равномерной в каждой компактной подобласти $Щ', целиком лежа-
лежащей внутри поверхности 9#. Тогда
Заставляя область Ш' стремиться ко всей поверхности 5Щ, получим
#ак(#) = # (<*/)<!- F.6.6)
Итак, предельный дифференциал также принадлежит классу Р^ и его норма
не превосходит единицы.
168 Гл. 6, Интегральные операторы
Для заданного г > 0 выберем область Щ' таким образом, чтобы равно-
равномерно по переменной д выполнялось неравенство
^ 1?{д,р)\ЫАх<г\ F.6.7)
зге-зге'
Положим
Неравенство
Ш'
F.6.8)
> Р) 11Г (Р) — ^ (Р)| Л4
зге—зге'
имеет место для д€Ш- Вследствие равномерной сходимости существует такое
число ^0 = у0(з), что неравенство
•(?> р)\ Г(р)-П(р)\алх<г F.6.9)
выполняется для номеров V>V0. Пользуясь неравенствами F.6.6), F.6.7),
неравенством Буняковского — Шварца и неравенством треугольника, получим
|М<7> Р)\\Г(Р)-К(Р)\С1А2<
зге—зге'
1/2
|'р(<7» Р)
зге-зге'
^ |/р(9, ^N4} 7 {[ з 1ПрI2Л4*] /2+ F.6.Ю)
>дге-зге' зге-зге'
зге—зге'
Сопоставляя неравенства F.6.8), F.6.9) и F.6.10), для точек 9€9К и чисел
V>V0 имеем
|'/@)-^(?)|<Зе. F.6.11)
Итак, дифференциалы ^(<7) сходятся равномерно в замыкании области 5Щ:
к дифференциалу ^(д)- В частности,
Л/(^-^)->0, Л^(^)^Л/(^), F.6.12)
когда номер V неограниченно возрастает. Такие же утверждения справедли-
справедливы и для дифференциалов ^.
Заметим, что вышеприведенное доказательство существенным образом
опирается на регулярность дифференциалов 1г(д> р) и %?(д> р) во всем за-
замыкании области 5Щ. Это обстоятельство можно проиллюстрировать следую-
следующим поучительным примером. Обозначим через {й^} полную ортонормирован-
ную систему класса Р^ и положим
(д) = - ^
Так как ряд
со
(я)
§ 7.» Спектральная теория г-оператора
сходится в каждой внутренней точке ц поверхности $Щ, то производные
<Ру(<7) сходятся к нулю при неограниченном возрастании V. Эта сходимость
равномерна во всякой замкнутой подобласти, целиком лежащей внутри *
Следовательно,
и (<7)-» Пя),
где /(<7) = 0. Однако
Ига N G7) = 1 ф N (/) = 0.
Причиной такого поведения нормы является неограниченное возрастание диф-
ференциала Ь? (р, р) при приближении точки р к краевой точке поверхно-
поверхности Ж.
Обозначим через й верхнюю грань норм А^(^) дифференциалов /'бРд#>-
удовлетворяющих условию F.6.1), а через {/^ — последовательность диф-
дифференциалов, для которых
N (м -> а
при неограниченном возрастании V. Можно считать, не ограничивая общности,,
что последовательность {/^} в любой компактной подобласти ЯК' поверхности,
ЗЛ равномерно сходится к дифференциалу /'€Р$щ, удовлетворяющему нера-
неравенству F.6.6). Из соотношений F.6.12) усматриваем, что
ЫУ;) = а. F.6.13)
Если число й положительно, то производная /' (р) не тождественно равна
нулю и из неравенств F.5.18) получаем
F.6.14)
Для дифференциала Г, удовлетворяющего равенству F.6.13), должно вы-
выполняться равенство N Щ)= 1. В противном случае можно было бы умно-
умножить дифференциал й\ на такое число Ь > 1, что N (Ьй$)= 1. Отсюда следо-
следовало бы неравенство
противоречащее нашим предположениям. Полагая Х2=1/о?, получим неравен-
неравенство F.6.2). Случай A = 0 соответствует тождеству F.5.28). В этом случае
неравенство F.6.2) выполняется при любом выборе числа Х> 1, но знак
равенства никогда не имеет места.
Точно таким же образом доказывается неравенство F.6.3). В этом слу-
случае получим й>0 в соответствии с неравенством F.5.27).
Для дифференциалов, не нормированных условием F.6.1), наши нера-
неравенства принимают следующий вид:
§ 7. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ^-ОПЕРАТОРА
Выше были рассмотрены два типа сходимости последовательностей диф-
дифференциалов: (а) сходимость последовательности о?Д, в каждой точке, равно-
равномерная во всякой компактной внутренней области поверхности Ш] (Ь) схо-
сходимость элементов с1^ в смысле метрики гильбертова пространства Р^. По-
Полезно также интерпретировать первый тип сходимости в терминах теори»
гильбертова пространства. Пусть йср — произвольный элемент нашего про-
пространства. Сходимость первого типа последовательности ЙД, к предельному
370 сГл. 6, Интегральные операторы
дифференциалу й\ обеспечивает выполнение соотношения
Нт
V—»оо
Этот тип сходимости последовательности {йД,} к элементу о?/ гильбертова
пространства называется слабой сходимостью. Свойство, выражаемое фор-
формулой F.6.12), можно формулировать следующим образом: операторы 11 и
1} преобразуют каждую слабо сходящуюся последовательность нашего гиль-
гильбертова пространства в сильно сходящуюся.
Это свойство операторов было названо Гильбертом «полной непрерывно-
непрерывностью». В значительной мере гильбертова теория форм бесконечно многих
переменных основывается на этом понятии. Рассуждения предыдущего параг-
параграфа показывают, что вполне непрерывный оператор всегда ограничен.
В предыдущем параграфе была установлена ограниченность операторов
1^ I] и, следовательно, 5^. Общая теория 'эрмитовых линейных операторов
в гильбертовом пространстве гарантирует существование дискретного спектра
собственных значений оператора ^. Аналогичным путем можно было бы уста-
установить то же самое и для других двух операторов. Однако, желая остаться
в круге рассматриваемых в этой книге понятий, мы построим спектральную
теорию всех этих трех операторов, исходя из более элементарных концепций
и используя особенно простые их свойства. На этом пути мы получим также
некоторые интересные реализации абстрактного гильбертова пространства.
Предположим, что удовлетворяются условия, сформулированные в нача-
начале § 6 гл. 6. Изучим собственные значения и собственные дифференциалы
следующих трех интегральных ^равнений для дифференциалов <//(<7) класса
16.7.1)
F.7.2)
, F.7.3)
Начнем с проблемы собственных значений для уравнения F.7.1).'Заме-
F.7.1).'Заметим, что
^(д) (х(яр) Г(р)) (Ч<7> р)> Пр))як> F.7.4)
р), *,(Р))т= -Ср(<7> р),
^ 5 %
- [Яг(р2> Ч) Г Ш <*Аг2, F.7.6)
где, как это следует из формул E.3.20) и E.4.1),
$ (р, ?)-ГР(р, Я). F.7.7)
Через 7} здесь обозначена локальная униформизирующая в точке г. Эти
формулы показывают, что итерированный ^-оператор является эрмитовым.
Из формулы F.1.14) следует соотношение
г F.7.8)
Формула F.7.8) показывает, что ^-оператор в гильбертовом пространстве
с нормой (й/, йц) не является самосопряженным. Именно по этой причине
в § 1 гл. 6 было дано другое определение скалярного произведения:
§ 7. Спектралоная теория г-оператора 171
Оператор г самосопряжен в пространстве с этой новой метрикой. Заметим
далее, что нормы дифференциалов в новом пространстве совпадают с норма-
нормами, введенными ранее.
Рассмотрение экстремальных проблем в гильбертовом пространстве
с метрикой [^/, й§] позволит нам теперь установить существование собст-
собственных дифференциалов и собственных значений для уравнения F.7.1).
Предположим, что нам известны V собственных значений Х17 .. . Д^, и V
ортонормированных собственных дифференциалов с1<р±1 ..., йу^- Они удовлет-
удовлетворяют соотношениям
<*Р*(<7) = Мфь(<7)- F.7.9)
Рассмотрим теперь все дифференциалы й] класса Рэд и введем метрику
при помощи скалярного произведения \й\, A§]. Соотношение
[й! + Ыку # + Мй] = [<//, ^] + 2Ке{Ц^/, йк)} + \\\*[йк, йк]
показывает, что эти дифференциалы образуют гильбертово пространство, если
допустить умножение только на действительные числа. Действительно, при
этом условии вышеприведенное тождество принимает вид
Итак, мы пришли к понятию «действительного» гильбертова пространства
/чщ, в котором линейная зависимость определена в действительном смысле.
Каждый отличный от нуля дифференциал й\ гильбертова пространства Р^
порождает два независимых элемента А] и И\ пространства Рщ* В частности,
положив йу_к = 1йук и )^= -^ (к= 1, 2, ..., V), получим ортонормирован-
ное множество 2V собственных дифференциалов в пространстве 7^. Заметим,
что дифференциал ^/, ортогональный как дифференциалу с1<рк, так и дифферен-
дифференциалу с1у_к в пространстве Г^у будет ортогонален дифференциалу йук в про-
пространстве Р^. Обратное утверждение также справедливо.
Среди всех дифференциалов с1[€Р$я> удовлетворяющих условиям
#D/)=1, №> %Н°> ^= ± 1, ±2, .. ., ± V, F.7.10)
найдется по крайней мере один —пусть это будет й/ = й^+ь ~ Для которого
скалярное произведение
[<*/, //] = Ке{(й/, Щ F.7.11)
имеет наибольшее значение. Заметим, что
Действительно, если дифференциал й\ удовлетворяет нашим условиям, то этим
же условиям удовлетворяет и дифференциал е1В с1[ F —действительное число),
так что
F.7.12)
Выбирая число б подходящим образом для заданного допустимого дифферен-
дифференциала й}у всегда возможно удовлетворить неравенству
[е*й1 ^в,] = Ке{е2'вD/, ^)}>0. F.7.13)
Более того, если
то число б можно выбрать так, чтобы соотношение F.7.13) было строгим
неравенством. Далее, дифференциал б/^+ь для которого достигается максимум,
должен удовлетворять соотношению
172 Гл. 6. Интегральные операторы
Действительно, если бы 1т{(а^-и> ^+1)}^0> то можно было бы выбрать
число 6 так, чтобы скалярное произведение [о?/, ^] для дифференциала й] —
— е1*йуч+\ было больше числа [екр^+х, ^+11- С другой стороны, из неравен-
неравенства F.6.2)' видно, что
|(</Л ^^{Л/^т^Ч^^)}17^^^!, F.7.14)
где X > 1. Следовательно,
0<тах[4/, ^]<у, >О> 1. F.7.15)
Положив
= ^ , F.7.16)
получим неравенство
F.7.17)
Предположим теперь, что Х7+1 < оо. Обозначим через йу дифференциал
пространства Р$щ, ортогональный дифференциалам йу1У й?<р2» •••> й?у» и поло-
положим й# = ^9^1+е^? (г — произвольное комплексное число). Тогда
Отсюда следует, что
1+2 Ке {в (^ср, ^+1)} + | в
|2
Вследствие произвольности е будут справедливы соотношения
№, ^+1) = Ху+1 №, ^+1) F.7.18)
и
(Лр, ^97+1—^+1^+1) = 0. F.7.19)
Из формулы F.7.19) заключаем, что
^+1 =Х7+1^+1. F.7.20)
Действительно, дифференциал
ортогонален всем тем дифференциалам сЬр> которые ортогональны дифферен-
дифференциалам б?91» •••» ^?V• Можно также показать, что й/7-и ортогонален всем
дифференциалам с?срР, р=1, 2, ..., V. Из формулы F.7.8) получим
Из формулы F.7.9) теперь усматриваем
= 0.
Пространство Р^ может быть представлено в виде суммы линейного простран-
пространства, построенного на дифференциалах йу?у р=1, 2, ..., V, и его ортого-
ортогонального дополнения. Следовательно, дифференциал */Д,-и ортогонален всем
дифференциалам пространства • Р^. Итак, й^+\ тождественно равен нулю
и формула F.7.20) доказана.
Ясно, что для дифференциала Й9_7_1 = ^9^+1 скалярное произведение
F.7.11) реализует минимум при условиях F.7.10). Этот дифференциал соот-
§ 7. Спектральная теория ^оператора 173
ветствует собственному значению Х_%>_1= — Х^-и- Далее
Следовательно, дифференциалы б%> к = ± 1, ±2, ..., ± (у4- 1), образуют
ортонормированную систему в пространстве Р^\ дифференциалы <%, й=1,
2, ..., V-}- 1, образуют ортонормированную систему в Р^.
Отправляясь от наименьшего собственного значения Хх и повторяя выше-
вышеописанный процесс отыскания экстремального дифференциала, можно построить
последовательности собственных значений и собственных дифференциалов (соот-
(соответственно Хк и й
Уравнение
ш
удовлетворяется к-и собственным дифференциалом. Следовательно, к-м коэф-
коэффициентом Фурье дифферецциала /р(р, #) по отношению к ортонормированной
системе {йук} является дифференциал —^/Х^. Из неравенства Бесселя B.3.23)
следует, что
^^р(Р, 9)N4- F.7.21)
№
Интегрируя неравенство F.7.21) по поверхности 5Ш, получим
Следовательно, если имеется бесконечно много собственных дифференциалов,
то числа Хй неограниченно возрастают с возрастанием к, В частности, каждое
конечное собственное значение имеет конечный порядок.
Предположим теперь, что существует дифференциал с?/ класса Р$щ, по норме
равный единице и ортогональный всем собственным дифференциалам. Тогда
[й/, *,] = (). F.7.23)
Действительно, если собственных дифференциалов имеется бесконечно много,
то справедливы неравенства
из которых следует равенство F.7.23). В случае только конечного числа
собственных дифференциалов соотношение F.7.23) остается справедливым:
в противном случае можно было бы продолжить наш процесс отыскания
-собственных значений и собственных дифференциалов. Дифференциал е'8/
{б — действительное число) также ортогонален всем собственным дифферен-
дифференциалам и имеет норму, равную единице. Сопоставляя формулы F.7.12)
и F.7.23), получим
Ш О = О F 7 24^
■Равенства
= 0 F.7.25)
выполняются в силу наших предположений, и, следовательно, дифференциал
^ ортогонален всем собственным дифференциалам. Обозначим через й\х какой-
либо другой отличный от нуля дифференциал, ортогональный всем собствен-
собственным дифференциалам. Из формул F.7.24) и F.7.8) вытекает соотношение
174 Гл. 6, Интегральные операторы
Следовательно,
Ш^ П = 0 F 7 24У
Ортонормированную систему {^срь} собственных дифференциалов можно
сделать полной посредством прибавления некоторого ортонормированного
множества дифференциалов й/х, с?/2, .. ., ортогональных всем собственным
дифференциалам. Из формул F.7.24), F.7.25) и F.7.24)' усматриваем, что
дифференциал ^ ортогонален всем дифференциалам этой полной ортонормиро
ванной системы и, следовательно,
^(^) = 0. F.7.26)
Итак, каждый дифференциал й\, ортогональный всем собственным дифферен-
дифференциалам, можно рассматривать как решение интегрального уравнения F.7.1),
соответствующее собственному значению Х=оо. Благодаря допущению бес-
бесконечных собственных значений множество собственных дифференциалов
превращается в полную ортонормированную систему.
Если удовлетворяется тождество F.5.28), той тождество F.7.26) удовле-
удовлетворяется для всех дифференциалов й\. В этом случае любая полная орто
нормированная система в пространстве Р^щ принадлежит собственному значе-
значению X = оо.
Ядро /р (р, ц) интегрального уравнения F.7.1) можно выразить через
собственные дифференциалы, образующие полную ортонормированную систему
. При этом к-ч коэффициентом Фурье будет —йук1\к. Итак,
, <у) = — V —— ат^ (р) A®^ г^г). F.7.27)
Подставляя ряд F.7.27) в формулу F.7.7), получим
оо
, р)= у\ __(^ср7 (р))-A<ру (п). F.7.28)
Итерация тождества F.7.9) приводит к формуле
с1ъ (9) = « (^ №ъ = Ц ^ ^г (я, р) Ъ (Р)
т
В обычных обозначениях можно, следовательно, написать
Р) F-7.30)
(второе итерированное ядро). Из формулы D.9.6) получим
оо
(Р, ?) = - 2 *Ъ М (^ (?))"• F-7.31)
V=1
Естественно ввести следующие обозначения:
, ?) =-1Р(р,?),
^ ^, (О. / .<36\
(р, я) = Ср (р, д)
и
(р, д) = [ Я(г»-2) (р, 7) Aг (г, ?) йАГ1, A > 1. F.7.33)
ЯК
Тогда
оо
(р, ?) = 2 ,4г ^ (/») (^ (V))-, F.7.34)
§ 8. Спектральная теория г-оператора 175
Формула F.7.34) дает разложения итерированных ядер в ряды по соб-
собственным дифференциалам. В случае [л = 0 мы получим разложение ядра
1р(р, д). Интересно отметить, что рассматриваемые в общей теории инте-
интегральных уравнений разложения типа F.7.34) для случаев ^=0 и ц = 1,
вообще говоря, не сходятся. Гильбертовы пространства дифференциалов^
рассматриваемые в этой книге, обладают такими ортонормированными систе-
системами, свойства сходимости которых особенно просты.
§ 8. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ^-ОПЕРАТОРА
Перейдем теперь к интегральному уравнению F.7.2). Справедливы сле-
следующие соотношения (см. § 6 гл. 6):
Gр)/(Р)^ F-8л)
Ж
Т. F.8.2)
Для дифференциалов класса Р^ имеет место тождество ^(д)^Т1(д). Однако
дифференциал (^(д))г вообще говоря, не равен дифференциалу (Т2(д))г
Справедливо соотношение
ж
где
р)=
Ж
Далее, имеем
\хг (г, р) (Хг (г, я))
Ж
н
)
^ (г, р) (с2?р (г, д))~ А А, = Г
Ж-Ж
Итак,
, Р) ~Гр(<7, Р). F.8.4)
Желая определить оператор ^ посредством ^--операции, примененной к опе-
оператору 1^ мы должны выбрать одну из следующих двух формул:
или
В § 6 гл. 6 предпочтение было отдано первому из этих двух возможных
определений. Наш выбор имеет решающее преимущество, так как он обеспе-
обеспечивает полную непрерывность оператора /^ При другом выборе это свойство
не сохранилось бы, так как дифференциал /г(р, д) не регулярен для точек
и р, лежащих в замыкании области
176 Гл. 6. Интегральные операторы
Как уже отмечалось в § 1 гл. 6, оператор Т самосопряжен в простран-
пространстве Рэд. Тем же свойством, очевидно, обладает и оператор ^ в простран-
пространстве Рэд. Следовательно, возможно построить спектральную теорию опера-
оператора 7, в пространстве Р^ со скалярным произведением (с(/, й§).
Предположим, что собственные значения —- р1У — р2, ..., — рV и соб-
собственные дифференциалы б?фх, йф2, . ..,о(ф7 интегрального уравнения F.7.2)
известны, и рассмотрим все дифференциалы й\ класса Рэд, Для которых
выполняются соотношения
= 1, 2 V. F.8.5)
Среди этих дифференциалов имеется по крайней мере один, пусть это
будет с(/ = с(ф7+ь для которого неотрицательное выражение
достигает максимума [ср. формулу F.2.3)]. Положив
тах{-(й/,?^)}=-(^+ь ?^+1) = -^-, F.8.7)
лолучим неравенство
1 < р7-н "С оо. F.8.8)
Здесь мы воспользовались неравенством
Р
где р > 1.
Предположим, чтор7+! < оо. Обозначим через Ау дифференциал класса
ортогональный дифференциалам с1§19 йф2, ..., с(ф7,'и положим й^ =
Тогда
2К>е{б№7ф
так как, согласно формуле F.1.15),
GгЛ§) = (с1},7д). % F.8.9)
Следовательно,
1 + 2 Ке {е (Лр, й^+,)} + | е |« Л^ (Лр)
Итак,
(Лр, *%,+!)= — Р7+1 №,7ф^,) F.8.10)
или
Т F.8.11)
Отсюда мы заключаем, как и в § 7 гл. 6, что имеет место равенство
F.8.12)
Повторяя этот процесс отыскания максимума, получим последовательности
-собственных значений — рй и собственных дифференциалов с?фй. Рассужде-
Рассуждениями, вполне аналогичными проведенным в § 7 гл. 6, можно показать, что
§ 8. Спектральная теория {-оператора 177
В этом случае множество собственных дифференциалов является полным.
Действительно, если дифференциал Л\ ортогонален всем собственным диффе-
дифференциалам, то7/ = 0 [ср. формулу F.7.26)]. Согласно § 5 гл. 6, дифферен-
дифференциал й\ тождественно равен нулю.
Так как собственный дифференциал с1<Ък удовлетворяет соотношению
в области 5Ш, то посредством продолжения он может быть превращен в диф-
дифференциал класса Р^. Кроме того, справедливо равенство
F.8.13)
ш
Дифференциалы системы {йфц} на поверхности 91 ортогональны одновре-
одновременно по отношению к интегрированию как по $0Ь так и по 91. Назовем
систему {б?фц} дважды ортогональной по отношению к поверхностям 91 и $Щ.
Такие системы играют важную роль в теории продолжения дифференциалов
класса Р$щ на всю поверхность 94. Справедлива следующая
Теорема 6.8.1. Пусть дан произвольный дифференциал А] класса
и ряд
Г = 2 ч
является его разложением Фурье по собственным дифференциалам ф^. Для
того чтобы дифференциал й] принадлежал классу Р^, необходимо и до-
достаточно выполнение следующего условия'.
со
РиК|а<со. F.8.14)
Действительно, дифференциалы
образуют ортонормированную систему в пространстве Р^ и неравенство F.8.14)
является неравенством Бесселя для дифференциалов этого класса.
Ядро с5?р (9, р) интеграла F.8.1) можно выразить через собственные диф-
дифференциалы полной ортонормированной системы {й?ф7}. Величина — (ф& (р))~/рк
будет к-м коэффициентом Фурье в разложении этого ядра. Итак,
оо
Разложение итерированного ядра РР (д, р) имеет вид
оо
. р) = 2 Ь № ^)Г ^(9)- F-8-
Из формулы D.9.6) получим также разложение
F.8.17)
7=1
12 Заказ № 634
178 Гл. 6. Интегральные операторы
§ 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ 5-0ПЕРАТ0РА
Наконец, рассмотрим интегральное уравнение F.7.3), в котором
5/(9) =*,(?) +?,(?). F.9.1)
Очевидно, оператор 5/ самосопряжен в гильбертовом пространстве Р^ с мет-
метрикой [Л$, &&]- Из формулы F.1.12) получим тождество
(ы/, 5^) = (>^/, Ь1) + (\аг,7и)=\2(аг, /,)-+ |Ч2(^/> ?,), F.9.2)
где X — произвольное комплексное число. Если дифференциал а( принадлежит
классу Ру%, то тем же свойством обладает и дифференциал Хй/. Так как,
кроме того,
(<*/,*,)< О, F.9.3)
то всегда можно выбрать X так, чтобы выполнялось неравенство
Отметим тождество
(аи*„) = (л/, у+до д ,,
которое можно иначе записать следующим образом:
[аи зд] - [ав, 5;] = [5у, й§]. F.9.4)
Если существует дифференциал а[^Р^у для которого [й/, 5^] > 0, то
положим
0. F.9.5)
°1
Для сравнения здесь допускаются все те дифференциалы класса /^щ, которые
удовлетворяют равенству Л/(^/)=1. Обозначим дифференциал, для которого
достигается максимум, через 0%^. Тогда для произвольного дифференциала а\
класса Ру% и произвольного действительного числа е будет выполняться не-
неравенство
1
справедливость которого следует из экстремального свойства дифферен-
дифференциала кхг- Из формул F.9.4) и F.9.5) получим
1 12 е2
3| &1 &1 ' СУ-|
Следовательно,
каковы бы ни были дифференциал й$$Р<^ [и число е. Рассуждая обычным
образом, получим далее
Последовательность собственных дифференциалов уравнения F.7.3) опре-
определим теперь при помощи следующего рекурсивного процесса. Допустим, что
дифференциалы ^1» ... , XV» принадлежащие положительным собственным зна-
значениям а19 ... , о7, уже определены. Рассмотрим класс всех тех дифферен-
дифференциалов пространства Р$ц, которые удовлетворяют соотношениям
N {а!) = 1, [аи АгА - о, Р = 1, ... , V. F.9.6)
§ 9. Спектральная теория 8-оператора179
Если в этом классе имеются элементы й], для которых [й/, 5/]>#0, то най-
найдем дифференциал й^7+1 такой, что
Пользуясь экстремальным свойством дифференциала о^+ь как и в слу-
случае дифференциала йу^ находим, что для любого ^/, удовлетворяющего со-
соотношениям F.9.6),
Кроме того, из формул F.9.4) и F.9.6) следуют соотношения
1
выполняющиеся для р=1,2, . . . , V. Следовательно, дифференциал
ортогонален всем дифференциалам пространства Ру# и по-
поэтому тождественно равен нулю. Итак,
F.9.8)
Повторяя описанный процесс отыскания максимума, можно, следовательно,,
построить ортонормированную систему собственных дифференциалов Луу.
Предположим, что значения а_1? а_2, .... , а_^ и дифференциалы йц-л*
^Х-2» • • • » ^1~V Уже определены (здесь о^_Л = а_& 5^, а—ь, < 0, й = 1,12, ..., V)-
Рассмотрим дифференциалы й/6^д^, удовлетворяющие соотношениям
-1,2, ... ,7.
Если норма [^/, 5^ может быть отрицательной при этих условиях, то через
йх_л,—1 обозначим тот дифференциал, для которого норма [й/, 5^] достигает
минимума. Положим
< 0.
Как и выше, мы найдем
^-1 = ^—V—1 5/._7_1 • F.9.9)
Заметим, что собственные дифференциалы ^хл, Л>0, с?х-^» ^ > 0, орто-
ортогональны один другому в том смысле, что [с1хн, йх~а] = О. Действительно,,
где аЛ > 0, а_А> < 0. Из формулы F.9.4) получим
Это равенство эКбйвйлеОТкО следующему;
ол [<*Х*> ^Х-л] ■ •-* 1^Хл. 4^]- F.9.10)
Отсюда зйк^ю^аёМ, что [^хл> йх-ь^О, так как аЛ > 0, а_& < 0.
Расположив теперь собственные значения в порядке возрастания их аб-
абсолютных ©ейичин. Обозначим собственные значения, расположенные в этом
порядке, ^ерез т1? т2, .. „ и соответствующие собственные дифференциалы
через ЙФ^ б(Ф2, .... Ди<|]ференциалы &Фк образуют в пространстве Рщ ор-
Тожф»!и|рованную систему, т. е.
^ F.9.11)
12*
180
Гл. 6. Интегральные операторы
Положим
Тогда
АР (р, д, д) = - /р (9, Р)
(р, 9).
ЛР(р, д,
ж
-й коэффициент Фурье для дифференциала ЛР будет равен
'(<?)}
Пользуясь неравенством Бесселя и неравенством треугольника, получим
Ж
Ж
, д)
Положим также
Тогда
/Р (9, р)
(р,
F.9.12)
(р, 9, ?) - I [/р (9, р)
(р,
1т {5, (д)} = Ке { ^ в (р, д, д)({'
Ж
к-й коэффициент Фурье для функции
1т
Р будет равен выражению
Пользуясь неравенством Бесселя, теперь получим
1тЩ(д)}-\* ^
~ I ^^
Ж
к
F.9.13)
ж т
Из формул F.9.12) и F.9.13) следует неравенство
F.9.14)
Ж Ж
Интегрируя неравенство F.9.14) по 2К, получим
F.9.15)
Итак, если имеется бесконечно много собственных дифференциалов, то модуль
\ък\ стремится к бесконечности с возрастанием к.
Предположим, что существует дифференциал с?/ класса Рщ, ортогональ-
ортогональный всем собственным дифференциалам. Иначе говоря, предположим, что
[й/, йГФ^ = О, V=1, 2, ... .
Тогда [ср. F.7.23)]
§ 9. Спектральная теория з-оператора 181
В соответствии с нашими предположениями получим
! F.9.16)
Если о^ — какой-нибудь другой дифференциал, ортогональный всем собствен-
собственным дифференциалам, то
Итак,
= 0. F.9.17)
Добавляя ортонормированные дифференциалы й!19 ... , ^/к, ортогональные
всем собственным дифференциалам, превратим ортонормированную систему
собственных дифференциалов в полную ортонормированную систему. Из фор-
формул F.9.16) и F.9.17) видно, что дифференциал 5;, ортогональный всем диф-
дифференциалам этой полной системы, удовлетворяет соотношению
F.9.18)
Любой дифференциал с?/, ортогональный всем собственным дифференциалам,
можно рассматривать в качестве собственного дифференциала, принадлежа-
принадлежащего бесконечно большому собственному значению. Допуская бесконечные
собственные значения, обозначим снова результирующую полную ортонорми-
ортонормированную систему собственных дифференциалов через
Справедливы следующие соотношения:
оо
V=1
оо
F.9.19)
1т \-^-\-Ф'Ар)- F.9.20)
Итак,
оо
м<7> р)= --§-2 ^
и
оо
'-?) = 1ЕгфПР)(^(?)Г- F-9-22)
Применяя производящее свойство, получим
т
|ХР (р,
Ж
Следовательно,
F.9.23)
[(р ?) ] {(9)} F.9.24)
Итак,
оо
•Ир), F.9.25)
оо
- 1р (р, 9) = - *' 2 1т{Ф; (9)} Ф; (р). F.9.26)
182 Гл. 6. Интегральные операторы
Складывая и вычитая равенства F.9.25) и F.9.26), получим
оо
(р, Ъ = - у 2 ф^ (Р) (Ф; (Я)Г> F.9.27)
ов
0= 2 Ф;(р)Ф;(?). F.9.28)
Позднее будут рассмотрены собственные дифференциалы интегрального
уравнения F.7.3), принадлежащие собственному значению а7= —. 1. В этом
случае справедливо тождество
<ЙМ<7)= -5ф7. F.9.29)
В § 2 гл. 6 было показано, что 5-преобразование сохраняет норму. Следова-
Следовательно,
F.9.30)
Так как 5ф%> = 5ф%> в области 5Щ, то из равенства F.9.30) находим
F.9.31)
на множестве 9$ — $Щ. Итак, из результата, полученного в конце § 5 гл. 6,
следует возможность представления
с
F.9.32)
где числа Ъ^ действительны. Обратно, каждый дифференциал вида F.9.32)
является собственным дифференциалом уравнения F.7.3), соответствующим
собственному значению а7= — 1.
Заметим, что собственного значения а7=1 не существует, так как для
него должно было бы также выполняться тождество F.9.31).
§ 10. МИНИМАЛЬНО-МАКСИМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
СОБСТВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
Собственные значения трех уравнений F.7.1) — F.7.3) можно определить
обычным путем как решения задачи на отыскание наименьших значений мак-
максимумов (см. [2]). Во всех трех случаях собственные значения можно опре-
определить с помощью процесса отыскания максимумов или минимумов выраже-
ния [с1[, п^\, где п^ = 1г г! или 5^, при соответствующих условиях. Такое
рассуждение было точно проведено в первом и третьем случаях; также и вто-
второй случай можно легко свести к проблеме отыскания максимума в. про-
пространстве /Чде.
Рассмотрим теперь проблему отыскания максимума выражения [/', пЛ
для дифференциалов /' класса Рш, нормированных условием Л^ (/') = 1 и удо-
удовлетворяющих к — 1 условиям вида
[/', ^] = 0, р=1, 2, ..., й-1, F.10.1)
с произвольно выбранными, но фиксированными дифференциалами д'г, ... , ^_1
класса /ч^. Максимум выражения [/', п^\ зависит, конечно, от выбора диф-
дифференциалов §^ V = 1, 2, ... , к— 1; он будет обозначаться через 1//С,
Расположим положительные собственные значения оператора п^ в порядке
возрастания и обозначим их через ^г> у2, ... ; аналогично, отрицательные
собственные значения расположим в убывающем порядке и обозначим через
§ 10. Минимально-максимальные свойства183
Т_1» Т-2» • • • • Собственный дифференциал, соответствующий значению
обозначим через Хч-
Рассмотрим дифференциал класса /чод следующего вида:
Г = *1ХЛ- ••• + <«*• F.10.2)
Условие Лг(/')=1 выражается в этом случае так:
с\ + ... +4=Ь F.10.2)'
Выбирая к параметров ск подходящим образом, всегда возможно удовлетво-
удовлетворить к—\ условиям F.10.1). Условиями F.10.1) и F.10.2)' дифференциал
/' определяется, вообще говоря, единственным образом. Получим
к к
и, следовательно,
Принимая во внимание условие F.10.2)', получим оценку
Х ~- FЛ0-4)
Рассмотрим теперь частный случай #1 = Х1>---> ё'к-\~у.к-\- В этом
случае каждый дифференциал /', по норме равный единице и удовлетворяю-
удовлетворяющий условиям F.10.1), имеет вид
—оо оо со
/'= 2 «+ 2 ад, 2
1
=—оо
Выполнив несложные вычисления, получим
—оо „ оо
А А 1
I/'. ",]= 5 —+Е—<-• F.10.5)
V——! V=Л
Знак равенства в формуле F.10.5) имеет место при /' =Хк- Итак, доказано,
что /С (Хх' • • • > Хк-\) — Ть- Сопоставляя этот результат с неравенством F.10.4),
получим следующую теорему:
Теорема 6.10.1. Наименьшее значение максимума выражения [/', пг\
для дифференциалов класса Рщ, удовлетворяющих условию N (Л}) =1 ик — \
условиям вида F.10.1), равно 1/ук. Этот результат характеризует к-е
собственное значение ук рассматриваемой задачи.
Те же самые рассуждения применимы и в случае отрицательных соб-
собственных значений оператора пг Эти значения можно определить при помощи
наибольших значений минимумов соответствующей экстремальной проблемы.
Рассмотрим применение наших результатов в случае специальных опера-
операторов I, 7 и 5. Так как мы оперируем в действительном гильбертовом прост-
пространстве /чщ, то мы должны различать линейно независимые собственные
дифференциалы <рС и *?%> в нашей первой задаче и ф^ и /ф^ — во второй. Если
дифференциал <р^ соответствует собственному значению Х7, то дифференциал
кр^ соответствует собственному значению —Х7- Дифференциалы ф^ и /ф^ соот-
соответствуют одному и тому же отрицательному собственному значению - р7.
Заметим, наконец, следующее: если дифференциал %ч является собственным
дифференциалом нашей третьей задачи, то дифференциал /^ не будет, вообще
говоря, собственным дифференциалом.
184 Гл. 6. Интегральные операторы
Желая применить вышеизложенную общую теорию в случае ^2, =
положим у^ = ср^> 77 = ^ и %'-ч — 1<рч, У-^ = —>^« В случае п^— г{ мы пола-
полагаем х-27+1=ф7» Х-27 = ^ф7 и у_27+1 =Т-^ — — Р7- В случае /г/ = 5/ сохра-
сохраним прежние обозначения для дифференциалов, в то время как -^ = 0^ для
всех индексов V.
Заметим, что
[/'. */]-[/',?,] = [/', ',]• F-10.6)
Принимая во внимание отрицательно определенный характер выражения
[/', ^], получим неравенство
'. ',]• F.10.7)
Положим §1 = ср1> §2^ *?1» ••• » §2/г-з = ?*-!, ^2Л-2 =/?А-ь где диффсрен-
циалы ср-^ являются собственными дифференциалами уравнения F.7.1). Следова-
Следовательно, для каждого нормированного дифференциала, ортогонального всем
этим дифференциалам, будет выполняться неравенство
С другой стороны, максимальное значение левой части F.10.7) не меньше,
чем наименьший максимум 1/ой_1- Отсюда получим неравенства
И
Хк<а2^г, й== 1, 2, .... F.10.8)
Рассмотрим теперь неравенство
I (оложим
?
где дифференциалы <р^ и ф^ являются собственными дифференциалами соот
ветственно уравнений F.7.1) и F.7.2). Для каждого нормированного диф
ференциала ^/, ортогонального всем дифференциалам
и
7
Однако
ГП1П [/', 5,] <
для всех дифференциалов Г€Р$л> °РТ0Г°нальных 2{}-\-к— 1) дифференциа
лам ^- Следовательно,
а-2
Итак, описанный способ, характеризующий к-е собственное значение, позво
ляет получить ряд неравенств для собственных значений наших трех опера
торов.
§ 11. Гильбертово пространство с метрикой Дирихле 185
§ 11. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО С МЕТРИКОЙ ДИРИХЛЕ
Рассмотрим теперь интегральное уравнение F.7.3) с другой точки зрения.
В предыдущих параграфах подчеркивалась роль дифференциалов на римано-
вой поверхности Ш и были рассмотрены задачи о собственных значениях^
связанные с дифференциалами. Равным образом можно сконцентрировать
внимание на классе всех гармонических функций в заданной области опреде-
определения и развить аналогичную теорию. В этом параграфе будет показано,,
что оба подхода в сущности эквивалентны. Задача о собственных значениях
для дифференциалов на поверхности $Щ будет заменена эквивалентной задачей
о собственных значениях для гармонических функций на поверхности $Щ.
Из формулы D.11.7) следует, что V-й собственный дифференциал удо
влетворяет уравнению
= - *Д [/Р (9, р) (ф; (р)г - ^р (?, р) ф; (р)] алг =
F.11.1)
, Р) (Ф^ (Р))~ -'г /р (<7, Р) *; (Р)] с1Аг ~ т,Ф; (д).
Следовательно,
M >р)(ф;{р))~+/р(9>р)ф;{р)]йАг' ^ЛХ-2>
Отсюда вытекает, что
4 ч 7 F.11.3).
= - \ [Р AР (д, р), К?) (*; (д)Г + Р{Ь{Ч, Р), К,) Ф; (р)} ЛАг-
т
Здесь через Р(/р(^, р), К9), Р(/р(9> Р)> ^р) обозначены периоды соответствен-
но дифференциалов /Р(^, р), /р(<7> Р) вдоль цикла /С? при фиксированной,
точке р. Из формулы F.5.26) получим
РAг(д, р), /Ср) = (Р(/р(9, р), /СР)Г- F.11.4),
В случае ^ ф — 1, т. е. тогда, когда
о
F.11.5)
— действительное число), из формулы F.11.3) заключаем, что период
^, /СР) действителен. Итак,
1т{Ф^р)} = Я7(р), F.11.6)
где через Я7 (р) обозначена однозначная гармоническая функция на поверх-
поверхности 9К, при условии т7 ф — 1. -
Пусть /^ и /з обозначают дифференциалы класса Р^щ. Положим
где икУ ^ — действительные функции. Заметим, что
ак
186 Гл. 6. Интегральные операторы
где г = х + щ. Итак,
;,/;] = о (»!,»,), F.П.7)
где через И (и19 а2) обозначен интеграл Дирихле, введенный в § 8 гл. 2.
По аналогии с формулой F.1.2) положим
FЛ1.8)
Через 6(р, #) и 3{рУц) здесь обозначены функции Грина соответственно
поверхностей $Щ и 5К. Обратимся теперь к частному случаю: Е = М. Из
формул D.10.1) и D.10.2) получим
F.11.10)
В случае Е = М существует точно 6 = 2к + т~1 собственных дифференциа-
дифференциалов Ф^, ..., Фс, принадлежащих собственному значению т= — 1. Справед-
Справедливы равенства
2/
(р)
F.11.11)
Из уравнения F.11.2) и условия Е = М получим
_ А С ^р, </) ^, ^ FЛ1Л2)
Итак,
дё (р, я) ап^Р) <л
т
F.11.13)
Интегрируя обе части тождества F.11.13) по ц и выбирая подходящим обра-
образом постоянную интегрирования, получим для случая ^ Ф — 1
(Р. Я)> ^ (Р)). F.11.14)
Итак, функция ЯV (^) является собственной функцией интегрального уравнения
#Л<7) = ъЩ^(Р,?),/Мр)). F.11.15)
Из формулы F.11.7) замечаем, что
О(Я11,Я7)-[Ф;,Ф;] = ^. F.11.16)
Следовательно, функции Н^ образуют ортонормированную систему.
§ 11, Гильбертово пространство с метрикой Дирихле
187
Ортонормированные дифференциалы 1Х\У . .., 1Ъ'о являются как раз соб-
собственными дифференциалами интегрального уравнения F.7.3), принадлежа-
принадлежащими собственному значению т= — 1. Из формул D.3.10) найдем
^\ = Ке 1
Применяя теперь процесс ортонормирования Грамма —Шмидта, найдем, что
собственные дифференциалы Ф^, .. ., Ф<~, принадлежащие собственному зна-
значению т = — 1, выражаются формулой
КеГп . ..
Ф1 __
где V = 1, 2, ..., О, й0 = 1 и
F.11.17)
к> % 11 • ' ' №к> %к
к!
F.11.18)
В частности, из формул F.11.17) получим
,V—
F.11.19)
Собственные функции уравнения F.11.15), принадлежащие собственному
значению со, имеют вид
КеГп ...
, F.11.20)
V = 1, 2, ..., О.
Эти собственные функции неоднозначны. Однако, используя формулы F.11.19),
получим соотношения
Итак,
F.11.21)
,, Ке2р)= -Р(Я;, /СР) = 0, Р=1, 2, ..., V-!.
F.11.22)
Ортонормированная система {Я7} собственных функций уравнения F.11.15)
является полной. Действительно, предположим, что гармоническая функция//
на поверхности Ш удовлетворяет условиям й (Н) = 1 и
О(Я, ^) = 0, V=1, 2, .... F.11.23)
Положив тогда
мы получили бы равенство
[Ф',
приводящее к противоречивому заключению о том, что система
полной.
F.11.24)
не является
188 Гл. 6. Интегральные операторы
Векторное поле, элементами которого являются градиенты гармонических
функций Н на поверхности Ш с конечными интегралами Дирихле, является
гильбертовым пространством с метрикой, определяемой интегралом Дирихле.
Элементами гильбертова пространства с метрикой О (Н) могут служить и сами
гармонические функции; нужно только нормировать их условием, что все
эти функции обращаются в нуль в некоторой фиксированной точке р0 поверх-
поверхности Щ. Тогда единственным элементом этого гильбертова пространства
с нулевой нормой будет нулевой элемент Н = 0. Каждая гармоническая
функция Я с конечной нормой разлагается в ряд Фурье
= 2 М^(р)-/Мро))> F.11.25)
где
F.11.26)
В частности, из формул F.11.14) найдем
оо
F.11.27)
Дифференцируя тождества F.11.27) по р и (/ или по р и ц и используя
формулы F.9.27) и F.9.28), получим формулы F.9.21) и F.9.22) для слу-
случая Р = М.
В построенной теории собственных значений для гармонических функ-
функций на поверхности Ш исключительную роль играет функция Грина. Пред-
Представляет интерес изучить аналогичную теорию, в которой соответствующая
центральная роль принадлежит функции Неймана. Формулы D.2.22) дают
о
2 д*М(р,д,д0) _ 2 ЗЮ (р, д) ^ 7'(п\7'(п\ (Ь 1 1 98\
~Т Ъ^дд --~Т-а^Г+ 2л <^ц (Р) ^ (?), @.11.^8)
где
!1^^Н = ЦКеГ^Г1, F.11.29)
согласно формулам D.6.4). Из формулы D.11.1) получим
с
^2»(РJЦЯ), F.11.30)
V-, V=1
где
F.11.31)
Поверхности 5Щ рода нуль, в частности многосвязные плоские области,
характеризуются следующими условиями:
ц., N=1= 1, 2, ..., О. F.11.32)
Следовательно, в случае поверхностей рода нуль справедливо соотношение
. F.11.33)
Другими словами, для поверхностей рода нуль функция Неймана находится
в таком же отношении к классу 3 однозначных функций, как функция
Грина к классу М. Симметрия класса 3 (^з(р> й) = ^з(<7> р)) является
характеристическим свойством поверхностей рода нуль; если род поверх-
поверхности 91 также равен нулю, то можно принять Р = 3 в формулах F.11.2).
Собственные значения -^ в случае класса 3 обозначим через ^V', соответству-
§ 11. Гильбер'тово пространство с метрикой Дирихле 189
ющие собственные функции обозначим через 4%. Из уравнения FЛ 1.2)
получим
( +Г Iр; {д) = " 5 Г'8 (?' р) (Ч% ^)Г+ '» (?> Р) Ч-; (р)] Ж1. F.11.34)
Предположение о том, что любой компонент границы поверхности Ж, гомо-
гомологичный нулю на поверхности 91, также гомологичен нулю и на 93с, может
быть опущено в случае класса 3. Действительно, это предположение было
использовано только для того, чтобы из справедливости тождества
1 И=1
заключить, что а^ — О. Однако это заключение очевидно в случае класса 8.
Обозначим через Ж (р, Ч> Чо) функцию Неймана поверхности 5й и положим
п(р> Ч> ?о) = #(Р» Ч> Чо)-^Г(Р^ Ч> Чо)- F.11.35)
Тогда
1*(Р, Я)=-1Щ?^- F-11.37)
п др дц
Заметим, что эти формулы отличаются от аналогичных формул F.11.9)
и FЛ1.10). Именно, в формуле F.11.37) стоит знак минус, тогда как в фор-
формуле F.11.10) стоял знак плюс. Эта разница в знаках является следствием
различий в свойствах симметрии функций Грина и Неймана, определяемых
формулами D.2.6) и D.2.8). Это различие в свойствах симметрии существенно
сказывается при установлении аналога формулы F.11.14) для функции F.11.35).
Именно, вместо гармонических функций 1т г1\, следует пользоваться гармо-
гармоническими функциями /?7 = КеЧ^. Из формулы F.11.34) теперь получим
/ п 1 N ЗЯу (Я) = 2 д С Г дп (р, ?, 90) <^у (р) дп (р, д, д0) ^ (р) 1 =
V "^ ^ ) дя п дя )> I др др др дР 1 2
дп(р,а, а0) дК^ (р) , л 1 1 д ^ , , \ п / \\ /а \ л оо\
др д~ <*4}=-^Р(п(Р,9,9,),/МР))- F.11.38)
Интегрируя обе части этого тождества и используя тот факт, что
"(Р. <?о' <7о) = °> получим
' F.11.39)
Рассмотрим теперь гильбертово пространство всех тех гармонических
функций на поверхности ЯК, которые имеют конечные интегралы Дирихле
и обращаются в нуль в точке р0. Функция
п(р> Ч> <7о)-"(Ро> Ч> Чо)
принадлежит этому пространству, а функции ^ (р) — /?7 (р0) образуют в этом
пространстве полную ортонормированную систему. Следовательно,
о> Ч> Чо) =
F.11.40)
Заметим наконец, что
;, г;)-о,
190 Гл. 6. Интегральные операторы
так как мы оперируем внутри класса 3. Если поверхность 31, кроме того,
односвязна, то
о
г 2'
Итак, формулу F.11.34) можно записать в следующей форме:
. F.11.34)'
Это уравнение согласуется с уравнением F.11.2), если положить Р =
Тц, = ^, Ф^ — Ч^. Итак, в случае односвязной поверхности 9? система {
собственных дифференциалов является подмножеством системы собственных
дифференциалов {Ф,!}. Заметим, что собственное значение ^= — 1 не встре-
встречается, так как дифференциалы гТ% должны принадлежать классу 5. Итак,
функции {/?7 (я)} представляют собой действительные части функций некото-
некоторого подмножества системы {Ф^(^)}. Следовательно, построение, связанное
с функцией Неймана, использует некоторое подмножество тех аналитических
функций, которые были использованы при построении, связанном с функцией
Грина.
Случай поверхностей 5Щ рода нуль, вложенных в односвязные поверх-
поверхности Й, будет рассмотрен подробнее. Это рассмотрение позволит развить
важную теорию конформного отображения многосвязных областей в ком-
комплексной плоскости. В этом случае поверхностью $Щ является многосвязная
область, а поверхностью 91 —риманова сфера (см. [1]).
§ 12. СРАВНЕНИЕ С КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИЕЙ ПОТЕНЦИАЛА
В этом параграфе полученные результаты будут сопоставлены с клас-
классическими методами Пуанкаре —Фредгольма, используемыми в теории гранич-
граничных задач для гармонических функций. Будет показано, что собственные
функции Н^ (р) и собственные значения т7 тесно связаны с соответствующими
собственными функциями и собственными значениями в теории интегральных
уравнений Фредгольма. Мы увидим, что граничные значения функций Н^
и их нормальных производных порождают две системы классических собствен-
собственных функций.
Для фиксированной внутренней точки ц поверхности Щ, пользуясь фор-
формулой Грина, получим равенство
Э{О{р, д), Яч(р))= - ^ О(р, Я)^~с15р. F.12.!)
С
Выражение (дНу/дпр) йзр следует понимать так, как это было указано
в начале §. 3 гл. 4". Для точек ?Ш и точек р, лежащих на границе,
и, следовательно,
FЛ2.2)
Пользуясь формулой Грина, перепишем теперь интегральное уравнение F.11.14)
в следующей форме.^
(р»=
1 +
"Г" I С
12. Сравнение с классической теорией потенциала 191
Итак,
1Л ^- FЛ2-3>
Удалив малую область с центром в точке д, соответствующую кругу малого,
радиуса на плоскости униформизирующей, применим формулу Грина и затем
заставим радиус круга стремиться к нулю. Мы прлучим уравнение
, Я) -д~-Ч = ^ Н- (Р) —д~<Ч~2тс^ (Я). F.12.4>
р с р
Исключив интеграл в левой части при помощи формулы F.12.3), получим
с
Заметим, что собственные дифференциалы Ф^(<7) интегрального уравне-
уравнения F.11.1) регулярны на границе С поверхности $Щ» Это утверждение яв-
является следствием регулярности дифференциалов /м(<7, р) и <5?м(9»р) для
точек 9? лежащих на границе, и для точек р, принадлежащих замыканик>
поверхности $Щ. Регулярность дифференциала с5?м(?, р) следует из предпо^
ложения о правильности вложения поверхности $Щ в поверхность 91. Воз-
Возможно, следовательно, в формуле F.12.5) заставить точку д стремиться
к некоторой точке границы. Из известных теорем теории потенциала отно-
относительно поведения потенциала двойного слоя на границе заключаем, чта
для точек ц € С справедливы равенства
Ч'Ч)
И
(Я) = - ^ ^ Т^1 Н^ М йV 96 С. F.12.6),
с р
Интеграл здесь следует понимать в смысле главного значения по Коши. По-
Положим теперь
дНу (я)
(я) = —^—» я е с.
Принимая во внимание известнее поведение нормальной производной потен-
потенциала простого слоя на границе, из формулы F.12.3) заключаем, что для
С справедливы соотношения
И
F.12.7)
с
Уравнение F.12.7) не имеет инвариантной формы, но к ней мы придем, ум-
умножив обе его части на дифференциал Лз^ так как выражение
дНу (я)
является инвариантом.
19? Гл. 6. Интегральные операторы
Уравнения F.12.6) и F.12.7) являются транспонированными уравнения-
уравнениями одно для другого. Известно, что такие уравнения имеют одни и те же
собственные значения. Собственные функции этих уравнений образуют биор-
тогональную систему, т. е.
^ (д) /IV (?) ^Ц = 0, р. ф V.
с
Так как ку(д)~дНу(дIдпду то в нашем случае биортогональность следует
немедленно из формулы
справедливой при р. ф V. Мы показали, в частности, что собственные функ-
функции уравнений F.12.6) и F.12.7) тесно связаны друг с другом: собственные
функции одного уравнения являются нормальными производными собствен-
собственных функций другого. Другими словами, показано, что первая и вторая
граничные задачи двумерной теории потенциала эквивалентны. Эквивалент-
Эквивалентность этих задач, доказанная посредством применения уравнений Коши —
Римана к сопряженным гармоническим функциям на границе, была установ-
установлена в работе [1].
§ 13. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ СОБСТВЕННЫМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛАМИ
ПОВЕРХНОСТЕЙ Ж И Ж-
В этом параграфе будет показано, что собственные дифференциалы со-
составленного для области Ш (лежащей на поверхности 91) уравнения F.7.3)
порождают собственные дифференциалы соответствующего интегрального
уравнения для дополнительной области 91 — Ш. Таким образом, мы получаем
одновременно спектральную теорию 5-оператора для некоторой области и для
ее дополнения по отношению к поверхности 91, в которую эта область вло-
вложена.
Положим 91 = 91 — Ш и допустим, что множество УЬ состоит из одного
компонента. Тогда, в соответствии с нашим определением, область 91 являет-
является конечной римановой поверхностью. Ниже, однако, будет показано, что
предположение о связности множества 91 не существенно. Как и раньше,
будем предполагать, что рассматриваемые дифференциалы равны нулю во
всех тех областях, где они явно не определены. Если Ф^ является собственным
дифференциалом, то
для д€Ш,
F.13.1)
; (д) для д е 91.
Здесь Фу(д) = 0 в области 91 и д^(д)Е==О в области $0Ь Из формулы F.3.8)
имеем
F.13.2)
.0 для д б 91.
Следовательно,
— «г~ у ^^*^ \~1) Для ч \Г л'л'С »
F.13.3)
В частности, 6^ является собственным дифференциалом интегрального урав-
уравнения
F.13.4)
§ 13. Собственные дифференциалы поверхностей Т1 и Ш—Ш193
Так как класс Р^ по предположению симметричен, то из формул F.2.8)
и F.5.16) получим
Следовательно,
[К. К)пМК> в;] = A -т^)8^ (блз.5)
и
(^). (блз.5)'
Из формулы F.13.5)' замечаем, что неравенство |ч|< 1 невозможно. Сле-
Следовательно, имеется не более С собственных .дифференциалов, принадлежа-
принадлежащих собственному значению т= — 1. Обозначим эти собственные дифферен-
дифференциалы через Фх', ...,Фс; некоторые из них могут быть нулями. Из форму-
формулы F.13.5)' видно, что 6^(<7)= • • • = ®о(я) = 0. Положив
FЛ3.6)
т?
заключаем, что дифференциалы вс+ь во+2, ••• образуют ортонормирован-
ную систему. Итак, собственные дифференциалы Ф^ интегрального уравне-
уравнения
Ф; {^) = ^5Ф|1 (?) F.13.7)
порождают собственные дифференциалы интегрального уравнения F.13.4).
Допустим, что существует дифференциал в' в области 31, для которого
выполняются равенства
[в'/в^О, V:=<3-Н, 0 + 2, ... F.13.8)
Тогда
так как
[5в,
Неравенство |'с-^{ ^>- 1 справедливо для V = (^^-1, .,., и, следовательно,
V = С+1, .... F.13.9)
Другими словами, дифференциал 5в ортогонален всем тем собственным диф-
дифференциалам Ф^> которые соответствуют собственным значениям т^ | 'Сл/11>^ 1-
Так как собственные дифференциалы Ф^ образуют полную ортонормирован-
ную систему, то дифференциал 5« можно представить в виде
с?
где числа а^ действительны и V=1, 2, ...,(?• Следовательно,
с?
1 ^ж^ I I \
ДЛЯ .
FЛЗЛ1)
ДЛЯ
13 Заказ № 634
194Гл. 6. Интегральные операторы
Через /?'(#) здесь обозначен некоторый дифференциал, тождественно обра-
обращающийся в нуль в области 9#. Отсюда вытекает, что
с
ф;() для
в
F.13.12)
для 9 € 5Л-"
Здесь мы воспользовались выведенными в § 5 гл. 6 равенствами: 5Ф (д) = 0
в области 5Л и 5Ф}х (д) = — Ф,1 (д) в области $Щ для ^ = 1, 2, ..., О. С дру-
другой стороны,
о для <?езл,
- и*. <блзлз)
В силу формул F.13.12) и F.13.13), имеем
о
для
F.13.14)
для д6^.
Пользуясь формулами F.2.11), F.13.11) и F.13.14), получим равенства
о
% Eв) = 2 а% + % (/?') = % (в') F.13.15)
И
= 2 <* + % (в') = % (V). F.13.16)
1
Итак, а1 = а2— ... =ас — 0 и, следовательно,
О для
,/ ч ^ F.13.11)'
(я) для ^е^
О для де?Ш,
^ " F.13.14)'
(д) для д € 9с-
Наконец,
в'(9)-/?'(?)=-5е-«(?) F.13.17)
F.13.18)
Итак, доказано, что уравнение F.13.4) должно иметь собственное значение
т= 1 или собственное значение т=-1 в том случае, когда существует нетри-
нетривиальный дифференциал в', удовлетворяющий уравнениям F.13.8).
Полученные результаты можно сформулировать в виде следующей
теоремы:
Теорема 6.13.1. Каждый собственный дифференциал Ф^ уравне-
уравнения F.7.3), принадлежащий собственному значению т7 ^= — 1, преобразуется
8-оператором в собственный дифференциал соответствующего интеграль-
интегрального уравнения в дополнительной области, принадлежащий собственному
значению — т7. Обратно, каждый собственный дифференциал последнего
интегрального уравнения, принадлежащий собственному значению, отлич-
отличному от ± 1, получается описанным путем.
Докажем теперь, что не существует собственных дифференциалов
на поверхности УИ+ принадлежащих собственному значению +1. Напомним,
что вложение некоторой области в поверхность $й называется правильным,
если каждая граничная точка области является внутренней точкой поверх-
поверхности Ш. Так как по предположению вложение области 5Щ в 91 правильно,
§ 13. Собственные дифференциалы поверхностей Ш и Ш—Ш 195
то, очевидно, вложение области 91 = 94 — 5Щ не является правильным. Отсюда
следует существование по крайней мере одного компонента границы Я1,
совпадающего с некоторым компонентом края 91. Следовательно, дифферен-
циал с5?р (9, р) не регулярен в замыкании области %. Обозначим через Ь$ (^, р)
билинейный дифференциал области 5Л, принадлежащий симметричному классу
Р = Р^, соответствующему заданному симметричному классу Р^. Пусть 6'
обозначает некоторый собственный дифференциал, принадлежащий собствен-
собственному значению + 1, т. е.
в/(9) = 5е(9). F.13.18)'
Тогда
$ ^. FЛ3.19)
Положим
Дифференциал Ьг{ц, р) воспроизводится при скалярном умножении, и диф-
дифференциал /,р(<7» р) ортогонален дифференциалам класса Р^. Отсюда, при-
принимая во внимание формулу F.13.19), получим
=-$ »(Я, Р) (©' (р)Г А42 + ^ ^р (?, р) в' (р) Лкг F.13.20)
И
Из этих формул следует, что дифференциал в' {ц) регулярен в замыкании
области 5Л. Из формул F.2.11) и F.13.18)' имеем
ш Eв) = Л^к E«) + % (в') = % (в').
Следовательно,
0 для
в' для
Обычное рассуждение показывает, что дифференциал 8в(д) имеет гранич-
граничные значения (в' (^)Г на т°й части границы области 5Л, которая принадлежит
границе области 5Щ. С другой стороны, из формулы F.13.18)' видно, что
дифференциал 5в(<7) в тех же точках имеет граничные значения в' (^).
Следовательно, функция в'(^) принимает действительные значения на той
части границы области 5Л, которая принадлежит границе области 5Щ. При
этом, конечно, предполагается, что функция в' (<7) на границе выражена
через граничную униформизирующую. Обозначим теперь через ц некоторую
точку на той части границы области 5Л, которая принадлежит краю поверх-
поверхности 5Й. Из формулы F.13.20)' получим
28' (?) = - \ /р (я, р) (В' (р)Г йАг- \ /р (9, р) в' (р) с1Ах =
Й^ FЛ3.22)
= - 5 (
13
196Гл. 6. Интегральные операторы
Итак, в' (^), выраженный через граничную униформизирующую, принимает
действительные значения на всей границе области 31 и, следовательно,
является дифференциалом, принадлежащим области 91. Если Л'б'Рде» то
Но из формул F.2.12) получим равенство
Следовательно,
(в', й')я = ° F.13.23)
для каждого дифференциала к' класса ^
Предположим теперь, что вложение области 91 в поверхность 91 сущест-
существенно. Напомним, что аналогичное условие было наложено на область Яй.
Если, однако, связная область Ш и поверхность 91 имеют каждая более
одного компонента границы (края), то можно доказать, что область 91 всегда
удовлетворяет нашему предположению. Действительно, обозначим через Ь
компонент границы области 9Ь, гомологичный нулю на поверхности 91.
Цикл Ь не может быть компонентом края поверхности 3$, так как 91 имеет
более одного компонента края. Следовательно, наш цикл должен быть ком-
донентом границы области $Щ, гомологичным нулю на поверхности 9? и,
по предположению, в области 3#. Этого, однако, также не может быть
потому, что область $Щ связна и имеет более одного компонента границы.
Следовательно, в нашем случае не существует ни одного компонента границы
области 91, гомологичного нулю на поверхности 9т.
Применив теперь рассуждение § 5 гл. 6, заключаем, что в'(<7) = 0.
Итак, не существует собственных дифференциалов, соответствующих соб-
собственному значению +1. Вышеприведенное доказательство не может- быть,
однако, использовано для исключения собственного значения — 1. Действи-
Действительно, может существовать бесконечно много собственных дифференциалов,
принадлежащих собственному значению — 1, так как дифференциал %? (р, ^)
не регулярен в замыкании области 91. Включив эти собственные дифферен-
дифференциалы, получим полную ортонормированную систему собственных дифферен-
дифференциалов класса Р^, соответствующего классу Р^.
Затруднение, состоящее в том, что бесконечно много собственных диф-
дифференциалов может принадлежать собственному значению. — !, преодоле-
преодолевается следующим путем. Введем подкласс Кде класса Р^, состоящий из тех
дифференциалов в'бР^> которые, будучи выражены через граничные унифор-
мизирующие, остаются регулярно аналитическими и действительными на всей
части границы области 91, принадлежащей краю поверхности 91 (91-граница
области 91). Предположим, что дифференциал Ф' принадлежит классу Рэд
и что Ф' = 0 в 91. Тогда для цу лежащих на 91-границе 91, получим равенство
$ф(<7)=
к т
т аи
> р)Г (ф/ (р)ГЛК Л \ %* (<7, р) Ф' (р)
аи ж
Итак, дифференциал 5ф принадлежит классу Кде. В частности, собственные
дифференциалы 6,1, согласно формуле F.13.6), принадлежат
§ 13, Собственные дифференциалы поверхностей %Я и УЯ—ЗД1
Заметим, что дифференциалы класса %^ образуют полное гильбертово
пространство. Действительно, любой дифференциал в' класса К^ регулярно
аналитичен в области 91 + 91 и на краю поверхности 91. Кроме того,
гак как дифференциал в' принимает в области 91 значения, сопряженные
значениям, принимаемым в области 91. Следовательно, точки 91-границы 91
ведут себя как внутренние точки этой области, поскольку речь идет
о вопросах сходимости. Значит, любая последовательность Коши в простран-
пространстве К^ сходится к дифференциалу, принимающему действительные значения
на Загранице области.
Если построенная система собственных дифференциалов Н^. не образует
полной ортонормированной системы пространства К^, то существует диффе-
дифференциал в'бК^, ортогональный всем дифференциалам 9,1. Как было пока-
показано, в этом случае справедливо соотношение
в/(<7)=-5в(<7), F.13.24)
где
50(<7) = О для 9е5Щ.
Обычным рассуждением отсюда получим, что
5в (?) = (в' (д)Г
на $Щ-границе области 91. Здесь подразумевается, что дифференциал в'(^)
выражен через граничную униформизирующую. Так как, согласно фор-
формуле F.13.24),
5е(?) =-©'(?)
на 5Щ-границе, то дифференциал в' (^) должен принимать чисто мнимые
значения на $Щ-границе. Так как дифференциал в' принадлежит классу Кде,
то он регулярно аналитичен и принимает действительные значения на 91-гра-
нице области 91. Отсюда следует, что выражение
является принадлежащим области 5Л квадратичным дифференциалом. Обозна-
Обозначим через а число линейно независимых квадратичных дифференциалов,
принадлежащих 5Л (а < оо). Число квадратичных дифференциалов, являю-
являющихся квадратами линейных дифференциалов, не превосходит числа а. Отсюда
ясно, что посредством добавления конечного числа собственных дифферен-
дифференциалов, принадлежащих собственному значению —1, можно получить
полную ортонормированную систему пространства К^. Обозначим эту полную
ортонормированную систему через {в^}, где в^ является собственным диф-
дифференциалом интегрального уравнения
&(Ч) = *8*(Ч)> F.13.25)
соответствующим собственному значению т=—-т7. Иначе говоря,
Дифференциал
лр(Р> Чу Ч)= -
очевидно, принадлежит пространству &#. Его V-й коэффициент Фурье имеетвид
G) + в;(9)} = A-т-)Ке{в;(<7)}.
Ч ^у '
198 Гл. 6. Интегральные операторы
Аналогично, дифференциал
ХР(р, д, ?)«* [/?(?, р)~1г(Р> Ф)
принадлежит также пространству К^, и его V-й коэффициент Фурье имеет вид
= 1т {5« (д) + в; {д)} = (\ - -") 1т {6^
Итак,
со
, Р) + №(Р, <?) = - 2 A-^-)ке{е;(<7)}в;(р), F.13.26)
оо
F.13.27)
Складывая и вычитая эти уравнения, получим
оо
.?)=-у2 A--^-)е;(р)в;(9), F.13.28)
ОО
* (п ^ \ _ „ \_ V ( 1 "~ ^ й' /'л^ (9ь' (п\\~ (^ 1Я 9^\
Заметим, что собственные дифференциалы 67, принадлежащие причиня-
причиняющему затруднения собственному значению т= — 1, не фигурируют в сум-
суммах F.13.28) и F.13.29). Остальные собственные дифференциалы имеют вид
в; (д) = ^/ 5Ф (д) для <7 € 31- F.13.30)
! !_
Здесь через т7 .и Ф7 обозначены собственные значения и собственные диф-
дифференциалы соответствующего интегрального уравнения для области 5Ш, т. е.
; (д) = т75ф7 (д) для точек д 6 Ю1. F.13.31)
Формулы F.13.28) и F.13.29) могут быть записаны, следовательно, в виде
ОО
Т.
F.13.28)'
ОО
**^' 1 ^. * ^
(р, д)= —й" 2 -: Г ^Ф7 (Р) (^Ф7 (?))• F-13.29)'
7=1 7
Итак, решая интегральное уравнение
Ф' (д) = т5Ф (д)
для 5Щ, можно одновременно определить билинейные дифференциалы как для
области §Щ, так и для дополнительной области %Ь.
§ 14. Обобщение на несвязные поверхности
199
§ 14. ОБОБЩЕНИЕ НА НЕСВЯЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
В начале § 13 гл. 6 мы предположили, что дополнение 5Л области
на поверхности 91 состоит из одного компонента. Возникает вопрос, является
ли это условие существенным. Ответ на этот вопрос будет отрицательным.
Основные формулы и результаты предыдущего параграфа мы распространим
теперь на тот случай, когда вложенное в поверхность 31 множество $Щ состоит
из нескольких компонентов $Щц, каждый из которых является конечной рима-
новой поверхностью. Необходимые определения ядра и разностного ядра были
даны в § 2 гл. 5.
Положим в нашем случае
2
Г, (?) = (Хг (д, р), Г (р))ш = 2
ц.=1
= 2
, р), }' (р))ш , F.14.1)
Теперь заметим, что
так как (даже без предположения о симметрии)
Нетрудно убедиться в справедливости следующих формул:
Iх
FЛ4-2)
F-14.3)
F.14.4)
-14-5)
Л) /х (А) (/;
аи
V" 4=
2/. 1га
1? Р2)
3?
E,) =
')-2г 2
F-14-6)
F.14.8)
Если <%г(р, д) — %?{$, р) (случай симметрии), то формула F.14.8) прини-
принимает вид
= %(/')• F.14.8)'
Если дифференциал <^?р(р, д) симметричен, то справедливы и следующие три
формулы:
F.14.9)
F.14.10)
F.14.11)
F.14.12)
В общем случае выполняются также соотношения
для любого дифференциала К' б Р$-
200 Гл. 6. Интегральные операторы
Формулы § 3 гл. 6 немедленно обобщаются на наш более общий слу-
случай несвязного множества $Щ. Именно, справедливы следующие равенства:
F.14.13)
- -Г, F.14.14)
= ТТ = 0, F.14.15)
52=/. F.14.16)
Предположим теперь, что вложение множества $Щ в поверхность 9? сущест-
существенно и правильно и что X? (р, 9) = X? (<7> р)> При этих предположениях все ре-
результаты, доказанные в §§ 5— 13 гл. 6, остаются в силе и для случая несвяз-
несвязного множества $Щ. В частности, можно опустить предположение о связно-
связности множества 91 = 91 — 9К; необходимо, однако, предположить, что вложе-
вложение множества 91 существенно. Важен следующий факт: если вложение
множества 5Я существенно, то предположение о связности 5Л не необходимо.
§ 15. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРИНАДЛЕЖАЩИХ ПОВЕРХНОСТИ Ш ФУНКЦИОНАЛОВ
ЧЕРЕЗ ФУНКЦИОНАЛЫ, ПРИНАДЛЕЖАЩИЕ ПОВЕРХНОСТИ Я
Для произвольной поверхности 91 существует бесконечно много вложен-
вложенных поверхностей ЗКПкаждая из которых характеризуется ее границей С
относительно 91. Принадлежащие Ш дифференциалы мы можем рассматри-
рассматривать как функционалы, принадлежащие границе С или области Ш (относи-
(относительно поверхности Щ. Необходимо развить метод вычисления этих диф-
дифференциалов в терминах дифференциалов, принадлежащих фиксированной
поверхности 9?, несущей поверхности $0Ь
Предположим, что вложение в 91 множества $Щ, являющегося суммой
конечного числа областей 3#ц, существенно и правильно. Будем рассматри-
рассматривать только те классы Р дифференциалов на $Щ, для которых соответству-
соответствующие классы Рде симметричны. В предыдущем параграфе было установлено,
что все собственные значения уравнения F.7.1) при наших предположениях
больше единицы. Это обстоятельство позволяет решить некоторые интеграль-
интегральные уравнения для дифференциалов на поверхности Ш при помощи рядов
Неймана — Лиувилля. Принадлежащие поверхности функционалы можно при
этом выразить через принадлежащие несущей поверхности 91 функционалы
и через интегралы таких 91-функционалов по множеству 5Щ и по дополни-
дополнительному множеству 91 —ЭДЬ
Дифференциал О?^ (р, #) был определен в § 7 гл. 6. Пользуясь про-
производящим свойством ядра Ь?(ру г), получим
, 5)= - ^ ОЯ^Г'Ъ^^Р'ЪйК F.15.1)
Пользуясь формулой F.7.30), можно написать
/р(р,?) = ^р(р,5)-ГР(р,^) = 1Р(р,5) + СР>(р,5). F.15.2)
Уравнение F.15.1) можно теперь переписать в форме интегрального уравне-
ния для дифференциала Ьр(р, д)-
(р, 9) = Ьг (р, д)-\ <&г) (г, 9) Ьг (р, 7) йАп. F.15.3)
т
Согласно определению, член /?(/?, #) зависит только от дифференциалов
на поверхности 91 и от дифференциалов на дополнительном множестве 91 — ЭК-
§ 75. Представление принадлежащих поверхности 2Л функционалов 201
Следовательно, этот член следует считать известным. Уравнение FЛ5.3)
можно обратить, так как все собственные значения X* ядра 0$у(г, а) больше
единицы. Обратное ядро для ядра Bр2) (г, д) определим при помощи ряда Ней-
Неймана — Лиувилля
оо
ОГ}(р> Ф= 2 (& Чр{д)> F.15.4)
V=:0
равномерно сходящегося в каждой замкнутой подобласти множества ЭДЬ
Выражая дифференциалы фр21х) через их собственные значения и собствен-
собственные дифференциалы при помощи формул F.7.34), получим
оо
( I —уд ) йср7 (р) (йср7 (д))~~- F.15.5)
Используя обратное ядро С$Г1)(р, д)У можно написать решение интег-
интегрального уравнения F.15.3) в следующей форме:
оо
, д) 2 \
• F.15.6)
5
т
Полученное разложение F.15.6) обладает тем недостатком, что оно
не выражает дифференциал Ь?(р, 9) только через одни 31-дифференциалы,
так как ядро Bр2) (/?, <7) содержит принадлежащий поверхности дифференциал
^р(р, 9)- ^то затруднение можно преодолеть следующим образом. Пользуясь
производящим свойством ядра Ь?(ру <7), получим соотношение
0^\гу д)=-Ьг(гу ?)+ 2/(г, й+/{?)(г, ?), F.15.7)
где
/р2)(^ 5) =5 /р(г' ^Oр^' 9)^4- F.15.8)
Вообще
V
ОГЧг, Я)= ~1*{г, ?) + 2 (|1) ^'(Л Ъ, F.15.9>
где
^ ) (г, р) /р (р, ?) Д4Г F.15.
/ О \) \ *****
Итак, каждый член С^р ' составлен из ядра ^р (г, ^) и из итераций извест-
ного члена /р(р, ^)- Ядро ^р(г, ^) нам не известно, но известен результат
■ скалярного умножения этого ядра над поверхностью $Щ на любой дифферен-
дифференциал, заданный над 5Ш или над 91. Можно, в частности, вычислить все
члены в разложении F.15.6). Получим разложение
оо V
V=0 ^=0
Члены, стоящие в правой части формулы F.15.11), содержат только*
известные дифференциалы, принадлежащие поверхности 9Ь Итак, представ-
представление желаемого типа для ядра Ь?(р, д) на поверхности $Щ получено. В силу
302 Гл. 6. Интегральные операторы
формул F.15.2), F.7.31) и F.7.34), основной член правой части имеет сле-
следующий вид:
оо
/Р(р, ?) = 1Р(р, ?) + <Эр2)(Р> ?)= -2 A-^)^(р)(^(9))" F.15.12)
Для итераций этого члена имеем, следовательно, выражения
оо
(р. 9) = ( - 1Г 2 С1 -р)" *Ъ (Р) (^ (9))' F.15.12)'
1 7
Тождество F.15.11) можно формально проверить, подставив выражения
F.15.12)' в его правую часть и выполнив приведение подобных членов.
Поучительно также выразить фигурирующие в формуле F.15.11) члены
в скобках через собственные значения и собственные дифференциалы. Получим
оо
2 A}№*1)&>Ъ=ЪкA-ъУъШ<Ъ?Ая)Г- F.15.13)
о=1
Наши формулы показывают, что эти члены в скобках стремятся к нулю как
1До. Мы получаем оценку каждой скобки в сумме F.15.11).
Наш основной результат сформулируем в виде следующей теоремы:
Теорема 6.15.1. Принадлежащее области Ш ядро Ьг(р, ^) можно
разложить в ряд F.15.11), члены которого зависят только от итериро-
ванных интегралов ^-дифференциала /р(р, <7)=%?(р> Я)~~^г(ру </)-
Ясно, что коль скоро построен дифференциал /.р(р, <7), то построение
дифференциала Ьг(р, ц) уже не составляет труда. Действительно, восполь-
зовавшись производящим свойством Ьр (р, ^) при интегрировании по области
и формулами D.11.6), D.11.7), получим
Окончательно получим
ЬР (р, Я) - X? (р, Я) + (сЗРр (г, ?), ^р (г, Р))^. F.15.14)
Таким образом, дифференциал ^р(р, 9) выражен через с^р-ядро и несоб-
несобственный интеграл по области ЗК, под знаком которого присутствует диф-
ференциал Ьр(р, я). Конечно, этот интеграл следует понимать в смысле
предела D.9.8).
Из формулы F.15.11) можно немедленно получить ряд, выражающий
дифференциал 2'р (я) на поверхности 9К через дифференциалы на поверхности
3№. Для упрощения изложения будем рассматривать только симметричный
класс М. Поэтому индекс М в последующих формулах опускается. Положим
[^ р) 2'9(р) 4А,. F.15.15)
Из формул F.15.10) получим
= ~ ^ Iм (д, 7) { [ Цг, рJ'р(р)с1Аг}
Ж Ж Ж
F.15.16)
Интеграл ^<РV") (^) равен сопряженной величине периода дифференциала
), д) вдоль цикла К?- Пользуясь формулами F.15.2) и E.1.5) в спе-
§ 15. Представление принадлежащих поверхности Ж функционалов 203
циальном случае р. = 0, получим выражение
, г) У'о (г) Л4ч. F.15.17)
Итак, дифференциал ^Т(^), а следовательно [см. формулу F.15.16)], и все
остальные дифференциалы ^^^) (^) можно выразить через 91-дифференциалы.
Рассмотрим-теперь ряды F.15.11), равномерно сходящиеся во всякой
замкнутой подобласти поверхности Щ. Определим периоды обеих частей
этого тождества относительно цикла К9- Так как это интегрирование можно
выполнить вдоль некоторого внутреннего пути в области $Щ, то мы получим
тождество
ОО
- FЛ5Л8)
Сумма в правой части сходится равномерно в каждой замкнутой подобласти
области $Щ.
Определим теперь матрицу периодов 2'? (р)-дифференциалов. Из формул
F.15.10) и F.15.15) получим тождества
10 (<7) = ^ / (?, г) ^-Х) (г) йА^ р.= 1, 2,.... F.15.19)
Из формул E.1.8), F.15.16) и F.15.19) получаем теперь
, (х=1, 2, ..., F.15.20)
т ж
и
^ У(Р0) (/') Г, (г) йА^ = Пр - ^ 2/; (}) У, (г) йАъ = Ноа. F.15.20)'
Ж Ш-Ж
При помощи формулы D.3.10) устанавливается соотношение периодов
ОО
• (бЛ5-21)
Итак, мы получили ряды, выражающие дифференциалы 2'9 и их перио-
периоды через дифференциалы на поверхности 91 и их периоды.
Вышеприведенные формулы мы получили, исходя из интегрального
уравнения, содержащего оператор Т. Попытаемся осуществить аналогичную
программу и для уравнения, содержащего оператор Г.
Из формул F.8.15) и F.8.17) получим тождество
ОО
(р, д) = - ^ ( 1 ~ т1-) Ф; (Р) (Фу («ЯГ- F.15.22)
Эта формула показывает, что собственными значениями интегрального урав-
уравнения
ф^ (<7) = —р*\'р(<7> Р) Ф^ (Р) ^^- F.15.23)
ад
являются числа
р* = —V, ^=1, 2, .... F.15.24)
204 Гл. 6. Интегральные операторы
Следовательно, не существует собственного значения р=оо, так как не
существует собственного значения р* = 1. Однако числа р* стремятся к еди-
нице, когда индекс V неограниченно возрастает.
Попытаемся теперь выразить дифференциал Ьт(р, ?) через дифферен-
дифференциалы %?(ру д), пользуясь только методами теории гильбертова простран-
пространства. Из формулы F.8.15) получим выражение
со
2 (Л. FЛ5.25)
7=1 Ч Р^
где
(Р, 9) = ) ^р"П (г, д) (с2?р (г, /Г)ГЛ4ч F.15.26)
т
для а > 1. Соотношение
N оо N
#{?> (р, ?) = 2 { 2 ^ ( -1)'} <К (р) (<К (?)Г F.15.27)
а=1 7=1 а=1
справедливо для любых чисел Ла. Обозначим через рм (х) полином с дей-
действительными коэффициентами Аа:
N
*- F.15.28)
В интервале —1<л:<—В (8 > 0) функцию 1/х можно равномерно аппро-
аппроксимировать полиномами (теорема Вейерштрасса). Следовательно, можно
равномерно аппроксимировать постоянную 1 в интервале — 1 < х < — &
такими полиномами вида F.15.28), которые обращаются в нуль в точке
х = 0. Итак, каково бы ни было положительное целое число Vо, найдется
такое число Л^о, что для всех Ы>Ы0 можно сделать коэффициенты
N
а=1
ряда F.15.27) сколь угодно близкими к единице. Для произвольной фикси-
фиксированной внутренней точки ц поверхности Ш получим выражение
N оо N
Л.(—^-)в}'|ф;(<7)|», F.15.29)
в=1 Ч=\ а=1 7
правую часть которого можно заставить стремиться к дифференциалу
— /,р(<7» с})у когда Л^ стремится к бесконечности. Итак, можно представить
— Ьр (д, <7) в следующей форме:
- Ьг (9, Я) = Нт Мж ( 2 А™ Хф (р, д)). F.15.29)г
Используя тождества F.15.26), можно переписать это соотношение таким
образом:
-М<7, ?)= '"т { 2 Л^)Л^)^+^(?, дI F.15.29Г
Л^ 1
Мы доказали следующую теорему:
Теорема 6.15.2. Ядро Ь?(д, ^) можно аппроксимировать сколь угодна
точно и равномерно в любой замкнутой подобласти области $Щ конечными
линейныкц комбинациями итерированных ядер $
§ 15. Представление принадлежащих поверхности Ш функционалов
205
В этих рассмотрениях были использованы только свойства гильбертова
пространства; имеющимися сведениями относительно вложения: Ш в поверх-
поверхность 91 мы не воспользовались.
Попытаемся те.перь применить метод, использованный выше в случае
интегрального уравнения, содержащего оператор 7\ Построить обратное
ядро мы не можем, так как имеются Собственные значения р*, сколь угодно
близкие к 1. Возможно, однако, выйисать частичные суммы разложения
обратного ядра. В соответствии с формулой E.3.7) положим
= -1* (Р, 9) -
(г,
(г, р))
F.15.30)
и
7Р (р, 9) = %? (р, ф -
Я)
Р)
F.15.31)
Воспользовавшись производящим свойством ядра /.?(/?, ^), получим формулу
7р (р, ф = и (Р, ф - ^ &2) (г, 5) 1Р (р, 7) Л4Ч. F.15.32)
Положим далее
где
) (р, ?) =
и
F-15.33)
<6Л5-34)
F.15.35)
Из формул F.15.22) и F.15.30) получим равенства
оо
.... F.15.36)
Применив теперь формулу F.15.33), найдем
оо
F.15.37)
оо
FЛ5.38)
«Следовательно,
оо
— V Г 1 (\ *
2/^+2
;(?))"•
V=:^
206 Гл. 6, Интегральные операторы
Итак, для фиксированных внутренних точек р, д поверхности Ш справедлива
соотношение
(р, д) = Нт ^ $Г* (г, Я) 7г (р, 7) Л4Ч. F.15.40)
§ 16. КОМБИНАЦИОННАЯ ТЕОРЕМА
Закончим эту главу некоторыми замечаниями относительно того случая,,
когда область 5Ш является пересечением двух поверхностей 9^ и 9в2. Для
упрощения изложения предположим, что 911, Ш2 и Ш являются 2-клетками1).
Предположим далее, что контуры краев поверхностей Шг и 9!2 пересека-
пересекаются точно в двух точках, которые мы обозначим через рг и р2, и что
поверхность Ш ограничена двумя дугами Сг и С2, соединяющими точки рг
и р2; при этом дуга Сг принадлежит краю Ш19 а дуга С2 —краю 9?2. Позднее
мы предположим также, что на поверхностях 9^ и ?Я2 пригодны в качестве
униформизирующих соответственно переменные гг и г2. Так как поверх-
поверхности 9?! и 9B могут быть представлены в виде областей соответственно гг-
и г2-плоскостей, то их билинейные дифференциалы <%г(р, д) и <3?2(р, д)
можно предположить известными. Построим процесс, при помощи которого
может быть определен билинейный дифференциал суммы 911 {] 912, Этот
процесс является вариантом альтернирующего процесса Шварца; он позволяет
получить доказательство существования аналитических функций на абстракт-
абстрактных римановых поверхностях. Хотя это доказательство и не проще обычного г
мы приведем его потому, что оно делает наше изложение независимым; даже
теоремы существования гл. 2 могут быть доказаны при помощи методов,,
развиваемых здесь. Кроме того, излагаемый здесь метод естественным
образом возникает из наших предыдущих рассмотрений.
Следует напомнить, что граничные униформизирующие поверхности $02
в точках рг и р2 непригодны в качестве униформизирующих поверхностей 9та
и 912. Углы пересечения дуг С1У С2 в точках рг и р2 не превосходят тс;
предположим теперь, что каждый из этих углов больше нуля. Пусть пере-
переменная гг является униформизирующей поверхности 911 в точке рг\ обозна-
обозначим через а угол в точке р19 образуемый дугами Сг и С2 в ^-плоскости.
Тогда переменная г = г*/а будет граничной униформизирующей поверхности 5Ш
в окрестности точки рг. Желая выразить произвольный принадлежащий
поверхности 9^ дифференциал через граничную униформизирующую поверх-
поверхности 9К, следует умножить этот дифференциал на множитель аг^*-1)/^
Так как 0 < а/% < 1, то из каждого принадлежащего поверхности 9^ диф-
дифференциала, регулярного в замыкании 3^, получается при этом интегрируе-
интегрируемый вместе со своим квадратом дифференциал на поверхности $Щ, облада-
обладающий на Ш ограниченной первообразной функцией. Это обстоятельство
позволяет провести нижеследующие рассмотрения, несмотря на то, что неко-
некоторые из рассматриваемых дифференциалов неограниченно возрастают вблизи
точек рх и р2.
Так как поверхности ЗЛ, 9^ и ?Я2 односвязны, то на каждой из них
существует только класс 3. Индекс Р является, таким образом, излишним.
Так как, властности, М = 3, то все ядра симметричны. Обозначим через
Ь (р9 д) принадлежащий поверхности Ш билинейный дифференциал и положим
> Я), /6 16 П
Дифференциалы 1г (р, д) и /2 (р, д) определяются аналогично.
______________ ^
*) Здесь и в дальнейшем 2-клетками называются конечные ориентируемые односвязные
римановы поверхности^ (рода нуль). — Прим. перев.
§ 16. Комбинационная теорема 207
Начнем с доказательства формулы
5 к{Р* 9) С.(Р. г))~с1А,= \ Aг(р9 д)Г12(р, 7)с1А2У F.16.2)
справедливой для точек д и г поверхности Щ. Пользуясь формулой D.10.8).
получим
ш
= -\Хг {р, д) A2 (р, г)Г 0Аг.
т
Обозначим через ! круговую область | С | < а с центром в точке д. Интегрируя
§ по частям и принимая во внимание, что д$1(р, д)/дд = О на дуге Сг и что
интеграл по кривой д\ имеет порядок оA) при а—>0, получим
-5^1 (Р.
с2
1 С д(§1(ру Я) 1 / "ч 1
— г \ ^ ц (/?) Г) (XX ~==
с2
д1
При этом мы воспользовались тем обстоятельством, что р = р на краю. При
а—»0 второй интеграл принимает значение
- /2 (9, О = $ (I (Р. ?)Г '2 (Р, Ъ 4Аг. F.16.3)
т
Используя формулу D.10.2), определим значение первого интеграла:
. F.16.4)
Сопоставляя эти результаты, получим формулу F.16.2).
Введем теперь в рассмотрение билинейный дифференциал
и два оператора
действующие на
операторы
т
1 ф уд) = \°& 1
Ф' \Ц) — \°^ 2
дифференциалы ф'
^Ф } (?) == — (^1
^сЬ 1 С/ 1 — V 'о
Р)
(V.
(<7>
на
(V.
(V.
(к1
Р),
Р),
(г>
Ф'
ф
Я))~йА-ч
' (р))ак.
' (Р))те.
поверхности 2
р),
р).
ф'
ф#
(р))ак.
(р))зк-
F.16.5)
F.16.6)
F.16.7)
#. Определим также
F.16.6)'
F.16.7)'
208 Гл. 5. Интегральные операторы
Для точек д поверхности 9К результат действия этих операторов совпадает
с результатом действия операторов Т§* и 7ф2). Определим, наконец, итери-
итерированный оператор
412H?) = #М<7)- F.16.8)
Согласно формуле F.16.5), этот оператор может быть представлен следую-
следующим образом:
412) 07) = (<2 (д, р), (Г (рЮш- F-16-8)'
Докажем теперь следующую теорему:
Теорема 6.16.1. Существует положительное число а < 1, такое, что
для всех дифференциалов ф' (р) на поверхности 3# справедливо неравенство
FЛ6-9)
Доказательство теоремы начнем, отправляясь от неравенства
F. ш.
являющегося непосредственным следствием формул F.2.9) и F.2.11). До-
Допустим, что неравенство
не выполняется только тогда, когда ф'(<7) = 0 на поверхности $Щ. В этом
случае рассуждение § 6 гл. 6 позволяет установить существование такого
числа а, 0<а< 1, что неравенство
выполняется для всех дифференциалов ф', удовлетворяющих условию
Это рассуждение можно провести потому, что дифференциал B (9, р) регулярен
в замыкании поверхности Щ, исключая только особенности известного ха-
характера в точках рг и р2.
Остается исследовать случай, когда
МШ№2)) = ХШ(У\ F.16.10)'
В этом случае должно также выполняться равенство
Л%('Ф2)) = Л%(Ф')- F.16.11)
Но из формулы F.2.11) имеем
Таким образом, из равенства F.16.11) следуют два тождества:
Т^ее:0 на 312 F.16.12)
Т$> = 0 на 312-ЩЬ F.16.13)
Из этих тождеств следует, что дифференциал ф\ для которого равен-
равенство F.16.10)' выполняется, регулярен в замыкании поверхности $Щ, исклю-
исключая, быть может, две критические точки рг и р2. Действительно, из формулы
F.3.9) получим
(ГB))а = / + ГC). F.16.14)
Из формул F.16.13), F.16.12) и F.16.14) следуют равенства
§ 16. Комбинационная теорема 209
Этим самым регулярность дифференциала ф'(<7) доказана, так как ядро
0,{р>Ф /^-преобразования регулярно в замыкании поверхности Щ (исклю-
(исключая, быть может, две особенности в точках рг и /?2).
Посредством рассуждения, использованного в § 5 гл. 6, устанавливаем,
что дифференциал /ф2)(<7) имеет граничные значения (ф'(<7))~~ на кривой Сг
Рассуждение несколько иного типа необходимо для того, чтобы установить,
что 42)(<7) имеет также граничные значения (ф'(<7))~ на кривой С2. Справед-
Справедливость соотношения
FЛ6Л5)
следует из того, что Дифференциал д%2 (д, /?)/д<7 обращается в нуль на кри-
кривой С2, а дифференциал дО(д, р)/дд обращается в нуль на кривых Сг и С2.
Для внутренних точек д дуги С2 справедливо соотношение
(Ф (р)) Aг = —г\ Ч И1~~ (ф (р)) йг —
С1 F.16.16)
д'&о(а р) \-
— л фг {р) Ц^ ) •
Пусть <7*~-~точка поверхности 9Л, близкая к некоторой внутренней точке
дуги С2. Пользуясь тождеством F.16.12), получим теперь соотношение
5
♦•о»*-
, Р) Ф' (Р) ^4 = Ф' (<7*) + П2) (?*) = V (9% F.16.17)
Заставляя ^* стремиться к некоторой внутренней точке ц дуги С2, из формул
F.16.15) и F.16.16) заключаем, что дифференциал /ф2) (^) имеет на дуге С2
граничные значения (ф'(<7)Г- Следовательно, дифференциалы /ф2) (?) + Ф'(?) и
D2)(<7) —Ф' (9))/^ действительны на границе поверхности 5Щ. Оба эти выра-
выражения имеют конечные интегралы на поверхности Ш с постоянной мнимой
частью на границе $Щ (и даже в точках рг и р2). Применяя принцип макси-
максимума к этим мнимым частям, находим, что они должны быть постоянны;
значит, соответствующие дифференциалы тождественно равны нулю на 2К.
Итак, доказано, что из равенства F.16.10)' следует тождество ф'(<7) = 0
на 3#. Теорема 6.16.1 доказана.
Заметим, что всякий раз, когда дифференциал <р' может быть выражен
в форме
Ч'(Ч)=\A(Ч>Р)Ъ'{РLА*> F.16.18)
т
из теоремы 6.16.1 следует неравенство
F.16.19)
Обозначим через г некоторую фиксированную внутреннюю точку области
— 5Щ и положим
2 (р, г) для
О
14 Заакз № 634
210
Гл. 6, Интегральные операторы
При п > 1 положим
ДЛЯ
для реЭ*2, F.16.21)
и
"л-2(<7)^Л: для ре9гх,
F.16.22)
I ф2Л-2(р) для ре9^2 — ЯК-
Заметим, что все дифференциалы ф^ (р) имеют в точке г такую же особен-
особенность, как и дифференциал %2(р, г)-
Обозначим через р некоторую точку поверхности 912. Последовательно
находим
2п (Р) = ~
» Я) Ф2/1- 1 (?) ^С + ^2 (Р, 0 =
(р,
(р,
т
[по формуле D.10.8)]
(р, Г) =
[по формуле D.10.8)']
= Ф2«-2 (Р) ~
= Ф2/1-2 (Р) -
(Р»
(Р,
, г) =
Итак, для точек ре^К2 справедливо соотношение
:. F.16.23)
Теперь обозначим через р некоторую точку поверхности 9Ч1. Тогда
2/1-1 (Р) = -
•У
§ 16. Комбинационная теорема 211
(Р) - \ #1 (Р,
Итак, для точек
я-1 (Р) - ф2«-3 (Р) = - 5 <#1 (Р. ?) [Ф2/1-2 (?) ~ ф2л-3 (?)] Л4С. F. 16.24>
Заметим, что формула F.16.24) будет справедлива в случае п=1, если
положить ф! 1 (р) = 0.
Положим
... . F.16.25)
Для точек р б Ш имеем равенство
- фг/1-1 (Р) + Ф2Л-2 (Р) = ^ Л (Р, Я)
Из формул F.16.23) и F.16.24) получим теперь следующие тождества:
2/г (Р) = ^ /2 (Р» ?) ^2/1-1 (?) Л4г,
F.16.26)
2/1-1 (Р)= ^ ^1 (Р» Я) ^24-2 (Я)
справедливые для р€9Л- В силу формул F.16.2) и F.16.5), имеем тождества
F.16.27)
2п-1 (Р) = ^ (Р, Я) ^2/г-
Но тогда из формул F.16.18) и F.16.19) следует неравенство
Л% №,) < а% №_2). F.16.28)
Следовательно,
F.16.29)
Итак,
/2, F.16.30)
где число А не зависит от номера т. При т < п получим
/I
Л
Следовательно, норма ^д^(фт — фл) стремится к нулю, когда тип неогра-
неограниченно возрастают. Из формулы F.16.23) вытекает, что дифференциалы:
?2т(р) сходятся к пределу ^(Р) на поверхности 912, а из формулы F.16.24)
следует, что дифференциалы ф2т-1 (р) сходятся к пределу ^'(р) на поверх-,
ности 9^!- Обе эти последовательности имеют общий предел ЧГ' (р) в области $Щ.
Следовательно, ^ (р) === ^ (р) в области Ш и функция ^(р) является
212 Г л, 6, Интегральные операторы
аналитическим продолжением функции Ч^ (р) в область Ш2 — $Щ. Мы устано-
установили существование аналитической функции ^(р) на сумме поверхностей
^Я± и ?И2, Функция ХУ (р) не может быть постоянной в области З^уЗц, так
как она имеет простой полюс в точке г области Ш2 — Ш-
Обозначим через 9 некоторую функцию, регулярную на сумме поверх-
поверхностей 91т и ?Я2 и такую, что
#(<р')<со. F.16.31)
Интеграл Л/(<р') распространен здесь по сумме поверхностей 9^ и 912. При
помощи формулы D.10.8) получим
Из формул D.10.8) и D.10.8)' находим, далее,
Аналогично,
Итак, справедливы соотношения
(Ф«,?')-(Фо.?') = О, т=1,2, ... . F.16.32)'
Отсюда следует, что для предельной функции Ч?' выполняется соотношение
(^',<р') = 0. F.16.33)
Напомним, что через ср' здесь обозначен дифференциал, регулярный на сумме
поверхностей 911 и 912 и удовлетворяющий условию F.16.31). Обозначим
через X (р, /-) бил линейный дифференциал суммы поверхностей Ш1 и 912. Тогда
(«2?, <р') = 0. F.16.33)'
Вычитая равенство F.16.33)' из равенства F.16.33), получим
(Т'-^,9') = 0. F.16.34)
Принимая, в частности, <р'— ^;/— с5?, найдем, что 4^' = ^. Иначе говоря,
'(р) = «5? (р, г). F.16.35)
Итак, доказана следующая
Теорема 6.16.2. Рекурсивный процесс, описываемый формулами
F.16.20) —F.16.22), сходится равномерно в каждой компактной подобласти
суммы 91^9^2 и позволяет выразить X-функцию этой суммы через
^-функции составляющих поверхностей ?Я± и Й2.
Так как сумма поверхностей $Яг и Ш2 односвязна, то функция, опреде-
определяемая дифференциалом
отображает эту сумму на внешность некоторого круга. Точка г при этом
отображении переходит в бесконечно удаленную точку. Доказана, следова-
следовательно, следующая «комбинационная теорема» Г. Шварца и К. Неймана:
если две области, каждая из которых может быть конформно отображена
на круг, имеют связное (следовательно, односвязное) пересечение, то сумма этих
двух областей также может быть конформно отображена на круг. Так как
доказательство теоремы об униформизации по существу сводится к этой
комбинационной теореме (см. [5]), то тем самым установлена методами
настоящей главы и теорема об униформизации.
Литература 213
ЛИТЕРАТУРА
1. Бергман, Шиффер (Вег^тап 5., ЗсЫНег М.)
Кегпе1 гипсИош апс! соп!огта1 таррт^, СотрозШо Ма1п., 8 A951), 205—249.
2. Курант, Гильберт (С о и г а п I К., Н 1 1 Ь е г I Б.)
Методы математической физики, т. 2, М.—Л., 1933.
3. Курант (Соигап! К.)
Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности^
М., 1953.
4*. Рисе Ф., Секефальв и-Н а д ь Б. (К 1 е з ъ Р., 5 ъ.-^\ а § у В.)
Лекции по функциональному анализу, М., 1954.
5. Шлезингер E с Ь 1 е з 1 п ^ е г Ь.)
Аи1;отогрпе РипкИопеп, Обзспепз ЬеЬгЬйспеге!, уо1. 5, Бе <3гиу1ег, ВегПп, 1924.
ГЛАВА 7
ВАРИАЦИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ИХ ФУНКЦИОНАЛОВ
§ 1. ВАРИАЦИИ ГРАНИЦЫ
Теория римановых поверхностей занимается главным образом изучением
•функционалов на заданной поверхности или на заданном классе поверхно-
поверхностей. Зависимость функционалов от самой поверхности в смысле функциональ-
функционального анализа не была до сего времени изучена систематически. В этой главе
будут изучены те изменения, которые претерпевают функционалы при изме-
изменении поверхности.
С топологической точки зрения каждую конечную поверхность можно
получить из сферы, повторяя конечное число раз одну или несколько из сле-
следующих трех операций: (I) вырезание отверстия, (II) присоединение ручки
первого рода, (III) заклеивание отверстия листом Мёбиуса. Однако конформ-
конформный тип римановой поверхности можно изменить и посредством не имеющей
топологического значения операции «присоединения клетки». Для того чтобы
присоединить клетку, следует сперва вырезать отверстие, удалив из поверх-
поверхности некоторую 2-клетку, а затем заполнить образовавшееся отверстие но-
новой 2-клеткой, идентифицировав границу этой 2-клетки с границей отверстия.
Итак, следует добавить четвертую операцию: (IV) внутренняя деформация,
•осуществляемая посредством вырезания отверстия и присоединения некоторой
клетки. Мы вычислим вариации функции Грина при этих четырех операциях.
Дифференцируя, получим затем вариации билинейного дифференциала Ь^ (р, ^)-
Вычисляя периоды этого дифференциала вдоль базисных циклов, получим
вариации дифференциалов первого рода.
Операции (I), (II) и (III) будут выполнены некоторым специальным способом,
так как основное назначение этих операций состоит в изменении топологии по-
поверхности; соответствующие вариации будут, следовательно, зависеть от мини-
минимального числа свободных параметров. С другой стороны, операция (IV) бу-
будет давать недостающие параметры, что и обеспечит необходимую общность
рассматриваемого комплекса вариаций. В частности, операция (IV) может
быть выполнена таким путем, что конформный тип поверхности не изменится.
Этот факт имеет важное приложение при построении вариаций конформных
отображений заданной поверхности 31 на подобласти заданной поверхности 91.
В гл. 5 были найдены необходимые и достаточные условия существования
таких отображений. В настоящей главе будет построен вариационный про-
процесс, посредством которого некоторое заданное отображение поверхности 91
на подобласть ЗК поверхности 91 может быть превращено в отображение на
соседнюю подобласть ЗЛ*СИ91. Тем самым будет получено мощное средство
исследования экстремальных проблем, относящихся к взаимно однозначным
отображениям поверхности УЬ в поверхность 9?.
Вложение каждой ориентируемой конечной римановой поверхности с краем
в ее дубль правильно. Следовательно, нашу поверхность можно варьировать,
изменяя положение ее границы на фиксированном дубле. Этот тип вариации
называется «вариацией границы»; в теории конформного отображения это ис-
исторически первый тип вариаций. С вариаций границы мы и начнем поэтому
иаше изучение.# Такого рода вариации автоматически возникают из рассмо-
рассмотрений гл. 5 и 6; при этом в качестве области *Щ, вложенной в поверх-
с
§ /. Вариации границы 215
ность 81, следует выбирать настолько большую часть $й, чтобы дополнитель-
дополнительная область 9$ — Ш представляла собой достаточно узкую полосу.
В случае плоских областей, ограниченных аналитическими кривыми,
вариация функции Грина может быть выражена при помощи классической
формулы Адамара [1]. Обозначим через 2К некоторую плоскую область,
ограниченную аналитическими кривыми С7, V=1, 2, ... , я, и пусть каждой
граничной точке этой области соответствует единственное значение пара-
параметра 5, измеряющего последовательно суммарную длину граничных кривых.
Близкая область $Щ* возникает при смещении каждой граничной точки об-
области ЭД1 вдоль нормали к граничной кривой; при этом возникают новые
кривые С*, V = 1, 2, ... , п, ограничивающие ЯК*. Обозначим через 8/1E) =
= еV E) непрерывно дифференцируемую функцию переменной 5, определяющую
нормальное смещение граничных точек г = г(з) области $Щ. Предположим,
что смещение Ьп(з) положительно, если оно происходит в направлении вну-
внутренней нормали по отношению к области $Щ. Обозначим через О(р, 9) и
С* (р, 9) функции Грина соответственно областей $Щ и $Щ*. Формула Адамара
имеет следующий вид:
^* / \ т \ Е Г д<3 (г, р) дб (г, д) . ч , , ч т л л\
С* (Р,9) = О (р> Ч)-^\ дп дп* (*)<1з + о (8) - GЛЛ)
с
Используя обозначения функционального анализа, перепишем формулу G.1.1)
в форме
Пусть $Щ представляет собой абстрактно заданную риманову поверх-
поверхность с т компонентами края С7, V = 1, 2, ... , т. Поверхность $Ш* опреде-
определим теперь следующим образом. Функция Грина О(р, ^) поверхности 2К яв-
является действительной частью некоторой аналитической функции
6(р,д) + 1Н(р,д). G.1.3)
Обозначив через к род поверхности 9К, получим
1т22й+7 (?) = ^ ^ ^^ ^5= -1 ^ <Ш(р, я) > 0. G.1.4)
Для фиксированной внутренней точки <7о поверхности 5Ш функция
G.1.5)
однозначна на кривой С\, и отображает ее на окружность | С | = 1 в плоскости
переменной С- Переменную С можно, следовательно, рассматривать в качестве
граничной униформизирующей в целом. Каждый компонент края С7 поверх-
поверхности 2К отображается таким образом на единичную окружность. В качестве
параметра 5, 0<5<2тс/л, примем последовательно измеряемую длину дуги
этих окружностей. Как и раньше, можно определить нормальное смеще-
смещение Ьп{8) в плоскостях окружностей. Когда параметр 5 пробегает окруж-
окруж|| Ь{
ность
, функция Ьп{$) определяет близкую кривую
|| ) р ^
Обозначим через ц малое положительное число и добавим к поверх-
поверхности Ш множество точек, соответствующее т кольцевым окрестностям
1 <|^|< 1+т]. Таким путем возникает конечная риманова поверхность 9^,
содержащая $Щ внутри себя. Ясно, что 31 удовлетворяет всем условиям, на-
налагаемым на конечные римановы поверхности. Поверхность $й назовем рас-
расширением поверхности ЭДЬ Кривые у7, V = 1, 2, ... , га, ограничивают подоб-
подобласть 2К* поверхности 9? с функцией Грина О* (р, д). Формула Адамара снова
применима.
216 Гл. 7. Вариации поверхностей и их функционалов
Так как формула G.1.2) имеет конформно инвариантную форму, то ее
можно переписать для произвольной локальной граничной униформизирующей
Доказательство формулы G.1.6) в общем случае существенно не отличается
от доказательства для случая плоских областей.
Так как функция О (р, ^) не изменяет своего значения вдоль кривых Сг
то имеют место соотношения
до (г, Р)
дО (г, р) = дО (г, р) = I дО (г, р)
дг дг 2 ду
Следовательно, формулу G.1.6) можно переписать так:
2 Г дО(г, р) дО(г, а) ь Л ,П 1 ~ЧЛ
= -~ } дг ^У У- Ц(Ьс, G.1.6)Л
с г
или, в инвариантной форме,
80(р, ч)= _1 {Щ^^Льпйв. G.1.6Г
Дифференцируя эту формулу по р, ^ и д и принимая во внимание фор-
формулы D.10.1) и D.10.2), получим следующие выражения:
(р, Я) = — ^м (г, р) ^м (?, г) 8п д,з\ G.1.7)
с
(р, ^ = - ^м (г, р)(^м (г, 9)Г 8л Й5; G.1.8)
с
(Р, Я) = - ^м (г, р) Ьт (г, я) Ьп из. G.1.8)'
с
Вычисляя периоды обеих частей равенства G.1.7), когда ц пробегает цикл
и принимая во внимание формулу D.10.15), получим
82; (/>)=- \ и (г, р) 2; (г) Ьп аз = - \ Ьм (г, р) 2; (г) Ьп аз. G.1.9)
с с
Вычисляя теперь периоды обеих частей равенства G.1.9) вдоль цикла К^г
при помощи формулы D.3.10) получим
^ = ^ г; (г) 2; (г) Ьпс18. G.1.10)
с
Из этих вариационных формул легко выводятся две другие:
G.1.11)
G.1.12)
Эти формулы выражают первые вариации функционалов /.р, 2^ и Г,^ в их
зависимости от области. Для случая плоских областей приведенные формулы
были ранее получены из формулы Адамара [9а].
§ 2. Вариации функционалов
217
§ 2. ВАРИАЦИИ ФУНКЦИОНАЛОВ КАК ПЕРВЫЕ ЧЛЕНЫ РАЗЛОЖЕНИЙ В РЯДЫ
В предыдущем параграфе формулы G.1.7) —G.1.12) были получены из
вариационной формулы Адамара для функции Грина. Теперь эти формулы
будут получены иным путем. Обозначим через Ш такую подобласть поверх-
поверхности 91, граница которой получается из края 91 посредством некоторой ана-
аналитической деформации (определяемой ниже), зависящей от параметра е. Будет
показано, что при этих условиях соотношения
/Р(р,?)=О(в), /р (р, ф = О (в)
выполняются для любой внутренней точки ц области $Щ равномерно относи-
относительно р в замыкании 3#. Формулы G.1.7) и G.1.8) для положительного
смещения Ьп немедленно выводятся затем из формул E.3.27) и E.3.27)'; фор-
формулы G.1.9), GД.10) получим, вычисляя периоды выражения G.1.7). Вы-
Вычитая вариации для двух областей, вложенных в поверхность 91, избавимся
от условия положительности смещения Ьп. Наконец, применяя результаты § 15
гл. 6, получим формулы, позволяющие вычислить вариации произвольно вы-
высоких порядков для принадлежащих области функционалов, т. е. вариации,
соответствующие произвольно высоким степеням параметра е. Следовательно,
наш метод позволяет получить больше сведений, чем метод, базирующийся
только на формуле Адамара.
Предположим, что поверхность 91 задана, и определим область Щ, вло-
вложенную в 91, следующим образом. Обозначим V-й компонент края поверх-
поверхности 91 через 57. Функция
(р, до) + т (р, до) \
отображает кривую В^ на окружность |С|=1- Более того, эта функция
отображает краевую полосу поверхности 91, прилегающую к кривой В^, на
1 38<|С|1 § 0 П
кольцо 1—
1 —
ру р ^,
> 0- Предположим, что в замкнутом кольце
)
|| рд, у
< | С | < 1 функция Х7 (С) регулярна и удовлетворяет условию
G.2.2)
редположим также, что условие
Сх-С
<м
G.2.3)
выполняется при 1 - 2^ < | ^ | < 1, 1 - 287 < | С2 К 1. Обозначив через
дос й
достаточно малое положительное число, найдем, что функция
1+в
с
1
G.2.4)
отображает окружность |С|= 1 на аналитическую жорданову кривую ^Vу ле-
лежащую в кольце 1— ^<|С|< 1. Действительно, для двух различных точек
С С кольца 1— 28%,<|^|<1 из условия G.2.3) получим соотношение
1+в
—Ся
Ф0.
При этом предполагается, что 0 < з < 1/М. Отсюда следует, что С* является
однолистной функцией переменной С в кольце 1— 287<|С|<1 и что, в част-
частности, образ окружности |С|=1 является жордановой кривой. Отображая
теперь кривую ^V обратно на поверхность 91 посредством обращения отобра-
отображения G.2.1), получим кривую С, на 91. Предположим, что функции Х7(С),
V=1, 2, ..., т, удовлетворяющие условиям G.2.2) и G.2.3), заданы. Най-
Найдется тогда такое число е0, что для всех е, удовлетворяющих условию»
Гл. 7. Вариации поверхностей и их функционалов
О < е < е0, определенные вышеописанным способом кривые С\, ограничивают
подобласть $Щ поверхности 91.
Нашей первой задачей будет получение оценки разности функций Грина
поверхностей $Щ и 91, равномерной в замыкании §Щ.
Если г0 достаточно мало, то при 0 < е < е0 окружности | С | = 1 — ^,
|С| = 1—287 соответствуют при отображении G.2.1) кривым С!}\ С^2) на по-
поверхности 94, ограничивающим подобласти Я^СИЗ!, $Щ2С91, удовлетворяю-
удовлетворяющие соотношению
Пусть задана точка р в краевой полосе 91 —$Щ2. Через С обозначим ее
образ в одном из колец 1—2^<|С|<1. По формуле G.2.4) значение С
преобразуется в значение С*> лежащее в кольце 1—387<|С|< 1, если е0
достаточна мало. Образ точки ^* на поверхности 91 при отображении G.2.1)
обозначим через р* (р). Ясно, что точка р* (р) принадлежит области $Щ.
'Точка р* (р) будет граничной для области $Щ> если р является краевой
точкой поверхности 91. Обозначим через О(р, д) функцию Грина области
Так как отображение р* (р) конформно, то функция О (р*, д*) = О (р* (р), ^*
является гармонической функцией от р* или от <7* в области 91 —5Щ2 с осо-
особенностью при р* = <7*-
Выберем е0 настолько малым, чтобы каждая кривая /7 лежала в кольце
1—х^<|С|<1, ^=1, 2, ..., т. Рассмотрим разность
где р^Са\ 9€ЯК- Если д^С= []С^, то С(р, ^) = 0. Остающийся член ^(р,
можно оценить, строя разложение в ряд в окрестности точки д^С. Предпо-
Предположим, что ^ лежит на компоненте С\, границы области $Щ', в этом случае ее
образ С при отображении G.2.1) лежит на кривой/7- Обозначим через ^± ту
точку окружности |^| = 1, для которой аг§^1 = аг§С> и через #1 ТУ точку
кривой В7, которая соответствует ^1 при отображении G.2.1). Тогда
0=
и, следовательно,
»(р,<7) = О(е), РбС^, 96С G.2.5)
Итак,
G.2.6)
для точек р^Са\ 9€С. В соответствии с принципом максимума оценка G.2.6)
равномерно выполняется для р€ЭДК> 9€5Щ- Далее,
*(р, ?)-С(р*, 9*) = »(р», ?*)-С(р*, ?•) + » (Р. ?)-*(Р*. ?*)• G-2-7)
Если р^Са\ 9^91 —9К2, то р*€ЯЙ1, 9*€ЗЛ- Следовательно, согласно фор-
формуле G.2.6), соотношение
*(р*> (/*)-(!№ (П = О (г) G.2.8)
выполняется равномерно для р^СA), 9^91 —$Щ2. Разность $ (р, д) — ^(р*, д*)
регулярно гармонична для точек р и д в области 91— 2Л2» так как логариф-
логарифмические особенности взаимно уничтожаются. Пусть р^Са\ Для д^С^ раз-
разность ^ (р, д)— $ (р*, 9*) имеет, очевидно, порядок О (е), и тоже самое спра-
справедливо для д^В. Из принципа максимума следует теперь, что соотношение
*(Р,?)-*(рМ*Н0(«)|. G.2.9)
выполняется для точек р^Са\ д^Ш — Ш2- Из формул G.2.7), G.2.8) и G.2.9)
получим
§ 2. Вариации функционалов 219
.для точек р^Са\ ^€9^ — 9Л2- Так как разность $(р, д) — О(р*, д*) обра-
обращается в нуль для р^В, то соотношение
*(Р> <7)~С(р*, ?*) = О(е) G.2.10)
выполняется равномерно для точек р 6 5К — Зй1э 9 €9^ — 9Кг> и, следовательно,
равномерно для р, д^?И — ЗКГ
Так как разность G.2.10) обращается в нуль для точек р или д> лежа-
лежащих на краю поверхности 91, то она может быть продолжена в некоторое
расширение 9^, скажем $КХ, и оценка G.2.10) будет справедливой и в об-
области Э^ —9ЛГ Это замечание показывает, что частные производные раз-
разности G.2.10) также имеют порядок О (в). В частности,
тс
G.2Л1)
равномерно для' р, д^?И — ЗШг. Постоянная, подразумеваемая в члене О (в)
формулы G.2.11), зависит от выбора униформизирующих, используемых при
вычислении производных, но не зависит от точек р, д. Итак,
G.2.12)
где через г и С обозначены униформизирующие соответственно в точках р и д.
Так как
{р,д)
то мы получим
Иначе говоря, соотношение
G.2.13)
выполняется равномерно для точек р, ^> лежащих в замыкании области
Пусть 9 лежит в фиксированной подобласти области $Щ. Вычислим пе-
периоды разности Ьм{р, д) — <%м{р, я) вдоль цикла /С7. Получим
РAм(р, ?)-с8?м(р, 9), ^) = 2;(9)-У;(G). G.2.14)
Из формулы G.2.13) теперь следует, что соотношение
2; (9) - У; (?) = О (в) G.2.15)
выполняется равномерно для точек, принадлежащих замыканию области ЭДЬ
Из формулы G.2.15) вытекает, что
' Г^-П^ = О(г). G.2.16)
ч
Из формул G.2.13), G.2.15) и G.2.16) заключаем, что соотношение
G.2.17)
выполняется равномерно для точек р, д^Ш- Через Р здесь обозначен про-
произвольный класс дифференциалов.
Обозначив через Х^, V=1, 2, ..., собственные значения интегрального
уравнения F.7.1), из формул F.7.27) и G.2.13) получим
оо
2 -*г=^1/р(р' д)\2с1АхМ, = 0^у G.2.18)
Итак, наименьшее собственное значение Хх имеет порядок 1/з.
220 Гл. 7. Вариации поверхностей и их функционалов
Если класс Р симметричен, то можно применить формулы § 15 гл. 6.
Из формулы F.15.6) получим
(р, д) - ХТ (р, д) = - $ %? (г, р) (Хг (г,
G.2.19)
+ 2 $^
где
^^(^, 9) = О(з2^). G.2.20)
Итак,
. G.2.21)
Я) I? (Р> г) ДА* + О (з
Эта формула позволяет вычислить разность /.р(р, д) — <%г(р> ^) с любой
желаемой степенью точности.
В случае общего класса Р, не обязательно симметричного, следует опять
обратиться к формулам E.3.27), E.3.27)'. Используя формулу G.2.17),
получим следующие соотношения:
(г, р) (с5?Р (г, <7))-А4ч + О(еа); G.2.22)
I. G.2.23)
Ж—Ш
Обозначив через Ь<%Р (д, р) главный член разности
Ьг(Я,р)-Хг(д,р), G.2.24)
получим выражения
в
р) = — \ %?{г, р)(Лбг(г> д))~ЬпA8. G.2.26)
в
Здесь через Ьп обозначено смещение по нормали от1 первоначальных гранич-
граничных кривых. Это смещение положительно, так как область, граница которой
получается в результате смещения, лежит внутри исходной области.
Заметим, что функции Х7 (С), определяющие смещение, могут зависеть
и от параметра е, если только неравенства G.2.2) и G.2.3) удовлетворя-
удовлетворяются равномерно по параметру е.
Итак, вариационные формулы Адамара G.1.11) и G.1.12) получены из
формул сравнения гл. 5. Устраним теперь ограничение, состоящее в том,
что допускаются только смещения Ьп, направленные внутрь. Мы поступим
следующим образом.
Обозначим через 2К заданную область и через 91 ее расширение. Пред-
Предположим, что в плоскости переменной ^ окружность |^|—1 соответствует
V-му компоненту края поверхности 91, а окружность |^| = 1— А^г (А^ — по-
постоянная) соответствует V-му компоненту границы области Щ. Когда пере-
§ 3. Вариация при вырезании отверстия
лменная ^ пересекает окружность |^ | = 1, граница варьированной области
может быть определена выражением
У* У \ ~\ /7* . ~\ 11 О 07\
Ц^ = Ц-^ —р с А.-^ I (д^ ,&), ^/.^.^/у
где функции Х7(С7;е) удовлетворяют условиям G.2.2) и G.2.3). Тогда со-
соотношения
г, /?) — — \ ^р^, р)(<%г(г, д))"Ьп1с189 G.2.28)
1Л (?, р) - %г (Я, Р) = - ^ х* (г> Р)(#* (г> Я)Т Ьп2 ^5, G.2.29)
где величины 8^ и 8п2 положительны и определяют нормальное смещение В
в границы областей $Щ, 5Щ* соответственно. Вычитая равенство G.2.28) из
равенства G.2.29), получим соотношение
G.2.30)
где 8/г = 8/г2 — Ьпг обозначает нормальное смещение границы С области
в границу С* области 501*. С ошибкой порядка О(е2) можно заменить край В
поверхности 9? в интеграле, стоящем в правой части равенства G.2.30), на
границу С области $Щ; затем, снова с ошибкой порядка О (в2), можно заме-
заменить дифференциал X? на дифференциал /.р. Таким путем мы приходим
к формуле G.1.7). Формулу G.1.8) получим аналогичным способом, и фор-
формулы G.1.9), G.1.10) можно получить затем посредством обычного вычисле-
вычисления периодов.
§ 3. ВАРИАЦИЯ ПРИ ВЫРЕЗАНИИ ОТВЕРСТИЯ
Формула Адамара позволяет вычислить вариацию функции Грина при
малых смещениях границы области. При вариациях этого типа варьирован-
варьированная область 5Щ* имеет тот же топологический тип, что и исходная об-
область §Щ; однако конформный тип может измениться при этих вариациях.
Теперь, вместо того чтобы смещать га граничных кривых области $Щ, вы-
вырежем в 5Щ малое отверстие; в результате мы получим область $Щ* с га
граничными кривыми. Очевидно, что топологические типы областей $Щ и
будут различны. Мы изучим теперь специальную вариацию этого рода. Этот
тип вариаций возможен также в случае замкнутых римановых поверхностей.
В настоящем параграфе будем предполагать, что поверхность $Щ ориенти-
ориентируема, имеет край и, следовательно, обладает классической функцией Грина.
Замкнутые ориентируемые поверхности будут рассмотрены в следующем па-
параграфе.
Пусть задана поверхность $Щ с функцией Грина 0{р, #)» через дг обо-
обозначим некоторую внутреннюю точку $Ш- Если положительное число е доста-
достаточно мало, то линия уровня
| G.3.1)
является жордановой кривой, ограничивающей подобласть © поверхности
содержащую точку ^. Обозначим эту кривую через Ст+1. Поверхность 9К*
получим, удалив из поверхности $0} область ф. Обозначим через Т (р, ^) ана-
аналитическую функцию от р, действительной частью которой является функ-
функция Грина О(р, 9), и через С униформизирующую в точке ^1» пригодную
в некоторой окрестности цх, содержащей область Ф. Пусть такая уииформи-
зирующая выбрана раз и навсегда. Для точек р, находящихся в окрестности
точки <71> справедливо разложение
ехр {— Т (ру
222 Гл. 7. Вариации поверхностей и их функционалов
Следовательно, соотношение
справедливо для точек р€Ст+1. Итак, образ кривой Ст+1 в плоскости уни-
формизирующей близок к окружности.
Обозначим через О* (р, я) функцию Грина поверхности $Щ* и положим
я, *)=<?•(/>, я)-О(Р, я) ^Ае^с^зА . G.з.з>
1п —
Функция Не (р, Ц, Чг) обращается в нуль, когда хотя бы одна из двух точек р
и я лежит на границе С поверхности $Щ. Фиксируем <7> и пусть р принад-
принадлежит кривой Сш+ь Справедливо соотношение
*. (р, Я, Яг) = - О (Р- Я) + О (Я!, Я) = - Ке {Г {Яг, д) С} + О (е*),
где знак ' в выражении Т' (р, ^) обозначает дифференцирование по ру вы-
выполненное при помощи униформизирующей С-
Пусть р и <7~-Две произвольные точки окрестности точки д1У которым-
соответствуют значения С и Со униформизирующей.
Тогда
О (9, р) = 1п ,у_у1 + регулярные члены.
Дифференцируя это выражение по Со> получим
2 ^^1 = Г' (9, р) = т^- + регулярные члены. G.3.3)"
В частности,
(?1» Р) = т"+регулярные члены.
Из формулы G.3.2) для р^Ст+1 получим
(р, (/, ?1) = - Ке (Г (91,
О (е«) =
Из формулы G.3.3)' имеем
— 9
1
Так как функция Т' (^, р) обращается в нуль для точек р, принадлежащих:
краю С поверхности $Щ, то
Не (р, я, Яг) + Ке {-^ Г (ь, д)(Г (д19
О для р€ С7, V= 1, 2, ... , т,
О (в2) для рбСт+1. G'3'4)
Заметим, что
\^ «^, У — 1 у <и/ у ... , [II,,
ДЛЯ
Следовательно, функцртя сот+1 (р) является как раз гармонической мерой кри-
кривой Ст+1 по отношению к точке р поверхности $Щ*. Под гармонической ме-
§ 3. Вариация при вырезании отверстия 223-
рой компонента края С\, в точке р понимается значение в р всюду регуляр-
регулярной однозначной гармонической функции, равной единице на С\, и нулю на
остальных компонентах края. Следовательно,
(р, д, дг) + Ке {-~ Г (дг, д)(Г (д19 р)Г] = О (е«) сот+1 (р) G.3.6>
для точек р€ЭД}*, так как левая часть равенства G.3.4) является гармони-
гармонической функцией от р при фиксированной точке д€Ш- Здесь мы воспользо-
воспользовались также хорошо известным и очевидным фактом: абсолютное значение
гармонической функции является функцией субгармонической. Из формул
G.3.3), G.3.5) и G.3.6) следует соотношение
>^>* / \ у> / \ 6 (Р» <71)б (а,
О* (р, ?) = О (р, 9) /
G.3.7>
справедливое для любой фиксированной подобласти поверхности $Щ, замыка-
замыкание которой не содержит окрестности точки дх.
Обозначим через /Сх, ... , К2ь+т-1 гомологическую базу поверхности $Щ.
Базу поверхности 5Ш* получим, прибавив цикл К2н+т = Ст+1- Как в § 3 гл. 4,
определим принадлежащие поверхностям 5Ш, $Щ* интегралы 27, 2* посредст-
посредством формул
» 1, 2, ... , 2Л + т- 1; G.3.8>
, V—1, 2, ... ,2Л + т. G.3.9)
Ясно, что
1т 1*2Н+т (р) = «>т-м (р) = ^^^ . G.3
Из формулы G.3.7) для V = 1, 2, ... , 2Н-\-т— 1 получим соотношения
Ъ
1п —
е
= - 1т 2!Л+т (9) • 1т 2V (^) + О (г2).
Вычислив периоды выражения G.3.7) вдоль 7-го цикла, получим соотноше
ние
1т 2% (р) = 1т 27 {р) — 1т 1Ън+т (р) ■ 1т
г еа -, G-3.
- 1т {^ Ц Ш (Г G1, Р)Г} + о И,
справедливое для любой замкнутой подобласти поверхности $Щ> замыкание-
которой не содержит окрестности точки
224 Гл. 7. Вариации поверхностей и их функционалов
По определению комплексного дифференцирования, получим
да(Р> Я) _ ±_т
^ - 2 1
Формулы G.3.7) и G.3.11) можно, следовательно, переписать в виде
С* (р, д}=О(ру д) - 1пу 1т 25Л+т (/>)• 1т22Л+т(<7) -
}G'3'12)
1т 2? (р) = 1т ^ (р) — 1т 21л+т (р) 1т 27 (^) —
-2 1т {^р2;(<,,) ^|^-} +о(в2). G.3.13)
Из формулы G.3.10) видно, что второй член правой части формулы G.3.12)
имеет порядок, точно равный порядку величины (кП/е)^1. Дифференцируя
равенство G.3.12) по р и ц и равенство G.3.13) по р, при помощи формул
D.10.1) и D.10.2) получим
№'
(ру д) = ^м {р, д) —2^~ ^2/1+т (р)
I (9, 91) ^м (рГдг) + ^м (9, 91) ^м (р, 91)} Ч- о (в2);
2*' (р) = 11, (р) - 2*2'н+т (р) 1т 27 (я,) -
тсеЗ ^, ^ G.3.15)
(Р, 91) Н- 2; (9Х) ^м (р, дг)} + о (е2).
Формула D.3.10) дает
; /с) = - р и
1п-
е
1п —
1т ^ (^х) при >= 1, 2, ..., 2А + т—1, G.3.16)
2тг
—р при
1п —
8
Формулу G.3.15) можно также непосредственно получить из формулы G.3.14),
вычислив периоды вдоль циклов /С7, 1 < V< 21г-±-т— 1. Наконец, вычислив
периоды членов формулы G.3.15) вдоль циклов Д^, получим
у 1т 2^ (д^ 1т
1п —
8
^, V = 1, 2, ..., 2/г + т- 1. G.3.17)
В частности, заметим, что вариация йГ^ действительна.
Этот последний факт является очевидным следствием нашей системы
нормирования матрицы периодов.
Положим
= 1 ^ 4- I
, V
2тс
у 1т 2» (д±) 1т 2У (91), G.3.18)
1п ~
е
= 1, 2, ...,
§ 3, Вариация при вырезании отверстия 225
Ясно, что для достаточно малых е, 0<е<&0, матрица ||А^|| будет, оче-
очевидно, неособенной. Обозначим через Р —Р(г\, г2, ..., /п) класс дифферен-
дифференциалов /' на поверхности 9К*, таких, что
V=1, 2, ..., /г.
Предположим, что целое число 2Н + т содержится среди чисел /\, /2, ..., /п.
Другими словами, предположим, что
Р(Т' К ^ ) = 0 /'СР G 3 19^
Предполагая, что /п = 2/1 + т, получим соотношение
2 «^ [< (р) + 1т {1г {дх)} 2*2'н+т (р)] X G.3.20)
X [2*7 (д) + 1п1 {2{ (91)} 2.%н+т (</)],
где
":^1Г- G-3-21)
Действительно, вычисляя период дифференциала Ьг(р, 9) вдоль цикла /С2л+т>
при помощи формулы G.3.16) получим
(/?, д)у Дз^т) = ^2к+т (д) — ^2к+т (д) —
п-1
а^ Г Г? 2н+т + -^- 1т 1К
•- 1п
X
И1 \ • X' I
X [2% (Я) + 1т {2^ (д,)} 1*2'н+т (д)) = 0.
Вычисляя период этого же дифференциала вдоль цикла /С*о, 1<р</г, по-
получим
Р {^ (р, д), К1?) = 2Г?' (д) + 1т 2К? Ы 2*2'н+т (д) -
- 2 а^А,; 10 [1% (д) + 1т {2^ (д,)} 2Гн+т (д)) = 0.
1 ^
Теперь формулы G.3.14), G.3.15), G.3.17), G.3.20) и G.3.21) показы-
показывают, что
G.3.22)
для любого класса Р, удовлетворяющего условию G.3.19); для классов Р,
не удовлетворяющих этому условию, справедливо только более слабое соот-
соотношение
Ы (р, д) = Ьг (р9 д) + О Aп |) . G.3.23)
В § 5 гл. 6 мы были вынуждены сделать предположение, что любой цикл
Су поверхности 9#, гомологичный нулю на поверхности 81, должен быть
гомологичен нулю и на Ш (существенное вложение). Там же было замече-
замечено, что это предположение можно заменить более слабым условием: каждый
цикл, гомологичный нулю на № и не гомологичный нулю на Ж, таков, что
вдоль него однозначны все функции класса Р на $Щ. В данном случае по-
поверхность 5Ш* вложена в Ж, а цикл Ст+1 = /С2^+т, гомологичный нулю на
5Щ, не гомологичен нулю на 5Ш*. Поразителен тот эффект, с которым влия-
15 Заказ № 634 ,
226 Гл. 7. Вариации поверхностей и их функционалов
ют альтернативы гипотезы § 5 гл. 6 на порядок ошибки в формуле для ва-
вариации. Это различие в порядках ошибки возникает потому, что могут су-
существовать собственные значения, сколь угодно близкие к единице, если
условие G.3.19) не удовлетворено.
На основании этих рассмотрений можно ожидать, что ошибка в форму-
формуле для вариации будет мала для любого класса Р при образовании поверх-
поверхности 5Ш* посредством вырезания отверстия в замкнутой поверхности
Действительно, в этом случае граница отверстия, гомологичная нулю на
будет гомологична нулю и на Ш*- Как будет показано в следующем параг-
параграфе, оценка ^м(р, с/) = ^м(Ру 9) + О(е2) в этом случае справедлива.
Результаты, полученные в этом параграфе, сформулируем в виде сле-
следующих двух теорем:
Теорема 7.3.1. Пусть 5Щ — ориентируемая поверхность с краем и
О(р,д) — ее функция Грина. Удалив из Ш подобласть 6(р, дг)> 1п —, по-
лучим поверхность $Щ*, функция Грина которой О*(р, д) имеет вид
1п —
G.3.7)'
1
где ^ — 7 {Ч1) определяется из разложения
G.3.24)
Теорема 7.3.2. В предположениях предыдущей теоремы равенство
Ь$ (р, д) = 1Р (р, д) + О (е2) G.3.22)"
справедливо для всех тех классов Р, дифференциалы которых имеют рав-
равные нулю периоды вдоль цикла С(р, д^^п—. Для остальных классов Р
справедливо соотношение
IX (р, Я) = Ьг (Р, Ч)-~2Г 22л+т (Р) 22;+« (9) + О (в2). G.3.23)'
§ 4. ВАРИАЦИЯ ПРИ ВЫРЕЗАНИИ ОТВЕРСТИЯ В ЗАМКНУТОЙ ПОВЕРХНОСТИ
В случае замкнутой поверхности ТО метод предыдущего параграфа дол-
должен быть несколько модифицирован. Однако легко можно получить вариа-
вариационные формулы для величин Ьм(р, д), 2^(р) и Г1Х7 для случая вырезания
малого отверстия в замкнутой поверхности $Щ. Обозначим через У(р,р0)
д, д0) функцию, определенную формулой D.2.23). Для достаточно малых
чисел е, е > 0, линия уровця
4 G-4.1)
является жордановой кривой С1 = С1(р0, д0, д1У е), ограничивающей некоторую
область ф поверхности 9К, содержащую внутри себя точку дх. Здесь через
р0, д0 обозначены фиксированные точки 5Ш, отличные от точки д±. Пусть р„
д — две произвольные точки, принадлежащие окрестности дГ Координаты
точек р, ду выраженные через одну и ту же униформизирующую, обозначим
соответственно через С, **]• Справедливо разложение
ехр {%д (р) - й чя (р0)} - а, (С - 7]) + а2 (С - т]J + . .., \а±\Ф 0, G.4.2)
где 'а1 = а1{д)у а2 = а2(д) и т. д. Предположим, что переменные С и -ц обра-
обращаются в нуль в точке д±. Выбирая подходящим образом униформизирующую
§ 4. Вырезание отверстия в замкнутой поверхности
227
переменную, можно добиться также, чтобы ак(д1) = 0 для &>2. Логариф-
Логарифмируя обе части равенства G.4.2), получим
-т]J+..., G.4.3)
где- Ь0 = \паг,л Ь1 = а2/а1, Ь2 = Bа1а3 — а1)/а1 и т. д. Дифференцируя
действительную часть выражения G.4.3) дважды по переменному д,
полагая д~д±, р^Сг и принимая во внимание, что Ь^(дг) = О для
получим соотношения:
0о; р> Ро) 1
2 дУ(
о
00
о • О (&)•
и д0; р, р0)
Полагая же д —
Щ
в формуле G.4.2), будем иметь
G.4.4)
G.4.5)
— ехр
е2 1
Г2
е4 1
С5
G.4.6)
G.4.7)
Итак, для точек р € Сг имеем
р,Ро)
1
00
G.4.
G.4.9>
Обозначим через $Щ* поверхность Щ — 2) и через С* (/?, ^) ее функцик>
Грина. Рассмотрим функцию
= О* (Р> 9) - е* (Р> %) - G.4. Ю>
Функция Нг регулярно гармонична относительно р на ЯК*. При фиксирован-
фиксированной внутри *Щ* точке ц первые два члена правой части равенства G.4.10)
обращаются в нуль для р € Сх. По теореме Тейлора получим
Ав = - V (р, р0; 9, 9о) + У (Яг> Ро'» 9» Яо) =
I, 0, 0оУ «* . 1 С/ К ^01» Ро> V' 00/
_______ Ц | (у ~~
; д, до)
Э*У @
,
Положим
; Р,
00
1_
1
Не 601)
д?1 Л
Т"
Я> Яо)
; р
Функция 8&, рассматриваемая как функция р, регулярно гармонична на всей
Поверхности Ш* и имеет порядок О(е3) на границе С^ поверхности 5Щ*
Из Принципа максимума заключаем, что §г = О(г3) на всей поверхности
Следовательно, в любой компактной подобласти ЗК* справедливо соотношение
р0; я
г
в3). G.-4Л1)
15*
228 Гл. 7. Вариации поверхностей и их функционалов
Итак,
С* (р, 9) = О* (р, %) + V (р, р0; 9, <70) - V (^, р0; <7,
4г2 Пп (дУ(Яг,ро;д,д^
'> Р> Ро)
1
любой компактной подобласти поверхности $Щ*.
Дифференцируя соотношение G.4.12) по р и ц, получим
G.4.12)
2
ж (р, Я) = ^м (Р, 9) - -|^|я {^м (9, 9х) ^м (р, ^) Ь ^м (9, й) ^м (р, ^)} + о (е2).
G.4.13)
Эту формулу следует сравнить с формулой G.3.14), выведенной для поверх-
поверхностей Щ с краем. Вычисляя периоды выражения G.4.13), получим
*' (р) = 2,1 (р) ~ {2; (д^) Ьп (р, дг) +1'^ (дг) Ьп (р, дг)} + о (е2). G.4.14)
Наконец, в результате вычисления периодов выражения G.4.14) будем иметь
^й ^, у= 1, 2, .. .,2А. G.4.15)
Вариационную формулу для дифференциала ^м(р, 9) получим, заменяя ^ на
в формуле G.4.13).
§ 5. ПРИСОЕДИНЕНИЕ РУЧКИ ПЕРВОГО РОДА К ЗАМКНУТОЙ ПОВЕРХНОСТИ
В предыдущих параграфах были построены вариации, возникающие при
вырезании отверстий в поверхностях. Каждую конечную ориентируемую по-
поверхность с краем или без него можно получить из сферы посредством вы-
вырезания отверстий и присоединения ручек первого рода. Поэтому предста-
представляется желательным изучить вариации, возникающие при присоединении ручек
первого рода. Присоединение ручки' первого рода будет выполнено, подобно
вырезанию отверстия, в некоторой специальной форме. Позднее будет указан
метод, позволяющий произвольным образом варьировать поверхности без из-
изменения их топологического типа. Комбинируя наши вариации, можно будет
перейти от сферы к любой другой конечной ориентируемой римановой поверх-
поверхности заданного конформного типа.
Рассмотрим замкнутую поверхность Ж. Пусть на 5Щ заданы две фиксиро-
фиксированные точки ^1> 92- Используя несущественную параметрическую точку р0,
определим две жордановы кривые с± и с2, окружающие ^x и ц2 соответ-
соответственно, посредством уравнений
Обозначим через V (р, р0; ^1> 9г) аналитическую функцию точки р на поверх-
поверхности ЗК, действительной частью которой является 1/(р, р0; ^ 92)- На кри-
кривых сх и с2 выберем две произвольные точки р[0) и рB°\ Из уравнений G.5.1)
получим формулу
/ G.5.2)
где число а действительно. Отправляясь от точек р[°\ р^\ будем идентифи-
идентифицировать те точки р1^с1 и р2€с2, которые удовлетворяют уравнению
; Яг* ?2) = ^(Р2?Ро; <Ь 92) + 21пт-/а. G.5.3)
Нетрудно видеть, что р2 описывает кривую с2 против часовой стрелки по
отношению к точке д2, когда рг описывает кривую сг по часовой стрелке по
§ 5. Присоединение ручки первого рода к замкнутой поверхности 229
отношению к точке ^1. Обозначим через $Щ* поверхность, полученную посред-
посредством вырезания в окрестностях точек цх, ц2 отверстий, ограниченных со-
соответственно кривыми сг, с2, и последующей идентификации точек с19 с2 в со-
соответствии с правилом G.5.3). Ясно, что поверхность $Щ* образована из Ш
посредством присоединения ручки первого рода. Обозначим соответственно через
Щя (р) и ^* (Р> Ро> Я-* 9о) абелев интеграл третьего рода и функцию Грина
поверхности 9К*.
Докажем теперь общую теорему, полезную во всех рассматриваемых
вариационных проблемах:
Теорема 7.5.1. Обозначим через Щ, и ТО* две замкнутые римановы
поверхности, имеющие общую область Жо- Предположим, что существует
множество К циклов Кч области $Щ0> являющееся канонической базой для
поверхности Ш и могущее быть дополненным до канонической базы для
поверхности $Щ*- Тогда для каждой четверки точек р, р0, <7> 90> принад-
принадлежащих области $Щ0> справедливо соотношение
ч^}. G.5.4)
Здесь через V, V* и 9, 9* обозначены соответственно функции Грина и
интегралы третьего рода для поверхностей Ш и 9Л*.
Доказательство этой теоремы будет проведено классическим методом кон-
контурных интегралов Римана. Выберем в области 9#0 Две фиксированные точки ц
и <7о и соединим их гладкой кривой т€5Ш0- Обозначим через 3 ТУ область,
которая получается из области Що разрезанием последней вдоль циклов К
и -]-. Очевидно, интеграл &чя (р) однозначен в области $. Теорему о выче-
вычетах можно применить следующим образом:
С другой стороны, д^ = дШ0 + К + ^, и некоторые интеграции в фор-
формуле G.5.5) можно выполнить, учитывая известные периоды подинтеграль-
ного выражения. Прежде всего заметим, что значения интеграла 9^ (I) на
двух краях разреза у отличаются на величину 2ш. Вследствие этого ин-
интегрирование по обоим краям разреза дает величину
Интегрирование вдоль циклов К можно выполнить общим методом § 4 гл. 3.
Получим
2Н
Нет надобности вычислять это выражение; достаточно заметить, что инте-
интегралы 9 и 9* имеют, по определению, однозначные действительные части в Що.
Следовательно, периоды этих интегралов чисто мнимы и действительная
часть всего нашего выражения равна нулю. Итак, используя формулу D.2.23),
из равенства G.5.5) получим соотношение
доказывающее теорему.
Другую элегантную формулу можно получить этим же методом для
абелева интеграла (одд (р), характеризующегося тем свойством, что его пе-
230 Гл. 7. Вариации поверхностей и их функционалов
риады вдоль циклов /B^-1 равны нулю. Согласно формуле C.4.7)', этот ин-
интеграл удовлетворяет закону симметрии
(р. Ро'> <7> <70)= °Ч ^ " °Н (^о) = шрр0 (9) ~ шрр0 (%)• G-5-7)
Для функции й? получим следующую формулу, аналогичную формуле G.5.4):
(р, р0; 9, 90) - И7 (Р> Ро"> <7> <7о) =
G-5-8)
Применим теорему 7.5.1 для вычисления функции Грина 1/* поверхности
полученной присоединением ручки первого рода. В этом случае областью
является поверхность ЗК с выкинутыми областями, ограниченными кривыми
и *:2. Итак, справедливо представление
G.5.9)
где интегрирование вдоль кривых сх и с? производится в положительном на-
направлении относительно области 5Щ0. Для вычисления интегралов введем сле-
следующие локальные униформизирующие:
, <72)} Для р в окрестности
, /?0; ^1, 92)} Для Р в окрестности 92
Правило идентификации G.5.3) устанавливает следующее соотношение между
локальными униформизирующими:
^1=^, G.5.11)
где
^«е1-, И |=1. G.5.12)
Наоборот, можно произвольно задать параметр а в формулах G.5.3) или
G.5.12) и определить затем две специальные точки р^ и /?20> на кривых сг
я с2, соответствующие одна другой при идентификации.
Интегрируя в формуле G.5.9) вдоль с19 следует пользоваться унифор-
мизирующей ^1 в выражении й; в выражении же 2* можно пользоваться
униформизирующей С2, так как 9* является аналитической функцией на по-
поверхности $Щ*- Написав
4 • • • , G.5.13)
заменим здесь ^ на С2, согласно соотношению G.5.11). Получим
С1 С1
г2>Л Г 1
^<7<7о(<?1) * 5^ \ Г" ^рр0 + члены» содержащие по крайней мере е4. G.5.14)
Интегрирование вдоль кривой сг следует производить в положительном от-
относительно области 2К0 направлении, т. е. по часовой стрелке. Следовательно,
интегрирование вдоль кривой с2 следует производить против часовой стрелки.
Не обязательно производить интегрирование вдоль кривой с2; для этой цели
пригодна любая кривая, гомологичная с2 и такая, что ни одна из точек р,
р0 не лежит в области, ограниченной этими двумя кривыми. Это показывает,
что второй член правой части формулы G.5.14) имеет порядок О (в2) и оста-
остаточный член имеет порядок О (в4) для точек р и /?0, принадлежащих некото-
некоторой замкнутой подобласти области
§ 5. Присоединение ручки первого рода к замкнутой поверхности 231
Рассмотрим сначала выражение
1ро 2% 3
дпг
С1 С1
Это выражение представляет собой действительную гармоническую функцию
точки р на поверхности $Щ*. При переходе через кривую сг из области 5Ш0
значение этой гармонической функции возрастает скачком на единицу. Функ-
Функция V (р, р0; д, д0) также гармонична, но разрывна на 5Щ*. Ее скачок состав-
составляет 21пе. Предположим, что исходная поверхность УЛ имеет к ручек пер-
первого рода. Тогда можно написать
1т {/2/1-И (Р))= — 0^7 \ "УРРп = 1 • (/.0.10)
^ ^ ° 21п -
1 8
Заметим, что интеграл G.5.14) имеет порядок оA) и что аналогичный ин-
интеграл вдоль кривой с2 стремится к нулю при е—:> 0. Итак, из формулы
G.5.9) получим
G.5.16)
в каждой замкнутой подобласти области 5Щ0. В интеграле формулы G.5.14)
заменим кривую с2 допустимым гомологичным путем у2 в некоторой фикси-
фиксированной замкнутой подобласти области 9Л0; тогда дифференциал йй* можно
заменить в этом интеграле на дифференциал й&. Результат изменится 'при
этом на величину порядка е2, так как Щ'р A) = 2дУ*У, /0; 9» Яо)/д1* Применяя
теперь теорему о вычетах, получим
G.5.17)
Интеграл вдоль кривой с2 вычисляется аналогично. Заметим, что
с, с
2
если интегрирование в обоих случаях производится по часовой стрелке. Фор
мулы G.5.9), G.5.15) и G.5.17) приводят к результату
(р, /V, У, Уо) - V (р, /V, У, 9о) -
21п
;р0 (Яг)}} + о (в2). G.5.18)
Вариацию функции V можно выразить через саму V и ее производные, так
как дифференциал 2^ (^ можно заменить выражением 2<ЭУ(#1, д2\ д, доIдд1.
Получим
(р, р0; ?, <70) = V (р, р0; 9> %) -
21п —
<уа; 9. Уо) дУ (G1, <7г; Р. Ро)
\Р*Ро) ,
G.5.18)'
232 Гл. 7. Вариации поверхностей и их функционалов
Дифференцируя выражение G.5.18)' по ри ц и используя определения
D.2.25) и D.10.1), получим формулу
(р, Я) = ^м (р, д) - ~ 1п 4- 21^1 (р)
ТС с
G.5.19)
где
(р) = -Ц- [9,л (р) - ^,А (р0)]. G.5.20)
Е
Так как из формулы C.4.4) вытекает соотношение
то из формулы G.5.20) получим
; !1. G.5.22)
1п —-
111
Иначе говоря,
\/=1, 2, ... , 2А. G.5.23)
Интересно, что новые периоды Ггл-и^ не зависят от параметра т], т. е.
от того частного способа, которым идентифицированы кривые сг и с2.
Можно также вывести формулы для вариаций других интегралов пер-
первого рода, вычисляя при помощи формулы G.5.18) периоды аналитической
функции, действительной частью которой является функция V. Новую мат-
матрицу периодов Г*7 можно затем получить, рассматривая периоды в вариа-
вариационных уравнениях для интегралов первого рода. Мы не будем заниматься:
этими очевидными выкладками.
§ 6. ПРИСОЕДИНЕНИЕ РУЧКИ ПЕРВОГО РОДА
К ПОВЕРХНОСТИ С КРАЕМ
В предыдущем параграфе была выведена формула для вариации функ-
функции Грина замкнутой поверхности в случае присоединения к этой поверх-
поверхности ручки первого рода. Очевидно, что этот результат позволяет вывести
аналогичную формулу для случая поверхности $Щ с краем. Действительно,
поверхность $Щ такого рода всегда может быть вложена в замкнутую поверх-
ность $ = 9Л + $Щ, являющуюся дублем Щ. Если р и ц — две точки поверх-
поверхности 5Щ, то функцию Грина О(р, ц) можно, согласно формуле D.2.1), запи-
записать в следующей форме:
0{р,д) = \у{р,Р\я,Ф> G.6.1)
где V обозначает функцию Грина дубля $. Вместо того, чтобы рассматри
вать изменение поверхности 5Ш при идентификации точек кривых сг и с2У
можно рассмотреть изменение дубля % при идентификации не только точек
этих двух кривых, но и соответствующих точек их образов сх и с2 на со-
пряженной поверхности §Щ. Вариация такого рода преобразует дубль ^
в некоторую новую замкнутую поверхность $*; вариация V* — V может быть
теперь вычислена при помощи результатов предыдущего параграфа.
§ 6. Присоединение ручки первого рода к поверхности с краем 233
Выберем на поверхности Щ две точки ^ Я 2 и рассмотрим функцию
» <72) = у [V (р, р; 91, 91) - V (р, р; <72, й)] = О (р, ^) - О (р, <7Я). G.6.2)
На поверхности § рассмотрим геометрические места точек, определяемые
уравнениями
= 1п т ' ^(р; ^1» ^) = *п в. G.6.3)
Эти геометрические места состоят из кривых сг и с2 на поверхности Ш и,
так как ^7(р; ^1, 92) ^ ~^(Р» ?1» 9г)» из кривых-образов с2 и сх на поверх-
ности 5Щ. Обозначим через ^(р;<71>92) аналитическую функцию на поверх-
поверхности $, имеющую в качестве действительной части функцию V (р; цх, <72)-
Точки на кривых сх, с2 и сх, с2 будем идентифицировать, как и в преды-
предыдущем параграфе, при помощи следующих соотношений:
т-/а, G.6.3)Л
где т] = ги\
= " (Л*. ?1» ?2) - 2 1п -1 + /а,
G.6.3)"
В предыдущем параграфе был изучен эффект, вызываемый присоедине-
присоединением одной ручки первого рода к замкнутой римановой поверхности. В слу-
случае одновременного присоединения нескольких ручек первого рода можно
провести те же рассуждения, интегрируя вдоль нескольких систем иденти-
идентифицированных кривых, вместо того чтобы интегрировать вдоль кривых одной
системы. Нетрудно убедиться в том, что, с точностью порядка е2, результат
одновременного присоединения нескольких ручек может быть получен сложе-
сложением результатов присоединения отдельных ручек. Итак, при превращении
поверхности $ в поверхность §*, совершаемом в соответствии с формулами
G.6.3)', G.6.3)", изменение функции Грина этой поверхности выражается:
формулой
> Ро> 9» Яо) = у (Р> Ро> 1
21п-
V (Р> А)? 01» ?2) V (Я> Яо\ 7ъ ?а) ■
21п —
8
G<6<4>
■ дУ (Яи Яг\ Я, Яо) дУ (дъ д2; р, р0) ■
, дУ(дъ д2; д, д0) дУ (дъ д2; р, р0) .
д дд2
I дУ(Я1>'яъ Я> Яо) дУ (д19д2; р, ро) 1 | _±-о(е2).
дд2 ■ дд1 ^ /
Эту длинную формулу можно заметно сократить, положив в ней р0 = р
и 9о — 9- При этом необходимо воспользоваться следующими простыми тож-
тождествами:
V (9, ?*, ?1, <72) = - У (9» 9» 91, Я%\ G.6.5)
и
= У{<1\ Ял., ?2)- G-6-6)
234 Гл. 7. Вариации поверхностей и их функционалов
Первое тождество следует из того обстоятельства, что функция V действи-
действительна и антисимметрична. Второе тождество становится очевидным, если
заметить, что функция V (д, д\ цх, 92) является гармонической функцией
точки <7> обращающейся в нуль на краю поверхности 9К и имеющей простые
логарифмические полюсы в точках дх и д%. Тождество G.6.6) можно рас-
рассматривать в качестве обобщения тождества G.6.1). Дифференцируя тож-
тождество G.6.6) по ^1 и ?2> получим
дУ(д19 <72; д, 1) __ дО(д1Уд)
^ G. о. 7)
; д> д) _ дО(д2, д)
дд2
Используя все эти соотношения, из формулы G.6.4) получим
О* (р, д) = О (р, д)-и (р: .
21п
\ +0
Эта формула выражает вариацию функции Грина поверхности с краем, если
присоединение ручки первого рода совершается в соответствии с законом
идентификации G.6.3)':
Дифференцируя формулу G.6.8) по р и ц, получим
(р, 9) = ^м (р, Я) - 4- 1п~4 25^+1 (р) ^
(р, Я±) Ьгл (д, д2) + ^м (р, д2) ^м (9,9Х)] + G.6.9)
(Р, ?1)^м (9, 92) + ^м (р, Я2) Ьгл (9, ^)]} + о (г2).
Здесь положено
Ц и( ) G.6.10)
Ц
21п —
г
Это выражение является новым интегралом первого рода, появившимся
в результате присоединения новой ручки. Действительная часть этого инте-
интеграла является однозначной гармонической функцией на поверхности 9Я*,
изменяющейся скачком на 1 при переходе через цикл с19 совпадающий
в силу идентификации с циклом с2.
Из определения G.6.2) и тождества D.3.1)' следует равенство
ЙV 11 ^A) - 1т
1п —
8 G.6.11)
^ 1, 2, ..., 2А + /И—1.
Иначе говоря,
1пТ G.6.12)
V = 1, 2, ..., 2/г + т — 1.
Следовательно, вычисляя периоды выражения G.6.9), получим выражение
G.6.13)
о (г2).
§ 7. Заклеивание отверстия листом Мёбиуса 235
Наконец, вычисляя периоды выражения G.6.13), получим
V 1т {*„ Ы - I» (?2)}- 1т
1пТ" G.6.14)
4 (?,) + 2; (?,) 2; (91)]} + о (««).
Итак, получены вариационные формулы для принадлежащих поверхности ЯК
дифференциалов.
§ 7. ЗАКЛЕИВАНИЕ ОТВЕРСТИЯ ЛИСТОМ МЁБИУСА
Для полноты изложения построим теперь вариацию, возникающую при
заклеивании листом Мёбиуса отверстий в поверхности ЯК. Тем самым будут
созданы все возможности для перехода посредством бесконечно малых шагов
от сферы к любой, ориентируемой или неориентируемой, конечной римановой
поверхности. Напомним, что любая неориентируемая поверхность имеет
однозначную функцию Грина, определенную формулой D.2.31).
Пусть ЯК — некоторая поверхность (ориентируемая или неориентируемая),
имеющая однозначную функцию Грина О(р, 9)- Если ЯК замкнута и неориен-
тируема, то она не имеет однозначной функции Грина. Для упрощения
изложения мы исключаем этот случай. Следует, однако, заметить, что и этот
исключительный случай поддается той же трактовке; необходимо только
принять меры для точного определения ветвей функции Грина.
Метод заклеивания отверстия листом Мёбиуса тесно примыкает к пре-
предыдущему методу, основанному на теореме 7.5.1. Однако, вместо того
чтобы работать с аналитическими функциями 2/?/?0@> нужно обратиться
к однозначной функции Грина на поверхности и вместо теоремы Коши поль-
пользоваться формулой Грина. Функция Грина будет также применена для того,
чтобы определить инвариантным образом те кривые на поверхности ЯК, при
помощи которых совершается заклеивание отверстий листом Мёбиуса. Для
достаточно малых е, е > 0, линия уровня
7 G.7.1)
будет жордановой кривой с, ограничивающей некоторую подобласть на ЯК,
содержащую точку ^1. Для точек р, находящихся в окрестности ц^ положим
С = ехр { — Г (р, ^1)}« G.7.2)
Через Т (р, д±) здесь обозначена аналитическая функция, действительной
частью которой является функция Грина. Образом кривой с в С-плоскости
служит окружность | С | = е. Удалив из поверхности ЯК область, ограничен-
ограниченную кривой с, и идентифицировав точку С Р с с точкой — е2/^, получим новую
поверхность ЯК* с заклеенным листом Мёбиуса отверстием. Заметим, что
эта идентификация устанавливается посредством некоторого конформного
отображения второго рода. Если ^±, С2 —паРа идентифицированных точек
кривой с, то
G.7.3)
е2 „ 82
Эта пара идентифицированных точек 2^, С2 порождает едийственную точку
поверхности ЯК*. Желая построить униформизирующую в этой точке, обоз-
обозначим через Ых и Ы2 полуокрестности соответственно точек Сх и С2> лежащие
в области, внешней относительно с, и положим
С для С 6
I =
— -=- ДЛЯ
236 Гл. 7. Вариации поверхностей и их функционалов
В плоскости переменной I эти полуокрестности склеются вместе и образуют
полную окрестность; переменная I является, таким образом, искомой уни-
формизирующей.
Через д/дп обозначим дифференцирование по нормали, направленной
в область, внешнюю относительно окружности с. Если гг, г2 — пара иденти-
идентифицированных точек на с с координатами соответственно ^г, Сг> т0 справед-
справедливы следующие соотношения:
и
G.7.6)
Предположим сначала, что Ш является неориентируемой поверхностью
с краем. Через О* (р, ^) обозначим однозначную функцию Грина поверхности
2Л*, определенную при помощи четырехлистной поверхности наложения (см.
§ 2 гл. 4). Тогда
. G.7.7)
Обозначив через сг верхнюю полуокружность окружности с и через с2 —
нижнюю, из формул G.7Л) получим равенство
Щ^\ ^ G.7.8)
Применяя к поверхности Ж*, разрезанной вдоль цикла с, формулу Грина
и используя формулы G.7.6) и G.7.7), получим соотношение
С* (р, V) - О (р, <7) =
G* (г п) д0 (Г1'
с G 7 9)
дО*(г2,р) 1 ^ • • '
Разлагая функцию О (г, ^) в ряд в окрестности точки д±, получим
О(г, д) = О(Я1, 0 + 2Ке {^О|^-С + 4- ^Й' 9) С2+ • • •} • G.7.10)
__
В ряде G.7.10) положим С = Сх= ~е2/^2 и подставим этот ряд в формулу
G.7.9). Опуская индекс 2, получим выражение
О* (р, 9) - О (р, д) =
ад)
Г
с
й7~-12Ке1 ~
Второй член правой части равен нулю по формуле G.7.8). Чтобы оценить
первый член, обозначим через с' окружность |^| = <х, где а — положительное
§ 7. Заклеивание отверстия листом Мёбиуса 237
число, не зависящее от е, а > г. Из формулы Грина и соотношения G.7.11)
получим
с'
д/г.
Г Г а , 1 , Г 1 ^^Р)Ы |Л/4\
\ (/(/-, р)-д- 1п -1-Етг — 1п ( тту ) —^—— с?5 X +О(г4) =
} I. к'г'дп |„| VI С! У аг ] ] ч '
Следовательно, справедливо соотношение
О* (р, д)-О(р, 9) = -Ке |4е2 а°^д' р) а0(^' 9) } +0(е«). G.7.12)
Формула G.7.12) доставляет асимптотическое выражение новой функции
Грина О* (/?, 9) через исходную функцию Грина и ее производные. Во всех
вариационных формулах конечный результат имеет такой вид. Однако общий
метод получения этих формул несколько иной: сначала выводится точное
интегро-дифференциальное уравнение, связывающее новую и старую функции
Грина, а затем в некоторых местах функция С* заменяется на функцию С.
Последняя операция вводит небольшую ошибку, но зато делает результат
более пригодным для приложений. Теперь мы заменим асимптотическую
формулу G.7.12) точным интегральным уравнением для функции 0*(р, ^)-
Для получения такой формулы возвратимся к уравнению G.7.9). Из
формулы G.7.8) получим
о*(Р, <?)_с(р,9) = ^5 [°*(г' р)щ;(°(г' я)-О(д1, я))-
= G-7-13)
дв*{г' р)
где
А (г, д)^О(г9д)-О(д1, я). G.7.14)
Положим
Т* (г, р) = О* (г, р) 4- 1Н* (г, р), (у ? 15)
^(г, д) = Т(г, Я)-Т{ди д) = Д(г, д) + Ы(г, д).
Тогда
О* (р, д) - О (р, д) = - ~ ^ [О* (г, р) с?У (г, д)-А (г, д)ОН* {г, р)}. G.7.16)
2те
с
238 Гл. 7. Вариации поверхностей и их функционалов
В этой формуле интегрирование вдоль кривой с производится по часовой
стрелке. Из формулы G.7.8) получим
G.7.17)
Выполняя теперь интегрирование по частям, найдем
в* (р, д)-о(р,д)=-^-^ [о* (г, Р) си (г, д) + н* (г, Р)аа (г, <?)] =
= Ке {-^- $ [О* (г, р)(КЦг, ф + Ш* (г, р)йС1{г, <?)]} = G.7.18)
С
Т* <г' Р) а® {г> 9)} = ^е {-^г \ <2 (г, <?) йТ* (г,
С
Итак,
{^$}. G.7.19)
Предположим теперь, что С* (р, ^) является функцией Грина поверх-
поверхности 9#*, определенной при помощи дубля. В этом случае поверхность $Щ
может либо быть замкнутой, либо иметь край. Вместо соотношений G.7'.7)
получим следующие:
^ иг^Р)^^0 (Г1» Р)» ^га—2 = ^^—^ 1?
где гх, г2 обозначают идентифицированные точки кривой с. Функция С* (р,
не однозначна на 5Ш*; однако на поверхности $Щ*, разрезанной вдоль кривой с
эта функция будет однозначной. Положим
Вместо тождества / (р) = 0 имеет место следующее соотношение:
. G.7.8^
Действительно, если точка р лежит на кривой с, то функция О* (г, р) имеет
логарифмические полюсы не только в р, но и в р€с. Пусть кривая с ориен-
ориентирована таким образом, что внешняя область находится налево от нее, и
пусть точки р'', р" лежат на противоположных краях разреза с: точка р' на
левой стороне и точка р" на правой. Тогда точки р'', /?" лежат соответст-
соответственно на правой и на левой сторонах разреза с. Справедливо соотношение
/7 7 9П
' G.7.21)
где через к, к обозначены маленькие окружности, окружающие соответственна
точки р — р' — р", р. В интеграле вдоль к производная берется в направление
внешней нормали; в интеграле вдоль к производная берется в противополож-
противоположном направлении. Следовательно,
') = [(р»)-2. G.7.22)
Заставим теперь р приближаться к точке г^с снаружи. Тогда р будет
приближаться к идентифицированной точкег2€с изнутри. Отсюда
§ 8. Присоединение клетки. Первый метод 239
Если же значение интеграла I (г2) получено при приближении к точке гг
с наружной стороны кривой с, то из формулы G.7.22) следует соотношение
1(^ + 1(^)^2. G.7.23)
Из формул G.7.1) и G.7.2) получим
д0
G 7 94 \
^я^(/./.24)
Следовательно, положив
и (р) = / (р) - °(<?х: р) , G.7.25)
1п —
найдем
и {Г1) + и (г,) = 0, -^- ^2 = -^- ^. G.7.26)
Применим формулу Грина к поверхности ЯК*, разрезанной вдоль кривой с,
и заметим, что обе функции и(р) и С* (р, ^) обращаются в нуль для точек р%
лежащих на краю ЯК*- Принимая во внимание формулы G.7.7)' и G.7.26),
получим тождество
дО*(г, а)
1 С
эквивалентное тождеству G.7.8)'.
Применяя формулу Грина и принимая во внимание формулы G.7.6) и
G.7.7)', получим уравнение
(р, д) - О (р, д) =
G.7.28)
Подставляя сюда ряд G.7.10) с С = Сх = — е2/С2 и опуская индекс 2, при
помощи формулы G.7.8)' получим уравнение
О* (р, д) - О (р, д) =
с
\ а?! »" 2 а?! ^ ~ " - ' \ )
до* (л р)
Если знак функции О* (р, ^) выбран подходящим образом, то рассуждая
так же, как при выводе формулы G.7.12), получим формулу
, р)О(дг,д) , РоГ/|г2 дО(д1,р) дО(д19д)
Ро|г
_|п.0(е). G.7.29)
е
§ 8. ВНУТРЕННЯЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРИ ПРИСОЕДИНЕНИИ КЛЕТКИ.
ПЕРВЫЙ МЕТОД
Чтобы компенсировать специальную природу предыдущих вариаций,
выполним теперь некоторую внутреннюю деформацию общего типа, возникаю-
возникающую при «присоединении клетки» к поверхности 9К. В остающейся части этой
240 Гл. 7. Вариации поверхностей и их функционалов
главы будем ради простоты предполагать поверхность Щ ориентируемой.
Пусть 7~ некоторая аналитическая жорданова кривая на $Щ. Для упрощения
обозначений предположим также, хотя эта гипотеза и несущественна, что у
лежит в области пригодности некоторой локальной униформизирующей г.
Через г (г) обозначим некоторую регулярную аналитическую функцию в зам-
замкнутой окрестности кривой у. Для достаточно малого положительного г
точка г + ег (г) описывает соседнюю жорданову кривую уе, когда точка г
описывает кривую у. Пусть 9#' обозначает ту подобласть поверхности 9Л,
которая является областью, внешней относительно кривой у; область, внут-
внутреннюю относительно кривой уе, обозначим через ЗОД". Вообще говоря, об-
области $Щ' и Ш' имеют непустое пересечение. Присоединим поверхность $Щ"
к ЗДГ, идентифицировав точки г на внешнем крае кривой ? с точками
г-г ъг(г) на внутреннем крае кривой уе. Итак, результирующая поверхность Щ*
получена из $Щ посредством удаления области, ограниченной кривой у,
с последующим заполнением образовавшегося отверстия куском поверхности,
ограниченным кривой уе.
Это построение поверхности $Щ* выполнено при помощи специальной
униформизирующей 2. При переходе к другой униформизирующей т будем
иметь
т(г + ег(г)) = 'с + ерв('с), т = т(г). G.8.1)
Дуги у, 7е переходят в плоскости переменной т в дуги у, ^ и точка
идентифицируется с точкой т-)-ере(^N уе. Заметим, что
. ' G-8.2)
где
Ро (х) = г (г) рг . G.8.3)
Итак, в пределе при г—>0 функция г (г) преобразуется как обратный диф-
дифференциал.
Предположим сначала поверхность Ш замкнутой. В этом случае поверх-
поверхность 9К* также будет замкнута и обе поверхности будут иметь общую
область Ш'', внешнюю по отношению к кривой у. Обозначим опять интегралы
третьего рода поверхностей $Щ и 9К* через 0>дд (р) и &^д (р) и соответству-
соответствующие функции Грина через V"(р, р0; щу ?0) и 1/*(р, р0; цу 90)« Вариацию функ-
функции Грина при рассматриваемой деформации определим при помощи теоремы
7.5.1. Обозначим через р, р0, ц, ^0 четверку точек, лежащих в фиксирован-
фиксированной замкнутой подобласти области $Щ'. Тогда
V* (Р, р0; Я, д0) - V (р, Ро; д, д0) = Ке {^. ^ 9„о (/) ^2*Ро @ }. G.8.4)
Рассмотрим теперь область Щ"> внутреннюю по отношению к кривой уе.
В этой области обе функции 2^ (/) и &рР (/) регулярно аналитичны, так
как для достаточно малых г их полюсы находятся вне $Щ". Следовательно,
по теореме Коши,
Вследствие идентификации кривых уе и у на 9К*, для точек ^6 Те и
/ / (/) имеем
§ #. Присоединение клетки. Первый метод241
Заменяя переменную интегрирования 1Х в интеграле G.8.5) на / и вычитая
равенство G.8.5) из равенства G.8.4), получим
V* (Р> ро\ Яг, Чо) - V (р, р0; д, ?0) =
Так как все функции под знаком интеграла аналитические, то интегрирование
вдоль кривой у можно заменить интегрированием вдоль некоторой фиксиро-
фиксированной кривой 7о> лежащей в области УЛ' и не окружающей ни одной из
точек р, р0, ц, #0- Очевидно, что на у0 имеем соотношение
Итак, разность V* — V будет иметь порядок О (в) для точек р, р0, д, д0
принадлежащих выбранной замкнутой подобласти области ЗЛ'. Кроме того,
@ = 2 ^У* (*,*„; р,р0). G.8.7)
Следовательно, разность 2* —2' также имеет порядок О (в) в нашей под-
подобласти. Из формулы G.8.6) имеем
V* (р. Ро\ ?, <70) - V (р, р0; <?, ?о) =
G.8.8)
Используя формулу G.8.7), этому результату можно придать окончательную
форму
V* (р, р0; ?»?о) - V (р, р0; ?»?о) =■
}. G.8.9)
Полученная формула является нашим основным результатом в теории
вариаций, возникающих при присоединении клетки. Вариационные формулы
для всех других функций и дифференциалов легко выводятся из этой. Диф-
Дифференцируя соотношение G.8.9) по р и ^, получим
(р, <7) — ^м (р, Я) = 5Г ^ г @ ^м (*, р) ^м (^, 9) (И +
G.8.10)
Вычисляя обычным способом периоды, получим следующие формулы:
г*' (д) - 2; (д) = ^ 5 г {I) 2^ {{) 1п (I, д)
G.8.11)
и.
= - ^ ^ г
1
G-8Л2>
16 Заказ № 634
242 Гл. 7. Вариации поверхностей и их функционалов
Можно избавиться от интегралов в вариационных формулах, выбрав в
качестве функции /* (г) аналитическую внутри кривой у функцию, имеющую
единственный простой полюс Яо с вычетом а/п. В этом случае все интегралы
вычисляются при помощи теоремы о вычетах, и мы получаем следующие
формулы:
^ (р, я) = и (р, Я) - е [аЬж (р, </о) ^м (<7, Яо)
(р, Яо) ^м (<7, д0)] + ° E
2*' (д) = 2,1 (9) - в [а2^ (я0) ^м (<7, <70)
, + 2в Ке {аг;х (д0) 2^ (%)} + О (в2). G.8.15)
В этих формулах г (г) следует рассматривать как обратный дифферен-
дифференциал. Действительно, при замене униформизирующей значение а преобра-
преобразуется таким образом, что выражение а\Лг\ остается инвариантным.
Рассмотрим теперь случай поверхности Ш с краем. Вложим 5Щ в замк-
нутую поверхность ^ = ^Ц-{-^л. Деформация поверхности $Щ, связанная с
присоединением клетки, порождает деформацию дубля 55, при которой ана-
аналогичная клетка присоединяется у кривой у, сопряженной кривой у. Вместо
функции гA) у этой кривой следует пользоваться функцией (/'(ОГ- Наша
деформация преобразует области Ш и Ш в две области 9К* и 9К*, перехо-
переходящие одна в другую при ~ -операции. Нетрудно вычислить вариацию функ-
функции Грина О поверхности $Ш при рассматриваемой деформации. Воспользу-
Воспользуемся формулами G.6.1) и G.6.6) и заметим, что интегралы вдоль кривых у
и у в вариационной формуле G.8.9) равны. Получим
^Ц^} G.8.16)
т
Из этой формулы можно опять вывести вариационные формулы для вели-
величин 2^ и Г^. Простое вычисление показывает, что мы получим формулы
G.8.10) — G.8.15) точно так же, как и в случае замкнутой поверхности.
В § 5 гл. 7 была рассмотрена функция 1^(р, р0; 9»%)» играющая цен-
центральную роль в теории тех абелевых интегралов на поверхности, которые
удовлетворяют условиям риманового нормирования: периоды едоль циклов
/С2^_1 должны равняться нулю. Применим формулу G.5.8), сравнивающую
функции Н?* и 1^, для случая замкнутой поверхности 5Ш, подвергнутой
вышеописанной деформации присоединения клетки. Простое вычисление при-
приводит к результату
(Р, Ро; 9, <70) ~
.Л; я,
где знак ' над 1^ обозначает дифференцирование по /.
При специальном выборе в качестве г (/) аналитической внутри кривой у
функции, имеющей единственный полюс в точке г с вычетом а, получим формулу
(Р, Ро; Я, Яо) = ^ (р, р0;
где г0 обозначает произвольную (несущественную) точку. Простое вариацион-
вариационное поведение делает функцию # (р, р0; д, %) полезным орудием при изуче-
изучении замкнутых римановых поверхностей и соотношений между их различными
дифференциалами и периодами.
§ 9. Присоединение клетки. Второй метод 24сГ
§ 9. ВНУТРЕННЯЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРИ ПРИСОЕДИНЕНИИ КЛЕТКИ.
ВТОРОЙ МЕТОД
Несколько иную вариацию получим в том случае, когда у обозначает не
жорданову кривую, а некоторую аналитическую дугу, соединяющую точки а,
Р поверхности $Щ. Предположим, что дуга у лежит в области пригодности
локальной униформизирующей г и что функция г (г) регулярно аналитична
в полной окрестности у, причем г(а) = г(Р) = 0. При достаточно малом поло-
положительном е точка г-\ гг (г) описывает близкую дугу уе, соединяющую точки а
и р. Дуги -]- и Тв ПУСТЬ будут ориентированы в направлении от а к р. Через
обозначим область, «лежащую над» поверхностью Ш и ограниченную краем
(если таковой имеется), левым краем дуги у и правым краем дуги уе. Вообще
говоря, область $Щ' не является подобластью поверхности $Щ, так как над
некоторыми точками $Щ в окрестности дуги у могут лежать по две точки $Щ'.
Идентифицируя точку г на левом краю дуги у с точкой 2-г ег(г) на правом
краю дуги 7е, получим поверхность 9Л*, топологически эквивалентную $Щ.
Пусть р', р" —пара идентифицированных точек, причем р' является
внутренней точкой дуги у, лежащей на ее левом краю, а р" является точ-
точкой, лежащей на правом краю дуги уе. Пусть Л/', Л/" обозначают соответ-
соответственно полуокрестности точек р', р", причем Л/' лежит налево от дуги
и Л/" —направо от дуги уе. Положим
для
для
В плоскости переменной ^ наши полуокрестности склеиваются и образуют
полную окрестность. Следовательно, переменная I пригодна в качестве уни-
униформизирующей в тех парах идентифицированных точек, которые соответ-
соответствуют внутренним точкам дуг у, у8. Полная окрестность точки а на по-
поверхности *Щ* может быть конформно отображена на внутренность круга;
это следует из теоремы об униформизации. Тот факт, что точка а отобража-
отображается в точку, а не в совершенный континуум, доказывается легко (доказа-
(доказательство см. в [8]). Следовательно, $Ш* является римановой поверхностью,
топологически эквивалентной поверхности $Щ-
Предположим сначала, что поверхность 2К замкнута. Используя теорему
7.5.1, получим уравнение
р0; ?, ?0) = Ке {^ 5 °«0{*)*арр0{*)}> G.9.1)
где р, р0, 9» 9о обозначают четверку точек, лежащих в некоторой замкнутой
подобласти поверхности $Ш, не содержащей дуг у и 7е> а То обозначает не-
некоторую кривую, окружающую дуги у и уе. Оба интеграла 2^ (/) и
ЙрР @ регулярно аналитичны в той части области ЭК', которая лежит внутри
кривой 70. Следовательно, путь интегрирования в формуле G.9Л) можно де-
деформировать, приняв вместо кривой ?о границу 2й', т.е. кривую т~~
Вследствие идентификации на поверхности $Щ* имеем
Итак, формулу G.9.1) можно представить в следующей форм$:
V* (Р, Ро'» 9» ?о) - У (Р» Ре'» ^7» Чо) =
т
Эта формула точно соответствует формуле G.8.6). Интегрирование адееь про-
производится вдоль левого края кривой 7. Путь интегрирования ? можно де-
16*
244 Гл. 7. Вариации поверхностей и их функционалов
формировать в некоторую другую дугу ?1» соединяющую точки а и р, но рас-
расположенную иным образом налево от дуги 7- Можно показать (см. [8]), что
при новом интегрировании дифференциал й2*р можно заменить на дифферен-
дифференциал A&рр с ошибкой порядка оA). Следовательно, формула G.9.3) при-
принимает вид
(р, ро\ Я, <70) - у (Р> Р0; <7> Яо) =
Итак, получена формула, формально совпадающая с формулой предыдущего
параграфа для жордановой кривой у. Рассуждения, полностью аналогичные
рассуждениям § 8 гл. 7, позволяют теперь получить все остальные резуль-
результаты предыдущего параграфа. Формулы G.8.9)— G.8.15) остаются справедли-
справедливыми и для случая дуги
§ 10. ВАРИАЦИОННОЕ ЯДРО
Для построения некоторых последующих вариаций необходимо ввести
функционал поверхности п(р, ц), преобразующийся как обратный дифферен-
дифференциал по р и как квадратичный дифференциал по ц и имеющий простой по-
полюс по р вблизи точки <7 (см. [Юа]).Этот функционал мы назовем вариацион-
вариационным ядром, вследствие той важной роли, которую он играет в вариационной
теории.
Определим сначала вариационное ядро для четырех ориентируемых по-
поверхностей, алгебраический род О которых равен 0 или 1. Это будут сфера,
клетка (односвязная область), кольцевая область и тор; Род первых трех
поверхностей равен нулю, и, следовательно, они могут быть отображены на
плоские канонические области: полную плоскость, единичный круг и круго-
круговое кольцо.
Существует шести-параметрическая группа отображений замкнутой ^-пло-
^-плоскости на себя. Это совокупность всех преобразований вида
+ Ь ай__ЪсфОл G.10.1)
сщ + й
Пусть фуйкция хю (р) осуществляет конформное отображение абстрактной
сферы на замкнутую комплексную плоскость. Мы будем выражать вариа-
вариационное ядро п(р, 9) через комплексную функцию ха)(р), определенную на
абстрактной сфере. Обозначим через % произвольную фиксированную точку
абстрактной сферы и положим
К Ш2
ха>' (р) "
Заметим, что так определенное ядро п (р, ^) является обратным дифферен-
дифференциалом пор и квадратичным дифференциалом по ц. При р = ц это ядро имеет
простой полюс с вычетом + 1, если переменные р и <7 выражены в одной и
той же локальной системе координат.
Правая часть формулы G.10.2) формально остается инвариантной при
преобразованиях вида G.10.1). Итак, функция п(р,ц) не зависит от спе-
специального выбора отображающей функции хю(р), а зависит только от "Пара-
"Параметра <70- Выбирая параметр <70 так, чтобы ш (<70) = °°, придадим формуле G.10.2)
особенно простой вид
[7?]2 - GЛ0.2)'
§ 10. Вариационное ядро 245
Рассмотрим теперь случай клетки. Существует функция ы)(р), отобража-
отображающая абстрактную клетку на единичный круг комплексной плоскости. Каж-
Каждая функция вида
?1 (р) « & ^± , G.10.3)
где число X действительно, а |доо| < 1, также отображает нашу клетку на
ту же самую область. Для того чтобы фиксировать отображение единственным
образом, выберем произвольную фиксированную точку д0 на произвольной
клетке и потребуем выполнения равенства хл)(до) — О. Если известна функ-
функция хю(д), осуществляющая отображение абстрактной клетки на единичный
круг, такое, что №(до) = ы>о фО, то каждое линейное преобразование типа
G.10.3) приводит к другой отображающей функции, обладающей требуемой
нормализацией ы)(до) = О. Для нормированной указанным образом отобража-
отображающей функции положим
' (Я)]2 п ю л\
' (р) ' ^ " ш"^
Заметим, что ядро п (р, д) действительно, если обе точки р и ^ лежат
на краю клетки и если граничные униформизирующие используются в каче-
качестве координат точек р и ?. Очевидна та важная роль, которую играет про-
произвольно выбранная точка д0 в аналитическом представлении вариационного
ядра.
Пусть задана некоторая абстрактная кольцевая область. Существует
функция ш(р), отображающая это кольцо на круговую кольцевую область
^ < | № | < 1, Р- > 0, где рГ1 является модулем кольца. Существует бесконечно
много таких отображающих функций, но все они связаны между собой фор-
формулами преобразования вида ш1 = е1кш (\ действительно) и 0^ = ^/0;. Построе-
Построение вариационного ядра произведем следующим образом. Через ^{ш) обозна-
обозначим С-функцию Вейерштрасса, соответствующую периодам 2ш1, 2ш2, где ш1
действительно, а (о2 чисто мнимо. Пусть числа ш связаны с модулем р сле-
следующей формулой:
ТС1 —-
Н. = е и>1. G.10.5)
Таким образом, числа шг и <о2 определены с точностью до постоянного дей-
действительного множителя. Пользуясь обычными обозначениями, положим
G.10.6)
Вариационное ядро определяется следующим образом:
п(р, д) = —-. < ч ( •—. т . ч ] —. ш—г-г У - т , ч12 ,( ч . (/-Ш./)
Действительно, функция п(ру ^) имеет простой полюс при р = <7, и если °Дна
и та же униформизирующая используется для р и ? р окрестности точки <7>
вычет при р = д равен + 1. Если ряд лежат на одном и том же компо-
компоненте края кольца, то функция \п[ш (р)/ш(д)] принимает чисто мнимые зна-
значения, и, следовательно, выражение в скобках в формуле G.10.7) действи-
действительно. Если используются граничные униформизирующие, то и все выраже-
выражение будет действительно. Наконец, предположим, что точки р и д лежат на
различных компонентах края и что | хю (р)/ш (д) | = |л. Используя условие G.10.5),
можем написать
а ш ()
ш
где через /? (р, д) обозначено действительное число, зависящее от р и д. Сле-
Следует заметить, что число ш2 чисто мнимо и что выражение в скобках в фор-
246 Гл. 7. Вариации поверхностей и их функционалов
муле G.10.7) уже не будет действительным. Используя одну теорему тео-
теории ^эллиптических функций, получим
С (* ± *,) = С (*) ± ч, G.10.8)
(см. [6], формула ХП5), где функция ^2(г) действительна для действитель-
действительных значений ее аргумента. Следовательно, выражение в скобках в формуле
G.10.7) можно преобразовать следующим образом:
^ ^ G-10.9)
Воспользовавшись соотношением Лежандра
711
найдем, что мнимая часть выражения G.10.9) постоянна и равна — ч
Итак, используя граничные униформизирующие, выбранные так, что хю'1хю = 1
на краю, устанавливаем постоянство мнимой части функции п(р, д) для то-
точек ряд, лежащих на различных компонентах края.
В случае единичного круга и кругового кольца функция п (р, д)
является по существу комплексным ядром Пуассона. Для простоты положим
хю (р) = г, и пусть и (т) будет действительной непрерывной функцией на гра-
границе С единичного круга. Тогда аналитическая в области |г|<1 функ-
функция 2(г), действительная часть которой равна и (т) на окружности |г| = 1,
представима формулой
(г) = - ± \и (т) п (г, т) т йч + 1К, G.10.10)
С
где К — произвольная действительная постоянная. В случае кругового кольца
обозначим через и(ч) действительную функцию, определенную на границе С
кольца и удовлетворяющую условию
G.10.11)
Тогда однозначная аналитическая функция ^ (г) в кольце р. < | г \ < 1, дей-
действительная часть которой принимает на границе заданные значения, выра-
выразится формулой (формула Вилла):
и(*)~ + 1К, 1т/С = 0. G.10.12)
С I т 1=ц
Наконец, вычислим вариационное ядро для тора. Тор нельзя отобразить
на подобласть сферы, так как род его равен 1. Однако универсальная по-
поверхность наложения тора односвязна и может быть конформно отображена
на комплексную плоскость с выкинутой бесконечно удаленной точкой. Пусть
функция хю(р) осуществляет это конформное отображение универсальной по-
поверхности наложения на оу-плоскость. Однозначные функции на торе пере-
переходят в эллиптические функции переменной т. Периоды этих функций обо-
обозначим через 2(ох и 2(о2. Однако в общем случае несимметричного тора отно-
отношение периодов может не быть чисто мнимым. Обозначим через р0 и
произвольно фиксированные точки тора и положим
G.10.13)
Заметим, что выражение в скобках однозначно на торе. Ясно также, что
функция п(р,д) имеет простой полюс при р — д с вычетом +1, если одна
§ 10, Вариационное ядро
247
и та же униформизирующая используется в точках р и д. Кроме того, эта
функция имеет фиксированные полюсы при р = д0 и <7 = р0.
В общем случае, когда алгебраический род О превосходит единицу,
имеется по крайней мере два линейно независимых всюду конечных диф-
дифференциала 2^(р), 2'2(р) (линейная независимость понимается в комплексном
смысле). Положим
Л (р, <?) =
2'Лр)
G.10.14)
Это выражение представляет собой всюду конечный билинейный дифферен-
дифференциал поверхности Ш, обращающийся в нуль при р = д-
Положим далее
'" ' \ G.10.15)
Так как 2(р) = 2(р), то эта функция принадлежит поверхности
2 гл. 2. Дифференцируя эту функцию, получим
A2 {Р)
Л (р)
в смысле
G.10.16)
где
Ог2 йг
йг
G.10.17)
и переменная г является униформизирующей в точке р. Так как дифферен-
дифференциалы &2,(р), [с122(р)]2> инвариантны, то будет инвариантно'и выражение
Лиг3, которое, следовательно, является принадлежащим поверхности ТО всюду
конечным кубичным дифференциалом (дифференциалом размерности 3).
Для поверхности, алгебраический род которой превосходит 1, полагаем
G.10.18)
Если
имеет край, то
п (р, 7) 0-Р V п(р, д)
йг
Ог
G.10.19)
где г и т являются соответственно униформизирующими в точках р и д. В
этом смысле выражение п (р, д) с1т:21с1г является принадлежащим поверхности
5Щ дифференциалом, обратным по р и квадратичным по д. Пусть точки р
и д близки одна к другой и I является униформизирующей в некоторой
окрестности, содержащей р и д. Считая точку р переменной, получим раз-
разложение
п (р, д) 01% __ 1 0*1
G.10.20)
регулярные члены
Главная часть этого выражения остается инвариантной, если р и д выражены
при помощи одной и той же униформизирующей.
Кроме особенности при р = д, имеются полюсы в тех точках, где опре-
определитель А (р) обращается в нуль. Пусть рк—одна из таких точек. Если
точка рк является простым полюсом определителя Д(р), то
, д)
> д)
G.10.21)
248 Гл. 7. Вариации поверхностей и их функционалов
где г = г(р) и г(рк) — О. Важно заметить, что коэффициент при 1/г является
квадратичным дифференциалом относительно д. Положим
<2ь (р) = тг и (рн, р) А (рк, р). G.10.22)
Так как
А (рн, Р)
др
рк
G.10.23)
то дифференциал ($к всюду конечен. Заметим, что имеет место (символиче-
(символически) более общее соотношение
д ' д^П д А ' ч йП Л ' ч G.10.24)
д=р
Предположим теперь, что определитель А (р) имеет нуль порядка X.
в точке Ръ^Шу и пусть г является униформизирующей в точке рк9 г(рк) = 0-
Тогда
оо
, 9)=4-2
Если точка ц не приближается к рк, то, по теореме о вычетах,
где с обозначает небольшую окружность вокруг точки рк. Отсюда видно,
что выражение Л7 (^) является квадратичным дифференциалом относительно у
точно так же, как и функция п(р,д) относительно ц. Остается изучить
поведение выражения Л7 (^) в точке рк. Предположим, что ц лежит в окрест-
окрестности точки рк, и положим т = г(<7). Пусть К — контур, лежащий в области
пригодности униформизирующей г и заключающий внутри себя* из полюсов-
функций п(руд) только точки рк и ^. Для 0<7<Х— 1 получим
G.10.25)
Заставляя ц стремиться к точке рк, найдем, что функция А^(д) остается
конечной и
(рк) = ^[п(рурк) 2^-1 аг9 0 < V < X - 1, G.10,26)
к
гак как г(рк)~О. Итак, в окрестности точки рк€Ш> в которой определи-
определитель Д(р) имеет нуль порядка X, Х>1, справедливо следующее разложение:
А Л (П\ А ч I I] I
п (ру д) = °™' -|—^-^- -|-... ■+- регулярные члены, G.10,27)
где выражения А0(д)у А1(д)у ..., ЛХ-1 (д) являются всюду конечными ква-
квадратичными дифференциалами на поверхности $0Ь
Сумма кратностей нулей определителя А(р) на дубле $ поверхности 5Щ
определяется формулой C.5.1)':
т > 0. G.10.28)
Здесь через С обозначен алгебраический род. В случае т = 0 дубль состоит
из двух компонентов, на каждом из которых
огс! (А Лг3) = 6Н - 6.
§ 11. Тождества^ которым удовлетворяет вариационное ядро 249
Если О > 1, то из соотношений C.7.1) и C.7.2) получим
с = 6й+3/и-6, G.10.29)
где а обозначает размерность пространства всех классов конформно экви-
эквивалентных конечных римановых поверхностей. Итак,
О> 1. G.10.30)
Пользуясь формулой C.8.5), можно это соотношение записать так:
О> 1. G.10.31)
Число коэффициентов главных частей разложений функции п(р, #) вблизи
нулей определителя А (р) равно огсЦД^г3), и эти коэффициенты являются
квадратичными дифференциалами. Формула G.10.31) показывает, что только
половина этих квадратичных дифференциалов может быть линейно незави-
независимой в комплексном смысле.
Рассматривая выражение п(р, #) как функцию р, видим, что она имеет
один полюс при р = ц и что остальные ее полюсы рк не зависят от положе-
положения точки #. Последние полюсы назовем для простоты р-полюсами. Рассма-
Рассматривая выражение я(р, (?) как функцию #, видим, что она имеет полюс при
<7 = р и, в случае О = 0 или 1, может иметь дополнительный полюс в точке <70,
не зависящей от р. В формуле G.10.2)' <7о была бесконечно удаленной точ-
точкой, в формуле G.10.4) этой точкой было начало координат; в формуле
G.10.13) точка <7о произвольна. Этот полюс функции п(р, #)> если он суще-
существует, назовем ^-полюсом. Следует заметить, что коэффициент при 1/(г — та)
вблизи р-полюса функции G.10.13) является всюду конечным квадратичным
дифференциалом по ц. Следовательно, во всех случаях коэффициенты глав-
главных частей разложений вблизи р-полюсов являются всюду конечными квадра-
квадратичными дифференциалами.
§ П. ТОЖДЕСТВА, КОТОРЫМ УДОВЛЕТВОРЯЕТ ВАРИАЦИОННОЕ ЯДРО
Установим теперь несколько полезных тождеств, содержащих интегралы
функции п(р9д). Обозначим через ? жорданову кривую, рассмотренную в § 8-
гл. 7, и через г(р) локальный обратный дифференциал, регулярно аналитич-
ный в полной окрестности кривой ?. Через С±1У • • • > B<* обозначим базис всюду
конечных принадлежащих поверхности 2К квадратичных дифференциалов;
а обозначает здесь число действительных модулей поверхности 9#:
а = р + 6Д +- Ъс + Ът - 6. G.11.1)
На дифференциал г(р) наложим условия ортогональности
*=1, 2, ..., а. G.11.2)
Сначала рассмотрим случай т > 0. Пусть С(р,д) обозначает функцию
Грина и Т (р, 9) — аналитическую функцию точки р, действительной частью
которой является (/(р,^). Из формулы D.2.1) получим
Т'(Р. <?) = а-^ = 2?^ = 2;~(р). GЛ1.3)
Пусть жорданова кривая ? на поверхности 9К состоит из точек, сопря-
сопряженных точкам кривой у. Для обратного дифференциала г(р) определим
сопряженный дифференциал г(р) при помощи формулы [ср. формулы B.2.3)
и B.2.3)']
7ф'1 = (г(р) Лг-1)-. G.11.4)
250 ГЛш 7. Вариации поверхностей и их функционалов
Положим
1 1 Г
(р) = 2й" 3 г^р1)п^р' р^ йг^~%й\ г (рЛп
т
т
Из формул G.11.2) и G.10.27) видно, что выражение Н{р) регулярно
аналитично в р-полюсах ядра п(р, 9)- Оно является, следовательно, обрат-
обратным дифференциалом, регулярно аналитичным в области Ш — Т- Дифферен-
Дифференциал Н(р) действителен в краевых точках р поверхности $Щ при условии
пользования граничными униформизирующими.
Установим теперь следующую теорему:
Теорема 7.11.1. Если г(р) является обратным дифференциалом
€ окрестности кривой у, удовлетворяющим условиям G.11.2), и Н(р)
является обратным дифференциалом вида G.11.5), то справедливо тожде-
тождество
G.11.6)
= Ке{Н(р)Г(р9д) + Н(д)Г(ду р)}.
Это тождество имеет много приложений в вариационном исчислении рима-
новых поверхностей и служит для преобразования и упрощения формул,
содержащих обратные дифференциалы и производные функций Грина.
Для доказательства тождества G.11.6) обозначим его левую часть через
^ (р, 9) и правую —через Иг{р, ?)• Обе эти функции гармоничны по обеим
переменным всюду вне кривой у. Нетрудно также установить, что функция
^г(РуЧ) регулярно гармонична для р = 9> так как особенности ее членов
взаимно уничтожаются при р = ц. Выберем фиксированную точку ц внутри
области ЗК —у и изучим зависимость этих функций от точки р. Так как
для краевых точек р поверхности Ш функция О(р19р) тождественно равна
нулю по переменной р19 то
7"(р1)Р) = 0
для краевых точек р поверхности 9#. Следовательно, функция Их (р, ц)
обращается в нуль на краю поверхности ЭДЬ Но это же заключение спра-
справедливо и для функции иг(р, 9)- Действительно, пользуясь граничными
униформизирующими, получим соотношения
1т/г(р) = 0, КеГ(р, 9) = 0,
выполняющиеся для краевых точек р поверхности ЗДЬ Так как, кроме того,
7" (9, р) также обращается в нуль на краю, то 0г(р, 9) = 0 для краевых
точек р поверхности $Щ.
Остается исследовать поведение функций 1/ь и 1/г при переходе через
жорданову кривую у. Функция г(р) аналитична в окрестности кривой у,
и, следовательно, выражения Т'(р19 р) и п(р9 рх) на этой кривой имеют
одну и ту же особенность 1/(г(р) — г(р1))у выраженную при помощи унифор-
мизирующей, пригодной на всей кривой у. Из теоремы Коши теперь нахо-
находим, что выражения
г (Л) 7" (р1( р) 7" (р1; <?) йгг - [г (р) Г' (р, 7)] 8
И
где 8=1 для точек р, лежащих в области, ограниченной кривой у, и 8 = 0
для точек р, лежащих в области, внешней относительно зтой кривой, регу-
регулярно аналитичны в полной окрестности кривой у. Отсюда следует, что функ-
§ 11. Тождества, которым удовлетворяет вариационное ядро 251
ция (/г(р, я) — &1 {р> Я) регулярно гармонична на всей поверхности ЭДЬ Эта
функция тождественно равна нулю, так как она равна нулю на краю поверх-
поверхности $Щ. Теорема 7.11.1' доказана.
Переходим к случаю т = 0. Теперь функцию Грина следует заменить
функцией У(р, р0; ц, 9о)> определенной формулой D.2.23). Имеем
^ GЛ1-7)
Выберем и зафиксируем точку 9о€ЭДЬ лежащую вне окрестности жордановой
кривой у. Определим обратный дифференциал
п
и снова подчиним (локальный) обратный дифференциал г(р) условиям орто-
ортогональности G.11.2). Справедлива следующая
Теорема 7.11.2. Пусть поверхность Ш замкнута и определенный
в окрестности жордановой кривой у обратный дифференциал г(р) удовле-
удовлетворяет условиям G.11.2). Обозначив через Н{р) обратный дифференциал,
определенный формулой G.11.8), будем иметь тождество
\ г (Л) 2^о (Р1) °«о (Л) ^} = Ф (?о) + Ке { 9^0 (р) Н (р) +
G.11.9)
2Л (<70) |-о Ке {9„о (р) }
Здесь Ф(^о) обозначает действительное число, зависящее от функции Н{р)
и от выбора ^0, но не зависящее от р и ц.
Для* доказательства этого тождества заметим, что обе его части пред-
представляют собой гармонические функции по переменным р и ц в области
Ш — у. Нетрудно видеть, что правая часть остается также регулярно гармо-
гармонической как при р—>Яу так и при р—>9о или 9'~->с1о-
Как и раньше, убедимся в том, что разность обеих частей формулы
G.11.9) остается регулярно гармонической функцией и при пересечении
жордановой кривой у. Поскольку это так, эта разность не зависит от р и цу
и теорема доказана.
Значение постоянной Ф(^о) проще всего определить следующим путем.
Принимая во внимание формулу C.4.7), получим
;,0 (р) = 21 Ке &т (?) - %ро Ы]. G.11.10)
При ?—>?о отсюда имеем
G.11.П)
о
Это замечание показывает, что левая часть формулы G.11.9) обращается
в нуль при д — Яо или при р = 9о- Итак, выражение — Ф(^о) является преде-
пределом действительной части, стоящей справа в формуле G.11.9), при р—>д0
или при 9"->9о-
Из тождеств G.11.6) и G.11.9) выведем дальнейшие тождества. От обеих
частей этих тождеств будем брать нормальные производные гармонических
функций и интегрировать их вдоль циклов Ку. базы. Сравнение результатов
приводит к новым тождествам. Воспользуемся следующими формулами: для
тождества G.11.6)
G.11.12)
V
252 Гл. 7. Вариации поверхностей и их функционалов
и для тождества G.11.9)
ШГ 2'"о (9) <Ц = - 2*1 г; (д). G.11.13)
Из тождества G.11.6) получаем теперь тождество
\т[^^\г{р1I1{р1)Т{р1Уд)йг1^\т{Н{дI^{д)}, G.11.14)
справедливое в случае поверхностей с краем.
Проделаем аналогичное вычисление для случая тождества G.11.9).
Заметим, что
«о
р- ^<7<70(р) б?5р г = 2тс 1т ч \ &Ъу. \ , G.11 Л 5)
*и я
так как действительная часть интеграла {^ЯЯо(р) однозначна. Далее из фор-
формулы C.4.7) получим
G.11.15)'
к ^{я) ^ 5 к
Из формул GЛ 1.15) и G.11.15)' легко находим, что
GЛ1.16)
является комплексным числом, не зависящим от <7- Из тождества G.11.9)
получим теперь уравнение
1т {^- ^ г(р1)г^р1)п^(р1)аг1} = 1т{г;(д)к(д) + Ид0)}- G.И. 17)
Постоянную Р(<7о) можно определить при помощи условия GЛ1.11). Ясно,
что левая часть уравнения G.11.17) обращается в нуль при д = д0. Следова-
Следовательно, р(<70)= — 2,1 (9о)М?о)> и мы получаем окончательное тождество
1т Цг \ (р1)^(р1)к^^} G.И.18)
= 1т {1;{д) Н{д)~ 2^ (д0) к (д0)}.
Формулы G.11Л4) и G.11.18) будут использованы ниже. Их значение
очевидно: левая часть каждой формулы является гармонической функцией
точки <7> а правая часть указывает простую форму аналитического заверше-
завершения этой гармонической функции, т. е. той аналитической функции, для
которой эта аналитическая функция является мнимой частью.
Из этих интегральных тождеств можно вывести формулы, связывающие
вариационное ядро п(р,д) с комплексным завершением функции Грина О (р, д)
и с дифференциалами первого рода 2^ (р). Эти формулы приводятся для
полноты изложения; при желании они могут быть опущены читателем.
Формулу G.11.14) можно записать в следующей форме:
\= GЛ1.19)
т I т / / \ * V /ч / \# т / / \ * 1 /\ /
I «-м I X | л| \ #М \ м / л М 1/7^ — / I Г1\ _____ \ V I 1Г\ 1 И /Л
— 1Ш •{ /Сц, ^/ "9^7" \ Г \Ри П V?» ^ пг1 — ^ \Ч) ^й \ ^Р\) П \Ч *
§ И. Тождества, которым удовлетворяет вариационное ядро 253
*
Здесь мы воспользовались равенством
~ G.11.20)
которое следует из формулы G.10.19). Если условиям G.11.2) удовлетворяет
функция г(р)у то этим же условиям удовлетворяет и функция аг(р), где
^ — некоторый комплексный множитель. Из формулы G.11.14) вытекает, что
= G.11.21)
т
(рл) п(о, рл) йгл — 2м (о) -^—г \ г (Рл) п(а, рл) Лгл.
Формула G.11.21) справедлива при условиях, что функция г(р) регулярно
.аналитична в некоторой окрестности кривой у и что равенства G.11.2)
удовлетворяются.
Таким же способом из тождества G.11.18) получим
= G.11.22)
V
Из интегральных тождеств G.11.21) и G.11.22) теперь легко вывести
новые уравнения, связывающие сами функционалы. Для этой цели выберем
функцию г (г) униформизирующей г так, чтобы она была регулярно анали-
аналитична в области, ограниченной кривой у, исключая только N точек /?р, где
она должна .иметь простые полюсы с вычетами <хр. Выбор функции г (г)
не вполне произволен. Нужно, чтобы были удовлетворены условия G.11.2),
которые теперь, в силу теоремы о вычетах, принимают следующую форму:
N
V=1, 2, ...,с. G.11.23)
С другой стороны, каждая функция г (г), удовлетворяющая условиям G.11.23),
будет допустимой.
Подставим функцию г (г) в тождество G.11.21). При помощи теоремы
о вычетах получим
' N
% «Л2»ШТ' (Р?, д)-2^(д)п(д, рр)+2^(д)пA р,)] = 0. G.11.24)
Р=1
Аналогично, из тождества G.11.22) имеем
N
• 2 ар [2; (рр) 9^ (р?) - II (д) п (д, р9) + 2^ (д0) п (д0, р?)] - 0. G.11.25)
Полюсы р9 и вычеты ар должны удовлетворять линейным условиям G.11.23);
в остальном эти полюсы и вычеты произвольны. Поэтому из формулы G.11.24)
следует, что
; (Р) Т' (р,д) = 2; (?) п (?, р) - 2; 6) п {I Р) + ^ а^ (?) <Ь (Р). G.11.26)
7=1
254 Гл. 7. Вариации поверхностей и их функционалов
Для определения коэффициентов а^ (д) поместим сначала точку д на край
поверхности $Щ. Получим уравнения
2 аI^V(<7)^V(р) = 0, [г = 1,2 G.11.27)
1
Эти уравнения должны удовлетворяться для всех точек р€УЛ- Отсюда,,
принимая во внимание линейную независимость дифференциалов С}ч(р), заклю-
заключаем, что все коэффициенты а^ (д) обращаются в нуль на краю поверх-
поверхности 5Щ. Когда точка д приближается к ^-полюсу ядра п(р, д), сумма
сг
2 Я|^ (д) Яч (р)
должна стремиться к бесконечности. Обозначим ^-полюсы ядра п(р, д), лежа-
лежащие внутри Щ, через др, Р=1> 2, ...,М, М<а-&. Ради простоты пред-
предположим, что все эти полюсы простые. Впрочем, если это условие
не выполнено, то вычисление проводится аналогично. Для точек д, близких
к <7Р» через С обозначим униформизирующую в точке д9, такую, что С (^) = С?
С (?Р) = 0.
Из формулы G.10.21) получим разложение
п (д, р) = -| Н регулярные члены, G.11.28)
где Р9(р) является квадратичным дифференциалом. Легко видеть, что
М
2 а»ч (Я) С?о (Р) = - 2 2; (д9) Г (д„, д) Р9 (р). G.11.29)
1 1
Итак, формула G.11.26) приводит, наконец, к тождеству
(р, д) = Ц. (д) п (д, р)-
М ' (/А1.ОУ))
^ (д)п(д, р)-2 2; (др) Т (д?, д)Р,(р).
1
В том случае, когда не все ^-полюсы ядра п(р, ^) простые, сумма, стоящая
в правой части тождества G.11.30), будет содержать высшие производные
функции Т (<7Р, 9) по 9р-
Аналогичные рассуждения, примененные к формуле G.11.25), приводят
к уравнению
К (Р) 2«0 (Р) = Ч (Я) п (д, Р) - 2^ (д0) п (д0, р) + 2 Ьу„(д)<1ч(р). G.11.31)
и 1
Заметим, что коэффициенты &^(<7) обращаются в нуль для д = д0. При
приближении д к некоторому ^-полюсу ядра п(р,д) последняя сумма опять
должна противодействовать возрастанию первого члена правой части. Пред-
Предполагая, что все 9-полюсы ядра п(р, д) простые, получим тождество
Р) - г» (д0) п (<70, р) -
Л1 G
Р=1
В основе тождеств G.11.30) и G.11.32), связывающих дифференциалы
различных типов на поверхности 9Л, лежит в сущности тот факт, что про-
произведение дифференциала и обратного дифференциала является функцией
на поверхности и, следовательно, может быть выражено через фундамен-
фундаментальные функции на
§ 12, Условия конформной эквивалентности при деформациях 255
§ 12. УСЛОВИЯ КОНФОРМНОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ПРИ ДЕФОРМАЦИЯХ
Обозначим через у жорданову кривую, описанную в § 8 гл. 7, и пусть
переменная г является униформизирующей в полной окрестности у. Через
г0 (г) обозначим регулярную аналитическую функцию переменной г в этой
окрестности у, удовлетворяющую условиям ортогональности G.11.2). Теперь
мы покажем (при некоторых слабых ограничениях), что можно найти такую
функцию ре (г), для которой поверхность $Щ*> построенная из 5Ш посредством
присоединения клетки по способу § 8 гл. 7 при помощи функции
G.12.1)
конформно эквивалентна $Щ. Более того, будет показано, что
Ре(г)|<М, G.12.2)
где число М не зависит от е, 0<е<в0.
Сначала покажем, что всегда можно построить всюду конечный принад-
принадлежащий Ш дифференциал 2'(р), имеющий только простые нули. Более
того, будет показано, что в случае поверхности $Щ с краем все нули диф-
дифференциала 2' (р) лежат внутри $Щ.
Если поверхность $Щ имеет край и если 2/г < ^ < О = 2Н + тп — 1, то функ-
функция 1т 2^ .однозначна на $Щ и постоянна на каждом компоненте края.
Из принципа максимума легко находим, что дифференциал 2^(р) не обра-
обращается в нуль на краю Ж.
Пусть 2,1 (р) обозначает базисный дифференциал поверхности $Щ, имеющей
край, при 2/г< р-<2/гЧ-т—1, и пусть 2,1 (р) имеет нуль порядка X, Х> 1,
в точке рк. Предположим, что существует другой базисный дифференциал
2^), не равный нулю в рк> и рассмотрим комбинацию
G.12.3)
где т] > 0. Если переменная г является такой униформизирующей в точке рк,
для которой г(/?ь)--О, то
где а0 =^=0, Ь\ф 0. Ясно, что дифференциал 2' (р) имеет X простых нулей
в некоторой окрестности точки рк для достаточно малых т]. Более того,
в случае поверхности <ЯЛ с краем можно добиться при (если нужно) еще
более малом -ц такого положения, когда все нули дифференциала 2' (р)
будут находиться внутри ЭДЬ Следовательно, в предположении, что не суще-
существует таких точек $Щ, в которых все базисные дифференциалы обращались бы
в нуль одновременно, установлено существование всюду конечного диф-
дифференциала 2' (р) поверхности 2К, обладающего требуемыми свойствами.
Допустим, что в точке р0 все базисные дифференциалы обращаются
в нуль. Тогда каждый дифференциал имеет нуль в точке /?0. Пусть 1Р (р)
является элементарным интегралом второго рода на дубле § поверхности Ш,
нормированным тем условием, что его периоды вдоль циклов одной из двух
двойственных систем равны нулю. Из формулы C.4.3)' заключаем, что
интеграл /Ро(р) однозначен на §. Следовательно, ЗК является либо сферой,
либо односвязной областью. В обоих случаях все дифференциалы первого
рода тождественно равны нулю. Итак, если только существуют нетривиаль-
нетривиальные дифференциалы поверхности $Щ, то найдется хотя бы один дифферен-
дифференциал, пусть это будет
о
2'(р)= 2 с^(р), G.12.4)
11=1
имеющий только простые нули и отличный от нуля на краю $Щ (если $Щ
имеет край). Наше доказательство показывает, что числа с^у р.= 1, 2, ..., С,
256 Гл. 7. Вариации поверхностей и их функционалов
фигурирующие в формуле G.12.4), можно выбрать действительными (даже
тогда, когда 5Щ замкнута и О = Н). Фиксируем теперь эти действительные
числа с^ в формуле G.12.4).
Пусть 1' (р) является дифференциалом вида G.12.4) для поверхности $Щ.
Тогда дифференциал
^ G.12.5)
где 1% (р) определены формулой G.8.11), является соответствующим диф-
дифференциалом для поверхности 2#*, имеющим, при достаточно малых значе-
значениях е, только простые нули внутри $Щ*«
Пусть р19 р2У ..., ри — нули дифференциала Ъ' на поверхности $Щ
и ри р*> •••> Р^ — нули 2.*' на Ж*. Из формулы C.6.3) имеем
Л/ = (/-#о. G.12.6)
Справедлива следующая
Теорема 7.12.1. Пусть Ш обозначает риманову поверхность с краем
алгебраического рода О > 1, и пусть 1' (р) является всюду конечным диф-
дифференциалом на этой поверхности, имеющим только простые нули внутри Ш
и отличным от нуля на краю $Щ- Пусть поверхность $Щ* и дифференциал
2*' (р) на этой поверхности получены соответственно из поверхности $Щ
и из дифференциала 1' (р) при некоторой вариации. Пусть, наконец,
точки рч и р*, V = 1, 2, ..., Л/, являются нулями соответственно диф-
дифференциалов 1' (р) и 2* (р) и дифференциал 2' (р) выражен в виде G.12.4).
Для конформной эквивалентности поверхностей Ш и 5Ш* необходимо
и достаточно выполнение следующих условий:
1т 2 Ы = 1т Г (/?*), V—1, 2, ..., Л/; т (а)
^} = 2, 3, ..., Ы; (Ь)
р*
и = 1, 2, ..., С. (с)
В связи с условиями (Ь) и (с) следует заметить, что поверхность
следует рассматривать лежащей над поверхностью ЭДЬ Следовательно, точки
Щ* и 5Щ можно обозначать одним и тем же символом; точку 5Щ*, лежащую
над точкой р€Ш> будем обозначать также через р. Это соглашение позво-
позволяет пользоваться одним и тем же символом Кц в обеих частях равенства (с).
Что касается условия (Ь), то предполагается, что путь интегрирования
в правой части лежит над путем интегрирования в левой части, исключая
только малые окрестности точек рг и р^.
Для доказательства теоремы установим следующее соответствие между
точками р6 9Л и Р*6 9К*:
р р*
G.12.7)
Если условия (а), (Ь) и (с) выполнены, то это соответствие может быть
продолжено на всю поверхность Ш единственным образом так, что оно будет
давать всюду конформное отображение УЛ на Ш*> Итак, наши условия,
очевидно, достаточны для эквивалентности. Гармонические функции 1т 2^(р)у
(л=1, 2, ..., С, единственным образом определены по модулю 1. Так
как при достаточно малых вариациях исключается возможность дискрет-
дискретных приращений функции 1т 2%. (р) относительно 1т 2^ (р), то условия (а),
(Ь) и (с) выражают конформную инвариантность дифференциала 2' (р)
и, следовательно, являются необходимыми условиями.
§ 13. Вариация, сохраняющая конформный тип 257
'Аналогичное положение имеет место и в случае замкнутой поверхности 5Ш-
Однако в этом случае функции 1т 2^ (р) определены не единственным образом.
Следовательно, положим
1т 2. (д)=1 ? дУ ("' "о: *
где
V(р, р0; ?, я0) =. Ке {Яяяо (р)
Иначе говоря, мы требуем, чтобы 1т 2^ (д0) = 0 (той 1). В качестве точки
можно выбрать один из нулей дифференциалов 1' (д) на поверхности-
и 2*' (#) на поверхности Ж*. Итак, одно из уравнении условия (а) может
быть удовлетворено посредством произвольного нормирования. Остальные
условия опять необходимы и достаточны для конформной эквивалентности.
В'случае поверхности Ж с краем имеется 0—1 условий (а), 0 — 2
условий (Ь) и О условий (с); всего имеется 30 —3 —6/г-|~3т--6 условий.
Если Щ замкнута и одно из условий (а) удовлетворено вышеописанным выбором,
то, остается 0 — 3 условий (а), 0 — 3 условий (Ь) и О условий (с); всего
остается 30 —6=^6/г —6 условий. В обоих случаях число условий, которые
должны удовлетворяться, согласуется, следовательно, с формулой C.7.1).
В случае 0=1 существует единственный базисный дифференциал !,[,
нигде не обращающийся в нуль. В этом случае условие (с) необходимо
и достаточно для конформной эквивалентности.
§ 13. ПОСТРОЕНИЕ ВАРИАЦИИ, СОХРАНЯЮЩЕЙ КОНФОРМНЫЙ ТИП
""* В предыдущем параграфе были сформулированы необходимые и доста-
достаточные условия конформной эквивалентности некоторой исходной поверх-
поверхности Щ и другой поверхности $Щ*, полученной из *Щ посредством внутрен-
внутренней деформации известного типа. Перейдем теперь к доказательству того,
что функция ре(г)> удовлетворяющая условиям,-сформулированным в начале
§12 гл. 7, ^действительно существует.
. Для проведения этого доказательства существования недостаточно будет
асимптотических формул, выведенных в § 8 гл. 7; придется использовать
точные интегральные уравнения, связывающие дифференциалы рассматри-
рассматриваемых 'поверхностей. Возвратимся к уравнению G.8.6) для вариации функ-
функции Грина замкнутой римановой поверхности. Предположим, что поверх-
поверхность Ш имеет край, и применим уравнение G.8.6) к функции V замкнутой
поверхности ЭДЛ-9Л. Подставляя /?0— р и <7о — Я и принимая во внимание
формулу G.6.1), из формулы G.8.6) получим представление
О* (р, д)-О (р, д) = - Ке { -1 ^ <3 (г, д) йТ* (г, />)}','; . G.13.1)
где
<2(г, д) = Т{г + вг(г)9 д)-Т(г,д)у G.13.1)'
а фуцкции ' .
Т{р,Я) = &~{р),Т*{руд) = &^{р) ' . , . .0
являются аналитическими функциями точки р, имеющими действительные
части соответственно О(р,д)9 C*(р,д). При выводе формулы G.13.1) было
использовано уравнение G.8.6) для присоединений клеток вдоль кривых у
и 7> эти присоединения клеток давали функции Грина одинаковые прираще-
приращения. Формула G.13.1) представляет собой точное соотношение между функ-
функциями О* и О. Выведем теперь отсюда соответствующие соотношения для
функций 2* и 2^. Фиксировав точку д (а значит, и точку д*)% вычислим
17 Заказ № 634
258 Гл. 7. Вариации поверхностей и их функционалов
интегралы от нормальных производных обеих частей равенства G.13.1) вдоль
одного из базисных циклов /С^. При этом воспользуемся следующими фор-
формулами:
й). 1\*Ц%»<Н-Ы1.т G.13.2,
„ G.13.2)'
Получим уравнение
1т2$.(д) = 1т2г(д)-1т\±-.\(){г, я)й11{г)\ . G.13.3)
т
Умножая обе части уравнения G.13.3) на действительные коэффициенты с
из формул G.12.4) и G.12.5) и суммируя полученные результаты от р=
до р. = (?, получим
1т Г (д) -1т 2 (д) -1т {^ $ <2 (г, ?)^*(г)} . G.13.4)
т
Условия (а), (Ь) и (с) эквивалентны существованию конформного ото-
отображения
М :/?*-»/? G.13.5)
поверхности $Щ* на поверхность 9Л. Если отображение G.13.5) существует,
то равенство
1т 2 (р) = 1т 2* (/>•) G.13.6)
выполняется по модулю чисел сх, с2, ...,
Заменяя в уравнении G.13.4) щ на р* и затем 1т2*(р*)% на 1т 1 (р)у
получим
1т 1 (р) = 1т 1 (р*)- 1т |^^B, р*LГ(г)} . G.13.7)
Допустим, что на кривой у нет ни одного нуля р^ дифференциала 2' (/?).
Полагая р = ру в уравнении G.13.7), получим
} . G.13.8)
Ясно, что уравнения GЛ3.8) для индексов V=1, 2, ..., N эквивалентны
условиям (а).
Заметим, что •
1т 1 (д) йзц = й (Ке 1 (Ч)). G.13.9)
Следовательно, интегрируя нормальные производные обеих частей уравне-
уравнения G.13.4) от рг до ру, получим
Не | ^ Ж*} = Ке { ^аг} - 1т {^7 ^ /7(г)^Г (г)}", G.13.10)
где
§ 13. Вариация, сохраняющая конформный тип 259
Воспользуемся опять тем фактом, "что при отображении G.13.5) имеет место
соотношение
р* р
\ с12*(р*)= \A2(р). G.13.12)
Следовательно, уравнение G.13.10) можно представить в следующей форме;
] } {2^ $ ()} . G.13.13)
р* ?
Уравнения G.13.13) для индексов V=2, 3, ... , N эквивалентны условиям
(Ь) предыдущего параграфа.
Наконец, интегрируя нормальные производные обеих частей уравнения
G.13.4) вдоль базисного цикла К^ и полагая
= Р(^, ЯД G.13.14)
получим соотношения
- 1т {^-. ^ /^ (г)<1Г{г)} , G.13.15)
где
\^Й G.13.16)
Следовательно, условия (с) эквивалентны уравнениям
1т {^. ^ ^B)^^B)}= 0, ц=1, 2, ... , О. G.13.17)
Итак, поверхности 5Щ и $Щ* будут конформно эквивалентны тогда и
только тогда, когда выполняются следующие условия:
т
> р*)A2*(г)\ , V-: 1, 2, ... , #; G.13.18)
Ке {5 }{
р*
V-2, 3, . .. , #;
1т {^-^ ^(г)йГ (г)} -0, ^ = 1, 2, ... , О. G.13.20)
Обозначим через г0 (г) некоторую заданную функцию, регулярно анали-
тичную в полной окрестности кривой 1 и удовлетворяющую условиям орто-
ортогональности G.11.2). Положим
G.13.21)
и найдем те ограничения, которые накладываются на функцию ре(г) услови-
условиями G.13.18), G.13.19) и G.13.20).
Из формул G.13.1)' и G.13.21) получим
. GЛ3.22)
17*
260 Гл» 7.* Вариации поверхностей и их функционалов
Подставляя выражение G.13.22) в формулу G.13.7), при помощи соотноше-
соотношения G.8.14) получим
1т2(р) = 1т2 (р*) - 1т {^ $ г0 (г)Г (г, р*) 2' (г)йг\ + о(.). G.13.23)
г
Используя тождество G.11.14) и предполагая, что го(г) преобразуется как
обратный дифференциал, можем переписать уравнение G.13.23) в следующей
форме:
1т 2 (р) = 1т 2 (р*) - в 1т {!' (р*) Н (р*)} + о (б). G.13.24)
Так как коэффициент при е в уравнении G.13.24) представляет собой мни-
мнимую часть некоторой аналитической функции, то справедливо соотношение
G.13.25)
где С обозначает действительную постоянную. Оценим теперь постоянную С
Предположим сначала, что О = 2Н + т—19 т>1. Тогда из формулы
G.12.6) следует, что Л/>1. Продифференцируем обе части равенства
G.13.25) по переменной р* и выберем затем р* так, чтобы при отображении
G.13.5) ей соответствовала точка /V Принимая во внимание, что 2 (р^)=0у
получим '
0 = 2'(р*)[1-б/г'(К)]-б2"(р*)й(^) + о(е). G.13.26)
Итак,
2'(р*) = 0(в). G.13.27)
Обозначим локальные координаты точек р^ и р*, выраженные при помощи
одной и той же униформизирующей, соответственно через г^ и г*. Так как
дифференциал 2' (р) имеет в точке р^ простой нуль, то из формулы G.13.27)
заключаем, что
G.13.28)
Разложим функцию 2 (р) в окрестности точки р^ в ряд по степеням локаль-
локальной униформизирующей г. Из формулы G.13.28)
I (р7) = 2 (р*) + О (г2), G.13.29)
так как 2г(р^)=^0. С другой стороны, при р* = р* из формулы G.13.25)
получим
G.13.30)
Из сравнения равенств G.13.29) и G.13.30) видно, что С = о(е). Формулу
G.13.25) можно теперь переписать так:
2(р) = 2 {р*) - е2' (/>•) Н (р*) + о (г). G.13.31)
Следовательно, если локальные координаты точек р и р* выражены при
помощи одной и той же униформизирующей, то справедливо соотношение
г = г* - в Н (р*) + о (г). G.13.32)
В случае 0=1 (двусвязная область) постоянная С, фигурирующая
в формуле G.13.25), необязательно имеет порядок о (г). Действительно, в
этом случае существует однопараметрическая группа конформных отображе-
отображений поверхности ЗЛ на себя. Каждый элемент этой группы преобразует
точку р€$Щ в такую точку р19 для которой 1т 2 (р) = 1т 2(рх). Однако все
еще остается возможность нормировать отображение G.13.25) требованием,
чтобы заданная точка р* переходила в некоторую точку р0, для которой
выполняются соотношения
' § 13. Вариация^ сохраняющая конформный тип 261
При такой нормировке справедливо соотношение
Выбирая, в частности,
видим, что С = о(е).
В случае О = 0 (односвязная область) проблема конформной эквивалент-
эквивалентности отпадает. Однако если $Щ является областью 2-сферы и если отобра-
отображение г*—» г нормировано подходящим образом, то можно показать, что
формула G.13.32) справедлива. Так как доказательство для этого случая
можно найти в [8], то деталей рассуждения мы здесь приводить не будем.
Полученные результаты резюмируем в виде следующей теоремы:
Тер рем а 7.13.1. Пусть Ш является ориентируемой поверхностью
с краем. Если $Щ можно преобразовать в конформно эквивалентную поверх-
поверхность Ш* посредством присоединения клетки вдоль жордановой кривой
используя обратный дифференциал г(р), определенный в окрестности
то это конформное отображение может быть реализовано при помощи
локальной униформизирующей поверхности Ш следующим образом:
>
где функция К определена формулой G'.11.5). Найденное соотношение выпол-
выполняется равномерно в каждой замкнутой подобласти $Щ, не содержащей
кривой у.
При выводе формулы G.13.32), в которой локальные координаты г и г*
точек р и р* выражены при помощи одной и той же униформизирующей,
было предположено, что г (г) имеет форму G.13.21), где функция р8(г) огра-
ограничена сверху равномерно по е. Была использована также формула G.13.7),
в свою ;очередь основанная на формуле G.13.6). Кроме того, в формуле
G.13.26) мы неявно предполагали, что р*—>рч при отображении G.13.5).
Следовательно, доказательство формулы G.13.32) основывается в сущности
на соотношениях G.13.18) — G.13.20). В случаях О*=0иО= 1 были сделаны
также некоторые предположения о нормировании.
Предположим теперь, что условия G.13.18) —G.13.20) выполнены и что
функция г (г) имеет форму G.13.21). В этих предположениях следует показать,
что существует отображение, которое выражается при помощи локальных
координат в форме G.13.32). Соотношение G.13.32) было выведено из усло-
условия G.13.18) посредством сравнения членов порядка е в обеих частях урав-
уравнения. Возвратимся теперь к тому же уравнению и будем сравнивать члены
высших порядков малости по е. Найдем те условия, которые необходимо
наложить на функцию ре(г), чтобы поверхности Ш и Ш* были конформно
эквивалентны.
Из формул G.13.1)' и G.13.32) получим
~ [г (г)]2 Т" (г, Рч)}+оЙ. ч G.13.33)
Из формулы G.13.31) следуют соотношения
1ш2(р*) = 1т2(ру) + ~ 1т{Г Ы [НЫ]2} + о И, G.13.34)
1* (р) = 2{р)- *2' (р) Н (р) + о (е). G.13.35)
262 Гл. 7. Вариации поверхностей и их функционалов
Подставляя эти соотношения в формулу G.13.18), получим
' {г, р,)Г {г)йг~-
- е2 [ 1 2" (ру) [Н Ы]2 +- ± $ г (г) Т (г, рч) с? B' (г) /г (г)) -
т
G.13.36)
т
Разделим обе части этого уравнения на е и заставим е стремиться к нулю.
Получим соотношение •
1т {%я[го(г)Т'(г9 р^)Г (г) йг} =0. G.13.37)
Так как 2'(/^) = 0, то выражение /Т"(<7, рч)%'{ц) является всюду конечным
квадратичным дифференциалом на поверхности ЭДЬ Поэтому условие G.13.37)
является следствием условий G.11.2). Итак, е-член не налагает каких-либо
новых условий на функцию г0 (г). С другой стороны, рассмотрение членов
высших порядков приведет к условиям, накладываемым на функцию р8 (г);
будет показано, что эти условия таковы, что они могут быть удовлетворены
при любой функции г0 (г), удовлетворяющей условиям G.11.2).
Мы хотим, однако, прежде чем входить в эти рассмотрения, исследовать
аналогичным методом условия, налагаемые на функцию го(г) уравнениями
G.13.19) и G.13.20). Из формул G.13.1)' и G.13.11) получим соотношение
Р G.13.38)
= - е г (г) 2п№^ (г) - ~ (г
где
3
^1 ^1
G.13.39)
Выражение 1^р1р7(9) является дифференциалом с простыми полюсами в точ-
точках р1 и /V Кроме того,
4 Р\ ' G.13.40)
" (л) (А (Рг)Т ~ ?' (Ру) (Л (РЧ)J} + о
Подставляя выражения G.13.38) и G.13.40) в формулу G.13.19), получим
1т { г $ г (г) Ш'р^ (г) Г (г) </г - 1~ {Г (рх) (/г (Р1)J - 2" (р.) (Л (р,)J] -
/" (г) ^р^ (г) 4B'(г) к (г)) + G.13.41)
+ -о- \ (г (г)J Щр B) 2' (г) с1г\ + о (г2) = 0.
§ 13. Вариация, сохраняющая конформный тип 263
Разделим это уравнение на г и заставим е стремиться к нулю* Получим
соотношение
1т { ^ г0 (г)ТС^ (г) Г (*)</*} = 0. G.13.42)
Так как 2'(рг) = 0, 2'(/^) = 0, то квадратичный дифференциал №р^ (д) 2'
всюду конечен и формула G.13.42) является следствием условий G.11.2).
Наконец,
= - 8 ' (г) 2тЛ ^ (г) - ~ {г {г)J 2тЛ 2Ц (г) + о (з2). G Л 3.43)
Подставляя это выражение в условие G.13.20), получим
\ш\Лг(г) 2; (г) Г (г)йг- Л г (г) 2; (г) <* B' (г) Н(г)) +
1 ?
G.13.44)
+ "V \ (г(г)Jг;'(г)I'(г)йг\+о(«») = 0.
Разделим это уравнение на г и заставим е стремиться к нулю:
1т { ^ г0 (г) г;х (г) Г (г) йг\ = 0. G.13.45)
И это соотношение является следствием условий G.11.2).
Итак, условия G.13.18) —G.13.20) можно переписать в следующей форме:
1т { ^ р8(г)/7'(г, р^)Г (г)с!г + Р^ {го + ^)\ =0, G.13.46)
1т
р8 (г) ЩгР^ (г) Т (г) Лг+О^ (г0 + гр8)} = 0, G.13.47)
G.13.48)
где ^е, О*** и Яц.5 обозначают функционалы от го + ер3 = /-. При е = 0 из
формул G.13.36), G.13.41) и G.13.44) получим соотношения
(г0) - тгГ (р^ (Я (РV)J — / ^ /"о (*) Г (г, Рч) а {!' (г) Н (г)) +
3
г дТ'(г, р„) дТ'(г,
\ 4 (^ (г)J гТ" (г, рч) 2' (г) йг, G.13.49)
1 А*4
(Г.) = 4 ]
- ^ го(г)Щ^(г)а(г'(г)Н-(г))+ G.13.50)
) ^
^ 2
г0 (г) II (г) а {Г (г) к (г))
Т G.13.51)
264 Гл. 7. Вариации поверхностей и их функционалов
Если О > 1, то число действительных модулей поверхности Ш (имею-
(имеющей, по предположению, край) равно а = 30 — 3 = 6/г + 3т — 6. Если 0=1,
то число а действительных модулей равно 1. Всюду конечные квадратичные
дифференциалы
...,0-1,
(?) 2' (</), V = 2, 3, ..., С- 1, G.13.52)
; (д) Г (</), ^=1,2, ...,0
образуют базис квадратичных дифференциалов поверхности 3#. Действи-
Действительно, число этих дифференциалов равно а и каждый из этих дифферен-
дифференциалов действителен на краю Ш (при условии, что дифференциалы выра-
выражены через граничную униформизирующую). Действительная линейная неза-
независимость дифференциалов G.13.52) является следствием действительной
линейной независимости линейных дифференциалов
(а) 1Т (</,рО, у=1,2, ...,0-1,
(Ь) И^(<7). V = 2, 3, .... О- 1, G.13.53)
(с)
Независимость этих дифференциалов следует из того факта, что вычет
дифференциала гТ' (д, рч) в точке ру равен —/, в то время как вычеты
дифференциала И^р^?) в точках р19 /^ равны ± 1. Если некоторая линей-
линейная комбинация дифференциалов G.13.53) с действительными коэффициентами
тождественно обращается в нуль, то и вычеты равны нулю и, следовательно,
ни один из дифференциалов (а) или (Ь) не может иметь коэффициента,
отличного от нуля. Так как дифференциалы 2^ независимы, то все коэффи-
коэффициенты равны нулю. Дифференциалы базиса G.13.52) обозначим через
Член р8 (<7) ведет себя вблизи кривой у как обратный дифференциал.
Следовательно, имеет смысл попытаться представить его в виде линейной
комбинации обратных дифференциалов п(р, ^)- Не уменьшая общности,
можно предположить, что жорданова кривая ? не окружает ни одного из
р-полюсов ядра п(р, ^)- Выберем теперь в области, ограниченной кривой 7»
а точек д^> Для которых выполняется соотношение
Такие точки <^ всегда существуют, так как в противном случае должно
было бы выполняться тождество
1т {^ МЗг(<7)}=0> ?е5ГО, G.13.54)
где числа ^ действительны. Однако это невозможно, так как дифферен-
дифференциалы (^ линейно независимы. Положим
з (Р) = 2 а^ (г) п (Р> ^)> G.13.55)
где коэффициенты аV(г) действительны. Попытаемся подобрать функции
д^(е) так, чтобы выполнялись а уравнений G.13.46) — G.13.48). Используя
теорему о вычетах, этим уравнениям можно придать следующую форму:
а
G.13.56)
§ 13, Вариация, сохраняющая конформный тип 265
Через — Рг (г0) здесь обозначены функции /%о(г0), 6Уо(г0)> Н^о(го)9 рассмот-
рассмотренные выше. Из уравнений G.13.56) можно вычислить величины я^@).
( Заметим далее, что функции Фг (а1у ..., аа\ г) непрерывно дифференци-
дифференцируемы по всем переменным. Это утверждение в конечном счете следует из
«того, что функция Грина С* (р, ^) имеет непрерывные производные любого
порядка как по ее аргументам, так и по параметру е. В самом деГле, из
формулы G.13.1) видно, что разность С*(р, ^) — С(р, Я) можно представить
в виде линейной комбинации степеней е, ..., еа с точностью порядка
О(еа+1). Таким путем можно получить более точные вариационные формулы.
Мы, одцако, ограничимся ради простоты членом первого порядка.
Применим теперь следующую теорему из теории неявных функций (см.
[4], стр. 91)).
Рассмотрим систему уравнений
/ V (^1» %2* • • • » ^а> *) == ^Л ^==\у2у...у0. G. 1о.Э7)
Пусть числа х\, .. ., х1 выбраны так, что
V (
V :— 1 ^ ^ ^ ...^ о.
Допустим также, что все а(а-)-1) функций д[у/дх^ д^/д1 непрерывны по-
их с+1 аргументам и что определитель | д^/дх9 \ отличен от нуля в точке
(х1, . .., х1\ 0). При этих условиях существует единственная система непре-
непрерывных функций ЯР@> определенная для достаточно малых значений пере-
переменной г и такая, что
= *р> р= 1, 2, ..., с,
и
ШЛ*)> йС).--.. г.С);0 =
по переменной /. Более того, первые производные с1@ч({)/сН существуют
и непрерывны в рассматриваемом ^-интервале.
Применяя этот результат к нашей специальной задаче, замечаем, что
обратный дифференциал г0 (р) можно определить произвольно [отвлекаясь,
конечно, от условий G.11.2)]. Затем можно также найти функцию ре(р),
непрерывно дифференцируемую по параметру е, являющуюся обратным диф-
дифференциалом точки р и удовлетворяющую тождественно при достаточна
малом е всем условиям G.13.18) — G.13.20).
В этом параграфе мы предполагали, что поверхность 9Л имеет край;
то же самое рассуждение применимо и в случае замкнутой поверхности.
В этом случае роль края играет та точка <7о поверхности, по отношению
к которой интеграл 1^ нормируется условием 1т ^(^^О (той 1). При
этом удобно подчинить функцию го(р), в дополнение к условиям G.11.2),
также условию
Н (?о) = ^7" 5 Г° (л) п (9о> Рг^аг± = °* G.13.58)
Это условие упрощает некоторые формулы и, согласно формуле G.13.32),.
приводит к заключению, что точки ^0 и <7* имеют одну и ту же координату
при любом выборе локальной униформизирующей.
Результаты этого параграфа резюмируем в виде следующей теоремы:
Теорема 7.13.2. Пусть ? является жордановой кривой, лежащей
в области пригодности локальной униформизирующей г на поверхности $Щ.
Пусть г0 (г) —- некоторая регулярная аналитическая функция в полной окрест-
Или [7].— Прим. перев.
<
I
266 Гл. 7. Вариации поверхностей и их функционалов
ности кривой ^, удовлетворяющая условиям ортогональности
G.13.59)
где (%ъ, B2, ..., С}0 — базис всюду конечных квадратичных дифференциалов
поверхности $Щ. Пусть функция го(г) в своей зависимости от униформизи-
рующей преобразуется как обратный дифференциал. Через т обозначим
число компонентов края Ш и положим
^7" 5 Г° ^ П ^' Рг) Л*х ~' '^ 5 ^ ^ п (р* Р^ Л*х при т > °'
~ G.13.60)
° ^ п (р> р^ йг* при т:=0'
т
Если поверхность Ш замкнута, то функция г0 (р) подчиняется дополни-
дополнительному условию
Л(<7о) = <>, G.13.61)
где через ^о обозначена та точка, для которой 1т 2^ (^0) ^ 0 (тосИ),
Р=1, 2, ..., 20, 0 = й.
При этих предположениях для всех достаточно малых е существует функ-
функция ре (г), равномерно ограниченная по г и такая, что присоединение клетки
к поверхности Ш вдоль кривой у при помощи обратного дифференциала
г(г) = го(г) + г?г(г) G.13.62)
по способу § 8 гл. 7 приводит к поверхности 5Ш*, конформно* эквивалент-
эквивалентной 5Щ- Иначе говоря, существует взаимно однозначное конформное отобра-
отображение, при котором точка р*€Ш* переходит в точку р€Ш-
Если локальные координаты точек р* и р выражены при помощи одной
и той же униформизирующей г поверхности $0Ь г* = г(р*), г = г(р), то из
теоремы 7.13.1 следует соотношение
г* = г+гН(р) + о{г). G.13.63)
Теорема 7.13.2 оправдывает утверждение, сделанное в конце §8 гл. 3,
о том, что квадратичные дифференциалы связаны с модулями римановой
поверхности
§ 14, ВАРИАЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
В гл. 5 была развита теория отображений заданной поверхности
другую поверхность 9^. Были получены необходимые и достаточные условия
существования таких отображений, локально заданных некоторыми степен-
степенными рядами. Эти условия выражаются через коэффициенты рассмотренных
степенных рядов. Однако уже для небольших номеров коэффициентов эти
условия настолько сложны, что ответ д#же на относительно простые во-
вопросы становится затруднительным. В том случае, когда 5Л обозначает еди-
единичный круг, а 91 —комплексную плоскость, вышеприведенные условия могли
ры, например, решить проблему коэффициентов однолистных функций. Тем
не менее оказалось невозможным получить при помощи этих условий оценки
даже для третьего коэффициента степенных рядов однолистных функций.
Следовательно, представляется полезным применить вариационные методы
и охарактеризовать те отображения, для которых заданный функционал до-
достигает экстремума. Ясно, что основным орудием такого вариационного под-
подхода должна явиться достаточно общая формула для построения близких
отображающих функций. Мы получим такие формулы, обобщая методы § 3
гл. 7.
§ 14. Вариационные формулы 267
Пусть заданная поверхность 91 отображена на подобласть Ш поверхно-
поверхности $К. Поверхность 91 может иметь край или может быть замкнутой. Если
91 замкнута, то необходимо замкнута и поверхность 91; в этом случае $Щ = 91.
Интересная проблема возникает, например, в том случае, когда поверхностью91
является многосвязная область и поверхностью 9?—-сфера. Этот случай,
который мы рассмотрим в следующей главе, приводит к теории однолистных
функций в многосвязных областях.
Произведем на 91 внутреннюю деформацию описанного в§ 13 гл. 7 типа.
Заданное отображение 91 на Ш определяет в этом случае некоторую внут-
внутреннюю деформацию (присоединение некоторой клетки) поверхности $Щ, а зна-
значит, и поверхности 9?. Если в нашем распоряжении имеется достаточное число
параметров, то можно построить такую внутреннюю деформацию, которая сохра-
сохраняет конформный тип поверхностей 91 и ?И одновременно. Отображение 91
на переменную подобласть $Щ* СИ 9^ служит бесконечно близким отображением
сравнения для исходного отображения 91 на $Щ.
Обозначим через N отображение поверхности 91 на произвольную под-
подобласть 9Л заданной поверхности 9Ь Пусть Сг(р), С2(р)> •••> С1э1(р) и ^а(<7)>
^2 (я) у • • •» ^2 (я) обозначают действительные базисы всюду конечных квадра-
квадратичных дифференциалов соответственно поверхностей 91 и 91. Через с1 обо-
обозначим число действительных модулей для 91 и через а2 — то же число для 9{.
Предположим, что точка р€91 соответствует точке ц 6 Ш при отображении N.
Рассмотрим линейную комбинацию
G.14.1)
где ги[ являются соответственно униформизирующими в точках р^91 и
<д^Ш. Если существует а1 4- а2 действительных чисел с19 . .., са1, С19 ..., Са2,
из которых хотя бы одно отлично от нуля, таких, что наша линейная комби-
комбинация тождественно равна нулю, то о1-\-о2 дифференциалов называются
линейно зависимыми по отношению к преобразованию N.
Предположим сначала, что наши дифференциалы независимы по отноше-
отношению к N. Через у обозначим некоторую жорданову кривую в области локаль-
локальной униформизирующей г на поверхности 91 и через г0 (р)—некоторый обрат-
обратный дифференциал, регулярно аналитичный в окрестности кривой у. Пусть
точка ц является образом точки р при отображении N. Положим
о (Р) = Яо (<7) |. G-14.2)
где С обозначает униформизирующую в токе ц. Образ жордановой кривой у
в плоскости переменной С обозначим через Г. Предположим, что выполняются
следующие соотношения:
G.14.3)
,G.14.4)
Через т19 т2 обозначим числа компонентов края и через п (р19 р2), N (д1У
я-функционалы соответственно поверхностей 91, 9^. Положим
Г г0 (рг) п (р, рг) йгг - 7Г-. \ 70 (рг) п (р, ра) 0гг при т1 > О,
ПрИ
G.14.5)
268 Гл. 7. Вариации поверхностей и их функционалов
И
г Г
1 G.14.6)
| 25 } ^о (<7) ^ (?' ^ ^ прИ т2 = °-
Когда одна из поверхностей 31, 91 замкнута, будем предполагать, что соот-
соответствующее условие G.13.58) выполнено. Другими словами, на функцию го(р)
налагаются требования теоремы 7.13.2 по отношению к обеим поверхностям
31 и Ш.
На функцию р8 наложим всего о1+о2 условий: сх условий G.13.46) —
G.13.48), налагаемых поверхностью 31, и а2 соответствующих условий, нала-
налагаемых поверхностью 5Й. Наши квадратичные дифференциалы независимы в
действительном смысле. Рассуждение § 13 гл. 7 показывает, что существует
для всех достаточно малых е ограниченная равномерно по е функция р8 (г)г
обладающая нижеследующими свойствами. Положив
Ф) = го(г)+в[?ш(г), G.14.7)
идентифицируем точку г кривой у с точкой г-\-ег(г) соседней кривой у8 по
способу § 8 гл. 7. Так как переменная г одинаково пригодна как в
качестве униформизирующей поверхности 31, так и в качестве униформизи-
рующей поверхности Й, то можно одновременно образовать эт*им способом
поверхности 31* и 9?* соответственно из 31 и 9?. Функция р8 (г) обладает тем
свойством, что не только поверхности 31 и 31*, но и поверхности 91 и ?И*
имеют один и тот же конформный тип.
Обозначим отображение 31* на 31, при котором точка р* переходит в
точку р, через А^; отображение 91* на 91, при котором точка 9* переходит
в точку #, обозначим через /?8. При отображении N поверхности 31 в 91
пусть точка р с локальной координатой г переходит в точку ц с локальной
координатой С- Обращение формулы G.13.32) дает соотношение
G.14.8)
Аналогичное обращение для поверхности 91 дает
G.14.9)
Произведение отображений Ы^МКе является взаимно однозначным конформ-
конформным отображением 31 на подобласть Ш* поверхности 91, переводящим точку
р 6 31 в точку ц б 91. Выражая это отображение при помощи локальной уни-
униформизирующей, получим
§ G.14.10)
Здесь функции Н(р), Я(^) выражены соответственно при помощи унйформи-
зирующих г, С-
Итак, для заданного отображения N поверхности 31 на область ЗЛ по-
поверхности 91 можно построить некоторое варьированное отображение G.14.10),
при котором 91 переходит в подобласть 5ШД поверхности 91, являющуюся
е-вариацией области ЭДЬ Возможность варьировать конформные отображения
этим способом позволяет применить вариационное исчисление для исследова-
исследования экстремальных задач теории конформных отображений.
Однако следует еще убедиться в том, что отображение G,14.10) не сво-
сводится к тождеству Сд = С и даже не сводится к отображению вида1 СА = С
§ 14. Вариационные формулы 269
о(е). Необходимо, следовательно, рассмотреть случай, когда соотношение
^ го (Рг) п (/>> Рг) йгг - 2Й $ ^> ^ П ^
т
1 V -х ,~ч .,, ~* « I GЛ4Л1)
выполняется тождественно для всех допустимых функций го(р). Простоты
ради предположим, что тг > 0 и т2 > 0; то же рассуждение применимо и
во всех других случаях. Не уменьшая общности, можно предположить, что
УЬ совпадает с $Щ; иначе говоря, можно считать, что 91 уже вложена в по-
поверхность 91. Итак, можно считать г = С, р = ц, 1 = Г, г0 ($) = /?0 (^). Формула
G.14.11) принимает более простой вид
G.14.11)'
Это уравнение должно выполняться для любой функции го(^), удовлетворя-
удовлетворяющей условиям G.14.3) и G.14.4). Нетрудно видеть, что это условие может
удовлетворяться только тогда, когда соотношения
N (<?, Ч1) - п (<?, дг) = § «
я
^ (?, й) - л (?, Яг) = 2 IV (?) <^ Ы + 2 ^ (?)
V=1 Vа=1
выполняются тождественно по цх при произвольном выборе ц. Однако пос-
последнее уравнение, очевидно, невозможно тогда, когда <7 является такой
граничной точкой 5ГО, которая не является ни ^-полюсом ядра п(<7, ?х), ни крае-
краевой точкой 91. В этом случае ядро п (<7, Ц^ должно было бы неограниченно
возрастать, в то время как ядро Л^ (<7, дг) остается конечным, так как ц
не является краевой точкой поверхности &.
Итак, доказана следующая
Теорема 7.14.1. Если поверхность 91 может быть отображена в
подобласть Щ поверхности 91 и если базисные квадратичные дифференци-
дифференциалы поверхностей Ш и Ш линейно независимы в действительном смысле,
то существует бесконечно много отображений 91 в 91 вида G.14.10).
Было, однако, предположено, что о1-\-а2 двадратичных дифференциалов,
возникающих из поверхностей 9^ и 91, линейно независимы в действительном
смысле. Допустим, что это условие не выполнено. Тогда существуют дей-
действительные числа сг, ..., св1, Сг, ..., С„2, не все равные нулю, для кото-
которых выполняется тождество
а1
G.14.1)'
V=1
Не все коэффициенты с^ равны нулю, так как дифференциалы &^ линейно
^независимы. Аналогично, не все коэффициенты С^ равны нулю. Положив
°Ъ
= -2 с^(<?), G.14.12)
270 Гл. 7. Вариации поверхностей и их функционалов
получим уравнение
(ЦУ G.14.13)
где индекс обозначает ту униформизирующую, при помощи которой выражен
соответствующий дифференциал. Это уравнение показывает, что поверхность 91
отображена на такую подобласть $Щ поверхности 91, край которой состоит
из конечного числа аналитических дуг, причем на каждой из них выполняются
неравенства
(?) (К? > 0 или их, (?) ($? < 0.
Доказательство этого утверждения зависит только от локального поведения,
вблизи края и, следовательно, совпадает с доказательством, данным в [8]>
гл. VI, где 3 и С} являются квадратичными дифференциалами специального
типа. По этой причине доказательство будет здесь опущено. Уравнение
G.14.13) можно также интерпретировать в том смысле, что оно утверждает
принадлежность квадратичного дифференциала ^;(^)^2 как поверхности Ш*
так и поверхности 91. В этом случае уравнение G.14.13), записанное в форме
= <Зг(р)с1г2, G.14.13)'
выражает инвариантность квадратичного дифференциала при замене унифор-
мизирующей.
В том случае, когда область 5Щ СИ 91 имеет квадратичный дифференциал,
всюду конечный на 91 и являющийся, следовательно, квадратичлым диффе-
дифференциалом также для 91, может случиться, что $Щ нельзя варьировать в 91
с сохранением конформного типа. В этом случае мы скажем, что область Ш
строго вложена в поверхность 91.
Рассмотрим следующий пример строгого вложения. Через 91 обозначим
трехсвязную область комплексной плоскости, ограниченную тремя кривыми В^>
V= 1, 2, 3. Предположим, что кривая В1 окружает две другие кривые В2 и
Вг Связав В2 с В3 посредством некоторого континуума, лежащего в об-
области 91, получим двусвязную область 5ЩСП91. Эту область можно отобра-
отобразить на круговое кольцо в ау-плоскости: 1 < \хю\ < и(9#). Число ^{Щ) назы-
называется модулем двусвязной области $Щ. Нетрудно показать, что существует
такая подобласть Ш СИ 91, полученная из 91 посредством удаления некоторой
дуги, соединяющей кривые В2 и В3, модуль которой имеет наибольшее зна-
значение по сравнению с модулями всех двусвязных областей, вложенных
тем же способом в 91. Эта область 5Ш строго вложена в 91 в том смысле,
что она не может быть отображена ни на какую соседнюю область в 91
того же конформного типа. В самом деле, любая другая подобласть 91,
достаточно близкая к $Щ, имеет меньший модуль и, следовательно, не может
быть эквивалентна области 9Л- Единственно возможным конформным ото-
отображением в области 5Ш является отображение Ш на себя; в случае дву-
двусвязной области это отображение всегда существует. Из общей теории ясно,
что области 5Щ и 91 должны иметь общий квадратичный дифференциал. Это
нетрудно показать, характеризуя экстремальное свойство области вариацион-
вариационными методами. Проведем теперь это рассуждение, которое послужит также
иллюстрацией использования общих формул.
Обозначим через ы) = ^(г) однолистную в области $Щ функцию, отобра-
отображающую Ш на круговое кольцо ау-плоскости. Очевидно, что функция
G.14.14)
является единственным абелевым интегралом первого рода в области
Действительно, ее мнимая часть однозначна в Ш и имеет соответственна
§ 15. Вариации граничного типа 271
граничные значения 0 и 1. Период Гп интеграла 1Х (г), очевидно, выражается
формулой
^- G-14.14)'
Итак, вместо того чтобы искать максимум модуля области $Щ, можно искать
максимум периода Гп области $Щ.
Проведем в 9К жорданову кривую ? и присоединим вдоль ? некоторую
клетку при помощи функции го(г), которая должна быть ортогональна всем
конечным квадратичным дифференциалам области 91. Для новой области
выполняется, согласно формуле G.8.12), соотношение
* =Г-! — 2Ке4 -777- \ гп(Л B, (ЛJЛ ^ +0(е2). G.14.15)
Экстремальное неравенство Г][81<Г11 и произвольность числа е необходимо
приводят к заключению, что
G.14.16)
где функция гоA) ортогональна всем конечным- квадратичным дифферен-
дифференциалам области 91. Обычное рассуждение вариационного исчисления пока-
показывает, что сам дифференциал {Тх (г)J является конечным квадратичным
дифференциалом области 91.
Если замыкание области $Щ не заполняет 91, то простейшую вариацию
получим, выбирая кривую Г внутри 91 и вне $Щ- В этом случае мы предпо-
предполагаем, что обратный дифференциал удовлетворяет только требованиям тео-
теоремы 7.13.2 относительно 91. Очевидно, что отображение Ы#в будет в этом
случае взаимно однозначным конформным отображением поверхности 5Л на
подобласть 2#А поверхности 91, имеющим вид
G.14.17)
§ 15. ВАРИАЦИИ ГРАНИЧНОГО ТИПА
В § 14 гл. 7 были рассмотрены вариации «внутреннего типа». Это озна-
означает, что вариации указанного типа зависят только от характера отображения
внутри области $Щ и не зависят от поведения отображения на границе.
Преимущество вариаций внутреннего типа в экстремальных задачах очевидно,
так как а рпоп не ясно, что некоторое экстремальное отображение хорошо
ведет себя на границе. Вариации, при которых отображение предполагается
регулярным или по крайней мере достаточно гладким на границе, назовем
вариациями «граничного типа». Вариации этого рода полезны для получения
дальнейших сведений о таких экстремальных отображениях, относительно
которых при рассмотрении вариаций внутреннего типа установлено, что их
поведение на границе достаточно регулярно. Вообще говоря, вариации гра-
граничного тигга проще строятся, чем вариации внутреннего типа.
Отметим здесь одну простую вариацию граничного типа для функции /(/?),
определенной на римановой поверхности Ш с краем. Ради простоты предпо-
предположим, что функция / регулярно аналитична внутри и на краю поверхности Ш-
Вариацию граничного типа можно получить из вариации внутреннего типа,
если взять дугу т вдоль края 9#. Член вЯ(^) в формуле G.14.10) можно
теперь опустить, так как регулярность внутри поверхности $01 уже не нару-
нарушается присутствием сингулярного члена. Так как дуга ? лежит на краю
поверхности 5Ш> то сопряженная дуга-у совпадает с ней. Следовательно, два
272 Гл. 7. Вариации поверхностей и их функционалов
интеграла в выражении Н(р) взаимно уничтожаются и функция Н{р) тожде-
тождественно обращается в нуль. По этой причине следует вместо функций Н(р)
выбрать обратный дифференциал
о- G.15.1)
Пусть 7 лежит в области граничной униформизирующей г. Положим
G.15.2?]
где функция V (г) регулярно аналитична в полной окрестнЬсти дуги ?, дей-
действительна на -]- и равна нулю в конечных точках ?. Предположим, что ч(г)
является обратньш дифференциалом в своей зависимости от униформизирую-
униформизирующей. Если переменная гг является произвольной униформизирующей в ок-
окрестности дуги 1% то
VI (гг) = V (г) %- . G.15.2)''
Итак, функция V(г) тогда и только тогда действительна на ?, когда уни-
формизирующая, через которую эта функция выражена, является граничной
униформизирующей.
Если краевая точка р поверхности 5Щ не лежит на ?, то из определения
функции г0 и из формулы G.10.19) виднр, что выражение х(р)/^г Действи-
Действительно. Пусть теперь р приближается к некоторой внутренней точке дуги у.
В окрестности этой краевой точки деформируем путь интегрирования фор-
формулы G.15.1) в дугу полуокружности, лежащую вне области 5Щ на дублер-
Заставляя радиус этой окружности стремиться к нулю, получим соотношение
Г° ^ п (р> Рг) й2г + Ь №' G.15.3)
в котором интеграл понимается в смысле главного значения по Коши. Пред-
Предположим здесь, что интегрирование вдоль дуги -у производится в таком на-
. правлении, что внутренние точки $Щ остаются слева. Итак, в краевых точках
р€Ш> не лежащих на ?> выражение х(РI^г действительно, а в точках 7
это выражение равно некоторому действительному количеству плюс чисто
мнимый член Ь(гIйг.
Предположим теперь, что функция г0 удовлетворяет условиям ортого-
ортогональности
\ ...,а. G.15.4)
Из формулы G.10.27) видно, что дифференциал х(Р) регулярно аналитичен
всюду внутри Ш- Следовательно, если функция / регулярно аналитична и
однозначна на ЭДЬ то и дифференциал
(р) = I (р) + *Г (р) х (р) G-15-5)
обладает этими свойствами. Введем следующие обозначения:
Ьг = ш (г); Ьш = Вш (р) = /' (р) Ьг\
Из формулы G.15.5) получим выражение
Ъы>(рОдт(р) П
Литература 273
где оу = /(/?), а Ьхю(р) обозначает нормальное смещение границы в плоскости
переменной т. Когда величина.^ положительна, это смещение происходит
в направлении внутренней нормали.
В качестве дуги 7 может быть принят целый компонент края, на котором
лежит эта дуга. В этом случае ограничение, касающееся обращения в нуль
функции V(г), может быть опущено.
Формула G.15.7) является обобщением хорошо известной вариационной
формулы Жюлиа для единичного круга (см. [3]). Эта формула может приме-
применяться тогда, когда граница в ш-плоскости кусочно аналитична или состоит
частично из кусочно аналитичных разрезов. При этом функция V (/?), вместе
с надлежащим числом ее производных, должна обращаться в нуль в конечных
точках аналитических дуг или разрезов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Адамар (Наёатагс! Л.)
Мётсмге зиг 1е ргоЫёте сГапа1у$е ге1аШ а ГёдиШЪге с^ р1адиез ё1а5^ие5
епса51гёе5, Мётсмгез ргёзегйёз раг сНуегз зауагйз а ГАсаёёппе ёез Заепсез, 33
A908).
2. Гарабедиан, Шиффер (СагаЪесПап Р. К., 5 с Ь И I е г М.)
НегШИез т 1пе 1пеогу о! соги"огта1 таррт§, Тгапз. Атег. Ма1Ь. 5ос, 65
A949), 187—238.
3. Жюлиа (Л и П а С.)
5иг ипе ё^иа^^оп аих ёепуёез {опсИопеПез Нее а 1а гергё5еп1аИоп соп!огте,
Аппа1ез 5а. ее ГЕсо1е Ыогта1е 5ир. C), 39 A922), 1—28.
4. Кар атеодор и (Сага1ЬеоAогу С.)
УапаНопзгесЪпищ*, ТеиЬпег, Ье1р21§, 1935.
5.* Маркушевич А. И.
Теория аналитических функций, М.—Л., 1950.
6. Таннери, Молк (Таппегу Л., М о 1 к Л.)
Е1ётеп1з ее 1а Игёопе ёез 1опсИоп5 еШр^йез, ТаЫеаи ёез !огти1ез, уо1. IV,
Саи1Ыег5-УШаг5, Раг15, 1902.
7.* Фихтенгольц Г. М.
Курс дифференциального и интегрального исчисления, М.—Л., 1947.
8. Шеффер, Спенсер E сЬаеНег А. С, Зрепсег Э. С.)
СоеШЫегй ге^1опз 1ог зспНсЫ ГипсИопз, Со11о^и^ит РиЬНсаИбпз, уо1. 35, Атег.
Ма1п. 5ос, Ые\у Уогк, 1950.
9. Ш и ф ф е р E с Ь Ш е г М.)
а) Наёатагё'з 1огти1а апс! уаг1а11оп о! ёота1П-!ипсиоп5, Атег. Лоигп. о! Ма1Ь.,
68 A946), 417—448.
Ь) ТЬе кегпе1 {ипсИоп о! ап ог!попогта1 зу$1ет, Иике МаНг. Лоигп., 13 A946),
529—540.
с*) УапаНоп о! ёота1п ГипсИопаЬ, Ви11. Атег.ТМа1п. [5ос, 60, № 4 A954),
303—328.
10. Шиффер, Спенсер Eсгм!!ег М., 5 р е пс е г Э. С.)
а) ТЬе соеШаеп! ргоЫет 1ог тиШр1у-соппес1еA Aота1П5, Аппа1$ о! Ма1Ь.,
52 A950), 362—402.
Ь) А уапа1юпа1 са1си1из !ог К1етапп $иг!асез, Апп. Асаё. 5с1. Репп., А. I, 93
A951).
Заказ № 634
ГЛАВА 8
ПРИЛОЖЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО МЕТОДА
§ 1. ТОЖДЕСТВА ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛОВ
В этом параграфе будет показано, как вариационные формулы, выведен-
выведенные в предыдущей главе, могут быть применены для исследования тех соот-
соотношений, которые имеют место между функциями, дифференциалами и их
периодами на замкнутой римановой поверхности ЭДЬ Для этой цели доста-
достаточно будет рассмотреть вариации поверхности ЗЯ особенно простого типа.
Выберем произвольную точку /6 9К и введем локальную униформизи-
рующую г, обращающуюся в нуль в /. На г-плоскости опишем окружность
раДиуса р вокруг начала, целиком лежащую в области пригодности унифор-
мизирующей в окрестности /. Через ? обозначим кривую на $Щ, соответ-
соответствующую окружности | г | = р. Вдоль кривой у присоединим клетку по методу
§ 8 гл. 7; для этой деформации воспользуемся величинами г(г) = е21(?[г,
с = р2. При нашей деформации точка г = ре(а окружности переходит в точку
г* = г + е21(? р2 — = р е1* [е1<а-& + е1&~аЦ = 2р е1(? соз (а — ©). (8.1 Л)
Следовательно, деформацию поверхности Ш можно описать следующим
образом. В круге |г|<р проведем диаметр, имеющий направление комплекс-
комплексного вектора е1*. На окружности этого круга идентифицируем те точки,
которые лежат на одной и той же нормали к построенному диаметру.
Это построение приводит к некоторой новой римановой поверхности 5Щ*.
Оставаясь вне кривой у, можно для точек поверхностей 9#* и $Щ пользо-
пользоваться одними и теми же координатами р, ц.
Дри помощи вариационных формул § 8 гл. 7 можно теперь выразить
различные функции и дифференциалы поверхности $Щ* через функции и диф-
дифференциалы поверхности 9#. Для получения формул, подходящих для наших
частных целей, удобно будет изучить поведение тех абелевых интегралов
на поверхности Я#, периоды которых нормированы относительно циклов Кгц-ь
В частности, рассмотрим интеграл третьего рода № (р, р0', 9,%)» симметрич-
симметричный Ао двум парам его переменных и имеющий вдоль нечетных циклов
равные нулю периоды. Через юддо{р) обозначим рассмотренный в § 3 гл. 3
абелёв интеграл третьего рода, периоды которого вдоль циклов Коц-1 равны
нулю. Тогда
Соответствующие величины для поверхности $Щ* будем обозначать теми же
буквами со звездочкой. Нетрудно видеть, что при этих обозначениях спра-
справедлива формула [см. формулу G.8.18)]
(р. р0; я, Яо) = и7 (р. р0; я, я0)+^ Р2 кРо Ц) ш^0 Ц) + о (Р2). (8.1 .
Заставим теперь точку р описывать цикл /Bц и сравним периоды обеих
частей нашего равенства. Используя соотношение периодов C.4.4)', получим
формулу
К (9) - К Ы = ^ (Я) - ^ Ш + *2* Р2 К @ *'яял @ + о (р2), (8.1.4)
§ и Тождества для функционалов 275
где через Ц* (ц) обозначен ^-й абелев интеграл первого рода, определенный
в § 3 гл. 3. Итак, для этих интегралов также получена вариационная формула.
Матрицу периодов дифференциалов хю'^ (#) по отношению к циклам /С2у
обозначим через ||уцл>||- Заставляя точку ц в тождестве (8.1.4) пробегать
цикл Кчч<> получим вариационную формулу периодов
(8.1.5)
Наконец, из формулы (8.1.3) можно вывести особенно элегантную
вариационную формулу длЙ билинейного дифференциала
(8Л.6)
симметричного относительно р иди имеющего полюс второго порядка при
р = #. Дифференцируя обе части равенства (8.1.3) по р и ду получим
**(/?, <7)=Х(р, д) + е^?П((,рI({,д) + о(?*). (8.1.7)
Формулы (8.1.3) —(8.1.7) полностью аналогичны формулам § 8 гл. 7.
Преимущество риманового нормирования наших дифференциалов состоит
в том, что в вариационных формулах фигурируют сами дифференциалы,
& не действительные части некоторых выражений, построенных из этих
дифференциалов.
Полученные формулы применим теперь для доказательства того, что
между периодами у^ дифференциалов первого рода и модулями поверх-
поверхности ЭДЬ рассмотренными в предыдущей главе, существует дифференциаль-
дифференциальная зазисимость. В теореме 7.12.1 были введены 6А —6 действительных
параметров, зависящих от нулей и периодов дифференциала Ъ' (р) на Ш
и полностью характеризующих конформный тип Щ. Эти параметры обозначим
теперь через рг В § 13 гл. 7 были вычислены вариации этих величин при
присоединении клетки общего вида. В указанном выше случае специальной
деформации получим формулы
Р/= ^ + Ке{^>р^у@} + о(р2), (8.1.8)
где квадратичные дифференциалы B}({), /= 1, 2, ..., 6/г—-6, линейно неза-
независимы в действительном смысле.
Докажем сначала следующую теорему:
Теорема 8.1.1. Каждый квадратичный дифференциал вида хю^ (/)т^ {г)
можно представить в виде линейной комбинации
6/1-6
= 2 4*./Су @ (8-1-9)
/1
дифференциалов О.](г) действительного базиса с действительными коэффи-
коэффициентами Л^, /•
Для доказательства предположим, что утверждение теоремы неверно.
Тогда найдутся такие числа р. и V, что 6/г —5 квадратичных дифференциалов
^@^@» ^^(I) будут линейно независимы в действительном смысле.
Существуют, следовательно, 12/г — 11 точек 1а на Ш и 12/г— 11 действи-
действительных чисел са, таких, что
12/1-11
1] с«<г,(/«) = О, /=1, 2,...,6/г-б,
а"=1 (8.1.10)
12/1-11 у '
а—1
Каждую из точек 1а окружим маленькой окружностью радиуса р. При
помощи функций га(г) = сае21ч/г, в = р2 построим теперь вариацию поверх-
18*
276 Гл. 8. Приложения вариационного метода
ности 50Ь состоящую в присоединении 12/г—11 клеток на построенных
окружностях. Методами § 13 гл. 7 эту вариацию можно исправить добавле-
добавлением члена порядка о(р2) так, чтобы Щ переходила в конформно эквива-
эквивалентную поверхность $Щ*. Следовательно, эта поправка может быть выполнена
так, что модули \х. не изменятся при вариации. С другой стороны, формулы
(8.1.5) и (8.1.10) показывают, что периоды у^ должны измениться при
той же самой вариации. Мы пришли к противоречию, т^к как матрица
периодов у^ является конформным инвариантом. Х|м самым теорема доказана.
Формула Щ
доказывается аналогично. Наконец, из формул (8.1.5), (8.1.8),.(8.1.9) и (8.1.9)'
получим
6Л-6
6аЛ (8.1.10)'
у-у^} = 2 2^
Отсюда следует, что периоды у^ можно дифференцировать по р.-. Соотно-
Соотношениям (8.1.10)' можно придать следующий вид:
^ 5^=2«ЛЦ^. (8.1.11)
Итак, доказана
Теорема 8.1.2. Матрица периодов у^ связана дифференциальными
соотношениями с бй-6 действительными модулями ру.
Подобным путем можно показать, что дифференциалы на поверхности $Щ
обладают производными по модулям р.-. Зависимость принадлежащих рима-
новой поверхности дифференциалов от модулей этой поверхности интенсивно
изучалась со времен Б. Римана и Л. Фукса. Основным орудием исследова-
исследования служит здесь теория тэта-функций, позволяющая получить значительное
количество соотношений и дифференциальных уравнений. Однако эта теория
зависимости дифференциалов от модулей всегда страдала чрезвычайной
сложностью получаемых формул. Из вариационных формул (8.1.3), (8.1.4),
(8.1.5) и (8.1.7) нетрудно получить все эти соотношения. Мы проиллюстри-
проиллюстрируем этот метод, рассмотрев одно его частное приложение.
Через хю[(р) обозначим первый дифференциал первого рода, нормирован-
нормированный по Риману, и положим
ф /л п\ = Ур'я)_ ч. (8.1.12)
Это выражение зависит от р и ц, В качестве локальной униформизирующец
можно воспользоваться функцией хюх (р) и рассматривать выражение Ф (р, ^)
как аналитическую функцию переменной а^:
(8.1.13)
Функция Ф также зависит, конечно, от модулей поверхности $Щ. Желая
изучить природу функции Р, выполним специальное преобразование 2# в по-
поверхность 5Ш*, рассмотренное выше. Используя формулы (8.1.3) —(8.1.7),
найдем:
Ф* (р, <?) = Р (ш*, «>*; $) = Ф (р, д) +
[Ф A, р) Ф (г, д)-Ф (р, Я) (Ф ((, р) + Ф (/, д))\ К (О2 + о (р*).К ' ' '
§ 1. Тождества для функционалов 277
Для получения этого простого результата необходимо нормировать интеграл
щ(д) так, чтобы его значения в фиксированной точке до€Ш и в соответ-
соответствующей точке до€Ш* совпадали; при этом интеграл щ (д) будет полностью
определен. В силу формулы (8.1.4) и нашего нормирования, в качестве
локальных униформизирующих в точках р, д^ЗЛ* можно принять
р2 т[ @ <орЯо @ + о (р2),
Подставляя эти величины в выражение для функции Р (ы>*у (о*; р.*) и разлагая
в ряд Тейлора, получим
Ф (р, д) + е*>* р2 [Ф (*, р) Ф {г, д) - Ф (р, д) (Ф (/, р) + Ф (Л д))] К (О2 =
6/1 — 6
Выполним здесь приведение подобных членов, разделим затем обе части на р
и перейдем к пределу при р—»0. Получим тождество
(/, р) ф (*, д) - ф (р, ?) {ф (^ р) + ф (Л ?)} -
ЗР (щ сб; ^ ^р @ дР (ш, со; ^
* [() ^ (8.1.17)
6/1-6
Так как это тождество должно выполняться для любых ср, то отсюда
следует другое тождество:
6/1-6
а/г<> (8.1.18)
/= 1 (Х;
При приближении точки ^ к точке ^0 все члены в правой части тождества
(8.1.17), за исключением первых двух, остаются конечными. Следовательно,
особенности этих двух членов должны взаимно уничтожаться. Отсюда полу-
получаем условие
дР (щ о>
; ру) дР (ш, о>; у) _ р (8.1.19)
* ды '
дхю
Это дифференциальное уравнение в частных производных показывает, что Р
является функцией разности ш — (о. Итак, доказаны тождества
Ф (р, д) = Р К (р) - ^ (9); ъ) (8.1.20)
и
Ф (/, р) Ф (/, 7) - Ф (Р, <?) (Ф (^ Р) + Ф (^ V)) =
6^6 1 ар^-о,;^) (?;@ (8.1.21)
^ 2] т ■эй (»{(ОJ'
Для того чтобы лучше понять последнее тождество, упростим наши
обозначения. Положим д = д0 и, кроме того, примем (не уменьшая общности),
278 Гл. 8. Приложения вариационного метода
что щ(до)=вО. Обозначив ш1({) = г, запишем тождество (8.1.21) в следующей
форме:
Р (г - щ цу) Р (г; ^) - Р (до; ^) [Р (г; цу) + Р (г- до; р,)] =
О) 6/1—6 /О 1 ПЛ\
2 а^ «(ОJ '
О /=1
Функция У7 (иг, р-у) является четной функцией переменной до и имеет
в начале координат (соответствующем точке <7о € Ш) двойной полюс. Разло-
Разложение в ряд этой функции имеет вид
Р (до; м-,-) = 2- + а + Ьдо2~г ..., (8.1.23)
где коэффициенты а, Ь, ... зависят от модулей ру Заставим переменную до
стремиться к нулю в обеих частях тождества (8.1.22). При помощи фор-
формулы (8.1.23) получим в пределе уравнение
6/1-6
Р(г; цу-2аР(г;^) + ±Р"(г; ^ = 2 \
Это равенство можно рассматривать как дифференциальное уравнение второго
порядка для функции Р(г; р}), в котором коэффициенты являются простыми
функциями квадратичных дифференциалов поверхности Ш-
Продифференцируем тождество (8.1.22) по переменной г; этим путем
мы можем исключить интеграл в правой части и получить соотношение
6Л-6
Для выяснения смысла этих тождеств полезно будет специализировать
их для случая поверхности 5Ш первого рода. В этом случае наши формулы
сводятся к хорошо известным соотношениям между эллиптическими функ-
функциями. Поверхность Щ униформизируем, отображая ее универсальную поверх-
поверхность наложения на а-плоскость; при этом каждый образ поверхности 9К
будет параллелограммом в а-плоскости. Через со1 и о>2 обозначим периоды этой
сети параллелограммов. Существует единственный интеграл первого рода на Ш,
имеющий вследствие римановского нормирования следующий вид:
хю1 = — и. (8.1.26)
Интегралом третьего рода будет выражение
Чгщ - «>1% («> - а>о) *> (8-1-27)
где а (г) обозначает целую функцию Вейерштрасса, являющуюся мультипли-
мультипликативным интегралом на 5Щ. Дифференцируя это тождество по переменным г
и до, при помощи формулы (8.1.6) получим выражение для дифференциала
; со) = -ш? [^КB-до)) + ^] , (8.1.28)
где о) = аJ/оI является единственным комплексным модулем поверхности $Щ.
Действительная и мнимая части комплексного модуля со могут служить
действительными модулями ^ и р.2. Уравнение (8.1.28) показызает, что Р
§ 2. Проблема коэффициентов однолистных функций 279
является аналитической функцией переменной ^х + Ф-2- Следовательно, а = а (со).
Легко находим следующие выражения:
= 21С/« (ОJ, <Э (/) 2* К С)J ( ' *
Из формулы (8.1.24) получаем
Л>" [ "б" Г B) - V («)«] + ^ • (8.1.30)
Это соотношение доставляет, с одной стороны, дифференциальное уравнение
для функции <(р(г),
У (8.1.31)
и, с другой стороны, зависимость выражения -ц1ш1 от модуля ш:
1 { (8.1.32)
Это хорошо известное дифференциальное уравнение, связывающее периоды
эллиптических функций с отношением периодов (о.
Метод, основные черты которого были описаны выше, позволяет развить
систематическую теорию соотношений, имеющих место между различными
дифференциалами на поверхности ЭДЬ Опять-таки эта теория приводит к до-
довольно сложным формулам. С другой стороны, вариационные уравнения для
функционалов №, шу у^ и Х(р, ^) представляют собой первооснову всей
совокупности возможных соотношений.
§ 2. ПРОБЛЕМА КОЭФФИЦИЕНТОВ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ
Классическая проблема элементарной теории функций состоит в следу-
следующем. Рассмотрим класс всех однолистных в единичном круге функций /(г),
разлагающихся в ряд вида
со
/(г) = г + 2 а^. (8.2.1)
Проблема состоит в определении границ возможных значений модулей коэф-
коэффициентов \а^\; известно, что |а2|<2, |а3|<3 и что эти оценки не могут
быть улучшены. Предполагается, что неравенство |ап(<п справедливо
для всех номеров п. Эта оценка также не могла бы быть улучшена, так
как функция
оо
^ (8-2.1)'
однолистна и для нее в приведенной оценке имеет место знак равенства.
В этой связи рассматривается следующая проблема. Будем представ-
представлять себе множества а2, а3, • • •» #п+1> построенные для всех однолистных
функций (8.2.1), в виде точек 2дгмерного действительного пространства.
Мы получим некоторое подпространство, называемое пространством коэф-
коэффициентов Уп однолистных функций. Проблема состоит в исследовании
структуры пространства Уп и, в частности, 6 исследовании структуры гра-
границы Вп этого пространства. Точки границы Вп определяют некоторые одно-
однолистные функции /(г), обладающие определенными экстремальными свой-
свойствами. Эти функции можно изучать вариационными методами. Вполне воз-
возможно, что решение проблемы коэффициентов в строгом смысле, т. е. уста-
установление точных границ модулей коэффициентов \ап\9 может быть продви-
продвинуто при изучении более общей проблемы пространства Уп, представляющей
и самостоятельный интерес. ,
280 Гл. 8. Приложения вариационного метода -
Вместо описанных выше проблем мы займемся одной более общей зада-
задачей, поддающейся изучению при помощи методов, применимых и в проб-
проблеме коэффициентов. Специализация этой задачи позволяет получить различ-
различные результаты комплексного анализа. Рассмотрим риманову поверхность 31
с краем и предположим, что она может быть конформно отображена в под-
подобласть Ш другой заданной поверхности 91. Пусть точка тс0 € 31 соответствует
точке ДN 91; в точках тс0 и р0 введем такие локальные униформизирующие,
что г(тсо) = О, г(п) = г и оу(/?о) = О, хю(р) = хю. Отображение р = р(п) можно
представить при помощи этих униформизирующих в виде ряда
ш = [(г) = Ь1г + Ь2г2+ .. . +Ьпгп+... . (8.2.2)
Функция /(г) на поверхности 31 однолистна относительно 91. Возникает
проблема определения границ коэффициентов Ь^ и, более общо, изучения
тела коэффициентов 1/п, состоящего из всех возможных точек Ь19 . .., Ьп
2п-мерного эвклидова пространства. Тело У п не обязательно должно быть
связно; действительно, оно может состоять из нескольких непересекающихся
кусков. Однако нетрудно показать, что Уп всегда ограничено и замкнуто,
исключая только тот случай, когда поверхностью 91 является риманова
сфера комплексных чисел.
Действительно, если Ш не является сферой, то существует униформи-
зирующая № на 91, отображающая универсальную поверхность наложения
однолистно либо на внутренность фиксированного круга, либо на ^-пло-
^-плоскость с выкинутой бесконечно удаленной точкой. Не уменьшая общности
рассуждений, можно предположить, что переменная й? в окрестности точки р0
разлагается в ряд вида
И?(ад) = ад+Я2ад2 + В3а>8-г-.. . (8.2.3)
Подставляя сюда функцию ы) = }(г), получим аналитическую функцию пере-
переменной г
...у (8.2.3)'
регулярную в фиксированном круге \г\ <г и однолистную в строгом смысле.
Из теории однолистных функций в фиксированном круге сЛедует, что функ-
функции Р (г) образуют нормальное семейство. Это означает, что из каждой
бесконечной последовательности Р^(г)у V = 1, 2, ..., можно выделить под-
подпоследовательность, равномерно сходящуюся в каждом круге |г|<го<г
к некоторой однолистной функции Р (г). Следовательно, и сами функции
/ (г) образуют нормальное семейство. Отсюда вытекает высказанное утвер-
утверждение об ограниченности и замкнутости тела коэффициентов Уп.
Для изучения структуры множества Уп возьмем какую-нибудь допу-
допустимую функцию (8.2.2), которую можно продолжить на всю поверхность 95:
так, чтобы получилось вложение УЬ в 9?. Попытаемся, используя вариацион-
вариационный метод § 14 гл. 7, построить бесконечно близкие отображающие функ-
функции / (г). Пользуясь формулой G.14.10), можно найти функцию
{*(г) = [(г) + гк(г)['($-еН([(г)) + о(г)у (8.2.4)
принадлежащую з-окрестности функции /(г), которая может быть продол-
продолжена так, что она будет давать однолистное отображение 31 в 91. Следует
сделать одно предположение, состоящее в том, что вложение ЗЬ—>ЯКС19{
не приводит к такой области 9К, которая ограничена кривыми в 9г, удовле-
удовлетворяющими дифференциальному неравенству
^(р)^2^0, (8.2.5)
где через &(р) обозначен конечный квадратичный дифференциал на 91. Если
функция»I (г) приводит к отображению поверхности 31 в 91 этого частного
§ 2. Проблема коэффициентов однолистных функций 281
типа, то ((г) нельзя варьировать свободно. В этом смысле такая функция
}(г) будет экстремальной.
Однако в общем случае можно положить
Подставляя сюда Рх = !{^^), получим
(о./.О)
т
В этих формулах у обозначает произвольную жорданову кривую на
а г0 (тс) — обратный дифференциал, удовлетворяющий условиям
\ - 1, 2, . . ., а19 (8.2.7)
и
^го(тс)(^у^(р)& = О, у=1. 2, ...,а2, (8.2.8)
т
где (^ (тс) и ^(тс) обозначают действительные базисы конечных квадратич-
квадратичных дифференциалов соответственно поверхностей 91 и 31. Определив функ-
функцию НA(г)) в форме (8.2.6)', мы предполагаем, что поверхность 91 обла-
обладает краем; это делается только для определенности рассуждений, которые
остаются справедливыми во всех случаях.
Вариационная формула (8.2.4). порождает для каждой однолистной
функции (8.2.2) полную окрестность в множестве однолистных функций.
Желая нормировать эти функции так же, как нормирована функция /(г),
мы должны потребовать выполнения условия
А@)/'@) = Я@) + оA). (8.2.9)
Отсюда следует условие для дифференциала го(/к):
\ () [ (°- *) V (°) - ( жУ м (°> Р) ] йг =
Вычислим теперь коэффициент Ь^ в разложении функции /А(г). Для
этой цели построим разложения функций п(г, тс), п(г> тс), N([B), р)у
N (/(г), р) в окрестности точки 2 = 0:
оо со
п(гу тс)= 2 арAс)гр, л (г, тс)= 2] ^рЙ2р; (8.2.10)
0 ' 0
оо
0=0
оо
(8.2.
Коэффициенты а? (тс) и Лр (р) будут играть центральную роль в теории коэф-
коэффициентов однолистных относительно 91 функций на 91, Рассмотрим
82 Гл. 8. Приложения вариационного метода
их подробнее. Коэффициенты аР (тс) следует считать заданными, если известна
поверхность 31; с другой стороны, коэффициенты А0(р) зависят не только
от поверхности 3{, но и от коэффициентов рассматриваемой функции /(г).
Нетрудно видеть, что коэффициент Ар(р) зависит только от первых р коэф-
коэффициентов Ь19 ..., Ь9 функции [(г). Так как /г (г, тс) является квадратичным
дифференциалом относительно тс, то и коэффициенты ар(тс) будут квадратич-
квадратичными дифференциалами на 31. Они не будут, однако, конечными на всей
поверхности 31, так как в точке тс0 эти дифференциалы имеют полюсы.
Действительно, из формул (8.2.10) получим
«Р («) = ^Г [ 77«(г, *I • (8.2.10)'
Так как дифференциал п@, тс) имеет простой полюс в точке тс0, то коэф-
коэффициент а9 (тс) должен иметь полюс порядка р +1 в тс0. С другой стороны,
коэффициенты ар(тс) являются всюду конечными квадратичными дифферен-
дифференциалами на дубле поверхности 31. Эти последние коэффициенты позволяют
определить на 31 всюду конечные квадратичные дифференциалы
а9 (тс) = (а? (тс))", (8.2.12)
удовлетворяющие на краю 31 соотношению
а9 (тс) = (а9 (тс))-. (8.2.13)
Здесь мы предполагаем, что рассматриваемые дифференциалы выражены при
помощи граничных униформизирующих.
Аналогичное утверждение справедливо и для квадратичных дифферен-
дифференциалов А9(р) на 5К. В этом случае полагаем
Л (р) = (Л (И)" (8.2.14)
Дифференциал А9(р) имеет полюс порядка р+1 в точке р0, в то время как
дифференциал А9(р) регулярен всюду на 91. Пользуясь граничными унифор-
мизирующими, на краю 9? получим соотношение
А9 (р) = (Л?(р))~. (8.2.15)
Из формул (8.2.4) —(8.2.6) можно вычислить теперь коэффициенты Ь*
разложения функции /А(г). Нетрудно получить следующую формулу:
- \ г0 (тс) 6\, (тс) йг —
(8.2.16)
т
где
(^) (8.2.17)
р=1
п>
р=1
Точка (Ьг, . .., Ьп) называется внутренней точкой тела коэффициентов Уп
•если дифференциал г0 (тс) можно подобрать таким образом, чтобы при помощи
вариаций коэффициентов вида (8.2.16) была достижима каждая точка доста-
достаточно малого 2#-мерного шара с центром в этой точке. Если при помощи
вариаций типа (8.2.16) нельзя заполнить весь шар, то точка F1, .^., Ьп)
§ 2. Проблема коэффициентов однолистных функций 283
называется граничной точкой тела ]/п. Формулу (8.2.16) можно преобра-
преобразовать к следующему виду:
Ке {6* - М = * Ке { гй $ г0 (*) [^'(*) + ^ (*)] <&} + о (е);
(8'2Л9>
Т
Условие (8.2.9)', наложенное на дифференциал го(тс), переписывается так:
(8.2.20)
Дифференциал /'о(тс) должен удовлетворять условиям (8.2.7), (8.2.8) и (8.2.20),
а в остальном он произволен. Отсюда следует, что каждая точка окрестности
исходной точки (Ь19 Ь2, ...у Ьп) может быть достигнута тогда и только
тогда, когда между 2п + 2 + о1-\-о2 величинами
а19 (8.2.21)
не существует линейной зависимости с действительными коэффициентами.
Итак, граничная точка множества ]/п характеризуется существованием
л+1 комплексных чисел Хо, Хг, ..., Хп, удовлетворяющих соотношению
(8.2.22)
7=0
где 0. (тс) и й(р) обозначают два конечных квадратичных дифференциала
соответственно на поверхностях #1 и 91.
Теперь можно характеризовать области $ЩСИ9?, принадлежащие тем
экстремальным функциям }(г) на поверхности 5Л, для которых первые п
крэффициентов приводят к граничной точке множества Уп. Пусть точка %
лежит на краю У1: в силу формулы (8.2.13), условие (8.2.22) можно пере-
переписать в следующей форме:
п
1т С ^ [^АЛр)+^А>(р)] + «2(р)") Г^пУ^0* (8.2.23)
7=0
Выражение
+ 2[ММр)+М~(р)] <8-2-24>
7=0
является квадратичным дифференциалом на 91, имеющим в точке р0 полюс
порядка не выше п+1. Итак, граница области-образа $Щ характеризуется
простым дифференциальным неравенством на 91:
В частности, заключаем, что экстремальные функции {(г) дают такие области
9ЛС194, граничные кривые которых состоят из дуг, аналитических относи-
относительно униформизирующих на поверхности 91
284 Гл. 8. Приложения вариационного метода
Экстремальные отображения можно характеризовать следующим образом.
На поверхности 91 определим квадратичный дифференциал
П
2 ?Ьаач+1-,(ъ) + и 2 Р&Д+1-Р (*)] -(?(*)• (8.2.26)
1
р=
Этот дифференциал имеет в точке тс0 полюс порядка не выше п+ 1; в осталь-
остальных точках У1 он регулярен. Условие (8.2.22) можно выразить в следую-
следующей форме:
У (тс) Лг2 = Ж (р) Aр2. (8.2.27)
Итак, справедлива следующая
Теорема 8.2.1. Отображения поверхности УЬ в поверхность 91, соот-
соответствующие граничным точкам тела коэффициентов Уп, характеризуются
дифференциальным уравнением
У (тс) йъ* = Ж
где У (тс) и Ж (р) обозначают квадратичные дифференциалы соответственно
на У1 и 91, регулярные всюду на этих поверхностях, за исключением соот-
соответствующих точек тс0 и р0, являющихся полюсами порядка не выше п+1.
Это утверждение охватывает также тот случай, когда поверхность %
строго вложена в 91. В этом случае точка (Ь19 .. ., Ьп) множества Уп должна
быть граничной. С другой стороны, в § 14 гл. 7 было показано, что необ-
необходимым условием существования строгого вложения поверхности 5Л в поверх-
поверхность 91 является справедливость дифференциального уравнения
, (8.2.28)
где B (тс) и 3(р) являются конечными квадратичными дифференциалами
соответственно на поверхностях 5Л и 9^.
Установим теперь следующую теорему:
Теорема 8.2.2. Если область Ж СИ Й является образом поверхности Ш
при некотором экстремальном отображении, то дополнение Ж на 81 не имеет
внутренних точек. Иначе говоря, каждая экстремальная функция отобра-
отображает поверхность УЬ на область ЩС1?Я с разрезами.
Из теоремы 8.2.1 уже известно, что все граничные разрезы области 9#
состоят из дуг, аналитических относительно униформизирующих на поверх-
поверхности 91.
Для доказательства теоремы 8.2.2 допустим, что существует точка
ре€91, внешняя по отношению к образу $Щ поверхности 91. В окрестности
точки ре проведем жорданову кривую Г, целиком лежащую вне области $Щ.
Деформируем поверхность 91 посредством присоединения некоторой клетки
вдоль кривой Г при помощи обратного дифференциала /?0(р), определенного
в окрестности Г. Дифференциал К0(р) должен удовлетворять следующим
условиям:
0 (р) &ч (р) Лхю = О, 7=1', 2, ..., с2, (8.2.29)
где <2^(р) обозначают базис всех конечных квадратичных дифференциалов
на 91. Эта деформация 9? приводит к конформно эквивалентной поверх-
поверхности 91 . Поверхность 91Л можно отобразить обратно в 9? при помощи соот-
соответствия
л ~ ~ ~ ~ (8-2-30>
§ 2, Проблема коэффициентов однолистных функций 285
пригодного при любом выборе униформизирующей т. Функция /(тс) отобра-
отображает 5Л в ЗЛ; эта область не затрагивается присоединением клетки вдоль
кривой, лежащей вне ее, но переводится исправляющим отображением (8.2.30)
в область 5ЩЛ. Итак, вместо однолистной функции /(тс), отображающей
в $Щ, мы получим близкую однолистную функцию
г (8.2.31)
г
отображающую 51 в $ЩЛ. Эта формула соответствует формуле (8.2.4),
но член А (г) здесь опущен. Выполнив вычисления, аналогичные приведенным
выше, получим выражение для V-го коэффициента в разложении функции /Л(тс):
о (р) (Л, (р))" <Й1 + о (е). (8.2.32)
г
Рассуждая по вышеприведенному образцу, заключаем, что точка
(Ь1У Ь2> .. ., Ьп) только тогда не является внутренней точкой множества Уп,
когда существуют п+1 комплексных чисел Хо, Хх, ..., Хп, для которых
п
(/>) + * Д, (Р)] = 4 (р), (8.2.33)
где «2 (р) является конечным квадратичным дифференциалом на $К. Однако
такого рода уравнение невозможно, так как дифференциалы Л7 (р) имеют
в точке р0 полюсы порядков точно V-]- 1 и, следовательно, эти полюсы не
могут взаимно уничтожаться. Итак, сделанное выше предположение о су-
существовании внешней точки ре относительно экстремальной области ЗЛ при-
привело нас к противоречию. Следовательно, на Э1 не может существовать
внешних точек ре относительно области $Щ, принадлежащей экстремальной
функции /(тс). Теорема 8.2.2 доказана.
Вернемся теперь к линейному соотношению (8.2.22) и дадим его геомет-
геометрическую интерпретацию. Введем обозначение ЬЬ^ = Ь^~ Ь^ — о (г). Из соотно-
соотношения (8.2.22) получим уравнение
п
(8.2.34)
которому должны удовлетворять все рассматриваемые вариации. Это урав-
уравнение означает, что наши вариации могут покрыть только Bп— 1)-мерную
часть множества 1/п, а именно поверхностный элемент, ортогональный век-
вектору (Ке^!, — 1т Хг, КеХ2, ..., — 1тХп). Этот факт обусловлен специальной
природой нашей вариации. Так как рассуждение ведется для граничной
точки Уп, то область-образ $Щ на поверхности ?ИУ в силу теоремы 8.2.2,
является областью с разрезами. Все использованные до сих пор вариации,
выполняемые при помощи присоединения клетки, преобразуют разрез на 91
снова в разрез, так как эти вариации регулярны всюду на 91, исключая
только точки окрестности кривой Г. Ясно, однако, что существуют такие
деформации области Ж, которые сохраняют ее конформный тип, но разру-
разрушают «разрезный» характер этой области. Так как мы уже знаем, что
граница экстремальной области состоит из аналитических дуг, то можно
воспользоваться описанной в § 15 гл. 7 вариацией Жюлиа границы
286Гл. в. Приложения вариационного метода
Пусть у — аналитическая дуга края поверхности 91 и Г — ее образ на
Следовательно, Г является аналитической дугой границы 2#. Через С и «►
обозначим соответственно граничные униформизирующие на кривых •/ и Г.
Пусть 8> (О является действительной аналитической функцией переменной
на у и пусть Зш = Ы' (С) 2Ь. Сдвинем теперь каждую точку Г на величину
Мы получим границу ГЛ новой области $ЩЛ, конформно эквивалентной,
области Ш в том случае, когда условие
C © (% = 0 (8.2.35)
тг
выполняется для всех конечных квадратичных дифференциалов на 91-
Согласно формуле G.15.7), функция /д(тс), отображающая 91 на ША> име*ет
вид
/А (г) - / (г) - /' (г) -М я B' 0 8* @ ^ + ° ^)- (8-2-36>
•V
I
Так как $Щ является областью с разрезами, то мы вынуждены принять
&у>0. Иными словами, граничные точки $Щ можно двигать только в направ-
направлении внутренней нормали.
Вычислим снова коэффициенты Ь^ разложения варьированной функции^
Используя формулы (8ь2.10), получим
^+1 -Р (С)) « + о («V). (8.2.37)*
Т р=1
Желая также сохранить нормирование (8.2.2) для функции /д (г), мы должны
наложить на вариацию <Ь (С) дальнейшее ограничение
- (8.2.38)
Далее, пользуясь обозначениями формулы (8.2.26) и условиями (8.2.35),.
(8.2.38), получим соотношение
п
(8.2.39>
Можно также рассмотреть вариации, составленные из присоединения
внутренней клетки вдоль жордановой кривой ух и вариации типа Жюлиа
вдоль дуги края у поверхности 5Л. Вариации этого типа весьма удобны, так
как условиям (8.2.35) и (8.2.38) трудно ^удовлетворить при помощи чисто-
граничных вариаций, ограниченных требованием ^ > 0. При вариациях же
смешанного типа можно выбрать ^ > 0 вполне произвольно на краю 91,
а затем подобрать присоединение внутренней клетки таким образом, чтобы
сохранить модули и перевести точку тс0 € 5Л в точку р0 € $й. Возможность
такого подбора можно установить посредством таких же рассмотрений, как
проведенные в § 13 гл. 7. Существуют только два случая, в которых этот
подбор невозможен: случай строгого вложения поверхности Ш в поверхность 91
и тот случай, когда какое-либо выражение Х0^70 (^)+^о^о (тс) линейно зависит
от конечных квадратичных дифференциалов поверхностей У1 и 91. В этом
последнем случае граница Ш удовлетворяет дифференциальному неравенству
(8.2.5)'
где Жг(р) является квадратичным дифференциалом на 81, имеющим, самое
большее, простой полюс в точке /?0. Через / здесь обозначен действительный
§ 2. Проблема коэффициентов однолистных функций 287
параметр. Возможность строгого вложения $Щ в 91 действительно существует^
если мы потребуем дополнительно, чтобы точка ро€91 оставалась фиксиро-
фиксированной.
Предположим, что область $Щ можно варьировать даже при условии
фиксации точки р0. В этом случае можно произвольно выбрать ^ (^) > 0 на
кривой ?. С другой стороны, известно, что внутреннее присоединение клетки
п
изменяет член Ке { 2 ^^} только на бесконечно малые высшего порядка.
Итак, полный эффект смешанной вариации с произвольным 8V > 0, сохра-
сохраняющей модули и удовлетворяющей условию 86О = О, все еще выражается
формулой (8.2.39).
п
Ясно, что величину Ке { 2 Х78Ь7} можно варьировать. Вообще говоря,
это число можно даже заставить возрастать или убывать, подбирая вариации
Жюлиа подходящим образом. Это невозможно выполнить только в том слу-
случае, когда квадратичный дифференвдал У (С) не меняет своего знака на всем
крае 91.
Пусть Г(КеЬ1У 1т Ьг, ..., Ке Ьп, 1т Ьп) — непрерывно дифференцируемая
действительная функция, определенная на некотором открытом множестве
эвклидова 2/г-мерного пространства, содержащего тело Уп> В некоторой
точке (Ь1$ ..., Ьп) функция Р должна достигать максимума на множестве Уп.
Для'всех допустимых вариаций в семействе однолистных относительно по-
аерхности 91 функций на 91 должно, очевидно, выполняться неравенство
п п
*е<8^+2 :1т«<о. (8.2.4о>
7=1 7=1
Следовательно, экстремальная функция /(г), для которой У7 достигает макси-
максимума, должна удовлетворять дифференциальному уравнению (8.2.27); в этом
уравнении дифференциалы не меняют знака на краю 91.
Итйк, доказана следующая
Теорема 8.2.3. Пусть функция / (тс) отображает поверхность 5Л в по-
поверхность ?И и на ее первых п коэффициентах Ь1У Ь2, ..., Ьп некоторая
непрерывно дифференцируемая функция, определенная на открытом мно-
множестве, содержащем тело Уп, достигает максимума. Тогда функция
р = I (тс) удовлетворяет дифференциальному уравнению
У (тс) ^тс2 = Ж (Р) йр\
где У (тс) и Ж (р) обозначают квадратичные дифференциалы поверхностей 91
и 91, имеющие полюсы порядка не выше п-\-\ в точках тс0 и р0 и не ме-
меняющие своих знаков на краях соответственно поверхностей 91 и Ж.
1 Экстремальное отображение /? = /(тс) можно, следовательно, рассматри-
рассматривать в качестве реализации заданной поверхности 91 в поверхности 91. Дей-
Действительно, идентифицировав те краевые точки 91, которые соответствуют
одной и той же точке граничного разреза области 5Ш, получим точную копию
поверхности 91. Процесс идентификации легко выполняется на 91 при помощи
квадратичного дифференциала У (тс). Действительно, пусть тсх и тсх' обозначают
пару краевых точек 91, уже идентифицированных и соответствующих гра-
граничной точке р± области Ж- Образами дуги границы, соединяющей точку рг
с некоторой точкой р2, на поверхности 91 являются две дуги края, соединяю-
соединяющие соответственно точку тсх с точкой тс2 и точку %[ с точкой тс2'. Однако,
в силу нашего дифференциального уравнения, справедливо равенство
7С2 те2 Р2
^ тс^ ^ У]Щр)\с1р. (8.2.41)
288 Гл. 8. Приложения вариационного метода
Итак, на крае 31 следует идентифицировать те точки, для которых дуги
края имеют одинаковую длину в метрике, основанной на квадратичном диф-
дифференциале У (тс).
Так как 91 может являться поверхностью высшего рода, а в качестве^
может быть выбрана даже односвязная плоская область, то рассматриваемые
экстремальные задачи часто приводят к очень полезным реализациям сложной
поверхности на простой области при помощи идентификации точек границы.
В следующем параграфе будут рассмотрены частные приложения развитой
здесь общей теории и даны примеры упомянутых реализаций.
§ 3. ВЛОЖЕНИЕ КРУГА В ЗАДАННУЮ ПОВЕРХНОСТЬ
Желая проиллюстрировать наш общий результат, рассмотрим следующее
его частное приложение. Предположим, что поверхность 31 является диском,
реализованным над единичным кругом 2-плоскости. Рассмотрим коэффициен-
коэффициенты Ьх всех тех функций, которые отображают единичный круг в заданную
поверхность 91 так, что центр соответствует заданной точке р0 € 91 с пред-
предписанной в ней фиксированной униформизирующей ш(р).
Прежде всего ясно, что диск 31 может быть отображен в поверхность 91.
Действительно, пусть | хю | < р является окрестностью точки р0 в плоскости
униформизирующей. Тогда простое соответствие
ш = рг (8.3.1)
отображает У1 в 91. Если функция /(г) отображает У1 в 91, то каждая функ-
функция / (аг) с | а | < 1 также осуществляет вложение %1 в 91. Действительно,
соответствие г' = аг отображает 31 в подобласть 9^' СИ 9^ и отображение /
преобразует ЗЬ' в некоторую подобласть образа 9ЛС191 поверхности 91.
Если число Ъг — коэффициент функции / (г), осуществляющей вложение 31
в 91, то и каждое число аЬ1 с | а | < 1 является допустимым коэффициентом.
Отсюда ясно, что область коэффициентов Ух в этом частном случае является
кругом с центром в начале координат комплексной плоскости. Остается
только определить радиус этого круга.
Для решения этой задачи достаточно поставить вопрос об отображающей
функции /(г), первый коэффициент которой положителен и имеет наибольшее
возможное значение. Другими словами, следует решить экстремальную
задачу об отыскании максимума величины Ке6г Теперь можно применить
общую теорию предыдущего параграфа. Здесь, однако, мы имеем дополни-
дополнительные сведения о функционалах 5Л. В односвязной области не существует
конечных квадратичных дифференциалов. Согласно формуле G.10.4), вариа-
вариационное ядро для единичного круга имеет вид
!±4. (8.3.2)
2С2 1— гС
Из формул (8.2.10) и (8.2.12) находим
^ ^ ^. (8.3.3)
Для того чтобы яснее выявить роль функции / (г) в этой задаче, по-
полезно будет вместо разложений (8.2.11) ввести следующие разложения:
оо со
Л[Кр)=2«р(р)*. N (а», р) = Г а? (р) хю>, (8.3.4)
выражающие вариационное ядро поверхности 91 в окрестности точки р0 че-
через униформизирующую хю. Коэффициенты а9{р) зависят только от выбора
униформизирующей хю, в то время как коэффициенты А?(р) в разложениях
§ 3. Вложение круга в заданную поверхность 289
(8.2.11) зависят также и от неизвестной экстремальной функции /(г). Под-
Подставим ы) = [(г) в разложения (8.3.4) и сравним получающиеся разложения
по г с рядами (8.2.11). Получим соотношения
Л (Р)> ^о (р) = К (р)Г Л (Р)>
В силу § 2 гл. 8, функция р = }(г), имеющая максимальное значение
величины Ке Ь19 отображает 5П в Ш: так, что выполняется следующее диффе-
дифференциальное уравнение:
1 К (Р) + «! (Р)) + \>«о (Р) + *Л (Р) + & (Р)] № = - "Я" «** (8.3.6)
Здесь «2 (р) обозначает опять конечный квадратичный дифференциал на по-
поверхности 91. Согласно теореме 8.2.2, образ ЩаУИ поверхности 91 является
областью с разрезами. В нашем частном случае квадратичный дифференциал
К(г)=1/22 не меняет своего зн^ка на краю 91, что находится в соответст-
соответствии с теоремой 8.2.3*
Нетрудно определить параметр Хо в уравнении (8.3.6) посредством срав-
сравнения особенностей обеих частей уравнения при 2 = 0 и до = 0. При помощи
формул G.10.29) и (8.2.10)' легко показать, что
а0 (р) = \- регулярные члены,
\ (8.3.7)
а1 (р)= 2 + регулярные члены
вблизи точки ы> = 0. Подставляя /? = /(г) в соотношения (8.3.6) и (8.3.7)
у. разлагая их по степеням 2, получим из сравнения коэффициентов условие
^. (8.3.8)
Ранее было показано, что экстремальная функция /B) отображает
в область с разрезами на поверхности 3$. Граница этой области удовлетво-
удовлетворяет дифференциальному уравнению
(^У9 (8.3.9)
где Ж(р) является квадратичным дифференциалом на 91, имеющим двойной
полюс в точке р0.
Разрезы, ограничивающие образ ЗЯСИЭ? поверхности 91, не могут окан-
оканчиваться или начинаться во внутренних точках 94. Действительно, если ка-
какой-либо разрез имеет свободный конец в точке хю €91, то производная йр\йг
должна обращаться в нуль в соответствующей краевой точке 91; последнее
невозможно в силу уравнения (8.3.9). Ясно также, что ни одна нулевая
точка квадратичного дифференциала Ж (р) не может лежать внутри обла-
области-образа Ш> так как дифференциал 1/22 не обращается в нуль и произ-
производная йр\йг регулярна в замкнутом единичном круге. Следовательно, ну-
нули дифференциала Ж (р) должны лежать на границе области 50Ь Итак, гра-
граница $Щ состоит из аналитических дуг, конечные точки которых лежат либо
на краю 91, либо являются нулевыми точками квадратичного дифференциа-
дифференциала Ж(р) поверхности 91. Эту систехму дуг можно рассматривать как множе-
множество аналитических разрезов на 94, преобразующих эту поверхность в диск Ш-
Конформное отображение области $Щ на единичный круг осуществляет-
осуществляется функцией
р
г (р) = ехр {* ^ \ГжТр) ар}, . (8.3.10)
Р1
19 Заказ № 634
290 Гл. 8. Приложения вариационного метода
где рг обозначает произвольную граничную точку ЭДЬ Точке р0 соответствует
при этом отображении точка г (р0) = 0. Пусть теперь р' — произвольная точ-
точка, лежащая на граничном разрезе области $Щ. Так как разрез имеет два
берега, то на периферии единичного круга существуют две точки г[ и г'2,
отображающиеся в р'. Когда точка р' передвигается вдоль разреза в точку
р", ее образы описывают дуги окружности г | = 1 с углами
р"
"' „■ (8.3.11)
Действительно, точки г'х и г'г движутся вдоль окружности в противополож-
противоположных направлениях.
Из этого результата можно вывести два факта. Во-первых, ясно, что
система разрезов на поверхности 91 такова, что величина |/"#*(р) имеет про-
противоположные знаки на двух берегах каждого разреза. Во-вторых, как бы-
было показано, отображение (8.3.10) переводит Ш в единичный круг таким
образом, что два берега какой-либо дуги граничного разреза отображаются
на две дуги единичной окружности 2-плоскости, стягивающие два одинако-
одинаковых угла, имеющих противоположные ориентации.
Функция г(р) отображает ту часть края ЧЯ, которая принадлежит так-
также границе $Щ, на дуги окружности 1г| —1. Граничные разрезы области 9#
переходят, как было показано, в дуги окружности, причем два берега одно-
одного и того же разреза переходят в пару дуг, имеющих одинаковую длину
и противоположные ориентации; угловые расстояния между образами соот-
соответствующих точек на двух берегах разреза равны. Следовательно, образ
поверхности 9? в диске 91 получим, идентифицировав соответствующие дуги.
Таким путем получаем важную теорему об униформизации произвольной
конечной римановой поверхности 91, открытую Ф. Клейном для случая ал-
алгебраических поверхностей:
Теорема 8.3.1. Каждую конечную риманову поверхность 91 можно
отобразить на внутренность единичного круга, у которого некоторые ду-
дуги границы идентифицированы подходящим образом. Эта идентификация
такова, что соответствующие дуги имеют равную длину.
Каноническое отображение поверхности 91 на единичный круг с иденти-
идентифицированными дугами границы можно охарактеризовать следующим обра-
образом. Рассмотрим в $Щ регулярную гармоническую функцию
. (8.3.12)
Нетрудно видеть, что функция Н (р) неограниченно возрастает при прибли-
приближении к точке р0 и обращается в нуль на границе 9#. В окрестности точ-
точки р0 справедливо разложение
Н (р) = 1п -:—г + регулярные члены, (8.3.13)
Другими словами, Н(р) является функцией Грина для области 5Ш с лога-
логарифмическим полюсом в точке р0. Этот факт следует также из формулы
р
(8.3.10). Кроме того, поведение функции \ \гЖ{р)йр в области $Щ показы-
р%
§ 3- Вложение круга в заданную поверхность 291
вает, что при приближении к точке р' граничного разреза 2Д с противопо-
противоположных сторон мы получаем значения -\-Н(р') и — Я(р'). Итак, отправ-
отправляясь от левого берега разреза с определением Я(р), можно продолжить
функцию Я аналитически за разрез, полагая ее равной —Н(р)у где Я (р)
является значением в области §Щ нашей гармонической функции на правой
стороне разреза. Итак, с точностью до знака функция Н(р) может быть
продолжена на всю исходную поверхность 91.
Существует хорошо известное двулистное покрытие поверхности 91,
на котором функция Я (р) будет однозначной и гармонической. Эта поверх-
ность Щ строится следующим образом. Рассмотрим универсальную поверх-
поверхность наложения 21 для 91 и фундаментальную группу преобразований 21
в себя. Введем базисные преобразования 7\, ..., Гт, такие, что каждое
преобразование фундаментальной группы можно представить в форме
Та\Т%1 ... Т'а^ с положительными или отрицательными целыми показателями
пь и притом единственным образом. Все точки 21, переходящие одна в дру-
другую при преобразованиях с четной суммой ^п{, идентифицируем; точку р
назовем ассоциированной # с точкой р в том случае, когда она получается
из точки р при некотором преобразований нашей группы с нечетной суммой
2^1- Ясно, что этот процесс идентификации на универсальной поверхности
наложения приводит к двулистному покрытию поверхности 91. При этом
функция Я(р) однозначна на покрытии 9?. Эта функция имеет логарифми-
логарифмический полюс типа (8.3.13) в точке ро^Ш и логарифмический полюс проти-
воположного знака в ассоциированной точке /?0€91. Более того, функция
Я (р) будет гармонической в остальных точках ж и будет равна нулю на
краю 91, если таковой существует. Указанные свойства позволяют идентифи-
идентифицировать функцию Я (р) с определенными ранее функциями Грина поверх-
поверхности &.
Действительно, предположим сначала, что поверхность 9? не имеет
края. В этом случае поверхность Ш также не имеет края и обладает функцией
Грина V (р, рг\ дУ 9г)> описанной в гл. 4. Рассмотрим, в частности, функ-
функцию У(р, /V, /?0, /?0). Эта функция будет гармонической на Й с теми же
особенностями, что и у Я(р). Функция У(рур1; р0, р0) совпадает с Н(р)у
так как обе эти функции обращаются в нуль в точке рг Таким образом,
доказано соотношение
р
УЩдйр)=У{р,Р1; ро,ро). (8.3.14)
Р1
Желая исключить известную точку р1У заметим, что
Н(р) = ±[Н(р)-Нф)). (8.3.15)
Пользуясь формулой D.2.23), теперь получим
±; Ро,ро). (8.3.16)
Эта формула вполне аналогична представлению D.2.1) функции Грина при
помощи абелевых интегралов на дубле.
Итак, униформизация замкнутой поверхности 9? по способу Клейна мо-
может быть выполнена следующим образом. Строим покрытие $ поверхности
91 и определяем на этой новой замкнутой поверхности функцию Грина
V (р, р; р0, /?0). Линия 1/ = 0 разрезает 91 на два диска 9К и 9Л. Отображе-
Отображение диска Ш на единичный круг осуществляет желаемую униформизацию по-
поверхности 91.
19*
292 Гл. в. Приложения вариационного метода
Если 91 имеет край, то этим же свойством обладает и поверхность 91.
Следовательно, для нее существует функция Грина 0(ру ^)- Как и раньше,
можно показать, что
= A(р,ро)-в(р, р0). (8.3.17)
Разрезая 9? вдоль нулевых линий этой гармонической функции, превратим
91 в экстремальную область $Щ.
Вернемся теперь к нашей исходной проблеме определения максимального
значения величины КеЬг Область $Щ, на которую поверхность 91 отобра-
отображается экстремальной функцией, охарактеризована уже в достаточной мере.
Определим теперь численное значение максимума КеЬ1. Обращая степенной
ряд для экстремальной функции, получим
^(8.3.18)
Функцию Грина Н (р) области ЭД1 можно представить в следующем виде:
± ^ (8.3.19)
С другой стороны, мы имеем для Н (р) представления (8.3.16) и (8.3.17).
Сравнивая коэффициенты, определим значение Ьг. В качестве примера рас-
рассмотрим случай поверхности 91 с краем. Пусть
± (8.3.20)
является разложением функции Грина поверхности $ в окрестности точки
р0 по степеням униформизирующей хю. Постоянная §(р0) зависит от выбора
униформизирующей; эта постоянная играет важную роль в теории потен-
циала и называется постоянной Робэна поверхности 91 относительно точки р0
и униформизирующей т. Из формул (8.3.17) — (8.3.20) получим
Итак, первый коэффициент полностью выражен через известные функцио-
функционалы поверхности наложения 91.
Желая связать полученный результат с классическими вопросами теории
конформного отображения, введем некоторый новый функционал, определен-
определенный для всех плоских односвязных областей Ф, содержащих бесконечно
удаленную точку. Пусть функция г = у(ш) отображает Ф на область |г|>р
при следующем нормировании на бесконечности:
.. . (8.3.22)
Радиус р круговой области является функционалом области © и называется
конформным радиусом Ф. Грётш и Полиа рассматривали следующую проблему.
Пусть задано произвольное ограниченное множество точек на ш-плоскости.
Требуется найти такой содержащий заданное множество континуум С,
внешняя область Ф которого имела бы наименьший возможный конформный
радиус р.
Пусть поверхностью 91 является оу-плоскость, из которой удалено задан-
заданное множество точек. В качестве поверхности 5Л примем внешность единич-
единичного круга в 2-плоскости. Рассмотрим все однолистные на 91 функции гю = / (г),
имеющие на бесконечности разложение вида
§ 3. Вложение круга в заданную поверхность 293
и отображающие 91 в 9?. Нетрудно видеть, что максимальное значение вели-
величины КеЬг для всех этих функций равно обратной величине 1/р минималь-
минимального конформного радиуса р сформулированной проблемы.
То обстоятельство, что вместо нормирования (8.2.2) принято нормирова-
нормирование (8.3.23), не существенно: от одной проблемы к другой можно перейти
при помощи линейного преобразования. Итак, наш результат дает решение
экстремальной проблемы Грётша —Полиа. Вопрос уже изучался подобными
вариационными методами, и аналогичные характеристики экстремальной
области были получены в частных предположениях. В настоящем изложении
эта проблема представляется весьма частным случаем более общей проблемы
коэффициентов однолистных отображений римановой поверхности 91 в рима-
нову поверхность 91.
Функция г(р), определенная формулой (8.3.10), является полиморфной
функцией на поверхности 91. Это означает, что при обходе замкнутого пути,
начинающегося в некоторой заданной точке р€?Я, функция подвергается
некоторому линейному преобразованию. Кроме того, эта функция отобра-
отображает краевые точки 91 в точки единичной окружности. Указанные свойства
не вполне характеризуют функцию г(р). Рассмотрим, например, функцию С(р),
отображающую универсальную поверхность наложения 91 поверхности 91
в единичный круг. Эта функция имеет те же самые свойства, что и г(р).
Если 91 является плоской областью с т граничными континуумами, то, как
показал Риман, существует функция у\(р), отображающая 91 на область,
покрывающую единичный круг т раз. При этом образом каждого граничного
континуума является единичная окружность. Укажем теперь свойство, общее
всем аналитическим функциям г(р), однозначным или полиморфным да поверх-
поверхности 91 с краем и отображающим каждый континуум края в дугу
окружности.
Рассмотрим билинейный дифференциал X (р, д) = Хж (р, ^) поверхности 91.
Если точки ряд находятся на краю 91 и если мы пользуемся граничными
униформизирующими, то дифференциал %{р,ц) будет действителен. Пусть
г(р) является функцией на поверхности 91 с описанными выше свойствами.
Воспользуемся функцией г(р) в качестве локальной униформизирующей
и в соответствии с формулой D.1.5)' положим
, Я) йрйд=% %$*г($п, - I (г(р), г{Я))йг{р)йг{д). (8.3.24)
Через / (г, С) здесь обозначена регулярная аналитическая функция обоих
аргументов в окрестности, где пригодна выбранная униформизирующая.
Пусть теперь точки р и ц лежат на некотором континууме края поверх-
поверхности 91. Этот континуум соответствует некоторой дуге окружности, а на эт'ой
дуге выполняется соотношение
1/У^!| (8.3.25)
Выражение Х{р,ц)йрйц действительно на краю 91, и, следовательно,
(8.3.26)
для точек г и С, соответствующих двум точкам р и цх лежащим на одном
компоненте. края 91. В частности, выражение
/ (г, г) Aг2
действительно на границе канонической области. Следовательно, оно является
квадратичным дифференциалом поверхности 91.
Пусть 2* (р) — локальная униформизирующая поверхности* 91 и пусть
функция г = у (г*) преобразует эту униформизирующую в каноническую
294 Гл. 8. Приложения вариационного мейгода
переменную 2. Дифференциал X можно выразить через локальную унифор-
униформизирующую 2* следующим образом:
X (р, Я)йрОд = в У^',®]% -1* {г* (р), г* (д)) йг* (р)их* (д). (8.3.24)'
Сравнивая формулы (8.3.24) и (8.3.24)', получим после простого вычи-
вычисления соотношение
1(гу г) = -^{9, **} + /* (Л **), (8.3.27)
где
является дифференциальным параметром Шварца. Выражение I* можно
вычислить, а / является квадратичным дифференциалом. Следовательно, мы
получили дифференциальное уравнение третьего порядка для определения
функции <рB*)> полиморфной на поверхности 91 и отображающей каждый
компонент края в дугу окружности.
В случае области рода 0 можно также рассмотреть отображение поверх-
поверхности 91 на плоскую область, ограниченную т окружностями. Если <рB*)
являемся отображающей функцией, то опять можно доказать, что она должна
удовлетворять дифференциальному уравнению (8.3.27). Этот результат
указывает на тесную связь, существующую между отображениями на круговые
области и билинейным дифференциалом
§ 4. КАНОНИЧЕСКИЕ РАЗРЕЗЫ НА ПОВЕРХНОСТИ 9*
В предыдущем параграфе, рассматривая экстремальную проблему коэф-
коэффициентов отображающих функций, мы получили систему разрезов на задан-
заданной поверхности 91, состоящую из аналитических дуг. Разрезанная поверх-
поверхность превращается в диск, который может быть отображен на круг так,
что при этом отображении край диска преобразуется особенно просто.
В топологии римановых поверхностей 91 разрез или цикл на 91 определен
только его топологическими свойствами; в частности, гомотопическая дефор-
деформация разреза считается несущественной.
Интересно, однако, показать, что каждому классу гомотопий разрезов
может быть поставлен в соответствие некоторый частный разрез, инвариантно
характеризуемый как решение некоторой экстремальной задачи. Желая
формулировать эту задачу, выберем фиксированную точку ро^91 и фиксиро-
фиксированную униформизирующую т (р) в этой точке. Если $Щ является подобластью
поверхности 91 с краем и если О(р,д) является функцией Грина этой под-
подобласти, то вблизи точки р0 справедливо следующее представление:
(8.4.1)
Постоянная §(р0) называется постоянной Робэна области 9К в точке р0
относительно униформизирующей на.
Пусть на поверхности 91 задана кривая Г, не гомологичная нулю.
Поставим задачу об отыскании кривой С, гомотопичной кривой Г и такой,
что постоянная Робэна § (р0) области 2# = 91 — С будет максимальной. Прежде
всего следует показать, что кривая С, для которой максимальное значение
действительно достигается, существует. Для этой цели рассмотрим все
сравниваемые области 91 — Г и отобразим их универсальные поверхности нало-
наложения ЭДГ на единичный круг так, чтобы точка р0 переходила в центр этого
круга. Через р — рг(^) обозначим обратное отображение единичного круга
на область 91 —Г. Рассмотрим, наконец, функцию г(р)> отображающую универ-
§ 4. Канонические разрезы на поверхности ${ 295
сальную поверхность наложения самой поверхности 91 на единичный круг,
причем так, что центр соответствует опять точке р0. Тогда функции
г = Фг(С) = г(рг(С)), *г@) = 0, (8.4.2)
однолистны и ограничены в единичном круге и, следовательно, образуют
нормальное семейство.
Пусть а (Г) обозначает некоторый непрерывный функционал Г. Тогда
можно утверждать, что существует по крайней мере одна допустимая
кривая Г, для которой функционал а (Г) достигает своей верхней грани Л.
Действительно, обозначим через 1\ (V = 1, 2, ...) последовательность кривых,
для которой значения аA\) стремятся к Л. Из последовательности функций
Ф^(С) можно выделить последовательность Фу>(^), равномерно сходящуюся
в каждой замкнутой подобласти единичного круга к некоторой однолистной
ограниченной функции. Следовательно, существует равномерно сходящаяся
последовательность рг7{С), для которой соответствующая последовательность
а A\) сходится к верхней грани Л. Обозначим через рс (О предел этой
последовательности; эта функция отображает единичный круг в поверхность 91,
разрезанную вдоль некоторой допустимой кривой С. Для этой частной кри-
кривой С функционал а (С) достигает своего максимального значения Л.
Установив существование экстремального разреза С на 91, постараемся
охарактеризовать его при помощи вариационного метода. На поверхности 91
выберем жорданову кривую у, лежащую вне окрестности экстремального
континуума С. На этой кривой определим аналитический обратный диффе-
дифференциал /?(р), ортогональный всем конечным квадратичным дифференциалам
на 91. Выполним преобразование поверхности 9?: в себя при помощи присое-
присоединения клетки, сохраняющего конформный тип. Согласно теореме 7.13.1,
эта деформация может быть реализована при помощи локальной униформи-
зирующей "ш (р) следующим образом:
Здесь N обозначает вариационное ядро поверхности 9^, и мы предполагаем
(для определенности), что 9^ имеет край. Сохраним точку р0 фиксированной
при этой деформации, и пусть в этой точке выполняется соотношение
= 1. (8.4.4)
Это условие позволит нам пользоваться переменной гю* так же, как пере-
переменной хв)9 для вычисления постоянных Робэна в точке р0. Следовательно,
на дифференциал /? (р) налагаем дополнительные ограничения
К (Рх) N (О, рг) ащ = -н-т- \ /? (рг) N @, рг) йхю1 (8.4.5)
2ш
^ 7
и
К (рх) Л/' @, рг) йщ = -^т- \ ^ (рг) Л/' @, рг) Лщ. (8.4.5)'
Штрих у N обозначает здесь дифференцирование по первому аргументу.
При деформации (8.4.3) область $Щ = 91 — С также преобразуется. Вообще
говоря, ее конформный тип при этом изменяется. Однако новую постоянную
Робэна §*{р0) можно определить при помощи вариационной формулы G.8.16)
296 Гл. Ящ Приложения вариационного метода
для вариации функции Грина при присоединении клетки. Пользуясь унифор-
мизирующей ш в точке р0, получим
ё* (Р.) = 8 (Ро) - Ке {-§- ^ (рх) ( д°(^; Ро) У йщ}+0 (в*). (8.4.6)
Обратное отображение деформированной области 91* на поверхность 91 при
помощи соответствия (8.4.3) и замена униформизирующей хю на униформизи-
рующую хю* не нарушают уравнения (8.4.6), так как переменные хю и хю*
и их производные совпадают в точке /?0. Итак, экстремальное свойство
кривой С приводит к неравенству
8*(Ро)<8(Ро)- (8-4-7)
Вследствие произвольности выбора малого действительного параметра е
заключаем, что условие
должно выполняться при каждом допустимом выборе дифференциала /? (/?).
Обычное применение линейной алгебры приводит теперь к следующему
условию. Существуют два комплексных числа Хо и Хх, для которых
где 21 (р) является конечным квадратичным дифференциалом на 31. Для р б 3?
правая часть равенства (8.4.9) является квадратичным дифференциалом,
имеющим двойной полюс в фиксированной точке р0. Итак, имеем соотношение
(8-4Л°)
где Ж (р) является квадратичным дифференциалом на 91 с двойным полюсом
в р0. С другой стороны, выражение (дО/др)с1р является линейным дифферен-
дифференциалом в области Ш = ^Я — С с простым полюсом в р0. Отсюда заключаем,
что граница С области Ш на поверхности 91 удовлетворяет дифференциаль-
дифференциальному уравнению
ОО' (8-4Л1>
где переменная хю является подходящей граничной униформизирующей
на кривой С. Итак, С является аналитической кривой относительно унифор-
мизирующих поверхности 91.
Для кривой С можно дать геометрическую интерпретацию, аналогичную
результату предыдущего параграфа. Заметим, что функция дО(р, ро)/др
определена в каждой точке 91 с точностью до знака при произвольном анали-
аналитическом продолжении. Продолжая функцию дО/др от одного и того же
исходного значения вдоль двух различных путей до точек рг и р2, лежащих
одна против другой на кривой С, получим различные знаки величины дО/др.
Действительно, по определению, функция Грина имеет всегда положительную
производную в направлении внутренней нормали. Так как в точках рг и р2
внутренние нормали имеют противоположные направления, то и функция
дО/др должна иметь в этих точках противоположные знаки. Итак, функция
дО/др двузначна на 91 и кривая С является ее линией ветвления.
Определим теперь двулистное покрытие 91 поверхности 9? следующим
образом. Рассмотрим универсальную поверхность наложения 91 поверхности 91
и идентифицируем те ее точки, лежащие над одной и той же точкой З$
§ 4. Канонические разрезы на поверхности Ш 297
которые можно соединить путем, пересекающим С четное число раз. Все
точки, лежащие над точкой рб91, которые можно соединить с точкой р
кривой, пересекающей С нечетное число раз, также идентифицируются
и порождают точку р, ассоциированную с точкой р.
Мы предположили, что поверхность 91 имеет край. Следовательно,
поверхность $ также имеет край и обладает функцией Грина О(р, <7). Рас-
Рассмотрим функцию
1 (р, р0) = <5 (Р. Ро) - $ (Р. Ро)- (8-4-12)
Эта функция гармонична на 91 и имеет положительную логарифмическую
особенность в точке р0 и отрицательную логарифмическую особенность
в ассоциированной точке р0. Она обращается в нуль на краю 3$. Очевидно,
что функция Грина О(р,р0) экстремальной области $Щ = 91 —С имеет те же
самые свойства на поверхности $ и, следовательно, должна совпадать
с функцией Ох (р, р0). Итак, доказана следующая:
Теорема 8.4.1. Пусть ?Я —поверхность с краем и Г— замкнутая
кривая на 91, не гомологичная нулю. Рассмотрим двулистное покрытие &
поверхности 91, получаемое из универсальной поверхности наложения
поверхности 91 посредством идентификации всех тех точек 91, которые
лежат над одной и той же точкой р^?И и могут быть соединены кривой,
пересекающей Г четное число раз. Пусть р —другая точка 91, лежащая
над р. Пусть С(р, ^) является функцией Грина поверхности $. Тогда
кривая
(8.4.13)
гомотопна Г и является той кривой С на поверхности 91, для которой
область $1 — С имеет наибольшую постоянную Робэна в точке р0.
Нетрудно сформулировать соответствующий результат для случая
замкнутой поверхности 91. Вместо функции О(рур0) следует воспользоваться
функцией Грина V (р, р; р0, р0) замкнутой поверхности 9{. Экстремальный
разрез С является как раз нулевой линией этого абелева интеграла.
Нашу проблему можно обобщить, задав систему кривых ^ на поверх-
поверхности 91 и поставив задачу об отыскании гомотопных систем, для которых
постоянная Робэна имеет наибольшее значение в некоторой точке роб91.
Применяя те же рассуждения, и здесь можно получить аналогичные
результаты.
Займемся теперь следующей экстремальной задачей. Рассмотрим поверх-
поверхность ЧЯ и зафиксируем на ней две точки р0 и рг Пусть переменные хю(р)
и V(р) являются фиксированными локальными униформизирующими соответ-
соответственно в точках р0 и рг. Требуется разбить 91 системой разрезов на две
области 3#0 и Ш± так, чтобы ро€ЗКо> Рг ^ЗКГ и чтобы сумма постоянных
Робэна ^0 (р0) области УЛ0 и §1 (рг) области 5ШГ была наибольшей. Нетрудна
установить, что задача имеет смысл. Иначе говоря, существует по крайней
мере одно разбиение 91 = 9ЯО + ЯК1> Для которого величина ёо(Ро) + ёг^)
достигает максимума.
Как и прежде, будем получать характеристики экстремальных областей
9К0 и 50?х> варьируя поверхность 91 посредством присоединения клетки
и сравнивая суммы постоянных Робэна до и после вариации. Выберем
в областях $0}о и Шг соответственно кривые у0 и уг. На кривых у{ зададим
обратные дифференциалы /?{(р) так, чтобы соотношение
(8.4.14)
298 Гл. 8. Приложения вариационного метода
выполнялось для каждого конечного квадратичного дифференциала на 91.
Будем варьировать Ш посредством одновременного присоединения клеток
вдоль кривых у0 и у! при помощи обратных дифференциалов /?0(р) и Кг{р)
соответственно. Согласно условию ортогональности (8.4.14), деформирован-
деформированная поверхность 91* будет того же конформного типа, что и 91. По теореме
7.13.1, поверхность 91* можно отобразить обратно на 91. Сначала рассмотрим
случай поверхности 91 с краем. Имеем соотношение
(8.4.15)
Это отображение влияет на обе области $Щ0 и 9ЯГ. Оно может быть интер-
интерпретировано как деформация области УЛг посредством присоединения клетки
вдоль кривой у{ при помощи обратного дифференциала /?{(р). При дефор-
деформации (8.4.15) зафиксируем точки р0 и р1 и потребуем выполнения условий
<1ш*\д,ш~ 1, <&>*/*&= 1. Эти последние условия необходимы для того, чтобы
можно было при вычислении постоянных §0 (р0) и §г (рг) заменять локаль-
локальные параметры: соответственно ш на ^* и у на у*. Необходимо, следова-
следовательно, выполнение условий
= У^ \ ^(р,)М(р,,^г)с1щ, / = 0,1, (8.4.16)
и
1
' (Л. Л) (&ш, I = 0, 1. <8.4.16)'
Пусть 0{(р9д) является функцией Грина области 9К{. Используя вариа-
вариационную формулу G.8.16) для этих функций Грина, найдем новые значения
постоянных Робэна:
(8.4.17)
где V = 0, 1. Предположенное экстремальное свойство областей Ж© и
позволяет, как и прежде, заключить, что соотношение
должно выполняться для каждой пары обратных дифференциалов
удовлетворяющей условиям (8.4.14), (8.4.16) и (8.4.16)'.
Уравнение (8.4.18) обычным путем приводит к уравнениям для квадра-
квадратичных дифференциалов [дО^ (р, рчI®р]2 на поверхностях $0Ь- Обозначим
через х0, хг и Хо, Хг четыре комплексные постоянные и определим следующий
§ 4. Канонические разрезы на поверхности Ш 299
квадратичный дифференциал на 91:
1
№(рч, р) + ^(Ы(р^ р))~+ (8.4.19)
7=0
где & {р) — конечный квадратичный дифференциал на поверхности 91. Диф-
Дифференциал Ж(р) имеет двойные полюсы в точках р0 и рг. Из уравне-
уравнения (8.4.18) и условий (8.4.14), (8.4.16), (8.4.16)' следует, что четыре по-
постоянные х7> ^ и конечный квадратичный дифференциал й(р) на поверхно-
поверхности 91 можно определить так, чтобы соотношение
] =ЗГ(Р) (8-4.20)
выполнялось для точек р
Из формулы (8.4.20) находим, что граничные кривые областей
являются аналитическими кривыми на 9?, удовлетворяющими дифферен-
дифференциальному уравнению
(&)'<8-4-21)
Нетрудно показать, что множество ЭД10 + Я#1 на поверхности 91 не имеет
внешних точек. Итак, дифференциальное уравнение (8.4.21) определяет
множество аналитических дуг, разрезающих 91 на два куска так, что
9? = 50?О + 5Щ1. Рассмотрим теперь некоторую граничную дугу у области $Щ0.
Относительно этой дуги можно сделать две гипотезы. Она может отделять
ТОо от ЗКх или она может служить линией раздела между двумя подобла-
подобластями области 9Л0. Другими словами, берега разреза у в первом случае
служат границами областей 9Л0 и ЭД^ и являются граничными дугами обла-
области 5Щ0 во втором случае. Покажем, что экстремальное свойство области $Щ0
исключает вторую возможность. Действительно, предположим, что оба
берега разреза у принадлежат границе $Щ0. Удалим из кривой у дугу ух
и идентифицируем точки на обоих берегах уг Таким образом, 5Щ0 будет
включена в большую область 5Ш*» все е1Де содержащую точку р0, а на ЗКГ
удаление внутреннего разреза области 2#0 повлиять не может. Через
^о(Р> Л)) обозначим функцию Грина области $Щ*. Разность С*(р, р0) —
— О0(руро) является регулярной гармонической функцией в 9Я0 и неотрица-
неотрицательна на границе этой области. По принципу минимума, эта разность поло-
положительна внутри области Жо и, в частности, в точке р0. Итак, имеем
неравенство
(8-4-22>
показывающее, что область Шо имеет в точке р0 большую постоянную
Робэна, чем область $Щ0. Отсюда следует неравенство
Во (Ро) + ^1 (Л) > ^о (Ро) + Вг (РхЪ
противоречащее предположенному экстремальному свойству областей $Щ0,
Итак, доказано, что все граничные дуги $Щ0 являются также граничными
дугами ЯВГ
Так как дифференциал Ж (р) однозначен на всей поверхности 31, то из
формулы (8.4.20) заключаем, что дифференциалы дО^/др совпадают на
общей границе областей 5Щ0 и ^Ц19 быть может, с точностью до знака.
Каждая функция Грина имеет положительную производную в направлении
внутренней нормали соответствующей области. Следовательно,^
дб0 (р, р0) __ __ дбх (р, рг) ^ ^ 23)
др др \ • • /
300 Гл. 8. Приложения вариационного метода
на общей границе областей 9#0,. ЭД}Г Так как, кроме того, обе функции
Грина обращаются в нуль на этой общей границе, то функция — О1(ру рг)
является аналитическим продолжением функции О0 (р, р0) через границу.
Итак, функции О0(р, р0) и —О1(р,р1) вместе образуют гармоническую на
поверхности 91 функцию, регулярную всюду, исключая только точки р0 и
р1У где она имеет логарифмические особенности противоположных знаков.
Обозначим через § (р, #) функцию Грина поверхности 91. Очевидно,
справедливо соотношение
°о(Р>Ро) в
в
Итак, гармоническая функция, составленная из функций О0 и —О19 выра-
выражена через функцию Грина поверхности 9?. Линия раздела областей
и Шг удовлетворяет простому уравнению
являющемуся интегралом дифференциального уравнения (8.4.21).
Максимальное значение суммы #о (Ро) + 6*1 (л) также можно выразить
через функцию Грина ^{р9д) поверхности 91. Через ?(р0) и ^(р^ обозна-
обозначим постоянные Робэна поверхности 91 в точках р0 и рг для локальных
униформизирующих хю{р) в точке р0 и V(р) в точке рГ Из формулы (8.4.24)
находим
Во (Ро) = 91 (Ро) ~ # (Ро> Рг)»
Итак, доказана'следующая
Теорема 8.4.2. Пусть УН является поверхностью с краем и &(р, д) —
ее функцией Грина. Для двух заданных на 9? точек р0 и р1 с фиксирован-
фиксированными локальными униформизирующими хю и V пусть у (р0) и у (р1) являются
постоянными Робэна поверхности 91. Пусть поверхность Ш разделена на две
области Шо и Шг так, что ро^ШОу РхСЯКр Для постоянных Робэна
§о (Ро) области 50?о в точке р0 и д1 (рг) области Ш1 в точке р1 справедливо
неравенство
(Ро) + &1 (Рг) < 9 (Ро) + 9 (Рг) - 2 3 (Ро, р±). (8.4.27)
Знак равенства в формуле (8.4.27) имеет место для экстремального раз-
разбиения поверхности 91 посредством системы разрезов
делящих 91 на две экстремальные области $Щ0 и г
До сих пор предполагалось, что поверхность 9? имеет край. То же
самое рассуждение можно провести и в случае замкнутой поверхности 91.
Точно тем же способом находим, что функция О0 (р, р0) является аналити-
аналитическим продолжением функции—Ог(р, рг) через общую границу областей ЗК0
и Я#1- Однако, так как замкнутая риманова поверхность не имеет функ-
функции Грина типа &(р, ^)» наше рассуждение необходимо изменить, начи-
начиная с этого пункта. Заметим, что функции О0(р, р0) и — 61(р, /?г) можно
рассматривать как однозначную действительную часть абелева интеграла
третьего рода на 9?. Итак,
В 1,. V /
Интеграл третьего рода ЯРоР (р) определен только с точностью до аддитив-
§ 4. Канонические разрезы на поверхности Ей 301
ной постоянной. Примем какое-либо определение интеграла &рорх(р) и рас:
смотрим на 9в линии, определяемые уравнением
{&РоР1 {р)} = а, а = сопз!. (8.4.29)
Эти линии разбивают 91 на две области $Щ0 и Шг- Соответствующие функ-
функции Грина имеют вид
-* в ЗК0, (8 4 30)
в 3»
Заметим, что величина ^0 (р0) + ёг (рг) не зависит от выбора постоянной а.
Следовательно, каждое разбиение (8.4.29) приводит к некоторой экстремаль-
экстремальной области. В противоположность случаю поверхности с краем, когда
экстремальное разбиение было единственным, в случае замкнутой поверхно-
поверхности существует бесконечно много экстремальных областей.
В качестве иллюстрации нашего результата рассмотрим частный случай,
в котором поверхностью $й является сфера. Введем в качестве универсальной
униформизирующей на 91 переменную хю. Экстремальные области найдем,
рассматривая линии
|| = «. (8.4.31)
Для каждой фиксированной постоянной а плоскость разбивается на две
круговые области. Одна из этих двух областей, содержащая точку ш0,
имеет функцию Грина
о\ > о/
0 (ш, ш0
о\ > о
- а, (8.4.30)'
в то время как для другой области, содержащей точку щ, функцией Грина
будет выражение
01(ш,ш1) = 1п|^| + а. ' (8.4.30)'
Итак, доказана следующая
Теорема 8.4.3. Пусть $Щ0 и Шх — две плоские области, не имеющие
общих точек. Если ауо€ЭД?о и щ€УЯг, то постоянная Робэна §0{ш0) обла-
области Шо в точке хю0 и постоянная Робэна §г (а^) области Шг в точке щ
удовлетворяют неравенству
§о Ы + ёг К) < 21п | щ - щ |. (8.4.32)
Неравенство (8.4.32) содержит в качестве специального случая одну
теорему теории однолистных функций в единичном круге, принадлежащую
М. А. Лаврентьеву. Рассмотрим две однолистные мероморфные функции
в единичном круге, разложения которых вблизи начала имеют вид
оо оо
т =: / (г) =*= Ц а^% т = § (г) = 2 Ь^. (8.4.33)
V=0 V—0
Хроме того, предположим, что /(г') Ф §(гп) для любых точек г' и / в еди-
единичном круге, иными словами, что образы единичного круга при отображениях
Нг) и 8(г)> рассматриваемых вместе, все еще однолистны над ^-плоскостью.
Здесь возникает вопрос об оценках коэффициентов этих семейств однолистных
функций. М. А. Лаврентьев показал [4*], что величину \а1Ь1\ можно оценить,
если заданы значения коэффициентов а0 и Ьо. Этот результат можно вывести
из неравенства (8.4.32).
302
Гл. 8. Приложения вариационного метода
Действительно, обозначим через $Щ0 и ЭД^ образы единичного круга при
отображениях соответственно /(г) и §{г). Нетрудно видеть, что
(8.4.34)
—а0
и
\(ш, Ь1) =
Применяя неравенство (8.4.32) с шо = ао, хю1 = Ь0У получим
\п\а,Ь, |<21п|аЛ —й,
(8.4.34)'
0
о
а1Ь1\<\а0-Ь0
(8.4.35)
(8.4.35)'
Можно еще обобщить понятие однолистной функции в заданной области
, рассматривая такие семейства однолистных функций Д>(г) в ф, что никакие
два образа области Ф не перекрываются. Вариационный метод можно легко-
применить в теории этих «однолистных вектор-функций».
§ 5. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ
КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ ПЛОСКИХ ОБЛАСТЕЙ
Особенно простой и интересный случай общей теории отображения области
91 в область 9? возникает тогда, когда 91 является конечносвязной областью
г-плоскости, а 9? — комплексной ^-плоскостью. В этом случае теория вложе-
вложения области 91 в область Ы превращается в классическую теорию однолистных
конформных отображений области 91. Некоторые экстремальные задачи, свя-
связанные с такого рода однолистными отображениями области 91, могут быть
решены нашим общим вариационным методом.
Полезно будет ввести несколько общих понятий, которые позволят нам
формулировать довольно общий результат теории экстремальных проблем
вышеописанной природы. Пусть Ф [/] обозначает действительнозначный функ-
функционал, определенный для всех аналитических в области 91 функций. Пред-
Предположим, что предел
(8.5.1)
Нт4-{Ф[/ + ейг]-Ф[Я} = Ке{^[в]}
(ё действительно) существует для всех аналитических функций ^(г) в 91
и что ЬЛ§] является комплексным линейным функционалом функции §(г).
Вообще говоря, функционал Ь^[§] зависит от функции /(г); Ке{^[§]} назы-
называется функциональной производной функционала Ф [/] для функции /(г).
Пусть известно, что некоторый функционал Ф[/] ограничен для класса
всех однолистных регулярных функций в области 91 и достигает своего
максимума по крайней мере для одной функции этого класса. Экстремальные
функции можно характеризовать при помощи вариационных рассмотрений.
Предположим, что экстремальная функция /(г) отображает 91 в подобласть
Ш области 91. Выберем в 91 жорданову кривую у и определим обратный
дифференциал г (г), удовлетворяющий условию ортогональности
(8.5.2)
т
для всех конечных квадратичных дифференциалов области 91. Через Г обо-
обозначим образ жордановой кривой ? в ${ и определим на этой кривой обратный
дифференциал
йт — (8.5.3)
§ 5. Экстремальные задачи 303
Вариацию областей 91 и 91 посредством присоединения клетки вдоль кривых
7 и Г преобразуем так, как было описано в § 14 гл. 7. Так как 9? не обладает
конечными квадратичными дифференциалами, то условия (8.5.2) гарантируют
сохранение конформных типов областей 91 и 91 при этой деформации. Ото-
Отображая конформно деформированные области обратно в исходные области,
получим новое взаимно однозначное соответствие между переменными г и хю>
порождающее новую однолистную функцию в 91. Из формулы G.14.10) полу-
получим соотношение
/* (г) = Т(г) + вк (г) Г B) - в Я [/ (*)] + о (г), (8.5.4)
где
н (г)=ш 5г (°п (г> г) м - ш 5{г {г))~ п (г> Г) й1 (8-5-5)
и
НЫ) = -^-{г и) (/' (ЛJ N (хюу / (/)) Л. (8.5.6)
Вариационное ядро Л/(^, р) для сферы было определено формулой G.10.2);
в этой формуле фигурирует произвольная фиксированная точка #о- Положим
хю (<70) = оо, так как в большинстве проблем конформного отображения бес-
бесконечно удаленная точка играет исключительную роль. Тогда
= -?—. (8.5.7)
Вычисляя значение функционала Ф[/А] при помощи формул (8.5.1)
и (8.5.4), получим
[/д] = Ф [/] +* Ке {I, [/*/'-Я (/)]} +о (е). (8.5.8)
Экстремальное свойство функции /(г) и произвольность выбора малого дей-
действительного числа е приводят к соотношению
Ке{Ь;[кГ-Н ([)]} = 0, (8.5.9)
справедливому для любых дифференциалов гA), удовлетворяющих условию
(8.5.2).
Линейный характер функционала Ь^ позволяет представить соотношение
(8.5.9) в следующей форме:
Ыг
т
где
= (Ь,[Г (г)п(г9 7)])" (8.5.11)
и
(г) — и)
(8.5.12)
Заметим, что функции АA)у В (г) и С(ш) аналитически зависят от их аргу-
аргументов и что на границе *>Я имеет место соотношение
. (8.5.13)
Итак, сумма А{г)-{-В(г) является квадратичным дифференциалом области
Рассуждая обычным образом, заключаем, что из условий (8.5.10) и (8.5.2)
следует соотношение
А {г) + В @ - (/' (*)У С (} @) = Я @. (8-5-14)
304Гл. #. Приложения вариационного метода
где (^(/) обозначает некоторый конечный квадратичный дифференциал 91.
Этому соотношению можно придать более простую форму
С (ы))с1ш2 = У A)си2, (8.5.15)
где У (/) является квадратичным дифференциалом 91.
Пользуясь граничными униформизирующими, можно показать, что граница
области-образа 5Щ состоит из аналитических дуг, каждая из которых удовле-
удовлетворяет дифференциальному неравенству
(8.5.16)
Посредством такого же рассуждения, какое было применено в § 2 этой
главы, можно показать, что экстремальная область Ш не имеет внешних
точек на 9?. Показав, что $Щ имеет аналитическую границу, подвергнем ее
граничной вариации типа Жюлиа, описанной в § 15 гл. 7. Пользуясь обозна-
обозначениями этого параграфа и формулой (8.5.1), получим для функции /А(г)
соотношение
Ф [/д] = Ф [Л - Ке (- \ь, [/' (г) п (г, I)] V «) аЛ + о (в). (8.5.17)
Здесь / является униформизирующей на границе ?. Согласно формуле (8.5.11),
полученное соотношение можно переписать так:
(8.5.17)'
Принимая во внимание ортогональность функции V(^) всем конечным квадра-
квадратичным дифференциалам 91, получим отсюда соотношение
(8.5.17)"
По направлению внутренней нормали (т. е. при положительной функции
V(/)) границу области можно варьировать вполне свободно, принимая во вни-
внимание только необходимость удовлетворить условию ортогональности всем
конечным квадратичным дифференциалам. Как и в § 2 этой главы, отсюда
усматриваем, что неравенство
(8.5.18)
справедливо на каждой граничной кривой $Щ.
Итак, мы получили следующую теорему:
Теорема 8.5.1. Пусть 91 является конечносвязной плоской областью
и Ф [/]—действительнозначным функционалом с функциональной производной
Ке{/,Д^]}. Однолистная регулярная функция /(г), для которой функционал
Ф [/] достигает максимума, отображает 91 на некоторую область с раз-
разрезами в хю-плоскостщ граничные кривые этой последней области состоят
из аналитических дуг, удовлетворяющих дифференциальному уравнению
Эта теорема показывает, что в том случае, когда поверхностью 91 яв-
является сфера, зависимость природы граничных разрезов экстремальных обла-
областей от характера исходной области довольно несущественна. Дифференциаль-
Дифференциальное уравнение (8.5.19) зависит только от природы фигурирующего в нем
функционала. Теорему 8.5.1 можно также интерпретировать следующим
§ 5. Экстремальные задачи 305
образом. Пусть Ф[/] является тем функционалом, для которого ищется
максимум. Подставим в него функцию
к (*) = / (г) + щ^ (8.5:20)
и вычислим разность
Тогда экстремальные кривые будут удовлетворять дифференциальному урав-
уравнению
С(а;)а;/2=1.
Этот результат был получен ранее при рассмотрении граничных вариаций
совсем другого типа. При этом было показано, что в 91 действительно суще-
существуют однолистные "функции вида
(ш — граничная точка $Щ), которые можно использовать в качестве функций
сравнения [9а]. Однако этот метод требует очень глубокого изучения воз-
возможных при конформном отображении особенностей граничных кривых.
Проиллюстрируем теперь те возможности, которые возникают при при-г
менении теоремы 8.5. К При доказательстве существования максимума функ-
функционала в классе всех однолистных в области 5Л функций часто можно поль-
пользоваться тем фактом, что важные подклассы класса всех однолистных функ-
функций образуют нормальные семейства. Допустим, например, что точка 2 = 0
лежит в области 5Л. Хорошо известно, что все регулярные и однолистные
в 91 функции /(г), нормированные условиями /@) = 0, /'@) = 1, образуют
нормальное семейство 8. Итак, для любого заданного ограниченного функ-
функционала на 8, удовлетворяющего условию (8.5.1), существует по крайней
мере одна функция из 8, для которой этот функционал достигает максимума.
Исходя из этого факта, можно доказать существование широкого класса
функционалов, которые обязательно достигают максимума на семействе Р
всех регулярных однолистных функций в области 5Л. \ *
Действительно, пусть Ф[/] является некоторым ограниченным на 8 функ-
функционалом. Следовательно, этот функционал достигает максимума на 8.
Преобразование
/о (г) = * (г>-^@) (8.5.22)
переводит произвольную функцию /(г) класса Р в элемент класса 8. Итак,
каждый ограниченный на 8 функционал Ф [/] порождает функционал
(8-5.23)
ограниченный на Р и достигающий там своего наибольшего значения. Не-
Нетрудно вычислить функциоцальную производную \Г [/], если функциональная
производная Ф [/] "известна. Простое вычисление дает
]} (8.5.23)'
Здесь Ке{Х^0} является функциональной производной функционала Ф[/] дли
функции /0(г).
Вследствие тесной связи, существующей между классами Р й 8, большая
часть экстремальных задач для регулярных однолистных в 91 функций фор1
мулируется для класса 8. Следует, однако, заметить, что при нашем вариа-
вариационном подходе классы Р и 8 не разделены. Предположим, что для Некоторой
функции [(г) класса 8 функционал Ф [Д достигает максимума. Тогда можно
также утверждать, что функционал ХР [/) достигает максимума для функции
20 Заказ № 634
306 Г л, 8, П риложения вариационного метода
( так как !0(г)~!(г) Для всех элементов класса 5. Подставляя функ-
функциональную производную функционала ^[/] в уравнение (8.5.19), из теоремы
8.5.1 найдем, что граничные кривые экстремальной области $Щ удовлетво-
удовлетворяют дифференциальному уравнению
ш = а; @- (8.5.24)
Наш результат резюмируем в виде следующей теоремы:
Теорема 8.5.2. Пусть 91 является конечносвязной плоской областью
и 3 — классом всех регулярных однолистных в 5Л функций ] (г), нормирован-
нормированных в точке 2 = 0 б 5Я: условиями /@) = 0, /'@)=1. Пусть Ф[/] является
действительным функционалом, ограниченным на 5 и удовлетворяющим
условию (8.5.1). Тогда Ф [/] достигает, своего максимума в классе 5 на
функции /(г), отображающей УЬ на некоторую область с разрезами хю-пло-
скости; при этом граничные разрезы удовлетворяют дифференциальному
уравнению
ГЛ?0' 1 о; = о> @- (8.5.24)
В качестве примера рассмотрим вопрос об описании среди всех функций
/()€$ тех, для которых в заданной фиксированной точке го^УЬ достигает
наибольшего возможного значения величина 1п|/(го)|. Так как по условию
^@) = 0, то наша задача сводится к определению тех функций /(г), для
которых расстояние | / (г0) — / @) | достигает максимума. Вследствие этого
сформулированная проблема именуется проблемой искажения при конформ-
конформном отображении. Так как здесь
то условие (8.5.1) дает
В соответствии с уравнением (8.5.24), граничные кривые экстремальной об-
области удовлетворяют следующему дифференциальному уравнению:
/<*о)
В результате интегрирования получим
ш @ = / (*о) тггЬп • (8.5.25)'
Постоянная интегрирования с будет, вообще говоря, комплексной; она зависит
от выбора компонента границы области 5Л. Однако должна существовать одна
дуга границы области $Щ, уходящая в бесконечность, так как Ш не может
содержать эту точку. На этой дуге постоянная с необходимо должна быть
действительна. Следовательно, этот граничный разрез представляет собой
отрезок прямой линии, соединяющий начало гю = 0 с точкой — }(г0).
Дальнейшее изучение экстремальной функции / (г) и определение числен-
численного значения 1п|/(го)| относятся к теории однолистных функций; здесь мы
этим заниматься не будем. Нашей целью было показать только, какого рода
сведения из теории однолистных функций могут быть получены вариацион-
вариационным методом.
Переходя к следующему примеру, рассмотрим разложения всех функций
/ (г)^3 вблизи начала координат
оо
(8.5.26)
4=2
§ 5. Экстремальные задачи 307
Поставим задачу об отыскании максимального значения функционала
ф [I] = Ре ап. Положим
оо
1—]■/(*) ^2 У1
(8-5.27)
Коэффициенты Ь^ ( — ^ легко вычислить; они являются полиномами степени
V—1 от переменной \\1 с коэффициентами, зависящими от /(г). Легко уста-
установить следующее соотношение:
оо
(г)
(8.5.28)
Из теоремы 8.5.2 заключаем, что функция (8.5.26), для которой вели-
величина Кеап достигает максимума, отображает область 5Л на некоторую область
с разрезами оу-плоскости. Граничные кривые этой области удовлетворяют
дифференциальному уравнению
■ —
ХНУ
(8.5.29)
Это дифференциальное уравнение может служить отправной точкой для
более глубокого изучения проблемы коэффициентов однолистных функций
в многосвязных областях.
В этой связи следует заметить, что вспомогательная функция (8.5.27)
также принадлежит классу 5, если / является граничной точкой $Щ. Следо-
Следовательно, из экстремального свойства функции \(г) получаем неравенство
(8.5.30)
справедливое для всех граничных точек $Щ- Это замечание очень полезно
при изучении экстремальной области 9#. Действительно, точки оу-шюскостц,
удовлетворяющие соотношению
являются критическими точками тех дуг, которые определяются дифферен-
дифференциальным уравнением (8.5.29). Поставим, следовательно, вопрос: при каких
условиях критическая точка ш0 этого типа может лежать на границе экстре-
экстремальной области 3#? Согласно предыдущему замечанию, функция
/•(*)=—ф (8.5.32;)
также должна принадлежать классу 5. По формуле (8.5.27) эта функция
имеет тот же п-й коэффициент, что и экстремальная функция }(г). Но тогда
/* (г) сама является экстремальной функцией и отображает 5Л на некоторую
экстремальную область 2К*; граничные разрезы этой последней области удов-
удовлетворяют уравнению
"(^УКЧОЬ (8-5-33)
Желая выяснить значение совокупности уравнений (8.5.29) и (8.5.33),
мы должны исследовать соотношения между величинами хю и ш*у Ьп( — Л
и Ьп(—$\. Связь между функциями /* (г) и }(г) наиболее просто выра-
20*
308 Гл. 8. Приложения вариационного метода
жается в следующей форме:
1Ч*)~ = Ш~~щ;' (8.5.32)'
Соответственно
1 1 1 (8.5.32)'
хю* ш щ
о
Пусть щ является граничной точкой области $Щ; по формуле (8.5.32)",
она соответствует граничной точке области *
т », ».- (8-5-34)
*
Для вычисления коэффициента Ь* ( —* ) рассмотрим функцию
> 1 У
1
и вычислим п-й коэффициент ее разложения. Отсюда получим
- (8-5-36)
Итак, дифференциальное уравнение (8.5.33) можно представить в следующей
форме:
К % \(^] (8.5.37)
Здесь функция шA) дает то же представление граничных кривых, кото-
которое было использовано в уравнении (8.5.29). Разделив неравенство (8.5.37)
на величину (8.5.29), получим для всех граничных кривых области Ш
соотношение
(8.5.38)
Итак, если существует критическая точка хю0 на границе 9Л, то все гранич-
граничные разрезы будут прямолинейны и будут лежать на линии, соединяющей
точки ы> = 0 и до0. Тем самым доказано, что граничные кривые экстремаль-
экстремальных рбластей в проблеме коэффициентов являются аналитическими дугами
без критических точек.
Более глубокое рассмотрение уравнения (8.5.29) оказалось возможным
вследствие существования конечного преобразования класса 3 на себя, зада-
задаваемого формулой (8.5.27), где / обозначает точку границы области $Щ.
Вариационный метод позволяет сравнить экстремальную функцию только с ее
непосредственными соседями в рассматриваемом классе. Преимущество фор-
формулы конечных преобразований состоит в том, что она приводит к отдален-
отдаленным элементам нашего класса и доставляет дополнительные сведения. Часто
оказывается возможным усилить результаты, полученные посредством рас-
рассмотрения вариаций, используя простое преобразование класса рассматрива-
рассматриваемых функций, аналогично тому, как это было проведено выше.
Рассмотрение другого класса нормированных однолистных функций весьма
интересно с точки зрения теории конформного отображения. Этот класс
определяется следующим образом. Предположим, что точка г = оо принад-
принадлежит области 91. Рассмотрим класс всех однолистных в 91 функций, имею-
имеющих на бесконечности разложение вида
(8.5,39)
§ 5. Экстремальные задачи 309
В остальных точках 91 эти функции предполагаются регулярно аналитиче+
скими. Наши функции образуют класс Р однолистных в области 91 функций.
Так как каждая вариация вида (8.5.4) преобразует функцию класса Р
в другую функцию того же класса, то рассуждение этого параграфа непо-
непосредственно применимо к экстремальным задачам для класса Р. Справедлива»
таким образом, следующая
Теорема 8.5.3. Пусть 91 является плоской конечносвязной областью,
содержащей бесконечно удаленную точку, и пусть Р обозначает класс всех
однолистных в 91 функций, регулярных всюду, исключая только полюс типа
(8.5.39) на бесконечности. Если Ф[/] является действительным функцио-
функционалом, удовлетворяющим условию (8.5.1) и ограниченным на Р, то этот
функционал достигает своего максимума в Г на некоторой функции / (г)
этого класса. Функция /(г) отображает 91 на такую область с разрезами
плоскости переменной хю, граничные разрезы которой удовлетворяют диф-
дифференциальному уравнению
1 (8.5.40)
Проиллюстрируем эту теорему/ указав некоторые ее приложения. Пусть
требуется определить максимальное значение функционала *9&{е~2ша^, где
а обозначает некоторую фиксированную действительную постоянную и аг —
коэффициент при г~г в разложении (8.5.39). Применяя формулу (8.5.40),
видим, что экстремальная функция /(г) отображает 91 на некоторую область
с разрезами над ^-плоскостью, причем граничные разрезы удовлетворяют
дифференциальному уравнению
ш'2е~21«=\. (8.5.41)
Интегрируя это дифференциальное уравнение, получим выражение
(8.5.41)'
Иными словами, все граничные разрезы экстремальной области ЗК являются
прямолинейными сегментами направления е1а.
Здесь вариационный метод выступает в новом аспекте: он позволяет
строить доказательства существования для некоторых канонических отобра-
отображений. Именно, поставим некоторую экстремальную задачу, для которой
существование экстремальной функции будем предполагать гарантированным.
Тогда можно будет охарактеризовать экстремальную функцию вариационным
методом, и таким путем мы докажем существование отображения нашего
класса со специальными свойствами. Например, предыдущее рассуждение
приводит к следующей теореме существования:
Существует функция /(г) класса Р, которая отображает область 91
на хю-плоскость, разрезанную вдоль прямолинейных сегментов заданного
направления.
Пусть г0— заданная фиксированная точка в области 91. Поставим задачу
об определении максимума функционала Ке{г~2/а1п /' (г0)} для всех функ-
функций }(г) класса Р. Используя формулу (8.5.40), видим, что экстремальная
функция /(г) отображает 91 на область с разрезами в оу-плоскости; при
этом каждый граничный разрез удовлетворяет дифференциальному уравнению
'2 е-2'»= - 1. (8.5.42)
Интегрируя это уравнение, получим следующее параметрическое представле-
представление граничных разрезов:
(8.5.43)
310 Гл. 8. Приложения вариационного метода
Комплексные постоянные интегрирования с, вообще говоря, различны для
различных граничных разрезов. Эти кривые являются спиралями заданного
наклона с полюсом в точке [(г0). При а = 0 эти спирали вырождаются в дуги
окружностей с центром /(г0); при а = тс/2 они превращаются в прямолиней-
прямолинейные сегменты, направленные к общему центру /(г0). Итак, поставив подхо-
подходящую экстремальную задачу, мы доказали существование обширного класса
канонических областей.
ЛИТЕРАТУРА
1. Г о л у з и н Г. М,
а) Внутренние задачи теории однолистных функций, Успехи матем. наук, 6
A939), 26—89.
Ь) Некоторые вопросы теории однолистных функций, Труды Матем. инст. им.
В. А. Стеклова, XXVII A949).
с) Метод вариаций в теории конформного отображения I, II, III, Матем, сбор-
сборник, 19 A946), 203—236; 21 A947), 83—117; 21 A947), 119—132.
2. Ж ю л и а (Л и П а С.)
Ьедопз зиг 1а гергёзегйаНоп соп!огте ёез а1гез тиШр1етеп1 соппехез, ОаиШег-
УШагз, Рапз, 1934.
3. Курант (С о и г а п 1 К.)
Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности, М.,
1953.
4.* Лаврентьев М. А.
К теории конформных отображений, Труды Матем. инст. им. В. А. Стеклова, 5
A934), 159—246.
5. М о н т е л ь (М о п 1 е 1 Р.)
Ье^опз зиг 1ез кшсИопз ишуа1еп1е5 ои тиШуа1еп1е5, СаиШег-УШагз, Рапз, 1933.
6. Шеффер, Спенсер (ЗспаеНег А. С, Зрепсег И. С.)
СоеШаеп! ге§ют !ог зспПсМ {ипсИопз, Со1^шит РиЬПсаНопз, уо1.35,
Атег. Ма1п. 5ос, №\у Уогк, 1950.
7. Шеффер, Шиффер, Спенсер E спаеНег А. С, 5 с Ь Ш е г М.,
Зрейсег Б. С.)
Тпе соеШаеп1 ге^юпз о! зсЬПсЫ {ипсИопз, Бике Ма1п. Лоигп., 16 A949), 493—527.
8. Шиффер, Спенсер E с Ь 1 ! ! е г М., 5 р е п с е г Б. С.)
Тпе соеШс1еп1 ргоЫет 1ог^ тиШр1у-соппес1еA ёота1пз, АппаЬ оГ Ма1п., 52
A950), 362—402.
9. Ш и ф ф е р E с п 1 ! I е г М.)
а) А те!пос1 о? уаг1аиоп \У11п1п 1пе {атИу оГ 51тр1е ГипсИопз, Ргос. Ьопёоп
Ма1п. 5ос. B), 44 A938), 432—449.
Ь) Оп 1пе сое[{1С1еп15 о! 51тр1е {ипсИопз, Ргос. Ьопёоп Ма1Ь. 5ос. B), 44 A938),
450—452.
10. С п е н с е р E р е п с е г Б. С.)
5оте ргоЫетз 1П соп!огта1 таррш§, Ви11. Атег. Ма1п. 8ос, 53 A947), 417—439.
ГЛАВА 9
ЗАМЕЧАНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ОБОБЩЕНИЯ ТЕОРИИ
НА КЕЛЕРОВЫ МНОГООБРАЗИЯ ВЫСШИХ РАЗМЕРНОСТЕЙ
§ 1. КЕЛЕРОВЫ МНОГООБРАЗИЯ
Желая дать более разностороннее освещение тем фактам, которые были
изложены в предыдущих главах, мы опишем в этой главе некоторые спе-
специальные свойства келеровых многообразий произвольной комплексной раз-
размерности к. Как теперь будет показано, любая риманова поверхность может
быть превращена в 1-мерное келерово многообразие посредством введения
подходящей метрики. Вследствие этого, теорию римановых поверхностей
можно рассматривать в качестве частного случая к = 1 общей теории к-мер-
ных келеровых многообразий; поучительно при этом проследить, какие факты
теории римановых поверхностей могут быть обобщены и какие нет.
В этой главе доказательства некоторых утверждений будут опущены и
заменены литературными ссылками. Таким образом, опустив несколько деталей,
мы будем иметь возможность дать общее описание некоторых аспектов теории
келеровых многообразий без чрезмерного увеличения объема главы.
Для полноты изложения в этом параграфе будут описаны различные
известные свойства комплексных многообразий.
Комплексным (аналитическим) многообразием Мк комплексной размер-
размерности к назовем такое пространство, каждая точка р которого обладает
окрестностью Л/(р), топологически отображающейся на некоторую под-
подобласть евклидова пространства комплексных переменных г1, . .., г . Коор-
Координаты точки 9€^(р) обозначим через гг(<7), /= 1, 2, ..., к. В том случае,
когда две окрестности пересекаются, соответствующие координаты связаны
псевдо-конформным преобразованием. Мы будем рассматривать только хаус-
до рфовы паракомпактные многообразия.
Следуя Калаби [8], введем сопряженное многообразие Мк, являющееся
гомеоморфным образом многообразия Мк\ при этом точке р^Мк пусть
соответствует точка р € Мк и окрестности N (р) — окрестность Л/(р). Будем
П
р р () р ()
предполагать, что латинские индексы меняются от 1 до 2к. Положим
1=1 +к (тоА2к). (9.1.1)
Для точек д^М(р) положим
* (?) = (*' (<?))". (9-1-2)
где (г)" обозначает комплексно сопряженную величину для величины г.
Соответствие (9.1.2) отображает окрестность N (р) на область пространства
переменных г1 = г\ /=1,2, .. ., к.
Рассмотрим теперь произведение многообразий МкхМк. Точками этого
нового многообразия являются упорядоченные пары (/?, ^)- Положим
гг(р)у 1= 1, 2, . .., ку
[2{)=={г1{с1)Г^ 1==к + 19 ииш92к. (9Л>3)
Тогда
г1 {р, ф = (г1 (9, р)Г, /-1,2,..., 2к. (9.1.4)
312 Гл. 9. Келеровы многообразия высших размерностей
Все точки произведения МкхМк описываются координатами
/=1,2, .. ., 26. Введем координаты х1 (р, ^) при помощи формул
^^/, (9.1.5)
Тогда
* *, . «=1,2, ...,26. (9.1.6)
На диагональном многообразии Ой произведения М^хМ*1, где р = 9> имеют
место соотношения
?1 = г* (р, р) = (/)-, *4 = х*(р,р) = (**)-. (9.1.7)
Итак, многообразие О* целиком описывается либо при помощи самосопря-
самосопряженных координат г\ г1 =г\ I— 1, 2, .. ., 26, либо при помощи действи-
действительных координат хг.
Мы будем заниматься главным образом диагональным пространством пк.
Тензор А будем считать действительным, если действительны его компо-
компоненты, выраженные через действительные координаты х1. Действительный
тензор Л, выраженный через самосопряженные координаты г\ удовлетво-
удовлетворяет соотношению
Тшш/. (9.1.8)
Пусть греческие индексы без черточек изменяются от 1 до 6; положим
а = а + ку а = а. (9.1.8)'
Формулу (9.1.8) можно теперь переписать так:
Существенно связаны с исходным многообразием Мк те комплексные анали-
аналитические тензоры, индексы которых изменяются от 1 до 6.
На многообразии Ик существует «квадрантный верзор»; так называется
действительный тензор Нг\ удовлетворяющий соотношениям
г 1 ; /
(9.1.10)
к,
I
,
О, 1Ф1.
В самосопряженных координатах г1 этот тензор имеет следующие компо-
компоненты:
Нг}(г) = \ -У~\, 6+1<1 = /<26, (9.1.11)
0, ( Ф /.
В действительных же координатах х1 компоненты выражаются так:
1, *' = /, 1</<6,
1 / 7 Ь А- \ <Г 1 <* 9Ь /О 1 1 1 \'
А , *" ' / у «V I X *^^, Ь *^^, &*щ\/ , 1С/. 1.1 II
0, 1фТ
Величины (9.1.11) и (9.1.11)' являются псевдо-конформными инвариантами.
§ 1. Келеровы многообразия 31$
Пусть задан вектор <Рг- Тогда
будет тождественным преобразованием; преобразование
(^)г = ^Ь (9.1.13)
является поворотом на «квадрант». Пусть заданы действительные числа а
и Ь\ операция а1-\-Ьк> примененная к векторам, соответствует комплексному
умножению, при котором действительный характер вектора сохраняется.
Имеем соотношение
(а1+ЬН) {с1 + Лк) = (ас — Ь4) I + (ой + Ьс) к. (9.1.14>
Другими словами, получаемое из действительных векторов при присоедине-
присоединении оператора к поле изоморфно комплексному числовому полю.
Предположим теперь, что многообразие Ои несет келерову метрику ^.у,
класса С°°. Келеровой называется такая риманова метрика, которая удо-
удовлетворяет следующим двум условиям:
(а)
(Ь) Р, Р/
Символ
обозначает здесь ковариантное дифференцирование, а -! ^ У являются коэф-
коэффициентами аффинной связности. Условие (а) утверждает, что векторы 9г
и (/крК имеют одинаковую длину, в то время как условие (Ь) выражает
коммутативность операторов к и Б: Вк — кЪ.
Положим
Ч=Я,Лг- (9.1Л6)
Умножая обе части равенства (а) на тензор кг3 и суммируя по / от 1 до 2к>.
получим
Кг = &ЛУ = гиАгрV V = - ёРАр = - К- (9 ■ 1 • 17>
Итак, тензор /г|;. антисимметричен и, следовательно, в силу формулы (9.1.16)г
1 .7 _ У
Таким образом,
Кч^ККК- (9.1.18>
Формулы (9.1.18) и (9.1.11) показывают, что в самосопряженных координа-
координатах г1 любой отличный от нуля компонент тензора кт необходимо имеет
форму к^ или Л-3. Другими словами, Лрд = 0, исключая только тот случай,
когда индексы р и ц принадлежат противоположным классам по отношению^
к операции образования сопряженных индексов. Метрика, удовлетворяющая
условию (а), называется эрмитовой.
Из условия (Ь) получим
Полагая 9==а» ' —Р и используя самосопряженные координаты, получим
(
А г —
Следовательно,
//^({р/}) =0' /=1' 2> •••' 2к- (9-1.19)
314
Гл. 9. Келеровы многообразия высших размерностей
Итак, только те компоненты коэффициентов аффинной связности отличны
•от нуля, у которых все три индекса принадлежат одному и тому же классу.
Так как
то
дк -
дга
ИЛИ
дг*
дк _
дга
(9.1.20)
Дифференциальная форма первой степени
где 9г являются компонентами некоторого ковариантного вектора и соблю-
соблюдается обычное соглашение о суммировании, называется 1-формой на много-
многообразии пк. Сумма внешних произведений 1-форм называется р-формой,
или внешней дифференциальной формой степени р, р> 1. Внешнее умно-
умножение, обозначаемое символом Л, ассоциативно, дистрибутивно и удовле-
удовлетворяет следующим условиям (см. [И]):
а д йгг = йг1 Д а = а йг1,
йгх Аайг1 = а йгх Л Лг3,
где а обозначает скаляр. Внешнее умножение было уже определено в гл. 1,
но символ Л был там для простоты опущен. В этой главе мы придержи-
придерживаемся обозначений, принятых в тензорном исчислении. Любую р-форму <р
можно записать в следующем виде:
Л
= . 2
(9.1.21)
9«1...*р является антисимметричным ковариантным тензором ранга р
(р-вектором по терминологии Э. Картана). Круглые скобки обозначают здесь,
что заключенные в них индексы должны быть расположены в порядке
возрастания.
Положим
• • • ё'рП
Гл
Следовательно, величина
/1. • -У
(9.1.22)
/1 • • • /р —
1
8
1-1'1
ё.р'1
(9.1.23)
является как раз символом Кронекера, обычно обозначаемым через
■йг1...гр/1""/р- В этом пункте мы отступили от принятой системы обозначений
для достижения лучшей симметрии символов.
Дифференциал ёу некоторой р-формы является (р+1)-формой
^9 = (Лу)^.. лр+1) йг^/\ ... Л^+1, (9.1.24)
где
р\
Х' ' '
(9.1.25)
§ 1, Келеровы многообразия 315
В этой формуле
Заметим, что
2Л \\ 1
г"
так как
Г- • /л- • -/р \ 1 — О
1 *1. • .*р+1 " 1 / ; [ — и>
. Следовательно, в формуле (9.1.25) можно заменить
"ковариантное дифференцирование Оу на обычное д/дг?. Справедливо соот-
соотношение
(9.1.26)
Форма 9> удовлетворяющая соотношению ^ср = О, называется замкнутой;
форма 9> представимая в виде 9 —^Ф> называется точной. Следовательно,
формула (9.1.26) утверждает, что точная форма всегда замкнута.
Пусть
УМ. . .2Л, 12...2Л- (9.1.27)
Вместе с де Рамом [ 11 ] положим
* ? = (* ?)</,.. ./2Й^Р) ^/1Л ... Л^'^-р. (9.1.28)
Здесь
(♦о)/ / ' =вп и/ /, 9(/1"#/р)- (9.1.29)
Нетрудно проверить, что
**9-(-1)Р9. (9.1.30)
Подставляя в формулу (9.1.28) скаляр 1, получим
*1=в12...2^21Л--.Л^к. (9.1.31)
-Итак, * 1 является элементом объема.
Ковариантным дифференциалом 89 р-формы 9 называется {р— 1)-форма
§? = (8?)(/1.. .^1) <1&Л ... Л^р-1, (9.1.32)
где
п.-.*р-1- (9.1.33)
В противоположность дифференциалу Лр> ковариантный дифференциал 89
-существенным образом зависит от метрической структуры многообразия.
Справедливо соотношение
(9.1.34)
Форма 9> удовлетворяющая соотношению 89 = 0, называется ковариантно
замкнутой; форма 9, представимая в виде <р = 8ф, называется ковариантно
точной.
Положим
1/\йгК (9.1.35)
Условие (9.1.20) выражает тот факт, что форма со замкнута:
Ло = 0. (9.1.36)
*С другой стороны, условие (9.1.19) утверждает, что О4А|;. = 0 и, следовательно,
8а) = 0. (9.1.36)'
Итак, форма со одновременно замкнута и ковариантно замкнута.
316 Гл. 9. Келеровы многообразия высших размерностей
Классический оператор Бельтрами —Лапласа для р-форм имеет вид
(9.1.37)
Гармонической называется р-форма ср, удовлетворяющая уравнению
Форма, удовлетворяющая условиям й<р = 8ср = О, называется гармоническим
полем. Из формул (9.1.36) и (9.1.36)' видно, что 2-форма ш является гармо-
гармоническим полем.
Напомним, что тензор римановой кривизны (тензор Римана — Кристоф-
феля)
обладает свойствами симметрии
Этот тензор удовлетворяет также тождеству Бианки
(9-1.40)
Некоммутативность ковариантных дифференцирований выражается тождеством
Риччи
ад-О А) ?'!-..'*= - 21?/1..л|1_,«|1 + 1.../р/?Л^/. (9.1.41)
В геодезических координатах уг тензор кривизны выражается следующим
образом:
) ) (9.1.38Г
В случае келеровой метрики из формулы (9.1.19) получим тождество
Итак, в самосопряженных координатах тензор Ятщ равен нулю, исключая
только тот случай, когда индексы т и / принадлежат к одному и тому же
классу по отношению к операции образования сопряженных индексов.
Другими словами, Кнг^ = 09 исключая только тот случай, когда пары Нг
I и /, / составлены из индексов различных классов. Из формулы (9.1.40)
следует, что
Другими словами, индексы одного и того же класса перестановочны. Нако-
Наконец, любой отличный от нуля компонент тензора Риччи
\ц (9-1.44)
имеет индексы противоположных классов.
§ 2. КОМПЛЕКСНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
В предыдущем параграфе были рассмотрены действительные тензоры
и операторы; эти операторы переводят действительные тензоры в действи-
действительные. Теперь мы определим комплексные тензоры и операторы, введен-
введенные в [6Ь].
Как в [9], положим
У4/- <9-2Л>
1,0
§ 2. Комплексные операторы 317
Сопряженный тензор определяется следующим образом:
П/ = ТУ = Т № + У~Х V) ■ (9-2.2)
О, 1 1,0
Подразумевается, что операция образования сопряженного тензора выпол-
выполняется в системе действительных координат. Пусть р [-а = р9 р>0, а>0.
Положим (ср. [9])
П. /1 ... /р п гп\ ... т гц ... ла ТТ г
П
р, а 1,0
г° П 51 П 8°Г /1.-./Р (9.2.3)
11 р ' 1] Л1 "•• 11 "
1,0 р 0,1 0, 1
Б самосопряженных координатах
1 для
1 0 ( 0 в остальных случаях.
Следовательно, любой отличный от нуля компонент тензора
Р, » р» а
имеет точно р индексов между 1 и к и а индексов между &+1 и 26. Иначе
говоря,
П ? = <Р(в1... ар) гр.... рв) <**** Л ... Л йА Л Л?1 Л ... Л йг*° . (9.2.5)
Р. а
Ъ тех случаях, когда выполняется хотя бы одно из трех неравенств: р + а =
= р>2&, р < 0, а < 0, полагаем компонент [] равным нулю. Легко полу-
о, а
яим соотношения
(9-2-6>
=р р,а
п п =
о,а р'.о'
При р =
П
р.*
0 в остальных случаях.
Итак, формула (9.2.6) дает ортогональное разложение тождественного опе-
фатора Г. Так как
^ *'г, (9.2.8)
ТО
П; • • • =(ТТ. • • • Г= П; , • , • (9.2.9)
р, а р, а а, о
В случае 9 = П^ мы ^Удем ИН0ГДа говорить (вместе с Ходжем), что ср
р, а
-является формой типа (р, а).
Определим далее комплексный ковариантный дифференциатор
ел _ тт /п /а о т^
1, О1
' Соответствующий контравариантный дифференциатор определяется следу-
^ющим образом:
11^ 11з
0. 1 1.0
318 Г л, 9. Келеровы многообразия высших размерностей
Сопряженные операторы имеют вид
Е№> (9.2Л1)
Е
0> 1
*= Ц ЛУ. (9.2.11)"
Из тождества (9.1.41) и свойств симметрии келерова тензора кривизны
следует соотношение
1.../р =2 ц цЛцнр
^-11.о (9.2.12)
являющееся комплексной формой тождества Риччи.
В комплексном тензорном исчислении, которое мы предполагаем исполь-
использовать, эрмитов оператор Д заменяет симметричный тождественный опера-
оператор Г; комплексные дифференциаторы 3 заменяют операторы п.
Формулы (9.1.25) и (9.1.33) можно записать в следующей форме:
=—Г.. . (/1---/р)О\р,. . ,= —Г.. ,
Комплексными аналогами этих операторов являются операторы
= 2 П ^П= 2 П .•1...( ы
о-\-а=р р-Ь 1 ,а р,а ?-\-о=р р+1,а ^у /л п 1 о\
2 П »П = - 2
р+а=р р,а—1 р, а р+с—р р, а
=р р,а
Сопряженные операторы имеют вид
=2 П ^ П = 2 ГЬч.. лр+1, /оч.. ./р^У''1- • •'*> . (9-2.14)-
р-\-а=р р,а-Н 1 р, а о+а=р р,а-Н 1
.,= 2 П §Г1 = - 2 Пя1...<р-ь(/1.../р)^У/1---/р)- (9-2Л4)'
^ р+а=р р—1 ,а р,а р-}-а=р р,а
Нетрудно проверить следующие тождества:
*П= П *, (9.2.15)
р, а к—о, к—о
= (-1)рд*, (9.2.16)
(9.2.17)
(9.2.18)
Справедливо также следующее выражение:
^! (9.2.19)
р
I V р. . /
2 ^-1 Х^Ц.^
§ 2. Комплексные операторы
319
Принимая во внимание свойства тензора кривизны в случае келеровой мет-
метрики, получим тождество
лП=Пл- (9-2-20>
р, а р, а
Введем теперь комплексный оператор Бельтрами — Лапласа
Справедливо соотношение
где
(9.2.21>
(9.2.22),
(9.2.23),
Выпишем еще легко проверяемые тождества
"*. □ = (— 1)Р*П*,
(9.2.24)
Отметим также соотношение
П
р, а
п
р, а
В противоположность тождеству (9.2.20), это тождество тривиально. Про-
Произведя вычисления, получим
р
1=1 1, О
1_ >п г>. . ы
1
(9.2.25)
Построив для обеих частей формулы (9.2.25) сопряженные операторы и поменяв,
местами р и а, получим выражение
р
**«!...«р А1 III 1 ТМ • • *1\1 — 1Л1»л + 1 * * ЛР
^=1 0, 1 ^
(9.2.25)"
Из формулы (9.2.12) получим теперь тождество
-1л
— 2 /Л-
(9.2.26)
При р>2 положим
(Ао).
(9.2.27)
а при р = 0 или 1 положим Л9 = 0. Можно проверить, что
ЛA-с1А = ЬгЧН.
Через Н здесь обозначен оператор
(9.2.28),
.320 Гл. 9, Келеровы многообразия высших размерностей
определенный формулой
... Н
Н1:
Мтак, справедливы тождества
= ДА, (9.2.29)
»Л*?)- (9.2.30)
Здесь 9 обозначает р-форму.
§ 3. КОНЕЧНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
Относительно компактная подобласть В келерова многообразия М назы-
называется конечным подмногообразием, если каждая граничная точка р€ В обла-
обладает окрестностью Л/(/?)С1В, в которой существуют действительные коорди-
координаты и1, и2, ..., и2к, удовлетворяющие следующим условиям:
A) каждая координата и1 является функцией переменных г] класса С°°,
л якобиан д(иг, . .., а2А?)/5(г1, ..., г2к) не обращается в нуль в окрестности
(и) окрестность N (р) отображается топологически на некоторую подоб-
подобласть ц-пространства так, что точки гиперплоскости и2к — 0 соответствуют
точкам границы области В, а координаты и1, . .., и2к~г являются локальными
граничными параметрами;
A11) и2А?-кривые ортогональны гиперплоскости и2к = 0, и, следовательно,
компоненты §{.9 выраженные через координаты и1, удовлетворяют на границе
условию §{2к = дг2к = 0 при 1= 1, 2, ..., 2к— 1. Координаты иг называются
граничными координатами.
Конечное многообразие является или конечным подмногообразием с гра-
границей, или компактным' (замкнутым) многообразием.
Будем обозначать топологический оператор взятия границы символом Ь
В окрестности N (р), р$ЬВ, положим
2
П
Тогда 9 = ^Р + я<Р в окрестности N (р); однако это разбиение имеет гео-
геометрический смысл, вообще говоря, только на границе ЬВ. В том случае,
когда в качестве координаты и2к выбрано геодезическое расстояние от гра-
границы (и2к > 0 в N (р) [) В), /ср и щ являются вполне определенными р-фор^
мами в достаточно малой граничной полосе 0 < и2к < е, покрываемой коор-
координатами и1, ..., и2к. Справедливы соотношения */ = п*, /* = *п.
Скалярное произведение двух р-форм 9 и Ф на подобласти Б многообра-
многообразия М определяется формулой
В качестве нормы принимается величина || ср || = |/"(ср, 9). Нетрудно проверить,
что
(П«р. ф) = (?. Пф).
Иначе говоря, Ц является симметричным оператором.
§ 3. Конечные многообразия 321
Обозначим через Са дифференцируемую <7"Цепь на многообразии Мк
с действительными коэффициентами и через 9 (9~~ 1)-форму. Имеет место
хорошо известная формула Стокса
(9.3.1)
где 6С*3 обозначает границу цепи Са. Положим, в частности,
и
где В является конечным многообразием. Тогда для р-формы 9 и
формы ф получим соотношение
* ф —ср д # оф) = \ 9 Л *
в ьв
Итак,
(Лр, ф) - (9, 8ф) = ^ 9 Л * ф. (9.3.2)
ьв
Специальным подбором форм 9 и ф непосредственно из формулы (9.3.2) полу-
получим следующие хорошо известные «действительные» формулы Грина;
ьв
Л *ф-8ф Л
?» Аф)— \ (9 Л *йф —ф Л *^9 + 8? Л *ф —аф Д
Полагая в формуле (9.3.2) 9=11?» Ф — П Ф> получим комплексный
р, а о, 9+1
аналог этой формулы
(дуу ф) — (9, Ьф) = \ 9 Л * Ф- (9.3.4)
ьв
Из формул (9.3.4) непосредственно получаются следующие «комплексные»
формулы Грина:
— (9, Ь дф) = \ 9 Л * Eф)",
ьв
>, ф) — (Ь9, Ьф)= \ Ьср Л *ф,
ьв
— (9, Ь дф) = \ (9 Л * (дф)""— ф Л * <?9)>
ьв
(Ь9 Л * Ф — (Ьф)~Л*'9)> (9.3.5),
ьв
(А?> ф) — (9> Аф) = 2 \ (9 Л * (дф)~ — ф Л *<?9 + Ь9Л *Ф — (^Ф)~Л "
ьв
21 Заказ № 634
•322 Гл. 9. Келеровы многообразия высших размерностей
§ 4. ПОТОКИ
Пусть И является произвольной подобластью многообразия М, которая
может совпадать и со всем многообразием М. Через Ср обозначим простран-
пространство р-форм ср, принадлежащих классу С°° и имеющих компактные носители
относительно подобласти Б (иначе говоря, каждая из этих форм обращается
в нуль вне некоторого компактного подмножества области п). Линейный
'функционал Т\у\ над пространством С2к"р называется р-потоком на подоб-
подобласти И в смысле де Рама [11], если он удовлетворяет следующему условию
непрерывности: для произвольной последовательности форм срц> Ти^С2*1"3,
носители которых содержатся в некотором фиксированном компактном под-
подмножестве К (И О у покрываемом координатами одной системы, Т[^]—»0
{A—>оо), если формы срц, вместе со всеми их частными производными стре-
стремятся равномерно к нулю.
Отметим легко доказываемую стандартную лемму (см. [11]):
Лемма 9.4.1. (Разбиение единицы.) Пусть задано локально конечное
открытое покрытие {6^} подобласти И. Тогда существует множество
скаляров сру, удовлетворяющих следующим условиям: (I) 2'?,■ = 1» 00?/С С°°,
0<9у всюду и носитель каждого ср^ содержится в одном из открытых мно-
множеств иг.
Пусть задана Bк — /?)-форма ср класса С°° с некомпактным носителем.
Говорят, что поток Г[ср] сходится и что
Т[9] = 2 тш>
если этот ряд сходится для каждого разбиения единицы.
Внешнее произведение Т /\ ф р-потока Т на <7~формУ Ф € С°° определяет-
определяется формулой
Справедливы соотношения (см. [11])
Говорят, что поток Т обращается в нуль в некоторой точке подобласти
Ю, если существует такая окрестность N этой точки, в которой Г[ср] = О
для всех форм ср с носителями, лежащими в N. Носителем потока Т является
множество всех тех точек подобласти О, в которых Т отличен от нуля.
Назовем р-поток Т регулярным в некоторой точке подобласти п, если Т
совпадает с р-формой класса С30 в некоторой окрестности этой точки;
в случае невыполнения этого условия поток Т называется сингулярным
в рассматриваемой точке. Множество сингулярных точек потока Т назы-
называется сингулярным множеством потока Т.
Пусть заданы два р-потока 5 и Г, сингулярные множества которых не
пересекаются. Тогда существуют разбиения 5 = 5'+ 5", 71 = Т" + Т1//, в кото-
которых потоки 5", Т" всюду регулярны, а носители потоков 5' и Т' не пере-
пересекаются. В этом случае полагаем
E, Т) = E', Т") + E", Т) + E", Г"), (9.4.1)
предполагая, что скалярные произведения в правой части сходятся. Заметим,
что скалярные произведения в правой части формулы (9.4.1) вполне опреде-
определены. Действительно, скалярное произведение потока на форму уже было
определено и хотя бы один из множителей в каждом скалярном произведении
регулярен.
§ 5. Эрмитовы метрики 323
В [11] доказывается следующая теорема, часто именуемая леммой Вейля:
Теорема 9.4.1. Если Т является р-потоком в подобласти И^М
и если поток Д71 регулярен в некоторой точке п, то Т также регулярен
в этой точке. Если оба потока дТ и ЬТ регулярны в некоторой точке, то
и поток Т регулярен в этой точке.
Поток степени 0 является распределением в смысле Л. Шварца [16].
Произвольный р-поток Т формально можно представить в виде диффе-
дифференциальной формы
коэффициенты Т^...^ которой являются распределениями в пространстве
локальных самосопряженных координат г1. Следовательно, оператор Л можно
^применить к потоку Т:
П
ПП?]П П
р, с /г—р, к—о
Положим
р-поток Т называется гармоническим, если ДТ1 [ср] = 7*[Дср] = 0. Согласно
теореме 9.4.1, гармонический поток совпадает с некоторой гармонической
♦формой. Аналогично, если йТ [9] = ЬТ [ср] = 0, то поток Т совпадает с некоторым
гармоническим полем; иначе говоря, такой поток Т совпадает с некоторой
формой ф, удовлетворяющей соотношениям ^ф = 8ф = 0. р-поток типа (р, а),
удовлетворяющий условиям 5Т = ЬГ = 0 (или условиям дТ = ЬГ = 0), назы-
называется комплексным полем.
Если 7* = [] Т, то заведомо ЪТ = 0 и соотношение дТ = 0 означает,
р. о
что коэффициенты потока Т эквивалентны голоморфным функциям комплек-
комплексных переменных г1, г2, .. ., гк.
Справедлива следующая
Лемма 9.4.2. Если поток Т = Д Т голоморфен в области й сМ, то
р, о
«Г = 0 в
Действительно, ЬТ = 0, так как из формулы (9.2.28) следует соотноше-
соотношение 0 = (Лд — дЛ)Г= У— 1 ЪТ. Из равенства ЪТ = О следует соотношение
§ 5. ЭРМИТОВЫ МЕТРИКИ
На произвольном комплексном многообразии М (паракомпактном и хаус-
дорфовом, а значит нормальном) нетрудно построить положительно опреде-
определенную эрмитову метрику.
Действительно, пусть {6^} представляет собой локально конечное откры-
открытое покрытие комплексного многообразия, такое, что каждое множество V±
покрывается локальными координатами г}у 2?, ...,гр. Обозначим через {}
разбиение единицы, соответствующее покрытию [6^}, и положим
а—1
Очевидно, что метрика (9.5.1) будет эрмитовой.
Пусть компоненты Ни определены по формуле (9.1.16) для метрики
(9.5.1). Рассмотрим 2-форму со, определенную формулой (9.1.35). Властном
21
324 Гл. 9, Келеровы многообразия высших размерностей
случае к=\ эта 2-форма заведомо замкнута (Лю = 0) и, следовательно, оп-
определяет некоторую келерову метрику. Итак, справедлива следующая.
Лемма 9.5.1. На произвольной римановой поверхности можно постро-
построить келерову метрику.
§ 6. ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ ДЛЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
В этом параграфе мы не будем пользоваться комплексной структурой.
Следовательно, наши результаты будут справедливы для произвольного
риманова многообразия М действительной размерности т. Однако вслед-
вследствие того, что число т может быть нечетным, формулы (9.1.30) и (9.1.33)
нужно заменить более общими формулами
„?_(_1)р+р9, (9.1.30)'
&р = (- 1ГР+т+1*Л<р. (9.1.33)'
Здесь предполагается, что 9 — форма степени р.
Выражение
(9.6.1)
представляет собой, очевидно, обобщение классического интеграла Дирихле.
Для заданного положительного числа 5 положим
- (9-6.2)
Положим, кроме того,
Д8= д + 5. (9.6.3)
Через Ар обозначим гильбертово пространство дифференциальных форм
степени р> имеющих конечную норму, и пусть
р
Если 9^А, то 9 = Ф° + Ф1+ • • • + фт, где фр€Ар, и мы полагаем
Через С обозначим подпространство пространства А, состоящее из форм
класса С°° с компактными носителями.
Говорят, что форма 9 принадлежит (замыканию) области определения
оператора йу если существует такая последовательность {срц.} (9ц€С°°; <рц>
б?9ц.€А), для которой нормы ||<р—-<Ри|1 и \\Л^—й^\\ стремятся к нулю,
когда р., V—>оо. Если существует последовательность такого рода с 9^6 С,
то мы скажем, что форма 9 принадлежит области определения оператора Лс.
Аналогично определяются области определения операторов 8, 8С. Если форма
<р принадлежит области определения оператора йу то мы будем писать ^^й\
для других операторов запись будет аналогичной. Наконец, форма 9 при-
принадлежит области определения оператора А, если существует такая после-
последовательность {9ц} (9^6^°°; <рц, Д9и€А; О(^)< оо), что все функционалы
И? —9ц||, ^(9ц — ?V)» ||Л9ц — А?V|| стремятся к нулю при р., V—>оо.
Введем следующие пространства:
д, /)(?> ф) = (<р, Аф) для каждой ф€ А},
= {9 | 9^ А, О (9, ф) = (А?, ф) для каждой ф€ А},
§ 6. Принцип Дирихле для действительных операторов 325
Через и обозначим замыкание в метрике Ив пространства форм <р класса С°*
с Е>3 (9) < °°; через Ос обозначим замыкание пространства С в метрике Д..
Пространства О, Ой не зависят от специального выбора положительного?
числа 5, так как любые две нормы О5>, О8% 5'> 0, 5" > 0, эквивалентны-
Если 9^0, то справедливы неравенства 51| 9 ||2 <^3 (?) — (?> А5?) <
<|| Л3?1Н1?11> следовательно, ||<р||<|1 А5?||/5» и то же самое неравенство
справедливо для форм 9^М. Пусть 9^0 или Ы; тогда из соотношений
Л9 = 0 и Д 39 = 0 E > 0) вытекают соответственно соотношения п (9) = О,
= 0. Следовательно,
Приведенная ниже формула (9.6.19) показывает, что
Обозначим теперь через [йЩ замыкание в смысле нормы || ... || про-
пространства форм йу, 9^С. Замыкание [ВС] определяется аналогично. Итак,
[ДС] обозначает замыкание пространства форм Дер, 9^С; имеют место
следующие две хорошо известные формулы ортогонального разложения
([10а], [11]):
= [ДС] + Н, (9,6.4)
(9.6.5)
Эти формулы легко доказываются при помощи теоремы 9.4.1.
Пусть задана форма 9^А. Из формулы (9.6.4) следует справедливость
представления
где 92 €Н и 91 ортогональна 9г (т- е- (?1» (Р2)==^)- Форму 9г назовем гармо-
гармоническим компонентом формы 9 и условимся писать 92= Ну. Говорят, что
поток Т степени р принадлежит классу А, если он сходится (см. § 4 гл. 9^
для каждой формы 9€Ат~р, 9€С*°°. Для потоков класса А положим
Л/Т [9] = Т[Ну]. Пусть теперь у является точкой многообразия М. Рассмо-
Рассмотрим оператор 1=1-., удовлетворяющий условию
<7
для каждой формы 9- Строго говоря, оператор 1 в применении к формам
степени р > 0 не является потоком, так как образ 1 [9] = (—1)шр+рA, *9)~
= (— 1)тр+р*9(у) в действительности является отображением. Однако, три-
тривиально обобщая понятие потока, можно трактовать этот оператор как
поток класса А.
Положив Н\ [9]= 1 [^?] = #?(у)> получим
Из теоремы 9.4.1 заключаем, чтоЯ1 является симметрической гармонической
биформой. Применяя неравенство Буняковского — Шварца, получим
Из этого неравенства непосредственно вытекает, что пространство Н замк-
замкнуто; следовательно, оно является гильбертовым пространством (гильберто-
(гильбертовым пространством гармонических форм с конечной нормой). Оператор Н
осуществляет ортогональное проектирование на пространство Н.
Далее заключаем, что пространство Р также замкнуто и, следовательно,
является гильбертовым пространством гармонических р-полей с конечной
нормой. Ортогональное проектирование на пространство Р обозначим через
2/2 21 Заказ № 634
326 Гл. 9. Келеровы многообразия высших размерностей
Через В обозначим пространство тех форм, которые принадлежат
областям определения обоих операторов д, и 8; иначе говоря, В = {ср | ср€^, &}•
Отметим следующую лемму:
Лемма 9.6.1. Пространства В и О совпадают.
Пусть в областях определения операторов й и 8 задана форма ср. Для
доказательства леммы нужно показать, что существует такая последова-
последовательность {срр.} (ср^ е С°°, п8 (<рц.) < со), для которой О8 (? — ?») -> ° ПРИ
Будем пользоваться формулой (9.6.5). Пусть ф ^ А; тогда
ф26[8С],
Если форма фбС30, то и фх, ф2€С°°. Действительно, рассмотрим (9.6.6)
как формулу для потоков и применим к ней оператор <$>; получим
Из теоремы 9.4.1 теперь следует, что>ф1 б С°°. Аналогично, ф2€С°°.
Пусть форма ср принадлежит одновременно областям определения опе-
операторов д, и 8. В этом случае существуют две последовательности {а^}, {{3^},
такие; что Цср-а^ ||-> 0, ||Жр-^ || -*0 и || 7 — р^ ||-> 0, || ^-^ || ->0.
Выпишем разложения форм ср, а^ и р^ по формуле (9.6.6):
Положим
Тогда
при р.—>оо. Итак, Б8 (ср — ср^.) —»0 при р.—> оо, чем и доказана лемма 9.6.1.
Оператор Грина С3 многообразия М, если он существует, определяется
к#к такое взаимно однозначное линейное отображение пространства А на
пространство О, для которого Д8 является обратным отображением. Анало-
Аналогично, оператор Неймана Л^3 определяется как такое взаимно однозначное
линейное отображение пространства А на пространство N1, для которого Д3
является обратным отображением.
Эти операторы единственны, если они существуют. Действительно, если
9^0 и Д5ср~0> то 9 = 0- Такое же заключение следует из условий ср^N
и д89 = 0.
Докажем следующую теорему:
Теорема 9.6.1. [14с]. Для каждого положительного числа 8 суще-
существуют операторы Грина и Неймана. Они являются симметричными
операторами и удовлетворяют неравенствам
. (967)
Эта теорема непосредственно следует из принципа Дирихле. Приведен-
Приведенное ниже доказательство не отличается в основном от классического принципа
Дирихле.
Пусть задана форма р^А. Обозначим у = Р/5 и положим
=Я(ср, ф)+5(ср-Т, ф-у),
§ 6. Принцип Дирихле для действительных операторов 327
———————————^——— д .
Доказываемый принцип Дирихле утверждает, что существует единственная
форма а, для которой функционал Е8 (<р) достигает минимума, удовлетво-
удовлетворяющая, быть может в обобщенном смысле, уравнению Д3аг=Р- Если на срав-
сравниваемые формы ср не накладывается никаких ограничений, то а = Ы8$, где Л^3
является оператором Неймана. Сравнивая в задаче о минимуме только формы ср
с компактным носителем, получим <х = 05р, где О5 является оператором Грина.
Положим
е = е(8) = ШЕ5(у), ес = ес(8) = т1Е$(у) для ср^С, (9.6.8)
Очевидно, что
О < е E)< ес E) < || р ||2/5. (9.6.9)
Следует доказать, что вышеприведенные задачи о минимуме имеют решения-
Ограничимся рассмотрением задачи отыскания минимума функционала Е3(у),
9^0, так как рассуждение остается по существу тем же самым и во'вто-
во'втором случае. Из экстремальных свойств будет следовать, что минимизи-
минимизирующий элемент принадлежит пространству N.
Доказательство основывается на следующем варианте неравенства Б. Леви:
У п. (ср- ф)< УЕ, (ср)-е + УЕЯ(ф) - е. (9.6.10)
Через а, т обозначим действительные числа, такие, что а + т=1. Так как
тф — т == о (<р — т) + х (Ф — Т)> то
Следовательно,
а* [Е, (ср) - е) 4 2ох [Е, (ср, ф) - е) + т* [Е, (ф) - е) > 0.
Так как левая часть этого неравенства однородна по переменным а и т, то
неравенство остается справедливым и при произвольных действительных а, т.
Отсюда следует неравенство
\Е8(Ь Ъ)-
Далее получим неравенство
= [Е,(ср)-е)-2[Е, (ср, ф)-е) + [Е.(ф)-е] <
< I*. (?) -е) + 2 УЕа (ср) - е ■ УЕа (ф) - е + [Е, (ф) - е],
эквивалентное неравенству (9.6.10).
Через {<Рц}, срр,. € С°°, обозначим такую последовательность форм, для кото*
рой/?3(?и) —» вприр.—>оо. Из неравенства (9.6.10) следует, чтоЬ8 (<рц — ф^)—> О
при р., V—>оо. Лемма 9.6.1 показывает теперь, что существует такая форма
абО, Для которой е=Е3(а). Так как неравенство Е5 (а + еср)> в справедливо
при любом действительном е, то обычное рассуждение показывает, что коэф-
коэффициент при е в выражении 53(а + еср) должен обращаться в нуль. Следо-
Следовательно,
Я,(«>*) = (Р>*)> ?6О. (9.6.11)
Если ср ^ С, то
Таким образом, форма а, рассматриваемая как поток, удовлетворяет уравнению
А. «[?]=?[?]. ?6С (9.6.12)
Теорема 9.4.1 остается справедливой и при замене оператора А опера*
тором Д3. Действительно, доказательство, базирующееся на существовании
Локального элементарного решения для оператора д3, существенно не отли-
21*
328 Гл. 9. Келеровы многообразия высших размерностей
чается от доказательства, данного в [И] для случая 5 = 0. Следовательно,
если Р^С*00, то форма а принадлежит классу С°°, и в этом случае Д8а = р
в обычном смысле. Итак, формула (9.6.11) принимает вид
= (Д. а,*),' ?еО. (9.6.13)
Вышеприведенное рассуждение также хорошо применяется к задаче
о минимуме с дополнительным ограничением, когда сравниваемые формы
принадлежат пространству С. В частности, формулы (9.6.11), (9.6.13) остаются
справедливыми при замене О на Ос. Решения задачи о минимуме без огра-
ограничений и задачи о минимуме с ограничением обозначим соответственно
через Л/3Р и Сзр. Покажем теперь, что эти операторы будут линейными,
ограниченными и симметричными, а следовательно, и самосопряженными.
Достаточно рассмотреть оператор Ы8, так как то же самое рассуждение
применимо и к оператору С3. Пусть 131, р2 обозначают два элемента про-
пространства А. Положим а^Л/дР!, а2 = ./У3Р2, а = А^3 (Рх + ЕУ. Из формулы
(9.6.11) получим
Я (а-а!-а,, ср) = О,
Выбирая ср^яа — ^ — а2, заключаем, что <х = а1-ра2. Следовательно,
Оператор Ы8 линеен, так как, очевидно, Ы3(ф) = сЫ5($) для любого дей-
действительного числа с. Далее, полагая а = А^3Р, из формулы (9.6.11) получим
неравенство
5||а||«<С, («) = (?.«)< II«11-1! РII-
Следовательно, 5||а||<||Р||. Итак,
В частности, оператор Ы3 непрерывен, и можно проверить, что уравнение
Д8а = Р удовлетворяется. Действительно, пусть последовательность {(З}
РнёС00, Рц6:А, такова, что ||Р — Рц||—>0 при ц—>со, и положим а^, =
Тогда Рц. = Л3ац. и
Следовательно, величины || а — а^ ||, И (а^ — аV), || Да^ — Да^, || стремятся к нулю
при р., V-—>оо. Отсюда вытекает, что форма а = Л^3Р принадлежит области
определения оператора Д и что ДЬЛ^3Р= Д8а = р. Наконец, если <р> Ф^А
то из формулы (9.6.11) следует соотношение
Итак,
(#.?.Ф)-(*>ВД. (9-6-14)
Этим заканчивается доказательство теоремы 9.6.1, поскольку оно касается
оператора Л^3.
В задаче о минимуме с ограничением имеется дополнительное тожде-
тождество, доказываемое следующим образом. Пусть <рбЬс, и пусть последова-
последовательность {ср^}, срц^С, сходится к форме у в смысле О3-нормы. Если ф€ А, то
= Ига /?.(^, ф)= Нт (ср^, д^ф) = (ср, д8ф).
Следовательно,
^.(?.Ф) = (ЧР. А8ф), србОс, ф6|Д. (9.6.15)
Так как 08 р € Ос, то
, Д.ф), Р6А, фбА. . (9.6.16)
§ 7. В-многообразия 329
Эта формула показывает, что О3РбО. Доказательство теоремы 9.6.1 пол-
полностью закончено.
Если М — конечное многообразие с краем, то формула Грина показывает,
'что разность
Р. Ф)-
является пределом интегралов, распространенных вдоль границ подобластей
некоторой последовательности, сходящейся к многообразию М; под знаками
этих интегралов фигурируют значения форм О8Р> * ѧРна границах под-
подобластей. Из формулы (9.6.16) следует, что предел этих граничных инте-
интегралов равен нулю и, следовательно, в этом смысле
/С3Р = пСвР = О. (9.6.17)
Аналогично, из формулы (9.6.13) вытекает, что
*Р#вр = /гЛУвР = О. (9.6.18)
В случае скаляров эти формулы утверждают, что форма 05 р и нормальная
производная формы Л^8 Р обращаются в нуль на границе. Следовательно,
операторы С8, Ы3 ведут себя на границе так же, как классические функции
Грина и Неймана.
Справедливы следующие формулы:
5С8?-0}, (9.6.19)
А, дЛ/8<р = <р-5Л^ = О}. (9.6.20)
Действительно, если ср^А и Д С3ср = ср — 503ср = 0, то <рбС, Дср = О. Наобо-
Наоборот, если ср^С, Д<р = 0, то ср = О8 (Д3ср) = 5(/8ср. Аналогичное рассуждение
применяется и для доказательства формулы (9.6.20). Из принципа минимума,
при помощи которого были определены операторы 08, Ы8, следует, что
, * (9.6.21)
(9.6.22)
Наконец, справедливы следующие ортогональные разложения:
= [дО] + Рс, (9.6.23)
(9.6.24)
Здесь [ДО] обозначает замыкание в норме || • • • || пространства форм ср = дф,
ф€О; символ [Д^ имеет аналогичный смысл относительно пространства N.
Действительно, пусть ср^ А и (ср, -у) = 0 для формуй [ДО]. Тогда 0 = (<р, Д(/Зф) =
= (ср, ф — 5<2§ ф) = (ср — 5(/3 ср, ф) для каждой формы ф € А. Отсюда следует,
что <р€Рс- Формула (9.6.24) доказывается аналогичным образом.
§ 7. ^-МНОГООБРАЗИЯ
Относительно компактная подобласть М риманова многообразия /? назы-
называется Ь-многообразием [ограниченным (Ьоипйей) многообразием]. Справед-
Справедлива следующая
Теорема 9.7.1. [ 14Ь]. Пусть М есть Ь-многообразие, вложенное в рима-
мово многообразие К. Тогда пространство Рс совпадает с подпростран-
подпространством гармонических форм на /?, тождественно обращающихся в нуль
вне М.
Определим оператор Грина О0 многообразия М как такое взаимно одно-
однозначное линейное отображение пространства А —Рс на пространство О —Рс,
для которого обратным отображением является Д. Этот оператор О0 един-
единственен, если он существует. Действительно, пусть <р€С — Рс, д<р = 0. Тогда
НПО = Рс и, следовательно, <р = 0. Оператор О0 можно доопределить
330 Гл. 9. Келеровы многообразия высших размерностей
на всем пространстве А, полагая его тождественно равным нулю на Рс. Так
определенный оператор О0 удовлетворяет соотношениям
A-^с)9-А00ср, ГсО0?^О0Гс9 = 0у среА. (9.7.1)
Напомним, что оператор называется вполне непрерывным, если он пере^
водит ограниченные множества в множества с компактным замыканием.
Справедлива следующая
Теорема 9.7.2. Каждое Ь-многообразие имеет ограниченный сим-
симметричный вполне непрерывный оператор Грина О0.
Назовем бигармоническим оператором Грина такое взаимно однозначное
линейное отображение пространства А —Н на пространство (С[~]М) — Рсг
для которого обратным отображением является Д. Распространим этот опе-
оператор на все пространство А, положив его тождественно равным нулю на
пространстве Н; так определенный оператор обозначим через Во.
Справедлива следующая
Теорема 9.7.3. Каждое Ь-многообразие обладает ограниченным би-
бигармоническим оператором Грина Во.
Займемся сначала выводом теоремы 9.7.3 из теоремы 9.7.2. Заметим
прежде всего, что в теореме 9.7.2 содержится решение (в обобщенном
смысле) первой граничной задачи теории потенциала. Действительно, пусть
9 обозначает произвольную форму, принадлежащую области определения
оператора Л. Положим
<1> = ?-С0Л9- (9-7-2>
Тогда
дф = Д9 —
С другой стороны, так как ф — 9= — С0А9€С, то форма ф является
(обобщенным) решением первой граничной задачи. Решение будет единствен-
единственным тогда и только тогда, когда пространство Рс содержит только форму 0,
так как к форме ф можно прибавить любую форму из Рс, не изменив ее
граничного поведения.
Определим теперь присоединенные операторы
. (9.7.3)
Пусть в области определения оператора Д задана форма ср- Положим
Тогда
д ф = д? - (Д9 - Гс Дср) = 0, Яф = 0
и, следовательно, ф = 0. Итак,
A-Я)9 = В;Д9. (9.7.4?
С другой стороны, очевидно, справедливо тождество
= дВоф, феА. (9.7.5)
Пусть 9 обозначает произвольную форму в области определения оператора
Д, а ф — произвольную форму в пространстве А. Так как В0ф^О, то
(ф, A-
Из формулы (9.7.5) получим
(ф, A-Я
Следовательно,
$.7.6)
§ 7. В-многообразия 331
для всех форм <р6: Л, ф € А. Отсюда вытекает, что Воф€М. Так как РСВО§ = 0,
то Во является тем бигармоническим оператором Грина, существование
которого утверждалось в теореме 9.7.3.
Из теоремы 9.7.3 можно получить решение граничной задачи для
бигармонических форм. Действительно, пусть в области определения опера-
оператора А задана форма <р- Положим
Тогда
Аф= Д? —(Л? —
- ЛДф-0
и, следовательно, ф является бигармонической формой. Так как ф — ср ^ О (~|
то ф является (обобщенным) решением первой граничной задачи для бигар-
бигармонических форм.
Остается доказать теоремы 9.7.1 и 9.7.2. Доказательство обеих теорем
-будет основываться на следующих результатах.
Пусть % — произвольное риманово многообразие класса С°°. Пусть,
кроме того, заданы точка д^к> произвольное целое число V, число 5>0
и положительное число т]. Существуют окрестность (/ = (/(<7), зависящая
только от точки ц, и биформа -у (я, у), обладающая следующими свойствами:
A) Биформа у(х> У) определена для точек х^К> у€& и принадлежит
классу С°° по ху уу если х Ф у. "Обозначим через г(х> у) расстояние между
точками х и у. Биформа [г(х, у)]т~2ч{х, у) принадлежит классу С°° для
у
(п) Для фиксированной точки у$У носитель биформы у (х, у) имеет
диаметр, меньший т].
(III) Для точек л:^^, у^ справедливо тождество Д8(л:)у(л:, у) —
— §(х, у)у где §(ху у) обозначает биформу класса С7 по переменным х и у.
(IV) Оператор (у(х)> с1(х)ч(х> у)) вполне непрерывен и отображает
«формы ср ^ А (/?) в пространство А(^/). То же самое утверждение справедли-
справедливо для оператора (<?(х), Ъ(х)ч(х, у)).
Форма у (х, у), обладающая свойствами A) —(IV), может быть построена
методом Кодаира [10а]. Кодаира предполагает метрику действительной
и аналитической. Однако применяемые им бесконечные ряды можно заменить
конечными частными суммами.
Приступим к доказательству теоремы 9.7.1. Пусть задана форма <р€Рс-
Распространим форму 9 на все многообразие /?, полагая ее тождественно
равной нулю вне множества М. Существует последовательность {<рц}, <р^ € С (М)у
сходящаяся к 9 в смысле нормы О8. Для заданной точки д€К пусть бифор-
биформа ^ {х> у) ассоциирована с окрестностью 11 = 1/(д). Для точки у$.1] имеем
формулу Грина
При [л —> оо в пределе (в смысле нормы Ц...Ц) получим
. 8(*> У))> У^и. (9.7.7)
Формула (9.7.7) (с формой у, зависящей от 5) справедлива для каждого
.5>0. Так как ^ср = 8^ = 0 в многообразиях М и /? — М, то в Случае 5 = 0
получим
> У))*
Итак, <р(у)€С* в окрестности V\ а следовательно, и всюду в многообразии
/?. Этим теорема 9.7.1 доказана.
332 Гл. 9, КёЛёрдвЫ Многообразия высших размерностей
Доказательство теоремы 9.7.2 будет основано на следующей лемме:
Лемма 9*7Л. Для каждого Ь-многообразия оператор С8($>0)
вполне непрерывен.
Действительно, так как О^ф^О, то существует последовательность
{фц}, фц.€С(А1), сходящаяся к форме С5<? в смысле нормы О8. Формула
(9.7.7) остается справедливой, если заменить в ней 9 на 6?9:
, у)), уеипм. (9.7.8)
Так как многообразие М может быть покрыто конечным числом окрестностей
V, то О г. является вполне непрерывным отображением пространства А на
пространство О.
Заметим, что оператор Л/8 не будет, вообще говоря, вполне непрерывен
на 6-многообразиях. Действительно, если бы оператор Л/8 был вполне непре-
непрерывен, то пространство Р имело бы конечную размерность.
Доказательство теоремы 9.7.2 начнем с некоторых замечаний относи-
относительно вполне непрерывного оператора Р, || Рср ||< с||<р||, с>0. Пусть
О < X < с. Тогда
(9.7.9>
Пусть {9^} является такой последовательностью форм, что (ср^, ^) = 81ХУ^
Для р. Ф V получим
II ^^Р^ — ^ср^ || ^- Т^^Х — И ^ср^ — Хср^ || — || ^ср^ — Хср^ |[. (9.7.10)
Отсюда следует, что существует такое положительное число к, для которо-
которого неравенство || Рсрц — Х9ц II >& выполняется для всех индексов р., за исклю-
исключением, быть может, конечного их числа. Действительно, если || Р9ц,. — Ц>№. || —> 0*
при *—>оо для некоторой подпоследовательности {р.{}, то последовательность
ЦРср^.Ц не может содержать сходящейся подпоследовательности, что про-
противоречит гипотезам о полной непрерывности оператора Р и об ограничен-
ограниченности множества {9^}- В частности, пространство Е = Е(Р, X) = {<р19€ А^.
Рср — Хер = 0} является конечномерным векторным пространством (над полем
действительных чисел).
Рассмотрим теперь пространство
Е' = {ф | ф 6 А, (ф, ср) = 0 для всех форм <р€Е}.
Существует положительное число а = а(Р, X), такое, что || Рф — Хф || >а для
всех форм ф б Е' с || ф || = 1. Иначе говоря,
||Рф-Хф||>а||ф||, НЕ'. (9.7.11)
Действительно, предположим, что ||Р ф^ —Хфр.||—>0 при р.—>оо для форм
фц, б Е', || фц, || = 1. Если {Рфц..} является сходящейся подпоследовательностью
последовательности {Рфц.}, то последовательность {фц.} также сходится
согласно формуле (9.7.9). Обозначим через ф предел последовательности ф^..
Тогда ф € Е', || ф || = 1 и Рф — Хф = 0; следовательно, ф б Е, что противоречит
нашим предположениям.
Для построения оператора О0 выберем произвольное число 5 > 0 и при-
применим полученный выше результат при Р==С8, Х = с=1/5. Тогда Е = РС па
формуле D.7.19) и Е' = А — Рс по формуле (9.6.23).
Для заданной формы (З^А положим
т — 1пГ|| р — (ф — яО.ф) ||, Ф6А-РС. (9.7.12)
Пусть последовательность {ф^}, ф^бА —Рс, такова, что
||р_(ф яО.фЛИ-^т (9.7.12)'
§ #. Принцип Дирихле для комплексных операторов 333
при р.—>оо. Тогда |[ (ф^ — фV) — ^С3 (фц. — фV) || —>0 при р., V—> оо и, по фор-
формуле (9.7.11), || фц. — <]^|| —»0 при р., V—»оо. Пусть форма <р является пре-
пределом последовательности ф^. Тогда 96 А — Рс„ т. е. Рсу> = О, и РсО5у = 0
по формуле (9.6.21). Из минимизирующего свойства следует, что форма
а = C — (ср — 5О89) ортогональна формам ф — 5С8ф для всех ф^А —Рс, т. е.
а^Рс. Тогда а = /7са, т. е. C — (<зр — 8О8<?) — Рс$. Итак,
<Р-яе,<р=де,? = р-^р (9.7.13)
и мы полагаем С0C = О89- Далее
Следовательно, оператор О0 вполне непрерывен. Этим заканчивается доказа-
доказательство теоремы 9.7.2.
Противоположными ^-многообразиям являются ^/-многообразия — неогра-
неограниченные (ипЪошкЗес!) многообразия. Эти многообразия характеризуются тем
свойством, что каждая форма в замыкании оператора Л принадлежит про-
пространству N. Положим
(9.7.14)
На ^/-многообразии пространства О и N совпадают, С3 = Л/3, и пространство
Н8 содержит только форму 0 при 5 > 0. Более того,
Н( = НО) = Р = РС. (9.7.15)
Компактное (замкнутое) многообразие М можно рассматривать либо как
6-многообразие (без границы), либо как ^/-многообразие. В случае компакт-
компактного многообразия оператор О0 совпадает с оператором Оде Рама (см. [11]).
§ 8. ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ ДЛЯ КОМПЛЕКСНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Предположим теперь, что М является келеровым многообразием с келе-
ровой метрикой класса С°°. Интеграл Дирихле для комплексных операторов
д, Ь определяется формулой
О(?) = Eр,*р) + (Ьт,Ь?). (9.8.1)
Положим
Множитель 1/2 фигурирует в формуле (9.8.2) потому, что Ъд-\-дЪ= &/2.
Области определения операторов д, Ь строятся таким же путем, как и
для операторов A, В. Через Ар'а обозначим подпространство пространства А,
состоящее из форм типа (р, а):
р.
Если 9 € А, то
За исключением того, что в определении пространств О, N фигурирует
множитель 1/2 (именно, О(ср, ф)~(<р> Аф)/2), определения пространств О, М,
Н, рс, Р остаются такими же, как определения, данные в § 6 гл. 9.
Заметим, что
УГ1 (9.8.3)
Действительно, в силу формулы (9.2.20), операторы Л и \] перестановочны.
22 Зжаз № 634
334 Гл. Р. Кемровы многообразия высших размерностей
Комплексным аналогом формулы (9.6.5) ортогонального разложения яв-
является формула
А = [Щ + [ЬС] + Р. (9.8.4)
Доказательство этой формулы остается тем же самым, как и в действитель-
действительном случае. Рассуждение, аналогичное тому, которое было использовано
для доказательства леммы 9.6.1, но базирующееся на формуле (9.8.4), по-
показывает, что пространство В — {9! <р€д, Ь} также можно рассматривать как
замыкание в смысле нормы О8 множества форм класса С00, находящихся
в области определения операторов д, Ь.
Определения операторов Грина и Неймана остаются такими же, как и
в действительном случае. Метод § 6 гл. 9 применяется с тривиальными мо-
модификациями для доказательства следующей теоремы, являющейся комплек-
комплексным аналогом теоремы 9.6.1:
Теорема 9.8.1. Для каждого положительного 8 существуют комп-
комплексные операторы Грина и Неймана 08, Л/8. Они являются эрмитовыми
операторами и удовлетворяют неравенствам
? 112/25, Я.(ВД<11?11725. (9.8:5)
Как и в случае действительных операторов, оказываются справедливыми
формулы
А, <р-5#в<р= ДЛ/в<р = 0}, (9.8.6)
6 А, 9-503?-ЛС39 = 0}. (9.8.7)
В случае о = О имеем формулу
9€АР'°, 9~голомоРФная форма степени р}. (9.8.8)
Итак, на келеровом многообразии голоморфные дифференциальные формы
являются собственными формами типа (р, 0) оператора М3, принадлежащими
собственному значению 5.
§ 9. ОГРАНИЧЕННЫЕ КЕЛЕРОВЫ МНОГООБРАЗИЯ
Предположим, что М является Ь-многообразием, вложенным в келерово
многообразие /?. Очевидно, что пространство рр>а составлено из гармониче-
гармонических форм типа (р, а) на /?, тождественно обращающихся в нуль вне много-
многообразия М. Справедлива следующая
Лемма 9.9.1. [14а]. Пространство Р^'* содержит только форму 0
в том случае, когда одно из чисел р, о принимает экстремальное значение
0 или й, где через к обозначена комплексная размерность М.
Предположим, например, что а = 0, и пусть 9^Рс'0- Тогда 9 являет-
является голоморфной формой степени р на /?, обращающейся тождественно
в нуль вне М. Следовательно, она должна обращаться в нуль всюду.
Аналогично, если а = к, 9бРс'й, то *9€Рс~р>0- В этом случае форма *9 го-
голоморфна на /?; так как она обращается в нуль вне М, то она равна ну-
нулю всюду. Остающиеся два случая р = 0, к сводятся к предыдущим перехо-
переходом к сопряженным величинам.
Пусть теперь /?—-произвольное келерово многообразие и В —его конеч-
конечное подмногообразие. Выберем 6-многообразие М так, чтобы оно содержало
внутри себя замыкание В. Оператор Грина многообразия М обозначим че-
через О0. Пользуясь теоремой 9.4.1, легко видеть, что О0 является интеграль-
интегральным оператором с симметрическим ядром ё = 8(г,^):
(9.9.1)
§10. Теоремы существования 335
Пусть теперь <р€Р- Обычным рассуждением из формулы Грина получим со-
соотношение
A-/У?(С)= -2 $ [?Л*(деТ-(Ь8ГЛ*?]- (9-9-2)
ъв
Формула (9.9.2) является формулой Коши для пространства Р. Если хотя
бы одно из чисел р, а равно 0 или к, то Р?'а = 0, в силу леммы 9.9.1.
В частности, если а = 0, то заведомо Ь^" —0 и справедливо простое соотно-
соотношение
? (С) = - 2 \ <р Л * (деГ, ? 6 Р?' °. (9-9.3)
ьв
В обычном случае эвклидова пространства комплексной размерности к = 1
эта формула сводится к классической формуле
ЬВ
§ 10. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ НА КОМПАКТНЫХ
КЕЛЕРОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ
В этом параграфе будем предполагать, что М является компактным
келеровым многообразием; тогда оператор Грина О0 совпадает с оператором
О де Рама. Справедливы соотношения
(элол)
Все эти формулы доказываются одинаково. Например, для того, чтобы дока-
доказать, что оператор О перестановочен с оператором й, рассмотрим разность
ф = (Сй — йО)ср. Так как ф является гармонической формой, ортогональной
всем гармоническим формам, то она равна нулю.
Формулы (9.10.1) показывают, что оператор О перестановочен с ком-
комплексными операторами д, д, Ь и Ь.
Рассмотрим теперь следующую «проблему Кузена» для многообразия М.
Пусть {иг} — локально конечное открытое покрытие М. В каждом мно-
множестве иг пусть задан поток хюг типа (р, а), такой, что
д{ш{ - шу) - 0, Ь (щ - о;,) = 0 (9.10.2)
.в множестве 11{[\11у Проблема состоит в построении потока хю типа (р, а),
определенного над всем Му такого, что
(9.10.3)
на множестве V^ Положим на Ь\
Р = ды>1у B = Ьы>г. (9 Л 0.4)
Принимая во внимание формулы (9.10.2), видим, что формы Р и 0. вполне
определены. Условия разрешимости проблемы имеют вид
ЯР =--#C = 0. (9.10.5)
Если эти условия удовлетворяются, то решение дается формулой
ы> = 2С(д<Э + ЬР). (9.10.6)
Действительно,
Отсюда следует, что ти удовлетворяет соотношениям (9.10.3).
22*
336 Гл. 9. Келеровы многообразия высших размерностей
Наоборот, предположим, что существует такой поток хю типа (р, а), для
которого дхю = Ъхю = 0 вне его сингулярного множества.
Полагая
(9.10.7)
найдем, что условия (9.10.5) удовлетворяются и что хю представима в виде
(9.10.6). Потоки Р и B определяют вычеты формы хю.
Предположим, что Ло^ = 0. Тогда решение хю (если оно существует)
также будет удовлетворять уравнению Лх&) = 0. Действительно,
где выражения ЛдB, ЛЬР удовлетворяют, согласно формулам (9.2.28),
соотношениям
= У- 1 ЬЬщ,
АЬР = ЬАР =* ЬАдщ = ЬдАхю{ + У^1 ЬЬщ = У^Л ЬЬшь
в области IIг. Так как ЬЬ + ЬЬ = 0 в силу формул (9.2.18), то Ахю =
В качестве простой иллюстрации рассмотрим случай, когда М является
компактной римановой поверхностью, которую можно рассматривать, со-
согласно § 5 гл. 9, как келерово многообразие размерности 1. Через цг>
<72 (<?1 Ф 92) обозначим две точки поверхности М. Пусть г19 г2 является такими
униформизирующими соответственно в точках цХ9 ^2, для которых г1(я1) = О,
г2(^2) = 0. Рассмотрим такое покрытие {^}, для которого Я\^^\у Яъ^ъ
и ни одна из точек цХУ ^2 не лежит в каком-либо другом множестве V^
Положим
(Ипг112%1у /= 1,
1п2 12ъ1, ]' = 2,
О, / > 2.
Условия (9.10.2) удовлетворяются при р=1, а = 0, и мы имеем соотношения
(9.10.8)
Действительно, так как хю{ есть форма типа A,0), то Ьх&)г = О и, следова-
следовательно, B = 0. Что касается оператора Р, то <р является 0-формой класса С°°
с носителем, содержащимся в V\. Так как д(щЛ?) является формой
типа B,0), следовательно, 0-формой, то
Р [9] = дщ [9] = щ [<3ср] = \ щ Л 5? = ^ Щ Л <?? =
1/1 1/1-«1
^1 Л?)-
Итак,
Р [9] = — Нт \ ЙЦЛ?)= Ит I ш1Д(р
|2|^е 121|=е
Аналогичное рассуждение справедливо для окрестности V\ точки
Наконец, пусть 9 является 0-формой класса С°° на М. Тогда
НР [?] = Р [//<р] = Я9 (Яг) - Я9 (?2) = 0,
§ 10, Ь-ядра на конечных келеровых многообразиях 337
так как гармоническая форма Ну степени 0 должна быть постоянной.
Отсюда следует, что на М существует поток хю типа A,0), являющийся
голоморфным дифференциалом всюду, исключая только точки ^х, ^2, где он
имеет простые полюсы с вычетами, равными соответственно + 1> —1.
Эти рассмотрения можно обобщить на случай компактного келерова
многообразия М произвольной (комплексной) размерности к. Действительно,
предположим, что 5Х и 52 являются двумя аналитическими подмногообразиями
комплексной размерности к — 1 и что 5Х гомологично 52. Это условие является
обобщением требования равенства нулю суммы вычетов. В окрестности Vг}-
подмногообразия 5Х и 52 определены соответственно при помощи минималь-
минимальных локальных уравнений #1;. (гу) = 0, /?2у (г3) = 0, в которых точки г^ =
= (г}, ..., г)) берутся в локальной системе координат. Положим
в окрестности V^ Выполнив вычисление по вышеприведенному образцу,
получим
Р = 51-52, A = 0. (9.10.9)
Из гипотезы о том, что разность 5Х —52 гомологична нулю, следует суще-
существование такого потока Г, для которого Р = дТ, а следовательно, и НР = 0.
Итак, на многообразии М существует поток хю типа A,0), голоморфный на
множестве М — 81 — 52 и имеющий по полюсу с вычетами +1,-1 соответ-
соответственно на подмногообразиях 52, 52.
Одновременное использование понятий потока и оператора Грина О
является систематическим и мощным методом доказательства существования
мероморфных дифференциальных форм на компактных келеровых много-
многообразиях.
§ И. /,-ЯДРА НА КОНЕЧНЫХ КЕЛЕРОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ
В гл. 4 были введены ядра /,(/?, ^) и Ь(р, ^) или, в наших теперешних
обозначениях, Ь(г, С) и Ь(г> С)- Метод, основанный на применении этих ядер,
позволил получить результаты гл. 5 и 6. Возникает вопрос: нельзя ли опре-
определить эти ядра на конечном келеровом многообразии В? Ответ гласит, что
указанные ядра могут быть определены, однако лишь в частном случае к— 1
мы получаем этим путем содержательную теорию.
Действительно, пусть
(9Л1Л)
является ядром оператора О для форм типа (р, сг), р~\-о=ру на конечном
келеровом многообразии В. Нетрудно видеть, что разность
будет гармонической и регулярной функцией даже в точке С- Положим
р (г, ;) = 2 (д, дхя^ + ЬхЬ^р+1), (9.11.3)
где
р, а р — 1, з
= П й П , д,= П А П .
р, а р—1,<* р, а р —1, а
_
Ьг=П 8 П. бе- П »П , Ьс-П»П
о, а р+1»с р+1,с р, в а, р а, р+1
338 Гл. 9. Келеровы многообразия высших размерностей
Из формул (9.10.1) видно, что ядро Ьр{г, С) отлично от нуля только в двух
случаях: р — а -|- 1 и р = а — 1, причем
В частном случае р = &, о = к~-1 получим выражения
(9.11.6)
В случае &=1 эти формулы согласуются с формулами, данными в гл. 4.
Для обоих ядер справедливы, очевидно, следующие тождества:
(9Л1-7)
(9.11.8)
(9Л1.9)
В случае &>1 нельзя уже, вообще говоря, ожидать, что ядро р
удовлетворяет уравнениям д2Ьр=Ъ2Ьр = 0. Так, например, в случае р = 0,
а = 1 выполнение уравнения дгЬр = 0 означало бы, что ядро (Ьр)~~ мероморфно,
а это невозможно, так как ядро Ьр {г, С) имеет точечную особенность. В дей-
действительности указанные уравнения не удовлетворяются никаким ядром при
й> 1. Поэтому эти ядра и не могут быть использованы в случае многообра-
многообразий высших размерностей. Однако другие их свойства остаются справедли-
справедливыми, так что имеет место следующая
Лемма 9.11Лв Если <р6:Рр'% то
(?(*). М*. 9) = 0. (9.11.10)
Доказательство этой леммы представляет собой обобщение того доказа-
доказательства, которое было приведено в гл. 4 для случая 6=1; по этой причине
здесь мы опустим это рассуждение.
Заметим, что в случае р = 6=1, а = 0 комбинация следующих двух об-
обстоятельств обеспечивает мероморфность ядер (9.11.6): (а) для скаляров
А = 2Ьд; (Ь) если 9 является формой типа A,0), то уравнение Ь<р = О озна-
означает, что форма ср голоморфна. В случае к > 1 соотношение (а) остается
справедливым для скаляров, в то время как условие (Ь) справедливо для
форм типа {ку 0). Здесь мы имеем иллюстрацию крайне специального харак-
характера римановых поверхностей.
§ 12. ВНУТРЕННЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ
Всем операторам, введенным в §§ 1 и 2 гл. 9, можно дать внутренние
определения. Например, оператор д характеризуется следующими четырьмя
аксиомами: A) линейность; (и) отсутствие деривации, т. е. д(<? Д ф) = <Э<р А ф +
■+ ( — 1)Р?Л^Ф Для форм 9 степени р\ (ш) 3/(ад) = []о>(/) для скаляра /,
* ■ м
где ш является касательным вектором многообразия в рассматриваемой точке;
для скаляра / имеет место соотношение дс?/~ — с? 5/. В аксиоме A11)
является проекционным оператором, ассоциированным с разложением в пря-
и) 1
мую сумму пучка касательных.
Литература 339
В терминах произвольной эрмитовой метрики присоединенный оператор Ь
для оператора д определяется соотношением Ь = — *3*. Лапласианом назовем
выражение Д = 2(Ьд + дЬ). Принцип Дирихле остается справедливым для ин-
интеграла Дирихле, определенного формулой (9.8.1) при помощи наших опера-
операторов д, Ь; таким путем мы получим операторы Грина и Неймана 08, #8.
Для Ь-многообразия М, вложенного в произвольное комплексное аналитиче-
аналитическое многообразие /?, существует вполне непрерывный оператор Грина 00,
такой, что ДС09 = 9-~-^с?> где ^с^Ч? 1?€ Вс> д<? = Ъ<? = 0}. Пользуясь дей-
действительными операторами к> Ь— — *с?*, найдем, что эрмитова метрика будет
келеровой тогда и только тогда, когда оператор Д перестановочен с опера-
Р,
тором Ъс1-\-AЪ.
Однако до тех пор, пока метрика не является келеровой, Д не является,
вообще говоря, действительным оператором и операция построения комплексно
сопряженных величин не отображает пространство гармонических форм на
себя. В частности, если М является компактным многообразием, то соотно-
соотношение между действительными гармоническими формами, удовлетворякмцими
уравнениям йу — Ьу = О, и комплексными гармоническими формами, удовле-
удовлетворяющими уравнениям ду = Ъу = О, не будет необходимо простым.
ЛИТЕРАТ УРА
I. Бергман (В е г § т а п 5.)
а) 5иг 1ез !опс1юпз ог1по&опа1ез с!е р1из1еиг8 уапаЫез сотр1ехез ауес4 1ез аррП-
саНопз а 1а 1Ьёог1е ёез !опс1юпз апа1у^иез, Мет. с1ез Зек Ма1Ь., уо1. 106,
ОаиШег-УШагз, Рапз, 1947-5
Ь) ТЬе кетеПипсИоп апс1соп[огта1 тарр1п§, Ма111. Зигуеуз, N0 5, Атег. Ма111.
5ос, N6^ Уогк, 1950.
2. Бохнер (ВосЬпег 5.)
а) Кетагк оп 1Ье 1Ьеогет о! Сгееп, Эике Ма1Ь. ^ои^п., 3 A937), 334—338.
Ь) Апа1уИс апё теготогрЫс сопПпиаиоп Ьу теапз о! Сгееп'з !огти1а, Аппа1з
о! Ма1Ь., 44 A943), 652—673.
с) Оп сотрас! сотр1ех тапИоЫз, ^ои^п. 1п(Иап Ма111. 5ос, 11 A947), 1—21.
A) Уес1ог ИеЫз оп сотр1ех апс! геа1 тапИоЫз, АппаЬ оГ Ма1Ь., 52 A950), 642—649.
е) Тепзог ПеЫз Ш1И НпИе Ьазез, АппаЬ о! Ма1п., 53 A951), 400—411.
3. В е й л ь А. (\У е 1 1 А.)
5иг 1а 1пёопе ёез 1огтез ёШёгепИеНез аЦаспёез а ипе уаг1ё!ё апа1уи^иесотр\еx•е,
Соттеп1ап1 Ма1Ь* Не1уеис1, 20 A947), 110—116.
4. В е й л ь Г. (№ е у 1 Н.)
Э1е Ыее с1ег К1етаппзс11еп Р1асЬе, ТеиЬпег, ВегПп, 1923.
5. Гарабедиан (ОагаЬесНап Р. К.)
А пе\у 1огтаПзт 1ог ГипсИопз о! зеуега1 сотр1ех уаг1аЫез, ,1оигп. ё'Апа1. Ма1Ь.,
1 A951), 59—80.
6. Гарабедиан, Спенсер (СагаЪесПап Р. К., Зрепсег Э. С.)
а) Сотр1ех Ьоипёагу уа1ие ргоЫетз, ТесЬшса1 Нерог1 N0 16, 51ап{огс1 11шу.,
СаШогша, Арп1 27, 1951.
Ь) А сотр1ех 1епзог са1си1из !ог КаЫег ташЬЫз, ТесЬшса! Керог! N0 17,
51ап!огA 11шу., СаШогша, Мау 21, 1951.
7. Д а ф ф , Спенсер ф и { { О. Р. Э., 5 р е п с е г Э. С)
а) Нагтошс 1епзогз оп тат?оЫз тИа. Ьоипёагу, Ргос. Иа1^ Аса& 5с1. 11.5.А.,
37 A951), 614—619.
Ь) Нагтошс 1епзогз |оп Шетапшап ташГоМз \уИп Ьоипс!агу, АппаЬ о! Ма1Ь.,
56 A952), 128—156.
в. К а л а б и (С а 1 а Ъ 1 Е.)
Оеоте1пс 1тЪеШщ оГ сотр1ех таш!о1с!з, АппаЬ о! МаИь, 58 A953), 1—
340 Гл. Р. Келеровы многообразия высших размерностей
9. К а л а б и, Спенсер (С а 1 а Ы Е., Зрепсег И. С.)
Сотр1е1е1у 1п1е^гаЫе а1тоз1; сотр1ех ташЫсЬ, Аппа1з о! Ма1Ь. (должна поя-
появиться).
10. Код аи р а (Ко Aа1 г а К-)
а) Нагтошс ПеЫз т К1етаптап тапНоЫз, Аппа1з о! Ма1Ь., 50 A949), 587—665.
Ь) Тпе 1пеогет о! Шетапп-Косп оп сотрас! апа1уИс зиг1асез, Атег. ^ои^п.
о! Ма4Ь., 73 A951), 813—875.
11. Д е Рам, Кодаира (ее Кпат С, Кос1а1га К-)
Нагтотс 1п1е^га1з, 1пзШи1е !ог Аёуапсес! 51ис1у, Рг1псе1оп, 1950(мимеография).
12*. Рашевский П. К-
Введение в риманову геометрию и тензорный анализ, М.—Л., 1953.
13. С е к е ф а л ь в и -Н а д ь E г. N а § у В. V.)
5рек1га1с1аг51е11ип& Ппеагег ТгапэГогтаНопеп ёез Н11Ьег1зспеп Каитез, 5рпп-
&ег, ВегПп, 1942.
14. С п е н с е р E р е п с е г В. С.)
а) Саиспу'з 1огти1а оп КаЫег тапИоЫз, Ргос. Ыа1. Асаё. 5с1. II.5.А., 38
#A952), 76—80.
Ь) Кеа1 апс! сотр1ех орега1огз оп тап1!о1A5, в книге Соп1пЬииопз 1о 1Ье 1Ьеогу
о! К1етапп зиг1асез, Аппа1з о! МаНаетаИсз 51ид1е5 N0. 30, Рппсе1оп Ш1У.
Ргезз, 1953.
с) БтспЫ'з рг1ПС1р1е оп тап1!о1д5, в книге Уо1ите 1п СоттетогаНоп о! 1Ье
5еуепие1п В1г1Ьдау о! К. уоп М1зез.
15. Ходж (Ноа^е I. V. Б.)
а) Нагтотс 1п1е§га1з, СатЪпс1&е 11п1У. Ргезз, 1941.
Ь) БШегепиа1 1ргтз оп а КаЫег татЫё, Ргос. СатЬ. РЫК 5ос, 47 A951),
504—517.
16. Ш в а р ц Л. E с Ь ^ а г 1 2 Ь.)
ТЬёопе дез ё151г1Ьииопз, уо1. I, II, Негтапп, Рапз, 1950—1951.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелев дифференциал 55
— интеграл второго рода 55
— — первого рода 55
— — третьего рода 55, 75, 76, 78
Альтернирующий процесс Шварца 206
Аналитическая функция 19
Аналитический дифференциал 19, 23
— — определяемый гармонической функ-
функцией 19
— — размерности р 30
Аналитическое вложение 115, 130
База гомологическая 1-циклов 40, 56, 58
— каноническая гомологии 58, 86, 93,
116, 118
Базис дифференциалов первого рода дей-
действительный 58, 88, 119
— — — — комплексный 57, 61, 79, 88
Базисные дифференциалы нормированные
84, 87
Безвихревое векторное поле 18
Билинейный дифференциал 74
Бутылка Клейна 70, 71
Вариационное ядро 244
Вариация внутреннего типа 266, 271
— границы 214
— (Жюлиа) граничного типа 271
— при вырезании отверстия 221, 226
— — заклеивании отверстия листом Мё-
Мёбиуса 235
— — присоединении ручки первого рода
228, 232
— сохраняющая конформный тип 257,
261, 266
Верзор квадрантный 312
Вложение аналитическое 115, 130
— правильное 115
— строгое 270
— существенное 115
Внешнее умножение 16, 314
Внешняя площадь 109, 122
Внутренняя деформация поверхности 214,
239, 243
— площадь 122
Воспроизводящее ядро 74
Вторая основная теорема Римана 60
Второе итерированное ядро 174
Второй дифференциальный параметр Бель-
трами 15
Вырезание отверстия 214, 221, 226
Вычет дифференциала 55
Гармоническая мера 222
— р-форма 316
Гармоническая функция 15
— — второго рода 31, 50
— — первого рода 31, 50
— — принадлежащая поверхности 31, 50
— — с логарифмическими особенностя-
особенностями 44
— — с особенностями типа вихря 45
— диполя 44
Гармонический дифференциал 18, 316
— — с заданными периодами 41, 56
— поток 323
Гармоническое векторное поле 18
Гильбертова каноническая область 53, 90
Гильбертово пространство 31, 45, 171
О 40
Е 41
Р 40, 96, 103
Н 45
М 75, 85, 93, 98—101
— — с метрикой Дирихле 45, 185, 188
Главная часть дивизора 66
— — дифференциала 60
Главный дивизор 67
Гомологическая база 1-циклов 40, 56, 58
Граничные задачи 46, 81, 192
Группа главных дивизоров 67
— дивизоров 66
— отображений поверхности на себя 70
Дважды ортогональная система дифферен-
дифференциалов 177
Двойственное разбиение 56
Диагональное пространство 312
Дивизор 66
— главный 67
— сопряженный 66
Дифференциал абелев 55
— аналитический 19, 23
— билинейный 74
внутренний 75, 77
— — сингулярный 96
— второго рода 55
— — — нормированный 62
— второй степени 16, 19
— гармонический 18, 316
— замкнутый 20, 40, 315
— квадратичный 30, 72
— класса Ск 38
— линейный 30, 55
— нормированный 61
— обратный 30, 71
— первого рода 55—58, 83
— первой степени 16, 18
— принадлежащий поверхности 30, 55
— сопряженный 95
— точный 40, 315
— третьего рода 55, 59
342
Предметный указатель
Дифференциал третьего рода нормирован-
нормированный 62
Дифференциальные формы 18, 314
Дифференциальный параметр Шварца 139-
294
Дубль римановой поверхности 25, 28
Заклеивание отверстия листом Мёбиуса
20, 214, 235
Закон перестановки аргумента и пара-
параметра 64, 79
— симметрии периодов 63
Изотермические кривые 142
Индекс ветвления 65
— кронекеровский 56, 58
— пересечения 56
Интеграл абелев второго рода 55
— — первого рода 55
— — третьего рода 55, 75—78
— Дирихле 45, 51, 324
Интегральные операторы 146
Итерированные операторы 152
Каноническая база гомологии 58, 86, 93,
116, 118
Канонический базис дифференциалов 57,
58, 84
— разрез 294
Каноническое отображение 52, 53, 90
Квадрантный верзор 312
Келерова метрика 313
Класс (дифференциалов) Ск 38
Р 93, 102 103, 129
О 95
М 93, 98—101, 129
5 93, 107, 129
симметричный 94, 108
Ковариантно замкнутая форма 315
—• точная форма 315
Компактный носитель 38
Конечное многообразие 320
Конформная эквивалентность 14, 26, 53,
261, 266
Конформное отображение 25
Конформный радиус 292
— тип поверхности 53
Кронекеровский индекс 56, 58
Лемма Вейля 38
Линейно эквивалентные дивизоры 66
Линейный дифференциал 30
Линии тока 12
Лист Мёбиуса 27, 70, 71
Матрица периодов 60, 88, 102, 119, 276
Метрика Дирихле 45, 185
— келерова 313
— эрмитова 313
Модули римановой поверхности 72, 266
Неравенство Бесселя 36
— Буняковского—Шварца 32
— Б*. Леви 36, 327
— треугольника 33
Норма 24, 32, 119
— сингулярного дифференциала 106, 107
Нормированные дифференциалы 61
— — первого рода 84, 87
Нормы операторов Т, Т9 3 163
и« 167
Носитель 38
Однозначный (мероморфный) дифферен-
дифференциал 94
Оператор 5 170, 178
— Грина 326
— — бигармонический 330
— Лапласа—Бельтрами 15, 316
— — — комплексный 319
-- Неймана 326
Ох1ераторы Г, Г и 5 146, 147
— *, 7 167—169, 170, 175
— Виртингера 19
Ортогональное дополнение 36
— проектирование 36
Ортонормированная последовательность 35
Основные теоремы Римана 56, 60
Оценки норм операторов 163—169
Первая основная теорема Римана 56
Первый дифференциальный параметр Бель-
Бельтрами 14
Период двойственный 60
— дифференциала 21, 40, 56
Площадь внешняя 109, 122
— внутренняя 122
Поверхность конечная 20
— наложения 28
— — двулистная 25
— неориентируемая 20, 25
— ориентируемая 20, 25
Полиномы Фабера 138
Полная непрерывность 170
— ортонормированная последовательность
35
Полюсы вариационного ядра 249
Порядок дивизора 66
— дифференциала 64, 66
— — в точке 55, 65
Постоянная Робэна 292, 294
Потенциал 12
Поток 322
— гармонический 323
Правильное вложение 115, 194
Принцип Дирихле 46, 324, 333
— униформизации 51
Проблема искажения 306
— коэффициентов 266, 279
Проективная плоскость 27, 70, 71
Проектирование ортогональное 36
Произведение многообразий 311
Производящее ядро 74
класса Р 95, 98, 102, 103
М 98—101
3 107, 108
Пространство действительных дифферен-
дифференциалов 40, 41
— кусочно аналитических дифференциа-
дифференциалов 158, 159
Пространство гильбертово (см. гильбер-
гильбертово пространство) 31, 45, 171
Предметный указатель
343
Процесс ортогонализации Грамма—Шмид-
Грамма—Шмидта 35, 93
Размерность аналитического дифференциа-
дифференциала 30
— класса дивизоров 66
Риманова поверхность 18, 25
— — конечная 25, 28
— — симметричная 29
Род 20, 25
— алгебраический 67, 70, 118
— дубля конечной поверхности 29
Ручка первого рода 20
Ряд Неймана—Лиувилля 201
Самосопряженные операторы 146
Символ Кронекера 314
Симметрия функции Грина 81
— эрмитова 75
Сингулярное множество 322
Сингулярный (билинейный) дифференциал
97," 107
Скалярное произведение 22, 23, 33, 148,
320
— — над неориентируемой поверхностью
86
— — сингулярных дифференциалов 97,
105
Собственные функции 185, 190
Соленоидальное векторное поле 18
Соответствие классов дифференциалов 117
Соотношения между периодами 62—64
Сопряженная дифференциальная форма 19
Сопряженные точки дубля 28
Сопряженный поток 12
— тензор 317
Спектральная теория 5-оператора 178—182
— — ^-оператора 169—174
7-оператора 175—177
Степень дифференциала 16, 18
Строгое вложение 270
Существенное вложение 115
Сходимость в гильбертовом пространстве 33
— в смысле Витали 34
— слабая 34, 170
Тензор Римана—Кристоффеля 316
Теорема Римана—Роха 67
Тильда-операция (-'-операция) 30
Тип поверхности конформный 53
Тождество Бианки 316
— Риччи 316
Тор 70, 246
Умножение внешнее 16, 314
Униформизация 51
Униформизация по способу Клейна 290,
291
Униформизирующая 18, 25
Уравнение Бельтрами 10
— Лапласа 11
Уравнения Коши—Римана 11
Условия конформной эквивалентности 255
Форма дифференциальная 18, 314
— — сопряженная 19
— ковариантно замкнутая 315
— — точная 315
— типа (р, а) 317
Формула Адамара 215, 220
— Вилла 246
— Грина 23, 321
— Жюлиа 273
— Коши 335
— ортогонального разложения 36, 41
— Пуассона ПО, 246
— Стокса 17, 321
Функциональная производная 302
Функция аналитическая 19
— гармоническая 15
— Грина 31, 77
— — неориентируемой поверхности 31,
82, 83
— — ориентируемой поверхности 31, 78,
81
— класса Ск 38
— Неймана 78, 79
— — неориентируемой поверхности 82, 83
— — ориентируемой поверхности 79, 82
— принадлежащая поверхности 30
— тока 12
Цепь 21
Цикл 21
— граничный 21, 85
Циркуляция скорости 17
Четырехлистное покрытие 82
Эквивалентность конформная 14, 26, 53,
261, 266
Эквипотенциальные кривые 12
Эрмитова метрика 313, 323
— форма 108
— симметрия 75
Ядро вариационное 244
— второе итерированное 174
— производящее 74
— Пуассона 246
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ1
На страницах, номера которых отмечены звездочкой, фамилия встречается только в
.списке литературы.
Адамар (Наёатагс! Л.) 273*
Александров П. С. 24*, 53*
Альфорс (АпИогз Ь.) 24*
Ароншайн (Агопзгат И.) 113*
Бельтрами (ВеИгапп Е.) 10, 13, 15, 24*
Бергман (Вег^тап 5.) ИЗ*, 114*, 145*,
213* 339*
Бляшке (В1азспке №.) 24*
Бохнер (Восппег 5.) 17, 114*, 339*
Вейль А. (№еИ Н.) 339*
Вейль Г. (№еу1 Н.) 18, 24*, 38, 42," 54*,
72* 114* 339*
Вильдер (ШЫег К. Ь.) 54*
Винтнер (№ш1пег А.) 24*
Виртанен (ХППапеп К. I.) 72*
Гарабедиан (ОагаЪесПап Р. К.) 54*, 114*,
273*, 339*
Гартман (Наг1тап Р.) 24*
Гензель (Непзе1 К.) 73*, 114*
Гильберт (НПЪег! В.) 15, 114*, 213*
Голузин Г. М. 310*
Грассман (Сгаззтап Н.) 17
Грётш (Ог6123сЬ Н.) 114*, 292
Грунский (Огипзку Н.) 124, 138, 145*
Дафф (ВпП С. Р.) 339*
Дженкинс (Лепктз Л. А.) 145*
Зигмунд Bу&типс1 А.) 114*
Калаби (Са1аЫ Е.) 340*
Каратеодори (Сага1Ьёодогу С.) 38, 273*
Картан А. (Саг1ап Н.) 17
Картан Э. (Сайап Е.) 17, 314
Кёбе (Коебе Р.) 54*
Келдыш М. В. 54*
Келлог (Ке11о^ О.) 24*, 114*
Кельвин (Ке1у1п №.) 15
Клейн (К1е1п Р.) 9, 12, 24*, 28, 29, 54*,
70 73* 290
Кодаира '(КсхШга К.) 17, 38, 54*, 331,
339* 340*
Курант (Соигап! К.) 24*, 54*, 114*,
213*, 310*
Лаврентьев М. А. 301, 310*
Ландсберг (ЬапёзЬег^ О.) 73*, 114*
Лефшец (ЬеГзсШх 5.) 24*
Лехто (ЬеМо О.) 54*, 114*
Литтльвуд AЛШе\уоос1 Л. Е.) 114*
Лихтенштейн Aлсп1епз1ет Ь.) 24*
Лэкс (Ьах Р.) 46
Маркушевич А. И. 54*, 114*, 145*, 273*
Марцинкевич (Маг21пк1е\у1С2 Ь.) 114*
Мольк (Мо1к Л.) 273*
Неванлинна Р. (ЫеуапПппа К.) 73*
Нейман (Ыеитапп К.) 73*, 212
Нехари (ЫеЬап 2.) 114*
Пикар (Р1саг<1 Е.) 28, 54*
Пойа (Ро1уа О.) 292
Прим (Ргут Р.) 9
де Рам (ее КЬат Л.) 17, 38, 54*, 315, 339*
Рашевский П. К. 340*
Риман (Шетапп В.) 9, 15, 276
Рисе Ф. (Шезг Р.) 213*
Секефальви-Надь (Зх.-Ыа^у В.) 213*, 340*
Спенсер (Зрепсег Б. С.) И4*, 145*, 273*,
310*, 339*, 340*
Стойлов E1оИо^ 5.) 54*
Таннери (Таппегу Л.) 273*
Тейхмюллер (ТекЪтиПег О.)
Тёплитц (ТоерШх О.) 38
Уолш (^а1зЬ Л. Ь.) 114*
Фату (РаЬи Р.) 54*
Фихтенгольц Г. М. 273*
Фукс (РисЬз Ь.) 276
54*, 73*
Ходж (Но<18
17, 317, 340!
Чеботарев Н. Г. 73*, 114:
Шварц Г. EсЪ\уаг2 Н. А.) 70, 212
Шварц Л. EсЬ\уаг12 Ь.) 38, 323, 340*
Шеффер (ЗсЪаеКег А. С.) 145*, 273*, 310*
Шиффер (ЗсЫКег М.) 54*, 114*, 145*,
213*, 273*, ЗШ*
Шлезингер (ЗсЫезш^ег Ь.) 213*
Шоттки (ЗсЬоПку Р.) 28, 54*
1 Составлен переводчиком.—Прим. ред.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора русского перевода 5
Предисловие авторов 7
Глава 1. Введение. Геометрические и физические соображения
^ 1. Поверхности, конформно эквивалентные плоскости. Уравнение Бельтрами . . . 9
§ 2. Внешние дифференциальные формы 15
§ 3. Дифференциальные формы на римановых поверхностях 18
§ 4. Элементарная топология поверхностей 20
§ 5. Формулы интегрирования , 22
Литература 24
Глава 2. Теоремы существования для конечных римановых поверхностей
5 1. Определение римановой поверхности 25
§ 2. Дубль конечной римановой поверхности 28
§ 3. Гильбертово пространство 31
§ 4. Ортогональное проектирование 36
§ 5. Основная лемма 38
§ б. Существование гармонических дифференциалов с заданными периодами .... 40
■§ 7. Существование однозначных гармонических функций с заданными особенностями 42
§ 8. Метод ортогонального проектирования в теории граничных задач 45
§ 9. Гармонические функции, принадлежащие конечной поверхности 50
§ 10. Принцип униформизации для конечных поверхностей 51
§11. Конформное отображение на канонические области высших родов 53
Литература 54
Глава 3. Соотношения между дифференциалами
§ 1. Абелевы дифференциалы 55
§ 2. Матрица периодов 60
§ 3. Нормированные дифференциалы 61
§ 4. Соотношения между периодами 62
§ 5. Порядок дифференциала • . . . 64
§ 6. Теорема Римана — Роха для конечных римановых поверхностей 66
§ 7. Конформные отображения конечной римановой поверхности на себя 70
§ 8. Обратные и квадратичные дифференциалы 71
Литература .'. 72
Глава 4. Билинейные дифференциалы
§ 1. Билинейные дифференциалы и производящие ядра 74
§ 2. Определение функций Грина и Неймана 77
§ 3. Дифференциалы первого рода, определенные при помощи функции Грина ... 83
§ 4. Дифференциалы первого рода, определенные при помощи функции Неймана . 86
§ 5. Матрицы периодов 88
§ 6. Соотношения между функциями Грина и Неймана . . , 89
346 Оглавление
§ 7. Канонические отображающие функции 90
§ 8. Классы дифференциалов 93
§ 9. Билинейные дифференциалы для класса Р 95
§ 10. Построение билинейного дифференциала для класса М при помощи функции
Грина 98
§11. Построение билинейного дифференциала для класса Р 102
§ 12. Свойства билинейных дифференциалов 104
§ 13. Аппроксимация дифференциалов Ш
§ 14. Специальная полная ортонормированная система 111
Литература 113
Глава 5. Поверхности, вложенные в заданную поверхность
§ 1. Одна поверхность, вложенная в другую . .' 115
§ 2. Несколько поверхностей, вложенных в заданную поверхность 118
§ 3. Основные тождества 119
§ 4. Неравенства для квадратичных и эрмитовых форм 123
§ 5. Продолжение локального комплексного аналитического вложения одной поверх-
поверхности в другую 127
§ 6. Приложение к теории однолистных функций 136
§ 7. Экстремальные отображения 140
§ 8. Неоднолистные отображения 143
Литература 145
Глава 6. Интегральные операторы
§ 1. Определение операторов Т, Т и 8 146
§ 2. Скалярные произведения преобразованных дифференциалов 148
§ 3. Итерированные операторы 152
§ 4. Пространства кусочно аналитических дифференциалов 158
§ 5. Условия обращения дифференциала в нуль 160
§ 6. Границы для норм операторов Т и Т 166
§ 7. Спектральная теория «-оператора 169
§ 8. Спектральная теория ^-оператора 175
§ 9. Спектральная теория 5-оператора 178
§ 10. Минимально-максимальные свойства собственных дифференциалов 182
§ И. Гильбертово пространство с метрикой Дирихле 185
§ 12. Сравнение с классической теорией потенциала 190
§ 13. Соотношение между собственными дифференциалами поверхностей 30^ и 9?—30^ . 192
§ 14. Обобщение на несвязные поверхности 19&
§ 15. Представление принадлежащих поверхности Ш функционалов через функционалы,
принадлежащие поверхности 31 200
§ 16. Комбинационная теорема 206
Литература 213-
Глава 7. Вариации поверхностей и их функционалов
§ 1. Вариации границы 214
§ 2. Вариации функционалов как первые члены разложений в ряды 217
§ 3. Вариация при вырезании отверстия 221
§ 4. Вариация при вырезании отверстия в замкнутой поверхности 226
§ 5. Присоединение ручки первого рода к замкнутой поверхности 228
§ 6. Присоединение ручки первого рода к поверхности с краем 232
§ 7. Заклеивание отверстия листом Мёбиуса 235
§ 8. Внутренняя деформация при присоединении клетки. Первый метод ". 239
§ 9. Внутренняя деформация при присоединении клетки. Второй метод 243
§ 10. Вариационное ядро ' 244
§11. Тождества, которым удовлетворяет вариационное ядро 249
§ 12. Условия конформной эквивалентности при деформациях 255*
Оглавление 347
§ 13. Построение вариации, сохраняющей конформный тип 257
§ 14. Вариационные формулы для конформного отображения 266
§ 15. Вариации граничного типа 271
Литература 273
Глава 8. Приложения вариационного метода
§ 1. Тождества длй^функционалов 274
§ 2. Проблема коэффициентов однолистных функций 279
3. Вложение круга в заданную поверхность 288
4. Канонические разрезы на поверхности Ш 294
§ 5. Экстремальные задачи в теории конформного отображения плоских областей . 302
Литература 310
Глава 9. Замечания относительно обобщения теории на келеровы многообразия
высших размерностей
§ 1. Келеровы многообразия 311
§ 2. Комплексные операторы 316
§ 3. Конечные многообразия 320
§ 4. Потоки 322
§ 5. Эрмитовы метрики 323
§ 6. Принцип Дирихле для действительных операторов 324
§ 7. 6-многообразия 329
§ 8. Принцип Дирихле для комплексных операторов 333
§ 9. Ограниченные келеровы многообразия 334
§ 10. Теоремы существования на компактных келерсых многообразиях 335
§11. Ь-ядра на конечных келеровых многообразия^ 337
§ 12. Внутреннее определение операторов 338
Литература - 339
Предметный указатель 341
Именной указатель 346
ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
Стр.
40
75
318
318
Строка
4 сн.
15 сн.
6 св.
7 св.
Напечатано
Первая
Ш потому,
ф • . [1 . .
»
Следует читать
Правая
Ш, потому.
Зак. 634
М. Шиффер, Д. К. Спенсер
ФУНКЦИОНАЛЫ НА КОНЕЧНЫХ
РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
Редактор М. С. АГРАНОВИЧ Лт><И
Художник Я. М. Лобанов
Технический редактор Я. Я. Думбре
Сдано в производство 21/XI 1956 г.
Подписано к печати 11/III 1957 г.
Бумага 70X1081/16=10,9 бум. л. Щ По
29,8 печ. л. Уч.-изд. л. 26,7. Изд. № 1/29 . °МУ,
Цена 20 р. 70 к. Зак. 634. и- 'П'
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ,
Москва, Ново-Алексеевская, 52.
16-я типография Главполиграфпром
Министерства культуры СССР.
Москва, Трехпрудный пер., 9.