С. В. БОЯРШИНОВ
ОСНОВЫ
СТРОИТЕЛЬНОЙ
МЕХАНИКИ
МАШИН
С. В. БОЯРШИНОВ
ОСНОВЫ
СТРОИТЕЛЬНОЙ
МЕХАНИКИ
МАШИН
*
«Допущено Министерством высшего
и среднего специального
образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов машиностроительйых
.специальностей вузов»
МОСКВА «МАШИНОСТРОЕНИЕ» 1973
Б86
УДК 621.0 J (075)
Бояршинов С. В. Основы строительной механики машин. Учеб-
ное пособие для студентов вузов, «Машиностроение», 456 с.
В книге изложены методы расчета на . прочность и жесткость
основных элементов машиностроительных конструкций — тонкостен-
ных стержней, толстостенных цилиндров, дисков, колец, оболочек.
Пособие предназначено для студентов машиностроительных спе-
циальностей втузов. Оно будет полезно также инженерам, занима-
ющимся расчетами машин на прочность.
Ил. 250, табл. 16, список лит. 29 назв.
Рецензенты: кафедра «Сопротивление материалов» ХПИ
им. В. И. Ленина, проф. д-р техн, наук С. Н. Соколов
314-005
038 (01)—73
© Издательство «Машиностроение», 1973 г.

Сергей Владимирович Бояршинов
ОСНОВЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ механики МАШИН
Редактор издательства Л. П. Рыжова
Технический редактор А. И. Захарова Корректор Л. В. Асташенок
Художник В. Б. Торгашов
Сдано в набор 31/1 1973 г. Подписано к печати 25/Х 1973 г. Т-15935. Формат 60x 90'/ie.
Бумага тип. № 3. Печ. л. 28,5. Уч.-изд. л. 28,7. Тираж 25 000 экз. Заказ № 688. Цена 1 р. И к.
Издательство «Машиностроение» Москва, Б-7В, 1-й Басманный пер., 1
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 1 «Печатный Двор»
имени А. М. Горького Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Ми-
нистров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 197136 Ленинград,
Гатчинская ул., 26
/ИйАЧ. *лм
ПРЕДИСЛОВИЕ
Роль расчетов на прочность в современном
машиностроении становится все более ответственной,
а сами расчеты — все более сложными. Решение большин-
ства задач, выдвигаемых практикой в области прочности,
стало доступным лишь высококвалифицированным спе-
циалистам.
Напряженное состояние деталей конструкций, их
прочность и жесткость рассматриваются в курсе «Строи-
тельная механика машин». Строительная механика в ши-
роком смысле слова включает также такие разделы, как
устойчивость элементов конструкций, колебания и удар,
выносливость при циклически изменяющихся нагруз-
ках, пластичность и ползучесть и т. д. В данный курс
эти разделы не вошли, так как в’ настоящее время они
выделились в самостоятельные дисциплины и по ним
читаются специальные курсы.
Основное внимание в курсе уделено тонкостенным
элементам (тонкостенным стержням, пластинам, дис-
кам, оболочкам). Это объясняется тем, что тонкостенные
элементы широко применяются в машиностроительных
конструкциях, в то же время теория напряженно-де-
формированного состояния тонкостенных элементов бо-
лее сложна, чем теория напряженного состояния бруса,
и потому в курсе «Сопротивление материалов» почти
не рассматривается.
Первые работы, посвященные исследованию напря-
женного состояния тонкостенных элементов, появились
в прошлом столетии, однако основное развитие наука
3
о напряженном состоянии тонкостенных стержней, плас-
тин и оболочек получила лишь в последние десятилетия.
Большой вклад в эту науку внесли советские ученые.
По существу все основные идеи в теории тонкостенных
стержней и оболочек, высказанные за последние 40 лет,
принадлежат советской науке. Эти идеи изложены в ра-
ботах В. 3. Власова, А. Л. Гольденвейзера, А. И. Лурье,
В. В. Новожилова, А. А. Уманского и др.
Литература по расчетам элементов конструкций на
прочность и жесткость весьма обширна, однако мате-
риал, относящийся к курсу «Строительная механика
машин», разбросан по разным источникам и во многих
случаях изложен на уровне, доступном лишь достаточно
опытным читателям. В данной книге основные разделы
курса изложены на уровне, доступном для широкого
круга читателей, и пояснены большим количеством
примеров.
Глава 1
ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ
ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
§ 1. Некоторые общие вопросы теории
тонкостенных стержней
Тонкостенные стержни широко применяются в маши-
ностроении в качестве элементов рам, ферм и т. п., а также в ка-
честве подкрепляющих элементов в конструкциях, составленных из
пластин и оболочек, или как самостоятельные детали машин. По-
перечное сечение тонкостенного стержня, называемое иначе его
профилем, имеет вид, подобный показанным на рис. 1.1.
Форма профиля определяется конфигурацией его средней ли-
нии, делящей толщину стенки пополам. Тонкостенные профили
могут быть замкнутые (рис. 1.1, а, б) и незамкнутые или открытые
(рис. 1.1, в/г, д).
Рис 1.1
Стержень можно считать тонкостенным, если толщина стенки,
по крайней мере, в 5—10 раз меньше, чем ширина профиля. К тон-
костенным стержням относятся стандартные прокатные профили —
угольники, двутавры, швеллеры и т. п. Типичными примерами тон-
костенных стержней являются гнутые профили, применяемые
в авиастроении.
Применяя тонкостенные стержни в конструкциях, необходимо
иметь в виду, что их поведение при нагружении существенно отли-
чается от поведения брусьев сплошного поперечного сечения, в осо-
бенности в случае незамкнутого (открытого) профиля (рис. 1.1, в,г,д).
В стержне сплошного поперечного сечения характер распреде-
ления. нагрузок по торцу оказывает влияние на напряженное со-
стояние только непосредственно вблизи торца; уже на небольшом
расстоянии от торца (порядка поперечного размера бруса) распре-
деление напряжений определяется только равнодействующей
сил, приложенных к торцу (принцип Сеп-Венана), Для тонкостей’
5
ных стержней открытого профиля это положение несправедливо;
здесь характер распределения нагрузок по торцу стержня оказы-
вает влияние па напряженное состояние на гораздо большем про-
тяжении, обычно практически по всей длине стержня. Для иллют
страции на рис. 1.2 показаны два бруса, один сплошного попереч-
ного сечения-, другой — двутаврового. Оба бруса нагружены по
торцу одинаковыми силами. В брусе сплошного сечения заданная
система сил вызывает только местные напряжения вблизи торца,
и на небольшом расстоянии от торца напряжения практически об-
ращаются в ноль. В брусе двутаврового сечения приложенные силы
вызывают существенные напряжения и деформации по всей длине.
Рис. 1.2
Это объясняется тем, что стенка, соединяющая полки, имеет малую -
крутильную жесткость и почти не препятствует каждой полке из-
гибаться самостоятельно, как показано на рис. 1.2, в. Такая дефор-
мация стержня носит название изгибно-крутильной. Нормальные,
напряжения в поперечном сечении в этом случае распределяются,
как показано на рис. 1.2, г; они образуют самоуравновешенную
систему сил.
Вторая существенная особенность стержней открытого про-
филя состоит в том, что при свободном кручении они имеют малую
крутильную жесткость; при этом закручивание обычно сопровож-
дается сильным искажением плоскости поперечного сечения, на-
зываемым депланацией. Если, например, сравнить углы закручи-
вания трубы замкнутого профиля (рис. 1.3, а) и незамкнутого
(рис. 1.3,6), то при отношении	труба незамкнутого про-
филя закручивается приблизительно в 1200 раз больше. При этом
кручение трубы незамкнутого профиля сопровождается силь-
ным искажением плоскости поперечного сечения, как показано
6
ва рис. 1.3, в. Картина деформации при кручении незамкнутого
тонкостенного стержня, однако, совершенно изменяется, если на
, торцы будут наложены связи, не допускающие искажения их плос-
кости (например, если торцы стержня будут приварены к жестким
плитам). В этом случае на торцах возникнет система взаимоу равно-
решенных, нормальных напряжений, и крутильная жесткость воз-
М.
Рис. 1.3
1
Рис. 1.4
растет в несколько раз. Такой вид кручения называется стеснен-
ным".
Общая теория расчета тонкостенных стержней, учитывающая
отмеченные выше их особенности, разработана В. 3. Власовым,
А. А. Уманским и другими авторами [10, 21, 26].
Приступая к изучению теории кручения тонкостенных стерж-
 ней, прежде всего напомним некоторые общие положения, касаю-
 щиеся распределения напряже-
ний при кручении.
1. Касательные напряжения
в поперечном сечении бруса в
точках, расположенных у кон-
тура сечения, всегда направ-
лены по касательной к контуру.
Действительно, если напряже-
ние было бы направлено под
углом к контуру, то его можно
было бы разложить на две со-
.ставляющие т' и т* (рис. 1.4, а).
По закону парности касательных
должно соответствовать равное ему
Поверхности. Но так как наружная поверхность свободна от на-
• прядений, то т'" = 0; следовательно, т" также равно нулю и
' остается только касательное напряжение т', направленное вдоль
контура.
2. Касательные напряжения в точках, расположенных вблизи
выступающих углов, равны нулю (рис. 1.4,6). Это положение
• доказывается аналогично.
На основании указанных положений можно составить некоторое
представление о характере распределения касательных напряже-
напряжений напряжению т"
напряжение т'" на наружной
7
ний в поперечном сечении бруса при кручении. Еще более ясное
представление о распределении напряжений можно получить, ис-
пользуя аналогии кручения с некоторыми другими физическими
явлениями.
Широко применяются две аналогии кручения: гидродинамиче-
ская и мембранная.
Согласно гидродинамической аналогии, распределение каса-
тельных напряжений подобно распределению скоростей жидкости
при ее вращательном движении в сосуде такой же'формы, как попе-
речное сечение бруса. Это следует из аналогии уравнений, описы-
вающих оба эти явления.
На рис. 1.5 в качестве примера изображен сосуд прямоуголь-
ной формы. При вращательном движении жидкости вектор скорости
в контурных точках будет направлен вдоль контура (рис. 1.5, а).
Наибольшей величины ско-
рость будет достигать в
точках, расположенных по-
средине длинных сторон
прямоугольника. В угло-
вых точках, а также в
центре скорость будет рав-
на нулю. Именно такое
распределепне касательных
напряжений имеет место
при кручении прямоуголь-
ного бруса. Сказанное бу-
ч)
Рис. 1.5
дет справедливо и при
любой другой форме поперечного
сечения.
Остановимся на другой важной аналогии кручения, известной
под названием мембранной. Представим себе рамку, имеющую та-
кую же форму контура, как и поперечное сечение бруса. На рамку
натянута тонкая резиновая или мыльная пленка. При действии на
пленку равномерного давления ее плоскость переходит в выпук-
лую поверхность. Если натяжение пленки постоянно по плоскости
и изгибная жесткость мембраны пренебрежимо мала, то уравнение
упругой поверхности мембраны подобно уравнению, определяющему
функцию напряжений в задаче о кручении. Из сопоставления урав-
нений следует, что угол наклона нормали в каждой точке выпуклой
поверхности пропорционален величине касательного напряжения
в соответствующей точке поперечного сечения; горизонтали поверх-
ности (линии одинакового прогиба) соответствуют траекториям ка-
сательных напряжений (т. е. линиям, вдоль которых направлены
касательные напряжения).
Объем, ограниченный поверхностью, пропорционален жесткости
бруса на кручение.
Мембранную аналогию широко применяют для эксперимен-
тального определения величины напряжений и крутильной жест-
кости брусьев сложного поперечного сечения. При этом используют
в
следующие зависимости:
(1-1)
Где $ — измеренный угол наклона пленки, рад;
т — касательное напряжение;
G — модуль сдвига;
6 — относительный угол закручивания;
Т—натяжение пленки, Н/см;
р — давление, Н/см2;
и — объем, ограниченный упругой поверхностью мембраны
(определяемый экспериментально).
Величину
входящую в приведенные формулы, определяют
опытным путем на круглой мембране с использованием известных
значений напряжений и крутильной жесткости бруса круглого по-
перечного сечения.
В качестве примера на рис. 1.5, б изображена выпуклая поверх-
ность мембраны прямоугольного контура. Как можно видеть,
наибольшей величины угол наклона dmax достигает в точке, распо-
ложенной посредине длинной стороны прямоугольника. В угло-
вых же точках и в центре прямоугольника угол наклона нормали
равен нулю.
Рассмотрим вопрос о положении центра кручения и о депланации
(искажения плоскости) поперечного сечения.
Центром кручения будем называть точку в поперечном сечении,
через которую проходит продольная ось и вокруг которой проис-
ходит поворот одного поперечного сечения относительно другого.
При свободном кручении в пределах малых деформаций положе-
ние центра кручения остается неопределенным. Это объясняется
тем, что любую продольную ось, проходящую через произвольную
точку поперечного сечения, можно принять за неподвижную и счи-
тать, что в пределах малых деформаций она не искривляется. При
перенесении центра кручения из одной точки в другую добавляется
лишь некоторый поворот бруса как жесткого целого относительно
поперечных осей.
Обозначим через 6 угол закручивания, отнесенный к единице
длины бруса, и через w — перемещение произвольной точки сечения
в направлении оси бруса. На рис. 1.6, а и б показан бесконечно ма-
лый элемент закрученного бруса, выделенный двумя поперечными
и двумя продольными сечениями. На рис. 1.6, в тот же элемент
изображен в плане — сплошными линиями до деформации и штри-
ховыми — после деформации. Точки А и Лх элемента до и после
Деформации совмещены. Вследствие депланации точка D получает
осевое смещение относительно точки А, равное dw, и переходит
в точку Dt. При этом отрезок AD поворачивается в плоскости DAB
dw
на угол а =	.
Определим перемещение точки В. При закручивании бруса
поперечные сечения поворачиваются одно относительно другого
на угол Jip = 0dz вокруг некоторой точки Р. При этом точка В
получает смещение по окружности ВВг = p6dz и переходит в по-
Рис. 1.6
ложепие Вх (рис. 1.6, би в). Перемещение точки В в плоскости, ка-
сательной к контуру, равно проекции отрезка ВВ} на направление
касательной
ВВ2 = В Bi cos ф,
но
cosip = <,
где г — длина перпендикуляра, опущенного из точки Р на каса-
тельную к контуру.
Следовательно,
ВВ2 — рО dz — = 6r dz.
10
4-^Разделив это перемещение на АВ — dz, получим угол поворота
'отрезка АВ в касательной плоскости:
р — Or.
Очевидно, что разность углов fJ н а представляет собой измене-
, ние прямого угла DAB, т. е. угловую деформацию
у = р-а.
Подставив значения углов а и Р и выразив угловую деформацию
по закону Гука, получим следующую зависимость:
или
dw — —>.- + Ords.
(1.2)
Здесь через т обозначено касательное напряжение в поперечном
сечении по направлению касательной к контуру.
Величина rds, равная удвоенной площади треугольника с основа-
нием ds и высотой г (рис. 1.6, г), представляет собой элемент так
называемой сектор иальной площади
rds ~ d(a.
(1.3)
Используя обозначение (1.3) и интегрируя (1.2) по контуру в
пределах от 0 до s, найдем величину осевого смещения точки S
контура
ws ~

(1.4)
Функция w (s) характеризует депланацию контура. Величина
(05 называется секториальной площадью и равна удвоенной площади
сектора OPS (рис. 1.6, в). Будем считать эту величину положитель-
ной, если при обходе контура от точки О к точке S движение совер-
шается по часовой стрелке (относительно полюса Р).
Некоторая неопределенность величины смещения w, связанная
с произвольностью выбора центра кручения Р и начала от-
счета О, отражает возможность перемещения бруса как жесткого
целого в продольном направлении и поворота его относительно
поперечных осей.
Перемещение w отсчитывается от плоскости, перпендикулярной
продольной оси, проходящей через точку Р (в деформированной
системе) и заключающей в себе начало отсчета О. При изменении
положения точек Р и О положение этой плоскости изменяется.
Следует заметить, что зависимости (1.2) и (1.4) справедливы для
любого поперечного сечения, в том числе и для сплошного. В по-
следнем случае под т следует понимать составляющую напряжения
по направлению касательной к выбранному контуру s.
§2. Свободное кручение тонкостенных стержней
замкнутого и незамкнутого профиля
ds
Рис. 1.7
Кручение называется свободным, если депланация
сечения ничем не стеснена.
В случае круглого поперечного сечения, сплошного или полого,
а также в некоторых частных случаях некруглого сечения деплана-
ции при кручении не возникает. В этих случаях кручение всегда
будет свободным независимо от связей, наложенных на торцы.
При свободном кручении в поперечных сечениях действуют
только касательные напряжения. Нормальные напряжения отсут-
ствуют, так как депланация всех сече-
ний одинакова, и удлинения про-
дольных волокон равны нулю.
Теория свободного кручения тон-
костенных стержней достаточно полно
рассматривается в курсе «Сопротивле-
ние материалов», поэтому ограничимся
лишь тем, что приведем основные
результаты.
На рис. 1.7 изображен тонкостен-
ный замкнутый профиль с контуром
произвольной формы. Толщина стенки 6 вдоль контура может быть
переменной. Если толщина стенки мала, то с достаточной сте-
пенью точности можно считать, что касательные напряжения по
толщине стенки постоянны и во всех точках направлены параллельно
средней линии контура сечения. Вдоль контура напряжения из-
р
Рис. 1.8
меняются так, что произведение величины напряжения на толщину
стенки б остается постоянным:
тб = const.	(1.5)
Справедливость этих положений легко доказать, используя гид-
родинамическую аналогию. К тем же выводам относительно харак-
тера распределения напряжений т можно прийти, используя мем-
бранную аналогию; при этом наружный контур мембраны надо счи-
тать неподвижным, а внутренний — прикрепленным к жесткой
пластине, которая может перемещаться поступательно в вертикаль-
ном направлении, как показано на рис. 1.8.
12
Напряжение в произвольной точке контура связано с крутя-
щим моментом зависимостью
М кр
Т=Ж'
(1-6)
Наибольшей величины напряжение достигает там, где толщина
стенки наименьшая:
Л1КП ЛГКП
=	('7)
здесь Р/кр — момент сопротивления кручению
Гкр = 2/6т1п;	(1.8)
f — площадь контура по средней линии.
Угол закручивания па единицу длины стержня вычисляется по
следу юще й фор м ул с:
а — Л1кр
GJKp’
(1-9)
где /кр — геометрический фактор жесткости при кручении в см4.
(1-10)
СУ У
При постоянной толщине стенки формула (1.10) упрощается:
Лр = 4/2-^	(110а>
где S — периметр профиля по средней линии.
Формулу (1.9) обычно выводят, рассматривая энергию деформа-
ции стержня. Однако более просто ее можно получить, используя
зависимость (1.2). Поскольку осевое перемещение w в каждой точке
контура имеет одно единственное значение, то интеграл от dw по
замкнутому контуру должен быть равен нулю:
^Кр ds
 * “ •   —
2f& (j
Отсюда, с учетом равенства = 2/6 нетрудно получить фор-
мулу (1.9).
Приведем пример определения депланации при свободном кру-
чении стержня замкнутого профиля.
Пример 1.1. Коробчатый стержень (рис. 1.9, а) нагружен крутящим момен-
том Л1кр = 100 Ц-м. Определить дспланацию поперечного сечения.
Дано: 6 — 2,5 мм; Н — 206; В = 106; / = 1 м; G = 8- 10я Н/сма.
Площадь контура сечения / = ВН — 200б2 см2.
Периметр контура S = 2В -f- 2Н - 606 см.
25
Момент сопротивления кручению W,’Kp = 2f6 = 4005:l = см3.
13
Геометрический фактор жесткости при кручении
j —	=,	СМ4
'кр— х з lkr 12
Касательное напряжение (постоянное по контуру) т=~£= 1600 Н/см2.-
** кп
Л1	г
Угол закручивания на единицу длины 8=12-Ю-6 рад/см =
кр
= 0,69 град/м.
Рис. 1.9
Для определения депланации сечения поместим полюс Р в центре сечения
и выберем начало отсчета секториальной площади в точке О.
Запишем координаты ряда точек и значения секториальной площади со:
для точки О
Wq=0j
для точки А
Н	25
~2~ = 106=2»5 см; “л=2^аорл = 5О6‘2 = 8 см2'
14
V.i Для точки В
s =sA + -" =156 = 3,75 см;
-ГЛ .	f Л 4
' U;
ДЛЯ точки С:
'4 sc~sB 2 =20^—5 см;
50
to/j — «д 4_ 2/д а рн ~ ’ 006“ = g- см2;
75
°с = ыв 4~ 2f ызрс = 1506'2 = g см2
Осевые смещения точек’сечения вычислим по формуле (1.4);
 в точке О
.7	и’о = 0;
* в точке А
ts .	1
WA^— G 4 °“д=—у6с -^- = —12,5-10 см;
г
в точке В
tsb
-q -J- СсОц — 0;
в точке С
WC = -	+ ewC = + Да T^f- = 12-5  Ю"6 см-
с (j с 1о0 (jo£
Эпюра осевых смещений приведена на рис. 1.9, е.
Осевые смещения, связанные с .депланацией сечения, играют
 ?' существенную роль при стесненном кручении, когда депланация
- торцов не может происходить свободно. В этом случае напряжения
• и деформации могут сильно отличаться от соответствующих вели-
чин при свободном кручении. Исследование стесненного кручения
имеет особенно большое значение для открытых профилей. Для
замкнутых профилей этот вопрос менее существенен, так как напря-
жения, возникающие за счет стеснения депланации, не велики и
при удалении от места стеснения депланации быстро затухают.
Теория стесненного кручения замкнутых профилей изложена
в работе [21]. В некоторых случаях депланация тонкостенных замк-
нутых профилей вообще не возникает, следовательно, не может быть
и стесненного кручения. В частности, не дает де планации замкнутый
профиль постоянной толщины, контур которого представляет собой
, многоугольник, описанный около круга. Действительно, для та-
кого профиля
- = const; f== 2
A4KnS
Л1кр
2/6 = const;
(о — rs,
1
j 
где S — периметр, as — координата произвольной точки, отсчиты
ваемая вдоль контура.
Подставив эти величины в уравнение (1.4), найдем, что осевое
смещение в произвольной точке равно нулю.
Также не дает депланации прямоугольный замкнутый профиль,
У которого толщина стенки на коротких сторонах меньше, чем
4	15
1
/
на длинных сторонах, во столько же раз, во сколько В меньше Н
(В и И — малая н большая стороны прямоугольника). *
Остановимся кратко на вопросе о кручении стержней много-
связного замкнутого профиля.
На рис. 1.10, а в качестве примера показан трехсвязный про-
филь. Примем, что на участке АСВ толщина постоянна и равна
б^ длина дуги Si и напряжение Тр Аналогично на участке BDA:
б2; S2; т2 и в переборке В А — б3, S3 и т3. Из условия постоянства
Рис. 1.10
циркуляции касательного напряжения следует, что ть т2 и т3 свя-
заны соотношением
(1.11)
Выбрав произвольно полюс Р (рис. 1.10, а), вычислим крутящий
момент
Л1 кр = $ тД dsxr + 5 Т2^2 ^s2r + $ Т3б3 —
Si	S2	Л’д
-- Tjdi dsYr 4- т2б2 ds2r -j- т3б3 $ ds/.
Si	St	Si
Ho
dsxr — s= 2fp/1C/};
ds2r = (02 = 2/ PHD A,
$ ds/ — 6)3 — 2fPHA.
s
И, кроме того,
fpACIi + fpH л = fl ’> f PHD A — fpHA ~ fz>
где /i и f2 — площади левой и правой области соответственно.
Следовательно,
Л1Кр — (2fi — 2/ррд) + т262 (2f2 4-2/рДд) 4-т3б32/рйл,
или с учетом соотношения (1.11)
(1-12)
Еще два уравнения, необходимые для определения ть т2, т3,
получим, применив зависимость (1.4) к замкнутым контурам АСВА
и ABDA'.
-*	|	*5* я
_ {	|-02/, = О или т^Я-т353 = 2^00; (1.13)
О	о
О	*Sg
С	f	02f2==0 или	-T3S3+T2S2 = 2f2G0.	(1.14)
S3'	O
Решение системы уравнений (1.11)—(1.14) приводит к следую-
щим- зависимостям:
[SsMiW + S-AAlMKp
T1 = 2S36,6.. (/, +/a)2 + 26;,6lS2/M-26;6.,S1/; ’’
[5;д (/,+/..) 4-WJMkp
Tz = 2ХД62 (HfjW, S.Ji +	;
_ _Tl{\—^2^2.
3" ’
Л „ Т1^1Ч~Т2^2
2б(Л-Нг)'
(1-15)
(1.16)
(1-17)
(1.18)
Пример 1.2. Поперечное сечение стержня изображено на рис. 1.10, б. Опре-
делить напряжения при свободном кручении.
В данном случае 6j =- б2 = б3 — б;
Sr = 6tj; Х.. = 4н; S3 = 2a; Л = 4а2; f2 = 2aa.
По формулам (1.15)—(1.18) найдем
7 Л1|<р	6 Л1кр	। МКр
Т1 = 80 ^б ’ Та “ 80 «*6 ’ Тэ = 80 “^б ’
_ П Л1кр
° “ 160 Go36 ’
Для сравнения укажем, что величина напряжения при кручении того же
Л1кр
профиля, но без переборки, т= что на 5% меньше, чем тр Следовательно,
установка переборки приводит к небольшому увеличению максимального напря-
жения.
Величина угла закручивания профиля с переборкой на 1% меньше, чем про-
филя без переборки.
Если переборка установлена точно посредине профиля, гак что 5, = S8,
/1 ~ /г. то крутящий момент полностью передается на наружную оболочку и
переборка остается ненапряженной.
Приведенное решение приближенное, так как в нем не учтена
переменность напряжения по толщине стенки и не отражен характер
. напряженного состояния в узловых точках, где около входящих
углов возникает концентрация напряжений.
Перейдем к рассмотрению теории свободного кручепия тонко-
стенных стержней открытого профиля.
! Вначале рассмотрим свободное кручение тонкой полосы пря-
моугольного сечения. Тонкая 1?ол<^^режта1тгет“СГ7бо,й^рте:1сй-
»	!4 Ь Л И ОУЕНА :
17
t
30210)

ший тонкостенный брус незамкнутого профиля и может рассматри-
ваться как элемент более сложных незамкнутых сечений {двутавр,
швеллер и т. д.).
Распределение касательных напряжений по поперечному сече-
нию полосы показано на рис. 1.11. Наибольшей величины напря-
жение достигает в точках, расположенных вдоль длинной стороны
прямоугольника, и по длине стороны имеет примерно постоянное
значение.
а.--------------------------Л
Рис. 1.11
Решение задачи о чистом кручении тонкой'полосы (при b б),
выполненное методами теории упругости, приводит к следующим
зависимостям:
д . . Л?КР .
GJKp’
Мкр
^za max “ П7 ’
кр
(1-19)
(1.20)
где JKp — геометрический фактор жесткости полосы при кручении
=4 W»;
1	I J
(1-21)
№кр — момент сопротивления кручению полосы;
Г.р = 4 Ь6>.
(1.22)
Формулу для ттах можно написать также в следующем виде:
т2х,пах=--Сбб.	(1.23)
Величина напряжения т.у п1ах в точке, расположенной посредине
короткой стороны:
Tz^niax ” 0»74Тгл-max*	(1.24)
Несмотря на то, что область, в которой действуют напряжения
Ту,, невелика, доля воспринимаемого ими момента значительна,
так как эти напряжения образуют пару сил с большим плечом.
Чтобы составить представление о распределении касательных
напряжений при свободном кручении сложных незамкнутых про-
филей (рис. 1.12, а и б), воспользуемся мембранной аналогией.
Представим себе выпуклую поверхность пленки натянутой на кон-
18
0
Jwp заданной формы. Горизонтали этой поверхности, соотвеч' полог»
*п.ие траекториям касательных напряжений, имеют форму, noi’,e','>
^дую стрелками на рис. 1.12, а и б. Напряжение как бы обегает >ответ.
%онтур сечения. В точках же, расположенных на средней линщая,
'Напряжение равно пулю.
Для вывода расчетных зависимостей рассматриваемые npofo
^ представляют в виде нескольких отдельных полос, которые за
Цчиваются на одинаковый угол (рис. 1.12, в и г). Законность так
- ^-разделения можно обосновать с помощью той же мембранной ан.
^логии. Действительно, если представить себе выпуклую поверх-
ность пленки, натянутой на заданный контур и на такой же контур,
’ ^разделенный на отдельные прямоугольники, то можно увидеть, что
 • при малой толщине стенки форма поверхности и углы наклона
Рис. 1.12
г)
' пленки будут практически одинаковыми, за исключением областей,
X близких к перемычкам. Следовательно, значения наибольших на-
. _ пряжений для обоих контуров будут приблизительно одни и те же.
Также приблизительно одинаковыми будут и значения геометриче-
ского фактора жесткости кручения JKp, так как последний пропор-
ционален объему, ограниченному поверхностью пленки. Приняв,
что этот объем для заданного профиля равен сумме соответствующих
.. объемов для отдельных прямоугольников, придем к заключению,
Ц что геометрический фактор жесткости Укр для заданного профиля
« равен сумме соответствующих величин для отдельных прямоуголь-
ников:
>	(1.25)
О-
' Для профиля, состоящего из прямоугольных и трапециевидных
полосок, можно написать более общую формулу:
Л
(1.26)
19
ший тонкостенный брус незамкнутого профиля и может рассматри-
ваться как элемент более сложных незамкнутых сечений (двутавр,
швеллер и т. д.).
Распределение касательных напряжений по поперечному сече-
нию полосы показано на рис. 1.11. Наибольшей величины напря-
жение достигает в точках, расположенных вдоль длинной стороны
прямоугольника, и по длине стороны имеет примерно постоянное
значение;
Рис. 1.11
Решение задачи о чистом кручении тонкой полосы (при b 6),
выполненное методами теории упругости, приводит к следующим
зависимостям:	Л / К 0 е =	(1.19) кр Л1кп Тгх max ц/ . ’	(1 -20)
где JKp — геометрический фактор жесткости полосы при кручении
I — -- Ь&-
(1-21)
И7кр — момент сопротивления кручению полосы;
о
(1-22)
Формулу для тП]ах можно написать также в следующем виде:
Т/д max “ G06.	(1.23)
Величина напряжения тг1, П1;1Х в точке, расположенной посредине
короткой стороны:
Тинглах ~ 0>74тгл-max-	(1.24)
Несмотря на то, что область, в которой действуют напряжения
тгу, невелика, доля воспринимаемого ими момента значительна,
так как эти напряжения образуют пару сил с большим плечом.
Чтобы составить представление о распределении касательных
напряжений при свободном кручении сложных незамкнутых про-
филей (рис. 1.12, а н б), воспользуемся мембранной аналогией.
Представим себе выпуклую поверхность пленки натянутой на кон-
18
тур заданной формы. Горизонтали этой поверхности, соответствую-
щие траекториям касательных напряжений, имеют форму, показан-
ную стрелками па рис. 1.12, а и б. Напряжение как бы обегает весь
контур сечения. В точках же, расположенных на средней линии,
напряжение равно нулю.
Для вывода расчетных зависимостей рассматриваемые профили
представляют в виде нескольких отдельных полос, которые закру-
чиваются на одинаковый угол (рис. 1.12, в и г). Законность такого
разделения можно обосновать с помощью той же мембранной ана-
логии. Действительно, если представить себе выпуклую поверх-
ность пленки, натянутой на заданный контур и на такой же контур,
разделенный на отдельные прямоугольники, то можно увидеть, что
при малой толщине стенки форма поверхности и углы наклона
Рис. 1.12


пленки будут практически одинаковыми, за исключением областей,
близких к перемычкам. Следовательно, значения наибольших на-
пряжений для обоих контуров будут приблизительно одни и те же.
Также приблизительно одинаковыми будут и значения геометриче-
ского фактора жесткости кручения JKP, так как последний пропор-
ционален объему, ограниченному поверхностью пленки. Приняв,
что этот объем для заданного профиля равен сумме соответствующих
объемов для отдельных прямоугольников, придем к заключению,
что геометрический фактор жесткости JKP для заданного профиля
равен сумме соответствующих величин для отдельных прямоуголь-
ников:
(1-25)
Для профиля, состоящего из прямоугольных и трапециевидных
полосок, можно написать более общую формулу:
(1.26)
где 6/ср — средняя толщина; kt — уклон; ki =
19
Угол закручивания незамкнутого профиля на единицу длины
М к р
кр
(1.27)
Экспериментальная проверка приведенных зависимостей пока-
зала, что фактическая жесткость сложных профилей приблизи-
тельно на 10% выше вычисленной по формуле (1.25), поэтому иногда
в формулу (1.25) вводят поправочный коэффициент а:
п
I
(1.28)
Для двутавровых сечений рекомендуется принимать а — 1,2;
для швеллеров а -- 1,12$ для сварных двутавров с поперечными
стенками при шаге t — З/i а__ 1,5.
Вычислив JKp и 6, с помощью зависимости (1.23) можно опре-
делить и максимальное напряжение для каждого прямоугольника.
Рис. 1.13
п
Очевидно, что самое большое
напряжение будет в том прямо-
угольнике, ширина которого
наибольшая. Следовательно, для
профиля в целом можно написать
______" "I*
^тах — ^UOmax = т
или
__ ^кр
^тах -— ТТу >
" кр
где
W =/кр,
w КР S
max
(1 -29)
(1.30)
(1.31)
Отметим некоторые особен-
ности гнутых незамкнутых про-
филей. Такие профили имеют
постоянную по контуру толщину 6 и могут быть развернуты
в прямую полосу шириною S, как показано штриховой линией на
рис. 1.13, а и б.
Используя метод мембранной аналогии, нетрудно показать, что
величины касательных напряжений и значения геометрического
фактора жесткости при кручении заданного профиля и полосы с раз-
мерами поперечного сечения 5x6 будут соответственно равны.
Поэтому при расчете на свободное кручение рассматриваемых про-
филей можно использовать зависимости (1.20)—(1.23), подставив
в них вместо b развернутую длину контура S.
Рассмотрим вопрос о депланации сечения тонкостенных стерж-
ней незамкнутого профиля. Так как касательные напряжения в точ-
20
ках средней линии контура равны нулю, то согласно зависимости
(1.2):
dw=^Qda).	(1.32)
Выбрав произвольно полюс Р и начало отсчета О и проинтегри-
ровав уравнение (1.32) в пределах от 0 до s, найдем осевое смещение
произвольной точки контура

г-.
ws = 6(of.	(1.33)
Неопределенность величины смещения, связанная с произволь-
ностью выбора полюса Р и начала отсчета О, отражает возможность
перемещения и поворота бруса как жесткого целого.
Зависимость (1.33) показывает, что осевое смещение точек кон-
тура подчиняется закону распределения секториальпых площадей.
Для иллюстрации этой зависимости приведем несколько простых
- примеров.
Пример 1.3. Определить относительное перемещение точек А и В профиля,
изображенного на рис. 1.13, а.
Совместим полюс Р с центром окружности, а начало отсчета секториальной
площади — с точкой А, При движении вдоль контура от точки А к точке В радиус
- ...	,	iiD2
РМ покрывает площадь f, равную площади круга ~т~<
Учитывая, что векториальная площадь равна удвоенной площади /, получим
лО8
ыв/л ““г"*
Тогда по формуле (1.33)
WB/A
_ fi л£)3
— 0(ОВ/Л — 6 ~2~
Мкр
После подстановки значений 0 = угг— и =
кр
3 Л1крО
— л£)63 получим
2 6'63 *
Отметим, что при определении перемещения выбор полюса не имеет z
значения, так как при любом положении полюса секториальная площадь
равна удвоенной площади круга.
Пример 1.4. Определить угол закручивания, наибольшее напряжение и
Дёпланацию сечения стержня, профиль которого изображен-на рис. 1.14.
Дано: б = 2,5 мм; Н = 206; В = юб; / = 1 м; G = 8-10° Н/см2, =
«= 100 Н-м.
Геометрический фактор жесткости
JKP = 1 S63 = 206* = см1.
кр 3	64
Угол закручивания на единицу длины
Л^кр
6У кр
ая
= б7^
= 16-10 3 рад/см 92 град/м
и наибольшее напряжение
ттах = 6’66 = 32 -10* Н/см2.
И J Я л	»
21
Сопоставив полученные значения со значениями для аналогичного замкну-
того профиля (см. рис. 1.9), можно увидеть, что угол закручивания для незамкну-
того профиля получается приблизительно в 130 раз больше, чем для замкнутого,
а напряжение т;гппх больше в 20 раз.
Для определения депланации выберем положение полюса Р и начала отсчета О
в одной и той же точке, как показано па рис. 1.14, б. Построим эпюру секториаль-
Рис. 1.14
ной площади. На каждом участке эпюра будет линейной, так как расстояние г
от полюса до касательной к контуру в пределах участка остается постоянным.
Для участка ОА г — 0 и со = 0.
Для участка ОВ г  =  — 106. При движении от А к В радиус-вектор покры-
Хи
вает площадь fPAn треугольника РАВ, равную 5062. Сскториальная площадь
равна удвоенной площади fPAI}, т. е. — I0062.
Рис. 1.15
Аналогично, для участка ВС г — В = 106, сос = сод 4- 2/дрс = 200ба.
Эпюра W показана на рис. 1.14, б.
Так как осевое смещение пропорционально секториалыюй площади, то эпюра
осевого смещения подобна эпюре со. Наибольшей величины смещение (по отно-
шению к точке О) достигает в точке С:
10/Икп
и>с = 0сос== -^=0,2
и с Go4
см.
22
При одинаковых значениях крутящего момента величина наибольшего осе-
вого смещения в этом случае получается в 1600 раз больше, чем в случае замкну-
того профиля.
Распределение осевых смещении, показанное на эпюре рис. 1.14, б, соответ-
ствует тому случаю, когда за неподвижную образующую принята образующая,
проходящая через точку О.
Пример 1.5. Определить депланацию сече- Р,0	Р,0
ими, возникающую при свободном кручении
двутавра № 20 (рис. 1.15, а).
На рис. 1.15, б показан «скелет» двутавра;
отмечено положение полюса Р и начала от-
счета О и построена эпюра секториальной пло-
щади (О.
Наибольшей величины осевое смещение до-
стигает в угловых точках
Рис. 1.16
= «“max = 47-2 ' ° СМ’
Характер деформации двутавра при чистом кручении показав па рис. 1.15, в.
Отметим, что брусья, имеющие тавровое или угловое сечение (рис. 1.16,а и б),
при чистом кручении не дают депланации. Действительно, если поместить полюс Р
и начало отсчета О в узловой точке, то для всех точек сечения получим секториаль-
ную площадь, равную нулю, а следовательно, будут равны нулю и осевые смеше-
ния w.
§ 3. Секториальные характеристики
тонкостенных профилей
В § 1 было дано определение секториальной площади
со, как удвоенной площади сектора, ограниченного частью контура
OS и двумя радиусами РО и PS, проведенными из полюса Р (см.
рис. 1.6). Каждой точке контура соответствует определенное зна-
чение
co$ = ^rc/s,	(1.34)
6
где s — координата точки S, отсчитываемая от точки О вдоль кон-
тура. Знак секториальной площади считается положительным, если
при движении по контуру от О до S радиус-вектор вращается по ча-
совой стрелке.
Выберем систему координат х, у с началом в точке Р и выразим
со через декартовы координаты х и у. Согласно чертежу (рис. 1.17)
г •_	— ML —у cos а — х s in а
и, кроме того,
cos а =
dx
ds *
du
sin a — , 
ds
Подставив эти величины под знак интеграла в уравнение (1.34),
получим
со — (у dx — х dy).	(1.35)
о
23
Величина секториальной площади зависит от трех параметров,
а именно, от двух координат полюса Р и от положения начала от-
счета О.
Выясним, как изменяется секториальная площадь при переносе
полюса из одной точки в другую.
Рис. 1.17
Рис. 1.18
положение полюса; Рг — новое
Пусть — первоначальное
положение полюса (рас. 1.18), тогда
х2 ^х1~а\
Уч =^У1 — Ь;
S	S
“2 = $ (.Уч dx — х.у dy) J [(«/1 — b) dx — (Xj — a) dy] =
0	O
s	s	s
~ 5 (У1 dx — A'i dy) — b dx + a \ dy.
0	0	0
Формула для пересчета секториальной площади при переносе
полюса принимает вид
w2 =	- b {х — х0) + а {у — у0),	(1.36)
где а и b — координаты нового полюса относительно первона-
чального;
х \\ у — координаты рассматриваемой точки S;
х0 и г/0 — координаты начала отсчета О.
Система осей, относительно которой берутся координаты х,
У. А'о, Уо> может быть произвольной, но параллельной осям хь ух и
х2, Уч (см. рис. 1.18).
Из уравнения (1.36) следует, что при переносе полюса из одной
точки в другую секториальная площадь <о изменяется на величину,
линёйно зависящую от координат х и у точки S. Это изменение
секториальной площади соответствует осевым перемещениям то-
чек сечения, возникающим при повороте стержня как жесткого
целого относительно осей х и у. При изменении положения начала
отсчета О секториальная площадь изменяется на постоянную вели-
24
чину, что соответствует перемещению стержня как жесткого целого
в направлении его оси. Кроме секториальной площади со, в даль-
нейшем нам потребуются следующие секториальныс характеристики
тонкостенных профилей:
секториально-статический момент площади профиля, см4
Sl0 = $ adF;
F
(1 -37)
секторнаяьно-линейные моменты площади профиля, см5
: = j coxdF;
F
F
(1.38)
(1.39)
секториальный момент инерции профиля, см°
Ло = J gj2 dF.
F
(1.40)
Величины Stl), SMX, Swv могут быть положительными, отрицатель-
ными или равными нулю. Величина Ja всегда положительна (или
равна нулю, если для всех точек профиля со = 0).
Для гнутых профилей, имеющих постоянную толщину стенки 6:
S
S(iix — 6\ ых ds‘
S
5
Jta ~ б 5(|)2 ds.
S
(1.37а)
(1.38а)
(1.39а)
(1.40а)
Для стандартных прокатных профилей значения сектор и аль но го
момента инерции приводятся в справочной литературе 123]. При
стесненном кручении центр кручения, а также начало отсчета сек-
ториалыюй площади не могут быть выбраны произвольно. В § 4
будет показано, что эти точки должны быть выбраны так, чтобы
секториально-линейные моменты, а также секториалыю-статиче-
ский момент были равны нулю, т. е.
5(,и —
\ гох dF — 0;
F
S<BV = $ toydF = 0;
F
S(l) = gj dF = 0.
F
(1.41)
(1-42)
(1-43)
Выполнение условий (1.41), (1.42) зависит только от выбора
координат полюса. В дальнейшем центром кручения тонкостенного
25
профиля будем называть полюс Р, при котором выполняются усло-
вия (1.41) и (1.42),
Выполнение третьего из написанных условий зависит от выбора
начала отсчета О. Если эпюра секториальной площади построена
при полюсе, совмещенном с центром кручения, и при начале от-
счета, выбранном так, чтобы выполнялось также условие (1.43),
то такая эпюра называется эпюрой главной секториальной пло-
щади.
Для расчетов тонкостенных стержней на стесненное кручение
требуется эпюра главной секториальной площади. На основании
этой эпюры вычисляется главный векториальный момент инерции
который входит в расчетные зависимости. Отметим, что условия
(1.41), (1.42) и (1.43) должны выполняться при любой системе осей
координат, т. е. оси х, у не обяза-
тельно должны быть главными и
центральными, однако для упро-
щения расчетов будем пользоваться
центральными осями координат,
удовлетворяющими условию
dFx = 0; dFy ~ 0-
F	F
Выведем формулу для вычис-
ления координат центра кручения.
Пусть задан некоторый тонко-
стенный профиль (рис. 1.19). Оси
координат х и у проведем через
центр тяжести профиля С, Далее,
задавшись произвольно положением полюса Рх и начала отсчета
OJt построим эпюру секториальной площади
Кроме эпюры (Ох, целесообразно построить еще эпюры перемен-
ных х и у, чтобы иметь возможность вычислять геометрические и век-
ториальные характеристики перемножением эпюр по правилу Ве-
рещагина.
Предположим, что искомый центр кручения профиля находится
в точке Р, расположенной на расстоянии а и b от произвольного вы-
бранного полюса Pj. Тогда векториальная площадь, соответствую-
щая полюсу Р, согласно уравнению (1.36):
Рис. 1.19
«о = (DX - b (X — л'о) + а (у~у0).
Эта секториальная площадь должна удовлетворять равенст-
вам (1.41) и (1.42):
J [wi — b (х — х0) Н-а (у — //0)]у dF= 0;
Г
jj [(»! — Ь (х — xv)	а (у — у0) J xdF = 0.
г
26
Раскрыв скобки и приняв во внимание, что
y-dF — Jx\ jjx2dF = Jv; $ xydF Jvv;
f	f
J Mtydl' = SbU!/; J <>yxdF = S^tX‘,
F	F
\xdF = Sv = 0; \ydF = Sx~0
F	F
(так как оси x, у — центральные), преобразуем уравнения к виду

bJXy “1“ ClJх -
Oh*
— bJу -j- aJ -—- 0.
В результате решения этой системы уравнений определяются
искомые координаты центра кручения:
(1-44)
(1 -45)
Положение начала отсчета С\ в данном случае не играет роли,
так как секториальные характеристики Sw.v и SiCty при изменении
начала отсчета не изменяются (если х и у — центральные оси).
Действительно, выбрав другое начало отсчета, получим значение
секториальной площади, отличающееся от прежнего на постоянную
величину:
~~ Wj “1“ С.
Подставив это выражение под знак интегралов Scov и SWJ„ получим
S&tX = \ (s)2xdF = $ ayxdF + С J xdF;
F	F	F
SM,,, =-= J <i)2ydF = J (dtydF + C J ydF.
F	F	F
Но так как J xdF = 0 „ \ydF = 0, to	и
F	F
Формулы (1.44) и (1.45) упрощаются, если оси х и у не только
центральные, но и главные; в этом случае Jху = 0 и тогда
--Г-;	(1.44а)
(1.45а)
Для несимметричных профилей применение формул (1.44а)
и (1.45а) обычно не приводит к упрощению решения, так как не-
обходимо дополнительно определять положение главных осей и
вычислять главные моменты инерции.
Рассмотрим вопрос о выборе начала отсчета секториальной пло-
щади. Предположим, что мы определили координаты центра кру-
чения и построили эпюру секториальной площади, приняв за полюс
центр кручения и взяв произвольное начало отсчета. Обозначим
эту секториальную площадь через соо. Очевидно, что эпюра соо
будет удовлетворять условиям (1.41) и (1.42), но не будет удовлетво-
рять условию (1.43).
Чтобы удовлетворялось также и последнее условие, надо подо-
брать другое начало отсчета. Учитывая, что при переносе начала
отсчета секториальная площадь изменяется на постоянную вели-
чину, можно написать
со =(о0 -|- С,
где со — новое значение секториальной площади, удовлетворяющее
условию (1.43).
Рис. 1.20
Подставив со в уравнение (1.43), получим
\u)dF = ((ш0 + С) dF = Sao + CF = 0,
F	F
откуда
(1-46)
Найденную постоянную величину С следует добавить к ордина-
там построенной ранее эпюры соо. В результате получатся значения
главной секториальной площади, удовлетворяющей всем трем ус-
ловиям (1.41), (1.42) и (1.43).
Рассмотрим несколько примеров определения секториальных
характеристик сечения.
1. Двутавровый профиль. Выбрав полюс Р и начало отсчета О в центре
тяжести, строим эпюру секториальной площади од (рис. 1.20, а).
Далее строим эпюры координат х и у (рис. 1.20, б в в). Так как эпюра од
обратно симметрична относительно обеих осей, а эпюры х и у — симметричные,
то интегралы с f dsfiw.x и S =	равны нулю. Следовательно,
выбранный полюс является центром кручения.
28
Секториально статический момент SW| — dsfxOj в данном случае также
равен нулю, следовательно, эпюра ш, есть эпюра главной секториальной пло-
щади (О.
Пользуясь этой эпюрой, вычислим главный секториальный момент инер-
ции Ja. Для вычисления а также моментов инерции Jx, Jy, J ху тонко-
стенного профиля целесообразно использовать правило Верещагина. Согласно
этому правилу, интеграл от произведения двух функций, из которых одна линей-
ная, равен произведению площади эпюры первой функции на данном участке на
ординату второй (линейной) функции, взятую под центром тяжести первой эпюры.
Если обо эпюры прямолинейные, то можно брать площадь любой из двух эпюр и
умножать на ординату оставшейся эпюры. На тех участках, где площадь эпюры
лежит частично по одну и частично по другую сторону от нулевой линии, сле-
дует взять каждую часть отдельно или произвести «расслоение» эпюры, т. е.
а)	б/	0)	г)
Рис. 1 21
представить ее в виде суммы более простых эпюр. Величину представляющую
собой интеграл вида
- \(o2&dz,
's
следует вычислять перемножением эпюры со на саму себя. Для двутавра получим
I 1 Ь
\2 ’ 2

bh \ I 2 bh \ b2bW
4 Дз -<гтг
2. Зетообразный профиль. Эпюра Wj, а также эпюры х и у для этого профиля
представлены на рис. 1.21, а, би в. Перемножив эти эпюры по правилу Вереща-
гина, найдем Sw х = 0 и Sa у = 0. Следовательно, согласно уравнениям (1.44)
и(1.45), а = Ои 6 = 0, т. с. центр кручения совпадает с центром тяжести профиля.
Далее вычислим Хы и F:
s„,= ( dfW!	1-2=—^-; F=24^+e1A;
по формуле (1.46) определим величину С:
b 2 (26гб + M ’
Добавив величину С к ординатам эпюры <оь получим эпюру со главной ссктори-
мьной площади (рис, 1.21, г). На горизонтальных полках эпюру о> целесообразно
расслоить, т. с. представить в виде суммы двух эпюр, как показано на рис. 1.21, г
штриховыми линиями. Применяя правило Верещагина, найдем
J ю:2
2 b/i
-сХ'+ьс(с~
= 6,ЛС» + 62
b3h'2
—j-2ЬС2 — Ь2ЬС
 3. Тавровый и угловой профили (см. рис. 1.16). Если расположить полюс
на пересечении сторон профиля, то секториальная площадь для любой точки
контура будет равна нулю. В этом случае условия (1.41), (1.42), (1.43) выполняются
при любых осях X и у. Центр кручения таких профилей лежит в узловой точке и
главная секториальная площадь для всех точек контура равна нулю. Главный
сскториальный момент инерции также равен нулю.
Рис. 1.22
4. Швеллер. Выбрав полюс Pt и начало отсчета О и определив положение
центра тяжести С, строим эпюры o)j, хну (рис. 1.22, а, б и а).
Перемножив эпюры по правилу Верещагина, получим
Так как в данном случае оси х и у — главные и центральные, то для опреде-
ления расстояний а и Ь используем формулы (1.44а) и (1.45а):
So „	b2h26,	3b2&
a~~~ Jx ------------477“	6^ + 6662*
s....
t»~ —=0.
При — 62
Ab2
a ~ fi-\-bb
30
Поло>кенпс центра кручения Р швеллера показано на рис. 1.22, ?; там же
приведена эпюра секториальной площади, построенная при полюсе, совмещенном
с центром кручения.
Так как эта эпюра обрагпосиммстрична относительно оси х, то
У o\}dF ~ 0 и С = 0.
/>
Следовательно, эта эпюра является эпюрой главной секториальной площади.
Рис. 1.23
Умножение эпюры го на саму
г s п/ h2a \ ah
б. Несимметричный
b4i
себя по правилу Верещагина дает величину Jw:
fbh
bh | а ।
~2~
профиль
| a I bh
2	4
(рис. 1.23, а). Координаты центра тяжести
2.
*С —
= 1,82 см;
-- 4,09 см.
п с.
amnnv ??а/В Пол.ю™Р* и нач;,ло отсчета О в нижней угловой точке, построим
’шору (рис j 23j a)r а такжс эпюры х и у (рис ! 23> б ц	*
31
Перемножив эпюры, получим
4 • 40
-- 0,846=13,52 см3;
«|1/
4 • 40
0,2 -Ц?- - 5,91=94,56 см\
Вычислим моменты инерции профиля:	X
0 2•103
--------1-0,2 • 4 - 103 — 0,2-22 • 4,092 = 73,1 см4;
0 9 Я^
’ ' —0,2 -22-1,822 = 23,9 см4;
JX(? = 0,2 • 4 • 2 - 10 — 0,2-22-4,09-1,82=—16,8 см4
По формулам (1.44) и (1.45) определим расстояния до центра кручения:
0,2 • 43
tolX xy	1 -7Л
у1-----— = — 1,70 см;
ху
== J)76 см
*'х’ у Ху
«if/ if
Эти расстояния следует отложить от полюса Р1 по направлениям коорди-
натных осей (рис. 1.23, г). Заметим, что если координаты центра кручения этого
профиля определять относительно главных'осей сечения по формулам (1,44а) и
(1.45а), то решение будет более сложным.
Далее строим эпюру <оп при полюсе Р, совмещенном с центром кручения, при
прежнем начале отсчета О (рис. 1.23, г) и вычисляем Sw0, F и С:
14,08-8
2
COo
wodF~O,2 —
17- 10
= — 28,68 см4;

a =
2
/•'=0,2-22=4,4 см2;
28,68
	=6,52 см2.
Wo
Добавив величину С к ординатам эпюры wn, получим эпюру главной секто-
риальной площади ю (рис. 1.23, 6).
Умножение этой эпюры на саму себя дает величину главного секторнально го
момента инерции профиля
*- 10 • 17 - 0,863 - 6,53.8-0,514
у 8 - 14,08 - 2,85 = 185,4 см«
§ 4. Стесненное кручение тонкостенных стержней
незамкнутого профиля
Стесненное кручение возникает в тех случаях, когда
невозможна свободная депланация поперечных сечений; в частности,
при одном или двух жестко закрепленных торцах или при наличии
нескольких участков с неодинаковой депланацией сечений. В попе-
речных сечениях стержня при стесненном кручении возникают не
32
только касательные, но и нормальные напряжения. Поведение бруса
при стесненном кручении сильно’ отличается от его поведения при
свободном кручении. В первую очередь это выражается в том, чТо
сильно уменьшается угол закручивания бруса, т. е. возрастает
его эффективная крутильная жесткость. Во-вторых, распределение
напряжении в поперечных сечениях при стесненном кручении за-
висит не только от величины равнодействующей сил, приложенных
к торцу, но также и 6т характера их распределения по торцу.
Теория расчета па стесненное кручение тонкостенных стержней
незамкнутого профиля основывается на следующих основных до-
пущениях:
1. Форма контура поперечного сечения считается неизменной
(гипотеза жесткого контура). Это значит, что расстояние между
любыми двумя точками поперечного сечения в процессе деформации
остается постоянным (без учета эффекта поперечной деформации
за счет нормальных напряжений в продольном направлении).
Гипотеза жесткого контура хорошо соблюдается только для пря-
мых стержней; у стержней с криволинейной осью искажение формы
контура может быть существенным и должно учитываться в рас-
четах.
2. Деформация сдвига в точках срединной поверхности профиля
принимается равной пулю. При свободном кручении эта гипотеза
выполняется точно, поскольку в точках срединной поверхности
касательные напряжения отсутствуют. При стесненном кручении
эта гипотеза выполняется приближенно, так как в точках, распо-
ложенных на срединной поверхности, возникают вторичные ка-
сательные напряжения. Эти напряжения, одпако, невелики и по-
этому деформацией сдвига в срединной поверхности можно пре-
небречь.
Из зависимости (1.4) на основании второй гипотезы следует,
что осевые перемещения, возникающие в результате депланации
сечения, связаны с относительным углом закручивания 0 той же
зависимостью, что и при свободном кручении, т. е.
и»--бы.	(1.47)
Величина 0, однако, не постоянна подлине, как при свободном
кручении, а является некоторой функцией г (координата г отсчиты-
вается вдоль оси стержня).	f
Рассмотрим элементарный участок dz продольного волокна
(рис. 1.24). Удлинение элемента dz равно разности перемещений
его концов
A (dz) = I w + dz\ — w.
Следовательно, относительная продольная деформация
С?сД (/О
е.--—— = . го,
dz dz ’
(1-48)
здесь w ~ w (z, s); о
О (г) и oj — <о (s).
2 Ьояршиции
33
По деформации определяется нормальное напряжение в попе-
речном сечении
п„ = вг£-=£^ш.	(1.49)
В данном случае используется формула закона Гука для одно-
осного напряженного состояния, так как нормальные напряжения
в направлениях, перпендикулярных оси бруса, равны нулю. По тол-
щине стенки напряжение аи считается постоянным ввиду тонкостен-
ности. Величина напряжения о„, остается пока неопределенной, так
Рис. 1.24
сокращения на постоянный
как положение полюса Р и начала
отсчета О секториальной площади
нс установлено. Чтобы устранить
эту I ieo п редел ей и ость, р ассмотр и м
равновесие отсеченной части бруса,
изображенной на рис. 1.24. Взяв
сумму проекций всех сил на ось г
и сумму моментов относительно
осей х и у, получим три уравне-
ния:
N = $ odF — 0; МЛ- = $	— 01
Mv = adFx ~ 0.
После подстановки под знаки
интегралов выражения (1.49) и
и dO
множитель Е , придем к следую-
щим трем равенствам:
F
^(aydF = 0; j(oxdF = O.
F	F
Нетрудно убедиться, что эти три равенства совпадают с усло-
виями (1.41), (1.42), (1.43), которым должна удовлетворять главная
секториальная площадь. Следовательно, в уравнениях (1.48),
(1.49) под ш следует подразумевать главную секториальную пло-
щадь.
Введем новую величину В, называемую б и моментом:
В -- \ odFu).
F
(1.50)
На основании зависимости (1.49) бимомент В (1.50) можно
представить в виде
В = ( Е f ^dF = Е*® MF.
Л dz	dz J
F
34
Интеграл в правой части последнего равенства представляет собой
главный секториальный момент инерции Следовательно,
(1.51)
I ч Аг
Бимомент В измеряется в Н -см2 и представляет собой внутрен-
' ниЙ силовой фактор, аналогичный обычным внутренним силовым
факторам, таким, например, как изгибающий момент, и отличается
от последнего тем, что он соответствует самоуравновешенной си-
' сгеме внутренних нормальных напряжений (см. рис. 1.2, г). По-
этому бимомент не может быть найден методом сечений. Слово
бимомент означает двойной момент; по своему действию он экви-
валентен двум противоположно направленным парам сил, распо-
ложенным в двух параллельных плоскостях.
Как показывает зависимость (1.51), величина бимомепта про-
порциональна первой производной от крутки 0.
Чтобы получить окончательную формулу для нормальных на-
.. пряжений стесненного кручения, выразим величину Е -из урав-
нения (1.51) через бимомент и подставим в уравнение (1.49); в ре-
зультате получим
о(0 = 7--(о.	(1.52)
Эта формула устанавливает зависимость между нормальным
напряжением стесненного кручения о(>) и бимоментом В; по своей
структуре опа аналогична формуле для определения нормальных
напряжений при изгибе.
Следует заметить, что формула (1.52) применима не только при
стесненном кручении, но вообще в тех случаях, когда в поперечном
сечении тонкостенного стержня возникает бимомент, в частности,
при нагружении осевыми силами, приложенными к торцу, как по-
казано на рис. 1.2, б. Вычислим интеграл (1.50) по верхнему торцу
этого стержня. Напряжение о на торце всюду равно нулю, за ис-
ключением четырех малых площадок Д/7 по углам, где приложены
силы Р. На каждой из этих площадок ( csdF = ± Р. Учитывая,
i\F
что значение главной секториальной площади в угловых точках
\	. bh
равно ±-I , получим
В = adFa ~2( — Р) - + 2Р[-
F
' = - Pbh.
4 /
Так как бимомент в данном случае отличен от нуля, то согласно
зависимости (1.51)0. Следовательно, в стержне возникнет
кручение. Такой вид деформации называется изгибно-крутильной
(подробнее см. § 6, пример 1.9).

2*
35
Обратимся теперь к вопросу о вторичных касательных напряже-
ниях при стесненном кручении. Эти напряжения возникают вслед-
ствие переменности нормальных напряжений о(„ по длине стержня.
Для определения касательных напряжений стесненного кручения
напишем уравнение равновесия части стержня, выделенной двумя
поперечными сечениями, отстоящими на dz одно от другого, и про-
дольным сечением CD, взятым на некотором конечном расстоянии
от края (см. рис. 1.25, грань А В совпадает с краем).
Обозначим через f площадь граней AD и ВС, т, е. площадь от-
сеченной части поперечного сечения.
В грани AD возникает нормальное напряжение о,(). В грани СВ
возникает такое же напряжение, но с приращением dz, обу-
Рис. 1.25
словленным приращением координаты г. Интегрируя напряжения
по площади f граней AD и СВ, получим силы NjH (Nf -j- dNу),
отличающиеся одна от другой на величину
dzdF.
7 Л dz
f
Эта избыточная сила уравновешивается касательным напряже-
нием тт в продольной грани CD. Ввиду тон костей пости бруса
можно считать, что напряжение ты равномерно распределено по
толщине стенки. Следовательно,
{-^-dz'i dF^zM6dz,
откуда
~~dF..
dz
После подстановки выражения
окон чател ьно пол учим
/; Д-0
ом, согласно равенству (1.49),
wdF.
36
касательное напряжение в сво-
напряжения тй зависит от того,
IIIIIIIlli
Рис. 1.26
Напряжение тш действует в продольной грани CD но по адко,™
парности касательных напряжений такое же напряжение действует
и в поперечном сечении (в грани AD)	' действует
Вдоль грани AD напряжение т„, переменно и в точке А обо»
вдается в ноль, так как парное ему	е Л обра‘
водной грани АВ отсутствует. Знак
какой край профиля принят за на-
чало отсчета площади [, Если на-
пряжение положительно, это зна-
чит, что оно направлено от края,
принятого за начало отсчета.
Анализируя зависимость (1.53),
можно установить, что касатель-
ные напряжения стесненного кру-
чения сравнительно невелики и
поэтому в расчете на прочность
их можно не учитывать. Следова-
гхоах7РХно:?хх:ос™	де4юрмаций ~
Однако вообще пренебречь напряжениями 7ЯнмьТяЛ^В0₽ИтеЛЬ,Ю'
действуют на боль,„ом U и д^г ГруХй	Хм^н□
с крутящим моментом, создаваемым касательными напряжениями
свободного кручения.
Для иллюстрации на рис. 1.26 показано распределение каса-
тельных напряжений стесненного и свободного кручения в двутав-
Рио. 1.27
ровом профиле. Напряжения стеснен-
ного кручения приводятся к паре сил
с плечом приблизительно равным высоте
двутавра, в то время как напряжения
свободного кручения образуют момент
с плечом, соизмеримым с толщиной
стенки.
Вычислим величину крутящего мо-
мента, воспринимаемого стержнем за счет
касательных напряжений стесненного
кручения:
Мы = J iadFr.
к
За точку, относительно которой берется момент, примем центр
кручения Р (рис. 1.27). В данном случае точка приведения не имеет
значения, так как главный вектор касательных напряжений равен
нулю, т. е. эти напряжения приводятся к паре. Подставив под знак
интеграла выражение (1.53), вынесем постоянные величины Е
И "dz5" 33 знак интеграла
AL -
/•
г '/2° 1 С
dz2 б '
I.
MdF в dsr = Е
d2Q
dz2
wdF dw.
37
Этот интеграл возьмем по частям
Л!„, - /: -,,z
(.Гб/Л .
Первый интеграл равен нулю , так как о> — главная секториаль-
ная площадь. Второй интеграл представляет собой секториальный
момент инерции Следовательно,
Л1©— JZ2 ^Ао-
(1-54)
d26
Выразив отсюда произведение Е и подставив в выражение
(1.53), получим следующую зависимость для ты:
_ ___ _
(1.55)
где $ю= $codF—секториалыю статический момент площади f.
t
Заметим, что Мо составляет только часть полного крутящего
момента. Вторую часть крутящего момента составляет момент сво-
бодного кручения Мо, пропорциональный 6.
Следовательно, при стесненном кручении стержня в поперечном
сечении возникают три силовых фактора: крутящий момент сво-
бодного кручения Л1(); крутящий момент стесненного кручения Ма‘,
бимомент В. Этим силовым факторам соответствуют напряжения
Tq, Ты, 0Й.
Формулы для вычисления перечисленных величин даны в
табл. 1.1.
Таблица 1.1
Силовой i| актор	Формула		 Л		 Напряжение
Крутящий момент сво- бодного кручения Крутящий момент стес- ненного кручения Бимомент	Л1р = (jJ Kp(i В = EJ«P‘	=	6 = 606 J кр •/«6 Bw °со — г J (0
Все эти величины легко определяются, если известна функция
б (г). Последняя может быть найдена из условия равенства суммы
крутящих моментов стесненного и свободного кручения полному
крутящему моменту
| М)ц —
Подставив в это равенство значения Л1о и Л4(0,
ференциальное уравнение относительно 6:
GJ„,e-ЕЛ,4^=51,.,.
LC- Ан
получим диф-
ели
где
d20
dz®
— а2 6 ~ — а2
6VHp ’
(1.56)
(1 -57)
Величина а называется изгибно-крутильной характеристикой
‘ поперечного сечения стержня. Для стандартных прокатных
профилей таблицы величин а приводятся в справочной литературе
[24).
Запишем общим интеграл дифференциального уравнения (1.56):
6 - Леа<4-Ле ^’ + 6.
(1.58)
Первые два слагаемых представляют собой общее решение одно-
родного дифференциального уравнения; последний член 0 есть част-
• вое решение уравнения с правой частью. С помощью формул Эй-
лера, связывающих гиперболические и показательные функции,
можно преобразовать выражение (1.58) к более простому виду
6 — Сг sh аг-4~С2сЬ аг-|-б,	(1.59)
где Ci и С2 — постоянные интегрирования, определяемые из .гра-
ничных условий. Частное решение 6 зависит от заданной нагрузки.
Так, например, если суммарный крутящий момент по длине бруса
постоянен или изменяется прямопропорционально координате z,
то частное решение уравнения (1.56) имеет вид
6 = ^.	(1.60)
Более сложные законы изменения крутящего момента по длине
бруса на практике встречаются редко, поэтому они в данной книге
не рассматриваются.
Если к стержню приложены несколько моментов (рис. 1.28),
то стержень следует разбить на участки, для каждого из которых
будет свое выражение функции 0, а также свои постоянные интег-
рирования.. Эти постоянные должны определяться из граничных
условий на торцах (два условия), а также из условий сопряжения
участков'. Последние состоят в том, что на границе двух соседних
участков (например, участки I и 11 рис. 1.28) должны быть непре-
рывны функция, определяющая осевые смещения w (депланация),
и функция, определяющая нормальные напряжения стесненного
л ^НИЯ °Г(0' Следовательно, согласно уравнениям (1.47), (1.51),
не должны иметь разрывов сама функция 0 и ее первая про-
39
мзводная. Поскольку момент чистого кручения Мо пропорционален
О, он также не должен иметь разрывов. Отсюда следует, что скач-
кообразное изменение крутящего момента на величину проис-
ходит только за счет момента стесненного кручения Л4(0[см. уравне-
ния (1.54)], поэтому на границе участков должна скачкообразно
изменяться вторая производная функции 0 на величину
эд _	2 эд
EJa “ а GJ lip •
Чтобы пе определять большого количества постоянных, приме-
няют метод начальных параметров. Этот метод позволяет получить
постоянные интегрирования, одинаковые для всех участков, т. е.
Рис. 1.28
всего две постоянные Ct и С.2.
Последние целесообразно выра-
зить через некоторые величины
в начальном сечении стержня,
а именно через относительный
угол закручивания 6О, бимо-
мент Во и крутящий момент Мкг0.
Так как две из этих трех вели-
чин обычно бывают известны,
задача определения постоянных
фактически сводится к решению
одного уравнения с одним неиз-
вестным, составляемого на осно-
вании граничных условий в ко-
нечном сечении стержня.
Согласно методу начальных
параметров выражение функ-
ции 6 записывается таким об-
разом, чтобы для каждого сле-
дующего участка полностью повторилось выражение функции 6
предыдущего участка и добавлялись только новые слагаемые,
учитывающие нагрузки, приложенные на границе участков.
Эти слагаемые подбираются так, чтобы условия сопряжения
участков удовлетворялись при одних и тех же значениях постоян-
ных, что достигается добавлением к частному решению некото-
рой части общего решения соответствующего однородного урав-
нения.
Поясним сказанное на примере стержня, изображенного на
рис. 1.28.
Запишем функцию 6 для первого участка [см. формулы (1.59),
(1.60)]
ЭДл
61 = Ci sh аг + С2 сЬаг +77—.
Функцию 0 для второго участка-представим в следующем виде:
6ц — 61 -1-Ой.
40
I и
t/J сама функ-
Очевидно, что 0 л должна быть выбрана так, чтобы на втором
участке удовлетворялось дифференциальное уравнение (1.56)
чтобы при переходе через границу участков (при г ----- г ' л,у
ция 6 и ее первая производная были непрерывными, так как w
и 0 — непрерывны, а вторая производная изменялась скачком
а2’»;,
 на величину
Всем этим условиям удовлетворяет выражение
7ТГ7 ch [« (2 - «ОБ
GJ j(p
Второе слагаемое этого выражения представляет собой некоторую
часть общего решения однородного уравнения; следовательно,
добавление этого слагаемого влияет только на величину постоянных
интегрирования. В данном случае это слагаемое подобрано так,
чтобы условия сопряжения участков выполнялись при одних и тех
же постоянных С] и С.,.
Точно так же можно рассмотреть условия сопряжения второго,
третьего и последующих участков. В результате получим следую-
щее общее (универсальное) выражение для всех участков стержня
(см. рис. 1.28):
0 = Ci sh аг -| - С2 ch аг ф-	+ 7~~ [1 — ch а (г —	+
Кр OJ Ьр
• I ' I уч.	I
I п уч-!
+	[1 - ch а (г - а2)]
кр
I HI Уч-I (1.61)
Рассмотрим более подробно вопрос о граничных условиях,
используемых для определения постоянных CL и С2.
Если торец стержня свободен, то на торце о = 0, следовательно,
согласно уравнениям (1.51), (1.52), В = 0 и -j—— 0.
Если торец стержня жестко заделан, то невозможна депланация,
следовательно, w - 0 и 0 — 0 (см. зависимость (1.47).
Осевые смещения и относительный угол закручивания равны
также нулю в сечении, равноудаленном от концов стержня при
приложении к нему нагрузки, симметричной относительно середины
стержня.
При нагружении стержня внешним моментом, равномерно рас-
пределенным подлине (рис. 1.29, а), внутренний крутящий момент
изменяется по длине согласно закону Мкр — тг. В этом случае
частное решение можно получить по формуле (1.60), т. е.
6V|(p
Если же распределенная моментная нагрузка начинается на
расстоянии а от торца (рис. 1.29, б), то ее целесообразно предста-
вить как совокупность бесконечно большого числа бесконечно ма-
41
лых внешних моментов и по аналогии с выражением (1.61) записать
6 в следующем виде:
г
О = CL sh az -I- С2 ch az	f "г/- (1 — ch a (г — £)) —
J Kp
fl
II уч.
L I ttl
?li az -J- ,4 ~
fCp
1 уч- !
(z — a) — sh a (z — a) .
II уч.
Пример 1.6. Вычислить напряжения и угол закручивания двутавра №20
(рис. 1.30); длина / — 1 м, один торен двутавра жестко заделан; на другом —
Рис. 1.29	Рис. 1.30
приложен момент '.ЭД “ 500 11-м. Размеры сечения и эпюры секториальной пло-
щади показаны па рис. 1.31, а и б. Определим характеристики профиля:
JKp = У ‘	’ |2 -10 • 1,14а +17,7 - 0,73] =11,9 см4;
о	о
С	/ 47 2 2	\
\	= 1,14’4 5-Ц^- 	 47,2)- 16 900 см«;
J	\ 2	3	/
/SSS’1'68-10’4^ a,=1-68-
Используя зависимости (1.59), (1.60), запишем выражение функции 6:
О =(?! sb аг 4~С2 cli аг -|-
6VKp
Постоянные С, и С2 определим и ; граничных условий:
1) при г -- 0, о -- 0, следовательно, И —- 0 и 0' — 0; 2) при г — lt w -- 0, сле-
довательно, 6 — 0.
42
Из первого условия
я
, Я из второго условия
ЯМ
о----
»<
После подстановки постоянных имеем
ач Г.
кр
ch CC2 '
ch al
Далее определяем:
В---
1 I ch al *
/?</<„ .... sh аг ЯМ
а
sh аг
>'Р
При г — О
ch а/ /	\
Л10) = 0,3614;
ch 1,68 /
/1=0.
= 0,64 14;
При 2=1 6 = 0; Л4ь = 0; А-![(} = 14;
„__	14 sh al _	14
~ a ch al 1,68- 10"2 ’ 278
Эпюры Ale, и В по длине бруса приведены на рис. 1.32.
Вычислим напряжения, возникающие в двутавре; для этого
формулы (1.20), (1.55), (1.52). На
г -свободном конце при г = 0; ctw = 0
А1дбтй„
________________ и max
• т0шах_________7 — =
J кр
0,64-5 • 10* • 1,14
---------п-5-----= 3060 //.'см2.
Для определения касательных
напряжений стесненного кручения
вначале построим эпюру -81.—
в ®dF (см. рис. 1.31, е). Знак
“ в» зависит от выбранного направления обхода контура (при построении эпюры,
приведенной на рис. 1.31, в, обход контура начат от верхнего левого угла).
Наибольшее напряжение т(0 возникает в середине полки, где
v ^11 45.gas-135 см*;
0,36 • 5 • Ю4 (—135)
16900> t >14	= 130 Н/см2.
2 59
’ ’ ==—55,414//-см2.
«7
а)

• I
У.

Рис. 1.31
используем
-1Я
1
।
t
4
win и»*;

1
*
1
t	ЧА
T<0=--ПГ
Так кактш тах > 0, то это значит, что оно направлено от начала обхода
контура, т. е. в верхней полке — слева направо.
43
Вычислим напряжения в сечении у заделки (при z = /):
5ЮЧ-135)
Ть>шах /(о6	16900-1,14 а <М
_ Ziwmax 55,4-5. 10» (± 47,2)
шах 7^	= ”	16 900
1 Гем2}
те = 0(так как Л4е=0).
Эпюры напряжений ств и т по сечению подобны эпюрам со и 5'0(рис. 1.31, б и в).
Угол закручивания
6</г = -
ан/
кр
sh al
al • ch al
= 0,446
ан/
кр
- = 2,34 - IO*2
рад.
Полученные значения угла закручивания и наибольшего касательного напря
жения в 2,3 и 1,6 раза меньше соответ-
ствующих величин при свободном кру-
чении. Вместе с тем при стесненном
кручении в двутавре возникают зна-
чительные нормальные напряжения,
тогда как при свободном кручении
они отсутствуют.
Рис. 1.33
Рис. 1.32
Пример 1.7. Вычислить внутренние силовые факторы и угол закручивания
стального швеллера, изображенного па рис. 1.33.
Дано = 50 Н-м; »Ш2 -= 150 Н-м; ЯЯ3 = 100 Нм; I = 120 см; а ~ 40 см.
В данном случае стесненное кручение возникает из-за различной дспланации
сечений I и II участка.
Определив положение центра кручения, построим эпюры главной сектори-
альной площади со и (рис. 1.34).
Вычислим характеристики профиля:
JKp = l [14,64-2-6,8] 0,4» = 0,60 см4; Ja = 2000 см6}
О
а = I/ -=г^- = 1,1 • 10”2 1 'см; al = 1,32;
аи = 0,44; а (/ — а) = 0,88.
44
Запишем выражение относительного угла закручивания по формуле (1.01):
W, ‘’V,
О =.- С, sh (az) | C2 ch az -|-	--. — • [ 1 — eh a (z - a) j.
Из граничных условии определим С, и С2:
dO,
при z=0 'о=0; ——- = 0; С\ = 0;
dO,,
при z — l о-=0;	—-—- = 0;
(1г
аС.2 sh al “
кр
a sh а (I — а) =0,
откуда
ВД2 sha(/ —«)
О’./Ь(, sh al
После подстановки числовых значении получим
6=-17,97- 10'1 ch az + 10,4  IO '1 —31,2 • 10 4 (1— ch a(z-o)) пад.’см.
I	1 У1’-________
I	II уч.	|
По б определим силовые факторы и угол закручивания:
Л'1 о — CJ к рО, Л1 — Л1 к р	Л1 у;
I
13 = EJb>b'-, ф = р (О de (z < С < О-
За начало отсчета угла принят правый конец швеллера. Эпюры этих величин
по длине стержня представлены
на рис. 1.35. По найденным си-
ловым факторам нетрудно вы-
числить напряжения.
6, ‘/см
Рис. 1.34
7,6-to-6
-9;ЗЮ'4
-11,9-10'*
-12,1’10
-5530	-^290	-3900
Рис. 1.35
45
§ 5. Поперечный изгиб
открытых тонкостенных профилей
При поперечном прямом изгибе в сечениях стержня
возникают два силовых фактора — поперечная сила Q и изгибаю-
щий момент Мх. Этим силовым факторам соответствуют напряжения
тй и он.
Если ось бруса — прямая, то контур поперечного сечения иска-
жается незначительно; следовательно, для вычисления напряжений
о„ и т(1 можно применять обычные формулы теории изгиба:
Л1 v
•' .V
(1.62)
(1.63)
Так как брус тонкостенный, то можно считать, что напряжения
п(| и т„ постоянны по толщине 6 и изменяются только вдоль средней
Рис. L36
линии контура. Поэтому под у следует понимать ординату соответ-
ствующей точки средней линии. Если поперечная нагрузка распо-
ложена произвольно по отношению к оси стержня, то кроме изги-
бающего момента и поперечной силы в поперечных сечениях может
возникнуть еще и крутящий момент. Для того, чтобы последний был
равен нулю, необходимо, чтобы линия действия поперечной на-
грузки проходила через определенную точку поперечного сечения,
называемую центром изгиба.
Для профилей, имеющих две оси симметрии, например для дву-
тавра, центр изгиба совпадает с центром тяжести профиля. Для
несимметричных профилен центр изгиба и центр тяжести не сов-
падают.
Рассмотрим, например, швеллер (рис. 1.36, а). Предположим,
что центр изгиба находится в точке Р и что линия действия нагрузки
проходит через эту точку. Тогда стержень закручиваться не будет
и, следовательно, в поперечных сечениях будут действовать только
напряжения поперечного изгиба а и т, определяемые по формулам
(1.62) и (1.63). Отсечем часть бруса (рис. 1.36, б) и возьмем сумму
46
 *
 моментов всех сил относительно осп ?, проходящей через точку Р.
 Поперечная нагрузка относительно этой оси момента не дает (плечо
равно нулю); нормальные напряжения, действующие в поперечном
доении, также нс дают момента, так как они параллельны оси.
Отсюда следует, что сумма моментов касательных напряжений ти
 относительно оси z равна нулю.
w . На основании сказанного можно заключить, что центр изгиба
/есть точка, относительно которой сумма моментов касательных
, .напряжений поперечного изгиба равна нулю.
На рис. 1.36, в показано распределение касательных напряже-
ний ти в швеллере. Возьмем сумму моментов этих напряжений от-
носительно точки Р и приравняем ее нулю; при этом учтем, что рав-
Рнс. 1.37
•' недействующая напряжений в вертикальной стенке равна Q, а
в горизонтальной полке
1>	!>
1‘ £ , С Qx&htlx Qbtfiib
J Tf>< ==	j-:	=
0	0
тогда
I
откуда
a =
Li
4JX ’
?	координата центра изгиба точно совпадает с найденной
:? 3 координатой центра кручения швеллера (см. рис. 1.22, г).
"	совпадение не случайно. Покажем, что центр изгиба всегда
л'^®^адает с центром кручения. Для этого используем принцип вза-
’ ^5^™ Ра^°т- Нагрузим стержень последовательно: вначале кру-
’моментом ЛДР, а затем силой Q, приложенной в центре из-
Р (рис. 1.37). Так как сила Q брус не закручивает, то работа
момента на перемещении от силы Q равна нулю. Теперь
^^^"ЗВеДеМ нагРУже,*ие в обратном порядке; при этом, согласно
взаимности работ, работа силы Q на перемещении от мо-
кр также должна быть равна нулю. Отсюда следует, что
47
при нагружении моментом Л4кр точка Р по перемещается, т. е. эта
точка является центром кручения.
Рассмотрим более общий случай поперечного изгиба тонко-
стенного открытого профиля, когда в поперечных сечениях воз-
никают два изгибающих момента МЛ- и Л1Г и две поперечные силы
Qx н Qy-
Если оси хну — главные центральные, то напряжения опреде-
ляются по формулам:
(1-64)
(1.65)
где Sx и S‘!f — статические моменты отсеченной части поперечного се-
чения относительно осей х и у. Знак этих статических моментов за-
висит от выбора начала обхода контура.
Знак напряжения т также зависит от
выбора начала обхода. Если т положи-
тельно, это значит, что оно направлено
от края, который принят за начало от-
счета (моменты Мх и считаются по-
ложительными, если при положительных
координатах х и у они вызывают напря-
жения растяжения; силы Qv и Qv счи-
dMv
таются положительными, если—~ >0,
dz ’
Предположим, что точка Р есть центр изгиба (рис. 1.38). Тогда
сумма моментов касательных напряжений относительно этой точки
должна быть равна нулю, т. е.
тб dsr — 0.
Подставив в это уравнение выражение (1.65), а также учитывая,
что
dsr = d(i)', S'x = \ydF; S't/
xdF
>
получим
da) — 0.
Вынесем постоянные величины за знак интеграла и выполним
интегрирование по частям:
48
Так как оси х и у— центральные, то \xdF-0 и \ydF = 0 и,
следовательно,
со// dF ~~
сох dF = 0.
Чтобы последнее равенство выполнялось при любых значениях
Q* и Qy, необходимо, чтобы
$ (в// dF = 0;
F
(ox dF -- 0.
F
(1.66)
(1.67)
Полученные два условия позволяют определить положение
центра изгиба. Нетрудно убедиться, что эти условия полностью
совпадают с условиями (1.42) и (1.41), определяющими положение
центра кручения. Это еще раз подтверждает, что центр изгиба и
центр кручения есть одна и та же точка. Следовательно, изложен-
ная методика определения центра кручения [см. зависимости (1.44),
(1.45), (1.44а) (1,45а)1 полностью применима для определения центра
изгиба.
Следует отметить аналогию между формулами для напряжений
при поперечном изгибе и при стесненном кручении (табл. 1.2).
Таблица 1.2
Напряжение	Поперечный изгиб	Стесненное кручение
Нормальное Касательное	м Оц — . у J X QS’X Т,'“	в т"> /
§ 6. Общий случай нагружения тонкостенных
стержней незамкнутого профиля
При произвольном нагружении тонкостенного стержня
в поперечных сечениях могут возникать следующие силовые фак-
торы: нормальная сила N, поперечные силы Qx и Qy, изгибающие
моменты Мх и Л4Г, крутящий момент Л1кр, равный сумме крутящего
момента стесненного кручения Л4Ы и момента свободного кручения
Мо, и бимомепт В.
Первые шесть силовых факторов определяются, как обычно,
методом сечений. Последние три зависят от 0 (см. формулы табл.
С1). Относительный угол закручивания, в свою очередь, опреде-
49
ляется интегрированием уравнения (1.56) и может быть представ-
лен в виде выражения (1.61).
Нормальное напряжение в поперечном сечении определяется
как сумма напряжений от каждого силового фактора в отдельности:
о =
х 4-
(0
со
(1.68)
Эта формула приближенная, так как она основана на предполо-
жении, что осевые перемещения w складываются из перемещений,
определяемых законом плоских сечений и законом секторпальных
площадей. В действительности распределение напряжений может
подчиняться более сложному закону (например, вблизи торцов).
На некотором удалении от торцов формула (1.68) дает хорошее при-
ближение к действительности, так как местные напряжения, зави-
сящие от условий на торцах, быстро затухают (кроме напряжений,
определяемых бимоментом В).
При оценке прочности тонкостенных стержней существенное
значение могут иметь также касательные напряжения. В каждой
точке сечения касательные напряжения складываются из четырех
составляющих: т0, тш, tq*, tq Наибольшее напряжение возникает
в одной из контурных точек:
Aloft A4lh]S0)
кр
(1.69)
Остановимся кратко на вопросе об определении перемещений
в общем случае нагружения.
Перемещение произвольной точки сечения в поперечном направ-
лении можно легко вычислить, если будут известны составляющие
смещения центра кручения и0 и t»to и угол поворота сечения q.. Сме-
щения и0 и v0 связаны с изгибающими моментами Мх и Л'1Г уравне-
ниями:
dz*
dz*
(1-70)
(1-71)
Последние отличаются от обычных дифференциальных уравне-
ний упругой линии лишь тем, что здесь рассматривается ось, про-
ходящая через центр изгиба, а не через центр тяжести сечения.
Интегрирование уравнений (1.70) и (1.71) производится обычным
порядком.
Зависимости (1.68)—(1.71) написаны в предположении, что оси
х и // — главные оси поперечного сечения. Положительные направ-
ления смещений и0 и совпадают с положительными направлениями
осей х и у.
50
При весьма малой толщине стенки жесткость профиля при сво-
; водном кручении становится исчезающе малой, так как она пропор-
1 циональна купу толщины 6. В этом случае тонкостенный стержень
>. перестает сопротивляться свободному кручению н при незакреплен-
’ ных торцах превращается в механизм (рис. 1.39, «).
Чтобы профиль мог воспринимать крутящий момент, необхо-
^'димо или наложить связи, запрещающие депланацию какого-либо
сечения (рис. 1.39, и), или запретить относительный поворот ка-
В’ких-либо двух поперечных сечений (рис. 1.39, в).
Рис. 1.39
Для профиля с весьма малой

Для профиля с весьма малой крутильной жесткостью второй
^член дифференциального уравнения (1.56) может быть отброшен;
Л^в результате получается следующее упрощенное уравнение:
л	=	(1-72)
{.О
Интегрирование этого уравнения не представляет трудностей,
у Получающиеся при интегрировании две произвольные постоянные
определяются, как обычно, из граничных условий на торцах.
; Уравнение (1.72) можно применять, если параметр а/ не пре-
сыщает некоторого предельного значения. Для консольных стерж-
. ней, например, рекомендуется а/ 0,5.
Отметим, что для часто встречающихся расчетных схем в спра-
•' вочной литературе приводятся готовые выражения для Л1с,
• и В [24].
В более сложных случаях нагружения решение может быть по-
лучено методом наложения табличных решений.
Пример 1.8. Определить напряжения в балке, нагруженной, как показано
на рис. 1.40, а.
Силы Р — 20 000 Н расположены в плоскости вертикальной стенки. Размеры
поперечного сечения, а также положение центра изгиба показаны на чертеже,
отюры главной секториальной площади со и представлены на рис. 1.40, б
(построение эпюры S' начато от нижнего края).
у	Г (О	1	7
ларактеристики поперечного сечения.’
«х — 394 см4; ,/ю - 2000 см«; ,/кр =-. 0,6 см4; а ^0,0111/см.
опюры Мх, Qv и Л1к„ приведены на рис. 1.41 (крутящий момент вычисляется
Произведение’силы на плечо относительно центра изгиба). Согласно выра-
51
как

жеипю (1.61), относительный угол закручивания
4j;
о
кр! т'»Кр
____________ II уч.
Граничные условия:
при
dO,
z = 0,	,
= 0 (так как о = 0 и /3=0);
при
Z = //2, 0ц=0 (так как по симметрии ш = 0).
Из этих условии определяются постоянные Ct и С2;
S1
G/Kp c]i al
°	W
= 0,887-^-
кр
Окончательное выражение относительного угла закручивания
(	! /	\	ч
.— ti 1	I
ch а
е=Л-
—j—  ch az— 1 -)-[I —ch a (z — o))
Civ
2'
п уч.
Далее вычисляются Л/о = G JKp0; Л1(0 — Л/Кр — Мо; В = (эпюры
см. рис, 1.41).
a)
Puc. 1.40
Нормальные напряжения вычисляются по формулам (1-52) и (L62).
Эпюры нормальных напряжений по сечению при z а представлены па
рис. 1.12. Как можно заметить, напряжение or бимомента в данном случае зна-
чительно превышает напряжение от изгибающего момента.
Вычислим касательные напряжения при г ~ а:
Л1у = —3160 II-см; Л1
т Л4()
Q = J
“ кр
Tw tn г. X =-7~с“
см; Q — 20 000 II;
f0 = — 46 840 11 
—	0,4 = 2100 H/см2;
_ (--46 840) (-27)^ 158QHW
2000-0,4	iлеи it,cm,
знак минус указывает на то, что это напряжение направлено к краю, принятому
. за начало отсчета:
Т _QvS\__
Jxf>
20 000(6,8-0,4-7,3 + 7,3.0,4.3,65)
-------------ЖТол----------------= t87° W
Эпюры этих напряжений показаны па рис. 1.42.
Пример 1.9. 21]. Вычислить напряжения в i
рис. 1.43. Дано: P ~ 50 000 H; I =
на чертеже; там же приведена
эпюра главной секториальной пло-
щади. Характеристики профиля:
Г =19,5 см2; 7Л- = 823 см4;
Jv=79cm4; 7ю = 3720 см6;
швеллере, изображенном на
1 м. Размеры поперечного егчепия указаны
= 3,82 см4; а =
кр
=0,02027 I/см.
Силовые факторы в сечении
швеллера:
Л4Х=5  104 • 7,55 = 378 • 103
Л4 v = 5 • 104 - 1,75 = 87 500
W = 50 000 Н.
II • см;
Н • см:
мв>н-см
-5650	5160
сечении
Бимомент в торцовом
В = Рсо . = 5 • 104 (— 20,16) =
и Л
= — 10» Н • см2.
Так как в данном случае кру-
тящий момент отсутствует, то со-
гласно уравнению (1.59)
смг
Рис.
136-10* 132-10*
м^.н-сн
d6
dz
1.41

При
при
Из граничных условий найдем постоянные С\ и С2:
z=0, EJ^^B», EJi£)aC1~B0‘i
1 aEJl(l ’
о
г-
0 = 0;
al
, al
«о 2
* , al
cl. 2
53
Споловатольво,

Эпюры этих величин подливе швеллера, построенные при значениях парамет
ров а = 0,02027 1/см, al — 2,027, приведены на рис. 1.44
2520
Рис. 1.42
Нормальные напряжения в поперечных сечениях швеллера вычисляют
по формуле (1.68).
Эпюры распределения напряжении по сечению вблизи торца швеллера при-
ведены на рис. 1.45. В скобках указаны значения напряжений, подсчитанные
по формуле теории внецентренного растяжения без учета бимомента.
Пример 1.10. Тонкостенный стержень коробчатого незамкнутого профиля,
жестко заделанный одним концом (рис. 1.46, а), находится под действием сил
тяжести. Определить напряжения в стержне и вертикальное перемещение центра
профиля па свободном торце. Положение центра кручения Р профиля показано
на рис. 1,46,а. На рис. 1.46, б изображена эпюра главной секториальной площади.
54
X a p a кто рис гп к и профиля:
JKtl = 2°° 61 см *; ./(1) = 1632 10s- cm0; F 2006-’ ем2;
a=4,04-IO"4 I/см; a/= 0,485; JA.= 1,08 - 1(W cm4
. Поскольку центр тяжести и центр кручения не совпадают, под действием
' сил тяжести возникает равномерно распределенный крутящий момент интенсив-
ности
tn — q [а4-	13 ] = 46,7 q6 Н • см/см,
где q — вес па единицу длины стержня.
Рис. 1.44
Если через у обозначить удельный вес материала, то
<7 = у/-'= уд2200 Н/см.
Схема нагружения стержня приведена па рис. 1,46, о. Нагрузка q создает
4® Сечении ОКОЛО заделки изгибающий момеш
М -
^1,44- 10куб4 11-см.
• Рис. 1.45
Рис. 1,46
Наибольшее напряжение изгиба
=	2 =4’ WS Н/см».
Перемещение конца стержня за счет изгиба
v =	— 4 8 - 10е см.
“ 8£Vv ’ Е
*
Согласно формулам (1.59), (1.60)
О = Cj sh az 4- С2 ch az 4- ——.
кр
Используя граничные условия, найдем постоянные интегрирования:
при
z = 0 ст = 0; В=0; ^° = 0;
С+л-
при
отсюда
2 — 1 w = 0; 6=0,
aGJ Кр ’
т	sh al — al
aGJKp ch al
После подстановки значений постоянных выражение для 0 принимает вид
т
(хбг/^р
sh al — al
sh al
Далее вычислим бимомент в сечении у заделки при г —
B = EJJ}'
и нормальное напряжение стесненного кручения
оы = — <о = £oj0 = 0,111	.
CD
На рис. 1.46, г приведены эпюры нормальных напряжений от изгибающего
момента, от бимомепта и суммарных напряжений. Влияние бимомента на вели-
чину напряжений в данном случае весьма значительное.
Вычислим угол закручивания профиля
С 8	Г1 Sl! а' + (^ -0.15.10-Vs.
J aiGJKV L ch al 2 J	E
о
Вследствие закручивания стержня центр торцового сечения получает допол-
нительное вертикальное перемещение
окр = <р(«4-|в)=7,0.10в^-.
Это перемещение складывается с перемещением от изгиба и в результате
получается полное перемещение
О = Ь’и +^кр e Н  Ю8 см.
Как показывают цифры, перемещение от закручивания преобладает.
Рассмотрим один пример на применение упрощенного дифферен-
циального уравнения (1.72).
67
Пример 1.11. Определить внутренние силовые факторы в стержне зетобраз-
ного профиля, нагруженном двумя моментами, как показано на рис. 1.47. Дано:
а = 30 см; 2*4,.
Но заданным размерам вычислим характеристики профиля
Так как а/ < 0,5, то для решения задачи можно использовать упрощенное
уравнение (1.72). Применительно к данному случаю это уравнение записывается
в следующем виде:
Ф1,
d20 _ 'А
dz2 ~ L\fn
(z — й)°.
Множитель (z — а)0 — I добавлен для юго, чтобы постоянные интегрирования
на обоих участках были одинаковые (аналогично тому, как это делается при интсг-
рировапии дифференциального уравнения изогнутой оси балки).
68
Интегрируя это уравнение дважды, получим
Из граничных условий найдем постоянные:
при
zs=0 0j— 0, откуда С=0;
при
г = 3а 6П=0, откуда Р = ----Д—,
Z /2»/ (rt
Следовательно,
17 да,» ’ __ ^|22	Я»8 (2 -«)2
“ 2 II	9/ /	/-'/ ’ 9
LJ ** (0	A •' <0	1J J (0
I уч. !
Il У‘|. I
Далее можно определить силовые факторы:
Д10 = С7Кр6; A'fw = A'lKp Alg; B = EJ(£tG'.
, Эпюры этих величин показаны на рис, 1.48 сплошными линиями. Штрихо-
выми линиями для сравнения показаны эпюры, полученные в результате более
точного решения.
Глава 2
ОСЕСИММЕТРИЧНО НАГРУЖЕННЫЕ
ТОЛСТОСТЕННЫЕ ЦИЛИНДРЫ
§ 1. Вывод основных зависимостей
Задача о напряжениях и деформациях в толстостен-
ном цилиндре при постоянных по длине внутреннем и наружном
давлениях, известная под названием задачи Ляме, рассматривается
в курсе „Сопротивление материалов". В данной главе эта задача
рассмотрена более подробно, причем основное внимание уделено
вопросам, связанным с техническими приложениями задачи Ляме.
Рассмотрен также случай неравномерного осесимметричного на-
грева толстостенного цилиндра.
Введем обозначения: и г2 — внутренний и наружный радиусы
цилиндра; г — текущий радиус; pL и р2 — внутреннее и наружное
давления; и t2 — температура на внутренней и на наружной
поверхности.
Тепловое состояние предполагается стационарным (температура
во времени постоянна). В этом случае тепловой поток Q, проходя-
щий через произвольный цилиндрический слой, не зависит от
радиуса г. Уравнение теплопроводности для бесконечно тонкого
цилиндрического слоя можно записать в следующем виде:
__X dt‘2wl
dr ’
температур в слое.
г	Q
и обозначив —
где	1 — коэффициент теплопроводности;
dr и 2лг/ — толщина и площадь поверхности слоя;
di — перепад
Разделив переменные
получим диффе-
ренциальное уравнение
интегралом которого является выражение f = С\ In г-РС2.
Постоянные Сг и С2 определим по граничным условиям: при
г = Tj t = /х; при г = r2 t = t2.
Окончательно
60
Следовательно, при стационарном тепловом режиме температу-
ра t изменяется по толщине стенки но логарифмическому закону.
- При исследовании напряженного состояния неравномерно нагре-
того цилиндра первое слагаемое в выражении (2.1) можно отбро-
сить, так как оно соответствует равномерному нагреву, не вызываю-
щему напряжений. Поэтому в дальнейшем будем считать, что тем-
пература изменяется по радиусу согласно закону
in --
1 =	(2.2)
1пГ1
r-i
где 7 = 4 — 4-
Влияние осесимметричного неравномерного нагрева на напря-
женное состояние цилиндра объясняется тем, что внутренние более
Рис. 2.1
Рис. 2.2
нагретые слои, стремясь расшириться, давят на наружные и вы-
зывают их растяжение. В свою очередь, наружные слои, сопротив-
ляясь растяжению, вызывают сжатие внутренних слоев.
В общем случае в произвольной точке стенки цилиндра возни-
кает трехосное напряженное состояние. По граням элемента объема
(рис. 2.1) действуют нормальные напряжения: ог — радиальное,
— окружное и о, — осевое. Касательные напряжения ввиду
осевой симметрии и постоянства давлений и температуры по длине
равны нулю.
Составим уравнение равновесия выделенного элемента объема,
взяв сумму проекций всех сил на направление радиуса, получим
(2-3)
Другие уравнения равновесия удовлетворяются тождественно.
Чтобы получить недостающие уравнения для определения неиз-
вестных напряжений, рассмотрим деформации элемента объема. На
рис. 2.2 показано положение элемента до и после нагружения. Обоз-
начим через и радиальное перемещение произвольной точки стенки
61
цилиндра, тогда относительные удлинения в радиальном и окруж-
ном направлениях будут определяться следующими выражениями
и
(2.5)
Исключив из равенств (2.4) и (2.5) перемещение и, получим урав-
нение совместности деформаций
^’-е,=0.	(2.6)
Уравнение (2.6) называется иначе уравнением неразрывности,
так как деформация материала без образования разрывов возможна
только в том случае, если деформации е7 и ег удовлетворяют этому
уравнению.
Выразим деформации через напряжения. Уравнения обобщен-
ного закона Гука с учетом температурных составляющих деформа-
ции записываются в следующем виде:
(2.7)
(2.8)
(2.9)
Модуль упругости Е, изменяющийся с изменением температуры,
будем считать постоянным, что допустимо, если температура не
превышает 300° С.
Поскольку все величины по длине цилиндра постоянны, попе-
речные сечения цилиндра остаются плоскими; следовательно,
деформация от радиуса г не зависит, т. е.
^ = 0.	(2.10)
Выразим о, из уравнения (2.9):
аг —- е.Е -|- рог -)- ро/ •— a,Et.	(2.11)
Подставив выражения (2.7), (2.8) и (2.11) в уравнение совмест-
ности деформаций (2.6) и выполнив несложные преобразования,
с учетом равенств (2.3) и (2.10), получим уравнение совместности
деформаций в напряжениях:
d (О/г)	__ Ew dt	.q i q\
~r Qr ~ (l-p)dr-
Уравнения (2.3) и (2.12) образуют систему двух уравнений
с двумя неизвестными. Преобразуем их к одному уравнению с одним
неизвестным. Из уравнения (2.3) выразим с^:
=	(2.13)
62

St
d2cr
dt
(2.14)
Подставив О/ в уравнение (2.12), получим дифференциальное
явление второго порядка относительно напряжения о>:
da,
dr
. Проинтегрировав это уравнение и определив по граничным усло-
..fijhwflM' на внутренней и наружной поверхностях постоянные интегри-
©двания, найдем напряжение о,., после чего по уравнениям (2.11)
2.13) можно определить напряжения ot и oz. При определении
ряжения о. следует учитывать, что ez = const, а также что при
Отсутствии осевой силы в цилиндре
(<ч
ЖС Перейдем к рассмотрению
1

(2.15)
/
основных частных случаев.
•t;
ренциальное
§ 2. Напряжения и деформации
в толстостенном цилиндре при действии
внутреннего и наружного давления
Если неравномерный нагрев отсутствует, то
уравнение (2.14) превращается в однородное:
d2o
диффе-
da/ = 0.
(2-16)
Решение этого уравнения имеет вид
Z	а,-А—?,	(2.17)
где Л и В — неопределенные постоянные.
Подставив в равенство (2.13) выражение (2.17), найдем окружное
напряжение
ot = /+rT,	(2.18)
- *
из уравнения (2.11) определим осевое напряжение
+ ц2Л —const.	(2.19)
Так как осевое напряжение постоянно, то на основании усло-
вия (2.15) можно заключить, что в данном случае о. равно нулю.
. * Осевое напряжение может возникнуть тогда, когда на цилиндр
Дополнительно действует осевая сила А7. В этом случае
N _ N
~~ F ~ л (r'i — г*у
(2.19a)
W' Радиальное перемещение произвольной точки сечения цилиндра
^определяется по уравнениям (2.5), (2.8). При t = О
u =	=	—Нт?).	(2-20)
ИЛИ с учетом выражений (2.17) и (2.18):
;’7	и -Л Цр1 г • В 1	г.	(2.21)
Содержащиеся в уравнениях (2.17) — (2.21) постоянные интег-
рирования /1 и В находят согласно граничным условиям на внут-
ренней и наружной поверхностях цилиндра. Запишем граничные
условия:
при
г = п пг = — рх;
при
Г = г2.	= — р2-
Эти условия приводят к системе двух уравнений, решение ко-
торой дает
(2.23)
п __ (Pi ~ Рг) 'Г1''!
rH — rj
После внесения значений постоянных формулы (2.17), (2,18),
(2.21) принимают следующий вид:
и =
=_ (pi—.
r r2~ri (ri — f'i) г2 *
__ Pir-t—pzri , {Pi—Pz) rjrl ф
' r'i — rj (Г5 — ri)r2 ’
(Piri~ Pafj)	(1 — p) I (Pi~ Pa) ФИ1 +p)
(гЗ-гО ' E	(ri-r2t)E
(2.24)
(2.25)
1 __	(2.26)
Формулы (2.24), (2.25) и (2.26) известны под названием формул
Ляме.
Заметим, что если величины напряжений аг, ст, и найдены,
то радиальное перемещение наиболее просто определяется по урав-
нению (2.20).
Если цилиндр имеет днища, то при действии на днища внутрен-
него и наружного давления возникает осевая сила
(V ~ Р1Л/у — р2лг'1
и соответственно напряжение
РГт—р2г;
гг. - г~
(2.27)
Это напряжение численно равно постоянной А, т. е. первому
слагаемому в формулах (2.24) и (2.25).
Рассмотрим некоторые частные случаи.
Первый частный случай. На цилиндр действует только внут-
реннее давление, г. е. рх — р, р2 ~ 0.
В этом случае, согласно формулам (2.24), (2.25) и (2.27),
(2.28)
(2.29)
(2.30)
64
Эпюры распределения напряжений по радиусу приведены па
пряженная точка находится на внутренней
7рис
 .’^ поверхности. В этой точке
Г-
р = о3:
-г,
(2.28а)
(2.29а)
(2.30a)
... ЕЛ.ЛИ материал цилиндра пластичный, то эквивалентное
Жжение вычисляют согласно гипотезе прочности энергии
1‘ЛЙЗменения:
Если
напря-
формо-
эк в
В данном случае
Оэкн —
(2.31)
Если в рабочих условиях
>£' пластических деформаций, то
^напряжение не превышало
допускаемо го напряжения
в цилиндре не должно возникать
необходимо, чтобы эквивалентное
•< •
Овкв —
м.
откуда
г-2
. (2.32)
[а]
зависимость
увидеть, что
Го
отношение - -
v  • Анализируя
А (2.32), можно
Чпрй р =
.обращается в <
Следовательно
Эквивалентное ___,______ _ J ________	...
.больше допускаемого напряжения при сколь угодно большой тол-
бесконечность.
_________|а]
при р > —|
напряжение во внутренних точках цилиндра будет

Й

1
I.

Щине стенки. Если же давление превысит величину рт = —
\	3
то во внутренних точках неизбежно возникнет пластическая де-
формация.
Это, однако, не значит, что при больших давлениях подобрать
размеры цилиндра вообще невозможно. Пластическая деформация
представляет опасность только тогда, когда она распространяется
МА,ВСЮ Толщипу стенки.
. At 	Бояр ш и и od
65

t'
При высоком внутреннем давлении расчет цилиндра па проч-
ность ведут по предельной нагрузке. За предельное давление
принимают такое внутреннее давление, при котором пластическая
деформация распространяется па всю толщину стенки. Величина
предельного внутреннего давления определяется методами теории
пластичности. Так, например, для цилиндра с днищами, изготов-
ленного из пластичного материала, не обладающего упрочнением,
предельное внутреннее давление определяют по следующей фор-
муле:
(2.33)
Задавшись некоторым коэффициентом запаса прочности л, мож-
но по заданному давлению р вычислить требуемое предельное дав-
ление
рпр = рп,
затем по зависимости (2.33) найти In ~ и далее радиус г2. Таким
образом, можно подобрать размеры трубы на любое внутреннее
давление.
Пример 2.1. Определить толщину стенки стального цилиндра, находяще-
гося под действием внутреннего давления. Даног] = 2см;от = 2,4-104 Н/см2.
Расчет произвести для двух значений давления: р = 6000Н/см2н р = 12 000 Н/см2.
При р = 6000 Н/см2 расчет выполним двумя методами.
1. По методу допускаемых напряжений.
Примем коэффициент запаса по пределу текучести лт — 2. Тогда 1о] —=	=
Л г
= 1,2-104 Н/см2.
По формуле (2.32)
= l/T'l-l =2 72
г, F [оНрГз
откуда г2 = 2,72	= 5,44 см.
2. По предельной нагрузке.
Коэффициент запаса п по предельной нагрузке возьмем равным трем, тогда
предельное давление
р,1р — лр= 18 000 Н/см2.
Подставив значения рпр и ат в формулу (2.33), получим
|/3
откуда
In—= 0,65; -Г‘г =1,92; г2 = 2г,=4 см.
ri	И
Сравнение результатов показывает, что расчет по методу допускаемых напря-
жений дает завышенное значение толщины сгепки. Применение этого метода
в данном случае нецелесообразно.
При р - 12 000 Н/см3 выполнить расчет цилиндра по методу допускаемых
напряжений невозможно.
Расчет по предельной нагрузке даст следующие результаты: при п - 3
Рпр—,1Р—3,6 • 104 11/см2.
По формуле (2.33)
Г2_ РпрГЗ- _ 3,6.104|/з
rt “ 2от 2-2,4-Ю4 М’
откуда
-2- = 3,67; г2= 3,67 г, 7,4 см.
Зависимости (2.32), (2.33) справедливы, если материал цилиндра
пластичный. Если же материал хрупкий, прочность цилиндра
должна оцениваться по коэффициенту запаса, вычисленному как
отношение предела прочности материала к эквивалентному напря-
жению. Последнее определяется по главным напряжениям на
основании соответствующей теории прочности (например, теории
прочности Мора).
В некоторых конструкциях толстостенные трубы работают в
условиях, не допускающих возникновения остаточных деформаций
(например, стволы огнестрельного оружия). Величину давления
до которого цилиндр будет работать упруго, можно повысить раз-
личными способами. Один из способов, называемый автоскреплением
состоит в том, что после изготовления цилиндр опрессовывают
высоким внутренним давлением, вызывающим начальную пласти-
ческую деформацию. При нагружении рабочим давлением такой
цилиндр будет работать упруго до более высокого давления, чем
неопрессованный цилиндр. Расчет автоскрепленных цилиндров
рассматривается в курсе теории пластичности.
Другой способ состоит в применении составных цилиндров, из-
готовленных из двух или трех труб, насаженных одна на другую с па-
тягом. Расчет таких составных цилиндров изложен в § 3.
Второй частный случай. На цилиндр действует только наружное
давление (рг — 0 и р2 = р). По формулам (2.24), (2.25), (2.27)
получим
(2.34)
(2.35)
(2.36)
Соответствующие эпюры напряжений приведены на рис. 2.4.
Анализируя эпюры, легко установить, что наиболее напряжен-
ными точками также являются внутренние.
При уменьшении диаметра внутреннего отверстия, т. е. при
ri “* 0, окружное напряжение в наружных точках стремится
К величине — р, а во внутренних точках к — 2р.
Сопоставим эти значения с соответствующими значениями для
сплошного цилиндра, нагруженного наружным давлением. В сплош-
а«
67
ном цилиндре окружное напряжение всюду равно — р. Следова-
тельно, около малого центрального отверстия окружное напряже-
ние возрастает вдвое. Это резкое возрастание около малого отвер-
стия является типичным примером концентрации напряжения.
Если материал пластичный, то при статическом нагружении
концентрация напряжений не приводит к снижению прочности,
Рис. 2.4
так как по мере развития
пластической деформации
концентрация напряжений
сглаживается.
Третий частный слу-
чай. Внутреннее и наруж-
ное давление одинаковые
(Pj = р2 ~ р). В этом слу-
чае иг = — р\ <j( = — р
и аг — — р, т. е. все три
напряжения равны между
собой и не зависят ни от
г, ни от отношения ра-
диусов —. При стремле-
в пределе получим распределение
нии радиуса к нулю
напряжений в сплошном ци-
линдре.
Отметим, что формулы Ляме справедливы также и в том случае,
когда давления pt и р2 изменяются по длине по линейному закону.
Это нетрудно доказать, рассмотрев уравнения теории упругости,
§ 3. Расчет посадок с гарантированным
натягом.
Составные цилиндры
Рассмотрим задачу о напряжениях, возникающих при
посадке одного цилиндра на другой с натягом. Натягом А называется
разность диаметров посадочных поверхностей наружного и внут-
реннего цилиндра (рис. 2.5).
Введем обозначения:
b и с — радиусы наружного цилиндра;
а и b + А — радиусы внутреннего цилиндра;
I — длина, одинаковая для обоих цилиндров;
Ех и £а — модули упругости внутреннего и наружного
цилиндра;
рх и р2 — коэффициенты Пуассона соответственно.
Чтобы соединить цилиндры, наружный цилиндр обычно на-
гревают; при этом он расширяется и его можно свободно надеть
на внутренний цилиндр. После охлаждения наружный цилиндр
плотно охватывает внутренний цилиндр и в результате получается
68
' 7 надежное соединение. В некоторых случаях вместо нагревания
наружного цилиндра применяют охлаждение внутреннего цилиндра
В жидком азоте или запрессовывают одни цилиндр в другой без
нагревания или охлаждения (с применением смазки).
При одинаковой длине соединяемых цилиндров контактное
давление рк равномерно распределено по посадочной поверхности.
Величина этого давления ‘ может
быть определена из уравнения сов-
'  местности деформаций.
Обозначим через |	| умень-
шение радиуса посадочной по-
верхности внутреннего цилиндра
••• и через и2 — увеличение радиуса
посадочной поверхности наружного
. цилиндра. Очевидно,
• | Ui | и и2 должна быть равна
половине натяга. Так
= — U1 и | Н2 | = «2>
Рис. 2.5
что сумма
как | н, | ~
то
д
2
(2.37)
Применив для наружного ци-
линдра формулы (2.28) и (2.29)
и подставив в них р = рк, г{ = Ь,
1\ — с и г = Ь, получим следующие значения напряжений в точках,
расположенных па посадочной поверхности:
о
° г Рк> — рк & —- U.
. Изменение радиуса посадочной поверхности н2 вычислим по
формуле (2.20):
- '	b .	. Ьрк (с2-[-Ь2 .	\
4	4 Л	/
Аналогично определяется изменение радиуса посадочной по-
?. верхности внутреннего цилиндра. По зависимостям (2.34), (2.35)
В (2.20) при г, = а, г2^ Ь, р = рк и г ~ b найдем

ог = — рк-, о/ — Рк Ь2_о3; ог =
Л 	ь ,	Ьрк !	Ь2-\-а2	\
Ь	«1=	7^г + Р1)-
Подставив выражения и иг в уравнение (2.37) и решив его
/^/Относительно контактного давления рк, получим
.	= ... I 1 /^ + «2	ГТ 1 / с-2-1-62 . Г-*	(2.38)
При одинаковом материале внутреннего и наружного цилиндра
или
_________л/-_______
>/,	+	 Ca-R2
 b2 — а2 "* c2—b2
ЬЕ (с2 — b2) (Ь2 — а2)
(с2—а2)
(2.39)
(2.39а)
Иногда формулу (2.39) записывают также в виде
_ дс 1
Рк~ 2Ь ‘ 1-|-А’т 1+feH *
1 — k2 + \—ki
(2.396)
где = y и /г2 = — — коэффициенты толстостеп пости внутреннего
и наружного цилиндра.
Формулы (2.38), (2.39) применяют для расчета прессовых по-
Рис. 2.6
садок цилиндров при одинаковой
длине сопрягаемых деталей. Эти
формулы справедливы при усло-
вии, что натяг не очень велик и
деформации в цилиндре только
упругие. Кроме того, необходимо
иметь в виду, что величина натяга,
определяемая по замерам деталей
до запрессовки, всегда несколько
больше, чем величина действитель-
ного натяга, так как после обра-
ботки на поверхности деталей ос-
таются неровности (гребешки),
которые обминаются при запрес-
совке. Разница между действитель-
ным и измеренным натягом зависит от шероховатости поверхности
и определяется по эмпирической формуле
Дизм — Д — 1 >2 (Ri -ф /?2),
где /?1 и /?2 — максимальные высоты микроперовностей сопрягае-
мых поверхностей. Числовые значения величины R следующие:
Класс чистоты поверхности 678
Максимальная высота мик-
ропсровпостсй /?, мкм 10 6 3
При различной длине сопрягаемых деталей контактное давление
распределяется по посадочной поверхности неравномерно. Высту-
пающие концы более длинной детали увеличивают контактное
давление у краев посадочной поверхности, т. е, вызывают концент-
рацию напряжений. Точного решения задачи о распределении кон-
тактного давления не получено. Приближенное среднее значение
контактного давления можно определить, приняв, что давление
70
распределено равномерно. Для случая посадки короткой втулки
на длинный вал (рис. 2.6) формула для среднего-давлен и я анало-
гична формуле (2.38) и отличается только тем, что в знаменатель
введен поправочный коэффициент х, зависящий от отношения
длины посадочной поверхности I к ее диаметру dK:
Рк —
2Ь
< с2 + b'
(2.40)
t2-<l2
c-
2 ।
Числовые значения коэффициента x в зависимости от отношения
l/d при различной толстостеппости внутренней детали даиы на
Puc. 2.7
Пример 2.2. Определить напряжения, возникающие при прессовой посадке
полого цилиндра на сплошной вал. Диаметры вала и цилиндра:
d— 2b — 100 мм; dy — 2b = 100 мм; d2 = 2 с = 180 мм. Модуль упругости
материала Е = 2-I07 Н/см2.
Натяг Д = 0,05 мм.
Контактное давление определяем по формуле (2.39):
2 - 10’ - 0,005
— 3460 Н/см2.
Напряжение во внутреннем (сплошном) цилиндре
ог = 0/ — — рк = — 3460 Н/см2.
Напряжение в наружном цилиндре [см. формулы (2.28) и (2.29)1 при г = b =
= 5 см; ог = —3460 Н/см2; ot = 6540 Н/см2;
При г == с = 9 см; сг = 0; о, = 3090 Н/см2.
Эквивалентное напряжение в наиболее напряженной точке (на внутренней
Поверхности наружного цилиндра)
О9КВ = 1/	[(О, — иг)24-0/4-о2] = 8800 Н/см2.
Приведенный пример показывает, что даже при сравнительно
Малом натяге возникают значительные напряжения. Отсюда сле-
71
дует, что детали, предназначенные для соединения с натягом,
должны изготовляться с большой точное!ыо, так как даже не-
большое отклонение от номинальной величины натяга может
привести к снижению прочности соединения.
Остановимся на особенностях расчета составных цилиндров.
Составные цилиндры из двух и более труб, посаженных один на
другой с натягом, находят применение в машиностроении в тех
случаях, когда требуется, чтобы деформации были упругими при
возможно большем значении внутреннего давления.
За счет натяга в составном цилиндре возникают начальные на-
пряжения, характер распределения которых по поперечному се-
чению показан на рис. 2.8, а. При этом в наружном цилиндре воз-
Рис. 2.8
никает растягивающее окружное напряжение, а во внутреннем —
сжимающее. При приложении внутреннего рабочего давления на
начальные напряжения накладываются рабочие напряжения (рис.
2.8, 6), в результате получаются суммарные напряжения (рис. 2.8, в).
В точках, расположенных на внутренней поверхности составного
цилиндра, суммарное окружное напряжение получается меньше,
чем в тех же точках целого цилиндра, в то время как в наружных
точках окружные напряжения, наоборот, возрастают. Оптимальное
значение контактного давления рк и соответствующего ему натяга
можно определить из условия равнопрочности внутреннего и на-
ружного цилиндра, а оптимальное значение радиуса контактной
поверхности — из условия наибольшего снижения эквивалентного
напряжения в опасной точке.
Согласно этим условиям оптимальный радиус контактной по-
верхности
rK = ]/rv7-	(2.4!)
Оптимальная величина контактного давления при выполнении
условия (2.41):
Pti-_ pt(2 42)
1 к 2 Гг + п	v '
72
Натяг, соответствующий этому контактному давлению:
А = ^-.	(2.42.а)
Остановимся более подробно па вопросе определения величины
натяга, соответствующего заданному начальному контактному
-г давлению. В случае двухслойной трубы эта задача решается с по-
? / мощью зависимостей (2.38), (2.39). Другой, более простой, способ
определения требуемого натяга состоит в следующем.
Если контактное давление задано, то по формулам Ляме вычи-
V. сляют напряжения в точках, расположенных на посадочных поверх-
ностях внутренней и наружной трубы. После этого по формуле (2.20)
Ч/ определяют радиальные перемещения r/t (для внутренней трубы)
>' и «2 (лля наружной трубы). Разность этих перемещений (взятых
С учетом их знаков) равна половине натяга А, следовательно,
А = 2и.г — 2мх.
(2.43)
Такой метод особенно удобен для расчета натягов трехслойных
• цилиндров.
Пример 2.3. Определить величины натягов для цилиндра, составленного
/•-М3 трех стальных труб:
1-я труба Гц = 4 см
2-я » г21 — 8 »
3-я	»	— П »
/и = 8 см
г22 = 11 »
Г32 — 14 »
Величина контактного давления на обеих контактных поверхностях задана
одинаковой и равной рк| — рК2 = 3000 Н/см2.
Вычислим напряжения:
Для 1-й трубы: pi=0; р2 — рк1 = 3000 Н'см2;
при г = г12 = 8 см ог12 = — рк = —3000 11/см2;
= — 5000 Н/см2.
Для 2-й трубы: Pf — р2 ~ 3000 Н/см2;
при г = r2i = 8 см о/21 = <тгг1 = —3000 Н/см2;
ПрИ Г = Г22 = 11 СМ 0/22 ~ °Г22 ~ —3000 Н/см2.
Для 3-й трубы: Pi ~ 3000 Н/см2; р.» ~ 0;
При г = г31 = 11 см О^З! - —3000 Н“/см2;
£	<т/31 = рк	= 12 700 11/см2.
По формуле (2.20) определим перемещения точек, расположенных па поверх-
®остях контакта (ог считаем равным нулю). Для первой контактной поверхности
г12 /	.	32 «ВО	ЛЛЛ1ГЛ
«1г = -г£- (О/is — part4) =---р—- = — 0,00164 см;
Г21 ,
“21 =-д-(<*/21 — 1^Г21)
второй контактной поверхности
23 100	„ПЛ11Г.
—тт— = — 0,00115а см;
16 800
= -0,00084
см.
“si = (a/ai — 1'олЭ1) = —>	= 0,00748 см.
/“	г ♦
73
Соответствующие натяги:	*
.	„	„	32 000	,
Л2 = 2п.21 — 2и |.» — —- .- — 16-10 4 см —16 мкм;
343 400
Д3=2и31 — 2мгг = -—ГТ" — 172 • Ю~4 см — 172 мкм
(£ = 2 • 10’ Н/см2; р=0,3).
Найденные значения натягов обеспечивают заданные контактные давления,
однако вопрос о том, являются ли эти контактные давления оптимальными, остается
неисследованным. Также остается невыясненным, насколько удачно выбраны
радиусы посадочных поверхностей. Для выяснения этих вопросов следует варьи-
ровать значениями радиусов и величинами контактных давлений и выбрать
такие, при которых эквивалентное напряжение будет наименьшим.
При этом исследовании напряжений удобно применять графи-
ческий метод, позволяющий’быстро найти напряжения и видеть,
как влияет изменение того или иного параметра на распределение
напряжений.
Графический метод [21] основан па замене переменной г новой
переменной:
1
г2
(2.44)
Формулы Ляме (2,17) и (2.18) принимают вид
аг = А — Вх-,
<yt = А -г Вх.
(2.45)
(2.46)
Равенства (2.45) и (2.46) представляют собой уравнения пря-
мых, отличающиеся одно от другого только знаком углового коэф-
фициента. Возьмем системы координат х, о, и х, аг и расположим
их таким образом, чтобы начало координат и оси ординат были
совмещены (рис. 2.9), а оси абсцисс направлены в противоположные
стороны. Тогда прямые, построенные ио уравнениям (2.45) и (2.46),
74
на этих осях будут продолжением одна другой. Так как переменная
х не может иметь отрицательных значении, то участок прямой,
расположенный слева от начала координат, будет относиться только
к напряжению су., а участок, расположенный справа, — к напряже-
нию оу. Предположим, что заданы радиусы г} и г2 и давления pt и р2
и требуется определить напряжения. Вычислим лу~ —и х2 = -^
и отложим их вправо и влево от начала координат (см. рис. 2.9).
Радиальные напряжения во внутренних и наружных точках равны
соответственно внутреннему и наружному давлениям, взятым со
знаком минус, т. е.
ОГ1 = — Pl, 0Г2 = -Р-2-
Отложив от точек яу и х2 в координатной системе х, о, ординаты,
соответствующие напряжениям ол1 = — рг и ол2 = — р2, и соеди-
нив полученные точки прямой линией, получим эпюру напряжений
(х). Продолжение этой прямой в область, расположенную справа
от начала координат, даст эпюру напряжений (х). Эти эпюры
характеризуют изменение напряжений по переменной х=—^
(точки прямых, расположенные ближе к началу координат, со-
ответствуют наружным точкам цилиндра, а точки, удаленные от
начала координат, — внутренним точкам цилиндра).
Пример 2.4. Определить графическим способом напряжения, возникающие
при соединении двух цилиндров с помощью прессовой посадки. Заданы значения
радиусов r\, г2 и гк и контактное давление рк.
Отложим вправо и влево от начала координат отрезки Х]-- —хк =
1	ri
в з; х2 = ——(рис. 2.10). В левой части графика от точек хь хк, х2 отложим по вер-
_ к г 2
тикали отрезки, равные напряжениям ол1, стгк и ог2, и соединим полученные точки
прямыми линиями. В данном случае <тг| — 0, пгк — —и аг2 = 0. Эпюра напря-
жений иг (х) имеет вид треугольника (левая сторона графика, см. рис. 2.10).
75
С
:,.v
i'V
I ?l

Продолжив наклонные участки эпюры аг (х) в область, расположенную
справа от начала координат, получим эпюру напряжении (х). Ординаты этой
эпюры при х — л',, х — хк и х -- л'., определяют в соответствующем масштабе
напряжения <т, во внутренних и наружных точках первого и вюрого цилиндра.
Пример 2.5. Определить графическим способом посадочные напряжения
в трехслой пом цилиндре, рассмотренном в примере 2.3.
Значения переменной х в граничных точках:
хи = —= 625 • 1(Г4 1/см2; хк1 = 4" = 156,2 •10-4 Vcm8J
ГН	Гк1
хк2 = -L = 82,7 • 10-1 1 /см2; х3а =. 4- = 51,1 • Ю1 1 /см2.
Г Г. л	Г
Графическое определение напряжений для этого случая показано на рис. 2.11.
При определении оптимальных значений радиусов и натягов
целесообразно построить вначале график, соответствующий рабо-
чему внутреннему давлению р для сплошной трубы (прямая abed,
рис. 2.12). Затем, задавшись значениями хк1, хк2, /?к1 и рк2, отло-
жить от прямой ab в соответствующих точках выбранные контакт-
ные давления. Соединив полученные точки т и п с точками а и Ь,
получим эпюры результирующих радиальных напряжений (ли-
ния amnb). Продолжение наклонных прямых ат, пт, nb в область,
расположенную справа от начала координат, дает эпюру резуль-
тирующих окружных напряжений. На рис. 2.12 эпюры результи-
рующих напряжений заштрихованы.
Это построение дает наглядное представление о том, насколько
удачно выбраны радиусы посадочных поверхностей и контактные
давления, и позволяет видеть, каковы окружные напряжения
в каждой из трех труб, а также позволяет оценить эффект замены
однослойного цилиндра трехслойным.
§ 4. Температурные напряжения
в толстостенных цилиндрах
В стационарном тепловом режиме температура рас-
пределяется по толщине стенки цилиндра по логарифмическому
закону [см. равенство (2.2)1. Подставив выра?кение (2.2) в правую
часть уравнения (2.14), получим
d2(Jr ( q 1
6 7 ’
d(jr
dr
EaT
(1 -ц)1п 4
(2-47)
Общее решение этого дифференциального уравнения можно
представить в виде суммы общего решения однородного уравнения
(2.15) и частного решения уравнения с правой частью (2,47):
,>	г т	1п Г -
Ц	Е аТ г3
г2 — 2(1—g) ln rL •
(2.48)
77
Постоянные /I и В, как и ранее, определяют по граничным усло-
виям. Поскольку напряжения от внутреннего и наружного дав-
лений можно определять независимо от температурных напряжений,
примем, что в данном случае давления равны пулю. Тогда граничные
условия будут следующие:
при
при
r = r2 = 0.
На основании этих условий
В результате подстановки постоянных выражение радиального
напряжения (2.48) принимает вид
Напряжение определяется на основании уравнения (2.13):
Для определения третьего напряжения ог необходимо вначале
найти деформацию сг. Для этого используем дополнительное ус-
ловие равенства нулю осевой силы в цилиндре
N = ? ог2лг dr = 0.
1 "
Подставив под знак интеграла выражение (2.11) и выполнив
интегрирование с учетом зависимостей (2.10), (2.50), (2.51), а затем
решив полученное равенство относительно ег, получим
ег = — аТ
(2.52)
Выражение напряжения ог (2.11) принимает следующий вид:
ТаЕ
2(1-р)
(2.53)
L rt	J
На рис. 2.13 приведены эпюры напряжений or, <jh <уг, построен-
ные па основании зависимостей (2.50), (2.51), (2.53) (перепад тем-
78
ператур Т принят положительным). Наибольшие напряжения воз-
никают во внутренних точках. Для оценки величины этих напря-
жений приведем числовой пример.
Пример 2.6. Дано: г2 = 3rt; Т — /х — t2 ~ 40е С; Ел— 2-107 Л/см2;
р. = 0,3; а = 12-10 ° 1/град (сталь). Вычислим напряжения в точках, располо-
женных па внутренней поверхности:
= — 9240 Н/см2;
стл=0.
Как можно видеть, даже при сравнительно малом перепаде температур
напряжения достигают весьма больших величин.
При большом перепаде температур напряжения в цилиндре могут превысить
предел текучести материала. В этом случае выведенные зависимости неприменимы.
Если же перепад невелик, но температуры и (2 высокие, выведенными зависи-
мостями можно пользоваться; необходимо только подставлять в них значение
модуля упругости, соответствующее средней температуре стенки цилиндра. При
одновременном нагружении цилиндра внутренним и наружным давлением и
неравномерном нагреве напряжения можно вычислять отдельно и затем сумма
ровать.
Глава 3
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
В ДИСКАХ ПРИ ВРАЩЕНИИ
И НЕРАВНОМЕРНОМ НАГРЕВЕ
§ 1. Вывод основных уравнений
Диски рабочих колес турбин и турбокомпрессоров
относятся к числу наиболее ответственных деталей машин. При
вращении и неравномерном нагреве в дисках возникают окружные
и радиальные напряжения и о>. Кроме этих основных напряже-
ний, в дисках могут возникать также напряжения за счет осесим-
метричного изгиба под действием сил, перпендикулярных их плос-
Рис. 3.1
кости и напряжения концентрического кручения за счет передавае-
мого дискол! крутящего момента. Однако напряжения изгиба и
кручения обычно имеют второстепенное значение. Эти напряжения
могут быть определены независимо от напряжений растяжения.
В настоящей главе изгиб и кручение дисков не рассматриваются.
Иа рис. 3.1, а и б изображены диски машин осевого типа (т. е.
машин, в которых рабочее тело — газ или жидкость — движется
в осевом направлении). Эти диски могут быть сплошными (рис. 3.1, а)
или с центральным отверстием (рис. 3.1, б). Толщина дисков Л
80
обычно бывает переменной по радиусу. По наружной поверхности,
эти диски нагружены напряжением оП1, создаваемым центробеж-
ными силами рабочих лопаток и узлов их крепления. По внутренней
поверхности диска с центральным отверстием действует контактное
давление рк от напряженной посадки на вал. Кроме того, по всему
объему диска действуют массовые силы инерции, возникающие при
его вращении.
Согласно принципу Даламбера, всякое тело, движущееся с
ускорением, можно рассматривать как неподвижное, добавив
к реально действующим силам фиктивные силы инерции. Последние
равны произведению масс на ускорения и направлены в сторону,
обратную ускорениям. В данном случае при вращении диска все
его точки испытывают центростремительное ускорение. Следова-
тельно, силы инерции направлены по радиусу от центра. Интен-
сивность этих сил q равна произведению плотности материала на
ускорение со2г, т. е.
q = — о)2г
<3.1)
где g — ускорение силы тяжести, см/с2;
у — удельный вес, Н/см3.
В дисках машин радиального типа (т. е. машин, в которых газ
или жидкость движется в радиальном направлении) рабочие ло-
патки изготовляют обычно за одно, целое с диском (рис. 3.1, в).
При расчете таких дисков считают, что лопатки сами нс восприни-
мают нагрузки, а только увеличивают инерционную нагрузку на
диск. Интенсивность инерционной нагрузки в этом случае возрас-
г?/
тает в отношении ' (где/7 = 2л/7т — площадь сечения тела диска
Г
цилиндрической поверхностью радиуса г; F' = 2л/7т 4- zF п — та
же площадь, включая площадь сечения лопаток; г — число ло-
паток; Fa — площадь сечения одной лопатки). Таким образом, ин-
тенсивность инерционной нагрузки для дисков машин радиаль-
ного типа
q = ся2г 1 +
7 Я
zF
2л г Л
(3.2)
Радиальное напряжение оЛ1 у таких дисков отсутствует, так как
наружный край свободен.
Температурные напряжения в дисках зависят от заданного
поля температур. Последнее устанавливается в каждом отдельном
случае на основании анализа теплового режима. Логарифмический
.закон распределения температур, справедливый при осесимметрич-
ном стационарном нагреве длинных полых цилиндров, в данном
случае не применим из-за теплообмена диска с окружающей средой
по торцовым поверхностям. При значительном перепаде температур
необходимо также учитывать переменность по радиусу модуля
упругости и характеристик прочности материала. Для стали,
например, при повышении температуры от 20 до 500° С модуль
упругости снижается приблизительно па 40%.
Инженерная теория расчета дисков основала на следующих
основных допущениях:
1. Нормальные напряжения в плоскостях, параллельных сре-
динной плоскости диска, считаются равными нулю, т. е, напряжен-
ное состояние рассматривается как
плоское (двухосное).
2. Температура t, а также на-
пряжения СЦ И df постоянны по
тол ши не диска, т. е. являются
функциями только текущего ра-
диуса г.
Эти допущения были обосно-
ваны путем сопоставления прибли-
женного решения с точным, по-
лученным для некоторых частных
случаев.
Основные исходные уравнения
для вращающихся неравномерно
нагретых дисков аналогичны со-
ответствующим уравнениям для
толстостенного цилиндра, нагру-
женного внутренним и внешним
давлениями. В частности выраже-
ния деформаций и г, через радиальное перемещение и (2.4)
и (2.5) полностью остаются в силе. Также остается справедливым
уравнение совместности деформаций (2.6).
С учетом нагрева зависимости закона Гука для двухосного на-
пряженного состояния можно записать в виде

(3.3)
Е (о(-рог)-|-6,	(3.4)
где 0 = G (г) —• температурная деформация;
О a (I — /0).
Подставив выражения (3.3) и (3.4) в уравнение (2.6), получим
уравнение совместности деформации в напряжениях
d [ 1 z	\l I I Н /	\ 1	^0 л /о
Г -d-Е (<Г/ - par) ] -Г —(оу -ог) -I- г l[r -	(3.6)
Второе уравнение с неизвестными аг и о, составляется на осно-
вании условий равновесия элемента объема диска. Оно отличается
от соответствующего уравнения (2.1) наличием дополнительного
слагаемого, учитывающего силы инерции.
82
Выделив бесконечно малый элемент объема диска (рис. 3.2)
и приравняв нулю сумму проекций всех сил на направление ра-
диуса, получим
(агЛг) — gJi -|- qrh = 0.	(3.7)
Уравнения (3.6) и (3.7) представляют собой разрешающие урав-
нения вращающихся неравномерно нагретых дисков. В некоторых
частных случаях эти уравнения интегрируются в квадратурах.
В более общем случае уравнения решаются численными методами
с применением ЭЦВМ пли приближенно.
§ 2. Вращающиеся неравномерно нагретые
диски постоянной толщины
при постоянных по радиусу характеристиках
упругости Е и ц
При h ~ const, Е — const и р = const уравнения
(3.6) и (3.7) упрощаются и принимают вид
r dr (а‘ ~1'°^ + (* + И) (о, — °r) + Ег = 0;	(3.8)
X (OZ)-0, + ^ = О.	(3.9)
Из уравнения (3.9)
+	(3.10)
подставим в уравнение (3.8); в результате получим дифферен-
циальное уравнение второго порядка относительно аг:
r4v-+3^- -(3-|-р)^--£-^-.	(3.11)
dr1 1 dr	'	1 r ’ g	dr	'	'
Используя тождество
</2ст, . Q (/и,	d [ 1	d ,
г—?— -ф 3	(crr2) ,
dr 1 dr	dr | г dr '	’ |
запишем уравнение (3.1'1) в виде
dr \lr dr (<v2)|=-(3-H0^-£^.	(3.12)
Проинтегрировав уравнение (3.12) дважды, получим
(3.13)
здесь А и В — постоянные интегрирования.
Величина Т представляет собой интеграл вида
Т^\ rbdr,	'	(3.14)
где	г.
( ч
Lx	ьз
h
Нижний предел интегрирования постоянный, влияющий только
на-величпну констант /1 и Я, целесообразно принять равным внут-
реннему радиусу диска, так как в этом случае интеграл (3.14)
при г Г] обращается в нуль, и уравнения граничных условий
несколько упрощаются.
Напряжение а, определяется но соотношению (3.10), которое
при подстановке в пего выражения (3.13) принимает вид
а, = А -Ь Bri -	~ - £0.	(3.15)
Постоянные интегрирования А и В в каждом частном случае
определяются по граничным условиям
па наружной и на внутренней поверх-
ностях диска (или в центре диска).
Рассмотрим некоторые частные слу-
чаи.
1.	Сплошной вращающийся диск
(без центрального отверстия) постоян-
ной толщины; неравномерный нагрев
отсутствует (рис. 3.3). Граничные усло-
вия:
в центре диска при г ~ 0, на осно-
вании симметрии, ог — од
на наружной поверхности при г =
— г2 0.
Из этих условий с учетом выражений (3.13) и (3.15) при 0=0
и Г = 0 найдем
В = 0; Лд(3+и)У>Ч
Формулы для напряжений (3.13) и (3.15) в этом случае принимают
вид
0г = —+^Y°>2-	- Hi	(3.16)
_(3-Н0т<о2 / , l-f-Зр Л	п 17
Эпюры напряжений, построенные по зависимостям (3.16) и (3.17),
приведены на рис. 3.3. Наибольшие напряжения возникают в
центре диска
_(34-ц)уо)2г-
Or max — max — '	•
Следует отметить, что при заданном удельном весе у напряжения
зависят только от окружной скорости v — ыг-2- Так, например, для
диска из стали с удельным весом у — 7,8-10-2 Н/см3 при р — 0,3
наибольшее напряжение
о - п - Лт|1)¥-_ - з 28п2
игшах — У/щах — gg —.
84
В частности, при г., — 20 см и п — 20 000 об/мин окружная
скорость
v — —=-420 м/с
и напряжения
orinnX = tffinax = 58 • 103 11/СМ2.
Для каждого материала можно установить предельно допусти-
> мую окружную скорость. Тогда работоспособность диска можно
__ оценивать, сопоставляя фактическую окружную скорость с допус-
тимой.
2.	Диск постоянной толщины с центральным отверстием; нерав-
номерный нагрев отсутствует (рис.
3.4). Если края диска свободны, то
граничные условия следующие:
при
г — г\ иг — 0 ;
при
Г = Л2 Ог = 0.
С учетом 'зависимости (3.13) при
6 = 0 и 7 = 0 эти условия приво-
дят к двум уравнениям, решение ко-
' торых дает значения постоянных:
.  (3 + р) у(оа (Н-М) _
(З-НОТ^Ф!
8g
Формулы (3.13) и (3.15) для напряжений в данном случае при-
нимают вид
О/
_(34-И)т<.? ! , ,
---8g-V2 1 G	г 'г
=—ёГ-\п+ 1	зтгг
(3.18)
(3.19)
Эпюры напряжений для кольцевого диска приведены на рис.
3.4. Наибольшее напряжение возникает в точках диска, располо-
женных на внутренней поверхности:
О7 max
(3 + p)yw2 Г. , 1—И 5]
= —тг-'Г2+^+|Г ‘J’
(3.19а)
При стремлении радиуса отверстия к нулю это напряжение
стремится к величине, равной	г~-. Сравнивая эту вели-
7* чину с величиной напряжения в центре сплошного диска, можно
увидеть, что около малого центрального отверстия возникает коп-
$•’? Центрацня напряжений (коэффициент концентрации равен 2),
85
Отмстим еще другой предельный случай, когда -> г, -> г, т. с.
когда диск вырождается в топкое кольцо. По формуле (3.19) при
Т(|)2Г2 ~
ri — г2 г найдем ot —-Л--—.. эту величину можно также легко по-
лучить непосредственно из уравнения равновесия половины кольца.
3.	Диск постоянной толщины находится в условиях неравномер-
ного нагрева; вращение отсутствует.
Основная трудность определения термических напряжений за-
ключается в установлении поля температур. Предположим, что тем-
пература изменяется по радиусу согласно закону
( = 4 + ^-А
Тогда температурная деформация
О = (/-/,,) а = 0,+ ^1 А
Учитывая, что равномерный нагрев диска не вызывает напряже-
ний, первое слагаемое в написанном выражении можно отбросить и
считать, что температурная деформация подчиняется следующей
зависимости:
л Оо —	2
О = —---- Г2.
Г;
По формуле (3.14)
( Or dr - ( r“dr
J	3	4r2
о	0
Подставив T и О в выражения (3.13) и (3.15), найдем
л	В	Elb.-QJr*
ог = А — -------- .	;
г	г2	4Н	’
а	В	ЗЕ^-ОЭ^
=	+	4^~~ •
Постоянные интегрирования А и В определим по граничным
условиям.
В случае сплошного диска:
при
г - 0 о г — од
при
г = г2 СТ/ — 0.
Согласно этим условиям
В = 0; А =	84~^.
Тогда
(3.20)
°< = —4—(i-3 J)-	(3.21)
86
Эпюры напряжений по радиусу приведены на рпс, 3.5. При
/2 _ /0 = 700°; /L — /„ - 200 > С; а = 15 • 10 «1 /град; Е - 2 • 107 11/см2;
02 — 01 = (/2 — О а = 75-Ю"1; напряжение ot в наружных
точках
at = -	=, _ 2-107-75-10;* = 75.10з н/см2<
{/ = г2)
Выполненный
гости материала
расчет основан на допущении, что модуль упру-
имсет постоянное значение. В действительности
величина модуля упруго-
сти зависит от температуры.
Расчет диска с учетом пере-
менности модуля упруго-
сти по радиусу рассмотрен
В § 4.
Отметим еще случай,
когда кроме вращения и
неравномерного нагрева на
внутренней и. наружной
поверхностях имеются за-
данные напряжения
и стл2. Значения напряже-
ний оЛ и О/ в произвольной
точке диска в этом случае
можно определить, сложив
напряжения, вычисленные
по зависимостям (3.16) — (3.21), и напряжения, вычисленные по
формулам Ляме.
Можно также определить значения суммарных напряжений непо-
средственно по зависимостям (3.13) и (3.15), используя граничные
условия:
при
< = О Qr = crrl;
при
Г = Г2 = <Гл2.
Формулы (3.16) — (3.19), выведенные для топких дисков, иногда
применяют для расчета длинных сплошных или полых вращаю-
щихся барабанов. Распределение напряжений в длинном барабане,
строго говоря, отличается от распределения напряжений в тонком
диске. Если в диске напряженное состояние — плоское (ол = 0),
то в барабане оно объемное (п.	0). Относительная осевая де-
формация ег в диске переменна по радиусу, а в барабане — по-
стоянна (поперечные сечения в длинном барабане остаются пло-
скими).
87
Формулы для напряжений в длинном вращающемся барабане
имеют вид
<з-22>
^=^+-”--X(.(-t)l) •	<3-23>
Для цилиндра с отверстием при граничных условиях:
при г
г = гъ о> = 0;
Г = О, = 0;
_ уб>2(3 —2ц) ! .
а'~ ««(1-Ю 1/*+г'-
У<оа (3 — 2ц) / , ,	, г;г?:
'/г^г|+Г2
1 4~ 2|1
(3.24)
(3.25)
(3.25а)
_ (3-2ц)усо2 /, 1-2ц \
‘ maX	\ з+3-2ц J
при граничных условиях:
Для цилиндра без отверстия
г = 0, Gr — <jt;
г — г.,, ол = 0;
О/
при г — 0
yw8(3 —2ц)
8Ж1--Ю
И:
= 7^(3-2ц) I , _ 1 +2ц Д _
Вя(1-М) L 3-2tiJ’
max — О’/ max
3 — 2ц у(О2Гз
1 — ц 8д
(3.26)
(3-27)
(3.27а)
Осевое напряжение ог и осевая деформация ег во вращающемся
цилиндре при условии отсутствия осевой силы определяются по
зависимостям:

(3.28)
(3.29)
88
l. Ila рис. 3.6 п 3.7 представлены эпюры напряжений для полого
и сплошного вращающихся цилиндров. Сравнение этих эпюр с эпю-
X рами для тонкого диска (см. рис. 3.3 и 3.4) показывает, что разница
в значениях напряжений незначительная. Так, например, при отно-
< шепни Г1 = наибольшее окружное напряжение в длинном ци-
, -	г2 о
линдре составляет
- '	г n-7 Yoj2ra
orniax = 6,97-Lg^—,
| а в тонком диске
а -6 75 YCt)2fl
Uf max —u, * и •
При отношении yy-= 0, т. е. в сплошном цилиндре,
п	-3 43
О/ max —	gg >
Г
%•. в то время как в сплошном диске
4' Эти результаты показывают, что применение формул, выведенных
для дисков, для расчета вращающихся цилиндров или барабанов
не приводит к большой погрешности.
§ 3. Диски равного сопротивления
и конические диски
Диски турбомашин часто делают переменной толщины,
утолщающимися к центру. Это позволяет получить более равиомер-
&. ное распределение напряжений.

Иногда применяют диски равного сопротивления пли так назы-
ваемые равнопрочные диски (рис. 3.8), в которых напряжения
и, и о, одинаковы по величине и постоянны по радиусу
а, — ог = on = const	(3.30)
(предполагается, что неравномерный нагрев отсутствует).
Выясним, как должна изменяться толщина диска равного сопро-
тивления по радиусу. Подставив значения напряжений (3.30) в
общие уравнения (3.6) и (3.7) и приняв 0 — 0 и q	уви-
дим, что уравнение совместности деформаций (3.6) удовлетворя-
ется тождественно, а уравнение равновесия (3.7)
принимает вид
dh . vco2r‘- , Л
car + ----------------------------------------/1 = 0.
° dr 1 е
Разделив переменные и проинтегрировав,
получим
Рис. 3.8

(3.31)
(3.32)
1п/1 = --^
2fiO0
Для определения постоянной С используем
условие на наружной поверхности: при г ~ г2
толщина диска равна заданной толщине hz:
Т<>»2/'5 г г
In h2 —
откуда
C = \nh2+^
2йо0
С учетом значения постоянной С равенство (3.32) принимает вид
in А — у(а2(П-г^)
Л2 " 2go0
или
h. = /ьел С= " г"\
(3.33)
где
л
Толщину диска в центре найдем, приняв г = 0:
ft0 = h->eA\
(3.34)
Отметим, что диск равного сопротивления не может иметь свобод-
ный наружный край, а также не может быть сделан с центральным
отверстием или со ступицей, так как в этом случае невозможно
обеспечить выполнение граничных условий. Часто диски равного
сопротивления изготовляют с наружным ободом (рис. 3.9); при
этом обычно бывают известны ширина обода Ли, радиальное на-
90
пряжение на его наружной поверхности стЛ|1, радиусы г„ и г2, а также
величина допустимого напряжения в полотне диска оп. Неизвест-
ными являются толщины /i2 и //„. Чтобы найти /г,, необходимо со-
ставить уравнение совместности деформаций, учитывающее ра-
вен ст*'-- радиальных перемещений на наружной поверхности диска
и внутренней поверхности обода.
Рассматривая обод как кольцо, нагруженное силами инерции,
а также радиальными напряжениями на наружной и внутренней по-
верхности ozil и о0, вычислим возникающее в нем окружное напря-
жение. Запишем уравнение равновесия половины кольца
н
°лн2йнгн — a02/i2r2 +	(,)2f dr 2г/г« = 2а' об^°б’
откуда
1 Г ,	,	. Y“4(ri.-ri) 1
^7 об —* I? & ^/-ц^1Лн ^0"2^*2 "Ь	J’
где
Л>б = /in (гн - г2).
По напряжению п/об определим окружную деформацию и ра-
диальное перемещение
&t об =	£ j «об = ^1 об ^2
ИЛИ
г2 Г I	/, i	1
«об = I <VhVu - оЛб» Ч-------------1-	(3.35)
Это перемещение следует приравнять перемещению точек на-
ружной поверхности диска, которое также определим по окружной
Деформации. Напряженное состояние в диске — двухосное:
Gr —	— Oq.
Ш
Окружная деформация е/д =	— р ”
Радиальное перемещение
Приравняв иоб и
Рис. з.Ю
!д = е,лг2 = -я"Ц|1)Гг.	(3.36)
к получим уравнение, содержащее только
одну неизвестную величину Л2. После того,
как толщина й2 будет найдена, можно по
зависимости (3.34) определить толщину h(t
в центральной точке диска. При большой
толщине обода напряженное состояние в пем
целесообразно рассматривать как двухос-
ное, тогда для вычисления напряжений >.
ободе следует применять формулы Ляме
и формулы для вращающихся дисков по-
стоянной толщины (3.18), (3.19).
Рассмотрим напряженное состояние ко-
нических дисков при вращении (при отсут-
ствии неравномерного нагрева).
Конические диски или диски прямоли-
нейного профиля широко применяют на
практике, так как они более просты в из-
готовлении по сравнению с дисками рав-
ного сопротивления. В то же время на-
пряжения в коническом диске распреде-
ляются более благоприятно, чем в диске постоянной толщины.
Введем обозначения:
R — радиус окружности пересечения образующих
(рис. 3.10);
р =	— безразмерный текущий радиус;
h = hn (1 — р) — толщина диска на радиусе г (й — h0 при г == 0);
Nr = oji — интенсивность радиальной внутренней силы,
Н/см.
Используя принятые обозначения и считая Е и р постоянными,
можно преобразовать уравнение совместности деформаций (3.6)
и уравнение равновесия (3.7) к одному уравнению с одной неиз-
вестной:
Р(1-р)^ + (3-2р)-^ + (1-р)л',=
= - (3 + р)	р (1 - р)2.	(3.37)
Уравнение (3.40) есть частный случай гипергеометрического
дифференциального уравнения Гаусса. Решается оно в гипергео-
метрических функциях. Практическое решение уравнения (3.37) не
представляет трудности, так как для гинергеометрических функций
92
составлены таблицы. Вычислив функцию Nr, можно затем перейти
к определению напряжений:
= /Ц'! + Вф, -|-	ф3;
о( = Л (ft -j- Вц 2 Ч-	,
(3.38)
где А и В — постоянные интегрирования;
Фь Фз» Фз» (Гъ Ф>> <Рз — функции безразмерного радиуса р.
Таблицы этих функций, вычисленные при р ---= 0,3, приведены
в работе 1171. Для определения постоянных А и В используют
граничные условия на внутренней и наружной поверхностях диска.
Кольцевой диск:
при г = ft аг = аг1;
при T = ft Or = Or2.
Диск, не имеющий центрального отверстия:
при г = 0 о> = од
при г~г2 (Уг = иг1.
Более подробно вопросы расчета конических дисков как с плос-
кой срединной поверхностью, так и с конической срединной по-
верхностью рассмотрены в книге 112]. Там же приведены таблицы
специальных функций.
На наружном краю конического диска обычно имеется цилин-
дрический обод. Центральную часть диска изготовляют сплошной
или со ступицей для посадки на вал. Для быстрого определения
напряжений в конических дисках, имеющих ступицу и наружный
обод, удобно пользоваться таблицами [4].
§ 4. Расчет дисков переменной толщины
методом начальных параметров
с применением способа двух расчетов
Рассмотрим диск переменной толщины, представлен-
ный на рис. 3.11, а. На внутренней поверхности действует радиаль-
ное напряжение о/,,,, = — за счет напряженной посадки на вал;
на наружной поверхности— радиальное напряжение оЛ!, вызываемое
силами инерции лопаток. Это напряжение можно считать равно-
мерно распределенным по поверхности
Рг
одной лопатки;
•2:xrlthu
(3.39)
где p =	— сила инерции
G„ — вес лопатки;
г, — расстояние от оси вращения до центра тяжести;
z — число лопаток.
93
Кроме того, по всему объему диска действуют массовые силы
инерции, интенсивность которых q=^Et а также имеет место
неравномерный осесимметричный нагрев.
Приступая к расчету, следует по заданному закону распреде-
ления температуры, пользуясь справочными данными, построить
графики изменения по радиусу температурной деформации е = ta,
модуля упругости Е и коэффициента Пуассона р (рис. 3.11, г, д, е).
Заданный диск при расчете аппроксимируется ступенчатым дис-
ком (рис. 3.11, б). На каждом участке толщина hit а также модуль
упругости Е{ и коэффициент Пуассона р^ считаются постоянными

Рис. 3.11
и равными средним значениям на данном участке. Число участков,
на которые разбивается диск, зависит от геометрии диска и от же-
лаемой точности расчета. Поскольку величины hlt Et и р/ приняты
постоянными, для определения напряжений ог и ut на t-м участке
можно воспользоваться зависимостями (3.13) и (3.15):
a Bi (3+и)у<огга EjT
Г2	sg	ra
Bi	(1+Зр)ую2г\ . EjT(r)
rs	8g	ra
(3.40)
(3.41)
Запишем еще выражение для окружной относительной деформа-
ции в произвольной точке t-го участка:
_|_Q
(3.42)
04
или, с учетом зависимостей (3.40) и (3.41):
(и\ _ Л/(1 — р) , В,-(1 + ц)	усом л	Т(1 + ц)
”-----£]--+ ”Ёр----------8&Г(1 ~	+-----7?--
Постоянные интегрирования А/ и для различных участков
различны. Чтобы не определять большое количество постоянных,
применяют метод начальных параметров. Согласно этому методу
постоянные интегрирования выражают через некоторые параметры
(напряжения, перемещения), соответствующие начальной (внутрен-
ней) точке диска.
В результате задача определения постоянных сводится к отыс-
канию только двух параметров, причем один из них обычно бывает
заранее известен согласно граничным условиям на внутренней по-
верхности или в центральной точке.
Рассмотрим произвольный i-й участок диска. Внутренний и
наружный радиусы обозначим соответственно г(1 и г/2. Все вели-
чины, относящиеся к внутренним точкам участка, будем обозна-
чать двойным индексом П, а к наружным — 12.
Применив зависимости (3.40) и (3.43) к начальной точке участка,
получим
(З + Р,)?^	.
\r Ai ~ ~ + “ад	+ T(I +и,)-
Аналогичные выражения можно написать для наружной точки
участка
агц •=s Ai Bt	(3+н)Т®2^	Т/2
Ei	ESh Wi	Ъ »
/±\	гй(1+р,)
\г /а Ei	Eirh
Определив из первых равенств At и и подставив их во вторые
U	0-
два равенства, получим уравнения для определения — и ~ в
7"	С
конце i-го участка по их значениям в начале участка:
95
Примем за основные переменные безразмерные величины
Xi = т;	(3.46)
Х2 =	,	(3.47)
н'Ч1
где Ен, hK — модуль упругости и толщина в наружной точке диска.
Величины X, и Х2 при переходе от одного участка к другому —
Непрерывны. Действительно, на основании условия силового вза-
имодействия между участками
следовательно,
, Х2й = X2(/+i)i.	(3.48)
Также непрерывно радиальное перемещение ы, откуда
Xi/2 — Xi(/+j)i.	(3.49)
Уравнения (3.44), (3.4^) позволяют определить значения Хх, Х2
в конце участка по их значениям в начале участка.
Введем обозначения:
г/i -
=	"8^£7=	(3.50)
*««(Ч==4[1-н+(1+нНа]; М’ч»W=4(1 -х>);
М>.а W = 4 (1 - ра) (1 - Ха);
1	(3.51)
Я’оо (*) = | П +1* + (I - и) Л*];
(>) - (1 - И2) (1 - П
,t0»(X) = 3 + p-2(l + p)X2-(l-p)V, .
тогда уравнения (3.44), (3.45) можно записать в следующем
Ххге = 1|>„ (Л() х1П + 4^- *«с (М Хм -
F 7* тий) ”1 rS
с1гя	га
Xai2 — р lf.1 (^i) Фао (М -^241
СН"Н
_Kr«A'ih Га-га)вА
виде:
(3.52)
2й —
Эти уравнения можно представить в матричной форме
Хй == £/Ха + /?/;
(3.53)
96
— матрицы-столбцы значений -
в начальной <и в конечной точ-

id
Крдесь Xtl =	; Xti= ™
ГТ	\ Л2/1 /	\
безразмерных функций	и Х2
fках i-ro участка;
k Lt — матрица перехода от начала к концу участка;
[	м -ж ч»» w\
р	Ч°и (ЭД • Ч’ао (ЭД /
? Rt — матрица-столбец слагаемых, учитывающих инерционную на-
грузку и неравномерный нагрев;
ъ-------
Ki • I if hirh .	7- К	Eihi
\ ~ К h rs Vote (M —
\ “h'h
Матрицу-столбец
(3.54)
J
(3.55)
н в
(3.56)
убудем называть • вектором напряженно-деформированного состояния
в данной точке диска. Зная компоненты "вектора X, можно по за-
висимостям (3.46), (3.47) найти и и иг и далее по равенству (3.42)
определить ct:	'
(3.57)
J
За начальные параметры примем составляющие вектора X в
l начальной точке
I
111 —

(3.58)
Ш— b I. • I
снлн '
Если бы оба начальных параметра были нам известны, то, поль-
зуясь уравнением (3.53) и учитывая условие сопряжения участков
(3.59)
можно было бы определить вектор X во всех точках диска. В дей-
ствительности, однако, граничные условия на внутренней поверх-
ности диска позволяют определить только один начальный параметр.
Так, если задано контактное посадочное давление рт, то известно
напряжение ог11 — — рвн и Х2ц = —- Второй же начальный
( параметр должен быть определен из граничного условия на наруж-
ной поверхности диска. Чтобы преодолеть эту трудность, применяют
t способ двух расчетов.
4 Бояршинов

97
Искомый вектор напряженного состояния X представляют в виде
суммы двух векторов
Л = ХС + Х,	(3.60)
X — вектор состояния первого расчета;
X — вектор состояния второго расчета;
С — неопределенный коэффициент.
Вектор X второго расчета вычисляют с учетом сил инерции,
неравномерного нагрева и внутреннего давления, но при нулевом
значении неизвестного .начального параметра. Вектор состояния
в начальной точке в этом расчете
Хи = ( РиА .	(3.61)
\ £ИЛН /
t
Вектор X первого расчета вычисляют без учета вращения и
неравномерного нагрева, т. е. при Rj — 0. При этом второй началь-
ный параметр принимают за нуль, а первый (неизвестный) — за
единицу, таким образом
Хц = (').	(3.62)
Суммарный вектор X (3.60), очевидно, удовлетворяет гранич-
ному условию на внутренней поверхности диска. Для того чтобы
он удовлетворял также граничному условию на наружной поверх-
ности диска, необходимо соответствующим образом подобрать коэф-
фициент С. Выполнив оба расчета, получим следующие значения век-
тора X в наружной точке:
(3.63)
Если радиальное напряжение в наружной точке сга задано,
то вторая составляющая вектора X в этой точке известна:
__ агн
2н р >
- следовательно,
Х!иС+Хн = ^.
(3.64)
Определив отсюда коэффициент С и выполнив суммирование
согласно равенству (3.60), получим ряд значений вектора X, по
которым найдем напряжения ог и и перемещение и в ряде точек.
Рассмотренная методика относится к кольцевому диску, т. е.
диску, имеющему центральное отверстие. Если же заданный диск
сплошной, т. е. без центрального отверстия, то граничные условия
в центре будут иными. Величина напряжения в центральной точке
98
в этом случае неизвестна, но известно, что напряжения <jr и
одинаковые.
Согласно этому условию с учетом равенства (3.57) между на-
чальными параметрами существует следующая зависимость:
°rii (1 — р) =	Ei —
или
Х2Й (1	= Хш - 6й-	(3-65)
Вектор состояния, удовлетворяющий этой зависимости, в пер-
вом расчете в начальной точке целесообразно принять равным
а во втором расчете
п =
Тогда при любом С равенство (3.65) будет выполняться.
В остальном расчет сплошного диска ничем
расчета кольцевого диска.
В табл. 3.1 приведены числовые значения
функций фий (А), фио(А) и т. д.
Поясним изложенный метод следующим при-
мером.
Пример 4.1. Частота вращения диска, изображен-
ного на рис. 3.12, п — 4000 об/мин; материал — сталь,
£=2-107 Н/см2, р = 0,3; неравномерный нагрев отсут-
ствует.
Радиальные напряжения на внутренней и на наружной
поверхности диска равны нулю. По заданным размерам
вычислим X, = -^-=0,25; Ха =-^-=0,8.
1	'12	,	'22	ч _
Выполним первый расчет (в этом расчете вращение не учитывается). В начале
не отличается от
160
Рис. 3.12
первого участка
В конце первого И в начале второго участка
Таблица 3.1
X		♦от <м	V<*>	О»	^0©	%><»
0	0,65	0,50000	0,45500	0,3500	3,3000	0,91000
0,05	0,650»	0,49875 <	0,45386	0,3516	3,2935	0^90545
од	0,6535	0,49500 '	. 0,45045	0,3565	3,2739	0,89189
0,15	0,6579	0,48875	0,44476	0,3646	3,3412	0,86951
0,20	0,6640	0,48000	0,43680	0,3760	3,1949	0,83866
| 0,25	0,6719	0,46875	0,42656	0,3906	3,1348	0,79980
0,30	0,6815	0,45500	0,41405	0,4085	3,0603	0,75357
0,35	0,6929	' 0,43875	0,39926	0,4296	2,9710	0,70070
0,40	0,7060	0,42000	0,3822	0,4540	2,8661	0,64210
0,45	0,7209	0,39875	' 0,36286	0,4816	2,7448	0,57876
0,50	0,7375	0,37500	0,34125	0,5125	2,6062	0,51188
0,55	0,7559	0,34875 .	0,31736	0,5466	2,4495	0,44272
0,60	0,7760	0,32000	0,2912	0,5840	2,2733 .	0,37274
0,65	0,7979	0,28875	0,26276	0,6246	2,0766	0,30349
0,70	0,8215	0,25500	0,23205	0,6685	1,8579	0,23669
0,75	0,8469	0,21875	0,19906	0,7156	1,6160	0,17417
0,80	0,8740	0,18000	0,1638	0,7660	1,3493	0,11794
0,85	0,9029	0,13875	0,12626	0,8196	1,0561	0,07007
0,90	0,9335	0,09500	0,08645	0,8765	0,7347	0,03276
0,95	0,9659	0,04875	0,04436	0,9366	0,3834	0,00865
1,00	1	0	0	1	0	0
При вычислении привито ц « 0.3.						
В конце второго участка
t X /Фео (^2) Фоа (^а)\/0,3906 \
‘ й	tW(W\0,1172/
0,766 0,1638\/0,3906 V /0,3184 \
.0,180 0,874 / \0,1172 / = \0,1727 / ’
Выполним второй расчет
усо’г*
В начале первого участка
В конце первого и в начале второго участка
— 2,18-10~4-0,8’-0,7998 \	z—0,1116’
—2,18 • 10"4 -Ь 0,8’ • 3,1348 )=1 —0,1092
• 10“«.
В
конце второго участка

, V.d Z0»766 * 0,1638\/-0,1116\ 1ft_
’ «+^’^0,180 0,874 Д—0,1092
/ — 2,18.10"‘ • 0/1179\	/ - 0,129\
4* i	I (	110*»
2,18-10“4 • 1,349 /	0,410/
100
Из граничного условия на наружной поверхности определим С:
Хяи=ХдИС-|-Х^п=0,1727С—0,410 • 10~э=»0; С=2,37 - Ю"3.
Окончательно получим:
в начале первого участка при г = гх1 — 10 см
А.=(2,37О10’'); (t)u=2’37 ’,<ГЛ
Hjj[:=2>37* 10 ® cmj 0/»n==Oj
О/н =(— 'j Е=4,74 • 10* Н/см»;
ш \ г /и
при г — 40 см
0,8164Х
0,1688/ ,и ’
Uig = Uji	3,27 • 10 » см,
“\0,1172
—0,1116
—0,1092
=0,8164 • 10“»;
-|ф-=0,1688-10“«;
£н«н
аг1а=0,1688. КГ3 -	£=1,35 • 10* Н/см»;
ат=0,1688. JO"3 £=0,338 • 10* Н/см»;
опа=jW/u+f у V £=2,04 • 10* Н/см»;
в наружных точках при г=50 см
/0,3184\ g . iq-s _1_ /
Ам“\0,1727/ ’ W + \
(“L”0'627- 10 3'
—0,129\
—0,410/
10-»}
«22=3,14-10-» см;
=0; От=0;
\ £ /и
£=1,254-10* Н/см».
Эпюры ог и о/ приведены на рис. 3.13.
Изложенный метод расчета применим также к дискам машин
радиального типа, для которых интенсивность инерционной нагруз-
ки определяется формулой (3.2). В этом случае все приведенные
зависимости остаются справедливыми, за исключением ’выражения
(3.55) для Rt, которое заменяется следующим:
/- Igg. ft, -	°+^\
/?.=	_	,(3.66)
I (14~р) tn л \ О / у __ j \ (7’й““7'д) £/Л//
101
где
Q = $ q dr,
ft
r
J = J qr'dr',
(3.67)
(3.68)
Q — площадь графика q(r);
J — момент инерции этой площади относительно центра;
Т — статический момент площади графика е (г) относительно
центра.
Интегралы в формулах (3.67), (3.68), (3.14) удобно вычислять,
разбив графики функций q (г) и 6 (г) (рис. 3.14) на ряд узких по-
лосок и суммируя соответствующие произведения.
Рис. 3.13
Рис. 3.14
Для расчета дисков переменной толщины по методу начальных
параметров с применением ЭЦВМ исходные уравнения деформаций
(2.4), (2.5), упругости (3.3), (3.4) и равновесия (3.7) целесообразно
привести к двум дифференциальным уравнениям первого порядка
с двумя неизвестными.
Исключив из уравнений (3.3), (3.4) cft и подставив е, и ez сог-
ласно зависимостям (2.4), (2.5), получим первое уравнение
^ = _мЕ + <ЦДа, + (1+и)е.	(3.69)
Аналогично из равенств (3.4) и (3.7) выводится второе уравнение
с теми же неизвестными и и ог:
d (Grh)___I “Eh , ЕМ	.
dr “ г "Г г? 41 г "	(0./U)
Так как при использовании ЭЦВМ уравнения необходимо пред-
ставить в безразмерных переменных, введем безразмерный радиус
Р = ^,	(3.71)
а в качестве основных переменных примем безразмерные величины
= - 11	^см' УРавнения (3.46) и (3.47)1. При переходе
102
к безразмерным переменным уравнения (3.69), (3.70) принимают
вид
dXi _ _ (1 Ч-н) у । (1-и8)£Л, Y , (1 + ц)б.
р	ЕЛ	Р ’	Г37„.
dX2_ (1- р) у . ЕЛ у ЕЛО qhrH	k* ’
dp	p 2 ЕнЛнр 1 ЕиЛнр ЕНЛН
Эту систему уравнений можно записать сокращенно в матрич-
ной форме
™- = MX+R,	(3.73)
„ ' /ХА
где Х= —вектор напряженно-деформированного состояния
vG/
в произвольной точке диска;
М — матрица 2x2;
/ 1-Ьр (1 -Р2)£НЛН\
М=( /	V	(3.74)
\	" — И Д'*	/
\ р	ЕнЛнр /
' R — матрица-столбец слагаемых, учитывающих силы инерции
и неравномерный нагрев;,
/	*(1+0	\
/?=| ' cto₽ ь |.	(3.75)
X ЕнЛнр ЕИЛН/
Уравнение (3.73) решается на ЭЦВМ по стандартной программе
способом двух расчетов. Вектор X представляется в виде суммы
[см. уравнение (3.60)1. Вектор первого расчета X вычисляется без
учета сил инерции и неравномерного нагрева (т. е. при 7?=0) при
начальном значении (3.62).
Вектор второго расчета X вычисляется с учетом вращения и
неравномерного нагрева при начальном значении (3.61). Неопре-
деленный множитель С определяется согласно условию (3.64).
В каждом случае диапазон изменения независимой переменной
от р — Pi — — до р=1 разбивают на некоторое количество ин-
тервалов, и в оперативную память машины вводят значения эле-
ментов матриц (3.74) и (3.75) в узловых точках. Этот процесс,
однако, требует сравнительно большой затраты времени, а также
большого объема оперативной памяти машины. Поэтому более це-
лесообразно аппроксимировать элементы матриц некоторыми функ-
циями безразмерного радиуса р и последние ввести в программу
машины.
После того, как первый и второй расчеты выполнены и коэф-
фициент С (айден, вычисляется вектор X. Это можно сделать или
юз
с помощью зависимости (3.60), или, более просто, еще раз просчитать
на машине во всем диапазоне от р = pj до р = 1, приняв вектор
X в начальной точке равным действительному его значению:
для кольцевого диска
(3.76)
для сплошного диска
(3.77)
(1-и)^с+е
с
После того, как X во всех точках диска определен, по его ком-
понентам вычисляют о, и	а по зависимости (3.57) — напряжение О/.
§ 5. Метод последовательных приближений
Этот метод используется для поверочного расчета дис-
ков переменной толщины при произвольной зависимости интенсив-
ности нагрузки q от радиуса с учетом переменности по радиусу
модуля упругости Е и температурной деформации 6 ==а (t — t0).
Расчет диска по этому методу производится с помощью
ЭЦВМ.
Сущность метода состоит в том, что основные дифференциаль-
ные уравнения (3.6) и (3.7) преобразуются в интегральные уравне-
ния, которые затем решаются методом последовательных прибли-
жений. При этом возможны различные варианты метода в зависи-
мости от вида интегральных уравнений. Рассмотрим метод, разра-
ботанный Р. С. Киносашвили. Поскольку при изменении темпера-
туры коэффициент Пуассона р изменяется незначительно, в данном
расчете он принимается постоянным.
Записав дифференциальное уравнение равновесия (3.7) в Виде
4 м+=°
и проинтегрировав в пределах от гвн до г, получим
О/Л — о, йвн4-1	— -р f q^dr =.Qt
BH	J * **	J
r	T
BH	BH
откуда
*4 [ (	_ R (r)+j J t
** v	f	BU
'	*-rBH
где rBH < r r;
fi — толщина диска на окружности радиуса г.
(3.78)
104
т
Через /? (г) обозначена известная функция радиуса
J?(r) = \qfidr.	(3.79)
>	*	г
) Гв«
Преобразуем теперь уравнение совместноср! деформации (3.6).
К левой части уравнения добавим и вычтем величину г ,
затем, перегруппировав слагаемые, умножим почленно на г». В ре-
зультате уравнение примет вид
d	+ (1 +(1) гИ ^0^ =
—^(1-Н)^)-^*^
Перепишем уравнение, представив левую часть в виде производ-
ной
и проинтегрируем в пределах от гви до г:
Г(1 +м) /g'~gA _ _(i 4- ц) (^вн^^вн^
г \ я / В" \ £вн /
гвн	гвн
Интегралы в правой части уравнения берутся по частям. Решив
уравнение относительно разности (о, — ог), получим
О(_о, = _(1_и)Ол+<1__^	+	(3.80)
гвн
где
=	$6г*Л--£в + 4££-Е8„;	(3.81)
гвн
Г(1+Ю
Л =	(а,т-ра.„).	(3.82)
*	11 н
Система интегральных уравнений (3.78) и (3.80) содержит две
। неизвестные функции аг и (at — о,).
! Рассмотрим решение этой системы методом последовательных
[• приближений. Прежде чем приступить к решению, следует выбрать
ряд значений радиуса в пределах от гвн до гн и составить таблицу
। функций е, f, Л, R (4) и К (г). Интегралы, входящие в эти функ-
Е. ции, вычисляются численным способом.
I <	105
Изложим вначале методику расчета кольцевого диска. В ну-
левом приближении примем радиальное напряжение во всех точ-
ках диска равным нулю.
Положив в правой части уравнения (3.80) о> = 0, получим пер-
вое приближение для разности напряжений
+	(3.83)
где Л1 — постоянная первого приближения.
Величина Л1 остается пока неизвестной.
Радиальное напряжение первого приближения определяется в
результате подстановки выражения (3.83) в интегральное уравне-
ние (3.78):
1Г С К (')А
h J г
Г__
+л‘
_1 f “ ‘ г*
(3.84)
Здесь через оГвн обозначено радиальное напряжение на внутрен-
ней поверхности, которое принимается равным заданному.
"Для определения постоянной Л( используем граничное усло-
вие на наружной поверхности при г — гн, (вг)\ = су . Согласно
этому условию с учетом уравнения (3.89) найдем
гн ‘
.	.	. D . . С К (г) Л dr
Al =-------,----------------.	(3.85)
и _
{ Eh dr
j ra+»i
гвн
Внеся Л i в правую часть равенства (3.84), получим радиаль-
ное напряжение в первом приближении, а из соотношения (3.83)
определим окружное напряжение в первом приближении (oz)i.
Дальнейший порядок расчета следующий. Напряжение (or)i
вносим в интегральное уравнение (3.80) и получаем разность напря-
жений во втором приближении
Г
К - oy)i i = — (1 ~ р) (0>)г + ° 71+? - § X
гвн
Лт Ь гН	£
X^-rfr+K(r) + д+й^п»	(3.86)
где Л if — постоянная второго приближения.	*
Эту разность подставляем в уравнение (3,78) и получаем радиаль-
ное напряжение во втором приближении (ог)ц. Постоянную вели-
чину Л п снова находим согласно граничному условию на наружной
поверхности, после чего вычисляем (ur)u, (<т# — ог)ц и (ojn.
106
Таким же образом определяем напряжения в третьем и после-
дующих приближениях. Практика расчетов показывает, что йторое
приближение, обычно, дает достаточно высокую степень точности
(о степени точности можно судить, сравнивая два последовательных
приближения).
Порядок расчета сплошных дисков (без центрального отверстия)
несколько отличается от изложенного, так как величина напряже-
ния а, в центре диска заранее неизвестна, но известно, что в цент-
ральной точке напряжения ог и ог равны.
Для того чтобы при решении численным методом функции не
обращались в бесконечность при г = 0, сплошной диск заменяют
диском с малым центральным отверстием гвн ги и принимают
на его внутренней поверхности оГвн == а,вн.
Порядок расчета диска в этом случае — следующий. Задавшись
(оЛ)0 = о, по уравнению (3.80) определяют разность напряжений
в первом приближении
(О< - о>)| = К (г) + Д А,.
Так как при г == гвн, К (гвн) = 0 и (о^ — ог) = 0, то А\ — 0 и
К - o>)i = К (г).
Это значение разности напряжений вносят в уравнение (3.78) и
получают (or)i. Затем, согласно граничному условию на наружной
поверхности, определяют напряжение во внутренней точке (Огвн)ь
Аналогично находят второе приближение. Подставив (ar)i в урав-
нение (3.80), определяют (а, — иг)ц. Поскольку при г = гви, (о, —
— ог) = 0 и К (гвн) = 0
Ли	р
*-вн
Разность (ot — <Jr)ii вносят в уравнение (3.78) и получают (а)яь
Значение напряжения в центре (<L-BH)n снова находят согласно гра-
ничному условию на наружной поверхности. По разности (о, — аг)ц
и радиальному напряжению (ог)ц вычисляют (о/)ц. Также опреде-
ляют третье и последующие приближения.
Пример 4.2. Определим этим методом напряжения в ступенчатом диске,
изображенном на рис. 3.14. Этот же диск был рассчитан по способу двух расчетов —
см. пример 4.1.
Исходные данные: гн — 50 см; гвн = 10 см; — 4 см; /^ = 16 см; п =
= 4000 об/мин; у = 7,8-10“3 Н/см3; Е = 2-Ю7 Н/см3; — 0,3. Неравномерный
нагрев, а также напряжения на внутренней и наружной поверхности отсут-
ствуют.
На рис. 3.15, а, б, в изображен профиль диска и приведены графики функций q
и R (г). Функция К (г) в данном случае равна нулю. Эпюры напряжений сг и О/
первого и второго приближения представлены на рис. 3.15, а и д. Следует заме-
тить, что числовые значения ординат в некоторой степени зависят от того, на
сколько участков был разделен диск.
107
Сравнение эпюр рис. 3.15, д с эпюрами рис. 3.13 показывает, что второе при-
ближение отличается от точного решения не более чем на пять процентов (в боль-
шинстве точек отклонения еще меньше).
г)
И)
Рис. 3.15
§ 6. Посадочные напряжения в дисках,
определение освобождающего и разрушающего
числа оборотов
При установке диска на вал обычно применяют соеди-
нения с натягом. Величина контактного давления, действующего
на внутренней посадочной поверхности диска’ зависит в первую оче-
редь от величины натяга. В условиях эксплуатации под влиянием
центробежных сил и неравномерного нагрева контактное давление
уменьшается и при достаточно большой скорости вращения вообще
может обратиться в нуль. Частота вращения, при которой контакт-
ное давление становится равным нулю, называется освобождающим
числом оборотов.
Для надежного закрепления диска на валу необходимо,, чтобы
рабочее число оборотов было меньше освобождающего числа обо-
ротов', по крайней мере, на 15—30%.
Определим зависимость контактного давления от величины
натяга, от скорости вращения и от неравномерного нагрева.
108
Предположим, что диск заданного профиля (рис. 3.16) посажен
на вал с натягом Д. Задано осесимметричное поле распределения
температур в рабочих условиях, а также рабочая угловая скорость
Запишем уравнение совместности деформаций диска и вала
«л—ыв = -^-,	.	(3.87)
где пв и «д — радиальные перемещения точек посадочной поверх-
ности вала и диска соответственно. Эти перемещения считаются
положительными, если они на-,
правлены от центра.
ffljfm	Каждое перемещение ив и ил
н	можно представить в виде суммы
ПжП трех составляющих: от посадоч-
. 11
PllCe 3.16
ного давления (с индексом р), за счет вращения (с индексом. <о)
и от неравномерного нагрева (с индексом /). Уравнение (3.87)
соответственно принимает вид
4	А
Цдр Ч-	~~ ^вр	= ~2 *	(3.87а)
При расчете соединения диска с валом могут встретиться сле-
дующие задачи:
1.	Определение требуемого натяга по заданному контактному
давлению в эксплуатационных условиях.
2.	Определение контактного давления в рабочих условиях по
заданному натягу.	*
3.	Определение освобождающего числа оборотов.
В первой задаче контактное давление рк, частота вращения
п об/мин, а также поле температур t (г) заданы; следовательно,
можно вычислить все шесть перемещений И/ по уравнению (3.87а)
I- определить натяг. В этом расчете можно вычислить сразу суммарные
перемещения, однако практически более удобно вычислить отдельно
ир, и& и ut с тем, чтобы иметь возможность определить освобождаю-:
Гщее число оборотов.
109
Перемещения точек посадочной поверхности вала за счет кон-
тактного давления определяют по формуле Ляме:
=	(3.88)
где Ев и рв — упругие постоянные материала вала;
b — наружный радиус вала;
kt — коэффициент толстостенности вала; для полого вала
kx = g (см. рис. 3.17); для сплошного kx = 0).
х — коэффициент, зависящий от отношения длины поса-
дочной поверхности к диаметру вала (см. рис. 2.7).
При посадке нескольких дисков вплотную коэффициент х можно
принять равным единице.
Перемещения точек вала 'за счет вращения и нагрева соответ-
ственно
[ I - И.+(3+(*.) Л}]:	(3.89)
«в/ = bQB == batBH.	(3.90)
По объему вала температура считается постоянной и равной
температуре посадочной поверхности диска.
Перемещения точек посадочной поверхности диска могут быть
определены одним из методов, изложенных в § 4 и 5. В частности
можно использовать метод начальных параметров с применением
способа двух расчетов. В этом случае, чтобы определить отдельно
три составляющие перемещения «яр, ил(л и илЬ необходимо выпол-
нить три вторых расчета; первый же расчет достаточно сделать только
один. В этих расчетах необходимо учитывать переменность модуля
упругости по радиусу.
Для решения второй задачи, т. е. для определения контактного
давления по заданному натягу следует вычислить отдельно переме-
щения нвш, uBt, uR(a, Urf, затем по уравнению (3.87 а) найти разность
нДр — нвр и по разности определить контактное давление рк. При
этом практически удобно применить следующий прием: задавшись
произвольно каким-либо давлением р *, вычисляют соответствующее
значение разности и*р — п*р. Затем, учитывая, что давление и пере-
мещения нДр и ивр связаны линейной зависимостью, определяют
Рк=Р*
Цдр Ивр
* — и* ‘
“ДР вр
Если требуется найти контактное давление, возникающее только
за счет натяга (без учета вращения и неравномерного нагрева),
разность Ндр — нвр следует приравнять половине натяга Д.,
Определение освобождающего числа оборотов производится ана-
логично. Так как при освобождающем числе оборотов рк = 0, то
перемещения ияр. и иир равны нулю.
Вычислив ил( и пв/, можно по уравнению (3.87) найти разность
(«да># — ыв<ов) по этой разности определитьшосв. Учитывая, что переме-
110
тения пропорциональны квадрату угловой скорости, целесообразно
вначале вычислить разность («д© — «в©)» при некоторой произвольной
угловой скорости <о*. а затем определить о)осв
^ОСВ---
^ДСОо иВСОо
И* — £2*
UBft)
Рассмотрим методику расчета дисков по разрушающим оборо-
там [4].
При определении разрушающего числа оборотов диск рассматри-
вают в состоянии, предшествующем его разрушению. При этом пред-
полагают, что при разру-
шающих оборотах окруж-
ное напряжение в радиаль-
ном сечении диска всюду
равно пределу длительной
прочности адл. Если диск
нагрет неравномерно, то
величина одл переменна по
радиусу. Зная закон рас-
пределения температуры, а
также располагая зависи-
мостью (ТдЛ от температуры,
нетрудно построить график
зависимости одл (г).	<?
Далее рассматривают
равновесие половины диска
при разрушающих оборо-	Рис. 3.17
тах (рис. 3.17). При этом
учитывают массовые силы инерции по всему объему диска, а также
напряжение на наружной поверхности за счет сил инерции
лопаток. Напряжение на внутренней поверхности считается
равным нулю, так как посадочное давление при разрушающих
оборотах практически исчезает.
Приравняв нулю сумму проекций сил на вертикальную ось,
получим следующее уравнение:
гн
С 12J3 A2f2 dr +	£*>
J в	«ш
\ адЛ2Л dr.
Отсюда найдем
вн
(3.91)
где г„ и Лн — радиус и толщина на наружной поверхности диска;
Огн— радиальное напряжение на наружной поверхности
диска при рабочей угловой скорости;
со — рабочая угловая скорость.
Интегралы, входящие в формулу (3.91), вычисляют обычно
численными методами. Для дисков, работающих при повышенных
температурах, под адл следует понимать предел длительной проч-
ности при заданном ресурсе.
Сравнение разрушающей угловой скорости, вычисленной по
формуле (3.91), с результатами экспериментов показывает, что
формула (3.91) дает завышенное значение приблизительно наб—10%.
Коэффициент запаса по разрушающим оборотам п = для
дисков турбомашин обычно'принимают равным 1,4—1,8.
Глава 4 НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
В КОЛЬЦЕВЫХ ДЕТАЛЯХ
ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ НАГРУЗКЕ,
ПРИ ПЛОСКОМ И ПРОСТРАНСТВЕННОМ
ИЗГИБЕ
§ 1. Осесимметричная деформация
кольцевых деталей
Детали, имеющие форму колец,, широко применяют
в машиностроении. Примерами кольцевых деталей, нагруженных
осесимметричной радиальной и осевой нагрузками, могут служить
фланцы, нажимные втулки, ободья дисков и т. п. Кольца широко ис-
пользуют также в качестве подкрепляющих элементов тонкостенных
конструкций. В этом случае они
могут быть нагружены как осесиммет-
ричной нагрузкой, так и нагрузкой,
вызывающей плоский или простран-
ственный изгиб. Кольцевые детали,
работающие на изгиб, применяют
во многих конструкциях в метал-
лообрабатывающей промышленности,
в приборостроении и т. д.
Рассмотрим деформацию кольце-
вых деталей, возникающую под дей-
ствием радиальных и осевых сил или
моментной нагрузки, равномерно рас-
пределенных по окружности. Такую
деформацию можно представить как
растяжение кольца и осесимметричный
изгиб, сопровождающийся поворотом
поперечных сечений в их плоскости
(кольцо растягивается и выворачи-
Рис. 4.1
вается).
Если кольцо не является' тонкой пластиной или оболочкой, то
его можно рассматривать как замкнутый кривой брус, поперечные
сечения которого при нагружении не изменяют своей формы.
Примером кольцевой детали, испытывающей осесимметричную
деформацию, может служить фланец, изображенный на рис. 4.1.
Теория осесимметричной деформации кольцевых деталей, осно-
ванная на предположении о неизменности формы поперечного сече-
113
ния, разработана Бицено К. Б. 15], который дал решение задачи
как при малых, так и при больших перемещениях. В настоящем пара-
графе эта теория приведена в несколько упрощенном виде.
В основу рассматриваемой теории положены следующие допуще-
ния:
1. Форма поперечного сечения кольца считается неизменной.
Это значит, что расстояние между двумя произвольными точками
сечения при деформации остается постоянным. .
2. Напряженное состояние в любой точке кольца принимается
за одноосное, т. е. предполагается, что кольцевые волокна, дефор-
мируясь в окружном направлении, не оказывают силового воздей-
ствия одно на другое.
Введем следующие специальные геометрические характеристики
поперечного сечения кольца:’
(4.1)
(4.2)
(4-3)
где г и г — координаты произвольной точки сечения (см. рис. 4.1).
Положение начала координат на оси z пока произвольное.
Первый и третий интегралы всегда положительны; второй может
быть положительным, отрицательным или равным нулю в зависи-
мости от положения начала координат.
Ось г будем называть главной осью сечения кольца (см. рис. 4.1),
если интеграл /2 равен нулю. Для определения положения главной
оси выберем произвольную вспомогательную ось гг. Расстояние меж-
ду осями /1 и г обозначим через с. Тогда
г = — с.
(4.4)
Подставим выражение (4.4) под знак интеграла (4.2) и приравняв
последний нулю, определим с:
(4-5)
Для колец, имеющих плоскость симметрии с — 0, главная ось г
совпадает с плоскостью симметрии.
114
При вычислении интеграла /3 координата г всегда отсчитывается
от главной оси г.
В некоторых случаях, однако, может оказаться более удобным
вначале вычислить интеграл /<'•> относительно вспомогательной
оси гг, а затем относительно главной оси г. Для этого следует восполь-
зоваться зависимостью
/8=7W-/XA
(4.6)
Отметим, что относительно главной оси г интеграл /3 имеет мини-
мальное значение.
Для более сложных сечений, имеющих криволинейный кон-
тур (рис. 4.2), интегралы /ь /8, /3
удобно вычислять, представив их в еле-	|г
дующем виде:	-	/у А
где га и zb — абсциссы крайних точек при текущем значении орди-
наты г;
гг и г2 — внутренний и наружный радиусы.
Построив графики подынтегральных функций, можно найти
значения интегралов графическим или численным способом.
В отдельных случаях поперечное сечение можно разбить на п
прямоугольников (см. рис. 4.1). Тогда интегралы /ь /2, /3 можно за-
писать в виде сумм:
п
Л = 2(г»-г«>)1п^;
1
(4.8)
I
Если ввести обозначения:
zlb — zta — hi — высота /-го прямоугольника;
115
= г/Ср — абсцисса центра тяжести /-го прямоугольника,
то формулы (4.8) можно записать в виде
п	1
п
(4.9)
п
Гц
Для сечения» состоящего из одного прямоугольника при усло-
вии, что ось г проходит через его центр,
2=0
(4.Ю)
Перейдем к выводу

основньГх зависимостей рассматриваемой
теории. Вначале изложим теорию
осесимметричной деформации колец
при малых перемещениях.
При действии осесимметричной
нагрузки в поперечных сечениях
кольца возникают только нормальные
напряжения. Эти напряжения могут
быть положительными или отрица-
тельными. В точках нейтральной ли-(
нии напряжения равны нулю.
Предположим, чтоточка С (рис. 4.3)
находится на нейтральной линии.
Тогда окружное напряжение и окруж-
ная деформация в этой точке равны
нулю. Следовательно, радиус О0С
остается неизменным. Это позволяет
рассматривать перемещение сечения
. кольца как поворот его относительно
точки С на некоторый угол <р. Если уголир мал, то можно считать,
что все точки, лежащие на прямой О0г0, перемещаются параллельно
оси кольца. Следовательно, окружная деформация и напряжение
в этих точках также равны нулю, т. е. линия Оа Ло — нейтральная
линия.
Заметим, что при малых перемещениях за центр поворота сече-
ния может быть принята любая точка, принадлежащая нейтральной
116
линии (например, точка В). Действительно, если после поворота
сечения вокруг точки С кольцо сместить как жесткое целое в направ-
лении оси г на величину BBlt то точка В займет положение, которое
она занимала до деформации.
Рассмотрим теперь некоторую произвольную точку А, располо-
женную на расстоянии z0 от нейтральной линии. При повороте сече-
ния эта точка переместится по* дуге радиуса С А = р на расстояние
АД1 = рч>; при этом она получит радиальное смещение
Дг ~ А Ах cos ф == рф у- = ф20«
Относительная деформация кольцевого волокна
=	=	(4.11)
Соответственно, окружное нормальное напряжение
а,=е1Е=^.	(4.12)
I
Согласно зависимости (4.12), справа от нейтральной линии О0г0,
т. е. при положительных значениях г0, напряжения положительны
(растяжение), а слева — отрица-
тельны (сжатие). Вдоль лучей,
проведенных из точки О0, напряже-
ния имеют постоянное значение,
так как у=’ const.
Для вычисления величины на-
пряжения с помощью • зависимости
(4.12) необходимо знать положение
нейтральной линии, от которой от-
считывают г0 и угол поворота сече-
ния ф. Эти неизвестные определяют
по внутренним силовым факторам
в поперечном сечении кольца, т. е.	4.4
по нормальной силе N и изгибаю-
щему моменту М. Последние, в" свою очередь, связаны с. внешней
нагрузкой и могут быть найдены по уравнениям равновесия по-
ловины кольца (рис. 4.4).
Выразим силовые факторы через напряжения. За ось, к которой
приводятся внутренние силы, примем главную ось сечения кольца.
С учетом зависимости (4.12) получим
(4.13)
(4.14)
117
( otdF = 4>E у2—',
Л1=Дo,dFi = 4>E{ г~^-
Расстояние между главной осью г (см. рис. 4.3) и нейтральной
линией О0г0 обозначим через а, тогда
г0 = г —а,
и уравнения (4.13), (4.14) принимают вид
dFz (
—--------------------------------а 1
(4.15)
N = qiE
dF
dFzl
Используя введенные обозначения (4.1), (4.2) и (4.3) и полагая
2 = 0, так как ось г — главная, получим
дг — — q>EaIi,
M=q>EIs.
Отсюда угол поворота сечения
м
V~E/S
и расстояние до нейтральной линии.
а~
(4.16)
(4-17)
(4.18)
A/Z3
Mli *
Для того чтобы выразить напряжение через внутренние силовые
. факторы,подставим выражения (4.15),(4.18),(4.19) в уравнение (4.12),
в результате получим
(4Л9)
Mz , N
' (4.20)
Первое слагаемое в этой формуле учитывает изгиб; второе —
растяжение кольца. Если растягивающая сила 7V равна нулю, то
в кольце возникает только изгиб; в этом случае, согласно зависи-
мости (4.19), а ~ 0, т. е. нейтральная линия совпадает с главной
осью сечения. Если же изгибающий момент М равен нулю, a N не
равно нулю, то нейтральная линия уходит в бесконечность; первое
слагаемое в формуле (4.20)обращается в нуль и, следовательно, на-
пряжение о от координаты г не зависит.
Для колец малой кривизны, у которых размеры поперечного
сечения малы по сравнению с радиусом, радиус г можно считать
постоянным и равным гср для всех точек сечения. Вынося гср за знак
интегралов и /3, взамен уравнения (4.20) получим
Mz , N
(4.21)
где Jr = J dFz* — осевой момент инерции сечения относительно
F
оси г;
F—площадь сечения.
Формула (4.21) представляет собой общеизвестную формулу для
напряжения в брусе малой кривизны при совместном растяжении и
118
изгибе. Угол поворота сечения <р в этом случае определяется выра-
жением
Л4г ср
ф='ёт;-
(4.22)
Определим положение наиболее напряженных точек сечения.
Согласно зависимости (4.12), наиболее напряженной будет та точка,
для которой отношение ~ имеет максимальное значение. Это отно-
шение представляет собой тангенс угла, заключенного между лучом
O0S (см. рис. 4.3) и радиусом. Следовательно, для определения
положения наиболее напряженной точки надо провести на чертеже
нейтральную линию и из точки ее пересечения с осью г (точка О0 на
рис. 4.3) провести лучи, касающиеся контура сечения. Точки каса-
ния (точки S и Т) и будут самыми напряженными. Подставив коор-
динаты этих точек в уравнение (4.20), получим значения макси-
мальных напряжений.
Остановимся кратко на теории осесимметричной деформации
колец при больших перемещениях.
Если угол поворота сечения ф значителен, то радиальное пере-
мещение Дг, относительная окружная деформация et и напряжение
at (см. рис. 4.3) определяются следующими равенствами:
Дг = р sin (ф 4- ф) — Р sin ф = — у (1 — cos ф) 4- z0 sin ф;
8/= у- = — у (1 - cos ф) + у- sin ф;
(4.23)
at = е,£ = Е Г— у (1 — cos ф) 4-	sinф^
где у = р sin ф — координата рассматриваемой точки Л, отсчиты-
ваемая в радиальном направлении от центра по-
ворота С.
Запишем выражения нормальной силы /V и изгибающего момента
М в поперечном сечении кольца:
N = J ct dF; М = J ut dFz,
F	F
где z — расстояние от главной оси г до точки Xj после деформации;
г = а 4- р cos (ф 4- ф) = а 4- z0 cos ф — у sin ф.	(4.24)
Подставив под ‘знак интегралов о, и z, согласно уравнениям
(4.23) и (4.24), и приняв во внимание, что г0 = z — о и у — г — г0,
после вычисления интегралов получим
N — — Е [(1 — cos ф) (F — r0/i) 4- fl/i sin <p J;	(4.25)
М =f Е [(1 — cos ф)2 — sin2 ф] (r0It — F) 4-	— -
— cos ф) sin ф 4- Fzc (cos 2ф — cos ф) 4-
F sin ф (1 — cos ф) гс — г0

(4.26)
119
г0 и a' — координаты центра поворота С относительно главных
осей г и г;
гс и гс — координаты центра тяжести сечения Cj относительно
тех же осей.
При вычислении интегралов учтено, что /а = 0, так как ось г —
главная.
В дальнейшем для упрощения задачи будем рассматривать рас-
тяжение и изгиб кольца независимо одно от другого (при. совместном
изгибе и растяжении напряжения можно суммировать).
При растяжении (если N 0, а М = 0) угол поворота сечения <р
равен нулю, нейтральная линия уходит в бесконечность и, следова-
тельно, г0 — а = со..
Произведение z^ sin?<p = — a sin <р = и в этом случае предста-
вляет собой радиальное перемещение сечения кольца. Согласно урав-
нению (4.25), это перемещение
“ = Д	(4-27)
и напряжение в произвольной точке	«
что согласуется с зависимостью (4.20).
Рассмотрим случай осесимметричного изгиба кольца (М ^0,
Л *= 0).
При N — 0 правая часть уравнения (4.25) должна быть равна
нулю независимо от величины угла ф; для этого необходимо, чтобы
а=0;	(4.29)
(4.30)
Эти равенства определяют положение поворота, поперечного
сечения. В данном случае центр поворота С сохраняет неизменное
положение независимо от М и <р. При каждом частном значении <р за
центр поворота может быть принята любая точка, принадлежащая
нейтральной линии, однако с изменением величины угла ф нейтраль-
ная линия изменяет свое положение относительно сечения, и только
одна точка с координатами а и г0 всегда принадлежит нейтральной
линии. Относительно этой точки фактически происходит поворот
сечения.
С учетом равенств (4.29), (4.30) выражения окружного напряже-
ния (4.23) и изгибающего момента (4.26) можно представить в следую-
щем виде:
<г,1)(1 — со$ф) + -7 sing/];	(4.31)
Л4 = £/3 -1 sin 2ф 4- £Fpc (cos 2ф — cos ф) +
-Ь ('с ~	(1 — cos ф) sin ф];	(4.32)
120
Уравнения (4.31) и (4.32) дают решение задачи в параметрической
форме. Задавшись значениями угла <р, можно вычислить напряжение
и изгибающий момент, а по моменту определить величину нагрузки.
Следует учитывать, что при больших перемещениях изгибающий
момент М может нелинейно зависеть от нагрузки вследствии изме-
нения плеча момента при повороте сечения.
Пример 4.1. Определить напряжения во втулке, поперечное сечение которой
изображено на рис. 4.5. Втулка нагружена осевой силой Р = 6.10*Н и внут-
ренним давлением р=1200 Н/см8. ’Дано: £=2-107 Н/см8; |л = 0,3; ru=3 см;
г18=г81=5 см; ги=8 см; йх=6 см; ft2=2,5 см; /?t=4 см. —6,5 см.
Вычислим геометрические характеристики сечения. Разбив сечение на два
прямоугольника, проведем вспомогательную ось через центр первого прямо-
угольника.
По формулам (4.5) и (4.9) вычислим /х и /8 и расстояние с между осью гх и
главной осью г:
li^hiIn — + й8 in — = 6 In 4* + 2,5 in = 4,24 см;
'и 'м 3	5
In	In == 0+2,5 • 1,75 In == 2,056 см8;
/Ul)
с=-|—‘—0,485 см.
По формуле (4.9) вычислим /8 относительно главной оси
/,-(4 + *.г!:,)|п;|; + (4 + ЛА,)1п^=12,41сМ.,
где zCi =	— с ~ 1 *265 см» гс, ~	— с~ —0,485 см.
Определим* внутренние силовые факторы в поперечном сечении. По урав-
нению проекций всех сил на нормаль к сечению найдем силу N:
N^prih^ilQ • 10* Н
и по уравнению моментов относительно оси, проходящей через точку О, момент М:
я	я
СР	СР
2М— \ o n— R^da.R2 sin а + \ -g-RidaRi sin а+2рг1Лхс=0;
м	— prnhjC^ 13 420 Н-см,
* /
где а — полярный угол', 0 а л.
По формуле (4.18) вычислим угол поворота сечения
м
=5,41 • 10“* рад—0,0031
и по формуле (4.19) — расстояние до нейтральной линии
= _ 4,8 см.
<	Mli
Проведя на чертеже (рис. 4.5) нейтральную линию О0г0, увидим, что сечение
втулки расположено целиком по одну сторону от нее. Следовательно, во всех
точках сечения действуют напряжения одинакового знака (растяжение). Наиболь-
шее напряжение возникает в точке Л, для которой угол наклона луча, проведен-
ного из точки О0, наибольший. Координаты точки Л относительно главных осей:
z, —2,515 см;	гл^3 см.

121
Максимальное напряжение
Мг. N
°тах =7—5 + ТТ- = 2610 Н/СМ3.
ltfA	llrА
Радиальное перемещение точек
поперечного сечения может быть вычислено
по углу поворота сечения <р:
и —<pz0
(4.33)
или по окружной деформации
ц = С/г==-^г.	(4.34)
В данном примере перемещение точки А:
аАГА
ил = -=- = 3,9 • 10-4 см.
Л £
Пример 4.2. Применим теорию осесим-
метричных колец к . расчету тарельчатой
Рис. 4.5
Рис. 4.6
пружины (пружины Бельвилля, рис. 4.6). Выбрав оси координат г и гь как
показано на чертеже, запишем уравнение срединной поверхности
z’=rtga,
где ze — координата, отсчитываемая от оси гг.
По формулам (4.7) вычислим геометрические характеристики сечения
122
где
Ь — гг~гъ —
Л-й„
1
cos а*
По зависимостям (4.5), (4.6) определим расстояние с до главной оси г и интег-
рал /8 относительно главной оси:
Угол поворота поперечного сечения пружины может быть достаточно большим.
Для сравнения выполним расчет по теории осесимметричной деформации колеи
при малых перемещениях и при
больших перемещениях; резуль-
таты расчетов сопоставим с ре-
зультатами экспериментальной
проверки.
Расчет по теории малых
перемещений.
По уравнению равновесия
половины кольца определим
N=0; М = ~.
2л
По зависимости (4.18) найдем
угол поворота сечения кольца
М РЬ
Ф=£/8~2лЕ/8-
По углу поворота опреде-
Рис. 4.7
лим осадку
РЬ2
Зададимся числовыми значениями:
/1=16,5 см; гг=30 см;	ЛО = 2,64 см; а=6’33';
tga=0,115; Е = 1,95 107 Н/сма; fe = r8 —q = 13,5 см;
Л = -^- = 2,66 см; гг =£1±£? = 23,25 см.
cos а	с* 2
Тогда
/8 = 2,66*13,5-0,115а/23,25—
I In
2,663 зо
12 П 16,5 “ 1,276 СМ ’
13,52
2л1,95 • 10’• 1,275
13,5 ’
30
16,5
= 1,17- 10-вР см.
На рис. 4.7 приведены зависимости Р (X). Прямая / соответствует решению
задачи по теории малых перемещений; кривая 2 построена по экспериментальным
данным. Как можно видеть, при нагрузке до <•*> 50% от максимальной рас-
хождение не превышает 5%. При большей нагрузке расхождение увеличивается
и при Pmav достигает 12%.
123
Кривые 3 я 4 (см. рис. 4.7) построены по результатам расчетов по теории
больших перемещений.
Расчет по теории больших перемещений
Площадь поперечного сечения пружины: F~bh = 35,91 см’. Характеристики
сечения Zs:
/1==Л In — = 1,59 см; l2—hb tg а—4,13 см’.
ri
Расстояние от оси г> до главной оси г:
с=~ = 2,60 см.
'1
Координаты центра тяжести сечения относительно главных осей:
гС1=23,25 см; гС( = гС| tg а—с=0,077 см.
Координаты центра поворота относительно тех же осей [см. формулы (4.30)]:
F'
r0=-j- = 22,58 см; а=0.
Изгибающий момент М определим по углу поворота ф согласно уравнению
(4.32). Так как поперечное сечение пружины имеет форму узкого параллелограмма,
то деформации в радиальном направлении не могут протекать свободно; они стес-
нены вследствие - взаимодействия соседних окружных волокон. Это приводит -
к некоторому увеличению жесткости пружины, которое может быть учтено умно-
жением модуля упругости на дробь -г-Аналогичный эффект увеличения жест-
1 И
кости наблюдается при цилиндрическом изгибе пластин (см. гл. 5, § 2).
Если учесть указанную поправку, то уравнение (4.32) примет вид
М —г-^-5
1-|Х»
Величины момента, вычисленные по этому уравнению при разных значениях
угла ф, приведены в табл. 4.1; там же указаны также значения нагрузки Р
и осадки л, вычисленные по формулам:
~	_ М2п .	, л .
Р=—  Т=Ч*-Ф180=0.
cos <р)+F (rCt—rQ) (1 —cos ф) sin ф .
По данным таблицы построена кривая 3 (см. рис. 4.7).
Расхождение теоретического и экспериментального значений осадки при мак-
симальной нагрузке в этом случае не превышает 3%.
Таблица 4.1
	м-10-», Н-сы	н	Ь. сы
1	4,51	19,1	0,236
2	8;56	39,8	0,472
3	12,2	56,8	0,706
4	15,58	73,0	0,944
5	18,7	87	1,178
Задача о деформации тарельчатых пружин на основе предположения о неиз-
менности формы поперечного сечения впервые была решена Альменсл и Лязло.
Зависимость Р (X), построенная по предложенной-ими формуле [20], представлена
на рис. 4.7 кривой 4.
124
Более точное решение с учетом искривления поперечного сечения пружины
приведено в работе [20], однако результат этого решения отличается от приведен-
ного незначительно.
Вычислим напряжения в пружине. Наибольшие напряжения возникают
в точках К и L (см. рис. 4.6).
Координаты этих точек:
гк = —2,03. см;
г^ = 2,18 см;
гк«=16,5 см;
г£ = 30 см.
По формуле (4.20);при N = Ои М—-^— найдем
PbzL	PbzK
При нагрузке Р » 4- 10е Н; ot = 1,9-10* Н/см*; Од- ® -8,3-10* Н/см1.
!- Фактическое напряжение в точке К будет
аа счет скругления кромки, во-вторых, за
счет остаточного напряжения, возникаю-
щего при первичном обжатии. Отметим,
что принятая схема нагружения приемлема
лишь в том случае, когда несколько пружин-
сложены вместе: вогнутая сторона с вогну-
той, выпуклая — с выпуклой. В этих- усло-
виях относительное смешение по поверх-
ности контакта не возникает и силы трения
отсутствуют. В некоторых случаях, для уве-
личения поглощения энергии (при использо-
вании пружин в амортизаторах) между пру-
жинами прокладывают плоские шайбы. . 4
Тогда между пружинами и шайбами возни-
кают относительные смещения и появляются
сады трения. Схема нагружения при этом
несколько усложняется.
Пример 4.3. Рассмотрим кольцо, нагруженное радиальной нагрузкой q
и инерционной нагрузкой, возникающей при вращении (см. рис. 4.8).
Выбрав ось гъ как показано на чертеже, и представив сечение как сдвокуп-
ность прямоугольника й треугольника, вычислим характеристики поперечного
сечения. Применив формулы (4.7)—(4.8), получим для прямоугольника
несколько меньше, во-первых,
0
Рис. 4.8
рямоугольника и треугольника, вычислим характеристики по
. Применив формулы (4.7)—(4.8), получим для прямоугольника
.	...	.tr.\ Л? . г« игл М .	г*.
3
для треугольника
hi
Ь
г 1 b г.
гл,
ь
1» dr
2г
*4.21
2 Ъ
1» dr
Зг
Л« pl — Г1 3
ЗЬ3 [ 3
2
+ 3rjft — г»
125
Расстояние от оси rt до главной оси
Интеграл /8 относительно главной оси
Внутренние силовые факторы в поперечном сечении
b
M=—qr} (fti-4-с)
2
8 Ь
2Ь С
Дальнейшее решение аналогично рассмотренному в примере 4.1.
Изложенный метод расчета осесимметричных, колец применим
также к тонкостенным кольцевым деталям сложной формы, имеющим
радиальные ребра или лопатки, препятствующие искажению формы
поперечного сечения. К таким деталям, в частности, относятся рабо-
чие колеса некоторых видов турбомашин и гидромуфт.
§ 2. Внутренние силовые факторы
в поперечных сечениях колец
при плоском и пространственном изгибе
ь	ч
Плоский изгиб возникает при нагружении кольца
силам», расположенными в его плоскости. При использовании колец
в качестве подкрепляющих элементов (шпангоутов), а также как са-
мостоятельных элементов конструкции они могут быть нагружены
радиальными силами, касательными силами и моментами. 
Предположим, что все внешние силы известны или могут быть
определены по уравнениям статики. Тогда кольцо будет внешне
статически определимым. В то же время оно будет внутренне трижды
статически неопределимым. Это значит, что внутренние силовые
факторы в сечении кольца могут быть определены только в резуль-
тате решения трех уравнений перемещений. Общий метод раскрытия
статической неопределимости (метод 'канонических уравнений)
подробно рассмотрен в курсах сопротивления материалов и строи-
тельной механики стержневых систем. Однако применительно к замк-
нутым кольцам, нагруженным произвольно расположенными силами
можно рекомендовать более эффективные методы [5, 24].
Предположим, что кольцо нагружено несколькими радиальными
силами Р8, ..., Рп, несколькими касательными силами Tlt Т2, ...,
Тт и несколькими моментами Ш?а,... причем все эти нагрузки
126
взаимно уравновешены. На рис. 4.9, а показаны одна радиальная
сила Р{, одна касательная сила 7, и один момент Углы, опре-
деляющие положение точек приложения указанных нагрузок, обо-
значены соответственно <рг, фу, ф*. Чтобы раскрыть статическую
неопределимость, разрежем кольцо по сечению Ф = 0, приложим
неизвестные силовые факторы Хь Х2, Х3 (рис. 4.9, б) и приравняем
нулю взаимные перемещения концов в месте разреза в направлениях
действия силовых факторов Хъ Х2, Х3:
61 = 0; 62 —0; б3 = 0.
Считая кольцо тонким, т. е. предполагая, что размеры попереч-
ного сечения малы по сравнению с радиусом, а также принимая,
Рис. 4.9
что деформации растяжения и сдвига пренебрежимо малы по срав-
нению с деформациями изгиба, и применяя для вычисления переме-
щений интеграл Мора, получим
ММ?'г dtp л
~U;
ММ г dtp л
~ёгх ~~и;
ММ!?'г dip л.
EJr
(4.35)
здесь М?' = 1; Л!,3' — Ir (1 — cos ф); Afi”= lr sin ф — изгибаю-
щие моменты в текущем сечении кольца от единичных нагрузок,
соответствующих неизвестным силовым факторам Хь Х2, Х$ (рис.
4.9,в, гид);
127
(4.36)

(4.38)
М — суммарный изгибающий момент в текущем сечении от за-
данных нагрузок и от неизвестных силовых факторов Хь Ха, Х8.
Подставив под знак интегралов (4.35) значения моментов ЛГ/'»
АГ/’» Л1/’,и сократив на постоянный множитель ej-1» получим
§Afd<p = O;
ф М cos <р <f<p — 0;
ф/И sintpdtp = O.
Изгибающий момент в текущем сечении (см. рис. 4.9, б) может
быть представлен в виде суммы
М = Xi + X2r(l — cos (р) +Xar sin ф+Л1,	(4.37)
где М — момент в основной системе только от заданных нагрузок.
В результате подстановки выражения (4.37) уравнения (4.36)
принимают вид
Хх2л + Хаг2л -f- ф М dtp = 0;
— Х2гл + <£> Л4 cos tp dtp = 0;
Х8гл 4-Л? sin <р d<p = 0.
Здесь учтено, что
ф dtp — 2л; ф sin tp dtp = 0; ф cos tp dtp = 0;
ф sin tp cos tp dtp = 0; ф cos8 tp dtp = я; ф sin8 tp dtp = л.
Напишем уравнения (4.38) в развернутом виде
п 2л	|
Хх2л + Хаг2л 4- 2 J [1 — /у sin (ф — tp*)] dtp 4-
i Ф/
m 2л	/2л
4-2 $ [—7’/(1 — cos(tp —tp/))]dtp4"2 $ (-“ 9®*)	0.’
1 фу -	1 ФЛ
п 2л	т 2п
—Хагл4-2 $ [— Pf sin (<р — <p/)]cQStpdtp4-2j S{“
1 Ф|	1 фу
I 2л
—Т/[1 — cos(tp — tp))]} cos tp dtp 4-5 $ — SB* cos tp dtp 0;
1 V*
n 2л	m 2л
XernH-S U~^'rsin	${“” •
I Ф/	1 Ф/
/2Л
-T/[l — cos(tp — tp/)]}sintpdtp4-S $ — S&a sin tp dtp = 0.1
1 ** r
(4.39)
128
Нижний предел интегрирования в уравнениях (4.39) выбран с уче-
том того, что каждая из внешних нагрузок дает момент только в ин-
тервале от до 2л.
Если выполнить интегрирование и принять во внимание уравнения
равновесия заданного кольца
л	m
cos <й - 2 Г, sin Ф/ = °;
1	1
л	m
У Pi sin <р, У Tf cos <Р/ = 0; ►
i	।
m	I
S T,r 4- s ®» = 0,
I	1
(4.40)
ч а затем решить систему уравнений (4.39) относительно Хь Ха, Ха, то
в результате придем к следующим формулам для искомых силовых
факторов:
X
i " S ?ir%ip (ф*)+S т РЪ* (ф>) + 2	(ф*);
i	t	।
п	т	I	.
а = 2	W "Ь 2
1	1	1
п	т	I
>=2 Pi v с»*)+2 TfaT ы+2	ь» (ф»).
где
XiP (Ф) = (1 + Ф sin ф); Xir (ф) =	(Ф cos Ф — sinФ — ф)
Х1м(ф)в2я
у . (pein ф
Хар(ф) = — 2^'»
(4.41)
(4.42)
— (—ф—2 sin^cp);
ьг - (— ф c°s ф+sin ф);
. х б1П ф
Хам(ф) = -^;
Ът(<₽) sin<p + c°s<p):
/ \ Сввф
Хэм (<₽) =—•
Числовые значения функций Xip»Xit»Xim приведены в табл. 4.2.
Положительные направления нагрузок Plt Т/, ЯИК показаны на рис.
4.9, а.
О Бояршинов
129
Таблица 4.2
<р°	•		Х1Л1	ф°	Х1Р	Х1Г	XlAf
• 0	0,15916	0	0				
5	0,16037	-0,01392	—0,04163	185	0,11437	—1,01105	—0,48615
10	0,16398	-0,02805	—0,08306	190	0,06751	—1,01«Ю1	—0,47251
15	0,16994	—0,04261	-0,12405	195	0,01896	—1,02369	-0,45929
20	0,17816	-0,05778	—0,16443	200	—0,03086	-1,02318	-0,44668
25	0,18850	—0,07376	—0,20396	205	—0,08150	-1,01827	-0,43492
30	0,20082	—0,09074	—0,24249	210	—0,13251	-1,00893	-0,42417
35	0,21490	—0,10887	—0,27979	215	—0,18340	—0,99516	-0,41465
40	0,23060	-0,12825	-0,31572	220	-0,23366	-0,97695	-0,40650
’ 45	0,24754	-0,14915	—0,35008	225	-0,28279	—0,95440	—0,39992
50	0,26555	-0,17152	-0,38273	230	-0,33026	—0,92764	-0,39505
55	0,28430	-0,19551	-0,41352	235	-0,37557	—0,89683	—0,39204
60	0,30349	-0,22117	—0,44233	240	-0,41819	-0,86217	—0,39101
65	0,32279	—0,24848	—0,46905	245	—0,45764	—0,82393	—0,39206
70	0,34187	-0,27750	—0,49355	250	-0,49341	-0,78240	-0,39533
75	0,36039	—0,30814	-0,51579	255	-0,52504	—0,73793	-0,40087
80	0,37800	—0,34036	—0,53569	260	-0,55209	—0,69090	-0,40875’
. 85	0,39437	-0,37408	-0,55321	265	-0,57415	—0,64172	-0,41901
90	0,40916	—0,40916	-0,56831	270	—0,59084	-0,59084	—0,43169
95	0,42204	—0,44544	-0,58098	275	—0,60183	—0,53876	—0,44679
100	0,43271	-0,48274	—0,59125	280	—0,60680	—0,48598	—0,46431
105	0,44088	—0,51089	—0,60413	285	—0,60554	—0,43304	—0,48421
НО	0,44628	—0,55962	—0,60466	290	—0,59782	—0,38048	—0,50644
115	0,44867	—0,59878	—0,60798	295	—0,58351	-0,32889	—0,53095
120	0,44783	—0,63683	—0,60899	300	—0,56253	' -0,27883	—0,55767
125	0,44358	-0,67675	-0,60796	305	-0,53485	—0,23090	—0,58648
130	0,43578	-0,71514	—0,60495	310	—0,50049	—9,18568	-0,61727
135	0,42432	-0,75271	—0,60008	315	-0,45956	-0,14374	—0,64992
140	0,40913	—0,78910	—0,59350	320	—0,41221.	—0,10565	. —0,68428
145	0,39039	—0,82400	-0,58535	325	-0,35866	—0,07198	-0,72021
150	0,36749	-0,85709	-0,57583	330	-0,29918	—0,04323	-0,75751
155	0,34112	—0,88803	—0,56507	335	—0,23411	-0,01992	—0,79603
160	0,31112	-0,91652	—0,55331	340	-0,16386	—0,00252	—0,83557
165	0,27778	—0,94224	—0,54071	345	—0,08888	0,00854	—0,87595
170	0,24116	—0,96490	-0,52749	350	—0,00967	0,01286	—0,91695
175	0,20152	—0,98424	—0,51385	355	0,07321	0,01012	—0,95838
180 *	0,15916	—1,00000	-0,50000	360	0,15916	0	—1,00000
130
Пример 4.4. Кольцо нагружено тремя симметрично расположенными ради-
альными силами Р (рис. 4.10,а). Изгибающий момент в произвольном сечении
определяется по первому уравнению (4.41). Момент в сечении А
МА~- Рг%1Р (6О’)-Ргх1Р (18О’)-Рг%1Р (300’).
Подставив взятые из табл. 4.2 значения функций, получим МА = 0,100 Рг.
Аналогично определим момент в сечении В:
Л4В= -PrXip (0°)-PrXiP (120°)-Prxip (240°) — -0,189Рг.
Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 4.10, б.
а)	б)
Рис. 4.10
Рис. 4.11
Пример 4.5. Кольцо нагружено силами и моментом, как показано на
рис. 4.11, а. Изгибающий момент в сечениях А и В имеет следующие значения:
МА = -Ргх1Г(90°)+2Ргх1Л1 (180°)-Ргх1Г(270°)=0;
Мв= -Ргх1Г(45°)+2РгХ1Л1 (135°)-Ргх1Г(225°)= -0,0966Рг.
Аналогично может быть вычислен момент в сечениях С, D, Е:
Мс=— 0,1366Рг, Л1о=0,1963Рг, Л1£=± 1,00 Рг.
Эпюра моментов приведена на рис. 4.11, б.
Пример 4.6. Кольцо, опирающееся на жесткую опору, нагружено силами
собственного веса (рис. 4.12, а). Для того чтобы получить выражение изгибающего
Рис. 4.12	а)	б)
момента в текущем сечении, возьмем произвольное сечение А под углом а к верти-
кали и будем отсчитывать угол w от этого сечения. На кольцо действует сосредото?
ченная сила реакции опоры Р = —2nqr, расположенная под углом (л — а)
относительно точки А, а также распределенная нагрузка q.
б*
131
Последнюю можно представить как бесчисленное множество бесконечно
малых вертикальных сиЛ qrdq>. Каждую из этих сил разложим на две составля-
ющие: нормальную — qrdq> cos (а -Ь ф) и касательную qrdtp sin (ot + ф).
Тогда изгибающий мфмент в сечении А, согласно первому уравнению (4.41),
запишется в виде
2л	2л
М А = + РХ1Р (л-а)+ J - qrdq> cos (а-hф) г^1Р (ф) + ( grttysin(а+ф)гХ1 т (ф).
Подставив значения yjp, х1Г, согласно формулам (4.42), получим
'	2л
qr*d<p cos (сс 4- ф) + Ч
М А = — 2nqr g— (14- (л — а) sin
2л
(ф cos ф—sin ф—ф)
или после вычисления интегралов и несложных преобразований
*	fa sin a-f-4- cos a— 1),
Эпюра изгибающего момента, построенная по этому уравнению, изображена
на рис. 4.12, б.
Перейдем к рассмотрению колец, нагруженных силами, перпен-
дикулярными плоскости этих колец.
a)	S)
Рис. 4.1S
Предположим, что на кольцо действуют несколько осевых сил
...» Рп, несколько моментов	в плоскостях, касатель-
ных к окружности, и несколько моментов ..., Wm в плоскостях,
перпендикулярных окружности. На рис. 4.13, а показаны: одна из
приложенных к кольцу сил и по одному из моментов первого и вто-
рого типа.	‘	•
Все силовые факторы в плоскости кольца в этом случае равны
нулю. Чтобы раскрыть статическую неопределимость, разрежем
кольцо по плоскости <р = 0, приложим неизвестные моменты Xlt
Xt и поперечную силу Х3 (рис, 4. 13, б) и приравняем нулю относи-
тельные линейные и угловые перемещения концов в месте разреза
'	= 0;	— 0; 6д=О»
132
Эти уравнения развертываются точно так же, как и уравнения
для плоского кольца, с той лишь разницей, что интегралы Мора
будут содержать не поодному, а по два члена,учитывающих соответст-
венно изгиб и кручение кольца, в результате получаются следующие
формулы для определения Хх, Х2, Х8:
П	<П	L
-^1= S Pi™ip (фО+S ^/х1эд (ф/)+S	w (ф^);
।	1	1
п	rti	/
Х2 — У Pi^2p (<Pr) +	^/х2ЭД (ф/) + kH2W (Фл);
l	1	I
Ш т
(4.43)
п
Х8==Л
/ ч Ф sin ф *	, ч фcos фН-sin ф
’tIP(<P) = Jt2S2L: х1М(<Р) = Х--- -
'	—w sin ф
«1Г<ф)=	---
СОЗф
GJ кр\
"ЁЛ/1
—— 1—<р sin ф-f-cosq)
<р-4-фСО8Л	/ ч
И2р(ф) = —Х^----------; Х22И(Ф) =----------2я
. .	—©cos© sin ф
У..211-(ф)= 2П------------*-----
 (4.44)
GJ кр
~ЁГХ
2 л
л
Положительные направления сил и моментов указаны на рис.
4.13, б.
Рис. 4.14
Пример 4.7. Кольцо, опирающееся на три симметрично расположенные
опоры, нагружено моментом (рис. 4.14). Поперечное сечение кольца — круг-
лое; GJцр = 0,8 EJX.
’ По уравнениям статики определим реакции опор:
КАКВ 3 г *	3 у *
133
Применяя уравнения (4.43), найдем величины изгибающего и крутящего
моментов в сечении А
..	,АЧ 1 / 1	/2	\	/2®1\	/4 \im /л\
\ з г/ГХ1р^"^\з г / xip\ зл/ \~3rj ™ip \Т	з у;
..	/ 1 ЭЯ\ /пч I / 1	/2л\ /2991 \	/4л\ . ,т /л\
Мкр \3 Г /Х2Р(0Щз r jrH2P^ 3 j Зг уГХ2Р^ 3 j4--0b<2U7^ 3 j
или после подстановки значений функций, вычисленных по формулам (4.44)-
М =0,426931; Мкр=0,264991.
Аналогично вычислим моменты и в других сечениях (эпюру М см. рис. 4.14).
Пример 4.8. Кольцо, Опирающееся на три несимметрично расположенные
опоры, нагружено равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 4.15, а). Опре-
делить изгибающие моменты.
Рис. 4.15
Составив уравнения равновесия кольца, найдем реакции опор:
/?!=!,33<?г; 7?2=2,29<?г; /?8=2,66<?г.
Равномерно распределенную нагрузку представим как бесчисленное мно-
жество бесконечно малых сил.
Применяя первое уравнение (4.43), вычислим изгибающий момент в сечении А:
2л
МА~ — R3r%ip (0°)—RjTX (120°)—/?3гх (210°)+ ( qrdqruip (ф) =
'	120s	210s
= - ?,66дгЮ- 1,339г2 sin 120s—2,29qr*	sin 210“-f-
2Л
• +( ,rw	0.716
1	J lr
0
Момент в других сечениях может быть вычислен аналогично. Эпюра изги-
бающих моментов приведена на рис. 4.15, б. Крутящий момент в данном случае
мал и существенного значения не имеет.
Следует отметить особенности расчета колец, у которых главные
оси поперечного сечения расположены под углом к плоскости кольца
(рис. 4.16). Если кривизна кольца не велика, т. е. если размеры
134
сечения значительно меньше среднего радиуса и если нагрузка
приложена в плоскости кольца, то силовые факторы, перпендику-
лярные плоскости кольца, обращаются в нуль. В результате урав-
нения перемещений полностью совпадают с уравнениями (4.36)
для плоского кольца, и, следовательно, изложенная методика ра-
скрытия статической неопределимости плоских колец полностью
остается в силе. Особенность расчета таких колец состоит в том, что
для вычисления напряжений
в этом случае надо применять. У v
формулы теории косого из-
гиба, так как главные оси . . 1/	. <	\
поперечного сечения не совпа-
дают с плоскостью действия
х
и
изгибающего момента.	/	1	\
Случай нагружения коль-
ца перпендикулярно его пло-	Рис- 4 i6
скости.— более сложный, так
как при этом могут возникнуть все шесть силовых факторов. Однако,
если нагрузка состоит только из осевых сил и моментов в касатель-
ных плоскостях (т. е. если моменты, перпендикулярные окружности
кольца, отсутствуют), то силовые факторы, расположенные в пло-
скости кольца, обращаются в нуль, и тогда для раскрытия стати-
ческой неопределимости можно применять изложенную методику.
Более подробно о расчете таких колец см. [21].
§ 3. Деформации плоских колец
Задача определения перемещений точек колец воз-
никает при расчете колец на колебания, при расчете колец исполь-
зуемых в качестве гибких элементов конструкций (например, в вол-
новых зубчатых передачах), а также при составлении уравнений
совместности деформаций колец с сопряженными с ними элементами.
Для определения перемещений могут быть использованы общие
методы, излагаемые в курсе«Сопротивление материалов». Однако при
сложном нагружении кольца, а также в тех случаях, когда тре-
буется знать перемещение в нескольких точках по окружности коль-
ца, целесообразно использовать более эффективные методы расчета,
основанные на применении дифференциального уравнения упругой
линии.
Выведем дифференциальное уравнение упругой линии плоского
кольца.
Выделим из кольца бесконечно малый элемент (рис. 4.17, а).
В общем случае на элемент могут действовать радиальная нагрузка
и касательная нагрузка q2. Обозначим силовые факторы, возникаю-
щие в поперечном сечении: N — нормальная сила; Q — поперечная
сила и М — изгибающий момент. Положительные направления этих
силовых факторов указаны на рис. 4.17, а.
135
Напишем уравнения равновесия элемента кольца:
dQ л/
^__JV = _Qin
dN .л
_ + q = _<72/.;
~^Q = 0.
гор
(4.45)
Слагаемые, имеющие более высокий порядок малости, в этих
уравнениях отброшены. Исключив из системы уравнений (4.45) N
и Q, получим уравнение.с одним неизвестным:
d9M . dM .	. dq*
r^dip8 r® dtp *’	' dip
(4.46)
Рассмотрим теперь перемещения и деформации элемента кольца.
При этом будем считать кольцо нерастяжимым, т. е. будем полагать
Рис. 4.17
деформацию в окружном направлении равной нулю. На рис. 4.11, б
изображен элемент кольца до и после деформации. Обозначим ра-
диальное и касательное смещения точки кольца через w и о и угол
поворота нормали через О. Перемещения точки* Ь отличаются от
перемещений точки а на бесконечно малые приращения dwt dv
и db. Направления перемещений w, v-, О, указанные на рис. 4.17, б,
приняты за положительные. Приравняв нулю сумму проекций
звеньев замкнутого многоугольника aka^lba на направление ра*
диуса и на направление касательной к окружности и положив,
ввиду малости перемещений, sin О = О, cos 0=1, а также
sin dtp = d<p, cos d<p = 1, получим два уравнения: •
w — о^О + (о+dv) d<p — (w + dw)—0;
v+ajfti (v + dt>) — w dtp — ab=0,
где
alb1_ = ab = r dq.
136

0 = -
После сокращений получим
1 dw
г dtp *
dv
dtp ’
(4.47)
(4.48)
3
Изменение кривизны элемента ab равно производной от угла
поворота *0 по дуге
F
x =—
d&_______dv_______1 cPw
г dtp	r* dtp ~ r* dtp*
(4.49)
или с учетом равенства (4.48):
1 / d*w
(4.49a)
x = —

dtp*'
, С другой стороны изменение кривизны связано с изгибающим мо-
Г ментом соотношением упругости
М
[	* “ EJk •
(4.50)
f Приравняв правые части равенств (4.49а) и (4.50), получим диф-
L ференциальное уравнение упругой линии
L кольца
Г	"dq*"i’a’ EJX‘
?г • С учетом уравнения (4.46) дифферен-
циальное уравнение упругой линии можно
представить также в следующем виде:
EJr
У
(4.51)
d3a>
dtp*
Puc. 4.18
M от угла <p уже
dQi
dtp


или
EJV d
da
dip \d<pa
F
. J
J
Если зависимость изгибающего момента
известна, то радиальное перемещение w наиболее просто можно
определить интегрированием уравнения (4.51). В некоторых
случаях, в частности при составлении уравнений совместности
деформаций кольца и сопряженной с ним- оболочки, более удобно
применять уравнение (4.52). При использовании этого уравне-
ния нагрузки раскладывают в ряд и решение также находят
в виде ряда.
Укажем еще один весьма удобный метод определения перемеще-
ний [5].
t.
137
Предположим, что на кольцо действует несколько взаимно урав-
новешенных радиальных и касательных сил (рис. 4.18). На рисунке
для примера показаны одна радиальная и одна касательная силы.
Уравнения равновесия кольца:
п	т
У Pi COS ф/ — У, Tj sin фу = 0;
J	I
п	т
2^8Шф£+ 2^/COS фу = 0; 
1	1
т	т
= 0 или 2Ту =0,
1 . 1
(4.53)
где п и иг — число радиальных и касательных сил.
Разложив каждую из заданных сил в ряд Фурье, получим экви-
валентную распределенную радиальную нагрузку дг и эквивалент-
ную касательную нагрузку д2‘.
п	п оо
*=2 & + 2 2 ~cosfe(<p-4>();
/ —1	/=1Д=1
т со
/=1 Л = 1
(4.54)
ч Подставим эти ряды в дифференциальное уравнение (4.52):
ц сэ
—-r -jt + Sj-t 4-	= 7	7-------- Й8Шй(ф — ф.)4-
Г4 |/*ф5 t/ф3 “ф] Ad Ш \ ЛГ/	v / 1
т
(4.55)
Решение уравнения (4.55) можно представить как сумму общего
решения однородного уравнения и частных решений, соответствую-
щих всем значениям k от 1 до оо.
Из условия единственности значения функции w в каждой точке
кольца следует, что решения однородного уравнения, которые
не удовлетворяют условию периодичности с периодом, кратным
2л, должны быть отброшены. Остается общее решение однородного
уравнения вида
й^ВсоБфН-С sin ф.	(4.56).
Это слагаемое отражает возможность перемещений кольца как
жесткого целого в направлении осей х и у,
J3S
Рассмотрим частное решение, соответствующее k — 1. Правая
часть уравнения в этом случае может быть записана в следующем
виде:
л	m	’ tn
~2Ssin (ф-ч’')+2 S cos(<p-4’')=£^2 2r'cos<ip'+
i	i	L i
На основании первого и второго уравнений равновесия (4.53)
выражения в квадратных скобках равны нулю. Следовательно, при
k — 1 правая часть уравнения обращается в нуль и соответствующее
частное решение уравнения отпадает.
Определим, наконец, частное решение уравнения при произволь-
ном k 2. Будем искать решение в виде суммы
т	п
sin k (ср — <pf) + У Cfti cos k (ф —xpf).
(=1	Z = 1
Подставив эту сумму в левую часть дифференциального урав-
нения (4.55) и приравняв коэффициенты при одинаковых функциях
в правой и левой частях уравнения, найдем коэффициенты ряда
Т/8 г Pjf*
V ~ nEJxk (ft® -1)®» G w nEJx (ft® -I)®'
Тогда
tn	n
2Tjr3 sin ft (ф—фу) . VI P/r8 созА(ф—ф,)
’ ft (ft2-!)® + L пЁГх ’ (ft2 —1)8
Суммируя & и соответствующие всем значениям k от 2 до со,
получим искомое общее решение уравнения (4.55):
т	оо
a’ = Bcos<p + Csin4>+ 2 ^2	(Д1?*+
/ = 1	k = 2
п	со
VI Р/Г3 V ССиЩф —ф,)
21 nEJx 21 (ft2-l)a ’
f=l	k—2
(4.58)
Смещения v точек кольца в окружном направлении связаны с ра-
диальными перемещениями w зависимостью (4.48). Согласно этой
зависимости
(/ =— ^4ф-|-Д.
139
После подстановки под знак интеграла выражения (4.58) и
интегрирования получим
т _ Л со
л п •	, —,	. VI ^/г3 VI cosA(<p—Ф/)
0= А — В sin ф + С COS <Р 4- 2 яЕТ^ 2 Ла(Л»-1)а
/ = 1	*=2
_ У Pif3 у Sin * (ф—<pf)
Z nEJx Zi	1)« •
/=1	ft==2
Введем обозначения:
s (ф) = 2	<4-60)
ft=2
<4-61)
ft=2
co
(4-62)
ft=2
Тогда формулы (4.58) и (4.59) можно записать более кратко:
w = В cos
п
ф + С s in ф + 2 s (ф - ф,)+
1 х
(/ (ф — ф/) -|-
<4'63)
п
v = А — В sin ф +С cos ф — У
л?
I
m
+2жлт<’,-ч>>>-	<4И>
Числовые значения функций S, U, Т приведены в табл. 4.3.
Таблица составлена для значений угла в интервале О ф 180°,
что достаточно, так как функции S и Т — симметричные, а функ-
ция U — обратно симметричная, т. е.
S (ср) = S (2л - ф); Т (ф) = Т (2л - ф); U (ф) = — U (2л - ф). (4.65)
Эти функции связаны между собой простыми дифференциаль-
ными соотношениями
dT	dU _
dq>“ U* dtp-'
(4.66)
140
I
Таблица 4.3
ф°	S«p)	Г (ф)	и (Ф) г	(Фв)	S (Ф)	Т (ф)	f (Ф)
0	0,13497	0,02990	0				
5	0,13177	0,02939	. 0,01165	95	-г-0,10232	—0,02669	—0,01408
10	0,12288	0,02788	0,02280	100	—0,09458	—0,02508	—0,02268
15	0,10934	0,02543	0,03300	105	-0,08437	—0,02275	—0,03050
20	0,09214	0,02216	0,04183	110	—0,07202	—0,01978	—0,03734
25	0,07228	0,01818	0,04903	115	—0,05791	-0,01627	—0,04263
30	0,05069	0,01366	0,05440	120	—0,04245	-0,01231	-0,04742
35	0,02823	0,00875	0,05782	125	-0,02607	—0,00803	-0,05043
40	0,00571	0,00363	0,05928	130	—0,00920	—0,00355	-0,05197
45	-0,01614	-0,00154	0,05881	135	0,00769	0,00100	—0,05203
50	-0,03670	-0,00659	0,05650	140	0,02417	0,00549	-0,05062
55	—0,05539	-0,01136	0,05248	145	0,03984	0,00979	-0,04781
60	—0,07176	-0,01571	0,04693	150	0,05429	0,01379	-0,04370
65	-0,08545	-0,01951	0,04005	155	0,06717	0,01738	—0,03839
70	—0,09618	—0,02266	0,03210	160	0,07816	0,02046	-0,03204
75	-0,10377	—0,02509	0,02335	165	0,08700	0,02295	—0,02482
80	-0,10814	-0,02672	0,01406	J70	0,09347	0,02478	-0,01693
85	—0,10930	-0,02754	0,00455	175	0,09741	0,02589	—0,00858
90	-0,10730	-0,02752	—0,00492	180	0,09873	0,02627	0
Заметим, что в интервале 0 ф «s; 180° функции S, Т и U можно
представить также следующими выражениями [5]:
_, .	I.! /л8	3	, а*\	, л—ф .
$(ф) = —у+ j - j-ntp + f)cos<рЧ—^8Шф;
»г/ ч 1 . л8 лф . фа . 1 /л8	23	। Ф2\	।
Т (ф) —	1 + g 2	4	4 \ 3 Т Я(₽	2 ) C0S(P
,3/ч.
+-4 (я — ф) sin ф;
у (ф)х=	-cos ф) + 4(т~Т“Яф + ^)8’п <₽•
Постоянные А, В, С в формулах (4.63), (4.64) зависят от переме-
щений кольца как жесткого целого (три степени свободы) и опре-
деляются из условия равенства нулю перемещений в точках закреп-
ления. Если же кольцо не закреплено, то Л, В, С следует положить
равными нулю. В случае статически неопределимого кольца с более
чем тремя внешними связями условия равенства нулю перемещений
на опорах позволяют составить необходимое и достаточное коли-
чество уравнений для определения постоянных Л, В, С и неизвест-
ных реакций.
Остановимся на случае нагружения кольца сосредоточенным
моментом (рис. 4.19, а).
Представим момент Э)? в виде пары сил с плечом 0г, где 0 —
; сколь угодно малый угол (рис. 4.19, б), тогда силы будут равны
Разложив каждую силу на радиальную и касательную составляю-
141
щие, получим систему сил, изображенную на рис. 4.19, в. Эта си-
стема при р -* О эквивалентна заданному моменту. Применим фор-
мулу (4.63):
<ф>=[’₽* s (ф - ф») ~ f s (ч> - % - ₽)](Дч>-<р*).
где Wsffi (ф) — составляющая радиального перемещения за счет
момента
Фа — угол, определяющий положение точки приложения
момента.
а)	б)	ф
Рис. 4.19
При р -► 0 получим
w^^=^rx ^$(ф-Фа) + Щф-Фа) .
Подставив сюда выражения (4.60) и (4.62) для S и U, после не-
сложных преобразований получим
= 7^7“ (<Р - Фа)»	(4.67)
где	<
*(<Р)=2	(4-68)
А = 2
или иначе
₽(ф) = — sin ф + ^у^(1 —с°5ф)	(4.69)
(0 ^ф< 180°).
Аналогично определим (ф):
р®!<ф) = ;®г(--^ у(ф-фЛ + Пф-ф»))=||£и<р-<р«), (4.70)
где
со
V <Ф> - 2 (- R^l))	(4.71)
А«2
142
или
V (ф) = — 4 + ?“ т + ~4• + -^2^ sin ф- J cos ф (4.72)
(О^Ф^ 180°).
Слагаемые вида (4.67), (4.70) добавляют в формулы (4.63), (4.64)
в том случае, когда исследуемое кольцо нагружено сосредоточен-
ными моментами.
Пример 4.9. Кольцо нагружено двумя диаметрально противоположными
силами Р (рис. 4.20, а). Найдем перемещения точек кольца с помощью различных
методов.
Решение методом интегрирования дифференциального уравнения (4.51).
Определим вначале изгибающий момент в произвольном сечении, располо-
женном под углом ф к вертикали.
Рис. 4.20	flj	Ф
Применим первую формулу (4.41):
Х1 = Л1ф = РгХ1Р (л—ф)-|-РгХ1Р (2л—ф).
После подстановки функции х1р, согласно зависимости (4.42), получим
Рг
Рг ^14-(л —ф) sin (л — ф) 4-^Д14 (2л—ф) sin (2л —ф)]==
2л
2л
= Рг
Я-2 “’’’’J'
Это выражение изгибающего момента внесем в дифференциальное
ние (4.51):
уравне-
(Pl!)
dtp2
Рг3
£7*
— sin ф——
2 л,
Общее решение полученного уравнения имеет вид
Рг3 Г
ш = A sin ф + В cos ф 4-
— ф'СОЭ ф------
4 т л
Это выражение справедливо в интервале 0 sg ф л. Постоянные
должны быть определены на основании граничных условий. В данном
по условиям симметрии	'
А и В
случае
1\)о —
tt»0o —.^180°’
— 0; Oqo=I8QO 0.
143
Согласно первому условию,
r
8EJX'
Согласно второму условию, на основании зависимости (4.47)
dw
~г~	=0;
/	“Фф —0е
[р^з /1	I	\ 1
Лсозф— В sin ф+gj— с°з ф-J-ф sin ф^j	Оо“®’
откуда
. Pt*
A~4EJx*
Окончательно
л
Ргв/1 .	' л
“,=£М4 Й,ф+8
Jr \
При ф = 0° и ф = 180°
Рг3
wa~wb~ej~
л____1_\
8 п/
Следовательно, изменение расстояния между точками А и В составляет
- •	Рг* /л 2 \ ‘	Рг»
«лв =«л+«в-ЁГх	°'1488 £77-
При ф = 90°
Изменение расстояния между точками С и D
Я О„, Pr4l 2\
«cd=2”c“£7;(2—^“-0.1366^-.
Решение в рядах. Заменим заданные силы Р распределенной нагрузкой q,
приложенной по двум малым дугам Рг (рис. 4.20, б):
где Р — произвольный, сколь угодно малый угол.
Эту нагрузку разложим в ряд Фурье:
ОО
<7-<7о+	£ ?лсовйф.
*-2.4, 6 ...
В данном случае следует взять ряд косинусов с четными'значениями ft, так как
нагрузка симметрична относительно диаметров АВ и CD.
144 •
Коэффициенты рила вычисляют по общеизвестным методам. В данном
случае
яг * яг ’
Следовательно,
<? =
cos 2ф -J- 2 cos
2 cos Аф I.
Первый член этого ряда соответствует равномерно распределенной ради*
альной нагрузке. Зта нагрузка не вызывает изгиба -кольца. Перемещения,
соответствующие этой нагрузке, можно принять равными нулю, так как де-
формации растяжения незначительны.	,
Для определения перемещений, соответствующих йзгибной деформации
кольца, подставим ряд в дифференциальное уравнение (4.52):
EJX
r« dtp6
(Pw dufl  Р
dqp8 dtp J яг
CO
У (— 2k sin Аф)
£ = 2» 4, 6 «•-
(в данном случае ft = q\ ft=0).
Решение полученного уравнения ищем в виде следующего ряда:
-	I
со
ц>= У С*со$Аф.
Вычислим
dw —
4ф ~
производные
У! (- s,n *ф);	==
У ( — Ck№ sin Аф)
	
У CjgfP sin Аф;
и подставим их в дифференциальное уравнение
со	п 00
у Сл(—А? + 2АЗ —А)$»пАф= — У (— 2А$1пАф).
£	4» 6	А**»2» 4, 6 ..
Приравняв члены с одинаковым индексом А в правой и левой части ра-
венства, найдем
г Рг*2
k ~ EJ^i (А8—1)>*
Таким образом,
Рг32 cos Аф
2а лЕЛ(А«-1)«’
4,6...
при ф = 0° и ф = 180"
“О' = “ИО- [4 + 525 + ^5 + •• ] = 0,0742^-.
145
Изменение расстояния между точками А и В составляет
6лв = 2tt,o = 0,1484 —.
Для получения результата с точностью до трех значащих^цифр в данном
случае достаточно взять три члена ряда:
при ф = 90°
Рг3 Г 2	2	2	1	Ргз
U’90° = йЁГх L 9"+ 225 “ 1^25 + ”]= “ °’0684 ЁГх;
6CD = 2tW90°= -0,137
tj-x
Решение по способу Бицено — Граммеля. Искомое радиальное перемещение
в этом случае определяют по формуле (4.63).
Так как кольцо не закреплено, то постоянные В и С следует приравнять
нулю. Последнее слагаемое ввиду отсутствия касательных сил также следует
отбросить; в результате получим
Рг^	Рг*
и< = -~- S (ф) + —=77-S (ф — 180°).
siEJx	т nEJx
Функция S обладает свойством четности, поэтому при вычислении переме-
щения какой-либо точки необходимо брать те значения функции, которые
соответствуют меньшей дуге между точкой приложения силы и рассматри-
ваемой точкой.
При ф = 0° и ф = 180°
ргз
щ0о = щ180о = —- (S (0°) 4- S (180°)].
ЛС V V
По табл. 4.3 находим
S (0?) = 0,13497; S (180°) = 0,09873.
Следовательно,
Рг&	Рг*
1УСо = Киар =	(0,13497 + 0,09873) = 0,0744	;
= tt/gc -|- Wj8o° = 0,1488
Рг3
Аналогично при ф = 90°
Рг3	Ре3	Рг3
щадо = -^77- 2S (90°) =	2 (- 0.1073) = - 0,0684 ~;
pr3
Scd = 2w9Q/° — 0,1368	.
Пример 4.10. Определить перемещение точки А кольца, изображенного
на рис, 4.21. Используя уравнения равновесия, вычислим реакции опор
р
= ря == Выберем начало отсчета угла ф в нижней точке. Согласно за-
У 3
висимости (4.63) запишем выражение радиального перемещения
Рг3 Г	1	11
w=>C sin ф+Всовф--------S (ф—180°) -|——S (ф —30°)4—7= S (ф—330°)
nEJ х _	У 3	УЗ	’
силы Р, Plt в данном случае отрицательные. На основании симметрии нагрузки
146
относительно вертикали постоянную С следует приравнять нулю. Для определения
постоянной В используем условие: w = 0 при <р — 30°, из которого следует
В cos 30*
Рг»
jiEJx
После подстановки числовых значений найдем
В=0,105
Ргз
3iEJx'
Искомое перемещение в точке А
w. =0,105	cos 180°—	Is (0°)+J=S (150°)+-;Ls(150°)
Л nEJx	лЕ/Д УЗ	уЗ
= 0,303
Рг»
svEJ х
Пример 4.11. Определить перемещения точек кольца, нагруженного каса-
тельными силами и моментом (рис. 4.22).
Рис. 4.21
Рис. 4.22
Воспользуемся методом Бицено—Граммеля. Дополнив формулу (4.63) сла-
гаемым вида (4.67), вычислим радиальное перемещение в точках Е, С, К:
® Е=-~ и (90°> 1 - ‘5Г • SET и (90О)+SETR т ” 0;
с	J £ L	J	Л С J #	J
дл	дл г2	дл^2
"с=-и (»”) - 5 и	R =-ВД11 и?;
+^гх I- я mi = о,2б -jj-.
Аналогично можно вычислить перемещения и в других точках. Эпюру пере-
мещений см. на рис. 4.22.
Угловую координату Следует всегда отсчитывать по кратчайшему расстоянию
между рассматриваемой точкой и нагрузкой. При этом следует учитывать, что
функции U и К обратно симметричные. Если данная нагрузка приложена за рас-
сматриваемой точкой (по Отношению к выбранному направлению отсчета угла <р),
го функции U и R берутся со знаком плюс; если же нагрузка приложена до рас-
сматриваемой точки, то знаки U и R изменяются на обратные.
147
Пример 4.12. Кольцо, опирающееся на три опоры, нагружено силой Р
(рис. 4.23).
В данном случае можно написать только два уравнения равновесия:
Pi—R3;
2Р1^+Рг-=Р.
£
Дополнительные уравнения получим из условия равенства нуЛю «радиального
перемещения на опорах.
Начало отсчета угла <р выберем в точке А. Применим формулу (4.63). На осно*
вании симметрии нагружения постоянную С следует
приравнять нулю. Тогда
Ид=ВсозО”-;^-3-(18(П-
Рг8
w„=В cos 30° —	S (150°) —
JX С V jg
р
о
50
Рис. 4.23
nEJ

Подставив взятые по табл. 4.3 значения функции S
решив систему четырех уравнений с четырьмя неиз*
и I
вестными, найдем
P1==PS = O,386P;
0,332Р; В «0,1826-^.
Перемещение точки приложения силы Р
и»о = В cos 180°-	s (180°) - 2 S (150°) —S (0°) = - 0,392-^-.
лЕ5х. ' лЕ5х 1 лЕ5х 1 ’	nEJr
Пример 4.13. Рассмотрим более сложную задачу о деформации плоского
кольца.
На рис. 4.24, а изображено кольцо проушины, опирающееся на жесткий
цилиндрический палец и нагруженное силой Р. Обозначим г0 — радиус пальца;
г\ и г — внутренней и средний радиусы кольца.
Особенность данной задачи состоит в том, что контакт между кольцом и паль-
цем вначале возникает только в одной точке, затем с увеличением нагрузки зона
контакта расширяется и кольцо постепенно прилегает к пальцу (рис. 4.24, б).
Вначале, когда кольцо находится под действием двух сосредоточенных сил Р,
изгибающий момент и кривизна в точке контакта могут быть легко определены
методами, рассмотренными в примере 4.9:
м -Рг-. 11 , Рг
А л ’ р г ' nEJx‘	1
*
В тот момент, когда кольцо начнет прилегать к пальцу (палец считается
абсолютно жестким),, кривизна его средней линии и величина силы Р составляют:
1	. п» .	Р*)
Р* .Л’	rV ’
г°+~2
На второй стадии нагружения возникают два участка (рис. 4.24, б). На
участке АВ кольцо плотно прилегает к пальцу; на остальном участке имеется
зазор.
148
Примем следующие допущения: кольцо —- нерастяжимое и тонкое; палеи —
абсолютно жесткий; силы трения пренебрежимо малы.
^Рассмотрим отдельно палец и каждый из участков кольца (рис. 4.24, а).
Вначале расмотрим участок АВ. Поскольку на этом участке кривизна постоянна,
то изгибающий момент также постоянный:
M*=EJX
гр
= const.
Угол наклона нормали на границе между участками до деформации обозна-
чим через а. После деформации угол а изменится на величину Ов, которую можно
.определить по условию нерастяжимости кольца:
аг = (а+Фв)р*,
откуда
л г~ Р*
Так как М — М * — const и qt = 0 (силы трения не учитываются), то на
основании уравнений равновесия (4.45):
Q==0;	N = const;	.
г
Определим еще перемещения wg и vB точки В.
Приравняв нулю сумму проекций звеньев замкнутого многоугольника
OxOvKiLKOi (рис. 4.24, а), на нормаль п и на касательную t найдем
о?в=>— Гг—(г— p*)cosa—р* cos^B] = — (<—р*) (1—соза);
ов=р* sin йв—(г—р*) sin. а=(г—р*)(а—sin а),
V	Г— Р*
где cos0В1; sin Ов <>в«=а  ф —.
Перейдем к рассмотрению участка ВО (см. рис. 4.24, в). Силовые факторы
в точке В обозначим Мд, IVв и QB.
Из условий сопряжения участков следует, что Мд ® М *.
Выберем начало отсчета угла <р на границе между участками. Изгибающий
момент в текущем сечении
М = М*	(1 —созф)—ЗдГ sin ф.
149
Подставим М в дифференциальное уравнение (4.51):
d2w	л2
—ш _ [Лг +	(I —cos ф) -Qflr sin Ф].
г2 V3 №
I" ® Ф 2EJ Ф cos ф.
Л?
Общий интеграл полученного уравнения имеет вид
w= A sin ф+ В cos ф— -------=~г~
EJX
На основании зависимостей (4.47) и (4.48) найдем окружное смещение о
и угол поворота нормали О:
и = — I wd(p — C-f-A cos ф — В sin ф
<2йг3
2^-(COS ф + ф sin ф);
Л/Вг3 .
Т^-(81Пф —фсибф)4-
о dw С (M* + NBr)r	NRr2 QRr2
*= Г ~7dv° r+-£Г,—	ЕТХ «пф+^сиф.
В этих уравнениях содержится пять неизвестных величин А, В, С, NB, QRt
для их определения необходимо использовать следующие пять граничных условий:
ф—0; w=wB; ф=0; v—vg; ф==0, 0'=0Й;
<р=л—а; о=0; ф=л— а; 0=0.
Согласно первым трем условиям, с учетом полученных значений 0B, wg,
Vo найдем
(Г-Р«)2«	.	Q,^
А=-------?------щ;;
Л/И * 4-Л7 ягЧ г2
---ЁТГ2------(г—р*) (1—cos а).
Подставив А, В, С в выражения о и О и используя четвертое и пятое граничные
условия, определим Ng и QB:
дг - ~	— Р*)лг (я — а) sin а+2 (г — р*)8 (1 + cos а) (а cos а — sin а))
в	гэр* [(«—	sin а) (14-cos а)—(л—а)2 sin а]	*
Ф	EJ*[(г—р*) яг (sin а+(л—а) cos сс) Ц-2 (г—p*)2(acos a— sin<x)(n—а—sing)]
г3р* [(л—a-f-sin a) (l-J-cos а)—(я—a)8 sin а]	•
Выведенные зависимости дают решение задачи в параметрической форме.
Задавшись значениями параметра а, можно вычислить NB и Qg. Для определения
силы Р и изгибающего момента Л40в точке 0 составим уравнения равновесия
участка ВО:
cos a-\-2Nв sin a;
Mq»M*+ NBr (1 cos a) — QBr sin a.
Перемещения можно легко вычислить, л спользуя выражения функций ш и о.
Приведем результаты вычислений при следующих числовых данных: г =
= 2,5 см;Ь- 2 см; Л = 0,5 см; г = 2,25 см; г0 ~ 2,23 см, р* = г04-~ = 2,48 см;
bh2
г р ♦ = 0,002 см; /Л=~ = 0,02085 см4; Е =2-10’ Н/см2;
А
EJX = 4,17.106Я . см2; М* = EJX = 1350 11 • см.
150
При а *= О”
p,-(-~i2?CJj=I690	Л'«=0: QI>-IT-'
При а=Бе
2Vfl = 82H; QB = 965 H; P=1940 H; Mo= 1550 H • cm.
При a —10°
JVfl=186H; QC=1HOH; P==2240 H; Л10= 1790 H - cm.
Следует обратить внимание на то, что силы взаимодействия между кольцом
и пальцем в основном возникают по краям зоны контакта АВ, в средней же точке
давление сравнительно невелико. Отсюда следует, что обычно принимаемый коси-
нусоидальный закон распределения давления между кольцом и пальцем весьма
далек от действительности.
§ 4. Деформации колец,
нагруженных перпендикулярно их плоскости
В общем случае на кольцо, нагруженное перпендику-
лярно его плоскости, могут действовать сосредоточенные силы Р{,
радиальные и касательные моменты , распределенная осевая
нагрузка q и распределенный радиальный момент т (рис. 4.25).
В поперечном сечении кольца возникают три силовых фактора:
Q — поперечная сила, М — из-
гибающий момент, Л4кр — кру-
тящий момент. Положительные
направления этих силовых фак-
торов показаны на рис. 4.26, а.
Рис. 4.26
Рис. 4.25
Составим уравнения равновесия бесконечно малого элемента
кольца (рис. 4.26, а). Взяв сумму моментов сил относительно осей
п и t и сумму проекций сил на ось кольца, получим
^ + М,р-<?г = 0;	(4.73)
^-M + mr = 0;	(4.74)'
= °-	~	0-75)
151
Система уравнений (4.73)—(4.75) может быть сведена к одному
уравнению с одним неизвестным
+ Л4 =+ mr.	(4.76)
При деформации кольца его поперечные сечения получают ли-
нейные и угловые перемещения: ф — угол поворота нормали в ок-
ружном направлении; Ф — угол поворота нормали в радиальном
.направлении; у — прогиб. Положительные направления ф, О и у
указаны на рис. 4.26, б. С возрастанием полярного угла на dtp
углы ф и О получают приращения Лф и d$. Установим зависимость
между .б/ф и бЮ1 и моментами М и 7Икр. Прежде всего заметим, что
углы получают приращения не только за счет деформации элемента
кольца, но также из-за его поворота как жесткого целого.-Действи-
тельно, если элемент кольца ab (рис. 4.26, б) повернется относи-
тельно оси t на угол О, то вертикаль в точке Ь также наклонится
на угол О. Однако плоскость угла поворота нормали в точке b не бу-
дет перпендикулярна окружности кольца; поэтому угол й можно
разбить на два:
Ф cos (J<p) ф и О sin (б/<р) fldqp.
Последняя величина представляет собой приращение угла ф
за счет поворота элемента кольца как жесткого целого на угол О:
йф* == $с(ф.
Чтобы получить полное приращение угла ф, к углу <!ф* сле-
дует добавить приращение угла ф за счет изгиба элемента кольца
^фи = —
Следовательно,
di|) = dH,* + rf4>„ = -^^ + #d<p.	(4.77)
Аналогично можно определить приращение угла “6. Оно склады-
вается из угла закручивания элемента кольца под действием кру-
тящего момента
Л4крг</ф
и приращения d&* ~ —фгАр, возникающего при повороте элемента
кольца как жесткого целого на угол ф:
da = d#*4-d»,p = -^-4--4>d<p.	(4.78)
Угол поворота ф связан с вертикальным перемещением у следую-
щей зависимостью:
-  . <4-?9)
Исключив из уравнений (4.77)—(4.79) ф и О, получим дифферен-
циальное уравнение упругой линци кольца при его изгибе из
152
плоскости
&У dy _ AW* dMr*	,4 om
d(p» d<p “ GJKp dyEJx’
Если функции M и Л1кр известны, то, интегрируя уравнение
(4.80), можно найти функцию у. По функции у на основании ра-
венств (4.77) и (4.80) определим углы поворота сечения
' ы, —л  I div
* — rdq>' v ~ EJX•
В некоторых случаях, однако, удобнее использовать дифферен-
циальные уравнения более высокого порядка, в правые части ко-
торых входят интенсивности q и т распределенных нагрузок.
Эти уравнения могут быть получены из равенств (4.73)—(4.76)
и (4.80) в результате исключения М и Л4кр:
(Ру
dip8
dty , dty _ Г1 Г 1 da<?_______________1
d<p< ф dip» [£7* dqfl	GJ Kp
(Pm
dtp8
। 9 dafl ,	•	( 1 ।______1 \ , mra (Pm r*
dy* • 4 d<pa v “	4 \EJX "Г G/Kp ) T" EJX d<p8 GjKp•
(4.81)
(4.82)
Уравнения (4.81) и (4.82) обычно решают в рядах.
Применим уравнения (4.81) и (4.82) для определения перемеще-
ний сечений кольца, нагруженного произвольно расположенными
силами, моментами и распределенными нагрузками (рис. 4.25).
ЗЯ/
Представив момент ЭЛ/ в виде двух осевых сил , приложен-
ных на малом расстоянии 0г одна от другой, и разложив каждую из
нагрузок в ряд Фурье, получим некоторые эквивалентные распре-
деленную нагрузку q и распределенный момент т, выраженные в
виде рядов. Если эти ряды подставить в правую часть дифферен-
циальных уравнений (4.81) и (4.82) и принять во внимание уравне-
ния равновесия кольца, то решение уравнений можно представить
в следующем виде:
у=А 4- В cos <р+С sin <р 4- 2	[ёТ; 5 (Ф ~ Ф')+<57^ Т (Ф ~ Ф')] —
2^3Г 1 I L, v V 1 г./
+sbpи <*f - ’/>]+2 -Т [ uh, U (<р “ <р’>+Z (<f - Ч -
(4.83)
0 =
в
уСОвф
Фт,
х [ +яЫ5 (ч> - +2	йs (<р - **’+(<р-ф *’ 1 -
-1 i	+зУ р	- 2	+йЫ и	+
<484)
153
где	<р — угловая координата рассматриваемой
точки;
Фъ Ф/> Фа — углы, соответствующие точкам приложе-
ния нагрузок Plt Wlj, Wk',
% и фт — углы, определяющие положение начала
распределенной нагрузки или распреде-
ленного момента. Если распределенная
,	нагрузка приложена на участке, то ее
надо продолжить до точки с координатой
Ф = 2л и добавленную часть компенсиро-
вать нагрузкой обратного направления,
т. е. вместо одной нагрузки рассматри-
вать две нагрузки, продолжающиеся до
точки с координатой ф ~ 2л;
S (ф), Т (ф), U (ф) — функции, такие же, как и для плоских
колец [см. формулы (4.60), (4.61), (4.62)].
Значения функций S, Т, U приведены
в табл. 4.3;
Р (ф), Z (ф), Y (ф) — функции, определяемые следующими фор-
мулами:
со
п / \ • V- fe sin £ф
fi=2
со
2 sin fep
й3(/га—1)2’
Л=2
со
Y COS Лф
2л (л«-1)2 *
Л = 2
(4.85)
Функции Р и Y в интервале 0 ф 180° могут быть также
представлены в форме
pto)=[n+^-7+?]sin^
17 Г \ ГЛ2 . I Лф । ф2 „	Л —ф .
у (ф) = [12 + 1б-4 + 8 JC0S(₽-4 sin(₽
(4.86)
Значения функций Р, Z, Y приведены в табл. 4.4. Слагаемые,
содержащие постоянные А, В, С, соответствуют решению однород-
ного уравнения. Эти слагаемые учитывают возможность перемеще-
ний кольца как жесткого целого. Если кольцо не закреплено, то
постоянные А, В, С следует приравнять нулю.
Для кольца, установленного на опорах, постоянные А, В, С
определяют по условиям равенства нулю прогиба на опорах.
В качестве аргумента функций S, Т, U, Р, Z, Y в формулах
(4.83), (4.84) всегда следует принимать наименьший угол между рас-
сматриваемой точкой и точкой приложения нагрузки. Для четных
функций S, Т, Y направление угла не имеет значения. Для нечет-
ных функций U, Р, Z берется знак плюс, если ф > Ф/,/,л, и знак
минус, если ф < (см. рис, 4.25).
154
/
Таблица 4.4
ф“	Р(<р)	У (ф>	Z(qp)	ф°	Р (Ф)	Г(Ф)	Z«p)
0	0	0,88497	0	95	—0,07335	-0,36348	-0,00294
5	0,07127	0,74769	0,00259	100	—0,10344	—0,32552	—0,00525
10	0,13049	0,61150	0,00515	105	-0,12996	—0,28127	—0,00729.
15	0,17803	0,47814	0,00743	ПО	-0,15238	-0,23155	—0,00915
20	0,21411	0,34953	0,00952	115	-0,17026	-0,17765	—0,01074
25	0,23922	0,22722	0,01128	120	—0,18329	-0,12089	-0,01198
30	0,25400	0,11268	0,01267	125	—0,19132	-0,06263	—0,01287
35	0,25917	0,00724	0,01365	130	-0,19421	—0,00414	—0,01338
40"	0,25556	-0,08812	0,01419	135	-0,19107	0,05323	—0,01349
45	0,24411	-0,17241	0,01428	140	—0,18500	0,10827	-0,01320
50	0,22579	-0,23397	0,01393	145	-0,17328	0,15987	—0,01253
55	0,20170	—0,30557	0,01314	150	-0,15723	0,20688	—0,01150
60	0,17283	—0,35365	0,01196	155	-0,13732	0,24839	—0,01014
65	0,14037	-0,38934	0,01043	160	—0,11406	0,28354	—0,00848
70	0,10524	—0,41272	0,00857	165	—0,08804	0,31163	—0,00659
75	0,06864	—0,42414	0,00648	170	—0,05988	0,33211	—0,00455
80	0,03155	—0,42414	0,00426	175	—0,03026	0,34456	—0,00228
85	—0,00507	-0,41338	0,00184	180	0	0,34873	0
90	-0,04031	—0,39270	-0,00057				
Пример 4.14. Определим перемещения точек кольца, нагруженного само*
уравновешенной нагрузкой д, распределенной по закону
q — q^coskff,
где fe 2s 2.
В данном случае перемещения наиболее просто определяются интегрирова-
нием дифференциальных уравнений (4.81) и (4.82).'
При заданной нагрузке решение будем искать в виде косинусоидальных
функций
у—Уо cos top; О — Оо cos kq>.
Внеся в уравнения (4.81) и (4.82) выражения у, О, q и сократив на cos top,
получим
..____1 _1_ 1____________1. а - gof3 Г 1 f 1 1 '
vo- (fe»_-i)8L£jx^GJKpj-
Следовательно,
У =
(№— I)2
[£Jx+ft2GJKp]C0Sft(|P:
GJ кр]

Общее решение однородного уравнения, содержащего неопределенные
постоянные, следует отбросить, так как слагаемые, не удовлетворяющие условию
периодичности (с периодом 2л), должны отсутствовать, а слагаемые вида А;
В cos <р; С sin <р зависят только от перемещений кольца как жесткого целого.
Изгибающий момент в сечениях кольца в случае необходимости может быть
определен аналогично с помощью уравнения (4.76).
155
Пример 4.15. Кольцо круглого поперечного сечения Загружено четырьмя
сосредоточенными радиальными мбментами (рис. 4.27). Определить осевые смете*
ния и угол поворота сечений К и L.
В данном случае GJKp = 0,8 EJX. Вертикальные перемещения сечений К
,й L определим по уравнению (4.83):
5№г’Г 1	1 1	9йга
Зйг’Г 111	я»га
~ |с7Гр+|2S <45’>+2s 033"))-W80 j^j.
Суммарный максимальный прогиб
f “^-^“0.0810^.
Углы поворота сечений в радиальной плоскости согласно уравнению (4.84)
*«-4 fS <°°>+2S <90”’+s <180’)1+^ 1у <°’>+
+ 2У (90°) 4- Y (180°)] = 2,58	.
TtCJ
-4^ГХ+^Г, >2s <45“>+2S <135’М+й®^ PY(^)+2Y (135°)J =
= 1,69-—-.
nEJ*
Изгибающие моменты в Течениях К и L в данном примере легко определяются
по уравнениям равновесия половины кольца
м _ « . м _ К»
МК—2",	ml----2 *
Пример 4.16. Кольцо, опирающееся на три опоры, нагружено сосредоточен*
ными осевыми силами Р и нагрузкой q
(рис. 4-28). Определить перемещения
сечений К и Л'. В данном случае
в уравнении (4.83) следует сохранить
слагаемые, содержащие постоянные
Рис. 4.27
Rf=0
Рис. 4.28
А, В, С. Эти постоянные должны быть определены по условиям равенства
нулю прогиба на опорах. Совместим начало отсчета угла <р с точкой Л. Из урав-
нений равновесия кольца следует! что реакции опор равны нулю Приравняем
156
1
нулю прогиб на опорах: .
Уа в А 4- В cos 0° 4- С sin 0°+
+(-=^[ё77 s <135°>+;
- O(135°)+O(180°)J+s^_
ув=Д4-Всо8 135°4“G sin 135°4-2
4-Л^
^nEJ
X	GJKp J
X [0(45°)—0(0°)—
л
<^Г(136°>Ь
- [Z (45°) - Z (0°) - Z (135°)+ Z (180”)] = 0;
(- ₽) ’’
л
[- и (0°) 4-и (45°)4~ V (180°) - V (135°)J 4-	[-
4-Z (45°) 4-Z (180°)—Z (135°)] =4);	Р
5(0°)+/п-
о
_Д_5(180°)+—
- и (90°)+и (135°)]+]Z (90°) - Z (45°) - Z (90°) + Z (135°)] = 0.
Подставив табличные значения функций S, Т, U, Z и положив GJKp== 0,8 EJX
(поперечное сечение — круглое), а затем решив систему трех уравнений относи-
тельно А, В, С, получим А = —0,082 а; В — —0,130 а; С = —0,678 а,
Рг*
где О==7Ш77-
ук= А 4-В cos 45°+С sin 45° +	с ~
Т (180°) 1 +	1+ U (90°) - U m -
п
Г(180°) 4--£г[£ЦЖ
) —1/(45°) —
GJ Кр
^S(18№) +
-и (90°) 4-0 (135°)l+j^-
кр
л
GJ кр
 [Z (90°) - Z (45°) - Z (90°) 4- Z (135°)] = 1,135 а;
। г о 1 ко ) о Г s (до0) 4-
л
[- и (0°) + L/ (45о)+с/ (180°) — L7 (135°)]+
+oJ7rTm +
+-2Г1-
jiGJ кр
Положительное направление отсчета у — вниз.
Углы поворота поперечных сечений в радиальной плоскости могут быть
вычислены аналогично с помощью уравнения (4.84). При этом постоянные fi и С
имеют те же значения, что и при определении прогиба.
л E*J х
[- Z (0°) 4- Z (45е) 4- Z (180°) - Z (135°)]- 0,775 а.
Глава 5 ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ИЗГИБА
ПЛАСТИН
§ 1. Основные гипотезы теории изгиба пластин
Пластиной называют плоское тело, ограниченное
.двумя поверхностями, расстояние между которыми мало по срав-
нению с размерами самих поверхностей. Срединная поверхность
пластины, т. е. поверхность, равноудаленная от наружных поверх-
ностей, представляет собой плоскость. Этим пластины отличаются
от оболочек, у которых срединная поверхность не плоская.
В зависимости от формы контура пластины могут быть круглые,
прямоугольные, эллиптические и т. д.
Инженерная теория изгиба пластин основывается на следующих
общих гипотезах.
1. Гипотеза неизменности нормалей, по которой принимают,
что нормали к срединной поверхности при изгибе пластины не ис-
кривляются и остаются перпендикулярными к деформированной
. срединной поверхности пластины. Эта гипотеза позволяет устано-
вить простые зависимости между компонентами деформаций в про-
извольной точке-пластины и деформацией ее срединной плоскости.
Эта гипотеза аналогична гипотезе плоских сечений для балок.
2. Гипотеза-о ненадавливании одного слоя пластины на другой.
Согласно этой гипотезе нормальные напряжения в площадках, па-
раллельных срединной плоскости, считаются пренебрежимо ма-
лыми, т. е. напряженное состояние принимается за плоское вместо
трехосного.
Кроме указанных гипотез (гипотез Кирхгофа), примем допуще-
ния, что толщина пластины мала по сравнению с размерами пла-
стины в плане и что прогиб мал по сравнению с толщиной, а также,
что материал пластины — однородный, изотропный и подчиняю-
щийся закону Гука,
Перечисленные гипотезы и допущения позволяют построить
достаточно точную и простую инженерную теорию изгиба пла-
стин.	»
В некоторых случаях, однако, принятые допущения могут не
выполняться. Так, например, на практике иногда применяют пла-
стины большой толщины (более 1/б размера в плане). К таким пла-
стинам (плитам) гипотезы Кирхгофа неприменимы. При анализе
напряжений и деформаций толстых плит напряженное состояние
158
необходимо рассматривать как трехосное. Ввиду сложности таких
расчетов в настоящее время решение получено только для некоторых
простых частных случаев 1161.	*
Применяют также пластины, имеющие малую толщину, но рабо-
тающие при больших прогибах. Если плоскость пластины при из-
гибе переходит в выпуклую поверхность двоякой кривизны, то,
. кроме изгибных напряжений, в пластине возникают растягивающие
мембранные напряжения. При малых прогибах мембранные напря-
жения пренебрежимо малы и их можно не учитывать. При больших
прогибах мембранные напряжения получают преобладающее зна-
чение. Теория изгиба пластин при больших прогибах изложена
в работе [1].
В настоящее время в машиностроении все большее применение
находят пластины, изготовленные из анизотропных материалов
[24]. К ним относятся пластины из различных слоистых материа-
лов, например, текстолита, стеклопластика и т. п.
К анизотропным относятся также пластины, подкрепленные ча-
сто расположенными ребрами. Хотя материал пластины может быть
и изотропным, наличие ребер приводит к тому, что изгибная жест-
кость пластины в разных направлениях различна. Такие пластины
обычно называют кбнструктивно анизотропными или конструктивно
ортотропными [3].
§ 2. Цилиндрический и чистый изгиб
тонких пластин

Цилиндрическим изгибом называется такой изгиб
пластин, при котором срединная плоскость переходит в цилиндри-
ческую поверхность. На рис. 5.1 изображена пластина, защемлен-
ная одним краем и нагруженная силой Р, равномерно распределен-
ной по противоположному край). Штриховой линией показана форма
пластины в деформированном со-
стоянии (строго говоря, около
боковых сторон поверхность не
будет точно цилиндрической).
Отметим некоторые особенности
цилиндрического изгиба. Во-пер-
вых, в этом случае нет существен-
ной разницы между изгибом при
малых и при больших перемеще-
ниях, так как искривление средин-
• ной плоскости и переход ее в ци-
линдрическую поверхность происходит без ее растяжения. Исклю-
чением является только тот случай,- когда противоположные кромки
пластины неподвижно закреплены; тогда цилиндрический изгиб
пластины сопровождается растяжением в продольном направлении.
Заметим еще, что при очень больших прогибах даже при простей-
шей схеме закрепления (рис. 5.1) может возникнуть нелинейность,
159

связанная с изменением плеча изгибающего момента. Этот случай
изгиба подробно рассмотрен в книге [11.
Вторая особенность цилиндрического изгиба состоит в том»
что очертание пластины в плане не играет существенной роли»
т. е. при любом контуре пластины расчетные зависимости одни и
те же.
Цилиндрический изгиб пластин подобен- изгибу балок. Отличие
состоит в том, что при изгибе балки поперечные деформации ничем
не стеснены, вследствие чего форма контура поперечного сечения
искажается (в зоне действия растягивающих напряжений ширина
сечения уменьшается, а в зоне действия
сжимающих — увеличивается).
При цилиндрическом изгибе пластин
Поперечные деформации стеснены за
счет взаимодействия соседних продоль-
ных волокон. Если на поверхность пла-
стины нанести продольные параллельные
линии (см. рис. 5.1), то при цилиндри-
ческом изгибе расстояния между ними
не изменяются. Это значит, что относи-
* тельная деформация - в поперечном на-
правлении равна нулю.
Взаимодействие продольных волокон
приводит к тому, что в пластине возни-
кают напряжения также и в поперечном
направлении. Следовательно, здесь имеет
место двухосное *напряженное состояние.
Систему обозначения осей при изгибе
пластин обычно выбирают не так, как
при изгибе балок. Продольную и попе-
речную оси обозначают х и у, а ось,
। перпендикулярную срединной поверх-
ности, — г. Соответственно нормальные
напряжения в произвольном слое пла-
стины обозначают о* и иу. Эти напря-
жения показаны на рис. 5.2» где изображен элемент пластины
в деформированном состоянии.
Запишем выражения относительных удлинений ъх и еу в произ-
вольном слое на расстоянии г от срединной плоскости. Так как на-
пряженное состояние в данном случае плоское, то
Z	О у	Оу	—
^JC==~o~==~E	(5«1)
Рх	с	с
О у
е,=0=-^-Н£.	(6.2)
За положительное направление отсчета г принято направление
вниз.
160
Согласно уравнениям (5.1), (5.2):
При малых прогибах кривизну
изводной прогиба
1
Рх
Тогда
Ег d2w
1—р,® dx2'
(5.3)
(5.4)
можно заменить второй про-
Знак минус взят потому, что за положи-
тельное направление прогиба w принято на-
(5-5)
(5-6)
Рис. 5.3
правление вниз.
Вычислим изгибающие моменты в пластине в продольном и по-
перечном направлениях.
Условимся считать моменты положительными, если они направ-
лены так, как показано на рис. 5,3, т. е. если верхние слои пластины
-испытывают сжатие. Величины моментов будем относить к единице
длины (размерность моментов Н-см/см), С учетом зависимостей
(5.3), (5.4) и (5.5) получим
д
2
« >	С J	1	d2W	/г-
мх=	J Ojcdzz =	р— • 12	- gS)	~dtfD*	^-7)
 
2
2
С -	1 Eft3	<Pw ~
JAy — \ GyZdZ — р* • 12(1 — р2)“ И dx2 D’
“У
где
<5'9»
Величина D называется цилиндрической жесткостью пластины.
Согласно равенствам (5.7) и (5.8), моменты Мх и Му связаны между
собой следующей зависимостью:
(5.10)
Запишем уравнение (5.7) в виде
d2w_____Mjc
~dx? ~~ D *
(5.11)
Это уравнение представляет собой дифференциальное уравнение
упругой поверхности пластины. От соответствующего уравнения
<т.у — poxj
_ Ег
1 ____сРы
Рх ”	^2*
Му — рЛ1Л.
6 Бояршинов
161
для балки оно отличается тем, что вместо изгибноЙ жесткости балки
EJX здесь берется цилиндрическая жесткость D.
Выразим напряжение ох через изгибающий момент для этого
исключим из равенств (5.6) и (5.7)	:
0**^.	(6.12)
12
Аналогичную формулу можно получить и для второго напряже-
ния
=	(5.12а)
12
Формулы (5.12) не отличаются от общеизвестной формулы для
.нормальных напряжений при изгибе балки. Знаменатель формул
(5.12) и (5.12а) представляет собой момент инерции прямоугольника,
имеющего высоту h и ширину, равную единице (так как изгибающие
моменты отнесены к единице ширины).
Напряжения ах и <Jy линейно изменяются по толщине пластины
и достигают наибольших значений' при г — <± ~:
__мх	му
max — — "да"» Оу max 33 — jS-»	(5.13)
6"	”6
Согласно зависимостям (5.7)—(5.10), цилиндрический изгиб
в чистом виде может возникнуть только в том случае, когда к боко-
вым сторонам пластины будет приложен изгибающий момент Му.
Если же этот момент отсутствует, то около боковых кромок форма
упругой поверхности пластин несколько отклоняется от цилиндри-
ческой.
’. Пример 5.1. Прямоугольная пластина с размерами I — 200 мм и b — 100 мм,
толщиной h — 10 мм, шарнирно опертая по двум сторонам (рис. 5.4, а), нагружена
равномерным давлением р = 40 Н/см8; материал пластины —сталь; Е =
= 2 • 10* Н/см8; р = 0,3. Определить напряжения и прогиб.
Реакции опор и изгибающий момент определяются так же, как для обычных
балок. Наибольший изгибающий момент Л4лтах возникает в середине пролета;
Этот момент, отнесенный к единице ширины пластины,
Мг	=2000 Н • см/см.
л шал ы	
Соответствующее максимальное напряжение
М
«лтах----1^ = 12-10’ Н/СМ»:
6
Изгибающий момент и нормальное напряжение в поперечном направлении
в р раз меньше и равны соответственно:
Л^тах“600 Н- см/см;
max=3600 Н/см».
168
[их
4
Bl
Прогиб вычислим по дифференциальному уравнению изогнутой поверхности
(5.11):
сРш Mg_________
dx>“ D “ D 1.2
а

Вместо момента Mx в это уравнение подставлено выражение момента в теку-
щем сечении:
м* 2	2
После двукратного интегрирования получим
Л I в 1 Г Р&
^4 ‘

%4
Постоянные интегрирования А и В определим по граничным условиям:
W = 0 при х = 0 и w = 0 при х = I. Согласно первому условию, А «• 0, тогда
D PF
по второму условию В—

24D
P
ЯЯЯЯЯЯЯЯЯЙ
9
Окончательно
ч
S *\
ww
ГПи
QOQQQQ



Максимальный

прогиб (при * я у)
t №max и384 • -р" °4*55 • 10"» см,

jfcr;	D=,i2(i-Ha)el’83*101 H’CM‘
Jfe' Исследуем характер напряженно-деформированного состояния
"yi около боковых кромок пластины. Рассматриваемое состояние пред-
% ставим как результат наложения двух состояний, показанных на
рис. 6.4, бив.
6«
163
В состоянии, изображенном на рис. 5.4, б, кроме заданного дав-
ления р, по боковым кромкам пластины приложен момент ту такой
же величины и распределенный по такому же закону, как момент Му
при цилиндрическом изгибе. В состоянии, изображенном на
рис. 5.4, в, пластина нагружена одним только моментом ту обрат-
ного направления. При наложении этих двух состояний моменты
на боковых кромках пластины взаимно погашаются и получается
заданная схема нагружения. Напряженное состояние при нагруже-
нии по схеме, представленной на рис. 5.4, б, полностью соответ-
ствует найденному решению; следовательно, в этом случае возни-
кает цилиндрический изгиб в чистом виде. В состоянии, изобра-
женном на рис. 5.4, в, моменты mvt приложенные по боковым кром-
кам, вызывают изгиб в поперечном направлении. Однако ввиду
Рис, 5.5
того, что на закрепленных краях вертикальные перемещения отсут-
ствуют, пластина не может свободно искривляться в поперечном
направлении, поэтому напряжения ву по мере удаления от боковых
кромок быстро затухают. В результате действие моментов ту про-
является лишь в том, что боковые края пластины несколько отги-
баются вниз; в средней же части пластины действие моментов ту
практически не сказывается. На основании изложенного можно
заключить, что полученное решение достаточно хорошо отражает
характер напряженного и деформированного состояний пластины
везде, за исключением областей, расположенных около продольных
кромок.
Перейдем к рассмотрению чистого изгиба пластин. Изгиб назы-
вается чистым, если поперечные силы в пластине отсутствуют. Чис-
тый изгиб возникает при действии на свободную, незакрепленную
пластину моментов и т2, равномерно распределенных по краям
пластины (рис. 5.5, а).
Предположим вначале, что на пластину действует только один
момент Wj (рис. 5.5, б). Поскольку искривление пластины в попереч-
ном направлении ничем не стеснено, пластину можно рассматривать
как совокупность отдельных продольных полосок, каждая из кото-
рых деформируется как брус. Следовательно, в этом случае приме-
164
ними обычные формулы теории изгиба бруса как для напря-
Ц женим
С	=	<^>=0,	(5.14)
V	12
так и для кривизны в продольном направлении
/1 \(mi) _ /	__ ГП!
VftJ ”	~ТЛЗ‘
У-
•. v” ‘ В отличие от цилиндрического изгиба при чистом изгибе пла-
стина искривляется также и в поперечном направлении. Радиус кри-
%.. визны поверхности в поперечном направлении Ру можно определить,
L „ используя зависимость между деформациями ех и в произвольном
слое пластины. Так как напряженное состояние одноосное, то
= ЦЕ*-
Подставив в это равенство
Z _	2
С* —— Т Сп
Pjf ’ У	Ру
придем к следующим зависимостям:
/1	/1 \("h)	/даш\(т1)	/d’wXt/ni) 1/?ч
t? U ИЛИЫ “-“Ы • (5-16’
р Аналогично определяют напряжения и кривизну при нагруже-
нии моментом т2.
г- При совместном действии моментов mj и тг напряжения и кри-
. визны суммируются:
тгг .	_ maz .
°* ~ ~й3 ’	~ й3 »
12	12
1 _	__ тг —рта .
дх3 ~	’
12
1 __ d^w_____/п8 —р/nt
р7 ~ ~~ ду3 ~
12
(5.17)
(5.18)
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1. Сферический изгиб. Если моменты т1 и /па одинаковы по ве-
личине, то
1	1	/п(1—р)
Рх ““ Ру ~
12
(5.19)
Нетрудно показать, что в этом случае кривизна упругой поверх-
ности в любом направлении имеет одинаковые значения; следова-
- тельно, плоскость пластины, деформируясь, переходит в сфериче-
165
скую поверхность. Изгибающий момент в любом сечении, перпенди-
кулярном срединной плоскости при сферическом изгибе, имеет одно
и то же значение. Отсюда следует, что независимо от формы контура
пластины в плане при нагружении ее по краю изгибающим моментом
постоянной интенсивности срединная плоскость превращается
в сферическую поверхность.
2. Цилиндрический изгиб. Если т2 — цтъ то
1 =	= yh 1 = 0.	(5.20)
pjr	р №	D Ру
* 12
Упругая поверхность пластины имеет прямолинейные образую-
щие, следовательно, плоскость пластины переходит в цилиндриче-
скую поверхность.
Исследуем более подробно общий случай чистого изгиба пла-
стины. Выделим из пластины бесконечно малый элемент в виде трех-
гранной призмы (рис. 5.6, а). В двух гранях, перпендикулярных
осям х и г/, действуют нормальные напряжения их и ау, определяе-
мые по уравнениям (5.17). В третьей грани, расположенной' под
углом а к плоскости yOzt возникают как нормальные, так и каса-
тельные напряжения. Величину этих напряжений можно опреде-
лить по известным формулам теории плоского напряженного состоя-
ния:
cos2 а + ау sin2 а =	— g °? cos 2а;
°х °у • Cl
—— sin 2а.
166
к.
t;
G" ~ Л3
2
£
44
—
S1 Подставив в эти формулы значения напряжения вх и ayt найдем
г 12 рти+тэ ।	9 1.
।	2 i 2 vvo ха
zl2[ mi— m8e. n'
^nt— /j3	2 sin2a .
Напряжения ort и rnt линейно зависят от z. Следовательно, на-
& цряжения ип можно привести к изгибающему моменту
РЛ,
д
_ 1 “
h
1
M„ =
(5.21)
> напряжения тл, — к крутящему моменту
2
Мд* =
sin2а.
(5.22)
i.	2
 Моменты Мп и Mnt показаны на рис. 5.6, б. Наибольший крутя-
щий момент возникает в площадке под углом а == 45° к главным
ям х и у'.
..	OTj—/Пд
Л1л/тах = —j—4
 •
Искривление плоскости пластины в направлении осей х и у
Характеризуется радиусами кривизны рх и р,,. Эти радиусы назы-
ваются главными радйусами кривизны; один радиус имеет макси-
•* мальное, а другой — минимальное значение. Радиус кривизны
Т ^.направлении, составляющем угол а с осью х, имеет промежуточное
• ’ значение
1-1(14-1
>-	Рл 2 \Рх Ру
w 51’ ; Крутящие моменты вызывают деформацию кручения плоскости
Л * пластины. Характер этой деформации можно видеть на рис. 5.6, в,
,5- где изображена часть пластины, выделенная под углом в 45° к осям
: х и< у. Линии ab и cd после деформации становятся непараллель-
ными. , .
К----------cos 2а.
2 \Р* Ру/
7
§ 3. Осесимметричный изгиб круглых пластин
Детали в виде круглых осесимметричных пластин на-
ходят широкое применение в технике (плоские днища резервуаров,
крышки, фланцы, диафрагмы и т. п.).
Инженерная теория расчета осесимметричного изгиба круглых
пластин основывается на общих гипотезах, сформулированных

167
Приведем краткий вывод основных уравнений теории осесиммет-
ричного изгиба круглых пластин.
При осесимметричном нагружении все величины являются функ-
циями только текущего радиуса г; следовательно, данная задача од-
номерная.
Рассмотрим деформации пластины. На рис. 5.7, а и б пластина
изображена в разрезе до и после деформации. Вследствие того, что
Рис. 5.7
прогиб мал, можно принять, что то-
чки а и Ь, принадлежащие средин-
ной плоскости, смещаются только
по вертикали. Нормаль к средин-
ной плоскости в произвольной точ-
ке а поворачивается на некоторый
угол Ф; при этом она остается пря-
мой и перпендикулярной упругой
поверхности пластины. При пере-
ходе от точки а к соседней точке Ъ
радиус г получает приращение dr;
соответственно угол наклона нор-
мали 0 получает приращение dft.
Вычислим относительные дефор-
мации в произвольном слое, рас-
положенном на расстоянии г от срединной плоскости. Относительное
удлинение в радиальном направлении
__qdi—cd [dr + (ft + dO) г — Oz] — dr
Br----cd	Tr
или после сокращений
(5-24)
dd
~ dr Z'
Окружную деформацию определим как изменение длины окруж-
ности, проходящей через точку с:'
_2л (г 4- Ог) — 2лг
2лг ’
или
о
ez = — г.
(5. 25)
За - положительное направление координаты г принято направ-
ление вниз.
По деформациям ег и е# на основании закона Гука определим
напряжения.. Так как в площадках, параллельных срединной пло-
скости, gz равно нулю, то
а/
“ Е ** Е ♦
О/ ог
168
Решив эти два равенства относительно напряжений и подставив
значения деформаций по уравнениям (5.24), (5.25), получим:
___ Ег , О\
аг”(1—|А2)^ + ^7/*
(1—р2)\г dr )'
(5.26)
(5.27)
Напряжения ог и О/ линейно зависят от координаты г; эпюры
этих напряжений приведены на рис. 5.8.
Кроме нормальных напряжений ог и о>, в грани, перпендику-
лярной радиусу, в общем случае возникает еще касательное напря-
жение т„, перпендикулярное срединной плоскости. Это напряже-
ние распределено по толщине пластины по параболическому закону
(см. рис. 5.8). При z =±-£оно равно нулю (что легко доказать на
основании закона парности ка-
рательных напряжений). На
-срединной поверхности касатель-
.ное напряжение достигает мак-
симума. Роль этого напряжения,
однако, невелика, так как обыч-
но оно бывает значительно мень-
ше максимального нормального
напряжения; в тех же точках,
где нормальное напряжение до-
стигает максимума, касательное
Рис. 5.8
напряжение хгг равно нулю.
Однако равнодействующей касательных напряжений, т. е. попе-
речной силой Q, пренебречь нельзя, так как она играет важную
роль в уравнениях равновесия элемента пластины.
При интегрировании напряжений по площади граней элемента
пластины (см. рис. 5.8) нормальные напряжения можно привести
к изгибающим моментам Мг и М(, а касательные — к поперечной
силе Q. Все эти силовые факторы принято относить к Единице длины;
соответственно размерность моментов Мг и Mt — Н • см/см, а
силы Q — Н/см. Представим изгибающие моменты в радиальном
и окружном направлениях в виде интегралов:
h
2
М.г — J ихг dz;
_ h_
2
h
2
Mt = J Oyzdz.
__h_
2
(5.28)
Подставив под знак интегралов выражения напряжений (5.26)
и (5.27) и выполнив интегрирование, получим
^=d(^+^7);	<5-29)
=	(5.30)
169
где D — изгибная жесткость пластины, определяемая по формуле
(5.9).
Уравнения (5.26)—(5.29) позволяют определить напряжения
аЛ и о/ и моменты Мг и Mt по функции 0. Эта функция, характери-
зующая угол поворота нормали, пока неизвестна; недостающее
уравнение для ее определения получим из условия равновесия бес-
конечно малого элемента пластины, изображенного на рис. 5.9, а и б.
В радиальных сечениях действуют только моменты M(dr (по-
перечные силы по условию осевой симметрии отсутствуют). В
окружных сечениях возникают поперечная сила Qrtfcp и момент
Mrrdq>. При переходе от внутренней грани элемента к наружной
они получают бесконечно малые приращения d (Qrdq>) и d (Mrrdy).
Рис. 5.9
Из шести уравнений статики в данном случае можно составить
только два: уравнение проекций сил на ось г и уравнение моментов
относительно оси у. Эти уравнения после сокращений и исключения
величин высшего порядка малости принимают вид
*
dr
(5.31)
d (M,r)
dr
— Mt =» Qr,
(5.32)

где q —- интенсивность поверхностной нагрузки, Н/см2.
Система четырех уравнений (5.29)—(5.32) содержит четыре неиз-
вестных Q, М„ М(, О.	/
Интегрируя уравнение (5.31), можно определить силу Q. Эта
сила, однако, может быть найдена более просто по уравнению рав-
новесия части пластины, вырезанной по окружности текущего ра-
диуса г. Пусть, например, пластина нагружена равномерным давле-
нием q (рис. 5.10, а). Выделив из пластины центральную часть
(рис. 5.10, б) и приравняв нулю сумму проекций, действующих на
нее сил, получим
длг2 — Q2nr = 0г
,откуда
170
к
При произвольной нагрузке поперечная сила Q определяется
как частное от деления равнодействующей внешних сил, приложен*
 ных к вырезанной внутренней (или наружной) части пластины, на
[ 2лг:
[	-	<?=£•	(5.33)
А,
Эту силу будем считать положительной, если она направлена так,
р как показано на рис. 5.10, б.
г Преобразуем систему полученных уравнений к одному уравне-
р нию с одним неизвестным; Для этого подставим выражения моментов
Р (5.29) и (5.30) в уравнение равновесия (5.32). Выполнив элементар-
* ные преобразования, придем к дифференциальному уравнению вто-
ь рого порядка относительно функ-
k ции ft:
Г	I 1 .
К .	dr* ' г ’ dr
-1« = ^.(5.34)
Используя тождество
L
к |у"/ ~r j — dr* ’ г * dr г» и’
if-
* уравнение (5.34) можно записать
fee следующем виде:
d2&
,(5.34а)

а)
9 I
ft
I

Рис. 5.10
Поскольку интенсивность по-
m перечной силы Q может быть
Определена заранее, интегрирование уравнения (5.34а) не пред-
^Хугавляет трудностей.
jfelj.. Общий интеграл этого уравнения имеет вид
(5.35)
  где гиг — вспомогательные переменные.
<1^ Постоянные интегрирования и С2 определяют в каждом част-
м i НОм случае по граничным условиям на наружном и на внутреннем
*Фаю или в центре пластины (если пластина сплошная).
Остановимся более подробно на вопросе об определении постоян-
Ных интегрирования. На практике могут встретиться следующие
^варианты граничных условий:
Ы- " 1- Внутренний или наружный край пластины Жестко заделан или
* защемлен. Тогда при соответствующем значении радиуса г угол по-
' ^^ворота нормали ft равен нулю.
v^.'<^,2. Край пластины шарнирно оперт или свободен. В этом случае
напряжение аг и момент М, на краю равны нулю и, следовательно,
171
V
на основании зависимости (5.26) или (5.29)
где г* — радиус, соответствующий данному краю.
3. К краю пластины приложен распределительный момент /и,
тогда, согласно уравнению (5.29),
должно выполняться равенство
4. Для сплошной пластины
без отверстия угол поворота нор-
мали при г = 0 не должен обра-
Рис. 5.11	щаться в бесконечность; следо-
вательно, в этом случае Са = 0.
Формулы для вычисления напряжений по изгибающим момен-
там получим, исключив из равенств (5.26) и (5.29) функцию fl и под-
ставив значение жесткости (5.9):
12
(5.36)
Аналогично, согласно формулам (5.27) и (5.30),
MtZ
№ *
(5.37)
12
Максимальные нормальные напряжения возникают при
✓г —. -+- ^rmax .
Urmax —----,
6"
 М
Фтах = ± 'max
Л»
6
(5.38)
Рассмотрим вопрос об определении прогиба w. Будем считать
. прогиб положительным, если он направлен вниз. На рис. 5.11 по-
казана деформированная поверхность пластины. При положитель-
ном угле поворота нормали “0 и при положительном приращении ра-
диуса dr прогиб w получает отрицательное приращение
dw — — •& dr,
отсюда следует
w = — $ fl dr + С.
(5.39)
h
— 2 :
172
Постоянную интегрирования С определяют из условия равенства
нулю прогиба на опоре.
Можно также вместо неопределенного интеграла (5.39) взять
определенный интеграл
— J &dr,	(5.39а)
'о
где г0 — значение радиуса на опоре;
t\ — значение радиуса в той точке, где определяется прогиб.
Пример 5.2. Определить необходимую толщину h крышки цилиндра, изобра-
женного на рис. 5.12, а, а также вычислить ее прогиб.
Радиус цилиндра R — 20 см; давление в цилиндре р = 200 Н/см2; материал
крышки — сталь; Е — 2-10? Н/см2; р = 0,3; допускаемое напряжение [o]D =
= Мсж= 16-103 Н/см2.
Рис. 5.12
Прежде всего необходимо выбрать расчетную схему. Если сам цилиндр
достаточно жесткий, а крышка сравнительно тонкая и поставлена без мягкой
прокладки, то можно принять расчетную схему, изображенную на рис. 5.12, б,
т. е. считать, что край пластины жестко защемлен. При наличии мягкой про-
кладки, а также в случае большой податливости стенок цилиндра можно принять
другой вариант расчетной схемы, а именно считать, что край пластины шарнирно
закреплен (рис. 5.12, в). В действительности, очевидно, будет иметь место проме- ,
жуточный случай, т. е. упругая заделка.
Чтобы получить более ясное представление о том, какие напряжения и дефор-
мации возникнут в действительности, целесообразно просчитать оба предельных
варианта.
В обоих этих вариантах интенсивность поперечной силы Q одинакова. Она
определяется из условия равновесия части пластины, вырезанной по кругу ради-
уса г (см. рис. 5.10):
Q—у,
в данном случае q = —р.
Подставив выражение Q в уравнение (5.35) и выполнив интегрирование,
найдем
а с	Pf3	/
®-С1+ г	16D’
Так как в данном случае пластина не имеет центрального отверстия, то С2 = 0.
Вторая постоянная интегрирования определяется согласно граничному условию
на наружном краю пластины.
Рассмотрим расчетную схему рис. 5.12, б. В этом случае угол наклона нормали
на наружном краю равен нулю, т. е.
»,.s=0.
173
Согласно этому условию,
С R =аП’
С1/? 16D 0;
г _Р&
1 16D *
Функция О для первого варианта (см. рис. 5.12, б) имеет вид
о	,	О dO
Запишем еще выражения для у и -у:
6 db ж
величины — и -г- по фор-
r dr
Задавшись рядом значений радиуса г и вычислив
мулам (5.29) и (5.30), найдем изгибающие моменты.
Аналогично ведут расчеты для второго варианта (см. рис. 5.12, в). В этом
случае на наружном краю пластины ।	'	"
радиальный изгибающий момент равен
нулю, следовательно, имеет место ус*
ловие
(Jtp)pfl’
ayes'


Подставив в это равенство выра-
жение О и положив С8 = 0, получим
уравнение
„ 3pR* _ pR* _
Ci 16D иС1 И 16D “°*
которого найдем
‘ г'	pR*
из
6)
Рис. 5.13
Функция О для второго варианта
Эпюры моментов для обоих вариантов представлены на рис. 5.13, ан б.
Сопоставив эпюры, можно сделать следующие выводы. При шарнирно опер*
тых краях максимальный изгибающий момент возникает в центре, а при заделан*
ных краях — у края. Величина максимального момента для шарнирно опертой
пластины приблизительно в 1,5 раза больше, чем для пластины с жестко заделан-
ными краями. Учитывая, однако, что края пластины в действительности скорее
заделаны, чем оперты шарнирно, можно ожидать, что величина изгибающих
pR*
моментов в центре не превысит значения равного значению момента М.
у заделки в первом варианте. Поэтому в качестве расчетного примем первый вари-
ант. Наиболее опасная точка в этом случае будет около заделки. Напряжения
в этой точке (при г = R и z » — =, т. е. сверху)
AL-max 6р/?а	А4/	11 •
Or max “ -^5— “ Ж	" дГ ~	•
6
6
174

т
Треть» главное напряжение rsx согласно принятому допущению равно нулю.
Так как материал пластины — пластичный, используем гипотезу прочности
наибольших касательных напряжений!
<*№» «= — os e.
Приравняв эквивалентное напряжение допускаемому, найдем
Л= _ 1/ МО. 20»-6	_
Г 8[а] г 8.16-10»“=
Заметим, что если в качестве расчетного Принять второй вариант, то толщина
'^получается равной h s 2,6 см.
Определим прогиб пластины для первого варианта. Согласно зависимости
(Б.39а),
о я
L	“’max™""	4^640 ’
4
При заданных числовых значениях
раз
D=i2K^)“l4,6'10’HcM'
Wmax “0,035 CM.
ной
Так как прогиб мал по сравнению с толщиной, то применение теории, основан-
ие предположении о малости прогиба, в данном случае оправдано.
Пример 5.3. Определить напряжения и деформации в диафрагме, предназна-
t ценной для измерения расхода жидкости (рис. 5.14). Сопротивление, создаваемое
Диафрагмой при протекании жидкости, .
к Вызывает перепад давления, по вели-
/ вине которого можйо судить о расходе.
Дано: Ь = 3	избыточ-
Мое давление р можно считать равно-
Бмерно распределенным по плоскости
Диафрагмы.
Вырезав из диафрагмы кольцо
| С внутренним радиусом а и наружным
радиусом г (рис. 5.14) и составив сумму ,
... проекций сил на ось кольца, найдем по-
'Меречную силу
Рис. 5.14
V


2г > ’
>L. 4
Выражение силы Q подставим в формулу (5.35); при этом вместо неопреде-
ленного интеграла возьмем определенный интеграл с постоянным нижним пре-
делом, равным внутреннему радиусу пластины, и переменным верхним преде-
лом, равным текущему радиусу г:
» .u
*
где
dr dr,
V <
176
Нижние пределы влияют только на величину постоянных Q и Са. Вместе с тем,
для кольцевой пластины уравнение, к которому приводится граничное условие
на внутреннем краю пластины, получается более простое, так как при г = а
А d-б ,
интегралы в выражениях для v и обращаются в нуль.
Вычислив интеграл, получим следующие выражения функции О и ее про-
изводной:
Р
16D
4a2r In — "1
a J
— = г	р
dr 1 г2 16D
3г2+^“	“4а8 In ^-1.
Постоянные Сх и Са определим, согласно граничным условиям:
при г — а Мг = 0; ( j'+HypO;
при г — b О = 0
или	с1(1+И)-§(1-ц)=0;
и
_ . । Са р ГМ—cfi	. а. , b 1 _
b	160 L b	4а Ь п а “°*
Решив эти уравнения при £ == За и р = 0,3, найдем
0,233 —;
С2=0,433^.
Окончательно:
d& _ раа
dr ~ D
0,233 + 0,495 ~ - 0,0625 4+0,25 In -1 •
L	Г*	a2	a р
|о,483 - 0,495~ - 0,1875^4-0,25 In £1.
_	О dft
Вычислив при нескольких значениях радиуса гвеличины — и по за-
r dr ’
висимостям (5.29) и (5.30) определим изгибающие моменты Мг и М(.
Результаты расчетов представлены на рис. 5.15 в виде эпюр.
Наибольшей величины изгибающий момент Мг достигает около заделки.
Напряжения в наиболее опасной точке
_ ^гтах п„гп ^4/ max -1Л
<rz« - 2360 р\	« 710 р.
6	"6
Эквивалентное напряжение
аэкв*=®1—<^8=^—0 = 2360 р.
Прогиб пластины, согласно формуле (5.39а):
w
max
ftdr = 0,962	= 16,8 • 10® §.
U	с
Заметим, что данная задача может быть решена более просто методом началь-
ных параметров, изложенным в § 4.
Пример 5.4. Пластина с жестко заделанными краями нагружена сосредото-
ченной силой Р в центре (рис. 5.16).
176
Интенсивность поперечной силы в данном случае
2лг ’
По уравнению (5.35)
(Ь — наружный радиус пластины).
Я
V,
0,213ра
-0,295ра* -0,286ра*
<5—=7 -х- In г—
2nD \ 2
Для того чтобы устранить логарифм размерной величины, добавим и вычтем
Рг In Ь
этого уравнения произведение
Рис. 5.15
Тогда функция О примет вид
отбросить,
a _L Pr Ь Рг
 + 4лР П г 4лО
Последние слагаемые, содержащие г в первой степени, можно
так как это повлияет лишь на величину постоянной Сх,’тогда
1 ‘ г 1 4nD г
О,бобра2
0,1Мраг
Рис. 5.16
Рг
8nD'



8^* i
Постоянную С2 следует принять равной нулю, так как пластина сплошная
(не кольцевая). Для определения постоянной Сг необходимо использовать гранич-
ное условие на наружном краю пластины:
Из этого условия следует

и, следовательно,
Л Р . &
4лО г
Напишем еще выражения изгибающих моментов:
b
4Й 0+Ю1”
fl , d$
177
Эпюры моментов приведены на рис. 5.16.
При г -> 0 изгибающие Моменты стремятся к бесконечности. Для центральной
части пластины, однако, приведенное решение несправедливо. Эго объясняется
тем, что сила Р фактически не может быть приложена в одной точке, а всегда бы*
вает распределена по некоторой площадке. Кроме того, около центра пластины
исходные гипотезы теории тонких пластин грубо нарушаются и поэтому сама
теория неприменима.
Из изложенного следует, что. приведенное решение годится лишь на неко-
тором удалении от центра(при	'
Вычислим напряжения около заделки и максимальный прогиб. При г = b
Р	Р
4л’	г 4л’
6Р	6нР.
"•"““-ст;	<’<"“=-53?;
О , ь
Sf р ь РЬ2
^аг=\таг1п7с=тет-
§ 4. Расчет круглых осесимметричных пластин
по методу начальных параметров
Рассматриваемый вариант метода начальных пара-
метров разработан С. Н. Соколовым [22]. В основном он предназна-
чен для расчета пластин при сложной нагрузке, однако он может
быть эффективно использован также при расчете простых пластин,
имеющих один участок.
Данный метод имеет следующие особенности:
1. При сложной нагрузке пластйну делят на несколько участков.
Функцию Ф записывают таким образом, чтобы для каждого следую-
щего участка полностью повторялось выражение для предыдущего
участка и добавлялись только дополнительные слагаемые. Эти
слагаемые подбирают так, чтобы условия сопряжения участков вы-
полнялись при одних и тех же значениях постоянных интегрирова-
ния. Таким образом, при любом числе участков получают только две
неопределенные постоянные.
2. Постоянные интегрирования С\ и С2 выражают через началь-
ные параметры. В качеств? начальных параметров принимают ве-
(а \	/	\
у) и .Индекс 11 указывает, что данная величина
относится к начальной точке первого участка. Аналогично в даль-
нейшем индексами Л и /2 будут обозначаться величины, относящиеся
к начальной и конечной точке i-го участка.
Из двух указанных начальных параметров один обычно бывает
известен. Так, например, если внутренний край жестко заделан,
то ( —1 — 0; если же край свободно оперт или не закреплен, то
(м \
*0-)п = 0- При упругой заделке или для сплошной пластины оба
начальных параметра не известны, но могут быть связаны между
178
A
. собой определенным соотношением. Таким образом, во всех случаях
 неизвестным остается только второй параметр, который подлежит
f определению, согласно граничному условию на наружном краю
пластины.	х
В общем случае на пластину могут действовать нагрузки следую-
щих видов (рис. 6.17, а):
кольцевая сила равномерно распределенная по окруж-
ности некоторого радиуса гЛ;
равномерно распределенное давление qJt Н/см2, начинающееся
 на радиусе г{\
« момент гл/, Н «см/см, равномерно
распределенный по окружности
f радиуса rz.
... На рис. 5.17, б, а, г каждая из
, этих нагрузок представлена от-
Кдельно.
Границы между участками вы-
[ бирают в тех точках, где приложены
F силы или моменты или где начи-
[ нается распределенная нагрузка q;
[ В том случае, ебли распределен-
[ ная нагрузка изменяется скачко-
[ образно, она представляется как
L сумма двух нагрузок, каждая из
[ которых продолжается до наруж-
F него края пластины.
S Представим функцию О для
J(i 4-1 )-го участка в следующем виде:
|	O,+i=O/+<m (5.40)
к Функция Ф (г) должна учиты-
(1+1)-й
уудс/пон
ниш
9)
Рис. 5.17


; вать нагрузку, приложенную на
границе участков, и должна быть выбрана так, чтобы удовлетворя-
К,- лись условия сопряжения участков.
КС Определим функцию Ф (г) для различных видов нагрузки.
К/ За счет силы Р*, приложенной по окружности радиуса rk
(рис. 5.17, б) на (i 4- 1)-м участке пластины, возникает дополни-
Котельная поперечная сила
Qp “ 2 л/ •
Учитывая, что поперечная сила связана с функцией О зависи-
мостью (5.35), можно написать
Нижний предел интегрирования выберем с таким расчетом, чтобы
удовлетворялись услойия сопряжения участков. На границе между
179
участками должны быть непрерывны сама функция О (угол поворота
нормали), а также радиальный изгибающий момент Мг, Из условия
непрерывности Л1Г, на основании зависимости (5.29), следует, что
должна быть непрерывна также первая производная функции
Очевидно, что оба эти условия будут выполнены, если нижний пре-
дел принять равным радиусу границы между участками а — rk.
Тогда при г — rk интегралы обратятся в нуль и, следовательно,
<h+i=<h: "fli-i-i = 07.
Выполнив интегрирование и подставив пределы, получим
=	(5.41)
При равномерно распределенной нагрузке pj, начинающейся на
расстоянии /у от центра (рис. 5.17, в), дополнительная поперечная
сила для (i + 1)-го участка составляет
Следовательно,
0
-----2г~
Ф, (г) =
dr dr.
Условия сопряжения участков в этом случае такие же, как и
в предыдущем. Чтобы эти условия удовлетворялись, нижний предел
интегрирования следует принять равным радиусу границы между
участками гу.
После вычисления интегралов функция Ф9 (г) принимает вид
фо(г)=^М1
V' 16D [ \
_4)+44г1п^1.
г*/ 1 га * г J
(5.42)
В случае нагружения моментной нагрузкой mz, распределенной
по окружности радиуса г( (рис. 5.17, г), функция Ф (г) определяется
иначе, так как моментная нагрузка поперечной силы не вызывает.
* Согласно равенству (5.35), при Q(/+i) = 0 выражения функции й
на f-м и (t + 1)-м участках могут отличаться только постоянными
интегрирования. Если для i-ro участка постоянные равны соот-
ветственно и С2, то для (i + 1)-го участка они могут быть пред-
ставлены в виде С2 4- А и С2 + В, где А и В — некоторые дополни-
тельные постоянные. Функция 0 для (Z 4- 1)-го участка
Следовательно,
Фи(г) = Лг+|.
180
Постоянные А и В следует выбирать так, чтобы удовлетворились
условия сопряжения участков. На границе участков функция 0
Ж должна быть непрерывной, а момент Мг должен изменяться скачком
на величину tnh Отсюда следует, что при г = rt
= ^2, Т. е. фт (и) = А • И +	= 0;
/ ^Ж	7Иг(;+1)1 =Л1г,-2 + ^1»
т*е*
.	гх Г db ।	“0	п Г d'O . <Н .
*	О —к ц. —	— D I —j— 4~ и. — -J"
•	r rj(/+i)i L dr ' г J/2
Як Последнее равенство с учетом зависимости (5.40) приводит
к уравнению
Ф^(Г/) = -^ или А — ~ = ^.
Я В результате решения системы двух уравнений найдем
Ж 	А = ~-’ В =
EV	2D ’	2D *'
.	Тогда
Етг / г? \
К	ф-(г) = 20 (1(5.43)
Яь Перейдем к случаю совместного действия различных нагрузок.
Ь Объединив все полученные выражения, можно написать следующее
тЕ универсальное уравнение для всех участков:
Ж	« = С1Г+-й- + 2Фр (г) + 2Ф,(г) + 2ф„(г).	(5.44)
Я- В этом уравнении суммирование производится по числу нагру-
зок, приложенных внутри окружности, проходящей через рассмат-
риваемую точку.
*	Выразим неопределенные постоянные Сг и С8 через начальные
' паРаметРы-
Ж.;-'’ Кольцевая пластина. За начальные параметры принимают
т /а \
й (—) .. В начальной точке первого участка, согласно уравнению
\ (5.44)
W -	Ъ. = С1Гп+£
.или
F -	(у-\=С1 + ^-	(5.45)
\ ' /11	'и
S’" ,• и
<6-46)
/ Следовательно,
|	= D [(Я + н (*)..] = D [с* - £ + Ф + £)] <5-47>
I	181
или
(^„“Cxd+^-^a-n).
Решение системы двух уравнений (5.45) и (5.47) относительно
Ci и С8 дает следующие значения постоянных:
г * (МД 1 (1-н)/а\ , )
1	2 \ D /ц 2 г )ц1 I	(б.48)
г_____гп(Мг\ . d+g)r3 I -
Са~	2Л£>/11+ 2 '“VF/nJ
Сплошная пластина (ги =« 0). Как уже было указано, постоян-
ная Са для сплошной пластины равна нулю. Следовательно, взамен
равенств (5,45) и (5.46) получим
/О \ .	/ Л>\ л,
\ г /П \arjn ' *
За начальный параметр примем изгибающий момент в центре,
отнесенный к жесткости D:
Мгп ___ Mtn _Мр.
D ~ D. ~ D *
1
Чтобы выразить постоянную через начальный параметр,
используем зависимость между моментами Mr, Mt и углом <>:
М, = ИЛ1 , + у (1 - |Л2) D.	(5.49)
Эта зависимость получается в результате исключения из ра-
венств (5.29) и (5.30). Так как в центре пластины Mt = Мг ~ Мй
и у =» Ci, то на основании равенства (5.49)
Мо
(5.50)
После подстановки значений постоянных уравнение (5.44)
принимает вид:
для кольцевой пластины
1ЯВ/О\ Г1-Н । 1+н I (МД Г1 Л rh\1 ,
г \ г /11 L 2	“ 2 г* J ’ \ D /ц [ 2 \ гя /] **"
+	(5.51)
для сплошной пластины
►
7- = ЩГТЙ + 2уф₽(г)+2уФ,«+2уФи(г). (5.52)
Внесем в уравнения (5.51) и (5.52) выражения функций Фр (г),
Ф9 (г) и Фт (г) [см. равенства (5.41),- (5.42) и (5.43)17 а затем восполь-
зуемся зависимостями (5.29), (5.30) и (5.39а).
После несложных преобразований получим следующие выраже-
б Mr Mt	-
ния: у; -р£;у;ив произвольной точке пластины.
182
Для кольцевой пластины
7 = (т“)п Фоо(М1) 4- (тг)и Ф&т (Mi) 4*
4- 2 1Г (М) 2 ^о" Ч5** W +
+ 2т-^(М);
- (у)и Фи» (Mi) + (^)(1 %, (Mi) + 2 К	М +
+ 2*£Ч«(М) + 2> Ч>™(М);
~ (’г)1Л*(М1) +	(Ml) + 2 7Г Ч’О» (М) +
• + 2 “o' Ч5^ (М) + 2 Ч7^ (М)’»
W = ЙУн (v)h /'2Ч’»о(М1) ( £) \| '"^Фдат (Ml)
— Zj ТГ" Ч’»р (М)2 Ч5®? (М) 2 П5~ Ч’вдл (М)’
Для сплошной пластины:
Е	7 «о(Гн-й) + 2%’Ч’ер(М) + 23о“Ч’0«(М) +
(	"Ь 2
К  ^=^+2%^w+2^<M+
Й':.	^=^+2%-’trpM+2^”h»w+
(5.53)
(5.54)
Wjfv-r
Ir
Вг'
—2 ч>®« (М)—2 Ч’®т
Содержащиеся' в этих уравнениях специальные функции
I
Ь; деляются по следующим формулам:
опре-
,7
Ф<к> (М = —• 2 ~ 4—7^“ * 4vo(M
(М = —5—» Я’гт (М в ~5
5е- (1 - >•’);
1 ~~И12 .
2 Л »
183
Wp W = ^[-lnl-’-y!-]; Ы) =
= ^-[-’(1+l*) 1пХ+'ЦЬ(1-Л»)];
W,(4 -	[1 - v + 4X« In X]; i|,r, (X) = ± [- <1^1 u -
-^-Hl-^ + G+njyinx];
4>/e (X) =	(1 + x2); i|w(X) = 1 [(1 -11) (1 - X’) -
- (1 +|i) 2X> InXJ;
Mta W = -!4!!— ЦЧ’; H’.™ (X) =|[I -X»+2X2lnXj;
M-X2)];
W (M - st [ - (1 + X2) In X - (1 - X2)];
S’,, W = T (1 - X‘) + fi (1 - Xs) + (1 + ji.) X’ln X];
%, (>) = Т6	+ X2 (1 - X2) + X2 (X2 + 2) In x],
(5.55)
41u> (X) = й
2
где kt = -~ — безразмерная независимая переменная.Частные зна-
чения этой переменной:
а -• **11 . л  rk . 1  *7. 1   rt
Ли — ~	, Л/ Л/ “ “ •
Значения функций
Рис. 5.18
и т. д. приведены в табл. 5.1.
Направления нагрузок Р, q, tn •
изгибающих моментов Mr, Mt
и перемещений О и wt принятые
за положительные, указаны на
рис. 5.9, 5.11 и 5.17.
Заметим, что для определе-
ния окружного изгибающего мо-
мента Mt вместо универсальных
уравнений (5.53) и (5.54) иногда
удобнее использовать зависи-
мость (5.49). '
Пример 5.5. Для кольцевой пла-
стины (рис. 5.18) определить изгиба-
ющие моменты, напряжения и прогиб.
Дано: а — 10 см; й = 2 см, р =
= 100 Н/смя; материал — сталь; £=»
=2- 107Н/смв, р = 0,3.
184
(V) ЬеЧ		
	S i й § § i i В й Й 2 8 g § 3 ®. 3 S 4 3 = — «—<—*—<G©C>OOO	O'	
(Y)	S 8 8 8 8 3 3 8 8 8 8 8 8 T *r ? £ т T oootoooooooooogK^SSSo	
ад “"Ч	«	Ш	I	i	§ i	i	S	ш Ш	s	111 ©	о о о	о	о*	о о	о	о	о о* о* <э о* о	о	о*	о	о”	О	
(V)	Ш1Ш1Ш Ш Ш Ш о©’©ооо'ь©фоф©©оофо’©’оо’,фо	
ад *'ф	|»111В1111|1 i | 111111 © о о о о о о о о о о о о’ о' о о’ о’ © о ©‘ о	
ад «г	ЦШИШШШШ О О О о’ О о’ О О о’ © О О о’ о‘ Q О О О Q «	
(X)	об^8оо8г-?^й s. s	ж	3	8	8	ч	s.	s.	s.	$ ©’ о	о	о’	о	о"	о*	о*	о	о	о	ЕЙ ® 5?	S ее со со ОФОООФФ©©©
(Y) 0/Ф	хГ	xF	xF	ХГ	ЧГ	¥	*	d*	(Л	Л	Е	S	S	5 о	о	о	о’	о	о*	о	о	о	о о	о о	о’	о о о	о о о о	
W ^Ф	| Ю	i	§!	| 1	i	| о о о* о	о	о	о’	о о	о	сГ	888£8Р852 S. 8. 3. 3. S. S. ©. 8 8 ф©о©оф©©оо
(У) dJ&	й	2	S	X	2	=	2	8	?. 5	8	S	S	з.	о. о	1 ©	о о о	о	©	о	о"	О*	О	0^0	©	о*	о	о"	©* ©	о	©	
ад Ш7ф	£	S	8	8	8	S	$	8 М £ о	©	©'	©’	о	о	©	о’ о	© о*	ssgsssgss R s. йД к. П з. о о с о’ о © о © © о ~
ад °7ф	sssHHgslscsHsHn чг	<чГ	*Ф	"T1	xF	Tf*B	со	Л	С?э	СО	СЧ	<?f	-*	——	С>	о о	сГ	О	О	о"	о*	© О О	о	о"	©	О о’	О	О	О*	©	О	О*	О	
ад АЧ	Мнн«ч*«м**ммн«« U £2	НаППП
	« § G. § § 8 ? S § 8 § <°<Р1П1ОМ’’*е*эсчсч<4»4	Ж 5?. Ж. 8	2 Я Я й ’^Q0iCc6Wf4iD*hNC
ад rf4	! ! It 11.1 Ш о’ о’ о* о* о* о о о* о о"	883§|1!!^ © ©, 25 <5^ <S^	5^ » 0©0©Ф0©©С?О еч
ад “Ч	22	Q 95	о со	о ос	о об, о оо	о	оо	о	со о	оо	О	од хг ч?	co to Л cqi	•-»_ -- о о„ О О*	о* о*	о* о	о“ о	©’©*©“ о	о	о	©	©О*	©	©	Ф	о	
ад *4	££S88!£8$££83!££$88&£ Й.	Й	Й	£ К.	3	| §1	Ф	$ Б	$	5 1	®. !=	$	3. £ 8	о ©	©	©	о' о*	©	©' о	©'	© ©	©	о о	©" ©	о'	о' о ©	—	
J й~ч	8	1-^2	сч	со	Й о о	о о*	о	о о	о	о о ©	8 ® г*» {2 о© фоо'фф©’©©©^
При вычислениях принято Ц=0,3.
185
На кольцевой опоре возникает сила
Р^рп [(4а)2 — (2а)а] = 12рлаа.
Разобьем пластину на три участка.
Так как внутренний край не закреплен, то
D К	я	/ 0\
Второй начальный параметр -----------------
согласно граничному условию на наружно» краю пластины. В данном случае
наружный край также свободен, следовательно,
при г = га2 « 4а Мг 0.
Используя второе уравнение (5.53), напишем это граничное условие в развер-
нутом виде (в данном случае q = —р):
(ь)ю = (?)„ ^о(°-25)	(0.5)+ф,р (0,7б)=0.
| =0.
и
I пока неизвестен и подлежит определению
Подставив значения функций фг^ (0,25) = 0,4266; фг<7 (0,5) = 0,0902 и
фгр (0,75) = 0,0420 (см. та&ч, 5.1) и решив уравнение, найдем неизвестный на-
чальный параметр
(—'j = 0,328
\r/H D
Далее, пользуясь уравнениями (5.53), можно вычислить Mr, -М( и ш
в любой точке пластины:
при г = Гц—а Хи
-0,298^.
При г=г1г — 2а Хп=0,5;
(М/ \	/	_ ._„ра8
= “	^0v5 =-0,186^;
D /12	\ г /и	D ’
(2а2)ф^(0,5)=0,320
При г-=г22 = 3а (второй участок)
При г = гЭ2 = 4а (третий участок)
/МА	’ р (4а)а , ( 1 \ , 12рла2 , (3\ л ,глраа
Из,—u>„= —(4а)2^«»(у) + £^-ф«,в(-|-) — i^!2. (4<г)21|>„р (+) =
= 1,382'“*.
180
Учитывая, что на опоре при г = г22 = За прогиб w2j ™ 0, найдем
ши =-0,735
Ш12 = ш21=Шц -f-0,320 —= —0,415
ш32=шп +1,382	= 0,647	.
Эпюры изгибающих моментов и прогибов представлены на рис. 5.18.
Над опорой изгибающие моменты
наибольшей величины
Мтю=-0.5Хра*.
Чтах=-0дара2.
Максимальные напряжения
М
°,юах==-^=8О2о н/см2;
6
"max =-^=4930 Н/см2.

>ZZ/«ZZZZ///////ZZ.
а
i>=f,25a
с ~ 2,5а
ZZZZZZZZZZZZZZZZZ У
0г025Р^Ш^72Р
0,035Р
Q,0372P nrrf...—
111141..
Му
~[-0,0625Р
Л
-*~0,0188Р
— w
6
Пример 5.6. Пластина, жестко заде-
ланная по наружному краю и подкреп-
по внутреннему краю кольцевым
ребром, нагружена силой Р, приложенной
окружности радиуса b (рис. 5.19, а).
Дано: а= 106; Ь— 1,25а;	2,5а;
В ~ 6; Н = 26; R = 9,56.
В данном примере оба начальных пара-
метра неизвестны. Для того чтобы выра-
один начальный параметр через
отделим ребро от пластины и
угол поворота поперечного
ребра ф в зависимости от момента Мгц (рис. 5.19, б). Так как ребро
его можно рассматривать как кольцо с недеформируемым попереч-
ным сечением.
г По условию равновесия половины кольца найдем изгибающий момент в по-
перечном сечении
Рис. 5.19
М = М г11а.
Угол ф определим по зависимости (4.22) теории осесимметричной деформации
колец:
~ М MR
EJX ’
где /х=——-------момент инерции сечения ребра.
После подстановки заданных величин получим
МгП - а • 9,56 _ Мгпа
Ф F 6 (2б)3	,d°5 D
Угол поворота сечения ребра равен углу при Гц = а; следовательно,
(
\г /н
НН-
Эта зависимость связывает оба начальных параметра. Используем теперь гра-
ничное условие на наружном краю пластины.	<
При г = с = 2,5а 0=0.
Пользуясь вторым уравнением (5.53), напишем это условие в развернутом виде
7 L “ 7 .. W0.4) + l-rf Ihta (0,4) - -^^(0,51=0.
Подставив в это уравнение значения функций, найденные по табл. 5.1
Ш (0.4) =0,4540,	(0.4)=0,4200, фОр (0.5)=0,0253
4.
и решив систему двух уравненйй с двумя неизвестными, получим значения на-
чальных параметров
0.0250^; (1)11=0даб£.
Далее нетрудно по уравнению (5.53) вычислить Mr, Mt и w в любой точке
пластины.
При г — a Mra = 0,025?;
Mtll=D	О) +(^)п Ф/т0)]=0,0372?.
При г = b = 1,25а
Mrn=D фн>(0.8) +(^)п Фгт (0,8)] = 0,0272?;
Ф/m (0,8)] = 0,0350?;
а'й-№н= “(т-)п (1.25а)8^(0.8)-(^)п (1,25а)афдат (0,8) =
=-0,00866
При г =зс» 2,5а
^-©[(у^ф^М + ^^фгтМ	ф,р (0,5)]=-0,0625?;
aw [(7)11 (М) + (тг )ц	(0’4> ~ i <0,5)]в -°’0188р;
«’83-0'11= “(/)„ (2.М2Ф®д(0,4) —	(2-5a)4wm (0.4) 4-
?	?а®
4- -g- (2,5а)^фюр (0,5) = -0,0418
Так как к»а2 = 0, то из последнего равенства следует, что макимальный
Pcfl
прогиб tt»u = 0,0418 -р-.
Рассмотренный метод расчета круглых пластин имеет следую-
щие недостатки:
он применим только при постоянной толщине пластины;
188
при большом числе участков выражения функций fl*, Mr, Mt
становятся громоздкими и при вычислениях приходится находить
малые разности больших величин.
§ 5. Круглые пластины ступенчато-переменной
толщины,'подкрепленные кольцевыми ребрами
на не-
между
местах
сил и
м,
'If I
1ШШН
мг[2
Рассмотрим другой вариант метода начальных пара-
метров, применяемый для расчета пластин как постоянной толщины,
так и ступенчато переменной толщины, а также пластин, подкреп-
ленных кольцевыми ребрами.
Заданную пластину делят
сколько участков, границы
которыми устанавливают в
приложения сосредоточенных
' моментов, а также там, где скачкооб-
разно изменяется или давление, или
толщина пластины, или где располо-
жены кольцевые ребра. В пределах
каждого участка толщина пластины
и интенсивность поверхностной на-
грузки q считаются постоянными.
Рассмотрим произвольный i-й участок пластины (рис. 5.20).
Введем обозначения:
01 и о2 — внутренний и наружный радиусы участка;
hi — толщина;
Д = 12(i —ц2) — изгибная жесткость на 4-м участке;
г = 12(1—р^) — изгибная жесткость на первом участке;
Рц — суммарная поперечная сила на внутреннем
£	контуре /-го участка, Н.
Напряженное и деформированное состояние в каждой точке пла-
> стины можно охарактеризовать вектором состояния
Рис. 5.20

(5.56)
Зная компоненты этого вектора, можно по уравнению (5.49)
определить окружной изгибающий момент Mt, после чего легко вы-
числить напряжения и прогиб.
Выразим компоненты вектора состояния в конце /-го участка
через их значения в начале участка. Для этого применим первые
два уравнения (5.53) к отдельно взятому Z-му участку. В этом слу-
чае вместо и в уравнения (5.53) следует подставить
189
1
вместо pk — Pa, вместо qf— qt и вместо Xllt X* и
— и
\ r h\
-> К = —• В результате получим
J	ri2
71 D
(v)/2 “	+ (d' \( D,-	+ D? * D7 +
cA D,
+ -Ьг-й7^(М;
(d")« ’ (^)n	+ (^i’)ii	+bf +
Эти уравнения можно представить в матричной форме
Xi2*^L{Xn + /?/,	(5.57)
где Xtl и Х,2 — значения вектора состояния в начале и в конце
участка;
Ц — матрица перехода от начала к концу участка
/'Ффф (М	тг Фот (М\
Ц = L 1	;
\£\	‘Фгт(^) У
Ri — нагрузочный член, представляющий собой мат-
рицу столбец
/Рц	Di
/ВТ •	+-^- 
Рц	q.r^
(5.58)

(5.59)
Рассмотрим вначале пластину с несколькими участками раз-*
личной толщины, но без кольцевых ребер. В этом случае на основа-
О М
нии условий сопряжения участков функции у и ~ должны быть
непрерывными. Следовательно, значения вектора X в конце преды-
дущего и в начале следующего участка должны быть одина-
ковы.
Если были бы известны оба начальных параметра (оба компонента
вектора Хи в начальной точке), то, пользуясь уравнением (5.57)
и переходя от участка к участку, можно было бы определить значе-
ния вектора X во всех точках пластины.
В Действительности, однако, один из двух начальных параметров
неизвестен и подлежит определению из граничного условия на
наружном контуре пластины.
В связи с этим целесообразно применить способ двух расчетов.
190
£
(5.60)
Б Представим вектор X в виде суммы
F.	х = хс + х
Ьде с — неопределенный коэффициент.
г. Вектор X первого расчета вычисляют без учета внешней нагруз-
зди, т. е. при Rt — 0. .
В начальной точке первого участка вектор X выбирают с учетом
Начальных условий:
Б? а) для внутреннего жестко заделанного края
0\
Д/;
= 0 и
и
Хн
? б) для края, шарнирно опертого или свободного,
х —(Ч
“Лол
I = 0 и
к
>зто же значение следует принимать, если к внутреннему краю при-
| Дожен распределенный радиальный момент заданной интенсивности;
«' в) для пластины, подкрепленной по внутреннему краю кольце-
~ вым ребром:
Хй =
1 /’
лГ7где К — относительная податливость ребра.
В том случае, когда ребро можно рассматривать как кольцо с не-
| Деформируемым поперечным сечением:
где R — средний радиус ребра;
. г) для сплошной (не кольцевой) пластины следует принять
-Ч ' .	\ 1 /’
(5.61)

(мЛ /мА
так как в этом случае I ~~ I =	1 = 1 и, следовательно, на осно:
вании уравнения (5.49)

Вектор X второго расчета вычисляют с учетом заданной нагрузки.
Перед началом второго расчета вычисляют усилия Р£1 в начальной
точке каждого участка. Вектор Хи в начальной точке первого участка
во всех случаях принимают равным нулю, за исключением двух слу-
чаев:
191
а)	по внутренней кромке пластина нагружена моментом
т Н -см/см; тогда
t
б)	внутренний край пластины усилен кольцевым ребром, к кото-
рому приложены внешние силы, тогда
X
11 1о
где <р — угол поворота сечения ребра, вычисленный с учетом только
внешних сил, приложенных к ребру. _
Суммарный вектор состояния X — ХС + X должен удовлетво-
рить граничным условиям на внутреннем и на наружном краях
пластины. Удовлетворение указанным условиям на внутреннем
краю обеспечено соответствующим подбором начальных параметров
первого и второго расчетов независимо от величины коэффициента С,
Удовлетворить граничное условие на наружном краю можно под-
бором коэффициента С. В наружной точке последнего участка при
Хяз =	+^„2 =
Если наружный край заделан, то
Если наружный край шарнирно оперт или свободен, то
(Мг\ __1 (~^Д Л
\D! /л2 “ \ О1/Л2 “Г \ D /п2 " •
При нагружении пластины по наружному краю моментом т
последнее выражение следует приравнять отношению .
Если же наружный край подкреплен кольцевым ребром, то
(^’)л2 и (т)л2СВЯЗаны слеДУюш'ИМ равенством:
1 "	" /МД dr = _
\ £>1/л2 EJx \ Г }п2
ИЛИ	__	__
№) с+(%) 1^-=#) с+(^ .
LW1 /л2	\ Е) Jn2jEJx \ Г ]п2	\ F /п2
Определив из этих уравнений коэффициент С, можно по зависи-
мости (5.60) вычислить вектор X во всех точках пластины.
Второй компонент этого вектора дает непосредственно величину
изгибающего момента в радиальном направлении Мг, Окружной
192
загибающий момент Mt легко определить по компонентам вектора X
^помощью зависимости (5.49).
f Для определения прогиба пластины применим четвертое уравне-
лие системы (5.53) к i-му участку пластины. В результате получим
выражение разности прогибов в конце и в начале участка:
Wft — Wil = ~ (М (у ~ fa
Wk
J ’
11
х	(М	(М.	(5.62)
Применяя эту формулу последовательно к каждому участку и
условие равенства
прогиба на опоре, не-
определить прогиб в
—Глебой точке пластины.
Остановимся теперь на
Ж1 расчете осесимметричных пла-
Я стин, подкрепленных несколь-
*№ Кими кольцевыми ребрами
MF (рис. 5.21, а). Будем считать,
Ж что ребра расположены не
часто. Если высота ребер не
велика по сравнению с их
К шириной, а также с толщи-
J ной пластины, то их можно
f рассматривать как кольца.
К Вначале рассмотрим случай,
&. когда ребра расположены сим-
 Метрично с обеих сторон пла-
Н Стины. Отделив мысленно
« ребра от пластины, как по-
К? казано на рис. 5.21, б, при*
Б{ложим к ребрам и к пла*
стине моменты тг. Рас-
смотрим k-e ребро. Ширину
г и высоту ребра обозначим
4^- .через В* и Нй, средний ра-
|>диус — через Rk.
ii* Согласно условию равновесия
изгибающий момент в сечении ребра
t	М* = /пЛ.
г По уравнению (4.22) теории деформации колец найдем зависи*
к мость между углом поворота поперечного сечения <рА и интенсив-
* ностью момента mki
ЛЮ
ак
I кУХУЧУУ	XXWVXV ЧХЧХХХХ кХЧХКЧХ? XWVW
половины
Рис. 5.21
ребра (см. рис. 5.21, в),
~	mkRk
— EJX = EJX
где Jx — момент инерции сечения ребра.
7 Бояршинов
193
Пусть вектор состояния в конечной точке предшествующего ребру
участка будет а в начальной точке следующего участка Ха.
Тогда, приняв во внимание условия сопряжения (t — 1)-го и
/-го участков и ребра, можно написать:
Г»1 — г (/-1)2 —• А*»
Ф/1 = Ф(/-1)2 — ф*>
Мн1 = МЛ(/-i )2 + /и* = Alr(i-1)2 + (—)	
Следовательно,
/ 0 \ = /IX
\ г /д \ Т /(/—1)2 ’
(МД =	4- (~\ EJk
\bj /Д \£>! /(/-1)2 \Г /(/—1)2 RkDl
ИЛИ
Х/i = LX^_j)2»
где L — матрица перехода через ребро;
/ 1	0\
£ = J
Ч
(5.63)
(5.64)
С помощью уравнения (5.63) определяют значения векторов X
и X за ребром по их значениям перед ребром. В остальном методика
расчета пластины с ребрами ничем не отличается от методики расчета
пластин без ребер.
Для вычисления напряжений, возникающих в ребрах, целесо-
образно использовать формулу (4.12) теории деформации колец, ко-
торая применительно к данному случаю принимает вид
0,"‘х--------л-Г 
(5.65)
где Zmax — расстояние от срединной плоскости пластины до наи-
более удаленной точки.
Изложенная методика расчета пластин с ребрами применима
также при одностороннем расположении ребер, при условии, что
жесткость пластины на растяжение велика по сравнению с жест-
костью на растяжение ребер. В этом случае можно приближенно
считать, что сечение ребра поворачивается относительно центра,
расположенного на срединной плоскости пластины.
В случае тонкой пластины с односторонними массивными реб-
рами необходимо применять более сложную методику расчета, учи-
тывающую растяжение срединной плоскости.
При большой высоте ребер необходимо учитывать искаженные
формы их поперечного сечения (см. гл. 8).
Пример 5.7. Рассчитать ступенчатую плиту, схема которой приведена
на рис. 5.22.
194
Дано: hi = 1 см; h2 = 1,26 см; а — 10 см; Ь — 2а = 20 см; р = 20Н/см>;
Е= 2-10’ Н/сма; ji = 0,3.
Пластина имеет два участка:
Х1== —=0;	=-£- = 0,5.
а	Ь
Величина поперечной силы в начале первого участка Рп — 0 и в начале
второго участка Р21 ~ —рла*, распределенная нагрузка qx = ?2 = — р,
Жесткость пластины на первом участке
£h®
и на втором участке
£й8
°>=12(Т^=3-66-,0,Н-СМ-
Следовательно, D2 = 2Dt.
Выполним первый расчет (заданную нагрузку не учитываем). Поскольку
пластина сплошная, принимаем
Используя равенства (5.57), (5.58), найдем вектор X в конце первого и в на-
чале второго участка:
V _у _r Y’	фот (0>U0,769 \ /0,35 0,5 \/°.769\ /0,769\
Л18	21	1 П"\фго(0) фт(0)Д 1 Г \0,455 0,65Д 1 М 1 Г
Аналогично определим вектор X в конце второго участка:
/фоо(0,б)	& tom (0.5)\ т
v f V I
Л22=Ь2Л21 = 1 n	II ।
\^-фн>(0,5) ф™(О.Б) р
(о,5\25 у 0,375 \ /0,769\	/0,5816
\2- 0,3412	0,7375/' 1 '	U.2625
Выполним второй расчет.
Вектор X”u в начальной точке принимаем равным нулю; Ри также равно нулю.
По уравнениям (5.57)—(5.59) находим
=	/- %	(0) \
12=Х21 = [	=
\-^ <°)/
Х22 = Lz Х21 + /?2
Фой (0»5) 'ФОт (0,5)\
1 /и
\д2 ФгО (0,5) i|>rm (0,5) у
/ рла3 Dt . ,Л р (2а)3 D, , .Л _ч
Di * "д' Фор (0»5)	фод (0,5)
I /л KV Р (2fl)a U /л
фгр (0,5) ~ lprg (0,5)
7”
195
Используя граничное условие на наружном краю пластины, определим коэф-
фициент С.
В данном случае
(1) _(») с+® =о
\ г /22	\ г /22	\ Г /22
ИЛИ
0,5816 С—0,1409 = 0,
откуда
С=0,242^-.
Согласно равенству (5.60), вычислим значения вектора X:
/0,186\ра> у _у /0,1236\рй»
*X1“’\O,242J/;D1: Ли	81=U>,0357/£4 ’
у _ /	0	\рд8
Л»-Д_ 0,5405 )
Второй компонент вектора X, умноженный на Dlt дает величину радиального
момента Мг.
Окружной момент Mj и разность прогибов в начале и в конце каждого участка
вычислим по зависимостям (5.49), (5.62).
Эпюры моментов Мг и Mf и перемещений w
приведены на рис. 5.22.
Рис. 5.22
Рис. 5.23
Наибольшие напряжения в пластине возникают у заделкк
°zn,.x = 0,y-6-=4090Н/сма;
°<т.х-0,‘6лГ,6-= '220 Н|ем».
Пример 5.8. Определить напряжения и прогиб пластины, схема которой
изображена на рис. 5.23, а.
Дано: h 0,8 см; а = ЮЛ; Вх = 1 см; Ях = 2 см; Ва = 1 см; fi2 — 1 ,Ь см;
«= 7,5 см; 7?» = 2а — 16 см; материал —дюралюминий; £'= 0.72-10? Н/сма;
р » 0,3; Л = 1000 Н; Та - 2000 Н.
196
Пластина имеет два участка:
^=^7=0.5:
Х9=^-=О,б.
Изгибная жесткость пластины
„	~	„ ЕЛ3
)2(1_и.)-з.зге.10»н.си.
Моменты инерции сечений ребер:
= 0,667 см<;
-Й^-0.299 см«.
1 *1-
*• i
Xi
Г?5?Х-
Первый расчет. Принимаем
Следовательно,
Mr
1, тогда по зависимости (5.61)
ёЪ=°-527-
0,527
Значения вектора X в других точках:
X12=LXh
Х21
Х22=£2X21 —
Wo (0,5)	Wm (0,5)
Wo (0,5)	Wm (0,5)
Второй расчет.
Вычислим поперечные силы в начальных точках участков:
— 1000 Н; Ра1=-Л—Тя=»—3000 Н;
Для определения начального параметра отделим внутреннее ребро
~ (рис. 5.23, б) и вычислим угол поворота сечения ребра под действием осевых
сил Ti:
V*
4. 
Следовательно,
ЗГ ___£*1 (° — ^1)
11 - 2nEJxl
— 1,245- КГ4.
= 15,55- 10 е;
а
/15,6 -10-«\
\	0 Л
г <
- j




и
197
Значения вектора л в других точках:
Х12 — LxXu + 7?i —
%* (0,5)
(0,5)
(0,5)\
фгт (0,5)/
/15,6 -10®\
\ о
D~ (0,5)\	/ _ 67. J о-в ’
^р(0,5)/ = \-269-1 О'®
-67-10-в \
-269*10-®/
/ —67-10-в \
\ —295,8* 10*®/’
Ш.(°.5)
ЛМ (0,5)
^«(0,5)\ / — 67.10-е \
W0.5)/ \-295,8- IO-®/
Согласно граничному условию на наружном контуре пластины определим С:
1.085С- 1065-1 О'® = 0; С = 982-10'®.
Искомые значения:
МгП= 982 • 10“8 • D = 331 Н • см/см;
Л1г1а = 247 Н/см; Л1г21 —289 Н-см/см;
Л1/^а “~ 0,
=	(1—и2) D = о,3-331+534.10-е (1 —О.З2) 3.375.10*
=> 264 Н  см/см;
Л1/1а=248 Н- см/см; Л1/а1 = 261 Н-см/см; Mfta=119 Н*см/см;
№18-^11= — (2a)2Mw (0,5) • 534 • 10'8—(2а)2 • ^wm (0,5) • 982 • 10-в—
—	(2a)^>wP (0,5)= —0,0553 см;
а>82-«'21= — (4a)3Mw (0,5) • 567 * 10'»—(4a)2^m (0,5)  856 * 10“в-
(4a)^wP (0,5)=-0,188 см.
Так как = 0, то twai = ta12 == 0,188 см и максимальный прогиб
tt»n =0,188 + 0,0553 = 0,2433 см.
198
5 
* 
Максимальное напряжение в пластине
с = -Мгт&* =^^- = 3100 Н/см2.
urmax /да 0,8а
б”
Напряжение во внутреннем ребре по формуле (5.65) при	= ( —
г /11
2!
•В’
t
тах =
^max
^-£ = 4100 Н/см».
„ M (•&
Напряжение во втором ребре при Фл = 1 —
IJ
2а; Rk~ 2а; Zmax = ~~;
12	2
%:
—= 3270 Н/сма.
12 2
Пример 5.9. Определить напряжения в пластине кольцевого клапана
' ’(рис.5.24). Пластина опирается по внут-
Вреннему и наружному краям и нагру-
зка равномерным давлением р Н/см2.
‘ Дано: fi = 0,7 г2; Х=~ = 0,7.
Так как края пластины могут свободно
поворачиваться, то радиальный момент
НК обоих краях равен нулю. Усилие,
& создаваемое давлением р, распределяет-
ся между внутренней и наружной опо-
рами. Для определения величины уси-
7. лия, действующего на каждую опору,
 необходимо, кроме уравнения статики,
использовать уравнение перемещений.
Последнее следует составить на осно-
вании равенства нулю вертикального
перемещения обоих краев пластины.
Обозначим через Ру — величину силы, приходящейся на внутреннюю опору.
Используя граничные условия
‘ "	(Мг
Рис. 5.24
=0; №
— 0; w2“-u?1=0
и применяя второе и четвертое уравнения (5.53), получим систему двух уравнений
С двумя неизвестными:
(М \	/АХ	р.	nr3
ТУ “ (у),*и>W + с *'Р(4=0=
— Wj = — f j ^5 ФяуО (^) y-j" "Фгср (^>) Ч	'Рте»? (^*) = О»
Решение этой системы относительно неизвестных (—\ и Pi дает
\г /I
« - 1,67.10-3	. р1== 0,743рг£.
Суммарная нагрузка на пластину в данном случае
Р = рл (rj — г;) — 1,60ргЗ«
♦«
* •
2

%ax \ r



199
Следовательно, реакция наружной опоры
х, нетрудно с помощью уравнений (5.53) вычис-
Зная величины
лить Мг, М( и w в промежуточных точках.
О 7
В частности, при г= 0,85 гв; Х==-^=-== 0,823;
и»СЭ
Mr=0,0073prf; аг=Д£=0,0438
§ 6. Круглые осесимметричные пластины
переменной толщины
Рассмотрим особенности расчета пластин, у которых
толщина плавно изменяется по радиусу.
Составим дифференциальное уравнение упругой поверхности
такой пластины.
Исходное уравнение равновесия (5.32) в данном случае остается
без изменений. Выражения изгибающих моментов (5.29), (5.30)
также не изменяются, но изгибная жесткость/)
а=0
а~1
с&0,5
Рис. 5.25
теперь не постоянна, а зависит от радиуса г.
С учетом переменности жесткости D уравне-
ния (5.29), (5.30) и (5.32) можно привести
к следующему дифференциальному уравнению
относительно функции О:
n d [dft .	, dD (d# . О \ Л ,с
D {-л? + -) + w Uf + M=Q- <5-66>
В общем случае, при произвольном законе
изменения толщины по радиусу уравне-
ние (5.66) может быть проинтегрировано
только численными методами.
Для получения приближенного решения
заданную пластину можно аппроксимировать
ступенчатой пластиной с несколькими участ-
ками постоянной толщины. Имеется, однако,
важный частный случай, когда уравнение (5.66)
интегрируется в квадратурах. Это тот случай,
когда толщина изменяется по степенному
закону
h=Cra.	(5.67)
В зависимости от показателя степени а форма пластины может
быть различной (рис. 5.25). Задача об осесимметричном изгибе
пластин, имеющих форму, соответствующую а < 0, встречает-
ся, в частности, при расчете дисков турбомашин на осевую на-
грузку.
Обозначим через внутренний радиус и через — толщину на
внутреннем контуре пластины.
200
£».
еЛ
J.. На основании равенства (5.67):
:	h=hd
a

(5.68)
Изгибная жесткость в произвольной точке пластины в этом случае
'Г,	(5.69)
(5.70)
™ , = D
12(1-р«)	°
где Do — жесткость на внутреннем краю;
L	п _
^°-12(1-р»)'
fe После подстановки выражения (5.69) уравнение (5.66) принимает
ВИД
dg# , (1 +3g) dft _ (1—Зар) а
dr® * г dr г*
(5.71)
ЯЙ& ’• Общее решение уравнения (5.70) можно представить в виде суммы
общего решения соответствующего однородного уравнения
J_ (1+За) d# (1 - Зар) д __ п
dr*ф r dr г*
X* и частного решения уравнения с правой частью.
Общее решение однородного уравнения ищем в виде
W"	#=Сг*.
t Подставив # в дифференциальное уравнение (5.72), получим
(К-характеристическое уравнение
№+Зах—(1 — Зра) = О,
Хорни которого	______________
(5.72)
*1 =

За
*2	2~
Следовательно,
За
2
Hl- 3|*a)
 (5.73)
Частное решение уравнения с правой частью зависит от вида
... нагрузки. При действии равномерного давления р (направленного
Подставив Q в правую часть уравнения (5.71), ищем решение
sj - "последнего в виде# = Вги, в результате несложных преобразований
получим
р£ '________
2Dq [8—9а 4-Зар
3(1-0	Г(1-ЗОГ 21
За(1—р)_|‘
(5.74)
201
Для случая нагружения силой Р, распределенной по внутрен-
нему краю, по аналогии найдем
^=~2лг:
^ = ГвД"71~~~Т-	<5-75>
.•?	6лД0а (1—р)	'
При совместном действии давления р и силы Р общее решение
. дифференциального уравнения (5.71) запишется в виде
<	Г з
Ф = СХА 2
рг3аг(1 —За)
6л£>0а(1— р)
(1— За) r2"
_________________ _______________г 1
,	2D0 [8 — 9а4- Зар, 1 За(1—р)
- Постоянные интегрирования Сх и С2 определяют, как обычно, по
граничным условиям.
Изгибающие моменты могут
Р
3(1—a)
(5.76)
"t
156 ТГ 156*7?
Рис. 5.26
быть вычислены по зависимостям
(5.29), (5.30); напряжения — по
формулам (5.38).
Прогиб пластины может быть'
найден интегрированием функ-
ции О по уравнению (5.39).
Пример 5.10. Определить напря-
жения и прогиб пластины с линейно
изменяющейся толщиной, шарнирно
опертой по наружному краю (рис. 5.26)
и нагруженной силой Р.
Дано:	гя = Згх; йх = 0,1гх;
1
И 3 .
Параметр а в данном случае равен
единице; уравнение (5.76) принимает
вид
Рг\Г*
Соответственно,
О
Prjf-a
4лД0
нА	Ргъг~'л
^=-3Car-*--^jL_.
dr	2лО0
Запишем граничные условия:
при г — гх Л1^=0 или
db
dr
при г — г2 = Згг Л4г«=0 или I
После подстановки функций —
_3Cj______Р_
г;	2л£>0
ЗС8	Р
81г»	2лО027 ’ 3
3
db
и -j-
dr
Зг, "Г 3
г? 3 • 4лОс *
=0
81r*^3.4nD027 и’
202

. решение которых дает
ЮРг
104лРо'
15Рг«
104лРо *
Окончательно
Ргг Г 10 __ 15.. г£ 2? ].
лР0> 104	104 гэ "‘4г2’
, Р Г 45 г?	1 г» 1
~лО0 [104 г*	2 г3
По функции О' определим изгибающие моменты
(^/d&	Г5-. Z1 _ А
°rj \dr г J л 13 г 12
гЗ/О . dO\ Р Г 1 .
0 rf \r dr / л .12 +
5	Г21 .
+ 156 ' гП:
10 Z2]
104 ‘ rf J *
Эпюры моментов приведены на рис. 5.26.
Максимальное напряжение при г = гх
6Л£,._г1	7Р6	Р
u/max -	Аа 39лЛ? - »ио я*2
и при Г = гг
,	37Р6 Р
°/гоах “	(ЗЛ1)2	39л/^9 ~ и’о° „fta •
Максимальный прогиб
а
4 «*=0.295
За
Найденные напряжения интересно сопоставить с напряжениями, вычислен*
\ ными по теории колец с недеформируемым контуром поперечного сечения (см. гл. 4,
§ 1). По указанной теории напряжения имеют постоянное значение вдоль лучей,
'выходящих из точки пересечения нейтральной плоскости с осью кольца:
о =
Мг
Пя ’
где М — изгибающий момент в поперечном речении кольца, определяемый по
уравнению равновесия половины кольца;
лл _ Р (ЗГ1—Г1) = РГ1.
2л л ’
/s — геометрическая характеристика сечения кольца;
3ft Sr.
С f drdz г® 13
\ \ —-г--------“Ге"!™’:
2г,
z и г — координаты произвольной точки сечения:
fh
для внутренних точек гт&хг=~^~> r = rii
3*1 о
• для наружных точек zmax =; r^3rt.
203
В результате подстановки указанных значений получим
Р
°maxe0»70 —ЕГ-
тах nftj
Это напряжение приблизительно в 1,5 раза меньше максимального напряже*
яия, найденного по теории изгиба пластин. При малой толщине пластины расчет s
по теории деформации колец менее точен. Однако, если толщина соизмерима
с радиусом rlf то расчет по теории пластин становится приближенным и более
оправданным будет расчет по теории колец.
Заметим, что для пластины, рассмотренной в примере 5.10, при нагружении
ее равномерно распределенным давлением р решение по уравнению (5.76) непри-
годно, так как при а » 1 ир.= у знаменатель дроби в одном из слагаемых обра-
щается в нуль. В этом случае следует заново найти частное решение дифферен-
ни ального уравнения (5.71), которое при указанных значениях а и р и при Q =>
р(гл—г?)
•» — г _—— принимает вид .
, 4 d$ p(f«_rf)r»
dr* ф г ’ dr “ 2Dor«
Его частным решением будет
(6.77)
Задача об изгибе пластин с более сложным законом изменения
толщины по радиусу встречается при расчете дисков турбомашин,
нагруженных осевыми силами. Рассмотрим решение подобной задачи
численным методом с помощью ЭЦВМ. В качестве основных пере-
менных примем безразмерные величины:
Р=£; Л = -£; Х.=*	х4 = -^-,(5.78)
где г и R — текущий и наружный радиусы;	7 _
Do — жесткость в некоторой фиксированной точке.
Используя исходные уравнения теории круглых пластин, выра-
зим первые производные от Хъ Х2, Х3, Х4 по р:
=	* = _^ = в = Ха;	(5.7Ш
dp dr dp dr	8
dXj dO . dr dft p
dp e dr ' dp = dr
но на основании зависимости (5.29)
dO	6   Dq у P v
dr = D P r ~~ DR л*	p.fl л2»
следовательно,
(5.80)
Далее
dX9 . dMr R dr dMr
dp ~ dr ’ Do * dp ~ dr ‘ DQ’
204
Производную определив по уравнению равновесия (5.32):
L	'	r^- = M,-Mr+Qr
или с учетом зависимости (5.49)
dM
dr
. следовательно,
£	d*e	0-И) v  (1~Р8)Р у . 1 у
i	~dT=s>-----р Л«+ p«V А2+-Л4.
Нй основании уравнения равновесия (5.31)
ip	dX4 d(Qr)R dr _ № d(Qr ) _/?»р (л .
dp = drD0 ' dp ~ Do * dr ~ Do
’ где q (г) — интенсивность распределенной нагрузки, Н/смя.
Запишем уравнения (5.79)—(5.82) в матричной форме
^-мх+Р,

(6.81)
(5.82)
(5.83)
Ж где •
— вектор напряженно-деформированного
ния в произвольной точке пластины;
состоя-
— матрица коэффициентов;
0
о0
м=
p»D0
(5.84)
Й -4
Х =

л
•*' **
о
О
р
о
о
Р
О
D
(1-Р)
P
0
F — матрица-столбец слагаемых, зависящих
грузки;
от на»
(5.85)
7

0
о
gR*P
Do
В таком виде уравнения изгиба круглых пластин предложены
* В. Л. Бидерманом.
; Уравнения решаются на ЭЦВМ численным методом по стандарт-
гной программе.
205
Основная трудность численного решения уравнения (5.83) заклю-
чается в том, что на основании граничных условий в начальной точке
бывают известны только некоторые начальные значения функций
Хх, Х2, Х3, Х4. Остальные же должны быть определены по граничным
условиям в наружном краю пластины. Так, например, для пластины,
изображенной на рис. 5.26, в начальной точке (при г = гх) известны
Мг, = 0, т. е. Х31 = 0;
Р	1Z	РГ2
2лг7’ Т‘ е‘ ^41 ~ “ 2л£0 •
Начальные значения двух остальных функций подлежат опре-
делению по граничным условиям при г = R = г2. В данном примере
= 0, т. е. Х32 = 0;
и>а = 0,. т. е. Х12 = 0.
Чтобы решить эту задачу, применяют способ трех расчетов. Век-
тор состояния X представляют в виде суммы трех векторов
X-X^ + XQ + X
(5.86)
где С и Са — неопределенные коэффициенты. Вектор первого рас-
чета X вычисляют без учета распределенной нагрузки, т. е. при
F == 0, при этом в начальной точке принимают
(при граничных условиях, соответствующих схеме, изображенной
на рис. 5.26).	' _
Во втором расчете определяют значения X также без. учета рас-
пределенной нагрузки (F = 0), при следующих значениях началь-
ных параметров: *
Хц —
В первом и втором расчете за единицу поочередно принимают
значения тех начальных параметров, которые неизвестны.
Третий расчет выполняют с учетом заданных нагрузок (с учетом
слагаемого F) при значении вектора Хп в начальной точке:
206
Заметим, что при другой схеме пластины значения начальных
параметров будут другие. Если, например, внутренний край пла-
стины жестко заделан, то w = 0; ft = 0, а Мг и Q неизвестны, сле-
довательно,
Очевидно, что при начальных параметрах, выбранных указанным
способом, суммарный вектор X [см. уравнение (5.86)] будет удовлет-
ворять граничным условиям в начальной точке при любых значениях
Ci и Са. Подбором этих коэффициентов необходимо'обеспечить вы-
полнение граничных условий также и в наружной точке пластины.
Для пластины, изображенной на рис. 5.26, например, при определе-
нии Ci и С2 необходимо использовать следующие два уравнения:
•^32^*1 + -^32^2 4" ^32 — 0»
После того, как коэффициенты Сх и С2 определены, целесообразно
еще раз просчитать пластину, приняв действительные значения на-
чальных параметров.
По найденным компонентам вектора X определяют w, О, Мг и Q.
Момент /И/ вычисляют по зависимости (5.49).
§ 7. Круглые конструктивно ортотропные
пластины
Примером таких пластин могут служить пластины
с часто, расположенными кольцевыми ребрами (рис. 5.27, а), пла-
стины с прямоугольной гофрировкой (рис. 5.27, б) и т. п. Указанные
пластины имеют различную жесткость в радиальном и в окружном
направлении.
Неоднородность упругих свойств пластины по разным направле-
ниям объясняется в данном случае не свойствами материала, кото-
рый предполагается изотропным, а конструкцией пластины. Поэ-
тому последние и получили название конструктивно ортотропных.
Строго говоря, изгибная жесткость таких пластин изменяется по
радиусу по периодическому закону; между ребрами жесткость1 имеет
одно значение, а в местах расположения ребер — другое. Однако,
если ребра или гофры расположены достаточно часто, то при иссле-
довании деформаций и напряжений можно считать, что жесткости
в радиальном и окружном направлениях имеют некоторые осред-
L ненные значения, постоянные или плавно изменяющиеся по ра-
i; диусу.
207 .
Выведем расчетные зависимости для пластин рассматриваемого
типа. Возьмем в качестве примера пластину с кольцевыми ребрами
(см. рис. 5.27, а). Вырезав из пластины малый элемент (рис. 5.27, в)
и предположив, что гипотеза неизменности нормали сохраняет свою
силу, а также, что напряженное состояние в самой пластине двух-
осное (ог = 0), а в ребрах — одноосное (tfg = 6 и вг = 0), получим
• следующие выражения для деформаций и напряжений:
в пластине =	е,= — г:
г аг 1 г *
Ег	Г। .. Ф1 ~ Ег	Г О	t <*<И	/к о? \
°г~~ 1—р2	[dr r j; ai—	j—pi	[r dr]»	(5-87а)
в ребре
е< = 4.г; at = Ezy-,	(5.876)
где ft — уГол поворота нормали к срединной плоскости;
г — расстояние, отсчитываемое от срединной плоскости.
О)
fi
Рис. 5.27
Интегрируя напряжения по толщине пластины и по площади F
 сечения ребер, определим изгибающие моменты (на единицу длины):
л
2
$ a,dz-z = D,	+
—— *
2
h
2
<T,dF-z=D(4+l‘^ + -^£-v (5-88)
Л	F
2
или
М<=£><7-+^4г’	(5.89)
"208
-»-я	»-*• ~Г'~—г~,и	м	*C«r л'	**»	' ,‘r*‘'• Гж '. f**
ч где	t — шаг ребер;
„ Eh3	л	.
^=7o7i—«г — изгибная жесткость гладкой пла-
12 (1 — Цх)
стины;
[EJ 1
1 4- -gf- — приведенные жесткости в радиаль-
*	• ном и окружном направлениях;
г Ь(М-А3)	л
кх	|2— . момент инерции сечения ребра.
Подставим выражения моментов (5.88) и (5.89) в уравнение рав-
новесия элемента круглой осесимметричной пластины (5.32); после
^несложных преобразований получим разрешающее дифференциаль-
1ное уравнение
К	I JL ,	___L . а —	/я оа\
кdr* + г dr г’	Dr ° “ Dr-
£ Решение соответствующего однородного уравнения ищем в виде
У	^Сг”.
* Подстановка этого выражения в уравнение (5.90) при правой ча-
гсти, равнрй нулю, приводит к характеристическому уравнению
I	4*=^,	.(5.91)
• корни которого соответственно равны
Ц П1 = ]Л-^- = П; Па= -	==-Т].	(5.92)
&V. Тогда общее решение однородного уравнения
+	’	(5.93)
Частное решение уравнения (5.80) зависит от вида нагрузки,
fc Если, например, пластина нагружена по всей плоскости равномер-
i ным давлением <7, Н/см’, то
j;
и уравнение (5.90) принимает вид
Г	dr’ г dr • 11 r« W“2Dr •
V> Частное решение этого уравнения ищем также в виде степенной
| функции
	jE А*»*
йг	v = Сгх.
Подставим это выражение в уравнение (5.90):
хм*
I	.	Сг'--»[х> + п,]=^.
3
Это равенство должно выполняться при любом значении г, от-
сюда следует
г(л-2)_г. х —2 = 1, х=3;
С (З2 — Т]а) —	; С = 2D^	^S) .
Таким образом, частное решение уравнения (5.90) для случая
нагружения равномерным давлением
5 = <5-94)
и общее решение
* =	+ С,гч+-------р , .	(5.95)
Для гофрированной пластины (см. рис. 5.27, б) дифференциальное
уравнение выводится аналогично. В результате получается то же
уравнение (5.90), но при иных значениях изгибных жесткостей:
Eh3	t	jr\ EJX	/S
Dr 12 (1 -p2) ’ T» D* “ /(1—pa) ’	(S'96)
где t — шаг гофрировки;
s — развернутая длина средней линии одного гофра;
h — толщина, которая в данном случае предполагается по-
стоянной;
Jx — момент инерции сечения одного гофра относительно оси,
совпадающей со срединной плоскостью.
Формулы для изгибающих моментов и напряжений в гофрирован-
ной пластине имеют вид
6Mr , Mft
Сr max= да “г P- j 2max»
_ Mft , GMr
max —•1 j “ *maxTr '
JC
(5.97)
(5.98)
где Zmax — наибольшее расстояние от срединной плоскости пла-
стины.
Расчет круглых пластин с радиальными ребрами также может
быть выполнен по схеме конструктивной ортотропии (при достаточно
большом числе ребер). Однако этот случай — более сложный, так
как расстояние между ребрами изменяется по радиусу пластины и
поэтому изгибная жесткость также переменна. Кроме того, при одно-
 стороннем расположении ребер существенное значение приобретает
растяжение срединной плоскости, в результате чего нейтральный
слой оказывается смещенным относительно срединной плоскости.
Расчет подобной пластины приближенным методом Ритца рассмот-
рен в гл. 6.
210
§ 8. Температурные напряжения в пластинах
Температурные напряжения в пластинах возникают
- при неравномерном нагреве или при стеснении температурных де-
формаций внешними связями, а также в том случае, когда нагревае-
мая пластина состоит из нескольких слоев разных материалов (на-
пример, биметаллическая пластина).
Рассмотрим круглую пластину, изготовленную из однородного
материала, находящуюся в> условиях неравномерного осесим-
метричного стационарного нагрева; температура на одной по-
верхности равна 4(г}, а на другой ja(r). Температуры 4 и t2 счи-
таются заданными функциями радиуса и не зависят от полярного
угла <р.
Если толщина пластины не велика, то с достаточной точностью
можно принять, что по толщине пластины температура распреде-
ляется по линейному закону:
. t, to
где = 1 а — средняя температура;
. ДЛ =4 — t2 — перепад температуры по толщине;
г — расстояние от срединной плоскости пластины.
Данную задачу можно разделить на две, не зависящие одна от
другой. В первой задаче учитывают только постоянный по толщине,
но переменный по радиусу нагрев до температуры /0 (г). Такой
нагрев не вызывает искривления пластины; он вызывает лишь напря-
жения аг и и деформации ег и еь постоянные по толщине (см.
гл. 3, § 2).
Во второй задаче учитывают перепад температуры Л/. Рассмотрим
эту задачу более подробно. При распределении температуры согласно
закону
-температурное поле обратно симметрично относительно срединной
•плоскости.
На основании этого можно заключить, что точки срединной пло-
скости не получают смещений в радиальном направлении и, следова-
тельно, относительные удлинения еЛо и е<0 в срединной плоскости
равны нулю.
Относительные удлинения в произвольной точке на расстоянии z
от срединной плоскости определяются на основании гипотезы неиз-
менности нормали:

dO
dr
(5.99)
[см. формулы (5.24) (5.25)).
211
С другой стороны, те же относительные удлинения можно выра-
зить в зависимости от напряжений и температуры:
£ |л £ +Д* ft а;
^ + Д/|а.
(5.100)
Упругие постоянные и коэффициент линейного расширения ма-
териала считаем постоянными по всему объему пластины, так как
диапазон изменения температуры по объему пластины предпола-
гается небольшим.
Из равенств (5.99) и (5.100) определим напряжения:
(5.Ю1)
+ <5102)
Вычислим изгибающие моменты:
h
—	I
м,=Л o^z=o[^+Hv-(1+ffA<tt];	(5.103)
%
2
£
2
.. С j пГ^ г Л (14-и)Д/аТ /г
 Mt=\ otzdz = D —+	—]•	(5.104)
*h
w—— - "
2
Подставив выражения (5.103) и (5.104) в уравнение равновесия
элемента пластины (5.32) и положив Q — 0, получим дифференци-
альное уравнение относительно О:
1 #=0+Й«.т.	(5.105)
1 г аг г*	Л аг •	47
Это уравнение интегрируется так . же, как дифференциальное
уравнение осесимметричного изгиба круглых пластин (5.34), его
общий интеграл
0=^+^-
(14-р)ст
hr
d (до г
Y 7 dr dr.
at
(5.106)
Если функция А/(г) задана, то, вычислив интеграл (5.106),
можно по граничным условиям определить постоянные и С8,
затем по формулам (5.103) и (5.104) — изгибающие моменты и по
формулам (5.38) — напряжения.
-Рассмотрим некоторые простые частные случаи.
212

1. Перепад температуры Дг по радиусу пластины — постоян-
ный; края пластины свободны. Тогда
d(AQ z ।о**
dr ‘
Постоянные С> и Са определим по граничным условиям.
(l + ji)Ata
А
при г =
О ___Ata
г А
= 0,
откуда
?
I
Q (l-Fp)Ata - п.
r? A	*
Ca (l+n)Ata n.
r’ A —u*
(l+j*)Ata л ____«
---Й ’ c»~a
; Следовательно, для данного частного случая
(5.106а)
Согласно зависимостям (5.101) — (5.104), изгибающие моменты и
напряжения в данном случае равны нулю. Срединная плоскость
пластины переходит в сферическую поверхность. Заметим, что если
уравнение упругой поверхности (5.106а) записать в виде
dr*~dr~ А “
и проинтегриррвать его дважды, то вместо уравнения сферы полу-
чится уравнение параболоида
w == Сг® 4“ Ci/* "4* Са.
Эта погрешность — результат приближенного представления
кривизны второй производной прогиба.
2. Перепад температуры постоянный; края пластины защемлены,
.Так как ^=0, то
аг 9
Граничные условия:
0=0;
0;
213
Отсюда
Ci — 0; С2 = 0.
В этом случае угол поворота нормали всюду равен нулю. Следо-
вательно, плоскость пластины не искажается й деформации равны
нулю. Изгибающие моменты и напряжения, однако, в данном случае
не равны нулю .Действительно, согласно уравнениям (5.101)—(5.104),
EaAt
ar — °t —	(1-|4)Лг*
3. Перепад температуры
постоянный;
защемлен,
ный.
внутренний край
наружный — свобод-
» = С,г+^.
е
Граничные условия:
при г = Г1 О = 0;
при г = г2 Мг = 0 или
= 0.
Рис. 5.28
'dft ।	-&	(14-р) Ata'
dr “г И* 7 h
Постоянные интегрирования:
аД/г®г§
Дальнейшее вычисление де-
формаций и напряжений не пред-
ставляет трудности.
Вопрос о температурных напряжениях и деформациях имеет важ-
ное значение для биметаллических пластин (рис. 5.28, а). Вслед-
ствие разных коэффициентов линейного расширения слоев такие
пластины при нагревании искривляются. Это свойство позволяет
использовать биметаллические пластины в качестве чувствительных
элементов терморегуляторов.
Рассмотрим вначале изгиб биметаллической пластины под дейст-
вием момента Мх при отсутствии нагрева (рис. 5.28, б). При этом
будем предполагать, что напряженное состояние в пластине — одно-
осное (это предположение оправдывается, если пластина достаточно
узкая).	'
214
Обозначим через и й2 толщину слоев;
£\ и Е2 — модули упругости материалов;
а — расстояние от границы с'лоев до нейтрального слоя;
Р* — радиус кривизны нейтрального слоя.
На основании гипотезы неизменности нормалей
где г отсчитывается от нейтрального слоя; положительное направле-
ние г — вниз.
По деформации определим напряжения:
в верхнем слое
в нижнем слое
с
ст =е£1 = --;
Рх
стл> = е£2 = —8;
Рх '
(5.107)
Положение нейтрального слоя найдем из условия равенства нулю
осевой силы N. Последняя равна сумме интегралов от стх по толщине
верхнего и нижнего слоев:
<— а	01—а)
Л/=	( aXtdz+ ox,dz^.
+т^(у-а)=0-	(5.108)
 Л* *	г
откуда
2 (ЗД+ЕЛ)
(5.109)
Представим изгибающий момент также в виде суммы интегралов
по толщине верхнего и нижнего слоев:
—а '	ht—а
Мх = GXtdz>z-\- ( ax,dz-z
—а
(5.110)
-(hi + a)
или, с учетом равенств (5.107):
* Рх
где и J2 — моменты инерции сечений верхнего и нижнего слоя
относительно нейтральной линии (на единицу ширины);
т	. - tfa-aY+d*
J1------з----’	J*~—"з--------*
Из уравнения (5.110) определим кривизну нейтрального слоя
1 мг	.......
215
Выражения для напряжений (5.107) после подстановки в них
значения кривизны из уравнения (5.111) принимают следующий вид:

(5.112)

14” £3/9
Все приведенные зависимости справедливы также при поперечном
изгибе, когда изгибающий момент переменный по длине.
Прогиб пластины можно определить интегрированием уравнения
упругой линии
(5.113)
Предположим теперь, что та же пластина нагрета на t° и, кроме
того, нагружена моментом Мх. Величина момента Мх выбрана таким
образом, чтобы кривизна пластины была равна нулю (рис. 5.28, в).
1 При отсутствии искривления относительное удлинение во всех точ-
ках одинаково:
для верхнего слоя
Q
8® =	+ «1^,
и для нижнего
<?
где uXi и <y*f — напряжения в верхнем и в нижнем слое, постоянные
по толщине слоя.
Приравняв правые части двух последних равенств, получим
oXt + «1* ==	+ «Ч*-	(5. 11 4).
Второе уравнение с неизвестными oZ1, составим на основании
условия равенства нулю нормальной силы ,
Ля = 0.	(5.115)
Решение системы двух уравнений (5.114) и (5.115) дает
(eq — a^t
°Xi-----U I	7	Гу
1 \ £1*1	+	£»*a J
° _	(«1~ «аИ
j. I 1	.	'
4£i*i
(5.116)
При суммировании напряжений оХ1и о*,по толщине слоев получа-
ется пара сил с плечом ; момент этой пары
Й<=

(5.117)
216

»
ft
►*



" \7K>	ттр -
Теперь нетрудно определить напряжения и радиус кривизны
г поверхности при одном только нагреве на t° С. Для этого, очевидно,
О
'• надо к пластине, нагретой и нагруженной моментом Мх, приложить
момент Мх обратного направления. В результате моменты 4- Л1Х и
—Мх взаимно уничтожатся и останутся только те напряжения и
i деформации, которые соответствуют нагреву (рис. 5.28, г). Значения
напряжений найдем как разность выражений (5.116) и (5.112) при
значении момента Мх = — Мх согласно равенству (5.117), т. е.
0i4-ftg)£iz~ 1.
2 (£\J! -f- E%Jsi J ’
п(0(ai~ ая) t
/1 1
\ Eilh Esh
(/)_ (gi as) t |
1
E.h
(hi 4- fta) E2z
(5.118)
2 (fiA + ^a^s) J
E^ht
Положение нейтрального слоя, от которого отсчитывают г,
определяется зависимостью (5.109). Кривизна пластины при нагреве
L на /°C согласно уравнению (5.111):
L	_2±. = _ («i-asH(S+V	(б л 19)
Анализ выражения (5.119) показывает, что термочувствитель-
ность биметалла будет наибольшей в том случае, когда толщины
L слоев будут удовлетворять условию
Г	£1М = £8М.
. У такого биметалла, называемого нормальным, нейтральная
L линия при нагружении внешним моментом совпадает с границей
между слоями (а = 0). Эффективная изгибная жесткость в этом слу-
чае
£1Д4"£аЛ —
вд+ад _ ЕМ*
з “ з ’
где
h=hi 4~ h$-
L Зависимости (5.118) и (5.119) для нормального биметалла
г упрощаются и принимают вид
F	<т(О — — (ai~as)^i Л, 1 3 \
!•	--------“ft	V*1 +	)>
£$	„(0 _(а1— «2)/£а ft. 3 \
°*	—й — (ъ--2г,
(5.120)
_ 3	(«1-°^)^
Pjc 2 h
(5.121)
' При большой ширине биметаллической пластины в ней возникает
двухосное напряженное состояние. Рассуждая аналогично, нетрудно
217
Рис. 5.29
установить следующее. Если края пластины свободны, то при натре*
вании она искривляется в двух направлениях и ее плоская поверх-
ность переходит в сферическую. Радиус кривизны, одинаковый
по х и у, может быть вычислен по формуле (5.119). Напряжения,
также одинаковые по х и у, будут в — раз больше вычислен-
ных по формулам (5.118). Если же пластина имеет накладки, не
позволяющие ей искривляться в поперечном направлении, то в ней
возникает цилиндрический изгиб. Кривизна по оси х в этом случае .
будет в - -g- раз меньше вычисленной по формуле (5.119). Напря-
жение стр будет в । раз больше вы-
численного по формулам (5.118), а напря-
жение будет отличаться от о? тем, что
во втором слагаемом будет еще множи-
тель р.
Заметим, что для снижения напряже-
ний и увеличения термочувствительности
в биметаллических пластинах иногда де-
лают продольные прорези. При наличии
последних напряженное состояние прибли-
жается к одноосному.
Пример 5.11. Схема термореле изображена на
рис. 5.29. В качестве чувствительного элемента
использована биметаллическая пластина /. При
нагревании пластина деформируется и посредством
рычага 2 замыкает контакт 3. Определить усилие,
действующее на контакт при температуре /= 100° С.
Дано: I — 20 мм; = 40 мм; Д = 0,5 мм; йх = 0,2 мм; йа — 0,4 мм; верхний
слой — медь Ег = 1 • 10? Н/см2; = 18* IO"8 1/град; нижний слой — сталь Е2 ==
• = 2> 107 Н/см2; «2 = 12* 10-8 1/град; ширина пластины 6=10 мм. Изгибная жест-
кость рычага EJ = 1600 H*cms.
2
При заданных числовых значениях h^—2hi\ E^—2Ei, aa=x~at.
О
Для определения искомого усилия X составим уравнение перемещений
6^-6^>=Д, ’
где 6(0 — перемещение контакта от нагрева;
б(Х) — перемещение контакта от силы X.
По уравнению (5.109) вычислим расстояние а от нейтрального слоя:
2Ei (2Й1)2 — Ej/tj	лпли!
—ivv----------kJ—_ o,7/j1=s0,014 см.
а=
E2h| — Ejft?
2(£Л-|-ЕаЛ8)	2(Е1А1-2Е1.2л1)
Момент инерции слоев (на единицу ширины)
e l,521/i5s« 12,16-10“’ см»;
^^(LS/tiF-H0,7^)3 = о,847й?=6,77 • 10-е смз.
□
Изгибная жесткость
EjJ1+£aJa«257 Н ем.
218
Кривизну при нагревании определим по зависимости (5.119):
(—У'1 =-7-г-----+ Ц---------------=0,0112 1/см.
Р* \Tfy+T^)2,‘ElJ,+Et,,i
Напряжения согласно формулам (5.118):
*
о*, = — O^Tccj/Ej—~~, где — 1,7h1	г < — 0,7Лх;
о<9 = 0,1330^2^ — 0,249а1/£'1 ~ где — 0,7ft! «£ г sg; 1
Для определения перемещения контакта, вызванного нагреванием, применим
интеграл Мора:
i
Mxdz — 0,090 см,
где = Hi — момент в текущем сечении пластины от единичной нагрузки, при-
ложенной по направлению искомого перемещения.
К перемещению от изгиба можно добавить перемещение от удлинения пластины
== Во/=cqtl 4
=0,0026 см.
k ^2^2 /
Суммарное перемещение контакта при нагревании = 0,0926 см. Далее
найдем перемещение контакта от
силы X, для чего также используем
интеграл Мора:
\ b (£х/х 4- E2J2)
, С (Хах) (IzJ dzt _
"* J EJ
о
X/?/	X/«
b [£iJi 4- E2J2) + 3£J
Puc. 5.30
«0.1378Х,
XI
• где — изгибающий момент от силы X на единицу ширины пластины.
о
Найденные величины вносим в уравнение перемещений:
0,0926—0,1378 • X = 0,05,
отсюда
X=*0,3J н.
Напряжения, возникающие от силы X, согласно формулам (5.112):
0^ =	=964— Н/см2;
£1/14-£2/я
а<м> =	= 1928 ~ Н/см».
*• EjJi+EzJ,!
Эпюры напряжений от нагревания, от силы X и суммарные приведены на
рис. 5.30.


Глава 6 ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ИЗГИБА ПЛАСТИН
$ 1. Вывод основного дифференциального
уравнения упругой поверхности пластины
* *
В общем случае изгиба срединная плоскость пластины
переходит в некоторую поверхность двоякой кривизны, не являю-
щуюся поверхностью вращения.
Этот случай изгиба пластин более сложный, так как напряжения
и деформации представляют собой функции двух независимых пере-
менных; поэтому дифференциальные уравнения получаются в част-
ных производных.
Теория изгиба пластин основывается на общих гипотезах и допу*
щениях, сформулированных в гл. 5.
Согласно гипотезе неизменности нормалей, нормали к сре-
динной плоскости пластины не искривляются, а лишь пово-
рачиваются относительно своего первоначального положения,
оставаясь перпендикулярными к деформированной поверхности
пластины.
Представим угол поворота нормали в виде суммы двух углов
в двух взаимно перпендикулярных направлениях: Ф — угол пово-
рота в направлении оси х и ф — угол поворота в направлении оси у
(рис. 6.1). Выделим из пластины бесконечно малый элемент
(рис. 6.2,а). Вследствие малости прогибов можно считать, что прямо-
угольник abed, совпадающий с срединной плоскостью, не изменяет
ни своих размеров, ни формы, т. е. точки abed смещаются только по
вертикали.
Рассмотрим теперь прямоугольник klmn, расположенный на
расстоянии г от срединной плоскости. Вследствие переменности
углов 0 и ф по х и по у этот прямоугольник получит как линейные,
так и угловую деформации.
На основании гипотезы неискривляемости нормалей линейная
деформация в направлении оси х волокна 1т (рис. 6.2, бив)
•	ч
db '	zc
--(6.1)
а линейная деформация в направлении оси у
(6.2)
220

Угловая деформация в рассматриваемой плоскости определя-
ется как изменение прямого угла klm (рис. 6.2,а); она складывается
из двух углов — угла поворота стороны 1т:
дх
и угла поворота стороны Ik:
dd
Следовательно,
Ъу =« + ₽=	+
(6.3)
Учитывая, что углы поворота нормали Фиф связаны с проги-
бом w зависимостями:
dw .
дх ’
выражения деформаций можно представить в виде
ех =-----ч-=- г = кхг;
х	дх2
d2w
2у=	2 — Ку2',
п	о
ухи — — 2 ч—5- 2 = 2ихиг.
*ху дхду ху
(6.4)
(6.5)
(6.6)
За положительное направление прогиба принято направление
вниз.
„	d2w	d2w
Величины =и х^ =—g-g- при малых прогибах
представляют собой кривизны поверхности в направлениях осей
х и у (рис. 6.3, а и б). Величина иху = — представляет собой
кручение поверхности относительно тех же осей (рис. 6.3, в).
Перейдем от деформаций к напряжениям. Используем зависи-
мости закона Гука при двухосном напряженном состоянии:
Е	1	. ч___ Ez	f	d2w	.	\
°x = a (e* + W	~d^) ’
E	, v	Ez	I	&w	.	dzw \
°У "= 1—pS	(ey + Hex) — —	1 —ЦЙ	+	Эх* J ’
p Ez d2w
-ЪуЬ — — ! ~d^dy’
(6.7)
(6.8)
(6.9)
222
Кроме напряжений их, су и тх>, в гранях выделенного элемента,
возникают еще касательные напряжения и т>2, направленные
перпендикулярно срединной плоскости. В точках, расположенных
Рис. 6.3
т хг и HyZ равны нулю (согласно закону парности касательных напря-
жений), а на срединной поверхности — достигают максимума. Эти
напряжения обычно бывают сравнительно малы, поэтому в расчете
на прочность их не учитывают.
Существенную роль играют только равнодействующие напряже-
ний xxg и Ту2, т. е. поперечные силы Qx и Qy, которые необходимо
учитывать в уравнениях равновесия элемента пластины.
Распределение напряжений по толщине пластины показано на
рис. 6.4. Чтобы перейти к суммарным силовым факторам, проинтег-
рируем напряжения по площади соответствующих граней. Нормаль-
ные напряжения их и сг^ при интегрировании приводятся к изгиба-
ющим моментам Мх и Му; касательные напряжения и тух —
к крутящим моментам • МХу и Mvx, а касательные напряжения
и Tyg — к поперечным силам й Qy (рис. 6.5). Все перечисленные
223
>
силовые факторы принято относить к единице длины, поэтому раз-
меры элемента в плане примем равными единице':
л
2
J (Jxdzz;
h
2
_Л
2
== \ Тжи
_/»
2
ft
2
= J aydzz\
h
— 2
л.
2
Мцх= i xyx dz z.
_ft
2
Подстановка под знак интегралов выражений (6.7) — (6.9)
Рис. 6.5
приводит к следующим зависи-
мостям:
о п Г д3® ।	1
^ж=а дх9 -Ьр д&а J;
(6.10)
, Му = —
(6Л1)
(6Л2)
Eh9
где и » -гн-?;—jc' — изгибная
1Z Ц
жесткость пластины.
Изгибающие моменты Мх и
Му и крутящий момент Мху
выражены через функцию w, которая пока неизвестна. Недостаю-
щие уравнения для определения этой функции получим, рассмотрев
равновесие элемента пластины (рис. 6.5). По граням элемента дей-
ствуют силы Qx dy, Qydxu моменты Мх dy, Му dx, Мху dy, Мух dx.
С увеличением координат на dx и dy силы и моменты получают
бесконечно малые приращения. Кроме внутренних сил, на верх-
нюю грань элемента действует сила р dxdy от .внешнего давления.
Составим уравнение проекций всех сил на ось г и уравнения
моментов относительно осей х и у:
dQx . dQy n
“з—h	— Р = 0:
дх * ду г *
дМх д5АцХ
ду + дх
(6ЛЗ)
(6.14)
(6.15)
Остальные три условия равновесия удовлетворяются тожде-
ственно.
224
Приведем уравнения (6.10) — (6.15) к одному уравнению с одним
уравнения
неизвестным. Подставив выражения (6.10) — (6.12) в
(6.14) и (6.15), определим поперечные силы
д г д2^ ।	1 \
Qx.—
дх2
f
дх
д Г . d2tw 1 I
ду дз& "г* ch/3 J’ J
Выражения (6.16) можно записать бодее кратко:
Qx - D (V^); 1
Oy-D-^w), j
Qy —
(6.16)
(6.16a)
где V2 — дифференциальный оператор Лапласа;
д2 . д2
(6.17)
Выражения (6.16) внесем, в уравнение (6.13); в результате полу-
чим дифференциальное уравнение упругой поверхности
. O^-(VM + O-^-(V2№)=p
или
V2V«u> =
(6.18)
Уравнение (6.18) можно представить также в виде
d*w , п д*& i д^ш   р
дх4 1	дх2 ду2 ' ду4	D ’
Искомая функция w должна удовлетворять дифференциальному
уравнению (6.18) и, кроме
того, граничным условиям на
краях пластины.
Остановимся на вопросе о
граничных условиях более
подробно. Практически могут
встретиться следующие ва-
рианты граничных условий:
1. Край пластины жестко
заделан (рис. 6.6, а). В этом
случае должны быть равны
нулю прогиб w и угол на-
клона в направлении, перпен-
дикулярном к контуру. Если обозначить через п и
касательную к контуру, то на краю пластины при жесткой заделке
“,=°; ^-=°- <6-19)
(6.18a)
--------------------1
8)
Puc. 6.6
s
нормаль и
8 Бояршинов
225
Заметим, что, поскольку w на контуре всюду равно нулю, то,
dw
очевидно, также равно нулю.
2. Край пластины закреплен шарнирно (рис. 6.6, б). На краю
должны быть равны нулю прогиб и изгибающий момент в направле-
нии, перпендикулярном контуру, т. е.
^ = 0; Л1я = 0.
(6.20)
Второе условие на основании зависимости (6» 10) можно привести
к виду
дла дз2	(6.20а)
Для прямолинейного края
1
Рис. 6.7
-^- = 0 и, следовательно, вместо
зависимости (6.20а) можно на-
писать
а также
^=о;	(6.206)
^. + ^ = 7«Ю=0. (6.20в)
Для криволинейного, шар-
нирно закрепленного края ра-
венства (6.206) и (6.20в) неспра-
ведливы.
При действии на шарнирно
опертый край пластины распре-
деленного момента, интенсив-
ность которого m, Н -см/см, второе граничное условие (6.20) при-
нимает вид
Мп=т или	= - ~D-	(6.20г)
3. Край пластины не закреплен (рис. 6.6, а); на свободном краю
напряжения оя, тя4 и тя4 равны нулю. Следовательно, должны быть
равны нулю изгибающий момент 7ИЯ, скручивающий момент Мм
и поперечная сила Qn. Эти три условия, однако, не могут быть удов-
летворены одновременно; так как гипотеза неискривляемости нор-
малей накладывает на деформации пластины дополнительную связь,
поэтому на каждом краю пластины могут быть удовлетворены только
два условия. Указанное затруднение можно преодолеть, заменив
распределенный по кромке пластины крутящий момент эквивалент-
ной поперечной нагрузкой. Действительно,каждую из изображенных
на рис. 6.7, а пар сил можно повернуть на 90° и представить в виде
226
произведения силы Р на плечо ds (рис. 6.7, б). При этом
К»	Р ds = Mns ds,
ь; следовательно,
»а-
Р = Ai„.
dP
Силы Р и Р + -gr-ds от двух рядом расположенных пар, действуя
дР
по одной прямой, вычитаются одна из другой и дают силу —г- ds =
fa Таким образом получается распределенная по краю
дР дМ
пластины поперечная нагрузка	^пд (рис. 6.7, в).
По своему характеру эта нагрузка подобна поперечной силе Qn.
Так как на свободной кромке поперечная сила отсутствует, то,
очевидно, должно выполняться равенство
л
Чя ds
или .с учетом зависимостей (6.12) и (6.16):
^-[i
дпдз 1
д. !
Это равенство представляет собой второе граничное условие для
свободного края, первое же условие имеет вид Мя = 0 или &w *
।	_ л
+ Н &S2	*
края
дпл ~
следовательно, граничные условия для свободного
(6.21)
Если к незакрепленному краю пластины приложены изгибающий
момент т и распределенная нагрузка t (рис. 6.6, г), условия (6.21)
должны быть заменены следующими:
д1») .	т
д Г д*ш , /О
(6.22)
d2w'
м
Следует заметить, что при преобразовании распределенного по
краю крутящего момента в распределенную поперечную нагрузку
на концах рассматриваемой стороны пластины остаются еще две
неуравновешенные сосредоточенные силы (рис. 6.7, в). По величине
эти силы равны скручивающему моменту в концевых точках, т. е.
Pi = М nsp Pt 531
Таким образом, распределенный по краю скручивающий момент
эквивалентен распределённой поперечной нагрузке, интенсивность
которой —, и двум силам Р} и Р2 в крайних точках.
Если функция wt удовлетворяющая дифференциальному урав-
нению (6.18) и граничным условиям на краях, найдена, то задачу
о напряжениях и деформациях в пластине можно считать решенной.
Функция w характеризует величину прогиба в каждой точке. По
функции w с помощью зависимостей (6.10) — (6.12) определяют
моменты Мх, Му, Мху- Для вычисления-иапряжений можно исполь-
зовать формулы (6.7) (6.9), однако более удобно напряжения выра-
зить через моменты. Из равенств (6.7) — (6.9), (6.10) — (6.12), следует
Мх ми	мхи
°x=='f^z'' Gy.=='^Zi Хху=="^ЦГг' <6,23)
Наибольшие напряжения возникают при z = zfc-=-:
А
А4Х6	Муб	МХу6
&х max — & \ Оу щах == де *, Тжр max — —де—•	(6.24)
По напряжениям с\, ау, тху можно вычислить главные напря-
жения, эквивалентное напряжение и коэффициент запаса прочности.
/
§ 2. Изгиб прямоугольных и эллиптических
пластин
Рис. 6.8
Определение функции w, удовлетворяющей дифферен-
циальному уравнению (6.18) и граничным условиям на краях, пред-
ставляет собой довольно сложную задачу и решить ее аналитическим
путем не всегда возможно. Довольно просто задача решается для
прямоугольной пластины, шарнирно опертой по краям и нагружен-
ной произвольной нагрузкой. В этом случае на краях пластины
должно выполняться условие (6.20).
Если стороны пластины равны
соответственно а и b и начало коор-
динат выбрано в центре (рис. 6.8),
то граничные уловия будут сле-
дующие:
прих = ±2* (0 = 0, -^ = 0;
, Ь л д2ш л
При f/ = ± — (0 = 0, -Г-а- = 0.
Рассмотрим вначале частный случай нагружения, при котором
упругая поверхность определяется уравнением
w = w0 cos ~ cos ,	(6.25)
где (0О — прогиб в центре,
228
Легко проверить, что это уравнение удовлетворяет всем гранич-
ным условиям.
Выясним, по какому закону должно быть распределено давление;
d*w d*w
•для этого вычислим -far, и и подставим в уравнение
(6.18а):	*	У
+ д2/,з + bi jcos а cos b “ D •
Отсюда
P = Po cos ™ cos ,	(6.26)
где
p0 = w^D [— +	, (6.27)
Следовательно, если давление будет распределено согласно урав-
нению (6.26), то прогибы будут определяться зависимостью (6.25),
Рис. 6.9
причем максимальный прогиб в центре пластины
---------------------------т-р2—ртг-
(6.28)
Выражения моментов Мх, Му, АЦ.для рассматриваемой нагрузки
получим по формулам (6.10) — (6.12):
(6.29)
(6.30)
(6.31)
Эпюры Мх, Му, Мху приведены на рис. 6.9. Изгибающие моменты
достигают максимума в центре пластины, а скручивающие — в угло-
вых точках.
229
д Г d»ai	d^w'
a^- + (2-H)
dy* J'
Исследуем, как распределяются опорные реактивные силы вдоль
сторон пластины. Последние должны уравновешивать силу, равную
разности Qn —. Для стороны х = у интенсивность реактивной
силы
RX=QX--------------
Подставив в это равенство выражёнйе (6.25) и приняв во внима-
ние равенство (6.28), получим
R, = — Л
ла
COS-^
a» f ft» )
' Аналогично для стороны g = £
D ____ A>
--------П  i \я
(2-H)
a«
___„ тис
cos —
a
Вычислим равнодействующую распределенных -реактивных сил.
b/2	а/2
J₽rtds=s2 j Rxdy-\-2 j Rydx —
s	—b/2	—a/2
_ 4poaft ।	8p0(l—p)
” я» . t / 1 . 1 \« *
p^cos^dxdy^-^.
Полученную величину сопоставим с величиной равнодейству-
ющей внешней нагрузки:
e/2 ft/2
\\pdXdy^ $
х у	—а/2 —Ъ/2
Равнодействующая распределенных реактивных сил получилась
больше, чем равнодействующая внешней нагрузки, на величину
—-	г. Это объясняется тем, что, кроме распределенных реак-
«•^(-т+стГ
. \аа ' ft» /	t	,
ций, по углам пластины возникают еще сосредоточенные реактивные
силы обратного направления. Эти силы соответствуют тем неурав^
новешенным сосредоточенным силам по концам сторон, которые полу-
чаются при замене распределенных скручивающих моментов экви-
валентной поперечной нагрузкой.Так как вугловой точке образуются
две такие силы (от двух пар, расположенных на двух сторонах), то
величина реакции Т в угловой точке пластины будет равна удвоен-
ному моменту Мху\
т — — 2Л4	------2РоО ~~м)
2М^-а1г.^	n.(±>+')W
. \as Vя j
230
~	-------- -ч
’1
Нетрудно проверить, что сумма четырех сосредоточенных реак-
ций как раз равна разности равнодействующих распределенных
реактивных сил и внешней нагрузки. Схема действия реактивных
сил показана на рис. 6.10. Необходимо сделать оговорку, что указан-
ное распределение реактивных сил будет иметь место только в том
случае, когда опоры запрещают
перемещение углов пластины
вверх. Если же пластина лежит
на опорах свободно, то реак-
тивные силы Т возникнуть не
могут и углы пластины припод-
нимутся над опорами. В резуль-
тате пластина будет прилегать
к опорам не по всей длине сто-
рон, и характер деформации
плиты будет более сложный.
Полученное решение можно '
распространить и на более об-
щий случай.
Рассуждая аналогично, можно
пределенному по закону
Рис. 6.10
показать,
что давлению, рас*
„ тлх _ ппу
р —p0COS — COS-jS
(6.32)
соответствует упругая поверхность.
тлх	ппи
W = tti0COS —-- COS —
а о
(б.'ЗЗ)
где
Шо =----
Ро
(6.34)
Приведенное решение можно распространить на случай нагру-
жения прямоугольной пластины с шарнирно закрепленными краями
давлением, распределенным по произвольному симметричному зако-
ну:
Р~Р(%> У)-
Разложив нагрузку р (х, р) в двойной тригонометрический ряд,
получим
со со
2 V Z* mjlx пяу
X COS COS. ь ,
(6.35)
где т и п = 1, 3, 5 ... (так как нагрузка симметричная). Для опре-
деления коэффициента Стп произвольного члена ряда умножим
тлх
правую и левую части равенства на cos —- и проинтегрируем
231
в пределах от — 4 до 4- Учитывая, что
а/2
С	тпх ~ т^Х .1 гх (— , \
\ cos-----cos----ах = 0 \пгфт)
У	а	а	\ -г- /
— а/2
И
0/2
\ cos2^dx = 4,
J	а 2 ’
— о/2
получим
а/2	со
$ Р(х, y)cos^dx = у 2 Стпcos
— а/2	п — 1
Правую и левую части этого равенства умножим на cos
b	ь
и проинтегрируем в пределах от — -у до ; тогда
Л	&
а/2	Ь/2
§ Р(х, у) cos cos ^dxdy = ~Cmn.
— а/2 -В/2
Отсюда найдем коэффициент произвольного члена ряда (6.35):
aJ? %2
Cmn=~b \ J p(x, y) cos cos dx dy. (6.36)
— o/2 — b/2
Поскольку для нагрузки, определяемой уравнением (6.32),
функция w известна, то, применяя принцип независимости действия
сил, можно записать функцию w для нагрузки р (х, у), представлен-
ной в виде двойного ряда \(6-35):
СО со
(6.37)
Это решение в двойных тригонометрических рядах было полу-
чено Навье.
Рассмотрим в качестве примера пластину, нагруженную равно-
мерным давлением р.
По формуле (6.36) при р (х, у) = р = const найдем
о/2	Ь/2
- а/2 — Ь/2
здесь tn, п s= 1, 3, 5, ...
. /пл
Sin 2
пл
2!;
± 1; sin
232
В результате подстановки найденного значения С„п функция w
[см. уравнение (6.37)) принимает вид
«з	.	/пл	.	ПЛ
“	Sin -7— Sin -77-
V	V	2	2	тлх	плу
ш	7^	/т2	.	п2\2	а	о
1г=1Л=1 тп (4- I
(6.38)
Максимальный прогиб в центре пластины при х = 0 и у == О
m „	. тл . пл
“ Sin-77-Sin-к-
У У —А—А-	(6-39)
и л®О лЫ /л»’ , п2 \2	'	'
т=1л = 1 mn^ + -yaj

Рис. 6.11
Этот ряд быстро сходится, уже первое приближение является
Г удовлетворительным:
	/ , ч __ 16р	а464
К	WI—jteD (а2-Н2)2 ’
г в частности, для квадратной пластины со сто-
кроной а:
[•	(Bio)I=^.=O,00416-^,
f В то время как точное значение прогиба
|	ьу0 = 0,00406
г Погрешность первого приближения состав-
Ь ляет 2,5%.
F Решение в двойных рядах для прямоугольной шарнирно опер-
ь той пластины, нагруженной сосредоточенной силой в произвольной
? точке или давлением, приложенным на участке поверхности, рас-
)- смотрено в книге [21].
Решение в двойных тригонометрических рядах является доста-
I точно простым и удобным, однако оно пригодно только для пластин,
1 у которых все четыре края закреплены шарнирно.
Е Более универсальный метод решения задачи об изгибе прямо-
f угольной пластины в одинарных рядах предложен М. Леви.
’ Предположим, что у прямоугольной пластины (рис.6.11) два
г противоположных края (при у = 0 и при у = Ь) закреплены шарнир-
но, а два других закреплены как угодно; нагрузка — равномерное
! давление р. Оси координат выбраны так, как показано на рис. 6.11.
Г Искомую функцию w (х, у) представляют в виде ряда
оо
г	(*, у) = 2 Wk W sin >	(6-4°)
*«=1
Li
’• где (х) — неизвестная функция от х.
233
Очевидно, что ряд (6.40) удовлетворяет граничным условиям
л	л &W п
при у = 0 w —0; -^г = 0
и при y=b iej = O;	^=0.
Для того чтобы ряд (6.40) удовлетворял также дифференциаль-
ному уравнению (6.18) и граничным условиям на двух других краях,
необходимо соответствующим образом подобрать функцию wk (х).
Подставим ряд (6.40) в дифференциальное уравнение (6.18).
Вычислим левую часть уравнения
*
W дх* ду* ~ £ dx* Sln b ZiWk b* Sin-6 ““
00
£тл2
~b*~
. kny
sin-r;
co
S|~	__n d2wk Л®ла t k*ji*
I dx* z dx* 1«“+ "K"
(6.41)
Представим в виде аналогичного ряда правую часть уравнения
Р= 2 P*(*)sin^-
Л 1
(6.42)
Для определения коэффициента произвольного члена этого ряда
kjiy
на sin -г- и про-
умножим правую и левую части равенства (6.42)
интегрируем от 0 до Ь:
^р(х, у) sin ~2-dy=A ^Ppft(x)sin-^-
sin ~-dy.
Приняв во внимание, что
Jsin*^dj/ = b' С sin^siri^O,
где k^k,
получим
= т \р(х’ y)$in^-dy
(6.43)
при р (х, у) = р = const, pk= j~ (1 —cos kn). Если k — четное,
то pit = 0; если k — нечетное, то рА == 4^-.
234
Следовательно, слагаемые, соответствующие четным k, в решении
Сбудут отсутствовать.
После подстановки выражений (6.41)— (6.43) в дифференциаль-
ное уравнение (6.18) оно принимает вид
*
h	Zi L dx* ”2 dx* b* + b* Sln b
A=|,3, 5...
co
*P
Dkn
, kny
sm
b
Это уравнение распадается на ряд обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений. Напишем й-е уравнение ряда
d*Wb п dzwk А2ля . Ил4	4р
-3F— 2 ~d£ ТГ + -й-	= об? •
(6.44)
,v:.
I “
ri‘
/к
 1
’*
He останавливаясь на этапах интегрирования этого уравнения,
^напишем его общий интеграл
. .	„	. ЙЛХ . Л , knx , Л knx . knx .
^л(^) — Сц ch	~}~ Cut sh	~|~ С8А ch -f-
+ C„^sh^ + _^_.	. (6.45)
f • Слагаемые, содержащие постоянные Clk, С2А, С8А,С4А, представ-
[ ляют собой общее решение однородного уравнения. Последний член
>• есть частное решение уравнения (6.44) с правой частью. С учетом
[ равенства (6.45) функция w (х, у) принимает вид
.	со
К / v V? \ 1_ Алх , Л. t_ knx , л Алх , knx .
f ov(x, у) = 2j	CifeVh ~ + Cik sh ~b~ + Csk ~ ch ~ +
h	л=1,з,б	/
. knx . knx . 4pb* 1 . kny	/л .лч
|>	+C“-b~sh —+ jwp-]s>n—•	(6.46)
t Теперь необходимо подобрать постоянные С1к, СЯА, С8А, С4А таким
Ь образом, чтобы были удовлетворены граничные условия на двух
>других краях пластины (при x = ztу).
f Предположим, что два других края жестко заделаны; тогда функ-
ция w должна быть четной относительно х (упругая поверхность сим-
метрична относительно оси у).
Следовательно,
L.	При х — 0	'дх~^ и ’дл-з’^О'
В*1
Из этих условий следует, что СаА ® О и С8А = 0 (функции
L sh и ch ^-нечетные к
Ff"	О	D	О	/
235
Для определения двух остальных постоянных необходимо исполь-
зовать граничные условия на боковых сторонах:
а Л дш л
при х — о w =0; -д— = 0.
г	2	* дх
Эти условия приводят к двум уравнениям
, kna . л kna , kna ,	4р64 Л
си ch	+ С№ -^g-sh ж +	= 0;
, kna , Г , kna , kna , Anal „
С>‘ sh + С„ [sh	ch = 0,
решение которых дает
, kna , kna . kna
С	W	~М~ + ~2Г
1Л	kbn6D 1 / , kna . kna \ ’
•2Г—+ —)
„ , kna
r _ 4pM________sh~2T
№n6D 1 I . kna . kna \ '
ТГТ+Т
С учетом найденных значений постоянных уравнение упругой по-
верхности пластины (6,46) принимает вид
co
4p&« V
n*D 2
nf, kna , kna , kna
2 Г ~гг+ch ~аг
. kna . kna
sh-b- + —
ch-^
ь
о к kna
2sh~2&~
, kna . kna
sh “r
v
. knu
Sin »
b
. knx
ь
b
(6.47)
Максимальный прогиб
00
4pfc^ у
tt’max —	7
sin
при x = 0; у =
kn
2"
А6
b
2
Ала , Ала , Ала\п
21Sh ~2Г + ~2T ch -ЙГ)
. Ала . Ала
sh—+ —
. (6.48)
Этот ряд сходится очень быстро. Уже первое приближение совпа-
дает с точным решением до третьего знака.
После того как функция ш (х, у) найдена, вычислить изгиба-
ющие моменты и напряжения нетрудно.
При выполнении практических расчетов следует иметь в виду,
что максимальные изгибающие моменты и прогибы прямоугольных
пластин при различных вариантах закрепления краев удобно опре-
делять с помощью таблиц готовых решений [25].
Остановимся кратко на изгибе эллиптических пластин.Рассмотрим
эллиптическую пластину .жестко заделанную по контуру и нагружен-
236
*, ную равномерным давлением (рис. 6.12). Выбрав начало координат
в центре пластины, запишем уравнение контурной линии (уравнение
эллипса)
X*
а»
(6.49)
При жесткой заделке в контурных точках должны выполняться
граничные условия (6.19)'. Нетрудно проверить, что этим условиям
. удовлетворяет следующая функция:
/ г2 г/2	\2
«= ^0 ( Д2 + К “ 1 р	(6.50)
где — прогиб в центре.
Действительно, в результате дифференцирования w по п получим
dw п{х? , W2 , \ д ! Хг , W2	/с Е1\
"dn“ ”	\а2’	’б8‘	* / дп \ а* -68’	’	(6.51)
но на основании уравнения (6.49) в контурных точках “J +	“
— 1=0, следовательно, Выражения (6.50) и (6.51) на контуре обра-
[ щаются в нуль.
; Проверим теперь, удовлетворяет ли выбранная функция w
. основному • дифференциальному
уравнению (6.18).
Вычислив , dxi и ^5-
и подставив в уравнение (6.18), по-
лучим
/24 ,	16	| 24 \ _ Р
а4 “Г а2[,а “Г )  {j •
Очевидно, что это уравнение
удовлетворяется при const и
при прогибе в центре
^о=	Р

16
а8Ьа
(6.52)
Поскольку функция w (6.50) удовлетворяет основному дифферен-
циальному уравнению (6.18) и граничным условиям на контуре,
то она является точным решением данной задачи. Наиболее напря-
женная точка пластины находится на конце малой полуоси (х = 0,
у — ± Ь). Изгибающие моменты в этой точке, согласно зависимостям
(6.10), (6.11):
Представляет интерес еще вычислить изгибающие моменты в точ-
' ке, расположенной на конце большой полуоси:
'	л1а = __^; м------№
Qr	J	От
237
и в цёнтре пластины
Л4х==4цу0О^ + нуа);
Му = 4ay0D + р
В частном случае при b = а — R зависимость (6.52) дает значе-
ние максимального прогиба круглой пластины, защемленной по
контуру:
pR*
W° “ 64£> ’
Уравнение (6.50) при b — а = R переходит в уравнение упругой
поверхности круглой пластины
/ —Г® \®
w = w0 .
64D
Для эллиптической пластины с шарнирно закрепленными краями,
нагруженной равномерным давлением, функция w определяется
несколько сложнее. Не останавливаясь на решении, приведем лишь
значения максимального прогиба
pH
I
и изгибающих моментов в центре пластины
• Мх = $р&\
Значения коэффициентов а, 0 и 0Ь вычисленные при р, = 0,3,
приведены в табл. 6.1.
Таблица 6.1
а b	1.0	1,2	1,5 w	2	3	со
а	0,0641	0,0878	0,115	0,145	0,172	0,208
0	0,206	0,219	0,222	0,210	0,188	0,150
01	0,206	0,261	0,321	0,379	0,433	0,500
§ 3. Несимметричный изгиб круглых пластин
При изучении изгиба круглых пластин удобнее исполь-
зовать полярную систему координат г, <р, поэтому начнем с того,
что преобразуем общие уравнения теории изгиба пластин из декар-
товой системы координат в полярную. Как известно, между декар-
товыми и полярными координатами существуют следующие зави-
симости:
я = г cos ip; p = rsinq>;
Xs -|- у* = г®.
(6.53)
(6.54)
г’
Г
Продифференцировав равенство (6.54) по х и по у, получим про-
изводные от г по х и у*.
-g- = —= cos<p; -^ = -£ = sin<p.	(6.55)
Аналогично, продифференцировав равенства (6.53) по х и у и
приняв во внимание (6%55), получим производные от ф
дф sin ф дф cos ф	^"/е
dx-----г ’ ду ~
Пользуясь зависимостями (6.55), (6..56), выразим производные
dw	dw dw
и as? че₽ез у и 3?
dw___dw dr , du; dф dw
дх дг дх
dw dwdr
dw
’dx
dw	dw 
аф a* — ar cos ф — riiipS1" ч1’
%% = % sin q> + ^ cos,,.-
dtp ду dr v rd<p T
Аналогично составим выражения вторых производных:
d2w___Гд Л
дх* ~~ [dr \
d fdw
[d fdw	dw . V
a- -5-COS®--sin® COS® —
dr \ dr	т /^ф T v
d (dw	dw \
I -д- -3- COS ro--r sin <p
[,^ф\ dr v rdy
’ d fdw .	, dw
= л" sin <p+ Tancos®
[dr\dr T 1	Y
Г d fdw .	, dw
- -зг a-Sin® +-д-COS ® COS®
[гдф\дг v ‘ гоф /J
’ d fdw	dw -	\1 .	,
= a* Hr cos ® —д— sin <p ) sin <p 4-
_dr\dr т гоф Y/J T 1
d fdw	dw .	\1	„
-HHcos*_^s,n’)lcos<1>-
Выполнив дифференцирование и положив ф = 0, придем к сле-
г дующим соотношениям:
dw________________________dw
дх дг *
d*w_d*w
dx* “ dr»’
sin ф;
d*w
ду2
d*w
дхду
dw____dw
ду	rdtp’
d2w  dw , daw '
di/1	rdr ’’’ r*d<p* *
d*w d*w dw
dx dy = ^ф dr r2d<p',
(6157)
(6.58)
В результате замены производных по х и у производными по г и ср,
К согласно равенствам (6.58), выражения изгибающих и крутящего
f Моментов (6.10) — (6.12) принимают вид
М
d*w

\rdr 1 r*d<p*j J ’
d»w । d*wl
гМф»-*'** dr»p
(6.59)
 (6.60)
(6.61)

W-.
Запишем дифференциальный оператор (6.17) в полярных коор-
динатах:
V2 ф = *(♦)
д(*)	1 а»(*)
гдг	г2 бфа
(6.62)
Для поперечных сил вместо выражений (6.16) получим

(6.63)
Основное дифференциальное уравнение (6.18) после преобра-
зования принимает вид
1 д . 1 д2 \	. 1 dw
г dr * г2 d(p2J \йг® "г” г2 дг
1 д2иЛ __ р
Т2 5фв/ — D ’
(6.64)
Прогиб и? и давление р приняты положительными, если они
направлены вниз. Положительные направления силовых факторов
(Qr+^dr)(rt-dr)d(p
f дм?
№?+ jjrdr)(r+<tr)a
, . Ж/ . ..
Mtdr
дм
z„ . д&Т. . .
Puc. 6.13

показаны на рис. 6.13. Заметим, что зависимости (6,59) — (6.64)
могут быть выведены непосредственно в полярных координатах [211.
Напишем еще выражения граничных условий для круглых пла-
стин при несимметричной деформации.
При жесткой заделке края пластины вместо условий (6.19)
^ = 0;	аг^°-	(6.65)
При шарнирно закрепленном крае вместо условий (6.20)
п	д®и> ,	1 dw Л
w = °;	^72 + И у а7 = 0.	(6.66)
240
При свободном крае взамен условий (6.2!)
Мг 0 или + ц гдг + Ц гад(р 0;
Qr —	~ 0 или
ГОф
(V2fly) 4-*(1 - р) (1	-4^=0.
дгх / ’ \	\г2 дгду2 г3 стр2/
(6.67)
Общее решение дифференциального уравнения (6.64) можно
представить в виде суммы общего решения однородного дифферен-
циального уравнения и частного решения уравнения с правой ча-
стью:

(6.68)
Общее решение однородного уравнения получено Клебшем:
оо	оо
W = Ро (/•) + 2 Р* <r)cos w + s /т (/•) sin ту, (6.69)
!*	1
где
Ро(г)~ Си 4" Сгс^2 + Сзо 1п ~ 4“	In —;
Fm(r) = Cimr« + C2fflr“’«+ ”
+ Csmrm+2 4- с4тг- т +« (при m # 1);
Pi(f)~Cur -\-C21f 14_Сз№4“
4“	(при m=l).
(6.70)
Функции fm (г) определяются такими же уравнениями,
как и функции Fm (г), Fv (г) [см. уравнения (6.70)].
Первое слагаемое в решении (6.69) учитывает осесимметричную
составляющую прогиба ш. Это слагаемое полностью соответствует
решению для круглых осесимметричных пластин.
Слагаемые, содержащие cos л?<р, соответствуют симметричным
составляющим функции w относительно плоскости ф = 0, а слагае-
мые, содержащие sin пир, — обратно симметричным.
Частное решение уравнения (6.64) определяют в каждом частном
случае по заданному закону распределения давления р.
Постоянные интегрирования находят, как обычно, из граничных
условий на краях пластины.
Пример 7.1. Круглая пластина, жестко'заделанная по наружному краю,
имеет в середине жесткий центр, к которому приложен изгибающий момент т
(рис. 6.14, а). Подобная схема встречается, в частности, при расчете днищ канат-
ных барабанов, работающих на изгиб.
Характер деформации пластины показдн на рис. 6.14, б.
241
Совместим начало отсчета угла ф с плоскостью действия момента. Так как
эта плоскость является плоскостью симметрии, то в решении (6.69) члены, содер-
жащие sin тф, должны отсутствовать.
Слагаемое Fo (г) в данном случае также следует приравнять нулю, так как
деформация обратно симметрична относительно срединной плоскости пластины,
Такжеравно нулю и частное решение W (ввиду отсутствия распределенного давле-
ния). Таким образом, функция w для данной задачи принимает вид
СО
(r)cosrmp,
1
Рис. 6.14
где zn — 1,3, 5..., так как нагрузка обратно симметрична относительно оси ф =
Запишем граничные условия для рассматриваемой пластины. Обозначим
через Oq угол поворота жесткого центра (рис. 6.14,6), тогда приг=а прогиб
в произвольной точке. на внутреннем
контуре
w——аф0со8ф.
Составляющая угла поворота нор-
мали в радиальном направлении в той
же точке
- du> А
— 60cos<p.

На наружном контуре (г в Ь) при
жесткой заделке имеют место следую-
щие граничные условия:
и-0;	^-0.
аг
Так как частное решение © равно
нулю, а в граничные условия слагае-
. мые, содержащие cos Зф, cos 5ф и т. д., не входят, то искомая функция w будет
содержать только один первый член ряда, т. е.
Ш = Г1(г)С08ф,
или с учетом выражений (6.70)
=	4"	1 4“	4“ ^41/* 1П	COS ф.
Постоянные интегрирования определяются из граничных условий. Последние,
при внесении в них функции w, приводятся к системе четырех уравнений:
— a O0cos ф=
cos ф;
Оо cos ф—Гси —: Сц —g4-Csl3a2-|-С41 fin -у 4"
cos ф;
0 f Сцб 4” ^21 —I-	cos ф:
0 »= (сп — Ст	4* С8136а 4- Ct Acos ф.
242
Решение этой системы уравнений дает
Г	(*8-0
11 2 [(Аа4-1) In A —(fta—1)] ’
Oo	ааАа
С®1 “ 2 [(Аа4-1) In A-(Aa-l)J *
л» • Оо __________1_________,
Mi — 2fl8	,) ln k-(№-1)] *
Г	Ao (#+1)
41 “[(Л8+1) In k-(Aa-1)]»
. b
где k=* —.
Рис. 6.15
Выражение функции w принимает вид
'	•	+2^-J+2(l+*’)rlny]cos4>.
Теперь осталось установить зависимость между углом поворота 0О Центра
и величиной момента 3R. Эту зависимость
получим из условия равновесия жесткого
центра. На жесткий центр действует внешний
момент и распределенные по окружности
радиуса а радиальный изгибающий мо-
мент Мг, скручивающий момент Л1Г/ и попе-
речная сила Qr (рис. 6.15). Составим уравне-
ниЪлломентов относительно оси у:
п
Ф14-2 Г Mra dtp cos <р—
/'
п	• л
—2 ( Mr/a dip sin ф4*2 ( Qra d(pa cos ф=0.
A	0
Силовые факторы Мг, М/, Mrt, Qr определим согласно формулам (6.59)—(6.63);
..	OoD	Г,о . х г
-	Mj₽>=^4<AB4- О In k-(№- 1)J [Р+Ю a
-	(I “И) ft*- (1 +p) (ft* +1) 7]cos Ф;
Mt=3ta [(ft84-l) In 1)] [(1 +3p) a +
+(l-p)ft8$~0+p)(ft*+0 у]совф;
Mrt=a [(fe24-iflik-P(fe’-1)]I-*’ r« ~7 ЯП W
~ a8[(ft84-l)ln°ft-(ft8-l)j [2 +	+1 > 7a cos Ф-
При r = a
M « 0pP2(fea 1)cosф t /es0’
r a [(A® 4*1) In ft—(ft’—1)J! M^eU’
о 0qD2 (3-i-ft8) cos ф
W?“a®[(A«4-l)lnA-(A2-l)]-
243
Внеся эти значения в уравнение равновесия жесткого центра и выполнив ин-
тегрирование, получим
_ 4лО00(Ьт _ п.
(*2+1) In Аг — (#*—1)~' ’
откуда
ан((А»+1) in k-(*2-i)i
“ 4лО (Ага4-1)
После того, как угол поворота центра найден, нетрудно вычислить внутренние
силовые факторы.
Наибольший изгибающий момент возникает в точке с координатами ф = О,
Г — а:
м	OoD2(fea—1)__________ЗВ (А2-1)
rmax а[(^+1)1пЛ-(*2-1)] ”	2ла(£24-1)‘
Соответствующее максимальное напряжение
ап (#-1)6
°тах 2ла (# + 1) Л«'
Пример 6.2. Сплошная круглая пластина, жестко заделанная по наружному
контуру, нагружена неравномерным давлением, распределенным согласно урав-
нению
Р=Ро у «®Ф,
где Ь — наружный радиус.
Учитывая, что давление изменяется по закону cos ф, а граничные условия от ф
не зависят (граничные условия — однородные), можно заключить, что функция w
[см. уравнение (6.69)] в данном случае имеет вид
Ш = (г)совф-f-W = ^C1r + C2r-1 + Car8-|-C4r In у^С08ф-]-Щ.
Найдем частное решение Эго решение должно удовлетворять уравнению
V2V2U'=~£ cos ф.
UD
Так как правая часть уравнения содержит г в первой степени, а в левую часть
уравнения входит четвертая производная от © по г, ищем © в виде
й> = Лгьсо8ф.
Вычислив ф2фа© и подставив в дифференциальное уравнение (6.64), найдем,
что уравнение удовлетворяется при
А - Ро .	77. _РоГ6С08ф
19206’	19206 ’
Следовательно,
w = Су -|-Су~14- Су3 + C4r In ~ 4-
РоГ° ]
19206]
COS ф.
Запишем граничные условия:
при r=0 w Ф со; при г=0
к
при r—b щ = 0; при г==6
дш
дг
244
Из двух первых условий следует С8 =0; С4 = 0.
Третье и четвертое условия приводят к двум уравнениям:
C1M-CS(,= + ^=O;
Cj "4" ЗСдЬ^ -р
Р<№
192D
0,
из которых найдем
Ро^3 г _ 2Р(Л
1“!92D’	3	1920’
Следовательно,
w_____Р—
\92Db
64г — 2Ь2г3+i* cos <р.
Дальнейшее вычисление внутренних моментов по зависимостям (6.59)—(6.61)
и напряжений по зависимостям (6.24) не выбывает трудностей.
Другие примеры расчета круглых несимметрично нагруженных
пластин можно найти в работах [21; 25], в частности, в этих работах
приведено решение для круглой пластины, нагруженной сосредо-
точенной силой в произвольной точке. Используя это решение и
применяя метод наложения, можно получить решение многих задач,
в которых заданную нагрузку можно представить как совокупность
нескольких сосредоточенных сил.
§ 4. Изгиб анизотропных пластин
Примерами анизотропных пластин, имеющих разную
изгибную жесткость по различным направлениям, могут служить
пластины из фанеры, текстолита, стеклопластика и т. п.
Если анизотропия механических свойств подчиняется закону
симметрии относительно некоторых взаимно перпендикулярных
осей, то такие пластины называют ортотропными.
К ортотропным пластинам относят также пластины, под-
крепленные часто расположенными ребрами или’ гофрированные.
В последнем случае пластины называют конструктивно ортотроп-
ными.
Рассмотрим вначале изгиб пластин постоянной толщины, изго-
товленных из ортотропного материала.
Предположим, что элемент объема находится в условиях двух-
осного напряженного состояния. Напряжения ох, оу и гху связаны
с относительными удлинениями ех, &у и угловой деформацией ух>.,
уравнениями обобщенного закона Гука:
(6-71)
где axt ау, аху и аух — параметры упругости материала; Gxy —
модуль сдвига.
245
Решив уравнения (6.71) относительно деформаций ех, еу, полу-
чим
tty	^XV
Сх (JA "	— О’ о ir -		1	1
ocxoty а ул	v
ОЬл	С&уЛ
В у ““ СТ у	ах .......1	1   •
Уравнения (6.72) можно записать также в другой
(6.72)
форме:
где
Ojj	оу
ех~Ёх~^УЕу'
ау	сх
еУ~Еу~^хЕх1
(6.73)
Ех =
ух^ху
Е« =
ух^ху
Ру
ЕУ
Их
Ех
Покажем, что между постоянными упругости существует зави-
симость
	
(6.74)
Р*' Ру
Ех
Для доказательства этого используем принцип взаимности работ.
Примем, что в первом состоянии действует только напряжение оЛ,
а во втором — только ау, тогда на основании принципа взаимности
работ
Е'
(6.75)
(работа сил первого состояния на перемещениях второго состояния
равна работе сил второго состояния на перемещениях первого состо-
яния). Последнее равенство приводит к зависимости (6.75), из кото-
рой, в свою очередь, следует
ос*j =	•	(6.7 6)
Получим еще выражения параметров упругости через упругие
постоянные Ех, Еу, p-у, для этого решим уравнения (6.73) отно-
сительно напряжений;
 __ Е* р 1 - Е-иУ'Х р .
-•PxPi/
(6.77)
Р*Ру у
246
Сопоставив эти уравнения с уравнениями (6.71), найдем:
а —.	___ а „ __ Еу
х 1 -Pxh, ’ у 1	*	/6 78х
а
1 НлНу 1 "НхМ'у
Вывод дифференциального уравнения изгиба анизотропной пла-
стины основан на общих гипотезах теории изгиба пластин (гл. 5, § 1).
Рассмотрим вначале пластины, симметричные относительно
своей срединной плоскости.
Выражения деформаций (6.4) —г (6.6) в данном случае остается
справедливыми. Подставив эти выражения в уравнения (6.71),
получим
/
°*----
f daw । d9u»
Gy — ~ oyi + axy -Q^
T-----2G—Z
Txy - zudxdy Z'
Интегрируя напряжения по толщине пластины,
внутренний силовым факторам:

лл Гп । n
Af х — х |^Л	+ Di	j;
лл	Гп	। n
My — \Dy dyt + Di dxtJ;
M-------2D
Mxy- лиХудхду,
I _ . Г) ____
*“ 12 ’ >'----12 ’
axvh31 n __G№
T2 ’ UjW ” 12 •
(6.79)
перейдем к
(6.80)
(6.81)
(6.82)
(6.83)
Уравнения равновесия элемента изотропной пластины (6.13) —
(6.15) справедливы также и для ортотропной пластины. Внеся в них
выражения моментов (6.80) — (6.82) и выполнив несложные преоб-
разования, придём к дифференциальному уравнению упругой по-
верхности
дх* + дх*д& +Dy~dyi~	(6.84)
где
H = D1+2Dxy.	(6.85)
Запишем еще формулы для поперечных сил Qx и Qy. На основа-
нии уравнений равновесия (6.14), (6.15) с учетом зависимостей
(6.80) — (6.82) найдем
' . <6-86)
<6-87)
I
247
Интегрирование дифференциального уравнения (6.84) при за-
данных значениях жесткостей Dxt Dyu И и при заданных граничных
условиях может быть выполнено или точными методами, например
в двойных рядах, или приближенными методами (см. § 5).
Пусть, например, свободно опертая прямоугольная ортотропная
пластина нагружена равномерным давлением. Укажем порядок
решения задачи в двойных рядах.
Рис. 6.16
Разложим нагрузку в двойной тригонометрический ряд
со	Sin sin ™
, «А 16Р V V 2	2	К
Р(Х. = Л Л --------------------------ЙЯ---- COS —cos-
JI	tllttf	и
m — \t 3, 5 ... n — I, 3, 5
и подставим этот ряд в уравнение (6.84):
D‘T&+2H
diw . р d*w
д^д^~^иУду*
со	оо
гл«=1, 3, 5 л = 1, 3t
. /лл . лл
sin -2 ап т
tnn
5
тях	пяу
cos----cos —Л
а о
248

к
1
£?-
(•*
I 
R *
Решение полученного уравнения ищем также в виде ряда
со	со
m = l, 3, 5 ... п — 1, 3, 5
тлх ппу
пт COS — COS
b 9
Приравняв коэффициенты при одинаковых функциях в левой и
правой частях уравнения, найдем коэффициент произвольного члена
ряда
&тп —
. „ . тл . лл
lop Sin Sin -у
т* . „„ ш2л2 . „ п*
Определив функцию ю, можно по формулам (6.79) вычислить
напряжения.
Дифференциальное уравнение (6.84) полностью применимо также
и для конструктивно ортотропных пластин (рис. 6.16). При этом
необходимо, чтобы конструктивные элементы, вызывающие орто-
тропность, были расположены достаточно часто, с тем чтобы скачко-
образное изменение упругих свойств пластины можно было бы не
учитывать.
Приведем значения коэффициентов жесткости для некоторых
[ видов ортотропных пластин по данным работы (251.
Для пластины, усиленной ребрами в направлении оси х, как
показано на рис. 6.16, а, коэффициенты жесткости имеют следую-
щие значения:
n' _	Eha л-ЕЬ .
Ux~~ 12(1—р2)
12/
ЕЛ3
£Л»
12(1—р2)
>
Для пластины, усиленной ребрами в двух направлениях
(рис. 6.16, б):
л — Eh* t	h3).
Ux~ 12(1 -p2)
г
Ehs . £Ь2(Я«—Л8)
12/i	’ ~у~ 12(1 —р2)-^	,12/а	’
£Аа
П = 12(1—р2)'
При одностороннем расположении ребер в направлении оси х
I (рис. 6.16, в)
Г n -JE п__________________™	п л
[.	t i	f	bh3\ ’ • 1—U> Uxy— 12 ** 2/ ’
► ,2^1 —+
. где J — момент инерции Т-образного сечения, соответствующего
|. одному шагу расположения ребер, относительно его центральной
г. оси (на рис. 6.16, в это сечение отмечено штриховкой);
С — крутильная жесткость одного ребра.
249
Для гофрированной пластины с синусоидальной гофрировкой
z=ysin ^ (рис. 6.16, г).
~ EJ	Eha
л. и____оп ___ SEha
U, П-Шху- И2(1+Р-)’
H*ht
8
0,81	1
,5/У2
‘32
л2№\
'Та/Г —развернутая длина одной волны.
— момент инерции одной волны гоф-
рировки;
Для решетки (рис. 6.16, д)
D	. г) __№.
н=20 — _L[£i
л — шху — 2 [
0;
где Cj и С2 — крутильная жесткость брусьев, параллельных осям
х и у соответственно.
Коэффициенты жесткости железобетонных плит рекомендуется
вычислять по формулам:
'^1 — Цбет}/ D^y;
h-VdJdJ,
где Ебет, Рбет — упругие постоянные бетона;
h — толщина плиты;
и ^>ст — моменты инерции сечения стальной арматуры в
плоскостях, перпендикулярных осям хну, отнесенные к единице
длины (предполагается, что плита армирована в двух направ-
лениях).
Для плиты, изображенной на рис. 6.16, е:
_ 2prd« . лгРЛИ
*СТ“Г1 L 64 + 4 4]»
f2 L 64	4 4 J’
Для пластин, изготовленных из фанеры, коэффициенты жест-
кости вычисляют на основании данных табл. 6.2.
Отметим, что для определения напряжений в однородных
ортотропных пластинах постоянной толщины можно пользоваться
обычными формулами (6.23) и (6.24). Для пластин, конструктивно
ортотропных или армированных, указанные формулы не при-
годны.
250
Таблица 6.2
Название материала	ах • 10-*. Н/см»	V10-*. Н/см»	Н/см1	Н/см1
Фанера кленовая пяти- слойная1 	 Фанера березовая трех- и пятислойная1 . . .	. 131 140	42 11,7	5,1 5,4	11,1 12,0
1 Ось х параллельна волокнам в наружных слоях.				
Напряжения в пластинах, представленных на рис. 6.16, а, б»
можно вычислить по следующим формулам:
напряжения в самой пластине
__ Ег /д2а> .	__ Ег (д2ш (
°Х	а? +	~ — (1- р8)	+ Р~дх* ) »
__ Егд*и>
0 4~р) дх ду ♦
напряжения в ребрах, параллельных оси
о* = — Ег
d2w
напряжения в ребрах, параллельных оси у.
Р d2w
~CZ№’
где г — расстояние от срединной плоскости (положительное г —
вниз).
Ддя пластин с односторонним расположением ребер (рис. 6.16, в)
напряжения в точках, расположенных на верхней плоскости:
__ Е fd2^ . д2ш Л \
“(1 -р»)	21 + Р'ду2 ~2)^
Е fd^w h . dPw \
°у ~ (1 - ц») vap "2 + ^дх2 Z1)'.
Напряжения в точках, расположенных на нижних кромках
ребер:
z? d2w	Л
= С 22, Оу — V, .
где и г2 — расстояния от центра тяжести таврового сечения до
верхних и нижних точек. .
261
Напряжения в гофрированном материале (рис. 6.16, г):
_ _ d2w НЕ	__d2w hE
0>max — ч-dx2 2 ’ °^П1ах ~ ду2 2 '
Наконец, напряжение в железобетонных плитах (рис. 6.16, е)
ли '
} г 2 + Мбет ^2’1;
_ ^бет^
Ojc бет —
^бет^
dau>
2(1-MSer)
_____ Efa-fh Г d2w
>6e,-2(l-P&t)IV
______Р tfiwhi	_Р d2wh2
Ojr ары — Сет ~2 » <^уарм — Сст	~g-.
I
Приведенные формулы приближенные, так как они основаны на
упрощенных расчетных схемах. Применение уточненных теорией
расчета ортотропных пластин в большинстве случаев нецелесооб-
разно вследствие приближенности исходных допущений и гипотез.
§ 5. Приближенные методы расчета пластин
Приближенные методы решения задач находят в инже-
нерной практике широкое применение. В настоящем параграфе
эти методы изложены применительно к расчету пластин, однако
они имеют более общее значение и применяются также для расчета
оболочек и других тел сложной формы. Часто с помощью приближен-
ных методов удается получить решение таких задач, решить которые
другими методами невозможно.
Существует несколько различных методов [14, 25, 271. Многие
из них основаны на принципе минимума энергии или на принципе
возможных перемещений
(вариационные принципы).
Оба эти принципа ус-
танавливают необходимые
условия, при которых ме-
ханическая система нахо-
дится в равновесии.
Рис. 6.17	Согласно первому прин-
ципу энергия системы,
находящейся в состоянии устойчивого равновесия, минимальна.
Поясним этот принцип на примере простейшей упругой систе-
мы, изображенной на рис. 6.17. На конце консольного стержня
укреплен груз Р. В состоянии равновесия груз занимает положе-
ние, показанное на чертеже штриховой линией. Примем, что в не-
деформированном состоянии энергия системы равна нулю. При пере-
ходе системы из недеформированного в деформированное состояние
центр тяжести груза опускается на величину Д следовательно,
потенциальная энергия положения груза уменьшается на величину
Pf и становится равной Z = — Pf. Эта часть энергии системы
называется потенциалом нагрузки.
252
В то же время при изгибе стержня в нем накапливается потен-
циальная энергия деформации. Последняя пропорциональна ква-
[ драту прогиба
так как сила упругости линейно зависит от прогиба.
Полная энергия системы складывается из потенциала нагрузки
и потенциальной энергии деформации, т. е.
Графики зависимости потенциала нагрузки Z, потенциальной
энергии деформации U и полной энергии системы П от величины
прогиба f приведены на рис. 6.18. При некотором значении прогиба
1 f = f* полная энергия достигает мини-
[ мума.
l Это значение прогиба и есть дейст-
 вительное значение, соответствующее
I положению статического равновесия.
[ При отклонении системы из этого поло-
[ жения в любое другое ей необходимо
; сообщить некоторую дополнительную
; энергию, а это, как известно, и есть
j признак устойчивого равновесия.
Гт
Условие минимума функции матема-
тически может быть представлено как
условие равенства нулю производной
этой функции. Следовательно, принцип
минимума энергии можно сформулиро-
вать иначе: механическая система находится в состоянии равнове-
сия, если производная от полной энергии системы по варьируемому
параметру равна нулю, т. е.
^ = 0
df и’
Если же таких параметров несколько, то
дП = 0 д!1 = 0-
Второй из упомянутых принципов, т. е. принцип возможных
перемещений, гласит: если система находится в состоянии равно-
весия, то сумма работ всех сил на возможных перемещениях равна
нулю. Под возможным перемещением (виртуальным перемещением)
понимается сколь угодно малое отклонение системы от заданного
положения, допускаемое наложенными на систему связями. Для
системы, изображенной на рис. 6.17, например, возможным переме-
щением будет сколь угодно малое увеличение 6 (/) прогиба (на ри-
сунке' показано штрих’пунктирной линией).
Работа всех сил, включая силы упругости на возможном пере-
мещении, равна изменению полной энергии системы, Но в состоя-
253
(6.88)
(6.88а)
г
нии равновесия выполняется условие (6.88) и Sf = 0. Следова-
тельно, сумма работ всех сил на возможном перемещении равна
нулю.
Буква 6 здесь в дальнейшем используется как знак ва-
риации.
Чтобы применить принцип минимума энергии к расчету пластин,
необходимо иметь выражение потенциальной энергии деформации
пластины.
Последнее можно получить, вычислив работу изгибающих и
скручивающих моментов на соответствующих угловых перемеще-
ниях. Для бесконечно малого элемента (см. рис. 6.5) работа моментов
dU = ^(M,dy)^dx+±(Mydx)$dl/+	" .
+|( dx+1 (Myxdx) g dy.
Работой поперечных сил Qx и Qy ввиду ее малости можно пре-
небречь. Множитель 1/2 в каждом слагаемом, как обычно, учитывает
пропорциональность между нагрузкой и деформацией.
Подставив в последнее равенство значения моментов (6.10) —
(6.12), а также значения углов поворота нормали
Л	dw	. dw
О “	дх ’	“ ду ’
получим величину потенциальной энергии деформации в беско-
нечно малом элементе объема
... D /WA® , /д’аЛ® , п d*w d*w . о/1	. / d2w \а . .
dU=-n ч-s + •»-») 4- 2ix -д-г-д-й + 2(1 — а) 5-5-) dxdy.
2 \dx2/	W’/ г дх2 ду* 1	' г,\дхду) 3
Интегрируя это выражение по площади пластины, найдем пол-
ную потенциальную энергию деформации
С С D (fd*w .	о /. к [д№д*и>	/ d*w \2Ъ . . /с оп.
ху	•
Аналогично можно получить выражение потенциальной энер-
гии деформации в полярной системе координат
..__ Г Р D l/d*w t dw . I 5ааД2 р /.___ .	(dw . dau> \
J J "2	W[ar* (rdr +	~
г ф
_	? 1} dr r d<f>.	(6.90)
\r dr d<p	r2 d(fj _|J	'	’
В случае осесимметричной деформации круглой пластины про-
изводные по ф следует приравнять нулю, тогда
	+	(б-зо*)
254
Выражения (6.89) — (6.90) справедливы также для пластин
переменной толщины; в этом случае при вычислении интеграла
следует учитывать переменность изгибной жесткости D по плоско-
сти пластины.
Следует иметь в виду, что при жесткой заделке краев пластины
интеграл
С С Г	\1 2 * *1 j j
J J да’Эу5' ~ \dxdy) ]dxdu>
X у
входящий в выражение (6.89), обращается в нуль. Этот интеграл
также равен нулю и для шарнирно опертой пластины при условии,
что ее контур очерчен прямыми линиями. Сказанное нетрудно до-
казать, преобразовав интеграл по поверхности в интеграл по кон-
туру пластины.
Напишем выражение потенциала внешней нагрузки. При дей-
ствии на пластину распределенного по поверхности давления р
\\р(х, y)wdxdy
* У
(6.91)
или в полярных координатах
(6.92)
При действии сосредоточенных сил, нормальных к поверхности,
и моментов
п	т
1	1
(6.93)
-где
wt — прогиб в точке приложения t-й силы;
<Ру — угол поворота нормали в точке приложения /-го мо-
мента в плоскости действия этого момента;
п и т — числа сил и моментов.
Полная энергия системы равна сумме потенциальной энергии
деформации и потенциала нагрузки
/7 = t/+Z.	(6.94) .
Поскольку U и Z выражены через w, полная энергия системы П
также зависит от вида функции w. Эта последняя должна быть
определена так, чтобы она удовлетворяла граничным условиям на
контуре и чтобы энергия системы была минимальной. Так как энер-
гия системы П выражается некоторым интегралом по поверхности,
то задача сводится к отысканию функции w, которая сообщает ин-
тегралу П минимальное значение. Решение этой задачи методами
вариационного исчисления приводит к дифференциальному урав-
нению относительно функции w, совпадающему с уравнением (6.18),
а также к уравнениям граничных условий, совпадающим с уравне-
ниями (6.19) — (6.22),
255
Однако точное решение задачи получить не всегда возможно,
поэтому на практике широко применяют приближенные методы,
основанные либо на приближенном представлении самой искомой
функции, либо на приближенном численном решении основного
дифференциального уравнения.
1. Метод Ритца, При решении задач методом Ритца искомой
функцией задаются, выбирая ее так, чтобы она удовлетворяла гра-
ничным условиям и соответствовала действительной картине дефор-
мации пластины. Содержащиеся в выбранной функции неопределен-
- ные параметры определяют по условию минимума энергии. В общем
виде искомая функция может быть взята в виде ряда
w = ajt(xt y)-\-aJ2(x, у)(6.95)
где Д, f2.,.— функции, удовлетворяющие граничным условиям;
01, сц... — неопределенные параметры.
Подставив ряд (6.95) в выражения потенциальной энергии U и
потенциала нагрузки Z и сложив U и Z, получим полную энергию
системы tl как функцию аъ а2...
Для того чтобы энергия была минимальной, необходимо, чтобы
выполнялись равенства
^=0; -£- = 0, ...	(6.96)
ctoi	иОд
Решение системы уравнений (6.96) дает значения параметров
Если система функций Д, Д... будет полной, то при бесконечном
числе членов ряда можно получить точное решение задачи. Если
же взять только один или несколько членов ряда, то получится
приближенное решение. Это решение будет тем точнее, чем ближе
будет выбранная функция к действительной.
Пример 6.3. Прямоугольная пластина постоянной толщины, жестко заделан*
ная по контуру, нагружена равномерным давлением р. Найти максимальный про-
гиб и напряжения.
Совместим начало координат с центром пластины и обозначим длину сторон
через а и Ь\ тогда уравнения граничных условий будут следующими:
а
при х= ±
£
ь
при -g-
w=0 и ~=0;
дх
dw
и у-=0.
ду
Чтобы получить решение задачи в первом приближении, зададимся функцией
w, состоящей из одного члена с одним неопределенным параметром:
Нетрудно проверить, что эта функция удовлетворяет граничным условиям
и что форма поверхности, определяемой этой функцией, подобна действительной
упругой поверхности пластины.
Величина о?0, равная прогибу пластины в центре, здесь играет роль неопре*
деленного параметра,
2б6
I Л»’1

Подставив выбранную функцию в уравнение (6.89) и выполнив интегриро*
ванне, найдем энергию деформации
35  За	J2\
а® W	ab) *
Потенциал внешней нагрузки вычислим по уравнению (6.91):
Ь а
2 ’ 2
2 4
__pw<fib
.4
Ь ’ а
О»	♦
2	2
Полная энергия систем, согласно уравнению (6.94):
8 "to +	+ ab) 4
О
Продифференцировав /7 по параметру и приравняв производную нулю,
получим уравнение
£)ш0 ./35 , За
~я4? + w
из которого определим прогиб в центре
•	ра4
'НшТГТ
V ‘ Ь4 ‘ 5е/
Для квадратной пластины, например,
^-^б-0-»°,28тг-
Точное решение дает
о»0=0,00126^.
Погрешность приближенного решения при определении прогиба в данном
' случае не превышает 2%.
Для вычисления изгибающих моментов в пластине воспользуемся формулами
(6.10) и (6.11).'
При подстановке в эти формулы функции w при найденном значении параметра
Шо для квадратной пластины получим следующие значения изгибающих моментов:
в центре пластины при х = 0, у =® 0
М х *яв Му=0,0328 ра\
а	гч
около края при х = х и (/ = 0
Мх=— 0,0253 раа.
л
Точные значения изгибающих моментов:
в центре пластины
а
около края при х «== =,
*
Л1х=Л1|/=0,0231 раа;
{/== О
Мх=—0,0513 po*i
Здесь точность приближенного решения уже значительно меньше.
9 Бояршинов
257
Для того чтобы повысить точность, можно взять функцию w в виде суммы
нескольких слагаемых. Так, например, чтобы получить решение во втором прибли-
жении, следует задаться функцией W в виде
,	/, .	2лх\/, . 2лу\ ,	/, 4лх\/. ,	2л^\ ,
w=ai 114-cos —— j 114-cos-fr-j4-«s I1 — cos—-j (1 4-cos j -{-
.	(. . 2пх\ /. 4шД ,	/,	4лх\/.	4л#\
4-a3 (14-cos —-1 {1—cos —14-аЯ 1 —cos —~\ (1 —-cos-^ I.
1 Подставив ш в выражения для U,Z,I1ia приравняв нулю производные от /7
по параметрам ах, а2> ад, а4, получим систему четырех уравнений, решив которую,
Рис. 6.19
ца, предложено А. Н. Духовным. Это
определим неизвестные пара-
метры.
Пример 6.4. Определить на-
пряжение и прогиб для круглой
пластины с радиальными ребра-
ми, изображенной на рис. 6.10.
Поскольку в данном случае
ребра расположены с одной сто-
роны и площадь их поперечного
сечения значительна по сравне-
нию с толщиной пластины, то
предположение о нерастяжн-
мости срединной поверхности
пластины неприменимо.
Деформацию такой пласти-
ны можно представить как ее
изгиб относительно нейтральной
поверхности, расположенной на
некотором расстоянии от средин-
ной плоскости пластины. Точное
решение рассматриваемой задачи
с учетом неравномерности дефор-
маций в окружном направлении
весьма сложно. Более простое
приближенное решение, основан-
ное на применение метода Рит-
решение основано на следующих до-
пущениях:
1)	деформацию пластины считают осесимметричной, т. е. неравномерность
деформации по окружности не учитывают (это допущение не вносит существенной
погрешности, если число ребер достаточно велико, п > 6);
2)	форму упругой поверхности принимают подобной форме поверхности ана-
логичной пластины без ребер;
3)	смещение нейтрального слоя относительно срединной поверхности пла-
стины считают постоянным по радиусу.
Величину этого смещения е, а также параметр А, характеризующий прогиб
пластины, определяют по методу Ритца из условия минимума энергии.
Приняв гипотезу неискривляемости нормалей'и считая напряженное состоя-
ние в пластине двухосным, а- в ребрах — одноосным, можно написать следующие
выражения деформаций и напряжений:
er«-^(z —е) —
О	1 dw .
е,=у(г-е)=-7-(г-е).
Напряжения в пластине
Е (z—е) /d2w
(1-ра)
I dw\
4-му аг); *=
£(z-e)/l rfa>
(1- На)\ г dr^Y
d?w\
dr2) *
258
Напряжение в ребрах
а=Евг==— Е —(?-е).
Потенциальную энергию деформации вычислим как интеграл от удельной
энергии по объему пластины и ребер
^пл = \ \ у	Znrdrdz;
г ?
t7p==n
5 j ^Fdr.
где п — число ребер;
F — площадь сечения ребра.	,
Подставив под знаки интегралов выражения напряжений и деформаций и вы-
полнив интегрирование по толщине пластины и по сечению ребра, получим
D (	12е®\ С f/da® 1 dw\2
пл= 2 V + йа ) J [\ dr2 + г dr)
Г
cPw 1 dw
..	EJ С f d2w\2
Uv 2 J \dr* ) dr'
где j — момент инерции сечения ребра относительно нейтральной линии}
Jo — момент инерции сечения ребра относительно его собственной централь-
ной оси;
г — расстояние от центра тяжести сечения ребра до срединной плоскости
пластины (высота ребер принята постоянной по радиусу).
На основании второго допущения можно написать.
о)«= Дм»,
где и> — прогиб аналогичной пластины без ребер;
А — неопределенный параметр
Тогда выражения энергии деформации пластины и ребер принимают вид
,,	/. . 12е»\ D C[/d2w , 1 dw\*	.сРш 1 dwL .
1/Пд—+ hijA 2 J [\ dr2 + r "dr /	2<	^^dr» ’ r ’ dr Jinrdr>
r
VV~n 2 A J \dra/ d ’
ИЛИ
f 12e2\
WM = (l +V)
<'p-?rb+f(2c-e)il'w-
Где (j — энергия деформации пластины без ребер; t — интеграл по длине ребер
г
259
Потенциал нагрузки для заданной пластины
г=л2,
где Z — потенциал нагрузки для пластины без ребер.
Полная энергия системы
«ъ	tip
1 +-^-) AHJ^— Vq+F (*c-e)aJ A't+AZ.
В этом выражении содержатся два неизвестных параметра Л и е.
Чтобы энергия была минимальной, производные от П по этим параметрам
должны быть равны нулю, т. е.
или
(12е®\	***
1 4- 2AU+пЕ [Jo 4- F (гс - е)«] Л/ 4- 2= 0;
24е	~
~ A*U-nEF (?с-е) ЛЧ=»0.
Приняв во внимание, что 2 = —2U и решив систему двух уравнений, найдем
гс
24 U ’
nEFfflt
h*
А*
2U
Получим решение для пластины, изображенной на рис. 6.19, а. Рассмотрим
вначале пластину без ребер (рис. 6.19, б). Считая центр пластины абсолютно жест*
ким, запишем граничные условия:
при г=а
ж dur л
#=—-5^=0.
dr
при г«=Ь=10а
dw
5-—0
dr
р
Поперечная сила при r= a Qi =	.
Функции $ и Ф' для заданного случая
нагружения имеют следующий вид:
Х--ЗД;
dr 1 г 4nD [ а 2г J ’
db	Са Р Г. г гя—а«1
dr" dr* 4 г» 4лГ L а+ 2r* J’
Эти зависимости можно получить, используя формулу (5.41) при Р^ — —Р1
Гк— а-
По граничным условиям найдем постоянные
. Р	Ptfl
Сг=0,(45 Cs== - 0,145
и	и
260
Подставим значения постоянных и Q в выражения функции О и ее лроиз*
водной:
£ =	= 0,185
v	dr
d$	(?w Г« ,лс
— г In —
4л а
4л
dr dr* L '
«
Вычислим прогиб пластины без ребер
brailOa
“n»x” 5 в‘й, = 1'54®-^.
a
а также потенциальную энергию деформации
1 *	Р*а*
и интеграл
Р*а
dr=0,050
а
з
При заданньис размерах пластины (рис. 6.19) а — ЗА; F = 2Аа; гс — -h;n~8:
12	2 Л '
смещение нейтрального слоя
=0,204 А
240
nEFh4
и параметр
А “ ~	12ё®	n£[J„ + f(zc-e)s]Z ” °’205,
1 + "Л5"1"
Тогда максимальный прогиб пластины с ребрами •
0\nax‘=J4^,max = 0*317 £) •
Вычислим напряжения в пластине и в ребре. При г — а
t_	Л
Напряжение в пластине при г = а и г = —д
Р (А , \
'Цг-*' Ясю. 4>1 пклр
. о ♦ ' -"Г- ц ““ I ”*“ 0,50 тг j <
1—На I ar *r J ’ А’ *
261
Напряжения в ребре при г = а и г = 2,5/г
ЯА	О	D
a=E~~(z—e)=n0,0595 ~ Е (2,5Л-0,204ft) == 1,49
На наружном контуре при г = b — 10а
I _______ /dau) \
\ dr')	\ dr2 )
— 0,0156
Следовательно, в точках, расположенных у наружного края, напряжения
меньше, чем у внутреннего края.
2. Метод Галеркина. Этот метод, так же как и метод Ритца,
широко применяется для приближенного решения задач строитель-
ной механики машин и, в частности, для расчета пластин. Решение
с помощью этого метода часто получается более простым, так как
он не требует вычисления потенциальной энергии системы, иногда,
однако, метод Галеркина дает большую погрешность, чем метод
Ритца, а в некоторых случаях он вообще не применим (например,
в задачах о деформациях пластин с ребрами).
Поясним сущность метода Галеркина на примере изгиба пла-
стины. Подставим дифференциальное уравнение упругой поверх-
ности пластины (6.18) в следующем виде:
d4a>	g%j	р
дх2ду2 ' ду*.	D
(6.97)
Функция w (х, у) должна удовлетворять этому уравнению, а
также граничным условиям на краях пластины.
Зададимся функцией w в виде ряда (6.95). При подстановке
этого ряда в дифференциальное уравнение (6.97) левая часть урав-
нения не обращается в нуль, а превращается в некоторую функцию
от х, у, аи а2, ...:
Цх, у, alt
.__d*w . п d*w । d*w
~ ~dx* + 2 Тмду* + ~dy*
Эту функцию — ошибку можно представить как некоторое
дополнительное давление р, отнесенное к жесткости D:
Для того чтобы выбранная функция w мало отличалась от дей-
ствительной, следует подобрать параметры alt а2 ... так, чтобы до-
полнительное (несбалансированное) давление р, насколько возможно
мало отличалось от нуля. Для этого необходимо, чтобы работа
давления р на возможных перемещениях была равна нулю. В дан-
ном случае возможными являются перемещения, определяемые
262
функциями flt /2 ... Приравняв нулю работу давления р на этих
перемещениях, получим следующую систему уравнений:
^pdxdyf^x, £/) = 0;
X у
\\pdxdyf2(x, #) = 0;
хУ
или в другом виде
J J L (х, у, Од, а2 ...) h (х, у) dxdy = 0.
ХУ
$ $ L (х, у, alt а2 ...) (х, у) dxdy == 0.
ху
(6.98)
(6.99)
Уравнения (6.99) известны под названием уравнений Галеркина.
Решение задач по методу Галеркина практически сводится к сле-
дующему. Задавшись функцией w (х, у), удовлетворяющей гранич-
ным условиям и содержащей неопределяемые параметры а1э а8,
следует подставить ее в дифференциальное уравнение (6.97). Затем
левую часть уравнения L (х, у, о2) надо умножить поочередно
на 4 (х, у) и /2	у), проинтегрировать по йсей области и интегралы
приравнять нулю. В результате получим систему уравнений, из
которой определяются параметры alt ая ...
При бесконечном числе членов ряда (6.95) метод Галеркина поз-
воляет получить точное решение задачи (при условии, что система
функций /д (х, у), fa (х, у)... будет полной). Если же взять один или
несколько членов ряда, то-получится приближенное решение. Это
решение будет тем точнее, чём ближе будет выбранная функция к
действительной.
Следует заметить, что функция w должна удовлетворять по
возможности всем граничным условиям на краях, как геометриче-
ским, так и силовым. При неудовлетворении хотя бы части гранич-
ных условий решение по методу Галеркина дает ббльшую погреш-
ность, чем решение по методу Ритца.
Пример 6.5. Определить прогиб прямоугольной пластины, жестко заделан-
ной по контуру и нагруженной равномерным давлением.
Обозначив стороны пластины через а и Ь и выбрав начало координат в центре,
зададимся уравнением упругой поверхности в виде
1	/, .	2лх\/, . 2пу\
w~Тw°\1+cos~)(1 +cos ь )•
Эта функция удовлетворяет граничным
а
при х= ± -у
ь
при -g
условиям на краях:
dw
ш = 0
w = 0
и
263
вид
При введении функции w в уравнение (6.97) левая часть уравнения принимает
, .	.	1	г>4 * Г 1 2лх . / 1 , 1 \> 2ллс 2пу
!(*. У. “’«>=гт’2‘п*[-<со5—+(-а> + У1/) cos — cos-^4
£
D
Функцию L (х, у, а>0) умножим снова на ш, проинтегрируем по всей поверх-
ности пластины и интеграл приравняем нулю:
Вычислив интегралы, получим алгебраическое уравнение
. .ГЗ , 3 , 2 1 pab Л
w,flbл [0<+64+asbSJ
из которого найдем прогиб в центре
Этот результат совпадает с результатом, полученным для той же пластины
по методу Ритца (см. пример 6.3).
3. Метод Канторовича Л. В. Поэтому методу искомую функцию
представляют в виде произведения двух функций, одна из которых
зависит только от х, а другая только от у:
w(x, #) = ф(х)ф(у).	(6Д00)
Одной из этих функций, например ф (у), задаются в соответствии
с граничными условиями, а вторую определяют, используя прин-
цип возможных перемещений.
В результате подстановки выбранной функции ф (у) в диффе- *
ренциал^ное уравнение (6.97) левая часть уравнения дает функ-
цию — ошибку L (х, у, <р (х)). Последнюю можно представить как
некоторое дополнительное давление р (отнесенное к жесткости).
Для того чтобы функция L по возможности мало отличалась от
нуля, необходимо, чтобы работа давления р на возможном переме-
щении была равна нулю. В качестве возможного перемещения
примем
6 (w) = ф ty) <5 (<р (х)),
тогда получим
$$£(х, у, <р(х))ф(у)д(<р(х))dxdy=О
х у
или
$ 6 (<р (х)) П L (х, //, <р (х)) Ф (у) rft/1 dx = 0.
X	J'
264
Это уравнение удовлетворяется при условии
\L(x, у, <p(x))q(y)dy = 0.	(6.101)
у
. Подставив под знак интеграла выражения функций L и ф и вы*
полнив интегрирование по yt придем к обыкновенному дифферен-
циальному уравнению • относительно функции <р (х). Последнее
интегрируется обычным порядком. Получающиеся при интегриро-
вании произвольные постоянные определяются согласно гранич-
ным условиям на краях пластины.
Метод Кантаровича имеет преимущество перед методом Галер-
ки на в тех случаях, когда характер деформации пластины или не
совсем ясен, или таков, что для получения решения с требуемой
точностью первого приближения
по методу Галеркина недоста*
точно [251.
4. Метод конечных разно-
стей. При решении задач' этим
методом-область интегрирования
разбивают на ряд конечных ин-
тервалов и дифференциальное
уравнение заменяют уравнением
РЪс. 6.20
в конечных разностях, т. е.
уравнением, в котором производные выражены через разности
значений функций в соседних узловых точках.
Применяя уравнение ко всем узловым точкам, получают систему
п алгебраических уравнений с п неизвестными; решение этой сис-
темы дает значения искомой функции в этих точках.
Поясним метод конечных разностей вначале на примере балки
(рис. 6.20). Разобьем длину балки на несколько одинаковых участ-
ков с шагом а и обозначим через прогиб в /-й точке на границе
участков. Значения прогиба в соседних точках будут соответствен-
но: V/+i,	V/-2 и т. д. Составим выражения первых разностей:
Д1 = Vi - Vi-t,
(6.102)
д‘-1(дЧ-д*)=1(0,+1-0м),
где Д1 — первая разность по направлению вперед;
Д1 — первая разность по направлению назад;
Д1 — осредненная первая разность в рассматриваемой точке.
Разделив первую разность на шаг, получим приближенное зна-
чение первой производной. В дальнейшем будем пользоваться
только осредненными разностями, которые более точно характери-
зуют значения производных. Для первой производной получим выра-
жение '	'
(6.103)
265
Определим теперь вторую разность, для этого возьмем разность
значений первых разностей «вперед» и «назад»:
А1« Д1—А1 = d/+1 — 2и< +	(6.104)
Отношение второй разности к квадрату шага дает приближен-
ное значение второй производной
а	(6.105)
Аналогично составляют разности более высоких порядков. Из
теории "изгиба бруса известны следующие дифференциальные урав-
нения, связывающие между собой прогиб, изгибающий момент М
и интенсивность распределенной нагрузки
d2v_ М . d*M__________
dz*~" EJX' dz* ~
(6.106)
За положительные направления v и q принято направление
вниз, за положительное направление М — направление, при кото-
ром сжатые волокна расположены сверху.
Заменив вторые производные, согласно равенству (6.105), полу-
чим уравнения изгиба балки в конечных разностях:
^,-20, + ^-! = —^-а»;	(6.107)
М (+1—2Л1, + Mi-, = —	(6.108)
Пример 0.6. Вычислить изгибающий момент и прогиб балки, изображенной
на рис. 6.20.
„	I
Возьмем число участков, равное четырем, тогда а — -?• Применим уравнение
(6.108) к точкам 1 и 2. 
При, д = const и Л10 = 0 получим
0-2Mt+Ma = -^-
Пр этим уравнениям найдем
Полученные значения совпадают с точными значениями изгибающего момента
I	I
При Z = -А И Z =х.
4	2
Применим к тем же точкам уравнение (6.107). Приняв во внимание( что при
г = 0, и=0, получим
o-2v.+«1=-^^-4;
1 2va+V1 8 ЕЗХ 16’
266
Решение этой системы уравнений дает следующие значения перемещений:
5<?/4	. м __ 7 ql*
P1 ” 32 • 16£Jх ’ Vi ~ 32 \6EJX ~ Wmax’
Полученное значение максимального прогиба отличается от точного значения
t'max —	-М-приблизительно на 5%.
Более точный результат можно получить,
разбив длину балки на большее число
участков.
При расчете пластин по методу
конечных разностей плоскость пла-
стины покрывают сеткой пересе-
кающихся линий. Для простоты
возьмем ортогональную сетку с оди-
наковым шагом по обоим направ-
лениям (рис. 6.21). Рассмотрим не-
w(m-t>n Ути
которую точку /(, расположенную _
на пересечении линий, обозначен-
ных буквами тип.
Значения прогиба пластины w
Рис. 6.21
в этой точке, а также в соседних
узловых точках будем обозначать
так, как указано на рис. 6.21.
Составим выражения первых разностей по х и у\

I	t
А* (^гнл) =	1) л ~	л]>
г
Ду (^тл) = ~2 [^т(л + 1)
(6.109)
Отношение этих разностей к шагу сетки дает приближенное
значение первых производных по х и у:
dw ^х (wmn)  I г...	...	1.
=“Чт-1)лЬ •
dw	&y(wmn)	I
ди — а ~ 2а	— Wm(n-i)]-
(6.110)
Составим выражение вторых разностей. Эти разности могут
быть трех видов по х, по у и смешанные:
Дхх (^Л1п) = Дж (^тл) Дх (^лш) = ^(т+1)л	2штп-}~	'
Дуу (^глл) ~ Ду (®л»л) Ду (^лтл) =	(л+1) “ 2[&тп^я_ jjJ
Дху (^лт) ~ ТГ [Ду (^(т+1)л) Ду (^(m-i) л)] — 
= 4 [^(л1+1) (л+1)	+ (л-1)	^(т-1) (л+1) 4"
267
Отношение вторых разностей к квадрату шага сетки прибли-
женно выражает вторые производные:
d2®	1	Л / х
= да &хх \Wrnnb
d8®	1	Л /	\.
^а ~ а8 'и,тл’*
1йду = а2
(6.112)
Аналогично можно составить третьи, четвертые разности и т. д.
В общем случае решение дифференциального уравнения изгиба
пластины (6.18) требует вычисления четвертых разностей.
Если же края пластины прямолинейные и закреплены шарнирно,
то можно ограничиться вторыми разностями. В этом случае
, уравнения теории изгиба пластин (6.10), (6.11) и (6.18) преобразуют
следующим образом. Сложив уравнения (6.10) и (6.11) и введя
обозначение
(6.113)
получают
д8® .	М	/а itл\
dx8^dz/8~ D'	(6.114)
Дифференциальное уравнение (6.18) принимает вид
(6.115)
Система двух уравнений (6.114) и (6.Н5) второго порядка экви-
валентна одному уравнению (6.18) четвертого порядка.
Заменив вторые производные их приближенными выражениями
(6.112), придем к следующим уравнениям в конечных разностях:
д„ (W)+(to) = - -g а; ,	(6.116)
Ъ.(М)+Ь„(М) —ра*.	(6.117)
В таком виде уравнения удобны для расчета пластин с прямо-
линейными шарнирно опертыми краями, так как в этом случае
на контуре w = 0; Мп = 0;	= 0;
М = 0.
следовательно,
Пример 6.7. Определить значения изгибающих моментов и прогибов для
квадратной пластины с шарнирно опертыми краями, нагруженной равномерным
давлением (рис. 6.22). Длину стороны пластины обозначим через £; шаг сетки а
возьмем равным ^6. Ввиду симметрии достаточно рассмотреть одну восьмую часть
квадрата, которая на чертеже заштрихована.
Применим уравнение (6.117) поочередно к точкам 0, /, 2:	»
&ХХ (^о) 4" &уу (Л^о) в
Ьхх (All) + Ьуу (Ml)« — ра«;
&ХХ (^>) 4* &уу (^а) и ~“рОа.
268

Подставив значения вторых разностей согласно формулам (6.111) и приняв
во внимание, что в точках S, 4, 5, М = 0, получим
Л!о+2М,-4Л41=~-^;	,
*2Л11-4Л42=-^.
1	16
Решение этой системы уравнений дает
..	9 Р& лл 7 Рь*. м	11 Р6’
Л1°= 2 * 64 * М1В° 2 * 64 * М* 4 ' 64 ’
Зная теперь функцию М в узловых точках, применим уравнение (6.116) к тем
же точкам О, 1, 2:
9 рЬ2
&хх («*о)+Дад НО —	2 *640 °8*
7 рЬя
&хх G^i)+&уу (^1) ~	2 " 640 а>*
&хх (а,я)4~Адо И)— 4 ‘ g^p а •
После подстановки значений вторых разностей из уравнений (6.111) с учетом
того, что = О, С04 = 0 и а>8 = 0, получим
9 Pb*
4ttii—4к>0=—у • б4р1б’»
7 рМ
к,о+2“'я“4«’1=--2* 64016’»
pb*
64 • 160 ’
2a>i — 4о»а=
откуда
66рЬ*	48рЬ*	'35рМ
id» • 640 5	^1=16»-64O:	U,B=16«-64O’
/
269
Вычисленный прогиб в центре пластины
отличается от точного значения
к>о=0,00406
меньше чем на 1%.
 Подсчитаем изгибающие моменты. В центре пластины по условию симметрии
М —М — MoO+m)
. /Идго—--------------------------------9----»
следовательно,
= 0,0457 РЬК
Точное же значение момента
Л4х0=0,0479 pb*.
Здесь погрешность составляет 4,5%. Для повышения точности решения сле-
дует взять более мелкую сетку.
Примеры расчета пластин методом конечных разностей при дру-
гих вариантах закрепления краев рассмотрены в работах [7, 25].
При исследовании изгиба сложных пластин наряду с теорети-
ческими методами широко применяют экспериментальные методы
исследования. К числу наиболее эффективных экспериментальных
методов следует' отнести метод муаровых полос, получивший раз-
витие за последние годы. Сущность метода в том, что сетку парал-
лельных линий, отраженную от зеркальной поверхности пластины,
фотографируют дважды на одну и ту же пластинку, один раз до и
второй раз после деформации.
Две системы линий, перекрещиваясь, образуют на фотографии
муаровые полосы. По расположению этих полос при двух взаимно
перпендикулярных положениях фотографируемой сетки можно
определить форму упругой поверхности и далее расчетным путем
найти напряжения.
Более подробные сведения об экспериментальных методах ис-
следования изгиба пластин можно найти в работе [27].
Глава 7.
БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК
ВРАЩЕНИЯ
§ 1. Некоторые геометрические свойства
поверхностей вращения
Оболочкой называется тело, ограниченное двумя близ-
кими криволинейными поверхностями, расстояние между которыми
мало по сравнению с размерами самих поверхностей (рис. 7.1).
Формы оболочек весьма разнообразны и различаются видом
срединной поверхности, т. е. поверхности, равноудаленной от
внутренней и наружной лицевых поверхностей. Характерной осо-
бенностью оболочек является то, что они имеют неплоскую средин-
ную поверхность. Наибольшее распространение получили оболочки,
Рис. 7.1 а, б
срединная поверхность которых представляет собой поверхность
тела вращения (цилиндр, сфера, конус и т. д.). Оболочки других
видов сложнее; в настоящем курсе они не рассматриваются.
Оболочка вращения представлена на рис. 7.1. Линии,' обра-
зующиеся при пересечении поверхности плоскостями, проходящими
через ось вращения, называются меридианами. Один меридиан на
чертеже обозначей АМВ.
Линии, перпендикулярные меридианам, представляют собой
окружности и называются параллелями.
Каждая точка поверхности может быть задана как точка пере-
сечения некоторого меридиана и некоторой параллели. Так, напри-
мер, чтобы задать положение точки Mt достаточно задать угол ср,
271
отсчитываемый от некоторого нулевого меридиана, и расстояние s,
отсчитываемое от края оболочки вдоль меридиана. Координаты ф/з,
называемые гауссовыми координатами, наиболее удобны при изу-
чении свойств поверхностей вращения. Иногда вместо координаты $
более удобно использовать угловую координату 0, представляющую
собой угол между осью вращения х и нормалью к поверхности обо-
лочки. В некоторых случаях применяют также цилиндрические
координаты ф, х, г (х отсчитывается вдоль оси оболочки; г — от
оси вращения), а также декартовы координаты
х; у=гсо$ф; z — rsintp.
Поверхность вращения может быть задана аналитически, в явной
форме
г=»г(х),
или в параметрической форме t
r = r(s) |	г = г(0) 1
х — x(s) J	х=х(6) J
Рассмотрим меридиональное сечение оболочки (рис. 7.1, б).
Радиус кривизны меридиана обозначим через Rm, На чертеже
этот радиус соответствует отрезку 0хМ. Радиус кривизны в напра-
влении, перпендикулярном меридиану, обозначим через Rt. Этот
радиус равен отрезку нормали, заключенному между рассматри-
ваемой точкой и осью вращения; на чертеже радиус Rt соответствует
отрезку О2М. Действительно, если на параллели взять две рядом
расположенные точки М и L (см. рис. 7.1, а) и восставить нормали
к поверхности, то эти нормали пересекутся на оси вращения в точ-
ке О2. Следовательно, последняя будет центром кривизны.
Радиусы Rm и Rt называют главными радиусами кривизны
поверхности вращения.
, Эти радиусы обладают свойством экстремальности; это значит,
что радиус кривизны в любом другом направлении, наклонном
к меридиану, имеет среднюю величину между Rm и Rt,
Кроме радиусов кривизны поверхности Rm и Rt, в дальнейшем
потребуется еще радиус параллели, проходящей через рассматри-
ваемую точку. Этот радиус г = 03М связан с радиусом кривизны Rt
зависимостью
r = /?,sin£	(7.1)
Радиусы Rm, Rt и угол 0 являются функциями $. Для того
чтобы они в совокупности определяли поверхность вращения, не-
обходимо, чтобы они подчинялись определенной зависимости. Из
чертежа рис. 7.1, б следует
,	- dr=rfscos0
или, учитывая равенство (7.1),
^dne) _ cos
its
2Г2
Дифференцируя левую часть равенства как произведение и учи-
лег 1
тывая, что =^~, получим .
-S-' sin 8 = (1 — cos б.
aS	\ Rm/
(7.2)
Если в качестве независимой переменной использовать угол б,
то дифференцирование no s следует заменить дифференцированием
по 8.
Тогда равенство (7.2) следует записать в виде
dRt
Rmdb
sin 8==(1 — 5Л
\	"т/
cos 8
или
sin 0 = (R„-R,) cose.	(7.3)
Соотношение (7.2) и (7.3) представляют собой частный случай
общих соотношений Кодацци — Гаусса, которым должны удов-
летворять радиусы кривизны всякой поверхности.
/Off	К=0	К<0
Щ	б)	в)
Рис. 7.2
При изучении свойств поверхностей важное значение имеет
гауссова кривизна
’ <7-4>
Если К > 0, то поверхность имеет выпуклые меридианы
(рис. 7.2, а), при К — 0 меридианы поверхности представляют собой
прямые линии (рис. 7.2, б), при К < 0 поверхность имеет вогнутые
меридианы (рис. 7.2, в). Заметим, что если две поверхности имеют
одинаковую гауссову кривизну, то их можно развернуть одну по
другой без разрывов (например, цилиндр и конус можно без раз- ,
рывов развернуть на плоскость, так как для всех трех поверхно-
стей К = 0).
Знак гауссовой кривизны определяет тип дифференциальных
уравнений теории оболочек. Наиболее полно разработана теория
оболочек положительной и нулевой гауссовой кривизны.
Z
273
§ 2. Условия существования безмоментного
напряженного состояния оболочки.
При нагружении оболочки возможны различные виды
напряженного состояния. В оболочке может возникать только
растяжение или сжатие без изгиба стенки (безмоментное состояние);
растяжение совместно с изгибом (смешанное состояние) или только
изгиб без растяжения (моментное состояние).
Примером безмоментного состояния может служить напряжен-
ное состояние, возникающее в сферической оболочке под действием
равномерного внутреннего давления.
В качестве примера смешанного напряженного состояния можно
указать состояние, возникающее в оболочке при нагружении ее рас-
пределенным моментом (рис. 7.3).
Под действием момента стенка
оболочки изгибается, и точки,
расположенные около края, по-
лучают
в связи
радиальные смещения,
с чем срединная поверх-
Рис. 7.3
ность оболочки растягивается в окружном направлении. При де-
формации подобного вида стенка оболочки одновременно испыты-
вает изгиб и растяжение. 5
Моментное напряженное состояние может возникнуть в некото-
рых случаях при несимметричном нагружении оболочки. На рис. 7.4
изображен тонкостенный цилиндр со свободными торцами. При |
нагружении такого цилиндра силамц, перпендикулярными его оси,
он будет деформироваться почти без растяжения срединной поверх-
ности так, как показано на рисунке штриховыми линиями. Нагрузка
в этом случае воспринимается исключительно за счет сопротивле-
ния изгибу. Если же изгибная жесткость будет весьма мала, то
цилиндр превратится в механизм. Это следует понимать в том
смысле, что его можно будет деформировать почти без затраты
энергии. Так как перемещения на каждом из двух торцов могут
быть заданы независимо, то такой цилиндр может быть уподоблен
механизму с двумя степенями свободы. Если на один из торцов
наложить связи, запрещающие искажение формы окружности, то
цилиндр превратится в механизм с одной степенью свободы. При
274
Рис. 7.5
по толщине и имеющие нулевое
запрещении искажения формы окружности обоих торцов деформация
цилиндра без растяжения срединной поверхности будет невозможна.
То же самое можно сказать и об оболочке вращения с образую-
щей произвольной формы. Коническая или сферическая оболочки,
открытые с обеих сторон (см. рис. 7.2, а и б) при весьма малой
изгибной жесткости подобны механизму с двумя степенями свободы.
Тот же конус или сфера, замкнутые в вершине, эквивалентны меха-
низму с одной степенью свободы.
Преимущества оболочки как конструктивного элемента реали-
зуются в том случае, когда ее стенка работает на растяжение (ежа-'
тие) в условиях безмоментного напряженного состояния или состоя-
ния, близкого к безмоментному.
Моментное состояние целесообразно только в том случае, -когда
оболочка используется в качестве гибкого элемента, получающего
в процессе работы значительные
упругие деформации (например,
гибкое звено волновой зубчатой
передачи).
В общем случае напряжен-
ного состояния в стенке обо-
лочки возникают нормальные
напряжения растяжения и из-
гиба, распределенные по тол-
щине так, как показано на
рис. 7.5 (от — напряжение, на-
правленное по меридиану; at —
по касательной к окружности).
Напряжения растяжения, по-
стоянные по толщине, пропор-
циональны удлинениям средин-
ной поверхности. Напряжения
изгиба, линейно распределенные
значение на срединной поверхности, пропорциональны изменениям
кривизны. Предположим, что относительное удлинение срединной
поверхности {наибольшее) приближенно равно е, а изменение
кривизны — х, тогда можно сказать, что напряжения растяжения
имеют /такой же порядок малости, как произведение Ее, а наиболь-
шее напряжение изгиба — такой же порядок, как произведение
Ей у (где h — толщина стенки).
На практике могут встретиться следующие случаи:
1.	Деформация растяжения е велика, а произведение х мало,
т. е.
е>ху.
В этом случае напряжениями изгиба можно пренебречь по срав-
нению с напряжениями растяжения, т. е. считать, что изгибающие
275
моменты в стенке оболочки равны нулю. Это случай безмоментного
напряженного состояния.
2.	Величины е и хй имеют одинаковый порядок. Это случай
смешанного состояния, когда оболочка работает одновременно на
изгиб и растяжение.
3.	Величина е мала по сравнению с произведением nh. В этом
случае растяжением срединной поверхности можно пренебречь и
считать, что оболочка испытывает моментное состояние.
Очевидно, что безмоментное состояние может возникать в двух
случаях: или когда толщина h мала (тканевые, пленочные обо-
лочки), или когда мало изменение кривизны стенки х. Оболочки
с малой толщиной стенки не могут воспринимать изгибающий
момент вследствие весьма малой изгибной жесткости. Они не могут
также воспринимать напряжения сжатия, так как на них образуются
складки. Расчет оболочек этого типа имеет некоторые особенности.
В настоящем курсе такие оболочки не рассматриваются.
Для получения безмоментного состояния в оболочке конечной
толщины необходимы следующие условия:
1.	Форма оболочки должна быть плавной, не должно быть
разрывного изменения радиусов кривизны.
2.	Нагрузки должны быть равномерными или плавно изменяю-
щимися. Не должно быть сосредоточенных сил или моментов, вызы-
вающих значительное изменение кривизны.	/
3.	Края оболочки должны быть закреплены таким образом,
чтобы реактивные силы не имели значительной поперечной состав-
ляющей, а также чтобы не возникали реактивные моменты.
4.	При нагружении оболочки несимметричной нагрузкой должны
быть предусмотрены связи, препятствующие возникновению чисто
моментного состояния. Оболочка не должна иметь свободных от-
крытых торцов.
Следует заметить, что даже если эти условия не полностью
соблюдаются и в оболочке возникает растяжение и изгиб, безмо-
ментная теория не теряет своего Значения, так как уже на неболь-
шом расстоянии от зоны изгиба (от места приложения сосредото-
ченных .сил или скачкообразного изменения радиусов кривизны)
напряженное состояние обычно можно рассматривать как безмо-
ментное.
На краях оболочки, где приложены распределенные попереч-
ные силы или моменты, напряженное состояние можно рассматри-
вать как сумму безмоментного состояния и так называемого крае-
вого эффекта, т. е. местного изгиба стенки оболочки около края.
§ 3. Уравнения безмоментной теории
оболочек вращения
Согласно основному допущению безмоментной теории,
изгибающие и скручивающие моменты, а также поперечные силы
считаются равными нулю. Из этого допущения следует, что нор-
276
мальные напряжения ат и at и касательные напряжения тт/ и
постоянны по толщине оболочки, а напряжения %тг и — отсут-
ствуют.
Выделим бесконечно малый элемент стенки оболочки, ограничен-
ный двумя близкими меридиональными сечениями и двумя кониче-
скими сечениями, перпендикулярными срединной поверхности
(рис. 7.6), и рассмотрим его равновесие.
’ Кроме напряжений- от, 07, xmt = xtm на выделенный элемент
действует поверхностная распределенная нагрузка, которую можно
представить в виде трех составляющих:
рг — по нормали к поверхности; -
ра — по касательной к меридиану;
ря — по касательной к, параллели.
Введем обозначения: *
Tt = uth — нормальная сила в окружном направлении;
Тт = om/i — нормальная сила в меридиональном направлении;
S = XfrJi — сдвигающая сила.
Внутренние силы Tmt Tt, S принято относить к единице длины
дуги: размерность этих сил — Н/см.
При несимметричном нагружении оболочки все величины зави-
сят от двух переменных — от дуги s и полярного угла <р, поэтому
уравнения получаются в частных производных.
Составим уравнения проекций сил, действующих на .элемент
оболочки (рис. 7.6), на нормаль к поверхности п, на ось вращения х
и на касательную к окружности t:
de
-Tmrd<p^-lrmrd<p + ^(Tmrd<p)dslx V
L	1	«
— 2Tt ds sin 6 -f-pirdcp ds—0;
2^ = 0;
(
Tmrdq sin 6 —
Tmrdq sin 6 +	(Tm rd<p sin 6) dsj 4-
4- (pi cos 6 — pa sin 6) rd<p ds = 0;
2 Ft= 0; — Sr dtp 4- [Sr dtp 4-	(Sr dtp) ds j — Tt ds^ 4-
4- ГTt ds 4- Д (Tt ds) d<p] 4- S ds	cos 9 4- [$ ds 4-
4-J^Sd<pds ^>cose4-p8r^T«fee0.
Уравнения моментов в данном случае удовлетворяются тождест-
венно.	,	’
Отбросив величины более высокого порядка малости и выполнив
элементарные преобразования с учетом зависимостей
*- = d6; |( = sin8; ^ = cose
277
придем к следующей системе трех уравнений с тремя неизвест-
ными:
I'm । ^7 _ _ .	/7
|^(T„rsin0)-l^sin6=At;	(7-6)
' 7г|(^)-+7^=-Р».	(7.71
где Рл — осевая составляющая . поверхностной нагрузки;
= cos6 — p2sin6. ’	(7.8)
Уравнение (7.5) известно под названием уравнения Лапласа.
Уравнения (7.5) — (7.7) могут быть сведены к одному диффе-
ренциальному уравнению второго порядка в частных производных
Рис. 7.6
с одним неизвестным. Решение этих уравнений должно удовлетво-
рять граничным условиям на краях. Если граничные условия —
силовые, т. е. на краях заданы усилия Тт и S, то решение системы
уравнений (7.5) — (7.7) может быть доведено до конца. Если же
граничные условия — геометрические, т. е. на краях заданы пере-
мещения, то необходимо дополнительно использовать уравнения
перемещений.
Перейдем к выводу уравнений перемещений. Введем обозначения:
и — составляющая перемещения произвольной точки М сре-
динной поверхности по направлению касательной к мери-
диану;
v — составляющая перемещения по направлению касательной
к параллели;
w — составляющая перемещения по нормали к поверхности.
278
Направления перемещений, показанные на рис. 7.7, приняты за.
положительные.
Перемещения точек NuL отличаются от перемещений точки М
на бесконечно малые приращения.
Вычислим относительные линейные деформации в меридиональ-
ном и окружном направлениях ет и и угловую деформацию в ка-
сательной плоскости yim.
За счет приращения перемещения и по координате s отрезок
меридиана A4N = ds получает удлинение, равное ~ ds. За счет
перехода точек М и Af на больший радиус тот же отрезок получает
удлинение, равное ок/6. Сложив эти удлинения и разделив на пер-
воначальную длину отрезка MN = ds — Rmde, получим относи-
тельное удлинение в мери-
диональном направлении
=	(7.9)
Аналогично определим ок-
ружную деформацию. Отре-
зок ML, равный /тйр, полу-
чает следующие удлинения:
за счет приращения пере-
мещения v по координате <р;
udq> cos 6
за счет смещения точек М
и L вдоль меридианов;
wdq> sin 0 — wdq> -L-
Kt
Рис. 7.7
за счет смещения точек М и L по нормали и перехода их на
больший радиус.
Разделив сумму, этих удлинений на первоначальную длину от-
резка ML — rd<p, найдем относительную окружную деформацию
__ dv , и cos 6 , u>
rdq> * г	* Rf'
(7.Ю)
Угловая деформация yim равна сумме углов поворота отрезков
MN и ML в касательной плоскости. Угол поворота отрезка ML
(обозначим его через а) зависит только от приращения перемеще-
ния и по координате <р:
ди
а = -з~.
гдф
Угол поворота второго отрезка MN связан с приращением пере-
мещения v по координате s:
о dv
Р1 =“ йГ •
279
Этот угол, однако, зависит не только от деформации срединной
поверхности, но и от поворота оболочки как Жесткого целого вокруг
ее оси. Действительно, при повороте оболочки на некоторый угол ф
точка Л4 получит перемещение по окружности,. равное v — фг,
а соседняя с ней точка N — перемещение ф (г + dr) — у- (г + dr).
Разность окружных перемещений точек М и N, разделенная на
длину отрезка MN = ds, дает ту часть угла' поворота отрезка Л1#,
которая не зависит от деформации срединной поверхности:
•	~ г
Ри dr
•	I
Вычитая 02 из рь найдем угол поворота отрезка меридиана MN,
связанный с деформацией сдвига срединной поверхности:
Pdv v dr dv v Л
Сумма углов аир дает угловую деформацию
- Yim ==	+ ~ds — 7 cos 0.	(7.11)
Уравнения (7.9)— (7.11) устанавливают зависимость между
деформациями еет, еъ yim и компонентами перемещений и, v, w.
Выразим деформации через усилия. Согласно обобщенному за-
кону Гука:
Пщ—ЦСТ/ Tm—pTt
т “	Е	~ Eh ’
_ и(~ 1лат _ Tt—цТщ.
«I-	£	Ёй~*
м ___т/т
• Ytm ~~ 6 Gh •
С учетом этих равенств уравнения (7.9) — (7.11) принимают вид
д« । w _ Тт —р7\
ds Rm ~~ Eh »
du । и-cos6 . tv T/—a
rdcp ' г	’ Rf= Eh	’
du , dv	v a	S
rdtp + ds ~~ T COS6 “ Gh‘
(7.12)
(7.13)
(7-14)
Если усилия Tm, Ttn S уже найдены, то в полученной системе
трех уравнений (7.12) — (7.14) содержатся только три неизвест-
ных и, о, w. Преобразуя эту систему к одному уравнению с одним
неизвестным, получим дифференциальное уравнение в частных про-
изводных второго порядка, решение которого также должно удов-
летворять граничным условиям на краях оболочки.
280
$ 4. Осесимметрично нагруженные
оболочки вращения
Осесимметричными называют оболочки, имеющие фор*
му тела вращения и нагруженные осесимметричной нагрузкой.
Так как в таких оболочках все величины по углу ,<р — постоянны,
то производные по <р в уравнениях равновесия (7.5) — (7.7) и в урав-
нениях перемещений (7.12) — (7.14) пропадают; в результате эти
уравнения упрощаются:
(Tmr sin 8)=рж;
(«г») = - ра;
г* ds
— о Лп~ нЛ.
ds Rm т~ Eh • ’
ucosO . w __	_ Tt-nTmt
~T” ' Rt “ “ Eh *
£--cose= «.
as r . (jh
(7.15)
(7.16)
(7.17)
(7.18)
(7.19)
(7.20)
Нетрудно заметить, что эта система уравнений распадается
на две независимые группы. В первую группу входят уравне-
ния (7.15), (7.16), (7.19) и (7.20), не содержащие S. Эта группа
уравнений описывает осесимметричное .растяжение оболочки. Два
оставшихся уравнения (7.17), (7.20), не содержащих Тт и Th
описывают осесимметричное кручение оболочки.
.Рассмотрим первую группу уравнений.
Так как составляющие поверхностной нагрузки ръ pt и рх =
== рх cos 6 — рг sin 0 заданы, то по уравнению (7.16) можно опре-
делить усилие Тт. Проинтегрировав правую и левую части урав-
нения в пределах от Sq до s, получим
Tmr sin 8 = J pxr ds 4- С,	(7.21)
Л	So
I
где f\ < г < ц (рис. 7.8, д).
Уравнение (7.21) представляет собой уравнение равновесия
части оболочки, ограниченной сверху краем s = So, а снизу произ-
вольным сечением радиуса, г. Для оболочки, замкнутой в вершине
при s0 = 0» уравнение (7.21) превращается в уравнение равновесия
отсеченного купола. Левая часть уравнения равна равнодействую-
щей меридиональных сил Тт, действующих в текущем сечении,
отнесенной к единице полярного угла. Интеграл в правой части есть
равнодействующая внешних поверхностных сил, приложенных к
отсеченной части оболочки, отнесенная к единице полярного угла.
Постоянная С учитывает силы, приложенные к верхнему краю от?
281
сеченной части, а также возможные кольцевые нагрузки, прило-
женные в пределах участка от s0 до s.
Обозначим через F (s) суммарную осевую силу, приходящуюся
на единицу полярного угла:
S
F(s)= \pxrds + C.
Sf>
(7.22)
 В каждом частном случае эта сила легко определяется из урав-
нения равновесия отсеченной части оболочки. По функции F (s),
на основании уравнения (7.21), можно найти меридиональную силу
7* _ F (S) _ F (S)	/7
/m“7s5Te
По меридиональной силе Tmt согласно уравнению Лапласа (7.9),
определяется окружная сила
T^IhRt-T^.	(7.24)
Приведем выражения функции F ($) для некоторых частных
случаев нагружения.
Рис. 7.8 а—в
Для оболочки, замкнутой в вершине, нагруженной равномерным
давлением (рис. 7.8, б), функция F ($) вычисляется как произведе-
ние давления р на площадь круга радиуса г, отнесенное к единице
полярного угла:
/?(s) = V-	<7-25>
Для купола, заполненного жидкостью (рис. 7.8, в), функция F ($)
складывается из веса жидкости в отсеченной части и силы давления
выше расположенных слоев жидкости, отнесенных к единице поляр-
ного угла:
F (S) =	(7.26)
282
где тж — удельный вес жидкости;
Уотс — объем отсеченной части оболочки;
р (s) — давление в рассматриваемой точке.
Для оболочки, находящейся под действием сил собственного
веса,
Shy
~2лг
(7.26а)
• =
где S — поверхность отсеченной части.
Рассмотрим более подробно вопрос о расчете замкнутых ре-
зервуаров, находящихся под действием равномерного внутреннего
давления (рис. 7.9). Функция F (s)
в этом случае определяется по за-
висимости (7.25). Учитывая, что
г == Rt sin е, и используя уравне-
ния (7.23) и (7.24), найдем мери-
диональную и окружную силы: •
.	= ф;	(7.27)
"	Т, = ф (2 —	У (7.28)
* \ "т /
Формулы (7.27) и (7.28) спра-
ведливы для любой формы резер-
вуара при условии, что меридио-
нальное сечение имеет односвяз-
Рис. 7.9
ный контур (рис. 7.9).
[)
Для цилиндрического резервуара = и Rm — oo. Следо-
At
вательно,
(7.29)
Формулы (7.29) известны под названием «котельных» формул
’ или формул Мариотта; их применяют для вычисления напряжений
в цилиндрических котлах, сосудах и тонкостенных трубах, находя-
щихся под действием внутреннего давления.
Для сферического резервуара Rt = Rm = R = усилия и
напряжения соответственно равны
П, = Т, =	; ст=а, = ^,	(7.30)
где D — диаметр сферы.
Сопоставив формулы (7.29) и (7.30), можно увидеть, что при
одинаковом давлении и при одинаковых диаметрах и толщине
максимальное нормальное напряжение в сферической оболочке будет
в 2 раза меньше, чем в цилиндрической..
283
Следует обратить внимание на то, что при	правая
' часть равенства (7.28) становится отрицательной и, следовательно,
окружная сила Tt будет сжимающей. Это обстоятельство необхо-
димо иметь в виду, так как при действии сжимающих напряжений
может произойти потеря устойчивости первоначальной формы и на
оболочке могут образоваться складки.
На основании изложенного можно заключить, что с точки зре-
ния экономичности наиболее целесообразной формой резервуаров,
работающих под действием внутреннего давления, будет сфериче-
ская форма.	•
Однако по технологическим соображениям резервуары часто
делают цилиндрической формы с днищами. Наиболее часто при-
меняют следующие формы днищ: сферическое (рис. 7.10, а); эллип-
тическое, имеющее форму эллипсоида вращения (рис. 7.10, б);
коробовое, состоящее из части сферы и части тора (рис. 7.10, в).
Усилия и напряжения в цилиндрической части резервуара не за-
висят от формы.днища и определяются по формулам (7.29). В сфе-
рическом днище усилия Хт и T't имеют одинаковые значения:
гр _
* т — * t — 2 *
Практикой установлено, что оптимальное значение отношения
высоты днища Н к радиусу цилиндра D приблизительно равно 1/а.
При указанном отношении радиус сферы должен быть равен —D
и угол наклона нормали на краю днища 6 гаах 53°. В этом случае
эпюры усилий Тт и Tt имеют вид, показанный на рис. 7.10,'а.
Отделив сферическое днище от цилиндрической части резервуара,
можно увидеть, что на цилиндр передается сила Тто, имеющая,
большую радиальную составляющую, которая вызывает изгиб
стенки. Чтобы уменьшить этот изгиб и получить напряженное со-
стояние, более близкое к безмоментному, необходимо на краю
284
цилиндра установить достаточно мощное кольцо, которое воспри-
нимало бы радиальную составляющую силы (на рис. 7.10, а
поперечное сечение кольца показано штриховой линией). '
При отсутствии такого кольца в зоне сопряжения цилиндра и
днища возникнут значительные напряжения изгиба. Однако, если
материал резервуара пластичный, а давление постоянно во времени,
то напряжения изгиба не Представляют опасности, так как с ростом
давления в зоне изгиба возникают местные пластические деформа-
ции и рост напряжений замедляется. В то же время в цилиндриче-
ской части резервуара напряжения растяжения продолжают уве-
личиваться пропорционально давлению вплоть до разрушения.
Разрушение такого резервуара происходит, на некотором расстоя-
нии от днища. Изгибные напряжения могут стать причиной разру-
шения при действии пульсирующего давления (усталостное разру-
шение) или при постоянном давлении в условиях низких темпера-
тур (хрупкое разрушение). Для хрупкого материала изгибные на-
пряжения могут быть причиной разрушения и при статическом
нагружении,в условиях нормальной температуры.
Определим напряжения в эллиптическом днище. Полуоси эллипса
равны соответственно у и// (см. рис. 7.10, б). Радиусы кривизны
эллипсоида в произвольной точке определяются формулами:
р —я	.
m (l+ysinM)1'’’
п _ Rp__________
* (i+vsin»e)v«’
(7.31)
где	6 — угол между нормалью и осью вращения;
Я0=-у УУч-у — радиус кривизны в вершине (при 6 = 0);
и»--------------параметр, определяющий форму эллипса.
При подстановке значений радиусов (7.31) зависимости (7.27)
и (7.28) принимают вид
_ _ рР (1 +v)‘z‘ .
m 4 (1+ysinM)*/.’
т - Л PPQ+v)1Z,(l -Tsin«6)
1	4	(1-f-y sin2 б)*7’
значении отношения
Эпюры усилий Тт И 71/, построенные при
~ Y (у =.3, Ro = D), приведены на рис. 7.10, б.
Преимуществом эллиптического днища является то, что ради-
альная составляющая силы Тт в месте перехода от днища к цилиндру
равна нулю.
Однако изгиб стенки в зоне сопряжения здесь полностью не
- исключается. Действительно, ввиду того, что окружное усилие Tt
285
в месте сопряжения днища и цилиндра изменяется разрывно от
— до —, значения окружной деформации е, и радиального пере-
мещения £ также имеют разрыв. В действительности же е, и £ —
функции непрерывные. Поэтому в зоне сопряжения к безмомент-
ному состоянию добавится изгиб стенки. Этот изгиб будет, однако,
значительно слабее, чем при сферическом днище.
Определим напряжения в коробовом днище (см. рис. 7.10, в).
Введем обозначения: R — радиус кривизны сферической части
днища, а — радиус тороидального закругления; — угол наклона
нормали на границе между сферической и тороидальной частью,
днища.
Для обеспечения плавного перехода от сферической части к то-
роидальной необходимо соблюдение следующих равенств:
(R — a) sin 60 = -у — а;
Н    R—(R—а) cos 6р
— _ V —	D/2
Если заданы размеры a, D, а также отношение v, то из указан-
ных равенств нетрудно найти R и 80.
Так, например, при t^ -и a = D№
R D', sin 60 = 0,6.

Очевидно, что при одном и том же значении отношения v можно
подобрать несколько различных форм коробового днища с различ-
ными значениями радиуса тороидальной части. Обычно принимают
fl=4-D.
о
В произвольной точке тороидальной части днища радиусы кри-
визны соответственно равны
р _Л. р _D/2—°(1 — sin6)
—a, Kt — sin9
и внутренние усилия
m __ р D/2—а(1 — sin е).
*т~ 2	sine	’
__ гр ___D/2-а (1 — sin 6)
1 т \_____a sin 6
В пределах сферической части
Rm = Rt = R
И
Т/р pR
т — 11 —
1 f> 3
Эпюры Тт и Th построенные при v =	R= 4 Dt
приведены на рис. 7.10, в.
(7.33).
286
Коробовое днище, так же как и эллиптическое, не передает на
цилиндр радиальной нагрузки. Преимуществом этого днища по
сравнению с эллиптическим является более простая форма мери-
диана. В переходных точках коробового днища окружное усилие
имеет разрывы, следовательно, в зонах сопряжения участков воз-
никает изгиб стенки и действительные значения усилий будут
' несколько иные. Более тачные значения усилий могут быть найдены
по моментной теории оболочек.
Из сказанного, однако, не следует, что расчет по безмоментной
теории бесполезен, так как, во-первых, этот расчет входит как
составная часть в расчет по моментной теории; во-вторых, растяги-
вающие напряжения в сфе-
рической и цилиндриче-
ской частях резервуара,
найденные по безмоментной
теории, достаточно хорошо
характеризуют фактиче-
скую прочность резервуара
(в случае пластичного мате-
риала). Что же касается'
высоких сжимающих на-
пряжений в тороидальной
части днища, то в действи-
тельности эти напряжения
значительно меньше вычисленных по безмоментной теории вслед-
ствие влияния деформации изгиба.
Остановимся на вопросе определения перемещений в осесиммет-
ричных оболочках вращения.
Если внутренние усилия Тт и Tt уже найдены, то система
уравнений перемещений (7.18) и (7.19) может быть решена относи-
тельно и и w. В осесимметричных оболочках, однако, более удобно
рассматривать-перемещения | и rj в радиальном и в осевом напра-
влениях (рис. 7.11). Выразим эти перемещения через относительные
удлинения срединной поверхности.
Относительное удлинение в окружном направлении кольцевого
волокна, проходящего через точку ЛД
Rt sin e‘
(7-34)
Отсюда радиальное перемещение
£= e^sinB.
(7.35)
Для определения относительной деформации в меридиональном
направлении рассмотрим замкнутый многоугольник MNKtNiMiKM.
Возьмем сумму проекций его звеньев на касательную к меридиану
MN -|- (£ + ^)cos 6 + СП + sl'n 6 — МЛ — т) sin 0 — £ cos 6 == 0.
287
Отсюда определяется приращение длины отрезка MN « ds:
Д (ds) = d% cos 0 — dt) sin в
и меридиональная деформация
' em = -g-cos0-^sine.	(7.36)
Зависимости (7.34), (7.36) можно получить также из уравне-
ний (7.18), (7.19), если воспользоваться соотношениями, связы-
вающими перемещения w и и с перемещениями £ и ц:
ш = £ sin 6 — т) cos 6;
и = £ cose 4-1) sin 9.
Осевое перемещение определим по уравнению (7.36):
Н(£ё~	(7'37)
8»
ИЛИ
в
<7-37а>
Подставив под знак интеграла выражение* (7.35) и применив
формулу интегрирования по частям, можно представить уравне-
ние (7.37) также в следующем виде:
в в
1]=	в//?/cose I 4~ sing	(7.376)
I»	т
где s0 или во — координата края, принятого за начало отсчета.
Получим еще выражение угла поворота нормали О'. Для этого
приравняем нулю сумму проекций звеньев многоугольника
на направление нормали к поверхности
£ sin е — 1) cos в — ds (14- Вт) 04- (л 4- di}) cos 6 — (£ 4~ «Й) sin е ~ 0.
.Отсюда, пренебрегая малой величиной ет по сравнению с еди-
ницей,
* - 5cos е -%sin е-Acos ° -	;sin 9- <7-38>
или с учетом равенства (7.36):
» =	(7.39)
Угол Q можно выразить также через перемещения и и w:
288	'
Пример 7.1. Крышка цилиндра сферической формы находится под действием
внутреннего давления р = 200 Н/см1 (рис. 7.12). Диаметр цилиндра D — 40 см;
радиус сферической поверхности (срединной) R — 40 см; допускаемое напряжение
[а] = 16 000 Н/см9. Определить требуемую толщину крышки h.
Усилия в сферической оболочке при действии равномерного внутреннего да-
вления, согласно формуле (7.30):
Tw=Tz=^ = 4000 Н/см
м	*
и напряжения
4000	2
==<*/ = — Н/см2.
Эквивалентное напряжение по гипотезе
прочности наибольших касательных напряжений
4000,
^экв«= Qj—с3=Н/см1.
Приравняв Эквивалентное напряжение до-
пускаемому [о], найдем искомую толщину
Л=0,25 см.
Рис. 7.12
Заметим, что толщина плоской крышки при тех же исходных данных (см. при-
мер 5.2) должна быть ~ 2 см. Следовательно, замена плоской крышки, работаю-
щей на изгиб, на сферическую, работающую на растяжение, позволяет сущест-
венно уменьшить ее толщину.
В месте сопряжения сферической части крышки с фланцем возникает изгиб
стенки вследствие несоответствия окружных деформаций края оболочки й фланца.
При пластическом материале при статическом нагружении этот изгиб не имеет
существенного значения и его можно не учитывать.
Рис. 7.13
Пример 7.2. Определить напряжения и перемещения точек срединной поверх-
ности оболочки, имеющей форму полусферы. Оболочка подвешена за верхний край
и заполнена жидкостью, удельный вес которой у Н/см8 (рис. 7.13).
Рассмотрим часть оболочки, отсеченную по окружности, проходящей через
произвольную точку М (см. рис. 7.13). На отсеченную часть действует вес жид-
кости в объеме сегмента
2
-- — cos 0
О
и сила давления выше расположенных слоев жидкости
рлг1 СВ у/?8л cos 6 sin16,
4-4-cos8 6
О
yV=ynRa
IQ Бояршинов
где р — yR cos 0 — давление жидкости;
г — R sinO — радиус окружности сечения.
Сложив эти две силы и разделив на 2л, получим функцию F (0):
F(0)=^i(l-cos’6).
О
Далее по формулам (7.23) и (7.24) определим усилия
™	(6)	у£2 О~~cos3 6)
т~/?(sin36~	3 sin2 6	’
'г ..о г Rt . D2 / о	1—cos3e\
T,=pR,-Tm -g- = (cos 0 -
Эпюры усилий Тт и 7/ приведены на рис. 7.13.
Для обеспечения безмоментного состояния необходимо, чтобы верхний край
полусферы мог свободно перемещаться в радиальном направлении.
Вычислим изменение радиуса окружности верхнего края и изменение
высоты полусферы.
Предварительно определим относительные удлинения в меридиональном и
окружном направлениях в произвольной точке. По формулам обобщенного
закона Гука
7ОТ —рТ/ _ ?/?а fl —cos36
(l+p)-3p cos 6 ;
о e	1— cos3 в., . л .
3 COS б---г-x-r— (14- р) I.
sin2 6 ' 1 r'J
Подставив значение 6/ в равенство (7.34), найдем радиальное перемещение
в произвольной точке
g=r=Ef/? sin 6 =
Ет	Eh	~ 3Eh
cTt-pTm __yR2
‘	Eh	“ 3£Л
sin2 6
у/?3 3 .	1— cos3 6
3Eh [2	sin 9
Изменение радиуса окружности верхнего края
_	у/?з(1+|1)_	?/?з
ёе=90°-	3£Л	"’™Eh-
(i+и) .
Для определения осевого перемещения воспользуемся зависимостью (7.37),
продифференцируем | по 6:
и подставим
М И 8т
под знак интеграла (7.37). После несложных преобразова-
ний интеграл принимает вид
90’
п= § |^[(i-l-j0tg-|-4-(2—и)sin2®
где
Выполнив интегрирование и приняв р = 0,3, придем к следующему выраже-
нию для осевого перемещения произвольной точки относительно верхнего края:
т)= 2,64-2,6 In cos
у/?3
3Eh‘
-®- — 1,7 sin2 6
При 6=0 это выражение дает изменение высоты полусферы
Чиах
= 2,6
v*8 а yR3
290
Знак плюс указывает на то, что высота полусферы увеличивается.
Пример 7.3. Исследовать напряженное состояние в куполе, находящемся
под действием сил собственного веса (рис. 7.14). Рассмотреть различные варианты
формы купола (сфера, параболоид, эллипсоид). .
Интенсивность поверхностной нагрузки q }А1см* разложим на нормальную и
касательную составляющие: рг =gcos б; Pz = q sin 6.
Вычислим вес части купола, отсеченной по окружности текущего радиуса л
6	6
Р — 2nrqRm dG = f 2nqRmRt sin Sd6,
о	0
где Rm, 0. r — текущие значения величин в интервале от б = 0 до 6 = 6.
Разделив вес Р на 2л, получим функцию F (б), по которой определяется мери-
диональное усилие [см. уравнение (7.23)]:
т ... ^(0) ... Р
m Rf sin2 0	2л R/ sin2 6 ’
Рис. 7.14
По меридиональному усилию на основании уравнения Лапласа (7.15) найдем
окружное усилие
"т
Для вычисления усилий Тт и Т/ необходимо знать зависимость радиусов Rm
и Rf от угла б . Эта зависимость для всех указанных форм купола может быть вы-
ражена формулами (7.31), в которых параметр у зависит от вида поверхности
купола. При у = 0 формулы (7.31) дают значения радиусов кривизны поверх-
ности сферы: при у = —1 — поверхности параболоида; при у —1 — поверх-
ности эллипсоида; при у < —1 — поверхности гиперболоида.
Для эллипсоида параметр у связан с отношением полуосей - соотношением
Значения усилий Тт и Tf, вычисленные для четырех вариантов купола, ука-
заны на рис. 7.15. Отношение высоты Н к наружному радиусу а для всех четырех
вариантов принято равным 1/2.
На том же рисунке указаны значения горизонтальной составляющей меридио-
нальной силы на краю купола (т. е. силы распора Ту).
Недостатком первого и второго варианта (см. рис. 7.15, а и б) купола является
большая сила распора, для восприятия которой требуется мощное опорное кольцо.
Во втором варианте, кроме того, окружная сила на краю оболочки — отри-
цательна, а окружная деформация близка к нулю, в то время как окружная де-
формация опорного кольца положительна. Следовательно, во втором варианте
безмоментное состояние около края не возможно ни при каком сечении опорного
кольца.
10*
291
В третьем варианте (см. рис. 7.15, в) сила распора равна нулю и поэтому
опорное кольцо не требуется. Недостатком третьего варианта является то, что
окружная сила на краю купола достигает больших положительных значений,
поэтому край купола в этом варианте необходимо утолстить.
В четвертом варианте (см. рис.. 7.16, а) распорная сила не очень велика; в то
же время окружная сила — положительна. Следовательно, подобрав должным
Рис. 7.15
образом сечение опорного кольца, можно добиться равенства окружных деформа-
ций края оболочки и кольца и получить напряженное состояние, близкое к безмо-
ментному.
Это позволяет сделать заключение, что из четырех рассмотренных вариантов
последний имеет преимущество, хотя возможно, что он также не является опти-
мальным. Более подробные сведения о расчете куполов можно найти в книге [18],
откуда заимствован проведенный выше пример.
§ 5. Осесимметричное кручение оболочек
Рассмотрим напряженное состояние
лочки, нахо-

дящейся под действием поверхностной нагрузки р8, касательной
к окружности (рис. 7.16), а также краевых касательных сил Sc.
Предположим, что. нагрузка р8 и интенсивность краевых сил So
по углу <р — постоянны.
Поскольку нормальные усилия Тт и Tt от р8 и S не зависят,
в данном случае они будут отсутствовать.
292
Сдвигающая сила в произвольном кольцевом сечении опреде- ~
ляется на основании уравнения (7.17). Умножив правую и левую
части этого уравнения на 2лга и проинтегрировав по s, получим
S2№ = — J р32 л г2 ds + С.
«о
(7.41.)
Нетрудно убедиться, что это равенство представляет собой урав-
нение равновесия части оболочки, изображенной на рис. 7.16.
Левая часть уравнения есть внутренний крутящий момент в се-
чении оболочки. Правая часть уравнения представляет собой мо-
мент внешних сил, причем первое слагаемое — это момент, созда-
• ваемый поверхностной нагрузкой; второе сла-
гаемое равно моменту, приложенному к верх-
нему торцу. Если же верхний торец —
свободен, то С равно нулю.
Обозначим правую часть уравнения (7.41)
через /Икр и найдем из этого уравнения
усилие S:
S = s-^.	(7.42)
Этой сдвигающей силе соответствует каса-.
тельное напряжение
Рис. 7.16
___ ^кр
Т—2Й72/Г
(7.43)
Знаменатель правой части равенства представляет собой момент
сопротивления кручению кольсевого сечения
U7Kp = 2nr2/z,	(7.44)
следовательно, формула (7.43) совпадает с общеизвестной формулой
для касательного напряжения при кручении бруса
AfKp
кр
(7-45)
Для определения угла закручивания оболочки используем урав-
нение (7.20). Обозначим угол поворота текущего сечения через Ф.
Используя равенства
я = Фг, cosO = ~-,
уравнению (7.20) можно придать следующий вид:
d (Фг) ф dr____ S
-~dT ds — Gh
или
dQ S ^кр
r ds = Gh — Gh2nr*’
293
Проинтегрировав это уравнение в пределах от s0 до получим
угол закручивания на участке от s() до s:
.	, А Л4КО ds
ф-ф0= \ - ;р	(7.46)
и j С(2лг3Л)	'	'
so
Величина, стоящая в знаменателе в скобках, равна полярному
моменту инерции кольцевого сечения
7р = 2лг3Л.	(7.47)
Следовательно,
_	_ f Л4КП ds
ф-ф»=\^7—	<7-48)
S
Выражение (7,48) полностью совпадает с выражением угла за-
кручивания бруса. Особенность состоит только в том, что интегри-
рование производится по дуге меридиана $.
Рис. 7.17
Рис. 7.18
Полученные формулы для напряжения (7,43) и угла закручи-
вания (7.46) справедливы также при расчете диска на концентри-
ческое кручение (рис. 7.17). Обозначим момент, передаваемый ди-
ском, через Л4кр, тогда интенсивность сдвигающей силы на внутрен-
нем и на наружном краях
с . Мкр. С ____^кр
1 2nrJ’ 2
В произвольной точке диска интенсивность сдвигающей силы и
касательное напряжение определяются по формулам (7.42) и (7.43).
Угол закручивания диска, т. е. поворот наружного края отно-
сительно внутреннего, может быть вычислен по формуле (7.46),
в которой интегрирование по s должно быть заменено интегрирова-
нием по г.
Следует отметить, что при кручении оболочки в ее продольных
(меридиональных) сечениях, согласно закону парности, также воз-
никают касательные напряжения (рис. 7.18). Эти напряжения урав-
новешиваются касательными силами, приложенными к торцам.
294
§ 6. Несимметрично нагруженные оболочки
вращения
При анализе напряженного и деформированного со-
стояния несимметрично нагруженных оболочек вращения следует
использовать общие уравнения безмоментной теории (7.5) — (7.14)
в частных производный.
Уравнения равновесия (7.5) — (7.7) целесообразно представить
в следующей форме:
(7.49)
± А [ТпГ sin 9] + sin 5 = рх-	(7.50)
=	(7.51)
Системы уравнений равновесия (7,49)—/7.51) и перемещений
(7.12) — (7.14) могут быть приведены к двум дифференциальным
уравнениям второго порядка с двумя неизвестными. Решение по-
следних будет содержать четыре неопределенные функции от <р,
которые должны быть определены согласно граничным условиям
на краях. Для пояса оболочки необходимо иметь по два условия
на каждом краю; для оболочки, замкнутой с одной стороны, два
условия на краю и два в вершине. Граничные условия могут быть
силовыми, геометрическими или смешанными. В силовых граничных
условиях на краю должны быть заданы усилия Тт и S, а в геомет-
рических — перемещения и и v (касательные перемещения). На
перемещение w не должно быть наложено связей, так как в против-
ном случае возникнут реактивные поперечные силы и напряженное
состояние не будет безмоментным.
Если будут заданы два силовых граничных условия и два гео-
метрических, то оболочка будет статически определима по отно-
шению к внутренним усилиям. Это значит, что для определения
внутренних усилий привлекать уравнения перемещений не тре-
буется .
Если же будет задано три геометрических условия и одно сило-
вое или все четыре условия геометрические, то оболочка будет
один или два раза статически неопределима. В этом случае внутрен-
ние усилия могут быть определены только в результате совместного
решения уравнений равновесия и перемещений.
Более подробно безмоментная теория оболочек вращения, на-
груженных несимметричной нагрузкой, изложена в работе (191.
Пример 7.4. Исследовать напряженное состояние оболочки, представленной
на рис. 7.19. Нагрузка, приложенная к верхнему краю, статически эквивалентна
силе Р и моменту Мо.
Нижний край оболочки закреплен так, что перемещения кии запрещены
(перемещение w не стеснено).
295
Заданная оболочка в целом работает на изгиб. Так как составляющие поверх*
ности ндгрузки ръ ръ в данном случае отсутствуют, уравнения равновесия
(7.49)—(7.51) принимают вид
7’,= -4L7'„;	(7.52)
"т
.-Js (7mrsin6)+ * sin0=0;	(7.53)
-LA(Sr.)_ ^_ф» = 0.	(7.54)
г8 ds rRm dtp	<	'	*
Данная задача фактически сводится к решению системы двух дифференциаль-
уравнений (7.53) и (7.54) с двумя неизвестными усилиями Тт и S. Усилие Tf
указанные уравнения не входит и легко определяется по усилию Тт согласно
>авнению (7.52).
ных уравнений (7.53) и (7.54) с двумя неизвестными усилиями Г,
в 1
уравнению (7.52).
Для отыскания требуемого решения применим полуобратный метод Сен-
Венана. Этот метод состоит в том, что одной из искомых функций задаются. Затем,
используя одно из имеющихся уравнений, определяют вторую неизвестную функ*
цию. Найденные таким образом две функ*
ции подставляют во второе уравнение, если
последнее — удовлетворяется, то эти функ-
ции и будут искомым решением.

Рис. 7.19
тх
Рис. 7.20
Поскольку при кручении оболочки основные зависимости не отличаются от
соответствующих зависимостей теории кручения бруса, предположим, что при
изгибе оболочки формулы элементарной теории изгиба бруса также сохраняют
• свою силу.
Рассмотрим произвольное поперечное сечение, расположенное на расстоянии х
от верхнего торца (рис. 7.20). Поверхность сечения будем считать перпендикуляр*
иойк срединной поверхности оболочки. В сечении возникает нормальное напря-
жение от и касательное напряжение т.
Разложим нормальное напряжение на две составляющие, параллельную и
перпендикулярную осн оболочки:	1
°тх~^т
&ту cos ®
и предположим,что составляющая отх удовлетворяет общеизвестной зависимости
(теории изгиба бруса:
Л4Х (Л404-Рх).	%
'(-'COST).
Тогда полное меридиональное напряжение в произвольной точке
От
' sin О
(М04-Рх) cos
sin в
296
и меридиональное усилие
Гт — <Jmh
(Mu4-Px)cos<p
яг8 sin 0
(7.55)
Подставив Тт в дифференциальное уравнение (7.53), определим из него сдви-
гающее усилие S:
д Г_. (М,1+Рх) cos<fl as е=0_
os L лг J оф
,,	dr _ dx . . л
Учитывая, что -т- « cos 6 и = sin 0, преобразуем это уравнение к еле-
US	tIS
дующему виду:
3S_____(Мо4~Рх) cos 6 cos ф Feos ф
дф ~ яг8 sin 0	яг
Отсюда
__(Мо-{- Рх) cos 0 sin ф Р sin ф
яг8 sin в "'"яг
(7.56)
Функция С (0) не зависит от угла ф и соответствует постоянной составляющей
сдвигающей силы S; последняя может возникнуть при закручивании оболочки,
но так как в данном случае крутящий момент равен нулю, то С (0) также равно
нулю.	’	/
Внесем теперь Тт и S во второе дифференциальное уравнение (7.54). Выполнив
элементарные преобразования, найдем, что уравнение (7.54) обращается в тожде-
ство. Следовательно, найденные функция и есть искомое решение задачи. Это
решение будет справедливо при условии, что заданная нагрузка, т. е. момент Л10
и сила Р, будет приложена к торцу в виде распределенных нормальных и касатель-
ных сил, удовлетворяющих уравнениям (7.55) и (7.56):
Л^рсозф, \
т0	яг J sin 60 ’	. ,
„ ____Мо etg 0О sin ф Р sin ф |
При ином характере распределения внешних сил по торцу решение можно
представить как сумму найденного решения (основная часть) и наложенного на
него дополнительного решения, соответствующего самоуравновешениой системе '
сил, получающейся при вычитании из фактически приложенных сил Tffl0 и So —
сил, удовлетворяющих уравнения (7.57).
В отличие от сплошного бруса система самоуравновешенных сил, приложен-
ных к торцу, может оказывать существенное влияние на напря'женное состояние
оболочки на значительном расстоянии от торца.
Рассмотрим более подробно вопрос о касательном усилии S.
Из теории поперечного изгиба бруса известна формула для касательного на-
пряжения
<2S®
’0=77--	Р-68)
Если эту формулу применить к рассматриваемой задаче об изгибе оболочки
и подставить в нее значения Q — Р; Jx = nr®h; b = 2h;	=2\ hrdqr cos ф«=
s= 2hrasin ф, то получится следующее значение напряжения:
Р sin ф
XQ~ nrh *
297
Этому напряжению соответствует интенсивность сдвигающей
силы
Sq — Tph —
Р sin ф
лг
Величина Sq равна второму слагаемому выражения (7.56).
Чтобы выяснить смысл первого слагаемого, обратимся к рис. 7.20.
В сечении, ограничивающим часть оболочки снизу, действует нор-
мальное усилие Тт и сдвигающее усилие S. Приведем нормальные
усилия Тт к центру тяжести сечения; в результате получим изги:
бающий момент М = Мо 4- Рх и, кроме того, силу, перпендику-
лярную оси оболочки:
2Л
( TmcoserdVcos4> = -(M<‘+2)eCOS6-.	<7-59)
•Эта сила направлена влево, следовательно, она частично урав-
новешивает силу Р и поэтому сдвигающая сила S должна уравно-
весить только оставшуюся часть поперечной силы, т. е. (Р — Рг).
Следовательно, первое слагаемое в выражении (7.56) учитывает
наличие составляющей меридиональных сил, перпендикулярной
оси оболочки.
Окружное усилие определяется по меридиональному усилию на
основании уравнения (7.52):
7 = (Mp-l-Px)cos(p	60)
z Rm nr2 sin <p	' *
Приведенное решение задачи об изгибе оболочки получено без
использования гипотезы плоских сечений, на основе общих урав-
нений безмоментной теории оболочек. На этом основании можно
заключить, что общие закономерности теории изгиба бруса остаются
справедливыми также при изгибе оболочек вращения.
Пример 7.5. Применим полученные зависимости к задаче об изгибе конуса,
изображенного на рис. 7.21, а. Так как в этом случае Мо равно нулю и г — х ctg 6,
то на основании уравнения (7.56);
с Рх ctg 6 . Р sin ф п
S = — ------- sin фЧ------ = 0.
яг2	пг
-Равенство нулю сдвигающих усилий в поперечном сечении оболочки свиде-
тельствует о том, что составляющая меридиональных усилий, перпендикулярная
оси конуса, полностью уравновешивает поперечную силу Р.
Окружные притягивающие усилия Tt на основании уравнения (7.55) при
Rm = оо также равны нулю.
Таким образом, в стенке рассматриваемой конической оболочки возникают
только меридиональные усилия (рис. 7.21, б)
_ Рх cos ф
т ~ nr2 sin 6 *
Если рассматриваемую оболочку мысленно разделить продольными меридио-
нальными плоскостями на ряд стержней, как показано на рис. 7.21, в, то стержни
298
не будут взаимодействовать между собой, а будут работать только на растяжение
или сжатие; следовательно, коническая оболочка, нагруженная силой Р в вер-
шйне, работает как пространственная коническая ферма.
Рис. 7.21
Пример 7 6. На рис. 7.22 изображена цилиндрическая оболочка, нижний
край которой закреплен неподвижно так, что касательные смещения и и v равны
нулю. Верхний край усилен кольцом, имеющим большую жесткость на изгиб
в своей плоскости и практически не стесняющим перемещения края оболочки в осе-
вом направлении. Оболочка нагружена силой Р, перпендикулярной оси оболочки,
приложенной к кольцу.
При решении данной задачи не будем пользоваться полуобратным методом
Сен-Венана, а решим задачу прямым путем.
Уравнения равновесия безмоментной
теории оболочек вращения (7.49)—(7.51) при
Pi = Ра = Рз = °; sin 6 = 1; (6 =^); Rm —
= оо; s = х н г — const принимают вид
Pi = Рз = Рз~ °; sin 6 = 1; (0 =-); Rm =
(7.61)
дТт ।	_р,
дх "г" гд<р " ’
«О
дх
(7.62)
(7.63)
и уравнения деформаций (7.12)—(7.14) соответственно:
du_ = Тлк 
дх Eh '
dv	щ =
dtp	г Eh *
ди	dv S
rdtp	дх = Gh ‘
(7-64)
(7-65)
(7.66)
Координата х отсчитывается вдоль оси цилиндра от верхнего торца.
299
Проинтегрируем уравнение (7.63) по х:
5 = ®! (<р).
где Ф1 (ф) — неизвестная функция от ф. t
Подставим S — Фх (ф) в уравнение (7.62) и снова проинтегрируем по х:
Гт = —~-хФ;(ф)4-Фа(ф),
к
где Ф2 (ф) — новая неизвестная функция от ф.
Считая, что кольцо не оказывает сопротивления осевым смещениям края
цилиндра, получим следующее граничное условие на верхнем торце:
при х=0	Тт=0,
откуда следует Ф2 (ф) = 0.		\
Для определения Фг (ф) необходимо использовать остальные граничные
условия. Поскольку эти условия геометрического характера, обратимся к урав-
нениям деформаций.
Подставим Тт в уравнение (7.64) и проинтегрируем по л; в результате опре-
делим и:
«=-7-^‘ф; (»)+«>. (ф).
где Ф3 (ф) — новая неизвестная функция от ф. Наконец, из уравнения (7.66),
учитывая, что S =	(ф), найдем о:
— = —	4- — = — .	фГ (т)—L ф; (ф)-ь*Рг^..
дх rdqt^Gh г* 2Eh ‘ w'	Gh •
“ “	ФГ (ф) - 7	(ф) + x+ф*(ф):
здесь ф4(ф) — еще одна неизвестная функция от ф.
Используем граничные условия на нижнем торце цилиндра:
при х—1	а=0;
при о==0.
Согласно этим условиям
Фз (ф)	(ф);
®‘ (ф)-- б^я ®'	®* <’> -
=з^лф'(ф)-®®*(ф>-
После подстановки функций Ф3 и Ф4 выражения перемещений v и и принимают
следующий вид:
1	/ чГ*3 Рх ,	(/ —Х)_ , .
° ” r*Eh ф* [ 6	2 + 3 ] Gh Ф1^'
Теперь все величины выражены через одну неизвестную функцию Ф] (ф).
Эту последнюю следует найти из оставшегося неиспользованным граничного усло-
вия на верхнем торце цилиндра, согласно которому при х = 0 перемещения v то-
чек края цилиндра должны быть равны перемещениям соответствующих точек
кольца.
300
Рассмотрим случай, когда кольцо можно считать .абсолютно жестким (при из-
гибе в его плоскости): предположим, что под действием силы Р оно сместилось на
величину f (рис. 7.23, а). Тогда перемещение и на верхнем торце будет
=— f Sin<p.
Следовательно,
Я	I
—ф[ (ф) - Ф1 (<р) =— sin ф.
Найдем решение этого уравнения. Общее решение соответствующего одно-
tодного уравнения может быть .представлено в гиперболических функциях от ф.
io так как Фх (ф) » S (ф) должна быть периодической функцией с периодом.
Рис. 7.23	а)	ty
кратным 2л, то решение однородного уравнения следует отбросить. Остается част-
ное решение уравнения с правой частью. Последнее имеет вид
s=Ф1 (ф) »	---р SH1 ф.
Зг*£Л+ Gh
Таким образом, мы получили зависимость между сдвигающей силой 5 и вели-
чиной смещения центра кольца f. Чтобы выяснить зависимость этих величин от
величины силы Р, рассмотрим равновесие кольца (рис. 7.23, б). Приравняв нулю
сумму проекций сил на горизонтальную ось, найдем
2л
f Sr	ЬШф —Р
или
2Л
ff sin3 ф г dtp
' 19 Д. 1 ] =
Зг3£й + Gh
о
откуда смещение центра кольца
PP Р1
' ~' 3nr3hE nrhG
Внеся это выражение в найденные ранее зависимости, получим
р
5 = Ф1(ф)“"ЯЙ1ф;
_	Рх
Тт----^•С08ч>;
[ ' Р f X3 Рх Р\ Р 1
nr^hE \6	2" +1") + nrhG sln
р
U = п—(/’ —1*а>СО8 ф.
2№Л£'	/ т .
301
Радиальное перемещение w определяется на основании уравнения (7.65):
dv . Т„,г
ЬУ —
Нетрудно убедиться, что все полученные выражения для усилий и перемеще-
ний точно совпадают с соответствующими выражениями элементарной теории из-
гиба бруса. Действительно, изгибающему моменту М. — Рх соответствует мери-
диональное усилие
м Рх
Tm=Gxh = -ryh =	(— г cos <р) й.
V JQ	J If fl
Поперечной силе Q—P соответствует сдвигающее усилие
с £,	. P2hr2 sin (в Л	Р .
S=1‘=7j'r-------^iaiT- “ 5?s,n
Также нетрудно убедиться, что первое слагаемое в формуле для о соответствует
перемещению за счет изгиба, а второе — за счет сдвига, вызванного поперечной
силой.
Величина перемещения « равна произведению угла поворота поперечного се-
чения на расстояние у = г cos ф от рассматриваемой точки до нейтральной линии.
Наконец, перемещение ш складывается из основного слагаемого
, учиты-
dv
д(р
вающего изгиб оболочки, и дополнительного члена [Л , учитывающего эффект
поперечной деформации при действии нормальных напряжений в продольном на-
правлении.
На основании изложенного можно сделать следующее общее заключение.
Если поперечная нагрузка передается на оболочку через жесткое кольцо, то
оболочку можно рассчитывать на изгиб по обычным формулам теории изгиба
бруса.
При малой изгибной жесткости кольца задачу целесообразно решать в рядах.
При этом необходимо использовать условия совместности деформаций оболочки
и кольца.
. Остановимся кратко на вопросе о расчете по безмоментной тео-
рии оболочек вращения, нагруженных неосесимметричной поверх-
ностной нагрузкой: рг = рг (ф, $); р2 = р2 (ф, s); р3 = р3 (ф, s).
Представим составляющие поверхностной нагрузки plt р2, р3
в виде рядов Фурье:
со
Р1 = У, [pift COS Лф + plk sin /гф];
1
со	_
Р2= S [р2/г cos А?ф + р2/г81п/гф]; ►
k= 1
0°	_
рз «= У [Рз* sin kq> +p3k COS Лф].
А = 1
(7.67)
Коэффициенты рядов plft, p2k и т. д. представляют собой функции
только угла 6 или дуги s. Их определяют обычными методами, при-
меняемыми при разложении функций в ряды.
Первые слагаемые выражений (7.67) соответствуют симметрич-
ным составляющим нагрузки; вторые — обратно симметричным.
302
Таким образом решение задачи о напряжениях и деформациях
произвольно нагруженной оболочки сводится к нахождению ре-
шения для нагрузки вида
Pi = Pi* cos Лер; р2 = ргк.cos /гср; Рз = Рз* sin&cp, (7.68)
соответствующей £-ым членам рядов (7.67).
Подставим компоненты нагрузки (7.68) в общие' уравнения без-
моментной теории (7.49) — (7.51):
Т,=f>u cos ktf> R, -	T,„;	(7.69)
-J ас (T'”r sin °) + / sin 6 = cos 0 " ?ik sin 0] cos /г(₽; (7-70)
1 £ (S/*) - *' kpu sin fap ^ = - psl sin ky. (7.71)
Решение этой системы уравнений ищем в следующем виде:
Тт == Tmk cos k ср; S = Sfcsin£cp,	(7.72)
где Tmk, Sk — функции только 6 (или s).
В результате подстановки выражений (7.72) в уравнения (7.70)
и (7.71) и сокращения соответственно на cos /лр и sin Лер придем
к системе двух дифференциальных уравнений в обыкновенных про-
изводных:
±-£(.ттЬг sin е) + A S„ sine-
f L4-O	f
— (plk cos 6— p2k sine) = 0;	(7.73)
4 • -£ (S^s) “ E1S7£- + #7 T^k + p,b = 0.	(7.74)
Г Uj	I	/л*
Приведем эти уравнения к одному уравнению с одним неизвест-
ным. Чтобы исключить S, умножим первое уравнение на „ и
продифференцируем по s, а второе — на (—г2), затем оба уравне-
ния сложим; одновременно введем новую неизвестную функцию
Tmbr sin 6 = Ub (0),	(7.75)
а также заменим дифференцирование по s дифференцированием
по 6.
В результате получим дифференциальное уравнение с неизвест-
ной функцией Uk:
d ГТ?? sin б dl/Л—	_
RmM Rm ' dfi J RmsinGUk~
=#- * cos G ~ A* sinS)/?? sin2e] —
— k2plkRt sin 6+kp3kRj sin2 e.
(7.76)
303
Если по уравнению (7.76) функция Uk будет найдена, то по за- ,
висимости (7.75) можно определить меридиональное усилие Tmk\
затем по уравнению (7.73) — сдвигающее усилие <5* и по уравне-
нию (7.69) — окружное нормальное усилие Tfk. В полученных
таким образом выражениях будут содержаться две произвольные
постоянные. Последние определяются на основании граничных
условий на краях оболочки. При этом, если будут заданы геометри-
ческие граничные условия (т. е. заданы смещения и и v), то необ-
ходимо аналогичным способом получить решение системы уравне-
ний перемещений (7.12) — (7.14) и определять уже не две, а четыре
постоянные.
Пример 7.7. Применим изложенную теорию к задаче о напряжениях»
возникающих в оболочке вращения при действии ветровой нагрузки. Ветро-
вой называется поверхностная нагрузка
вида
pt =>Pi cos tp;
р3=Дасо8<р;
Рз~Рз sin ф, ;
где Pi, рч, р3 — функции, зависящие
только от 6.
Эта нагрузка представляет собой наи-
более простой частный случай несиммет-
ричной поверхностной нагрузки. Некото-
(7.77)
рое представление о характере ветровой
нагрузки дает рис. 7.24, где показана обо-
лочка в разрезе с действующими на нее нагрузками рг и р2 (функция — рх
в данном случае — отрицательная). Вместо рядов (7.67) в данном случае имеется
только по одному слагаемому, соответствующему k = 1.
Разделив дифференциальное уравнение (7.76) на Rt sin 6 и положив k = 1,
преобразуем это уравнение к виду-
1 dp?^sin6 dU] 1. rj
Rt sin6flOT de Rm * d6 | Rm sina 0	—	*
где F (6)—функция поверхностной нагрузки;
F m=R,2.bRm' S [<* C0S ’ Sin S) R' Sin, ’I'
—PiRt+PzRt sin 6.
Введем новую переменную
y = (7r=,W?zsin6.
Тогда
Y . dU dY 1 /?mcose
^“K/sine* de "" de 'Rt sin 6 y/?Jsinae’
Здесь учтено, что
d (Rt sin 6) _ dr ' dr R _R
(7.78)
(7.79)
(7.80)
После замены переменной дифференциальное уравнение принимает вид
1 dY\ у cos 61
Rm sin 6 * de / sin e J
RtRm sin e ’ d6 ‘
sina e ’ Rt sin 8
304
или после простых преобразований
1_ d /	1 dV\ _
Rm’ d6 \/?m sin 6 d8 J
(7.81)
Интегрирование этого уравнения не вызывает затруднений. После первого
интегрирования	;
Ж
и после второго интегрирования
Y = J [Ят sin 6 J F (6) Rm dO + Rm sin 6CJ dO 4-Ca.
(7.82)
Предположим, что оболочка имеет сферическую форму (Rm — Rt = R) и что
составляющие нагрузки ра и ра равны нулю, а составляющая рх определяется
равенством
Pi~—р sin 6 cos <р, т. е. рх=~psinO.	<
В этом случае функция F (6) [см. уравнение (7.79)1 принимает вид
F (0) — Ьа * д • ^ (— р sin 6 cos О/?3 sin2 6) -f-р sin О Я «
' R2 sin 6 de '
= pR sin 0 (2—4 cos2 6).
Подставим F (0) под знак интеграла (7.82) и выполним интегрирование:
Y=pR3 J [sin 0 J sin 6 (2—4 cos2 0) de] de +RCt J sin 0d0+<?a =
= p/?3(cos20
cos40 I—.RCi cos 6C2.
Вычислим еще производную функции Y:
HV	I	4	\
= —p/?3(2cos0 — 4-cos8 6 IsinS + ^Ci sinQ.
GO	\	о	/
(7.83)
(7.84)
Для определения постоянных и С2 используем условия симметрии
относительно плоскости ф=0 и обратной симметрии относительно плоскости
ф = 90’. На основании этих условий при 6=0 должно обращаться в нуль как
меридиональное усилие Тт, так и сдвигающее усилие S.
Согласно равенствам (7.75) и (7.80), можно записать
Y = TmR* sin3 6.	(7.85)
Но при 0=0, Тт=& и, кроме sin0=O, следовательно,
У(0) = 0,
откуда с учетом равенства (7.83):
pRa (1 - у) - RCt + Са=0.	(7.86)
Чтобы получить второе уравнение с неизвестными Сх, Са, продифференци-
руем равенство (7.85) по 0 и разделим на sin 0:
~	= ^22 fl» 8ina 0 + fm/?2 • 3 sin 0.	(7.87)
305
При 6 = 0 правая часть равенства (7.87), очевидно, обращается в нуль. С
другой стороны эта же величина может быть выражена через Ci из уравне-
ния (7.84):
dY 1	i	4	\
~ ~ Р^31 2 cos 6 — cos3 6 ) + RCt,
dO sin 6	\	3	J
При 6—0
Отсюда
дУ 1 1	г	4 \
^•-4 =0=-p/?3 {2-4)+^.
d6 sin 6 J	\	3 /
Ci = 4 p/?3
о
и тогда из уравнения (7.86):
C2 = 0.
Выражения искомых функций имеют следующий вид:
Г 1	2
Y =pRa cos2 0 — cos4 6 —cos б ;
О	О
pR
 sin3e
cos2 6 —	cos4 6 —y cos 6 , Тт = Тт cos <р;
о	о
pR Г й 1	,n 21
COS е — — cos3 6 —
о	о
sin3 0
Tt——pRs\nb—Tm\ Tt — Ttcosip.
S = S sin ф;
Эпюры внутренних усилий по углу 6 приведены на рис. 7.25.
Приведенное решение получено без учета граничных условий на
Рис. 7.25
нижнем краю оболочки. Следовательно, оно будет справедливо
в том случае, когда силы Тт и S, приложенные к нижнему краю,
будут распределены по закону Тт — Тт cos <р; S = 5 sin <р.
Решение рассмотренной задачи о напряжениях в куполе под
действием ветровой нагрузки можно получить также другим более
простым способом, а именно, рассматривая равновесие части ку-
пола, отсеченной по окружности текущего радиуса (рис. 7.26).
Будем по-прежнему считать, что купол имеет сферическую форму и
что
р2 = рз = о И p1=pcos<p,
где
р = —psinO (р = const).
306
Кроме давления на отсеченную часть действуют распределен-
ные по краю силы Тт и S.
Так как зависимость давления от угла (р определяется зако-
ном косинуса, то очевидно, что
меридиональное усилие Тт (сим-
метричный фактор) также . изме-
няется по закону косинуса, а сдви-
гающее усилие S (обратно сим-
метричный фактор)— по закону
синуса, т. е.
T,rt = Tmcos<p; S — Ssincp.
Составим уравнения равнове-
сия отсеченной части купола.	рис 72б
Приравняв нулю сумму проекций
сил на ось г, перпендикулярную оси оболочки, расположенную
в плоскости ф = 0 (см. рис. 7.27), получим
2л __
5 S sin tpR sin 6 dtp sin tp +
o
2л
+ C Tm cos tpR sin 9 dtp cos 6 costp —
о
6 2л	'
— J J p sin 0 cos<p R sin 0 dtp RdO sin 6 cos tp = 0,
о 0
где
6 <0.
Выполнив интегрирование и произведя сокращения, найдем
— S sin 6 4- Тт sin 0 cos G=pR (Jr cos3 6 — cos 0 + 4-
\ О	о
Второе уравнение получим, взяв сумму моментов сил относи-
тельно оси п, перпендикулярной плоскости tp = 0 и проходящей
через центр сферы:
Г 2Л
. О
sintpRsinO dtp sin tp +
2л
о
Тт costpR sin 0 dtp cos 0 cos tp R cos 0 = 0.
Момент сил давления относительно этой оси равен нулю, так
как линия действия этих сил проходит через центр сферы. После
интегрирования и сокращений найдем
— S + TmcosO==0.
307
7
Решение полученной системы двух уравнений дает значения уси-
лий
sin3 е \ 3 C0S ® СОЬ В	3 / ’
_ Тт
cos 6
Окружное усилие Tt определяется по усилию Тт на основании
уравнения «Лапласа:
Tt^~ Тт —psine.
Этот результат полностью совпадает с результатом, полученным
методом интегрирования дифференциальных уравнений.
I
I
I
I
Глава 8
МОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
§ 1. Вывод основных уравнений
Цилиндрические оболочки (тонкостенные цилиндры)
представляют собой наиболее распространенный вид оболочек вра-
щения. Ввиду того, что теория цилиндрических оболочек значи-
тельно проще, чем оболочек другой формы, в настоящей главе эта
теория рассмотрена отдельно от общего случая. <
Осесимметричная изгибная деформация оболочки возникает
в местах приложения внешних кольцевых нагрузок (рис. 8.1, а),
а также в местах закрепления или сопряжения с другими конст-
руктивными (рис. 8.1,6, а и г) элементами.
Рис. 8.1
Теория осесимметричной деформации цилиндрических оболочек
основана на гипотезах Кирхгофа — Лява, аналогичных гипотезам,
используемым в теории изгиба пластин.
1. Гипотеза неизменности нормалей. Принимают, что нормали
к срединной поверхности оболочки не искривляются и остаются
перпендикулярными к деформированной срединной поверхности.
Эта гипотеза устанавливает связь между деформированным состоя-
нием в произвольной точке стенки оболочки и изменением геомет-
рии ее срединной поверхности и позволяет таким образом свести
исследование деформации оболочки к исследованию деформации ее
срединной поверхности.
2. Гипотеза о ненадавдивании одного слоя оболочки на другой.
Согласно этой гипотезе, нормальные напряжения в площадках,
параллельных срединной поверхности, считают равными нулю,
т. е. напряженное состояние рассматривают как плоское вместо
объемного.
309
Указанные гипотезы выполняются достаточно удовлетвори-
тельно при условии, что толщина оболочки мала по сравнению с ра-
диусом цилиндра и что перемещения точек срединной поверхности
малы по сравнению с толщиной. Если наибольшую допустимую
погрешность расчета принять равной 5%, то к тонкостенным следует
отнести оболочки, толщина которых не превышает 1/20 радиуса.
Кроме перечисленных гипотез и допущений примем, что мате-
риал оболочки однородный, изотропный и подчиняющийся закону
Гука.
Введем обозначения:
г — радиус цилиндра (средний);
h — толщина стенки цилиндра;
х — координата, отсчитываемая от торца в направлении оси
цилиндра;
и, w — перемещения произвольной точки срединной поверхно-
сти в осевом и в радиальном направлениях.
Выразим относительные деформации в произвольном слое обо-
лочки, расположенном на расстоянии г от срединной поверхности,
через перемещения (г будем счи-
тать положительным по направле-
нию к центру). На рис. 8.2 изо-
бражен бесконечно малый элемент
оболочки до и после деформации.
Относительная деформация во-
локна ab в осевом направлении
du + dftz du . d2w	/о lv
=----777-== 7Г + л й	(8-1)
* dx dx 1 ax2	'	'
n dw
где v = ----угол поворота нор-
ИЛ
мали.
Относительная деформация в
окружном направлении опреде-
ляется как отношение прираще-
ния длины окружности, проходя-
щей через произвольную точку а, к первоначальной длине
___________________2л (г —z-|-uj) —2 л (г —г)  ш
е<_________________2л (г —г)	г—г
или ввиду тонкостенности
Рис. 8.2
Перейдем от деформаций к напряжениям. При ог = 0 формулы
закона Гука имеют вид
°* =
Д [Л
Е
Qt = 1 & + нм-
1 р
310
Подставив в эти уравнения выражения деформаций (8.1) и (8.2),
получим
(8.3)
(8.4)
Напряженное состояние элемента оболочки показано на рис. 8.3.
Кроме напряжений ох и <jh в произ-
вольном слое возникает еще касательное
напряжение ххг. Это напряжение обычно
бывает мало по сравнению с нормальными
напряжениями и в расчетах на прочность <
не учитывается. Существенную роль играет
только равнодействующая касательного
напряжения тхг — поперечная сила Q, ко-
торая входит в уравнения равновесия эле-
мента оболочки.
Перейдем от напряжений к внутрен-
ним силовым факторам. При интегрирова-
нии по толщине оболочки напряжения ох,
и2 приводятся к нормальным усилиям Тх и
ментам Мх и М(:
Рис. 8.3
Tt и изгибающим мо-
Л^2
М,= \ <r,z dz = u.D = (uW,,
-1/2
(8.5)
(8.6)
(8.7)
(8.8)
где D — изгибная жесткость оболочки;
ЕЛ3
12(1-ца) ’
(8.9)
Исключив из уравнений (8.5) и (8.6) перемещение и, получим
выражение окружного усилия Tt через w и Тх:
Tt = pTx +
Ehw
г
(8.10)
Уравнения (8.7), (8.8) и (8.10) содержат пять неизвестных вели-
чин: Мх, Mh Тх, Tt, w.
311 
Чтобы получить недостающие уравнения, рассмотрим равнове-
сие элементарного объема, выделенного из оболочки двумя продоль-
ными и двумя поперечными сечениями (рис. 8.4). Кроме сил Тх и Tt
и моментов Мх и Mtt на элемент действуют силы поверхностной
нагрузки pjdxrdq и p2dxrdq (нагрузка plt нормальная к поверхно-
сти, создается внутренним или наружным давлением; нагрузка р2>
направленная вдоль оси оболочки, может возникнуть за счет сил
Рис. 8.4
трения или за счет собственного веса
при вертикальном расположении обо-
лочки).
Из шести уравнений равновесия
в данном случае можно составить
только три: уравнение проекций сил
. на направления г и х и уравнение
моментов относительно	оси у, каса-
тельной к окружности:
ж+у-и	(8-и)
= М	(8-12)
^=0-	(8.13)
Остальные уравнения равновесия
удовлетворяются тождественно.
При решении полученной системы уравнений осевую силу Тх
можно считать известной, так как она может быть определена зара-
нее по уравнению (8.12). Действительно, умножив обе части урав-
нения на 2пг и проинтегрировав по х, найдем
2лгТх — J р£пг dx+C.
Это уравнение представляет собой уравнение равновесия части
оболочки, отсеченной по кругу х — const. Первое слагаемое в пра-
Рис. 8.5
вой части равенства представляет собой интеграл от поверхност-
ных осевых сил; второе — учитывает силы, приложенные к торцу.
Если, например, цилиндрическая оболочка *с днищем нагру-
жена равномерным внутренним давлением (рис. 8.5, а), то, отделив
312
часть оболочки (рис. 8.5, б), можно написать следующее уравнение
равновесия:
тт/ а
откуда, считая гви = г, найдем
- _РГ
х~ 2 ’
Приведем систему уравнений деформаций и равновесия к од-
ному уравнению с*одним неизвестным. Из уравнения (8.13), с уче-
том равенства (8.7) следует
Q^=^£ = D~.	(8.14)
dx dxs	'	7
Выражения (8.10) и <8.14) подставим в уравнение (8.11), тогда
„ „ nrd4a> ..'г	^hw — л
Pir ~ Dr — цТх у-—О,
или
^+4₽^ = -^ + ^,	(8.15)
где	______
₽=}/Цйн3-	 <816>
Pfrdfp
Рис. 8.6
Дифференциальное уравнение осесимметричной деформации цилиндрической
оболочки (8.15) по своей структуре аналогично уравнению упругой линии балки,
опирающейся на упругое основание. Эта анало-
гия не случайна. Если из оболочки вырезать
полоску шириной rd<p (рис. 8.6),, то ее можно
рассматривать как брус нагруженный попе-
речной нагрузкой
q~Pir dtp—Ttdq>.
Поскольку окружная сила Т? пропорцио-
нальна перемещению w [см. зависимость (8.10)],
то она в данном случае играет роль реакции
упругого основания.
Напишем дифференциальное уравнение
упругой линии полоски:
d*w сг
-т-^EJ —q.
dx*
dfp
Подставив в это уравнение выражение q с учетом зависимости (8.10), а также
внеся значение момента инерции J =	— ц2) 1множитель 0 — Р-2) в знаме-
нателе учитывает увеличение жесткости за счет взаимодействия с соседними по-
- лесками], и используя обозначение жесткости (8.9),придем к дифференциально-
му уравнению (8.15).
Если функция w, удовлетворяющая уравнению (8.15) и гранич-
ным условиям, на краях будет найдена, то по зависимостям (8.7)
и (8,8) можно вычислить изгибающие моменты и М/, и по зави-
313
симости (8.10) — окружную силу Т(. Напряжения сх и а, опре-
деляются по внутренним Шиловым факторам
—-— 2'
Й3
М(12
h3 Z'
(8-17)
Эти формулы легко получить из уравнений (8.3) и (8.4) с учетом
зависимостей (8.5) — (8.8).
Наибольшие напряжения возникают при z =
°«т.х=т±^;	(8-18)
<*™х=£ + ^-	(8.19)
Перейдем к интегрированию дифференциального уравнения (8.15).
Общее решение уравнения представим в виде суммы общего решения
однородного уравнения
+ 4f}4ay = 0
(8.20)
и частного решения уравнения с правой частью (8.15).
Решение однородного уравнения (8.20) ищем в виде
- w = Cekx.
Подставив эту функцию в левую часть уравнения (8.20), полу-
чим характеристическое уравнение
из которого найдем
^4-404 = 0,
k^-^4^.
По правилам извлечения корней из отрицательных и мнимых
чисел модуль числа k равен корню четвертой степени модуля под-
коренного числа, т. е. }/404, а аргумент числа k — аргументу под-
коренного числа, деленному на показатель корня, T. е. —,
следовательно, k представляет собой комплексное число
к = /Ф (cos + i sin .
Придавая п значения 0, 1, 2, 3, получим четыре корня характе
ристического уравнения:
*	— Р +	/г2 = — 0 0Z;
й3=х—0-0Z; Л4 = 0-0/.
/
314
Следовательно, общее решение однородного уравнения (8.20)
имеет вид
w = С^З+*+С2е<~ ₽+х + С3е<- 0- *4. С4е<3 ~ Ю х,
или
i = е - 3* (С2е'3-* Чг с3е- #х) + еЗ* (С^е'З* + С4е- *₽х),	(8.21)
где Сь С2, С3, С4 — постоянные интегрирования (комплексные).
Частное решение уравнения с правой частью w зависит от за-
кона распределения поверхностных нагрузок рг и р2.
8)	е)	/к)
Рис. 8.7
&тх __ 0
dx4
Обычно на практике нагрузки рг и р2 или постоянны, или изме-
няются по х, по линейному или квадратичному закону. Ограничи-
ваясь только этими случаями и учитывая, что при указанных усло-
виях — 0 и
dx4
выражение:
, получим для w следующее
D J Г1 г ) Eh'
(8.22)
Для практических целей общее решение уравнения (8.20), пред-
ставленное в виде (8.21), недостаточно удобно; поэтому его iipeo6pa-
зуют к другому виду, причем для длинных и для коротких оболо-
чек это преобразование делается по-разному (§2 и 3).
Остановимся на вопросе о постоянных интегрирования. Для
определения постоянных необходимо использовать граничные усло-
вия на краях оболочки. На каждом краю обычно бывают заданы два
условия.
Если край жестко заделан (рис. 8.7, а), то на краю должно быть:
Л dw Л
Е = О>1?-=0.
315
Для шарнирно опертого края (рис. 8.7,6) w = 0 и =0
(так как = 0)..
Для свободного края (рис. 8.7, в)
gt=o (МЛ = 0)
^==0 (Q = 0).
dx3	7
При нагружении края оболочки заданной силой и моментом Мо
(рис. -8.7, е)
£/ . а — Alfl : D • в — Qn«
ях9	° *	dx3
В случае сопряжения цилиндрической оболочки с оболочкой
другого типа (рис. 8.7, д й е) необходимо иметь четыре условия
(для каждого края сопрягаемых оболочек требуется по два усло-
вия): равенство радиальных перемещений w или равенство окруж-
ных деформаций e,t; равенство углов поворота нормали 0; равенство
моментов Мт и Л10; равенство сил распора, т. е. радиальных со-
ставляющих внутренних сил:
(— Тт cos б 4- Q sin б)дн = СОц.
Заметим, что равенство осевых составляющих внутренних сил
не может быть использовано при определении постоянных, так как
это условие уже использовано при определении-усилия Тх.
При сопряжении цилиндрической оболочки с плоским днищем
(рис. 8.7, ж) граничные условия несколько упрощаются, так как
' на основании допущения о нерастяжимости срединной поверхности
пластины первое условие сопряжения принимает вид w0 = 0; чет-
вертое же условие становится ненужным. .
Определение четырех постоянных интегрирования требует реше-
ния системы четырех уравнений с четырьмя неизвестными. Однако
практически всегда оказывается возможным построить решение так,
что две постоянные определяются сразу, а остальные — в резуль-
тате решения системы двух уравнений с двумя неизвестными.
§ 2. Особенности расчета длинных
цилиндрических оболочек
Применительно к расчету длинных оболочек выраже-
ние (8.21) целесообразно преобразовать следующим образом.
Используя формулы Эйлера
= cos q? +sin <р; е-''4’ = cos <р — i sin tp,	(8.23)
заменим показательные функции на тригонометрические, тогда
выражение (8.21) примет вид
w е-₽л Sjn	4- л 2 cos 0x) -J- e₽Jf (A3 sin 0x4- At cos 0x) 4- w> (8.24)
где Alf A2, Aa, Ал — новые постоянные (действительные).
316
Первое слагаемое, содержащее множитель е"₽*, с увеличением х
быстро затухает. Второе слагаемое, содержащее множитель е₽х,
наоборот, быстро возрастет. Учитывая, что радиальные перемеще-
ния w при больших значениях х должны оставаться конечными и
малыми, можно заключить, что постоянные Аа и А4 должны быть
очень малы. В области, расположенной вблизи от начала координат,
вторым слагаемым можно пренебречь, т. е. положить Л3 = А4 = 0;
тогда:
w=е“ ₽* (Л! sin рх 4- А2 cos рх)+(8.25)
где Aj и Л3 — постоянные, определяемые по граничным условиям
при х = 0.
В таком виде функция w пригодна для области, расположенной
около края при х = 0. Для области находящейся около второго
края второе слагаемое не может
быть отброшено, так как мно-
житель ерх принимает очень
большие значения.
Однако для второго края
можно выбрать новое начало
координат, расположив его на
втором торце оболочки и напра-
вив ось х в противоположную
сторону. Тогда можно снова вос-
пользоваться выражением (8.25)
и, определив новые постоянные
Л1 и Л2 получить функцию w для области, расположенной около
второго края оболочки.
Выясним, при какой длине-оболочки ее допустимо рассматривать
как длинную. Считая предельно допустимую погрешность расчета
равной 5% и замечая, что функции вида е"₽х sin рх и е~₽х cos рх,
а также их производные при рх > 3 принимают значения < 0,05,
заключаем, что оболочку можно рассматривать как длинную, если
Рис. 8.8
0*2*3,
или
/^=2,5 Vrh.
(8.26)
(8.26,а)
При соблюдении этого условия погрешность решения, получен-
ная при применении упрощенного выражения (8.25), не превышает
5%.	*	
Для практических расчетов длинных цилиндрических оболочек,
однако, более удобно применять формулы, в которых постоянные ин-
тегрирования выражены через некоторые начальные параметры.,
Рассмотрим полубесконечную цилиндрическую оболочку, на-
груженную равномерным внутренним давлением и осевыми си-
лами Тх0 и pit а также краевыми нагрузками Мо и Qo (рис. 8.8).
Примем за начальные параметры величины и Qo и выразим
через них постоянные Xj и Ла.
317
Запишем граничные условия
d2w __Мо t
dx2 ~ Ь '
х = О
Qq
dx3 ~ D *
По этим условиям найдём значения постоянных
7И0
2Dp2 ’
Л1 =
Л10 I Qo
2 “ 2Dp2 "г" 2Dps •
Внеся значения постоянных в выражение (8.25) и используя
зависимости (8.7), (8.8) и (8.10), получим следующие выражения
для радиального перемещения w, угла наклона нормали О' и внут-
ренних силовых факторов Мх, Mt и Tt:
w<cos 0* ~ sin 0х) + -^ге~₽хcosР*+W; (8.27)
О = = е“ cos	” 2^ е~ ₽Х <C0S 0х + sin 0х) +
dw (
dx ’
(8.28)
Мх = D	= Mffi-₽* (cos рх 4- sin рх) 4-е-₽* sin рх4-; (8.29)
ил	р	ил	*
<2=о~ =
dx3
— 2/Иоре-Р* sin |3х+Qoe~ (cos рх —sinpx)4-
сРш
~dx2’
Tt =	4- р7\ = 2гР2 ГЛ40е- ₽* (cos рх - sin Рх) 4-
4- % е- ₽х cos рх 4~Р16
р	J
(8.30)
(8.31)
где w — частное решение дифференциального уравнения с правой
частью, определяемое по формуле (8.22).
Значения функций, входящих в выражения (8.27) — (8.31), даны
в табл. 8.1 1251.
Пример 8.1. Определить напряжения и деформации в тонкостенном цилиндре
с массивным днищем при действии внутреннего давления р (рис. 8.9, я).
Так как днище весьма толстое, то край оболочки будем считать жестко
заделанным. Запишем граничные условия:
при х = 0 щ='О;
п А dw п
при х=0 и— , =0.
dx
Осевое усилие в данном случае
- рг	.
~п~' •“ Const.
х 2
318
Таблица 8.1
6	е cos J	е sin	* е е (cos g 4- sJ и	е (cos £ — sin £) . (
	•			i
0	1,0000	0,0000	1,0000	1,0000
0,1	0,9003	0,0903	0,9907	0,8100
0,2	0,8024	0,1627	0,9651	0.6398
0,3	0,7077	0,2189	0,9267	0,4888 j
0,4	0,6174	0,2610	0,8784	0,3564
0,5	0,5323	0,2908	0,8231	0,2415
0,6	0,4530	0,3099	0,7628	0,1431
0,7	0,3798	0,3199	0,6997	0,0599
0,8	0,3131	0,3223	0,6354	—0,0093
0,9	0,2527	0,3185	0,5712	—0,0657
1,0	0,1988	0,3096	0,5083	—0,1108
1,1	0,1510	0,2967	0,4476	-0,1457
1,2	0,1091	0,2807	0,3899	—0,1716
1,3 .	0,0729	'0?2626	0,3355	-0,1897
1,4	0,0419	0,2430	.0,2849	-0,2011
1,5	0,0158	0,2226	0,2384	—0,2068
1,6	—0,0059	0,2018	0,1959	—0,2077
1,7	—0,0235	0,1812	0,1576	—0,2047
1,8	—0,0376	0,1610	0,1234	—0,1985
1,9	—0,0484	0,1415	0,0932	—0,1899
2,0	. —0,0563	0,1230	0,0667	—0,1794
2,1	—0,0618	0,1057	0,0439	—0,1675
2,2	—0,0652	0,0895	0,0244	-0,1548
2,3	—0,0668	0,0748 .	0,0080	—0,1416
2,4	—0,0669	0,0613	—0,0056	—0,1282
2,5	—0,0658	0,0492	—0,0166	—0,1149
2,6	—0,0636	0,0383	—0,0254	-0,1019
2J	—0,0608	0,0287	—0,0320	—0,0895
2,8	—0,0573	0,0204	—0,0369	 —0,0777
2,9	—0,0534	0,0132	—0,0-103	—0,0666
3,0	—0,0493	0,0071	—0,0423	—0,0563
зд	—0,0450	0,0019	—0,0431	—0,0469
3,2	—0,0407	—0,0024	-0,0431	—0,0383
3,3	—0,0364	—0,0058	—0,0422	-0,0306
3,4	—0,0323	—0,0085	—0,0408	-0,0237
3,5	—0,0283	—0,0106	-0,0389	—0,0177
3,6	—0,0245	—0,0121	—0,0366	—0,0124
3,7	—0,0210	—0,0131	-0,0341	—0,0079
3,8	-0,0177	—0,0137*	—0,0314	—0,0040
3,9	-0,0147	-0,0140	—0,0286	—0,0008
4,0	—0,0120	-0,0139	—0,0258	0,0019
4,1	—0,0095	—0,0136	—0,0231	0,0040
4,2	—0,0074	-0,0131	—0,0204	0,0057
4,3	—0,0054	—0,0125	—0,0179	0,0070
4,4	,	—0,0038	-0,0117	—0,0155	0,0079
4,5	—0,0023	—0,0108	—0,0132	0,0085
4,6	—0,0011	—0,0100	—0,0111	0,0089
4,7	j	0,0001	-0,0091	—0,0092	0,0090
4,8	0,0007	—0,0082	—0,0075	0,0089
4,9	0,0014	—0,0073	—0,0059	0,0087
5,0	0,0019	—0,0065	-0,0046	0,0084
5,1	0,0023	-0,0057	—0,0033	0,0080
5,2	0,0026	—0,0049	—0,0023	0,0075
319
Продолжение табл. 8-1
1 ч	е cos g	е sin |	е * (cos t + sin |) 	e (cos £ — sin fc)
5,3	0,0028	—0,0042	-0,0014	0,0069 "
5,4	0,0029	—0,0035	—0,QP06	0,0064
5,5	0,0029	—0,0029		0,0058
5,6 -	0^0029	—0,0023	0,0005	0,0052
5,7	0,0028	-0,0018	0,0010	0,0046 -
'5,8	0,0027	-0,0014	0,0013	0,0041
5,9	0,0026	-0,0010	0,0015	0,0036
6,0	0,0024	-0,0007	0,0017	0,0031
6,1	0,0022	—0,0004	0,0018	0,0026
6,2	0,0020	-0,0002	0,0019	0,0022
6,3	0,0018	0,0001	0,0019	0,0018
6,4	0,0017	'	0,0003	0,0018	0,0015
6,5	0,0015	0,0004	0,0018	0,0012
6,6	• 0,0013	0,0005	0,0017	0,0009
6,7	0,0011	0,0006	0,0016	0,0006
6,8-	0,0010	0,0006	0,0015	0,0004
6,9	0,0008	0,0006	0,0014	0.0002,
7,0	0,0007	0,0006	0,0013	OJWOl
Согласно граничным условиям, с учетом зависимостей (8.27) и (8.28) получим
два уравнения:
Ad0 , Qq , (	,.Рг\_Г(\>
2Dp» ф 2Dp т ^r“’H 2 ) Eh ’
__Mr Qg n
D₽ 2Dp« u’
решив которые, найдем
2Dpapr2 (1 — р/2) _ р / _ £\
Eh	2рЛ 2 Г
о,—ацм,—£
Далее, по формулам (8.27) — (8.31) определяем радиальное перемещение и
внутренние силовые факторы:
w ^Efi(1 ~и/2) 11 (sIn
М»=X 0 ~ И/2) е"₽Л (cos ₽х— rin И» М—рЛ1х;
Г/=рг [ 1 — (1 — р/2) е~₽* (sin Px-J-cos рх)].
На рис. 8.9, б приведены эпюры w, Мх и Tt, построенные при следующих
числовых данных:
г -100 Л; |*=0,3; Р=]/Ц^А~12,85-р
Наибольшие изгибающие моменты возникают при х=0
МЛ=2,57 • 10“8pr* Н • см/см;
МW'»pr« Н.см/см.
320
Растягивающие усилия при х = О
7\ = 5ОрЛ Н/см ; Tt = \5ph Н/см.
Напряжения в опасной точке у заделки:
Ох—=154Р +50р=204р Н/сма
Ft	Г (
^=46р + 15р=61р Н/см2;
о г = 0;
у 1(ох — о/)8 + (Of — ar)2+(or—o.v)2] == 182р Н/см2.
В сечениях цилиндра, удаленных от заделки, изгибающие моменты обра-
щаются в нуль, а растягивающие усилия принимают значения
7\=50рЛ Н/см; Т/=100рЛ Н/см,
Соответствующие им напряжения
ах=50р Н/см2; О/==100р Н/см2; оэкв=87р Н/см2.
Результаты расчета показывают, что эквивалентное напряжение в сечении
у заделки в 2 с лишним раза больше, чем вдали от заделки. Зона изгибных напря-
Рис. 8.9
жений, однако, очень мала и на расстоянии -цг г от заделки изгибные напряже-
ния уже обращаются в нуль.
Пример 8.2, Определить напряжения в цилиндре, рассмотренном в преды-
дущем примере, считая, что днище имеет толщину соизмеримую с толщиной стенки
цилиндра.
11 Бояршинов
321
Отделим мысленно цилиндр от днища, как показано на рис. 8.10, а, и примем
точку пересечения срединных поверхностей О за точку сопряжения. Такой спо-
соб разделения позволяет записать условия сопряжения в наиболее простой
форме.
Осевую силу в цилиндре определим из условия равновесия днища:
рп^-Т&г,
Остальные два силовых фактора в сечении должны быть определены из усло-
вий совместности деформаций цилиндра и днища:
при х = 0	= 0 (деформацией растяжения днища пренебрегаем);
При Х*в0	“^ДН* •
Направления отсчетов углов, принятые за положительные, указаны на
рис. 8.10, б.
Рис. 8.10
Перемещения края цилиндра, согласно зависимостям (8.27) и (8.28),
w„ ' М)  Qo  Л
(*=%	2D0«	'	2£ф3	.	2/ЯЛ'’
А __ __Л*о	Qo
иц_~	Dp	2Dpa	*
Угол поворота нормали на краю днища определяется по одному из методов,
рассмотренных в гл. 5, § 4, 6. В данном случае
А pr3	M,f	г /рг* м \
’«*e8Di(l+|i) Di (1+р)	£>1(1+|*) \ 8
где Di — изгибная жесткость днища.
Уравнения совместности деформаций после подстановки в них значений пе-
ремещений принимают вид
_М<!_ _|_ _2°_ _L 11 —И«0-
2Dp» + 2DP3 2 / £Л ’
Мо Qo	pr*
Df 2Dp> “ DHl+p) 8D1(l+p)’
При составлении уравнений совместности деформаций необходимо следить
аа правильностью знаков. В частности, в уравнении, выражающем равенство уг*
лов, момент М6 должен входить в правую и левую части равенства обязательно
с противоположными знаками.
322

Решение системы двух полученных уравнений при числовых значениях
1 см; hi — 4 см; г — 100 см; р = 0,3; Е ® 2-107 Н/см8
LJ!5=0,1285 1/см;	0.091в£-
=0,1832-10’ Н-см;
Eha
‘ Pi-foz,1.^-64D
чем в 10 раз. Эго объясняется тем, что
приводит к следующим результатам:
М0 =*31,2• 10~8pr2 Н • см/см; Qo= —0,435рг Н/см.
Заметим, что прн абсолютно жестком днище
Л40 = 2,67 • Ю^рг9 Н • см/см.
Следовательно, за счет податливости днища изгибающий момент на краю
цилиндра возрастает в данном случае более чем в 10 раз. Эго объясняется тем, что
днище, прогибаясь, как бы выворачивает
край цилиндра.
Эпюры изгибающих моментов приве-
дены на рис. 8.11. Наибольшие напряже-
ния в центре днища
cr^ctssL———-------— 656р Н/см’.
Наибольшие напряжения в ци-
линдре — около края
рг , 0,0312рга-6 ВЛ .
°*” 2й +-------Л?----W+ 1872р-
= 1922р Н/см9;
рг , р0,0312ргя  6
’<-1*	—=
«=15р4-562р Н/см“.
Растягивающие напряжения в цилиндре вдали от края
*4
Н/СМ»;
o/ae-£L=100p Н/см*.
Пример 8.3. Длинный тонкостенный цилиндр нагружен в некотором сечении
кольцевой силой Р (рис. 8.12, а).
К такой расчетной схеме приводится, в частности, задача о деформациях
трубы с наложенным на нее бандажом или трубы с кольцевым ребром или диаф-
рагмой.
Для правой половины трубы, учитывая симметрию нагружения, имеем сле-
дующие
при
граничные условия:
dw
при
х»0
Qo“*
11*
323
Из этих условий, на основании уравнения (8.28), определяется изгибающий
момент Л4Л- в начальном сечении

20	40»
Выражения для и>, Мх, 7/ согласно формулам (8.27) — (8.31):
ц>=—
Рг®0
2£й
е 0* (sin 0x-|-cos 0х);
Мх = — -^g- е“₽х (sin 0х — cos 0х)}
Л4/ = рЛ1Л;
Tt = -	е_₽* (sin 0х+cos 0х); Тх = 0.
при г — 100Л; |л = 0,3, приведены на
Эпюры w, Мх и Tf, построенные
рис. 8.12, б.
...pfr'j-
Рис. 8.12
При нагружении цилиндра двумя или несколькими кольцевыми силами за-
дача наиболее просто решается методом наложения. Для этого надо построить
эпюры отдельно для каждой силы, а затем их просуммировать.
Пример 8.4. Тонкостенный цилиндр нагружен равномерным наружным
давлением, приложенным на участке поверхности длиною а (рис. 8.13, а).
Эта задача также наиболее просто решается методом наложения. Заданную
нагрузку можно представить в виде суммы двух нагрузок, показанных на
рис. 8. 13, б и а (обе эти нагрузки по существу одинаковые).
Получим решение для нагрузки, изображенной на рис. 8.13, в. Начало коор-
динат совместим с сечением, соответствующим скачку давления. На основании
обратной симметрии нагрузки
при х«=0
w=0;
при х=0
Л1х=0 или
dx2
324
При х = 0 упругая поверхность имеет точку перегиба. Из граничных усло-
вий при х = 0 определим поперечную силу в начальном сечении. Так как Л1о =
= 0, то на основании зависимостей
(8.22) и (8.27)
2ОР3 т Eh '
откуда
Q",= -^2D₽3=~®--
сЛ	Zp
пшппппва^ц
-p=-fa>
Л
Рис. 8.13
Выражения функций w, Мх, М(, Т/ для нагрузки, изображенной на рис. 8.13,в,
имеют вид
w	(1 —е"Р* соз рх);
Мх = — 2?j е~рх sin рх; Mt=р,Мх|
Tt=pr (1 — е-₽*соз Рх).
Эти формулы справедливы для "правой половины цилиндра (х 0). Для ле-
вой половины цилиндра величины ш, Мх и Г/
отличаются только знаком.
Построив по полученным формулам эпю-
ры w, Мх, Tt для нагрузок, изображенных
на рис. 8.13, б и в и сложив их, получим
эпюры для заданной нагрузки.
На рис. 8.14 приведено построение,
соответствующее следующим данным:
Х-= 100; р = 12,85—; а«0,2г.
Л ’	г ’
Значения функций, входящих в фор-
мулы, взяты по табл. 8.1
Наибольший прогиб о>_п.=92^£ j наи-
больший изгибающий момент
Мхгпах«о,8 - 1О-8ро/-а.
Эти значения интересно сравнить со значениями, полученными в предыдущем
примере для случая нагружения сосредоточенной кольцевой нагрузкой при
РдЦзаР или р^ч»ЬР,
Сравнение показывает, что при действии распределенной нагрузки величина
Прогиба примерно в 1,5 раза, а величина максимального изгибающего чомента
приблизительно в 5 раз меньше, чем при сосредоточенной нагрузке.
§ 3. Короткие осесимметрично нагруженные
. цилиндрические оболочки
При малой длине оболочки (/ < 2,5}/^rh) взаимное
влияние краев настолько значительно, что определять постоянные
отдельно для каждого края нельзя.
В этом случае необходимо использовать решение основного
дифференциального уравнения, содержащее четыре произвольные
постоянные.
Если это решение взять в виде (8.21) или (8.24), то задача
определения постоянных сведется к решению системы четырех
уравнений с четырьмя неизвестными. Для того чтобы упростить
определение постоянных, решение основного дифференциального
уравнения целесообразно представить в функциях А. И. Крылова.
Функции Крылова определяются следующими выражениями:
Vi (рх) = ch рх cos рх;
V2 (рх) = | ch pxsinрх + shpxcospx];
V8 (рх) = sh pxsin рх;
v. (₽Х) = I [ch ₽Х sinpx — sh pxcospx].
(8.32)
Таблица функций Крылова приведена в работе [21].
Переход от показательных функций к функциям Крылова осу-
ществляется с помощью формул Эйлера:
ei4, = cos<p+isin(p; еф = ch ф+sh ф.
В результате, общее решение дифференциального уравнения
осесимметричной цилиндрической оболочки (8.21) преобразуется
к виду
w = B1Vl (Рх) + BtVt (Рх)+B3V3 (Рх) + В4V4 (Рх) + wt (8.33)
где Bi, Bit В3, В4 — постоянные интегрирования.
Функции Крылова Vlt Vs, обладают следующими свой-
ствами. Во-первых, они связаны между собой простыми дифферен-
циальными соотношениями
£ V, (М = - 4₽у. (М; 
-s va(M=₽vs(M;
£ v. (₽*)=₽ v,(M.
(8.34)
326
Во-вторых, при значении аргумента, равном нулю, все они обра-
щаются в нуль, кроме функции которая обращается в единицу
т. е.
14(0)= 1; Va(0)«0; V8(0)=0; V4(0)«0.	(8.35)
Эти свойства функций Крылова позволяют выразить постоянные
интегрирования через начальные параметры Фо, Мх0 и Qo.
Согласно равенствам (8.7) и (8.14) с учетом выражения (8.33) и
соотношений (8.34), (8.35), можно написать
^о = 5г + ^о; к	(8.36)
Ф0=рВ8+ад_	(8.37)
M,. = D(₽2B„-|-wb’);	(8.38)
Q„ = D(p'B.+О;	(8.39)
где ©о, ©6, и tf" — значения частного решения и его производ-
ных при х — 0.
Определив по равенствам (8.36) — (8.39) постоянные Blt В8,
В8, В4 и подставив их в уравнение (8.33), получим выражение функ-
ции w через начальные параметры
W «(w0 - Wo) Vi (рх) +1 (ф0 — Й ) v9 (рх) + 1 х
х	- й ) V. (Рх) +	(& - wo) V, (Рх) + w. (8.40)
Дифференцирование этого выражения с помощью соотношений
(8.34) приводит к следующим выражениям для Ф, /Их и Q:
Ф = — 4р (w0 — w0) V4 (Рх) + (ф0 — w6) Vi (Рх)J-
+1	<₽*>+р (% - “4") (₽*) + •<; (8.41)
Мх = — 4Dp2 (w0—w0) V8 (Рх) — 4£>р (Фо—Wo) V4 фх) 4-
+ (Л4ж. - Dw'i) V, (Px) + J (Qo - DaJ ) V2 (₽*) + Dw"; (8.42)
Qo= -4DP’(t»o-»„) V,(₽x)-4Dp(#o-a«) V.(Px)-
-4p(M..-Dwo) V4(Px) + (Q«-OSi") У1(Рх) + Ош"'. (8.43)
Частное решение © определяется по формуле (8.22). Если
р — const и Тх — const, то ©' =	= 0.
Так два начальных параметра обычно бывают известны, то
задача определения постоянных сводится к решению системы двух
уравнений с двумя неизвестными, составляемой на основании гра-
ничных условий при х — I.
Пример 8.6. Определить напряжения в цилиндрической детали, изображен-
ной на (рис. 8.15, о), нагруженной внутренним давлением р = 400 Н/см9 и силами
инерции, возникающими при вращении. Дано: п 7750об/мин: материал — сталь
у = 7,8- 1(Г2 Н/см»; Е •= 2-107 Н/см9.
327
Отделим мысленно кольцо от цилиндра (рис. 8.15, б). В сечении действуют
неизвестные силовые факторы и Х2. Осевая сила Тх в данном случае равна нулю.
Для вычисления деформаций кольца используем теорию осесимметричной де-
формации колец (см. гл. 4, § 1).
Рис. 8.15
Из уравнений равновесия половины кольца
27V—2раг14-2гХ8—2 f a^-r2dr**0l
ri &
2M-Xi2r + Xs2r^-.O
определим внутренние силовые факторы в сечении кольца:
, ауа)2(г8_ rj)
8'=P°f,+	~
Хаг.
По силовым факторам вычислим угол поворота сечения
и радиальное перемещение точки сопряжения с цилиндром
Подставив заданные числовые значения, а также значения геометрических ха-
рактеристик сечения кольца
/j=aln — «2 In— «=0,497 см;
П 7,8
а8 га 28 . 10 Л 1Де
7а£<) In -- в 12	7 8 см 4
328
выразим перемещения точки сопряжения через и Kaj
ф =	48,2—& 48,2 рад;
u*l48 2 —**R4 4-l5,18-108 гм
4о,2 о4,о I р СМ
Вычислим деформаций цилиндра. Совместйв начало координат с левым
торцом цилиндра и направив ось к вправо, получим следующие граничные
условия: ~ *
х=0 Q = X2j
A1v=0;
x=-l Q=0.
Вычислим значения параметров ₽ и fl/:
Р -1/3	=0,718 1/см; ₽/ = 2,87.
Так как ₽/ < 3, то цилиндр следует рассматривать как короткий.
При расчете примем, что на цилиндр действует некоторое приведенное равно-
мерное давление р1( равное сумме внутреннего давления р и инерционной нагрузки
за счет вращения, т. е.
Р1=Р + ^у^=568 Н/см».
Так как Тх = 0, то частным решением^22) будет
~ Pir2	i
W =а Д,- = Const.
При Q
мает вид
—*	рт&
Ха, Mjfo — и w = функция w [см. уравнение (8.40)1 прини-
• x£v4(Px)+^.
/
Два последних граничных условия а учетом зависимостей (8.42) и (8.43) при-
водят к двум уравнениям
ОР2 [ - 4	V, (РО - | О„ V. (₽<) + ФО +
+ ^V’®')]=Oi
DF [ - 4 (щ, - ^-) V, (₽1) -	V, (Р0 - V. (₽0 +
329
решение которых дает
т *'* - *1 tV1 (РО У»(Р0+ 4П (Р01 , X* [ Уа (РОУ»(Р0 — Уг(РОУд(PQ1.
0 Eh 4₽«D [УНРО-У.(РО Уд(РЛ1 2ро [У$(РО-УНРО У<(POJ ’
Op Xi 1-4У»(РПУ<(РО-У>(РОУ1(Р01 .
Р 40aD [У? (РО— Уа(РО У1(РП1
, Л8 |У<(Р0Уз(Р/)-УИР01
f 2P»D [VKP0—У2 (РО Уж (POJ *
При р/ = 2,87 функции Крылова имеют следующие значения:
^(РО —8,5225; V, (00 «—3,0473; Ка(0О-1.1791; V4(0/)«2,71O3.
Г
Изгибная жесткость оболочки .
£Л8
. D “i2(T4fl-S’86-«ген.см.
Подстановка числовых значений дает следующие величины перемещений при
х — 0:
“>o=4^2,012+^2,0213+^«(166,3X1+233,4Xa)l см;
4’0162“ 4^ 2,012	238,6 X1 ~166,ЗХ#)
Следует заметить, что в данном случае длина оболочки лишь ненамного мень-
ше предельной; поэтому перемещения края оболочки можно также с достаточной
точностью вычислить, пользуясь выражениями (8.27) и (8.28) для длинной обо-
лочки:
..... X, X,	. Х< Х*
40 2(Ю	~	‘	” ро 2D₽’’
I
Запишем уравнения совместности деформаций цилиндра и кольца:
и>0=»«} Оо«Ф
или
(166,3X1+233,4Ха) 1 +	- (48,2X1-64,3Xt) 1
с с	с с
(— 238,6X1 -166,ЗХа) 1«(48,2X1-48,2 Xt) 4- -
<	С	а
Решив эту систему уравнений, получим значения искомых силовых факторов
Xi«64,4 см/см; Ха«—155,9 Н/см.
Радиальное перемещение на левом краю цилиндра
ШЬ— 166,3+	233,4 + ^1^ «3,26 • КГ3 см
С	С	с
г
и на правом краю цилиндра
+ V. (₽0 И. (Р0	- 4.25 • ИГ» «.
330
Внутренние силовые факторы на левом краю цилиндра
Мх ™ =» 64,4 Н • см/см; М( =» цМх я» 19,3 Н • см/см;
Ehw
7\=»0; Tt== 3260 Н/см
и на правом краю цилиндра
Мж=-0; м]=0‘, 7\=0; Tt=^ = 4750 Н/см.
я
Напряжения на левом краю цилиндра
ах «~ 2420 Н/см’; ct=4-	«= 8S30 Н/см»
и на правом краю цилиндра
ох=0; О/=^= 11 900 Н/см’.
Результаты расчета показывают, что наибольшие напряжения в цилиндре
возникают на правом краю, где имеет место только окружное растяжение.
Рис. 8.16
В некоторых случаях нагружения расчет коротких цилиндри-
ческих оболочек наиболее просто производится с помощью функ-
ций влияния.
Пусть на короткий тонкостенный цилиндр действуют моменты
и М2 и кольцевые радиальные силы и Р8, равномерно распреде-
ленные по окружности торцов (рис. 8.16).
Выберем начало координат на левом торце
и направим ось х вправо. Так как в данном
случае рг = 0 и Тх = 0, то и ® = 0.
Граничные условия на левом торце:
при	/
х = 0 MXo = Afi;
при
х =.0 Qo — PiJ
и на правом торце:
при
х=1	—
при
x==Z Q/ = —Ра-
Последние два условия с учетом выражений (8.42) и (8.43) при-
водят к двум уравнениям, решение которых относительно ш0 и
‘дает:	ж
W° * 40^® u	4Dp 18	~ 4DP® 88 йф	(8.44)
«••=-4^А«<₽0-^М₽0 + ^«(₽0 + ^/«(₽0.	(8.45)
331
где
г v8 (РЛ УЭ<РО—V1 (РО Уд ФО sh(2p/)-6in(2p0,
711 “ Va3 (00- Va (Р/) V4 (PZ) sh2 (p/)-sin« (PO *
f Vi (PO Va (Р0+4П (PO О sh* (p/)+sin« (PO .
' “ ~ v82 (PO - У2 (PO y< (PO ” sh* (PO - Sin2 (PZ) ’
f 4V3 (PO (PO+ Vi (PO Va (PO _ 9 sh (2PQ + sin (2PQ.
'22~' УИР0- V» (PO Уд (PO “ sh2(po-sin’(po ’
f _ Уд(Р0	_9 Ch (PO sin (PQ-sh (pQcos(pQ
Aa3~ VHPO-va(P0 Уд (PO “	sh2(P0-sin2(p/)
f	Уз (PO________Л sh(PQsin(PO .
'34 - H (PO - У2 (PO У4 (PO	Sh2 (P/) - sin2 (PO ’
f _ МРП _ 4 ch(pQsin (PQ + sh (PQcos(PQ
lM~ H(PO-V2(PO v4(po ~ ? sh2(P0-sin2(P0
(8.46)
Функции fu, f12 ... представляют собой функции влияния.
Графики этих функций приведены на рис. 8.17. Пользуясь функ-
циями влияния, можно быстро
определять перемещения w0
и Фо, вызываемые поперечны-
ми силами и моментами, при-
ложенными по краям. Для
получения полных перемеще-
ний к найденным величинам
следует добавить еще переме-
щения, соответствующие ча-
стному решению ®, которые
’ легко могут быть вычислены
отдельно.
Пример 8.6. Цилиндр нагружен
2.00 двумя кольцевыми моментами (рис.
”	8.18, а). Дано: 1= 25 см; г =
= 20 см.
Отделив участки цилиндра один
0,226 от другого, приложим неизвестные
(005S силы и моменты X! и Ха (рис. 8.18, б).
Сд..	Эти неизвестные должны быть опре-
“ делены из условий сопряжения
участков:
«fa = «fa;
^01 = — ^02-
ОСИ х для 1-го и 2-го участков направлены в противоположные стороны.
Частное решение w в данном случае равно нулю. Для вычисления перемещений
воспользуемся зависимостями (8.44), (8Л5).
Для левого участка Р — 0,287 1/см; p/j = 2,155;
____m4Af /Р.п x2 • 2,20 , X,-2,20
Wo1 4£>ра/11 (P*i)-r4ppa'i2'P‘^ 4DP3 4Dp2 *
A ^2 f (Rt 1 f (Rl \___________^2 2’20	Xj-4,17
Vo1 = 4DP2'ia(P‘1J“4Dp ti2(P J""4DP2	Wp"
(Поперечная сила и момент при отсутствуют).
332
Для среднего участка 0 = 0,287 1/см; 07.-2.87;
а'и 4ррзЛ1(₽^)+ 4£)р Аг (РАЛ 4£)|э/м(Р^	400®
2 0___0 29 — М	о ю =а —
400®	’	4О03 ’	402	’	4О03
4О03
4р2
(Р4)~
1 71 j. (^+^1)
’	4002
*"а	4/>р'2 <₽'*> - TBjr f«<₽'*>+f« (W + Т5(Г <₽У=
- _ Х2 • 2.0 _ (М + *1) 4,0 Х2 • 0,10 (М + *г) 0,32
4002	400 -Ь 4рр2	400 я
Хг1,9	(/И + *04,32
4D02	400
Значения функций влияния взяты по графикам (см. рис. 8.17).
Рис, 8.18
Подставим выражения ш01, U'O2, Фо1, О02 в уравнения сопряжения участков
2,2*г	2,2X1	1,71Ха	(/И 4-*0 1,9
400® + 4002	4О03 +	4D02	’
2,2*2 4,17X1 _ 1.9*2 , (М 4- *0 4,32
4002	400	4002 + 4рр
В результате решения этой системы найдем
*1 = —0.528Л1; *2=—О.526М0,
тогда
\ П. А А 1 ’05М
ш01 — wos —- 0,	» vq2 “---400 *
333
Теперь, когда начальные параметры для первого и второго участков известны,
перемещения и изгибающие моменты нетрудно вычислить по зависимостям (8.41)
и (8.42). Эпюры щ и Мх для данной оболочки приведены на рис. 8.18, в.
Пример 8.7. Круглая пластина, подкрепленная высоким кольцевым ребром*
нагружена, как показано на рис. 8.19, а. Дано: а = 16 см; Ь = 10 см; с = 24 см;
h— 1 см; hj — 1,6 см; I = 2,8 см; Н = 2 см; Р = 1000 Н/см.
Поскольку в данном случае высота ребра значительна, то его следует рас-
сматривать как короткую цилиндрическую оболочку.
Отделим ребро от пластинки. За точку сопряжения примем точку пересече-
ния срединных поверхностей. При таком способе разделения некоторая часть объ-
ема оказывается учтенной дважды, так как она относится и к пластине и к ребру.
Эго приводит к некоторой погрешности, однако вследствие малости упомянутого
Рис. SJ9
объема, а также малой его напряженности (объем расположен близко от срединной
поверхности пластины) эта ошибка невелика. Вместе с тем при таком способе раз-
деления вычисления значительно упрощаются. Заметим, что другой способ разде-
ления (по плоскости, совпадающей с нижней плоскостью пластины) также не сво-
боден от погрешности,, так как в области сопряжения гипотеза неискривляемостн
нормали точно не соблюдается. При решении примем допущение, что деформация
растяжения срединной плоскости равна нулю.
В точке сопряжения А на ребро действует момент т и поперечная сила Qo
(рис. 8.19, б). Обозначим через t>a угол поворота нормали в точке сопряжения и
через 1*в*Н	— высоту ребра. Запишем граничные условия для ребра:
при х —	0	= 0;	при	х =	0	— $а;
при х =	0	Pi — Qo	при	х =	0	Mi — —т;
при х =	/	Ра — 0;	при	х —	I	Ма = 0.
Применив зависимости	(8.44)	и (8.45), придем к двум уравнениям:

334
из которых найдем
m-fT11 =	(8.47)
>иГа~~~ f is
где
sh(20Q_8in(2pQ
chs (p/)4-cose (00 *	двЛЙ'
Изложенная в гл. 5, § 5методика расчета круглых пластйн с кольцевыми реб-
рами полностью применима и при расчете пластин с высокими ребрами, только
в матрице перехода через ребро, определяемой равенством (5.64), вместо жесткости
EJ следует подставить D$kR2k. Таким образом, взамен равенства (5.64) будет
/ 1 0\
ы,
\ 17 пл /
(8.49)
ГД® ОПд— жесткость первого участка пластины;
Кь — средний радиус окружности ребра.
В данном примере
рм
Kt=a Р° 12(1-|й)~
₽-1/ 3(’„ц.-> =0.3216 1/м; р/=0,9; * - 0,82
г aW5
Eh?
m-»D0ft6e«O,O241£Oc; Опл=	= 0,375£ Н • сл; U
,	12 (1 — рг)
Для сравнения приведем результаты вычислений для ребра как кольца с не-
деформируемым поперечным сечением
Л=4[(«+ y)'-	m=^ea=0,028E®a|	°).
Разница в значениях податливости ребра в данном случае составляет 17%.
При 01 < 0,5 ребро допустимо рассматривать как кольцо с недеформируе-
мым сечением; если же 0/ > 3, то ребро можно рассчитывать как длинную обо-
лочку. При этом матрица (8.49) сохраняется без изменения, а параметр k будет
равен 2.
Дальнейший расчет пластины не приводим, поскольку аналогичный расчет
был рассмотрен в гл. 5, § 5. Значения изгибающих моментов для данйой пластины
указаны на рис. 8.19, в.
Пример 8.8. Определить изгибающие моменты в ступенчатой крышке,
изображенной на рис. 8.20, а. Крышка нагружена равномерным наружным давле-
нием. Дано: а — 10 см; / = 3,1 см; Л = 0,4 см.
Заданную систему можно расчленить на две плоские пластины и короткую
цилиндрическую оболочку (рис. 8.20, б). В местах сочленения действуют неизвест-
ные силовые факторы Хь Х2, Х8, Х4. Так как пластины имеют большую жесткость
на растяжение в своей плоскости, то можно считать, что радиальные перемещения
w на краях цилиндрического участка равны нулю. Запишем условия сопряжения
цилиндрического участка и пластин:
при х=0ш=0;6 = Ols; при х = I w= 0; О = -Оа; где и — углы
поворота нормалей на краях первой и второй пластины.
Положительные направления угловых перемещений указаны на рис. 8.20, б.
Угловые перемещения краев пластины вычислим по методике, изложенной
в гл. 5, § Б:
Л а
n~ D (1 + |х)
Ои= £(- 0,732Ха+0,2744ра«).
9**
335
Перемещения краев цилиндрического участка определим по зависимостям
(8.44) и (8.45) с добавлением частного решения и» согласно формуле (8.22).
Рис. 8.20
В результате подстановки значений перемещений условия сопряжения
цилиндрического участка и пластин приводятся к системе четырех уравнений:
£Л.(*	2) + 4DP3 + 4DJ2	4opsfe(₽0 4pjjS
XfwOT=<>;
~~ £к(1—f) + 4Dpa +4DP — 4DPS^” ~
-«фМОТ-
- 4^5 МОТ-
~4^МОТ=0;
^МОТ + ^МОТЧ-
а (V л Ра2\
~'D(l-bp)\X1 + 8?’
от+«”>+
4DP
4Jp fu (₽0 =
= ~ (0,732Х2+0,2744ра®).
Согласно формуле (8.16) [3 — 1/^~	==0,643 1/сж; 0/=2,0.
336
Значения функций влияния, найденные по графикам (см. рис. 8.17), следую-
щие:
fu (РП = 2,27; /к (₽/) = 2,27;	(₽0 = 4,30; /83 (р/)=0,80;
Ан (00 =1.07; fM (рО = 0,62.
Подставив указанные величины в уравнения сопряжения и решив эту систему,
, получим значения силовых факторов:
Xi = —0,126ра2; Х2 = 0,343раа;
Х8 == 1,162ра; Х4 = — 2,12ра.
Эпюры изгибающих моментов Мг и для заданной системы приведены на
рис. 8.20, б, Сравнение этих эпюр с эпюрами для аналогичной плоской пластины
показывает, что благодаря наличию цилиндрического участка изгибающие моменты
у заделки сильно снижаются. Так, например, у наружного края Мг = —0,138раа,
тогда как в плоской пластине Мг = —0,5 ра2.
В наиболее напряженной точке, расположенной у нижнего края цмлиндри-
ческого участка, изгибающий момент достигает величины Мг — 0,343 ра2.
§ 4. Расчет цилиндрических оболочек,
имеющих несколько участков по методу
начальных параметров
В общем случае нагружения на оболочку могут дей-
ствовать кольцевые радиальные силы Р, кольцевые распределенные
моменты М, давление р (рис. 8.21). В сечениях, где приложены
нагрузки, оболочку делят на несколько участков, для каждого из
которых функция ш — разная.
Для того чтобы не определять большое количество постоянных,
целесообразно составить универсальное уравнение упругой поверх-
Рис. 8.21
ности, в котором постоянные интегрирования будут одинаковы для
всех участков и будут выражены через начальные параметры w9,
O0, Мм и Qo. Тогда выражения функции w для различных участ-
ков будут отличаться только количеством слагаемых, содержащихся
в уравнении.
При составлении универсального уравнения следует учитывать,
что функция w и ее первая производная всюду должны быть непре-
' рывны; вторая производная изменяется разрывно в местах прило-
жения кольцевых сосредоточенных моментов. Третья производная
имеет разрывы в местах приложения сосредоточенных радиальных
сил и четвертая производная имеет разрывы в сечениях, где начи-
337
нается распределенная нагрузка или где приложена сосредоточен-
ная осевая нагрузка.
Опуская промежуточные выкладки, напишем универсальное
уравнение упругой поверхности оболочки в окончательном виде
W=(W„ — Шо) V, (₽х) + J (»о - Йо) уг (₽х) + р	-
- V, (рх) + р (% - < )-У. (Рх) + + ф X
х V.[₽(x-/₽)]+V, (Р(x-/«)] +
I II уч.	____I И1 уч.
................... 1
+ (р-1г)Й11-М₽(х-/р)]).	<850>
________ | IV уч.
где — частное решение для первого участка.
В общем случае количество слагаемых каждого вида зависит
от числа нагрузок данного вида. Знаки слагаемых, принятые в урав-
нении (8.50), соответствуют направлениям нагрузок, указанным на
рис. ,8.21. Если давление р будет приложено только на некотором
участке оболочки, то его следует продолжить до конца оболочки
и добавленную часть компенсировать давлением обратного напра-
вления, т. е. вместо одной заданной нагрузки рассматривать две
нагрузки, продолжающиеся до конца оболочки.
Начальные параметры w0>	М*© и Qo определяют, как обычно,
из граничных условий. Два из них известны из условий при х — 0;
остальные два определяют из граничных условий в конечной точке.
Для конкретной оболочки, изображенной на рис. 8.21, Мх0 = 0;
Qo — 0; tth = —	— const и универсальное уравнение прини-
мает вид
“,=(“’о+17г)	+ К
I______________________________I 1 >”•
+ ras V. [₽ (х - ZP)]+X V, [₽ (х - М + (р -
I II уч.
~______________I III уч.
-иг)вН*-’М₽(х-/р)]|.	“
| IV уч.
338
Неизвестные начальные параметры и О0 подлежат определе-
нию из граничных условий в конечном сечении оболочки.
Метод расчета осесимметричных цилиндрических
Их*
лочек,
основанный на применении универсального уравнения (8,50). имеет
следующие* недостатки.
"	1. Он применим к оболочкам только постоянной толщины.
2. Этим методом практически можно пользоватьсяf если общая
' длина оболочки не очень велика [(0/) <51. В противном случае
> функции Крылова принимают очень большие значения и при вычи-
слениях приходится иметь дело с малыми разностями больших вели*
:• чин, что приводит к потере точности.
3. Вычисления остаются довольно громоздкими, так как выра-
г жение функции w для последних участков оболочки содержит
большое число слагаемых.
Рассмотрим другой вариант метода начальных параметров,
применимый к оболочкам с любым числом участков, а также к обо*
клочкам со ступенчато изменяющейся толщиной и со ступенчатой
срединной, поверхностью.
Напряженно-деформированное состояние в произвольном сече-
нии оболочки полностью определяется вектором состояния
Q/DiPt
(8.51)
С где ftj, 0! и Di — толщина, параметр тонкостенности и жесткость
v	на начальном (первом) участке цилиндра.
к ’	Эти постоянные множители введены для того, ч
Ц	чтобы компоненты вектора X были безразмер-
&	ными. '	,
Выделим из оболочки произвольный Z-й участок и обозначим
через Хц и Х/а значения вектора состояния в начальной и конеч-
ной точках.
'у. •. Давление pt и интенсивность осевой силы Тх1 по длине участка
будем считать постоянными. Тогда частное решение для данного
i участка
Wt=(pi	const	(8.52)
1.-й, следовательно, w'i = wf = шГ = 0.
Применим к t-му участку зависимости (8.40) — (8.43); в резуль-
тате получим формулы для вычисления компонентов вектора X в
К конце участка по их значениям в начале участка. Эти формулы
' • можно записать кратко в виде равенства "
Г	Xi^LiXn^Rb	(8.53)
339
где Lt — матрица перехода от
начала к концу участка;
Vi (₽Д)
-4РЛУ4(₽Л)
^Va(₽A)
Vi(P//()
4P?D,
PiP?
Vi(₽A)
IMM)
Pl
(8.54)
Ri — матрица-столбец.частных решений;
-f [1 - Vi (₽A)]
4₽tV4(№)
Ri=
4ОД
£>iPi
V3 (РЛ)
(8.55)
4Р/Р/
DiP?
V2 (РЛ)
где VJf V2t Vs; V4 — функции Крылова;
Pii (РЛ)»	— параметры, соответствующие рассматривае-
мому участку;
Pi» Di — параметры, соответствующие первому участку
оболочки.
Выясним, как изменяются компоненты вектора X при переходе
от i-ro к (i -|- 1)-му участку. Вследствие непрерывности функций w
и й первые два компонента имеют одно и то же значение в конце
предыдущего и в начале следующего участка. Третий и четвертый
компоненты могут скачкообразно изменяться за счет внешних на-
грузок, приложенных на границе между участками, а также вслед-
ствие изменения радиуса срединной поверхности
/ \	f М* \ Tj । гЩ-^t I Txl£l /- .   \ 1 .
та/a+Di Wa ri+1 da rf+1 ум г"ра*
f Q J ri . gm
\^i₽i/(»+i)i	W1P1//2 r(+i "Г DA’
где	и — дополнительные изгибающий момент и по-
перечная сила, приложенные в начале
(i + 1)-го участка;
Qiz и Тх1 — силовые факторы в конце предыдущего,
т. е. i-ro участка;
ri и rta — радиусы i-ro и (i 4- 1)-го участков,
340
л
г.
*
J <
Подчеркнутое слагаемое учитывает дополнительный изгибаю-
щий момент, создаваемый осевой силой на плече, равном разности
радиусов i-ro и (i + 1)-го участков.
Таким образом, при переходе от одного участка к другому ком-
поненты вектора состояния


пересчитываются согласно равенству
о
о
о
о
О
О
А/2 +
О
О
о
о
ri + l
О
Ик
"•ь.
« '"и
о
f
о
о
ад

(8.56)
Очевидно, что если бы в начальном сечении первого участка
вектор X был полностью известен, то, пользуясь равенствами
(8.53) — (8.56) и переходя от участка к участку, можно было бы
' определить значения вектора состояния во всех сечениях цилиндра..
Йу 1 В действительности, однако, бывают известны только два компо-
нента вектора X в начальной точке, а остальные два должны быть
определены по граничным условиям на противоположном краю
цилиндра. В связи с этим целесообразно воспользоваться способом
трех расчетов.
Вектор X представим в виде суммы трех слагаемых:
X = (\Х 4- С2Г+ Г,	(8.57)
где X, X и X — значения вектора X первого, второго и третьего
расчетов;
Ci и Са — неопределенные коэффициенты.
Первый и второй расчеты выполняются без учета заданной
нагрузки. В первом расчете один из неизвестных параметров при-
нимается за единицу, а остальные — за нуль. Аналогично во вто-
ром расчете — второй неизвестный начальный параметр прини-
мается за единицу, а остальные — за нуль. Третий расчет выпол-
няется с учетом заданной нагрузки, но при нулевых значениях не-
известных начальных параметров.
После того, как все три расчета будут выполнены, следует
вычислить значения компонентов вектора X при х = I и из гранич-
ных условий определить коэффициенты С\ и С8.
Если цилиндр имеет наряду с короткими также длинный уча-
сток, удовлетворяющий условию (8.26), то расчет замыкается на
341
этом участке. Согласно уравнениям (8,27) и (8.28), компоненты век-
тора X в начале длинного участка связаны следующими соотно-
шениями: ,
=	\ I Difli / Qki А [ Щ г
*1 2ААРИ A₽i /+ 2ЛАРИЗД Г
А	I 0*1 \ _	/ Qki \	I (	'
“	° л ед) гад (. ед )• J
где k — индекс, соответствующий длинному участку.
Подставив в эти соотношения компоненты суммарного век-
тора Хи, получим систему двух уравнений, из которых определятся
Сх и Ся.
Пример 8.9. Определить напряжения и деформации в шпинделе станка
(р ис. 8.22, а), возникающие при затяжке гайки подшипника. Дано: Р — 10 000 Н:
Е -= 2-10» Н/см2.

9
Рис. 8.22
Разделим шпиндель на три коротких участка и один длинный, как показано
на рис. 8.22, б.
Несмотря на то, что цилиндр в данном случае толстостенный, будем пользо-
ваться теорией тонкостенных цилиндрических оболочек (погрешность, возникаю-
щая при применении теории тонкостенных оболочек к толстостенным цилиндрам,
оценена в § 6).
Вычислим изгибную жесткость и параметры f и (₽0 на каждом участке.
Для первого и второго участков:	»= 6,6 см; hi — h^ — 0,8 см; =*
= lt = 1 см;
р. О 88
^-"-127Дд°0'0469,; и-™-'
Pl—Р»—0,616 |/си: ₽Л“Ь'«-°-61в-
Для третьего участка: rs = 5,4 см; Ла — 1,2 см; /а » 2,5 см;
D>- 120-0,3’) =О'1583£ Н СМ=
1/CMi РА-1.М.
342
Для четвертого (длинного) участка: г4 = 5 см; ft4 = 2 см;
"" T2~(f — 0 За)	Н-см;
—0.408 1/см.
Выпишем значения функций Крылова [21):
(0,615) =0,9761; Уа (0,615) =0,6121;
Уд (0,615)=0,1889; У4 (0,615)=0,0388;
Vi (1,26) =0,5824; Уа (1,26) = 1,1545;
V, (1,26) =0,7716; У4 (1,26) =0,3294.
Граничные условия в начале первого участка: Мж11 = 0; Qu = 0.
Перемещения и Оп неизвестны.
Матрицы перехода от начала к концу участка (8.54) для первого и второго *
участков одинаковы:
-4РЛМРЛ) Vi(PiG)
- I — 4P1*1VS(₽1G)	~ 4 V4 (fey
\—4p1/zlVa (p/)	-4V8(p1/1)
( 0,9761	1,245
—0,0763	0,9761
-0,372	-0,1552
—1,205 -0,6676
v, (PA)
Vi (PA)
-4V*(PA)
0,384 0,0789\
0,6121 0,1889 1
0,9761 0,6121 I
-0,1552 0,9761/
0^M0A)\
4(₽A)
VM /
Vi (PA) /
Матрица перехода для третьего участка
I &’№ W’*" B&Vt№M\
-WuV<(Wa)	V'i (₽»'»)
~ Т5ТГ1 V‘	“ ТТТГ V‘ (W’>	<₽»'•> Чг~ V><₽•'•>
b'lPi	i>iPi	Pa	I
\- T5TST v* <₽•'•> ~W-V‘ (W"> ~ TT l"‘ <₽'•> kl(W»> /
'	^1P1	^1P1	Pl	‘	1
( 0,5824	2,863	0,693	0,1813\	,
—0,531	0,5824	0,4165	0,341 \
—3,450	—3,645	0,5824	1,409 Г
—4,220 —7,025 —1,082 0,5824/
Выполним первый расчет. Вектор состояния в начальной точке
«-А
11 \оГ
\о/
В конце первого и в начале второго участков
843
В конце второго участка
В начале третьего участка
В конце третьего и в начале четвертого участков
2,845 \
2,106 \
4,088 Г
1,902 /
Х82 — LgXai =
Аналогично выполняется второй расчет
В третьем расчете учитывается заданная нагрузка;
в начальной точке принимается* равным нулю.
Для первого участка
вектор состояния
Яц
344
Для второго участка
-	^6=О-М84Р’
Р (Г2~Га)
т2= —Тлг2	' =1-28 *10-2Р}
.	<?2 = 0;
МТл2га___0,3 • 0.0284Р • 5,6 _ n n-Q7 Р .
Eh2 ~~	Е- 0,8	“ ,b Е ’
7-£- H-v^pA)]
1 4₽2V4(₽2/2)
V'.tW
4D2p3
£>iP?
V2 (₽2/2)
Для третьего участка
Т-“^-=2^4=°-Сад
«8=0; ?8=0;
0,0398 4;
W1
/v11-1/1 (fWs)l\
' 4fsv, (P,<s) •
-	vs (₽аУ
. \	v‘	I
345
Суммарные компрненты вектора состояния в начале четвертого участка
Поскольку четвертый участок—длинный, эти компоненты должны удовле-
творять соотношениям (8.58). Решив систему двух уравнений, найдем коэффи-
циенты
Cj-0,308 А в 0,154 • КГ8; с	о, 176	— 0,873 • 10“».
С	с
Компоненты суммарного вектора состояния определяются согласно равен-
ству (8.57).
Значения радиального и углового перемещений в начале первого участка
u»n = ЛдС1 —1,23» КГ« см;	= Са — 0,873 • 10"’ рад.
§ 5. Численный метод расчета
цилиндрических оболочек
Численный метод расчета с использованием ЭВМ целе-
сообразно применять при переменной толщине стенки оболочки
(h — h. (jc)) или при переменном по длине давлении. Метод, изло-
женный в настоящем параграфе, является общим и применяется
не только для расчета цилиндрических оболочек, но главным обра-
346
fee
Ьем для расчета более сложных оболочек, с произвольной формой
меридианов при произвольном законе изменения давления и тол-
щины вдоль меридиана.
Г Напряженно-деформированное состояние в произвольной точке
Оболочки полностью определяется вектором состояния X [см.
| 4 уравнения (8.51)]. Примем в качестве независимой переменной
и компонентов вектора состояния следующие безразмерные вели-
чины:
w
dw
dx *
Mxr
d*w
Dr
Dj dx» ♦
Qr» __ Dr» d*w
(8.69)
Где D] — изгибная жесткость в некоторой фиксированной точке,
Ь  например, при £ — 0;
fc D — изгибная жесткость в
I Эти компоненты отличаются
^Множителями, которые введены
L Для численного решения на ЭВМ исходные уравнения необхо-
димо преобразовать таким образом, чтобы производные компонен-
тов вектора X были выражены через сами компоненты.
|г На основании. уравнений (8.10) — (8.13):
р	dx ’
С.	d# <Pw 1 ..
аГ = «г = д’
_____Л.
dx
текущем сечении.
от .прежних только постоянными
с целью упрощения уравнений.
П’Г
k'-t	dQ
~r~ = P ”
dx

Перейдя к безразмерным переменным, получим
dXj
dX9 Di \г
dX9
(8.60)
Ml
r
Ek*
f. .
£•
Йде D=D(x).
Система дифференциальных уравнений (8.60)
dXt _ __ Ehr*
dE D,
Система дифференциальных уравнений (o.bU) эквивалентна од-
'’Яому дифференциальному уравнению четвертого порядка (8.15).
Эту систему можно записать в матричной форме
1	"-=fX + G
(8.61)
Х4 — D
“ Di
dx* ’
L
ь;'
t ; i.
r»r
brtij-
цТ*  Ehw
847
где X — столбец искомых функций, характеризующих вектор
напряженно-деформированного состояния в текущем се-
чении;
з
4
(8.62)
F — квадратная матрица (4 х 4);
(8.63)
G — столбец функций нагрузки;
(8.64)
Для цилиндрической оболочки
/О 1 0 0\
О 0	0	|
О 0 0 1 Г
\_Д^0 О О/
(8.65)
Численное интегрирование системы уравнений (8.61) при задан-
ных начальных условиях выполняется на ЭЦВМ по стандартной
программе и не вызывает затруднений. Однако в рассматриваемых
задачах (в задачах типа Коши) в начальной точке бывают известны
только два компонента вектора X, а остальные два подлежат опре-
делению согласно граничным условиям при х = /.
Это затруднение можно преодолеть, применив способ трех рас-
четов, согласно которому вектор X представляют в виде суммы (8.57),
а неопределенные коэффициенты С1( С2 подбирают так, чтобы ком-
поненты суммарного вектора X удовлетворяли граничным условиям
при х — I.
При значительной длине оболочки, однако, способ трех расче-
тов становится недостаточно точным, так как при наличии в реше-
нии быстро возрастающих функций возникает необходимость вычи-
сления малых разностей больших величин.
348
Более эффективным методом численного решения подобных за*
.дач является метод прогонки 12]. Сущность этого метода состоит
в следующем.
Рассечем мысленно оболочку на две части и рассмотрим часть,
•ограниченную начальной точкой и текущим сечением. Напряженно-
деформированное состояние в текущем сечении полностью характе-
ризуется вектором состояния X [см. равенство (8.62)]. Конечная
цель состоит в определении компонентов этого вектора, однако на
начальном этапе поставим несколько другую задачу. Искомый век-
тор X разобьем на два вектора Х} и Хц. по два компонента в ка-
ждом.
В качестве составляющих вектора Х[ примем Xt и Х2 (т. е. пере-
s' мещения w и *0); тогда компонентами вектора Хц будут Х3 и Х4
; (т. е. силовые факторы M.v и Q). Можно, а при некоторых вариан-
тах граничных условий и более удобно в качестве компонентов век-
тора Xi принять Хх и Х3 или Xt и Х4, тогда составляющими век-
Г тора Хц будут два остальных.
Очевидно, что между X] и Хц существует линейная зависи-
мость
Xi=LXii + /?.	(8.66)
Согласно этой зависимости при заданных начальных условиях
всякому значению силовых факторов Мх и Q в текущем сечении
соответствуют определенные значения перемещений w и О в том же
сечении. Следовательно, L —	) представляет собой матрицу
(D \
‘1— столбец функций нагрузки.
Определим вначале L и R как функции от При этом будем
исходить из того, что вектор X = должен удовлетворять
дифференциальному уравнению (8.61), а также граничным усло-
виям при х = 0.
Дифференциальное уравнение (8.61) разобьем на два уравнения
dXx
= /?hXi + F12Xii + Gi;
= Л1Х14-Л2Х11 4-Gn,
(8.67)
(8.68)
где Fu, Ла. Ль Ла — квадратные блоки в матрице (8.63);
г /фпфМ	г? /Ф1зф1Л с . /фз1Фз2\	/фззфз4\
Г и =	] > Г12 ==	; ^21 —	I » Г 22 =	;
\ф21 Ф'22/	\ф23 Ф24/	\Ф41 ф42/	\ф43 Ф44/
Gi и Gn — столбцы по два элемента;
Gi =
(8.70)
349
Граничные условия при х = 0 в общем случае можно предста-
вить в виде равенства
m01Xi (0) + тмХц (0) = No,	(8.71)
где m01 и тоа — числовые матрицы 2x2 (заданные);
No — столбец из двух элементов (заданный).
Так, например, если край оболочки жестко заделан, то т01 =
=\0 1) * т(а = 0* О' Если кРа® нагРУжен заданными силой Qo
(М/ \
“Sii
1 и т. д.
Di /
Разделив уравнение (8,71) на т01, преобразуем его к виду,
подобному уравнению (8.66):
Xi(0)«£oXii(0) + /?o-	(8.72)
Тогда
£»==-'^- и «о = ~-	(8.72а)
wioi ” т01	'
можно рассматривать как начальные значения искомых матриц
L (х) и R (х).
Рассмотрим вначале однородную задачу (6 *= 0 и R = 0).
Продифференцируем уравнение (8.66) по
(г i }-dL У
Подставив выражения (8.67) и (8.68) и произведя замену Ди
на £Хц, придем к следующему равенству:
-Ц- Хп + LFaLku + LF*Хц-РиЬХи-РпХи=0.
Это равенство должно выполняться для каждой линейно неза-
висимой составляющей вектора Хц, следовательно, Хц можно
сократить. В результате получается матричное дифференциальное
уравнение относительно L:
= — LFnL —- £F28 + FUL + F18.	‘	(8.73)
Это уравнение эквивалентно четырем обыкновенным дифферен-
циальным уравнениям относительно элементов матрицы L.
1 Аналогично находят решение неоднородной задачи. Продиф-
ференцировав уравнение (8.66) с учетом слагаемого Rt а затем
подставив зависимости (8.67) и (8.68) и приняв во внимание, что L
уже известно из уравнения (8.73), получим матричное уравнение
для определения R:
LFUR + FuR - № + Gi-	(8.74)
350
Уравнения (8.73) и (8.74) интегрируются численным методом
’ на ЭЦВМ при начальных условиях, определяемых уравнением (8.72).
?. При этом необходимости вычисления малых разностей не возникает.
Выполнив интегрирование от 0 до L получим уравнение, связы-
* вающее значения векторов Xi и Хц в конечной точке:
Xi (/) = L (/) Хц(0+/?(/).	(8.75)
Другое уравнение, содержащее те же неизвестные, составляется
f на основании граничных условий при х = I:
•	/nZ1Xi(/)+/n/.XH(/) = Mz
или
т»	,,	N,
I	Л(0-(/)+-£-.	<8-76»
К	h 1
к - Совместное решение уравнений (8.75) и (8.76) дает значения
f * компонентов вектора X при х — I. Рассмотренный метод, называв-
Ь- мый методом «прямой прогонки», позволяет определить компоненты
вектора X только в конечной точке.
; При необходимости определения значений вектора X также
£ в промежуточных точках осуществляют «обратную прогонку» или
«встречную прогонку». Выбрав начало отсчета на противоположном
£ краю цилиндра и интегрируя уравнения (8.73) и (8.74) в обратном
f г направлении при начальных условиях (8.76), получают для каждой
промежуточной точки второе уравнение с неизвестными Х| и Хц,
подобное уравнению (8.66). Решение системы двух уравнений,
Е также выполняемое автоматически на ЭЦВМ, дает значение иско-
5  мых неизвестных в промежуточных точках (при обратной прогонке
к dx < 0, следовательно, знаки О и Q изменяются на обратные).
К’ Для цилиндрической оболочки переменной толщины уравнение
 (8.73) развертывается следующим образом.
Матрицы (8.65) разбиваем на блоки:
/on _ oo\D1 _ /оо\£М /оп
Г F11-V)0f	\1 о/D ; V о/ ;
t °-=°: =
Вычисляем слагаемые.правой части уравнения:
851
/3
*12
4г 4г
Подставляем матрицы в уравнение (8.73):
d /414а\ Ehr2 /4г 41
\41 4в/	\4г 41
Это матричное уравнение эквивалентно четырем обыкновенным
дифференциальным уравнениям:
d^n „_ Ehr2 ij i / ..
rff- “ - p^-Wll ”Т"»21»
din   Ehr2 /2 t i t ,
gj:	£) 42 *11 1 *22»
dl2l __ Ehr2 . { Dt
d£	Di lz2lu	D :
d/2t	Ehr2 lf	.
W12 - /21-
Уравнения в развернутом виде приведены лишь для поясне-
ния, практически же при расчете на ЭЦВМ удобно использовать
непосредственно матричные уравнения.
Заметим, что если в начальной точке будут заданы не геометри-
ческие, а силовые граничные условия (т. е. если будут заданы
и Qo), то матрица т01 в равенстве (8.71) будет равна нулю, a Lo
и в уравнении (8.72) обратятся в бесконечность. Для того чтобы
избежать этого, следует в качестве компонентов вектора X] при-
нять Ха и Х4, т. е. и . Тогда т01 не будет равно нулю.
В случае смешанных начальных условий в качестве компонен-
тов вектора X] следует выбрать те параметры, значения которых
при х ~ 0 заданы (или равны нулю). Если же имеется упругая за-
делка, то компоненты Xj (0) и Х2 (0) связаны с компонентами Х3 (0)
и Х4 (0) заданной линейной зависимостью. В этом случае выбор
компонентов вектора X] не играет существенной роли.
§ 6. Напряжения в тонкостенных цилиндрических
оболочках при неравномерном нагреве
Температурные напряжения в оболочке могут возни-
кать в следующих случаях: при неравномерном нагреве; при стес-
нении температурной деформации наложенными на оболочку свя-
зями; при нагреве многослойной оболочки,‘составленной из разно-
родных материалов. Однако не всякий неравномерный нагрев вызы-
вает температурные напряжения. Так, например, если температура
будет линейно изменяться по длине цилиндрической оболочки, а по
окружности и по толщине будет постоянной, то срединная поверх-
ность из цилиндрической превратится в коническую, напряжения
же при этом не возникнут.
Рассматриваемая теория температурных напряжений в цилинд-
рических оболочках основана на следующих допущениях,
352
1.	Материал оболочки предполагают однородным, а нагрев обо-
лочки осесимметричным.
2.	Диапазон изменения температур по объему оболочки не ве-
лик; модуль упругости Е, коэффициент Пуассона р и коэффициент
линейного расширения а считаются постоянными.
3.	Ввиду тонкостенности оболочки принимают, что по толщине
температура изменяется по линейному закону от 4 на внутренней
поверхности до 4 на на'ружной поверхности:
< = +	(8.77)
t -к/
где /0= а-------средняя температура стенки;
Д/ = 4 — t2 — перепад температур.
Кроме перечисленных допущений, используют общие гипотезы
теории оболочек Кирхгофа — Лява, а также предполЬжения о мало-
сти перемещений по сравнению с толщиной и о малости толщины
оболочки по сравнению с ее радиусом.
Вывод основного дифференциального уравнения рассматривае-
мой задачи аналогичен выводу, изложенному в § 1.
Отличие состоит только в том, что в уравнения закона Гука
необходимо добавить дополнительные температурные слагаемые.
В результате взамен зависимостей (8.3) — (8.10) получим следую-
щие:

=	Нт-0+>*)«<.]•.
7,=^+;.£-(1+нМ.];|
Т, = рТ, +
EAw г..	.
------Ehat0.
(8.78)
(8.79)
(8.80)
(8.81)
Соответственно выражение поперечной силы (8.14) и основное
дифференциальное уравнение задачи (8.15) принимают вид
/Д ^^Х Г\ Г	/1 1_|.\ ®	(Д0 1,	/О О0\
Q = — ° [ж~(1 + W л ~dTJ>	<8-82)
।	Pi |> х	. (l-|-p)ct йа(ДЛ	?р qq\
—+4Р4а>=д--р,7д----------+ —л------------(8.83)
Для данной оболочки решением уравнения (8.83) будет выра-
жение (8.25), а для короткой — выражение (8.33).
А/о12 Бояршинов
353
Частное решение & зависит от заданного поля температур и от
нагрузки. Есди температурное поле и нагрузка таковы, что
л	_ л
dx*	’	dx*
&Р1 ___л	__л
dx*	’	dx* “"и*
то частным решением будет
®	~ И -f-j 4- rat0.
(8.84)
Методика определения постоянных интегрирования ничем не
отличается от рассмотренной в § 2 и 3. Некоторое упрощение может
быть достигнуто путем разделения заданной задачи на две. В пер-
вой задаче рассматривают'только температурные напряжения и
деформации, при этом находят только частное решение (постоян-
ные интегрирования полагают равными нулю). Во второй задаче
учитывают только внешнее силовое воздействие. Постоянные инте-
грирования выбирают Так, чтобы сумма решений первой и второй
задачи удовлетворяла граничным условиям.
Пример 8.10. Рассмотрим бесконечно длинную оболочку, на внутренней
поверхности которой температура flt а на наружной tt. По длине температуры
постоянны.
Заданное состояние можно представить как совокупность равномерного на*
грева <0= о* не вызывающего напряжений, и перепада температур
ДГ = Д/j. — ДГа (рис. 8.23).
Рис. 8.23
Рассмотрим отдельно напряженно-деформировайное состояние оболочки,
соответствующее перепаду температур Л/. Так как температура по длине не изме-
няется, то все величины по длине постоянны, и, следовательно, общее решение
однородного уравнения отсутствует. Частное решение уравнения (8.84) при —
= 0, Тх = 0 и /0 = 0 также равно нулю. Таким образом, перемещения точек <
срединной поверхности и» и окружное усилие Т{, согласно зависимости (8.81),равны
нулю. Однако изгибающие моменты в данном случае не равны нулю. Согласно
зависимостям (8.80):
-Л1/ — (1 + р)	ДГ.	(8.85)
354
Особенность этого состояния состоит в том, что, несмотря на наличие изгибаю*
щих моментов, кривизна срединной поверхности не изменяется (изменение кри-
визны, вызванное неравномерным нагревом, компенсируется изменением кривиз-
ны, создаваемым изгибающими моментами).
Величина напряжений в наружных и внутренних точках оболочки
L	Л1х-6 ДГа£
°xmax +	± 2(1	»’
__ Aff6_ Л/аЕ
1 max - +	± 2(1—|i)-
Эпюра температурных напряжений по толщине стенки для рассматриваемого
случая показана на рцс. 8.23.
Пример 8.11. Цилиндрическая оболочка со ступенчато изменяющейся толщи-
ной (рис. 8.24, а) нагрета по внутренней поверхности до температуры = 100° С,
а по наружной до температуры ta — 40° С. По длине оболочки температура
, постоянна.
Л	Рис. 8.24
t
Дано: г — 50 см; ftj = 2 см; Ла == 1 см; материал — сталь; ц = 0,3; Е —
2-10’ Н/см2; а= 1Ы0-* 1/град.
Заданное состояние можно представить как равномерный нагрев до темпера-
туры ?0 = 70° С плюс перепад температур Д/ == 60° С.
Так как равномерный нагрев напряжений не вызывает, то его в дальнейшем
не учитываем.
Разрежем оболочку на две части И представим заданное состояние как сумму
двух состояний, изображенных на рис. 8.24, б и а. В состоянии, показанном на
рис. 8.24, б, обе части оболочки нагреты с заданным .перепадом температур Д/ =
: = 60° С и дополнительно нагружены по краям моментами:
на первом участке
!'	М<д/) == аД/ (1 + Ц)	= 6290 Н • см/см
1	' г/ Лх 12(1—ц)	1
н на втором участке
£	М<">. = ад/ (1 + И) -2s—	= 1872 Н . см/см.
*	Zig
Величина и направление этих моментов выбраны согласно зависимости
(8.85); в этом случае каждый из участков рассматривается как часть соответст-
вующей бесконечно длинной оболочки, в которой никаких перемещений не возни-
кает.
В состоянии, показанном на рис. 8.24, в, оболочка нагружена только краевыми
нагрузками в месте разреза, причем и Ха — силовые факторы, которые факти-
& 	V112*
Збб
чески действуют в заданной оболочке, а и М*д<' добавлены, чтобы компенси-
ровать моменты, приложенные в состоянии, изображенном на рис. 8.24, б.
Для определения силовых факторов Xj и л8 достаточно рассмотреть только
состояние, показанное на рис. 8.24, в. Запишем условия- совместности деформаций
частей оболочки; последние состоят в том, что радиальные перемещения и углы по-
ворота нормали на краях должны быть одинаковы: w01 = ю»м; и01 = —
В последнем равенстве взят знак минус, так как направления оси л для первой
и второй частей оболочки — противоположны.
Р«с. 8.25
Для определения перемещений используем зависимости (8.27) и (8.28). Для
первой (левой) части оболочки при х « 0, © = О,
М^Х^М™, <?0=-Х2;
„ _Х1+Л1<"> X, А _	X,
01" 2Di₽» 2Dxp« ’	01 “	Djfc + 2Dtp? ’
Аналогично для второй части при х = 0, © = О, Af0 = Xi + Л4а(Д/), Qo =
*= Х8;
.. _-х1+л*,4/| ,	А _ \-i-M'4'1 х,
“ 2ВД +2D!PS • “ D,p, 5UJT-
Подставив эти выражения в уравнения сопряжения участков и учитывая, что
Ds=f2(f^)=0-1833 10’ H
₽>“/^Д“°-1285 «  ₽»-/Ц^Г-“о-181з^=₽.^
«= 6290 Н • см/см; ЛЙ"’«1572 Н• см/см - -! Л1<д°,
*		4	1	*
356
получим два уравнения:
• 3Xx+(2Г2"+1)-~-0;
Р1
(4 J2 + 0 Хх + ~	= - (4 И2+4) 1572 Н • см/см,
z pi
решив которые, найдем
Xi==—2770 Н-см/см; Х2 = 279 Н/см.
Далее по формулам (8.27) — (8.31) вычислим перемещения и внутренние
силовые факторы в состоянии, представленном на рис. 8.24, в. Сложив их с соответ-
ствующими величинами состояния, изображенного на рис. 8.24, б, получим значе-
ния силовых факторов и пермещений для заданного состояния (рис. 8.25).
Наиболее напряженная точка расположена на наружной поверхности более
тонкой части, около ступенчатого перехода. Усилия, изгибающие моменты и напря-
жения в этом месте имеют следующие значения:
Мх——2770 Н-см/см; Л1/ =— 1920 Н- см/см; Тх—0‘,
7'/= 1110 Н«см/см;
- tjx== 16 620 Н/см2; а/=-Д' +	= 12 630 Н/см2.
й2	«2
Вдали от ступенчатого перехода в цилиндре возникают изгибающие моменты
Л1(Д/) и которым соответствуют напряжения:
0^=07=9430 Н/см2.
§ 7. Применение теории тонкостенных
цилиндрических оболочек
к расчету толстостенных цилиндров
Определение напряжений и деформаций в толсто-
* стенных цилиндрах, нагруженных переменной по длине осесимме-
тричной нагрузкой, методами теории упругости связано со значи-
тельными трудностями, вследствие чего до настоящего времени
решение получено лишь для некоторых простейших частных слу-
чаев.
Более просто расчет осесимметричных толстостенных цилиндров
может быть выполнен приближенными методами [21].
Эти методы, основанные на принципе минимума энергии, позво-
ляют получать требуемый результат с достаточной степенью точ-
ности, однако вычисления остаются довольно сложными.
Если толщина стенки цилиндра не очень велика
то с достаточной для инженерной практики точностью расчет тол-
стостенных цилиндров можно выполнить на основе теории тонко-
стенные цилиндрических оболочек. При этом, если соблюдать
определенные правила и использовать для вычисления напряжений
несколько измененные расчетные формулы, то погрешность рас-
чета не превысит 5—10%. Прежде всего все нагрузки, приложен-
ные к наружной или к внутренней поверхности цилиндра, необ-
ходимо привести к срединной поверхности. Так, например, если
на цилиндр действует внутреннее давление ряи и наружное давле-
12 Бояршинов
357
ние рн, то в расчетные зависимости следует подставлять приведен-
ное давление
p1==J^L	(8.86)
Аналогично следует поступать и с сосредоточенными сидами
или моментами.
Далее, по формулам теории осесимметричной деформации тонко-
стенных цилиндрических оболочек обычным порядков определяется
функция w и по граничным условиям находятся постоянные инте-
грирования.
Функция w достаточно хорошо характеризует перемещения
точек срединной поверхности-цилиндра. Что касается перемещений
точек внутренней и наружной поверхности, то их целесообразно
вычислять по напряжениям.
Обычные формулы (8.18) и (8.19) для вычисления напряжений
в данном случае не обеспечивают требуемой точности, так как они
выведены на основании допущения, что разница между длинами
внутренних, наружных и средних кольцевых волокон — прене-
брежимо мала. При выводе уточненных формул для напряжений
используем зависимости, (8.1) и (8.2) для относительных удлине-
ний. При этом представим зависимость (8.2) в следующем виде:
е/ = -Дг- .	(8.87)
Слагаемое г в знаменателе не может быть отброшено, так как
в рассматриваемом случае гиг.— величины одного порядка.
Перейдем от деформаций к напряжениям
1—на Id* dx® z];	(8.88)
E 1 Г w , du . cPw 1	_ЛЧ
<8-89>
Пользуясь тем, что осевое усилие Тх известно, исключим из
этих зависимостей-^-. Запишем уравнение равновесия отсеченной
части цилиндра
J оЛ2лр dp — Тх2пг=0.
Подставив под знак интеграла выражение напряжения ох (8.88)
и выполнив интегрирование, получим
_А_ 2nrh + g _д2п -fg. _ Т,2яг = 0;
отсюда	'
Е	du	__ Тх . D	d2w__• w Е
1— |*я	dx	~~ h rh	dxs r	1 — |ха *
368
I»
I
С учетом последнего равенства формулы (8.88) и
нимают вид
°х Л . 1 — р2 dx2 ’
। Е I w о w \
'	-И1-,-)’
(8.89) при-
(8.90)
(8.91)
где г — расстояние, отсчитываемое от срединной поверхности по
направлению к центру [второстепенные слагаемые в фор-
мулах (8.90), (8.91) отброшены].
Кроме напряжений и в стенке цилиндра возникает еще
напряжение ог. Во внутренних и в наружных точках это напряже-
ние равно соответственно внутреннему и наружному давлению
(взятому со знаком минус). При вычислении эквивалентного напря-
жения, а также при определении перемещений на внутренней и
наружной поверхности напряжение ог также следует. учитывать.
Радиальные перемещения на внутренней и наружной поверх-
ности целесообразно определять по окружной деформации. Фор-
мулы для перемещений имеют вид
K'n = 8/r/i =	[<j, — рож — раг](г=п);
/2 =	[о* —	=,t).
(8.92)
Пример 8.12. Определить напряжения в толстостенном цилиндре, нагру-
женном внутренним давлением на участке, примыкающем к торцу (рис. 8.26, а). '
Рис. 8.26
Внутреннее давление, действующее на первом участке, приведем к срединной
поверхности
г» 2
12*
359
«
Вычислим параметры Р, Р/ и жесткость D:
3
Л —0,5г2: / —0,8г2;
а-у/зд-н*) 2,10
* V гг№ г2 ’ Р/_ *’68’
Eh3
D = i2(i^) = 0’01i47£'-«-
Так как, р/ < 3, то функцию w для первого участка возьмем по уравнению
(8.40). В данном случае: МХ(х_0) = 0; Q(A._0) = 0; ^=~-	Тх1 = 0, и
функция о», принимает вид
“.=(%--4	^(М + -в° ^(М+4-ф-.
\	*-*	/	* Ct
Вычислим tt», о, Мх и Q при X — I.
Значения функций Крылова при Р/ = 1,68 следующие [21]:
Vi (1,68)— —0,3026; V2 (1,68)= 1,2386; Va (1,68) = 1,2871;
(l,68)=0,7604.
По формулам (8.40) — (8.43) найдем
0,3026) +“Г 1,2386 +
3 РГ8
4 £" = аЧ.=о’
%_, = р [-’ (»« - 4 г; °'76м+-г °’3026>]=*i=о;
1,2871-4	0,7604

Qu / = DP3 [- фо- Т -ф-) 1,2386-4 4 1,28711 =Q„	.
Xt = l	L \	4с/	p	J 1 *xa=0
Эти величины можно рассматривать как начальные параметры для второго
участка. Ввиду того, что второй участок — длинный, применим формулы (8.27)
и (8.28); при х2 ~ 0 получим
2Dp2M*n 2Dp3^I,;
= — "ор-^11 ” 2Dp2 9П’
Подставив 6 эти равенства выражения ttiHf 0п, Л4лП, QI( и решив систему
двух уравнений, определим и Оо:
Ц)0 = 0,904-ф-; А = -0,278^-.
ср	с
После подстановки 'значений tt>0 и Оо функция tt»j первого участка принимает
вид
ш, =0,154 ф К, (М-0,278 ф V, (М+|
и ее вторая производная
d2tth Г	рга
= Ра -o.eie-^-iMpjo + i.itf
рг2
-g v<(M
360
Значения Л!Л и Q при Xj — /, т. е. при ха — 0:
Л1лИ =0,054
Qu = 0,668
Функция суи второго участка и ее вторая производная:
И)П = |0,027e“₽-*(cospx— sin рх)4-О,334е"₽* cos рх] ф;
d2wn	л	„	рг2р2
-j- g = [0,054е ₽•* (cos рх-|- sin Рх) 4-0,668е' ₽* sin рх] —р—.
J.,
Напряжения определим по формулам (8.91) и (8.92): на первом участке
рг2ра
— Z------------------------;
ах2
и>
Е
2 [- 0,616 Р3 (Рх)+ 1,112, (Рх)];
РЪ I 1 ч И2 \ *
1 — р2 \Г — Z г /
X [0,154V/(px) -0,278 V2 (рх) +11 + рох
°х 1 - u«
1 —и
w'
— р2 -
г
1 — р2 [г —г
и на втором участке
ох —	о;2 [0,054е~Р* (cos рх4- sin Рх)+0,668е 0* sin Рх];
(1 — Р)
, ctz s= 	[0,027е“Р* (cos рх — sin Рх) +
1 р*
/1	||2 \
+ 0,334е“Рл cos рх] (—-------— +	•
Перемещения точек внутренней и наружной поверхности вычислим по форму-
лам (8.92).
Результаты вычислений представлены в виде эпюр на рис. 8.26, б. В скобках
указаны значения напряжений, вычисленные по способу В. Л. Бидермана (21];
светлыми точками отмечены величины, полученные экспериментальным путем.
Совпадение результатов расчета по изложенной методике с результатами опыта —
достаточно удовлетворительное.
Глава 9. НЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
§ 1. Полубезмоментная теория цилиндрических
оболочек В. 3. Власова
г;
Рис. 9.1
приблизительно
На рис. 9.1 изображены тонкостенные цилиндры,
опирающиеся на две опоры и нагруженные равномерно распреде-
ленной нагрузкой.
Первый цилиндр (рис. 9.1, а) имеет большую длину по сравне-
нию с диаметром; второй (рис. 9.1, б), наоборот, малую длину;
третий (рис. 9.1, в) цилиндр имеет длину, соизмеримую с его диа-
метром (цилиндр средней длины). При деформации первого цилиндра
преобладает изгиб в продольном
направлении. Такой цилиндр мож-
но. рассматривать как обыкновен-
ную балку, поперечное сечение
которой не искажается.
Второй цилиндр в основном
деформируется в окружном направ-
лении и почти не изгибается в
продольном направлении. В этом
случае изгибом в продольном на-
правлении можно пренебречь и
рассматривать цилиндр как плос-
кое кольцо.
В третьем случае роль изгиба
в продольном и в окружном не-
одинакова. Этот случай более
сложный.
Наиболее точное решение задач такого рода может быть полу-
чено на основании моментной теории, в которой учитываются
изгибающие моменты в стенке оболочки как в продольном,
так и в поперечном направлении. Однако практическое решение
задач по моментной теории связано со сложными вычислениями.
Более просто задачи о несимметричной деформации цилиндри-
ческих оболочек решаются по полубезмоментной теории В. 3. Вла-
сова [8, 91.
В этой теории, кроме общих гипотез теории оболочек Кирх-
гофа — Ляна, введены дополнительные допущения.
1. Принимается, что нормальные напряжения в сечениях, пер-
пендикулярных оси оболочки, равномерно распределены по толщине
362
стенки (но переменны по окружности). Для пояснения этого допу--
•щения на рис*. 9.2, а показано действительное распределение напря-
жений, возникающих при изгибе тонкостенного цилиндра, а на
рис. 9.2, б—распределение напряжений, принимаемое в данной
теории.	J
Первое допущение можно сформулировать также иначе: изги-
бающий момент Мх в стенке оболочки в продольном направлении
считается равным нулю, т. е. нормальные напряжения в попереч-
ных сечениях оболочки приводятся только к осевому усилию Тх,
интенсивность которого переменна по окружности.
ч 2. Касательные напряжения ххг, перпендикулярные срединной
поверхности, и соответствующая им поперечная сила Qx прини-
маются равными нулю.
Касательные напряжения тх/, направленные по окружности,
считаются равномерно распределенными по толщине стенки. Эти
«)	6)
Рис. 9.2
напряжения приводятся к сдвигающей силе S, интенсивность
. которой также переменна по окружности.
3.	Оболочка считается нерастяжймой в Окружном направлении.
Относительное удлинение срединной поверхности в окружном
направлении принимается равным нулю.
4.	Угловая деформация срединной поверхности также прини-
мается равной нулю. Это допущение аналогично допущению,
принимаемому в теории стесненного кручения тонкостенных стерж-
ней, согласно которому угловая деформация срединной поверх-
ности считается равной нулю, несмотря на наличие касательных
напряжений стесненного кручения.
5.	Взаимное влияние продольной и поперечной деформации не
учитывается, т. е.- коэффициент Пуассона считается равным нулю.
Введение всех перечисленных гипотез равносильно замене
реальной оболочки расчетной схемой (рис. 9.3), в которой оболочка
представляется как-совокупность большого числа отдельных нера-
стяжимых колец, связанных между собою шарнирными связями,
запрещающими относительные перемещения в осевом .и окружном
направлениях, но не передающими радиально.направленных попе-
речных сил и изгибающих моментов.
Уравнения полубезмоментной теории В. 3. Власова можно
также получить исходя из уравнений общей теории несймметрич-
363
ной деформации цилиндрических оболочек, отбросив в них некото-
рые второстепенные слагаемые 1181. В дальнейшем, однако, будем
основываться на сформулированных выше допущениях,.
Приведем краткий вывод основных зависимостей рассматривае-
мой теории.
Выделим из оболочки бесконечно малый элемент (рис. 9.4) и
составим уравнения его равновесия. Согласно принятым допуще-
ниям по граням элемента, перпендикулярным оси оболочки, дей-
ствуют только растягиваю-
щая сила Тх и сдвигаю-
щая сила S. В продольном
сечении возникают: нор-
мальная сила Ть сдви-
гающая сила S, а также
поперечная сила Qt и из-
гибающий момент Mt.
Рис 9.4
Рис. 9,3
С увеличением координат на dx и dtp все эти силовые факторы полу-
чают соответствующие приращения, как показано на рис. 9.4.
Кроме внутренних силовых факторов, на выделенный элемент дей-
ствует поверхностная нагрузка, имеющая радиальную составляю-
щую plt осевую составляющую рг и окружную составляющую р3.
Приравняв нулю суммы проекций всех сил на нормаль к по-
верхности, на продольную ось X! и на касательную к окружности,
а также сумму моментов относительно оси хх, получим следующую
систему уравнений:
*^+Т(_й, = 0;	(9.1)
г+а» + р*г=0:	<9-2>
=	(9.3)
^-й< = 0.	(9.4)
864
В этих уравнениях слагаемые более высокого порядка отбро-
шены, а также учтено, что sin dtp = dtp, cos dtp = 1.
Четыре уравнения равновесия содержат пять неизвестных сило-
вых .факторов: приведем эту систему к одному уравнению с двумя
неизвестными. Выразив из уравнения (9.1) силу Tt подставим ее
в уравнение (9.3).
-	4-^-r-Q^-l-р г = 0.	(9.5)
dtp2 ' dtp ' дх v < г» «	w
Разделим далее уравнение (9.5) на г и продифференцируем по tp,
ачуравнение (9.2) продифференцируем по л*, после чего вычтем одно
уравнение из другого:
<g3Q/ , dQ, , dp3 d27?x dpa _ n	(QR1
rdtp3 *" <?ф2 удф "г дф дх2 дх '	\ • /
Это уравнение, с учетом равенства (9.4), можно представить
также в следующем виде:
, _1_ (d*Mt ,	= dapt _ dp8 . дрз	Q _
дх2 ’ г8 \ d<p4 ’ dtp2/ г dtp2 dx "*"гдф*	1 • /
»
Введем обозначение дифференциального оператора В. 3. Вла-
сова:
+	=	'	(9.8)
тогда уравнение равновесия (9.7) запишется более кратко:
! д_ 1 о (М 1	/о qx
+ гЗ “	- rdtp2	+ 7д<р'	<У-У)
Перейдем к выводу уравнений деформаций и перемещений. На
рйс. 9.5 показан элемент срединной поверхности и обозначены ком-*
поненты перемещений: w — радиальное, и — осевое, v — окружное.
Приращения перемещений, соответствующие приращениям коор-
динат dx и dtp, указаны на том же рисунке.
Выразим относительные линейные деформации e# и 8, и угловую
деформацию ух( через перемещения
е,= ^;	(9.10)
do , й>
e’t г dtp "7” г *
_______ dv . ди
^xt дх ' гdф*
Так как согласно принятым допущениям et
из уравнений (9.11) и (9.12) следует ч
do
ди   do 
гдф	dx*
(9.11)
(9.12)
= о и Ух/ = 0. то
(9.13)
(9.14)
365
Определим угол поворота нормали ф в окружном направлении.
При перемещении точки М по окружности на расстояние v (см.
рис. 9.5) нормаль поворачивается на угол — ;при перемещении
двух соседних по окружности точек М и L в радиальном направле"
, dw
нии, соответственно, на w и w 4-	«ф поворот нормали составляет
—Следовательно, полный угол поворота нормали в окружном
направлении
,	о	dw
ф --------s—.
т	г	гдф
(9.15)
Изменение кривизны окружности при деформации равно произ
водной от угла ф по длине дуги	,
_ 1_____1___дф _ 1 / dv_____d2w \	. -
х	г г dtp	га \ дф	дфа / *	' ’
Используя зависимости
Рис. 9.5
(9.13) — (9.16), выразим перемещения
и и w, а также изменение кривизны х
через окружное перемещение и:
“ = - $ Ж '	(9-18)
ф
1 / de . &v \ /л 1 п\
х = -j + тт •	(9.19)
Напишем уравнения упругости,
связывающие внутренние силовые фак-
торы и деформации. Согласно закону
Гука (при р = 0)
=	(9-20)
Mi — EtJtt.	(9.21)
Для оболочки с постоянной тол-
щиной стенки, изготовленной из изот-
ропного материала
£, = £, = £; /!, = /!; J=~.
Для ортотропных оболочек величина представляет собой
жесткость при растяжении в продольном направлении, отнесенную
к единице длины окружности, а величина E2J — жесткость при
изгибе в окружном направлении, также отнесенную к единице
длины.
Для оболочки, подкрепленной изнутри кольцевыми ребрами,
величина J равна моменту инерции Т-образного сечения, соответст-
вующего одному шагу ребер, отнесенному к величине шага. Для
366
большей общности будем рассматривать оболочку как ортотропную
и считать, что Et Et.
Запишем выражения силовых факторов Тх и Mt через окружное
перемещение у. Из уравнений (9.18) — (9.21) следует
Л=—S*r£1A1
<₽
(9.22)
м = _ Е£_ L&v + ЙМ	(9.23)
г2 \ аф 1 аф3 /	х '
Остальные внутренние силовые факторы также можно выразить
через v, воспользовавшись уравнениями равновесия (9.1), (9.2)
и (9.4):
dQt п r [	b (itX
dtp	’ г8 dtp' >
rzE1hldtp dq>—
Ptf dy\
(9.24)
(9.25)
(9.26)
Неопределенные функции от <р, получившиеся при интегрирова-
нии по х, отброшены, так как функции и, Тх и S должны быть перио-
дическими.
Теперь все внутренние силовые факторы и перемещения выра-ч
жены через функцию v. Для определения этой функции используем
уравнение равновесия (9.9). Подставив в него выражения (9.22)
и (9.23) и продифференцировав по ф, получим разрешающее урав-
нение
£1Л1 + %- йй (о) =---Р (х, Ч>),
(9.27)
где Р (х, ф) — функция поверхностной нагрузки;
Р (х< <Р) = Sh - -Sr + Sh-	(9-28)
\ > т/ гЗффЗ гдх аф г2 дф2	v 7
ь
Уравнение (9.27) интегрируют в рядах; заданные нагрузки
раскладываются в ряды Фурье; функция v находится также в виде
ряда. Содержащиеся в решении постоянные интегрирования опре-
деляют по граничным условиям на торцах.
По функции v с помощью зависимостей (9.22) — (9.26) опреде-
ляют внутренние силовые факторы. Перемещения точек срединной
поверхности v и w вычисляют на основании зависимостей (9.17)
и (9.18).
Напряжения находят по внутренним силовым факторам согласно
формулам:
а  Т*. 0  ?/ -+- Ml > х — —	(Q 20Ъ
°* ~ h ’ °* ~ Л ~ А«/6 ’ Xxt ~ Л •
367
§ 2. Расчет цилиндрических оболочек
по полубезмоментной теории
при отсутствии поверхностной нагрузки
При -нагружении цилиндрической оболочки силами,
приложенными по торцам или в некотором промежуточном сечении,
составляющие поверхностной нагрузки ръ р2, рэ равны нулю.
В этом случае Р (х, ф) = 0 и уравнение (9.27) переходит в однород-
ное:
~ + тйгв QG (у) = 0-	(9.30)
Заданная нагрузка непосредственно в уравнение не входит,
а учитывается только в граничных условиях или в условиях сопря-
жения участков.
Ограничимся случаем, когда нагрузка и деформация оболочки
симметричны относительно плоскости ф = 0. Тогда решение урав-
нения (9.30) следует искать в виде ряда синусов (при симметричной
деформации функция v обратно симметричная)
со
sin	(9.31)
й —I
где V/f — функция только от х.
Подставим ряд (9.31) в уравнение (9.30):
V	, V E2Jk*(k* — 1)2 „ . ,	_
2 djrslnA,P+ 2 Е1м 'Ptsinfrp = O.
Л=1	ft=M
Это уравнение распадается на бесконечное число обыкновенных
дифференциальных уравнений вида
^ + 4₽{t>» = 0,	,	(9.32)
где
<9.33)
или для оболочки из однородного материала без ребер
₽» =	(9.34)
Уравнение (9.32) аналогично уравнению изгиба балки на упру-
гом основании или уравнению осесимметричной деформации тон-
костенной цилиндрической оболочки.
Интеграл уравнения (9.32) может быть представлен в следующем
виде:
= ВоА (0Ах) + В2АФ2 (М + ВзАФ3 (М + В4АФ4 (0Ах), (9.35)
где
Ф1 (М) = ch (pftx) sin (₽Лх); Ф2 (0Ах) = ch (pftx) cos (РЛх);
Ф3 (Рл*) = sh (0Лх) cos (РАх), Ф4(0Ах) = sh (рАх) sin (0Ах), /
(9.36)
368
или в функциях А. Н. Крылова (см. формулы (8.32)]:
Vk = -AlftVl (Pa*) + A2k V2 (Pa*) +-AgftVg	V* (?**)•
(9.37)
Постоянные интегрирования B2k, ...» Alk A2/l ... определяют
в каждом частном случае по граничным условиям на торцах.
Для весьма длинных оболочек, удовлетворяющих условию
р*/>3 или />2,5г|Л^-	(k^2),	(9.38)
решение целесообразно представить в виде, аналогичном виду вы-
ражения (8.25):
Sft = Cifte ₽^sin(pftx) + C2fte p^cos(₽fex). (9.39)
Значения функций, входящих в уравнение (9.39), даны в табл. 8.1.,
Постоянные интегрирования Clk и C2k находят по граничным усло-
виям при х = 0.
При определении функции vk для оболочек средней длины при
малых значениях k (РА/ < 3) необходимо пользоваться формулами
(9.35) и (9.37) с четырьмя постоянными интегрирования, а при
больших значениях k можно пользоваться более простой формулой
(9.39) с двумя постоянными интегрирования.
Следует обратить внимание на то, что при k = 1 параметр 0,
определяемый по формуле (9.33), обращается в нуль и уравнение
(9.32) упрощается:
= о.	(9.40)
Уравнение (9.40) представляет собой дифференциальное уравне-
ние упругой линии цилиндра с недеформируемым поперечным
сечением.
Интеграл этого уравнения выражается через степенные функции
vt = Dt + D2x -г D3xz J- D4x3,
(9.41)
где Di, D2t Dj, D4 — постоянные интегрирования.
Остановимся более подробно на вопросе о граничных условиях.
Граничные условия могут быть геометрические или силовые.
Геометрические условия должны быть наложены на смещение v
и и, а силовые — на усилия Тх и S на торце.
Иногда, однако, вместо касательного смещения щ на торце
может быть задано радиальное смещение ш0, а вместо касательной
сдвигающей силы So — радиальная нагрузка qh.
В этом случае*по радиальному перемещению следует найти
касательное перемещение и0, а по радиальной нагрузке q^ — экви-
валентное касательное усилие. So.
Радиальное перемещение должно быть задано так, чтобы
удовлетворялось условие нерастяжимости оболочки в окружном
369
направлении. При соблюдении этого условия перемещения и
р0 связаны'зависимостью (9.13), из которойследует:
t> = —Ju)od(p.	(9.42)
ч>
Для преобразования радиальной нагрузки (см. рис. 9.6, а)
в эквивалентную касательную нагрузку So отсечем от оболочки
узкое кольцо (рис. 9.6, б). Деформация нерастяжимого кольца
должна удовлетворять дифференциальному уравнению (4.52). Рас-
сматривая правую часть этого
Рис. 9.6
уравнения, можно заметить, что
деформация кольца не изменит-
ся, если радиальную нагрузку
91= 9о заменить касательной
нагрузкой Q __
42 dtp ‘‘

Нагрузку <?а, в свою оче-
редь, следует приравнять —
So, т. е. — сдвигающей силе на
краю оболочки. Таким образом,
s»=—<9-43>
Уравнение (9.43) используется для преобразования радиальной
нагрузки в касательную.	4 -
Если, например, нагрузка qQ будет задана в виде ряда
СО
<7о = S •? * cos k(i>’
то эквивалентная  ей касательная нагрузка будет
СО
So — 2 Qkk sin fop.
i
Отметим, что постоянные интегрирования в выражении
пропорциональны четырем начальным параметрам: и (0),
Л(0)и5.(0)/
Зависимости между постоянными интегрирования и начальными
параметрами нетрудно получить на основании, равенств (9.18),
(9.22), (9,25) и (9.37) с	"
и (8.35):
(9.44)
(9.37)
и(0),
учетом свойств функций Крылова (8.34)
Aik — (0)>
Лй = В»(0)^;
г£йр9 *
л_______Sk (0)
- гЯ£Арз ’
(9.45)
370
Пример 9.1. Оболочка нагружена двумя осевыми силами Р, приложенными
’ диаметрально противоположно на верхнем торце, и равномерной нагрузкой q0 —
Р	‘
= —- на нижнем торце (рис. 9.7, а).
Разложим нагрузку, действующую на верхний торец, в ряд Фурье:
В данном случае следует взять только четные значения А, так как нагрузка
Симметрична также относительно плоскости <р = 90°.
Рис. 9.7
Первое.слагаемое соответствует равномерной составляющей нагрузки, которая
вместе с нагрузкой, приложенной к нижнему торцу, вызывает равномерное сжатие
цилиндра (рис. 9.7, б).	'
Второй и последующие члены ряда (при k = 2, 4, 6...) соответствуют само;
уравновешенным нагрузкам вида
2Р
'	<7fc== —cosA<p,
J wf
приложенным к верхнему торцу (рис. 9.7, а). Так как нагрузка симметрична отно-
 сительно плоскости <р — 0 и оболочка короткая ^/ = l,2r <.r '|/"у = lOrV то
выражения функций пир* следует взять по формулам (9.31) и (9.37).
Запишем уравнения граничных условий:
при х = 0 Тх = 0; S — 0;
2 Р
при х = I S — 0; Тх==— — — cos Аф.
В данном случае все четыре условия — силовые. Согласно этим условиям, на
основании уравнений (9.22), (9,25) и (9.45)
A4fl=G; ,
А — л -У»(М	_ . львяАь 
371
где Рд — параметр, определяемый по формуле (9.34). Через Ak обозначена вели-
чина
л _ Pk
k Щпг*ЕЬ •
Рис. 9.8
Вычислив A2k при k = 2, 4, 6, нетрудно по формуле (9.31) найти зна-
чения функции v и по формулам (9.22) — (9.26) — значения внутренних усилий.
Следует заметить, что в точках приложения сосредоточенных сил ряды рас-
ходятся и осевое усилие Тх обращается в бесконечность. В действительности же
это усилие конечно, так как силы Р фактически
*=к г	.	приложены не в точке, а распределены по неко-
Л	' •	торой дуге.
Пример 9.2. Исследовать деформации и на-
пряжения в цилиндрической оболочке, нижний
край которой жестко закреплен так, что и — 0 и
v — 0 (рис. 9.8). К верхнему торцу приложена
радиальная' нагрузка, распределенная согласно
закону:
при
— 90° ф 90° q = — <7max cos ф;
при
90° < ф 270° <7=0.
Нагрузка q считается положительной, если
она направлена от центра.
Представим нагрузку в виде ряда
СО
9 = ?o+S^cosA(P-
1
Для определения q0 проинтегрируем правую и левую части равенства от 0
до 360°:
90°	360°
J (—<7тах C0S<P)d<P+ J (~ ?maxCosT)d<P=?o2n,
0	270°
откуда
9>пах
Я
Для определения умножим правую и левую части равенства на cos Аф
и также проинтегрируем от 0 до 360°:
90°	360°
2 \ (— q niax cos ф) cos Аф d<p — $ q^ cos2 Лф dq.
При
= 1 ?max ~
откуда
•	_ imax
------------------------------------2".
При
л
ь 9 —9/7	Г sin К* +1) <p] , sin ((fe-1) ф]]	_
^nax[ 2 (A 4-1)	2(fe-l) J
0
372
откуда
_	^max
0ь =--------
**	Л
sin
(k 4-1) л
2
/г-1
Таким образом, для заданной нагрузки получаем следующий ряд:
^тах ?тах 2<?тах
max „ „ л,
(7  -----------„— COS ф---5----COS 2ф 4- , г - cos 4 <р —
л 2	Зл .	15л Т
2?тах с , 2<?тах о ,
“ "35л~cos 6<р + -6STcos + -
' Первый член ряда соответствует равномерно распределенной радиальной
нагрузке. Деформации и напряжения от этой составляющей вычисляют по форму-
лам теории осесимметричной деформации цилиндрических оболочек (см. гл. 8). Эти
напряжения и деформации сравнительно малы и при удалении от верхнего края
быстро затухают.
Найдем деформации и напряжения от составляющих нагрузки» соответствую-
щих остальным членам ряда.
Так как радиальные силы, приложенные к торцу, не могут быть учтены в гра-
ничных. условиях непосредственно, их следует заменить эквивалентными сдвигаю-
щими силами, определенными по уравнению (9.44):
со
2- е • г	^тах -	^тах
qkk sin kq =---g— sin ф — у -y-
А==1
8 ?тях	I2?max	16
-----Sin 4<p — -------sin 6<p +	-----sin 8tp — ..
15 л	35 л т 63 л т
Положительное направление усилия So противоположно положительному на-
правлению отсчета угла ф.
Рассмотрим составляющую нагрузки, соответствующую А=1. Параметр
6,- в этом случае равен нулю и решением дифференциального уравнения, согласно
равенству (9.41), будет выражениё
vr — vt sin ф = I Dt D2x -f- Dgjc2 -|- D4x3] sin ф.
Для определения постоянных используем граничные условия:
Гл о -	•	9тах .
х = 0; S = 9i sm ф—-----y-sin<p;
Лл
при	х — I v — 0; и — 0.
Эти условия с учетом зависимостей (9.22), (9.25), (9.18) приводят к системе
уравнений, решение которой дает:
n _ п‘_______ ^max п ______ ^тах^2 п ______?тах^3
u4~i2^Eh’	2~	4r2£ft ’ х“ 6г2£А *
Следовательно,
<7тах/3Г х	-*3
•lll&A л О	Г	* -
р1—ЛТТсТ 2 —Зт + ‘й- ЯПФ’
12r2 Eh L / Z3 J Т
Нетрудно проверить, что функция точно соответствует уравнению изогнутой
оси оболочки как консольной балки с недеформируемым поперечным сечением,
лг
нагруженной пеперечной силой Р=равной равнодействующей задан-
ной распределенной нагрузки.
373
Найдем функцию vk, соответствующую k-ft составляющей нагрузки. .
Зададимся размерами оболочки: A = -jxf, / — 2г. Для нескольких значений
40
k вычислим параметры 0Ь, рь/ и Результаты вычислений следующие:
k	' 0»	•-л.	4k
2	1 0,208 — Г	Г 0,416 '	—Т^ = -°’212’т.х
4	1 0,930 — г	• 1,86	+ 15 “Т = + °’М25’т.х
6	1 2,130 —	4,26	35	-	0,0182,„,„
8 ♦	1 3,81 — г	7,62.	-	+бЗ "Т - + °'010,’™»х
Так как при К ~ -2 и К = 4, ₽ь/ < 3, то для вычисления vk следует применять
Формулу (9.37). с четырьмя постоянными интегрирования. При k — 6 и k — 8,
рк1 > 3 и можно применить более простую формулу (9.39); однако для единообра-
зия будем пользоваться формулой (9.37) при всех значениях k.
Выбрав начало координат на верхнем краю оболочки, запишем уравнения
граничных условий:
при
х = 0 ТхЬ = 0; Sb — qk k sin Лмр;
при
x — I Vk =0; uk = 0.
Ha основании этих условий с учетом зависимостей (9.18), (9.22), (9.25).
(9.31) и (9.37):
Лв'4 °*’ A*k^
л ._Vi(MV3(M+4H(M , .
2* *
А -(М Уз (М - Vi (М V4 (М 4
УиМ+4У2(МММ 4*’
Заменив функции Крылова их выражениями (8.32), после несложных преоб-
разований получим
. '	1 sh2(M4-sin4M А -
2А = 2 ch2(M+cos2(M 4Ъ
1 sh (EfeO eh (0bQ+sin (pfeZ) cos (0fe0
2	/4.2 /А. Л	/ft. л
ch* (М 4-cos8 (EfeO
Радиальное перемещение w на верхнем торце согласно формуле (9.17):

^max^3	V к л t
6^ЁЛсгач,_ 2	**•“*
dv

374
Осевое усилие Тх у нижнего торца согласно формуле (9.22):
С	?niax*	V
?\=-^^</ч,=^с<»ф+	2.
ф	k — 2,4,6...
X [- 4Л1А У8 (М - 4Л2*У4 (₽*/) + Л4ЛУа (0*0] cos Аф.
Результаты вычислений w п'Тх при нескольких значениях k следующее:
Аг	A4k		A2k	Alk	Е . w л •  — (Х-0) 4?П1ах при <р°			Т при <р°		1
										“?тах
					0	90	180	0	90	180
1.				>	-3420	0	3420	1	0	—1
2	q 7540 -	шах Е		1550^*	—3100	3100	—3100	1,42	-1,42	1.42
4	-135.2	if	60.0 „	—55,6 „	167	167	167	-0,27	—0.27	-0,27
6	16,3	ff	-8,13 „	8.14 „	—49	49	-49	0	0	0
„ 8	-3,71		1,85 „	-1,85 „	15	11?	15	0	0	0
Е	1	„..	Л		—6380	~3330	-450	2J5	-L69	0,15
По полученным данным построены эпюры перемещения w при х = 0 и усилия
Тх при х — I (рис. 9.9).
При построении эпюры w перемещение, соответствующее осесимметричной
составляющей нагрузки не учитывалось.
Полученные результаты показывают, что искажение формы окружности
около верхнего торца значительно. Напряжение в опасной точке у заделки в 2.15
раза больше найденного по элементарной теории изгиба бруса (значения перемеще-
ния и осевого усиления, вычисленные без учета искажения формы поперечного
сечения, указаны в скобках).
Рис. 9.9
Пример 9.3. Цилиндрическая оболочка, неподвижно закрепленная по ниж-
нему краю, усилена по верхнему краю упругим кольцом (рис. 9.10). Вычислить
деформации оболочки и кольца, возникающие при нагружении радиальной силой
Р = 1000 Н, приложенной к кольцу. Дано: г = 20 см; h — 0,5 см; I — 80 см;
В = 0,5 см\ Н = 2 см; материал оболочки и кольца — дюралюминий; Е =
= 0,72.10’ Н/см8; G= 0,27.10’ Н/сма.
Подобная задача была рассмотрена в гл. 7 (см. пример 7.6). При решении пред-
полагалось, что кольцо абсолютно жесткое и что напряженное состояние обо-
лочки — безмоментное.
375
Решим эту задачу с учетом деформации кольца, причем для сравнения опре-
делим деформации оболочки как на полубезмоментной теории, так и по безмомент-
ной теории. Вначале рассмотрим первый вариант решения. Отделив кольцо от
оболочки (рис. 9.11), приложим в сечении сдвигающую силу So (нормальная сила
Txt) равна нулю, так как кольцо не оказывает сопротивления осевым смещениям
края оболочки).
Силу Р разложим в ряд; в результате получим эквивалентную радиальную
нагрузку
со
А=1. 2 ...
Р
пг
cos k<p.
„ Составляющая нагрузки, соответствующая первому члену ряда, вызывает
равномерное растяжение кольца и осесимметричную деформацию оболочки. Этой
составляющей в дальнейшем пренебрегаем.
Следующий член ряда (fe^= 1) соответст-
вует изгибной деформации оболочки без
искажения формы ее поперечного сечения.
Я
О
l
Рис. 9.10
Рис. 9.11
h
т. е. без изменения формы окружности кольца. Перемещения и напряжения от
этой составляющей определяются так, как это было показано в примере 9.2, т. е.
фактически по формулам элементарной теории изгиба бруса. В'данном примере
при k = 1
— Pl3 п „ х	х31 .
c‘“ta^[2-3T + -p]s,n,p;
=______Pl3_ PF
<р=9о°)	3Enr3h	3EJxf
„	Pl „	Pl
Тх  х ----------- cos <р; Тх	—-------
*!(* = /)	яг2 т ХЦх=1 ф = 0°)	яг»т
=__£L =
°Ai(x=/, <р^о°) nr2h ]ГХ’
где Jx = лг8А и Wx — nr2h — момент инерции и момент сопротивления сечения
оболочки при изгибе.
376
Составляющая прогиба Uj на верхнем торце (при k — I) фактически будет боль-
ше вычисленной из-за влияния деформаций сдвига. При k — I
~ - Р р.-
ср = 90° лг » Т дг/г’
Y=J_.	= -_?/ =____—
' G ’ . *(*=о, ф=9О°)	1 лгЛб’
При заданных числовых значениях (см. рис. 9.10) перемещение торца за счет
изгиба V.	= —18,9 ИО’4 см и за счет сдвига л(т) =—9,4-Ю4 см.
Чл—0, ф—90°)	1
Результаты вычислений показывают, что пренебрежение деформациями сдвига
при определении прогиба приводит к существенной погрешности.
' Перейдем к вычислению перемещений и напряжений, соответствующих й-й
составляющей нагрузки:
Р . .
<lk = — cos Л<р.
Так как длина оболочки невелика, следует применить выражение фун-
кции ’Bk (9.37) с четырьмя постоянными интегрирования.
Запишем граничные условия на верхнем торце:
' при х = 0 Txk — О,
следовательно на основании третьего уравнения (9.45), Л3^ = 0;
при х = 0 Sfe — Soft, = Soft sin k (p
(So* — интенсивность ft-й составляющей силы взаимодействия оболочки с коль-
цом).
Из второго условия на основании четвертого уравнения (9.45) .следует
д _____
ik “	г2£Лр» •
Еще два граничных условия заданы на нижнем торце:
при x = l v=0 или ^xftVi (pftO +(Pft/) + ^4ft^4 (РлО=0"»
при x=l н=0 или -41ft4|/4(Pft/) + 42ftV1(PftO + H4ftl/3(pfeO=0,
откуда
л ~	IM	(М а •
. ___VitM
Vi(M+4V'!(₽»/)V,(M **’
Заменив функции Крылова их выражениями (8.32), после несложных преобра-
зований получим
. sh (Pft/) ch (Pfe/) - sin (PftZ) cos (pfeZ) A .
l,i~ 2[ch®(PftO+cos4Pfi/)] 4ft’
. _ sh«(pftQ+sin*(Pft/) .
2 [ch2 (pft/)+cos8(P*0] 4fe‘
Для определения оставшейся неизвестной величины SOft необходимо исполь-
зовать уравнение совместности деформаций оболочки и кольца. Запишем выраже-
ние функции Vk при х — 0для оболочки
и*(х-0) =бЛ(х-о) sin = лхл sln fe<P
или
_	[sh (pfeо ch (PftQ — sin (pft/) cos (pfeQ] fe2S0fe
Vft-Aift-------2 [ch2 (PftZ) 4- cos2 (PftZ)] r2Eh ' P£ '
377
Это уравнение содержит две неизвестные величины:	и So*. Второе урав-
нение с теми же неизвестными необходимо получить, рассматривая деформации
кольца.
Дифференциальное уравнение (4.52) упругой линии кругового кольца при
плоском изгибе с учетом зависимости (9.17) запишем в следующем виде:
EJ Гd6v 9 d4 о d2v 1 dq^
г4 |d.p« + 2 dq? + dip8] + <7a+ tty ~
где
, ВЯ3
J — -jg- — момент поперечного сечения кольца;
qs — касательная составляющая распределенной нагрузки; в данном
случае q2 = Sofr = Sok sin <p;
qi — нормальная составляющая распределенной нагрузки; в данном
случае == qk = —- cos k(f .
После подстановки значений <71 и q3 и замены функции v выражением
w=vft(*_o)=^(*-o) sinH
уравнение упругой линии кольца принимает вид
-т (— ^*4-2^* —fe8)	sin Spfc sin feq>------sin feq> = 0
ИЛИ	(
£Л3(й8—I)8 , ? ' Pk
0)	fi	г Ofe jy •
Последнее уравнение вместе с полученным ранее образует систему двух
уравнений с двумя неизвестными:	и S9k. •
Результаты решения этой системы при некоторых значениях k следующие:
k	• 10». l/см		sofe,H/cM	р. .	, • 10», см fc(X-O)
2	1,04	0,832	26	-10,72
3	2,55	2,04	18,4	- 3,4
4	4,65	3,72	16,1	-0,887 '
5	7,37	. 5,9	14,06 л	—0,305
Радиальные перемещения на верхнем краю оболочки согласно уравнению
(9-17): '
	
jto \
^Ф /
=—^(*-0) АсозАФ или	%*-())*•
Осевые усилия и напряжения могут быть определены по уравнениям (9.22),
(9.29).
I
378
Изгибающий момент в кольце, в сечении, где приложена сила Р, согласно
уравнению (4.51):
..	EJ fcPw \	EJ _	/1Л
==	+	-----_о) ~*)•
\ф 0 )	х
Числовые значения этих величин следующие:						
Л		дгЛ • ю*	л16 • №	”»(*-») = “ *‘Чг-оГ см	Н/см	о>* Н - см
1 ' 2 3 4 5	-6,42 —0,493 -0,178 -0,0611	1,96 0,337 0,089 0,0304	-1,072 -0,341 —0,0891 —0,0304	1,89 - 10"3 21,44 • КГ3 10,2 • Ю“3 ’ 3,55 • 10~3 1,52 • ИГ»	-63,7 — 176 -12,2 -м 0	0 387 490 320 220
Эпюры wlx-oi и T’Xix-n — см. на РиЬ- 9.12.
Изгибающий момент в опасном сечении кольца
~~~ 1500 Н • см;
соответствующее максимальное напряжение
М-6	1500-6 лКЛ Н/Л ,
ffmax в//2 e 0э5.22 — 450 /см *
Приведем решение этой же-задачи по безмоментной теории. В гл. 7 (при-
мер 7.6) было получено следующее выражение функции v для цилиндрической
Рис. 9.12
оболочки, закрепленной по нижнему краю и нагруженной по верхнему краю
сдвигающей силой So (<р):
_ Р cPS0 (&_ __ Зх \	So(/—х)
.	V~~&r2Eh d<p® \ Р	) Gh *
При So = SOk sin Jfetp; — vktx-f» s^n и * = 0 это выражение принимает
вид
® = 3Er4i ~ Gh) S°*'
Решение последнего уравнения совместно с уравнением деформации кольца
при заданных числовых величинах приводит к следующим результатам:
379
k	Vk	- IO\ CM	W и/см	wb	— =* —	CM	~ 7 kSoif Н/см
1	—2,83	15,95	2,83 • IO-3	—63,7
2	— 13,22	24,8	26,44 • 10~s	— 198
3	—5,01	4,45	15,03 • 10“3	—53,4
4	-1,17	0,60	4,68 • IO"3	—9,6
5	—0,369	0,122	1,85 • IO”3	—2,45
Эпюры и Тх, построенные на основании решения по безмоментной тео-
рии, приведены на рис. 9.13.
Рис. 9.13
Сравнение эпюр показывает, что разница между решениями по безмоментной
теории и полубезмоментной теории в данном случае сравнительно невелика. Это
объясняется тем, что напряженное состояние рассматриваемой оболочки близко
к безмоментному. Совпадение результатов будет лучшим, если в решении по полу-
безмоментной теории учесть перемещения за счет сдвигов, вызванных поперечной
силой.
§ 3. Расчет цилиндрических оболочек,
находящихся под действием
поверхностной нагрузки
При действии поверхностной нагрузки расчет цилин-
дрической оболочки по полубезмоментной теории ведут, основы-
ваясь на разрешающем уравнении (9.27). Правая часть этого урав-
нения представляет собой функцию от поверхностной нагрузки,
' определяемую равенством (9.28).	'
Предположим, что поверхностная нагрузка симметрична отно-
сительно плоскости ср = 0. Тогда составляющие нагрузки pXt pit
ра можно разложить в следующие ряды:
СО
Pl = Рю 4- У pik cos Акр;
I
00	I
P2 = P2o+2jP2ftCOS&p; |
I	V I
(9.46)
co
Рз = Рзо + 2Рз^ sin^p.
1
380
Подставив эти ряды в равенство (9.28), определим функцию
нагрузки
со
=	+	—sinfcp,
1
или
со
Р(х, <р) = 2 pk sin Лф,	(9.47)
1
где
. Plk^1 I dPik L __ p3kk2
k ra rdx K ra
(9.48)
Внесем выражение (9.47) в правую часть уравнения (9.27);
решение последнего найдем также в виде ряда
со
V = 2 S*n &Р>
I
(9.49)
где Fk — функция только от х.
В результате подстановки ряда (9.49) в уравнение (9.27) послед-
нее принимает следующий вид:
со	со
У	x^4(A:8-l)8 sin&p = — 2^л8шйф.
।	1
Это уравнение приводит к системе обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений:
±£i-___Lp.
dx4 ЕЛ
Первое уравнение системы (9.50) характеризует изгибную дефор-
мацию оболочки, не сопровождающуюся искажением формы окруж-
ности. Не трудно убедиться, что напряжения и перемещения, соот-
ветствующие этому уравнению, полностью совпадают с найденными
по элементарной теории изгиба бруса.
Второе и последующие уравнения системы (9,50) характеризуют
деформацию оболочки, связанную с искажением формы поперечного
сечения.
381
Рассмотрим к-е уравнение системы (9.50); с учетом равенства
’(9.34) это уравнение можно переписать в следующем виде:
+	(9.51)
Общее решение уравнения (9.51) представим в виде суммы общего
решения соответствующего однородного уравнения и частного
решения данного уравнения Fk:
+	(9.52)
Решением однородного уравнения являются выражения
(9.35) или (9.37).
Частное решение неоднородного уравнения (9.51) зависит от
вида поверхностной нагрузки. В том случае, когда j^/y(x) = O,
частное решение неоднородного уравнения имеет вид
~ 2Г1/г14₽* ?k	53)
Постоянные интегрирования, содержащиеся в выражениях
(9.35) или (9.37), выбирают такими, чтобы суммарное решение Fk
определяемое по уравнению (9.52), удовлетворяло граничным
условиям на торцах.
Пример 9.4. [11]. Тонкостенная цилиндрическая труба с днищами, опертая
по концам на две опоры, заполнена водой до уровня, определяемого высотою Н
(рис. 9.14). Дано: I = 40 м; 2г == 3,2 м; Н ='0,516 м.
Рис. 9.14
Определить напряжения и деформации, вызванные силами веса жидкости.
Давление воды на цилиндрическую стенку трубы и на днище:
при — фо Ф Фо Р ~ Уг (cos ф — cos фо);
при фо < ф «S (2л — фо) р = 0.
Давление на днища и на цилиндрическую поверхность можно рассматривать
независимо одно от другого. Так как днища имеют большую жесткость при растя*
жении в своей плоскости и исключают возможность искажения формы окружности
около торца, то давление на днища будет вызывать только внецентренное растяже-
ние трубы.
Определим деформации трубы, возникающие при действии давления жидкости
на цилиндрическую поверхность.
Разложим давление в ряд по ф:
= оо
Р=аРо+ S Pk cosйф.
ft=i
Интегрируя правую и левую части равенства от 0 до 2л, найдем р0:
+ фо	*
\ yr (cos ф—cos фо) </ф = р02л;	р0 =	(2 sin ф0 — 2ф0 cos ф0].
— Фо
Для определения коэффициента Pk произвольного члена ряда умножим правую
И левую части равенства на cos йф и проинтегрируем от 0 до 2л:
фо	2Л
( УГ (cos ф — COS ф0) COS Йф </ф = ( Pk COS8 Йф d(f,
—Фо	о
откуда
уг2
Рл ='_-<&*,
J V
где
sin [(й +1) фс] , sin [(й — 1) ф0] sin йф0 cos йф0
' 2(4+1)	+	2(4-1)-------------k------ "Р"
<0*=^- — 4-sin2<po при 4=1.
Составляющая давления р0, вызывающая осесимметричную деформацию
трубы, не имеет существенного значения и в дальнейшем не рассматривается.
Определим функцию поверхностной нагрузки Р. Согласно уравнениям (9.47),
(9.48) при pt = р30 и рг = р\
СО
₽_у
* Г8 > ЛГ	лг
h й — е уравнение (9.50) принимает вид

dx*
2й3уш^
nEhr *
где определяется по уравнению (9.34).
Решение этого дифференциального уравнения можно найти, как обычно, в виде
суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного реше-,
ния данного уравнения, однако в рассматриваемом примере целесообразно посту-
пить иначе. В данной задаче граничные условия симметричные:
при х = 0 v = 0; Тх = 0;
при х = I v = 0; Тх = 0.
(Предполагается, что днища не оказывают сопротивления перемещениям, пер-
пендикулярным плоскости днища. Давление жидкости на днища здесь не рассмат-
ривается, orfo может быть учтено отдельно.)
На основании зависимостей (9.22) и (9.49) уравнения граничных условий мож-
но представить в следующем виде:
-О'
.dx*j(X_0)	’
—0»
m 
\ dx9 j(x-i)
383
Ввиду симметрии граничных условий общее решение дифференциального
уравнения относительно функции Гд, удобно представить в виде тригонометриче-
ского ряда
оо
г V я 1 тпх
Fn =	У Akm sin —j—.
m= I, 3, 5...
Нетрудно проверить, что этот ряд удовлетворяет всем граничным условиям.
Подстановка его в дифференциальное уравнение (9.51) приводит к следующему
равенству:
ОО	СО	*
т = |, 3, 5...	Б*..
Для определения коэффициента Akm произвольного члена ряда умножим
. тлх	л .
правую и левую части равенства sm —— и проинтегрируем от 0 до /:
 4R*V —	. 2/ .
/4 Pkj 2 nEhr тл ’
отсюда
А = 8fe3y(afe/4
km	mxtrEh (/л4л4 +	*
После внесения значения А^т и подстановки функции F^ в уравнение (9.49)
получим для v двойной тригонометрический ряд
оо	00
2V	8Л3то>ь/4	. тлх . .
Zei rmn^Eh (m4n4 + 4pl/4) Sin I ЯП
Л = 1, 2... m=1.3, 5...	'	K f
Этот ряд сходится достаточно быстро. По функции о вычисляют перемещения
I	I	и и w 1см. уравнения (9.17) и (9.18)] и
~п	внутренние силовые факторы [см. уравне-
*---------•+*---------И ния (9.22) — (9.26)].
ммвнмааДмвммвяана	При k ~ 1 параметр Рд, равен нулю
Рис. 9.15
условия ДЛЯ функции Ffr при k
и полученное решение совпадает с реше-
нием по элементарной теории изгиба
бруса.
Приведем решение той же задачи, но
при наличии в среднем сечении жесткого
кольца, исключающего возможность ис-
кажения формы окружности (рис. 9.15).
В этом случае оболочка имеет два участ-
ка. Выбрав начало координат в середине,
можно записать следующие граничные
2 [см. уравнения (9.18) и (9.49)]:
х — 0, v— 0,	о)
х=0,	и—О,	=0;
\ ах /(л-О)
х==-^-, tl = o,
384
-1270	—1520	—1200
a)	5) в)
Рис. 9.16
Рис. 9.17
Рис. 9.18
Так как эти условия несимметричны, то решение следует искать, как обычно,
в виде суммы общего решения однородного уравнения (9.37) и частного решения
уравнения с правой частью (9.53), т. е.

+ ^4ft^4 (Рй*) +
г л £714(3^ ‘
Определив по граничным условиям постоянные интегрирования и по уравне-
нию (9.49) функцию v, нетрудно вычислить перемещения и напряжения.
На рис. 9.16 изображены эпюры осевых нормальных напряжений в среднем
поперечном сечении трубы: а) поэлементарней теории изгиба бруса (рис. 9.16, о);
б) по теории В. 3. Власова при отсутствии кольца в среднем сечении (по сумме чле-
Рис. 9.19
нов ряда до k = 4, рис. 9.16, б); в) то же, но при
наличии жесткого кольца в среднем сечении ци-
линдра (рис. 9.16, в).
На рис. 9.17 приведены эпюры осевых на-
пряжений в нижнем растянутом волокне по
длине цилиндра для тех же трех случаев.
Сопоставив эпюры, можно сделать следую-
щие выводы:
1. Напряжения в оболочке при данной на-
грузке сильно отличаются от вычисленных по
элементарной теории изгиба бруса. Чтобы пояс-
нить сущность этого отличия, представим задан-
ное давление (рис. 9.18, а) в виде суммы двух
нагрузок, показанных на рис.9.18, бив. Первая
из них вызывает' изгиб оболбчкн как балки, а
вторая деформацию оболочки, связанную с иска-
жением формы поперечных сечений. Чем меньше
толщина стенки, тем более существенное значе-
ние имеет деформация второго вида. В оболочке, рассмотренной в примере 9.4,
напряжения и перемещения за счет деформации второго вида преобладают.
2. При установке жесткого кольца, препятствующего искажению формы
окружности сечения, напряжения в оболочке заметно снижаются; изменяется
также характер их распределений. Если бы по длине цилиндра было установлено
большое число колец так, чтобы все его сечения оставались круглыми, то деформа-
ции и напряжения в цилиндре не отличались бы от вычисленных по теории изгиба
балки. На основании этого можно заключить, что снизить напряжения'в оболочке
наиболее эффективно можно установкой колец (шпангоутов), препятствующих
искажению формы поперечных сечений. Если оболочка будет нагружена сосредо-
точенной поперечной силой (см. рис. 9.10), то достаточно установить только одно
жесткое кольцо в месте приложения силы, и оболочка будет деформироваться как
балка, т. е. без искажения формй поперечных сечений.
При нагружении оболочки нагрузкой, распределенной вдоль
образующей (рис. 9.19), изложенная методика расчета также при-
менима. В этом случае нагрузку следует разложить в ряд по <р,
т. е, представить в виде косинусоидальных поверхностных нагру-
зок, после чего решение строится так же, как и при поверхностной
нагрузке 18].
§ 4. Моментная теория несимметричной
деформации цилиндрических оболочек
Вывод уравнений моментной теории несимметричной
деформации цилиндрической оболочки основывается на общих
гипотезах Кирхгофа — Лява о неискривляемости нормалей и об
386
F отсутствии нормальных напряжений в площадках, параллельных
срединцой поверхности, а также на предположениях о малости
‘ толщины по сравнению с радиусом кривизны и малости перемещений
f по сравнению с толщиной (см. гл. 8, § 1).
Исходными уравнениями являются уравнения (9.10) — (9.12),
связывающие компоненты деформации срединной поверхности ех,
yxt с перемещениями точки срединной поверхности и, v, w.
К этим уравнениям следует добавить зависимости углов поворота
нормали в окружном и осевом направлениях ф и О от перемещений
'(см. рис. 9.5).
Угол ф связан с перемещениями равенством (9.15). Угол Ф
зависит только от w:
	‘	(9.54)
dx	'	'
Определим перемещения точки произвольного слоя, располо-
• женного на расстоянии z от срединной поверхности (г отсчитывается
• по направлению к центру). На основании гипотезы неискривляе-
мости нормалей и предположения о тонкостенности
иг = и — ,&г; vz = v—фг; wz = w.	(9.55)
Произведем замены в уравнениях (9.10) — (9.12), (9.15) и (9.16):
г на г — г\ и на иг\ v на w на шг, в результате получим выра-
жения деформаций в произвольном слое:
в осевом направлении
__ди	д“&  ди
qx	qx 2 qx + z
и в окружном направлении
(9.56)
______________f dvz . w2 \	1______(dv _ дф . к». \ / 1 \
“	8/2 \г дф •" г j (1 — г/г)_\гдф rdyZ • г ) \1 —2/г)’
Множитель f(l — в знаменателе ввиду тонкостенности примем
за единицу; тогда с учетом равенства (9.15) получим
dv__________________________________________д*ш \
г* dtp г2 д<р2) ’
dv । w
гду г 2
угловая деформация в z-м слое
duz I dv_____________________
rdw /. z \ дх
du d*& ,
---------
г ду г дф
(9.57)
dvz
‘	Уха — дх
Приведя слагаемые в правой части равенства к общему знамена-
телю и подставив значения углов фиА согласно равенствам (9.15)
и (9.54), а затем отбросив член, содержащий малую величину
•—, и приняв скобку (1 — ч равной единице, получим
' d*w &v
дудх дх
__ dv . du
dx r d<p
2
(9.58)
387
i
<
J
И
&
Перейдем ко второй группе уравнений, устанавливающих за-
висимость между перемещениями и внутренними силовыми факто-
рами. По закону Гука при плоском напряженном состоянии напря-
жения и деформации в произвольном слое связаны следующими
уравнениями:
Представим
интегралов:
£
®хг ” ।____р2 “Ь
Е
®tz ~ 1	,.а (®/г “Ь
^xtz = Тлг/Z
(9.59)
внутренние силовые факторы в оболочке в виде
й/2	h/2	Л/2
тх= J <Jxzdz\ Tt — $ atzdz't S = J Txtzdz\
— ft/2	— ft/2	— ft/2
ft/2 • '	ft/2	ft/2
Afx= $ axzdzz\ Mt= J Gtzdz-z^ Mx( = J ixtzdzz.
— h/2	-	— h/2	— h/2
Выполнив - интегрирование с учетом равенств (9.57) — (9.59),
получим
d2w
MX = D
Eh [ди . dv . w
1 — [I® дх г д<р г ’
би
г2 б<р
Tt^=
Eh
dv
г2 dtp
д2^)
r2d(p2
Eh [dv i du \	,.	г-...	.1 f d2^ dv\
= o .—г (—г -s | > Л1 x/ —	(1 — u) — I 4—д----V .
2(l+p)\dx rd<p}' ,	v r \dxdtp	дх/
► (9.60)
d2w "|
г2 бф2 ’
Третью группу уравнений составляют уравнения равновесия
элемента оболочки. На рис. 9,20 изображен элемент оболочки
с действующими на него силами и моментами. Взяв сумму проекций
всех сил на три взаимно перпендикулярные оси, а также сумму
моментов относительно осей хи/, касательных к поверхности,
получим следующие пять уравнений:
дТх , dS .	л>
5— - -р •—р2== 0»
дх г 1	*
.^-L^ -L п	_ Л.
Га<р“г дх Рз	> —и>
OQt
дх
Q	=
г оф дх
дМх _ 0^x1 __ п
дх гд^р
гд(р
П __
г dtp дх
Qx _ дМх	дМх!
(9.61)
(9.62)
(9.63)
(9.64)
(9.65)
383
Шестое уравнение равновесия — равенство нулю суммы момен-
тов всех сил относительно нормали к поверхности — не входит
to написанную систему, так как оно выражает лишь закон парности
касательных напряжений. Если взять уточненные значения внут-
ренних силовых факторов 5 и Мх( (с учетом множителя (1 —
то нетрудно убедиться, что шестое уравнение равновесия удовле-
творяется тождественно.
v Уравнения (9.60) и (9.61) — (9.65) образуют систему одиннадцати
уравнений с одиннадцатью неизвестными (восемь внутренних
силовых факторов и три компонента перемещения).
Рис. 9.20

Эта система уравнений наиболее полно описывает напряженно-
деформированное состояние несимметрично нагруженной цилиндри-
ческой оболочки.
Путем преобразований она может быть сведена к одному диф-
ференциальному уравнению восьмого порядка относительно функ-
ции W.
Интегрирование полученного уравнения с учетом заданных
граничных условий представляет собой довольно сложную задачу.
При решении на ЭЦВМ вместо одного уравнения восьмого по-
рядка можно использовать систему из пяти уравнений более низкого
порядка с пятью неизвестными u,v,w,Qlf Q2, полученную в резуль-
тате подстановки выражений (9.60) в уравнения (9.61) — (9.65).
Методика решения этой системы уравнений в тригонометриче-
ских рядах состоит в следующем. Заданные поверхностные нагрузки
389
представляют в виде рядов:
оо
Pi (X, у)=^ plk cos Лф*
О
оо
рл (х, у)=2 cos Л<₽;
о
©о
Р» {xt у) = 2 Рмsin А<Р
о
(предполагается, что нагрузка симметрична относительно пло-
скости ф = 0).
Искомые функции также записывают в виде рядов:
и (х, £/) = w0+wicosф + cos2ф + ...;
о(х, #) = 00-1-0!sinф4-sin2ф +
ю(х, у) = w0+tOicosф4-to8cos2ф 4- ...;
Q*(x, t/)=Qxb4-Qxtcosф4-QX1 cos2ср4- ...;
Qi(x, y)«Qt04-Qhsinф4-Qt,sin2ф4- ...
Коэффициенты этих рядов представляют собой неизвестные
функции х.
Для замкнутой оболочки при нагрузке, симметричной относи-
тельно плоскости ф == 0, обратно симметричные факторы о0 и Qo,
очевидно, равны нулю. Подставив написанные ряды в дифферен-
циальные уравнения и собрав все слагаемые, не содержащие ф
(т. е. соответствующие k => 0), получают нулевую группу обыкно-
венных дифференциальных уравнений относительно функций и0,
КУ0> Со-
Аналогично, собрав все слагаемые, содержащие sin ф и cos ф,
получают первую группу дифференциальных уравнений с неизвест-
ными функциями »!, V], wlt Qfl. Таким же образом составляют
систему дифференциальных уравнений для произвольного индекса k.
Эти группы уравнений с учетом граничных условий решают на
ЭЦВМ по стандартным программам [11].
Уравнения несимметричной деформации цилиндрической обо-
лочки в несколько ином варианте приведены в работе [15], где
показано, что если последовательно пренебрегать слагаемыми,
имеющими такой же порядок малости, как*, по сравнению с еди-
ницей, то в уравнениях (9.57), (9.58), (9.59), (9.62) можно отбросить
подчеркнутые слагаемые. Тогда система одиннадцати уравнений
(9.64) — (9.69) может быть сведена к системе трех дифференциальных
уравнений относительно неизвестных и, и, w, которая, в свою оче-
редь, допускает преобразование к одному дифференциальному
уравнению относительно функции перемещений, через которую
выражаются все остальные величины.
390
Остановимся на вопросе о применении общих уравнений несим-
метричной деформации цилиндрической оболочки к расчету обо-
лочек, находящихся в напряженном, близком к чисто моментному
состоянию.
Если условия нагружения и закрепления таковы, что оболочка
сопротивляется внешней нагрузке в основном за счет изгибной
жесткости стенки, то можно принять допущение, что линейные и
угловые деформации на срединной поверхности равны нулю.
J Тогда, приравняв нулю левые части равенств (9.10) — (9.12),
^получим следующую систему * уравнений:
I	^- = 0; ^ + -^- = 0; -^4- w = 0.	(9.66k
dx * dx 1 r dtp t ’ dip 1
, Из первого уравнения
«=Л(ф).	(9.67)
из второго уравнения
;	о = -7-Л(ф)+Л(ф)	(9.68)
и из третьего уравнения
®=-/; (ф) - « (ф),	(9.69)
где fi (<р) и fa (ф) — неизвестные функции от ф, определяемое по
граничным условиям.
После того как компоненты перемещений «, v, w будут найдены,
вычислить внутреннее силовые факторы по формулам (9.60) не-
трудно.
Пример 9.5. Нижний Край оболочки (рис. 9.21) вставлен в жесткую обойму,
препятствующую искажению формы окружности. К верхнему
диаметрально противоположные силы Р.
Разложив заданную нагрузку в ряд, получим
эквивалентную распределенную радиальную на-
грузку
<7=
2Р
— cos Аф.
пг
Найдем деформации оболочки, соответствующие
произвольной А-й составляющей нагрузки:
?л=—cosAip. '
Предположим, что радиальное перемещение на
верхнем торце, соответствующее этой составляющей,
также распределено по закону косинуса:
созАф.
Совместим начало координат с верхним торцом,
будут следующие:
при х — 0 и/ = ал cos Аф;
при х = I о = 0.
краю приложены две
Рис. 9.21
тогда
граничные условия
391
Из этих условий на основании равенств (9.68) и (9.69)
aftcos^(p=—/'(<р);	0=— у Л'(ф)+/#(ф).
откуда следует
/я (ф)=— ~£- sin Лф; fi (Ф)в cos *Ф»
и выражения перемещений принимают вид
О-*) «.
к>=аЛ	. cos Аф1
£
(/—Л) . ,
v = — акsin ktp;
Ik2
COS ktp.
По формулам (9.60) вычислим k-e составляющие изгибающих и скручивающего
моментов:	• к
_ fl> <‘-*1 # cos *,+-»('-X) COS fap] _
= - D а* (*"-1) cos kV
г *
(/ — х) cos ktp ak (I—x) Aa cos ktp’
H	н —
1 Гabk sin ktp аь . .
Mt=D
r2l
Mx, = D(1-h)4-
r2l
=pAl/J
P(l-p)°t(*2-')'sin*lt’.
1 IK
Для определения внутренних усилий в данном случае формулы (9.60) непри.
годны, так как при деформациях срединной поверхности, равных нулю, они дают
значения усилий, также равные нулю. Внутренние усилия Тх, Tft S, а также Qx
и Qt в данном случае могут быть определены по уравнениям равновесия (9.61)—
(9.65):
Л dMx . dMxt , ^flfe^-l) .	,
Qx—-^ Ч—~ + цО — v;—- cos ktp 4-
dx г dtp 1 и r2l Y ‘
D (1 -p) ak {k2-1)	Dak (k2-1) cosktp^
4-----------------cos АФ -----------------»
dMf dMxt __ ak(l—x)(k2—I) k sin ktp
Qt~Td^+ dx ~U	r*l	;
T_____dQi_ dQx r__ D (/ —x) afe (fe3 — 1) fea cos ktp#
z dtp dx	r3l	’
D (l—x)2 flfc (k2 — l)a k sin fcip.
ил в
2r*l
D (I—x)3 afe (fea — 1 )a fea cos ktp
s
6r6/
На краю оболочки при x = 0
Da/g (k2 — 1) cos ktp	„ _ Dlak (k2 — l)a k sin ktp
Qx---------2r4	’
'	M,=-Pa^~J)Cosfal>; AG-hM,.
Г IK	
В действительности же на краю оболочки имеется только радиальная на-
грузка	2р
9i=—cosAip.
« w
392
Для того чтобы установить зависимость между величиной коэффициента
и нагрузкой, заменим Qx, S и Мх1 (при х = 0) некоторым суммарным эквивалент’
ным поперечным усилием
Sc/ф
Усилие (^найдем, используя зависимость (9.43):
__Dlak (A2 — I)2 cos Аф
—	^4	.
Усилие определяется по моменту М по аналогии с зависимостью (4.67)
гл. 4:
х rdq>
Mxt,rr. —10Qfe (А2— 1 )аcos Аф
г	r2/Aa
Сложив Qx, Q1*’ и и приравняв нагрузке qk, получим уравнение
Dak (А2 — 1) cos Аф	Dlak (А2 — I)2 cos Аф
г2/	4	2Н	Ь
u_О(l-|t)nt (**-!)*cos><p_ 2Р
r2/Aa
из которого найдем
________________2Рг<________________
яс (₽-1) Г1 + A <w-i)+(i -н)
„	“•	JV
Радиальное перемещение и изгибающий момент в окружном направлении
при х = 0 и <р = 0 определяются суммированием соответствующих рядов:
00
^л-о,	У] вд;
fe = 2. 4...
м -- V
nlC(x-0, qp—0)	4j 72	•
A =2,4...
Результаты вычислений w и Mt при г == 10 см, I = 30 см, h = 0,2 см,
Е = 2-107 Н/см2, р = 0,3 приведены в следующей таблице:
Заметим, что приведенное ре-
шение на основе теории чисто-
моментного напряженного состоя-
ния не вполне удовлетворяет гра-
ничным условиям, так как при
х = 0 получается некоторая растяги-
вающая сила Тх и момент Мх, тогда
как в действительности они равны
нулю. Величины этих силовых фак-
торов, однако, получаются неболь-
шими.
k	Ф-О)	Л/. Цх-0, ф-0)
2 4 6	28,6 • 1О“ЬР 1,26 • 10“*Р 0,23 • 10'ьр	0.126Р 0,028Р 0,012Р
13 Бояршинов
Глава 10. МОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ
ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
$ 1. Уравнения моментной теории
В общем случае осесимметричного нагружения обо-
лочки вращения ее стенки испытывают как растяжение, так и изгиб.
Изгиб возникает около мест приложения сосредоточенных нагрузок,
около мест закреплений, а также там, где скачкообразно изменяются
радиусы кривизны. Характер изгибной деформации может быть раз-
личным. При нагружении сосредоточенными силами (рис. 10, а и б)
изгиб оказывает решающее влияние на прочность, так как в этом
Рис. 10.1
случае с увеличением нагрузки изгибная деформация растет
вплоть до исчерпания несущей способности конструкции.
В местах сопряжения оболочки с другими элементами или в ме-
стах скачкообразного изменения радиусов кривизны (рис. 10, в, г)
изгиб имеет другой характер; здесь изгиб развивается лишь в той
мере, в какой это необходимо для выполнения условий сопряжения.
При пластичном материале оболочки изгибные деформации этого
типа с увеличением нагрузки обычно затухают и практически не
влияют на несущую способность. При хрупком материале оболочки
напряжения изгиба остаются пропорциональными нагрузке вплоть
394

в
Г'
г

RL

j
к
до разрушения и могут привести к значительному снижению проч-
ности конструкции.
Расчеты оболочек вращения по моментной теории не ограничи-
ваются вопросами прочности. Часто оболочки используют в качестве
упругих элементов (сильфоны, гофрированные коробки, элементы
зажимных приспособлений и т. д.). Определение жесткости таких
оболочек и оценка величины максимальных напряжений могут
быть выполнены только по моментной теории.
При выводе уравнений моментной теории оболочек вращения
используются гипотезы Кирхгофа — Лява (см. гл. 8, § 1).
Рассмотрим деформации и перемещения точек срединной поверх-
ности, возникающие при осесимметричном
вращения. Будем считать, что крутя-
щий момент в оболочке отсутствует
и, следовательно, перемещения в ок-
ружном направлении и угловая де-
формация в касательной плоскости
равны нулю. Остальные перемещения
и деформации представляют собой
функции лищь одной независимой пе-
ременной— дуги меридиана s или
угла 0.
Примем обозначения перемещений
и деформаций срединной поверхности
такими же, как в гл. 7 (см. рис. 7.12).
Зависимости между перемеще-
ниями и деформациями (7.34), (7.36)
и (7.38), полученные в гл. 7, остаются
Выполнив элементарные преобразования, представим уравнения
(7.36), (7.38) в следующем виде:
„	___L
= eosine-{-«'cos6.	(10.2)
В результате исключения из уравнений (7.34) и (10.1) функции
£ получим уравнение совместности деформаций срединной поверх-
ности
нагружении оболочки
полностью справедливыми.
(Ю.1)
I
(10.3)
(10.3а)
М. = (tmRm - e,R,) ctg е -
или с учетом соотношения
— em cos б == — О sin 6.
Перейдем к определению деформаций в произвольном слое обо-
лочки, расположенном на расстоянии г от срединной поверхности
(г будем считать положительным по направлению от центра кри-
визны). За счет поворота нормали на уголь О произвольная точка Р
(рис. 10.2) получает дополнительное радиальное перемещение по
13*	395
сравнению с точкой М на величину cos е. Сложив это переме-
щение с перемещением точки Л1, равным и разделив полученную
сумму на г ~ Rt sin е, найдем относительную окружную дефор-
мацию в z-м слое:
£ -|~ gfl cos б
Rt sin 6
। 21&	4-C
= e, + ctge.
(Ю.4)
Для определения меридиональной деформации в г-м слое вы-
числим удлинение отрезка PS.
За счет поворотов нормалей длина этого отрезка увеличится
по сравнению с отрезком MN на величину zdft. Первоначальную
длину отрезка PS ввиду тонкостенности оболочки можно считать
равной ds. Следовательно, меридиональная деформация z-го слоя
по сравнению с деформацией 'срединной поверхности будет больше
г d$	.
на —г~ и полная меридиональная деформация составит
__	! zdft __ f zdft
(10.5)
Перейдем от деформаций к напряжениям. По формулам обоб-
щенного закона Гука:
— 1 —ц2 [е/г +	— ТЩТг + Нет) +
. /Octge . do \т
®mz = 1 „а “Г = "j Гг (®m “Ь М1®/) “Г
.	/</&. OctgfiV
•	+ z[r^ + ^-rt)[
(10.6)
(Ю.7)
Первые слагаемые в квадратных скобках, не зависящие от г,
соответствуют напряжениям растяжения (сжатия). Вторые, линейно
зависящие от z, — напряжениям изгиба.
По напряжениям определим внутренние силовые факторы.
Растягивающие силы
й/2
Тт= J ^mgd,Zf
— h/2
Л/2
Tt=* J Мг.
—ft/2
Изгибающие моменты
Л
2
— J Gm*dzz\
_ д
з
л
2
М/ = — $ dzz.
л
ЗМ
В результате подстановки под знаки интегралов выражений
(10.6) и (10.7) и интегрирования получим
Тт = fZrp	=
Eh Г 1 dl 1 , Л, о .	Е	1	/1ЛО.
“ 1 —Ц81Я«> dO cos 6 +	+	sin 0J *
Т, = 7^-, (В, + це„) =
Я р
= 1 —р Rt sin 0 + Iх dozens в +*8® ’>	(10.9)
Mm=-D[£^+^,ctg0];	(1010)
Al^-D^ctge + n^^.].	(10.11)
Зависимости (10.8) и (10,9) можно также представить в ином
виде, выразив деформации срединной поверхности через усилия:
<10|2>
е< = 2к^5!.	(Ю.13)
Кроме нормальных напряжений ат и и( и соответствующих им
силовых факторов Тт, Т(, Mmt М(, в окружных сечениях оболочки
возникают еще касатель-
ные напряжения ттг,
перпендикулярные по-
верхности оболочки. Им
соответствует попереч-
ная сила
h
2
Q = J xmzdz>
_ J
2
На срединной по-
верхности касательные
напряжения ттг дости-
гают максимума, а при
г = ± х Л обращаются
в нуль. Эти напряже-
ния не имеют существен-
ного значения при рас-	Рис. 10.3
чете оболочки на проч-
ность, однако их равнодействующая — поперечная сила Q — играет
важную роль в уравнениях равновесия элемента оболочки.
На рис. 10,3 изображен элемент оболочки с действующими на
него силами и моментами. Кроме внутренних силовых факторов, на
397
выделенный элемент действуют составляющие поверхностной на-
грузки и р2 (третья составляющая при осесимметричной нагрузке
равна нулю). Приравняв нулю сумму проекций всех сил на нормаль
к поверхности и на ось оболочки х, а также сумму моментов относи-
тельно оси t, касательной к окружности, получим следующие три
уравнения:
ds ~~ Ttds dtp sin 6 — Tmrd(p d6 + Pirdq ds = 0;
ds +ds _ Pirdlf ds cos e+
uS	t/s
4- Pifdq ds sin 6 = 0;
Qrdq> ds — d	d<^ ds 4- Mt ds dtp cos 0 4-
(	Uo
+ Pi rdq> ds — Ttds d<p ~ sin 6 =0.
£	M
После исключения слагаемых высшего порядка малости и сокра-
щений, а также подстановок
г = Rt sin 6; ds = RmdG
уравнения равновесия принимают вид
^n-<(Q/?,sine) + ^+^ = Pi:	(10.14)
[(Tmsine+Qcos6) r] = (picos6 — p2sin6) г; (10.15)
<2-)^^s“sine)+^^=0-	<10J6)
Остальные уравнения равновесия элемента оболочки удовле-
творяются тождественно.
Уравнения равновесия (10.14) — (10.16) вместе с уравнениями
(10.8) — (10.11) образуют систему семи уравнений с семью неизвест-
ными (Tm, Th Мт, Q, В, О).
Приведем полученную систему уравнений к двум симметричным
разрешающим уравнениям с двумя неизвестными (это преобразова-
ние было выполнено Мейсснером).
Прежде всего преобразуем уравнение равновесия (10.15). Введем
обозначение
Pi cos 6 — ра sin 6 = рх,	(10.17)
где рх — осевая составляющая поверхностной нагрузки.
Проинтегрировав уравнение (10.15) по 6, получим
о
(Тт sin 0 + Q cos 0) г — J pxrRm d6 + С
или
(Tmsin0 + Qcos6)r = F(6);	(10.18)
здесь
в
f(9) = \p,rRm<№ + C.	(10.19)
398
Нетрудно убедиться, что уравнение (10.18) представляет собой
уравнение равновесия пояса оболочки, ограниченного верхним
краем и текущим сечением (рис. 10.4, а). Функция F (е) (10.19)
представляет собой равнодействующую внешних сил, приложенных
к отсеченной части оболочки, отнесенную к единице полярного
угла, причем первое слагаемое равно равнодействующей поверх-
ностных сил, а второе* (т. е. постоянная С) — учитывает осевую
составляющую сил, приложенных к верхнему краю или к некоторой
окружности в пределах пояса. При отсутствии сосредоточенных
осевых сил постоянная С равна нулю.
Для оболочки, замкнутой в вершине (е« = 0), уравнение (10.18)
превращается в уравнение равновесия отсеченного купола.
Рис. 10.4
Для каждой заданной оболочки функция F (6) может быть опре-
делена заранее, и при решении системы уравнений ее можно считать
известной.
Так, например, если оболочка замкнута в вершине и нагружена
равномерным внутренним давлением (рис. 10.4, б), то
рмх—Р™ _ Рг
f (е)“ 2л “ 2
Если оболочка нагружена силой Р (рис. 10.4, в), то
Для оболочки, не замкнутой в вершине и нагруженной равно-
мерным давлением и силой Р (рис. 10.4, г),
f(e)=g£-'»+'>.
1
599
Преобразуем теперь уравнение совместности деформаций (10.3).
Подставив выражения деформаций (10.10) и (10.11), получим урав-
нение совместности деформаций в усилиях
EhRm$ = [Tm (Rm + ий) - Tt (Rt + p/?m)] ctg 0 —
-	[(Г, - f.Tm)/?,].	(10.20)
Меридиональное усилие выразим из уравнения равновесия
(10.18):
а окружное— из уравнения (10.14):
Т(=йЛ,-£4 (W) -	(10.22)
Введем новую переменную (переменную Мейсснера)
V = W;	(10.23)
тогда
r-” = ^--R;c‘e0:	<10-24)
т‘“Р^< - Ав - 7Г&1-	(Ю.25)
В результате подстановки выражений (10.24) и (10.25) в урав-
нение (10.20) и несложных преобразований получим первое разре-
шающее уравнение
«L^+[?<.ctge+rf('«t4
~ - %”- Ctg2 в
Ли rQ
V + pV =
=ВД^+Ф(е),
(10.26)
где Ф (0) —функция, зависящая от нагрузки, т. е.
ф m = i (рЖ+рЛ (Л(+над—[(% - £) ctg е +
+ Ж)]-	<10’27>
Уравнение (10.26) содержит две неизвестные функции V и О.
Второе уравнение с теми же неизвестными получим, подставив
в уравнение равновесия (10.16) выражения моментов (10.12) и
(10.13). После несложных преобразований это уравнение принимает
вид
+ Г «/ctee+All'll ОУ
Rm <№^\.RmClS tt\Rm)i М
-^7 ctg2 е#_р.в=_^_
(10.28)
Дифференциальные уравнения (10.26) и (10.28) образуют систему
двух разрешающих уравнений с хдвумя неизвестными функциями.
400
Нетрудно заметить, чтд эти уравнения имеют определенную сим-
метрию, что достигнуто введением специальной функции V.
Введя обозначение дифференциального оператора
/ М - R‘ )
1 ~ Rm
+[£ °+
d //?Л1
/ I
^F-^ctga0< >’
(10.29)
разрешающим уравнениям (10.26) и (10^28) можно придать более
компактную форму
L (V) + pV = EhRm$+Ф (0);	(10.30)
£(в)-ив = _	(10.31)
Если функции V и •&, удовлетворяющие уравнениям (10.30)
и (10.31), а также граничным условиям на краях оболочки, будут
найдены, то по ним можно легко определить и все остальные ве-
личины. Изгибающие моменты вычисляют по формулам (10.12)
и (10.13); мембранные усилия — по формулам (10.24) и (10.25).
Поперечную силу Q определяют на основании равенства (10.23),
т. е.
Q=-£-	(10.32)
Напряжения в оболочке вычисляют по внутренним силовым
факторам, пользуясь формулами:
. Л4ги6
'mmax — h —	& ,
_ Tt i Mt 6
О/max- —
(10.33)
Знак перед вторым членом выбирается в зависимости от того,
на какой стороне стенки оболочки вычисляют напряжение.
Деформации срединной поверхности определяют по уравнениям
(10.12) и (10.13); радиальные перемещения — по зависимости
(7.35), а осевые перемещения — по формуле
о
П = $ (em sin 0 4- ft cos 6) Rmd6,	(10.34)
е»	\
полученной в результате интегрирования уравнения (10.2).
В разрешающих уравнениях (10.26) и (10.27) в качестве незави-
симой переменной принят угол е, поэтому эти уравнения приме-
нимы только для оболочек, имеющих криволинейные образующие.
Преобразуем эти уравнения, приняв в качестве независимой пере-
менной длину меридиана s. Предположив, что Rm — const, а также
приняв во внимание уравнение (7.4) и равенства
ds
d(*)	„
~d6~~Km da ’
4/6 =
взамен уравнений (10.26) и (10.28) получим
ctge dv ctg*6.z и ЕМ> i ф
ds> Rt ds	+ RtRm v ~ R, R, {
tPft . ctg 0 dO	ctga 6 л Pa. V
ds» • R( ds R*t V	RtRm V —	R.D *
(10.35)
(10.36)
где
ф (s) = 4 (P.W) + p,R> (%+и) -	[(i -1) ctg e 4-
здесь F (s) — осевая сила, приходящаяся на единицу полярного
угла.
Для оболочек с прямолинейными образующими Rm = со и
разрешающие уравнения принимают вид
dgedV_ct£6„ m . _£ф	.
*s+R, ds Ri R,	1<S)‘	(10-38)
ctgO d9 _ ctge______
ds3 ' Rt ds Rj	RtD>	(10.39)
где
=	+	(10.40)
или в сокращенной записи
Li (Ю =	Ф1 (s);	(Ю.41)
1-1(0)—	(10.42)
где
/ (	а*3< ) ict8e rf( ) Cig®0/ ч	/1Лло\
Ч( )—djr-+-R7~dS--------rT( )•	О0-43)
•	с
Напишем выражения для внутренних силовых факторов обо-
лочек с прямолинейными образующими. Приняв за независимую
переменную длину меридиана s, взамен выражений (10.12), (10.13),
(10.24) и (10.25) получим
(10.44)
4)2
Заметим, что в качестве функции V иногда принимают несколько
другую функцию [151; тогда разрешающие уравнения получаются
иные по форме.
Разрешающие уравнения (10.26), (10.28) или (10.35), (10.36)
имеют второй порядок и содержат по две неизвестные функции.
Разделением переменных они могут быть приведены к одному диф-
ференциальному уравнению четвертого порядка с одной неизвест-
ной функцией. Решение этих уравнений содержит четыре постоян-
Рис. 10.5
ные интегрирования, которые в каждом частном случае определяют
по граничным условиям на краях оболочки.
Для пояса оболочки на обоих ее краях должны быть за-
даны по два граничных условия. Если же оболочка замкнута
в вершине, то должны быть заданы два условия на краю и два
в вершине.
 На практике могут встретиться следующие варианты граничных
условий.
а)	Край оболочки жестко заделан (рис. 10.5, а):
при 6 — 6К
при 6 = 0К
^«=0;
5 = 0
403
На основании зависимостей (7.35) и (10.13) второе условие можно
также записать в другом виде:
при 6 = 0к е, = 0 или Tt — рТт = 0.
б)	Край оболочки закреплен шарнирно (рис. 10.5, б).
В этом случае
при 0 = 0К £ = 0 или В/ = 0; Tt—рГт = 0;
при е = ев м„ = о или -j,<zir + pe-48— -=0-
Kt
в)	Край оболочки свободно оперт (рис. 10.5, в).
Тогда
при 0 = е„ м„=о' или +.Hectg0«=o.
А	К/
при 6 = 0K Tmcos QK — Qsin 6к~0;
последнее условие требует равенства нулю радиальной распорной
силы.
г)	Край оболочки свободен от закрепления (рис. 10.5, г).
Здесь
при 6 = 0К Л!„, = 0 или + И = 0;
при G = 6K.Q = 0 или V = 0.
На свободном краю Тт также раЬно нулю, однако это
условие не является независимым, так как Тт и Q связаны урав-
нением равновесия (10.18).
д)	Край оболочки нагружен краевыми силами Ттк и QK и момен-
том Мтк (рис. 10.5, б). В этом случае
при 0 = 0К
Aim — Af,nK
о ctge
Ri ,®»®к
или
= AIjhkJ
при 0 = GK Q = Qtt или V ~QKR(.
е)	Оболочка жестко заделана с обеих сторон (рис. 10.5, г). Так
как такая оболочка статически неопределима относительно усилия
F (0), необходимо иметь пять условий:
при 6 = 0к1 0 -= 0; при 0==0К1 е, = 0,
при 6==0к2 ‘0 = 0; при 0 = 6к2 ez = 0;
®К2
или J (em sin 0 + О cos 6) RmdQ = 0.
Последнее условие выражает равенство нулю относительного
перемещения точек А и В в направлении оси оболочки.
404
ж)	При сопряжении краев двух оболочек (рис. 10.5, ж) необхо-
димо иметь четыре условия, так как для каждого края требуется
по два условия. Эти условия состоят в следующем:
Или 6}0 =
• <>!?=МП);
Л*!!> = Л®
C0S ®к| - О'" sin Щ C0S 9к11 - Q"" Sin 0кИ-
Последнее условие выражает равенство радиальных сил (сил
распора). Равенство осевых сил для I и II оболочек не может
быть использовано в качестве условия сопряжения участков, так
как это условие используется при определении функции F (0).
з)	Если оболочка замкнута в вершине, то при 0 = 0 должны
выполняться следующие условия:
«• = 0;
Q-0.
Случай нагружения сосредоточенной силой в вершине — особый.
(Сосредоточенную силу можно считать приложенной к небольшому
абсолютно жесткому центру.)
§ 2. Осесимметричные конические оболочки
Применим разрешающие уравнения (10.38) и (10.39)
к конической оболочке.
Координату s для конической оболочки 'удобно отсчитывать от
вершины конуса, тогда
/?/ = SCtg0
(10.45)
и уравнения принимают следующий вид:
s -S’+^7 - 4 v = £he ie® + й <^s2) c tg 6 + hp2s -
“ТЗТосоПг	<10-46)
ds* ф ds s	D
или
L2 (V) = Eh# tg О+<D2 (s);	(10.46a)
T.2(O) = --^,	(10.47a)
где
M) = s^P+^-^-();	(10.48)
Ф. (s)=i (pS) ctg e+(10.49)
405
Выразим внутренние силовые факторы для конической оболочки
через функции V и О. Из уравнений (10.44) с учетом соотноше-
ния (10.45) следует
m = — Т+s sin е cos е ’ ^=PisctgS —
<г—*
s ctg 6
(10.50)
Решение системы уравнений (10.46) и (10.47) можно представить
в виде суммы общего решения соответствующей системы однородных
уравнений и частного решения данной системы, т. е.
V =	(10.51)
Найдем частное решение системы уравнений (10.46) и (10.47)
для некоторых частных случаев нагружения.
Рис. 10.6
На оболочку действует равномерное внутреннее давление р
(рис. 10.6, а).
Тогда
А-F. Рг — 0; F(S) = PM^:
ф, (s) = P2s ctg а - ? ctg е =	[&+-&].
*
• Будем искать функцию О в виде, подобном виду функции <P2(s),
т. е.
e=A(3s+f),
где k — неопределенный множитель.
406
Подставив это выражение в уравнение (10.47), найдем, что урав
нение удовлетворяется при V « 0. Тогда L (V) = 0 и уравне
ние (10.46) принимает вид
0 = £7itg6/J3s+ --^ + 4ctge[3s4-^
\ S / л	\ S /
откуда
*“-2Efcte’9-
Следовательно, для конической оболочки, нагруженной внутрен-
ним давлением:
е=-ТЕГ«(з+$); V = 0; <2=0;
rm=§ (i -dip;
(10.52)
Заметим, что это решение полностью совпадает с решением,
которое дает безмоментная теория.
Коническая оболочка находится • под действием распределенной
па окружности осевой силы Р (рис. 10.6, б). Поступая так же, как
и в предыдущем случае, найдем
“ 2л » Р1 ~ Ра — 0; фя (s) — 2ns sin 0 cos 0 ’
2n£ftssin»e * У”0; Q 0;
т„ =_______________Tf—0.
т 2ns sin 6 cos 6'	*
• (10.53)
Оболочка нагружена по краям равномерно распределенными
моментами и радиальными силами (рис. 10.6, в). Так как в этом
случае /?г = ра = 0 и F (s) = 0, то Фа (s) = 0 и частное решение
уравнений равно нулю, т. е.
-\j}«0; V=0.
Оболочка нагружена силами собственного веса (рис. 10.6, г).
Интенсивность поверхностной нагрузки q и ее составляющие pi и ра
соответственно равны:
<7==yft;	—yftcosQ; p2 = y/isinO.
Частное решение разрешающих уравнений для оболочки, замк-
нутой в вершине, имеет вид
7 = 0; o=^Hctg=6-l-J; 1
.	1	.	..	(10.54)
7р ___ hys . -я;__hys cos4 0	1
lm 2 sin О’	sine • I
Если же оболочка незамкнутая, то к решению уравнений (10.54)
следует добавить частное решение уравнений (10.53), соответствую-
407
щее осевой растягивающей силе Р, равной весу отсеченной верхней
части:
Р = 3tyhs*0 cos 6.
Оболочка нагружена инерционными, силами при равномерном
вращении с угловой скоростью рад!с (рис. 10.6, д). Интенсив-
ность инерционной нагрузки в произвольной точке
___ylvsflr _ yho2s cos О
? ~	g~~ ~ g ’
Так как эта нагрузка перпендикулярна оси оболочки, то F (s) — 0.
Разложив нагрузку на нормальную и касательную составляю-
щие, получим
. * _ yhaPs sin 6 cos 9
Pi = p Sin 6 = -i--------;
о
_, _	yhw2s cos2 6
p2 = p cos 6 = -£-------.
о
По формуле (10.45)
ф /Л = (3+p) hyvft? cos8 fl
2V '	g
Функцию найдем в виде, подобном функции Ф2 (s), т. е.
0 = ks2.
Из уравнения (10.47)
V — — 3£sDctg6,
а из уравнения (10.46)
L 	(3+р-) hу©2 cos2 е
gEA tgfl
Следовательно
___ (З-f-p) йу©2 cos2 6 р (3 -|- р.) уЛ3©2 cos2 б
gEAtge ’ v~ 4g(I—р2) tgaе s;
v , j,_________V, т — cosa е 2 
~~ s ctg б’ т~~ s’ ? “ g S ds" ’
(10.55)
Перейдем к определению общего решения системы однородных
уравнений:
Ц (V) = Eh tg6 fl;
(10.56)
Эти два уравнения второго порядка с двумя неизвестными можно
привести к одному уравнению второго порядка относительно ком-
плексной неизвестной [151.
408
Для этого умножим первое уравнение (10.56) на постоянный
множитель а и сложим со вторым:
L, (о) + аЦ (Р) + Р - aEh tg в # = 0.
Перепишем последнее уравнение в следующем виде:
Ц (#+оР) - i [aEh tg б] - аР Г - ВД=0.
Множитель а подберем так, чтобы выражения в квадратных
скобках двух последних слагаемых были равны между собой, т. е.
откуда
a£fttge = -^.
“ к DEh Eh2 ’
тогда
и дифференциальное уравнение примет вид

где a — комплексная неизвестная функция;
о = 4 + i
К12 (1- ц2)
Eh2
(10.57)
(10.58)
V.
Выполнив интегрирование уравнения (10.57) и разделив ком-
плексную функцию о на действительную и мнимую части, нетрудно
найти искомые функции 4 и V.
Напишем уравнение (10.57) в развернутом виде
d8o .do !	tge /12(1 —p)j. Q
ds2 ds s	h
или
+s	_ а _ is ‘86 P12 f1 -о = о.	(10.59)
ds2 ’ as	h	'	'
Произведем замену независимой переменной s на г согласно
равенству
tge /12 (1-на) _ г8
~'ls h ~4
ИЛИ
г = /К7х,	(10.60)
409
где х — действительная функция от s, т. е.
*=2)Л5-^-1П2(|-на).
Тогда
^_dzdx^ 1 ЛЕУ|97Г37^==Л_.
ds dx ds К5 у Л	2s’
dx x
ds 2s ’
(10.61)
После перехода к переменной z дифференциальное уравне-
ние (10.59) принимает вид
2»^+^+(^-2’)i=0.
(10.62)
Уравнение (10.62) представляет собой частный случай диффе-
ренциального уравнения Бесселя:
XS^+JC*+<x2-nS)i' = 0-	(Ю.63)
где п — индекс уравнения Бесселя.
Решение уравнения (10.54) выражается через бесселевы функции.
Имеется несколько разновидностей этих функций (функции Бес-
селя, Вебера, Ханкеля и др.); для большинства из них составлены
таблицы в широком диапазоне изменения аргумента.
Если п дробное число, то общее решение уравнения (10.63)
может быть представлено в функциях Бесселя Jn (х) и J.n (х),
которые в этом случае линейно независимы.
Если же п — целое число, линейно независимыми будут функция
Бесселя Jn и функция Вебера Yn (х). При Вещественном х все эти
функции будут вещественными. Таблицы этих функций приводятся
в математических справочниках.
Решением уравнения (10.54) являются также линейные ком-
бинации указанных выше функций, в частности, функции Ханкеля:
W (х) ~ Jn (х)+iYn (х); НТ ~ Jn (х) - iYn (х).
При вещественном х функции Ханкеля — комплексные.
В нашем случае уравнение (10.62) представляет собой уравнение
Бесселя индекса 2 относительно комплексной функции о от ком-
плексной переменной г = iVlx. Его решение может быть пред-
ставлено в следующем виде:
o = iCO J2(i /Гх)+(- С8	(10.64)
где (С2 4- iCi) и (— С3 4- iC4) — комплексные постоянные интегри-
рования (здесь знаки могут быть выбраны произвольно; в данном
410
случае знаки взяты так, чтобы окончательные формулы были более
удобными).
Функции J2 и Н'% мнимого аргумента х), в свою очередь,
могут быть выражены через функции Томсона индекса 2 — Ьег2 (х),
bei2 (х), kera (х), kei2 (х) (вещественные функции вещественного
аргумента х):
J2 (г у ix) = ber2x -f- i beiax = <Pi +1<₽s;	, ]
(iV(kei2 x — i ker2 x) = ~ (<p4 - iф8), I <10,65)
f
где для краткости принято:
<p1 = ber2(x); <p2 = bei2(x); <p8 = ker2(x); (p4 = kei2(x).
Подставим в равенство (10.64) выражения (10.58) и (10.65) и
полученное уравнение разделим на действительную и мнимую части
(множитель - можно отбросить, так как это повлияет только на
величину постоянных).
В результате получим следующие выражения общего решения
системы однородных уравнений (10.56):
У =	^2<^2	С4Ф4]’	(10.66)
$ = “С><р2 “Ь С2ф1 — С8ф4 4~ С4ф8.	(10.67)
Функции Томсона индекса 2, входящие в выражения (10.66)
и (10.67), могут быть выражены через функции Томсона индекса 0.
Если для функций индексов 0 принять обозначения
berx = %; Ье1х = ф2; кегх = ф3; ке1х = ф4
ч
ч
(индекс 0 обычно опускается), то зависимости, связывающие функ-
ции Томсона индексов 2 и 0, запишутся в виде
2 ‘	2	2
Фх = —Ф1 + —ф2 = —Ф2-7 Фп	Фа = “Фз + 7Фь
Л	Л	Л
2	2	2
Ф4 = —Ф4~-Фз; ф! =--Ф!-7Ф1; ф» = — ф2-уф2;
Л	Л	И»
2	*	2
Фз = — Фз-’уФз; Ф4 = —Ф*-уФ4
(10.68)
(штрихом обозначены производные по х).
Для функций Томсона индекса 0 и их производных имеются	।
таблицы.	•
При малых значениях аргумента функции Томсона можно также
вычислить, разложив их в ряды, а при больших — пользуясь их	3
асимптотическими представлениями [29]. Используя указанные	J
асимптотические представления, можно получить следующие при-	|
411	. 1

ближенные выражения функций Томсона индекса 2 и их произ-
водных:
+ J5£2COS^ + ^YI:
16х VK2 -8/J
Эти выражения справедливы при больших значениях аргумента,
т. е. при х 2= 6.
412
Приведем выражения внутренних силовых факторов и угла
поворота нормали для конической оболочки, полученные в резуль-
тате суммирования общего решения системы однородных уравнений
и частного решения уравнений с правой частью:
У — pi2(i—р»)	4~ С2Ф2 + СзФз + С4ф4] + V;;
= —С1Ф2 С2<Р1 — С3ф4 4~ С4(р3 4- О;
Тт —------$	£2<Р2 “Ь Сзфз 4" ^1Ф1] + ТmJ
Tt = —	р2 (f —"р^)~ 2$ ^1<^1 ~l~ ^2<Pi "Ь + Tt\
<2 = f'1’166 - [С1<Р1+сЛ+сзЧ>,+с4<р4]+ХШ
|/12(1— p2)S	S
Л4т — — D (— С1<рг + С2Ф1 — С3Ф4 4“ С4Ф3) 4_
4" ~ (— С1Ф2 4- C2(pi — Сз<р4 4- С4ф3) — D 4* Н у :
— — D	(— Схф2 + С2Ф1 — С3ф4 4~ С,ф3) 4-
(10.70)
(10.71)
(10.72)
(10.73)
1	H'ft А
4- у (— С1ф2 4- С2Ф1 — С3ф4 4~ С4Ф3)] — В р 4- —
(штрихом обозначены производные по х).
При решении практических задач полезно иметь в виду, что
функции фх — Ьег2 (х) и ф2 = bei2 (х), а также их производные
с увеличением х быстро возрастают, в то время как функции ф3 =
= кег2 (х) и ф4 = kei2 (х) и их производные, наоборот, быстро
убывают. Если оболочка имеет достаточно длинные образующие,
то можно определять постоянные интегрирования раздельно на
каждом краю оболочки подобно тому, как это делается при расчете
длинных цилиндрических оболочек.
Коническую оболочку можно считать длинной, если х2 — хх > 4
и хх > 6. В этом случае при определении напряжений и дефор-
маций около верхнего края (см. рис. 10.6) можно считать Сх =
= С2 == 0, а при определении напряжений около нижнего края
С3 = С4 =.0.
Если же х2 — хх > 4, а хх < 6, то коническую оболочку можно
считать длинной только при составлении уравнений граничных
условий для нижнего края. Это значит, что из граничных условий
при х — ха можно определить постоянные Сх и С2, считая, С3 =
= С4 = 0. Затем, зная Сх и С2, из граничных условий при х = хх
найти С8 и С4. Для оболочки, замкнутой в вершине, постоянные С8
и С4 равны нулю (за исключением случая, когда к вершине при-
ложена сосредоточенная осевая сила).
413
, Пример 10.1. Определить напряжения в конической крышке (рис. 10.7),
нагруженной равномерным внутренним давлением р. Размеры крышки sx =
= 1,55 см; Sj= 12,94 см; Л= 0,4 см; а= 75°;
материал — сталь; £ = 2’107 Н/см8, ц—0,3.
В данном случае 6 =90°—а= 15°,
tg 6 = 0,2679; параметр х определим по фор-
муле (10.61):
Х= 2 ^12(1-р8)	=
Рис. 10.7
ложить равным нулю, тогда
= 3,97/s.
что давление действует по всей.
При s 2= «! = 1,55 см *1 = 3,7; при
s = «2 = 12,94 см х2 = 10,7.
Частное решение разрешающих уравне-
ний найдем по формулам (10.52). Учитывая,
поверхности, начиная от центра, Sq следует по-
Тм = ф ctg е = 2,90 р; TmS = ^ctgO = 24,2p;
Т/1 = pSi ctg 0 = 5,79 р; ps? ctg 0 = 48,4 р;
V=0; Q = 0;	=	=
*	lLH	с
a Зр^зctg2e	A77.P .
^a“ 2Eh ~ ЬП E ’
M, = Mm =	= 0,4 p; 4 = - 52,31 = const;
^ = — 52,3 ~ = const.
Запишем граничные условия, считая фланец и центральную бобышку абсо-
лютно жесткими:
при	5 = Si	01=0;	при	5=81	8/1=0’,
при	8 = 8а	0а=0;	При	S = S2	8/а=0.
Из первого и третьего условий на основании уравнения (10.71) следует;
0= — С1Ф21+Сафц—С8ф<1 С4ф81 + “friJ
0 = — Схфаа+Саф1а — Свфда 4" ^фва4*
Два остальных условия представим в следующем виде:
0=771 pT'mv 0=Т/а Р’Т'т2
о (С1Ф11 + СаФа1+СзФм+
или после подстановки выражений Tt и Тт согласно формулам (10.72):
____________________ЕЯг Г>.
” 81 К12(1-р*) 1^
— Н (^1Ф114~^аФа1 + Сзф31 + СвФи} + Т1/!—р,Гт1;
£Л»
" оХ' I ТГ^тФ18 4“О»ф2з 4"^аФаа “Ь ^4ф*а) Н (^Фи "Ь^афаа 4*
Sa V 12(1—p)l- z
4~£8ф8а4"С4фи) 4~ 7*<а—цТmf.
414
Значения функций Томсона индекса 0 и их первых производных:
ч
I
После подстановки значений функций Томсона, а также величин <), Тт, Т,
уравнения граничных условий принимают вид
0,903СХ4-1,764С24-109,8 • 10“*С34-668,6 • 10"*С4 =81,1
177,6Сх-108,5С2-2,19. 10-4С3 4-0,491.10“4С4 —667 -£‘
с ’
2,629Сх+0,931Са-1478 • 10-*С8—572  10“«С4 = 157,7 4 •
Е *
301,9СХ — 988С2 4-6,0! • 10“*С3-11,46 • 10-*С4 = 1,1 • 10*
Е
Решение этой системы уравнений дает следующие значения постоянных:
С1 = —3,68^; Са = -12,22^; С3=— 1935 ^-; С4 = 1902-£.
Задачу определения постоянных можно в данном случае упростить, имея
в виду, что функции ker2 х и kei2 х быстро убывают и при х2 = 10,7 принимают
Рис. 10.8
весьма малые значения. Отбросив во втором и в четвертом уравнениях члены, со-
держащие С3 и С4, получим два уравнения с двумя неизвестными:
177,6СХ -108,5С2 = 677	•
Е ’
301,9СХ — 988С2=1,1 • 10* 4.
Е *
из которых найдем
Сх=—3,678.^-; Са=— 12,20
Подставив эти значения в первое и третье уравнения и решив их, найдем
остальные две постоянные:
Ся = —1934	С4 = 1903 —.
Теперь нетрудно по формулам (10.72) и (10.73) вычислить внутренние силовые
факторы.
416
На рис. 10.8 приведены эпюры Тт, Tf, Мт, Mt по длине образующей. Наи-
• большие напряжения возникают в точках, расположенных на внутренней поверх-
ности у наружного края:
Tt . М,6	4,25р , 1,О6р6	,1П _ ,
“h Iji	“Ь 0,42	(Ю,о-|-40)р 50,5 р;
п ___Тт.Мт(з ____ I4,52p	3,43р6 /Qfinj_i9Q»A 1ЛКп
a"'-~h +Т' _'~0Л_+Тл5- (36р+129₽)=165р-
В середине образующей при s — 7,2 см напряжения имеют следующие значе-
ния:
24,2р 0,Зр6	15р	1,01р6	„
O' = '0T+W'’	'’"‘ = 0,4 +тм»~	₽-
Пример 10.2. Коническая оболочка нагружена краевыми нагрузками по
схеме, приведенной на рис. 10.9. Дано: зх = 100 мм; s2 — 300 мм; h = 0,5 см;
О = 60°. Расчеты выполним двумя
способами: с помощью таблиц функ-
ций Томсона и по асимптотическим
формулам (10.69).
Прежде всего по формуле (10.61)
вычислим параметр х для нижнего
и верхнего края:
х, =2 /12 (1 -0,3») S1 6°° =
= 21,4;
х2 = 2 /12(1-6,3») ]/~ ** 6У =
= 37,0.
Ввиду того, что образующие	р £ л
данной оболочки, достаточно длин-
ные, напряженное состояние около
нижнего края можно рассматривать независимо от граничных условий на верх-
нем краю.
Полагая в выражениях (10.70) и (10.71) С3= С4 = 0 и учитывая, что 6 и V
при заданной краевой нагрузке равны нулю, для области около нижнего края по-
лучим
гм
;7===1С1ф1+СЛ|!
^1ЧРа+^иФ1-
Пользуясь таблицами, находим значения функций Томсона индекса 0 при ха =
— 37,0 и пересчитываем на функции (pi, <р2 и их производные:
ф1 = 121,9222 - 10е; ф2—89,8465 • 10е;
ф,’ = 21,0194- 10е; ф:= 148,5313- 10е;
<pj = — 113,8935- 10е; <р2=—90,9827 - 10е;
(р; = — 14,8630 • 10е; <р =— 143,6133 • 10е.
Граничные условия при х— хй:
Mm=-D
d$ , л.
ds ** s *
«=S-Hie=₽sta9
417
или
М
И12(1-ц*)_	Р cos 60
---------(С1Ф1 + С2ф2)  £)
Здесь учтено, что =
Подставив числовые значения известных величин и решив два уравнения с дву-
мя неизвестными, найдем
М	Р
<?!==— 0,978 • IO' » — 0,2618 • 10" » £;
М	Р
С8= 1,225-10-2,183-10-ю-g.
При х = х2
О ~ С|ф8 ^аф1 —
dO / г - I г
& = С1<Р- + С«‘Р
Мт=М\ Mt =
Е№
v=|с-’‘+с^' - 18-0Р:
dV	Eh2	х.
т>=—/.	+с8ф;] =± =6,57М-12,эр;
rfs	К12(1— Ц1)	2sa	’ ’
V
— 0,5Р.
М Р
2,282^ + 2,26^;
2s2~ v’
п | О , df>
-D|----Vp.-v-
s ds
0,3Af;
- г«»	е
“8
Для выявления характера изменения силовых факторов по длине образующей
следует задаться рядом значений s, вычислить соответствующие значения х и по
таблицам найти фъ ф8, ф[, ф2. Поскольку и С8 уже известны, по формулам
(10.72) и (10.73) нетрудно вычислить силовые факторы.
Получим решение данной задачи епомощью асимптотических формул (10.69).
Подставив в эти формулы х2 = 37,0, найдем
<}>!=—114-108;	91,2-108;
Ф;=— 142 - 108;	ф;<=— 143,6 • 10е.
Полученные значения Фь фа, Фо фа отличаются от значений, вычисленных с по*
мощью таблиц, только в третьем знаке.	\
Заметим, что данная задача более просто может быть решена с помощью при-
ближенного метода Штаермана — Геккелера (см. § 4).
$ 3. Осесимметричные сферические оболочки
Разрешающие уравнения осесимметричной деформа-
ции сферических оболочек получаются из общих уравнений (10.26)
и (10.28) при подстановке в них Rt = Rm = R:
^ + ctge^-(ctgaS-|l)V = £AW + Ф3 (0);	<10.74)
^ + ctg0 - (Ctg2 0 + fl)« = -	(10.75)
где
®s(e) = «ad? + «2(l + fi)ps-	(10.76)
418
Введя обозначение дифференциального оператора
М ) = ^r) + ctg0^-ctg»e( ),	(10.77)
запишем уравнения (10.74) и (10.75) более кратко:
L,(V>+|»V = £W»+®s(e);	(10.78)
Л>(«)-1*0=---(10.79)
Общее решение этих уравнений складывается из общего решения
соответствующей системы однородных уравнений
L3(v) + iiV = EhRf>;
(10.80)
и частного решения системы неоднородных уравнений (10.74)
и (10.75). Четыре постоянные интегрирования определяют, как
обычно, по граничным условиям. Внутренние силовые факторы вы-
Рис. 10.10
числяют в зависимости от V и О по формулам (10.10), (10.11) и
(10.24), (10.25), в которых следует положить Rm = Rt = R.
Напряжения вычисляют по формулам (10.33) и перемещения — по
формулам (7.35) и (10.34).
Приведем выражения частного решения для наиболее часто
встречающихся случаев нагружения.
Равномерное внутреннее давление (рис. 10.10, а)
f(e)=^=e!=^sin.e.
Функция Ф8 (0) в данном случае равна нулю. Следовательно,
у = 0, 0 = 0, Q = 0.
Усилия Тт и Tt определяются по выражениям (10.24), (10.25):
lm /?sin96“2’ li-РК /?Sin9e“2*
Осевая сила Р (рис. 10.10, б)
«0 = ^; Ф8(0) = О; Р = 0; 0 = 0; Q = 0.
Г Р .	Р	(‘°-82)
т 2nJ?sta>e» —	2л/? sin2 6’
419
Нетрудно убедиться, что частные решения для этих случаев
нагружения полностью совпадают с решениями, которые дает без-
моментная теория.
Равномерное вращение оболочки. Интенсивность радиальной
инерционной нагрузки определяется выражением
__йуи2/? sin 0
Р~~ g *
Ее нормальная и касательная составляющие:
Луш2/? sin2 6 л  2 а
Pi = —— ------= A sш2 6;
йу©2/? sin 6 cos 6 Л • в Л
р2 — —-----------= A sin б cos б,
где
д _ Лум2/?
— g
Функция F (0), зависящая от осевой нагрузки, в данном случае
равна нулю. Функцию Ф3 (0) определим по формуле (10.76):
ф8 (6) == f?2A sin б cos 6 -|- (1 4- g) /?М sin б cos б =
_ ^2^ (3 + Р) g jn 2Q
Частное решение дифференциальных уравнений О будем искать
в виде, подобном Ф3 (О), т. е.
О = С sin 26,
где С — неопределенный множитель.
Подставив О в уравнение (10.75) и выполнив несложные преоб-
разования, найдем
р__D (5 + р) С sin 20
У ~ R
Используем теперь уравнение (10.74). Подставив это уравнение
в функции Ф3 (0), Ф и V, убеждаемся, что оно удовлетворяется при
г Л/?э(3+р)
“ 2 [D (р2 - 25) - EhR2] ’
Следовательно, искомое частное решение имеет вид
Р	Л12(3+р)(5+р)Р • gQ_
У~	2[Eft/?2+(25-p2)D]	==
~	Л(3 + н)(5 + р)Л2 - 2fi.
=------24 ('1 — ц8)-S,n
*_________ля»(3+ц)	. м ~
°-	2[£W?' + (25-h>)D]	—
ss-^+^inze.
(10.83)
43Q
Усилия Тт и Tt определяют по формулам (10.23), (10.24)
и (10.25), т. е.
1
R
Q =
V;
А (3 -|-|i) (5 4-ц) й2 cos2 О
12(1 -и2)/?	:
т1___д р cin2 о । Н- “F10 cos 26
(10.84)
Пример 10.3. Исследовать напряжения и деформации в замкнутой сфери-
ческой оболочке, вращающейся с угловой скоростью со.
Граничные условия в данном случае следующие:
при 6 — 0 -0=0;	при 6=0 Q=0, V=0;
при 6 = 90е 0=0;	при 0 = 90° Q—0, V=0.
Частное решение разрешающих уравнений определяется выражениями (10.83)
и (10.84). Нетрудно проверить, что это частное решение удовлетворяет всем гранич-
ным условиям. Это значит, что общее решение соответствующего однородного урав-
нения в данном случае добавлять не нужно. Таким образом, формулы (10.83)
и (10.84) полностью определяют значения усилий в замкнутой вращающейся
оболочке.
Найдем изгибающие, моменты. Подставив выражение (10.83) в зависимости
(10.10) и (10.11) и положив Rm — Rf = R, получим
Мт — —4 Тг— (cos 20р. cos2 0);
Mf =	(3+н)В (cos2 Q ц cos 2е).
Радиальные перемещения точек поверхности согласно уравнению (7.35):
£ = W =	(Tt — цТт) R sin 0.
При 6 = 90°
Л/?2 Г
Eh
й2 (3-f-p) (5 + р) ] ~ ЛЯ2
~Eh'
/?212(1—р2) J
Осевые перемещения согласно уравнению (10.34):
О
П= [^(Т’т—НТ'/) sin0 + ^ cosO RdG
о
(т] — отсчитывается от полюса).
При 6 = 180° по этой формуле получим изменение расстояния между полю-
сами
AR2 Г2 а 4- и) - Аа(3 + н)(5 + 11) 1
2 (1 + И) 18Я2(1-р) . •
Л4/, 7’т, Т'ь построенные при следую-
П Eh
На рис. 10.11 изображены эпюры Мт,
щих числовых данных:
/?=40 см; й=2 см; п=1000 об/мин;
со =105 рад/с; у=7,8 • 10“2 Н/см8;
£=>2-10’ Н/см2; р=0,3.
Максимальные напряжения возникают в наружных точках на экваторе обо-
лочки
Tt М£ 2800 , 25,6 -6
CT/mexeA Аз “
а як I'm	А4т6
°т“ Л лГ
2 -г 2i--1440 Н/см2;
0+^”130 н/см#»
421
Изменение диаметра по экватору
=	(Т/ —р7'т)д_д0о = 5,6  10 ® см.
Изменение расстояния между полюсами
W=_f[2(1+,)+^^]._713.1(r3cM
Заметим, что в данном случае напряженное состояние оболочки мало отлича-
ется от безмоментного; поэтому максимальное напряжение и перемещения можно
Рис. 10.11
• с удовлетворительной точностью вычислить по безмоментной теории. Рассматривая
равновесие чйсти оболочки, отсеченной по кругу 0 = const, найдем
Гт=0;
тогда из уравнения Лапласа
Ti=p1R=RA sin® 6.	/
При 6 = 90°
Tt=RA=2810 Н/см; <J/=y= 1410 Н/см®.
Получим общее решение системы однородных уравнений (10.80).
Анализ этой системы показывает, что вторые слагаемые в левых
частях уравнений можно отбросить (вносимая этим погрешность
не превышает погрешности, вносимой исходными допуще-
ниями) [151. После исключения этих слагаемых уравнения прини-
мают вид
L3 = (y)-EhRb = 0;
As=(i1)+v—о.
Эти два уравнения можно привести к одному уравнению второго
порядка относительно комплексной переменной. Умножим первое
422
уравнение на неопределенный постоянный множитель а и сложим
со вторым:
- {[а£ЛЯ]ё+[- ^]aV} “ °-	(1°-85)'
| Множитель а подберем так, чтобы произведения, заключенные
в квадратные скобки, были равны между собой, т. е.
aEhR —
1 отсюда	 
 <10-86)
знак перед корнем может быть выбран произвольно.
Введем обозначения:
aEhR=	)/12(1 -ц2) - <2**;
й = /3(1-|*‘)]/Г|;	(10.87)
V.	(10.88)
В результате уравнение (10.85) принимает	следующий вид:
£8 (о)—/2Л2о = 0	(10.89)
Это уравнение второго порядка относительно комплексной
функции о эквивалентно двум уравнениям второго порядка (10.80)
относительно действительных переменных Ь и V. Общее решение
уравнения (10.89) можно представить в следующем виде:
о = (Сх + /Са)[Хх - /Ух] + (С8+ /С4)[Ха - хУ2],	(10.90)
где Хх — /Ух = cXi. -^2 — Mi = 02 — комплексные функции, явля-
ющиеся независимыми част-
ными решениями уравне-
ния (10.89);
(Сх + i*Ca), (С8 + iC4) — комплексные постоянные ин-
тегрирования.
Разделив комплексную функцию (10.90) на вещественную и
мнимую части и приняв во внимание равенство (10.88), получим
следующие выражения для 6 и V:
у== [С2Хх - Сх Ух + СЛ - С8 Уа].
(10.91)

f
Функции Хх (0), Ух(0), Ха (0), У2 (0), входящие в фор-
мулы (10.91), определяются в результате интегрирования диффе-
423
ренциального уравнения (10.89). Напишем это уравнение в раз-
вернутом виде:
+ c‘g О Й - с‘8! е ° - ak‘° = °-
(10.92)
Не останавливаясь на решении, укажем лишь, что интеграл
уравнения такого типа выражается через функции Лежандра.
Приведем симптотические выражения функций Хь Уь Х2, У2
и их производных по 0, полученные в результате пренебрежения
слагаемыми, имеющими такой же порядок малости, как отноше-
ние ft//?, по сравнению с единицей 1151:
•*•[(! -8V*8e)C0S(Ae-^)-
— sinffte —
\	О / J
^=-1^ тагее‘в[С0Ци-|') +
+ (i-^ctge) sin(*e —
Xi^-l^^e4ffiC‘gCc4Ae~f) +
+ (* - i® ctg ") sin («-!)];
Y- = - /0^ е*’[(1 “ i® ctg 8) cos(“ -|)-
- dg 0 sin (ы - i)];
+Дс‘е •)'sto («+>)]:
y>=V ЙА	[0 + Д ctg6)cos (« +|) +
-4- sin (A6 4- J) ;
\	® / J
e~№ [(> +1® c‘8e)cos (*« + f) -
- F6Actgesin(A8 + j) ;
У« — —1/~ —^2 e_fte Г— ctg 6 cos (kfi 4- I
Za— Г n sin 0	.16A? ё co Vго 8^
+ 16A Ctg 8) S*n + в)]‘
(10.93)
424
Внутренние силовые факторы и перемещения в сферической
оболочке определяются на основании зависимостей (7.35), (10.11),
(10.12), (10.23), (10.24), (10.25) и (10.34)
о
, _	V
т	г
^[^ + ^ctSQ]; М‘ =
/?
 . Т _ _ dV ,
т> 1 < ” R de4
(т, _ и7-т);
[ftctge + p ~
~ „ V . V
(10.94)
0 г
во
т — p7\) + v cose RdQ.
Заметим, что функции Xlt Y± и их производные с увеличением
угла 0 быстро возрастают, в то время как Х2 и У2, наоборот, быстро
убывают. Более детальный анализ показывает, что при приближе-
нии к полюсу, т. е. при 0 -> 0, функции Х2 и У2 стремятся к беско-
нечности. Следовательно, для оболочки, замкнутой в вершине,
коэффициенты при Х2 и У2 следует принимать равными нулю (за
исключением случая нагружения замкнутой оболочки сосредото-
ченной силой, приложенной в вершине).
Пример 10.4. Вычислить напряжения в полусферическом куполе, усиленном
по краю фланцем и нагруженном равномерным внутренним давлением р и уравно-
вешивающей силой Р (рис. 10.12, а). Размеры: к = 50 см; Л= 0,3 см; i\ —
= 49,85 см; гг = 53 см; г3 = 51,6 см; В = 3,15 см; Н = 0,8 см.
а)	б)
Рис. 10.12
Отделив сферический купол от фланца, приложим к нему силовые факторы
взаимодействия Мтг, Qlt Тт1 (рис. 10.12, б).
Сила Ттг определяется из условия равновесия, т. е.
г”“=^“24'8₽н/см-
Остальные силовые факторы должны быть найдены из условий совместности
деформаций оболочки и фланца.
14 Бояршинов
425
Деформации фланца могут быть вычислены по формулам теории осесимметрич-
ной деформации колец (см. гл. 4, § 1).
Геометрические характеристики сечения кольца:
/1= (	In ^=0,0490 см;
/8 »= j ~	In.-^=2,614 • IO-з см8.
Внутренние силовые факторы в сечении кольца:
Л?=pHrt + QXR=39,9р + 50Qj;
М = Prl-T^W+M^R+QiR у х= 1,99 • 10*р+Л1т150+Q120.
Угол поворота сечения кольца	*	v
= ^-[0,7605.1(Нр+19,13.10»Mml+7,65- lO^] рад.
Радиальное перемещение в точке сопряжения с оболочкой
+ Т “I 1°’305 ’ W+4’08 * 10^1+7,65 ♦ 10WmJ см.
Напряженное состояние оболочки целесообразно представить в виде суммы
безмоментного состояния, соответствующего нагружению равномерным давле-
нием р и осевой силой Тт1 и моментного состояния, соответствующего нагру-
жению краевыми нагрузками Мт1 и Qv
Для безмоментного состояния, соответствующего частному решению разре-
шающих уравнений, выше было найдено
0=0; V=0;
Можно также считать г. /?. тогда Tms=T/«=-^=25р.
Угол поворота нормали на краю оболочки в этом состоянии равен нулю, а ра-
диальное перемещение
-	6-=^ff<-|*Tm)=^i^=^=2,90-10»| см.
Вычислим линейное и угловое перемещения на краю оболочки,,возникающие
при действии нагрузок Л4т1 и Qt. В этом случае частное решение равно нулю и оста-
ется только общее решение системы однородных уравнений (10.91).
Параметр k согласно формуле (10.87):
Л=|'3(1-0,3«)'|/ ^=16,60;
тогда
{	МК = Л4=26,07.
£
Учитывая, что заданная оболочка замкнута в вершине, следует постоянные Са
и С4 приравнять нулю. Остальные две постоянные надо подобрать так, чтобы изги-
бающий момент и поперечная сила на краю были равны соответственно Мт1
и Qr. По формулам (10.93) определим функции Уь и У» при 6 — у;
X, =0,9668 • 10й; Ух=— 3,9429 - 1(Р;
Х;=— 49,43  10й; У; = — 81,54 • 10».
426

Запишем уравнение граничных условий:
£М
Q1=—у-Г	— [6?аХг - C^d
R /12(1-ц«)
или
1	f
— 49,436?! - 81,546?s = — ~ 2,022  10’Wml}
Ef
3,94296?! + 0,96686?2= 4 0,1835 • 10"7Qi.
С
Решив эти два уравнения, найдем
Ci«[5,475 • 10-»Qi-0,7l4 • 10-»Mm]4 ;
С3=[-3,32.10-®01-2,915 • 10-Wml] 4-
jC
Далее вычислим угол поворота нормали при в = 90*:
^=CiX1 + C2rl=4(1840Q1-1220Alm) рад,
растягивающие усилия
= - ^=W(^;-C.n)--33.18Q1+1!.0.A)rai:
tm = 0
и радиальное перемещение
I =^^R^ 'e (-5530Q1+l835Mm).
Запишем уравнения совместности деформаций оболочки и кольца:
£об4"
<>об + ”об=фк
или в развернутом виде	/
2,90 * 103	-5530 ^4-1835^ = 305 • ю« -£+4080 $ + 7650^1;
Е Е Е	Е Е	Е
1840 $-4220 ^-«=760,5 • 10я £+7650 $+19130
Е Е	Е Е	Е
Решение этой системы уравнений приводит к следующим результатам:
Mmi——33,8р Н/см;
(?!<=—10,7р Н/см.
Наибольшие напряжения возникают в наружной точке оболочки при б = 90°:
A4mi=—33,8р Н- см/см; Тт1т= 24,8р Н-см/см;
Л4/=рЛ1т1=—10,Ip Н • см/см; Т#вТ/+Гт«
«“24,8р—33.I8Q1+ 11,0Шт1«=8,0р Я/см;
«тт.» ” V - ^-2330р Н/см«;.
j^““690p Н/см*.
Изгибные напряжения в оболочке носят местный характер и по мере удаления
от края быстро убывают. Если материал оболочки пластичный, то эти напряжения
могут вызвать лишь небольшие пластические деформации стенки оболочки около
края.
За предельное допустимое давление в данном случае следует принять такое,
при котором начнутся пластические деформации во фланце. Наибольшее напряже-
ние во фланце
N	МН/2
о=—у-------у—= —460р,
где
N=39,9р+50Q,=—495р;
М = 1990р + 50М м4- 20Q1 = 84р.
Сопоставив максимальное напряжение во фланце с пределом текучести мате-
риала, можно установить предельно допустимое давление.	'
Заметим, что деформации сферической оболочки в рассмотренном примере мо-
гут быть вычислены более просцэ — приближенным методом учета краевого
эффекта (метод Штаермана — Геккелера).
Остановимся на особенностях расчета пологих сферических
оболочек. Общая теория пологих оболочек, основанная на введе-
нии некоторых дополнительных допущений, справедливых при
малых значениях угла 9, разработана В. 3. Власовым [9, 13].
Рассмотрим сферическую оболочку с малым углом подъема.
Считая приближенно, что ctg 6 — 1/0, представим разрешающие
уравнения (10.74) и (10.75) в следующем виде:
d2V  1 dV 1 ж/ 171. AD 1 /Ti /вХ 1
"dip	Т ~db ~~ 6® ~ Eh## 4- Ф8 (6); I
dea ' е de еа°“ D
(10.95)
(слагаемые, содержащие р, ввиду их малости отброшены).
Частное решение этих уравнений такое же, как и для оболочек
с большим углом подъема [см. зависимости (10.81)—(10.84)1.
Для получения общего решения системы однородных уравнений
приведем их к одному дифференциальному уравнению относи-
тельно комплексной функции
Е№ ’
dao . 1 do 1 ° ,о,2« л
do« + е de еа ° а — 0,
где
2Л2=£уТ2(1-р2).
Путем замены независимой переменной согласно равенству
— /2Аа6а = г2
это уравнение приводится к уравнению Бесселя индекса 1;
ггё + гЙ + <г’-‘>о=0.
428
решение которого имеет следующий вид:
о = (С2 + iCi) [ben (k V'2 0) + i bek (k /20) +
+ (__ C8 + ZC4) [keix (k /2 6) - /ken (* /2 G)].
Разделив это уравнение на действительную и мнимую части,
получим
V =	[С, ber, (k V2 в)+С2 bei, (k /2 8) +
+ Сзкеп (k V2 G) + Ct keij (k /2 в)];
b = C2 ben (k /2 G) - Ct ben (k /2 G) +
+ Сл ken (A /2 G) - Ca ken (k /2 G),
(10.96)
где	_
k=Гз(1-н*)
Для замкнутого купола постоянные С3 и С4 следует принять
равными нулю. Остальные постоянные определяют по краевым
условиям.
Пример 10.5. Рассчитать цилиндрический резервуар со сферическим днищем
(10.13, а), находящийся под действием равномерного внутреннего давления р.
Дано; г = 173,5 см; ft = 1 см; R = 1000 см.
Рис. 10.13
Отделив днище от цилиндра, приложим силовые факторы взаимодействия Л10,
Qo« хч (рис. 10.13, б).
Из условия равновесия днища
л, рс
Тм~~2'
Остальные два силовых фактора должны быть определены по условиям сопря-
жения цилиндра и днища:
^к дн = ” ^оц»
£кдн = £оц ИЛИ 8/КДИ^С/ОЦ*
429
Знаки выбраны в соответствии с принятыми положительными направлениями
перемещений, показанными на рис. 10.13, б.
Вычислим перемещения на краю днища.
Частное решение разрешающих уравнений определяется по безмоментной
теории, т. е.
Г=0; 5=0; Q=0; Tm = 7,=^=«500р.
Учитывая, что угол 6 мал, общее решение системы однородных уравнений
возьмем в виде (10.96); при этом С3 = Ct = 0, так как купол в вершине замкнут:
=[С1Ьег,(»Г2 eHc.behteKa в);
V 12 (1 — Ма)
5 =С3 beri (Л /2 e)-ct beix (k /2 в).
На краю днища
10в=0,174 рай 2А«=^ /12 (1 - ц«) = 3300;
I
Пользуясь таблицами, находим значения функции Томсона индекса 0:
Ьег 10,0=138,8405; bei 10,0= 56,37046;
Ьег' 10,0=51,19526; bei' 10,0 = 135,3093
(штрихом обозначена производная по аргументу 6^26).
Пересчитываем эти функции на функции индекса 1:
—?=. (Ьег' х
/2
Ьег! х=-
si'x); beix xe=p= (ber'x-f-bei'x);
= (berx+beix)-^-^;
beix x
C2 (— 59,478)—CJ31,879;
bei.' x=-r=(berx—bei х)—
/2	*
berx 10=—59,478; beix 10=131,879; Ьег; 10 =— 132,088; ЬеЦ'10 = 45,127.
Внутренние силовые факторы и перемещения на краю днища согласно форму-
лам (10.94):
6К в в G Ьегх 10—Сх Ье1х Ю
jA j Jk
fir. = 5г в (C# berj 10—Ci bei' 10) k /2 =—7600Cs—2595Сг;
Uv|{
---® ^+|1*]_B (7,700,4-2,8230,);
V,-C’,=j7===(C1 bert 104-C, bell 10) = D (-0,196.34-4360,);
~ - -у.-	(C, ber; 104-C, bei; 10] k Vz =
d0M deK И12(1—ц»)	-
=D (—25,1 - Ю’Сх+в.бв • lOsCa);
= «D (- 196,3Cx4-436Ct) IO"’;
ттк^ TmK~ = D (l,13Cx-2,505Cj)+500p;
“ D (25,lCx-8,58Ca)+500p.
430

Радиальная составляющая краевых сил для днища (сила pacrtopa)
Qo==Qk	®к*“ Тдис cos 0,ja=D (— 1,149 Сг "1“2,537Са) 492,5р.
Из зависимостей для Мо и Qo выразим Сх и С2:
Ci = — 0,4815	+ 0,1586 ~ - 237 £г;
Лл»	Лл»
С2=0,1766	4- 0,0718	+ 86,9
и подставим в зависимости для Фк, Ттк, Т^к и е/к. В результате получим
=52,9 - 25,0	+ 26,1 • 10» g-;
Тт1£=—0,986Qo + 14,5p; ТЛ«— 13,62Q0+3,364M0-6,196.10»р;
8/к - (Г/к-рТ^к)« ~ (- 13,32Qo+3,364Mo-6,20 • 10»р).
» Перейдем к определению деформаций цилиндрической оболочки. Согласно
формуле (9.24):
Ввиду того, что цилиндрическая оболочка имеет большую длину, используем
зависимости (8.27) и (8.28). При х = 0
„	К'о Мо t Qo t Р£ f 1	H' \	Q qi ^0_L OA f\Qo _L 147 i) P
rt	r	2D5»r + 2^®Г + Eh \1	2/	3,31 £ + 34,0 £ + 147,2-g-,
A	Mo	Qo __	Ю,27МО 52,6Q0
0=3 Dp	2Sp« ~ D	~D~'
Подставим выражения Ок, и О0» е/о в уравнения сопряжения днища и ци-
линдра:
52,9- 25,0 ^“4-26,1-10’^ = 52,6	4- 10,27	;
-13,324- 3,364- 6,196 • 10» -g- = 34,04- 3,31	4- 147,2
СЕ	Е	Е	Е	Е
Решив эту систему уравнений, получим
Л1о=740р; Qo=— 127р.
Искомые значения углового перемещения и силовых факторов на краю днища:
OM~880g-:	---1976р; Ттк=140р; ’
Мт<=Л1о=740р; A1/K=|AM0-^^^^KCtge = 217p
t\
и на краю цилиндра:
Г*-у=87р;	—1700р;
Л1к=Л1о=740р; Л1/=ц7И0=222р.
При вычислениях учтено, что
Ь = ея _	+ 3^» + 147,2 f = - 1730 Д.
•	ЕСЕ	Е
431
• Г'	•	... Z >'	1.
Наибольшее изгибное напряжение
Af06 740-6	...Л
CTffimax /j2	1 Р 4450р.
Наибольшее напряжение сжатия в окружном направлении в зоне сопряжения
%«=T = -'W
Напряжения в цилиндре в точках, удаленных от днища,
рг	Рг
Высокие окружные напряжения в зоне сопряжения цилиндра и днища могут
привести к возникновению пластических деформаций, а также к потере устойчи-
вости и образованию складок.
Для снижения напряжений край цилиндра целесообразно усилить кольцом,
воспринимающим радиальную силу, передаваемую со стороны днища.
§ 4. Приближенный метод учета краевого
эффекта (метод Штаермана — Геккелера)
На рис. 10.14, а и б изображены оболочки вращения,
нагруженные по краю распределенными нагрузками Мо и Qo.
Первая оболочка — пологая. При осесимметричном изгибе такой
оболочки радиальные перемещения точек и соответствующие им
окружные деформации растяжения около края — малы. Поэтому
Рис. 10.14
деформации, вызванные изгибающим моментом, затухают медленно,
и влияние момента распространяется практически на всю оболочку.
Во втором случае угол наклона нормали 0 велик. Здесь при
осесимметричном изгибе околб края возникает значительное окруж-
ное растяжение; вследствие этого изгибные деформации в оболочке
быстро затухают и на небольшом расстоянии от края уже практи-
чески полностью отсутствуют.
Влияние окружного растяжения при осесимметричном изгибе
оболочки с большим углом подъема подобно влиянию упругого
432

основания. Аналогичное явление быстрого затухания деформаций
около края было отмечено в осесимметрично нагруженной цилин-
дрической оболочке (см. гл. 8).
На указанной аналогии основан эффективный метод расчета
оболочек вращения с большим углом подъема, нагруженных крае-
выми нагрузками. В этом методе использованы следующие допу-
щения:
1. Все функции, характеризующие напряжения и деформации
в оболочке около края, а также их первые производные малы
по сравнению с их старшими производными. Это допущение
основано на том факте, что рассматриваемые функции содержат
множитель вида е"Ао), где <о — угол или дуга, отсчитывае-
мая от рассматриваемого края оболочки, k — параметр. При
дифференцировании этих функций параметр k выходит каждый раз
в виде множителя. Так как все эти функции — быстрозатухающие,
то величина параметра k велика, поэтому значения первых произ-
водных намного больше, чем значения самих функций, а значение
вторых производных — соответственно больше, чем первых. На этом
основании члены, содержащие сами функции и их первые произ-
водные в левых частях разрешающих уравнений (10.26) и (10.28),
отбрасываются. Функция Ф в правой части уравнения (10.26)
в данном случае равна нулю, так как рассматриваются только крае-
вые нагрузки. В результате разрешающие уравнения (10.26) и
(10.28) принимают вид
Я/ dW RrnV
Rm (№ ~~ D *
(10.97)
(10.98)
2. Радиусы кривизны Rm и Rt около края принимают постоян-
ными. Это допущение точно выполняется в случае сферической
оболочки. Для оболочек других видов это допущение выполняется
тем точнее, чем ближе форма оболочки к сферической.
Приведем уравнения (10.97) и (10.98) к одному уравнению с одним
неизвестным. Продифференцировав уравнение (10.97) дважды с уче-
том второго допущения и подставив . в уравнение (10.98),
получим разрешающее уравнение краевого эффекта
d*V RLEh ,
do* + RjD ~ O’	(10.99)
Введем обозначение:
V _	, 4
RjD ~ Rjh2 ~ qa
или
(lo.ioo)
433
Тогда уравнение (10.99) принимает вид


(10.101)
Заметим, что пренебречь функцией V в этом уравнении по сравне-
нию с ее четвертой производной нельзя, так как множитель 4а4
весьма велик.
Уравнение (10.101) аналогично однородному уравнению осесим-
метричной деформации ци-
линдрической оболочки.
Введем новую незави-
симую переменную о», пред-
ставляющую собой угловую
координату, отсчитывае-
мую от края оболочки.
Если рассматривается ниж-
ний край (рис. 10.15, а), то
Рис. 10.15
co = GK —0.
Если рассматривается верхний край (рис. 10.15, б), то угол щ
отсчитывается в обратную сторону и тогда
(0 = 6— 6Й,
Так как в обоих этих случаях
d*V d*V
d& *“
то при переходе к новой переменной дифференциальное уравне-
ние (10.101) не изменяет своего вида, т. е.
4^ + 4a‘V=O.
(10.102)
Решение дифференциального уравнения (10.102) записывается
так же, как для длинной цилиндрической оболочки:
V =е"аш (Ci sin а<о4-Ct cos а<о) -}-еа<0 (С8 sin оио-j-C4 cos а<о). (10.103)
Ввиду того, что функция V с возрастанием угла to должна зату-
хать, второе слагаемое в выражении (10.103), содержащее множи-
тель еа<0, должно отсутствовать. Поэтому постоянные С3 и С4 еле;
дует приравнять к нулю, тогда
V = е а<а (Ci sin а© + С3 cos oc(o).
(10.104)
Вычислим производные функции V по 0. При дифференцировании
следует учитывать, что на верхнем краю пояса оболочки угол со
й	dV dV „
отсчитывается в сторону возрастания 0, поэтому	• На ниж-
434
нем краю направления отсчета углов w и 0 — противоположны,
поэтому	~'= —	:
3	(№ da
= ± ае аю [Ci (cos aw — si naw) —
— С8 (cos а<о + sin aw)];
м/ 4-
de» = 12ase a“ [Ci (— cos aw) 4-Ca sin aw];
» ± 2a8e a® [Ci (cos aw 4- sin aw) 4-
4- C8 (cos aw — si naw)]
(10.105)
(знаки, указанные сверху, — для верхнего края, знаки, указанные
снизу, — для нижнего).
Так как в данном случае рассматриваются только краевые
нагрузки, то р! = 0; р2 = 0; F (0) = 0 и Ф (0) = 0 1см. равен-
ства (10.19) и (10.27)]. В этом случае внутренние силовые факторы
и перемещения связаны с функцией V следующими зависимостями:
'Г _	т dV	Л__У
Тт~	₽/Ctg6,	Tt~~	Rmd6’	Q~Rt'f
~	, n	dO	FtD d*V.
R^Eh	~ u Rmd6 “ R*mEh d63 ’
A4/^|xAlm; =	(T/—p,Tm);	=
(10.106)
На основании малости О по сравнению с ее производной слагае-
мые, содержащие О, в выражениях изгибающих моментов отброшены.
Запишем уравнения граничных условий для рассматриваемого
случая нагружения краевой нагрузкой:
при w = 0 Мт = Мffl0;
при w=0 Q—Qo
или с учетом равенств (10.104), (10.105) и (10.106):
дх ____	__— Rm /(> _|_р \.
Mmo —	R^Eh ^68 J — -+- 2Rta +
Qo = р* ^2»
откуда
перемещений принимают вид
mob~e~a“sinaw_
1
“ Qoe"a® (cos aw — sin aw) ;
2a/?/
e-aco (cos ao __
m
— sin aw) ± Qoe”aw COS a© ;
Mm — Mmoe-a“ (cos ao -|- sin aw) ±
e-aQsinaw; =
CC
O' = ± Mm0 —л e aw cos a©T
Q<L/	“l *
. R*
TQo^d e ““ (cos a“ + sin a“)-
На краю оболочки при w = О
a I ^mo^m +
IT —	|			•
(10.107)
(10.108)
__+ Л/f 2a2/?/ . « 2a/?/
— 'ylmO ps 40 ~p—»
+	Km
1 Г 2a2/?/
I'm—_QoCtg6K; C/Q — Л4то
±Q.^iHQ»ctge«-
Верхние знаки относятся к верхнему краю пояса оболочки,
а нижние — соответственно к нижнему.
При действии на оболочку произвольной осесимметричной
нагрузки к решению, определяемому равенствами (10.107), надо
добавить еще частное решение неоднородной задачи, которое в боль-
шинстве случаев определяется по безмоментной теории.
Точность расчета, выполненного по изложенному методу, тем
выше, чем ближе угол наклона нормали на краю оболочки к 90° и
//?/\ __
чем меньше величина Практически этим методом можно
пользоваться, если угол на краю 0К > 35°.
Пример 10.6. Определить перемещения на краю сферической оболочки,
изображенной на рис. 10.12, б. Дано: Rm = /?/=/? = 50 см; h ~ 0,3 см.
Воспользуемся изложенной теорией краевого эффекта. Вычислив параметр a
[см. формулу (10.100)] и изгибную жесткость D:
Eh3
• ц8. = 2,475 • 10 «£ Н« см,
14 к1 И /
436
по формулам (10.108) определим О, ezo, £ при 0 = 90°. Знаки берем нижние:
А- МдиИ  Qi** -	mi 1220	QJ840
aD	Е 4	»
, _ГР _ * Г^За2 1	Mml1835	5330^
fc(6=90’) — ret0 — Eh	R	J E	E ’
Эти значения совпадают с полученными в примере 10.3, где та же задача была
решена на основе точных уравнений.
Высокая точность решения по методу Штаермана — Геккелера в данном слу-
чае объясняется тем, что угол 0К равен 90° и радиусы кривизны имеют постоянное
значение.
Пример 10.7. Сравнить значения внутренних силовых факторов и напря-
жений в сферическом куполе для четырех вариантов граничных условий
_ (рис. 10.16);
Рис. 10.16
а)	купол нагружен по краю только нормальной меридиональной силой —
безмоментное напряженное состояние (рис. 10.16, а)
б)	край купола жестко заделан (рис. 10.16, б);
в)	край шарнирно закреплен (рис. 10.16, в);
г)	край свободно опирается на плоскость (рис. 10.16, г). Дано: R = 30ft;
0К = 35.
'В первом варианте возникают только нормальные усилия Тт и Tt. Согласно
уравнению Лапласа при Rm — Rt = R
ф т pR
Im—	~ ~2"•
По углу 6 эти усилия постоянны (рис. 10.17, а).
Напряжения
pR 1К
““ 15р
и относительное окружное удлинение
z	_	PR (1 -В) _	10 5 Р
е'~	Eh ~ 2Eh	~~^~Ё
также по углу© постоянны.
Угол поворота нормалей в этом состоянии равен нулю — 0).
Рассмотренное безмоментное напряженное состояние оболочки соответствует
частному решению разрешающих уравнений.
437
Запишем граничные условия для второго варианта:
при 6 = 35° 0 = 0-f-b=0;
при 0=35* е;»=ё/ + е? = О.
Подставив в эти граничные условия значения О и в/, а также О и е(, согласно
зависимостям (10.108), получим два уравнения:
__MtnoR 1 Qo^8___л.
aD “г2аЧ)“и’
SE [^- - <2о2«+Л ctg 35=] -	-0 .
В результате решения этих уравнений при
Я«ЗОЛ, ctg 35° =1,4281, ц=0,3,
няйдсм
Оо=—1а59/>Л; Л1т0=—- 3,38рЛа.
Далее по формулам (10жв), используя табличные значения функций (см.
табл. 8.1), нетрудно определить внутренние силовые факторы при промежуточных
значениях угла 6 и построить соответствующие эпюры (рис. 10.17, б).
Рис. 10.17
Аналогично, но более просто рассчитывается третий вариант.
В этом случае граничные условия следующие:
при 6 — 35° Л1то=0;
при 8=35° е/=8/+е/=0*
На основании второго условия с учетом последней формулы (10.108):
-L [-	ctg 35=] -	=0,
откуда
<20=— 2,57 • Ю-’рЯ=— 0,77рЛ.
438
Эпюры внутренних силовых факторов для третьего варианта приведены на
рис. 10.17, в.
Наконец, в последнем четвертом варианте в силу того, что купол свободно
опирается на плоскость, изгибающий момент и сила распора на краю купола равны
нулю, т. е.
при 6 = 35* AJmo=O;
при 6 = 35’ 7m0cos 35°—Qos’n 35°=0.
Согласно второму условию, реакция опоры имеет только вертикальную
составляющую, Интенсивность которой определяется по уравнению равновесия
Я=^Ц^ = 8,59рй.
Спроектировав эту реакцию на направление нормали к поверхности оболочки,
найдем поперечную силу на краю
Оо—-— R cos 6К=— 8,59pft cos 35°=—-7,03рЛ.
Подставив в формулы (10.107) М& = 0 и == — 7,03 ph и добавив частное ре-
шение, получим значения силовых факторов, указанные на эпюрах рис. 10.17, г.
Вычислим максимальные напряжения при различных вариантах закрепления.
В первом варианте (см. рис. 10.16, а) напряжения (Ут и а/ постоянны как по
углу 6, так и по толщине оболочки и составляют = — 15р (безмоментное
напряженное состояние).
Во втором варианте (см. рис. 10.16, б) максимальное напряжение возникает
около края:
tl, Ai«6
Wf + -JT - 12,7p+20,3p-33,0p.
В окружном направлении напряжения значительно меньше.
В третьем варианте (см. рис. 10.16, в) наибольшие напряжения возникают на
некотором удалении от края и составляют
®mmax — 15,2р,	15,6р.
В четвертом варианте (см. рис. 10.16, г) наибольшее напряжение возникает
за счет окружного растяжения <т/п1ах = 83,9р.
Напряжения изгиба в этом случае имеют максимальное значение на некотором
расстоянии опирая и достигают величины ат — ± Б5р или с учетом меридиональ-
ного усилия ammax = — 71р.
Как показывают результаты расчетов, наиболее неблагоприятный вариант —
четвертый. Это объясняется тем, что при свободном опирании купола не обеспечено
восприятие силы распора, вследствие чего оболочка находится в состоянии, наибо-
лее далеком от безмоментного.
Рассмотрим вопрос о применении метода Штаермана — Гек-
келера к расчету конической оболочки.
Поскольку угол 0 в этом случае постоянный, он не может быть
принят в качестве независимой переменной. За независимую пере-
менную необходимо принять координату s, отсчитываемую вдоль
образующей.
, После перехода от переменной 0 к переменной s на основании
соотношений
уравнение (10.99) принимает следующий вид:
ds* R'jD v v
ИЛИ
где
d*V
ds*
+ 4P4V-O,
я_у/з(1-^)
P ~ Г /?;Л2
(10.109)
(10.110)
Напомним, что при выводе разрешающего уравнения краевого
эффекта было принято допущение, что младшие производные функ-
ции, а также сами функции пренебрежимо малы по сравнению со
старшими производными и что радиус Rt около края изменяется
незначительно. Эти допущения выполняются удовлетворительно
для" конических оболочек с большим углом наклона образующих
(0>35° —40°).
Обозначим через х координату, отсчитываемую от рассматри-
ваемого края оболочки.
Для верхнего края х — s —
для нижнего края х = s0 — s, -
где — координата, соответствующая данному краю.
При переходе к переменной х уравнение (10.109) не изменяет
своего вида:
^•+4₽4У = 0.	(10.111)
Уравнение (10.111) решается аналогично. В результате полу-
чаются следующие формулы для внутренних силовых факторов и
перемещений:
V = =р	sin px^Q0/?re~P* (cos 0х — sin рх);
tm = ctg 6 Г± Mm02pe"₽* sin px_Qoe P* (cos px—sin px);
Tt = 2$Rt J Mmope'P* (cos px—sin 0x) zt Qoe"P* cos px ;
Mm = Mmoe“₽* (cos px+sin px) zt
± Qo j- e-₽* sin px; Mt =
& = ± Mm0	e"₽* cos px ^Qo e'P* (cos px + sin px);
1 = r = Rt sin6
(10.112)
где Almo и Qo — силовые факторы на краю оболочки. Положитель-
ные направления этих силовых факторов показаны на рис. 10.14, а, б.
440
*• , —
Верхние знаки в формулах (10.112) относятся к верхнему краю
пояса оболочки; нижние — соответственно к нижнему.
Пример 10.8. Определить внутренние силовые факторы в конической обо-
лочке, изображенной на рис. 10.9.
Размеры оболочки: ft = 0,5 см; 0 = 60°; sx = 10 см; sa = 30 см; /?/а —
= s2 ctg 0 = 17,3 см.
Параметр ₽ для йижнего края согласно формуле (10.110):
Ч^=олз65-
Силовые факторы на нижнем краю
Мт0 = М; Go = Р sin 60°=0.866Р.
По формулам (10.112), полагая в них х= 0, вычислим угловое перемещение и
силовые факторы на нижнем краю оболочки:
^=~^ + 2p = ‘’2,29D4'2,28^:
Тт=— Q0ctgO = — Psin 0=— 0,5Р;
Tt = 2рР/ (М ₽ -Qo)=6.58Л1 -13. IP.
Сравнивая, эти значения со значениями, полученными в примере 10.2, можно
увидеть, что погрешность приближенного расчета в данном случае не превышает
1%.
§ 5. Численный метод расчета
Г
Применение ЭЦВМ в расчетной практике открыло
в области расчета оболочек новые широкие возможности. В част-
ности, стало возможно рассчитывать оболочки вращения с произ-
вольной формой меридиана, при любом законе изменения толщины
вдоль меридиана и при произвольном законе распределения поверх- s
ностной нагрузки.
В рассматриваемом методе расчета осесимметричных оболочек
разрешающие уравнения Мейсснера не используются. Решение
основывается на исходных уравнениях равновесия и перемещений
и выполняется одинаково при любой форме меридиана.
Преобразуем исходные уравнения моментной теории осесимме-
тричных оболочек к виду, удобному для решения на ЭЦВМ. В каче-
стве основных переменных примем безразмерные величины
Х==Л^’ Х1==^;	= Хз~ Eh0; Х* = Ё$г
где s — независимая координата, отсчитываемая • вдоль дуги
меридиана;
h0 — толщина стенки в некоторой фиксированной точке;
£. и — радиальное и угловое перемещения в произвольной
точке;
Мт — меридиональный изгибающий момент;
N — сила распора;
# = Tmcos6--Qsin6.	(10.114)
ь
Величины Хх, Х2, Х8, Х4 можно рассматривать как компоненты ;
четырех мер кого вектора	.	<
• ГЛ
Х= 7 .	(10.115)
\xj
Вектор X полностью определяет напряженно деформированное
состояние в произвольной точке оболочки.
Выведем зависимости, связывающие первые производные функ- .
ций Xlt Х2, Х8, Х4 с самими функциями. Для этого предварительно ।
выразим Тт> Q, Th Mt через N и Мт. Из уравнений (10.18) и(10.114)
получим
= IV cos 6+^ sin 6;	(10.116) j
Q = — tfsin6+^cose.	(10.117)
.1
Из уравнения (10.13) с учетом зависимости (7.34):
или	I
7, = pcos6tf+^h+H^.F(s).	(10.118)
. Из уравнений (10.10) и (10.11) в результате исключения произ- х
„ « dO	п г „	I
водной и подстановки Rt — найдем
М)=цМ„-^(1~У*)со?,О.	(10.119)
Для определения первой производной функции Хт используем
уравнение (10.1). С учетом равенств (10.12), (10.113), (10.116)
и (10.118) это уравнение преобразуется к виду
_ 1^»	_ sin »ха+fl-iy*11 *4+
. F (s) (1 — ji2) sin 6 cos О
+ rEh
(10.120)
Производную функции X8 = О определим из уравнения (10.10):
dX2___ cos в у EAJ у
------------- Ла — л4.
(10.121)
Для определения производной функции Х8 воспользуемся урав-
нением равновесия (10.14). Подставив в него выражения (10.113),
442
(10.116)—(10.118), а также приняв во внимание равенства:
Z?#sinO=?r; 5^==cos6;
as
^(F(s)cose)------^l«. + cos8^a =
--------------Ь cos Qr (pi cos 0 — ря sin 6);
£ (Nr sin 0) = r sin 0 -|-W cos 0 ( sin 0 4- X-V
ds' 'ds	'	\	1 RiJ»
получим
(10.122)
dX8 __ hho v	ho (1 — p) cosS v ,
= 7Г Ai	-----Л8 +
_|__ 1 sine+p8sin0).
С»	Ct
Наконец, для определения производной Х4 используем урав-
нение (10.16). Выразив из этого уравнения и приняв во вни-
мание равенства (10.113), (10.117) и (10.119), найдем
dX4 ___   (1 —- ра) D cos4 В у . - у  
’ dx ~ r*Fh0 Аа 81П0Лз
Ло (1 — ц) cos 8 у , F ($) сое 8
- Л4	.
(10.123)
Дифференциальные уравнения (10.120)—(10.123) можно запи-
сать более кратко:
~=LX+Ft	(10.124)
I
где L — матрица коэффициентов;
рЛрСоаб
г
О
hhp
О
(10.125)
_ sin 8	о
рЛоСОЗб	п	£Л§
г	и	D
0	(1 — н) /г0 cos 0	0
(1 — ра) D Cos4 8	. fi (1 — р,) Apcos 6
r'Eho	51П	г ।
Величины h, r, 0, D в общем случае — функции х;
F — столбец функций нагрузки;
В такой форме уравнения моментной теории осесимметричных
оболочек предложены В. Л. Бадерманом.
Уравнение (10.124) эквивалентно двум разрешающим дифферен-
циальным уравнениям (10.26) и (10.28). Это уравнение интегрируется
на ЭЦВМ численным методом по методу Рунге—Кутта по стан-
дартной программе.
Ввиду того, что значения компонентов вектора X в начальной
точке обычно не бывают известны полностью, решение производится
или' по методу начальных параметров с применением способа
нескольких расчетов, или по методу прогонки (см. гл. 8). Если
оболочка пологая, то все функции изменяются вдоль меридиана
медленно. В этом случае удовлетворительные результаты дает
метод начальных параметров, причем, если из граничных условий
в начальной точке известны значения двух компонентов вектора X,
то применяется способ трех расчетов; если же начальные значения
компонентов вектора X подлежат определению из условий сопряже-
ния с другими конструктивными элементами, то приходится делать
пять расчетов. В четырех расчетах функции нагрузки не учиты-
вают, а начальные значения вектора X принимают равными
В пятом расчете учитывают заданную нагрузку, принимая нуле-
вые значения начальных параметров.
При расчете оболочек с большим углом подъема применение
метода начальных параметров связано с необходимостью вычисле-
ния малых разностей больших величин. В этом случае целесообразно
применять метод прогонки.
В частном случае при 0 = 90° уравнение (10.124) переходит
в уравнение осесимметричной цилиндрической оболочки, а при
0 = 0° — распадается на уравнение круглых осесимметричных
пластин и уравнение дисков.
§ 6. Осесимметричная деформация тороидальных
оболочек
Детали конструкций, имеющие форму тороидальной
оболочки, применяются в машиностроении достаточно часто. При-
мерами могут служить корпусы насосов и гидромуфт, резервуары,
гофрированные коробки (сильфоны) и др.
Форма тороидальной оболочки характеризуется радиусами г0
и /?0 (рис. 10.18), а также параметрами:,
“=r0;	₽=>?•	(10Л27>
444
Главные радиусы кривизны в произвольной точке срединной
поверхности соответственно равны
OM=Rm = ro;	О!Л=«/=«<1к!жГ1 * *. <10-128)
где 0 — угловая координата, изменяющаяся в пределах —180° <
< 0 < 180°.
Общие разрешающие уравнения осесимметричной деформации
оболочек вращения (10.26) и (10.28) при подстановке в них значе-
ний радиусов кривизны (10.128) принимают следующий вид:
£4(Ю + н^ = £/1ГоО + Ф4(6);
(10.129)
где
г / \ 14-asin6 d9 . ч , . с d , ч actg0 cos0 , ч /1Л . Qn4
)= Lino )+cteea<)-(i+a8ino)(
m	d Г„ (l+asin6)9l , „ ^(14-asine)/l+asme , i ,
Ф< (®) = dfl LP1 —а’йп’ТГ J+ ^Го a sine ’ \ a sin© +	+
F (6) cos 6 (24-3 a sin 0)	/in |qi\
a sin4 6 (14~ ct sin 0) *	*	'
Уравнения (10.129) могут быть решены в рядах [28] или асимпто
тическим методом [6], а так-
же численным методом.
Приведем решение, осно-
ванное на использовании раз-
решающего уравнения в ком-
плексной форме [18].
В качестве основной не-
известной функции прини-
мается комплексная функ-
ция Т, связанная с функция-
ми V и Ф следующей зависи-
мостью:
dT
dQ
FhRmK V12(l-Hs)
(10.132)
Общие разрешающие уравнения осесимметричной деформа-
ции (10.26), и (10.28) преобразуются к одному дифференциальному
уравнению второго порядка:
_ьГ(2—__1 ''i cte 6 —
d6»+L\ Rt / g
1 i ^>т O' _	% (Q\
Rmd6 de+z cRt1 -lcRtrW-
(10.133)
445
1
где
'll
/12(1 - р)’’
?(в)=рЛ-Ц—£)£&-
\ *\fft *ъ{ / ЫП и
= Тт + Т<=рЛ + Тт(1 -£•);
V °и/
(10.134)
здесь F (0) —- осевая составляющая усилия в окружном сечении
оболочки, отнесенная к единице полярного угла;
Тт и Tt — интенсивности нормальных сил, вычисленные по
безмоментной теории.
Внутренние силовые факторы и перемещения определяют в зави-
симости от функции t по следующим формулам:
?т	Rm c*g 6Im (dfl) +
Tt = Re (t) - Tm;
Mm = - (1 - n) £ ctg в Re	4-dm (T);
At = (l+p)clm (T) — Mm;
1/_ _	/dT\ л c । /dT\
£ftffmKeUeh
£ =	± (Tt - pTm) Rt sin 0;
e
4= \ [•g(7’m-Ursine’+0COS6 ]₽„<№;
(10.135)
>
?
«
здесь через Re ( ) и Im () обозначены действительная часть и
коэффициент при мнимой части соответствующей комплексной
функции.
Положительные направления силовых факторов указаны на
рис. 10.19. Необходимо заметить, что в некоторых книгах по торои-
дальным оболочкам за положительные направления Мт, Mt и Q
приняты направления, противоположные указанным, и соответ-
ственно знаки в формулах изменены на обратные.
Применим уравнение (10.133) к тороидальной оболочке. Под-
ставив значения радиусов кривизны, получим
. / 2а sin О
\ 14-а sin в
- 1 Vb в 4- 7 r°a sin fl Т - / г<>а sin 6 fmx
1jCtg6de + 1 с(1 -f-asin fl) Т~1 с(1+a sin в)
(10.136)
446
Введем обозначение для, параметра, характеризующего геометрию
оболочки:
2А“ = Д /12(1-|х«).	(10.137)
Это обозначение соответствует принятому в работе [18].
После несложных преобразований, с учетом принятых обозна-
чений [см. равенства (10.127) и (10.137)1. уравнение (10.136) при-
водится к следующему виду:
т+рет я [тт® +aki~T-ш 138>
Функция F (0), входящая в правую часть уравнения (10.127),
зависит от нагрузки. На оболочку могут действовать нагрузки сле-
дующих видов: осевая сила Р, Н, радиальная сила q, Н/см, равно-
мерно распределенный момент m, Н-см/см (рис. 10.20, а); нор-
мальное давление р, Н/см2; последнее может иметь постоянную
Рис. 10.19
Рис. 10.20
0
составляющую р0 и переменную составляющую от вращения жид-
кости, заполняющей оболочку; полное давление равно
(10.139)
где сож — угловая скорость жидкости;
г — текущий радиус;
гр — радиус, соответствующий той точке, где давление
р«р0.
Давление жидкости от ее собственного веса обычно можно не
учитывать.
Если, например, тороидальная оболочка с днищами заполнена
жидкостью частично, так что при ее вращении свободная поверх-
ность располагается по. цилиндру радиуса гр, как показано на
рис. 10.20, б, то под р0 следует подразумевать давление, действую-
щее на свободную поверхность жидкости; если же последнее равно
атмосферному давлению, то р0 следует приравнять нулю. При отсут-
ствии вращающейся жидкости второе слагаемое в формуле (10.139)
следует отбросить; если же инерционная нагрузка возникает вслед-
ствие вращения самой оболочки, то интенсивность этой нагрузки
^4^ .	(10.140)
Aypcogr __ Ауей>|/?0 (1 +
Нагрузка ра направлена перпендикулярно оси оболочки. Разло-
жив ее на нормальную и касательную составляющие, получим
р1ю=sin »_(	°)	»	(10.14!)
p2„=p,„cosO=^,?"(l+txslnC)c”(i,	(10.142)
S
где у0 — удельный вес материала оболочки;
<о0 — угловая скорость оболочки.
Введем величину Qo, равную интенсивности поперечной силы
при 0 = 0. Эту величину можно легко определить, составив урав-
нение равновесия части оболочки, отсеченной по окружности ра-
диуса г = Ro. Так, например, для оболочки, изображенной на
рис. 10.20, а, при р — copst
(?О = ^-+^У|.~Г«Н).	(10.143)
Для оболочки с днищами, частично заполненной вращающейся
жидкостью, при наличии давления р0 (см. рис. 10.20, б)
РоЛГр + J р2яг dr ) ~~
гр
Подставив под знак интеграла выражение (10.139) и выполнив
интегрирование, получим
Qo = £^s + :^(«!-r,p)a.	(10.144)
Заметим, что в работе [18] вместо величины Qo используется
величина А, связанная с Qo зависимостью
л = —^Q„.	-	(10.145)
При действии одних только краевых нагрузок т и q или при
действии инерционной нагрузки за счет вращения самой оболочки
величина Qo, очевидно, равна нулю.
Вычислим осевое усилие F (6) в текущем сечении, приходя-
щееся на единицу полярного угла:
Г(0) =

2
I 2 L 4 р 2
sin G (2 + a sin 0) .
о
sin б (2 + a sin
(10.146)
448
Подставив F (6) в формулу (10.134) и приняв во внимание
равенства
d _«р.	р Ко4~'sine _ п l+«s»ne.
Km —r0 —°w<0.	Kr — sing Ко sIn6 >
n_Ln — И _uV1K<0*4r2	_i_Луо^о (1 + a sin e) sinO
Pi=P4-Pi® = Po 4—v — rP) 4--------------------------,
получим выражение функции Г (0) в общем виде, т. е. при одно-
временном действии всех рассмотренных нагрузок
F(6) = -
Qo “
a sin2 0 (1 + a sin 6)
poKoa (34-2 a sin 6)
2 (1 -f-a sin 0)
cc
g (14-a sin 6)
г»
- 2^(3 + 2asine) +
4- 5 a sin 6 4-~r a2 sin2 6 4“ a8 sin3 ®
4	J g
(1 4-ct sin 6)2.
(10.147)
Разрешающее уравнение (10.138) и входящая в него функ-
ция F (0) имеют особенность: при 0 -* 0 слагаемые, содержащие
sin 0, в знаменателе обращаются в бесконечность. Для устранения
этой особенности заменим комплексную переменную Т новой ком-
плексной переменной V согласно зависимости
tfra+ttsine)»^ j/-|_|2Aa —ctg6.	(10.148)
аб sin 0	1 a °	'	1
Продифференцировав уравнение (10.138) по 0 и подставив выра-
жение (10.148), получим разрешающее уравнение тороидальной
оболочки, не содержащее особенности:
(1 4-a sin 6)^-—a cos 6--4-/2Аа sin 6 V—
' 1	7 a02	aO 1
= — i 2Aa cos 6 / (6),
(10.149)
где
.	I Poar0 %К<ВЖ^0Г0 ( 1 rp [5 I
*1a 2 g UKS-r2"t"
4- asin 6 4-?tt2 6 4-2a3 sin8 0^ —
2	4	/
_ 2y(/«og/?()ro (j + a sin 6)3	(JOJ50)
£
Напишем еще выражения силовых факторов и перемещений
в зависимости от функции V. На основании формул (10.135) с учетом
равенства
Т	f <е>
m Ко (14-« в1»6) sine ’
« -
449
а также зависимостей (10.146), (10.147) и (10.148) получим
______Ct cos б	/Та । л ct-j-sin б
ч 2ft’ (14-a sin в)* im lv/ '“<*e(14-asin6)«
।	Гр (2-^-g sin 6) -	in i
*“ "° 2 (l-f-asin 0) * 4g (14-ct sin 6) *
sin6)I 2(1 — -j£) 4-2a sin 6 4-a® sin® 0 ;
(10.151)
i (d$\ ।
Im >/ +
J_____Ct COS P	.	/
“t" 2A’(14-a sin 6)’ Im V F/ -
__Л (a4-sine)	t Wo I
(14- a sin 6)« 4 * 2 '
Уж^ж^0 _____ rp .	1
- 2g _ RJ * (14-asin 6)
+7a sin 6 4- у a2 sin® 6 4- у a3 sin® 6 j 14-
4-^®(l 4-a sine)®.
(10.152)
При выводе последней формулы использована зависимость
Re (Т)« — 2ftt +-a rin е) Im +
(14- ® sin в) a sin’б “Ь (®)»
полученная из уравнения (10.138) с учетом соотношения (10.148).
Угол поворота нормали и изгибающие моменты определяют по сле-
дующим формулам:
”£Aarin6 ^e(de)~ ““ £Aa(14-asine) Re(^);(l°-153)
M" = D[^^ + ^ctge] =
^МреНС V 'll I
4ft4 [de \14- a sin fi/J
W£wRe(i?)};	<10154)
A«(=D[»ctge + (l^^ =
[ arose pe(у) .
4ft* Ц14-a sin e)«
+нке[ж(-г+таё)]};	<10-155)
Q“(T+^E4«[Q»CO89 + ^l,T,(i>)]-	(10Л56)
450
Дифференциальное уравнение (10.149) может быть проинте-
грировано различными методами. Если параметр 2А’ велик [2Л2 > 5,
см. формулу (10.137)1, то достаточную точность обеспечивает метод
асимптотического интегрирования. При выполнении расчетов по
этому методу следует пользоваться таблицами специальных функ-
ций [29]. При малых значениях параметра 2А2 решение может быть
получено в рядах.
При решении уравнения (10.149) численным методом его необ-
ходимо представить в безразмерной форме, что достигается умноже-
нием всех членов уравнения на некоторый постоянный размерный
множитель [6].
Решение задачи об осесимметричной деформации тороидальной
оболочки также можно получить путем численного интегрирования
общих уравнений осесимметричных оболочек (10.124)—(10.126).
Пример 10.9. Определить напряжения в тороидальной оболочке, изображен-
ной на рис. 10.21, а. Дано: h — const; r0 = ЮЛ; Ro = 5r0; p = 0,3; -f = 10*6.
c
Применим метод расчета, изложенный в § 5. В данном случае в уравнение
(10.124) следует подставить
Г-*+,. *	(8+Й..);
Л(.)_^ = Й(Б+йпе)«;
а=»о.
В результате уравнение принимает вид
Считая, что пластины, с которыми сопрягается оболочка,> абсолютно жесткие,
и учитывая симметрию оболочки, получим следующие уравнения граничных
условий:	х
при 9—0 5—0 и 0—0, т. е. Xj—О и Х,=0,
при 9—0-0 и 7V—0, т. е. Х»-0 и Хв—0.
f
Так как известны только два начальных параметра, применим способ трех
расчетов. Искомый вектор X представим в виде суммы
*$	J' — я» ' =
.	— К U!- J 1 ** . ’ 44 _ (А < U .
В первом и втором расчете заданную нагрузку не учитываем, т. е. последнее
слагаемое в дифференциальном уравнении отбрасываем. Начальные значения век*
тора X в первом4 и втором расчете принимаем следующие;
Третий расчет выполняем с учетом заданной нагрузки при нулевых значениях
начальных параметров.
Дифференциальное уравнение (10.124) интегрируется на ЭЦВМ по методу
Рунге — Кутта по стандартной программе. При решении данной задачи была
использована машина «Наири». Шаг интегрирования был принят равным
шаг вывода на печать ; время, необходимое для трех' расчетов, — около 2 ч.
(л
(при О = g-
1950,57; Ха=470,58; Х8=— 0,7647; Х4 = —4,932;
775,90; ^,==—49,608; Х8 = 1,1132; 54=—2,834;
^=1,245; Х2=— 0,2026; ^3==0,001239; ^4 = —0,000675.
л
Граничное условия при 6 — приводят к двум уравнениям;
470,58Ci—49,608Са—0,2026 =0;
—0,7647Ci -Ь1,1132С2 + 0,001239 = 0,
из которых находим
Ci=3,38. 10’*; Са=—8,82-10-* ,
-Далее нетрудно вычислить компоненты суммарного вектора X и по ним найти
значения величин О, N и Значения остальных силовых факторов определя-
ются согласно формулам (10.116) — (10.119).
452
На рис. 10.21, б приведены эпюры меридионального изгибающего момента.
Сплошной линией показана эпюра суммарного момента, а штриховой линией —
эпюра, построенная по результатам только третьего расчета. Величина макси-
мального момента, найденная по результатам третьего расчета, т. е. без учета
граничных условий, достаточно близка к действительной.
В том случае, когда жесткость пластин не бесконечна, сопряжение оболочки
с пластиной следует рассматривать как упругую заделку. Отделив оболочку от
пластины (рис. 10.21, в), вычислим угол поворота нормали на краю пластины
(см. гл. 5):
А	(°)
0 erMiH-p.) О! (1+p) ’
где Dt — изгибная жесткость пластин.
С учетом найденной величины угла примем следующие значения началь-
ных параметров первого, второго и третьего расчетов:
0
(14~р)
Нетрудно проверить, что при этих начальных значениях вектора X условия
сопряжения оболочки и пластины выполняются.
Дальнейшее решение не отличается от изложенного выше. Постоянные множи-
тели Cj и Са определяются из граничных условий при В = тг.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Андреева Л. Е. Упругие элементы приборов. М., Машгиз, 1962, 454 с.
2.	Бидерман В. Л. Применение метода прогонки для численного решения
задач строительной механики.—«Механика твердого тела», 1967, № 5, с. 62—66.
3.	Биргер И. А. Круглые пластинки и оболочки вращения. М., Оборонгиз,
196!, 367 с.
4.	Биргер И. А., Шорр Б. Ф-, Шнейдорович Р. М. Расчет на прочность
деталей машин. Справ, пособие. Изд. 2-е. М., «Машиностроение», 1966, 616 с.
5.	Бицено К. Б., Граммель Р. Техническая динамика. М. — Л.» ГИТТЛ,
1950, Т. 1. 900 с.
6.	Булгаков В. Н. Статика тороидальных оболочек. Киев, Изд-во АН УССР,
1962, 100 с.
7.	Ван Цзи-Де. Прикладная теория упругости. М. Фнзматгиз, 1959, 400 с.
8.	Власов В. 3. Тонкостенные пространственные системы. Изд. 2-е, М.,
Стройгиз, 1958, 502 с.
9.	Власов В. 3. Избранные труды. В 3-х т. М., Изд-во АН СССР.
Т. I, 1962, 528 с.
Т. II. 1963, 507 с.
10.	Власов В. 3. Тонкостенные упругие стержни. Изд. 2-е, М.—Л., Физмат-
гиз, 1959, 568 с.
11.	Гольденвейзер А. Л. Теория тонких упругих оболочек. М., ГИТТЛ,
1953, 544 с.
12.	Коваленко А. Д., Григоренко Я. М., Лобкова И. А. Расчет конических
оболочек линейно переменной толщины. Киев, Изд-во АН УССР, 1961, 327 с.
13.	Колкунов Н. В. Основы расчета упругих оболочек. М., Высшая школа,
1972, 296 с.
14.	Лейбенэон Л. С. Вариационные методы решения задач теории упругости.
М. — Л., Гостехиздат, 1948, 287 с.
15.	Лурье А. И. Статика тонкостенных упругих оболочек. М. — Л., Гостехиз-
дат, 1947,252 с.
16.	Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости. М., ГИТТЛ,
1955, 491 с.
17.	Малинин Н. Н. Прочность турбомашин. М., Машгиз, 1962, 292 с.
18.	Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. Л., Судпромгиз, 1952, 344 с.
19.	Основы строительной механики ракет. Под ред. Балабух Л. И., М.,
«Высшая школа», 1969, 494 с.
20.	Пономарев С. Д. Жесткость тарельчатых пружин. В сб. «Расчеты на проч-
ность», вып. № 5, с 3 -г 14, М., Машгиз, 1960.
21.	Расчеты на прочность в машиностроении. В 3-х т. Под ред. Пономарева С. Д.
М., Машгиз. Т. I, 1956, 884 с. ТП, 1958, 974 с.
22.	Соколове. Н. Расчет круглых кольцевых пластин. Сб. «Расчеты на проч-
ность», вып. № 3, М., Машгиз, 1958, с. 88—121.
23.	Справочник машиностроителя. В 6-ти т. Т.З, М., Машгиз, 1962, 651 с.
24.	Справочник «Прочность, устойчивость, колебания». В 3-х т. Под ред. Бир-
гер И. А., Пановко Я. Г.. Т. 1, М., «Машиностроение», 1968, 831 с.
25.	Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.«
ГИФМЛ, 1963, 635 с.
26.	Уманский А. А. Строительная механика самолета. М., «Оборонгиз»,
1961, 529 с.
27.	Ушаков Б. Н. Применение муаровых картин для исследования перемеще-
ний и деформаций. В сб. «Расчеты на прочность», вып. № 12, М., «Машиностроение», .
1966, с. 128—153.
28.	Феодосьсв В. И. Упругие элементы точного приборостроения. М., Оборон-
гиз, 1949, 341 с.
29.	Черника В. С. Статика тонкостенных оболочек вращения. М„ «Наука»,
1968, 465 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ......................................................... 3
Глава 1. Изгиб и кручение тонкостенных стержней...................... 5
§ 1.	Некоторые общие вопросы теории тонкостенных стержней....	5
§ 2.	Свободное кручение тонкостенных стержней замкнутого и незам-
кнутого профиля'............................................. 12
§ 3.	Секториальные характеристики тонкостенных профилей......	23
§ 4.	Стесненное кручение тонкостенных стержней незамкнутого
профиля ....................................................... 32
§ 5.	Поперечный изгиб открытых тонкостенных профилей............. 46
§ 6.	Общий, случай нагружения тонкостенных стержней незамкнутого
профиля................................................ 49
Глава 2. Осесимметрично нагруженные толстостенные цилиндры......	60
’ § 1. Вывод основных зависимостей.......................... 60
§ 2.	Напряжения и деформации в толстостенном цилиндре при действии
внутреннего и наружного давления ....................... 63
§ 3.	Расчет посадок с гарантированным натягом.	Составные	цилиндры	68
§ 4.	Температурные напряжения в толстостенных	цилиндрах	......	77
Глава 3. Напряжения и деформации в дисках при вращении и неравно?
мерном нагреве ................................................... 80
§ 1.	Вывод основных уравнений.............................. 80
§ 2.	Вращающиеся неравномерно нагретые диски постоянной толщины
Ж и постоянных по радиусу характеристиках упругости Е и р . . .	83
1ски равного сопротивления и конические диски.............. 89
§ 4.	Расчет дисков переменной толщины методом начальных параметров
с применением способа двух расчетов......................	93
§ 5.	Метод последовательных приближений......................... 104
§ 6.	Посадочные напряжения в дисках, определение освобождающего и
, разрушающего числа оборотов.................................. J08
Глава 4. Напряжения и деформации в кольцевых деталях при осесимметрич-
ной нагрузке, при плоском н пространственном изгибе................113
§ 1.	Осесимметричная деформация кольцевых деталей............... 113
§ 2.	Внутренние силовые факторы в попречных сечениях колец при
плоском и пространственном изгибе .......................... 126
§ 3.	Деформации плоских колец .................................. 135
§ 4.	Деформации колец, нагруженных перпендикулярно их плоскости 151
Глава 6. Простейшие случаи изгиба пластин......................,	158
§ 1.	Основные гипотезы теории изгиба пластин. .................. 158
§ 2.	Цилиндрический и чистый изгиб тонких пластин............... 159
455
§ 3.	Осесимметричный изгиб круглых пластин................167
§ 4.	Расчет круглых осесимметричных пластин по методу начальных
параметров...................................................178
§ 5.	Круглые пластины ступенчато переменной толщины, подкрепленные
кольцевыми ребрами...........................................189
§ 6.	Круглые осесимметричные пластины переменной толщины.....200
§ 7.	Круглые конструктивно ортотропные пластины..............207
§ 8.	Температурные напряжения в пластинах . .................211
Г лава 6. Общий случай изгиба пластин...........................220
§ 1.	Вывод основного дифференциального уравнения упругой поверх* х
ности пластины	 220
§ 2.	Изгиб прямоугольных и эллиптических пластин.............228
§ 3.	Несимметричный изгиб круглых пластин....................238
§ 4.	Изгиб анизотропных пластин..............................245
§ 5.	Приближенные методы расчета пластин.....................252
Г лава 7. Безмоментная теория оболочек вращения.................271
• § 1. Некоторые геометрические свойства поверхностей вращения..271
§ 2.	Условия существования безмоментного напряженного состояния
оболочки.................................................... 274
§ 3.	Уравнения безмоментной теории оболочек вращения.........276
§ 4.	Осесимметрично нагруженные оболочки вращения............281
§ 5,	Осесимметричное кручение оболочек.......................292
§ 6.	Несимметрично нагруженные оболочки вращения/............295
Глава 8. Моментная теория осесимметричных цилиндрических оболочек 309
§ 1.	Вывод основных уравнений................................•. 309
§ 2.	Особенности расчета длинных цилиндрических оболочек.....316
§ 3.	Короткие осесимметрично нагруженные цилиндрические оболочки 326
§ 4.	Расчет цилиндрических оболочек, имеющих несколько участков
по методу начальных параметров.............................  337
§ 5.	Численный метод расчета цилиндрических оболочек.........346
§ 6.	Напряжения в тонкостенных цилиндрических оболочках при нерав-
номерном нагреве ................................... ........	352
§ 7.	Применение теории тонкостенных цилиндрических оболочек к рас-
чету толстостенных цилиндров.................................357
Глава 9. Несимметричная деформация цилиндрических оболочек......362
§ 1.	Полубезмоментная теория цилиндрических оболочек В. 3. Власова 362
§ 2.	Расчет цилиндрических оболочек по полубезмоментной теории при
отсутствии поверхностной нагрузки.......................... . . 368
§ 3.	Расчет цилиндрических оболочек, находящихся под действием
поверхностной нагрузки ..................................... 380
§ 4.	Моментная теория несимметричной деформации цилиндрических
оболочек...............................................      386
ГЛава 10. Моментная теория осесимметричных оболочек вращения.. .... 394
§ 1.	Уравнения моментной теории..............................394
§ 2.	Осесимметричные конические	оболочки...............405
§ 3.	Осесимметричные сферические оболочки....................418
§ 4.	Приближенный метод учета краевого эффекта (метод Штаермана —
Геккелера) ................................................. 432
§ 5.	Численный метод расчета..................................441
§ 6.	Осесимметричная деформация	тороидальных оболочек........444
Список литературы...............................................454