В.И. СЛИВКЕР
СТРОИТЕЛЬНАЯ
МЕХАНИКА
ВАРИАЦИОННЫЕ
ОСНОВЫ
МОСКВА
2005

В.И. Сливкер
СТРОИТЕЛЬНАЯ
МЕХАНИКА
ВАРИАЦИОННЫЕ ОСНОВЫ
Рекомендовано Учебно-методическим объединением вузов РФ
по образованию в области строительства в качестве
учебного пособия для студентов, обучающихся
по направлению 653500 «Строительство»
Сканировал и обрабатывал
Лукин А. О.
Москва 2005
Издательство Ассоциации строительных вузов

Рецензенты:
заведующий кафедрой «Прикладная математика» ПГУПС, доктор
физико-математических наук, профессор Е. Ф. Жигалко;
заслуженный деятель науки и техники РФ, доктор физико-
математических наук, профессор Л.А. Розин.
Сливкер В.И.
Строительная механика. Вариационные основы. Учебное пособие.
- М.: Издательство Ассоциации строительных вузов, 2005. - 736 с.
ISBN 5-93093-364-2
Книга посвящена систематическому изложению вариационных
принципов строительной механики и вариационных методов реше-
ния соответствующих задач. Вариационный подход последовательно
применяется не только для построения вычислительных процедур,
но и как универсальный и математически наиболее убедительный
способ получения основных разрешающих уравнений в прикладной
механике твердого деформируемого тела.
Предназначена для инженерно-технических и научных работ-
ников, для разработчиков программных комплексов по решению за-
дач прочности, устойчивости и колебаний механических систем, а
также для практикующих инженеров, использующих в своей работе
программный инструментарий и интересующихся теоретическими
основами прочностных расчетов. Может быть использована студен-
тами старших курсов, аспирантами, а также преподавателями кафедр
прочностных дисциплин технических университетов на строитель-
ных, машиностроительных и иных факультетах инженерных специ-
альностей.
ISBN 5-93093-364-2 © Издательство АСВ, 2005
© Сливкер В.И, 2005

СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ XIII
Введение XIII
О литературных ссылках XVII
Как читать эту книгу XVII
Благодарности XIX
Некоторые общие правила для обозначений, принятые в книге XX
Форма представления основных уравнений, принятая в книге . XXI
Список основных обозначений XXII
Обозначения для функционалов XXII
Обозначения для множеств XXIII
Обозначения для полей и операторов XXIV
Из прочих обозначений XXV
Литература XXVI
1. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ НАЧАЛА СТАТИКИ И
ГЕОМЕТРИИ В СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ 1
1.1 Предварительные сведения 1
1.1.1 Формально сопряженные дифференциальные операторы 2
1.2 Операторная форма основных уравнений в линейных задачах
строительной механики. Основное интегральное тояедество 5
1.3 О различных типах полей НДС 11
1.4 Общее начало статики и геометрии 12
1.4.1 Начало возможных перемещений как следствие
общего начала статики и геометрии 17
1.4.2 Начало возможных изменений напряжений
как следствие общего начала статики и геометрии 19
1.4.3 Теорема об ортогональности полей 20
1.4.4 Интегральное тождество Папковича 22
1.5 Заключительные комментарии к главе 1 23
Литература 25
2. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ 27
2.1 Энергетическое пространство 27
2.1.1 Физически допустимые поля 27
2.1.2 Теорема Бетти 28
2.1.3 Энергия деформации. Теорема Клапейрона 30
2.1.4 Жесткие смещения 33
2.1.5 Условия совместности деформаций в форме интегрального
тождества 38
2.1.6 О необходимых условиях существования равновесного
состояния системы 41

IV СОДЕРЖАНИЕ
2.1.7 Теорема об общем виде произвольного физически
допустимого поля 42
2.1 8 Лагранжево энергетическое пространство 43
2.1.9 Тождество Прагера-Синджа 46
2.2 Вариационный принцип Лагранжа 46
2.2.1 Консервативные внешние силы 46
2.2.2 Функционал Лагранжа 47
2.3 Вариационный принцип Кастильяно 51
2.3.1 Функционал Кастильяно 51
2.3.2 Кастильяново энергетическое пространство 52
2.4 Чувствительность энергии деформации к модификациям
системы 55
2.4.1 Первая теорема о минимуме энергии деформации 55
2.4.2 О влиянии дополнительных связей
(кинематических и силовых) 57
• Кинематические связи 57
• Силовые связи 59
2.4.3 Наращивание системы 63
2.4.4 Модификация жесткостных характеристик системы 65
2.4.5 Возмущение внешних воздействий 68
2.4.6 Вторая теорема о минимуме энергии деформации 69
2.4.7 Принцип Сен-Венана и его энергетическое обоснование 70
2.5 Обобщенные силы и обобщенные перемещения 74
2.5.1 Силовые воздействия. Теорема Кастильяно 74
2.5.2 Кинематические воздействия. Теорема Лагранжа 76
2.5.3 Об обращении матриц податливости и жесткости 78
2.5.4 Лемма о связях 80
2.5.5 Формула Мора и двойственная к ней формула 81
2.6 Основные вариационные принципы в задачах
с начальными деформациями 84
2.7 Статически определимые и статически неопределимые
системы 88
2.8 Заключительные комментарии к главе 2 90
Литература 90
3. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ 93
3.1 Смешанный вариационный принцип Рейсснера 93
3.1.1 Функционал Рейсснера 94
3.1.2 Принцип минимума для напряжений 98
3.1.3 Принцип максимума для перемещений 99
3.2 Принцип стационарности функционала граничных условий 100
3.3 Вариационный принцип для физических соотношений 102
3.4 Смешанный вариационный принцип Ху-Васидзу 103
3.5 Обобщенный смешанный вариационный принцип 105
3.5.1 Обобщенное решение задачи 106
3.5 2 Обобщенный смешанный функционал 107
3.5.3 О связи между функционалами Лагранжа, Рейсснера и

СОДЕРЖАНИЕ V
обобщенным смешанным функционалом 108
3.5.4 Параметризованное энергетическое пространство 110
3.6 Вариационный принцип Гуртина 112
3.6.1 Функционал Гуртина 113
3.7 Геометрическая интерпретация некоторых функционалов
строительной механики 117
3.7.1 Обобщенный смешанный функционал 117
3.7.2 О функционале Гуртина 122
3.8 Заключительные комментарии к главе 3 123
Литература 123
4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ
МЕХАНИКИ - часть 1 125
4.1 Варианты операторной формы постановок задач
строительной механики .... 125
4.1.1 Постановка задачи в перемещениях 125
4.1.2 Постановка задачи в напряжениях 126
4.2 Трехмерная задача теории упругости 128
4.2.1 Функционал Лагранжа 133
4.2.2 Функционал Рейсснера 134
4.2.3 Функционал Кастильяно 135
4.2.4 Функционал Гуртина (третья форма) 135
4.3 Плоская задача теории упругости 135
4.3.1 Функционал Лагранжа 138
4.3.2 Функционал Кастильяно 138
4.3.3 Функционал Рейсснера 139
4.4 Продольная деформация прямолинейного стержня 139
4.5 Балка Бернулли на упругом основании 142
4.6 Балка Тимошенко на упруг ом основании 150
4.6.1 Еще раз о кинематических краевых условиях
для балки Тимошенко 156
4.7 Плоский криволинейный стержень без учета деформаций
сдвига 157
4.7.1 Геометрические уравнения 160
4.7.2 Уравнения равновесия 166
4.7.3 Усилия, сопряженные вектору деформаций Власова 172
4.7.4 Вариационные принципы для криволинейных стержней 177
• Функционал Лагранжа 180
• Функционал Кастильяно 181
• Функционал Рейсснера 182
4.7.5 О сопоставлении решений при различных постановках
задач для криволинейных стержней 183
4.8 Плоский криволинейный стержень с учетом деформаций
сдвига 188
4.8.1 Снова о геометрии криволинейного стержня 188
4.8.2 Учет деформаций сдвига 190
• Стержни средней и большой кривизны 193
• Стержни малой кривизны 197

VI СОДЕРЖАНИЕ
4.8.3 Оценка изменений в энергии деформации,
вносимая переходом к уточненной теории 199
4.9 Заключительные комментарии к главе 4 .... 201
Литература 201
5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ
МЕХАНИКИ - часть 2 203
5.1 Изгиб тонких пластин - теория Кирхгоффа-Лява 203
5.1.1 Локальный базис в точках границы Г области Q. 211
5.1.2 Матричная форма основных соотношений теории
пластин Кирхгоффа-Лява 213
5.1.3 Основное интегральное тождество для задачи изгиба
тонкой пластины 217
5.1.4 Краевые условия для задачи изгиба тонкой пластины .... 221
5.1.5 Важнейшие функционалы для задачи изгиба тонкой
пластины 224
• Функционал Лагранжа 224
• Функционал Кастильяно 227
• Функционал Рейсснера 228
• Функционал Геррманна 229
5.2 Статико-геометрическая аналогия в теории пластин 231
5 2.1 Вектор функций напряжений в теории пластин 231
• О физическом смысле функции напряжений в задаче о
ПНС 233
• О физическом смысле функций напряжений в задаче об
изгибе пластины 236
5 2 2 0 статико-геометрической аналогии в теории пластин ... 239
5 2 3 Деформационные граничные условия в теории пластин . 243
• Деформационные граничные условия в задаче о ПНС 245
• Деформационные граничные условия в задаче изгиба
пластины 249
5.3 Изгиб пластин средней толщины - теория Рейсснера 250
5.3.1 Разрешающая система уравнений для пластины
Рейсснера относительно двух неизвестных функций 259
5.3.2 Основное интегральное тождество в теории пластин
Рейсснера 261
5 3.3 Важнейшие функционалы для пластины Рейсснера 262
• Функционал Лагранжа 262
• Функционал Кастильяно 263
• Вектор функций напряжений для пластины Рейсснера 265
• Функционал Рейсснера для пластины Рейсснера 266
5.4 Некоторые примеры 267
5 4.1 Пример 1. Круглая пластина под действием контурного
крутящего момента 268
5.4.2 Пример 2. Квадратная пластина, загруженная по контуру
крутящими моментами 271
5 4.1 Пример 3 Прямоугольная шарнирно опертая пластина .. 273

СОДЕРЖАНИЕ VII
• Пластина Рейсснера 273
• Пластина Кирхгоффа 276
5.5 Заключительные комментарии к главе 5 280
Литература 283
6. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ
МЕХАНИКИ - часть 3 285
6.1 Кручение массивных стержней - теория Сен-Венана 285
6.1.1 Функция кручения Сен-Венана. Функционал Лагранжа . 288
6.1.2 Функция напряжений Прандтля. Функционал Тимошенко 291
• Теорема Бредта о циркуляции касательного напряжения 294
• Центр кручения 296
6.1.3 Двусторонние оценки момента инерции сечения
на кручение 297
6.1.4 О функционалах рейсснеровского типа для задачи
о кручении стержня 300
6.1.5 Мембранная аналогия Прандтля. Кручение узкой полосы 303
6.2 Тонкостенные стержни открытого профиля - теория Власова 306
6.2.1 Основные гипотезы теории тонкостенных стержней
открытого профиля 308
6.2.2 Уравнения равновесия тонкостенного стержня
открытого профиля 319
6.2.3 Центр кручения, центр изгиба 323
6.2.4 Касательные напряжения в теории тонкостенных
стержней открытого профиля 325
6.2.5 Матричная форма основных соотношений теории
тонкостенного стержня открытого профиля 327
6.2.6 Основное интегральное тождество в теории
тонкостенных стержней открытого профиля 330
6.2.7 Основные вариационные принципы в теории
тонкостенных стержней открытого профиля 330
6.2.8 О недепланируемых сечениях в теории
тонкостенных стержней открытого профиля 333
6.3 Учет деформаций сдвига в тонкостенных стержнях
открытого профиля 336
6.3.1 Основное интегральное тождество в сдвиговой
теории тонкостенных стержней открытого профиля 343
6.3.2 Основные вариационные принципы в сдвиговой
теории тонкостенных стержней открытого профиля 343
6.3.3 О сдвиговой теории тонкостенных стержней открытого
профиля для недепланируемых сечений 345
6.3.4 0 матрице коэффициентов формы сечения ц 347
6.4 Полусдвиговая теория тонкостенных стержней открытого
профиля 348
Литература 354

VIII СОДЕРЖАНИЕ
7. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ
МЕХАНИКИ - часть 4 355
7.1 Тонкостенные стержни замкнутого профиля -
теория Уманского 355
7.1.1 Чистое кручение тонкостенного стержня
замкнутого профиля 356
7.1.2 Общий случай работы тонкостенного стержня
замкнутого профиля 361
• Касательные напряжения 365
• Свойства функций Soz, Soy, Som 368
7.1.3 Общие физические соотношения теории тонкостенных
стержней замкнутого профиля 370
7.1.4 Первый (энергетический) вариант построения теории .... 373
• Физические соотношения в первом (энергетическом)
варианте полусдвиговой теории 375
• Разрешающие уравнения задачи в первом варианте
сдвиговой теории 377
• Полусдвиговая теория Джанелидзе-Пановко 378
7.1.5 Второй (физический) вариант построения теории 379
• Полусдвиговая теория Уманского 384
7.1.6 О недепланируемых сечениях тонкостенных
стержней замкнутого профиля 385
• Основные соотношения теории тонкостенных стержней
замкнутого профиля для недепланируемых сечений .... 387
7.2 Многоконтурные тонкостенные стержни замкнутого
профиля 388
7.2.1 Чистое кручение многоконтурного профиля 388
• Топологическая структура многоконтурного профиля . 393
• Функция депланации для многоконтурного профиля ... 397
7.2.2 Общий случай работы многоконтурного профиля 400
• Касательные напряжения для многоконтурного профиля 400
• Разрешающие уравнения тонкостенных стержней с
замкнутым многоконтурным профилем 408
Литература 410
8. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ
МЕХАНИКИ - часть 5 411
8.1 Тонкостенные стержни комбинированного профиля 411
8.1.1 Чистое кручение тонкостенного стержня
комбинированного профиля 413
8.1.2 Общий случай работы тонкостенного стержня
комбинированного профиля 417
• Средние касательные напряжения 418
• Свойства функций S^ , Soy, ?ога и следствия этих свойств 420

СОДЕРЖАНИЕ IX
• Физические соотношения теории тонкостенных стержней
комбинированного профиля 424
8.1.3 Сечения с недепланируемым комбинированным профилем 426
8.2 Многоконтурный комбинированный профиль 427
8.2.1 Топологическая структура многоконтурного
комбинированного профиля 428
8.2.2 Чистое кручение многоконтурного комбинированного
профиля 429
• Функция депланации для комбинированного
многоконтурного профиля 430
8.2.3 Общий случай работы тонкостенного стержня с
комбинированным многоконтурным профилем 432
8.3 Заключительные комментарии к теориям тонкостенных
стержней 434
8.3.1 Об энергетическом сопоставлении бессдвиговой теории
Власова с полусдвиговой теорией тонкостенных стержней
открытого профиля 434
• Пример 435
8.3.2 Об уравнениях Лужина для тонкостенных стержней
комбинированного профиля 437
8.3.3 Классификационные признаки разделения теорий
тонкостенных стержней 441
8.3.4 Последние комментарии 442
Литература 443
9. МЕТОД РИТЦА И ЕГО МОДИФИКАЦИИ 445
9.1 Основная теорема метода Ритца 445
9.2 Метод Ритца применительно к смешанным функционалам 455
9.2.1 Метод Ритца применительно к функционалу Рейсснера . 455
9.2.2 Метод Ритца применительно к обобщенному смешанному
функционалу Ф 458
• Пример 459
9.3 Метод двух функционалов 462
9.3.1 Слабые и сильные решения по напряжениям 463
9.3.2 О существовании сильного решения по напряжениям .... 466
9.3.3 О согласованных аппроксимациях при минимизации
функционала D 467
9.3.4 О связи функционала D с функционалом Рейсснера 469
• Метод двух функционалов и метод сопряженных
аппроксимаций Одена 470
9.3.5 Примеры применения метода двух функционалов 471
• Пример 1 471
• Пример 2 474
• Пример 3 478
Литература 481

X СОДЕРЖАНИЕ
10. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ О СПЕКТРЕ 483
10.1 Основные понятия. Терминология 483
10.2 Задача о спектре как вариационная задача 486
10.2.1 Спектр механической системы с конечным числом
степеней свободы 486
• Метрические представления в задаче о спектре 490
10.2.2 Вариационное описание собственных чисел 494
• О разложении произвольного вектора по собственным
векторам как по базису 496
• Вариационно-рекурсивное определение собственных
чисел и собственных векторов 497
• О влиянии связей на первое собственное значение 498
• Независимое вариационное определение собственных
значений 501
• Общая теорема Рауса о влиянии связей на собственные
числа механической системы 503
• Кинематические связи, не меняющие количества
динамических степеней свободы механической системы 504
10.2.3 Геометрическое описание собственных чисел
и собственных векторов. Эллипсоид Релея 5 07
• Понятие о связях наибольшей жесткости 509
10.3 Общий случай задачи о спектре 511
10.3.1 Разложение произвольной функции по собственным
функциям 514
10.4 Метод Ритца в задаче о спектре 515
10.4.1 Метод Ритца в задаче о спектре применительно
к функционалу Рейсснера 519
10.4.2 Метод двух функционалов в задаче о спектре 523
• Пример 1 525
• Пример 2 527
10.4.3 Об одном эффекте, возникающем при применении
метода конечных элементов в смешанной форме к
задачам о спектре 528
10.4.4 Обобщенный смешанный функционал в задаче о спектре 536
10.5 Заключительные комментарии к главе 10 539
Литература 541
11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ
УСТОЙЧИВОСТИ 543
11.1 Устойчивость систем с конечным числом степеней свободы 544
11.1.1 Функционал устойчивости - функционал Болотина 551
11.1.2 Линейная задача и линеаризованная постановка задачи
устойчивости 551
11 1.3 Пример 1 554
11.1.4 Пример 2 - парадоксы в задачах устойчивости 561

СОДЕРЖАНИЕ XI
• О неинвариантности критической нагрузки по
отношению к выбору обобщенных координат системы 567
11.2 Вариационное описание критических нагрузок 569
11.2.1 Отношение Релея и вариационно-рекурсивное
определение критических нагрузок 571
11.2.2 О влиянии связей на устойчивость линеаризованной
упругой системы 574
11.2.3 Теорема Папковича о выпуклости области устойчивости 577
11.2.4 Еще раз о геометрической матрице жесткости 5 84
11.2.5 Устойчивость равновесия при несиловом воздействии . 586
11.3 Геометрически нелинейные задачи теории упругости 589
11.3.1 Геометрические уравнения 589
• Выражения для вариаций компонент тензора деформаций 592
11.3.2 Уравнения равновесия и статические краевые условия 592
11.4 Устойчивость равновесия упругого тела 596
11.4.1 Линеаризованная постановка задачи устойчивости
равновесия упругоготела 598
• О механической интерпретации отдельных слагаемых
в функционале устойчивости 600
• Критерии критического состояния системы 602
11.4.2 Метод Ритца 605
11.5 Устойчивость равновесия для отдельных классов задач .... 607
11.5.1 Устойчивость равновесия стержня в рамках технической
теории стержней 607
11.5.2 Устойчивость равновесия стержня Тимошенко 610
11.5.3 Устойчивость равновесия пластины Кирхгоф фа-Лява . 617
11.5.4 Устойчивость равновесия пластины Рейсснера 618
11.5.5 Устойчивость равновесия тонкостенного стержня 620
11.6 Смешанные функционалы в задачах устойчивости
равновесия 624
11.7 Заключительные комментарии к главе 11 626
Литература 627
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 629
ПРРИЛОЖЕНИЯ 631
A. Преобразования Лежандра и Фридрихса 631
А. 1 Преобразование Лежандра в конечномерном случае 631
А.2 Преобразование Лежандра в общем случае 636
А.З Преобразование Фридрихса 638
• Преобразование Фридрихса в конечномерной задаче .. 639
• Преобразование Фридрихса в общем случае 640
Литература 641
B. О касательных напряжениях при изгибе стержней 642
8.1 Касательные напряжения при изгибе прямых стержней .. 642
8.2 Касательные напряжения при изгибе криволинейных
стержней 649
• Стержни малой кривизны 652

XII СОДЕРЖАНИЕ
• Стержни средней кривизны 652
• Стержни большой кривизны 653
Литература . 654
C. Интегралы от произведения функций 655
D. О циркуляции касательных напряжений 655
D. 1. Обобщенная теорема Бредта 656
Литература 660
?. О консервативных внешних силах 661
E. 1 Некоторые случаи поведения внешних сил 662
Е.2 О гидростатической нагрузке 666
Литература 668
F. Криволинейные координаты 668
F.1 Ортогональные криволинейные координаты 671
F.2 Дифференцирование по криволинейным координатам 674
F.3 Формулы для компонент деформации в криволинейной
ортогональной системе координат 677
F.4. Ортогональные координаты на плоскости, ассоциированные
с плоской кривой 679
F.4.1 Формулы для деформаций в координатах («,*) 689
Литература 689
G. Секториальные характеристики сечений тонкостенных
стержней 689
G.I. Секториальные характеристики сечений
открытого профиля 689
G.1.1 Определение положения главного полюса 690
G.1.2 Определение положения нулевой точки профиля . 691
G. 1.3 Главный полюс и нулевая точка как параметры
минимизации секториального момента инерции
сечения стержня 693
G.1.4 О лепестковом профиле 695
G.1.5 Пример 695
G.2. Сечения комбинированного профиля 698
G.2.1 Определение положения главного полюса 698
G.2.2 Главный полюс как параметр минимизации
секториального момента инерции сечения стержня 699
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ 701
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 705

ПРЕДИСЛОВИЕ
Все должно быть изложено так просто, как только
возможно, но не проще
Альберт Эйнштейн
Введение
Сила вариационного подхода в механике твердого деформируемого тела
определяется его многогранностью: вариационный подход используется и
как универсальное средство описания физических закономерностей, и как
основа качественных методов исследования задач [1]. Однако вариационный
подход обладает и еще одним серьезным достоинством - он служит
предельно ясным, очищенным от посторонних примесей источником
построения и обоснования численных методов решения задач механики. Это
стало в особенности важным и осознанным после того как современные
численные методы решения задач строительной механики, и прежде всего
метод конечных элементов, вошли в арсенал рабочего инструмента
инженера. Конечно, прошло какое-то время после пионерских работ
Тернера, Клафа и Мелоша, спустя которое метод конечных элементов был
математически осознан как численный метод решения задач математической
физики, но выдающуюся роль вариационного подхода в процессе такого
осознания теперь уже никто не рискует оспаривать. Именно это слияние
интуитивных инженерных построений и математически глубоко
разработанного аппарата вариационного исчисления придало методу
конечных элементов импульс такого масштаба, влияние которого ощутимо и
в наши дни.
Нельзя сказать, что литература по обсуждаемому в книге кругу вопросов
бедна и немногочисленна. Напротив, достаточно указать на имена таких
известных механиков и математиков как Лейбензон [2], Михлин [3],
Васидзу [4], Ректорис [5], Розин [6]... - многоточие, как обычно, служит
символом продолжения ряда. Вот почему нужно обладать немалым запасом
самонадеянности, чтобы после работ перечисленных авторов и других
признанных авторитетов, основательно пробороздивших воды океана
вариационных принципов механики, браться за рискованное предприятие по
написанию еще одной книги на эту же тему. Здесь на ум приходят слова
известного английского физика Г. Бонди [7]:

XIV ПРЕДИСЛОВИЕ
«Книга - это прекрасная вещь, но, вообще-то говоря, книг ужасно много;
в результате читателям нелегко, а авторам, пожалуй, и того хуже».
Но каждая из написанных книг достойна своей читательской аудитории.
Одни книги (Михлин, Ректорис) осознанно сориентированы на
математический аспект решения вариационных задач, акценты других
(Лейбензон, Васидзу, Розин) откровенно расставлены в пользу чисто
механических проблем.
Понятно, что при написании книги, подобной этой, одним из трудных
моментов, с которым автору приходится постоянно сталкиваться, это
ориентация на потенциального читателя, для которого и предназначена эта
книга. Прав К. Ректорис [5], считающий, что осуществить замысел,
связанный с предназначением книги как для математика, так и для инженера
совсем непросто, поскольку
«...упомянутые категории читателей часто - имеют совершенно
противоположные взгляды на такую книгу и, следовательно, различные
требования к ней, которым нельзя удовлетворить одновременно Например,
нельзя пойти навстречу желанию математиков получить книгу,
написанную в сжатом стиле, в которой теория развертывается
достаточно быстро».
В связи с этим приходится делать выбор, и такой выбор в этой книге
однозначен: она нацелена на лица, имеющие (или стремящиеся завершить)
инженерное образование, но обладающие определенным уровнем
математической культуры, не выходящим, как правило, за рамки требований
современного математического образования, получаемого в университетах
технического профиля.
Перечень знаний, требуемых от читателя, сводится кратко к следующему.
Предполагается, что читатель знаком со стандартным циклом прочностных
дисциплин, входящих в программу любого технического ВУЗа -
сопротивление материалов, строительная механика, основы теории
упругости, и что он имеет представление о базовых категориях
вариационного исчисления. Такие понятия как функционал, уравнения
Эйлера для него, главные и естественные краевые условия, правило
множителей Лагранжа при поиске точки стационарности функционала с
дополнительными условиями и некоторые другие мыслятся уже
размещенными в сознании и памяти читателя. Предполагается также, что
читатель владеет основами линейной алгебры, а из анализа повсеместно
используется без дополнительных пояснений формула Гаусса-
Остроградского в различных вариантах ее написания. Автор полагает, что у
читателя не вызовет затруднений и такой прием, как встречающееся в тексте
дифференцирование функции по векторному аргументу.
Стремление сузить перечень требований к математической
подготовленности читателя заставило автора отказаться от использования
элементов тензорного анализа даже в тех ситуациях, когда аппарат тензоров
оказывается уместным. Все, что нужно знать читателю в этом смысле

Введение XV
сводится к тривиальному соглашению о суммировании по повторяющимся
индексам.
Имея в виду потребности инженеров, автор старался избегать соблазна
там, где это считал возможным, обсуждения математически более тонких
вещей, таких, например, как важнейшее понятие полноты пространств, хотя
самые простейшие сведения из фундаментальных понятий о гильбертовых
пространствах считаются читателю известными. Возможно, что пуристы от
математики сочтут подобный стиль изложения недопустимым, но ...
сошлемся на мнение Бертрана Рассела:
«Книга должна быть или строгой, или простой. Совместить эти два
требования невозможно».
Кратко говоря, эта книга адресована не математикам, а инженерам, но
таким, которые имеют вкус к математическим постановкам и основанным на
них методам решения инженерных задач, хотя бы и не в математически
рафинированной оболочке.
Если же говорить о потенциальном читателе, то кроме упомянутых выше
инженеров и научных работников (не только кроме, но может быть в первую
очередь) автор видит его среди студентов старших курсов инженерных
специальностей, дальнейшую карьеру которых предполагается строить в
тесной связи с решениями расчетных инженерных задач. К этому же
множеству относятся и аспиранты кафедр прочностных дисциплин.
Надеюсь, что и преподаватели этих кафедр найдут для себя в этой книге
педагогически полезный материал, который может быть использован ими
как в лекционных курсах, так и на специальных семинарских занятиях.
Не будем здесь обсуждать содержание книги по главам, поскольку уже
беглый взгляд на оглавление дает достаточно ясное представление о
предмете. Отметим лишь, что кроме общих положений при описании
вариационных проблем в книге уделено достаточно внимания
вариационным постановкам конкретных классов задач механики, и в этом
смысле книга может также служить не только руководством по
углубленному изучению вариационных принципов и вариационных методов
в механике твердого деформируемого тела, но и справочником в
практической инженерной деятельности.
При изложении вариационных принципов строительной механики
мыслимы различные подходы. В одном из таких подходов отдельные
варианты вариационных принципов могут быть получены математически
формальным способом один из другого с помощью разного рода
преобразований, таких как преобразование Лежандра, преобразование
Фридрихса, преобразование Лагранжа. Этот подход систематически
использован, например, в [8]. Но эти же вариационные принципы могут
быть получены и самостоятельно, с последующим установлением связей
между соответствующими функционалами, в том числе и с привлечением
указанных преобразований. По соображениям методического характера,

XVI ПРЕДИСЛОВИЕ
инициированным нацеленностью книги на инженерно ориентированного
читателя, здесь избран второй способ.
Конечно, в одной книге нет необходимости (да это и невозможно сделать
хотя бы из-за разумного ограничения объема) рассматривать все мыслимые
варианты вариационных постановок задач. Продолжающийся в журнальной
литературе поток публикаций убедительно свидетельствует о
неисчерпанности темы. Здесь же приводятся лишь некоторые, наиболее
важные и наиболее распространенные варианты, при отборе которых автор
руководствовался прежде всего критерием их полезного применения как при
обосновании общих теоретических положений строительной механики, так и
при построении численных алгоритмов решения прикладных задач.
Сразу же оговорим, что проблемы строительной механики в этой книге
рассматриваются исключительно в линейной постановке1. Соображения, на
основании которых принято такое ограничение, сводятся к следующему:
• Во-первых, вариационные постановки и вариационные методы решения
линейных задач самодостаточны. Методологически целесообразно, по
мнению автора, рассмотреть важнейшие особенности вариационных
методов в постановках именно линейных задач, без усложнения их
нелинейными эффектами.
• Во-вторых, следует принять во внимание, что методы решения
нелинейных задач как правило сводятся к решению последовательности
линейных задач.
• В-третьих, и это главное, нелинейные задачи столь же важны, сколь и
специфичны. Именно поэтому они заслуживают самостоятельного
подробного рассмотрения в отдельной публикации.
Сказанное предлагается рассматривать как обязательство автора перед
читательской аудиторией в обозримое время подготовить к изданию книгу,
специально посвященную постановкам и методам решения нелинейных
задач строительной механики.
И в заключение одно терминологическое оправдание. В книге
повсеместно используется некоторое количество аббревиатур, например:
НДС - напряженно деформированное состояние системы, ПНС - плоское
напряженное состояние, МКЭ - метод конечных элементов. Автор
осведомлен о негативном отношении к подобного рода сокращениям со
стороны ряда специалистов в области механики твердого деформируемого
тела - МТТ. Но разве употребление последнего сокращения в названии
авторитетного академического издания не является свидетельством
общественного признания механиками допустимости аббревиатур в
публикациях? Что же касается чувства меры, то об этом судить читателю.
Именно поэтому, мы не различаем энергию деформации системы и
дополнительную энергию, что становится существенным в нелинейных задачах

Введение XVII
О литературных ссылках
То, что список литературных источников ни в коей мере не может
претендовать на полноту, стало настолько традиционным авторским
реверансом, что я даже и не буду извиняться.
Единственное, о чем следовало бы упомянуть здесь, это цели приведения
литературных источников. Таких целей может быть несколько. Но
возможные ожидания читателя отыскать в этой книге авторские обоснования
исторических приоритетов не будут вполне оправданы. Такая позиция не
связана с недооценкой роли исторической составляющей в развитии науки.
Напротив, именно уважительное к ней отношение не позволяет автору
считать себя хоть в какой-либо мере историком той науки, которой он
занимается2. Вообще, задача установления приоритетов и сложна, и до
крайности деликатна, а ее исторически справедливое решение во многих
случаях неоднозначно, недаром историки науки от различных научных школ
зачастую придерживаются прямо противоположных взглядов3. Оставляя в
стороне проблему приоритетов и опирающуюся на нее историческую
справедливость именований отдельных научных результатов, заметим, что
литературные ссылки приведены здесь главным образом для того, чтобы
читатель имел возможность разыскать дополнительную информацию по
тому или иному обсуждаемому вопросу. Еще одна цель приведения
литературных ссылок это указание источников, на которые опирался автор
книги при изложении отдельных вопросов.
Как читать эту книгу
Строго говоря, приводимым ниже рекомендациям совсем не обязательно
следовать. Многое зависит как от уровня подготовленности читателя, так и
от тех целей, которые читатель ставит перед собой, собираясь потратить
время на изучение предложенного материала.
Тем не менее, по авторскому замыслу сначала последовательно
прочитываются первые три главы книги. В главах 4-8 на базе общих
вариационных принципов приводятся постановки отдельных классов задач.
Если читатель чувствует себя достаточно осведомленным в постановках
этих классов задач, или они его по какой либо причине на момент изучения
книги не интересуют, то почти без ущерба для дальнейшего понимания
текста эти главы полностью или частично могут быть пропущены.
Глава 9 содержит предназначенное для механика введение в метод Ритца.
Подготовленный читатель может пропустить эту главу или бегло ее
2 Это не означает, что автор отказывает себе в праве высказывать свою точку зрения
и по вопросам приоритетов, особенно в тех случаях, когда эта точка зрения, по
мнению автора, обоснованна.
3 Только для примера, вспомним хотя бы споры между приверженцами первенства
Ньютона и первенства Лейбница в открытии дифференциального исчисления.

XVIII ПРЕДИСЛОВИЕ
просмотреть. Хотя и здесь в разделе 9.3 содержится некоторый новый
материал, до настоящего времени в монографической литературе не
представленный.
Главы 10 и 11 предназначены для специалистов, научные или технические
интересы которых связаны с задачами о частотном спектре и с задачами
устойчивости конструкций.
В приложениях приводятся некоторые общие математические сведения,
которые, хотя напрямую и не всегда относятся к содержанию основного
текста книги, во многом могут оказать помощь читателю, не желающему
одновременно с этой книгой обращаться за ссылками к другим работам. Так,
например, в приложении F дается краткое, но замкнутое, описание теории
криволинейных координат. Мы рекомендуем ознакомиться с этим
приложением даже и подготовленному читателю, чтобы освоиться с
принятой там системой обозначений, используемой во многих местах
основного текста книги.
В составе приложений имеются и разделы, материал которых не носит
характера общематематических сведений. В этих приложениях обсуждаются
некоторые специфические детали или конкретизация отдельных положений
теории, сознательно вынесенные за пределы основного текста книги.
Перед изучением теорий изгиба пластин в главе 5 полезно хотя бы бегло
просмотреть раздел 4.7, относящийся к плоским криволинейным стержням.
Во всяком случае это поможет разобраться с важным разделом по статико-
геометрической аналогии в теории пластин, особенно в связи с
формулировкой так называемых деформационных граничных условий.
Книга не так уж густо насыщена примерами, и мы настоятельно
рекомендуем читателю не проходить мимо них. Вообще, примеры,
приводимые в книге, не имеют целью "натаскивания" студента на
отшлифовку способов решений типовых задач. Эти примеры скорее играют
роль того поясняющего материала, который позволяет иногда посмотреть на
проблему как бы под иным углом зрения. Эта особая функция примеров в
познавательном процессе в математических и инженерных науках хорошо
известна и традиционно используется в научных публикациях. Ее важную
роль неоднократно подчеркивал в своих трудах такой знаток механико-
математической педагогики как А.Н. Крылов. Недаром в своей известной
книге [9, стр. 68] Крылов ссылается на слова Ньютона о том, что «при
изучении наук примеры не менее поучительны, нежели правила».
В подавляющем большинстве случаев все утверждения теоретического
характера даются в книге с достаточно подробным обоснованием.
Встречающиеся нарушения сознательны, они сопровождаются призывами к
проведению доказательств самостоятельно. Сделано это не ради экономии
места, а из соображений педагогического характера. Упражнения подобного
рода не только наилучшим образом способствуют более глубокому
освоению материала, но и стимулируют рост самостоятельной творческой
потенции.

Введение XIX
Благодарности
Книга, которую читатель держит в своих руках, не была бы написана и
опубликована:
• Если бы автор не испытывал постоянного поддерживающего (и даже
подталкивающего) влияния своих друзей и коллег. Не приводя длинного
именного списка, замечу лишь, что во главе его стоит имя моего
давнишнего друга и соавтора по многим публикациям Анатолия
Викторовича Перельмутера.
• Если бы компания ЗАО "Гипростроймост Санкт-Петербург" в лице ее
генерального директора Липкина Юрия Павловича, не разделяла вместе с
автором ощущения практической пользы от подобной работы и не оказала
чувствительной моральной поддержки этому предприятию.
• И наконец (но не в последнюю очередь!), если бы в свое время счастливая
судьба не свела автора с Леонидом Александровичем Розиным, ставшим и
учителем и другом. Влияние работ и личностное влияние Л.А. на научные
интересы автора (заметное всякому, кто знает работы Л.А. Розина и кто
ознакомился с этой книгой), да и на сам стиль мышления в области
механики, оказались решающими.
При работе над текстом книги большую помощь автору оказали
Д.В. Деревянкин и Д.А. Маслов. Первый, будучи в студенческом возрасте,
выполнил по просьбе автора некоторые числовые вычисления, включенные
в текст книги. Он же подготовил все рисунки, мастерски овладев
современными средствами компьютерной графики. Второй разработал
специальную программу GeomyX, определяющую полный комплект
геометрических характеристик тонкостенных сечений стержней4.
И.Д. Евзеров взял на себя труд прочесть книгу в рукописи.
Конструктивность его замечаний в ряде случаев заставила автора отойти от
оригинала в сторону улучшенной версии текста. Отдельные главы книги
прочел и сделал полезные замечания B.C. Карпиловский.
Автор не упустил счастливой для себя возможности неоднократного
обсуждения многих тонкостей теории тонкостенных стержней (каламбур
получился сам собой) с таким признанным знатоком этого раздела
строительной механики как Е.А. Бейлин. Проявленная Ефимом
Абрамовичем в этих беседах доброжелательная заинтересованность работой
автора оказалась серьезным подспорьем при подготовке соответствующих
разделов книги.
И, наконец, компания SCAD Group, с которой автор связан прочными
узами творческого сотрудничества, постоянно инициировала (и продолжает
это делать) размышления автора в части разработки вычислительных
4 Лицензионные права на программу GeomyX принадлежат ЗАО "Институт
Гипростроймост Санкт-Петербург". Дальнейшую информацию об этой программе
можно получить на сайте http//geomyx gpsm га

XX ПРЕДИСЛОВИЕ
алгоритмов в области строительной механики. Результаты этих
размышлений частично вошли в текст книги.
Выражение искренней признательности всем указанным лицам и
организациям - не только моя приятная обязанность, но и привилегия.
Некоторые общие правила для обозначений,
принятые в книге
Принята следующая система нумерации формул и ссылок на них. В
пределах одного параграфа формулы нумеруются двумя числами,
разделенными точками. Первое число - номер параграфа в данной главе,
второе - номер формулы в данном параграфе. При ссылках на формулу из
иной главы дополнительно указывается номер этой главы, причем для
лучшего восприятия глазом номер главы выделяется полужирным шрифтом.
Так например, (2.3) означает ссьшку на формулу (2.3) из параграфа 2 данной
главы, а (1.2.3) - на формулу (2.3) из параграфа 2 главы 1.
По глубокому убеждению автора, подтвержденному его личным
студенческим и преподавательским опытом, продуманная система
обозначений является одним из важных педагогических компонентов
изложения любой физической теории, использующей математический
аппарат, помогающая как восприятию теоретических положений, так н
запоминанию тех результатов, которые приводятся в формульном виде. И
наоборот, запутанная, неорганизованная система обозначений, отталкивает
обучающегося. Разумная система обозначений содействует концентрации
внимания студента на идейной стороне изучаемого предмета, не отвлекая
его всякий раз на восстановление в памяти смыслового содержания тех
символов, которые используются в очередной формуле. В этой связи при
написании настоящей книги автор прикладывал настойчивые усилия к
введению таких обозначений, которые были бы мнемонически запо-
минающимися и систематизированными, а не хаотичными, и по
возможности не отступали бы от общепринятых обозначений. Насколько
реализация этих намерений автора оказалась удачной судить читателям.
Для обозначения векторов, матриц и тензоров используется полужирный
шрифт.
Операция транспонирования матриц и векторов помечается верхним
символом т. Эта же пометка используется и для обозначения сопряженных
по Лагранжу дифференциальных операторов.
Тождественный оператор и единичная матрица обозначаются как J.
Черта сверху систематически используется для обозначения заданных
величин, например, Х- заданные объемные силы. Впрочем, это правило

Форма представления основных уравнений, принятая в книге XXI
для обозначений не закрепляется жестко по всему тексту книги.
Встречающиеся отступления оговариваются особо.
Верхняя тильда над некоторой величиной свидетельствует о
возмущенном значении данной величины.
Звездочка . в качестве нижнего индекса используется, если необходимо
подчеркнуть, что речь идет о точном значении индексируемой величины.
Пример:
Е, - точное значение энергии деформации для системы, отличающейся от
заданной некоторым возмущением.
Уже упоминалось о том, что в индексных преобразованиях повсеместно
используется типовое соглашение о суммировании по повторяющимся, так
называемым, немым индексам5. В тех случаях, когда в формуле индекс
повторяется, но он не считается немым, суммирование не подразумевается и
этот индекс после формулы указывается в скобках в сопровождении
восклицательного знака. Например, в формуле
c'J = a% (/!)
нет суммирования по индексу j, что и понятно, так как немой индекс не
может участвовать в образовании агрегата в левой части этой формулы.
Кроме того, во многих случаях мы без дополнительных оговорок
перекидываем индексы с этажа на этаж, что, как это известно из тензорного
анализа, вполне допустимо при представлении тензоров в ортогональных
декартовых координатах, в которых ковариантные и контравариантные
компоненты тензоров неразличимы.
Стоит здесь также сказать о том, что на рисунках принято общее правило
обозначения внутренних сил в элементах системы двойными стрелками.
Внешние силы повсеместно показаны одинарными стрелками. Для
обозначения вектор-момента как правило используется стрелка в форме
правого штопора.
Форма представления основных уравнений, принятая
в книге
Традиционно в механике деформируемого твердого тела используется
индексная форма записи для тензорных соотношений. С другой стороны
целый ряд авторов (например, А.И. Лурье [10] и его школа, Трусдел [11] и
другие) сориентированы на, так называемую, безындексную тензорную
5 Некоторые авторы вместо термина "немые индексы" предпочитают говорить о
"глухих индексах" Чтобы не раздражать как тех, так и других, может быть стоит
их называть "глухонемыми'"'

XXII ПРЕДИСЛОВИЕ
символику. Для строительной механики стержневых систем в публикациях
на русском языке со времени издания книги А.Ф. Смирнова [12] характерна,
а ныне стала и превалирующей, матричная форма записи основных
уравнений. Без сомнения, каждая из используемых форм записи имеет право
на существование, поскольку каждая привносит и свои методологические
преимущества, и свои недостатки. По поводу этих достоинств и недостатков
можно спорить столь же долго, сколь и безрезультатно.
Конечно, право выбора между формами записи уравнений в каждой
конкретной публикации остается за автором, причем на этот выбор влияют и
традиции, и привычки мыслительного процесса автора, и то, что называют
«мнением большинства». Однако самое главное в этом выборе определяется
все же адекватным математическим аппаратом для описания конкретных
проблем, которым и посвящена данная работа.
Основная форма записи, используемая в настоящей книге, опирается на
общее операторное представление основных уравнений строительной
механики (не только стержневых систем), широко использующее матрично-
векторную форму записи. Представляется, что при описании вариационных
постановок задач этот математический инструментарий обладает и
лаконизмом, и наглядностью, и достаточным универсализмом, а кроме того,
и доступностью для понимания специалистами, получившими обычное
инженерное образование. В этом смысле форма записи, используемая
повсеместно в работах Л.А. Розина [6, 13], а из иностранных авторов,
например, в монографии Беличко, Лиу и Морана [14], а также в известном
трехтомном сочинении энциклопедического характера по методу конечных
элементов, принадлежащем перу О. Зинкевича и Р. Тейлора [15], наиболее
близка к принятой здесь. Впрочем, в тех конкретных случаях, когда по
мнению автора оказывался целесообразен переход к иной форме записи,
колебания отбрасывались.
Одно дополнительное терминологическое замечание. Матрицу столбец
мы будем называть вектором. Но следует помнить, что математический
объект, который характеризуется матрицей столбцом, не обязательно
является вектором в том обычном смысле, в котором вектор понимается как
физический объект с соответствующими векторам правилами пре-
образований при переходе к иной системе координат. На самом деле этот
объект может быть и тензором, и даже скаляром.
Список основных обозначений
Обозначения для функционалов
Для обозначения функционалов используется шрифт Arial прямой.

Список основных обозначений XXIII
А - возможная работа внешних сил;
8 - возможная работа внутренних сил;
- функционал Болотина в задачах устойчивости равновесия;
- функционал Брайана-Трефтца в линеаризованных задачах
устойчивости равновесия;
Е - потенциальная энергия деформации;
G - функционал Гуртина;
Н - функционал Геррманна в задаче об изгибе пластин;
К - функционал Кастильяно;
L - функционал Лагранжа (полная потенциальная энергия системы);
N - функционал Новожилова в задачах устойчивости равновесия;
Р - функционал физических соотношений;
R - функционал Рейсснера (Хеллингера - Рейсснера);
S - общее обозначение для функционалов в задачах устойчивости
(Stability) равновесия,
Т - функционал Тимошенко в задаче Сен-Венана о кручении призм;
- кинетическая энергия механической системы;
W - функционал Васидзу (Ху - Васидзу);
Г - функционал граничных условий;
Ф - обобщенный (параметризованный) смешанный функционал;
П8 - силовой потенциал (потенциал статических воздействий);
Пк - кинематический потенциал (потенциал кинематических
воздействий);
П8о - потенциал начальных деформаций, силовой;
Пк0 - потенциал начальных деформаций, кинематический;
г - функционал Релея (отношение Релея) в задаче о спектре.
Обозначения для множеств
Для обозначения множеств используется шрифт ArtScript курсив
9 - множество физически допустимых полей НДС;
% - множество кинематически допустимых полей НДС;
%0 - множество однородно кинематически допустимых полей НДС;
#i/2 _ множество кинематически полудопустимых полей НДС;
^/2 - множество статически полудопустимых полей НДС;
^ш - множество физически и кинематически полудопустимых полей
НДС;
&у - множество физически и кинематически допустимых полей НДС;

XXIV ПРЕДИСЛОВИЕ
-множество физически и однородно кинематически допустимых
полей НДС;
- множество физически и статически полудопустимых полей НДС;
- множество физически и статически допустимых полей НДС;
- множество физически и однородно статически допустимых полей
НДС;
- множество жестких смещений механической системы;
- множество жестких смещений упругого тела;
- множество жестких смещений упругой среды;
-множество однородно кинематически допустимых жестких
смещений механической системы;
-множество однородно кинематически допустимых жестких
смещений упругого тела
- кастильяново энергетическое пространство;
- лагранжево энергетическое пространство;
- параметризованное энергетическое пространство;
- эвклидово пространство размерности п.
Обозначения для полей и операторов
F -произвольное поле НДС с напряжениями с, деформациями г,
перемещениями и
F={a,t,u};
V - поле внешних воздействий с внешними силами X,
распределенными по области Q, с заданными на границе Г
контурными силами р и заданными краевыми перемещениями й
Г={Х,р,й};
О - общее обозначение нулевого оператора (аннулятор);
/ - общее обозначение тождественного (единичного) оператора;
А - дифференциальный оператор геометрии
Ам = г;
В - дифференциальный оператор равновесия, обычно В = А1
Ата + Ки= X;

Список основных обозначений XXV
К - алгебраический оператор жесткости среды, в которую помещено
упругое тело;
С — алгебраический оператор физического закона линейной упругости
а = Сг, г = С'1а;
L - дифференциальный оператор равновесия в перемещениях
(оператор Ламе)
L = ATCA+K, Lu= X;
S - дифференциальный оператор совместности деформаций (оператор
Сен-Венана)
S? = 0, SA = 0;
- дифференциальный оператор устойчивости равновесия (stability)
Ф - вектор функций напряжений
с = ?тФ, ATSJ = 0;
М -дифференциальный оператор совместности в функциях
напряжений
M = SCASJ, мф = о,
Q - матричный дифференциальный оператор вращения;
Ер - оператор выделения статических краевых условий;
Еи - оператор выделения кинематических краевых условий
EP+EU = I, EPEU = EVEP=0,
Нс - оператор перевода внутренних сил о в краевые усилия р
Р = Нов;
Ни -оператор перевода внутренних перемещений и в краевые
перемещения и
и = Ями.
Из прочих обозначений
ю = [cOj, cov, coz 1 - вектор поворота;
я = \[пх, пу, nz]\J - вектор внешней нормали к границе Г области С1.

1. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ НАЧАЛА
СТАТИКИ И ГЕОМЕТРИИ В СТРОИТЕЛЬНОЙ
МЕХАНИКЕ
Мы не только имеем право, но просто обязаны
подвергнуть критическому анализу все наши определения
в свете их употребления и пересмотреть их (даже
коренным образом), если они нас не устраивают
Л. Янг Лекции по вариационному исчислению и тео-
о управления - М.: Мир, 1974, с. 23
1.1 Предварительные сведения
Пусть в ^-мерном пространстве задана область Q с кусочно гладкой
границей Г. Поскольку в строительной механике интерес представляют
только одномерные, двухмерные и трехмерные задачи, ограничимся случаем
к<Ъ.
Рассмотрим линейное множество Л (линеал) с элементами а,Ь,с...,
являющимися функциями точек х е Q. Относительно элементов множества
Л будем считать, что они могут быть скалярными, векторными или
тензорными функциями. Мы будем предполагать также, что для любой пары
элементов я и Ь из множества Ж могут быть определены два билинейных
функционала (я, V) и (я, Ь)Г, принимающих конечные значения, в
соответствии со следующими формулами
(я,й)= jabdCl, (1.1)
{a,b)r=\abdr, (1.2)
где под а • Ъ понимается скалярное выражение, вычисляемое по правилу
ab — для скалярных величин,
я • Ь = -j a'bt - для векторных величин, (1.3)
a'J bl} - для тензорных в

2 1. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ НАЧАЛА СТАТИКИ И ГЕОМЕТРИИ
Здесь и далее используется обычное правило суммирования по
совпадающим и расположенным на разных этажах индексам.
В одномерном случае область Q представляет собой некоторый интервал
[х^г] изменения независимой переменной х, при этом
(я, Ъ) = ра ¦ Ъ ах, (я, Ъ)г = (я ¦ Ъ)х=Хг + (я Ь)Х=Х[ . (1.4)
Последнее соотношение можно переписать также в виде
(я, b)r = (+la-b)x^2 -(-1а-Ь)х=Х] = [ла-*]|*2. (1.5)
Здесь п - значение косинуса угла между осью х и внешней нормалью к
интервалу [xi^c2] в концевых его точках, причем
Г 1 при X = х2,
п = \
[-1 прих = Х1.
Заметим, что билинейный функционал (я, Ь) можно рассматривать в
качестве скалярного произведения на линеале Ж, тогда как функционал
(я, Ь)Г порождает скалярное произведение на линеале Лг, образуемом из
совокупности функций, заданных на границе Г. Действительно, оба эти
функционала линейны по каждому из своих аргументов и симметричны
(нечувствительны к порядку следования своих аргументов). Кроме того,
справедливы и условия неотрицательности при равенстве аргументов
(а,я)>0, (я,я)г>0.
Более того, из условия (я, я) = 0 вытекает равенство а = 0, где 0 - нулевой
элемент множества М, то есть все компоненты а есть нулевые функции на Q.
Аналогично из (я, я)г=0 следует, что а = 0, где 0 - нулевой элемент
множества Лг, то есть все компоненты я есть функции с нулевыми
значениями на Г.
1.1.1 Формально сопряженные дифференциальные операторы
Рассмотрим теперь два линеала Л я Ж такие, что для любого элемента яе Л
определена дифференциальная операция А со множеством значений из Ж, а
для любого элемента be .11 определена дифференциальная операция В со
множеством значений из Д иначе говоря
aeJ=>AaeJt и be Л=> ВЬе Л (1.6)
В дальнейшем, следуя сложившейся в механике терминологии, будем
всегда говорить о дифференциальных операторах А я В, понимая под этим
задание символических операций дифференцирования, хотя на матема-
тическом уровне [1] под оператором понимается нечто большее, чем простое
указание дифференциального выражения.

1 Предварительные сведения 3
Дифференциальные операторы А и В называются
сопряженными (иногда говорят сопряженными по Лагранжу), если они
удовлетворяют (1.6) и при этом справедливо соотношение
(Аа, Ъ) = (а, ВЪ) + (Ау а, Ву Ъ)г
(1.7)
где Ау и By- некоторые линейные дифференциальные операции такие, что
билинейный функционал (Ауа, ВУЬ)Г имеет смысл для всех элементов а из .4
и всех элементов Ъ из Л.
В дальнейшем будем говорить просто о сопряженных операторах,
понимая под этим сопряженность в смысле Лагранжа. Кроме того, для
оператора В сопряженного оператору А будем использовать обозначение А1,
то есть В = А1, если выполняется (1.7)1.
Приведем пример матричной дифференциальной операции, соот-
ветствующей некоторому оператору А и сопряженному ему оператору Ат
dx
dx{p )
о
p
d\)
dx2
dx P dx
d\)
dx2
О
(1.8)
где p = p(x) - некоторая достаточно гладкая функция независимой
переменной2.
В качестве линеалов Л я Ж возьмем множество векторов вида
а = |[«i(x), а2(х)]|т с компонентами, являющимися достаточно гладкими
функциями, определенными на интервале [0, /]. Для двух векторов а и Ь
имеем
Л]\
р
-ц-
Аа =
ЬУ
АТЬ =
(1.9)
1 Мы отступаем от принятого в математической литературе обозначения
сопряженного оператора с помощью дополнительного символа * в пользу
символа т не только потому, что символ звездочки * зарезервирован нами в этой
книге для систематической пометки величин, относящихся к точному решению
задач Дело в том, что операция взятия сопряжения является обобщением операции
транспонирования матриц, для обозначения каковой и применяется обычно
символ т. Но путаницы не происходит. Нужно только помнить, что применительно
к дифференциальному оператору этот символ означает нечто большее, чем простое
транспонирование матрицы.
'¦ Как мы увидим в дальнейшем, это пример операторов геометрии и равновесия для
задачи об изгибе плоского криволинейного бруса с изменяющимся вдоль дуговой
координаты х радиусом кривизны р(х) - см §4 7.

4 1. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ НАЧАЛА СТАТИКИ И ГЕОМЕТРИИ
где штрихом помечается дифференцирование по х. Интересующие нас
скалярные произведения записываются теперь в виде
^¦Ч{(*:+р>'+[(рН6,Ь
Интегрированием по частям приводим эти скалярные произведения к
виду
•U '' р р 2
(a,ATb)=j(-albl + ^-^ + a'2b')dx + [-a2b']l
и ясно, что (Аа, Ь) и (а, А Ь) различаются только внеинтегральными
членами, откуда и следует взаимная сопряженность операторов А и Ат.
Ограничиваясь этим примером3, приведем общие правила построения
сопряженного оператора А1 по исходному оператору А. Эти правила просты
[3, стр. 180-183] и сводятся к следующим двум операциям:
• матрица А символических операций дифференцирования транспо-
нируется;
• каждый агрегат вида Fa(x)Da() в полученной транспонированной
матрице заменяется сопряженным ему агрегатом в виде (-l)aZ)a [Fa(x) ()],
где Da представляет собой символическую запись операции
дифференцирования порядка а, то есть
&Г1 •••&"*
Воспользовавшись в одномерном случае (к = 1) техникой интегрирования
по частям, а в двух- или трехмерном случае формулой Гаусса-
Остроградского, можно проверить, что выполнение этих правил
действительно приводит к построению сопряженного оператора.
В заключение этого параграфа обратим внимание на два простые, но
важные свойства операции взятия сопряжения. Во-первых, непосредственно
из определения (1.7) следует, что понятие сопряженности взаимно, иначе
3 Л. Янг [2] достаточность одного примера на каждое правило обосновывает
убедительной ссылкой на опыт «.. .девятилетней девочки, истинной леди, которая
решив один из заданных на дом примеров на сложение, написала в своей
тетрадке, что остальные делаются так же».

1.2 Операторная форма основных уравнений 5
говоря, оператор сопряженный сопряженному оператору совпадает с
исходным оператором, то есть
(АТ)Т = А. (1.10)
Во-вторых, сопряжение от произведения операторов равно произведению
сопряженных операторов от сомножителей, но перечисленных в этом
произведении в обратном порядке, то есть
(АВ)Т = ВТАТ. (1.11)
Оба эти свойства вполне корреспондируются со свойствами обычной
операции транспонирования матриц.
1.2 Операторная форма основных уравнений
в линейных задачах строительной механики.
Основное интегральное тождество
Пусть о - некоторым образом упорядоченный набор функций,
определяющих напряженное состояние механической системы (полная
совокупность напряжений или внутренних усилий).
Например, в трехмерной задаче теории упругости под о будем понимать
тензор напряжений с компонентами &}, отнесенными к выбранной системе
осей (х^л), которую, если не оговорено противное, будем считать
прямоугольной правоориентированной декартовой координатной системой.
В дальнейшем нам будет удобно рассматривать о с учетом симметрии как
шестимерный вектор-столбец о= |[ а", а22, а33, а12, а23, стл]|т, не забывая
при этом о тензорной природе о. Собственно говоря, тензорный характер
напряжений сказывается при их преобразованиях, связанных с переходом к
иной системе координат.
В качестве другого примера рассмотрим задачу об изгибе балки
Тимошенко. Здесь под о понимается двухкомпонентный вектор-столбец
о = \[Q, М]\т, при этом Q - поперечная сила, а М- изгибающий момент в
сечении балки. В любом случае при постановке каждой конкретной задачи
строительной механики мы будем считать оговоренными правила
упорядочивания компонент внутренних усилий/напряжений в о.
Пусть г - энергетически соответствующий о набор компонент тензора
(вектора) деформаций. Под энергетическим соответствием понимается то,
что обычное скалярное произведение се в смысле (1.3) дает выражение для
энергии деформации.
Так для трехмерной задачи теории упругости под в понимается тензор
деформаций ev или вектор-столбец в = \[гц,е22,Езз,У12,У23,131]^, где jij=2ev
при [ф]. Нетрудно заметить, что в случае векторной записи для
совокупности компонент тензоров напряжений и деформаций для
скалярного произведения справедливо представление

6 1. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ НАЧАЛА СТАТИКИ И ГЕОМЕТРИИ
cz=cz = zc (2.1)
В задаче об изгибе балки Тимошенко е = |[у, %]|т, где у - деформация
сдвига, % - деформация изгиба (производная от угла поворота поперечных
сечений балки).
Совокупность разрешающих уравнений задачи расчета механической
системы при статическом ее нагружении представим в следующем виде
Во + Ки = X - уравнения равновесия, (2.2-д)
Аи - е - геометрические уравнения, (2.2-й)
с = Се или ? = С'с - физические уравнения. (2.2-с)
Здесь
• и = |[м,]|-вектор перемещений;
• X = |[ X' ]| - вектор заданных внешних сил, отнесенных к единице объема
упругого тела;
• К= {kv} - тензор коэффициентов упругости среды, в которую помещено
деформируемое тело;
• С= {CJkl} и С"1 = {Dyki} - алгебраические взаимно обратные операторы,
представляющие собой соответственно тензоры коэффициентов
упругости и податливости для материала деформируемой системы.
Операторы С, С "'и К симметричны, причем С и С ~1 положительно
определены, а оператор К неотрицателен (иногда говорят положительно
полуопределен) в каждой точке области Q. Сформулированные условия
сводятся к следующим требованиям
аш = см = (Щ > Мс аиа. > cjk,avakl > тс a,Ja4 (те > 0),
D,jkl = Dkll] = DjM, Mad'a^Dyud'cP^mtd'ay (md>0),
k"J = k", k4b,hJ>mkblV (mk>0), (2.3)
где
• a = {a'J} - произвольный симметричный тензор второго ранга;
• Ь = {Ь'} - вектор;
• Мс = \lmd, Md = \lmc, тк - не зависящие от координат, тензора а и вектора
Ь скаляры.
В дальнейшем оператор В будем называть оператором равновесия, а
оператор А, имеющий чисто геометрический смысл и определяющий
деформации через перемещения, оператором геометрии.
Система разрешающих уравнений задачи (2.2) должна быть пополнена
краевыми условиями, которые в операторной форме можно записать в виде

1 2 Операторная форма основных уравнений 7
Ер(Наа-р) = 0 - статические краевые условия, (2.4-а)
Еи(Нии - й) = 0 - кинематические краевые условия, (2.4-Z>)
заданные на границе Г области Q.
В формулах (2.4) обозначено:
• р - вектор заданных внешних краевых усилий;
• й - вектор заданных внешних краевых перемещений.
Будем считать, что компоненты этих двух векторов представлены
одновременно либо в глобальной для конструкции системе координат
(х1гх2л)> либо разложением по осям локального базиса в каждой точке
границы Г В качестве локального координатного базиса ограничимся
рассмотрением правоориентированной ортонормированной тройки векторов
(n,t,b), где и-единичный вектор внешней (по отношению к области Q)
нормали к границе Г; t - единичный касательный к Г вектор. Из условия
ортогональности и правой ориентации тройки (n,t,b) третий орт Ь
определяется векторным произведением Ь = их*. В двумерных задачах
глобальная система координат образуется парой осей (xlrx2), а локальный
базис определяется ортами (n,t), причем положительное направление
касательного к Г орта t выбирается так, чтобы выполнялось условие
их* = ijxfe, где i'i и i2 - орты осей х, и х2 соответственно
Алгебраические операторы Ер и Еи выделяют из краевых условий в
каждой точке границы Г те из них, которые фактически заданы в задаче. Эти
операторы симметричны и представляют собой разложение тождественного
оператора / в ортогональную сумму, а именно
Ер+Еи = I, ЕрЕи = EJEP = О, (2.5)
где О - нулевой (аннулирующий) оператор
Из (2.5) немедленно вытекает идемпотентность операторов выделения
краевых условий
ЕрЕр = Ер, Е„Еи = Еи. (2.6)
Само собой разумеется, что эти операторы заданы по всей границе Г, но
на разных участках этой границы они могут принимать различные значения.
Если ввести обозначение р для вектора краевых усилий и и для вектора
краевых перемещений, то есть положить
р = Нао, и=#„иеГ, (2 7)
то условия (2.5) свидетельствуют о том, что по каждой компоненте этих
двух векторов может быть задано одно и только одно краевое условие -
статическое (для компоненты вектора р) или кинематическое (для
компоненты вектора и).
2-81!

8 1. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ НАЧАЛА СТАТИКИ И ГЕОМЕТРИИ
Понятно также, что пара предопределенных векторов р и и и
вычисляемая пара векторов р и и мыслятся заданными своим разложением
по координатным осям одного и того же базиса, глобального или
локального, и только в этом случае одноименные компоненты этих векторов
имеет смысл приравнивать в соответствии с (2.4).
Поясним сказанное на примере плоской задачи теории упругости.
Предположим, что на части границы Г заданы действующие по касательной
к контуру Г внешние силы р' и смещения й„ в направлении внешней
нормали к контуру Г (рис. 1.1).
Это означает, что в локальной системе координат заданными оказываются
не все компоненты этих векторов. В данном случае, раскладывая векторы р
и и по осям локального базиса, можем написать
1Г®11 - 11411
где символом <8> помечаются величины заранее не известных компонент.
Понятно, что на этом участке границы /"алгебраические операторы Ер и Еи
описываются матрицами следующего вида
' IL° 'Л I» «J
и, таким образом, неопределенные величины <8>из краевых условий (2.4)
исключаются.
Рис. 1.1. Смешанные краевые условия на части границы Г области Q

1.2 Операторная форма основных уравнений 9
Когда р и и заданы в локальной координатной системе, а компоненты
векторов краевых усилий р и краевых перемещений и в результате
формальных вычислений по (2.7) получаются относительно глобальной
системы координат
р = \\р\р2]\\ и = \[щ,и2]\\
то перед использованием векторов риив краевых условиях
Ер(р-р) = 0, Еи{и-й) = 0 еГ,
их следует преобразовать по обычным правилам к локальной координатной
системе. Это связано с тем обстоятельством, что сами операторы выделения
краевых условий Ер и Еи не инвариантны к координатной системе, они по
смыслу своего построения отслеживают ту систему координат, в которой и
заданы предопределенные краевые усилия и перемещения.
Если смешанные краевые условия нигде на контуре Г не ставятся, то
последний разбивается на две части ГриГи так, что
r = Tp\jru, ГрпГи = 0, (2.10)
и при этом
Ер=1, Еи = 0 еГр, Ер=0,Еи=1 еГи. (2.11)
При выполнении (2.10) и (2 11) краевые условия (2.4) можно записать в
виде
Нао - р = 0 еГр - статические краевые условия, (2.12-а)
Нии - й = 0 еГи - кинематические краевые условия. (2.12-Ь)
В задачах, для которых операторы равновесия В и геометрии А содержат
производные порядка выше первого, вектор краевых перемещений и по
числу компонент превышает вектор внутренних перемещений и - на границе
Г в качестве кинематических краевых условий могут задаваться не только
значения компонент самой векторной функции и, но и некоторых
производных от этих компонент. Для таких задач матричный
дифференциальный оператор Ни переводит вектор внутренних перемещений
и в пространство векторов граничных перемещений и. При необходимости
этот же оператор осуществляет и преобразование вектора краевых
перемещений к локальной координатной системе.
Аналогичным образом действует и матричный дифференциальный
оператор Нт который преобразует вектор внутренних сил о в пространство
векторов граничных усилий р. В частном случае, когда операторы
равновесия и геометрии содержат дифференциальные операции не выше
первого порядка, а локальная координатная система совпадает с глобальной,
Ни является тождественным оператором, то есть
#« = /. (2.13)

10 1. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ НАЧАЛА СТАТИКИ И ГЕОМЕТРИИ
В этой же ситуации алгебраический оператор На содержит компоненты
единичного вектора п внешней нормали к границе Г относительно
глобальной системы координат, то есть косинусы углов между вектором п и
направлением соответствующей оси х„ иначе говоря величины
п, = cos(n, х,) = (г„п), (2 14)
где i, - орт оси х,.
Как это будет видно из рассмотрения постановок различных типов задач
строительной механики во всех случаях для операторов равновесия и
геометрии при заданных краевых условиях (2.4) имеет место так называемое
основное интегральное тождество
(Ли, <т) = (и, Во) + (Наа, Нии)Г (2.15)
Эта формула может быть проверена непосредственно после построения
операторов равновесия и геометрии. Однако на самом деле, как это будет
видно из дальнейшего, справедливость основного интегрального тождества
(2.15) является фундаментальным утверждением для всех линейных задач
строительной механики. Именно отсюда следуют все основные теоремы,
приводимые далее В частности, сопоставляя (2 15) и (1.7), немедленно
приходим к выводу о том, что операторы равновесия и геометрии являются
взаимно сопряженными операторами
В = АТ. (2.16)
Последнее соотношение позволяет в дальнейшем везде для оператора
равновесия использовать обозначение А без дополнительных оговорок4.
Учитывая обозначения (2.7), перепишем основное интегральное
тождество в виде
(Аи,о) = (и,Ата) + (р,и)г. (2.17)
Если принять во внимание свойства (2.5) и (2.6) операторов выделения
краевых условий, то на основании цепочки очевидных преобразований
(р, и)г = ((Ер +Еи)р, (Ер + Еи)и)г = (Ерр, Ер и)г + (Еир, Еи и)г (2.18)
это же интегральное тождество можно представить и так
(Ли, <т) = (и, Ата) + (Ерр, Ер и)г + (Еир, Еи и)г
(2.19)
Именно этой формой основного интегрального тождества мы чаще всего
и будем пользоваться на протяжении всей книги.
4 Точнее, почти везде Редкие исключения оговариваются особо

1.3 0 различных типах полей НДС 11
1.3 О различных типах полей НДС
Будем говорить, что совокупность напряжений о, деформаций ? и переме-
щений и определяет напряженно деформированное состояние (НДС)
механической системы. Поскольку напряжения, деформации и перемещения
в разных точках механической системы могут быть различными, то можно
говорить о полях напряжений, деформаций и перемещений. Совокупность
этих трех полей будем называть полем НДС. В дальнейшем, если состав поля
специально не оговаривается, то под полем будем понимать именно поле
НДС. Произвольное поле НДС будем обозначать буквой F, при этом запись
вида F = {а, ?, и} прочитывается как поле F, состоящее из напряжений о,
деформаций г и перемещений и. В свою очередь напряжения о, деформации
е и перемещения и будем называть элементами поля F. Следует
подчеркнуть, что в общем случае элементы поля не предполагаются
связанными между собой какими либо условиями
Введем следующие, полезные для дальнейшего, понятия и определения.
Будем говорить, что внешние распределенные по объему тела Q силы X и
контурные силы/* статически соответствуют полю F = { о, ?, и}, если
Х = АТо+КиеП, Ерр=ЕрНаа еГ, (3.1)
иначе говоря, если для сил X и р выполняются уравнения равновесия в
объеме тела Q и статические краевые условия на поверхности Г.
Поле Fs = {os, ?s, us} называется статически допустимым, если заданные
внешние силы X и р статически соответствуют напряжениям ers и
перемещениям us, иначе говоря
X =Atgs + Kus eQ, Epp=EpHaas еГ. (3.2)
Нижний индекс "s" подчеркивает статическую допустимость поля и его
элементов. Из этого определения следует, что свойство статической
допустимости поля не зависит от деформаций ?s.
Поле Fso= {crso, ?so, uso} называется однородно статически допустимым,
если внутренние силы в Q, порождаемые этим полем, самоуравновешены, а
на границе Г выполняются однородные статические краевые условия в тех
местах и по тем направлениям, по которым в исходной задаче поставлены
соответствующие статические краевые условия. Иначе говоря, для
элементов поля Fso выполняются соотношения
AJaso + Kuso = 0 eQ, EpHaGso=0 еГ. (3.3)
Дополнительный нижний индекс "о" подчеркивает однородную
статическую допустимость поля и его элементов.
Поле Fk= {erk, ?ь Uk} называется кинематически допустимым, если
внутри области Q перемещения и^ и деформации ?к удовлетворяют
геометрическим уравнениям, а на границе Г выполняются кинематические

12 1. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ НАЧАЛА СТАТИКИ И ГЕОМЕТРИИ
краевые условия. Иначе говоря, для элементов поля Fk справедливы
соотношения
?k = Аик eQ , Еи{Нии± - й) = 0 еГ. (3.4)
Нижний индекс "к" подчеркивает кинематическую допустимость поля и
его элементов.
Поле Fko = {erko, ?ko, uko} называется однородно кинематически
допустимым, если внутри области Q перемещения uko и деформации ?ко
удовлетворяют геометрическим уравнениям, а на границе Г выполняются
однородные кинематические краевые условия. Иначе говоря, для элементов
поля Fko справедливы условия
?ко = Лико eQ, EJIuuko=0 еГ. (3.5)
Поле Fsa= {ers/2, Ss/2> us/2} называется статически полу допустимым, если
для элементов этого поля выполняются статические краевые условия
Ерр =ЕрН«ов,2 еГ. (3.6)
Выполнения уравнений равновесия в объеме тела Q при этом не требуется.
Поле /г'к/2= {ом, ?к/2> «и} называется кинематически полудопустимым.
если внутри области Q перемещения и^ и деформации г^г удовлетворяют
геометрическим уравнениям
Ьа=Аика еП. (3.7)
Никаких требований к значениям перемещений Ии или их производных на
границе Г не предъявляется.
Кроме подлежащих определению полей НДС полезно также ввести
понятие поля внешних воздействий V= {X ,р,й}, под которым будем
понимать совокупность заданных внешних распределенных по области Q
сил X, заданных на границе Г контурных сил р и заданных краевых
перемещений й.
1.4 Общее начало статики и геометрии
Рассмотрим два состояния механической системы, одно из которых назовем
состоянием 1, а другое состоянием 2. Пусть состояние 1 характеризуется
полем F\= {<Ti, ?i,Ui}, а состояние 2 полем F2= {а2, Ъг, иг}. Пока что будем
считать, что оба поля полностью произвольны.
Положив в основном интегральном тождестве (2.19) <s=<S\ и u = u2, и
учитывая сопряженность операторов геометрии и равновесия, получим
(ег,,Ли2) = (AJOi, u2) + (Eppi, Ери2)Г + (ЕиРи Еии2)г, (4.1)

1.4 Общее начало статики и геометрии 13
где контурные усилия р\ = Н„<$\ берутся из состояния 1, а контурные
перемещения и2 = Huii2m состояния 2.
Вводя сюда статически соответствующие полю F\ внешние объемные
силы Х\ = А С\ + Кщ, придадим соотношению (4.1) следующий вид
(Хи и2) + (ЕрРи Ер и2)г + (ЕиРи Еи и2)г = («,, Ап2) + (Кии и2.) (4.2)
По сути дела (4.2) представляет собой эквивалент основного интегрального
тождества (2.19). Теперь, придавая тот или иной смысл состояниям 1 и 2,
можно получить различные варианты истолкования основного
интегрального тождества в форме (4.2) на уровне механики.
Прежде всего заметим, что левая часть в (4.2) представляет собой
возможную работу А12 внешних сил, статически соответствующих
состоянию 1, на соответствующих этим силам перемещениях состояния 2
А12 = (Хи и2) + (ЕрРи Ер и2)г + (ЕиРи Еи и2)г . (4.3)
В связи с определением возможной работы внешних сил по (4 3)
необходимо сделать поясняющее замечание. Дело в том, что в число
внешних контурных силр\ входит полная совокупность контурных усилий в
состоянии 1, в том числе и контурные силы Еир\ в тех местах и по тем
направлениям, которым соответствуют кинематические краевые условия.
Иначе говоря, в выражение для А12 по (4.3) включена и работа контурных
реактивных сил состояния 1 в виде (Еир\, Еии2)г. Эта часть работы может
быть отлична от нуля, поскольку поле перемещений и2 не обязано быть
однородно кинематически допустимым, а значит удовлетворять однородным
кинематическим краевым условиям.
Наконец отметим, что само выражение (4.3) представляет собой не
фактически произведенную работу внешних сил состояния 1, а ту
возможную работу, которую гипотетически проделали бы эти силы в
предположении сохранения значений этих сил в процессе получения
деформируемым телом перемещений и2.
Далее определим правую часть в (4.2) как взятую с обратным знаком
возможную работу В!2 внутренних сил состояния 1 на соответствующих
этим силам перемещениях состояния 2
B12 = -(cr1,^u2)-(Jfu1,u2). (4.4)
Заметим, что внутренние силы рассматриваемой механической системы,
имеют двоякую природу. С одной стороны мы можем рассматривать
напряжения о как внутренние силы, развивающиеся в материале упругого
тела. Другой источник внутренних сил связан с усилиями
г = Яи, (4.5)
порождаемыми упругой средой, в которую помещено деформируемое тело.
Силы этого второго типа представляют собой реакцию упругой среды,
иногда называемую отпором упругого основания.

14 1. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ НАЧАЛА СТАТИКИ И ГЕОМЕТРИИ
Как видно из (4.4), выражение для возможной работы внутренних сил В12
складывается из двух составляющих, из которых первый член
интерпретируется как возможная работа напряжений <Ть а второй член как
возможная работа внутренних сил упругой среды. Обратим также внимание
на то, что в силу принятой независимости всех трех элементов поля F2 в
общем случае возможную работу напряжений ci в виде -(«ь Аи2) нельзя
отождествить со скалярным произведением -(<ть ?2) напряжений поля F\ и
деформаций поля F2. Такое отождествление допустимо только тогда, когда
кинематически поле F2 по крайней мере полудопустимо.
Теперь на основании (4.3) и (4.4) соотношение (4.2) принимает вид
А12 + В12 = 0 (4.6)
и в такой форме оно носит название общего начала статики и геометрии
[4]. Такое наименование соотношения (4.6) оправдано тем, что во-первых,
его справедливость устанавливается без привлечения физических уравнений
состояния тела, оно никак не связано с какими либо соображениями
термодинамики и носит исключительно статико-геометрический характер, а
во вторых, в его формулировке участвуют два совершенно произвольных
состояния механической системы.
Несложно обосновать и обратное утверждение, а именно из
справедливости (4.6) для состояния 1 следуют уравнения равновесия как в
объеме тела Q, так и на границе Г Действительно, (4.6) представляет собой
укороченную запись соотношения (4 2), которое будем считать
выполненным для некоторой совокупности внешних сил Х\ ири пока что не
подчиненных каким либо иным условиям. После преобразования (4.2) с
помощью основного интегрального тождества в форме (2.15) и
перегруппировки слагаемых, получаем
(Лт<т, + JEu, - Хх, и2) + (#аеп -р\, и2)Г = 0 . (4.7)
Полагая, что соотношение (4.7) выполняется для любых полей
перемещений и2, приходим к выводу о том, что и порознь оба из скалярных
произведений в (4.7) должны равняться нулю. Отсюда в силу свойств
скалярных произведений получим, что поле F\ = {<S\, ?i,Ui} уравновешено
объемными силами Х\ и контурными усилиямир\
Итак, в терминах механики общее начало статики и геометрии
(ОНСГ) может быть прочитано следующим образом:
Для того, чтобы в некотором состоянии линейно
деформируемая механическая система находилась в равновесии,
необходимо и достаточно, чтобы суммарная возможная работа
всех внешних и внутренних сил этого состояния системы на любых
I перемещениях равнялась нулю |
Стоит еще раз подчеркнуть, что речь здесь идет именно о возможной
работе, при этом между двумя состояниями системы, вводимыми в
формулировку ОНСГ, нет никаких причинно следственных связей.

1 4 Общее начало статики и геометрии 15
В такой формулировке общее начало статики и геометрии оперирует со
следующими тремя категориями:
• с выражением для работы внутренних сил (РВС);
• с уравнениями равновесия (УР);
• с геометрическими уравнениями (ГУ).
То, что в общее начало статики и геометрии в неявной форме входят и
геометрические уравнения становится понятным, если возможную работу
напряжений «i представить в виде -(«ь ?г), а это можно сделать только в
случае выполнения геометрических уравнений ?2 = Аи2.
Традиционно в курсах строительной механики и сопротивления
материалов определение возможной работы внутренних сил вводится не
аксиоматически на основании выражения типа (4 4), а исходя из некоторых
наглядных соображений механики. Если спроецировать приводимые при
этом рассуждения на рассматриваемый нами общий случай геометрически
линейной постановки задачи строительной механики, то они сводятся
примерно к следующему.
Разобьем мысленно деформируемое тело на совокупность элементарных
тел малых объемов Q, так, что SQ, = Q, где суммирование распространяется
на все элементарные тела. И пусть Г, есть граничная поверхность г-ого
элементарного тела. Далее, воздействие на это элементарное тело соседних с
ним элементарных тел заменяется вектором сил р\,, порождаемым
напряжениями о\
ръ =Яа<п, , (4.8)
действующим в каждой точке граничной поверхности Г,. Теперь для г-ого
элементарного тела совокупность усилий р\, переносится в категорию
внешних сил (по отношению к г-ому элементарному телу), выполняющих
работу на перемещениях u2l = HuU2,. При этом молчаливо предполагается,
что в пределах каждого из элементарных тел внутренние
усилия самоуравновешены в том смысле, что Атаи + Kuh=0 eQ,. Тогда
возможная элементарная работа dBn сил ри на перемещениях тела и2,
определится интегралом
dBl2 = jph-u2tdG . (4.9)
Воспользовавшись теперь основным интегральным тождеством в форме
(2.17) применительно к элементарному телу, преобразуем этот интеграл к
виду
dBn = JAu2, -Obt/Q- Ju2, AToucKl = JAu2, ¦ a^Cl + JKuh -u2,dn.
Здесь учтено, что в соответствии с принятым выше А а\, = - Ки^, eQ,
Суммируя теперь полученное выражение для работы по всем
элементарным телам, получим окончательно

16 1. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ НАЧАЛА СТАТИКИ И ГЕОМЕТРИИ
B12=(<T1,^u2) + (ifu1,u2). (4.10)
Величина В12 определена здесь как возможная работа внутренних сил, но
подсчитанная в предположении формального перевода внутренних сил в
категорию внешних. Если теперь сопоставить (4.10) с (4.4), то придется
признать, что для согласования В!2 и В12 требуется положить В!2 = - В12.
Обычно этот логический переход осуществляется ссылкой на то
обстоятельство, что внутренние силы сопротивляются деформациям тела, а
значит совершают отрицательную работу5. С логической уязвимостью такой
схемы рассуждений сталкивался всякий, кто хоть раз пытался объяснить
пытливому студенту обязательность (!?) изменения знака в (4.10) на
противоположный при установлении выражения для возможной работы
внутренних сил.
На самом деле введенные выше четыре категории связаны между собой
так, что любые три из них можно принять определенными аксиоматически,
тогда четвертая категория будет вытекать из трех принятых. На это
обстоятельство обратил внимание Л.А. Розин, что и отражено в приводимой
ниже таблице, заимствованной из [4]
ОНСГ УР РВС ГУ
Следует
Принято
Принято
Принято
Принято
Следует
Принято
Принято
Принято
Принято
Следует
Принято
Принято
Принято
Принято
Следует
Первые две строки этой таблицы соответствуют приведенной выше
словесной формулировке общего начала статики и геометрии, при этом
подразумевается, что возможная работа внутренних сил дается выражением
(4.4), а геометрические уравнения представимы соотношениями (2.2-Ь).
Можно показать справедливость утверждений, содержащихся в третьей и
четвертой строках этой таблицы. Мы не будем на этом останавливаться,
отослав заинтересованного читателя к [4].
То, что понятие возможной работы внутренних сил может быть отнесено
к категории конструируемых, подтверждает также и то обстоятельство, что в
ряде публикаций (см., например, [6, стр. 468—469] или [7, стр. 48—49] или
[8, стр.112-114) начало возможных перемещений в статике деформируемого
тела прочитывается в виде равенства возможной работы внешних сил
возможной работе внутренних сил, а не в виде требования равенства нулю
суммы этих работ. Конечно, это требует переопределения понятия
5 Вот, например, характерная цитата по этому поводу «Работа, производимая
внутренними силами, отрицательна, поскольку внутренние силы стремятся
воспрепятствовать перемещениям, происходящим под воздействием внешних сил,
так как внутренние силы направлены в сторону, противоположную перемещениям
точек их приложения» [5, стр 486] Здесь существенно, что на самом деле речь
при этом идет о возможной работе внутренних сил

1 4 Общее начало статики и геометрии 17
возможной работы внутренних сил до выражения (4.4) с противоположным
знаком. Как и следовало ожидать, ни к каким дальнейшим логическим
противоречиям такое переопределение возможной работы внутренних сил
не приводит. Отсюда ясна невозможность обоснования обязательности знака
минус в правой части (4.4) на уровне логических рассуждений.
1.4.1 Начало возможных перемещений как следствие общего
начала статики и геометрии
Понятно, что, поскольку соотношение (4.2) выполняется для произвольных
перемещений U2, лишь бы только силы Х\ и р\ уравновешивали внутренние
усилия в системе для состояния 1, то оно будет выполняться и для частного
случая, когда в качестве состояния 2 деформируемой системы принято
однородно кинематически допустимое состояние, так что U2 = uko, что
немедленно дает
(Хь uko) + (Ерри Ер ико)г = (<ть Еко) + (Кщ, ико). (4.11)
Здесь учтено, что для однородно кинематически допустимого поля
Еиико = 0 еГ.
Покажем теперь, что выполнения равенства (4.11) уже достаточно для
сохранения равновесия в объеме тела и на той части его поверхности, где
поставлены статические краевые условия. Действительно, после
подстановки (4.1) и перегруппировки членов получаем
ИЧ + Кщ - Хи uko) + (EpHji! - EpPl, Ер нко)г = 0 . (4.12)
Рассуждая теперь как и ранее, приходим к началу возможных
перемещений
Для того, чтобы линейно деформируемая механическая система I
находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы
суммарная возможная работа всех внешних и внутренних сил на
любых однородно кинематически допустимых перемещениях
| равнялась нулю |
В некоторых руководствах по строительной механике при формулировке
начала возможных перемещений включается дополнительное требование
бесконечной малости тех перемещений, на которых подсчитывается
возможная работа. Это действительно существенно, если речь идет о
геометрически нелинейной постановке задачи. То, что указание на
бесконечную малость однородно кинематически допустимых перемещений
для геометрически линейных задач можно опустить, было понятно, но
многих это смущало и даже вьщвигались различного рода соображения,
оправдывающие это обстоятельство. На самом же деле, поскольку для
линейных задач это начало получается совершенно самостоятельно, а не как

18 1. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ НАЧАЛА СТАТИКИ И ГЕОМЕТРИИ
частный случай нелинейной задачи, никаких объяснений для этого и не
нужно
Надо сказать, что прямое применение начала возможных перемещений
иногда приводит к решениям задач быстрее и элегантнее, чем
непосредственное обращение к уравнениям равновесия В качестве
иллюстрирующего примера рассмотрим следующую задачу, схема которой
изображена на рис 1 2
j0j<X> Of
n а х п н
Рис. 1.2. Пример применения начала возможных перемещений
Соединение стержней в промежуточных узлах этой системы
осуществлено по типу соединения "в ножницы", когда в узле сходятся две
пары стержней, причем два образующих пару стержня, лежащие на одной
прямой, между собой соединены жестко, а между парами соединение
мыслится шарнирным. В этой простой статически определимой системе
требуется найти усилие в стержне, соединяющем узлы 0 и 1 Конечно,
можно, рассматривая уравнения равновесия узлов и двигаясь
последовательно от правого конца этой системы к ее левому концу,
получить искомое усилие, которое мы обозначим S0l, однако прямое
применение начала возможных перемещений ведет к цели быстрее.
Поскольку система статически определима, то внутренние усилия в ее
элементах не зависят от физических свойств элементов Поэтому без
ограничения общности можно считать, что все стержни, кроме стержня 0-1,
абсолютно недеформируемы, то есть их деформации равны нулю, а значит и
равна нулю возможная работа тех внутренних сил, которые возникают в
этих стержнях от действия внешних сил В результате возможную работу
всех внутренних сил системы можно определить выражением -S01A , где А
возможное (однородно кинематически допустимое) перемещение узла 1
вдоль оси х Несложно заметить, что при таком перемещении узла 1 все
ячейки этой системы одинаково исказятся в своих размерах, следовательно
разность перемещений любых двух соседних узлов будет равна А, а значит
последний узел п получит перемещение иА . Таким образом, возможная
работа внешних сил будет равна РпА На основании начала возможных
перемещений получаем отсюда
РпА - 50,А = 0,
откуда Sm = пР

1 4 Общее начало статики и геометрии 19
1.4.2 Начало возможных изменений напряжений как следствие
общего начала статики и геометрии
Начало, двойственое началу возможных перемещений, вновь получается из
общего начала статики и геометрии, но на этот раз в качестве состояния 1
рассматривается однородно статически допустимое состояние, что позволяет
переписать (4.2) в виде
(EuPso, Еи и2)г = (Oso, Лщ) + (Kaso, u2). (4.13)
Среди всех возможных видов состояния 2 системы ограничимся классом
кинематически допустимых состояний. Тогда в соответствии с (3.4)
соотношение (4.13) примет вид
(EuPso, Еий)г= (e„, ?2) + (JSTuso, u2). (4.14)
Скалярное произведение, стоящее в левой части (414), можно
интерпретировать как возможную работу AJ2 всех внешних сил состояния 1
на действительных перемещениях системы (активных внешних сил в
состоянии 1 нет, следовательно их возможная работа равна нулю) Если
постулировать выражение для возможной работы внутренних сил состояния
1 на перемещениях состояния 2 непосредственно через деформации
В12 =-(«so,?2)-(^uso,u2), (4.15)
то приходим к формулировке начала возможных изменений напряжений
Для того, чтобы некоторое состояние 2 линейно
деформируемой механической системы было кинематически
допустимым, необходимо и достаточно, чтобы сумма возможной
работы Ai2 всех внешних сил любого однородно статически
допустимого состояния 1 на действительных перемещениях
системы и возможной работы Bi2 внутренних сил этого же
состояния на перемещениях исследуемого состояния 2 равнялась
| нулю |
Необходимость очевидна, поскольку она является словесным выражением
доказанного равенства (4.14), поэтому перейдем к обоснованию
достаточности.
Итак, пусть выполнено (4.14) для некоторого, пока произвольного,
состояния 2 при любом поле Fso= {aso, eso, uso}, удовлетворяющем условиям
(3.3). Покажем, что тогда состояние 2 является кинематически допустимым.
С этой целью домножим скалярно первое из условий (3.3) на произвольный
вектор X и вычтем полученное и равное нулю выражение из правой части
(4.14). В результате получим
(oso, е2) + (JSTuso, u2) - Q,, ATaso) - (X, Kaso) - (Eu pso,Euu)r = 0. (4.16)
Для этого тождества мы уже можем считать, что поле {aso, eso, uso} не
обязано удовлетворять первому из условий в (3.3), так как само это условие

20 1. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ НАЧАЛА СТАТИКИ И ГЕОМЕТРИИ
является следствием (4.16) в силу произвольности вектора к. В частности,
положив >, = и2 и воспользовавшись основной интегральной формулой
(2 19), получим
(к, ATaso) = (u2, ATaso) = (oso, Au2) - (pm #„u2)r,
что после подстановок в (4.16) дает
(«so, Ег) - (о», Ли2) + (pso, #„u2)r - (Eupso, Еий)г= 0.
Воспользовавшись теперь вторым из условий в (3.3) и учтя, что Ер+Еи=1,
приведем последнее тождество к виду
(вю, е2 - Ап2) - (EuPso, Еи( Л - и2))г =0 (4.17)
Поскольку (4.17) должно выполняться для любого однородно статически
допустимого поля {oso, eso, uso}, приходим к выводу о том, что и порознь оба
из скалярных произведений, содержащихся в левой части (4.17), должны
равняться нулю и, следовательно,
Е2-Ли2 = 0 eQ, Еи(й-и2) = 0 еГ, (4.18)
что совпадает с требованиями (3.4) кинематической допустимости
состояния 2.
1.4.3 Теорема об ортогональности полей
Из формулы (4.13) в качестве частного случая получаем следующее
утверждение
Возможная
допустимого
работа
внутренних
состояния на
сил однородно
перемещениях
статически
однородно
i допустимого состояния системы равна нулю.
Иначе говоря,
(«.о, Eko) + (Kuso, uko) = 0 . (4.19)
Действительно, воспользовавшись формулой (4.13), примем там в
качестве состояния 2 однородно кинематически допустимое состояние
Поскольку Еи Uk0 = 0 е Г, получим отсюда (4.19).
Формулировка теоремы об ортогональности полей может быть
представлена и иначе:
Если возможная работа внутренних сил рассматриваемого
состояния 1 системы на перемещениях любого однородно
кинематически допустимого состояния системы равна нулю, то
рассматриваемое состояние является однородно статически
I допустимым. |

1.4 Общее начало статики и геометрии 21
Иначе говоря, из равенства
(вь Еко) + (Кии ико) = 0 , (4 20)
справедливого для произвольного однородно кинематически допустимого
поля Fko= {ако, еко, uko}, следует, что состояние 1 является однородно
статически допустимым. Ясно, что в такой формулировке теорема об
ортогональности вытекает из начала возможных перемещений
Наконец,
Если возможная работа внутренних сил любого однородно
статически допустимого состояния на перемещениях
рассматриваемого состояния 2 системы равна нулю, то
рассматриваемое состояние является однородно кинематически
| допустимым. |
Иначе говоря, из равенства
(в10, ?2) + (Ли,,,, и2) = 0, (4.21)
справедливого для произвольного однородно статически допустимого
состояния Fso= {aso, eso, uso}, следует, что состояние 2 является однородно
кинематически допустимым. Понятно также, что последняя формулировка
есть следствие начала возможных изменений напряжений
Совокупность всех трех, взятых здесь в рамку, утверждений, мы и будем
называть теоремой об ортогональности полей В дальнейшем, после
введения понятия энергетической метрики, основополагающее соотношение
(4 19) может быть истолковано как условие ортогональности однородно
статически допустимого поля Fso однородно кинематически допустимому
полю Fko по этой метрике, что и дает нам право именовать эту теорему так,
как это указано в подзаголовке настоящего подраздела
Приведем крошечную иллюстрацию теоремы об ортогональности полей
на примере трехстержневой фермы (рис. 1 3).
Рис. 1.3. К теореме об ортогональности полей

22 1. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ НАЧАЛА СТАТИКИ И ГЕОМЕТРИИ
В данном случае вектор "напряжений" а = \[NU N2, Щ\т состоит из
продольных усилий в стержнях фермы, которые считаются
положительными при растяжении. Соответствующий вектору я вектор
"деформаций" г = |[ДЬ Д2, Аз]| состоит из удлинений этих же стержней.
Обозначая через U и V перемещения единственного свободного узла фермы
в направлении осей х и у соответственно, находим, что однородно
кинематически допустимые деформации ?ко вычисляются как
Eko = |[U sina + V cosa, V, -U sina + V cosa]|T.
Из условия равновесия свободного узла в проекциях на оси х и у при
отсутствии внешних нагрузок, находим однородно статически допустимые
усилия в стержнях
oSo = |[A,-2Acosa,A]|T,
где А - произвольная константа.
Непосредственной подстановкой легко проверяется выполнение
равенства (oso, ?ko) = я so ?ko = 0, что соответствует (4.19), поскольку в
данном случае К= О.
1.4.4 Интегральное тождество Папковича
В теории упругости П.Ф. Папковичу [10] принадлежит интегральное
тождество, которое он называет общим выражением для работы внешних
сил. Опираясь на это тождество, Папкович выводит различные зависимости
и теоремы, применительно к вариационным постановкам задач теории
упругости. Покажем, как выглядит это тождество в общем случае упругого
деформируемого тела, все уравнения для которого записаны в используемой
нами операторной форме
Итак, рассмотрим следующие четыре независимых состояния системы.
Будем считать, что в состоянии 1 известны все внешние силы (активные и
реактивные), а именно: вектор внешних объемных сил Х\ и вектор
поверхностных сил ри причем эти силы заданы по всей граничной
поверхности тела, в том числе и там, где фактически в данной задаче
установлены кинематические краевые условия. В состоянии 2 известно
только поле перемещений и2. Состояние 3 системы характеризуется только
полем напряжений я3. Наконец, в состоянии 4 известно только поле
деформаций ?4. Все эти четыре состояния системы никак не связаны между
собой, то есть произвольны.
Следуя выражению (4 3), определим возможную работу А[2 внешних сил
состояния 1, на соответствующих этим силам перемещениях состояния 2,
как
А12 = (Хь и2) + (?>, Ер и2)Г + (ЕиРи Еи и2)г . (4 22)

1 5 Заключительные комментарии к главе 1 23
Еще раз обратим внимание на то, что под Еир\ понимаются реактивные
усилия в состоянии 1, возникающие в тех местах контура Г и по тем
направлениям, где установлены кинематические краевые условия.
Согласно Папковичу, выражение для А12 можно представить также в виде
An = (A"i - AJa3, u2) + (яз, Au2 - г4) - (ЕрНаа3 - Еррь Ер и2)Г -
- (ЕМсЪ - ЕиРх, Еи и2)г + (яз, ?4). (4.23)
Тождественность выражений (4.22) и (4.23) проверяется непосредственно,
если воспользоваться основным интегральным тождеством (2.19)
применительно ко второму и третьему состояниям системы, то есть в виде
(Ата3, и2) = (в3> Аи2) - (ЕрНеЪ, Ер и2)г - (ВД,я3, Еи и2)г. (4.24)
Действительно, после подстановки (4.24) в правую часть (4.23) все члены,
относящиеся к третьему и четвертому состояниям, исчезают, а оставшаяся
часть совпадает с (4.22).
Далее, придавая тот или иной смысл каждому из четырех независимых
состояний системы, можно получить из (4.23) многие зависимости и
теоремы для вариационных постановок задач строительной механики [10].
1.5 Заключительные комментарии к главе 1
Прежде всего поясним использование термина начало. В литературе по
строительной механике термины начало и принцип иногда употребляются
как эквиваленты. Часто можно встретить такое словоупотребление как
принцип возможных перемещений. В принципе6, это не вносит
недоразумений, если из контекста понятно о чем идет речь. Тем не менее, во
избежание терминологического разнобоя аккуратнее не отклоняться от
единожды выбранной лингвистической основы. Мы предпочитаем
придерживаться терминологии, последовательно проводимой Л.А. Розиным.
Здесь уместна цитата из [4, стр. 11]:
«Вариационные постановки задач могут быть представлены либо в
форме интегральных тождеств, которые в механике рассматриваются
как вариационные начала и носят название вариационных уравнений, либо в
форме требования стационарности соответствующих функционалов, что
в механике рассматривается как вариационные принципы».
Поскольку определения статической и кинематической полудопустимости
полей НДС являются новыми для читателя7, то стоит еще раз подчеркнуть
6 Еще один, но с другим смысловым значением, вариант толкования термина
принцип
7 Точнее говоря, одно из этих понятий, а именно понятие статической
полудопустимости поля напряжений было введено нами ранее в работе [9]

24 1. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ НАЧАЛА СТАТИКИ И ГЕОМЕТРИИ
различия между этими понятиями. В случае статической полудопустимости
критериальным является выполнение статических краевых условий при
пренебрежении уравнениями равновесия в объеме тела. Для кинематической
полудопустимости, напротив, существенным является выполнение гео-
метрических уравнений в объеме тела, а краевые условия кинематического
типа могут и нарушаться.
Далее, в связи с использованием нами понятий различных полей НДС
было бы уместным именовать два основных начала статики и геометрии как
начало однородно кинематически допустимых перемещений и начало
однородно статически допустимых напряжений, подчеркивая двойствен-
ность этих начал уже самим их наименованием. Однако, исторически
сложившиеся и закрепившиеся в литературе наименования (начало
возможных перемещений и начало возможных изменений напряженного
состояния) сегодня настолько общеприняты, что отступления нежелательны.
При этом под возможными (иногда говорят виртуальными) перемещениями
в механике понимаются перемещения, не противоречащие связям
рассматриваемой механической системы. В нашем случае это эквивалент
перемещений из однородно кинематически допустимого поля.
Надо сказать, что на самом деле понятия однородно кинематически
допустимых перемещений (равно как и просто кинематически допустимых
перемещений) нуждаются в уточнении. На формально математическом
уровне под этим понятием подразумевается выполнение двух требований:
• перемещения должны удовлетворять соответствующим кинематическим
краевым условиям;
• перемещения должны быть достаточно гладкими функциями.
Поскольку в различных определениях решения задачи (классическое,
сильное, слабое, полуслабое решение [11]) требуется различная гладкость
перемещений, то и само множество кинематически допустимых
перемещений изменяется вместе с изменением определения решения задачи.
В используемом нами контексте речь идет о требованиях гладкости,
соответствующих определению полуслабого решения. Это, по крайней мере,
допускает операцию Аи.
Теорема об ортогональности полей получена здесь как следствие начала
возможных перемещений и начала возможных изменений напряженного
состояния. Читатель может убедиться в том (мы на этом не
останавливаемся), что таковая зависимость справедлива и в обратном
направлении: из теоремы об ортогональности полей вытекает
справедливость двух основных вариантов вариационных начал. В этом
смысле теорему об ортогональности полей можно рассматривать как
фундаментальное статико-геометрическое утверждение.
И, наконец, последнее. Как уже было сказано, общее начало статики и
геометрии, записанное в форме интегрального тождества (4.2), является
отправной точкой при получении различных частных, но во многих
отношениях полезных, вариантов вариационных начал. Все они выводятся
из (4.2) после придания состояниям 1 и 2 механической системы, вообще

Литература 25
говоря произвольным, тех или иных смысловых толкований. Именно таким
образом в [4] получен целый букет частных вариационных начал, куда мы и
отсылаем за деталями заинтересованного читателя. Мы сознательно
ограничились здесь двумя: началом возможных перемещений и началом
возможных изменений напряженного состояния. Называть эти два начала
основными дают право следующие соображения. Во-первых, они
исторически первыми были получены и во многих известных работах по
теории упругости и/или строительной механике ими, собственно, и
ограничивается обсуждение вариационных начал статики и геометрии -
сошлемся, например, на [12]. Во-вторых, как это будет показано в
следующей главе, эти два начала тесно связаны с двумя классическими
вариационными принципами - вариационным принципом Лагранжа и
вариационным принципом Кастильяно, которые мы также называем
основными и которые обладают важным свойством экстремальности. И
в-третьих, все прочие вариационные начала и вариационные принципы (мы
называем их дополнительными), могут быть получены из основных с
помощью различного рода известных преобразований, как то: преобразо-
вание Лагранжа, преобразование Лежандра, преобразование Фридрихса. За
подробной информацией об использовании этих преобразований отсылаем к
книге Л.А. Розина [13].
Наконец, упомянем так называемое тождество Воробьева [12, стр. 119],
устанавливаемое в общем случае для геометрически нелинейной постановки
задачи. В частности, в линейных задачах это тождество принимает вид
(Аик, е.) = (uk,Х) + (Ерр,Ерик)г + (EJf.os,Еий)г .
С учетом статической допустимости напряжений os и кинематической
допустимости перемещений Uk это тождество можно переписать и так
(Аик, as) = (uk, ATas) + (EpHaas, Ер ик)г + (ЕМа***, Ей ик)г .
И теперь видно, что в линейных задачах теории упругости тождество
Воробьева есть просто запись все того же основного интегрального
тождества (2.19) применительно к статически допустимым напряжениям и
кинематически допустимым перемещениям.
Литература
1 Михлин С Г. Вариационные методы в математической физике. - М Наука, 1970.
-512 с.
2. Янг Л Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления
-М.:Мир, 1974 -488 с.
3 Михлин С.Г Линейные уравнения в частных производных - М. Высшая школа,
1977.-431 с
4 Розин Л А Задачи теории упругости и численные методы их решения. - СПб
Изд. СПбГТУ, 1998. - 428 с.

26 1. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ НАЧАЛА СТАТИКИ И ГЕОМЕТРИИ
5. Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела, Том 2. - М
Наука, 1978.-616 с.
6. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. - М.- Мир,
1987 - 542 с.
7. Ржаницын А.Р. Строительная механика - М.. Высшая школа, 1982. - 400 с
8. Shames I.H., Dym C.L. Energy and Finite Element Methods m structural mechanics -
Taylor & Francis, 1991.-757 pp.
9. Сливкер В.И Метод Ритца в задачах теории упругости, основанный на
последовательной минимизации двух функционалов - Изв АН СССР, МТТ,
1982, №2, с 57-64.
10. Папкович П Ф. Теория упругости. -Л Оборонгиз, 1939. - 640 с
11 ДеклуЖ Метод конечных элементов -М Мир, 1976 -95 с.
12. Новожилов В.В. Теория упругости. - Л.: Судпромгиз, 1958. - 370 с
13 Розин Л А Вариационные постановки задач для упругих систем. - Л.. Изд. ЛГУ,
1978 - 223 с

2. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
История механики и физики - это история попыток объяс-
нить происходящее в окружающем нас мире при помощи
небольшого числа законов и универсальных принципов
Наиболее удачные и плодотворные попытки связаны с
идеей о том, что явления, которые мы наблюдаем,
обладают некоторыми экстремальными свойствами и
искомые общие принципы имеют вариационный характер...
В. Л. Бердичевский Вариационные принципы меха-
ники сплошной среды. —М.. Наука, 1983, с.16
2.1 Энергетическое пространство
2.1.1 Физически допустимые поля
До сих пор мы рассматривали исключительно статико-геометрические
свойства деформируемого тела (в предположении справедливости
геометрически линейных постановок задач). Все теоремы, приведенные в
главе 1, инвариантны по отношению к свойствам материала
деформируемого тела. Начиная с этого момента будем считать, что для
материала тела справедлив линейный закон связи напряжений (внутренних
сил) и деформаций
о = Се или e = CV (1.1)
Теперь среди множества всех мыслимых полей НДС выделим в
отдельный класс множество ^ всех физически допустимых полей
Fp = {<Jp, Ер, Up}, для элементов которых выполняется линейная связь между
напряжениями и деформациями в'форме (1.1). Далее в этой главе все
рассматриваемые поля считаются физически допустимыми.
В дальнейших построениях важная роль отводится множеству ^/2 • Будем
говорить, что произвольное поле F = {о, е, и} принадлежит множеству jfa,
если это поле одновременно физически допустимо и кинематически

28 2. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
полудопустимо. Итак, по определению произвольное поле Fg^
представимо в виде
F = {САи,Аи,и}, (1.2)
и, следовательно, полностью определяется заданием вектора перемещений и.
Как в этом несложно убедиться, множество &^г представляет собой линеал.
На множестве 3\j2 введем в рассмотрение два подмножества: &>к с#Ь2 и
•^ico S-^l/2 • Множество J\ образуется кинематически допустимыми полями, а
множество ^ico состоит из однородно кинематически допустимых полей.
Заметим, что ^ко представляет собой линеал, тогда как множество ^
таковым не является. Итак, по определению линеал ^ко состоит из
всевозможных полей вида
F = {С4и,Ли,и} ,где ЕЛии = 0еГ. (1.3)
Следовательно этот линеал полностью определяется заданием вектора
перемещений и.
Далее, среди всех физически допустимых полей выделяем множество ^п
статически полудопустимых полей. На множестве ^/2 введем в
рассмотрение подмножество ^ с^д, образуемое статически допустимыми
полями. И наконец, множество ^so с^ состоит из однородно статически
допустимых полей. Заметим, что ^0 представляет собой линеал, тогда как
множества ^ и ^в/2 таковыми не являются. Итак, по определению поле
Fe^so, если оно имеет вид
F ={о,С"|о,и}, где Ата + Ки = 0 eQ и ЕрНаа = 0 еГ. (1.4)
Таким образом, линеал ^so определяется заданием двух векторов -
вектором перемещений и и вектором напряжений о.
Поле Ft = {с, е., и»} будем называть истинным (или действительным),
если оно одновременно статически допустимо, кинематически допустимо и
физически допустимо. В этом случае все уравнения (1.2.2) и краевые
условия (1.2.4) удовлетворяются. Итак, по определению любое поле из
пересечения множеств ^ и ^\ является истинным
F, е^пП- (1-5)
2.1.2 Теорема Бетти
Рассмотрим два произвольных физически допустимых поля F| и F2 и
запишем выражение для возможной работы В12 внутренних сил состояния 1
системы на перемещениях состояния 2, а также вьфажение для возможной
работы B2i внутренних сил состояния 2 системы на перемещениях
состояния 1. Имеем

2.1 Энергетическое пространство 29
В12 = -(оь?2)-(ЛГиьи2), B2i=-(o2,ei)-(*u2,Ui). (1.6)
Воспользовавшись теперь (1.1) и учтя симметричность алгебраических
операторов С и К, приходим к выводу о том, что
В12 = В21 . (1.7)
Иначе говоря, возможная работа Bi2 внутренних сил состояния 1 системы
на соответствующих этим силам перемещениях состояния 2 системы равна
возможной работе В21 внутренних сил состояния 2 системы на
соответствующих этим силам перемещениях состояния 1 системы.
Соотношение (1.7) носит название теоремы взаимности работ (теорема
Бетти). Подчеркнем еще раз, что справедливость теоремы Бетти
устанавливается только для физически допустимых полей.
Пусть теперь оба состояния системы принадлежат линеалу ^/2 . Тогда
выражение для возможной работы внутренних сил можно представить в
форме (1.4.4). Если каждому из рассматриваемых двух состояний системы
соотнести совокупность статически соответствующих этому состоянию
внешних сил, то на основании общего начала статики и геометрии в форме
(1.4.6) получим отсюда
Ai2 = A21. (1.8)
Иначе говоря, возможная работа всех внешних сил (активных и
реактивных) состояния 1 системы на соответствующих этим силам
перемещениях состояния 2 системы равна возможной работе всех внешних
сил (активных и реактивных) состояния 2 системы на соответствующих этим
силам перемещениях состояния 1 системы. Итак, для справедливости
теоремы Бетти в форме (1.8) требуется выполнение трех условий:
• физическая допустимость каждого из двух рассматриваемых состояний;
• кинематическая полудопустимость этих двух рассматриваемых
состояний;
• статическая допустимость каждого из двух рассматриваемых состояний (в
каждом из состояний свои внешние силы).
Однако, наиболее часто теорема Бетти формулируется (и применяется)
для частного случая полной кинематической допустимости состояний 1 и 2
системы. Но тогда соответствующие поля F\ и F2 будут содержать истинные
компоненты напряжений, деформаций и перемещений, отвечающие
внешним силам состояния 1 и состояния 2 соответственно. В результате
приходим к следующей формулировке теоремы Бетти
Возможная работа А12 внешних сил состояния 1 системы на
действительных перемещениях состояния 2 системы равна
\ возможной работе A2i внешних сил состояния 2 системы на
| действительных перемещениях состояния 1 системы |

30 2. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Приведем короткую иллюстрацию применения теоремы Бетти,
напоминающую о том, что при подсчете возможной работы внешних сил не
следует забывать и о работе реактивных контурных сил. С этой целью
рассмотрим изгибаемый стержень длины / с заделкой на левом конце и
шарнирным опиранием на правом его конце (рис 2.1)
W?7
ll<
Рис. 2.1. Иллюстрация к теореме Бетта
Пусть в состоянии 1 стержень загружен концевым моментом М, а в
состоянии 2 задано кинематическое внепшее воздействие в виде осадки
правой опоры на величину Д. Несложно определить, что прогиб v2 балки во
втором ее состоянии равняется
»-?<*-?>• -™ *-?«-?•
где 92 угол поворота правого конца стержня во втором его состоянии
Обозначим через R\ реакцию правой опоры в первом состоянии системы
Возможная работа Ai2 всех внешних сил (активных и реактивных) первого
состояния системы на соответствующих этим силам перемещениях второго
состояния системы равняется А]2 =Мд2- ^Д. С другой стороны, несложно
увидеть, что реактивные силы второго состояния не совершают какой либо
работы на перемещениях первого состояния, то есть A2i = 0. Таким образом,
на основании теоремы Бетти получаем MQ2 - Л] А = 0, следовательно
2.1.3 Энергия деформации. Теорема Клапейрона
Рассмотрим истинное поле F} = {о, г, и}, отвечающее заданным внешним
воздействиям V= {X ,р,й}, действующим на упругую механическую
систему В окрестности истинного поля Fi рассмотрим возмущенное

2.1 Энергетическое пространство 31
состояние системы (состояние 2) с истинным полем
Рг - {о + 8о, ? + 5е, u + 8и}, которое отвечает новым, уже возмущенным,
внешним воздействиям V+8V= {X + 8Х ,р + 5р , й + 8й }. Несложно
заметить, что F2~Fi + ?>F и поле вариаций 8F = {8о, 8е, 8u} принадлежит
линеалу ^4/2 •
В процессе перехода к возмущенному состоянию системы внешние силы
совершат некоторую работу 8А. Энергетические затраты на совершение этой
работы приводят к увеличению внутренней энергии упругого тела,
обусловленной его деформацией. При подсчете работы 8А можно не
принимать во внимание работу приращений внешних сил на приращениях
перемещений, так как по сравнению с работой внешних сил состояния 1 на
приращениях перемещений этот вклад представляет собой величину
второго порядка малости. Таким образом,
8А = (X , 8и) + (Ер р, ЕрЪи)Г + (Еир, Еи$й)г. (1.9)
Но выражение, записанное в правой части (1.9), можно истолковать также
как возможную работу всех внешних сил состояния 1 на вариациях
перемещений. В силу общего начала статики и геометрии эту работу можно
заменить взятой со знаком минус возможной работой внутренних сил
состояния 1 на этих же перемещениях. Иначе говоря,
8А = (о, 8е) + (Kvl, 8u), (1.10)
при этом принята во внимание кинематическая полудопустимость вариаций
8е и 8u.
Из рассмотрения законов термодинамики (см., например, [1,2]) вытекает,
что как при адиабатической, так и при изотермической обратимой упругой
деформации можно считать, что все изменение внутренней энергии упругой
механической системы целиком переходит в накопление ее потенциальной
энергии Е, что дает возможность отождествить приращение работы 8Ас
приращением энергии деформации упругой механической системы 8Е
8Е = (о, 8е) + (Ки, 8и). (1.11)
Суммарная энергия деформации Е, накопленная в механической системе
в процессе ее перехода от начального недеформированного и
ненапряженного состояния к состоянию 1, в общем случае определяется
интегралом от (1.11) вдоль заданного пути деформирования. Если этот
интеграл не зависит от пути интегрирования, а определяется только лишь
конечным состоянием системы (напомним, что начальное состояние
принимается равным нулю), то величины, стоящие в правой части (1.11),
должны быть полными дифференциалами. Из курса математического
анализа для функций нескольких вещественных переменных известно, что
для рассматриваемого линейного физического закона (1.1) условия
существования полного дифференциала сводятся к симметрии
алгебраических операторов С и К, а это как раз те условия, которые были
оговорены нами ранее в §1.2. Но раз уж энергия деформации не зависит от

32 2. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
пути перехода системы в конечное состояние, то можно выбрать
простейшее, так называемое, пропорциональное нагружение, при котором
все внешние воздействия (как силовые, так и кинематические) изменяются
пропорционально одному времяподобному параметру /, пробегающему
значения от нуля до единицы. Но тогда в силу линейности задачи в
произвольный момент «времени» / истинное состояние системы описывается
полем F, = {to, t?, rti}, и при таком законе нагружения вариации
кинематических параметров пропорциональны приросту «времени» dt, то
есть 8е = zdt, 8u = vuit. В результате приращение энергии деформации 8Е
принимает вид
8Е = [(Се, е) + (Ки, и)] tdt. (1.12)
Поскольку скалярная величина, стоящая здесь в квадратных скобках, от t
не зависит, то после интегрирования (1.12) по / от нуля до единицы получим
следующее выражение для энергии деформации Е
Е = 'Л (Се, е) + 1А (Ки, и).
(1.13)
Как это видно из (1.13), энергия деформации, накапливаемая в
деформируемой системе, складывается из двух слагаемых. Первое слагаемое
в (1 13) представляет собой энергию, аккумулируемую в самом
деформируемом теле, тогда как второе слагаемое отвечает части энергии,
запасаемой в упругой среде, в которую помещено деформируемое тело.
Возвращаясь вновь к общему началу статики и геометрии, находим, что
возможная работа Ап внешних сил состояния 1 системы на действительных
перемещениях этого же состояния равняется удвоенному значению
потенциальной энергии деформации
А„=2Е. (1.14)
Полученное соотношение известно как теорема Клапейрона.
При применении теоремы Клапейрона не следует забывать о том, что в
работу внешних сил Аи должна быть включена и работа реактивных
контурных сил, то есть работа реакций внешних связей в тех местах и по тем
направлениям, где в качестве внешних воздействий заданы перемещения
этих связей.
Приведем еще один вариант вывода теоремы Клапейрона,
продемонстрировав одновременно применение тождества Папковича. С этой
целью будем считать, что в (1.4.23) все четыре состояния системы
совпадают, что позволяет приписать общий индекс, скажем 1, каждому из
этих состояний, то есть
А„ =(*i - Атои щ) + (щ, Ащ - ei) - (ЕрН^ - Ерри Ерих)Г -
- (EJUaOi - Еири EuUl)r + (оь El).

2.1 Энергетическое пространство 33
Если считать также, что состояние 1 является истинным состоянием
системы, то все внешние воздействия будут совпадать с заданными
воздействиями на систему, то есть
Х{= X еП, Ep(pi-p) = 0 еГ, Еи{их- й) = 0 еГ,
где «i=ffMui .
Кроме того, для истинного состояния системы второй, третий и четвертый
члены в правой части выражения для Ап исчезнут, что дает
An^-zlVii,) +(0l,ei).
Вспоминая, что для истинного состояния системы Х\ — А oi = Кщ и Oi = Cz\,
с учетом (1.13) вновь приходим к теореме Клапейрона (1.14).
2.1.4 Жесткие смещения
Если перемещения и не порождают деформаций, то есть An = 0, то обычно
такие перемещения называют жестким смещением, хотя точнее говорить о
жестким смещении для упругого тела. На жестком смещении для упругого
тела часть энергии ЕА
ЕЛ = Уг{Сг,г), (1.15)
запасаемой самим упругим телом, оказывается равной нулю1. Однако
наличие упругой среды способно заставить механическую систему
аккумулировать энергию в этой среде за счет члена Ек
Ек=У2(Ки,и) (1.16)
в выражении для энергии (1.13), при этом Е = ЕА + Ек.
Из энергетических соображений потребуем, чтобы оба слагаемых в
выражении для энергии (1.13) не могли принимать отрицательных значений
для любого состояния механической системы, принадлежащего линеалу
3\j2, то есть ЕА > О и Е* > 0. Более того, для всех перемещений и,
вызывающих ненулевую деформацию г, энергия ЕА должна быть строго
положительной величиной, и значит квадратичная форма (Се, е) должна
быть положительно определенной. На физическом уровне положительность
ЕА постулирует устойчивое поведение материала линейно упругого тела [1].
Именно отсюда вытекает требование положительной определенности
алгебраического оператора С, сформулированное в §1.2.
Здесь и далее используется нижний индекс л, подчеркивающий связь
рассматриваемой величины с оператором геометрии А, и значит относящейся не ко
всей механической системе, а только лишь к упругому телу, мысленно лишенному
упругой среды. Все, что относится к упругой среде, индексируется символом к,
подчеркивающим зависимость этой величины от оператора К.

34 2. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Будем называть жестким смещением для упругой среды перемещения и,
не вызывающие изменения потенциальной энергии среды. Иначе говоря, на
жестком смещении для среды {Ки, и) = 0. Такие смещения могут
существовать, если алгебраический оператор К положительно
полуопределен, но не является положительно определенным, что
допускается. На механическом уровне это можно представить себе,
например, как среду, упруго сопротивляющуюся перемещениям точек тела
только вдоль одной из осей координат и не сопротивляющейся
перемещениям в ортогональным этой координате направлениям. В частном
случае допускается также полное отсутствие упругой среды, что
соответствует нулевому оператору К.
Справедливо следующее утверждение: перемещение и представляет
собой жесткое смещение для упругой среды тогда и только тогда, когда
вектор Ки является нулевым вектором, то есть
Ки = 0. (1.17)
Достаточность очевидна, так как из справедливости (1.17) для некоторого
вектора и немедленно вытекает, что (Ки, и) = 0.
Пусть теперь и0 является вектором жестких смещений для упругой среды,
то есть (Ки0, и0) = 0, причем без ограничения общности можно считать, что
этот вектор отнормирован к единице в том смысле, что (u0, и0) = 1. Покажем,
что отсюда следует Ки0 = 0 .
Рассмотрим множество значений квадратичного функционала
f(u) = (Ки, и) на всех векторах и, ометающих сферу единичного радиуса, то
есть удовлетворяющих условию
(u,u)=l. (1.18)
В силу ограничений (1.2.3), относящихся к алгебраическому оператору К
f(u)>0 (1.19)
для любых векторов и, в том числе и удовлетворяющих условию (1.18).
Поэтому ясно, что минимальное значение f(u) равно нулю, причем этот
минимум достигается, в частности, на векторе и0, так как по условию
f(u0) = (ЙГи0, uo)= 0. Найдем теперь необходимые условия экстремума
функционала f(u) при дополнительных ограничениях (1.18).
Воспользовавшись стандартным приемом введения множителей Лагранжа
X, сведем эту задачу на условный экстремум к задаче поиска точки
стационарности вспомогательного функционала F(u,X)
F(u,A.) = (Ku,u)-M(u,u)-l] (1.20)
при независимом варьировании множителя Лагранжа X и вектора и. Для
этого функционала вектор и нет нужды заранее подчинять ограничениям
(1.18), так как они сами вытекают из условий стационарности F(u,X).
Действительно, варьируя функционал ?(и,Х) по и и по X и приравнивая его
первую вариацию нулю, получаем

2.1 Энергетическое пространство 35
2(Жи, 5u) - 2A<u, 5u) - [(u, и) - 1 ]5А, = 0 , (1.21)
откуда видно, что необходимые условия стационарности F(u,X)
записываются в виде
(ЙГи-Яи,8и) = 0, (и, и)-1=0. (1.22)
Поскольку вариации 8и здесь считаются произвольными, то первое из
условий стационарности в (1.22) эквивалентно требованию
Ки = Хи eQ, (1.23)
то есть и является одним из собственных векторов, а X - соответствующим
собственным значением оператора К. Но по условию и0 является точкой
минимума функционала f(u), следовательно
Ки0 = Хи0еП, (1.24)
и так как этот минимум равен нулю, то отсюда немедленно получаем
f(u0) = (Ки0, и0) = X = 0. Теперь из (1.24) и вытекает доказываемое
Заметим, что на физическом уровне требование Ки = 0 на жестком
смещении для упругой среды вполне понятно, так как только в этом случае
перемещения и не порождают реакций г = Ки в упругой среде.
Жестким смещением механической системы будем называть такое
перемещение и, которое является жестким смещением одновременно для
упругого тела и окружающей среды. Таким образом, множество жестких
смещений механической системы является пересечением множества жестких
смещений для упругого тела и множества жестких смещений для
окружающей среды. В частном случае это множество может оказаться
пустым. Понятно, что для жесткого смещения механической системы по
определению Е = 0. Очевидна также и линейность каждого из введенных
множеств жестких смещений.
Рассмотрим в качестве примера жесткие смещения для трехмерного
упругого тела. Из геометрических соображений легко установить, что общее
выражение для жестких смещений упругого тела в векторной форме имеет
вид
u = u0 + 6xr, (1.25)
где и0 - вектор поступательных перемещений точки тела, отвечающей
избранному началу координатной системы; г - радиус-вектор произвольной
точки тела, в которой определяется перемещение и; в-вектор поворота
тела. Вводя декартову координатную систему (х,у, z) и воспользовавшись
разложением векторного произведения по ортам этой координатной
системы, представим (1.25) в матричной форме

36 2. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
11
о
0
+ иоу
0
1
0
+ UoZ
0
0
1
+ ех
0
-Z
У
+ еу
Z
0
-X
+ ez
~у 1
X
0
где Uox, IV, Uoz- компоненты вектора u0; 9Х, 9y, 9Z - компоненты вектора в;
x,y,z- компоненты вектора г в избранной координатной системе.
Поскольку 6 величин \хох, \ХоУ, \xoz, 9Х, 9У, 9Z могут принимать независимые
произвольные значения, из (1.26) видно, что размерность линейного
множества жестких смещений для трехмерного упругого тела равна шести.
Для оператора геометрии А будем постулировать одно важное свойство, а
именно: множество линейно независимых решений однородного уравнения
геометрии Аи = 0 должно быть конечномерным. Это равносильно принятию
требования о конечномерности множества жестких смещений для упругого
тела, а значит и для механической системы в целом. Простой пример
дифференциального оператора, не удовлетворяющего названному
требованию, представляет собой оператор Лапласа. Действительно, любая из
гармонических функций на Q является решением однородного уравнения
для оператора Лапласа, а множество гармонических функций, как это
известно, бесконечномерно. Следовательно, в соответствии с принятым
постулатом оператор Лапласа не может быть оператором геометрии. Если
же для оператора геометрии допустить возможность бесконечного
количества линейно независимых решений однородного уравнения, то на
механическом уровне это означало бы внутреннюю геометрическую
изменяемость системы, которую невозможно устранить с помощью
конечного числа внешних связей. Такие (линейные) механические системы
мы исключаем из рассмотрения.
Итак, пусть и, (г'= 1, ...,пА) полная совокупность линейно независимых
решений однородного уравнения геометрии An = 0, которая в математике
называется фундаментальной системой для оператора А, а линейная
оболочка, натянутая на фундаментальную систему, называется ядром
оператора А. В механической интерпретации ядро оператора А образует
линеал жестких смещений для упругого тела, который мы обозначим &А.
Заметим, что поле F e^j2 с компонентой перемещений ue^ имеет вид
F = {0, 0, и}. Действительно, из кинематической полудопустимости
вытекает, что ? = Аи, и так как ие&А, то г = 0, а из физической
допустимости следует, что и о = Се = 0.
Если из фундаментальной системы и, (г= 1, ..., пА) удалить все
перемещения и7, генерирующие ненулевую энергию упругой среды, то есть
перемещения, удовлетворяющие условию (Ко,, и7) > 0, то оставшиеся после
этой операции неудаленными перемещения из фундаментальной системы в
количестве «образуют линеал М жестких смещений для механической
системы. Размерность п этого линеала ограничена пределами 0<п<пА.
Оба линеала &А и X подвергнем дальнейшим усечениям, сохранив в них
только однородно кинематически допустимые перемещения. Оставшиеся

2.1 Энергетическое пространство 37
после всех этих операций линеалы однородно кинематически допустимых
жестких смещений для упругого тела и для механической системы
обозначим МАо и &0, с размерностью пАо и п0 соответственно Понятно, что по
построению справедливы следующие условия вложения этих линеалов
&<^&А ,
&Ао<=:&А,
М0= Мг\МАо,
0<П<ПА,
0<ПАо^ПА,
0<по<п,
0<по<пАо
Если линеал ^является пустым множеством ^?о=0или, что то же
самое, п0 = О, то система называется геометрически неизменяемой, в
противном случае геометрически изменяемой, а размерность п0 линеала &о в
строительной механике называют степенью геометрической изменяемости
системы
Таким образом, степень геометрической изменяемости системы равна
числу п0 линейно независимых смещений, которые не противоречат
внешним связям и на которых энергия деформации системы равна нулю
Проиллюстрируем реализацию введенных выше линеалов жестких
смещений на простом примере задачи об изгибе трехпролетной балки с
шарнирным сочленением стержней, как это показано на рис. 2 2 Там же
показаны и опорные закрепления балки В среднем пролете балка опирается
на упруго податливое основание винклерова типа с отличным от нуля
коэффициентом постели
рщщшш^^
^щгглтщЩу^^
--^ЩЦТДЩЩЩЩТГГГД!^
'^^ЩДЩ]
Рис. 2.2. Жесткие
для трехпролетной балки
В качестве вектора перемещений и в данной задаче выступает функция
поперечных перемещений оси балки и>(х) В качестве деформации
? принимается кривизна % ее оси в деформированном состоянии Несложно
понять, что линеал жестких смещений упругого тела МА образуется
совокупностью четырех кусочно линейных функций w,, изображенных в
виде эпюр на рис 2 2.
Покажем теперь состав каждого из четырех введенных выше линеалов
жестких смещений и их размерность Имеем

38 2. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
&а - {тяитяъ и>г, и>4}, пл =4; ^0= { w2, w4}, пАо = 2;
^ ={Wb И74}, и =2; ^?0 ={w4}, «о =1-
Поскольку п0 Ф О, то рассматриваемая механическая система является
геометрически изменяемой со степенью изменяемости равной 1. На
механическом уровне этот вывод очевиден, поскольку правый пролет балки
может свободно (без каких либо сопротивлений) поворачиваться вокруг
шарнира на своем левом конце.
Если обозначить через Як введенное ранее множество жестких смещений
упругой среды, то по определению имеем
В дальнейшем обозначения М0 и &к мы будем использовать также и для
представления множества полей НДС вида F = {0, 0, и} с соответствующим
вектором перемещений и. Точнее говоря, под Я0 будем понимать множество
полей НДС вида F = {0, 0, и} с вектором перемещений и, являющимся
однородно кинематически допустимым жестким смещением системы.
Аналогично, под &к будем понимать множество полей НДС вида
F = {0, 0, и} с вектором перемещений и, являющимся жестким смещением
для упругой среды. Оба эти множества являются линеалами2.
Непосредственно из определений вытекают следующие условия вложения
линеалов
^oS-^о, Як <=:#«>, &аЯ,&К- (1-27)
Таким образом, все поля из линеала &0 являются одновременно
однородно кинематически допустимыми и однородно статически допус-
тимыми полями.
2.1.5 Условия совместности деформаций в форме интегрального
тождества
Из теории упругости известно [1], что поле деформаций ? должно
удовлетворять условиям сплошности (неразрывности), которые матема-
тически записываются в виде известных уравнений совместности
деформаций Сен-Венана, при этом выполнение уравнений совместности
является необходимым и достаточным условием возможности восстанов-
ления поля перемещений и по заданному полю деформаций г. С другой
стороны, восстановление перемещений и по деформациям е можно
Двойной смысл обозначений &а и &к не порождает коллизии неоднозначности Из
контекста всегда понятно о чем идет речь, о множестве векторов перемещений или
о множестве полей НДС вида F = {0, 0, и}

2.1 Энергетическое пространство 39
истолковать и как поиск частного решения неоднородной системы
уравнений Аи = е.
Из теории линейных дифференциальных уравнений известно, что общее
решение неоднородного уравнения Аи = е может быть представлено в виде
суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и
частного решения неоднородного уравнения, которое мы обозначим (если
оно существует) и0. Иначе говоря, общее решение имеет вид
_lV^ (1-28)
с произвольными константами С, (i = 1,...,па).
Поскольку (1.28) представляет собой общую форму решения уравнения
геометрии, то отсюда видно, что любые два решения уравнения геометрии
могут различаться между собой разве что на жесткое смещение для упругого
тела3.
Однако в данный момент нас больше интересует возможность построения
частного решения уравнения геометрии, так как существование именно
частного решения гарантирует возможность восстановления перемещений
по деформациям, а значит и является условием совместности деформаций.
При формулировании этих условий подсказку дает основная теорема
линейной алгебры [3, стр. 108]:
система линейных алгебраических уравнений Ах = Ь имеет решение
тогда и только тогда, когда ее правая часть b ортогональна всем
решениям у однородной системы уравнений с сопряженным
оператором А1 у = 0, то есть при условии (у, b) =уТЬ = 0.
В нашем случае однородное уравнение с сопряженным оператором имеет
вид Ата0 = 0, то есть а0 является полем самоуравновешенных на Q
напряжений. Обратим внимание на то, напряжения а0 считаются
самоуравновешенными без учета усилий в упругой среде. Казалось бы, что
искомое условие совместности деформаций можно теперь представить в
виде (а0, е) = 0 eQ. Однако такой прямой перенос основной теоремы
алгебры на рассматриваемую нами ситуацию оказывается не законным.
Достаточно вспомнить, что сопряженность операторов геометрии и
равновесия понимается в формальном смысле, в определение которой
входят и интегралы по границе Г области Q. Поэтому правильная
формулировка условий совместности деформаций в форме интегрального
тождества такова.
деформации е совместны тогда и только тогда, когда
3 Мы не затрагиваем деталей вопроса об условиях однозначности поля перемещений,
восстанавливаемого по деформациям Обсуждение этой проблемы, решение
которой зависит от степени связности области Q, можно найти в любом достаточно
подробном курсе теории упругости
3-818

40 2. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
(а„, «0 = 0 eQ (1.29)
для любого поля напряжений в0, самоуравновешенного в области Q и на
границе Г, то есть для всех а0, удовлетворяющих условиям
Атао = 0 еП, Л<,оо = 0 еГ. (1.30)
Докажем сначала необходимость. Если существуют такие перемещения и,
что Е=Аи, то, воспользовавшись основным интегральным тождеством
(1.2.15), получим
(в0, е) = (в0, Ли) = (А7а0, и) + (Н„а0, Нии)г. (1.31)
В силу (1.30) оба скалярных произведения в правой части (1.31) исчезают.
Пусть теперь выполнено (1.29) при любых в0, удовлетворяющих
условиям (1.30). Домножая скалярно первое из уравнений в (1.30) на
произвольный вектор и и вычитая полученное и равное нулю выражение из
(1.29), приходим к эквивалентному тождеству
(ао,е)-(Атао,и) = 0 еп. (1.32)
Для этого тождества можно считать, что в0 не подчинено заранее каким-
либо требованиям в области Q, поскольку равенство Ата0 = 0 eQ само
является следствием тождества (1.32) в силу произвольности вектора и. Но
(Ата0, и)= (в0, Аи) - (Н„а0, Ним)г, что после подстановки в (1.32) с учетом
второго из равенств в (1.30) дает
(ао,?-Аи) = 0, (1.33)
откуда и следует ? = Аи. Обратим внимание на то, что при доказательстве
достаточности мы по существу воспользовались известной в вариационном
исчислении техникой введения множителей Лагранжа, позволяющей
формально избавляться от дополнительных условий, накладываемых на
варьируемые функции.
Интегральное тождество (1.29) тесно связано с началом возможных
изменений напряжений. Однако между ними есть и существенные различия.
Во-первых, и это главное, если начало возможных изменений напряжений
определяет условия принадлежности перемещений и деформаций к классу
полностью кинематически допустимых (с учетом кинематических краевых
условий), то выполнение интегрального тождества (1.29) гарантирует лишь
совместность деформаций и ничего более. Именно поэтому интегральное
тождество (1.29) можно рассматривать как общее вариационное начало
совместности деформаций. Во-вторых, в начало возможных изменений
напряжений входит напряжение eso, принадлежащее однородно статически
допустимому полю, тогда как в формулировку общего вариационного начала
совместности деформаций входит напряжение в0, самоуравновешенное в
смысле (1.30).
Условия совместности деформаций в форме интегрального тождества (в
используемой нами терминологии можно говорить также об условиях

2.1 Энергетическое пространство 41
принадлежности деформаций кинематически полудопустимому полю НДС)
имеют определенные преимущества по сравнению с их дифференциальным
аналогом - уравнениями Сен-Венана. Дело в том, что в уравнениях Сен-
Венана для задач теории упругости деформации дважды дифференцируются,
что накладывает слишком жесткие требования на гладкость этих функций. В
то же время интегральная форма условий совместности деформаций не
требует даже их одноразовой дифференцируемости.
В этом месте напрашивается следующее замечание. Одно из
существенных отличий (хотя и не единственное) одномерных задач от двух
и трехмерных задач (речь идет о размерности А: области Q) заключается в
том, что, как это будет показано позднее, существует обширный класс
одномерных задач, для которых самоуравновешенные в смысле (1.30)
напряжения а0 всегда равны нулю. Следовательно, общее вариационное
начало совместности деформаций в форме интегрального тождества (1.29)
для этих задач гарантированно удовлетворяется. Таким образом, для таких
одномерных задач деформации ? всегда совместны в том смысле, что для
них найдется вектор перемещений и, удовлетворяющий геометрическому
уравнению е =Аи. Это замечание четко корреспондируется и с условиями
сплошности в форме дифференциальных уравнений Сен-Венана, которые
имеют место лишь в случаях &=2и&=3,ноне существуют в одномерных
задачах
2.1.6 О необходимых условиях существования равновесного
состояния системы
Пусть и, (г=1,..., п0) совокупность линейно независимых однородно
кинематически допустимых жестких смещений механической системы.
Воспользуемся началом возможных перемещений статики и геометрии в
форме (1.4.11), приняв в качестве состояния 1 истинное состояние системы
при заданном на нее воздействии, а в качестве состояния 2 системы любое из
полей F2l = {0, 0, и,} (г=1,..., п0). На полях F2l правая часть в (1.4.11)
исчезает, что приводит к необходимому условию существования
равновесного состояния системы в форме
(X , и,) + (Ер р, ЕрНии)г = 0 . (1.34)
Итак, для существования состояния равновесия при заданных внешних
силах X и р требуется, чтобы возможная работа этих сил на всех
перемещениях и, е^, равнялась нулю.
Рассмотрим в качестве примера, так называемую, вторую краевую задачу
для трехмерной задачи теории упругости [4, стр. 181], когда на всей
граничной поверхности тела поставлены статические краевые условия
(1.2.12-а) и при этом упругая среда отсутствует, то есть К=0. Итак, в
данном случае Г=Гр, Ер = 1, Ни = I. Нетрудно заметить, что линеал j?0 для

42 2. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
этой задачи имеет размерность п0 = 6 и общий вид произвольного вектора и
из этого линеала представлен форм>лой (1 25) В результате условие (1 34)
сводится в данной задаче к требованию
jX(u0 + Qx r)dQ + j>p-(u0+ Qxr)dT=0 (1 35)
Воспользовавшись известным свойством смешанного произведения трех
векторов а, Ъ и с [5. стр 60] в виде а ¦ (Ьхс) = - Ъ ¦ (ахс) и учитывая, что
компоненты векторов и0 и 8 постоянны по области Q вместе с ее границей Г.
перепишем (1 35) в виде
UoijXdQ + j>pdr)-Q-(jXxrdn + j>pxrdT) = 0.
аг а г
откуда с учетом произвольности векторов и0 и 8. приходим к известным
необходимым условиям разрешимости задачи
jXdQ + j>pdr=0. jXxrdn + j>pxdf=0 (136)
а г а г
Физический смысл этих двух требований прозрачен для с\ ществования
равновесного состояния системы главный вектор и главный момент всех
активных внешних сил, действ\ ющих на тело, должны равняться н\ лю
2.1.7 Теорема об общем виде произвольного физически
допустимого поля
Произвольное поле Fe/ может быть разложено в сумму однородно
статически допустимого поля Fso и однородно кинематически допустимого
поля Fko
F = FS0 + Fko. FS0E^r0. Fk0E^0 (137)
Эта запись подразумевает поэлементное с> ммирование. то есть
а = aso + ако. ? = ?,<> + Еко. и = us0 + uko (138)
Доказательство основано на следующем, принадлежащем С Г Михлит'
[6. стр 315-316]. рассуждении
Пусть некоторые объемные силы X и контурные силы р статически
соответствуют полю F. а контурные перемещения П порождаются
перемещениями и eF. то есть
X=AJa + Ku eQ, Ерр =ЕрНаа еГ. Е,1й=ЕиН,ц еГ (139)
В качестве элементов поля Fko примем решение следующей
вспомогательной задачи

2.1 Энергетическое пространство 43
Атако + Кщ0 = X - уравнения равновесия, (1.40-а)
Аико = ?ко - геометрические уравнения, (1ЛО-Ь)
ако = Секо - физические уравнения, (1.40-с)
Ер(Н„ако - р) = 0 - статические краевые условия, (l.40-d)
EJIuuko=0 - кинематические краевые условия. (1.40-е)
Необходимые условия (1.34) существования решения этой задачи
выполняются, поскольку возможная работа активных внешних сил X и р
на однородно кинематически допустимых жестких смещениях системы
должна равняться нулю - в противном случае не могли бы быть
выполненными первые два равенства в (1.39). И все, что нам осталось
доказать, заключается в проверке принадлежности элементов aso=a-ako,
?so = ? - Eko, uso = u - uko однородно статически допустимому полю, то есть в
выполнении условий (1.3.3). Действительно, имеем
ATaS0 + Кщ0 = Ат(а - ако) + К(и - ико) =
/ = (A7<s + Ku)-(ATako + Kuko)=X- Х = 0 eQ,
EpHaaso = ЕрН^а - ако) = Ерр-Ерр=0 еГ,
и теорема доказана.
Обратим внимание на то обстоятельство, что в такой общей постановке
разложение (1.37) не всегда единственно. Действительно, рассмотрим поле
Рцо= {0, 0, и0} е^,. Как это уже было отмечено, в силу вложений (1.27),
поле Fmo является одновременно однородно статически и однородно
кинематически допустимым полем. Поэтому вместе с (1.37) справедливо и
разложение F = FsoX + .Fkol, где поля Гш = F^0 + F^, Fm\ = FM - F#0
отличаются от элементов разложения (1.37) на произвольное поле Fao е^,.
Наконец, отметим очевидный факт, что, если исходное поле F
принадлежит линеалу ^2, то в разложении (1.37) и FM е^/2 ¦
2.1.8 Лагранжево энергетическое пространство
Теперь построим важный для дальнейшего линеал Д который образуется
усечением линеала ^"ко за счет всех полей из М0. Это можно сделать, если
использовать на линеале ^"ko введенное ранее формулой (1.1.1) скалярное
произведение. Метрику, порождаемую этим скалярным произведением,
будем называть основной метрикой. Разложим образуемое при этом
пространство в прямую сумму по основной метрике

44 2. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
&*, = #&&». (1.41)
Последнее означает, что для любого поля Fko= {САико, Ащ0, ико} из ^0 с
компонентой перемещений uko справедливо представление Fko = Fy,+ F^0,
F? = {CAu„ An,?, uj ej^, F^0= {0,0, u^0}e&0, uko = u^+ urf0 , Au^0 = 0
и при этом
(u„u,o) = 0. (1.42)
Несложно понять, что линеал J7 образован из множества всех физически
допустимых и однородно кинематически допустимых полей,
гарантирующих положительность энергии деформации. В самом деле, если
E(uko) = 0, то это означает, что uko является вектором однородно
кинематически допустимых жестких смещений системы и значит
соответствующее поле Fko= {0, 0, uko} не принадлежит линеалу J&.
Обращаясь вновь, как к примеру, ко второй краевой задаче теории
упругости для трехмерного тела, получим, что условие ортогональности
(1.42) запишется в данном случае в виде
Juk0-(u0+ 9xr)dQ = 0 (1.43)
или в силу произвольности и0 и 8
jukodn = 0, Juk0 xrdn=0. (1.44)
Поскольку в данной задаче кинематические краевые условия отсутствуют,
то линеал ? здесь состоит из всевозможных (достаточно гладких) векторов
перемещений, удовлетворяющих интегральным условиям (1.44). Понятно,
что первое условие в (1.44) фиксирует жесткое поступательное перемещение
тела, а второе условие фиксирует жесткий его поворот.
На линеале & введем в рассмотрение симметричный билинейный
функционал, который мы обозначим угловыми скобками < , >
<FU F2> = ХА (Се,, е2) + Уг (Жи,, и2) = 1Л (Слаи а2) + 1Л (Кщ, и2). (1.45)
Сопоставляя (1.13) и (1.45), устанавливаем, что <F,F>= E(F), откуда в
силу положительности энергии Е на ? приходим к скалярному
произведению на линеале Д порождаемому этим билинейным
функционалом. Это скалярное произведение называется энергетическим
скалярным произведением (по Лагранжу).
Введение скалярного произведения на линеале g позволяет рассматривать
этот линеал в качестве гильбертова пространства, которое назовем
лагранжевым энергетическим пространством и которое мы будем

2.1 Энергетическое пространство 45
обозначать той же буквой <&*. Как это обычно делается в случае
гильбертовых пространств, дополнительно будем требовать, чтобы
скалярное произведение <F, F> = Vi (САм, Ам) + Уг (Км, м) принимало
конечное значение для любого поля F из j^7.
Итак, лагранжево энергетическое пространство j^c ^ko? & состоит из
множества полей вида F = {САм, Ам, и}, подчиняющихся следующим
требованиям:
• перемещения и удовлетворяют однородным кинематическим краевым
условиям;
• перемещения и ортогональны по основной метрике всем однородно
кинематически допустимым жестким смещениям системы;
• скалярное произведение <F, F> = Уг (САм, Ам) + Уг (Км, м) принимает
конечное значение для любого поля F из &.
Вернемся теперь к теореме об общем виде произвольного физически
допустимого поля из предыдущего пункта. Если множество всех однородно
кинематически допустимых полей ограничить пространством SP, то можно
показать, что тогда разложение (1.37) единственно. Действительно,
предполагая противное, введем два разложения некоторого поля F в
соответствии с (1.37), присвоив индексы 1 и 2 составляющим полям в этих
разложениях. Таким образом,
^soi+^koi =/W+^koz, причем Fkoleg, Fbjei'. (1.46)
Домножая скалярно (по энергетической метрике) обе части равенства
(1.46) на произвольное поле Fko е&и учитывая теорему об ортогональности
полей (1.4.21), получим
<Fko,Fkol-Fko2> = 0. (1.47)
В силу произвольности выбранного поля Fko получаем отсюда Fkol = Fko2, а
значит и Fsoi = Fso2.
Суммируя все сказанное выше, уточняем разложение (1.37) до
F = Fn + Fjr+F^, FreJ?, F^0etf0, (1.48)
Обычно в математике линеал со скалярным произведением называется
предгильбертовым или унитарным пространством [7 стр. 64, 67] От гильбертова
же пространства дополнительно требуется выполнение условия полноты по
метрике, порождаемой скалярным произведением Однако, как об этом уже
говорилось в предисловии к книге, мы не касаемся математических вопросов,
относящихся к исследованию полноты пространств Молчаливо предполагается,
что условие полноты всех, рассматриваемых в книге гильбертовых пространств,
выполняется. Поэтому здесь и в дальнейшем читателя (математически более
требовательного, чем это можно ожидать от человека, получившего не
математическое, а инженерно ориентированное образование) не должно смущать
отождествление определений гильбертова и предгильбертова пространств

46 2. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
причем поле Fso энергетически ортогонально двум другим полям, а поля Frn
F^o ортогональны между собой по основной метрике. Между прочим, поля
F? и Fjto ортогональны между собой не только по основной метрике, но и по
энергии. Действительно, <F^, F^0> - Уг (САи^ Аи^0) + Уг (Ки& ило). Но
Аи^0 = 0 и Ки^0 = 0 по определению однородно кинематически допустимого
множества жестких смещений я?0, поэтому и <Fy, F^Q> = 0.
2.1.9 Тождество Прагера-Синджа
Пусть Fs nFk соответственно статически допустимое и кинематически
допустимое поля из линеала !?, a F, истинное поле НДС. Тогда имеет место,
так называемое, тождество Прагера-Синджа
E(F. -Fs) + E(F. -Fk) = E(^s -Fk), (1.49)
полезное при построении оценок погрешностей для приближенных решений
задачи.
Действительно, цепочка тождественных преобразований дает
E(F, - Fs) + E(F, - Fk) = EOF.) - 2<FS, F,> + E(FS) + E(F.) -
- 2<Fk, F,> + E(Fk) = [E(F.) + E(Fk) - 2<FS, Fk>] + 2<FS, Fk> -
-2<FS, F,> - 2<Fk, Ft> + 2<F„ F,> = E(FS - Fk) + 2<F, - Fs, Fj- Fk>. (1.50)
Замечая, что F,-Fs = Fso и F,-Fk = Fko соответственно однородно стати-
чески допустимое и однородно кинематически допустимое поля и учитывая
теорему об ортогональности полей (1.4.21), приходим к выводу о том, что
второе слагаемое в правой части (1.50) аннулируется, откуда и
следует (1.49).
2.2 Вариационный принцип Лагранжа
2.2.1 Консервативные внешние силы
До сих пор мы ничего не говорили о природе внешних распределенных по
объему тела сил X и контурных сил р, которые, вообще говоря, могут
зависеть (как по величине, так и/или по направлению действия) от
перемещений системы. Начиная с этого момента будем считать, что все
заданные внешние силы консервативны (иногда говорят потенциальны)
Последнее означает, что работа, совершаемая этими силами в процессе

2.2 Вариационный принцип Лагранжа 47
деформирования системы, также не зависит от пути деформирования, что
эквивалентно существованию таких двух функций
Пп=Пп(и) eQ, Пг = Пг(и) еГ, (2 1)
что для каждой из силовых компонент X' и р1 справедливо представление
*"^. ff^. С22)
Функции Пп(и) и Иг (и) называются плотностью потенциала объемных и
поверхностных сил соответственно. Потенциал всех внешних (активных) сил
П8 вводится как сумма интегралов от этих функций
П8= jnn(u)u?fi + jnr(u)dr. (2 3)
В дальнейшем потенциал П8 будем называть потенциалом статических
внешних воздействий, подчеркивая самим названием его отличие от
потенциала кинематических внешних воздействий Пк, который будет введен
позднее и который связан с реактивными силами, возникающими на контуре
Г, где задаются неоднородные кинематические краевые условия.
Простейший случай консервативных внешних сил X и р (которыми мы
здесь и ограничимся) это так называемые «мертвые» силы5. Внешние силы
называют мертвыми, если точки приложения этих сил в лагранжевой
(материальной) системе координат не изменяются в процессе
деформирования системы, а соотношения между проекциями этих сил
относительно эйлеровой (пространственной) координатной системы также
сохраняются неизменными. Плотности потенциалов мертвых нагрузок
записываются особенно просто
Пп(и)=Х-и, Пг(и)=Ерр-и. (2.4)
В результате потенциал статических внешних воздействий П8 в случае
мертвых внешних сил может быть представлен в виде
П8 = JX- ndO. + JEpp- EpHuudr = (X , u) + (Ep p, EpHun)r . (2.5)
2.2.2 Функционал Лагранжа
Прежде всего, подчеркнем, что любое поле F из множества xfa. однозначно
определяется вектором перемещений и, поскольку F= {САи, Аи, и}.
Поэтому любой функционал, определенный на этом множестве или на его
5 Некоторые случаи консервативных внешних сил, не относящихся к классу мертвых
нагрузок, рассмотрены в Приложении Е

48 2. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
подмножестве можно рассматривать без ограничения общности как
функционал, зависящий только от вектора перемещений и.
На множестве ^у с ^2 введем в рассмотрение функционал Лагранжа
L = \-(F), называемый также лагранжианом или полной потенциальной
энергией системы
L(u) = E(u)-ns(u)
(2.6)
где энергия Е рассматривается как квадратичный функционал от и, что в
соответствии с (1.13) дает
Е(и) = Уг (CAu, An) + Vi (Кй, и).
Покажем теперь, что на истинных полях F, лагранжиан L принимает
минимальное значение
L(Ft) < L(F>. (2.7)
для всех F е^к. Положив F = F. + 8F, перепишем доказываемое неравенство
(2.7) в виде
l(F, + SF) - L(F.) = {E(u, + Su) - E(u.)} - {l"ls(u. + Su) - Щи»)} > 0 (2.8)
Оценим порознь входящие в (2.8) разности. Имеем
E(u. + Su) - E(u.) = E(u,) + 2<Ft, 8F> + E(5u) - E(u.) = 2<F„ 8F> + E(5u),
l"ls(u, + 5u) - ns(u.) = l"ls(Su).
Таким образом, после подстановок в (2.8) получим
L(u, + Su) - L(u.) = {2<F„ 8F>- l"ls(Su)} + E(5u). (2.9)
Но взятое в фигурные скобки выражение из (2.9) можно расписать
следующим образом
2<F.,SF>-ns(Su) =
= (САи„ А8и) + (Kut, Su) - (X , Su) - (Ер р, .E^SuV. (2.10)
Поскольку вариация Su представляет собой разность двух кинематически
допустимых перемещений и и и., то 8и будет удовлетворять однородным
кинематическим краевым условиям, то есть 8F е^ко. Это дает нам право
сослаться на начало возможных перемещений, на основании которого правая
часть в (2.10) равняется нулю. В результате (2.9) принимает вид
l(F, + 8F) - l(F.) = E(Su). (2.11)
Но E(8u) > 0 при любом векторе 8F е^0, и доказательство неравенства (2.7)
завершено.
Справедливо и обратное утверждение: поле Fb на котором лагранжиан
L(F) принимает минимальное значение

2.2 Вариационный принцип Лагранжа 49
L(F,)<L(F) (2.12)
среди всех F е^к, является истинным полем, то есть Fx = F».
Для обоснования этого утверждения достаточно показать, что поле НДС
F\ из ^ с компонентой перемещений иь которое мы будем называть
состоянием 1 системы, удовлетворяет уравнениям равновесия и статическим
краевым условиям. Вводя вариацию bF как разность полей bF = F-F\ и
поступая как и ранее, приходим к оценке разности значений лагранжиана
L(F)-L(F,) =
= (САщ, А8и) + (Кщ, Su) - (X , Su) -(Ерр, ЕрНиЩг + Е(6п). (2.13)
Теперь нам удобно представить вариацию 8F в виде 5F = aFko, где Fk0
некоторое поле из ^ko, а а произвольный числовой параметр, что дает
возможность переписать (2.13) в виде
L(F)-L(F,) =
= a{(C4ub Лико) + (Киь ико) -(X ,ик0) Ч^рР ЯрНиик0)г} + a2E(uko). (2.14)
По условию (2.12) правая часть в (2.14) должна быть неотрицательна при
любом, в том числе и сколь угодно малом, значении а. Но это может
выполняться только тогда, когда множитель при а в первой степени равен
нулю
(САщ, Аик0) + {Ки1у uk0) - (X , uk0) -(Ерр, ЕрНийк0)г = 0 .
Рассматривая полученное равенство с позиций начала возможных
перемещений, приходим к выводу о том, что состояние 1 удовлетворяет всем
уравнениям равновесия. Итак, справедлива следующая формулировка
вариационного принципа Лагранжа:
Поле НДС линейно деформируемой механической системы I
является истинным полем тогда и только тогда, когда на этом
поле лагранжиан L системы принимает минимальное значение
| среди всех физически и кинематически допустимых полей НДС |
Отметим, что начало возможных перемещений инвариантно к
физическим уравнениям, тогда как вариационный принцип Лагранжа
существенно опирается на физическую допустимость сравниваемых полей
НДС.
Обратим внимание на то обстоятельство, что множество ^, на котором
отыскивается минимум функционала Лагранжа, при ненулевых
кинематических внешних воздействиях не является линеалом, что не всегда
является удобным. Кроме того, естественной мерой отклонения какого либо
приближения Fh от точного решения задачи F, может служить норма
разности \\F, -Fh\\ в энергетической метрике, где

50 2. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
\\F,-Fh\\ = J<(F,-Fh),(K-F'b)> = VE(^-^) •
В этой связи придадим вариационному принципу Лагранжа
эквивалентную формулировку, предварительно преобразовав функционал к
условиям его варьирования на лагранжевом энергетическом пространстве ??.
С этой целью зафиксируем произвольное поле Fk e^k после чего любое
поле F ?&>к можно представить в виде
F = F^ + Fko = F^ + Fip+F^ot F?&?, Frf0?j0. (2.15)
Если подставить теперь (2.15) в (2.6) и учесть, что E(F^o) = 0 и
<Рр, F^o > = 0, то получим
1(F) = Е(щ) - П8(иг) + 2<Fk, Fx> + C, (2.16)
где независящая от вектора и^ константа С определяется как
C=E(uk)-ns(uk)-ns(uJ.
Здесь принято во внимание, что <Fk, Fao > = 0.
Варыфуя функционал Лагранжа в форме (2.16) на лагранжевом
энергетическом пространстве ?? и рассуждая как и ранее, находим его
«точку» минимума Ft?, из ??. В результате, с точностью до несущественного
однородно кинематически допустимого жесткого смещения и^0 получим
и, = ик + и.^ , где u,jf доставляет минимум функционалу (2.16) уже на
лагранжевом энергетическом пространстве Ж
Обратим также внимание на то, что неравенство (2.7) является нестрогим,
допускающим возможность равенства, что в свою очередь следует из
неравенства E(5F)>0npH любом поле 8F е^0. Однако, если ограничить
возможность варьирования вектора перемещений, потребовав принад-
лежности допускаемых к сравнению полей энергетическому пространству ??,
и значит положить 8F еЖ, то тогда E(5F) > 0 и следовательно неравенство
(2.7) перейдет в строгое неравенство
L(Ft)<L(F). (2.17)
А отсюда сразу же следует теорема единственности решения задачи,
известная в теории упругости как теорема Кирхгоффа. В самом деле, если
бы существовали две точки минимума функционала Лагранжа, скажем
F,x &?? и Ftl&?, то тогда на основании (2.17) мы бы получили два
противоречащих друг другу неравенства \-(F,i) < \-(Ft2) и L(F»2) < L(F.i).
Итак, решение задачи (1.2.2), (1.2.4) единственно с точностью до
однородно кинематически допустимых жестких смещений.

2.3 Вариационный принцип Кастильяно 51
2.3 Вариационный принцип Кастильяно
2.3.1 Функционал Кастильяно
Если вариационный принцип Лагранжа связан с началом возможных
перемещений, то двойственный ему вариационный принцип, основанный на
начале возможных изменений напряжений, носит название принципа
Кастильяно. В качестве функционала Кастильяно К = K(F) (можно было бы
говорить кастилъяниан) принимается выражение
К(<т,и) = Vi (СЧ в) + 'Л (Ки, и) - (EJfaa, Еий)г . (3.1)
Линейную часть функционала Кастильяно, зависящую только от
напряжений с, на механическом уровне можно интерпретировать как
потенциал кинематических внешних воздействий Пк(с), а квадратичную
часть как энергию деформации системы Е(с,и), в которой энергия самого
упругого тела выражена через напряжения а
Е(<г,и) = 'Л (С Ч <г) + 1Л (Ки, и), Пк(<г) = (EJfaa, Еий)г, (3.2)
при этом
К(с,и) = Е(с,и) - Пк(с)
(3.3)
Пусть Ft = {с ,, ?,, и,} истинное поле НДС. Справедливо утверждение о
том, что
К, = K(F.) < K(FS) (3 4)
для любого поля Fs = {<js, C'las, us} e^f.
Итак, сравнению подлежат значения функционала Кастильяно на двух
полях- FtиFs. Положим 8F = FS-F,= {cs-с», С~\as- a»), us- и,}. Понятно,
что поле вариаций 8F является однородно статически допустимым полем,
что позволяет нам записать состав этого поля в виде 8F= a{cs0, С 1ам, us0} с
произвольным множителем а. Теперь имеем
K(FS) - K(F„) = K(F, + aFso) - K(F,) =
= а {(С "'ст., cso) + (иль, uso) - (EJIoOso, Eu й M +
+ a2 '/2 {(С-Чо, вю) + (^Uso, uso)}. (3.5)
В силу начала возможных изменений напряжений множитель при а в
первой степени обращается в ноль, в то время как множитель при а2
неотрицателен.

52 2. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Докажем теперь и обратное утверждение, а именно: поле
F[ = {аь СлО\, щ} e^f , на котором функционал Кастильяно K(FS)
принимает минимальное значение среди всех полей F e^f
K(F,) < K(F) (3.6)
является истинным полем, то есть FX = F,.
Достаточно показать, что поле Fx e^f, на котором реализуется минимум
функционала Кастильяно, является кинематически допустимым полем,
поскольку любое поле из пересечения 3% п^ является истинным полем по
определению. С этой целью введем поле вариаций 8F как разность полей
8F= F-Fxvi оценим разность значений кастильяниана
K(F) - K(F,) = (С "'вь 5с) + (Кщ, 5u) - (EJI^a, Еий)г + E(SF). (3-7)
Поле вариаций 8F является однородно статически допустимым полем,
поэтому это поле можно представить в виде 8F = aFs0 с некоторым полем
Fsoe^o и произвольным числовым параметром а. В результате (3.7)
перепишется в виде
K(F)-K(Fl) =
= а{(С_1оь trso) + (Кщ, us0) - (?„Яст«8о, Еыц)г} + a2E(FS0). (3.8)
Из условия неотрицательности правой части в (3.8) при любом значении a
вытекает, что
(С"Ч, <W + (tfUb uso)- (EJf<,aS0,Еий)г=0. (3.9)
Но равенство (3.9) есть не что иное, как математическая запись начала
возможных изменений напряжений, откуда и следует, что поле Fi является
кинематически допустимым.
Итак окончательно приходим к следующей формулировке вариационного
принципа Кастильяно:
Поле НДС линейно деформируемой механической системы
является истинным полем тогда и только тогда, когда на этом
поле функционал Кастильяно К принимает минимальное значение
| среди всех полей НДС, физически и статически допустимых. |
Отметим, что начало возможных изменений напряжений инвариантно по
отношению к физическим уравнениям, тогда как вариационный принцип
Кастильяно существенно опирается на физическую допустимость
сравниваемых полей НДС.
2.3.2 Кастильяново энергетическое пространство
Выше было указано, что на линеале ^f0 энергия Е(с,и) > 0. Зададимся теперь
вопросом об условиях, при которых энергия Е(с,и) является строго
положительной величиной на любом не равном тождественно нулю поле

2.3 Вариационный принцип Кастильяно 53
F e^fo • Из выражения для энергии по (3.2) непосредственно видно, что если
напряжения а отличны от нулевых, то соответствующая энергия Е(с,и)
строго положительна, поэтому равенство Е(о,и) = 0 возможно среди всех
полей из ^f0 только на полях вида F = {О, О, и}. Но поскольку это поле
должно быть однородно статически допустимым А 0+ Ки = 0 е Q, отсюда
сразу же следует, что Ки = 0, и значит на всех таких полях Е(с,и) = 0.
Совокупность всех полей вида F = {0, 0, и} при условии Ки = 0 была уже
введена нами ранее как линеал с обозначением Мк. Понятно также, что
Теперь мы можем ввести в рассмотрение линеал Ж как усечение линеала
&V, за счет всех полей из &к, представив ^f0 в виде прямой суммы
^М = ХФ4 (3.10)
с истолкованием ортогональности здесь в смысле основной метрики. Иначе
говоря, для любого поля Fso e^f0 с компонентой перемещений
us0 справедливо представление
F'so = Fx + F^K, FxeJt, F^Ks^K, иприэтом (u*, u^^O. (3.11)
В результате билинейный функционал < , >
<FU F2> = '/2 (С "У, в2) + 1Л (Кщ, и2), (3.12)
имеющий смысл на всем линеале ^f0, может рассматриваться как
энергетическое скалярное произведение {по Кастилъяно) на линеале Ж, а
сам этот линеал становится гильбертовым пространством, которое мы
назовем кастилъяновым энергетическим пространством.
Итак, кастильяново энергетическое пространство ЛГс^|0 состоит из
множества полей вида F = {а, С'с, и}, подчиняющихся следующим
требованиям:
• перемещения и и напряжения а удовлетворяют однородным уравнениям
равновесия в области Q и однородным статическим краевым условиям;
• перемещения и ортогональны по основной метрике всем жестким
смещениям для упругой среды;
• скалярное произведение <F,F> = 1A(C~1a,a) + 1/i(Ku,u) принимает
конечное значение для любого поля F е Ж.
Обратим внимание на частный, но практически важный случай полного
отсутствия упругой среды, когда К = О. В этой ситуации множество Jfc
состоит из всевозможных полей вида {0,0, и}. Но тогда кастильяново
энергетическое пространство Ж представляет собой множество полей вида
{а,Сла,в},

54 2. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
с квадратично суммируемыми6 напряжениями с, удовлетворяющими
условиями с = 0 eQ, ЕрНаа = 0 еГ.
Теперь точно так же как в случае функционала Лагранжа, вариационному
принципу Кастильяно можно придать и иную, эквивалентную
формулировку, преобразовав этот функционал к условиям его варьирования
на кастильяновом энергетическом пространстве Ж С этой целью представим
произвольное поле F из ^| в виде
F = FS + FX + F^K, (3.13)
где Fs некоторое фиксированное поле из &, FxsJiT, FaKe&K. В
результате подстановки (3.13) в (3.3) с учетом равенств E(F^K) = 0 и
<FX, Fj,K> = 0 получаем
K(F)= E{Fx)-Uk{Fx) + 2<F„Fx> + C, (3.14)
где независящая от поля Fk константа С определяется как
C=E(Fs)-nk(Fs)-nk(F^K),
при этом учтено, что < Fs, F^K > = 0.
В функционале Кастильяно в форме (3.14) сравнению подлежат поля,
принадлежащие энергетическому пространству Ж
Интересно отметить, что в частном случае постановки задачи с
однородными кинематическими краевыми условиями вариационный
принцип Кастильяно немедленно следует из тождества Прагера-Синджа.
Действительно, в этом случае в (1.49) поле Fk можно принять нулевым и
тогда тождество Прагера-Синджа примет вид
E(F, - Fs) + E(F,) = E(FS). (3.15)
Но при Еий= 0 еГ, функционал Кастильяно упрощается до K(F) = E(F), а
из (3.15) следует неравенство E(Ft) < E(FS), что равносильно неравенству
K(F») < K(FS). Именно такой способ обоснования принципа Кастильяно
принят в книге [6].
Аналогичным путем можно было бы пойти и при обосновании
вариационного принципа Лагранжа, но в противоположном частном случае,
когда в качестве внешних воздействий на систему заданы только смещения
на закрепленной части границы Г, а силовые внешние воздействия
отсутствуют. В этом случае в тождестве Прагера-Синджа можно принять
нулевым поле Fs, что дает
E(Ft-Fk) + E(F,) = E(Fk). (3.16)
При отсутствии активных внешних сил функционал Лагранжа упрощается
до L(F) = E(F), и из (3.16) следует, что L(F») < L(Fk).
6 Требование квадратичной суммируемости напряжений эквивалентно требованию
конечности скалярного произведения (С 'а, а)

2.4 Чувствительность энергии деформации к модификациям системы 55
И, наконец, последнее замечание. Как это было показано выше, из
условия минимума функционала Кастильяно следует интегральное
тождество, которое на механическом уровне истолковывается как начало
возможных изменений напряжений, которое в свою очередь есть
интегральная форма записи уравнений совместности деформаций и
кинематических краевых условий. Следовательно, можно ожидать, что с
позиций классического вариационного исчисления уравнения совместности
Сен-Венана суть уравнения Эйлера для функционала Кастильяно, а
кинематические краевые условия являются естественными краевыми
условиями для этого же функционала7. С прямым доказательством этого
факта, не опирающимся на начало возможных изменений напряжений, как
на интегральный эквивалент условий совместности, можно ознакомиться,
например, по книге Л.С. Лейбензона [9, стр. 189-193].
2.4 Чувствительность энергии деформации к
модификациям системы
2.4.1 Первая теорема о минимуме энергии деформации
Прежде всего рассмотрим значения функционалов Лагранжа и Кастильяно
на решениях задачи. В целях (Сокращения записи будем помечать звездочкой
точные значения всех рассматриваемых функционалов, например, L* = L(u»).
Обращаясь к значениям потенциалов П8 по (2.5) и Пк по (3.2) при
U = U. и с = с*
П,. = (X , и.) + (Ерр, EpHuu,)r , Пк. = (EJfaG,,Еуй)г,
заметим, что сумма потенциалов П8« + Пк» может быть истолкована как
возможная работа всех внешних (активных и реактивных) сил на
действительных перемещениях системы. Но тогда на основании теоремы
Клапейрона (1.14) получим
2Е.= П8. + Пк, . (4.1)
В результате, опираясь на формулы (2.6) и (3.3), приходим к следующим
выражениям для значений функционалов Лагранжа и Кастильяно на
решении задачи
7 Как указывалось в предисловии к книге, мы предполагаем, что читатель знаком с
базовыми понятиями вариационного исчисления, так что выражения типа
«уравнения Эйлера» или «естественные краевые условия» нет нужды пояснять

56 2. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Ь = Е.-П,. = -Е. + Пк., К. = Е.-Пк. = -Е. + П8., (4.2)
откуда получаем важное соотношение
L. + К. = 0 . (4.3)
Итак, значения функционалов Лагранжа и Кастильяно на решении задачи
всегда равны по величине и противоположны по знаку. В дальнейшем мы
увидим, что благодаря именно этому обстоятельству приближенные
решения, полученные методом Ритца с использованием функционалов
Лагранжа и Кастильяно соответственно, позволяют подойти к точному
решению задачи с двух сторон.
Сведем полученные здесь результаты в таблицу 2.1, в которой показаны
точные значения рассматриваемых функционалов в общем случае и в
некоторых, полезных для последующих рассуждений, частных случаях
Таблица 2 1
L.
К.
Е.
Внешние ноисисишя на систему
Силовые и
кинематические
Е.-П«.= -Е. + Пк.
Е. Пк- - - Е. + П..
У2(П5.+ Пк.)
Только
Пк-0
-Е.
Е.
Уг П..
Только
кинематические
п,=о
Е.
-Е.
'/2 Пк.
В известной книге Саусвелла по теории упругости [10, стр.114] дано
обоснование следующего утверждения, которое составляет содержание так
называемой "первой теоремы о минимуме энергии!'
Если в теле, подчиняющемся закону Гука, заданы перемещения,
то деформация, соответствующая конфигурации равновесия,
обладает меньшей упругой энергией, чем деформация,
соответствующая всякой другой конфигурации (не удовле-
творяющей уравнениям равновесия), в которой перемещения
I имеют те же заданные значения 8 |
Легко заметить, что на самом деле утверждение этой теоремы есть просто
следствие вариационного принципа Лагранжа, примененного к варианту
чисто кинематических воздействий, поскольку при этом
Е. = L. < L(u) = E(u) V u е 0>k.
8 Приводим здесь формулировку первой теоремы о минимуме энергии, данную
Саусвеллом, дословно. Конечно же, в этой формулировке вынесено за скобки
(молчаливо предполагается) условие, что сравнению подлежат не вообще
всевозможные состояния (конфигурации) системы, а только такие из них, которые
являются полностью кинематически допустимыми.

2.4 Чувствительность энергии деформации к модификациям системы 57
2.4.2 О влиянии дополнительных связей (кинематических и
силовых)
Кинематические связи
Обычно под связями в строительной механике понимаются ограничения,
накладываемые на возможные перемещения системы. Если эти ограничения
математически записываются в форме линейных однородных уравнений для
перемещений точек системы, то такие связи называют линейными
удерживающими связями, которыми мы здесь и ограничимся и которые мы
для определенности будем именовать кинематическими связями. Линейные
удерживающие кинематические связи не нарушают справедливости
принципа суперпозиции, согласно которому сумма результатов различных
независимых воздействий на систему равна результату от их суммарного
воздействия9. В расширенном толковании под кинематическими связями
понимаются всякие ограничения на возможные перемещения системы.
Итак, рассмотрим исходную механическую систему, математически
описываемую уравнениями (1.2.2) и краевыми условиями (1.2.4). Вместе с
заданной системой рассмотрим и возмущенную механическую систему (при
том же внешнем воздействии), отличающуюся от заданной только лишь
наличием дополнительных кинематических связей, накладываемых на
возможные перемещения системы. Практическим источником этих связей
могут быть, например, дополнительные внешние опорные закрепления, хотя
это и не единственный источник кинематических связей. Вполне возможны
и внутренние связи, реализуемые, скажем, с помощью придания отдельным
элементам или частям системы столь высоких жесткостных характеристик,
что в расчетной схеме эти элементы можно считать абсолютно жесткими, то
есть недеформируемыми. Как на один из примеров наложения внутренней
кинематической связи на систему можно указать на трехмерную задачу
теории упругости для несжимаемого материала, что в случае изотропии
материала формально соответствует приданию коэффициенту Пуассона
предельного значения, равного 0,5 Однако в любом случае дополнительная
кинематическая связь на математическом уровне может быть истолкована
как усечение линеала однородно кинематически допустимых перемещений
^to- Таковое усечение эквивалентно требованию ортогональности
однородно кинематически допустимых перемещений по основной метрике
некоторому, зависящему от конкретной связи, вектору перемещений v e^ko,
то есть в виде
9 Здесь под результатом понимается поле НДС и/или любой линейный функционал
от его элементов Само собой разумеется, что для нелинейных функционалов,
каковым, например, является энергия деформации системы, линейная
суперпозиция не имеет места

58 2. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
(v,uko) = 0, Vukoen0. (4.4)
Участвующий в определении «плоскости связи» (4.4) вектор v назовем
вектором связи.
В результате линеал ^0 однородно кинематически допустимых
перемещений для модифицированной системы (системы со связью)
оказывается сужением линеала ^0 для исходной системы, то есть ^ с^\0,
а значит и лагранжево энергетическое пространство Ссужается до J? . Если
обратиться теперь к вариационному принципу Лагранжа и при этом иметь в
виду форму записи лагранжиана (2 16), то становится понятным, что
L. < L , (4.5)
где L - точное значение лагранжиана на решении возмущенной задачи.
Неравенство (4.5) с очевидностью вытекает из того соображения, что
Ц = mm L(u), Ц = mm L(u),
{ue^} («б/с/}
а на более узком множестве минимум функционала не может понизиться по
сравнению с минимумом этого же функционала на исходном более широком
множестве.
Для того, чтобы выяснить качественную картину влияния допол-
нительной кинематической связи на поведение функционала Кастильяно,
воспользуемся полученным выше тождеством (4.3), справедливым для
любой механической системы, а значит и для системы, возмущенной
дополнительной связью
С, + К, = 0 . (4.6)
Теперь из (4.6) и (4.3) следует, что (С. - Ь) + (К,-К.) = 0 , откуда с
учетом неравенства (4.5) получаем
К,>К,. (4.7)
Итак, дополнительные кинематические связи влияют на поведение
функционалов Лагранжа и Кастильяно в противоположных направлениях.
Отметим, что равенство в (4.5) и (4.7) будет достигаться только в том
случае, когда истинный вектор перемещений и« для исходной задачи не
обладает соответствующей компонентой, лежащей в плоскости
дополнительной связи, то есть при условии ортогональности и* и вектора
связи v
(v,u.) = 0
(4.8)

2.4 Чувствительность энергии деформации к модификациям системы 59
В качестве иллюстрирующего примера приведем решение "оксфордской
задачи" со следующей формулировкой10.
В двух сериях двух последовательных опытов исследуется первоначально
ненапряженное упругое тело. В первой серии:
• в опыте "а'- в точках ах а2,...,ак прикладываются заданные силы
Л.Л....Л;
• в опыте "Ь"- точки Ь^Ь2,...,Ь„ получают заданные перемещения
щи2,...,и„.
Во второй серии опытов на тело наложены связи, препятствующие
перемещениям точек тела. Требуется показать, что после введения связей
упругая энергия Е, запасаемая в теле при условиях опыта "<я" или остается
неизменной, или уменьшается, а упругая энергия, запасаемая в теле при
условиях опыта "Ь" или остается неизменной, или увеличивается.
Справедливость этого утверждения немедленно следует из неравенств
(4.5), (4.7) и приведенной выше таблицы 2.1 для частных значений
функционалов Лагранжа и Кастильяно, согласно которым
в опыте "а? Е» = К* > К. = Ё,; в опыте "bV Е. = L. < С. = Е. .
Силовые связи
В отличие от кинематических связей полезно ввести в рассмотрение
отдельный класс силовых (или статических) связей, а именно: под
силовыми связями будем понимать ограничения, накладываемые на
усилия/напряжения в элементах системы. Также как и в случае
кинематических связей, будем здесь рассматривать только линейные
силовые связи, когда указанные ограничения выражаются в форме линейных
однородных уравнений11. Легко понять, что силовые связи также не
нарушают принципа суперпозиции.
Необходимость учета силовых связей нередко возникает в практике
расчета конструкций. Так например, можно указать на задачи расчета
конструкций с предварительным напряжением, когда усилия в некоторых
элементах системы должны принимать заранее предписанные
контролируемые значения. Своеобразный пример силовых связей возникает
при расчете конструкций, опирающихся на систему гидродомкратов [11].
Саусвелл [10, стр 121], у которого мы и заимствуем приведенную далее
формулировку, по поводу происхождения этой задачи ссылается на выпускные
экзамены в Оксфорде в 1939 г. Данное там решение, причем в постановке задачи с
некоторыми дополнительными ограничениями на типы связей, занимает почти две
страницы текста, в то время как после привлечения вариационных принципов в
современной их трактовке решение укладывается в одну, следующую за
формулировкой задачи, фразу из четырех строчек
Случай линейных неоднородных уравнений силовых связей не вносит ничего
нового, просто ненулевая правая часть этого уравнения интерпретируется как
заданное внешнее воздействие

60 2. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Требование равенства давления жидкости в каждом из домкратов общей
гидросистемы приводит к линейным однородным уравнениям между
реакциями, передающимися на систему от этих домкратов. Аппарат силовых
связей полезен и при построении некоторых прикладных теорий,
опирающихся на гипотезы статического характера. В качестве примера
можно указать на безмоментную и/или полубезмоментную теорию оболочек.
Сказанного достаточно, чтобы обосновать полезность выделения силовых
связей в самостоятельный класс, четко отделив их от кинематических
связей. В контексте рассматриваемого здесь круга вопросов это тем более
имеет смысл сделать, поскольку, как мы увидим далее, с энергетических
позиций реакция деформируемой системы на дополнительные
кинематические и силовые связи прямо противоположна.
Обратимся теперь к анализу влияния дополнительных силовых связей на
поведение основных функционалов. В этом анализе удобнее стартовать не от
функционала Лагранжа, а от функционала Кастильяно. Прежде всего
заметим, что наложение на систему дополнительной силовой связи может
быть истолковано как усечение линеала однородно статически допустимых
полей НДС ^о До его линейного подмножества ^ с #L , элементы которого
удовлетворяют уравнению введенной силовой связи. Соответственно и
кастильяново энергетическое пространство Ж усекается до его
подпространства Ж. Рассуждая как и ранее, приходим к оценкам
функционалов для задачи, возмущенной силовой связью
К.<К„, L>L. (4.9)
Сопоставляя неравенства (4.9) с неравенствами (4.5) и (4.7), убеждаемся в
том, что влияние силовых связей на изменение значений основных
функционалов прямо противоположно в.шянию кинема! ических связей.
возмущения
Кинематические
связи
Силовые
связи
Внешние воиеиетиия па сиаем\
Силовые и
кинематические
L.:. L.
К.> К.
Ь>С.
К.<К.
Только
силовые
пк-о
Е.> Ё.
Е.<Ё.
Только
кинема гичес кие
П-0
Е.:_ Ё.
Е.> Ё.
Соберем теперь вместе все полученные результаты, расположив их в
удобной для обозрения таблице 2.2, в которой выделены некоторые
полезные частные случаи внешних воздействий на систему. Напомним, что
значения функционалов для задачи, возмущенной кинематической или
силовой связью, помечены здесь верхней тильдой "~" тогда как те же

2.4 Чувствительность энергии деформации к модификациям системы 61
функционалы для исходной задачи какой либо дополнительной пометки
лишены.
Приведем простой пример, иллюстрирующий влияние силовых связей
а) ,Р
— 111111111111111 Гт-|^
"-Р1
-^щщщрщ^
Рис. 2.3. Пример наложения силовых связей

62 2. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
На рис. 2.3-я показана двухпролетная неразрезная балка под действием
сосредоточенной силы Р, приложенной в середине правого пролета. Если
выполнить расчет этой простой один раз статически неопределимой
системы, то реакции опор будут следующими
*-»''• R>-fip- R'-np-
Реакции здесь считаются положительными, если они направлены снизу
вверх. Возникающий при этом изгибающий момент М(х) в балке изображен
в виде эпюры, приведенной на рис. 2 Ъ-Ъ. Как это известно из курса
строительной механики стержневых систем [12], величина энергии
деформации, запасаемой в балке в процессе ее изгиба, определяется
интегралом
где EI- жесткость балки при ее изгибе.
В результате несложных вычислений (в этой задаче считаем, что
жесткость EI постоянна по длине балки) находим
Et = ^3_Z!H« 0.015^1
32x48 EI EI
Модифицируем теперь постановку задачи, введя в систему силовую связь.
А именно, будем считать, что реакции опор 2 и 3 подчинены условию их
равенства, то есть
^2-^3 = 0.
На механическом уровне реализацию такой силовой связи можно
представить себе, например, как опирание точек 2 и 3 балки на два конца
равнобоких недеформируемых качелей, выполняющих роль балансира -
рис. 2 3-е. Введение силовой связи сразу же переводит систему в категорию
статически определимых, поскольку для определения реакций теперь
достаточно одних только уравнений равновесия. При этом получаем
Д, = 0, R2=-P, R3=-P.
2 2
Соответствующая модифицированной системе эпюра моментов показана на
рис. 23-d. Если теперь вычислить энергию деформации модифицированной
системы, то получим
и ясно, что неравенство Е» < Е, выполняется
Иной вариант силовой связи возникает, если потребовать равенства с
противоположным знаком для реакций опор 2 и 3, иначе говоря, положить

2.4 Чувствительность энергии деформации к модификациям системы 63
R2 + R3 = 0.
В качестве механической модели, реализующей указанную силовую связь,
можно представить себе систему, изображенную на рис. 2.3-е, в которой
применены уже два шарнирно связанных балансира в виде равнобоких
качелей. Несложно подсчитать, что реакции опор будут при этом равны
Ri=P, R2 = --P, R3=-P.
2 3 2
Эпюра моментов, возникающая в балке при такой ее модификации силовой
связью, изображена на рис. 2.3-/
Подсчет энергии деформации для этой системы дает величину
что, разумеется, больше, чем Е..
В рассмотренной выше задаче система, изображенная на рис 2.3-а,
образуется из модифицированной системы по рис. 2.3-с с помощью
наложения на последнюю одной кинематической связи - запрещением
поворота качелей вокруг точки их опирания. Аналогично, исходная система
по рис. 2.3-а образуется из системы по рис. 2.3-е закреплением от поворота
одного из балансиров - второй балансир при этом автоматически лишается
возможности вращения.
В механической интерпретации наложение силовой связи на систему
всегда эквивалентно снятию некоторой кинематической связи. И наоборот,
введение в систему кинематической связи эквивалентно устранению
некоторой силовой связи.
Казалось бы, что такое (взаимно обратное) соответствие силовых и
кинематических связей исключает необходимость самостоятельного
рассмотрения силовых связей, поскольку они всегда могут быть сведены к
кинематическим. Это действительно так, и в механике обычно понятие
силовых связей не вводят. Однако, прямой анализ влияния силовых связей
на поведение механической системы может в некоторых случаях оказаться
удобнее, чем и оправдано выделение этих связей в самостоятельный класс.
2.4.3 Наращивание системы
В этом пункте нас будет интересовать качественная картина
чувствительности рассматриваемых функционалов к изменениям самой
области Q в постановке задачи. Короче говоря, сравнению подлежат
значения функционалов Лагранжа и Кастильяно для исходной задачи и для
задачи с наращиванием области Q до Q + 5Q.
Влияние наращивания системы можно исследовать и непосредственно,
однако проще свести дело к уже изученному вопросу о влиянии
дополнительных связей. С этой целью мысленно разрежем область Q

64 2. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
некоторой поверхностью на две подобласти, так что Q = Qi + Q2, как это
показано на рис 2 4 Поверхность раздела области Q на две подобласти
обозначим Гг 2-
В нашем рассмотрении будем стартовать от системы, состоящей из двух
несвязанных подобластей Q.x и Q2 В таком случае при заданных внешних
воздействиях значение функционала Лагранжа на этой системе складывается
из суммы значений функционалов Ц. + L2., подсчитанных порознь для
каждой из упомянутых подобластей.
Рис. 2.4. Разделение области на две подобласти
Несложно понять, что функционал Лагранжа для неразделенной области
Q, то есть для системы, изображенной слева на рис 2 4, представляет собой
сумму функционалов L = Ц + L2 , причем минимум этой суммы должен
отыскиваться при дополнительном условии совпадения перемещений
каждой из этих раздельных систем на поверхности раздела Гп Эти условия,
записанные в виде
«! = и2 е Л 2, (4 10)
есть не что иное, как одна из форм условий кинематических связей12
Поскольку сумма Ц. + L2. (равно как и Кг + К2.) представляет собой
значение соответствующего функционала на системе, состоящей из
отдельных не связанных областей Q.x и Q2, то отсюда сразу же приходим к
оценкам
L,. + L2.?L. , К!. + К2.> К. (4 11)
Если область Qi принять за исходную область Q, а область Q2
рассматривать как возмущение 5Q и при этом предполагать, что для 8Q
отсутствуют внешние воздействия, то в (4 11) следует положить L2. = 0 и
К2. = 0, что после перехода к обычным обозначениям для исходной и
возмущенной задач дает
L.<L , К.> К. (4 12)
Поскольку речь идет о поиске точки минимума функционала Лагранжа то нет
необходимости требовать совпадения напряжений на общей границе областей Г12
Условия сопряжения областей по напряжениям являются следствием условий
стационарности лагранжиана на множестве функций, удовлетворяющих
соотношениям (4 10)

2.4 Чувс
энергии деформации к модификациям системы 65
Итак, при наращивании системы значение функционала Лагранжа не может
уменьшиться, а значение функционала Кастильяно не может увеличиться. В
таблице 2.3 в наглядном виде показано влияние наращивания системы на
поведение основных функционалов.
Таблица 2 3
Тип
1!01М\11|СНИЯ
Наращивание
системы
Внешние воздействия на систему
Силовые и
кинематические
L. l. L.
К.- К,
Только
силовые
пк=о
Е.1Ё.
Только
кинематические
П,= 0
Е.:_ Ё.
Если учесть функциональную зависимость основных функционалов от
области Q, то эти же результаты можно записать и в иной форме, в виде
следующих неравенств
Л. «Ж.
>0, -^г^О, (4-13)
dn~
dQ. '
что иногда оказывается более удобным.
В заключение этого пункта отметим, что, как правило, все неравенства,
рассмотренные здесь, будут строгими. Равенство же будет справедливым
тогда и только тогда, когда в области 8Q, присоединяемой к первоначальной
области, не возникает после этого присоединения какого либо напряженного
состояния. Нужно только помнить, что сначала производится «склейка»
ненапряженных областей, и лишь после этого к области Q, как к части
объединенной области Q + 8Q, прикладываются внешние воздействия.
Доказательство этого факта предоставляем читателю в качестве
упражнения.
2.4.4 Модификация жесткостных характеристик системы
Посмотрим также, как влияет на значения функционалов изменение
тензоров С и К, входящих в разрешающие уравнения задачи (1.2.2). Вместе с
исходной задачей рассмотрим и возмущенную задачу, отличающуюся от
первоначальной задачи тем, что возмущения этих алгебраических
операторов
ЪС= С-С,
ЪК= К-К,
(4.14)
в каждой точке области Q положительно полуопределены, то есть
выполняются условия
аТдСа>0, ЬТ5КЬ>0 (4.15)
для любых векторов а и Ь подходящей размерности.

66 2. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Выпишем явные выражения для функционалов Лагранжа в случае
исходной и возмущенной задачи. На основании (2.6), (2.5) и (1.13) имеем
L(u) = Vi (САи, Аи) + Vi (Ки, и) - (X , и) + (Ep p, EpHuu)r ,
L (u) = Vi (САи, Am) + V2(Ku,u)-(X ,u) + (Epp,EpHuu)r
и, следовательно, с учетом (4.15) получаем оценку
С (и) - L(u) = 'Л (5С4и, Аи) + 'А (5Жи, и) > 0 . (4.16)
Из (4.16) тем более следует неравенство
С (и) > L(u) > mm L(u) = L..
Но, поскольку последнее справедливо для любого вектора и, то значит и
Ь<Ц , К.> К,. (4.17)
Понятно, что второе из неравенств в (4.17) вытекает из первого и тождества
(4.3).
Итак, при ужесточении характеристик упругого тела и/или упругой среды
значение функционала Лагранжа не может уменьшиться, а значение
функционала Кастильяно не может увеличиться. Если обратиться к
раздельному рассмотрению случаев силового и кинематического
воздействия на систему, то полученному выводу можно придать следующую
физически более прозрачную формулировку:
При увеличении жесткостных характеристик упругого тела
и/или упругой среды в случае чисто силового погружения энергия
деформации системы Е« не может увеличиться, а при чисто
I кинематическом воздействии не может уменьшиться |
Условия модификации механической системы в виде неравенств (4.15)
гарантированно выполняются, например, при увеличении модуля упругости
материала и/или коэффициентов жесткости упругой среды при
диагональной матрице К. Любопытно, однако, проследить, как интегрально
(в энергетическом смысле) влияет на поведение системы изменение такого
параметра, как коэффициент Пуассона v.
Для трехмерной задачи теории упругости [13, стр 71-74], записанной в
матрично-векторной форме, матрица жесткости изотропного материала С и
обратная ей матрица податливости С"1 могут быть представлены в виде

2.4 Чувствительность энергии деформации к модификациям системы 67
X
+ 2ц
X
0
0
0
X
X
X + 2\i
0
0
0
0
0
0
ц
0
0
0
0
0
0
ц
0
0
0
0
0
0
^_
0 0 0 2(l + v)
0 0 0 2(1+ v) 0
0 0 0 0 2(l + v)J|
где упругие характеристики Ламе X и ц связаны с техническими
характеристиками материала модулем упругости Е и коэффициентом
Пуассона v следующими соотношениями
„ ЪХ + 2\у
Е = и. -,
X + v
или в обращенном виде
X
\i= • (4.19)
(l-2v)(l + v) * 2(1 +v)
Из курса линейной алгебры [3, стр.296] известно, что условие (4.15)
положительной полуопределенности матрицы 8С эквивалентно требованию
неотрицательности ее собственных чисел. Непосредственными вычис-
лениями раскрывая характеристический определитель матрицы С,
устанавливаем, что все ее собственные числа р, (г=1,...,6) являются
корнями полинома
(ц-р)3(2ц-р)2(ЗЯ. + 2ц-р) = 0
(4.20)
Отсюда видно, что при возрастании характеристик Ламе X и ц эти
собственные числа также вырастают, и значит при таком изменении
характеристик матрица 8С будет положительно полуопределенной. Если же
изменениям подвергать коэффициент Пуассона, увеличивая его значение от
v до v + Л, то приращения первых пяти из шести (с учетом кратности)
собственных чисел р, оказываются отрицательными, тогда как приращение
шестого собственного числа имеет противоположный знак. Действительно,
знак этих приращений определяется знаком производных dp/dv , что дает

68 2. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
4*=-_* <0, d(3X + 2^) ^ _2Е_>0
dv 2(1+ v)2 dv (l-2v)2
Итак, при варьировании значения коэффициента Пуассона знак изменения
значений функционалов Лагранжа и Кастильяно в общем случае не
определен.
2.4.5 Возмущение внешних воздействий
В этом пункте рассмотрим поведение основных функционалов при
изменениях внешних силовых и/или кинематических воздействий.
Сначала рассмотрим случай простого пропорционального изменения всех
внешних воздействий. Предположим, что при заданном внешнем
воздействии V= {X ,р,й } известно точное решение задачи, определяемое
полем F = {о, е, и} Рассмотрим возмущенное состояние системы,
отличающееся от исходного состояния наличием у всех трех компонент
внешних воздействий общего множителя t, что позволяет записать эти
воздействия в виде tV= {tX , tp,tu} В силу линейности задачи решение
F для возмущенного состояния определяется полем F=tF. И несложно
подсчитать, что значения всех функционалов на решении возмущенной
задачи будут связаны квадратичной (по параметру i) зависимостью со
значениями тех же функционалов на решении исходной задачи
Ё. =<2Е., П8. =<2П,., Пк„ =^Пк. , С„=Л.., К. = <*!<.. (4.22)
Действительно, (4.22) вытекает из определения соответствующих
функционалов и цепочек преобразований
Ё, = <F,F> = <tF,tF> = i1<F,F> = i1E.,
П5. =(?X ,u) + (Eptp,Ерй)г= (tX , /u) + (Eptp,Eptu)r= ^П8.,
Пк. = (EuHa6,Eutu)r=(Eutp,Eutu )r= ?Ylk..
Рассмотрим теперь эффект, возникающий от сложения двух независимых
воздействий. Пусть известны два состояния системы с воздействиями,
результирующими полями и значениями функционалов, помечаемыми
индексами 1 и 2 соответственно. При совместном приложении к системе
суммарных воздействий в силу линейности задачи результирующее поле
F = F\+ F2 представляет собой сумму полей состояний 1 и 2 системы.
Подсчитаем аккумулируемую системой энергию деформации Е* при
суммарном воздействии на систему
Е. = < Fi + F2, F, + F2> = Ei. + E2. + 2<Fb F2>

2.4 Чувствительность энергии деформации к модификациям системы 69
Но выражение 2<FUF2> представляет собой взятую со знаком минус
возможную работу -B12 = -B2i всех внутренних сил одного из двух
состояний системы на перемещениях другого состояния. На основании
общего начала статики и геометрии это же выражение 2<F\,F2> можно
интерпретировать и как возможную работу A12 = A2i всех внешних
(активных и реактивных) сил одного из двух состояний системы на
перемещениях другого состояния. Поэтому окончательно получим
Е. = < F, + F2, F, + F2> = Е,. + Е2. + А12. (4.23)
Аналогично, исходя из формул (2.5) и (3.2), можно показать, что для
силового и кинематического потенциалов l~ls* и Пк» при суммарном
воздействии на систему справедливо представление
П.. = П,1.+ П12. + А1ц12 + А>л, П^ГЬс.+ Пи. + А^ + А^,, (4.24)
где AsУ = (Х1, и,) + (Ерpt, EpUj)r, Ак>!; = (Еир„ Еи Jij )г - возможная работа
активных и соответственно реактивных сил состояния i на совокупности
полных перемещений состояния у.
Нет оснований считать, что А^ = А^, или Ак,,> = Ак>7, , так как теорема
взаимности работ справедлива только лишь для суммы соответствующих
величин
Ау = As, „ + Ak>v = \л + AKjl = Ap. (4.25)
2.4.6 Вторая теорема о минимуме энергии деформации
Рассмотрим два независимых воздействия на систему, одно из которых
является чисто кинематическим (активные внешние силы отсутствуют), а
другое чисто силовым (нет заданных перемещений, отличных от нуля).
Состояние системы при кинематическом воздействии назовем состоянием О,
а состояние системы при силовом воздействии - состоянием 1.
Теперь представим себе такую программу нагружения, когда к системе
прикладывается сначала чисто кинематическое внешнее воздействие, а затем
добавляется чисто силовое. Образующееся в результате кинематического
воздействия состояние 0 системы можно считать начальным ее состоянием
при дальнейшем нагружении системы внешними силами. На основании
формулы (4.23) запишем выражение для суммарной энергии деформации,
накопленной в системе после второго этапа нагружения
Е.= Ео. + Е,. + Ао,.
В силу специфики принятых воздействий Aoi = 0. Действительно, в
состоянии 0 из внешних сил наличествуют только реактивные внешние
силы, а в состоянии 1 соответствующие этим силам перемещения равны
нулю. Таким образом, последнее соотношение упрощается до

70 2. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Е.= Е0. + Е,., (4.26)
и в силу положительности энергии деформации
Е. > Е,.. (4.27)
Заметим, что неравенство (4.27) получено нами в предположении о том,
что начальное состояние системы 0 вызвано чисто кинематическим
воздействием. Несложно понять, однако, что от этого ограничения легко
освободиться и считать справедливым (4.27) при любом начальном
состоянии системы, лишь бы это состояние было самоуравновешено
(лишено активных внешних сил). Причина же, по которой возникло
начальное самоуравновешенное состояние (скажем, заданные дислокации
или температурное воздействие), несущественна для справедливости
равенства Aoi = 0, а значит и для (4.27).
В такой интерпретации неравенство (4.27) составляет содержание так
называемой "второй теоремы о минимуме энергии" которую приведем
здесь в формулировке, данной Саусвеллом [10, стр.124]:
Значение энергии Е» (суммарной упругой энергии, запасаемой
телом после приложения внешних сил) в теле с начальными
напряжениями всегда больше, чем в теле без начальных
напряжений. Энергия Е. принимает свое минимальное значение при
| Е0« = 0, то есть при отсутствии начальных напряжений |
Мы привели здесь формулировку второй теоремы о минимуме энергии,
взятую у Саусвелла почти дословно13.
2.4.7 Принцип Сен-Венана и его энергетическое обоснование
Полученный ранее вывод о влиянии наращивания системы на изменение ее
энергии деформации поучителен еще и в том отношении, что на его основе
может быть выстроено энергетическое истолкование известного в теории
упругости принципа Сен-Венана. Приведем здесь эти соображения,
основная идея которых заимствована нами из статьи Г.Ю. Джанелидзе и
Я.Г. Пановко [13], которые в свою очередь ссылаются, как на
первоисточники, на результаты Саусвелла [14] и Занабони [15]. Схема
рассуждений Занабони приведена также в книге В. Новацкого [2,
стр. 294-299].
Известны различные (эквивалентные) формулировки принципа Сен-
Венана. Нам будет удобно воспользоваться следующей.
Саусвелл называет величину Е. полной энергией Но тут может возникнуть
терминологическая путаница, так как в наше время полной энергией называют не
энергию деформации, а лагранжиан, как об этом упоминалось в §2 2 Поэтому
вместо полной энергии мы предпочли здесь говорить о суммарной энергии.

2.4 Чувствительность энергии деформации к модификациям системы 71
Пусть к деформируемой системе приложена совокупность внешних сил в
некоторой окрестности избранной точки ее, и пусть эта система сил
статически эквивалентна нулю (самоуравновешенная система сил). Тогда, по
мере удаления от этой окрестности, напряженное состояние в системе будет
убывать
Смысл принципа Сен-Венана заключается в том, что в нем утверждается
лишь сам факт убывания напряжений и деформаций по мере удаления от
места приложения нагрузки. Характер же этого убывания, то есть его
скорость, в такой общей постановке не может быть выявлен. Более того,
скорость затухания напряжений и деформаций существенным образом
зависит от класса рассматриваемых задач, однако сам факт убывания,
который собственно и постулируется принципом Сен-Венана, может быть
обоснован энергетическими соображениями.
Итак, пусть упругое деформируемое тело, занимающее область С1 с
границей Г, нагружено внешними силами X, отличными от нуля и
самоуравновешенными в некоторой ограниченной области Ц,. Окружим
область нагружения Qp некоторой границей Г\ и границей Г2, целиком
лежащими в области П, как это показано на рис. 2.5.
Рис. 2.5. К обоснованию принципа Сен-Венана
Здесь существенно, что область нагружения Ц, целиком входит в область
Qi с внешней границей Ги которая в свою очередь целиком входит в область
с внешней границей Г2, причем последняя область входит в исходную
область Q Обозначим через С12 область, содержащуюся между границами
Д и Г2, а через С1Ъ область, содержащуюся между границами Г2 и Г. Если
обозначить через р\ усилия взаимодействия, развивающиеся иа Л между
областями 0.\ и Q2, а через р2 усилия взаимодействия, развивающиеся на Г2
между областями С12 и Q3, то принцип Сен-Венана сводится к утверждению,
что в некотором смыслер2 меньше, чем/*!
В качестве меры, по которой производится сопоставление этих двух
усилий, принимается не поточечное их значение, а некоторая интегральная
4-818

72 2. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
характеристика напряжений, точнее говоря, энергетическая мера этих
усилий.
Введем следующие обозначения:
• Е(Х) - значение потенциальной энергии деформации, аккумулируемой в
области Q под действием заданных сил X;
• Е\(Х) - значение потенциальной энергии деформации, аккумулируемой в
отделенной от остальной части системы области ^ под действием сил X;
• Е,(/»,)-значение потенциальной энергии деформации, аккумулируемой в
отделенной от остальной части системы области Q, (г =1,2,3) под
действием сил/», (J = 1,2).
Покажем здесь, что суммарная энергия, порождаемая более удаленными
от области нагружения поверхностными силами /»2, меньше той энергии,
которая создается работой поверхностных сил /»ь действующих на более
близкой к области нагружения границе Г\, то есть
Е2(р2) + Еъ(р2)<Е,(р,) + Е2(р{). (4.28)
Именно в этом смысле мы и будем говорить, что усилия /»2 меньше
усилий/»ь и значит в этом же смысле напряжения убывают по мере удаления
от области нагружения.
Для доказательства неравенства (4.28) прежде всего заметим, что энергия
деформации Е(Х), запасаемая в исходной системе, может быть представлена
в виде
Е(Л) = {ЕКДО+Е^МСр, Л)} + {Е2(/»,)+Е2(/»2)+А2(/»„Р2)} + Ез(р2), (4.29)
где помимо уже введенных обозначений положено:
• Ai(/»i, X) - работа, совершаемая в области ?1\ силамир\ на перемещениях,
вызванных силами X;
• А2(/»ь/»2) - работа, совершаемая в области Q2 силами/»i на перемещениях,
вызванных силами/»2.
Выражение, записанное в первой фигурной скобке в (4.29), есть
суммарная энергия деформации, запасаемая в Qj; следующая фигурная
скобка содержит выражение для энергии, аккумулируемой в Q2; последнее
же слагаемое Еъ(р2) представляет собой энергию, накапливаемую в Q3.
Зададимся теперь вопросом о том, как изменится энергия Е(Х), если
вместо фактически возникающих краевых усилий р\ и /»2 мы приложим
усилия а/>1 и (3/»2, где а и (3 числовые множители. Несложно понять, что
суммарная энергия в этих условиях нагружения примет вид
Е(Х,а,(3) = {Е,(Х) + а2Е,(р,) + аА,(р,Л)} +
+{а2Е2(р,) + р2Е2(/»2) + арА2(/»ь/»2)} + р2Е3(/»2),
так что мы можем теперь рассматривать Е(Х,а,Р) как функцию двух
аргументов а и р.

2.4 Чувствительность энергии деформации к модификациям системы 73
Обратим внимание на то, что усилия ри взятые в целом по всей границе
Ги самоуравновешены, и то же самое относится к усилиям р2. Благодаря
этому обстоятельству мы имеем право апеллировать к вариационному
принципу Кастильяно, согласно которому функция Е(Х,а,(3) должна
принимать минимальное значение при а = 1и (3 = 1, поскольку эти числовые
значения параметров отвечают истинному распределению усилий в системе.
Отсюда следует, что должны выполняться условия
8а la-ifp-i ' aP Li.p.1
что приводит к следующим двум уравнениям
2E,(p,)+Ai(pi, Х)+2Е2(р])+А2(рир2) = 0, 2Е2(р2)+А2(рь^2)+2Ез(р2) = 0 .
Разрешая эти уравнения относительно работ А\(риХ) и А2(р\,р2),
находим, что
МРиРг) = -2Е2(р2Ь2Ез(р2), А,(рь X) = -2Ех{р1)-2Е2{рх)+2Е2{р2)+2Еъ{р2).
После подстановки этих выражений в (4.29), приходим к равенству
Е(Х) - Е,(А) = - Е,(р,) - Е2(р,) + Е2(р2) + ЕзЫ • (4.30)
Но энергия Е(Х) по сравнению с Е^А) представляет собой энергию в
системе с наращенной областью, следовательно, на основании данных
таблицы 2.3 Е^Х) > Е(Х). Более того, в интересующем нас случае можно
считать, что выполняется строгое неравенство Е\(Х) > Е(Х), так как
равенству здесь отвечает отсутствие каких либо напряжений за пределами
области Q] и, следовательно, принцип Сен-Венана будет гарантированно
выполняться. Из (4.30) и отмеченного неравенства вытекает справедливость
неравенства (4.28), что и требовалось доказать.
Отметим, что в работе [13], на которую мы выше ссылались, на самом
деле доказывается несколько иное неравенство, а именно
Eui(Pi) + ЕзЫ < Е,(р,) + Е2+зЫ , (4.31)
где Е^+2(р2) - это энергия, запасаемая в суммарной области Q1+Q2 от
действия сил/>2, a E2+3(pi) - энергия, запасаемая в суммарной области Q2+Q3
от действия силр\.
Понятно, что различие между неравенствами (4.28) и (4.31) в целях
обоснования принципа Сен-Венана несущественно и заключается лишь в
конструировании и интерпретации энергетической меры усилий р\ и р2 при
их сопоставлении между собой.
В заключение этого пункта хотим еще раз обратить внимание читателя на
работу [13], в которой вопрос об условиях применимости принципа Сен-
Венана обсужден весьма подробно, в том числе и с анализом скорости
затухания напряжений для различных классов задач. Мы рекомендуем
всякому, интересующемуся более глубоким изучением этой темы,

74 2. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
ознакомиться со статьей [13], не устаревшей до настоящего времени,
несмотря на ее почтенный возраст.
2.5 Обобщенные силы и обобщенные перемещения
2.5.1 Силовые воздействия. Теорема Кастильяно
Рассмотрим теперь ситуацию, когда деформируемая система подвержена т
независимым чисто силовым воздействиям V, = {Р1Х1, Pipi, 0} (г = 1,.. .,/й),
каждое из которых представляет собой набор распределенных по объему
тела и по его поверхности нагрузок. Допустимый к рассмотрению класс
силовых воздействий ограничим пока что всего лишь одним требованием: а
именно, будем считать, что для каждого из т воздействий V, выполнены
условия существования равновесного состояния системы в форме равенства
нулю возможной работы внешних сил .У(и/>,на любых однородно
кинематически допустимых жестких смещениях системы - см. §2.1.6.
Любой набор воздействий вида V, = {РгХ,, Pipl ,0}=Р1{Х1,р1,0} из
допустимого класса можно рассматривать как внешнюю обобщенную силу,
а скалярный множитель Pt как величину этой обобщенной силы. Тогда
приращение обобщенного перемещения dq„ соответствующего этой
обобщенной силе, есть коэффициент в выражении для работы этой силы
Ptdq,
Рассмотрим т единичных состояний системы, причем r-ое ее единичное
состояние с полем НДС F, является истинным состоянием системы,
отвечающим воздействию на эту систему одной только z-ой единичной
обобщенной силы {Х^р^О}, то есть при Р,— 1- Понятно, что все
единичные поля F, относятся к классу однородно кинематически
допустимых полей. Более того, будем считать, что все они принадлежат
лагранжеву энергетическому пространству ??, следовательно имеет смысл
энергетическое скалярное произведение <F„ Fj>.
В этих условиях результирующее выражение для энергии деформации
системы Е. при суммарном приложении к ней всех т внешних силовых
воздействий удобно представить в матричной форме

2.5 Обобщенные силы и обобщенные перемещения 75
-ш *.и
K..+PmFJPlFl+.
Ап ••¦ А1т1
Ат1 ... Атт\
¦+PmFm>
\Р']
и
(5.1)
где A,, = 2<F„ Fj> - это возможная работа r'-ой единичной обобщенной силы
на перемещениях системы, вызванных действием на нее у'-ой единичной
обобщенной силы. Таким образом, энергия деформации системы
представляет собой однородную квадратичную форму от величин
обобщенных сил с матрицей А, в покомпонентном виде представимой через
энергетические скалярные произведения (в лагранжевом энергетическом
пространстве) А = \[2<F„ Fj>]\.
Пусть вектор q = \[qu qi,..., qm]\T есть вектор обобщенных перемещений,
соответствующий вектору обобщенных сил Р=\[Ри Рг,.~, Рт]\Т ¦ Это
означает, что энергия деформации Е* может быть представлена в виде
E* = V2PJq. (5.2)
Сопоставляя (5.1) и (5.2), находим, что
q = AP , (5.3)
и, следовательно, матрица А может быть истолкована как матрица
податливости системы, соответствующая вектору обобщенных сил Р. В
дальнейшем матрицу податливости будем обозначать буквой D, поэтому при
чисто силовом воздействии
2<F
2<FmA>
2<Fx,Fm>
E.= V2P'DP. (5.5)
Из (5.3) и (5.1) получаем формулу для определения вектора обобщенного
перемещения q
или в покомпонентном виде
_5Е.
дР
(5.7)

76 2. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Формула (5.7) составляет содержание теоремы, известной в строительной
механике как теорема Кастильяно, которая прочитывается следующим
образом:
Обобщенное перемещение q„ отвечающее обобщенной силе Р„
равняется частной производной от потенциальной энергии
\ деформации системы Е«, взятой по этой силе. |
Понятно, что при формулировке теоремы Кастильяно энергия деформации
системы Е* понимается как функция (точнее, квадратичная форма) от
совокупности действующих обобщенных сил Р\, Рг,-, Рт ¦
Очевидно, что произвольный элемент Ъу = 2<F„ Fj> матрицы подат-
ливости D может быть истолкован как обобщенное перемещение
соответствующее /-ой обобщенной силе Р„ но вызванное у'-ой единичной
обобщенной силой Pj=l. Из свойства симметрии скалярного произведения
вытекает нечувствительность коэффициентов 5V к перестановке индексов
б,у = 5,,, что в строительной механике известно как теорема Максвелла о
взаимности перемещений.
2.5.2 Кинематические воздействия. Теорема Лагранжа
Пусть теперь деформируемая система подвержена п независимым чисто
кинематическим воздействиям V, = {0, 0, q, й,} (/=1,...,и). Любой набор
внешних воздействий вида {0, 0, q, й,} -q^u,} можно рассматривать как
заданное обобщенное перемещение, а скалярный множитель q, как величину
этого перемещения. Внешних активных сил ни в одном из рассматриваемых
состояний нет, есть лишь реактивные силы. Обобщенная (реактивная) сила
Р„ соответствующая обобщенному перемещению q„ есть коэффициент в
выражении для приращения работы Prfq, на приращении этого
перемещения dq,.
Рассмотрим п единичных состояний системы, причем r'-ое единичное
состояние с полем НДС F, отвечает кинематическому воздействию на эту
систему в виде заданного /-ого единичного обобщенного перемещения
{0,0, й(}, то есть при q,= l и равных нулю остальных обобщенных
перемещениях qs = 0 (/ Ф /). Очевидно, что все единичные поля F, относятся к
классу однородно статически допустимых полей. Более того, будем считать,
что все они принадлежат кастильянову энергетическому пространству Л,
следовательно имеет смысл энергетическое скалярное произведение
<F„ Fj>.
Результирующее выражение для энергии деформации системы Е« при
суммарном приложении к ней всех внешних кинематических воздействий
удобно представить теперь в матричной форме

2.5 Обобщенные силы и обобщенные перемещения 77
Е. = <ta,F,+...+qfn), (qiFi+...+ qj?„)> =
\\9i
1Я*.
1 т.
где Av = 2<F„ i^> это возможная работа реактивных обобщенных сил z'-oro
единичного состояния системы на перемещениях у-ого единичного
состояния. Таким образом, энергия деформации системы представляет собой
однородную квадратичную форму от величин обобщенных перемещений с
матрицей А, в покомпонентном виде представимой через энергетические
скалярные произведения (в кастильяновом энергетическом пространстве)
KaKA = |[2<F„F7>]|.
Пусть вектор Р=\[Р\, Рг,—, Рт]\ есть вектор реактивных обобщенных
сил, соответствующий вектору заданных обобщенных перемещений
q = \[q\,q2,—, qm]\ ¦ Это означает, что энергия деформации Е. может быть
представлена в виде
E. = V2PJq.
Сопоставляя (5.8) и (5.9), находим, что
P = Aq,
(5.9)
(5.10)
и, следовательно, при чисто кинематических воздействиях матрица А может
быть истолкована как матрица жесткости системы, соответствующая
вектору обобщенных перемещений q. В дальнейшем матрицу жесткости
системы будем обозначать буквой R, поэтому при чисто кинематическом
воздействии
2<ад>
2<^,*L>"
E*=y2qTRq. (5.12)
Из (5.8) и (5.10) получаем формулу для определения вектора реактивных
обобщенных сил Р
5Е
/>=-—, (5.13)
dq
или в покомпонентной форме
еЕ
Р,=-г— (5-14)

78 2. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Формула (5.14), двойственная формуле (5.7), известна как теорема
Лагранжа:
Обобщенная сила Р„ отвечающая обобщенному перемещению q„
равняется частной производной от потенциальной энергии
деформации системы Е«, взятой по этому перемещению.
Напоминаем, что при формулировке теоремы Лагранжа энергия
деформации системы Е» понимается как функция (точнее, квадратичная
форма) от совокупности заданных обобщенных перемещений Ц\, Цг,.~, q„,
рассматриваемых в качестве внешних воздействий на систему.
Очевидно, что произвольный элемент гч = 2<F„ Fj> матрицы жесткости R
может быть истолкован как реакция в связи, соответствующей z-ому
обобщенному перемещению q„ но вызванная у-ым единичным обобщенным
перемещением q,-\. Из свойства симметрии скалярного произведения
вытекает нечувствительность коэффициентов гч к перестановке индексов
Гу = гл, что в строительной механике известно как теорема Релея о
взаимности реакций.
2.5.3 Об обращении матриц податливости и жесткости
Вернемся вновь к чисто силовому воздействию на систему и предположим
дополнительно, что все т внешних силовых воздействий линейно
независимы. Это означает, что ни одно из воздействий {P,Xt, Pipl}
(i=l,...,m) не может быть представлено в виде линейной комбинации
остальных т-\ воздействий. Вполне понятно, что это условие необходимо
для того, чтобы и соответствующие единичные состояния системы,
определяемые полями НДС F,(i = l,..., т), также были линейно независимы
как элементы лагранжева энергетического пространства. Казалось бы, что
это условие одновременно является и достаточным для линейной
независимости полей F, (z= \,...,т). Однако на самом деле это не так14.
Именно поэтому мы будем предполагать в качестве самостоятельного
условия линейную независимость всех единичных состояний системы, что в
практических задачах легко проверяется. Но тогда матрица податливости D
квадратичной формы (5.5), записанная в виде
2<F,F>
2<^,^„>
(5.15)
представляет собой матрицу Грома для линейно независимых элементов [3],
и значит является невырожденной и, более того, положительно
определенной матрицей.
14 Предоставляем читателю возможность построить соответствующий контрпример

2.5 Обобщенные силы и обобщенные перемещения 79
Поскольку матрица податливости D, как это было только что установлено,
невырождена, то линейное соотношение (5 3) можно обратить, что дает
P = DAq, (5 16)
и, следовательно, из (5 2) получим
Е. = '/2 qJDAq (5 17)
Для матрицы Z)"1 (если она существует') также употребляется название
матрицы жесткости системы, соответствующей вектору обобщенных
перемещений q Однако матрица Z)"1 на самом деле характеризует жесткость
не исходной системы, а системы, образованной из заданной наложением т
кинематических связей, препятствующих обобщенным перемещениям
Я, 0=1, , т)
Проведем теперь аналогичные рассуждения для случая чисто
кинематических воздействий Пусть все п единичных состояний системы
линейно независимы Необходимым (но не достаточным') условием этого
является линейная независимость всех п кинематических воздействий Если
все же все п единичных состояний системы линейно независимы, то матрица
жесткости R квадратичной формы (5 12), записанная в виде
2<F],F1>
2<Fn,Ft>
2<F,F~,
2<F„,F„>
(5 18)
представляет собой матрицу Грама для линейно независимых элементов, и
значит является невырожденной и, более того, положительно определенной
матрицей
Если матрица жесткости R невырождена, то линейное соотношение (5 10)
можно обратить, что дает
q = RxP, (5 19)
и, следовательно, из (5 12) получим
E. = l/2PTRlP (5 20)
Для матрицы R'1 (если она существует') также употребляется название
матрицы податливости системы, соответствующей вектору обобщенных
реактивных сил Р Впрочем, матрица Л"1 на самом деле характеризует
податливость не исходной системы, а системы, образованной из заданной
удалением п кинематических связей, ранее препятствовавших обобщенным
перемещениям #, 0 = 1, .,п)

80 2. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
2.5.4 Лемма о связях
Рассмотрим две механические системы SA и SB, упорядоченные в том
смысле, что «старшая» система SB образована из «младшей» системы SA с
помощью введения в SA нескольких дополнительных связей15, скажем в
количестве п Пусть FA и FB соответствующие истинные поля НДС для этих
систем, отвечающие одному и тому же внешнему воздействию V Для этой
пары полей (FA и FB) образуем поле НДС FBA = FB - F\, которое мы назовем
разностным полем
Пусть .^Ако и 3Phso соответственно множества однородно кинематически
допустимых и однородно статически допустимых полей для системы SA, а
¦^Ъь и ^bso аналогичные множества для системы SB Нас будет интересовать
здесь принадлежность разностного поля соответствующим линеалам
Справедливо следующее утверждение, которое мы и называем леммой о
связях, а именно
При произвольном воздействии V разностное поле FBA является I
однородно кинематически допустимым полем для младшей
системы SA и однородно статически допустимым полем для
старшей системы SB, иначе говоря
^влб-^Ако и FBAe^%so
Система SB образована из системы SA с помощью наложения на
последнюю п связей, так что мы можем считать, что линеал ^Ъь образован
из элементов линеала ^ь , удовлетворяющих условию ортогональности
(v,- uko) = 0 (/ = 1. ,п) V ukoe^bko • (5 21)
где v, есть, как обычно, вектор связи ;-ой связи Отсюда непосредственно
вытекает условие вложения линеалов
^AkoO^bko (5 22)
Множество всех физически допустимых полей & для систем SAn SB одно и
то же Поэтому из (5 22) и теоремы об общем виде произвольного физически
допустимого поля вытекает справедливость противоположного направления
вложений для однородно статически допустимых линеалов
/а» с ^so (5 23)
Обратим также внимание на то, что при чисто силовом воздействии
результирующее поле для любой системы является однородно
кинематически допустимым, а при чисто кинематическом воздействии -
однородно статически допустимым
и Говоря о связях, в этом пункте мы б\дем иметь в виду исключительно
кинематические связи

2.5 Обобщенные силы и обобщенные перемещения 81
Далее обозначим через X = \[ Хи.. , Х„]\ вектор реакций в наложенных
связях, возникающих в системе Sb, а через Z= |[Zb.. ,Z„]|T вектор
соответствующих этим реакциям обобщенных перемещений по
направлениям этих же связей, которые возникают в системе SA На
основании принципа независимости действия сил можно записать16
FA(V)+FA(X) = FB(V), FB(V)+FB(Z) = FA(V) (5 24)
Здесь в скобках в качестве аргумента указано то внешнее воздействие, от
которого получено результирующее поле Из (5 24), кстати говоря,
получаем полезное тождество
FA(X)+FB(Z) = 0 (5 25)
Но поле FA(X) есть результирующее поле системы SA при чисто силовом
воздействии, следовательно FA(X) e^k0. Аналогично FB(Z) является
результирующим полем для системы SB при чисто кинематическом
воздействии, следовательно FB(Z) e^bso. Поэтому из (5 24) непосредственно
вытекает,
Fba = FB{V) - FA{V) = - FA(X) e *>Ako ,
FBA = FB(V) - FA(V) = - FB(Z) e ^so ,
что и требовалось доказать.
2.5.5 Формула Мора и двойственная к ней формула
Во многих случаях интерес вызывает величина обобщенного перемещения
#;,, соответствующего z-ой обобщенной силе Р„ но вызванного у-ой
обобщенной силой Р} Это перемещение можно представить в виде
<7i, = 5?P7, (5.26)
где 5 у - то же самое перемещение, но вызванное единичной обобщенной
силой Р] = \. Из предшествующего понятно, что Ъу= A,j = 2<F„Fj>
Воспользовавшись теперь формулой (1.45), получим окончательно
5(, = (Се„ ?;) + (Ки„ и;) = (С"'в,, e7) + (Ки„ Uj). (5.27)
Здесь в„ е„ и, элементы поля F,, порождаемого в системе действием
единичной силы Р,= 1, а в7, 8,, и, элементы поля F}, порождаемого
действием единичной силы Р}=\.
Формула (5.27) в строительной механике носит название формулы Мора и
имеет весьма широкое применение. Как это видно из формулы Мора, в такой
общей форме она справедлива не только в задачах строительной механики
' Читатель, без сомнения, заметит, что первое уравнение в (5 24) представляет собой
по существу уравнение метода сил для системы SB Аналогично второе уравнение в
(5 24) истолковывается как уравнение метода перемещений для системы SA

82 2. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
стержневых систем, но и в теории упругости, теории пластин и оболочек и в
иных прикладных теориях механики твердого деформируемого тела.
Вспомним, что оба рассматриваемых поля F, uFj являются однородно
кинематически допустимыми, поскольку как в состоянии г, так и в состоянии
j, внешние воздействия являются чисто силовыми. Но тогда, в силу теоремы
об ортогональности полей, в формуле Мора от одного из двух полей
(скажем, для определенности от поля F,) можно без нарушения равенства в
(5.27) вычесть произвольное однородно статически допустимое поле Fso
8„ = (С "Ч-ко, в, - О + (Kuiko, u7 - uso), (5.28)
где eso и uso - элементы однородно статически допустимого поля. В (5.28)
элементы поля F, сознательно снабжены дополнительным индексом к0
только для того, чтобы подчеркнуть справедливость этой формулы при
условии однородно кинематической допустимости поля F,.
Это замечательное свойство инвариантности формулы Мора
относительно сдвига на произвольное однородно статически допустимое
поле может быть доказано и иначе [16, 17], однако ссылка на теорему об
ортогональности полей на наш взгляд является наиболее общим и прямым
способом обоснования обсуждаемой инвариантности17.
Переходя к механической интерпретации отмеченной инвариантности
формулы Мора, заметим прежде всего, что инвариантность по сдвигу на Fs0
обеспечивает возможность построения сдвигаемого поля (в данном случае
поля Fj) не для заданной системы (уместно назвать ее здесь системой Sb), а
для системы SA, образуемой из заданной устранением некоторого количества
кинематических связей. Действительно, из леммы о связях следует, что в
качестве поля (F} - -Fso) можно взять истинное поле, но построенное не для
заданной системы SB, а для системы SA. Для того, чтобы понять это,
достаточно истолковать поле сдвига Fso как разностное поле FBA.
Единственным ограничением на снимаемые связи является требование
существования решения для системы SA под действием заданной
обобщенной силы Р}.
В частности, при расчете стержневых конструкций весьма удобно эту
вспомогательную систему SA выбрать подходящим образом из класса
17 Мы не можем с уверенностью сказать с чьим именем по праву следует связать
открытие свойства инвариантности по сдвигу в формуле Мора. В воспоминаниях
патриарха отечественной строительной механики И.М Рабиновича [18]
указывается на работу А.К. Верещагина 1924 года, написанную им в бытность
студентом Московского института инженеров железнодорожного транспорта, в
которой предвосхищены некоторые положения современной строительной
механики, разработанные и осознанные всесторонне спустя десятилетия после
публикации работы Верещагина. Уже тогда Верещагиным была высказана мысль,
передовая по тем временам, о возможности применения различных основных
систем при расчете стержневых конструкций по методу сил Несложно понять, что
на самом деле это лишь иная формулировка свойства инвариантности формулы
Мора по сдвигу

2.5 Обобщенные силы и обобщенные перемещения 83
статически определимых и геометрически неизменяемых систем,
образуемых из заданной системы с помощью удаления лишних связей
Это красивое на механическом уровне положение позволяет иногда
быстро получать качественные оценки для перемещений, не производя
утомительных вычислений Приведем простой пример18 На рис. 2 6-а
изображена плоская рама, там же указана действующая на ригель рамы
нагрузка Вопрос в какую сторону будет смещаться ригель рамы, направо
или налево?
Рис. 2.6-л Рис. 2.6-Ь Рис. 2.6-с
Несложно изобразить качественную картину распределения изгибающих
моментов Mg в стержнях рамы (рис 2 6-6) Из формулы Мора следует, что
интересующее нас перемещение может быть вычислено как интеграл от
произведения моментов Mg и МР, где МР изгибающие моменты в стержнях
рамы от действия единичной силы Р, приложенной к раме в интересующем
нас месте и направлении19 Но, как это было только что установлено,
распределение моментов МР можно принять не для исходной статически
неопределимой рамы, а для рамы со снятыми связями В частности, удобно
эпюру моментов МР выстраивать для статически определимой системы,
разрезав раму по шарниру, как это показано на рис 2 6-с И становится
очевидным, что (Mg, МР) > О Это неравенство свидетельствует о
перемещении ригеля рамы в направлении, совпадающем с принятым
направлением силы Р, то есть слева направо
Пусть теперь ub и2, ..., um совокупность заданных линейно независимых
полей перемещений системы, a F, = {САи„ Аи„ и,} (г = 1, ... , т), наводимые
этими перемещениями поля НДС Взятое в отдельности каждое такое поле
перемещений и, можно рассматривать как единичное кинематическое
воздействие на систему, а множитель q, при этом поле как величину
соответствующего обобщенного перемещения Обозначим через rv
18 Преподаватели, читающие курс строительной механики для студентов высших
технических учебных заведений, знают о сильном впечатлении завораживающего
характера, производимом на студенческую аудиторию примерами подобного рода
19 Предполагается, что влиянием продольных деформаций стержней можно
пренебречь и что изгибная жесткость EI всех стержней рамы одинакова Поэтому
для качественной оценки можно положить ?7=1

84 2. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
обобщенную силу, отвечающую z'-ому обобщенному перемещению, но
вызванную у'-ым единичным обобщенным перемещением qr Рассуждая как и
ранее, получим
гц = (Се„ е,) + (Ки„ и) = (С'«,, в,) + (Ки„ и,). (5.29)
Формулу (5.29) Л.А. Розин [16] называет формулой, двойственной формуле
Мора, поскольку она позволяет восстанавливать «обобщенные нагрузки^
вызывающие тот или иной тип НДС системы.
Несмотря на то, что обе эти формулы имеют совершенно одинаковое
начертание, по существу они различны. Если в (5.27) аргументы <sk, гк, щ
относятся к полям НДС, создаваемым в системе единичными обобщенными
силами Рк= 1 (k=ij), то в формуле (5.29) те же обозначения отнесены к
полям, порождаемым единичными обобщенными перемещениями <?* = 1 при
нулевых значениях величин остальных обобщенных перемещений.
Фактически формула (5.29) относится не к исходной системе, а к системе, на
которую наложено т внешних кинематических связей.
Все внешние воздействия здесь чисто кинематические, значит все поля F,
(i= 1,...,т) являются однородно статически допустимыми. Отсюда следует
инвариантность формулы (5.29) по сдвигу на произвольное однородно
кинематически допустимое поле F^0. Итак, формула (5.29) обобщается до
формулы
гч = (С"Ч0, Oj- eko) + (Kulso, Uj- uko), (5.30)
где «ko, Uk0 элементы произвольного однородно кинематически допустимого
поля.
2.6 Основные вариационные принципы в задачах с начальными
деформациями
До сих пор мы считали, что при отсутствии внешних воздействий система
находится в естественном ненапряженном и недеформированном состоянии.
От этого состояния мы и вели отсчет всех элементов поля НДС -
напряжений, деформаций и перемещений. Однако это не всегда удобно,
и вполне возможна ситуация, когда такая посылка оказывается
обременительной20.
Будем считать, что кроме внешних воздействий система подвержена
внутренним кинематическим воздействиям. Такие воздействия реализуются
в виде заданных начальных деформаций Ео, практическим источником
которых могут служить деформации, вызванные неточностью изготовления
1 Иногда в книгах по теории упругости (см, например, [19]) она оформляется как
гипотеза о естественном состоянии тела, для которого принимается отсутствие
напряжений в теле при отсутствии деформаций Хотя терминологически более
правильно было бы говорить о постулате, нежели о гипотезе

2.5 Обобщенные силы и обобщенные перемещения 85
или монтажа конструкции, температурные деформации, деформации усадки
материала упругого тела или его ползучести и т.п. явления.
Здесь мыслится, что известно некоторое гипотетическое поле начальных
деформаций Ео, которое возникло бы в элементах конструкции, если бы в
ней были устранены все внутренние связи, обеспечивающие совместность
деформаций. Именно поэтому точнее было бы говорить не просто о
начальных деформациях, а о свободных начальных деформациях. Так,
например, при нагревании трехмерного упругого тела от его естественного
состояния на дополнительную температуру Т поле свободных начальных
деформаций Ео определяется известными соотношениями
во = |[б(ш, Е022, б(ш, yon, Уо2з, У(ш]Г = |[аТ, аТ, аТ, О, О, 0]|т , (6.1)
где а - коэффициент температурного расширения материала тела.
Свободные начальные деформации, не удовлетворяя самостоятельно
условиям совместности, в свою очередь порождают упругие деформации е,
которые в совокупности с Ео обеспечивают сплошность тела. Если
перемещения и отсчитывать от исходного недеформированного состояния
системы (ее состояния до возникновения начальных деформаций), то эти
перемещения вызовут суммарные деформации (ео + е).
В результате математическая постановка задачи от уравнений (1.2.2)
модифицируется до уравнений (6.2)
А в + Ки = X - уравнения равновесия, (6.2-а)
Аи = е + Ео - геометрические уравнения, (6.2-6)
в = Се или е = СЛа - физические уравнения. (6.2-с)
Что касается краевых условий (1.2.4), то они никак не связаны с наличием
или отсутствием в системе начальных деформаций ео, и поэтому остаются
неизменными.
Воспользуемся постановкой задачи в перемещениях, для чего исключим
из уравнений равновесия (6.2-а) напряжения с помощью уравнений (6.2-с) с
последующим исключением деформаций с помощью (6.2-6), что дает
АтСАи + Ки = X + ЛтС?о. (6.3)
Аналогичным образом исключая напряжения из краевых условий,
приводим (1.2.4) к виду
Ер(НаСАи - р-НаС?0) = 0 - статические краевые условия, (6.4-а)
Еи(Нии - Л) = 0 - кинематические краевые условия. (6 4-Ь)
Уравнение (6.3) совместно с краевыми условиями (6.4) определяет
дифференциальную постановку задачи в перемещениях при наличии
начальных деформаций. И ясно, что эта задача формально сводится к
обычной задаче отыскания поля перемещений, но с измененными внешними

86 2. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
силами. То есть в качестве объемных сил следует принять (X + А Сбо), а в
качестве поверхностных сил на границе Г величины {р + НаСг0). Опираясь
на это обстоятельство, можем воспользоваться вариационным принципом
Лагранжа, модифицировав выражение (2.6) для лагранжиана до
L(u) = E(u)-ns(u)-ns0(u)
(6.5)
ns0(u) = JAJC to- u<to + JEpHaCtoEpHuudr =
= (АтСго, u) + (Ep H„Cto, EpHu^r . (6.6)
Величину ns0(u) естественно именовать силовым потенциалом начальных
деформаций. При температурном воздействии начальные свободные
деформации Ео истолковываются как начальные температурные деформации.
В частном случае нагревания упругого трехмерного тела на температуру Т
этот вектор определяется выражением (6.1).
Посмотрим теперь, как в случае задания начальных деформаций
изменится вариационный принцип Кастильяно. С этой целью введем
условное напряжение т, равное искомому напряжению в со сдвигом на
вектор Сбо, и условную (полную) деформацию е, положив
т = в + Сео, е = ? + Ео. (6.7)
Совокупность разрешающих уравнений задачи (6.2) в новых переменных
(относительно компонент {т,е,и} поля НДС) принимает вид
АТх + Ки = X + АтСео - уравнения равновесия, (6.8-а)
А\х = е - геометрические уравнения, (6.8-6)
т = Се или е = С"'т - физические уравнения, (6.8-с)
при этом краевые условия (1.2.4) запишутся в виде
Ер{Нат - p-HaCto) = 0 - статические краевые условия, (6.9-а)
Еи(Нии - Л) = 0 - кинематические краевые условия. (6.9-6)
Задача (6.8), (6.9) относительно поля НДС {т, е, и} ничем не отличается от
обычной постановки задачи (1.2.2), (1.2.4), если считать, что в качестве
внешних объемных сил действуют силы (X + AJCto), а в качестве внешних
поверхностных сил, заданных на границе Г, действуют силы (р + НаСео).
Опираясь на (3.3), выпишем выражение для кастильяниана в задачах с
начальными деформациями. Имеем

2.5 Обобщенные силы и обобщенные перемещения 87
К(т,и) = Е(т,и)-Пк(т), (6.10)
где в соответствии с (3.2) и (6.7) и с учетом симметрии взаимно обратных
алгебраических операторов D и С
Е(т,и) = 1А(С1т,т) + 1Л(Ки,и) =
= 1/2(С "'о,©) + 1/2(ЛГи,и) + (с, во) +Уг (Се0)е0) = Е(в,и) + (с, во) + d,
Пк(т) = (ЕиНат,Еий)Г =
= (ЕЛаа, Еий)г+ (EJIaCto, Еий)г = Пк(с) + С2, (6.11)
при этом константы Q и С2 (не зависящие от варьируемых переменных
величины), равны соответственно
d = Уг (Сео, во), С2 = (ЕЛ0Сго,Еий)г. (6.12)
Возвращаясь теперь к исходным компонентам полей НДС {с, ?, и},
перепишем функционал Кастильяно (6.10) с учетом (6.11), что дает
K«T,u) = E(<T,u)-nk(o) + nk0(a)
Пм(о)= J в-еоЛ1 = (в,8о), (6.14)
при этом несущественные для поиска точки стационарности функционала
К(с,и) константы С\ и С2 в выражении (6.13) опущены.
Величину Пко(с) уместно именовать кинематическим потенциалом
начальных деформаций.
Обратим внимание на то, что множество ^ всех физически и статически
допустимых полей НДС, на которых разыскивается «точка» минимума
функционала Кастильяно, в данном случае состоит из полей,
удовлетворяющих условиям
АТа + Ки = X , а = С(Аи-во) еП , Ер(Наа -р) = 0 еГ. (6.15)
Остановимся кратко на вопросе о влиянии начальных напряжений на
постановку задачи. Пусть в рассматриваемом теле до приложения к нему
внешних воздействий существует некоторое начальное напряженное
состояние, которое мы обозначим «о и будем считать самоуравновешенным
в том смысле, что для него выполняются соотношения (1.30). Если
кинематические параметры (перемещения и и деформации е) отсчитывать от
начального напряженного состояния, а через о обозначить приращения
напряжений, так что полное напряжение будет равно (о + о0), то
математическая постановка задачи относительно полей НДС вида {о, е, и}
сводится к уже известным уравнениям (1.2.2) с краевыми условиями (1.2.4).
На дальнейших деталях не останавливаемся.

88 2. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
2.7 Статически определимые и статически
неопределимые системы
Ранее (см. §2.1.4 «Жесткие смещения^ бьшо сформулировано требование,
чтобы множество решений однородного уравнения с оператором геометрии
А бьшо конечномерным. Важно, однако, отметить, что на сопряженный
оператор Ат сформулированное требование не распространяется. Для
оператора равновесия соответствующее однородное уравнение может иметь
как конечное, так и бесконечное число линейно независимых решений.
Рассмотрим сначала случай существования конечного числа линейно
независимых решений однородного уравнения
Ата = 0. (7.1)
Пусть это будут напряжения о, (/ = 1,..., тА), где тА - количество линейно
независимых решений однородного уравнения (7.1), т.е. фундаментальная
система для оператора равновесия А , и пусть т - частное решение
неоднородного уравнения равновесия
АТа=Х (7.2)
при заданных внешних силах X. Конечно же, уравнение (7.2) нужно
трактовать не как полное уравнение равновесия всей механической системы,
а только лишь как условие равновесия упругого тела, мысленно лишенного
упругой среды.
Общее решение неоднородного уравнения равновесия (7.2) может быть
представлено в виде
<т = т + ?р,«,- (7-3)
Предположим, что упругая среда отсутствует, что равносильно условию
К=0. Тогда, если фундаментальная система о, (/'= l,...,mA) известна и
известно частное решение т, то дело сводится к определению
коэффициентов р, в разложении (7.3)21. Часть неизвестных коэффициентов
(скажем, в количестве г, r< тА) определяется из статических краевых
условий, тогда как оставшиеся неизвестными коэффициенты в количестве т,
0<т = тА-г, определяются с привлечением условий совместности
деформаций и кинематических краевых условий. Понятно, что если т = О, то
истинное напряженное состояние системы находится на основании одних
Как это ясно из предыдущего, для оператора геометрии А задача построения
общего решения однородного уравнения почти всегда тривиальна (она сводится к
поиску жестких смещений), а все сложности лежат в проблеме отыскания частного
решения уравнения геометрии An = е. Для оператора равновесия АТ справедливо то
же самое, но с точностью до наоборот. Частное решение неоднородного уравнения
равновесия обычно находится без особого труда, но этого же нельзя сказать
относительно общего решения однородного уравнения равновесия.

2.7 Статически определимые и статически неопределимые системы 89
только уравнений равновесия и статических краевых условий, и тогда
система называется статически определимой. В противном случае система
называется статически неопределимой, а число т > О называют степенью
статической неопределимости системы.
С позиций механики коэффициенты Р7 в разложении (7.3) можно
рассматривать как величины обобщенных внутренних сил, а
соответствующие этим силам обобщенные перемещения определяют
степени свободы механической системы. Именно поэтому, в случае
конечной размерности фундаментальной системы для оператора равновесия
А задача ее расчета всегда сводится к расчету системы с конечным числом
степеней свободы.
Если обратиться к одномерным задачам (в том смысле, что область П
одномерна), скажем к задачам строительной механики стержневых систем,
то в этом случае оператор А как раз и будет обладать нужными свойствами.
Ключевую роль в этом играет то обстоятельство, что все неизвестные
функции зависят только от одной координаты, так что в оператор А входят
обыкновенные (а не частные) производные.
В §2.1.5 было установлено, что произвольное поле деформаций е
совместно тогда и только тогда, когда это поле энергетически ортогонально
любому полю напряжений а0, самоуравновешенному в том смысле, что для
этого поля выполняются условия
АТао = 0 еП, (7.4-я)
Наао = 0 еГ. (7.4-й)
В силу условия (7.4-а) поле напряжений о0 принадлежит ядру оператора
равновесия А , следовательно представляет собой линейную комбинацию
фундаментальной системы о, (J = l,...,mA) для оператора равновесия, то есть
«о=|;р>,. (7.5)
Но условие (7.4-й) требует, чтобы о0 удовлетворяло однородным
статическим краевым условиям по всей границе Г. На механическом уровне
это гарантирует равенство нулю усилий во всех внешних кинематических
связях, наложенных на систему.
Если среди всех краевых условий вида (7.4-й) найдется ровно тА линейно
независимых, то отсюда будет следовать, что и все коэффициенты РУ в
разложении (7.5) равны нулю. Все одномерные задачи этого, весьма важного
класса, назовем статически определимыми задачами. Иными словами,
система считается статически определимой, если для нее невозможно
указать отличное от нуля самоуравновешенное состояние.
Итак, для одномерных статически определимых задач напряжения о0,
самоуравновешенные в смысле (7.4), всегда равны нулю.
Совсем иная ситуация возникает в двумерных и трехмерных задачах
В этом случае ядро оператора равновесия А не является конечномерным

90 2. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
линеалом. На механическом уровне отсюда следует ряд важных выводов.
Во-первых, эти задачи всегда статически неопределимы. Во-вторых,
двумерные и трехмерные задачи в принципе не сводятся к системам с
конечным числом степеней свободы. Если же такое приведение и
осуществляется (что всегда имеет место быть при построении численных
процедур), то оно может рассматриваться только как приближенное,
связанное с заменой бесконечномерного ядра оператора А его
конечномерным приближением. И, наконец, в-третьих, условия
совместности деформаций являются абсолютно необходимым компонентом
в постановках двумерных и трехмерных задач.
2.8 Заключительные комментарии к главе 2
Вернемся к определению функционала Кастильяно в соответствии с (3.2) и
(3.3). Традиционное определение функционала Кастильяно [6,20] не
содержит перемещений в качестве функционального аргумента, при этом
К = К(с). В нашем случае зависимость кастильяниана от двух
функциональных аргументов К = К(с,и) кажется непривычной. Но эта
зависимость вызвана распространением соответствующего определения на
случай наличия упругого основания.
Из (3.3) и (3.2) следует, что в предельной ситуации при отсутствии
упругого основания (К=0) перемещения и исключаются из списка
функциональных аргументов для функционала Кастильяно. С другой
стороны, определенный по (3.3) функционал К(с,и) сохраняет
справедливость важнейшего тождества (4.3), которое уместно именовать
отношением двойственности между функционалами Лагранжа и
Кастильяно.
Конечно, можно формально свести дело к зависимости функционала
Кастильяно только от переменных силового характера, вводя в рассмотрение
отпор упругого основания г согласно (1.4.5), и тогда К = К(с, г). Но это будет
означать, что условие минимума кастильяниана следует разыскивать на
полях, содержащих дополнительное компонентное поле отпоров г, не
входящее в общее определение полей НДС. Иными словами в такой
интерпретации общее поле НДС F придется определять как
четырехкомпонентное поле F= {o,e,u,r}. При этом допустимое к
рассмотрению при минимизации кастильяниана поле НДС должно будет
удовлетворять дополнительному условию
г = К\х.
Второе отличие принятого здесь определения функционала Кастильяно
от обычно используемого [20] заключается в изменении знака у этого
функционала, что приводит к вариационному принципу его минимума
взамен традиционного принципа максимума. Соответствующим образом
меняется и формулировка упомянутого выше отношения двойственности,

Литература 91
сводящаяся в нашем случае к тождеству (4 3), а в традиционном
определении к требованию равенства значений функционалов Кастильяно и
Лагранжа на решении задачи Разумеется, такое изменение знака не
принципиально, и вызвано лишь соображениями удобства последующих
рассуждений
Лемма о связях в формулировке, несколько отличной от принятой здесь,
приводится в учебном пособии Л А Розина [16] в связи с обоснованием там
инвариантности по сдвигу формулы Мора для определения перемещений в
стержневых системах
Литература
1 Новожилов В В Теория упругости - Л Судпромгиз, 1958 - 370 с
2 Новацкий В Теория упругости - М Мир, 1975 - 872 с
3 Стренг Г Линейная алгебра и ее применения — М Мир, 1980 - 454 с
4 Михлин С Г Проблема минимума квадратичного функционала — М -Л
Гостехтеориздат, 1952 -216 с
5 Кочин Н Е Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - М Наука,
1965 -426 с
6 Михлин С Г Вариационные методы в математической физике - М Наука, 1970
-512с
7 Ректорис К Вариационные методы в математической физике и технике - М
Мир, 1985 - 589 с
8 Prager W , Synge J L Approximations in elasticity based on the concept of function
space -Quartely of Applied Mathematics, 1947, v 5, No 3, p 241-269
9 Лейбензон Л С Вариационные методы решения задач теории упругости -В кн
Академик Л С Лейбензон, собрание трудов, том 1, Теория упругости - М АН
СССР, 1951 -468 с
10 Саусвелл Р В Введение в теорию упругости для инженеров и физиков - М Гос
изд-во иностранной литературы, 1948 - 675 с
11 Перельмутер А В , Сливкер В И Расчетные модели сооружений и возможность
их анализа -Киев Издательство «Сталь», 2002 -597 с
12 Лазарян В А Энергия деформации и перемещения линейных систем - Киев
Наукова Думка, 1972 - 139 с
13 Джанелидзе ГЮ, Пановко ЯГ Принцип Сен-Венаиа и его использование в
расчетах плит и оболочек Расчет пространственных конструкций, вып 1 - М
Изд-во министерства строительных предприятий машиностроения, 1950 -
с 329-342
14 Southwell R On Castighano's Theorem of Least Work and the Principle of Saint-
Venant - Phylosophical Magazine, 1923, v. 45, p 193-212
15 Zanaboni Demonstrazione generale del Principio del de Saint-Venant Atti Acad
Lincei Roma, 25, 1937, p 118-121
16 Розин Л А Определение перемещений в деформируемых системах (формулы
Максвелла-Мора) -Л Изд ЛПИ.1990 - 102с
17 Рабинович И М Курс строительной механики стержневых систем Часть 2 - М
Стройиздат, 1954 - 544 с

92 2. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
18. Рабинович И.М. Воспоминания. - М: Наука, 1984. - 159 с.
19. Филоиенко-Бородич М.М. Теория упругости. - М.: Физматгиз, 1959. - 364 с.
20 Розин Л.А. Теоремы и методы статики деформируемых систем. - Л.: Изд. ЛГУ,
1986.-276 с.

3. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ
ПРИНЦИПЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
Механика — не гербарий с засушенными листьями, а
живой, цветущий парк'
Я.Г. Пановко Механика деформируемого твердого
тела Современные концепции, ошибки и парадоксы. М
Наука, 1985, с 272.
3.1 Смешанный вариационный принцип Реисснера
В предыдущей главе были рассмотрены два основных вариационных
принципа строительной механики: принцип Лагранжа и принцип
Кастильяно. Оба эти принципа объединяет одно важнейшее свойство -
свойство экстремальности соответствующего функционала, а именно, на
решении задачи оба из упомянутых функционалов принимают минимальное
значение. В то же время между этими двумя основными вариационными
принципами есть и существенные различия.
На решении задачи функционал Лагранжа принимает минимальное
значение среди всех физически и кинематически допустимых полей, тогда
как уравнения равновесия в объеме тела и на его поверхности представляют
собой следствие (необходимое условие) этой минимальности, что на языке
вариационного исчисления именуется как уравнения Эйлера и естественные
краевые условия.
Для функционала Кастильяно все дело обстоит как раз наоборот. На
решении задачи кастильяниан принимает минимальное значение среди всех
физически и статически допустимых полей, тогда как условия совместности
деформаций и кинематические краевые условия суть уравнения Эйлера и
естественные краевые условия для функционала Кастильяно.
Итак, эти основные вариационные принципы, взаимно дополняя друг
друга, требуют рассмотрения ограниченного класса полей, заранее
удовлетворяющих некоторым предписанным условиям. В этой связи
возникает естественное стремление построить такой функционал (и
соответственно, такой вариационный принцип), который на решении задачи
принимал бы если и не экстремальное, то хотя бы стационарное значение, но
зато среди полей НДС, не подчиненных заранее каким либо условиям.

94 3. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Кроме того, лагранжево энергетическое пространство ? полностью
определяется вектором перемещений и. Если же принять, что упругая среда
отсутствует, что эквивалентно К=0, то кастильяново энергетическое
пространство Ж будет полностью определяться напряжениями о. Именно
поэтому в строительной механике принято считать, что проблема поиска
точки минимума лагранжиана определяет вариационную постановку
исходной задачи в перемещениях, тогда как проблема поиска точки
минимума кастильяниана определяет вариационную постановку задачи в
напряжениях. В противовес этому вариационные принципы, в которых поля
напряжений и поля перемещений рассматриваются как независимые даже в
случае отсутствия упругой среды, принято называть смешанными
вариационными принципами.
Первый из такого рода функционалов и соответствующий ему
вариационный принцип построен Э. Рейсснером [1,2], хотя, как это
справедливо отмечает и сам Рейсснер [2, стр. 328], в математике (в
классическом вариационном исчислении) аналогичный принцип был
известен ранее Хеллингеру [3] как каноническая форма исходной задачи. В
этой связи принцип Рейсснера иногда называют принципом Хеллингера -
Рейсснера. Однако при всей исторической справедливости такого двойного
именования, именно благодаря работам Рейсснера этот смешанный
вариационный принцип прочно вошел в активный арсенал вариационных
постановок задач строительной механики.
3.1.1 Функционал Рейсснера
Прежде всего введем в рассмотрение линеал <2/ш как множество полей
НДС, являющихся кинематически полудопустимыми, но не обязанными
быть физически допустимыми. Таким образом, по определению
произвольное поле F е W^2 представимо в виде F = {а, А\х, и}. Понятно, что
введенный ранее линеал ^2 представляет собой подмножество линеала ^ш,
а точнее говоря, пересечение ^г= & п &т-
В качестве функционала Рейсснера, который уместно называть также
рейсснерианом, принимается следующее выражение1, рассматриваемое на
линеале Щ^г
R = Уг{С 'с, о) - Уг{К\х, и) - (Ли, о) +(X , и) +
+ {Ерр, Ери)Г +(Еир, Еи(и - й ))г , (1.1)
где, как и ранее, через р и и обозначены следующие, определенные на
границе Г, векторные функции
По некоторым соображениям удобства (не принципиальным) мы отступаем от
принятого в работах Рейсснера определения функционала R, изменив у него знак
на противоположный.

3.1 Смешанный вариационный принцип Рейсснера 95
р=Нао, и = Нии<=Г. (1.2)
Вспоминая выражения для силового П8 и кинематического Пк
потенциалов внешних воздействий
П,(и) =(Х,и) + (Ерр,Ери)г, Пк(о) = (Еир, Еий)г, (1.3)
перепишем выражение (1.1) в виде
Ri(c, и) = У2(С "У о) - Vi{K\x, и) - (Ли, о) + (Еир, Еи и)г +П8- Пк .
(1.4)
Выражение (1.4) будем, следуя JI.A. Розину [4, стр.21], называть первой
формой рейсснериана, в отличие от его второй формы, которая получается
из (1.4), если воспользоваться основной интегральной формулой (1.2.19). В
результате функционал Рейсснера можно перестроить, и тогда он примет
вид
R2(c, и) = 1Л(С "'о, о) - 1Л(Ки, и) - Ито, и) - (Ерр, Ер и),+П8- Пк.
(1.5)
В (1.4) и (1.5) индекс у функционала R указывает на номер формы записи
выражения для функционала Рейсснера. Обратим внимание, что в первую
форму записи рейсснериана входит оператор геометрии А, тогда как во
вторую форму оператор равновесия А .
Конечно же, обе формы эквивалентны в том смысле, что значения Ri(c, и)
и R2(o, и) совпадают на одних и тех же функциях сии. Вся разница (но это
может оказаться важным при построении численных процедур) заключается
в том, что области определения этих функционалов пересекаются, но не
совпадают. Дело в том, что функционал Ri(c,u) определен на достаточно
гладких перемещениях и, которые, по крайней мере, допускают
дифференциальную операцию А. Для существования же функционала
R2(o, и) напротив, требования гладкости для перемещений и ослаблены,
тогда как требования гладкости для напряжений о усилены, последние
должны допускать дифференциальную операцию АТ.
В ряде постановок задач для прикладных теорий (стержни, пластины,
оболочки), когда оператор А содержит дифференциальные операции порядка
выше первого (четного порядка), третье слагаемое (Ата, и), входящее во
вторую форму записи рейсснериана, можно преобразовать интегрированием
по частям, перекинув половину производных с напряжений о на
перемещения и 2. В этих задачах после такого формального преобразования
приходим к третьей форме записи рейсснериана. В силу того, что третья
форма функционала Рейсснера содержит дифференциальные операции более
2 Точнее говоря, можно воспользоваться интегрированием по частям в случае
одномерной задачи В двух- или трехмерных задачах роль операции
интегрирования по частям берет на себя формула Гаусса-Остроградского

96 3. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
низкого порядка, чем первая и вторая формы, ее использование в численных
методах расчета (скажем, в методе конечных элементов) может дать
некоторые преимущества, так как при этом к элементам полей из Щ^
предъявляются минимальные требования гладкости. Это означает, что
векторные функции, входящие в определение функционала R, должны быть
достаточное число раз дифференцируемы и гарантировать существование
конечных значений интегралов, входящих в определение функционала R.
Соответственно, для метода Ритца более слабые требования гладкости
накладываются и на координатные функции, но об этом подробнее позже.
Покажем теперь, что на решении задачи (1.2.2), (1.2.4) рейсснериан
принимает стационарное значение. С этой целью в окрестности истинного
поля F. = {с„ 8., и,} рассмотрим возмущенное поле F. + 8F с полем
вариаций 5F из линеала Щ^. Последнее требование понуждает возмущенное
поле Ft + 5F также принадлежать этому линеалу.
В результате значение функционала R в окрестности истинного поля
может быть представлено в виде
R(F. + 5F) = R(F.) + 5R + '/2 52R , (1.6)
где 5R и 52R, соответственно, первая и вторая вариации рейсснериана.
Если исходить из второй формы функционала Рейсснера, то получим
5R = (С 'с, 5с) - (Ки, So) - (A7a, So) - (Лт5с, и) - (?>, ЕрЪи )г -
-(ЕрЪр,Ери)г + (Х,Ъи) + (Ерр,ЕрЪи)г -(EJ&p,Еий)г , (1.7)
52R = (С "'бе, 5с) - (А5и, So) - 2(Лт5с, 5и) - 2(Ер5р, ЕрЪи )г . (1.8)
Преобразуем выражение для первой вариации 5R, перекинув в четвертом
слагаемом (А 5с, и) дифференциальную операцию А на функцию
перемещений и с помощью основного интегрального тождества, и
перегруппируем слагаемые. В результате получим
5R = (С 'с - Аи, 5с) - (Ата + Ки - X , So) -
-(Ер(р-р),ЕрЪи )г + {ЕиЪр,Еи{и~й))г ¦ (1.9)
Поскольку вариация 5R берется в окрестности истинного поля F., то
согласно (1.6) в (1.9) следует положить с = с. , u= u» е Q. и Ерр = Ерр,
Еии = Еи ~й еГ . И становится понятным, что все слагаемые в правой части
(1.9) обращаются в ноль. Равенство нулю первой вариации функционала при
произвольных 5с и 8и как раз и свидетельствует о том, что истинное поле F,
является "точкой" стационарности рейсснериана.
Справедливо и обратное утверждение, а именно: точка стационарности
функционала Рейсснера совпадает с истинным полем НДС системы. В самом
деле, приравняв первую вариацию 5R по (1.9) нулю и учитывая
независимость вариаций 5с и 5и, приходим к выводу о том, что каждое из

3.1 Смешанный вариационный принцип Рейсснера 97
четырех слагаемых в правой части (1.9) по отдельности должно равняться
нулю. Следовательно,
С1а-Аи = 0, Ата + Ки-Х = 0 eQ, (1.10)
Е,р = Ерр, Еии = Еий еГ. (1.11)
Таким образом, в точке стационарности поле НДС является физически
допустимым, статически допустимым и кинематически допустимым, то есть
истинным полем. Уравнения (1.10) суть уравнения Эйлера для рейсснериана,
а все краевые условия (1.11) являются естественными краевыми условиями
для этого функционала.
Обратимся теперь к анализу экстремальных свойств функционала
Рейсснера. Прежде всего вспомним, что функционал Рейсснера
рассматривается на линеале Щл и значит полностью определяется только
двумя элементами поля НДС, а именно напряжениями и перемещениями,
что можно записать в виде R = R(o,u).
Зафиксируем сначала в функционале Рейсснера перемещения, положив
там и= и. и соответственно Еии = Еий. Варьируя только напряжения с (мы
должны считать, что в этом специальном случае вариации перемещений как
в области Q, так и на границе Г равны нулю), получим при этом из (1.8), что
вторая вариация примет вид 82R = (С"'8с, 8с) > 0. Следовательно, в этом
специальном случае варьирования из (1.6) с учетом 8R = 0 будем иметь
R(F. + 8F) - R(F.) > 0 , (1.12)
и значит при таком изменении полей НДС функционал R принимает
минимальное значение, то есть
R(o.,u.) < R(o,u.). (1.13)
Напротив, в случае фиксации напряжений а = а» и соответственно
Ejp = Ерр, варьированию подлежат только перемещения, так что из (1.8)
получим 82R = - (К8и, 8и) < 0, и поэтому аналогичные рассуждения
приводят к неравенству
R(c,u) < R(c.,u.). (1.14)
Объединение неравенств (1.13) и (1.14) дает двухстороннюю оценку
R(c,u) < R(c,u.) < R(c,u.). (1.15)
Пользуясь терминологией, принятой в разделе математики, носящем
название «выпуклый анализ» [5,6], можем сказать, что точка
стационарности функционала Рейсснера является седловой точкой.
Заметим, что при отсутствии упругой среды оператор К тождественно равен
нулю, так что при варьировании с фиксацией напряжений получим 82R = 0.
В этом частном случае вместо (1.15) будем иметь

98 3. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
R(o.,u) = R(o.,u,) < R(o,u.), (1.16)
что определяет вырожденную седловую точку функционала.
То обстоятельство, что здесь R(o»,u) = R(c.,u.) и, следовательно, значение
рейсснериана не меняется при любых изменениях перемещений, на первый
взгляд выглядит странно. Но все становится понятным, если положить во
второй форме рейсснериана по (1.5) с = с», не забыв при этом, что
рассматривается случай К= О. В результате получим
R(c.,u) = У2(С"'е., ст.) - (АТо*, и) + (X , и)-(?>, Еий)г,
и поскольку с по определению удовлетворяет уравнению равновесия, то
второе и третье слагаемые здесь взаимно уничтожаются. Таким образом,
R(o.,u) =У2(С "'с.,©.) - (?>, Еий)г,
откуда непосредственно видно, что функционал R(c*,u) от перемещений не
зависит и поэтому второй функциональный аргумент в нем может быть
опущен, что дает R(c.,u) = R..
3.1.2 Принцип минимума для напряжений
В целях анализа характера точки стационарности рейсснериана полезно
привести еще одну схему рассуждений, идею которой мы заимствуем из
оригинальной работы Э. Рейсснера [2].
Предположим, что все допускаемые к сравнению состояния системы
удовлетворяют уравнениям равновесия как в объеме тела, так и на его
границе
Ата + Ки-Х = 0 eQ, Е,р = Ерр, еГ. (1.17)
Это означает, что вариации перемещений и напряжений удовлетворяют
соответствующим однородным уравнениям
Ат8а + Кди = 0 е Q, ЕрЪр = 0 е Г.
Домножая первое из этих уравнений скалярно на 8и, получим
{А 8с, 8и) = - (К8и, 8и), что после подстановки в (1.8) позволяет записать
выражение для второй вариации в виде
82R = (C"18c,8c) + (ASu,8u)>0. (1.18)
Фактически при таком специальном варьировании мы имеем дело с
новым функционалом, который обозначим R„ и который образуется из R с
учетом условий (1.17). Если домножить скалярно первое из соотношений в
(1.17) на и, а второе на и, то после подстановки полученных при этом
равенств в (1.5) находим
Ra = й(С"'в, e) + lA(Ku, u)-(Ej>,Euu)r, (1.19)

3.1 Смешанный вариационный принцип Рейсснера 99
и мы получили выражение для R„(o,u) в точности совпадающее с
выражением для функционала Кастильяно К(с,и) по (2.3.1). Однако
отождествлять эти два функционала было бы ошибкой.
Дело в том, что функционалы R„(c,u) и К(о,и) определены на разных
множествах. Функционал Кастильяно определен на множестве ^ физически
и статически допустимых полей НДС, то есть на полях вида F= {c,C_1c,u},
удовлетворяющих (1.17). Функционал же R„(o,u) определен на множестве
статически допустимых и кинематически полудопустимых полей НДС, то
есть на полях вида F= {аАи,и}, удовлетворяющих тем же уравнениям
(1.17).
Поскольку вторая вариация R„ в окрестности истинного поля по (1.18)
неотрицательна, то отсюда приходим к оценке
R(o.,u.) = Ra(o.,u.) < Ra(o,u). (1.20)
В частном случае нулевого оператора К, который собственно и
рассматривался Рейсснером, функционал R„, как это видно из (1.19), не
зависит от перемещений, следовательно при отсутствии упругой среды
оценка (1.20) принимает вид
R(o.,u,) = Ra(o.)<Ra(o), (1.21)
и в такой форме интерпретируется Рейсснером как вариационный принцип
минимума для напряжений3.
3.1.3 Принцип максимума для перемещений
Теперь предположим, что все допускаемые к сравнению состояния системы
удовлетворяют физическим уравнениям и кинематическим краевым
условиям
С1о-Аи = 0 еП, Еии = Еий еГ. (1.22)
Для функционала R(o,u) с элементами поля НДС, удовлетворяющими
дополнительным условиям (1.22), естественным будет ввести обозначение
Ru(c,u). Первое из уравнений в (1.22) дает с = САи, а из второго находим,
что (Еи(и - й), Ej))r = 0. С помощью полученных равенств преобразуем
(1.5). В результате получаем
Ru(c,u) = - '/2(C4u, Ли) - ЩКи, и) +(X , и) + (Ер р, Ери)г . (1.23)
Прежде всего отметим, что в правую часть (1.23) напряжения не входят,
поэтому в дальнейшем первый функциональный аргумент (напряжения с) у
3 На самом деле у самого Рейсснера получается все наоборот: принцип максимума
для напряжений и минимума для перемещений Это отличие вызвано изменением
нами знака у функционала R по сравнению с функционалом, введенным самим
Рейсснером

100 3. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Ru можно опустить. Далее замечаем, что в правой части (1.23) содержится
выражение для лагранжиана L(u), взятого со знаком минус. Множества
полей НДС, на которых определены функционалы Ru(u) и L(u) совпадают: в
обоих случаях мы имеем дело с физически и кинематически допустимыми
полями. Поэтому эти два функционала можно отождествить (с точностью до
знака).
Воспользовавшись установленным в главе 2 свойством лагранжиана
принимать минимальное значение на решении задачи, приходим к оценке
R(o.,u.) = Ru(u.) = - L(u.) > - L(u) = Ru(u). (1.24)
Полученное соотношение, следуя Э. Рейсснеру, будем называть
вариационным принципом максимума для перемещений.
Объединение оценок (1.20) и (1.24) приводит к полезной двухсторонней
оценке для значения рейсснериана на решении задачи
Ru(u) < R(c.,u.) < Ra(o,u), (1.25)
что в случае К= О, записывается в более простом виде
Ru(u) < R(c,u.) < Ra(c). (1.26)
Далее, из (1.24) видно, что на решении задачи значение рейсснериана R»
равно по величине и противоположно по знаку значению лагранжиана, так
что на основании тождества (2.4.3) приходим к выводу об отождествлении
значений функционалов Рейсснера и Кастильяно на решении задачи
R. = K.. (1.27)
Тождество (1.27) позволяет распространить полученные в §2.4
качественные оценки влияния различного рода возмущений в постановке
задачи на изменение значения функционала Рейсснера.
3.2 Принцип стационарности функционала граничных
условий
Следуя Э. Рейсснеру [2], построим теперь функционал, условия
стационарности которого приводят к граничным условиям как статическим,
так и кинематическим. С этой целью будем считать, что множество полей
НДС, на которых рассматриваются значения функционала Рейсснера,
ограничено только такими полями, которые являются физически
допустимыми и удовлетворяют уравнениям равновесия в объеме тела (но не
на его поверхности)
С1о-Аи = 0 , Ата + Ки-Х = 0 eQ. (2.1)

3.2 Принцип стационарности функционала граничных условий 101
Функционал, который получается из рейсснериана при этих условиях,
будем называть функционалом граничных условий и обозначать символом Г.
Прежде всего из (2.1) с учетом основной интегральной формулы получаем
(С 'о, с) = (Ли, о) = (Ата, и) + (Ерр, Ери)Г +(Ej), Еии)г,
(Ата,и) + (Ки,и) = (Х,и).
После подстановки этих выражений во вторую форму функционала
Рейсснера по (1.5) получим искомый функционал Г
Г(с, и) = -У2( X , и) - У2 (Ерр, Ер и)г + У2 (Еир, Еи и)г +П8-
(2.2)
После подстановки выражений (2.2.5) и (2.3.2) для статического и
кинематического потенциалов внешних воздействий функционал Г = Г(с,и)
можно записать в несколько ином, эквивалентном виде
Г = У2{ X , и) - У2(ЕрР, Ери)г + xMEj>, Еии)г +
+ (Ерр,Ери)г-(Е1р,Еий)г. (2.3)
Покажем теперь, что истинное поле НДС системы является точкой
стационарности функционала граничных условий Г. Действительно,
представим Г в окрестности истинного поля F* в виде
l~(F. +8F) = l~(F.) + 8Г + У282Г . (2.4)
В силу ограничений (2.1) вариации напряжений 8ст и вариации
перемещений 8и не являются независимыми, а связаны условиями
Кроме того, не являются независимыми и вариации краевых усилий 8р и
краевых перемещений 8и. Покажем, что они связаны между собой условием
(X , 8а) = (8р, и)г - (р, 8и)г . (2.6)
Действительно, на основании основной интегральной формулы скалярные
произведения (8р, и)г и (р, 8и)г с учетом (2.1) и (2.5) можно представить в
виде
(8р, и)г = (Ли, 8с) - (Ат8а, и) = (Ли, С48и) + (Ки, 8и),
(р, 8и)г = (А8и, а)-(Ата, 8и) = (Л8и, САи) -(Х-Ки, 8и).
Вычитая из первого соотношения второе, приходим к (2.6).
Теперь, исходя из (2.3) и учитывая (2.5) и (2.6), цепочкой преобразований
находим первую вариацию функционала Г
8Г=У2(X ,8и) -У28(Ерр, Ери)г + У28{Е,р, Еии)г + (Ерр, Ер8и)г-{Еи8р, Еий)г =

102 3. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
= 1Л(8р, и)г - 1Л(р, 8и)г - У28(Ерр, Ери)г + У28(Е^>, Еии)г +(Ерр, ЕрЬи)г -
-{ЕиЪр, Еий)г = -(Ej>, ЕиЪи)г + (Еи8р, Еии)г +(Ерр, ЕрЪи)г - (Еи8р, Еи~й)г,
и, следовательно,
5Г = (EJSp, Еи(и-й))г + (Ер(р-р), ЕрЪи)г . (2.7)
Поскольку нас интересует значение вариации 8Г в окрестности истинного
состояния системы, в (2.7) следует положить Еии=Еий нЕрР = Ерр еГ.
И из (2.7) видно, что 8Г обращается в ноль, что и свидетельствует о наличии
точки стационарности функционала Г .
Несложно убедиться в справедливости и обратного утверждения,
согласно которому точка стационарности функционала граничных условий Г
совпадает с истинным полем НДС системы. Действительно, приравнивая
первую вариацию 8Г по (2.7) нулю, приходим к выводу о выполнении
краевых условий (1.11) в точке стационарности функционала Г. Поскольку
выполнение всех уравнений в области Q гарантируется самим определением
функционала Г, то это и свидетельствует том, что в точке стационарности
функционала Г НДС системы совпадает с решением исходной задачи.
Функционал Г определен на весьма ограниченном классе полей,
настолько ограниченном, что какие либо уравнения Эйлера для этого
функционала отсутствуют. Совокупность всех необходимых условий
стационарности Г сводится только к естественным краевым условиям, а
именно к условиям (1.11).
Воспользовавшись формулой (2.3), найдем значение Г. функционала Г на
решении задачи
Г. = У2Пв»-У2Пк., (2.8)
или, обращаясь к таблице 2.1,
Г. = i/2K. - '/2|_. = К. . (2.9)
Последнее соотношение позволяет распространить выводы §2.4 и на
функционал Г.
3.3 Вариационный принцип для физических
соотношений
Построим теперь функционал и соответствующий ему вариационный
принцип, условиями стационарности которого будут служить одни только
физические уравнения. С этой целью вновь обратимся ко второй форме
функционала Рейсснера по (1.5), но определим этот функционал на полях
НДС, которые удовлетворяют дополнительным условиям

3.4 Смешанный вариационный принцип Ху-Васидзу 103
Аа + Ки-Х = 0 eQ, (3.1)
Ерр^Ерр, Еии = Еий еГ. (3.2)
Образующийся в результате такого определения функционал назовем
функционалом физических соотношений и будем обозначать его Р. В
результате подстановок (3.1) и (3.2) в (1.5) получим
Р(о, и) = У2(С~1а, с) + Vi (Ки, и) -(Ej>,Еый)г.
(3.3)
Первая вариация 8Р имеет вид
8Р = (С"'о, 8<т) + (Ки, 8и)-(Еи8р,Еий)г, (3.4)
однако, вариации 5а и 8и не являются здесь независимыми, так как
перемещения и напряжения связаны уравнением равновесия (3.1), откуда
КЬи = -АТ8а. (3.5)
С учетом симметрии алгебраического оператора К, формулы (3.5) и
основного интегрального тождества запишем цепочку равенств
(Ки, 8и) = (и, Кди) = - (и, Ат8а) = - (Ли, 8с) + (8р, и)г.
Далее, (8р, и)г = (ЕиЪр, Еии)г + (Ер8р, Ери)г. Но в силу краевых условий (3.2)
ЕрЪр = 0 еГ, аЕии = Еи~й еГ. Поэтому
(Ки, 8и) = -(Аи, 8с) + (ЕиЪр, Еий)г, (3.6)
и вьфажение для 8Р принимает окончательно вид
8Р = (С_1о-Ли,8о). (3.7)
Теперь понятно, что точка стационарности функционала физических
соотношений совпадает с истинным полем НДС системы.
После подстановки в (3.3) в качестве функциональных аргументов
истинных значений полей напряжений и деформаций получаем, что
Р. = Е. - Пк. = К.. (3.8)
3.4 Смешанный вариационный принцип Ху-Васидзу
Обобщением смешанного принципа Рейсснера служит вариационный
принцип, который в литературе известен как принцип Ху-Васидзу [7]. Этот
вариационный принцип широко использован в известной книге японского
ученого К. Васидзу (Washizu) [8], где он назван обобщенным вариационным

104 3. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
принципом*. Мы будем в дальнейшем именовать соответствующий
функционал как функционал Васидзу и обозначать его W.
Основная идея введения W (если угодно, васидзуана) проста и
заключается в стремлении выстроить такой функционал, уравнения Эйлера
для которого и естественные краевые условия накрывали бы полностью
совокупность всех разрешающих уравнений задачи (1.2.2) и всех краевых
условий (1.2.4). Понятно, что такой функционал должен зависеть от трех
функциональных аргументов: напряжений, деформаций и перемещений.
В качестве функционала Васидзу W, зависящего от всех трех элементов
поля НДС системы, рассмотрим следующее выражение
W(o,e,u) =Ут(Сг,г) + ХА (Ки, и) + (Ли, о) - (а, г) - П8 + Пк- (Ej>, Еии)Г. (4.1)
Для отыскания необходимых условий стационарности функционала
Васидзу установим его первую вариацию
8W = (Се, 8s) + (Ки, 8и) + 8(Аи, с) - 8(с, е) - 8П5 + 8Пк - 8(Е,р, Еии)г =
= (Аи - е, 8с) + (Се - о, 8s) + (Ата +Ки - X , 8и) + (р, 8и)г -(Ерр, Ер8и)г +
+ (Еи8р,Еий)г-(Еи8р,Еии)г -(Ej),Еи8и)г ¦
Собирая вместе все члены, содержащие вариации одних и тех же величин,
получим окончательно
8W = (Аи - е, 8с) + (Се - о, 8е) + (Ата +Ки - X , 8и) +
+ (Ер(р -р), Ер8и)г - (Еи8р, Еи(и -й)г. (4.2)
Приравнивая первую вариацию 8W нулю, приходим к выводу о том, что
все уравнения (1.2.2) являются уравнениями Эйлера для функционала
Васидзу, а все краевые условия являются естественными краевыми
условиями для этого же функционала.
Для анализа характера точки стационарности функционала
Васидзу выпишем выражение для его второй вариации, которое получается
как вариация от вариации, то есть 82W = 8(8W). Итак,
82W = (Л8и, 8о) - 2(5е, 8с) + (С8е, 8е) + (Ат8а, 8u) + (JK5u, 8u) +
+ (Ер8р, Ер8и)г- (Еи8р, Еи8и)г. (4.3)
Если зафиксировать напряжения, положив о = о. и соответственно тем
самым 8с = 0, 8р = 0, то получим 82W = (С8е, 8е) + (К8и, 8и). Поскольку оба
из этих двух слагаемых неотрицательны, то отсюда получаем оценки
4 Увы, в литературе на русском языке почему-то прижилась неудачная транскрипция
этого имени как Вашицу. В предисловии редактора перевода книги [8] справедливо
указывается на этот лингвистический прокол. Отмечается, в частности, что в
м языке нет звука ш

3.5 Обобщенный смешанный вариационный принцип 105
W(o.,s.,u.) < W(c.,s.,u) < W(c,s,u),
W(o.,s.,u.) < W(<j.,s,u.) < W(o.,s,u). (4.4)
Если же зафиксировать деформации и перемещения, положив тем самым
8s = 0, 8и = 0, то получим 82W = 0. В результате, с учетом (4.4) приходим к
оценкам
W(<j,e.,u„) = W(<j.,s.,u.) < W(o.,s.,u)< W(c.,?,u) • (4.5)
Итак, точка F* = {o»,s«,u.} стационарности функционала Васидзу
W является вырожденной седловой точкой.
Значение функционала Васидзу W. на решении задачи получается из (4.1)
после подстановки туда в качестве функциональных аргументов их
значений, взятых из истинного поля НДС. В результате будем иметь
W. = Е. - П5. = L.. (4.6)
3.5 Обобщенный смешанный вариационный принцип
За последние годы большое внимание уделяется смешанным вариационным
постановкам задач и соответствующим им программным реализациям, в
особенности связанным со смешанной формой метода конечных элементов.
Анализ результатов решения самых разнообразных задач свидетельствует о
высокой эффективности смешанных схем, что неоднократно
подтверждалось численным экспериментом. В то же время широкому
практическому распространению смешанных схем, строящихся главным
образом на основе функционалов рейсснеровского типа, мешает одно
неприятное обстоятельство: рейсснериан не имеет экстремума в точке
стационарности. Это порождает трудности в двух аспектах:
• Во-первых, затруднено теоретическое обоснование численных
алгоритмов в силу того, что рейсснериан не является положительно
определенным функционалом, а значит и не порождает метрики5;
• Во-вторых, возникают трудности вычислительного характера, поскольку
разрешающие ритцевы системы уравнений не обладают свойством
положительной определенности.
Отмеченные обстоятельства послужили стимулом для конструирования
обобщенного смешанного функционала [9, 10], отличного от функционала
Рейсснера. Этот функционал, а точнее параметрическое семейство
функционалов, при определенных (достаточно широких) условиях имеет
минимум в точке стационарности. Как частные случаи из соответствующего
5 С позиций и в терминологии выпуклого анализа можно было бы сказать, что
рейсснериан не является выпуклым функционалом.

106 3. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
вариационного принципа следуют вариационные принципы Лагранжа и
Рейсснера, что и дает право называть этот принцип обобщенным6.
Интересно отметить, что уравнениями Эйлера для этого функционала
служат линейные комбинации уравнений равновесия и предварительно
продифференцированных физических соотношений. Аналогичные линейные
комбинации входят и в естественные краевые условия статического типа.
В связи с тем, что этот вариационный принцип не получил пока широкого
освещения в монографической литературе (исключение составляют работы
Л.А. Розина [11]), остановимся на его обосновании подробнее, вос-
пользовавшись несколько более строгим с математической точки зрения
подходом.
3.5.1 Обобщенное решение задачи
Итак, пусть <2/y есть множество всевозможных кинематически допустимых
полей НДС, а &ко множество однородно кинематически допустимых полей.
Определение
Обобщенным решением задачи (1.2.2), (1.2.4) назовем поле
F* — {с, Ахи*, и»} такое, что для любого поля F0 = {oko, Аик0, uk0} из Щ^0
выполняется интегральное тождество
к(С4и., Аико) + (1-к)( С 'с, око) - (1-к)(Ли., oko) +(2к-1)(ЛГи., uk0) -
-(2к-1)ГЦико) = 0, (5.1)
где к - произвольный числовой параметр, к е [0,1].
Фактически тождество (5.1) определяет семейство обобщенных решений,
зависящих от параметра к. Заметим, что интегральное тождество (5.1)
содержит как частный случай начало возможных перемещений, для чего там
достаточно положить к=1. С другой стороны, при к = 0 интегральное
тождество (5.1) переходит в вариационное уравнение Рейсснера, записанное
для элементов множества %.
Покажем теперь, что поле F*, являющееся решением задачи (1.2.2), (1.2.4)
в обычном смысле, является в то же время и обобщенным решением, то есть
удовлетворяет интегральному тождеству (5.1). Действительно, в
соответствии с началом возможных перемещений имеем
(САи., Ащ0) + (Ки*, uk0) - ns(uk0) = 0 . (5.2)
Далее, в силу (1.2.2) С4и.= с или С "'с. =Аи* и, следовательно,
справедливо тождество
6 Если быть более точным, то следует оговорить, что из рассматриваемого ниже
вариационного принципа вытекает не общий случай вариационного принципа
Рейсснера, а только тот частный его вариант, когда функционал Рейсснера
определен на кинематически допустимых полях перемещений.

3.5 Обобщенный смешанный вариационный принцип 107
(САи*, Лико) + (С 'о., око) - (е., Лик0) - (An,, око) = 0 . (5.3)
Домножая (5.2) на (2к-1), а (5.3) на (1-к) и суммируя полученное,
приходим к тождеству (5.1).
Пусть теперь выполнено (5.1). Покажем, что, если обобщенное решение в
смысле (5.1) достаточно гладкое, то оно является решением задачи (1.2.2),
(1.2.4) в обычном смысле.
В самом деле в силу произвольности ако из (5.1) следует, что С~1а* =Ап>,
откуда вытекает справедливость тождества (5.3). Домножая (5.3) на (1-к) и
вычитая полученное из (5.1), получим после сокращения на общий
множитель (2к-1) тождество (5.2), а это не что иное, как математическая
запись начала возможных перемещений7. Из начала возможных
перемещений при достаточной гладкости вектора и. следуют уравнения
равновесия в перемещениях [12].
3.5.2 Обобщенный смешанный функционал
На множестве ^ введем в рассмотрение семейство функционалов,
зависящих от параметра к
Ф(о,и) = - (САи, Ли) + — (САа, о) - (1 - к)(Ли, о) +
+ ^К—!-(Аи,и)-(2к-1)ГЦи). (5.4)
Варьируя функционал Ф на множестве %, получим условия его
стационарности в виде
8Ф = к(САи, А8и) + (1 - к)( С "'о, 5о) - (1 - к)(Ли, 8<т) -
- (1 - к)(Л8и, о) + (2к - \)(Ки, 8и) - (2к - 1)8П8(и) = 0 . (5.5)
Вариации 8о и 8и не должны выводить варьированные состояния за
пределы множества ^к, и значит должны принадлежать линеалу ^ко. Таким
образом, мы можем отождествить эти вариации с произвольными
элементами из линеала %,, то есть с окои ик0 соответственно. После
подстановки в (5.5) 8о = око и 8u =ик0 получаем отсюда интегральное
тождество (5.1).
Итак, задача поиска обобщенного решения, удовлетворяющего
интегральному тождеству (5.1), и стационарной точки функционала Ф на
множестве ^4 эквивалентны.
Докажем следующую теорему:
Если обобщенное решение F* в смысле (5.1) существует, то при условии
7 Предполагается, что к * Vi.

108 3. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Уг < К < 1 (5.6)
это решение доставляет минимум функционалу Ф.
В самом деле для любого поля Fko е %а с учетом (5.1) получим
0(F. + Fto)-0(F.) =
=| (C4uko, Лико)+ i^ (С -Ч0,ок„Н1 -к)Иико,око)+ ^ (Кик0, ик0), (5.7)
и нам остается доказать, что правая часть в (5.7) неотрицательна.
Непосредственно проверяется, что правую часть в (5.7) можно переписать
в эквивалентном виде
i^(C(C-4o-^uko), (С-Чо-Лико)) + ^^(CAuko,Anko) +
+^i(tfuk0)uk0) =
= Ь?(С(С-'<1ко-Лико), (С-Ч0-Лик0)) + (2к-1)Е(ик0), (5.8)
и ясно, что при условии (5.6) каждое из слагаемых в (5.8) неотрицательно.
Отсюда сразу же следует оценка
0(F. + Fto)^0(F.), (5.9)
что и требовалось доказать.
Если энергия деформации E(uko) является строго положительной
величиной для любого ненулевого вектора ukoe Щ,0, то (5.9) перейдет в
строгое неравенство8
Ф(Л + Л„)>Ф(Л). (5.10)
При таких условиях и при выполнении неравенства (5.6) обобщенное
решение в смысле (5.1) единственно. Предполагая противное, то есть считая,
что существуют два различных поля F», и F»2, минимизирующие функционал
Ф, на основании (5.10) придем к противоречащим друг другу неравенствам
ФСР.О < Ф(^2) и ФСР.2) < Ф(Рч).
3.5.3 О связи между функционалами Лагранжа, Рейсснера и
обобщенным смешанным функционалом
Несложно установить связь между тремя функционалами: лагранжианом L,
рейсснерианом R и смешанным функционалом Ф
Ф = к1. + (1-к)К . (5.11)
Напомним, что строгое неравенство E(uk0) > 0 обеспечивается в том случае, когда
множество жестких смещений для системы пусто.

3.5 Обобщенный смешанный вариационный принцип 109
Справедливость формулы (5.11) проверяется непосредственной под-
становкой9. Эта формула оказывается весьма полезной при установлении
выражений для смешанного функционала Ф в различных частных случаях.
Отсюда, кстати говоря, видно, что для смешанного функционала Ф мыслимы
три возможные формы (первая, вторая и третья) в зависимости от формы
записи рейсснериана, участвующего в формуле (5.11).
Предложенная первоначально в статье [9] форма записи смешанного
функционала Ф в виде Ф = L+2R представляет собой частный случай
формулы (5.11), полученной позднее в [10]. Эта форма записи получается из
(5.11), если положить к= 2/3 и отвлечься от несущественного для точки
стационарности функционала общего множителя '/з.
Опираясь на формулу (5.11) и учитывая (1.27) и (2.4.3), найдем значение
функционала Ф на решении задачи
Ф. = кЬ + (1-к)К. = (2к - 1)Ь .
Удобно переопределить функционал Ф, положив вместо формулы (5.11)
(5.12)
Именно этой формой функционала Ф мы и будем пользоваться в
дальнейшем. В этом случае значение функционала Ф на решении задачи
будет совпадать с точным значением лагранжиана, то есть
Ф. = Ь. (5.13)
Л.А. Розин обратил наше внимание на иную форму связи между тремя
функционалами. Если ввести новый параметр а, положив
1-к 1 + а /ci/in
а = , к= , (5.14)
2к-1 2а + 1
то с новым параметром формула (5.12) примет вид
Ф=1_ + а(1.+К). (5.15)
Условие (5.6) для нового параметра а переходит в условие
0<а<оо . (5.16)
Если просуммировать выражения для функционалов Лагранжа и
Рейсснера и при этом учесть выполнение кинематических краевых условий,
то получим функционал
9 Удобная структура этой формулы и была той причиной, ради которой мы ранее
изменили знак у функционала Рейсснера.

ПО 3. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Q=L+R=
= Уг(Сла, о) + У2(САи,Аи) - (Ли, о) = Уг(С(Сло-An), ((Г'а -Ли)), (5.17)
при этом формула (5.15) может быть переписана в виде
0 = L + ctQ. (5.18)
Функционал Q может быть истолкован как функционал наименьших
квадратов, построенный для физических уравнений.
Вообще, идея добавления к известным функционалам дополнительных
членов, имеющих смысл функционалов наименьших квадратов, приводит к
построению и других вариантов смешанных функционалов с аналогичными
свойствами Так, например, тот же самый функционал Q можно было бы
добавить к функционалу Кастильяно. Подробнее с такого рода
возможностями, а также с иными аспектами применения различных
функционалов наименьших квадратов, можно ознакомиться по книге [11].
Формально введенный обобщенный смешанный функционал Ф содержит
в себе как частный случай и рейсснериан (при к = 0) и лагранжиан (при
к= 1). Заметим также, что концевые точки интересующего нас интервала
Уг < к < 1 являются особыми точками для функционала Ф. В самом деле, при
к = 0,5 функционал Ф, определяемый исходной формулой (5.11), принимает
форму функционала Q , поскольку на основании формулы (5.11) получаем
Ф^.5 = 1/2 L+Y2 R = У2 Q . (5.19)
Из функционала Q в качестве уравнений Эйлера следуют только
физические соотношения. С другой стороны при к = 1 функционал Ф также
вырождается, так как он переходит в лагранжиан и не содержит при этом
напряжений
3.5.4 Параметризованное энергетическое пространство
Стандартным приемом вариационную задачу для функционала Ф на
множестве Щ, можно переформулировать в эквивалентную задачу
минимизации Ф на линеале Щ.0. Зафиксируем некоторое поле Fk = {0Л\,\}
из множества Wk . Тогда произвольное поле Fe % можно представить в виде
F = Fk + Fko, Fko= {аЛи,и} е Щ,0. Пользуясь формулой (5.12), можно задать
теперь функционал Ф варьируемым на линеале Щ,0
+ I (Ки, и) - П,(и) + 2^-f (САи> ^v) - j^ (Ay, о) +
+ (Ки, v) + С,
(5.20)

3.5 Обобщенный смешанный вариационный принцип 111
где С константа, зависящая от фиксированного вектора v. На линеале %^
введем в рассмотрение билинейную форму b(FuF2) от двух полей Fie %^0 и
F2& Щ.0, а именно положим
Эта форма при условиях
E(uk0) > О V ukoe %>, uk0 * 0 и Vz < к < 1 (5.21)
удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения и, следовательно,
порождает метрику в Щ,0, поскольку
b{F^{) = ц^ц (QC "'о, - Ли,), (С "'о, - Ли,)) + Е(щ) > О,
если ui * 0.
Для того, чтобы было выполнено условие (5.21), достаточно потребовать,
чтобы допустимые к рассмотрению перемещения uko были ортогональны по
основной метрике всем однородно кинематически допустимым жестким
смещениям и^0
(ик„,иЛО) = 0. (5.22)
Совокупность всех полей НДС вида F = {о, Лико,ико} с однородно
кинематически допустимыми перемещениями uko, удовлетворяющими
условиям (5.22), образует пространство со скалярным произведением,
порождаемым билинейным функционалом 6(F,,Fi). Пополняя это
пространство, получаем гильбертово пространство Jf которое мы назовем
параметризованным энергетическим пространством, соответствующим
функционалу Ф.
Понятно, что под параметризацией понимается введение параметра к. Это
энергетическое пространство позволяет осуществлять оценку погрешности
приближенных решений задачи, основанных на минимизации функционала
Ф, по соответствующей параметризованной энергетической норме.
Условие (5.22) можно истолковать теперь как разложение Щ,0 в прямую
сумму
Щ,0 = &® М0, (5.23)
где под М0 понимается множество полей НДС вида F = {0, 0,и# 0} при
условии Аило = 0.
Итак, параметризованное энергетическое пространство & с Щ,0 состоит
из множества полей вида F = {а,Аи,и}, подчиняющихся следующим
требованиям:

112 3. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
• перемещения и удовлетворяют однородным кинематическим краевым
условиям;
• перемещения и ортогональны по основной метрике всем однородно
кинематически допустимым жестким смещениям системы;
• скалярное произведение
принимает конечное значение для любого поля F из &,
Найдем теперь уравнения Эйлера и естественные краевые условия для
функционала Ф. С этой целью обратимся к формуле (5.5), представляющей
собой условие равенства нулю первой вариации функционала Ф.
Воспользовавшись основной интегральной формулой (1.2.19) преобразуем
формулу (5.5). В результате приходим к следующему вариационному
уравнению
8Ф = к(АтСАи, 8и) - (1 - к)(Ата, 8и) + (2к - \)(Ки, 8и) - (2к - 1)( X , 8и) +
+ (1 - к)(С 1а, 8о) - (1 - к)(Ли, 8<т) - (2к - \){ЕР р, Ер8и)г +
+ к(ЕрНаСАи, ЕрЪи)г - (1 - к)(?^, ЕрЪи)г = 0 .
В силу произвольности вариаций 8и и 8а, получаем отсюда уравнения
Эйлера и естественные краевые условия для функционала Ф
кАтСАи-(1-к)Ата + (2к-1)Ки-(2к-\)Х = 0 eQ, (5.24)
Сла-Аи = 0 eQ, (5.25)
Ер[- (2к - 1) р + кНаСАи - (1 - к)р] = 0 еГ, (5.26)
эквивалентные исходным уравнениям задачи (1.2.2), (1.2.4), при этом
геометрическое уравнение (1.2.2-6) и кинематическое краевое условие
(1.2.4-6) выполняются в силу принадлежности u е Щ, (главное краевое
условие для функционала Ф). Отмеченная эквивалентность уравнений легко
устанавливается, если заметить, что (5.24) является линейной комбинацией
уравнений равновесия и физических уравнений (5.25), к которым применен
оператор А С. Аналогичную линейную комбинацию статических краевых
условий и физических уравнений представляет собой естественное краевое
условие (5.26).
3.6 Вариационный принцип Гуртина
В практике расчетов инженерных конструкций нередки случаи, когда
конструктора интересуют не все компоненты напряженно дефор-
мированного состояния конструкции, а только некоторые из них. В

3.6 Вариационный принцип Гуртина 113
частности, во многих задачах определяющим является напряженное
состояние, тогда как деформированное состояние представляет меньший
интерес или вообще не имеет значения для данной технической проблемы.
Вместе с тем, традиционные схемы численного решения задач
строительной механики, базирующиеся на вариационных постановках, такие
как вариационно разностный метод, метод конечных элементов или метод
Ритца с гладкими аппроксимациями, в своих наиболее развитых вариантах
приводят либо к необходимости одновременного отыскания силовых и
кинематических полей, используя при этом функционалы смешанного типа,
либо к необходимости предварительного поиска деформированного
состояния с последующим определением напряжений.
Естественный подход к задаче прямого поиска напряженного состояния,
основанный на непосредственной минимизации функционала Кастильяно, в
большинстве случаев наталкивается на трудности построения статически
допустимых полей напряжений10.
Указанные затруднения можно преодолеть, если вариационную
постановку задачи загрубить, потребовав выполнения уравнений равновесия
не точно, а в слабом смысле (интегрально), при этом приходим к
функционалу со штрафом, восходящему к построенному М. Гуртиным
функционалу динамической задачи в свертках [13]. Позднее было осознано,
что функционалы гуртиновского типа можно распространить и на задачи
статики при наличии упругой среды с невырожденным оператором К. Такие
задачи наиболее характерны для балочных и плитных конструкций,
покоящихся на упругом основании винклерова типа.
Расширение этой возможности на задачи без упругой среды привело к
идее формального ввода в механическую модель упругой среды с
невырожденным оператором К. Эта искусственно введенная среда играет
роль штрафа в постановке задачи, слегка искажающего решение, но зато
дающего возможность удобного перехода к формулировке вариационной
задачи только в напряжениях [14].
3.6.1 Функционал Гуртина
Как уже было сказано, М. Гуртиным для задач динамики в свертках
построен разрешающий функционал, зависящий только от вектора
напряжений о, причем (это важно) функционал Гуртина определен на
полях напряжений, не обязанных заранее удовлетворять каким либо
уравнениям или краевым условиям. Чтобы не отвлекаться от основной темы,
не будем обсуждать здесь постановку динамической задачи в свертках, в том
числе и вариационную постановку, а сразу же выпишем по аналогии
соответствующий функционал для задач статики с невырожденным
10 Имеется в виду случай отсутствия упругой среды в постановке задачи В этих
условиях функционал Кастильяно зависит только от напряженного состояния
системы и не зависит от перемещений.

114 3. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
оператором К и затем приведем обоснование справедливости вариационного
уравнения, соответствующего этому функционалу11.
Однако предварительно имеет смысл привести постановку исходной
задачи (1.2.2), (1.2.4) к форме, в которой исключены перемещения и
деформации. Это можно сделать, поскольку рассматривается случай
невырожденного оператора К. Действительно, из уравнения равновесия
(1.2.2-а) имеем
и= К\Х-Ата). (6.1)
С другой стороны, исключая из геометрических уравнений (1.2.2-й) с
помощью физических уравнений (1.2.2-е) деформации, получим
An = С 1а , (6.2)
так что после подстановки сюда вместо перемещений и их выражения по
(6.1) приходим к одному уравнению, содержащему только напряжения
АК\Х-Ата)-С1а = 0. (6.3)
Краевые условия (1.2.4) с помощью (6.2) и (6.3) теперь также могут быть
записаны через напряжения
Ер(р -р) = 0, еГ - статические краевые условия, (6.4-а)
Eu(HJTl(X -Ата)-й) = О, еГ- кинематические краевые условия. (6.4-6)
Перейдем теперь к вариационной постановке задачи (6.3), (6.4), для чего
рассмотрим следующий функционал d - функционал Гуртина12
G^a) = 1Л(С 1а, а) + 1Л(К1Ата, А1 а) - (АК1 X , а) +
+ (Ер(р -р), EpHjeWoJr + (Ej>, Eu(HJCl Х-й))г. (6.5)
Варьируя функционал d по напряжениям о, получим
Sd = (С "'о, 8а) + (К1Ата, Атда) - (АК1 X , 8а) + (Ер8р, EpHjeWay +
+ (Ер(р-р), EpHyK-WSafr - (Еи8р,Eu(HJCl X-й))г .
Преобразуем это выражение с помощью основной интегральной формулы
8d = (С 'о + АКхАла - АК1 X , 8а) + (Еи8р, EJIJT'i X - Ата))г -
- {Еи8р, Еий)г+ (Ер(р -р), EpHJC'A^r. (6.6)
11 Интересующиеся постановкой и обоснованием динамической задачи в свертках
могут найти всю необходимую информацию в любой из работ [4, 11, 13].
12 Нижний индекс i подчеркивает, что речь идет здесь о первой форме функционала
Гуртина.

3.6 Вариационный принцип Гуртина 115
Приравнивая вариацию 8Gi нулю, приходим к уравнению Эйлера и
естественным краевым условиям для функционала Гуртина, которые
полностью совпадают с (6.3) и (6.4).
Вариационная постановка задачи (6.3), (6.4), основанная на функционале
Гуртина по (6.5), имеет тот недостаток, что накладывает слишком жесткие
требования на гладкость вектора внешних воздействий X и тензор
податливости упругой среды К1, поскольку их компоненты, входящие в
(6.5), дифференцируются (подвергаются действию матричного
дифференциального оператора геометрии А). От этого недостатка можно
избавиться, применив к члену {АК1 X, о) основную интегральную
формулу. В результате приходим ко второй форме функционала Гуртина
G2 = 1А (С 'о, о) + 1/2 (ЛГ'Л V Ата) -(КГ1Х, Ата) +
+ (Ер(р-р),ЕрНиК1Ата)г -(Etf,EpHJC1 Х)г -(Е,р,Еий)г. (6.7)
В общем случае функционал Гуртина не имеет экстремума в точке
стационарности. Действительно, пусть о» точное решение задачи (6.3), (6.4).
Приращение гуртиниана G при переходе от точки о. к точке о. + So будет
равняться величине Vi&G, так что знак этого приращения определяется
знаком второй вариации 82G
82G = (С "'So, So) + (JT'Лт8о, Лт8о) + 2{ЕрЪр, EpHjrWSay . (6.8)
В силу произвольности вариаций 8о они могут быть выбраны так, чтобы
8р = 0 еГ, и тогда 82G > 0.
С другой стороны тензор 8о может быть выбран так, чтобы для него
выполнялось уравнение Эйлера (6.3) при X = О
АК1Ат8а + С18а = 0. (6.9)
Домножая это равенство скалярно по области Q на 8о и используя основную
интегральную формулу, получим
(jrVSo, Лт8о) + (С "'So, So) + (5р, HJTlAT8a)r = 0 .
Если дополнительно ограничить рассматриваемые вариации напряжений,
потребовав, чтобы ЕиЪр = 0 еГ, то это равенство можно переписать в виде
(Ер8р, ЕрНиК'А^г = - (JT'.4T8o, Лт8о) - (С "'So, So),
и выражение для 8 G при таком специальном варьировании принимает вид
82G = - (ДТ'Лт8о, Лт8о) - (С "'So, So) < 0 . (6.10)
Итак, при разных способах варьирования напряжений вторая вариация
82G принимает разные знаки, следовательно в точке стационарности
функционала G экстремума нет.
Дальнейшие упрощения в функционале Гуртина можно получить, если
сузить множество допускаемых к сравнению полей напряжений,
ограничившись статически полудопустимыми полями, то есть полями

116 3. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
напряжений, удовлетворяющими статическим краевым условиям. В этом
случае функционал G запишется в виде
G3 = Уг( САа,а) + 1Л(К1Ата, Ата) -(К1Х, Ата)-(Е,р,Еий)г+С, (6.11)
где С = - (Ерр, EpHJC1 X )г аддитивная константа, не влияющая на поиск
точки стационарности функционала. Выражение (6.11) будем называть
третьей формой функционала Гуртина.
В случае третьей формы гуртиниана последний член в правой части (6.8)
исчезает, следовательно для функционала Гуртина, определенного на
статически полудопустимых полях напряжений, справедлив вариационный
принцип минимума.
Введем в рассмотрение еще два функционала
К„ = У2(С-1а, о)- (Ejt,Еиы)г , Qo = {K'\AJ<s-2Х), Ата). (6.12)
Функционал К<, представляет собой формально функционал Кастильяно
для упругого тела, а Q„ можно истолковать как функционал квадратичной
невязки уравнений равновесия упругого тела при отсутствии упругой среды,
при этом матрица JT1 выступает в качестве весовой функции. Указанная
трактовка функционала Qa становится понятной, если вторую из формул в
(6.12) представить в виде
Qa = (К-\Ата - X), (Ата - X)) - (АГ1 X , X)
и отбросить несущественную для точки стационарности гуртиниана
образующуюся при таком преобразовании Q„ константу (JT1 X , X).
Сопоставляя (6.11) и (6.12), получим простую формулу для гуртиниана,
определенного на статически полудопустимых полях напряжений
G3 = К„ +l/2Q0, Qa = (К-\Ата - X), (Ата -X)). (6.13)
полезную при установлении выражения для третьей формы функционала
Гуртина в частных задачах.
Такая трактовка третьей формы функционала Гуртина имеет еще и то
основание, что она наводит на мысль об использовании этого функционала в
задачах, где упругая среда в исходной постановке отсутствует (К= О). Если
опираться в таких задачах на вариационный принцип Кастильяно с
функционалом К„, то придется потребовать, чтобы допускаемые к
сравнению напряжения удовлетворяли условиям равновесия в объеме тела и
статическим краевым условиям на границе, то есть
Ата-Х =0 eQ, Efp = Epp еГ. (6.14)
Полагая K=kl, сводим задачу на условный минимум функционала К„ при
ограничениях (6.14) к задаче на безусловный минимум функционала со
штрафом
Gi = K+±((ATa-X),(ATa-X)), (6.15)

3.7 Геометрическая интерпретация функционалов 117
для которого первое из ограничений в (6.14) учитывается интегрально
введением штрафного члена в сам функционал, а второе ограничение
учитывается явно с помощью сужения множества допустимых к сравнению
напряжений.
При &->0 {IIк - штрафной множитель) решение задачи минимизации
(6.15) стремится к решению исходной задачи [15].
Отметим, что одно из полезных применений метода штрафа в задачах
строительной механики связано с использованием штрафного функционала
для формального понижения порядка дифференцирования под знаком
интеграла с целью ослабления требований на гладкость пробных функций в
методе Ритца [14].
3.7 Геометрическая интерпретация функционалов
строительной механики
Полезно привести геометрическую интерпретацию некоторых функционалов
строительной механики. Понятно, что такой анализ проще всего провести на
простейшей системе с одной степенью свободы. Поскольку в этом случае мы
не будем выходить за рамки трехмерного пространства, то такой анализ к
тому же и нагляден.
3.7.1 Обобщенный смешанный функционал
Итак, рассмотрим пружину с жесткостью с и податливостью d= \1с . Пусть
на пружину действует сжимающая сила Р. Обозначим и - укорочение
пружины, N—развиваемое в пружине усилие. Тогда
1 = Угси2-Ри, R=Y2N2d-Nu + Pu, (7.1)
следовательно, в соответствии с формулой (5.11) обобщенный смешанный
функционал Ф для данной задачи записывается в виде
Ф = J си2 +^N2d- (1- к) Nu - (2к-1) Ри . (7.2)
На этом простом примере можно зрительно проследить за изменением
характера функционала Ф при изменении параметра к.
На рис. 3.1-3.5 изображена в аксонометрии поверхность Ф(7У,и)при
значениях к = 0 , %1А , %1 соответственно в случае с = 1, Р = 1А .
На этих рисунках отчетливо виден седлообразный характер точки
стационарности (отрицательная гауссова кривизна поверхности) при
О < к <1А. С другой стороны при Vi < к < 1 в точке стационарности
реализуется минимум (поверхность положительной гауссовой кривизны).

118 3. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Рис. 3.1. Рис. 3.2. Рис. 3.3. Рис. 3.4. Рис. 3.5.
Форма поверхности функционала <&(N,u) при различных значениях параметра к
Исходя из выражения для функционала Ф по (7.2), найдем условия его
минимума, которые запишутся в виде
ди
дФ
с и - (\-к)N- (2к- \)Р = О,
-(l-K)u + (l-K)dN=0.
(7.3)
(7.4)
Всегда можно подобрать такую размерность величин, чтобы c=l,d=l.B
этом случае матрица системы уравнений (7.3), (7.4) будет иметь вид
а ее собственные числа будут равны
\l
1 + У1-4(1-к)(2к-1)
(7.6)
На рис.3.6 показана зависимость максимального Х2 и минимального Х\
собственного числа матрицы (7.6) от параметра к, откуда также видно, что,
как и следовало ожидать, при Уг < к < 1 матрица (7.5) положительно
определена.
Имеющимся в нашем распоряжении произволом в выборе параметра к
целесообразно воспользоваться таким образом, чтобы в каком то смысле
улучшить качество решения задачи. Например, можно потребовать, чтобы
система уравнений была наиболее устойчивой.
Как известно [13], мерой устойчивости системы уравнений может
служить, так называемое, число обусловленности Н матрицы этой системы
уравнений
ю
(7.7)

3.7 Геометрическая интерпретация функционалов 119
причем наиболее устойчивой оказывается система с минимальным числом
обусловленности.
Рис. 3.6. Зависимость Х{ и Х2 от параметра к
Как это видно из рис.3.6, число обусловленности Я минимально при
к = У* следовательно, на интервале 1Л < к < 1 система уравнений (7.3), (7.4)
наиболее устойчива в центральной точке допустимого интервала, то есть
наименее чувствительна к погрешностям вычислений при к = 3/4 Кстати
говоря, оптимальному, в указанном выше смысле значению к = % отвечает
параметр а равный по (5.17) а = Vi.
Таким образом, полагаем
Ф = 1Л (3L + R). (7.8)
Несущественный для точки стационарности функционала Ф множитель х/г
принят здесь потому, что при таком его выборе точное значение
функционала Ф* отождествляется с L»
Ф.= Ь, (7.9)
что может оказаться удобным при сопоставлении энергетических норм
приближенных решений задачи.
В связи с отмеченным обстоятельством возникает заманчивая гипотеза о
том, что точка параметра к = 3Л всегда отвечает наиболее устойчивой
системе уравнений Ритца. Но, увы, приводимый ниже анализ показывает,
что эта гипотеза оказывается несостоятельной.
Итак, рассмотрим механическую систему с п степенями свободы. Пусть
С матрица жесткости системы, С1 матрица податливости, и вектор
перемещений, N вектор внутренних обобщенных сил, Р вектор внешних
обобщенных сил, соответствующих выбранным степеням свободы. Запишем
в матричной форме выражения для лагранжиана L и рейсснериана R. Имеем
L = 1Л и Си -PJu, R = 1Л NJr]N - NJu + Рти . (7.10)
На основании общей формулы (5.11) получаем выражение для функционала
Ф= ^иСи+ ^NTr]N-(I -k)Nju-(2k- \)Рти . (7.11)

120 3. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Условия стационарности функционала Ф приводят к следующей системе
уравнений
|Г кС (к-1)/1||Ги1|=|Г(2к-1)/»1|
IL(k-i)/ (i-^c'JILjvJ il о \-
является поиск числа с
М2), для которой mi
|Г кС (к-1)/1|
'IL(k-I)/ (1-к)С-"Л-
(7.12)
и нашей задачей здесь является поиск числа обусловленности Н матрицы
системы уравнений (7.12), для которой мы введем самостоятельное
обозначение G
Для определения собственных чисел X матрицы G приравняем нулю
соответствующий характеристический определитель, то есть положим
IkC-AJ (к-1)/ I
|(к-1)7 (l-K)C-'-Aj|
Воспользовавшись формулами Шура [17, стр.59], преобразуем это
характеристическое уравнение к виду
|(кС- Щ(1 - к)Сч - U)] - (к - 1)2/| =
= | -Х[(1 - к)С-1 + кС] + [(1 - к)(2к - 1)+Я.2]/| = 0. (7.14)
После введения обозначения
х.д-кХ2к-1)+*.' (715)
уравнение (7.14) перепишется в виде
|[(1-к)С-1 + кС1-х1| = 0,
следовательно, % является собственным значением матрицы (1 - к)С-1 + кС.
Далее, матрица С является симметрической положительно определенной
матрицей, поэтому все ее собственные числа ц, (г=1,...,и) строго
положительны, так что
0<Ц1<Ц2^...^ЦИ-
Несложно понять, что собственные числа %, матрицы (1-к)С_1+ кС и
собственные числа ц, матрицы С связаны зависимостью13
13 Это следует из того соображения, что обе матрицы С и С"1 приводятся i
диагональному виду одним и тем же преобразованием подобия, Т~1СТ=А у
Т~1С~Т=А~1. Здесь А - диагональная матрица с элементами ц1; ...,ц„
Следовательно Г"'[(1 - к)С"' + кС]Г= (1 - к)А"' + кА, откуда и вытекает (7.16).

3.7 Геометрическая интерпретация функционалов 121
(7.16)
Подставляя сюда вместо параметра %, его выражение по (7.15), получаем
зависимость между X, и ц,
(1-к)(2к-1) + Я,2_ 1-
(7.17)
Для каждого индекса i=\,...,n формулой (7.17) определяются два значения
Х„ что и понятно, поскольку порядок матрицы G равен 2«. Разрешая
квадратное относительно X, уравнение (7.17), получим
_ 1 - к + кц2 + 7(1 - к)2 + к V - 2(1 - к)(3к - 2)ц?
2ц,
(7.18)
Без ограничения общности можем считать, что старшее собственное
число матрицы С равно единице, то есть ц„ = 1 Понятно, что этого всегда
можно добиться простым масштабированием матрицы С.
Если обозначить X* выражение (7.18) со знаком плюс перед радикалом, а
через Х~ то же выражение, но со знаком минус там же, то интересующее нас
число обусловленности Н матрицы G теперь можно представить как
функцию параметра к в следующем виде
тахХ*
Я(к)=-Н—=
цу [1-к+кц2 + У(1-к)2+кУ-2(1-к)(Зк-2)ц2]
= max max—'- . (7.19)
1 ц,[1-к + кц2-7(1-к)2+к2ц;-2(1-к)(Зк-2)ц2]
В общем виде найти значение параметра к из допустимого интервала
Уг < к < 1, при котором функция Н(к) принимает минимальное значение, не
удается. Поэтому приходится обращаться к численному эксперименту.

122 3. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Положим для простоты п = 2, и пусть Hi =0,2 и ц2 = 1 Воспользовавшись
известной программой Mathcad, на основании формулы (7 19) построим
графически зависимость # = #(к) при указанных выше значениях
параметров Результат такого построения приведен на рис. 3 7.
Из графика на рис. 3 7 видно, что минимум функции #(к) в данном случае
достигается при значении к несколько большем, чем к = 3Л (примерно при
к = 0,84)
3.7.2 О функционале Гуртина
Проследим теперь на такой же простой системе за поведением гуртиниана
G Пусть на пакет из двух параллельно соединенных пружин, одну из
которых с жесткостью с назовем основной, а вторую с жесткостью
к дополнительной, действует внешняя сила Р (рис. 3.8).
Рис 3.8. Пакет из двух параллельных пружин
Пусть и по прежнему укорочение пакета пружин, а N усилие, развиваемое в
основной пружине. Очевидно, что
Р Рг
и--?-, N=-^- (7.20)
с + к с+к
В данном случае основная пружина играет роль упругого тела, а
дополнительная - роль упругой среды, и мы имеем
Kc=\N2d, Qa=-(N-P)2, d=l/c, (7.21)
2 к
откуда на основании формулы (6 13) получим
G = -N2d + — (N-Pf (7.22)
2 2к V '
В данном случае G представляет собой квадратную параболу, точка
минимума которой находится из условия
— = 0 или Nd+^^-=0,
dN к
откуда и следует (7 20) Между прочим, в данном случае легко подсчитать,

Литература 123
2(с + к)
3.8 Заключительные комментарии к главе 3
Сам Гуртин, как об этом уже было сказано, интересовался не статической
вариационной задачей, а вариационной постановкой динамической задачи в
свертках и именно на этом пути получил функционал G. К аналогичному
функционалу позднее Гуртина пришли с помощью метода штрафа.
Этот же функционал был независимо построен и эффективно использован
в численных процедурах для задач статического расчета конструкций,
опирающихся на упругое основание винклерова типа, М.Д. Никольским [18].
В этой связи именование функционала G в задачах статики функционалом
Гуртина не бесспорно, но допустимо по приоритетным соображениям.
Литература
1. Reissner Е. On a vanational theorem in elasticity J. Math And Phys, 1950, 29, №2,
p 90-95.
2 Рейсснер Э О некоторых вариационных теоремах теории упругости В сб.
Проблемы механики сплошной среды К семидесятилетию Академика НИ
Мусхелишвили - М : АН СССР, 1961, с 328-337.
3. Hellinger Е Die allgemeine Anstee der Mechamk der Kontinua Enzycl. Math
Wiss.,1914, IV, 4, p 654-655
4. Розин Л А. Вариационные постановки задач для упругих систем." Л . Изд. ЛГУ,
1978.-223 с
5. РокафелларР Выпуклый анализ -М Мир, 1973 -469 с.
6 Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы - М Мир,
1979 -399 с.
7 Тонти Э Вариационные принципы в теории упругости - Сб. Переводов
"Механика;' М , 1969, вып 5, с. 124-138
8 Васидзу К Вариационные методы в теории упругости и пластичности. - М • Мир,
1987. - 542 с.
9. Сливкер В.И Об одной смешанной вариационной постановке задач для упругих
систем. - Изв АН СССР, МТТ, 1982, №4, с 88-97
10. Сливкер В И. Смешанный вариационной принцип строительной механики,
порождаемый выпуклым функционалом. - Исследования по теоретическим
основам расчета строительных конструкций Межвузовский тематический
сборник трудов. - Л . ЛИСИ, 1983, с. 114-121
11 Розин Л А. Задачи теории упругости и численные методы их решения - СПб .
Изд. СПбГТУ, 1998 -428 с

124 3. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
12 Победря БЕ Некоторые общие теоремы механики деформируемого твердого
тела - ПММ, 1979, т 43, выл 3, с 531-541
13 GurtinME Variational Principles for linear elastodynamics -Arch Rat Mech Anal,
1964, №16, p 34-50
14 Гордон Л.А., Шойхет Б.А Об одном способе численного расчета тонких пластин
и оболочек. - Известия ВНИИГ, 1972, т 98, с 34-42
15 Стренг Г, Фикс Дж Теория метода конечных элементов -М Мир, 1977 -349 с
16 Уилкинсон Дж X Алгебраическая проблема собственных значений - М Наука,
1970 -564 с
17 Гантмахер Ф Р. Теория матриц. - М Наука, 1967 - 575 с
18 Никольский М.Д К вопросу о формулировке принципа минимума
дополнительной работы в линейной теории упругости. В сб Механика
материалов и транспортных конструкций - Л. ЛИИЖГ, 1980, с 108-117

4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ - часть 1
Построение модели любого физического процесса
начинается с законов сохранения Если так можно
сказать, законы сохранения - это опоры, основа любого
модельного описания
Н.Н. Моисеев. Математика ставит эксперимент. - М •
Наука, 1979, с 36
4.1 Варианты операторной формы постановок задач
строительной механики
В этом параграфе остановимся весьма кратко на описании некоторых
вариантов постановок задач в дифференциальной форме.
Основное содержание книги относится к вариационным постановкам
задач, соответствующие же дифференциальные формы имеют лишь
вспомогательное значение, поэтому мы не будем задерживаться на
обсуждении достоинств и недостатков этих постановок, ограничившись
перечислением минимальных сведений, которые могут нам потребоваться в
дальнейшем.
4.1.1 Постановка задачи в перемещениях
Прежде всего, выпишем еще раз постановку исходной задачи (1.2.2), (1.2.4),
чтобы иметь ее непосредственно перед глазами, не обращаясь к ссылкам на
предыдущие главы
Аа+Ки=Х - уравнения равновесия, (1-1-а)
Аи = г - геометрические уравнения, (1.1-А)
а = Се или е = С 'о - физические уравнения. (1.1-с)
Система разрешающих уравнений задачи (1.1) должна быть пополнена
краевыми условиями, которые в операторной форме записываются в виде

126 4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть I
Ер(Наа - р) = 0 - статические краевые условия, (1.2-я)
Еи(Нии-й) = 0 - кинематические краевые условия. (1-2-6)
Если из геометрических уравнений (1.1-й) с помощью физических
уравнений (1.1 -с) исключить деформации 8, то напряжения о можно
выразить непосредственно через перемещения
а = САи, (1.3)
что после подстановки в (1.1-а) приводит к уравнениям равновесия в
перемещениях
АтСАи + Ки= X. (1.4)
Соответственно и краевые условия (1.2) с помощью (1.3) выражаются
теперь только через перемещения
Ер(НаСАи - р) = 0 - статические краевые условия, (1.5-а)
Еи(Нии-й) = 0 - кинематические краевые условия, (1.5-й)
В теории упругости постановку задачи в перемещениях обычно
связывают с именем Ламе, поэтому в дальнейшем формальный
дифференциальный оператор
L = AJCA+K (1.6)
будем называть оператором Ламе. Фактически операторное уравнение Ламе
представляет собой уравнение равновесия механической системы,
записанное в перемещениях
Z.U = X. (1.7)
Пополненное краевыми условиями (1.5), операторное уравнение (1.7)
представляет собой полную операторную постановку исходной задачи в
перемещениях. После решения этой задачи, то есть после определения поля
перемещений, отыскиваются на основании геометрических уравнений
(1.1-й) деформации, а через деформации с помощью физических уравнений
(1.1-с) и напряжения.
4.1.2 Постановка задачи в напряжениях
Пусть S матричный дифференциальный оператор Сен-Венана - оператор
совместности деформаций. Это означает, что деформации е, удовлетворяя
однородным уравнениям с оператором S, обеспечивают сплошность тела. На
математическом уровне можно было бы сказать, что деформации совместны
тогда и только тогда, когда они принадлежат ядру оператора Сен-Венана
Sz = 0. (1.8)

4 1 Варианты операторной формы постановок задач 127
Если в уравнениях Сен-Венана (1.8) заменить деформации их
выражениями через перемещения по (1.1-6), то получим тождество
SAu = 0, (1.9)
поскольку деформации вида е = Аи не нарушают условий сплошности
деформируемого тела по смыслу самого определения совместности
деформаций. Итак, оператор SA является аннулирующим оператором для
любого вектора и, иначе говоря
SA = О. (1.10)
Применяя теперь операцию взятия сопряжения к обеим частям (1.10),
получаем также
ATST = 0 . (1.11)
Возвращаясь к обсуждению постановки задачи в напряжениях,
рассмотрим отдельно два варианта таких задач. В первом варианте
считается, что упругое основание отсутствует, иначе говоря, в (1.1-я) можно
положить К= О. Если в (1.8) заменить деформации с помощью закона Гука
через напряжения, то в результате в области Q будем иметь совокупность
уравнений, в которые в качестве неизвестных входят только напряжения
Ата = X eQ, (1.12-я)
SCxa = 0 eQ. (1.12-6)
Если краевые условия вдоль всей границы Г являются краевыми условиями
статического типа, то они вместе с уравнениями (1.12) определяют
дифференциальную постановку задачи в напряжениях. При наличии краевых
условий кинематического типа дифференциальная постановка задачи в
напряжениях затруднена.
Теперь обратимся ко второму варианту, характеризующемуся тем, что
оператор упругого основания К всюду в области Q положительно определен.
Но тогда этот оператор обратим, и из уравнения равновесия (1.1-а) находим
и = К-\Х-Ата), (1.13)
что после подстановок в остальные уравнения системы (1.1) и элементарных
преобразований дает
(АК-1Ат+С'1)а=АК~1Х. (1.14)
В этом случае и все краевые условия легко записываются в напряжениях, а
именно
Ер(Наа-р) = 0 - статические краевые условия, (115-я)
Eu[HJCl(X-А о) — й] = 0 - кинематические краевые условия (1.15-6)

128 4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть I
4.2 Трехмерная задача теории упругости
Предполагая, что читатель знаком с основами теории упругости, приведем
здесь без вывода основные соотношения трехмерной задачи теории
упругости в линейной постановке. Воспользовавшись часто применяемым в
тензорном анализе обозначением производной по координате х, через
указание после запятой нижнего индекса i (i = 1,2,3) той переменной, по
которой ведется дифференцирование
д0_
ах,'
= (),.
эти соотношения в следующем виде
-о9 + k'JUj= X' - уравнения равновесия, (2.1-я)
еу = ]- (uhJ + «,,,) - геометрические уравнения, (2.1 -Ь)
ст</ _ ?.»*/ 8^ или е = ц^ Qu _ физические уравнения. (2 1-е)
Представим тензор напряжений о = {уи }, тензор деформаций е = {е } и
вектор перемещений и в матричной форме, положив с учетом симметрии
тензоров о и е
о=\[о",а22,о33,о'2,оп,о3']\т,
? = |[Е//, е22, ?зз, Ji2,123, Уз/]\Т, где yw= 2ev при i *j,
и = \[иии2,щ]\т .
(2.2)
Теперь всем трем соотношениям (2.1) можно придать матричную форму
(1.1), причем матричный дифференциальный оператор геометрии А в
покомпонентном виде запишется как
\дА, °
0 А,
0 0
\дА, дА
0 еА
VA •
0
0
/дхъ
0
д/
/дх2
/8хх_
0,.
0
0
0,2
0
.(Ь
0 0
();2 о
о (),
0,з 0,
0 0,
Но тогда сопряженный по Лагранжу оператор равновесия А1 в соответствии
с общими правилами построения сопряженных операторов (см. §1.2) будет
иметь вид

4.2 Трехмерная задача теории упругости 129
О
/дх.
/ах,
о
о
-У*.
и действительно отвечать уравнениям равновесия (2.1-а).
Остановимся на уравнениях совместности деформаций, которые в теории
упругости как раз и носят название уравнений Сен-Венана. Будучи
записанными в покомпонентной форме, эти уравнения имеют вид
[1, стр.231]
Sv = €,кт ?jln?klj>m ~ О •
Здесь Sv компоненты так называемого тензора несовместности, elhn-
символ Леви-Чивита. Символ Леви-Чивита в,*„ определяется ортами i\, i2,13
прямоугольной декартовой системы координат (хи хг, *з) с помощью
известных формул
елт = /, • (4х im).
Матричный дифференциальный оператор Сен-Венана S совместности
деформаций может быть представлен в виде
/дх\
/дх,дх2
/дх1дхъ
/ &2&з
/&3&С,
/дх1дхг
/2дхъдх1
V
/2дх2дхъ
/2дх1дх2
/дхъд\
О
V
/2дх2дх3
У
/28х1дх2
~8У 2
/2дх\
В матричной форме в общем случае анизотропии матрица С
коэффициентов жесткости материала с учетом ее симметрии будет
представлена 21 независимыми коэффициентами, и аналогичное же
представление имеет обратная ей матрица С-1 коэффициентов податливости
материала упругого тела

130 4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть I
d}4
d46
В этой матричной записи элементы матриц С и С', лежащие ниже г,
диагонали и восстанавливаемые по условию симметрии, не показаны.
В частном, но важном для практики, случае изотропного материала упругого
тела компоненты этих тензоров С = {С'ы } и С ' = {D ы } выражаются через
две независимые константы, при этом [2]
с,ы =
l + vLl-2v
s'^'+I-cs'V'+o^")!,
Dljkl = |[-v695H +!±v (5lt6„ +6,Л)] ,
где by = b'J - символ Кронекера.
В матричном представлении это дает
+ 2ц X
X Х + 2\}.
Х + 2\1 0 0 0
0 ц 0 0
Г 1
-V
-V
0
0
|_0
-V
1
-V
0
0
0
-V
-V
1
0
0
0
0
0
0
2(1+ v)
0
0
0
0
0
0
2(1+ v)
0
2(1+ v)
где упругие характеристики Ламе к и ц связаны с техническими
характеристиками материала модулем упругости Е и коэффициентом
Пуассона v следующими соотношениями
Х + ц 2(Х + ц)
или в обращенном виде
(2.5)

4 2 Трехмерная задача теории упругости
Ev
Е
~2(l + v)'
(2.6)
(l-2v)(l + v)
Обратимся теперь к краевым условиям. Пусть п = \[щ, п2, п3]\т вектор
внешней нормали к поверхности Г, ограничивающей область Q, которую
занимает упругое тело. В каждой точке границы Г ставятся три краевых
условия - статические и/или кинематические. Пусть (и, t, Ъ)
правоориентированная декартова тройка осей локальной координатной
системы, установленная в каждой точке граничной поверхности /"так, как об
этом было сказано в §1.2. Будем считать, что векторы заданных краевых
усилий р и перемещений й могут быть представлены или своим
разложением по осям глобальной системы координат или по осям локальной
координатной системы. В первом случае имеем
P=\[pl,p\p3tf, Й=|[Й1,Й2,Й3]|Т, (2.7)
тогда как во втором
Р=\[р",Р',РЬ]\Т, й=\[йп,й1,щ]\т . (2.8)
В каждой точке граничной поверхности по каждой компоненте задается
одно из двух: или компонента вектора усилий р или компонента вектора
перемещений й. Совокупность заданных краевых условий определяется
составом операторов Ер и Еи , которые мы ранее назвали операторами
выделения краевых условий. Для трехмерной задачи теории упругости эти
алгебраические операторы имеют вид
О О
О О
О О
0
0
0
еи,
0
0]
0
еиь\
(2.10)
причем представление (2.9) соответствует использованию глобальной
координатной системы, а (2.10) - локальной.
Каждая из диагональных компонент матрицы Ер равна или единице или
нулю, и аналогичное требование распространяется на диагональные
компоненты матрицы Еи, причем в соответствии с условиями (1.2.5)
ера + еиа = 1
(а = 1,2,3; или а = n,t,b).
(2.11)
Что же касается матрицы На, то в случае задания краевых условий в
глобальной системе координат она может быть записана в следующем виде

132 4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть I
(2.12)
где и, - компонента вектора п внешней нормали к границе Г относительно
глобальной оси х,. Интересно отметить, что структуры матриц А и На
полностью идентичны, матрица На получается из матрицы А1 с помощью
формальной замены операции дифференцирования на соответствующую
компоненту вектора п.
Действительно, матричное произведение Н„а приводит к вектору
\[o1Jrij, a2jrij, о*и,]|т, представляющему собой вектор краевых усилий,
действующих на площадке с нормалью и, причем компоненты этого вектора
отнесены к глобальной системе координат. В результате в покомпонентной
форме краевые условия (1.2) принимают вид
е„(о»и,-/>') = О
0=1,2,3),
(2.13-я)
е„ (и, - м,) = 0 (i = 1,2,3). (2.13-й)
Эти же краевые условия в эквивалентной матричной форме запишутся так
Ер(Наа -р) = 0 , (2.14-а)
Еи(Нии - й) = 0.
(2.14-й)
Поскольку из (2.13-й) следует, что вектор краевых перемещений и
совпадает с вектором перемещений и на границе Г, то отсюда приходим к
выводу о том, что матрица Ни является единичной матрицей третьего
порядка. Этот вывод справедлив, конечно, при формулировке краевых
условий в глобальной координатной системе. Заметим, что операторы
геометрии и равновесия А и А для трехмерной задачи теории упругости
содержат дифференциальные операции не выше первого порядка, и именно
поэтому оператор Ни в данном случае является тождественным оператором.
В случае задания краевых условий разложением по осям локального
базиса уместно ввести в рассмотрение матрицу Л преобразования координат
й, й2 й3
с компонентами, равными проекциям единичных векторов локального
базиса на оси глобальной системы координат. В этом случае, раскладывая

4 2 Трехмерная задача теории упругости 133
вектор краевых усилий и вектор краевых перемещений по локальному
базису, вместо (2.13) будем иметь1
ер«(ра-Г) = 0,
ра= X*G*nj
иа= к' и,
(a = n,t,b), (2.16-а)
(a = n,t,b). (2.16-6)
*»«(««-йо) = 0,
Итак, при формулировке краевых условий в локальной системе
координат, вектор краевых усилий р и вектор краевых перемещений и
должны быть предварительно переведены в локальную координатную
систему. Этот перевод может быть осуществлен и формальными
матричными преобразованиями, если входящие в (2.14) матрицы Нс и Ни
предварительно домножить слева на матрицу преобразования координат Л,
то есть положить
Гл. 0 0 л, о
о
о
Я„ = Л.
(217)
Основное интегральное тождество (1.2.17) для трехмерной задачи теории
упругости в покомпонентной форме представимо в виде
j\a'J(uUJ +uhi)dQ. = -j^u^n + фо*и,и,?/Г . (2.18)
Выпишем теперь в явной форме выражения для некоторых функционалов
строительной механики применительно к трехмерной задаче теории
упругости.
4.2.1 Функционал Лагранжа
Ци) = f [1с**(и#>у +иа#Хи*#/ + «а) + \к"upj -иД'Ъ
- j>ep,u,P'dr ¦
(2.19)
Этот функционал определен на множестве векторных функций и,
удовлетворяющих кинематическим краевым условиям (2.13-6) или (2.16-6),
и гарантирующих конечное значение интеграла энергии Е
E(U) = if[i^"'" +М")(И*.'+ "/,*>+*V,]<to • (2-20)
1 Обратим внимание на то, что величины вр,,..., еиа не являются компонентами
тензора, и следовательно, на них не распространяется правило суммирования по
повторяющимся индексам

134 4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть I
Уравнениями Эйлера для функционала L служат уравнения Ламе,
которые в случае изотропного материала принимают особенно простой вид
[З.стр 119]
-G(AKI+T-L-g.) + ^=x'> (221)
где G модуль сдвига, 8 объемная деформация
„ р ди, <3и, 9и,
G=2(l^)' 9=^ + ^ + ^ (2"22)
Статические краевые условия выступают в качестве естественных для
функционала L.
Вариационная постановка задачи, основанная на минимизации
функционала Лагранжа, соответствует операторной форме постановки
задачи в перемещениях
4.2.2 Функционал Рейсснера
В соответствии с (3 1 4) и (3 1 5) приведем выражения для первой и второй
форм функционала Рейсснера в развернутой записи для трехмерной задачи
теории упругости
Ri(<Ui)= \[±DIJklolJo" -±к\и,-±(ии+и^)&' +u,X^dn +
+ j> еР,и, P'dr ~ j> ew (й, - и, )a'Jnjdr, (2 23)
R2(o,u) = J (I D,jkla--
a -^-k"utuj л-up''j +uIX'\dn H
+ feP,u,(P' -ст"иу)й?Г - ^еим,а'уи/Г (2 24)
Функционал Рейсснера определен на совокупности тензоров напряжений
и векторов перемещений, не обязанных заранее удовлетворять каким либо
краевым условиям. Требования к гладкости подынтегральных функций в
функционалах Рейсснера определяются требованиями существования
конечного значения интегралов, входящих в выражение соответственно для
Ri hR2
Уравнениями Эйлера для функционала R служат- уравнения равновесия
(2 1-я) и физические уравнения (2 1-е) Все краевые условия выступают в
качестве естественных краевых условий для функционала R

4 3 Плоская задача теории упругости 13 5
4.2.3 Функционал Кастильяно
K(o,u) = U(Dljld&Jokl+k"ulUj)da - tyjiffrijir (2 25)
а г
Функционал Кастильяно определен на совокупности тензоров напряжений и
векторов перемещений, удовлетворяющих уравнениям равновесия (2 1-я) н
статическим краевым условиям (2 13-я) или (2 16-я).
Уравнениями Эйлера для функционала К служат уравнения совместности
деформаций в напряжениях (1.12-А), а в качестве естественных краевых
условий выступают краевые условия кинематического типа (2 13-А) или
(2 16-й)
4.2.4 Функционал Гуртина (третья форма)
G3(o) = \{^Dljkla"okl +^bijo%o1} +bfa*X'\dn - §ешй,с']п^Г, (2 26)
где | [Ml = Kl
Функционал Гуртина в его третьей форме определен на совокупности
тензоров напряжений, удовлетворяющих статическим краевым условиям
(2 13-я) или (2 16-я) Предполагается существование конечных значений
всех интегралов, входящих в выражение для G3 Само собой разумеется, что
функционал Гуртина определен только для таких задач, для которых
оператор К невырожден
4.3 Плоская задача теории упругости
Различают два варианта двумерной, или плоской, задачи теории упругости
плоское напряженное состояние и плоская деформация Под областью Q в
плоской задаче понимается двумерная область, которую для определенности
будем считать расположенной в плоскости (х, у) В обоих вариантах все
искомые функции зависят от двух координат, в оговоренных условиях от
координат* и у
Плоским напряженным состоянием называют такое состояние тела, при
котором напряжения по всем площадкам, параллельным плоскости (х, у),
считаются равными нулю, а напряженное состояние во всех точках,
лежащих на одном перпендикуляре к этой плоскости, одинаково Переходя
к обозначениям а' для нормальных напряжений и х" для касательных
напряжений, условие реализации плоского напряженного состояния
запишем в виде
аг = 0, туг = х2Х = 0, <f = <?(xy), сту = сту(х^), Г* = Г*{ху)
6-818

136 4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть I
Плоское напряженное состояние возникает, например, в тонкой п
на которую действуют постоянные по толщине пластины нагрузки,
параллельные плоскости пластины.
Плоской деформацией называется такое состояние тела, при котором
перемещения всех точек тела параллельны одной плоскости - в оговоренных
обозначениях плоскости (х,у). Вводя ось z как ось, ортогональную
плоскости (х,у), и обозначая соответствующие компоненты трехмерного
вектора перемещений через u,v,w , запишем условия реализации плоской
деформации в следующем виде
и = и(х, у), v = v(x, у), w = О .
Искомые напряжения, деформации и перемещения, а также вектор
внешних распределенных по двумерной области Q сил, в матричной форме
представимы в виде
в = |[<Ло>,тЧ|т, e = l[e»<*Y*JT, u = \[u,v]\T, X = \[X,Y]\T. (3.1)
Выпишем в покоординатной форме основные уравнения плоской задачи
теории упругости [4], ограничившись случаем отсутствия упругой среды
(К=0).
Дифференциальные уравнения равновесия:
-df_-d?L=X, _^L_^l=y. (3.2)
дх ду дх ду
Геометрические уравнения (соотношения Коши), связывающие деформации
с перемещениями:
?*=?> ?у=%Г> ^=7Г + 1г- (3-3)
дх ду у дх ду
Физические уравнения, которые мы выпишем для случая изотропного
материала, работающего в условиях плоского напряженного состояния:
^ ^=2(1Т^ ^
^fe + VE,),
4«"-v°0.
*= Yw (?у+'
или
ey=^(^-v<f)
YV=3?V. (3.5)
В задаче о плоской деформации структура физических уравнений
сохраняется, и все, что нужно сделать, для того чтобы иметь право
применять соотношения (3.4) и (3.5) к задаче о плоской деформации, это
заменить константы материала Е на Е0 и v на v0 , где
Перейдем теперь к формулировке краевых условий, ограничившись
случаем задания краевых условий в глобальной системе координат

4 3 Плоская задача теории упругости 137
статические
краевые условия
вру^Пх + ^Пу- ру) = 0,
кинематические
краевые условия
еих(и~й) = 0,
e„y(v- v) = 0.
(3.7)
Совокупность разрешающих уравнений плоской задачи и краевых
условий может быть представлена в матричном виде, если помимо (3.1)
положить
P-W.V, р"\\,
д/ д/
/ду /дх
_3/ _3/
/ду /а
1 -v О
-v 1 О
О 0 2(1+ v)
Выполняя матричные операции в соответствии с формулой (1.6), найдем
оператор Ламе для плоской задачи теории упругости
L = ATCA = -
2 ду1
1 + у д2
2 дхду
1 + у 5 V2 , 1 + у д2
2 дхду 2 дх2
Условие совместности деформаций для плоской задачи теории упругости
принимает форму единственного уравнения
д2Ех д2Е} d2yv _
ду2 дх2 дхду
и, следовательно, матричный дифференциальный оператор Сен-Венана S
может быть записан в виде
Основное интегральное тождество (1.2.17) для плоской задачи теории
упругости в покомпонентной форме представимо в виде

138 4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть I
J (а\ +а'ел + т*% )<Ю = - J [(с? + т^ )м + (а^ + т** )г>]<Ю +
+ ф[(аХ +т^)« + (а\+^и1)^Г (3.9)
4.3.1 Функционал Лагранжа
Выпишем вьфажение для функционала Лагранжа применительно к
изотропному материалу в задаче о плоском напряженном состоянии
L(u) = —^-j- |Ги* + v*y+2vuxv у+^-{и,у +о,)2Ъп -
- J(mX +uF)u?Q - fa^up"+e„vpy)dr (3 10)
Этот функционал определен на множестве векторных функций и,
удовлетворяющих кинематическим краевым условиям и гарантирующих
конечное значение интеграла энергии Е
E(u)=—L \\ul+vl+2vu,xv,y+^{u,y + vj'\dQ. (3 11)
Уравнениями Эйлера для функционала L служат уравнения равновесия в
перемещениях
, l+vd2u 1 + у д2у)
_^ _i±v^_v2u + ±±v<ZJl = f (3 12)
1-v2 { 2 дхду 2 дхг)
Статические краевые условия выступают в качестве естественных для
функционала L
4.3.2 Функционал Кастильяно
K(e)= Jg j[(cx)2 -2vo'oy +(оу)2 +2(l + v)(Txy)2]dn -
-§[еи(<?пх + ххупу)й + е11(аупу + xxynx)v]dr (3 13)
Функционал К(о) определен на множестве полей напряжений о,
удовлетворяющих уравнениям равновесия (3 2) и статическим краевым
условиям из (3 7)

4 4 Продольная деформация прямолинейного стержня 139
Уравнениями Эйлера для функционала Кастильяно являются уравнения
совместности деформаций в напряжениях, которые для плоской задачи
теории упругости после некоторых преобразований с помощью уравнений
равновесия записываются в виде [4]
^-2# + ^-vA(a'+a')=0
дхг дхду ду2
4.3.3 Функционал Рейсснера
Опираясь на формулы (3 14) и (3 1 5), приведем выражения для
функционала Рейсснера в его первой и второй формах в случае плоской
задачи теории упругости. В развернутой записи имеем
Ri(«.u) = 2^ J[(a*)2 -2vaV +(a02 + 2(l + v)(xxv)2]dQ-
- j [a'ux + oyvy + x* (uy + о, )]<Ю + j" [uX + vY]dn +
+ Ф (epxP"u + epyp1'v)dr +
+ j>[eu(u-u)(axnx + Txyny) + ev(v-v)(ayny+x'n'nx)]dr, (3 14)
R2(e,u) = ± j[(ox)2 - 2va V + (av f + 2(1 + v)(t" f ]dCl +
+ J" [«(of, + ifp + v(o*y + xxyx)]dCl +j[uX + vY]dD. +
+ j>[epxu(px-uxnx-xxvnv) + epyv(pv -ovny-xxynx)]dr-
- j>[euu(oxnx+xx>ny) + evv(ovny+xxynx)]dr (3 15)
Уравнениями Эйлера для функционала R служат уравнения равновесия
(2 1-о) и физические уравнения (2.1-е) Все краевые условия выступают в
качестве естественных краевых условий для функционала R
4.4 Продольная деформация прямолинейного стержня
Рассмотрим задачу о растяжении-сжатии прямолинейного стержня Пусть .г
продольная ось стержня. q(x) интенсивность распределенной вдоль оси
стержня и действующей в направлении оси х нагрузки

140 4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть I
Если считать, что начало координатной системы совмещено с одним из
концов стержня, а вся длина стержня равна /, то заданные на
соответствующих концах стержня сосредоточенные силовые воздействия
уместно обозначить как Р0 иР, соответственно (рис. 4.1)
q(x)
J -
I
Рис. 4.1. Растяжение-сжатие прямолинейного стержня
Пусть и(х) функция продольных перемещений сечений стержня при его
деформировании, а N(x) продольная сила, считающаяся положительной при
растяжении стержня. Обозначим А = А(х) функцию, показывающую
изменение площади поперечного сечения стержня. Кроме того, будем
считать, что продольные деформации стержня стеснены упругим
основанием с коэффициентом постели к = к(х).
Векторы напряжений с, деформаций е и перемещений и, определяющих
напряженно деформированное состояние стержня, в данном случае состоят
из одной компоненты каждый, а именно
o=\[N]\, 8 = |[б]|, и = |[и]|, (4 1)
при этом е = =!L относительная продольная деформация, положительная
при растяжении Совокупность разрешающих уравнений задачи имеет вид
dx
- уравнение равновесия,
— = с - геометрическое уравнение,
dx
N=EAe - физическое уравнение.
Эти уравнения принимают обычный матричный вид (1.1), если помимо (4.1)
положить
1Ш1- H-il
C-IM, С--Щ (4 2)
В данной (одномерной) задаче область Д занимаемая упругим телом,
представляет собой отрезок прямой [0,1], а граница Г области Q состоит из
двух точек х = 0их = I, причем направляющие косинусы п внешней нормали
и к границе Г в этих точках равны соответственно
и(0) = -1, и(/) = 1. (4 3)
Краевые условия в точках х = 0 и х = I формулируются в виде

4 4 Продольная деформация прямолинейного стержня 141
статические
краевые условия
ep[N(0) + Р0] = 0,
еР [-N(1) + Р, ] = 0,
кинематические
краевые условия
еи[«(0)-«(0)] = 0,
ея[«(/)-й(/)] = 0.
(4.4)
Параметры выделения краевых условий ер и еи задаются на каждом из
концов стержня и принимают значения 0 или 1, причем ер + еи - 1. Понятно
также, что матричные операторы Ер и Еи являются матрицами первого
порядка, то есть
ЕР=\[еР]\, Еи=\[еи]\- (4.5)
Основное интегральное тождество для задачи о растяжении-сжатии
стержня записывается в виде
j"'^-Ndx = -j'^-udx + [epNu] |'0 + [euNu] |'о , (4.6)
Полагая На = |[и]| и /У„ = / = |[1]| и обращаясь к формулам (1.1.4) и (1.1.5),
внеинтегральные члены в правой части (4.6) можно записать в операторной
форме
(Наа, и)г = (nNu)^ + inNu)^, = (JV«)W - (Nu)^ = [Nu] \'Q .
Кроме того, выражения для силового и кинематического потенциалов могут
быть представлены в виде
ГЦи) = (Х,и) + (Ерр, ЕрН^г =
= f qudx + (epPu)x=0+(epPu)x=l = J qudx + [epnPu]{0 ,
Пк(о) = (EM*,*, EuU)r= (eu й nN)^ + (eu й nN)^ = [еиШ] |'o, (4.7)
где учтено, что в соответствии с (4.3) п2 = 1.
В результате функционал Лагранжа для этой задачи в покомпонентной
форме принимает вид
Ци) = J (± ЕАи]х +±ки2- qu)dx - [ерпРи] |'о. (4.8)
Уравнение Эйлера для этого функционала представляет собой уравнение
равновесия в перемещениях
--^(EA^) + ku = q, (4.9)
а в качестве естественных краевых условий выступают статические краевые
условия.

142 4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть I
Функционал Кастильяно для этой задачи в покомпонентной форме имеет
вид
K(N,u)=^(^ + ku2^ck-[euNU]^. (4.10)
Приведем также выражения для первой и второй форм функционала
Рейсснера. Если исходить из общих выражений для этих функционалов по
(3.1.4) и (3.1.5) и учитывать (4.7), то получим
R,(N,u) = ljj^-±ku2 -и,хЫ + ди^ск-[еиЫ(й-и)]{0+[ерпРи]{0,
R2(N,u) = j jj^-^ku2 +uNx+qu)clx-[ellNU]\l0+ [epn{P - nN)u]f0. (4.11)
Наконец, приведем выражение для функционала Гуртина в его третьей
форме
Сз(^^Ш^^+^^)^-[е"Ж11»' (4Л2)
причем допускаемые к сравнению функции N(x) должны удовлетворять
главным краевым условиям
ep(P + N)x=0=0, ep(P-N)x=l = 0.
4.5 Балка Бернулли на упругом основании
Рассмотрим задачу изгиба прямолинейного стержня (балки). Введем
декартову систему координат (х, у, z), совместив ось х с продольной осью
изгибаемой балки. Будем считать, что балка изгибается в плоскости (х, у), то
есть в плоскости чертежа, совпадающей с силовой плоскостью (плоскостью
действия внешних сил). Если третью ось z правоориентированной
декартовой тройки осей (х,у, z) направить от наблюдателя в плоскость
чертежа, то расстановка осей х и у в плоскости чертежа окажется такой, как
это показано на рис. 4.2. Здесь считается, что начало координатной системы
совмещено с одним из концов (левым концом) стержня, а вся длина стержня
равна /
Пусть q{x) интенсивность распределенной вдоль оси стержня и
действующей в направлении оси у поперечной нагрузки на стержень, т(х)
интенсивность распределенной по оси стержня внешней моментной
нагрузки. Заданные на соответствующих концах стержня внешние
сосредоточенные силовые и моментные воздействия обозначим как Q0 и Q,
М0 и М, соответственно (рис. 4.2).

4 5 Балка Бернулли на упругом основании 143
Пусть v(x) поперечные перемещения (прогибы) стержня, в(х) углы
поворота его поперечных сечений, Q(x) поперечная сила, М(х) изгибающий
момент в поперечном сечении стержня.
Принятые положительные направления внутренних усилий, перемещений
и силовых внешних воздействий показаны на рис 4 2
Рис 4.2. Внешние воздействия, внутренние усилия и перемещения для изгибаемого
стержня
Как известно, классическая теория изгиба прямолинейного стержня
(теория Бернулли-Эйлера) основана на следующих трех предположениях
(иногда говорят, гипотезах):
• гипотеза плоских сечений, согласно которой все сечения нормальные к оси
балки в ее недеформированном состоянии остаются плоскими (не
искажаются) и сохраняют перпендикулярность к оси балки в процессе ее
изгиба,
• гипотеза ненадавливания, согласно которой продольные волокна стержня
не взаимодействуют в нормальном по отношению к ним направлениям,
иначе говоря принимается с^ = о* = 0;
• гипотеза отсутствия сдвигов, согласно которой деформации сдвига
настолько малы, что работой касательных напряжений х в выражении для
энергии деформации Е можно пренебречь по сравнению с работой
нормальных с* напряжений2
Строго говоря, гипотеза об отсутствии сдвигов не является самостоятельным
предположением, она с необходимостью вытекает из гипотезы плоских сечений В
самом деле, легко понять, что сечение сохраняется плоским (не искажается) только
в том случае, когда деформации сдвига у постоянны по всей высоте сечения Но эта
константа должна равняться нулю, коль скоро равен нулю сдвиг хотя бы на уровне
одного из волокон сечения, а он равен нулю в любой из точек, принадлежащих
контуру сечения, например, в самом верхнем волокне Отсюда следует, что работа
касательных напряжений т равна нулю, то есть ту = 0 Тем не менее, мы здесь
выделяем это предположение в самостоятельную гипотезу только потому, что в

144 4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть I
Гипотеза плоских сечений носит чисто кинематический характер и
позволяет из геометрических соображений немедленно записать выражение
для углов 9 поворота поперечных сечений балки, одновременно связав 0(х)
с изменением кривизны оси балки %
Q = < % = -Q' = -v", (5.1)
при этом продольные деформации ех представляют собой однородную
линейную функцию координаты у того волокна сечения, в котором
подсчитывается деформация гх
г* = УУ- (5-2)
Кривизна % здесь считается положительной при изгибе оси балки
выпуклостью, направленной в сторону возрастания координаты у (в сторону
увеличения прогибов v).
По существу соотношение (5.2) как раз и представляет собой
математическую запись гипотезы плоских сечений. В самом деле, согласно
этой гипотезе поперечное сечение стержня перемещается как абсолютно
твердое тело, так что функция и(х,у) продольных смещений его точек
удовлетворяет закону плоскости, то есть
и(ху) = и(х,0)-в(х)у,
где и(х,0) перемещения вдоль оси х точек оси стержня. Теперь из
соотношений Коши для общего случая трехмерной задачи теории упругости,
связывающих перемещения с деформациями гх = ди/дх, с учетом (5.1)
находим
в, = е0 + уу, (5.3)
где б0 = ди(х,0)/дх относительная продольная деформация в точках сечения с
координатой у = 0. Далее, принимая для нормальных напряжений а*
физический закон в виде3,
<? = Еех, (5.4)
где Е - модуль упругости материала балки, найдем суммарную продольную
силу N, развивающуюся в произвольном сечении стержня
N = J &dA = Е(&оА + %S7), Sz = j ydA, (5.5)
где A - площадь поперечного сечения стержня.
дальнейшем, при построении теории изгиба балок Тимошенко на вариационной
основе именно эта гипотеза будет отброшена при сохранении второй гипотезы и
ослаблении первой.
3 Вполне очевидно, что соотношение (5.4) немедленно вытекает из общей формы
закона Гука для трехмерного упругого изотропного тела и из гипотезы о
ненадавливании продольных волокон стержня

4.5 Балка Бернулли на упругом основании 145
Если начало системы координат выбрать так, чтобы продольная ось х
проходила через центры тяжести сечений стержня, то статический момент S2
любого сечения относительно оси z окажется равным нулю. Но среди всех,
действующих на изгибаемый стержень, нагрузок нет продольных внешних
сил, поэтому из условия равновесия стержня в проекции на ось х следует,
что N=0. Подставляя это условие в (5.5), получим б0 = 0 и, следовательно,
(5.3) переходит в (5.2), что и требовалось доказать.
Пренебрегая в соответствии с гипотезой об отсутствии сдвигов работой
касательных напряжений т, подсчитаем энергию деформации балки ЕА при
ее изгибе
= ±JEIv"2dx. (5.6)
Здесь А=А(х) переменная по длине стержня площадь его поперечного
сечения. Как обычно, здесь также обозначено 1 = 1(х) момент инерции
поперечного сечения стержня, в общем случае переменный по длине
стержня
I{x)=\fdA.
Считая, что рассматриваемая балка покоится на упругом основании
винклерова типа с коэффициентом постели к(х), подсчитаем также энергию,
аккумулируемую в упругом основании
EK=±jkv2dx.
Пусть на каждом из концов стержня задаются параметры выделения
краевых условий eg, ем, ev и ее и принимают там значения 0 или 1, причем
eQ+ev=\ и ем+ев=1- Смысл этих параметров определяется
соответствующим индексом. Так, например, eg=l, если на
соответствующем конце стержня задана внешняя сосредоточенная сила Q,
тогда как перемещение v там же не фиксируется.
Аналогично, ее = 1, если на соответствующем конце стержня фиксирована
величина поворота сечения 0, тогда как изгибающий момент М там же
определяется из решения задачи.
Потенциал статических внешних воздействий П5(р) представляет собой
возможную работу всех внешних сил на перемещениях v и поворотах 0 = v',
следовательно, он может быть записан в общем виде как

146 4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть I
r\s(v) = J qvdx + J mv'dx +eQ(0) Q0 v(0) +
+ eQ(l) Q, v(l) + едХО) M0 v'(0) + ed!) M, v' (I) =
= j" (утей + J wp'dr + [eQnQv] (o+ [eMnMv'] \'Q. (5-7)
В результате функционал Лагранжа (полная потенциальная энергия
системы) для изгибаемого стержня, покоящегося на упругом основании,
принимает вид
Ц^)=1 j[EIv"2+kv2]dx -
-jqvdx- J mv'dx - [eQnQv] (- [eMnMv'] \'0. (5.8)
Варьируя функционал L и используя формулу интегрирования по частям,
получаем отсюда
5L = j[(EIv")" + kv-q + m']8vdx +
+ [(EIv"-eMnM)dv'~\ ^-[[(EIv")' + m + eenQ]8v] |' .
Как это было отмечено в главе 2, лагранжиан определен на кинематически
допустимых полях перемещений, следовательно, допустимая к
рассмотрению вариация &v отлична от нуля на конце стержня, если на этом
конце eQ= 1 и ev = 0. Аналогично вариация 8v'отлична от нуля на конце
стержня, если там ем= 1 и ев = 0. С учетом этого замечания вариация
лагранжиана на кинематически допустимых перемещениях окончательно
принимает вид
5L = j [{EIv")" + kv-q + m']8vdx +
+ [eM (EIv" - nM)8v'] [ - [eQ[(EIv")' + m + nQ\bv] [.
Приравнивая первую вариацию 8L нулю, приходим к уравнению Эйлера
(EIv")" + kv = q-m',
(5.9)
представляющему собой дифференциальное уравнение равновесия балки,
записанное в перемещениях, и к естественным (статическим) краевым
условиям
eM(nElv"-M) = 0, ее [n(EIv")' + пт + Q ] = 0 (5.10)
в концевых точках х = 0 и х = /.
При формулировке краевых условий (5.10), вытекающих из условия
5L = 0, использовано очевидное тождество п2 = 1. Физический смысл этих

4 5 Балка Бернулли на упругом основании 147
краевых условий прозрачен. Первое из этих них приравнивает (с учетом
принятого правила знаков) изгибающий момент М в концевом сечении
балки заданному там же внешнему сосредоточенному моментному
воздействию М. Второе из краевых условий относится к поперечной
силе Q, развивающейся в концевом сечении балки, которая должна
равняться заданному внешнему воздействию Q. Действительно,
рассматривая равновесие элементарного участка балки длиной dx (рис 4 3),
"ШШШШШШЦШИШ
м м+<м
Cfc==D
Рис. 4.3. Элементарный участок балки
приходим к следующим двум дифференциальным зависимостям для
поперечных сил Q и изгибающих моментов М
Q'=-q, M'=Q+m. (5.11)
Далее, изгибающий момент Мъ произвольном сечении балки
представляет собой (по определению) интегральную характеристику первого
порядка от нормальных напряжений <з", то есть
М= $ a'ydA = $ E%y2dA = %EI, (5 12)
откуда, обращаясь к (5 1) и (5.11), получаем
M=-EIv", Q = -{Elv")'-m (5 13)
Теперь с учетом (5 13) статические краевые условия (5 10) принимают вид
eM(nM + M) = 0, ee(nQ-Q) = 0 (5 14)
Придадим теперь всем соотношениям теории изгиба балок Бернулли-
Эйлера общую матричную форму
Векторы напряжений а, деформаций г и перемещений и, определяющих
напряженно деформированное состояние стержня в данном случае
составляются из одной компоненты каждый, а именно
*=\{МН, 8 = IMI, и = |М|, (5 15)
при этом в качестве единственной компоненты «деформаций» е принимается
изменение кривизны оси стержня при его изгибе % = -v", а в качестве
единственной компоненты «напряжений» а принимается изгибающий
моментМ.
Совокупность разрешающих уравнений задачи имеет вид

148 4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть I
- , +ko = q-m' - уравнение равновесия,
dx
Y = х - геометрическое уравнение,
dx
М= Е1% - физическое уравнение.
Эти уравнения принимают обычный матричный вид (1.1), если помимо
(5.15) положить
"-[-?]• Н-*\ с-т с"-ш-
К=\[к]\, X=\[q-m'}\. (5.16)
Перейдем теперь к формулировке краевых условий в матричном виде.
Вектор краевых перемещений и усилий и и р, а также соответствующие им
векторы заданных краевых перемещений и усилий н и р записываются в
форме матриц столбцов второго порядка
и= , , Р=\\ \\, «= - , Р = \\ - • (5.17)
Матричные операторы выделения краевых условий Ер и Еи являются
квадратными матрицами второго порядка, а именно
h °1
(5.18)
Далее, полагаем
Ни нн
что дает возможность представить в матричной форме и краевые условия - в
форме уравнений (1.2).
Проверим выполнение основного интегрального тождества. Прежде
всего, вспоминая (1.1.5), имеем
(р,и)г = (Наа, #uu)r = (пМЬ - nMv ')^=о ЦпМЬ - пМи ')w = [M'v] (, -[Mv'] (.
Таким образом,
(Аи,а) = (-V", М) =
= - f'v'Mdx = - j'vM"dx - [Mv'] I +[M'v] ( = (u, Ara) + (p, u)r,
что и представляет собой основное интегральное тождество в форме (1.2.17).

4.5 Балка Бернулли на упругом основании 149
Опираясь на общую операторную форму записи, представим теперь
выражения для функционалов Кастильяно и Рейсснера. Прежде всего, на
основании (2.3.2) определим потенциал кинематических внешних
воздействий Пк(я). Имеем
Пк(а) = (Е,Даа,Еий)г =
\[vl \[vl
= \[evnM',-eenM)\4-j +\[evnM',-eQnM\\- - =
= [evM'v]{0-[e^MQ]{. (5.20)
Далее, воспользовавшись формулой (2.3.3), определим функционал
Кастильяно для задачи об изгибе балки Бернулли-Эйлера как
К(М, v) = i J ^dx + i J kv2dx + [evM'v] \'0 + [e9M0] |'0. (5.21)
В данном случае множество ^f физически и статически допустимых
полей НДС состоит из всевозможных пар функций Mnv, удовлетворяющих
на интервале [0,/] уравнениям
-M"+kv = q-m', M=-EIv", (5.22)
а также статическим краевым условиям на каждом из концов этого
интервала
eM(nM+M) = 0, eQ(nM'-nm-Q) = 0. (5.23)
В соответствии с (3.1.4) и (3.1.5) определим функционал Рейсснера в его
первой и второй формах
Ri(M,v)=\ {^-dx-тг \kv2dx + \v"Mdx + \ qvdx + f mv'dx +
2 Jg EI 2 Jg Jg ^g ^g
+ [evM'(v - v)] |o - [eeM(v' - 0)] ( + [eQnQv] |0 + [eMnMv'] \'Q, (5.24)
R2(M,v)=\ \^dx-^ \kv2dx + \vM"dx + f qvdx + [mv'dx -
2 Jg Ы 2 Jg Jg Jg Jg
-[evM'v]\[+ [e9M0]|o-[ee(M'-nQ)v](u + [eM(M+nM)v']{Q. (5.25)
Если рейсснериан в своей первой форме требует дифференцируемости
перемещений v вплоть до второго порядка, то в его второй форме двойная
дифференцируемость требуется от моментов М.
Требования гладкости, предъявляемые к этим двум функциям, можно
симметризовать, и тогда приходим к третьей форме рейсснериана с
одинаковыми условиями дифференцируемости как перемещений, так и
моментов. С этой целью преобразуем интегрированием по частям третий
интеграл в R^(M,v) или в R2(M,v), что дает в результате

150 4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть I
R3(M,v)=\ f^fc-I f kv2dx - [v'M'dx + \qvdx + [mv'dx +
2 J0 Ы 2 J0 J0 JQ j0
+ [е„Л/'(Р - Щ i + [e9M0] ( + [egnQv] ( + [eu (M + nM)v'] |'o. (5.26)
Все краевые условия (как статические, так и кинематические) являются
естественными краевыми условиями для рейсснериана в любой его форме.
Приведем, наконец, покомпонентное выражение для функционала
Гуртина в его третьей форме, считая этот функционал определенным на
статически полудопустимых полях усилий. Воспользовавшись общей
формулой (3.6.11), получим для балки Бернулли-Эйлера
G3(M) =
4 ЙЙ4 {^+\М\т,)* -1е»М'Щ\'0Че»мЩ. (5.27)
2 J0 Ы I •>„ к Jo к ° °
Еще раз подчеркнем, что на решении задачи функционал G3 принимает
минимальное значение среди множества функций М(х), удовлетворяющих
статическим краевым условиям (5.14). Само собой разумеется, что
допускаемые при этом к сравнению функции М(х) должны быть достаточно
гладкими, точнее говоря, от них требуется существование квадратично
суммируемой второй производной.
4.6 Балка Тимошенко на упругом основании
Сформулируем постановку задачи расчета изгибаемой балки с учетом
деформаций сдвига, так называемую теорию балок Тимошенко. Эта теория
уточняет теорию балок Бернулли-Эйлера за счет отказа от третьей гипотезы,
использованной при построении классической теории. Иначе говоря, в
исходные уравнения вводится уточнение, связанное с учетом работы
касательных напряжений, в связи с чем теорию балок Тимошенко можно
трактовать как теорию изгиба балок с учетом деформаций сдвига.
На этом основании в выражение (5.6) для энергии деформации
изгибаемой балки вводится дополнительный член, так что
где Х"у - касательные напряжения, развивающиеся в сечениях балки, а у^ -
соответствующие им деформации сдвига.
В соответствии с гипотезой плоских сечений любое поперечное сечение
балки рассматривается как недеформируемое тело, не допускающее каких

4 6 Балка Тимошенко на упругом основании 151
либо перемещений, отличных от жестких смещений4. Отсюда немедленно
следует, что деформация сдвига у^ может быть только постоянной
величиной для всех точек сечения. Действительно, перемещения uuv вдоль
осей х и у соответственно из условия жестких смещений сечения и с учетом
принятого правила знаков записываются в виде
и(х,у) = и(х,0) - в(х)у, v{x,y) = v{x),
следовательно,
УЖУ) = ^ + -^ = V (х) - Цх), (6.2)
су ах
откуда и видно, что деформации сдвига не зависят от координаты у.
С другой стороны, распределение по сечению касательных напряжений х^
определяется известной формулой Журавского5
т»=^, (6.3)
lb '
где помимо ранее введенных обозначений положено:
• Ъ - ширина поперечного сечения (его размер в направлении оси z) в точке
с заданной координатой у, в которой определяется касательное
напряжение тху;
• S0 - статический момент отсеченной части сечения, расположенной выше
(или ниже) рассматриваемых волокон с фиксированной координатой у.
В соответствии с законом Гука
УхУ=^, (6.4)
где G - модуль сдвига. Очевидно, что (6.4), вообще говоря, противоречит
соотношению (6.2), поскольку напряжения т4' изменяются по высоте сечения
(зависят от координаты у). Для того, чтобы устранить возникающее
противоречие, будем считать, что формулой (6.2) определяется всего лишь
некоторая усредненная по сечению величина деформации сдвига, которую
мы обозначим у без дополнительного индекса, то есть положим
у(х)=г/(х)-9(х). (6.5)
Этот средний по сечению сдвиг у найдем из условия энергетической
эквивалентности касательных напряжений г4 и их суммарной
характеристики Q. С этой целью подсчитаем ту часть энергии деформации в
4 В теории балок Тимошенко гипотеза плоских сечений принимается в ослабленном
виде, а именно полагается, что любое поперечное сечение балки остается плоским
и после деформации, но оно не обязано сохранять перпендикулярность по
отношению к изогнутой оси балки
5 Комментарии к формуле Журавского см в Приложении В

152 4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть I
(6.1), приходящуюся на единицу длины балки, которая отвечает работе
касательных напряжений. Воспользовавшись теоремой о среднем в
интегральном исчислении, получим
^\^yxydA=^y\xxydA=^Qy, где Q=\x*dA. (6.6)
Средний по сечению сдвиг у естественно связать линейным
соотношением с суммарным по сечению касательным напряжением, то есть
с поперечной силой Q
у=7^' (67)
GFy
где Fy - некоторая величина, имеющая размерность площади, которую мы
назовем площадью сдвига. Здесь нижний индекс у подчеркивает, что речь
идет о сдвиге в плоскости (х, у).
После подстановки в левую часть (6.6) выражений (6.3) и (6.4) получаем
(6.8)
1 tx^dA = l t^M=^&M=\Q^4&dA)
2h ,ху 2 iA G 2 GI1 {b1 2*GA{l2iAb2 )
Из сопоставления (6.8) с (6.6) и (6.7) находим площадь сдвига Fy, где ц,
так называемый, коэффициент формы сечения \х
Fy=-A, Ц=^Г^ (69)
В результате из (6.1) получаем выражение для энергии деформации,
запасаемой в балке, представленной как функционал от внутренних усилий
MuQ
ехм,0=Ц^^+Ц^
о3л2Ё^
= Г *Cfe+ ['_?_*. (6.10)
K2EI h2GFy К '
Далее, внутренние усилия MnQ связаны соотношениями упругости
М=Ш%, Q=GFyy (6.11)
с кинематическими параметрами х и у, которые можно рассматривать как
компоненты вектора деформации6
1 Обратим внимание на то, что в задаче об изгибе балки Тимошенко параметр
изгибной деформации % не может быть истолкован геометрически как кривизна
оси балки в деформированном состоянии Из соотношений (6 12) следует, что
1/р = -v" = % - у', где р - радиус кривизны оси балки в ее деформированном
состоянии

4 6 Балка Тимошенко на упругом основании 153
Подстановкой (6.11) в (6.10) выражение для Е^ можно представить как
функционал от перемещений
EA(v,B) = J ^у-Л + J У \ <Ь • (6-13)
Теперь имеем возможность выписать окончательно функционал Лагранжа
(полную потенциальную энергию системы) для изгибаемого стержня
Тимошенко, покоящегося на упругом основании
ЦР/6) =\\ lEIQ'2 + GFy(v'-Qf+kv2yx-jqvdx-j mQdx -
-[eenQv]\'0-[eMr,MQ]\'0 (6.14)
Исходя из (6.14), запишем выражение для первой вариации лагранжиана на
кинематически допустимых перемещениях
5L= J {[-(Е1в'У - GFy(г/ - 9) - m]58 + [-{GFy(v' - 9))' + kv- q$v}dx +
+ [eM (EIQ' - nM)Sei] [ + [eQ [GFy (v' - 9) - и0]5р]|' . (6.15)
Приравнивая первую вариацию 5L нулю, приходим к уравнениям Эйлера
-iGFyV')' + kv + (GFyQ)' = q ,
-GFyv' + GFyQ - (Eld')' = m ,
представляющим собой систему дифференциальных уравнений равновесия
для балки Тимошенко, записанную в перемещениях. Естественные краевые
условия для функционала L записываются в виде
[ee[GFy(v'-e)-nQ]][ = 0, [ем{ЕШ-пМ)]\ = 0 (6.17)
и представляют собой краевые условия статического типа.
Собирая вместе все, полученные выше, соотношения, выпишем полную
совокупность разрешающих уравнений для задачи об изгибе балки
Тимошенко
-Q'+ kv = q , -Q + M = т - уравнения равновесия, (6 18-а)
у = v' - 8 , %=-&' - геометрические уравнения, (6.1 S-b)
Q = GFyY , М= Е1% - физические уравнения. (6.18-с)
Краевые условия в точках х = 0 и х = I формулируются в виде

154 4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть I
статические
краевые условия
nQ- Q =0 еГв,
пМ+ М = 0 еГм,
кинематические
краевые условия
v-v=0 erv,
9-0=0 еГе.
(6.19)
Придадим теперь всем соотношениям теории изгиба балок Тимошенко
общую матричную форму.
Векторы напряжений а, деформаций г и перемещений и, определяющих
напряженно деформированное состояние стержня, в данном случае содержат
по две компоненты каждый, а именно,
1Ге
о =
(6.20)
Все уравнения принимают обычный матричный вид (1.1), если помимо
(6.20) положить
0 Е1\\
0
Уш
Перейдем теперь к формулировке краевых условий в матричном виде.
Вектор краевых перемещений и усилий и и р, а также соответствующие им
векторы заданных краевых перемещений и усилий н и р записываются в
форме матриц столбцов второго порядка
_ |М| _ |Г nQ I
-пМ\\
¦И- "И- ->
Точно так же, как и в задаче об изгибе балки Бернулли-Эйлера,
матричные операторы выделения краевых условий Ер и Еи являются
квадратными матрицами второго порядка, а именно,
(6.23)
Далее, полагаем
что дает возможность представить в матричной форме и краевые условия - в
форме уравнений (1.2).

* 4.6 Балка Тимошенко на упругом основании 155
Проверим выполнение основного интегрального тождества. Прежде
всего, на основании (1.1.5) имеем
(р, и)г = (Наа, Наи)г = (nQv - пШ)^ + (nQv - пШ)^ = [Qv] ? - [MQ] (.
Таким образом,
(Ли, я) = (v' - 9, Q) + (-9', М) = J [(г/ - Q)Q - %'муЬс =
= JW-4Q-M')]dx + [Qv] \'0 - [MQ] \'0 = (u, ATa) + (p, u)r, (6.25)
так что основное интегральное тождество в форме (1.2.17) выполняется.
Опираясь на общую операторную форму записи, представим теперь
выражения для функционалов Кастильяно и Рейсснера. Прежде всего, на
основании (2.3.2) определим потенциал кинематических внешних
воздействий Пк(я). Имеем
Пъ(о) = (ЕиНаа,Еий)г =
r,Q,-e,nM]\\VA =
Ч[е,«&-ев«Л#И +\[evnQ
|LwJLo
= [evQv]\0-[eBMQ]t0. (6.26)
Далее, воспользовавшись формулой (2.3.3), определим функционал
Кастильяно для задачи об изгибе балки Тимошенко как
К(&M,v) = ± П-^г + *?¦ )dx +1 \kv2dx - [evQv] { + [e9M0] { . (6-27)
В данном случае множество ^f физически и статически допустимых полей
НДС состоит из всевозможных наборов функций Q, М и v,
удовлетворяющих на интервале [0,/] уравнениям (6 18-а), а также
статическим краевым условиям на каждом из концов этого интервала.
В соответствии с (3.1 4) и (3.1.5) определим функционал Рейсснера в его
первой и второй формах
kv dx-
-\[{v'-Q)Q-Q'M\k + jqvdx + J mQdx +
+ [evQ(v-v)] (- [e9M(9-9)] { + [eQnQd\ { + [eMnMQ] { ,

156 4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть I
-J [vQ'-Q(Q-M')]dx + j qvdx +J пЫх -
-VevQv\|; + [евМё] {-[eg(Q-nQ)v\\'0 + [ем{M+ пМЩ{ (6 29)
Отметим, что в отличие от балки Бернулли третьей формы функционала
Рейсснера для балки Тимошенко не существует Это связано с тем
обстоятельством, что все функциональные аргументы входят в рейсснериан
со своими производными не старше первого порядка
4.6.1 Еще раз о кинематических краевых условиях для балки
Тимошенко
Как это видно из (6 19), кинематические краевые условия для балки
Тимошенко формулируются для перемещений v и поворотов 0 поперечных
сечений балки Между тем, в литературе время от времени встречаются
попытки реанимировать ошибочные предложения по формулировке краевых
условий не для поворотов 0, а для первой производной от функции
перемещений v'. На самом же деле постановка краевых условий по v' (или
по углу сдвига у) не отвечает физически корректной постановке задачи Дело
в том, что краевые условия подобного типа приводят к нарушению
фундаментальных законов механики, при которых теоремы взаимности
перестают работать7
Проще всего это показать на простом примере консольной балки (рис 4 4)
в двух ее состояниях
\ . 6 \ • I'
Рис. 4.4. Два состояния консольной балки
В состоянии 1 балка загружена концевым моментом М, а в состоянии 2
силой Р, приложенной на свободном конце балки Сначала представим себе,
что в защемленном сечении х = 0 поставлены краевые условия и(0) = 0 и
v Щ - 0 Непосредственной проверкой несложно убедиться в том, что
соответствующие решения для случаев загружения 1 и 2 будут выглядеть
следующим образом
7 На математическом уровне можно было бы сказать, что подобные краевые условия
не являются самосопряженными

4 7 Плоский криволинейный стержень без учета деформаций сдвига 157
М г
' 2EIХ '
2EI {I2 З/3,
м
Е1Х'
Р12(
ш\
EI
l'GFv
+*)•
поскольку при этом удовлетворяются как дифференциальные уравнения
задачи, так и все краевые условия.
Если подсчитать теперь работу внешних сил каждого из состояний на
соответствующих этим силам перемещениях, взятых из другого состояния,
то получим
а12= JELL^-л), а21= ™1,
El у l2GFy 2) 2EI
и ясно, что несовпадение этих величин противоречит теореме взаимности
работ (теореме Бетти). С другой стороны, если краевые условия в месте
заделки стержня поставить правильно, то есть положить v(0) = О и 6(0) = 0,
то решение для случая загружения стержня краевым моментом останется
тем же самым, тогда как состояние системы под действием сосредоточенной
силы (состояние 2) изменится и будет выглядеть следующим образом
El[l2GFy I б/3 212) Е1У.1 212)
так что
А MPl2 . РМ12
Ai2 = , A2i = ,
2EI 2EI
и теорема Бетти выполняется.
4.7 Плоский криволинейный стержень без учета
деформаций сдвига
Рассмотрим плоский криволинейный стержень, все поперечные сечения
которого ортогональны некоторой плоской кривой, лежащей в плоскости
(хаЛ) декартовой координатной системы (х^2л)- Упомянутую плоскую
кривую будем называть осью стержня, а плоскость (xi^c2) плоскостью
{криволинейного) стержня.
Будем считать, что любое поперечное сечение стержня, ортогональное
оси стержня, пересекается осью стержня в центре тяжести этого поперечного
сечения. Одна из главных центральных осей инерции сечения стержня (для
определенности, ось z) мыслится расположенной в плоскости стержня.
Кроме того, будем считать, что плоскость стержня является в то же время и

158 4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть I
силовой плоскостью. Под силовой плоскостью понимается плоскость
действия всех внешних сил8.
Сформулированные ограничения позволяют рассматривать перемещения
и деформации только в плоскости стержня, не вводя в рассмотрение работу
стержня из его плоскости.
Пусть ось стержня представляет собой гладкую кривую, которая в
параметрической форме задана векторным уравнением
М = М(5), (7.1)
где:
• М - радиус-вектор текущей точки М оси стержня;
• s - скалярный параметр, в качестве какового принимается длина дуги
кривой, отсчитываемая от некоторой начальной точки с координатой s = 0
в принятом положительном направлении движения по кривой.
Каждой точке оси стержня сопоставим локальный натуральный триэдр,
образуемый правоориентированной тройкой единичных ортов (n,t,b). Орт t
определим как единичный вектор, касательный к оси стержня и
направленный в сторону возрастания параметра s. На основании известной
формулы векторного анализа
Орт и, называемый нормалью, лежит в плоскости оси стержня,
ортогонален касательному орту t и направлен в сторону выпуклости оси
стержня, то есть от центра кривизны оси. Орт Ь, именуемый бинормалью,
ортогонален плоскости стержня. В силу правой ориентации триэдра (n,t,b)
справедливо представление каждого из ортов через векторное произведение
двух других
и = txb , t = bxn , b = nxt. (7.3)
Правила задания положительного направления касательного орта t и
нормали и сформулированы выше, а соотношение (7.3) дает возможность
однозначно определить и положительное направление бинормали Ъ.
Наоборот, если изначально потребовать, чтобы положительное
направление бинормали b совпадало с направлением возрастания третьей
координаты ;с3 неподвижной координатной системы (дг^гл). то тем самым
будет определено упомянутое выше положительное направление движения
вдоль оси стержня, поскольку t = bxn. Так, для участка криволинейного
стержня, показанного на рис. 4.5, бинормаль Ь направлена от наблюдателя
внутрь чертежа.
8 Если речь идет о моментной нагрузке, то соответствующий вектор-момент должен
быть ортогонален силовой плоскости Это и понятно, поскольку под моментной
нагрузкой понимается пара сил с образующими эту пару противонаправленными
силами, лежащими в силовой плоскости

4 7 Плоский криволинейный стержень без учета деформаций сдвига 159
Рис. 4.5. Натуральный триэдр в текущей точке М оси стержня
Совокупность всех точек плоскости {х^2), отстоящих от оси стержня по
нормали на расстоянии z (с учетом знака z), будем называть z-волокном
стержня Иначе говоря, z-волокно есть кривая, определяемая радиус-
вектором N = М + zn при фиксированном значении z Комбинацию
параметров (z,s) удобно рассматривать как задание лагранжевых
(материальных) координат в двумерной задаче о деформации плоского
криволинейного стержня, причем в дальнейшем будем называть z
нормальной координатой, a s дуговой координатой
При движении вдоль оси стержня орты и и t изменяются (по
направлению), тогда как бинормаль Ъ остается константным вектором9
В дальнейшем нам потребуются формулы дифференцирования ортов и
и t по дуговой координате Справедливы следующие формулы
дифференцирования ортов - формулы Френе (см, например, [5, стр 85])10
9 Строго говоря, бинормаль b не меняет своего направления в пределах изменения
дуговой координаты, сохраняющей знак кривизны оси стержня В случае смены
знака кривизны в точке оси стержня с нулевой кривизной (в точке перегиба)
происходит смена положительного направления бинормали на противоположное
Сама точка перегиба является вырожденной точкой, поскольку положительное
направление нормали и в ней не определено Конечно, можно строить теорию
криволинейного стержня, ось которого содержит и точки перегиба Мы, однако,
опустим эти усложняющие обстоятельства и для простоты будем предполагать, что
ось стержня не содержит точек перегиба Более того, будем считать, что
деформированное состояние стержня не меняет знака (направления) кривизны ни в
одной точке оси стержня и не содержит точек нулевой кривизны
10 В [5] в формулах Френе кривизна входит с противоположным знаком Это
объясняется тем, что в [5] правило выбора положительного направления нормали и
принято противоположным правилу, принятому здесь Впрочем, справедливость
формул дифференцирования (7 4) легко проверить По определению длина вектора
и равна единице, следовательно (и, и) = 1 Дифференцируя это равенство по
параметру s, находим (n,dn/ds) = 0, откуда следует взаимная ортогональность
вектора и и вектора dnlds Следовательно, этот последний вектор коллинеарен
вектору t, и значит может быть представлен в виде dnlds = at, где а некоторый
скаляр Величина этого скаляра, равная кривизне, легко устанавливается на
основании простых геометрических соображений Аналогично доказывается
справедливость и второй формулы Френе

160 4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть I
Щ- = -кп, 2?- = ht, (7.4)
as as
где к - кривизна оси стержня, представляющая собой величину обратную
радиусу кривизны р, то есть к = 1/р
4.7.1 Геометрические уравнения
В основе технической теории плоского кривого стержня лежат те же самые
кинематические и статические гипотезы, которые были использованы при
построении теории балок Бернулли-Эйлера
Обратимся прежде всего к кинематическим соотношениям, выразив
деформацию z-волокна через перемещения оси стержня. С этой целью
выделим элементарный участок стержня, ограниченный осью стержня и его
2-волокном, а также двумя поперечными сечениями, ортогональными оси
стержня в точках с дуговыми координатами s и s + ds. Образуемый в
результате такого вьщеления криволинейный четырехугольник изображен на
рис 4 6с лагранжевыми координатами соответствующих угловых точек, как
указано ниже M(s, 0), N(s, z), ?(s+ds, 0), Q(s+ds, z). На этом же рисунке
изображен и выделенный элемент стержня в его деформированном
состоянии, причем соответствующие угловые точки черырехугольника в
деформированном состоянии обозначены теми же буквами, но с
приписанным нижним индексом 1
Согласно гипотезе плоских сечений прямые отрезки MN и PQ в
деформированном состоянии остаются прямолинейными, сохраняют свою
длину и ортогональны деформированной оси стержня. Эти прямые отрезки в
деформированном состоянии на рис 4 6 обозначены соответственно как
Рис. 4.6. Перемещение элементарного участка криволинейного стержня
Пусть текущая точка М оси стержня получила перемещения,
определяемые вектором u = wn + vt. Принято называть w нормальным
перемещением, a v тангенциальным перемещением.

* 4 7 Плоский криволинейный стержень без учета деформаций сдвига 161
Остановимся на обозначениях для дифференциалов дуг, показанных на
рис. 4.6:
ds - длина дуги MP; dsx -длина дуги MiPi;
dsz - длина дуги NQ; dszX -длина дуги NiQi.
Понятно, что
-^2-=* или dsz = (\+kz)ds. (7 5)
p + z р
Пусть е - относительная деформация z-волокна, а е0 - относительная
деформация на уровне оси стержня (то есть при z = 0). Очевидно, что
введенные выше дифференциалы дуг связаны соотношениями
dsx = (1 + бо) ds, dszX = (l+e)dsz = (l+e)(l+kz)ds. (7.6)
Обозначим через кх кривизну оси стержня в деформированном состоянии.
Воспользовавшись формулой (7.5), но применительно к деформированному
состоянию, выразим длину дуги NiQi через элемент ds иначе, а именно,
dszX = (1 + kxz) dsx = (1 + kxz)(l + бо) * , (7.7)
Сопоставление двух выражений для dszX по формулам (7.6) и (7.7) приводит
к равенству
е(1 + fa) = е0(1 + kxz) + kxz-kz. (7.8)
Удобнее, однако, оперировать не новой кривизной оси стержня кх, а
величиной х - изменением кривизны оси стержня, положив
X = h-k. (7.9)
После подстановки (7.9) в (7.8) и преобразований получаем
1+fa '
-)+1
Оценим величину %z/(l+kz) по сравнению с единицей. Несложно заметить,
что этот агрегат характеризует деформацию z-волокна, порождаемую
изгибанием стержня (без деформации оси стержня, то есть при ео = 0).
Следовательно, этот агрегат по порядку величины соответствует
деформации, и значит в рамках теории малых деформаций может быть
отброшен при суммировании с единицей. В результате приходим к
следующей формуле
s = s0+T^. (7.10)
Формула (7 10) определяет закон изменения относительных деформаций е
по координате z в общем случае криволинейного стержня. Дальнейшие
упрощения можно получить, учитывая, что рассматриваемый стержень
имеет небольшую начальную кривизну.
При построении кинематических соотношений для криволинейного
стержня удобно различать три основных варианта теории в зависимости от

162 4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть I
порядка малости безразмерного параметра kh, где h - высота сечения
стержня, то есть максимальный размер сечения в направлении оси и.
Следуя этому классификационному признаку, примем разделение всех
криволинейных стержней на:
• стержни малой кривизны, для которых имеет место оценка kh« 1,
свидетельствующая о возможности пренебрегать в различных
соотношениях величиной kh по сравнению с единицей;
• стержни средней кривизны, для которых параметр kh, хотя и меньше
единицы, но не настолько, чтобы его можно было отбрасывать при
суммировании с единицей без существенной потери точности расчета.
Однако считается, что имеет место оценка (kh)2« 1, свидетельствующая
о возможности пренебрегать в различных соотношениях величиной (kh)2
по сравнению с единицей;
• стержни большой кривизны, для которых формулу (7.10) следует
применять без упрощений.
Начнем наше рассмотрение с криволинейных стержней средней
кривизны. Формулы, относящиеся к стержням малой кривизны, будут
получены отсюда с помощью дальнейших упрощений.
Разложим выражение \l(\+kz) в ряд по степеням z
Если, следуя В.З. Власову [6], удерживать в разложении (7.11) только
первые два члена, что согласуется с оценкой (kh)2« 1, то выражение (7.10)
для деформации z-волокна упростится до
s = s0 + xz(l-fe). (7.12)
Параметры е0и % позволяют восстановить деформации в произвольной
точке сечения плоского криволинейного стержня и в этом смысле они могут
быть названы компонентами деформации криволинейного стержня. Однако
по причинам, которые мы обсудим позже, имеет смысл применять к этим
параметрам уточненное название как компоненты деформации
криволинейного стержня по Власову
Нашей задачей теперь является установление геометрических
соотношений, позволяющих по заданным компонентам перемещений оси
стержня vviW установить компоненты его деформации е0 и %.
Вместе с триэдром (и, t, b) введем новый триэдр (иь tu bi), имеющий тот
же смысл, но относящийся к деформированному состоянию стержня.
Заметим, что по оговоренным в сноске 9 условиям Ьх = Ъ. Далее, точно так
же, как формула (7.2) выполняется для исходного положения оси стержня,
для ее деформированного состояния справедливо соотношение
_аМ1 _ dM1 ds _ t/(M + vt + wit) i
1 ds, ds ds} ds (l + s0)

4.7 Плоский криволинейный стержень без учета деформаций сдвига 163
(1 + 80Г ds ds'~
Здесь и далее в этом параграфе штрихом помечается операция
дифференцирования по параметру s.
Принимая во внимание формулы Френе, получаем отсюда
"-wtrwij"- (7ЛЗ)
где обозначено
a = v'+kw, b= го'-ко. (7 14)
Теперь из (7.13) можем получить выражение для деформации е0 на уровне
оси стержня. С этой целью вспомним, что tx является вектором единичной
длины.
Потревожим прах Пифагора
(1 + е0)2 = (1 + а)2 + Ъ\
или после преобразований
80(1 + -|) = а + ±(а2 + Ь2).
Оставаясь в рамках теории малых деформаций, пренебрежем величиной ео/2
по сравнению с единицей, что дает
е0 = а + ,/2(а2 + Ь2). (7.15)
Формула (7.15) определяет относительную деформацию на уровне оси
криволинейного стержня с учетом геометрически нелинейной постановки
задачи. В случае геометрически линейной постановки задачи, которая
собственно нас здесь и интересует, квадратичные члены от перемещений в
правой части (7.15) должны быть отброшены, что дает окончательно
Eo = v'+kw. (7.16)
Возвращаясь к формуле (7.13), определим орт /ii как единичную нормаль
к деформированной оси стержня. Имеем
Применив формулы Френе к оси стержня в деформированном состоянии,
получим следующие формулы
? = -*Ц.ь ?. = *.«.. (7.18)
asl dsl
Новую кривизну оси стержня кх можно получить домножая скалярно второе
из равенств в (7.18) на вектор <ь что дает

164 4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть I
* = <'>•?->= 7if-> <«•?>¦ <719)
asl (1 + е0) as
Исходя из (7.17), получим формальным дифференцированием с
применением формул Френе
(7 20)
А = к 1 + а d Ъ - k(l + a)-b' | К
(1 + е0) ds (1 + е0) 1 + е0 (1 + б0)2 '
в-и Ь d \ + а _ кЪ + а' (1 + аК ,79П
B~kji^j+-d-ji^)-T^--^j- (7-21)
После подстановок (7.13) и (7.20) в формулу (7.19) и учитывая (7.9),
получаем выражение для изменения кривизны оси стержня %
X = 7Г-4г И(1+Д) + ВЬ]-к. (7.22)
(1 + е0)
Замещая в (7.22) выражения для параметров АиВпо (7.21), после некоторых
преобразований приходим к равенству
Х(1+б0)3 = k[(l+af + b2-(l+ 80)3] - b'(l+a) + a'b .
Но выражение, записанное здесь в квадратных скобках, равняется
(1+а)2 + Ъг - (1 + Б0)3 = (1+Бо)2- (1+Б0)3 = - Бо(1+Б0)2 = - Б0(1+2а+а2+?2),
следовательно,
= -ke0(l + 2a + a2 +b2)-b'(l + a) + a'b
(1 + е0)3
Формула (7.23) является точной, в том смысле, что при ее выводе не
использованы какие-либо упрощения, связанные с отбрасыванием малых
величин.
В рамках теории малых деформаций знаменатель в формуле (7.23) можно
положить равным единице, а величину б0 в числителе принять по формуле
(7.15). Сохраняя в полученном выражении члены не выше второй степени от
перемещений и их производных, получим
X=-ka-b'-- (5а2 + Ь2) - Ъ'а + a'b . (7.24)
Наконец, в случае геометрически линейной постановки задачи квадратичные
члены от перемещений в (7.24) отбрасываются. В результате, после замены
параметров а и Ъ их выражениями через компоненты перемещений по (7.14)
получаем окончательно

4 7 Плоский криволинейный стержень без учета деформаций сдвига 165
X = -w"-kxw + kb. (7.25)
В дальнейшем нам будет удобно оперировать еще одним геометрическим
параметром, имеющим смысл угла поворота 6 текущего сечения стержня.
Несложно заметить, что из геометрических соображений sinG = -(и, t{).
Предполагая малость угла поворота 6, синус его можно заменить значением
самого угла, что после использования (7.13) дает окончательно
Q = -b = -w'+kv. (7.26)
Формулами (7.16), (7.25) и (7.26) исчерпываются геометрические
уравнения, связывающие перемещения и деформации в теории плоского
криволинейного стержня. Эти формулы являются частным случаем
геометрических соотношений, полученных В.З. Власовым в его технической
теории цилиндрических оболочек [6] и поэтому мы будем называть их
геометрическими соотношениями Власова.
Возможен и иной подход к геометрическим соотношениям для плоского
криволинейного стержня, восходящий к теории оболочек Лява [7] и
принимаемый большинством наиболее авторитетных отечественных
специалистов по теории тонких оболочек [8, 9].
Отличия этих двух подходов связаны с двумя обстоятельствами. Во-
первых, и это главное, считается, что начальная кривизна оси стержня
настолько мала, что вместо оценки {khf « 1 имеет место более сильная
оценка kh « 1. Таким образом, следуя введенной выше классификации, речь
здесь идет о криволинейных стержнях малой кривизны. Во-вторых, в этой
теории, которую мы будем называть теорией Кирхгоффа-Клебша, в качестве
параметра изгибной деформации принимается не изменение кривизны оси
стержня х = кх - к, а величина к близкая к ней, а именно,
K = X + feo, (7.27)
что после подстановок по формулам (7.16) и (7.25) дает
K = -w"+(ku)'. (7 28)
Величину к будем называть параметром изгибной деформации по
Кирхгоффу-Клебшу "
С учетом (7.27) формулу (7.12) можно переписать в виде
е = е0 + xz(l - kz) = е0(1- кг + A?z2) + kz(1- kz),
11 Строго говоря, Ляв в §259 своего известного труда [7], опираясь с
соответствующей ссылкой на предшествующие ему результаты Клебша, и на еще
более ранние работы Кирхгоффа, трактует параметр изгибной деформации к
именно как изменение кривизны оси стержня, а не как величину, хотя и близкую,
но отличную от х Эта, не вполне точная, трактовка использована им и при
построении общей теории оболочек в §326. См по этому поводу у Новожилова
[8,стр 30-31] формулы (4 27)

166 4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть I
так что, оставаясь последовательными при отбрасывании малых величин,
оба выражения в круглых скобках здесь следует заменить единицей, что
приводит к линейному распределению деформаций по координате z
Б = S0 + KZ
(7 29)
Соберем теперь вместе все полученные результаты геометрического
характера, расположив их для удобства обозрения в таблице 4 1 Еще раз
обратим внимание на то, что все формулы, приведенные в таблице 4 1,
относятся к геометрически линейной постановке задачи
Таблица 4 1
Стержни большой
кривизны
е=ео+т5?
e0 = v'+kw
Q = -w'+ko
X = -w"-k2w +kb
e = v'+kw +
+(-w"-l?w+kb)Y1rz
Стержни средней
кривизны
(kh)2«l
s = s0 + %z - x&z2
e0 = v'+kw
Q = -w'+kv
x=-fc0 + e'
%--w"-k2w + kb
z = v'+kw +
+(-w"'- tfw +kb)z(\-kz)
Стержни малой
кривизны
kh«\
S = S0 + KZ
?0-v'+kw
Q = -w'+kv
K = 6'
K=-w"+(kv)'
s = v'+kw +
+(-w"+ kv'+ k'v)z
4.7.2 Уравнения равновесия
Совокупность внутренних сил (усилий) N, Q, М показана на рис 4 7. Пусть
q^s) и q„(s) компоненты интенсивностей внешних распределенных вдоль оси
стержня нагрузок, действующие в тангенциальном и нормальном
направлениях соответственно, a m(s) интенсивность распределенной
моментной нагрузки Заданные на концах стержня внешние
сосредоточенные статические воздействия обозначим как N0nN,, Q0nQ,
М0 и М, соответственно (рис 4.7).
' '"" М{1) -</
М(0)
Рис. 4.7. Внутренние и внешние силы, действующие на криволинейный стержень

4 7 Плоский криволинейный стержень без учета деформаций сдвига 167
На этом рисунке все внутренние и внешние силовые факторы показаны
действующими в положительном направлении.
Рассматривая равновесие элементарного участка криволинейного стержня
длиной ds в проекциях на тангенциальное t и нормальное и направления, а
также в моментах относительно одного из концов стержня, приходим к
следующим дифференциальным зависимостям между внутренними
силовыми факторами
-N'-kQ = q„ kN-Q'=q„, Q-M'=m. (7.30)
Уравнения (7.30) имеют смысл дифференциальных уравнений равновесия
и носят название уравнений Кирхгоффа [10, стр. 151].
Если с помощью третьего уравнения в (7.30) исключить из первых двух
уравнений Кирхгоффа поперечную силу Q, то уравнения равновесия будут
содержать две неизвестные функции - продольную силу N и изгибающий
момент М
-N'- кМ'= qt + km, kN-M"=q„ + m', (7.31)
и в таком виде мы их также будем называть уравнениями Кирхгоффа.
Опираясь на гипотезу о ненадавливании продольных волокон стержня,
принимаем физический закон связи продольных напряжений а и
деформаций е в простейшем виде линейной зависимости
о = Ее. (7.32)
Далее, внутренние силы - продольная сила ./V и изгибающий момент М-
представляют собой интегральные характеристики напряжений и
определяются по формулам:
• для стержней средней кривизны (теория Власова)
N= J adA = J E(e0 \jz-r^)dA=z^,A - ykEI,
M= jcjzdA=l E(E0+xz-%b2)zdA = xEI-%kEI2=%EI(l-k^-), (7.33)
• для стержней малой кривизны (теория Кирхгоффа-Клебша)
N= J adA=j Е(е0 + Kz)dA = eqEA,
M= J ozdA = J E(e0 + Kz)zdA = kEI, (7.34)
• для стержней большой кривизны
N= J odA = J E(e0 +r^j-)dA = ZqEA +%ESp ,
M= J ozdA = J E(e0 + тЩ-^dA = %EIP ¦ (7.35)
7-818

168 4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть I
В формулах (7.33) помимо стандартных геометрических характеристик
сечения (площадь сечения А и момент инерции 7) введена дополнительная
геометрическая характеристика - момент инерции второго порядка 12.
Вообще, будем называть /„ моментом инерции порядка п, полагая
I„=jz"+ldA, так что /2=j"z3<i4. (7.36)
При интегрировании в (7.33) - (7.35) по площади учтено, что координата z
отсчитывается от центра тяжести сечения вдоль главной центральной оси,
поэтому интеграл от z в первой степени (статический момент площади
сечения) обращается в ноль. Заметим, кстати, что для сечений с двумя осями
симметрии, момент инерции второго порядка (да и вообще, любого четного
порядка) исчезает. Это легко понять, поскольку dA = b(z)dz, где b(z) - размер
сечения в направлении перпендикулярном оси z (ширина сечения). Для
бисимметричного сечения b{z) = b{-z), откуда и следует /„ = О для четного
значения п. Но и при отсутствии бисимметрии отношение kl2ll является
величиной малой по сравнению с единицей. Так, например, для сечения в
виде равностороннего треугольника высотой h несложно подсчитать, что
kl2ll=2khl\5. Это дает основание принять в теории стержней средней
кривизны дополнительную оценку kl2ll «1. Но тогда второе из
соотношений в (7.33) запишется в упрощенном виде, так что окончательно
полагаем в теории Власова
N=eoEA- XkEI, М= %Е1. (7.37)
Далее, в (7.35) введены еще две геометрические характеристики:
статический момент Sp приведенного сечения относительно уровня центра
тяжести исходного сечения и момент инерции приведенного сечения Jp
относительно той же оси. Под приведенным сечением криволинейного
стержня здесь понимается сечение, образуемое из заданного сечения
формальным сокращением ширины его b на уровне z-волокна в (l+kz) раз.
Иначе говоря,
Sp = \-^-dA, Ip = [j^-dA. (7.38)
p J4I + &Z p >A\ + kz
Впрочем, эти две геометрические характеристики легко выражаются через
площадь приведенного сечения Ар, поскольку
А = f-L-^, kSp= 1±±Ц=±<М = А-АР, klp= \z+y-zdA = _s
р >A\ + kz р J, 1 + fc р р iA 1 + fc р
Физические соотношения (7.35) для стержней большой кривизны
окончательно удобно записать теперь в виде
N=eoEA -xkEIp, М= %Е1Р. (7.39)
Приведем полученные физические соотношения для трех классов
криволинейных стержней, расположив их в таблице 4.2.

4.7 Плоский криволинейный стержень без учета деформаций сдвига 169
В этой же таблице во втором столбце представлены выражения для
усилий через перемещения, полученные после подстановки в физические
соотношения выражений для деформаций, взятые из соответствующего
столбца таблицы 4.1.
Таблица 4.2
Стержни большой кривизны
N=eoEA -%kEIp
М= %Е1Р
N=(v'+ kw)EA + (w"+k2w-k' v)kEIp
M=(-w"-k2w + k'v)EIp
Стержни средней кривизны (по Власову) (khf « 1
N=eoEA-xkEI
M=XEI
N=(v'+ kw)EA + (w "+ fw - k'v)kEI
M=(-w"-k2w + k'v)EI
Стержни малой кривизны (по Кирхгоффу-Клебшу) kh«\
N=EoEA
М=кЕ1
N= (v'+kw)EA
M=(-w"+kb + kv')EI
Сопоставляя формулы, относящиеся к стержням большой и средней
кривизны, замечаем, что они полностью идентичны с точностью до замены
момента инерции сечения / на момент инерции приведенного сечения /р и
наоборот. Что касается стержней малой кривизны, то здесь отличия от
первых двух вариантов теории более существенны, поскольку изменениям
подвергается сама структура формул.
Заменяя в уравнениях равновесия (7.31) внутренние усилия их
представлениями через компоненты перемещений v и w по таблице 4.2 и
собирая вместе все члены, относящиеся к одноименному перемещению,
приходим после некоторых преобразований к разрешающей системе двух
дифференциальных уравнений относительно перемещений
LnV + Lnw= q, + km,
L2\V + L2iW = q„ + m',
(7.40)
имеющей смысл системы уравнений равновесия в перемещениях (если
угодно, системы уравнений типа Ламе) для задачи о работе криволинейного
стержня в плоскости его кривизны. Состав дифференциальных операторов
Ln, L\2, L2\ и L22 для различных вариантов теории получается следующим -
см. таблицу 4.3. В частности для стержня кругового очертания радиуса R и
постоянного сечения эти операторы упрощаются до вида, показанного в
таблице 4.4.
В таблицах 4.3 и 4.4 операторы Lv для стержней большой кривизны в
явной форме не выписаны. Но это и не нужно, так как эти операторы
совпадают с соответствующими операторами Власова после замены / на /р в

170 4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть I
этих операторах. Уравнения (7.40) для стержней средней кривизны
представляют собой частный случай уравнений В.З. Власова, полученных
им для случая круговой цилиндрической оболочки [6, стр. 212].
Таблица 4.3
Стержни средней кривизны (по Власову) (kh)2 « 1
I,,» =-{EAvy+{kfEIv
L2lv = kEAv'- fkEIv - (kEIv)"
L[2w = - (kEAw)'- kEI(w "+ fw)
L22w=k2EAw+k2EI(w "+k2w)+[EI(w //+k2w)]"
Стержни метой кривизны (no Кирхгоффу-Клебшу) kh « 1
Lnv = -(EAv)'-k[EI(kv)]'
L2lv = kEAv'-[EI(kv)'\"
Li2w = ~(kEAw)'+ HEIw")'
L22w = I^EAw + (EIw ")"
Таблица 4.4
Стержни средней кривизны (по Власову) (kh)2 « 1
Lnv =-EAv"
L2[v = kEAv'
L[2w = -kEAw'
L22w = tfEAw + EI(wlv + Ik1™ "+ k4w)
Стержни малой кривизны (по Кирхгоффу-Клебшу) kh « 1
Lnv = -(EA + k2EI)v"
L2lv = - kEIv'"+ kEAv'
Ll2w = kEIw'" - kEAw'
L22w = EIwIV + tfEAw
В этом месте предоставим слово самому В.З. Власову:
«Из таблицы 11 видим12, что дифференциальные операторы,
расположенные относительно главных диагональных членов симметрично,
имеют одинаковые выражения. Это свойство симметрии уравнений
оболочки, впервые отмеченное в ряде наших работ, находится в полном
согласии с основными теоремами теории упругости и, в частности, с
теоремой Бетти о взаимности работ»
И далее там же на стр. 214:
«...мы полагаем, что система дифференциальных уравнений с
симметричной матриией13 находится в полном соответствии с основными
законами энергостатики сплошных упругих тел
12 В таблице 11 на стр.212 работы [6] выписана система дифференциальных
уравнений равновесия круговой цилиндрической оболочки. Как отмечено выше,
частным случаем этой системы уравнений В 3 Власова применительно к стержню
кругового очертания и постоянного сечения является система дифференциальных
уравнений (7.40) с операторами Lip показанными в таблице 4.4 для стержней
средней кривизны
13 Подчеркнуто нами.

4.7 Плоский криволинейный стержень без учета деформаций сдвига 171
Благодаря этой симметрии, вытекающей из закона взаимности,
проблема равновесия упругой оболочки может быть представлена в форме
чисто интегральных или интегро-дифференциальных уравнений, причем
ядра этих уравнений всегда будут симметричные. Кроме того, задача о
собственных колебаниях оболочки при симметричной матрице основных
дифференциальных уравнений всегда приводится к вековому уравнению,
дающему для спектра всех частот колебаний действительные значения».
Справедливость утверждения о соблюдении законов взаимности
действительно подтверждается приведенным ниже анализом, однако форма
обоснования этого вывода, не представляется убедительной. Это скорее
догадка, опирающаяся на завидную интуицию выдающегося механика.
Прежде всего, обращает на себя внимание, что в случае криволинейного
стержня симметрия дифференциальных уравнений имеет место только при
постоянной кривизне и постоянном сечении стержня и при дополнительном
изменении знака в одном из уравнений системы (7.40). Дело, конечно, не в
этой формально образующейся симметрии, которая к тому же для более
общих уравнений, определяемых таблицей 4.3, пропадает. Все дело в том,
что матричный дифференциальный оператор для уравнений (7.40)
самосопряжен по Лагранжу. Это утверждение легко проверяется, если
вспомнить правила построения сопряженного оператора, указанные в §1.1.
Но и формальная самосопряженность дифференциального оператора
является лишь необходимым, но не достаточным условием выполнения
основополагающих теорем взаимности. В этом смысле не менее важна и
формулировка краевых условий.
Статические краевые условия В.З. Власов в виде формул не выписывает,
но дает следующее словесное к ним пояснение [6, стр.209]:
«Если граничные условия для оболочки задаются в силах, то таких
условий в каждой точке контурной линии будет также четыре. Из этих
условий два относятся к нормальным и сдвигающим силам и
соответствуют в плоской задаче теории упругости двум статическим
условиям...»
Вполне понятно, что применительно к криволинейному стержню
В.З. Власов имеет в виду в последней фразе цитированного текста краевые
условия по поперечной силе Q и по продольной силе N.
Несложно увидеть, что матричный дифференциальный оператор для
уравнений теории Кирхгоффа-Клебша также самосопряжен по Лагранжу.
Прежде, чем перейти непосредственно к рассмотрению краевых условий,
приведем все полученные выше соотношения к матричной форме, введя
векторы перемещений и, деформаций е, «напряжений» о и заданных
внешних сил X . При этом потребуется различать два вектора деформаций,
соответствующие двум теориям: ?v - вектор деформаций Власова и ек -
вектор деформаций Кирхгоффа-Клебша

172 4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть I
u = \[v,w]\T, ev = |[eo,x]|T, ?к = |[ео,к]|т
о = \[N, М]\т, X =\[q, + km,qn + mf.
(7.41)
Опираясь на полученные выше формулы, представим здесь матричные
дифференциальные операторы геометрии Ау для теории Власова и Ак для
теории Кирхгоффа-Клебша, общий (Кирхгоффов) оператор равновесия В и
соответствующие операторы физи
А =
as
. as as
в =
as
. \\\IEA k/EAl \[ЕА
Q = \\, ск =
v ||_ 0 I/El]] к L °
При этом
гу = А
VU, ?
к = Лки, Ви =
X
ких соотношений Су и Ск
Л =
</(*()) ^2()
. ds ds2 _
V \[0 EI X
0"|| . \\\1ЕА 0
El\ |L 0 XIE1
о =
Су?у, 0 = СК?К
Итак, имеем
• (7.42)
(7.43)
4.7.3 Усилия, сопряженные вектору деформаций Власова
Прежде всего обращает на себя внимание, что при выборе основных
векторов по Власову оператор равновесия В не является сопряженным
оператору геометрии Ау, что и заставило нас вернуться к первоначальному
обозначению В для оператора равновесия. Кроме того, алгебраические
взаимно обратные операторы Власова Су и Cv' для физических
соотношений по (7.42) не симметричны. Произошло это потому, что вектор
усилий о и вектор деформаций ev выбраны произвольно и в энергетическом
смысле не соответствуют друг другу. В то же время для теории Кирхгоффа-
Клебша
В = А\ и Ск = С\. (7.44)
[ ввести обобщенное усилие, которые мы
Несложно показать, что е
обозначим Т, по формуле
(7.45)

* 4.7 Плоский криволинейный стержень без учета деформаций сдвига 173
то можно образовать вектор напряжений оу=|[Г, М]\ , энергетически
сопряженный вектору деформаций Власова ?v = |[е<ь х]| •
Введенное формулой (7.45) усилие Т уместно назвать обобщенной
продольной силой. Это усилие на основании формул из таблицы 4.2
выражается через перемещения v и w в следующем виде
T=(v'+kw)EA. (7.46)
Под энергетической сопряженностью векторов деформаций и напряжений
мы понимаем выполнение двух условий:
• сопряженность операторов геометрии и равновесия;
• симметрию и положительную определенность операторов физических
соотношений.
С позиций механики обобщенные усилия и соответствующие им
деформации являются энергетически сопряженными векторами, если их
скалярное произведение имеет смысл возможной работы внутренних сил.
Действительно, в матричной форме линейное преобразование (7 45)
представимо в виде
оу=Ло, Л = , А_1= , (7.47)
[о lj|' ||_о lj|'
так что в новых силовых переменных ov уравнения равновесия Ва = X и
физические соотношения Cv ev = о записываются соответственно как
ЯЛ-1су = X, ЛСУ ?V = оу • (7.48)
Но оператор В А1 имеет следующий вид
d{) dk(^
ВА1
ds
k{)
(7.49)
ds2
и теперь обнаруживается, что
Al = BA~\ Ск = ЛСу, (7.50)
где оператор А^ является сопряженным (по Лагранжу) оператору геометрии
А\, а операторы Ск и Q1 симметричны и положительно определены, как это
видно из (7.42).
Итак, уравнения равновесия в сопряженных деформациям ev усилиях
<tv= \[Т, М]\т, будут иметь вид
-T'+k'M=q, + km, kT-M"-k2M=q„ + m'. (7.51)
Воспользовавшись теперь общей формулой (1.6), образуем матричный
дифференциальный оператор Ламе Lv для теории стержней средней и

174 4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть I
большой кривизны как последовательное произведение оператора
равновесия, оператора физических соотношений и оператора геометрии, то
есть Lv = ВСуАу . Заметив, что ВСу = (BAA)(ACV) = Д^ Ск, и вспоминая
свойства сопряженных операторов (1.1.10) и (1.1.11), получаем
Lv = ВСуАу = Al CkAv = (Al CKAV)T = 4. (7.52)
Теперь из (7.52) становятся понятными истоки формальной
самосопряженности оператора Lv для системы уравнений Власова.
Рассмотрим основное интегральное тождество в форме (1.2.17)
применительно к усилиям ov ¦ Итак, имеем
(Ауи, ov) = J [е0Т + %M]ds = J [(v' + kw)T + {-w" ~k2w + k'v)M]ds =
= J [v(-T' + k'M) + w(kT -M'- k2M]Js + [vT] ( + [wM'] \[ - [w'M] ? =
= (и,А^ау) + (р,и)г. (7.53)
Очевидно, что основное интегральное тождество (7.53) выполняется,
если, например, для краевых усилий и краевых перемещений положить
^=^аии = иа,где
pa=\[nT,nAf,nMtf, иа = \[v, w, v)/]|T, \|/ = -и7', (7.54)
где v|/ - кинематический параметр, который мы назовем обобщенным углом
поворота.
В (7.54) и далее через и обозначен косинус угла между направлением
внешней нормали к рассматриваемому сечению и направлением орта t, так
что
«(0=Ь
и(0) = -1.
В этом месте важно отметить, что определение краевых усилий ра и
краевых перемещений иа по (7.54) не является единственно возможным.
Основное интегральное тождество (7.53) не нарушится, если вместо (7.54)
принять второй вариант (назовем его "вариант Ь") определения краевых
усилий и перемещений, положив р=рьи и = иь, где
Pb = \[nN,nM' ,пМ]\Т, щ = \[v, w , 9]|т, Q=-w'+kv.
Между двумя вариантами формулировки краевых
устанавливается следующая связь
= (A-J.)V
(7.55)
условий
= &гРь,
Г1
о
[о
0
1
0
*1
0
lj
(л^)т =
1 о о

4 7 Плоский криволинейный стержень без учета деформаций сдвига 175
откуда получаем важное соотношение
(Ра, иа)г = (Агрь ,(К )Т"ь)г = (К ЛгРь, иь)г = (Рь, иь)г¦ (7.57)
На механическом уровне это равенство интерпретируется так:
возможная работа контурных сил ра на соответствующих этим силам
контурных перемещениях иа равна возможной работе контурных сил ръ на
соответствующих им контурных перемещениях щ-
Отметим, что этот факт не является вариацией на тему теоремы Бетти о
взаимности работ, несмотря на схожесть словесных формулировок, а
представляет собой независимое утверждение. В теореме Бетти индексы "а"
и "Ь" относятся к двум состояниям системы, тогда как здесь же эти индексы
указывают на два возможных варианта формулировки краевых условий для
одного и того же состояния системы.
Теперь обратимся к основному интегральному тождеству для оператора
Лк- Вместо (7.53) имеем
(Аки, о) = J [e0N + KM]ds = J [(г/ + kw)N + (-w" + (kv)')M]ds =
= J M-N' -kM') + w(kN -M*yh + [vN] ( -
- [(h;' - kv)M] ( + [wM'] |'0 = (u, Al a) + (p, u)r • (7.58)
И вновь имеем возможность выбора, положив^ =рь и и = щ по (7.55), либо
р =ра и и = иа по (7.54).
Итак, и в теории Власова, и в теории Кирхгоффа-Клебша, краевые
условия могут формулироваться двояко, в каждом из вариантов не
противореча законам энергостатики. Наиболее распространен вариант,
который мы здесь обозначили индексом "Ь".
Во многих случаях оба варианта формулировки краевых условий
оказываются эквивалентными. Например, в случае полной заделки конца
криволинейного стержня условия на этом конце иь = 0 или иа = 0 вытекают
одно из другого в силу (7.56) и невьфожденности матрицы Лг. Но при
некоторых иных комбинациях краевых условий это не так. Рассмотрим,
например, случай защемления конца стержня от поворота при возможности
его смещения в тангенциальном направлении и невозможности смещения в
нормальном к оси стержня направлении (рис. 4.8-с).
Наглядная механическая трактовка варианта а краевых условий и
варианта Ъ краевых условий показана на рис. 4.8-а и 4. %-Ъ соответственно.
Случай краевого условия по рис. 4.8-а воспринимается как предельный при
установке двух связей, препятствующих нормальным перемещениям, на
бесконечно малом расстоянии. В случае по рис. 4. %-Ь запрещен именно
поворот сечения стержня.

176 4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть I
yf
Рис 4.8-е.
Краевые условия по
варианту а
Рис. 4.8-*.
Краевые условия по
варианту b
Рис. 4.8-с.
Скользящая заделка
на конце стержня
Итак, для однородных краевых условий
в варианте а (рис. 4.8-а) w = О,
в варианте Ъ (рис 4 8-Z>) w = О,
или в терминах перемещений
• для теории Власова-
в варианте а (рис 4.8-а) w = О,
в варианте Ъ (рис 4 8-6) и; = 0 ,
• для теории Кирхгоффа-Клебша
9 = 0,
-w'+kv = 0, vEA + (w"-kb)kEI = 0
в варианте а (рис 4 8-а) и; = 0,
в варианте b (рис 4 8-6)- и; = 0 ,
w'=0, vEA + (w"-kv')kEI = 0,
-w'+kv = 0, v'=0
Оба варианта формулировки краевых условий законны
Надо сказать, что в теории Власова можно было бы поступать и в
обратном порядке, а именно в качестве исходной посылки принять к
рассмотрению вектор усилий Кирхгофа a=\[N,M]\ и далее рассматривать
энергетически сопряженный ему вектор деформаций е Мы не приводим
здесь такую схему рассуждений, поскольку в окончательном результате
этот подход ничего нового не дает.
Теперь мы можем записать в матричной форме оба варианта постановки
краевых условий, приведя эти краевые условия к общей форме,
определяемой формулами (1.2.4). В таблице 4.5 приведены матричные
операторы выделения краевых условий Ер и Еи, а также матричные
дифференциальные операторы Ни и Я0 для перевода вектора перемещений
u = |[u,k;]|t и вектора напряжений о = |[ЛЛ,A/J| или av=\[T,M]\ в вектор
краевых перемещений и и вектор краевых усилий р соответственно
Заметим, что для каждого из двух возможных вариантов формулировки
краевых условий в таблице 4 5 представлено по два матричных оператора
На, один из которых преобразует вектор напряжений Власова ov, а другой
вектор напряжений Кирхгоффа-Клебша о в вектор краевых усилий ;>

4 7 Плоский криволинейный стержень без учета деформаций сдвига 177
Таблица 4.5
Еи
Ёр
ни
#а
НИ
iUI
Вариант "а"
краевых условий
\
|
е„ 0 0
0 0 ev
ег 0 0
0 в{? 0
0 0 ем
1 0
0 1
Ги 0 1
0 "?
[о и \\
Ги *и 11
Г ¦*
[о и J
Вариант "Ь"
краевых условий
е„ 0 0
0 eB 0
0 0 е9
ew 0 0
0 ев 0
0 0 ^м
1 0
0 1
Ги -*я 1
[о и J
Ги 0 11
0"*
[о и J
Может возникнуть вопрос: а зачем в теории Власова (да и вообще в
любой теории) нужно устанавливать виды усилий и деформаций,
сопряженных по энергии? Ответ прост. Для сопряженных силовых и
кинематических параметров имеется формальный аппарат построения
вариационных принципов, к формулировке которых для криволинейных
стержней мы и переходим.
4.7.4 Вариационные принципы для криволинейных стержней
Прежде всего, определим выражение для энергии деформации Е. Для теории
Власова, помечая соответствующие функционалы индексом v , имеем
Ev(u) = ^ («v, 8V) = \ (ЛСу By, ?V) = \ (Ск Лу11, Avu) =
= i J" [EA(v' + kwf + EI(-w" -k2w + k'vf ]ds, (7.59)

178 4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть I
EvW = ±(«*. -v) =l(ov, Q1 «v) = \ \]^~^^У ¦ (7-60)
Можно поступать и иначе, исходя из непосредственного определения
энергии деформации и отбрасывая там по мере необходимости малые
величины. Действительно, замечая, что элемент объема криволинейного
стержня равен сЮ. = (1 + kz)dAds и суммируя энергию деформации,
накапливаемую по всем элементарным объемам dQ, получим
Ev(u)= i J j EE2(l + b)dAds=± J J ?[e0 +xz(l-fe)]2(l + fe)^4ufr =
= i J j?[8^(l + fe) + 280xz(l-)fc2z2) + x2z2(l-A:2z2Xl + fe)]^4*.
Пренебрегая здесь величиной &V по сравнению с единицей и производя
интегрирование по площади поперечного сечения А, получаем
Ev(u) = I J [?Ле2 + Е{1 + kl2 )Х2 ]ds.
Но, как это было оговорено ранее, для стержней средней кривизны
принимается дополнительная оценка &/2//« 1, следовательно, в рамках этой
теории
Ev(u) = I J (ЕАе20 + EIx1 )ds . (7.61)
Как и следовало ожидать, формула (7.61) совпадает с формулой (7.59), что
становится очевидным, если в (7.61) параметры деформации е0 и х заменить
их выражениями через компоненты вектора перемещений согласно среднему
столбцу таблицы 4.1.
Вспомним теперь, что все формулы для криволинейных стержней средней
кривизны (по теории Власова) годятся также и для стержней большой
кривизны. Нужно только заменить в этих формулах момент инерции сечения
стержня /на момент инерции приведенного сечения /р, определяемый
формулой (7.38). Отсюда следует, что формулы (7.59), (7.60) после
указанной замены срабатывают также и для стержней большой кривизны.
Аналогичным образом установим выражение для энергии деформации Ек,
соответствующее теории Кирхгоффа-Клебша
Ек(и) = \ (С ?к) = \ (Ск ?к, ек) = \ (Ск Аки, Аки) =
= i J [EA(v' + kwf + EI(-w" + kv' + k'vf ]ds, (7.62)

4 7 Плоский криволинейный стержень без учета деформаций сдвига 179
Ек(С)= 1(0,гк)4(°> С^4 (Ш + ^>8- (7'63)
Пусть ^r,(s) и <jr„(s) - компоненты интенсивностей внешних рас-
пределенных вдоль оси стержня нагрузок, действующие в тангенциальном и
нормальном направлениях соответственно, a m(s) - интенсивность рас-
пределенной моментной нагрузки. Заданные на концах стержня внешние
сосредоточенные силовые и моментные статические воздействия обозначим
как Q0 и Q, N0 и N,, М0 и М, соответственно (рис. 4.7).
Полный перечень параметров выделения краевых условий, задаваемых на
каждом из концов стержня, состоит из: (ет, eg, ем, ev, ew, еу) для варианта "а"
задания краевых условий и (е№ ее, ем, ev, ew, ее) для варианта "Ь" записи
краевых условий на каждом конце криволинейного стержня. Эти параметры
являются компонентами соответствующих матриц Ер и Еи (таблица 4.5) и
удовлетворяют на каждом из концов условиям
• в варианте a: eT+ev=\, eQ+ew=l, ем+ еу= 1,
• в варианте Ъ: eN+ev=\, ед + ею=1, ем+ев=1.
Смысл этих параметров очевиден.
Как обычно, определим потенциал статических внешних воздействий
V\s(v,w) как возможную работу внешних сил на перемещениях v, w и
поворотах 9 = - w'+ ко . Имеем
f\s(v,w) = \ q,vds + j qnwds + j m(-w' + kv)ds +
+ [eNnNv] f0 + [eenQw] |'0 + [eMnM(-w' + kv)} \'0. (7.64)
Впрочем, внеинтегральные члены в (7.64) после перегруппировки могут
быть представлены и иначе, а именно, как
[eTnfv] |; + [egnQw] (, + [eMnM(-w')] \'0. (7.65)
Способ представления работы внешних контурных сил по (7.65)
соответствует первому варианту (варианту а) записи краевых усилий и
перемещений по (7.54). Напротив, в (7.64) внеинтегральные члены
определяют ту же работу, но соответствующую второму варианту
(варианту Ь) записи краевых усилий и перемещений по (7.55).
Кроме потенциала статических внешних воздействий нам потребуется
также выражение и для потенциала кинематических внешних воздействий
Пк(с). Опираясь на формулу (2.3.2) и используя данные таблицы 4.5,
получим
Пк(с) = (Еир, Еий)г = [evTv] ( + [ешМ'Щ ( + [е^МЩ |'о, (7.66-а)
или в иной форме

180 4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть I
Пк(с)= [evNv](0+[ewM'w]\'0 + [eeMQ]i0. (7.66-й)
Формула (7.66-а) относится к первому варианту (варианту а)
формулировки краевых условий для криволинейного стержня, а формула
(7.66-6) ко второму (к варианту Ь). Заметим, что оба выражения для
кинематического потенциала Пк(с) получаются одинаковыми как для
вектора напряжений Власова ov , так и для вектора напряжений Кирхгоффа-
Клебша о.
Функционал Лагранжа
Образуем теперь функционал Лагранжа L(v,w) = E(v,zo) - r\s(v,w). Для
теории Власова имеем
Lv(v,w)= j $[EA(v' + kw)2+EI(-w"-k2w + k'v)2]ds - J q,vds -
- jqnwds- jm(-w' + kv)ds-[eNnNv]f0-[eenQw](0-
-[eMnM(-w' + kv)](0. (7.67)
В то время как для теории Кирхгоффа-Клебша
Lfi(v,w)= 1 $[EA(v' + kwf + EI(-w" + kv'+ k'v)2]ds- J" q,vds -
- \qnwds, - \m(-w' + kv)ds,-[eNnNv]i0-[eQnQw]{0-
-[eMnM(-w' + kv)\ {. (7.68)
Для того, чтобы аккуратно сформулировать вариационную задачу,
необходимо также определить множество ^k физически допустимых и
кинематически допустимых полей НДС, на которых и должен отыскиваться
минимум лагранжиана. Именно здесь и сказывается выбор варианта
постановки краевых условий. Так, для варианта а в качестве множества ^
принимаются функции v и w, удовлетворяющие в концевых точках 0 и /
условиям
evv = v, eww = w, еу (-w') = vj/. (7.69-а)
В то же время для варианта Ъ в качестве множества &и, допустимых к
сравнению функций v и w принимаются функции, удовлетворяющие в тех
же концевых точках условиям
evv = v, eww = w, ee(-w' + kv) = Q. (7.69-6)
Очевидно, что эти множества различны, то есть ^ka Ф ^и

4 7 Плоский криволинейный стержень без учета деформаций сдвига 181
Варьируя функционалы Лагранжа Lv(v,w) и LK(v,w) один раз на
множестве ^, а второй раз на множестве &и» и приравнивая
соответствующую первую вариацию нулю, получим, что в качестве
уравнений Эйлера для этих функционалов выступают уравнения (7.40), где
дифференциальные операторы Lv определены соответствующими строками
таблицы 4.3.
Таблица 4.6
Л.
&ы
*Ь
^кЬ
для функционала L\(v,w)
eT[{v'+kw)EA- пТ]-0
eQ{[(-w "- fw + к 'v)EI}'~ nQ + m}=0
etl{-w "- f^w + к 'v)El - nM] = 0
ed(p'+ kw)EA + (w"+k2w-k b)kEI - nN ]=0
eQ{[{-w"-k2w + k'v)Eiy-nQ + m}= 0
ed(-w "- tfw + k'v)El - nM] = 0
для функционала LK(v,w)
ej{(v'+ kw)EA + (-и?"+ кЬ +kv')kEl- nf ] = 0
eQ{{{-w"+kb + kv')EI]'-nQ + m} =0
eA(-w"+ kb + ko')EI- nM ] = 0
eN[(v,+ kw)EA-nN] = 0
eQ{[{-w"+ kb + kv')EI\- nQ + m}=0
eiMrW"+kb + kv)EI- «M] = 0
Как видим, уравнения Эйлера для этих двух функционалов не зависят от
выбора множества ^ка или &и , но различаются для функционалов Lv{v,w) и
\-yl(v,w). Что касается естественных краевых условий, то они, напротив,
зависят от выбора множества ^щ или ^ъ- Точнее говоря, получаем
естественные краевые условия для этих функционалов, показанные в
таблице 4.6
Функционал Кастильяно
Воспользуемся общей формулой (2.3.3) при записи выражения для
функционала Кастильяно. Энергия деформации для стержня средней
кривизны определяется формулой (7.60), а потенциал кинематических
внешних воздействий формулой (7.66). В результате для теории Власова
получим
ЫТ,М)=\ ij^ + ^y^[ejmt0-KM'w]\'0-[evM^]\'0, (7.70)
или в ином варианте

182 4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть I
KV(N,M)= \ \у+ЕА)2 +^\^-\.evNv]{-[ewM'w]iu-[e,MQ]{. (7.71)
Выбор варианта записи функционала Кастильяно удобно ставить в
зависимость от постановки статических краевых условий. В первом случае
множество ^д физически и статически допустимых полей усилий состоит из
функций Т и М, удовлетворяющих в концевых точках 0 и / условиям
ет(пТ-Т) = О, e^nQ-Q + nm) = 0, е^пМ-М) = 0. (7.72)
Во втором случае варьированию подлежат функции N и М из множества
^sb, удовлетворяющие в концевых точках 0 и / условиям
eN{nN- N) = О, e^nQ- Q + nm) = 0, ефМ-М) = 0. (7.73)
Аналогично (7.70) и (7.71) запишем также соответствующие выражения
для функционала Кастильяно, отвечающие теории криволинейных стержней
Кирхгоффа-Клебша
КК(Т,М) = I МТ~^2+ML\ds-[ejv]{0-[ewM'w]{-[е^МЩ\'0, (7.74)
или в ином варианте
ЫКМ) = I ji^ + Mpjds-[evNv] {-[е„МЩ |'о-[евМ0] { . (7.75)
Функционал Рейсснера
Найдем выражение для функционала Рейсснера в его первой форме. С этой
целью воспользуемся общей формулой (3.1.4) применительно к теории
криволинейных стержней Власова, положив там К=0, с= cv, A=AV, а
также С = Ск . Последняя подстановка объясняется тем, что закон упругости,
связывающий векторы ov и ?v, как это следует из (7.47) и (7.49), имеет вид
CK?V = Су- Итак,
Rvl(av,u) =Uc^gv,gv)-(Avu,gv) +r\s-Hk+ (Е^ ,Еищ)Г. (7.76)
Здесь дополнительным цифровым индексом помечается номер формы
функционала Рейсснера. Поэтому запись вида RV1 прочитывается как первая
форма функционала Рейсснера для теории Власова.
Переходя к координатной форме записи, получим из (7.76)
Rvl{T,M,v,w) =
=\ f fS + n?rVs- f [{v' + kw)T + {-w" -k2w + k'v)M]ds +
2 *0\EA EI J Jq

4.7 Плоский криволинейный стержень без учета деформаций сдвига 183
+ [ q,vds + \ qnwd% + [ m(-w' + kv)d% +
+ [eNnNv] \'0 + [eQnQw] ? + [eMnM{-w' + kv)] |J, +
+ [evN(v-v)]{0 + [ewM'(w-w)]\'0 + [eeM(Q-e)]\'0. (7.77)
Имея первую форму функционала Рейсснера несложно получить его вторую
и третью формы, перекинув под знаком интеграла необходимое количество
производных с перемещений на усилия. При необходимости читатель
сможет проделать эту простую операцию самостоятельно.
Совершенно аналогично можно получить функционал Рейсснера для
теории криволинейных стержней Кирхгоффа-Клебша. Приведем здесь
полученное указанным способом выражение для второй формы этого
функционала
Rki(N,M,v,w) =
=ч fT^ft+4?г+V(N'+км')-w(kN-м")+<i,v+q,v>№ +
2 *0\_ЕА El J
+ [eN {nN - N)v] |д + [eQ (nQ - M' )w] {-[eM («M + M)(-w' + kv)] ( -
~[evNv\ \'0-[ewM'w] (0 + [евМЩ ( . (7.78)
4.7.5 О сопоставлении решений при различных постановках
задач для криволинейных стержней
Итак, мы имеем три основные технические теории для криволинейного
стержня (теория стержней большой кривизны, средней кривизны и малой
кривизны) и в каждой теории возможны два варианта постановки краевых
условий. Само собой разумеется, что возникают вопросы о том, насколько
разнятся решения задач при смене используемой теории, а также при
переходе от одного варианта постановки краевых условий к другому.
Введем критерий, по которому имеет смысл проводить сопоставление
решений. В качестве такого критерия уместно воспользоваться
энергетической погрешностью решения, предоставляющей возможность
сопоставлять эти решения в интегральном смысле, не оглядываясь на
локальные различия в решениях.
Само понятие энергетической погрешности теории в строительную
механику в систематизированном виде ввел и использовал В.В. Болотин
[11], хотя, как на это указывает и сам Болотин, в неявной форме понятие
энергетической погрешности использовалось другими авторами и ранее.
Введем вслед за Власовым [6] безразмерный параметр с

4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть I
. к21
(7.79)
которым удобно оперировать при дальнейших построениях14. При этом
следует иметь в виду, что применительно к стержням большой кривизны в
формуле (7.79) под моментом инерции /понимается приведенный момент
инерции /р, определяемый формулой (7.38).
Предположим для простоты, что криволинейный стержень имеет
статически определимые закрепления по концам, что позволяет получить
внутренние усилия в стержне на основании одних только уравнений с
и значит эти усилия (продольная сила N и изгибающий момент М) не з;
от принятого варианта теории. Но тогда, опираясь на формулы (7.60) и
(7.63), можно вычислить относительную энергетическую погрешность ц,
вносимую в решение при переходе от одной теории к другой. Итак, имеем
r'2kNM + k2M2 , ST2-N2 ,
\ЕА El) *о{ЕА EI
Отсюда сразу же видно, что для безмоментного напряженного состояния
криволинейного стержня энергетическая погрешность при смене теории
равна нулю. В противоположном частном случае, то есть при чистом изгибе
(N=0), эта погрешность также легко вычисляется и составляет величину
порядка с2 с некоторым усредненным значением этого параметра по длине
стержня. Следовательно, можно ожидать, что на энергетическом уровне (то
есть в среднем, интегрально) переход к уточненной модели Власова по
сравнению с моделью Кирхгоффа-Клебша приводит к весьма малой
поправке. Но этого же нельзя сказать в отношении локального поведения
решений, а именно эти данные (скажем, напряжения в отдельных точках)
обычно представляют наибольший практический интерес для инженера. Вот
почему для стержней средней кривизны переход к уточненной модели
Власова становится оправданным.
В общем случае криволинейного стержня получить решение в замкнутом
виде не удается. Однако это можно сделать, если ограничить наше
рассмотрение стержнями, очерченными по круговой кривой радиуса R и
ввести дополнительное упрощение, предполагая, что сечение стержня не
меняется по его длине.
Переходя от дуговой координаты я к безразмерной угловой координате
ф = s/R и воспользовавшись таблицей 4.3 для операторов Lv, перепишем
теперь уравнения (7.40) в виде:
Рассматривая теорию цилиндрических оболочек, Власов полагает для них
с2 = к2^/12, где h - толщина оболочки. Применительно к криволинейному стержню
это соотношение приводит к формуле (7 79)

* 4.7 Плоский криволинейный стержень без учета деформаций сдвига 185
• для стержней средней и большой кривизны
d2v dw _ RL(a +т\
dip2 dip ЕАЩ' R''
d<f> dip4 dip2 EAK4n Rdip" V*1)
• для стержней малой кривизны
_ (i+c2)-^ + г<?ж_<1ж = д!( +щ
dip2 dip' dip ЕАУН' R''
_c2?jL+d3L+cid^+w =|i( g+JtjL.). (7.82)
dip3 d(p dip4 ЕАУЧп Rdip' y '
Стремление быть последовательным при отбрасывании малых величин
побуждает пренебречь в этих уравнениях параметром с2 по сравнению с
единицей, поскольку с2 < {khf « 1. Не будем спешить, а посмотрим к каким
последствиям приводит подобное упрощение систем уравнений (7.81) и
(7.82). Легко заметить, что самосопряженность дифференциального
оператора Ламе от подобного его упрощения сохранится. Но этого мало,
вспомним слова Н.Н. Моисеева, приведенные в эпиграфе к настоящей главе.
Начнем с упрощенной указанным способом системы уравнений (7.81).
Рассмотрим в качестве примера полукольцо (0 < ф < л) и пусть истинное
поле перемещений определяется функциями
v = costp, w = siiup. (7.83)
Несложно заметить, что оба уравнения упрощенной системы (7.81) будут
удовлетворены, если положить
т = 0, q, = 0, qn= -с2 — sirup. (7.84)
При этом краевые перемещения окажутся следующими
и(0) =1, ит(0) = 0, 9(0) = 0, р(л) = -1, ит(п) = 0, 9(л) = 0,
а все внутренние силы в стержне оказываются тождественно равными нулю.
Если подсчитать теперь работу А всех внешних сил на соответствующих
этим силам перемещениях, вызванных этими же силами, то обнаруживается,
что реактивные силы в местах закрепления стержня работы не совершают.
В результате получим
А = Г qnwRdtp = -с2 — j sin2 (paty.
И поскольку А < 0, то выясняется, что отбрасывание слагаемого c2w во
втором из уравнений системы (7.81) приводит к нарушению фунда-
ментального закона механики - закона сохранения энергии.

186 4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть I
Точно такая же ситуация возникает и в случае стержней малой кривизны
Действительно, если принять, что перемещения изменяются по закону (7.83),
то упрощенные уравнения (7 82) также окажутся вьшолненными, но при
следующей нагрузке
, ЕА
т = 0, q,= -С — coscp, q„ = 0. (7 85)
Рассуждая как и ранее, вновь получаем противоречащее закону сохранения
энергии неравенство А < 0
В связи с указанными выше соображениями будем пользоваться
разрешающими уравнениями для криволинейных стержней в том виде, как
они записаны в (7.81) и (7.82).
Выпишем здесь для справки общее решение однородной системы
уравнений по (7.81) и (7 82). Имеем-
• для стержней средней и большой кривизны
v = С\ coscp - С2 sincp - С3 (sincp - ср coscp) - С4 (coscp + ср smcp) -
-(1+с2)С5ф + С6,
w = Сх sincp + С2 coscp + С3 ф SHKp + С4 ф совф + С5, (7.86)
• для стержней малой кривизны
1-е2
V = С, СОвф - С2 SUKp - Съ ( г- вШф - ф СОвф) -
1 + с2
1-е2
- С4( 7C0S(P + Ф вшФ) ~ С5ф + С6,
1 + с
w = Q втф + С2 совф + С3 ф sirvp + С4 ф совф + С5. (7 87)
Справедливость представлений (7 86) и (7 87) проверяется непосредственной
подстановкой.
/с Ус
с. с
\A/R
Рис 4.9-а Рис. 4.9n6

* 4 8 Плоский криволинейный стержень с учетом деформаций сдвига 187
Перейдем теперь к анализу влияния способа задания краевых условий на
решение задачи о криволинейном стержне. Обратимся к конкретному
примеру, показанному на рис. 4.9-а и рис. 4.9-Ь.
Итак, рассматриваются два состояния криволинейного стержня (четверть
окружности) под действием одной и той же нагрузки (концевого момента
М), которые назовем состоянием а и состоянием Ь. В состоянии а на одном
из концов стержня (при s = 0) поставлены однородные краевые условия по
ранее определенному варианту а. В состоянии b на этом же конце стержня
поставлены однородные краевые условия по варианту Ь.
Буквами А, В и С на этих рисунках обозначены развивающиеся в системе
реактивные силы, которые легко определяются на основании уравнений
равновесия (обе системы статически определимы).
Для состояния а имеем
Аа=М, Д,= ^,Са=^/2
R R
и, следовательно, усилия в сечениях стержня равны в состоянии а
М
Ма= М(sincp + coscp), Na = ( sincp + coscp).
С другой стороны для задачи по рис. 4.9-Ь имеем
Аь= М, Вь = 0, Сь = 0,
и, следовательно, усилия в сечениях стержня в состоянии b равны
Мь= М, Nb = 0.
Существенные различия в решениях этих двух задач очевидны.
4.8 Плоский криволинейный стержень с учетом
деформаций сдвига
4.8.1 Снова о геометрии криволинейного стержня
Полезно вернуться к геометрическим соотношениям для
криволинейного стержня, воспользовавшись на этот раз формальными
математическими преобразованиями. Конечно, такой способ получения
геометрических соотношений является менее наглядным, поскольку он не
опирается непосредственно на соображения геометрического характера. Но
зато он обладает всеми преимуществами строгого математического
формализма.
С этой целью прежде всего выпишем основные геометрические
соотношения двумерной задачи теории упругости в ортогональной

4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть I
криволинейной системе координат, сославшись на работу [13] (см. также
Приложение F).
Итак, пусть (ом, ос2) ортогональная координатная система, заданная на
плоскости. Пусть Ни Я2 параметры Ламе, соответствующие этим
координатам. Последнее означает, что агрегаты Я^ом и H2da2 представляют
собой приращения длин дуг, отвечающие соответствующим приращениям
координат с/ом и da2.
Применительно к плоскому криволинейному стержню возьмем в качестве
координаты а! нормальную координату z, а в качестве координаты ос2
дуговую координату s. Это означает, что соответствующие параметры Ламе
будут равны
#1 = 1, Н2=\+Ь.
Общие формулы для компонент деформации в криволинейной системе
координат (ось ос2) записываются в следующем виде [13]
" Я, 5а, + НХН2 5а2'
_ Я2 д (иЛ Я,
Ъ2=1Г^\н72)+1Г2
даЛН..
• Б! - относительное удлинение в направлении координаты см;
• е2 - относительное удлинение в направлении координаты ос2;
• Ун - угол сдвига между координатными линиями а! и а2;
• щ, и2 - компоненты вектора перемещений uz = щех + и2е2 относительно
ортов е2ие3> касательных к координатным линиям а! и а2.
В нашем случае за координату а! принимаем нормальную координату z, а
за координату ос2 тангенциальную координату s. Это означает, что в качестве
ортов ех и е2 следует положить е| = йие2 = <,ав качестве перемещений щ, щ
принимаются Ui = wz(z,s) и u2 = vz(z,s), где vz и wz тангенциальная и
нормальная компоненты вектора перемещений uz = wzit + vj произвольной
точки с координатами (z,s).
В результате соответствующих подстановок для зависимых и
независимых переменных получаем
1 dv2 1 5(1 +fa) 1 , , , v
?, = - + wT = [v, л-kw,),
1 1 + fa ds 1 + fa dz z l + fev 2 z>
_dwz 1 5(1) _ dw2
dz l + kz ds z dz

4 8 Плоский криволинейный стержень с учетом деформаций сдвига 189
Для упрощения записи здесь и далее штрихом помечается дифферен-
цирование по тангенциальной координате s.
Математически основная кинематическая гипотеза, используемая при
построении технической теории стержней (гипотеза плоских сечений),
может быть представлена двумя требованиями, а именно
е2=0, ysz = 0. (8.3)
Действительно, выполнение первого из этих требований, обеспечивает
неизменяемость длин нормалей к оси стержня. Второе требование
обеспечивает сохранение ортогональности координатных линий в
деформированном состоянии стержня, поскольку соответствующий угол
сдвига принимается равным нулю.
Как и в §4.7, обозначим через w(s) и v(s) нормальную и тангенциальную
компоненты вектора перемещений u = wn + vt произвольной точки оси
стержня. Иначе говоря, полагаем по определению
v(s) = vz(0,s), w(s) = wz(0,s). (8.4)
В силу первого требования в (8.3) находим, что функция wz{zjs) от z не
зависит, следовательно
w = wz. (8.5)
Далее, условие отсутствия сдвига ysz = 0 приводит теперь к
дифференциальному уравнению для функции vz
(l + kz)^--kv =-w'. (8.6)
dz
В правой части уравнения (8.6) стоит функция, зависящая только от
координаты s, и не зависящая от z. Поэтому фактически мы имеем дело с
обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка, общее
решение которого может быть легко найдено введением интегрирующего
множителя [14, стр. 256]. Опуская вполне элементарные преобразования,
приведем сразу решение этого уравнения
vz=-w'— + (l + b)C(s), (8.7)
1 + к
где C(s) - произвольная функция от s. Справедливость представления (8.7)
подтверждается непосредственной подстановкой в уравнение (8 6).
Полагая в (8.7) z = 0, находим
C(s) = v--^-,
1 + к
что дает окончательно после подстановки в (8.7)
vz=-w'z + v{\ + kz). (8.8)

190 4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть I
Если подставить теперь соотношения (8.5) и (8.8) в выражение для
продольных деформаций е по первой из формул в (8.2) и учесть при этом
оценки порядка малости безразмерного параметра kh, принятые в теории
стержней средней и малой кривизны, то придем к полученным ранее
формулам, приведенным в последней строке таблицы 4.1. Это факт
свидетельствует об идентичности результатов, полученных разными
способами в §4.7.1 и в настоящем параграфе.
4.8.2 Учет деформаций сдвига
Вспоминая выражение (7.26) для угла поворота 0 сечения стержня,
перепишем формулу (8.8) в виде
v2=v + Bz. (8.9)
Сохранив кинематические соотношения в форме (8.5) и (8.9), примем
теперь гипотезу плоских сечений в ослабленной формулировке. А именно,
начиная с этого момента, будем считать далее, что нормаль к оси стержня не
изменяет своей длины и остается прямолинейной, хотя и не обязана
сохранять перпендикулярность к оси стержня в его деформированном
состоянии. Это означает, что угол поворота нормали 0, не определяется
теперь формулой (7.26), а рассматривается как независимый кинематический
параметр, характеризующий деформированное состояние стержня. В этих
условиях подстановка (8.5) и (8.9) в выражение для деформации сдвига по
третьему соотношению в (8.2) дает
аЛ^0
1 + fe
Таким образом, исходя из кинематических соотношений, получаем, что
угол сдвига изменяется по высоте сечения криволинейного стержня по
гиперболическому закону. Для прямолинейного же стержня мы ранее
получали, что угол сдвига постоянен по высоте сечения, что следует,
впрочем, и из (8.10), если положить там к = 0.
Подсчитаем теперь энергию деформации, запасаемую в элементарном
объеме dd = b{\+kz)dzds материала стержня и порождаемую работой
касательных напряжений. Эта энергия определяется как
Vi xsz yS2 b{\+kz)dzds = Vi xsz{ w'-kv + B )bdzds.
Интегрируя это выражение по высоте сечения стержня, получим энергию
йЕт касательных напряжений, приходящуюся на единицу длины оси
стержня Очевидно, что эта величина равняется
uEt = lA (w' - kv + 0) | xS2bdz = ViQy,

4 8 Плоский криволинейный стержень с учетом деформаций сдвига 191
где Q - поперечная сила в рассматриваемом сечении, а у - есть угол сдвига
на уровне оси стержня, то есть у = ysz(0,s) = w' — kv + Q. Угол сдвига у свяжем
линейным соотношением с поперечной силой, положив
-?¦
где F - некоторая, подлежащая определению, величина, которую (как и для
балки Тимошенко) мы назовем площадью сдвига. Но тогда
dEx=-Q—. (8.11)
IGF
Обращаясь к закону Гука для сдвиговых напряжений и деформаций
получаем также
dEx= - j?L-Li(i + fe)flfc. (8 12)
В Приложении В дан вывод формул для касательных напряжений,
развивающихся в криволинейных стержнях. Приведем здесь эти формулы,
разместив их в таблице 4.7. При этом на основании тех же соображений,
которые были использованы при обосновании теории стержней Тимошенко,
сохраним в этих формулах только основной член - аналог формулы
Журавского для прямолинейных стержней.
Таблица 4.7
кривизны
f = е5° ,
blp(l + kzf
1гр Jnb{\ + kz)
Стержни средней
кривизны
T-=^L(l_2fe)
Ы
Ah]^{l-2kz){\ + kz)dz
Стержни малой
кривизны
ы
4 f^-(i+fe)flb.
1 J/2 b
Сопоставляя (8.11) и (8.12), после подстановки в формулу (8.12) для
cEt соответствующих выражений для xS2 из таблицы 4.7, получим общую
формулу для вычисления площади сдвига
F = -A. (813)
И
Получающийся при этом коэффициент формы сечения ц приведен во
второй строке таблицы 4.7. Заметим, что для симметричного сечения,
рассмотрением которого мы здесь и ограничиваемся, интеграл

192 4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть I
-L ъ
при любом нечетном числе и оказывается равным нулю. Если для стержней
средней кривизны учесть также принятую ранее оценку порядка малости
величины (kh)2«l, то окажется, что в случаях стержней малой и средней
кривизны для коэффициента формы сечения ц справедлива та же самая
формула (6 8), которая работает и в случае прямолинейного стержня.
Посмотрим, для примера, чему равняется коэффициент формы ц для
стержня большой кривизны прямоугольного поперечного сечения размерами
bxh, ось которого очерчена по круговой кривой радиуса R. На рис 4.10
показан график зависимости ц = \х.(Щ, построенный для этого случая по
результатам вычислений с приведенными выше формулами
0
2 kh
Рис. 4.10. Коэффициент формы ц для криволинейного стержня
Как видно из этого графика, действительно, при kh = 0 коэффициент
формы сечения равен известному значению ц= 6/5, и близок этому
значению в некоторой окрестности нулевого аргумента.
Теперь имеем возможность выписать выражение для энергии
деформации, аккумулируемой в криволинейном стержне длины /, с учетом
работы напряжений сдвига С этой целью воспользуемся формулами (7.60) и
(7.63), добавив в подынтегральные выражения соответствующий член по
(8.11), представляющий собой работу касательных напряжений.
Стержни средней и большой кривизны
Все формулы, приводимые в этом пункте, записываются применительно к
стержням средней кривизны Но они годятся и для стержней большой
кривизны, если в них произвести замену момента инерции / иа приведенный
момент инерции 1Р.
Итак, имеем
Далее, внутренние силы N, Q, М связаны соотношениями упругости
N=eoEA-xkEI, Q = GFy, M=%EI (815)

4.8 Плоский криволинейный стержень с учетом деформаций сдвига 193
с кинематическими параметрами е0, у и %, которые можно рассматривать как
компоненты вектора деформации, выражаемые через перемещения v, w и 0 с
помощью следующих формул
Eo = v'+kw, у= w'-kv + Q, x = -kv'-k2w + 9'. (8.16)
Подстановка (8.15) и (8.16) в (8.14) позволяет представить выражение для
энергии Ev как функционал от перемещений
Ev(p,w,e) = ^ J (е20ЕА + л2EI + y2GF)ds =
= i \[{v' + kw)2EA + {-kv'-k2w + W)2EI + {w'-kv + S)2GF]ds. (8.17)
Теперь имеем возможность выписать окончательно функционал Лагранжа
для стержня средней кривизны с учетом работы напряжений сдвига
Lv(t>,H7,8) =
i j[(v' + kw)2EA + (-kv'-k2w + B')2EI + (w'-kv + e)2GF]ds -
2 V
| q,vds - | qnwds - j" mQds -[eNnNv] \'0 -[eQnQw] ( -[емпМв] ( .
3.18;
Варьируя функционал Lv(v,w,Q) на множестве кинематически допустимых
перемещений и приравнивая его первую вариацию нулю, приходим к
уравнениям Эйлера и естественным краевым условиям.
Уравнения Эйлера для функционала Lv по (8.18), имеющие смысл
дифференциальных уравнений равновесия в перемещениях для стержней
средней кривизны (уравнений типа Ламе), записываются в виде
Lnv + Lnw + Li30 =
L2\V + L2iW + L239 =
L^v + Ll2w + L339 =
?».
qn,
m.
Состав дифференциальных операторов Lv приведен в таблице 4.8
Lnv =
= -[EA{\+c2)vY+k1GFv
= kEA(l+c2)v'+(kGFv)'
= {kEIv)'-kGFv
= -[kEA(l+ c2)w]'- kGFw'
L21w =
= k2EA(l+c2)w-(GFw')'
L32w =
= {k2EIw)'+GFw'
Li39 =
= (kElQ)'-kGFQ
L239 =
= -t?EIQ'-(GFby
ЬззЭ =
= -iEie)'+GFQ
В этой таблице, как и ранее, обозначено

194 4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть I
с2 =
Рука тянется пренебречь параметром с по сравнению с единицей в этих
уравнениях в случае стержней средней кривизны. Но не приведет ли такая
операция к возникновению противоречий с основными теоремами
энергостатики, как это уже было в случае бессдвиговой теории для
криволинейных стержней?
Так вот, в отличие от бессдвиговой теории для криволинейных стержней,
здесь это вполне допустимо и не приводит к какому либо нарушению
энергетических теорем и принципов. Этот вывод можно обосновать и
формальными выкладками, но на самом деле к нему можно придти и на
основании совсем простых соображений. В самом деле, как это видно из
формул таблицы 4.8 в данном случае пренебрежение параметром с2 по
сравнению с единицей в формулах таблицы 4.8 равносильно всего лишь
простой замене площади сечения стержня А на весьма близкую величину,
равную А1{\ + с1), что, разумеется, допустимо.
Что же касается естественных краевых условий, порождаемых
рассматриваемым функционалом, которые, как и положено им быть,
являются краевыми условиями статического типа, то их формулировка
зависит от выбора множества кинематически допустимых перемещений
&Ъа ИЛИ &и .
Но об этом чуть позже, а сначала придадим всем соотношениям теории
стержней средней кривизны с учетом деформаций сдвига матричную форму.
Векторы напряжений а, деформаций г и перемещений и, характеризующих
напряженно деформированное состояние криволинейного стержня, в данном
случае содержат по три компоненты каждый, а именно,
(8.20)
Все уравнения принимают общую операторную форму, если помимо
(8.20) положить
' ? =
е0
Y
Л.
, и =
V~]
W
_ej
А =
\i *
0
-* ± J
ds \
-к± -к
ds
["?4 0 0"
0 GF 0
[о
0 Eli
2 d
ds]
, C'l =
, Ar =
\h/EA
0 1
L °
d
ds
к
0
0
IGF
0
-*
d
ds
1
0
0
\IEI_
, d
к— + -
ds
*1
ds
-к2
d
ds J
, x =
41
4n
_m\

4.8 Плоский криволинейный стержень с учетом деформаций сдвига 195
Можно проверить, что общая формула (1.6) для матричного
дифференциального оператора Ламе L = AJCA срабатывает и для этого
случая15. Действительно, выполняя формальные матричные преобразования,
получаем, что все шесть компонент оператора L совпадают с данными
таблицы 4.8. Потребуем теперь выполнения основного интегрального
тождества в форме (1.2.17). Имеем
(Ли, а) = {v'+kw, Т) + (-lev + w' + 9, Q) + {-kv'- к2и> + в',М) =
= j" [(г/ + kw)T + (-kv' -k2w + в')М + (-kv + w' + Q)Q]ds =
= j {v[-T'-kQ + (kM)'] + w[kT-Q'-k2M] + e[Q-M']}ds +
+ [v{T-kM)]l +[wQ\\0 +[0Щ'0 = (и,АГ«) + (P, u)r. (8.22)
Из (8.22) видно, что для выполнения основного интегрального тождества
можно принять любой из двух вариантов записи работы контурных сил -
• в варианте а: (р, и)г = [vT]^ + [wQ]^0 + [vj/M]|'0,
• в варианте Ъ: (р, и)г = [vN]^Q + [wQ]^Q + [ЭМ]|^,
причем для криволинейных стержней с учетом деформаций сдвига
обобщенный поворот vj/ определяется формулой
= 9-/го,
(8.23)
что отличается от выражения для обобщенного поворота vj/ = - w',
используемого в теории криволинейных стержней без учета деформаций
сдвига.
Перейдем к формулировке краевых условий в матричном виде. Как теперь
понятно, вектор краевых перемещений и и вектор краевых усилий р для
криволинейных стержней с учетом деформаций сдвига могут быть также
представлены двумя возможными вариантами: в варианте айв варианте Ь.
При этом
ГиГ"
\nQ
[иМ_
' и" =
V
W
У.
\nN~
\nQ
[пМ_
' и*=
V
W
е
15 В рассматриваемых здесь теориях криволинейных стержней считается, что
упругого основания нет, в силу чего применительно к криволинейным стержням
оператор К исключен из общей формулы (1 6)

196 4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть I
Заметим, что точно также, как и для криволинейных стержней без учета
деформаций сдвига, справедливо равенство возможных работ контурных сил
в виде
(Ра,иа)г=(рь,иь)г.
Теперь имеем возможность записать в матричной форме оба варианта
постановки краевых условий, приведя их к общей, определяемой формулами
(1.2.4), форме. Ниже в таблице 4.9 приведены соответствующие матричные
операторы выделения краевых условий, а также операторы перехода к
краевым перемещениям и краевым усилиям.
Таблица 4.9
в»
яв
Е„
шр
и =
;«»
И
"
W
"г*
Q
м
Вариант "а"
краевых условии
|гг 0 0
0 е„ 0
L ° ° ev
|Г
L
еТ 0 0
0 ев 0
0 0 ем
" 1 0 0"
0 1 0
-* 0 1
Ги ° °1
0 п 0
[о 0 п\\
Вариант "h"
краевых условии
'с 0 0
0 ew 0
0 0 ее
eN 0 0
0 eQ 0
0 0 ем
[1 0 0]
0 1 0
|[о 0 lj|
~п 0 -кп
0 и 0
0 0 п
|
Теперь мы имеем матричные выражения для всех необходимых
операторов, так что, пользуясь общими формулами для функционалов
строительной механики, приведенными в главе 2 и главе 3, не сложно
получить запись этих функционалов в покомпонентной форме. При
необходимости эти простые операции могут быть проведены читателем
самостоятельно.
Стержни малой кривизны
В случае стержней малой кривизны исходным пунктом является формула
(7.63). Добавив в подынтегральное выражение элементарную работу
касательных напряжений, получаем
\ЕА EI GF
Ек(*)4Л
(8.25)

4 8 Плоский криволинейный стержень с учетом деформаций сдвига 197
Но для стержней малой кривизны физический закон записывается в виде
N=?oEA, Q=GFy, М=кЕ1. (8.26)
Кинематические параметры ?0, у и к представляют собой компоненты
вектора деформации, выражаемые через перемещения v, w и 8 с помощью
следующих формул
Eo = v'+kw, у= w'-kv + в, к=0' (8.27)
Подстановка (8.15) и (8.16) в (8.14) позволяет представить выражение для
энергии Ек как функционал от перемещений
Ек(Р,и?,в) = 4 J (е.20ЕА + к2Е1 + y2GF)ds =
= 4 J [(*>' + kw)2 ЕА + в'2EI + (и/ -kv + 9)2 GF]ds . (8.28)
Окончательно функционал Лагранжа для стержня малой кривизны с
учетом работы напряжений сдвига выглядит так
LK(v,w,Q) =
= 4 l[(v' + kw)2EA + e,2EI + (w'-kv + e)2GF]ds -
- j q,vds - J qnwds - J mQds - [eNnNv] ( -[eQnQw] \'0-[емпМв] {0. (8.29)
Варьируя функционал LK(v,zv,Q) на множестве кинематически допустимых
перемещений и приравнивая его первую вариацию нулю, приходим к
уравнениям Эйлера и естественным краевым условиям. Уравнения Эйлера
для этого функционала записываются в той же самой операторной форме
(8.19), которая была использована нами для стержней большой и средней
кривизны. Однако состав дифференциальных операторов Lw для стержней
малой кривизны иной. Эти операторы приведены в таблице 4.10
Таблица 4 10
Lnv =
= -[EAvY+k2GFv
Llxv =
= kEAv'+{kGFv)'
U\v =
= -kGFv
Lnw =
= -[kEAw]'-kGFw'
L21w =
= k1EAw-(GFwy
Lnw =
= GFw'
I»9 =
= -kGFQ
L23Q =
?ззЭ =
=-{Eiey+GFe
Переходя к матричной форме, представим векторы напряжений а,
деформаций ? и перемещений и, характеризующих напряженно
деформированное состояние стержня малой кривизны, в виде

198 4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ -
1 N
\q
[м
, ? =
г0
У
.к.
, и =
V 1
W
0J
(8.30)
Все уравнения принимают общую операторную форму, если помимо
^8.30) положить
d
0
0
ЕА
0
0
0
GF
0
0"
0
EI
, с-> =
МЕА
0
0
0
MGF
0
0
0
MEI
, х =
q'~\
Чп
_т\
(8.31)
Легко проверяется, что общая формула (1.6) для матричного
дифференциального оператора Ламе L = А СА срабатывает и в случае
стержней малой кривизны. Действительно, выполняя формальные
матричные преобразования, получаем, что все шесть компонент оператора L
совпадают с данными таблицы 4.10.
Потребуем теперь выполнения основного интегрального тождества в
форме (1.2.17). Имеем
(Ли, а) = {v'+kw,N) + {-ко + w' + 0, Q) + (0', М) =
= J {zi-N-kQ] + w[kN- Q'] + 0[Q-M']}ds + [vN]\0 + [wQ]fo + [0M]||, =
= (u,Ara) + (p,u)r. (8.32)
И вновь из (8.32) видно, что для выполнения основного интегрального
тождества можно принять любой из двух вариантов записи работы
контурных сил -
• в варианте а:
• в варианте Ъ:
(p,«)r=[vTl+[™Qi+[vM]\!0,
(p,u)r=[vN]l+[wQ]l+[<dMi0,
причем обобщенный поворот \|/ определяется той же формулой (8.23).
Вектор краевых перемещений и и вектор краевых усилий р для стержней
малой кривизны с учетом деформаций сдвига могут быть также
представлены двумя возможными вариантами: в варианте айв варианте Ъ в
соответствии с ранее установленными формулами (8.24).
Несложно понять также, что и таблица 4.9 с операторами выделения
краевых условий, а также операторами перехода к краевым перемещениям и

4.8 Плоский криволинейный стержень с учетом деформаций сдвига 199
краевым усилиям применима и к стержням малой кривизны. Единственное,
что нужно принять во внимание для стержней малой кривизны, это
необходимость замены последней строки таблицы 4.9 на строку, показанную
ниже в таблице 4.11.
Таблица 4.11
Дт
в=
'N'
Q
м
Вариант "а"
краевых условий
~п 0 -кп
0 п 0
0 0 п
Вариант "Ь"
краевых условий
~п 0 0"
0 п 0
0 0 п
4.8.3 Оценка изменений в энергии деформации, вносимая
переходом к уточненной теории
Попробуем сравнить по порядку величины те уточнения, которые вносятся в
энергию деформации криволинейного стержня:
• при учете деформаций сдвига;
• при переходе от теории стержней малой кривизны к теории стержней
средней кривизны.
Для удобства сопоставления приведем еще раз выражения соответствующих
энергий, представленных как квадратичный функционал от внутренних сил,
расположив их в таблице 4.12.
Таблица 4.12
Стержни
малой
кривизны
Стержни
средней
кривизны
Без учета
деформаций сдвига
Ей-
2 \\ЕА EI )
Е21 =
=1 t(H+ML)ds
2 J0(^ EI )
С учетом
деформаций сдвига
Е,: =
2 J0^?4 EI GF)
Е12 =
-i \(H+ML+QL)ds
2 J0^ EI GF)
Напомним, что в соответствии с (7.45)
T=N+kM.
Для упрощения будем считать, что криволинейный стержень находится
под воздействием только концевых усилий и/или перемещений, что
8-818

200 4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть I
позволит рассматривать уравнения равновесия (7.30) однородными -
внешней распределенной нагрузки, действующей на стержень нет. Таким
образом,
~N'-kQ = Q, kN-Q'=0, Q-M'=Q. (8.33)
Положим
е12 = Е12-Е„, е21 = Е2]-Еп, е22 = Е22-Е„. (8.34)
Принимая во внимание однородные уравнения равновесия (8.33) из
таблицы 4.12 получим
1 Г 6 _, 1 Г м
ei2=x \^—ds=\ 1
2 KGF 2 J„(
2 J0 GF '
_1 t'2kNM + k2M2 . _i r'2M"M + k2M2 ,
e21 =- ^ - ds =- Jo _ ds . (8.
Если считать, что стержень имеет постоянное сечение,
интегрированием по частям выражение для e2i преобразуется к виду
= 1 А2М2-2М'2^ГМ'М]|
2 J0 ЕА I ЕА J|0'
Сделаем еще одно предположение, что в силу краевых условий
внеинтегральный член в этой формуле обращается в нуль, а кроме того
примем приближенную оценку 2GF и ЕА . Но тогда получим
Но интеграл, стоящий в правой части в формуле (8.36) представляет собой
весьма малую величину по сравнению с основным выражением для энергии
Еп. Действительно, эта добавка может быть оценена так
2 К ЕА 2 !<,{&
=i rf^l+?±?)
2 J0{eA EI
ЕА EI
где безразмерный параметр с2 < (kh)2« 1 определен формулой (7.79).
Таким образом, приходим к важному выводу качественного характера о
том, что уточнения в энергии е12 и е21 примерно одинаковы и
противоположны по знаку, причем е12 > 0, тогда как e2i < 0.
На механическом уровне этот вывод может быть интерпретирован и так:

Литература 201
учет деформаций
сдвига интегрально
понижает
жесткость
системы, а переход от теории стержней малой кривизны к теории
стержней средней кривизны интегрально
жесткости системы.
приводит к
повышению
Этот вывод становится особенно существенным в задачах, где инженера в
первую очередь интересуют именно интегральные характеристики системы,
например такие, как спектр частот свободных колебаний системы.
4.9 Заключительные комментарии к главе 4
В этой главе, равно как и в последующих четырех главах книги,
рассматриваются отдельные классы задач строительной механики с опорой
на вариационные их постановки.
Как видим, вариационный подход позволяет воспользоваться той
строгостью и убедительностью математического формализма, которая была
бы затруднительна без его применения. Недаром именно математический
формализм вариационного исчисления неоднократно в истории строи-
тельной механики способствовал обнаружению некоторых заблуждений,
просочившихся в строительную механику на путях традиционного
обоснования отдельных ее положений. В последующих главах такого рода
примеры встретятся неоднократно. Здесь же сошлемся хотя бы на раздел
4.6.1, в котором обсуждается одна из распространенных ошибок в
постановке кинематических краевых условий для балки Тимошенко.
Аналогичным образом в задаче о криволинейном стержне вариационный
подход позволяет естественным образом обнаружить возможность
формулировки краевых условий в двух вариантах, в обоих физически и
математически непротиворечивых.
И наконец, непосредственная вариационная формулировка прикладных
проблем механики нужна для построения эффективных численных методов
расчетов конструкций. То есть для решения задач, которые возникают в
процессе разработки и совершенствования современного инженерного
программного обеспечения.
Литература
1. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.. Физматгиз, 1979. -
744 с.
2 Снеддон И.Н., Берри Д.С Классическая теория упругости. - М • Физматгиз, 1961
-219 с.
3. Папкович П.Ф. Теория упругости. - Л.-М.. Оборонгиз, 1939. - 640 с.

202 4. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть I
4 Киселев В.А. Плоская задача теории упругости. - М.: Высшая школа, 1976 -151с
5 Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. - М.: Наука,
1965.-426 с.
6. Власов В.З. Избранные труды. Том 1. - М Изд-во АН СССР, 1962. - 528 с
7. Ляв А. Математическая теория упругости. - М -Л.. ОНТИ СССР, 1935 - 674 с.
8. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. - Л • Судпромгиз, 1962. - 431 с
9. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. - М.. Гостехтеориздат,
1953.-544 с
10 Динник А Н Продольный изгиб. Кручение. - М.: Изд-во АН СССР, 1955. - 392 с
11. Болотин В В. Об оценке погрешности уравнений в прикладной теории упругости
- В сб Строительная механика К 80-летию ИМ Рабиновича. - М..
Стройиздат, 1966, с. 297-302.
12 Болотин В.В О сведении трехмерных задач теории упругой устойчивости к
одномерным и двухмерным задачам - В сб Проблемы устойчивости в
строительной механике. - М.: Стройиздат, 1965, с. 166-180.
13. Новожилов В.В. Теория упругости. - Л.- Судпромгиз, 1958 - 370 с
14. Корн Г., Корн Т Справочник по математике для научных работников и
инженеров. - М.: Физматгиз, 1968 . - 720 с.

5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ - часть 2
Теория - чудесная вещь, но ею не прокормить и собаку
Лу Гринзоу. Философия программирования
Windows-95/NT. -С-Пб.. Символ, 1997, с. 150
5.1 Изгиб тонких пластин - теория Кирхгоффа-Лява
Рассмотрим изгиб тонкой пластины толщиной h. Будем считать, что
множество точек, разделяющую пластину по толщине на две равные части,
образует плоскость. Эту плоскость принято называть срединной плоскостью
пластины.
Введем правоориентированную декартову систему координат (X,Y,Z) так,
чтобы плоскость осей (X,Y) была совмещена со срединной плоскостью
пластины.
В теории пластин принято называть нормалью отрезок прямой, все точки
которой имеют одни и те же координаты хиу,а координата z изменяется от
-h/2 до А/2. Для определенности будем называть лицевую поверхность
пластины с координатой z = —h/2 верхней гранью, а поверхность с
координатой z = hl2 нижней гранью пластины. Таким образом, можно
сказать, что срединная плоскость равноудалена (иногда говорят,
эквидистантна) от верхней и нижней граней пластины.
Классическая техническая теория изгиба тонких пластин, традиционно
связываемая с именами Кирхгоффа и Лява, основана на следующих трех
предположениях:
• гипотеза прямых нормалей, согласно которой любая нормаль к срединной
поверхности пластины, проведенная в недеформированном состоянии
пластины, сохраняет свою прямолинейность, свою длину и остается
ортогональной к срединной поверхности, в которую переходит срединная
плоскость в результате деформирования пластины;
• гипотеза ненадавливания, согласно которой плоскости пластины,
параллельные ее срединной плоскости, не взаимодействуют в нормальном
по отношению к этим плоскостям направлениям, иначе говоря,
принимается ст22 = 0;

204 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть II
• гипотеза отсутствия поперечных сдвигов, согласно которой деформации
сдвига у^ и Чуг настолько малы, что работой касательных напряжений X"
htvz в выражении для энергии Е можно пренебречь по сравнению с
работой напряжений а™, а"1 и Xх".
Гипотеза прямых нормалей носит сугубо кинематический характер. На
механическом уровне эта гипотеза утверждает, что нормаль ведет себя как
абсолютно твердое тело при изгибе пластины.
Итак, математически принятые гипотезы эквивалентны следующим
требованиям
?^ = 0, yxz = 0, у^ = 0, 0^ = 0.
Как обычно обозначим и, v, w компоненты перемещений произвольной
точки пластины относительно соответствующих осей X, Y, Z. Поскольку на
основании общих трехмерных геометрических соотношений szz = dw/dz, то
отсюда следует, что функция w поперечных перемещений точек пластины не
зависит от координаты z. Иначе говоря,
w = w(xy). (1.1)
В деформированном состоянии пластины нормаль к ее срединной
поверхности получит поступательное перемещение в направлении оси Z,
равное w, а также повороты 0* и 0У относительно осей X и Y соответственно.
Положительное направление поворотов 0* и Qy определим правилом правого
винта. Отсюда на основании простых геометрических соображений
перемещения произвольной точки пластины с координатами (xjv) могут
быть представлены в виде
u = u0 + zQy, v = v0-zQx, (1.2)
где щ = и(х,у,0) и v0=v(xy,0) - перемещения вдоль осей X и Y
соответственно точек пластины, лежащих в срединной плоскости.
Теперь имеем возможность выписать выражения и для остальных
компонент тензора деформаций. Поскольку ехх = ди/дх, ?yy = dv/dy и
уху = ди/ду + dv/dx, то отсюда и на основании (1.2) имеем
е» = ?о» + z0y„ , Syy = z0yy-zQlc,y, yv = уйху + z(Qy,y - Qx,x), (1.3)
где
?<ta= duo/дх, e0yy= dvo/ду, y0xy= duo/ду + dvo/дх .
Между поворотами нормали Qx и Qy с одной стороны и функцией
поперечных перемещений пластины w(xj>) с другой стороны могут быть
установлены простые зависимости, если воспользоваться условием
отсутствия сдвигов Ус, и у^. Действительно, имеем
ди dw - п 8v dw
уХ2= —+—=&, + w„ = 0, y^= — + — = -Qx + w,y = 0.
dz dx dz dy

* 5.1 Изгиб тонких пластин - теория Кирхгоффа-Лява 205
Следовательно,
Qx = w,y, -ву = ю„. (1.4)
Между прочим, из (1.4) немедленно следует, что
9„, + ew = 0. (1.5)
Последнее означает, что, если ввести в рассмотрение вектор поворота
нормали в = QJX + Qyiy, где ix и iy орты осей X и Y, то соотношение (1.5)
может быть записано в инвариантной к координатной системе форме
div0 = O. (1.6)
Для дальнейшего нам будет удобно ввести в рассмотрение компоненты
тензора кривизны срединной поверхности пластины в ее изогнутом
состоянии, положив
d2w d2w d2w .
Хга 2 > Хуу 2 ' Хлу я а. ' (^-'/
дх ду дхду
гДе %хх и Хуу — кривизны интересующей нас поверхности в плоскостях (X,Z) и
(Y,Z) соответственно, х*у ее крутка. Знак минус в выражениях (1.7)
свидетельствует о том, что кривизна поверхности считается положительной,
если эта поверхность направлена своей выпуклой стороной в сторону
возрастания координаты 2. Учитывая соотношения (1.4), выражения для
компонент тензора кривизны можно записать и так
Опираясь на соотношения (1.3), выразим деформации ?„, ew и уху через
компоненты тензора кривизны. Имеем
?xx = ?<ta+zx«, Syy = e0yy + z%yy, yXy = yoxy+2z%xy. (1.9)
Итак, на основании (1.9) устанавливаем, что в рамках теории изгиба
тонких пластин деформации гхх , Zyy и у^ , а вместе с ними и напряжения сг"*,
<зл' и Х9 изменяются по толщине пластины по линейному закону.
Пусть пластина в плоскости (X,Y) занимает область П с границей Г. Тогда
в соответствии с принятыми гипотезами можно записать выражение для
энергии Е, накапливаемой в пластине в процессе ее деформирования в виде
интеграла
' Г CT"?xx + аУУ?уу + ^Уху
п-
v-dzdVL. (1.10)
В этом месте удобно перейти к тензорной форме записи, для которой
вместо обозначения глобальной координатной системы XJ уместно
индексированное обозначение координат, скажем Хи Х2. Это означает, что
индексы тензоров пробегают значения от 1 до 2. Но тогда (1.10) можно
переписать в виде

206 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть II
E=-J J о»е„йЬ<Ю. (1.11)
Здесь и далее полагается о" = о**, о22 = о"', а" = а2/ =г>3', гп = ?„, г22 = ?уу,
&12 = г21 = Vi Уху .
Обратимся теперь к физическим соотношениям теории пластин.
Согласно гипотезе ненадавливания а*1 = 0, так что закон Гука в данном
случае для изотропного материала принимает вид
e^^-vo»), e^l^-vO, Ь=|^ (1-12)
или в обращенном виде
<^=y^fe* + vsw), ow=^r(^ + ve»), ^ = C?yv. (1.13)
В общем случае анизотропного материала вместо (1.13) будем иметь в
тензорной форме записи1
&J = Cjklzkl, ?„ = Д,*/<Л 0-14)
где тензоры {Cjkl} и {А,*/} взаимнообратны.
Для изотропного материала соотношения (1.12) и (1.13) можно
представить в виде (1.14), если положить
С*н = -?-? [v8'J8kl + — (6*8" + 8*8")],
1-v2 2
Dm = -^[-v5,A/ + (l + v)6,^], (1.15)
где 8,у и 8,7 символы Кронекера.
Формулы для деформаций по (1.9) также перепишем в тензорной форме,
что дает
ец = е0у + г%у. (1.16)
Возвращаясь к выражению для энергии по (1.11) и учитывая (1.14) и 2.16),
получим после интегрирования по z
Е = 1 \] C*z4zMdzdQ. = i jhakls0vsokldn + ± |^С*'хдн<Ю. (1.17)
Само собой разумеется, что используемые здесь коэффициенты жесткости
материала С'и отличаются от аналогичных коэффициентов, применительно к
общему случаю трехмерной задачи теории упругости. Мы не будем здесь
приводить связь между этими двумя наборами коэффициентов, отослав читателя к
специальной литературе, в которой рассматривается теория изгиба анизотропных
пластин См , например, [1]

* 5.1 Изгиб тонких пластин - теория Кирхгоффа-Лява 207
Поскольку деформации е0|у в уровне срединной плоскости пластины
зависят только от тангенциальных перемещений щи v0, а кривизны %ц
только от поперечных перемещений w, то отсюда следует, что энергия
Е распадается на сумму двух независимых функционалов, каждый из
которых зависит от своего функционального аргумента
Е = Ер(и0,г>о) + Е„(и0 , (1.18)
где Ев - энергия изгиба пластины (Bending), а ЕР - энергия ее плоского
напряженного состояния (Plane). Возвращаясь к понятию лагранжева
энергетического пространства, можно сказать, что плоское напряженное
состояние пластины и напряженное состояние, вызванное ее изгибом,
ортогональны по энергетической метрике.
Поскольку в настоящем разделе нас интересует только изгиб пластины
(плоское напряженное состояние рассмотрено нами ранее в §4.3), в
дальнейшем здесь под энергией Е будем понимать именно энергию изгиба
(без использования уточняющего индекса в). Иначе говоря, будем полагать
1 г* „ш ,п 1 rh3
fe^XA*-^
Cjk,wwkldCL.
Если ввести обозначения для коэффициентов тензора анизотропии с
учетом толщины пластины
c*» = h-C>\ dIJkI=^DljU, (1.19)
то выражение для энергии изгиба пластины Е примет вид
Е = \ р'хДн'Ю = \ ри>ЛЛ1 • (1.20)
Для изотропного материала пластины это приводит к выражению
Е = - j?>[w2xx+2vw а 07^ + 10^+2(1 -v)w2>xy~\dQ., (1.21)
где D, так называемая, цилиндрическая жесткость пластины
12(1-v2)
Итак, коль скоро нас интересует здесь напряженное состояние пластины,
вызванное исключительно ее изгибом, имеем право в дальнейшем в
выражениях для компонент деформации по (1.3) и (1.9) отбросить
слагаемые, связанные с тангенциальными перемещениями. Иначе говоря,
вместо (1.3) и (1.9) полагаем
?** = 2%,х, Zyy = - zQx,y, yv = z(%y - Qxa), (1.22)

208 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть II
e«=zX«, еуу= zXyy> 4xy=2zxxy (123)
Напряжения в сечениях пластины после использования закона Гука по
(1 14) или (1.13) запишутся в виде:
• в общем случае анизотропного материала
a,J = zCjklXkl = -zCjk,wM, (1.24)
• для изотропного материала
о~= j^r(x~ + vX>y)z, c^=^r(Xw + vX„)z) r^=j|-x9z. (1.25)
Погонные изгибающие моменты в сечениях пластины определим как
соответствующие интегральные характеристики напряжений, положив
М~= J a^zdz, М»= J o»zcb, Мху=М>*= J x^zrfz, (1.26)
-A/2 -A/2 -A/2
что после интегрирования дает
• в общем случае анизотропного материала
М'=<*,%и = -(*итгИ (1.27)
• для изотропного материала
М" = ?>(х« + vx„) = - Щи>„ + vw,yy),
М№ = D(Xyy + vx„) = - D{w,yy + vw,„),
Mxy= D(l-v)X4. =-?>(l-v)u»^. (1.28)
Будем считать, что внешние воздействия на пластину, распределенные по
области Q и вызывающие ее изгиб, состоят из следующих компонент:
• распределенная по площади срединной плоскости пластины нагрузка
интенсивностью q, действующая в направлении оси Z;
• распределенные по площади срединной плоскости пластины моментные
нагрузки интенсивностью тх и nf, положительное направление которых
определяется правилом правого винта
Эти распределенные внешние моменты создаются заданными на верхней и
нижней гранях пластины нагрузкамир* нр*, как это показано на рис. 5.1, где
эти нагрузки приведены действующими в положительном направлении.
Формальное правило знаков для этих поверхностных нагрузок таково:
считается, что р" положительно, если на грани с положительной
координатой z (на нижней грани) эта нагрузка действует в положительном

5 1 Изгиб тонких пластин - теория Кирхгоффа-Лява 209
направлении оси X. Аналогичное правило знаков применимо и к
поверхностной нагрузке р*.
. Нагрузки на наружных поверхностях пластины = моментные нагрузки в
уровне срединной плоскости пластины
Понятно, что при таком способе реализации моментной нагрузки и при
принятых правилах знаков справедливы следующие формулы
nf = -hpy, my = hpx.
(1.29)
Последняя группа уравнений, которую мы до сих по не использовали, это
уравнения равновесия. Выпишем здесь для удобства систему уравнений
равновесия для трехмерной задачи теории упругости. Применительно к
заданным внешним воздействиям на пластину имеем
5х" „
да"
дх
дтух
дх
дп?
дх
w
ду
да39
ду
дх2"
ду
= 0.
(1.30)
Обратим также внимание на то, что в третьем из уравнении равновесия
отсутствует слагаемое d<fz/dz, что согласуется с гипотезой о нена-
давливании. Кроме того, интенсивность объемной нагрузки, действующей в
направлении оси Z, принята равной qlh , что соответствует равномерному
распределению этой нагрузки по толщине пластины.
Домножим первые два из этих уравнений на z и проинтегрируем их по
толщине пластины. Учитывая (1.26), получим
Ml
+ Мху+ {—zdz = 0, Мухх+Муу+ {—zdz = 0.
'у L дг •' 'у ). dz
\^-zdz = z»z(22 - J ^dz = p*h - Qx -

210 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть II
\^-zdz = т*гГ2 - f jTdz = p"h - Qy = -и* - Q" .
-A/2 & -A/2
Здесь принято обозначение б1 и Qy ДДя погонных поперечных сил,
действующих в соответствующих сечениях пластины
Qx= jx-dz, Q"= \тГ<к, (1.31)
как интегральных (по толщине пластины) характеристик касательных
напряжений t" и т** . Конечно же, оперирование этими отличными от нуля
касательными напряжениями находится в противоречии с гипотезой об
отсутствии сдвигов. Это противоречие проявляется в нарушении
физического закона x*z = Gs^. Такое нарушение физического закона для
касательных напряжений является вынужденной платой за принятие
сформулированных кинематических гипотез теории пластин Кирхгоффа-
Лява, и прежде всего гипотезы прямых нормалей.
В результате проинтегрированные первые два уравнения равновесия
принимают вид
М= + MJ -Qx = -ту, М% +M*-Qy=mx. (1.32)
Что касается третьего из уравнений системы (1.30), то оно после
интегрирования по толщине пластины (без предварительного умножения на
координату z) дает
Q*x+Q"y+q = 0- (1-33)
Продифференцировав первое из уравнений в (1.32) по х, а второе по у,
сложим полученное и исключим поперечные силы с помощью уравнения
(1.33). В результате придем к одному уравнению равновесия, но уже не
содержащему поперечных сил
-М* -2М%, -M^=q, (1.34)
где введено обозначение
q=q-mxy+myx . (1.35)
Определенную формулой (1.35) функцию q уместно именовать обобщенной
поперечной нагрузкой.
Поскольку на основании (1.27) в общем случае анизотропного материала
или (1.28) для изотропного материала пластины моменты М'' представляют
собой линейные агрегаты, сформированные из вторых производных от
функции прогибов w, то после подстановки этих выражений в (1.34)
приходим к разрешающему дифференциальному уравнению четвертого
порядка для задачи изгиба тонкой пластины. Это уравнение содержит в
качестве неизвестных единственную функцию - функцию прогибов w, а по

5 1 Изгиб тонких пластин - теория Кирхгоффа-Лява 211
своему смыслу представляет собой уравнение равновесия в перемещениях,
то есть уравнение типа Ламе, в операторной форме имеющее вид (4.1.7)
Lu= X.
Вектор искомых перемещений и и вектор нагрузок X в данной задаче
представляют собой скаляры, или, если угодно, векторы единичного порядка
и = |[и>]|, * = |[?]|- (1-36)
Осуществив указанные выше подстановки, находим, что в общем случае
анизотропного материала с использованием координатной тензорной
символики разрешающее уравнение задачи принимает вид
(ЛД = 9. (1.37)
Однако особенно просто это уравнение выглядит для пластины,
выполненной из однородного изотропного материала и при постоянной
толщине пластины. В этом случае цилиндрическая жесткость пластины
D= Const. После подстановки (1.28) в (1.34) обнаруживается, что оператор
Ламе представляет собой бигармонический оператор, умноженный на
цилиндрическую жесткость D
?-bw-K?+2w+?)- <u8)
Уравнение изгиба пластины в форме
V2V2w=<f/?> (1.39)
в теории упругости называют иногда уравнением Жермен-Лагранжа2.
5.1.1 Локальный базис в точках границы Г области П
Пусть (ix, iy, iz) - орты введенной ранее правоориентированной декартовой
системы координат (X,Y,Z). Пусть, кроме того, и - единичный вектор
внешней нормали к границе Г области П, которую занимает изгибаемая
пластина, a t - касательный к той же границе Г вектор единичной длины. В
матричной форме имеем следующее представление этих векторов
П = \[Пх,Пу]\\ t=\[tx,ty]\\
где пх, Пу и tx , ty - компоненты этих векторов относительно осей X и Y.
2 Как отмечает СП. Тимошенко ([2], стр. 147) приоритет в получении
бигармонического уравнения для задачи об изгибе тонкой пластины принадлежит
Софи Жермен (Sophie Germain), которая, впрочем, в представленной на конкурс во
Французскую Академию работе допустила ошибку, замеченную и исправленную
входящим в состав жюри Жозефом Лагранжем

212 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть II
Для определенности будем считать, что тройка ортов (и, t, Q является
правоориентированной, то есть
i2 = nxt = ixxiy. (1.40)
В дальнейшем под п понимается локальная координата по нормали к
контуру пластины, для определенности равная нулю на самом контуре и
возрастающая в направлении внешней нормали п. Под я понимается так
называемая дуговая координата, под которой подразумевается длина
контурной линии Г, отсчитываемая от некоторой произвольно назначаемой
начальной точки контура « = 0и возрастающая в направлении, указываемом
вектором t.
Будем говорить, что орты (и, t, 4) образуют локальный базис в каждой
точке границы Г. Нетрудно понять, что в точках границы Г, где образующая
границу Г кривая достаточно гладкая (дифференцируемая), локальный базис
определен однозначно. Однако в точках перелома границы мыслимы два
локальных базиса, поскольку при переходе через перелом границы орты и и t
скачком изменяют направление - происходит разрыв непрерывности этих
ортов как векторных функций от дуговой координаты я.
Обращаясь к Приложению F (раздел F.4), замечаем, что совокупность
введенных параметров (n,s) можно рассматривать как систему орто-
гональных криволинейных координат на плоскости (X,Y), определенную в
некоторой окрестности границы Г и ассоциированную с замкнутой кривой Г.
Следовательно, мы можем воспользоваться всеми формулами,
приведенными в этом приложении. В частности, формулой (F.36)
определяется матрица вращения со
умножение на которую некоторого вектора приводит к повороту этого
вектора на угол я/2. Установленную ранее формулами (1.4) связь между
компонентами вектора поворота в и производными от функции прогибов
пластины w с помощью матрицы вращения со можно записать в виде
9 = -cogradw. (1.41)
Следовательно, геометрически вектор поворота нормали 9 представляет
собой повернутый на угол -я/2 градиент функции w.
Для дальнейшего нам понадобятся также вспомогательные формулы,
позволяющие переходить от дифференцирования функций по глобальным
координатам (X,Y) к дифференцированию по локальным координатам (иД
устанавливаемым в каждой точке границы Г области П. С этой целью
приведем здесь необходимые формулы, заимствованные из раздела F.4.
Имеем

5 1 Изгиб тонких
- теория Кирхгоффа-Лява 213
<5/
/а
3/
/а
где матрица поворота со,,, имеет вид
(1.43)
Формулами (1.42) устанавливается зависимость между первыми
производными от некоторой функции, скажем функции w, в глобальной и
локальной координатных системах.
В Приложении F устанавливается также и связь между вторыми
производными в этих координатных системах. Соответствующие формулы
имеют вид
= nkn,w + (nkt, + n,tk)w + tkt,w ss + ktkt,
-*(V;+";'*)«»,. (1-44)
Стоит напомнить также, что формулы (1.42) и (1.44) справедливы только для
точек пластины, лежащих непосредственно на кривой Г. Для остальных
точек области П аналогичные формулы выглядят несколько сложнее, но они
нам не потребуются и поэтому не выписываем их здесь.
Для дальнейшего полезными окажутся также следующие две матрицы,
составленные из компонент векторов и и t
А„ =
(1.45)
При движении вдоль контура Г матрицы А„ и А, также изменяются. На
и формул (F.52) получаем
SA.
кА„
й4_
(1.47)
5.1.2 Матричная форма основных соотношений теории пластин
Кирхгоффа-Лява
Придадим теперь всем полученным соотношениям теории i
общую матричную форму. Для задачи об изгибе пластин матричное
представление "напряжений" о и "деформаций" с удобно записать в виде
о = \[МХХ, Af, ЛЩТ , ? = |[х«, %уу, 2ь,]|т , (1-48)

214 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть II
тогда как перемещение и и нагрузка X определены формулами (1.36).
Если положить
дх2
д2
ду2
дхду
н-
ду2''
дхду]\
то будут выполненными как геометрические уравнения (1.7), так и
уравнение равновесия в моментах (1.34). Эти же уравнения примут теперь
общий матричный вид
Приведем также матричную форму записи операторов физических
соотношений по (1.27) и (1.28). В случае изотропного материала пластины
имеем
Eh3
12(1-v2)
О О
О 0 2(1+ v)
В общем случае анизотропного материала матрицы С и С~ будут
представлять собой полностью заполненные симметричные матрицы
третьего порядка. Связь между матричным и тензорным представлением
алгебраических операторов С и С-1 дается формулами
dim
Если, следуя общему правилу формирования оператора Ламе по (4.1.6),
провести формальные матричные преобразования, то придем, как и
следовало ожидать, к тому же самому уравнению (1.37) или (1.39).
Изгибающий М"п и крутящий М"' моменты, действующие на контуре
пластины (рис. 5.2) определяются так
Мт = hFrbnt + М^ПуПу + IM^n.ny = Mvn,nj = пТА„о,
М"' = АГиА + M^riyty + M^injy + nyQ = M4n,t, = tJA„a . (1.52)

5 1 Изгиб тонких пластин - теория Кирхгоффа-Лява 215
Справедливость этих формул легко проверяется на основании уравнений
равновесия в моментах для элемента пластины, выделенного в окрестности
ее контура, как это показано на рис 5 2
ум"
Рис. 5.2. Внутренние силы в сечениях пластины вблизи ее контура
При выводе соотношений (1.52) не следует забывать, что показанные на
рис 5.2 моменты являются не полными моментами, действующими на
соответствующих гранях выделенного элемента, а погонными моментами, то
есть приходящимися на единицу длины.
Обратим также внимание на то обстоятельство, что положительный
крутящий момент Л/"', действующий на контуре пластины противонаправлен
орту и, как это видно из рис. 5.2. В то же время положительный изгибающий
момент Л/"" сонаправлен с ортом t3.
Можно определить также изгибающий момент М", как момент,
действующий на контуре в сечении, нормаль к которому совпадает с осью t,
при этом
М"= Mxxtxtx+Myyt),t), + 2Mxytxt),=Mvt,tJ = tJAta. (1.53)
Формулами (1 52), (1 53) определяются компоненты тензора моментов в
осях (n,t) через компоненты того же тензора в исходной глобальной системе
координат Последние же выражаются через производные от функции
прогибов по формулам (1 27) в общем случае или (1.28) для изотропного
материала пластины Но для расчетов пластин с криволинейным контуром
полезно иметь выражения для величин Мт , М" и Мм также и через
3 Правило знаков для этих моментов определено на основании следующих
соображений Положительный изгибающий момент Мт порождается поло-
жительными (растягивающими) нормальными напряжениями стт, действующими в
тех точках наклонного сечения на рис 5 2, которые имеют положительную
координату Z Положительный крутящий момент Мм порождается поло-
жительными касательными напряжениями т* действующими на наклонной
площадке по рис 5 2 В свою очередь, положительное касательное напряжение т*
действующее в точке с положительной координатой Z, сонаправлено с осью t

216 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ- часть П
производные от прогиба по нормали к контуру и вдоль него. Опираясь на
(1.52) и учитывая (1.27) и формулы (1.44), получим
Мт = Mvn,n} = -c*"h7h n.rij =
= -c'lk,n,n\nkntv}ym +(nkt, +nttk)w^m +tkt,w„ +ktkt,w,„ -k(nkt,+n,tk)w>t].
В частности, для изотропного материала коэффициенты суЫ определяются
выражениями (1.15) и (1 19), что после подстановок дает
Мт = -D[w,„„ + \{joM + to „)] (1.54)
В этих преобразованиях учтены известные в тензорном анализе правила
поднятия-опускания индексов с помощью символа Кронекера, например,
а также легко проверяемые равенства
пкпк = п-п = \, Л* = М=1, nktk = n-t = 0.
Аналогичным образом, получаем также
М" = -D[w^ + vw,m + kwj] . (1.55)
Мы = -?>(1 - vHht» -kwj\. (1.56)
Определим поперечные силы Q" и Qy, действующие в сечениях пластины,
как показано на рис. 5 2 и рис. 5.3, а также поперечную силу Q",
действующую на контуре Г
Рис. 5.3. Внутренние силы в сечениях пластины и усилия на ее контуре
На основании формул (1.32) имеем

5.1 Изгиб тонких пластин - теория Кирхгоффа-Лява 217
&=М~+М% +
Q? =м%+м%-
Q = \[Q',Qy]\\
Qn = Qxnx + Qyny = nJQ.
(1.58)
Формула для Q" следует из рассмотрения уравнения равновесия в проекциях
на ось Zara элемента пластины, выделенного в окрестности ее контура
(рис. 5.2).
Зависимости (1.57) можно представить и в тензорной форме записи
Q'=K
(1.59)
Перейдем к матричной форме записи для поперечных сил. С этой целью
введем в рассмотрение вспомогательную матрицу дифференцирования Ad и
вектор внешних моментов т
Т 9 л д Т
дх
о
ду
о — —
ду дх
(1.60)
структуре с матрицей А„. Эти
соответствующего направ-
Заметим, что матрица Ad совпадает ]
матрицы переходят одна в другую :
ляющего косинуса вектора и на операцию дифференцирования по
аналогичной координате, что символически можно представить в виде
A„<z>Ad: пход/дх, пуод/ду.
В результате (1.57) можно записать в следующем матричном виде
Q = Ada-&m,
и, следовательно, Q' = n Q = п Ada - п от. Но на основании (F.37) имеем
t = -п со, поэтому
0й = nJAda + tJm = Щп, +т', (1.61)
где т' - компонента внешнего распределенного по площади момента
относительно локальной оси t
т'=mxtx+myty. (1.62)
5.1.3 Основное интегральное тождество для задачи изгиба
тонкой пластины
Итак, выше было получено основное разрешающее уравнение для задачи
изгиба тонкой пластины в рамках теории Кирхгоффа-Лява - уравнение (1.37)
в общем случае или бигармоническое уравнение (1.39) в частном случае. Для
того, чтобы замкнуть математическую постановку задачи в диф-

218 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ -часть II
ференциальной форме необходимо также сформулировать возможные
варианты краевых условий В целях корректного определения краевых
условий нам нужны будут определения краевых перемещений и и краевых
усилий р, для чего потребуем выполнения основного интегрального
тождества для задачи изгиба пластин
jaJAudQ = juJATadCl + jifpdr. (1.63)
Откажемся временно от матричной формы записи и вновь обратимся к
более естественной для данной задачи координатной тензорной символике.
Несложно заметить, что, записав левую часть (1 63) в тензорной форме и
дважды применив формулу Гаусса-Остроградского, получим
jarAudCl = -JM'Jw>IJdQ. = JM'fajdCl -§M"wjnidr =
а а а г
= - Ja/^иШ -§M"wtJn,dr + j>M'f,wnjdr =
= juJAJadn-$M'JWtJn,dr + $M»wnjdr (164)
Нас сейчас будет интересовать суммарный контурный интеграл J, входящий
в правую часть формулы (1.64), который с учетом симметрии М'1 = М1' и
после несущественной перестановки "немых" индексов можно представить в
виде
J= jtiwM'fa -wjvf'n^dr
Прежде всего, заметим теперь, что из формул (1 42) следует
w,,=w,nn,+u>Jt (!-65)
С помощью (165) и (1 52) легко проверяется следующее полезное
тождество4,
Н7 М'1 п, = w,nMnn + ю*М*, (1.66)
которое подставим в подынтегральное выражение для J.
Образующийся при этом под знаком интеграла агрегат w^M"' можно
заменить на выражение (wM"')^ - wM*, что следует из формулы
дифференцирования произведения В результате получим
J = <j> [-i»J*m + иИМЦъ +Л0 _ (wM"'),, ?Г (1.67)
4 Обращаем внимание на то, что здесь и далее буквы и и г не являются индексами для
суммирования, а используются всего лишь как указание на направление нормали к
границе и и тангенциальное направление t

* 5 1 Изгиб тонких пластин - теория Кирхгоффа-Лява 219
Пусть на контуре Г задана кусочно-непрерывная функция J(s) с разрывом
непрерывности в некотором конечном числе особых точек s = s$ и при этом
дифференцируемая на каждом из участков своей непрерывности, то есть от
одной особой точки до другой Тогда интеграл от производной этой функции
по дуговой координате s, взятый по всему замкнутому контуру Г, будет
равен взятой со знаком минус сумме скачков этой функции по всем особым
точкам, то есть
Полагая в (1 68) J(s) = wM"1 и учитывая непрерывность функции прогибов
w вдоль всего контура, получим
-j>{wM"%dr= ?и>Ц)/>р , (1.69)
г Р
где через Рр обозначены величины скачков крутящего момента М"' при
движении воль контура Г
Рр = Мп% + 0) - М"'(5Р - 0). (1 70)
Суммирование в (1 69) подразумевается по всем особым точкам контура, то
есть по точкам, в которых имеет место разрыв непрерывности момента Мм.
В частности, такой разрыв происходит в местах перелома контура Г. Это
становится понятным, если обратиться ко второй формуле в (1.52), из
которой видно, что крутящие моменты М"' терпят разрыв непрерывности
как раз во всех этих точках - в них скачком меняются компоненты
касательного вектора t
Нам будет удобно записать правую часть в (1 69) под знаком контурного
интеграла, что можно сделать, воспользовавшись функциями Дирака 5(5-^)
2>Ц)Рр = fyw^P^s-s^dr . (1.71)
Р г Р
Несложно также показать, что -w,„= 6,. Действительно, это равенство
следует из цепочки формальных преобразований
-го, „ = ^/gradiv = -(соVgradw = ^ogradw = fT8 = G, (1 72)
Итак, окончательно контурный интеграл J записывается в виде
J = j>\QlMm' + w Л/>, +M™+]Tpp5(s-.s|}) L/\ (1 73)
Возвращаясь теперь к формуле (1.64) перепишем ее в виде
jo7 AudQ = ^итАтп^П + Ыв,Мт + w\Mf,nj+M^ +YJP^(s-s?)\idr,
что совпадает с основной интегральной формулой (1.63), если в качестве
векторов краевых перемещений и и краевых усилий р положить

220 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть II
и = \[w, е,]|Т, p = \[M^nJ+M^+YJP^(s-s^,Af]\T. (1.74)
р
Величину M'jjnJ +М" +^iP^b(s-s^), которую мы обозначим символом
Р
К", как обобщенную силу, энергетически сопряженную прогибу пластины на
контуре w еГ, в теорию изгиба пластин ввел Кирхгофф. Именно поэтому К"
называют обобщенной (или Кирхгоффовой) поперечной силой
К" = Щп, + М;' + ?i>p5(s -sp). (1.75)
р
Выясним теперь, как соотносятся между собой обычная поперечная сила
2"и Кирхгоффова поперечная сила К". С этой целью преобразуем
выражение M''inj. Обращаясь к формуле (1.61), получим
Mln==Q"-m'.
Следовательно
Kn = Q" +М:; -m'+^P^is-s^ . (1.76)
р
Итак, погонная Кирхгоффова контурная поперечная сила отличается от
обычной поперечной силы Q" во всех регулярных точках контура на
производную от крутящего момента М"' и величину т', а в особых точках
контура, в которых крутящий момент М"' терпит разрыв непрерывности,
также и на сосредоточенную в этой точке поперечную силу, равную скачку
крутящего момента Рр = M"'(sp + 0) - M"'(sp- 0).
Определим теперь операторы На и На , переводящие вектор перемещений
и и вектор напряжений о в вектор краевых перемещений и и вектор краевых
усилий р в соответствии с общими формулами (1.2.7)
и = Нии, р = Наа.
Что касается оператора На, то на основании (1.72) и формул (1.42) ясно, что
1
(1.77)
_s_II = II_ А_ Л\
дп]\ ||_ ' дх у ду\
Непосредственно проверяется, что агрегат М'11п1 можно представить в
виде
Mln=tiAda. (1.78)
Далее
's dsK " ' ds ds

* 5 1 Изгиб тонких пластин - теория Кирхгоффа-Лява 221
Обращаясь к формулам Френе (F 52) и формулам дифференцирования (1.47),
находим
—('ТЛ ) = -knJA„ + ktrA, = -кп(Ап +0) А,)
Таким образом, после замены вектора tJ на -я1©, получаем
M" = -nT[k(AK+iaAd + mAm— ]ст. (1.79)
Введем в рассмотрение символический оператор Гр, действующий на
некоторую функцию a(s) и ставящий этой функции в соответствие
следующее выражение 5(5 - 5р)[а(5Р + 0) - a(sp- 0)].
Обращаясь ко второй из формул в (1.74) и учитывая полученные выше
соотношения, приведем теперь в символическом виде оператор На
_ \nJAd-ят[*(41+«4)+аЦ1%у]+Е/'/4.'
Н°~\\ т '
"Л,
(1.8(
переводящий вектор напряжений о в вектор краевых усилий/»
Для дальнейшего полезно также записать выражение для скалярного
произведения контурных сил и контурных перемещений (р,и)г в явной
развернутой форме На основании (1.74) и (1.75) имеем
(р, и)г= j>K"wdr- j>MmWt„dr. (1 81)
5.1.4 Краевые условия для задачи изгиба тонкой пластины
Установленное основное интегральное тождество позволяет немедленно
записать корректные краевые условия для задачи изгиба пластины. Как это
следует из формулы (1.74) для краевых перемещений и краевых усилий, в
каждой точке контура пластины Г могут быть поставлены по два краевых
условия.
В соответствии со структурой краевых перемещений и краевых усилий
полная граница Г области Q может быть разбита на две совокупности
границ, так что
r = rKurw, rKnTw = 0, Г = ГмиГв, ГмпГв = 0, (182)
при этом на Гш и Ге ставятся краевые условия кинематического типа, а на
ГК и Гм статические краевые условия
w = w € Га, 9, = 9, € Ге - кинематические краевые условия,
К" = К е Гк, Мт = М е Гм - статические краевые условия. (1.83)

222 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть II
Здесь 0, - угол поворота нормали к срединной поверхности пластины
относительно локальной оси t, который с помощью (1.72) может быть
представлен в виде
Ql = -w,„ = ~w,xnx-w,yny. (1.84)
В формулах (1.83), как обычно, чертой сверху помечены величины, заданные
на соответствующих участках контура Г.
Понятно, что соответствующие матрицы выделения краевых условий Еи и
Ер имеют вид
114, ОII 114 °1
где ew, е6, ек, ем - характеристические функции краевых условий, каждая из
которых равна единице на тех участках контура, где поставлено
соответствующее ее индексу краевое условие, и равна нулю на остальной
части контура. При этом следует помнить, что для этих матриц справедливы
условия (1.2.5).
Итак, повторим, для теории пластин Кирхгоффа-Лява в каждой точке
контура ставятся по два краевых условия, что находится в полном согласии
со всеми энергетическими теоремами строительной механики, выте-
кающими из основного интегрального тождества.
Исторически, сложилось так, что вопрос о краевых условиях в
технической теории изгиба пластин послужил предметом продолжительной
научной дискуссии. Один из создателей теории изгиба пластин французский
математик и механик Симеон Дени Пуассон, придя к бигармоническому
уравнению Жермен-Лагранжа, сформулировал на свободном от закреплений
крае пластины три краевых условия: (в наших обозначениях) по поперечной
силе Q", по изгибающему моменту М"" и по крутящему моменту М"'. Как об
этом уже было сказано, обнаружению противоречивости такой
(переопределенной) совокупности краевых условий законам энергостатики
механика деформируемого твердого тела обязана другому выдающемуся
механику Густаву Роберту Кирхгоффу. Кирхгофф, исходя из вариационной
постановки задачи, показал [3], что в качестве естественных краевых
условий для функционала Лагранжа в теории изгиба пластин на свободной
от закреплений кромке выступают всего два условия: по изгибающему
моменту Мпп и по обобщенной (Кирхгоффовой) поперечной силе К". В
результате публикации работы Кирхгоффа разгорелась жаркая и одна из
самых продолжительных в истории механики научных дискуссий, в которой
приняли участие многие выдающиеся механики, а сам факт некорректной с
энергетических позиций формулировки краевых условий в технической
теории изгиба пластин получил название "Ошибка Пуассона в теории
пластин".
В ходе этой дискуссии Кельвином и Тетом была предложена
механическая модель, объяснявшая на модельном механическом уровне
допустимость (и даже обязательность) перехода на свободной от

5 1 Изгиб тонких пластин - теория Кирхгоффа-Лява 223
закреплений кромке пластины от обычной поперечной силы к обобщенной
Кирхгоффовой поперечной силе. Преобразование Кельвина-Тета
неоднократно описано в литературе, в том числе и учебной. Поскольку это
лежит несколько в стороне от основного содержания книги, не будем
приводить здесь механическую интерпретацию преобразования Кельвина-
Тета, а сошлемся, например, на [4] и [5], где этот предмет разобран с особой
тщательностью и аккуратностью5.
Здесь мы лишь еще раз подчеркнем, что с позиций вариационных
постановок задач краевые условия Кирхгоффа в технической теории пластин
Кирхгоффа-Лява являются вполне корректными в отличие от краевых
условий Пуассона.
5 Любопытно, что упомянутая дискуссия, неожиданно разгорелась с новой силой в
России в конце двадцатого столетия. Конечно, акценты, да и сам предмет
обсуждения в этой новой дискуссионной вспышке развернулись, перейдя в
плоскость обсуждения противоречий в теории пластин Кирхгоффа-Лява и
сопоставления этой теории с теорией пластин Рейсснера с позиций согласования
соответствующих решений с решениями трехмерной задачи теории упругости Не
вступая в саму дискуссию, пригласим читателя к самостоятельному ознакомлению
и оценке аргументов участников дискуссии, что по крайней мере поучительно.
Приведем здесь список соответствующих публикаций.
1. Гольденвейзер АЛ Общая теория тонких упругих тел (оболочки, покрытия,
прокладки). Изв. АН МТТ, 1992, №3, С. 5 - 17.
2 Васильев В В. О теории тонких пластин Изв АН МТТ, 1992, №3, С. 26 - 46.
3. Жилин П.А. О теориях пластин Пуассона и Кирхгоффа с позиций современной
теории пластин. Изв АН МТТ, 1992, №3, С 48 - 64.
4. Алфутов Н А. О некоторых парадоксах теории тонких упругих пластин. Изв
АН МТТ, 1992, №3, С. 65 - 72
5. Даревский В М. О статических граничных условиях в классической теории
оболочек и пластин. Изв АН МТТ, 1995, №4, С 129 - 132
6. Жилин П.А О классической теории пластин и преобразовании Кельвина-Тета
Изв. АН МТТ, 1995, №4, С. 133 - 139
7. Васильев В.В. К дискуссии по классической теории пластин. Изв. АН МТТ,
1995, №4, С. 140-150
8 Гольденвейзер А Л. О приближенных методах расчета тонких упругих оболочек
и пластин Изв АН МТТ, 1997, №3, С. 134 - 149.
9 Васильев В В. Об асимптотическом методе обоснования теории пластин Изв
АН МТТ, 1997, №3, С. 150 - 155.
10. Гольденвейзер АЛ. Замечания о статье В.В Васильева "Об асимптотическом
методе обоснования теории пластин" Изв АН МТТ, 1997, №4, С 150-158

224 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть П
5.1.5 Важнейшие функционалы для задачи изгиба тонкой
пластины
Функционал Лагранжа
Ранее мы установили допустимую к рассмотрению совокупность внешних
силовых воздействий на пластину, заданных в области Q, которая сводится к
поперечной нагрузке q и распределенным по площади срединной плоскости
пластины моментам nf и rrf.
Рис. 5.4. Внешние нагрузки на контуре пластины
Для полноты картины добавим теперь к этим внешним силам также и
нагрузку, заданную на контуре пластины Г Эта контурная нагрузка состоит
из погонных контурных сил Q с положительным направлением,
совпадающим с осью Z, и погонных контурных изгибающих моментов М'
и крутящих моментов М".
На рис. 5.4 эти внешние силы и моменты показаны действующими в
положительном направлении
Теперь имеем возможность выписать полностью выражение для силового
потенциала П„, как возможной работы всех внешних сил на
соответствующих этим силам перемещениях. Имеем
nt=j(qw + m*Qx +myQy)dn + j>(Qw+M'd, +M"Qn)dr . (1.86)
Здесь 0„ и 0, - компоненты вектора поворота нормали в в осях и и t
Прежде всего, преобразуем выражение для возможной работы
распределенных по области Q нагрузок, выполнив подстановки по (1 4) и
воспользовавшись формулой Гаусса-Остроградского Имеем
f{qw + mxQx + myQy)dQ. = f(qw + m*wy -mywx)dQ. =

* 5 1 Изгиб тонких пластин - теория Кирхгоффа-Лява 225
= Uq-m*y + myx)wdQ. + &(mxny -mynx)wdr.
а г
Вспомним введенное ранее формулой (1.62) обозначение
т' = -т'пу +тупх = mxtx +myty,
а также формулу (1 35) для обобщенной поперечной нагрузки q . Теперь
получим
j(qw + m':Qx+myQy)dn = jqwdn-j,m'ivdr. (187)
Далее, с учетом (1 4) и (1.46) выразим повороты 0, и 0„ через производные
от прогибов w
Q, = -w,„, Q„ = w,s .
После подстановок преобразуем выражение для П8 по (1 86) к виду
n,=lqwdCl-j>m'wdr+$(Qw+M'Bl+M''Q„)dr =
= \qwdn + S[Qw-M'w„+(M"w)tS -M"sw-m'w]dr =
а г
= jqwdn + j>(Kw-M'wtn)dr. (188)
Здесь обозначено
K=Q-m'-M"-^Pf5(s-s9), (189)
р
где Рр представляет собой скачок контурного крутящего момента М" при
движении вдоль контурной координаты s
Рр =А?"Ц +0)-Л/"Ц -0) (1 90)
Функцию K(s), определенную на контуре Г формулой (1 89), назовем
обобщенной (или Кирхгоффовой) контурной нагрузкой. Заметим, что
суммирование в (1.89) производится по всем особым точкам контура с
координатами s = Sp, те. таким точкам, в которых заданный внешний
контурный момент М" терпит разрыв Мыслятся два типа особых точек
• точка s = 5р является особой, если заданная на контуре Г функция М"
имеет разрыв непрерывности в этой точке, хотя сама точка может
располагаться и на гладком участке контура;
• точка s = Sp является особой, если она является точкой излома контура, так
как в этой точке скачком меняется направление действия внешнего
момента М"
Заметим, что в формуле (1 88) контурный интеграл формально берется по
всему замкнутому контуру Г. Однако, если учесть, что внешние (активные)

226 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть П
контурные воздействия К и М' отличны от нуля только на тех участках
контура, где равны единице соответствующие характеристические функции
ек и ем> и вводя упрощенное (безындексное) обозначение М для контурного
изгибающего момента М', то есть полагая
М= М\
перепишем выражение (1 88) для силового потенциала Па в виде
na=jqwdn+j>eKKwdr-j>eMMw„dr (191)
Если, как мы это делали повсеместно, ввести обычное обозначение для
вектора внешних, заданных на контуре, сил р, положив
i> = |[?,M]|\ (192)
то в соответствии с (1.2.5) выражение для силового потенциала П3 примет
общий операторный вид
П,= jXudCl + JEpp-EpHuudr = (X,u) + (Epp,EpH^a)r . (193)
а г
Вспоминая выражение для энергии деформации Е по (1.20) н (1.21),
выпишем функционал Лагранжа L = Е - П8 для изгибаемой пластины
Кирхгоффа-Лява В результате имеем
L-IJC
kldQ.-\qwdQ.-&>(eKKw-eMMwn)dr =
= '/2 (САи, Аи)-(Х,и)-(Ерр, EpHj^r . (1.94)
Множество ^кинематически допустимых полей НДС, на которых ищется
минимум лагранжиана L, состоит из всех полей вида
F= {САи,Аи, и} при Еии=йеГ
В развернутом виде для изотропной пластины это может быть записано и так
~D^W,xx+VW,yy)\ ~W,xx
-D(wtXy+vw3jac)tt,n -w>sy
-Z)(l-v)K7i;o, J [-2^
ejw-w) = 0, ee(-ro„-0,) = 0 еГ
Ранее в главе 2 было установлено, что из условия минимума функционала
L на множестве ^, вытекают уравнение Ламе (уравнение Эйлера для
функционала L) в области Q и статические (естественные) краевые условия
на контуре Г
АтСАи = X eQ, Ер(р-р) = 0 еГ.
В покомпонентной форме это дает уже известные соотношения

5 1 Изгиб тонких пластин - теория Кирхгоффа-Лява 227
(c'J"wykl) i = q eQ , К"- К = 0 е Гк, Млл - М = 0 е Гм (1.95)
Функционал Кастильяно
Для того, чтобы получить функционал Кастильяно, воспользуемся общей
формулой (13 1), положив там К=0-упругое основание отсутствует
Выражение для энергии деформации, представленной как функционал от
компонент тензора моментов, в общем случае анизотропного материала
пластины имеет вид
Е(с) = 'ДС-'с, с) = - \dtjUM,iMudQ.. (1.96)
Для изотропной пластины постоянной толщины это дает
Е((Т)= 1—гJ[(М**)2 -IvM'M» +{M»f +2(l+v)(A/4')2]<to (1.97)
Далее, на основании (1 81) выражение для потенциала кинематических
внешних воздействий записывается в виде
Пк(с) = (ВД,с, Еий)г= §еюК"ЫГ + j>eeMmQ,dr. (1 98)
Точку минимума функционала Кастильяно
К(с) = Е(с) - Пк(с) = - J dljklM'JM"dCl - j> ewK"wdr - j> eeMmQ,dr (1 99)
следует отыскиваться на множестве статически допустимых полей НДС
Поскольку при отсутствии упругого основания функционал Кастильяно
зависит только от "напряжений" M'J, последние должны удовлетворять
уравнениям равновесия в области Q
-А/"-Ж?-Л/?=д еа (1.100)
и статическим краевым условиям на контуре пластины Г
К"=К*ГК, Мт=МеГм. (1.101)
Как это было установлено в общем случае в главе 2, уравнениями Эйлера
для функционала Кастильяно служат условия совместности деформаций,
записанные в усилиях Для задачи об изгибе тонких пластин условие
совместности деформаций представляет собой совокупность следующих
двух соотношений
^-_^21 = 0, .^-?^1 = 0 (1.102)
ду дх дх ду

228 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть П
По существу, условия совместности деформаций (1.102) могут быть
получены, исходя из требования независимости от порядка диф-
ференцирования третьих смешанных производных от функции прогибов.
Если обратиться к операторной форме записи этих уравнений в виде (4.1.8),
то легко обнаружить, что в данном случае оператор совместности S имеет
вид
(1.103)
При этом учтено, что вектор деформаций е для задачи изгиба пластин
определяется второй из формул в (1.48). С учетом (1.49) легко проверяется
также определяемое формулой (4.1.10) требование, чтобы оператор SA
являлся аннулирующим оператором, то есть
SA = 0.
Далее, условие совместности деформаций, записанное в усилиях,
представлено ранее формулой (4 1.12-6), что в нашем случае дает
о А
дх
А о
д
2ду
_ д
2дх
В частности, для пластины постоянной толщины, выполненной из
однородного изотропного материала в покомпонентной форме условия
совместности деформаций, записанные в усилиях, принимают вид
-(l+v)JWJ =
-(l + v)A/J =
(1.104)
Функционал Рейсснера
Приведем также выражение для функционала Рейсснера в задаче об изгибе
пластины Кирхгоффа-Лява. Переходя к покомпонентной форме записи,
получаем
Ии,с) = -J[A/"a7„ +M*wyyy +2M"'wtXy]dCl = -JM'wttdn, (1 105)
(Еыи, Еир)г - Пк(с) =j>emK"(w-ШГ + j>евМт(-и?. -§,)«/Г. (1.106)
Теперь на основании обшей формулы (3 1.4) получим выражение для
функционала Рейсснера в его первой форме

* 5 1 Изгиб тонких пластин - теория Кирхгоффа-Лява 229
Ri(c, и) = '/КС'Ч с) - (An, а) + (Еир, Еии)г+Г\а- Пк =
= J -dijktM'JMkl +M'jwtij + qw\dCl + j>emKn(w-w)dr +
+ je9Mm(-w>n-Q,)dr + j>eKKwdr-j)eMMwtndr. (1 Ю7)
Аналогично может быть получен н функционал Рейсснера в его второй
форме
R2(c,u) = xA{CA<s, с) - (А1 а, и) - (Ерр, Ери)г +П„- Пк =
dljktM'JMkl +Mfo + qw\dn-§ew K"wdr - j> e9MmQ,dr +
J г г
ieK(K-K")wdr- &eM(M-Mm)wndr. C1 m)
¦B
Функционал Геррманна
Как это уже отмечалось в §3 1.1 для постановок ряда прикладных задач, в
которых оператор геометрии А содержит дифференциальные операции
четного порядка, существует и третья форма функционала Рейсснера. Эта
третья форма образуется из первой или второй формы функционала
Рейсснера, формальным переносом части производных с переме-
щений^силий на усилия/перемещения с помощью формулы Гаусса-
Остроградского так, чтобы уравнять порядки дифференцирования усилий и
перемещений
Рассмотрим, например, вторую форму функционала Рейсснера и
преобразуем указанным образом слагаемое -ИТо, и), входящее в выражение
для R2(c,u), перекинув половину производных с моментов на перемещения
Имеем
-ИТо,и)= JM^wdn= -JM^WyJdn+j>M^njwdr.
Поскольку в любой точке контура Г выполняется условие еы + ек = 1, то
контурный интеграл в этом соотношении можно разбить на два интеграла
Это дает
-Итс, и) = - J M'tyjdCl + j> eJtfrjWdr + j> eKM*njWdr.
Подставляя это соотношение в (1 108), приходим к покомпонентной записи
рейсснернана в его третьей форме Итак, имеем

230 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть П
R3(c,u) = J -dl]UM'JMu -M*wtj +qw \dCl-
-§ew{K"w- MfajVftdr - j> e^MmQ,dr +
+ j>eK(K-K" +M*nj)wdr- j>eM(M-Mm)wndr (1 109)
Воспользовавшись формулами (1 75) и (1 70), получим
j>(K" -M^n^wdT = ф[М* +^Рр5(5-5р)]шй?Г =
г ' г ' Р
= ф[Л/;>- {M"'w)Jdr = -j>Mn'wsdr (1 ПО)
После подстановки формулы (1 ПО) в формулу (1 109) н незначительных
преобразований, окончательно приходим к функционалу, который мы
обозначим как Н(с,и)
H(c,u) = J -dljktM'JMk'-M*wtJ +qw\dn + §Mn'wsdr-
- J K"(w-w)dr- J MmQ,dr+ J KwdT- J {M-Mm)wndr (1.111)
Хотя на самом деле этот функционал есть не что иное, как третья форма
функционала Рейсснера для задачи изгиба тонкой пластины, но почти в
таком же виде он был впервые получен и использован как вариационная
основа при построении смешанной формы метода конечных элементов
Геррманном [6], в связи с чем уместно его наименование как функционала
Геррманна н соответствующее этому названию обозначение
Несомненным достоинством функционала Геррманна является то
обстоятельство, что все входящие в его подынтегральное выражение
функции дифференцируются не более одного раза. Это позволяет
предъявлять минимальные требования гладкости, как к аппроксимациям
перемещений, так и к аппроксимациям усилий В последующих публикациях
(см , например, [7], [8]) функционал Геррманна неоднократно был опробован
для целей построения различных вариантов смешанных схем МКЭ в задачах
изгиба пластин и показал достаточно высокую эффективность применения

5.2 Статико-геометрическая аналогия в теории пластин 231
5.2 Статико-геометрическая аналогия в теории
пластин
Хорошо известно, что между задачами об изгибе пластины и об определении
ее плоского напряженного состояния (ПНС) существует тесная связь,
проявляющаяся в так называемой статико-геометрической аналогии.
Но прежде, чем перейти непосредственно к описанию статико-
геометрической аналогии в теории пластин, полезно представить постановку
задачи о ПНС и задачи изгиба через функцию напряжений.
5.2.1 Вектор функций напряжений в теории пластин
Рассмотрим задачу о ПНС пластины в предположении, что объемные силы
отсутствуют. Если же в исходной постановке задачи наличествуют
распределенные по области Q внешние силы, то эту задачу всегда можно
переформулировать так, чтобы объемные силы были исключены, что
приводит к однородным уравнениям равновесия в области Q. Этого всегда
можно добиться, если представить общее решение уравнений равновесия и
уравнений совместности деформаций в усилиях (4.1.12)
Ата=Х, SCxa = 0 еП
в виде суммы общего решения а0 однородных уравнений Ата0 = 0, SCAa0 = О
и какого-либо (произвольного) частного решения т неоднородных уравнений
А1 г = X , SC _1т = 0, то есть полагая
с = Со + т .
Поскольку построение частного решения т обычно не составляет большого
труда, то отсюда следует, что требование, чтобы объемные силы
отсутствовали в постановке задачи, на самом деле не является
ограничительным. В связи с этим будем далее считать, что уравнения
равновесия однородны, то есть X = 06.
Предварительно, в задаче о плоском напряженном состоянии выполним
непринципиальное преобразование, перейдя от напряжений а* к погонным
усилиям N'J, положив
Nx=ha", Ny=hcf, Nxy=hxxy, ат = \[NX,Ny,NV]\. (2.1)
Если обратиться к уравнениям равновесия для задачи о ПНС, то на
основании (4.3.2) и с учетом перехода к погонным усилиям по (2.1) будем
иметь
6 Некоторые возможности отыскания частного решения т в задаче о ПНС пластины
рассмотрены в известной книге Н.И Мусхелишвили [9]. В задаче об изгибе
пластины один из способов построения частного решения указан А И Лурье [10].
9-818

232 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть II
-Ш1-Ш1 = 0, -Ш--1Ш.-0. (2.2)
дх ду дх ду
Введем в рассмотрение функцию напряжений Ф (функцию Эри),
определенную в области Q и связанную с погонными усилиями Nij
формулами
д2Ф д Ф д2Ф
Nx=^-, Ny=^-, Nxy=-^-. (2.3)
ду дх дхду
После подстановок (2.3) в (2.2) убеждаемся, что однородные уравнения
равновесия (2.2) при этом автоматически удовлетворяются.
Переходя к матричной форме записи, в задаче о ПНС имеет смысл ввести
одномерный вектор функций напряжений Ф, положив
Ф = |[Ф]|. (2.4)
В матричной форме соотношения (2.3) можно представить в виде
с = ?тФ, (2.5)
где матричный дифференциальный оператор ST является оператором,
сопряженным по Лагранжу оператору совместности Сен-Венана для задачи
о ПНС
дх дхдуп
Это и неудивительно, так как ранее формулой (4.1.11) нами уже было
установлено тождественное соотношение
AJSJ = 0 .
Подставив теперь в уравнение (4.1.12-й) вместо вектора с его выражение
по (2.5), приходим к разрешающему уравнению задачи в функциях
напряжений. Итак, имеем
M = SC S1 . (2.7)
Определяемый формулой (2.7) матричный дифференциальный оператор
М будем в дальнейшем называть оператором совместности в функциях
напряжений.
Наиболее просто оператор М выглядит в случае однородного изотропного
материала пластины постоянной толщины h = Const. Действительно, в этом
случае несложно убедиться, что для задачи о ПНС оператор М представляет
собой (с точностью до постоянного множителя) обычный бигармонический
оператор, точнее говоря

5.2 Статико-геометрическая аналогия в теории
Вернемся теперь к задаче об изгибе пластины. В данном случае на
основании (1.103), используя формальные правила взятия сопряжения,
будем иметь
2ду 2дх
(2.9)
Становится понятно, что вектор функций напряжений Ф в задаче изгиба
пластины является двумерным вектором
Фт = |[Ф, , Фу]\, (2.10)
и компоненты тензора моментов выражаются через компоненты вектора
функций напряжений Ф по формулам
5Ф„
5Ф„
(2.11)
ду дх 2\ ду дх j
И вновь убеждаемся в том, что однородное уравнение равновесия,
вытекающее из (1.34)
-М^-2М^-М^=0,
автоматически удовлетворяется при представлениях (2.11).
Опираясь на общую формулу (2.7) и выполнив необходимые выкладки,
находим, что оператор совместности в функциях напряжений М для задачи
об изгибе пластины имеет вид
1-
2 + l-vS2
2 ду\
1-v д2
2 дхду
{ 1-v д2
2 дх2
(2.12)
О физическом смысле функции напряжений в задаче о ПНС
Функции напряжений Ф можно и полезно придать некоторый физический
смысл. Начнем с задачи о ПНС пластины.
Пусть функция напряжений Ф является точным решением задачи. Это
означает, что выполняется уравнение У2У2Ф = 0 при удовлетворении всех
краевых условий. Обозначим развивающиеся на контуре Г погонные усилия

234 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть II
как Рх и Ру. В тех местах контура, где в исходной постановке задачи,
поставлены статические краевые условия по (4.3.7), эти величины
определены заранее и равны соответственно Рх = Ир", Ру = Иру. В тех
местах контура, где заданы кинематические краевые условия, под Рх и Ру
понимаются реактивные силы, развивающиеся на контуре пластины. В
любом случае на всем контуре пластины имеем
Nxnx + Nxyny = Px, Nxynx + Nyny = Py еГ. (2.13)
Эти же краевые усилия, будучи записанными через функцию напряжений
Ф, приводятся к виду
д2Ф д2Ф DX д2Ф д2Ф оу
—г-«х пу = Р, пх+—— пу = РуеГ. (2.14)
ду дхду дхду дх
Но функция Ф определена с точностью до линейных членов, поскольку
вместе с Ф решением является и функция напряжений
Ф + сие + Ду + у,
где а, Р и у - произвольные константы. Действительно, добавление этих
членов в функцию напряжений сохраняет справедливость как основного
уравнения У2У2Ф = 0, так и краевых условий (2.14).
Распоряжаясь этими константами по своему усмотрению, всегда можно
добиться того, чтобы функция напряжений Ф и ее первые производные
равнялись нулю в некоторой заранее избранной точке О контура Г. Именно
эту точку О примем за начало отсчета дуговой координаты 5 вдоль контура
Г, так что
дФ дФ
Ф(0) = 0, ^Ч0) = 0, |Ч0) = 0.
дх ду
Пусть некоторая точка S (текущая точка), расположенная на контуре Г,
имеет дуговую координату s. Согласно формулам (F.57) Приложения F,
непосредственно на контурной кривой Г имеем
д _ д д _ д
ds ' дх, ' дп ' дх,
С учетом этих равенств выражения
переписать в виде
ds{dy)
--(¦
ds{
Интегрируя полученные равенства
точки О до текущей точки S, получим
дФ г*
^-(s)=\P'ds = R>
ду Jo
дФ
дх
д _
дх,
: (2.14) для
дФ^
дх,
по
(s).
)-"
д д
г,—+t,—
дп ds
краевых
еГ.
усилий
(2.15)
можем
дуговой координате от начальной
= -fpyds = -Ry ,
(2.16)

* 5.2 Статико-геометрическая аналогия в теории пластин 235
где R" и Ry - проекции на оси X и Y главного вектора R внешней нагрузки,
приложенной на участке контура от точки О до точки S. Дифференцируя
функцию Ф по 5 и используя (2.15) и (2.16), получим
дФ дФ дФ
™ = ™Lt+™t=R*rix + R>'ny = R-n. (2.17)
ds дх ду
Мы можем формально рассматривать участок кривой Г от точки О до
точки S в качестве оси плоского криволинейного стержня, свободного от
закреплений в точке О. Тогда скалярное произведение R-n можно трактовать
как взятую со знаком минус поперечную силу Q, развивающуюся в сечении
этого стержня в точке S, то есть R-n = -Q1.
Вспоминая уравнения Кирхгоффа (4.7.30) для криволинейного стержня,
получим (при отсутствии моментной нагрузки т = 0), что
ds
где М- изгибающий момент в сечении стержня. Следовательно,
дФ „ dM
Интегрируя полученное соотношение от нуля до s, и учитывая, что
Ф(0) = 0, а также полагая М(0) = 0, получаем окончательно
Ф(8)=-М{8). (2.18)
Итак, значение функции напряжений Ф(у) в произвольной точке границы
Г с координатой 5 равняется взятому со знаком минус моменту относительно
этой точки всей краевой нагрузки (как активных, так и реактивных
контурных сил), приложенной на участке контура от начальной точки О до
рассматриваемой точки.
Далее, дифференцируя функцию напряжений Ф по направлению нормали
к контуру Г и учитывая равенства (2.15) и (2.16), получим
™ = ™nx + ™ny = -R%-R^-R-t.
дп дх ду
Но скалярное произведение R-t можно трактовать как взятую со знаком
минус8 продольную силу N, развивающуюся в сечении этого стержня в точке
S, следовательно,
^(s) = N(s). (2.19)
дп
7 Правило знаков для усилий в сечениях криволинейного стержня принимается
согласно рис. 4.7
8 Напомним, что продольная сила в стержне считается положительной, если она
вызывает растягивающие напряжения

236 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть II
Из полученного следует важный вывод о том, что математически решение
задачи о ПНС пластины при заданных на контуре области статических
краевых условиях сводится к поиску бигармоническои в области Q функции
Ф, для которой на границе Г задано значение самой функции по (2.18) и ее
нормальной производной по (2.19).
О физическом смысле функций напряжений в задаче об изгибе
пластины
Обратимся теперь к выяснению физического смысла компонент вектора
функций напряжений Ф для задачи об изгибе пластины. На основании
формулы (2.12) для операторам в задаче об изгибе пластины получаем, что
компоненты векторной функции Ф удовлетворяют следующей однородной
системе уравнений
д2Фх 1 + уд2Ф, 1~уд2фу_0
дх2 2 ду2 2 дхду
\-уд2Ф з2ф„ 1+уа2Ф„
т- г" = 0. (2 20)
2 дхду ду2 2 дх2 К '
На контуре Г на пластину действуют: обобщенная поперечная сила К" и
изгибающий момент Мт , причем9
К" =Mvtin]+ М7 , Мт = M'Jn,nj. (2.21)
Далее, формулы (2.11), связывающие компоненты вектора функций
напряжений с компонентами тензора моментов, можно записать в
следующем тензорном виде
М" = - со* —*- + —'- (й°, (2.22)
2 [дх, дхк )
где со'7- введенный в Приложении F формулой (F.36) кососимметричный
тензор, который мы назвали тензором вращения. Эквивалентность записей
(2.11) и (2.22) легко проверяется непосредственными подстановками.
Учитывая, что в соответствии с формулой (F.39) t, =(o'JnJ и tk =-<в'*и|,
представим теперь краевые усилия по (2.21) через компоненты вектора
функций напряжений10.
9 Для упрощения формул ограничиваемся рассмотрением только гладкого участка
контура Г, не содержащего точек перелома границы
10 Мы пользуемся здесь и в других местах книги по мере необходимости без
дополнительных комментариев формальным опусканием и/или поднятием
индексов у векторов и/или тензоров только для того, чтобы следовать принятому
правилу суммировки по повторяющимся индексам, расположенным на разных

* 5.2 Статико-геометрическая аналогия в теории пластин 237
Начнем с выражения для изгибающего момента Мт на контуре пластины.
Имеем
Далее
2{дх, дхк ) *' ' ds '
МI = — {M]nt) = со —к- + —'-
ds 2ds\ I дх, dxt ,
_}_д\(дФк_ дФЛ \_}_д_( ЗФ^ дФ,Л
~2ds\\ дх, + дхк у" \ ~ 2 &!/' дп +"' ds ) '
Кроме того
,,» 1 д Г 1к(дФк дФ.) „1 1 1к(д2Фк д2фЛ
М\п, = со'* —- +—'- со* \п, =-«'* *- + *- г..
'' у 2&,|_ [ftc, &tJ Jy 2 [&,&, 5xt5xJ'
Но несложно заметить, что
со'*-^- = 0 (/=1,2),
dxkdxt
в чем можно убедиться, расписав этот агрегат с почленным суммированием.
Следовательно,
1 л д2Фк 1 д Г
'' у 2 &&,
hi° {"' дп +t' ds )\~
1 д ( дФк дФЛ
= ~h—~ + пк—- .
2ds\ дп ds )
Суммируя теперь оба слагаемых для К", получим простую формулу,
определяющую Кирхгоффову поперечную силу на контуре через
компоненты вектора функций напряжений
К" = М>, + М~ =—| и, ^ ]. (2.24)
ds\ ds )
Покажем теперь, что если некоторые функции Фх и Фу удовлетворяют как
системе уравнений (2.20), так и краевым условиям (2.23) и (2.24), то вместе с
ними отвечают тем же требованиям и функции F* и Fy
?х = Фх + а-уу, ?у=Фу + Р + ух,
где а, Р и у - произвольные константы. Действительно, добавление
линейных членов не мешает системе уравнений (2.20), так как при взятии
вторых производных от функций Fx и Fy добавленные к Ф, и Ф, линейные
"этажах". Как это известно из тензорного анализа, такая операция допустима с
тензорными компонентами, заданными в декартовой системе координат

238 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть П
члены исчезают. Остается проверить сохранность краевых условий (2.23) и
(2.24). Пусть функции х = X(s) иу= Y(s) служат параметрическим описанием
границы Г. Это означает, что при движении вдоль границы в любой ее точке
— = — =
ds ~'х' ds ~ty'
С учетом полученного имеем
<Щ_ dF^_ д?^_ аФ1_ dY_ dX^_ дФ^
ds ds y 8s '8s ds y ds '8s
H 8s) 8s{
дФЛ 8 . . 8 ( 8Ф,^
' "—(_"Л+"А) =— ",—
8s у у 8s\ 8s ;
поскольку -njy +nytx =-nxnx -nyny =-1. Становится понятно, что краевые
условия (2.23) и (2.24) выполняются также и для функций Fx и Fy.
Распоряжаясь теперь введенными константами а, р и у, всегда можно
добиться того, чтобы в избранной точке О контура /"выполнялись условия
Фх(0) = 0, 4> (0) = 0 , и, (0) ^- (0) = 0.
ds
Именно эту точку О и примем за начало отсчета дуговой координаты 5 на
контуре Г.
Интегрируя теперь выражение (2.24) для К" по дуговой координате от
начальной точки О до текущей точки S, получим
8Ф rs
п —•- = f K"ds = Rz , (2.25)
ds Jo
где Rz - проекция на ось Z главного вектора R внешней нагрузки,
приложенной на участке контура от точки О до точки S.
Вообразим мысленно, что участок кривой Г от точки О до точки S
представляет собой ось плоского криволинейного стержня, свободного от
закреплений в точке О и загруженного силами К", действующими из
плоскости оси криволинейного стержня, а также закручивающими
моментами М"", распределенными вдоль оси стержня.
Рассмотрим элементарный участок такого стержня от сечения с
координатой 5 до сечения с координатой s+ds (рис. 5.5), обозначив при этом
через Мх и Му моменты относительно осей X и Y, действующие в сечении
стержня с координатой s.
Составим для этого участка стержня уравнения равновесия в моментах
относительно осей Хи У соответственно
d-^L = M-tx-Rzt, d-^ = M™ty+Rztx. (2.26)
ds ds
Интегрируя эти равенства от нуля до s и учитывая (2.23) и (2.25), получаем

5.2 Статико-геометрическая аналогия в теории пластин 239
Mx=-((titx+nt)^ds, MY=-\\tt-n,tx)^ds.
Ку,х ,у> ds r V" ,х> 8s
Но, как это несложно увидеть,
fi i/i = i Го ifi = \
tt+nt=\ J , tt -ntr =1 J
,x ,y [0 ifi = 2' ,y ,x [1 if 1 = 2
откуда получаем окончательно
Ф, = ~МХ , Фу = -Мг . (2.27)
Итак, вектор функций напряжений в каждой точке S контура Г совпадает
(с точностью до знака) с главным моментом контурных сил, действующих на
участке границы от нуля до s.
X
Рис. 5.5. Элементарный участок криволинейного стержня
Отсюда вывод: математически решение задачи об изгибе пластины при
заданных на контуре области статических краевых условиях сводится к
поиску в области Q векторной функции Ф, компоненты которой
удовлетворяют системе дифференциальных уравнений (2.20) и для которой
на границе Г заданы значения ее компонент по (2.27).
5.2.2 О статико-геометрической аналогии в теории пластин
Теперь перейдем непосредственно к статико-геометрической аналогии. Для
удобства выпишем еще раз в двух параллельных колонках в таблице 5.1
основные матричные соотношения для задачи об изгибе пластины (ниже
помечается индексом в) и для задачи о ее плоском напряженном состоянии
(помечается индексом Р). Примем во внимание также, что в таблице 5.1
рассмотрен случай изотропного материала.

240 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть II
i .• Изгиб
ов = \[М~, М», М*^
«в = \[%хх, Хуу, 2Xxyf
UB = |[И7]|Т
Фв-|[Ф„ФУ]|Т
Ав =
4 = |[
С
д2
дх2
д2
ду2
-2-*-
дхду
_il _iL _2—"
й*2' ду2' Эхду
Eh3
в 12(1-v2)
5В =
("1 v 0
v 1 0
[о 0 (l-v)/2
Го А _А"
Эх 25у
U 0 -J-
[ду 2дх
LB = Аъ Св^в
х
МВ=5ВС
2 ду
i-v е2
2 дхду
Eh3
12(1-v2)
V2V2
в* ?й3
l-v Э2
2 2 &еу
v2 + 1"ve2
2
е-
ЛВС
ор = |[ Nx, Ny, N^tf
еР = \[ех, в,, у^]|т
иР = |[и,г;]Г
ФР = |[Ф]Г
Аг =
лт =
° &
Уду Гдх
r _ Eh
[1 v 0
v 1 0
[О 0 (l-v)/2_
5р=|К, 4 ~^-1
||_5у2 дх2 дхду\
х
Х/р - Лр Ср Лр - х
"_v4l±v^ _1±v_e2_
2 9у2 2 &ду
_i±^JL _v2+l±iii
2 йиЭу 2 йс2
I
Мр=5рС;15Рт =—vV
Eh

5 2 Статико-геометрическая аналогия в теории пластин 241
Прежде всего, заметим, что матрицы упругости С в этих двух задачах
совпадают с точностью до множителя с2
с2СР=Св, с2 = Н2П2. (2 28)
Далее, если ввести в рассмотрение матрицу Л
0 0 2
0 0 1/2
(2 29)
то обнаруживается, что:
• оператор равновесия А в одной из этих задач с помощью преобразования
с матрицей Л переходит в оператор совместности деформаций 5 в другой
задаче и наоборот. Точнее говоря, имеют место соотношения
Sp= AlA-\ 5в= А]АГ\
4 = ^вЛ, Al = Sf\. (2.30)
Можно сказать и так, что однородные уравнения равновесия в одной из
этих задач переходят в уравнения совместности деформаций в другой
задаче, и наоборот;
• Оператор Ламе ?в в задаче об изгибе пластины с точностью до множителя
совпадает с оператором совместности в функциях напряжений МР в
задаче о ПНС;
• Оператор Ламе ?Р с точностью до множителя совпадает с оператором Мв
при дополнительном условии - при изменении знака у коэффициента
Пуассона v".
Отмеченная взаимность операторов в этих двух задачах известна как
статико-геометрическая аналогия в теории пластин. Она является частным
проявлением более общего случая статико-геометрической аналогии,
известной в классической теории оболочек Кирхгоффа-Лява [11], [12].
Такая взаимность уравнений плоской задачи теории упругости и задачи
изгиба пластины позволяет в некоторых случаях (при отсутствии
распределенных по области Q нагрузок и при определенных краевых
условиях) сводить одну из этих задач к другой задаче.
Рассмотрим сначала краевую задачу для изгиба пластины с чисто
кинематическими краевыми условиями и краевую задачу плоского
11 Кстати сказать, отрицательное значение коэффициента Пуассона не портит
постановку задачи о ПНС пластины, поскольку матрица упругости С
положительно определена при любом значении |v|<l, в том числе и при
отрицательном v

242 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть II
напряженного состояния с чисто статическими краевыми условиями12.
Постановка указанных задач имеет вид
Лвив = ?в, Al<jB = 0, CB?b=Ob<eQ; ив-йв= 0 еГ , (2.31-й)
/*PUp = ?p, ЛрСР = 0, CPEp=OpeQ; Рр~Рр = 0 еГ . (2.31-р)
Выясняется, что задачи (2.31-р) и (2.31-й) математически сводятся друг к
другу Действительно, если записать постановку задачи (2.31-й) в
перемещениях, а постановку задачи (2.3\-р) через функцию напряжений, то
будем соответственно иметь
LBa)=0 efi; w=w, Ш]Л=-в, еГ ,
Л/РФ = 0 eQ; Ф = -М, <5„=JV еГ ,
где М и N представляют собой изгибающий момент и продольную силу в
криволинейном стержне, очерченном по кривой Г, разрезанном в точке О и
подверженном действию заданных на контуре Г нагрузок р~?. Матема-
тическая тождественность этих двух задач очевидна.
Аналогично можно записать операторную постановку краевой задачи для
изгиба пластины с чисто статическими краевыми условиями и задачу для
плоского напряженного состояния с чисто кинематическими краевыми
условиями.
Лвив = ?в , Л1 ов = 0 , СВЕВ = ав eQ; рв-рв=0 еГ . (2.32-й)
/*PUp = ?p, АуО? = 0, CpEP=oPeQ; иР-йр = 0 еГ , (232-/?)
Как это следует из предшествующего изложения, оказывается, что и
задачи (2.32-р) и (2.32-й) также сводятся друг к другу, правда в этом
последнем случае таковое сведение осуществляется при дополнительном
условии: при формальном изменении знака у коэффициента Пуассона в
одной из этих двух задач. В самом деле, если записать постановку задачи
(2.32-й) в функциях напряжений, а постановку задачи (2.3 \-р) в
перемещениях, то будем соответственно иметь
Л/ВФВ= 0 eQ; Фх=-Мх, Фу=-Мг еГ,
12 Здесь мы сознательно отказываемся от словоупотребления первая и вторая
краевые задачи, поскольку такая терминология, хотя и часто используется, но не
является общепринятой Так, например, в работах математиков, начиная с работ
С Г Михлина [13], первой краевой задачей теории упругости обычно называют
задачу с чисто кинематическими краевыми условиями, а второй краевой задачей
задачу с чисто статическими краевыми условиями Аналогичной терминологии
придерживается и Л А Розин [14]. В других работах, в основном у механиков (см,
например, А И Лурье [10], НИ Мусхелишвили [9]), используется терминология с
точностью до наоборот

5 2 Статико-геометрическая аналогия в теории пластин 243
?PUp = 0 eQ ; и = и , v = v еГ ,
где Мх и MY - представляют собой компоненты (относительно осей X и Y)
момента, действующего в сечениях криволинейного стержня, очерченного
по кривой Г, разрезанного в точке О и подверженного действию заданных на
контуре Г силовых нагрузок К" и моментных нагрузок Мт.
Этот последний факт, по-видимому впервые установленный в работах
А.И. Лурье [10, 12] способом, отличным от использованного здесь, по сути
дела отражает совпадение оператора ?Р с оператором Мъ при изменении
знака у коэффициента Пуассона v.
Заметим, что, если исходить из отмеченной статико-геометрической
аналогии, то тот факт, что функция Эри Ф в задаче о ПНС определена с
точностью до слагаемого вида a + fix + yy может быть интерпретирован и
как установление прогиба пластины w с точностью до абсолютно жесткого
смещения waF=a + (Зх + уу, не влияющего на напряженное состояние
пластины. Совершенно аналогично вектор функций напряжений
Ф = |[Фх,Фу]| в задаче об изгибе пластины определен с точностью до вектора
вида |[а - уу, Р + ух]\Т, поскольку этот же вектор является вектором жестких
смещений \[ия ,v^]\T = |[а - уу, р + ух]|т для задачи о ПНС пластины.
Обсуждаемой статико-геометрической аналогии обычно придают такую
трактовку: если в уравнениях равновесия и уравнениях совместности
деформаций произвести замену функций по следующей схеме подстановок
Ер —> Лав , ?в —> ЛсР ,
Л 'ер <- ав , Л"'ев <- Ор , (2 33)
то уравнения равновесия А о = 0 в одной из этих задач перейдут в
уравнения совместности деформаций 5е = 0 в другой задаче И наоборот,
уравнения совместности в любой из этих задач переходят в уравнения
равновесия в другой задаче.
Собственно говоря, если в (2 33) символы подстановок понимать
формально как равенства, то тогда и приходим к установленным выше
соотношениям (2.30). Следствием подстановок (2.33) является взаимное
соответствие (в определенном смысле) функции перемещений в одной из
этих задач функциям напряжений в другой задаче
ив О Фр, Up <-» Фв. (2-34)
5.2.3 Деформационные граничные условия в теории пластин
Как это видно из всего предшествующего изложения, краеугольным камнем
всех построений вариационных постановок задач строительной механики
является основное интегральное тождество (1.2.19), которое мы здесь
перепишем в виде

244 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть II
(Ли, о) = (и, Ата) + (Наа, Нии)г. (2.35)
Контурное скалярное произведение (Наа,Нии)г, в иных обозначениях
записываемое как (р, и)г, на механическом уровне интерпретируется как
возможная работа Аг контурных сил (активных и реактивных) р = Наа на
соответствующих этим силам контурных перемещениях и = Нии.
Аг=(р,«)г. (2.36)
Как это было показано ранее, множители этого скалярного произведения
участвуют в формировании краевых условий.
Предположим, что можно иначе скомбинировать это выражение, то есть
сформировать иные множители, сохраняя саму величину контурного
скалярного произведения, и значит, не нарушая основного интегрального
тождества, положив, например,
(р, и)г = (а, Ь)г,
где вектор а не совпадает с Наа, а вектор Ъ отличен от Нип . Но тогда ничто
не мешает нам отождествить вектор а с некоторой обобщенной контурной
силой, а вектор Ъ с энергетически сопряженным этой обобщенной силе
обобщенным контурным перемещением. Точнее говоря, будем полагать, что
а = Нав, Ъ = Ньи ,
причем операторы На и Нь отличны от операторов На и Ни .
Но иное представление контурного скалярного произведения позволяет и
иначе сформулировать граничные условия, причем все требования теоремы
Кирхгоффа о единственности решения задачи сохраняются. Все, что
требуется от краевых условий, это задание на любом участке границы Г по
каждой г-ой компоненте этих двух векторов: или силовой компоненты а',
или кинематической компоненты Ь, (по принципу исключающего "или")13. С
одним из примеров подобного рода неоднозначности в представлении
контурного скалярного произведения мы уже сталкивались в главе 4, когда
рассматривали возможные варианты постановки краевых условий для
криволинейного стержня.
Оказывается, что в задачах теории пластин всегда имеется возможность
представить рассматриваемое контурное скалярное произведение (а, Ь\ так,
что вектору обобщенных контурных сил а может быть придан смысл
некоторого вектора усилий в криволинейном стержне, очерченном по
кривой Г. Выяснение же механического смысла вектора Ь приводит к
выводу, что его компоненты суть параметры, характеризующие деформацию
13 Существенным здесь является требование, чтобы соответствующие алгебраические
операторы выделения краевых условий Еа и Еь представляли собой диагональные
матрицы, на главной диагонали которых расположены нули и единицы, причем эти
матрицы должны быть связаны условиями Еа + Еь = I, Е„ЕЬ = О.

5 2 Статико-геометрическая аналогия в теории пластин 245
этого криволинейного стержня. Близкие по смыслу выводы справедливы и
для трехмерной задачи теории упругости [15].
В результате приходим к, так называемым, деформационным граничным
условиям.
Итак, будем рассматривать контур Г в качестве оси криволинейного
замкнутого стержня. Выберем на контуре Г произвольную точку О, которую
назначим за начальную точку при отсчете дуговой координаты 5.
Пусть совокупность контурных сил р, приложенных к криволинейному
стержню на участке контура Г от отсчетной точки О до текущей точки S с
дуговой координатой 5 образуют главный вектор этих сил R и главный
момент М
Деформационные граничные условия в задаче о ПНС
В случае задачи о ПНС пластины главный вектор R представляет собой
двухкомпонентный вектор , лежащий в плоскости (X,Y)
R = \[R*,Ry]\T. (2.37)
Главный момент М сам по себе в задаче о ПНС нам не потребуется, вместо
него в дальнейших построениях нас будет интересовать момент М,
представляющий собой изгибающий момент, подсчитанный в сечении S
плоского криволинейного стержня, разрезанного в точке О Это будет
момент всех сил, приложенных на участке криволинейного стержня от точки
О до точки S, относительно текущей точки S.
Компоненты главного вектора сил Rx, Ry , будучи спроектированными на
оси ии/, образуют поперечную Q и продольную ./V силы в этом же сечении
криволинейного стержня
Q = -R-n=-R*nx-Ryny, N=-R-t = -Rxtx-R% (2 38)
Очевидно, что
R(s) = fpds+R(0). (2.39)
Далее, работу A^s) контурных сил, распределенных на участке границы
от точки О до точки S, в задаче о ПНС можно представить в виде
АК*) = (р ¦ uds = (— ¦ uds = \R ¦ и]Г - (r -—ds (2.40)
Jo Jo ds l0 Jo ds
Представим вектор краевых перемещений и его разложением по осям
локального базиса
u = unn + u,t. (2 41)
Тогда, учитывая формулы Френе (F.52), получим

246 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть II
du (dun , ) (du, , )
л-Ы-^гЫ^г <2А2)
Но на основании формул (4.7.16) и (4.7.26) для продольной деформации е0 на
оси криволинейного стержня и для угла поворота 0 его поперечного сечения,
заменяя принятые там обозначения на принятые здесь по схеме и, —> г> и
и„—>а>, получим
Q=-^ + ku,, е0=^ + Ь„, (2.43)
— =-Qn + e0t. (2.44)
ds
Теперь имеем
Ar(s)=[R-u]\so + j\QR-n-e0R-t)ds=[R-u]\So + j\-QQ + e0N)ds =
= [R.u]\so + jS(-Q^i + e0N]ds. (2.45)
Здесь мы воспользовались одним из уравнений Кирхгоффа (4.7.30) для
криволинейного стержня, связывающего поперечную силу с изгибающим
моментом (в нашем случае в этом уравнении следует положить т = 0).
Воспользуемся еще раз формулой интегрирования по частям
Ar{s) =[R-u]\so -[ЭМ][ + j\KM + e0N)ds , (2.46)
где к - параметр изгибной деформации криволинейного стержня малой
кривизны, который на основании соответствующей формулы из таблицы 4.1
представляет собой производную от угла поворота 0
¦-?• (2.47)
ds
При выводе формулы (2.46) для A^s) в неявной форме предполагалось, что
кривая Г на участке от точки О до текущей точки S является гладкой, то есть
не содержит точек перелома.
Предположим, что область Q односвязна, следовательно, огра-
ничивающий ее контур Г представляет собой единственную замкнутую
кривую. Пусть вся кривая Г длины L состоит из q гладких участков,
разделяемых точками перелома с координатами sp, так что весь контур Г
представляет собой объединение этих гладких участков
Г~0ГГ (2.48)

5 2 Статико-геометрическая аналогия в теории пластин 247
При этом считается, что участок кривой Гр простирается от точки с
координатой sp ] до точки с координатой sp Таким образом точка О также
формально включена в число точек перелома контура Последний участок
контура начинается в точке с координатой sqA и заканчивается в точке с
координатой sq = L, то есть по существу в точке О
Формулу (2 46) можно применить теперь к каждому из q гладких участков
контура, причем на участке кривой Гр выражение для работы всех
контурных сил А^, действующих на этом участке, записывается в виде
A^ = JSp (KM+e0N)ds+[R-u]\J ~[QM]\J
Vi Vi sp-i
В этой формуле под R, М и N понимаются соответствующие величины,
подсчитанные для криволинейного стержня, свободного от закреплений в
точке 5 = 0, то есть с наращиванием при переходе от одного гладкого участка
контура к другому
Суммируя работу контурных сил по всем участкам, и учитывая
очевидную непрерывность функций Л,Ми и находим14
AKI) =j>(KM+e0N)ds + [R]0 -и(0)-[М]0[9]0 -§М(5р)[9]р (2 49)
Г Р=1
В этой формуле обозначено
• [R]0 = R(L) - R(0) скачок векторной функции R в нулевой точке контура
при обходе этого контура по замкнутой траектории Г,
• [9]р = 9(*р+0) - 9(sp-0) скачок функции 90) при переходе через угловую
ТОЧКу Sp ,
• [Що = M(L) - М(0) скачок момента при полном обходе контура Г
Если обозначить символом Р главный вектор всех распределенных по
области Q внешних сил, а символом М0 момент этих же сил относительно
точки контура с координатой s = 0, то из условия равновесия тела в целом
должно быть выполнено
[R]o = P, [М]о = М0. (2 50)
В частности, при отсутствии объемных сил эти скачки должны равняться
нулю
[R]o = 0, [М]0 = 0 (2 51)
14 Непрерывность силовых факторов йиМво всех точках контура, за исключением,
возможно, нулевой точки, следует из предположения, что в составе контурных сил
р сосредоточенные воздействия не включаются Непрерывность же вектора
контурных перемещений и тождественна требованию неразрьшности контурной
линии Г в процессе деформирования системы

248 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть II
Итак, контурный интеграл в основной интегральной формуле (2 35) в
нашем случае может быть записан и так
(ЯввДл)г=^(кА/ + 80ЛГ)<&+[Л]0 -u(0)-[M]0[Q]0 -^ГМЦ,)[9]Р. (2.52)
Отсюда сразу же вытекает, что краевые условия в задаче о ПНС могут
быть записаны и в следующей форме
е0=ё0еГе, к = кеГк, N = NerN, М=МеГм, 2 53)
где чертой сверху, как обычно, помечены заданные внешние воздействия
Понятно, что разбивка всего контура на участки Ге, Гк, TN, Гм должна
удовлетворять условиям
Г=Г^ГМ, Гег^Гм=0, Г=ГкиГм, ГкпГм=0. (2 54)
Не следует также забывать, что при постановке краевых условий по
варианту (2 54), выполняемых на гладких участках контура, в точках
перелома контура в соответствии с (2.52) должны быть заданы и скачки
углов поворота [9]р Такой скачок задается только в тех точках sp, которые
принадлежат участку границы Гк. На участках границы Гм эти скачки
определяются в результате решения задачи.
В случае неодносвязной области Q полная граница Г состоит из
нескольких замкнутых кривых Г, (г = 1, ,т), где т - размер связности
области Q, и постановка деформационных граничных условий усложняется
Это связано со следующими двумя обстоятельствами-
• для многосвязной области контурный интеграл в формуле (2 52) должен
пониматься как сумма интегралов по всем замкнутым контурам, а
внеинтегральные члены следует также записывать отдельно по каждому
из замкнутых контуров и суммировать Понятно также, что в этом случае
в формулах (2 50) и (2 51) под [Щоп [М]0 следует понимать сумму
соответствующих скачков по всем замкнутым контурам,
• в случае многосвязной области потребуется задание и взаимных
перемещений отдельных контуров как жестких тел Это объясняется тем,
что такое взаимное перемещение контуров без деформаций самих
контуров порождает деформации в области Q.
Краевые условия в форме (2 53) называются деформационными краевыми
условиями в задаче о ПНС пластины На механическом уровне эти краевые
условия определяют деформацию контура области посредством кине-
матических параметров е0 и к, а также силовые воздействия на контуре
посредством статических параметров ./V и М

* 5 2 Статико-геометрическая аналогия в теории пластин 249
Деформационные граничные условия в задаче изгиба
пластины
В задаче об изгибе пластины на ее контуре Г на пластину действует вектор
краевых усилий р = \[К", М""]\Т В этой задаче нас напротив будет
интересовать в первую очередь главный момент М всех контурных сил,
действующих на участке криволинейного контура от начальной точки О до
текущей точки S. Этот момент может быть представлен в форме
двухкомпонентного вектор-момента
М= \[МХ, Му\\. (2.55)
Главный вектор R контурных сил, действующих на участке границы от
точки О до точки S, является однокомпонентным вектором сил,
направленным вдоль оси Z, так что
R = \[Rz\\. (2.56)
Компоненты главного вектор-момента Мх, MY, будучи
спроектированными на оси и и t, образуют изгибающий момент М„ и
крутящий момент М, в этом же сечении криволинейного стержня
M„=M-n=Mxnx + MYny, Mt = M-t = Mxtx + MYty. (2.57)
Очевидно, что
Rz(s)=jSK"ds +Rz(0). (2.58)
Кроме того, на основании (2.57) и (2.26) имеем
dM, dMx dMr , w , жж „„„ , ^
'- = -tx + -t -knxMx -knMY = M -kM„,
ds ds ds
dMn dMx dMY , w , ,, n , ,,
= ±.nx + -nv +ktxMx +ktyMY = -Rz + kM,.
ds ds ds
Следовательно,
dM dM
Mnn =—±+kM„, Rz= fkM,. (2.59)
ds ds
Далее, работу A^s) контурных сил, распределенных на участке границы от
точки О до точки S, в задаче об изгибе пластины можно представить в виде
Ar{s)= ((K"w-M""w„)ds= f'p-a;-^ ~кМ w Ids,
V ' > Jo[ ds ds ' " '"J
что после интегрирования по частям дает
Ar(s) =[Rzw]f0 -[M,w„]|S - f [Rzw<s -M,wtsn +kMnwn)]ds

250 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть II
После подстановки сюда выражения для Rz по формуле (2.59) и повторного
интегрирования по частям получаем
AKs) =[fizw][ -[A/,z»J[ +[Ч,н>,][ +
+j [-A/„(w„ +kw„) +M,(w,„ -kwt,)]<& (2 60)
Внеинтегральные члены этой формулы, зависящие от моментов М„ и М,,
преобразуем, воспользовавшись формулами (2 57) и (F 57) Имеем
М.да, -Mtwt„ = (Мхпх +MYпу)(wjx + wtyty)-
-{Mxtx + MY ty){(wxnx +w,yny) = Mxwy -MrwtX, (2 61)
и в такой форме становится понятным, что это выражение непрерывно при
обходе контура, в том числе и при переходе через точки перелома
Проводя рассуждения аналогично задаче о ПНС пластины, полную работу
контурных сил по всем участкам стержня окончательно имеем возможность
записать в виде
ML) = Y,{RZ\ w(sp )+[Mx]0wiy (0) - [MY ]0 w, (0) +
+ j>(MnKn +M,Kl)ds , (2 62)
где введены обозначения
кп = -wss - kwn , к, = wt,„ - kwtS (2 63)
Можно показать, что величины к„ и к, представляют собой параметры
деформации изгиба и закручивания плоского криволинейного стержня,
работающего из плоскости кривизны
На дальнейших деталях не останавливаемся - схема последующих
рассуждений полностью аналогична случаю ПНС пластины
5.3 Изгиб пластин средней толщины - теория
Рейсснера
Известно, что классическая теория Кирхгоффа-Лява удовлетворительно
описывает напряженное состояние пластины при ее изгибе в том случае,
когда относительная толщина пластины hIL, где L характерный линейный
размер пластины в плане, является величиной, существенно меньше
единицы При увеличении толщины пластины h погрешности этой теории,
порождаемые, главным образом, слишком жесткими кинематическими
ограничениями гипотезы прямых нормалей Кирхгоффа-Лява, имеют
тенденцию роста. В этой связи приходится переходить к постановке задачи
изгиба пластин как трехмерной задачи теории упругости Применительно к

5 3 Изгнб пластин средней толщины - теория Реисснера 251
изгибу пластин в рамках постановки пространственной задачи теории
упругости обычно говорят о теории толстых плит, хотя под этим термином
иногда понимают решения и не выдержанные до конца в стиле
пространственной задачи теории упругости.
Имеются и промежуточные варианты теории, относящиеся к пластинам
так называемой средней толщины. В разное время разными авторами были
построены различные варианты теории изгиба пластин средней толщины15,
большинство из которых имеют целью в той или иной степени уточнить
положения классической теории Кирхгоффа-Лява, но общим для этих
теорий остается их двумерность, то есть дифференциальная зависимость
силовых и кинематических параметров только от двух координат, что уже
сильно упрощает задачу Конечно, указать более или менее четко границы
между тонкими пластинами, пластинами средней толщины и толстыми
плитами не представляется возможным. Как это справедливо в отношении
любой классификация качественного характера, границы между этими
понятиями размыты, не имеют четкого очертания
Мы остановимся на одном из простейших (и, по-видимому, наиболее
распространенном) вариантов теории пластин средней толщины,
принадлежащем Э. Рейсснеру16. По отношению к теории Кирхгоффа-Лява
рассматриваемый здесь вариант рейсснеровой теории занимает примерно
такое же положение, каковое занимает теория изгиба балок Тимошенко по
отношению к классической теории балок Бернулли-Эйлера Точнее говоря,
в основание излагаемой ниже теории будут положены те же принципы
ослабления гипотезы прямых нормалей, каковые были приняты нами при
переходе от теории балок Бернулли-Эйлера к теории балок Тимошенко
В основу рассматриваемого варианта теории Реисснера положим
уточненное выражение для энергии деформации изгибаемой пластины,
вызываемое дополнительным членом, учитывающим работу касательных
напряжений t*z и туг. Иначе говоря, вместо (1.10) положим
rh/?(a*xe +аууе +ххуу ixzyr,+Tyzy Л
Е = J Д 2" Y-+ Y"2 "'jdutCl • О 1)
Прежде всего, остановимся на вопросе о распределении касательных
напряжений т*2и iyz Напомним, что в соответствии с формулами (1.25) и
(1.28) напряжения в произвольной точке с координатами (x,y,z) изгибаемой
пластин определяются следующим образом
(fX_ \2М™ = ^_ 12М" _ %ху_ \2Мп =
/г3 /г3 /г3
Процесс построения различных теорий пластин средней толщины и толстых плит
нельзя считать завершенным, поскольку он продолжается и в настоящее время
Надо сказать, что сам Э Рейсснер неоднократно возвращался к задаче изгиба
пластин, так что с его именем на самом деле связан не один, а несколько
конкурирующих вариантов теории

252 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть II
Что же касается касательных напряжений т*г и xyz, то, если строго
следовать третьей из сформулированных в начале §5.1 гипотез и исходить из
закона Гука, эти напряжения следовало бы положить равными нулю
т" = Gyxz = О, xyz = Gyyz = 0. (3.3)
В этой связи, сохраняя выражения (3.2), примем теперь гипотезу прямых
нормалей в ослабленной формулировке, считая, что нормаль остается
прямолинейной и после деформации, но она не обязана сохранять
перпендикулярность по отношению к изогнутой поверхности пластины.
Поступая практически так же, как и при выводе формулы Журавского для
касательных напряжений в теории изгиба балок, попытаемся извлечь
выражения для интересующих нас касательных напряжений, исходя из
уравнений равновесия
да"* | дх1" | 8хХ2 _
дх ду dz
^L+^l+^L = o. (3.4)
дх ду dz
После подстановки сюда формул (3.2) и интегрирования этих уравнений по
координате z, получим
6ЛС 2 Ш7у 2 z_ Ш7у 2 6MJ 2
JTZ /^Z+Cl' JF~Z h^z+Cl'
где C\ и C2 - константы интегрирования.
Учитывая условия равенства касательных напряжений х** и xyz на лицевых
поверхностях пластины (при z = +И/2) заданным на этих поверхностях
касательным нагрузкам /и/ соответственно (рис. 5.1), определим эти
константы, что приводит к следующим формулам
„ /.,„ ..„чЗ(/г2-4г2) х yz / ,_чЗ(/72-4г2) ,
1¦ =(М +MZ)— :—-+р , ху =(МУУ +М^\— —- + ру
Но на основании (1.32) и (1.29)
M™+M^=Q*-m\ М^+М* =Qy+mx, rr? = -htf, n? = hpx,
так что окончательно получаем следующие выражения для касательных
напряжений
3(/,2-422) (^п
Итак, в соответствии с полученным, касательные напряжения xxz и
т^ распределены по толщине пластины по закону квадратной параболы.

* 5.3 Изгиб пластин средней толщины - теория Рейсснера 253
Понятно, что (3.5), как это уже отмечалось, противоречит соотношениям
(3.3), вытекающим из закона Гука. Понятно также, что это противоречие
является вынужденной платой за принятие гипотезы прямых нормалей.
Из формул (3.5) видно, что касательные напряжения xxz и
туг складываются из суммы двух величин, одна из которых пропорциональна
соответствующей поперечной силе, а вторая внешней моментной нагрузке.
Но если интересоваться интегральной по высоте сечения h характеристикой
этих касательных напряжений, то получается, что второе слагаемое
(пропорциональное моментной нагрузке) дает нулевой вклад в этот
интеграл, так что в общем виде интегралов в формуле (1.31)
Qx= j Iх2 dz, Qy = j t>"dz ,
ничего не изменится, если под знаком интегралов здесь понимать только ту
часть касательных напряжений т*2 и туг, которая пропорциональна
поперечным силам.
Далее, на основании формулы (1.2) и принимая там щ = 0, v0 = 0, что
соответствует исключению плоского напряженного состояния пластины,
получим
u = zQy, v = -zQx, (3.6)
что приводит к следующим выражениям для углов сдвига
ди dw dv dw п .. _
dz dx dz dy
Для того, чтобы, если и не устранить отмеченное выше противоречие, но, по
крайней мере, смягчить его, будем считать, что формулами (3.7)
определяются всего лишь некоторые усредненные по толщине пластины
деформации сдвига, которые мы обозначим ух и уу без дополнительного
индекса г . На геометрическом уровне это и будет означать, что нормаль
остается прямолинейной после деформации пластины, но отклоняется от
прямого угла по отношению к ее срединной плоскости.
Эти средние по толщине пластины сдвиги найдем из условий
энергетической эквивалентности касательных напряжений Xх2и т^и их
суммарных характеристик Q? и ?У . С этой целью подсчитаем ту часть
энергии деформации, приходящуюся на единицу площади срединной
плоскости пластины, которая отвечает работе касательных напряжений Xх* и
х^, и которую мы обозначим как ех. Воспользовавшись теоремой о среднем в
интегральном исчислении, получим
6т = 2 L/2 ^Ух2 +xyZyy*)dz = 2Ух L/2 хХ2(к+2Уу L/2 ^^ =
= \(О'Ух+0УУу)-

254 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть II
Далее, средние по толщине пластины сдвиги ух и уу естественно связать
пропорциональной зависимостью с интегральными характеристиками
касательных напряжений, то есть с поперечными силами
Y,=-^, У=^, (3.8)
U Ghx h Ghy К '
где hxnhy- некоторые величины, имеющие размерность длины, которые мы
назовем толщинами сдвига.
После подстановки (3.8) в выражение для удельной энергии ех получаем
е = 1[Ш1+Ш1
т 2 \ GK Gh
(3.9)
В то же время
1 f"l2( к
= I rh,2\(Qx)2 9(h2-4z2)2 | {Q*f 9(h2-4z2)2'
2J-*/2[ G
= l(6(Q')2 | 6(Qy У
2{ 5hG 5hG
Здесь использовано не полное выражение для касательных напряжений по
(3.5), а только та их часть, которая пропорциональна поперечным силам.
Основанием для такой (приближенной) замены, служит указанное выше
замечание о том, что для усредненных по сечению касательных напряжений
эти дополнительные члены в формулах (3.5) могут быть опущены без
ущерба для интегрального по толщине пластины равновесия.
Сопоставляя полученное с формулой (3.9), приходим к заключению, что
толщины сдвига следует принять равными
hx = hy=-h. (3.10)
Проинтегрировав выражение для удельной энергии ет по всей площади
срединной плоскости пластины, получим энергию ее деформации Ет,
порождаемую "вертикальными" касательными напряжениями
E,=I(№ + ^V (311)
1 2 Д 5hG 5hG )
Если теперь просуммировать энергию деформации, порождаемую
напряжениями в"1, ал' и х^, и определяемую формулой (1.97), с энергией Ет,
что соответствует исходной формуле (3.1), то окончательно получим

5 3 Изгиб пластин средней толщины - теория Реисснера 255
E(QX, Q\ Мхх, hP», Мху)=
= —г ^(М™)2 -IvM^M^ +(МУУ)2 +2(1 +v)(Mxy)2]dn +
+^~-S_(Qx)2 + (Ql2]dn. (3.12)
Формулой (3.12) дается выражение для энергии деформации пластины
Реисснера, представленной как функционал от усилий в пластине, причем
вектор напряжений а для рейсснеровой пластины является пяти-
компонентным вектором следующего вида
« = \[QX, Qy, м"х, м", M^f. (3.13)
В теории тонких пластин Кирхгоффа-Лява деформации е„ , ew и уху были
выражены через кривизны оси стержня по формулам (1.23). В случае же
пластин Реисснера, роль кривизн играют производные от углов поворотов
нормали. В самом деле, из кинематических соотношений (3.6) находим
8xx=z0>,,;c, eyy=-zQ„y, yxy = z(Qy,y-Qx,x). (3.14)
Как видим, в отличие от теории пластин Кирхгоффа-Лява в теории
Реисснера совокупность всех перемещений пластины не определяется одной
только функцией поперечных перемещений пластины w, поскольку
повороты нормали Qx и ву принимаются в этой теории в качестве
независимых кинематических параметров, не связанных условиями (1.4). В
дальнейшем, однако, нам удобнее будет пользоваться не самим вектором
поворота нормали 9, а повернутым на 90° вектором ф, так что
ф = сов или ср* = -ву, ц>у = вх. (3.15)
Очевидно, что при отсутствии сдвигов yxz и jyz, как это следует из формул
(3.7), вектор ф будет представлять собой градиент функции прогибов w
Введем в рассмотрение параметры изгибной деформации Ххх, Xyv> Ъо»
положив по определению
Х» = -Ф*«» Х»- = -Фу»>» Х*у = -И (Ф»> + %»), (3.16)
или в покомпонентном тензорном виде
Ху=-1/2(ф„7 + ф7„) (3.17)
Тогда кинематические соотношения (3.14) для компонент тензора
деформаций запишутся так
?xx=z%xx, zyy = zxn, Yxy^lzxty, (3.18)
что по форме точно совпадает с формулами (1.23) в теории пластин
Кирхгоффа-Лява.
Соответственно и для деформаций сдвига вместо формул (3.7) будем
иметь формулы

256 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть II
Ухг = w,x -Ф,, Jyz = wty ~q>y. (3.19)
При этом в матричной форме для пластин Рейсснера принимаем в
качестве вектора перемещений и и в качестве вектора деформаций е
u = \[w, Фх , фу]Г , ?=|[Y*z,Yyz,Xx*,Xw>2xJ|T. (3-20)
Связь между вектором перемещений и и вектором деформаций ? дается
вышеприведенными формулами (3.16) и (3.19), что в обычном матричном
виде е = Аи определяет состав оператора геометрии А
А о -1
ду
о -А о
дх
о о -А
ду
8 8
Но тогда сопряженный оператору геометрии оператор равновесия в
соответствии с формальными
операторов будет следующим
_8_
ду
правилами построения сопряженных
0
-1
О — —
ду дх
(3.22)
И действительно, уравнения равновесия (1.32) и (1.33), как это легко
понять, не зависят от принятой теории изгиба пластин. С учетом структуры
вектора "напряжений" а по (3.13) эти уравнения как раз и примут
необходимый матричный вид Ата = X, если в качестве вектора внешних
распределенных силовых воздействий положить
X = \[q,-n?,mx}\<
(3.23)
Перейдем теперь к выяснению состава матрицы упругости С. При
построении этой матрицы можно провести все рассуждения и выкладки,
аналогичные сделанным в теории пластин Кирхгоффа-Лява. Но, имея в виду
уже полученное выражение для энергии деформации пластины Рейсснера,
определяемое формулой (3.12), можно поступить и иначе. В самом деле,

- теория Рейсснера 257
энергия деформации Е, как квадратичный функционал от напряжений а,
может быть представлена в следующем виде
(3.24)
E(e)= |(в,С-,в)= | JXj^a'aVQ= jf(a',...,a5)dQ .
Здесь п размерность вектора напряжений (в рассматриваемом нами случае
п = 5), а коэффициенты d4 являются компонентами матрицы С-1 = \[dy\\.
Но квадратичная форма в подынтегральном выражении, которая для
удобства обозначена как f{a',...,a5)=f{Qx,Qy,Mxx,Myy,Mxy), определена
формулой (3.12), так что
AQX, Qy, мхх, AF, мхуу
1
6(1 +у)
5Eh
[{Qx?HQy?] +
—[(Г)2- 2vMa Myy+(Myy)2+2(l + v)(Afv )2 ] (3 •
Из формулы (3.24) немедленно вытекает, что компоненты матрицы С
определяются двойным дифференцированием функции/ при этом
.25)
до'до1
Выполнив указанное дифференцирование, находим
l^f- о О О
. (1 + v)/*2
С"'=-
1
D{\-
0
1
О
О
1
(3 26)
(3 27)
Обращая эту матрицу, получаем
|Гл. о О о
0
0
0
0
А.
0
0
0
0 0
1 V
V 1
0 0
где дополнительно введено обозначение
, _ 5(1-v)

258 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть II
В покомпонентной форме физические соотношения теории пластин
Рейсснера запишутся так
Qx = XDyxz = XD(wx-(px) = XD(wx+Qy),
Qy = XDyyz = XD(wr-(py) = XD(xvy-ex),
Мхх = Дхх* + vx»-) = - D (ф ^ + у<рл, ) = -D (-0^ + v0 ^),
AT = ?>(Xw + vx») = -D(Флу + уФх;г) = -D(QXiy -v0^),
Мху = ?>(l-v)x„ = -ViZXl-v) (фх>, + фу>х) = -V4D(l-v) (-0^ + 0V). (3.30)
Теперь имеем возможность записать выражение для оператора Ламе в
задаче об изгибе пластин Рейсснера. Опираясь на общую формулу (4.1.6),
получаем
L=ATCA =
[а*
дх
ду2)
д2
8х2
1 + V
1-V
2
а2
52
ду2
1 + V
2
а2
а2
дхду
i-v а2"
9у
2 э*а>>
9у2
2 ах2
Возвращаясь от компонент вектора ф к первоначальным обозначениям для
поворотов нормали 0Х и ву по формулам (3.15), приходим к следующей
системе разрешающих дифференциальных уравнений в перемещениях для
задачи изгиба пластины Рейсснера
а© а©„
-XV2w + X—--Х—y- = qlD,
ду дх
,аш i+va20, ,„ а20у i-va20
-X --XQ +—f + f = -
дх 2 дхду у дх2 2 ду2
dw д\ 1-уа20х i + va20y_
ду х ду2 2 дх2 2 дхду
-ту ID,
(3.32)
Для того, чтобы математически замкнуть постановку задачи в
дифференциальной форме, необходимо сформулировать также и краевые
условия С этой целью обратимся к основному интегральному тождеству в
задаче об изгибе пластины Рейсснера.
Но прежде, чем рассматривать основное интегральное тождество,
остановимся на иных формах записи системы разрешающих уравнений
задачи (3.32).

* 5 3 Изгиб пластин средней толщины - теория Рейсснера 259
5.3.1 Разрешающая система уравнений для пластины Рейсснера
относительно двух неизвестных функций
Для дальнейшего нам будет удобно разбить систему уравнений (3.32) на две
системы. Левая часть в каждой из этих систем наследуется из (3.32), тогда
как в правой части в первой из этих систем уравнений полагается
тх = rrf = 0, а во второй системе уравнений q = 0. Иными словами, решение
исходной задачи разбивается на сумму решений двух задач: однородной
задачи по внешним моментным воздействиям и однородной задачи по
поперечной нагрузке. Общее решение исходной задачи можно представить в
виде суммы общего решения однородной задачи по моментным
воздействиям и какого либо частного решения однородной задачи по
поперечной нагрузке17. Как обычно, поиск частного решения однородной
задачи по поперечной нагрузке (и, что важнее, неоднородной по моментным
водействиям) оставим в стороне. Займемся поиском общего решения задачи,
для которой будем считать, что тх = п? = 0.
Следуя работе [16], введем в рассмотрение две функции Фи1?, связав их
с вектором поворотов 9 следующим образом
в = grad Ф + cograd ? , (3.33)
при этом тензор поворота со в глобальной системе координат определен
матрицей ю согласно формуле (F.36) Приложения F. В работе [16] функции
Ф и *Р названы соответственно проникающим и краевым потенциалами.
Смысл этих наименований будет ясен из дальнейшего18. В покомпонентной
форме представление (3 33) запишется так
дФ 8W дФ 84
в^=о*+?^ Q^=_^tL + ^L (3 34)
ду дх дх ду
Покажем, что система уравнений (3.32) относительно трех неизвестных
функций сводится к системе двух уравнений относительно функций ФиТ,
если помимо (3.34) положить
и, = ф_1у2Ф. (3.35)
В самом деле, подставив (3.34) и (3.35) в первое из уравнений системы
(3.32), находим
17 Несмотря на несколько непривычное звучание этого утверждения, оно легко может
быть обосновано
18 Строго говоря, в [16] рассматривается несколько иной вариант сдвиговой теории
для пластин средней толщины, отличный от теории Рейсснера Но это не
существенно для наших рассуждений, поскольку структура получающихся в [16]
разрешающих уравнений задачи полностью аналогична структуре уравнений
(3 32) Различие заключается в выражении для коэффициента X, который в теории
пластин В В Васильева в случае изотропного материала пластины получается
равным 6(1 - v)/h2, в отличие от формулы (3 29) для рейсснеровой пластины

260 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть II
V2V20 = ^-. (3.36)
D
Подстановка же во второе и третье уравнения системы (3.32) (с учетом
равенства нулю моментов rrf = ту=0в этой задаче) приводит к требованиям
— (v2xF-c2xF) = 0, —(v2xF-c2xF) = 0, (3.37)
дхv ' дуу '
где дополнительно введено обозначение
с2 =-^=4. (3.38)
1-v h2 У '
Из (3.37) вытекает, что агрегат (V2xF - с2хР) представляет собой
константу, причем эту константу можно положить равной нулю, поскольку
ее значение в силу (3.34) не оказывает влияния на интересующие нас
компоненты вектора поворота 9. Итак,
V2xF-c2xF = 0. (3.39)
Система двух уравнений: уравнение четвертого порядка (3.36)
относительно функции Ф и уравнение второго порядка (3.39) относительно
функции *Р является искомой разрешающей системой уравнений для задачи
однородной по внешним моментам. Понятно, что суммарный порядок этих
двух уравнений равен шести19. Сами эти уравнения разделяют функции Ф и
XF, но, как мы увидим в дальнейшем, перевязка в решении осуществляется за
счет краевых условий.
Обратим внимание на то, что при устремлении толщины пластины h к
нулю из равенства (3.35) следует, что w —» Ф, что и свидетельствует об
ожидаемой тенденции к вырождению системы (3.36), (3.39), стремящейся к
одному уравнению (3.36), характерному для теории пластин Кирхгоффа.
Если интегрированием уравнений (3.36) и (3.39) функции Ф и f
определены, то усилия в сечениях пластины могут быть определены
19 Оба типа уравнений хорошо изучены в математике и известны в механике Так
уравнение (3 36) совпадает с уравнением Жермен-Лагранжа для классической
пластины Кирхгоффа, тогда как уравнение (3 39) есть уравнение Гельмгольца На
механическом уровне уравнение Гельмгольца можно интерпретировать, в
частности, как однородное уравнение для прогиба мембраны, опирающейся на
упругое винклерово основание Известно, что общий интеграл уравнения Жермен-
Лагранжа (3 36) содержит члены, относительно медленно меняющиеся по области
пластины О В то же время общий интеграл уравнения Гельмгольца (3.39) дает
решение с относительно быстрым показателем изменяемости Можно сказать
также, что уравнение (3 39) описывает напряженное состояние пластины по типу
краевого эффекта Именно эти соображения послужили поводом в работе [16] для
именования функции Ф проникающим потенциалом, а функции Ч* краевым
потенциалом

* 5 3 Изгиб пластин средней толщины - теория Рейсснера 261
согласно формулам (3 30), которые после подстановок в них выражений
(3 34) и (3 35) принимают теперь вид
,•« rJ52* д2Ф „ ча2х?1
Mxx = -D\—r + v—r--(l-v) ,
\_дх ду дхду]
Myy = -D\ —т-+ v—r + (l-v) ,
[_ ду дх дхду J
M- = -D(l-v)^ + lf^-^
[дхду 2{дх2 ду2 ,
Компоненты же вектора деформаций ? по (3 20), будучи представленными
через разрешающие функции ФиЧ*, запишутся так
1 д „2л дЧ>
X дх ду
д2Ф д2Ч>
дх дхду
„ д2Ф
дхду
1 д ^Л дЧ>
У = у2Ф
У X ду дх
д2Ф д2Ч>
ду2 дхду'
д2х? д2Ч>
ду2 дх2
5.3.2 Основное интефальное тождество в теории пластин
Рейсснера
На основании полученных ранее матричных соотношений имеем
возможность написать
(Ли, а) = J [(а>, - ср, )QX + (а> „ - ср, )Qy ~\dCl +
+ Г[-ФХ,,Л/" -9Vj/Mw -(фх>у +фу_^)Л/^]с?0
Воспользовавшись формулой Гаусса-Остроградского, избавимся от
дифференцирования перемещений под знаком интеграла, что дает
(Ли, а) = \[w(-Q*x -Qyy) + (px(-Qx +ЛС +MZ) + %(-Q" +м7у +M")]d& +
+ j)[w(Qxnx+Qyny)-(px(Mxxnx+Mxyny)-(py(Myyny+Mxynx)]dr

262 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть П
Прежде всего, заметим, что интеграл по области Q представляет собой
скалярное произведение (u, AJa) Далее, легко проверяется справедливость
следующего тождества
ц>х{Мххпх +Мхупу) + ц>у(Муупу +Мхупх) = ц>пМгп +(р1М"',
где моменты М"" и М"' определяются формулами (1 52), а величины ср„ и ф,
представляют собой проекции вектора ф на оси и и t, при этом
Фп - ФЛ + (РуПу = ~9/, ~~ ®х*х = ~®1 >
Ф, = <pjx + yyty = Qyny + Qxtx = 9„ (3 43)
В результате основное интегральное тождество принимает вид
(Ли, а) = (и,Лт<г) + j>(wQ" +QlM""-QnM"')dr (3 44)
Теперь становится ясно, что в качестве вектора краевых перемещений и и
в качестве вектора краевых усилий р в теории пластин Рейсснера следует
положить
и = \[ю, е„ -е„]Г, р = \[Qn, м"", м"']\т. (3 45)
Таким образом, в теории пластин Рейсснера на контуре пластины Г в
отличие от теории пластин Кирхгоффа-Лява ставятся по три краевых
условия в соответствии с размерностью векторов и пр.
5.3.3 Важнейшие функционалы для пластины Рейсснера
Функционал Лагранжа
Энергия деформации, запасаемая пластиной Рейсснера, будучи
представленной как квадратичный функционал от перемещений, может быть
получена с использованием общей формулы
что после подстановок и проведения матричных преобразований дает
Е(и;, фх, <р,) = — J[(o;x -ф,)2 +(И7, -ф,)2]сЮ +
+ —J Ф,,, +2V(Px,X(Py,y +(Р,,у +——((Рх,у +(РУ,х)2 FQ (3 4^
Понятно, что первый из этих интегралов, отвечает сдвиговой части энергии,
а второй - энергии от собственно изгиба пластины

5 3 Изгиб пластин средней толщины - теория Рейсснера 263
Что касается силового потенциала П„ то выражение для него дается ранее
представленной формулой (1.86), которая в случае пластины Рейсснера с
учетом соотношений (3 15) и (3 43) может быть записана в виде
П8 =j(qw + m'Qx + myQy)dQ + §(eQQw + eM,M'Q, + eMnM"Qn)dr =
= j(qw-my(px+mx(py)dD. + §(eQQw-eMlM'q>„+eMnM"yl)dr (3 47)
Здесь уже учтено, что внешние (активные) контурные силовые воздействия
отличны от нуля только на тех участках контура, где равны единице
соответствующие характеристические функции eQ, eMt, ем„ И выражение
для лагранжиана L выстраивается обычным способом, как L = Е - П8
Как обычно, минимум лагранжиана отыскивается на кинематически
допустимых полях перемещений, то есть для функций перемещений,
обеспечивающих конечное значение интеграла (3.46) и удовлетворяющих
кинематическим краевым условиям
w = w erw, срп = -9, еГв1, ср, = ёп еГвп (3 48)
Уравнениями Эйлера для лагранжиана служит уже полученная система
дифференциальных уравнений (3 32), а естественными краевыми условиями
являются статические краевые условия
Q"=Q" еГв, Мт=М'еГМ1, М"'=-М"еГм„, (3 49)
причем
ГаиГв = Г, ГюъГд = 0, Ге,иГш = Г, Ге,оГш = 0,
Ге„иГм„ = Г, Ге„пГм„ = 0,
Функционал Кастильяно
Энергия деформации Е, представленная как квадратичный функционал от
"напряжений", уже дана формулой (3 12) Поэтому все, что осталось сделать,
это записать в явной форме выражение для кинематического потенциала На
основании (3.44) и (3 45) имеем
Пк(в) = j(ewUiQ- +ев1вМ"" -eJ„M"')dr (3 50)
Поиск точки минимума кастильяниана К(<т) = Е(а) - Пк(а) осуществляется
на множестве статически допустимых напряжений а Последнее означает,
что для допустимых к сравнению усилий должны выполняться уравнения
равновесия (1 32), (1 33) по всей области Q, а также статические краевые
условия (3 49) Получим теперь условия совместности деформаций для
пластины Рейсснера, которые, будучи записанными в усилиях, и являются
уравнениями Эйлера для функционала Кастильяно
10-818

264 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть II
Как это видно из (3.20), вектор перемещений и является
трехкомпонентным вектором, а вектор деформаций е - пятикомпонентным.
Следовательно, все пять компонент вектора деформаций не могут быть
заданы произвольно, и должны быть связаны дополнительно двумя
соотношениями, обеспечивающими возможность восстановления
перемещений по деформациям. Именно эти дополнительные соотношения
между компонентами вектора деформаций и называются условиями
совместности Сен-Венана.
Как известно, подобного рода соотношения могут быть интер-
претированы на математическом уровне и как условия независимости
некоторых смешанных производных компонент вектора деформаций от
порядка дифференцирования. В частности, в случае пластины Рейсснера
двумя независимыми соотношениями этого типа являются
d2y„ д% дХуу дХху _
2ду2 2дхду дх 2ду
д2у„ , 5% , дХхх дХху =
2дхду 2дх2 ду 2дх
(3.51)
Справедливость условий совместности деформаций по (3.51) проверяется
непосредственно. В самом деле, в результате подстановок выражений для
деформаций через перемещения по (3.16) и (3.19) соотношения (3 51)
превращаются в тождества.
Еще одно тождественное соотношение, напрашивающееся при взгляде на
кинематические соотношения (3 16),
д*Хд | dhyy д2Хху = Q
2ду2 2дх2 дхду
не является независимым, так как оно вытекает из (3.51)
дифференцированием первого равенства там по х, второго по j и
суммированием полученного.
Имея в виду структуру вектора деформаций по (3.20), получим отсюда
сразу же состав оператора Сен-Венана для пластины Рейсснера
S =
о
(3.52)
|_ 2дхду 2дх ду
Будучи записанными в напряжениях, условия совместности деформаций
SC^o=0
и являются уравнениями Эйлера для функционала Кастильяно.

средней толщины - теория Рейсснера 265
Вектор функций напряжений для пластины Рейсснера
Поскольку Сен-Венанов оператор S нам уже известен, то можем получить и
сопряженный ему оператор ST. На основании формальных правил
построения сопряженных по Лагранжу операторов имеем
5Т =
д2 д2
2ду2 28хду
В2 д2
2дхду 2дх2
о -А
ду
-А о
дх
8 д
2ду 2дх
Легко убедиться в том, что
SA
= О, ATST= О,
как это и требуется от оператора Сен-Венана.
Точно так же, как это было сделано для пластины Кирхгоффа-Лява и для
задачи о ПНС пластины в §5.2, введем вектор функций напряжений Ф,
связанный с напряжениями а (в случае отсутствия распределенной по
области Q нагрузки, как моментной, так и силовой) соотношением (2.5), и
оператор М совместности деформаций в функциях напряжений
<т = ?'Ф,
M = SC1S\
Понятно, что для пластины Рейсснера, так же как и для пластины
Кирхгоффа-Лява, вектор функций напряжений Ф является двух-
компонентным вектором, так что
Ф = |[Ф,,ФЛТ.
Выполнив требуемые матричные преобразования, по сокращении на
несущественный общий константный множитель /i2/[20D(l-v)] получим
выражение для оператора совместности деформаций в функциях
напряжений
(V-c2)^
-(V2
l + v)dxdy
-(V2-c2)-
Kv "с)тт-
—
J дхду
v?,
где числовой параметр с2 определен ранее формулой (3.38).

266 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть II
Угрожающе сложная структура матричного дифференциального
оператора Мне должна отпугивать, поскольку отвечающую этому оператору
систему дифференциальных уравнений можно упростить. Действительно,
обозначая элементы матричного оператора М через Мц, М12, М2Ь М22,
находим, что каждая из компонент вектора функций напряжений Ф* и Ф^
подчиняется однородному дифференциальному уравнению с оператором
L = М22Мп - М12М21.
Выполнив необходимые операции, получаем окончательно20
У4(У2Ф^ - с2Фх) = О, V4(V2Oy - с2Фу) = 0. (3 55)
Правда, здесь возникает иная проблема. Дело в том, что каждое из двух
уравнений в (3.55) является уравнением шестого порядка А в нашем
распоряжении, как это уже было установлено, имеется всего три краевых
условия. Понятно, что лишний произвол порожден дополнительным
дифференцированием, внесенным в (3.55) при переходе к оператору L. Этот
произвол может быть устранен, если вспомнить, что функции Ф^ и Ф^
обязаны также удовлетворять исходной системе дифференциальных
уравнений с оператором М. Это дает нам два дополнительных условия. Еще
один произвол устраним, если учтем, что фактически нас интересуют не
сами функции Ф^ и Фу, а выражения для усилий в пластине, представленные
через эти функции. Но в этих выражениях функции Ф^ и Фу
дифференцируются, что исключает оставшийся третий произвол.
Как видим, этот путь решения задач является довольно многодельным
По-видимому именно этим обстоятельством и объясняется тот факт, что при
решении практических задач метод функций напряжений для пластины
Рейсснера обычно не употребляется. Тем не менее, представляется полезным
привести его здесь, чтобы исключить у студента возможные подозрения в
незавершенности теории пластин Рейсснера в этом смысле, поскольку
вектор функций напряжений даже и не упоминается в распространенных
руководствах по теории пластин.
Функционал Рейсснера для пластины Рейсснера
На основании общей формулы (3.1.4) получим выражение для функционала
Рейсснера в его первой форме
20 Если проделать аналогичную процедуру для пластины Кирхгоффа, то, вспоминая
формулу (2 12), получим, что каждая из компонент вектора функций напряжений
должна удовлетворять бигармоническому уравнению, то есть У4ФХ = 0, V4Oy = О

5 4 Некоторые примеры 267
Ri(<r, u) = хМСлв, <т) - (Ли, <т) + (Еир, Euu)r+V\s- Пк =
—-—rJ[(M~)2-2vM~Mw+(Mw)2+2(l + v)(M":v)2]tfQ +
+ J (qw - my(px + mx(pv)dCl + j) (eQQw - eMtM'<pn + eMnM"<p, )dT +
+ j> (ea (w - w)Q" + e9, (-<p„ - 0, )Mm - e9n (ф, - 9~„ )M"') dT (3 56)
Аналогично может быть получен и функционал Рейсснера в его второй
форме На основании общей формулы (3 1 5) имеем
R2(<r,u) = Уг(Сло, <т) - (А7 в, и) - (Ерр, Ери)г +П8- Пк =
{[(М~)2 -2vMxxM>y+(Myyf +2(1 + v)(Mj:>)2]JQ +
2D(l-v2)
^-^j[(Q>f+(Q>f]cin-
5Eh
- j[w(-?? -Q?y)+<px(-Qx +aC +M?y)+<vy(-Qy +MZ +AC*)}/Q +
+ J (qw -my(px+ mx(py )dD. -
- j (eQ (Q? - Q)w - eMl (-Mm +M' )<p„ + еш (-M* +Mn )<p, )dr -
-j>(emU>Q" +eeiQ,M"" -e^JAM)dr. (3 57)
5.4 Некоторые примеры
Приведем здесь примеры, целью которых служит демонстрация решений
задач по теории пластин Кирхгоффа и теории Рейсснера в некоторых
простых случаях, допускающих точное решение задачи Эти же примеры
могут служить и тестом при отладке (и проверке работоспособности')
соответствующих программных реализаций, декларируемых в рас-
пространенных коммерческих программах по расчету конструкций

268 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть II
5.4.1 Пример 1. Круглая пластина под действием контурного
крутящего момента
В качестве первого примера рассмотрим круглую радиуса R, свободную от
закреплений, пластину, подверженную на контуре крутящему моментному
воздействию постоянной вдоль контура величины т. В этой задаче удобно
перейти к полярным координатам, причем очевидно, что решение зависит
только от радиальной координаты р = ^х2 л-у2 и не зависит от угловой
координаты а В таких условиях оператор Лапласа V2, как это известно,
становится одномерным и принимает вид
г _}_d_( АЛ-AL LA
pdp{ dp) dp2 pdp'
Прежде всего, заметим, что для исключения жестких смещений можно
считать пластину свободно опертой по контуру. Такое предположение не
нарушает заданных силовых краевых условий, поскольку очевидно, что при
принятом внешнем воздействии на контуре пластины нулевыми
оказываются как поперечные силы Q" = QP, так и изгибающие моменты
АГП = МРР Равенство нулю моментов Мрр вытекает из смысла краевых
условий для свободно опертой пластины, а поперечные силы Qp равны нулю
потому, что в противном случае не будет выполнено глобальное условие
равновесия пластины в проекции на ось Z. Более того, по тем же
соображениям равновесия для любой, выделенной из пластины круговой ее
части радиуса р, поперечные силы Qp обязаны тождественно равняться
нулю по всей пластине, а не только на ее контуре, то есть <2Р(р) = 0.
Далее, общий интеграл однородного бигармонического уравнения
V2V2d> = 0 для проникающего потенциала с указанным оператором V2
известен и может быть записан в виде
Ф = 4р2 In р + 4> In р + 4sP2 + Л •
Справедливость этого представления легко проверяется непосредственным
дифференцированием.
С другой стороны, общий интеграл однородного уравнения V2vF - с2у? = 0
для погранслойного потенциала с этим оператором также известен [17] и
может быть представлен в виде
Ч' = В110(ср) + В2К0(ср),
где /о и А^о модифицированные функции Бесселя первого и второго рода
нулевого порядка Здесь АиА2, А3, А4, Ви В2 - подлежащие определению
константы интегрирования.
Воспользовавшись формулой (3.35), получим
и> = Ф—У2Ф= АЛ р21пр (1пр + 1) +4>1пр + 4 р2 — \ + А4.

5.4 Некоторые примеры 269
Из условия ограниченности прогиба в центре пластины получаем, что
Ai=A2 = 0. Но прогиб равен также нулю в центре круга (при р = 0) и на
контуре (при р = R) - в центре благодаря симметрии задачи, а на контуре в
силу краевого условия. Отсюда получаем, что и Аъ = А4 = 0. Таким образом,
проникающий потенциал тождественно равен нулю Ф = О21. С учетом этого
обстоятельства и на основании формул (3.40) поперечные силы в пластине
равны
ff=U>*L, Qy=-XD^,
ду дх
Dfe А "1 ^ 8Ч>
' у {ду у дх х) Яда
что и следовало ожидать.
Далее, из (3.41) в нашем случае имеем
MXI = -Mw = D(l-v)-^-, Мху = -
дхду
Следовательно, на основании формул (1.52) будем иметь
Мт = М"п\ + Mwnl + IM^nn =
[дх2 ду1)
-^is^-^-i^-^b]-
\J3xdy удх
Если взять точку на оси X, то для нее будем иметь
? = ¦?-, 1—?-, п,=1, «,=0, ,,=0, Г,=1.
5х 5р ду Rda у у
Поэтому окончательно получим Мт = 0, в том числе и на контуре пластины,
что отвечает краевому условию свободного опирания.
Воспользуемся, наконец, условием равенства крутящего момента на
контуре пластины заданной величине т. Для крутящего момента имеем
М"' = MXInxtx + Myynyty + М** {njy + nytx) =
=Da-v)to„A--g-te-^|(V,+n,0
\дхду y y {дх1 ду *
21 Равенство нулю проникающего потенциала можно обосновать в этой задаче и
иначе, не опираясь на необходимость определения констант интегрирования
А\, ,А4 В самом деле, на основании соображений симметрии легко понять, что
прогибы пластины должны тождественно равняться нулю. Но это означает, что для
проникающего потенциала одновременно выполняются два условия V2V20 = 0 и
У2Ф - ХФ = 0, откуда и следует Ф = 0

270 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть II
Вновь обращаясь к точкам оси X, получаем
dp
Поскольку функция /0 обладает особенностью на бесконечности, а К0 в
нуле, то из условия ограниченности решения в нуле постоянную
интегрирования В2 следует положить равной нулю.
Приведем известные соотношения теории функций Бесселя [17, стр. 141]
^~[р*7*(сР)] = ср*Л_,(ср) •
В нашем случае это дает
~[10(ср)] = с/.,(Ф), jr[l0(cp)] = cj-(pp 7_,(ср)) =
= c^^+cV2(CP) = c<AM+/2(cp0 = c2^MzAM.
Р У СР J СР
Здесь учтены два известных факта из теории функций Бесселя:
• /_i(cp) = h{cp) и L2(cp) = I2(cp);
• cpl2{cp) = cp/0(cp) - 2 ^(cp).
На основании краевого условия по крутящему моменту получаем
последнюю, оставшуюся до этого момента неопределенной, константу
интегрирования Si
в = ТЕ*
1 c2D(l - v) [cRI0 (cR) - /, (cR)] '
Окончательно, распределение крутящих моментов по радиальной
координате пластины получается следующим
м„, = ^(ср1й(ср)-1,(ср)Л
т pycRIu(cR)-Ix(cR))'
Графики изменения крутящего момента вдоль радиуса пластины,
построенные по приведенной формуле, показаны на рис. 5 6 при различных
значениях относительной толщины пластины hIR, где по оси абсцисс
отложена относительная радиальная координата pIR, а по оси ординат
безразмерный крутящий момент М"'1т.
На этих графиках отчетливо наблюдается упомянутый краевой эффект в
отношении распределения крутящего момента. Даже при относительно
толстой пластине (при hIR = 0,2) момент М"' быстро падает при удалении от
края пластины.

5 4 Некоторые примеры 271
Рис. 5.6. Изменение крутящего
вдоль радиуса пластины
Для полноты картины найдем также углы поворота нормали к пластине,
которые и характеризуют ее деформированное состояние. Обращаясь к
формулам (3.34) и рассматривая точки, лежащие на осиХ, получаем
е, = о, е„=^= rI,(cp)R •
dp D(l-v)[cK/0(cK)-/,(cJ?)]
5.4.2 Пример 2. Квадратная пластина, загруженная по контуру
крутящими моментами
В качестве второго примера рассмотрим квадратную пластину со свободным
от закреплений контуром. Пусть пластина подвержена действию равномерно
распределенных по контуру крутящих моментов т, противонаправленных на
каждой из сторон пластины, как это показано на рис. 5.7.
Рис. 5.7. Квадратная пластина под действием противонаправленных контурных
крутящих моментов
Непосредственно проверяется, что решение этой простой задачи по
теории Кирхгоффа дается следующими элементарными формулами
D(l-v)
xy + ax + fiy + y, вх = -
D(l-v)

272 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть II
Q'=Qy=Ot К*=Ку=0, Мхх=Муу=0, Мху=т
с неопределенными константами а, Р, у, характеризующими поперечные
перемещения w пластины как жесткого тела. Кроме того, в углах пластины
возникают сосредоточенные Кирхгоффовы силы Р = 2т , как это показано на
том же рис. 5.7.
Обратимся теперь к решению этой же задачи по теории пластин
Рейсснера. Ясно, что распределение внутренних сил в пластине Рейсснера
такое же, как и для пластины Кирхгоффа (за исключением обобщенных
поперечных сил Кх и Ку, которых просто нет в пластине Рейсснера).
Действительно, в этом случае выполняются как все уравнения равновесия,
так и условия совместности деформаций, выраженные через усилия, то есть
SC~lo = 0 Выполненными оказываются и все краевые условия. Но тогда
оказывается, что и поле перемещений для пластины Рейсснера совпадает с
полем перемещений для пластины Кирхгоффа. Это следует хотя бы из того,
что поперечные силы равны нулю, а значит равны нулю и сдвиги, что
приводит к соотношениям 0^, = -w>x, Qx = voy , как раз и выполняющимся
для пластины Кирхгоффа. Если восстановить проникающий и краевой
потенциалы для этой задачи, то получается, что
D(l-v) ''
Модифицируем эту задачу, считая, что внешний контурный момент т,
направлен так, как это показано на рис. 5.8
Рис. 5.8. Квадратная пластина под действием сонаправленных контурных крутящих
моментов
Оказывается, что в отличие от предыдущей задачи, элементарного решения
здесь не существует. Приближенное решение этой задачи (точнее, решение
для задачи, являющейся линейной комбинацией задач по рис. 5.7 и рис. 5.8)
заинтересованный читатель может найти в статье [18]. Здесь стоит отметить,
что в самой постановке задачи по рис. 5.8 заложена некорректность,
поскольку в угловых точках пластины нарушается условие взаимности
касательных напряжений, принимающее в теории пластин форму М** = Мух.
Если же рассматривать эту задачу в рамках теории Кирхгоффа, то легко
понять, что пластина Кирхгоффа вообще не реагирует на такое воздействие
Все силовые и кинематические поля для пластины Кирхгоффа получаются
равными нулю.

5 4 Некоторые примеры 273
5.4.3 Пример 3. Прямоугольная шарнирно опертая пластина
Пластина Реисснера
Рассмотрим прямоугольную размерами axb шарнирно опертую пластину
под действием синусоидально распределенной нагрузки
Ч(х,У) = Чтп sm sm—г~ (3 58)
a о
Имея решение для пластины под действием нагрузки (3 58), можно получить
и решение для этой же пластины под действием произвольной нагрузки
Ч(х,у), разложив последнюю в двойной ряд Фурье по синусам и суммируя
решения по индексам тип
Прежде всего, остановимся на формулировке краевых условий Следует
заметить, что в отличие от пластины Кирхгоффа для рейсснеровой пластины
словесное описание "шарнирного опирания" еще не достаточно для
фиксации фактических краевых условий на контуре пластины В самом деле,
как это уже отмечалось ранее в каждой точке контура пластины Реисснера
должны быть сформулированы по три краевых условия В частности, при
шарнирном опирании пластины краевые условия на контуре могут быть
поставлены в двух конкурирующих вариантах
• в варианте "A" w = 0, М"" = 0, 0„ = О еГ- цилиндрический шарнир,
• в варианте "В" Н7 = 0, Мт = 0, М"' = 0 еГ- свободное опирание
В этих вариантах первые два условия совпадают, тогда как третье из них
записывается по-разному В варианте "А" контур пластины закреплен от
поворотов вокруг оси и, при этом автоматически сдвиг уа вдоль контура
пластины получается равным нулю, поскольку
ys = W,s - ф, = H7,s - 0„ = 0 ,
так как очевидно, что w,s = О В варианте же "В", напротив, сдвиг пластины
вдоль контура разрешен, но зато крутящий момент на контуре пластины
отсутствует. Можно сказать, что вариант "А" граничных условий отвечает
прикреплению рассматриваемой изгибаемой пластины по ее контуру к
некоторой гипотетической стене, наделяемой свойством абсолютной
гибкости из своей плоскости и абсолютной жесткости в своей плоскости
С целью заострить внимание на различиях в постановках задач для этих
двух вариантов краевых условий шарнирно опертой пластины Реисснера,
авторы работы [19] предлагают даже различать эти условия и по названию
Так в случае варианта "В" предлагается пользоваться понятием свободного

274 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть II
опирания, а в случае варианта "А" говорится о цилиндрическом шарнире на
краю пластины22.
Остановимся на решении задачи с краевыми условиями по варианту "А",
то есть при условии размещения цилиндрического шарнира на контуре
пластины, а не при условии ее свободного опирания. Только в этом случае
решение может быть получено элементарными средствами в замкнутом виде
(в двойных тригонометрических рядах). Будем искать решение в следующем
виде
тпх пку
и> = W„„ sin sin—— ,
a b
mux пку _ т, ткх пку
6 = Хтп sin cos—-, 0 = Ym cos sin—- (3.59)
a b a b
с подлежащими определению амплитудными значениями перемещений, то
есть числовыми коэффициентами Wmn, Хтп и Ymn . При этом сразу же
заметим, что решение задачи в форме (3.59) удовлетворяет всем краевым
условиям в варианте "А", но не обеспечивает равенство нулю крутящего
момента на контуре пластины (что требовалось бы для варианта "В"),
поскольку на основании (3.30)
М» = ?> — (-еу у + 9, х) = ?> — (-Fm„ri„ + Хтп\т)cos—cos-^,
2 2 а Ъ
где для сокращения записи дополнительно введено обозначение
Ьт=—. Ъя=-?-- (360)
После подстановки (3.59) в дифференциальные уравнения (3.32)
приходим к системе трех алгебраических уравнений относительно искомых
параметров Wmn, Хтп и Ymn
22 Надо сказать, что двойственная возможность формулировки краевых условий для
шарнирно опертой пластины Рейсснера не всегда в явной форме оговаривается в
публикациях Из работ, где на это обстоятельство обращается внимание, отметим
книгу Гордона Л А и Готлифа Л А [19], а также статью В В Васильева [16] Это
важно, поскольку принятие варианта "А", которым обычно и пользуются при
построении аналитических решений (см, например, [20]), как мы увидим чуть
позже, не может служить основой при сопоставлении с решением для шарнирно
опертой пластины Кирхгоффа Более того, при сопоставлении и с решением
трехмерной задачи теории упругости, когда на краю пластины закрепляются от
поперечных перемещений только точки срединной поверхности пластины (при
этом никаких иных закреплений в трехмерной задаче не должно быть), также
должен быть принят вариант "В" краевых условий шарнирно опертой пластины
Рейсснера

5 4 Некоторые примеры 275
-К,
W
-?
-Ъл
-1
1
J
|Х„"
х™"
[г„„
=
XX)
0
0
Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что решение этой
уравнений имеет вид
Wm„
-, Ymn
(3 61)
" d X(?+02 ' m" x» (?+02 ' """ я Й+п2.)2
В частном случае загружения пластины постоянной нагрузкой q = qo
разложение в ряд Фурье дает
Я=\\ЯтпsinS„xsmЧ»У» гДе ?mn = "I"~
"" 71 /ИИ
причем суммирование здесь ведется только по нечетным индексам
Следовательно, для случая постоянной нагрузки решение для пластины
Реисснера с цилиндрическим шарниром на контуре имеет вид
16g0
1 A+^L+ni
"go у у
= 16g0yy 1 Ц„
~ v*Dkkmn(?+r?)2
ysin^mxsinrinjK,
sin^mxcosrinjK,
l»C/Qyy i sm (
~n2Dtitlmn^2m+42n)2
Теперь на основании формул (3.30) могут быть получены и все
внутренние силы в пластине. В частности, поперечные силы Q и ff,
развивающиеся на контуре пластины и равные соответствующей реакции
контура, получаются следующими
Q* (0, у) = XD(wtX + Qy) = ^% X ?•
к2 fif^tтп(^т+ц„)
sinri„jK,
Qy(x,0) = \D(wtj,-Qx)
Щ0
(3.63)
Если проинтегрировать эти поперечные силы по всему контуру пластины, то
получим значение суммарной реакции R, развивающейся на опорном
контуре пластины. Определим реакции Ry и Rx, действующие вдоль
отдельных граней пластины

276 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть II
Ry = jV (0, y)dy , Rx = j" V (x, 0)dx.
Ясно, что R = 2(RX + Ry), так что, выполнив вычисления, получаем
'4ZE~^fe4 <3.64)
тг tittmn^my]n {к ttm J
Известно [21, стр.12, формула (48.12)], что сумма этого ряда (с нечетными
индексами) как раз и равняется величине тг2/8, так что окончательно
получаем R = q^ab, что и следовало ожидать, поскольку суммарные реакции
должны уравновешивать суммарную внешнюю нагрузку.
Что же касается изгибающих и крутящих моментов в пластине, то они
получаются следующими
M» = -D(-e,x+vex,)= ^XZ—
M^^(0^-0x,J = -^(l-v)gX^^^cos^xcos^.
Стоит обратить внимание на то обстоятельство, что углы поворота 0Х и 0^,
а также усилия Мч и Q' для этой задачи не зависят от параметра X.
Полученное решение может служить хорошим тестовым примером при
отладке вычислительных алгоритмов и программ, предназначенных для
расчета пластин Рейсснера.
Пластина Кирхгоффа
Для пластины Кирхгоффа соответствующее решение в двойных
тригонометрических рядах при шарнирном опирании пластины по контуру
принадлежит Навье [22]. Это решение для отдельного члена ряда Фурье
также представимо в виде
пку
(3.65)
и при этом удовлетворяются краевые условия на контуре w = 0, Мпп = 0.
После подстановки (3.65) в уравнение Жермен-Лагранжа (1.39) получаем
Wmn = У"" , , . (3.66)
Таким образом, при постоянной нагрузке q0 будем иметь

5 4 Некоторые примеры 277
16^^,^, 1 1
К D ~[Т\ГПП (^т +ц„)
Qx=w v=~}Ly > -.—!L-rTsincxcosr| v,
0 =-w =_l^LVyJ ^ cosE xsiiittv. (3.67)
Сопоставляя решение (3.66) для пластины Кирхгоффа с решением (3.62)
для пластины Рейсснера, замечаем, что прогибы пластин для этих двух
постановок задач различны, однако углы поворота нормали оказываются
одинаковыми.
Имея выражение для прогиба по (3.67) несложно получить и выражения
для внутренних сил в пластине Кирхгоффа. На основании (1.28) имеем
Мхх = - Ди>5ХХ + vw,^) = —р-У У -^f i!2i-sin^mxsinTi„.y,
ТС t^\w?\tnn (^m + 1"|„)
M^ = -D(l-v)^=-l%(l-v)XZ—-r^Vcos^xcos^.
И, наконец, пользуясь соотношениями (1.76), получим Кирхгоффовы
поперечные силы на контуре пластины
кча,у) = м'х+гм» = _l%yy_L^+(2-v)np^sm
'г тс ^^тп {чт+ЧпУ
K^X,b) = M-+2M-=-^yy^[^+^-V]^"sm^x. (3.68)
Заметим, что в угловых точках пластины действуют сосредоточенные силы
Р, равные по величине
P=2M-=^(l-v)XZ—-Н-ТГ ^
71 "">"« (^+T|J
и направленные в сторону возрастания оси Z.
Суммарная реакция на контуре пластины (без учета сосредоточенных сил
по углам) определится как
И вновь, суммируя все реакции по контуру пластины с учетом действия
сосредоточенных угловых сил, приходим к выводу о том, что эти реакции
уравновешивают внешнюю нагрузку.

278 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть II
Подсчитаем также обычные поперечные силы Q и ff, развивающиеся на
контуре пластины. Имеем
к2 ?}?!тп(?,+г\1)
Q>(x,b) = М-+М™ = -!%?Z—^Lsin^x . (з.70)
Посмотрим, как распределяются реакции г(х) вдоль одной из сторон
квадратной пластины, то есть при а = Ъ. Из формул (3.68) имеем
кх)^-(х,^)=-1%хх"2;(?"уУ51п—• (з-71)
тг tttt т(т +п ) а
Для пластины Кирхгоффа к этим распределенным по стороне пластины
реакциям следует добавить сосредоточенные отрывающие силы в начале и
конце стороны, равные половине сосредоточенной угловой реакции Р
тг ~;пО +п у
Вычисления дают (при v = 0.3)
Р/2 = q0a2 = 0.032 ,
что совпадает с результатом, приведенным у Тимошенко [22, стр. 199,
рис. 81].
Распределение контурных реакций г(х) для квадратной Кирхгоффовой
пластины показано на рис. 5.9 На этом же рисунке приведено и
распределение контурных реакций, подсчитанное для пластины Рейсснера
по формулам (3.53).
Как это видно из приведенных графиков, доля реакции опорного контура,
приходящаяся на угловые точки, в теории пластин Кирхгоффа весьма
существенна для квадратной пластины. В то же время для пластины
Рейсснера (в варианте краевого условия "А") реакция опорного контура в
угловых точках пластины, как это следует из выражения (3.53), равна нулю и
в этом смысле расхождения двух сравниваемых теорий существенны.
Ожидания уточнения результатов расчета с использованием рейсснеровой
теории изгиба пластин не оправдываются в том числе и по той причине, что
к сравнению, следовало бы привлечь решение задачи с краевым условием по
варианту "В", то есть при условии свободного опирания пластины Рейсснера
по контуру. Результаты таких вычислений, выполненных независимо
разными авторами (например, Кроммом [23, 24] и Доннелом [25]23),
показаны на том же рис. 5.9.
23 Справедливости ради, следует сказать, что вычисления Кромма относятся, строго
говоря, к несколько иной теории изгиба пластин, учитывающей деформации
сдвига, построенной самим Кроммом и отличающейся от теории Рейсснера

5 4 Некоторые примеры 279
Рис. 5.9. Распределение контурного реактивного давления вдоль стороны
квадратной шарнирно опертой п
Показанные три кривые на рис. 5.9 имеют следующий смысл кривая 1
показывает распределение кирхгоффовых контурных сил (без
сосредоточенной отрывной контурной силы Р = 0,032 q0a2 в углу пластины)
Если подсчитать величину отрывной (отрицательной) реакции на четверти
контура пластины, то оказывается, что численно она весьма близка
О.ОЗг^оО2, то есть величине сосредоточенной отрывной силы в угловой
точке пластины Кирхгоффа, приходящейся на одну из сторон квадрата,
примыкающих к угловой точке. Кривая 2 показывает распределение
контурных реактивных сил Q, подсчитанных для пластины Рейсснера при
краевых условиях типа цилиндрический шарнир. Наконец, кривая 3
показывает распределение тех же реактивных сил Q, подсчитанных для
пластины Рейсснера, но при краевых условиях свободного опирания
Заметим, что пластиной Кирхгоффа невозможно воспроизведение
краевых условий по типу "А" - цилиндрический шарнир. Это вызвано тем
обстоятельством, что пластина Кирхгоффа, в принципе не способна
передавать через свой контур крутящий момент на окружающую пластину
конструкцию.

280 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть II
5.5 Заключительные комментарии к главе 5
Принятие гипотез Кирхгоффа-Лява в технической теории изгиба пластин
приводит, вообще говоря, к противоречивым соотношениям В самом деле,
исходные посылки этой теории в виде
6ZZ = 0, о* = 0,
будучи подставленными в соотношение упругости для трехмерной задачи
szz=-(azz-vaa-v&y),
приведут к равенству ст** + (У = 0, а значит и М** + М^ = 0, что, конечно же,
не выполняется.
Кроме того, нарушенными оказываются и соотношения упругости для
касательных напряжений
= _L ~ = _L у
Yxz--T , У„--т ,
поскольку сдвиги Yxz и Yxz принимаются равными нулю, а касательные
напряжения xxz и xyz, извлекаемые из уравнений равновесия, оказываются
отличными от нуля.
Противоречивость этих условий есть неизбежная расплата за принятие
гипотез Кирхгоффа. Оправданием этих нарушений служат следующие
соображения. Во-первых, из всех типов уравнений трехмерной задачи
теории упругости (геометрические уравнения, уравнения равновесия,
физические уравнения) наименее важными как раз и являются соотношения
упругости. Во-вторых, условие azz = 0, следует рассматривать не в
абсолютном смысле, а только лишь в смысле пренебрежения малой
компонентой напряжений azz в соотношениях упругости по сравнению с
остальными тремя компонентами нормальных напряжений а1" и ауу, что дает
1 1
е™= -(y-vc^-vcf2)* -(o^-vO-
Е Е
Именно в таком виде и принимаются первые два из физических
соотношений (1.12) в теории пластин Кирхгоффа-Лява.
Иногда, в качестве логического оправдания считают, что рассматриваемая
пластина выполнена не из изотропного материала, а из трансверсалыю
ортотропного, для которого третье из физических соотношений может быть
записано в виде
azz аа+а^ п

5 5 Заключительные комментарии к главе 5 281
Поскольку модуль Ei считается большой величиной, а коэффициент vi
напротив, весьма малой, то для малости ггг не требуется выполнения
равенства а™ + (У « 0 даже и в приближенном смысле
Аналогичные физические соотношения принимаются и для поперечных
касательных напряжений
1 = 1 «
G, Ь G,
с весьма большой величиной модуля сдвига G\, что и позволяет
приближенно отождествлять сдвиги yxz и уу2 с нулем при отличных от нуля
значениях касательных напряжений xxz и х-*"2.
Далее, приведенная в этой главе теория пластин Рейсснера является
простейшим вариантом из множества предложенных теорий для пластин
средней толщины. В этой теории учитывается тот вклад, который вносят
поперечные касательные напряжения в общий энергетический баланс
системы и не учитывается энергия, запасаемая малыми напряжениями ctzz
Как показывают сравнительные расчеты, в большинстве случаев учет
влияния поперечного сдвига вносит в решение задачи существенно большую
поправку, чем учет влияния нормального обжатия пластины. Это
справедливо даже и для пластин, лежащих на упругом основании, если
только это упругое основание не является достаточно жестким.
В дискуссиях по поводу кирхгоффовой теории пластин можно встретить
утверждение, что обобщенные Кирхгоффовы поперечные силы К не имеют
"физического смысла", а их сосредоточенная составляющая, возникающая в
угловых точках пластины, вообще именуется "фиктивной силой"2А
Этот словесный пассаж трудно комментировать по крайней мере до тех пор, пока
точно не определен сам смысл термина "физический смысл" Конечно же, понятие
сосредоточенной силы является модельной идеализацией, иными словами сильной
абстракцией Но разве подобного рода модели не употребляются в механике
сплошь и рядом, в том числе и модель сосредоточенного воздействия'' Почему же в
качестве внешнего воздействия эта расхожая классическая модель мыслится как
допустимая, а для внутренней силы в пластине Кирхгоффа ее применение
вызывает протест''
В качестве исторической параллели можно напомнить, что наделение внутренних
сил, распределяемых в соответствии с законом дельта-функции Дирака, эпитетом
"фиктивные" уже встречалось в механике Так было, например, когда
рассматривалась задача о расчете пластины, покоящейся на двухпараметровом
основании В этом случае на контуре пластины (не обязательно в угловых точках)
возникает поперечная контурная сила, причем она возникает вне зависимости от
используемой теории пластин, в том числе и для пластины Рейсснера Если
принять одну из возможных интерпретаций двухпараметрового основания как
натянутую мембрану, опирающуюся на винклеров слой пружин, то будет понятно,
что производная от функции прогибов мембраны в контурных точках пластины в
направлении нормали к этому контуру будет претерпевать разрыв Но этот разрыв
в производной не может быть вызван ничем иным кроме как сосредоточенным (в
направлении нормали к контуру пластины) воздействием на мембрану Это и

282 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть II
Более того, утверждается, что кирхгоффовы поперечные силы не
уравновешивают (в проекции на ось Z) действующую на пластину
нормальную нагрузку q, тогда как обычные поперечные силы Q эту нагрузку
уравновешивают. Но последнее утверждение основано на недоразумении,
поскольку в кирхгоффову поперечную силу при проверке равновесия в
проекции на ось Z авторы упомянутого утверждения, по-видимому,
забывают включить сосредоточенные кирхгоффовы силы, действующие в
угловых точках контура пластины На самом же деле эти сосредоточенные
силы есть просто часть сил К, распределение которых по контуру отвечает
дельта-функции Дирака.
Покажем, что можно и не проверять выполнения упомянутого уравнения
равновесия в конкретных задачах, поскольку оно выполняется в общем
случае. В самом деле, выделим из области Q, занимаемой пластиной,
некоторую подобласть cocQ, ограниченную контуром L, причем этот
контур может быть как гладким, так и имеющим некоторое количество точек
перелома. В частном случае со = Q и тогда контур L совпадет с границей Г
области Q. Равнодействующую нагрузки q, приходящейся на выделенную
подобласть со обозначим как R, то есть
R= jqdQ
В силу уравнения равновесия (1.33), выполняющегося для кирхгоффовой
пластины в дифференциальной форме, эту же равнодействующую можно
записать и так
R = ~\{QX,X + Qy,y)dn = -j(Qxnx+Qyny)clL = -JQ"dL ,
где использована формула Гаусса-Остроградского и выражение (1.58) для
контурной поперечной силы Q" Итак, обычные контурные поперечные
силы Q" интегрально уравновешивают действующую нагрузку по любой,
выделенной из области Q, подобласти со. Но то же самое справедливо и по
отношению к кирхгоффовым поперечным силам К. Для этого достаточно
лишь показать, что
j(K"-Q")dL = 0.
Подставляя сюда выражение для К" по формуле (1.76)25, приводим
доказываемое равенство к виду
означает, что в свободной от закреплений пластине, уложенной на
двухпараметровое основание, возникают не равные нулю поперечные силы на ее
контуре как результат взаимодействия между мембраной и пластиной Так что и
здесь понятия фиктивности, по смыслу употребления противопоставляемое
понятию реальности, есть лишь выражение недоверия авторов этого термина к
очередной модельной абстракции
Для упрощения формул будем считать, что внешняя моментная нагрузка
отсутствует Это позволяет положить т' = 0 в формуле (1 76)

Литература 283
что выполняется, если учесть определение сосредоточенных сил Рр по (1 70)
как скачков крутящего момента М"' при переходе через угловые точки
контура L
В тесной связи с обсужденным выше находится и такой, имеющий
немалое прикладное значение вопрос, относящийся как к расчетчикам, так и,
в большей степени, к разработчикам программных комплексов по расчету
конструкций Что же принимать в качестве усилий взаимодействия между
пластиной и конструкцией, на которую эта пластина опирается, если в
качестве механической модели для пластины используется теория
Кирхгоффа?
В ответе на этот вопрос среди наиболее критично настроенных (по
отношению к классической теории пластин) авторов можно услышать
солидаризированный ответ следует принимать во внимание не
кирхгоффовы поперечные силы К, а обычные поперечные силы Q, как
интегральную характеристику соответствующих поперечных касательных
напряжений Но с такой рекомендацией трудно согласиться, считая
логичным как раз противоположный совет
Действительно, если в качестве рекомендуемой принять обычную
поперечную силу, то придем к противоречию Так, если контур пластины
свободен от закреплений и от внешних воздействий, то никто не возражает,
что математически оправданным является как раз нулевое краевое условие
по кирхгоффовой поперечной силе Но это означает, что обычная
поперечная сила Q окажется отличной от нуля на свободном краю пластины
И эта ненулевая поперечная сила повиснет в воздухе, не будучи способной
быть воспринятой окружающей конструкцией
Само собой разумеется, что вопросы подобного рода просто пропадают,
если расчет ведется на основе какой либо сдвиговой теории пластин
Литература
1 АмбарцумянСА Теория анизотропных пластин -М Наука, Физматгиз, 1967 -
266 с
2 Тимошенко С П История науки о сопротивлении материалов - М Гостехиздат,
1957 -536 с
3 Kirchhoff G Uber das Gleichgewicht und die Bewegung einer elastischen Scheibe -
J ReineAngew Math 1850,Bd 40 S 51-58
4 Пановко Я Г Механика деформируемого твердого тела Современные концепции,
ошибки и парадоксы - М Наука, Физматгиз, 1985 - 287 с
5 Бидерман В Л Механика тонкостенных конструкций -М Машиностроение,
1977 -486 с

284 5. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть П
6 Herrmann RL Finite element bending analysis for plates - J Eng Mech Div , 1967,
No EM5,p 13-26
7 Олман Дж T, Кей Дж Е Треугольные конечные элементы для расчета изгибаемых
пластин при постоянных и линейно распределенных изгибающих моментах В
сб Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ, том 1 Под ред
АП Филина -Л Судпромгиз, 1974,С 80-101
8 Елсукова К П , Сливкер В И К расчету изгибаемых пластин по методу конечных
элементов В сб научных работ ЛПИ, Метод конечных элементов и
строительная механика Под ред Л А Розина -Л Изд-во ЛПИ, 1973 С 45-59
9 Мусхелишвили НИ Некоторые основные задачи математической теории
упругости -М Наука, Физматгиз, 1966 -707 с
10 Лурье А И Статико-геометрическая аналогия в теории плит - В сб Успехи
механики деформируемых сред К 100-летию со дня рождения академика Б Г
Галеркина-М Наука, 1975, С 355-359
11 Гольденвейзер АЛ Теория упругих тонких оболочек - М Гостехтеориздат,
1953 -544 с
12 Лурье А И О статико-гео метрической аналогии в теории оболочек - В сб
Проблемы механики сплошной среды К семидесятилетию академика НИ
Мусхелишвили - М Изд-во АН СССР, 1961, С 233-240
13 Михлин С Г Проблема минимума квадратичного функционала - М-Л
Физматгиз, 1952 -216 с
14 Розин Л А Задачи теории упругости и численные методы их решения - СПб
Изд-во СПбГТУ, 1998 - 531 с
15 Розин Л А Деформационные граничные условия в теории упругости - Известия
АН СССР, Механика и машиностроение 1964, №4, С 96-101
16 Васильев В В О теории тонких пластин - Известия АН СССР, МТТ 1992, №3,
С 26-47
17 Лебедев НН Специальные функции и их приложения М-Л Физматгиз, 1963 -
358 с
18 Жилин П А О классической теории пластин и преобразовании Кельвина-Тета —
Известия АН СССР, МТТ 1995, №4, С 133-139
19 Гордон Л А, Готлиф А А Статический расчет бетонных и железобетонных
гидротехнических сооружений -М Энергоиздат, 1982 -239с
20 Гордон Л А , Скоморовский Я Г, Фридман Е Ш, Шойхет Б А Расчет и
экспериментальные исследования пластин средней толщины - Известия ВНИИГ
им БЕ Веденеева Том95,1971,С 142-166
21 ДвайтГБ Таблицы интегралов и другие математические формулы -М Наука,
Физматгиз, 1983 -172с
22 Тимошенко С П, Войновский-Кригер С Пластинки и оболочки - М Физматгиз,
1963 -635 с
23 Kromm A Verallgemeinerte Theone der Plattenstatik - Ingr Arch 1953, Bd 21, 4,
S 266-286
24 Kromm A Uber die Randquerkrafte bei gestUtzten Platten - Z Angew Fur Math Und
Mech 1955, Bd 35,6/7, S 231-242
25 ДоннеллЛГ Балки, пластины и оболочки М Наука, Физматгиз, 1982 -567 с

6. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ - часть 3
Не существует правил для отыскания путей в дебрях
природы Творческий разум руководствуется обобщением
результатов эксперимента, аналогиями и перенесением так
или иначе переработанных старых понятий в новые
представления Именно здесь гибкость и универсальность
математической формы вариационных принципов механики
приходит на помощь исследователю
Л. Полак. Из предисловия к книге К Ланцоша
Вариационные принципы механики - М Мир, 1965, с 5
6.1 Кручение массивных стержней - теория
Сен-Венана
В год написания этих строк исполняется ровно 150 лет с того
знаменательного для развития всей теории упругости момента, когда
Баре Сен-Венан представил во Французскую Академию наук свой
знаменитый мемуар о кручении призм [1], заложивший не только основу
теории свободного (чистого) кручения призматических стержней, но и
сформулировавшей эту теорию в деталях и в форме, дошедших до нашего
времени в практически не изменившемся виде1.
В основание этой теории могут быть положены некоторые гипотезы
кинематического характера. В теории кручения стержней эти гипотезы
играют роль, аналогичную роли гипотезы плоских сечений Бернулли-Эйлера
в технической теории изгиба стержней2. Но перед тем, как мы сформулируем
эти гипотезы, уместно оговорить некоторые соглашения и принять систему
обозначений.
1 Повидимому именно этот момент и следует принимать за начало отсчета времени
в истории теории кручения стержней, хотя работа Сен-Венана [2] была
опубликована спустя два года в 1855 г
2 При построении теории кручения стержней по Сен-Венану можно и не вводить в
явном виде каких-либо кинематических гипотез, а исходить непосредственно из
общих уравнений трехмерной задачи теории упругости, применяя к задаче
кручения стержней предложенный и разработанный тем же Сен-Венаном так
называемый полуобратный метод [3] решения задач теории упругости

286 6. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть III
Пусть (X,Y,Z) правоориентированная декартова система осей, причем ось
X параллельна образующей призматического стержня, а оси Y и Z являются
главными центральными осями инерции поперечного сечения стержня3
Само поперечное сечение стержня занимает в плоскости (X,Y) область Q с
границей Г (рис. 6.1). Начало оси X удобно совместить с начальным
сечением стержня
Рис. 6.1. Чистое кручение призматического стержня
Пусть и единичный вектор внешней нормали к границе Г области Q, a t
единичный касательный к этой же границе вектор, причем взаимную
ориентацию этих векторов определим условием их* = гх, где ix орт оси X
Компоненты векторов и и * относительно системы координат (Y,Z)
обозначим соответственно пу, nz и ty, tz. Из рис 6.1 замечаем, что
ny = U, nz = -ty (11)
Будем считать, что боковая поверхность стержня свободна от нагрузок и
что все внешнее воздействие на стержень сводится к крутящим моментам
М, приложенным в торцевых сечениях, то есть в сечениях с координатами
х — О и х = I, где / длина закручиваемого стержня4 В соответствии с
принципом Сен-Венана считается, что способ реализации крутящего
момента несущественен, если интересоваться напряженным состоянием
стержня на некотором удалении от места приложения нагрузки.
Итак, принимаются следующие кинематические гипотезы:
• каждое поперечное сечение стержня в процессе деформации не изменяет
своего профиля. Иными словами, поперечное сечение стержня в своей
плоскости ведет себя как абсолютно жесткое тело, поворачивающееся на
некоторый угол 0(х) вокруг оси X
3 Как мы увидим позже от требования совмещения осей Y,Z с главными
центральными осями инерции сечения стержня можно отказаться
4 Именно эти условия нагружения и определяют так называемое свободное или
чистое кручение стержней

6.1 Кручение массивных стержней - теория Сен-Венана 287
• в процессе закручивания стержня его поперечные сечения испытывают
коробление (депланируют), допуская выход точек поперечного сечения из
плоскости. Следуя Сен-Венану, полагаем, что все поперечные сечения
стержня депланируют одинаково Это означает, что перемещение и в
направлении оси X не зависит от координаты х. Более того, перемещение
и считается пропорциональным скорости изменения угла закручивания 0,
то есть величине 0' (штрихом помечается дифференцирование по
продольной координате х)5 В литературе параметр 0' иногда называют
круткой стержня
Чтобы исключить жесткое смещение тела требуется наложить на тело 6
внешних связей. В частности, можем считать, что начальное сечение
стержня (при х = 0) не испытывает поворота вокруг оси X. Кроме того,
считается, что точка оси X, расположенная в начале системы координат
(X,Y,Z), не получает каких либо перемещений Наконец, концевая точка
стержня на оси X с координатами (/,0,0) закрепляется от смещений в
направлении осей У и Z. Иначе говоря, принимается
0О = 0(0) = 0, щ = и(0,0,0) = 0, 17о = у(ОДО) = 0, w0 = и>(0,0,0) = 0,
17, = 17(/,0,0) = 0, w, = и>(/,0,0) = 0 (12)
Понятно, что эти шесть внешних связей всего лишь закрепляют тело от
жестких смещений, не оказывая влияния на его напряженное состояние Что
же касается величин перемещений, то они устанавливаются с точностью до
жестких смещений. Легко показать, что в этих условиях и все точки
стержня, лежащие на оси X, не смещаются, иначе говоря
м(х,0,0) = 0, 17(х,0,0) = 0, и»(х,0,0) = 0, (13)
где u,v,w - компоненты перемещений относительно соответствующих осей
системы (X,Y,Z), являющиеся функциями координат (х,у^).
Действительно, предполагая, например, что 17(х,0,0) Ф 0, сразу же
получим, что в процессе деформации ось стержня будет обладать кривизной
в плоскости (X,Y). Но тогда, в сечениях стержня с ненулевой кривизной
будут возникать изгибающие моменты М2 Но внешние нагрузки,
действующие на стержень, не способны воспроизводить эти изгибающие
моменты. Полученное противоречие и доказывает справедливость равенства
1>(х,0,0) = 0. Если же предположить, что и(х,0,0) Ф 0, то придем к
необходимости воспроизведения внешними силами продольной силы N в
стержне, чего на самом деле нет.
5 В технической литературе на английском языке вместо термина депланация
(deplanation) принято пользоваться термином warping, дословно обозначающим
коробление

288 6. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть III
6.1.1 Функция кручения Сен-Венана. Функционал Лагранжа
Очевидно, что на математическом уровне сформулированные кине-
матические гипотезы позволяют выразить компоненты перемещений и, v, w
относительно соответствующих осей системы (X,Y,Z) в следующем простом
виде
и = 0'фО^) - 0'ф(О,О), i7 = -0z, ю = ву, (1.4)
где ц>(х,у) - некоторая функция, называемая функцией кручения Сен-Венана и
подлежащая в дальнейшем определению6.
Согласно второй кинематической гипотезе и не зависит от х,
следовательно, крутка 0' является константой, что с учетом (1.2) приводит к
линейной зависимости угла поворота 0 от координаты х
в(х) = в'х. (15)
Если воспользоваться общими формулами 4.2.1-6 для компонент тензора
деформации, то обнаруживается, что все они равны нулю за исключением
сдвиговых компонент гух и szx. Удобнее, однако, пользоваться не
компонентами тензора деформации еух и ezx, а углами сдвига уух =2гух
и yzx = 2ezx, которые на основании (1.4) и (1 5) получаются следующими
yyx = v,x + u,y=Q'(q>,y-Z), yzx = w,x + u,z = Q'(q>,z+y). (1.6)
На основании закона Гука нулевыми оказываются и все компоненты
тензора напряжений за исключением касательных напряжений хух и xzx. При
этом
zyx = Ge'(<p,y-z), xzx=Gd'((p,z+y). (1.7)
Краевые условия для скручиваемого призматического стержня
формулируются следующим образом:
• на торце х = 0: v = 0, w = 0,
• на торце х = /: v = -Q'lz, w = Q'ly,
• на боковых гранях тх" = т хупу + т xznz = 0.
Последнее требование вытекает из условия отсутствия нагрузки на
боковых гранях стержня и значит компонента касательного напряжения по
направлению нормали п к контуру сечения Г должна равняться нулю.
С учетом (16) и (17) энергию деформации Е закручиваемого стержня
можно представить в виде
Е = \ \j(^yyx+^yJdQdx = ^ |[(Ф>„ -z)2 +(% +yf]dQ . (1.8)
6 Здесь принимается, что угол поворота сечения 9 мал Это и позволяет считать
компоненты перемещений v и w пропорциональными углу 6, положив в формуле
(\4)v = -Qz,w = Qy

6.1 Кручение массивных стержней - теория Сен-Венана 289
На основании (1 2) силовой потенциал П3 создается одним только внешним
моментом М , приложенным на торце х = I, и может быть записан в виде
П5=М07 (19)
В результате имеем следующее общее выражение для полной
потенциальной энергии системы
Ц0',ф) = Е- П5 = ^-Lj[((py -zf +(Фг + yf]dQ- М 07 (1.10)
Итак, в задаче о кручении стержня функционал Лагранжа зависит от двух
переменных от числового параметра 0' и от функции кручения ф Варьируя
функционал Лагранжа по этим переменным и, используя формулу Гаусса-
Остроградского, получаем
5L = G07 |[(ф^ - zf + (Ф;2 + yf]dQ 50' - М /50' +
+Gd'2lj(-(pyy-(prZZ)5(pdn+Ge'2lj>[((py-z)ny+((pz +y)nz]5<pdr (1 И)
Приравнивая 5L нулю и учитывая независимость вариаций 59' и 5ф,
получаем отсюда уравнения Эйлера и естественные краевые условия для
функционала L В качестве уравнений Эйлера выступают
М = G9'J[^ -zf +(Фг +yf]dQ, (1.12)
Ф>>у+Ф>гг=0 еП, (ИЗ)
а в качестве естественных краевых условий
(<pry-z)ny+(<prZ+y)nz=0 еГ, (1.14)
что эквивалентно статическому краевому условию ххп = ххупу + т**П: = 0 на
боковых гранях стержня
Вводя обозначение для момента инерции
h = J[(q>,, -z)2 +(ф>г +yf?0., (i 15)
перепишем (1 12) в привычном для сопротивления материалов виде
M = GIXQ' (116)
Геометрическая характеристика сечения 1Х носит название крутильного
момента инерции сечения
Далее, дифференциальное уравнение (1 13) определяет гармоническую в
области Q. функцию ф Но оператор Лапласа
ду dz

290 6. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть III
инвариантен по отношению к выбору декартовой системы координат
Соотношения (1.1) позволяют переписать и краевое условие (1 14) для
искомой гармонической функции ф в инвариантном по отношению к
повороту системы координат виде, а именно,
7Г = (М) еГ (1.17)
an
где r=yiy + ziz - радиус-вектор, определяющий произвольную точку границы
Г (рис 6 1) Итак, мы можем отказаться от требования, чтобы оси Y и Z
были главными осями инерции, но сохраняем пока требование, чтобы ось X
была совмещена с осью центров тяжести сечений стержня, поскольку
скалярное произведение (r,t), вообще говоря, зависит от размещения начала
координат в плоскости (Y,Z).
На математическом уровне говорят, что совокупность диф-
ференциального уравнения (1.13) и краевого условия (1.17) определяет
постановку задачи Неймана для уравнения Лапласа
Выражение для момента инерции 1Х можно записать и в ином, отличном
от (1 15) виде. С этой целью определим крутящий момент Миз условия
равновесия
М= \{-xyxz+x2Xy)dVL. (1.18)
Подставляя сюда выражения для напряжений по (1.7), получаем
М = G0' J[-(9;J, -z)z +(фг + y)y]dQ , (1.19)
следовательно,
Ix = j[-<q>,y-z)z+(.%+y)y]dn.
Из сопоставления (1 15) и (1 20) вытекает равенство
[(Ф^+Ф^УО = j(<pyz-q>2y)dCl,
которое можно доказать и напрямую, воспользовавшись для этих целей
формулой Гаусса-Остроградского
Можно проверить (на этом не останавливаемся), что принятые на
основании сформулированных выше кинематических гипотез поля
перемещений по (1.4) и (1 5), деформаций по (1.6) и напряжений по (1 7)
точно удовлетворяют уравнениям равновесия в объеме тела и всем
граничным условиям на боковой поверхности скручиваемого стержня. Что
касается граничных условий на торцовых поверхностях стержня, то они
удовлетворяются только в интегральном смысле - в смысле статической
эквивалентности напряжений на этих поверхностях заданному
скручивающему моменту
(120)
(121)

6.1 Кручение массивных стержней - теория Сен-Венана 291
6.1.2 Функция напряжений Прандтля. Функционал Тимошенко
Вместо функции кручения ф можно ввести в рассмотрение так называемую
функцию напряжений Прандтля \|/, связав ее с функцией кручения ф с
помощью следующих соотношений
\|/,z = (ф,, - z)GQ', yv = -(ф„ + y)GQ' (1 22)
Непосредственно из определения следует, что функция напряжений
Прандтля удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению
(уравнению Пуассона) в области Q
V\=-2GQ' efi (123)
Перейдем теперь к описанию краевого условия, которому должна
удовлетворять функция Прандтля Формулы (1.7) для касательных
напряжений в сечениях скручиваемого стержня после подстановок в них
(1.22) вьфажаются совсем просто через функцию \|/
т7' = \|/,z , тzx = ~Ц1,У . (1.24)
Ранее отмечалось, что на контуре Г должно быть выполнено условие хх" = О,
что дает
тх" = \\i,znv-\ii,vnz = \\i,yty + \\i,ztz=—=0 &Г (1.25)
ds
Здесь s дуговая координата, отсчитываемая в положительном направлении
движения по контуру.
В общем случае сечение стержня занимает неодносвязную область Q Это
означает, что граница Г состоит из нескольких независимых замкнутых
контуров, скажем для (m+l) - связной области из контуров Г0, Ги..., Гт, так
что r = r0Kj FjU.-.u Гт. При этом полагаем, что Го обозначает внешнюю
границу области Q, тогда как Г\, ..,Гт — границы областей Q, ("дыр") Если
обозначить через О0всю область, охватываемую границей Гй, то тогда
исходная область Q может быть получена вычитанием из нее всех "дыр", то
есть
О = О0-?Я- (126)
В силу (1.25) функция Прандтля не изменяется на любом из этих
контуров, следовательно, для этой функции на каждом контуре справедливо
краевое условие
\|/ = С, еГ, 0 = 0,1, ,т\ (127)
где С, - некоторая константа, своя для каждого из замкнутых контуров Без
ограничения общности можно считать при этом, что С0 = 0, поскольку
добавление произвольной константы к функции \|/ не меняет распределения

292 6. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть III
напряжений, и именно так и поступают при решении задач. Однако, для
общности мы не будем априори полагать, что С0 = О
На математическом уровне говорят, что совокупность диф-
ференциального уравнения (1.23) и краевых условий (1.27) определяет
постановку задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
Потенциальная энергия Е, аккумулируемая в скручиваемом стержне,
может быть выражена через функцию Прандтля следующим образом
EM-jr^'W^p^fan. (1.28)
Теперь нам удобно рассмотреть вместо исходной задачи о воздействии на
стержень скручивающих моментов М задачу с наложенной внешней связью,
препятствующей повороту концевого сечения х = / При этом в качестве
внешнего воздействия на стержень примем кинематическое воздействие -
заданный ненулевой угол поворота в, концевого сечения стержня. Иначе
говоря, дополнительно к 6 связям по (1 2) полагаем
0(0=0,. (1.29)
Для того, чтобы различать постановку исходной задачи Сен-Венана и
постановку задачи о кручении того же стержня, но с наложенной внешней
связью (1 29), будем в дальнейшем называть исходную задачу о воздействии
на стержень заданного момента М задачей а, а задачу о воздействии на
стержень заданного угла поворота в, задачей Ь.
Если принять, что развивающиеся в начальном и концевом сечениях
стержня в задаче b реактивные крутящие моменты равны М, то, очевидно,
что напряженное и деформированное состояния задачи а и задачи b будут
одинаковыми. Отсюда, в частности, следует, что и крутка 0' окажется
одинаковой для задачи а и для задачи Ь. Иначе говоря,
0'=-|. (1.30)
Обращаясь теперь к задаче Ь, заметим, что на боковых гранях напряжения
отсутствуют, тогда как на торцовых гранях нам известны перемещения,
причем для задачи b эти перемещения отличны от нуля только на торце х = /
и равны следующим величинам:
v=-Slz, w = Q,y.
Следовательно, для кинематического потенциала Г\Ьк, построенного для
задачи Ь, имеем
П№= fcyxv + izxw)dQ. = -Ql J(\|/zz + \|/^)<iQ. (1.31)
Входящий сюда интеграл можно преобразовать с помощью формулы Гаусса-
Остроградского, что дает

6.1 Кручение массивных стержней - теория Сен-Венана 293
п*к = 2 9/ J Ч*Ю - 9, j> (r,n)ydr (132)
Ранее мы установили, что статические краевые условия на боковых гранях
стержня сводятся к требованиям (1.27) на каждом из контуров области.
Следовательно, разбивая общий контурный интеграл в (1.32) на сумму
отдельных интегралов по каждому из замкнутых контуров и учитывая
постоянство функции \\1 на каждом из этих контуров, можем переписать
(1 32) в виде
П4к=29, jydn- 9, C0j>(r,n)dr+?с,ф(г,и)с/Г .
Далее, несложно заметить, что
§{r,n)dr = 2A,,
где А0- площадь области Оо7 Аналогично и для остальных контуров
получаем
ф(г,и)</Г = -24,
где А, - площадь Q, (положительная величина) Знак минус здесь
объясняется тем, что направление обхода контура Г, противоположно
положительному направлению обхода внешней для области Q, границы
В результате вместо (1.32) получаем
(1 33)
Теперь имеем возможность представить вьфажение для функционала
Кастильяно применительно к задаче Ъ
Мч/) = Е-
гем возможность представить выраж<
яшенительно к задаче Ъ
- П4к= Ijr^J'' -ijvldn+lQ, [c^-t^cA (134)
Итак, для определения функции ц/ имеем следующую вариационную
задачу
минимизировать функционал К4 на множестве функций \\i, которые
удовлетворяют на контурах Г, (/ = 0,1,.. ,т) статическим краевым
условиям (1.27).
Конечно же, с позиций стационарности этого функционала слагаемое
2 6, (сД-ХСд!
7 Это равенство легко доказывается с использованием формулы Гаусса-
Остроградского

294 6. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть Ш
является аддитивной константой, не изменяющейся при варьировании Кь по
Ц1 и, значит, может быть отброшено без ущерба для поиска точки минимума
кастильяниана Если это сделать, то придем к функционалу
Т(ч/)=П^^-/-2ё;Ч/Ьп, (135)
впервые полученному С П Тимошенко для задачи Сен-Венана о кручении
призм На приоритет Тимошенко указывает Л С Лейбензон [4, стр 340] На
самом деле, как мы только что видели, функционал Тимошенко
представляет собой варьируемую часть функционала Кастильяно, но
построенного не для исходной задачи Сен-Венана, а для задачи,
возмущенной связью (1 29), то есть для задачи b
Рассматривая момент М как интегральную характеристику касательных
напряжений по (1 18), получим с учетом (131)
М = j (-t^z + т"у)сЮ. = -J (у rz + y\ftyy)da = ^- (136)
Если подставить сюда выражение (1 33) для кинематического потенциала
Г\Ьк, то в результате найдем, что
A? = 2j\|/rfn-2|C04-jrC,4 J (137)
Еще раз обратим внимание на то, что при минимизации функционала
Тимошенко (1 35) краевые условия по (1 27) следует рассматривать как
главные для этого функционала, так что минимум Т(у) должен
рассматриваться на множестве функций, гарантированно удовлетворяющих
условиям (1 27)
Вместе с тем, краевые условия в форме (1 27) в случае неодносвязных
областей неудобны в использовании, поскольку они содержат неизвестные
пока константы С, Стандартный способ преодоления этой трудности лежит
на пути применения известной теоремы Бредта, к изложению которой мы и
переходим
Теорема Бредта о циркуляции касательного напряжения
Пусть L - замкнутая кривая, полностью лежащая в области Q
Криволинейный интеграл, взятый по этой кривой,
TL=j>x*xds, (138)
называется циркуляцией касательного напряжения по этой кривой. Здесь тя
составляющая касательного напряжения по направлению касательной к
кривой L
Поскольку xsx = xyxty + xzxtx = -Ц1,уПу - \\i,2nz = -ц),„, то отсюда получим

6.1 Кручение массивных стержней - теория Сен-Венана 295
^* (139)
Определим теперь продольное перемещение и через функцию Прандтля
На основании (1 4) и (1 22) имеем
м =^f + e'z, и =-I±-tfy. (140)
Очевидно, что необходимым условием однозначности функции и,
заданной в двумерной области Q своими частными производными, является
требование
которое должно бьпъ выполнено на всяком замкнутом контуре L, лежащем
полностью в пределах области Q. На основании (1 40) имеем
и,= и„^ + и,А = - — -6'(r,if)z, (142)
что приводит требование непрерывности и по (1.41) к виду
TL = -j>^ds = 2Q'AL, (143)
где AL - площадь двумерной области, лежащей в плоскости (X,Y)n
ограниченной замкнутым контуром L
Формула (1 43) представляет собой математическую запись известной
теоремы Бредта о циркуляции касательного напряжения при кручении-
Для любого замкнутого контура L, полностью расположенного в
пределах поперечного сечения стержня, циркуляция касательного
напряжения равна площади AL, ограниченной этим контуром,
{умноженной на 2GQ'.
Теперь, после установления теоремы Бредта, мы можем избавиться от
неопределенных констант при формулировке краевых условий Что касается
самого внешнего контура, то, как об этом уже было сказано, без ограничения
общности можно положить Со = 0 Условия же на каждом из внутренних
контуров вместо (1.27) могут бьпъ теперь замещены линейными
зависимостями
-S^-ds = 2Q'A, (z=l,. , /я), (1 44)
r G
которые уже не содержат каких-либо неопределенных констант
Но здесь возникает другая неприятность: при краевых условиях,
формулируемых в виде требований (1.44), мы отступаем от математической

296 6. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть Ш
постановки задачи Дирихле Стремление сохранить именно задачу Дирихле
приводит к следующему алгоритму.
Вместо одной задачи для (/я+1)-связной области строятся решения для
нескольких задач Дирихле в количестве (/я+1). Обозначим vj/, функцию
Прандтля для задачи у (/ = 0,1, . ,т), причем полагается
• для задачи 0 . V2yo = -2G9' eQ, щ = С, еГ„ С0 = 0, С, = 0, ,Ст = 0,
• для задачи j *0 V2vj//=0eQ; щ = С, еГ,; все С,= 0 при;*у, С}= 1
Понятно, что решение исходной задачи с функцией Прандтля ц/ может
теперь быть представлено в виде линейной комбинации
у = у0 + ?с^у. (1 45)
Представление решения исходной задачи по (1.45) позволяет записать
теорему Бредта для каждого из внутренних контуров Г, (i = \,..,m) в
следующем виде
Ч\п +ХСД,,„
_ф ?1 dr = 2Q'A, (i=l, .,т). (1.46)
г ^
Неизвестные константы С, (/ = 1, . , т) определяются решением системы
линейных алгебраических уравнений (1.46)8.
Центр кручения
Центром кручения называют точку поперечного сечения стержня, не
получающую перемещений в процессе деформирования стержня,
вызванного его закручиванием
Ранее мы наложили на закручиваемый моментами М стержень 6 внешних
связей (1 2), препятствующих перемещениям стержня как жесткого тела
При этом получалось, что все точки оси стержня (оси центров тяжести
поперечных сечений) сохраняют свое положение в пространстве, то есть по
определению эта ось одновременно является и осью кручения.
8 Можно показать, что на механическом уровне описанная выше процедура
представляет собой аналог известного в строительной механике стержневых
систем метода сил При этом матрица система уравнений (1 46) обладает всеми
добропорядочными свойствами, присущими матрице податливости, формируемой
для основной системы метода сил Оставим читателю в качестве упражнения
обоснование указанной интерпретации системы уравнений (1 46) Заметим только,
что в процессе такого обоснования удобным способом рассуждения служит ссылка
на так называемую "мембранную аналогию", отмечаемую во многих книгах по
теории упругости, в которых с большей степенью подробностей рассматривается
задача Сен-Венана - см, например, [4,5]

6.1 Кручение массивных стержней - теория Сен-Венана 297
Несложно, впрочем, проверить, что, не исключая предварительно жестких
смещений, вместо (14) мы могли бы положить
v = -Q'x(z - z0), w = Q'x(y- уо),
и = 0'[<p(y,z) - ф( у0, z0)] - 0'( zoy -yoz), (1 47)
гдеуо, zo произвольные константы.
Непосредственной проверкой легко убедиться в том, что перемещения по
(1.47) также являются решением задачи Сен-Венана. Отсюда вытекает, что в
задаче Сен-Венана положение центра кручения не может быть однозначно
определено9.
6.1.3 Двусторонние оценки момента инерции сечения на кручение
Введем в рассмотрение функционал J,,
J<p = |[(Ф„ - ^ +(<Р,г + У? ДО, (1-48)
определенный на множестве функций ф, заданных в области О. и
обладающих квадратично суммируемыми первыми частными
производными. Никаких требований по краевым условиям к функциям ф не
предъявляем.
Если обозначить теперь в', и ф» крутку и функцию кручения,
реализующие точное решение задачи Сен-Венана, то на основании (1.15)
получим
/, = J„(q>.)- (149)
Далее, в силу (1.10) функционал Лагранжа можно выразить через
функционал J,,
Ц0',ф) = Уг G{Q'fl\(<?) -Мв'1. (1.50)
Но на решении задачи лагранжиан принимает минимальное значение. В
частности, справедливо неравенство 1_(0^,ф») < 1_(0»,ф), что эквивалентно
неравенству
9 Мы обращаем внимание на этот простой факт потому, что в литературе
встречаются иногда не вполне точные утверждения о положении центра кручения
в сечении скручиваемого стержня Так, например, в известной монографии
А Н Динника [5, стр 282] при рассмотрении задачи Сен-Венана сказано "В случае
несимметричных поперечных сечений или сечений с одной осью симметрии
поворот поперечных сечений при кручении стержня происходит относительно
точки, которая может не совпадать с центром тяжести и которая называется
центром кручения"

298 6. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть III
Л < J„(q>) = J[(<piy - z)2 +(Ф>, + yf ]Л2 ,
обеспечивающему оценку сверху для крутильного момента инерции
сечения/* . Совокупность неравенства (1.51) и равенства (1.49) позволяет
записать следующую вариационную задачу на минимум для определения 1Х
A=mmJ,(q>). (1.52)
При построении гарантированной нижней оценки ограничимся для
простоты случаем односвязного сечения стержня10. Введем в рассмотрение
функционал Jv
Jv = 4 |\|яЮ - J(\|/^ +\|/2г )dQ., (1.53)
определенный на множестве функций у, заданных в области О. и
обладающих квадратично суммируемыми первыми частными произ-
водными. На контуре Г односвязной области Q допустимые к рассмотрению
функции \|/ должны принимать нулевые значения.
Покажем теперь, что для определения 1Х можно сформулировать
вариационную задачу на максимум функционала Jv, двойственную
вариационной задаче (1.52). Иначе говоря,
A=maxJ„(x|/). (1.54)
Действительно, вводя обозначение
GQ,
а=-^> (1-55)
убеждаемся в том, что функционалы Т(\|/) и J v связаны простым
соотношением
T(ay)=-^Jv(y). (1.56)
Перепишем функционал Тимошенко в виде
Т(\|/) = Е(у) -2 9, \\ydQ. , (1.57)
где Е(\|/) определяется по (1.28). Пусть у. функция Прандтля, реализующая
точное решение задачи Сен-Венана. Но тогда на основании теоремы
Клапейрона и с учетом соотношения (1.37) получим
Е(у„) = M^L t 2 jy.dCl = М,
следовательно,
10 Интересующихся оценкой снизу крутильного момента инерции для сечений с
неодносвязной областью отсылаем к книге С.Г Михлина [6, стр 142-145].

6.1 Кручение массивных стержней - теория Сен-Венана 299
Но функционал Кастильяно Кь (у), а вместе с ним и функционал
Тимошенко Т(\|/), принимает минимальное значение на решении задачи, что
можно записать и в форме неравенства
Т(у.)<Т(т|/), (1.59)
справедливого при любой константе а и при любой функции у из
допустимого множества. Подставляя сюда (1.56) и (1.58) и учитывая
положительность параметров а и 0,, приводим это неравенство к виду
A >Jv(y). (1.60)
Если теперь в соотношении (1.56) положить а=\ и у = у., то придем к
равенству
/, = JV(V). (1.61)
Совокупность неравенства (1.60) и равенства (1.61) эквивалентны
доказываемому вариационному принципу максимума (1.54)
Итак, имеем следующие двусторонние оценки для 1Х
J?(y)</, <иф(Ф). (1.62)
Полученные неравенства при выбранных для оценок величины 1Х
функциях у и ф можно слегка усилить следующим образом. Положим в
левой части неравенства (1.62) в качестве функционального аргумента
вместо у функцию а\|/, и подберем параметр а так, чтобы величина Jv(av(/)
принимала максимальное значение. Очевидно, что
Jv(ai|/) = 4a [\|/оЮ - а2 [(\у2у +i|/2z )dCl.
Понятно, что максимум Jv(ai|/) достигается при
2_fyrfQ 2_fyrfQ
a = -; , так что max J(ai|/) = . Q —
В результате левое неравенство в (1.62) усиливается до неравенства
-Г-? 7^^7- (L63>

300 6. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть III
Стоит еще раз напомнить, что функция у, используемая в этой оценке,
должна равняться нулю на контуре Г области Q.
Аналогичная идея проходит и для усиления верхней оценки по (1.62)
Рассуждая, как и при выводе (1.63), после простых выкладок получим
/(ф?,+Ф^«
где 1Г - полярный момент инерции сечения
Ir=j(y2+z2)dn.
Итак, окончательно имеем оценки
4 Jvrfn] (j(^yz-^zy)dD.)
т^ — ^ Л ^Л-^-? —¦
(1.64)
При проведении практических расчетов конструкций среди инженеров
популярна приближенная формула, рекомендуемая Власовым [7, стр 404]
4/ I,
Л * —— , (1 65)
где 1У и Iz — моменты инерции сечения относительно осей Y и Z
соответственно. Опираясь на неравенство (1.64), легко показать, что эта
формула всегда дает верхнюю (вообще говоря, грубую) оценку крутильной
жесткости. Действительно, для этого достаточно положить (p=yz и
выполнить простые вычисления по правой части неравенства (1.64)11.
6.1.4 О функционалах рейсснеровского типа для задачи о
кручении стержня
Прежде всего выпишем выражение для второй формы функционала
Рейсснера в общем случае трехмерной задачи теории упругости,
обратившись к формуле (4.2.24) и удалив оттуда члены, связанные с упругим
[. Итак, имеем
" В качестве упражнения покажите, что формула Власова дает наиболее тесную
оценку тогда, когда в качестве осей Y и Z выбраны главные центральные оси
инерции сечения стержня

6.1 Кручение массивных стержней - теория Сен-Венана 3 01
R2(a,u)= \{^DljklG"ak,+up,1j+ulX')dV +
+ ф epiul (р' - <з''п )dS - ф ejx^n dS, (1 66)
где трехмерный объем тела обозначен символом V, а ограничивающая тело
поверхность переобозначена через S, так как символ Гуже использован нами
в этом разделе для других целей
Агрегат У^д^а" представляет собой удельную величину энергии
деформации и в рассматриваемом случае кручения стержня этот агрегат
принимает вид
(т*)2 +(т")2
1G
Далее
СТ!.Л = z?yu + "СМ +i%v+x"w = (т,^ +т")0'(Ф~Фо). (1 67)
где обозначено cp0 = cp(0,0) Здесь же учтено, что в силу (1.7) касательные
напряжения от х не зависят
Итак, интеграл по объему Уъ формуле (1.66) принимает вид
j (i Dljklc'Jctl + u,c»j + u,X' )dV =
гГ(^)2+(т-)2 1 (168)
= 7J[ 2G +9'(^+^)(ф-Фо)|/П.
Обратимся к интегралам по поверхности S в (1.66), имея в виду их
построение для задачи Ь. Заметим, что первый из этих интегралов следует
брать только по боковой поверхности стержня, так как только на этой
поверхности краевые условия в задаче b ставятся в усилиях (причем, в
нулевых) и значит только там характеристические функции ер, выделения
статических краевых условий отличны от нуля. Итак
ф eplut (р' - a'Jnj )dS =
(1 69)
= -1 j> (т>*пу + т*Х )ы drdz = -Q'lj> хт (ф -%)dT
or г
Наконец, второй из контурных интегралов в (1.66) следует брать по
торцевому сечению стержня при х = I, так как только там одновременно и
характеристические функции еш выделения кинематических краевых
условий отличны от нуля и отличны от нуля заданные перемещения Этот

302 6. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть Ш
интеграл представляет собой кинематический потенциал Пл, введенный
нами ранее для задачи Ъ и представленный через функцию кручения ф.
Действительно, имеем
-^eJt^rijdS = -j(Ty'nx(-Qlz)-nzxnxQly)dCl = Qlj(xy'z-xzxy)da. (1.70)
s a a
Суммируя выражения (1.68), (1.69) и (1.70), полученные для отдельных
слагаемых функционала (1.66), приходим к функционалу реисснеровского
типа, построенному для задачи b и зависящему в данном случае от трех
функций хух, т", ф. Итак
RmO^.t "ф) = - 0, j> хт (ф - ф0 )dr +
с\ (х^2+(х1Х? - - 1 (1Л1)
+ jr ' 2д } / + 9/(Tj;+^)(9-9o) + 9/(T>»z-T^)pQ.
Заметим, что этот функционал определен на совокупности функций т-**, х",
Ф, не подчиненных заранее каким либо краевым условиям. Если
проварьировать этот функционал и приравнять его первую вариацию нулю,
то придем к следующим трем уравнениям Эйлера
и к естественным краевым условиям для этого функционала
хт = 0 еГ. (1.73)
Функционал Рейсснера по (1.71) можно перевести в его первую форму,
освободившись от дифференцирования касательных напряжений под знаком
интеграла по области Q. С этой целью воспользуемся формулой Гаусса-
Остроградского, что дает
в;/(^+тр(Ф-Фо>Ю =
D
-9, J (т^ф^ + x"qyI )dCl + Q,j> Xх" (ф - ф0 )dT
После подстановки этого выражения в (1 71) приходим к первой форме
функционала Рейсснера
Rm^.t'
>} = Л(тП2Н^)21 _ ^ (ф^ _z)_ е^(ф^ + y)Ln (1 ?4)
На этом завершим рассмотрение задачи Сен-Венана с позиций
вариационных ее постановок.

6.1 Кручение массивных стержней - теория Сен-Венана 303
6.1.5 Мембранная аналогия Прандтля. Кручение узкой полосы
Известно, что прогиб U мембраны, натянутой на контур Г, определяется
решением краевой задачи
Utyy+Uzz=-qlH eQ, U=0 еГ,
что математически идентично задаче о кручении стержня,
сформулированной через функцию напряжений Прандтля vj/12, если
натяжение мембраны Н и поперечную нагрузку q подобрать так, чтобы
выполнялось условие
2GQ' = q/H.
В этом случае функция перемещений U мембраны будет совпадать с
функцией напряжений vj/ Согласно формуле (1.37) объем V, заключенный
между поверхностью мембраны в деформированном состоянии и ее плоским
положением до приложения нагрузки численно будет равен половине
крутящего момента Мх Углы наклона деформированной поверхности
мембраны в плоскостях (Х,Т) и (X,Z) будут равны соответствующим
компонентам касательных напряжений Точнее говоря,
хух= ?/г , т* = -*/,, .
Далее, в задаче о кручении стержня с поперечным сечением, занимающем
односвязную область Q, справедливо следующее утверждение13:
Крутящий момент М*3**, порождаемый напряжениями хух, равен
{крутящемумоменту М(и), порождаемому напряжениями т", |
Иными словами, касательные напряжения в сечении, параллельные каждой
из осей декартовой системы координат, делят между собой полный
крутящий момент Мх поровну Доказывается это утверждение очень просто
В самом деле, по определению имеем
М(УХ) = _ Г xyXzdn ^ yW = J x*Cydn
Q Q
Подставив сюда выражение для напряжений через функцию Прандтля по
формулам (1.24) и воспользовавшись формулой Гаусса-Остроградского,
получим
Л/0">= -j\VzzdCl = j\VdCl-j)\VnIzdr,
а а г
М(ет) = - f \\i>yydQ. = | \\idCl - ф \\myydr.
12 В этом пункте ограничиваемся рассмотрением односвязных областей Q
13 По свидетельству СП Тимошенко и Дж Гудьера [8, стр 315] этот факт был
установлен Кельвином

304 6. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть III
Но для односвязной области Q функция Прандтля равна нулю на контуре,
следовательно,
Л^0"* = А/*"» = |\|/</П,
что составляет ровно половину от полного крутящего момента. Этот
результат корреспондируется и с ранее полученной формулой (1.37),
примененной к односвязному сечению закручиваемого стержня.
Покажем теперь, что на основании мембранной аналогии Прандтля и
доказанного только что утверждения о равенстве моментов М^^ и А/*ет)
приближенное решение задачи о кручении узкой полосы может быть
получено вполне элементарными средствами.
Рассмотрим сечение в форме полосы с характерными размерами bxh, где
Ъ - длина полосы, h - ее ширина (рис. 6.2).
Рис. 6.2. Кручение стержня с сечением в виде вытянутой полосы
Мембранная аналогия Прандтля позволяет предсказать, что решение
задачи о кручении стержня с сечением в виде изогнутой полосы не будет
существенно отличаться от задачи с сечением в виде прямолинейной полосы
тех же размеров, если отношение h/p « 1, где р радиус кривизны средней
линии в исходной изогнутой полосе. Далее, приближенно можно считать,
что функция прогибов мембраны, натянутой на вытянутый прямоугольный
контур, в подавляющей части области Q хорошо аппроксимируется
квадратной параболой, то есть U= k(h2 - 4z?) с некоторым коэффициентом к.
Очевидно, что такая аппроксимация вполне удовлетворительна по всей
длине Ъ прямоугольника, за исключением коротких участков длиной
порядка h вблизи концов прямоугольника. Поэтому, чтобы учесть более
аккуратно концевые участки области Q, полагаем
k(h2-4z2) , ye[-(b/2-h),(b/2-h)]
^-4z2)[l-^^j,^[^/2,-(!,/2^)]
(1.75)

6.1 Кручение массивных стержней - теория Сен-Венана 305
Объем V, заключенный между прогнувшейся мембраной и мембраной в
недеформированном состоянии, определится интегрированием функции U
по всему прямоугольнику (bxh), что дает
з L ъьу
так что на основании прандтлевской аналогии
Мх = GIQ' =
-М-*)-
В связи с принятой аппроксимацией можно считать, что напряжения хух
почти не изменяются с изменением координаты у, так что тух(у^) ~ тух(Ы2^)
Для сокращения записи обозначим Ti = -хух{Ы2,Ы2). Знак минус здесь
поставлен потому, что величина ti считается положительной, тогда как по
принятому правилу знаков напряжение xyx(b/2,h/2) отрицательно при
положительном крутящем моменте Мх. Но тогда xyx = -2x\zlh
Следовательно,
М<у*) = _ \ху*2Сю, = ъ С'2 2т, — dz = т, — .
Но как только что было показано, эта величина равна половине полного
крутящего момента Мх, поэтому
т,=|К где W.-Щ-. (1.76)
Что же касается крутильного момента инерции сечения 1Х, то этот
параметр можно оценить сверху по формуле Власова (1.65), что дает
/ 4frV = hti
%~ 12(М3 +ЪгИ)~ 3(1 +/г2 lb2)'
В нашем случае можно получить и оценку снизу, если воспользоваться
левой частью формулы (1.64), подставив туда на основании мембранной
аналогии вместо функции Прандтля у определяемую формулой (1.75)
функцию прогиба мембраны U. Выполнив необходимые вычисления, и учтя
также оценку по формуле Власова, получим окончательно
3 ^ ъъ) з y\ + h2ib2)
Как видим, для вытянутых полос, для которых безразмерный параметр
hlb«\, двухсторонние оценки крутильного момента инерции по (1.77)
являются весьма тесными. На практике обычно пользуются упрощенной
формулой, дающей несколько завышенную жесткость полосы на кручение
hti
(1.78)

306 6. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть III
6.2 Тонкостенные стержни открытого профиля -
теория Власова
В настоящем разделе рассмотрению подлежат прямолинейные тонкостенные
стержни открытого профиля.
В строительной механике тонкостенным прямолинейным стержнем
называют цилиндрическую оболочку (не обязательно круговую), у которой
все три характерных размера, существенно различаются по порядку
величины. Первый характерный размер это толщина оболочки h, второй
характерный размер это протяженность профиля поперечного сечения
оболочки /, третий характерный размер это длина стержня L. Для
тонкостенного стержня полагается, что имеют место следующие
соотношения между этими параметрами по порядку величины
-«1, -«1. (2.1)
Первое из неравенств в этой оценке показательно для оболочки, тогда как
второе - для стержня. Именно поэтому тонкостенный стержень можно
рассматривать как своеобразный сыновний элемент, частично наследующий
и потому объединяющий родительские свойства стержня и оболочки.
Введем в рассмотрение правоориентированную декартову систему
координат (X,Y,Z) так, чтобы ось Xсовпадала с линией центров тяжести
поперечных сечений стержня, а оси Y и Z являлись главными центральными
осями инерции этих сечений. В дальнейшем ось X, так же как и в теории
стержней сплошного сечения, будем называть продольной осью
тонкостенного стержня. Таким образом, продольная ось тонкостенного
стержня параллельна образующей рассматриваемой цилиндрической
оболочки.
В теории оболочек вводится важнейшее понятие срединной поверхности
как поверхности, разделяющей оболочку по толщине на две равные части.
Упомянутое выше понятие профиля тонкостенного стержня, ясное на
интуитивном уровне, определяется как плоская кривая, образующаяся
пересечением срединной поверхности стержня плоскостью его поперечного
сечения, то есть плоскостью (У,2).
Если профиль стержня не содержит замкнутых участков кривой, то его
называют открытым профилем. Именно такого рода тонкостенные стержни
мы и будем рассматривать в настоящем разделе. Кроме того, примем
ограничение, согласно которому поперечное сечение стержня не должно
изменяться вдоль оси X. Отсюда следует, в частности, что толщина стенки h
также не зависит от координаты х, но является функцией дуговой
координаты s, то есть h = h(s).
Помимо глобальной координатной системы в каждой точке срединной
поверхности тонкостенного стержня вводится локальная система координат.
С этой целью на профиле стержня фиксируется некоторая начальная точка

6.2 Тонкостенные стержни открытого профиля - теория Власова 307
О и направление возрастания дуговой координаты s, причем приращение
дуговой координаты ds при движении вдоль профиля в принятом
положительном направлении представляет собой приращение длины
профильной линии. Положение произвольной точки М, принадлежащей
срединной поверхности оболочки, определяется при этом двумя
координатами (x,s) - рис. 6.3. По определению начальная точка профиля О
имеет нулевую дуговую координату.
Рис. 6.3. Глобальные и локальные координатные системы для тонкостенного
стержня
Определим теперь единичный вектор / как вектор, лежащий в плоскости
поперечного сечения стержня и касательный в каждой точке к профилю
поперечного сечения, причем направление этого вектора указывает в
сторону возрастания дуговой координаты s. Упомянутая выше локальная
система координат является криволинейной ортогональной координатной
системой, с ортами осей (ix, п, t), п - орт нормали к профилю стержня,
положительное направление которого определим из условия правой
ориентации тройки осей (ix, п, t), то есть
n = txix. (2.2)
Пусть некоторая текущая точка М профиля после деформации стержня
переходит в точку N. Направленный отрезок MN представляет собой вектор
полного перемещения текущей точки срединной поверхности стержня-
оболочки. Этот вектор может быть разложен как по осям глобальной
координатной системы, так и задан своим разложением в локальных
координатах, что дает
uix + vt + wn= Uix + Viy + Wiz, (2.3)
где (u,v,w) - компоненты вектора перемещений точки М относительно
локальной координатной системы, a (U,V,W) компоненты того же вектора

308 6. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть III
относительно глобальной системы координат. Локальная компонента v
называется тангенциальным перемещением текущей точки М, а компонента
w - нормальным перемещением этой же точки.
Домножая скалярно это равенство сначала на вектор /, а затем на вектор и,
устанавливаем связь между введенными компонентами вектора
перемещений в виде
v=Vty+Wtz, w= Vny +Wnz, u=U,
а после скалярного домножения равенства (2.3) последовательно на орты iy и
iz и в обращенном виде
V=vty + wny, W=vtz + wnz.
Компоненты базисных ортов локальной координатной системы
относительно глобальной системы осей
ty = t-iy, tz = tiz, ny = n-iy, nz = niz,
не являются независимыми величинами. Действительно, домножая скалярно
соотношение (2.2) на орт iy и орт iz, и учитывая известное свойство [9]
смешанного векторного произведения a(bxc) = Ь(сха), получим в
результате цепочки последовательных преобразований
Пу = iy п = iy-{txix) = t(ix xiy) = fiz = tz,
nz = iz n = iz-(txix)=f{ix x/z) = -1 iy = -ty , (2.4)
что, как и следовало ожидать, совпадает с формулами (1.1). Это дает
возможность переписать окончательно формулы прямого и обратного
преобразований между компонентами вектора перемещений в глобальной и
локальной координатных системах в виде, зависящем только от компонент
орта*
v=Vty+Wtz, w= Vtz - Wty ,
V=vty + wtz, W=vtz- wty. (2.5)
6.2.1 Основные гипотезы теории тонкостенных стержней
открытого профиля
Построение технической теории тонкостенных стержней открытого профиля
может быть основано на введении следующей совокупности гипотез
кинематического и статического характера:
• гипотеза неизменяемости контура, согласно которой поперечное сечение
стержня не изменяет своего профиля в плоскости сечения;
• гипотеза отсутствия сдвигов в срединной поверхности тонкостенного
стержня, согласно которой уи = 0;

6.2 Тонкостенные стержни открытого профиля - теория Власова 309
• гипотеза ненадавливания, согласно которой продольные волокна
тонкостенного стержня не взаимодействуют в нормальном по отношению
к ним направлениям. Иначе говоря, принимается as = а" = 0;
• гипотеза безмоментности оболочки в продольном направлении, согласно
которой распределение нормальных напряжений ах по толщине оболочки
принимается равномерным, а касательные напряжения Xх" считаются
пренебрежимо малыми и полагаются равными нулю;
• гипотеза о линейном законе распределения касательных напряжений тю
по толщине оболочки.
Прокомментируем эти гипотезы, установив также те следствия, которые из
них вытекают.
Гипотеза неизменяемости контура фактически декларирует, что в
плоскости (T,Z), то есть в плоскости поперечного сечения стержня, профиль
стержня ведет себя как абсолютно жесткое тело. Таким образом профиль в
плоскости (Y,Z) обладает тремя степенями свободы - двумя
трансляционными смещениями избранной точки профиля относительно осей
(Y,Z) и поворотом профиля на некоторый угол вокруг этой точки. Конечно,
применимость этой гипотезы не безоговорочна, она должна быть оправдана
конструктивными особенностями рассматриваемого тонкостенного стержня,
препятствующими деформациям профиля в плоскости поперечного сечения
стержня. Обычно считают, что на протяжении своей длины тонкостенный
стержень подкреплен достаточно часто расположенными поперечными
диафрагмами, абсолютно жесткими в своей плоскости и абсолютно гибкими
из этой плоскости. Эти диафрагмы и обеспечивают сохранность геометрии
профиля в процессе деформирования тонкостенного стержня.
Временно отвлекаясь от продольных перемещений и = U некоторой
текущей точки М срединной поверхности тонкостенного стержня вдоль
образующей, определим двумерный вектор перемещений v этой точки в
плоскости поперечного сечения стержня, то есть в плоскости (T,Z). На
основании гипотезы неизменяемости профиля этот вектор может быть
представлен в виде
v = vP + бхДрм ,
где:
• vp вектор перемещений некоторой произвольно назначенной точки Р
сечения, которую назовем полюсом, и которая имеет глобальные
координаты у? и zP Сам полюс Р не обязан принадлежать профилю
сечения, но считается, что он жестко связан с этим профилем;
• в = Ых вектор поворота сечения вокруг оси, проходящей через полюс Р и
параллельной оси X. Положительное направление этого вектора,
определяемое правовинтовым вращением, совпадает с направлением оси
X. Абсолютная величина поворота ||6|| считается малой величиной, то
есть полагается |9| « 1;

310 6. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть III
• ЛрМ = (г - г?) = (у - yf)iy + (г - гр)4 вектор, проведенный из полюса Р в
текущую точку профиля М с координатами у, z.
Разложив по отдельности все составляющие вектора перемещений v по
осям глобальной системы координат и выполнив после этого операцию
векторного произведения, получим
v = [ц - G(z - zP)] iy + К + в(у - у?)] h, (2.6)
где -п = vp • iy , C, = \p-iz - компоненты перемещения полюса Р относительно
глобальной системы осей.
Но этот же вектор v может быть разложен и по осям локальной
координатной системы
\ = vt + wn, (2.7)
где v = \-t, w = \-n - компоненты перемещения текущей точки М
относительно локальной системы осей. Приравнивая выражения (2.6) и (2.7)
для вектора v, получаем
[г] - G(z - zP)] iy + [С, + Q(y-yv)] i2 = vt + wn.
Домножая скалярно это равенство на орт / и учитывая, что t2y+t22=\,
находим
v = r\ty + ft + 0[(у -y?)tz - (z - zp)^]. (2.8)
Формулой (2.8) тангенциальное перемещение v текущей точки М профиля
выражается через трансляционные перемещения полюса г), С, и угол
поворота G сечения как жесткого тела вокруг полюса.
Гипотеза об отсутствии сдвигов в срединной поверхности стержня-
оболочки является близким аналогом соответствующей гипотезы Бернулли,
фактически утверждая, что
r-=|4ra (19)
OS ох
Принятие гипотезы отсутствия сдвигов позволяет интегрированием (2.9)
записать выражение для продольных перемещений и в следующем виде
.-*<*>-Г?*
дх
где через щ обозначено продольное перемещение начальной точки профиля
О, то есть щ(х) = и(х,0).
Подставляя сюда выражение для тангенциального перемещения v по
формуле (2.8) и считая, что дуговая координата текущей точки М равняется
s, получаем
и(х,s) = и0 (х) -ц' \ tyds - С,' \ t2ds - 9' f pds ,

6.2 Тонкостенные стержни открытого профиля - теория Власова 311
где обозначено
Р = (y-yp)tz-(z-zP)ty = (y-yP)ny + (z-z?)nz = Rm-n. (2.10)
Здесь и далее штрихом помечается дифференцирование по продольной
координате х.
Ясно, что р представляет собой проекцию вектора Лрм на направление
нормали п к профильной линии, проведенной в текущей точке М. Очевидно
также, что tyds = dy, tzds = dz. Кроме того, геометрически величину pds = da
можно истолковать, как удвоенную площадь элементарного треугольника,
заштрихованного на рис. 6.4-я. В результате, производя интегрирование,
получаем
u = u0-x]'(y~y0)-i;'(z-z0)-Q'a, (2.11)
где со, так называемая, векториальная площадь, именуемая также
векториальной координатой, представляющая собой удвоенную площадь
фигуры, ометаемой радиус-вектором ЛРМ при непрерывном перемещении
его конца вдоль профиля от начальной точки О до текущей точки М -
рис. 6.4-Ь. Через у0 и z0 обозначены глобальные координаты начальной точки
профиля О.
Рис. 6.4. Определение секториальной площади со
Секториальная площадь наделяется знаком, определяемом следующим
правилом. В нулевой точке профиля она равна нулю со(0) = 0, а приращение
секториальной координаты асо = pds получается положительным при
положительном значении р и при движении в направлении возрастания
тангенциальной координаты s. Так, показанным на рис. 6.4 площадям со и da
должен быть приписан знак минус, поскольку в силу принятого соглашения
о правой ориентации тройки осей (/„ п, t) проекция р вектора ДРМ на
направление и оказывается отрицательной.
Таким образом,
(o(s)=fpds. (2.12)

312 6. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть III
Представим себе, что полюс Р привязан к нулевой точке профиля О с
помощью абсолютно жесткого элемента ?0 (рис. 6.5). Тогда, продольное
перемещение щ нулевой точки профиля можно выразить через продольное
перемещение иР полюса (то есть его перемещение в направлении оси X) и
поперечные перемещения полюса г\, С, в виде
щ = ир+п' (уР -y0) + C,'(zp-z0). (2.13)
Это вытекает из очевидных геометрических соображений, если заметить, что
величины т|' и С,' представляют собой углы поворота Gz и 6^ абсолютно
жесткого элемента РО в плоскостях (X,Y) и (X,Z) соответственно. Точнее
говоря,
G,= -C, Gz=n'- (2.14)
Для поворотов 6Z и Gj, здесь принято следующее правило знаков: поворот
считается положительным, если соответствующий правовинтовой вектор
вращения сонаправлен с соответствующей осью глобальной системы
координат.
Рис. 6.5. Жесткая привязка полюса Р к нулевой точке профиля
Подставляя полученное выражение для щ в (2.11), находим
u = up+T]'(yr-y)+C,'(zr-z)-Q'(u.
Будем считать, что сам полюс Р в свою очередь жестко связан с точкой G
сечения стержня, представляющей собой центр тяжести этого сечения. Это
означает, что точка G располагается на оси X. Соотношение между
продольным перемещением Ъ, точки G и продольным перемещениям иР
полюса Р подчиняется закону плоскости, что дает
§= Ир+лЧ + C'zp-
Отсюда и из предшествующего равенства вытекает, что

6.2 Тонкостенные стержни открытого профиля - теория Власова 313
u = S-i\'y-C,'z-B'e>. (2.15)
Формулой (2.15) определяется продольное перемещение u(x,s)
произвольной точки М, принадлежащей профилю стержня, через:
• продольное перемещение % центра тяжести сечения, как функции от х;
• поперечные перемещения полюса (т|, Q, как функции координаты х;
• угол поворота G сечения стержня вокруг полюса Р, как функции
координаты сечения х;
• глобальные координаты (у, z) точки М, как функции координаты s;
• секториальную координату со точки М, как функции координаты 5.
Дифференцируя кинематическое соотношение (2.15) по координате х,
получим выражение для относительной продольной деформации гх = duldx в
текущей точке профиля М
бх=§'-Л>-?'г-е'ю. (2.16)
Гипотеза ненадавливания полностью аналогична соответствующей
гипотезе в теории изгиба стержней Бернулли-Эйлера и представляет собой
утверждение, что нормальными напряжениями с'иа" можно пренебречь в
записи закона Гука для нормальных напряжений ах, что дает
Воспользовавшись теперь законом Гука в принятой форме, имеем
возможность определить и нормальные напряжения ах
ах=Е?,' -Er\'y-EC,'z-EQ'(o. (2.17)
Гипотеза безмоментности стержня-оболочки в продольном направлении
воспринимается уже на интуитивном уровне как вполне разумная, поскольку
в силу малой толщины h стенок стержня изменение продольных нормальных
напряжений ах по толщине стенки не может ожидаться сколько нибудь
существенным. Это обстоятельство подтверждается также и более
аккуратным анализом напряженного состояния длинных цилиндрических
оболочек.
На математическом уровне эта гипотеза утверждает, что нормальные
напряжения ах являются функцией только двух координат - продольной
координаты х и дуговой координаты s
ах = ax(x,s).
Принимая этот закон и суммируя напряжения ах по всей площади
поперечного сечения стержня, получим продольную силу N в нем. Если же
проинтегрировать эти напряжения по площади поперечного сечения
стержня, предварительно помножив эти напряжения на координату у или z,
то получим суммарные изгибающие моменты в сечении Mz и Му
соответственно. Иными словами,

314 6. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть III
N = \oxdA, Му = jzaxdA, Mz = jyaxdA, (2.18)
где А - площадь поперечного сечения стержня.
Заметим, что продольная сила N считается положительной, если она
вызывает растягивающие напряжения ах. Изгибающие моменты Му и Mz
считаются положительными, если они вызывают растяжение в волокнах с
положительной координатой z и с положительной координатой у
соответственно. Подчеркнем, что эти изгибающие моменты по самому их
определению берутся относительно главных центральных осей инерции
сечения.
Поскольку элемент площади сечения dA может быть выражен через
толщину стенки я и элемент дуговой координаты ds по формуле dA = hds, то
после подстановок (2.17) в (2.18) и интегрирования, получаем
N = EAZ,'-9'Е jh<ods ,
Му = -С,"Е1у - в"Е jhmzds , Mz = -t\"E1z - в"Е jhcoyds . (2.19)
При интегрировании здесь учтено, что оси Y и Z являются главными
центральными осями инерции сечения стержня, при этом через 1У и 12
обозначены, как обычно, соответствующие моменты инерции сечения
стержня.
В нашем распоряжении остается произвол в выборе координат полюса Р и
в назначении начальной точки О профиля стержня. Так вот, выберем эти
точки так, чтобы выполнялись следующие три условия
jh(ods = 0, $h(oyds = 0, jh(ozds = 0. (2.20)
Полюс Р и начальная точка О, при выборе которых удовлетворяются
условия (2.20), называются соответственно главным полюсом и главной
начальной точкой профиля. В приложении G показано, что второго и
третьего из условий в (2.20) достаточно для однозначного определения
координат главного полюса. Однако, может существовать несколько (и даже
бесконечное число) начальных точек профиля, удовлетворяющих первому из
условий в (2.20). В связи с этим для однозначного определения положения
главной начальной точки среди всех начальных точек профиля,
удовлетворяющих условию (2.20), в качестве главной можно выбрать,
например, наименее удаленную от главного полюса. Но об этом подробнее в
приложении G.
В результате указанного выбора полюса и начальной точки из формул
(2.19) получим

6.2 Тонкостенные стержни открытого профиля - теория Власова 315
Геометрически величины С," и ц" представляют собой взятые со знаком
минус кривизны Xz и %у оси полюсов в деформированном состоянии стержня.
Понятно, что осью полюсов здесь названа ось, параллельная продольной оси
Хи проходящая через главный полюс Р.
Что же касается выражения % , то его можно истолковать как условную
относительную деформацию е0 на оси центров тяжести сечений стержня.
Мы говорим об условной (а не фактической) деформации, поскольку
фактическая деформация может быть определена только для точек
поперечного сечения, принадлежащих профилю сечения. Но ни центр
тяжести сечения G, ни главный полюс Р в общем случае не принадлежат
профилю.
Таким образом, имеем следующие геометрические соотношения,
связывающие компоненты перемещений ^, г\, С, с параметрами деформации
<Ю, Ху, Xz
<k»=$', Xz = -C, Ху = -Ц". (2-22)
Далее, после подстановки (2.21) в формулу (2.17), получим следующее
выражение для нормальных напряжений
N AT М
ах=— + ^z + -^y- Ев"а>. (2.23)
А 1У I,
Первые три слагаемых в формуле (2.23) такие же, какие используются при
расчете стержня сплошного сечения на изгиб в двух плоскостях и на
растяжение. Последнее слагаемое является дополнительным по отношению
к классической теории стержней сплошного сечения. Это последнее
слагаемое определяет нормальные напряжения, вызываемые неравномерным
закручиванием тонкостенного стержня по его длине. Само же напряжение
Ев'со
называют нормальным напряжением стесненного кручения. Как видим,
нормальное напряжение стесненного кручения изменяется по поперечному
сечению по закону секториальных площадей, а не по закону плоскости.
Если домножить равенство (2.23) на со и проинтегрировать полученное по
всей площади сечения, то с учетом (2.20) получим
Р
heads = -Ев"
Интегральная характеристика напряжений, стоящая в левой части этой
формулы, называется бимоментом и обозначается обычно буквой В
В= frhcoas. (2.24)
Кроме того, сугубо геометрическая характеристика сечения /ш

316 6. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть III
/ш= jhefds (2.25)
называется векториальным моментом инерции сечения.
Воспользовавшись этими обозначениями, можем записать
Поэтому окончательно формула для нормальных напряжений в поперечном
сечении стержня примет вид
ах= — + —J-z + —s-y + —со. (2.27)
А 1У I, " К
Заметим, что положительный бимомент В вызывает растяжение в точках
сечения стержня с положительной секториальной координатой со.
Гипотеза о линейном законе распределения касательных напряжений по
толщине стенок стержня предполагает, что касательные напряжения в
сечениях стержня ти, направленные по касательной к профильной линии,
могут быть представлены в виде суммы
т~ = -с + тк, (2.28)
где среднее касательное напряжение т постоянно по толщине стенки, a it
это напряжения чистого кручения, распределенные по линейному закону по
толщине стенки (рис. 6.6) с нулевым значением непосредственно на
профильной линии. Верхний индекс xs у этих компонент касательных
напряжений не указан потому, что иных, отличных от т11, касательных
напряжений в сечениях стержня не возникает, так что неопределенности в
обозначениях нет.
Рис. 6.6. Представление касательных напряжений т°в виде суммы средних
касательных напряжений т и касательных напряжений чистого кручения тк.
Напомним, что в соответствии с гипотезой безмоментности, компонента
касательных напряжений хт, ортогональная профильной линии,
принимается равной нулю.
Касательные напряжения чистого кручения тк воспроизводят крутящий
момент чистого кручения по Сен-Венану, который мы обозначим как Н. Но
теория Сен-Венана, определяющая момент чистого кручения Я, рассмотрена

6.2 Тонкостенные стержни открытого профиля - теория Власова 317
нами в разделе 6.1. Согласно этой теории момент чистого кручения Н
определяется по формуле
H=GIX&, (2.29)
где 1Х - крутильный момент инерции сечения.
Ранее в разделе 6.1 5 уже было отмечено, что для тонкостенных сечений
открытого профиля с достаточной для практических целей точностью
расчетов можно принять
I^-jh'ds. (2.30)
Для определения среднего касательного напряжения т воспользуемся
уравнениями равновесия. С этой целью выделим из тонкостенного стержня-
оболочки его элемент, ограниченный двумя продольными сечениями,
параллельными образующим и находящимися на расстоянии ds, а также
двумя поперечными сечениями стержня, находящимися на расстоянии ах
друг от друга-рис 6.7.
д
дх
Рис. 6.7. Элемент стержня-оболочки размерами dsxdx
Рассматривая равновесие выделенного элемента в проекциях на ось X,
приходим к дифференциальному уравнению
ds
где qx(x,s) - интенсивность внешней нагрузки, действующей в направлении
оси X, отнесенная к единице площади срединной поверхности стержня
оболочки.
Интегрируя это уравнение, находим
Т = Т0-\'—hds-['qds,
Jo дх }о
где T(x,s) = xh- погонное касательное усилие в текущей точке профиля,
которое иногда называют также потоком касательных усилий. При этом
Го= T(xfi) - поток касательных усилий в нулевой точке профиля.
Подставляя сюда выражение (2 27) для нормального напряжения а",
получаем

318 6. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть III
А у 1у ' I, /ш Jo х V
Здесь введены следующие обозначения
A(s) = j'hds, Sy(s) = fhzds, Sz (s) = f hyds, Sm(s) = j'heads . (2.32)
В правую часть формулы (2.31) входит неизвестное пока сдвигающее
усилие То в нулевой точке профиля. Для исключения этого усилия из
формулы (2.31) воспользуемся известным усилием на одной из кромок
профиля, которое с очевидностью должно равняться заданной на этой
кромке внешней сдвигающей силе. Однако без ограничения общности
можно считать, что сдвигающие усилия на кромках профиля равны нулю.
Этого всегда можно добиться, если считать, что продольная нагрузка qx(xjs)
может содержать дельта-функцию Дирака относительно дуговой
координаты s.
Так, например, пусть на одной из кромок профиля, определяемой дуговой
координатой sr, задана в качестве внешнего воздействия погонная
сдвигающая сила, равная Т(х), и при этом иных продольных нагрузок,
действующих на стержень нет. Тогда достаточно положить
qx(x,S)=T(x)8(s-Sr),
что дает возможность принять T(x,sr) = О14.
Положив теперь в (2.31) s = .^ и учтя равенство Т(х^г) = 0, получим
А У 1У I, L J°
что после подстановки в формулу (2.31) дает
т = -М'т-М'^_^Ш-В'?!М-(д1ф, (2.33)
А У Iy Iz /ш V
где положено
A0(s) = _[' hds, Soy(s) = _[* hzds, S„(s) = _[' hyds, Sm(s) = f hcods. (2.34)
Геометрический смысл этих параметров очевиден. В самом деле, если
участок поперечного сечения стержня от кромки Г профиля до текущей
точки профиля М с координатой s именовать отсеченной частью
сечения, то:
• А0 - площадь отсеченной части сечения;
• Sgy - статический момент отсеченной части сечения относительно оси Y;
14 Это обстоятельство можно интерпретировать как сдвижку продольной нагрузки,
приложенной на кромке профиля, на бесконечно малую величину внутрь профиля

6.2 Тонкостенные стержни открытого профиля - теория Власова 319
• Soz - статический момент отсеченной части сечения относительно оси Z;
• Soa - секториальный статический момент отсеченной части сечения.
На рис 6 8 отсеченная часть сечения показана штриховкой
Рис. 6.8. Отсеченная часть сечения
6.2.2 Уравнения равновесия тонкостенного стержня открытого
профиля
Начнем с того, что оговорим совокупность внешних нагрузок, действующих
на тонкостенный стержень. Кроме введенной выше продольной нагрузки
qx(x,s) к срединной поверхности стержня-оболочки могут быть приложены и
нагрузки qy(x,s), q&,s) - отнесенные к единице площади срединной
поверхности поперечные нагрузки, действующие в направлении осей Y и Z
соответственно. Впрочем, иногда оказывается удобнее поперечные нагрузки
представлять разложением не по глобальным, а по локальным осям,
оперируя их компонентами qix,s), q„(x,s). Взаимный переход между этими
двумя способами разложений поперечной нагрузки осуществляется с
помощью простых формул
qt=qyty + q!t2,
qy = qfy+qJz,
q„ = qj, ~ Ч**у.
qi=qfz-qJy,
(2.35)
которые становятся очевидными, если принять во внимание формулы (2.4).
Как это будет видно в дальнейшем, на самом деле в уравнения равновесия
тонкостенного стержня будут входить не сами распределенные по площади
срединной поверхности нагрузки qx,qyw.q„ а их интегральные по
поперечному сечению стержня характеристики, а именно:
Px(.x) = jqx(x,s)ds, py(x) = jqy(x,s)ds, рг(х) = j qz(x,s)ds,
my(x) = jqx(x,s)zds, mz(x) = -jqx(x,s)yds, mB(x) = jqx(x,s)a,ds. (2.36)

320 6. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть III
Понятно, что рх, Ру и pz представляют собой погонные (отнесенные к
единице длины стержня) нагрузки, действующие в направлениях осей,
соответствующих индексу нагрузки. Аналогично тх,туит2- это погонные
моментные нагрузки. Точнее говоря, тх это внешний погонный момент,
создаваемый нагрузками qy и q2 относительно оси полюсов, а ту и т2 это
внешние погонные моменты, создаваемые нагрузкой qx, но эти моменты
берутся относительно главных центральных осей инерции сечения стержня.
Принято стандартное правило знаков для внешней моментной нагрузки
тх,туит2- положительный правовинтовой вектор-момент сонаправлен с
соответствующей осью глобальной системы координат.
Помимо этого, последней из формул в (2.36) определен, так называемый,
внешний погонный бимомент тпв, создаваемый продольной нагрузкой qx в
этом же сечении.
Далее, определим внутренние силовые факторы, действующие в сечениях
тонкостенного стержня, как интегральные характеристики нормальных
напряжений ах и касательных напряжений та = т + тк.
Что касается интегральных характеристик нормальных напряжений, то
они нами уже установлены и сводятся к:
• продольной силе N;
• изгибающему моменту Му;
• изгибающему моменту Mz;
• бимоменту В.
Касательные напряжения Тк порождают момент чистого кручения Н.
Средние касательные напряжения т, действующие вдоль профиля, также
создают крутящий момент относительно полюса Р, который называется
моментом стесненного кручения и который обозначается символом Ма
Ма= _[тйр*= $Tda>. (2.37)
Эти же средние касательные напряжения, будучи спроектированными на
оси Y и Z, дают в качестве интегральных характеристик поперечные силы Qy
и Qz соответственно
Qy = \xhtyds = JTdy , Qz = jxhtzds = JTdz . (2.38)
Итак, интегральными характеристиками касательных напряжений
являются:
• момент чистого кручения Я;
• момент стесненного кручения Ма;
• поперечная сила Qy;
• поперечная сила Qz.

6.2 Тонкостенные стержни открытого профиля - теория Власова 321
Рассмотрим элемент тонкостенного стержня, выделенный двумя
поперечными сечениями, расстояние между которыми определим как dx
(рис 6 9).
J^ Q,+Qv'dx
Х Mz+M.'dx
Рис. 6.9. Равновесие элемента тонкостенного стержня
Из условий равновесия выделенного элемента в моментах относительно
оси Y и относительно оси Z получаем
Q„=M'z~mz, Qz=M'y+my. (2 39)
Формулы (2.39) являются аналогом известной формулы Журавского в
теории изгиба стержней сплошного сечения, но применительно к теории
тонкостенных стержней открытого профиля.
Используя соотношения (2.39), формулу (2 33) для касательного усилия
можно переписать в виде
r = ^M)_(a_m/)^l_(2/+mj)iW_ff^)_J_y. (240)
После подстановки этого выражения для Т в формулу (2 37), получаем
Мш= \A0(s)do) —\Soy(s)do) JSM(.s)ara -
js^(s)da-j[f qxds\da.
Входящие в эту формулу интегралы преобразуем интегрированием по
частям Но прежде договоримся о дополнительных обозначениях Пусть
5 = 5] минимальная дуговая координата профиля, a s = s2 максимальная
луговая координата профиля. Ясно, что обе эти координаты отвечают

322 6. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть III
краевым точкам профиля, так что длина профиля 1= s2 - st. Теперь, на
основании формул (2.34), положив там sr = si, имеем
• Mo('yWc0= J J hds \d(o = \(o\ hds - mhds = сф2)Л,
jSoy (s)d(o = jj ^ hzds )da> = со j' hzds - jahzds = 0,
Js„»rfco = jf fhyds)d<o = \(o f hyds 1 ' - fahyds = 0, (2.41)
где учтено, что оси Y и Z являются главными центральными осями инерции
сечения стержня, а также учтены равенства (2.20), на основании которых
выбраны главный полюс и нулевая точка профиля.
Кроме того,
JS„(s)dco = jf J' hads jЛо = Гсо j' hcodsl' - fa2hds = -/„ , (2.42)
где /ш - секториальный момент инерции сечения, определяемый формулой
(2.25).
И, наконец,
J] j qxds Ло = га j qxds - \qxa>ds = co(s2)px - тв .
С учетом полученного формула для момента стесненного кручения
запишется в виде
Ма =. ~(N' + рх )<o(s2 )+В' + тв.
Несложно заметить, что в силу уравнения равновесия выделенного на
рис. 6.9 элемента стержня в проекции на ось X, справедливо равенство
N' + px=0. (2.43)
Поэтому окончательно формула для Мю упрощается до
Мю=.В' + тв. (2.44)
В случае отсутствия продольной нагрузки qx = 0 исчезает и внешний
бимомент, так что эта формула принимает совсем простой вид
Ма= В'. (2 45)
Вернемся к уравнениям равновесия. Из рассмотрения условий равновесия
выделенного элемента стержня (рис. 6.9) в проекциях на оси 7 и Z получаем
Q'y+py=0, Q'z+p2=0, (2.46)

6.2 Тонкостенные стержни открытого профиля - теория Власова 323
что вместе с уравнениями (2.39) после исключения поперечных сил дает
М"г = -ру + т[, М" = -рг - т\. (2.47)
Кроме того, суммарный крутящий момент Мх по сечению складывается из
момента чистого кручения и момента стесненного кручения, то есть
Мх=Н + Мю. (2.48)
Обратим внимание на то, что под Мх понимается крутящий момент,
создаваемый касательными напряжениями х™ и вычисленный относительно
продольной оси, проходящей через главный полюс Р.
Если рассмотреть последнее, оставшееся пока неиспользованным,
уравнение равновесия в моментах относительно продольной оси,
проходящей через центр изгиба, то выделяя элемент стержня двумя
поперечными сечениями, находящимися на расстоянии dx друг от друга,
получим
М'х = -тх. (2.49)
Для дальнейшего удобно ввести понятие обобщенных нагрузок ру,
рг,тх, положив по определению
ру = py-m'z, pz= pz+m'y, fnx~mx+m'B. (2.50)
Теперь совокупность всех дифференциальных уравнений равновесия, исходя
из (2.43), (2.44), (2.47) - (2.50), можно окончательно записать в виде
-N' = px, -M"z=py, -M"y=pz, -Н'-В" = тх. (2.51)
6.2.3 Центр кручения, центр изгиба
Ранее в §6.1 мы дали общее определение центра кручения как точки CR
поперечного сечения, не получающей перемещений при закручивании
стержня. Согласно теории Сен-Венана в задаче о чистом кручении центр
кручения не определен. Иными словами, в случае чистого кручения в
качестве центра кручения может быть принята любая точка поперечного
сечения стержня. Иное дело в задаче о стесненном кручении стержня. В этом
случае, как это будет далее показано, положение центра кручения CR
определено однозначно.
Рассмотрим консольный стержень, на свободном конце которого в
некоторой точке Св приложена сосредоточенная сила Р, действующая в
плоскости этого сечения. Если эта сила не вызывает закручивания стержня,
то такую точку принято называть центром изгиба15. В общем случае
1 Иногда говорят о центре сдвига вместо центра изгиба. В частности в иностранной
литературе более употребительно именно это последнее название (shear center)
Кроме того, употребляется также наименование центр жесткости сечения. Обоз-

324 6. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть III
центром изгиба называется точка поперечного сечения стержня, через
которую должны проходить поперечные силы, не вызывающие
закручивания стержня.
Положение этих двух точек может быть получено независимо, исходя
непосредственно из их определения. Однако достаточно выяснить
положение только одной из этих точек, так как справедливо следующее
утверждение, являющееся следствием гипотезы неизменяемости контура
сечения
В теории тонкостенных стержней с неизменяемым контуром
| центр изгиба и центр кручения совпадают. |
Доказывается это утверждение очень просто, опираясь на применение
теоремы Бетти о взаимности работ. В самом деле, предположим противное,
то есть что центр изгиба Св и центр кручения CR не совпадают. Рассмотрим
два состояния тонкостенного стержня. Пусть в состоянии 1 стержень
загружен крутящим моментом Мх, а в состоянии 2 - силой Р, приложенной в
центре изгиба Св и направленной поперек оси стержня X. Работа сил
состояния 1 на перемещениях состояния 2 равна нулю Аи = О, поскольку
сила Р вызывает изгиб стержня без его закручивания. С другой стороны
работа сил состояния 2 на перемещениях состояния 1 отлична от нуля
A2i * О, так как перемещение точки приложения силы Св при закручивании
сечения стержня вокруг точки CR оказывается ненулевым. Полученное
противоречие с выводами теоремы Бетти и доказывает наше утверждение.
В теории тонкостенных стержней открытого профиля справедливо также
и следующее утверждение
Центр изгиба Св, а значит и центр кручения CR, совпадает с I
| главным полюсом профиля Р. |
Действительно, согласно определению положение центра изгиба
характеризуется тем условием, что касательные напряжения те,
порожденные поперечными силами Qy и Qz (и только ими!), не создают
крутящего момента относительно точки Св. Согласно формуле (2.40),
вызываемые поперечными силами Qy и Qz касательные напряжения Xq
определяются так
в Иг Му *у hi,
Обозначив координаты центра изгиба через уъ и zB, запишем условие
равенства нулю крутящего момента в виде
начения Св и CR выбраны нами, исходя из аббревиатуры bending center и rotation
center По причинам, которые указаны в Приложении G, мы предпочитаем
говорить именно о центре изгиба Понятие центра сдвига с обозначением Cs имеет
смысл зарезервировать для именования совсем иной точки, не совпадающей в
общем случае с центром изгиба.

6.2 Тонкостенные стержни открытого профиля - теория Власова 325
jxehpBMds = 0, (2.53)
где рвм - проекция вектора Лвм на направление нормали и к профилю в
текущей точке М, причем Лвм - вектор, идущий из точки Св в точку М.
Иными словами, рВм это взятое с соответствующим знаком расстояние от Св
до касательной к профилю в текущей точке М.
Очевидно, что центр изгиба определен однозначно, то есть его положение
не должно зависеть от частного способа распределения по профилю
касательных напряжений те. Поэтому для доказательства сформу-
лированного утверждения достаточно показать, что (2.53) будет выполнено,
если главный полюс совместить с центром изгиба, что дает возможность
положить рвм= р, или
jxQhpds = |теЫю = 0 .
Но это равенство выполняется, поскольку, как это уже было показано
формулами (2.41),
jSoy(s)d(o= О, jS0Z(s)da= 0.
И доказательство сформулированного утверждения завершено.
6.2.4 Касательные напряжения в теории тонкостенных стержней
открытого профиля
Ранее формулой (2.40) нами уже было установлено общее выражение для
потока касательных напряжений T=xh в произвольной точке профиля с
координатами (x,s). Нашей ближайшей задачей здесь является упрощение
этой формулы и приведение ее к виду более удобному как для выполнения
расчетов, так и для последующих преобразований.
Прежде всего заметим, что в отношении продольных перемещений и
профиль наделяется всего четырьмя степенями свободы. Действительно,
согласно формулам (2.15) и (2.14) имеем
u = Z,-Qzy + Qyz-Q'<o. (2.54)
Отсюда сразу же вытекает, что для произвольного сечения стержня с
продольной координатой х перемещения и произвольной точки профиля с
дуговой координатой s однозначно определяются четырьмя параметрами:
• Ь, - продольным перемещением центра тяжести сечения, жестко
соединенного с главным полюсом Р, который, в свою очередь, жестко
соединен с нулевой точкой профиля О;
• 9, и 9Z - углами поворота жесткого элемента О? - PG вокруг оси Y и Z
соответственно;

326 6. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть III
• 6' - круткой (погонным углом закручивания стержня).
Именно эти параметры и могут рассматриваться в качестве отмеченных
выше четырех степеней свободы профиля.
Каждой из этих степеней свободы соответствует своя функция
распределения перемещений по дуговой координате s. Как это видно из
формулы (2.54), таковыми функциями являются
1, y = y(s), z = z(s), (й = (ф). (2.55)
Эти четыре функции обладают следующими условиями обобщенной
ортогональности, точнее говоря, ортогональностью с весом h по всей длине
профиля/
jl-yhds = 0, jl-zhds = 0, j"lfi>Ms = 0,
jy-zhds = 0, jy-(ohds = 0, jz-(ohds = 0. (2-56)
Очевидно, что условия взаимной ортогональности первых трех функций в
(2.55) вытекают из выбора нами системы осей (Y,Z), которые по
определению являются главными центральными осями инерции сечения
стержня. Что же касается ортогональности функции оф) первым трем
функциям в (2.55), то это условие есть следствие выбора нами главного
полюса и нулевой точки профиля, для которых должны выполняться
равенства (2.20).
Обратимся теперь к функции qx = qx(xj), характеризующей распределение
продольной нагрузки на стержень по всей срединной поверхности стержня.
Представим эту функцию в виде ряда, каждый член которого есть
произведение функции от х на функцию от s, причем в качестве первых
четырех функций от s этого ряда возьмем функции (2.55), предварительно
домноженные на h(s), что дает
qjxj) = ai(x)h(s) + ay(x)h(s)y(s) + aAx)h{s)z{s) + аа(хЩ*)ф) + ... (2.57)
Многоточием здесь обозначены оставшиеся члены этого ряда.
Но остаток этого ряда в рамках рассматриваемой теории тонкостенных
стержней может быть (должен быть!) попросту отброшен, поскольку, как это
было только что показано, первыми четырьмя членами этого ряда
исчерпываются те обобщенные силы, которым отвечают все степени
свободы профиля. Поэтому в качестве обобщенных внешних силовых
продольных воздействий выступают только функции а\{х), ау(х), аг(х), аа(х).
Определим эти функции, домножая последовательно (2.57) на l,y(s), z(s),
(d(s) и интегрируя полученное по всему профилю /. С учетом условий
обобщенной ортогональности по (2.56) получаем
\qxds = a, \hds = ахА , ]ЧхУ<к = av \hy2ds = ayIz,

6.2 Тонкостенные стержни открытого профиля - теория Власова 327
\qxzds = az \hz2ds = ajy, \qx(ods = aa \ha>2ds = aaIa. (2.58)
Обращаясь также к формулам (2.36), представим теперь искомые
коэффициенты аь ау, az, аш в разложении (2.57) следующим образом
р т т тп
А " /2 1у /ш
После подстановки этих коэффициентов в разложение нагрузки qx по (2.57) и
удержании там первых четырех членов получаем
prh mh m h m и
q=— —v + -^-z + ——ю. (2.59)
A I, Iy Ia
Если проинтегрировать обе части формулы (2.59) по s от одной из кромок
профиля с дуговой координатой sr до текущей координаты s, то получим
г* , Д,(5) \y{s) S^s) SM~
qds = pr ^ +m — m, m +mR-^-
(2.60)
Теперь имеем возможность упростить формулу (2.40) для потока
касательных напряжений. Действительно, после подстановок формул (2.43),
(2.44) и (2.60) в формулу (2.40), находим окончательно
откуда и получаем интересующее нас выражение для касательных
напряжений
.0^_п.^_д/ 3». (2.61)
Ш hi,
Именно эта формула нас и интересовала.
6.2.5 Матричная форма основных соотношений теории
тонкостенного стержня открытого профиля
Введем в рассмотрение вектор "напряжений" о и вектор заданных внешних
силовых воздействий X, а также вектор перемещений и и вектор
деформаций г
о= |[iV,#,My,Mz,?]|T, X=\[px,py,pz,mx]^,
u = |fc г,, С, Of, г = |[Ео, 1х, Xz, %у, %в ]|Т, (2.62)
где дополнительно введено обозначение для параметра деформации х* и %в
Хх = в', х8 = -е". (2.63)

328 6. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть III
Связь между этими векторами в матричной форме записывается
стандартном виде е = Аи, где согласно формулам (2.22) и (2.63)
(2.64)
так что в соответствии с формальными правилами построения сопряженных
операторов имеем
d2
dx2
-± о
dx
(2.65)
Ясно, что матричный дифференциальный оператор А действительно
является оператором равновесия, поскольку равенство Ато = X есть просто
матричная запись уравнений равновесия (2.51) при заданных по (2.62)
векторах напряжений о и внешних силовых воздействий X .
Обратимся теперь к физическим соотношениям, связывающим вектор
деформаций и вектор напряжений. Согласно (2.21) и (2.22) можем записать
N = еаЕА, Му = XzEIy, Mz = XyEI2
в силу (2.26), (2.29) и (2.63)
Н= Q'GIX,
(2.66)
Это дает возможность выписать i
упругости о = Се
В = ХвЕ1а. (2.67)
явной форме выражения для матрицы
Е1у
О

6.2 Тонкостенные стержни открытого профиля - теория Власова 329
Используя общую формулу L = ATCA для построения оператора Ламе,
приходим к разрешающей системе дифференциальных уравнений задачи в
перемещениях Lu = X. В развернутой форме эта система уравнений
принимает вид
ЕА\" = рх, EI2r\'v =ру, EIyC,'v =рг, EIaQ'v-GIxe
(2.69)
Как видим система уравнений равновесия в перемещениях для
тонкостенного стержня распадается на четыре независимых уравнения: одно
уравнение второго порядка и три уравнения четвертого порядка:
• первое из этих уравнений, содержащее в качестве неизвестной функции
продольное перемещение центра тяжести сечения ?,(х) описывает задачу
растяжения-сжатия тонкостенного стержня;
• второе и третье уравнения описывают задачу изгиба. Формально, эти
уравнения совпадают по структуре с уравнениями изгиба стержней
сплошного сечения. Однако, между этими задачами есть и некоторое
различие. В самом деле, возьмем, например, второе уравнение. Для
стержня сплошного сечения в качестве искомой функции перемещений
следовало бы взять функцию, характеризующую поперечные
перемещения центра тяжести сечения. Для тонкостенного же стержня
искомой функцией является г|(л;), характеризующая поперечные
перемещения главного полюса Р (центра изгиба). Поскольку центр изгиба
в общем случае не принадлежит телу поперечного сечения стержня
(находится вне профиля), то г| на самом деле является некоторым
условным перемещением, точнее говоря, перемещением полюса,
мысленно жестко связанного с главной нулевой точкой профиля. Стоит
также обратить внимание на то, что связь между изгибающим моментом
М2 и функцией х\ имеет привычный вид Mz = -EI2rf, хотя сам
изгибающий момент Mz по смыслу его определения формулой (2.18)
берется относительно главной центральной оси сечения Z;
• и все же наиболее существенным для всей теории тонкостенных стержней
является последнее уравнение в (2.69), содержащее в качестве
неизвестной функции угол поворота сечения G. Решение именно этого
уравнения и определяет состояние тонкостенного стержня, вызванного
эффектом стеснения при его закручивании.
Каждому из этих уравнений соответствует своя совокупность краевых
условий, для формулировки которых обратимся к основному интегральному
тождеству в рамках теории тонкостенных стержней открытого профиля.

330 6. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть III
6.2.6 Основное интегральное тождество в теории тонкостенных
стержней открытого профиля
На основании полученных матричных соотношений и используя, как
обычно, формулу интегрирования по частям, имеем
(Аи, а) = iX^N + 6'Я - С,;му - ц"РМг - Q"B]dx =
= f[-yr - в(я"+я') - <;м; - r\Mf\dx+[zprfo -
-[ея]|Ч[е(1Г+я)]|;-[смг|+[с м; J-foxt+fo М'Х ¦
В матричном виде эта формула запишется стандартным способом
(Аи, о) =(и, А1 а) + (р, и)г,
если в качестве краевых усилий р и краевых перемещений и положить
p=\[nN,п(В' + Н),-пМу,-пМ2,-пВ,пМ'у,nM'z J ,
и=|[$,е,с,п\е',С,п]Г- (2.70)
Входящие в эти векторы компоненты как раз и участвуют в формировании
краевых условий. Напомним, что входящий множителем в компоненты
вектора р параметр и представляет собой проекцию на ось X вектора
внешней нормали к сечению стержня и определяется так: и(0) = — 1, n(L) = 1
6.2.7 Основные вариационные принципы в теории тонкостенных
стержней открытого профиля
Прежде всего найдем выражение для энергии деформации Е тонкостенного
стержня. Если записать выражение для энергии как функционал от вектора
перемещений и, то получим E(u) = Vi (An, САи) или
Е(и) =1 ([Щ% f + GI, (9')2 +Е1у (С)2 +EIz (л")2 + Ыа (G")2]^ . (2.71)
Эту же энергию можно представить и как квадратичный функционал от
усилий, что дает Е(о) = ХА (о, С"1 о) или
N2 Н2 М2 м] В2 1J
— + + ^ + ^ + \dx. (2.72)
ЕА GIX EIv EIz EIa\
Приведем также выражения для силового и кинематического
потенциалов. Если ограничиться для простоты записи случаем однородных
силовых краевых условий, то потенциал внешних сил будет представлять
собой возможную работу внешних распределенных нагрузок. Очевидно, что
эту работу можно записать в виде двойного интеграла

6.2 Тонкостенные стержни открытого профиля - теория Власова 331
ГЦи)= J j(qzu + q,v + q„w)ds \dx. (2.73)
Вспомним теперь формулу (2.8), дающую возможность представить
тангенциальное перемещение v произвольной точки профиля стержня через
поперечные перемещения л. и С, главного полюса и угол поворота 6 сечения
стержня вокруг оси полюсов. Аналогичным образом, домножая скалярно
равенство (2.7) на орт и, получим и выражение для нормального
перемещения w. Если присовокупить сюда же и формулу (2.15), то будем
иметь
и= Z,-T\'y-C,'z-&a},
v = r\ty + C,tz + Q[(y-yP)t2 - (z - zp)ty],
w = r\t,-(,ty- G[(y -yt)ty + (z - z,)tz]. (2.74)
При этом приняты во внимание ранее полученные соотношения пу = tz,
n2 = -ty.
Кроме указанного, воспользуемся представлением компонент внешних
воздействий q, и q„ в локальной системе координат через компоненты этих
же воздействий qy и qz в глобальной координатной системе согласно
формулам (2.35).
Подставляя все эти соотношения в (2.73), приводим выражение для
силового потенциала к виду
fjiq^-^'y-^'z-e'^ + q^-eiz-z^ + q^ + Qiy-y^dsdx.
Интегрируя по дуговой координате s и используя при этом обозначения для
интегральных по поперечному сечению стержня внешних воздействий по
(2.36), упрощаем это выражение до
П5(и) = J (Z>plc+r)pv+^pz+Qmx+r\'mz-C,'my-&mB)dx. (2.75)
Дальнейшее преобразование этого интеграла проведем, воспользовавшись
формулой интегрирования по частям и обозначениями для обобщенных
нагрузок по (2.50). В результате получаем
П8(и)= f(\px +гфу+С,рг+ Qmz)dx + [цтг? -[С,ту J -[втв fo. (2.76)
Подчеркнем, что выражение для П8 по (2.76) отражает возможную работу
только заданных по длине стержня нагрузок, без концевых силовых
воздействий. Заметим, что такое условие принято нами в целях упрощения
записи формул. Но, на самом деле, это условие и не является ограничением
на класс воздействий, поскольку формально силовые краевые воздействия
можно включить в состав распределенных нагрузок, воспользовавшись в
этих целях аппаратом обобщенных функций, точнее дельта-функцией
Дирака.

332 6. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть III
Если обратиться к общей формуле для функционала Лагранжа в виде
L(u) = E(u)-ns(u),
то условия минимума лагранжиана на кинематически допустимых полях
перемещений сводятся к уравнениям Эйлера для этого функционала, в
качестве каковых выступают уравнения (2.69), и к естественным краевым
условиям - в нашем случае к однородным силовым условиям в начальном и
концевом сечениях стержня
[е„ЕА% f0 = 0 , [еш{-Eljd" + GIxQ' - тв)? = 0 ,
[e^-EIrf+m^O, [ee2(-EIyC,m-my)fo = 0,
[e„EIrffo=0, [e^/^"I=0, [etEIaB'fo = 0. (2.77)
Физический смысл этих краевых условий прозрачен:
• первое из них относится к продольной силе N;
• второе - к полному крутящему моменту Мх;
• третье и четвертое - к поперечным силам Qy и Qz;
• пятое и шестое - к изгибающим моментам Му и М2;
• последнее, седьмое краевое условие, определяет краевой бимомент В.
Как обычно характеристические функции выделения краевых условий eN,
em, е<2у> е&> ему, екь, ев равны единице только на том конце стержня, где
ставится соответствующее статическое краевое условие.
Перейдем теперь к построению потенциала кинематических внешних
воздействий. Прежде всего полезно выписать в явном виде выражения для
операторов На и Ни, переводящих вектор напряжений о и вектор
перемещений и в векторы краевых усилий р и краевых перемещений и, то
есть/» = Наа и и = Нии . Опираясь на формулы (2.70), получим
"и 0
0 п
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
-п
0
0
d
П dx
0
0
0
0
-п
0
0
d
n~dx
0
d
"dx
0
0
-и
0
0
, ни =
"1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
d
Их
0
0
1
0
0
d
~dx
0
0
1
0
0"
1
0
0
d
dx
0
0
Обратившись теперь к общей формуле (2.3.2), имеем возможность
определить потенциал кинематических внешних воздействий

6.2 Тонкостенные стержни открытого профиля - теория Власова 333
=[е^1+Ыв'+нЩ1-[^му^'1-[.еп'м^1-
- [е, BW][ + [е^М% J + [ецМ'2ц J. (2.79)
Характеристические функции выделения краевых условий е^, ее, е%, ец; е&,
е^, ец равны единице только на том конце стержня, где ставится
соответствующее кинематическое краевое условие. Матрица Еи выделения
кинематических краевых условий определяется как диагональная матрица
?'!/ = diag [е5,ев>есе11'ев'е«>ел] ¦
Аналогично может быть определена и диагональная матрица Ер выделения
статических краевых условий
Ер = dmg \[е„,еш,ещ,еш, ев, е&, е^ ]|,
при этом, как обычно, должно быть выполнено условие Еи+ Ер= I, где / -
единичная матрица седьмого порядка.
Имея в своем распоряжении потенциал кинематических внешних
воздействий Пк(о) и выражение для энергии деформации Е(о), легко
получаем и функционал Кастильяно как
К(о) = Е(о)-Пк(о),
минимум которого разыскивается на статически допустимых полях
напряжений.
На дальнейших деталях не останавливаемся.
6.2.8 О недепланируемых сечениях в теории тонкостенных
стержней открытого профиля
Среди всевозможных видов сечений тонкостенных стержней открытого
профиля особое место занимает класс недепланируемых сечений. Таким
термином обозначаются сечения, для которых секториальная координата ю в
каждой точке профиля равна нулю. Это означает, что депланационная
компонента mw продольных перемещений и точек профиля отсутствует, то
есть
hw = -G'o = 0 ,
а сами продольные перемещения и точек профиля в этом случае в силу (2.15)
следуют закону плоскости
u = Z,-r\'y-C,'z. (2.80)
Класс недепланируемых сечений состоит из всевозможных сечений с так
называемым "лепестковым" профилем (рис. 6.10), состоящем из набора

334 6. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть Ш
плоских ребер, пересекающихся в общей точке. Простейший случай
лепесткового профиля представляет собой обыкновенный уголок Для
лепесткового профиля центр изгиба Р находится в точке пересечения ребер
лепестка (см. Приложение G), так что секториальная координата ю
оказывается тождественно равной нулю.
Рис 6.10. Недепланируемые сечения
Для недепланируемого сечения в формуле (2 23) для напряжений <зх
сохранятся только первые три члена, так что
я N М Mz
а =— + ——z + —-у.
Если теперь проследить за выводом формулы (2.61) для касательных
напряжений т, принимая в качестве отправной формулу (2.81) взамен (2 23),
то получим, что для недепланируемого сечения формула (2 61) должна быть
заменена на формулу
(2 81)
hJ
"hi
(2 82)
Если же исходить непосредственно из общей формулы (2.61), приняв там
ю = 0, то пришлось бы иметь дело с неопределенностью типа 0/0, поскольку
Ма -> 0, Son -> 0, /ш -> 0 при <о -> 0
Для недепланируемого сечения бимомент В и момент стесненного
кручения Мш отсутствуют (тождественно нулевые) В результате вектор
напряжений <т и вектор деформаций е будут содержать на одну компоненту
меньше, так что формулы (2.62) заменяются на формулы
- \[N,H,
мум2
= |[$,П)С,е]|Т, г=|[е0,Х„Хг,Х,]|Т
(2 83)
Соответственно сократится и размер матриц геометрии, равновесия и
упругости. Очевидно, что в матрице А по (2 64) должна быть исключена
последняя строка, матрица А1 по (2.65) усекается за счет последнего
столбца, а в матрице С по (2 68) удалению подлежат последняя строка и
последний столбец. В результате для недепланируемого сечения будем
иметь

6.2 Тонкостенные стержни открытого профиля - теория Власова 335
0
d
dx
0
d2
dx2
0
d2
~~dx~2
(1
0 G/ 0 0
0
0
0 EI
Используя общую формулу L=ACA для построения оператора Ламе,
приходим к разрешающей системе дифференциальных уравнений задачи в
перемещениях Lu = X. В развернутой форме эта система уравнений
принимает вид
ЕА%" = рх , EIzr\'v
EJyQ'v -
-GIQ" = тх.
(2.86)
Как видим, система уравнений равновесия в перемещениях для
тонкостенного стержня с недепланируемым сечением по своей структуре
полностью совпадает с соответствующими уравнениями для стержней
сплошного сечения. Последнее, четвертое уравнение в системе (2.86),
описывающее кручение стержня, является уравнением второго порядка,
соответствующее задаче о чистом кручении. Понижение порядка этого
дифференциального уравнения на две единицы по сравнению с аналогичным
уравнением в системе (2.69) свидетельствует о вырождении задачи кручения
для недепланируемого профиля.
Вырождению подвергается не только система разрешающих
дифференциальных уравнений, но и вариационная постановка задачи. Так
вместо формул (2.71) и (2.72) для энергии деформации Е будем теперь
Е(и)
([ЕА(%)г +GIx(e'f +EIy(C;)2 +EI2(v?)2yx , (2 87)
вд=п
Упрощается и выражение для силового потенциала. Для этого в формулах
(2.75) и (2.76) следует отбросить бимоментное распределенное воздействие
тв. В результате для недепланируемого сечения будем иметь

336 6. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть III
П.(и)= [fa, +4Py+Q?z +0»1х)Л+[лих]С -[^уХ • (2-89>
6.3 Учет деформаций сдвига в тонкостенных стержнях
открытого профиля
В теории тонкостенных стержней открытого профиля, созданной усилиями
многих ученых, но в своей наиболее общей и законченной форме обязанной
трудам В.З. Власова и потому справедливо связываемой с именем именно
этого выдающегося механика, в качестве одного из основополагающих
постулатов служит гипотеза об отсутствии сдвигов в срединной поверхности
тонкостенного стержня.
В процессе развития этой теории неоднократно возникали различного
рода предложения по ее модификации, мотивированные попытками отказа
от гипотезы отсутствия сдвигов и учитывающие тем или иным способом
влияние деформаций сдвига на работу тонкостенного стержня. Сошлемся на
известные публикации Ададурова [10, 11], Джанелидзе и Пановко [12],
Гольденвейзера [13], Воробьева [14], Мещерякова [15].
Следуя в русле общей идеи, выдержанной в этой книге, попытаемся
учесть влияние деформаций сдвига, включив в выражение для энергии
деформации тонкостенного стержня ту ее часть, которая вызвана работой
касательных напряжений. По существу эта идея является переносом на
теорию тонкостенных стержней соответствующей процедуры,
использованной нами при переходе от теории балок Бернулли-Эйлера к
теории балок Тимошенко и при переходе от кирхгоффовой теории изгиба
пластин к теории Рейсснера. Такая схема рассуждений в части учета
деформаций сдвига в теории тонкостенных стержней, повидимому впервые
предпринятая в работе Л.Н. Воробьева [14], приводит к одному из наиболее
простых вариантов сдвиговой теории тонкостенных стержней.
Приведем еще раз для удобства ссылок выражения для нормальных и
касательных напряжений в тонкостенном стержне открытого профиля,
сославшись на формулы (2.27) и (2.61). Итак, имеем
х N М М в
а = — + —-z + —-у +—со, (3.1)
А 1у I, 1„
* = -?—-?>— -К — • (3-2)
hly у hlz hla
Формулой (3.2) определяются только те касательные напряжения т, которые
распределены равномерно по толщине стенок А сечения стержня (см.
рис. 6.6).

6.3 Учет деформаций сдвига в тонкостенных стержнях 337
Точно так же, как и в теории балок Бернулли-Эйлера,
касательные напряжения т противоречат физическому закону
поскольку согласно гипотезе об отсутствии сдвигов
ди до „
OS ох
Если обратиться к выражению для энергии деформации Е(<т)
_, . 1 An2 я2 м2 м2 в2],
Е(»)=- + + —~ + —~ + \dx, (3.3)
2 *о\_ЕА GIx EIy Ы, Е1ш\
то легко понять, что эта энергия отражает работу нормальных напряжений и
работу той части касательных напряжений ть которые распределены по
толщине стенок по линейному закону с нулевым значением непосредственно
на профиле (рис. 6.6). Иными словами, в выражение (3.3) включена энергия
нормальных напряжений а* и энергия касательных напряжений тк чистого
(иногда говорят, сенвенановского) кручения стержня.
Сосредоточившись на энергии Е(т), запасаемой касательными
напряжениями т, распределенными равномерно по толщине стенок профиля,
можем записать
Е(т)=10|-ААЛ, (3.4)
ки сюда (3.2) и интегрирования
гии по (3.3) следующее одинадц
щии
с, ч 1 An2 н2 м2 м] в2],
Е(»)=- —+—+—-+—-+—\<ь
2 h^EA GIX EI EIX EIaJ
что после подстановки сюда (3.2) и интегрирования вдоль профиля дает с
суммированием энергии по (3.3) следующее одинадцатичленное выражение
для энергии деформации
it
iti(i3tMt»L ,3.5)
GFZ GFy GFj2 GF^ GFzar GFyar J
Здесь использованы следующие обозначения для вновь введенных
геометрических характеристик сечения

338 6. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть III
IV
-л,
»~'ТГ —
(3.6)
при этом Ir = Jy + Iz полярный момент инерции сечения, г2 = IJA квадрат
полярного радиуса инерции сечения стержня.
Безразмерные коэффициенты у, назовем коэффициентами формы
сечения. В отличие от теории балок Тимошенко, где присутствует только
один коэффициент формы сечения, в теории тонкостенных стержней
участвуют шесть (безразмерных) коэффициентов формы, образующих
симметричную матрицу коэффициентов формы сечения ц
^ »9
(3.7)
Введенная здесь матрица v является обратной матрицей к матрице ц, а ее
компоненты понадобятся нам в дальнейшем.
Введем в рассмотрение новый вектор напряжений с, положив
<т= [N,H,My,Mz,B,Qz,Qy,M^ . (3.8)
В этой формуле, в отличие от формулы (2.62) для вектора напряжений в
бессдвиговой теории тонкостенных стержней, вектор напряжений является
восьмикомпонентным. По сравнению с вектором <т по (2.62) сюда введены
три дополнительные компоненты: Qz, Qy и Мш. Очевидно, что выражение для
энергии деформации Е(<т) по (3.5) может быть представлено в обычном
матричном виде Е(<т) = Уг <jtC_1<j, если в качестве матрицы С'1 положить
Уо,
0 Уш,
Уш.
УгвА
/rGA
'SgaI

6.3 Учет деформаций сдвига в тонкостенных стержнях 339
Если считать, что кинематические краевые условия однородны, то
энергия деформации Е(<т) будет представлять собой функционал
Кастильяно, который следует минимизировать при условии выполнения
уравнений равновесия в объеме стержня и на его концах.
Для введенного выше восьмикомпонентного вектора напряжений а
выпишем полную совокупность всех уравнений равновесия, сославшись на
формулы (2.39), (2.43), (2.44), (2.46), (2.48), (2.49). Итак, имеем
-N' = px, -Н'-М'а = тх, -M'y+Qz=my, -M'z+Qy=-mz,
-Q[=pz, -Q'v=py, -В' + Ма=тв. (3.10)
Эти уравнения равновесия можно представить в стандартном матричном
виде
АТа = X,
если в качестве вектора нагрузок X положить
^= \_P*'Py>Pz'mx>my'mz>mB~\ > (3.11)
а в качестве оператора равновесия Ат принять
N
~ /dx
0
0
0
0
0
0
н
0
0
0
-&
0
0
0
My
0
0
0
0
-"А
0
0
Mz
0
0
0
0
0
d/
/dx
0
в
0
0
0
0
0
0
-d/
/dx
&
0
0
-d/
/dx
0
1
0
0
Qy
0
-%.
0
0
0
-1
0
Ma
0
0
0
-d/
/dx
0
0
1
Здесь для удобства восприятия глазом сверху над столбцами оператора Ат
выписаны соответствующие компоненты вектора напряжений а. Как видим,
матрица Ат состоит из 7 строк (по числу уравнений равновесия) и из 8
столбцов (по числу компонент вектора напряжений а). Понятно, что
сопряженный оператору равновесия оператор геометрии А представляет
собой матрицу размерами 8x7

340 6. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть III
/dx
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
54
0
0
0
0
0
0
54
0
0
0
54
0
0
0
0
0
54
0
0
54
0
0
1
0
0
0
0
0
-54
0
0
-1
0
0
0
0
0
54
0
0
1
Выясним физический смысл оператора геометрии А. С этой целью
обратимся к кинематическим соотношениям теории тонкостенных стержней
с учетом деформаций сдвига.
Легко понять, что определяемые формулой (2.54) продольные
перемещения и точек поперечного сечения стержня в виде
u = ?,-ezy+eyz-Q'(o, (3.14)
первыми тремя членами обеспечивают изменение этих перемещений по
сечению стержня по закону плоскости, тогда как последний член этой
формулы определяет депланационное перемещение. Ранее формулами (2.14)
нами уже отмечалась геометрическая трактовка углов поворота 0Z и Qy
жестких поперечных сечений стержня относительно осей Z и Y
соответственно как производных от перемещений ц и С,, а именно,
ву = -С , ez = л'.
Эти соотношения в сдвиговой теории должны быть отброшены, при этом
углы поворота 0Z и Qy рассматриваются как независимые кинематические
параметры, интегрально по сечению стержня характеризующие его
перемещения. Кроме того, для депланационной составляющей продольного
перемещения и примем по сечению стержня тот же закон секториальных
площадей, но с отличным от крутки 0' функциональным множителем (3(х),
который мы назовем функцией меры депланации. В результате в сдвиговой
теории формула (3.14) должна быть заменена на формулу
u = ?,-ezy+eyz-P(o, (3.15)
Выпишем также выражение для тангенциального перемещения v,
воспользовавшись формулами (2.8), (2.10)
v = T\ty + C,tz + Qp.
(3.16)

6.3 Учет деформаций сдвига в тонкостенных стержнях 341
Теперь имеем возможность определить деформацию сдвига yxs,
обратившись к формуле (2.9), но не считая там сдвиг равным нулю
Yx,= 3r+^=(n'-e,)/,+(C+ev)/,+(e'-p)p. (з.п)
OS ох
Здесь учтено, что ty = dylds, tz = dz/ds, p = dmlds.
Для отдельных компонент этой формулы введем следующие обозначения
Уу=г\'-ег, У, = С+е,, у„ = в'-р, (3.18)
что позволяет переписать формулу (3.17) в следующем виде
Ух! = Уу(у + угЪ + ушр. (3.19)
Введенным параметрам деформации уу , yz , уш можно придать следующую
геометрическую трактовку:
• уу -усредненный по сечению сдвиг в плоскости (X,У);
• Yz ~ усредненный по сечению сдвиг в плоскости (Х,Т);
• ушр - сдвиг в каждой точке профиля, вызванный депланацией сечения.
Параметр уш, равный разности между круткой 0' и мерой депланации (3,
характеризует депланационную деформацию сдвига. Как видим, этот
параметр является единым для всего сечения в целом.
Теперь отметим, что в связи с учетом деформаций сдвига вектор
перемещений и будет содержать уже не четыре независимые компоненты,
как это было положено в формуле (2.62) для бессдвиговой теории
тонкостенных стержней, а семь
u=|[^r,,C,0,0y,02,-p]|T, (3.20)
Дополнительные три компоненты перемещений следующие:
• Qy угол поворота сечения стержня вокруг оси Y;
• 9Z угол поворота сечения стержня вокруг оси Z;
• -(3 взятая со знаком минус мера депланации, отличная от крутки 0'.
Но тогда в качестве вектора деформаций е выступает вектор
Е=|[е0>Х,,Хг,Ху!Хв,7г,7у,7ю]| , (3.21)
где положено
ео=5', х,=в', хг=е;, ху = -*',, х, = -Р',
y2 = C + 6v, y,=ri'-0z, Y<o=6'-P. (3.22)
Будучи записанными в матричной форме Аи = е, эти соотношения как раз и
приводят к полученной нами ранее матрице геометрии А, как матричному
оператору, сопряженному оператору равновесия Ат.
Матрица жесткости С может быть получена формальным обращением
матрицы податливости С"1, что дает

342 6. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть III
ЕА
0
0
0
0
0
0
0
0
GIr
0
0
0
0
0
0
0
0
EIY
0
0
0
0
0
0
0
0
EIZ
0
0
0
0
Теперь имеем возможность получить и разрешающую систему уравнений
в перемещениях для теории тонкостенных стержней с учетом деформаций
сдвига. На основании общей формулы для операторного уравнения Ламе
Lu=X, L=AyCA,
и после проведения необходимых матричных преобразований получаем
следующую систему из семи дифференциальных уравнений относительно
семи компонент вектора перемещений и
-GA[v^(C,"
-c?4ve(c
-GIJST-
-EIyQ"y
-Elft
EIJP +
+e;
+e;
G4r[v„(C"
+ GA[v
-GA[v
-«
Л
G4r[v„(C
-EAS,"
) + v
) + v
+e;
+ вУ
+°,
+0,)
M
Ж
= A
-e;
-e:
+^Иу(п"
) + v
,(Tl'
+ vw(ti'
+ vm
y(n'-
+ VKe
+ Vz<oK6
-Ю] = ру,
-Р')] = л,
-6z) + V<«o''(6"-P')] = 'W;c,
-e,)+v2M
-Qz)+vva
-6z)+vM(l
r(0'-p)] = my,
г(в'-Р)] = ОТж,
r(0'-p)] = mB.
Как видим, каждая из искомых семи компонент вектора перемещений и
входит в эту систему уравнений со своей старшей производной вплоть до
второго порядка. При этом, в отличие от бессдвиговой теории Власова,
изгибные и крутильные состояния системы не разделяются, а являются
связанными. Понятен также физический смысл этих уравнений:
• первые три уравнения представляют собой уравнения равновесия в
проекциях на оси X, Yи Z соответственно;
• четветрое, пятое и шестое уравнения суть уравнения равновесия в
моментах относительно соответствующих осей;
• последнее, седьмое уравнение, есть бимоментное уравнение равновесия.
0
0
0
0
EL
0
0
0
0
0
0
0
0
GAv22
GAv^
rGAvaz
0
0
0
0
0
GAv^
GAvyy
rGAvay
0
0
0
0
0
rGAv2
rGAvy
r2GAv

6.3 Учет деформаций сдвига в тонкостенных стержнях 343
6.3.1 Основное интегральное тождество в сдвиговой теории
тонкостенных стержней открытого профиля
На основании полученных матричных соотношений
обычно, формулу интегрирования по частям, получаем
используя, как
= _[ [^ + 0'Я + 0;Му-0;М2-р'5 + (С' + 0у)й+(п'-0,)еу + (0'-|3)Мю]а!х: =
= lX-yj'-4Q'y-&z-Q(H' + M'J-Qy(M'y-Q2) + Bz(M'2-Qy)-$(MtS)-B')]dc +
+[^?+[ле^[+[сй?+[в(я+мю)]|;+[0уму|-[0гмг]|;-[|35?.
В матричном виде эта формула запишется стандартным способом
(Ли, а) =(и, Ато) + (р, и)г,
если в качестве вектора краевых усилий р и вектора краевых перемещений и
положить
р= [nN,nQy,nQz,n(H + MJ,nMy,-nMz,nB~§ ,
«=|[^n,C,e,0y,0z,-p]|T.
Как обычно, под п здесь понимается компонента относительно оси X вектора
внешней нормали к сечению стержня. Иными словами, п = 1 при х = L и
п = -1 при х = 0.
Опираясь на полученные компоненты векторов краевых усилий р и
краевых перемещений и, выпишем в явном виде выражения для операторов
На и Ни, где р = Нао и и = Нии . Имеем
(3.25)
п
0
0
0
0
0
0
0
0
0
п
0
0
0
0
0
0
0
п
0
0
0
0
0
0
0
-п
0
0
0
0
0
0
0
п
0
0
п
0
0
0
0
0
п
0
0
0
0
0
0
0
0
п
0
0
0
где / единичная матрица седьмого порядка.
6.3.2 Основные вариационные принципы в сдвиговой теории
тонкостенных стержней открытого профиля
Ранее формулой (3.5) нами уже было определено выражение для энергии
деформации Е(<т), как квадратичный функционал от напряжений с. Та же

344 6. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть Ш
энергия, но представленная как квадратичный функционал от перемещений,
может быть получена на основании общей формулы E(u) = Уг {An, САи) или
E(u) =- J {ЕА%а + GJxQ'2 + EJyQ'2 + EJZQ'2 + ?7mp'2 +
+GA[v2!(C,' + Qy)2 + ууу(ц'-в2)2 +vmmr2(9'-P)2 +
(3.26)
+2vzy(C + ву)(ц' -Qz) + 2v2„r(? + Qy)(Q' -p) + 2vyar(r\' -Q2)(Q' -$)}dx.
Перейдем теперь к выражениям для силового и кинематического
потенциалов. Как и ранее в §6.2.7 принимаем для простоты записи вариант
однородных силовых краевых условий. Но тогда потенциал внешних сил
будет представлять собой возможную работу внешних распределенных
нагрузок, которая записывается в виде двойного интеграла
П,(и) = J j(qxu + q,v + q„w)ds \dx. (3.27)
При преобразованиях этого интеграла ранее были использованы формулы
(2.74), однако в нашем случае в этих формулах выражение для продольного
перемещения и должно быть заменено согласно формуле (3.15). Поэтому
вместо формул (2.74), для сдвиговой теории имеем
M = ^-ezj + 9J,z-pco,
V = r\ty + U + 9[(у - у,% - (z - zP)ty],
w = tit - С ty - 9[(y -yp)ty + (z- zF%]. (3-28)
После подстановки формул (3.28) и формул (2.35) в формулу (3.27)
приводим выражение для силового потенциала к виду
jLJ{qx&-Q,y+Qyz-№+qy[4-Q(z-Zv)]+q:&+Q(y-yv)]}dsdx-
Интегрируя по дуговой координате s и используя при этом обозначения для
интегральных по поперечному сечению стержня внешних воздействий по
(2.36), получаем окончательное выражение для силового потенциала
ГЦи) = J (tpx + i]py + Cpz + Qmx + Q2m2 + Qymy -$mB)dx . (3.29)
Если взять разность между этим силовым потенциалом и силовым
потенциалом для бессдвиговой теории, определяемом формулой (2.75), то
получим приращение силового потенциала ДГЦи), вызванного учетом
деформаций сдвига
ДГЦи) = J [(в, - ц')т2 + (в, +С,')ту+ Ф' -Р)юв]dx. (3.30)
Как видим, приращение силового потенциала ДП8(и), вызванного учетом
деформаций сдвига, представляет собой возможную работу внешней

6.3 Учет деформаций сдвига в тонкостенных стержнях 345
распределенной моментной и бимоментной нагрузки на деформациях
сдвига, что и следовало ожидать.
Следуя формальным правилам, сформулированным для общего случая во
второй главе, несложно построить и,потенциал кинематических внешних
воздействий, а также записать в явном виде выражения для основных
функционалов - функционала Лагранжа и функционала Кастильяно.
При необходимости читатель сможет провести указанные выкладки
самостоятельно.
6.3.3 О сдвиговой теории тонкостенных стержней открытого
профиля для недепланируемых сечений
Как это было установлено в §6.2.8, случай недепланируемых сечений
приводит к вырождению задачи как в дифференциальной форме, так и в
вариационной форме для бессдвиговой теории тонкостенных стержней
открытого профиля.
Посмотрим теперь к каким изменениям приводит недепланируемость
профиля в сдвиговой теории. В этом случае, формулы (3 1) и (3.2) для
нормальных и касательных напряжений заменяются на формулы (2 81) и
(2.82). В результате формула (3.5) для энергии деформации замещается
формулой
с, , 1 An2 н2 м) м2 q2 Q] 2&е,1
Е(о)=- — + + —у- + —- + -=*- + + \dx. (3.31)
2 h\_EA GIX EIS EI2 GF2 GFv GF^ J
Матрица коэффициентов формы сечения ц, а вместе с ней и обратная
матрица v, становятся матрицами второго порядка
Далее, векторное представление "напряжений" о, деформаций е,
перемещений и и вектора внешней нагрузки X изменится, так что взамен
формул (3.8), (3.11), (3.20) и (3.21) будем иметь
а= \[N,H,MV,M2,Q2,QVJ, X = \[px,pr,p2,mx,my,m2J,
и=р,т1,с,е,ег,ег]|т, ?= |[s0,x„x_.,xv,yz,y,]|t. (з.зз)
Как видим, в векторе напряжений о исключены отсутствующие для
недепланируемого сечения бимомент В и момент стесненного кручения Ма.
Соответствующие этим силовым факторам компоненты вектора деформаций
%в и уш также исключаются из вектора е. В векторе внешних силовых
воздействий исключена бимоментная нагрузка тв, а в векторе перемещений
и исключена мера депланации р.
Следуя внесенным изменениям в векторы о и е для недепланируемого
сечения, мы должны исключить:
(3 32)

346 6. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть III
• из матрицы геометрии А по (3.13) пятую и восьмую строки и седьмой
столбец;
• из матрицы равновесия Ат по (3.12) пятый и восьмой столбцы и седьмую
строку;
• из матрицы упругости С по (3.23) строки и столбцы с номерами пять и
восемь.
В результате будем иметь
(3.34)
ЕА
0
0
0
0
0
0
&х
0
0
0
0
0
0
Е1у
0
0
0
0
0
0
Е17
0
0
0
0
0
0
GA^zz
GA\m
0
0
0
0
GAv
GAv
(3.36)
Разрешающая система уравнений в перемещениях получается на
основании общей формулы для операторного уравнения Ламе

6.3 Учет деформаций сдвига в тонкостенных стержнях 347
После проведения необходимых, матричных преобразований это приводит к
следующей системе из шести дифференциальных уравнений с
шести компонент вектора перемещений и
-04|\,.(<Г
-GA[v^
~EIye"y+GA[v
-EI,Q',-GA[v
-EA^" =
+e;)+>
-Gijer
B«'+e,
,K'+e,
Л»
JM
"*0i'
) + v„
)+v«
-e
-e
OV
(л'
)]
)]
-e
-e
= ^V
= Л.
>]-v
)]--.
(3.37)
Что же касается выражения для энергии деформации Е, представленной
как функционал от перемещений, то взамен формулы (3.26), полученной для
депланируемого сечения, в случае недепланируемого сечения будем иметь
Е(и) =- J {ЕЛЕ,'2 + Gljd'2 + EIyQ'2 + EI2Q'2 +
+ GA[vZ2(C,' + Qy)2 +vyy(r]'-Q2)2 + 2vzy(C,' + ву)(ц'-Q2)]}dx . (3.38)
6.3.4 О матрице коэффициентов формы сечения \i
Ранее формулами (3.6) определены компоненты матрицы ц - матрицы
безразмерных коэффициентов формы сечения. Кроме того, согласно (3.7)
матрица v определена формальным обращением матрицы ц. Тем самым
молчаливо предполагается, что такая операция допустима, а это
предполагает невырожденность матрицы ц.
Можно показать, что матрица ц является положительно определенной
матрицей, а значит и обратимой. Действительно, из формулы (3.4) следует
строгая положительность энергии Е(т) > 0 при т Ф 0. Отсюда, как это
несложно заметить, следует положительная определенность матрицы
Hsl ^SL
йзд
GA GA GAr
GA GA GAr
GAr GAr GAr-
GA
"10 0"
0 1 0
0 0 \lr

348 6. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть III
Если учесть, что GA > 0 и г > 0, то из положительной определенности этой
матрицы вытекает и положительная определенность матрицы ц.
Приведенная схема рассуждений проходит только тогда, когда речь идет о
депланируемом сечении. Случай недепланируемого сечения является
особым, вырожденным случаем, для которого в формулах (3.1) и (3.2)
последние два слагаемых исчезают. Это приводит к понижению на единицу
порядка матриц ц и v (см. по этому поводу §6.3.3). В то же время
положительная определенность этих усеченных матриц в вырожденном
случае недепланируемого сечения все равно сохраняется.
Последнее утверждение можно доказать непосредственно, не опираясь на
энергетические соображения. В самом деле, для недепланируемого сечения
матрица ц имеет следующий вид
/2 } h II f h
А ,\
IJv 1
I] ) h
Как это известно из курса линейной алгебры [16], симметричная матрица
положительно определена тогда и только тогда, когда все ее главные
миноры положительны. Поскольку ц^ > 0, то становится ясно, что для
доказательства положительной определенности матрицы второго порядка ц
достаточно убедиться в положительности определителя этой матрицы.
Имеем
det ц =
ЙЬ*
(3.39)
Но квадратная скобка в (3.39) положительна на основании известного
неравенства Буняковского [17]
\UVds
в котором следует положить
u = s /4h,
\UVds\ <\u2ds\v2ds,
V = Soz/yfh .
6.4 Полусдвиговая теория тонкостенных стержней
открытого профиля
Вернемся к формуле (3.2) для касательных напряжений в отдельных точках
поперечного сечения тонкостенного стержня и перепишем ее здесь в виде
суммы двух слагаемых

6.4 Полусдвиговая теория тонкостенных стержней 349
т = те + тм, Те=-0_|>1-0 -2., XM=-Ma-f-. (4.1)
Ыу ' я/2 Л/ш
Касательные напряжения те* порождаемые поперечными силами Qz и gv,
назовем касательными напряжениями изгиба. Тогда напряжения хм,
вызываемые моментом стесненного кручения М№ уместно именовать
касательными напряжениями кручения.
Как известно [12, стр. 26-28], один из возможных способов построения
приближенных (прикладных) теорий связан с разделением напряжений
и/или деформаций на основные (скажем, ст0, е0) и второстепенные (скажем,
аь ?j) с последующим отбрасыванием в разрешающих уравнениях
второстепенных компонент по сравнению с основными. На уровне
энергетического истолкования таковое разделение соответствует
пренебрежению энергией второстепенных компонент по сравнению с
энергией основных компонент напряжений и деформаций. Иначе говоря, в
общем выражнении для энергии
Е(о) = Е(о0) + Е(а,) + А(Оо,е,) ~ Е(о0)
вторым и третьим слагаемыми пренебрегают по сравнению с первым. Здесь
A(ct0,?i) - это возможная работа основных напряжений на деформациях,
вызванных второстепенными напряжениями (или наоборот, в силу теоремы
взаимности работ).
Если с этих позиций сопоставлять сдвиговую теорию тонкостенных
стержней, изложенную в разделе 6 3, с бессдвиговой теорией В.З. Власова,
то можно сказать, что в теории Власова в качестве основных компонент
напряжений приняты нормальные напряжения о* и касательные напряжения
% Что же касается касательных напряжений т, распределенных равномерно
по толщине h стенок сечения стержня, то они отнесены к второстепенным
компонентам напряжений - сопоставим выражения для энергии по (3.5) и
(2.72).
Но можно рассмотреть и промежуточный вариант теории, отнеся к
основным только часть касательных напряжений т, а именно касательные
напряжения кручения хм, в то же время сохранив касательные напряжения
изгиба те в классе второстепенных. Такого рода теорию мы и назовем
полусдвиговой теорией тонкостенных стержней.
Смысл полусдвиговой теории, занимающей промежуточное положение
между сдвиговой и бессдвиговой вариантами теорий, заключается в
следующем. Во-первых, как это можно заранее предсказать и как мы увидим
чуть позже, полусдвиговая теория оказывается существенно более простой
по сравнению со сдвиговым вариантом. Во-вторых, можно предвидеть, что
энергия касательных напряжений те соотносится с энергией нормальных
напряжений <т* примерно так же, как это имеет место быть при соотнесении
дополнительных членов в выражении для энергии в теории изгиба балок
Тимошенко по сравнению с энергией в теории балок Бернулли-Эйлера. Но,
как это хорошо известно, существует обширный класс прикладных задач, в

350 6. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть III
которых уточнением в решениях за счет перехода к теории балок
Тимошенко можно заранее пренебречь без внесения существенной
погрешности в результаты расчетов.
Итак, в соответствии со сказанным, в полусдвиговой теории принимаем
вместо (3.5) следующее выражение для энергии
Е(«) =
An2 н2 м2
—+—+—--
}о[ЕА GIx EI
Ml
м2
EI EI GFr
\dx,
(4.2)
где, напоминаем,
Понятно, что в полусдвиговой теории в векторе напряжений а по (3.8)
нужно отбросить поперечные силы, что дает следующий шести-
компонентный вектор
a=\_N,H,My,Mz,B,Ma ]Г . (4.3)
Ясно также, что вместо матрицы С"1 по (3.9) в полусдвиговой теории
следует положить
'ел °
0 Уш,
0 0
0
0
Кг
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Уш,
Ук
о
»lGA.
Как видим, матрица упругости С в полусдвиговой теории получается
диагональной и именно это обстоятельство приводит к упрощению
разрешающей системы уравнений задачи в полусдвиговой теории по
сравнению с уравнениями полностью сдвиговой теории.
Совокупность уравнений равновесия (3.10) по исключении из этих
уравнений поперечных сил приводится к виду
-N' = px, -Н'-М'0=тх, -М"у=рч, ~M"z=py,
-В' + Мш=тв, (4.5)
где обобщенные нагрузки ру и рг определяются первыми двумя формулами
в (2.50).

6.4 Полусдвиговая теория тонкостенных стержней 351
Вводя в полусдвиговой теории вектор нагрузок X
запишем систему уравнений равновесия (4.5) в матричной форме А а =Х ,
положив
О
О
О
О
/dx
1
(4.7)
Но тогда сопряженный оператору равновесия оператор геометрии А
принимает вид
^g tip Ср в -Р
(4.8)
Этот оператор, примененный к вектору перемещений и, приводит к вектору
деформаций г, где положено
и=|[^г,,СД-р]|Т,
= |[?0'Х
(4.9)
-С, гу =
(4.10)
Окончательно система разрешающих уравнений равновесия в
перемещениях
принимает вид

352 6. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть III
-ЕА\" = рх,
Hcxo
EI2yf
-Ю = тх
= ру, El?v =р„
Исхо
(4.11)
Как видим, для полусдвиговой теории задачи изгиба и кручения
разделяются Именно поэтому система уравнений (4.11) значительно проще
своего аналога в полностью сдвиговой теории, то есть проще системы
уравнений (3.24).
Между прочим, задачу кручения, описываемую двумя последними
дифференциальными уравнениями в (4.11), легко свести к одному
уравнению третьего порядка относительно функции р. Действительно,
дифференцируя последнее уравнение в (4.11) по х и суммируя полученное с
четвертым уравнением системы (4.11), находим
-GIXQ" + EIJ
(4.12)
Исключив теперь из четвертого уравнения системы (4.11) величину 9" с
помощью (4.12), получаем
Удобно ввести в рассмотрение безразмерный геометрический параметр у,
положив по определению
.,/ -1 . ^и(а * (А ЛХ\
В этих обозначениях окончательно разрешающее дифференциальное
уравнение третьего порядка для задачи кручения в полусдвиговой теории
тонкостенных стержней открытого профиля запишется в виде
v|/?/jr-G4P' =
4-утв.
(4.14)
Полезно привести здесь также выражение для энергии деформации Е,
представленной как функционал от перемещений в полусдвиговой теории
тонкостенных стержней открытого профиля Несложно получить, что в
данном случае
Е(и) =-г \\еА%2 + EIyC,"2 + EIX2 +
+EIQ'2 + GIQ'2 + ^~ (9' - р)2 ]dx . (4.15)
v-l
Очевидно, что к задаче кручения относится только та часть подынтег-
ральной функции в (4.15), которая записана там во второй строке.
Ограничиваясь задачей стесненного кручения (без рассмотрения задачи
изгиба), можем записать следующее выражение для функционала Лагранжа

6.4 Полусдвиговая теория тонкостенных стержней 353
1_(9,р) =- I" EI В'2 +-^(9'-В)2 +GI 9'2 Цс- I" mQdx+ [ mAdx. (4.16)
2 Jo [ у -1 J ° °
Здесь стоит -отметить, что структура этого функционала напоминает
структуру функционала Лагранжа в теории балок Тимошенко - см. формулу
(4.6.14). Для приведения этих двух функционалов в полное соответствие
нужно, впрочем, балку Тимошенко опереть не на обычное винклерово
основание, а на упругое основание, сопротивляющееся повороту дневной
поверхности основания с коэффициентом постели С2 [18]. Преобразованную
для такой задачи формулу (4.6.14) можно записать в виде
Цо/ф)=4 J [Ely'2 +GFy(v'-ф)2 +C2v'2]dx- j qvdx-j rmpdx. (4.17)
В (4.17) угол поворота поперечного сечения балки Тимошенко
переобозначен как ф, поскольку символ 9 уже использован нами здесь для
обозначения угла закручивания поперечного сечения тонкостенного
стержня.
Таблица 6.1
Изгиб балки Тимошенко
прогиб
поворот сечения
изгибная жесткость
сдвиговая жесткость
жесткость основания
поперечная нагрузка
моментная нагрузка
изгибающий момент в
сечении балки
поперечная сила в
сечении балки
моментная реакция
упругого основания
обобщенная попереч-
ная сила в балке
V
Ф
EI
GFy
с2
Я
т
М=-ЕЩ'
Q = GFy(v'-q>)
C2v'
K = Q+C2V
Кручение тонкостенного стержня
угол закручивания
мера детонации
секториальная
кручения
внешний погонный
крутящий момент
внешний погонный
бимомент
бимомент
кручения
момент чистого
кручения
полный крутящий
е
Р
Е1а
GIx/(y-l)
GIX
тх
-тв
В = -Е1в>$'
Мв=-^-(в'-Р)
V-1
H=GIXQ'
мх=ма+н
Сопоставив (4.16) и (4.17), приходим к важному выводу о том, что задача
кручения тонкостенного стержня открытого профиля в рамках
полусдвиговой теории может быть поставлена и решена как задача об изгибе
балки Тимошенко. Для этого достаточно всего лишь произвести замену
обозначений согласно приведенной выше таблице 6.1.
На дальнейших деталях не останавливаемся.

354 6. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть Ш
Литература
1 Тимошенко С П История науки о сопротивлении материалов - М Гостехиздат,
1957 -536 с.
2 Saint-Venant Ваггё Mem acad sci. savants etrangers, XIV, 1855, pp 233-560
Имеется русский перевод' Сен-Венан Б. Мемуар о кручении призм. Мемуар об
изгибе призм. Перевод с французского под ред. Г Ю Джанелидзе - М.
Физматгиз, 1961
3. Розин Л.А. Задачи теории упругости и численные методы их решения. - СПб
Изд-во СПбГТУ, 1998. -531 с
4. Лейбензон Л С. Вариационные методы решения задач теории упругости - В кн
Академик Л.С. Лейбензон, собрание трудов, том 1, Теория упругости. -. М.: АН
СССР, 1951 -468 с
5 ДинникА.Н Продольный изгиб Кручение -М Изд-во АН СССР, 1955 - 392 с
6 Михлин С Г Вариационные методы в математической физике. - М Наука,
Физматгиз, 1970 - 512 с
7 Власов В 3 Избранные труды Том 2 - М Изд-во АН СССР, 1963 - 507 с
8 Тимошенко С П., Гудьер Дж. Теория упругости. - М Наука, Физматгиз, 1975 -
575 с.
9 Кочин Н Е Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - М Наука,
1965 -426 с
10 Ададуров Р А Напряжения и деформации в цилиндрической оболочке с
жесткими поперечными связями ДАН, 62, №2, 1948 -С 183-186
11 Ададуров РА Определение касательных напряжений в тонкостенных
конструкциях вблизи заделки Труды ЦАГИ, №614, 1947 -С 1-13
12 Джанелидзе Г Ю., Пановко Я Г Статика упругих тонкостенных стержней -
М-Л Гостехиздат, 1948 -208 с
13 Гольденвейзер А Л О теории тонкостенных стержней ПММ, т13, 1949
14 Воробьев Л Н Влияние сдвига срединной поверхности на величину деформаций
и напряжений в тонкостенных стержнях открытого профиля с недеформируемым
контуром. - Труды Новочеркас. Политехи института, 1955, т 26(40) -С 92-111
15 Мещеряков Л С Общие уравнения теории тонкостенных стержней открытого
профиля с учетом сдвигов Труды МИИТ "Вопросы прикладной механики",
вып 260, М Стройиздат, 1968 -С 82-93
16 Стренг Г Линейная алгебра и ее применения -М Мир, 1980 -454 с
17. Смирнов В И. Курс высшей математики Том 2. - М . Физматгиз, 1974. - 655 с
18. Перельмутер А В , Сливкер В И Расчетные модели сооружений и возможность
их анализа - Киев. Сталь, 2002 - 597 с

7. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ - часть 4
Теория расчета тонкостенных конструкций только
тогда стала главой строительной механики, когда на
основе эксперимента были ясно сформулированы простые и
удобные рабочие гипотезы, сделавшие возможным
построение практических расчетных методов
С.Н. Кан, Я.Г. Пановко. Элементы строительной механики
тонкостенных конструкций. - М . Оборонгиз, 1952, с 5
7.1 Тонкостенные стержни замкнутого профиля -
теория Уманского
Рассмотрим замкнутую цилиндрическую (но не обязательно круговую)
оболочку длиной L, с периметром средней линии ее поперечного сечения / и
толщиной стенки h. Будем считать, что также как и в теории тонкостенных
стержней открытого профиля, между этими характерными параметрами
выдержано отношение порядков величин в виде (6.2.1). В этом случае
говорят о тонкостенном стержне замкнутого профиля.
Как и ранее, введем правоориентированную декартову координатную
систему (X,Y,Z). Ось X является продольной осью стержня, параллельной
образующей цилиндрической оболочки и проходящей через центр тяжести
сечения стержня. Оси Y и Z главные центральные оси инерции сечения
стержня. Начало системы координат разместим так, чтобы начальное и
концевое сечения стержня имели соответственно координаты х = О и х = L.
Выберем на профиле стержня произвольную точку О, от которой будем
отсчитывать дуговую координату s, представляющую собой взятое с
определенным знаком расстояние между начальной точкой О и
рассматриваемой текущей точкой профиля М. Знак 5 определяется
направлением положительного обхода контура. Будем считать, что при
движении в положительном направлении координаты 5 обход контура
осуществляется против часовой стрелки, если смотреть со стороны
положительного направления оси X.
Как и ранее в §6.2, в каждой точке М профиля вводится в рассмотрение
правоориентированная криволинейная тройка осей с локальными ортами
(ix,n,t). Орт t направлен по касательной к дуговой координате s, в сторону

356 7. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть IV
возрастания этой координаты, а орт и представляет собой орт внешней
нормали к профилю Сразу же оговорим, что для описания свойств
материала вводятся в рассмотрение две безразмерные функции дуговой
координаты e(s) и g(s), а также модуль упругости Е и модуль сдвига G при
приведении сечения к единому материалу (модули приведения). Функции е
и g характеризуют распределение физических характеристик материала
вдоль профиля. При этом фактические модуль упругости E(s) и модуль
сдвига G(s) в произвольной точке профиля определяются как
E(s) = Ee(s), G(s) = Gg(s). (11)
Побудительным мотивом рассмотрения сечений, не обладающих
однородностью по материалу, является стремление не только к некоторому
обобщению формул, но и к удовлетворению запросов практики В
частности, в современном мостостроении сечения балки жесткости
пролетного строения моста нередко набираются из металлических коробок с
железобетонной плитой проезжей части по типу, показанному далее на
рис. 8 1
В связи со сказанным в дальнейшем следует иметь в виду, что
геометрические характеристики сечения на самом деле являются его физико-
геометрическими характеристиками В частности, под площадью сечения А
и под моментами инерции сечения 1У н 1г понимаются величины
А = ф ehds, Iy = ф ehz2ds, 1г = ф ehy2ds .
Понятно также, что положения центра тяжести и главных центральных осей
инерции сечения зависят от функции e(s).
7.1.1 Чистое кручение тонкостенного стержня замкнутого
профиля
Рассмотрение теории тонкостенных стержней замкнутого профиля начнем с
простейшей задачи о чистом (то есть свободном, нестесненном) кручении
тонкостенного стержня, поперечное сечение которого содержит
единственный замкнутый контур. Иногда такие сечения называют
однозамкнутыми сечениями.
Пусть на каждом из концов стержня задан внешний крутящий момент Мх,
как это показано на рис. 7.1. Иных внешних воздействий, а также внешних
связей (закреплений стержня) нет. Но тогда, как и в задаче Сен-Венана, для
исключения жестких смещений имеем возможность без вмешательства в
напряженное состояние системы наложить на этот стержень шесть внешних
связей.
Для решения этой простой задачи примем следующую совокупность
гипотез

7.1 Тонкостенные стержни замкнутого профиля -теория У майского 357
• гипотеза неизменяемости контура, согласно которой поперечное сечение
стержня не изменяет своего профиля в плоскости сечения;
• гипотеза о равномерном распределении касательных напряжений т™ по
толщине оболочки;
• гипотеза о независимости продольных перемещений и точек профиля от
продольной координаты х.
• гипотеза ненадавливания, согласно которой продольные волокна
тонкостенного стержня не взаимодействуют в нормальном по отношению
к ним направлениям. Иначе говоря, принимается as = а" = 0.
Рис. 7.1. Чистое кручение тонкостенного стержня однозамкнутого сечения
Гипотеза неизменяемости контура в точности повторяет аналогичную
гипотезу теории тонкостенных стержней открытого профиля и имеет тот же
самый смысл. Само собой разумеется, что справедливость этой гипотезы
оправдана в той мере, в какой тонкостенный стержень усилен на протяжении
своей длины совокупностью достаточно часто расположенных поперечных
диафрагм, жестких в своей плоскости и абсолютно гибких из плоскости.
Гипотеза о равномерном распределении касательных напряжений по
толщине оболочки утверждает, что напряжения xxs одинаковы по толщине
стенок оболочки, то есть не зависят от локальной координаты п. Кроме того,
этой гипотезой подразумевается также, что иных касательных напряжений,
помимо напряжений Xх3, направленных по касательной к профилю, в сечении
стержня не имеется. В связи с этим верхний индекс ** у этих напряжений
можно опустить, полагая т = т™.
Гипотеза о независимости продольных перемещений точек профиля от
продольной координаты х предполагает, что перемещения u = u(s) точек
профиля являются функцией только дуговой координаты s. Геометрически
это означает, что все поперечные сечения стержня-оболочки деформируются
из своей плоскости одинаково. Из этой гипотезы следует отсутствие
продольной деформации гх = duldx = 0 при чистом кручении.
Из гипотезы ненадавливания и условия ех = 0 следует и отсутствие
нормальных напряжений при чистом кручении, то есть а" = 0.

358 7. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть IV
Покажем, что поток касательных усилий T=xh одинаков во всех точках
профиля Действительно, вырезая из стержня-оболочки его элемент
размерами dx х ds, и проверяя для него условие равновесия в проекции на
осьХ, немедленно получаем, что dT/ds = 0. Аналогичное условие равновесия
этого же элемента в проекции на тангенциальное направление t дает
дТ/дх = 0 Итак, поток касательных напряжений Т при чистом кручении
является константой.
Эта константа, являющаяся единственной характеристикой напряженного
состояния системы, легко определяется на основании уравнения равновесия
в моментах относительно оси X Если взять произвольное поперечное
сечение стержня и выбрать в плоскости этого сечения некоторую
произвольную точку Р в качестве полюса, то суммарный крутящий момент,
создаваемый потоком Т относительно избранного полюса оказывается
равным
j> (Rm х Tt) • ixds = TJ> Rm 'itds = TJ> pds,
где p - проекция вектора RPU на направление нормали и к профилю стержня
в текущей точке М
Параметр р, рассматриваемый как функция дуговой координаты s, будем
называть плечевой функцией полюса Р или просто плечом полюса Р.
Легко понять, что интеграл от плечевой функции по всему профилю
j>pds = n (1.2)
геометрически представляет собой удвоенную площадь, ограниченную
профилем стержня, и не зависит от выбора положения полюса Р В том
числе полюс Р может быть взят и на самом профиле, и вне пределов области,
ограниченной профилем. Для определенности (хотя это и не обязательно)
можно совместить полюс Р с центром тяжести сечения стержня
Приравнивая момент внутренних сил по (1.1) внешнему крутящему
моменту Мх, немедленно получаем, что
В сопротивлении материалов формула (13) хорошо известна и часто
именуется как формула Бредта
Итак, все компоненты напряженного состояния стержня определены,
причем для их определения ничем иным, кроме уравнений равновесия, мы
не пользовались Отсюда сразу же следует важный вывод о том, что-
Задача о чистом кручении однозамкнутого профиля относится к I
| классу статически определимых задач. |
Перейдем теперь к определению кинематических параметров. Из всех
компонент деформаций единственной отличной от нуля компонентой
является сдвиг у„, который на основании закона Гука определяется как

7.1 Тонкостенные стержни замкнутого профиля - теория Уманского 359
Т
' Ggh'
С другой стороны,
Yx,=— + —, (1.5)
OS ox
где v - тангенциальное перемещение текущей точки профиля М.
Упомянутые ранее шесть внешних связей примем примерно такими,
какие были использованы нами при рассмотрении задачи Сен-Венана.
Точнее говоря, полагаем что:
• положение полюса Р в начальном и концевом сечениях стержня не
изменяется в плоскости сечения стержня - это дает четыре связи;
• угол поворота 0 начального сечения стержня зафиксирован и равен нулю
- пятая связь;
• начальная точка О начального сечения стержня закреплена от
перемещений в направлении оси Х- шестая связь.
Легко понять, что, исключив этими связями только жесткие смещения
тела, мы одновременно заставили ось полюсов всех сечений стержня
сохранять свое положение в плоскости (Y,Z). В результате получаем, что
тангенциальное перемещение v текущей точки М произвольного сечения
стержня определяется как произведение угла поворота 0 сечения стержня на
плечо р полюса Р, вокруг которого и осуществляется поворот1
г> = 0р, (1.6)
откуда
? = е-р. (1.7)
ох
Исключая теперь из (1.5) сдвиг yxs с помощью (1.4) и используя (1.7),
находим
*L = JL.ffp. (1.8)
ds Ggh
Заметим, что мы имели право перейти здесь от частной производной к
обыкновенному дифференцированию, поскольку, как об этом было уже
сказано ранее, функция и от координаты х не зависит. Интегрированием
(1.8) по дуговой координате от начальной точки О профиля до текущей
точки М, получаем
—
U~U° + G
где щ - продольное перемещение нулевой точки проф!
(~-Q'(Pds, (1.9)
Jo gh Jo
1 Само собой разумеется, что здесь предполагается
13-818

360 7. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть IV
Условие неразрывности перемещений требует периодичности функции
u(s) с периодом, равным периметру профиля /. Математически условие
периодичности записывается в виде u(s) = u(s+l) и, в частности, щ = и(1).
Поэтому, полагая в (1 9) s = /, приходим к выражению для крутки 0'
(1.10)
GQJgh Gtfigh
После подстановки полученного в уравнение (1.9), находим
gh'
где со, так называемая, векториальная координата текущей точки М
профиля, равная удвоенной площади сектора, ометаемого радиус вектором
Ярм при перемещении конца этого вектора от начальной точки О до текущей
точки М, то есть
» = J pcfc ,
(1.12)
со(0 = П.
Казалось бы, что в формулу (111) входит неизвестное пока перемещение
щ Но в нашем случае это перемещение должно равняться нулю, так как
именно таким образом мы наложили одну из названных выше шести связей,
исключающих жесткое смещение стержня. Итак, окончательно
_ Мх
~Gtf
t'ds
Jog*
Наконец, заметим, что все величины, входящие в правую часть формулы
(1 10) для крутки, не зависят от координаты х. Следовательно в задаче
чистого кручения однозамкнутого профиля крутка является константой.
Отсюда следует, что угол поворота сечения стержня 9 есть линейная
функция от координаты х
Возвращаясь к формуле (1.10), перепишем ее в стандартных для
сопротивления материалов обозначениях
Из сопоставления (1.10) и (1.14) немедленно находим выражение для
крутильного момента инерции сечения стержня

7 1 Тонкостенные стержни замкнутого профиля - теория Уманского 361
(115)
После введения указанных обозначений формулу (1.13) для продольных
перемещений u(s) удобно переписать в виде
QJo#
(117)
Решение задачи можно было бы считать полностью завершенным, если
бы не одно, неразъясненное пока обстоятельство. Дело в том, что входящий
множителем в формулу (1.16) параметр а является функцией дуговой
координаты a = сф) и (вместе с секториальной координатой со) зависит от
выбора положения полюса Р и от выбора точки О начала отсчета дуговой
координаты s на профиле. Это означает, что от выбора полюса и начальной
точки О зависят и продольные перемещения и. Но в нашем случае чистого
кручения этот выбор просто означает тот или иной способ исключения
жестких смещений стержня.
Не будем сейчас задерживаться на определении положения полюса Р,
отложив выяснение ответа на этот вопрос до рассмотрения более общего
случая работы тонкостенного стержня.
Заметим, что введенная выше функция a(s) характеризует распределение
депланационных перемещений вдоль профиля сечения при чистом кручении
тонкостенного стержня. Именно поэтому функцию a(s) уместно именовать
функцией депланации
7.1.2 Общий случай работы тонкостенного стержня замкнутого
профиля
При анализе общего случая работы тонкостенного однозамкнутого стержня
используются следующие гипотезы:
• гипотеза неизменяемости контура, согласно которой поперечное сечение
стержня не изменяет своего профиля в плоскости сечения;
• гипотеза безмоментности стержня-оболочки в продольном направ-
лении, согласно которой распределение нормальных напряжений а" по
толщине оболочки принимается равномерным, а касательные напряжения
хх" считаются пренебрежимо малыми и полагаются равными нулю;

362 7. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть IV
• гипотеза ненадавливания, согласно которой продольные волокна
тонкостенного стержня не взаимодействуют в нормальном по отношению
к этим волокнам направлениям. Иначе говоря, принимается as = а" = 0;
• гипотеза о равномерном распределении касательных напряжений ти по
толщине оболочки;
• гипотеза Уманского о депланации в общей задаче о работе тонкостенного
стержня.
Из всех приведенных выше гипотез новой здесь (и наиболее существенной)
является гипотеза Уманского [1,2]. Суть этой гипотезы заключается в
следующем.
В общем случае работы тонкостенного стержня замкнутого профиля
продольные перемещения точек поперечных сечений стержня складываются
из перемещений, подчиняющихся закону плоскости, и дополнительно
депланационных перемещений. Иначе говоря
u=A+By + Cz + uvl, (1.18)
где uvl = uvl(x^) - депланационные продольные перемещения, вызванные
выходом поперечных сечений из плоскости, тогда как константы А, В и С
различны для разных поперечных сечений2. Более аккуратно можно сказать,
что названные величины на самом деле не константы, а параметры,
являющиеся функциями продольной координаты х
Принципиальная идея, принадлежащая А.А. Уманскому, проста и
элегантна. Смысл гипотезы Уманского заключается в том, что для каждого
поперечного сечения стержня депланационная составляющая продольных
перемещений в общем случае работы тонкостенного стержня наследуется из
задачи о свободном кручении стержня. Конечно, наследование здесь
понимается не в смысле прямого переноса, а о наследовании по характеру
изменения в плоскости поперечного сечения стержня (то есть в плоскости
Y,Z). По сути дела гипотезой Уманского принимается, что депланационные
перемещения ww с точностью до некоторого масштабного множителя такие
же, как и при свободном кручении.
Обращаясь к формуле (1.16), определяющей депланацию при свободном
кручении однозамкнутого сечения, перепишем эту формулу применительно
к общей задаче о работе тонкостенного стержня в виде
ww=p(x)a(s), (119)
где Р(х) - подлежащая в дальнейшем определению функция, которую
назовем функцией меры депланации.
Итак, согласно гипотезе Уманского, депланационные перемещения «w
могут быть с достаточной степенью точности представлены (если угодно,
Нижний индекс w у депланационных перемещений выбран нами не случайно
Мнемонически этот индекс отвечает начальной букве английского слова
warping, что означает коробление

* 7 1 Тонкостенные стержни замкнутого профиля - теория Уманского 363
аппроксимированы) в виде произведения функции депланации a(s) на
функцию меры депланации Р(х).
Подчеркнем еще раз, что функция a(s) определена полностью только
тогда, когда выбран полюс Р и на контуре сечения назначена точка отсчета
О дуговой координаты s. Мы вернемся к определению этих точек чуть
позже, а пока заметим, что по смыслу построения функции депланации a(s)
в качестве полюса Р должен быть выбран центр кручения, который согласно
доказанному в §6.2.3 утверждению, совпадает с центром изгиба сечения.
Очевидно, что первым трем членам в формуле (1.18), определяющим
продольные перемещения поперечного сечения стержня как жесткого тела,
может быть придан геометрический смысл поступательного перемещения
сечения вдоль оси X и перемещений точек сечения, вызванных поворотами
этого сечения вокруг осей Y и Z Таким образом, вместо (1.18) можем
написать
u(x,s) = $-Q,y+Q z + frx, (120)
• \ = ?(х) - поступательное перемещение сечения вдоль оси X,
• 9у и 9г - повороты сечения вокруг осей Y и Z соответственно
На основании (1.20) и с учетом гипотезы ненадавливания получим для
нормальных напряжений
<f = Ee — = Ee(%-&My+9'z+&a). (1.21)
дх х '
Интегральные по сечению характеристики нормальных напряжений о*
определятся отсюда так
N = j>a'hds = EAZ,'+Epj>eaJids ,
Му =j>zc'hds = EIJd'y +E$'j>eazhds,
Mt = j>ya"hds = -EIZQ'Z + E$'j>eayhds (1 22)
Для упрощения формул введем в рассмотрение три величины Юо, со^, шг,
являющиеся константами для сечения в целом
ю0 =— (beahds, а>у =—(beazhds, юГ =—Seayhds. (1 23)
}ВО.
Это позволяет переписать формулы (1.22) в виде
N А/„ М
ЕА ° у EIV w " г Ы,

364 7. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть IV
Подставляя эти соотношения в общую формулу (1 21), приводим формулу
для нормальных напряжений к виду
N М Мч , .
сг*= —е +—-еу +—-ez-Ee$'\7x!+(ozy+G)yz), (1.25)
то = ю0-а. (1.26)
Введенная формулой (126) функция дуговой координаты то = m(s)
называется обобщенной секториальной координатой и играет важную роль
во всей теории тонкостенных стержней замкнутого профиля В теории
стержней замкнутого профиля роль этой функции примерно такая же, какова
роль обычной секториальной координаты со = сф) в теории стержней
открытого профиля Обратим внимание на одно существенное свойство
обобщенной секториальной координаты w(s), а именно:
Обобщенная секториальная координата то не зависит от выбора
точки начала отсчета дуговой координаты s.
Действительно, если расписать выражение (1.26) для то как функции от s,
то можно увидеть, что как a(s), так и со0 по отдельности зависят от выбора
начала отсчета дуговой координаты, но изменения в этих функциях при
переносе начальной точки О вдоль профиля гасят друг друга, сохраняя
неизменным значение функции m(s).
Кроме того, непосредственно из формул (1 26) и (1.23) следует, что
обобщенная секториальная координата то, как функция s, удовлетворяет
условию
j)mehds = 0 (127)
Выберем уже сейчас в качестве полюса Р точку с координатами (ур, zp),
такую, чтобы при этом выполнялись два дополнительных условия
ортогональности обобщенной секториальной координаты
nehyds = О, j> mehzds = 0 (12
Позднее мы увидим, что выполнение этих требований действительно
приводит к совпадению полюса Р с центром изгиба - центром кручения
Несложно проверить, что из условий (1.28) немедленно вытекает
равенство нулю двух констант со,, = 0 и сог = 0. В связи с этим формула (1.25)
упрощается до формулы
N М М
a*= — e+—S-ey+—^ez-Ee$Ta. (129)
А 1' h
Еще раз обратим внимание на то обстоятельство, что эта формула
справедлива при любом выборе начальной точки профиля О.

* 7 1 Тонкостенные стержни замкнутого профиля - теория Уманского 365
Отметим, наконец, что первые три члена в формуле (1.29) стандартные
для сопротивления материалов. Они определяют нормальные напряжения в
сечении, вызванные продольными перемещениями этого сечения по закону
плоскости. Последний член, пропорциональный функции (3', представляет
собой нормальное напряжение, вызванное депланацией сечения.
Касательные напряжения
Выделим из тонкостенного стержня элемент двумя продольными сечениями
и двумя поперечными сечениями, как это показано на рис. 7.2.
Рис. 7.2. Равновесие выделенного элемента стержня
Одно из продольных сечений проведем через нулевую точку профиля О, а
второе продольное сечение - через текущую точку М профиля с дуговой
координатой s. Два поперечных сечения находятся на расстоянии dx друг от
друга.
Составляя уравнение равновесия выделенного элемента стержня в
проекции на ось X, получим
(—hds + T(s)-Т0+ (qxds = 0 . (1.30)
Jo дх Jo
После подстановки в (1.30) выражения для сг* по (1.29) получим
T=T0-N'^—M'z^-M'-^ + E$"Som- (qxds, (1.31)
A Iz у ly Jo
где введены следующие обозначения
А0 = (ehds, Soz = (yehds , Soy = f'zehds, Soro = ['wehds . (1 32)
Понятно, что A0, Soy и S^ представляют собой приведенные по материалу
площадь и статические моменты отсеченной части сечения, то есть части
сечения, расположенной между начальной точкой сечения О и текущей

366 7. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть IV
точкой с координатой s. Что касается величины S^, то она может быть
названа секториальным статическим моментом отсеченной части сечения
Точно так же, как мы поступали в теории стержней открытого профиля,
введем в рассмотрение по аналогии с формулами (6.2 36) следующие
интегральные по поперечному сечению стержня характеристики внешних
воздействий
px(x) = j>qx(x,s)ds, py(x) = j>qy(x,s)ds, pz(x)=j)qz(x,s)ds,
тх(х)= j>[qI(y-yP)-qy(z-zp)]ds,
my(x) = j>qx (x, s)zds, тг (x) = -j> qx (x, s)yds,
mB(x) = j>qx(x,s)wds. (133)
Как видим, единственным отличием формул (1 33) от формул (6 2 36)
является замена в выражении для распределенной бимоментной нагрузки тв
секториальной координаты со на обобщенную секториальную координату w
Далее, несложно заметить, что в силу уравнения равновесия в проекции
на ось X для участка стержня, выделенного двумя смежными поперечными
сечениями, находящимися друг от друга на расстоянии ах, справедливо
равенство
-N' = p{x), (134)
а из условий равновесия этого участка стержня в моментах относительно
осей Y и Z получаем
Qy=M'z-mz, Qz = М'у+ту, (135)
где Qy и Qz поперечные силы в сечении стержня, при этом
Qy = j>ztyhds, Qz = j>ztzhds. (136)
Точно так же, как мы поступали в теории стержней открытого профиля,
представим продольную нагрузку qx в виде разложения по тем четырем
степеням свободы (и только по ним'), которые участвуют в формировании
продольных перемещений по (1 20)
qx(x,s) = ai(x) eh + ау(х) ehy + ajix) ehz + aa(x) eha . (1 37)
Домножая последовательно это разложение на 1, >{.?), z(s), m(s) с
последующим интегрированием по всему профилю, получим
рх = а1А + аа(?>(А , -тг = ayIz, ту = azIy, тв = -ajm,
где /ш - секториальный момент инерции приведенного по материалу сечения
Im =&Tn2ehds

* 7 1 Тонкостенные стержни замкнутого профиля - теория Уманского 367
Определив коэффициенты разложения (1 37), получаем окончательно то
выражение для продольной нагрузки
qx(x,s) = рх тг —?- + mv + тв , (1 38)
А Л h К
которое и должно учитываться в расчетах Заметим, что величина со0, от
которой напрямую зависит коэффициент аи в окончательное выражение для
продольной нагрузки по (1.38) не входит. Что и понятно, поскольку
выражение для qx не должно зависеть от выбора начальной точки О
Если проинтегрировать выражение для продольной нагрузки по дуговой
координате от нуля до s, то получим
qxOs = Px—-
в К
Подставляя полученное с учетом соотношений (1 34) и (1.35) в формулу
(131), приводим выражение для потока касательных усилий к виду
Т=Т0 -Qy^-Qz^HEIJ,"-mB)^ (1 39)
По смыслу вывода формула (1 39) справедлива при произвольном выборе
начальной точки профиля О Но отдельные слагаемые этой формулы,
конечно же, будут зависеть от выбора точки О
Для того, чтобы исключить поток Г0 из формулы (1 39), воспользуемся
условием статической эквивалентности потока T(s) по всему сечению
стержня крутящему моменту Мх, действующему относительно центра
кручения Р Итак, имеем
Мх= j)T(s)pds. (140)
Подставляя сюда формулу для T{s) по (1.39), получим
Мх
fx= Ton-^-&Sozpds-Q-(
EIJ>"-mB
I, 7 0Z I у j 0У /„
и, следовательно,
M Qv i Or
Гп = —*-+—i- ф S„pds + -=*- ф Snvpds -
EIJT-
Исключая с помощью (1 41) начальный поток Г0 из формулы (1 39),
получаем окончательно
Г^-^-Ц,^'-"^,,, (142)
Q Iz 0I Iy оу Iw
где обозначено

368 7. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть IV
S0! = So: ~$S<*P* • Soy = Scy ~^§SoyPds >
^ОШ = 5OtD -—^OtDp^ • (1 43)
Свойства функций S02, Soy, S^
Введенные только что функции обладают замечательными свойствами,
которые мы сейчас докажем, а в последующем изложении будем
использовать по мере необходимости Отметим следующие пять свойств
этих функций
• Свойство 1
Весьма важное свойство этих функций, заключается в следующем
Каждая из функций Soz, 5 , S^ не зависит от выбора начала
отсчета дуговой координаты s, а является однозначной
| характеристикой всякой точки, принадлежащей профилю |
Справедливость этого утверждения проверяется непосредственно на
основании формул (1 43) и (1 32)
• Свойство 2
Непосредственно из определения по (1 43) следует, что
j>So!pds = 0, j>Soypds = 0, fyS^pds^ (144)
Но первые два равенства в (1 44) с учетом (1.42) как раз и свидетельствуют о
том, что касательные напряжения те, то есть касательные напряжения,
порождаемые поперечными силами и только ими, не создают крутящего
момента относительно полюса, удовлетворяющего условиям (1 28) Это и
означает, что использованное нами в процессе вывода формулы условие
выбора полюса приводит к отождествлению этого полюса с центром изгиба,
а значит и с центром кручения
• Свойство 3.
Покажем, что для этих функций справедливы следующие формулы
интегрирования по всему профилю
j> Soytyds = 0 , j) Sjyds = -Iz, j) S0Jyds = 0,
j)Soytzds = -Iy, j)Sjzds = 0, j)Soatzds = 0 (145)
Для доказательства прежде всего заметим, что
&rds = &$Lds = 0, i>tds = i>—ds = 0
*у ids *z rds

* 71 Тонкостенные стержни замкнутого профиля - теория Уманского 369
Но тогда, с учетом формул (1.43) и (1.32) получаем
j> Soytyds = j> Soytyds = <Ш zehds\tyds = у J zehdsj - j) yzehds = 0,
j> Sjyds = j> Sjyds = <Ш 'yehds\tyds = \yj'yehdsl - j> y2ehds = -It,
Ф^,^ = ФS„Jyds = <f\\ tnehds\tyds = y\ mehds -(6ymehds = 0
В приведенных здесь преобразованиях мы воспользовались формулой
интегрирования по частям, условием периодичности у(0)=у(Г), а также
полученными ранее формулами (1.27) и (1 28) Аналогичным образом
доказываются и остальные три формулы в (1 45)
• Свойство 4.
Справедливы также и следующие формулы интегрирования по профилю
сечения
Первая из формул в (1.46) очевидна в силу периодичности обобщенной
секториальной координаты ш, то есть в силу условия тп(0) = то(/). Далее,
используя формулу интегрирования по частям, получаем
ф Я ds = TS' тп! - ф —^mds = -ф" —^Txids = -ф" zehusds = О
J у ds L у -"'=<> * ds J ds J
Здесь мы воспользовались формулами (1.43) и (1.28). Аналогично
доказывается и третья формула в (1 46). Наконец, имеем
<^ош ~dt * = Р°ш ш1-о" $ ~dTwds = ~$ wehmb = _/™'
поскольку на основании формул (1.43) и (1 32)
dS„ dSom
—2=- = —га- = weh
ds ds
Итак, все формулы в (1.46) доказаны.
• Свойство 5:
И, наконец, полезно отметить, что для изучаемых функций справедливы и
такие формулы интегрирования по профилю сечения
ф%&=0, ф%& = 0, фЗш«& = /Н (147)
7 gh J gh J gh Ix

370 7. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть IV
Действительно, на основании (1.17) и (1.26) можем записать
dw_ 7,
ds ~ Qgh + P
Домножая это равенство на S , интегрируя полученное по всему
замкнутому профилю и принимая во внимание уже доказанные формулы
(1 44) и (1.46), устанавливаем справедливость первого из соотношений в
(1 47) Аналогично доказывается и вторая формула в (1.47) Но если такую
же операцию проделать с функцией S^,, то приходим к третьей формуле в
(1.47).
В заключение этого раздела отметим, что домножая обе части в формуле
(1 42) последовательно на ty и t, и производя интегрирование по всему
замкнутому контуру, получаем с учетом (1.45) и (1.46)
Qy=§Ttyds, Qz=j>Ttzds,
что, как и следовало ожидать, дает полное совпадение с формулами (1.36).
7.1.3 Общие физические соотношения теории тонкостенных
стержней замкнутого профиля
Итак, нами получены формулы (1.29) для нормальных напряжений и
формулы (1.42) для касательных напряжений
Начнем с того, что придадим этим формулам вид, аналогичный формулам
(6 3 1) и (6 3 2), используемым в теории стержней открытого профиля. Иначе
говоря, положим
N Mv М В
а* =—е+—-ez + —-еу +—ет, (148)
А I, I, К
Ю z hly ^у hlz ш А/,
где бимомент В и момент стесненного кручения Мт связываются с мерой
депланации р соотношениями
В = -?7„р', Мт = -Ытр+тв, (1.50)
вытекающими из сопоставления формул (1.29) и (1.42) с формулами (1.48) и
(1.49) Между прочим, из формул (1.50) следует связь между величинами В и
Мт в виде
что по форме дает точное совпадение с формулой (6.2.44), установленной
нами в теории стержней открытого профиля

7 1 Тонкостенные стержни замкнутого профиля - теория Уманского 371
Что касается бимомента В, то первой из формул в (1 50) определяется его
связь с мерой депланации Но эта же величина может быть истолкована и
как интегральная по сечению статическая характеристика нормальных
напряжений В самом деле, если домножить (1.48) на тп и проинтегрировать
полученное по всему сечению, то получим
B = jicsxwhds. (152)
И вновь находим полное совпадение с формулой (6.2.24) для стержней
открытого профиля, но в которой секториальная координата со заменена на
обобщенную секториальную координату w Формула (1 52) позволяет ввести
[5] независимое от кинематических параметров чисто статическое
определение бимомента В, а именно
Бимомент В представляет собой момент нормальных
| напряжений сг* на "плече" та. |
Можно установить и чисто статическую характеристику для момента
стесненного кручения С этой целью домножим обе части формулы (1.49)
для касательных напряжений на dm/ds и проинтегрируем полученное по
всему сечению Привлекая отмеченные ранее свойства функций
Soz, Soy, S^,, получаем после интегрирования
Ma = j>xh-^ds. (153)
Отсюда приходим к чисто статическому определению момента стесненного
кручения, а именно
Момент стесненного кручения Мш представляет собой момент
| касательных напряжений т на "плече" dm/ds |
Обратим внимание на то, что эти два определения внутренних силовых
факторов в сечениях тонкостенных стержней справедливы не только для
сечений замкнутого профиля, но и для сечений открытого профиля. В самом
деле, статическое определение бимомента В для сечения с открытым
профилем есть словесное описание формулы (6.2 24). С другой стороны, для
открытых сечений вместо обобщенной секториальной координаты т мы
пользуемся обычной секториальной координатой со, причем на основании
(6 2 12) dm/ds = р. Обращаясь теперь к формуле (6 2 37), приходим к
приведенному выше словесному определению момента стесненного
кручения
Для замкнутого профиля производная dm/ds на основании (1 26) и (1 17)
может быть записана так
dm _ da. _ Ix
ds ds ghQ.
Отсюда с учетом (1 53) и (1 40) находим

372 7. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть IV
Mm=M-^-i>-ds. (1.54)
Связь между компонентами напряженного состояния стержня N, Му, Мг и
перемещениями сечения восстанавливается из формул (1.24), в которых
следует положить ®у = сог = 0, поскольку считается, что в качестве полюса Р
принят центр изгиба. Кроме того, условия (1.28) определяют положение
главного полюса Р, но эти условия, равно как и требование (1.27),
инвариантны по отношению к положению нулевой точки профиля. В этой
связи имеем возможность распорядиться выбором нулевой точки О по
своему усмотрению. В частности, нам будет удобно выбрать эту точку так,
чтобы константа со0, определяемая первой из формул в (1.23), оказалась
равной нулю, то есть со0 = 0 Итак,
N = ЕАЕ,', Му = ШуВ'у, Mz = -?/Д (1.55)
До сих пор мы сознательно никак не связывали повороты сечения Ву и вг с
функциями г) и С, Геометрический смысл функций ц и С, такой же, как и в
теории тонкостенных стержней открытого профиля, а именно: эти функции
представляют собой перемещения центра изгиба сечения стержня в
направлении осей Y и Z. Напомним, что в отношении перемещений в
плоскости (J,Z) все сечение стержня рассматривается как абсолютно
жесткое тело (гипотеза неизменяемости контура)
Здесь теория раздваивается. В одном из подходов можно для общности
считать, что повороты сечения 0^, и 0г, использованные нами в исходной
формуле (1 20) и далее, есть независимые кинематические переменные, не
отождествляемые с производными от функций перемещений г\ и С,. Иными
словами, можно положить в общем случае, что
В,*-С,', вг*ц'. (156-а)
Принятие соглашения о независимости поворотов Ву и 0Г по (1.56) от
перемещений г\ и С, приводит к полностью сдвиговой теории тонкостенных
стержней замкнутого профиля
Но возможен и второй путь построения теории, когда повороты 0^ и 0г
отождествляются с производными от функций г) и С, В этом случае вместо
(1 56-а) принимается соглашение по (1 56-6)
Вуя-с;, 0z=n' (1.56-6)
Можно заранее предсказать, что исключение поворотов 0^ и 0Г из списка
независимых кинематических параметров с принятием соглашения по
(1 56-6) должно соответствовать полусдвиговому варианту теории
Но еще до разделения теории на сдвиговой и полусдвиговой варианты
полезно ввести в рассмотрение, пока что чисто формально, момент Я как
разность между полным крутящим моментом Мх и моментом стесненного
кручения Мт

7 1 Тонкостенные стержни замкнутого профиля - теория Уманского 373
Н = МХ-МШ. (157)
Чуть позже мы увидим, что эта величина может быть истолкована как
момент чистого кручения, чему и обязано принятое обозначение
Сопоставив (1.57) с формулой (1.54), находим выражение для момента
чистого кручения Я, как интегральной характеристики касательных
напряжений
H = I-±&-ds (158)
П7 g
Таким образом, на основании формулы (1 57) зафиксируем утверждение о
том, что
I полный крутящий момент Мх представляет собой сумму момента I
| чистого кручения Н и момента стесненного кручения Мт |
Остановимся сначала на формулировке физических соотношений в
сдвиговой теории тонкостенных стержней открытого профиля
7.1.4 Первый (энергетический) вариант построения теории
Вьфажение для энергии деформации Е, представленное как квадратичный
функционал от напряжений, может быть записано в виде
Е(а*,т) = Еа+Ет, EG = [LS>^-hdsdx, E=\L&—hdsdx (159)
Первый из интегралов здесь отвечает энергии нормальных напряжений,
тогда как второй ответственен за энергию, запасаемую касательными
напряжениями Выразим нормальные и касательные напряжения под знаком
интегралов через компоненты вектора напряжений а, то есть воспользуемся
формулами (1 48) и (1 49) Подстановка (1 48) и (1 49) в (1 59) с учетом
(1 57) дает
._ (L\ N2 М2 М] В2 1
Е = + —у—+—z—+ \dx,
° h\2EA 2EIy Шг 2EIm\
Ет = }(ф[?±^_еД_п^_Ми02^_Х (160)
T JoH Ю *гЫу ^yhlz mhla) 2Gg \ '
Преобразуем вьфажение для энергии Ет
т 2GK[n2^gh iygh I2Jgh Il\°m П) gh \

374 7. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть IV
+1г|_^ф^_^фМ_^Ц(* 0*1
GJo[ ^ * gA П/г * gA П/ш ^ ош njghj
?Ч //ш * Ч °ш n)gh /л У Ч ош n)gh
(1.61)
Именно в этом месте нам и пригодится отмеченное ранее свойство 5
функций Soy, Soz, S^ . Действительно, согласно формулам (1.47) и с учетом
(1 15), убеждаемся в том, что второй нз интегралов в (1.61) исчезает
Здесь уместно дополнительно ввести обозначение для еще одной
геометрической характеристики сечения
1 (1-62)
Теперь, точно так же как мы поступали в теории тонкостенных стержней
открытого профиля с учетом деформаций сдвига, введем в рассмотрение
матрицу коэффициентов формы сечения ц, положив по определению
¦ J oh Г Г J ah
JUas°
v»
2-ds
1У&
4^A ?SozS<m
I2J gh
ds
В этих обозначениях формула (1.61) для энергии Ет принимает вид
2GIX 2GA 2GA 2r2GA GA rGA rGA
Здесь Ir и г это полярный момент инерции сечения и полярный радиус
инерции соответственно. Суммируя Ет с Еа и переходя к матричной форме

7 1 Тонкостенные стержни замкнутого профиля - теория Уманского 375
записи, получим окончательно Е(<т) = VicC '<т, где в качестве вектора
напряжений <т положено
<т = |[#>я,А/,,А/1,в,еж,е,.л/ш]|т • (164>
Несложно заметить, что при таком выборе вектора напряжений <т состав
матрицы С-1 оказывается следующим
/ЕА
0
0
0
0
0
0
0
0
/«.
0
0
0
0
0
0
0
0
А
0
0
0
0
0
0
0
0
У*.
0
0
0
0
0
0
0
0
У*.
0
0
0
0
0
0
0
0
/GA
/GA
УгвА
0
0
0
0
0
/GA
УвА
УгвА
0
0
0
0
0
V-*./
УгвА
УгвА
7r2GA.
Здесь стоит обратить также внимание на то, что состав вектора напряжений
я по (1.64) полностью повторяет состав этого же вектора в сдвиговой теории
стержней открытого профиля - см. формулу (6.3.8).
Физические соотношения в первом (энергетическом) варианте
полусдвиговой теории
Точно так же, как мы поступали в полусдвиговой теории тонкостенных
стержней открытого профиля, проведем разделение касательных напря-
жений т на сумму касательных напряжений изгиба те и касательных
напряжений кручения хи При этом, согласно формуле (1.49), будем иметь
t = tw+t2, xm=^JL-mJ^, т =_g^2._g 5s.. (1.66)
Q м Ш hlm' Q Vz hl> ^y hi.
Относя касательные напряжения изгиба те к классу второстепенных
напряжений, но сохраняя энергетический вклад напряжений хм в выражении
для энергии Ет, получим

376 7. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть IV
В результате интегрирования по сечению стержня эта формула
преобразуется к виду
т Jo|_2G/x 2r2GA\
(1.67)
Для полусдвнгового варианта теории в векторе напряжений а по (1.64)
нужно удалить поперечные силы, что дает следующий его состав
<s=\[N,H,My,Mz,B,MmJ, (1.68)
совпадающий по форме запнсн с вектором напряжений <т по (6.4.3),
принятом в полусдвнговой теории стержней открытого профиля.
Приведем здесь также уравнения равновесия для тонкостенного стержня,
которые в развернутой форме записи могут быть записаны в виде
-N' = px, -Q'y=Py, -Q':=P:,
-Н'-М'т=тх, -M'y+Qz=my, M'z-Qy=mz,
-В' + Мт=тв (1.69)
Физический смысл этих уравнений очевиден:
• первые три уравнения есть запись дифференциальных уравнений
равновесия в проекциях на оси X, Y, Z;
• уравнения с третьего по шестое есть запись дифференциальных
уравнений равновесия в моментах относительно осей X, Y, Z;
• что же касается последнего уравнения в (1.69), то оно представляет собой
обобщенное уравнение равновесия, относящееся к бимоментному
состоянию. Это уравнение было установлено ранее формулой (1.51).
Если просуммировать энергии Ет с Еаи перейти к матричной форме
записи, то получим Е(<т) = ХЛ <ттС_1<т
следующего вида
диагональной матрицей С '
\/еа
Уог
А
У*.
о
/е1ш

7 1 Тонкостенные стержни замкнутого профиля - теория У майского 377
Разрешающие уравнения задачи в первом варианте сдвиговой
теории
Если оставаться в рамках сдвиговой теории, то согласно (164) прн
построении оператора равновесия А1 нужно сохранить все уравнения
равновесия в (1 69) В матричной форме это приводит к оператору А ,
который уже был установлен нами формулой (6.3 12) в сдвиговой теории
стержней открытого профиля
Отсюда сразу же следует н совпадение соответствующих операторов
геометрии А, как сопряженных по Лагранжу оператору равновесия
Аналогичное совпадение имеет место и для векторов нагрузок X,
перемещений и и деформаций г, для которых остаются справедливыми
формулы (6 3 11), (6.3 20), (6 3 21)
И, наконец, матрицы физических соотношений С"1 в этих двух теориях
также совпадают по форме написания - формула (1 65) для стержней
замкнутого профиля н формула (6 3 9) для стержней открытого профиля
Итак, вся разница в уравнениях сдвиговых теорий тонкостенных стержней
открытого и замкнутого профилей заключается исключительно в различиях
при вычислении геометрических характеристик сечений Во всем остальном
эти две теории полностью совпадают Отсюда сразу же следует вывод о том,
что и окончательные разрешающие уравнения (6 3 24) переносятся и на
тонкостенные стержни замкнутого профиля При этом, конечно же, нужно
помнить о необходимости замены там везде секторнальной координаты а> на
обобщенную секториальную координату то, в том числе и в индексах
Понятно также, что под матрицей v должна пониматься матрица, обратная к
матрице ц Компоненты последней для стержней замкнутого профиля
вычисляются по формулам (1 63)
Само собой разумеется, что совпадет написание и соответствующих
функционалов в этих двух теориях
Вернемся теперь к обещанной ранее интерпретации момента Н как
момента чистого кручения С этой целью воспользуемся физическим
соотношением <т = САи Это, в частности, дает возможность установить
выражение для момента Н через перемещения нли после подстановок
H=GI?', (171)
откуда и вытекает обещанная ранее трактовка момента Н, как момента
чистого кручения.
Сопоставив этот результат с формулой (1 58), получим
&-ds = GQB'
J g
Вспоминая теорему Бредта о циркуляции касательного напряжения (см
§6 1 2), полученную для стержней сплошного сечения и однородного по
материалу (то есть при g = 1), видим, что эта теорема распространяется н на
тонкостенные стержни замкнутого профиля

378 7. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть IV
Полусдвиговая теория Джанелидзе-Пановко
Рассуждая точно так же, как в предшествующем пункте, получаем, что и
полусдвиговые теории тонкостенных стержней замкнутого и открытого
профилей математически тождественны.
Поэтому все основные формулы §6.4 переносятся (с оговорками,
сделанными в предыдущем пункте) и на полусдвиговую теорию
тонкостенных стержней замкнутого профиля Приведем здесь разрешающее
дифференциальное уравнение (относительно меры депланацин Р) в задаче
стесненного кручения для полусдвиговой теории тонкостенных стержней
замкнутого профиля. Сославшись на формулы (6.4.14) и (6.4.13), перепишем
их здесь применительно к стержням с замкнутым профилем поперечного
сечения
\|/?УшЭ"'- G/Xp'
(1.72)
Надо сказать, что, строго говоря, теория, предложенная и разработанная
Уманским, относится как раз только к полусдвнговому варианту, хотя ни в
работах самого Уманского, ни в последующих работах, где эта теория
излагается, указанное обстоятельство в отчетливой форме не оговаривается
и не обсуждается.
Суть дела заключается в том, что как у самого Уманского, так и у его
последователей, с самого начала построения теории молчаливо
предполагается, что задача изгиба и задача кручения тонкостенного стержня
математически разделяются. Но, как мы уже это обсуждали, таковое
разделение имеет место только в полусдвиговом варианте. Ключевым
моментом, порождающим возможность разделения двух задач, является
диагональная структура матрицы упругости С.
Более того, в оригинале теория Уманского несколько отличается и от
приведенного выше энергетического варианта полусдвиговой теории. На
самом деле уравнение (1.72) полностью совпадает (с точностью до
обозначений) не с уравнением Уманского, а с аналогичным разрешающим
уравнением, полученным впервые Джанелидзе и Пановко (см. уравнение
(29) на стр 116 в работе [5]). Это не случайно, так как в книге [5] авторы
исходили из аналогичных исходных посылок и в своих рассуждениях также
опирались на соображения энергетического характера3. Мы полагаем, что
сказанное является достаточным основанием для именования приведенной
выше полусдвиговой теории тонкостенных стержней замкнутого профиля
теорией Джанелидзе-Пановко.
3 У Джанелидзе и Пановко [5] вывод дифференциального уравнения (172)
осуществлен с помощью прямого применения вариационного принципа

7 1 Тонкостенные стержни замкнутого профиля - теория Уманского 379
7.1.5 Второй (физический) вариант построения теории
Будем исходить из закона Гука для касательных напряжений т,
которому в общем случае
\ds дх)
В принятых обозначениях вектор \p=r\iy + C,h есть вектор полного
перемещения центра изгиба (точки Р) в плоскости (Y,Z). Но согласно
введенным кинематическим гипотезам тангенциальное перемещение v
произвольной точки профиля складывается из проекции вектора vP на
направление касательной к профилю в рассматриваемой точке профиля и
тангенциального перемещения, вызванного поворотом профиля вокруг
точки Р как полюса. Иначе говоря,
v = y?.t + Qp = r\ty + u,tz + Qp, (1.73)
дх
В то же время согласно (1.20)
Поэтому деформация сдвига уа = ди/ds + dvldx оказывается равной
у-=(п'-еЛ+(С+е>ж+(е'р+р^).
Согласно уравнениям (1.17) и (1.12)
da I
так что окончательно
ds ghCl
¦ = Yyty + yztz + yap,
y,= n'-e,> yz=C+ey, у«=(в'-р)+р-4рг. (i.75)
Как видим, формула (1.74) для суммарного сдвига yxs, по своей структуре
полностью совпадает с формулой (6.3.19), принятой в теории тонкостенных
стержней открытого профиля с учетом деформаций сдвига. Более того,
первые две формулы в (1.75) совпадают с первыми двумя формулами в
(6.3.18). Что же касается формул для параметра сдвига уш, то здесь есть
существенное отличие от соответствующей формулы для уш. Это отличие

380 7. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть IV
заключается в дополнительном слагаемом ($Ix)/(pghQ), участвующим в
выражении для параметра сдвига уш Иначе говоря,
Уш = У» + Р^ТТ
pghQ.
Это и понятно, поскольку в случае замкнутого сечения к депланационной
деформации сдвига ушр добавляется деформация сдвига от чистого
кручения, равная величине (&Ix)/(ghCl).
Если приравнять сдвиги у„, определяемые формулой (1.74) и формулой
(1 49), то получим
(ц' -ег)',+(С +е,К+(0'-Р)р+Р-^=
ghQ.
= J^-QtJz—QvJS—MJSS- (176)
GghCl **GghIy *yGghIz aGghIm
Но, как об этом уже было сказано, физический закон в виде (1 76) на
самом деле нельзя считать выполняемым в каждой точке сечения стержня
Нет никаких оснований считать, что два выражения для касательного
напряжения (одно вытекает из закона Гука, а второе следует из уравнений
равновесия) будут приводить к одинаковому результату Все, что мы можем
потребовать, это попытаться удовлетворить равенству (1.76) не поточечно, а
в интегральном смысле. Как мы увидим далее, такой путь рассуждений
приводит к оригинальной теории Уманского (конечно, в рамках
полусдвиговой теории), хотя схема рассуждений самого А А Уманского,
приведенная также в книге [5], отличается от принятой здесь.
Далее нам потребуются некоторые дополнительные геометрические
характеристики сечения. Эти характеристики введены в теорию
тонкостенных стержней Р.А. Ададуровым [3, 4] н используются с теми же
обозначениями Г.Ю Джанелидзе и Я Г Пановко [5] Мы приведем здесь эти
характеристики в виде обобщенном на случай неоднородного материала
Итак, положим
/р = ф p2ghds, Ку = ф tzpghds, Kz = ф typghds ,
L^ = Liy = ф tytzghds, Ly=j> t\ghds, Lz = j> t]ghds (l 77)
Отметим, что величину /p, следуя A.A. Уманскому, называют направленньш
моментом инерции сечения.
Для выполнения физического закона (1 76) в среднем домножим это
равенство на ghp и проинтегрируем полученное по всему профилю Отсюда
приходим к интегральному по сечению физическому соотношению,
связывающему крутящий момент Мх с компонентами перемещений
Мх = GKZ (ц' - 6г) + GKy (С + 6,) + G/p(9' - Р) + G/,p. (1 78)
Полезно также ввести в рассмотрение безразмерную величину ц, которую
принято называть коэффициентом депланации

7 1 Тонкостенные стержни замкнутого профиля - теория У майского 381
» = l-f, (179)
и которая также является чисто геометрической характеристикой сечения
Во введенных обозначениях физическое соотношение (1 78) перепишется
в виде
Мх = GK,(r\' -Qz)+GKy(C,' +9p + G/p(9'-np) (1 80)
Следующие два интегральные соотношения физического характера,
вытекающие из (1 76), получаем домножением обеих частей равенства (1 76)
на ghty и ghtt с последующим интегрированием по всему профилю Эти
соотношения обеспечивают нас выражением для поперечных сил Qy и Qz
через компоненты перемещений
Q, = GLz(ту - 9,) + GL^(CJ +Qy) + GKZ(9'-P),
И, наконец, четвертое физическое соотношение для интегральных
характеристик напряжений по сечению стержня получим нз (176)
домножением на ghdw/ds с последующим интегрированием по всему
профилю С учетом формул (1 46) результат получается следующим
Ма = (r\' -Qz)GJ>tygh—ds+(Q' + Qy)GJ>tzgh—ds +(9'-$)GJ>pgh—ds
Ранее уже отмечалось, что
dw _ da _ Ix
ds ds ghQ
поэтому
$tQh — ds = Kz , &>tgh—ds = K„ , &pgh ds = I -I = ц/
J y ds J ds y J ds p p
В результате выражение для Мш принимает вид
Mm=GKt(r\' -Qz) + GKy{C; +e>) + nG/p(9'-P). (1.82)
Совокупность первого из равенств в (1 50), а также равенств (1 55), (1.80),
(1 81) и (1 82) как раз и составляет искомые физические соотношения. Все
эти соотношения удобно записать в общем матричном виде, что дает

382 7. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть IV
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Е1«
0
0
0
0
GLv
GLzy
GKy
0
GLw
GLZ
GKZ
0
GKv
GKZ
VGIP
0 GI 0 0
(183)
|| || w w » ^ш » « " || || Xe ||
a
Qy
v*.
где момент чистого кручения Н определен формулой (1 57) и
6 = 5', х, = 8\ xz=e;, х, = -е;, х,=-Р'.
У* = С+9,. У^=,П'-9,. YB=9'-P (184)
Введем, как и ранее, вектор "напряжений" <т, вектор перемещений и и
вектор деформаций г, положив
<т= \[N,HMyMz,B,Qz,Qy,M„J,
u=|[!|,Ti>G,e,e,,eI,-p]|\ е=|[е,хх>х1,х,.хл,у„у,,у.]Г d-85)
Сопоставляя эти формулы с формулами (6 3 8), (6.3 20) и (6 3 21),
принятыми в теории стержней открытого профиля, видим, что они
полностью идентичны Но в этих обозначениях формула для физических
соотношений (1 83) запишется в стандартном матричном виде
<т= С г,
если в качестве матрицы С принять матрицу линейного преобразования по
(1 83) Здесь мы сознательно матрицу упругости пометили чертой сверху,
чтобы отделить обозначение этого варианта теории от обозначений по
первому, энергетическому, варианту Обратим внимание на то, что в
качестве оператора геометрии А, определяющего дифференциальную связь
между перемещениями и н деформациями г по формулам (1 84), выступает
уже знакомый нам матричный дифференциальный оператор (6 3 13) Это и
понятно, поскольку сопряженный оператору А оператор равновесия Ат не
должен подвергаться изменениям прн переходе от одного варианта теории к
другому - уравнения равновесия и там и там одни н те же.
Удобно перейти от обозначений Ададурова по (1 77) к безразмерным
коэффициентам v, положив по определению
v,„, =—&t2ghds,
уу 4У yS
1 .
1
<tytzghds,

7 1 Тонкостенные стержни замкнутого профиля - теория Уманского 383
v^-jL.^pgfub.
~j>typghds
~ 4w
(186)
Напомним, что через 1Г обозначается полярный момент инерции сечения, то
есть /, = 1у + 1г-
Как видим отсюда, введенные ранее формулами (1 77) геометрические
характеристики сечения по Ададурову, а также направленный момент
инерции /р вьфажаются через безразмерные геометрические характеристики
сечения v так
19 = г2 А ушш / ц, Ку = rAvzw, Kz = rAvym,
Lyz=Lzy=Avyz, Ly=Av2Z, L2=Av№ (187)
Поэтому матрица упругости С в новых обозначениях принимает вид
ЕА
О
О
0
0
0
0
0
0
0
GIX
0
0
0
0
0
0
0
Е1у
0
0
0
0
0
0
0
EIz
0
0
0
0
0
0
0
EIm
0
0
0
0
0
0
0
GA\„
GA^yz
rGAv^
0
0
0
0
GAv^
GA*yy
rGAvmy
0
0
0
0
rGAvz
rGAvy
r2GAv
Точно так же, как и в теории тонкостенных стержней открытого профиля
с учетом деформаций сдвига симметричная матрица v и обратная к ней
матрица являются положительно определенными матрицами Но это
утверждение не распространяется на случай недепланируемого сечения
Недепланируемые сечения требуют самостоятельного рассмотрения,
которое будет проведено позднее
Структура матрицы v определена формулой (1 89)

384 7. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть IV
—&t\hds —&tztyhds . j>t2phds
—j>tytzhds — j>tyhds —==&typhds
. <btzphds . <btyphds — &>p2hds
ylirA ylirA Jr
Теперь, когда нам известны все матричные операторы, обычным образом
находим разрешающие уравнения задачи - уравнения типа Ламе. И вновь
приходим к системе уравнений, по своей структуре полностью совпадающей
с системой (6 3 24), но в которой коэффициенты v следует заменить на
коэффициенты матрицы v
Полусдвиговая теория Уманского
Если в рамках второго варианта установления физических соотношений
ограничиться полу сдвиговой теорией, то вместо уравнения (1 72) получим
\|/?УшР" - G/xp' = тх + \\1ш'в,
(190)
= 1 +
Именно такое уравнение и получается в той теории, которую предложил
сам А А Уманский Действительно, подставив вместо коэффициента v^ его
выражение по (1 86), получим с учетом (1 79)
\|/ = 1/ц,
(1.91)
так что (1 90) приводится к обычно используемому при изложении теории
Уманского виду4
?7гаР" - цС/хР' = \тх + т'в. (1 92-а)
Иногда в теории Уманского основное разрешающее уравнение записывают
не для функции р, а для поворотов Э Выполнив необходимые выкладки,
получим
?/гае/к-цО/хе" = ц/их-(1-ц)-
+ \тв.
(1 92-6)
4 См , например, [5] Надо сказать, что в [5] рассматривается не самый общий случай
нагружения стержня, поскольку все уравнения выведены там в предположении,
что бимоментное воздействие отсутствует, то есть тв = 0 Но это не сказывается
принципиально на всех последующих выводах

* 7 1 Тонкостенные стержни замкнутого профиля - теория У майского 385
7.1.6 О недепланируемых сечениях тонкостенных стержней
замкнутого профиля
Обратим внимание на одно обстоятельство, связанное с коэффициентом
депланации ц А именно, справедлива оценка: коэффициент депланации ц
всегда неотрицателен и строго меньше единицы
0< ц<1 . (193)
Из определения коэффициента депланации ц по (1.79) и положительности
моментов инерции 1Х и 1Р следует, что оценки (1.93) эквивалентны одному
неравенству
что, в свою очередь, эквивалентно неравенству
(j>pds)2<
fcp ghdsi
Но это неравенство есть следствие известного в математике неравенства
Буняковского [6] для двух функций U и V, имеющее вид
(j>UVds)2 < j>U2dsj>V2ds, (1.95)
в котором следует положить
U = pjg~h, V = \ljgh.
Кстати говоря, равенство в (195) достигается только тогда, когда
функции U и V линейно зависимы, то есть при U = CV, где С константа.
Отсюда следует, что коэффициент депланации ц равен нулю тогда и только
тогда, когда произведение pgh является константой
На физическом уровне равенство нулю коэффициента депланации
равносильно требованию недепланируемости поперечного сечения
тонкостенного стержня при его кручении. В самом деле, отсутствие
депланационных перемещений согласно формуле (1 16) сводится к
требованию равенства нулю функции депланации a(s) = 0, или в силу (1 17)
(196)
L r'ds rs ,
— \ \ pds = 0.
Покажем, что из равенства (1 96) следует равенство ц = 0. С этой целью
продифференцируем (1 96) по s, что дает
Но слева в этом равенстве стоит не зависящая от дуговой координаты 5
константа, значит и pgh = Const, а это, как только что было выяснено, и
приводит к доказываемому равенству ц = 0.

386 7. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть IV
Справедливо и обратное утверждение: из условия ц = 0 следует
недепланируемость сечения, то есть a(s) = 0. Цепочка рассуждений такова
ц = 0^ p& = Const ^ a(s) = ^\'^-{'pds = (-^--l\\'pds
И далее
/ / <bp2ghds ipds
ц = 0=> IX = I„=>—*—=—2—= -* = 1 = l=>a(s) = 0
Clpgh Clpgh Qpgh Q
Простейший случай недепланируемого сечения это кольцо постоянной
толщины Но этим примером класс недепланируемых сечений, конечно же,
не исчерпывается. В частности, недепланируемыми оказываются все
замкнутые сечения выполненные из однородного материала с постоянной
толщиной стенок h = Const, профиль которых состоит из отрезков прямых
линий, касающихся одной и той же окружности. Соответствующий пример
показан на рис 7 3
Для того, чтобы убедиться в справедливости этого утверждения,
достаточно показать, что для такого профиля центр кручения Р совпадает с
центром вписанной окружности, так как в этом случае g=l и
pgh = Rh = Const5.
Как мы увидим далее, выделение недепланируемых сечений в
самостоятельный класс имеет принципиальное значение для теории
тонкостенных стержней замкнутого профиля.
С позиций построения теории этот случай сечений является
вырожденным, и даже само понятие меры депланации р при этом теряет
смысл Кручение недепланируемых сечений в любых условиях происходит
без эффектов стеснения, то есть точно так же, как в условиях чистого
(свободного) кручения.
Рис. 7.3. Недепланируемое сечение с постоянной толщиной стенки
5 Доказательство совпадения центра кручения с центром вписанной окружности
предлагается в качестве упражнения Если возникнут проблемы, то направляющие
указания можно получить, воспользовавшись Приложением G

7 1 Тонкостенные стержни замкнутого профиля - теория У майского 387
Основные соотношения теории тонкостенных стержней
замкнутого профиля для недепланируемых сечений
Точно так же, как это было в сдвиговой теории стержней открытого профиля
случай недепланируемого сечения замкнутого профиля является
вырожденным и требует самостоятельного рассмотрения.
Опуская с целью экономии места подробные выкладки, которые при
внимательном чтении читатель без труда сможет восстановить, приведем
здесь только окончательные результаты. Так, вместо формул (1.48) и (1 49)
для напряжений в случае недепланируемого профиля будем иметь
N М
М7
-еу,
Ю z Му у hi,
а физические соотношения запишутся так
ax=Ee(?,' + Q'yz-Q'zy),
(197)
(1.98)
(1.99)
(1 100)
Состав основных векторов для недепланируемых профилей оказывается
следующим
^=\[px,Py,P„mx,my,mzJ ,
е=\[г,Хх,Х1,Ху,У„Уу'§, (HOI)
T = <fe[(T,'-e,)/,+K'+e,)/,+e'P].
a=\[N,Mx,My,Mz,Qz,Qyl ,
и=Ц>гь;ле,,е,]|т,
а состав операторов АиА таков
0 0
0 0
Что же касается матрицы упругости С, то она может быть представлена в
двух вариантах:

7. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть IV
• в первом (энергетическом) варианте
ЕА
0
0
0
0
0
0
GIr
0
0
0
0
0
0
EIv
0
0
0
0
0
0
EI7
0
0
шзическом) варианте
ЕА
0
0
0
0
0
0
GIX
0
0
0
0
0
0
EIv
0
0
0
0
0
0
EIr
0
0
0
0
0
0
GAviz
GAvyz
0
0
0
0
GAvz2
GAv
0
0
0
0
GAvz
GAvy
0
0
0
0
GA\z
GAv>
(1.102)
(1.103)
Образуя по общему правилу оператор Ламе, приходим к разрешающей
системе уравнений (1.104) в перемещениях для недепланируемых сечений
Заметим, что в (1.104) уравнения приведены для первого
(энергетического) варианта построения теории Ясно, что для перехода ко
второму (физическому) варианту теории нужно всего лишь в этих формулах
заменить элементы матрицы у на элементы матрицы у .
-GA[vJ(^
-GA[vzz{C,
-EIQ"y+GA[v
-EIX-GA^v^
-EA%" =
+ Q'y) +
* + в'у) +
~GIXQ"
»«'+e
G'+e,)
Px>
vF(H"
= mx,
) + vz
+ Vyy
-e
-e
(Ц'
ц' -
Л-р,
,)]=,„
-e.)]-,.
-8,)] = ™,.
7.2 Многоконтурные тонкостенные стержни
замкнутого профиля
7.2.1 Чистое кручение многоконтурного профиля
В предшествующем изложении предполагалось, что в поперечном сечении
стержня имеется единственный замкнутый контур. Это позволило нам
рассмотреть задачу о поиске напряженного состояния стержня при чистом

7 2 Многоконтурные тонкостенные стержни замкнутого профиля 389
кручении без привлечения условий совместности деформаций, опираясь на
одни только уравнения равновесия.
Однако при наличии нескольких замкнутых контуров уравнениями
статики не обойтись, так как задача чистого кручения становится статически
неопределимой.
Рассмотрим для конкретности поперечное сечение тонкостенного
стержня, профиль которого содержит три замкнутых базисных контура
(рис. 7 4-а)
Рис. 7.4-е. Чистое кручение трехконтурного профиля - потоки касательных усилий
вдоль каждого из неразветвляемых участков профиля
Под базисными замкнутыми контурами здесь и далее понимается
совокупность замкнутых контуров Г, (i=l,..,k), каждый из которых
охватывает двумерную область Д так, что вьшолнены следующие два
условия
• условие непересечения - Д r\ Д = 0 при / *j, где 0 пустая область;
• условие полноты - объединение всех к областей Д совпадает с областью
До, охватываемой самым внешним замкнутым контуром Г0.
Состав базисных контуров для профиля, изображенного на рис. 7.4-а,
следующий'
Г,:АВСА, Г2. ACDFA, Г2: DEFD. (2.1)
В перечислении точек, через которые проходит каждый замкнутый контур,
первой и последней указывается совпадающее имя начальной и конечной
точки контура. Примем соглашение о том, что положительным
направлением обхода контура считается движение против часовой стрелки,
если смотреть со стороны положительного направления продольной оси X.
Заметим, что при определении базисных контуров по (2.1) точки указаны в
последовательности обхода контура в положительном направлении.
Каждый из контуров содержит самостоятельные участки, не входящие в
состав другого контура, и общие с другими контурами участки. Так для
трехконтурного профиля, изображенного на рис. 7.4-а, для первого и

390 7. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть IV
второго контуров общей границей будет Г\2 =Г\ Г\ Г2 , а для второго и
третьего контуров общая граница занимает участок профиля Г23 =Г2Г\Г3.
Кроме базисных контуров состав профиля можно охарактеризовать также
неразветвляемыми участками, то есть непрерывными участками профиля от
одной точки ветвления его до другой. Для рассматриваемого примера
профиль содержит 6 неразветвляемых участков:
участок 1: ABC; участок 2: CD; участок 3: DEF;
участок 4: FA; участок 5: АС; участок 6: FD.
Рассуждая точно так же, как при чистом кручении однозамкнутого
профиля, обнаруживаем, что поток касательных усилий вдоль каждого из
неразветвляемых участков контура представляет собой константу. Иными
словами, в нашем случае имеем шесть неизвестных потоков Т, (/ = 1,..., 6) по
числу неразветвляемых участков профиля (рис. 7.4-а). Но для каждого из
участков это будет своя константа, так что, вообще говоря,
Г, ф Т2 Ф Тъ Ф Т4 Ф Т5 Ф Т6 .
На самом деле эти шесть потоков не являются независимыми, они связаны
между собой условиями равновесия.
Для установления этих связей удобно ввести понятие потока на каждом
из базисных контуров 7], Т2, Тъ, как это показано на рис. 1А-Ь. На общих
участках базисных контуров потоки встречаются.
Рис. 7.4-й. Чистое кручение трехконтурного профиля - потоки касательных усилий
вдоль каждого из базисных контуров
Контурный поток считается положительным, если он движется в
положительном направлении обхода контура в сечении, внешняя нормаль к
которому сонаправлена с осью X. При таком правиле знаков положительные
потоки смежных базисных контуров, встречаясь на общей границе, имеют
противоположные направления движения (см. рис. 7.4-й).
Можно показать, что потоки на неразветвляемых участках профиля
выражаются через потоки на контурах следующим образом

72 Многоконтурные тонкостенные стержни замкнутого профиля 391
7;=7i, Т2=Т2, Т3=Т3, Т4=Т2, Т5=-Т{+Т2, Т6=-Т2+Тъ.
Поскольку количество базисных контуров меньше, чем количество
неразветвляемых участков профиля, то удобнее в дальнейшем иметь дело
именно с потоками на контурах
Очевидно, что суммарный крутящий момент в сечении, создаваемый
контурными потоками Тх, Т2, %, равен сумме моментов, порождаемых
каждым из этих потоков Рассуждая так же как в §7 1, получаем вместо
формулы (13) следующую формулу
мх = т;о, + Т2С12 + f3Q3, (2 2)
где О, - удвоенная площадь, охватываемая /-ым контуром.
Как видим, одно уравнение статики содержит три неизвестных потока.
Следовательно наша задача дважды статически неопределима и для ее
решения необходимо привлекать условия совместности деформаций
Повидимому, проще всего сформулировать условия совместности
деформаций на вариационной основе, обращаясь к рассмотрению
функционала Кастильяно. С этой целью определим энергию деформации,
выраженную через напряжения, которая и будет представлять собой
интересующий нас в этой задаче функционал Кастильяно.
С точностью до несущественного множителя L, где L - длина
закручиваемого стержня, функционал Кастильяно можно записать в виде
JlGg J22Gg J%2Gg JaGg r}2iGg
где \-Ts lh - касательное напряжение, создаваемое потоком Tt Два
последних интеграла здесь учитывают взаимную работу встречных потоков
касательных напряжений на общих границах контуров. Выразив напряжения
через потоки и учтя постоянство потоков на каждом из контуров, приведем
эту формулу к более удобному виду
кй.ад=?$-+^-ф-+^Ф--^ I -~ТЛ \ -. (2-3)
123 2Gfigh 2Gj gh 2Gj gh G / gh G J gh
превращающей функционал Кастильяно в квадратичную форму от трех
скалярных величин - потоков Г,, Т2, Тъ
Условия минимума этой квадратичной формы требуется искать на
статически допустимом множестве, то есть на множестве потоков,
удовлетворяющих единственному уравнению равновесия (2 2) Вос-
пользуемся стандартным правилом множителей Лагранжа, позволяющем
сводить задачу на условный экстремум функции К к задаче безусловного
поиска точки стационарности модифицированной функции М
ЩТ„Т2,ТЪ,Х) = К(7;,Г2,Г3)-ЦЛ/^ -Щ -T2C12 -f3Q3) (2 4)
14-818

392 7. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть IV
с лагранжевым множителем X Условия стационарности М приводят к
следующей системе линейных алгебраических уравнений
G7{gh
1 fds
g) gh
0
[ Ql
1 r ds
GLgh
Gj2gh
1 г ds
Q2
0 Q,
~f- "J
G^gh
n, oj
\\Tl
f
lb
=
0
0
0
M
(2 6)
Решением этой системы уравнений проблема раскрытия статической
неопределимости задачи исчерпывается
Нет большого смысла приводить здесь решение этой системы уравнений в
общем виде, поскольку его аналитическая запись вьп-лядит достаточно
громоздко Единственное, что стоит отметить, это то, что решение может
быть представлено в виде
= _ мх - _ Мх - _ мх
Т. =а. —-, Г, = а, —-, 7, = а, —-,
lQ0 2Q0 3Q0
где безразмерные коэффициенты аи а2 аъ удовлетворяют условию
^Qi + а2С12 + аъС13 = По, (2 7)
а По представляет собой суммарную площадь всех трех контуров
По=П,+П2 + П3. (2 8)
Кстати говоря, нелишне заметить, что значения этих коэффициентов,
показывающих относительное распределение потоков между контурами, не
зависят от общего модуля сдвига G и не зависят от величины моментаМх6
Понятно также, что и в общем случае для Ажонтурного профиля результат
будет аналогичным
'П.
0 = 1,..Л) ,
$>А=П0, "о=?",
(2 9)
5 Это важно, поскольку позволяет формально положить G = 1 в системе уравнений
типа (2 5), записанной для коэффициентов распределения потоков по контурам -
см далее общую формулу (2 15) Так что стоит немного потрудиться, чтобы
убедиться в справедливости высказанного утверждения

7 2 Многоконтурные тонкостенные стержни замкнутого профиля 393
Топологическая структура многоконтурного профиля
При построении разрешающей системы уравнений в общем случае
многоконтурного профиля существенной оказывается топологическая
структура рассматриваемого многоконтурного профиля. Эта структура
характеризуется следующими тремя целочисленными параметрами.
• к - количество базисных (непересекающихся, замкнутых) контуров,
образующих профиль;
• и - количество неразветвляемых участков профиля;
• t - количество точек ветвления профиля.
В топологическом смысле нам будет удобно оперировать некоторыми
элементарными понятиями теории направленных графов, которые мы в
основном заимствуем из [7]7 Введем здесь эти понятия применительно к
тому (достаточно узкому) классу графов, который нас здесь интересует
Вершиной или узлом графа будем называть каждую точку разветвления
профиля Так профилю, изображенному на рис 7 4-а и 7 4-Ь, ставится в
соответствие граф, показанный на рис 7 5с четырьмя вершинами Vi, v2, V3,
v4 Этим четырем вершинам графа отвечают четыре точки ветвления
профиля А, С, F, D соответственно
Ребром или дугой графа будем назьшать каждый неразветвляемый
участок профиля Граф, изображенный на рис 7 5, имеет шесть ребер гь г2,
Гз, Ц, г5, г6, которым отвечают неразвегвляемые участки профиля ABC, CD,
DEF, FA, AC, FD соответственно, показанные на рис. 7 4-а и 7 4-Ь
Рис. 7.5. Ориентированный граф профиля
Базисным циклом графа будем называть совокупность ребер, образующих
любой базисный контур профиля. Для графа по рис. 7.5 имеем три базисных
цикла, с, = (гь г5), с2 = (г5, г2, г6, г4), с3 = (г3, г6).
7 Идея применения аппарата теории графов в задачах расчета тонкостенных стержней
не нова Так, например, в работе [8] такой аппарат применен к проблеме
вычисления геометрических характеристик сечений тонкостенных стержней
14*

394 7. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть IV
Опорным циклом с0 графа назовем совокупность ребер, образующих
внешний охватывающий профиль контур Г0. В нашем случае
Со=(Г1,Г2,Гз,Г4).
В терминах теории графов введенные выше три целочисленных параметра
могут быть интерпретированы так:
• к - количество базисных циклов графа;
• и - количество ребер графа;
• t - количество вершин графа.
На рассматриваемом классе графов каждое ребро может входить в состав
или одного базисного цикла или двух базисных циклов. Если некоторое
ребро входит в состав только одного базисного цикла, то такое ребро
назовем опорным. В противном случае будем говорить о двойном ребре
Направленность любого опорного ребра (на графе направленность ребра
указывается стрелкой) определена заранее выбором положительного
направления обхода соответствующего базисного контура. Что же касается
любого двойного ребра, то его направленность не связана с установкой
какого-либо правила и может быть назначена по произволу.
Совокупность всех опорных ребер, перечисленных в порядке следования,
как раз и образует опорный цикл графа.
Направленность каждого ребра позволяет связать с каждой вершиной
перечень входящих в вершину ребер и перечень исходящих из вершины ребер
Говорят, что ребро г, инцидентно вершине va, если это ребро или заходит в
вершину va или выходит из нее. Для рассматриваемого класса графов
каждой вершине инцидентно по крайней мере три ребра.
Можно показать, что на рассматриваемом классе графов введенные выше
целочисленные параметры п, t и к не являются независимыми, а связаны
между собой соотношением
и-/ = *-1. (2 10)
С позиций строительной механики это число (к- I) как раз и равняется
степени статической неопределимости многоконтурного профиля в задаче о
чистом кручении. Действительно, если профиль содержит к независимых
контуров, то для определения неизвестных контурных потоков Tl{i=\,...,k)
мы имеем ровно одно уравнение статики по типу (2.2)
Y^fp, =МХ, (2 11)
так что остальные (к-l) уравнений будут иметь смысл уравнений
совместности деформаций. Заметим, что для профиля, показанного на
рис. 7.4, введенные выше параметры таковы
к=3; и =6; / = 4.
Введем в рассмотрение так называемую матрицу инцидещий G, с
помощью которой алгебраически описывается топологическая структура

7 2 Многоконтурные тонкостенные стержни замкнутого профиля 395
направленного графа. Эта матрица содержит t строк и п столбцов, а ее
элементы могут принимать одно из трех значений: 0, 1 или -1. Каждый г-ый
столбец матрицы G отвечает отдельному ребру графа, а каждая а-ая строка
отвечает отдельной вершине этого графа. В каждом г-ом столбце все
элементы равны нулю, за исключением двух элементов, один из которых
равен единице (номер строки этого элемента указывает на вершину, из
которой выходит г'-ое ребро графа), а второй равен минус единице (номер
строки этого элемента указывает на вершину, в которую входит г-ое ребро
графа).
Так, для нашего примера, нумеруя вершины и ребра графа таким образом,
как это показано на рис. 7.5, приходим к следующей матрице G
П г2 г3 г4 г5 г6
v, |Г 1 0 0 -1 1 01
v, -1 1 0 0 -1 О
G= \\
v3 0 0 -1 1 0 1
v4||_0 -1 1 0 0 -lj|
Кроме матрицы инциденций G существенной для описания
топологической структуры профиля является так называемая матрица
циклов F. Эта матрица имеет размеры кхп. Произвольный элемент fv этой
матрицы F= \[fv]\ равен:
• нулю, если ребро г, не входит в состав цикла с,;
• единице, если ребро г, входит в состав цикла с„ а выбранное направление
на этом ребре совпадает с положительным направлением обхода
соответствующего циклу контура;
• минус единице, если ребро г, входит в состав цикла с,, а выбранное
направление на этом ребре не совпадает с положительным направлением
обхода соответствующего циклу контура.
Для рассматриваемого в качестве примера профиля матрица циклов F
будет иметь следующий вид
"г гг г3 г4 г5 г6
с,|П 0 0 0-1 oil
F = c2 0 10 1 1 -1 .
Cj|_0 0 1 0 0 lj|
Понятно, что ребро г, является опорным, если в у-ом столбце матрицы
циклов один из элементов равен единице, а все остальные элементы равны
нулю.
Две матрицы G и F не являются вполне независимыми. Для
рассматриваемого класса графов матрица инциденций и матрица циклов
взаимно ортогональны8, то есть
8 Формальное доказательство этого утверждения перекладываем на плечи читателя

396 7. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть IV
GFJ = 0, (2 12)
где О - нулевая матрица размерами txk.
Далее, полезно каждому у-ому ребру графа поставить в соответствие вес
ребра рр в качестве какового примем по определению
WJ (,=w»,
(2.13)
где lj - геометрическая длина участка профиля, описываемая ребром графа г,
И, аналогично, можно приписать каждому базисному замкнутому контуру с,
вес контура pt, положив также по определению
=ИЛ^, о = 1>-,*)
(2 14)
Предоставив читателю возможность поразмышлять над обоснованием,
приведем в общем виде разрешающую систему уравнений для определения
коэффициентов распределения потоков по контурам а, (/ = 1, . ,к) в задаче о
чистом кручении многоконтурного профиля
(2 15)
А
-Pll
~Р)1
-Рч
Q,
~Рп ¦
Pi •
-Pj2 ¦
-Pkl ¦
Q2 •
• "A, •
• -Pi, •
' Pj -
• -P„ ¦
¦ Q, •
• "A*
• ~Pu
• -Pi"
¦ Pk
¦ Q*
nil
Q2
Q/
°*
0 J
||"ai
«2
\
h
Iх.
=
' 0
0
0
0
L"o
• pv = pj, = 0 , если контура с, и с, не имеют общих ребер;
• ру = рл = ра, если ребро га является общим для контуров с, и с,
В результате решения этой системы уравнений получаем коэффициенты
а, (г=1,. ,к) для каждого из базисных контуров, а значит и значения
потоков Т, для каждого из базисных контуров
_Л4
0'=1,...Д)
(2.16)
Теперь можно определить и потоки 7} (j=l,..,n) на каждом из
неразветвляемых участков профиля
= ?/„?; (j = l,...,n).
(217)

* 7 2 Многоконтурные тонкостенные стержни замкнутого профиля 397
Сопоставим каждому из неразветвляемых участков профиля свой
безразмерный коэффициент ар положив по определению
aj=llfv4 (/ = !»••.")• (2 18)
Понятно, что в этих обозначениях потоки 7} (/ = 1,..., п) на неразветвляемых
участках контура запишутся следующим образом
Т*=а>ТГ 0 = 1,...,") • (2-19)
"о
Заметим, что для коэффициентов а, (/ = 1,. , и) уместно наименование
коэффициенты распределения потоков по участкам, тогда как для
коэффициентов a, (i = 1,. , k) напрашивается наименование коэффициенты
распределения потоков по контурам
Нам будет удобно также ввести в рассмотрение кусочно постоянную
функцию a(s), принимающую значения а} для аргумента s, принадлежащего
у-ому участку контура Функцию a(s) будем назьшать функцией
распределения потоков вдоль профиля. С помощью этой функции и следуя
формуле (2 19), поток T(s) в любой точке профиля может быть представлен в
виде
М
T(s)=a(s)^. (2.20)
Функция депланации для многоконтурного профиля
Далее нас будет интересовать функция депланации a(s), построенная для
многоконтурного профиля
Точно так же, как мы поступали в §7 1, выбираем произвольную точку
плоскости (J,Z) в качестве полюса Р и накладываем на стержень те же шесть
связей, исключающих смещения стержня как жесткого целого
Формула (1 8), которую нам удобно здесь записать в виде
*=™-9'р, (221)
ds Ggh
так же остается справедливой для каждого из участков профиля Но конечно
же, следует иметь в виду, что в этой формуле
• потоки Т принимают разные значения на различных участках профиля,
• на общих участках контуров возрастание координаты s (то есть знак ds) и
знак параметра р должны быть согласованы.
Обратимся к рассмотрению контура А, являющегося самым внешним,
охватываемым, контуром сечения. Так, для профиля, изображенного на
рис. 7.4-6, обход контура Го в положительном направлении соответствует
последовательному перемещению между точками профиля ABCDEFA.

398 7. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть IV
Интегрируя (2 21) вдоль этого контура при движении в положительном
направлении обхода контура, получим для произвольной точки МеГ0
uM=uA+±]^-&]PJs. (222)
G\ gh JA
Поток T остается под знаком интефала, так как он разнится на разных
участках профиля Обойдя контур Г0 целиком, вновь вернемся в точку А, так
что из условия однозначности продольного перемещения в этой точке и
извлекаем общее выражение для крутки9
9' = ^U**. (223)
GQ01 gh
где По - введенная ранее удвоенная площадь, охватываемая внешним
контуром Г0
Cl0 = j>pds = Q, +Q2 +Q3 •
'о
Воспользовавшись представлением (2 20) для потока T(s), приводим
формулу (2 23) к виду
9' = ^^ <224>
GQ?0 /о gh
Записав вьфажение для крутки в стандартных для сопротивления
материалов обозначениях
GIX
находим сопоставлением с формулой (2 24) вьфажение для крутильного
момента инерции многоконтурного сечения
'«-^ (225)
J0gh
Формула (1.15) для однозамкнутого сечения естественным образом
вытекает из общей формулы (2 25), для чего в последней нужно положить
Оо = ^ и a(s) = 1
Если начать движение из точки А контура и двигаться всегда в
положительном направлении потока, то в конце концов можно достигнуть
любой точки М профиля Для некоторых точек М может быть и несколько
9 Заметим, что формула (2 23) на самом деле представляет собой не что иное, как
перефразировку теоремы Бредта о циркуляции касательного напряжения
применительно к охватывающему контуру Г0 для тонкостенного сечения с
замкнутым многоконтурным профилем при условии g = 1

7 2 Многоконтурные тонкостенные стержни замкнутого профиля 399
путей достижения. Так, для точки М принадлежащей участку FA,
возможные пути движения могут быть, например, такими ACDFM,
ACDEFM, ABCDFM. Выберем какой либо путь достижения точки М и
проинтегрируем (2 21) от точки А до точки М вдоль этого пути В результате
снова придем к формуле (2.22), но в которой выбранный путь
интегрирования может и не совпадать с контуром Г0. Подставив теперь в
формулу (2.22) выражение для крутки по (2.24), получим
М, *г ads М, г ads*t ,
"м =и. +—— ^ф pas
GCL0{gh GQ}Jugh[y
Конечно, в этой формуле значение каждого из интегралов с переменным
верхним пределом
urads ие
\—г и I Р*
is* {
зависит от избранного пути интегрирования, но окончательный суммарный
результат для им должен быть инвариантен по отношению к выбору этого
пути В противном случае было бы нарушено условие однозначности
перемещений в точке М.
Далее, в нашем случае имеем право положить константу иА равной нулю,
что эквивалентно закреплению стержня от жестких продольных
перемещений именно в точке А В результате окончательно формула для
депланационных перемещений в задаче о чистом кручении многоконтурного
профиля принимает вид
u=^j-a(s), (2 26)
что совпадает с формулой (1 16), если в качестве функции депланации a(s)
положить
°оЯ Sh {
с произвольным путем интегрирования от начальной точки А до текущей
точки М профиля.
В заключение этого раздела приведем одно полезное контрольное
тождество, которому обязана удовлетворять функция распределения потоков
по неразветвляемым участкам профиля
у02[* = ф?* (228)
% j!jgh jogh
Доказательство справедливости этого тождества оставляем за читателем

400 7. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть IV
7.2.2 Общий случай работы многоконтурного профиля
Рассуждая точно так же, как мы поступали в случае однозамкнутого
профиля, находим, что формулы (1.19)—(1.29) остаются справедливыми и для
многоконтурного профиля. В частности, формулами (1.23) и (1.26)
определяется обобщенная секториальная координата га в каждой точке
многоконтурного профиля. Единственное, что следует иметь в виду при
определении обобщенной секториальной координаты га для
многоконтурного профиля, это несколько иную по сравнению с формулами
(1 23) форму записи для параметров ю0, щ, юг
ю0 = —^ ja(s)ehds , <ау =—^ (a(s)zehds , юг =— ^ ja(s)yehds , (2.29)
хотя смысловое содержание этих формул не изменяется по сравнению с
формулами (1.23).
Однако формулы для касательных напряжений в случае многоконтурного
профиля требуют уточнений.
Касательные напряжения для многоконтурного профиля
На каждом из неразветвляемых участков профиля формула (1.30) запишется
в виде
f— hds + TM-TlS+ \qxds = 0, (2.30)
s дх s
где символом S, обозначена начальная точка (start point) рассматриваемого
неразветвляемого г-ого участка, а символом М, как обычно, произвольная
текущая точка этого участка.
Подстановка сюда формул (1.29) позволяет выразить значение потока Тм
в текущей точке М участка профиля г через его значение TlS в стартовой
точке этого же участка
TM=TlS-N'^—M'2^--M'-^ + E$"S,0W- \qds , (2.31)
А Jz Jy s
где взамен (1.32) использованы следующие обозначения
м м м м
А,0 = jehds , Sloz = jyehds , SIoy = jzehds , SI0W = jvehds . (2.32)
s, s, s, s,
Понятно, что Аю, Sloy и S,oz представляют собой площадь и статические
моменты отсеченной части расматриваемого участка сечения, то есть части
сечения, расположенной между начальной (стартовой) точкой г-ого участка
S, и текущей точкой М. Аналогично величина 5,ош представляет собой
секториалъный статический момент этой же отсеченной части сечения.

7 2 Многоконтурные тонкостенные стержни замкнутого профиля 401
Рассуждая как и в случае однозамкнутого профиля, приходим также к
формуле (1.39), которая для многоконтурного профиля записывается на
каждом из неразветвляемых участков в виде
7м = T,s -е^-й^-Л/ш^, (2.33)
где обозначено
Мш = -EIJi" + mB. (2.34)
Понятно, что всего можно записать ровно п соотношений типа (2 33) - по
числу неразветвляющихся участков профиля.
Но соотношение (2.33) справедливо для любой точки М рассматриваемого
неразветвляемого участка профиля, а значит и для его "хвостовой" точки Т,
{tail point). Это дает возможность написать ровно п уравнений, имеющих
смысл уравнений равновесия и связывающих стартовые и хвостовые
касательные усилия на каждом из участков профиля простым линейным
соотношением
T,-T-TlS=-Qy^-Q2^-Mw^ 0=1,...,»), (2.35)
где для упрощения обозначений положено
• Г,т - поток касательных усилий на "хвосте" г-ого участка;
• T,s - поток касательных усилий на "старте" г-ого участка;
• 5,2, S,z, Sm - статические и секториальный моменты той части сечения
стержня, которые расположены между стартовой и хвостовой точками
г-ого участка.
Иначе говоря,
т, т, т,
Sa = jyehds , Siy = jzehds, S,m = jmehds . (2.36)
s, s, s,
Итак, всего имеем в качестве неизвестных 2и потоков: ТЬ- и TlS
(i=l,..., ri), для которых располагаем пока что п уравнениями равновесия
(2.35).
Дополнительно можем составить еще t уравнений равновесия выделив
окрестность каждой точки ветвления и составив уравнение равновесия
потоков в проекции на ось X. Так, например, выделив элемент сечения
стержня в окрестности точки С (рис. 7.6) и рассмотрев условия равновесия
выделенного элемента в проекции на ось X, получим
-Г1Т+Г28-Г5Т = 0.
И такого рода уравнений можно составить ровно t - по числу точек
ветвления профиля.
Для того, чтобы записать подобного рода уравнения в общем случае,
удобно воспользоваться введенной выше матрицей инциденций

402 7. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть IV
направленного графа G, отражающей топологическую структуру
многоконтурного профиля.
Рис. 7.6. Элемент сечения стержня в окрестности точки С
Теперь, после введения матрицы G = |[ga,]| , можно записать уравнение
равновесия для a-ой точки ветвления профиля в самом общем случае
1>о, [tea, +1)Гв -(*„ -1)Тп] = 0 (а=1, ,0 (2 37)
Легко проверить, что на самом деле в a-ое уравнение войдут со знаком плюс
стартовые значения потоков на тех участках, начало которых совпадает с
точкой а Одновременно в это же уравнение войдут со знаком минус
хвостовые значения потоков на тех участках, конец которых совпадает с
точкой а Запись уравнений равновесия потоков в a-ой точке ветвления в
форме (2 37) универсальна и потому алгоритмически удобна для разработки
соответствующих расчетных программ.
Однако, в совокупности уравнений (2.37) в количестве t ровно одно из
уравнений является линейно зависимым от остальных (t-\) уравнений. Это
эквивалентно утверждению, что ранг матрицы G равен (t -1).
Неравенство rangG < t легко проверяется Действительно, сложив все
строки матрицы G получим нулевую строку, поскольку сумма элементов
каждого столбца этой матрицы равна нулю Это означает, что последнее t-oe
уравнение в системе (2 31) есть линейная комбинация первых (t-1)
уравнений10.
Наконец, еще одно уравнение равновесия получим из условия
статической эквивалентности крутящего момента, создаваемого потоком
T(s), суммарному крутящему моменту Мх, действующему в сечении
п т<
м*=1Лвдр(*)* (238)
Здесь под T,(s) понимается значение потока Тм в произвольной точке /-ого
участка, определяемое выражением (2 33) Символом р, как обычно,
Надо бы еще показать, что первые (t- 1) уравнений в системе (2 37) линейно
независимы, откуда и следует равенство rangG =(t-l) Как насчет того, чтобы
очередной раз поупражняться в самостоятельном проведении доказательств'?

7 2 Многоконтурные тонкостенные стержни замкнутого профиля 403
обозначена плечевая функция, то есть проекция вектора РМ на направление
орта нормали п, восстановленного в текущей точке М на участке z контура
Напомним, что точка Р это центр кручения профиля.
Подставив вместо T,(s) выражение для потока по (2.33) и произведя
интегрирование, получаем
М* = Z Т* \pds ~ — \smpds - О- \sioypds - ?2- \siompds . (2.39)
'=1|_ s, 7? s, Jy s, 7ш s, J
Итак, для определения 2и неизвестных потоков T,s и 7>г имеем
• п уравнений равновесия (2.35);
• (t - 1) уравнений равновесия (2.37);
• одно уравнение равновесия (2.39).
Итого, имеем (и + i) уравнений равновесия. Следовательно, задача
определения потоков оказывается статически неопределимой со степенью
статической неопределимости, равной
2л-(л + /) = *-1
Как видим, это число совпадает со степенью статической неопределимости в
рассмотренной ранее задаче о чистом кручении, что, разумеется, и следовало
ожидать.
Понятно, что недостающие (к-\) уравнений следует искать из условий
совместности деформаций. Для формирования этих недостающих уравнений
вновь обратимся к вариационному принципу Кастильяно.
Однако, прежде, чем обратиться непосредственно к вариационному
принципу Кастильяно, полезно упростить систему уравнений равновесия для
неизвестных потоков, освободившись от необходимости определять
хвостовые потоки 7Vr- Нам будет удобно записать обе системы уравнений
(2.35) и (2.37) в матричной форме. С этой целью введем в рассмотрение
вектор потоков в стартовых точках участков Ts и вектор потоков в
хвостовых точках участков Тт, положив по определению
Js= \[Tls,..,TnSf, Гт= |[7iT,...,7;T]|T. (2.40)
В этих обозначениях система уравнений равновесия (2.35) запишется в
виде
TT=TS-AT, (2.41)
где согласно (2.35) под AT понимается вектор приращений потоков на
каждом из неразветвляемых участков профиля
Qv О М
AT==^Sz+^-Sv+—S-Sm, (2.42)
Iz I, у Im
а под векторами Sz,Sy, 5ГО понимаются следующие векторы

404 7. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть IV
IX"
Is*.
, sy =
"V
sny
. Sw =
л«1
_snm\
с компонентами, определяемыми формулами (2 36).
Если вместе с матрицей инциденций G ввести в рассмотрение усеченную
за счет последней строки матрицу G и матрицу \G\, составленную из
абсолютных величин компонент матрицы G, так что
?п
Вт
Iftil
I ft» I
(2 44)
то систему независимых первых (t- 1) уравнений равновесия в (2.37) можно
переписать в матричном виде так
(\G\+G)Ts-(\G\-G)TT=0.
Исключая отсюда хвостовые потоки Тт с помощью (2.41), приходим
к уравнениям равновесия в количестве (г-1), содержащим в качестве
неизвестных только стартовые потоки Ts
2GTS+(\G\-G)AT = 0. (2.45)
Нам будет удобно также переписать условие равновесия в моментах
относительно осиХ, то есть уравнение (2.39), в виде
Qy
где дополнительно обозначено
ш=|[ш1,...,ш„]|Т
=?К*р*
jpds,
Xj^pA, Spw=fj\Sl0W?ds.
(2.46)
(2.47)
Полагая для упрощения рассуждений, что кинематические краевые
условия однородны, имеем возможность отождествить функционал
Кастильяно с выражением для энергии деформации, выраженной через
напряжения". Итак,
1' В данном случае такое предположение не сужает общности последующих выводов
Дело в том, что нас сейчас будут интересовать только уравнения Эйлера для
функционала К, определяющие условия совместности деформаций, выраженные
через потоки TlS Но, как это хорошо известно, уравнения Эйлера для
квадратичного функционала не зависят от краевых условий

7 2 Многоконтурные тонкостенные стержни замкнутого профш
*-f\ .J 2?е J 2Gg
Суммирование здесь ведется по всем неразветвляемым участкам профиля
Подставим сюда вместо нормального напряжения ст его представление по
формуле (1.48), а вместо касательного напряжения т его представление через
поток т = Tlh , где поток T(s) в свою очередь на каждом из неразветвляемых
участков профиля определяется формулой (2.33).
В результате получаем
К=— Г4^8-27к— S.
2G Jo ? J[ ,s 's Iz •
a
Mm
-2TlS^SIO-2TlS^-Slom —<& + (•••)>
h An \gh
где символом (...) обозначены все остальные члены, не зависящие от
потоков TlS.
Введем еще серию дополнительных обозначений, положив
А °
О '•.
lsb =
"Site"
UJ
,shY =
Slhy
Is*,]
> $Ьш ~
~slhm 1
A*«J
с компонентами
I Ф
P, = S~h, S^-feds, Slhy = \^-ds, SM
J g/г J g/г y J g/г
Диагональную матрицу /> уместно называть
неразветвляемых участков профиля.
Во введенных обозначениях функционал К перепишется в виде
2G
TsPTs-Tj^-S^
GL
' G7
_7тЛ^
s G/ te
•-С-.).
(2.50)
(2.51)
Далее мы должны минимизировать функционал К по
вектора Ts при дополнительных условиях (2.45) и (2.46).
Воспользуемся стандартным правилом множителей Лагранжа для
сведения этой задачи к задаче поиска точки стационарности
модифицированного функционала М, положив
М = К + Лт [2GTS +(\G\ -G)A г] +
+X^Ts-^Spz-^Spy-^Spm-Mx],
(2 52)

406 7. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть IV
где Л = |[А,Ь. ., Xt-i]\ - вектор лагранжевых множителей порядка t- 1, а X,
еще один (дополнительный) лагранжев множитель.
Условия стационарности М приводят к следующей системе линейных
алгебраических уравнений порядка (п + f)12
(G-\G\)SZ
2G'
\\\т*]
А
1л
= мх
"0]
II
_lj
(G-\G\)Sy
(G-\G\)Sa
(2.53)
Решением этой системы уравнений и определяются интересующие нас
компоненты вектора стартовых потоков Т$. Этот вектор можно представить
в виде
Qy
'- МхК
I-—*.+—*„+——
4 Л, 4
(2.54)
Каждый из векторов Ьх, by, bz, bm представляет собой вектор порядка п,
составленный из коэффициентов, определяемых решением системы
уравнений (2.53). Точнее говоря, каждый из этих векторов является
решением системы уравнений с одной и той же матрицей М
12 Предвижу недоумение, а возможно и протест, со стороны некоторой (полагаю,
незначительной) категории читателей, воспитанных на книгах по строительной
механике 50-х годов прошлого века и даже много более поздних изданий Ну
зачем, может спросить этот читатель, заставлять меня заниматься решением
системы уравнений повышенного порядка (и + /), когда я знаю, что можно (и как
можно) обойтись системой уравнений порядка (и - /) = (к- 1)?
Рассчитываю на понимание прежде всего со стороны более молодой генерации
профессионалов от строительной механики, для которых вычислительный аспект
нашей науки стал неотделим от программирования Для этих читателей нет нужды
объяснять, что критериальными в оценке алгоритма расчета со второй половины
прошлого столетия стали не изобретательные ухищрения по понижению порядков
системы уравнений, а такие вещи как универсализм, простота алгоритмизации и
т п Как все таки меняется наше отношение к тому, "что такое хорошо, и что
такое плохо" вместе с изменениями инструментов вычислений! От ручных
вычислений на бумаге, через забытые ныне конторские счеты и логарифмическую
линейку, через арифмометр, через первые аналоговые и цифровые ламповые ЭВМ
к современному персональному компьютеру - весьма впечатляющий путь и не
только применительно к строительной механике Что впереди"?

7.2 Многоконтурные тонкостенные стержни замкнутого профил
но с разными правыми частями, при этом
(G-\G\)Sy
М Г°1
Л = ММ
\хМ 1
(G-\G\)SZ
Soz
(G-\G\)Sm
(2.56)
Разумеется, значения лагранжевых множителей А,],..., А,, при решении
каждой из этих систем уравнений получаются разными, но для нас это
несущественно, так как сами эти множители нас сейчас не интересуют.
Теперь, исключая из общей формулы (2.33) для потоков в произвольной
точке профиля стартовые потоки с помощью формулы (2.54), находим
.Ас &ё _^с
Tl{s) = Mxblx y-Sl0Z
/m
(2.57)
где функции S!0Z, S
участков контура так
Sloz=Sloz-h
Sicm определены на каждом из неразветвляемых
Зо» = Sm
(2.58)
Формула (2.57) служит аналогом формулы (1.49), установленной нами ранее
для однозамкнутых сечений. Точно так же формулы (2.58) являются
аналогом формул (1.43).
Покажем теперь, что компоненты вектора Ъх на самом деле не новы для
нас. Они связаны простым соотношением с компонентами ранее
установленного вектора а = |[аь...,а„]| , где а, коэффициенты распределения
потоков по неразветвляемым участкам профиля при его чистом кручении -
см. формулу (2.18). В самом деле, предположим, что рассматривается задача
чистого кручения. В этом случае будем иметь Мх = Н, Qy= Qz = Mm = 0, так
что формула (2.57) дает
Т, = НЬа.
Но при чистом кручении для потоков справедлива формула (2.19) или

408 7. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть IV
Т, = а, —.
Приравняв эти два выражения для потоков чистого кручения, находим, что
а = Q<A ¦ (2.59)
Представляя теперь полный крутящий момент Мх в виде суммы момента
чистого кручения Н и момента стесненного кручения Мт, перепишем
формулу (2.57) в несколько более удобном виде
"0 'г 'у 1ш
где положено
На этом завершим рассмотрение касательных напряжений в теории
тонкостенных стержней с многоконтурным замкнутым профилем сечения.
Введенные только что функции Sloz,Sloy,Slom являются обобщением на
многоконтурный профиль функций Soz,Soy, Som , определенных нами ранее
для однозамкнутого профиля. Можно показать, что эти функции обладают
свойствами, присущими функциям Soz, Soy, S^ . Не будем задерживаться
на формальном обосновании этого утверждения, отметив только
справедивость следующих формул
ta,ffb = 0, j>,j%s = 0, l>,j"%fc = 0, (2.62)
li I gh tt ,; gh l?x I gh
которые нам потребуются в следующем пункте.
Разрешающие уравнения тонкостенных стержней с
замкнутым многоконтурным профилем
Несложно заметить, что структура разрешающих уравнений задачи для
сдвиговой и полусдвиговой теорий, установленная нами для одно-
замкнутого профиля полностью переносится и на многоконтурный профиль.
Ограничиваясь рассмотрением первого (энергетического) варианта
теории, находим, что единственное отличие в случае многоконтурного
профиля заключается в формулах для элементов матрицы коэффициентов
формы сечения ц. С целью получения матрицы ц, опираясь на формулу
(2.59), запишем выражение для энергии деформации Е% в виде

7.2 Многоконтурные тонкостенные стержни замкнутого профит
Е-=Ш
н
а
Преобразуем выражение для энергии Ет. Имеем
Л
Г"хЧ ti~ 2 rds и: (Sfds Q2 cS^ds Ml tS*ds\ ,
> —r-a — + Щ- —~— + —T- —^— + —v- H22— \dx +
Jot;[Q^ ' *gh ill gh l* I gh J°> ', gh J
dt
HQZ rSioyds HQy ,si02ds HMm rSl<mds
ЦЛ
rJ,oyas n\jy rbl0zds rlMm ri.
gh П01т
•SmSmds
gh
G Jo IyIz tf ;J gh
+ GJotT /X J gA + IJa ) gh
Вторая строка этого выражения для Ет исчезает в силу свойств (2.62).
Заметим также, что на основании формул (2.25) и (2.28)
7JotfQ> ' igh hlGI,
(2.65)
Таким образом, окончательно получаем для многоконтурного профиля
е = г{ н2 | аУ~, Q>yy , К»т , 0.0.»* , &m.k. , QyM-»y]dx
х •'o[2G/:t 2G^ 2GA lr2GA GA rGA rGA \ '
где числовые параметры \izz, \izy, цот, ц^,, ц/га, цгога образуют матрицу
коэффициентов формы сечения ц, приведенную ниже
^zz
V-yz
»ш
»*У
V-yy
»*у
цгта]
»у
цтата]

410 7. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть IV
ljy Щ gh 1] Щ gh IzIm Щ gh
ljy Щ gh IJZ Щ gh II Щ gh
Поскольку установленный нами ранее формулой (6.3.12) оператор
равновесия А одинаков для любого вида профиля в сдвиговой теории, то и
сопряженный ему по Лагранжу оператор геометрии А также не зависит от
вида профиля Последний определен формулой (6.3.13).
Физические же соотношения определяются матрицей СГХ по (1 65), в
которой, разумеется, геометрические характеристики сечения понимаются
вычисленными для многоконтурного профиля.
В силу этих обстоятельств разрешающие уравнения для сдвиговой теории
при многоконтурном профиле имеют вид (6 3.24), а для полусдвиговой
теории (6.4.11).
Литература
1 Уманский А А Изгиб и кручение тонкостенных авиаконструкций - М
Оборонгиз, 1939 -112с
2 Уманский АА О нормальных напряжениях при кручении крыла самолета -
Техника воздушного флота, 1940, №12 -С 48-65
3 Ададуров Р А Напряжения и деформации в цилиндрической оболочке с жесткими
поперечными связями ДАН, 62, №2, 1948 -С 183-186
4 Ададуров Р А Определение касательных напряжений в тонкостенных
конструкциях вблизи заделки Труды ЦАГИ, №614, 1947 -С 1-13
5 Джанелидзе Г Ю , Пановко Я Г Статика упругих тонкостенных стержней - М -Л
Гостехиздат, 1948 -208 с
6 Смирнов В И Курс высшей математики Том 2. - М . Физматгиз, 1974. - 655 с
7 Кристофидес Н Теория графов Алгоритмический подход - М Мир, 1978 -
432 с
8 Конюховский В С , Халецкая О Б Теория циклов Кирхгофа в применении к задаче
о кручении стержней - Исследования по механике строительных конструкций и
материалов Сб. трудов СПбГАСУ СПб 1995 С 26-44

8. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ - часть 5
только те изыскания имеют цену, которые
вызываются приложениями и только те теории
действительно полезны, которые вытекают из рас-
смотрения частных случаев.
А.М. Ляпунов. Из очерка "Пафнутий Львович Чебышев"
8.1 Тонкостенные стержни комбинированного
профиля
В двух предшествующих главах рассмотрены отдельно теории
тонкостенных стержней открытого и замкнутого профилей. Однако на
практике инженер часто сталкивается с тонкостенными стержнями, которые
нельзя безоговорочно отнести ни к одному из этих классов. Характерный
пример - поперечное сечение коробчатой или даже двухкоробчатой балки
жесткости пролетного строения моста (рис. 8.1).
~^cj—\—/ \—У
Рис. 8.1. Примеры тонкостенных сечений комбинированного профиля
Другое, осложняющее расчетную схему тонкостенного стержня
обстоятельство, которое также нередко встречается на практике, это наличие
в поперечном сечении так называемых упругих депланационных связей.
Конструктивным источником таких связей могут служить, например,
поперечные планки или раскосы (рис. 8.2).
Рис. 8.2. Примеры тонкостенных сечений с депланационными связями

412 8. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть V
Конечно, специалисты, профессионально занимающиеся теорией
тонкостенных стержней всегда отчетливо осознавали, что запросы техники
настойчиво требуют создания объединенной прикладной теории, свободной
от ограничений на тип профиля. И попытки разработки такого рода теории
предпринимались неоднократно. Ни в коей мере не претендуя на полноту
обзора, отметим в этой связи работы Д.Г. Элиашвили [1,2],
И.В. Кругленко [3], О.В. Лужина [4, 5], а из зарубежных публикаций [6, 7, 8]
Здесь важно отметить, что одним из трудных моментов при создании
такой теории является требование предельного перехода. Это требование,
сводится к тому, что по отдельности теория стержней открытого профиля
должна вытекать из объединенной теории как частный случай. И точно так
же теория стержней замкнутого профиля должна представлять собой
частный случай объединенной теории. Однако добиться такого совмещения
теорий удалось не сразу.
Дело в том, что гипотеза отсутствия сдвигов в теории В.З. Власова
вступает в противоречие с основными положениями теории А.А. Уманского,
в которой физическое соотношение т*1 = Gy« играет основополагающую
роль, и следовательно принятие гипотезы отсутствия сдвигов yxs = 0 в
стержнях замкнутого профиля не проходит.
Есть и еще одно обстоятельство, которое по мнению некоторых авторов,
препятствует объединению двух теорий. Это обстоятельство связано с
гипотезами о распределении касательных напряжений по толщине стенок
тонкостенного сечения. В теории Уманского принимается гипотеза о
равномерном распределении касательных напряжений по толщине стенок
сечения, тогда как в теории Власова эти напряжения в общем случае
распределяются по линейному закону (см. рис. 6.6), так что у Власова
тю = т + тк. Поскольку отказаться от напряжений чистого кручения хк в
теории Власова нельзя, то можно попытаться видоизменить теорию
Уманского, перестроив ее за счет ввода в эту теорию напряжений т*,
линейно распределенных по толщине стенок сечения с нулевым значением
непосредственно на профиле.
Примерно такой способ рассуждений привел О.В. Лужина к созданию
одного из наиболее простых вариантов объединенной теории, которая и
получила наибольшее признание среди специалистов по тонкостенным
стержням. В дальнейшем Е.А. Бейлин [9, 10, 11] обобщил аппарат теории
Лужина, внеся в нее коррективы, необходимые для учета влияния
депланационных связей. Отметим, что существенным в теории Лужина
моментом является формулировка физических соотношений не на
энергетической основе, а так, как это делает Уманский в своей
полусдвиговой теории тонкостенных стержней замкнутого профиля.
Конечно, дополнительный учет касательных напряжений хк по замкнутой
части сечения вносит некоторую уточняющую поправку к общей теории
тонкостенных стержней. Но, как это будет показано далее, принципиального
значения для объединенной теории, построенной на энергетической основе,
это уточнение не имеет.

8 1 Тонкостенные стержни комбинированного профиля 413
Нам представляется, что на самом деле трудности создания объединенной
теории заключались в попытках связать бессдвиговую теорию Власова с
полусдвиговой теорией Уманского. Но как только теория тонкостенных
стержней открытого профиля строится как полусдвиговая, все трудности
объединения немедленно пропадают Аналогичное объединение полностью
сдвиговых теорий для стержней открытого и замкнутого профиля проходит
без каких либо затруднений.
После этих вступительных замечаний приступим непосредственно к
изложению теории стержней комбинированного профиля, воспользовавшись
для общности уточнением Лужина (учет хк по замкнутой части сечения). Как
мы увидим в дальнейшем, пренебрежение этим уточнением не вносит
существенных корректив в общую теорию.
Для простоты изложения начнем рассмотрение объединенной теории,
предположив, что профиль содержит единственный замкнутый контур по
типу, показанному слева на рис 8.1.
8.1.1 Чистое кручение тонкостенного стержня комбинированного
профиля
При чистом кручении стержня комбинированного профиля в соответствии с
теорией Лужина постулируется, что на открытых участках контура
возникают только касательные напряжения ть а на замкнутых контурах
касательное напряжение т и касательное напряжение тк. Суммарный
крутящий момент, создаваемый всеми этими напряжениями, равен
Mx=TQ + GIkQ', (11)
где
h=l-\gh'ds, (1.2)
причем интеграл здесь берется по всей длине контура комбинированного
профиля1. Нижний индекс к подчеркивает, что речь идет о характеристиках,
отвечающих действию одних только касательных напряжений хк.
Первое слагаемое в (1 1) следует из формулы (7.1 3) для сечения с
замкнутым профилем и определяет крутящий момент, создаваемый потоком
Г касательных напряжений х, действующих вдоль замкнутой части профиля.
1 Конечно, формула (1 2), получаемая для замкнутой части сечения формальным
наследованием соответствующей формулы для открытой части, является довольно
грубым приближением Но дело в том, что момент касательных напряжений т^ по
замкнутой части сечения является величиной малой по сравнению с моментом
средних касательных напряжений 712 Это означает, что дальнейшие уточнения в
величине малого слагаемого практического смысла не имеют, так что с прикладной
точки зрения приближенная формула (12) вполне приемлема как для открытой
части сечения, так и для замкнутой

414 8. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть V
Рассуждая для замкнутой части профиля точно так же, как мы поступали
! §7.1 1, получаем, что для крутки 0' справедливо вьфажение
., Т tds ТО.
т (13>
GO.7 gh GId
Здесь, вслед за Лужиным и Бейлиным [4, 11], обозначено
Q2
(14)
Иначе говоря, 4 это крутильный момент инерции сечения, образуемого из
заданного сечения удалением всех участков, не входящих в его замкнутую
часть - см формулу (7 1 15) для сечений с чисто замкнутым профилем
Обращаем внимание, что здесь повсюду под интегралом i>()ds
понимается интеграл, взятый только по тем участкам профиля, которые
образуют его замкнутую часть
Исключив из (1 1) крутку 9' с помощью (1 3), приходим к формуле для
определения потока Т, действующего на замкнутой части профиля
Г = ^ (15)
Q(l+/k//d)
Если подставить теперь полученное вьфажение для потока в формулу (13),
то получим зависимость крутки 9' от крутящего момента Мх Итак,
G(4*+4)
(16)
И становится ясно, что в рамках рассматриваемой теории в качестве
крутильного момента инерции 4 комбинированного сечения в целом следует
положить
4 = 4+4 (17)
Перейдем теперь к построению функции депланации a(s) для сечения с
комбинированным профилем.
Для дальнейшего удобно ввести понятие характеристической функции
профиля k(s), положив по определению
• k(s)=1, если точка профиля с дуговой координатой * принадлежит
замкнутой части профиля,
• k(s) = 0, если точка профиля с дуговой координатой s принадлежит только
открытой части профиля
Эта функция позволяет записывать интегралы только по всей замкнутой
части профиля, только по всей открытой части профиля и в целом по
профилю соответственно в виде

8 1 Тонкостенные стержни комбинированного профиля 415
J(-)Kcfc = ^()cfc, J 0(1-K)<fc=J(-)<fc-$()&, J(-)cfc,
/ г г г
где символом (•) обозначена подлежащая интегрированию функция дуговой
координаты *.
Формулу (1.2) для геометрической характеристики 1к удобно представить
в виде суммы двух слагаемых
/к=4о + 4ь /k0=^JgA3(l-K)*, /kl=ijg/i3K* (18)
Понятно, что 4о характеризует крутильную жесткость сечения, отвечающую
напряжениям тк на открытой части сечения Величина же 4i характеризует
аналогичную крутильную жесткость, но отвечающую напряжениям тк
только по замкнутой части сечения.
Что касается продольных перемещений и, то в пределах замкнутой части
профиля остается справедливой формула (7 1 9), в которой за счет выбора
места наложения продольной связи, исключающей жесткие смещения
стержня, можно положить и0 = 0 Иными словами, в пределах замкнутой
части профиля имеем
-U^e'lpds (19)
GJ о gh Jo
" и 9' их i
и продоль
утой части
и=^Г'*-|'р(&] (110)
Подставив сюда вместо Г и 9' их выражения по (1.5) и (1.6), приходим к
следующей формуле для продольных перемещений и точек профиля,
принадлежащих его замкнутой части
Пусть некоторая точка R профиля является точкой его разветвления Это
означает, что точка R принадлежит одновременно как открытой, так и
замкнутой части профиля Рассмотрим открытый участок профиля,
расположенный между концевыми точками R и F этого участка (рис 8 3)
Но на открытых участках профиля принимается гипотеза отсутствия
сдвигов, согласно которой
^ + ^ = 0,
ds дх
откуда в произвольной точке М рассматриваемого участка профиля будем
иметь
При закреплении полюса Р от поперечных перемещений, что можно
истолковать как одно из условий исключения жестких смещений стержня в
плоскости (F,Z), имеем v = 9р и следовательно

416 8. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть V
где coRM - приращение секториальной координаты со при переходе от точки R
к текущей точке М, то есть
«>rm=Jp* (1-12)
R
Используя введенную выше характеристическую функцию профиля к,
можно записать общее вьфажение для продольного перемещения им в
произвольно расположенной текущей точке профиля М в виде
¦-M^f-H-9*0-'**-
где интегрирование ведется от выбранной начальной точки О профиля до
текущей точки М с дуговой координатой s, то есть по участку профиля
O-R-M
Подставив сюда вьфажение для крутки по (1.6), получаем окончательно
M(ld r'Kds f' ,) M(ld \
где p(s) - так называемая весовая функция дуговой координаты s, а со -
секториальная координата текущей точки М
P(s)=f~, co=J>. (1.14)
•>о gh }о
Представляя, как обычно, продольные перемещения и через функцию
депланации оф) в виде
и =—-am,
GIx К '
получаем окончательно для комбинированного профиля
¦р-е>. (1.15)
Заметим, что формула (1.15) для функции депланации а работает и в
предельных случаях для чисто замкнутого профиля и чисто открытого
профиля. В первом случае весовая функция р принимает именно те
значения, которые она должна получать для чисто замкнутого профиля. Во
втором случае весовая функция/? становится тождественно равной нулю.
Стоит также обратить внимание на одну ловушку, связанную с
возможным ошибочным истолкованием формулы (1.15) для точек,
принадлежащих открытой части профиля. Так было бы ошибкой считать,
что весовая функция р всегда равна нулю на открытой части
комбинированного профиля. Если бы это было верно, то это привело бы к

8 1 Тонкостенные стержни комбинированного профиля 417
разрывной функции депланации a(s), что, разумеется, недопустимо в силу
неразрывности продольных перемещений профиля. Верно другое
утверждение, а именно: на открытой части профиля весовая функция p(s)
есть константа, равная значению этой функции в точке разветвления
профиля на его замкнутой части, из которой выходит рассматриваемая
открытая часть. Так, в случае профиля, изображенного на рис. 8.3, для
участка профиля между точками R и F эта константа равна значению р(К),
где
oSh
Само собой разумеется, что функция депланации a(s) зависит от
выбранного положения полюса Р, на котором строится плечевая функция
p(s), а также от положения начальной точки О профиля, от которой ведется
отсчет дуговой координаты. На механическом уровне выбор полюса Р
означает выбор точки закрепления стержня при чистом кручении от жестких
поступательных смещений в плоскости {Y,Z). Выбор же нулевой точки
профиля О означает выбор способа закрепления (точки на профиле) этого же
стержня от жестких поступательных смещений в направлении оси X.
8.1.2 Общий случай работы тонкостенного стержня
комбинированного профиля
Повторяя рассуждения §7.1.2, убеждаемся в том, что все формулы (7.1.18)-
(7.1.29) работают и для комбинированного профиля. При этом, впрочем,
следует иметь в виду, что встречающееся в этих формулах интегрирование
по замкнутому контуру должно быть заменено на интегрирование по всей
длине комбинированного профиля. Так, формулы (7.1.23), (7.1.27) и (7.1.28)
для комбинированного профиля записываются в виде
со0 = — \a(s)ehds , (оу = — \a(s)zehds, coz = — \a(s)yehds , (1.16)
feehds = 0, foehyds = 0, feehzds = 0, (1.17)
где, напоминаем, обобщенная секториальная координата tn определена
формулой
tn = co0-a. (1.18)
Непосредственно проверяется, что свойство независимости обобщенной
секториальной координаты га от выбора начальной точки отсчета дуговой
координаты s сохраняется и для комбинированного профиля. Отметим
также, что второе и третье из условий в (1.17) определяет выбор положения
главного полюса Р профиля.

418 8. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть V
В сформулированных условиях формула для нормальных напряжений а*
, N Мг Му В
<т = —е + —-еу + —-ez+—его. (1.19)
А I, " 1у I.
переносится на случай комбинированного профиля без каких либо
изменений. Однако то, что касается средних касательных напряжений т (или,
что то же самое, потоков T(s)), должно быть подвергнуто дополнительной
ревизии
Средние касательные напряжения
Выберем (по произволу) некоторую точку О профиля в качестве начальной
Перемещаясь от точки О до текущей точки М, приходим к формуле для
потоков (7.1 39), которую запишем здесь в виде
Гм=Г0 -Qy?2L-Qt?2L-M^, (1.20)
где интегралы
МММ
Soz = J yehds , S^ = j zehds, S^ = J mehds (121)
о о о
понимаются как статические моменты и секториальныи статический момент
отсеченной части сечения, расположенной между начальной точкой О и
текущей точкой М профиля.
Для примера в качестве пояснения на рис. 8.3 отсеченные части сечения
для трех вариантов расположения текущей точки М изображены
затемненными
Рис. 8.3. Отсеченные части сечения для различного положения точки М
Вполне понятно, что формула (1.20) срабатывает тогда, когда текущая
точка профиля М принадлежит замкнутой части сечения (рис. 8.3). В том
случае, когда точка М расположена на открытой части сечения (в нашем
случае на участке между точкой ветвления профиля R и граничной точкой
F), выражение для потока Гм уже не будет содержать начальной точки О,
поскольку интегрирование можно осуществлять, двигаясь от граничной
точки F до текущей точки М. Но так как поток Т? в граничной точке профиля

8 1 Тонкостенные стержни комбинированного профиля 419
гарантированно равен нулю, то отсюда приходим к следующей формуле для
потоков на открытых участках профиля
Г=-2^-е2у^-Мш^. (122)
Само собой разумеется, что на открытом участке профиля под
величинами Soz, Soy, Sovs понимаются в отличие от (1.21) следующие
интегралы
5ог = \yehds , Soy = \zehds, Som = [xnehds .
F F F
Суммарный крутящий момент Mx складывается из момента,
порождаемого потоком касательных напряжений Т, и момента касательных
напряжений тк. Иными словами,
Mx=GIkQ'+ $T{s)pds. (1.23)
/
После подстановки сюда выражения для потока Г по (1 20) на замкнутых
участках профиля и (1.22) на открытых участках профиля приходим к
выражению для потока Т0
Mx-GIkff Q^ ts^+&_ [SoyPds + ^- \SomPds , (1.24)
0 Q QJZJ ozV QJy J оуУ QJm J oraP
где Q - это удвоенная площадь, охватываемая замкнутым контуром
профиля.
Последующая подстановка (1.24) в формулу (1.20) дает для точек,
принадлежащих замкнутой части профиля
Q /Д oz Q / oz J /Д оу Q / оуУ )
-^\sm~\Smpds\. (1.25)
Покажем, что общая формула (1 25) для потока Т срабатывает и в
предельном случае полностью замкнутого сечения. Действительно, в случае
чисто замкнутого сечения следует положить
4 = 0,
поскольку теория, рассматриваемая в главе 7, основана на пренебрежении
касательными напряжениями тк. В результате формула (1.25) после деления
ее левой и правой части на h переходит в формулу (7.1.49) для касательных
напряжений в сечениях с замкнутым профилем.

420 8. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть V
С другой стороны, для точек профиля, принадлежащих открытой части
сечения, вместо формулы (1 25) имеем уже установленную формулу (1.22).
Но в случае полностью открытого профиля убеждаемся в том, что
Поэтому формула (1.22) работает также и для полностью открытого
профиля, так как в этом случае она совпадает с формулой (6.2.61).
Нам, однако, неудобно иметь различные формулы для потоков на
открытых и замкнутых участках профиля Несложно понять, что обе
формулы (1.22) и (1.25) можно объединить в одну формулу, если
воспользоваться введенной ранее характеристической функцией профиля
k(s). Домножив формулу (1.25) на к, а формулу (1.22) на (1 -к) и сложив
результаты, получим общую формулу для потоков в произвольных точках
комбинированного профиля
T=K(Mx-GIkQ') Qy- _&- _М^-
Q L ог Iv оу Г от
(1.26)
с функциями
soz=soz
~^jSozpds, Soy=Soy-±jSoyPds,
ош ош Qj ошР
Свойства функций Soz, Soy, Som и следствия этих свойств
Покажем, что на введенные только что три функции дуговой координаты s
распространяются свойства, установленные ранее в §7.1.2 в случае чисто
замкнутого профиля. Сразу же отметим здесь и те следствия свойств этих
трех функций, которые можно сформулировать в теории тонкостенных
стержней комбинированного профиля.
• Свойство 1:
Понятно, что каждая из функций Soz, Soy, Som зависит от выбора начальной
точки О отсчета дуговой координаты по профилю. Но, если внимательно
проследить за способом получения функций Soz, Soy, 50го , то обнаружим
справедливость следующего утверждения:
Каждая из функций Soz, S , Som не зависит от выбора начала
отсчета дуговой координаты s, а является однозначной
характеристикой всякой точки, принадлежащей профилю.
• Свойство 2:
Непосредственно из определения по (1 27) и с учетом очевидного
равенства

8 1 Тонкостенные стержни комбинированного профиля 421
J Kpds = ф pds = CI
следует
\S„pds = 0, lSoypds = 0, lSowpds = 0. (128)
i i i
Но первые два равенства в (1 28) с учетом (1.26) как раз и свидетельствуют о
том, что касательные напряжения те, то есть касательные напряжения,
порождаемые поперечными силами и только ими, не создают крутящего
момента относительно полюса, удовлетворяющего условиям (1.17). Это и
означает, что использованное нами в процессе вывода формулы (1.26)
условие выбора полюса по (1.17) приводит к отождествлению этого полюса
с центром изгиба, а значит и с центром кручения.
Домножив (1.26) на плечевую функцию р и проинтегрировав полученное
по всему профилю, получим теперь
\Tpds = Mx-GIv&,
что, разумеется, совпадает с формулой (1 23)
• Свойство 3.
Справедивы также и следующие формулы интегрирования по профилю
сечения
\S„^-ds = 0, {s^^-ds^O, \Som^ds = -Im. (129)
J; °y ds \ ' ds ] °m ds
Докажем сначала первую из формул в (1.29). С этой целью разобьем
вычисляемый интеграл по всем)' профилю / на сумму двух интегралов,
первый из интегралов возьмем по замкнутой части профиля, а второй по
открытой его части.
Для удобства рассуждений обратимся к профилю, показанному на
рис. 8.3, и заметим, что обобщенная секториальная координата га
непрерывна по всему профилю. В то же время функции Soy терпит разрыв
непрерьтности в точке разветвления профиля R при движении вдоль
замкнутой части профиля. Обозначим скачок этой функции в точке R как
[ Soy ]r. Из рис. 8.3 и определения функции Soy становится понятно, что
величина этого скачка равна интегралу, взятому по всей открытой части
сечения от точки F до точки разветвления профиля R, то есть
[50>,]R= jzehds
Иными словами, рассматриваемый скачок равен статическому моменту
относительно оси Y всей открытой ветви сечения, включающей точку
ветвления R.

422 8. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть V
Теперь, воспользовавшись формулой интегрирования по частям, получим
на замкнутой части профиля
JkS0>^ds = fa^ds =\К%* = -<*(R)[SU -T^f Ws =
=-w(R)\zehwds- f zehwds =
R R
= [l - to(R)] f zehwds - f zehwds = [l - uj(R)] f zehwds.
Здесь мы воспользовались условием выбора главного полюса (1.17). Но на
открытой части профиля имеем
jSoy—ds =jSoy —ds =[ V*! - J—^twfe = TB(R)JzeA«fe-JzeAtwfe.
Суммируя оба этих интеграла, приходим к первой формуле в (1.29).
Понятно, что вторая из формул в (1.29) доказывается точно так же.
Перейдем теперь к обоснованию третьей формулы в (1.29). Поступая
аналогично, имеем
[S„h=jrBehds.
Далее
(tf^ds = iSaa—ds =\°Soa—ds = -tu(R)[5ee]R - Т^шй =
= -та(К)(е/кЛ&- | еАта2^5,=[1-та(К)]|еАта2^5'-|еАта2^5' =
= [l-w(R)]jehw2ds-Im.
А на открытой части сечения получаем
fe" lIdS lS°ml?dS =Р»Н|* - J^WS = TO(R)JweA* -jehads
Таким образом, суммарно приходим к третьей формуле в (1 29) И свойство
3 доказано полностью
Теперь, домножая обе части формулы (1.26) на dw/ds и учитывая
очевидное равенство
вытекающее из непрерывности обобщенной секториальной координаты та,
получаем

* 8 1 Тонкостенные стержни комбинированного профиля 423
Мш= [xh^ds. (130)
"} ds
Это позволяет распространить чисто статическое определение момента
стесненного кручения Мш, приведенное в разделе 7.1.3, и на случай
комбинированного профиля.
Приведем теперь общее выражение для производной dw/ds. Согласно
(1 14), (1.15) и (1 18) имеем
^ = р--^ (131)
ds ghQ.
Подставив (1.31) под знак интефала в (1.30) и учтя равенство (1.23),
приходим к формуле
п\ g
Воспользуемся теперь обобщенной формулой Бредта для циркуляции
касательных деформаций (см. Приложение D), согласно которой можем
написать
\—ds = i>-ds = GQB' (133)
i 8 J ё
Комбинируя (1.32) и (1.33), получаем
Мх = Н + Мт, (134)
где момент чистого кручения Н согласно (1 6) определяется как
H=(GIk + GId)Q'. (1.35)
Таким образом, представление крутящего момента Мх в сечении стержня
в виде суммы момента чистого кручения Н и момента стесненного кручения
Мт справедливо и в случае сечения с комбинированным профилем Это
позволяет переписать формулу (1.26) для потоков в следующем виде
T = ^-QLSo2-&S0-^^ (136)
а 1г ог iy оу /ш от"
где дополнительно введено обозначение
Н =МХ -GIkQ'-Mw=GIdQ' , (1.37)
а функция Sow определена соотношением
50«=50Ш-^- (138)
Понятно, что усилие Н представляет собой ту часть момента чистого
кручения Н, которая создается только средними касательными

424 8. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть V
Полезно ввести безразмерный геометрический параметр X, положив
Х = Id , (1.39)
Id +/k
что позволяет представить момент Я в долях от момента Н
Н = ХН. (140)
Заметим, что для полностью открытого профиля параметр X равен нулю. Для
полностью замкнутого профиля, пренебрегая величиной 4 по сравнению с /д
можно положить X = 1.
• Свойство 4:
И, наконец, полезно отметить, что для изучаемых функций справедливы и
такие формулы интегрирования по профилю сечения
ф^2<& = 0, &^s = 0, &>^s = Im — . (1.41)
7 gh J gh J gh Id
Действительно, домножая равенство (1.31) на Soy, интегрируя полученное
по всему профилю и принимая во внимание уже доказанные формулы (1.28)
и (1.29), устанавливаем справедивость первого из соотношений в (1.41)
Аналогично доказывается и вторая формула в (1.41). Но если такую же
операцию проделать с функцией S^, то приходим к третьей формуле в
(1.41)
В качестве следствия из третьей формулы в (1.41) с учетом (1.38)
вытекает, что
Уgh °id n?gh
Вспоминая выражение (1.4) для геометрической характеристики Id,
устанавливаем следующее свойство функции S^
которое нам потребуется в дальнейшем.
Физические соотношения теории тонкостенных стержней
комбинированного профиля
Обратимся к вычислению энергии деформации, порождаемой касательными
напряжениями. Как это уже отмечалось, в случае комбинированного сечения
мы имеем дело с двумя типами касательных напряжений т и т*. Поэтому
суммарная энергия, запасаемая этими напряжениями, может бьпъ
представлена в виде Et + Etk, где Е, энергия средних касательных

8.1 Тонкостенные стержни комбинированного профиля 425
напряжений т, а Етк энергия касательных напряжений тк2. Определим
сначала энергию Etk. Поскольку момент чистого кручения, вызываемый
одними только касательными напряжениями тк, равен (#-#), то будем
иметь
К 2G/k Jo 2G/k
Далее
IGhjgh 2G}oj[ Q Iz oz Iy oy Im owj gh
Поэтому, суммируя эти два выражения, получим
Е, + Ел =
=j_ (\#Л [5±Л rS*+M г?*1Л+
2G Jo [ /, /* J gh I] f gh I2a f gh J
+ gK[ Iy } gh I, \ gh I, } gh \
G Jo IyI, j gh
+i ff m, ёХ±+м^ tiLA*. (L43)
GJo|_//m ,J gh IJa ! gb \
Но вторая строка в правой части выражения (1.43) исчезает в силу (1.41) и
(1.42). Окончательно энергия касательных напряжений может быть
представлена в виде
Е, + Етк =
= ff я2 , #и , Q>yy,<»- , &&^ , &м.ц„ , g>M^~U
Jo[2G/^ 2G.4 2GA 2r2G^ GA rGA rGA J '
где числовые параметры ц22, р.^,, ц2Ш, р.^, р.^, цшш образуют матрицу
коэффициентов формы сечения ц, ранее приведенную в главе 7 - см.
формулу (7.1.63).
2 Несложно понять, исходя из симметричного распределения средних напряжений т
и антисимметричного распределения напряжений тк по толщине стенок сечения h,
что возможная работа одних напряжений на перемещениях, вызванных другими
напряжениями, равна нулю.
15»

426 8. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть V
Поскольку формула для нормальных напряжений (1.19) полностью
совпадает с аналогичной формулой для сечений открытого или замкнутого
профиля, то и выражение для энергии деформации Е0) запасаемой
нормальными напряжениями не будет отличаться от аналогичных
выражений для уже рассмотренных ранее типов сечений. Теперь легко
понять, что матрица физических соотношений С'1 для сечения с комби-
нированным профилем в точности совпадает по написанию с формулами
(6 3 9) или (7 1 65)
Это означает, что и система разрешающих уравнений задачи для
полностью сдвиговой теории тонкостенных стержней замкнутого профиля
совпадает с системой уравнений (6.3 24). Аналогичное совпадение
разрешающих уравнений имеет место и для полусдвиговой теории.
8.1.3 Сечения с недепланируемым комбинированным профилем
Имеет смысл выделить в явной форме класс недепланируемых сечений
тонкостенных стержней с комбинированным профилем.
ип
II ii II
Рис. 8.4. Пример недепланируемого комбинированного профиля
По смыслу определения недепланируемостн функция депланации а для
такого профиля должна тождественно равняться нулю. Обращаясь к
формулам (1 14) и (1.15), приведем общее выражение для функции
депланации
a(s) = "^J ~T~J pds-
QJo gh Jo
Но, если a = О, то дифференцируя это тождество по s, приводим условие
недепланируемостн к виду
pgh = к-i (1.44)
Поскольку характеристическая функция к по определению равна единице
на замкнутой части профиля н нулю на открытой его части, то отсюда видно,
что комбинированный профиль недепланирует при выполнении следующих
двух условий

8 2 Многоконтурный комбинированный профиль 427
• на замкнутой части профиля pgh = Id/Q.;
• на открытой части профиля pgh = О, или, что то же самое, все стенки
открытой части профиля прямолинейны и их продолжение проходит
через главный полюс Р.
Простейший пример недепланируемого сечения комбинированного профиля
показан на рис. 8.4
8.2 Многоконтурный комбинированный профиль
Остановимся кратко на тех изменениях, которые нужно внести в расчетные
формулы в том случае, когда замкнутая часть профиля является
многоконтурной.
Для общности попрежнему будем считать, что материал отдельных
стенок тонкостенного сечения может разниться. При этом модуль упругости
E(s) и модуль сдвига G(s) в произвольной точке профиля определяются как
E(s) = Ee(s), G(s) = Gg(s). (2.1)
Из ограничений, накладываемых на тип профиля, примем следующие.
• Во-первых, будем считать, что граф профиля является связанным. Это
означает, что всегда существует хотя бы один путь перемещения вдоль
профиля, позволяющий переходить из одной произвольной точки
профиля в другую произвольную точку профиля.
• Во-вторых, наличие сосредоточенных площадей на профиле не
предусматривается.
• И, наконец, последнее ограничение: наличие депланационных связей на
профиле не предусматривается.
Все эти ограничения приняты нами исключительно в целях некоторого
упрощения последующей записи формул. При необходимости от всех этих
ограничений можно освободиться. Так, от ограничения на отсутствие
сосредоточенных площадей легко уйти, формально разместив короткий
участок профиля в точке с сосредоточенной площадью, подобрав
соответствующим образом толщину стенки h на этом участке. Снятие двух
других ограничений требует некоторой перестройки формул, которую
оставляем за читателем.
Прежде всего обратимся к тем дополнениям, которые нам потребуются
при описании топологической структуры обобщенного многоконтурного
комбинированного профиля по сравнению с аналогичным описанием,
приведенным в §7.2.1.

428 8. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть V
8.2.1 Топологическая структура комбинированного
многоконтурного профиля
Для удобства рассуждений обратимся к примеру профиля, изображенного на
рис. 8.1 в его правой части. Граф этого профиля показан на рис. 8.5.
Т_3_ Г4 Т5_ _Г6 Г7
Рис. 8.5. Ориентированный граф двухконтурного комбинированного профиля
Для рассматриваемого профиля матрица инциденций G выглядит
следующим образом
V,
v2
v3
v4
v5
v6
ri
"0
1
-1
0
0
0
r2
0
0
0
1
-1
0
r3
-1
1
0
0
0
0
r4
0
-1
1
0
0
0
r5
0
0
-1
1
0
0
Гб
0
0
0
-1
1
0
r7
0
0
0
0
1
-1
а матрица циклов F такова
г, г2 г3 г4 г5 г6 г7
_сЛ\ 0 0 1 0 0 Oil
~с2||_0 1 0 0 0 1 о]|'
Основные целочисленные параметры графа принимают следующие
значения: к =2; и = 7; t = 6.
Теперь нам потребуется чуть более подробная классификация ребер.
Попрежнему будем называть ребро опорным, если это ребро входит в состав
только одного базисного цикла, и двойным ребром, если это ребро входит
одновременно в состав двух базисных циклов. Но в случае
комбинированного профиля имеется имеются еще и ребра, которые не
входят в состав ни одного из базисных циклов. Такие ребра будем называть
свободными. Так, для графа по рис. 8.5 ребра гь г2, г4, г6 являются опорными,
тогда как ребра г3, г5, г7 это свободные ребра. Двойных ребер на этом графе
Пусть 9, признак класса ребра г, в том смысле, что:
• 9, = 1 для опорного ребра;
• 9, = -1 для двойного ребра;
• 9, = 0 для одиночного ребра.

8 2 Многоконтурный комбинированный профиль 429
8.2.2 Чистое кручение комбинированного многоконтурного
профиля
Итак, пусть к - число базисных контуров профиля, и к > 1 В этом случае в
задаче чистого кручения вместо формулы (11) будем иметь
Мх=в1ке' + ^Тр, , (2 2)
где Г, - поток вдоль /-ого базисного контура, Q, - удвоенная площадь,
охватываемая этим контуром. При этом в связи с переменными по профилю
характеристиками материала, полагается
W^*. (2-3)
Понятно, что для определения к неизвестных потоков с одним уравнением
равновесия, необходимо использовать условия совместности деформаций.
Поступая так же, как это мы делали в §7.2.1, образуем функционал
Кастильяно
K(4.-.n)=t^4-2:?J4' (24)
??2G;! gh , G j. gh
где, символ ^ означает, что суммирование ведется по всем смежным
у
граням Гу любых двух соседних базисных контуров, причем каждая
смежная грань берется в этой сумме один раз. Иными словами,
суммирование здесь берется по всем двойным ребрам.
С учетом условий равновесия в моментах (2.2) модифицированный
функционал М с лагранжевым множителем к принимает вид
М(7;,...,^) = К(7;, ..,fk)-k(Mx-GI]lQ'-YflQ.i). (25)
Условия стационарности функционала М приводят к системе линейных
алгебраических уравнений, общее решение которой может быть
представлено в виде
f = -Mx-GlkV (|-1 лх п0=±П,, (2.6)
и при этом
2>А = «.- (2 7)
Несложно понять, что на самом деле можно сразу же сформировать
систему линейных алгебраических уравнений для определения
коэффициентов о, по типу (7.2.15) Но при этом нужно учесть, что весовые

430 8. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть V
коэффициенты отдельных ребер р} и контуров р, с учетом неоднородности
профиля по материалу определяются формулами
Г й
= 1, .,»), Д=Ф^('=1, Д) (28)
Коэффициенты а3 распределения потоков 7} по неразвегвляемым участкам
профиля определяются прн чистом кручении ранее приведенной формулой
(7 2 18) Понятно так же, что в случае комбинированного профиля формулы
(7 2 19) и (7 2 20) для потоков по контурам 7} и для потока T(s) в
произвольной точке профиля должны быть записаны в слегка измененной
редакции
T,..,!LdM. (, = .,.,„), r(s,=0<s,^? оч
Само собой разумеется, что функция распределения потоков вдоль профиля
a(s) считается тождественно равной нулю на открытых участках профиля
Функция депланации для комбинированного многоконтурного
профиля
Рассмотрим произвольный базисный замкнутый контур Г0 Двигаясь вдоль
этого контура от некоторой избранной точки Ае Г, приходим к формуле
Им=„А+1?11*-е'|рж,
G{gh Г
обобщающей формулу (7.2 22) для перемещения им в произвольной точке М
этого же контура. После полного обхода контура Г, вернемся вновь в
исходную точку А В результате получим вместо формулы (7.2 23)
следующую формулу для крутки
e' = _L$Z* (2Ю)
GQ, Jtgh
Подставив сюда выражение для потока T(s) по (2 9), находим
o[w.+Kff.
В результате стандартного представления Мх = Q'GIX приходим к
следующему выражению для крутильного момента инерции
комбинированного многоконтурного профиля

8 2 Многоконтурный комбинированный профиль 431
*=/^o-gr-- <212>
Поскольку крутильный момент инерции сечения 1Х является числовой
характеристикой сечения в целом, а формула (2.12) справедлива для любого
индекса / от единицы до к, то отсюда вытекает полезное тождество
' A 8h A Sh
(2 13)
которому обязана удовлетворять функция a(s) распределения потоков вдоль
профиля Впрочем, тождество (2 13) можно доказать н напрямую3
Формулу (2 6) для потока Т, с помощью подстановки 9' = MJGIX можно
записать в более удобном виде
f,=",lt' ('=1>Д)> А. = 1~^- (2 14)
Аналогично преобразуется и формула (2 9) для потока 7} на каждом из
неразветвляемых участков профиля
Tj=aj^r </ = 1. •¦•">¦ <2Л5>
Формально это выражение справедливо для всех неразветвляемых участков
профиля от 1 до и, но фактически на открытых участках профиля
соответствующие потоки получатся равными нулю.
Возьмем фиксированную точку А профиля, которую закрепим от
продольных перемещений, устранив тем самым жесткие смещения стержня
в продольном направлении. И пусть точка М является текущей точкой
профиля Переход от точки А к точке М может быть осуществлен
несколькими путями. Выберем один из возможных путей достижения точки
М Тогда продольное перемещение этой точки можно записать в виде
1 if Tds а>1 ^
где k(s) - введенная ранее характеристическая функция профиля
Конечно, каждый из этих двух интегралов зависит от избранного пути
интегрирования, но общий результат должен быть независим от этого
выбора. В противном случае мы бы пришли к неоднозначности в
продольных перемещениях точек профиля. Обратим также внимание на то,
что на самом деле в первом интеграле характеристическую функцию
3 Призыв к самостоятельному размышлению

432 8. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть V
профиля k(s) можно и убрать, так как на одиночных ребрах графа уже сам
поток Т автоматически получится равным нулю в задаче чистого кручения.
Подставив теперь вместо 0' отношение MJGIX, а вместо потока Т его
выражение по (2.15), находим
GIx{nQ[ gh Г J
(2.16)
Теперь становится понятно, что функция депланации a(s) для
многоконтурного комбинированного профиля записывается в виде
ам=^1к?Т-|Р* <217)
Кроме того, взамен формулы (1.4) для геометрической характеристики Id в
случае неоднородности материала по сечению будем иметь
''--г^-- <218>
так что остается справедливой общая формула (1.7).
8.2.3 Общий случай работы тонкостенного стержня с
комбинированным многоконтурным профилем
По существу нам следует повторить рассуждения §7.2.2, но применительно к
комбинированному многоконтурному профилю. В связи с этим укажем здесь
только те изменения и дополнения, которые нужно внести в формулы §7.2.2.
Что касается формул (7.2.29)-(7.2.37), то они переносятся без изменений
на случай многоконтурного комбинированного профиля.
Основное изменение в формулах, по сравнению с §7.2.2, связано с
необходимостью замены в этих формулах крутящего момента Мх на
выражение
Мх - G/k6' =МХ- Gift' ^- = Мх-(1-Х)Н,
где, как обычно, обозначено Н = GIXQ' - это момент чистого кручения.
Это следует из того соображения, что исходная формула (7.2.38) в случае
комбинированного сечения согласно (1.23) должна быть представлена в виде
-GW=ft)T,(syp(s)ds.
Таким образом, уравнение равновесия в моментах вместо (7.2.46) в нашем
случае должно быть записано в виде

8 2 Многоконтурный комбинированный профш
Формула (7.2.57) переходит в формулу
T.(s) = \МХ -(1-Х)Н]Ьа -—sloz -^slov - — slom,
(2.20)
Если рассматривать, в частности, задачу чистого кручения, то следует
положить МХ = Н, Qy=Qz = Мш = 0, так что формула (2.20) дает
Г, = Шй„.
Но при чистом кручении для потоков справедлива формула (2.9) или
Т.-а,™.
'"о
Приравняв эти два выражения для потоков чистого кручения, находим
• -ПА. (221)
что совпадает с формулой (7.2.59).
Представление полного крутящего момента Мх в виде суммы момента
чистого кручения Я и момента стесненного кручения Мш позволяет
окончательно переписать формулу (2.20) для потоков в виде
"О 1z ly 1ш
где функция Siam по прежнему определяется формулой (7.2.61). Как видим,
единственное отличие формулы (2.22) от своего аналога (7.2.60) заключается
всего лишь наличием множителя X у момента чистого кручения Я.
Составляя далее выражение для суммарной энергии касательных
напряжений, получим
Et+ETk =
= rf н* , аУ-, 6Х , К*т , аа^ , ало- , оУмя»у.]
av»
2<ЗЛ
, ex
2G^
^шш
' 2r2G.4
, аа^2
GA
где числовые параметры ц22, ц^, ц2Ш, ц^,, цуш, цшш образуют матрицу
коэффициентов формы сечения ц, определяемую все той же формулой
(7.2.66).

434 8. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть V
8.3 Заключительные комментарии к теориям
тонкостенных стержней
8.3.1 Об энергетическом сопоставление бессдвиговой теории
Власова с полусдвиговой теорией тонкостенных стержней
открытого профиля
Возвратимся к тонкостенным стержням открытого профиля. В постановке
задачи стесненного кручения по теории Власова (бессдвиговая теория)
функционал Лагранжа L зависит только от функции бив принятых
обозначениях записывается в виде
L(9) = -J (EI<Jd"2+GIxQ'2)dx-\ (mxQ-mBQ')dx. (3.1)
В то же время в рамках полусдвиговой теории функционал Лагранжа L
будет уже зависеть от двух неизвестных функций и может быть представлен
в виде
L(9'P) = \ UEIJ'2 +GI*&1 +^Q'~^2]dx~ ((«^-«вР)* ¦ (3-2)
Покажем, что точные значения этих функционалов L* и L, на решениях
соответствующих задач удовлетворяют неравенству
L. < U . (3.3)
Действительно, функционал L переходит в функционал С, если на
закручиваемый стержень наложить дополнительную кинематическую связь
вида
в' - р = 0 . (3.4)
Отсюда сразу же вытекает неравенство (3.3) как частное проявление общего
свойства функционала Лагранжа, установленное в разделе 2.4 - см.
таблицу 2.2, демонстрирующую влияние дополнительных кинематических
связей на значение функционала Лагранжа.
Рассуждая аналогичным образом, несложно показать, что применение
полностью сдвиговой теории также всегда дает более низкое значение
функционала Лагранжа на решении задачи по сравнению с решением по
полусдвиговой теории.

* 8.3 Заключительные комментарии к теориям тонкостенных стержней 435
Пример
Рассмотрим для примера простую задачу о кручении консольного стержня
длины L, загруженного на свободном конце крутящим моментом Мх. В
рамках теории Власова дифференциальное уравнение для угла поворота Э
записывается так
EIaQ'v -GIxQ" = 0 (3 5)
со следующими краевыми условиями
6(0) = 0, 6'(0) = 0,
B(L) = -EImQ"(L) = 0, MX(L) = GIXQ'(L) - EIaQ'"{L) = Mx (3 6)
Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что решение краевой
задачи (3.5), (3.6) имеет следующий вид
* = i /—=-. (3.8)
Из (3.7) для угла закручивания конца консоли BL = B(L) по Власову
получаем
Постановка этой же задачи на основе полусдвиговой теории приводит к
системе дифференциальных уравнений - см. формулы (6.4.11)
-(9'-р) = 0, (3.10)
с краевыми условиями
6(0) = 0, (3(0) = 0, B(L) = -EIap(L) = 0,
MX(L) = GIXQ'(L) + Q.(B'(L)~РФ) = -^T(V6'-P) = Mx,
где, согласно (6.4.13) и (6.3.6),
Приведем решение краевой задачи (3.10), (3.11). Прежде всего линейной
комбинацией двух уравнений (3.10) запишем эту систему в более удобном
для анализа виде, а именно,

436 8. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть V
VEIJF-GIJ'-O, 0' = p-_JL(v-i)pv (3.12)
Теперь несложно понять, что общее решение этой системы уравнений имеет
вид
p = C,+C2ch— + C3sh—, e = Qx + C2— sh— + C3— ch— + C4, (3.13)
Определив константы интегрирования Ci,...,C4 из краевых условий (3.11),
представим решение рассматриваемой краевой задачи в виде
e=^L_Ash^+AthJch™-il|. (3.i5)
GIX[ \|/и I \|/и lv L JJ
Поэтому для полусдвиговой теории угол закручивания конца консоли
оказывается равным
L GIX { цт) '
Если обозначить отношение угла поворота по (3.9) к углу поворота по
(3.16) через ?, то получим
?—=th-==
и поскольку \|/ > 1, то отсюда следует, ? < 1. Это и понятно, так как
жесткость стержня по бессдвиговой теории выше жесткости того же
стержня, подсчитанной по полусдвиговой теории.
Надо сказать, что в реальных расчетных задачах безразмерный параметр
\|/ оказывается близким к единице. Поэтому уточнения, доставляемые
полусдвиговой теорией по сравнению с бессдвиговой теорией Власова мало
сказываются на окончательных результатах. Повидимому содержательное
значение полусдвиговой теории применительно к стержням открытого
профиля заключено не столько в уточнениях результатов статических
расчетов, сколько в возможности построения последовательно выдержанной
теории тонкостенных стержней комбинированного профиля. Полный учет
влияния сдвигов дает еще меньшую дополнительную поправку к
результатам расчетов, которой тем более имеет смысл пренебрегать.

8.3 Заключительные комментарии к теориям тонкостенных стержней 437
Именно эти соображения позволяют нам не останавливаться на анализе
способов интегрирования общей системы уравнений типа (6.3.24), хотя это и
можно сделать. На практике полусдвиговая теория дает вполне
удовлетворительные по точности результаты и может быть рекомендована
как разумный инженерный подход к расчету тонкостенных стержней.
8.3.2 Об уравнениях Лужина для тонкостенных стержней
комбинированного профиля
Как это видно из всего предшествующего изложения, традиционное
разделение теорий тонкостенных стержней по типу профиля (открытый
профиль, закрытый профиль и комбинированный профиль), принимаемое
практически во всех руководствах по тонкостенным стержням (в учебной,
научной и справочной литературе) на самом деле не принципиально.
Вид основных функционалов в вариационной постановке задачи, а отсюда
и вид разрешающих дифференциальных уравнений задачи и постановка
соответствующих краевых условий, зависят не от типа профиля, а от учета
(возможно, способа учета) или неучета тех или иных компонент
напряженного состояния в выражении для энергии деформации системы4.
Как уже отмечалось в начале этой главы, все трудности объединения
теорий на самом деле лежали в недостаточном осознании именно этого
обстоятельства. Отсюда и вытекали неоднократно предпринимаемые
попытки объединить бессдвиговую теорию Власова с полусдвиговой
теорией Уманского, что рассматривалось как чуть ли не единственно
правильный путь построения прикладной теории тонкостенных стержней
комбинированного профиля.
Мы уже отмечали, что в рамках такого подхода О.В. Лужиным [4, 5] была
построена теория, которая по замыслу ее автора потребовала обязательного
учета касательных напряжений тк на замкнутой части контура. В наших
обозначениях и нашей терминологии способ рассуждений Лужина
заключался в следующем.
Прежде всего молчаливо предполагается, что задача кручения и задача
изгиба тонкостенного стержня разделяются5. Опираясь на теорию
стесненного кручения тонкостенных стержней с замкнутым профилем,
разработанную А.А. Уманским, Лужин рассматривает отдельно задачу
стесненного кручения тонкостенного стержня и записывает общее
соотношение, связывающее крутящий момент Мх, угол поворота сечения 0
вокруг продольной оси Хя меру деформации (3 в виде
4 В иной интерпретации, восходящей к Джанелидзе и Пановко [13], прикладные
теории отдельных классов общих задач теории упругости различаются по способу
разделения компонент напряженного состояния этих классов задач на основные и
второстепенные компоненты.
5 Как мы уже знаем, это предположение эквивалентно отказу от полностью
сдвиговой теории

438 8. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть V
$ = А& + ВМх, (3.18)
где А и В - некоторые константы, зависящие от материала и геометрии
сечения стержня.
В теории тонкостенных стержней Власова это соотношение выполняется,
если положить
А = \, 6 = 0. (3.19)
В то же время для применимости соотношения (3.18) к теории Уманского
требуется принять
А = -, В = --р-, (3.20)
где, напоминаем, ц - коэффициент депланации, определяемый для
замкнутого сечения на основании формулы (7.1.79) как \i=l-Id/Ip, Ip -
направленный момент инерции сечения, a Id определяется формулой (1.4)6.
Действительно, оставаясь в рамках полусдвиговой теории Уманского,
следует воспользоваться формулой (7.1.80), положив в ней г|р-0г=Ои
?р + Qy = 0, что дает
Мх = G/p(6' - цр),
а это эквивалентно (3 18) при условиях (3 20).
Далее, Лужин формально распространяет то же соотношение (3.18) на
случай комбинированного профиля, полагая при этом
B = |i+iUIe'—L_M
Если заменить здесь коэффициент депланации ц его выражением через Id и
/р, то это соотношение преобразуется к виду
h+h 1
р = -е—-9' Мх. (3.21)
lp-Id G(Ip-Id) х У
Соотношение (3.21) получено Лужиным не на основании каких либо
физических соображений, а по существу таким формальным подбором
коэффициентов А и В в линейной зависимости (3.18), чтобы эта зависимость
в предельных случаях чисто открытого и чисто замкнутого профиля
приводила соответственно к (3.19) и (3 20). Это означает, что соотношение
6 Заметим, что в главе 7 геометрическую характеристику сечения Id мы обозначали
как 1Х Это оправдано тем соображением, что в общем случае Ix = Id + h, а для чисто
замкнутого профиля принимается 4 = 0

8.3 Заключительные комментарии к теориям тонкостенных стержней 439
(3.21) Лужиным постулируется7. Таким образом, принятие соотношения
(3.21) является дополнительной гипотезой по отношению к
сформулированным ранее гипотезам.
Кстати говоря, предельный переход от (3.21) к случаю чисто замкнутого
профиля проходит, если принять там 1к = О, что выполняется только тогда,
когда касательные напряжения т^ на замкнутой части профиля полагаются
нулевыми. Так что на самом деле, учет касательных напряжений тк на
замкнутой части профиля не является принципиальным для тех
окончательных уравнений, которые построены самим Лужиным Но менее
обоснованно обстоит дело с предельным переходом к случаю чисто
открытого профиля в бессдвиговом варианте. Понятно, что в предельном
случае открытого профиля Id = О, что приводит соотношение Лужина (3.21)
к виду
Но (3.22) для открытого профиля это дополнительное соотношение для
открытого профиля, не вытекающее из каких-либо теоретических
построений. Вследствие этого Лужин вынужден дополнительно принять
тенденцию 1р —> сю при переходе к чисто открытому профилю по теории
Власова, что и дает возможность получить в пределе соотношения (3.19).
Понятно, что принятие такой тенденции является явной натяжкой и на
самом деле не выполняется. Хотя, справедливости ради, стоит отметить, что
оценка по порядку величин /р»4 для чисто открытого профиля может
быть принята во внимание
Если обратиться к полусдвиговой теории тонкостенных стержней,
построенной на энергетической основе (независимо от типа профиля), то
будут выполнены соотношения
H = G(L+Id)Q', М =-^V-p), М=Н + Мт,
Нгого
которые также сводятся к (3.18), но с отличными от принятых в (3.21)
коэффициентами. А именно, имеем
P = (1 + JS^™)e'~C^M*- (3-23)
где Ir = fGA - полярный момент инерции сечения, а безразмерный
коэффициент формы сечения цшш определен соотношениями
7 О том, что соотношение (3.21) для комбинированного профиля должно
рассматриваться как дополнительный постулат, в работе [4] говорит и сам
О.В Лужин

440 8. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть V
¦*--тИ^*' ^=^-^> ^.^--нр-р*- (3-24)
Как и следовало ожидать, соотношение (3.23) срабатывает и в предельных
случаях чисто замкнутого профиля и чисто открытого профиля. В первом
случае характеристическая функция профиля к тождественно равна единице
на всем профиле, а во втором случае - нулю. Конечно, для полностью
открытого профиля это соотношение выполняется не для бессдвиговой
теории Власова, а для полусдвиговой теории стержней открытого профиля,
при этом вместо (3.22) получаем
p = [l + 4f— *V l-r\—dsMx. (3.25)
v У II] h ) Gil] h
Становится понятно, что выполнение соотношения Лужина (3.22)
эквивалентно требованию
JpJ-3ss-& = J*. (3.26)
Если бы (3.26) было справедливо, то это бы и означало, что уравнения
Лужина в предельном случае открытого профиля приводят к полусдвиговой
теории для этого типа профиля. Однако непосредственными числовыми
расчетами на примерах можно убедиться в том, что требование (3.26) на
самом деле не выполняется.
Сказанного достаточно для отказа от теории Лужина, как не имеющей
безукоризненного логического обоснования. Это тем более имеет смысл
сделать, поскольку приведенный выше расчетный аппарат сдвиговой и
полусдвиговой теорий тонкостенных стержней комбинированного профиля
обоснован ровно в той же мере, в какой обоснован аналогичный аппарат для
стержней замкнутого и открытого профиля. Никаких новых гипотез,
дополнительных к основополагающим гипотезам теории тонкостенных
стержней, при построении этого аппарата не вводится.
То обстоятельство, что попытки объединения бессдвиговой теории
Власова с полусдвиговой теорией Уманского лишены логического смысла и
заранее обречены, можно проиллюстрировать ссылкой на аналогию с
попыткой объединения теории Бернулли-Эйлера с теорией Тимошенко для
одной и той же изгибаемой балки. Действительно, представим себе, что для
части сечения изгибаемой балки (аналог открытой части комбинированного
профиля) используется теория Бернулли-Эйлера (бессдвиговая теория), а
для остальной части сечения (аналог замкнутой части комбинированного
профиля) используется теория Тимошенко, учитывающая энергетический
вклад касательных напряжений при изгибе. Понятно, что подобное
сращивание двух теорий может быть хоть как-то оправдано разве что при
некоторых особых обстоятельствах (например, часть сечения выполнена из
материала, слабо сопротивляющегося сдвигу). В обычной же ситуации смесь

8 3 Заключительные комментарии к теориям тонкостенных стержней 441
из двух теорий будет представлять собой искусственную теоретическую
конструкцию. Но это как раз именно тот ход рассуждений, которому по
сути дела следуют все опубликованные и известные нам работы, с
попытками конструирования объединенной теории тонкостенных стержней
открыто-замкнутого профиля.
8.3.3 Классификационные признаки разделения теорий
тонкостенных стержней
Уже отмечалось, что традиционным для всей теории тонкостенных стержней
оказалось разделение ветвей этой теории по типу профиля. Такая
классификация была порождена следующими причинами:
• исторически теории стержней открытого профиля (Власов) и стержней
замкнутого профиля (Уманский) строились независимо;
• стержни открытого профиля отождествлялись с бессдвиговой теорией, а
стержни замкнутого профиля - с полусдвиговой
Но, как об этом уже было сказано, при построении математической
постановки задачи на энергетической (вариационной) основе, вид основных
разрешающих уравнений задачи определяются не типом профиля, а тем
местом, в котором проводится расчленение набора компонент напряженного
состояния стержня на основные и второстепенные компоненты.
В таблице 8.1 приведена объединенная классификация тонкостенных
стержней, учитывающая оба из названных выше классификационных
признака.
Таблица 8.1
открытый
профиль
замкнутый
профиль
комбинированный
профиль
бессдвиговаи
теория
H.'iacoii И.Ч.
полусдвиговая
теория
Джанелидзе Г.Ю.,
11ановко Я.Г.
Уманский А.А.
Лужин О.В.,
Бейлин Е.А.
сдвиговая
теория
Воробьев Л.Н.
Как это видно из приведенной таблицы, бессдвиговая теория строится
только для открытого профиля, что и понятно. С другой стороны, полное
пренебрежение сдвиговыми деформациями для стержней, содержащих в
составе своего сечения замкнутые контуры, недопустимо.
В случае полусдвиговой теории для замкнутого и комбинированного
профилей окончательные разрешающие уравнения различаются в

442 8. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ - часть V
зависимости от способа установления физических соотношений8. Понятно,
что мы солидаризируемся с точкой зрения, высказанной Джанелидзе и
Пановко [13], согласно которой энергетическая (вариационная) основа
конструирования физических соотношений теории является наиболее
обоснованной и логически убедительной.
Здесь уместно вспомнить и о более общем варианте теории тонкостенных
стержней, предложенном Р.А. Ададуровым [14, 15], который в своих
построениях исходил из минимального набора гипотез - оказалось
достаточным ограничиться одной только гипотезой неизменяемости
контура. Получаемая в этом случае разрешающая система уравнений задачи
оказывается достаточно сложной системой интегро-дифференциальных
уравнений. Именно поэтому теорию Ададурова обычно исключают из
списка прикладных теорий, рассматривая ее скорее как теоретический
образец для сопоставления с прикладными теориями и оценки точности
результатов, доставляемых прикладными теориями. И именно поэтому, эта
теория не рассматривается здесь нами и не включена в какую-либо клетку
таблицы 8.1. Ознакомиться с теорией Ададурова можно не только по
оригинальным работам самого Ададурова, но также и по книге [13].
8.3.4 Последние комментарии
Построение любой прикладной (да и не только прикладной) теории можно
считать завершенным, если эта теория позволяет полностью решать все
задачи из некоторого, достаточно широкого класса задач в четко очерченной
постановке. Но ценность всякой теории заключается не только в ее
завершенности в указанном выше смысле, но и в тех перспективных
направлениях научной работы, которые открываются для дальнейших
исследований, ожидая своих авторов.
Все, что было сказано здесь в главах 6-8, относится исключительно к
задачам статики тонкостенных стержней в линейной постановке. Имея в
виду в первую очередь интересы научной молодежи, считаем полезным
привести здесь краткий перечень перспективных (по мнению автора)
направлений работ по тонкостенным стержням. Итак:
• динамика тонкостенных стержней;
• устойчивость тонкостенных стержней;
• деформационный расчет тонкостенных стержней;
• криволинейные тонкостенные стержни (статика, динамика, устойчивость)
• тонкостенные стержни с переменными по длине геометрическими
параметрами;
8 Упомянутое различие касается не типов дифференциальных уравнений, а только
лишь значений коэффициентов при функциях, входящих в дифференциальные
уравнения задачи

Литература 443
• проблемы численной реализации, встраивание тонкостенного стержня как
одного из базовых элементов расчетной схемы конструкции в пакеты
прикладных программ систем автоматизированного проектирования.
Конечно, все эти проблемы во многом уже решались, будучи предметом
множества публикаций. Призывая к очередному витку исследований в
совершенствовании расчетного аппарата для тонкостенных стержней, мы
имеем в виду распространение использованного здесь общего энерге-
тического подхода на каждый из названных выше разделов теории
тонкостенных стержней
Возможно, что когда-нибудь будет написана книга, в которой решение
перечисленных выше расчетных инженерных проблем на путях применения
энергетического подхода найдет свое наиболее полное отражение.
В заключение этого раздела обратим снимание читателя на недавно
вышедшее издание учебного пособия Е.А. Бейлина [16], в котором на вполне
элементарном уровне изложены основные положения теории кручения
тонкостенных стержней. Мы рекомендуем это пособие для первоначального
ознакомления с теорией тонкостенных стержней, отметив, что изложение
материала в этом пособии основано на традиционном подходе без
привлечения вариационных соображений.
Литература
1 Элиашвили ДГ О технической теории стесненного кручения призматических
тонкостенных стержней Известия АН СССР, Инженерный журнал, МТТ, 1967,
№5,-С 149-154
2 Элиашвили Д Г О единой прикладной теории прямых тонкостенных стержней —
ТрудыЛенингр Ин-тинж ж-д Транспорта Выл 267,1967 -С 3-14
3 Кругленко ИВ Изгиб и стесненное кручение тонкостенных криволинейных
стержней произвольного поперечного сечения. Дисс на соискание уч степени
кандидата техн наук Л , ЛИСИ, 1988 - 148 с
4 Лужин О В Об одной аналогии в теориях стесненного кручения тонкостенных
стержней -Строительная механика и расчет сооружений, 1960, №4 -С 13-14
5 Лужин О В Кручение тонкостенных стержней комбинированного поперечного
сечения - Проблемы расчета пространственных конструкций Моек Инж-
строит Ин-т -М, 1980 -С 79-89
6 Hancook G J, Harrison Н В A general method of analysis of stresses m thin-walled
sections with open and closed parts - Civ Eng Trans fiist. Austral 1972 Vol 14
№2 P 181-188
7 Guo Zhong-heng A united theory of thmwalled elastic structures - J Struct Mech
1981 Vol 9 №2 P 179-197
8 Usuki Tsueo Ein Beitrang zur Theone dunnwandigen pnsmatischer Stabe nut offen-
geschlossenem Profil aus vier Scheiben - Bautechnik, 1983, Vol 60, №1 -S 14-23
9 Бейлин E А Кручение тонкостенных стержней замкнутого профиля при наличии
продольных сдвиговых швов - Труды XIV Всесоюзн конф по теории пластин
и оболочек -Изд-во Тбилисского ун-та, Тбилиси, 1987 Т1 С 182-187

444 8. ОТДЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ-часть V
10. Бейлин Е.А., Джонсон Р.Г. Кручение тонкостенных стержней с частично
замкнутым контуром сечения. - Строительная механика и расчет сооружений,
1991, №3.-С. 7-15
11. Бейлин Е.А. Вариант единой теории кручения тонкостенных стержней открытого,
замкнутого и частично замкнутого профилей. - Исследования по механике
строительных конструкций и материалов. Сб. трудов ЛИСИ. Л.: 1991. С. 57-74
12. Кан С.Н., Пановко Я.Г. Элементы строительной механики тонкостенных
конструкций. -М.: Оборонгиз, 1952,163 с.
13. Джанелидзе Г.Ю., Пановко Я.Г. Статика упругих тонкостенных стержней. -
М.-Л.: Гостехиздат, 1948. - 208 с.
14. Ададуров Р.А. Напряжения и деформации в цилиндрической оболочке с
жесткими поперечными связями. ДАН, 62, №2, 1948. - С. 183-186
15. Ададуров Р.А. Определение касательных напряжений в тонкостенных
конструкциях вблизи заделки. Труды ЦАГИ, №614, 1947. - С. 1-13
16. Бейлин Е.А. Элементы теории кручения тонкостенных стержней произвольного
профиля. - СПб.: Изд-во СПбГАСУ, 2003, 113 с.

9. МЕТОД РИТЦА И ЕГО МОДИФИКАЦИИ
физические законы природы в высшей степени
удачно формулируются в терминах принципа мини-
мальности, обеспечивающего естественный подход к
более или менее полному решению частных проблем
Рихард Курант, Герберт Роббинс
9.1 Основная теорема метода Ритца
Рассмотрим квадратичный функционал J(F), заданный на некотором
линеале Ж
J(F) = E(F) - l~l(F), FsM. (1.1)
Здесь E(F) однородный квадратичный функционал, по своему физическому
смыслу представляющий собой энергию деформации системы,
подсчитанную на элементах поля НДС F, a \1(F) это линейный функционал.
В качестве линеала Л может выступать, например, одно из
энергетических пространств:
J7 - лагранжево энергетическое пространство;
Ж - кастильяново энергетическое пространство;
& - параметризованное энергетическое пространство.
Поскольку наши последующие рассуждения относятся в равной мере ко
всем этим пространствам и заданным на этих пространствах
соответствующим функционалам, общий символ Л используется для
обозначения энергетического пространства, на котором ищется точка
минимума функционала J(F).
Как обычно, будем обозначать угловыми скобками энергетическое
скалярное произведение <F\, F2>, так что
E(F) = <F,F>=\\F\\2, (1.2)
где символом ||F|| обозначается норма поля НДС F по энергетической
метрике в пространстве JI.
Пусть в точке F* исследуемый нами функционал принимает минимальное
значение

446 9. МЕТОД РИТЦА И ЕГО МОДИФИКАЦИИ
J(F.)<J(F)- (1.3)
Сущность метода Ритца при поиске точки минимума функционала J(F)
заключается в следующем. Вместо того, чтобы разыскивать решение
вариационной задачи (1.3) на всем пространстве Ж, рассмотрим
последовательность его конечномерных подпространств, вложенных одно в
другое, при увеличении индекса п, при этом сам этот индекс имеет смысл
размерности соответствующего подпространства1
JlCj2C..Cj,C...Ci (1.4)
На каждом из этих подпространств может быть поставлена соответствующая
вариационная задача так, что
Fn, =argminJ(F) , (1.5)
что эквивалентно записи
J(F„.) < J(F„) \/F„eM„. (1.6)
Так вот, n-мерным ритцевым решением исходной вариационной задачи
(1.3) называется решение конечномерной вариационной задачи (1.5) или, что
то же самое, (1.6).
Технически процедура поиска ритцева решения чрезвычайно проста и
сводится к следующему алгоритму. Прежде всего, необходимо построить
подпространство М„<^Л. Это можно сделать, если выбрать в Ж некоторую
последовательность линейно независимых элементов ФЬФ2,..., Ф„,...
Линейная оболочка, натянутая на первые п членов этой последовательности,
как раз и образует искомое подпространство Ж„. Иначе говоря,
подпространство Жп состоит из всевозможных элементов F„ вида
F„ = aiOi + a202+...+ a„0„ (1.7)
с произвольным набором скалярных коэффициентов aj ,a2, ... a„. Говорят,
что набор из п линейно независимых элементов ФЬФ2,...,Ф„ образует базис
конечномерного подпространства Ж„, а сами эти элементы часто называют
базисными или координатными. При фиксированном базисе функционал
J(F„) превращается в квадратичную форму от параметров aj ,a2, ... a„,
1 На самом деле в некоторых вариантах метода Ритца (например, в методе конечных
элементов) условие вложенности последовательности подпространств по (14)
может и не соблюдаться. Так происходит, когда в последовательности сеток
конечных элементов соблюдается иное, чуть более слабое условие h —> 0, где h так
называемый диаметр сетки, то есть минимальный диаметр сферы, в которую
геометрически вкладываются любой из конечных элементов Можно считать, что
диаметр сетки h при этом характеризует размерность п аппроксимирующего
пространства Ji„, точнее h = С/и. Здесь С - некоторая константа, зависящая от
характера сетки

9.1 Основная теорема м
J(Fn) = J(ai,a2, ... a„)= <Ха-ф,>Ёа;ф; >-п(Ёа.ф.) =
= ??а,а, <Ф„Ф, >-Еа:П(ф.)-
В матричной форме это может быть записано так
_«ТВ«_«ТР
J(a) =
где обозначено
'П(Ф,)'
П(ФД
(1.9)
(1.10)
Матрица R представляет собой матрицу Грамма [1], построенную для
линейно независимых элементов ФЬФ2,..., Ф„. Из курса линейной алгебры
известно, что матрица Грамма обладает замечательными свойствами, а
именно: эта матрица невырождена и, более того, положительно определена.
Задача минимизации квадратичной формы J(a) по (1.9) сводится к решению
системы линейных алгебраических уравнений
Ra = P,
(1.11)
В результате вычисления компонент вектора а находится приближенное
(ритцево) решение F„* исходной вариационной задачи
Fn* ¦= 0С1Ф1 + а2Ф2+• • •+ а„Ф„ .
Принципиальный вопрос, возникающий в связи с построением ритцева
решения, заключается в следующем: в каком отношении находятся между
собой точное решение исходной вариационной задачи F* и его ритцево
приближение F„* ?
Ответ на этот вопрос содержится в основной теореме метода Ритца со
следующей формулировкой
Ритцево решение F„* представляет собой проекцию
решения исходной задачи F* на конечномерное подпространство Ж„.
Само собой разумеется, что, говоря о проекции, мы здесь имеем в виду
энергетическую метрику, то есть метрику, порождаемую энергетическим
скалярным произведением. Основная теорема метода Ритца по существу
утверждает, что
F.-F„.±F„.
о же самое,
<F.-F„.,F„*>
(1.13)

448 9. МЕТОД РИТЦА И ЕГО МОДИФИКАЦИИ
Наглядный геометрический образ этого утверждения представлен на
рис. 9.1, где трехмерное эвклидово пространство условно изображает все
энергетическое пространство Л, а затемненная плоскость его конечномерное
подпространство Л„.
Рис. 9.1. Геометрическая интерпретация основной теоремы метода Ритца2
Прежде, чем переходить к доказательству этой важной теоремы,
сформулируем очевидное следствие ее, известное как обобщенная теорема
Пифагора
||F.-Fn.||2 = ||F.||2-||Fn.||2. (1.14)
Поскольку левая часть здесь неотрицательна, то отсюда следует
гарантированная оценка: энергетическая норма ритцева решения не больше
энергетической нормы точного решения задачи
||F„.||< ||F.||. (1.15)
Доказательство теоремы.
Поскольку F„* минимизирует J(F) на Л„, то для любого числа л и любого
элемента ср € Jin выполняется неравенство
1 Конечно же, картинки, подобные изображению на рис. 9.1, сами по себе ничего
доказать не могут Их смысловая роль и познавательное значение иные. Вот как об
этом говорят такие знатоки педагогического процесса в математике как Р Курант
и Г Роббинс [2, стр.261]
"Преимущество такого геометрического способа описания математических
фактов заключается в том, что он подчеркивает некоторые обстоятельства
алгебраического характера, которые не зависят от числа измерений п и вместе с
тем в случае п < 3 могут быть наглядно интерпретированы"

9.1 Основная теорема метода Ритца 449
J(F„.)2 J(F„. + W).
Но правая часть этого неравенства представляет собой следующее
выражение
<F„. + г|ф, F„. + г|ф> - l~l(F„. + г|<р) =
= J(F„,) + i![2<F„., ф> - П(ф)] + т!2<ф, ф> .
Поэтому
r\[2<F„*, ф> - П(ф)] + г|2<ф, ф> > 0.
Поскольку это неравенство должно выполняться для любого числа г|
произвольного знака, то отсюда следует, что выражение, стоящее в
квадратных скобках, должно равняться нулю
2<^„.,ф>-П(ф) = 0. (1.16)
Понятно, что это равенство должно выполняться для любого числа и, в том
числе и на всем пространстве Ж, то есть
2<F., ф> - П(ф) = 0 VyeJl. (1.17)
Вычитая отсюда (1.16), получаем
<F.-F„*,q» = 0. (1.18)
Так как (1.18) справедливо для любого элемента ф е Ж„, то можно положить
здесь ф = F„*, что и дает окончательно доказываемое утверждение (1.13).
Этой теореме можно дать и иную, эквивалентную, формулировку. А
именно, в виде утверждения, что Ритцево решение F„. является наиболее
близким к точному решению задачи среди всевозможных полей НДС,
принадлежащих избранному конечномерному пространству Ж„.
Действительно, для этого нужно показать, что F„. является решением
следующей задачи на минимум
<F,-F,,F,-F.> = min<F.-F,F,-F> . (1.19)
Имеем
<F.-F„*-F„,F.-F^-F^> =
=<F. - F„*, F. - F„,> - 2<F. - F„*, F„> + <F„, F„> .
Но в силу (1.18) 2<F. - F„., F„> = 0, поэтому
<F.-F„.,F.-F„,> ? <F.-F„. -F„,F,-F„.-F„>,
причем равенство здесь возможно только тогда, когда <F„, F„> = 0, то есть
при F„ = 0. Следовательно, F„. есть единственный элемент из Л„,
минимизирующий функционал<F.-F„,F*-F^> .

450 9. МЕТОД РИТЦА И ЕГО МОДИФИКАЦИИ
Следуя С.Г. Михлину [3], последовательность ритцевых элементов F\*,
F2*,... будем называть минимизирующей последовательностью.
Как справедливо отмечают Стренг и Фикс [4], для математика, под
которым понимается специалист по функциональному анализу,
доказательство на самом деле только начинается, поскольку само
существование решения F* математически нами не обосновано. Такое
обоснование опирается на более глубокие математические идеи, связанные с
понятием полноты энергетического пространства Ж, что выходит за рамки
требований, предъявляемых к уровню математической подготовки
инженера-механика. Заинтересованный читатель может найти матема-
тически выдержанные формулировки, обратившись к специальной
литературе, в которой обоснование метода Ритца изложено со всей
требуемой в математической литературе строгостью [3], [4], [5]. Но для
уровня рассуждений инженера, уверенного в существовании решения,
доказательство завершено3. Что же касается единственности решения, то
этот вопрос решается положительно известной теоремой Кирхгоффа, о
которой шла речь в §2.2.2.
Итак, какие же условия гарантируют сходимость метода Ритца, то есть
выполнение предельного соотношения для минимизирующей
последовательности
3 Обсуждение понятия "существования" и четкое различение роли этого понятия в
чистой и прикладной математике приведено в интересной и поучительной книге
И.И. Блехмана, А.Д. Мышкиса и Я Г. Пановко [6]. В частности, [6, стр 33]
" в целом можно сказать, что неконструктивное доказательство
существования не обладает большой ценностью для прикладника, а отсутствие
такого доказательства неспособно его обезоружить в поисках фактического
решения"
Примерно такой же точки зрения применительно к теоремам существования в
задачах теории упругости придерживается и ВВ. Новожилов Здесь уместна
довольно длинная цитата из [7, стр. 214-215].
"Однако доказательство существования решения задачи теории упругости,
если рассматривать данный вопрос с физической точки зрения, не
представляется актуальным, ибо достаточно очевидно, что любое сплошное
тело, определенным образом нагруженное и закрепленное, должно иметь хотя бы
одно положение равновесия (при условии, что возникающие в нем деформации не
нарушают его сплошности) Поэтому сомнения в существовании решения
уравнений теории упругости по существу означает сомнение в смысле
соответствия их рассматриваемой физической задаче Однако те рассуждения, с
помощью которых в главах I, II, III задача теории упругости была математически
сформулирована, опираются на немногие вполне достоверные физические
принципы, ввиду чего полученные уравнения полностью соответствуют
рассматриваемой проблеме и, следовательно, не могут приводить к абсурдным
результатам Они обязаны давать решение любой конкретной задачи, имеющей
реальный смысл и правильно поставленной (в смысле соответствия ее постановки
тем исходным допущениям, которые лежат в основе рассматриваемой
дисциплины)"

9 1 Основная теорема метода Ритца 451
\\F. - F„.|| -К) при п -> оо . (1.20)
Таких требований имеется три:
• Линейная независимость- координатные элементы ФЬФ2,...,Ф„ должны
быть линейно независимы при любом и;
• Принадлежность энергетическому пространству - все координатные
элементы ФЬФ2,..., Ф„ должны быть взяты из пространства JI;
• Полнота — система координатных элементов ФьФг,..., Ф„,- ¦ ¦ должна быть
полной в пространстве JI.
Прокомментируем кратко эти требования.
Линейная независимость
Требование линейной независимости очевидно. Если среди набора
координатных элементов ФьФ2,...,Ф„ найдется такой элемент (скажем, Ф„),
который может быть представлен в виде линейной комбинации остальных
п - 1 элементов, то система линейных алгебраических уравнений Ритца
(1.11) оказывается неразрешимой, поскольку при этом матрица Грамма R по
(1.10) становится вырожденной. Это может быть легко показано на
алгебраическом уровне [1].
Принадлежность энергетическому пространству
Принадлежность координатных элементов энергетическому пространству
входит в набор достаточных требований для сходимости метода Ритца.
Длительное время это требование считалось одним из незыблемых условий,
в совокупности гарантирующих сходимость метода Ритца. Однако развитие
практики и теории вычислительных методов4, и прежде всего метода
конечных элементов, потребовало переосмысления этого требования.
Вопрос может быть поставлен так: что будет, если мы формально откажемся
от принадлежности элементов ФЬФ2,...,Ф„ энергетическому пространству Л,
иначе говоря, что будет, если по отдельности каждое из конечномерных
пространств М„ не является подпространством исходного энергетического
пространства Ж! Можно ли вообще в этом случае говорить о сходимости
ритцевых решений и если да, то в каком смысле следует понимать эту
сходимость?
Ответы на эти вопросы составляют содержание математических
исследований, связанных с обоснованием применения так называемых
несовместных конечных элементов [2]. Как оказалось, в ряде случаев
требование принадлежности координатных элементов энергетическому
пространству можно ослабить. Выяснилось, что существуют процессы
построения таких минимизирующих последовательностей, когда каждый
элемент этой последовательности не принадлежит исходному энерге-
4 Именно в таком порядке. Практика вычислений в этом смысле обогнала по времени
теорию, поставив перед теорией вопрос обоснованности применения несовместных
конечных элементов

452 9. МЕТОД РИТЦА И ЕГО МОДИФИКАЦИИ
тическому пространству Ж, а является элементом более широкого
пространства Л {ЖеЛ), и в то же время предельный элемент этой
последовательности входит в Ji. Простейшая геометрическая аналогия
заключается в том, что к любой точке плоскости (читай, двумерного
энергетического пространства) ничто не мешает приблизиться сколь угодно
точно из более широкого трехмерного пространства. При этом может
оказаться, что любой элемент такого приближения в интересующей нас
плоскости и не лежит.
Вместе с тем следует обратить внимание на то обстоятельство, что
основная теорема метода Ритца справедлива только для таких
аппроксимирующих элементов, которые принадлежат энергетическому
пространству. Именно тогда гарантируется неравенство (1.15). В истории
строительной механики известны случаи, когда пренебрежение этим
обстоятельством (или неаккуратная проверка принадлежности коор-
динатных элементов энергетическому пространству) приводило к
ошибочным выводам. В качестве примера сошлемся на известную ошибку
Бернштейна, подробно разобранную в книге Пановко и Губановой [8]. Имея
в виду поучительность этого примера, приведем здесь его краткое описание5.
Рассматривается изгиб шарнирно опертой балки под действием
сосредоточенной силыР, приложенной в середине пролета. Если считать,
что изгибная жесткость балки изменяется по достаточно сложному закону,
то для определения прогиба балки А в середине пролета придется
воспользоваться каким-либо численным методом. Воспользовавшись
методом Ритца, определим функцию прогибов балки w(x). Функционал
Лагранжа для этой задачи имеет вид
l=-JEIw"2dx-Pw(l/2),
причем на точном решении задачи А = и>(//2).
Зададимся единственной координатной функцией Ф^х), такой, что
Ф](//2) = 1. Тогда, положив и>(х) = аФ](х), определим искомый коэффициент
а минимизацией Лагранжиана. В результате несложных преобразований
получим
Р
01. = — .
j" EIw"2dx
Легко понять, что в данном случае неравенство (1.15) на механическом
уровне означает гарантированность оценки
5 На самом деле С.А Бернштейн [9] рассматривал не статическую задачу, а задачу
об определении частот свободных колебаний системы. Эта же задача разобрана и в
упомянутой книге Я.Г. Пановко и И.И. Губановой. Но это не принципиально, так
как существо допущенной Бернштейном ошибки в равной степени относится и к
задаче статики.

9.1 Основная теорема метода Ритца 453
а<Д.
Однако, если взять в качестве функции Ф\(х) "функцию-крышку",
изображенную на рис. 9.2, то знаменатель в формуле для а окажется
равным нулю, что формально нарушает неравенство а < А .
Рис. 9.2. Аппроксимирующая функция
На интуитивном уровне Бернштейн заметил причину такого противоречия,
объяснив ее так: «Хотя в разобранном примере порок очевиден (нарушение
плавности упругой линии), но достаточно было бы предположить конечную
длину закругления, чтобы восстановить эту плавность, не изменяя
результата вычислений»
Вот именно, нарушение плавности упругой линии! Все дело в том, что
функция-крышка не принадлежит лагранжеву энегретическому
пространству, которое требует существования вторых квадратично
суммируемых обобщенных производных Ф"(х), а это предполагает
существование непрерывных первых производных от той же функции на
всем интервале от 0 до /. Это и есть тот минимально требуемый уровень
"плавности упругой линии", о котором говорит Бернштейн. Другое дело,
что рассуждение о неизменяемости результата вычислений при
восстановлении плавности кривой оказалось несостоятельным.
Приведем правильное истолкование этого "парадокса", заимствованное
нами из книги [8]. Пусть два прямолинейных участка аппроксимирующей
кривой сопрягаются дугой окружности радиуса р, как это показано на
рис. 9.2. Обозначив через а длину того небольшого участка продольной оси
стержня, на котором аппроксимирующая функция представляет собой часть
окружности, а центральный угол через ср, находим а = 2р sin(<p/2).
Но при таком выборе аппроксимирующей функции Ф\(х) формула для а с
очевидностью примет вид
Если при сохранении угла ср устремить радиус кривой р к нулю, то и а —> 0.
Во всяком случае при достаточно малом р будем иметь
Следовательно, показанной на рис. 9.2 справа сглаженной аппро-
ксимирующей функции Ф\(х) соответствует не бесконечно большое, а

454 9. МЕТОД РИТЦА И ЕГО МОДИФИКАЦИИ
бесконечно малое перемещение центральной точки балки при р -> 0, что
находится в полном согласии с основной теоремой метода Ритца.
Возвращаясь к принципиальной возможности построения мини-
мизирующей последовательности из пространства более широкого, чем
энергетическое пространство, еще раз обратим внимание на нарушение в
этом случае условий выполнения неравенства (1.15), что и было замечено
практически при использовании несовместных конечных элементов.
Теоретический анализ сходимости и оценка возникающих при этом
погрешностей для этих последовательностей требуют более тонких
математических подходов. Для одного важного класса задач с
несовместными конечными элементами такой анализ выполнялся
неоднократно. Из опубликованных на русском языке математических
исследований по анализу сходимости несовместных конечноэлементных
аппроксимаций сошлемся на серию работ киевских математиков
И.Д. Евзерова и B.C. Карпиловского (см., например, работы [10], [11]).
Полнота
Наконец, требование полноты системы координатных элементов
Фь Фг, •••, Фи,-- в пространстве JI подразумевает возможность сколь угодно
точной аппроксимации произвольного элемента FeJl линейным агрегатом
вида F«a^i + o^2 +...+ а„Ф„. Это означает, что для любого заданного
е>0 можно найти такое целое N и набор таких коэффициентов
{аь а2,..., а„}, что при п > N будет выполнено
Н^-а^-агФг-.-алФ,,!! < е.
Впрочем, несложно показать, что требование полноты также можно
ослабить. Достаточно потребовать возможности сколь угодно точной
аппроксимации не произвольных элементов пространства Ж, а элементов
некоторого подпространства Ж (JlziX), которому гарантированно
принадлежит решение задачи6. Так, например, соображения симметрии
6 В цитировавшейся уже книге [6] приводятся различные оттенки понимания роли
полноты системы базисных функций в теоретической и прикладной математике В
частности, в связи с вопросом о полноте системы базисных функций в методах
типа Ритца или Галеркина в [6, стр. 99] сказано-
«Вспомним о том, что даже если мы исходим из полной системы функций, мы
реально выбираем из этой системы лишь небольшое число функций С другой
стороны, легко проверить, что любую конечную систему функций можно
дополнить до некоторой полной системы, т е. считать частью такой полной
системы Однако это отнюдь не означает, что с точки зрения полноты конечные
системы функций, которые мы выбираем в качестве базисных в методе
Галеркина, ничем не различаются Выбираемая система функций должна
обладать свойством практической полноты относительно решаемой задачи, т е
должна быть уверенность (или хотя бы надежда), что искомое решение можно с
приемлемой точностью аппроксимировать линейной комбинацией базисных
функций»

9 2 Метод Ритца применительно к смешанным функционалам 455
могут подсказать, что решение достаточно разыскивать на классе
симметричных функций, не принимая во внимание возможности
аппроксимации кососимметричных элементов пространства Л.
9.2 Метод Ритца применительно к смешанным
функционалам
Изложенная в предшествующем разделе основная концепция и процедура
метода Ритца существенно опирается в своей доказательной базе на
требование минимальности исследуемого функционала в точке его
стационарности. Однако чисто технически идея замены исходного линеала
Л, на котором ищется решение задачи, его конечномерным приближением
проходит и в том случае, когда функционал не является выпуклым, а значит
и не порождает гильбертова пространства на линеале Л.
Конечно, говорить в этом случае о проектировании точного решения F* на
конечномерный линеал не приходится, поскольку само понятие проек-
тирования утрачивает смысл при отсутствии соответствующей метрики. Тем
не менее, формально ритцева процедура поиска приближенного решения
может быть выстроена и в этом случае
9.2.1 Метод Ритца применительно к функционалу Реисснера
Посмотрим, для конкретности, что получается при применении метода
Ритца к проблеме поиска точки стационарности функционала Реисснера
Для упрощения записи формул ограничимся рассмотрением однородных
кинематических краевых условий.
Обращаясь к главе 3, замечаем, что в данном случае исходный линеал Л
состоит из совокупности всевозможных полей НДС вида F = {а,Аи, и},
принадлежащих линеалу Щ,0. Что же касается требований гладкости,
предъявляемых к напряжениям о и к перемещениям и, то они определяются
выбором формы функционала Реисснера, как об этом уже говорилось в
главе 3. Исходный линеал Л удобно представить в виде суммы
(объединения) двух линеалов Л = Ла и Ли, где Ла состоит из всевозможных
полей вида /\,= {а, 0,0}, а Ли состоит из всевозможных полей вида
Fu = {0, An, и} с однородно кинематически допустимыми перемещениями
Е,Д«и=0еГ. (2 1)
Построим на линеале Ла систему линейно независимых элементов
4'b4,2,...,4,m,... Аналогично на линеале Ли построим систему линейно
независимых элементов Фь Ф2,..., Ф„,.. Очевидно, что набор из (т+п)
элементов {Ч^, Ч>2,..., ^т, Фь Фг, ••, Ф«} образует совокупность линейно
независимых элементов в исходном линеале Л
16-818

456 9. МЕТОД РИТЦА И ЕГО МОДИФИКАЦИИ
Будем теперь произвольный элемент F е JL аппроксимировать элементом
Fm+m который является линейной комбинацией выбранных базисных
элементов. Иначе говоря, положим
F * Fm+„ = (X^i + . ..+ХтЧт) + (Z,0! +...+ г„Ф„) = АГТ,Р + гТФ, (2.2)
с подлежащими в дальнейшем определению (т+п) коэффициентами
X,(г = 1,..., т), Zj(j= 1,...,п). Здесь введены обозначения для векторов
= 11*:
¦;Хт]\\
= |[Фь-
,ФЛ-
(2.3)
Для удобства выпишем здесь общее выражение для функционала
Рейсснера в его первой форме, обратившись к формуле (3.1.4)
R^o, и) = 1А(С "V о) - Уг(К\х, и) - (Ли, о) + (Еир, Еи и)г + П8 - Пк .
Но на однородно кинематически допустимых полях согласно (3.1.3) будем
иметь
ГЦи) = (X , и) + (Ер р, Ер и)г, Пк(о) = 0 , (Еир, Еи и)г = О,
поэтому на рассматриваемом линеале Л
R, (о, и) = У2(С 1а,а)- У2(Ки, и) - (Аи, о) + (X , и) + (Ер р, Ер и)г . (2.4)
При фиксации целочисленных значений т и п и после подстановки
аппроксимаций (2.2) в (2.4) функционал Рейсснера превращается в
квадратичную форму от (т+п) искомых параметров
1 .
1 г
+ ZT (X, Ф) +? (Ер р, ЕрНиФ)г.
В матричной форме это можно записать так
где введены следующие обозначения <X?I,X?J > = К (4х, > С ix?j),
R.c*,*>-i|y.*T][.? -Hl
G = Q?,C Ч) = 2
И = (АФ,Х?) =
<Ч/,,Ч/1>
"(Ч'рЛФ,)
(Ч'т,АФ1)
<Ч,1,Чт>
<xVm,xVm>
С?1гАФяУ
(Ч>т,АФя)
(2.6)

9 2 Метод Ритца применительно i
функционалам 457
(Ф^ЛГФ,)
(ф„,^ф,)
ионарности
••• (Ф„А"ФВ)"
- (г„»*Ф„)
R,(Ar, Z) при
Р =
водят к
"ПДФ,)"
|_n.(*..)J
системе
• (2 7)
линейных
алгебраических уравнений
|Г G -н]||Гл:1 |Гв]| |Гв]|
(2.8)
относительно неизвестных векторов X и Z.
Первый же вопрос, который возникает в связи с системой уравнений (2.8),
заключается в условиях ее однозначной разрешимости. Прежде всего,
отметим следующие два свойства блоков общей матрицы, образующей
систему уравнений (2.8).
• Свойство 1. Квадратная матрица G порядка т является положительно
определенной матрицей. Это утверждение следует непосредственно из
определения матрицы G, согласно которому G может быть истолкована
как матрица Грамма для системы линейно независимых элементов
4*1, Ч'г,..., *?„ с кастильяновой энергетической метрикой.
• Свойство 2. Квадратная матрица К порядка п является положительно
полуопределенной матрицей. Это утверждение также следует из
определения этой матрицы и ранее сформулированного условия (1.2.3),
которому обязан удовлетворять оператор К.
В этих условиях оказывается справедливой теорема:
Для однозначной разрешимости системы уравнений (2.8) при любой
правой части и произвольном положительно полуопределенном операторе К
(в том числе и при нулевом его значении К= О) необходимо и достаточно
выполнения требования
rank Н = п , (2.9)
где п - размерность конечномерного пространства перемещений.
Докажем сначала достаточность условия (2.9). Поскольку матрица G
положительно определена, то из первых т уравнений в (2.8) получаем
что после подстановок в последние п уравнений системы (2.8) дает
(HTG_1H + K)Z = P. (2.10)
Квадратную матрицу HTG_1H порядка п можно интерпретировать как
матрицу Грамма для п векторов - столбцов матрицы Н, заданных в
эвклидовом пространстве размерности т со скалярным произведением (ху),
определяемом по формуле (xy) = xG~xy . Но так как ранг матрицы Н по
условию (2.9) равен числу ее столбцов, то все столбцы этой матрицы
линейно независимы, следствием чего является положительная опреде-

458 9. МЕТОД РИТЦА И ЕГО МОДИФИКАЦИИ
ленность матрицы Грамма HTG 'Н. Это означает, что для любого не равного
нулю вектора Z справедливо строгое неравенство
ZT(HTG~'H + K)Z>0,
поскольку согласно свойству 2: ZKZ>0. Таким образом, матрица
(Н G"'H + К) положительно определена и, значит, обратима.
Докажем теперь необходимость условия (2.9) Предположим, что
гапкН = ?<и. Из теории матриц известно [1, стр. 120], что ранг
произведения матриц не больше наименьшего ранга из сомножителей в этом
произведении. Иными словами rankHTG_1H < t<n. Это и означает, что
квадратная матрица HTG_1H порядка п вырождена и система (2.8) при
произвольном векторе Р неразрешима (по крайней мере, при К= О).
Отметим очевидное следствие доказанной только что теоремы. Понятно,
что для выполнения условия (2.9) требуется, чтобы было выполнено
неравенство
т>п. (2.11)
На механическом уровне требование (2.11) можно сформулировать в виде
следующего утверждения:
Для разрешимости ритцевой системы уравнений, отвечающей
условиям стационарности функционала Рейсснера, необходимо,
чтобы размерность т конечномерного пространства напряжений
\была не ниже размерности п конечномерного пространства
I перемещений |
9.2.2 Метод Ритца применительно к обобщенному смешанному
функционалу Ф
Воспользуемся формулой (3.5.12) для обобщенного смешанного
функционала Ф(о, и). Имеем
Ф = 2^Т[К1- + (1_К)К]-
Как это было установлено в главе 3, при выполнении неравенства
'/г < к < 1 функционал Ф является выпуклым и порождает метрику,
следовательно в этих условиях на рассматриваемый функционал
распространяется основная теорема метода Ритца.
Если расписать подробно этот функционал, ограничившись выражением
для него на линеале Щ.0, то с точностью до несущественного множителя
1/(2к - 1) получим

9 2 Метод Ритца применительно к смешанным функционалам 459
Ф(в,и) =
-(1-к)(Аи,а) + (Х,и) + (Ерр,Ери)г . (2.12)
Воспользовавшись аппроксимациями (2.2), переводим этот функционал в
квадратичную форму
+-гт(АФ,САФ)г-(1-к.)гт(АФ,ч,)х +
+ Z1 (X, Ф) +ZT(Ep р, Е,ДиФ)г (
В матричной форме это можно записать так
2lL JI|L-(1-k)Ht kR + (2k-1)K_||||_zJ| |L J||L
В результате приходим к следующей ритцевой системе уравнений
|Г (1-k)G -0-к)Н 1||рП| = Гв"| (
|L-(1-k)Ht kR + (2k-1)kJ||[zJ| |-pj'
К = (АФ,САФ). (2 15)
Как видим, система уравнений (2.14) содержит как частный случай
систему (111) при к = 1 и систему уравнений (2 8) при к = О
Стоит заметить, что при Vi < к < 1 требование (2.11) не распространяется
на функционал Ф(о, и). Это связано с тем обстоятельством, что для
функционала Ф вместо соотношения (2.10) будем иметь
[-(1-k)HtG-'H + kR + (2k-1)K]Z = -P. (2 16)
Очевидно, что (2 16) переходит в (2.10) в частном случае к = 0. В то же
время при условии выпуклости функционала Ф можно показать, что матрица
системы уравнений (2.16) порядка п гарантированно положительно
определена7 при любом значении целочисленного параметра т. Это и
означает, что для разрешимости ритцевой системы уравнений ограничений
на соотношение размерностей в аппроксимациях усилий и в аппроксимациях
перемещений нет.
7 Доказательство оставляем за читателем

460 9. МЕТОД РИТЦА И ЕГО МОДИФИКАЦИИ
Пример
В качестве иллюстративного примера рассмотрим расчет балки, покоящейся
на упругом основании с коэффициентом постели к при шарнирном опирании
балки по концам.
Следуя аппроксимациям (2.2), введем две системы координатных
функций {Фа} и {Ч'ц}, полные в том смысле, что прогиб w и момент М
соответственно можно сколь угодно точно аппроксимировать линейными
агрегатами из этих функций. Примем т = п и положим
w = Jza<Da, M = Jxa4/a,
причем
Фа(0) = Фа(/) = 0, ^„(О) = ?„(/) = 0,
где / - пролет балки.
Несложно понять, что принятые аппроксимации удовлетворяют как
кинематическим, так и статическим краевым условиям для задачи о балке с
шарнирным опиранием ее по концам.
Компоненты соответствующих блоков матрицы ритцевой системы
уравнений, а также компоненты вектора свободных членов определятся
формулами
aP Jo EI aP Jo a P aP Jo a P
Kap = jk<&a<&pdx, Pa = jq<&adx. (2.17)
Здесь помимо уже введенных обозначений положено: EI - жесткость
сечения балки при ее изгибе, к - коэффициент постели упругого основания,
q - поперечная нагрузка на балке.
Если принять к= 1, то придем к классическому варианту метода Ритца,
основанному на минимизации лагранжиана. При этом система уравнений
(2.14) упрощается до системы
(R + K)Z=-P,
не содержащей в качестве неизвестных компонент вектора X. Но тогда
изгибающие моменты М определятся соотношением М= -EIw" или
М = -Е1^гаФ"а .
С другой стороны, при к * 1 изгибающие моменты М найдутся
непосредственно из решения системы ритцевых уравнений, точнее
М = ?хаЧ'а,

9 2 Метод Ритца применительно к смешанным функционалам 461
что не требует дифференцирования координатных функций, приводящего к
понижению точности результатов расчета. В частности, при разрывной
функции EI (например, кусочно-непрерывной) изгибающие моменты,
подсчитанные из условия минимизации лагранжиана, также будут
претерпевать разрывы.
Положив
(2а-1)тсс
(а =1,2,..., и),
можем получить в явной форме выражения для элементов всех необходимых
для расчета матриц, воспользовавшись формулами (2.17).
Не останавливаясь на промежуточных вычислениях, приведем результаты
расчета балки со ступенчатым изменением изгибной жесткости EI под
действием сосредоточенной силы Р, приложенной в середине пролета балки
(рис. 9.3).
В таблице 9.1 приведены вычисленные значения относительного
изгибающего момента М3
М° = 100
М EI,
в сечении балки под силой в зависимости от числа членов и, удерживаемых в
разложении для прогибов и моментов.
I
J EI,
Ж
://7>7/^/>-^//^//л>////-
Рис. 9.3. Изгиб балки, покоящейся на упругом основании
При вычислениях принимались следующие значения параметров
Щ_2_ ?^_J_ и\кГ-Ь2Ъ
Е10 3 ' Е10 12 ' V/Е1о '
Точное значение Af в середине пролета равняется 7.37.
п
К
К
mi
к = 1
к = 0
к = 2/3
2
4,25
2,68
1,43
з
6,14
4,40
2,64
4
6,04
5,39
4,49
5
5,43
5,87
5,97
6
5,85
6,11
6,58

462 9. МЕТОД РИТЦА И ЕГО МОДИФИКАЦИИ
На рис. 9.4 изображены эпюры моментов hf при п = 6. Кривая 1
соответствует точному решению задачи, кривая 2 - величине М?,
пунктирная линия (кривая 3) - величине М[. Здесь М] - относительный
изгибающий момент, вычисленный из условия стационарности функционала
J (J = L,R,<t>).
Интересно проследить, как изменяется точность в определении
максимального изгибающего момента в зависимости от параметра к.
Данные, приведенные в таблице 9.2, позволяют проследить за этим
изменением.
-5 00
0 00
5.00
5.85
6.58
7 37
10 00
Рис. 9.4. Эпюры моментов в изгибаемой балке
Таблица 9 2
к
м;
0,55
6,53
0,60
6,60
0,65
6,59
0,70
6,58
0,75
6,55
0,80
6,53
0,85
6,51
0,90
6,50
0,95
6,49
9.3 Метод двух функционалов
Метод Ритца, основанный на минимизации функционала полной
потенциальной энергии (лагранжиана) упругой системы на конечномерном
подпространстве некоторого допустимого пространства функций
перемещений (лагранжева энергетического пространства) приводит к
приближенным решениям, имеющим в перемещениях более высокую
точность по сравнению с точностью в напряжениях. Для метода конечных
элементов (МКЭ), как варианта метода Ритца со специальным выбором
системы координатных функций, характерна также разрывность полей
\;
(jis-^^c^,''——
7'"*"-c?^t\
l
2
\
V
/т / т L
5 5 10

9 3 Метод двух функционалов 463
напряжений на межэлементных границах при непрерывности поля
перемещений. Этот недостаток метода Ритца (и, в частности, МКЭ) исчезает,
если вариационная постановка задачи базируется на использовании
функционала Кастильяно, однако при этом возникают трудности в
построении соответствующих систем координатных функций для полей
напряжений, обязанных удовлетворять уравнениям равновесия в объеме и на
поверхности тела. Альтернативный подход связан с функционалами
смешанного типа при независимой аппроксимации полей напряжений и
перемещений. Рейсснерианы, как наиболее известные представители
смешанных функционалов, обладают двумя серьезными недостатками:
• отсутствие экстремальных свойств (точка стационарности не является
точкой экстремума для рейсснериана) порождает трудности
вычислительного характера;
• порядок смешанной системы уравнений складывается из суммы порядков,
вызванных как аппроксимацией перемещений, так и аппроксимацией
напряжений.
Первый из отмеченных выше недостатков может быть устранен, если
воспользоваться вместо рейсснериана смешанным функционалом Ф,
который, как это было уже показано, имеет минимум в точке
стационарности при Vi<k<1. Однако от второго из этих недостатков
избавиться простой перестройкой смешанного функционала не удается.
В работе [12] была предложена схема построения ритцевых приближений,
характеризуемая следующими свойствами:
• принимаются независимые аппроксимации силовых и кинематических
полей;
• строятся две ритцевы системы уравнений, каждая из которых обладает
положительно определенной матрицей;
• краевые условия (как статические, так и кинематические)
удовлетворяются точно.
В отличие от традиционного подхода, основанного на выполнении
условий стационарности одного функционала, в рассматриваемом методе с
дифференциальной постановкой задачи связываются два функционала,
условия минимума которых на конечномерных подпространствах дают
искомые разрешающие ритцевы системы уравнений.
9.3.1 Слабые и сильные решения по напряжениям
Как известно [13], [14], обобщенным или слабым решением задачи по
определению напряженного и деформированного состояния упругого тела
называется такое физически и кинематически допустимое поле НДС
F*= {с, е., u*} е .^ь для которого выполняется интегральное тождество

464 9. МЕТОД РИТЦА И ЕГО МОДИФИКАЦИИ
(AJa, + Ки*-X , ико) + (ЕрН„в. -Ерр,Ерико)г = 0 , (3.1)
справедливое для любого однородно кинематически допустимого поля
перемещений Uko е %а-
Как мы уже знаем, на механическом уровне это интегральное тождество
известно как начало возможных перемещений - см. формулу (1.4.12). Далее,
из результатов главы 2 следует, что приведенная формулировка обоб-
щенного решения эквивалентна вариационной формулировке, связанной с
минимизацией лагранжиана
Ци) = Е(и)-П,(и), (3.2)
где Е - потенциальная энергия деформации, П8- силовой потенциал.
Обратим внимание, что силовой потенциал П8 может быть истолкован как
потенциал всех активных объемных и поверхностных сил.
Обычно после определения вектора перемещений и*, минимизирующего
лагранжиан, задача отыскания напряженного состояния системы
(определение истинного вектора напряжений с.) считается тривиальной, так
а. = САи*. (3.3)
В дальнейшем напряжения с, определяемые по формуле (3.3), будем
называть слабым решением по напряжениям. В этом определении
предполагается, что и» в (3.3) является слабым решением по перемещениям
в смысле интегрального тождества (3.1).
По мотивам, которые будут обсуждены ниже, имеет смысл
переформулировать задачу отыскания напряжений с, связав ее с
вариационной постановкой.
Пусть ^ множество статически полудопустимых полей НДС, а й^
множество однородно статически полудопустимых полей НДС. Иными
словами: се 9/ьа, если напряжения а удовлетворяют статическим краевым
условиям, а с0е "Ш^п, если напряжения с0 удовлетворяют однородным
статическим краевым условиям. Предполагается также, что для этих
напряжений существуют и принимают конечные значения интегралы
jaJadQ, ja]a0dQ, j(AT a? (AJ a)dQ, j(AT о 0? (AT a 0)dQ.
Для любого вектора ut6^ и любого вектора с0е ^д справедливо
основное интегральное тождество (1.2.17), которое в данном случае может
быть записано в виде
(Ащ, По) = (иь А\0) + (ЯаЯо, tf„uk)r. (3.4)
Определение.
Назовем сильным решением задачи по напряжениям вектор а е WM,
удовлетворяющий интегральному тождеству

9 3 Метод двух функционалов 465
j(C-la)Ta0dCl = f (Ara0)Tu.dn+$(EuHea0)TEuudr (3 5)
для любого однородно статически полудопустимого вектора с0е &шоп, где
и. - слабое решение по перемещениям.
Если и« достаточно гладкий вектор, то слабые напряжения совпадают с
сильными напряжениями. Действительно, домножая скалярно С1 е. на с„, и
учитывая (3.3) и (3.4), получим интегральное тождество (3.5)
Покажем теперь, что, если существуют сильные напряжения я, то они
являются также и слабыми. В самом деле, из (3.5) с учетом (3.4) получаем
(СГ'с-Ли., во) = 0,
откуда в силу произвольности e0e t/ioa следует в = G4u>.
На множестве «fo введем в рассмотрение функционал D
D(n) = E(n)-rU<T), (3 6)
где Е(я) = 1Л(С~1а,а) - энергия деформации, представленная как квад-
ратичный функционал от напряжений, а ГЦя) потенциал реактивных
объемных и поверхностных сил, равный по определению
Пг(а) = (АТа,и.) + (ЕЛав,Еий)г. (3 7)
Надо сказать, что, строго говоря, физически выражение Е(в) = Уг(С~ха,а)
представляет собой энергию деформации только самого деформируемого
тела, то есть без учета энергии, накапливаемой в упругой среде, в которую
помещено это тело
Варьируя функционал D, запишем условия его стационарности
5D = (С'1 в, 5в) - (Ат8в, и.)-(ЕМа8а, Еий)г = 0.
Отождествляя вариацию 5я с с0, получим отсюда интегральное тождество
(3.5). Таким образом, задачи поиска сильного решения по напряжениям и
поиска точки стационарности функционала D на множестве статически
полу допустимых напряжений &зП эквивалентны.
Справедливо следующее утверждение: если сильное решение по
напряжениям в существует, то в точке стационарности функционал D
минимален Действительно, для любого статически полудопустимого поля
напряжений а,а е «^ имеем
D(o8/2) - D(e) = V2 (С-1 Яо,Со) + (С4 в,в0) - (ЛТв0,и.)- (ЕЛаа0> Еи й )г, (3 8)
где
Яо = «s/2 - О 6 0<so/2 .
Так как я удовлетворяет интегральному тождеству (3.5), то три последних
члена в правой части (3.8) исчезают, поэтому
D(0s/2)-D(e) = 1/J(C-,0o,0o).

466 9. МЕТОД РИТЦА И ЕГО МОДИФИКАЦИИ
В силу положительной определенности матрицы С получаем отсюда
D(os/2) > D(o),
что и требовалось доказать
9.3.2 О существовании сильного решения по напряжениям8
Обратимся к вопросу о существовании точки минимума для функционала D.
Предварительно переформулируем вариационную задачу для D(c) на
множестве ^s/2 в эквивалентную задачу минимизации D(o) на линеале ^so/2.
Пусть напряжения т е W^n (предполагается, что множество ^/2 не пусто).
Тогда для любого вектора cs/2e Ж>/2 найдется вектор т0 е W^a такой, что
«s/2 = Т + Т0 .
Функционал D можно задать теперь на линеале ^so/2
D(t0) = ХА (<Г'т0,т0) + (С_1т,То)- ИТт0,и.)- (EJtaT0, Еий)г+ С„ (3.9)
где Ст - скаляр, зависящий только от фиксированного вектора т.
На линеале ^о/2 введем в рассмотрение билинейную форму
Ь(а0,т0) = У2(С-1а0,т0),
удовлетворяющую в силу положительной определенности матрицы С всем
аксиомам скалярного произведения. Пополняя ^so/2 во введенной метрике,
получаем гильбертово пространство Л%, а саму эту метрику будем называть
энергетической метрикой9. В силу положительной определенности матрицы
С энергетическая метрика в J%, эквивалентна метрике L2(Ci)
8 Автор осознает, что уже само включение этого параграфа в текст книги
диссонирует с отношением к теоремам существования, озвученным в сноске2
Оправдательным извинением такой непоследовательности служат следующие
соображения Во-первых, математически более требовательный читатель
обоснование известных теорем существования решения задач теории упругости
может найти во многих известных математических работах, но сама постановка
проблемы поиска сильного решения по напряжениям в этих работах не отражена
Во-вторых, адресуясь к инженерно ориентированному читателю, автор предлагает
просто пропустить этот параграф и перейти к следующему
9 Не следует думать, что введенное только что гильбертово пространство J%
совпадает с введенным ранее в §2 3 2 кастильяновым энергетическим
пространством .Ж Такого совпадения нет даже в условиях отсутствия упругой
среды, когда К = О Дело в том, что элементы кастильянова энергетического
пространства Л обязаны удовлетворять не только статическим краевым условиям,
но и однородным уравнениям равновесия в области Q Поэтому на самом деле
имеет место включение JTcJ% Впрочем, в случае К=0 введенная на J%
метрика формально совпадает с метрикой на .Ж Именно поэтому эту метрику
можно называть кастильяновой энергетической метрикой

9 3 Метод двух функционалов 467
II *о 1Й2(П,= fxlT0rfn , || TQ \^ = Уг(С-1Т0,Т0) ,
так как согласно условиям (1.2.3)
^IIMU^KII^^KII^n,- (зло)
Линейная часть /(т0) функционала D(t0) определена на множестве
статически полудопустимых вариаций векторов напряжений ^0/2 и
ограничена в J%. Действительно,
|/(т0)| < КС-Чдо)! + |Итт0,и.) + (ЕЛат0,Еий)г\<
* 2||т||ль||т0||^+ | ]"<Л1м/П|<
^2||т||ль||т0||ль+|Ми.||^||т0|^^
^llTJk^llTll^+^Mu.H^).
При выводе этого неравенства использовано неравенство Коши-
Буняковского, основное интегральное тождество (3.4) и неравенства (3.10).
По теореме Хана-Банаха [15] линейный ограниченный функционал /(т0),
заданный на линеале &юп гильбертова пространства .Л% можно по
непрерывности распространить на все пространство J% с сохранением
нормы функционала. Расширенный указанным образом функционал D(t0)
достигает своей нижней грани на Л% [16].
Из изложенного следует, что достижение минимума функционала D mJ%
гарантируется, в то же время «точка минимума» не обязана принадлежать
множеству ^so/2- Условием существования сильного напряженного
состояния является включение
с = САм* е Wsa.
9.3.3 О согласованных аппроксимациях при минимизации
функционала D
При минимизации функционала D по методу Ритца выбирается некоторая
последовательность конечномерных подпространств Жто с J% с базисными
векторами ть т2,..., тт. Для обеспечения сходимости метода Ритца (при
устремлении т —> оо ) требуется, чтобы любой элемент с е Jl% можно было
сколь угодно точно аппроксимировать элементом вида
Х1т1+Х2т2+...+ Хттт
при надлежащем выборе конечной размерности т и коэффициентов X,
(i= 1,...,т). В силу конечномерности J%,a функционал D достигает на нем

468 9. МЕТОД РИТЦА И ЕГО МОДИФИКАЦИИ
своей нижней грани и задача минимизации D на ^а имеет (и при том
единственное) решение.
Вместе с функционалом D = D(o, и*) рассмотрим возмущенный
функционал D(o,u), где й - искаженный вектор перемещений, в некотором
смысле близкий к вектору перемещений и». В частности, в качестве й
можно взять вектор и„, доставляющий минимум лагранжиану L на
конечномерном подпространстве jg лагранжева энергетического
пространства^ Пусть ст. точка минимума 6(ст,й)на j%, а стт точка
минимума этого же функционала на Жта. Заметим, что
ст. = САи„.
Имеет смысл ставить и решать задачу минимизации 6(ст,й) на Жто , если
приближенное (ритцево) решение сттдля искаженного функционала
«точнее его точного решения ст,» в смысле близости их к точному
решению о» для точного функционала D. Эта, странно на первый взгляд,
звучащая фраза на самом деле является словесным выражением следующего
неравенства
e2=||CTm-CT,||<||C4u„-CT.||=ei, (3.11)
которое подразумевается выполняемым в некоторой общей норме.
Погрешность е\ зависит исключительно от выбора подпространства jg, а
погрешность е2 - от jg и Ж^.
Пусть ^ выбрано так, что имеет место оценка порядка приближения
e, = OQi\ р>0. (3.12)
Здесь h некоторый параметр, имеющий размерность длины. Мыслится, что
этот параметр пропорционален максимальному размеру области Q,
занимаемой упругим телом. Кроме того, h -> 0 при п -> оо. В частности, для
метода конечных элементов под параметром h обычно подразумевают
минимальный диаметр сферы, в которую помещается любой из конечных
элементов принятого сеточного разбиения области Q.
Будем называть подпространство ЖпС согласованным с jg по порядку а,
если выполняется оценка
e2 = OQta), а>0. (3.13)
Качественно картина взаимоотношений согласованных множеств jg и Л%,П
показана на рис. 9.5, где ось абсцисс имитирует энергетическое
пространство J%, а по оси ординат отложены значения функционала D
(сплошная линия) и возмущенного функционала D (пунктирная линия).
Ясно, что, если ошибка е\ имеет порядок hv, то для того, чтобы ошибка е2
имела более высокий порядок малости, требуется, чтобы ошибка еъ
е3=Цстт-ст. || (3.14)

9 3 Метод двух функционалов 469
была бы в точности того же порядка /гр. Таким образом, для получения
согласованности ритцево решение для искаженного функционала не должно
быть ни слишком «хорошим» ни слишком «грубым»
Рис. 9.5. Согласованные по порядку аппроксимации напряжений и перемещений
Вопрос об условиях существования согласованных аппроксимаций и об
оценке возникающих при этом погрешностей является предметом
специальных математических исследований10, однако сам факт
существования согласованных аппроксимаций подтверждается численным
экспериментом.
9.3.4 О связи функционала D с функционалом Рейсснера
Установим связь функционала D функционалом Рейсснера R, который
запишем здесь во второй его форме.
R2(e, u) = V2(C Ч я) - У2(Ки, и) - (А1 а, и) + (X , и) -
- (Еий,Еир)г + (Ер(р-Яао),Ери)г . (3.15)
Если в этом выражении зафиксировать перемещения и, положив и = и«, и
рассматривать только статически полудопустимые напряжения, то есть
положить вей'й, то это означает, что Ер(р-Наа) = 0 е Г. Выделив из
оставшегося выражения для R2(c, и) ту часть, которая зависит только от
варьируемых напряжений, обнаруживаем ее совпадение с функционалом D.
В этой связи методу двух функционалов можно приписать следующую
простую интерпретацию. Приближенное ритцево решение задачи находится
Настолько специальных, что это выходит не только за рамки настоящей книги, но
и за пределы математических возможностей автора

470 9. МЕТОД РИТЦА И ЕГО МОДИФИКАЦИИ
в два этапа. Сначала минимизацией лагранжиана отыскивается
приближенное решение для перемещений и„. Затем этот вектор
перемещений подставляется в реисснериан, который при фиксированном
векторе перемещений превращается в функционал, зависящий от
напряжений На втором этапе решения задачи отыскивается стационарная
точка ут полученного только что функционала. Эта точка ищется на
множестве статически полудопустимых полей напряжений. При этом
условия стационарности рейсснериана переходят в условия его минимума.
Метод двух функционалов и метод сопряженных
аппроксимаций Одена
Если относить предшествующую двухэтапную процедуру к методу
конечных элементов, как к разновидности метода Ритца, то выясняется, что
эту процедуру можно рассматривать и как достаточно общий способ
построения непрерывных полей напряжений в рамках метода конечных
элементов
В зарубежной литературе большой популярностью пользуется так
называемый метод сопряженных аппроксимаций Одена-Редди [17], в
рецептурном виде (без попытки истолкования) проникающий даже в
учебную литературу [18]. Подробное изложение метода Одена-Редди можно
найти в переведенной на русский язык книге Одена [19], однако его
изложение там усложнено громоздкими индексными преобразованиями и
несущественными деталями, мешающими выделить основную идею.
Если внимательно проследить за схемой Одена-Редди, связав его с
вариационной постановкой задачи о поиске напряжений при заданном поле
перемещений, то можно придать ей следующее истолкование. Поле
напряжений разыскивается в виде разложения по тем же базисным
функциям, каковые были использованы при минимизации лагранжиана.
Далее можно составить функционал, который мы назовем функционалом
Одена (хотя сам Оден не рассматривает свой метод как вариационный):
О(я) = '/2(я, я) - (я, САи) (3.16)
Условия стационарности функционала 0(я) приводят к физическим
уравнениям
я = САи.
Пусть совокупность векторных функций ФЬ...,Ф„ образует систему
базисных функций, используемых при минимизации лагранжиана в процессе
конечноэлементного решения задачи для поиска перемещений
Раскладывая напряжения в конечные суммы по тем же базисным
функциям и подставляя эти разложения в функционал (3.16), переводим этот
функционал в квадратичную форму, условия стационарности которой дают
систему уравнений для отыскания коэффициентов разложения напряжений
по системе тех же базисных функций.

9 3 Метод двух функционалов 471
Метод сопряженных аппроксимаций Одена, приводя к непрерывным
полям усилий (напряжений), обладает и целым рядом недостатков:
• Для определения коэффициентов разложения напряжений по функциям
Фь...,Ф„ требуется составление и решение дополнительной системы
линейных алгебраических уравнений;
• Статические краевые условия в методе Одена по-прежнему точно не
удовлетворяются;
• Аппроксимация усилий жестко связана с аппроксимацией перемещений и
не оставляет свободы выбора иных координатных функций,
• Вариационная постановка метода Одена показывает, что разрешающие
уравнения этого метода следуют из условия стационарности функционала
0(e), не имеющего четко выраженного энергетического смысла, что
видно хотя бы из рассмотрения размерности величин, входящих в
подынтегральные выражения в (3.16);
• Метод ориентирован на получение непрерывных полей напряжений и не
позволяет учесть разрывы, вызываемые, например, скачкообразными
изменениями констант упругости по области интегрирования в
двумерных и трехмерных задачах
В определенном смысле (процедурно) метод двух функционалов близок
методу Одена-Редди, так как он также требует формирования и решения
дополнительной системы уравнений. Поэтому первый из недостатков
сопряженных аппроксимаций Одена-Редди (двухэтапность решения задачи)
сохраняется и в методе двух функционалов. Однако недостатки,
перечисленные в остальных пунктах, устраняются. Это связано с тем
обстоятельством, что в методе двух функционалов в качестве базисных
функций при минимизации D(e) могут приниматься, как и в методе
сопряженных аппроксимаций, те же функции ФЬ...,Ф„, но может быть
использована и иная система координатных функций Ч^,. .,4>т, подобранная
применительно к специфике задачи.
9.3.5 Примеры применения метода двух функционалов
Пример 1
В качестве первого примера рассмотрим задачу Ламе о распределении
напряжений в круговом кольце наружного радиуса b и внутреннего радиуса
а под действием внутреннего давления/) (рис. 9.6)
Пусть
• и - радиальное перемещение;
• аг, аф - радиальное и тангенциальное напряжения,
• Е, v - модуль упругости и коэффициент Пуассона материала кольца.

472 9. МЕТОД РИТЦА И ЕГО МОДИФИКАЦИИ
где г - радиальная координата рассматриваемой точки кольца.
Рис. 9.6. Задача Ламе
В принятых обозначениях точное решение задачи Ламе [20] дается
формулами
pbt2
E(l-t2)l
Функционалы L и D для задачи Ламе записываются (с точностью ;
несущественного множителя 2%) в виде
i*-**r\ «-&(-*)• «-?('¦*)
[алы L и D для за
иого множителя 2%)
2(l-v2)J.U
-pbtu(t),
D= —J (arar -2vara* ¦Kf*a*)xdx-bl (c'f-ar-x(ar)')u.dx.
(3.17)
Здесь и далее штрихами помечается операция дифференцирования по
координате х
Разобьем интервал интегрирования |У,1] на п равных частей и для
минимизации рассматриваемых функционалов воспользуемся методом
Ритца с кусочно-линейной аппроксимацией искомых функций и(х), </(*),
аф(х), образуя тем самым множества 9/ъ, и Щ^а)т- Под множеством «^п
понимается и-мерное множество кинематически допустимых перемещений,
а под множеством Щ^пщ - /и-мерное множество статически
полудопустимых напряжений. В данном случае мы полагаем т = п.
При указанном способе построения координатных функций схема Ритца
фактически сводится к методу конечных элементов, причем в качестве
максимального диаметра сетки конечных элементов h выступает параметр

9 3 Метод двух функционалов 473
Не останавливаясь на деталях расчета, приведем результаты вычислений
для значения параметра t = 0 5. На рис. 9 7 для случая я = 4 показаны
графики напряжений а* (верхние кривые) и аг (нижние кривые),
умноженные на коэффициент (1 - ?)/(р?). Сплошной линией на этом
рисунке даны точные напряжения а? иаг,, штриховой линией - напряжения
а* и csrh, вычисленные по формулам
Е ( , иЛ _ Е (и„ Л
d-v2)H xj d-v2)*U J
где иЛ - функция перемещений, полученная минимизацией лагранжиана
а
40
2.0
0
-2.0
Рис. 9.7. Тангенциальные и радиальные напряжения в задаче Ламе
Если подсчитать напряжения а?и b'h на основании минимизации
функционала D и нанести эти напряжения на графики по рис 9.7, то
соответствующие кривые практически сливаются с линиями точных
значений напряжений а? и аг.
Интересно оценить скорость сходимости метода конечных элементов по
напряжениям при я ->¦ 0 На рис 9 8 показана (в процентах) зависимость
относительной погрешности вычисленных напряжений (в метрике
энергетического пространства JQ от количества п используемых конечных
элементов
Отношение погрешностей е\1е2 (рис 9 8) изменяется как линейная
функция я, откуда следует, что введенные конечномерные множества Щ,п и
Щъ/2)т согласованы по порядку а = 1
Из теории МКЭ известно [4], что ех = 0(h) Следовательно, e2=0(h2),
что совпадает со скоростью сходимости перемещений щ к и. в среднем.
0.500
0.625
0.750
0.875
X

474 9. МЕТОД РИТЦА И ЕГО МОДИФИКАЦИИ
кМ
2 5 8 11 14 м
Рис. 9.8. Погрешности в напряжениях для задачи Ламе
Пример 2
Проиллюстрируем технику метода двух функционалов (в варианте метода
конечных элементов), рассмотрев задачу об определении напряженно-
деформированного состояния конусообразной детали конструкции, один
конец которой закреплен, а другой подвержен действию осевой нагрузки
величиной 42000 Н (рис 9 9) Эта задача рассмотрена в книге Одена [19] в
качестве примера применения метода сопряженных аппроксимаций
Л0-6
Рис. 9.9. Задача Одена
Площадь поперечного сечения детали меняется линейно от 6 см2 на левом
конце до 12 см2 на правом. Кроме того, деталь нагревается на температуру
At = 20° равномерно по всей длине. Коэффициент линейного температурного
расширения а = 7x10"6. Все размеры на рис. 9 9 даны в сантиметрах.
Решение этой задачи по методу конечных элементов с использованием
кусочно-линейных аппроксимаций перемещений при разбивке детали на три
элемента (рис 9 9) помещено в книге [18, стр 214-218] Приведем

9 3 Метод двух функционалов 475
полученные там результаты вычисления узловых значении перемещении -
лагранжевы перемещения
где u,h - перемещение в узле i, полученное решением задачи по методу
конечных элементов. В то же время точные значения узловых перемещений
равны следующим величинам
и0. = -0,0780 см, и,, = -0,0460 см, и2, = -0,0210 см, и,. = -0.
Определим поле напряжений, воспользовавшись процедурой мини-
мизации функционала D. Для данной задачи имеем
D = JI — + uhS' + aAtS Xbc = J j — + uh (aA)' + aAtaA \k, (3 19)
где S = aA - продольное усилие в поперечном сечении детали, А - площадь
поперечного сечения ее.
Рис. 9.10. Аппроксимирующие функции
Воспользуемся кусочно-линейной аппроксимацией напряжений. На е-ом
конечном элементе (рис. 9.10) будем иметь11
где Ъ, е [0,/г], h = 1/3 - длина конечного элемента,
Компоненты {gj,e)} (ij = 1,2) матрицы податливости Ge для е-ого
о элемента определяются по формуле
11 Не отождествлять изображенные на рис 9 10 аппроксимирующие функции на
отдельном конечном элементе с базисными функциями метода Ритца1 Как это
известно, в методе конечных элементов как специальной разновидности метода
Ритца, базисные функции формируются из поэлементных аппроксимирующих
функций для всех конечных элементов, сходящихся в одном узле (иногда говорят,
"на звезде узла") Эти поэлементные аппроксимирующие функции в методе
конечных элементов в литературе часто называют функциями формы

476 9. МЕТОД РИТЦА И ЕГО МОДИФИКАЦИИ
^Чо^дм^, (3.20)
ЪЕ
В результате подстановок и интегрирования будем иметь
9 + 4е 5 + 2е"|
5 + 2е 11 + 4е_|"
Компоненты А^' грузового вектора Gpe для е-ого конечного элемента
определяются по формуле
откуда следует, что
g -АИ-3е
ре Щ[% + Зе 10
Вычисления дают
• для элемента 1:
д« =А f U 1Ат, +иеАЧ'2)^Ь?2 + аД,ч, Ь (3.22)
¦7-Зе"]| |Ги_,А~|| Д, ,|Г4 + Зе1
• ' +^-аА?Л . (3.23)
36?
IP3 7!
17 15j|'
0294"
0462j|~18|L-l,367lJ|'
= ^1Г-8 "101.|Ги°-*1+а|Г0'02941=а1Г 1'08131
18 |[ll 15 J ||_«i,* J| 18||_0,0
• для элемента 2
36Е
IP7 ч
|[9 19J|'
G =М\~и -131|К1+а|Г°'04201=а|Г0'80611
р2 18 |L 14 16j||_«2AJ| 18 |Lo,0588j| 18 |[-0,9024]|
• для элемента 3
С--Щ21 п}\
36? 11 23
Л_|Г0,054б1|_ ^|r 0,3444 1
f i8~||_0,0714j| ~ Ti[-0,2805J|'

9 3 Метод двух функционалов 477
Объединим, как это обычно делается в методе конечных элементов,
матрицы податливости элементов в общую матрицу податливости с
а грузовые векторы в общий грузовой вектор. Имеем
36Е
13 7 О О
7 32 9 О
О 0 11 23
1,0818
-0,5610
-0,5580
-0,2805
Но для функционала D краевое условие на свободном конце детали
о0>А = 7000 Н/см2
является главным краевым условием, поскольку минимум этого
функционала разыскивается на статически полудопустимых полях
напряжений. Если учесть заранее это краевое условие, то приходим
окончательно к разрешающей системе уравнений относительно узловых
значений напряжений
32
9
0
9 01
40 11
11 23j|
Го-, Л
®2h
1 стзл
=
"201580]
249340
125290J
Решение этой системы уравнений дает
а1А=5141, а2А=4118, аЗА=3478.
Ниже в таблице 9.3 приведены сопоставительные результаты решения
этой задачи, причем значения напряжений, полученных по методу
сопряженных аппроксимаций Одена [19], заимствованы из книги [18].
Номер
узла
0
1
2
3
Точное
значение
напряжения
7000
5250
4200
3500
Напряжение
по Одену
6132
5222
3935
3558
Напряжение
по методу двух
функционалов
7000
5141
4118
3478
Постоянное
напряжение
по элементу
5829
4489
3685
На рис. 9.11 полученные результаты изображены графически.

478 9. МЕТОД РИТЦА И ЕГО МОДИФИКАЦИИ
Рис. 9.11. Решение по напряжениям для задачи Одена
На этом рисунке кривая 1 показывает точное решение а»; ступенчатая
линия 2 дает напряжения постоянные по элементу ай; ломаная линия 3
построена для напряжений, вычисленных по методу сопряженных
аппроксимаций Одена; кусочно линейная кривая 4 отвечает напряжениям,
полученным по методу двух функционалов.
Пример 3
Рассмотрим еще один пример, интересный в том отношении, что для него
решение по методу двух функционалов получается в замкнутом виде и
оценка погрешности может быть проведена в явной форме.
П. Тонгом [21] для одномерных задач доказана следующая простая, но
полезная теорема. Пусть
• В качестве базисных функций при минимизации лагранжиана по МКЭ
используются функции, удовлетворяющие соответствующему одно-
родному дифференциальному уравнению на каждом из конечных
элементов;
• Каждый из конечных элементов имеет два узла и в каждом из узлов
учитывается к степеней свободы, где 2к - порядок дифференциального
уравнения задачи (уравнения Эйлера для лагранжиана).
Тогда независимо от сетки (количества и относительных размеров
конечных элементов), а также от формы частного решения (от нагрузки)
конечноэлементное решение щ для перемещений в узлах сетки будет
совпадать с точным решением. Иначе говоря, uh интерполирует и*

9 3 Метод двух функционалов 479
-ГГОО = -ГГ(*.)> 0 = 0,1,...,*-!), (3-26)
dx' dx'
где х, - координата любой узловой точки сетки.
Рассмотрим краевую задачу
EAu' + q0sm— = 0, и(0) = и'{1) = 0, хе [0,/], (3.27)
описывающую растяжение консольного стержня постоянного сечения под
действием продольной нагрузки
Точное решение этой задачи имеет вид
q0 (2/Y тсс
и, =-22- — sin ,
?Д я J 2/
при этом продольная сила N* равняется
„.du, 2/ тсс
JV. = ЕА = ап —cos—.
dx Чй % 2/
Разобьем интервал интегрирования [0,1] на п равных частей так, что
h = lln
и занумеруем узлы от 0 до п, приписав /-ому узлу координату х,
х, = 1Й (/ = 0, ..,«).
Воспользуемся кусочно-линейной аппроксимацией перемещений. На
основании теоремы Тонга будем иметь на г'-ом конечном элементе, то есть
при* е [x,.i,x,]
где обозначено
_ я _ nh
Из (3.28) на г-ом конечном элементе имеем постоянное значение продольной
Nk=EA^- = q0 ^sin^cos^^. (3.29)
* dx °яа 2 2
Воспользуемся теперь кусочно-линейной аппроксимацией продольного
усилия в стержне, положив
N. =ХпЦ,п+Х.Ц>, +... + Х .4>п _..

480 9. МЕТОД РИТЦА И ЕГО МОДИФИКАЦИИ
Коэффициент Х„ при *Р„ полагаем равным нулю в силу краевого условия
и'{1) = 0 на правом конце стержня, что эквивалентно ЩГ) = 0. Остальные
коэффициенты при аппроксимирующих кусочно-линейных функциях *Р,
(7 = 0, 1,.. , п) будем отыскивать минимизацией функционала D
6=ff— +
k\2EA
- + N'uh \dx.
(3.30)
В результате приходим к следующей системе линейных алгебраических
уравнений с трехдиагональной матрицей для определения коэффициентов
X, (г = 0, \,...,п- 1), которые и представляют собой значения
функции Nh в узлах сетки конечных элементов
2 1
' ЕА\т\
Для удобства восприятия глазом
y?,(i = 0,l,...,n- 1) показаны на рис. 9.12.
l = hn
0,5
cos(w-2)a
Lcos(w-l)aJ
базисные функции
0 1 2 1-1 i i+l п-2 п-\ п
I 1 Ь Н 1 К Н 1 1
1
А
%
/,
i
¦ \ ,
а
fs
м
Рис. 9.12. Кусочно-линейные базисные функции Ч?,
Непосредственной подстановкой проверяем, что решение полученной
системы уравнений имеет вид

Литература 481
я a(2 + cosa)
Таким образом, на /-ом конечном элементе получаем
N„=q0— 3Sma [f-- + ilcos(i-l)a + f--i + llcosial. (3.31)
h Чо к a(2 + cosa)Ll h ) U J J
Замечаем, что Nh совпадает с линейным интерполянтом точного решения N*,
помноженного на коэффициент k(a)
., 3sina
*<a)=_7^ 7 •
a(2 + cosa)
Если разложить этот коэффициент как функцию а в ряд Тейлора, то
придем к оценке даже не средней, а поточечной погрешности усилий в узлах
сетки конечных элементов. В результате имеем
шах '*-*»l=Q(a').
(.=0,1, ,«) | N. |
Как видим в этой задаче поточечная погрешность усилий Nh, доставляемых
методом двух функционалов в узлах сетки конечных элементов, убывает со
скоростью порядка /г2. В то же время средне квадратичная погрешность по
усилиям Ыъ оценивается так (промежуточные выкладки опускаем)
i*.fi,-^L. n*-*.ie,-^i-3b?a].
Отсюда несложно получить асимптотическую оценку погрешности
^- = 0(о),
\\N.\\h
что свидетельствует о сходимости Nf, к точному решению N* по метрике Ьг
со скоростью порядка h.
Литература
1 Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения -М. Мир, 1980 -454 с
2 Курант Р , Роббинс Г Что такое математика? - М.. Просвещение, 1967. - 558 с
3 Михлин С Г. Вариационные методы в математической физике. - М Наука,
Физматгиз, 1970. - 512 с
4 Стренг Г , Фикс Дж. Теория метода конечных элементов - М Мир, 1977 - 349 с
5 Ректорис К Вариационные методы в математической физике и технике - М
Мир, 1985.-589 с

482 9. МЕТОД РИТЦА И ЕГО МОДИФИКАЦИИ
6 Блехман И И , Мышкис А Д, Пановко Я Г Прикладная математика предмет,
логика, особенности подходов - Киев Наукова Думка, 1976 - 269 с
7 Новожилов В В Теория упругости - Судпромгиз, 1958 -370 с
8 Пановко Я Г, Губанова И И Устойчивость и колебания упругих систем - М
Наука, Физматгиз, 1987 - 352 с
9 Бернштейн С А Основы динамики сооружений - М Госстройиздат, 1941
10 Евзеров ИД Сходимость МКЭ в случае не принадлежащих энергетическому
пространству базисных функций В сб Вычисления с разреженными матрицами
ВЦСО АН СССР, 1981, с 54-61
11 Карпиловский В С Использование и конструирование некоторых типов конечных
элементов для задач строительной механики Автореферат диссертации на
соискание ученой степени кандидата технических наук Киев, 1982,20 с
12 СливкерВИ Метод Ритца в задачах теории упругости, основанный на
последовательной минимизации двух функционалов - Изв АН СССР МТТ,
1982, №2, с 57-65
13 ПобедряБЕ Некоторые общие теоремы механики деформируемого твердого
тела -ПММ, 1979,т43,выпЗ,с 531-541
14 РозинЛА Развитие метода Бубнова-Галеркина в задачах строительной
механики - Строительная механика и расчет сооружений, 1982, №6, с 10-15
15 Люстерник Л А , Соболев В И Элементы функционального анализа - М Наука,
1965 -519 с
16 МихлинСГ Проблема минимума квадратичного функционала - М
Гостехиздат, 1952 -216 с
17 Oden JT, Reddy JN Note on an approximate method for computmg consistent
conjugate stresses m elastic finite elements - Int J Numer Meth Eng , 1973, V6,
Nl.pp 55-61
18 СегерлиндЛ Применение метода конечных элементов -М Мир, 1979 -392 с
19 ОденДж Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред -М Мир,
1976 -464 с
20 Тимошенко СП Курс сопротивления материалов - М-Л Гостехиздат, 1932 -
587 с
21 Tong Р Exact solution of certain problems by finite element method - AIAA Journal,
1969,Nl,pp 178-180

10. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ
О СПЕКТРЕ
Иметь меру требуемой математической строгости -
самое трудное для физика Правильнее будет сказать
так ему необходимо уметь определять эту меру
Л. И. Мандельштам. Лекции по теории колебаний -
М-Наука, 1972, с 73
10.1 Основные понятия. Терминология
До сих пор мы имели дело исключительно с задачами статики. Новым в
постановках динамических задач являются следующие обстоятельства.
Во-первых, заданные внешние силовые воздействия X, р и внешние
кинематические воздействия й считаются изменяющимися во времени по
заданному закону, то есть
X = X(t), p = p(t), й = й(0-
Во-вторых, в задачах динамики приходится учитывать и силы инерции,
которые согласно второму закону Ньютона можно представить в виде
-ри(0,
где, как обычно, точками сверху помечается дифференцирование по времени
t, а через р обозначен алгебраический оператор, описывающий
инерциальные свойства механической системы (распределение по области Q
инерциальных характеристик системы).
В том случае, когда механическая система не содержит дополнительных
масс кроме массы самой конструкции, оператор р является алгебраическим
оператором, который пропорционален скалярной функции р, где р плотность
материала исследуемой механической системы, рассматриваемая как
функция точек области Q. Считается, что оператор р является
симметрическим положительно определенным оператором.
В результате вместо задачи о равновесии приходим к задаче об изучении
движения механической системы, поскольку все интересующие нас поля
НДС будут, вообще говоря, изменяться со временем.

484 10. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ О СПЕКТРЕ
Из всей совокупности разрешающих уравнений задачи (1.2.2) и (1.2.4)
изменениям подвергаются только уравнения равновесия (1.2.2-а), которые в
задачах динамики с учетом инерциальных сил запишутся теперь в виде
AJa + Ku+ pii= X (1.1)
Иногда, уравнения движения (1.1) называют уравнениями динамического
равновесия.
В этом разделе мы не будем заниматься вопросами интегрирования
уравнений движения, а остановимся только на одном частном, но важном
как в прикладном, так и в теоретическом отношении вопросе. А именно,
будем считать, что
• внешние воздействия X, распределенные по области интегрирования
отсутствуют;
• краевые условия, как статические так и кинематические, являются
однородными.
В этих условиях говорят о свободных колебаниях механической системы. В
задаче о свободных колебаниях механической системы движение во времени
происходит по гармоническому закону, когда все искомые компоненты НДС
представимы в виде
а = ст0 sin(co? + ц), е = е0 sin(co? + ц), u = и0 sin(co? + ц), (1.2)
где нуликом в качестве нижнего индекса помечены амплитудные значения
соответствующих величин.
В результате задача о свободных колебаниях механической системы
сводится к следующей совокупности уравнений
Ата0 + Кщ = ю2ри0 - уравнения динамического равновесия, (1 .Ъ-а)
Ащ = гй - геометрические уравнения, (1.3-й)
о0 = Сео или Ео = С 'о0 - физические уравнения. (1.3-е)
Система разрешающих уравнений задачи (1.3) должна быть пополнена
краевыми условиями, которые в операторной форме можно записать в виде
ЕрНаа0=0 - статические краевые условия , (1.4-а)
EJIjAb=0 - кинематические краевые условия , (\А-Ь)
заданные на границе Г области Q.
Скалярный параметр со, при котором существует ненулевое решение
задачи (1.3)-(1.4), называется частотой свободных колебаний механической
системы. Употребляется также термин собственная частота как эквивалент
частоты свободных колебаний. Совокупность всех частот свободных
колебаний образует спектр частот механической системы.

10.1 Основные понятия Терминология 485
Параметр ц, входящий дополнительным слагаемым в аргумент под
знаком синуса в формулах (1.2), называется фазовым сдвигом или начальной
фазой колебательного движения. Заметим, что амплитудные значения
компонент напряженно-деформированного состояния системы при ее
свободных колебаниях могут быть определены только с точностью до
скалярного множителя.
Ненулевое перемещение и0, отвечающие частоте свободных колебаний со,
как векторная функция пространственных координат системы, определяет
форму свободных колебаний системы. Различным частотам свободных
колебаний отвечают различные формы свободных колебаний.
Хотя традиционно под формой колебаний понимаются именно
перемещения механической системы и0, но можно говорить и о форме
колебаний, имея в виду соответствующие этим перемещениям напряжения
о0 = САщ или деформации го = Ащ.
Если от общей постановки задачи (1.3) - (1.4) перейти к постановке
задачи в перемещениях, воспользовавшись оператором Ламе, то в
перемещениях получим
-Luo = co2pu0 efl, (1.5)
ЕрНаСАщ=0, ЕЛищ=0 еГ. (1.6)
где, напоминаем, оператор Ламе определен формулой
L=AJCA+K. (1.7)
Полезно также ввести понятие собственной нагрузки Х0. А именно,
нагрузку АГ0 будем называть собственной, отвечающей собственной частоте
со, если статическая задача
Lu0=X0 eQ,
ЕрНсСАщ = 0, ЕМиЩ = 0 еГ.
приводит к решениям в перемещениях и0, совпадающим (с точностью до
скалярного множителя) с соответствующей формой свободных колебаний
системы.
Квадрат частоты свободных колебаний системы со2 называется также
собственным числом оператора L, отвечающим оператору инерции р, и
обозначается обычно как X = со2.
Проблема отыскания собственных частот и собственных форм колебаний
механической системы называется задачей о спектре1.
1 По свидетельству Р. Беллмана [1] в математический обиход термин "спектр" был
введен Д Гильбертом

486 10. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ О СПЕКТРЕ
10.2 Задача о спектре как вариационная задача
10.2.1 Спектр механической системы с конечным числом
степеней свободы
Мы начнем наше рассмотрение с наиболее простой постановки задачи,
считая, что изучаемая механическая система обладает конечным числом
степеней свободы. В этом случае мы будем иметь дело не с
дифференциальными операторами и краевыми условиями, а всего лишь с
алгебраическими операторами, описываемыми некоторыми матрицами.
Итак, пусть положение механической системы полностью определяется п
обобщенными координатами quq2,...,q„, образующими вектор обобщенных
координат q = \[q\,q2,...,qn]\ ¦ Состояние системы в процессе ее движения
характеризуется также вектором обобщенных скоростей системы
*=l [?„-,?„] Г- (2-1)
Предположим, что в рассматриваемом состоянии система находится в
равновесии и значит скорости всех ее материальных частиц равны
нулю q = 0. Выведем тем или иным способом, но принудительно, эту
систему из равновесия, и будем считать, что такое вынужденное отклонение
не выходит за пределы некоторой малой окрестности равновесного
состояния системы. Отпустив затем эту отклоненную систему, предоставим
ей возможность самостоятельного возврата в исходное равновесное
состояние. В результате механическая система придет в движение, причем
это движение будет представлять собой линейную комбинацию п
гармонических колебаний.
Физические характеристики системы полностью определяются одной
функцией Е, представляющей собой потенциальную энергию системы. Для
упрощения рассуждений и без ограничения общности можем считать, что в
равновесном состоянии системы, в окрестности которого и осуществляется
свободное колебательное движение, все обобщенные координаты равны
нулю, то есть q = 0. Действительно, если это не так, то мы всегда можем
перейти к новой совокупности обобщенных координат, вычитая из старых
обобщенных координат их значения в равновесном состоянии системы.
Заметим, что такая сдвижка обобщенных координат системы не влияет на
изменение обобщенных скоростей, так как производные по времени от
констант равны нулю.
В оговоренных условиях малых отклонений от равновесного состояния
главный член разложения потенциальной энергии Е = E(qr) в степенной ряд
для отклоненного положения представляет собой однородную квадратичную
форму обобщенных координат. Иными словами

10 2 Задача о спектре как вариационная задача 487
E = E(?)=^li>4<7, + -, (2-2)
где коэффициенты г4 определяются как
^=-^-(0,...,0). (2.3)
Многоточием в (2.2) обозначены члены, содержащие обобщенные
координаты с более высокими степенями, чем вторые, так что согласно
предположению о малости начального отклонения этими величинами можно
пренебречь.
Справедливость представления (2.2) легко устанавливается формальными
правилами разложения функции от п координат в ряд Тейлора. В самом
деле, имеем
Е(,) = Е(0,...,0)+ JiE(o,...,o)?i+iJJ-^-(0,. ,0)ад, + .... (2.4)
Но, как мы условились, нулевое положение системы отвечает ее
равновесному состоянию, а в равновесном состоянии потенциальная энергия
системы принимает стационарное значение. Это означает, что
|Е-(0,...,0) = 0 (1=1,..., и).
Принимая также Е(0,...,0)= 0, что соответствует всего лишь назначению
уровня отсчета потенциальной энергии, мы и приходим к (2.2), (2.3).
В дальнейшем будем полагать, что равновесное состояние системы q = 0
является положением устойчивого равновесия. По известной теореме
Лагранжа-Дирихле [2] это означает, что квадратичная форма (2 2), а вместе с
ней и матрица r= \[r'J]\, составленная из коэффициентов этой квадратичной
формы, является положительно определенной2. Иными словами
E(q) > 0 при q Ф 0 . (2.5)
Кроме потенциальной энергии Е движение системы характеризуется
также ее кинетической энергией Т, которая, как это известно из курса
теоретической механики [3], представляет собой однородную положительно
определенную квадратичную форму от обобщенных скоростей. Иными
словами
2 На самом деле теорема Лагранжа-Дирихле говорит лишь о том, что условия
минимума потенциальной энергии являются достаточными условиями устойчи-
вости равновесия, но эта теорема ничего не говорит о необходимых условиях
устойчивости Поэтому предположение о положительной определенности
квадратичной формы (1.9) является чуть более сильным условием См. по этому
поводу, например, [2 , стр 210]
17-818

488 10. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ О СПЕКТРЕ
Т = Т(*)=^Х1>Ч<7,> (2 6)
где матрица т = \[m'J]\ называется матрицей инерциальных характеристик
системы, или короче матрицей масс. Считается, что матрица масс т также
является симметрической положительно определенной матрицей, что
обеспечивает гарантию положительности кинетической энергии системы
при любых ненулевых скоростях ее материальных частиц.
В матричной форме потенциальная энергия Е и кинетическая энергия Т
представимы в виде
E=-qTrq, T=-qTmq. (2.7)
Несложно понять, что уравнения движения этой системы в условиях
отсутствия внешних возмущающих сил принимают вид
mq+rq = 0. (2.8)
На основании принципа Даламбера это уравнение, точно так же как и ранее
записанное уравнение (1.1), можно истолковать как уравнение
динамического равновесия механической системы с конечным числом
степеней свободы, в котором в качестве внешнего силового воздействия
приняты во внимание одни только инерционные силы -mq .
Заметим, что матричное дифференциальное уравнение движения (2.8)
легко получить и формальным путем из (2.7), если воспользоваться
известными уравнениями Лагранжа второго рода, согласно которым3
d (П dE
dt dq dq
Решение системы дифференциальных уравнений (2.8) разыскивается в
виде, аналогичном (1.2), а именно
q = z sin(atf + ц), (2.9)
где z= | [>ь... ,z„]|T - вектор амплитудных значений перемещений,
соответствующих обобщенным координатам q, (i = 1,...,и).
После подстановки (2.9) в (2.8) и по сокращении на синусоидальный
множитель приходим к однородной линейной алгебраической системе
уравнений
3 Для вывода матричного дифференциального уравнения (2.8) можно и не
обращаться к уравнениям Лагранжа второго рода, а исходить из закона сохранения
энергии, согласно которому d(E+T)/dt = 0. Подставляя сюда для потенциальной и
кинетической энергий их выражения по (2 7) и учитывая симметрию матриц гит,
приводим это условие к виду qT (mq + rq) = 0 . Но вектор скоростей q должен
быть отличен от тождественного нуля, откуда и следует уравнение (2 8)

10.2 Задача о спектре как вариационная задача 489
(r-Xm)z = 0, (2.10)
где для согласования с традиционно принимаемыми в математике
обозначениями через X обозначается квадрат частоты колебаний
Х = а2. (2.11)
Сформулируем здесь некоторые определения и утверждения теории
симметрических матриц, которыми мы намерены сейчас воспользоваться и
которые предполагаются читателю известными. Итак:
Обобщенной задачей на собственные значения и собственные векторы
для пары матриц гит называется задача поиска таких ненулевых векторов
г и соответствующих им чисел X, которые удовлетворяют однородному
уравнению (2.10). Если пара, состоящая из скаляра X и вектора г,
удовлетворяет этому равенству, то X называется собственным числом (или
собственным значением) матрицы г относительно матрицы т, а вектор г,
соответствующий этому собственному числу, называется собственным
вектором 4.
Известно, что:
a) Для произвольных симметрических матриц гит существует не более чем
п собственных чисел.
b) Если матрица т невырождена, то существует ровно п собственных чисел
(с учетом их кратности) и ровно п линейно независимых собственных
векторов.
c) Если хотя бы одна из матриц г или т является положительно
определенной, то все собственные числа X принимают вещественные
значения.
ф Для одновременно положительно определенных матриц гит все
собственные числа строго положительны.
е) Собственному числу кратности к отвечают ровно к линейно независимых
собственных векторов.
J) Положительно определенная матрица может быть разложена в
произведение двух взаимно транспонированных квадратных матриц того
же порядка. Заметим, что такое разложение неединственно, что можно
продемонстрировать на следующем простом примере
"1 1 II
72 "72
.vi hi
В дальнейшем для задачи о свободных колебаниях механической
системы имеет смысл ограничиться случаем положительно определенных
4 Подчеркнем, что согласно определению термины собственное число и собственное
значение синонимичны
17*
V2 0 1
V2 V2J
V2
V2 V2
"7Г h.

490 10. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ О СПЕКТРЕ
матриц гит. Как об этом уже говорилось, условия положительной
определенности этих матриц в наших задачах выполняются, поскольку
кинетическая энергия системы положительна по определению, а
потенциальная энергия положительна, так как рассматриваются колебания
системы в окрестности ее равновесного состояния, которое предполагается
устойчивым5 Полезно заиндексировать все собственные числа, упорядочив
их по возрастанию
0<Я.1<Х.2< ...<Л.И (2.12)
Эту же индексацию распространим и на соответствующие собственные
векторы, так что для г-ого собственного числа X, и г-ого собственного
вектора г, из (2.10) будем иметь
(r-X,m)Zl = 0 (i=l и). (2.13)
Обратим внимание на то, что в упорядоченности (2.12) неравенства не
являются строгими (за исключением неравенства 0 < Xi). Но допущение
равенств в (2.12) означает, что в полном наборе собственных чисел из п
штук могут присутствовать и одинаковые по значению собственные числа.
Если некоторое число X повторяется в наборе (2.12) к раз, то говорят о
к-кратном собственном значении.
Одна из важнейших теорем в теории вещественных симметрических
матриц, которую мы назовем теоремой о кратности, сформулирована выше в
виде утверждения е).
Метрические представления в задаче о спектре
Очевидно, что любой собственный вектор может быть домножен на
произвольное число без нарушения равенства (2.13). Распорядимся
предоставляемым произволом так, чтобы длина каждого собственного
вектора была равна единице (речь идет о длине в эвклидовой метрике)
||г,||2 = (г„г,)=г,тг, = 1 0=1,.., и). (2.14)
Требование (2.14) представляет собой по существу выбор способа
нормировки собственных векторов. Конечно же можно воспользоваться и
любой иной нормировкой, лишь бы понятие длины вектора имело смысл.
Пусть X, и Xj различные собственные числа, то есть X, Ф Хг Тогда легко
показать, что справедливы следующие соотношения обобщенной
ортогональности собственных векторов
2>г, =0, zJrZj=0 (i*j). (2.15)
5 Для восстановления в памяти сформулированных выше утверждений из теории
симметрических матриц (в худшем случае, для первоначального ознакомления с
ними) можно указать многочисленные источники. Мы рекомендуем любую из книг
[1], [4], [5]

10 2 Задача о спектре как вариационная задача 491
О первом из соотношений в (2.15) говорят также, как об ортогональности
векторов по матрице масс т. Второе соотношение в (2.15) словесно
оформляется как ортогональность по матрице жесткости г.
В самом деле в силу симметрии матрицы г
zjrzj = z]n,.
Заменив здесь rz} на XjinZj, a rz, на Xtmz,, приводим это равенство к виду
XjzJntZj = XtzTJmz1, (2-16)
что с учетом симметрии матрицы т дает
(Xj - Xt )zJntZj = 0 ,
откуда и вытекает первое из соотношений обобщенной ортогональности в
(2.15) при Х,*ХГ Второе же соотношение ортогональности следует из
первого, если заменить там mz} на rz} /XjH учесть неравенство Xj Ф О
Заметим, что соотношения обобщенной ортогональности (2.15) на
механическом уровне могут быть интерпретированы как одно из проявлений
теоремы взаимности работ Бетти. Действительно, вектор перемещений г,
можно рассматривать как решение квазистатической задачи, когда
механическая система находится под действием статически приложенных
инерционных сил ю,2#яг,, поскольку rz, = tfmz, ¦ Но тогда две различные
формы колебаний z, и г,, каждая из которых вызывается своей
совокупностью сил, можно рассматривать как два состояния механической
системы: состояние г и состояние у соответственно. Согласно теореме Бетти
можем записать
zj (tfmZj) = z] (tfmz,),
что есть просто иная запись того же соотношения (2.16), откуда и вытекает
(2.15).
Соотношения обобщенной ортогональности получены нами при
ограничительном условии Х,*Х;. Если же некоторое собственное число,
скажем Х„ является Аг-кратным, то на основании сформулированной выше
теоремы о кратности для этого собственного числа найдется ровно к
линейно независимых собственных векторов. Пусть
А, = А,+ , = ...=*., + *_,,
а все собственные векторы z„z,+ i,-..,z, + k-i, которые мы считаем
нормированными к единице по (2.14), линейно независимы.
Непосредственно проверяется, что и любая линейная комбинация этих
векторов, образующая вектор единичной длины, также может
рассматриваться как нормированный собственный вектор, отвечающий
собственному значению X,. Из всевозможных линейных комбинаций
выберем в качестве кандидатов на дальнейшее рассмотрение только такие

492 10. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ О СПЕКТРЕ
векторы, которые ортогональны по матрице масс6. Это дает возможность
распространить первое из соотношений обобщенной ортогональности в
(2.15) на все собственные векторы независимо от наличия или отсутствия
кратных собственных чисел в спектре. Второе же из соотношений
ортогональности в (2.15) будет вытекать отсюда автоматически.
Итак, резюмируя, отмечаем, что ортогональность собственных векторов,
как по матрице масс, так и по матрице жесткости, для различных
собственных значений получается автоматически, а для кратных
собственных значений за счет специального выбора системы линейно
независимых собственных векторов.
После такого выбора системы линейно независимых собственных
векторов для любых двух собственных векторов единичной длины в
(2.15) можем записать
= М5
(2.17)
где 8Ц - символ Кронекера, М, =zfmz,, R,=zjrz,. Величины М, и R, можно
рассматривать как квадраты норм собственного вектора z, по метрике,
порождаемой соответственно матрицами от и г.
Исходная система обыкновенных дифференциальных уравнений (2.8) в
каждом из уравнений в общем случае содержит все неизвестные функции q,
(г= 1,...,и) и поэтому неудобна для анализа. Существует простой способ
такого преобразования этой системы уравнений, при котором в каждом из
уравнений будет содержаться только одна из искомых функций.
Введем в рассмотрение матрицу V, составленную из собственных
векторов так, что в первом столбце этой матрицы содержится первый
собственный вектор, во втором столбце второй собственный вектор и так
далее. Иными словами,
V = |fei,.. ,г„]| =
где zn - это г-ая компонента j-oro собственного вектора. Воспользовавшись
этой матрицей как матрицей линейного преобразования обобщенных
координат, перейдем к новой совокупности переменных у= \\yi,...,y„]\ ,
положив по определению
я = Уу
(2.19)
6 Для практического построения ортогональной системы векторов из любой з;
линейно независимой системы векторов можно воспользоваться известным
процессом ортогонализации Грамма-Шмидта [4]

10 2 Задача о спектре как вариационная задача 493
Подстановка (2.19) в основное дифференциальное уравнение (2.8) с
последующим домножением полученного на матрицу V слева приводит это
уравнение к виду
My + Ry = 0, (2.20)
где в силу условий обобщенной ортогональности собственных векторов г, по
(2.17) матрицы М и R оказываются диагональными матрицами7
VTrV = R = diag|[*i,.. .,R„]\, VT»iV = M = diag|[M,- ¦ -МЛ , (2.21)
причем в силу положительной определенности матриц гит эти
диагональные элементы оказываются строго положительными величинами.
Но так как матрицы R и М диагональны, то система уравнений (2.20)
распадается на п независимых уравнений, так что
М1СЦ?- + Яу =0 0=1,..., и).
dt2
Общее решение этой системы уравнений может быть записано в виде
у, = 4sin(co/ + n,), (2.22)
где:
• А, - амплитудное значение нового обобщенного перемещения у,;
• со, - круговая частота свободных колебаний системы по г-ой форме,
• ц, - начальный сдвиг фазы.
Очевидно, что (2.22) является решением полученного обыкновенного
дифференциального уравнения при
*'-)/%¦¦ (2'23)
Величины у, в отличие от исходных обобщенных координат системы q,
принято называть главными или нормальными координатами. Параметры
Ri,R.2,.-.,R„ и Mi,M2,...,M„ называются соответственно приведенными
жесткостями и приведенными массами (приведенными к главным
координатам). Как об этом уже было сказано, приведенные жесткости и
приведенные массы геометрически представляют собой квадраты длин
собственных векторов в метрике, порождаемой соответственно матрицей г и
матрицей т. Отсюда и из (2.23) вытекает, что частота свободных колебаний
7 В понятиях и терминологии теории квадратичных форм, тесно связанной с теорией
симметрических матриц, справедлива красивая теорема о возможности
одновременного приведения двух квадратичных форм (хотя бы одна из которых
обязана быть положительно определенной) к диагональному виду с помощью
одного и того же линейного преобразования координат [4]. Соотношения (2 21),
известные в той же теории как преобразования конгруентности, есть следствие
этой теоремы

494 10. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ О СПЕКТРЕ
со, по г'-ой форме есть отношение норм собственного вектора г, в этих двух
метриках.
Из изложенного следует, что знание собственных векторов представляет
собой заведомо более богатую информацию, чем знание собственных чисел.
В самом деле, собственные векторы однозначно определяют матрицу
преобразования V, которая в свою очередь позволяет вычислить
приведенные жесткости и приведенные массы. А формула (2.23) дает
инструмент для вычисления собственных чисел.
Возвращаясь теперь к исходным обобщенным координатам q, и полагая
V = |[z,y]|, находим из (2.19)
Я, = Х2уЛ sin((fl f + Ц,) •
Это и означает, что движение системы по каждой из обобщенных координат
представляет собой суперпозицию п гармонических колебаний.
Все это хорошо известные вещи из простейшей теории свободных
линейных гармонических колебаний конечномерных систем, прямого
отношения к вариационному описанию спектральных характеристик
системы не имеющие. В этом смысле предшествующий текст настоящего
параграфа следует рассматривать как напоминание, служащее введением в
последующее изложение и знакомящее читателя с принимаемой системой
обозначений и терминологией.
10.2.2 Вариационное описание собственных чисел
В предположении, что нам известны частоты и формы свободных колебаний
механической системы с п степенями свободы, получаем возможность
проследить за изменением основных интегральных характеристик системы в
процессе колебаний. В качестве интересующих нас интегральных
характеристик рассмотрим потенциальную и кинетическую энергии.
Опираясь на формулы (2.7) и (2.9), подсчитаем эти величины в
произвольный момент времени. Имеем
.-1т 1т-2, .. t-1t-G>2t 2,
E=-q'rq=-z rzsm'((ot + \i) , T=-q'mq= — z mzcos (со? + ц).
Отсюда с учетом равенства rz = (o2mz сразу же следует, что в любой момент
времени суммарная энергия системы одна и та же и равна
Е + Т =-zTrz, (2.24)
что, разумеется, и следовало ожидать в силу закона сохранения энергии.
Однако по отдельности каждое из слагаемых в (2.24) изменяется со
временем.

10.2 Задача о спектре как вариационная задача 495
Начиная с этого места, договоримся под величинами Е и Т понимать
амплитудные значения соответствующих энергий, что дает возможность
Е = - zrn, T=—zTmz. (2.25)
Эти равенства следует понимать так. Если механическая система
подвержена свободному колебательному процессу с частотой со и
амплитудными значениями обобщенных координат г, то амплитудные
значения ее потенциальной и кинетической энергий в процессе таких
колебаний могут быть вычислены по формулам (2.25).
Конечно же, на истинных векторах перемещений г, удовлетворяющих
основному дифференциальному уравнению (2.8), эти величины должны
быть равны. Отсюда сразу же можно получить
ю2=ггг_ (226)
г mz
Если в качестве вектора г в правой части (2.26) принимается один из
собственных векторов, скажем г» то легко понять, что это отношение
окажется равным соответствующему собственному числу Х„ то есть
Х,=4^~- (2-27)
г, mz,
Но нас сейчас будут интересовать эти две квадратичные формы, стоящие
в числителе и знаменателе формулы (2.26), как функционалы от вектора
перемещений г. Да и само отношение этих двух квадратичных форм можно
рассматривать как функционал от вектора г.
Такой функционал называется функционалом Релея г или, как иногда
говорят, отношением Релея 8. Итак,
г = ¦—-. (2-28)
z mz
Фактически мы имеем дело с тремя способами введения метрики в
пространстве обобщенных перемещений системы (в нашем случае в
конечномерном пространстве). Терминологически в зависимости от
принятого способа введения метрики нам будет удобно рассматривать три
пространства, которые мы определим следующим образом:
• Основное (эвклидово) пространство Ш„ со скалярным произведением
(дуО = ху;
: оправдания мы используем строчную букву Г для обозначения
функционала Релея ради избежания путаницы в обозначениях Дело в том, что
прописная буква R уже занята в качестве символа для обозначения функционала
Рейсснера.

496 10. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ О СПЕКТРЕ
• Е-пространство со скалярным произведением (ху)в = хгу ;
• Т-пространство со скалярным произведением (ху)т = х ту .
Уже указывалось на то, что введенные ранее обобщенные жесткости R, и
обобщенные массы М, геометрически представляют собой квадраты
Е-длины и Т-длины г-ого собственного вектора г, единичной эвклидовой
длины. Иными словами,
R,=\\г, Не. M,=\\z,\$, при rz, = XlZl, ||г,|| = 1. (2.29)
В этих же терминах функционал Релея представляет собой отношение
квадратов длин одного и того же вектора в двух метриках, а именно,
г(г)=^к = М.. (2.30)
(г,г)т II г 11т
Очевидно, что отношение Релея не изменится, если вектор г умножить на
произвольный скаляр Л:, то есть r(fe) = г(г) при любом числе к*0. Отсюда
следует, что этот функционал достаточно рассматривать только на таких
векторах г, Т-длина которых равна единице ||г||т= 1- Геометрически
совокупность всех таких векторов описывает и-мерную сферу единичного
радиуса в Т-пространстве с центром в начале координат.
О разложении произвольного вектора по собственным
векторам как по базису
Возьмем произвольный вектор х единичной Т-длины в Т-пространстве,
который не обязан быть каким либо собственным вектором рассматриваемой
задачи И пусть {х\,Х2,...,х„} есть совокупность всех собственных векторов
единичной Т-длины.
Разложим этот вектор по векторам хь х2,..., х„ как по базисным векторам.
Иными словами, положим
x = alxi + a2X2+...+ a„x„, (2.31)
причем в силу ||лг||т = 1 эти коэффициенты подчинены условию
а\ +а22+... + а2п =1. (2.32)
Коэффициенты а, определяются стандартным приемом с помощью
последовательного скалярного домножения равенства (2.31) на базисные
векторы. С учетом условий Т-ортогональности этих векторов получим
а, = (хЛ)г (i=l,..., и).
Следовательно, разложение (2.31) можно записать так
х = (xjci)Txi + (xjc2)tx2 +• • •+ (xjc„)Tx„. (2.33)
Совершенно аналогично можно взять произвольный вектор у единичной
Е-длины в Е-пространстве, ||j>||E = 1 и разложить этот вектор по системе

10.2 Задача о спектре как вариационная задача 497
собственных векторов {уьУ2,---,Уп}- Каждый из собственных векторов у,
мыслится как вектор единичной Е-длины, то есть ||j,||e= 1- Тогда,
разложение вектора у по этим векторам как по базису будет иметь вид
У = (УУ\)еУ\ + (УУ2)е У2 +¦ ¦ ¦+ (УУп)е У„ ¦ (2.34)
Вариационно-рекурсивное определение собственных чисел и
собственных векторов
Справедливо следующее утверждение, обычно связываемое с именем одного
Релея, но мы будем называть это утверждение принципом Релея-Вебера9
Функционал г(г)
Z\, и это его
минимизируется первым
минимальное значение
собственным вектором
равно
наименьшему
собственному значению Xi матрицы г относительно матрицы т,
то есть
mm г(г) = !¦&) = *.,
В справедливости принципа Релея-Вебера для первого собственного
значения легко убедиться с помощью следующего рассуждения. Найдем все
такие векторы z единичной Т-длины, на которых функционал Релея
г(г) = zrz принимает стационарное значение. Поскольку варьируемый
вектор г должен удовлетворять дополнительному условию г mz — 1, то мы
имеем дело с условной вариационной задачей. Воспользуемся стандартным
приемом сведения условной вариационной задачи к безусловной, введя
модифицированный по Лагранжу функционал р(г) = г rz + ц(1 -г mz) с
лагранжевым множителем ц. Необходимые условия стационарности этого
функционала приводят к уравнениям
rz — \xmz = 0, z mz=\.
Но первое из этих уравнений имеет отличное от нуля решение только тогда,
когда вектор z является одним из собственных векторов, а лагранжев
множитель ц представляет собой соответствующее собственное значение.
Итак, все стационарные значения функционала Релея реализуются на
собственных векторах, при этом согласно (2.27)
г(г,) = -т^- = х. 0'=Ь..., «)• (2.35)
z, mz,
9 До Релея формулируемый вариационный принцип для собственных значений был
известен Веберу, в работе которого [6] дается рекурсивное определение
собственных значений применительно к задаче о колебаниях мембраны
Последовательное применение этого принципа к установлению различных
физических свойств колеблющихся механических систем принадлежит Релею [7]

498 10. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ О СПЕКТРЕ
Поскольку нумерация собственных чисел удовлетворяет принятой по (2.12)
упорядоченности, то отсюда и получаем, что наименьшее из стационарных
значений г(г) равно mm г(г) = г(г,) = \ .
В сформулированном виде принцип Релея-Вебера относится только к
первому (младшему) собственному значению. Однако функционал Релея
позволяет ввести обобщенное вариационное описание собственных чисел, не
ограничиваясь только первым из них.
Приведем теперь общий вариационный принцип Релея-Вебера в виде
следующего утверждения
Функционал г(г) минимизируется i-ым собственным вектором z„ I
и это его минимальное значение равно i-ому собственному значению
\Х, матрицы г относительно матрицы т, если этот минимум
{разыскивать только на тех векторах z, которые Л'-ортогональны
первым (г - 1) собственным векторам Zi,-.., z, ь то есть
minr(z) = r(z,) = ).1
| при условиях zmz\ = 0,..., zTmz, i = 0. |
Действительно, мы уже знаем, что все стационарные значения
функционала Релея реализуются на собственных векторах. Но мы должны
исключить из рассмотрения первые (г-1) собственных векторов, так как
любой такой вектор (скажем, z„ где \<j< г-1) нарушает требование
г mZj = 0 при г = z,- Из оставшихся допустимыми к сравнению собственных
векторов минимальное значение для г(г) реализуется по (2.35) как раз на
векторе г„ что и доказывает сформулированное утверждение.
Вариационный принцип Релея-Вебера по существу можно принять за
новое (вариационное) определение собственных чисел и собственных
векторов. Как это понятно из текста, вариационное релеевское определение
собственных чисел и собственных векторов носит рекурсивный характер"
сначала независимо определяется первое собственное число и первый
собственный вектор, затем по этим данным определяется второе собственное
число и соответствующий ему второй собственный вектор и так далее.
Именно эти соображения и позволяют рассматривать общий вариа-
ционный принцип Релея-Вебера как вариационно-рекурсивное определение
собственных чисел и собственных векторов.
О влиянии связей на первое собственное значение
Вариационное описание собственных чисел дает нам в руки эффективный
инструмент для оценки влияния связей на частоты свободных колебаний
системы.
Если опираться не на исходное определение собственных чисел, а на их
определение в вариационном смысле, то значительно легче становится
доказательство известной теоремы Рауса о повышении (точнее, не
понижении) частот свободных колебаний механической системы при
наложении на эту систему некоторого количества связей.

10 2 Задача о спектре как вариационная задача 499
Сначала рассмотрим теорему Рауса в случае наложения на систему одной
связи. Формулировка этой теоремы такова. Пусть дана исходная
механическая система Sen степенями свободы, спектр квадратов частот
свободных колебаний которой
0 < А.1<Л.2< ...<Л.„ .
Образуем из этой системы новую, возмущенную дополнительной связью
систему, которую обозначим S . Мы подразумеваем, что система остается
линейной и после наложения связи, а это означает, что сама связь мыслится
как требование подчинения всех обобщенных координат системы
линейному однородному уравнению вида
aizi + a2z2 + ... + а^„ = 0 (2.36)
с неравными одновременно нулю всеми коэффициентами а„ что
эквивалентно требованию
ах +а2+... + а2п*0.
Уравнение (2.36) принято называть уравнением связи10.
Понятно, что внесение в систему связи (2.36) сокращает на единицу
количество независимых обобщенных координат системы. Поэтому
фактически возмущенная наложенной связью система будет обладать (и - 1)
степенями свободы, а ее спектр квадратов частот запишем как
0<Хх<Х2 <...< Хп_х .
Так вот, теорема Рауса утверждает, что имеет место следующего вида
взаимная оценка частот двух систем
ХХ<ХХ<Х2, Х2<Х2<Х3,... ,Х„_х<Х„_х<Хп, (2.37)
Можно сказать, что частотные спектры исходной системы и системы со
связью перемежаются.
В этом пункте мы остановимся на доказательстве только первой пары
неравенств в (2.37) ХХ<ХХ<Х2. Справедливость остальных неравенств
будет установлена нами позже как частный случай более общей теоремы
Рауса о влиянии связей на частотный спектр механической системы.
Для доказательства, прежде всего, переформулируем уравнение связи
(2 36). Это уравнение можно записать в матричном виде как a z = 0, где
вектор а = \[аьа2, .., а„]\ не является нулевым вектором. Положим Ъ = т~1а,
что допустимо в силу невырожденности матрицы масс. При этом вектор Ъ
также оказывается ненулевым. Но тогда с учетом симметрии матрицы т
уравнение связи запишется в эквивалентном виде
10 С позиций механики речь здесь идет об абсолютно жестких кинематических
связях, каждая из которых сокращает число динамических степеней свободы
механической системы на единицу Влияние упругих дополнительных связей на
сдвижку частотного спектра механической системы мы рассмотрим чуть позже

500 10. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ О СПЕКТРЕ
bTmz = {b,z)j = 0 . (2.38)
Это означает, что условие связи математически можно истолковать как
требование Т-ортогональности любого из допустимых векторов
перемещений z вектору связи Ь.
На основании вариационного принципа Релея-Вебера Х\ = min г(г), тогда
как \ = min г(г) при условии (b,z)j = 0. Отсюда сразу же следует, что
А,, < ?,, поскольку при усечении множества допустимых к сравнению
векторов минимум функционала никак не может понизиться. Итак,
наименьшее собственное значение при наложении связи возрастает. Более
точно надо бы сказать "не убывает". То, что равенство А,, = Х{ может быть
реализовано, легко понять, приняв в качестве вектора связи Ъ любой из
собственных векторов г, при i = 2,...,п.
Наш следующий шаг в рассуждениях заключается в обосновании
неравенства Х{ < Х2. В частном случае Ъ = z\ все допустимые перемещения
должны быть Т-ортогональны первому собственному вектору. На основании
вариационно-рекурсивного определения второго собственного числа для
исходной системы Х2 = min г(г) для всех г, удовлетворяющих условию
(zi,z)t = 0. Но этому же вариационному определению отвечает и первое
собственное число A,j системы со связью. Так что при Ъ = Z\ достигается
равенство \=Х2. Покажем теперь, что ни для какого вектора связи Ъ
первое собственное число Хх не может превысить Х2.
С этой целью рассмотрим произвольный вектор х единичной Т-длины
такой, что этот вектор одновременно удовлетворяет условию связи и
является линейной комбинацией двух первых собственных векторов
единичной Т-длины х\ и х2, то есть
(М)т = 0 и х = (хл)гХ1 + (хл)гХ2. С2-39)
То, что такой вектор найдется, видно хотя бы из соображений размерности.
Так, размерность подпространства векторов, удовлетворяющих условию
связи, равна (и- 1). А размерность подпространства, образуемого линейной
комбинацией двух первых собственных векторов, равна 2. Следовательно,
подпространство, образуемое пересечением этих двух подпространств,
имеет гарантированно ненулевую размерность.
Теперь имеем
X, = min г(у) < г(х), (2.40)
где минимум берется по всем векторам у из указанного выше
подпространства размерности (и- 1). Но, с другой стороны для вектора х
единичной Т-длины на основании (2.39) имеем
г(х) = (х,х)е =(х,х,)т || х, Не +(х,х2)у || х2 ||Е= (x,x{)jX{ +(х,х2)^2.

10.2 Задача о спектре как вариационная задача 501
Здесь учтена Т-ортогональность векторов xi и х2. Далее Х1 < Х2, так что
отсюда сразу же получаем оценку
г(х) < [(х,хХ +(х,х2)2л]Х2 = || х \\>Х2 = Х2.
Итак, г(х) < Х2, что с учетом (2.40) и доказывает неравенство Х{ < Х2.
Прежде, чем перейти к формулировке и обоснованию общей теоремы
Рауса о влиянии связей на частотный спектр механической системы,
остановимся на независимом вариационном определении собственных
значений, которое мы будем называть как максиминимальный принцип
Фишера-Куранта ", сокращенно именуемый также как принцип максимина.
Независимое вариационное определение собственных значений
Устанавливаемое принципом Релея-Вебера вариационно-рекурсивное
определение собственных чисел обладает тем неудобством в использовании,
что оно предполагает знание предшествующих (/-1) собственных векторов
при определении собственного числа X,.
Вариационный принцип Фишера-Куранта лишен этого недостатка,
поскольку он дает независимое от предшествующих элементов спектра
вариационное определение собственного числа произвольного номера. Вот
его формулировка
Собственное число X, равно максимальному значению, которое
может получить минимум функционала Релея г(г) при наложении
| на механическую систему (г - 1) абсолютно жестких связей |
Для отчетливого понимания подчеркнем, что под максимизацией в этой
формулировке понимается перебор (варьирование) всевозможных связей в
количестве (/ - 1), тогда как для любого фиксированного набора связей
отыскивается минимум функционала Релея.
Предположим, что указанные (г- 1) связей задаются векторами Ь\, , Ь,^.
Понятно, что первое собственное число Х{ системы со связями будет
зависеть от выбора этих связей. Иными словами Xl = Xl(bl,.. ,&,_[) можно
рассматривать как функционал от векторов связей Но согласно
11 В литературе по поводу такого именования нет общепринятой точки зрения. Так
например, Л. Коллатц [8] связывает этот принцип только с именем Куранта В
великолепной книге С Гудда [9] в библиографических примечаниях на стр 54
указано, что впервые этот принцип был в отчетливой форме сформулирован
Фишером [10] еще в 1905г , хотя для целей Фишера он там носил вспомогательный
характер. Р. Куранту, по-видимому, принадлежит осознание важности этого
принципа с позиций именно вариационных постановок физических задач, а также
систематическое применение этого принципа и распространение его на задачи
бесконечной размерности, описываемые уравнениями математической физики [11]

502 10. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ О СПЕКТРЕ
вариационному принципу Релея-Вебера \ есть минимум г(г) при условиях,
что вектор z ортогонален по Т-метрике всем векторам связей bu..., b,.\. В
наши намерения входит такой выбор векторов связей, при котором
А., принимает наибольшее значение.
Если мы выберем в качестве векторов связей первые (/'- 1) собственных
векторов, положив bx=Z\,...,b,\=z,\, то на основании вариационно-
рекурсивного определения получим
\{zx,...,z,_x) = Xl, (2.41)
где X, это г-ое собственное число системы без связей. Итак, эти (/ - 1) связей
всегда можно выбрать так, чтобы первое собственное число системы со
связями равнялось /-ому собственному числу системы без связей.
Нам нужно теперь показать, что при любом ином способе выбора связей
величина А., не может увеличиться, то есть Aj(&[,...,&,_,)< A,(Z|,...,z,_|).
Образуем два подпространства основного пространства Ж„. Первое под-
пространство Ж, определим как линейную оболочку, натянутую на первые
/собственных вектора xi,...jc, единичной Т-длины. Второе подпространство
Ж„ ,+1 есть множество всех векторов из Ж„, Т-ортогональных векторам связей.
Сумма размерностей этих подпространств равна (и+1), что больше
размерности п исходного пространства Это означает, что пересечение
Ж, п Ж„.,+1 не пусто. Возьмем произвольный вектор х единичной Т-длины из
этого пересечения, который представим в виде разложения по векторам
Х\,...,х, как по базису
X = (х^хУхХх + (*,*2)т*2 + • • • + (*г*,)т*1 •
Найдем значение функционала Релея на этом векторе
Т(х) = (xjc)e=(x,xx)\\ + {х,хг)гтХг +... + (х,х1)\\, .
И ясно, что г(дс) < X,. Кроме того, при любом выборе векторов связей
\(bi,...,b,l)<r(x),
так как левая часть здесь есть минимум отношения Релея по всем векторам
Т-ортогональным векторам связей, а справа в качестве аргумента выбран
вектор х, который не только Т-ортогонален всем векторам связей, но и
подчинен дополнительному ограничению принадлежности введенному
выше пространству Ж,. Объединение полученных двух неравенств дает
Х,ф, ..,*,_,)? А, (2.42)
Установлением этого неравенства и возможности равенства (2.41)
завершается доказательство эквивалентности рекурсивного и независимого
вариационных определений для /-ого собственных числа.

10 2 Задача о спектре как вариационная задача 503
В заключение этого пункта отметим, что независимое вариационное
определение /-ого собственного числа по Фишеру-Куранту может быть
сформулировано не только как принцип максимина, но и в обращенном виде
как принцип минимакса. Вот эта формулировка
Собственное число X, равно минимальному значению, которое
может получить максимум функционала Релея г(г) при наложении
| на механическую систему (/'-!) абсолютно жестких связей |
Не будем задерживаться на обосновании принципа минимакса,
предоставив читателю возможность самостоятельного проведения
доказательства. Все необходимые предпосылки для проведения такого
доказательства нами уже сформулированы.
Общая теорема Рауса о влиянии связей на собственные числа
механической системы
Принцип максимина, будучи один раз установленным, позволяет в
дальнейшем значительно упростить рассуждения при обоснованиях
различных свойств механической системы в отношении ее спектра. В
частности, с помощью этого принципа существенно упрощается
обоснование знаменитой теоремы Рауса о связях со следующей
формулировкой12
Собственные числа Я,, (/' = 1,..., п - к) для механической системы с
наложенными к линейно независимыми связями разделяют
собственные числа X, (/ = 1,..., п) исходной механической системы с
п степенями свободы в следующем смысле
Х,<Хг< Xl+k
| для любого индекса i в пределах i<n-k |
В частности, при к=\ этой теоремой покрывается и доказательство всех
неравенств в (2.37).
i2 3^ теореМу в литературе по теории механических колебаний часто называют
теоремой о разделении частот и иногда ее именуют теоремой Релея. Впрочем,
сам Релей признает, что в полной мере доказательство этой теоремы было дано
Раусом в работе [12]. В примечаниях к книге С. Гулда [9] от имени редактора
перевода ее на русский язык В Б Лидского отмечается, что по существу эта
теорема содержится уже в мемуаре Пуанкаре [13] В то же время в книге
Ланкастера [14] по теории матриц говорится, что на самом деле эта теорема была
уже известна и Коши Весьма показательный пример зыбкой неоднозначности и
противоречивости во мнениях специалистов при установлении научных
приоритетов

504 10. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ О СПЕКТРЕ
Обоснование этой теоремы с помощью принципа максимина Фишера-
Куранта оказывается достаточно простым делом13.
В качестве следствия теоремы Рауса укажем на следующее простое по
формулировке утверждение, которое часто используется в работах по
механике:
При наложении на механическую систему абсолютно жесткой
связи ее спектр, будучи отложенным на числовой оси в виде
дискретного набора собственных чисел, может смещаться только
направо Наложение каждой следующей связи вновь смещает
направо уже полученный новый спектр и так далее
Теорема Рауса на самом деле утверждает нечто большее. Она
устанавливает те максимальные пределы, до которых такое смещение
спектра допускается механической системой.
Кинематические связи, не меняющие количества
динамических степеней свободы механической системы
Следует четко понимать, что в теореме Рауса речь идет только о таких
механических связях, которые сокращают количество динамических
степеней свободы системы. Мы говорим о динамических степенях свободы,
понимая под этим термином совокупность независимых координат,
полностью определяющих положение всех масс системы. Именно масс, а не
безмассовых ее точек.
Представим себе, что изучаются свободные изгибные колебания
шарнирно опертой по концам балки, на которой размещено некоторое
(конечное) число масс (рис. 10.1-а).
Рис. 10.1. Различные и
13 Успешная
свидетельство
неудачи можно обр!
доказательства теоремы Рауса - лучшее
освоения рассматриваемого материала В случае
[, например, к Гантмахеру [5], стр 291, теорема 14

10 2 Задача о спектре как вариационная задача 505
Вместе с заданной системой рассмотрим систему со связью S,
запрещающей движение одной из масс, скажем массы 3, как это показано на
рис. 10.1-й Математически описание движения механической модели по
рис. 10.1-6 отличается от движения модели по рис. 10.1-а дополнительным
требованием q3 = 0, где q3 отклонение массы тъ от равновесного состояния в
колебательном процессе системы. Понятно, что такая связь сокращает на
единицу число динамических степеней свободы системы и значит попадает в
условия применимости теоремы Рауса
Иного рода связь получим, если закрепим от поворота балку в начальном
ее сечении (рис. 10.1-е). Количество динамических степеней свободы
системы при наложении такой связи не сокращается, так что условия
применимости теоремы Рауса в этом случае не будут выполнены, хотя на
механическом уровне наложенную связь уместно отнести к категории
абсолютно жестких.
Еще один вариант связей, не меняющих количества динамических
степеней свободы системы, показан на рис. 10.1-й?. Здесь массы т2 и тъ
подкреплены пружинами и поэтому такого рода связи можно назвать
упругими связями. К категории упругих связей относится также и
увеличение жесткостных характеристик всех или некоторых элементов
механической системы. В рассматриваемой задаче это можно представить
себе как увеличение изгибной жесткости балки El за счет увеличения модуля
упругости Е материала балки или момента инерции / сечения балки.
Для всех таких типов связей, когда количество динамических степеней
свободы системы не сокращается, все изменения в механической системе
отражаются исключительно на изменении ее потенциальной энергии,
отсчитываемой от изучаемого равновесного состояния.
Итак, пусть Е = E(qь..., q„) = х/щщ представляет собой приращение
потенциальной энергии заданной системы при малом отклонении ее от
положения равновесия, которое мы считаем выполняемым при q = 0
Аналогично пусть E = E(q1,...,qn) = 1/щ г q есть приращение потенциальной
энергии системы со связью, причем такой связью, которая не уменьшает
количества динамических степеней свободы системы Прежде всего,
отметим, что при любом отклонении системы от равновесного ее состояния
справедливо неравенство
E(q)>E(q). (2.43)
Действительно, по смыслу построения под величинами Е и Ё следует
понимать энергию деформации системы при кинематическом воздействии
на нее в виде вектора q заданных отклонений масс от равновесного
состояния системы. Но в таком случае мы попадаем в условия возмущений
системы, рассмотренные ранее в главе 2. В частности, согласно таблице 2.2
при наложении на систему абсолютно жесткой связи по типу, показанному
на рис. 10.1-е, и при чисто кинематическом воздействии на систему
гарантируется выполнение неравенства (2.43). Если же речь идет об упругой

506 10. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ О СПЕКТРЕ
связи, показанной на рис. 10. 1-й?, то аналогичное неравенство уста-
навливается взятым в рамку центральным утверждением раздела 2.4.4
Для дальнейшего анализа неравенство (2.43) удобно представить в
эквивалентном виде, положив
r=r + Ar, (2.44)
где матрица приращений жесткости системы Аг является положительно
полуопределенной, то есть для любого вектора q справедливо неравенство
qTAr q>0. (2.45)
Если записать выражение для отношения Релея применительно к
исходной системе и системе, возмущенной рассматриваемой связью, то в
силу (2.45) получим
Г(г) = ^<Г(г) = 4^ + ^. (2.46)
z mz z mz z mz
Очевидно, что частотный спектр при наложении на систему связей
рассматриваемого вида также сдвигается направо по числовой оси Ясно
также, что старшие частоты системы могут при такой сдвижке быть сделаны
сколь угодно большими. Это легко понять, если представить себе матрицу
Аг пропорциональной некоторому числовому параметру (3. Но тогда
возмущение в матрице жесткости системы (ЗАг за счет выбора этого
параметра может быть сколь угодно большим и сколь угодно большим
станет максимальное значение отношения Релея.
Конечно, качественная картина влияния рассматриваемого типа связей на
возмущение частотного спектра системы вполне ожидаема В то же время
интуитивно ощущается, что должны существовать и более тесные оценки по
типу, предоставляемому теоремой Рауса.
И действительно справедлива следующая теорема
Пусть
числа
числа
X,(i=l, ,ri) есть собственные чис
ой системы, а величины Xl(i=l,.. , и)
для механической системы со связями,
па исходной меха-
суть собственные
не уменьшающими
динамических степеней свободы системы Пусть ранг
матрицы Аг (матрицы приращения жесткост
(l<k
<п) В этих условиях справедливы оценки
Х,< X, (/=1,..., и); Х,<Х,+к (/
и системы) равен к
= \,...,п-к).
Первая часть теоремы очевидна и по сути дела вытекает из неравенства
(2 46). Остается доказать, что Х1 < Х,+ь (i = 1,.. ,п- к), что опять таки не
сложно, если обратиться к вариационному принципу Фишера-Куранта14.
14 Пусть это будет очередным упражнением Полный текст доказательства см у
Гантмахера [5], стр 292, теорема 16

10 2 Задача о спектре как вариационная задача 507
Если вернуться к примеру, показанному на рис. 10.1, то для системы со
связями по рис. 10.1-й? легко убедиться в том, что в данном случае
"0 0 0
0 с2 0
0 0 с3
где с2 и с3 - жесткости введенных пружин, мыслимые как положительные
числа. Ясно, что в данном случае к= 2. Поэтому без каких либо вычислений
можно сразу записать следующие взаимные оценки частот для систем по
рис. 10 l-anl0.1-d
1-la ^ ^-14 ^ ^За , ^-2а ^ ^-2Ь, ^За ^ ^36 •
Владение средствами построения подобного рода оценок оказывает
большую помощь при решении прикладных задач.
Упражнение: показать, что наложение связи по типу, изображенному на
рис. 10.1-е, математически сводится к наращиванию матрицы жесткости г по
(2 44). Не производя вычислений установить ранг к матрицы Аг в этом
случае
10.2.3 Геометрическое описание собственных чисел и
собственных векторов. Эллипсоид Релея
В разделе 10.2.1 отмечалось (утверждение J), что симметрическая
положительно определенная матрица всегда может быть представлена
произведением двух взаимно транспонированных квадратных матриц того
же порядка.
Воспользуемся сейчас этим утверждением, представив матрицу инерции
т в виде
т = WTW . (2.47)
Если ввести линейное преобразование координат
x = Wz, (2.48)
то задача о спектре для пары матриц rz - hmz, будет сведена к стандартной
задаче о спектре матрицы р
рх = Ъс, р = W Тг\Г1. (2.49)
Здесь для сокращения обозначений символом ~ обозначена двойная
операция: обращение и транспонирование обратной матрицы.
Собственные значения от такой замены не меняются, а собственные
векторы z, исходной задачи связаны с собственными векторами х,
преобразованной задачи соотношениями, вытекающими из (2.48)
х, = Wz,, г, = W^, (2.50)

508 10. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ О СПЕКТРЕ
Матрица р наследует свойство положительной определенности от
матрицы г, что вытекает из цепочки тождественных преобразований
0 < (z,rz) = (W VW"1*) = (^W^rW4*) = (xj>x).
Понятно также, что собственные векторы хь.. ,х„ преобразованной задачи
ортогональны как в обычной (эвклидовой) метрике, так и по метрике,
порождаемой матрицей р. Если отнормировать обычным способом эти
векторы, положив (х„ х,)= 1, то вместо (2.17) будем иметь
(л:,, *,) = 8У, (*,, рх;) = А.Д,. (2.51)
Отношение Релея в новых переменных перепишется в виде
г = ^rz = гтгг = *TW TrW~'х = хтрх
zTmz zTWTWz хтх хтх
и теперь может рассматриваться как функционал от вектора х.
Мы уже знаем, что интересующие нас собственные числа равны
значениям функционала Релея в точках его стационарности, причем без
ограничения общности этот функционал достаточно рассматривать только
на таких векторах х, евклидова норма которых равна единице.
Но если знаменатель в отношении Релея зафиксировать равным единице и
приравнять единице числитель, то придем к уравнению
(х*х)=1. (2.53)
Из аналитической геометрии известно, что совокупность единичных
векторов х, удовлетворяющих уравнению (2.53), описывает некоторую
поверхность второго порядка. Покажем, что эта поверхность представляет
собой эллипсоид (по крайней мере, в трехмерном пространстве).
Действительно, раскладывая произвольный вектор х единичной длины по
собственным векторам ДС], х2, хз как по базису, получим
X ^Xjcfci +(XJC2)X2 +(*,*>)хз ,
так что
рх =^0^1 + (xjc2)px2 + (Хг>сз)рх3 = hixjcfe! + Ых*2)хг + Х3(х*з)хз.
И уравнение нашей поверхности по (2.53) приводится к виду
X,(W + MW + MW = 1 • (2.54)
Вспоминая, что в трехмерном пространстве уравнение эллипсоида с
главными осями, совпадающими с направлением единичных векторов
Хи х2, Хз, и с длинами соответствующих полуосей а, Ь, с записывается как
(*,*,)2 | (*,*2)2 | (*,*3)2 =1
а2 Ьг г
убеждаемся в том, что (2.54), а, следовательно, и (2.53) определяет
эллипсоид.

10 2 Задача о спектре как вариационная задача 509
Построенный эллипсоид будем называть эллипсоидом Релея. Понятно,
что главные оси эллипсоида Релея сонаправлены с собственными векторами
вспомогательной задачи, а длины его полуосей равны соответственно
величинам а = А.""2, Ъ = А.""2, с = А."1'2. То есть наиболее длинная полуось а
направлена вдоль первого собственного вектора *i = Wzi, а наиболее
короткая с - вдоль старшего собственного вектора дс3 = Wz3- Обобщая этот
зримый трехмерный геометрический образ на и-мерное пространство,
приходим к абстрактному геометрическому понятию и-мерного эллипсоида
Релея 15.
Для наглядности двумерная геометрическая картина изображена на
рис. 10.2.
,6
йг
Рис. 10.2. Эллипсоид Релея
Строго говоря, для аналитических целей рассмотрение эллипсоида Релея
не является оправданным. Однако, как об этом уже не раз говорилось,
геометрическая картина задачи почти всегда позволяет лучше представить
существо дела и во многих случаях предсказать результат еще до того, как
он будет подтвержден строгим анализом.
Так, например, влияние наложенной на систему связи, сокращающей
число динамических степеней свободы, можно представить себе в виде
пересечения эллипсоида Релея некоторой плоскостью, проходящей через
начало системы координат и ортогональной вектору связи. Образующийся в
результате такого пересечения эллипсоид в пространстве размерности (и - 1)
как раз и будет представлять собой эллипсоид Релея для системы со связью.
Предоставим читателю возможность домыслить остальную геометрическую
картину, интерпретирующую теорему Рауса.
Понятие о связях наибольшей жесткости
Из предшествующего изложения и из представленной геометрической
картины ясно, что если в качестве вектора связи взять вектор дсь то есть
15 Иногда строят не прямой эллипсоид Релея, а обратный ему эллипсоид, полуоси
которого равны корню квадратному из собственных чисел задачи Но это не
принципиально

510 10. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ О СПЕКТРЕ
потребовать, чтобы все допускаемые связью перемещения были
ортогональны первому собственному вектору, то первое собственное число
для возмущенной задачи Х1 окажется равным второму собственному числу
А.2 для исходной задачи На геометрическом уровне это означает, что длина
<5 наибольшей полуоси (и - 1)-мерного эллипсоида будет равняться длине Ъ
второй оси и-мерного эллипсоида.
Теорема Рауса говорит о том, что подобная сдвижка первого собственного
числа это тот максимально доступный предел, на который можно
рассчитывать при наложении на систему всего одной связи.
Но тут же возникает иной вопрос. Означает ли это, что связь,
ортогональная первому собственному вектору, является единственным
видом связи, максимально повышающим первое собственное значение?
Иными словами, справедливо ли предположение, что связь вида
(Р^) = 0, (2.55)
где вектор р отличен от первого собственного вектора хх исходной задачи,
если и увеличивает А., по сравнению с А.ь но не дает возможности
достижения равенства А., = А.2?
Казалось бы, что положительный ответ на этот вопрос просто
напрашивается Во всяком случае, из геометрической картины для
и = 2 видно, что это действительно так (рис. 10.2), поскольку пересечение
прямой, проходящей через начало координат, двумерным эллипсом
отсекает на этой прямой отрезок, половина длины которого гарантированно
больше Ь, если только эта прямая не ортогональна длинной полуоси эллипса.
Однако уже в трехмерном случае такое заключение оказывается
ошибочным. Достаточно вообразить эллипсоид Релея для трехмерной
задачи, длины всех трех полуосей которого различны, то есть а> Ъ> с.
Теперь представим себе геометрически вектор связи вида
Р = |[cosa, 0, sina]|T с достаточно малым углом а16. Плоскость связи
(Р^с) = 0, рассекая трехмерный эллипсоид Релея, образует двумерный
эллипс, с полуосями а > b . Эта плоскость образуется поворотом плоскости
осей (х2, х3) вокруг оси х2 на некоторый угол а. При достаточно малом угле
а геометрически очевидно, что наибольшая полуось а двумерного эллипса
остается равной второй по величине полуоси Ъ исходного трехмерного
эллипсоида. При непрерывном изменении угла а равенство а = Ъ будет
выполняться до тех пор, пока двумерный эллипс не превратится в круг, так
что при этом Ъ = а. Дальнейшее же увеличение угла а приведет к смене
нумерации собственных чисел при упорядочивании их по возрастанию и
условие а = Ъ будет нарушено, превратившись в неравенство а>Ъ=Ъ.
Любая связь, максимально повышающая первое собственное число
механической системы, называется связью максимальной жесткости
16 Предполагается, что компоненты вектора связей заданы здесь в главных осях

10 3 Общий случай задачи о спектре 511
Понятие связи максимальной жесткости можно обобщить в двух
направлениях. Во-первых, можно рассматривать не одну связь, а несколько
(скажем к) связей Во-вторых, речь может идти и о связях, не сокращающих
количество динамических степеней свободы системы. В частности, можно
иметь в виду не жесткие, а упругие связи. В-третьих, понятие связей
максимальной жесткости обобщается и на системы с бесконечным числом
степеней свободы.
Повидимому исторически первой поставленной и правильно решенной
задачей о связях максимальной жесткости была задача не о свободных
колебаниях, а об устойчивости стержня, опирающегося на совокупность
упругих опор. В этой задаче, известной ныне как задача Бубнова [15],
И.Г. Бубнов установил, что существует некоторая предельная жесткость
упругих опор, максимально повышающая первую критическую силу
сжатого стержня. Дальнейшее увеличение жесткости этих опор не оказывает
влияния на значение критической нагрузки.
Ограничившись только этим кратким представлением понятия связей
максимальной жесткости, не будем более задерживаться на этом вопросе
Хотя, задача выявления всех связей максимальной жесткости для заданной
механической системы при заданном допустимом к рассмотрению
множестве связей составляет одну из увлекательнейших тем, изучаемых в
том разделе строительной механики, который иногда именуется как теория
качественных методов в задачах устойчивости и динамики
Интересующегося читателя отсылаем к специальной литературе, сославшись
на результаты, имеющиеся у Нудельмана [16] и Дольберга [17, 18]
Достаточно подробное изложение вопроса о связях максимальной жесткости
имеется и в уже упоминавшейся книге Гулда [9]
10.3 Общий случай задачи о спектре
От систем с конечным числом динамических степеней свободы вернемся к
общей задаче, начало рассмотрения которой было положено в разделе 10 1
Прежде всего, перепишем постановку задачи (1.5) - (1.6) о частотном
спектре механической системы в виде
(АтСА+К)и = Хри еП, (3.1)
ЕрНаСАи = 0, ЕЛии = 0 еГ. (3.2)
Поскольку здесь и далее мы имеем дело исключительно с амплитудными
значениями перемещений, усилий и деформаций, то это позволило нам в
целях сокращения записи опустить нолик в нижнем индексе. Кроме того, по
сравнению с (1.5) квадрат частоты со2 переобозначен как X
Введем выражения для амплитудных значений потенциальной и
кинетической энергии. Очевидно, что вместо (2.25) в общем случае на
основании формулы (2 1.13) будем иметь

512 10. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ О СПЕКТРЕ
Е = 1/2 (САи, Ли) + '/2 (Ки, и). (3.3)
В то же время общее выражение для амплитудного значения кинетической
энергии принимает вид
Т = у2 со2(ри, и). (3.4)
Обобщая выражение для функционала Релея на общий случай задачи о
спектре, получаем
«*..;«,) + №¦) (,5)
(pu,u)
Понятно, что стационарные значения функционала Релея достаточно
отыскивать на полях перемещений и, удовлетворяющих условию
нормировки по массе (pu.u) = 1 Выполнения условия нормировки по массе
всегда можно добиться простым введением множителя в функцию и,
поскольку такой множитель с очевидностью не меняет значения
функционала Релея.
В результате приходим к условной вариационной задаче, которая
сводится стандартным приемом к безусловной для функционала
р(и,ц) = (САи, Ли) + (ЛГи,и) + ц[1 - (ри,и)] (3.6)
с лагранжевым множителем ц Условия стационарности р(и,ц) на
произвольных однородно кинематически допустимых полях перемещений и
запишутся в виде17
А1 САи + Ки = цри, (ри,и) = 1. (3.7)
Сопоставление (3.7) с (3.1) приводит к выводу, что точки стационарности
функционала Релея совпадают с собственными функциями задачи
(3.1)-(3.2), а лагранжев множитель ц равен соответствующему
собственному значению Понятно также, что и само значение функционала
Релея на любой собственной функции и будет равняться соответствующему
собственному значению, то есть
= 1,2,...). (3.8)
17 Обращаем внимание, что выполнения однородных статических краевых условий
при поиске точки стационарности функционала Релея, или, что то же самое,
функционала р(и,ц), мы не требуем Статические краевые условия относятся к
классу естественных краевых условий, автоматически удовлетворяющихся в
точках стационарности р(и,ц) Схема рассуждений при выводе разрешающего
дифференциального уравнения (3 7) точно такая же, какая была использована нами
при формулировке условий стационарности лагранжиана Поэтому мы ее и не
повторяем здесь

10.3 Общий случай задачи о спектре 513
Здесь и далее предполагается, что собственные числа X, и собственные
векторы и, занумерованы в порядке возрастания собственных чисел. Иными
словами
Xi<X2<... <А,,<А,,+1<.... (3.9)
Возвращаясь к главе 2, вспомним, что символом &0 мы обозначали там
множество однородно кинематически допустимых жестких смещений
механической системы. Предположим, сначала, что &0 пусто, так что
рассматриваемая механическая система геометрически неизменяема.
Покажем, что в этом случае все собственные числа задачи (3.1) - (3.2) строго
положительны.
Действительно, пусть X, есть собственное число для задачи (3.1) - (3.2), а
и, соответствующая этому собственному числу собственная функция.
Знаменатель формулы (3.8) представляет собой строго положительную
величину, поскольку ранее мы оговорили, что оператор инерции р является
положительно определенным алгебраическим оператором На физическом
уровне это требование соответствует положительности кинетической
энергии системы. С другой стороны, числитель в формуле (3.8) представляет
собой удвоенное значение потенциальной энергии деформации 2Е,
накапливаемой механической системой на перемещениях и,. Но энергия Е,
как мы это уже выяснили в главе 2, строго положительна на любых
перемещениях системы, отличных от жестких смещений. Положительность
числителя и знаменателя в формуле (3.8) влечет за собой строгое
неравенство X, > 0.
Пусть теперь М0 не пусто, так что размерность этого множества к > 1. По
принятому в главе 2 определению к называется степенью геометрической
изменяемости системы. Легко понять, что любая функция из &0 является
собственной функцией задачи, а соответствующее этой собственной
функции собственное число равно нулю. Это вытекает из самого
определения жестких смещений, согласно которому числитель в (3.8)
оказывается равным нулю, если u, е М0. Итак,
Механическая система со степенью геометрической изменяемости
к имеет ровно к нулевых собственных чисел, причем любое
жесткое смещение является собственной функцией задачи с
нулевым собственным значением. Все остальные собственные
I числа механической системы строго положительны. |
Конечно же, не следует забывать, что в формулировке этого утверждения
за скобками оставлено предположение о том, что рассматриваются только
устойчивые равновесные состояния системы.
Покажем, что все собственные функции задачи (3.1)-(3.2) ортогональны
как по энергии, так и по массе. Докажем сначала ортогональность
собственных функций, отвечающих различным собственным числам. Имеем
(AJCA + К)а, = A,,pu, , (AJCA + A)u, = А.,ри, , X, фХ} . (3.10)

514 10. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ О СПЕКТРЕ
Домножив скалярно первое из этих равенств на и,, а второе на и„ и вычитая
одно из другого, находим
(АтСАи„и) + (tfu„u,) - (АтСАири,) - (Кири.) = (A,,-A.;)(pu„u;).
Но левая часть здесь равна нулю, поэтому при X, ф Xj получаем (pu„u;) = 0.
Это и означает, что собственные функции и, и и, ортогональны по массе.
Из ортогональности по массе вытекает и ортогональность по энергии. Это
обстоятельство обнаруживается простым скалярным домножением первого
из равенств в (3.7) на и,, что с учетом (ри„и;) = 0 дает
(ATCAu„Uj) = (САа„ Ли,) = 0 при X, фХ} . (3.11)
Если некоторому собственному числу, скажем Х„ отвечают несколько
(скажем к) линейно независимых собственных функций, то говорят, что
собственное число имеет кратность к.
В этом случае все эти собственные функции можно ортогонализовать,
воспользовавшись процессом ортогонализации по Грамму-Шмидту. Это
замечание позволяет в дальнейшем считать, что совокупность всех
собственных функций образует ортогональную систему как по метрике,
порождаемой массой системы, так и по энергетической метрике.
10.3.1 Разложение произвольной функции по собственным
функциям
Пусть и некоторая произвольная функция перемещений, удовлетворяющая
однородным краевым условиям (3.2). И пусть {ubu2,...} система
собственных функций, каждая из которых отвечает своему собственному
значению {А,ь А,2,...}. Для определенности и без ограничения общности
можем считать, что каждая из собственных функций имеет единичную
Т-длину, то есть (pu„u,) = 1.
Разложим выбранную функцию и, которую будем считать единичной по
Т-норме, по системе собственных функций задачи {ui ,112,...} как по базису
u = alUl + a2u2+..., (3.12)
причем в силу ||и||т = 1 или (pu,u) = 1 коэффициенты а, подчинены условию
а,2 + а2 +.... = 1 . (3.13)
Определив коэффициенты а, разложения (3 12) последовательным
скалярным домножением равенства (3.12) на собственные функции и„
получаем
a, = (pu,u,) = (pu„u), u = ?(pu,u, )u, . (3.14)
Как мы уже знаем, все собственные функции и, ортогональны не только
по массе, но и по энергии. Поэтому для достаточно гладкой функции

10 4 Метод Ритца в задаче о спектре 515
перемещений и, такой, что энергия Е(и) по (3.3) существует и принимает
конечное значение, из разложения (3.14) получаем
E(u)=|>u,u,)2E(u,). (3 15)
Итак, энергия, аккумулируемая механической системой на перемещениях
и, представима в виде суммы энергий, взятых со своими коэффициентами и
запасаемых этой же системой по каждой из собственных функций задачи
10.4 Метод Ритца в задаче о спектре
Итак, мы установили, что в вариационной постановке задачи о спектре
механической системы центральное место занимает функционал Релея.
Пытаясь распространить теперь рассмотренный нами в главе 9 метод Ритца18
на решение задачи о спектре, логично было бы опираться непосредственно
на этот функционал И обычно так и поступают - см., например, [19]
Но имеется и иная (вообще говоря, эквивалентная) возможность введения
системы Ритца в решение задачи о спектре, которой мы здесь и
воспользуемся Итак, попытаемся сейчас сформулировать вариационную
задачу о спектре без обращения к функционалу Релея. Это можно сделать,
переходя к квазистатической постановке задачи, формально отнеся к
внешним воздействиям инерционные силы А,ри, развивающиеся в системе
при гармонических ее колебаниях с частотой со = V^ в задаче (3.1), (3.2).
Выпишем для такой квазистатической задачи лагранжиан и реисснериан в
двух его формах На основании результатов главы 2 и главы 3 имеем
L(u) =1/2(САи, An) + У2(Ки, и) - '^(р^и), (4 1)
R,(c, и) = У2(С 'я, я) - У2(Ки, и) - (Ли, я) + (Еир, Еи и)г + ^(ри.и), (4 2)
R2(o, и) = У2(С 'я, я) - У2(Ки, и) - (Ата, и) - (Ерр, Ер и)г + !/2А,(ри,и). (4 3)
Здесь учтены следующие два обстоятельства. Во-первых, в силу
однородных краевых условий по (3.2) и опираясь на (3.1.3), получаем
Пк(я) = {Еир, Еий)г= 0 и Щи) = (Х,и) + (Ерр,Ери)г=(Х,и)
Во-вторых, в выражении для потенциала инерционных сил (X ,и) нельзя
формально положить X = А,ри. Должен быть введен множитель У2,
поскольку инерционные силы, хотя и консервативны, но не относятся к
классу мертвых сил. Эти силы линейно зависят от перемещений, что и дает
в результате l~ls(u) = УгЦри.и)
Иногда, и это справедливо, применительно к задаче о спектре говорят о методе
Релея-Ритца

516 10. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ О СПЕКТРЕ
Условия стационарности лагранжиана на кинематически допустимых
полях перемещений приводят к следующим уравнениям Эйлера и
естественным краевым условиям
(АТСА +К)и = Хри eQ, ЕрНеСАи = 0 еГ, (4.4)
что же касается кинематических краевых условий
?Ди =0 еГ, (4.5)
то они являются главными для лагранжиана в силу кинематической
допустимости принимаемых к рассмотрению полей перемещений.
Как видим, краевая задача (4.4), (4.5) совпадает по постановке с исходной
задачей (3.1), (3.2)
Обращаясь же к условиям стационарности реисснериана, получим - см.
(3.1.10) и (3.1.11)
Cla-Aa = 0, AJo+Ku-\pu = 0 eQ, (4.6)
ЕрНеО = 0, EJfuu = 0 еГ. (4.7)
При этом оба типа краевых условий в (4.7) являются естественными
краевыми условиями для реисснериана. Исключив с помощью первого из
соотношений в (4.6) напряжения в остальных уравнениях, вновь приходим к
исходной задаче (3.1), (3.2).
Теперь, после введения функционалов Лагранжа и Рейсснера в задачу о
спектре можем воспользоваться общей процедурой метода Ритца.
Обратимся сначала к построению метода Ритца для лагранжиана. С этой
целью рассмотрим систему линейно независимых и кинематически
допустимых векторов перемещений {фьф2,...,ф„,...}- координатные функции
метода Ритца. Это множество считаем полным в том смысле, что любой
вектор перемещений us Щ0 можно сколь угодно точно аппроксимировать (в
лагранжевой энергетической метрике) линейным агрегатом вида
n = Zl(pi+Z2(p2+---+Z„(p„ (4.8)
при надлежащем выборе количества п удерживаемых членов разложения
(4.8) и значений коэффициентов Z,.
Кроме линейной независимости и кинематической допустимости мы
требуем также от координатных функций выполнения еще одного условия.
А именно, будем считать, что совокупность координатных функций не
содержит жестких смещений рассматриваемой механической системы.
Математически это условие сводится к требованию ортогональности по
основной метрике каждой из координатных функций ф, любому
кинематически допустимому жесткому смещению u, е •#„, то есть
(и„ф,) = 0 (4.9)
Как мы уже знаем из главы 2, выполнение этих требований приводит нас к
лагранжеву энергетическому пространству J7, элементами которого и

10.4 Метод Ритца в задаче о спектре 517
являются координатные функции {фьф2,...,ф„,...}. На механическом же
уровне требование (4.9) означает статически определимое закрепление
рассматриваемой механической системы, лишающее эту систему каких либо
жестких смещений.
После подстановок (4.8) в (3.18) функционал Лагранжа переводится в
квадратичную форму от параметров Z,
L(Z) = lA ZT(R - XM)Z , (4.10)
где обозначено
R = (САФ, АФ) + (КФ, Ф), М = (рФ,Ф),
Z=|[Zb...,Z„]|\ Ф = |[фь...,ф„]Г (4.11)
Условия стационарности L(Z) приводят к следующей конечномерной задаче
о спектре
(R-AM)Z=0.
(4.12)
Матрицу R уместно назвать матрицей жесткости конечномерной системы,
полученной из заданной бесконечномерной системы с помощью
аппроксимации перемещений по Ритцу. Аналогично матрицу М назовем
матрицей масс. Обе эти матрицы гарантированно положительно определены,
поскольку они являются матрицами Грама для системы линейно
независимых координатных функций
|[(РФ,,Ф,) ••• (РФ,,Ф„)]|
М =
R= 2
(P9„.9i) •• (РФ„>Ф„).
Обозначим через Х^ Д^ ,...,Х^ упорядоченную по возрастанию
совокупность собственных чисел конечномерной задачи (4.12)
0<Х1]}<Х^<...<Х^. (4.13)
Здесь взятый в скобки верхний индекс <и) указывает на то обстоятельство,
что эти собственные числа получены решением именно «-мерной задачи о
спектре. Нижний же индекс l подчеркивает, что эти собственные числа
получены из условий стационарности лагранжиана, и именно поэтому мы
будем называть эти собственные числа лагранжевыми собственными
числами.
Представим себе теперь, что в качестве координатных функций мы
возьмем из п функций {фьф2, ¦-,<?»} не все, а только некоторую их часть. Для
определенности будем считать, что в этом наборе мы сохраняем только
первые (n-k) функций, положив Ф = |[фь...,ф„-*]|Т Мы вновь придем к
задаче (4.12), но размерность всех матриц и векторов в этой задаче будет
сокращена до величины (n-k). Набор собственных чисел такой усеченной
задачи будет следующим

10. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ О СПЕКТРЕ
0 < Х<?~к) < х["2-к) <..< х[п;к)к. (4.14)
Как соотносятся между собой наборы собственных чисел «-мерной задачи
и (и - ?)-мерной задачи? Ответ на этот вопрос по существу уже имеется в
нашем распоряжении. Действительно, для этого достаточно сообразить, что
наша (и - ?)-мерная задача получается из «-мерной задачи наложением на
последнюю к связей, а именно связей вида
q>„^k+i = 0,...,q>„=0. (4.15)
И теперь мы можем воспользоваться теоремой Рауса о разделении частот,
что в наших обозначениях здесь дает
А?> < Х<?;к) <Х["1к (г = 1, 2,.. , п - к). (4.16)
Из (4.16) следует важный вывод о том, что последовательность г-ых
собственных чисел Х(^ при возрастании размерности п конечномерной
аппроксимации Ритца является монотонно убывающей. Но поскольку эта
монотонно убывающая последовательность ограничена снизу нулем, то
при устремлении п к бесконечности эта последовательность стремится к
определенному пределу, что вытекает из известной теоремы матема-
тического анализа. Далее, методами функционального анализа доказывается,
что при определенных достаточно общих условиях этими пределами как раз
и являются собственные числа исходной бесконечномерной задачи19. Для
нас же важнейшим является следующий, вытекающий из изложенного,
вывод качественного характера
Лагранжевы собственные числа всегда оценивают сверху
истинные собственные числа X, исходной механической системы
X, < А™ .
Введем в рассмотрение релеевское отношение
ZTRZ
(4.17)
Поскольку матрица М положительно определена, то она может быть
представлена в виде произведения М = W W, что дает возможность
переписать (4.17) в виде
^ = * WyT*w* , Где у = WZ (4.18)
Уравнение
yTW"TRWy = l, (4.19)
См , например, [9] или [19]

10.4 Метод Ритца в задаче о спектре 519
как мы уже знаем, определяет «-мерный эллипсоид, который в дальнейшем
мы будем называть L-эллипсоидом Релея. Размеры же главных полуосей
L-эллипсоида, упорядоченные по убыванию, равны величинам
10.4.1 Метод Ритца в задаче о спектре применительно к
функционалу Рейсснера
Точно так же, как мы поступали в задачах статики, вместе с набором
координатных векторных функций для перемещений {фьф2,---,фи}
рассматриваем и набор координатных векторных функций для напряжений
{VbV2,--->Vm}- Мы уже отмечали, что все краевые условия являются
естественными для рейсснериана, поэтому мы могли бы и не накладывать
никаких требований по краевым условиям на введенные координатные
функции. Однако в целях упрощения будем здесь считать, что функции
{фьф2>--,фи} берутся попрежнему из лагранжева энергетического
пространства, а функции {уьУг^-ЛСт} являются однородно статически
полудопустимыми, то есть удовлетворяют однородным статическим
краевым условиям. И далее используем независимые аппроксимации
u = Z19i+Z292+...+ Z„9„, а=Ххух+ХгЧг+...+ Хпут. (4.21)
Подстановка аппроксимаций (4.21) в выражение для первой формы
рейсснериана с учетом принадлежности ф, е ЧУко приводит к квадратичной
форме
R,(X, Z) = -ХТС?,С1х?)Х - -ZT(Ф, КФ)г-ZT(АФ,Ч)Х +
+ -ZT(pO,<D)Z. (4-22)
Вспоминая теперь обозначения по (9.2.7), перепишем эту формулу в
матричном виде
R1(X,Z) = i|rArT,ZTl||[GT "Н 1И1. (4.23)
1 2lL J||L-ht -k+jlmJILzJ
Условия стационарности этой квадратичной формы приводят к следующим
двум однородным алгебраическим уравнениям
GX - HZ = 0, ПТХ + (К - XM)Z = 0. (4.24)
Если с помощью первого из уравнений в (4.24) избавиться во втором
уравнении от вектора X, то придем к задаче на собственные значения для
пары матриц
18-81!

520 10. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ О СПЕКТРЕ
(HTGH + K)Z=A,MZ. (4.25)
Обозначим через А,?'и) Д^"0 )...Д^т) упорядоченную по возрастанию
совокупность собственных чисел конечномерной задачи (4.25)
0 < А4"и) < А-Й"0 ? ^ Я&"0. (4.26)
Очевидна уместность именования этих собственных чисел рейсснеровыми
собственными числами. Нижний индекс r здесь подчеркивает, что эти
собственные числа получены из условий стационарности рейсснериана.
Взятый же в скобки двойной верхний индекс ("'ш) указывает на используемые
размерности: первый индекс п это размерность аппроксимирующего
пространства перемещений, а второй индекс т это размерность
аппроксимирующего пространства усилий.
По результатам §9.2.1 мы уже знаем, что в задачах статики для
разрешимости ритцевой системы уравнений (по крайней мере, при
отсутствии упругой среды, то есть при К= О) требуется, чтобы т>п. Как
мы увидим чуть позже это ключевое неравенство существенно и в задаче о
спектре. Одновременно зададимся вопросом о том, как соотносятся между
собой лагранжевы и рейсснеровы частоты. С целью разрешения этого
вопроса введем в рассмотрение релеевское отношение для задачи (4.25).
Имеем
ZT(HTGH + K)Z FTW T(HTG'H + K)WF
rR = t = t • (4-27)
ZTMZ YTY
Уравнение
rTW"T(HTG"'H + K)Wy = l (4.28)
определяет и-мерный эллипсоид, который в дальнейшем мы будем называть
R-эллипсоидом Релея. Размеры же главных полуосей R-эллипсоида,
упорядоченные по убыванию, равны величинам
Для существования «-мерного R-эллипсоида требуется, чтобы квад-
ратичная форма FTW T(HTG"'H + K)WF была положительно определена. В
противном случае числитель релеевского отношения в (4.27) может
оказаться отрицательным или равным нулю при ненулевом векторе Y. А это
будет означать, что уравнение (4.28) описывает поверхность второго
порядка, не являющуюся эллипсоидом.
В главе 9 было доказано, что матрица HTG"'H положительно определена
тогда и только тогда, когда rank Н = п. Отсюда с необходимостью (для
случая К= О) следует требование т>п, то есть размерность
аппроксимирующего пространства усилий должна быть не ниже
размерности аппроксимирующего пространства перемещений. Если же в
аппроксимациях (4.21) положить

10.4 Метод Ритца в задаче о спектре 521
s = n-m>0, (4.30)
то при этом получим rank Н = т и «-мерный R-эллипсоид вырождается в
w-мерный эллипсоид Иначе говоря, его s главных полуосей будут
нулевыми.
Компоненты матрицы Н = |[Н,;]| (i = 1,..., т; j = 1,..., ri) определяются как
Н^С^ф,)^7^)- (4.31)
Оба представления Н,; в формуле (4.31) дают один и тот же результат,
поскольку по нашей договоренности ф, удовлетворяет однородным
кинематическим краевым условиям, а \|>, однородным статическим краевым
условиям. Но тогда справедливость двух представлений Uv по (4.31) есть
просто следствие основного интегрального тождества (1.2.19), где в качестве
перемещений и положено ф,, а в качестве напряжений а принято \|>,.
Обозначим через Ьф линейную оболочку, натянутую на множество
векторов {фьф2,...,ф„}, а через Nx линейную оболочку, натянутую на
множество векторов {XbJ&vOCm}, гДе Ъ=Ау,. Справедлива следующая
теорема:
Для того, чтобы матрица Н имела ранг п, необходимо и достаточно, чтобы
проекция Nx на Ьф в смысле скалярного произведения по основной метрике
совпадала с Lr
Достаточность. В силу линейной независимости векторов {фьф2, чфп}
множество Ьф является конечномерным пространством размерности п. По
условию теоремы т>п, так как размерность проекции не может превышать
размерности проектируемого множества. Пусть х, s Nx, тогда
X. = X.i+Xa, ХибЦ. Хд-LL* (4.32)
причем по условию среди векторов Хм обязательно найдутся п линейно
независимых. Пусть это будут первые п векторов {Х\,Х2,---,Хп}- Введем
квадратную матрицу В, составленную из первых п строк матрицы Н
В = |[(ЗС,ьФ,)]| = |[(Х„Ф,)]| (/= I,-, п; j = 1,..., и).
Эта матрица невырождена det В ф 0, так как в противном случае ее строки
линейно зависимы
?с,Д,=0, Cl2+c22+... + c„2*0, (7=1,..., и),
или
Ес.(ЗС,„Ф,) = 0, (7=1,..,").
Это значит, что вектор х
г = ?с,х„
18*

522 10. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ О СПЕКТРЕ
ортогонален всем ф, и одновременно он принадлежит Ц,, то есть 1=0, что
противоречит линейной независимости векторов %й (г = 1,..., и).
Поскольку строки матрицы В совпадают с первыми и строками матрицы
Н, то из условия det В Ф 0 следует, что rank Н = п.
Необходимость. Ясно, что
гапкН = и => т>п.
Представляя вектор х, в виде разложения (4.32), убеждаемся в том, что
среди векторов %л (i=l,...,m) найдутся и линейно независимых, так как в
противном случае не найдется и линейно независимых строк матрицы Н.
Линейная же оболочка, натянутая на и линейно независимых векторов Xiu
совпадает с Ц,. Теорема доказана.
В дальнейшем будем считать, что принимаемые аппроксимации
удовлетворяют условиям доказанной теоремы.
Теперь перейдем непосредственно к сопоставлению лагранжевых и
рейсснеровых собственных чисел. С этой целью докажем следующую
простую, но важную теорему качественного характера. Итак,
L-эллипсоид целиком содержится внутри R-эллипсоида.
В самом деле, поверхности L-эллипсоида и R-эллипсоида ометаются
соответственно радиус-векторами
Y -уг Y_ -уг
\\Y\\V ' ||У||Гк
Поэтому указанное условие вложенности эллипсоидов эквивалентно
неравенству
rR < rL . (4.33)
Для любых двух векторов напряжений о и деформаций г=Аи,
обладающих конечной энергией, справедливо неравенство
(о, в) < (Со, а)(Св, г), (4.34)
вытекающее из неравенства Коши-Буняковского, если заметить, что
алгебраический оператор С положительно определен.
Воспользовавшись аппроксимациями (4.21), приведем неравенство (4.34)
к виду
(ATTHZ)2 < (XJGX)(ZTRZ), (4.35)
справедливому для любого те-мерного вектора X и любого и-мерного
вектора Z. В частности (4.35) не нарушится, если положить
X = G HZ.
В результате получим

10.4 Метод Ритца в задаче о спектре 523
(ZTHTG HZ)2 < (ZTHTG HZ)(ZTRZ). (4.36)
Матрица G"1 положительно определена, поэтому
ZTHTG HZ > 0
и из (4.37) следует, что
ZTHTG HZ < ZTRZ (4.37)
для любого и-мерного вектора Z. Неравенство же (4.37) эквивалентно (4.33)
и теорема о вложенности эллипсоидов доказана.
10.4.2 Метод двух функционалов в задаче о спектре
Рассмотренная в §9.3 вычислительная схема, которую мы назвали методом
двух функционалов, может быть распространена и на задачи о спектре [19].
С этой целью обратимся к формуле (4.17) для релеевского отношения,
порождаемого лагранжианом. Понятно, что если в этой формуле в качестве
вектора Z взять г'-ый собственный вектор Z\_, задачи (4.12), то придем к г-ому
лагранжеву собственному числу. Иными словами
, , Z,T,RZLl
Х[" =—± —. (4.38)
u ZLT,MZL,
Числитель в этой формуле представляет собой удвоенную потенциальную
энергию деформации 2Е, запасаемую дискретизованной и-мерной упругой
системой при перемещениях ее по г'-ой форме колебаний.
Согласно общей процедуре метода двух функционалов знание (хотя бы и
приближенное) перемещений позволяет вариационно поставить задачу
поиска напряжений из условия минимизации функционала D. Если исходить
из формулы (9.3.6) и учесть при этом однородность кинематических краевых
условий, то можем записать
D = 1А (С1©,©) - (Ата, и). (4.39)
Подставим сюда аппроксимации (4.21), причем в качестве вектора Z
возьмем г-ый собственный вектор ZL, задачи (4.12). Это дает
D = 1А XJGX- ATTHZL,. (4.40)
Минимизация квадратичной формы (4.40) приводит к вектору напряжений
Хо „ отвечающему собственному вектору ZL,
ATd^G-'HZl,. (4.41)
Удвоенную потенциальную энергию 2Е теперь можно выразить через
"собственные" напряжения Xq „ положив
2Е = Xl,GXDi = ZLT,HTG HZL,. (4.42)

524 10. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ О СПЕКТРЕ
Если теперь в формуле (4.38) заменить числитель выражением для
энергии по (4.42), то получим в результате формулу для ко, - квадрата
частоты свободных колебаний системы по r'-ой форме
, , Z7,HTG HZ,,
ZLlMZLl
Мы уже знаем, что спектр лагранжевых частот на числовой оси смещен
вправо по отношению к спектру истинных частот системы, поэтому
уточнение частот по формуле (4.43) по сравнению с (4.38) имеет смысл
только при условиях
к?]й\[* (i=l и). (4.44)
Если исходить из релеевского отношения (4.27) для функционала
Рейсснера, то для рейсснеровых собственных чисел kR\m) получим
(рассматривается случай К= О)
, Zl HTG"'HZR K,T,W"THTG-1HWK,,
)gm) = _R. *j_ = _Rj Rl (445)
R' zmzr rRT,rR,
rR, = wzRl.
Вектор YRl совпадает по направлению с г-ой главной осью R-эллипсоида Из
сопоставления (4.45) с (4.43) приходим к заключению что
Величины 1/ Jk?] равны отрезкам, отсекаемым на полуосях]
{--эллипсоида поверхностью R-эллипсоида.
Геометрическая картина взаимоотношений лагранжева и рейсснерова
эллипсоидов Релея, отражающая одновременно и свойства собственных
чисел метода двух функционалов, изображена на рис. 10.3 для двумерного
случая и = 2.
Изображенные на рис. 10.3 полуоси двух эллипсоидов связаны с
рассматриваемыми собственными числами следующим образом
OA=-jL=, 0C = -jL=, OE = -jL=,
yVi v^1 v^di
ОВ = -±=, OD = nL=, OF = n^. (4.46)
л/>чТ v^7 7^7
Из теоремы о вложении L-эллипсоида в R-эллипсоид следуют оценки
A.R1<A,D1<A.L1, kDl<kLl,kRl<kLl(i=l,...,n), kD„<kRn<kL„. (4.47)

* 10 4 Метод Ритца в задаче о спектре 525
Рис. 10.3. L-эллипсоид Релея и R-эллипсоид Релея
Пример 1.
Рассмотрим задачу о продольных колебаниях стержня. Пусть / - длина
стержня, ЕА - продольная жесткость, р - погонная масса, и - перемещение
вдоль оси стержня, N — продольное усилие. Задача о свободных продольных
колебаниях стержня описывается дифференциальным уравнением
(ЕАи'У + ы2ри=0 (4.48)
при этом на каждом из концов стержня ставится одно из краевых условий
и = 0 или N = 0, причем N=EAu'.
Соответствующие рассматриваемой задаче функционалы записываются
следующим образом
R(u,N) = -
(4.49)
и = ?z,<p, е %т N = ? JT)Vi е ^so/2, (4.50)
получим следующие выражения для компонент матриц R, М, G, Н
R^JfiAptydt, Му = _['рф,Ф,^, Gv = p^A,Hj, = -jV;<pyflbc. (4.51)
В качестве примера рассмотрим задачу Вайнштейна-Фикера ([20],
стр. 363) об определении собственных чисел для уравнения
u" + X(l + smx)u = 0, и(0) = 0, и(я) = 0, (4.52)

526 10. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ О СПЕКТРЕ
отвечающих симметричным относительно точки х = я/2 собственным
функциям, то есть ы(я/2 +х) = ы(я/2 - х).
Разобьем интервал интегрирования [0,я/2] на и равных участков и,
полагая в (4.50) т= п, возьмем в качестве координатных функций кусочно
линейные функции "крышки"
Гх/й + 1-i, (i-\)h<x<ih (x/h + 2-i, (i-2)A<*<(i-1)A
(pXx) = \-xlh + \ + i, ih<x<(i + \)h, M/Xx)A-xlh + i, (i-\)h<x<ih
[0 в остальных случаях [о в остальных случаях
Здесь h = я/(2и) - шаг сетки, i = 1,..., п.
Не останавливаясь на деталях, приведем результаты вычислений первых
семи собственных значений задачи Вайнштейна-Фикера при и = 15 - см.
таблицу 10.1.
Таблица 10.1
г
1
2
3
4
5
6
7
А,
0,54031884
5,4486361
15,312608
30,114984
49,853254
74,526762
104,13529
V,
0,54081742
5,4945998
15,674429
31,520968
53,734343
83,267328
121,30172
A.R,
0,54031807
4,7965807
5,447986
15,298160
30,001928
43,004475
49,317578
A.D,
0,54031811
5,4480117
15,298727
30,006716
49,343253
72,740792
98,991497
Изменение погрешности вычислений первых трех собственных чисел в
зависимости от количества и используемых координатных функций ср, и \|/,
показано в таблице 10.2.
Таблица 10.2
и
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
ей
5,273
2,324
1,303
0,833
0,578
0,424
0,325
0,256
0,208
0,172
0,144
0,123
0,106
0,092
«L2
33,23
21,80
12,21
7,748
5,347
3,912
2,987
2,355
1,904
1,572
1,320
1,124
0,969
0,843
eL3
31,81
33,05
21,91
15,19
11,10
8,448
6,646
5,365
4,422
3,707
3,154
2,716
2,363
ем
0,558
0,097
0,030
0,012
0,006
0,003
0,002
0,001
0,001
«R2
54,66
36,69
26,19
21,01
18,03
16,17
14,94
14,08
13,46
13,00
12,64
12,37
12,15
11,97
?R3
66,28
65,45
64,80
64,60
64,51
64,47
64,46
64,44
64,43
64,43
64,42
64,42
64,42
eoi
0,464
0,089
0,028
0,011
0,005
0,003
0,002
0,001
0,001
«D2
54,67
9,136
2,616
1,016
0,475
0,252
0,146
0,090
0,059
0,040
0,028
0,020
0,015
0,011
?D3
76,09
24,97
9,241
4,149
2,136
1,212
0,740
0,477
0,322
0,225
0,162
0,120
0,091
В таблицах приняты следующие обозначения:

10.4 Метод Ритца в задаче о спектре 527
X, - значение г-ого собственного числа, полученное как полусумма верхней и
нижней его оценок по результатам вычислений А. Вайнштейна [20],
eL, = 100(А., - A.L ,УХ,, «r , = 100(А, - A.R ,)/Х,, eD, = 100(А, - XD ,)/Х,.
Заметим, кстати, что все погрешности вычислений в таблице 10.2 указаны с
положительным знаком. Но на самом деле все собственные числа XLl
получаются, как и положено быть, с превышением по отношению к
истинным собственным числам X,. В то же время все собственные числа A,r ,
и Хо, получаются в данной задаче с недостатком.
Обращает на себя внимание, что погрешность рейсснеровых собственных
чисел для второго и третьего собственного значения чрезвычайно велика.
Объяснение этого явления будет дано позже в разделе 10.4.3.
Пример 2.
В качестве второго примера возьмем задачу об осесимметричных
колебаниях круглой мембраны радиуса /, описываемых тем же уравнением
(4.48). При этом следует положить
ЕА(х) = х, X = <o2/S, р(х)=хг](х), м(/) = 0, и'ф) = 0,
где х - радиальная координата, ц(х) — масса, отнесенная к единице площади
мембраны, S- натяжение мембраны.
Используем координатные функции
. пес г'тсс . , ч in( inx Л
<p,(x) = sin— f + lU' V,W = y|cos-^—11
и положим т = п.
В данном случае
Rv = 16r/ f % sin2 i\ sin2 Д dt,,
G.-4y(f J g2"*2*™2*^, Hv=^(sin^(sin^-^ + 7K)^.
Результаты вычислений по методу двух функционалов первой и второй
собственных частот колебаний круглой мембраны при линейном законе
распределения инерциальной характеристики
ф) = ^х + Ц1
показаны в таблице 10.3. Отметим, что в [21] для получения той же точности
вычислений при тех же координатных функциях потребовалось удерживать

528 10. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ О СПЕКТРЕ
в разложении для перемещений от 20 до 40 координатных функций, что
приблизительно в 10 раз больше, чем по методу двух функционалов.
Таблица 10.3
»
2
3
4
5
решение
(щ^щ/S
Л2/Л1
0,5
2,705
1,0
2,405
2,0
2,011
2,405
(Oj/^TI, /S
Л2/Л1
0,5
6,373
6,363
6,366
6,362
1,0
5,342
5,522
5,521
5,520
2,0
4,308
4,558
4,553
4,556
5,520
10.4.3 Об одном эффекте, возникающем при применении метода
конечных элементов в смешанной форме к задачам о спектре
Алгоритмы метода конечных элементов получили широкое распространение
не только в задачах статического расчета упругих систем, но также и в
спектральных задачах. Однако формальное применение этих алгоритмов без
должного их обоснования может таить в себе неизвестные и иногда
труднораспознаваемые опасности.
В работе [22] на простом примере для одномерной задачи, для которой
получены замкнутые решения уравнений МКЭ в смешанной форме,
выявлена неприятная возможность качественного искажения спектра частот
колебаний механической системы. В частности, выясняется, что схема МКЭ
для продольных колебаний стержня, описываемых дифференциальным
уравнением второго порядка, построенная на базе условий стационарности
рейсснериана при независимой кусочно-линейной аппроксимации
перемещений и усилий, дает двойные серии частот, сходящиеся ко второй,
пятой, восьмой и т.д. частотам. Модификация алгоритма, связанная со
специфическим выбором координатных функций (на смещенной сетке [23])
не приводит к появлению лишних серий частот20.
Полученные точные решения уравнений МКЭ могут быть использованы в
качестве контрольных решений для отработки вновь создаваемых программ,
они полезны также для проверки теоретических оценок погрешности
дискретизации, вносимой методом конечных элементов.
20 В работе [23] используется одна сетка для аппроксимации статических параметров
и другая сетка для аппроксимации кинематических параметров Эти сетки
смещены относительно друг друга. В качестве координатных функций в [23]
используются кусочно постоянные функции. В то же время в [22] используется
только сама идея смещения двух сеток, при сохранении непрерывной (кусочно
линейной) аппроксимации

10.4 Метод Ритца в задаче о спектре 529
Итак, рассмотрим задачу о продольных колебаниях стержня, один конец
которого закреплен, а второй свободен. Пусть р - плотность материала
стержня; Е - модуль упругости; А - площадь поперечного сечения; / - длина
стержня.
Функционалы Лагранжа и Рейсснера для задачи о свободных продольных
колебаниях стержня имеют вид, показанный в формулах (4.49).
Условия стационарности лагранжиана L на функциях, удовлетворяющих
краевому условию н(0) = 0, и условия стационарности рейсснериана R на
функциях, удовлетворяющих краевым условиям м(0) = 0 и N(1) = 0, приводят
к следующим эквивалентным задачам Штурма-Лиувилля
\ЕА—) + ю2рАи = о\
N du . dN 2 л п
= 0, + а>рАи = 0
ЕА dx dx
и(0) = 0, ЕА — (1) = 0
dx
Для случая постоянных коэффициентов Е =Const, A =Const, р =Const
точное решение для частот и форм колебаний известно и имеет вид
(2г'-1)лс . . со,* дг . сох .. ...
со,=- —, ul=Ausm-L-, N, =ANcos—'—, (4.55)
2/ ее
где
*-%¦
Разобьем интервал интегрирования [0,1] на п равных участков, положив
и перейдем к безразмерным переменным по формулам
В этих обозначениях функционалы Лагранжа и Рейсснера примут вид
Здесь и далее штрихами помечается дифференцирование по безразмерной
координате \.
Возьмем в качестве координатных функций МКЭ кусочно линейные
функции-крышки ф,<^) = V|/<(^) 0'= !>¦••» и)

530 10. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ О СПЕКТРЕ
pj + 1-i, ^6 [1-1,1]
фД) = ^Д) = Й + 1 + ', ^[м + 1] ,
[0 в остальных случаях
и воспользуемся следующими аппроксимациями
v = %Zl4>,(g), ^ = 2>,уД)-
(4.57)
После подстановок аппроксимаций (4.57) в (4.56) лагранжиан и
рейсснериан переходят в квадратичные формы (4.10) и (4.23) относительно
переменных Z, и Х} (i = 1,..., n\j = 0,..., и - 1). При этом квадратные матрицы
R, М, G и Н порядка п \
следующего содержания
Г 2 -1
трехдиагональных матриц
-1
Рассматривая вытекающую из условий стационарности лагранжиана
систему уравнений (4.12) как систему уравнений в конечных разностях [24],
будем разыскивать ее решение в виде
После подстановки (4.58) в (4.12) для уравнений с номерами а = 2,..
получим
[(l-cosv)^^^J2smav = 0,
откуда из условия существования нетривиального решения имеем
Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что первое из уравнений в
(4.12) удовлетворяется при любом значении параметра v. В результате же

10.4 Метод Ритца в задаче о спектре 531
подстановки (4.58) в последнее уравнение системы (4.12) получим с учетом
(4.59)
(4.60)
При i = 1,..., и получаем различные решения для частот и форм свободных
колебаний. При i = и +1, и +2,... решения повторяют уже найденные. Таким
образом, найдены все п частот колебаний дискретной системы с и степенями
свободы, которые и будут лагранжевыми частотами Ю|_,, при этом
v, у 2 +cosv,
Отношение
<"L, =лА7
СО, V,
характеризует точность вычислительного алгоритма МКЭ. При
фиксированном номере i и увеличении числа степеней свободы и имеем
— = l + ^- + 0(vf), (4.62)
hm—= 1
и, как и следовало ожидать, coL, > со,. Заметим, что coL, < coL г <.. .< coL „.
Перейдем теперь к определению рейсснеровых собственных частот.
Система уравнений (4.24), вытекающая из условий стационарности
рейсснериана, в нашем случае также может рассматриваться как система
уравнений в конечных разностях. Будем разыскивать решение этой системы
в виде
Za = Z sin(av), Ха_х = Xcos(a-l)v , (a = 1,..., и). (4.63)
После подстановки (4.63) в (4.24) получим
[-Х(2 + cosv) + 3Zsmv] cos(a-l)v = 0,
[3Xsinv - X Z(2 + cosv)] sinav = 0.
Условие существования нетривиального решения этой с
между параметрами X и v

532 10. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ О СПЕКТРЕ
Анализ оставшихся уравнений системы (4.24) показывает, что величина v
определяется из условия coshv = 0 и следовательно для v, справедлива
формула (4.60). При i = 1,..., и получаем различные решения для частот и
форм свободных колебаний. При i = п +1, п +2,... решения повторяют уже
найденные. Таким образом для рейсснеровых частот имеем
ю, 3sinv,
«or.= — — ¦ (4-65)
v, 2 + cosv,
При фиксированном номере i с увеличением числа конечных элементов п
имеем асимптотическую оценку v, —> 0 и
— = 1—^- + 0(vf), (4.66)
ю, 180 ''
что существенно лучше (по порядку сходимости) оценки (4.62) для
лагранжевых частот. Понятно, что для рейсснеровых частот тем более
справедливо
lim = 1,
"->» ю,
однако, в отличие от лагранжевых частот, рейсснеровы частоты не
упорядочены по возрастанию в соответствии с принятой нумерацией. Так,
например, при п = 4 в результате вычислений по приведенным формулам
имеем
0,999лс 2,716лс 2,962яс
Юр , = < Юр . = < Юр , = < Юр ,
^' 2/ R4 2/ R2 2/ R3
Если зафиксировать целое число к (к = 1, 2,...), то легко обнаружить, что
,. °Ъ(„-*+1) ,. 3sinv„_t+1 3sinv,
hm = lim «_^1ц____ _ jim ? _ j
"->«> co3i_, "-»°° v3t_, (2 + cos v„_k+i) "^cov3;t_1(2-cosv;t)
Таким образом, среди рейсснеровых частот имеем дополнительные серии,
сходящиеся к точным значениям частот с номерами Зк-1.
Это обстоятельство может порождать серьезные затруднения при
применении функционала Рейсснера в методе Ритца для определения частот
свободных колебаний упругих систем. В самом деле, при численных
решениях единственный критерий для установления номера частоты
дискретной системы основан на упорядочивании всех частот по возрастанию
их численных значений. При этом, как только что было показано,
открывается возможность просачивания в спектр "лишних" или
паразитических частот, способных резко исказить картину спектра.
Заметим, что в рассматриваемой здесь задаче соответствующие
паразитическим частотам формы колебаний отмечаются многократными
переменами знаков, что обычно ассоциируется с высокочастотными
колебаниями.

10.4 Метод Ритца в задаче о спектре 533
Для преодоления указанных затруднений требуется выработать критерий,
позволяющий отсеивать паразитические частоты из спектра дискретной
системы, либо необходимо использовать согласованные координатные
функции для аппроксимации силовых и кинематических параметров,
которые не давали бы возможности засорения спектра дискретной системы
паразитическими частотами. В частности, в рассматриваемой задаче вариант
согласованных аппроксимаций обнаруживается при использовании
координатных функций на так называемой смещенной сетке. Смещенные
сетки были предложены в работе [23] и их смысл заключается в том, что
функции ф,(х) строятся на одной сетке, а функции v|/,(x) на другой сетке,
причем узлы этих двух сеток смещены друг относительно друга. Мы не
будем останавливаться здесь на анализе согласованности аппроксимаций со
смещенными сетками, сославшись на работу [22], где такой анализ
выполнен. Здесь мы покажем, что одним из эффективных способов
отфильтровывания паразитических частот является метод двух
функционалов.
Оказывается, что в рассматриваемой задаче частоты метода двух
функционалов также могут быть получены в замкнутом виде. Прежде всего,
определим лагранжеву форму свободных колебаний дискретной системы. С
этой целью, обратившись к формуле (4.58), выпишем лагранжев
собственный вектор Z\_,. Имеем
Zl, = |[sinv„ sin2v„..., sinHV,]|T,
где параметр v, определен формулой (4.60).
Вычисляя матричное произведение MZL,, находим
2sinv, 1
2sin(H-l)v,
sinHV, J
Следовательно,
т»»~ 2 + cosv, (-чЬ .2, .2
Z, ,MZ,, = 2> sin kv, -sin nv,
Сумма квадратов синусов, входящая в эту формулу, сворачивается (см.
формулу (1.351.1) из [25])
¦А, . 2, п cos(h + l)v, sin nv,
> sin kv, = - — -.
м 2 2sinv,
Учитывая, что cosnv, =0, получим после представления cos(n+l)v, по
формуле косинуса суммы двух углов

534 10. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ О СПЕКТРЕ
Поэтому
ZLT,MZL,
Перейдем теперь к установлению выражения для числителя в правой
части общей формулы (4.43) для собственных чисел метода двух
функционалов. Вычисляя произведение HZL, и для краткости обозначая его
символом V, находим
V = HZL, = sinv, |[Уг, cosv,,..., cos(h-1)v,]|t
В принятых обозначениях отыскиваемый нами числитель имеет вид
VTG 'V.
В общем виде матрицу G обратить не удается, однако вычислить требуемое
произведение можно и не обращая G. Обозначим
и, следовательно, вектор Y является решением следующей системы
линейных алгебраических уравнений
cos(« - 2)v,
cos(«-l)v,
Непосредственной подстановкой убеждаемся в том, что решением этой
уравнений является вектор Г с компонентами
3s(A:-l)v, (*=1,...,и).
3sin2i
+ ?cos2(A:-l)v,
Таким образом,
VTG_1V = VTF= .
2 + cosv, ^2
Воспользовавшись формулой (1.351.2) из [25], находим
и -1 cos «v, sin(« - l)v,
___ +
Следовательно,
^cos2(&-l)v, =^cos27'v, =
2 sinv
v'g'v
_n 3sin2v,
2 2 + cos v,
Итак, в соответствии с формулой (4.43) имеем

10.4 Метод Ритца в задаче о спектре 535
*..-(?М. («8)
^ 2 + cos v, J
Сопоставляя формулу (4.68) для ^di с формулой (4.64) для ^,r,,
обнаруживаем полное совпадение частот метода двух функционалов с
рейсснеровыми частотами. Совпадение это не случайно, и оно вполне
корреспондируется с результатами, приведенными в разделе 10.4.2. В самом
деле, сопоставляя (4.58) и (4.63), находим, что собственные векторы Z\_, и
Zr, совпадают. Это означает, что L-эллипсоид и R-эллипсоид соосны
Отсюда следует, в силу доказанной в 10.4.2 теоремы, что в данной задаче
^Di= ^R1¦
Заметим, однако, что несмотря на совпадение собственных чисел XDl и
^-r , алгоритм метода двух функционалов имеет определенные
преимущества:
1) Если исходить из условий стационарности реисснериана, то приходим к
необходимости решения обобщенной собственной проблемы о
собственных значениях для матриц порядка 2и - см. формулу (4.23)
№ 0нн: mm
не являющихся к тому же знакоопределенными, что вносит
дополнительные затруднения в численном решении. Конечно, можно
редуцировать задачу к обобщенной проблеме о собственных значениях
положительно определенных матриц порядка п
(HTGH-?iM)Z=0,
но при этом:
a) требуются дополнительные затраты на обращение матрицы G и
вычисление матричного произведения HTG4H;
b) матрица HTG~'H становится полностью заполненной и теряется одно
из преимуществ метода конечных элементов - ленточность (или в
общем случае слабая заполненность) матриц.
Если же исходить из метода двух функционалов, то требуется сначала
решить обобщенную проблему о собственных значениях для и-мерной
задачи
(R-?iM)Z=0
с получением A,r„ Zl, (i = \,...,р < ri) и затем отыскивать XDl по формуле
(4.43). В реальных ситуациях возникает надобность в отыскании не всех,
а только р первых собственных чисел дискретизованной задачи, причем
р « п. Во всяком случае, считается, что р не должно превышать и/2
[26, 27], так как старшие собственные числа дискретной задачи лишены
смысла, поскольку они весьма далеки от соответствующих собственных

536 10. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ О СПЕКТРЕ
чисел исходной непрерывной задачи (как за счет погрешности
дискретизации, так и за счет неточности в определении старших
собственных чисел конечномерной задачи). Это обстоятельство
позволяет, не обращая матрицы G, ограничиться решением системы
уравнений ср правыми частями
G\[Yu...,Yp]\ = H\[ZLl,...^Lp]\.
Справедливости ради следует отметить, что метод двух функционалов
диктует необходимость отыскания собственных векторов Z\_t для
дискретной даже в том случае, когда это не требуется по существу
постановки исходной проблемы.
2) Однако наиболее важное преимущество алгоритма отыскания XD, по
сравнению с алгоритмом поиска ^,r , заключается в том, что метод двух
функционалов позволяет обнаруживать наличие паразитических частот
и автоматически их отфильтровывать. Это полезное свойство алгоритма
метода двух функционалов основано на том, что нумерация частот ^,D,
идет не по критерию возрастания их численных значений, а определена
на более раннем этапе по возрастанию численных значений ^L,.
Так, например, если рассмотренную задачу решать не аналитически, а
численно, то получим (принято и = 8) следующие результаты, отраженные в
таблице 10.4.
Таблица 10.4
А
<»*,/
А
Ю,2//
' /ПС
1=1
1,0016
0,9999
0,9999
1,0
i = 2
1,00145
0,9749
0,9993
3,0
i = 3
1,0405
0,5996
0,9942
5,0
i = 4
1,0792
0,7102
0,9753
7,0
Именно этим обстоятельством (вмешательством в спектр паразитических
собственных частот) и объясняется низкая точность вычислений величин
^-r,, в задаче Вайнштейна-Фикера (см. таблицы 10.1 и 10.2) по сравнению с
точностью собственных чисел ^D i-
10.4.4 Обобщенный смешанный функционал в задаче о спектре
У нас осталась еще одна не использованная до сих пор возможность,
которой мы кратко коснемся здесь. А именно, полезно выяснить, что дает
применение обобщенного смешанного функционала Ф, введенного в §3.5, к
задаче об определении частот свободных колебаний упругих систем.

10 4 Метод Ритца в задаче о спектре 537
Воспользуемся формулой (3 5 11)
Ф = kL + (1- k)R (4 69)
и подставим сюда выражения для функционалов L(u) по (4.1) и R2(o, и) по
(4.3) при свободных гармонических колебаниях упругих систем.
Ограничиваясь рассмотрением этих функционалов на кинематически
допустимых полях перемещений и статически полудопустимых полях
напряжений и при условии К=0, будем иметь
Ф(о, и) =
= - (САи,Аи)+ — (С1о,о)-(1-к)(Ато,и) +Х^^- (ри,и) (4 70)
Задаваясь независимой аппроксимацией полей перемещений и
й по (4.21), приходим отсюда к квадратичной форме
1Г*11
Фдгл-^'ЧГ <1_K,GT "(1"К>Н f
2lL JI|[-(1-k)Ht kR + M1-2k)mJ||[
z\y (4J1)
где матрицы R, H, G, M совпадают с определенными нами ранее матрицами
с теми же обозначениями, если считать, что аппроксимирующие функции
для перемещений однородно кинематически допустимы, а аппрокси-
мирующие функции для напряжений однородно статически полу допустимы
Условия стационарности квадратичной формы <X>(X,Z) приводят к
следующей алгебраической задаче о собственных значениях
GY-HZ = 0, -jfX+—RZ+xl^MZ = 0, (4.72)
l-к 1-к
или после исключения из этой системы уравнений вектора X
(Ф-ХЩг=0. (4 73)
Матрица Ф здесь определяется формулой
Ф = —l— [kR - (1 - k)HtG-'h] . (4.74)
2k-1l j
Ранее в §3 5 2 для задачи о статическом расчете была доказана теорема о
том, что при условии
!/2 < к < 1 (4 75)
функционал Ф(о, и) является выпуклым.
Покажем теперь, что условие (4.75) оказывается достаточным и для того,
чтобы гарантировать положительную определенность матрицы Ф, а значит и
положительность всех п собственных чисел задачи (4.73) Действительно, в
силу неравенства (4.37) имеем следующую оценку

538 10. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ О СПЕКТРЕ
г!Фг= —— FkZtrz-(i-k)zthtg _1hz1>
2k-1l j
>—!—[kZjRZ-(1-k)ZjRZ~] = ZjRZ>0, (4.76)
причем это неравенство выполняется для любого неравного нулю вектора Z,
поскольку матрица R положительно определена21.
Введем в рассмотрение релеевское отношение
порождающее в пространстве Е„ и-мерный эллипсоид (Ф-эллипсоид),
аналогичный L-эллипсоиду и R-эллипсоиду
Установим оценки, связывающие релеевские отношения гф с rL и Tr
Поскольку знаменатели в формулах для этих трех величин совпадают (и
положительны), достаточно сравнить между собой только числители При
этом из оценки (4 76) немедленно следует
гф > rL.
ZJ<MZ —^-ZTRZ, или гф < —^— п.,
2к-1 2к-1
так что окончательно приходим к двухсторонней оценке
Если построить еще один эллипсоид (назовем его Ф-эллипсоидом),
растянув с этой целью Ф-эллипсоид с коэффициентом растяжения к
* = дРЧ. (479)
V2k-1
то в силу оценок (4 78) установится справедливость следующего
утверждения'
Ф-эллипсоид вложен в L-эллипсоид, а L-эллипсоид вложен в
Ф -эллипсоид.
Соответствующая двумерная геометрическая картина изображена на
рис. 10.4. Если устремить параметр к к единице, то Ф-эллипсоид и
Ф -эллипсоид одновременно будут стягиваться к L-эллипсоиду.
21 Мы попрежнему считаем, что аппроксимации (4 21) таковы, что rank Н = и

10 5 Заключительные комментарии к главе 10 539
Рис. 10.4. L-эллипсоид, Ф-эллипсоид и Ф -эллипсоид Релея
Поскольку собственные числа А|_, смещены на полуоси (0,оо) вправо по
отношению к спектру истинных частот, то есть А|_, S А, , то в качестве
приближенного (ритцева) решения для собственных чисел, получаемых из
условия стационарности функционала Ф(о, и), можно принимать не
величины Аф,, а величины Аф,, где
2к-1
Аф, < AL, <; Аф,
(4.80)
Можно получить и оценку, связывающую релеевские отношения Гф и Tr
Из (4.74) имеем
?<bZ > -ZTHTG"'HZ,
2к-1
откуда следует, что
На дальнейших деталях не останавливаемся.
(4 81)
10.5 Заключительные комментарии к главе 10
В инженерной практике популярны разновидности приближенных формул,
которые позволяют хотя бы и грубо, но наиболее простыми средствами
оценивать основную частоту свободных колебаний механической системы.
В частности, этой цели отвечает известная формула Релея. Формулу Релея
можно интерпретировать как результат применения метода Ритца к
функционалу Лагранжа при одночленной аппроксимации перемещений.
В самом деле, приняв в аппроксимациях (4.8) п = 1, то есть приближенно
положив

540 10. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ О СПЕКТРЕ
u = Z<p,
получим следующее выражение для частоты основного тона свободных
колебаний механической системы
<-&*?¦ (*¦)
(РФ,ф)
Формула (5.1) по существу и является той знаменитой формулой Релея,
которая обычно приводится в учебниках и справочниках по динамике
сооружений в частном варианте ее написания. Так, например, в задаче о
свободных колебаниях стержней при изгибе следует положить
(С4ф,Лф)= J El((f")2 dx, (рф,ф)= J mq>2dx,
где EI - жесткость стержня при изгибе, / - длина стержня, т - погонная
масса стержня, ф - аппроксимирующая прогиб стержня функция,
удовлетворяющая кинематическим краевым условиям.
В результате для рассматриваемой задачи формула Релея (5.1) принимает
привычный для инженерного глаза вид
~2 - ^-- (5.2)
J m<p2dx
Известны несколько различных модификаций записи этой формулы,
которые приведены и подробно прокомментированы в [28]. В наши
намерения здесь входит указание на еще один вариант приближенной
формулы для определения частоты основного тона колебаний, насколько
нам известно, до сих пор не отмеченный в литературе.
Точно такая же идея, какая была использована при обосновании формулы
Релея (5.1) или (5.2), проходит и при установлении приближенной формулы,
основанной на условии стационарности функционала Рейсснера. В самом
деле, представим себе, что мы принимаем независимую, но одночленную
аппроксимацию как перемещений, так и напряжений, то есть взамен (4.21)
полагаем
u = Z(f , о = Ху .
На основании релеевского отношения (4.27) при одночленных
аппроксимациях будем иметь
«4i=_JdW_. (5.з)
(С \|/,\|/)(рф,ф)
В частности, для изгибаемого стержня в качестве напряжений о выступает
изгибающий момент Мъ балке, а формула (5.3) принимает вид

At
Литература 541
\yq>'dx]
J m<p2dx
Здесь мы воспользовались равенством
J vj/'фсйс = - J vj/'ф'сйс = J \\f(f"dx,
вытекающим из формулы интегрирования по частям при условии, что
функция ф удовлетворяет кинематическим краевым условиям задачи, а
функция v|/ статическим краевым условиям.
Посмотрим, для примера, что дает формула Релея (5.2) и формула (5.4)
при изгибных колебаниях для консольного стержня. В качестве простейших
аппроксимаций можем положить
ф = Д ? = (/-х)2.
В случае EI = Const, т = Const имеем
(mq2dx = —, \'ElU")2dx = 4lEI, \'^Ldx = — , (у,у'с1х = -—.
Jo v 5 Jo VMW hEI 5EI V Y 3
Подстановка в (5.2) и (5.4) дает
2 „. EI 2 100 EI
(о. ,=20—-, Юр, = -.
L1 т? R1 9 ml"
Точное же значение частоты основного тона колебаний в этой задаче таково
FT
co'=12 36^V.
1 ml4
Литература
1 Беллман Р Введение в теорию матриц - М ¦ Наука, 1969 - 367 с
2 Мандельштам Л И. Лекции по теории колебаний - М. Наука, 1972 - 470 с
3. Лойцянский Л Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. Том 2. - М
Гостехтеориздат, 1955. - 595 с.
4 Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения -М Мир, 1980.-454 с
5 Гантмахер Ф.Р Теория матриц. - М.. Наука, 1967 - 575 с
6 Weber Н. Uber die Integration der partiellen Differentialgleichimgen. —Math. Ann, 1,
1869,pp 1-366
7 Релей Дж Теория звука -М-Л Гостехиздат, 1955 -542 с
8 Коллатц Л Задачи на собственные значения - М Наука, 1968 - 503 с
9 Гулд С Вариационные методы в задачах о собственных значениях - М Мир,
1970.-328 с.
10 Fischer Е Uber quadratische Formen mit reellen Koeffizienten - Monatshefte
fur Math und Phys., 16, 1905, pp. 234-249

542 10. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ О СПЕКТРЕ
11 Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, изд 3-е, т.1 - М-Л .
ГИТТЛ, 1951 -476 с.
12. Routh Е J. Dynamics of a system of rigid bodies. - New York, 6 ed., 1905.
13. Poincare H. Sur les equations aux denvees partielles de la physique mathematique. -
Amer J Math., 12, 1890, pp. 211-294
14 Ланкастер П Теория матриц. - M : Наука, 1978. - 280 с.
15. Тимошенко СП. Устойчивость упругих систем - М • Гостехтеориздат, 1955 -
568 с.
16 Нудельман Я.Л. Методы определения собственных частот и критических сил для
стержневых систем. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1949 - 176 с
17. Дольберг М.Д. Об одном обобщении задачи Бубнова. Укр. матем. журнал, 3,
1951, с 433^147
18. Дольберг М.Д. О связях наибольшей жесткости. Записки ХГУ и ХМО, 25, 1957,
сер.4
19. Сливкер В.И. Метод двух функционалов в частотном анализе упругих систем. -
Известия ВНИИГ, т. 169 -Л.. Энергия, 1984, с 20-27
20 Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. - М.. Наука, 1970
-512 с.
21. Sakato Y. Eigenvalue Problem of Second-Order Differential Equation with vanable
coefficients Mem. Chubu Inst Technol, 1979, A 15, pp. 113-116
22 Исполов Ю Г, Сливкер В И. Об одном эффекте, возникающем при
использовании метода конечных элементов в смешанной форме. - Строительная
механика и расчет сооружений 1984, №1, с 43-48
23 Кукишев В Л, Фридман В.М. Вариационно-разностный метод в теории упругих
колебаний, основанный на принципе Рейсснера. - Изв. АН СССР, МТТ, 1976,
№5, с 112-119
24. Блейх Ф, Мелан Е Уравнения в конечных разностях статики сооружений. -
Харьков, 1936. - 379 с.
25. Градштеин И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, рядов, сумм и произведений
-М.: Наука, 1971.-1094 с.
26 Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений Численные методы. -
М Мир, 1983 -382 с
27 Стренг Г , Фикс Дж. Теория метода конечных элементов - М. Мир, 1977 - 349 с
28 ПановкоЯ.Г, Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем
Современные концепции, парадоксы и ошибки. - М.: Физматгиз, 1987. - 352 с.

11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ
УСТОЙЧИВОСТИ
Так как здание всего мира совершенно и возведено
премудрым Творцом, то в мире не происходит
ничего, в чем не был бы виден смысл какого-нибудь
максимума или минимума
Л. Эйлер
Задачи устойчивости равновесия упругих систем составляют один из
интереснейших разделов строительной механики. Часто можно услышать,
что задачи устойчивости сводятся к проблеме собственных значений и
поэтому они математически тождественны задачам о свободных колебаниях
упругих систем1. Но такое утверждение справедливо лишь отчасти. Дело в
том, что на самом деле математическая основа задач устойчивости
разнообразнее, шире и потому сложнее своего формального аналога в
задачах о свободных колебаниях.
Коварное своеобразие задач устойчивости равновесия (даже в
линеаризованной и чисто статической постановке) неоднократно приводило
к различного рода ошибкам, как в решениях конкретных прикладных задач,
так и при обосновании отдельных положений теории устойчивости
равновесия конструкций. Недаром история становления и развития этой
ветви строительной механики более, чем история любой иной ее ветви,
буквально нашпигована многочисленными ошибками, парадоксами,
заблуждениями, некорректными или неточными формулировками,
трактовками и т.п. Не избежали этих огорчительных попаданий в сачок
коварства задач устойчивости и многие из знаменитостей, начиная уже с
самого основателя постановки задачи статической устойчивости - автора
слов, стоящих в эпиграфе к настоящей главе.
Поток ошибок, поучительный разбор многих из которых в блестящем
изложении приведен в известной книге Пановко Я.Г. и Губановой И.И. [1],
Здесь существенно, что речь идет о задачах устойчивости равновесия в
линеаризованной постановке. Как это уже отмечалось в предисловии, полное
рассмотрение геометрически нелинейных задач выходит за рамки настоящей
книги.

544 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
до сих пор не иссякает, свидетельством чего является, например,
повсеместно распространенная ошибка в современных расчетных
программных системах, обнаружение и анализ которой можно найти в [2]
или [3, стр. 435-450].
Вот почему, несмотря на наличие множества книг по теории
устойчивости равновесия конструкций, в том числе книг превосходных,
автор считает полезным и даже необходимым отдать должное этому разделу
строительной механики с позиций вариационных постановок задач,
предоставив рассматриваемой проблеме самостоятельную главу.
11.1 Устойчивость систем с конечным числом
степеней свободы
Рассмотрим упругую механическую систему с конечным числом степеней
свободы. Для определенности будем считать, что положение механической
системы определяется и обобщенными координатами q\,...,q„, в
совокупности образующими вектор обобщенных координат q
* = lfei,...,*J|T. (1-D
Пусть Е = E(qr) - потенциальная энергия деформации рассматриваемой
механической системы, а П8 = V\s(P,q) - потенциал внешних сил. Такая
запись силового потенциала предполагает, что П5 зависит не только от
перемещений, но и параметрически от внешних сил, заданных вектором Р.
Будем считать, что уровень нагружения характеризуется единственным
скалярным параметром X, причем принимается пропорциональная
зависимость уровня нагружения от этого параметра. Иными словами
полагается Р = ХР, где Р - фиксированный вектор, который уместно
именовать единичным вектором нагружения.
Принятые условия нагружения позволяют записать потенциал внешних
сил в виде
П, = П,(А,,?) = Ш1(«), где П,(я) = П,(1,*). (1.1)
Величину l"ls(qr) уместно именовать потенциалом единичной силы. Заметим
сразу же, что в условиях отсутствия внешних сил силовой потенциал
получается отсюда тождественно равным нулю П8(0,д) = 0.
В положении равновесия системы ее полная потенциальная энергия L
L = E(q)-Xf\s(q), (1.2)
рассматриваемая как функция обобщенных координат q, принимает
стационарное значение. Иными словами в равновесном состоянии
f-?-x?-o (-1 .). 0.3)
oql oqJ oql

11 1 Устойчивость систем с конечным числом степеней свободы 545
Любое решение системы уравнений (1.3) относительно обобщенных
координат q определяет некоторое равновесное состояние системы. В
принципе возможны следующие три варианта:
• система уравнений равновесия (1.3) имеет единственное решение;
• система уравнений равновесия (1.3) имеет несколько решений;
• система уравнений равновесия (1.3) не имеет решений.
Случай отсутствия решений нас не интересует, так как это означает, что
механическая система не в состоянии уравновесить заданные нагрузки.
Пусть q0 какое либо решение системы уравнений (1.3). Само собой
разумеется, что q0 является векторной функцией от параметра нагружения X
«. = #)¦ (1-4)
В дальнейшем нас будет интересовать качество этого равновесного
состояния системы в том смысле, устойчиво или нет это равновесное
состояние.
Напомним известное из курса теоретической механики определение
устойчивости равновесия механической системы [4]:
"Определение понятия устойчивости равновесия связано с
рассмотрением тех движений, которые система станет совершать,
будучи выведена из положения равновесия путем сообщения ее точкам
весьма малых начальных отклонений от положения равновесия и весьма
малых начальных скоростей. Если после нарушения равновесия система в
своем последующем движении будет весьма мало отклоняться от
исследуемого равновесного положения, то такое положение равновесия
называется устойчивым".
На математическом уровне в стандартных терминах языка е-5
приведенное определение качественного характера можно сформулировать
так. Пусть q0 представляет собой вектор перемещений для исследуемого
равновесного состояния. Это состояние равновесия называется устойчивым,
если для любого сколь угодно малого числа е найдется соответствующее ему
малое число 5 такое, что при любых возмущениях обобщенных координат 5q
и начальных скоростей 5q , удовлетворяющих условиям
|| 5q ||< 5 , || 5q ||< 5 ,
в любой момент времени t будут гарантированно выполняться неравенства
||<К01|<е, ||*(0Н<е.
Мы не уточняем здесь о какой норме идет речь. Обычно принимают в
качестве нормы максимальное по модулю значение обобщенной
координаты и значение обобщенной скорости, то есть полагают
||?||=max|tf, |, ||g||=max|tf,|,

546 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
хотя это и необязательно, поскольку в конечномерном пространстве все
нормы эквивалентны.
Для того, чтобы выяснить устойчиво или нет то или иное равновесное
состояние, воспользуемся теоремой Лагранжа-Дирихле, применение которой
требует анализа на экстремум полной потенциальной энергии системы в
окрестности изучаемого равновесного состояния. Если исследуемая точка
стационарности L является точкой минимума, то согласно теореме
Лагранжа-Дирихле состояние равновесия устойчиво в смысле приведенного
выше определения2.
В случае системы с несколькими степенями свободы, как это известно из
курса математического анализа, условие локального минимума L будет
гарантировано, если выполнено требование положительной определенности
матрицы Гессе Н (гессиана) для функции L, вычисленного в исследуемой
точке стационарности L
н-\тт-\ (L5)
Понятно, что компоненты матрицы Гессе должны быть вычислены при
q = q0 и, следовательно, они функционально зависят от параметра X. Если
при некотором фиксированном значении X матрица Н положительно
определена, то равновесие устойчиво.
Считается априори, что для достаточно малых значений внешней
нагрузки равновесие механической системы устойчиво по умолчанию. Это
означает, в частности, что равновесие устойчиво при X = 0. Изменяя X,
находим то его минимальное значение X = Хсп при котором матрица Н
теряет свойство положительной определенности. Найденное значение X = Хсг
называется критическим (по Лагранжу-Дирихле).
Иная, но достаточно типичная схема рассуждений при анализе
устойчивости равновесия, берущая свое начало с работ Эйлера и
традиционно излагаемая до сих пор в большинстве учебников по
строительной механике, опирается не на теорему Лагранжа-Дирихле, а на
полуинтуитивное понимание проблемы устойчивости.
По существу эйлерово представление об устойчивости равновесия
опирается на совершенно иное определение, в котором понятие движения
вообще не участвует3. По Эйлеру считается, что равновесие механической
системы устойчиво, если эта система после выведения ее из равновесного
состояния малым возмущением обобщенных координат возвращается в
2 Напомним, что в общем случае теорема Лагранжа-Дирихле дает лишь достаточные
условия устойчивости равновесия системы. Доказательство теоремы Лагранжа-
Дирихле можно найти, например, в [4].
3 На это обстоятельство и на несовершенства курсов строительной механики,
освещающих вопросы устойчивости конструкций в соответствии с эйлеровой
концепцией устойчивости равновесия и только с этой позиции, еще в 1965 г
обращал внимание В.В. Болотин [5].

11.1 Устойчивость систем с конечным числом степеней свободы 547
исходное равновесное состояние. В этой схеме рассуждений также
мысленно наращивается значение внешней нагрузки и предполагается, что в
процессе такого наращивания в какой то момент вместе с рассматриваемым
равновесным состоянием возникает возможность существования иного
равновесного состояния, смежного с изучаемым в том смысле, что оно
отличается от изучаемого равновесного состояния бесконечно малым
возмущением в значениях обобщенных координат системы. Иными словами,
рассматриваемое равновесное состояние системы перестает быть
однозначным и возникает одна из двух возможностей: либо происходит
разветвление форм равновесия, либо кривые равновесных состояний в
(и-Ы)-мерном пространстве нагрузка - перемещения имеют, так называемые,
предельные точки4. То значение параметра нагрузки X = Хе, при котором
такая неоднозначность формы равновесия допускается механической
системой, называется критическим (по Эйлеру). Считается также, что при
значениях нагрузки меньше эйлерова критического значения состояние
равновесия устойчиво, при значениях же нагрузки больше эйлерова
критического значения Хе состояние равновесия неустойчиво.
Казалось бы, что эйлерова постановка задачи устойчивости не содержит и
намека на постановку задачи устойчивости равновесия в соответствии с
теоремой Лагранжа-Дирихле, требующей минимальности полной
потенциальной энергии системы в ее устойчивом равновесном состоянии. В
то же время традиционная система образования инженера, во многом
сохраняющаяся и в наше время, не только на-учает инженера, но и при-учает
его, именно к подходу Эйлера в исследовании устойчивости равновесия
упругих систем, оставляя более последовательный анализ по Лагранжу-
Дирихле только в раннем по времени изучения курсе теоретической
механики, не перенося его на задачи строительной механики. Конечно же,
при определенных условиях оба эти подхода приводят к одинаковым
результатам. Однако этот вывод требует обязательного обоснования и даже
подчеркивания, поскольку в противном случае методическая после-
довательность изложения вопросов устойчивости в курсах теоретической и
строительной механик утрачивается, а их родственная связь между собой
оказывается разорванной.
Итак, в наши намерения сейчас входит обоснование метода Эйлера в
достаточно общем случае задачи об устойчивости упругих систем с
конечным числом степеней свободы. Под упомянутым обоснованием мы
подразумеваем доказательство эквивалентности эйлеровой критической
нагрузки и критической нагрузки по Лагранжу-Дирихле. Разумеется,
эквивалентности при определенных, но достаточно общих условиях.
4 Точки разветвления форм равновесия принято называть точками бифуркации
Понятие предельных точек было введено в теорию устойчивости равновесия
механических систем А. Пуанкаре. В предельной точке кривой равновесных
состояний разветвления формы равновесия не происходит, но касательная к этой
кривой ортогональна оси нагружения, то есть, параллельна и-мерной плоскости
перемещений.

548 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
Разложим, пока что чисто формально, выражение для потенциальной
энергии деформации Е = E(q) и выражение для силового потенциала
П5= XPs(q) в ряды Тейлора по степеням обобщенных координат в
окрестности нулевого вектора q = О
E = m + t^q,+ X-±t^qa+X-t±t д3? qaqk+...
W ttdq, Ittjldqfiq,1 bj^jlj^dqfiq^q,'^
ns=ms(0) + X±^qi+\±±^-q,qj+.... (1.6)
^ dq, 2^^ldqidqJ
Обратим внимание на то, что в правых частях этих формул производные от
функций Е и П8 мыслятся взятыми в нулевой точке q = 0.
Будем считать, что при отсутствии перемещений силовой потенциал
исчезает, то есть ПД0)= l"ls(l,0) = 0. Аналогично и потенциальная энергия
деформации принимается равной нулю в недеформированном состоянии
системы Это означает, что Е(0) = 0.
И наконец, при отсутствии внешних сил (то есть при X = 0)
недеформированное состояние системы постулируется равновесным и
устойчивым. То обстоятельство, что недеформированное состояние системы
является самоуравновешенным, на математическом уровне означает, что при
отсутствии внешних воздействий
f-^m-o (.-.,..,<>.
Таким образом, формулы (1.6) разложения Е и П8 в ряд Тейлора в
окрестности нуля упрощаются до
Е = If V _Ё!Ё_М +If f f a?E qaqk +...,
l^j^dqfiq,' 6ttj^ttdq,dqjdq, J к
ns=^^q,+-YZ^^4,qj+- ¦ (1.7)
Для изучения качества равновесного состояния следует воспользоваться
разложением функций Е и П8 не в окрестности нуля, а в окрестности вектора
q0, при этом п
Итак, вместо (1.6) будем иметь
E(qo+Sq) = E(q0) + ?^Sq,+±-??1f^-SqlSqj+...,
ns(q0+8q) = Xns(q0) + X±^ql+^±±-p^iqj+..., (1.8)
7ГГ oq, 2 ~i ~{oq1dqj '

11.1 Устойчивость систем с конечным числом
где все производные считаются взятыми в точке q = q0- Вспоминая, что
вектор q0 отвечает равновесному состоянию системы, согласно (1.3)
обнаруживаем
-г-(*„) =
следовательно
ц*.
+ Sq)-L(q0) =
=—(О
--??-
-х8Л
sq,
д2Е
-(*.) =
qMj ¦
= о 0 = 1,...
X » » 52П,
,п),
H&ij
(1.10)
Из этого выражения видно, что q0 является точкой минимума L(q), если
приращение 5L функционала L, равное 5L = L(q0 + 5q) - L(q0), положительно
при любых сколь угодно малых вариациях 5q, а это в свою очередь
эквивалентно требованию положительной определенности квадратичной
формы
2ttJT'\dqidqj dqfiqj ' ' 2 X
Элементы матрицы rx этой квадратичной формы, которая по существу и
представляет собой матрицу Гессе Н,
Л-(0-*7пК)1 (1Л1)
oqpq] oqpq, J
функционально зависят от параметра X.
Матрицу /убудем называть полной касательной матрицей жесткости
системы. Смысл такого именования вытекает из того соображения, что эта
матрица представляет собой обобщенную характеристику мгновенной
жесткости системы в определенной точке равновесного ее состояния, то есть
жесткости системы, отвечающей бесконечно малым приращениям
обобщенных координат bq.
Еще раз подчеркнем, что вторые производные здесь понимаются взятыми
в «-мерной "точке" q = q0, компоненты которой в свою очередь зависят от
параметра X согласно (1.4). Важно понимать, что параметр X входит не
только множителем перед вторым членом в представлении матрицы гхпо
(1.11), но и как аргумент при взятии вторых производных от энергии
деформации и силового потенциала. Как об этом уже было сказано, значение
параметра X, при котором матрица гх теряет положительную
определенность, называется критическим Хсг (по Лагранжу-Дирихле).
Перейдем теперь к определению эйлеровой критической нагрузки в
общем случае конечномерной системы. На основании концепции Эйлера по
установлению критического значения параметра нагрузки вместе с
исследуемым равновесным состоянием системы, определяемым урав-
нениями равновесия (1.9), рассматривается возмущенное состояние системы,

550 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
характеризуемое вектором q~q0 + Щ, которое также мыслится
равновесным, то есть
|ч«.+8*) = ^(*.+5*)-аДЧ*о+5*) = 0 . (1.12)
oq, oq1 oqt
Вычитая из уравнений равновесия (1.12) для возмущенного состояния
системы уравнения равновесия (1.9), получим
[^(•.+ЭД-^(о]-^(€в+8,)-^(о] = 0(.--1,..,«).
Так как вариации 5ду считаются бесконечно малыми величинами, то
выражения в квадратных скобках можно рассматривать как приращения
первых производных от заданных функций Ей П, при переходе от точки q0
к сколь угодно близкой точке q0 + 5q, что можно записать в эквивалентном
виде через вторые частные производные от тех же функций
52П
= 0 0=1,...,и). (1.13)
Вспоминая определение матрицы гх по (1.11), имеем возможность эту же
систему уравнений переписать в матричном виде
rxbq = 0. (1.14)
Условие существования нетривиального решения однородной системы
уравнений (1.14) относительно вариаций bq} в виде равенства нулю
определителя матрицы этой системы уравнений приводят к эйлеровой
нагрузке ке. Итак, аналитическое представление эйлеровой нагрузки дается
условием
detrx(^e)=0. (1.15)
Но это же условие (1.15) служит и критерием достижения критической
нагрузки по Лагранжу-Дирихле, поскольку по принятому соглашению об
устойчивости самоуравновешенного недеформированного состояния
системы матрица гх(0) = го положительно определена, так что утрата
матрицей гх(к) свойства положительной определенности при непрерывном
изменении параметра к возможна только при достижении равенства (1.15).
Таким образом, в оговоренных условиях оказывается справедливым
следующее утверждение:
Эйлерова критическая нагрузка ке совпадает с критической
нагрузкой А,сг по Лагранжу-Дирихле.
Как видим факт совпадения эйлеровой критической нагрузки и критической
нагрузки по Лагранжу-Дирихле устанавливается для общего случая
геометрически нелинейной постановки задачи.

11 1 Устойчивость систем с конечным числом степеней свободы 551
11.1.1 Функционал устойчивости - функционал Болотина
Систему однородных уравнений устойчивости (1.14) относительно вариаций
5q можно рассматривать как условие стационарности некоторого одно-
родного квадратичного функционала, который мы назовем функционалом
устойчивости и который обозначим символом S по начальной букве
английского термина stability Очевидно, что
S = -SqTrk5q.
Подставляя сюда вместо матрицы г\ ее представление по (1 11), получим
5?, (1.16)
и теперь видно, что на механическом уровне функционал устойчивости S
может быть интерпретирован как вторая специальная вариация полной
потенциальной энергии системы. Слово "специальная" в этом утверждении
отражает тот факт, что речь здесь идет не о произвольном варьировании
полной потенциальной энергии системы, а о варьировании в окрестности
изучаемого равновесного состояния - вторые производные от L берутся в
точках q0.
Это приниципиальное теоретическое положение с полной отчетливостью
было установлено В.В. Болотиным [6], но не для систем с конечным числом
степеней свободы, а в более общем случае трехмерной задачи теории
упругости. Ему же принадлежит и вывод общего вида функционала
устойчивости в трехмерной задаче теории упругости
11.1.2 Линейная задача и линеаризованная постановка задачи
устойчивости
Введем сейчас некоторые понятия, которые будут использованы нами в
дальнейшем.
Итак, квадратная симметрическая матрица г0 порядка и
называется начальной матрицей жесткости системы, причем очевидно,
что гх(0) = го. Поскольку самоуравновешенное недеформированное
состояние постулируется устойчивым, то отсюда следует, что начальная
матрица жесткости системы г0 является положительно определенной
матрицей.
Вектор Q, имеющий п координат
-^\шш
19 — 81!

552 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
е-И-
%»
будем называть единичным грузовым вектором.
Предположим, что участвующие в разложении (1.7) обобщенные
координаты системы q, на равновесном состоянии системы являются весьма
малыми величинами. Настолько малыми, что при поиске равновесного
состояния в разложениях (1.7) достаточно ограничиться только членами
минимальной степени. Это означает, что выражение для энергии Е
содержит только квадратичные члены, а выражение для потенциала внешних
сил П8 будет содержать только линейные члены. Тогда вместо (1.7) будем
иметь
E = -9T»"o*. n,=XQJq. (1.18)
В результате уравнения равновесия принимают вид линейных уравнений, а
вектор 0О оказывается равным
<7„=Ч~'е- (1-19)
Соответствующая механическая система называется линейной. Это и
понятно, поскольку, как это видно из (1.19), для линейной системы
перемещения q0 оказываются линейно зависимыми от нагрузки.
Обращаясь к определению касательной матрицы жесткости системы гх по
(1.11), получим, что в случае линейной постановки задачи гх= г0и,
следовательно, в чисто линейных задачах постановка проблемы
устойчивости равновесия не имеет смысла, так как начальная матрица
жесткости системы г0 является положительно определенной матрицей.
Возвращаясь к формулам (1.7), сохраним теперь в разложении для Е все
члены вплоть до третьего порядка включительно, а в разложении для l~ls все
члены вплоть до второго порядка включительно. Иными словами, по
сравнению с линейной постановкой задачи в этих разложениях учтем по
одному дополнительному члену. Если ввести обозначения
oq1dqjoqk ЩРЧ,
то в этих предположениях выражения для Е и П8 упростятся до
E = ^4*+^ZZZ«y*w*> ns=^QJq+\qJbq, (1.21)
где квадратная симметрическая матрица Ь порядка п составлена из
коэффициентов Ъч
-И-

11 1 Устойчивость систем с конечным числом степеней свободы 553
Заметим, что коэффициенты а']к "кубической" формы a'jkqlqJqt симметричны
относительно любой пары индексов, то есть
avk = d'k = a'kJ = cfi'. (1.22)
Это вытекает из независимости результата дифференцирования функции по
трем аргументам от порядка дифференцирования по этим аргументам.
Если рассмотреть формулы для одинарного и двойного
дифференцирования функции Е, то из (1.21), внимательно прослеживая сам
процесс дифференцирования и учитывая при этом свойства симметрии
коэффициентов d'k, устанавливаем, что эти формулы в общем случае могут
быть представлены в виде
Iе=*ч, 4«ч**. -й-=*+в** • с1-23)
Щ, 2 oqfiq)
где г% - соответствующая компонента матрицы г0. Здесь в целях
сокращенной записи использовано тензорное соглашение о суммировании
по повторяющимся индексам.
Будем говорить, что третий порядок аппроксимации для Е и второй
порядок для П8, приводящие к представлениям (1.21), определяют
линеаризованную постановку задачи.
Если исходить из представлений (1.21), то очевидно, что в общем случае
при коэффициентах a'jk отличных от нуля, уравнения равновесия типа (1.3)
оказываются нелинейными. Действительно, в качестве уравнений
равновесия имеем
!^ = 0=>го»* Лв^-Хе'-М^г,=0 (»=1,...,и),
oqt 2
или в иной записи
W +^«'Ч -и*)д,=Ъ.& (»= I,-, п). (1.24)
Таким образом, приходим к системе квадратных уравнений относительно
компонент вектора q. В частном случае коэффициенты сРк могут оказаться
равными нулю и тогда эта система уравнений становится линейной, что
может быть записано в матричном виде так
(r0-Xb)q = \Q. (1.25)
Если тем или иным способом удается найти вектор q0, являющийся
решением системы (1.24), то такую расчетную процедуру в строительной
механике принято называть расчетом по деформированному состоянию.
Именно это обстоятельство и учитывают два следующих агрегата в системе
уравнений (1.24)
-d,kq)qk-'kV>qr
19*

554 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
Пренебрежение этими агрегатами приводит к линейной постановке задачи и
решению по (1.19).
Расчет по деформированному состоянию представляет собой тот
минимальный уровень учета геометрической нелинейности в постановке
задачи, когда уравнения равновесия составляются не для исходного
состояния системы, а для ее продеформированного состояния. Конечно,
даже если найдено решение q0 системы уравнений (1.24), то есть выполнен
расчет по деформированному состоянию, это не отменяет необходимости
проверки устойчивости найденного равновесного состояния.
Однако с позиций устойчивости равновесия существует и более
упрощенная процедура. Простейшая постановка задачи такова. Уравнения
равновесия составляются для линейной задачи, то есть при поиске
равновесного состояния принимается аппроксимация (1.18), что приводит к
(1.19) Устойчивость же этого равновесного состояния определяется на
основании линеаризованных аппроксимаций (1.21). Это означает, что
согласно (1.11) будем иметь
гх=|г/-Я.^~в^^, (1.26)
где qok представляют собой компоненты вектора q0 = r~xQ , то есть это тот
же самый вектор q0, но вычисленный при X = 1.
Матрица га
ге=|[>-Т«УЧ*]| (1-27)
называется матрицей геометрической жесткости системы.
Итак, в линеаризованной постановке задача устойчивости сводится к
проблеме собственных значений для пары матриц г0 и rG, поскольку на
основании (1.26) и (1.27) можем записать
rx=ro-Xr0. (1.28)
Матрица геометрической жесткости гв играет фундаментальную роль в
теории устойчивости линеаризованных механических систем. Эта матрица
является аналогом матрицы масс т, используемой в теории свободных
колебаний механических систем. Однако проблема собственных чисел в
задачах устойчивости сложнее своего аналога в задачах о спектре свободных
колебаний. Эта сложность обязана как раз матрице га, которая в отличие от
своего аналога (матрицы т) не обязана быть положительно определенной
матрицей.
11.1.3 Пример 1
Для того, чтобы наше формальное рассмотрение уравнений снабдить
зримыми механическими образами, полезно уже сейчас обратиться к

* 11 1 Устойчивость систем с конечным числом степеней свободы 555
примерам С этой целью рассмотрим механическую систему с двумя
степенями свободы, изображенную на рис. 111
>|ЛА>-^^ ^ * gW;
Рис 11.1. Устойчивость механической системы с двумя степенями свободы
Все размеры на этом рисунке даны для начального (недеформированного)
состояния системы, которое мыслится равновесным при отсутствии внешней
нагрузки Именно от этого состояния мы и будем вести отсчет обобщенных
координат.
В этой задаче считается, что изображенные на рис. 11.1 стержни являются
абсолютно жесткими, так что все деформации сосредоточены в трех
пружинах, жесткости которых обозначены соответственно как с\, с2, с3.
В качестве обобщенных координат системы примем горизонтальное и и
вертикальное v перемещения точки приложения силы Р, так что
q=\[u,v]\J
Действительно, этими двумя параметрами полностью определяется
положение в пространстве механической системы, поскольку длины
стержней считаются неизменяемыми. Если обозначить щ и и2 величины
горизонтальных перемещений концевых точек первой и второй пружин
соответственно (на рис. 11.1 мыслимое деформированное состояние системы
изображено пунктирной линией), то из условия недеформируемости
стержней получим
(/ + и - Mi)2 + v2 = I2 , (/ - и + и2)2 + v2 = l2,
откуда находим
щ=1 + и-Ц\-(уП)г , и2=-1 + и + Ц\-{у11)2 (129)
Потенциальная энергия деформации Е для рассматриваемой системы
представляет собой сумму энергий, аккумулируемых в каждой из трех
пружин, и может быть записана в виде
2 2 2
В принятых условиях нагружения потенциал внешних сил равен
П,= А/ = Хи (131)
Теперь имеем возможность записать уравнения равновесия по типу (1.9).
Воспользовавшись правилом дифференцирования сложной функции,
получим

556 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
ди, ди, л п ди. Эй, л „ „ч
схих-^ + с2и2-^-Х = 0, схих-^ + с2и2-^ + с3У = 0. (1.32)
ди ди ov ov
В этих уравнениях величины щ и и2 должны рассматриваться как функции
обобщенных координат и и у, определяемые уравнениями (1.29).
Далее, дифференцированием уравнений (1.29) получаем
дих 8и2 _ дих _ у/1 8и2 _ у/1
ди ди dv ^-{vllf ' dv j\-(vllf '
Кроме того, в дальнейшем нам потребуются и вторые частные производные
от этих же функций, которые имеет смысл выписать уже сейчас
S-2 ~~ г ,пЗ/2 ' ,2 " г .,-13/2 • V.i-'T
90 l[\-(yllf\ д° /[l-(W/)2J
Подстановка (1.33) в (1.32) приводит к уравнениям равновесия
перемещениях
схих +с2и2 = Х, c^y-c-^u-^y + cjysjl-iv/l)2 = 0. (1-35)
Одно из решений системы уравнений равновесия (1.35) очевидно. Это
решение имеет вид
и=——, 1>о = 0. (1.36)
с, +с2
Будем называть это решение основным. Понятно, что основное решение
существует при любом значении параметра нагрузки X и при любых
(положительных) значениях жесткостных характеристик пружин.
Для полноты картины найдем и остальные решения системы уравнений
(1.35). В самом деле, предполагая у ф 0, из системы (1.35) получим
(1-37)
_Х-с3Ц\-{уИ)2 _Х + съЦ\-{у11)2
И|~ 2~сх ' "2~ 2с~2 '
Обозначив для краткости
x = j\-(vllf , (1.38)
из (1.37) после подстановок по (1.29) получаем
Х-сЛх , , X + cJx
l + u-lx = —, -l + u + lx = —.
2c, 2c2
И теперь находим
_X-c3lx X + c3lx Х-съ1х X + c3lx
Acx Ac2 Acx Ac2
Следовательно,

11.1 Устойчивость систем с конечным числом степеней свободы 557
4с, с 2 +съ(сг + с2)
при этом согласно (1.38)
съ1(сх -с2) + Х с, + с2 +^-^
= L 2i
4с{с2 +с3(с, +с2)
(1.39)
Итак, возможны два равновесных состояния системы: одно (основное)
определяется соотношениями (1.36), и второе (дополнительное) решение,
определяемое по (1.39). В дальнейшем нас будет интересовать качество
только основного равновесного состояния системы. Вопросы же
устойчивости нелинейного решения (1.39) выносятся за пределы интересов
наших рассмотрений
Для того, чтобы выяснить устойчиво или нет основное равновесное
состояние, обратимся напрямую к теореме Лагранжа-Дирихле. В частности,
для рассматриваемого примера с двумя степенями свободы интересующий
нас гессиан имеет вид
'" д\ д\ '
ди2 dudv
d2L d2L
dudv dv2 j
«#4C
Если рассматривать устойчивость основного равновесного состояния
системы, то следует воспользоваться решением (1.36), что с учетом (1.33) и
(1.34) дает
Итак, на основном равновесном состоянии матрица Гессе принимает вид
\[с, +с2 О
О
/
/
и становится понятно, что условие положительной определенности гессиана
Н, а значит и условие устойчивости основного равновесного состояния,
сводится к требованию положительности второго диагонального элемента
этой матрицы (первый диагональный элемент гарантированно положителен)

558 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
Но на рассматриваемом равновесном состоянии из (1.29) и (1.36) имеем
X = X
' " С1+С2 ' 2 ° С\ +С2 '
что приводит условие устойчивости к виду
^.fiZfi + wx). (1.40)
с, +с2
Из этого неравенства видно, что основное равновесное состояние системы
устойчиво при любом (положительном) значении нагрузки X, если только
с, > с2 > 0 .
Однако при иных соотношениях жесткостей первой и второй пружин, когда
0 < с, < с2,
условие устойчивости равновесия (1.40) выполняется при X < Хсг, где
Хсг=с31^^- (1.41)
с2 -с,
Величина силы А, = Я.сп разделяющая устойчивые и неустойчивые участки
равновесного состояния системы, называется критическим значением
нагрузки. На рис. 11.2 изображена графически зависимость, определяемая
соотношением (1 41). Приведенная на этом рисунке зависимость, учитывает
и возможность потери устойчивости системы при отрицательных нагрузках,
то есть при силе Р, противонаправленной показанному на рис. 11.1 действию
этой силы.
KUcJ)
Рис. 11.2. Зависимость критической силы от соотношения жесткостей пружин
Обратимся теперь к концепции Эйлера при установлении критической
нагрузки для основного равновесного состояния в этом примере.
Предположим, что вместе с вектором q0= |[M0,y0]|T, где и0 и v0 определены

11.1 Устойчивость систем с конечным числом степеней свободы 559
для основного равновесного состояния согласно (1.27), существует смежное
равновесное состояние системы, определяемое возмущенным вектором
обобщенных перемещений q0 + 8q = |[м0 + 8u,v0 + 5i>]| , где 5м и 8v
бесконечно малые приращения (вариации) компонент вектора перемещений
q. Это означает, что вместе с уравнениями равновесия (1.33) выполняются и
уравнения равновесия с возмущенными координатами
с,(«1+8«1) + с2(«2+8«2) = Х,
с,(и, + 5м,)(v + 5р)-с2(м2 + 5м2)(v + Sv) + c3l(v + 5v)j\-((v + 8v)/lf = 0 .
Вычитая из этих уравнений уравнения (1.35) и учитывая, что для
рассматриваемого равновесного состояния v = v0 = 0 и м, = м2 = м0, получаем
с,8«, + с2Ъи2 = 0, c,u05v- c2u0bv + cjxdv = О. (1.42)
При записи (1.42) отброшены произведения вариаций обобщенных
координат как величин второго порядка малости. Но согласно (1.38) и (1 29)
5х =—&v = , ° ^5г> = 0 , 5м, = 5м -1Ъх = 5м , 5м2 = 5м -1Ъх = 5м.
d* l2yjl-(vjl)2
Кроме того, для изучаемого равновесного состояния х=1. Поэтому (1.42)
приводится к виду
(с,+с2)5м = 0, (с, -c2)uo8v + c,l8v = 0. (1.43)
Система линейных однородных уравнений (1.43) относительно вариаций
5м и &v имеет ненулевое решение только в том случае, когда выполняется
условие
(с,-с2)мо+с3/ = 0,
которое после подстановки выражения для м0 по (1.36) приводит к эйлеровой
критической нагрузке Хе
\e=c3l?l±EL. (144)
Как видим, сопоставлением с (1.41), эйлерова критическая сила Хе
совпадает с критической нагрузкой Хсп определяющей момент потери
устойчивости системы согласно теореме Лагранжа-Дирихле, что,
разумеется, и следовало ожидать.
Если в разложении Е и П5 в ряды Тейлора в окрестности нуля сохранить
одни только младшие члены, то приходим к формулам, соответствующим
линейной постановке задачи. Уравнения равновесия r0q = XQ, вытекающие
из такого представления энергии деформации и силового потенциала,
соответствуют геометрически линейной постановке задачи. Вектор
перемещений q0 =Xr~lQ, отвечающий геометрически линейной постановке

560 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
задачи, характеризует равновесное деформированное состояние линейной
системы.
Посмотрим, каким образом введенные понятия реализуются на
рассмотренном примере системы, изображенном на рис. 11.1. Имеем
Г д2Е/ д2Е/
82Е/
/диди
/dv2 .
IL » <d
¦И- -и-
0
(1.45)
Сопоставлением с (1.36) обнаруживаем, что решение линейной задачи,
характеризуемое перемещениями и0 = Х/(с1 + с2) и v0 = 0, совпадает с
основным равновесным деформированным состоянием.
Как об этом уже было сказано, для изучения качества основного
равновесного состояния следует воспользоваться разложением функций Е и
П8 не в окрестности нуля, а в окрестности вектора q0, при этом полагаем
q = q0 + 8q. Вспомним, что согласно (1.11) элементы матрицы гх
д2Е . . . e2ns t Л
(Яо)-^ — (*о)
^qldqJ dqfiq}
функционально зависят от параметра X. Еще раз подчеркнем, что вторые
производные здесь понимаются взятыми в «-мерной "точке" q = q0,
компоненты которой в свою очередь пропорциональны параметру X,
согласно (1.45).
Если обратиться к нашей задаче с двумя степенями свободы, то на
основном равновесном состоянии, как мы это уже выяснили, будем иметь
д2Е/
/ди2
д2Е/
/Budv
0
Матрица rG
1(с1+с2)_
представляет собой матрицу геометрической

11.1 Устойчивость систем с конечным числом степеней свободы 561
Условие нарушения
матрицы жесткости
и дает нам критическое
положительной определенности касательной
rx=ra-\rG (1.46)
параметра нагрузки по Лагранжу-Дирихле
, с, + с,
что и было установлено ранее формулой (1.41).
Обратимся теперь к линеаризованной постановке задачи устойчивости в
рассмотренном примере. Разложив функции (1.29) в ряд Тейлора в
окрестности нуля и удерживая в этом разложении члены до второго порядка
включительно, получим
v2 v2
и, =и-\ , и, = и .
1 2/ 2 2/
Это дает возможность представить выражение для Е по (1.30), в котором
сохранены все члены вплоть до третьего порядка, в следующем виде
Отсюда и из (1.31) для линеаризованной постановки задачи устойчивости
имеем
д2Е/
/диди
/Budv
Э2Е/
/dv2 .
I
I
Но, поскольку для равновесного состояния из решения линейной задачи
имеем и0 = \/(с\ + с2) и v0 = 0, то отсюда для линеаризованной постановки
задачи устойчивости вновь приходим к той же самой формуле (1.46) с теми
же матрицами г0 и гв.
11.1.4 Пример 2 - парадоксы в задачах устойчивости
В предшествующем примере силовой потенциал представлял собой
линейную функцию от обобщенных координат системы и это
обстоятельство в определенной мере упростило наши выкладки. Однако в
общем случае выражение для силового потенциала может оказаться более
сложной функцией обобщенных координат системы. Приведем теперь такой
пример, в котором естественный выбор обобщенных координат приводит к
нелинейному выражению для силового потенциала.
Рассмотрим механическую систему с двумя степенями свободы,
показанную на рис. 11.3. В этой задаче считается, что стержень АВ

562 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
неизгибаем, однако этот стержень способен изменять свою длину за счет
продольной деформации вставленной в этот стержень пружины жесткостью
с2. Все размеры на этом рисунке даны для начального (недеформированного)
состояния системы, которое также мыслится равновесным и устойчивым при
отсутствии внешней нагрузки. Именно от этого состояния мы и будем вести
отсчет обобщенных координат.
Рис. 11.3. Пример механической системы с двумя степенями свободы
В качестве обобщенных координат системы удобно положить
9i = в, q2 = А, (1.47)
где 0 - угол поворота жесткого рычага АВ вокруг точки А (положителен при
повороте рычага от начального состояния по часовой стрелке), А -
укорочение вращающегося рычага АВ. Пусть и и v соответственно
горизонтальное и вертикальное перемещение точки В (положительные
направления этих перемещений показаны на рис. 11.3).
Из геометрических соображений легко понять, что в общей
геометрически нелинейной постановке кинематические параметры и и v
выражаются через обобщенные координаты системы 0 и А следующим
образом
w = (/-A)sin0, v = /-(/- A)cos0 (148)
Основное равновесное состояние, устойчивость которого мы хотим
исследовать, характеризуется кинематическими параметрами 0О и А,,, где
0„ = О, А0=—— (1.49)
с, +с2
Ясно, что деформированное равновесное состояние системы по (1.49)
отвечает линейной постановке задачи.
Сначала исследуем устойчивость равновесия в общей геометрически
нелинейной постановке С этой целью выпишем выражения для Е и \~\s.
Имеем

11 1 Устойчивость систем с конечным числом степеней свободы 563
[/-(/- A) cosef
= kv = k[l-(l-A)cosQ].
Вторые производные от полной потенциальной энергии системы
L = Е - Г\ по обобщенным координатам в точках исследуемого равновесного
состояния равны соответственно
T(0o,Ao) = (/-Ao)[c1Ao+c3(/-Ao)-?i]= / —
32L„
0,1-7,-
-(6о,Ло) = 0,
дА-
-(0о,Ао) = с1+с2
двдА
Теперь имеем возможность выписать полное выражение для касательной
матрицы жесткости системы в произвольной точке исследуемого
равновесного состояния
ае2
д\
двдА
д\ 1
двдА
д2\.
дА2 ]
Приравнивая определитель касательной матрицы жесткости нулю, находим
критические значения параметра нагрузки. Это условие приводит к двум
критическим значениям параметра нагрузки, а именно
{сх+с2)1 ' (с^+с2)1 с2+с3 '
Ясно, что Х"СГ<Х'СГ, поэтому окончательно в качестве критического
значения параметра нагрузки в этой задаче следует принять меньшее из них
,с,+с2
K=CJ-
(150)
Приглядимся внимательнее к этой формуле. В предельном случае
увеличения жесткости нижней пружины, когда сг—»°°, эта формула приводит
к известному выражению
К=с31, (1.51)
определяющему критическую продольную силу в абсолютно жестком
стержне длины /, один конец которого шарнирно закреплен, а поперечному
перемещению второго конца этого же стержня препятствует пружина
жесткостью с3.

564 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
Однако в противоположном частном случае, когда с2—»0, формула (1.50)
дает
K^-cJ (1.52)
и в таком виде на первый взгляд вызывает подозрение. Интуиция
подсказывает, что при с2-»0 рассматриваемая система вообще не должна
терять устойчивости, что вроде бы противоречит (1.52). Но это лишь первое
впечатление, а первое впечатление, как известно, бывает и обманчивым.
Прежде всего обратим внимание на то, что в предельном переходе с2—»0
сталкиваются две противонаправленные тенденции. Одна тенденция
заключается в том, что продольная сжимающая сила N
q +с2
развивающаяся в стержне АВ, падает вместе с уменьшением жесткости с2
Понятно, что такая тенденция ведет к росту критического значения
параметра нагрузки. Но есть и иная тенденция. С уменьшением жесткости с2
сокращается фактическая длина стержня АВ, которая непосредственно в
момент потери устойчивости становится равной величине /«
с, +с2
Сокращение же длины рычага АВ приводит к понижению критического
значения параметра нагрузки. Но критическое значение продольной силы в
стержне АВ определяется соотношением
Ncr = c2h,
что после подстановок вновь приводит к той же формуле (1.50), что только
повышает степень нашего доверия к ней.
В чем же дело? Чтобы наш ответ на этот вопрос был предельно ясен,
вернемся вновь к выражению для касательной матрицы жесткости г% и
заметим, что условие ее положительной определенности эквивалентно
неравенству
(1-О(1-А?)>0. С1-53)
Согласно этому условию определим область устойчивости и область
неустойчивости системы на плоскости двух безразмерных параметров аир,
положив
с3 ' (с,+с2)/'
На рис. 11.4 область неустойчивости системы, в которой неравенство (1.53)
нарушается, показана затемненной. Вся остальная часть полуплоскости а > 0
отвечает устойчивому равновесному состоянию системы. Содержание и
смысл пунктирных линий на этом рисунке мы обсудим позже.

* 111 Устойчивость систем с конечным числом степеней свободы 565
Представим себе процесс наращивания нагрузки при весьма малом
значении жесткости пружины с2, а точнее при малом безразмерном
параметре а. Сначала равновесие будет устойчивым, но затем при
возрастании нагрузки придется пересечь нижнюю границу затемненной
области и равновесие станет неустойчивым.
Рис. 11.4. Области устойчивости и неустойчивости равновесного состояния системы
Продолжая наращивать нагрузку, мы весьма скоро пересечем и вторую
(горизонтальную) границу области неустойчивости и система вновь вернется
в устойчивое равновесное состояние! Причем, чем меньше параметр а, тем
меньше участок нагружения с неустойчивым равновесным состоянием. В
предельном случае с2 = О этот участок просто вырождается в изолированную
точку (а = О, Р = 1). Но что же собой представляет это вторичное устойчивое
состояние равновесия?
От формальных математических преобразований перейдем к
истолкованию этой области с позиций механики. Легко понять, что верхняя
часть области устойчивых состояний равновесия на самом деле отвечает
таким огромным деформациям системы, при которых точка В в
деформированном состоянии оказывается аж ниже точки А, туда же
перемещается и внешняя сила Р. Таким образом, в этой области стержень
АВ оказывается не сжатым, а растянутым. Для механика достаточно беглого
взгляда на такое состояние системы, чтобы сделать вывод о его
устойчивости. Итак, тенденция (1.52) вовсе не противоречит нашему
первому интуитивному представлению об устойчивости равновесия системы
при с2 = 0.
Как видим, даже на таком простом примере подтверждается наш
вступительный тезис о коварном своеобразии задач устойчивости
равновесия.
Заметим, что весь предшествующий вывод был сделан с учетом общих
геометрически нелинейных соотношений. Наш следующий шаг заключается
в переходе к линеаризованной постановке задачи устойчивости.
Прежде всего представим функции (1.48) в виде ряда Тейлора,
ограничившись членами не выше второй степени
и = (/-Д)0, v = A + l—.

566 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
Потенциальная энергия деформации Е с точностью до членов третьего
порядка запишется так
v2 А2 и2 А2+/А02 А2 /202-2/А02
Е = с, 1-е, — + с, — = с, 1- с, 1- с, .
1 2 2 2 2 2 223 2
Одновременно силовой потенциал представим разложением с точностью до
членов второго порядка, что дает
Таким образом, в линеаризованной постановке задачи выражение для
полной потенциальной энергии системы должно быть принято в виде
А2+/А02
И теперь имеем
^(0о,Ао) = (с1-2сз)/Ао+с3/2-:и = /|сз/-?1С2+2Сз 1,
50 ^ с, + с2 J
-^-(0„,ДО) = О, -^-(0о,До) = с.+с,.
дддА дАг
Условие положительной определенности #\ приводит к выражению для
критической нагрузки в линеаризованной постановке задачи
Xс=сЛ Cl+Cl . (1.54)
С2+2С3
Но ведь это выражение совсем иное, существенно отличающееся от
"правильной" формулы (1.50).
Прежде всего, вновь рассмотрим предельные случаи При с2-»«> формула
(1.54) для критической нагрузки приводит к верному результату, то есть к
той же формуле (1.51). Если же устремить с2 к нулю, то вместо (1.52)
получим вдвое меньший результат
Xcr-+cJ/2. (1.55)
Так что же, еще один парадокс?
Спешим заверить, что никакого парадокса нет. В самом деле, почему мы
должны считать, что критические нагрузки, определяемые по
линеаризованной схеме, всегда должны совпадать с критическими
нагрузками, определяемыми при нелинейной постановке задачи
устойчивости? Для этого нет никаких оснований. Но тогда возникает вопрос
о границах допустимости линеаризованных расчетных схем в задачах
устойчивости.
Вспомним, что линеаризованная постановка задачи устойчивости
предполагает проверку устойчивости не всякого равновесного состояния, а

11 1 Устойчивость систем с конечным числом степеней свободы 567
равновесного состояния именно линейной системы. Любой инженер хорошо
знает, что пренебрежение погрешностью, вызванной переходом к линейной
задаче, допустимо только тогда, когда относительные деформации в
элементах системы существенно меньше единицы, скажем порядка 10"2 или
того меньше. Поэтому линеаризация задачи, как при поиске равновесного
состояния, так и при анализе устойчивости этого состояния, может быть
оправдана только при малых относительных деформациях5. В противном
случае погрешность решения может быть недопустимо большой.
В нашей задаче малость деформаций означает малость относительного
укорочения стержня АВ. Иными словами, если мы считаем, что
линеаризация допустима, то тем самым неявно предполагается
справедливость оценки
р = h «1
(с,+с2)/
Но в безразмерных обозначениях формула (1.54) может быть переписана так
Рсг =1/(2 +а)
и значит ее применение предполагает, грубо говоря, что
а = с2/с}> 100.
А при таких условиях формула (1.50), будучи переписанной в тех же
безразмерных обозначениях
Ргт=1/(1 + а),
практически не отличается от приближенной формулы (1.54). Так что вся
разгадка парадокса заключается в том, что предельный переход при с2 -> »
оправдан, тогда как при сг —> 0 недопустим. В последнем случае неизбежно
нарушается условие малости деформаций р, эквивалентное условию
большой величины для а.
О неинвариантности критической нагрузки по отношению к
выбору обобщенных координат системы
В связи с переходом к линеаризованной постановке задачи устойчивости
возникает еще один вопрос, который почему-то обходится молчанием во
всех известных нам книгах при постановке задач устойчивости. Этот вопрос
заключается в отсутствии инвариантности в формулах для критической
Именно "может быть оправдана", а не просто "оправдана" Малость деформаций
является необходимым условием линеаризации, но отнюдь не достаточным В
качестве подтверждающего примера можно рассмотреть весьма пологую ферму
Мизеса, равновесное состояние которой, определенное по линейной теории, может
оказаться чересчур грубым приближением к равновесному состоянию,
определяемому в соответствии с нелинейными уравнениями.

568 И. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
нагрузки в зависимости от выбора обобщенных координат системы. Если
речь идет о полной нелинейной постановке задачи, то, очевидно, что такая
инвариантность имеет место, по крайней мере, тогда, когда исследуется
устойчивость одного и того же равновесного состояния, являющегося
точным решением соответствующих нелинейных уравнений равновесия. Но
ведь нас интересует линеаризованная задача, которая, как мы уже знаем,
может приводить к формулам для критической нагрузки в приближенном
смысле. Поэтому логично ожидать, что в линеаризованных задачах это
свойство инвариантности может быть утеряно.
Справедливость такого предсказания проще всего продемонстрировать на
примере все той же системы, показанной на рис. 11.3. Возьмем на этот раз в
е обобщенных координат кинематические параметры и и v, положив
о(1.47)
q, = u, q2=v. (1.56)
Исходя из теоремы Пифагора
(l-A)2=u2+(l-v)2
и поступая математически формально, мы должны положить
А = /
¦^^f^-i-2i4*j\
Перед радикалом в этой формуле сознательно сохранен только знак минус,
поскольку именно этот знак отвечает малым деформациям, когда А« /.
Кроме того, для равновесного состояния линейной задачи следует принять
ио=0, v0 = А./(с,+с2).
Раскладывая функцию (1.57) в ряд Тейлора, получаем с точностью до
квадратичных членов
A = v-u2/(2l).
И теперь имеем возможность переписать выражение для полной
потенциальной энергии системы с точностью до членов третьего порядка
2 _VU2
, v2 А2 и2 . v2 V Т~ и2 .
L = с, he, he, Kv = c, he, -—he, kv .
1 2 2 2 3 2 ' 2 2 2 32
Вычисления вторых производных от полной потенциальной энергии
системы на равновесном состоянии дают
д2]- < vo 82L . ч . д21,
ди I дидп
Отсюда приходим еще к одному выражению для критической нагрузки
^сг=сз/?1±^. (1.58)

11 2 Вариационное описание критических нагрузок 569
Если переписать эту формулу в безразмерном виде, то будем иметь
Рсг=1/а. (1.59)
Но мы уже знаем, что все три выражения для безразмерного значения
критического параметра нагрузки на самом деле, несмотря на различия в их
написании, дают один и тот же результат с точностью до пренебрежения
относительными деформациями по сравнению с единицей. Иначе говоря,
/а* /{\ + аУ Д2 + а)
при достаточно больших значениях а.
Тем не менее, сами формулы для критических значений нагрузки в
линеаризованной постановке задачи зависят от выбора обобщенных
координат системы. Именно в этом смысле мы и говорим об отсутствии
инвариантности в этих формулах.
На рис. 11.4 пунктиром нанесены еще две кривые, соответствующие
критическим нагрузкам, полученным для двух вариантов линеаризованных
постановок задач. Как видим, одна из этих кривых лежит ниже точного
решения для нелинейной задачи, а вторая лежит выше. Отсюда следует
вывод о том, что знак погрешности, вносимой в решение линеаризацией, не
определен.
Проведенный анализ двух рассмотренных выше примеров может
показаться излишне громоздким. И это действительно так, но оправданием
такого усложненного анализа является наше стремление продемон-
стрировать технику непосредственного применения теоремы Лагранжа-
Дирихле при анализе устойчивости равновесия механической системы.
Традиционный же способ вычисления критических сил, основанный на так
называемом статическом методе, для систем с конечным числом степеней
свободы достаточно подробно описан во многих книгах и учебных
руководствах, см. например [7, 8, 9]. Это дает нам право не задерживаться на
демонстрации использования этой техники применительно к рассмотренным
выше примерам. Другим мотивом, подтолкнувшим нас к столь подробному
рассмотрению техники непосредственного применения теоремы Лагранжа-
Дирихле, является убедительность анализа в ситуациях, приводящих к так
называемым парадоксам. Если же оставаться в рамках чисто статического
метода определения критических нагрузок, то такой анализ был бы более
затруднительным.
11.2 Вариационное описание критических нагрузок
Итак, в линеаризованной постановке задача устойчивости равновесия
сводится к проблеме о спектре для пары матриц, в которой одна из матриц
(матрица геометрической жесткости га) не является положительно
определенной матрицей

570 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
В общем случае характеристическое уравнение
| г0-Хгв 1 = 0 (2.1)
будет иметь р положительных корней и q корней отрицательных, причем
р + q< п. Отрицательные собственные числа по своему физическому
смыслу определяют критические значения параметра нагрузки при
изменении направления действия всех внешних сил на противоположное.
Разумеется, наиболее важными в прикладном отношении имеют два
младшие по модулю (но разного знака) значения критического параметра
нагрузки. Именно эти две величины и определяют допустимый диапазон
изменения нагрузки, гарантирующий сохранение устойчивости
равновесного состояния системы6. Это не означает, что старшие
собственные числа характеристического уравнения (2.1) лишены всякого
практического смысла, как об этом часто можно услышать.
Соответствующие соображения и примеры приведены в нашей книге [3].
Пусть некоторое число Хсг является одним из корней характеристического
уравнения (2.1). Это означает, что однородная система уравнений (1.14) при
Х = ХСГ допускает нетривиальное решение относительно вектора 8q. По
своему физическому смыслу компоненты соответствующего собственного
вектора 5q характеризуют те мыслимые соотношения между бесконечно
малыми отклонениями обобщенных координат от исследуемого
равновесного состояния, при которых происходит смена знака второй
вариации полной потенциальной энергии системы.
Говорят, что собственный вектор 5q определяет форму потери
устойчивости системы. Далее мы намерены отказаться от обозначения
формы потери устойчивости системы с помощью вектора 8q и перейти к
более удобному обозначению z, что обеспечивает сохранение симметрии в
обозначениях с задачей о свободных колебаниях механической системы.
Итак, в принятых обозначениях имеем
(ro-Xcrre)z = 0. (2-2)
Различая положительные и отрицательные собственные числа для пары
матриц г0 и гв, введем раздельное их упорядочивание, положив по
определению
Х~ <... < Х~ < Х~ < 0 < X* < Ц <... < Х+р. (2.3)
6 Во многих случаях оказывается достаточным ограничиться только поло-
жительными собственными числами характеристического уравнения (2 1) Такая
ситуация возникает при невозможности изменения знака нагрузки Скажем,
собственный вес конструкции всегда имеет фиксированное направление к центру
гравитации. Но существуют и иного вида нагрузки, например нагрузки на мост от
торможения подвижного состава, которые могут действовать как в прямом, так и в
обратном направлениях

11 2 Вариационное описание критических нагрузок 571
Понятно, что при заданном уровне нагружения А равновесие устойчиво, если
Aj < А. < А.,+. Именно поэтому открытый интервал (А^,А*) называют
областью устойчивости.
В теории устойчивости равновесия принято говорить о так называемой
степени неустойчивости системы. Говорят, что при заданном А
равновесное состояние системы имеет степень неустойчивости равную s,
если выполнено одно из двух условий
а; < а < а;+| или а;+1 < а < а; . (2.4)
Будем говорить, что вектор г,+ представляет собой i-ую положительную
форму потери устойчивости системы, если
(r0-\;rGx = o (i<i<P).
Аналогично определим вектор г" как i-ую отрицательную форму потери
устойчивости системы, если
Подчеркнем, что в этих определениях положительность (или
отрицательность) формы потери устойчивости системы связана не со
знаками компонент этой формы, а со знаком соответствующего
рассматриваемой форме собственного числа.
11.2.1 Отношение Релея и вариационно-рекурсивное
определение критических нагрузок
Введем в рассмотрение формальное релеевское отношение для задачи
устойчивости равновесия, перенеся это понятие с задачи о частотном
спектре на задачу о спектре критических значений параметра нагружения.
По аналогии с формулой (10.2.28) имеем
г(г) = 4^ (2 5)
z rGz
Принципиальное отличие релеевского отношения (2.5) от его частотного
аналога (10.2.28) заключается в том, что в формуле (2.5) не гарантируется
положительный знак знаменателя.
При поиске условий стационарности частного Релея мы не можем, к
сожалению, дословно перенести сюда соответствующую схему рассуждений
с задачи о частотном анализе. Все дело в том, что матрица rG, не будучи
положительно определенной, не в состоянии породить метрику, поэтому и
условием нормировки zTraz = 1 мы не можем воспользоваться. Но в нашем
распоряжении сохраняется иная возможность, которой мы намерены тотчас
воспользоваться.

572 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
Предположим, что на некотором векторе z релеевское отношение
принимает стационарное значение. Это означает, что
Представим теперь формулу (2.5) в виде
г(г)гтгег = гтг0г
и продифференцируем обе ее части по z,. В результате получим
— zTrGz + 2rr|z =2r*z
Sz,
Но поскольку в точке стационарности бг/бг, = 0, то отсюда в этой же точке
получим
(ro-rro)l = 0. (2.6)
И теперь понятно, что стационарные значения релеевского отношения г в
точности равны собственным значениям для пары матриц г0 и rc, а
реализуются эти стационарные значения на собственных векторах.
Поскольку все стационарные значения г нами уже упорядочены согласно
(2.3), то отсюда оказываются справедливыми следующие два утверждения,
относящиеся к младшим критическим значениям параметра нагрузки:
Наименьшее положительное значение функционала г(г)
{реализуется на первом положительном собственном векторе г,+ ,и
это его минимальное положительное значение равно наименьшему
{положительному собственному значению X* матрицы г0
относительно матрицы rG, то есть
1шпг(г) = г(г,+ ) = X*,
где минимум отыскивается на всех векторах z, удовлетворяющих
условию гтгег > 0.
И аналогично,
Наименьшее по модулю отрицательное значение функционала г(г)
{реализуется на первом отрицательном собственном векторе г,~ ,и
\это его минимальное по модулю отрицательное значение равно
наименьшему отрицательному собственному значению Х~
{матрицы г0 относительно матрицы rG, то есть
тт|г(г)|=-г(гГ) = -?ч
\где минимум отыскивается на всех векторах z, удовлетворяющих
{условию zTrGz < 0.

11 2 Вариационное описание критических нагрузок 573
Пусть Ха и Хр два различных собственных значения (не важно, имеют ли
они одинаковые или разные знаки), а г„ и гр соответствующие им
собственные векторы. Это означает, что
roZa =^arGZa И roZ(,=\rG4
Домножим слева первое из этих равенств на грт , а второе на г„ и перенесем
X в левые части этих равенств
K^lWa = Zp'bZa И V^o^ = ^G^p •
Правые части в этих равенствах с учетом симметрии матрицы гс одинаковы
Так как матрица г0 также симметрична, то отсюда получаем
(*-«-У )«?»¦„*« = о-
Но поскольку собственные числа Ха и Х$ различны (и отличны от нуля), то
это означает, что соответствующие собственные векторы га и гр
ортогональны по метрике, порождаемой матрицей г0, то есть по начальной
энергетической метрике
(гр,гога) = 0. (2.7)
В дальнейшем, имея в виду равенство (2.7), будем говорить о том, что
собственные векторы га и гр Е-ортогональны.
Аналогично для этих же собственных векторов устанавливается равенство
(гр,гога) = 0. (2.8)
Однако равенство (2.8) не удается интерпретировать в терминах
ортогональности векторов га и гр, поскольку матрица гс не порождает
метрику.
Поскольку все (р + q) собственных векторов линейно независимы, то и
вообще для любой пары различных собственных векторов га и гр можно
считать выполняемыми соотношения (2.7) и (2.8).
Возвращаясь к установленному выше факту о точках стационарности
релеевского отношения и учитывая упорядоченность собственных чисел по
(2.3), приходим отсюда к вариационно-рекурсивному определению
критических значений параметра нагрузки:
Наименьшее
отыскиваемое
векторам г,+ ,...
положительное
на множестве
г,*,, реализуется
потери устойчивости системы
положительное
значение
векторов z
функционале
г(г),
^.-ортогональных
на i-ou положительной
Z*, и это
значение равно i-ому
критическому значению параметра нагрузки X+t
при условиях: г
mm г(г) =
Гг0г,+ =0,...,гтгог,+_,
= r(z,+) = V
форме
его минимальное
положительному
то есть
= 0 и zJrGz > 0.

574 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
И аналогично,
Наименьшее по модулю отрицательное значение функционала I
г(г), отыскиваемое на множестве векторов г, ^.-ортогональных
векторам г,-,...^,',, реализуется на i-ой отрицательной форме
потери устойчивости системы г~, и это его минимальное по
модулю отрицательное значение равно i-ому отрицательному
критическому значению параметра нагрузки Х~, то есть
min|r(z)|=-r(z,") = -?i;
при условиях: гтг0г1~ = 0,...,zJrBz~_l =0 и zTrGz<0.
Сформулированные здесь вариационно-рекурсивные определения
критических нагрузок представляют собой распространение вариационного
принципа Релея-Вебера на задачи устойчивости равновесия упругих систем.
11.2.2 О влиянии связей на устойчивость линеаризованной
упругой системы
Ответ на вопрос о влиянии связей на устойчивость упругой системы не так
прост, как это может показаться с первого взгляда. Дело в том, что в отличие
от постановки задачи о влиянии связей на частотный спектр упругой
системы, в задачах устойчивости равновесия требуется более тщательная
классификация связей.
Бытующий среди инженеров упрощенный взгляд о безусловном
стабилизирующем влиянии связей может привести к грубым ошибкам. В
самом деле, обратимся к примеру, изображенному на рис. 11.1, и представим
себе, что мы наложили на эту систему внешнюю абсолютно жесткую связь,
препятствующую перемещению правого конца правого стержня.
Математически наложение таковой связи означает выполнение требования
и2 = 0 . (2.8)
Но эту же связь можно интерпретировать как придание бесконечной
жесткости правой пружине, то есть считать, что в системе со связью с2 -> <».
Обратившись к формуле (1.41) и перейдя там к пределу, получим
критическое значение параметра нагрузки Хсг для системы со связью
icr = съ1 < Хсг = съ1-—— .
с2 -с.
Иными словами, связь (2.8) оказывает дестабилизирующее воздействие на
конструкцию. Этот же вывод можно сделать и из анализа графика на
рис. 11.2- критическая сила падает вместе с уменьшением отношения с\1сг.
Почему так произошло и можно ли все же указать те условия, при
которых связи гарантированно стабилизируют механическую систему?

11 2 Вариационное описание критических нагрузок 575
Но прежде, чем ответить на этот вопрос, полезно проанализировать на
этом же примере влияние иных связей на критическое значение параметра
нагрузки. Предположим теперь, что в отличие от (2.8) на систему наложена
связь следующего вида
щ = 0.
На механическом уровне эта связь означает запрещение продольных
перемещений левому концу левого стержня. Анализ того же графика по
рис. 11 2 показывает, что уже при сх > с2 , а тем более при с{ -> оо,
равновесие системы всегда устойчиво при положительных нагрузках. Это и
означает, что для данного равновесного состояния связь щ = 0 является
стабилизирующей.
И, наконец, нетрудно увидеть, что связь вида v = 0 также является
стабилизирующей, поскольку в этом случае механическая система вообще
неспособна потерять устойчивость при любых видах внешних воздействий
Возвращаясь к дестабилизирующему влиянию связи (2.8), заметим, что
эта связь не только ограничивает возможную форму потери устойчивости
системы, но и меняет само ее равновесное состояние. Это означает, что при
наложении связи (2.8) мы приходим к задаче устойчивости совершенно
иного равновесного ее состояния7.
Однако можно разграничить связи по времени их наложения (в условном
смысле). С одной стороны можно различать связи, наложенные на систему
до момента ее нагружения. Будем называть такие связи ранними. Здесь
существенно, что ранняя связь вовлекается в работу конструкции уже в
процессе ее нагружения и, вообще говоря, оказывает влияние на ее
равновесное деформированное состояние. Но вполне возможно вообразить и
такую ситуацию, когда связь накладывается на уже нагруженную и
продеформированную систему, и тогда эта связь оказывается
ненапряженной. Будем называть такую связь поздней Поздняя связь не
меняет равновесного состояния системы, но она ограничивает возможную
форму потери устойчивости системы.
Конечно, мыслимы и ранние связи, вообще не меняющие равновесного
состояния системы. Следуя терминологии, предложенной А.Р. Ржаницыным
[10], в этом последнем случае будем именовать таковую связь иммобильной
связью. Представителем иммобильной связи в рассмотренном примере
служит связь v = 0. В то же время обе связи и, = 0 и и2 = 0 не могут быть
отнесены к этой категории.
Так вот, предположим, что на систему наложена либо поздняя связь, либо
ранняя, но иммобильная связь. Это означает, что при том же равновесном
состоянии системы, характеризуемом вектором q0, система ограничена в
вариациях перемещений dq, или, при нашей договоренности об
7 Это лишний раз подчеркивает, что кажущаяся безобидность укороченного и
достаточно широко распространенного словоупотребления "устойчивость
конструкции" вместо правильного термина "устойчивость равновесия
конструкции" на самом деле не так уж и безобидна

576 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
обозначениях, связи накладываются только на компоненты вектора г. В
дальнейшем, говоря о связи, мы будем иметь в виду именно такие связи.
Общее уравнение такой связи (мы предполагаем, что связи линейные)
имеет вид
alzl + a2z2 +...+ a^zn = 0 (2.9)
с неравными одновременно нулю всеми коэффициентами а,.
Переформулируем уравнение связи (2.9), введя вектор связи * согласно
следующей формуле
*=#•>, где а=|К...,а„]|т.
В этих обозначениях уравнение связи (2.9) можно истолковать как условие
Е-ортогональности вектора связи * вектору z
*тгог = (*,г)Е=0. (2.10)
На основании вариационно-рекурсивного определения критических
нагрузок ^ = mm r(z) для всех Z'ZJrGz>0 и -Х~ = min | г(г) | для всех
г: zTrGz < 0 . Тогда как те же критические нагрузки X, и Х~ для системы со
связью (2 10) представляют собой те же минимумы, но отыскиваемые при
дополнительном условии (2.10). Но любое дополнительное ограничение не
может понизить минимум. Отсюда сразу же следует, что
X* >V и Х- <Х; (2.11)
Итак, наложение иммобильной связи способно либо расширить область
устойчивости системы, либо сохранить ее без изменения. Это и означает, что
рассматриваемые связи являются связями, стабилизирующими равновесное
состояние конструкции. В то же время ранние связи, не являющиеся
иммобильными, могут оказывать как стабилизирующее, так и
дестабилизирующее влияние на равновесное состояние системы.
Точно так же, как мы поступали в задаче о частотном спектре, можно дать
и независимое вариационное определение критических нагрузок и получить
аналог теоремы Рауса о влиянии связей на спектр критических сил. Мы не
будем здесь этим заниматься, обратившись к читателю с предложением
выполнить самостоятельно модификацию соответствующих формулировок.
Это не сложно сделать, если перенести сюда все этапы рассуждений из
главы 10 с учетом изменений, вносимых в спектр собственных значений
наличием отрицательных критических сил. Приведем только
результирующий общий вывод о влиянии связей:
При наложении на механическую систему поздних или
иммобильных связей положительная часть спектра критических
значений параметра нагрузки может смещаться на числовой оси
только направо, а отрицательная часть спектра - только налево

* 11.2 Вариационное описание критических нагрузок 577
Что же касается понятия об эллипсоиде Релея, вводимом в задачах о
частотном спектре, то оно не переносится в общем случае на задачи
устойчивости. Причина все та же - для матрицы геометрической жесткости
свойство положительной определенности не гарантируется.
11.2.3 Теорема Папковича о выпуклости области устойчивости
Случай, когда конструкция подвержена только одному фиксированному
виду внешних воздействий, является скорее исключением, нежели правилом.
Практически всегда инженер имеет дело с совокупностью независимых
нагрузок, причем эти нагрузки могут действовать в самых различных
комбинациях. В связи с этим возникает проблема выбора наихудшей
комбинации внешних воздействий, как в смысле прочности конструкции,
так и по отношению к запасу устойчивости в тех равновесных состояниях,
которые отвечают различным комбинациям внешних воздействий.
Мы начнем наше рассмотрение с простого примера. Представим себе, что
на упругую систему, изображенную на рис. 11.5, могут действовать две
независимые силы Рг и Р2, причем сами эти силы могут изменяться в
широких пределах по своей величине и могут действовать в прямом и
обратном направлениях. Три стержня в этой системе считаются абсолютно
жесткими.
к а Л А вк
l i ; i t / J
Рис. 11.5. Устойчивость равновесия упругой системы при двух независимых
воздействиях
Если мы зафиксируем отношение между силами Р\1Рь то, следуя
стандартной процедуре, сможем найти равновесное состояние системы и
определить границы области устойчивости этого равновесного состояния.
Попытаемся решить эту задачу в общем виде, воспользовавшись на этот раз
методом Эйлера, то есть статическим методом. С этой целью составим
уравнения равновесия для того деформированного состояния системы,
которое мыслится реализуемым в момент потери устойчивости равновесия.
На рис. 11.6 показана предположительная форма потери устойчивости
системы.
Л
Р,+Р2 F— р Р,+Р2
Рис. 11.6. Реакции в связях системы в момент потери устойчивости равновесия

578 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
В линейной постановке задачи, устойчивость равновесного состояния
которой нас и интересует, реакции, возникающие в горизонтальных
пружинах жесткостью к, будут одинаковыми и равными (Р\ + Р2)/2, как это
показано на рис. 11.6. Если считать, что в процессе выпучивания системы
перемещения шарнирных узлов над вертикальными пружинами равны щ и
и2, то и соответствующие реакции будут равны сих и си2, где с - это
жесткость вертикальных пружин, установленных под шарнирными узлами.
Реакции RA и RB вертикально неподвижных опор (см. рис. 11.6) легко
определяются составлением уравнений равновесия в моментах относительно
точек А и В. Имеем
Воспользуемся теперь условием равенства нулю моментов в шарнирных
узлах Это дает
2 i 2
Подставив сюда полученные выше выражения для реакций RA и RB,
приходим к системе двух линейных однородных уравнений относительно их
ии2
(4с/ - 7} - ЗР2 )и, + (2с/ + 2Р2 )и2 = 0, (2с/ - 27} )и, + (4с/ + 37» + Р2 )и2 = 0.
Приравняв определитель этой системы уравнений нулю, получим, что в
критическом состоянии системы выполняется равенство
4с2/2+4с/(7}-Р2)-(7}+7>2)2=0. (2.12)
Удобно перейти к безразмерным силовым переменным рх ир2, положив
7» Р2
А =-7» 7>2=-7-
с/ с/
В безразмерных силовых параметрах уравнение (2.12) перепишется в виде
4 + 40»,-/>,)-(/>,+Л)2=0. (2.13)
На плоскости параметров р\ и р2 это уравнение определяет некоторую
кривую, как это показано на рис. 11.7. Понятно, что двумерная область О.,
ограниченная этой кривой, является областью устойчивости равновесия
системы. Вне пределов этой области равновесие неустойчиво. На рис. 11.7
показана область устойчивости ?1, граница которой удовлетворяет
уравнению (2.13).
Как видим, точка (pi = 0, р2 = 0) принадлежит области устойчивости О.,
что и понятно, так как эта точка соответствует незагруженной системе.
Однако самое главное заключается в том, что область Q. является выпуклой
областью.

11 2 Вариационное описание критических нагрузок 579
Кстати, обратим внимание, что критические нагрузки в этой задаче не
зависят от жесткости горизонтальных пружин Л8.
6 9 12 15
Рис. 11.7. Область устойчивости равновесия
Свойство выпуклости области Q. не случайно проявилось в данной задаче.
Оказывается, что справедлива следующая важнейшая теорема, принад-
лежащая П.Ф. Папковичу [11]:
При комбинированном погружении упругой механической системы
область устойчивости равновесия D., построенная в пространстве
погружений в рамках линеаризованной постановки задачи
устойчивости равновесия, является выпуклой областью, содер-
жащей начало системы координат.
Здесь важно лишь, что обе горизонтальные пружины (на левом и на правом конце
системы) имеют одинаковую жесткость При иных соотношениях жесткостей этих
пружин критические силы будут иными. Стоит также отметить, что все
рассуждения остаются в силе только до тех пор, пока жесткости к одинаковые, но
имеют конечное значение Если вместо горизонтальных пружин установить
абсолютно жесткие связи, то использование для этого случая предельного
перехода ?-юо будет некорректно и вот по какой причине При бесконечных
жесткостях этих пружин соотношение между ними неопределенно, также, как не
может быть определено равновесное состояние системы, а значит неопределенна и
критическая нагрузка Близкий к рассмотренному пример приведен в книге
Н А Алфутова [7, стр 32-33], где эти пружины заменены абсолютно жесткими
связями, при этом указанное здесь обстоятельство выпало из внимания автора
Между прочим, на рис 1 22 в книге Алфутова [7] область устойчивости показана
замкнутой, тогда как у нас на рис 11 7 эта область незамкнута Легко понять, что
для нерастяжимых стержней вывод о замкнутости области Q является ошибочным
Действительно, представим себе, что силы Рх и Р2 являются равными по величине
и противоположно направленными Рх = -Р2, причем так, что они растягивают
средний стержень Это означает, что силовое распределение не покидает пределов
центрального стержня, и продольная сила в двух крайних стержнях будет равна
нулю, так что система при таком соотношении сил вообще не теряет устойчивости
Выводы Алфутова становятся правильными, если считать, что стержни в этой
системе обладают равной, возможно весьма большой, но конечной жесткостью на
растяжение-сжатие

580 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
Папкович не только первым обнаружил сам факт выпуклости области Q,
но и дал строгое тому доказательство. Правда, доказательство самого
Папковича довольно сложное, что, не подвергая сомнению справедливость
утверждения этой теоремы, заставило в дальнейшем искать иные пути ее
обоснования. В частности, такие доказательства в последующем были даны
Б.М. Броуде [12] и А.Р. Ржаницыным [8].
Прежде, чем переходить непосредственно к доказательству теоремы
Папковича, введем некоторые определения и установим одну важную
вспомогательную лемму.
Итак, пусть механическая система подвержена независимым силовым
воздействиям в количестве т. Не ограничивая общности, можно считать, что
произвольная комбинация нагружения характеризуется тя-мерным вектором
Р, где Р= |[,РЬ.--ЛЦ1. Представим вектор Р в виде разложения по
единичным векторам
р = ЕРоЛ*. гДе еа = | [0,...,0,1,0,...,0] |т •
Иными словами единичный вектор еа имеет все нулевые компоненты, за
исключением а-ой компоненты, которая равна единице.
Введем обозначение X для длины вектора Р в пространстве нагружений
X = JpJ+I+pJ.
Вектор нагружения Р представим теперь так
Р = *??&=№, ^ = Ё^'»' Я = Ро. ^ >
где вектор Р по построению представляет собой произвольный вектор
единичной длины в пространстве нагружений.
В тя-мерном пространстве нагружений с осями еие2,...,ет для любого
фиксированного нагружения, определяемого компонентами единичного
вектора нагружения Р = \Р1,...,Рт\ , можно найти критическое значение
множителя X = Хсп на который нужно умножить все компоненты единичного
вектора нагружения, чтобы в линеаризованной постановке задачи
равновесие системы стало неустойчивым. Геометрически в пространстве
нагружений параметр Хсг можно интерпретировать как критическую длину
вектора нагружения.
Таким образом, критические значения параметра нагрузки становятся
функцией единичного вектора нагружения Р
х;=х;(Р). (2.14)
Нам достаточно определить зависимость только первых положительных
критических значений от вектора комбинации нагружения Р.
Отрицательные критические значения при этом не будут утеряны, они

11 2 Вариационное описание критических нагрузок 581
автоматически учтутся в этой зависимости при изменении вектора Р на
противоположный вектор - Р.
В пространстве нагружений функциональная зависимость (2.14)
определяет некоторую (тя-1)-мерную поверхность Г (не обязательно
замкнутую). Эта поверхность описывается множеством векторов \\(Р)Р, и
наша задача заключается в обосновании утверждения, что эта поверхность
Г ограничивает выпуклую тя-мерную область О., содержащую начало
системы координат. В геометрической интерпретации зависимость (2.14)
можно истолковать как отображение поверхности сферы единичного
радиуса в пространстве нагружений на границу Г области устойчивости
равновесия, причем в этом отображении произвольный вектор Р единичной
длины, будучи растянутым с коэффициентом растяжения Х'ЦР),
переводится в вектор, конец которого лежит на поверхности Г.
Из предшествующего изложения следует, что функциональная
зависимость (2.14) определяется на основании параметризованного вектором
Р характеристического уравнения
det[ro-\ro(P)] = 0, (2.15)
причем понятно, что начальная матрица жесткости г0 не зависит от вектора
нагружения Р.
Справедливо следующее утверждение, которое мы назовем леммой о
линейной зависимости геометрической матрицы жесткости гс от
вектора Р. А именно: компоненты матрицы геометрической жесткости rG
являются линейными однородными функциями от компонент вектора Р.
Иными словами
4 = Pfi'l + Р2р"2 +... + Ртрчт , (2.16)
где р? - некоторые константы (а= 1,...,тя). Понятно, что матрица [р„]
представляет собой матрицу геометрической жесткости, отвечающую
загружению системы единичным вектором еа-
Для обоснования этой леммы воспользуемся общей формулой (1.27) для
компонент матрицы геометрической жесткости
Очевидно, что силовой потенциал П^ при рассматриваемом
комбинированном нагружений системы может быть представлен в виде
суммы потенциалов отдельных сил, то есть в виде
ns=X(P]gl+... + Pmgm),
где ga = ga(q) - некоторые функции обобщенных координат qx,...,q„
системы. Это означает, что согласно (1.20)

582 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
bq<dqj dqfiqj
и значит величины b'J суть линейные однородные функции компонент
единичного вектора нагружений Р.
Коэффициенты d'k по самому своему определению согласно (1.20) зависят
только от энергии Е и не зависят от нагрузки. Поэтому нам остается
доказать, что величины q^ линейно зависят от компонент вектора Р.
Ранее, в разделе (11.1.2) было получено, что q0=r~1Q, поэтому нам
достаточно установить, что единичный грузовой вектор Q линейно зависит
от вектора Р. Прямое вычисление этого вектора дает
'^-111
И теперь видно, что представление (2.16) справедливо, так что лемма
доказана.
Возвращаясь непосредственно к теореме Папковича, еще раз отметим, что
возможны различные подходы к ее обоснованию. В частности, сам
П.Ф. Папкович опирается на следующее характерное свойство произвольной
выпуклой области Q. А именно: если любой луч, исходящий из
произвольной точки А& Q, пересекает границу Г области Q не более, чем
один раз, то область Q является выпуклой областью. Вся сложность в
доказательстве самого Папковича заключается в обосновании именно этого
свойства области устойчивости равновесных состояний системы в
пространстве нагружений.
В доказательствах же Б.М. Броуде и А.Р. Ржаницына используется
несколько иное характерное свойство выпуклости области Q. Для
исследуемой области Q, заданной в тя-мерном линейном пространстве Жт,
вводится понятие опорной гиперплоскости.
Вообще, гиперплоскостью в Шт называется всякое афинное множество
размерности т-\. В частности, в пространстве размерности 2
гиперплоскостью является всякая прямая, в трехмерном пространстве
гиперплоскость это любая двумерная плоскость, не обязательно проходящая
через начало системы координат. Всякая гиперплоскость расчленяет
исходное пространство Шт на два m-мерных полупространства, лежащие по
разные стороны от разделяющей их гиперплоскости.
Гиперплоскость называется опорной к области Q, если хотя бы одна точка
границы Г области Q принадлежит этой гиперплоскости, а вся область Q
Н№>
ин а я«
II ^ a8q„ II

11.2 Вариационное описание критических нагрузок 583
целиком содержится в одном из полупространств, порождаемых этой
гиперплоскостью.
И, наконец, если через каждую точку границы Г можно провести опорную
гиперплоскость, то область Q выпукла. Последнее утверждение на
интуитивном геометрическом уровне понятно и звучит вполне убедительно
для механика. Желающих ознакомиться со строгим математически
выдержанным обоснованием этого утверждения отсылаем к тому разделу
современной математики, который носит наименование "Выпуклый анализ"
[13, 14]. Именно это характеристическое свойство выпуклости области Q и
используют в своих доказательствах Б.М. Броуде и А.Р. Ржаницын, хотя и
делают это несколько по-разному.
Если опираться на рассуждения Ржаницына, то первый шаг будет
заключаться в утверждении, что при наложении на систему некоторого
количества связей (подразумеваются связи, ограничивающие форму потери
устойчивости системы, но не влияющие на ее равновесное состояние - в
используемой выше терминологии это поздние или иммобильные связи)
область устойчивости может только расширяться, но не сужаться. Это
немедленно вытекает из результатов раздела 11.2.2.
Далее, пусть Г - граница области устойчивости равновесных состояний
системы в пространстве нагружений. Возьмем некоторую точку А, лежащую
на этой границе. Тогда длина вектора ОА будет равна X* (РА), при этом РА
это единичный вектор, сонаправленный с вектором ОА. Пусть вектор z[
представляет собой форму потери устойчивости системы, отвечающую
собственному числу Х\, то есть
(го-КгвК=0- (2-17)
Для данного загружения, определяемого вектором РЛ, рассмотрим также
систему с одной степенью свободы, которая получается из заданной системы
наложением на нее (и-1) поздних связей, препятствующих потере
устойчивости системы по любым иным формам, кроме формы z[ ¦ Понятно,
что эта система с одной степенью свободы потеряет устойчивость
равновесия при том же самом значении критической нагрузки Х\. Пусть
г,0 и г,в начальная матрица жесткости и геометрическая матрица жесткости
(первого порядка) для полученной системы с одной степенью свободы. Это
означает, что вместе с (2.17) имеем
Г'0-Кг-в=°- (2-18)
Но по доказанной ранее лемме число г,0есть линейная комбинация
компонент единичного вектора нагружений, что позволяет переписать (2.18)
в виде
по-Х^Рар,а=0. (2.19)
20-818

584 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
Уравнение же (2.19) в пространстве нагружений определяет
гиперплоскость, причем все точки пространства нагружений, отвечающие
устойчивым равновесным состояниям одномерной системы, лежат по одну
сторону от этой гиперплоскости (при положительном значении левой части
в (2.19)), а всем неустойчивым - по другую сторону (при отрицательном
значении левой части в (2.19)). Иными словами область устойчивости
равновесия одномерной системы представляет собой тя-мерное
полупространство, лежащее с одной стороны от гиперплоскости,
проходящей через изучаемую точку А. Выбор интересующего нас
полупространства определен однозначно тем условием, что это
полупространство должно содержать начало системы координат.
Но поскольку область устойчивости равновесия Q исходной и-мерной
системы есть лишь часть выбранного полупространства в тя-мерном
пространстве нагружений (снятие связей может только сузить область
устойчивости), то это является гарантией того, что вся граница Г будет
лежать в полупространстве устойчивости.
Приведенное рассуждение годится для любой точки А, взятой на границе
Г. Это и означает, что рассматриваемые гиперплоскости являются опорными
гиперплоскостями относительно области Q. На этом доказательство теоремы
Папковича завершено.
Важнейшее прикладное значение теоремы Папковича заключается в
возможности на основе ее выводов выполнять расчеты устойчивости
равновесных состояний конструкции не для всевозможных мыслимых
комбинаций нагружений, а только лишь для отдельных фиксированных
вариантов нагружений. Затем, с гарантированным знаком погрешности
можно оценивать область устойчивости, заменяя ее истинную границу
совокупностью гиперплоскостей. Подробнее об этом сказано в книге [3].
11.2.4 Еще раз о геометрической матрице жесткости
Мы уже упоминали о том, что понятие геометрической матрицы жесткости
системы является одним из ключевых в теории устойчивости равновесного
состояния механической системы. Поэтому имеет смысл остановиться на
этом понятии чуть более подробно, проиллюстрировав его применение на
примере простой механической системы.
С этой целью вновь вернемся к рассматриваемому примеру 1 (см.
рис. 11.1) и обозначим там через М продольную силу, возникающую в
стержне 1, а через N2 продольную силу в стержне 2. Эти усилия мыслятся
вычисленными на исследуемом равновесном состоянии системы. Очевидно,
что
ЛГ, =С}и0=Р—^—, N2 = сги0 = Р °2 .
с, +с2 с, + с2

11.2 Вариационное
критических нагрузок 585
При этом усилие Л^ получается положительным при растяжении стержня 1,
а усилие N2 положительно при сжатии стержня 2.
Мы уже знаем, что матрицы г0 и tg в этой задаче выглядят следующим
образом
|Гс1+с2 011
IL О съ\
rG--
0
/(c1+c2)J|
причем первая строка и первый столбец у этих матриц относятся к
продольному перемещению и центрального узла, а вторая строка и второй
столбец - к поперечному перемещению v этого же узла.
Структура и состав матрицы г0 вполне понятны. Ее компоненты отвечают
обычной линейной постановке задачи. Если в деформированном состоянии
системы, отвечающем ее форме потери устойчивости, рассмотреть
равновесие каждого из элементов системы, то обнаружим (рис. 11.8), что в
левом стержне развивается поперечная сила Q\ = N\vll, а в правом стержне -
поперечная сила Q% = N2v/l.
1 / 2 2 /
Рис. 11.8. Получение компонент матрицы гв статическим способом
Поэтому при поперечном отклонении центрального узла на единичную
величину v = 1 действующая на этот узел суммарная реактивная сила ггг
будет складываться из двух величин
N. N2 п с,-с.
гц = сз + -f—- = съ -Р-1 L-.
/ / {c^+c^l
Второй член в правой части этой формулы как раз и представляет собой ту
компоненту ггг, которая относится к геометрической матрице жесткости.
Этот простой пример демонстрирует технику получения компонент
матрицы геометрической жесткости традиционным способом без
привлечения выражений для энергии деформации и работы внешних сил, то
есть способом, основанном на одних только уравнениях равновесия. Но эти
уравнения должны быть составлены для деформированного состояния
системы с учетом тех внутренних усилий, которые возникают в элементах
системы в равновесном ее состоянии, исследуемом на устойчивость.

586 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
11.2.5 Устойчивость равновесия при несиловом воздействии
До этого момента мы рассматривали устойчивость равновесия механической
системы только при силовом воздействии. Внимательный читатель заметит,
что вполне возможны постановки задач устойчивости и при кинематических
воздействиях. В самом деле, даже простой пример отдельно взятого стержня
при принудительном сближении его концов будет находиться в равновесном
состоянии, которое способно и не сохранять устойчивость.
Проблема заключается в том, что при кинематических воздействиях
применение теоремы Лагранжа-Дирихле не вполне очевидно и, по крайней
мере, требует пояснений.
В рассматриваемом случае все рассуждения можно провести следующим
образом. Расширим набор степеней свободы (1.1) до количества т, где
т>п. В качестве дополнительных s = m-n степеней свободы примем те из
них, ненулевые величины перемещений которых заданы в качестве внешних
воздействий. В данном случае потенциал внешних сил П8 отсутствует, так
1_ = Е(<Ь...,ад+1,...,<7т), (2.20)
но при этом последние s переменных не варьируются, а считаются
заданными величинами, причем их значения пропорциональны параметру
нагружения X. Иными словами, полагается
<7„+i=^„+1> -,<7„+s=^+s- (2-21)
Чертой сверху обозначены фиксированные значения перемещений,
отвечающие единичному значению параметру нагружения X = 1.
Разобьем вектор q на две части
*=|[*i,fc]|T, qx = \[qu...,qn}\\ Чг = |fo,+„...*,<J|T.
Первый вектор q\ составлен из варьируемых перемещений, тогда как
компоненты второго вектора q2 подчинены требованиям
q2=Xq2. (2.22)
Равновесное состояние системы находится из условия стационарности
функции L от т переменных по (2.20), но при дополнительных условиях
(2.21). В линейной постановке задачи (устойчивость равновесия которой нас
и интересует) будем иметь
I 1|Г ЦТГГо11 rol2l|r?ll
где компоненты матричных блоков го11, гоП=г^21, го22 определяются
согласно общей формуле (1.17). Условия стационарности L по (2.23) при
дополнительных условиях (2.22) приводят к следующей системе линейных
алгебраических уравнений

11.2 Вариационное описание критических нагрузок 587
?1
ч,
л
= х
~°]
0
Яг \
(2.24)
с вектором лагранжевых множителей Л порядка т.
Решение этой системы уравнений приводит к следующей формуле для
компонент вектора q0\, определяющего равновесное состояние линейной
системы при заданных по (2.22) кинематических воздействиях
Ч0Х
-^,',^,2^2 .
(2.25)
Введя обозначение
Чох = -ГмГопЧг <
перепишем формулу (2.25) в виде
*„,=**.,• (2-26)
Для того, чтобы выяснить границы области устойчивости найденного
равновесного состояния, можно воспользоваться условием положительной
определенности функционала устойчивости Болотина (1.16). Поскольку
варьируемыми параметрами являются только компоненты вектора qi в
количестве и, то отсюда приходим к условию устойчивости найденного
равновесного состояния в форме
гтгшг>0
для любого вектора z размерности п. Матрица гхи представляет собой
касательную матрицу жесткости системы размерами пхп, отвечающую
вариациям обобщенных перемещений 8^i =zl,...,8q„ = z„. При этом
dqfiqj v
В линеаризованной постановке задачи устойчивости будем иметь
hu=r0U-^ren. (2.28)
Если обратиться к общей формуле (1.27) для компонент геометрической
матрицы жесткости, то легко заметить, что в данном случае коэффициенты
Ъ'' тождественно равны нулю, поскольку силовой потенциал П8 отсутствует.
Поэтому согласно (1.20), (1.21) и (1.27)
53Е
-(*..,*?),
1,7=1,-
(2.27)
2ttB:
-№u,
(2.29)
где qolk - это &-ая компонента вектора qoX (к=1,...,п).
Продемонстрируем теперь технику решения задачи устойчивости
равновесия системы при кинематическом воздействии на примере,

588 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
изображенном на рис. 11.3. Однако на этот раз будем считать, что в качестве
внешнего воздействия задана не сила Р, а принудительное вертикальное
перемещение верхнего узла пружины жесткостью с\. Величину этого
перемещения обозначим как X. Воспользовавшись обозначениями по (1.47),
в данной задаче будем иметь
*, = |[0,А]Г, Чг=Щ, «= 2, *=1.
Очевидно, что в линейной постановке задачи равновесное состояние
системы характеризуется перемещениями
0О = О, Д =—^— X. (2.30)
С1+С2
Далее, выражение для энергии деформации в данном случае будет иметь
вид
что после подстановки выражений для мнрпо (1.48) дает
[l-(l-A)cosQ-X]2 |g Д^ + с (/-A)2sin26
-С1 2 + С2 2 +С3 2
Не переходя к линеаризованной постановке задачи, определим сразу же
компоненты касательной матрицы жесткости системы. Имеем
^(0о,До) = с1(Ао-Х)(/-До) + с3(/-До)2=(/-До)[с1(До-Х) + с3(/-Ао)],
-^(0О,ДО) = О, -^-(0oA) = Cl+c2.
505Д дА
Таким образом, согласно (2.27) будем иметь
= |Г(/-Д0)[С1(Д0-Х) + с3(/-Д0)] О
'"'"IL о
Подставив сюда вместо Д0 его значение по (2.30), из условия положительной
определенности матрицы гш приходим формально к двум критическим
значениям параметра внешнего воздействия
Кг _ С1 + С2 Кг_- Сз(С1+С2)
/с, / с^(съ+с2)
Удобно перейти к безразмерным параметрам, положив
a = ?l; рЛ_5_. (2.31)
с, I с.+ с2

11.3 Геометрически нелинейные задачи теории упругости 589
Легко понять, что на плоскости этих безразмерных параметров граница
области устойчивых положений равновесия системы при заданном
кинематическом воздействии определяется условиями
Р^=1, Р^=1/(1 + а).
И теперь ясно, что границы разделения областей устойчивых и
неустойчивых равновесных состояний системы описываются все теми же
графиками на рис. 11.4, однако смысл параметра Р на этом рисунке теперь
должен быть определен второй из формул в (2.31).
В заключение этого пункта отметим, что мыслим и иной вариант
несиловых воздействий, при котором возможна потеря устойчивости
равновесия системы. Таковыми воздействиями могут быть заданные
начальные деформации, вызванные, например, температурными эффектами
или такими факторами как усадка и ползучесть бетона в железобетонных и
сталежелезобетонных конструкциях. На деталях не останавливаемся.
11.3 Геометрически нелинейные задачи теории
упругости
В линейных задачах теории упругости компоненты тензора деформаций
выражаются через компоненты вектора перемещений с помощью линейных
соотношений (4.2.1- Ь). В задачах же устойчивости равновесия этого уровня
точности геометрических соотношений оказывается недостаточно и
приходится учитывать дополнительно квадратичные члены от перемещений.
В этой связи остановимся кратко на геометрически нелинейной постановке
задачи теории упругости.
11.3.1 Геометрические уравнения
Известно, что в трехмерной задаче теории упругости геометрические
уравнения, выражающие связь деформаций и перемещений, при условии
малости удлинений и сдвигов по сравнению с единицей в стандартных
обозначениях [15] записываются в виде 9
9 Обратим внимание на то, что в отличие от (3 1), у Новожилова [15] выражения для
сдвиговых деформаций е^, гуг, 8Я не содержат множителя Vi Ошибки здесь нет,
дело в том, что в [15] эти же обозначения используются не для сдвиговых
компонент тензора деформаций, а для самих сдвигов, которые мы обозначали в
главе 4 как у^,, yyz, у^ Подчеркнем также, что с самого начала мы ограничиваемся
теми упрощениями геометрически нелинейных уравнений, которые обязаны
предположению о малости всех компонент тензора деформаций по сравнению с
единицей Случай больших деформаций, могущий представлять практический
интерес для резиноподобных материалов, мы опускаем из рассмотрения

590 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
\(ди до ди ди до до dw диоЛ
е„=- — + — + + + , ... (3.1)
*" 2{ду дх дхду дх ду дх ду J у '
В (3.1) выписаны два из шести геометрических соотношений, остальные
четыре соотношения получаются из (3.1) круговой перестановкой буквенных
символов по схеме х—>у—»z—>х и и—>v->w—»и.
Если перейти к индексным обозначениям, положив, как обычно это
делается
х\ = х, х2 =у, хз=г, и щ = и, щ = v, щ = w,
то нелинейные геометрические уравнения (3.1) можно будет переписать в
удобной для обозрения и преобразований тензорной форме
^4(м-+м-)45*'ч''м'-- (з-2)
Дельта Кронекера 5кт введена здесь, чтобы сохранить принятое соглашение
о суммировании по повторяющимся, но разноэтажным индексам. Как видим,
в отличие от постановки линейной задачи теории упругости соотношения
(3.2) пополнены дополнительными членами, квадратично зависящими от
перемещений.
Для того, чтобы различать компоненты тензоров напряжений и
деформаций в линейных и геометрически нелинейных задачах теории
упругости, договоримся в этой главе использовать следующие обозначения:
• x'J, ev - компоненты тензоров напряжений и деформаций в линейных
задачах теории упругости;
• a'J, ev - компоненты тензоров напряжений и деформаций в геометрически
нелинейных задачах теории упругости.
Таким образом, полагаем
е.г\ К, +«„)¦ (3.3)
Два тензора деформаций еу и еу связываются соотношением
*у = е„+Л, (3.4)
где/у - квадратично зависящая от перемещений часть тензора е9
fv=^kmuk,,"m,J- (3-5)
Полезно ввести в рассмотрение так называемый антисимметричный
тензор вращения с компонентами
ш,4Кг\.)' (3-6)
так что

11.3 Геометрически нелинейные задачи теории упругости 5 91
uUJ=e9+w9. (3.7)
Подстановка разложения (3.7) в формулы (3.4) и (3.5) дает
еу = еу +-Ъкт (еь + а>ь )(ет] + a>mJ). (3.8)
Как это хорошо известно [15], нелинейные геометрические соотношения
(3.1) или, что то же самое, (3.2) справедливы в общем случае, но при условии
малости удлинений и сдвигов. Это означает, что все компоненты тензора
|[еу]| по абсолютной величине существенно меньше единицы. Иными
словами, для всех комбинаций индексов должна быть справедлива оценка
|е„| « 1 . (3.9)
Последующие упрощения геометрических соотношений связаны с
дополнительным предположением о малости параметров а>,у, которые в этом
случае могут быть отождествлены со средними углами поворотов
бесконечно малого объемного элемента, окружающего рассматриваемую
точку упругой среды, относительно соответствующих осей. Если обозначить
компоненты этих поворотов относительно соответствующих как а>х, coy, coz,
то их можно выразить через компоненты тензора вращения так (см. [15])
Ю, = а>32, (Оу = (Яп, C0z = O>2l.
Итак, предположим, что кроме (3.9) выполняется оценка
К|«1. (3.10)
Но малость поворотов по сравнению с единицей еще не гарантирует
эквивалентности по порядку величин самих поворотов и деформаций.
Поэтому ближайшим упрощающим предположением является совокупность
следующих оценок
|е„| « 1 , К| « 1 , \еи\ « \(ov\. (3.11)
Здесь существенно, что повороты, будучи малыми величинами по
сравнению с единицей, по порядку величины могут превосходить
кинематические параметры е,г Последняя оценка в (3.11) на самом деле
предполагает, что параметры еч имеют тот же порядок малости, что и
квадраты поворотов, то есть
|е,|~о>;. (ЗЛ2)
Но в таком случае, как это видно из (3.8) и оценок (3.11), допустимыми по
точности оказываются следующие формулы
е, = е +-8*тю,ю . (3.13)
ч v 2 ь mj
В представлениях деформаций по (3.13) сохранены только те слагаемые,
порядок малости которых отвечает первой степени параметров еу.

592 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
Выражения для вариаций компонент тензора деформаций
Для дальнейшего нам потребуется проследить за изменением компонент
вектора деформаций при изменениях вектора перемещений и, порождающих
эти деформации. Иными словами, предположим, что вектор перемещений и
получает бесконечно малые приращения своих компонент, то есть
изменяется от и до и + 5и. Понятно, что и тензор деформаций ? изменится,
превратившись в тензор ? + б?10.
Поскольку произвольная компонента ev тензора деформаций зависит от
компонент вектора перемещений не более, чем квадратично, то отсюда,
воспользовавшись разложением в ряд Тейлора, приходим к общей формуле
для приращений 5еу
d& 1 d2&
бе =—-Ъик н — ЪикЪит .
duk 2 dukdum
Второе слагаемое в этой формуле содержит произведения вариаций
ЬщЬит, представляющие собой величины второго порядка малости по
сравнению с линейными членами Ъик, и поэтому оно может быть отброшено.
Учитывая представления е,у в виде суммы по (3.4), можем записать
be.y = be,j +bfy, (3.14)
где согласно (3. 5)
V.J = \ S*>*, frimj + ит,М, ,)¦ (3.15)
В дальнейшем нам потребуется и вторая вариация величин/,. Очевидно,
что
S2f9 = 5tmSukifiuMJ. (3.16)
В варианте же упрощенных геометрических соотношений (3.13),
справедливых в случае малых поворотов |ew| ~ со^, вместо (3.15) и (3.16)
будем иметь
щ = - 6*"(в04,5юту + ют75ш*,), Ъ% = дыд(ок ,5ют,. (3.17)
11.3.2 Уравнения равновесия и статические краевые условия
В геометрически нелинейной постановке задачи теории упругости
уравнения равновесия должны рассматриваться в деформированном
состоянии упругого тела. Эти уравнения можно получить, следуя типовой
процедуре, когда из упругого тела мысленно выделяется некоторый
бесконечно малый его объем и для этого объема в деформированном
10 Надеемся, что внешне схожие обозначения 5,у, как дельты Кронекера, и 5 без
индексов, как символа варьирования, различимы для глаза читателя

11 3 Геометрически нелинейные задачи теории упругости 593
состоянии тела составляются уравнения равновесия в проекциях на
соответствующие оси [15] Можно, однако, поступать и иначе,
воспользовавшись для получения тех же уравнений вариационной
процедурой (см., например, [16]).
Напомним, что наше рассмотрение ограничено материалом упругого тела,
для которого справедлив линейный физический закон связи между
напряжениями и деформациями
o'J =C'Jlmekm (3 18)
Поскольку речь идет о геометрически нелинейной постановке задачи, то эта
запись предполагает отнесение, как компонент тензора деформаций, так и
компонент тензора напряжений, к лагранжеву базису в деформированном
состоянии системы. При этом лагранжев базис в каждой точке тела будет
своим, значит, речь может идти только о локальном лагранжевом базисе
Выпишем общее выражение для полной потенциальной энергии L
упругого тела
L = -jCljimeIJel!mdCl-jXluldCl-j) p'u.dT . (3 19)
Для упрощения записей мы предполагаем здесь и далее, что смешанные
краевые условия не ставятся, так что вся граница Г области Q, занимаемой
упругим телом, составлена из двух частей согласно (1.2.10). Для правильной
интерпретации этой записи обратим также внимание на то обстоятельство,
что компоненты внешних объемных X' и поверхностных р' сил, а также
компоненты вектора перемещений и, считаются здесь отнесенными к
эйлерову базису, который мыслится совпадающим с лагранжевым базисом в
недеформированном состоянии системы. Такое смешение базисов для
отдельных агрегатов в одном функционале не должно смущать, поскольку
каждый из интегралов в (3 19) представляет собой скаляр, инвариантный по
отношению к выбранному базису, а тензорное представление каждого из
скаляров может быть отнесено к своему базису.
Получим теперь уравнения равновесия как условия стационарности
функционала Лагранжа L на совокупности физически и кинематически
допустимых полей В результате варьирования L и принимая во внимание
соотношения упругости (3.18), получим
5L = jC,jhnekm5eIJdCl-jX'5uldCl-j> р'Ьи^Г =
= ja'^dCl-jJC'Su^Cl-j) р'Ъи^Г. (3.20)
Условие 5L = 0 на механическом уровне истолковывается как начало
возможных перемещений. Выражения для деформаций es, также как и для
их вариаций bev, будут зависеть от принятого уровня учета геометрической
нелинейности в постановке задачи.
Разобьем первый из интегралов в правой части (3.20) на два слагаемых,
воспользовавшись представлением (3.14)

594 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
Jo*5e/n = Ja*5e;/Q+Ja'-'5/;/n. (3.21)
Далее, на основании формулы Гаусса-Остроградского имеем
JG'^ydQ. = - Ja*5M/to+ <jj а°п?и,с1Г . (3.22)
а а гр
И, кроме того,
JGIJ8f0dCl= -|ст*5*т(м,,5мт>> +ит,5м,,)</П =
= -5*" J {а11ик1) 5ит<Ю+5*" <jj Gvutrlnj5umdr =
= -5*J(am\m) bu^Q+b*fya^u^jifiu^r . (3.23)
В преобразованиях по (3.23) использован стандартный прием замены немых
индексов, не меняющий результата. Кроме того, в преобразованиях по (3.23)
мы воспользовались условием симметрии тензора напряжений а", что
вытекает из (3.18) и условий симметрии тензора упругих коистант Cjhn - см.
соотношения (1.2.3). Заметим также, что в (3.22) и (3.23) учтено, что в силу
кинематической допустимости полей перемещений 5и = 0 на Ги.
Подставив теперь (3.22) и (3.23) в (3.20) и приравняв 5L нулю, приходим
отсюда к уравнению Эйлера и естественным краевым условиям
-a^-5*'(am4,m) -X'=0ea (aIJ +5V4>m)w, = p' еГр, (3.24)
которые физически истолковываются как уравнения равновесия в объеме
тела О. и статические краевые условия на границе Г, соответственно.
Обратимся теперь к варианту геометрически нелинейных уравнений
равновесия, справедливых в случае малых поворотов, квадраты которых по
порядку величины совпадают с удлинениями и сдвигами. Согласно (3.17)
взамен (3.23) в этом варианте геометрически нелинейной теории будем
иметь
\dJbftdQ. = - Ja'^^&o^ +co^5(o^)t/n = 5*" |а*сой5ют/П =
a 2Q Q
= -5*mJa%(5MmJ -buJn)dQ.=
= ~~ Ж5*0"' -8*V)a>v] 8и/Ю+- <j) (sV -б^а'^со^бм^Г .
2 q *' 2 Гр
Окончательно уравнения равновесия и статические краевые условия для
этого варианта геометрически нелинейной теории принимают вид,
показанный в формулах (3.25).

Геометрически нелинейные
уравнения теории
упругости
- '•: ;-Щ^ъ^-]^\
^j-bh(cfutm) -Х'=0
1 , ч 1 Sbn
8 =—(И +U )+ — О U. U
о*=С,,ктьы
(o'J+8k'(fiul[m)nJ=p'
щ-К
-о* - - [(б^а"» - 8*"о» )ю^ ] - Г = 0
» » 2 ь ,
o»=C*"6ta
<j'Jnj + i(8V» -^cfyo^ = p'
и, =ut
Геометрически линейные
уравнения теории
упругости
ЩИ1
-т» =Х'
С»=|К,+И,,)
t»=C*"eta
т*/^ = /?'
и, = "|
Таблица 11 1
Оценка порядка
малости величин
Уравнения
равновесия
Геометрические
уравнения
Физические
уравнения
Статические
краевые условия
Кинематические
краевые условия

596 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
~°',Jj --[(8*'стту -8*тст")с%] -X' = 0 еП,
(5ип] +-(5k'amj -bkma'J)<*t]nm = р' еГр (3 25)
Сведем теперь все полученные выше результирующие уравнения
геометрически нелинейной теории упругости в удобную для обозрения
табличную форму - см таблицу 11.1
11.4 Устойчивость равновесия упругого тела
Предположим, что равновесное состояние системы известно. Будем считать,
что на рассматриваемом равновесном состоянии перемещения системы
характеризуются вектором и Формально распространяя теорему Лагранжа-
Дирихле на системы с бесконечным числом степеней свободы, принимаем в
качестве критерия устойчивости исследуемого равновесного состояния
требование минимума функционала L полной потенциальной энергии
системы на этом равновесном состоянии.
Будем считать, что вся внешняя нагрузка возрастает пропорционально
одному параметру X Тогда, понимая теперь под X и р величины внешних
силовых воздействий, отвечающие единичному значению параметра
нагрузки X = 1, выпишем общее выражение для функционала Лагранж
L = - J" Се • edQ. -XJ XJudQ. -X j> pJudr =
^ О Q Гр
= - J C(e+/) • (e+f)dQ. -XJ XJudQ. -X j> pJudr . (4 1)
Поскольку перемещения u отвечают равновесному состоянию системы, то
это означает, что первая вариация функционала L, равна нулю
5L = J Ce(u) • 5e(u)dQ. -XJ XJ5udQ. -X j> ртШГ - 0 (4 2)
при произвольных однородно кинематически допустимых вариациях
перемещений 5и. Помещенный в круглых скобках после деформаций е
векторный аргумент указывает на те перемещения, которыми порождаются
эти деформации.
В точках стационарности L реализуется минимум, если вторая вариация
этого функционала положительна, что приводит критерий устойчивости
равновесия к требованию 521_ > 0. Но вторая вариация 521_ равна 52Е или
52L = 52Е = 5(5Е) = 5 \C(e+f)-(be+bf)dQ. =
^jC(5e+5f)-(8e+5f)dCl+lC(e+f)-52fdCl, (4.3)

11 4 Устойчивость равновесия упругого тела 597
поскольку вектор е зависит от перемещений линейно и значит, его вторая
вариация при варьировании поля перемещений исчезает.
Но С(е +/) = я, где я - вектор напряжений в рассматриваемом
равновесном состоянии упругого тела. Очевидно, что этот вектор зависит от
уровня нагружения X (вообще говоря, нелинейно), так что
я = а(к). (4.4)
Перейдем для удобства к обозначению вариаций перемещений 5и через v.
Вторая вариация 52L, рассматриваемая как функционал от вектора v, как раз
и будет представлять собой квадратичный функционал устойчивости S,
положительная определенность которого обеспечивает гарантию
устойчивости исследуемого равновесного состояния, характеризуемого
вектором перемещений и.
Итак, согласно (4.3) получаем общее выражение для функционала
устойчивости равновесия
S(v) = - JC5e • dedQ + - Jct • 52fdQ. (4.5)
Несущественный для определения точки стационарности этого функционала
множитель У2 введен здесь для удобства последующей физической
интерпретации. Заметим также, что в силу принятых соглашений об
обозначениях под величинами 5еу и 52_/J, здесь следует понимать
5б„ = - (vtJ + vJt,) + - 5fe"(Mi, ,vm,j + umjvK,), 5% = S^X ,vmj . (4.6)
В результате подстановок (4.6) в (4.5) и использования свойств симметрии
тензора коэффициентов упругости С, приходим окончательно к следующей
форме функционала устойчивости
Bi(v) =- jCjkm (vhJvtm +2bprurivMvKm +bprbqsun,uskvpt]vqtm)dQ.+
+ *ll&Jv v dQ. (4.7)
2 I *•' m'J
Именно эта общая форма функционала устойчивости и была впервые
установлена В.В. Болотиным [6, 17], откуда и напрашивается обозначение
Bi(v).
В том случае, когда справедливы оценки (3.11), то согласно (3.17) взамен
(4.6) следует положить
5е,у = — (рч + vhi) + — S^ro*,©»,, + тт,щ], 5% = б^ю^ю^ , (4.8)
где через то1у обозначены компоненты тензора вращения для исходного
равновесного состояния, а через ю,у - компоненты тензора вращения,
определяемые вектором перемещений v. Иными словами,
ш =-(и -и), ш =-[v -v ). (4.9)

598 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
Последующая подстановка (4.8) в (4.5) приводит к следующей форме
функционала устойчивости
N^v) = - \C'jkm {v^v^+lv,^^^^ +bprbgsmnwjt(opJcogm)dCl +
+ —\a,J<okl<omldn. (4.10)
2 J щ
Функционал N^v) отвечает постановке задачи устойчивости равновесия,
рассмотренной Новожиловым, так что обозначение Ni(v) это дань уважения
автору книги [15]
11.4.1 Линеаризованная постановка задачи устойчивости
равновесия упругого тела
Распространим теперь постановку линеаризованной задачи устойчивости
равновесия систем с конечным числом степеней свободы на общую задачу
для упругого тела, воспользовавшись процедурой, описанной в разделе
1112
Прежде всего, будем считать, что для определения начального
равновесного состояния системы, устойчивость которого исследуется,
используется линейная постановка задачи. В большинстве прикладных задач
это допущение вполне оправдано, поскольку [15, стр. 154]:
"углы поворота гах, шу, щ, отвечающие начальной форме равновесия
тела, бывают либо равными нулю, либо величинами одного порядка с
удлинениями и сдвигами".
Согласно принятому ранее соглашению об обозначениях тензор т есть
тензор напряжений в начальном равновесном состоянии системы, а тензор е
это соответствующий ему тензор деформаций. Последнее означает, что
т = Се и т = Хх. (4.11)
Понятно, что символом х здесь обозначен тензор напряжений, полученный
для линейной задачи теории упругости при единичном значении параметра
нагрузки X = 1.
Точно так же, как мы поступали в случае систем с конечным числом
степеней свободы, при переходе к линеаризованной постановке задачи
устойчивости равновесия сохраним в выражении для энергии деформации
системы все члены, содержащие перемещения не выше третьей степени. Это
дает
L = -\Се- (е+2f)dQ.-XJXJudQ.-XJ> fudr , (4.12)
^ о a rp
что приводит выражение для второй вариации 521_ к виду

11.4 Устойчивость равновесия упругого тела 599
52L = J"СЪе • (5е + 25/)</Q + \Се • 52 fdCl. (4.13)
п а
В принятых выше обозначениях функционал устойчивости для
линеаризованной постановки задачи запишется так
B2(v) =- \cjhn(vulvttK + 28prurivpjvkm)dQ. +- jx'S^v^v^dSl.
Но для исходного напряженно-деформированного состояния системы
выше была принята допустимость линейной постановки задачи. Это
означает, что не только напряжения хч, но и перемещения и,
пропорциональны параметру нагружения X. Иными словами, можно
положить
и, = Хй,,
где й~1 - компоненты вектора перемещений начального состояния системы,
отвечающие единичному значению параметра нагружения X = 1. И теперь
получается, что функционал устойчивости в линеаризованной постановке
задачи принимает вид
B2(v) =- \clhnvhJvKmdd. + - J(Tv5*X,u„,;y + 2CJkm5prur>,vp>jvk>m )dD.. (4.14)
И, наконец, последующие упрощения, связанные с игнорированием роли
начальных перемещений и, приводят к следующему выражению для
функционала устойчивости
B3(v) =- jC]kmv,tJvktmdCl + - j^b^v^v^dSl. (4.15)
Переход от функционала В2 к функционалу В3 осуществляется
отбрасыванием слагаемого 2C'jkm8prur^vpjvk т в подынтегральном
выражении для В2, что на механическом уровне иногда интерпретируется в
виде условия:
в линеаризованной постановке задачи устойчивости равновесия "упругое
тело в начальном состоянии рассматривается как напряженное, но не
деформированное" [7].
Это условие позволяет формально положить в формуле (4.14) компоненты
вектора начального перемещения м, равными нулю, что и приводит к (4.15).
Функционал Вз в теории устойчивости равновесия упругого тела хорошо
известен, хотя мнения специалистов относительно авторства этого
функционала расходятся. Так Н.А. Алфутов [7] связывает этот функционал с
именем Брайана, в то время как В.В. Болотин [17] считает справедливым
отнесение этого функционала на счет Трефтца. Что же касается функционала
В2, то этот функционал получен впервые, повидимому, все тем же
В.В. Болотиным, хотя способ вывода этого функционала в статье [17]
отличается от изложенного здесь.

600 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
Если в линеаризованной постановке задачи исходить из упрощенного (по
Новожилову) функционала Ni из (4.10), то взамен (4.14) придем к
функционалу N2, а взамен (4.15) к функционалу N3
N2(v) =- jC]kmvhjvtymdn+- 1(Г'8ы(йк1(йт] +2Cjkmvu8prvJpm(»rk)dQ.,
N3(v) =- jC]kmvhJvk>mdQ + - [т'б'-ш^ш./П, (4.16)
где ш^ - компоненты тензора вращения для исходного равновесного
состояния, вычисленные при единичном значении параметра нагружения
1= 1, то есть
ш =-{й -й )
Шрт 2 \"р,т "т,р )
Функционалы N2 и N3 соответствуют той линеаризованной постановке
задачи устойчивости равновесия тонкостенных тел, которая рассмотрена и
убедительно обоснована В.В. Новожиловым [15].
Представляется, что историческая справедливость будет соблюдена при
именовании функционалов устойчивости равновесия N2 и N3 функцио-
налами Новожилова.
О механической интерпретации отдельных слагаемых в
функционале устойчивости
Легко понять, что интеграл
1 г ,_ 1 г i_( V, , +V, , Vft„ +УтЛ
Е(у) = - jC^vlfJvktKdn = - jC" l-^^y^jl k""2 m'kjdn
формально совпадает с выражением для энергии деформации, запасаемой
упругим телом на перемещениях v,. Подчеркнем (и это важно), что энергия
E(v) подсчитывается как для геометрически линейной задачи. В общем
операторном виде можем записать
Е(у)=1(САу,Ау). (4.17)
В то же время интегралы вида
AB(v) = -- jz'b^v^v^dSl, AN(v) = -- Jt^co^/Q (4.18)
в научно-технической и учебной литературе традиционно (и, увы,
ошибочно) именуются как взятая со знаком минус работа внешних сил на
перемещениях v,. На понятную недопустимость подобного рода
механической интерпретации функционалов A(v) обращал внимание
В.В. Болотин еще в 1965г. [6], справедливо отмечая, что функционалы

11 4 Устойчивость равновесия упругого тела 601
B3(v) = E(v)-AB(v), N3(v) = E(v)-AN(v) (4.19)
по сути представляют собой вторую вариацию полной потенциальной
энергии системы в окрестности изучаемого равновесного состояния.
И все же, функционалам A(v) можно и полезно придать некоторый
механический смысл. С этой целью преобразуем интегралы (418),
воспользовавшись формулой Гаусса-Остроградского
AB(v) = -- f z'^v. ,vm ,dQ. =
= 7 f 5*" (T4tl), vJCl-H^v^vjr (4 20)
L a z г
и
An(v) = -^ J т*5*Ч,сои,<Ю = ±р '-±vmdCl-
_^, 5^4-5^4
2 j. 2 ' т
Очевидно, что комплексы
Х;=А^;=Я.5*т(т%;) , Х^=1Х^=-{ъктх'1ак1-Ък1х'так) (4.22)
можно рассматривать как некоторую условную объемную нагрузку с
компонентами X™ или X", зависящую от компонент вектора v. И
аналогично комплексы
Рв = Wb = -^8*"X,w,, pmN = WN = -Я.-(б*"т* -bkix'm)atin] (4.23)
как условную поверхностную (краевую) нагрузку.
Подобного рода условная нагрузка часто вводится в рассмотрение при
выводе дифференциальных уравнений, определяющих устойчивость
равновесия конструкции. Иногда такую нагрузку называют "приведенной"
[18, стр. 248], иногда "эквивалентной", иногда фиктивной" [19, стр. 538]
Но вне зависимости от наименования эта условная нагрузка вводится как
результат неких правдоподобных рассуждений, основанных скорее на
полуинтуитивных статико-геометрических соображениях, чем на строгом
математическом фундаменте Формулы же (4 22) и (4.23) придают этому
понятию вполне четкий математический смысл.
Но в таком случае интегралы A(v), будучи представленными в виде
AB(v) = -jX^vJCl+-j>p^vmdr, AN(y) = -jX^vmdCl+-j>p^vjr,
получают простую механическую интерпретацию как работа экви-
валентной нагрузки на перемещениях, определяемых вектором v. То, что в
вьфажение для этой работы входит множителем коэффициент Vi объясняется

602 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
тем, что эквивалентная нагрузка согласно (4.22) и (4.23) зависит от
перемещений v линейно.
Критерии критического состояния системы
Очевидно, что равновесие упругой системы устойчиво при нулевом
значении параметра нагрузки, поскольку при X = 0 любой из функционалов
устойчивости S(v) является гарантированно положительным
функционалом, то есть S(v) > 0 при любом (ненулевом) векторе v. Более
того, равновесие устойчиво и в некоторой окрестности точки X = 0. Однако
при дальнейшем возрастании нагрузки не исключено, что при некотором
Х = ХСГ функционал устойчивости S(v) теряет свойство положительности, что
и определяет границу области устойчивости системы.
Но S(v) это однородный квадратичный функционал от v и значит он
может быть представлен в самом общем виде как
S(v) = 1Л (5V,v), (4.24)
где S - это некоторый линейный оператор, заданный на кинематически
допустимых полях перемещений векторов v, который мы назовем
оператором устойчивости.
Заметим, что оператор устойчивости зависит параметрически от уровня
нагрузки X При этом ясно, что требование гарантированной
положительности функционала S(v) эквивалентно требованию
положительной определенности оператора устойчивости S. Момент потери
оператором устойчивости S свойства положительной определенности (при
X = Хсг) отвечает критическому состоянию системы. Это означает, что в
критическом состоянии системы первая вариация функционала
устойчивости будет равна нулю, поскольку условие существования
ненулевого решения однородного уравнения
Sx = 0 (4.25)
эквивалентно условию
5S(v) = 0. (4 26)
Найденный на основании условия (4.25) или (4.26) вектор v определяет
форму потери устойчивости системы, а сам вектор v называется при этом
собственным вектором, отвечающим собственному значению X = Х„.
Поскольку интеграл A(v) зависит от параметра нагружения X линейно, то
мы можем записать
А(у) = ХА(\),
где A(v)- это, очевидно, работа эквивалентной единичной нагрузки на
форме потери устойчивости системы v.

11.4 Устойчивость равновесия упругого тела 603
Итак, пусть известно критическое значение параметра нагрузки Хсг и
соответствующая форма потери устойчивости системы v. Но тогда по
определению на этом векторе S(v) = 0
E(v)-Xcr A(v) = 0. (4.27)
Иными словами, в критическом состоянии системы потенциальная энергия
деформации, запасаемая системой при ее деформировании по форме потери
устойчивости, равняется работе приведенной нагрузки на перемещениях,
определяемых собственным вектором v.
Если условие (4.26) является критерием вариационного типа, то равенство
(4.27), строго говоря, таковым не является. Можно показать, что на
формально математическом уровне равенство (4.27) является прямым
следствием вариационного критерия (4.26), для чего достаточно только
вспомнить, что функционал устойчивости S(v) является однородным
квадратичным функционалом.
Здесь стоит обратить внимание на то, что равенство (4.27) вытекает из
(4.26). Обратное, вообще говоря, неверно. Иными словами, в критическом
состоянии системы действительно выполняется (4.27), но из того, что для
некоторого вектора v и для некоторого значения X выполнено
E(v) - X A(v) = 0 еще не следует, что данное X и данный вектор v являются
критическим значением параметра нагрузки и формой потери устойчивости
системы. Если бы это было верно, то, взяв произвольный вектор v,
удовлетворяющий лишь условию A(v)*0, и подсчитав X по формуле
X = E(v)/ A(v), мы должны были бы сделать вывод о том, что X = Xcr, а
вектор v определяет форму потери устойчивости системы, что, разумеется,
не так. Именно поэтому условие (4.26) мы имеем право именовать
критерием наступления критического состояния системы, тогда как (4.27)
это всего лишь равенство, с необходимостью выполняющееся в критическом
состоянии. Мы обращаем внимание читателя на этот простой факт только
потому, что в литературе встречаются и не вполне корректные утверждения,
придающие равенству (4.27) критериальный смысл11.
Варьируя функционал устойчивости Брайана-Трефтца B3(v) по вектору v
(на однородно кинематически допустимых полях перемещений) и
приравнивая его первую вариацию нулю, приходим из (4.15) после
использования формулы Гаусса-Остроградского к следующим уравнениям
Эйлера и естественным краевым условиям
11 Критериальный смысл равенству (4 27) неоднократно придается еще в работах
СП. Тимошенко. Мы не хотим этим сказать, что применение равенства (4 27) при
решении конкретных задач устойчивости равновесия приводит Тимошенко к
ошибкам, но ведь важно не только получить правильный конечный результат, но и
придать всем рассуждениям, приводящим к этому результату, теоретическую
убедительность на достаточно строгом математическом уровне

604 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
{Cjh"vKm) +Цт"у8Хи) =0eQ, (Cjkm+Xxmj8k')vKmnJ=0Erp. (4.28)
Постановка задачи о спектре в дифференциальной форме (4.28) в
математике известна как постановка задачи Штурма-Лиувилля. В связи с
этим можем сказать, что линеаризованная постановка задачи устойчивости
упругой системы математически сводится к задаче Штурма-Лиувилля.
Понятно также, что дифференциальные уравнения и краевые условия
статического типа, записанные в (4.28), вкупе с однородными
кинематическими краевыми условиями
vk = 0 еГ„
это не что иное, как развернутая запись операторного уравнения (4.25)
применительно к функционалу Брайана-Трефтца.
Если воспользоваться определением эквивалентной нагрузки по (4.22) и
(4.23), то (4.28) можно переписать в виде
-{C'jh"vKm) -XX;=0eQ, С'^у^-Хр'^ОЕГр. (4.29)
И теперь несложно понять, что на механическом уровне уравнения (4.29)
могут быть истолкованы как уравнения равновесия и статические краевые
условия для упругого тела, находящегося под действием эквивалентной
нагрузки. Причем эти уравнения должны быть составлены для
геометрически линейной постановки задачи.
Аналогичным образом, но исходя из функционала Новожилова N3(v),
приходим к следующей краевой задаче Штурма-Лиувилля
C"bnvk,mn] +\-{bbxnj -Ьк>х'п)ыЬпп] = 0 &Гр. (4.30)
И, наконец, можно ввести релеевское отношение для линеаризованной
задачи устойчивости равновесия упругой системы как
г = Ш. (4.31)
A(v)
Несложно показать также, что критерий наступления критического
состояния системы может быть записан и в форме условия стационарности
отношения Релея, рассматриваемого как функционал от вектора v на
кинематически допустимых полях перемещений
8г = 0. (4.32)
На формальном доказательстве не останавливаемся, читатель легко может
проделать это самостоятельно.
Критерий (4.32) позволяет отыскивать формы потери устойчивости
системы v. При этом само критическое значение параметра нагрузки,
соответствующее данной форме потери устойчивости системы, определяется

11.4 Устойчивость равновесия упругого тела 605
как значение релеевского отношения, подсчитанного на форме потери
устойчивости v
Xcr=r(v). (4.33)
11.4.2 Метод Ритца
Одним из самых эффективных способов сведения задачи устойчивости
равновесия упругого тела к аналогичной задаче, но для системы с конечным
числом степеней свободы, является метод Ритца.
Точно так же, как мы поступали в разделе 9.1, введем в рассмотрение
систему линейно независимых векторов перемещений V\, V2,..., V„. Помимо
линейной независимости от этих векторов потребуем принадлежности их
однородно кинематически допустимому полю перемещений. Что же
касается требований к уровню гладкости, то они определяются
существованием конечных значений интегралов Е(К,) и A(F,), i=\,...,n.
Как и ранее, выбранные нами векторные функции V\, V2,..., V„,
удовлетворяющие сформулированным условиям, будем называть базисными
функциями.
Разложим искомую форму потери устойчивости системы v по базисным
векторным функциям, положив приближенно
v=Jz,^. (4.34)
Для определения искомых коэффициентов z, можно воспользоваться любым
из критериев (4.26) или (4.32).
Воспользуемся критерием (4.26), подставив туда аппроксимации (4.34).
Это позволяет превратить функционал устойчивости равновесия
S(v) = E(v) - A(v) в квадратичную форму от вектора z
S(z)=^zJ(r0-XrG)z, (4.35)
где г0 и г с — это матрицы начальной жесткости и геометрической жесткости
соответственно для системы с конечным (равным и) числом степеней
свободы, а вектор z составлен из искомых коэффициентов z,
z=\[zu...J„]\T. (4.36)
Компоненты матрицы начальной жесткости roij определяются формулами
гщ =(CAV„AVj) (i,j = 1,..., п). (4.37)
Матричный дифференциальный оператор А здесь это известный оператор
геометрии, отображающий вектор перемещений в вектор деформаций в
линейных задачах теории упругости. Что же касается компонент матрицы

606 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
геометрической жесткости rGlJ, то они вычисляются по разному в
зависимости от принимаемой формы функционала устойчивости.
Каждая из базисных векторных функций Vl,V2,-..,V„ состоит из трех
компонент, так что
0=1,.., и),
*=2>Л (*= 1>2,3).
Несложно понять, что в случае использования функционала Брайана-
Трефтца формула для вычисления компонент rGy принимает вид
rGlJ = fr'^V^V^dn 0,у=1,..., ri), (p,q,k,m= 1,2,3). (4.38)
Для того, чтобы записать в общем виде формулу для компонент матрицы
геометрической жесткости, строящейся на основе функционала Новожилова,
удобно представить выражение для функционал AN(v) по (4.18) в матричной
форме. Положив
S^co^i
(4.39)
т11 Xх*
т22 X™
_12 = 1^ , ф=
т23 т-"
[т31| \[/zzx ]\
28 cotlcom2
28fe"cot2com3
[ 25*mcojt3o>mi
имеем возможность переписать функционал AN(v) в виде
An(v) =
со2! + со2,
со22 + со22
со23 + со23
2со31со32
2со12со13
2со23со21
со2 + со21
со2 + со2
со2 + со2
-20)^
-2(яг(яу
-2coIcoz J
= --Jt9
(4.40)
Очевидно, что компоненты вектора ф зависят квадратично от компонент
вектора V. Это означает, что после подстановок в tp(v) аппроксимаций (4.34)
интеграл AN по (4.40) превращается в однородную квадратичную форму от
коэффициентов z,. При этом коэффициенты этой квадратичной формы как
раз и образуют интересующие нас компоненты матрицы геометрической
жесткости rGij. Отсюда, учитывая, что компоненты вектора начальных
напряжений т по (4.39) не зависят от коэффициентов z„ приходим к общей
формуле
д2ф
dzdz,'
= fr^*-dn о,
;П).
(4.41)
Итак, предположим, что матрицы г0и rG нами построены. Но тогда
критерий (4.26) приводится к виду

115 Устойчивость равновесия для отдельных классов задач 607
&,
Последнее же условие будет выполнено, если
(ro-XrG)z = 0, (4.42)
что совпадает с уже известным условием (2.2) наступления критического
состояния системы с конечным числом степеней свободы.
Все рассуждения можно было бы провести и для вариационного критерия
в форме (4.32). Предоставляем читателю возможность убедиться в том, что
окончательно и в этом случае мы придем к той же самой конечномерной
задаче (4.42) о спектре для пары матриц г0 и гв-
Между прочим, если подставить Ритцевы аппроксимации в равенство
(4.27), то оно превратится в равенство
гт(г„-Ч;)г = 0.
Но из этого равенства можно сделать лишь вывод о том, что в критическом
состоянии системы вектор г ортогонален вектору (r0 -XrG)z ¦ Равенство же
(4.42) является более сильным утверждением, не вытекающем отсюда
непосредственно.
11.5 Устойчивость равновесия для отдельных
классов задач
Опираясь на различные формы функционала устойчивости S(v), получим
теперь постановку задачи устойчивости равновесия применительно к
некоторым конкретным классам задач.
11.5.1 Устойчивость равновесия стержня в рамках технической
теории стержней
Начнем рассмотрение с простейшего случая устойчивости равновесия
стержня с прямолинейной осью (плоский случай). Для этой простой задачи
все выкладки проведем достаточно подробно с тем, чтобы в последующем
иметь возможность опустить часть рассуждений и промежуточных
выкладок, если таковые аналогичны проделанным здесь.
Совместим продольную ось стержня X с линией центров тяжести
поперечных сечений стержня, которая считается прямой линией.
Предположим для простоты, что стержень подвержен только осевым
воздействиям, так что в начальном напряженном состоянии в сечениях
стержня возникает одна лишь продольная сила N= XN, где N = N(x) это
продольная сила, отвечающая единичному значению параметра нагрузки.

608 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
Для того, чтобы ограничиться постановкой плоской задачи, будем считать,
что рассматриваемый стержень закреплен тем или иным способом от
выпучивания в плоскости (X,Z). Оси Y и Z считаются главными
центральными осями инерции сечений стержня, направления которых не
меняются по длине стержня.
Представим определяющий форму потери устойчивости стержня вектор
перемещений v произвольной точки стержня с координатами {х,у^) в
покомпонентном виде как
v = \[U,V)\\
где U,V- это компоненты вектора v относительно системы осей (X,Y).
Введем обозначения
u(x)=U(x,0), v(x)=V(x,0).
Иными словами u,v это компоненты вектора перемещений точек, лежащих
на оси стержня.
Принимая во внимание кинематические гипотезы технической теории
растяжения-сжатия и изгиба стержней и исходя из соответствующих
геометрических соображений, можем записать
U=u-v'y, V=v. (5.1)
Здесь и далее штрихом помечается дифференцирование по координате х.
Таким образом, в технической теории стержней кинематика стержня
определяется двумя функциями координаты х, а именно функциями
и = и(х), v = v(x).
Опираясь на результаты разделов 4.4 и 4.5, можем сразу же записать
выражение для функционала E(v) согласно (4.17). Очевидно, что
E(v) = - J [EAu'2 + EIv"2~\dx , (5.2)
где / - это длина стержня, А площадь его поперечного сечения, / момент
инерции сечения стержня.
Для получения вариационной постановки задачи устойчивости
равновесия стержня осталось разобраться с функционалом A(v),
воспользовавшись для этих целей общими формулами (4.18).
Прежде всего заметим, что в выражение для функционала A(v) входят
компоненты тензора единичных начальных напряжений т". Но согласно
формуле (4.11) эти компоненты строятся на основании закона Гука, исходя
из тензора начальных деформаций е. В нашем случае согласно технической
теории стержней из всех компонент тензора начальных деформаций е
ненулевой оказывается только компонента ехх, отвечающая нормальным
напряжениям в сечениях стержня - рассматривается устойчивость
равновесия стержня, подвергнутого осевым продольным нагрузкам.

11.5 Устойчивость равновесия для отдельных
Понятно, что соответствующая ненулевая компонента т =ххх тензора
единичных начальных напряжений определяется известной формулой
Далее, имеем
соп
= 0,
С012 =
= -со21
\(ди dv"
~2{ду дХ/
(5.3)
(5.4)
Подставим теперь полученное в формулу (4.18) и проинтегрируем по
площади поперечного сечения стержня Л. В результате будем иметь
AN(v) = -- J JT^dAdx = -- J Nv'2 dx,
так что согласно (4.19) функционал устойчивости по Новожилову в данной
задаче принимает вид
(5.5)
N3(v) = E(v) - An(v) = - j'[EAu'2 + EIv"2 + XNv'2 ]A .
Как видим, этот функционал разделяется на две независимые части. Первая
часть представляет собой функционал от продольного перемещения и точек
оси стержня, который всегда неотрицателен при любых функциях и = и(х).
Вторая же часть зависит от поперечных перемещений v = v(x) оси стержня.
Именно эта вторая часть и способна изменять знак функционала N3(v) при
определенном (критическом) значении параметра нагрузки X = Хсг. Понятно
также, что минимальному критическому значению X = Хсг отвечает и' = 0, т.е.
и = Const. Отсюда получаем, что фактически в функционале устойчивости
для стержня достаточно удерживать только те члены, которые зависят от
функции v. Следовательно, в нашем случае можем положить
N3(p)= - j'[EIv"2+XNv'2~\dx. (5.6)
Функционал (5.6) хорошо известен в теории устойчивости стержней.
Варьирование этого функционала на однородно кинематически допустимых
полях перемещений и приравнивание его первой вариации нулю приводит к
следующему дифференциальному уравнению четвертого порядка
(EIv")"-X(Nv') = 0 , (5.7)
ненулевое решение которого при соответствующих однородных краевых
условиях определяет форму потери устойчивости стержня.
Между прочим, из равенства (4.27), с необходимостью выполняющегося в
критическом состоянии системы, сразу же следует, что в случае N>0
(растяжение по всей длине стержня), потеря устойчивости может произойти
только при отрицательном значении X. И, наоборот, при сжимающей
продольной силе N<0 потеря устойчивости происходит при

610 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
положительном и только при положительном значении параметра нагрузки
X . Физически этот вывод вполне прозрачен.
Если вместо функционала Новожилова N3 воспользоваться функционалом
Брайана-Трефтца В3, то согласно общей формуле (4.18) получим
AB(v)= -^l'l%™(Ul + V*)dAck = ~l'^j[(u'-v"y)2+v'2~\dAdx,
что после интегрирования по площади поперечного сечения стержня А дает
AB(v)= - | Ш[и'2 +rV2 +v'2)dx .
где г1 = НА - квадрат радиуса инерции сечения стержня. В результате
приходим к следующему функционалу устойчивости Брайана-Трефтца
Вз(*0= - \\_EIv"2 +XN(r2v"2 + v,2)\dx . (5.8)
Как видим, функционал устойчивости по Брайану-Трефтцу отличается от
функционала Новожилова дополнительным членом r2v"2. Но несложно
понять, что отбрасывание упомянутого дополнительного члена r2v"2 в
подынтегральном выражении в (5.8) эквивалентно пренебрежению
величиной г21 s2 по сравнению с единицей, где через s обозначен
"характерный масштаб изменяемости" v' - см. [19]. Этот масштаб может
быть понят как длина полуволны, характеризующей изменение величины v'
вдоль оси стержня. Очевидно, что такое пренебрежение соответствует
основному определению стержня, согласно которому стержень определяется
как вытянутое в одном направлении трехмерное тело, для которого
отношение характерного размера поперечного сечения к характерному
масштабу изменяемости напряженно-деформированного состояния вдоль
вытянутой стороны тела существенно меньше единицы. Если же таковая
оценка не выполняется, то сама законность применения теории стержней в
данном случае должна быть поставлена под сомнение. Итак, отбрасывание
указанного слагаемого в подынтегральном выражении в (5.8) находится в
полном соответствии с основными предпосылками теории стержней. А в
таком случае функционал Брайана-Трефтца просто переходит в функционал
Новожилова.
11.5.2 Устойчивость равновесия стержня Тимошенко
Обратимся теперь к задаче об устойчивости равновесия того же стержня, но
попытаемся учесть влияние деформаций сдвига (в рамках теории стержней
Тимошенко). Как мы увидим чуть позже, уже в этой весьма простой на
первый взгляд задаче, существуют своеобразные подводные камни
теоретического характера, насколько нам известно, до сих пор в литературе
не обсуждавшиеся.

* 11.5 Устойчивость равновесия для отдельных классов задач 611
В данном случае вместо (5.2) будем иметь следующее выражение для
энергии деформации стержня на форме потери устойчивости v
E(v) = - j'[EAu'2 + EIQ'2 + GF(v' - 0)2 ~\dx,
где, напоминаем, F— это площадь сдвига сечения стержня.
Кроме того, кинематика стержня вместо (5.1) описывается теперь
соотношениями
U=u-Qy, V=v, (5 10)
где 0 = Q(x) - независимо определяемый угол поворота поперечного сечения
стержня - см. раздел 4.6. Поэтому взамен (5.4) и на основании (5.10) будем
иметь
ifdu ev) v'+q .....
Отсюда после подстановок и интегрирования по площади сечения стержня
получим
An(v)=-^J'Jt-co^A = -^|^^^2^.
Рассуждая как и в предшествующем пункте, приходим окончательно к
следующему функционалу Новожилова в задаче устойчивости равновесия
стержня Тимошенко
N3(i>,0) = - J'\eIQ'2+GF(v'-Q)2+XN^V +6) Lfr. (5.12)
Уравнениями Эйлера для этого функционала являются
-(?70')' -GF(v'-Q) + -N(v' + Q) = 0,
[GF(i/-0)]'+-[%/ + 0)]' =0.
Рассмотрим случай стержня постоянного сечения под действием
постоянной сжимающей силы N = -1. Перепишем каждое из уравнений
этой системы, выразив v через 0. Имеем
v,= Ш Qni4GF-XQ
4GF+X +4GF+X '
v'=4GF + X&. (5.13)
4GF-X
Продифференцировав теперь первое из этих уравнений и вычтя из
полученного второе, приходим к дифференциальному уравнению третьего
порядка относительно функции 0

612 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
е"+ е' = о. (5.14)
EI(4GF-X)
В обозначениях
a>=^L, ^±, *>=-,<*_ (5.15)
GF GF а 2(4-ц)
уравнение (5.14) принимает вид
е"+?2е' = о,
общее решение которого записывается так
e = C1sinfcc + C2cosfcc + C3. (5.16)
После подстановки 0 по (5.16) в первое из уравнений системы (5.13) и
последующего однократного интегрирования находим
4а к +4~^(_с coskx+c sinкх) + С3х +С.. (5.17)
(4 + ц)* V ' 2 ; 3 4 )
Рассмотрим в качестве примера стержень длины / с краевыми условиями,
соответствующими шарнирному опиранию стержня по концам, то есть
е'(0) = о, е'(/) = о, и(о) = о, о(/) = о.
Определим четыре константы С, из данных краевых условий. Это дает
С,=0, C2smkl = 0, С3=0, С4=0,
и значит ненулевое решение для v и 0 возможно только тогда, когда Ы — пп
при любом целом п. Отсюда и из (5.15)
I а (4-Цсг) \\апп 1
4/2
Очевидно, что минимальному критическому значению параметра X = Хсг
соответствует п = 1, так что
К-^-\т- (5.18)
1 1+^4-
4/2
В предельном случае при GF^^co параметр а2 стремится к нулю и
критическая нагрузка становится равной известной величине
п2Е1
Как видим формула (5.12) и вытекающие из нее все последующие
формулы вплоть до (5.18) основаны на последовательно выдержанном
математическом анализе, опирающемся на функционал Новожилова. В то же

11 5 Устойчивость равновесия для отдельных классов задач 613
время традиционно в технической литературе функционал устойчивости для
стержня Тимошенко записывается в несколько отличном виде, а именно как
(см., например [7, стр. ПО])
S(o,0)= -\[EI%n+GF{v'-%f+~kNv'2~\dx, (5.19)
что равносильно принятию выражения для поворотов
со12 = -со21 = -v',
взамен ранее принятого по (5.11).
Вытекающие из такого представления функционала устойчивости
уравнения равновесия в перемещениях в нейтральном состоянии стержня
принимают вид
-(EIQ')'-GF(v'-Q) = 0,
[GF(t/-9)]'+?i[JVt/]'=0.
Последующие выкладки приводят к критическому значению параметра
нагрузки, полученному Энгессером еще в 1891г. (см. также [7])
1 ! + ?*_
I2
Как видим, формулы (5.18) и (5.20) существенно различаются по
написанию. При этом запись функционала устойчивости по (5.12) получена
математически формально, чего нельзя пока сказать о формуле (5.19) и
вытекающей из нее формуле (5.20). Но дело в том, что безразмерный
параметр а2п2/12 для обычных стержней, изготовленных из изотропного
материала, представляет собой величину много меньшую единицы. Это и
означает, что с прикладных позиций добавка к единице в знаменателях
формул (5.18) и (5.20) может быть попросту проигнорирована.
Другое дело, что теория Тимошенко иногда применяется к составным
стержням, для которых параметр а2п2/12 нельзя считать величиной малой по
сравнению с единицей. И тогда различие в результатах использования этих
формул может оказаться существенным. Однако, как это показано
А.Р. Ржаницыным [8], уже само распространение теории стержней
Тимошенко на случай составных стержней является весьма грубым
приближением, способным внести значительные искажения в результаты
расчетов. Более аккуратная теория составных стержней, не опирающаяся на
теорию стержней Тимошенко, построена тем же Ржаницыным [8], куда мы и
отсылаем заинтересованного читателя.
Но мыслим и второй вариант приложимости теории стержней
Тимошенко. Речь идет о стержнях, изготовленных из материалов,
обладающих резко вьфаженными анизотропными свойствами, для которых
справедлива оценка G«E. Так, например, соответствующие оценки
параметра а2п2/12 для трехслойных стержней с материалом внутреннего слоя

614 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
(заполнителя) с существенно более слабыми жесткостными
характеристиками по сравнению с характеристиками материала наружных
слоев, приведены в той же книге [7]. Там же показано, что рассматриваемый
безразмерный параметр а2п2/12 может оказаться и не малой величиной в этом
случае. Это означает, что использование формулы (5.20) способно привести
к чувствительно отличному результату от результата вычислений по
формуле (5.18).
В связи с тем, что подход к анализу устойчивости стержней Тимошенко,
приводящий по существу к записи функционала устойчивости равновесия в
виде (5.19), достаточно широко распространен12, имеет смысл
проанализировать данную ситуацию чуть более внимательно.
Попытаемся оценить ту неучтенную погрешность, которая органически
присуща предшествующему анализу за счет обращения к упрощенному
функционалу устойчивости равновесия по Новожилову. С этой целью
обратимся к более аккуратному функционалу устойчивости по Брайану-
Трефтцу В3(и,9). Итак, имеем
AB(v) = -- / Jt" {U*x + V2S )dAdx. (5.21)
При этом согласно (5.9)
Ux=u'-Q'y, Vx=v'.
После подстановок в подынтегральное выражение для AB(v) и
последующего интегрирования по площади сечения стержня, получаем
AB(v) = -|j^(M'2+eV+t;'2)^, г2 = г-.
Окончательно, функционал устойчивости по Брайану-Трефтцу принимает
вид
Вз(о,в)= - j"[?/9'2 +GF(v'-9)2 +AJV(9'V + v'2)]dx. (5.22)
Уравнения Эйлера для этого функционала получаются следующими
-{ЕЮ)' - GF(v' - в) - \(Nr2Q')' = 0,
[GF(v'-Q)]+X(Nv')' = 0.
Для стержня постоянного сечения и при условии N = -1 эти уравнения
можно записать в виде
р'-И^Г + е, v> = -°*-V. (5-23)
GF GF-X
После Энгессера формула (5.20) фигурирует у многих авторов: А.С. Вольмир [21],
СП Тимошенко [20], А.Р. Ржаницын [8], Н.А. Алфутов [7] и др.

11.5 Устойчивость равновесия для отдельных классов задач 615
Отсюда приходим к уравнению, содержащему только функцию 0
GF GF-X
Или в обозначениях (5.15)
= 0.
(1-ц)(а2-цг2)
Общее решение этого уравнения записывается в виде (5.16), но при этом
к2 = Ц =-. (5.24)
(1-ц)(а2-цг2)
Подставив (5.16) в первое уравнение системы (5.23) и проинтегрировав
полученное, находим
р = (д -у)к +1^ cosb: + C2sinfcc) + C3jc+C4 _
Определение констант интегрирования из краевых условий дает
С,=0, C2sinfc/ = 0, С3=0, С4=0,
откуда ка- = л//. Для определения \icr воспользуемся (5.24), откуда приходим
к квадратному уравнению
ц2-иД + -]цД = 0, (5.25)
где дополнительно введены безразмерные параметры
^ = 4l, , = 41. (5.26)
ъ /2 /2
Наименьший корень квадратного уравнения (5.25) и определяет \хсг
и, следовательно,
= *fH ¦ •; |ч • -у 1_ _ (527)
Зададимся для примера достаточно типичным отношением
t = 7tV/P = 0.02. Тогда зависимость безразмерного множителя при п2Е1/12 в
выражении для Хсг от безразмерного параметра ?, = п2а2/12 будет выглядеть
так, как это показано на рис. 11.9 — кривая 3. На этом же рисунке кривая 1
соответствует решению по формуле (5.18), а кривая 2 - решению по
формуле (5.20).

616 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
Рис. 11.9. Зависимость критической нагрузки от безразмерного параметра % = тАг2//2
для стержня Тимошенко
Как видим, кривая 2 и кривая 3 практически сливаются друг с другом. Это
не случайно и может быть объяснено следующим образом. Параметр t мал
по сравнению с единицей в любом случае, поскольку это чисто
геометрический параметр, а речь идет о стержне. Отсюда, отбрасывая этот
параметр при суммировании его с единицей, приводим формулу (5.27) к
виду
" I2 2\t I2 2\t I2 1 + %'
что в точности совпадает с формулой Энгессера (5.20).
В связи с этим функционалу устойчивости (5.19), из которого и вытекает
формула Энгессера, может быть придано следующее обоснование. Этот
функционал получается из функционала Брайана-Трефтца по (5.22), если в
последнем отбросить член 0'V . Но таковое упрощение оправдано тем, что
справедлива оценка
EIQ'2 + XNQ'2r2 = EIQ'2 1 + — ] = EIQ'2, (5.28)
поскольку добавка к единице здесь представляет собой относительную
продольную деформацию в сечениях стержня, не превышающую величины
деформации в критическом состоянии стержня. А эта величина по
определению существенно меньше единицы.
Итак, применение функционала Новожилова в задаче об устойчивости
стержня Тимошенко допустимо в случае стержней, выполненных из
изотропного материала, но может привести к существенным погрешностям
при условии G«E. В то же время традиционно используемый функционал
(5.19), получающийся отбрасыванием малых величин из функционала
Брайана-Трефтца, срабатывает в любом случае.

* 11.5 Устойчивость равновесия для отдельных классов задач 617
11.5.3 Устойчивость равновесия пластины Кирхгоффа-Лява
В случае плоского напряженного состояния достаточно тонкой пластины,
при изгибе которой допустимо пользоваться теорией Кирхгоффа-Лява,
выражение для энергии деформации пластины на форме потери
устойчивости v согласно формуле (5.1.21) имеет вид
Е = - JD[н?, + 2vw>xxw<yy + и>2гуу + 2(1 - v)w2xy ] dQ. (5.29)
Представим определяющий форму потери устойчивости пластины вектор
перемещений v произвольной точки пластины с координатами (xj>,z) в
покомпонентном виде как
y = \[U,V3Wf,
где U,V,W - это компоненты вектора v относительно системы осей (X,Y).
Введем обозначения
и{х,у) = U(x,y,0), v(x,y) = V(x, у,0), w(x,y) = W(x, у,0).
Иными словами u,v,w это компоненты вектора перемещений точек, лежащих
в срединной плоскости пластины.
В принятых здесь обозначениях и исходя из формул (5.1.2) - (5.1.4),
можем записать
Согласно технической теории пластин из всех компонент тензора
начальных деформаций е ненулевыми оказываются следующие компоненты:
е«. вуу, еху- Соответствующие ненулевые компоненты т" = ха , х22 = т^,
т12 = xv тензора единичных начальных напряжений при плоском
напряженном состоянии пластины определяются следующими формулами
Далее,
в„=0,
з =—со3,
имеем
о)22 =0,о)
_ 1(8и
1 2{дг'
33=0, со12=-
5^^
дх )
ifdU
2{ду
о)23 = -о)32 =
8V)
~ дх)
ifdV
2{dz '
Подставим теперь полученное в формулу (4.18)
шщине пластины h. В результате будем иметь
An(v)
-пс,
Xх* \а>\х +о)з,
) +2x^0)3,0)32
+ хуу(а
\к
8W\
' ду)
-",.).
—,¦
(5 32)
и проинтегрируем по
\г + юз
2)]<fa/n =

618 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
-ЛАГ ,у Р,,) + w2 \ + 2Nxyww+Nyy -
Отбрасывая в выражении для An(v) члены, зависящие от тангенциальных
перемещений и и v, приходим окончательно к функционалу устойчивости
равновесия для пластин Кирхгоффа-Лява
Щт) = - \d\_w2^ + 2vwjXXw>yy + w2^ + 2(1 -v)w2xy]dD. +
. +- Д#~н? + IN^w^w^ + N»w*y )dQ. (5.33)
Этот функционал также хорошо известен и неоднократно использовался при
анализе устойчивости равновесия пластин [20].
11.5.4 Устойчивость равновесия пластины Рейсснера
Для пластины средней толщины вместо (5.29) следует воспользоваться
формулой (5.3.46). Заменив там функции <рх и фу на функции 9хи 9^, согласно
формул (5.3.15), приходим к следующему выражению для энергии
деформации пластины на форме ее потери устойчивости v13
+ ~ \D[в*.* ~ 2ve> А> + 9L + ~(~Qy,y + 9v)2 ГQ • (5'
.34)
где Qx , Qy это независимые от поперечных перемещений w углы поворота
нормали к срединной плоскости пластины, D это цилиндрическая жесткость
пластины.
В случае пластины Рейсснера кинематические соотношения (5.30)
должны быть заменены на - см. формулы (5.3.6)
U=u+zQy, V=v-zQx, W=w, (5.35)
и поэтому
^ifdU ак^и,у-Рх+(8,^+8у,у)г
ю'2 &2' 2{ду 8х) 2
4-
13 В главе 5 символ X использовался для обозначения иной величины Там полагалось
согласно формуле (5 3.29) Х = 5(l-v)/A2. Поэтому, во избежание конфликта в
обозначениях здесь в формуле (5 34) этот символ не используется.

* 11.5 Устойчивость равновесия для отдельных классов задач 619
Таким образом, после подстановок и интегрирования по толщине
)\<ЫС1 =
пластины получаем
Am(v) = — \\ tm (©2, + со2,) + 2тдусОз1сОз2 + х39 (со22 + со
X (-J(uty-vJ (9„,+9^)2/г2 (Qy-wj]
= — iN™ —— '¦—+—'¦ ^ +— ^— \di
21 [ 4 48 4 J
2 J [ 4 48 4
Я, г- (в-юД+ю,)
2 J 2
Отбросим здесь несущественные для потери устойчивости пластины
величины, зависящие от тангенциальных перемещений и и v. Кроме того,
рассуждениями, аналогичными приведенным выше в задаче об устойчивости
стержня Тимошенко, приходим к оценкам
(9',x+eL)/?2 (Qy-w,xf (QL+eL)/?2 (Q*+w,yf
12 <K 4 ' 12 <K 4 '
В результате получаем окончательно функционал устойчивости Новожилова
для пластин средней толщины
N3(io,e«e,) =^- jj^[(w>x+Qyf+(w>y-Qx)2]dn +
+- j?» 92;][ -2v9^e^ +9',, +—(-e,,, +0x,x)2 KQ +
+- J[tf~(e,, -го J2 + ^(9, +ffl,)2 -2^(9, ~w<x)(Qx + wJ~]dQ. (5.37)
Если же отталкиваться от функционала Брайана-Трефтца, то будем иметь
Ab(v) = - - J J [ т " (и2х + V2 + W2) + т *" (t/* + V2 + W2y )\dzdQ. -
-ff*' 2iv(UzU +VV +WW )di
I ¦" -"-A/2 ^ '
Подставив сюда выражения (5.35) и произведя интегрирование по z от -/г/2
до /г/2, получим после отбрасывания величин, зависящих от тангенциальных
перемещений и и v,

620 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
*.(ч(Уу-1Г[1!!Ц^1+',4]л1-
2^ [ 12 ''J 2^ [ 12 •* ''J
что дает возможность построить функционал Брайана-Трефтца, положив
B3(w,Qxfiy) = Е(го#ю0у) - AB(wfix,Qy)
и приняв в качестве Е выражение (5.30).
И вновь имеем оценки
(92v,+eL)^2 , (92vv+9' )й2 , (Q.A.+^Av)*2
— '¦ « w \, —— «wv, —-—— '-—- « WW,,,
12 '* 12 'y 12 'x 'y
поэтому окончательно функционал устойчивости для пластины Рейсснера
можно записать в виде
S(w,Qxfiy) = — f—ГО», + 9V)2 + (w v -ех? VQ +
24^1 + vL ' J
+- \d\ ej>x -2ve^e^ +в\зУ +—(-ey зУ+ev)2j/Q +
+ - Д^"ю2х + ^н;^, + IN^wjOj )dQ.. (5.38)
Функционал устойчивости по типу (5.38) для пластинки Рейсснера
аналогичен функционалу (5.19) для стержня Тимошенко и срабатывает в
любом случае, в том числе и для случая анизотропного материала со слабой
сдвиговой жесткостью. Само собой разумеется, что для пластин,
выполненных из анизотропного материала, первые два интеграла в (5.38),
отвечающие за потенциальную энергию деформации E(w,Qx,Qy), должны
быть записаны несколько иначе (с учетом анизотропии). На деталях не
останавливаемся.
11.5.5 Устойчивость равновесия тонкостенного стержня
Уравнения устойчивости равновесия тонкостенных стержней, полученные
для стержней открытого профиля В.З. Власовым [18], вызвали в свое время
оживленную дискуссию. Основным побудительным мотивом этой
дискуссии была недостаточная убедительность того способа вывода
уравнений устойчивости равновесия, которым пользовался Власов.
Во-первых, при построении этих уравнений Власов исходил на самом
деле не из формальных условий устойчивости равновесия, приводящих к
однородным уравнениям, а из так называемых деформационных уравнений,
отбрасывая затем правые части в этих уравнениях при определении

11.5 Устойчивость равновесия для отдельных классов задач 621
критических сил. Некоторые аргументы участников этой дискуссии и
соответствующие ссылки приводятся в упомянутой книге Я.Г. Пановко и
И.И. Губановой [1].
Во-вторых, при построении уравнений равновесия в деформированном
состоянии стержня Власов заимствовал у Тимошенко прием, основанный на
понятии приведенной нагрузки без придания этому понятие четкого
математического смысла. Это обстоятельство привело к попыткам
пересмотра уравнений Власова, относящимся к ревизии параметрических
членов этих уравнений. Математически безупречный путь построения
уравнений устойчивости для тонкостенных стержней, не оставляющий
лазеек для последующих споров по поводу убедительности вывода этих
уравнений и основанный как раз на вариационном критерии устойчивости,
был указан В.В. Болотиным [6] еще в 1965 г.
Мы не будем здесь рассматривать общую задачу устойчивости
равновесия тонкостенного стержня, ограничившись простейшей задачей об
устойчивости центрально сжатого тонкостенного стержня14.
Ссылаясь на формулы главы 6, приведем основные соотношения теории
тонкостенных стержней открытого профиля, которые потребуются нам в
этом разделе.
Итак, следуя обозначениям главы 6, определим компоненты вектора
перемещений v произвольной точки профиля тонкостенного стержня
относительно глобальной системы осей X,Y,Z следующим образом
х = \[U, V, Щ\Г .
Известно, что эти перемещения, являющиеся функцией двух координат -
продольной координаты х и дуговой координаты s, определяются четырьмя
функциями одной только координаты х
$ = $(*), п = п(*). ; = ;(*), е = е(*Х
где:
• % - продольное перемещение центра тяжести сечения стержня, мысленно
жестко связанного с нулевой точкой профиля О ;
• г), С, - поперечные перемещения (в направлении главных центральных
осей инерции сечения стержня Y и Z соответственно) главного полюса Р
профиля, совпадающего с центром изгиба и мысленно жестко связанного
с центром тяжести сечения;
• 0 - угол поворота сечения стержня вокруг продольной оси X.
Имеют место следующие формулы
14 Общая проблема устойчивости равновесия тонкостенных стержней сама по себе
представляет собой значительный прикладной и теоретический интерес Отсылаем,
прежде всего, к оригинальным работам В 3. Власова [18], как к первоисточнику
Рассмотрение этих же задач в доступной форме приводится и во многих других
работах, например у А С Вольмира[21]

622 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
U=\- Ti'y-Cz-0'co,
К = л-(2-2Р)е, W = Q + (y-y?)Q, (5.39)
где:
• со - секториальная координата рассматриваемой точки профиля с дуговой
координатой s;
• y,z — глобальные координаты этой же точки;
• уъ zP глобальные координаты полюса Р.
Здесь и далее штрихом помечается дифференцирование по продольной
координате х.
Выражение для потенциальной энергии деформации тонкостенного
стержня открытого профиля имеет вид - см. формулу (6.2.71)
Е = - J (ЕА%2 + GIXQ'2 + EIzx]"2 + EIyC,"2 + Eljd"2 )dx. (5.40)
Для тонкостенного стержня его длину обозначаем, как и в главе 6, символом
L, а символ / зарезервируем для обозначения длины профиля.
Начальные нормальные напряжения Ти в сечении центрально сжатого
стержня определяются так
~ А '
Имея в виду использование функционала устойчивости Брайана-Трефтца,
определим функционал Ав согласно формулы (4.18)
Ab(v) = --J jV1 (U2X +V2+W2)hdsdx.
Здесь учтено, что в соответствии с гипотезой о безмоментности стержневой
оболочки в продольном направлении нормальные напряжения г"
распределены равномерно по толщине профиля h. Понятно, что мы должны
будем подставить сюда выражения для подынтегральных членов по (5.39).
Распорядимся внутренним интегралом в этой формуле, вычислив по
отдельности каждое из трех слагаемых. Имеем:
Jt"?/2,A* = J—(5' -r]"y-C,"z-Q"(of hds =Ш(%2 +r\"2r2 +C,"2r2 +Q"2r2),
jW><fc = J—(л' +z?Q'-zQ'f hds = JV[(ri' + zpe')2 +Q'2r2~\ ,
\x-W2hds = J^(C - JPe' + yQ'f hds =N[(C,' -y?Q'f + Q'2r2],
где

* 11.5 Устойчивость равновесия для отдельных классов задач 623
2=Л 2=4 2=4
Гу л ' г* а' Гш а'
Поэтому
Ab(v) =
"| (*№ +Т1"2^2 +^ +0"Ч2+(л'+2Ре')2+(С-jpQ')2+eV]^,
где р - полярный радиус инерции сечения, р2 = г2 + г2 .
С учетом очевидных оценок
rfV « л'2, СЧ2« ^'2
и после отбрасывания несущественных членов, зависящих от ?,', приходим
к функционалу устойчивости
S =- J (GIxW2 +Е12ц"2 + EIyC,"2 + EIJd"2)dx +
+\ (Щц' + z?Q')2 + (С,' - y?Q')2 + W2r2 + 0'2p2 ]dx .
Но и этот функционал может быть упрощен, если заметить, что
EIa + XNr2 =Е1а\1-—ЫЕ1а.
°{ ЕЛ)
Поэтому окончательно принимаем
S =- J (Gljd'2 +Е12ц"2+Е1уС,1'2 +EIJd"2)dx +
+| \У[Ы + 2?&)2 +(С- jP6')2 +Q'2p2]dx. (5.41)
Условия стационарности этого функционала приводят к следующей
системе уравнений
{Е12ц")" ~Х[Щц' + zP0')]' = 0, (EI,?)' -X[Ng-Л9')]' = 0,
(Eljd')' -(GIXW)' -X[N(4' + zv&] zp + X[N(C)'-yrff'J yv -
-A,(JV0'p2)'=O. (5.42)
Для стержня постоянного сечения с постоянной по длине сжимающей силой
(полагаем N = -1), эти уравнения запишутся так
Е1гх]1У +Х(ц" + zp0") = 0 , EIyC,lv + Х(С," - уР0") = 0,
EIJdlv - Gljd" + X (zpT|" - jp^" + a20") = 0, (5.43)

624 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
где обозначено
a2=yl+zl+p2. (5.44)
На интегрировании системы уравнений (5.43) не останавливаемся.
Заметим только, что эта система полностью совпадает с чуть более общей
системой уравнений, полученной иным путем В.З.Власовым [18] с
точностью до замены обозначений - см. уравнения (1.10) на стр. 249 работы
[18]. Для того, чтобы убедиться в этом, достаточно в уравнениях Власова
положить начальные изгибающие моменты равными нулю.
11.6 Смешанные функционалы в задачах
устойчивости равновесия
Вариационная постановка задач устойчивости равновесия возможна также и
на основе смешанных функционалов.
Обозначим через с тензор напряжений, соответствующий перемещениям
v, то есть положим
<s = CAv. (6.1)
Введем теперь смешанный функционал, построенный по типу
функционала Рейсснера. С этой целью удобно воспользоваться
квазистатической постановкой задачи точно так же, как это мы сделали при
построении функционала Рейсснера в задаче о спектре частот свободных
колебаний механической системы, формально отнеся к внешним
воздействиям инерционные силы. В задачах же устойчивости равновесия
роль инерционных сил играет та самая эквивалентная нагрузка, понятие о
которой мы ввели в разделе 11.4.1. Поэтому мы можем воспользоваться
сразу же формулами (10.4.2) и (10.4.3), заменив там работу инерционных сил
на работу эквивалентной нагрузки. Но работа эквивалентной нагрузки это не
что иное, как функционал A(v) = A, A(v). В результате будем иметь
следующие выражения для двух форм функционалов типа Рейсснера
применительно к задаче устойчивости равновесия
R1(c,v) = 1/2(C-1c,c)-Hu,c)-A,A(v) , (6.2)
R2(o, v) = Уг{С У с) - {Ато, и) - X A(v) . (6.3)
Для упрощения эти функционалы рассматриваются заданными на однородно
кинематически допустимых полях перемещений и однородно статически
полудопустимых полях напряжений, что позволило нам исключить из
выражений для смешанных функционалов внеинтегральные члены. Кроме
того, по сравнению с (10.4.2) и (10.4.3) в формулах (6.2) и (6.3) также для
упрощения отброшены члены, зависящие от упругой среды, то есть мы
полагаем, что К = О.

11.6 Смешанные функционалы в задачах устойчивости равновесия 625
Для смешанных функционалов мы также можем воспользоваться методом
Ритца, как это мы делали в задачах о частотном спектре. В равной мере и
метод двух функционалов также переносится на задачи устойчивости
равновесия. Технически соответствующая процедура полностью наследуется
из главы 10. Однако теоремы и оценки, приведенные там, в задаче
устойчивости равновесия не проходят. Как это легко понять, препятствием
для распространения этих оценок на задачи устойчивости равновесия вновь
служит отсутствие гарантии положительной определенности матрицы
геометрической жесткости дискретизованной по Ритцу конечномерной
системы.
Рассмотрим для примера классическую задачу об устойчивости
равновесия сжатого стержня. Мы уже знаем, что в этом случае
A(v)=-jW2<&,
так что первая форма функционала Рейсснера принимает вид
R.(M,v) = - (—dx+ iv'Mdx -- (Nv'2dx,
lV 2Jo?/ Jo 2Jo
где M - это изгибающие моменты, развивающиеся в сечениях стержня в
момент потери устойчивости равновесия.
Перебросив во втором из этих интегралов одну производную с прогибов
на моменты с помощью интегрирования по частям, приходим к третьей
форме функционала Рейсснера.
RJM,v) = - \—dx-(v'M'dx --\Nv'2dx. (6.4)
Эта форма удобна в том отношении, что все интересующие нас функции
входят в подынтегральное выражение с производными не выше первого
порядка. Заметим, что внеинтегральный член в (6.4) вновь пропадает в силу
принятого выше ограничения на область определения смешанных
функционалов.
Условия стационарности этого функционала приводят к следующим
уравнениям Эйлера
— + v" = 0, M" + k(Nv'\ =0,
EI \ J >
или, после исключения моментов Миз этой системы
(EIv')' -X(Nv'j = 0,
что совпадает с ранее полученным уравнением (5.7).
Пример применения функционала (6.4) к решению задачи устойчивости
равновесия сжатого стержня (в стиле метода конечных элементов) можно
найти в нашей статье [22]. Там же показано, что, как и в задачах о частотном
спектре, смешанные формы метода конечных элементов обладают

626 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
способностью порождать появление паразитных критических нагрузок в том
смысле, как об этом было подробно сказано в разделе 10.4.3.
11.7 Заключительные комментарии к главе 11
В начале радела 11.3 уже было сказано, что в задачах устойчивости
равновесия оказывается недостаточно геометрически линейной постановки
задачи. Без дополнительных комментариев мы воспользовались здесь и в
нелинейных задачах началом возможных перемещений, а также
опирающимся на это начало вариационным принципом Лагранжа. Но это
начало, строго говоря, было сформулировано нами в главе 1 применительно
к сугубо линейной задаче. Справедливость расширенного толкования начала
возможных перемещений хорошо известна и отражена во многих
руководствах по строительной механике. Достаточно сослаться, например,
на [15]. Единственное, что нужно сделать, для того чтобы это
основополагающее вариационное начало распространить и на нелинейные
задачи, это сформулировать его в следующей, несколько измененной, форме
Для того, чтобы в некотором состоянии деформируемая
механическая система находилась в равновесии, необходимо и
достаточно, чтобы суммарная возможная работа всех внешних и
внутренних сил этого состояния системы на любых однородно
кинематически допустимых бесконечно малых перемещениях
| равнялась нулю. |
По сути дела класс вариаций перемещений, которым мы распоряжались в
этой главе, как раз и относится к однородно кинематически допустимым
бесконечно малым перемещениям.
Есть и второй спорный момент, который стоит также упомянуть. Как об
этом говорилось в начале раздела 11.4, применение теоремы Лагранжа-
Дирихле к системам с бесконечным числом степеней свободы носит
несколько формальный характер. Дело в том, что при распространении
понятия устойчивости равновесия конструкции на системы с бесконечным
числом степеней свободы возникают некоторые специфические трудности
теоретического характера. Это обстоятельство отмечается в известной книге
Г. Циглера [23], со ссылкой на исследования Шилда, Грина и Койтера.
Впрочем, тот же Циглер оправдывает такое обобщение тем, что "в
настоящее время у нас нет большего выбора".
Обратим также внимание на то обстоятельство, существенное, что
рассматриваемая постановка задач устойчивости равновесия ограничена
случаем мертвой нагрузки. Если бы это было не так, то компоненты внешней
нагрузки относительно эйлеровой координатной системы были бы зависимы
от перемещений. Но тогда нам пришлось бы в процессе варьирования
рассматриваемых функционалов варьировать и нагрузку. Безусловно,
постановка подобного рода задач, даже при консервативной нагрузке,

Литература 627
вполне возможна и встречается на практике достаточно часто. Простейший
пример дает гидростатическое давление, направленное всегда по нормали к
граничной поверхности упругого тела в деформированном ее состоянии.
Разумеется, нагрузка этого происхождения консервативна, но она не
относится к классу мертвых нагрузок. Необходимые обобщения задач
устойчивости равновесия на случай консервативных, но не мертвых
внешних сил, вынесены за пределы наших рассмотрений.
Литература
1. ПановкоЯГ, Губанова И И. Устойчивость и колебания упругих систем
Современные концепции, парадоксы и ошибки - М.: Физматгиз, 1987. - 352 с.
2 Perelmuter А V, Shvker VI On an Error of a Mystenuos Nature that happens in
Software when Analyzing Mechanical Systems for Buckling. -Proceedings of 15th
Nordic Seminar on Computational Mechanics -Aalborg, Denmark, 18-19 October,
2002, pp 229-232
3. Перельмутер А В , Сливкер В.И Расчетные модели сооружений и возможность их
анализа. - Киев- Сталь, 2002. - 597 с
4. Лойцянский Л.Г, Лурье А И. Курс теоретической механики Том 2 - М
Гостехтеориздат, 1955. - 595 с
5. Болотин В.В О понятии устойчивости в строительной механике В сб. Проблемы
устойчивости в строительной механике -М Стройиздат, 1965 с. 6-27
6 Болотин В В О сведении трехмерных задач теории упругой устойчивости к
одномерным и двухмерным задачам В кн Проблемы устойчивости в
строительной механике - М Стройиздат, 1965. с 186-196
7 Алфутов Н А Основы расчета на устойчивость упругих систем - М
Машиностроение, 1978. - 311 с
8. Ржаницын А.Р. Устойчивость равновесия упругих систем - М Гостехтеориздат,
1955 - 475 с.
9. Безухов Н.И., Лужин О В. Устойчивость и динамика сооружений в примерах и
задачах. - М.: Стройиздат, 1963 - 371 с.
10. Ржаницын АР. О некоторых свойствах области устойчивости состояния
равновесия - Строительная механика и расчет сооружений, 1964, №1. с 1-8
11 Папкович П Ф Труды по строительной механике корабля. В 4 т. Т 4 - Л .
Судостроение, 1963 - 552 с
12 Броуде Б М Устойчивость пластинок в элементах стальных конструкций. - М
Минмашстрой, 1949 -240 с
13. Рокафеллар Р Выпуклый анализ. - М. Мир, 1973 - 469 с.
14. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. - М . Наука, Физматгиз, 1985 - 335 с
15. Новожилов В В Основы нелинейной теории упругости — М : Гостехиздат, 1949
-218 с.
16 Болотин ВВ. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости - М..
Физматгиз, 1961 -339 с.
17 Болотин В В О вариационных принципах теории упругой устойчивости В кн ¦
Проблемы механики твердого деформируемого тела - Л Судостроение, 1973 с
83-88

628 11. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
18 Власов В 3. Избранные труды. Том 2 Тонкостенные упругие стержни - М. АН
СССР, 1963.-507 с.
19 Болотин В.В. Об оценке погрешности уравнений в прикладной теории упругости
В сб Строительная механика - М • Стройиздат, 1966 с 297-302
20 Тимошенко СП. Устойчивость упругих систем. - М.- Гостехтеориздат, 1955 -
567 с
21 Вольмир А С Устойчивость упругих систем. - М.. Физматгиз, 1963. - 879 с.
22 Исполов Ю Г, Сливкер В.И. Об одном эффекте, возникающем при
использовании метода конечных элементов в смешанной форме - Строительная
механика и расчет сооружений. 1984, №1, с 43^48
23 ЦиглерГ Основы теории устойчивости конструкций -М.. Мир, 1971 -192с

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Понимание математики не приобретается
только безболезненно развлекательными способами
- так же, как, например, вы не сможете
приобрести музыкальной культуры путем чтения
журнальных статей (как бы ярко они ни были
написаны), если не научитесь слушать внимательно
и сосредоточенно Нельзя обойтись без дейс-
твенного соприкосновения с самим содержанием
живой математической науки
Н.Н. Моисеев. Математика ставит эксперимент
М., Наука, 1979, стр 7
Но разве к одной только математике приложимы слова из эпиграфа?
Наверное, это относится и ко множеству других наук и отраслей знаний. И
все же, по мнению автора, механика не в последнюю очередь вправе
претендовать на подстановку математика -> механика в этой абсолютно
справедливой фразе.
Постоянно обращаясь мысленно к потенциальному читателю этой книги,
автор прикладывал настойчивые усилия к тому, чтобы по возможности не
затруднять понимание излагаемого материала - это с одной стороны. А с
другой стороны, расчет на легкое чтение перед сном также не принимался
во внимание.
В процессе написания книги ее план, содержание и структура излагаемого
материала менялись неоднократно. От многих первоначальных намерений,
которыми автор руководствовался, приступая к этой работе, по разным
причинам пришлось отказаться, иногда с сожалением. Среди этих причин
можно назвать и требование ограничения объема, и временные рамки и
переоценка сравнительного познавательного значения отдельных аспектов
теории. Так всегда бывает, что от намерения до реализации дистанция
порядочная и на этой дистанции сами намерения подвержены пересмотру. В
результате получилось то, что получилось.1
Из того, что входило в первоначальный план и все же не попало в книгу,
отмечу:
1 Невольно вспоминается бессмертная фраза Хотелось как лучше, получилось как
всегда

630 ЗАКЛЮЧЕНИЕ
• элементы теории оболочек;
• теория составных стержней А.Р. Ржаницына;
• тонкостенные стержни с криволинейной осью;
• задачи динамики, не ограниченные проблемой спектра;
• рассмотрение задач устойчивости равновесия упругих систем с более
общих позиций;
• некоторые аспекты метода конечных элементов как варианта метода
Ритца со специальным выбором базисных функций применительно к
задачам строительной механики.
Если автору и удастся изложить в редакции, близкой к настоящей книге,
сформулированные здесь проблемы механики твердого деформируемого
тела (или хотя бы часть из них), то это в будущем.
В предисловии к последней книге А.И. Лурье сказано2: "Отчетливо
осознаю недостатки этого труда. Ни один автор не свободен от этого
чувства. Сделал, что мог". Полностью присоединяюсь к этим словам
выдающегося механика.
В. Сливкер, декабрь 2004.
2 Лурье А.И. Нелинейная теория упругости - М . Наука, 1980. - 512 с.

ПРИЛОЖЕНИЯ
А. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЕЖАНДРА И ФРИДРИХСА
А.1 Преобразование Лежандра в конечномерном случае
Следуя И.И. Гольденблату [1], [2], рассмотрим скалярную функцию Е = E(q)
векторного аргумента q = \[qu tq„]\ , полный дифференциал которой может
быть представлен в виде
сЕ = Pxdq\ +...+ P„dq„, (АЛ)
где
P,= ^ = P,(q) (*=1,...,и) (А.2)
некоторые функции того же векторного аргумента q.
Переменные q,,...,q„ будем называть основными по отношению к
функции Е, тогда как величины Р\,...,Рп сопряженными переменными.
Сама же функция Е называется производящей функцией по отношению к
основным переменным.
Будем считать, что система уравнений (А.2) разрешима относительно
основных переменных.
Из общего числа переменных q\,..., q„ и Р\,..., Р„ в количестве 2и можно
выбрать в качестве основных и иную их комбинацию в количестве п,
произвольную с точностью до следующего ограничения: комбинация
переменных принимается допустимой к рассмотрению в качестве основной,
если и только если для каждого индексау от 1 до и в эту комбинацию входит
одна из двух переменных или q} или Р}.
С точностью до перенумерации произвольную допустимую в качестве
основной комбинацию переменных можно представить в виде
P\,...,Pk, qk+u---, Яп- Совокупность этих переменных образует новый вектор
V основных переменных
V=\[Vi vhVk+u...,V„tf = \[Pu...J>k,qk+l,..,qn]\r. (A3)
Разрешая первые А:уравнений системы (А.2) относительно qi,...,qk,
получим выражения для qu...,qk как функции новых переменных Ри...,Рк,

632 ПРИЛОЖЕНИЯ
4j=fj{V) 0=1 *). (А.4)
В векторной форме связь между векторами q и Кпредставима в виде
q = \[MV),:.,MV),vk+l,-,v„f=F(V). (А.5)
Соотношения (А.5) позволяют представить Е как функцию новых
основных переменных
Е = E(F(V)).
Однако, функция Е = E(F(Vj) не является производящей функцией по
отношению к новой комбинации основных переменных. По отношению к
группе переменных (А.З) новая производящая функция Ek = Ei^V) может
быть получена с помощью так называемого преобразования Лежандра
ЕАУ) = Pl4l +...+ Рт - E(q) = PJX{V) +...+ PJIV) - E(F(V)). (A.6)
Действительно, полный дифференциал dEk имеет вид
dEk = Pxdqx +...+ Pi4qk + qldP1+...+ qkdPk -dE =
= q{dPx+...+ qkdPk-Pk+\dqk+x -...-PJq„
и, следовательно,
~9,, lh = -pj ('=1.-..,*; j = k+l,...,n). (A.7)
dP, dq;
Итак, Ek действительно является производящей функцией по отношению
к новым основным переменным V. Понятно также, что вектором
сопряженных переменных по отношению к новым основным переменным
является вектор W- \[q\,..., qk, -Рк+\,..., -Р„]\Т= \[и>\,..., wk, wk+\,..., w„]\T. В
частности при к = п имеем
Е„ = Piqi +...+ />„<?„ - E(q) = Е„(Р), (А.8)
-^-=q, (r=l,...,«). (A.9)
Таким образом, преобразование Лежандра при к = п приводит к такой
производящей функции Е„, для которой вектор основных переменных и
вектор сопряженных переменных меняются местами. Этот особый случай
будем называть полным преобразованием Лежандра в отличие от
частичного преобразования Лежандра, когда к < п.
Если на механическом уровне вектор q истолковывать как вектор
обобщенных перемещений, а производящую функцию Е как энергию
деформации системы, то тогда вектор сопряженных переменных Р будет
иметь смысл вектора обобщенных сил, соответствующих обобщенным
перемещениям qu...,q„ . В этом случае соотношения (А.2) есть не что иное

А. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЕЖАНДРА И ФРИДРИХСА 633
как теорема Лагранжа, а соотношения (А.9) - теорема Кастильяно,
примененная к так называемой дополнительной потенциальной энергии Е„.
Рассмотрим интересующий нас случай линейных задач строительной
механики, когда в качестве производящей функции Е выступает энергия
деформации системы, являющаяся однородной (будем считать, что
положительно определенной) квадратичной формой от обобщенных
перемещений q
E = Y2qTRq, (АЛО)
и при этом
P = Rq. (А.11)
Симметричная положительно определенная матрица R имеет смысл
матрицы жесткости системы.
Полное преобразование Лежандра по (А. 8), то есть при к = п, в линейных
задачах дает
Е„ = PTq - У2 qTR q = lA PJRlP = E , (A. 12)
и, следовательно, энергия деформации системы Е и дополнительная
потенциальная энергия Е„ на решении задачи в линейной постановке
неразличимы.
Рассмотрим преобразование Лежандра (А. 6) и выясним как изменится
матрица квадратичной формы при переходе от производящей функции Е к
производящей функции Ек. С этой целью представим вектор q основных
переменных и вектор Р сопряженных переменных в виде двух подвекторов
каждый размерностью к и (и - к) соответственно
Ч = |[ «ь ftf, 4i= Ifoi,-.., 4kf, 42= Ifew q?,
P = \[Pi, Pit, Pi= \[Pu..., Pk]\\P2= |[/W •., p?,
а матрицу R квадратичной формы E в блочном виде
В этих обозначениях и с учетом симметрии R2l = Rj2 формулы (А. 10) и
(А.11) запишутся в виде
Е = У2 qJR q = У2 qjRu qx + q]Rl2 q2 + У2 q\R22 q2 ,
Px = Ruq,+Rl2q2, P2 = R2lql+R22q2. (A. 13)
Замечая отсюда, что qx= R~'Pl-R~'Rnq2, выразим вектор q через вектор
новых основных переменных У= |[РЬ...,РЬ ?i+i,...,?„]|T =\[Р\, qi\\J

634 ПРИЛОЖЕНИЯ
Ы\ \[о i JlkJ
где Н=\[о I \
В новых основных переменных энергия деформации системы Е может быть
представлена в виде квадратичной формы
Е = Vi qTR q = lA VJHJR HV. (A. 15)
И теперь обнаруживается, что матрица квадратичной формы E(V) имеет
блочно диагональный вид
л»-Г* ° , 1
\[о R22-R2lR;'Rn\
Этот факт не случаен и на механическом уровне получает красивую
интерпретацию как одно из проявлений теоремы об ортогональности полей -
см. раздел 1.4.3.
Действительно, блочно диагональная структура матрицы Н RH позволяет
представить энергию деформации системы Е в виде суммы энергий
Е = ЕР+Е?,
где EP=y2P?R;'Pl , Eg = 1/2ql(R22-R2lR;i[Ru)ql. (А. 17)
Ясно, что ЕР есть энергия деформации системы, подверженной чисто
силовым воздействиям в виде заданных внешних обобщенных сил Рь...,Рк.
Следовательно, это состояние однородно кинематически допустимо. В то же
время Eq есть энергия деформации той же системы, подверженной чисто
кинематическим воздействиям в виде заданных обобщенных перемещений
<7t+i,..., q„, и значит это состояние однородно статически допустимо.
Посмотрим теперь, на структуру квадратичной формы Ек, образующейся
после проведения частичного преобразования Лежандра. На основании (А.6)
имеем
ЫУ) = Рт +• • •+ Рт- E(q) = ^Ч - 'Л qTR q = P^q, - Vi VTHTRHV.
Далее, очевидно, что
Pi = \[IO]\V, qi=\[IO\\HV.
Выражение P?qx является скаляром, следовательно, не изменяется при
транспонировании, что допускает возможность симметризации
(А. 14)
(А. 16)

А. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЕЖАНДРА И ФРИДРИХСА 635
P?q, = 1AP^ql + 1AqJPl = ViV1 \' \[10]\ HV+ Vi
^h4'\[io\\v=
IL я21 ° Jl Ц-ъл! ° Jl
оэтому
2 yL-^i?- О \ \_0 R22-R2,R;IRx2\\
(A. 19)
= fcKTGK,
и матрица G квадратичной формы E^V) имеет вид1
!["<?„ <?12]||Г Jtf -ЛГ/Лй 1
|lG2, <?J \_-R2lRx\ -*22+*21*n*l2jr
В развернутом виде квадратичная форма E^V) запишется так
ЕДУ) = й if Д^ - И J»T«TX «2 -
- 1Л qjR^P, + Vi qJ2(-R22 + R2lR;?Rn)q2. (А.20)
Вспоминая теперь (А.7), получаем отсюда матричные выражения для
подвекторов вектора W= \[qu Р^, сопряженного вектору V= \[Р\, qi§",
?-±=ql=R-,P -R-lR,2q2 ,
dp, '
~— = Р2= ^.RT'P. +(«22-R2l^URn)42 ¦ (А-21)
8q2
' Интересно отметить, что существует тесная связь между частичным
преобразованием Лежандра и так называемыми жордановыми исключениями в
теории матриц [3]. Действительно, как это непосредственно видно из (А.19),
матрица G образуется из исходной матрицы R с помощью k последовательных
исключений по Жордану с разрешающими элементами, лежащими на главной
диагонали. Вообще, аппарат жордановых исключений являются весьма полезным
инструментом, широко используемым в строительной механике. Так, например, с
помощью обобщенных жордановых исключений легко строится универсальная
процедура формирования матрицы жесткости произвольного конечного элемента с
частично устраненными связями, если известна матрица жесткости этого же
элемента, но без устранения связей [4]. Любопытно и неожиданно применение
жордановых исключений в теории систем с односторонними связями [5]
Достаточно подробное описание жордановых исключений и их применений в
строительной механике можно найти в книге [6].

636 ПРИЛОЖЕНИЯ
В упомянутой выше работе [1] И.И. Гольденблат рассматривает
совокупность всевозможных производящих функций Ек как множество
различных смешанных потенциалов строительной механики для систем с
конечным числом степеней свободы. Легко понять, что для системы с п
степенями свободы полная совокупность всех возможных вариантов
преобразования Лежандра позволяет выстроить различные потенциалы
строительной механики для этой системы общим количеством 2".
Известный в строительной механике стержневых систем смешанный
метод расчета, иногда именуемый методом Гвоздева, в своей вариационной
основе может быть истолкован как реализация условий стационарности
одного из смешанных потенциалов строительной механики.
В самом деле, предположим, что выбрана основная система смешанного
метода расчета, находящаяся под действием неизвестных искомых
параметров: обобщенных сил Хь...,Хк и обобщенных перемещений
ZfrH,..., Z„. В этой системе все обобщенные перемещения q, по направлению
сил X, (i= 1,..., к) должны быть нулевыми. В этой же основной системе все
усилия Pj (j = k+l,...,ri), истолковываемые как реакции в связях основной
системы, должны равняться нулю. Отсюда, согласно (А.7) и с точностью до
замены обозначений, приходим к следующим уравнениям смешанного
метода
^=*-=0 (г=1,...Д), ?-L=0 (у = *+1,...,и).
ах, dZJ KJ ' '
Эти уравнения есть следствие вариационного принципа стационарности
смешанного потенциала строительной механики Ек
Ek=Ek(X{,...,Xk,Zk+l,...,Zn).
Исторически преобразование Лежандра возникло не из нужд механики
твердого деформируемого тела, а в целях преобразования уравнений
аналитической механики. Так, в аналитической механике при рассмотрении
уравнений движения системы материальных частиц преобразование
Лежандра применяется для обоснования перехода от скоростей, как
основных переменных, к импульсам, как сопряженным переменным, и
наоборот. Этот путь приводит к одному из возможных способов
установления связи между лагранжевым и гамильтоновым формализмом в
постановках задач аналитической механики. По поводу последнего
замечания сошлемся на блестящую по стилю изложения книгу
К. Ланцоша [7].
А.2 Преобразование Лежандра в общем случае
И все же наиболее интересно применение преобразования Лежандра в
общем случае вариационной постановки задачи для упругого тела.

* А. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЕЖАНДРА И ФРИДРИХСА 637
Следуя [8], продемонстрируем применение преобразования Лежандра для
осуществления перехода от функционала Лагранжа к функционалу
Рейсснера. Итак, рассмотрим функционал Лагранжа, но запишем этот
функционал в несколько преобразованной форме, а именно в форме
зависимости от деформаций и перемещений
L(?,u) = У2(гт,Сг) - (X ,u) - (Ер р, ЕрНии)г . (А.22)
Минимум лагранжиана L должен разыскиваться при дополнительных
условиях
г=АиеП, Е„Нии = ц еГ. (А.23)
Методом неопределенных множителей Лагранжа переходим от задачи
минимизации L по (А.22) при условиях (А.23) к свободной вариационной
задаче для функционала J
и(?,и,АД) =
= j[M(e,u) +A1 (Au-e)~\dn- j(EpHuu)rpdr- jXrEu(Huu-ii)dr,
где обозначено
M(?,u) = !/2?ТС? - uT X . (А.24)
После варьирования J(?,u,A,k) и приравнивания первой вариации этого
функционала нулю, получим, в частности,
А=—=Се<=П, EJX-HJ^^Oer. (А.25)
дг
Теперь с помощью (А.25) можем исключить лагранжевы множители из
функционала J(?,u,A,k). В результате приходим к вариационной задаче
поиска условий стационарности функционала F(e,u) = J(?,u,A(?,u),^(?,u))
F(?,u) =
= | M(?, u) + {An - e)T — Ida - \{EpHuu)J pdr - JEU (tf„u - й)т Ha — dr.
Вместе с функцией M(?,u) рассмотрим новую функцию N(a,u)
N(a,u) = оТ? - M(e,u), (А.26)
Но тогда, согласно (А.26) и (А.24)
N(o,u) = атГхо - М(?,и) = У2 eVo + uT X . (А.27)
Формулами (А.24) и (А.27), собственно говоря, и определяется
преобразование Лежандра для двух функций М(?,и) и N(a,u) и для

638 ПРИЛОЖЕНИЯ
переменных ? и о. Это преобразование удобно записать в виде двух, взаимно
преобразующихся друг в друга, соотношений
дМ
о= ,
дг
N(a,u) = a\-M(e,u),
? = СГ1а,
8N
?= ,
да
M(?,u) = оТ? ~N(a,u),
а = Сг.
Преобразование Лежандра (А.28) позволяет теперь переформулировать и
вариационную задачу для функционала F(?,u). Выражение под знаком
интеграла у этого функционала преобразуется с помощью (А.28) следующим
образом
М(?,и) + ат(Аи - ?) = атАи - N(q,u),
что после подстановок приводит к функционалу G(o,u)
G(o,u) =
= J[ctt^u-^(ct,u)]c/0- jiE^uYpdr- \Eu(Huvl-H)jHaadr =
= j| ctt^u--cttC-'ct-utX \dCl- j(EpHuu)Tpdr- |?„(Я„и-н)тНвЫГ.
Как видим теперь, функционал G(o,u) представляет собой (с точностью
до знака) не что иное, как первую форму функционала Рейсснера - см.
формулу (3.1.4). Итак, рассмотренное преобразование Лежандра переводит
функционал Лагранжа в первую форму функционала Рейсснера.
А.З Преобразование Фридрихса
В теории преобразований вариационных проблем используется и иное
преобразование, принадлежащее Фридрихсу [9]. Повидимому широкую
известность преобразование Фридрихса получило после опубликования
труда классиков математической физики [10].
Это преобразование можно разбить на два этапа. На первом этапе
преобразование Фридрихса заключается в том, что все или некоторые из
дополнительных соотношений, которым заранее должны удовлетворять
варьируемые функции при поиске условий стационарности функционала,
вносятся в этот функционал с помощью правила множителей Лагранжа.
Таким образом, вариационная задача с дополнительными условиями на
первом этапе переводится в разряд безусловной вариационной задачи, но
зависящей от большего числа искомых функций. Условия стационарности
этого нового функционала приводят к уравнениям Эйлера и естественным

А. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЕЖАНДРА И ФРИДРИХСА 639
краевым условиям, с помощью которых старые переменные выражаются
через множители Лагранжа. На втором этапе вновь возвращаемся к условной
вариационной проблеме, но уже иной, исключив в функционале старые
переменные (или только часть из них) с помощью полученных соотношений.
В результате в функционале сохраняются только множители Лагранжа, но
они в свою очередь подчинены теперь некоторым дополнительным
требованиям.
Преобразование Фридрихса в конечномерной задаче
Начнем с того, что покажем последовательность рассуждений при
использовании преобразования Фридрихса в конечномерной вариационной
задаче. С этой целью рассмотрим механическую систему с п степенями
свободы, полная потенциальная энергия которой L записывается в виде
L = KqJRq-qJP. (А.29)
Вектор перемещений q и вектор внешних сил Р имеют размерность п.
Предположим, что из заданной системы образована новая механическая
система с помощью наложения на исходную систему к дополнительных
связей, уравнения которых в матричном виде записываются так
Bq = 0. (А.30)
Матрица В размерами (кхп) ранга к называется матрицей связей.
Для определения равновесного состояния новой системы ставится задача
на условный экстремум функционала L при дополнительных требованиях
(А.ЗО). Вводя вектор лагранжевых множителей Л размерностью к, приходим
к свободной вариационной задаче для функционала J(q, Л)
J(q, Л) = У2 qJR q-qJP + AJBq . (А.31)
Условия стационарности J(q, Л) приводят к уравнениям
Rq+BT\ = P, Bq = 0, (А.32)
откуда
q = -Sr1BJA + RTlP. (А.ЗЗ)
Очевидно, что на механическом уровне лагранжевы множители
интерпретируются как обобщенные усилия S (реакции) во введенных связях,
то есть
A = S.
Подставив теперь в функционал J(#, Л) вместо вектора q его выражение по
(А.ЗЗ), а вместо Л вектор усилий в связях S, приходим к функционалу,
зависящему только от силового вектора S, который с точностью до
аддитивной константы запишется в виде

640 ПРИЛОЖЕНИЯ
J(q(S), S) = -lA ST(BlTlBJyS + PTBTlBTS. (A.34)
Но этот функционал (с точностью до знака) можно трактовать как
функционал Кастильяно, зависящий от искомых усилий в связях S, то есть
К(5) = lA ST(BIT1Br)S - РТВГ]ВТ$ . (А.35)
Функционал К(5) определен на множестве векторов S, удовлетворяющих
дополнительным условиям
BBTlB1S - ВВГ1Р = 0, (А.36)
которые физически интерпретируются как уравнения равновесия для
реакций во введенных связях. Условия (А.36) вытекают из требований
(А.30), если подставить туда вместо вектора q его выражение по (А.ЗЗ).
Преобразование Фридрихса в общем случае
Наконец, продемонстрируем технику преобразования Фридрихса в
бесконечномерной задаче для упругого тела на вполне элементарном
примере применительно к функционалу Кастильяно. Ограничимся для
простоты записи формул случаем только кинематических и к тому же
однородных краевых условий на всей границе Г области С1. Тогда
стандартная постановка вариационной проблемы по Кастильяно (упругое
основание отсутствует К=0) требует поиска условий минимума
функционала - см. (2.3.1)
К(о) = 1/2(С-'о,о) (А.37)
при дополнительных условиях, которым обязаны удовлетворять искомые
напряжения
X =ATa bQ. (А.38)
Вводя вектор функциональных множителей Лагранжа Л, приходим к
безусловной вариационной проблеме поиска точки стационарности
функционала J, зависящего как от напряжений о, так и от лагранжевых
множителей
J(o,A) = 1/2(C-'o,o) + (A,X-^To) . (А.39)
Но для оператора А справедливо основное интегральное тождество (1.2.17),
(А, А1 о) = (АА, в) - (Яао, НиЛ)г ¦
Это равенство позволяет привести функционал J к виду
J(o, А) = '/2 (С _1о, о) - (АЛ, о) + (А, X) + (Яао, НиХ)г ¦ (А.40)
Легко понять, что уравнения Эйлера для функционала J(o,A) запишутся так

А. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЕЖАНДРА И ФРИДРИХСА 641
С1а = АЛ <=П, Ата=ХвП, (А.41)
а естественные краевые условия так
НиЛ = 0 еГ. (А.42)
Из (А.41) и (А.42) становится понятно, что лагранжевы множители Л
могут быть отождествлены с перемещениями и.
Переходя ко второму этапу преобразования Фридрихса, подставим в
функционал J(o,A) вместо лагранжевых множителей Л перемещения u, а
вместо напряжений о их выражение по (А.41), что приводит к функционалу
J(C4u,u), зависящему только от лагранжевых множителей и
J(C4u,u) = - 1А (САи, Аи) + (и, X).
Условия стационарности этого функционала следует искать на
перемещениях и = Л, удовлетворяющих однородным кинематическим
краевым условиям (А.42). И теперь ясно, что функционал J(u) совпадает (с
точностью до знака) с обычным функционалом Лагранжа L. Итак,
преобразование Фридрихса позволяет формальными средствами перейти от
вариационной постановки задачи по Кастильяно к вариационной постановке
задачи по Лагранжу.
В качестве несколько более сложного, но достаточно показательного,
примера употребления преобразования Фридрихса укажем на работу
Болотина В.В. [11], в которой это преобразование использовано для
математически обоснованного получения функционала устойчивости
равновесия упругого тела, формально не зависящего от компонент
начального напряженного состояния системы.
В заключение отметим, что как преобразование Лежандра, так и
преобразование Фридрихса, относятся к классу инволютпивных
преобразований. Это означает, что повторное применение использованного
преобразования к уже преобразованной задаче, возвращает нас к исходной
формулировке вариационной проблемы.
Литература
1. Гольденблат ИИ Экстремальные и вариационные принципы в теории
сооружений - В сб. Строительная механика в СССР 1917-1957, под ред
И М Рабиновича. -М : Стройиздат, 1957. С. 264-278
2 Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости - М ¦ Физматгиз,
1969.-336 с
3 Зуховицкий СИ., Авдеева Л.И. Линейное и выпуклое программирование. - М.:
Физматгиз, 1967. - 460 с.
4. Париков В.И., Сливкер В.И. Матрица жесткости конечного элемента при
нежестком присоединении элемента к узлам. - Известия ВНИИГ им
Б.Е.Веденеева, сб. научных трудов, том 164. Статические и динамические
расчеты конструкций ТЭС, ГЭС и АЭС. -Л.. Энергоатомиздат, 1983. С. 20-28.

642 ПРИЛОЖЕНИЯ
5. Гордеев В.Н. Алгоритм для расчета систем с односторонними лишними связями.
В сб. материалы IV Всесоюзной конференции по применению математических
машин в строительной механике. Ин-т кибернетики АН УССР. - Киев, 1967.
6. Перельмутер В.В., Сливкер В.И. Расчетные модели сооружений и возможность их
анализа. - Киев: Сталь, 2002. - 597 с.
7. Ланцош К. Вариационные принципы механики. -Л.: Мир, 1965.-408 с.
8 Розин Л.А. Вариационные постановки задач для упругих систем. - Л.- ЛГУ, 1978
- 223 с.
9. Fnederichs К. Ein Verfahren der Vanationsrechnung. - Nachr. der Gesellschaft der
Wissensschaften. G6ttingen, 1929.
10. Курант P., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1. - М.: Гостехиздат,
1951.-476 с.
11. Болотин В.В. О вариационных принципах теории упругой устойчивости. В кн.:
Проблемы механики твердого деформируемого тела - Л : Судостроение, 1973
с. 83-88.
В. О КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ ПРИ ИЗГИБЕ
СТЕРЖНЕЙ
В.1 Касательные напряжения при изгибе прямых стержней
Казалось бы, что на таком исхоженном вдоль и поперек пятачке
сопротивления материалов, как закон распределения касательных
напряжений по сечению балки при ее изгибе, нет места каким-либо особым
и ранее не замеченным эффектам. И это действительно так. Тем более
удивительно, что в подавляющем большинстве курсов сопротивления
материалов при выводе известной формулы Журавского в стандартных
обозначениях имеющей вид
даже и не упоминаются те ограничения, которые необходимо принимать во
внимание для уверенности в справедливости этой формулы2. А между тем
именно эта формула Журавского лежит в основе логических построений,
связанных с учетом влияния сдвиговых деформаций на перемещения
изгибаемого стержня.
Начнем с того, что сформулируем в явном виде эти ограничения, с
очевидностью являющиеся независимыми и дополнительными по
отношению к трем сформулированным ранее предложениям, составляющим
в совокупности так называемую гипотезу плоских сечений (см. раздел 4.3).
2 Впрочем, есть и исключения, например, [1] и [2]. Здесь (в разделе В.1) мы следуем в
основном изложению, представленному в работе [3].

* В. О КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ ПРИ ИЗГИБЕ СТЕРЖНЕЙ 643
Итак, пусть X - продольная ось стержня, проходящая через центры
тяжести поперечных сечений стержня; оси Y и Z - главные центральные оси
инерции сечений стержня. Считается, что оси Y и Z не поворачиваются при
переходе от одного сечения стержня к другому, или, как иногда говорят,
стержень не обладает естественной круткой.
Рассматривая для конкретности случай изгиба стержня в плоскости (XJ),
примем следующие предположения'
• касательные напряжения, действующие вдоль оси Y, считаются
распределенными равномерно по ширине поперечного сечения
изгибаемого стержня Иначе говоря, считается, что функция
т"7 = ^(ху) не зависит от координаты z Компонента т" считается
неопределенной в рамках элементарной теории изгиба стержней;
• совокупность внешних воздействий на стержень не содержит
распределенной моментной нагрузки т в рассматриваемом сечении,
• считается, что поперечное сечение стержня не меняется по длине стержня
в окрестности рассматриваемого сечения
Примем сначала во внимание только первое из этих трех предположений -
равномерность распределения касательных напряжений г"7 по ширине
сечения стержня Вопрос определения «горизонтальных» касательных
напряжений т" обсудим чуть позже.
/г/21
Y
X
Г
Nx
Ах
< < 4 4
шш
у\\
ж!
X
Рис. В.1.
Из гипотезы плоских сечений с необходимостью следует, что каждое
поперечное сечение стержня ведет себя как абсолютно твердое, то есть
недеформируемое, тело Это означает, что сдвиговые деформации у
тождественно равны нулю и, следовательно, соответствующие касательные
напряжения т не могут быть определены на основании физического закона,

644 ПРИЛОЖЕНИЯ
связывающего деформации у и напряжения т - закона Гука для линейно
работающего материала. Но для касательных напряжений сохраняется
возможность их извлечения из уравнений равновесия. С этой целью
выделяется элементарный участок стержня, ограниченный двумя
поперечными сечениями с координатами соответственно х и х+Ах, и
отсекаемый от остальной части стержня горизонтальной плоскостью,
находящейся на расстоянии у от плоскости (Х,2). На рис. В.1 выделенный
элемент стержня отмечен штриховкой.
Полное усилие Nx, действующее в левом сечении выделенного элемента,
определяется из элементарных соображений
Здесь А0 и Szo - площадь и статический момент левого сечения отсеченной
части стержня относительно нейтральной оси Z целого сечения стержня.
Действующее в правом сечении (с координатой х+Ах) полное усилие A^+At
равняется
ах
Понятно, что результирующее усилие, порождаемое нормальными
напряжениями ст* и приходящееся на выделенный элемент стержня,
равняется
dK А
—-Ах.
dx
Если считать, что длина выделенного участка стержня Ах представляет
собой величину первого порядка малости, то, отбрасывая малые более
высокого порядка, равнодействующую касательных напряжений х^,
действующих по горизонтальному сечению выделенной части стержня,
можно определить как т^ЬАх, где b = b(x,y) - ширина поперечного сечения
стержня, являющаяся в общем случае функцией двух координат х и у.
Полагая, что на наружной поверхности стержня отсутствует компонента
нагрузки, действующей вдоль оси X, и, составляя уравнение равновесия
выделенного элемента стержня в проекции на эту ось, приходим к формуле
Вспоминая теперь формулу (4.5.11), согласно которой М'= Q + m, получаем
Обсудим подробнее отдельные компоненты этой формулы. Прежде всего,
заметим, что до сих пор мы не фиксировали внимания на способе создания

В. О КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ ПРИ ИЗГИБЕ СТЕРЖНЕЙ 645
моментной нагрузки т, а точнее говоря, молчаливо предполагали, что
таковая нагрузка создается силовыми парами, приложенными
непосредственно к продольной оси стержня. Однако возможен и иной, более
естественный способ создания моментной нагрузки, при котором внешний
распределенный момент т, как мы увидим далее, должен быть исключен из
этой формулы.
Для упрощения рассуждений будем считать, что ось Z является осью
симметрии сечения стержня. Тогда моментную нагрузку т можно
представить себе как результат действия продольной нагрузки q„ при этом
под qx понимается интенсивность продольной нагрузки по отношению к
единице объема материала изгибаемого стержня. Принимается равномерное
распределение этой нагрузки по ширине сечения изгибаемого стержня. Что
касается распределения этой нагрузки по высоте сечения, то будем считать,
что функция qx = qx(x,y) является кососимметричной функцией координаты
у, то есть
qx(xy) = -qx(x,-y). (В.З)
Очевидно, что
т = - f'\x (х,y)b{y)ydy. (В.4)
где h = h(x) — высота сечения стержня.
Но нагрузка qx должна быть учтена и в уравнении равновесия
выделенного элемента стержня, что вместо (В.2) приводит к формуле
•?"=-—- + -\ <Jx(x,yMy)dy=-—\—^\+-\ qx(x,y)dy,
b dx b }y bdx{ Iz ) b Jy
или после подстановок и преобразований получаем окончательно
**- ^"йлУ^С^™*»} <а5)
Если положить теперь ^ = 0 и считать, что стержень имеет постоянное
сечение, то общая формула (В.5) упростится и перейдет в известную
формулу Журавского (В.1).
Покажем, однако, что в рамках теории изгиба стержней Бернулли-Эйлера
два последних члена в квадратных скобках в формуле (В.5) должны быть
отброшены. С этой целью представим продольную нагрузку qx = qx(xy)
разложением в степенной ряд по координате у, причем в силу
кососимметричности этой функции по координате у ряд этот будет
содержать только члены с нечетными степенями у. Итак, имеем
q&y) = о.х(х)у + аъ(х)уг + ... (В.6)
Многоточием обозначены оставшиеся члены этого ряда с более высокими
степенями у. Но на самом деле, в рамках теории изгиба стержней Бернулли-

646 ПРИЛОЖЕНИЯ
Эйлера в этом разложении должен быть удержан всего лишь первый
(линейный по у) член ряда, а все остальные члены отброшены.
Действительно, согласно гипотезе плоских сечений каждое поперечное
сечение при изгибе обладает всего одной степенью свободы в отношении
перемещений и вдоль оси X, а именно: жестким поворотом всего сечения на
угол G вокруг оси Z. Иными словами,
и = -ву.
Это означает, что уже первым членом ряда (В.6) исчерпываются все те
обобщенные внешние силы, которым отвечают все учитываемые моделью
Бернулли-Эйлера степени свободы сечения по отношению к продольным
перемещениям точек поперечного сечения. Итак, в рамках рассматриваемой
теории изгиба стержней следует положить
q&0>) = а.х(х)у . (В.7)
Искомый функциональный коэффициент щ{х) можно получить
домножением равенства (В.7) на Ь(у)у с последующим интегрированием по
всей высоте сечения, что с учетом (В.4) дает
о,(*) = -™. (В.8)
В результате имеем
\"\х{х,У)Ъ{у)с1у = -j f"b(y)ydy = -^s-,
и два последних члена в формуле (В.5) сокращаются. Поэтому
\&в. ± гж^Л ^» 11 (В.9)
S:o
где А - площадь поперечного сечения стержня.
Действительно, с помощью интегрирования по частям получаем3
А Ъ
Но статический момент всего сечения относительно оси Z равен нулю, то
есть Szo(x,h/2) = 0 и Szo(x,-h/2) = 0, следовательно внеинтегральный член в
правой части этой формулы исчезает. Далее
! Заметим, что координата у изменяется от -А/2 до А/2 в силу принятого
предположения о симметрии сечения стержня относительно оси Z.

В. О КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ ПРИ ИЗГИБЕ СТЕРЖНЕЙ 647
^ = ± \b{x,y)ydy = -b{x,y)y, <В.П)
ay ау •
что после подстановок и приводит к формуле (В. 10).
Конечно, формула (В.9) аккуратнее в отношении распределения по
сечению стержня касательных напряжений, чем более простая формула
Журавского. Однако если интересоваться всего лишь усредненным
значением сдвига по сечению, то можно показать что интегрально второе
слагаемое в уточненной формуле (В.9) дает нулевой вклад в общий интеграл
\т?<1А.
В самом деле, имеем
iAb(x,y)dx{l! J А^-ш J dx{l, )
Итак, интегрально второе слагаемое в формуле (В.9) не дает вклада в
усредненное значение сдвига по сечению стержня. Это обстоятельство
является ключевым, позволяющим в рамках теории стержней, основанной на
гипотезе плоских сечений, опираться на простую формулу Журавского при
определении среднего сдвига по сечению. Именно эти соображения дают
право пользоваться формулой Журавского при выводе уравнений теории
изгиба стержней Тимошенко. Однако в распространенных руководствах по
сопротивлению материалов применение формулы Журавского при
построении теории изгиба стержней Тимошенко не обосновывается и не
комментируется, что может рассматриваться только как логический изъян,
способный вызвать недоумение у пытливого студента.
Не лишено любопытства кратко обсудить и вопрос о распределении
горизонтального касательного напряжения т*2. На самом деле оказывается,
что ответ и на этот вопрос может быть найден в рамках элементарной теории
изгиба стержней. Следуя относительно недавней публикации В.Д. Харлаба
[4], определим эти напряжения, исходя из дифференциального уравнения
равновесия
дх*2 _ да* дхху _
dz дх ду
д(МуЛ d\QS!0 Md(S20\\
=~4о 4^+^4tJ} (ВЛ2)
Преобразуем это уравнение
& // dx{lj Izdy{b )
(В. 13)
22-818

648 ПРИЛОЖЕНИЯ
dy[bdx{l.
Воспользовавшись формулой (В. 11) и введя обозначение Ь'=дЬ/ду,
получим
что после подстановок в (В. 13) и преобразований дает
& ь \bdx\ij dx\i
Учитывая, что
5x1/1 &lwj *arl/J ала*'
получаем следующее выражение для производной Зт*7&
Sz b ду blz дх
(В. 14)
щая внимание на то, что по принятому предположению все
компоненты в правой части формулы (В. 14) не зависят от координаты z, и,
полагая T"(jc,y,0) = 0, приходим к простой окончательной формуле для
горизонтальных касательных напряжений
т-=(т*? + а<Щ (В.15)
ду ox b
Формула (В.15) отличается наличием последнего члена, зависящего от
напряжений сг*, от соответствующей формулы, полученной в [4]. Иначе
говоря, формула Харлаба
T»=x-ff (В.16)
ду b
является частным случаем формулы (В.15) и получается из (В.15) только
тогда, когда ширина сечения не меняется по длине стержня. Это связано с
тем обстоятельством, что в своих рассуждениях В.Д.Харлаб исходил не из
уточненной формулы (В.9) для касательных напряжений т*?, а из
упрощенной формулы Журавского.
Рассмотрим в качестве примера стержень круглого сечения переменного
радиуса г = Нх). Очевидно, что Ь2(ху) /4+у2 = г*(х), следовательно
дЪ _ Ау 6Ь _ , г
ду b дх b

В. О КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ ПРИ ИЗГИБЕ СТЕРЖНЕЙ 649
где для удобства обозначено r'=drldx.
Далее, несложно установить, что
4 12
следовательно,
I Зпг4' dx{l) пг4{дх г ) I [b Ъг)
После подстановок полученного в формулу (В.9) находим
12/1_ Ъ U 3rJJ
Теперь несложно найти и касательные напряжения т*2, воспользовавшись
формулой (В. 15). В результате имеем
что отличается от аналогичной формулы, полученной в [4] наличием
дополнительного члена, зависящего от изгибающего момента.
В.2 Касательные напряжения при изгибе криволинейных
стержней
Вновь, как и в случае стержня с прямолинейной осью, выделяем из
криволинейного стержня элементарный его участок, ограниченный слева
сечением с дуговой координатой s, а справа сечением с дуговой координатой
s+As (рис. В.2).
Рис. В.2.
Этот элементарный участок стержня, затемненный штриховкой на рис. В.2,
отсекается также от остальной части стержня криволинейной поверхностью
z= Const, где z - нормальная координата, как это было определено для
криволинейного стержня в §4.7.
22*

650 ПРИЛОЖЕНИЯ
В левом сечении выделенного элемента стержня действуют нормальные
напряжения а, суммарно создающие продольную силу N0 и изгибающий
момент М0 относительно оси Y. Соответственно на правое сечение
выделенного элемента будут действовать нормальные напряжения
d° л
a+—As.
ds
Нормальные напряжения а в зависимости от используемой теории
криволинейных стержней могут быть представлены в виде, показанном в
таблице В1.
Таблица В. 1
стержни малой
кривизны
N Mz
а = — + —
А I
стержни средней
кривизны
_N + kM Mz kMz2
А + I I
стержни большой
кривизны
N + kM М z
а = -—¦—+
А /р 1 + fe
В дальнейшем будут полезны следующие обозначения для геометрических
характеристик левого сечения выделенного элемента:
А0- площадь рассматриваемой части сечения,
А0= jbdz, S0=\zdA, I0=\z2dA,
л л
S00=\-^—dA, / = \-l—dA, L=\z3dA. (B.17)
¦" (l + kz ^ ll + kz I
Справедливы следующие формулы
fA^ = A \^dA = I, ^-dA = 0, \^dA=I^
J/> 2 J/> ¦] h ¦> h 2
(B.18)
Доказательство этих формул основано на технике интегрирования по частям
и может быть без труда восстановлено, если при этом принять во внимание
следующие два обстоятельства:
1) формулы дифференцирования геометрических характеристик
-b(z), ^ = -zb(z), ^- = -z2b(z);
dA_
dz
2) условие симметрии сечения стержня относительно оси Y, откуда следует,
что
f z"bdz = 0 при любом нечетном и.
Отметим, наконец, что имеют место следующие оценки порядка величин

В. О КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ ПРИ ИЗГИБЕ СТЕРЖНЕЙ 651
-*-<h, -2-<h, -2*-<h2. (В.19)
4 s0 ' s0
В случае криволинейного стержня удобно воспользоваться уравнением
равновесия выделенного элемента стержня не в проекциях на
тангенциальную ось, как это было сделано в случае стержня с
прямолинейной осью, а в моментах. Точнее говоря, запишем условие
равенства нулю моментов всех сил, действующих на выделенный элемент
стержня, относительно центра кривизны оси стержня4. Итак, обозначая для
краткости штрихом производную по координате s и вспоминая, что к= 1/р,
получим
- J ab(p + z)dz+ J [ab + (ab)'As](p + p'As + z)dz - T?b{\+kz){p+z) = 0.
После сокращений, удерживая в полученном соотношении члены не выше
первого порядка малости по отношению к As, имеем
J (ab)'(p + z)dz + j abp'dz - Tszbp{\+kzf = 0.
Подынтегральное выражение в первом слагаемом этой формулы удобно
представить в виде
-а А
ds ds ds
Это дает возможность вынести операцию дифференцирования по
координате s за знак интеграла, а поскольку кривизна оси стержня к от z не
зависит, то окончательно общее выражение для касательного напряжения по
сечению криволинейного стержня переменного сечения запишется в виде
t?z= ^-^— - \ab{\ + kz)dz . (В.20)
b(l + kz)2 ds[k 1 \
В результате подстановок и интегрирования, с учетом формул,
приведенных в таблице В.1, получаем расчетные формулы для касательного
напряжения Xs2 в зависимости от используемой теории для криволинейных
стержней.
1 Вообще говоря, при переменной по длине стержня кривизне положения центров
кривизн для левого и правого сечений стержня различаются. Можно показать,
впрочем, что неучет этого обстоятельства равносилен пренебрежению в уравнении
моментов величинами второго и более высокого порядков малости по сравнению с
величиной As.

г. + лр
ki у
652 ПРИЛОЖЕНИЯ
Стержни малой кривизны (kh«l)
х^к_ЦыА^ + 1
bds{ Ы
В полном соответствии с принятым в теории стержней малой кривизны
порядком точности и с учетом оценок (В. 19), эта формула упрощается до
t*=*±(N4l + mSo_\ (в.21)
bds{ Ы ki) v '
Воспользуемся теперь уравнениями равновесия Кирхгоффа (4.7.30) для
криволинейных стержней, согласно которым
N'=-kQ-q,, kN=Q'+q„, M'=Q-m. (В.22)
После проведения дифференцирования в (В.21) и подстановок выражений
для производных N' и М' по (В.22) получаем
Если подсчитать теперь интегральную характеристику касательных
напряжений т" по всему сечению стержня, то, очевидно, что она должна
равняться поперечной силе Q. Но уже первый член в формуле (В.23) с
учетом формул (В. 18) дает
следовательно, все остальные члены суммарно дают нулевой вклад в общую
поперечную силу. Это обстоятельство позволяет ограничиться все той же
формулой Журавского при определении среднего по сечению сдвига у,
положив
ы
Само собой разумеется, что значение касательного напряжения в
отдельных волокнах поперечного сечения стержня более аккуратно
восстанавливается по уточненной формуле (В.21).
Стержни средней кривизны {l^h2«\)
На основании формулы (В.20) и с учетом формул второго столбца
таблицы В. 1 получим
b(l + kz)2 ds\ Ы у А Ы

В. О КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ ПРИ ИЗГИБЕ СТЕРЖНЕЙ 653
В рамках точности, принимаемой в теории стержней средней кривизны,
полагаем
!—*l-2fe,
(1 + fe)2
что вместе с оценками по (В.19) позволяет упростить формулу (В.24) до
формулы
f - *(1-^)4И^ + мГА±^ + ^У|. (в.25)
Ъ ds\_ hi { A kljj
В результате дифференцирования по s в (В.25) и с учетом уравнений
Кирхгоффа (В.22) получаем окончательно формулу для касательных
напряжений Xs*, применительно к стержням средней кривизны
Ъ
(4,+ю. О
Интегрированием х* по всей площади сечения стержня А для первого
члена этой формулы получаем
где учтены соотношения (В. 18). Таким образом, для стержней средней
кривизны формула Журавского преобразуется к виду
= Я?2.п-'>ьг\ (В.26)
Стержни большой кривизны
формулы (В.20) и с учетом формул третьего столбца
таблицы В.1 получим
t-- —*—±\„±±ъ+м(±±ъ + О]. (В.27)
b{\ + kzf ds[ Ы ( A klp)\
Выполняя здесь дифференцирование и учитывая уравнения Кирхгоффа
(В .22), преобразуем эту формулу к виду
1

654 ПРИЛОЖЕНИЯ
Интегрированием т" по всей площади сечения стержня А для первого
члена этой формулы получаем
J 4(1 + kzf Ip Ip J/2 (1 + kzf
Интегрированием по частям последний интеграл приводится к виду
_//2(l + fa) Щ + Щ_юг kjl2\ + kz
Внеинтегральный член равен нулю, так как равен нулю статический момент
отсеченной части сечения на верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Оставшийся интеграл представляет собой статический момент Sp
приведенного сечения - см. формулу (4.7.38). В результате получаем
jb(l + kzf Ip 1рк
Итак, для стержней большой кривизны формула Журавского переходит в
формулу
^=.,f° г (В.28)
Литература
1. Гастев В.А Краткий курс сопротивления материалов - М Физматгиз, 1959 -
424 с.
2. Биргер И.А., Мавлютов Р.Р Сопротивление материалов - М. Физматгиз, 1986. -
560 с.
3 Сливкер В И. О касательных напряжениях при изгибе стержней. - Исследования
по механике строительных конструкций и материалов. Межвузовский
тематический сборник трудов. СПбГАСУ, СПб : 2002, с. 90-96.
4. Харлаб В.Д. О касательных напряжениях в элементарной теории плоского изгиба.
- Исследования по механике строительных конструкций и материалов Труды
ЛИСИ, Л.: 1991, с. 92-95.

D. О ЦИРКУЛЯЦИИ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ 655
С. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ
В строительной механике постоянно приходится иметь дело с интегралами
от произведения двух функций
= J/l<*)/2
(x)dx.
В частности, подобного рода интегралы встречаются при использовании
формулы Мора в строительной механике стержневых систем, при
вычислении геометрических характеристик сечений тонкостенных стержней
и в некоторых иных ситуациях.
В общем случае произвольных функций fx и/2 приходится прибегать к
процедуре численного интегрирования. Однако в большинстве типовых
ситуаций интегрируемые функции представляют собой полиномы, и сами
интегралы могут быть вычислены аналитически. В том случае, когда
подынтегральные сомножители представляют собой полиномы не выше
второго порядка, эти формулы становятся особенно простыми и их имеет
смысл привести здесь в табличной форме, рассматривая эти формулы как
справочные данные
sr-^^>
; 'С' ь1
^^ь
+«1*2+«2*1 ]
-[«1«2+*1*2 +
+2cx{a2+b2)}
: г-<^*
-[а,а2+й1*2+2с2(а1+*1)]
—[2аха2 + 2bxb2 + сх (а2 +Ь2) +
+cM+bi)-aA+2a^+Sclc2]
На рисунках и в формулах через сх и с2 обозначено значение квадратной
параболы в средней точке интервала [О,/].
D. О ЦИРКУЛЯЦИИ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИИ
В разделе 6.1.2, посвященном задаче Сен-Венана о чистом кручении
призматического стержня, приведена известная теорема Бредта о

656 ПРИЛОЖЕНИЯ
циркуляции касательного напряжения. В наши намерения здесь входит
формулировка этой теоремы в слегка обобщенном виде5.
D.1 Обобщенная теорема Бредта
Итак, рассматривается напряженное состояние трехмерного упругого тела,
положение которого в пространстве определено в правоориентированной
прямоугольной декартовой системе координат (X,Y,Z), которую будем
называть глобальной координатной системой. Выберем произвольную точку
М тела с координатой х и рассечем тело плоскостью, проходящей через
точку М и ортогональной оси X. Будем считать, что образуемая этим
пересечением плоская двумерная область может, вообще говоря, содержать
и отверстия (дыры). Иными словами, эта двумерная область не обязана быть
односвязной.
Выберем в полученной двумерной области некоторую замкнутую,
достаточно гладкую, кривую Г, целиком принадлежащую рассматриваемому
телу. Площадь двумерного тела, содержащегося внутри кривой Г обозначим
А, а общую площадь, охватываемую замкнутой кривой Г будем обозначать
Q/2. Ясно, что А < Q/2, причем равенство достигается здесь тогда, когда
внутри кривой Г не содержится отверстий - рис. D. 1.
Рис. D.I. Пересечение тела плоскостью (7,2)
В окрестности кривой Г на плоскости (Y,Z) может быть введена
криволинейная ортогональная система координат, ассоциированная с этой
кривой - см. Приложение F. Направление дуговой координаты s на этой
кривой будем считать положительным при обходе замкнутого контура
против часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного
направления оси X.
Напряженное состояние тела в произвольной точке тела, принадлежащей
области А, на площадке с нормалью, совпадающей с осью X,
'' Содержание этого приложения следует статье [1]

D. О ЦИРКУЛЯЦИИ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ 657
характеризуется нормальным напряжением а*1 и вектором касательного
напряжения т, лежащим в плоскости (Y,Z)
Обозначим через т** проекцию вектора касательного напряжения т на
направление касательной к кривой Г, причем положительное направление
касательной к кривой Г определяется единичным вектором t, направленным
в сторону возрастания дуговой координаты s. Иными словами, х" = x-t
ИнтегралУ
J = j>x"ds (D1)
называется циркуляцией касательного напряжения вдоль кривой Г.
Пусть U,V,W - компоненты перемещения произвольной точки тела
относительно глобальной системы осейX,Y,Z соответственно.
Для точек тела, лежащих в плоской области А в некоторой окрестности
кривой Г компоненты перемещений могут быть заданы также и в локальной
координатной системе осей с ортами (4,я,0> где и орт внешней нормали к
границе Г (рис. D.1). Компоненты перемещений в локальной системе осей
обозначим как u,v,w. Таким образом, обозначая орты осей X,Y,Z как 4, iy, h,
получаем
uix + vt + wn = Ш* + Viy + Wiz. (D.2)
Связь между компонентами вектора перемещений в глобальной и
локальной координатных системах устанавливается формулами
и = и, v = vty + m,, w=vtz-my,
U = m, V = vty + wt2, W = vt2-wt)l, (D.3)
где ty и tz - это направляющие косинусы орта t относительно осей Y и Z
соответственно.
На основании закона Гука для касательного напряжения х** имеем
{ds дх)
Из условия однозначности продольных перемещений и вытекает требование
J. ds
что позволяет записать интересующую нас циркуляцию также и в виде
J = G6—ds = G—6vds = G—S(Vt1,+V/tt)ds. (D.4)
j. дх дх3Г dxJry '
Предположим сначала, что в процессе деформации тела для замкнутой
кривой Г выполняется так называемое условие жесткого контура. Мы
говорим, что для кривой Г выполняется условие жесткого контура, если
проекция кривой Г в деформированном состоянии тела на плоскость (7,Z)

658 ПРИЛОЖЕНИЯ
представляет собой исходную (недеформированнную) кривую Г, возможно
смещенную и повернутую как жесткое тело относительно недефор-
мированного состояния.
Пусть v = \(s) - вектор перемещений точек контура Г в плоскости (Y,Z).
Математически условие жесткого контура записывается в виде
v = vP + 9хр, (D.5)
где
• vP - вектор трансляционных перемещений контура Г в плоскости (Y,Z),
который можно истолковать как вектор перемещений некоторой
произвольно выбранной точки Р (полюса) плоскости (F,Z), жестко
связанной с кривой Г,
• 8 = 9i, - вектор поворота кривой Г вокруг полюса Р, причем 0
представляет собой величину (угол) этого поворота;
• р = p(s) - вектор, направленный из полюса Р в текущую точку кривой Г.
Понятно, что введенное ранее тангенциальное перемещение v
представляет собой проекцию вектора v на направление орта t Иными
словами
v = vt= fvP + f(8xp) = fvP + 0p4'xfr) = fvP + 0р*и . (D.6)
Здесь мы воспользовались известными свойствами смешанного произ-
ведения трех векторов а'фхс) = c(axb) - см., например, [2, стр. 60]
Теперь имеем
*e,.*L + (yp,. (D.7)
дх dx
где 0' - производная по координате х от угла поворота 0.
Легко понять, что
j>tds = 0, j)(n-p)ds = n,
где Q - удвоенная площадь, охватываемая кривой Г.
Подставив полученное в (D.4), приходим к известной формуле Бредга для
циркуляции касательного напряжения [3], которую в современной
формулировке записывают в виде
7=0'GQ (D.8)
и иногда называют теоремой Бредга. Причем традиционно в курсах теории
упругости формула Бредга связывается исключительно с задачами кручения
стержней
На самом же деле, как мы только что видели, для справедливости
формулы Бредга достаточно лишь выполнения условия жесткого контура,
характер же напряженного состояния тела не имеет в этом смысле значения.
Так, например, условие жесткого контура выполняется в случае

D. О ЦИРКУЛЯЦИИ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ 659
ортотропного тела, модули упругости которого в одной из плоскостей
ортотропии настолько велики, что могут быть приняты равными
бесконечности. Другой вариант выполнения условия жесткого контура
обязан напрямую соответствующей кинематической гипотезе, используемой
при построении некоторых прикладных теорий. Так, например, для любого
варианта технической теории тонкостенных стержней принимается гипотеза
недеформируемости профиля в своей плоскости - это и есть условие
жесткого контура. Кстати говоря, из формулы Бредта видно, что при
отсутствии закручивания (когда 0' = 0) циркуляция касательных напряжений
по любому замкнутому контуру оказывается тождественно равной нулю.
Посмотрим теперь на возможность обобщения теоремы Бредта в том
случае, когда и условие жесткого контура нельзя считать выполненным.
Пусть со* - компонента вектора поворота относительно оси X
произвольного бесконечно малого объемного элемента в окрестности
выбранной точки тела. Из теории упругости известно [4], что
аь=1(^-*а (D.9)
2{ду 8z)
Обозначим через © среднее значение поворота со* в области А, то есть
в=—(ГауИ (D.10)
А А
Обозначим символом Г0 внутреннюю границу, то есть границу отверстия
(или совокупную границу отверстий), содержащегося в области,
охватываемой контуром Г. Положительное направление движения вдоль
внутренней границы обходит контур Г0 по часовой стрелке, если смотреть
со стороны положительного направления оси X (рис. D.1).
Подставив в (D.10) выражение для со* по (D.9) и воспользовавшись
формулой Гаусса-Остроградского, при принятых правилах знаков для
положительного направления обхода контуров получим
где n,H/i;- это направляющие косинусы орта и относительно осей Y и Z
соответственно
Из геометрических соображений ясно, что
поэтому с учетом (D 3)
© =^-\j>(Wt2+Vty)ds + j(mz+Vty)cls =— Uixfe + ф vds . (D.11)

660 ПРИЛОЖЕНИЯ
Но, согласно (D.4) можем записать
?*-&¦ *?*"> <°12>
где J0 - это циркуляция касательного напряжения по контуру Г0, а знак
минус здесь объясняется тем, что при взятии циркуляции по Г0 направление
обхода контура Г0 противоположно направлению, показанному на рис. D. 1
Таким образом, в общем случае справедлива формула
J-J0 = G(2A)&, (D.13)
обобщающая формулу Бредта.
В том частном случае, когда область односвязна и граница Г0 отсутствует,
1А = Q, так что формула для циркуляции J принимает привычный для
формулы Бредта вид
7=GQ©', (D.14)
где, подчеркнем, © - это средний угол поворота в области, охватываемой
контуром Г.
И, наконец, в случае выполнения условия жесткого контура для любой
замкнутой кривой Г, полностью расположенной в сечении тела х = Const,
средний угол поворота © будет совпадать с поворотом 0 сечения в
плоскости (Y,Z) как жесткого тела. Поэтому (D.13) в этих условиях
запишется так
J-J0 = G(2A)Q', (D.15)
что корреспондируется с полученной ранее формулой Бредта (D.8),
поскольку применительно к каждому из замкнутых контуров Г и Го формула
Бредта дает
7=9'GQ, J0 = Q'G(n-2A).
В заключение отметим, что в случае неоднородного по материалу тела
теорема Бредта о циркуляции касательного напряжения обобщается до
теоремы о циркуляции сдвиговых деформаций [5]. В этом последнем случае
аналитическая запись теоремы взамен (D.8) может быть представлена так
9'Q = i>—ds
I G
Литература
1 Сливкер В И О циркуляции касательных напряжений - Вестник гражданских
инженеров. (В печати) СПб •, 2005
2 Кочин Н Е Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - М Наука,
1965 -426 с

Е. О КОНСЕРВАТИВНЫХ ВНЕШНИХ СИЛАХ 661
3. Bredt R. Kritische Bemerkungen zur Drehungselastizitat. Zeitschnft des Vereines
deutscher Ingemeure, 1896, Bd 40, N29, ss. 813-817
4 Новожилов В.В Теория упругости. - Судиромгиз, 1958. - 370 с
5. Ломакин В А. Теория упругости неоднородных тел. - М: Изд-во Московского
университета, 1976. - 367 с.
Е. О КОНСЕРВАТИВНЫХ ВНЕШНИХ СИЛАХ
С понятием силы инженер сталкивается повсеместно и повседневно, при
этом далеко не всегда задумываясь как об источниках происхождения этой
силы, так и о ее поведении в процессе деформирования механической
системы. Конечно, в подавляющем большинстве случаев ошибок не
происходит, спасает интуиция, развивающаяся на основе аналогий и
предшествующего опыта.
Однако история строительной механики как науки содержит и
поучительные примеры, показывающие, что интуиция и аналогии могут
подвести. Вспомним ставшей уже классической задачу об устойчивости
консольного стержня, сжатого следящей силой. Ошибочный
первоначальный вывод об устойчивости такого стержня при любом
значении внешней силы был опровергнут только после того, когда было
замечено, что следящая сила не относится к классу консервативных нагрузок
и поэтому статический метод Эйлера в применении к этой задаче
становится, вообще говоря, незаконным [1].
С основополагающим понятием силы студент знакомится в университете
еще при изучении курса теоретической механики. При введении этого
понятия в курсе теоретической механики дается классификация различных
сил, встречающихся в природе. В частности, один из важных интересующих
нас в строительной механике признаков, по которому проводится
классификация сил, является их разделение на консервативные и
неконсервативные.
Обычно консервативные силы определяются как силы, которые могут
быть найдены из условия сохранения энергии, то есть как силы, обладающие
потенциалом. Уже само название этих сил опирается на представление об их
консервативном характере в механическим смысле, поскольку оно отчетливо
ассоциируется с отсутствием внешних источников или потребителей
энергии.
Далее, в том же курсе теоретической механики показывается, что работа
силы, обладающей потенциалом, при перемещении точки ее приложения из
одного положения в пространстве в другое положение не зависит от пути, по
которому происходит перемещение, а зависит исключительно от начального
и конечного положений материальной точки приложения силы.
Так вот, во многих курсах теоретической механики это последнее
свойство силы, обладающей потенциалом, принимается за само определение

662 ПРИЛОЖЕНИЯ
консервативности силы. При этом не полная эквивалентность указанных
двух определений не всегда отмечается. В самом деле, представим себе силу,
отличную от нулевой, работа которой между тем всегда равна нулю и значит
не зависит от пути. Понятно, что такая сила не обладает потенциалом. Силы
подобного типа существуют в природе, простейший пример дает
кориолисова сила. На это обстоятельство в очень четкой форме обращает
внимание Г. Циглер [2].
В классе консервативных сил может быть проведено дальнейшее
разделение на так называемые мертвые силы и прочие (не имеющие
специального названия) силы. Принято считать действующую на
механическую систему консервативную силу мертвой, если в процессе
деформирования этой системы материальная точка приложения этой силы
одна и та же и при этом сохраняются величина и направление действия силы
в пространстве. Иными словами консервативная сила относится к классу
мертвых сил, при выполнении двух условий:
• лагранжевы (материальные) координаты точки приложения силы не
изменяются в процессе деформирования системы;
• проекции силы на оси эйлеровой (пространственной) системы
координат сохраняются неизменными в процессе деформирования
Простейший и наиболее распространенный пример мертвых сил это сила
тяжести, то есть сила гравитационного происхождения.
Действие мертвых сил наиболее просто анализировать. Это связано с тем
обстоятельством, что работа мертвой силы записывается в простейшем виде
скалярного произведения вектора силы на вектор полного перемещения той
материальной точки, к которой приложена сила.
Е.1 Некоторые случаи поведения внешних сил
Рассмотрим поведение силы Р, приложенной к плоскому деформируемому
телу. Пусть эта сила приложена в некотором узле системы в ее
недеформированном состоянии. Под узлом здесь понимается материальное
тело исчезающее малых размеров, которое в отличие от материальной точки
наделяется не только двумя трансляционными степенями свободы, но и
дополнительно вращательной степенью свободы.
Представим себе, что в деформированном состоянии системы
рассматриваемый узел перешел в новое положение, получив перемещения и
и v, а также повернулся на угол 0 как это показано на рис. Е. 1.
Будем считать, что поведение силы Р зависит от перемещений
рассматриваемого узла и характеризуется следующими четырьмя
функциями
$ = $(и,М), Л = Л(и,М), Px = Px(u,v,Q), Py = Py(u,v,Q), (ЕЛ)

Е. О КОНСЕРВАТИВНЫХ ВНЕШНИХ СИЛАХ 663
где введенные параметры \ и л определяют геометрическое место
приложения силы в деформированном состоянии системы, а Рх и Ру
представляют собой проекции силы в деформированном состоянии системы
на соответствующие оси системы координат. На рис. Е. 1 новое
геометрическое положение силы Р и того материального узла, к которому
первоначально была приложена эта сила, показаны пунктиром.
К
Рис. ЕЛ. Поведение внешней силы в зависимости от перемещений
Очевидно, что согласно принятому выше определению сила Р может быть
отнесена к классу мертвых нагрузок тогда и только тогда, когда
л = V, Рх = 0, РУ = Р.
(Е.2)
Но нас будут интересовать сейчас более общие условия, которым должны
подчиняться функции в (Е.1) для того, чтобы силу Р можно было бы считать
консервативной силой. Ясно, что в случае (Е.2) эти условия должны быть
также соблюдены, поскольку мертвая сила есть частный случай
консервативной силы.
Подсчитаем приращение работы dk, производимой силой Р на
приращениях перемещений рассматриваемого узла. С этой целью мысленно
перенесем силу Р в узел, приложив там горизонтальную силу Р„
вертикальную силу Ру и момент М. Очевидно, что при таком переносе
M=Px(p-i\)-Py(u-Q,
так что интересующая нас работа может быть записана так
dA = Pxdu + Pydv + MdQ .
(Е.З)
(Е.4)
По определению сила Р консервативна, если приращение работы силы dk
является полным дифференциалом. Но из математического анализа
известно, что для того, чтобы дифференциальное выражение (Е.4) было
полным дифференциалом, необходимо и достаточно, чтобы функции Рх, Ру
и М трех переменных и, V, 0 удовлетворяли условиям

664 ПРИЛОЖЕНИЯ
дР^_Я\_ 8Р^_Ш дМ _ 8РХ
8v~ ди ' ее ~ 8v ' ди ~ ае '
Подставим сюда выражение для момента Мпо (Е.З). В результате приходим
к следующим трем аналитическим условиям консервативности силы Р
ди ди
дРу др*г ч п(, дгЛ
дР с
-^(u-Q + P-,
ди ди ди \ ди)
(Е.5)
В качестве примера приведем некоторые варианты передачи нагрузки на
консольный стержень, показанные на рис. Е.2.
Рис. Е.2. Различные случаи нагружения консоли
Выполним формальный анализ этих случаев передачи силового
воздействия, опираясь на аналитический критерий (Е.5).
Случай а соответствует мертвой силе Р, которая с очевидностью
консервативна, поскольку функции (Е.2) удовлетворяют сформулированным
условиям.
Вариант Ъ отвечает поведению нагрузки, всегда направленной в
фиксированную точку пространства. Этот случай силового воздействия

Е. О КОНСЕРВАТИВНЫХ ВНЕШНИХ СИЛАХ 665
может быть реализован посредством груза, передающего свой вес на
верхний конец стойки с помощью перекинутого через идеальные блоки
троса. На механическом уровне сразу же понятно, что в этом случае мы
имеем дело с консервативной силой. На формальном математическом уровне
интересующие нас функции вида (ЕЛ) запишутся так
\= и, y\ = v, Px=-Ps\ny, Py=Pcos(f>, (Е.6)
где
tgq>=-^-. (Е.7)
h-v
Непосредственно видно, что второе и третье требование по (Е.5)
выполняются. Далее дифференцированием (Е.7) раздельно по и и по в
получаем
1 Зф _ 1 1 9ф _ и
cos2 ф ди h-v cos2 ф dv (h-v)2
и, следовательно,
дРх „ 9ф „ИСОв'ф „8«1фС082ф
—- = -Рсовф—- = -Р ¦%¦ = -Р— ,
до dv (h-v)2 h-v
dPv „ . 5ф nSinmCOS2ffi
—y- = -Psin ф—- = -P - .
ди ди h-v
Таким образом, первое из условий в (С.5) также выполняется.
В варианте нагрузки по схеме с (этот случай силового воздействия
известен как задача Реута) сила всегда направлена вдоль первоначальной
вертикальной оси. Физическую реализацию такой силы можно представить
себе как результат давления струи жидкости или газа, пространственным
отклонением которой при деформациях стержня можно пренебречь.
Поведение силы определяется функциями
§ = 0, ц= v-utg0, Рх = 0 , Ру = Р . (Е.8)
Легко проверить, что первое и второе требование по (Е.5) выполняются.
Однако третье из соотношений там же приводится к виду 0 = 1 и значит, не
выполняется. Вывод: рассматриваемая сила не консервативна.
Случай d отличен от предыдущего тем, что здесь сила передается на
стойку через жесткий скользящий в обойме диск, который свои острием
соприкасается с жесткой рамкой на верхнем конце стойки. Предполагается,
что острие диска может свободно скользить вдоль линии рамки, что
допустимо только при отсутствии трения между рамкой и острием диска.
Это означает, что фактически действующая на стержень через рамку сила
всегда ортогональна линии рамки, поворот которой совпадает с поворотом
верхнего сечения стойки. Очевидно, что в данном случае
^=0, ц= v-utg0, Рх = -Ptg0 , Ру = Р . (Е.9)

666 ПРИЛОЖЕНИЯ
Непосредственной подстановкой легко проверяется, что все три требования
по (Е.5) оказываются выполненными. Сила консервативна.
Вариант е известен как случай следящей силы (задача Бека). Поведение
силы описывается следующими функциями
§=и, ц= v, Px=-PsmQ , Py=PcosQ. (Е.10)
Проверка показывает, что первое и третье из условий консервативности
силы по (Е.5) удовлетворяются, однако нарушается второе требование по
(Е.5). Сила не консервативна.
В схеме по варианту / сила приложена всегда в низшей точке чашки
радиуса г, жестко прикрепленной к концу стойки. Поведение силы Р
описывается уравнениями
5= K + rsinG, Ti = v + К1 - cosG), ^ = 0, РУ = Р. (Е.11)
Проверка условий (Е.5) показывает, что они выполняются. Действующая
сила консервативна.
Конечно, в рассмотренных схемах поведения нагрузки проверка
консервативности действующих внешних сил может быть проведена и более
простыми средствами, на основании соображений механики. В то же время
рассмотренный здесь способ обладает как общностью, так и аналитической
убедительностью.
Е.2 О гидростатической нагрузке
Некоторые особенности анализа возникают при нагрузке, действующей
всегда по направлению нормали к ограничивающей тело поверхности, в том
числе остающейся нормальной и к деформированной поверхности. Такая
нагрузка обычно называется гидростатической. В том случае, когда такую
нагрузку можно на самом деле реализовать давлением покоящейся
жидкости, то она, разумеется, является консервативной. Менее известно,
однако, что существуют случаи, когда такое поведение нагрузки переводит
ее в класс неконсервативных сил и, следовательно, она не может быть
реализована как результат давления покоящейся жидкости. На это
обстоятельство указано В.В. Болотиным [1].
Действительно, рассмотрим плоский криволинейный стержень,
нагруженный равномерным давлением q, направленным по нормали к оси
стержня в деформированном его состоянии. Элемент длины дуги стержня
равен ds до деформации, и равен (1 + Bo)ds после деформации, где s<> -
относительная продольная деформация на уровне оси стержня. Но тогда
вектор распределенной нагрузки после деформации стержня с точностью до
линейных членов может быть записан так
,=М=Г * 1UMI (Е.12)
|Ы| b*inej| \Ш\
где 0 - угол поворота поперечного сечения стержня.

Е. О КОНСЕРВАТИВНЫХ ВНЕШНИХ СИЛАХ 667
Обращаясь к формулам, записанным в таблице 4.1, получаем, что вне
зависимости от порядка малости кривизны оси стержня справедливы
следующие общие формулы
Bo = v'+kw , Q = -w'+kv. (Е.13)
Здесь мы воспользовались обозначениями главы 4, согласно которым v - это
тангенциальное перемещение оси стержня, w - нормальное перемещение
оси стержня, к- начальная кривизна оси стержня.
Теперь имеем возможность записать выражение для приращения работы
внешних сил 8А на возможных вариациях перемещений bw и 8v, что с
точностью до линейных членов по перемещениям дает
8А =
= qf2[(l + s0 )8и? + 08i>] ds = qf2[(l + v' + kw)8w + (-и/ + kv)8v] ds. (E. 14)
Здесь через si и 52 обозначены дуговые координаты границы того участка
оси стержня, к которому приложена нагрузка.
Воспользовавшись правилом интегрирования по частям
Г v'bwds = \v8w\ г - Г vbw'ds ,
представим формулу (Е.14) в виде
SA^f [sL+— l-8(i>u/) + sf—lL + [t>8u;]|;2. (E.15)
И теперь видно, что при равенстве нулю внеинтегрального члена
приращение работы 8А представляет собой вариацию потенциала
Л f kw2 , kv2\,
q\ \w + vw + \ds
4 I 2 2 )
и значит нагрузка консервативна.
Как видим, ключевую роль при отнесении гидростатической нагрузки к
классу консервативных сил играют краевые условия при s = si и s = S2- Если
на каждом из концов участка нагружения криволинейного стержня
обращается в нуль либо нормальное перемещение w, либо тангенциальное
перемещение v, то нагрузка оказывается консервативной, так как именно в
этих условиях указанный выше внеинтегральный член пропадает. В случае
же свободной кромки хотя бы на одном из концов участка нагружения
стержня, гидростатическая нагрузка, вообще говоря, теряет свойство
консервативности. Понятно, что в этом случае она и не может быть
реализована как результат давления покоящейся жидкости.

668 ПРИЛОЖЕНИЯ
Литература
1. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости - М.:
Физматгиз, 1961. - 339 с.
2. Циглер Г. Основы теории устойчивости конструкций. - М : Мир, 1971. - 192 с.
F. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
При рассмотрении задач строительной механики во многих случаях
приходится обращаться к выводу различных формул в криволинейных
координатах. Несмотря на то, что общие вопросы использования
криволинейных координат в прикладных задачах механики твердого
деформируемого тела освещены с достаточной степенью подробности во
многих известных руководствах6, для удобства читателя имеет смысл
привести здесь вкратце те соотношения линейной теории упругости,
связанные с криволинейными координатами, которые используются в
основном тексте книги.
Пусть (А^ДгДз) правоориентированная декартова система координат, с
началом координат в некоторой точке О. В дальнейшем эту систему
координат будем именовать глобальной координатной системой.
Положение произвольной точки М = М(;с,,х2,х:3) определяется в пространстве
трех измерений тремя скалярными параметрами х^г^ъ- Эти скалярные
параметры представляют собой компоненты трехмерного вектора М,
проведенного из точки О в интересующую нас точку М. Иначе говоря,
M=xlil+x2i2+x3i3, (F.1)
где i'i , /г, 1*з - векторы единичной длины, сонаправленные с
соответствующими осями глобальной координатной системы. Эти
единичные векторы называют также базисными ортами осей Х\&&.
Во многих прикладных задачах механики твердого деформируемого тела
оказывается удобным отступить от описания положения точек среды в
декартовых координатах и перейти к более общему способу введения
координатной системы, основанному на понятии криволинейной системы
координат.
Введем три независимых параметра ai,a2,a3 так, что между тремя
декартовыми координатами х^2^з и тремя параметрами ai,a2,a3 может быть
установлено взаимно однозначное соответствие, определяемое
функциональными зависимостями
х,=л:,(а,,а2,а3), х2 = x2(ai,a2,a3), х3 =*з(аьа2,а3), (F.2)
или в обращенном виде
6 См., например, [1], [2], [3].

F. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ 669
ai = ai(xi^c2^), a2 = a2(jc1^2^3), a3 = а3(л,лл). (F.3)
Как известно из курса математического анализа, для того, чтобы
соотношения (F.2) были разрешимы относительно ai,a2,a3, то есть, чтобы
из (F.2) можно было получить формулы (F.3), необходимо и достаточно,
чтобы определитель J матрицы Якоби J для преобразования (F.2), иногда
именуемый якобианом,
ас,
ах,
дх2
da,
8х3
da,
дхх
да2
дх2
ах7
8хг
да2
ас,
ах,
8х2
да,
8хг
да,
был отличен от нуля. Вместе с якобианом преобразования (F.2) отличен от
нуля и якобиан Г1 обратного преобразования (F.3), равный
»i . _i S(a,,a,,a,) п
Г1 = det J"1 =¦¦ v " 2 ъ) * 0.
д(х1,х2,х})
Может случиться так, что рассматриваемые преобразования взаимно
однозначны не на всем трехмерном пространстве R3, а только в некоторой
ограниченной области Q с R3. Тогда преобразования (F.2) и (F.3) будем
распространять не на все пространство, а только на область Q, в которой
будет гарантироваться взаимно однозначное соответствие между
координатамих^2& и тремя параметрами ai,a2,a3.
Кроме указанного ограничения на область определения будем считать
также, что функции (F.2) и (F.3) являются достаточно гладкими. Точнее
говоря, потребуем, чтобы в области Q эти функции, по крайней мере, были
дважды непрерывно дифференцируемы.
Если в (F.2) положить ai = Const, то эти формулы будут определять в
трехмерном пространстве некоторую поверхность, которую обычно
называют координатной поверхностью. Аналогично определяются два
других семейства координатных поверхностей, а именно a2 = Const и
а3 = Const. Мы говорим о семействах поверхностей, поскольку каждой
координатной поверхности одного семейства соответствует свое значение
константы. Пересечение двух координатных поверхностей (скажем,
a2 = Const и а3 = Const) образует пространственную кривую, которую
д{х„х2,хъ) _
да,
а*,
да?
а*,
da,
ас,
5а,
дх2
да?
дх2
да,
дх7
да,
дхг
да2
дх,
да,
ас,

670 ПРИЛОЖЕНИЯ
принято называть координатной линией аь Аналогично определяются
координатные линии а2 и а3.
В силу однозначности функций (F.2) и (F.3) через каждую точку М
области Q проходит точно по одному представителю от каждого из трех
семейств координатных поверхностей. Это на образном геометрическом
уровне подчеркивает, что положение точки М однозначно определяется
тремя введенными параметрами аьа2,аз. Упомянутый ранее вектор
М может рассматриваться теперь и как векторная функция от а,,а2,а3
М = М(аьа2,а3). (F.4)
Совокупность параметров аьа2,а3, удовлетворяющую всем сформу-
лированным выше требованиям, назовем криволинейной координатной
системой.
Введем в рассмотрение единичные векторы et, е2, е3, касательные к
координатным линиям в точке М и направленные в сторону возрастания
переменных aba2,a3 (рис. F.1). Тройку единичных векторов еие2,ез
называют также локальным базисом или координатным базисом или
подвижным репером. Последнее название инициировано тем
обстоятельством, что направление векторов локального базиса изменяется
вместе с изменение пространственного положения точки М, где этот базис и
определяется.
Рис. F.I. Криволинейные координаты и локальный базис
Возьмем частную производную от векторной функции M(aba2,a3) по ai
при фиксированных значениях параметров а2 и а3. Но при фиксации этих
двух параметров и при изменении только ai вектор М будет скользить вдоль
координатной линии аь и значит, частная производная дМ/8а\ будет

F. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ 671
(F.6)
направлена вдоль касательной к координатной линии а, в сторону
возрастания координаты ai7. Это означает, что
— = Нхех, (F.5)
9а,
где Н\ - длина вектора дМ1да\.
HoBcmry(F.l)
дМ _ 9х, . ,дх2 дхг
9а, 9а, 9а, 9а,
следовательно, домножая скалярно на себя обе части равенства (F.5),
получим
Аналогичные формулы могут быть получены при рассмотрении частных
производных от М по а2 и по а3. Итак, имеем
дМ
е> = —~—
Я,9а,
1учены при
леем
*-?H*H?J- v=w% <R7)
В теории криволинейных координат введенные выше параметры Яь Н2,
Я3 называются параметрами Ламе, которые играют важнейшую роль во
всей теории криволинейных координат.
Вспоминая структуру матрицы Якоби прямого преобразования (F.2),
замечаем, что квадрат i - ого параметра Ламе равен сумме квадратов от
элементов г - ого столбца матрицы J.
Далее, если координате ai придать приращение dau а остальные
криволинейные координаты точки М не менять, то конец вектора М
переместится вдоль координатной линии ai на длину dsi, причем
, |9М|, „ ,
|9a, |
Отсюда вытекает простой геометрический смысл параметров Ламе. А
именно, каждый из параметров Я, представляет собой отношение
приращения длины дуги ds, координатной линии а, к соответствующему
приращению криволинейной координаты da,.
F.1 Ортогональные криволинейные координаты
Наиболее простые формулы получаются при использовании ортогональных
криволинейных координат, рассмотрением которых мы здесь и ограничимся.
7 В векторном анализе говорят, что координатная линия а, является годографом
вектора М при фиксированных значениях а2 и а3.

672 ПРИЛОЖЕНИЯ
Система координат называется ортогональной, если ее координатные
линии пересекаются под прямыми углами. Это означает, что единичные
векторы е\,е2, еъ взаимно ортогональны, и значит, могут быть названы
ортами. В векторной форме условия ортогональности запишутся в виде
равенства нулю скалярных произведений двух разноименных ортов
е, ¦ ej = 8V,
где 8,7 - символ Кронекера. Опираясь на (F.5) и (F.6), находим, что в
координатной форме условие ортогональности е, и е} (при i *j) принимает
вид
ах^+а^^+а^ = о. (f.8)
5а, да} да, да} да, да}
Иначе говоря, сумма попарных произведений элементов двух различных
столбцов матрицы Якоби для ортогональной криволинейной системы
координат равняется нулю.
Для определенности в дальнейшем будем считать, что тройка ортов
ех, е2, ег является правоориентированной, то есть
<?з = <?i х ег.
Последнее требование не является ограничением на функции в (F.2) и (F.3),
так как в случае левой ориентации локального базиса нужно всего лишь
изменить последовательность нумерации криволинейных координат или же
изменить знак у одного из параметров аьа2,аз.
Уже указывалось, что, хотя длины ортов локального базиса всегда равны
единице, но направление этих векторов меняется при изменении
пространственного положения точки М. Следовательно, орты локального
базиса являются векторными функциями криволинейных координат
<?i = <?1(аьа2,аз), е2 = <?2(аьа2,а3), <?з = <?з(аьа2,аз). (F-9)
Интересуясь "скоростями" изменений локального базиса при изменении
криволинейных координат точки М, приходим к необходимости
дифференцирования этих векторных функций.
Производная от векторной функции по скалярному аргументу снова
является вектором, который в свою очередь может быть представлен своим
разложением в локальном базисе. Возьмем, например, вектор в\ и разложим
производные этого вектора по осям локального базиса, положив
де.
—- = а. .е. + а,0е0 + а,,е%,
дах
де.
—- = а0.е, + а„е7 + а7,е,,
да2
де,
—}- = аъ.е. + ai2e2 + а„еъ. (F.10)
даъ

* F. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ 673
Нашей задачей сейчас является определение 9 коэффициентов ач этих
разложений. Точнее говоря, мы хотели бы выразить эти коэффициенты через
введенные ранее параметры Ламе. С этой целью продифференцируем обе
части равенства ех • в\ = 1 по а„ что дает
1^-^ = 0 (/=1,2,3). (F.11)
За,
Следовательно, производная от базисного вектора по криволинейной
координате ортогональна этому базисному вектору. Домножая скалярно
каждое из равенств в (F.10) на вектор ех и учитывая ортогональность
векторов по (F.11), немедленно получим, что
ап = а1х = ап = 0 . (F.12)
Если продифференцировать равенство е\- ег = 0 по аь справедливое в силу
ортогональности базисных векторов, то получим
—- ¦ е2 + —- • е\ = 0,
За, За,
или с учетом (F.7) и (F.10)
Воспользуемся цепочкой преобразований
д ( ЗМ "[_ д ( 1 ^ЗМ 1 32М
За, [Я23а2 J За, {н2)За2 + Я2 За,3а2
1 8Н2 1 3(Я,<?,)_ \_дН± HxEfl. Х аЯ'
Я2 За, *2 + Я2 За2 Я2 За, *2 + Я2 За2 + Я2 За2 *''
Домножим скалярно это равенство на вектор в\ и учтем, что в силу (F.11)
вектор 3tfi/3a2 ортогонален вектору ех. В результате имеем
з ( зм у 1 эя.
За, [я23а2; ^ Я23а2 '
После подстановки этого вьфажения в (F.13) получим вьфажение для
коэффициента ai2 через параметры Ламе
1 дН,
Я2 За2
Точно так же находим, что
1 дН, 1 ЗЯ, n ft 1 дНъ
ап = —— ——, «22 = — -т— , «23 = 0, a32 = 0, а33=— —-.
Я3 За3 Я, За, Я, За,
В результате соотношения (F.10) можно записать в окончательном виде

674 ПРИЛОЖЕНИЯ
Гае,"
5а,
дех
5а2
file,
[5а3 J
=
0
0
0
1 a#,
Н2да2
1 дН2
Я, 5а,
1 ая,"
Я3 5а3
0
1 дН3
Я, 5а,
«2
|L*3 J
Формулы для дифференцирования других двух векторов локального
базиса получаются аналогичным образом. Но эти формулы можно выписать
и сразу, воспользовавшись циклической перестановкой индексов в (F.14-1).
Приведем эти формулы для вектора е2
\де7~
8а,
де7
\да7
де7
[да3_
и для вектора е3
1 дН,
Н28а2
1 дН2
Я, 5а,
0
1 дН,
Я3 5а3
0
1 дНъ
Я, 5а,
0
0
0
1
Я
1
Н
0
1 дН2
Я3 5а3
1 дНъ
Н28а2
0 (
.Ёк (
5а3
2 5а2
Формулы (F.14) позволяют установить правила дифференцирования
произвольной векторной функции V = У(аьа2,аз), поскольку вектор V
может быть представлен своим разложением по осям локального базиса
F.2 Дифференцирование по криволинейным координатам
Пусть в области Q, на которой определены преобразования координат (F.2) и
(F.3), задана некоторая скалярная функция от точек области, скажем
функция w= w(x\jc2&)- Нас будет интересовать сейчас возможность
представления производной дш/х, через производные этой же функции в
ортогональной криволинейной системе координат, то есть через дш/даи

F. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ 675
dw/da.2, dw/даз и косинусы углов взаимной ориентации глобального и
локального базисов.
Введем в рассмотрение матрицу Л, составленную из направляющих
косинусов осей локального базиса по отношению к осям глобального базиса,
то есть
(F.16)
Знание матрицы Л позволяет записать разложение ортов глобального базиса
по осям локального базиса
I, = Хпе1 + Хпе2 + \ъеъ,
h =Х2А+^22е2+КзеЗ'
/3 = ХЪ1ех + Хъ2е2 + Хъъеъ.
Поскольку локальный базис является подвижным, то компоненты матрицы
Л будут различными для различных точек области Q.
На основании правил дифференцирования сложных функций имеем
dw дш да, дш да2 дш да,
= '- + *- + i
cbc, да{ дх, да2 дх, даъ дх,
Поэтому все, что нам потребуется, это установить зависимость между
производными dajdxj и введенными выше направляющими косинусами Хг
Обращаясь к формуле (F.6), домножим скалярно обе ее части на вектор /„
что дает
ВЫ ._ дх,
дах ' 5а,
Но, согласно формуле (F.7) 8М/да1= Нхе\, так что отсюда и из (F.15)
получаем
ас, ,
5а,"
Понятно, что эта формула справедлива не только для элементов первого
столбца матрицы Якоби, но и для двух других столбцов. Для этого нужно
только в этой формуле заменить индекс 1 на индекс 2 или 3. Итак,
справедливы три формулы
= НхХй
^L = HlXll, ^ = Н2Ха, ^
5а, да2 даъ
Если отталкиваться от представления вектора М через его компоненты в
глобальном базисе -
= Н2Ха, ^ = Н3Х,3 (г = 1,2,3). (F.17)
тора М
1. формулу (F.1), то получим

676 ПРИЛОЖЕНИЯ
cbc, '
Но формулу для производной dM/dXi можно расписать и так
. дМ 5М5а, дМ8а2 дМ 8а3 „ да. тт да, тт даъ
ii= = L + - + - = Нхех—L + H2e2—- + Нъеъ—- .
fie, 5а, fie, да2 их, даъ fie, дхх дхх дхх
Домножая скалярно обе части этого равенства на ер получим выражение для
производной dajdx\ . Окончательно имеем следующие формулы
5а, Я., да, Я,, 5а, Я,,
^=тг> т^=1Г' 1г=1г (/-=1,2,3), а о. (F.18)
cbc, HJ дх2 Н] дхъ Н]
Возвращаясь к формуле (F.16), перепишем теперь ее в виде
дш _ Я,,, дш Я^ дш Я^ dw
^1~1Гх^ах+1Г2'да2+1Гъ'даъ'
Формула (F.19) позволяет представить производные от скалярной функции
w по глобальным координатам через производные той же функции по
локальным координатам, если известны параметры Ламе и матрица
направляющих косинусов Л.
Вместе с формулой (F.19) полезно также выписать и обратную ей
формулу, позволяющую осуществлять переход от дифференцирования по
глобальным координатам к дифференцированию по локальным
координатам. Имеем
dw dw дх. dw etc, dw дх%
да, дхх да, дх2 да, дхъ да,
= КН^ + КН,^ + КН,^ (Л). (F.20)
cbc, дх2 дхъ
Формулам (F.19) и (F.20) можно придать обычный тензорный вид. С этой
целью удобно ввести обозначения р1' и q'J для элементов матрицы Якоби
прямого (F.2) J = \\рУ]\ и обратного (F.3) J"1 = \[qiJ]\ преобразований, положив
по определению
дх да Я
р -dtr*"1 Ql)' 9 ъ'ъ (/,) (R21)
С помощью введенных тензоров формулы (F.19) и (F.20) принимают вид,
удобный для проведения тензорно индексных преобразований
дш „ дш dw ,. dw
Т = * Т~' т~ = р тг- (F-22)
дх, да} да, дх}
В некоторых задачах требуется также иметь возможность преобразования
не только первых, но и вторых производных от той же функции. На
основании формул (F.22) имеем

F. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ 677
*??) (R23)
dip*—]
dw = { Ъ) = &_дш+рь „±у_ш (F24)
SaySa, da.j да} дхк дх,дхк
Для применения этих формул в конкретных задачах нужно
предварительно получить выражения для компонент тензоров {pij} и {q°}, а
также их производных в криволинейных координатах аьа2,аз.
F.3 Формулы для компонент деформации в криволинейной
ортогональной системе координат
Рассмотрим деформацию трехмерного тела, положение которого в
пространстве отнесено к ортогональной криволинейной системе координат
ai,a2,a3. Выясним положение избранной точки М в деформированном
состоянии тела. Пусть эта точка получила в результате деформации тела
перемещение и. Отнесем вектор перемещений и точки М к локальному
базису
и = щв\ + и2е2 + щеъ. (F.25)
В деформированном состоянии тела положение точки М в пространстве
определится вектором М + и. Пусть через точку М проходит координатная
линия ai. На этой линии возьмем соседнюю с точкой М точку N, имеющую
криволинейные координаты {а\+с1а\,щ,аъ). Расстояние вдоль указанной
координатной линии между точками М и N до деформации тела равняется
rfsi =Hida\. В деформированном состоянии положение этих двух точек в
пространстве будет определяться векторами М' и N', при этом
M' = M + u, N' = N + u + du.
Поскольку вектор перемещений для точки N получает приращение du
только за счет приращения координаты аь то будем иметь
л. д» А
cm = ащ.
5а,
Учитывая правила дифференцирования базисных ортов по (F.14), после
соответствующих подстановок получаем

678 ПРИЛОЖЕНИЯ
du = \ —- + —
[5а, Н2
[5а, Н2
дН, 1 дН,
—-и2 + -I
да2 2 Я, 5а3
дН, } , (ди3 1 дН.
—-и. \e2dax +\— -I
да2 'J 2 ' [5а, Я3 5а3
Как это видно из формулы (F.26), расстояние между рассматриваемыми
точками в направлении координаты оц увеличилось в результате
деформации тела на величину
[да, + Н2 да2 "2 + Я3 5а3 "3 J 0|'
Относя это удлинение к первоначальной длине ds\ =Hidau определим (в
рамках линейной теории деформаций) относительное удлинение еи в
направлении координаты он
1 ди, 1 8НХ 1 8НХ ,„0_ч
ЕИ = 1- + LM + LM . (F.27)
Я, 5а, НХН2 да2 2 НХНЪ 5а3
Исходя из той же формулы (F.26), найдем проекцию угла у'!,' между
направлениями координатных линий а] в деформированном и
недеформированом состояниях на плоскость, образуемую векторами е\ и ег.
Считая углы малыми и отождествляя тангенс искомого угла с самим углом,
получим
(1) \(ди2 1 дНх Л, I , 1 8и2 1 8НХ
12 [[5а, Я2 5а2 'J 'J v ' " Я, 5а, НХН2 да2 '
По аналогии запишем также выражение для проекции на ту же плоскость
{еиег) угла у22) между направлениями координатных линий а2 в
деформированном и недеформированном состояниях
(2) 1 dll| 1 ^Я,
у,/= ! -и, .
21 Я2 5а2 НХН2 5а, 2
Просуммировав углы у{2> и у22), найдем полный угол сдвига у12 между
координатными линиями а] и а2, что после некоторых преобразований дает
У12:
,!LlJb-\!LJj*\ (F.28)
Я, 5а,[я2; Я25а2[Я,;
Имея формулы (F.27) и (F.28) для удлинений в направлении aj и углов
сдвига между координатными линиями а.\ и а2, легко получить циклической
перестановкой индексов остальные формулы для деформаций удлинения и
сдвиговых деформаций. Выпишем для справок все эти формулы

F. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ 679
= _L.^L 1 Щ 1 дЩ
Н{ да1 + НХН2 да2 "2 + #,#., да3 Щ'
- _Li^L 1 дНг 1 дН2
Нг даг Н2НЪ даъ Щ Н2НХ да, "1'
- J_^fL 1 8Н3 1 дНъ
Нъ даъ Н,НЪ да, "' + НЪН2 даг "2'
Нхда\Н2) H2da2{Hj
= Яз 8 ( "з 1 , Нх д ( и А
Уз1 Н^даХн.у Н1да\н,у
= #2 Э Г »2 V НЪ д ( Щ Л
Ъг Нъ да, [н2)+ Н2 да2 [нз) '
(F.29)
F.4 Криволинейные координаты на плоскости, ассоциированные
с плоской кривой
Один частный случай ортогональной криволинейной системы координат,
определенной на плоскости, представляет особый интерес.
Пусть на плоскости (Х,У) определена некоторая достаточно гладкая
кривая Г8. Уравнение этой кривой может быть задано различными
способами, например, в параметрическом виде
х=Щ), y=Y{s). (F.30)
Ограничение интервала изменения параметра, скажем
s е [ОД,
устанавливает участок кривой Г, допускаемый к рассмотрению9. Конечно,
параметру s может быть придан различный смысл. Нам, однако, будет
удобно отождествлять значение этого параметра с геометрической длиной
кривой Г, отсчитываемой от начальной (нулевой) точки до рассматриваемой
точки М(я), принадлежащей данной кривой. В качестве начальной точки на
кривой примем точку плоскости М0, имеющую глобальные координаты
8 Откажемся здесь от индексации глобальной декартовой системы координат,
перейдя к традиционному обозначению системы осей X,Y с ортами ix и iy Кроме
того, будем мысленно дополнять двумерную систему координат (X,Y) до
трехмерной (X,Y,Z) так, чтобы эта тройка декартовых осей была
правоориентированной.
9 Не исключено, что кривая Г представляет собой замкнутую кривую В этом случае
под L понимается полная длина этой замкнутой кривой
23-818

680 ПРИЛОЖЕНИЯ
ДО), F(0). Примем соглашение о том, что возрастанию параметра s от нуля
до L соответствует положительное направление движения вдоль кривой Г.
Параметр s можно рассматривать теперь как (единственную) координату,
однозначно определяющую положение текущей точки М на кривой Г. В этой
связи параметр s будем именовать дуговой координатой.
В каждой точке M(s) кривая Г характеризуется также кривизной к, то есть
величиной, обратной радиусу кривизны р = \1к кривой Г в рассматриваемой
точке M(s).
Пусть вектор t единичной длины направлен по касательной к кривой Г.
Положительное направление этого вектора выберем так, чтобы оно
совпадало с положительным направлением движения вдоль кривой Г, то
есть соответствовало бы возрастанию параметра s. Определим теперь вектор
я так, чтобы он удовлетворял совокупности требований
я я=1, nt=0, nxt=ixxiy. (F.31)
Понятно, что единичный вектор я, сонаправленный с нормалью к кривой
Г, однозначно определяется этими требованиями. Теперь имеем
возможность определить правило знаков для кривизны к. А именно, будем
считать кривизну к положительной, если вектор, идущий из центра
кривизны до рассматриваемой точки М на кривой Г, сонаправлен с местным
ортом я, восстановленным в точке М.
Упорядоченную пару векторов (я, t) будем называть местным базисом,
ассоциированным с кривой Г. Взаимная ориентация местного базиса по
отношению к глобальному базису устанавливается с помощью соотношений
я = nxix + Пу1у, t = tjx + tyiy , (F.32)
или
i, = nxit + txt, iy = nyn + tyt. (F.33)
Здесь nx,Пу - направляющие косинусы нормали я; tx,ty - направляющие
косинусы орта t.
Рис. F.2. Местный базис на кривой Г
Заметим сразу же, что, как это видно из рис. F.2, компоненты векторов л и
t в системе координат (X,Y) равны соответственно
пх = cos ф, Пу = sin ф, tx = - sin ф, ty = cos ф,

F. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ 681
к = -пу, t, = nx. (F.34)
Здесь ф - это угол между осью X и нормалью я, положительный при
повороте оси X вокруг оси Z до совмещения с осью я в направлении по
часовой стрелке, если смотреть вдоль положительного направления оси Z.
Введем в рассмотрение тензор второго ранга to, который мы назовем
тензором вращения, с компонентами со'у, определяемыми следующими
правилами
0, ifi = j
-1, ifi = \andj = 2, (F.35)
1, if i = 2 and j = 1
в матричной форме
(F.36)
С помощью матрицы вращения со связь между ортами я и t, определяемая
формулами (F.34), записывается в виде
¦V 1IIMI
Ь °ЛЫ|
или t = (ЯП,
причем матрица обратная к со совпадает с транспонированной матрицей со ,
которая в свою очередь совпадает с матрицей -to, то есть
to"1 = сэт = -to, и значит я = -tof. (F.38)
При манипуляциях с тензорами более удобной может оказаться
индексная форма записи этих же соотношений
tt = ю»Иу = -соу,и,, и, = -со'7/', = соу'?у, (F.39)
которая также используется в подходящих местах основного текста книги.
Так как геометрически вектор t образуется из вектора я простым
поворотом последнего на угол л/2, то отсюда и проистекает название
матрицы (или тензора) вращения.
Восстановим нормаль я к кривой Г в точке M(s) е Г, и на этой нормали
рассмотрим некоторую точку N, имеющую в местном базисе координаты
(n,s). Параметр п, имеющий смысл расстояния между точками М и N, будем
называть нормальной координатой точки N. Нормальная координата п
считается положительной, если вектор MN сонаправлен с вектором я
(рис. F.3).
Пусть точка N имеет глобальные координаты {х,у). Между этими
координатами устанавливается следующая связь (рис. F.3)
x = X(s) + nnx, y=Y(s) + nny.

682 ПРИЛОЖЕНИЯ
Нормальную п и дуговую s координаты можно принять в качестве
ортогональных криволинейных координат oti и а2 соответственно в
некоторой области Q в окрестности кривой Г, в которой якобиан J
преобразования
х = Х(а2) + а.\пх(а2), у = Y(a2) + а{пу(а2)
отличен от нуля
(F40)
дх
да,
ду
да,
дх
да2
ду
да,
\[пх Х' + пп
[и, Y'+nn'y
Здесь штрихом помечено дифференцирование по дуговой координате s.
0
s)\
Y
X(s)
У
X
N
/п
V/
Рис. F.3. Ортогональные криволинейные координаты,
ассоциированные с кривой Г
Оставив временно выяснение формальных требований, при которых
Якобиан J по (F.41) отличен от нуля, заметим лишь, что для достаточно
гладкой кривой Г всегда найдется такая окрестность этой кривой, в которой
соответствие между декартовыми координатами точек этой окрестности и
введенными выше криволинейными координатами аьа2 будет взаимно
однозначным. Именно для этой окрестности кривой Г и считаются
заданными преобразования (F 41)
Совокупность параметров ai,a2 уместно именовать ортогональными
криволинейными координатами, ассоциированными с кривой Г.
Легко заметить, что в этой системе координат параметры Ламе будут
равны соответственно Н\ = 1, //2 = 1+кп. В самом деле, при перемещении
вдоль нормали cfcti =dn = dsu следовательно, Нх = 1. Но элемент длины дуги
ds2 вдоль координатной линии а2 (при oti = п = Const) равен
ds2--
-da2 = (l+kn)da2,

F. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ 683
где р = \1к — радиус кривизны кривой Г в точке с локальными координатами
(0,s)10. Эта длина элемента дуги равняется ds только при oti = п = О, то есть
непосредственно на кривой Г. Итак,
#1 = 1, Н2=1+кп. (F.42)
Легко заметить, что в принятых обозначениях
^-11 = ^-хп = пх > ^-21 = ^-уп = пу > ^-12 = 'Kxs = ?х > ^-22 = ^-ys = ty >
следовательно, на основании (F.21) и с учетом (F.42)
J = l№
|Гих гх(1 + .
=i[?,;]i=
Между прочим, из этих формул немедленно следует простое вьфажение для
Якобиана J, а именно,
J = (nxty-nytx)(l+kn).
Но в силу (F.34) nx ty- ny tx= пх пх + пу ny= \. Отсюда видно, что Якобиан J
отличен от нуля для тех значений нормальной координаты п, при которых
1+Ьг^О.
Рассмотрим теперь формулы (F.22) для взаимных переходов к
дифференцированию по криволинейным координатам и по исходным
декартовым координатам. В нашем случае первая из этих формул
перепишется так
dw
ду
да.
, dw
да.
* дп 1 + кп ds '
у дп \ + кп ds
(F.44)
Если обратиться к формулам для первых производных непосредственно для
точек кривой Г (а именно, этот случай и представляет наибольший интерес),
то в формулах (F.44) следует положить п = 0 . В результате для точек кривой
Г будем иметь
dw dw dw dw dw dw ~ .~
— =nx— + tx —, —= n — + / —. (F.45)
dx dn ds dy dn ds
Обращаясь теперь ко второй из формул в (F.22), получим в нашем случае
10 Кривизну к= 1/р считаем положительной, е
вектором п (рис. F.2).
[ вектор ОмМ сонаправлен с

684 ПРИЛОЖЕНИЯ
dw ,, dw „ dw
— = p — + p =
ds Эх, 8x2
x dx y dy
(1 + b),
(F.47)
так что непосредственно на кривой Г имеем
dw dw dw dw dw dw
=Пх + "y > ~tx + ty •
dn dx dy ds dx dy
Если ввести в рассмотрение еще одну матрицу вращения, которую мы
обозначим как юф и которая осуществляет поворот вектора не на угол тс/2, а
на угол ф (см. рис. F.2),
Юф' = Юф. (F48)
то линейную связь между операторами дифференцирования на кривой Г в
глобальной и локальной координатных системах по (F.45) и (F.47) можно
будет символически записать в следующей матричной форме
5/ 1
/dn
/ds.
~ юф
щ
8Лу.
\Ч 1
ъ/ =Ч
д/ 1
/dn\
7ds\\
(F.49)
Далее, формулы (F.14-1) и (F.14-2) для дифференцирования векторов
местного базиса nut после необходимых подстановок преобразуются к
виду
1ГавЦ
Паи II
[о tJL'J
:: т
(F.50)
Это и понятно, поскольку при движении в нормальном направлении п орты
местного базиса ии( получают только поступательное перемещение (без
поворотов), поэтому
дпх
dn ~~
dny _ dtx _
dn dn
Однако при движении вдоль кривой Г, эти орты поворачиваются, при этом
вторые строки в матричных соотношениях (F.50) представляют собой
известные формулы Френе [4, стр.85] применительно к плоской кривой
В покомпонентной форме это дает

F. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ 685
—- = —кпх , —- = -ktiy ¦
ds ds
(F.52)
Далее, исходя из формул (F.43), получим выражения для производных от
параметров pi]и qiJ, что дает
_Ф__Ф_ Г° ktx
да. ~ дп ~ 0 h
^х -knx(l + kri) + ntx-
kty -kny(l + kri) + nty-
dq dq
5a, dn
0
ktx
(l + kn)2
0 1
kty
~(l + kri)2\
dq dq
5a, ds
knx ntx
l + kn (l + kn)2
<k\ ( kny nty dk^
к J [ l + kn (l + kn)2 &,
Теперь имеем возможность получить в явном виде формулы для перехода
к двойному дифференцированию по координатам n,s от дифференцирования
по х и у и наоборот. Эти формулы можно получить подстановкой в (F.23) и
(F.24) полученных выражений для q'J и p'J их производных, но можно
получить их и непосредственно. Остановимся на втором способе их вывода.
Отправляясь от формул (F.44), получаем
dx{dx)
_5_ tx 5 V д™ К Sw\
^xdn \ + knds)yxdn 1 + knds)
2 d2w 2ntx d2b
5 w
' dn2 1 + kndnds (l + kn)2 ds2
, 8 ( (x W tx dnx dw tx 5 ( tx Л
' dn\l + kn) ds l + kn ds dn l + knds\l + kn)
d( tx Л_ ktx d( tx \ knx tx ^dk_
dn{l + knj (l + kn)2' ds{l + knj~ l + kn (l + kn)2" ds'
что после подстановок и преобразований дает

686 ПРИЛОЖЕНИЯ
d2w 2 д2™ 2пх{х д1™ fl d2w
dx2 ' дп2 1 + кп dnds (1 + кп)2 Bs2
К dw t fnl ntx dk\dw
+— x—^r\2kn+—- —. (F.53)
l + kndn (1+*и)Ч l + knds)ds v '
Формула для tfwldy2 получается из формулы (F.53) простой заменой
индекса х на индекс у . Остается только получить формулу для второй
смешанной производной. Имеем
d2w _ д(дю\( 8_ tx дЛ( dw ty dw\_
dxdy~ dx\dy)\x dn 1 + кп ds ) \Пу дп l + kn ds )
d2w nj'+ntx d2w txt d2w
= ПХП r- + + t—r —+
дп l + kn dnds (l + kn) ds
ln\\ + kn)c
\dw
l + kn 8s дп l + knds\l + knj ds
Воспользовавшись подстановками
В ( ty Л_ kty д( ty ) kny ty ^dk_
dn\l + kn) (l + kn)2' ds{l + kn) l + kn (l + kn)2"ds'
приведем предыдущую формулу для смешанной производной к виду
d2w _ d2w nxty+nytx 82w txty d2w
dxdy x y дп2 l + kn dnds (l + kn)2 Bs2
ktxty &w if.,, , , ntxt dk\dw _..,
+ T\k(nt +ntr) + - —— . (F.54)
l + кпдп (l + kn)2{ xy yx l + kn ds) 8s
И вновь, если интересоваться значениями вторых производных
непосредственно на кривой Г, что обычно и требуется, то, полагая в
формулах (F.53) и (F.54) п = 0, получим окончательно на кривой Г
d2w 2 S2w „ 82w
—г= nl—г + 2иЛ~—_ +
дх дп dnds
82w 2 S2w „ 82w
—Г= К—T + 2w/v + i
ду дп dnds
d2w , ч d2w d2w
'у-гт+<-пх'у + иЛ)тх+гЛтт+
dn dnds ds
dw ,, ,dw
+ktJy *(«*', + nyK) — •

F. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ 687
Для полноты картины приведем также противоположные формулы, то
есть формулы для перехода ко вторым производным w,m , w,ss , w,m через
производные от той же функции по глобальным координатам. Стартуя от
общей формул (F.46), получим в нашем случае
d2w _ д (dw dw ^_ d2w d2zv
дп2 дпудх ду у) дпдх х дпду у
f d2w d2w } f d2w d2w Л
= —тпх+ "у \пх+\ пх+—тпу \пу =
ydx дудх ) {дхду ду )
„ д w д w ¦
+ 2 пхп н —и;
дхду ду
^-^.^Ю**)
[(dw dw V,
f d2w d2w , dw , dw Y, , . fdw dw ^\dk
= —tx+ 1 -k—nx-k-—и \{\ + kn)+ —tx+—/ —n =
у dsdx dsdy дх ду J ydx dy J ds
(d2w , „ d2w d2w jV. , ,2 (dw dw ],„ , .
H^'*+2i^''''+^';J<1+fo,) l&"'+?"'j*(1+fa)+
(dw dw \dk
+ \ —tx +— t —n,
ydx dy ) ds
а также
d2w _ д [7dw dw Y
dnds dn\ydx dy y )
f d2w d2w V, , . f dw dw V
= tx+ / (1 + Аи)+ —tx+—t \k =
ydndx dndy ) у дх ду J
(d2w d2w, . d2w Y, , . (dw dw V
= —rwA+ (ИЛ+ИЛ) +—rVv (1 + *")+—*x+—К \k¦
у dx dxdy dy J ydx dy J
Полагая в этих формулах п= О, непосредственно на кривой Г получаем
окончательно
ds2 \
d2w d2w
dnds dx2
d2w
"dn2
K dx2
nxtx +
dx2 x
2 „ d2w
'x+2 1zt
dxdy
d2w
dxdy y x
d2w
: nxn
dxdy
d2w ,
+ —tK
dy2 y,
dy2
d2w
+ т-h
dy2
№
•M
I*
nx +
dw
dy y)
dw
(x+—К
dy \
I*
(F.56)

688 ПРИЛОЖЕНИЯ
Полезно также привести тензорно индексную форму записи формул
(F.45), (F.47), (F.55) и (F.56), которая может оказаться удобной при
проведении необходимых преобразований. Полагая Х\ =Х, Х2= Y, имеем
возможность переписать все эти формулы в виде (F.57), (F.58) и (F.59)
w,t = т,Л + WJ, > w,n = w,,n'' w,s = w/ > (F-57)
W,„ = W,nnn,n, + W,ns W, +"/,) + W,J,fJ + kWJf, - kW,s (l.tj + "/, ) > (F-58)
wnn = wtJrinJ, wss = wtJt'tJ -kw ri, w = TO^rit1 + kw/. (F.59)
В такой форме эти формулы становятся удобными для применения и
запоминания.
Приведем здесь также полезную формулу для оператора Лапласа в
координатах (n,s). Воспользовавшись (F.55), получим
„2 d2w d2w 82w 82w , dw
V w = —z- + —- = —r- + —т- + к— .
дх ду dn ds dn
F.4.1 Формулы для деформаций в координатах (n,s)
Обозначим компоненты вектора перемещений и в местном базисе через w и
V, положив
u = wn + vt. (F.60)
Введенное обозначение для перемещений кажется непривычным,
поскольку первая компонента обозначена через w, а вторая через v.
Оправданием служит наше намерение сохранить согласованность с
традиционным обозначением для перемещений в криволинейных стержнях,
где символом v обычно обозначают тангенциальные перемещения, а
символом w перемещения, нормальные к оси стержня.
Обращаясь к общим формулам (F.29) для компонент деформаций в
ортогональных криволинейных координатах и произведя необходимые
подстановки и преобразования, получим в данном случае
1 dv к
+ и
1 + кп ds 1 + кп
дп 1 + кп 1 + кп с

G. СЕКТОРИАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЙ 689
Литература
1. Новожилов В В Теория упругости -Судпромгиз, 1958. -370 с
2. Власов В 3. Избранные труды Том 1 - М • АН СССР, 1962. - 528 с
3. Green А.Е., Zerna W. Theoretical elasticity. Oxford, Clarendon press, 1954, pp 442
4. Кочин H.E. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. - М. Наука,
1965.-426 с
G. СЕКТОРИАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЙ
ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
G.1 Секториальные характеристики сечений открытого профиля
Ранее в §6.2 было введено понятие секториальной координаты со (или, как
иногда говорят, секториальной площади) для сечения тонкостенного
стержня открытого профиля. Если воспользоваться обозначениями §6.2, то
на формально математическом уровне секториальная координата точек
профиля поперечного сечения стержня определяется как интеграл
ф)= fads , (G.1)
с переменным верхним пределом и, следовательно, является функцией
дуговой координаты s.
Прежде всего, вернемся к правилу знаков, установленному в §6.2 для
приращения секториальной координаты d<o при перемещении вдоль профиля
сечения. Удобно, впрочем, это правило знаков переформулировать в
эквивалентном виде, а именно:
Приращение секториальной координаты da> считается поло-
жительным, если при движении вдоль профиля вектор RPM (см.
рис. 6.4) вращается вокруг полюса Р против хода часовой стрелки
при взгляде со стороны положительного направления продольной
| оси X. |
Легко проверить, что это правило знаков совпадет со сформулированным
правилом знаков в §6.2.
Далее, как это было указано в §6.2, положение главного полюса и нулевой
секториальной точки определяется условиями (6.2.17)
jh(ods = 0, \ha>yds = 0, \ha>zds = 0, (G.2)
где, напоминаем, / - полная длина профиля, а у и z - координаты текущей
точки профиля в системе осей (Y,Z). Эти оси мыслятся как главные
центральные оси инерции сечения тонкостенного стержня.

690 ПРИЛОЖЕНИЯ
G.1.1 Определение положения главного полюса
Посмотрим для начала как изменяется секториальная координата при
изменении положения полюса.
Возьмем два произвольных полюса А и В с координатами соответственно
(уА, za) и (ув, zb), как это показано на рис G 1
Рис. G.I. Изменение секториальной координаты при изменении положения полюса
В качестве начала отсчета дуговой координаты s назначим некоторую
произвольную точку О профиля, координаты которой суть (yo,zo). Каждый из
этих двух полюсов определяет для каждой точки М профиля с дуговой
координатой s свою секториальную координату шА и сов соответственно, при
этом
(G.3)
A(*) = J Ддм'иА , швС$) = | RBM-nds ,
где Лам и RBu - вектор, идущий из полюса А или полюса В соответственно в
текущую точку профиля М. Отсюда вытекает, что
®A(s)-(DB(s) = fRAB.nds = RAB-fnds, (G.4)
поскольку Лдз + RBM = RM , а вектор R^ = (ув ~Уа)Ь + (^в - za)4 не зависит
от дуговой координаты s. Далее, вектор n = nyiy + nziz = tziy-tyi!t так что
интеграл от вектора и вычисляется так
J nds = iy J ttds - iz J tyds = (z-z0 )iy -(y-y0 )it, (G. 5)
поэтому
^(s)-aB(s) = (yB-yA)(z-z0)-(zB-zA)(y-y0).
(G.6)

G. СЕКТОРИАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЙ 691
Прежде всего, покажем, что условиями (G.2) определяется единственное
положение главного полюса. Это означает, что обе точки А и В не могут
одновременно быть главными полюсами.
Для доказательства домножим (G.6) на hy и проинтегрируем по дуговой
координате по всему контуру /. Но с учетом (G.2), предполагая, что обе
точки А и В одновременно являются главными полюсами, в левой части
получим ноль. Поэтому, вспоминая, что оси Y и Z являются главными
центральными осями инерции сечения стержня, получаем
(zB-zA)/2 = 0,
откуда и следует, что zB = zA, поскольку момент инерции сечения /z отличен
от нуля. Аналогично показывается, что и ув =уА.
Пусть теперь точка В является главным полюсом Р, то есть ув=ур и
zB = zP, где (ур^р) это координаты главного полюса Р. В то же время пусть
точка А остается некоторой, произвольным образом выбранной, точкой
плоскости (Y,Z). Равенство (G.6) попрежнему справедливо, так что вновь,
домножая это равенство первый раз на hz, а второй раз на hy и интегрируя по
дуговой координате по всей длине профиля, получаем
(шА (s)hzds = Op - уА )Iy, [соА (s)hyds = -(zp - zA )/z,
следовательно
Ур=Уа+— Jwa(s)hzds, zp=zA JcoA(s)hyds . (G.7)
Формулами (G.7) определяются координаты главного полюса, если
известны:
• положение некоторой, произвольным образом назначенной, точки
профиля О, служащей началом отсчета дуговой координаты s;
• секториальная площадь g>a(s), вычисленная относительно произвольного
полюса А с координатами (уА, ^а) и при заданной отсчетной точке О;
• моменты инерции сечения 1уи12.
Как видим, координаты главного полюса определяются вторым и третьим
из условий в (G.2) и не зависят от первого условия там же.
G.1.2 Определение положения нулевой точки профиля
Покажем теперь, что оставшегося пока неиспользованным первого условия в
(G.2) достаточно для определения положения нулевой точки О на профиле.
С этой целью посмотрим, как изменяется секториальная координата точек
профиля при изменении начала отсчета дуговой координаты, то есть при
изменении положения нулевой точки. Выберем на профиле две
произвольные точки 0\ и 02> обозначив расстояние между ними вдоль
дуговой координаты через s\2, как это показано на рис. G.2.

692 ПРИЛОЖЕНИЯ
Пусть дуговая координата некоторой (текущей) точки М профиля с
началом отсчета в точке 0\ будет su а координата этой же точки с началом в
02 будет s2 Ясно, что sn= s2-si . Для определенности будем считать, что
точка 02 расположена на профиле с большей дуговой координатой при
любом выборе начала отсчета, как это и показано на рис. G.2.
Рис. G.2. Изменение положения начала
дуговой координаты
Заметим, что положение главного полюса Р к этому моменту нам уже
известно Введем обозначения coi(M) и ю2(М) для секториальных координат,
вычисленных с началом отсчета дуговой координаты s в точке 0} и 02
соответственно. Согласно определению секториальной координаты имеем
(G.8)
со.(М)=( pels, со2(М)=( pels.
И теперь выясняется, что при изменении положения точки отсчета дуговой
координаты и при фиксированном положении полюса Р секториальная
площадь просто сдвигается на некоторую постоянную величину, поскольку
(G.9)
(°2
со, (М) - со2 (М) = J pds = ®n
Ясно, что константа соп представляет собой удвоенную площадь сектора,
заштрихованного на рис G.2. Подберем эту константу так, чтобы точка 02
представляла собой действительно нулевую точку профиля. Это означает,
что в соответствии с первым условием в (G.2)
jAco2(M)cfe = 0,
поэтому на основании (G 9) получаем
J Aa>,(M)<& = co12J hds = mnA,

G. СЕКТОРИАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЙ 693
где А - площадь сечения стержня. Таким образом, для того, чтобы точка <92
была нулевой точкой профиля достаточно назначить константу Шп так,
чтобы выполнялось равенство
an=-jhGil(M)ds. (G.10)
После определения константы ю12 по формуле (G.10) главная
секториальная координата ю(М) легко выстраивается сдвижкой функции
a>i(M) на эту константу, что дает окончательно
ю(М) = Ю; (М) - ю12 = ©! (М) [йео, (M)ds . (G. 11)
A f
В качестве главной нулевой точки О профиля можно взять любую точку, в
которой подсчитанная по формуле (G.11) секториальная координата ю(М)
равна нулю. Несложно понять, что в отличие от главного полюса нулевая
точка этим условием может не всегда определяться однозначно. Таких точек
на профиле может быть несколько, и даже бесконечное количество. Но это
не принципиально для наших целей, так что в качестве нулевой точки может
быть назначена любая из точек с нулевой секториальнои координатой.
Если известны координаты главного полюса (ур^р) и координаты (уо?о)
нулевой точки профиля, а также известна секториальная координата юА(М)
произвольной точки профиля, построенная на полюсе А при нулевой точке
О, то окончательно главная секториальная координата этой же точки ю(М)
может быть определена на основании формулы (G.6), что дает
e>(s) = <oA(s)-(y?-yA)(z-z0) + (zp-zAXy-y0). (G.12)
Сформулируем некоторые общие свойства сечения, относящиеся к
размещению главного полюса и главной нулевой точки:
• если поперечное сечение рассматриваемого стержня симметрично
относительно какой-либо оси, то главный полюс, так же как и центр
тяжести сечения, лежит на этой оси. На этой же оси лежит и нулевая
точка;
• при наличии двух осей симметрии главный полюс и нулевая точка лежат
на пересечении осей симметрии.
Эти утверждения непосредственно следуют из условий (G.2).
G.1.3 Главный полюс и нулевая точка профиля как параметры
минимизации секториального момента инерции сечения
Еще из курса сопротивления материалов, студентам, изучающим
прочностные дисциплины, хорошо известны экстремальные свойства
главных центральных осей инерции сечения, доставляющие минимальное и
максимальное значения моментам инерции сечения. Оказывается, что

694 ПРИЛОЖЕНИЯ
справедливы близкие по смыслу экстремальные свойства и для
секториального момента инерции тонкостенного сечения, хотя в известной
автору литературе эти свойства почему-то не отмечаются.
Пусть /ш секториальный момент инерции сечения, вычисленный для
главного полюса Р и нулевой точки О. Обозначим через 1аА секториальный
момент инерции того же сечения при той же нулевой точке О, но
вычисленный для полюса, расположенного в некоторой точке А. Иными
словами
IB> = fa2hds, IaA = ^2Ahds.
Воспользовавшись равенством (G.12), получим следующее соотношение
между этими величинами
La =4+2 JetCVp ~ У к )(z - zo) - (zp - ZA )(У ~ У о )\hds +
+ J[CVp -Ja)(z-zo)-(zp -zA)(y-y0)fhds . (G.13)
Легко понять, что
/©[(Л- - уА )(z - z0 ) - (zp - zA )(у - y0 )]hds = 0 .
Это равенство немедленно следует из условий (G.2).
Обозначим последний интеграл в формуле (G.13) через J.
Непосредственные вычисления дают
J= /[(Л- -yA)(z-z0)-(zP -zA)(y-y0)?hds =
= (У? ~ У A )2 (Iу + ZU) - 2(УР ~ У A XZP - ZA )У020А + (ZP - ZA )2 (7z +yU),
где A - площадь поперечного сечения стержня, 1У и Iz моменты инерции
сечения относительно главных центральных осей инерции сечения.
Последнее равенство как раз и вытекает из того условия, что оси (7,Z)
являются главными центральными осями инерции сечения.
Пусть Ь2 квадрат длины вектора RPA, то есть Ь2 = (уР ~ у а)2 + (zp - zA)2.
Обозначим через а угол между вектором RfA и осью Y. В этих обозначениях
предшествующую формулу можно записать так
J = b2[(Iy +zlA)cos2a-y0zQAsm2a + {Iz +y02^)sin2a], (G.14)
и при этом
/fflA=/e+;. (G.15)
Но выражение, записанное в квадратных скобках в формуле (G.14),
представляет собой момент инерции сечения, взятый относительно оси,
параллельной вектору /?рА и проходящей через нулевую точку О профиля.
Отсюда сразу же следует, что величина J неотрицательна и равна нулю тогда
и только тогда, когда Ь2 = 0. Поэтому

G. СЕКТОРИАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЙ 695
Пусть теперь 1а1 секториальный момент инерции сечения, вычисленный
для главного полюса Р и некоторой точки профиля <9Ь от которой ведется
отсчет дуговой координаты s. Согласно формуле (G.11) можем записать
II А! \ 4/ J
И становится ясно, что при назначении в качестве начальной точки о
дуговой координаты некоторой точки 0\, отличной от нулевой точки О,
секториальный момент инерции сечения возрастает. Иначе говоря, имеет
место оценка
4<4i- (G.17)
На основании оценок (G.16) и (G.17) можно сформулировать следующее
свойство экстремальности секториального момента инерции с
Среди всех точек плоскости поперечного сечения тонкостенного
стержня главный полюс Р и нулевая точка О профиля
характеризуются тем, что вычисленный на основании этих точек
секториальный момент инерции сечения 1а принимает
G.1.4 О лепестковом профиле
В разделе 6.2.8 отмечалось, что лепестковый профиль (рис. 6.10) составляет
класс недепланируемых профилей, для которых секториальная координата
тождественно равна нулю ю = 0.
В качестве иллюстрации применения экстремального свойства секто-
риального момента инерции покажем, что центр изгиба Р лепесткового
профиля действительно находится в точке пересечения всех его лепестков
(ребер). Отсюда с очевидностью и будет следовать равенство ю = 0.
В самом деле, по самому определению секториального момента инерции
имеем 1а > 0 . Но при выборе полюса Р в точке пересечения лепестков 1а = 0
и это значение /ш минимально. На основании сформулированного выше
экстремального свойства /ш и единственности положения главного полюса
приходим к выводу о том, что точка Р пересечения всех лепестков является
центром изгиба.
G.1.5 Пример
Рассмотрим в качестве примера тонкостенное сечение, профиль которого
представляет собой круговую кривую радиуса R с углом раствора 2а

696 ПРИЛОЖЕНИЯ
(рис G.3) Пусть толщина стенки профиля h постоянна по всей длине
профиля Центр тяжести G этого сечения находится на оси симметрии на
расстоянии с от центра окружности
с=д!™^. (G18)
а
Площадь и моменты инерции сечения относительно главных центральных
осей равны соответственно
A = 2Rah, L
Ac1 = hR
!y = 2hR3[ cos2 cpdcp-
/г = 2/гЯ3| sin2 cpdcp =/гЯ3
2а + а sin 2а - 4 sin а
2а
2а-sin 2а
2 (G 19)
В качестве точки А удобно взять центр окружности Очевидно, что
соа(М) = срЯ2 (G 20)
Знак плюс здесь взят потому, что при движении в положительном
направлении вдоль оси s радиус-вектор Яш поворачивается против часовой
стрелки
zp
с
М
R\
4 «V
р
G
/
Рис. G.3. Тонкостенное сечение кругового очертания
Воспользовавшись теперь формулами (G 7) и учтя, что zA = -с, получим
" sina-acosa sinal
-±Ы
s)hyds= R\2-
a-sinacosa
(G21)
Кроме того, в силу симметрии сечения стержня относительно оси Y
координата >v главного полюса равна нулю
Теперь имеем возможность получить главную секториальную координату
каждой точки М профиля. Для этого можно воспользоваться формулой
(G. 12), положив там у0 = 0, z0 = R - с. В результате получим

G. СЕКТОРИАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЙ 697
со(ср) = срЛ2 + (zP + с)у = R1 ГФ - 2 slna acosa sin ф1. (G.22)
L a-sinacosa J
Секториальный момент инерции сечения /ш равен
„„5, гаГ „sina-acosa . 1 , ,_ „„N
/ш = 2Rh ф-2 втф й?ф. (G.23)
Jo \_ a-sinacosa J
Для полноты картины получим также формулы для геометрических
характеристик отсеченной части сечения, необходимость в которых
возникает при определении касательных напряжений по формуле (6.2.61).
Итак, на основании формул (6.2.30) имеем
Аа (s) = Rh f d<$> =Щф + a),
Soy(q>) = Rh f zd(p = Rh\ (R cos <p - с) d<p = R2h sincp <p,
Soz((p) = Rh\ yd(p = -R2hj sm<pd(p = R2h(cosq)-cosa),
hl
Soes(<?) = Rh\ (odq> = R>h\-
sina-acosa
a-sinacosa '
(cos ф - cos a) . (G.24)
После определения геометрических характеристик отсеченной части
сечения по формулам (G.24) получаем возможность определить компоненты
матрицы коэффициентов формы сечения. Не приводя вполне элементарных,
но достаточно утомительных преобразований, приведем в табличном виде
(таблицы G.1 и G.2) окончательные результаты расчетов для некоторых
значений угла а.
Таблица G. 1
2а
я/4
71/2
71
371/2
2тс
Шн
1,854x10"6
2,473x10-"
3,738х102
0,833
8,104
Uzz
28,452
7,634
2,537
1,822
2
м» .
0
0
0
0
0
м**.
0
0
0
0
0
Hw
1,239
1,365
2
3,589
6
Ни»
4,160
1,694
0
-1,113
-2
Цщ>
144,480
31,540
4,928
1,556
1,099
Таблица G.2
2а
тс/4
я/2
71
Зя/2
2тс
щч
4,060x10-4
1,216х102
0,298
1,432
3,142
1Жн
3,915хЮ-2
0,285
1,571
2,856
3,142
V»
0,035
0,131
0,394
0,549
0,5
V»
0
0
0
0
0
Vm
0
0
0
0
0
vw
0,893
0,785
0.5
0,358
0,424
Vva
-0,026
-0,042
0
0,256
0,771
V...
0,00766
0,034
0,203
0,826
2,313

698 ПРИЛОЖЕНИЯ
Эти данные могут оказаться полезными в качестве тестовых данных при
отладке программ, вычисляющих геометрические характеристики
тонкостенных сечений11.
G.2 Сечения комбинированного профиля
Приведем здесь для удобства ссылок основные формулы, относящиеся к
вычислению секториальных характеристик тонкостенных стержней
комбинированного профиля. На основании формул (8.1.4), (8.1.14), (8.1.15),
(8 1 16), (8.1 17), (8 1.18) имеем
/ е* \cd<! О2
а(*) = -^(*)-сф), />(*)=(—, Id=~r (G25)
Q. Jo gh ids^
? gh
a>0= — [a(s)ehds, (G.26)
A i
то = со0-а, (G27)
jwehds = 0, (G.28)
J wehyds = 0, J wehzds = 0. (G.29)
G.2.1 Определение положения главного полюса
Прежде всего, установим формулы для пересчета обобщенной
секториальной координаты та при изменении положения полюса.
Пусть даны две точки А и В плоскости {Y,Z), которые могут
рассматриваться как два полюса Индексируя функции дуговой координаты
символом используемого полюса, получаем из (G.25) с учетом (G 6)
аА-ав = -(соА-сов) = -(.ув -yA){z-z0) + {zB -zA)(y-y0). (G 30)
Ha основании (G.26) находим константы соодисоов, точнее, разность этих
констант
сооА-соов= z0(yB-yA)-y(){zB-zA). (G.31)
Вычитая (G.30) из (G.31), определим на основании (G.27) разность
обобщенных секториальных координат, подсчитанных для одной и той же
текущей точки М, но при различном выборе полюса
11 Эти вычисления по просьбе автора выполнены студентом Д В Деревянкиным

G. СЕКТОРИАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЙ 699
wA - wB = z(yB -yA)-y{zB -zA). (G.32)
Совместим теперь точку В с главным полюсом Р, положив ув~ур,гв = zP.
Домножив (G 32) первый раз на ehz, а второй раз на ehy и выполнив
интегрирование по всему профилю, находим с учетом условий
ортогональности (G.29) координаты главного полюса
У? = Уа +—<&'&A{s)ehzds, zp = zA &>wA(s)ehyds. (G.33)
Как видим, эти формулы идентичны формулам (G7), установленным
нами ранее для открытых профилей После отыскания координат главного
полюса эпюра обобщенной секториальной координаты ш легко определяется
на основании формулы (G.32), в которой точку В следует заменить на полюс
Р, что дает
w = wA- z(yp -уА) + y(zp - zA) (G.34)
G.2.2 Главный полюс как параметр минимизации секториального
момента инерции сечения
Точно так же как в случае открытого профиля в общем случае
комбинированного профиля справедливо аналогичное свойство экстре-
мальности секториального момента инерции сечения:
Среди всех точек плоскости поперечного сечения тонкостенного
\ стержня комбинированного профиля главный полюс Р харак-
теризуются тем, что вычисленный на его основании сек-
\ториальный момент инерции сечения /ш принимает наименьшее
{значение. |
Пусть /ш секториальный момент инерции сечения, вычисленный для
главного полюса Р. Обозначим через /шА секториальный момент инерции
того же сечения, но вычисленный для полюса, расположенного в некоторой
точке А. Иными словами
1т = j w2ehds, ImA = J wAehds.
i i
Воспользовавшись равенством (G.34) и учитывая требования (G29),
получим следующее соотношение между этими величинами
7шА = J [и + *(И> - Уа ) - У{г? ~ zA )f ehds = Im + (yv - yA f Iy + (zP - zA )212
И теперь понятно, что
'«А* А».

700 ПРИЛОЖЕНИЯ
причем равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда точка А
совпадает с главным полюсом Р.
Рассуждая точно так же как в случае лепесткового профиля в разделе
G.1.4, получаем в качестве следствия простое доказательство факта
совпадения центра изгиба Р с центром вписанной окружности для класса
замкнутых профилей, выполненных из однородного материала, один из
представителей которого изображен на рис. 7.3. Для этого достаточно лишь
убедиться в том, что обобщенная секториальная координата шР, построенная
на центре вписанной окружности как на полюсе, тождественно равна нулю.
Мы не будем больше задерживаться на технике вычисления всех
остальных физико-геометрических характеристик тонкостенных сечений. В
связи с тем, что эти вычисления достаточно трудоемки и утомительны, в
практических расчетах рекомендуем воспользоваться имеющимися
программными продуктами с автоматическим определением всех требуемых
для последующего расчета данных. Это тем более имеет смысл делать в
случаях сечений со сложным многоконтурным профилем. Однако
отчетливое понимание принципов, положенных в основу алгоритмов
вычисления этих физико-геометрических характеристик, инженеру
необходимо для осознанного последующего их применения и хотя бы для
визуальной качественной оценки результатов расчетов, выполненных
подходящими программными средствами с помощью компьютера. Именно
эти соображения и инициировали включение настоящего приложения в
текст книги.

Именной указатель
Абовский Н.П. XXVI
Авдеева Л.И. 641
Ададуров Р.А. 336, 354, 380, 382, 383,
410,442,444
Алфутов Н.А. 223, 579, 599, 614, 627
Амбарцумян С.А. 283
Андреев Н.П. XXVI
Банах С. (S. Banach) 467
Безухов Н.И. 627
Бейлин Е.А. XIX, 412,414,441,443,444
Бек М. (М. Beck) 666
Беличко Т (Т. Belytschko) XXII, XXVI
Беллман P. (R. Bellman) 485, 541
Бердичевский В.Л. XXVI, 27
Бернулли Я. (J. Bernoulli) 142, 143, 147,
149, 154, 156, 160, 251, 313, 336, 337,
349,440, 645, 646
Бернштейн С.А. 452,453,482
BeppHfl.C.(D.S.Berry)201
Бессель Ф.В. (F.W. Bessel) 268,270
Бетти (Е. Betti) 28, 29, 30, 157, 175, 324,
491
Бидерман В.Л. 283
Биргер И.А. 654
Блейх Ф. (F. Bleich) 542
Блехман И.И. 450, 482
Болотин В.В. XXIII, 184, 202, 546, 551,
587, 597, 599, 600, 621, 627, 628, 641,
642, 666, 668
Бонда Г. (Н. Bondi) XIII, XXVI
Брайан Дж. (G.N. Bryan) XXIII, 599, 603,
604, 610, 614, 616, 619, 620, 622
Бредг P. (R. Bredt) 294, 295, 296, 358,
377, 398, 423, 655, 656, 658, 659, 660,
661
Броуде Б.М. 580, 582, 583, 627
Бубнов И.Г. 511
Буняковский В.Я. 348, 385, 467, 522
Вайнштейн A. (A. Weinstem) 525, 526,
527, 536
Васидзу К. (К. Washizu) XIII, XIV,
XXIII, XXVI, 25, 103, 104, 105, 123
Васильев В В 223, 259, 274, 284
Вебер Г. (Н. Weber) 497, 498, 501, 502,
541,574
Верещагин А.К. 82
Власов В.З. 162, 165, 167, 169, 170, 171,
172, 173, 175, 176, 177, 178, 180, 182,
184, 202, 300, 305, 306, 336, 342, 349,
354, 412, 413, 434, 435, 436, 438, 439,
440,441, 620, 621, 624, 628, 689
Войновский-Кригер С (S Womovsky-
Knger) 284
Вольмир А.С. 614, 621, 628
Воробьев Л.Н. 336, 354,441
ГалеркинБГ 454
Ганкук Г (G. Hancook) 443
Гантмахер Ф Р 124, 504, 506, 541
Гаррисон Г. (Н Harrison) 443
ГастевВ.А 654
Гаусс К.Ф. (K.F Gauss) XIV, 218, 224,
261, 282, 289, 290, 292, 293, 302, 303,
594,601,603,659
Гвоздев А А. 636
Гельмгольц Г (Н Helmholts) 260
Геррманн Р (R Herrmann) XXIII, 229,
230, 284
Гессе (О Hesse) 546, 549, 557
Гильберт Д. (D Hilbert) 485, 542, 642
Гольденблат И.И. 631, 636, 641
Гольденвейзер А.Л. 202, 223, 284, 336,
354
Гордеев В.Н 642
Гордон Л.А 124,274,284
Готлиф Л.А 274, 284
ГрадштейнИС 542
Грин (А.Е Green) 626, 689
Гринзоу Л. (L Gnnzo) 23
Грам И. (I. Gram) 78, 79, 447, 451, 457,
458,492,514,517
Губанова И.И 452, 482, 542, 543, 621,
627
Гудьер Дж (J.N Gudier) 303, 354
Гук P. (R Hook) 56, 127, 144, 151, 191,
206, 208, 252, 253, 313, 358, 379, 380,
608, 644, 657
Гулд С. (S.H Gould) 501, 503, 511, 541
Гуртин М. (М.Е Gurtm) XXIII, 112, 113,
114,115,116,122,123,124,135,150
Даламбер Ж Л. (J.L. D'Alambert) 488
Даревский В.М. 223
ДвайтГБ (Н.В Dwight)284

702 Именной указатель
ДеклуЖ (J. Descloux) 25
Деревянкин Д.В. XIX, 698
ДеругаАП XXVI
Джанелидзе Г.Ю. 70, 91, 336, 354, 378,
380,410,437,441,442,444
Джонсон Р.Г. 444
Дим К. (С L. Dym) 25
Динник А.Н. 202, 297, 354
Дирак П. (P. Dirac) 219, 281, 282, 318,
332
Дирихле ПГ.Л. (P.G.L. Dmchlet) 292,
296, 487, 546, 547, 549, 550, 557, 559,
561, 569, 586, 596, 626
ДольбергМ.Д.511,542
Доннел Л.Г. (L.H. Donnell) 278, 284
Евзеров И Д XIX, 454, 482
Елсукова К П. 284
Жермен С. (S Germain) 211, 222, 260,
276
Жилин П.А. 223, 284
Жордан К (С Jordan) 635
Журавский Д.И. 151, 191, 252, 321, 642,
645, 647, 648, 652, 653, 654
Занабони (Zanabom) 70, 91
Зинкевич О. (О Zienkiewicz) XXII,
XXVI
Зонг-хенг Г. (Guo Zhong-heng) 443
Зуховицкий С И. 641
Исполов Ю Г 542, 628
Кан С.Н. 355, 444
Карпиловский В.С XIX, 454, 482
Кастильяно (A. Castighano) XIII, 51, 52,
53, 54, 55, 56, 58, 59, 60, 63, 65, 66, 68,
73, 74, 76, 86, 90, 93, 99, 100, ПО, 113,
116, 135, 138, 139, 142, 149, 155, 181,
182, 227, 263, 299, 333, 339, 345, 378,
391, 403, 404, 429, 463, 633, 640
Кей Дж Е. (Key) 284
Кельвин В. (Kelvin, lord W. Tomson) 222,
223, 303
Кирхгофф (G Kirchhoff) 50, 165, 167,
169, 170, 171, 172, 175, 176, 177, 178,
180, 182, 183, 184, 203, 210, 213, 217,
220, 222, 223, 226, 228, 235, 237, 241,
244, 246, 250, 251, 255, 256, 260, 262,
265, 266, 267, 271, 272, 273, 274, 276,
277, 278, 279, 280, 281, 283, 450, 617,
618,652,653
Киселев В A 202
Клапейрон (В Р.Е. Clapeyron) 30, 32, 55,
298
Клаф Р (R.W. Clough) XIII
Клебш A. (A. Clebsch) 165, 169, 170, 171,
172, 175, 177, 178, 180, 182, 183,184
Койтер (W.T. Koiter) 626
Коллатц Л. (L Kollatz) 501, 541
Конюховский B.C. 410
Корн Г. (G.A. Когп) 202
Корн Т. (Т М Когп) 202
КочинН.Е.91,202,660,689
Коши О Л. (A.L. Cauchy) 136, 467, 503,
522
Кромм A. (A Kromm) 278
Кристофидес Н. (N. Chnstofides) 410
Кронекер Л. (L Kronecker) 130, 216, 492,
590, 592, 672
КругленкоИВ.412,443
Крылов АН XVIII, XXVI
Кукишев В.Л. 542
Курант P. (R. Courant) 445, 448, 481, 501,
503, 504, 506, 542, 642
Лагранж Ж. (J.L.Lagrange) XIV, XV,
XX, XXIII, 3, 34, 40, 44, 46, 47, 48, 49,
50, 54, 55, 56, 58, 59, 60, 63, 64, 65, 66,
68, 76, 78, 86, 93, 106, 108, 109, 128,
133, 134, 138, 141, 146, 153, 171, 173,
180, 181, 211, 222, 224, 226, 232, 260,
262, 276, 288, 289, 297, 332, 345, 353,
377, 391, 405, 410, 434, 452, 487, 488,
516, 517, 529, 539, 546, 547, 549, 550,
557, 559, 561, 569, 586, 593, 596, 626,
633, 636, 637, 638, 639, 640, 641
ЛазарянВ.А. 91
Ламе Г (G. Lame) XXV, XXVI, 67, 126,
130, 137, 173, 185, 188, 194, 198, 211,
214, 226, 241, 258, 329, 335, 342, 384,
388, 471, 472, 473, 474, 485, 671, 673,
676, 682
Ланкастер П. (Р Lankaster) 503, 542
Ланцош К. (С Lanczos) 636, 642
Лаплас П.С. (P.S Laplace) 289, 290, 688
Лебедев НН 284
Леви-Чивита Т. (Т. Levi-Civita) 129
Лежандр A.M. (AM. Legendre) XV,
631, 632, 633, 634, 635, 636, 637, 638,
641
Лейбниц Г В. (G W Leibniz) XVII
Лейбензон Л С XIII, XIV, XXVI, 55, 91,
294, 354

Именной указатель 703
Лейхтвейс К. (К. LeichtweiB) 627
ЛидскийВ.Б 503
Липкин Ю.П. XIX
Лиу В. (W К Liu) XXII, XXVI
Лиувилль (I. Liouville) 529, 604
Лойцянский Л.Г. 541, 627
Ломакин В.А. 661
Лужин О.В. 412, 413, 414, 437, 438, 439,
440, 441, 443, 627
Лурье А И. XXI, XXVI, 231, 242, 243,
284, 541, 627, 629
Люстерник Л.А. 482
Ляв А (А.Е.Н. Love) 160, 202, 203, 210,
213, 217, 222, 223, 226, 228, 241, 250,
251, 255, 256, 262, 265, 280, 617, 618
Ляпунов А.М. 411
МавлютовР.Р 654
Мандельштам Л.И. 484, 541
Маслов Д.А. XIX
Мелан Е. (Е. Melan) 542
Мелош Р (R J Melosh) XIII
Мещеряков Л.С. 336, 354
Мизес Р (R. Mises)567
Михлин С.Г. XIII, XIV, XXVI, 25, 42, 91,
242, 284, 298, 354, 450, 481, 482, 542
МоисеевНН 125,185,629
Мор О (О Mohr)81,82,655
Моран Б (В. Могап) XXII, XXVI
Мусхелишвили Н И 231,242,284
Мышкис А.Д. 450, 482
Навье Л М (L.M.H Navier) 276
Нейман Ф. (F Neumann) 290
Никольский М. Д. 123, 124
Новацкий В (W. Nowacki) 70, 91
Новожилов В.В. XXIII, 25, 91, 165, 202,
450, 482, 589, 598, 600, 604, 609, 610,
611, 612, 614, 616, 619, 627, 661, 689
Нудельман Я.Л. 511, 542
Ньютон И. (I. Newton) XVII, XX, 483
Оден Дж. (J.T. Oden) 470, 471, 474, 477,
478, 482
Олман Дж Т (D.J. Allman) 284
Остроградский М.В. XIV, 218, 224, 261,
282, 289, 290, 292, 293, 302, 303, 594,
601, 603, 659
Пановко Я.Г 70, 91, 93, 283, 336, 354,
355, 378, 380, 410, 437, 441, 442, 444,
450, 452, 482, 542, 543, 621, 627
Папкович П Ф. 22, 25, 32, 201, 577, 579,
580, 582, 627
Париков В.И. 641
Парлетт Б (B.N. Parlett) 542
Перельмутер А.В. XIX, 91, 354, 627, 642
Пифагор (Pythagoras) 568
ПобедряБЕ. 124,482
Полак Л. 285
Прагер В. (W. Prager) 46, 54, 91
Прандтль Л. (L. Prandtl) 291, 292, 295,
296, 298, 303, 304, 305
Пуанкаре А. (Н. Ротсагё) 503, 542, 547
Пуассон (М. Poisson) 57, 66, 68, 222,
223, 242, 243, 291, 292, 472
Рабинович И.М 82,91,92
Рабогнов Ю.Н. 201
Рассел Б. (В. Russel) XV
Раус Е. (EJ. Routh) 498, 499, 501, 503,
504, 505, 506, 509, 510, 542, 576
Редди Д. (J.N. Reddy) 470, 471, 482
Рейсснер Э (Е Reissner) XXIII, 93, 94,
95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103,
105, 106, 108, 109, 123, 134, 139, 142,
149, 155, 156, 182, 183, 223, 228, 229,
250, 251, 255, 256, 258, 259, 262, 263,
264, 254, 266, 267, 272, 273, 274, 275,
276, 277, 278, 279, 281, 302, 336, 455,
456, 458, 469, 470, 495, 516, 519, 529,
532, 540, 618, 620, 624, 625, 637, 638
Ректорис К (К Rektorys) XIII, XIV,
XXVI, 91, 481
Релей Дж (J.W. Strutt, lord Rayleigh)
XXIII, 495, 496, 497, 498, 501, 502, 503,
506, 507, 508, 509, 510, 512, 515, 519,
520, 524, 525, 539, 540, 541, 571, 574,
577
РеутВ.И. 665
Ржаницын А.Р. 25, 580, 582, 583, 613,
614, 627
Ритц В. (W. Ritz) XVII, 56, 96, 99, 113,
117, 119, 445, 446, 447, 449, 450, 451,
452, 454, 455, 458, 460, 462, 463, 467,
472, 475, 515, 516, 517, 518, 519, 532,
539, 605, 625, 629
Роббинс Г. (Н. Robbms) 445, 448, 481
Розин Л.А XIII, XIV, XIX, XXII, XXVI,
16, 23, 25, 84, 90, 91, 92, 95, 96, 106,
109, 123, 242, 284, 354, 482, 642
Рокафеллар P. (R.T. Rockafellar) 123, 627
Рыжик И.М. 542
Саусвелл Р.В (R Southwell) 56, 59, 70,
91

704 Именной указатель
Сен-Венан (Barre de Saint-Venant) XXIII,
XXVI, 38, 41, 55, 70, 71, 73, 126, 127,
129, 137, 232, 264, 265, 285, 292, 294,
296, 297, 298, 302, 316, 323, 354, 356,
359, 655
Синдж Д. (J.L Synge) 46, 54, 91
Скоморовский Я Г 284
Сливкер В И 25, 91, 123, 284, 354, 482,
542, 627, 628, 641, 642, 654, 660
Смирнов А.Ф XXII, XXVI
Смирнов В И. 354, 410
Снедцон Дж. (J N. Sneddon) 201
Соболев В И. 482
Стренг Г (G. Strang) 91, 124, 354, 450,
481,541,542
Тейлор Р (R.L. Taylor) XXII, XXVI
Тейлор Дж.И. (J Taylor) 481, 487, 548,
559, 561, 565, 568, 592
Темам Р (R Тешат) 123
Тернер (M.J Turner) XIII
Тет (Р G. Tait) 222, 223
Тимошенко СП XXIII, 5, 6, 144, 150,
151, 152, 153, 156, 191, 211, 251, 283,
284, 291, 294, 298, 299, 303, 338, 353,
354, 440, 482, 542, 603, 610, 611, 613,
614, 616, 619, 620, 621, 628, 647
Тонг П (Р Tong ) 478, 479, 482
ТонтиЭ.(Е.Топп)123
Трефтц (Е. Trefftz) XIII, 599, 603, 604,
610, 614, 616, 619, 620, 622
Трусдел К (С. Truesdell) XXI, XXVI
Тсуо У. (Usuki Tsueo) 443
Уилкинсон Дж.Х (J.H Wilkinson) 124
Уманский А А 355, 362, 378, 380, 384,
410, 412, 413, 437, 438, 440, 441
Фикера Г. (G. Fichera) 525, 526, 536
Фикс Дж (G.J Fix) 124, 450, 481, 542
Филин А.П 25
Филоненко-Бородич М.М. 92
Фишер Е. (Е Fischer) 501, 503, 504, 506,
541
Френе Ф (F Frenet) 159, 163, 221, 245,
684
Фридман В М 542
Фридман ЕШ 284
Фридрихе К.О. (К.О. Fnednchs) XV,
631,638,639,640,641,642
Фурье Ж.Б. (J В J Fourier) 276
ХалецкаяОБ 410
Хан Г (Н Harm) 467
Харлаб В.Д. 647, 648, 654
Хеллингер Е. (Е. Hellinger) XXIII, 94
Ху (Н С. Ни) XXIII, 103, 123
Церна (W. Zerna) 689
Циглер Г. (Н. Ziegler) 626, 628, 662, 668
Шеймс И. (I.H. Shames) 25
Шилд (R.T. Schild) 626
Шмидт Е. (Е. Schmidt) 492, 514
ШойхетБ.А. 124,284
Штурм (R.G. Sturm) 529, 604
Шур И. (I Schur) 120
Эейлер Л (L Euler) XIV, 55, 93, 104,
106, ПО, 112, 115, 134, 138, 139, 141,
143, 146, 147, 149, 154, 160, 181, 193,
197, 226, 227, 251, 263, 285, 287, 288,
289, 302, 313, 332, 336, 337, 349, 404,
440, 478, 543, 546, 547, 558, 594, 614,
625, 638, 640, 645, 646, 661
Эйнштейн A. (A. Einstein) XIII
ЭкландИ. (I. Ekland) 123
Элиашвили Д Г. 412, 443
Энгессер Ф. (F. Engesser) 613, 614, 616
Эри Дж. (G.B. Airy) 232,243
Якоби (CG.J. Jacobi) 669, 671, 672, 675,
676
Янг Л. (L.G. Young) 1, 4, 25

Предметный
указатель1
аппроксимации согласованные 4(
- Бернулли 142
-Тимошенко 150
бимомент315
- внешний погонный 320
вариационный принцип
-Гуртина 112
- Кастильяно 52
- Лагранжа 49
- обобщенный смешанный 105
- Рейсснера 94
-Ху-Васидзу 103
вектор
- внешних сил 6
- грузовой единичный 552
- краевых перемещений 7
- краевых усилий 7
- нагружения единичный 544
- напряжений 6
- перемещений 6
- ребра графа 396
- контура 396
графа
- вершина (узел) 393
- ребро (дуга) 393
- двойное 394
- - опорное 394
- свободное 428
- базисный цикл 393
В предметном указателе даны ссылки
только на те страницы, в которых при-
водятся определения вводимых понятий
и/или терминов
депланация 286
дуговая координата 212
жесткое смещение 33
- для упругого тела 33
- для упругой среды 34
- механической системы 35
жесткого контура условие 657
закон
- секториальных площадей 315
кастильяниан 51
краевые условия
- деформационные 243
- кинематические 9
- статические 9
координата
- главная (нормальная) 493
- дуговая 680
- секториальная 311
- обобщенная 364
координная
- линия 670
- поверхность 669
- система
- глобальная 668
- криволинейная 670
--локальная 670
коэффициент
- весовой базисного контура 430
-депланации380
- распределения
- потоков по контурам 397
- потоков по участкам 397
крутка 287
лагранжиан 48
лемма о связях 80
локальный базис 212
матрица
-вращения 212
- Гессе 546
- Грама
- жесткости системы 77
- - геометрическая 554

706 Предметный указатель
- - касательная 549
--начальная 551
- инерциальных характеристик (масс)
488
- инциденций 394
- коэффициентов формы сечения 338
- податливости системы 75
- циклов 395
- Якоби 669
мембранная аналогия Прандтля 296
метод
- двух функционалов 462
- - в задаче о спектре 523
- Ритца 445
- - в задаче о спектре 519
- сопряженных аппроксимаций Одена-
Редди 470
минимизирующая последовательность
452
момент
- инерции сечения
- - крутильный 289
- - направленный 380
- стесненного кручения 320
- чистого кручения 320
- отсеченной части сечения
секториальный статический 366
напряжение
- второстепенное 349
- касательное
- - изгиба 349
- - кручения 349
- нормальное стесненного кручения 315
- основное 349
начальные деформации 85
- возможных
- - изменений напряжений 19
- - перемещений 17
- общее, статики и геометрии 14
- общее, совместности деформаций 40
область устойчивости системы 571
обобщенная
- поперечная нагрузка 210
- Кирхгоффова контурная нагрузка 225
- - поперечная сила 220
обобщенные
- перемещения 74
-силы 74
оператор
- дифференциальный 2
- выделения краевых условий 7
- геометрии 6
-Ламе 126
- равновесия 6
- Сен-Венана 126
- совместности в функциях напряжений
232
- сопряженный по Лагранжу 3
основная метрика 43
отсеченная часть сечения 318
параметр
-Ламе 671
- нагружения
- критическое значение 547
переменные
-основные 631
- сопряженные 631
поле
- внешних воздействий 12
-НДС 11
- истинное (действительное) 28
- кинематически допустимое 11
- кинематически полудопустимое 12
- однородно кинематически
допустимое 11
- - однородно статически допустимое 11
- - разностное 80
- - статически допустимое 11
- - статически полу допустимое 12
- - физически допустимое 27
полюс сечения 309
-главный 314
потенциал
- внешних воздействий
- - кинематический 51
- - статический 47
- единичной силы 544
- начальных деформаций
- кинематический 87
- силовой 86
- краевой 259
- проникающий 259

Предметный указатель 707
- реактивных сил 465
поток
- касательных усилий 317
- контурный 390
преобразование
- Келивина-Тета 223
- конгруентности 493
- Лежандра 631
- полное 632
- - частичное 632
- Фридрихса 638
приведенная
- масса 493
- жесткость 493
принцип
- Сен-Венана 70
- Релея-Вебера 497
- максимина Фишера-Куранта 501
профиль
- комбинированный 411
- лепестковый 333
- многоконтурный 388
- недепланируемый 333
- открытый 306
работа
- внутренних сил 13
решение
- обобщенное 463
- сильное
- - по напряжениям 464
- слабое 463
- - по напряжениям 464
- кинематические 57
- абсолютно жесткие 499
- иммобильные 575
- поздние 575
- ранние 575
- силовые (статические) 59
система
- геометрически изменяемая 37
- геометрически неизменяемая 37
- статически неопределимая 89
- статически определимая 89
скалярное произведение
- энергетическое по Лагранжу 44
- энергетическое по Кастильяно 53
собственный вектор 489
собственное число (значение) 489
- ^-кратное 490
-лагранжево517
- паразитическое 532
- рейсснерово 520
спектр частот свободных колебаний
механической системы 484
статико-геометрическая аналогия 231
степень
- геометрической изменяемости 37
- статической неопределимости 89
стержень
- криволинейный
- - большой кривизны 162
- малой кривизны 162
- средней кривизны 162
- теория Власова 167
- теория Кирхгоффа-Клебша 167
- уравнения Кирхгоффа 167
теорема
-Бетти 28
- Бредта 294
- Кастильяно 76
- Кирхгоффа 50
- Клапейрона 30
- Лагранжа 78
- Максвелла 76
- об общем виде физически допустимого
поля 42
- об ортогональности полей 20
- о минимуме энергии деформации
- - первая 55
- вторая 69
- основная метода Ритца 445
- Папковича о выпуклости области
устойчивости 577
- Рауса (Релея) о разделении частот 503
- Релея 78
- Тонга 478
теория
- Власова 306
- пластин Кирхгоффа-Лява 203

708 Предметный указатель
- - Рейсснера 250
- полусдвиговая
- - Джанелидзе-Пановко 378
- - тонкостенных стержней 348
--Уманского384
- Сен-Венана 285
- Уманского 355
тождество
- Папковича 23
- Прагера - Синджа 46
уравнение
- Гельмгольца 260
- динамического равновесия 484
- Жермен-Лагранжа 211
- Лагранжа второго рода 488
-связи 499
форма
- свободных колебаний 485
- потери устойчивости системы 570
формула
- Бредта 358
- Власова 300
- Журавского 642
-Мора 81
-Френе 159
функционал
- Васидзу (васидзуан) 104
- граничных условий 100
-Болотина 551
- Брайана-Трефтца 599
- Геррманна в теории пластин 229
- Гуртина (гуртиниан) 113
- Кастильяно (кастильяниан) 51
- Лагранжа (лагранжиан) 47
- Новожилова 598
- Рейсснера (рейсснериан) 94
- Релея (отношение Релея) 495
- Тимошенко 291
- устойчивости 551
- физических соотношений 103
функция
- базисная (координатная) 446
- весовая дуговой координаты 416
-депланации361
- кручения Сен-Венана 288
- меры депланации 340
- напряжений Прандтля 291
- плечевая полюса 358
- производящая 631
- распределения потоков 397
- формы (для МКЭ) 475
- характеристическая профиля 414
центр
- изгиба 323
- кручения 296
- сдвига 323
циркуляция
- касательного напряжения 294
эллипсоид Релея 507
энергетическое
- пространство
- кастильяново 52
- лагранжево 44
- параметризованное 110
- скалярное произведение 44
энергия деформации 32

гштт
Слнвкер Владимир Исаевич
Доктор технических наук, профессор
Область научных интересов:
Нелинейные задачи строительной механики,
теория конечно-элементного анализа,
численные методы в прикладной механике,
теория устойчивости равновесия,
работа конструкций на упругом основании,
методика автоматизированного проектирования
e-mail: slivker@VS3491.spb.edu

Учебное пособие
Владимир Исаевич Сливкер
СТРОИТЕЛЬНАЯ
МЕХАНИКА
ВАРИАЦИОННЫЕ ОСНОВЫ
Редактор:
Компьютерная верстка:
Дизайн обложки:
А.Н. Хрулева
В.И. Сливкер
В.И. Сливкер
Лицензия ЛР № 0716188 от 01.04.98. Сдано в набор 25.03.05
Подписано к печати 25.04.05 Формат 60x90/16.
Гарнитура Тайме. Печать офсетная. Бумага офсетная.
Усл. 46 п. л. Заказ № 818 Тираж 1000 экз.
Издательство Ассоциации строительных вузов (АСВ)
129337 Москва, Ярославское шоссе, 26,
оф. 706 (отдел реализации оф. 511)
тел., факс: (095)183-57-42; e-mail: iasv(a).mgsu.ru
Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленного
оригинал-макета в ППП «Типография «Наука»
121099, Москва, Шубинский пер., 6