функциональный анализ
и теория аппроксимации
в численном анализе
Р. Варга

FUNCTIONAL ANALYSIS
and APPROXIMATION THEORY
in NUMERICAL ANALYSIS
Richard S. VARGA
Kent State University
Society for Industrial and Applied Mathematics
Philadelphia, Pennsylvania
1971

Р. Варга
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
И ТЕОРИЯ АППРОКСИМАЦИИ
В ЧИСЛЕННОМ АНАЛИЗЕ
Перевод с английского
Ю. А. Кузнецова и А. М. Мацокина
Под редакцией
Г. И. Марчука
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА
1974

УДК 519.55 + 518.5 + 517.944
Книга принадлежит перу известного американского
специалиста по прикладной математике и посвящена
новым направлениям в вариационных методах, которые
развивались в последнее десятилетие. Большая часть
изложенного материала до сих пор публиковалась лишь
в виде журнальных статей и служебных отчетов.
Книга написана на высоком математическом уровне
и представляет интерес для лиц, работающих в самых
различных областях вычислительной и прикладной
математики. Она доступна студентам старших курсов
университетов и высших технических учебных заведений,
специализирующимся по вычислительной математике.
Редакция литературы по математическим наукам
20203-022 ^
04Н011 — 74 22"74 ® ПеРев°Д на русский язык, «Мир», 1974

От редактора перевода
Минувшее десятилетие было отмечено бурным
развитием вариационных методов решения задач
вычислительной и прикладной математики. В первую очередь
здесь нужно отметить результаты по решению задач
интерполяции с помощью сплайн-функций и методу
конечных элементов для задач математической физики.
Именно этим двум направлениям и посвящена
предлагаемая читателям книга известного американского
математика профессора Кентского университета Р. Варги.
Книга представляет собой систематизированный
обзор ряда исследований, выполненных в последние годы
в указанной области (теория сплайнов и их обобщений,
теория интерполяции и аппроксимации в
функциональных пространствах кусочно полиномиальными
функциями, метод конечных элементов для решения
эллиптических краевых и спектральных задач, а также задачи
Коши для уравнений параболического типа).
Большинство результатов дается без доказательств,
но с указанием литературы, по которой можно подробно
ознакомиться с вопросом. (В конце книги помещен
составленный переводчиками список работ советских
авторов по затрагиваемым в книге проблемам.)
При чтении книги желательно владение основными
понятиями функционального анализа, теории
дифференциальных уравнений и вычислительной математики.
Книга полезна специалистам, работающим в области
прикладной и вычислительной математики, а также
аспирантам и студентам старших курсов математических
факультетов. Она несомненно способствует развитию
вариационных методов в нашей стране.
Г. И, Марчук
Октябрь 1973 г.

ПОСВЯЩАЕТСЯ
ГАРРЕТУ БИРКГОФУ
В СВЯЗИ С ЕГО
ШЕСТИДЕСЯТИЛЕТИЕМ
Предисловие
Цель этих заметок — дать частичный обзор
чрезвычайно разросшейся литературы по численному
приближению решений эллиптических краевых задач с
помощью вариационных методов и методов конечных
элементов. Как мы увидим, это потребует почти постоянного
применения к проблемам численного анализа
результатов и методов функционального анализа и теории
приближений, и мы надеемся, что представленный здесь
материал стимулирует дальнейшие исследования,
которые укрепят уже существующую связь между этими
разделами математики.
Хотя нас в основном будет интересовать численное
решение эллиптических краевых задач, описываемые
методы подходят также для анализа задач на
собственные значения и задач с начальными условиями,
например для уравнения теплопроводности.
К недостаткам книги можно было бы отнести то, что
в ней почти ничего не сказано о вычислительном аспекте
дела, т. е. о проблемах фактической реализации
математических теорий в виде работающих программ для
быстродействующих вычислительных машин и об уже
накопленном опыте решения таких проблем. К счастью,
вычислительный аспект является одним из ключевых в
недавней монографии профессора Г. Биркгофа1), и мы
рады возможности порекомендовать читателю эту работу.
Одним из наших намерений было сделать каждую
часть заметок по возможности независимой от
остальных. Вот почему, в частности, списки литературы даны
отдельно к каждой из девяти глав.
Мы хотели бы отметить с признательностью, что при
написании книги нам весьма помогли предложения и
советы Гаррета Биркгофа, Джеймса Дэйли, Джорджа
Фикса, Джона Пайреса и Блера Шварца.
Ричард С. Варга
l) G. Birkhoff, Numerical solution of elliptic partial differential
equations, SIAM Publications, 1971, 78 pp.

ГЛАВА 1
L-сплайны
§ 1.1. Основы теории
Сплайны, как известно, были представлены
математическому миру Шёнбергом [1.1] в 1946 г. и сразу стали
объектом активного внимания математиков. В
частности, специалисты по теории аппроксимации и
численному анализу буквально ухватились за сплайны в силу
их многочисленных прекрасных свойств и возможностей
широкого применения при приближенном численном
решении дифференциальных уравнений. Именно эти
прекрасные свойства и широкие возможности применения
сплайнов мы и предполагаем раскрыть до некоторой
степени в этих заметках.
Развитие математической теории сплайнов после
фундаментальной работы Шёнберга 1946 г. отличалось
исключительным разнообразием и быстротой. Несколько
появившихся за последнее время книг по сплайнам (Ал-
берг, Нильсон и Уолш [1, 2], Гревиль [1.3], Шёнберг
[1.4]) достаточно ярко свидетельствуют об этом.
Мы начнем с L-сплайнов. Это в определенном смысле
середина развития: теория L-сплайнов не является ни
классической, ни наиболее общей. Тем не менее, как мы
увидим дальше, большинство из того, что будет
получено в этой главе для L-сплайнов, переносится и на
случай более общих сплайнов, недавно исследованных
рядом авторов.
Начнем с того, что для — оо<#<Ь<+оо и для
целого положительного числа jV через
А: а=>х0<хг<...<х„=*Ь (1.1.1)
обозначим разбиение интервала [а, Ь] с узлами Х\.
Совокупность всех таких разбиений А отрезка [а, Ъ\ будем
обозначать через £Р [а, Ь]. Положим для каждого А
вида (1.1.1)
7:== max (л:/+1 — лгД я = min (xi+l —хХ

8
Глава 1
Для произвольного а>1 через 5^(а, Ь) обозначим
подмножество всех разбиений из 9* (а, Ь), для которых
*/1С<0. (1.1.2)
В частности, 2Р\(ау Ь)—это совокупность всех равно-
мерных разбиений отрезка [а, Ь]; ее элементы
обозначаются через Аи-
Далее, пусть О [а, Ь] — множество всех
вещественных функций на отрезке [а, Ь], обладающих
непрерывными производными до порядка р включительно.
Пространством Соболева WsQ[a, Ь]ч где 1 < q <со я s —
любое неотрицательное целое число, называется
пополнение множества всех вещественных функций / б С°° [а, Ь]
относительно нормы
б о
l/lrj..»] ^{SjWl***}"*. К*<оо. (1.1.3)
j=0a
s s
i/i^»ibS i^tj-.»i(-2 { ™xJd;/wi))-
Как известно, HT^fa, #] (при s>0) состоит из всех
вещественных функций / на [а, Ь], для которых Ds~]f
есть абсолютно непрерывная функция на [а, Ь] и Dsf£
£Lg[a, b]. Ясно, что U7j[a, »]сСм[а, 6] при s>0.
Для того чтобы'описать L-сплайны, рассмотрим
линейный дифференциальный оператор L порядка т:
т
£«(*) = ЕМ*)Д'«(*). rn>\, D> = (£)', (1.1.4)
где Cj£CJ[a, b], 0</</и, cm(x)>8>0 для всех
х£[а, b].
Важный частный случай: L = Dm. Пусть, далее z —
фиксированное положительное целое число, 1 ^ z ^ т.
Тогда Sp(L, А, г), пространство L-сплайнов, — это по
определению совокупность всех вещественных функций

Глава 1
9
w на [я> 6], таких, что (см. Алберг, Нильсон и Уолш
[1.2, гл. 6], Гревиль [1.5], Шульи и Варга [1.6])
L*Lw{x) = 0, x£(as b)-{xt}»~\
£>*«>(.*,—) — D*w(*i+) (1.1.5)
для 0<£<2/я - 1 - z, 0</<jV,
где /,*—формальный сопряженный к оператору Z,, т. е.
m
/,*?/== S (— 1);£);{с,(л:)г>(л;)}. Другими словами, каж-
дый элемент w£Sp(L, А, г) локально является решением
уравнения L*Lw = Q\ эти решения состыкованы во
внутренних узлах xi таким образом (в зависимости от г),
чтобы w£C2m-z-l[a, b]. Следовательно, Sp(Z,, А, г) с
сС2/"-и[а,1>], Фактически, в силу предположения
о гладкости коэффициентов Cj в (1.1.4), имеет место
более точное включение Sp(Z., А, г) с W^^I~2[a, 6]. Кроме
того, можно показать, что Sp(Z,, А, г) линейное
пространство размерности 2m+z(N— I).
В важном частном случае L = Dm элементы
пространства Sp(Dm, А, г), согласно (1.1.5), являются
полиномами степени 2т — 1 в каждом подинтервале разбиения
Айв силу этого называются полиномиальными
сплайнами. В еще более частном случае, когда L = Dm
и z = m> элементы соответствующего пространства
Z,-сплайнов называются сплайнами Эрмита и
совокупность таких сплайнов обозначается через Шт)(Ь).
Из (1.1.5) следует, что Wm)(k)c: W*[a% b]aCm~l[at b].
В случае когда L = Dm и г = 1, элементы
соответствующего пространства L-сплайнов называются просто
сплайнами и их совокупность обозначается через Sp(m)(A).
Из (1.1.5) вытекает, что Sp(m)(A) с W2™-1 [а, Ь] с
Обсудим возможность интерполирования заданных
функций элементами пространства Sp(Z, А, г).
Элементарными методами можно показать (см. [1.6]), что для
любого заданного g€Cm~l[a9 b] существует
единственный элемент $£Sp(Z., А» г), интерполирующий g

10
Глава I
в следующем смысле:
DJ(g-s)(xl) = 0, 0<y<z-l, 0</<7V,
DJ(g-s)(a) = DUg- s)(b)~0, 0<y<m-l. ( Л }
В частности, поскольку W™ [a, b\ с Cm-{ [a, b], то
каждый элемент в W™\a, b] обладает единственным
интерполирующим в смысле (1.1.6) элементом из Sp(Z, Д, z).
Интегрированием по частям устанавливается, что если
s£Sp(L> Д, г) интерполирует g€W™[ay b] в смысле
(1.1.6), то справедливо первое интегральное
соотношение (см. [1.2, стр. 205]).
b b b
\{Lg?dx = {{L(g ~ s)Ydx + Ubsfdx. (1.1.7)
a a a
Заметим, что s является также единственным
интерполирующим в смысле (1.1.6) элементом из Sp(Z,, Д, z)
для любой функции f£W™[a, b\, удовлетворяющим
условиям
£'(*-/)(*,)-0, 0<У<*-1, 0</<7V,
DJ(g - f) (a) -£>(*- /)(*) -0, (1.1.8)
0<у<т-1.
Поэтому первое интегральное соотношение остается
справедливым, если g заменить любой такой функцией /:
ь ь ь
Ubffdx= Ul(f-s)}2dx+ Ubsfdx.
a a a
Отсюда следует, что
b b
Ubffdx^ {{Lsfdx.
a a
Это неравенство имеет следующую красивую
интерпретацию.
Теорема 1.1. Пусть для заданного gGWjj*[a, b\
через Ug обозначена совокупность всех f^W*[a, b\%

Глава 1
11
удовлетворяющих условиям (1.1.8). Тогда
\\Ls\\L,[a>b\ = inf \\1/1^[а,Ь]у п \ 9)
feug v • -/
где s — единственный элемент из Sp(Z, Д, z),
интерполирующий g в смысле (1.1.6).
Первое интегральное соотношение весьма важно; оно
лежит в основе следующей теоремы 1.2 о границах
ошибки. Доказательство этой теоремы элементарно;
например, в случае д= +оо требуется только
применить теорему Ролля (см. [1.6]).
Теорема 1.2. Пусть g€W$\a, Ъ)ч Ag^(a, b)
и элемент s£Sp(L, A, z) единственным образом
интерполирует g в смысле (1.1.6) Тогда для
2 < q < со- справедливо неравенство
|| D> (g - s) lp. ь\ < tf*»-'-i/2+i/« fi g \\w>> bV
0<y</w-l. (1.1.10)
Для полиномиальных сплайнов (L -= Dm) (ItflLm, fcl
\ / II w идет [fl, $]
в (1.1.10) можно заменить на \\Dmg\\Li[a>i)].
Константа К означает здесь и в последующем общую
константу, которая не зависит от g, но зависит от т% п>
a, b и от а, если Д€^а(#, *)•
Относительно оценки (1.1.10) интересно заметить
следующее. Хотя эта оценка устанавливается
элементарными средствами, тем не менее показатель при я
в ней наилучший для Wm2\a, b], т. е. его нельзя
увеличить одновременно для всех g&W™ [а, Ь] (см. Биркгоф,
Шульц, Варга [1.7] и Голомб [1.8]).
Стоит также заметить, что неравенство (1.1.10)
является, как можно показать (см. Бабушка, Прагер, Ви-
тасек [1.9, стр. 232]), квазиоптимальным в смысле п-ши-
рот Колмогорова (см. Лоренц [1.10, гл. 9]). Подобные
вопросы применительно к сплайнам исследовались
Обэном [1.11] и Голомбом [1.12].
Оценки ошибок, аналогичные оценке из теоремы 1.2,
можно получить для случая интерполяции /,-сплайнами

Глава 1
более гладких функций. В частности, если g£Wlm[a, b]
и s£Sp(L, д, z) интерполирует g в смысле (1.1.6),
то, как показывается интегрированием по частям,
справедливо второе интегральное соотношение (см. [1.2,
стр.205]).
ь ь
^{L(g-s)Ydx^^(g-s)(L*Lg)dx. (1.1.11)
а а
Это соотношение используется (см. [1.13]) при
доказательстве следующей теоремы об оценке ошибки.
Теорема 1.3. Если заданы g€.W\m[a,b\, Д£
€^а(а> Ь) и s£Sp(Z,, Д, z) — единственный элемент,
интерполирующий g в смысле (1.1.6), то для
2 < q <оо
0</<2/w~*. (1.1.12)
Для полиномиальных сплайнов (L =** Dm)\g \ w*m[a; ъ\.
в (1.1.12) можно заменить на \D2mg\L% [а,ь\*
Нужно заметить, что при 0 < J < т — 1 оценка
(1.1.12) справедлива для любого разбиения Д€^(#> Ь).
Показатель при « в (1.1.12) опять является наилучшим
для пространства W\m\a, b] в случае общей Z,-сплайн-
интерполяции. Однако для полиномиальной
сплайн-интерполяции в оценках для функций g из W2£ [а, Ь] или из
W™\a, b] показатель при я в (1.1.10) и в (1.1.12) можно
в некоторых случаях увеличить на V2, если q = +00 (см.
Шварц, Варга [1.13]). Заметим также, что заключения
теорем 1.1—1.3 справедливы для более общих
граничных условий, чем рассмотренные в (1.1.6). Кроме того,
можно варьировать параметр г от узла к узлу, не
изменяя оценок ошибки интерполяции. Эти уточнения см.,
например, в работах [1.6] и [1.13].
Из оценок ошибок интерполяции, даваемых
теоремами 1.2 и 1.3, можно при помощи теории
интерполяционных пространств (описываемой в § 1.2) вывести
соответствующие оценки для функций g, принадлежащих

Глава 1
13
пространствам, промежуточным между W % [а, Ь) и
Wf1 [а, Ь). Однако желательно получить оценки ошибок
для функций g, даже менее гладких, чем функции из
Ст"] [а, Ь). Рассмотрим этот вопрос. Ясно, что
интерполяция g, как она определена в (1.1.6), требует
существования у функции g производной порядка т — 1 на
отрезке [а, Ь]; поэтому необходимо модифицировать
определение интерполяции. Для того чтобы сделать это, мы
воспользуемся хорошо известным понятием
полиномиальной интерполяции Лагранжа (см., например, [1.14,
гл.2]).
Если разбиение к€9*0(а, Ь) содержит по крайней
мере 2т узлов, то через i?2m-i,o g будем обозначать
интерполяционный полином Лагранжа (степени 2яг — 1)
для g, соответствующий узлам х0, хи ..., х^т-и т. е.
(22m-l,0g)(Xj)-g(Xj)9 0<у<2/и-1. (1Л.13)
Тогда, хотя сама функция g не обязательно обладает
в точке х = а производной порядка т — 1, функция
%2m-uog обладает ею, и мы можем определить
интерполяцию элементом s£Sp(Z,, Д, г) при х = а с помощью
соотношений
DJs(a)~DJ(X2m.uog)(a), 0</</и-1. (1.1.14)
Аналогичные определения интерполяции могут быть
введены и для других узлов разбиения Д. Сейчас мы
сформулируем результат Шварца и Варги [1.13] (см. также
Шульц [1.15]).
Теорема 1.4. Пусть g$Ck[a, b]% 0<£<2/я,
b£fp9(a9 b) — разбиение с по крайней мере 2т
узлами и s является единственным элементом
из Sp(Z, Д, z)} который интерполирует g в том
смысле, что
D>{s-22*-i,/£}(*,)-0, 0<у<*-1,
0<KN% п j 15)
D>{s-X2m-i.og}(a)- ( }
-D'{*-#2m-l, **}(*)-О, 0</</И-1;
зд££& %%m-\ti g — интерполяционный полином Лаг-

14 Глава 1
ранжа для функции g в 2т последовательных
узлах xjr xjt+u • ••, xj^m-i* где */€[-*у,э Xj^m-i]-
Тогда для 2<<7<оо справедлива оценка
DJ(g~ S)\\Lq[atl>] При 0<y<
<min(£, 2т -г),
(1.1.1b)
>
\DJs\Lq[atb) при min(A, 2m — £)</ <
<2/я — г.
Для полиномиальных сплайнов (L = Dm) член,
включающий \\g\w*[atb]* можно опустить.
В соотношении (1.1.16) мы использовали обозначение
»(/, А) — sup {| / (д: + 0 — / (JC) | :
x*x+t£[a, й]и|/|<А} (1.1.17)
для модуля непрерывности ограниченной определенной
на [а, Ь] функции f.
Приводимое ниже следствие посвящено
распространению теоремы 1.4 на случай пространств Соболева.
Следствие 1.5. Если g$Wk+x[a, b\> где 1<
<г<со и 0<£<2/я, то в предположениях
теоремы 1.4 для max (г, 2)<<7 <оо справедлива оценка
iC**+w+irt+-i.(-i/r.^)|er|ir;+^^>
l&te-s)^.*] при 0<у<
<min(£,2w-*), l t
I^I^[e.*i пРи mln(*, 2/тг~г)<
</<2/п —г.
Для полиномиальных сплайнов \\g\\wk+\[a b] в (1.1.18)
можно заменить на \Dk+xg\Lr[a,b\.
Заметим, что в случае & = m — 1 и г = 2 первое
неравенство из (1.1.18) сводится к неравенству (1.1.10).
Аналогично в случае k = 2т — 1 и г = 2 оно сводится
>

Глава 1
15
к неравенству (1.1.12). Поэтому теорема 1.4 и следствие
1.5 являются обобщениями теорем 1.2 и 1.3, несмотря на
то, что используются различные процессы интерполяции.
Итак, в этом параграфе введены L-сплайны и даны
соответствующие оценки ошибок при интерполяции с
помощью L-сплайнов. Имея в виду распространить эти
оценки на другие случаи, мы считаем полезным
посвятить следующий параграф описанию идеи
интерполяционных пространств.
§ 1.2. Интерполяционные пространства и их приложения
Теорему 1.4 и следствие 1.5 можно распространить на
случай более общих пространств, если воспользоваться
идеей интерполяционных пространств (см. Буцер и Бе-
ренс [1.16, гл. 3]), которую мы вкратце опишем.
Пусть Х0 и Хх — банаховы пространства с нормами
II • Но и II • Hi соответственно, содержащиеся в отделимом
топологическом линейном пространстве ЗСУ причем
тождественное отображение X t ь SV непрерывно при / = 0
и*=1. Если *0 + *1-{/€#: /-/0+/i, где
fi£Xh / = 0,1}, то Х0(]Х1 и Х0 + Хх — также
банаховы пространства относительно норм
|/кп*,-тах{|/|Ь, ll/flj,
ll/IUo^^infill/oSo + l/Jk: (1.2.1)
f-fo + fufi£Xi* /-0,1}.
Легко видеть, что
X0(]XlczXiaX0+Xlcz3r% / — 0, 1. (1.2.2)
Включение в этом параграфе понимается в том смысле,
что соответствующее тождественное отображение
непрерывно. Говорят, что банахово пространство X является
промежуточным пространством между Х0 и Х%9 если оно
удовлетворяет соотношению
Х0ПХ} с X с Х0 + *i с V. (1.2.3;
Сейчас мы опишем метод Петре (см. [1.16] и [1.17])
для построения пространств, промежуточных между XQ

Глава 1
и Х\. Прежде всего для каждого положительного t и
каждого / б (Х0 -f Хх) положим
/C(^/)^inf{|i/0||0 + /i!/l||1: .
/~/o + /i5 fi£Xi> /-0,1} (1.2.4)
Далее, для произвольных вещественных чисел б и ^,
удовлетворяющих неравенствам 0 < 6 < 1, 1 < <7 < оо,
через (Х0, X {)и обозначим подмножество всех f(-(X0-\-
f A\), для которых норма
-jo ] (1.2.5)
sup/~G/C(/, /), <7 = оо
конечна. Справедлива следующая теорема (см. [1.16,
стр. 168] и [1.17]).
Теорема 1.6. Для любых О<0<1 и 1<<7<оо
пространство (Х0, Xx)^q является банаховым
пространством, промежуточным между Х0 а Хи а,
следовательно, удовлетворяет соотношению (1.2.3).
В частности, (X,X\Q = X для любого банахова
пространства X.
Пусть теперь Y0 и У\ —два банаховых пространства,
непрерывно вложенные (посредством тождественного
отображения) в отделимое топологическое пространство
У-, и пусть Г —линейный оператор из Х0 + Х\ в
Ко + У и Для которого
i|77I/<Mi!l/l,> /€*„ /—0Л, 0.2.6)
т. е. Т — ограниченный линейный оператор из Х{ в У,-
с нормой, не большей Ми i ~ О, 1. Для этого случая
имеет место следующий результат (см. [1.16, стр. 180]
и [1.17]).
Теорема 1.7. Пусть Т — линейное
преобразование из Х0 + Хх в Y0 + Yv удовлетворяющее
условию (1.2.6). Тогда Т для любых 0<9<1 и 1 < #<оо
является линейным ограниченным преобразованием

Глава 1
17
из промежуточного пространства (Х0, Xx)BtQ в
промежуточное пространство (У0> Yx\tQ\ норма этого
преобразования
М^ sup \\T/\[Y0tYi)
удовлетворяет неравенству
М<М10-*М\. (1.2.7)
Так как наша цель здесь — расширить опенки
ошибок интерполяции L-сплайнами одного переменного, то
достаточно определить пространства Бесова ^l'Q[a, ft],
промежуточные для пространств Соболева:
(Lp[a, ft], Wnp\at ft])M^£^[a, ft], (1.2.8)
где О<0<1 и 1 ^ ру q ^ оо. Некоторые соотношения
между пространствами Бесова и Соболева даются
следующей теоремой (см. Гривар [1.18] и Петре [1.19]).
Теорема 1.8. Если 1 <р<оо и /и-
положительное целое число, то
ВтрЛ\а, ft]cU7?[a, ft]c£^°>> ft]. (1.2.9)
Если 1 < #i< <72<^°°> 1</?<оо и а>0, то
вуя*\а% Ь]аВр'я'[а< ft]. (1.2.10)
Если 0<o2<Oj, 1 < qv <72<оо и 1 </*<оо, то
B9pttQl[a4 ft] с Я?'" [я. *]■ (1.2.11)
Если о0фои О<0<1, 1 <^0, ?,<сюй 1 </?<оо,
то
= £3/[а, Ь\, о = 6а,+(1 -6)о0, (1.2.12)
причем нормы слева и справа эквивалентны; для
целых значений я, каждое из пространств
B°l"'\a, Ь\ в (1.2.12) можно заменить на Wi[a, b\.
В частности,
(Wmp[a, b\, W?\a, b\\,q = Byq[a, b\, o-(l +9)да.
(1.2.13)

18
Глава 1
Важно заметить, что, хотя в настоящий момент нас
интересует лишь одномерный случай, теория
интерполяционных пространств является полезным аппаратом и для
случая более высоких размерностей. В частности, если
2 — ограниченная область в /?я, теоремы 1.6 и 1.7
применимы прямо к пространствам Бесова 5р,<7(2),
промежуточным между пространствами Соболева W™(Q) и W£' (2),
где т и т' неотрицательные целые числа и 1 </?-<оо.
Кроме того, в случае гильбертовых пространств (/? = 2)
можно для нецелых о определить пространства W°2 (2),
промежуточные между 1#Т(2) и Wf (Q) и также
являющиеся гильбертовыми пространствами. Это будет
использовано в § 6.1.
Сейчас мы покажем, как можно использовать
теорию интерполяционных пространств для
распространения оценок ошибок интерполяции L-сплайнами,
даваемых теоремами 1.2 и 1.3. Для неотрицательных целых
/, 0 <! / ^ т — 1 и для 2 ^ q ^ оо определим линейное
преобразование Т: W? [a, b]-+WJQ[ay b\ равенством
7*-*-sf 0.2.14)
где s — единственный элемент из Sp(L, Д, г),
интерполирующий g в смысле (1.1.6). Используя определение
(1.1.3) нормы пространства Соболева, оценки (1.1.10)
и (1.1.12) можно записать соответственно в виде
g$W?\a, b],
g£Wlm\a, b\.
Таким образом, если К0 - К, = W{ [а, *], Х0 a W? \а, Ь\
и A', =*Wlm\a, b], то Т, согласно (1.2.15), является
ограниченным линейным преобразованием из А', в Yt
с нормой, не большей Mt, / — О, 1, где
H*0 — /CiC»->-i/2+i/«, Af, = K^-m-)-l,2+l"1. (1.2.16)

Глава 1
19
Но в силу (1.2.13)
(*0, Xx\r-{W?\a% Ь], W\m\a, b\\if-Blr\a, ft],
ess(l+9)w
и (F0, КД^ = tt^ [a, ft]; поэтому из теоремы 1.7
следует, что Г является ограниченным линейным
преобразованием из B]'r[at ft] в WjQ[a, ft] с нормой, не
превосходящей
М\'ь • м\ = KV--M/2+1/* о - (1 + в) m,
(1.2.17)
для любых т<^о<^2т и 1<^г<;оо.
Оценка (1.2.17) для L-сплайн-интерполяции,
являющаяся расширением результатов теорем 1.2 и 1.3,
получена интерполированием правых частей (1.1.10) и
(1.1.12). С другой стороны, оценки (1.1.10) и (1.1.12)
имеют место для разных значений и поэтому возможны
аналогичные интерполяции левых частей (1.1.10) и
(1.1.12). Объединение этих результатов можно
сформулировать в виде следующей теоремы (см. Хедстром и
Варга [1.20]).
Теорема 1.9. Пусть /£5?,г[а, ft], где w<a2<
<2m. Тогда если s — единственный элемент из
Sp(Z, A, z), интерполирующий f в смысле (1.1.6),
то
для любых 0<a<m — 1/2 -f 1//;, где 2</;<оо
и 1 О, #<оо.
Так как в силу (1.2.9) BJp'l[a, b\aWp[a, ft], т. е.
^Ци,^ W4'Wи в силу (1Л-3) \DJfh*-"<
<||/| j , то из оценки (1.2.18) для о == j и q = \
немедленно получаем такое следствие.

20
Глава 1
Следствие 1.10. В предположениях
теоремы 1.9 справедливы неравенства
ID'U - s)\Lp{aM<\\f - s\ <{ам<
</r*».w-i/2+i/P|/|B„tiWi, (1.2.19)
которые выполняются для любых 0<у-</гс —1
и 2</?<оо. В частности, если /^Wl[a, b] и т-^
<о<2/я, то для 0</</тг
(1.2.20)
Результаты теорем 1.2, 1.3, 1.9 можно
распространить и далее, если применить теорию интерполяционных
пространств к следствию 1.5 и при определении
интерполяции использовать интерполяционные полиномы
Лагранжа (см. (1.1.15)). В этом случае в силу (1.1.18)
имеет место следующий результат.
Теорема 1.11. Пусть заданы произвольный
элемент f^B\>q\a, b\y 1<о<2/я, 1<#, г<оо и
разбиение Д€^Л#» Ь) с по крайней мере 2т узлами,
и пусть s — единственный элемент из Sp(Z, А, г),
интерполирующий / в смысле (1.1.15). Тогда при
условии max (г, 2) < р <оо выполняется неравенство
(1.2.21)
где 0<t<min(o — 1, 2т —z), 1<?', /?<оо.
Резюмируем изложенное: в настоящем параграфе
кратко обсуждается теория интерполяционных
пространств и указывается ее применение к
распространению известных оценок ошибок интерполяции L-сплай-
нами. Эта теория является весьма полезным аппаратом
в численном анализе, и мы еще вернемся к ней в § 6.1.

Глава I
21
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1)
[1.1] I. J. SCHOENBERG, Contributions to the approximation of
equidistant data by analytic functions, Parts A, B, Quart,
Appl. Math., 4 (1946), 45—99, 112—141.
[1.2] Дж. АЛБЕРГ, Э. НИЛЬСОН, Дж.' УОЛШ, Теория сплайнов
и ее приложения «Мир», 1972 (1967).
[1.3] Т. N. Е. GREVILLE, ed., Theory and applications of spline
functions, Academic Press, N. Y., 1969.
[1.4] I. J. SCHOENBERG, ed., Appoximations with special
emphasis on spline functions, Academic Press, N. Y., 1969.
[1.5] T. N. E. GREVILLE, Interpolation by generalized spline
functions, MRS Tech. Summ. Rep. 476, Mathematics Research
Center, U. S. Army, Univ. of Wisconsin, Madison, 1964.
[1.6] M. H. SCHULTZ, R. S. VARGA, L-splines, Numer, Math., 10
(1967), 345-369.
[1.7] G. BIRKHOFF, M. H. SCHULTZ, R. S. VARGA, Piecewise
Hermite interpolation in one and two variables with
applications to partial differential equations, ibid., 11 (1968), 232—256.
[1.8] M. GOLOMB, Approximation by periodic spline interpolation
on uniform meshes, J. AAprox. Theory, 1 (1968), 26—65.
[1.9] И. БАБУШКА, Э. ВИТАСЕК, M. ПРАГЕР, Численные про-
цессы решения дифференциальных уравнений, «Мир», 1969
(1966).
1.10] G. G. LORENTZ, Approximation of functions, Holt, Rinehart
and Winston, N. Y., 1966.
1.11] J.-P. AUB1N, Interpolation et approximation optimales; spline
functions, J. Math. Anal. Appl., 24 (1968), 1—24.
1.12] M. GOLOMB, Splines, n-widths and optimal approximations,
MRC Tech. Summ. Rep. 784, Mathematics Research Center,
U. S. Army, Univ. of Wisconsin, Madison, 1967.
1.13] B. SWARTZ, R. S. VARGA, Error bounds for spline and
L-spline interpolation, J. Approx. Theory, to appear.
1.14] P. J. DAVIS, Interpolation and approximation, Blaisdell, N.Y.,
1963.
1.15] M. H. SCHULTZ, L-multivariate approximation theory, SIAM
J. Numer, Anal., 6 (1969), 161—183.
1.16] P. L. BUTZER, H. BERENS, Semi-groups of operators and
approximations, Springer-Verlag, N. Y., 1967.
1.17] J. PEETRE, Introduction to interpolation, Lecture notes,
Department of Mathematics, Lund, 1966. (In Swedish.)
1.18] P. GRISVARD, Commutativite de deux foncteurs d'interpola-
tion et applications, J. Math. Pures Appl, 45 (1966), 143—290.
1.19] J. PEETRE, Espaces d'interpolation, generalisations, Rend.
Sem. Mat. Fiz, Milano, 34 (1964), 133—164.
1.20] G. W. HEDSTROM and R. S. VARGA, Application of Besov
spaces to spline approximation, J. Approx. Theory, to appear.
l) Для переводных книг в круглых скобках указан год ориги<
нального издания.— Прим. ред.

ГЛАВА 2
Обобщения понятия L-сплайна
§ 2.1. /^-сплайны
Существуют различные обобщения понятия
L-сплайна, и интересно посмотреть, как они позволяют
расширить теорию L-сплайнов. Мы начнем этот параграф с
изложения результатов Джерома и Шумакера [2.1].
Пусть Л = {XJjLj — произвольное множество линейно
независимых ограниченных линейных функционалов на
Wf [а, Ь] и г = (rlf..., rk)T — произвольный вектор из
евклидова пространства Rk размерности k. Если L —
линейный дифференциальный оператор вида (1.14), то по
определению (см. [2.1]) элемент s€W?[a, b] является
Lg-сплайном, интерполирующим г относительно Л, т. е.
М$)вГ1» 1</<&, если s является решением мини-
мизационной задачи
\\Lsl,{a>b]^ini{lLflU[a>b]: f^UA(r)}, (2.1.1)
где tfA(r)e{/€WT[a, b\: WWi. /-1,.-.., к}.
Связь с L-сплайнами очевидна (см. формулу (1.1.9)
из теоремы 1.1). В то время как линейный
дифференциальный оператор L остается неизменным, способ
интерполяции сейчас обобщается посредством
введения Л.
Пространство всех Lg-сплайнов (для некоторого г)
обозначается через Sp(L, Л).
Основываясь на результатах Голомба [2.2], Джером
и Шумакер [2.1] доказали, в духе Анселона и
Лорана [2.3], следующую теорему.
Теорема 2.1. Для любого r£Rk существует
функция s€W$\a> Н удовлетворяющая условию
(2.1.1). Функция s£LfA(r) удовлетворяет условию

Глава 2 23
(2.1.1) в том и только том случае, когда
ь
LsLgdx^Q для всех g^U^(Oy (2.1.2)
а
Далее, минимизационная задача (2Л.1) обладает
единственным решением в том и только том
случае, когда 91п£/д(0) = {0}, где У\ —
нуль-пространство оператора L Наконец, Sp(I, А) — линейное
пространство размерности k -f dim Щ ПUА (0)}
в W?[a, b].
Предположим теперь, что каждое X,gA имеет вид
M/)-D'i/(*i), где 0<у,</и-1 и *,€(<*, *]. Та-
кое Л « {М/в1 соответствует задаче Эрмита — Бирк-
гофа. Нетрудно видеть, что для задачи Эрмита — Бирк-
гофа решение минимизационной задачи (2.1.1)
удовлетворяет, как и в случае (1.1.5), уравнению
L*Ls {х)« 0, х 6 (a, Ь) - {*,}}я1. (2.1.3)
Введем неотрицательное целое т(Л), равное числу
последовательных производных интерполируемой
функции в любой точке сетки {х^)^ (см. Джером и
Варга [2.4]). Достаточно легко может быть доказана
следующая
Теорема 2.2. Пусть A^IMLi порождает
задачу Эрмита — Биркгофа для разбиения A^a(a, b),
т(Л)>/я, gtfl£/A(0) = {0}, и пусть для Л второе
интегральное соотношение выполняется, т. е. (см.
(1.1.11))
ь ь
\{L(g-s)Ydx^{g-s)L*gdx (2.1.4)
а а
для любого g£Wlm[a, b]. Тогда если s —
единственный Lg-сплайн, интерполирующий g в том
смысле, что
М*)-М*). !<'<*. (2Л.5)
то для погрешности интерполяции остаются справедливы
оценки (1.1.10) теоремы 1.2 и (1.1.12) теоремы 1.3.

24
Глава 2
Заметим, что результат теоремы 2.2 после
соответствующего истолкования легко распространяется на
случай пространства Бесова совершенно так же, как в
теореме 1.9 и следствии 1.10, с аналогичными оценками
ошибок. Тем самым обобщаются результаты
работы [2.4].
Итак, Lg-сплайны являются обобщением в части
интерполяции (см. (2.1.5)), вид же дифференциального
оператора L не меняется.
§ 2.2. ^-сплайны
Следующее рассматриваемое здесь обобщение
принадлежит Шульцу [2.5] и Лукасу [2.6]. Введем
обозначение
т
Ей (х) s= 2(—1)'D'(pj(x)Dju (x%
/=o
где (2.2.1)
Pj£Wl[a9 b\[\U[a% *]. 0<у<т,
и рт(х)>Ь>0
на [a, b], и предположим, что оператор Е является
W™ [я* 6]-эллиптическим, т. е. существует постоянная
Г>0, такая, что
b т
для всех ueW?[a, ft], (2.2.2)
где Wf[a, b\ обозначает подпространство функций а
из №f [а, Ь\ (см. § 1.1), удовлетворяющих однородным
краевым условиям Dku(a) — D*u(b) = 0, 0<&</я-- 1.
Далее, как и в § 1Л, пусть Д£^(а, Ь) и z
положительное целое, 1<г<т. Тогда через S(Et Д, z)
обозначим пространство ^-сплайнов, состоящее из
всех вещественных функций w на [а, Ь]9 таких, что
относительно Д (см. (1.1.5)) выполняются условия

Глава 2
25
£<w(x) = 0 почти всюду в каждом
интервале {xh at/+i)» 0</<JV~l,
Dkw(xt-)^ Dkw(xt+) <2*2'3)
для 0<А<2/л— 1 — г, 0</<ЛГ.
Легко показать (см. [2.5]), что для любого g €Cm~l[a, Ь]
существует единственный f-сплайн s£S(E, А, г),
интерполирующий g в смысле (1.1.6), т. е.
удовлетворяющий требованиям
DJ(g-s)(xi) = 0, 0</<z-l, 0<i<N,
DJ(g - s)(a) - D> (g - 5) (6) - 0, (2.2.4)
0</</я-1.
Так как соотношение (2.2.4) обеспечивает
выполнение второго интегрального соотношения (см. (1.1.11)),
то, согласно теоремам 2.4—2.7 из работы Шульца [2.5],
будет верна следующая теорема о точности
интерполяции.
Теорема 2.3. Пусть s для произвольных
g£Cm-l[a, b\ и Ag5>(a, b) — единственный элемент
из S(E, А, z), интерполирующий g в смысле (2.2.4).
Тогда для погрешности интерполяции справедлива
оценка (1.1.10) теоремы 1.2. Аналогично если
g$W\m[a, b] и A£^>a(a, Ь)У то справедлива оценка
(1.1.12) теоремы 1.3.
Как и в § 2.1, после соответствующей интерпретации
результат теоремы 2.3 незамедлительно
распространяется на случай пространств Бесова (см. теорему 1.9 и
следствие 1.10). Тем самым обобщаются результаты
работ [2.5] и [2.6].
Отметим, что в случае Lg-сплайнов обобщение
связано с более общими совокупностями ограниченных
линейных функционалов Л = {Х^=1> в то время как в
случае у-сплайнов— с более общим видом
дифференциальных операторов. Комбинируя эти две идеи, можно
получить оценки ошибки интерполяций типа оценок
(1.1.10) теоремы 1.2 и (1.1.12) теоремы 1.3. Это было

26
Глава 2
выполнено Лукасом в работе [2.7]. Распространение
этих результатов на случай пространств Бесова легко
осуществляется по указанной выше схеме.
§ 2.3. Вырожденные сплайны
Одно из наиболее интересных расширений теории
одномерных сплайнов принадлежит Джерому и Пирсу
[2.8]. Сначала мы коротко осветим историю вопроса.
Используя конечные разности, Жаме [2.9] рассмотрел
численное приближение решения вырожденной краевой
задачи
D*u(x) + -±-Du(x)-f(x)9 0<*<1,
X
И(0) = а, «(1) = р,
(2.3.1)
где 0^а<1. Сделав замену переменных, мы можем
переписать эту задачу в самосопряженном виде
D{x°Du{x)} = g{x), 0О<1,
я(0)-я(1) = 0. ( }
Беря равномерное разбиение (я = h) отрезка [0, 1] и
обычную трехточечную аппроксимацию для (2.3.1),
Жаме [2.9] получил дискретное приближение решения
задачи (2.3.1) с верхней оценкой ошибки в дискретной
Loo-норме вида Khl~a. В работе Сиарле, Наттерера и
Варги [2.10] было найдено вариационное приближение
решения задачи (2.3.2) с точной верхней границей для
ошибки в равномерной норме вида Kh2~°. Это
вариационное приближение было построено с использованием
локальных решений уравнения
D{x9Dw(x)}=0, 0<о<1,
на каждом из подинтервалов равномерного разбиения
Дм отрезка [0, 1] с я; = h. В [2.10] вместо (2.3.2) была
рассмотрена более общая задача
D{p{x)Du(x)} = f(x%u(x))% 0О<1,
я(0) = *(!) = 0, {Z'6'6)

Глава 2
27
где предполагается, что
р(х)>0 в (0, 1),
р€О[0, 1], (23.4)
7-6 МО, 1].
Приближенные решения задачи (2.3.3) отыскивались
при помощи решений задачи
D{p(x)Dw(x)}=0
на каждом из подинтервалов разбиения Д отрезка
[О, 1]. Последнее уравнение может быть записано в
виде L*Lw(x) = 0, где
Lw (х) = Ур(х) Dw (х).
Заметим, что, поскольку р(0) может быть равно нулю,
такие «сплайны», вообще говоря, не являются L-сплай-
нами или у-сплайнами. Эрмитовы сплайны более
высокого порядка вырождения рассматривались Дэйли [2.11].
Для того чтобы описать вырожденные Л-сплайны
Джерома и Пирса [2.8] (работа которых обобщает
работу [2.10]), формально определим самосопряженный
оператор Л соотношением
т
Ли (х) s 2 (-1 )JDJ {aj (х) Dju (х)}.. (2.3.5)
;-=о
где предполагается (ср. 2.3.4), что
ат(х)>0, х£(а, Ь),
aj€CJ[a, b], 0<y<m, (2.3.6)
Далее, обозначим через И весовое пространство Соболева
всех вещественных функций / на [а, Ь]> таких^что
производная Dm~l f абсолютно непрерывна и YamDm f £
£L2[a, 6], с нормой
m-l
II«||я = Ъ <D'" (fl))2 +1 ^п D'"u 1,1а,ы. (2.3.7)
1=0

28
Глава 2
Рассмотрим на Я X Я билинейную форму В (и, v),
порождаемую оператором Л:
Ъ ( т \
В (и, tf)sC 2 ajDJuDJv \dx, u,v£H. (2.3.8)
a l;=o )
о
Предположим, что оператор Л является
Н-эллиптическим, т. е. существует положительная константа р,
такая, что
J и ||# < ?В (и, и) для всех и £ Н, (2.3.9)
о
где через Н обозначено замкнутое подпространство
пространства //, содержащее все функции / £// с DJf(a)=
= DJf(b) = 0, 0</</ю-1. Из (2.3.8) и (2.3.9) еле-
о
дует, что Н является гильбертовым пространством со
скалярным произведением
(u4v)D = B(u% v). (2.3.10)
Пусть М = (Х;})=1— произвольное множество линейно
о
независимых ограниченных линейных функционалов на //.
Тогда (см. [2.8]) элемент s£H называется Л-сплайном,
интерполирующим г = (ru...4rk)£ /?*• если 5 является
решением вариационной задачи
B(s,s)- min 5(/, /),
Пи{Г\ (2.3.11)
где U (г) - {/ 6 Я: X, (/) - г,, 1 < /<*}.
о
Поскольку /€// имеет нулевые граничные значения, то
о
для любого /€# существует единственный Л-сплайн s,
интерполирующий / в том смысле, что
Ы*) = М/). 1<У<*- (2-3.12)
Совокупность всех s, удовлетворяющих условию (2.3.11)
(для некоторого г (•/?*), обозначим через Sp(A, М). Как
и прежде, это будет линейное пространство.
Чтобы получить оценки ошибок для
интерполяции (2.3.12), предположим, как и в § 2.1, что
множество М = {Xj)$=i порождает задачу Эрмита — Биркгофа,

Глава 2
29
т# е. что каждое Х,£/И имеет вид Х/ (/) = £)7'/ (д;,),
где 0 < У/</и — 1 илг/gfa, ft]. В этом случае
аналогично (2.2.3) любой Л-сплайн 5 является решением
уравнения Л5=0 на подинтервалах, определяемых М. Так
о
как все рассматривается в Н', отсюда вытекает, что
выполняется второе интегральное соотношение, и можно
получить следующие оценки погрешности интерполяции
(см. [2.8]).
Теорема 2.4. Пусть множество М порождает
задачу Эрмита — Биркгофа на разбиении A£$>a(a, ft).
Тогда, если предположить, что х{М)^п и для лю
бою f£H существует единственный к-сйлайн
о
s€//, интерполирующий / в смысле (2.3.12), то
для 2 < q < оо
ID' (/ - s)\Lq la, b]<K (со, (JL, V))1'2 «*ч-»шI/||,
О < у < m — 1, (2.3.13)
где fl/|f0 = (/,/)o(^- (2.3.10)) и
tx+t \
ш' Gb °)SSUP 5 ^ТёГ: *.*+'€[a, 6], И<8 .(2.3.14)
Кроме того, если Af£L2\a, b\, то для 2<^<оо
||^(/-5)|t?la,ftl</c«)l(5L,1t)x
Xw2m-;-3,2+1,?flA/|Ma,s), 0<y<w-l. (2.3.15)
о .
Стоит заметить, что пространства Соболева Wi [a, ft]
о
при i^m являются подпространствами в Я. Тем не
менее для распространения результатов теоремы 2.4 при
помощи теории промежуточных пространств, как это
мы делали с другими теоремами этого параграфа, надо
было бы работать с пространствами, промежуточными
между Н и, скажем,^\т[а, ft], а такие пространства уже
не являются в отличие от предыдущих случаев
пространствами Бесова.

30
Глава 2
Интересно также заметить, что результаты Джерома
н Пирса [2.8] получены без предположения (2.3.9),
точнее, при более слабом предположении, поэтому
существование и единственность интерполяции, а также
оценки ошибок были получены в работе [2.8] для более
общей задачи Эрмита — Биркгофа, чем рассмотренная
здесь. Далее, так как случай ат(х) ^6>0 на [а, Ь]
в (2.3.6) не исключается, то результаты работы [2.8]
одновременно обобщают теорию Lg-сплайнов и теорию
Y-сплайнов и в качестве частного случая дают известные
оценки для погрешности сплайн-интерполяции из
теорем 2.2 и 2.3.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[2.1] J. W. JEROME, L. L. SCHUMAKER, On L^-splines, J. Ар-
prox. Theory, 2 (1969), 29—49.
[2.2] M. GOLOMB, Splines /г-widths, and optimal approximation,
MRC Tech. Summ. Rep. 784, Mathematics Research Center,
U. S-. Army, Univ. of Wisconsin, Madison, 1967.
[2.3] P. M. ANSELONE, P. J. LAURENT, A general method for
the construction of interpolating or smoothing spline-functions,
Numer. Math., 12 (1968), 66-82.
[2.4] J. W. JEROME, R. S. VARGA, Generalizations of spline
functions and applications to nonlinear boundary value and
eigenvalue problems, Theory and Applications of Spline Functions,
T. N. E. Greville, ed., Academic Press, N. Y., 1969, 103—155.
[2.5] M. H. SCHULTZ, Elliptic spline functions and the Rayleigh—
Ritz—Galerkin method, Math. Сотр., 24 (1970), 65—80.
[2.6] Т. R. LUCAS, A generalization of L-splines, Numer, Math.,
15 (1970), 359—370.
[2.7] A theory of genralized splines with applications to
nonlinear boundary value problems, Thesis, Georgia Institute
of Technology, 1970.
[2.8] J. W. JEROME, J. PIERCE, On spline iunctions determined
by singular self-adjoint differential operators, J. Approx.
Theory, 5 (1972), No. 1, 15—40.
[2.9] P. JAMET, On the convergence of finite-difference
approximations to one-dimensional singular boundary-value problems,
Numer. Math., 14 (1970), 355-378.
[2.10] P. G. CIARLET, F. NATTERER, R. S. VARGA, Numerical
methods of high-order accuracy for singular nonlinear
boundary value problems, ibid., 15 (1970), 87—99.
[2.11] J. W. DAILEY, Approximation by spline-type functions and
related problems, Thesis, Case Western Reserve Univ., 1969.

ГЛАВА 3
Результаты по кусочно
полиномиальной интерполяции
и аппроксимации в областях
большей размерности
§ 3.1. Тензорные произведения одномерных
полиномиальных сплайнов
Во многих приложениях желательно иметь
обобщения результатов глав 1 и 2 для одномерных кусочно
полиномиальных функций или сплайнов на /г-мерный
случай. Наиболее простое из таких обобщений
получается при помощи тензорного произведения
пространств одномерных сплайнов. Этот прием был
предложен Биркгофом, Шульцем и Варгой [3.1], которые
рассмотрели тензорное произведение полиномиальных
сплайнов Эрмита в пространстве двух переменных. Для
того чтобы кратко изложить результаты работы [3.1],
введем обозначение А = Ai X Аг для разбиения
прямоугольника Q = [а, Ь] X [с, d], где
Др a = xQ<xx<...<xN=b,
А2: с = у0 < У1 <...<У*'=</. ' ' '
Далее, введем множество //(/7х)(Д; 2) всех вещественных
кусочно полиномиальных функций w (х, у), определенных
на 2, таких, что производные Z)(/> н w == Dlx Dy w
непрерывны в 2 для всех 0</, у < m' — 1 и w является
полиномом степени 2пг — 1 по каждой из переменных х
и у в каждом из прямоугольников \xh Xi+i] X [у^, yy+i],
порождаемых разбиением А. Теперь мы можем определить
единственный интерполянт s из //(/я)(А; 2) для
вещественной функции /, обладающей непрерывными в 2
производными D^'^f для всех 0</?, q < т — 1 с по-

32
Глава S
мощью следующих условий:
#'• "*(*.. у,)-/*1-"/(**.У,). I
0<Л/<«-1, 0<£</V, 0</</V',f (CJ,b^
Предположим, что Д является элементом множества
5\,(й) с конечным о>1, т. е. (см § 1.1)
— <«, (3-1.3)
ТС '
где -к = max тс, и тс = т1птс/, а тс,, тс1$ тс2, тс2 суть
/ = о, 1 - /=о, 1 -
определенные ранее в § 1.1 характеристики разбиений At
и А2. Обозначим еще через S? (2) множество всех
вещественных функций /, определенных на 2, для
которых производные /)<*-'» '> /£ Z2(2) ПРИ всехО</</?
и производные D{i> ^ f непрерывны в 2 при всех 0</-f-
-f j </?. Используя идею теоремы Пеано о ядре (см. Сард
[3.2]) для случая двух переменных, авторы работы [3.1]
доказали следующую теорему.
Теорема 3.1. Пусть f — некоторая функция
из Slm(Q), где 2 = (a, b)X(ctd), А- Дх X A2€^(2)
и элемент s£//(m)(A; 2) является единственным
интерполянтом для f в смысле (3.1.2). Тогда
2т
|£Х*.'>(/ - s)|M2)< tfiu*»-*-'2|DU. 2»-Л/к,(а, (3.1.4)
для всех 0<Л, /</я, 0<Л + /</я.
В силу локальности эрмитовой интерполяции (3.1.2)
результаты теоремы 3.1 в действительности
справедливы для любых прямоугольных многоугольников, т. е.
для многоугольников со сторонами, параллельными
координатным осям, например для L-образных областей.
В дальнейшем нам понадобится следующее понятие.
Пусть п —- произвольное положительное целое число и
Q — ограниченная открытая область /г-мерного
евклидова пространства.
Предположим, что 2 удовлетворяет строгому
условию конуса (см. Агмон [3.3, стр. 11]), т. е. что суще-

Глава 8
33
ствуют конечное открытое покрытие {0*}7Li границы dQ
области 2, где каждое Ot является открытым
подмножеством в /?л, и соответствующие открытые усеченные
конусы [Ct}T=i с вершинами в начале координат, такие,
что для любого / и любого лг^О/П^ множество х+С/=
= {w: чю = х-\-у, у€Сь} лежит в 2. Далее, если а =
= (аг,..., ап) — любой набор п неотрицательных цел ых
чисел, то через
£>« — _2.
будет обозначаться дифференциальный оператор порядка
п
|<х|» 2 а** Пространство всех вещественных функций,
имеющих непрерывные производные всех порядков а
с |а|<;//г в 2, обозначается через О*(2). Через Со°(2)
будем обозначать пространство всех бесконечно
дифференцируемых финитных (т. е. равных нулю вне
некоторого компактного множества) функций на 2.
Аналогично Со (Rn) — это совокупность всех бесконечно
дифференцируемых финитных функций в Rn.
Пространства Соболева WT(2) и U^£(2), где
т—неотрицательное целое, определяются теперь как
соответствующие пополнения С00 (2) в нормах
W<- (3.1.5)
°° {a|<m '
Аналогично W?{R% WZ (Rn) являются пополнениями
о.
пространства Cq (Rn) в тех же нормах и W2 (2)есть
пополнение Со°(2) в первой норме (3.1.5)-
Результат теоремы 3.1 можно интерпретировать- в
терминах соболевских норм следующим образом.

34
Глава 3
Следствие 3.2. В предположениях теоремы 3.1
2т
W-'lwim^**"* %\\DU>2m-J)fh<*) (зл-6>
для всех О < k -< т.
У теоремы 3.1 и следствия 3.2 имеются два
недостатка. Один из них тот, что эти результаты относятся
только к прямоугольным многоугольникам в /?2, а не к
областям более высоких размерностей. Другой недостаток
тот, что используемое функциональное пространство
Slm(Q) —не то, которое хотелось бы видеть, а именно
не обычное пространство Соболева W\m (2). Эти
недостатки работы [3.1] были более чем удовлетворительно
устранены Брэмблем и Гильбертом в работах [3.4—3.6],
содержание которых мы сейчас изложим.
Рассмотрим произвольный замкнутый гиперкуб 2
в /?л, 2п вершин которого мы обозначим через xti
1 </<2л. Для u£C7m-l{Q) эрмитов интерполянт ит
порядка т (или, короче, т-& эрмитов интерполянт) в 2
функции и определяется как полином степени 2//г — 1 по
каждой из п переменных, удовлетворяющий в каждой
вершине хх условиям
^ «.(*!>-{ о, П\>2т <ЗЛ-7>
для всех у = (уь Y2> •••» Уп) с 0 < ?j < /п— 1, 1 < / < я.
Из того, что (3.1.7)—невырожденная линейная
система (2т)п уравнений с (2т)п неизвестными, следует, что
функция иШу определяемая таким способом,
единственна. Эта интерполяция является обобщением двумерной
интерполяции Эрмита (3.1.2).
Пусть /?л разбито на гиперкубы {2,} со сторонами
длины h. Тогда /?n«(JS/. гДе ^/П^, при любых
i ф j — либо пустое множество, либо часть границы
гиперкуба 5/в В силу локальности интерполяции (3.1.7) для
любой заданной функции и £ С2т~1 (/?") существует

Глава 3
35
единственный интерполянт ит, удовлетворяющий
условиям (3.1.7) в каждой вершине каждого гиперкуба Qz.
Из (3.1.7) с очевидностью следует, что производная Daum
непрерывна в R" при любом а — (аи ... ,ап) с 0<а^
<т — 1, /« 1,2,... ,/г.
В отличие от одномерного случая произвольная
функция и € W\m (Rn) может не иметь в вершинах
гиперкуба 2/ производных, нужных для реализации
интерполирования (3.1.7). Таким образом, необходимо сгладить
функцию и с тем, чтобы получить некоторую функцию
uh(zCo(Rn), для которой интерполяция (3.1.7) уже имеет
смысл. (Это аналог применения полиномиальной
интерполяции Лагранжа в § 1.1.) Брэмбл и Хилберт показали,
что для любой функции u£Wlm (Rn) можно построить
такую функцию uh^Co(Rn), что для всех А>0
|о|<2от, (3.1.8)
где С — константа, не зависящая от h.
Пусть теперь ин,т — эрмитова аппроксимация
функции uh£Co(Rn) на гиперкубах со стороной h в смысле
(3.1.7). Опираясь на обобщение теоремы Пеано о ядре,
Брэмбл и Хилберт доказали, что
для всех а с |а|<2/я, 0<а;<#1—>1, 1 </</*.
Сопоставляя (3.1.8) и (3.1.9), получаем
IЯ» (и - ап,т)\ц(/?Л)< СА*м«1 \\u\\wfl{Rn) (3.1.10)
для всех а с |а|<2/ю, 0<а, </я —1, 1</</г.
Для того чтобы перенести этот результат на случай
ограниченной области 2 с Rn, мы воспользуемся
теоремой Кальдерона о расширении (см. [3.3, стр. 171]).
Эта теорема утверждает, что если 2 удовлетворяет
строгому условию конуса, то существует ограниченное
линейное преобразование ё\ W\m (Q) - W\m (#*), удов-

36
Глава 3
летворяющее условию Sv = v в 2, т. е. что
1^11Г(^)<СИг'11<(2, для все* ^€^т(2), (3.1.11)
где С — некоторая положительная постоянная. Таким
образом, для произвольной функции u£Wlm(Q)
функция 8 а есть элемент пространства W\m (/?л) и к ней
можно применить (3.1.10). С учетом (3.1.11) получаем
Поскольку I v \\ц (/?Л) > || v \ц (2) для любого v б /,2 (/?")
и $и == и на 2, из последнего неравенства следует
неравенство
inf |D* (« - w|tt(e, <CA2»-WI«I 2«(g. , (ЗЛ.12)
• €Я(>> 2
справедливое для любого а с |a)<2w и 0<а^<т—1,
1 < / < /г. При этом, если #лт) (/?") — подпространство
всех функций из С™-1 (/?"), являющихся полиномами
степени 2т — 1 по каждой из переменных в каждом
гиперкубе 2/ со стороной А, то Я(лт) (2) есть просто
сужение //ав)(/?л) на 2. Оказывается, что, как и
предполагал Биркгоф, в выражении
{s Р"*«и>Г
1<х| < 2т
для \\u\\w2m не все члены являются необходимыми.
Улучшенная Брэмблом и Хилбертом [3.4] оценка (3.1.12)
такова.
Теорема 3.3. Для любого u£W\m(Q) а для всех
а с |a|<2m, 0<a/<m —1, 1 </</г, справедлива
оценка
inf |De(«-w)IMa)<
<CA2*-/«i 2 II 0х «Ik w. (3.1.13)
хек

Глава 8
37
где К — множество всех индексов х «=» (т^ ..., %п)
с |т| = 2яг, таких, что полиномы хх == х^хх2к..ххп" не
тождественны собственным интерполяциям Эр-
мита порядка т. Результат справедлив и для
случая ^ = Rn.
Заметим, что множество К из теоремы 3.3 всегда
содержит индексы (2т, О, 0,... ,0), (0,2яг,0,... ,0),... ,
(0, ...,0, 2/п), а при /г>2 заведомо содержит и другие
индексы.
Приведенные результаты можно интерпретировать как
результаты по интерполяции и аппроксимации с помощью
тензорного произведения одномерных сплайноя Эрмита.
Рядом авторов были получены также общие результаты
относительно аппроксимации тензорными произведениями
одномерных сплайнов. По аналогии с обозначениями,
введенными в § 1.1, обозначим через Sp<m>(A/f [a,, bt])
совокупность сплайнов, определенных на [ah ftj, каждый
из которых является полиномом степени 2т — 1 на под-
п
интервалах разбиения А,. Пусть 2 = fj (ah bt) — прямо-
п
угольный параллелепипед в Rn и Д = ПД*> гДе
А|€^(Л/, */). Положим те «> max ic£ и ««mlnw,. Будем
говорить, что A£5>a(Q), ^сли тс/те < а. Шульцем [3.7]
была доказана следующая
п
Теорема 3.4. Если u£Wr2i где 2 = П(Я/Л)€#'\
п
и А = П д* € ^* (2)» wo существует сплайн
i=\
w£® Sp(*)(A/, [а,, 6/]),
такой, что
И-HLp <tf*r-i«Lr (3.1.14)
для ясел; 0 < р < min (г, 2w — 1).

38
Глава 8
Используя подход Харрика [3.8], можно (см. [3.7])
обобщить теорию на случай я-мерных областей 2 с
п
сГПа*' bib для этого надо рассмотреть аппроксимации
п
В0(*)П Н{т) (д/> lah bi\)> где 9 (х) — положительная в 2
функция, обращающаяся в нуль на <?2 (подробности см.
в [3.7]).
Заметим, что Брэмбл и Хилберт [3.5, 3.6] также
получили результаты, аналогичные теореме 3.3, для
сплайнов, представимых в виде тензорных произведений
одномерных сплайнов на равномерной сетке с шагом ft.
Если через Snh для k^2 обозначить совокупность всех
функций в /?п, имеющих непрерывные частные
производные порядка k —.2 на любом гиперкубе со стороной Л
и полиномиальных степени k —* 1 по каждой из
переменных, то можно показать, что для любой функции и €
1пН1я-Ч*((*Л)< ^"'M^v °<s<k- <3ллб>
Используя теорему Кальдерона о расширении, как и в
доказательстве теоремы 3.3, приходим (см. [3.5, (3.6])
к следующему результату.
Теорема 3.5. Для любой функции u$W\(p)
inf l«-w|^(Q)<CA*-;l«lv*(Q). 0<у<*. (3.1.16)
aeSh
Основываясь на понятии квазиинтерполяции, Де Бур
и Фикс [3.9] получили глубокие результаты типа
оценки (3.1.16), но в нормах Wl(Q) (см. (5.1.20)).
§ 3.2. Обобщения зламаловского типа
Применение тензорного произведения в теории
многомерной интерполяции является только одним из
способов обобщения одномерных результатов. Другой способ,
близкий к методу конечных элементов, предложен Зла-

Глава 8
39
малом [ЗЛО—3.12] и может быть описан следующим
образом.
Предположим, что Q — ограниченная область в Rn,
которую можно триангулировать, т. е. разложить на
конечное число треугольных подобластей 7\, 1 ^ i ^ N.
Фиксируя i и вводя для краткости обозначение Т s= Ти
рассмотрим произвольный полином второй степени по
каждой из переменных
р (*i. х2) = аг+ а2хх+ а3х2+ а4 х\ + а5 хгх2 + а6х\. (3.2.1)
Пусть Pi — вершины треугольника Т и Q* — середины
его сторон 1 ^ i^ 3 (см. рис. 1). Легко видеть, что для
Рис. 1
любых констант \хи ои 1 ^ I ^ 3, существует
единственный полином р(хи *я) вида (3.2.1), такой, что
р(я,)-р„ р№-*и 1</<з.
Поэтому если функция f непрерывна на 7\ то существует
единственный полином р(х\9 #г). приближающий / на Т
в том смысле, что
f(Pi)-p(Pi)> f(Qi)-P(Qt)> K*<3. (3.2.2)
Зламал доказал (см. [ЗЛО]) следующее.
Теорема 3.6. Пусть задана произвольная
триангулируемая область
2с/?2, [J 7\=2,

40
Глава 3
и пусть через li обозначена наибольшая из длин
сторон треугольников Тt и через б — наименьший
из углов треугольников Т\. Тогда если f £ С3 (2) и s—
единственная кусочно полиномиальная функция,
интерполирующая f в смысле (3.2.2), то
v~sц<а,<*wer^pfl^"/ii-<2): ia|=3}} (3-2>3)
для любой триангуляции с 9 ^ 0О > 0, где константа К
не зависит от f и геометрии области Q.
Аналогичные результаты были получены Зламалом
для кусочно полиномиальных (степени 3)
интерполяций, определяемых значениями функции f и ее двух
первых частных производных в каждой вершине и
значениями f в центре тяжести каждого треугольника 7\.
Поскольку отрезок и треугольник являются
^-симплексами для п =^= 1 и п = 2 соответственно,
представляется естественным обобщить результаты Зламала на
ft-мерный случай при помощи понятия ^-симплекса
(я-симплекс—выпуклая оболочка п + 1 некопланарных
в Rn точек). Это и было сделано недавно Сиарле и
Вагшалем [3.13].
Всем этим результатам [3.10—3.13] присущ, однако,
общий недостаток, который хорошо виден на примере
теоремы 3.6. Как и в теореме 3.1 и ее следствии 3.2,
функциональное пространство, введенное для оценки
погрешности интерполяции (3.2.3), снова не то, которое
естественно было бы ожидать; в (3.2.3) естественно
ожидать точность h2 для /б W23(Q). К счастью, Зламал и
Брэмбл [3.14] предложили улучшенную и обобщенную
версию теоремы 3.6, которую мы сейчас и изложим.
Пусть заданы ограниченная область Q в Rn, граница
которой д£1 есть симплициальный комплекс (понятие
симплициального комплекса представляет собой
обобщение на случай Rn понятия многоугольника в R2) и
обобщенная триангуляция Т множества Q, т. е. Q
является объединением конечного числа ^-симплексов
5г, 1 ^ i <; N, внутренности которых попарно не
пересекаются, причем каждая (п — 1)-мерная грань любого
n-симплекса Si является либо частью <3Q, либо одной

Глава 3
41
из граней другого /г-симплекса триангуляции. Для
упрощения изложения предположим, что все симплексы 5г
правильны (равносторонни) и что область Q
триангулируема такими регулярными симплексами Sih для
некоторой последовательности Л->0, где h — длина общего
ребра правильного симплекса. Далее, если Th(Rn) —
подпространство в С°(/?п), состоящее из всех функций,
являющихся полиномами второй степени по каждой из
переменных в каждом (регулярном) симплексе S? (Rn =
= USb) сребром длины h, то Th(Q) определяется как
сужение Th(Rn) на Q. Пусть теперь задана функция
и б C°(Q). Существует единственная функция wh б Th(Q),
интерполирующая и в смысле (3.2.2). Тогда в духе
(3.1.8) — (3.1.12) можно доказать (см. [3.14])
следующую теорему.
Теорема 3.7. Пусть 2 — ограниченная область в
Rn, триангулируемая регулярными симплексами
Shi для некоторой последовательности h -*о. Тогда
для u£Wl(Q)
inf y-nw}m<Ch*-i\\u\\> у-0,1, (3.2.4)
weTh(Q) w2(S) W2{U)
где С не зависит от h и и.
Важно заметить, что результаты теорем 3.3 и 3.7,
доказанные для гиперкубов или для регулярных
симплексов в /?п, можно распространить на случай более
общих областей. В случае теоремы 3.3 можно использо-*
вать прямоугольные параллелепипеды, если при этом
отношения длин любых ребер ограничены сверху и
снизу равномерно по h. То же самое справедливо и для
теоремы 3.7.
Практическим применениям этого так называемого
метода конечных элементов зламаловского типа
посвящена работа Джорджа [3.15].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[3.1] G. BIRKNOFF, М. N. SCHULTZ, R. S. VARGA, Piecewise
Hermite interpolation in one and two variables with
applications to partial differential equations, Numer, Math., 11 (1968),
232-256.

42
Глава 3
[3.2] A. SARD, Linear approximation, Math. Survey 9, American
Mathematical Society, Providence, R. I., 1963.
[3.3] S. AGMON, Lectures on elliptic boundary value problems, Van
Nostrand, Princeton, N. J., 1965.
[3.4] J. H. BRAMBLE, S. R. HILBERT, Bounds for a class of
linear functionals with applications to Hermite interpolation.
Numer. Math., 16 (1971), 362—369.
[3.5] Estimation of linear functionals on Sobolev spaces with
applications to Fourier transforms, SIAM, J. Numer. Anal, 7
(1970), pp. 112—124.
[3.6] S. R. HILBERT, Numerical methods for elliptic boundary
value problems, Thesis, University of Maryland, 1969.
[3.7] M. H. SCHULTZ, Multivariate spline functions and elliptic
problems, Approximations with Special Emphasis on Spline
Functions, I. J. Schoenberg, ed., Academic Press, N. Y., 1969,
279—347.
[3.8] И. И. ХАРРИК, О приближении функций, обращающихся на
границе области в нуль вместе с частными производными,
функциями особого вида, Сибирск. матем. ж., 4 (1963), № 2,
408—425.
[3.9] С. DeBOOR, G, FIX, Spline approximation by quasi-interpo-
lants, J. Approx. Theory, to appear.
[3.10] M. ZLAMAL, On the finite element method, Numer. Math., 12
(1968), 394—409.
[3.11] M. ZLAMAL, On some finite element procedures for solving
second order boundary value problems, ibid., 14 (1969), 42—48.
[3.12] A finite element procedure of the second order
accuracy, ibid., 14 (1970), 394—402.
[3.13] P. G. CIARLET, C. WAGSCHAL, Multipoint Taylor formulas
and applications to the finite element method, ibid., 17 (1971),
84—100.
[3.14] J. BRAMBLE, M. ZLAMAL, Triangular elements in the finite
element method, Math. Сотр., 24 (1970), 809—820.
[3.15] J. A. GEORGE, Computer implementation of the finite element
method, Thesis, Rep. CS208, Computer Science Department.
Stanford Univ., California, 1971.

ГЛАВА 4
Метод Рэлея — Ритца — Галёркина
для нелинейных краевых задач
§ 4.1. Одномерная задача
Чтобы показать, как теоремы об интерполяции и
аппроксимации кусочно полиномиальными функциями
можно использовать для получения приближенных
решений нелинейных краевых задач, рассмотрим прежде
всего двухточечные краевые задачи, детально изученные
Келлером в [4.1].
Именно, рассмотрим задачу
Хи(х) = f(x, и(х))> —oo<a<x<6<oo, (4.1.1)
с однородными краевыми условиями Дирихле
D*u(a) = D*u(b) = 0, 0<£</я-1, (4.1.2)
и дифференциальным самосопряженным оператором
X вида
т
Хи(х) = % (-\У0'^(х)0Ы(х)}, т>1. (4.1.3)
Неоднородные краевые условия Dku(a) = аь, Dku(b) =
= Р*, 0 ^ k ^ т — 1, для одномерных задач можно
всегда свести к однородным условиям (4.1.2) при
помощи подходящей замены неизвестной. Другие типы
краевых условий в одномерном случае, такие, как
нелинейные условия, условия Неймана или смешанные условия,
могут быть изучены аналогично (см. [4.2, 4.3, 4.4]).
Относительно оператора X предположим, что все его
коэффициенты /?,.,0<у</я, ограничены на [а, Ь] и что
о
он 1#Т[а, 6]-эллиптичен, т. е. что существует
положительная константа /С, такая, что
b т
К^\^а.Ы< ]{%РЛ*Н°'*> (*))*} <** С4'1-4)
п J=0

44
Глава 4
для всех w € W? (а, Ь]у где W'" [а, £]— совокупность
вещественных функций w(x)> для которых (т — 1)-я
производная абсолютно непрерывна, Dmw^L2 [a, b)
и выполнены краевые условия DJw(a) = D%(ft)==0,
О < у < /я — 1. Кроме того, мы предположим, что
/(л;, я)— вещественная измеримая на [a, ft] X /?
функция, такая, что /'(x,v(x))€L2[(i, b] для всех v(x)$
£Wf [a, b\ и что почти для всех х£\а, Ь] и всех
— оо<#, z><oo, u^v, справедливо неравенство
Ь т
_- <Т<А= inf
w6^2 la»*]
tt>^0
\ до2 (jr)flfjc
(4.1.5)
Заметим, что поскольку знаменатель в правой
части соотношения (4.1.5) ограничен сверху величиной
Wl'^ie.&i' (см* О '1 *^* то из предположения W™ [а, Ь]-
эллиптичности (4.1.4) следует, что Л положительно.
Мы будем далее предполагать, что для любой
постоянной £>0 существует положительная постоянная
М(с), такая, что
f(x,u) — f{x,v)
и — V
<М(С) (4.1,6)
для почти всех х£[а,Ь] и всех ифю с |я|<£ и
|г>|<<?.
о
Введем в пространстве W2 [а, Ь) квазибилинейную
форму
Ь т
В (и, v) s С{2 Pi (х) D'a (х) D'v (x)j dx-
a )=0
b
~{/{x,u (x)) ■ v {x)dx. (4.1.7)

Глава 4
45
Будем говорить, что краевая задача (4.1.1) —(4,1.2)
имеет обобщенное решение u£Wf[a> b] (см. Браудер
[4.5]), если
.B(u,v) = 0 для всех v£W?[a, b]. (4.1.8)
Приведем общий результат, основанный на
обсуждаемой в § 4.2 теории монотонных операторов.
Теорема 4.1. В предположениях (4,1.4) —(4.1.6)
нелинейная краевая задача (4.1.1.) —(4.1.2) имеет един-
о
ственное обобщенное решение в W™[b> а].
Пусть SM — произвольное конечномерное
подпространство из WTlu* b\. По аналогии с (4.1.8) мы назовем
w\i€SM приближением по Галёркину обобщенного
решения и задачи (4.1.1) —(4.1.2), если
B(wM> *0 = 0 Для всех V€SM. (4.1.9)
Следующая теорема дает ответ на вопрос о
единственности элемента wM € SM и, кроме того, оценку для
и - wM.
Теорема 4.2. В предположениях (4.1.4) —(4.1.6)
существует единственный элемент wM из SM,
удовлетворяющий условию (4.1,9). Кроме того, существуют
константы К и К', не зависящие от выбора SM, такие, что
<tf'lnf |«-»| (4ЛЛ°)
weSM w2\a,b]
для всех 0<7</я—1, где и£W? [a,
b]~-единственное обобщенное решение задачи (4.1.1) — (4.1.2).
В § 4.2 мы покажем, что второе неравенство в (4.1.10)
следует из теоремы 4.6 о монотонных операторах.
Первое неравенство устанавливается элементарно; приведем
его доказательство. Для любсго v£W?[a, b\ и любого
неотрицательного /, 0 < j < т - 1, из того, что Djv (а)==

46
Глава 4
= DJv (b) = 0, следует, что
х Ъ
DJv (х) = Г DJ+lv (t)dt Г &+Ч (t) dt
а х
для всех х£[а> Ь\. Так как
ь
2DJv{x) = Г sgn(jc -t)Dl^v{t)dty (4.1.11)
а
(sgny=l для у>0 и sgny== — 1 для у<0), отсюда
вытекает, что
21 Dh \\LJa, ь)<(Ь~ а) || £>>+Ч, \\LJa, b]
для 0<у</?г —2, в то время как для у = /я —1,
применяя к (4.1.11) неравенство Шварца, получаем
2\\D^v\\Lja,b]<(b - a)W\D«vb.%{a.b\<
<(Ь ~ a)^v\\K[ab].
Из двух последних неравенств очевидным образом
следует существование положительной константы /С,
такой, что
\\^j^\Vja,b\<K\\v\w^[aib] для всех 0<у<т-1.
Это неравенство является частным случаем теоремы
вложения Соболева для одной переменной (см. Иоси-
да [4.6]).
Теперь уже нетрудно применить интерполяционные
и аппрэксимационные оценки для подпространств кусочно
о
полиномиальных функций из U72 [а, Ь]. Рассмотрим
произвольное пространство L-сплайнов Sp(iW, Д, z), где М
порядка г ;> 1 и z — положительное целое 1 <; z <; г.
Имеем Sp(M, Д, 2)cF2M[a, 6]. Предположим, что
2г — 2 !> /я, и сосредоточим внимание на
подпространстве Sp0(iW, Д, z) пространства Sp(M, Д, z)y состоящем
из элементов, удовлетворяющих краевым условиям (4.1.2).
о
Это конечномерное подпространство в W2 [#> b].
Поэтому, сопоставляя теоремы 4.1 и 4.2 с оценкой (1.2.20)
из следствия 1Л0, приходим к следующему результату.

Глава 4
47
Теорема 4.3. В предположениях (4.1.4) — (4.1.6)
о
пусть u^WT[a, b] является единственным обобщен-
ним решением задачи (4.1.1) — (4.1.2), и пусть
SMz=SpQ(M, btz)<zW2\af b], где М порядка г и
2r--z>m uWM единственный элемент из SM,
удовлетворяющий условию (4.1.9). Тогда для всякой
функции u$W\\a, b]y /тг<о<2г,
\\DHu-WM)kja*b\<K\\U-UM\\Wm[atb]<
<AV~m, 0<y<w-l. (4.1.12)
Разумеется, аналогичные результаты можно также
установить для подпространств /^-сплайнов и у-сплай-
нов из W? ^ *!•
Нетрудно показать, что оценка (4.1.12) в норме
||»|Lmf ь неулуяшаема. Но соответствующая оценка
в норме || • || l [а, ь\ уже не является таковой, поскольку
со
она получена как следствие оценок в норме ||.J^[а> bv
Иллюстрируем это на следующем примере. Рассмотрим
частный случай задачи (4.1.1) —(4.1.2)
-D*u(x)-f(xt и), 0<*<1,
я(0) = «(1)-0,
где функция /€С°([0, 1] X R) удовлетворяет
предположениям (4.1.5) — (4.1.6) с А = it2. Из теоремы 4.3, исполь-
о
зуя подпространство Эрмита #(01}(д«) с W\ [О, 1],
получаем, в силу (4.1.12) (с о = 2, /тг=1), что если
единственное обобщенное решение и задачи (4.1.13) является
элементом пространства С2 [О, 1], то \и — ^мк^о. ij</Ctc.
Сиарле [4.7] установил улучшенную оценку
\\и — Ммк^о.цККк2;
его результат был впоследствии обобщен Перрэном,
Прайсом и Варгой [4.8]. Изложим вкратце это
обобщение.

48
Глава 4
Пусть дана нелинейная краевая задача (4.1.1) —
(4.1.2). Возьмем подпространство у-сплайнов 50(55, Д, -г),
где X задается формулой (4.1.3). Здесь важно то, что
дифференциальный оператор £ выбирается равным
оператору Е из (2.2.1), определяющему пространство
у-сплайнов. Следуя построениям работы [4.8], можно
показать, что если и ^ fym [а, Ь] обобщенное решение
задачи (4.1.1) — (4.1.2), wM — его приближение из S0(#, Д, z)
(см. теорему 4.3) и ^ — приближение и в S0(%, Д, z)
в смысле определения (2.2.4), то
\\w^wM\\w>)b]<K\\w^u\\Li{Qtb]. (АЛЛА)
Если же u£Wa2[a% b\, /я<<з<2/я, то, как вытекает
из теоремы 2.3 и следствия 1.10,
|D^w-*0lkla.*l<K«"-'. 0<y<w. (4.1.14')
Неравенство (4.1.14) с учетом неравенства (4.1.14') при
у —0 дает
\\™-™м\\К[а,Ь]<К*>. (4.1.14")
Воспользовавшись теперь неравенством треугольника и
двумя последними неравенствами, получим
для любого 0<;у< т. Аналогичные результаты могут
быть установлены и в норме || • Ц^ :
Теорема 4.4. В предположениях (4.1.4) — (4.1.6)
о
пусть и € WTia, b] — единственное обобщенное
решение задачи (4.1.1)— (4.1.2). Пусть, далее, u£W°2[a, b]y
где /я<о<2/я. Тогда, если SM^SQ(<%, Д, z) и
wM — единственный элемент из SM, удовлетворяю-

Глава 4
49
щай условию (4.1.9), то
\Di(u-wM)\L4{a%b\<K*9-i, 0<j<m. (4.1 Л 5)
Кроме того, если и£С°[а, Ь], /я<о<2т, и w
£S0(%, Д, z)~~ единственный интерполянти в
смысле (2.2.4) — удовлетворяет неравенству
\\DJ(u-~w)\\Ljaib]<Kn°-J, 0<у<да —1, (4.1.16)
то
\\Dj{u-wM)\\Ljaib\<K*°->, 0<y<m-l. (4.1.17)
Заметим, что Z,-сплайны Эрмита и полиномиальные
сплайны (из Sp(fll)(A)), определенные для равномерного
разбиения Дц отрезка [а, Ь], удовлетворяют требованию
точности (4.1.16) (см. Шварц и Варга [4.9]). Таким
образом, имеется много случаев, в которых справедливы
улучшенные оценки (4.1.17).
Интересно также заметить, что повышенный порядок
точности можно получить, используя конструкцию
Хьюлма [4.10], который обобщил результат Роуза [4.11]
(некоторые подробности можно найти также в работе
[4.8]).
§ 4.2. Теория монотонных операторов
В этом параграфе кратко обсуждается теория
монотонных операторов, развитая Сарантонелло [4.12],
Браудером [4.5] и Минти [4.13]. Более полное
изложение с упором на приложения имеется в [4.12]. Теория
монотонных операторов будет использована ниже при
рассмотрении приближений по Галёркину решений
нелинейных эллиптических краевых задач.
Пусть Н — вещественное гильбертово пространство
со скалярным произведением (•, -)H и нормой ||-|| и
пусть Т—(возможно, нелинейное) отображение из И
в Я, удовлетворяющее следующим условиям:

50
Глава 4
Т конечно непрерывно, т. е.
непрерывно как отображение из
конечномерных подпространств пространства Н в //,
наделенное слабой топологией. Другими
словами, если заданы произвольное
конечномерное подпространство Нk в Н и
произвольная последовательность {#л}~=1
элементов Н£, сходящаяся к элементу и£Н,
то последовательность {(Тип, v}^^
сходится к (Ти, v)H для любого v£H;
Т строго монотонно, т. е. существует
положительная константа /С, такая, что
К\\ и — v ||2 < (Ти — 7Ч>, # — v)H для всех
я, v$H.
Более слабые условия, формулируемые в терминах
рефлексивных банаховых пространств, можно найти в
работах [4.5] и [4.14].
Рассмотрим задачу нахождения и 6 Я, такого, что
Ти — 0, (4.2.3)
или, эквивалентно,
(Ти, 4я0 Для всех v£H. (4.2.4)
Абстрактный метод Галёркина для уравнения 7н — 0
заключается в том, что ищут элемент ин б #а, где #* —
произвольное конечномерное подпространство в Я,
удовлетворяющий аналогичному соотношению
(Tuk, v)H — 0 для всех -и € #*• (4.2.5)
Следующий результат принадлежит Браудеру [4.5].
Теорема 4.5. Пусть Г*»конечно непрерывный и
строго монотонный оператор. Тогда уравнение Ти = 0
(см. (4.2.3)) имеет единственное решение и. Аналогично
для любого конечномерного подпространства Hk в Н
существует единственный элемент ик б Hh {приближение
по Галёркину для решения и), удовлетворяющий
соотношению (4.2.5).
Для того чтобы изучить сходимость приближения по
Галёркину ин б Hh к решению и уравнения Ти = 0, пред-
(4.2.1)
(4.2.2)

Глава 4
51
положим дополнительно, что оператор Т ограничен, т. е.
что Т переводит ограниченные подмножества Я в
ограниченные (см. [4.14]).
Теорема 4.6. Пусть Т — конечно непрерывный
строго монотонный ограниченный оператор. Тогда если
и — единственное решение уравнения Ти = 0 и Uk — его
единственное приближение по Галёркину в Я& (см.
(4.2.5)), то существует положительная константа К,
такая, что для любого конечномерного подпространства
HheH
|й-лл|2</Г inf \\и- wj. (4.2.6)
w£Hk
Кроме того, если оператор Т непрерывен по Липшицу
для ограниченных аргументов, т. е. если для любого
заданного М^>0 существует константа К(М), такая, что
\Ти — Tv\\*CK(М)\\и — v\\ для всех и% v£H с
\\и\\<М9 \\v\\<M, (4.2.7)
mo существует положительная константа К,
такая, что
N-«*K* inf Ця-wi /4.2.8)
для любого конечномерного подпространства Яд в Я.
Все наше обсуждение свойств монотонных
операторов опирается на.неравенства (4.2.6) —(4.2.8). При
подходящем выборе конечномерных подпространств Я& в Я
мы можем применить результаты глав 1—3 по
интерполяции и аппроксимации непосредственно к
inf Кя-даЦ
и получить, согласно (4.2.6) и (4.2.8), оценки нормы
погрешности приближения по Галёркину \\и — и*||.
В частности, непосредственно из теоремы 4.6
вытекает
Следствие 4.7. Пусть Т — конечно непрерывный
ограниченный строго монотонный оператор в И и пусть
{Н'*}£=! ~* последовательность конечномерных подпро-

52
Глава 4
странств в И, такая, что
!im{ inf \\u~w\\} = 0, (4.2,9)
где и — единственное решение уравнения (4.2.3).
Тогда
lim |я-0*1 = 0, (4.2.10)
fe + oo
где uk£Hk, £ = 1,2, ..., — единственное
приближение по Галёркину элемента и£Н.
§ 4.3. Приближения по Галёркину для нелинейных
краевых задач
В этом параграфе мы опишем приложения теории
монотонных операторов к исследованию приближенных
решений нелинейных краевых задач.
Пусть Q — ограниченная область в Rn, я>1 с
достаточно гладкой границей dQ. Для удобства
предположим, что Q удовлетворяет строгому условию конуса (см.
§ 3.1). Рассматривается следующая задача Дирихле для
уравнения 2/п-го порядка:
£ (- 1)Н/>{Аг(*, и(х)9 ..., D« (а(х)))} - 0, х £ 2,
а|<т
DP0(jc) —0 при x£dQ для всех |p|</it —1. (4.3.1)
Здесь через Аа(х, и, ...,Dmu) обозначены функции,
которые могут зависеть от х и производных D^u с
о
|^|<т. Напомним (см. § 3.1), что через №2 (2)
обозначается гильбертово пространство, являющееся
пополнением в норме
!/Р*«(В)- 2 ^ffdx (4.3.2)
Ja|<m 2
пространства Cg° (2) всех вещественных бесконечно
дифференцируемых функций / с компактным
носителем в 2.

Глава 4
53
Для любых и> v € W™ (2) формально введем квази-
билинейную форму
В(и, v)s S [л. (-*.«■ •••* Dmu)-D«vdx. (4.3.3)
|a|<m ^
Будем говорить, что функция # из W% (2) является
обобщенным решением задачи (4.3.1), если
В (и, v) = О для всех v € $? (2). (4.3.4)
Квазибилинейная форма (4.3.3) и соотношение (4.3.4)
формально получаются следующим образом.
Предполагая, что и — решение задачи (4.3.1), умножим уравне-
О -.
ние (4.3.1) на произвольную функцию v$W2(P)
и затем проинтегрируем по Q. Интегрирование по частям
с учетом граничных условий (4.3.1) и дает (4.3.4).
Если воспользоваться теоремой 3.1 из работы [4.14],
то можно установить следующий факт.
Теорема 4.8. Пусть функции AQL(xi su ...,sm),
фигурирующие в (4.3.1), измеримы по x£Q и не-
прерывны по совокупности остальных аргументов
Sj для почти всех лг£2. Пусть, далее g{r)
—неотрицательная непрерывная функция на [О, со],
о
такая, кто какова бы ни была функция u$W2 (2),
1АЛ*.«, ...tz>»*)|<£{ S |Др*|}х
|P|<m—я/2
{1+ £ \йЩ + 2 \ОЫ\"*1Р'} (4.3.5)
IPI-ff
для всех | a
* 1т1<Ж где
/г
1
?«" в ч
I—я/2 /я-л/2<|р|</я
<!#г, почти всех x£Q и все.
?р-2/г/(л-2/и+2|р|)
1 /г/?а |a|<m 2-t
1 , m— 1 a 1 .ii^ л
D^u

54
Глава 4
о
Тогда для любой функции u^W?(Q) существует
константа К=Ки, зависящая от и, такая, ято
\В(и, *)\<КаМ„т{Я) для всех vGW?(Q). (4.3.6)
Отметим, что в доказательстве теоремы 4.8
используются теоремы вложения Соболева (см, [4.6]).
Именно здесь нужна достаточная гладкость границы 3Q, для
того чтобы были применимы теоремы вложения.
Как следствие (4.3.6) получаем, что квазибилинейная
о
форма (4.3.3) является для каждого #£\#Т(2) ограни-
о
ченным линейным функционалом относительно v € WT (2).
Применяя теорему Рисса об общем виде ограниченного
линейного функционала в гильбертовом пространстве
(см. [4.6]), приходим к выводу, что существует един-
о
ственный элемент Ти € W^2 (2), такой, что
В {и, v) — (Tu, v)wfw для всех v^Wf(Q), (4.3.7)
о
где («, *)mm —скалярное произведение в W?(Щ- Тем
™ 2 №
о о
самым определяется отображение Т из W™ (2) в W% (Q).
Свойства отображения Т описывает следующая
теорема (см. [4.13]).
Теорема 4.9. В предположениях теоремы 4.8
о о
отображение Т: W2 (2)—>№г (2), определяемое
равенством (4.3.7), ограничено и конечно непрерывно.
Если, кроме того, существует положительная
константа К, такая, что
для всех и, v€W?(Q)% (4.3.8)
то Т строго монотонно. Отсюда следует, что
обобщенная задача Дирихле (4.3.1) имеет един-
о
ственное обобщенное решение #£№Т(2), метод
Галёркина определяет для любого конечномер-
о
ного подпространства Hk£W2i&) единственное

Глава 4
55
решение uk£Hk и существует положительная
константа К, такая, что
Ограничения (4.3.5) на коэффициенты Ла (х, и,..., Dmu),
конечно, весьма жестки. Однако с учетом априорных
оценок для обобщенного решения и задачи (4,3.1)
можно определить новую задачу (4.3.1) так, чтобы новые
коэффициенты Ла (х, и, ..., Dmu) уже удовлетворяли
ограничениям (4.3.5). Далее, во многих интересных
случаях отображение Г, определяемое равенством (4.3.7),
оказывается непрерывным по Липшицу, что приводит
к улучшенному по сравнению с (4.3.9) неравенству (ср.
с оценкой (4.2.8) из теоремы 4.6)
I" - ** I <(*,< *£Уи ~ w !rt-(B) <4-ЗЛ0>
(подробности см. в [4.14]). Заметим, что (4.3.9) и
(4.3.10) не дают прямо оценок скорости сходимости
приближений по Галёркину, поскольку они зависят от
выбора Яд. Тем не менее оценки (4.3.9) и (4.3.10) являются
важным этапом при использовании результатов глав
1—3 по теории аппроксимации.
Поучительно пересмотреть частную нелинейную
двухточечную краевую задачу (4.1.1) — (4.1.3) в свете теории
монотонных операторов. Общая квазибилинейная
форма (4.3.3) в этом случае принимает вид (см. (4.1.7))
b т b
B\u,v)s*^{'%pjD'u-Div}dx-^f(x, u(x))-v{x)dx,
а У=0 а
(4.3.11)
О
где и, v€W2[a, Ь]. Поскольку, как было
предположено в § 4.1, коэффициенты Pj(x) ограничены на [а, Ь]
и f(xy и)£Х2\а, Ь] для всех #£№Т[а, Ь\% то,
применяя неравенство Шварца к интегралам (4.3.11), легко
получаем неравенство
\В(а9 v)\<Ka\\v\\ а для всех и, v$W?[a, Ъ].
(4.3.11')

56
Глава 4
Отсюда, как и в случае (4.3.6), следует, что существует
отображение Т\ W? [#, Ь] —> W? [а, Ь), удовлетворяющее
условию
В (а, v) — (Tu, v)„ для всех «, v$W™\a, Ъ\*
W2 [а,о]
(4.3.12)
Как и в теореме 4.9, этот оператор Т ограничен и
конечно непрерывен. Покажем, что Т является еще
и строго монотонным. Достаточно доказать, что
для всех и, v£W$[a, Ь\. (4.3.13)
В силу (4.3.11)
т b
В (и, u-v)-B(v, и -v) = ^i[pJ(Dj\u-v)f dx-
J=0 a
a
С учетом предположения (4.1.5) это приводит к
неравенству
В (я, u — v) — B(vi u — v)^
т b
>(^)2$MD'<a-*))8d*.
/=0fl
которое, согласно (4.1.4), сводится к искомому
неравенству (4.3.13). Таким образом, Т — строго монотонный
оператор.
Нам осталось показать, что определяемый
равенством (4.3.12) оператор Т непрерывен по Липшицу (см.ч
(4.2.7)). Так как норма элемента Tu—Tv может быть
представлена в виде
\(Ta — Tv,w) |
\Tu-Tv\ wmlab= sup m ^^-, (4.3.14)
W^2 \b,a\
то достаточно рассмотреть выражение (Та — Tv, w)wm b}.

Глава 4
57
или, что эквивалентно (см. (4.3.12)), В (a, w)—B(v, w).
Учитывая предположение (4.1.6), легко установить, что
\(TU — Tv,W) т \<K(M)\\U — v\\ т 4™\\ т
(4.3.15)
для всех
и, v, weW?[at b) с \*\^йМ<М и 1И<1а,м<^
В силу (4.3.14), неравенство (4.3.15) приводит к
неравенству
Но это и означает, что оператор Г непрерывен по
Липшицу для ограниченных аргументов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[4.1] Н. В. KELLER, Numerical methods for two-point boundary-
value problems, Blaisdell, Waltham, Mass., 1968.
[4.2] P. G. CIARLET, M. H. SCHULTZ, R. S. VARGA, Numerical
methods of high-order accuracy for nonlinear boundary value
problems. I. One-dimensional problem, Numer. Math., 9 (1967),
394—430.
[4.3] II. Nonlinear boundary conditions, ibid., 11 (1968),
331—345.
[4.4] IV. Periodic boundary conditions, ibid., 13 (1968), 266—
279.
[4.5] F. E. BROWDER, Existence and uniqueness theorems for
solutions of nonlinear boundary value problems, Proc. Amer.
Math. Soc. Symposia in Appl. Math., 17 (1965), 24—49.
[4.6] К. ИОСИДА, Функциональный анализ, «Мир», 1967 (1965).
[4.7] P. G. CIARLET, An 0(h2) method for a non-smooth boundary
value problem, Aequationes Mathematicae, 2 (1968), 39—49.
[4.8] F. M. PERRIN, H. S. PRICE, R. S. VARGA, On higher order
methods for nonlinear two-point boundary value problems,
Numer. Math., 13 (1969), 180—198.
[4.9] B. SWARTZ, R. S. VARGA, Error bounds for spline and
L-spline interpolation, J. Approx. Theory, to appear.
[4.10] B. L. HULME, Interpolation by Ritz approximation, J. Math.
Mech., 18 (1968), 337—342.

58
Глава 4
[4.11] М. Е. ROSE, Finite difference schemes for differential
equations, Math. Сотр., 18 (1964), 179—195.
[4.12] E. H. ZARANTONELLO, Solving functional equations by
contractive averaging, MRC Tech. Rep. 160, Mathematics Research
Center, U. S. Army, Univ. of Wisconsin, Madison, 1960.
[4.13] G. MINTY, Monotone (nonlinear) operators in Holbert space,
Duke Math. J., 29 (1962), 341-346.
[4.14] P. G. CIARLET, M. H. SCHULTZ, R. S. VARGA, Numerical
methods of high-order accuracy for nonlinear boundary value
problems. V. Monotone operator theory, Numer. Math., 13
w(1969), 51-77.

ГЛАВА 5
Анализ Фурье
§ 5.1. Общие замечания и обозначения
В исследованном нами выше случае ограниченной
области Q в Rn возможности применения кусочно
полиномиальных функций для приближенного решения
нелинейных эллиптических краевых задач довольно сильно
ограничены необходимостью следить за выполнением
граничных условий. Если же мы рассмотрим
аналогичные задачи, определенные на всем /?п, то эта трудность
устраняется и, что более важно, может быть применен
мощный аппарат преобразования Фурье. В этой главе
мы частично изложим чрезвычайно элегантные и
глубокие результаты Стрэнга и Фикса [5.1—5.3], к подходу
которых тесно примыкают методы ди Гульельмо [5.4],
Обэна [5.5J и Бабушки [5.6].
Как обычно, через CS° (Rn) обозначается множество
всех бесконечно дифференцируемых функций и(х)*=
«й^,..,, хп) с компактным носителем в R" (функция
и(х) имеет компактный носитель, если она тождественно
п
равна нулю при достаточно больших \x\z~ ( 2 */)1/2)«
Для любого неотрицательного целого s выражения
,в|<* (5 1 1)
°° I а |<*
определяют нормы в Со (Rn), и через W*(Rn) и WU (Rn)
обозначаются пополнения С™ (Rn) в этих нормах. Для
удобства в дальнейшем вместо W$p(Rn) будем писать W%.
Обозначим через а преобразование Фурье функции

60
Глава 5
а (?) — \ и (х) е~1хЧх\ (5.1.2)
здесь
х = (х^ х2, •.., хп), ; =■ (5lf 52» •.. э чп)
и
**«*!*,+... + .*:„£„•
Следует заметить, что в случае, когда u£(W$)0, и по
теореме Пэли — Винера является целой функцией
экспоненциального типа (см. Хёрмандер [5.7]). Это
замечание окажется полезным при доказательстве
теоремы 5.1. Далее, используя формулу Парсеваля, можно
определить норму, эквивалентную || • | *, соотношением
lafa-^HWl+lWflK. (5-1.3)
Обозначим через Zn множество, состоящее из всех
целочисленных наборов (ju у2,..м /„), а через Z\—
множество всех таких наборов с неотрицательными
компонентами. Для любых a, P€Z+ введем стандартные
обозначения
а!-^!...^!, (^ j «_2L_ для а>р;
при этом а ^> (3 в том и только том случае, когда av ^> (3V
при каждом v, 1 <><!/г.
Отправной точкой исследований Стрэнга и Фикса
является фиксированная функция <р (л:) £ iW$)v Итак, ср —
функция из WP2, имеющая компактный носитель. Для
произвольного параметра А>0 и любого j€ Zn мы
можем определить по ср другую функцию у) 6(^2)0 при
помощи соотношения
*}(*)-A-^-f-/). (5.1.4)

Глава 5
61
Например, если
( 1 — х при 0 < х < 1,
а(х) = | х-f-l при — 1<д:<0,
I О в остальных точках,
то о € (W\ (/?))0; соответствующие функции о) (лг)-это так
называемые функции-шапочки (см. рис. 2).
Исследуются аппроксимации в W% с помощью
линейных комбинаций введенных функций ч*}(х)
2«>5<р5С*)-
(5.1.5)
№п
Одним из основных результатов, полученных Стрэн-
гом и Фиксом [5.2], является следующая теорема
эквивалентности.
Теорема 5.1. Пусть <р€(НР?)о- Тогда следующие
три условия эквивалентны:
(i) ср (0) =т^= 0, но ср имеет нули порядка по
крайней мере р +1 бо всех других точках множества
2rcZ", т. е.
Z>? (2«/) - 0, если 0 ^ j £ Z\ | а |< р; (5.1.6)
(И) для любого |а|</? ряд 2 jay(t — j) факти-
jezn
чески представляет собой полином по /lt...f tn
с главным членом С7а, С Ф0\
(111) для любого u^W^1 существуют веса w).

62
Глава 5
такие, что при А—»О
2[«5|2<*|«|Зго, (5Л.8,
г<?£ константы cs и К не зависят от и.
Доказательство теоремы 5.1 слишком длинно для
того, чтобы приводить его здесь. Заметим только, что
при установлении эквивалентности условий (i) и (п)
используется формула Пуассона (см. [5.7]); эта часть
доказательства относительно легкая. Более трудно
установить эквивалентность (i) и (ш), для чего требуются
теорема Пэли — Винера и некоторые нетривиальные
оценки из теории целых функций (см. [5.7, стр. 00]).
Важно также заметить, что если функция tt£W%*1
имеет компактный носитель, то приближающая функция
2 wffi из (5.1.7) также имеет компактный носитель
jezn
и фактически сосредоточена на множестве
{*€#": dlst(*, suppa)<£±±ft}.
Это означает, в частности, что результат (5.1.7)
теоремы 5.1 применим к краевым задачам, таким, как (4.3.1),
с однородными условиями на границе. Далее, нужно
отметить, что степень h в (5.1.7) является точной;
кроме того, оценка (5.1.7) справедлива и для нецелых
значений s. Последнее является следствием того факта, что
выражение (5.1.3) определяет норму и для нецелых
значений s.
Исходя из теоремы 5.1, можно сделать ряд
интересных заключений. В одномерном случае (п = 1)
простейшая удовлетворяющая условию (i) теоремы 5.1 функция
имеет вид
°р
«)-{^Г1. (5Л.9)
Она является преобразованием Фурье В сплайна
Шёнберга оР(х) (см. Шёнберг [5.8]). Для р = 1 сплайн

Глава 5
63
>(*)- l
6
Cl(x) представляет собой описанную ранее функцию-
шапочку. Для /? = 3 функция аз (х) — это кубический
сплайн, определяемый формулами
(О, *>2,
(2-*)*, 1<*<2,
|1 +3(1 —jc)+3(1 _д:)2_3(1 —л:)3, 0<лг< 1,
(5.1.10)
Как хорошо известно, кубический В-сплайн о$(х)
оказывается очень полезным при конструировании базиса
в практических вычислениях с помощью сплайнов (см.
Херболд [5.9]).
Анализ одномерных сплайнов Эрмита приводит к
обобщенной форме теоремы 5.1. Как мы видели, в
одномерном случае (п = 1) сплайны Эрмита имеют
несколько базисных функций в каждом узле. Это наводит на
мысль рассмотреть N фиксированных функций <р11#.., <pN
€ (WOo и соответственно ввести для каждого
параметра h >0 функции
^(х) = Ь-п12ъ(т-~<?)> Kl<N> ^€Z«. (6.1.11)
Приближения в W% строятся теперь при помощи сумм
вида
2 «ЪЛЛ*)- <5ЛЛ2)
Обобщение теоремы 5.1, данное Стрэнгом и Фиксом
[5.2], формулируется следующим образом.
Теорема 5.2. Пусть <ри <р2,...э <?N€(Wl)0 tt /?>
^><7>-0. Тогда следующие три условия
эквивалентны:
(i) существуют линейные комбинации фа
функций <pt, такие, что
ф0(0)—1, $0(2icy)=-0 для всех 0^/€Z* (5.1.13)

64
Глава 5
U
^^ff^-O для всех J^Z\ 1<|а|</,;
(5.1.14)
(И) имеются линейные комбинации фа функций
<?i, удовлетворяющие соотношениям
-jr = SS pi > !аК^ (5.1.15)
(Ш) для каждой функции u£W%*1 существуют
веса whij, такие, что при Л-*0
(5.1.16)
Sl^!2<*J*|Vo, (5.1.17)
и
причем константы с8 и К не зависят от и.
Даже для случая равномерной нормы Стрэнг и Фикс
[5.2] получили результаты, обобщающие известные
результаты для сплайн-аппроксимаций на равномерных
разбиениях Ди.
Теорема 5.3. Пусть для функций <Pi,...,<p^
выполнены требования теоремы 5.2, 0 -< q <; /?,
и пусть, кроме того, <ри ... >yN€{Wl>\. Тогда, если
определить квазиинтерполянт ин функции u£Wp+1
формулой (см. теорему 5.2, (i))
2*W- S S (Dea)^A)*,e|t.(x-A <5лл8>
У € гл |а|< р
то будет справедлива оценка
\*~u4ws <cshp+i-*luip+i для s =0,1,...,?. (5.1.19)

Глава 5
65
Основная идея доказательства этой теоремы
заключается в использовании конечного разложения Тейлора
для ап (х) в сочетании с полиномиальным свойством (5.1.15)
функций фа. Более точно, если положить x/h = k + t,
где t = (^,... , *„), 0<^<Ь то после замены /=у_*
соотношение (5.1.18) дает
£)? и* (х) «2 2 D" * (*А +/А) A,e,HPI D< Ф«с-о.
Разлагая D* u(kh+lh) в конечный ряд Тейлора,
получаем
DP «а И - 2 2 Da+T й (АА) -^г-А,в,чв| X
l |a+Tl</?
XD?<M<-0+*i(*).
Используя (5.1.15), это выражение после некоторых
преобразований можно при |р| = s ^ р записать в виде
D*uh{. )*=D*u(x) + Е2{х)у
где функция Е2(х) ограничена правой частью
неравенства (5.1.19).
Интересно упомянуть о других аналогах оценки
(5.1.19). Пусть Q cz Rn — произвольное открытое
множество и Q' — подмножество в Q, обладающее свойством
dlst(Q', dQ)XS + \/T)h%
где S — радиус наименьшего шара с центром в начале
координат, вне которого все ср* тождественно равны
нулю. Тогда можно определить квазиинтерполянт йн
функции иу такой, что
для 5=0, 1, ... %q. (5.1.20)
Подробности см. в работах Стрэнга и Фикса [5.2], Дек-
лу [5.10] и Де Бура и Фикса [5.12].
Чтобы получше прочувствовать
квазиинтерполяционную формулу (5.1.18) из теоремы 5.3, рассмотрим для

66
Глава 5
конкретности частный случай п = 1, N = 1, q = 3 == р.
В этом случае формула (5.1.18) принимает вид
£*(*)- 2 {*с/*)--т^2«(УЛ)}<»8(х-"-/)' <5Л-21)
где а3 (л:) — функция, определенная соотношением (5.1.10),
Так как о3 ™еет носителем [—2, +2] (см. (5.1.10))
и о3(0) = 4/6, e3(±0—l/6f то (5.1.21) при х==0 дает
uh (0) = -L((4a (0) + а (А) + и(-А)) - -£ (4D2a(0) +
+ D*u(h) + D*a(-fi))\t
используя теперь конечное разложение Тейлора, легко
показать, что
uh(0)=u(0) + O(h*) (5.1.22)
для u^Wlc(R). Заметим, что функция и\ вообще говоря,
не интерполирует и(х) в точках jh, y(:Z, почему она
и называется квазиинтерполирующей.
§ 5.2. Приложения
Ввиду большой силы результатов § 5.1 существует
много частных задач, в которых применимы полученные
оценки погрешности. Здесь одним из первых следует
назвать применение к исследованию методов типа
Галёркина для построения приближенных решений
эллиптических задач.
Рассмотрим линейную эллиптическую задачу на
всем Rn.
Xu{x) = f{x), x£R\ (5.2.1)
где
Ха(х)= 2 (-l)?Dt{qat(x)D«a(x)}. (5.2.2)
|o|. IPKm
Предположим, что все коэффициенты q^(x) ограничены
в Rn и соответствующая билинейная форма В {и, v),

Глава 5
67
определяемая соотношением
B(u,v) = 2 jj qaiD*uD*vdx, u,v£W?, (5.2.3)
И. IP|<« f?»
является 1#Т(/?л)-эллиптической, т. е. существует
постоянная р>(Х такая, что
В{и% «)>pl«fmm для всех йеЯ7?. (5.2.4)
Тогда функция я называется обобщенным решением
задачи (5.2.1), если
В {и, v)=\fvdx для всех v^W*. (5.2.5)
Аналогично если 5Л — конечномерное подпространство
пространства Wf, то.ин есть приближение по Галёркину
решения и задачи (5.2.1), если
B(uh,wh) = \ fwhdx для всех wh£Sh. (5.2.6)
Из (5.2.5) и (5.2.6) следует, что
B{uh — и, wh) = 0 для всех wh£Sh. (5.2.7)
В силу (5.2.4), (5.2.7) и ограниченности коэффициентов
билинейной формы В (и, v) имеем
РИЛ- и Lm <B(uh-uyuh-u) = B {uh -u,wh-uX
<K \\uh - Ulv/m\\^h—ul m ДЛЯ BCeX Wh £ Sh
и, следовательно,
\*k-u\wm<K inf I a - w* I ш. (5.2.8)
Отметим, что это неравенство можно было бы получить
непосредственно как частный случай неравенства (4.2.8)
из общей теоремы 4.5 о монотонных нелинейных
операторах.
Если подпространство Sh состоит из элементов вида
(5.1.12), где функции фг- удовлетворяют условию (i)

68
Глава Ъ
теоремы 5.2 с q ^ т, то мы можем использовать оценку
(5.1.16) для погрешности uh — и, т. е. если и £ U^f+1 и
р + 1 > т, то
\*k-*\^<Kbp+l-m\u\wP+i- (5-2-9)
Способ получения улучшенных оценок погрешности
в норме \\uh — и\\ s для 0<$<т менее очевиден. Сле-
дующий результат принадлежит Стрэнгу и Фиксу [5.2].
Теорема 5.4. Пусть обобщенное решение и
задачи (5.2.5) принадлежит W^x, р + 1 >/я. £с./ш
подпространство Sh пространства W™
удовлетворяет предположению (i) теоремы 5.2, wo для /z/ж-
ближения по Галёркину uh£Sh (см. (5.2.6))
справедливо неравенство
\\ti~X%s <Kh'\u\wS+i9 0<s<m, (5.2.10)
где
a = min{p+\-s; 2(p + l-m)}. (5.2.11)
В работе [5.2] получены аналогичные результаты и
для случая нормы II • 1^* . Кроме того, там же
доказана неулучшаемость показателя степени параметра h в
правой части неравенства (5.2.10).
В заключение заметим, что оценку (5.2.10) —(5.2.11)
можно также получить при помощи метода,
предложенного Нитче [5.11], и что показатель степени параметра h
в (5.2.10), заданный формулой (5.2.11), остается неулуч-
шаемым и для краевых задач.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[5.1] G. FIX, G. STRANG, Fourier analysis о! the finite element
method in Ritz—Galerkin theory, Studies in Appl. Math., 48
(1969), 265—273.
[5.2] G. STRANG, G. FIX, An analysis of the finite element method,
Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., to appear.

Глава 5
69
[5.3] G. STRANG, The finite element method and approximation
theory, Numerical Solution of Partial Differential Equations,
И, В. E. Hubbard, ed., Academic Press, N. Y., 1971, 547—583.
[5.4] F. diGULIELMO, Construction d'approximations des espaces
de Sobolev sur des reseaux en simplexes, Calcolo, 6 (1969),
279—331.
[5.5] J.-P. AUBIN, Evaluation des erreurs de troncature des
approximations des espaces de Sobolev, J. Math. Anal. Appl., 21
(1968), 356—368.
[5.6] I. BABUSKA, Approximation by hill functions, Tech. Note
BN-648, Institute for Fluid Dynamics and Applied Mathematics,
Univ., of Maryland, 1970.
[5.7] Л. ХёРМАНДЕР, Линейные дифференциальные операторы
с частными производными, «Мир», 1965 (1963).
[5.8] I. J. SCHOENBERG, Contributions to the problem of
approximation of equidistant data by analytic functions, Parts A,
B, Ouart. Appl. Math., 4 (1946), 45—99, 112—141.
[5.9] R. J. HERBOLD, Consistent quadrature schemes for the
numerical solution of boundary value problems by variational
techniques, Thesis, Case Western Reserve Univ., 1968.
[5.10] J. DESCLOUX, Some properties of approximations by finite
elements, Report, Ecole Polytechnique Federate Lausanne, 1969
[5.11] J. NITSCHE, Ein Kriterium fur die Quasi-Optimalitat des Ritz-
schen Verfahrens, Numer, Math., 11 (1968), 346—348.
[5.12] С DeBOOR, G. FIX, Spline approximation by quasi-interpo-
lants, J. Approx. Theory, to appear.

ГЛАВА 6
Методы наименьших квадратов
§ 6.1. Общие замечания и обозначения
Пусть Q—ограниченная область в Rn с границей
dQ. Решение эллиптического дифференциального
уравнения
п
А»^- S ^(а^*> яг)-/<*>• х^ <6ЛЛ>
при граничном условии
a = g, лг€<?2, (6.1.2)
можно попытаться приблизить несколькими методами.
Так, в случае однородного граничного условия, т. е.
условия
й-0, x€dQ, (6.1.20
можно, как мы уже видели, применить метод Галёркина.
Напомним его. Рассматривается билинейная форма
В (и, v), определяемая соотношением
п
/,/=1 2 * 1
При подходящих предположениях гладкости
единственное обобщенное решение и задачи (6.1.1.) — (6.1.2)
удовлетворяет условию
В (и, v) = (fyv)Q = ^fvdx для всех v£Wl(Q). (6.1.3)
2
Если SM — произвольное конечномерное подпространство
О 1 А»
в W* (2), то приближение по Галёркину w£SM
определяется аналогичным соотношением
В(w, v) = (/, v)0 для всех v£SM. (6.1.4)
Другой метод построения приближенных решений —
метод наименьших квадратов. Приближение w б 5м

Глава в
71
к решению и задачи (6.1.1) —(6.1.2) по методу
наименьших квадратов определяется как функция w б SM,
которая минимизирует функционал
Hw-/ii,(g) + KM№-gt%{d*h (6.1.5)
где \\w — g||i,(aQ) ~ jj (w - g)2Л.
Постоянная /См является обычно большой и зависит
от выбора подпространства 5м. Так, например, в
(6.2.6) постоянная Км будет выбрана равной Л~3.
Весьма важной чертой метода наименьших квадратов
является то, что элементы подпространства 5м не
обязаны удовлетворять граничным условиям (6.1.2).
Некоторым недостатком метода с точки зрения практических
вычислений является то, что матрица, которая
используется для определения до, имеет число обусловленности,
равное приблизительно квадрату числа обусловленности
соответствующей матрицы в методе Галёркина. Другим,
менее важным недостатком является необходимость в
методе наименьших квадратов работать с
подпространствами 5м, имеющими более гладкие элементы, чем
в случае метода Галёркина; в методе Галёркина (6.1.4)
о .
SM — подпространство в UP 2 (2), в то время как в
методе наименьших квадратов (6.1.5) требуется, чтобы
Aw£L2 (2) для каждого w б SM, т. е. чтобы Sm a W\ (2).
В этой главе мы частично опишем недавние
результаты Брэмбла и Шаца [6.1—6.3] о методах
наименьших квадратов. Для этого*нам понадобятся некоторые
дополнительные обозначения, которые вводятся ниже.
Пусть 2 — ограниченная область в Rn с достаточно
гладкой границей <?2 (для удобства будем считать,
что (?2 принадлежит классу С°°). Как и прежде, для
любого неотрицательного целого числа р гильбертово
пространство №f(2) — это замыкание С°°(2) в норме
2 |о| < Р
Если же р — произвольное положительное
действительное число, не являющееся целым, скажем /</?<

72
Глава 6
<у + 1, то гильбертово пространство W$ (2)
определяется путем интерполяции пространств W{(Q)
и W(+] (2), как это было описано в § 1.2, т. е. если
jp^y + G, 0<Q<1, то (см. (1.2.13)) при
эквивалентности норм
W?> (2) st (Wi (2), W(+l (Q))Bt 2. (6.1.6)
Далее нам потребуется одно определение из теории
следов, а именно определение гильбертовых пространств
W%(dQ)y состоящих из функций, определенных на
границе dQ области 2. Для частного случая р = 0 элементы
пространства W% (dQ) суть функции v, определенные
на <?2, для которых
[ \v\> da<оо, (6.1.7)
А
где а — мера на <?2, индуцируемая мерой Лебега в /J"-1.
Таким образом,
В случае когда р — произвольное действительное число
описание пространства W%(dQ) несколько более сложно,
и мы не будем его приводить. Заметим лишь, что можно
(см. Брэмбл и Шац [6.1], Нечас [6.4], Лионе и Мадже-
нес [6.5]) ввести на C°°(dQ) скалярное произведение (•, *)р
и норму | • \р так, что затем W$ (dQ) определяется как
замыкание С°° (dQ) в этой норме | • \р.
Определим гильбертово пространство HL $ как
декартово произведение W[ (2) х Wl (dQ) со скалярным
произведением
(Fv F2h,s)=(U A)t + <g»g2)s (6Л.8)
и нормой
ll^llL^II/J-i-k.l'. (6-1.9)
где Fx = {/„ £,}, F2 = {/2, g2}, a (-, •), и I • ||,
обозначают скалярное произведение и норму в W2 (2). Вместо
дифференциального оператора (6.1.1) рассмотрим более

Глава 6
73
общий дифференциальный оператор второго порядка
п
Аи= — 2 я/. j(x)DlDjU +
п
+ %al(x)Diu + a(x), D^-£-, (6.1.10)
где все коэффициенты принадлежат классу C°°(JRn).
Будем предполагать, что оператор А равномерно
эллиптичен в 2 т. е. что существует постоянная С>0,
такая, что
п
С^1Ч2<| 2 а,.,(*)*Л|<СШ' (6ЛЛ1)
для всех x$Q и всех £€/?", где |£р == tf + ... + £,
а также что
в С°° (2) единственным решением задачи
Аи=0 в 2, й = 0 на д& является (6.1.12)
нулевое решение
В предположениях (6.1.11)—(6.1.12) Лионе и Мадже-
нес [6.5] показали, что для любого действительного
числа /?> 2 нормы
в пространстве 1^2 (2) эквивалентны, т. е. существуют
положительные постоянные Сх и С2 (не зависящие от и),
такие, что
»«I rf « < С' {I Ли ^ -•<«, +1М I'rP-i/Xa.,}"8 <
<С2|"«^(2) (6-1.13)
для всех и£№?(2). Другими словами,
отображение и —► (Ли, и) является гомеоморфизмом из W? (2)
в //<*-2. *-!/*) дЛЯ ^>2.
Заметим также, что первое из неравенств (6.1.13) имеет
место для любого действительного р (см. [6.1]).

74
Глава 6
Рассмотрим теперь произвольный элемент {/, g} g
£//<р-2, p-i/2) дЛЯ любого действительного р. По
определению замыкания рассматриваемых пространств существует
последовательность {{/„, gn}}^u где {/„,£„}€ С-(Й) X
XC°°(dQ) для каждого я>1, такая, что {/„,£„}
сходится к {/, g) по норме || • |(/,_2, р-1/2) при п-+оо.
Вследствие предположения о гладкости коэффициентов
оператора А из (6.1Л0) и предположений (6.1.11)—(6.1.12)
для каждого п > 1 обязательно существует единственное
ип 6 С°°(2), такое, что
Aun = fn в 2,
ло (6Л.14)
Следовательно, из первого неравенства в (6Л. 13) и из
(6.1 Л4) для любых п и т получаем
к-a-^^^,<cl{lл^-^^г•(в) +
+ |»Я-«.^Г1/2(М)}1/8--
- Ci JI /„ - /п fwf~* (2) + I ёт ~ ёп rv?-l/2(de)}1/2-
- С1II {/«. £*,} - (/л» £/Л Ь-2. /7-1/2).
Так как {/„, gn}-> {/, #}, то {яв}»1 является в Wf (2)
последовательностью Коши и, значит, существует
единственный предел а последовательности {«„}"_!,
являющийся обобщенным решением в W§ (2) задачи
Аи = / в 2,
' (6ЛЛ5)
и — g на <?2. v '
Этот результат будет использован в следующем
параграфе.
§ 6.2. Теоретические результаты теории
аппроксимации
Пусть Sk, г (Rn) — конечномерное подпространство
в W\ (/?"), где k и г — неотрицательные целые, А < г
и Л —некоторый параметр, 0<А<1. Предположим, что

Глава 6
75
Sk,r{R") обладает следующим аппроксимационным
свойством: для любой функции v £W2 (Rn) существует
функция w 6 Si, г (Rn)> такая, что
l"-w^<CAr-Mr,'(,v (6-2Л)
где С не зависит от h и v. Из теорем эквивалентности
Стрэнга и Фикса (см. теоремы 5.1 и 5.2) и результатов
Брэмбла и Хилберта по аппроксимации (см. теоремы 3.3
и 3.5) ясно, что построить такие подпространства S\t r(Rn)
достаточно просто.
Пусть теперь 5*|Г(2) обозначает сужение множества
функций Sk,r(Rn) на 2. По теореме расширения Каль-
дерона (см. Агмон [6.6, стр. 171]) существует
ограниченное линейное преобразование 8: Wr2{Q) -*Wr2(Rn)y
обладающее свойством Sv s v на 2. Таким образом, для
некоторой постоянной М
l*v»w$,*", <ЖН*,г(2) при всех v$Wr2(Q). (6.2.2)
Следовательно, для любой функции v£Wr2 (2) имеем
Sv£W2(Rn), откуда, применяя (6.2.1), приходим к
выводу, что существует такая функция w € Sk, г (Rn)> что
\iV - Mw>{Rny< С»-*№1^ < CMhr-*\V[w,m;
последнее неравенство следует из (6.2.2). Однако так
как по определению \v\\wk (/?Л)>\v\wk (8) для любой
функции v$W\ (Rn) и Sv = v на 2, то приведенное
выше неравенство принимает вид
для любого v€Wr2(Q). Это равносильно тому, что для
любой функции v£W2(Q)
[? I*-•!**,в,<с/А"*Мг;<.>- (6-2-3)
weskf г(2>
Возьмем теперь функцию v в (6.2.3) равной
обобщенному решению и задачи (6.1.15) при условии 2 = &<г.

76
Глава 6
Используя первое из неравенств (6.1.13), можно оценить
сверху правую часть неравенства (6.2.3); а именно, с
учетом (6.1.15) имеем
l"lrjw<c'{l^tr8(-)+|e|8tr5-1'W,/'-
Комбинируя последнее неравенство с (6.2.3), при 2==
= &<г приходим к оценке
которая, согласно (6.1.15) и соотношениям
эквивалентности (6.1.13) для р =■ 2, может быть записана в виде
inf (|/-^||U, + \g-wf,,2 }Ш <
<C'"^{||/tr2(2) +ki;rI/2(d2)J1'2. (6.2.40
Заметим, что правые части неравенств (6.2.4) и
(6.2.4') зависят исключительно от данных задачи. Более
того, минимизационная задача в левой части (6.2.4')
хотя и не имеет вида первоначальной задачи (6.1.5), но
тем не менее позволяет, используя (6.2.4), получить
оценку погрешности для этой минимизационной задачи
в норме пространства №22(Q). Теперь наша цель
заключается в том, чтобы вывести аналоги неравенств
(6.2.4) —(6.2.4') для минимизационной задачи (6.1.5) и
тем самым получить оценки погрешности для
рассматриваемого метода наименьших квадратов.
Брэмбл и Шац в работе [6.1] установили следующий
результат, являющийся искомым аналогом оценки
(6.2.4'). В приложенном ими доказательстве
используется фундаментальная теорема 1.7 об интерполяции
пространств.
Теорема 6.1. Пусть Shkr{Rn) удовлетворяет
условию (6.2.1) при 2 = &<>, и, предположим, что
{/.£}€#i*'4 где 0<А<г-2 и 0<Х0<г-1/2.

Глава 6
77
Тогда существуют постоянная С, не зависящая
от {/, g"}, и величина Л, такие, что
inf {||/ - Aw||\t (2)+ h-*\g-wИ, (М)}''2<
<C(*-|l/li;S(a+*»-|«-|;;.(aa). (6.2.5)
Рассмотрим теперь минимизационную задачу (6.1.5)
с KM*=h-* и SM = S%r. Легко видеть, что задача
отыскания функции w^Slri®), минимизирующей
величину
II / - А» Щ(в, + А"3 к - »II, (а.,. (6-2-6)
эквивалентна задаче нахождения функции w,
удовлетворяющей условию ортогональности
\ (/ — Aw) Avdx + А-3 \ (g — w) vdo= О
для всех v£S%tf(Q)f (6.2.7)
которое в наших прежних обозначениях можно
эквивалентным образом записать в виде
(/ - Aw, Av)0 + A-3 (g - w% i>>0=0
для всех v£Slr(Q). (6.2.8)
Чтобы получить одну из оценок Брзмбла и Шаца
погрешности метода наименьших квадратов
применительно к задаче (6.1.15), нам потребуется неравенство
(см. [6.1, лемма 2.1]).
справедливое для любой функции v^L2 (2). Если
w £ S^ (2) — приближение по методу наименьших
квадратов решения и задачи (6.1.15), то в силу (6.2.9) имеем
(6.2.10)

78
Глава б
Из условия ортогональности (6.2.8) видно, что числитель
в правой части (6.2.10) можно заменить на
(/ - Aw, Ay - Aw)0 + Л~3 (g — w% у - w)0
с произвольной функцией w£S\ (2).
Применение неравенства Шварца дает оценку сверху
{ll/-^lli,,a,+ A-3l^-^ILwa,)1/2x
X{\\Ay-Aw\)liSi + h-*\y-w\l{dS)yi*,
которая справедлива для всех w£S%r(Q)4 так что можно
взять нижнюю грань по 5^(2). Но тогда мы можем
применить (6.2.5) при / — Ay, g = y, Х = 2 и Х0 == 1/2.
Это дает нам
inf Щ Ay - Aw\\it(a) + h-*\y - Ч,(а2)}1/2<
<Ch4\\Ay\\\ +А-6\У\21/2 ]m •
Если подставить эти оценки в числитель правой части
(6.2.10), то мы получим просто
| и - w\\L, (Q, < С А' {||/ - Aw\\l (Q)+ А-з| g - S\lm Y '2 .
(6.2.11)
Так как w минимизирует (6.2.6) в S£r(2), то, применяя
опять (6.2.5) к правой части (6.2.11), приходим к
следующему важному результату Брэмбла и Шаца [6.1].
Теорема 6.2. Пусть выполнены предположения
теоремы 6.1, а пусть w£S$r(Q) — единственный
элемент, минимизирующий величину
II/-*«lfc.<a,+ *-'!*-•!!,(*, (6.2.12)
в Slr(Q). Тогда для г>4
||«- •lk(.,<CA»{AMI/|lrxte) + A^'!Uf|rx.(J •
(6.2.13)

Глава 6
79
Подчеркнем еще раз важные черты данного метода
наименьших квадратов: приближенное решение здесь не
обязано удовлетворять граничным условиям; не
требуется самосопряженности оператора А и, наконец,
функции / и g можно задавать лишь в смысле L^ а не
поточечно.
Мы описали здесь результаты для
дифференциальных операторов второго порядка. Брэмбл и Шац [6.2]
получили обобщения и на случай операторов 2т-го
порядка.
Заслуживают быть отмеченными некоторые частные
случаи оценки (6.2.13). Если используются кубические
сплайны, т. е. г = 4 в (6.2.1) и исходные данные {/, g)
в (6.1.5) таковы, что f£W\{9) и g£Wy2(dQ), то, как
следует из (6.2.13), \\u-w \\ц (2> = О (А4). С другой
стороны, если / £ L2 (Щ и g £ L2 (dQ\ то, опять ввиду
(6.2.13), имеем \\и — w ||^<в) — О^1'2). Могут быть
также получены промежуточные оценки для ti — w
в различных нормах (см. [6.1]).
Необходимо упомянуть, что изучались и другие
методы, близкие к рассмотренным выше. Так, например,
Бабушка [6.7] использует метод возмущения границы, при
котором пробные функции не обязательно
удовлетворяют граничным условиям. Другие методы типа метода
штрафов (см. [6.8]) были рассмотрены Обэном. Все
это важные методы, как теоретически, так и практиче-
ки, однако здесь мы не имеем возможности на них
останавливаться.
Следует также отметить, что предположение
гладкости в исследованиях Брэмбла и Шаца является
существенным. Оказывается, что оценки ошибок, полученные
для приближений по методу наименьших квадратов,
могут оказаться несправедливыми для областей с углами,
даже если решение гладкое. Более того, метод
наименьших квадратов может не давать хороших приближений
для производных по всей области По этим причинам
методы штрафов Обэна и Бабушки в некоторых случаях
более предпочтительны.

80
Глава 6
Может создаться впечатление, что результаты,
изложенные в этой главе,— это все лишь чистая теория.
Однако недавно в Корнельском университете были
выполнены численные эксперименты по описанному
методу наименьших квадратов, и предварительные
результаты очень обнадеживающие; они показывают, что
с практической вычислительной точки зрения этот
метод вполне может конкурировать с методом Галёркина.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[6.1] J. Н. BRAMBLE, А. Н. SCHATZ, Rayleigh—Ritz—Galerkin
methods for Dirichlet's problem using subspaces without
boundary conditions, Comm. Pure Appl. Math., 23 (1970), 653—676.
[6.2] Least squares method for 2mth order elliptic boundary
value problems, Math, of Сотр., 25 (1971), 1—32.
[6.3] On the numerical solution of elliptic boundary value
problems by least squares approximation of the data,
Numerical Solution of Partial Differential Equations, И. В. E.
Hubbard, ed., Academic Press, N. Y., 1971, 107—131.
[6.4] J. NECAS, Les methodes directes en theorie des equations el-
liptiques, Masson et Cie, Paris, 1967.
ж.-л. " "
[6.5] Ж.-Л. ЛИОНС, Э. МАДЖЕНЕС, Неоднородные граничные
задачи и их приложения, «Мир», 1971.
[6.6] S. AGMON, Lectures on elliptic boundary value problems, Van
Nostrand, Princeton, N. J., 1965.
[6.7] I. BABUSKA, Numerical solution of boundary value problems
by the perturbed variational principle, Tech. Note BN-624, Univ.
of Maryland, 1969.
[6.8] J.-P. AUBIN, Behavior of the error of the approximate
solutions of boundary value problems for linear elliptic operators
by Galerkin's and finite difference methods, Annali della Scuo-
la Normale di Pisa, 21 (1967), 599—637.

ГЛАВА 7
Задачи на собственные значения
§ 7.1. Основная задача
Нужда в хороших приближениях собственных
значений для многих физических и инженерных задач
общеизвестна, и интерес математиков и вычислителей к
проблеме приближенного решения общих задач на
собственные значения имеет давнюю историю. Метод
конечных разностей и метод Рэлея — Ритца (см. Курант [7.1],
Канторович и Крылов [7.2]). применяются для
решения этих задач уже много лет, но, по-видимому, только
работы Вендрофа [7.4], Биркгофа и Де Бура [7.3]
вызвали интерес к методам типа метода Рэлея — Ритца
с использованием подпространств кусочно
полиномиальных функций.
В работе [7.3], где использовалось подпространство
кусочно линейных функций #(I)(Au), была строго
установлена точность О0г2) для собственных значений
задачи Штурма—Лиувилля. Далее, для случая
подпространств кусочно кубических полиномов #<2)(Ди) и
Sp<2)(Aw) в методе Рэлея — Ритца для задачи
Штурма — Лиувилля (второго порядка) в работе Биркгофа,
Де Бура, Шварца и Вендрофа [7.5] для первых
собственных чисел была установлена точность О (Л6). Эти
результаты затем были распространены Сиарле, Шуль-
цем и Варгой [7.6] на общие одномерные задачи о
собственных значениях с использованием L-сплайнов в
методике Рэлея — Ритца. Анализ задач большей
размерности был проведен в работах Шульца [7.7], Пирса и
Варги [7.8, 7.9], Биркгофа и Фикса [7.10]. Последняя
работа особенно интересна, поскольку она содержит
большое число как теоретических, так и численных
результатов.
Пусть Q —ограниченная в Rn область с границей dQ,
п^\. Мы хотим найти приближения для собственных
значений и собственных функций линейной задачи
Ши (х) « \Ш (*), *е2с/?", (7.1.1)

82
Глава 7
при однородном граничном условии
ffiu(x) — 0% x£dQ, (7.1.2)
где
|а|</л (7.1,3)
Ш (х) в 2 (- l)|e| £>a (?a (х) D«e (x)}.
|aj<r
Здесь 0<r<w и J*= {Bj}y_x соответствует m линейно
независимым условиям вида
BjU(x)^ 2 4«W^W = a \<j<m\ x£dQ.
|a|<2m—1
(7.1.4)
В случае n = 1 и 2 = (a, ft) мы допустим также более
общие граничные условия вида
.'т
Bju (х) ш 2 {ty.* Л*"1 и (a) + x'jtkD*-> и (*)} - О,
Л=1
1</<2/и. (7.1.5)
Пусть ©—линейное пространство вещественных
функций и £ С2т (2), удовлетворяющих граничным условиям
(7.1.4). Предположим, что
(Slu, v)0 = (и, 9lv)0 для всех и, v £ £),
(9Ни, v)0=-(a, 9R^)0 для всех й,г>€2). (7Л-6)
где (а, 1>)о = \ я™** — обычное скалярное произведение
я
в Z,2. Кроме того, предположим, что существуют
положительные постоянные К\ и /С2, с которыми для всех
#££> справедливы неравенства
(Яя, й)0> ATi (»te,я)0 и (9Пя. и)0>К2(иу и)0. (7.1.7)
Следуя работе [7.6], для и, <и£© определим
скалярные произведения:
{utv)ps(mu,v)0 (7.1.8)

Глава 7
83
(u.v)Nz*№,v)Q. (7.1.9)
Нетрудно видеть, что \\и\\0 = (и, и%2 и [| и \\N = (я, и)\р
являются нормами в Х>. Мы обозначим через Нр и НN
пополнения 2) соответственно в нормах \\*\\D и \\-\[N.
Очевидно, что #D и //уу являются гильбертовыми
пространствами, а из (7.1.7) следует, что
HN<zHD. (7Л.10)
Сформулируем теперь некоторые основные
результаты, гарантирующие существование собственных
значений и собственны* функций задачи (7.1.1) — (7.1.2)
(см. Гулд [7.11]).
Теорема 7.1. Наряду с предположениями (7.1.6)
и (7.1.7) допустим, что ограниченные в HN множества
являются предкомпактными в HD. Тогда задача на
собственные значения (7.1.1) — (7.1.2) имеет счетное
множество действительных собственных чисел О < k\ ^
^ ... ^ Kh ^ Xk+\ ^ ..., не имеющее конечной
предельной точки, и соответствующую последовательность
собственных функций {fj £ Н N}J_U
т. е.
Wfj(x) = xj*lfj(x)> х^Я; У-1,2 (7.1.11)
Эти собственные функции могут быть выбраны
ортонормированными в НD, т. е.
(fi>fj)D~Kj для всех /,у>1, (7.1.12)
и система {/j)j^x полна в ИD. Далее, если через
^[«|]Э1^,«6//^ ^0, (7.1.13)
обозначить отношение Рэлея, то для всех £>1
lk = mln {R И : w б HN% w^O, (w% f i)D « 0,

84
Глава 7
§ 7.2. Метод Рэлея — Ритца
Пусть SM — произвольное конечномерное
подпространство в //л размерности М. Метод Рэлея — Ритца
вычисления приближенных собственных значений и
собственных функций задачи (7.1.1) —(7.1.2) состоит в
отыскании экстремальных значений и критических точек
функции R[w] в SM, а не во всем HN. Если [Wi(x)} М
является базисом для SM, то метод Рэлея — Ритца
заключается в нахождении собственных значений и
собственных векторов соответствующей матричной задачи
на собственные значения
Ами = \Вми. (7.2.1)
Элементы М х Ж-матриц Ам == (а^) и Вм == (р£у)
определяются соотношениями
*%j*a(wi%Wj)N, Wj**(whWj)D. 1</,у<Ж. (7.2.2)
Вследствие предположений (7.1.7) —(7.1.9) матрицы Ам
и Вм вещественны, симметричны и положительно
определены. Поэтому задача (7.2.1) имеет М положительных
собственных чисел 0 < A,i ^ ... ^ Хм — приближенные
собственные значения — и М собственных векторов
ub..., им, соответствующих этим собственным значениям.
Составив линейные комбинации
м
/»W-2"w»iW. 1<*<Ж, (7.2.3)
1=1
где ukf i — компоненты векторов uft, получим, что
{/*}*Li являются приближенными собственными
функциями, соответствующими подпространству SAV
Функции {fj{x)}f=x можно выбрать ортонормирозанными
в tfD, т. е. (ср. с (7.1.12))
(Д /Л8-^; 1</,/<М, (7.2.4)
кроме того, приближенные собственные значения \k

Глава 7
85
удовлетворяют следующему аналогу соотношения (7.1.14):
ik=min{R[w]:w€SMi w=£0, (wt ft)D—0, 1</<£-1}.
(7.2.5)
Сейчас мы сформулируем результат, который следует
из результатов работы Биркгофа, Де Бура, Шварца и
Вендрофа [7.5] (см. [7.6]).
Теорема 7.2. Наряду с предположениями
(7.1.6) — (7Л.7) допустим, что ограниченные в HN
множества предкомпактны в Н0 Если
SM~-произвольное М-мерное подпространство в Н N,
a {fj)kj=i с Sм (М > k) — произвольное множество
функций, глобально аппроксимирующее первые k
собственных функций задачи (7.1.1) — (7.1.2) в нор-
не ||.||Dl /гс. е.
к
^\\fi-f,%<^ (7-2.6)
то
}
2 11//~/~и*
Ь < XJ < *7 + 7 ~ г- j 42 ♦
l-l/ 2ll/i-/ilfi>
для всех 1 </ <£, (7.2.7)
А
где Я; — приближенное собственное значение,
соответствующее собственному значению X) задачи (7.1.1) —
(7.1.2) для подпространства SM. Кроме того, если
первые k собственных значений задачи (7.1.1) — (7.1.2)
образуют строго возрастающую последовательность
О < Х\ < А* < ... < А*, то существует постоянная К, не
зависящая от выбора SM, такая, что справедливо
неравенство
k 1/9
|1Л-/х<к{2Л-м} -- (7-2-8)

86 Глава 7
Пусть теперь [Sm^^— заданная последовательность
(не обязательно вложенных одно в другое) подпространств
в НNi и для любого *>1 пусть dimSm( = М,>&.
Метод Рэлея — Ритца в подпространстве SM дает Mt
приближенных собственных значений {kfc ,}*Li и Mt при-
ближенных собственных функций {/ы (х)}к1и ортонор-
шрованных в ИD, т е.
Непосредственно из теоремы 7.2 вытекает следующий
результат.
Следствие 7.3. Наряду с предположениями
(7.1.6)-—(7.1.7) допустим, что ограниченные в HN
множества предкомпактны в HD, а первые k собственных
значений задачи (7.1.1) —(7.1.2) образуют строго
возрастающую последовательность 0 < Х\ < %2 < ... < Ял.
Тогда, если выполняется условие
Urn I in! || да — /^ \\N) = О для 1 </ < ky (7.2.9)
/no
\j./ix; w 1|Д/""/у11лг"*° л/>й * —oo, 1<у< A.
Применим теперь результаты теоремы 7.2 для
получения более наглядных оценок приближенных
собственных значений и приближенных собственных функций по
методу Рэлея — Ритца в подпространстве SM с #лг.
Прежде всего предположим, что конечномерное
подпространство SM с: Hn зависит от одного параметра сетки
h > 0, т. е. SM = Sh cz HN. Пусть, кроме того, р ^ m и
существует положительная постоянная К, такая, что при
всех 0 < h < 1
inf ||« - гг || . < ДСАР+»— H^ll^+х (в)
wes г г
для всех v£HN()W$+l(u). (7.2.10)
Как мы уже видели, такие условия типичны (см. § 3.1,
5.1 и 6.2). Далее, полезно предположить, что граничные
условия (7.1.2) таковы, что существует постоянная /С,

Глава 7
87
для которой справедливо неравенство
IMU<*IMI<(2) для всех v£HN; (7.2.11)
в одномерных задачах (/1=1) это, конечно, всегда так.
Заметим, что первое из неравенств (7.1.7) и приведенное
выше неравенство (7.2.11) обеспечивают выполнение при
некоторой постоянной К такого неравенства:
1М1о<*1М1*^) аля всех v$hn- (7.2.1 И)
Это приводит нас к следующей теореме.
Теорема 7.4. Наряду с предположениями
(7.2.10) и (7.2.11) теоремы 7.2 допустим, что
первые k собственных функций {/j(x)}kjssl задачи
(7.1.1) — (7.1.2) принадлежат пространству
Ц7£+!(2), /?>т. Тогда- при достаточно малых h
для первых k приближенных собственных
значений ^*> найденных по методу Рэлея — Ритца
в подпространстве Sh, справедливы неравенства
bj<bi^\j + Kh^p+l-m\ 1<У<£. (7.2.12)
Аналогично если 0<Х2 <...<Хл, то при
достаточно малых h для первых k приближенных соб-
"* h
ственных функций fj(x), найденных по методу
Рэлея — Ритца в подпространстве Sh,
справедливы оценки
\\fj-f)\\N<KhP^^% \<]<k. (7.2.13)
доказательство. Фиксируем какое-нибудь k. Из
предположения аппроксимации (7.2.10) и неравенства (7.2.1 Г)
следует, что в пространстве Sh существуют элементы
J), 1 < У < ^» Для которых справедливы неравенства
11/,-7;110</П/,-/}||<(2)<
<**'+,-||//11гГ1(в).
Таким образом, при /?>/я и при достаточно малых 1\

88
Глава 7
очевидно, что множество {/у(*)}*=1 является глобально
аппроксимирующим по отношению к множеству
{fjix)))=\ в пространстве Sh с нормой ||.||D (см. (7.2.6)).
Аналогично, комбинируя неравенства (7.2.10) и
(7.2.11), получаем
\fj-fHi\N<Khp*l-M\fj\wpiw> КУ<*.
Сопоставляя последние два неравенства с
неравенствами (7.2.7) теоремы 7.2, получим доказываемую оценку
(7.2.12). А теперь сопоставление неравенств (7.2.8) и
(7.2.12) дает (7.2.13).
Заметим, что в предположениях теоремы 7.4
показатель степени параметра h в оценке (7.2.12) для
приближенных собственных значений является точным, т. е.
в общем случае его нельзя увеличить. Эта
неулучшаемость следует из результатов Биркгофа и Де Бура [7.12].
То же самое верно и для оценки (7.2.13) в норме ||«|1л
для приближенных собственных функций. В следующем
параграфе мы увидим, что в других нормах можно
получить улучшенные оценки ошибок приближения
собственных функций.
Прежде чем закончить этот параграф, имеет смысл
прокомментировать предположение (7.2.10) об
аппроксимации для подпространства Sh. Здесь важным
является то, что Sh — конечномерное подпространство в HNi
элементы которого удовлетворяют граничным условиям
(7.1.1). В случае произвольных ограниченных областей
Q в ^п построение таких подпространств является
достаточно трудной задачей. Однако существуют способы,
позволяющие обойти эту трудность. Один из таких
способов—предположить, что граничные условия (7.1.2)
в методе Рэлея — Ритца подавляемы, т. е. не
появляются в явном виде в вариационной формулировке.
Примерами могут служить периодические граничные
условия, которые изучались Стрэнгом и Фиксом [7.13], или
граничные условия типа Неймана.
Другой способ обеспечить выполнение
предположения (7.2.10) об аппроксимации—ограничить произвол
в выборе области Q из Rn. Для случая, когда Q является

Глава 7
89
прямоугольным параллелепипедом в /?п, а в (7.1.4)
выбираются только однородные краевые условия вида
D*u(x)~0% 0<|Р|</ю-1, x£dQ (7.1.4')
(Т, е. нигде на дЙ не допускаются смешанные
граничные условия), тензорные произведения одномерных
сплайн-функний можно выбрать таким образом, чтобы
удовлетворить как граничным условиям (7.1.4х), так и
предположению (7.2.10). Этот прием был использован
Шульцом в работе [7.7].
§ 7.3. Улучшенные оценки погрешности приближения
собственных функций
Как и в предыдущем параграфе, пусть {Sm^JLj —
последовательность конечномерных подпространств в НN,
dim SMt в Мt > k для любого / > 1, а Хы и fktt £ Sm( —
приближенные собственное значение и собственная
функция, соответствующие собственному значению Xfe и
собственной функции fk задачи (7.1.1) — (7.1.2). Пусть,
далее, /ы — проекция (относительно iV-нормы) элемента
fk на SM , т. е.
(/* — /*,/. ^)лг = 0 Д^ всех w£SMr (7.3.1)
Так как 5^ конечномерное подпространство гильбертова
пространства НN, то /ki( существует и единственно
для всех 1 <£</И,/>1. Сформулируем теперь
результат из работы [7.8].
Теорема 7.5. Наряду с предположениями
(7.1.6) —(7.1.7) допустим, что ограниченные eHN
множества предкомпактны в HD, и пусть
последовательность конечномерных подпространств
\^Mt\tL\ в Нn удовлетворяет условию (7.2.9)
для всех 1<у<&. Тогда если bk — простое
собственное значение задачи (7,1.1) — (7.1.2), то
существует положительное целое tJt такое, что
17ы-/ы1^</С|1Л-/ы1Ь при всех t^tj. (7.3.2)

90
Глава 7
Заметим, что аналогичный результат имеет место и
без предположения, что Я* является простым (см. [7.8]).
В силу неравенства треугольника получаем
1Л-Ла<ИЛ - 7ы\\о + 17»., -Л./Ь<
<*1/»-/ы!о.
причем последнее неравенство следует из (7.3.2) и
неравенства ||до||я ^ KIMU (см. (7.1.7)). Мы
сформулируем установленный результат в виде отдельного
следствия.
Следствие 7.6. Если выполнены предположения
теоремы 7.5, то
\\/и-?ьЛо<К\\/к-7ы\\о для *cext>tj. (7.3.3)
Это следствие можно применить следующим образом.
Рассмотрим проекцию (относительно TV-нормы) /ы
функции fk на подпространство Sm( (см. (7.3.1)). Из
определений (7.1.9) и (7.3.1) следует, что fktt есть
приближение по Галёркину в подпространстве Sm( решения
эллиптической задачи
Ш - Щ/к (7.3.4)
с краевыми условиями (7.1.2). Далее, как и в
предыдущем параграфе, рассмотрим конечномерное
подпространство Sh в #iV, которое зависит от параметра h (0<А^1),
и предположим, что справедлива следующая типичная
оценка приближения /У1, полученного по методу Галёр-
кина в подпространстве Sh, для решения fk задачи
(7.3.4) (см. теорему 5.4 из § 5.2):
l/*-7*tf(e)<^Al/»ll^+i(fi), Л€Ял,П^?+1(2).
(7.3.5)
где o==mln(/7 + l— г; 2(р + \ — /п)) и /? + 1>/я.
Если из граничных условий (7.1.2) следует
справедливость неравенства
ИЬ</ПИ^г(2) для всех v£HD, (7.3.6)

Глава 7
91
более сильного, чем неравенство (7.2.1 Г), то из оценки
(7.3.3) следствия 7.6 и неравенств (7.3.5) и (7.3.6)
очевидным образом получаем оценку
(7.3.7)
где о = mln (р + 1 — г; 2 (р + 1 — т)) и /* —
приближенная собственная функция из 5Л, соответствующая
собственной функции fk задачи (7.1.1) — (7.1.2). В
частности, если р + 1 <2/я — г, то приведенная выше
оценка принимает вид
ИЛ- /*lb<№+'-'«Л||^+w (7.3.7')
Эта оценка лучше, чем (7.2.13), поскольку г<^т. По*
добные улучшенные результаты могут быть получены
и в равномерной норме (см. [7.9]). Аналогичные
результаты можно также найти в работах Нитче [7.14, 7.15).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[7.1] k. COURANT, Variational methods for the solution of
problems of equilibrium and vibrations, Bull. Amer. Math. Soc, 49
(1943), 1—23.
[7.2] Д. В. КАНТОРОВИЧ, В. И. КРЫЛОВ, Приближенные
методы высшего анализа, Физматгиз, 1962.
[7.3] G. BIRKHOFF, С. DeBOOR, Piecewise polynomial
interpolation and approximation, Approximation of Functions, H. L. Ga-
rabedian, ed., Elsevier, N. Y., 1965, 164—190.
[7.4] B. WENDROFF, Bounds for eigenvalues of some differential
operators by the Rayliegh—Ritz method, Math. Сотр., 19
(1965), 218—224.
[7.5] G. BIRKHOFF, С de BOOR, B. SWARTZ, B. WENDROFF,
Rayleigh—Ritz approximation bv piecewise cubis polynomials,
SIAM J. Numer. Anal., 3 (1966), 188—203.
[7.6] P. G. CIARLET, M. H. SCHULTZ, R. S. VARGA, Numerical
methods of high-order accuracy for nonlinear boundary value
problems. III. Eigenvalue problems, Numer. Math., 12 (1968),
120—133.
[7.7] M. H. SCHULTZ, Multivariate spline functions and elliptic
problems, Approximations with Special Emphasis on Spline
Functions, I. J. Schoenberg, ed., Academic Press, N. Y., 1969,
279-347.

92
Глава 7
[7.8] J. G. PIERCE, R. S. VARGA, Higher order convergence results
for the Rayleigh—Ritz method applied to eigenvalue problems.
I. Estimates relating Rayleigh—Ritz and Galerkin
approximations to eigenfunctions, SI AM J. Numer. Anal., 9 (1972), No. 1
137—151.
[7.9] J. G. PIERCE, R. S. VARGA, 11. Improved error bounds for
eigenfunctions, Numer, Math., 9 (1972), No. 2, 155—169.
[7.10] G. BIRKHOFF, G. FIX, Accurate eigenvalue computations for
elliptic problems, Numerical Solution of Field Problems in
Continuum Physics, v. 2 S1AM-AMS Proceedings, G. Birkhoff,
R. S. Varga, eds., American Mathematical Society, Providence,
R. I., 1970, 111—151.
[7.11] С. ГУЛД, Вариационные методы в задачах о собственных
значениях, «Мир», 1970.
[7.12] G. BIRKHOFF and С. DeBOOR, Piecewise polynomial
interpolation and approximation, Approximation of Functions, H. L.
Garabedian, edM Elsevier, Amsterdam, 1965, 164—190.
[7.13] G. STRANG, G. FIX, An analysis of the finite element
method, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., to appear.
[7.14] J. NITSCHE, Ein Kriterium fur die Ouasi-Optimalitat des
Ritzschen Verfahrens, Numer. Math., 11 (1968), 346—348.
[7.15] Verfahren von Ritz und Spline-Interpolation bei Sturm—
Liouville—Rantwertproblemen, ibid., 13 (1969), 260—265.

ГЛАВА 8
Параболические задачи
§ 8.1. Полу дискретные приближения по Галёркину
Пусть 2 — ограниченная область в /?я, я>1.
Рассмотрим задачу Коши
^^ + Хи(хУ 0-/(*. О, '>0, х£&, (8.1.1)
с однородными краевыми условиями
ОЧ(хч 0 — 0, х€<?2, 0<|р|</и - 1, />0, (8.1.2)
и начальным условием
и(х, 0) — щ(х), x£Q. (8.1.3)
Предположим, что линейный оператор X из уравнения
(8.1.1) представим в виде
Xv (х) s £ (- 1JIWDP {^аР (*) />ф (х)} (8.1.4)
N. IPKm
и соответствующая ему билинейная форма B(u(v),
Определяемая соотношением
Я(«,<0- £ ^qa^DlD4dxy u,v£W?{Q)4 (8.1.5)
о
является tt^2 (2)-эллиптической, т. е. существует
константа р>0, такая, что
В (vy v) > р || v (wrn(Q) для всех v £ W? (2), (8.1.6)
о
где через Wf (2) по-прежнему обозначается пополнение
пространства всех функций v из С°°(#п) с компактным
носителем в 2 относительно нормы
|а{</я

94
Глава 8
Если предположить ограниченность всех коэффициентов
?ар(х) в Q. то, как известно (см. Браудер [8.1, 8.2]
Лионе [8.3]), в пространстве $Т(2) при каждом /n>q
существует единственное обобщенное решение и (jc, а
задачи (8.1.1)—(8.1.2), непрерывно дифференцируемое по
ty так что ди(х, t)(dt принадлежит W™ (2) при каждом
/>0. Аналогично (5.2 5) единственное обобщенное
решение и(х, /) задачи (8.1.1) —(8.1.2) удовлетворяет соот-
ношениям
(^dl tV^ + B(u( • ,0, v) -(/(., /),*)<> (8.1.7)
при всех i>e$T(2), />0,
и
(«(. , 0), v)0=-(u0% *00 при всех г>€$Т(2), (8.1.8)
где, как обычно,
(a, w)0s= \uvdx.
2
Для того чтобы определить полудискретное
приближение по Галёркину к решению задачи (8.1.1.) — (8.1.3),
рассмотрим произвольное конечномерное подпространство
о м
SM пространства W2 (2) с базисом {wt {х)}ы\ и составим
линейную комбинацию
м
(-«,о = £мо^,м, '>°- *ss-
По аналогии с (8.1.7) — (8.1.8) мы говорим, что
м
*>(*, 0 = S МО^/М
/=i
есть полудискретное приближение по Галёркину в
подпространстве 5Ж к решению задачи (8.1.1) — (8.1.3),

Глава 8
95
если
(JS^9v)o + Bfr(.9t),v)-
= (/(-,0.<Оо Для всех г>€5Л1, *>0, (8.1.9)
и
(«;(., 0)tv)0=*(u0,v)0 для всех v$SM. (8.1.10)
Та же теория существования и единственности, что
применялась к задаче (8.1.7) — (8.1.8), обеспечивает
существование и единственность непрерывно
дифференцируемого (по t) решения задачи (8.1.9) —(8.1.10). Заметим,
что w\xy 0), согласно (8.1.10), будет как раз наилучшим
в смысле 12-нормы приближением к и0 в Sm>
Уравнения (8.1.9) —(8.1.10) эквивалентны следующей
системе из М обыкновенных дифференциальных
уравнений:
* VP +*с(0-Ь(<). *>0, (8.1.11)
с начальными условиями
#c(0)-g, (8.1.12)
где с(0а{с\(0, с2 (/), ...fcM(0)г, а Я s(pw) и
Л* = (а/>у.) — вещественные, симметричные положительно
определенные матрицы порядка М с коэффициентами
$ltJ=~(whWj)0, *tj = B(wlt Wj)% 1</, j<My (8.1.13)
и
МО =-(/('. 0. «>/)о. ^=(Яо> «>i)o. 1</<ж.
Решение с(*) задачи (8.1.11) — (8.1.12) при всех <>0
может быть записано в виде
с (0 = ехр (- /Л1-1*) Л»-1^ +
•/)Л'-1Л-]Л'-,к(0^/. (8.1.14)
+ f ехр [(*'
и, следовательно, для решения задачи может быть
использована стандартная методика. Ясно, что если функ-

96
Глава 8
ция к (t) из (8.1.11) непрерывна по t, то w(x,t)*&
м
г 2 cA^w^x) является непрерывно дифференцируемой
по t функцией.
Для того чтобы оценить !#(•, О — w(*t /)|^(2>,
определим ад (л:, /) при каждом фиксированном t^Q как
приближение по Галёркину в подпространстве SM
стационарной эллиптической задачи
Xv(x) — Xu(x, /), xgQ,
DP*(jc)-Ot jcg^ 0<|Р|<л1-1. (8ЛЛ5)
Это означает, что при каждом фиксированном /^0
B(w(-,t)v)-B(a(-, /), v)
для всех ф € 5д, с #? (Q). (8.1.15')
Другими словами, если
м
w(x4 О ^Е МО «МО
и
£(«(-,/), wf)а Л,(0.
то коэффициенты ct(t), определяющие w(x, /), являются
решением матричной задачи &c(t)*-h(t), где
невырожденная матрица <# =» (aw) определяется формулами
(8.1.13). Ввиду (8.1.7) мы можем для всех />0 и всех
v£SM записать равенство
-</(■, о, «)„-£(«(•. о. *)-(-^г^.*)п.
правую часть которого, согласно (8.1.9) и (8.1.15'), можно

Глава 8
97
в свою очередь представить в виде
(-^.«X+ew-.o.»)-
-s(;(,o,*)-(^-,*X-
Комбинируя теперь полученные выражения и выбирая
*о = (w (• > 0 ~~ ^ (•, <)) б 5Л1, для произвольного
фиксированного /]>0 получаем
[ж Iй — *»], та -- то] = (-#- [^ - И» f^ - ^])0 +
+ £(та — та, «;■—«;). (8.1.16)
Для оценки левой части равенства (8.1.16) используем
сначала неравенство Шварца, а затем элементарное
неравенство \cd\<^(\/4p)c2 + pd2. В результате получим
д ~ ~ ~\
[я -~ та], то — та) <
/о
,dt
dt
[и — та]
<i
-жг[*
та
+ p\\w
\w — w\m*)<
та
2
dt 1" ~ ' |U,(Q)
С другой стороны, согласно предположению
эллиптичности (8.1.6), для последнего члена соотношения (8.1.16)
справедлива оценка снизу В (та—та, та— w) !> р||та—^|||9(2)-
Подстановка этих неравенств в (8.1.16) приводит к
неравенству
-^|та(., /)-£(., t)fum<
N2
<
д*
[«(-, 0-w(.f 0]
£lw
(8.1.17)
здесь учтено еще тождество
(2)'

98
Глава 8
Наконец, интегрирование по t дает неравенство
Н(«, *)-£(., t%m<\\w{^ o)-S(.f o)||i2(2)+
+ V sup
4l«(..0-S(-.0]|El(e).o«<r,
которое можно записать также в виде
w(.,t)-w(., 0|t,w<|w(sO)-w(., 0)|£,№) +
+Uv -sup
' «(-.O-^t-.oLe), o>i>r.
/T\U2
0^7-H«»"X "' " ' ' '11"""" --
(8.1.18)
Предположим теперь, что подпространство SM
зависит от одного параметра Л>0, т. е. SM = 5Л с W'f (2),
таким образом, что справедлива оценка
для всех ^е^+1(2)П^2т (2), (8.1.19)
где
rsmln(/?+1.2(/?+l —т))э /?>/и, (8.1.20)
a vh — приближение по Галёркину в 5Л функции z>,
определяемое, как и в (8.1.15')> условием B(vh,w)^
= B(v, w) для всех w£Sh. Заметим, что
предположения (8.1.19) —(8.1.20) являются типичными при выводе
оценок приближений по Галёркину для эллиптических
задач с краевыми условиями (см. теорему 5.4 § 5.2).
В предположении (8.1.19) мы можем доказать
следующую теорему.
Теорема 8.1. Пусть и(хл ^ — единственное
непрерывно дифференцируемое (по t) решение задачи
(8.1.17)— (8.1.18), - принадлежащее Wf(Q),u пусть
wh(Xy t) — полудискретное приближение по
Галёркину к нему в SAcWT(2) в смысле (8.1.9) —(8.1.10),
причем Sh удовлетворяет условию (8Л. 19). Тогда

Глава 8 99
если и (>у t)$Wy (Q) для каждого t>Ou р + \^т.
то
\\и(*у /)-<£*(., t)\\u2)<Kh при 0</<7\ (8.1.21)
где К = К (Т, и) — некоторая константа и г s=
smin(/? + l, 2(/? + 1 - /ю))-
Доказательство. Из неравенства треугольника
следует, что
||e(.t <)-i*(., /)kl(fi)<|ii(sO-SA(-. Ok,w +
+ !«>*(., 0-w*(s 01Ы. (8.1.22)
Первое слагаемое правой части (8.1.22) легко
оценивается сверху с помощью (8.1.19). Остается оценить
второе слагаемое, "или, что то же самое, правую часть
неравенства (8.1.18).
Поскольку в силу (8.1.10) wh(>, 0) является наилуч-
шим /^-приближением для а(-, 0) в Sh, то || «>*(•, 0) —
— и (•, 0) ||£,(2) < | w" (•, 0) — и (•, 0)|Ls(2). Следовательно,
из неравенства треугольника и (8.1.19) вытекает, что
!»*(., 0)-w*(-. 0)||£!(2)<2|^С, 0)-«(., 0)||i}(S)<
<bM«(-.o)|rf+w
Тем самым оценено первое слагаемое правой части (8.1.18),
Далее, если заметить, что коэффициенты билинейной
формы В(иу v) (см. (8.1.5)) не зависят от времени, то
дифференцирование (8.1 Л5') по t дает
В (Щ-Jl, <,) _ в (^£±, v) для всех v£S>c: #2"(Q).
Это означает, что dwh(', t)/dt является приближением
по Галёркину для <?«(•, t)/dt в И^?(2) и, следовательно,
можно применить оценку (8.1.19) с v = ди{-, t)ldt\

100
Глава 8
в результате приходим к неравенству
\dtl(;t)
д ц(.,р dwh(., t)
dt dt
<Khr
dt
W$+\Z)
которое и дает нужную оценку второго слагаемого
правой части (8.1.18).
В заключение параграфа сделаем ряд замечаний.
Прежде всего, из результатов § 5.2 следует, что
показатель г у Л в (8.1.21), как он определен (8.1.20),
неулучшаем. Далее частные случаи теоремы 8.1 впервые, по-
видимому, были рассмотрены Прайсом и Варгой [8.4],
здесь мы следуем изложению Стрэнга и Фикса [8.5]
для случая Q = /?п. Важные результаты по
обсуждаемой .тематике были получены Дугласом и Дюпоном
[8.6, 8.7], Шварцом и Вендрофом [8.8], Фиксом и Нас-
сифом [8.9]. Частично эти результаты будут обсуждены
в § 8.3.
§ 8.2. Устойчивость
Сейчас мы исследуем задачу (8.1.9) — (8.1.10).
Подставляя v = w(*,t) в (8.1.9) и используя неотрица-
тельноеть B(w, w) (см. (8.1.6)), получаем, что
<(/(•,<). w(.,0)o (8.2,1)
для всех / > 0. Далее, из неравенства Шварца и
элементарного неравенства \ab\ ^а2/2 + Ь2/2 следует, что
последний член неравенства (8.2.1) может быть так
оценен сверху:
(/(., (), £(., о)о<4-Н(-> 0Е,(в) + -т1/<-. '>!W
Сопоставление этого неравенства и неравенства (8.2.1)
дает
зН«(-. 0IU<IM-, /)Е1(в) + !/(•. 0!,(2),
*>0, (8.2.2)
«;(•, 0) =v.

Глава 8
101
Соотношения (8.2.2), как легко проверяется, можно
переписать в виде
тй-{«-'1«(-, OIU}<*-<!/(-, OIU. <>о. (8Д20
^(*, 0)sii,
и интегрирование по / очевидным образом приводит
к следующей теореме.
Теорема 8.2. Для полудискретного приближения
по Галёркину w(x, t) решения задачи (8.1.1) — (8.1.3)
справедлива оценка
t
l«<-. 01!3(2)<^blllj(2) + 5^-")||/(-,Oli(8)^'
о
(8.2.3)
для всех t > 0.
Важность теоремы 8.2 заключается в том, что для
любого фиксированного Г>0 и любого конечномерного
о
подпространства SM пространства Wf (2) существует
постоянная К (Т), такая, что f^(-, 0lk»02>< # СП для
всех 0</<7\ Отсюда, в частности, следует
равномерная устойчивость в £2-норме полудискретного
приближения ^(л:, /).
Относительно теоремы 8.2 можно сказать еще
следующее. Очевидно, что в линейном случае можно даже
при более слабых предположениях получить более
общий результат. Например, вместо (8.1.6) предположим,
что существует неотрицательная константа, такая, что
В {и, и) > - (-f) \\и ||i,(2) для всех и £ W? (Q). (8.2.4)
Тогда, если мы проследим шаг за шагом рассуждения,
приводящие к (8.2.3), то увидим, что предположение
(8.2.4) приводит к оценке
t
+ ^(p+1)('-/')l/('.0«Ij(fi)^'. (8.2.5)
о

102
Глава 8
Это означает, что утверждение о равномерной
устойчивости полудискретного приближения tv(xt t) в /,2-норме
выполняется и в указанном более общем случае. В
частности, сюда относится случай диссипативных
операторов X вида (8.1.4), т. е. таких операторов X, которые
удовлетворяют условию
Re(Xu> я)о>0 для всех u£WT(Q)-
Далее, поскольку для всякого сильно эллиптического
оператора X вида (8.1.4), к^к хорошо известно,
выполняется неравенство Гординга (см., например, Иосида
[8.10]), т. е. существуют положительные константы k
и /С, такие, что
1«С?(в)<*Л(а* «) + /C|«fel(Q) для всех иеФ?(Ч
(8.2.6)
то для таких операторов будет, очевидно, выполняться
и неравенство (8.2.4).
§ 8.3. Обобщения
Имеются несколько направлений, в которых хотелось
бы обобщить теорему 8Л. Во-первых, представляется
разумным надеяться, что при помощи приложенного
выше метода можно охватить случай, когда
коэффициенты q*$ оператора X (см. (8.1.4)) слабо зависят от
времени. Еще более желательно было бы изучить
случай, когда эти коэффициенты q^ являются (слабо
нелинейными) функциями от решения и(х, /), в частности,
потому, что именно к таким коэффициентам приводят
задачи механики нефтяных резервуаров. Исследование
такого типа задач было начато Дугласом и Дюпоном
[8.7]. Они рассматривают диффузионную задачу
x$Q, t>0, (8-зл)
и(х, 0 = 0, x€dQ, />0,
а (х, 0) = и0 (х), х £ 2,

Глава 8
103
где предполагается, что матрица ац{х, и) размера п X п
вещественна, симметрична и равномерно положительно
определена, т. е. существуют положительные
константы т)1 и т]2, такие, что
п п п
\ 2 ?? < S а LJ (*• *) *& < % 2 *i (8.3.2)
для всех l£Rn, всех х^2и всех s£R. Кроме того,
предполагается, что
\a>i,Ax* r)-au(x* $)\<
< К | г — ^ | для всех х € 2, — оо < г, $ < оо. (8.3.3)
Для соответствующего полудискретного приближения
по Галёркину устанавливаются оценки погрешности
(отчасти более слабые, чем оценки из теоремы 8.1).
Однако более важной чертой работы [8.7] является
изучение дискретизаций по времени, таких, как метод
Кранка — Николсона. Если Af = T/N, где N —
положительное целое, то приближение Кранка — Николсона —
Галёркина $(•, mkt) для задачи (8.3.1) определяется
о .
для подпространства Sм С №г(2) соотношениями
(•=±ipi , v\ + В (Ц+i- ; Ц±Л,,,).0
для всех v£SM% (8.3.4)
(^о» *0ов К> *0о Для всех ^ ^ 5ж >
где *ауш = да (., тЫ) и
5 (w; и, v) = [ 2 в/Ж И*»^-^?**-
В предположениях (слишком громоздких, чтобы
воспроизводить их здесь) Дуглас и Дюпон показывают в [8.7],
что ошибки метода Кранка — Николсона — Галёркина
в норме типа L^ для случая эрмитовых подпространств
#<m>(Q), описанных в 3.1 с Q = (0,1) X (0,1), имеют
порядок
0(Н2п-1 + (Ы)*). (8.3.5)

104
Глава 8
Кажется сомнительным, что показатель степени у h
в (8.3.5) точен в 12-норме, поскольку известно, что для
коэффициентов а\^ (см. (8.3.1)), не зависящих от и,
точный показатель степени h в (8.3.5) равен 2т.
Одним из основных недостатков нашего анализа в
§ 8.1 является предположение (8.1.19); для
произвольных ограниченных областей Q в Rn чрезвычайно сложно
найти такие конечномерные подпространства Sh в
W% (2) , которые удовлетворяют этому условию. Дело
в том, что трудно удовлетворить условию, что каждый
элемент подпространства Sh удовлетворяет однородному
условию Дирихле на dQ (см. (8.1.2)). Однако
существуют по крайней мере три ситуации, в которых этой
«проблемы границы» удается избежать. В двух из них
границы по существу просто нет. В одном случае
рассматривается задача во всем Rn при помощи метода
Фурье, как, например, в § 5.2. Но тогда, как легко
видеть, анализ, проведенный в § 8.1, вполне достаточен.
Другой случай, который мы частично опишем ниже, —
изучение задачи (8.1.1) с естественными или
неймановскими условиями на dQ. Этот случай был недавно
исследован Фиксом и Нассифом [8.9]. Наконец, третья
ситуация, довольно естественная в свете результатов § 6.1 —
6.2, — это ситуация, когда применяется метод
наименьших квадратов, или метод штрафов. Она совсем
недавно была рассмотрена Кингом [8.12].
Предположим, что граничные условия (8.1.2) заменены
естественными или неймановскими краевыми
условиями. Тем самым мы просто заменяем рассматривавшееся
ранее пространство W2 (2) пространством W2 (2). При
таких граничных условиях, следуя § 5.2, легко построить
конечномерные подпространства Sh пространства W? (2),
для которых приближение по Галёркину vh в Sh
функции v {B(vhf w) = B(v> w) для всех w£Sh)
удовлетворяет неравенству (ср. 8.1.19)
\\v-^l,iS)<Kh'\\v\\w!,+w (8.3.6)
где г = min (/? + 1, 2 (р + 1 — т)). При изучении таких

Глава 8
105
задач с естественными граничными условиями Фикс и Нас-
сиф допускали зависимость коэффициентов q^ из (8.1.4)
от времени. Но основной полученный ими результат —
это /,2-оценки погрешности приближения для
производных, сказать о которых что-либо на основании
неравенств (8.1.21) мы не в состоянии. Не вдаваясь в детали,
заметим лишь, что оценка (8.1.21) из теоремы 8.1
распространена в работе [8.9] на важный случай
1«(-,0-®*(., ')1^(в) <W-'. 0<У<г-1.
(8.3.7)
В доказательствах существенно используется понятие
квазинтерполяции (см. теорему 5.3 и работу Де Бура
и Фикса [8.11]).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[8.1] F. Е. BROWDER, Non-linear equations of evolution, Ann.
Math., 80 (1964), 485—523.
[8.2] Non-linear initial value problems, ibid., 82 (1965),
51—87.
[8.3] J, L. LIONS, Equations differentielles operationnelles et prob-
lemes aux limites, Springer-Verlag, Berlin, 1961.
[8.4] H. S. PRICE, R. S. VARGA, Error bounds for semidiscrete
Galerkin approximations of parabolic problems with
applications to petroleum reservoir mechanics, Numerical Solution of
Field Problems in Continuum Physics, G. Birkhoff, R. S. Var-
ga, eds., SIAM-AMS Proceedings, v. 2, American
Mathematical Society, Providence, R. I., 1970, 74—94.
[8.5] G. STRANG, G. FIX, An analysis of the finite element method,
Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. JM to appear.
[8.6] J. DOUGLAS, T. DUPONT, The numerical solution of water-
flooding problems in petroleum engineering by variational
methods, Studies in Numerical Analysis 2, SIAM Publications,
Philadelphia, 1970, 53—63.
[8.7] Galerkin methods for parabolic equations, SIAM J. Nu-
mer. Anal., 7 (1970), 575-626.
[8.8] B. SWARTZ, B. WENDROFF, Generalized finite difference
schemes, Math. Сотр., 23 (1969), 37—49.
[8.9] G. FIX, N. NASSIF, Error bounds for derivatives and
difference quotients for finite element approximation of parabolic
problems, Numer. Math., to appear.
[8.10] К. ИОСИДА, Функциональный анализ, «Мир», 1967 (1965).
[8.11] С. DeBOOR, G. FIX, Spline approximation by quasi-interpo-
lants, J. Approx. Theory, to appear.
[8.12] J. T. KING, The approximate solution of parabolic initial
boundary value problems by weighted least squares methods,
SIAM J. Numer. Anal., 9 (1972), No. 2, 215—229.

ГЛАВА 9
Чебышёвские полудискретные
аппроксимации для линейных
параболических задач
§ 9.1. Введение
При изучении полудискретных методов Галёркина
для параболических дифференциальных уравнений в
частных производных в § 8.1 мы по существу имели дело
с пространственными приближениями, поскольку
временная переменная при этом оставалась непрерывной.
Основную роль там играла аппроксимация, посредством
кусочно полиномиальных функций, элементов некоторых
пространств Соболева. В этой главе ударение делается
на приближение по временной переменной, и это
приводит к совершенно другому вопросу теории
аппроксимации, а именно к наилучшей чебышёвской рациональной
аппроксимации функции е~х (и обратных к некоторым
целым функциям) на [0, + оо].
Для разгона рассмотрим задачу решения уравнения
теплопроводности
ut(x9t) — uxx(xt t) + r(x), 0<*<1, *>0,
a(x,0)~a(jc), 0<х<1, (9.1.1)
я(0, о = я(М) = о, />0.
Оставляя временную переменную непрерывной,
рассмотрим дискретизацию задачи (9.1.1) по пространственной
переменной, осуществляемую при помощи обычной
трехточечной разностной аппроксимации производной ихх:
„ Пи ,ч . «((/ + 1)М)-2д(/А,0 + М(/-1)А>Ц
Получающаяся в результате полудискретная аппрокси-

Глава 9
107
мация w(ih, t) решения и(х, t) задачи (9.1.1)
удовлетворяет системе
dw(ihj) __ »((/ +1)^0-2»(M,Q+ »((/-!)Л, о , ,//Л
dt £5 у Г \Ш),
l<i<N, />0, (9.1.2)
w(ih9 0) —и(/Л), 0</<ЛГ + 1,
w(0,0 —w((^+l)AtO-0, *>0.
Записанная в матричных обозначениях, эта система
принимает вид
" (9.1.3)
w(0) —wf )
где w(/), г и w — вектор-столбцы с TV компонентами^
например w(t)=(wx{t)>... ,wN(t))T, где wf(l)£5w(//t,/)]
Заметим, что г и w определяются исходными данными,
а А является известной „трехдиагональной" эрмитовой
положительно определенной матрицей порядка N X N:
А-±
2 -1
-1 2
-1
0
•1
О
-1
-1 2
. (9.1.4)
Для дальнейшего существенны только эрмитовость
и положительная определенность, поэтому мы будем
впредь предполагать, что наша полудискретизация
приводит к системе (9.1.3) с положительно определенной
эрмитовой матрицей А (порядка N). В частности, это
предположение выполняется для линейных
параболических задач с п пространственными переменными вида

108
Глава 9
-в(л)й(^/) + г(4 *>0, jc€2, f (9Л-5)
й(д:,0)-й(4 *£Q,
где Q — ограниченная область в /?п, а /(*(*), а (я) поло-
жительны в Q, при условии что используется
подходящая (2п + 1)-точечная разностная аппроксимация
задачи (9.1.6) (см. [9.1, стр. 253]).
Возвращаясь к (9.1.3), видим, что решение w(/)
можно записать так:
w(/) — Л-1 г + ехр(—М) {w - Л-1 г}, t >0; (9.1.6)
оо
здесь, как обычно, ехр (—/Л) s 2 (—tAf /ft! Решение
(9.1.6) обычно приближают, используя матричные
рациональные аппроксимации Падэ для ехр (—tA)\ это дает
в качестве частных случаев хорошо известные для таких
параболических задач метод разностей вперед, метод
разностей назад и схему Кранка—Николсона (см.
[9.1, § 9.3]). Наше внимание в следующем параграфе
будет сосредоточено на чебышёвских рациональных
аппроксимациях для ехр (—tA)9 а не на аппроксимациях
Падэ. Это обусловлено тем, что рациональные
аппроксимации Падэ для е~*, определяемые как локальные
аппроксимации для е~х в точке х = 0, обычно плохо
приближают е~х при больших х, и это приводит к
ограничениям (из соображений устойчивости или точности) на
выбираемый временной шаг. В противоположность
этому чебышёвские рациональные аппроксимации для е~*
определяются глобально на всем интервале [0, +оо] и,
как мы увидим, не приводят к таким ограничениям на
временной шаг.
§ 9.2. Чебышёвские полудискретные аппроксимации
Чтобы определить чебышёвские полудискретные
аппроксимации для выражения (9.1.6), рассмотрим еле-

Глава 9
109
дующую задачу. Пусть через я™ обозначено множество
всех вещественных полиномов р(х) степени не выше т,
а через ят, п — множество всех вещественных
рациональных функций
Л», я(*)«» p(x)/q(x) с р£ът и ?€**.
Положим
ХЛ| я ss lnf ||е~* — r„, m (л)!^ [о, оо)=
= lnf /sup | *-* - rm, n (x) |l. (9.2.1)
Числа %m> n называются чебышёвскими постоянными для
е~* относительно интервала [0, оо). Очевидно, что
постоянные Л™, п конечны тогда и только тогда, когда
О ^ m ^ п. Далее, известно (см. Ахиезер [9.2, стр. 50]),
что для произвольно заданной пары (т, п)
неотрицательных целых чисел, 0 ^ m ^ /г, после исключения
возможных общих множителей, существует единствен-
НЭЯ фуНКЦИЯ ?my n б Ят, п ВИДЭ
rm.n(x) — pm,n(x)/qm,n(x), (9.2.2)
где qm,n(x)>0 на [0, оо), на которой достигается
нижняя грань в (9.2Л), т. е.
Кп, п - || е-* - гт, п(x)\\Loo [о, со)- (9.2.3)
п
Так как qm п(tA) = 2 с*(tA)J — вещественный полином
от матрицы А порядка N% то из положительности qm% п (х)
на [0, + оо] следует, что qm>n (tA) — эрмитова
положительно определенная матрица порядка N для каждого
*]>0. Поэтому по аналогии с (9.1.6), мы определяем
(Шу п)-ю яебншёвскую полудискретную
аппроксимацию wm,n(t) для решения w(t) задачи (9.1.3)
формулой
Wm, п (t) - Л~* Г + (ЯтЛ*А))~1(Рт. п (tA)) {W-Л*1 Г},
/>0. (9.2.4)

по
Глава 9
Чтобы практически вычислить вектор-функцию wm,„(*)
при фиксированном значении /> 0, найдем сначала
стационарное решение w з= Л-1 г, что сводится к решению
матричного уравнения Aw =* г. Затем перепишем (9.2.4)
в виде двух соотношений
J«.«(M).wm^(0 —v0,
v0 s qmt „(M)w + pm,n(tA) {w ~w}, (9,2#5)
где v0 определяется известным начальным вектором w
(см. (9.1.3)) и известным стационарным вектором w=« Л-*г.
Так как функция qm, n£nn положительна на [0, +ooj, то
ее можно разложить на линейные и квадратичные
сомножители:
<1т, п(х) — П U (•*) * П т) (*). sx + 2s2 — Я, (9.2.6)
где /, € те1 и /7Zy € Ъ также положительны на [0, + со).
Поэтому матрицы /*(М) и m}(tA) снова эрмитовы и
положительно определены для каждого />0, и решение
w/n, я(0 задачи (9.2.5) можно получить, последовательно
решая матричные задачи
mj (М) vj- vy-i, 1 < j < *a, 7
M'-A) v,1+i — v,1+i.-b l</<st,
и затем полагая wm, л (/) ss vff>+Jf. В том частном
случае, когда матрица А трехдиагональна, как в (9.1.4),
матрицы в (9.2.7) —трех- либо пятидиагональные
положительно определенные. Поэтому решение матричных
задач (9.2.7) при помощи метода исключения Гаусса
является в том случае как быстрым (с вычислительной
точки зрения), так и численно точным.
Для эффективности вычислений при применении
чебышёвского полудискретного метода к конкретным
задачам в соотношении (9.2.4) следует всегда выбирать
т =» п. Причина этого совершенно ясна: основная масса
работы при нахождении решения wWjl п задачи (9.2.5)

Глава 9
111
связана с обращением полинома Qm>n(tA) от матрицы А
степени п и практически не зависит от выбора т.
Дальнейшие сведения о вычислительных аспектах чебышёв-
ского полудискретного метода можно найти в [9, 3].
Чтобы оценить вектор ошибки w(t) — wm> л (О» вос"
пользуемся векторной /2-нормой, т. е. для v== {vx,^t,vN)T
N
возьмем [vllsS \vi\2> Далее, для произвольной
матрицы С порядка N через ||С|2 обозначим индуцируемую
этой нормой операторную (или спектральную) норму:
Как хорошо известно (см. [9.1, стр. 11]), в случае когда
матрица С эрмитова и \iu 1 ^ ' ^ N,— ее собственные
значения,
IС Ь-max 1,1,1. (9.2.9
1 < 1<N
Таким образом, предположенная эрмитовость матрицы
А позволяет нам, согласно (9.2.9), заключить, что если
{^/}/Li — положительные собственные значения
матрицы Л, то
||ехр(—М)г«, п {tA% — max | е~а* - Я».«('. Х,)|
для всех *>0. (9.2.10)
Но так как Л, > 0 для 1 < / < N и для любого / > 0,
из (9.2.3) следует, что
| ехр (—/А) — rm, п (tA) ||2 < ХЛ| п для всех / > 0.
С учетом (9.1.6) и (9.2.4) получаем
1 w (t) ~ w„, п (*% <|| ехр(-М) - Рт, п {tA% -|w-Л-Ч<
<^m,«||w-A-1r||2 для всех *>0. (9.2.11)
Заметим, что поскольку правая часть (9.2.11) не зависит
от t, мы имеем оценку погрешности w(t) — ww, п(/) для
всех t ^ 0. В противоположность известным методам
Падэ, в которых интервал изменения t ограничен по

112
Глава 9
соображениям устойчивости или точности, чебышёвский
полудискретный метод можно использовать и для очень
больших значений t. Это различие проистекает, конечно,
из того факта, что рациональные приближения Падэ
для е~х предназначены давать хорошее приближение
для е~х в окрестности х — О, тогда как чебышёвские
рациональные аппроксимации для е~* конструируются
так, чтобы хорошо приближать е~х на [0, +оо).
В общем, чтобы дать полную (т. е. пространственную
и временную) оценку погрешности чебышёвских
полудискретных аппроксимаций, необходимо также оценивать
погрешность пространственной дискретизации,
приводящей к (9.1.3). Эта проблема уже обсуждалась в § 8.1.
§ 9.3. Чебышёвские постоянные для е -*
Эффективность чебышёвских полудискретных
аппроксимаций определяется, согласно (9.2.11), поведением
чебышёвских постоянных %т>п при п-+оо. Из (9.2.1)
следует, что
0<Хя,я<Хя_1|Я<...<Х0,я, я>0. (9.3.1)
Коуди, Мейнардусом и Варгой [9.4] был получен
следующий, основанный на элементарных рассуждениях
результат.
Теорема 9.1. Пусть {т(п)}п=о— любая
последовательность неотрицательных целых кисел
с 0<т(я)<я для каждого #>0. Тогда
lim sup (Хя (я), я) 1/« < ill < * (9.3.2)
где а — 0,13923...— вещественный корень уравнения
2ае2а+1==1. Кроме того
Ит8ир(Х0,я)1/я>4-- (9-3-3)
Соотношения (9.3.2) и (9.3.3) показывают, что
чебышёвские постоянные %т, п для функции е~х на [0, оо)
сходятся к нулю со скоростью геометрической
прогрессии. Для частного случая пг(п) = п чебышёвские
постоянные Xn, п для функции е~* на [0, + оо] будут, согласно
[9.4], таковы;

Глава 9
ИЗ
п
0
1
2
3
1 4
^п, п
5,00 (—01) 1
6,69 (—02) 1
7,39 (—03) 1
7,99 (—04) 1
8,65 (—05)
п
5
1 6
1 7
8
1 9
11
*п,п 1
9,35 (—06) 1
1,01 (—06) 1
1,09 (—07) 1
1,17 (—08) 1
1 1,26 (—09) |
п
ю !
1 и
| 12
13
14
ч* 1
1,36 (-10) 1
1,47 (-11)"]
1,58 (-12) 1
1,70 (-13)
; 1,83 (-14)|
Здесь а(— р) означает а.10~р. Таким образом, скорость
сходимости \ПрП к нулю даже намного быстрее, чем
показывает оценка (9.3.2). Значения X0tn для 0 < п < 9, зата-
булированные в [9.4], наводят на мысль, что существует
предел (Х0|я)1/Я ПРИ л-»сю и что
Um (X0ili)W«--L. (9.3.4)
Как недавно показал Шёнхаге [9.10], это
действительно так.
§ 9.4. Чебышёвские постоянные для других
целых функций
Предыдущие результаты (9.3.2) и (9.3.3) о
сходимости к нулю чебышёвских постоянных Km, п Для функции
1/е* со скоростью геометрической прогрессии справедливы
для более широкого класса целых функций, нежели
f (г) — ег. Обобщение теоремы 9.1, недавно полученное
в статье Мейнардуса и Варги [9.5], может быть описано
следующим образом.
оо
Пусть f(z)s 2 akzk — целая (т. е. аналитическая
в каждой конечной комплексной плоскости) функция.
Положим МЛг) зз sup |/(г) |. Тогда / называется функцией
1*1 = г
совершенно правильного роста (р, В) (см. Боас [9,6,
стр. 8], Валирон [9.7, стр. 45]), если существуют два

114
Глава 9
положительных числа р и й, таких, что
log Mf (г)
lim * ; *=В. (9.4.1)
Справедлива следующая теорема (см. [9.5]).
оо
Теорема 9.2. Пусть f(z)=* 2 akzk — целая
функция совершенно правильного роста (р, В)
с аЛ>0 для всех £>0, и пусть для любой пары
(/я, п) неотрицательных целых чисел, 0</я<#,
величины
**.„slnf
/С*) ""г«.я^
(9.4.2)
£ (О, оо) V '
суть соответствующие чебышёвские постоянные.
Тогда для всякой последовательности
неотрицательных целых чисел {т(п)}^0, такой, что
0</я(/г)</г при каждом #>0, справедливо
соотношение
lim sup (ХЛ(Я), п yt« < 2-vp < 1. (9.4.3)
Я-ЮО
Кроме того,
lim sup (Х0,„)1/л > 2-м/р. (9.4.4)
В частности, условиям теоремы 9.2 удовлетворяют,
конечно, функции f(z) *=ez, f (г)«- sin h (z?), а также
f {z) =**Jp(iz) для любого неотрицательного целого /?,
где Jp — бесселева функция первого рода. Для случая
f{z) = ez, когда в (9.4.1) р=*5=М, результаты (9.4.3}
и (9.4.4) являются несколько более слабыми по сравнению
с (9.3.2) и (9.3.3).
В доказательствах теорем 9Л и 9.2 существенно
используется оценка разности
_1 1_
п
где $п (z) « 2 я*2* есть #~я частичная сумма для / (z) =»

Глава 9
115
— 2 akzk. В .работе [9,5] показано, что в предположе-
ниях теоремы 9.2
1 1
limi
П-+оо
Sn f
У/я-2-1/р
так что, используя данную технику, улучшить оценку
(9.4.3) нельзя.
Анализируя теорему 9.2, можно заметить, что оценки
(9.4.3) и (9.4.4) зависят лишь от р, но не от В; этим
допускается возможность распространения теоремы 9.2
на случай целых функций конечного порядка, но не
обязательно совершенно правильного роста. Такие
обобщения были рассмотрены в работе Мейнардуса, Редди,
Тейлора и Варги [9.9]. Сформулируем их результат.
Для заданных г > О и $ > 1 обозначим через 9 (г, s)
единственный открытый эллипс в комплексной плоскости
с фокусами в точках хк0 и х = г и большой и малой
полуосями а и ft, связанными соотношением Ь/а ■■
— (s2—l)/(s2+l). Если f(z) —произвольная целая
функция, то^мы полагаем
$,(r,s)-.sup{|/(*)|t z£8(r,s)}. (9.4.5)
00
Теорема 9.3. Пусть f(г)« 1 akzk— целая
функция с неотрицательными коэффициентами
Тейлора и а0>0. Если существуют вещественные
числа s>l, Л>0, 0>О и г0>>0, такие, что
МЛг, $)<A(\f\L [0,г)У для всех r^rQi (9.4.6)
то существуют вещественное число # >$!'(1+0>> 1
и последовательность вещественных полиномов
{Pn(x))nssQ с Рп^^п для каждого /z>0, для которых
"К" (I -ш - тж h°- -■}"" - т < '• <9Л7>
Отметим, что из (9.4,7) вытекает „геометрическая*
СХОДИМОСТЬ К НуЛЮ чебышёВСКИХ ПОСТОЯННЫХ {*m(/i),/i}£L0
функции 1//, при 0 <т (/*)<#.

116
Глава 9
Чтобы пояснить следующий результат, напомним
некоторые классические результаты Берштейна о
полиномиальной аппроксимации на конечных интервалах.
Для всякой вещественной функции /6С°[—1, +1]
положим
£я(/)» mf |/ - pJl^i-i. +i]. (9.4.8)
Если f является сужением на [—1, +1] функции,
аналитической в некотором лежащем в комплексной
плоскости эллипсе с фокусами — 1 и +1, то, как показал
Берштейн (см. Мейнардус [9,8 стр. 91]), существует
вещественное число q^> 1, такое, что
limsup £!/*(/)-.-I.<1- (9-4-9)
Берштейн доказал и обратный результат (см.
Мейнардус [9.8 стр. 92]): если верно (9.4.9), то f обязательно
является сужением на [—1, +1] функции,
аналитической в некотором эллипсе комплексной плоскости с
фокусами —1 и +1. Вернемся теперь к теоремам 9.2
и 9.3. Они дают достаточные условия на целую функцию
f(z)y при которых чебышёвские постояш*ые Хт,п для
функции 1//, 0 ^ т ^ я, сходятся к нулю при п-+оо со
скоростью геометрической прогрессии. Следующая
теорема из работы [9.9] дает, в духе классических
обратных теорем Берштейна, необходимые условия для такой
геометрической сходимости.
Теорема 9.4. Пусть задана вещественная не
отрицательная непрерывная функция f(x) на
[О, оо), для которой существуют
последовательность вещественных полиномов {рп(x)}*e0 с рп£ъп
для всех #>0 и вещественное число #>1, такие»
что
IlmeupflU-- »| r = i<L (9-4.10)
Тогда существует целая функция F(z),
удовлетворяющая условию F(x)=* f (х) для всех х > О
и имеющая конечный порядок, т. е.

Глава 9
117
Кроме того, для каждого s>\ существуют веще-
ственние кисла К — К (<?, s)>0, б ^®(4> s)> 1 и
ro==s>"o(<7> ^)>0> такие, что
MP{r, s)<K{\\f\V ю,,])9 <?ля деде г>г0. (9.4.11)
Од
В заключение заметим для полноты картины, что в
[9.9] доказано существование целой функции f(z)
конечного порядка, которая положительна на [0, +оо]
и для которой чебышёвские постоянные Хт> п функции
1/f, 0 ^ т ^ м, не могут сходиться к нулю при я->оо
со скоростью геометрической прогрессии.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[9Л] R. S. VARGA, Matrix iterative analysis, Prentice-Hall, Engle-
wood Cliffs, N. J., 1962.
[9,2] H. И. АХИЕЗЕР, Лекции по теории аппроксимации, «Наука»,
1965.
[9.3] R. S. VARGA, Some results in approximation theory with
applications to numerical analysis, Numerical Solution of
Partial Differential Equations, II. В. E. Hubbard, ed., Academic
Press, N. Y., 1971, 623—649.
[9.4] W. J. CODY, G. MEINARDUS, R. S. VARGA, Chebyshev
rational approximations to e~x in [0, +oo) and applications to
heat-conduction problems, J. Approx. Theory, 2 (1969), 50—65.
[9.5] G. MEINARDUS, R. S. VARGA, Chebyshev rational
approximations to certain entire functions in [0, +«>), ibid., 3 (1970),
300—309,
[9.6] R. P. BOAS, Entire functions, Academic Press, N. Y., 1954.
[9.7] G. VALIRON, Lectures on the general theory of integral
functions Chelsea N Y. 1949.
[9.8] G. MEINARDUS, Approximation of functions: Theory and
numerical methods, Springer-Verlag, N. Y., 1967.
[9.9] G. MEINARDUS, A. R. REDDY, G. D. TAYLOR, R. S.
VARGA, Converse theorems and extensions in Chebyshev rational
approximation to certain entire functions in [0, +<»), Bull.
Amer. Math. Soc, 77 (1971), 460—461.
[9.10] A. SCHONHAGE, Zur rational Approximierbarkeit von e~*
uber [0, oo), J. Approx. Theory, to appear,

Дополнительный список литературы
[1] БРУДНЫЙ Ю. А., ГОПЕНГАУЗ И. Е., Приближение кусочно
полиномиальными функциями, ИАН СССР, сер. матем.. 27
(1963), Ня 4, 723^-743.
[2] О локальных наилучших приближениях функций
многочленами, ДАН СССР, 161 (1965), М> 4, 746—749.
[3] ВАСИЛЕНКО В. А. Сходимость сплайнов в гильбертовом
пространстве, Инф. бюлл. «Численные методы механики
сплошной среды», т. 3, № 3, Новосибирск, 1972.
[4] — —™ Обработка содержащей ошибки информации методом
сплайн-сглаживания, Сб. «Машинная графика и ее применение»,
ВЦ СО АН СССР, 1973.
[5] ВЕЛИКИН В. Л. О наилучшем приближении
сплайн-функциями на кассах непрерывных функций, Матем. заметки, 8 (1970),
Ко 1, 41—46.
[6] ГАЛКИН П. В., О разрешимости задачи периодической
сплайн-интерполяции, Матем. заметки, 8 (1970), № 5.
[7] ДЕМЬЯНОВИЧ В. К., ДЕМЬЯНОВИЧ Ю. К. О сходимости
проекционных методов для параболических уравнений, ЖВМ
и МФ. 174 (1967), № 3, 518-521.
[8] ДЕМЬЯНОВИЧ Ю. К. Об оценках скорости сходимости
некоторых проекционных методов решения эллиптических
уравнений, ЖВМ в МФ, 175 (1968), № \г
[9] МИХЛИН С. Гм О сеточной аппроксимации функций
соболевских пространств, Записки научн. семинаров ЛОМИ АН
СССР, 35 (1973), 6-И.
[10] ДЬЯКОНОВ Е. Г., О некоторых оперативных неравенствах и
их применениях, ДАН СССР, 198 (1971), N° 5, 1007—1010.
[11] ЗАВЬЯЛОВ Ю. С, Интерполирование бикубическими много-
звенниками, сб. «Вычислительные системы», Новосибирск, вып.
38, 1970.
[12] Интерполирование кубическими многозвенниками, сб.
«Вычислительные системы», Новосибирск, вып. 39, 1970.
[13] Экстремальное свойство кубических многозвенников и
задача сглаживания, сб. «Вычислительные системы»,
Новосибирск, вып. 42, 1970.
[14] Экстремальное свойство бикубических многозвенников
и задача сглаживания, сб. «Вычислительные системы»,
Новосибирск, вып. 42, 1970.
*) Этот список, содержащий работы советских математиков по
затрагиваемым в книге вопросам, составлен переводчиками,— Прим
ред.

Дополнительный список литературы П9
[15] КОРНЕЙЧУК Н. П., О наилучшем приближении непрерывных
функций, ИАН СССР, сер. матем., 27 (1963), № 1, 29—44.
[16] ЛОГИНОВ А, С, Приближение непрерывны* функций лома
ными, Матем. заметки, 0 (1969), № 2, 149—160.
[17] МАЛОЗЕМОВ В. Н., Об отклонении ломаных, Матем.
заметки, 1 (1967), № 5, 537—540.
[18] МИХЛИН С. Г., О сходимости метода наименьших квадратов,
ДАН СССР, 59 (1948), № 7.
[19] Вариационные методы в математической физике, М.,
«Наука», 1969.
[20] О вариационно-разностном методе для одномерных
краевых задач, ДАН СССР, 198 (1971), № 1.
[21] О координатных функциях вариационно-разностного
метода, ДАН СССР. 200 (1971), Mb 3 526—529.
[22] О вариационно-разностном методе для многомерных
краевых задач, Записки научн. семинаров ЛОМИ АН СССР,
23 (1972), 99—114.
[23] Аппроксимация на радиально-кольцевой сетке, Записки
науч. семинаров ЛОМИ АН СССР, 35 (1973), 95—102.
[24] О наименьшем числе исходных функций в вариационно-
разностном методе, Записки научн. семинаров ЛОМИ АН
СССР, 35 (1973), 103—105.
[25] МОРОЗОВ В. А., О приближенном решении операторных
уравнений методом сплайнов ДАН СССР, 200 (1971), № 1.
[26] НИКОЛЬСКИЙ С. М., приближение функций многих
переменных и теоремы вложения, М., «Наука», 1969.
[27] ОГАНЕСЯН Л. А., Сходимость вариационно-разностных схем
при уточненной аппроксимации границы, ДАН СССР, 170
(1966), № 1, 41—44.
[28] Вариационно-разностная схема на регулярной сетке для
задачи Дирихле, ЖФМ и МФ, 11 (1971), № 6, 1595—1603.
[29] РУХОВЕЦ Л. А., О вариационно-разностных схемах
для линейных эллиптических уравнений второго порядка в
двумерной области с кусочно-гладкой границей, ЖВМ и МФ, 8
(1968), № 1.
[30] Исследование скорости сходимости вариационно-
разностных схем для эллиптических уравнений второго
порядка в двумерной области с гладкой границей, ЖВМ и МФ, 9
(1969), № 5, 1101—1120.
[31] ПЕТЕРСОН Н., О кусочно-полиномиальной аппроксимации,
ИАН Эст. ССР, сер. физ.-мат. и техн., 1 (1962).
[32] ПОПОВ В. А., СЕНДОВ Б. Х„ О классах, характеризуемых
наилучшим приближением сплайн-функциями, Матем. заметки,
8 (1970), № 2, 137-148.
[33] РЯБЕНЬКИЙ В. С, Об устойчивости конечно-разностных
схем и о применении метода конечных разностей к решению
задачи Кошн для системы уравнений с частными
производными, Диссертация, МГУ, 1952.
[34] ФИЛИППОВ А. Ф., Об устойчивости разностных
уравнений, М., 1965.

120 Дополнительный список литературы
[35] СТОРЧАЙ В. Ф., Об отклонении ломаных в метрике Lp, Ма-
тем. заметки» 5 (1969), № 1, 31—37.
[36] СТРЕЛКОВ Н. А., Об аппроксимациях некоторых
функциональных пространств и их применениях, ДАЙ СССР, 209
(1973), Кя 3, 565-568.
[37} СУББОТИН Ю. Н., Функциональная интерполяция в среднем
с наименьшей п-Pi производной, Труды МИАН СССР, 88 (1967),
30—60.
[38] ЧЕРНЫХ Н. И., Порядок наилучших
сплайн-приближений некоторых классов функций, Матем. заметки, 7 (1970),
№ 1, 31-42.
[39] Поперечники класса WrL в L (0, 2я) и приближение
сплайн-функциями, Матем. заметки, 7 (1970), № 1, 43—52.
[40] Об одном линейном методе приближения
дифференцируемых функций, Матем. заметки, 7 (1970), Ш 4, 423—430.
[41] ТИХОМИРОВ В. М., Наилучшие методы приближения и
интерполирования дифференцируемых функции в пространстве
С (—1 1), Матем. сб., 80 (122) (1969), № 2 (10), 290—304.
[42] ЯНЕНКО Н. Н., КВАСОВ Б. И., Итерационный метод
построения поликубических сплайн-функций, - инф. бюлл. сЧисленные
методы механики сплошной среды», Новосибирск, т. 1, № 3,
1970,

Именной указатель
Агмон (Agmon S.) 32 , 42 , 75 ,
80
Алберг (Ahlberg J. Н.) 7 , 9 , 21
Анселон (Anselone Р. М.) 22 ,
30
Ахиезер Н. И. 109 , 117
Бабушка (Babuska I.) 11 , 21 ,
69 , 79 , 80
Беренс (Berens Н.) 15 , 21
Бернштейн С. Н. 116
Биркгоф (Birkhoff G.) 11 , 21 ,
31 , 36 , 41 , 81 , 85 . 88 , 91 , 92 ,
105
Боас (Boas R. Р.) 113 , 117
Браудер (Browder F. Е.) 45 ,
50 , 57 , 94 . 105
Брудный Ю. А. 118
Брэмбл (Bramble J. Н.) 35 , 36 ,
38 , 40 , 42 , 71 , 72 , 75 — 80
Буцер (Butzer P. L.) 15 , 21
Вагшал (Wagschal С.) 40 , 42
Валирон (Valiron G.) 113 , 117
Варга (Varga R. S.) 5 , 6 , 9 ,
11 — 13 , 19 , 21 , 23 , 26 , 30 , 31 ,
41 , 47 , 49 , 57 , 58 , 81 , 91 , 92 ,
100 , 105 , 112 , 113 , 115 , 117
Василенко В. А. 118
Великий В. Л. 118
Вендроф (Wendroff В.) 81 , 85 ,
91 , 100 , 105
Витасек (Vitacek Е.) 11 , 21
Галкин П. В. 118
Голомб (Golomb М.) 11 , 21 ,
22 , 30
Гопенгауз И. Е. 118
Гревиль (Greville Т. N. Е.) 7 ,
9 , 21
Гривар (Grisvard Р.) 17 , 21
Гулд (Gould S. Н.) 83 , 92
Гульельмо (diGulielmo F.) 69
Де Бур (DeBoor С.) 38 , 42 ,
65 , 69 , 81 , 85 , 88 , 91 , 92 , 105
Деклу (Descloux) 65 , 69
Демьянович В. К. 118
Демьянович Ю. К. 118
Джером (Jerome J. W.) 22 , 23 ,
26 , 27 , 30
Джордж (George J. A.) 41 , 42
Дуглас (Douglas J.) 100 , 102 ,
103 , 105
Дьяконов E. Г. 118
Дэвис (Davis P. J.) 21
Дэйли (Dailey J. M.) 6 , 27 , 30
Дюпон (Dupont Т.) , 100 , 102 ,
103 , 105
Жаме (Jamet P.) 26 , 30
Завьялов Ю. С. 118
Зламал (Zlamal M.) 38 — 40 , 42
Иосида (Yosida К.) 46 , 57 , 102 ,
105
Канторович Л. В. 81 , 91
Квасов Б. И. 120
Келлер (Keller Н. В.) 57
Кинг (King J. Т.) 104 , 105
Корнейчук Н. П. 119
Коуди (Cody W. J.) 112 , 117
Крылов В. И. 81 , 91
Курант (Courant R.) 81 , 91
Лионе (Lions J. L.) 72 , 80 , 94 ,
105
Логинов А. С. 119
Лоран (Laurent Р , J.) 22 , 30

122
Именной указатель
Лоренц (Lorentz G. G.) 11 , 21
Лукас (Lucas Т. R.) 24 , 26 , 30
Мадженес (Magenes Е , ) 72 , 80
Малозёмов В. Н. 119
Мейнардус (Meinardus G.) 112 ,
113 , 115 - 117
Минти (Minty G.) 49 , 58
Михлин С. Г. 118 , 119
Морозов В. А. 119
Нассиф (Nassif N.) 100 , 104 ,
105
Наттерер (Natterer F.) , 26 , 30
30
Нечас (Necas J.) 72 , 80
Никольский С. В. 119
Нильсон (Nilson Е. N.) , 7 , 9 ,
21
Нитче (Nitsche J.) , 68 , 69 , 91 ,
92
Обэн (Aubin J.-P.) 11 , 21 , 69 ,
79. 80
Оганесян Л. А. 119
Перрэн (Perrin F. М.) 47 , 57
Петерсон Н. 119
Петре (Peetre J.) 15 , 17 , 21
Пирс (Pierce J. G.) 6 , 26 , 27 ,
30 , 81 , 92
Попов В. А. 119
Прагер (Prager М.) 11 , 21
Прайс (Price Н. S.) 47 , 57 , 100 ,
105
Редди (Reddy A. R.) 115 , 117
Роуз (Rose М. Е.) 49 , 58
Руховец Л. А. 119
Рябенький В. С. 119
Сарантонелло (Zarantonello
Е. Н.) 49 , 58
Сард (Sard А.) 42
Сендов Б. X. 119
Сиарле (Ciarlet P. G.) 26 , 30 ,
40 , 42 , 47 , 57 , 58 , 81 , 91
Сторчай В. Ф. 120
Стрелков Н. А. 120
Стрэнг (Strang G.) 61 , 63 — 65 ,
68 , 75 , 88 . 92 , 100 , 105
Субботин Ю. Н. 120
Тейлор (Taylor G. D.) 115 , 117
Тихомиров В. М. 120
Уолш (Walsh J. L.) 7 , 9 , 21
Фикс (Fix G.) 6 , 38 , 42 , 61 , 63 —
65 , 68 , 69 , 75 , 81 , 88 , 92 , 100 ,
104 , 105
Филиппов А. Ф. 119
Харрик И. И. 38 , 42
Хедстром (Hedstrom G. W.) 19 ,
21
Херболд (Herbold R. G.) 63 , 69
Хёрмандер (Hormander L.) 60 ,
69
Хилберт (Hilbert S , R.) , 35 , 36 ,
38 42 75
Хьюлм (Hulme В. L.) 49 , 57
Черных Н. И. 120
Шац (Schatz А. Н.) 71 , 72 ,
76 — 80
Шварц (Schwartz В.) 6 , 12 , 13 ,
21 , 49 , 57 , 81 , 85 , 91 , 100 ,
105
Шёнберг (Schoenberg I. J.) 7 ,
21 , 62 , 69
Шёнхаге (Schonhage А.) 113 ,
117
Шульц (Schultz М. Н.) 9 , 11 ,
13 , 21 , 24 , 25 , 30 , 31 , 37 , 41 ,
57 , 58 , 81 , 88 , 91
Шумакер (Schumaker L. L.) 22 ,
30
Яненко Н. И. 120

Предметный
указатель
абстрактный метод Галёркина
50
включение 15
второе интегральное
соотношение 12
диссипативный оператор 102
задача Эрмита — Биркгофа 23
интерполянт 31
— эрмитов 34
квазибилинейная форма 44 , 53
квазиинтерполянт 64
квазиоптимальность в смысле
я-широт 11
конечно непрерывный' оператор
50
кубический сплайн 63
метод штрафов 104
модуль непрерывности 14
непрерывность по Липшицу 51
Обобщенное решение 45 , 53 , 67
оператор диссипативный 102
— конечно непрерывный 50
— непрерывный по Липшицу 51
г— равномерно эллиптический
73
— строго монотонный 50
отношение Рэлея 83
первое интегральное
соотношение 10
подавляемые граничные
условия 88
полиномиальная интерполяция
Лагранжа 13
полиномиальный сплайн 9
полудискретные приближения
по Галёркину 94
преобразование Фурье 59
приближение Кранка — Никол-
сона — Галёркина 103
— по Галёркину 45 , 96
промежуточное пространство 15
пространство Бесова 17
— промежуточное 15
— Соболева 8
равномерно эллиптический
оператор 73
равномерное разбиение 8
разбиение 7
— равномерное 8
сплайн 8 , 9
— кубический 63
— полиномиальный 9
— Шёнберга 62
— Эрмита 9
строго монотонный оператор 50
строгое условие конуса 32
теорема Кальдерона о
расширении 35

124
Именной указатель
узел 7
функция совершенно
правильного роста (р , В) 113
функция-шапочка 61
чебышёвская полу дискретная
аппроксимация 109
чебышёвские постоянные 109
эрмитов интерполянт 34
Я-эллиптический оператор 28
L-сплайн 8
Lg-сплайн 22
у-сплайн 24
Л-сплайн 28

Оглавление
От редактора перевода г • - , i 5
Предисловие • 6
Глава 1. L-сплайны . . . » • . . . . . . 7
§ 1.1. Основы теории 7
§ 1.2. Интерполяционные пространства и их приложения 15
Список литературы 21
Глава 2. Обобщения понятия L-сплайна , ?.... 22
§ 2.1 , Lg-сплайны ....... i . . 22
§ 2.2. у-сплайны . . i 24
§ 2.3. Вырожденные сплайны 26
Список литературы 30
Глава 3. Результаты по кусочно полиномиальной
интерполяции и аппроксимации в областях большей размерности 31
§ 3.1. Тензорные произведения одномерных
полиномиальных сплайнов ..... 31
§ 3.2. Обобщения зламаловского типа i 38
Список литературы . . . ....... 41
Глава 4. Метод Рэлея — Ритца — Галёркина для нелинейных
краевых задач 43
§ 4.1. Одномерная задача ...*.?... 43
§ 4.2. Теория монотонных операторов i 49
§ 4.3. Приближения по Галёркину для нелинейных
краевых задач i 52
Список литературы , . . 57
Глава 5. Анализ Фурье , i i 59
§ 5.1. Общие замечания и обозначения ; 59
§ 5.2. Приложения 66
Список литературы 68

126
Оглавление
Глава 6. Методы наименьших квадратов s 70
§ 6.1. Общие замечания и обозначения 70
§ 6.2. Теоретические результаты теории аппроксимации 74
Список литературы 80
Глава 7. Задачи на собственные значения , . ; . . 81
§ 7.1. Основная задача - , , 81
§ 7.2. Метод Рэлея — Ритца i . 84
§ 7.3. Улучшенные оценки погрешности приближения
собственных функций 89
Список литературы i . . • . 91
Глава 8. Параболические задачи ; . » . 93
§ 8.1. Полудискретные приближения по Галёркину . . 93
§ 8.2. Устойчивость , 100
§ 8.3. Обобщения . . . i . 102
Список литературы . . « . 105
Глава 9. Чебышёвские полудискретные аппроксимации для
линейных параболических задач 106
§ 9.1. Введение 106
§ 9.2. Чебышёвские полудискретные аппроксимации . . 108
§ 9.3. Чебышёвские постоянные для е-х 112
§ 9.4. Чебышёвские постоянные для других целых функций 113
Список литературы 117
Дополнительный список литературы 118
Именной указатель 121
Предметный указатель 123

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее
оформлении, качестве перевода и другие просим
присылать по адресу: 129820, Москва, И-110 ГСП,
1-й Рижский пер., 2, издательство «Мир».

Р. Варга
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
И ТЕОРИЯ АППРОКСИМАЦИЯ
В ЧИСЛЕННОМ АНАЛИЗЕ
Редактор В. Авербух
Художник Л. Муратова
Художественный редактор
В. Шаповалов
Технический редактор
Ф. Третьякова
Корректор С. Лебедева
Сдано в набор 21/V 1974 г.
Подписано к печати 8/VIII 1974 г.
Бумага № 2 84хЮ87з2=2,0 бум. л.
6,72 усл. печ. л. Уч.-изд. л. 5,85.
Изд. № 1/7455. Цена 40 к. Зак. 332
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Отпечатано в ордена Трудового
Красного Знамени Ленинградской ,
типографии № 2
имени Евгении Соколовой
Союзполиграфпрома при
Государственном комитете Совета
Министров СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли
198052, Ленинград, Л-52,
Измайловский проспект, 29, с матриц
Московской типографии № 13
Союзполиграфпрома при
Государственном комитете Совета
Министров СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли
107005, Москва, Б-5,
Денисовский пер., 30