/
Автор: Кириллов И.И.
Теги: механика двигатели турбины издательство машиностроение турбомашины
Год: 1972
Текст
И. И. КИРИЛЛОВ
ТЕОРИЯ ТУРБОМАШИН
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
ФБ СПбГТУ
11Ш111Н1Н
0000224551____
ЛЕНИНГРАД
„МАШИНОСТРОЕНИЕ"
1972
СПбГПУ кафедра «Турбинные двигатели и установки»
ПРЕДИСЛОВИЕ
Строительство в огромном масштабе мощных и высокоэкономичных энер-
гетических установок — главная задача, поставленная партией и прави-
тельством перед энергетиками Советского Союза. Для решения этой задачи
требуются всесторонние теоретические и экспериментальные исследования
элементов энергетических установок, в частности турбомашин. Назначение
книги — способствовать развитию этих исследований.
Процесс преобразования энергии в турбомашинах различных типов
имеет много общего. Научную базу для изучения рабочего процесса всех
турбомашин составляют основоположные труды Леонарда Эйлера, совре-
менная механика жидкости и газа и экспериментальная аэродинамика.
Поэтому обмен опытом и координация научно-исследовательских работ,
ведущихся применительно к различным турбомашинам, способствуют их
дальнейшему прогрессу.
В последнее время делались попытки объединить теорию турбомашин
различных типов и обобщить богатый опыт, накопленный за долгие годы их
развития. В частности, автор в ранее выпущенных книгах стремился сблизить
теорию паровых и газовых турбин и компрессоров. В данной книге эти идеи
получили дальнейшее развитие.
Одномерная теория сыграла исключительно важную роль в турбинострое-
нии. Главные достижения в построении паровых турбин тесно связаны со
струйной теорией, на базе которой проектировались крупнейшие агрегаты.
Выполнявшиеся на основании этой теории расчеты долгое время удовлетво-
ряли практику.
Простые представления струйной теории способствовали пониманию
главных свойств турбомашин, а введение поправочных опытных коэффициен-
тов сближало результаты расчетов с опытом. Выдвинутые струйной теорией
положения широко применяются до сих пор для оценки общих свойств
турбин. Все это побуждает отвести в теории турбомашин должное место
одномерной теории и углублять ее.
Ряд важных задач турбостроения не может быть решен без применения
двух- и трехмерной теории. В этом направлении развивается современная
теория турбомашин, и это отражено в книге.
Наибольшее внимание уделено физическим процессам в турбомашинах.
Некоторые положения теории рассмотрены для изоэнтропийного процесса,
чтобы исключить влияние второстепенных явлений.
При сопоставлении кинематики потока в турбине и компрессоре (насосе)
последний представлен как обращенная турбина, что позволило избежать
тишних выводов, а главное — подчеркнуть, где следует, общность принципов
преобразования энергии в турбомашинах. С этой же целью обобщены некото-
рые кинематические характеристики радиальных и осевых турбомашин.
Введение в общую теорию кинематической степени реактивности способство-
вало упрощению расчетных формул, а также позволило лучше сравнить рабо-
чий процесс в различных турбомашинах.
Сочетание теоретических и экспериментальных исследований турбомашин
всегда приводило к успеху. Поэтому результаты эксперимента рассматри-
ваются как неотъемлемая часть теории.
5
Экспериментальное изучение элементов проточных частей современных
турбомашин всех типов требует огромных средств и, что не менее важно,
большой затраты труда исследователей. Согласованное выполнение этих
исследований может быть весьма плодотворным. Для этого требуется знаком-
ство конструкторов и исследователей с общими задачами в различных обла-
стях турбостроения. Автор стремился выявить эти задачи и способствовать
обмену опытом.
В разделах, посвященных потерям энергии, рассмотрены результаты
экспериментов, имеющих общее значение или выясняющих специфические
особенности различных типов турбомашин.
В книге использованы результаты научных изысканий многих заводов
и институтов. В частности, некоторые ее разделы базируются на теоретиче-
ских и экспериментальных исследованиях, выполненных с участием автора
в Ленинградском политехническом институте им. М. И. Калинина (ЛПИ)
и Брянском институте транспортного машиностроения (БИТМ).
Международная система единиц измерения СИ принята как основная.
Автор благодарит коллектив кафедры турбиностроения ЛПИ, оказавший
помощь при составлении рукописи книги.
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Геометрия проточной части
и, г, г — оси координат, соответствующие направлению окружной скорости и, оси тур-
бины z и радиусу г;
dx, d2(rx,r2) —средний диаметр, радиус соответственно направляющего аппарата и рабочего
колеса;
Zx, Z2 — длины лопаток соответственно направляющего аппарата и рабочего колеса;
Ьх, Ь2 — хорды соответственно направляющих и рабочих лопаток;
tr, Z2 — шаги соответственно направляющих и рабочих лопаток;
аол, <ххл — соответственно входной и выходной углы направляющих лопаток, определяе-
мые как углы между осью и касательными к средней линии профиля;
Рхл, Рал — соответственно входные и выходные углы рабочих лопаток, определяемые как ,
углы между осью и и касательной к средней линии профиля;
ё — величина зазора;
Д — величина перекрытии;
S — площадь, ометаемая лопатками; поверхность;
е — степень впуска.
Кинематика потока
с, w, и — соответственно абсолютная, относительная и окружная скорости;
Со, Со — условные скорости, рассчитываемые по перепаду энтальпий й0 или /г0!
п — частота вращения;
пв — коэффициент^ быстроходности;
а, Р — углы потока соответственно в абсолютном и относительном движении;
i — угол атаки;
ех, е2 — углы поворота потока соответственно в направляющем аппарате и в рабочем
колесе;
б — угол отклонения потока;
рк — кинематическая степень реактивности.
Примечания: 1. Проекции скоростей на оси и, г и г отмечаются соответствующими
индексами.
2. Параметры в корневом сечении отмечаются одним штрихом, а в периферийном сече-
нии — двумя штрихами.
3. Углы а и Р в некоторых случаях отсчитываются от направления, обратного оси и,
и при этом они отмечаются звездочкой сверху (ос*, Р*).
4. Теоретические скорости в процессе без потерь отмечаются индексом t.
5. Индексами 0, 1, 2 отмечаются все величины, относящиеся к сечениям соответственно
перед ступенью, перед рабочим колесом и за ним.
Работа, расход, мощность
/г 0 = i0 — Z2 — располагаемый перепад энтальпий в ступени;
Ло = i0 — i2/ — изоэнтропийный перепад энтальпий от полных параметров перед сту-
пенью до давления за ступенью;
/г 2 = й—й/— изоэнтропийный перепад энтальпий в рабочем колесе;
Рт ~ hjho — термодинамическая степень реактивности;
рт = Л2/^о — полная термодинамическая степень реактивности;
ДЛХ, Л/г2 — профильные потери энергии соответственно в направляющем аппарате и в
рабочем колесе;
АЛ/ — концевые потери энергии;
he — выходная кинетическая энергия;
7
?i> Сг — коэффициенты потери энергии соответственно в направляющем аппарате и в рабо-
чем колесе;
<р, ф — коэффициенты скорости соответственно в направляющем аппарате и в рабочем
колесе;
hu — полезная удельная работа на окружности, вычисляемая по формуле Эйлера;
h — полезная удельная работа ступени;
Но — изоэнтропийный перепад энтальпий в группе ступеней;
а — коэффициент возврата тепла или затраты энергии;
Т|и, т]ы— окружные к. п. д. ступени соответственно с учетом и без учета выходной потери,
вычисленные по удельной работе hu;
•»], 1]* — внутренние к. п. д. ступени соответственно с учетом и без учета выходной потери,
вычисленный по удельной работе Л;
‘Цпол — политропный к. п. д.;
Т|е, 'Пэ — соответственно эффективный и электрический к. п. д.;
G — массовый расход рабочего тела;
М — вращающий момент;
N, Ne — мощность соответственно внутренняя и эффективная.
ГЛАВА I
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
Течение рабочего тела в проточных частях современных турбомашин
отличается значительной сложностью. Это вынуждает при решении практи-
ческих задач широко пользоваться эмпирическими закономерностями и полу-
эмпирическими теориями. Но следует подчеркнуть, что с момента зарождения
теории турбомашин в знаменитом трактате Леонарда Эйлера и в течение
последующего ее развития в трудах А. Стододы и других известных ученых
она основывалась на общих теоремах механики. Именно этим объясняется
тот успех в построении турбомашин, который был достигнут еще в конце
прошлого и начале текущего столетия.
В настоящее время, когда для достижения высоких экономических пока-
зателей приходится сильно усложнять протекающие в турбомашинах про-
цессы, роль гидромеханики и газовой динамики в их теории неизмеримо
возрастает и дальнейшее развитие турбомашин тесно связано с успехами
в этой области механики. Поэтому во время изучения теории турбома-
шин постоянно приходится обращаться к общим теоремам сплошной среды.
Они позволяют правильно понять и глубоко исследовать многие явле-
ния в лопаточных аппаратах. Общие уравнения движения жидкости и газа
необходимо знать для оценки погрешностей и уточнений применяемых на
практике приближенных методов расчетов. Их роль также велика при изуче-
нии проблемы моделирования турбомашин.
В этой главе даны краткие сведения о важнейших уравнениях газовой
динамики применительно к теории турбомашин.
1.1. силы вязкого ТРЕНИЯ
Рассмотрим в общем виде движение вязкого газа. Допустим,, что газ совер-
шенен, т. е. для него справедливо уравнение Клапейрона. Трение в газе будем
считать подчиняющимся обобщенному закону Ньютона [2].
Напряжения между слоями потока пропорциональны отнесенному к
единице длины изменению скорости по нормали к направлению движения.
При движении в плоскости Охг со скоростями с, параллельными оси Ох,
касательные напряжения трения рхг, согласно закону Ньютона, опреде-
ляются по формуле
de
Последнее уравнение -— частный случай закона пропорциональности
касательных компонент тензора напряжений касательным компонентам тен-
зора скоростей деформаций, т. е.
/?хг = 2цЁхг, (1.1)
А 1 (дсх । dcz\ ,
где Ьхг — + ) характеризует поле деформационных скоро-
стей, которое является отличительной особенностью поля скоростей жидкого
тела.
9
Формула (1.1) получена как следствие основанного на опыте предположе-
ния, что тензор напряжений Р в движущейся среде представляет собой линей-
ную функцию тензора скоростей деформаций. Для изотропной среды эта
линейная связь между тензорами может быть представлена в таком общем
виде [21
Р = аЁ + Ы,
а и Ь — скаляры, а / — единичный тензор, причем
[0, если i j',
11 (1, если i = /.
Согласно уравнению (1.1), можно принять а = 2ц. Скаляр же b находится
при допущении [2], что взятое с обратным знаком среднее арифметическое
трех нормальных напряжений, приложенных к взаимно перпендикулярным
площадкам, представляет давление в данной точке
Р =----+ Руу + Рг^-
Вычисленное таким образом давление достаточно точно соответствует действи-
тельному давлению в потоке для всех задач, рассматриваемых в теории турбо-
машин, так как учет «второй вязкости» имеет значение лишь для быстро
развивающихся процессов движения [2].
От этого давления скаляр b отличается на величину, пропорциональную
скорости объемного расширения dive. При этом условии равенство (1.1)
можно записать в таком виде
Р = 2р£—^p-|-2-|idivc)/. (1.2)
Поскольку для несжимаемой жидкости dive = 0, то член, содержащий
дивергенцию скорости, учитывает удельные силы в вязкой сжимаемой жид-
кости, вызванные изменением объема. Этот член получен из предпосылок
о линейной зависимости между тензорами и об изоэнтропийности газооб-
разной среды.
Установленная связь между напряжениями и скоростями деформации
жидкого объема позволяет учесть силы вязкости в уравнениях движения.
I. 2. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ
Воспользуемся законом сохранения массы
4(PdV) = f <л/+Р4л-=о,
где dV—выделенный объем жидкости или газа.
Так как dive представляет собой относительное изменение объема в
данной точке и pdivc—такое же изменение массы, то
р Лг dV = р div с • dV.
1 at '
Следовательно, уравнение неразрывности может быть записано в виде
+ pdivc — 0. (1.3)
Заменив в этом уравнении полную производную от плотности по времени
ее выражением через частную и конвективную производные по времени,
получим
~ + с grad р -г р div с = 0.
10
Последние два члена в левой части уравнения равны div рс. Поэтому
уравнение неразрывности можно записать в форме
+ div (рс) = 0. (1.4)
Для несжимаемой жидкости (р = const) получим
dive = 0.
Уравнение (1.4) в декартовых координатах имеет вид
+ ^(Р^) + (Р^) + ~(рс2) = 0. (1.5)
1.3. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ В НАПРЯЖЕНИЯХ
Допустим, что движущийся объем в течение всего времени состоит из
одних и тех же частиц жидкости. Согласно теореме количеств движения [21,
главный вектор внешних сил R, приложенный к рассматриваемому объему
жидкости, равен индивидуальной производной по времени от количества дви-
жения системы Q, т. е.
~- = R. (1.6)
Запишем очевидные выражения
Q = j с dm = | ср dV
v v
и
где F — плотность распределения объемных сил в жидкости (относится к еди-
нице массы); рп — вектор напряжений, приложенный к положительной сто-
роне элементарной площадки dS с нормалью п
Подставив эти выражения в уравнение (1-6), найдем
~ J ср dV = [ pF dV + J p„ dS.
1 v i s
Так как пределы интегрирования не зависят от времени, то производная
от интеграла по времени равна интегралу от производной подынтегральной
функции.
Продифференцировав произведение с pdV и заметив, что - (pdV) = 0,
можем написать
J р ^dV = J pF dV + J PlldS. (1.7)
и vs
Вектор p„ можно разложить на три составляющие, приложенные к поло-
жительным сторонам площадок dSx, dSy и dS2, перпендикулярных соответ-
ственным осям координат,
Р» = «хРх + пуру + пгрг, (1.8)
где пх, пу и п. — проекции единичного вектора п, перпендикулярного
к рассматриваемой площадке dS.
Вектор рп можно рассматривать как произведение орта п на тензор Р,
характеризующий напряженность жидкости в данной точке,
р„ = пЛ (1.9)
И
Как известно из векторного анализа 11], можно от поверхностного инте-
грала перейти к объемному, записав
и два аналогичных выражения применительно кр^и рг. Подставив их в урав-
нение (L7) и имея в виду произвольность объема, получим уравнение в напря-
жениях
P(cV)c = PF + DivP> (I-Ю)
где вместо индивидуальной производной подставлено ее выражение через
локальную и конвективную производные, а под дивергенцией тензора напря-
жений Р подразумевается выражение
+ (1-11)
дх 1 ду ‘ дг х
Из уравнения в напряжениях легко выводятся известные уравнения дина-
мики вязкого газа при некоторых упрощающих обстоятельствах. Допустим,
что связь между тензором напряжений Р и тензором скоростей деформаций Е
определяется уравнением (1.2). При этом
/2 \ ( 2
Div ( р 4- -s-jidivc) 1 = grad ( р + ~q-M dive),
и уравнение (1.10) примет вид
g+(cV)c
2
3
div с )
Div (р£)-
(1Л2)
Предположим, что коэффициент вязкости р можно считать постоянным.
Тогда его можно вынести за знак дифференциальных операций, и в последнем
члене уравнения (1.12) остается определить лишь Div Е. Проекции этого
вектора находятся по общим правилам:
(Div£)i = +
Подставив в эти равенства значения компонентов тензора
F — 1 f 4- дс£ \
2 \ dat ‘ да}- ) ’
после преобразований найдем, например, выражение проекции на ось х
(заменяем координаты cq, а2» аз на х, у, z)
2 (Div£)x = V2ca. 4- ~ div с
и аналогичные выражения для двух других проекций, где
Введя кинематическую вязкость v = р/р, последний член в уравнении
(1.12) запишем в проекции на ось х в виде:
v (v2cx ф- divc^ .
\ х 1 дх /
12
Для несжимаемой жидкости div с = 0 и уравнение (1.12) примет форму
уравнения Стокса [21
4f + (c-V)c= F — -^-grad р ф-v V2c, (1.13)
где у2с имеет смысл вектора с проекциями \2сх, \2си, \2cz.
1.4. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
Если в потоке жидкости или газа пренебречь внутренним трением, то каса-
тельные силы равны нулю. Поэтому напряжение, приложенное к площадке
с направлением внешней нормали п, должно быть перпендикулярно к этой
площадке и его компонентами будут:
РгРх ~~ ^xPxxi Р,Ру — ftyPyyi PnPz ^zPzz-
Из этих равенств непосредственно следует, что
Рп Рхх Руу Pzz Pi
где р — давление, равное общему значению нормальных напряжений, при-
ложенных в данной точке потока; знак минус указывает на то, что вектор
напряжения имеет направление, противоположное внешней нормали п, т. е.
р„ —— рп,
чему соответствует сжатие выделенного объема .
Из последнего выражения для р„ и равенств (1.8) и (1.9) получим следую-
щее выражение тензора напряжений:
Р = —р1.
Из этого выражения, согласно уравнению (1.11), найдем
DivP = — (-Jr- К + -у- 'Ч + “г-•з') = —gradp,
\ дх 1 1 ду 21 1 dz & '
где f2 и is — орты, направленные соответственно по осям х, у и z.
Используя последние выражения, уравнению в напряжениях (1.13) при-
менительно к идеальной жидкости можно придать форму уравнения Эйлера,
в котором ускорение элементарной массы в фиксированной точке простран-
ства выражается через параметры движения в этой точке
АдсТ)с=Г-----------— gradp. (1.14)
Уравнение движения Эйлера можно записать в форме Громека—Лэмба,
выполнив следующие математические преобразования.
Из векторного анализа известно [1 ], что
(с • V) с = grad-с rote. (1.15)
Вспомним, что вектор, являющийся градиентом некоторого скаляра,назы-
вается потенциальным вектором. Поле такого вектора именуется потенциаль-
ным, а сам скаляр — потенциалом. Таким образом, последнее выражение
выделяет из конвективного ускорения потенциальную часть.
Допустив, что объемные силы обладают потенциалом, можем вектор плот-
ности объемных сил записать в форме
F = —gradll.
Предположим также, что плотность можно выразить функцией только
давления, т. е. р = р (р). Такое движение, называемое баротропным, воз-
можно, например, при политропном процессе, в частности для несжимаемой
13
жидкости (р = const), при изотермическом процессе (р/р = const), а также
в случае изоэнтропийного расширения или сжатия газа (plpk = const).
Для исследования баротропного движения удобно ввести [2] функцию
давления которую можно выразить интегралом
Из последнего равенства следует, что для баротропного течения
Д# = -^-dp
или р
grad#-= grad Р = -р~ grad р. (1.16)
Последняя величина была получена в результате преобразования поверх-
ностного интеграла в уравнении (1.7), выражавшего работу внешних сил,
приложенных на границе выделенного объема. Таким образом, функция
давления е/° является потенциалом массового действия поверхностных сил.
Благодаря тому чтоgrad р можно выразить в виде градиента функ-
ции давления, в уравнении (1.14) после подстановки потенциала объемных
сил и выражений (1.15) и (1.16) можно сгруппировать три члена под знаком
градиента
grad ( + п) = grad Е,
где £ = eF + + П — трехчлен Бернулли.
Если движение не баротропно, то не существует функции & и последняя
запись градиента энергии не правомерна.
Использовав последнее выражение и формулу (1.15), уравнение (1.14)
перепишем в такой форме
---cxrotc =—grad£. (1-17)
Это уравнение связывает величины кинематические (левая часть) с дина-
мическими П и е/°. Оно показывает, какое поле скоростей возможно в потоке
идеальной жидкости.
Для безвихревого движения (rot с = 0) и для винтового движения
(с || rot с) имеем с X rot с = 0, а поэтому grad £ = 0 или £ = const.
1.5. СРАВНЕНИЕ БАЛАНСА ЭНЕРГИИ
Для теории турбомашин особый интерес представляет теорема об измене-
нии кинетической энергии, сформулированная таким образом [2]: инди-
видуальная производная по времени от кинетической энергии объема газа
равна сумме мощностей внешних и внутренних сил, приложенных к выделен-
ному объему. Эта теорема имеет интегральное выражение
-4-j Jpp-cdV+Jp„cdS+ pedV, (118)
V V SV
где V — выделенный объем газа; S — поверхность этого объема; Ne —
мощность внутренних сил, отнесенная к единице объема.
Чтобы перейти к дифференциальной форме записи уравнения энергии,
преобразуем поверхностный интеграл в объемный
[ DncdS= ] (nP)-cdS = [ div(£c)dV,
s s v
где P — тензор напряжений, причем р„ = пР.
14
Теперь легко, освободившись от интегралов, получить искомое дифферен-
циальное уравнение
д / г2 \
Р ~dT \2~) = pF’C + div (Pc) + Ne.
d-19)
Воспользуемся уравнением движения в напряжениях (1.10)
Р ДГ = PF + Div А
Умножив скалярно обе части этого уравнения на вектор с, получим
p4(4) = pF-c + cDivA (1-20)
Сравнив уравнения (1.19) и (1.20), найдем выражение для удельной мощ-
ности внутренних сил
Ne — c-DivP— div(Pc).
Раскрыв дивергенцию тензора Р, согласно уравнению (1.11), найдем
c.DivP = cx^M
х дх 1
„ друу , „ dpzz
« ду 1 г dz ’
Дивергенцию вектора Рс раскроем по общим правилам
div(Pc) = ^
дс'у
ду
дС2
dz ’
где с'х = + РхуСу + Pxzcz, Су', с’г выражаются аналогично.
Использовав эти выражения, получим
N -_____Ld..(^L4.AM ___L ЁЁ1Л
e 2 >L‘ \ dxj dxt J 2 дх, dxt ) •
Последняя разность тождественно равна нулю, так как каждой паре на-
пряжений pLj и рл соответствуют только отличающиеся знаком разности
~. Поэтому
dxj дх^
+ (1-21)
где Ё — тензор скоростей деформаций.
Использовав формулу (1.2) и заметив, что 1цЁ = div с, получим
Ne = —2р£2 + р div с + -|- р (div с)2. (1-22)
Для несжимаемой жидкости div с= 0, следовательно, последние два
члена в уравнении (1.22) отпадают. Эти два члена выражают влияние сжи-
маемости на мощность внутренних сил, причем первый из них соответствует
работе деформации в единицу времени Np с учетом тепла, выделяемого вслед-
ствие диссипации мощности сил трения. Итак, мощность внутренних сил
потока можно представить в виде двух слагаемых
Ns = Np-bN&uc, (1.23)
где Np = р div с;
Ы/дис = 2рЁ2----|- р (div с)2. (1.24)
Таким образом, если известно поле скоростей, то может быть вычислена
и диссипируемая энергия.
15
1.6. УРАВНЕНИЕ БАЛАНСА ЭНЕРГИИ С ПОДВОДОМ ТЕПЛА
ИЛИ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
В предыдущем параграфе мы рассмотрели изменение кинетической энер~
гии выделенного объема под влиянием работы внешних и внутренних сил.
Полученное уравнение (1.18) имеет общее значение, и входящие в него мощ-
ности внешних и внутренних сил могут изменяться за счет подвода извне
механической энергии или тепла.
В частном случае для обратимых адиабатных процессов внутренняя мощ-
ность Ne = Np и она получается только за счет изменения внутренней
энергии рассматриваемого объема газа. В необратимых адиабатных процессах
диссипируемая мощность не только непосредственно снижает кинетическую
энергию потока, но также увеличивает внутреннюю мощность сил давле-
ния Np за счет выделяемого тепла в процессе диссипации. По этой же при-
чине возрастает по величине и отрицательная часть работы внешних сил
давления, выраженная вторым интегралом в правой части уравнения (1.18).
Аналогичные изменения работы внутренних и внешних сил происходят
в процессах с подводом извне или отводом во вне механической энергии или
тепла в количестве рс на единицу объема и за единицу времени. В процессе
с внешним теплообменом под влиянием подведенного тепла изменяется мощ-
ность внутренних сил, приложенных к объему газа, вместе с внутренней
энергией и это изменение проявляется в дополнительной деформации рассма-
триваемого объема газа. С этой деформацией связано также изменение инте-
грала поверхностных сил. Все указанные явления описывает уравнение (1.18)
как основанное на законе сохранения энергии, но детали процесса с теплооб-
меном остаются скрытыми. Чтобы их вскрыть и непосредственно ввести в урав-
нение количество энергии р^, воспользуемся первым началом термодинамики,
согласно которому работа внутренних сил системы равна разности между ко-
личеством подведенного тепла и изменением внутренней энергии системы,
т. е.
j NedV = J dV —
V V
J qu dV.
v
Подставив это выражение в уравнение (1.18), получим
d
dt
V
dV = j pFcdV +
V
j pn-cdS-H J QqdV.
s v
d-25)
Обычным образом освободившись от интегралов, то же уравнение запи-
шем в дифференциальной форме
с2 \
и Н--н-) = pF • с + div(Рс) + рд.
(1-26)
Также без вывода в уравнение (1.18) можно ввести энтальпию
di = du + d (pv),
где последний член представляет собой работу поверхностных сил. На осно-
вании последнего равенства для суммы мощностей внутренних и поверхност-
ных сил имеем выражение
Уравнение (1.18) может быть записано в дифференциальной форме следую-
щим образом:
d
р dt
С2 \
i +-2~) = pF-c + p<7-
16
(1.27)
Это уравнение выражает общий закон сохранения и превращения энергии
и оно могло бы быть непосредственно записано с таким же основанием, как
и уравнение (1.18).
Если обмен механической энергией или теплом с внешней средой проте-
кает равномерно, то dq = qdt. При этом уравнение (1.27), пренебрегая массо-
выми силами, можно записать для стационарного движения в форме [1]
аГ (‘ + 4 - ?) = с-grad(f + 4 - q) = 0.
Последнее выражение представляет собой проекцию градиента на на-
правление линии тока, умноженную на величину скорости. Эта величина
по самому определению градиента пропорциональна производной от скаляра,
стоящего под знаком grad, взятой вдоль линии тока. Следовательно, вдоль
линии тока должно выполняться условие
i F ----q = const, (I-28)
а для адиабатного процесса
i + 4 = const. (1.29)
Поскольку эти уравнения получены на основании общего закона сохра-
нения энергии, они справедливы как для обратимых, так и для необратимых
процессов.
Воспользуемся известным из термодинамики выражением энтальпии
k — 1 р
и запишем уравнение (1.28) в таком виде
а-зо)
К рассматриваемому бесконечно малому объему подводится в единицу
времени q количество тепла, отнесенное к единице массы этого объема.
Согласно закону Фурье, количество тепла dQ, проникающего через площадь
dS в единицу времени, определяется уравнением
dQ = % (grad Т)п dS, (1.31)
где Л, — коэффициент теплопроводности; Т — температура, производная от
которой берется по нормали п к площадке dS. Знак учитывается проекцией
вектора на внешнюю нормаль.
Ко всему выделенному объему подводится количество тепла
<2 = |'(XgradT)„dS.
s
Чтобы перейти к объемному интегралу, воспользуемся преобразованием
Остроградского—Гаусса, как это было сделано для поверхностных сил при
выводе уравнения (1-18),
j (7 grad Т) г dS = j div (7 grad T) dV,
s v
поэтому количество тепла, подведенного к единице объема, можно выразить
формулой
pq = div (Л grad Т). (1-32)
Если температура меняется незначительно и можно принять X = const,
то последнее уравнение получает более простую форму
pq = 7 div grad Т = WT. (1.33)
2 И. И. Кириллов 17
1.7. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ
В потоке идеальной жидкости нет касательных напряжений, поэтому тен-
зор Р = —pl. Для такого потока Ne ~ Nph уравнение (1.19) примет вид
d / с2 \
р — pF-с— div(pc) + pdivc. (1-34)
Подставив в это уравнение div (pc) = р div с Ь с-grad р и допустив,
как и при выводе уравнения (1.17), что объемные силы имеют потенциал П,
получим
=—gradll-c----i-c.gradp. (1.35)
С другой стороны, можно использовать связь между полной и индивиду-
альными производными
d
dt
(1.36)
Ограничиваясь рассмотрением стационарного процесса и использовав
уравнения (1.35) и (1.36), окончательно получим
с-grad Е = О,
с2
где £ = П + 14—к---------трехчлен Бернулли.
Определив величину градиента как производную по направлению движе-
ния и обозначив координату точки на линии тока через Z, из последнего урав-
нения получим
— = О
dl
т. е. вдоль линии тока трехчлен Бернулли сохраняет постоянное значение
1.8. ОСОБЕННОСТИ ТЕЧЕНИЯ С ТРЕНИЕМ
Трехчлен Бернулли в уравнении (1.37) был получен для течения идеаль-
ной жидкости. Если адиабатический процесс протекает с трением и касатель-
ными напряжениями пренебрегать нельзя, то тензор напряжений Р не может
быть заменен нормальным напряжением —р. При этом теряет силу уравне-
ние (1.34) и его следствия, в том числе и выражение (1.37). Удельная же мощ-
ность деформации объема по-прежнему может быть выражена произведе-
нием р div с, и в таком виде она войдет в формулу удельной мощности вну-
тренних сил (1.23).
Отбросив объемные силы и использовав формулу (1.23), уравнение (1.19)
для адиабатного процесса перепишем следующим образом:
Р
dt
= div (Pc) + р div с — kN6uc.
(1.38)
В это уравнение величина div (Рс) вошла в результате преобразования
поверхностного интеграла в уравнении (1.18). Величина этого интеграла отли-
чается от | pcndS, из которого был получен член — div (рс) в уравнении
(1.34), на мощность касательных сил на границе выделенного объема. Эту
разность мыслим учтенной в диссипативной мощности kN дис. В таком случае
уравнение (1.38) примет вид
с2 \
) — —div (pc) + р div с
18
(1.39)
В правой части этого уравнения первые два члена по форме полностью
эвпадают с правой частью уравнения (1-34), если отбросить мощность объем-
ных сил. По существу же они могут различаться из-за влияния диссипативной
мощности на параметры потока.
Выполнив те же математические преобразования, что и при анализе урав-
нения (1.34), придем к выводу, что при стационарном движении
с • grad = — -L с • grad р — \Nduc.
Для скалярного поля любой функции радиуса-вектора имеем
dtp — dr*-grad <р.
Так как cdt = dr *, то, умножив обе части последнего уравнения на dt,
запишем
d (4)+-4+^N^dt=°- (L4°)
В связи с тем, что удельная работа сил давления dp/p больше, чем при
изоэнтропийном течении при том же изменении давления, то потери кинети-
ческой энергии отличаются от работы сил трения. При расширении часть
этой работы, вновь превращаясь в тепло, участвует в процессе и повышает
кинетическую энергию потока, а при сжатии — уменьшает ее (подробнее
см. п. П.1).
Так как рассматривается адиабатный процесс, то все тепло, получаемое
в результате работы сил трения, остается внутри выделенного объема. От
затраты этой работы при заданном перепаде давлений кинетическая энергия
уменьшается, а конечная энтальпия в соответствии с первым законом термо-
динамики на такую же величину возрастает. Поэтому для процесса с трением
'.равнение баланса тепла может быть записано в форме (1.29) точно так же,
как для потока идеального газа.
1.9. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Элементы жидкости в рабочем колесе по отношению к абсолютной системе
координат совершают сложное движение, тогда как в относительной системе
координат вблизи обтекаемых профилей лопаток траектории частиц жидкости
приблизительно совпадают с контуром профиля. Благодаря этому в относи-
тельной системе координат обтекание
профилей рабочих лопаток может быть
исследовано сравнительно простыми при-
емами. Относительное движение в рабо-
чем колесе турбомашины подробно иссле-
довали А. Стодола, А. Празил, М. Вавра,
В. Траупель и др.
Заметим, что характер абсолютного
и относительного движений может ко-
ренным образом различаться. Так, на-
пример, потенциальному абсолютному
движению может соответствовать вихре-
вое относительное движение, а ускорен-
ное абсолютное движение может быть замедленным в относительной системе
координат. Меняются также величина и характер сил сопротивления.
На рис. 1.1 показаны абсолютные и относительные траектории элементар-
ной массы жидкости, движущейся в рабочем колесе осевой турбины. Эти
траектории легко построить по треугольникам скоростей, вычисляя последо-
вательно путь элементарной массы за небольшой промежуток времени в абсо-
лютном и относительном движениях. Картина скоростей в обеих системах
координат при достаточно большой переносной скорости получается совер-
2* 19
шенно различной. Так, например, в турбинной ступени относительная ско-
рость w, осредненная по сечениям, может сохраняться почти постоянной, а
абсолютная скорость уменьшается иногда в несколько раз. В связи с отличием
траекторий различаются и силы, действующие на элементы поверхности
подвижных лопаток и на поток жидкости в относительном и абсолютном
движениях. Эти силы совершают, с одной стороны, работу, передаваемую
на вал турбомашины, а с другой стороны — изменяют параметры потока.
Выполним переход от абсолютного движения к относительному. Для этого
в уравнениях неразрывности или движения, записанных в абсолютной системе
координат, следует вектор абсолютной скорости с заменить его выражением
через векторы относительной w и переносной и скоростей
с = w + и- (1-41)
Рис. 1.2. Векторы окружной ско-
рости и = свХ г* и центростреми-
тельного ускорения <оХ и
Положение рассматриваемой частицы жид-
кости на цилиндрической поверхности будем
определять радиусом-вектором г*, проведен-
ным из начала координат О (рис. 1.2). Вектор
переносной скорости можно заменить вектор-
ным произведением вектора угловой ско-
рости со и радиуса-вектора г*
и = со х г”,
а при этом
c = w+wxr*. (1.42)
Величина вектора и находится из равенства
и = cor* sin (со, г*) = сот,
где г — радиус окружности в плоскости, пер-
пендикулярной оси турбомашины (рис. 1.2).
Пользуясь этими формулами рассмотрим в относительном движении ранее
выведенные уравнения движения рабочего тела в турбомашинах.
Уравнение неразрывности. Использовав формулы (1.4) и (1-41), получим
+ div (pw) + div (pu) = 0. (1.43)
Выполним следующие дифференциальные операции:
div (pw) = р div w + w • grad p;
div (pu) = div (pco x r*) = p div (co X r*) + (co x r*) - grad p;
div (co x r*) — r*-rotco— co-rot r*.
Подставив эти выражения в уравнение (1.43), получим
+ р divw + w -gradp + pr*-rot со — pco-rot г* + (co x r*) gradp = 0. (1.44)
В этом уравнении локальная производнаядр/д t, переписанная из уравнения
(1.4), характеризует нестационарность поля плотности в неподвижной системе
координат. Выполним преобразования, чтобы представить изменение плот-
ности в зависимости от времени в относительной системе координат (d'p/dt).
Последний член в уравнении (1.44) может быть записан в такой форме
(со ; г*) grad р = cori„ grad р, (1.45)
о х г*
где iu =---------единичный вектор, совпадающий по направлению с ок-
ружной скоростью и на радиусе г = г* sin ср (рис. 1.2). Используя основное
свойство градиента, можем написать
i„gradp = -^-.
20
Производная дир!ди характеризует изменение поля плотности в абсолютной
системе, вызванное вращением относительной системы. Так как перемеще-
ние ди равно произведению <ordt, то уравнению (1.45) можно придать вид
(<о X r*)-gradp = -^-,
где производная dup!dt представляет собой изменение плотности во времени
в абсолютной системе под влиянием вращения неравномерного поля плотности
относительной системы. Поэтому локальная производная плотности по вре-
мени для неподвижной точки в относительной системе может быть записана
в таком виде
dt dt dt
или
х r*)grad р- (1-46)
Здесь, как и далее, штрихом отмечена производная в относительной системе
координат.
Предпоследний член в уравнении (1.44) равен нулю, так как вихрь век-
тора-радиуса rot г* = 0. При постоянной угловой скорости вращения также
rot (о = 0. Поэтому в относительном движении уравнение (1.44) в указанных
'.словиях можно записать в форме
+ р div w + w grad р = 0; (1-47)
Таким образом, уравнение неразрывности в относительной системе коор-
динат имеет точно такой же вид, как в абсолютной, если дифференциальные
операции grad и div выполняются для относительной системы координат,
а локальная производная плотности имеет смысл, вытекающий из уравне-
ния (1.46).
Этот вывод служит основанием для расчетов живых сечений в рабочем
колесе по относительным скоростям аналогично тому, как живые сечения
направляющего аппарата рассчитываются по абсолютным скоростям.
Уравнение движения. Для идеальной жидкости или газа уравнения
движения будем записывать в форме Эйлера (1.14)
+ (с • V) с = F — grad р,
или в форме Громека—Лэмба (1.17)
+ grad Е — с х rot с = 0,
где
£ = 4 + ^ + П-
Для того чтобы уравнение (1.14) записать в относительных координатах,
предварительно необходимо установить связь между векторами абсолютного
и относительного ускорения. С этой целью воспользуемся уравнением для
абсолютного вектора ускорения
(/с дС i
-аГ = Лг+<с-^с-
Подставив в последнее уравнение выражение (1.42), получим
de d(w+coxr*) г/ и п,/ > *\
-^ = —------------J--H(w + ® X r*) V](w + <o х г*)
21
или
de dw . д (to х г*)
dt dt dt
f- (w • V) w + (w V) (to x r*) +
+ [(to X r*)-V] w + [(to X r*)-V](to x r*).
(1-48)
Второй член в правой части уравнения (1.48) представляет собой измене-
ние переносной скорости и в зависимости от времени, он равен нулю, если
to = const. Третий член в правой части этого уравнения имеет тот же смысл,
что и конвективный член в уравнении абсолютного движения. Четвертый
член может быть преобразован с помощью основного выражения для гра-
диента одного вектора по другому
z , *\ <3 (со X г*) . д (co Х г*) . д (<о X г*)
(w V) (to X г*) — ых —---- + w.. —5-5---- 4- w, - —- .
\ \ / х qk 1 и Qy дг
Использовав формулу дифференцирования векторного произведения, найдем
(w-V)(© X r*) = (w-V)w X г* + ю X (w-V)r*. (1.49)
В последнем уравнении градиент радиуса-вектора г* по направлению
вектора w равен w, т. е.
(w-V) г* = w-~ — w,
где s — путь вдоль линии тока в относительном движении.
В рассматриваемый момент времени вектор to в конвективном члене дол-
жен считаться постоянным, а поэтому
(w • V) to = 0.
Подставив последние два выражения в уравнение (1.49), получим
(w-V)(to X г*) = ю X w. (1.50)
Остается установить смысл двух последних членов в уравнении (1.48).
Оба члена можно записать в форме [(to X г*) -у] а, где через а обозначен
вектор w или to X г*. Согласно определению, это выражение представляет
собой производную вектора а по направлению вектора их г*, умноженную
на величину вектора
| to X г* | = cor* sin (to, г*) = cor,
т. е.
[(toxr*)-V]a = rto^-,
где dsu — путь в направлении вектора toXr*. Это направление совпадает
с направлением вектора окружной скорости, т. е. dsu = mdt и, следовательно,
[(toXr*)-Vla = 4- (L51)
С другой стороны, по смыслу рассматриваемой дифференциальной опера-
цци изменение вектора а на величину da происходит только вследствие пово-
рота его в переносном движении на угол ® dt при неизменной величине
вектора. Этот поворот сопровождается изменением единичных векторов ц
и i2 на i[ и 12 (ориентация вектора i3 не изменяется). В этом случае имеем
[11
da di,
-dT = ar-dr + a^
|
dt 1
Go —r?- = to X a,
d dt ’
где alt a2 и аъ — остающиеся неизменными проекции вектора а на оси
координат.
22
Вернувшись к уравнению (1.51) и подставив вместо а векторы w и оХг*,
получим для двух последних членов уравнения (1.48) следующие выражения:
[(о» х г*) • V] w = и х w
и
[(<а х г*)-V] (о х г*) = со х (® х г*).
Поэтому окончательно уравнение (1.48) при со = const можно записать
в таком виде
-|- = -^-)-(w-V)w4-2w х w-f-й х (со х г*). (1.52)
В этом уравнении частную производную по времени и знак градиента у?
следует понимать как операции в относительной системе координат. Вели-
чина 2(9 X w представляет собой кориолисово ускорение. Из вывода урав-
нения (1.52) следует, что одна половина этого ускорения получается за счет
изменения окружной скорости иХг* в направлении относительной ско-
рости w, а вторая возникает под влиянием поворота вектора w вместе
с относительной системой координат. Кориолисово ускорение пропадает
только в случае параллельности вектора who.
При движении потока по цилиндрическим поверхностям (wr = 0) и рав-
номерном вращении (и = const) кориолисово ускорение также возникает
и величина его тем больше, чем больше вектор относительной скорости откло-
няется от оси турбомашины. В этом случае кориолисово ускорение напра-
влено нормально к цилиндрической поверхности, т. е. вдоль радиуса. Физи-
ческая сущность явлений в турбомашине, связанных с кориолисовым уско-
рением в случае изменения окружной скорости и, будет подробно рассмо-
трена в п. Х.1.
Последний член в уравнении (1.52) представляет собой вектор, перпенди-
кулярный к оси турбомашины и направленный вдоль радиуса к этой оси.
Величина вектора находится из равенства
I (0 X (ft) X г*) |г — | «в X и |г =-ГСО2.
Этот вектор имеет смысл центростремительного ускорения, вызванного вра-
щением колеса; его можно представить в более удобном виде. Известно [1],
что градиент величины радиуса-вектора г* равен единичному вектору в на-
правлении г*, т. е.
grad г* = .
Точно так же для радиуса окружности г имеем
grad г = .
Поэтому (рис. 1.2)
оз -X (о х г*) -- —га2 grad г — —grad г ® ,
причем этот вектор направлен к оси вдоль радиуса. Последнее выражение
вектора удобно использовать при исследовании уравнения энергии.
После всего сказанного уравнение Эйлера (1.14) в относительном движе-
нии при со = const можно записать в виде
4- (w V) w 4- 2(о х w —grad r ----- —gradn-^-grad p. (1.53)
Из первого начала термодинамики для изоэнтропийного течения следует
di = -~ dp и grad р — grad i.
23
Применив дифференциальную операцию
(w V) w = grad ~2---w х rot w,
уравнение Эйлера (1.53) для изоэнтропийного течения запишем в форме
Г ромека—Лэмба
+ grad Еотн + 2(о х w — w х rot w = О, (1.54)
где
Еотн — П “Ь 2 2 ’ (1.55)
Все члены уравнения (1.54) имеют размерность ускорения, а после умно-
жения на элементарные массы приобретают смысл сил. В уравнении Громе-
ка—Лэмба из конвективного члена выделена потенциальная часть, т. е.
та часть, которая выражена градиентом кинетической энергии. Это дает воз-
можность ввести в расчеты полную энтальпию.
Если движение безвихревое, то rot с = 0. В относительном же движении
оно вихревое, причем в случае ® = const
rot w = rot (с — u) = —rot u =
= — (r* V) ® + (® V) r* — ® div r* + r* div ® = —2®,
так как (® • yy) г* = ® dr*/dz = ®; div r* = 3.
В этом частном случае
w х rot w = —2w x ®.
Из уравнения (1.54) для стационарного безвихревого в абсолютном движении
потока получим для всей области течения
grad Еотн = 0.
Таким образом, если выделить из конвективного члена градиент кинети-
ческой энергии в относительном движении, от этого члена останется вектор,
равный и противоположный по направлению кориолисову ускорению. После
такой операции в уравнении движения кориолисово ускорение в явном виде
не сохраняется. Это говорит о том, что grad Естм, имеющий размерность
интенсивности силы, включает и кориолисово ускорение.
Уравнение энергии. При изоэнтропийном течении для движения частицы
вдоль линии тока получим, умножив скалярно все члены уравнения (1.54)
на путь wdt,
w • dt + w dt- grad Еотн 4- w dt (2® X w) — w dt• (w x. rot w) = 0. (1.56)
В этом уравнении два последних члена в левой части равны нулю как
скалярные произведения двух взаимно перпендикулярных векторов. Мате-
матический вывод о равенстве нулю работы кориолисовых сил имеет ясный
физический смысл: кориолисовы силы в относительном движении не совер-
шают работы. Поэтому для стационарного изоэнтропийного движения урав-
нение энергии имеет следующий вид:
w dt- gradf^ = 0.
Из этого уравнения следует, что по всему полю вектор grad Еотн перпен-
дикулярен вектору w и, следовательно, перпендикулярен поверхностям тока.
В таком случае по основному свойству градиента поверхности тока совпадают
с поверхностями уровня
Еотн — COnst,
24
т. е. четырехчлен Еотн сохраняется постоянным вдоль линии тока в относи-
тельном движении, но при переходе от одной линии тока к другой эта по-
стоянная может меняться. Последнее уравнение в развернутом виде запи-
шется, согласно (1.55), как
П + i + -у- - -^- = const. (1.57)
При значительном изменении окружной скорости и вдоль относительной
траектории последний член в левой части уравнения (1.57) играет важную
роль; в этом коренное различие величин Е в абсолютном и относительном дви-
жениях.
Если массовых сил нет, то, согласно уравнению (1.57), должен сохраняться
постоянным вдоль линии тока трехчлен
i + ~------(Е58)
Здесь iw при вычислении относительной скорости играет такую же роль,
как полная энтальпия в абсолютном движении. Величину iu можно назвать
полной энтальпией газа в относительном движении и принять iu = iu —
— w2/2.
При движении газа в рабочем колесе по цилиндрическим поверхностям
тока (и = const) и пренебрежимо малом изменении массовых сил уравне-
ние (1.57) можно записать в виде
iw = i + = const, (1.59)
где iw — и формально и по существу имеет точно такой же смысл, как пол-
ная энтальпия в абсолютном движении.
Для понимания процесса в турбомашине необходимо установить связь
между совершаемой колесом работой hu, с одной стороны, и изменением па-
раметров потока в рабочем колесе, с другой стороны. Найдем эту зависи-
мость, исходя из закона сохранения энергии.
Полная энтальпия t* в абсолютном движении изменяется на величину
удельной работы hu, совершаемой колесом,
—dhu = di* = di-±- d ( .
При этом энтальпия в потоке i, одинаковая в абсолютном и относительном
движении, может изменяться различным образом в зависимости от совершае-
мой колесом работы. Это изменение энтальпии может быть выражено через
кинетическую энергию в относительном и переносном движениях из ра-
венства (1.58) при iu = const
Подставив это выражение дифференциала энтальпии в предыдущее урав-
нение, получим
, Iс2 — и2 -р и2 \ ,, .
= —d (----------1 = —d (ucu),
где последнее тождество следует из треугольников скоростей по теореме
косинусов. Эта непосредственная связь между динамическими параметрами
потока и его чисто кинематическими характеристиками вытекает из уравнения
Громека—Лэмба.
Из уравнения (1.58) и последующих выражений можно установить также
связь между полными энтальпиями в абсолютном и относительном движениях
, , (с2 \ ,(с2 — w2 -4- и2 \ j.ij/c2\ , , .
dtu — di A- d (-gj —-----g—n—\ — dt + Щ у ) —
25
или
di и = di — d (ucu). (1.60)
Эта зависимость сохраняется как для обратимого, так и необратимого
адиабатных процессов.
1.10. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
В дальнейшем мы будем пользоваться уравнением движения в проекциях
на оси цилиндрической подвижной системы координат. Для этих криволи-
нейных координат г, 6, z ребрами бесконечно малого криволинейного парал-
лелепипеда будут ds1 = dr, ds2 = rd 6, ds3 = dz. Отсюда найдем коэффициенты
Ламэ [1 J:
Hr = 1; Нв=г, Нг= 1.
Выразим в цилиндрических координатах векторы скорости и ускорения:
с = crir cwiu -|- cziz,
de dcr . . de.,. . dcz . . dir .
a~ = л,' + тг‘- + тг,‘ + ‘:'-гг +
+ с-тг + с‘тг- (L61>
Здесь при повороте единичных векторов ir и i„ на угол dQ и сохранении
ориентации вектора i2 имеем:
dir _ d6 . __ си , _ d\u__ dQ . ___си . .
~dt~ dt u~ г dt ~~ dt r~—~ r’
at
Использовав последние выражения, найдем
Коэффициенты при ортах представляют собой проекции вектора скорости
на оси криволинейных координат.
Уравнение неразрывности. Составим по общим правилам выражение
для дивергенции в криволинейных координатах [1]
div (ос) = 1 / а (РсгЛеЯг д (рсиНгНг) д (pczHrHtf I =
' Н~Н..Н~ I dz I
HrHuHz \ dr “ ае
_ £ д (prer) . 1 д (рсц) 1 д (ргег) _ р
г дг ' г дв ' г dz
Запишем уравнение неразрывности
Ф , рсг , д (рсг) , 1 д (рсц) д (рсг)
dt ' r ‘ dr 'г d6 ' dz
(1.63)
Если рассматривается движение в решетке, то в ряде задач удобно вво-
дить коэффициент стеснения потока лопатками
где s — толщина профиля в окружном направлении; t — шаг решетки.
Этот коэффициент должен входить как множитель к скоростям сг и cz.
Если при этом поток считается осесимметричным, то уравнение неразрыв-
ности с учетом стеснения лопатками принимает вид
1 д (xpred , d (хрсг) _ 0 / j
г dr ' dz ‘ '
26
Уравнения движения. Для идеальной жидкости запишем уравнение
(1.14) в цилиндрических координатах, использовав уравнение (1.62),
dcr си дП 1 др
dt г дг р дг ’
dll 1 др
dt г где рг де ’
dcz ап 1 др
dt дг р дг ’
(1.65)
)
Те же уравнения в относительном движении получаются из формулы (1.53).
Выписав проекции вектора кориолисова ускорения при сог = со„ = О
(со х w)r = со„кг — согйУ„ = — со^;'
(со X w)t; = a)zwr — arwz — awr;
(co X w)2 = cf)rwu — auwr = 0
и использовав выражение для индивидуальной производной
dw dw , , ч
_=_f + (w.v)Wj
(1.66)
(1-67)
найдем
dwr о 2 <?П I др
-гР----------2aswu — rar =--------5----—
dt г и дг р дг->
dt г г где р гдб’
dwz ЭП 1 др
dt ~ дг р дг
)
Обратим внимание на смысл производных от давления по координатам,
что было предметом неоднократных дискуссий. Прежде всего отметим тот
очевидный факт, что давление р в какой-либо точке пространства одно и то же
независимо от того, в абсолютной или относительной системе координат
рассматривается движение. Вопрос заключается в том, как меняются по форме
величины др/д(р, dwjdq и др., если через ср обозначен координатный угол
в относительном движении в отличие от его значения 6 в абсолютной системе
координат. Формально переход от абсолютных координат к относительным
выполняется подстановкой
Cr = wr- си = wu + Г(£>; Cz = wz.
При этом указанные производные берутся по углу ф.
Между углами <р и 0 имеется очевидная зависимость
Ф = 6—со/
или
с/ф = d 6 — a>dt.
Так как ф — функция двух независимых переменных (0 и /), то
v <30 1 от
Из двух последних уравнений имеем
(^— l}dQ + (a-[-^-)dt = 0,
\де ) 1 \ 1 dt )
где d6 и dt — произвольные переменные. Из этого следует, что обе величины
в скобках должны равняться нулю, т. е.
<3<р
7»
дф _ <
де ~
— и,
27
поэтому для картины течения в определенный момент времени (dt = 0) имеем
dtp __dtp___.
le ~ дё ~ 1 ’
Производные dpj dtp и dwu/.dq входят в состав конвективных членов в выра-
жениях полных производных w -grad р и (w-y)w. Эти же члены можно запи-
„ др dw
сать в виде произведении w и w где s — путь вдоль линии тока.
Здесь производные вычисляются в определенный момент времени, т. е. при
dt = 0. Поэтому преобразование изучаемых производных должно выпол-
няться следующим образом:
др др dtp др
30 dtp 30 dtp ’
а также
dwu dwu dtp dwu
30 Зф 30 Зф
Этим и оправдывается введение в уравнение (1.67) углов 6 вместо ф. Именно
благодаря возможности таких преобразований переход от уравнения (1.67)
в относительных координатах к уравнению (1.65) в абсолютных координатах
совершается простой подстановкой и = Ои заменой относительных скоростей
абсолютными.
Сравнив системы уравнений (1.65) и (1.67), видим, что в последней системе
имеются следующие дополнительные члены: в радиальном направлении
—(г<о2 + 2<ош„) и в тангенциальном направлении 2ошу. Они соответствуют
дополнительным силам, которые формально появляются с переходом к вра-
щающейся системе координат.
Уравнение Громека—Лэмба (1.17) в цилиндрических координатах запи-
шется так:
1/Ьг 1 . J
С j Cz ГОТЫ С = •
дси I . ’ । дЕ
—Cz ГО V с+ сг ГО t2 с=—
— cr rot„ С + с„ rotr с = — .
(1.68)
Проекции вихря для криволинейных координат находятся по общим пра-
вилам [1]
rnf_____1 (д д (ниСи) \ _ 1 (dcz 3 (гс„) \
г HUHZ\ 30 Зг J~ г \30 dz )'>
, __ 1 /3 (Hrcr} д (//гсг) \ __ дсг дсг
rOt"С ~ \ dz dr ) ~~ ~дг ~ ~dr '>
rot2 с
1 (д (Ниси)
HrHu к Зг
3 (Hrcr) \ _ 1 /3 (гсц) _ Зсг\
30 J г \ Зг 30 ) '
(1.69)
(1-70)
(1-71)
Если подставить эти значения проекций вихря в предыдущую систему
уравнений, то легко вновь получить исходные уравнения Эйлера. Те же пре-
образования можно сделать применительно к относительному движению
исходя из уравнения (1.54). Для этого достаточно выполнить в цилиндриче-
ских координатах лишь дифференциальную операцию w X rot w.
28
Имея в виду полученные выражения (1.69)—(1.71), можем написать
(w X rot w)r = wu rot2 w — wzrotuvf =
wu ( d (rwu) dwr \ ( dwr dwz \ .
= ~ \ 3? 3(T) ~~ Wz ~dr~) ’
(w X rot w)„ = wz rot, w — wr rotz w =
wz I dwz d (rwu) \ wr / 3 (rain) dwr >
r \ 36 dz J r \ dr 36 j
(w X rot w)z = wr rotH w — wu rot,, w =
_ ~ / dwr dwz \ wu / dwz d (rwu) \
Wr \ dz dr ) r \ 36 dz ) ‘
Использовав уравнения (1.54) и (1.55), получим в цилиндрических коор-
динатах уравнения Громека—Лэмба
dwr 9.,... wu ( d (rwu) dwr \ , _ ( dwr dwz \
dt r dr dti )'г \ dz dr ) —
ЗП _
~ dr dr '
dwu 1 o.. ... w? ( dwz d (rwu) \ , wr ( d (rwu) dwr \
dt 1 Wr г \ дв dz J ' r \ dr 36 ) ~
ЗП .
~~ rde rdO ’
dw2 ( &wr dwz \ , wu ( dwz d (rwu) \
~dt Wr \“fe d7~) + ~ \“36 dz ) =
_ ЗП
dz dz
d-72)
1.11. МАССОВЫЕ СИЛЫ ЛОРЕНЦА
Динамическая функция П в уравнениях движения применительно к тур-
бомашинам представляет собой, строго говоря, лишь потенциал сил тяжести.
Силы давления лопаток на жидкость это— поверхностные силы. Они создают
на рабочее тело локальное давление у поверхностей лопаток, которое при
интегрировании уравнений движения учитывается как граничное условие.
Однако в такой постановке задачи интегрирование общих уравнений движе-
ния вызывает большие трудности. Чтобы упростить проблему, Г. Лоренц [3 ]
предложил заменить поверхностные силы от лопаток объемными.
Для введения этих условных объемных сил рассмотрим решетку профилей
бесконечной густоты и, следовательно, с бесконечно узкими межлопаточными
каналами. Применительно к такой решетке, которую имел в виду еще Эйлер,
можно точно определить средние скорости и давления.
Смысл условных массовых сил Лоренца 1 вытекает непосредственно из
теоремы Гаусса—Остроградского: поток вектора а через замкнутую поверх-
ность равен объемному интегралу от расхождения вектора, т. е.
(f)ando = j div ack,
s v
где
,. dax , dau . daz
div a = --x Л -г- 4 Л •
dx 1 dy ' dz
1 В электродинамике сила Лоренца имеет иной смысл.
29
Эту теорему можно записать в аналитической форме. Для любой функции
р (х, у, z), имеющей непрерывные производные в пределах рассматриваемого
объема
(£ р cos (n, х) do = j dt.
S у
Выделим элементарный объем dV, занимающий в некоторый момент вре-
мени бесконечно узкое пространство между соседними лопатками в бесконечно
густой решетке. Этот объем, имеющий поверхность dS, разобьем на объемы dt
второго порядка малости с поверхностями du. Имея в виду эти объемы, вос-
пользуемся последним уравнением для преобразования поверхностных сил
со стороны лопаток в объемные силы.
Часть поверхности dS совпадает с поверхностью лопаток, но интеграл
берут в пределах одного канала, не охватывая лопатки. При таком ограниче-
нии области интегрирования строго соблюдается условие непрерывности
производной dpldx, и, следовательно, открывается возможность применить
теорему Гаусса—Остроградского.
Таким образом, внутри объема dV вместо поверхностной силы можно
рассматривать непрерывное изменение давления, т. е. можно ввести интен-
сивность массовой силы. Другими словами, силу, передаваемую через по-
верхность лопатки массе pdV в направлении оси х, можно представить произ-
ведением FxpdV, где Fx — интенсивность массовой силы, по величине рав-
Другую часть элементарной поверхности dS составляют не соприкасаю-
щиеся с лопатками участки выделенного объема. Элементы этой поверх-
ности du после умножения на cos (п, х) становятся площадями, перпенди-
кулярными оси х, и в сумме они образуют в бесконечно узком межлопаточном
канале площадки dydz. Поверхностный интеграл сил по каждой из этих пло-
щадок равен среднему давлению на величину площади, и алгебраическая
сумма сил давления с обеих сторон каждого объема представляет собой про-
изведение
dx dy dz = “• dV.
ox J ox
Из этого выражения выясняется смысл средней величины производной dpldx
для элементарного объема dV. Те же соображения можно повторить для двух
других проекций поверхностных сил.
Таким образом, действие на элементарный объем dV общей поверхностной
силы в уравнении движения можно выразить двумя членами, отнесенными
к единице массы среды: интенсивностью условных массовых сил F и гра-
диентом от осредненного по элементу давления в потоке, деленного на плот-
ность. Такая трактовка массовых сил Лоренца в некоторой мере аналогична
представлению об интенсивности массового действия поверхностных сил,
потенциал которых выше обозначался функцией of.
Для лучшего понимания уравнения движения приведем еще элементар-
ный вывод, вскрывающий действие сил от лопаточного аппарата на поток
при достаточно большой густоте решетки.
Рассмотри,м кольцо толщиной dr и высотой dz, вырезанное из объема
жидкости и включающее решетку бесконечно тонких профилей (рис. 1.3).
Элементы лопаток, образующих бесконечно узкий канад, имеют поверх-
ности abed и a'b'c'd', через которые передается давление жидкости. Эти
поверхности могут быть наклонены любым образом как к оси z, так и к оси г.
Решетка профилей вращается вокруг оси z с угловой скоростью со. Начало
координат находится на оси вращения.
Силы t/Ф от давления на поток со стороны поверхности abed разложим
на компоненты d&r, dФu и ^Фг. Для сил от противоположной поверхности
30
канала сохраним те же обозначения, но со штрихами. К другим граням выде-
ленного объема жидкости приложены силы от давления в потоке dR, dR'
и dZ, dZ' (рис. 1.3). Силы тяжести не принимаем во внимание. Величины,
получаемые при алгебраическом сложении проекций сил, приложенных
к массе жидкости dm, представим в виде интенсивностей сил:
d®r 4- йф'
----£
dm
] dd>i;
dm
, ЙФ + б/ф'
т-t' 2 1 Z
Г, —------л----
4 dm
При равенстве элементарных сил в каждом канале задачу условимся считать
осесимметричной.
Этим силам противостоят силы инерции, соответствующие ускорению
в относительном движении (dw/dt) , кориолисовому ускорению (с проек-
циями на оси гни соответственно—2cowu и 2&wr) и центростремительному
ускорению от вращения системы коор-
динат (—гео2). Кроме того, из-за пово-
рота вектора w в цилиндрической
системе координат с угловой скоро-
стью dQ/dt, согласно уравнению (1.67),
возникают центростремительные
ускорения вдоль осей г и и соответ-
ственно — wl/r и wrwjr.
Проектируя на оси координат
действующие на элемент жидкости
внешние силы и силы инерции и отбра-
сывая величины высших порядков
малости {dRdQ, d<J)udQ и d<F>rd!ff),
получаем
dR 4- dR' + d<Dr + dCD'r = dm ;
(dwr Q A
x \~dt-----r---2соши —rco2l;
d<&u~Fd<F>'u=dm + Wr™u -J- 2сда,) ;
dZ + dZ' + с/Ф2 -J- с/Ф' = dm .
Рис. 1.3. Силы, действующие на поток в бес-
конечно густой решетке
Приложенные к элементу силы можно представить в следующем виде:
dR = pr dO dz; dR' = — (р + fy- (r + ^r) dGr dz;
dZ — pr dO dr; dZ' = — (.D + r d®z dr,
где
d(!r = d6 + der; d(lz = dO + c/ez.
В результате суммирования этих сил получим члены, содержащие про-
изводные от давления по координатам. Кроме того, останутся члены того же
порядка —prdsrdz; —prde^dz. Эти члены появляются вследствие изменения
живого сечения канала, по величине они равны, а по направлению противо-
положны силам давления со стороны стенок на элемент жидкости вдоль
осей г и z. Они сокращаются при суммировании с соответствующими соста-
вляющими от поверхностных сил Ф. В результате от этих последних сил
остаются только силы, перпендикулярные средней линии тока в рассматри-
ваемом канале, интенсивности которых обозначим соответственно Fr, Fu и Fz.
Из сказанного следует, что силы, действующие на элемент, можно разде-
лить на силы, пропорциональные производным от давления по координатам,
и поверхностные силы от лопаток, нормальные к средним линиям тока
31
в бесконечно узком канале. При таком разделении сил систему уравнений
(1.67) можно записать в следующем виде:
dwr
dt
wu о 2 р 1 др
----2comi„ — nr = Fr ч- -
г---и г р дг'
^+4^ + 2Mr = Fu.
1
(1-73)
dwz___ р 1 др
dt г р дг'
Так как канал предполагается бесконечно узким и давление не завися-
щим от координаты 6, то изменение давления р рассматривается по средней
поверхности тока в этом канале и величины dpldr и dpldz можно трактовать
как частные производные. В рассматриваемых условиях имеем
LsJLdr+LdPdz~dJL, (1.74)
р дг р дг — р v '
В то же время интенсивность условных массовых сил Ftl создает неравно-
мерность давления в окружном направлении, что позволяет выразить вели-
чину Fu через среднее значение производной dp/dB
tu — р г де ’
где знак минус поставлен потому, что давление поперек канала нарастает
в направлении, прямо противоположном вектору Fu.
При рассмотрении производных dpldr и dpidz давление р считалось не зави-
сящим от координаты 6, а в то же время массовая сила выражалась через
dp/dB. В этом нет противоречия, так как в первой части рассуждений речь
шла об осредненном поперек канала давлении и при этом предположении
рассчитывались радиальные и осевые ускорения осесимметричного потока,
тогда как интенсивность массовой силы Fu была введена именно для характе-
ристики неравномерности давления вдоль координатной линии 0.
Система уравнения (1.73) совпадает с уравнениями Эйлера, записанными
в форме (1.67) для осесимметричного течения с заменой производных от потен-
циала П условными массовыми силами.
Силы Лоренца, возникающие от давления со стороны поверхностей лопа-
ток, должны удовлетворять условию перпендикулярности к любому эле-
менту поверхности тока. Какой-либо элемент на этой поверхности имеет
проекции dr, rdy и dz (рис. 1.3). А так как результирующая сила F перпенди-
кулярна этому элементу, то должно выполняться тождество
Fr dr + Fur dy_ + Fzdz = 0,
или
d^^^(,7^dr + 7Tudz)'
Левая часть этого тождества — полный дифференциал. Следовательно,
полным дифференциалом должна быть и правая часть. А это означает, что
д ( Fr\ = д_ ( Fz\
дг \ rFJ dr \ rFu) ’
(1-75)
Уравнение (1.75) выражает дополнительное требование, которому должны
подчиняться вводимые массовые силы.
В заключение остановимся на природе массовых сил Лоренца. Из гидро-
механики известно, что потенциальные объемные силы при равновесии орто-
гональны изостерам и изобарам (при соблюдении условий баротропности).
Массовые же силы Лоренца этому условию явно не подчиняются, так как
они имеют направление заменяемых ими поверхностных сил, ортогональных
32
к линиям тока, а в то же время изобара и изостера, очевидно, не совпадают
с линиями тока. Тем не менее эти силы могут быть введены в уравнения
Эйлера, так как при выводе уравнения в напряжениях не ставится условие
о существовании потенциала массовых сил. С учетом массовых сил Лоренца
равнение Эйлера в форме Громека—Лэмба для осесимметричного стационар-
ного движения в относительных цилиндрических координатах может быть
записано в следующем виде |см. уравнения (1.54) и (1.72)]:
дС
— 2<жу — wtl rot2w 4- wz rotu w = Fr--
— wz rot, w wr rot. w = Fu,
— ay rot,, w 4~ ay rot, w = Fz--,
где iu — полная энтальпия газа в относительном движении, согласно урав-
нению (1.58).
Если эти уравнения последовательно умножить на dr, г dd, dz и сложить,
то, приравняв нулю работу кориолисовых сил в относительном движении,
получим уравнение
(F, 4- rot z w — wz rot„ w) dr 4- (Fu 4- wz rot, w — wr rot2 w) r d6 4-
4- (Fz 4- ay rot,, w — ay rot, w)dz — diu. (1-76)
При смещении элементарного объема жидкости вдоль линий тока имеем
dr wr dt; г dQ = wu dt; dz = wz dt.
Подставив эти выражения в уравнение (1.76), в левой его части получим нуль.
Следовательно, интеграл правой части должен быть величиной постоянной
вдоль линии тока. Допустив же, что полная энтальпия потока в относитель-
ном движении одинакова во всем пространстве, имеем diu = 0 при любых
изменениях координат. А в таком случае в левой части уравнения (1.76)
коэффициенты при всех приращениях координат должны также равняться
нулю, т. е. должны выполняться условия:
Fr = r°tu w — wu го t2 w;
Ft, = ay rotz w — ay rot, w;
Fz = wu rot, w — w, rotu w.
(1-77)
Сила Fu никогда не равняется нулю, так как при равенстве ее нулю не
было бы вращающего момента на рабочем колесе. Таким образом, рассмотре-
ние сил Лоренца приводит к выводу, что в турбомашине движение всегда
вихревое. Однако этот вывод формальный. Он получается лишь вследствие
поверхностного происхождения массовых сил Лоренца. Его следует пони-
мать лишь как следствие необходимой неравномерности поля скоростей
вокруг профиля, без чего не может создаваться сила на лопатке. По существу
аналогичный прием используется, когда вводится циркуляция скорости
вокруг профиля, что, как известно, не исключает существования потенциаль-
ного течения обтекающей профиль жидкости.
Строго говоря, в рассматриваемом аспекте нельзя говорить и об осесим-
метричном потоке, так как силы Лоренца можно предполагать лишь в пре-
делах каждого межлопаточного канала. При переходе из одного канала в дру-
гой будут возникать разрывы. Осесимметричность поля массовых сил
Лоренца следует понимать лишь как полную тождественность полей этих сил
в каждом бесконечно узком канале круговой решетки. По сути дела — это
метод осреднения массовых сил по окружной координате.
3 И. И. Кириллов 33
1.12. ВИНТОВОЕ ДВИЖЕНИЕ
Рассмотрим изоэнтропийный поток, в котором во всей области сохра-
няется постоянным трехчлен Бернулли
Е = + S" + П = const.
Если влияние объемных сил пренебрежимо мало, то условие Е = const
равносильно постоянству полной энтальпии, а тогда
grad Е = grad i* = О
или
i* = const. (1-78)
При этом условии из уравнения Громека—Лэмба (1.17) для стационарного
движения получим
с < rot с = 0. (1-79)
То же уравнение запишем в проекциях на цилиндрические оси координат
(с X rot с)г = curotzc — с2 rot„c = 0;
(с х rot с)(г — сг rot,с — сг го t2c = 0;
(С X rot C)z = C,rotuC — си rot,с — 0.
Выполнив дифференциальные операции rot, найдем следующие условия
винтового движения при i* = const:
Уравнение (1.79) выражает условие параллельности векторов с и rot с,
что означает совпадение вихревых линий с линиями тока. При таком тече-
нии частицы жидкости в своем мгновенном вращении поворачиваются вокруг
касательных к линиям' тока, совершая винтовое движение.
Уравнение (1.79) обусловливается только постоянством полной энталь-
пии и наличием функции давления & = —dp/p. Этим условиям удовлетво-
ряет любое баротропное изоэнтропийное течение в турбомашине. По сути
дела все кинематические схемы изоэнтропийного потока в турбомашине, не
учитывающие потерь, приводят к винтовому движению, и только в случае
rot с = 0 имеем потенциальное течение.
Линейчатые поверхности тока. Рассмотрим один частный случай вин-
тового движения. Допустим, что во всем пространстве вектор с сохраняет
свою величину. Тогда поле скоростей будет отличаться от поля единичных
векторов а, имеющих направление вектора с, только скалярным множителем,
постоянным для всего пространства Это позволяет вместо действительного
поля скоростей рассматривать поле единичных векторов <т и исследовать
уравнение
rot G:<g — 0. (1-81)
Обозначим длину дуги векторной линии через s и запишем проекции
единичного вектора в декартовых координатах:
стх
dx
ds
du
ои = —р-;
у ds
dz
ds
Кривая образуется годографом радиуса-вектора г*. Направление dr*Ids
совпадает с направлением касательной к кривой в сторону возрастания дуги s.
34
Модуль | dr*/ds | = I, так как отношение хорды к стягивающей ее дуге стре-
мится к единице при As —» 0. Поэтому о = dr*/ds представляет собой еди-
ничный вектор, направленный по касательной к кривой в рассматриваемой
точке в сторону возрастания аргумента $. Вектор da Ids перпендикулярен
к вектору о, а по величине он равен кривизне кривой
lim ,
As->0 As
где Аср — угол смежности (угол между двумя смежными единичными каса-
тельными векторами с и о + Aoj и R — радиус кривизны кривой. Так как
этот вектор направлен по главной нормали, то получим формулу Френе
de п
где п — единичный вектор, направленный по главной нормали, очевидно,
в ту же сторону, что и вектор do.
Выпишем проекции этого вектора на оси декартовых координат:
д(ух , до г , дох
R х ох х ду у дг г
и
и два других аналогичных уравнения.
С другой стороны, дифференцируя по координате х тождество
+ Gz = 1,
получим
Вычтя почленно последнее уравнение из предшествующего для проекции
вектора кривизны, найдем
(^-^rh=(rotff><a);
1 n I _ f дец диг \
. R |х ~ \ дг дх ) г
Аналогичные выражения найдем для двух других проекций вектора кри-
визны.
Для рассматриваемого винтового течения выполняется уравнение (1.81).
Поэтому приходим к заключению, что для него векторные линии имеют
кривизну 1/7? = 0. Таким образом, винтовое течение жидкости при условии
постоянства величины вектора скорости характеризуется прямыми вектор-
ными линиями и, следовательно, линейчатыми поверхностями тока. Винто-
вое течение, для которого не выполняется условие (1.81), образует поле
с искривленными линиями тока. В таких условиях в турбомашинах находится
изоэнтропийное течение при Е = const, ограниченное криволинейными
твердыми поверхностями.
1.13. ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
В связи с важной ролью в тепловых расчетах полных параметров потока,
для расчетов изоэнтропийных процессов составлены вспомогательные
таблицы, содержащие газодинамические функции. Они устанавливают зави-
симости между полными параметрами и их значениями в изоэнтропийном
потоке, с одной стороны, и важнейшими газодинамическими характеристи-
ками М и А, с другой стороны. Последние представляют собой основные
местные параметры движения газа.
Эти характеристики определяются связью между приращениями плот-
ности и скорости. Действительно, для изоэнтропийного движения имеет силу
\ равнение = —cdc, которое можно переписать так
dp dp __ 2 de
dp р с '
3*
35
Входящая в это уравнение величина dp! dp представляет собой квадрат
адиабатической скорости распространения малых возмущений в сжимаемой
среде. Эту местную скорость звука будем обозначать буквой а. Из последнего
уравнения имеем
dp
-1г=(^)2=М!. С-82)
С
где М — da.
Если воспользоваться дифференциальным уравнением изоэнтропы
^- + ^^- = 0,
Р Р
то легко получить уравнение Лапласа для скорости звука
или
a — y~kRT. (1.83)
Скорость звука, выражая связь между местными изменениями давления
и плотности, служит характеристикой степени сжимаемости среды. Поэтому
ее величина входит в состав основных газодинамических характеристик
потоков газа.
Из формулы (L83) ясно, что для газа, обладающего определенными
физическими свойствами, скорость звука зависит только от местной темпе-
ратуры и что с ростом температуры скорость звука также растет. От давле-
ния же скорость звука не зависит. Физическая сущность этого вывода заклю-
чается в том, что газ состоит из малых движущихся частиц и что скорость
передачи импульса давления в газе зависит от скорости движения этих частиц,
которая, в свою очередь, зависит от температуры. При этом не имеет значе-
ния, будет ли импульс передаваться одной частицей на большое расстояние,
что имеет место в разреженном состоянии, или в передаче будет последова-
тельно участвовать несколько частиц в случае сжатого газа.
Если происходит изоэнтропийное расширение газа и в результате этого
процесса поток достигает скорости звука, то ее можно выразить не только
через местную температуру, но также через начальную полную температуру.
Пусть в процессе расширения газ достигает скорости ак, равной скорости
звука. Скорость газа ак, равная местной скорости распространения звука,
называется критической. Соответствующие этой скорости параметры газа iK,
рк, Тк и другие также называются критическими.
Критическая скорость газа может быть найдена из уравнения
^=ср(Т*-Тк), (1.84)
а так как ак - - kRTK, то
^(T*-TK):=kTK.
Подставив в последнее выражение R = ср — cv\ cplcv -- - k, получим
9
= <L85)
Поэтому критическая скорость расширяющегося газа может быть выра-
жена через полную начальную температуру следующим образом:
ак = а ]/ RT*, (Е86)
36
где
Для полных параметров газа местная скорость звука а = с*, она может
быть выражена формулой
a* = VkRT*. (1.87)
Сравнив формулы (1.86) и (1.87), найдем связь между критической ско-
ьостью ак и местной скоростью звука а* при полных параметрах газа
Для изоэнтропийного процесса температура и давление связаны урав-
нением
k
Рк / (1.89)
р* \ Т* )
Поэтому, использовав уравнение (1.85), можно написать
_________________________________________k
Р* / 2 \ k~x (1.90)
Р* \ k + 1 )
Подставив для воздуха k = 1,4, получим рк1р* = 0,528; для перегретого
пара k = 1,3 и рк1р* = 0,546. Из сказанного следует, что при заданных на-
чальных параметрах потока и изоэнтропийном расширении без обмена тепла
и совершения технической работы критические величины, в том числе и
скорость ак, имеют определенные значения независимо от других обстоя-
тельств течения.
Заметим, что полные параметры газа могут быть представлены в функции
от числа М следующим образом:
7* , /? Р с2
Т" ~ 1 + ср 2 kRT
ИЛИ
7* Ь___ |
4-=1 (1.91)
Из последнего равенства получим:
k 1
Здесь число М соответствует температуре в потоке.
Скорость звука в каждой точке потока различна, тогда как критическая
скорость ак, зависящая только от начальных параметров газа, сохраняется
неизменной для рассматриваемого потока. Поэтому критическая скорость
представляет собой особенно удобную характеристику изоэнтропийного
движения газа. Она широко используется наравне с числом М в виде ско-
ростного коэффициента X, определяемого как отношение местной скорости с,
к критической скорости ак.
Заметим, что поток может быть дозвуковым и тогда скорость ак имеет чисто
условное значение, так как в потоке нигде критической скорости не возни-
кает. В сечении, где скорость становится критической, ее величина совпадает
с местной скоростью звука. Для этого сечения скоростной коэффициент
равен местному числу М.
Многие формулы газодинамики будут иметь более простой вид, если
вместо числа М ввести скоростной коэффициент X. Между этими двумя важ-
нейшими газодинамическими характеристиками легко установить связь,
использовав формулы (1.83), (1.87) и (1.88),
М2 _ д! _ А А _
- ~ “к °2 ” * + ’ т '
Отсюда получим
м'2 - А—; (1-93)
Х2 =----f—j----. (1.94)
При T —* 0 число М - > сю, а скоростной коэффициент—к определенной
максимальной величине, которая находится из уравнения (1.94)
9 _ l/"-г 1
™х — у k _ 1 •
Пользуясь постоянством критической скорости при изоэнтропийном изме-
нении состояния газа от заданных начальных параметров, можно придать
удобный вид уравнению (1.30), выразив постоянную С через критическую ско-
рость. Для этого запишем уравнение (1.30) (принято q = 0) для критического
сечения трубы, где скорость с = ак = а,
Р . k рк
2 ~Г k-1 рк •
Согласно же формуле (1.83), имеем для рассматриваемого сечения
k — — a2 = ак.
(-'к
Поэтому уравнение (1.30) может быть представлено в виде
с2 , k р &+1 2 . т
2 + k~ 1 Р ~ 2(k — 1) ак- (1-95)
Выражения параметров газа при изоэнтропийном изменении его состояния
в зависимости от скоростного коэффициента л носят название газодинами-
ческих функций. К числу таких функций относятся:
= = (1.96)
k
^ = П(Ч = (1-|Д^)^Г; (1.97)
A=8(D = (1-^1X’)W. (1.98)
Здесь Т, р и р — параметры газа, соответствующие любой точке, лежащей
на изоэнтропе.
Газодинамические функции связаны между собой уравнением Клапейрона
= О")
38
С помощью газодинамических функций выполняется переход от полных
параметров газа к параметрам в потоке, вычисляются перепады энтальпий
в соплах и в рабочих колесах, определяется совершаемая или потребляемая
турбомашиной работа.
Применяя газодинамические функции для расчетов процессов в рабочем
колесе, полные параметры следует определять для относительного движения
в соответствии с выводами, сделанными в конце п. 1.9. Таким образом, рассма-
тривая изоэнтропийный процесс в ступени, с момента вступления потока
в рабочее колесо необходимо изменить начальные полные параметры исходя
из относительной скорости потока. При этом в одной и той же точке проточ-
ной части газодинамические функции будут иметь различные значения
в абсолютной и относительной системах координат.
Газодинамическими функциями можно пользоваться также для вычисле-
ния массового расхода газа G. Для одномерного течения из уравнения нераз-
рывности имеем
G = pcf,
где f — площадь живого сечения канала.
Использовав уравнение (1.98) и зависимость
c = XaK = Xyi^TRT\
после простых преобразований получим
G=£f^rr1'W- <L100>
Для вычислений Ле (X) обычно пользуются величиной, пропорциональной
этому произведению
1
9(Х) = (-Ш)а-1 Ле (Л). (1.101)
Из уравнения (1.98) при Л = 1 имеем
| 1 | _ / fe + 1 р*
| е (Л) |к=1 \ 2 ) ' Рк ’
а поэтому
<L102)
где индексами к отмечены значения параметров для критического режима.
При Л=1 имеем q (Л) = 1. Таким образом, функция q (Л) представляет собой
безразмерную плотность тока, причем ркск — максимальное ее значение.
Подставив в уравнение (1.100) произведение Ле (Л) из (1.101) и критиче-
скую скорость ак из (1.86), найдем
G = fb-^q(K),
у Т*
(1.103)
где
fe-t-l
2 \ *-1
1 )
Для воздуха при k = 1,4 и R = 287 Дж/(кг-К) имеем b = 0,0404.
Для перегретого водяного пара k = 1,3; R = 462 Дж/(кг- К) и b = 0,039.
Если расход требуется выразить через давление в потоке р, то, поделив
и умножив на р правую часть уравнения (1.103) и заметив, что ~ = д ,
получим
где г/(Л) — д*^ .
ГЛАВА II
РАБОЧИЙ ПРОЦЕСС В ТУРБОМАШИНАХ
В этой главе стоит задача сформулировать принципы действия турбома-
шин на основании общих законов термодинамики и механики. Для этого
сначала рассмотрим процессы расширения и сжатия в отдельных элементах
турбомашин и в ступени в целом с чисто термодинамических позиций. После
этого изучим газодинамику одномерного потока в соплах и диффузорах и его
кинематику в турбомашинах.
Таким образом, будет показано, как в результате термо- и газодинами-
ческих процессов в турбомашинах создается требуемое поле скоростей перед
рабочим колесом и за ним.
В современных турбомашинах при благоприятных условиях течения по-
тери кинетической энергии в соплах и диффузорах составляют лишь очень
небольшую долю от общего перепада энтальпии. Процессы в турбомашинах
обычно протекают чрезвычайно быстро, и время, за которое рабочее тело
проходит, например, сквозь сопло, может измеряться десятитысячными
долями секунды. При таких условиях в обычных конструкциях сопел и
диффузоров, как правило, теплопередача во внешнюю среду ничтожно мала
и сопло можно считать теплоизолированным. Поэтому на первом этапе для
выяснения принципиальных особенностей течения в турбомашинах целесо-
образно рассмотреть движение газа без трения и без теплообмена с внешней
средой.
Вместе с тем в рабочем процессе многих турбомашин большую роль играют
поверхностные силы трения и теплообмен. В частности, правильная оценка
влияния теплообмена на рабочий процесс составляет часть современной про-
блемы создания турбин с интенсивным охлаждением деталей проточной
части.
В заключительном разделе этой главы устанавливается связь между
термодинамическими и газодинамическими преобразованиями потенциальной
и внутренней энергии в кинетическую (или обратных превращений) и спо
собностью рабочего колеса воспринять энергию потока в виде механической
работы (или сообщить потоку энергию). Эта связь устанавливается основным
уравнением теории турбомашин — уравнением Эйлера.
При изучении движения в элементах турбомашин ограничимся рассмотре-
нием течения в статоре. Полученные результаты могут быть перенесены на
аналогичные подвижные элементы, если пользоваться вместо абсолютных
относительными скоростями потока и учесть влияние поворотного ускорения,
как было доказано в п. 9 гл. I.
11.1. РАСПОЛАГАЕМАЯ И ПОЛЕЗНАЯ РАБОТА
В ТУРБОМАШИНАХ
Рассмотрим процесс в турбомашинах с чисто термодинамической точки
зрения. В этом параграфе ограничимся изучением обратимых (изоэнтро-
пийных) и необратимых адиабатных процессов.
40
Процессы в турбинных ступенях
Сначала рассмотрим процесс в соплах (течение между сечениями 0—О
и 1—1 на рис. 11.1), имея в виду в общем случае сжимаемую жидкость.
Изоэнтропийный процесс. Непосредственно из первого начала термоди-
намики следует, что изменение энтальпии при изоэнтропийном процессе
связано с полезной внешней работой уравнением
di = v dp.
(II.1)
Из уравнений (1.40) и (II.1) непосредственно следует
d^=-di
или
(П-2)
причем первое из этих уравнений, полученное из общего уравнения баланса
энергии, справедливо как для обратимого, так и необратимого адиабатного
Рис. II. 1. Схемы проточных частей турбины (а) и компрессора (6)
процесса, а уравнение (П-2) — только для изоэнтропийного процесса,
поскольку и уравнение (II. 1) применимо только для обратимого адиабатного
процесса (dq 0).
Из уравнения (41.1) также следует, что изоэнтропийный процесс расши-
рения совершенного газа в идеальном сопле подчиняется уравнению адиабаты
Пуассона pvk = const, которое в дифференциальной форме имеет вид
vdp = —kpdv. (11.3)
Из уравнения (II.3) простой заменой pdv = d (pv) — vdp получим
T^-rd(pv) = vdp, (П .4)
и для совершенного газа также
h
T~j-d(pv) = di.
Здесь d (pv) —элементарная работа окружающей среды.Соответствующие
ей силы входили в состав главного вектора внешних сил R в уравне-
нии (1.6), а умноженные на скорость с — в виде интеграла мощности поверх-
ностных сил в уравнении (1.18), в котором для идеальной жидкости рп = —р.
41
В термодинамике эта работа окружающей среды носит название работы про-
талкивания.
Уравнение (И.2) можно получить также из уравнений движения. Составим
уравнение количества движения для элемента жидкости в канале переменного
сечения при установившемся массовом расходе G. В живых сечениях f и
f + df имеется равномерное давление соответственно р и р + dp. Помимо
сил давления, передаваемых через эти сечения, к элементу приложена еще
внешняя поверхностная сила со стороны стенки, равная pdf. С учетом этих
z сил можем записать
0)1 1 /
/ G (с -г de) — Gc = fp — (f + df) (p 1- dp) - pdf.
___£o_ Подставив G = = /рс, после сокращений получим
। /\ л dp
*/ \ cdc —----—.
Po \ / P
i To же уравнение выше получено как выра-
-------------------------- жение баланса механической энергии (1.40) без
рг-----------учета трения. Совпадение этих уравнений вполне
закономерно, так как различие между ними могло
F бы возникнуть только под влиянием работы внут-
Рис. II.2. Процесс расширения газа: а—в is-диаграмме; б — в ра-диа-
грамме; в— в Ts-диаграмме
ренних сил, которые не выявляются в уравнении количества движения.
В изоэнтропийном же процессе силы трения предполагаются равными нулю,
и, как следствие этого, уравнение количества движения совпадает с уравне-
нием энергии.
При составлении уравнения количества движения в одномерной поста-
новке задачи предполагается, что поверхностная сила pdf передается всей
массе выделенного элемента газа или жидкости. По сути дела это означает
замену поверхностной силы интенсивностью объемной силы аналогично тому,
как вводились массовые силы Лоренца в п. 11 гл. I. В этом заключается осред-
нение параметров, обычное для одномерного потока.
Проинтегрировав уравнение (II.2) в пределах изменения параметров
газа между сечениями перед соплом и за ним, найдем приращение кинетиче-
ской энергии в сопле
р— Ро
= J vdp>
2
(П-5)
где clt — теоретическая скорость истечения газа из сопла при изоэнтропий-
ном процессе расширения; с0 — скорость газа перед соплом; р0 — давление
в потоке перед соплом.
42
Предполагая расширение газа от полного давления, тем самым учиты-
ваем кинетическую энергию потока перед соплом и считаем ускорение потока
как бы из неподвижного состояния от давления (точка 0 на рис. II.2).
В этом случае теоретическая скорость истечения при изоэнтропийном расши-
рении и соответствующая располагаемач работа могут быть найдены по
формуле
9 ₽о
^ = J vdp. (II.6)
Pl
Та же кинетическая энергия, согласно уравнению (1.29), может быть
выражена через полную энтальпию i0 перед соплом и энтальпию потока за
соплом ilt, т. е. в конце изоэнтропийного расширения газа имеем
4^ = 10-11/. (II.7)
Обозначив изоэнтропийный перепад энтальпии i0 — ilt = hi (отрезок О/
на рис. II.2, а) и использовав уравнения (II.6) или (II.7), получим формулу
для располагаемой (теоретической) работы расширения в сопле
fe—1 -
Pl \ k
Ро )
(П-8)
Последняя функция, взятая с обратным знаком, была уже введена в пп. 4
и 7 гл. I в виде функции давления
Ро
е7’ = — J vdp. (II.9)
Pi
Для изоэнтропийного течения обе функции совпадают по величине.
Из уравнения (П.6) следует, что теоретическая работа расширения на
рп-диаграмме может быть изображена площадью аОГb (рис. II.2, б), где
линия 0Г соответствует изоэнтропийному расширению газа.
Используя первое начало термодинамики, непосредственно находим
связь между механической работой деформации объема и изменением вну-
тренней энергии
du —pdv
или
du = , 1 d (pv). (II. 10)
/г — 1
При отсутствии работы проталкивания изменение работы h\, совершае-
мой газом, равно приращению полной внутренней энергии и с обратным
знаком, т. е. dh'i = —du. Проинтегрировав последнее выражение от полных
начальных параметров до параметров в сечении 1—1, определим работу изо-
энтропийного расширения, не включающую работы проталкивания,
h{ = f р du.
*
а0
Изоэнтропийная работа расширения h[ на ри-диаграмме изображается
площадью между кривой 01' и осью абсцисс (рис. II.2, б).
На Ts-диаграмме (рис. II.2, в) располагаемая работа, равная сумме
работы проталкивания и изоэнтропийного расширения ОД, изображается
площадью аЬОе. Действительно, di = cpdT, т. е. приращение энтальпии
43
равно количеству тепла, подведенного при постоянном давлении и соответ-
ствующем изменении температур. Точки же Г и b лежат на горизонтальной
линии постоянной температуры, а так как для совершенного газа энтальпия
зависит только от температуры, то ее величина в точках Г и b одинакова.
Поэтому разность энтальпий to - i lt равна количеству тепла, сообщаемого
газу при постоянном давлении во время нагревания его от температуры Ти
(точка б) до температуры То (точка 0). Та же разность энтальпий равна тео-
ретической работе процесса 0/'. Это количество тепла на Ts-диаграмме
изображено заштрихованной площадью аЬОе, расположенной между изоба-
рой Ь0 и осью абсцисс.
Работа /ц на Ts-диаграмме изображается площадью d'gOe под отрезком
изохоры 0g, поскольку количество тепла, соответствующее изменению вну-
тренней энергии при изоэнтропийном расширении, определяется урав-
нением
ио — u\t=cv(To -Ту).
Работа проталкивания при изоэнтропийном расширении на Ге-диаграмме
находится как разность площадей, соответствующих изменению энтальпии
(г’о — й/) и внутренней энергии (tzP — ип), т. е. она изображается площадью
abOgd'.
Для несжимаемой жидкости располагаемую работу можно вычислить по
формуле, полученной из уравнения (II.6),
h] =v(po — р>).
Эта работа на ри-диаграмме (рис. II.2, б) изображена площадью прямо-
угольника aOeb, ограниченного справа изохорой Ое. Таким образом, в преде-
лах одинакового изменения давления сжимаемая жидкость совершает боль-
шую теоретическую работу, чем несжимаемая, на величину, соответству-
ющую площади еОГ
Если отношение p-Jpo близко к единице, то площадь еОТ мала по сравне-
нию с площадью прямоугольника aOeb и влияние сжимаемости жидкости
проявляется слабо. Во многих случаях влияние сжимаемости настолько
мало, что им можно вовсе пренебрегать в расчетах работы расширения газа
и рассматривать газ как несжимаемую жидкость с плотностью, соответ-
ствующей среднему давлению газа. По мере уменьшения величины рг/Ро
площадь еОГ все более возрастает по отношению к общей площади, изобра-
жающей теоретическую работу газа hi. Это означает, что при малых отно-
шениях рг/Ро эффект сжимаемости жидкости сильно влияет на процесс рас-
ширения. Эффект сжимаемости также растет с уменьшением показателя
изоэнтропы k, что ясно из уравнения (II. 4).
Необратимый адиабатный процесс. Процесс расширения газа с трением
можно описать таким же по виду уравнением энергии, как и процесс изо-
энтропийный, что следует из первого начала термодинамики. По существу же
оба этих процесса протекают различно, в чем легко убедиться путем следу-
ющих рассуждений применительно к адиабатному расширению газа в сопле
от давления р0 до давления ру.
Начальное состояние газа как в обратимом, так и в необратимом адиабат-
ных процессах предположим одинаковым и отметим это состояние на is-
диаграмме точкой 0 (рис. 11.2, а). Конечному состоянию газа в том и другом
процессах соответствуют точки /' и 1, лежащие на одной и той же изобаре рг.
Сохранив прежние обозначения, можно написать для изоэнтропийного
процесса
с?.
-~=io-iu, (11.11)
44
а для действительного адиабатного процесса
4 = (И-12)
Здесь, как и во всем дальнейшем изложении, индекс t указывает на принад-
лежность параметров к изоэнтропийному процессу, а те же обозначения
параметров без этого индекса относятся к действительному процессу. Из
уравнений (II.И) и (П. 12) можно определить потери удельной кинетической
энергии Д/i, вызываемые трением,
или
Д/i — - i lt. (11.13)
Из уравнения (11.13) и рис. II.2, а видно, что потеря кинетической энер-
гии равна теоретической работе при изоэнтропийном расширении газа в пре-
делах изменения энтальпии от до iu. Эта потеря изображается на is-диа-
грамме отрезком 1" Г. Перепад энтальпий, соответствующий полезной работе,
показан отрезком О/".
Тот же процесс изображен в ри-диаграмме на рис. II.2, б. Здесь точка 1"
получена как пересечение изоэнтропы 0/' с линией постоянной энтальпии
проведенной через точку, которой отмечен конец реального процесса. Полез-
ная работа действительного процесса на pv-диаграмме соответствует площади
aGl"c, заштрихованной наклонно, а потери кинетической энергии — пло-
щадью сГГЬ, заштрихованной крест-накрест.
Работа трения для необратимого адиабатного процесса может быть выра-
жена как разность между работой действительного процесса (пл. aOlb) 1
и полезной работой процесса (пл. аОГ'с)\ на рщдиаграмме она изображается
площадью 01bcl"0. Таким образом, в процессе расширения работа трения
превышает потерю кинетической энергии на величину, соответствующую
площади 01Г. Происходит это оттого, что работа трения мгновенно превра-
щается в тепло, которое в дальнейшем процессе частично вновь преобразуется
в полезную работу, так как процесс протекает при больших удельных объ-
емах, чем без трения. Это дополнительное преобразование энергии в неко-
торой мере ослабляет вредное влияние работы трения на рабочий процесс
в машине.
При необратимом процессе произведение vdp и соответствующая площадь
выражают полную элементарную работу, совершаемую рабочим телом, вклю-
чая также работу трения.
На Ts-диаграмме (рис. II.2, в) площадь dcOe соответствует кинетической
энергии (полезной работе), получаемой в результате необратимого адиабат-
ного процесса в направляющем аппарате от давления ро до давления рА,
что следует из уравнения (II. 12). Действительно, эта площадь’изображает
количество тепла, подводимого при постоянном давлении во время нагрева-
ния газа от температуры (точка с) до температуры То (точка 0) и равного
разности энтальпий газа в этих точках. Потерянной кинетической энергии Дй
соответствует, согласно уравнению (11.13), площадь el'lf, заштрихованная
накрест, так как по определению энтальпии эта площадь соответствует коли-
честву тепла, равному —ilt. Площадь же eOlf, расположенная под ли-
нией 0/ на энтропийной диаграмме, представляет количество подведенного
к газу тепла, которое в изучаемом теплоизолированном процессе эквивалентно
работе трения.
На основании сказанного можно сделать вывод, что работа газа, со-
ответствующая изоэнтропийному процессу расширения, затрачивается
1 Здесь и далее сокращение пл. означает площадь.
45
на увеличение его кинетической энергии и на покрытие потери кинетической
энергии, вызванной трением. Для несжимаемой жидкости потеря кинети-
ческой энергии равна работе трения. Различие между этими работами полу-
чается лишь за счет эффекта сжимаемости.
Итак, в идеальном сопле была бы получена при изоэнтропийном процессе
расширения теоретическая работа. Эту работу на рис. II 2, б изображают
пл. аОГЬ, а на рис. 11.2, в,— пл. аЬОе, которой соответствует разность энталь-
пий Л1 g г’о — ilt. В процессе с трением полезной работе расширения в pv-
диаграмме соответствует пл. аОГ'с, а в Zs-диаграмме — пл. dcOe, которой
соответствует разность энтальпий h = i0 — (рис. II.2, а). Величина Д/г =
= hi — h представляет собой потерю кинетической энергии, вычисленной по
уравнению (11.13).
Изоэнтропийным или адиабатным к. п. д. сопла назовем отношение полез-
ной работы к теоретической
(П-14)
Л1
Величина --- 1 - - Иц характеризует общую потерю кинети-
ческой энергии в сопле, которая меньше работы трения, так как трение,
вызывая подогрев газа в процессе его расширения, увеличивает совершаемую
газом работу. Последнюю можно условно назвать политропной работой hn0J1,
она изображается пл. aOlb на рис. II.2, б и пл. dcQlf на рис. II.2, в. Из этой
работы па трение затрачивается величина l\hmp (пл. 01"сЫ на рис. II.2, б
и пл. еОД на рис. II.2, в). Полезная работа h = hn0Jl — &hmp.
Политропным к. п. д. сопла назовем отношение полезной работы h
к политропной работе Ипол, которая в этом случае считается располагаемой,
ЧгоЛ=^~- (П.15)
1 тол
Для сопла, очевидно, <Д]-
Политропный к. п. д. дает возможность оценивать аэродинамическое
качество сопла, так как он характеризует только вызванные трением потери
без учета влияния возврата тепла, что является особенностью процесса,
а не следствием качества соплового аппарата. Влияние возврата тепла ска-
зывается тем сильнее, чем больше перепад энтальпий в сопле и чем больше
потери трения.
Процесс с трением часто представляют как политропный (pvn = const),
выражая политропную работу, включающую и работу трения, уравнением
11 пол
(11.16)
Действительный процесс с трением существенно отличается от политроп-
ного процесса, и такая трактовка вопроса допустима лишь для приближенной
оценки явлений.
Работа ступени. Она может быть представлена в диаграммах так же,
как для сопла. Кинетическая энергия, получаемая в результате расширения
газа в лопаточном аппарате, в некоторой мере может быть преобразована
в механическую работу на валу турбины. Если это преобразование мыслить
в идеальной теплоизолированной турбине при отсутствии трения и если за
рабочим колесом поток отводить со скоростью с.,, то в идеальной турбине
в механическую работу согласно первому началу термодинамики могла бы
быть преобразована энергия h0, соответствующая разности полных энталь-
пий перед ступенью и за ней, т. е.
/го = /о-4, (П-17)
46
где
с2 с2
.* . с0 • v2
io = to Н—’ l'2t ~ t2t “t" ~2~ ’
— энтальпия в конце изоэнтропийного расширения газа, т. е. за рабочим
колесом.
С помощью равенства (II.2) можно представить теоретическую работу
ступени как интеграл
’’о
h0 = ^vdp, (11.18)
4
где ро и р-> — полные давления соответственно перед ступенью и за ней.
Теоретическая работа при изоэнтропийном расширении газа в ступени
вычисляется по формуле, аналогичной уравнению (II.8),
(11.19)
I \Р0/ J
Работа трения и потеря кинетической энергии
в ступени изображаются на диаграммах так же,
как для сопла.
Процессы в компрессорных ступенях
Изоэнтропийный процесс сжатия газа. В идеаль-
ном диффузоре его можно рассматривать как про-
_ цесс в обращенном идеальном сопле (рис. II.3).
Если процесс сжатия газа в диффузоре протекает
Рис. 11.3. Процесс сжатия газа: а—на is-диаграмме; б—на ри-диаграмме;
в — на Ts-диаграмме
адиабатно, то так же, как при определении работы расширения в сопле,
можно воспользоваться уравнением энергии (1.29).
Пусть газ подводится к диффузору со скоростью сп при давлении р0,
а за диффузором в результате изоэнтропийного сжатия скорость его сни-
жается до величины си и давление повышается до рг. При изоэнтропийном
протекании процесса сжатия в диффузоре изменения кинетической энергии
и энтальпии связаны между собой уравнением
с2 с2
сц ___ .
2 2 —
(11.20)
47
где i0 и ilt— энтальпии газа соответственно перед диффузором и за ним при
изоэнтропийном сжатии.
По аналогии с соплом на тепловых диаграммах состояние газа за диффу-
зором будем характеризовать полными параметрами pt и iu- Если вообра-
зить, что вся кинетическая энергия потока, поступившего в диффузор,
преобразована без потерь в потенциальную и внутреннюю энергию, то в конце
процесса сжатия давление и энтальпия становятся равными их полным зна-
чениям перед диффузором. Этот случай и будем иметь в виду в дальнейших
рассуждениях. В действительности же поток за диффузором всегда должен
иметь более или менее значительную скорость.
Поскольку рассматривается обратимый адиабатный процесс, то при обрат-
ном расширении отдавленияа р\ дор0 получилась бы работа, в точности рав-
ная работе при сжатии газа. Поэтому, основываясь на уже изложенных
соображениях применительно к расширению газа в сопле, можно утверждать,
что площадь аОГ b (рис П.З, б) эквивалентна теоретической работе при
сжатии газа. Этой работе на ^«-диаграмме соответствует площадь аЫ'с
(рис. 11.3, в).
При нагнетании несжимаемой жидкости начальный удельный объем и0
сохраняется постоянным, и теоретическую работу такого процесса можно
измерить в некотором масштабе площадью aOfb (рис. П.З, б). Из диаграммы
ясно, что вследствие сжимаемости газа часть работы проталкивания, опреде-
ляемая площадью аеГЬ, значительно меньше, чем соответствующая пло-
щадь aOfb для несжимаемой жидкости. Поэтому и общая работа нагнетания
для газа оказывается меньше, чем для несжимаемой жидкости с удельным
объемом гу. Поскольку диффузор представляем как обращенное сопло и
удельный объем перед диффузором считаем таким же, как в конце расширения
газа в сопле, влияние сжимаемости в процессе сжатия вызывает эффект,
обратный тому, который наблюдается в процессе расширения.
Влияние сжимаемости газа возрастает с увеличением отношения р\1р0-
Если это отношение близко к единице, сжимаемостью газа можно пренебре-
гать, как уже указывалось применительно к соплу.
Необратимый адиабатный процесс сжатия газа. Этот процесс в «-диа-
грамме изображен на рис. П.З, а. Затрачиваемая работа на сжатие газа и
проталкивание, получаемая за счет кинетической энергии, согласно урав-
нению (1.29), равна разности энтальпий iu — io- Эта работа включает также
работу трения. В идеальном диффузоре эта разность энтальпий (отрезок Oct)
вся была бы преобразована в потенциальную и внутреннюю энергию газа,
поэтому назовем ее теоретической работой h\. Работа, которая потребова-
лась бы для сжатия газа до давления р\ при отсутствии трения, измерялась бы
разностью энтальпий и — i0 (отрезок ОГ на рис. II.3, а). Разность i}t — ii ~=
= Д/г — потеря кинетической энергии вследствие трения.
Тот же необратимый процесс изображен на ро-диаРрамме (рис. П.З, б).
Площадь аО1Ь представляет собой работу, затраченную на сжатие и протал-
кивание газа. Эта работа больше, чем изоэнтропийная (заштрихованная
площадь аОГЬ), на величину, соответствующую площади 01 Г, что вызвано
увеличением удельных объемов газа под влиянием работы трения. Заметим,
что для процесса расширения пл. aOlb (рис. II.2, б) изображала всю работу,
совершаемую газом, включая и работу трения, тогда как в процессе сжатия
одноименная площадь представляет только работу, сообщаемую газу, и не
охватывает работы трения.
Для того чтобы выявить на ри-диаграмме работу трения в процессе сжа-
тия, поступим следующим образом. Из точки 1 проведем кривую iu const
до пересечения с изоэнтропой ОГ d (рис. II.3, б). На is-диаграмме этой кривой
соответствует линия Id. Площадь aOl'dc (рис. П.З, б) представляет теорети-
ческую работу газа, которая могла бы быть получена в идеальном диффузоре
48
при полном преобразовании кинетической энергии в потенциальную и вну-
треннюю. На is-диаграмме ей соответствует отрезок Od. Эта работа превы-
шает работу при изоэнтропийном сжатии до давления pi (пл. аОГЬ) на вели-
чину потери кинетической энергии (площадь ЬГde). В состав последней вхо-
дит как работа сил трения, так и дополнительная работа (площадь 01' 1),
затрачиваемая на сжатие газа, более нагретого под влиянием трения, чем
при изоэнтропийном сжатии. Разность площадей bl'dc и 0/'/ соответствует
работе сил трения.
На ^-диаграмме (рис. II.3, в) линия ОГ представляет собой процесс
изоэнтропийного сжатия от pv до pi. Соответствующую ему работу, включая
и работу проталкивания, изображает площадь аЬГс, кривая 0/ — процесс
сжатия с трением до того же полного давления. Теоретическая работа,
равная затраченной механической работе hi in — i0, изображена пло-
щадью abld. Работе сил трения соответствует площадь cOld, расположенная
под кривой действительного процесса 01. Потеря кинетической энергии пока-
зана площадью сГId, заштрихованной крест-накрест. Площадь ОГ 1 соответ-
ствует дополнительной работе, затрачиваемой на сжатие газа, температура
и удельный объем которого вследствие трения больше, чем при изоэнтропий-
ном сжатии. На Ts-диаграмме ясно видно, что теоретическая работа при сжа-
тии с трением превышает изоэнтропийную работу на величину, большую
чем работа трения, тогда как в процессе расширения с трением потеря кине-
тической энергии была меньше, чем работа сил трения.
Таким образом, в идеальном диффузоре для изоэнтропийного сжатия
газа от давления р0 до давления pi потребовалась бы работа, которую назо-
вем полезной и которой соответствует разность энтальпий h Г — i0
(пл. аОГ b на рис. II.3, б и пл. аЬГсна рис. 11.3, в). Теоретическая же работа hi
равна затраченной кинетической энергии подводимого к диффузору газа.
Разность A/i = hi — h получается в результате потери кинетической энер-
гии. Изоэнтропийным или адиабатным к. п. д. диффузора будем называть
отношение полезной работы к теоретической
Если требуется охарактеризовать аэродинамические качества диффузора,
потерянной следует считать только работу трения &.hmp (пл. cOld на рис.
П.З, в), а полезной — работу, затраченную на сжатие газа (пл. aOlb на
рис. П.З, б или пл. аЬЮс на рис. П.З, в). Эту полезную работу можно условно
назвать политропной hn0Jl = hi — Ahmp. Политропным к. п. д. диффузора
назовем отношение
= (П.21)
1
Для диффузора, очевидно, hnOjl >/г и т]„ол >г].
В дальнейшем изложении термин политропный к. п. д. в указанном выше
смысле сохраним также в тех случаях, когда линия процесса с трением 01
не соответствует уравнению политропы (р/р'1) const.
Работа компрессорной ступени. Эта работа совершается за счет механи-
ческой энергии, сообщаемой газу от вала двигателя с помощью рабочего
колеса. Она могла бы быть полностью преобразована в потенциальную и
внутреннюю энергию только в идеальном компрессоре. Будем называть ее
теоретической работой компрессора и обозначать hG.
Теоретическую работу легко вычислить по состоянию газа перед сту-
пенью (сечение О—0) и за ней (сечение 2—2). Для теоретической работы
4 И. И. Кириллов 49
компрессора получим точно таким же путем, как для теоретической работы
турбины, формулу
Ло = «2 —4 (П.22)
где Ф и г2 — полные энтальпии соответственно перед ступенью и за нею.
При наличии трения в компрессоре некоторая доля работы h0 затрачи-
вается на покрытие потерь кинетической энергии Дй, и полезная работа
h — ho — Дй.
Полезная работа h соответствует изоэнтропийному процессу от начального
состояния газа (ро, То) до конечного давления р2- Эта работа может быть
вычислена по формуле, аналогичной (II. 19),
(11.23)
11.2. КОЭФФИЦИЕНТЫ ВОЗВРАТА ТЕПЛА И ЗАТРАТЫ ЭНЕРГИИ
Изоэнтропийный процесс сжатия в идеальном диффузоре представляет
собой обращенный процесс расширения в идеальном сопле, тогда как процесс
сжатия с трением существенно отличается от процесса расширения с такой же
работой сил трения. Чем больше степень понижения давления Po/Pi или
степень повышения давления pi/po, тем больше дополнительная площадь ОГ1
(рис. II.2 и П.З) и тем сильнее сказывается подогрев газа, вызванный тре-
нием, на величине работы расширения и сжатия. При этом в процессе расши-
рения «возвращается» часть работы трения, вследствие чего потеря кине-
тической энергии становится меньше работы сил трения, а в процессе сжа-
тия, наоборот, «затрачивается» дополнительная работа, вследствие чего
потери кинетической энергии становятся больше работы сил трения. Эти
явления в дальнейшем будем характеризовать «коэффициентом возврата
тепла» и «коэффициентом затраты энергии», которые для рассматриваемых
процессов (а„р) определяются по формулам (см. рис. II.2, в и П.З, в):
для расширения
. ._пл. 01'1
апр________________' пл. аЬОе ’
для сжатия
, . пл. 0Г1
&->1О - 1 “1-Т7' ’ •
пр пл. able
Многоступенчатые турбины. В многоступенчатых турбинах часть кине-
тической энергии, теряемой в ступени вследствие трения, используется в не-
которой мере в следующих ступенях. Происходит это оттого, что в резуль-
тате указанных потерь повышается температура рабочего тела за ступенью,
а это приводит к увеличению располагаемого перепада энтальпий для после-
дующих ступеней. Это явление аналогично уменьшению потери кинетической
энергии рабочего тела в сопле вследствие возврата тепла.
Увеличение располагаемого перепада энтальпий в многоступенчатой тур-
бине, вызванное потерями кинетической энергии в ступенях, характеризуется
коэффициентом возврата тепла
(11,24)
где у hci — сумма изоэнтропнйных перепадов энтальпий во всех ступенях
4=1
турбины; Но — изоэнтропийный перепад, соответствующий состоянию рабо-
50
чего тела перед первой ступенью и давлению за последней ступенью;
z — число ступеней.
Разность
£hol-Ho = &Q
i=i
равна дополнительному перепаду энтальпий, который может быть преобразо-
ван в работу.
Величину коэффициента возврата тепла можно определить по is-диа-
грамме. Для этого весь располагаемый перепад энтальпий следует разбить
на z участков. Если распределение перепада энтатьпии между ступенями
неизвестно, то в первом
приближении его можно
разбить на равные участки
и построить процесс с тре-
нием. Измерив их, найдем
hol и коэффициент а
(рис. II.4).
Коэффициент а легко
вычислить, если принять
теплоемкости постоянными
и считать для всех ступе-
ней одинаковыми к. п. д. и
степень понижения давле-
ния сгг, равную отношению
давлений перед ступенью и
за ней. При этом перепады
энтальпий будут последо-
вательно немного умень-
шаться. В действитель-
ности разбивка перепада
энтальпий по ступеням
выбирается несколько иной, но некоторое изменение в распределении пере-
пада энтальпий играет второстепенную роль при определении коэффициента
возврата тепла.
Обозначим через pzl, pz2, р^3, . . ., pzz давление соответственно перед
1, 2, 3, .... z ступенями турбины. Согласно допущению,
Pz\ pZ2 Pz3 _ Pzz . .
P22 Pz% PZ4 Г JI Z
Отсюда следует, что при pzl — pt и давлении за последней ступенью рп
справедливы следующие соотношения:
Pzi Pzz Pzs _ _ Pzz /Pzi \2 Pl
Pzz Pz3 Pzi Pj j \Pz2 / Pji
ИЛИ z
P2 = V
где о - pt/pn.
Для температурных перепадов при изоэнтропийном расширении можем
записать выражения:
ДЦ1=Г„(1-а7”); |
^ = ^(1-0,-"); I (П 25)
ЛТгг = Тгг(1^оГт),
4
51
где tn — k— Mk\ &Tzl, &Tz2, . . M\z —температурные перепады на
1,2,.. ., z ступенях при изоэнтропийном расширении; Тг1, Тг2, . . ., Tzz —
абсолютные температуры перед ступенями, имеющими номер второго индекса.
Эти температуры относятся к кривой действительного расширения газа.
Температуру в конце изоэнтропийного расширения в турбине обозначим
через Tw, а температуру перед первой ступенью — через Т,, причем Тг1 = Т\.
Сложив по частям уравнения (11.25) и заметив, что 7\— Тт = 7\Х
Н(1 — ст-"1), получим
= —7’1п) = (1-оГ",)(Т1 + 722 1 + Т2г)
или
а(1—о '") = (] + ^ + +lf)- (П-26)
В элементарной ступени, обладающей к. п. д. т), действительный и изо-
энтропийный перепады энтальпий равны соответственно di и —. Для
последнего перепада можем написать
d£ d dp = (^_1)Т dp
1] 1] А р v v P
К. п. д. представляет собой политропный к. п. д., совпадающий для эле-
ментарной ступени с изоэнтроп ийным к. п. д. Из последнего выражения
следует
dT k— 1 dp /ту с)у\
<П-27)
После интегрирования уравнения (II.27) получим
_ k — 1 п 1
Здесь по-прежнему m = ——, a mi] = ——, где п — показатель поли-
тропы.
Подставив выражения (II.28) в уравнение (11.26) и заметив, что
Г71 'Г' ГГ Т 'Т' Т
__23 _ 1 22 1 23 . 1 24 _ J 22 1 23 1 Z4 .
Tj _ Т} Тг2 ’ Т, ~ Tj TZ2 Тгз’ " ’
найдем
1 _m
а = (1 + o7mT1 + + • + оГ'2”1’ т11)-
1 — о m
Сумма членов ряда, стоящего в скобках,
1 — o~zmri 1 _ } _ 1 _ 0-тч
S = 1 _ 0-m1i 2 — 2
Следовательно,
(11.29)
Для z = oo, раскрыв неопределенность, найдем
1 1— о-'"’!
(11.30)
52
Легко убедиться, что ос тем больше, чем больше tn, а значит и k.
На рис. II.5 представлены кривые а = / (о) для z — 3; 5; 7 и оо при
ц = 0,85 и k = 1,66; 1,38 и 1,3.
Коэффициент возврата тепла сильно зависит от числа ступеней при малом
их количестве, но при большом числе ступеней величина коэффициента а
незначительно изменяется в зависимости от z (рис. II.5). Влияние числа
ступеней можно оценить на основании следующих соображений.
Газ подогревается от трения в первой ступени, и процесс во второй сту-
пени начинается от точки а± (рис. II.6), а не от точки Ьг, как было бы при
изоэнтропийном расширении. Это вызы-
вает увеличение располагаемого пере-
пада энтальпии во второй ступени на
величину, соответствующую площади
(возврат тепла). Рассматривая
процесс в третьей ступени, видим, что
из-за подогрева газа от трения его со-
стояние перед ступенью определяется
на диаграмме точкой а2 вместо точки Ь2
при изоэнтропийном расширении. А это
означает, что в третьей ступени увеличе-
ние располагаемого перепада энтальпии
характеризуется площадью Ь^амзАо.
Таким образом, в Ts-диаграмме пло-
щадь fo1iz1O2«-2«3^2 = AQ соответствует
количеству «возвращенного» тепла при
данном числе ступеней (z = 3). При
бесконечно большом числе ступеней
количество этого тепла AQra соответст-
вует площади Из диаграммы,
в частности, видно, что с увеличением
числа ступеней значение AQ прибли-
жается к AQra и коэффициент возврата
тепла растет. Коэффициент а также рас-
тет по мере увеличения располагаемого
перепада энтальпий и потерь энер-
Рис. П.5. Коэффициент возврата тепла для
многоступенчатой турбины прит]пм=0,85:
1 — z = 3, k = 1,3: 2 — z = 3, k = 1,38;
3 — z = 5, k = 1,3; 4 — z = 7, k = 1,3;
5 — z = 5, k = 1,38; 6 — z — 7, k = 1,38;
1 — z = cn, k = 1,3; 8 — z = 3, k = 1,66;
9 — z = co, k = 1,38; 10 — z = 5, k = 1,66;
// - z = 7, k = 1,66; 12 - z = co, k = 1,66
ГИИ.
Если допустить, что условная линия расширения газа в турбине AjA2
близка к прямой и перепады энтальпий в отдельных ступенях одинаковы,
то справедливо равенство
AQ—пл. Ь^а^азА^. = пл. AjAzA-j— 2 --1Лг — AQ^—-^2-
£ z Z Z
или
AQ=±fIAQco- (11.31)
Так как из формулы (II 24) следует, что
« = ! +-^,
то, поделив обе части равенства (11.31) на Но, получим
а = Z7 1 (а°° ~ 0 + !,
(11.32)
где аш — коэффициент возврата тепла, вычисляемый по (II.30).
Многоступенчатые компрессоры. В многоступенчатых компрессорах на-
блюдается явление, обратное возврату тепла в турбинах, и его можно харак-
теризовать коэффициентом затраты энергии. В компрессоре тепло, возника-
53
ющее под влиянием трения в лопаточном аппарате, вызывает увеличение
работы, затрачиваемой на сжатие газа в последующих ступенях. Происходит
это оттого, что вследствие работы трения в ступени повышается температура
газа перед следующей ступенью и работа изоэнтропийного сжатия в ней
возрастает. Это явление аналогично возрастанию потерь энергии по сравне-
нию с работой трения при сжатии газа в диффузоре. Таким образом, для
компрессора вместо коэффициента возврата тепла в расчеты должен быть
введен коэффициент затраты энергии
S h
а — ~н~
где h. — изоэнтропийный напор в одной ступени;
Н — полный изоэнтропийный напор в рассматри-
ваемой группе ступеней компрессора.
Для коэффициента затраты энергии можно
получить тем же путем, что и для коэффициента
возврата тепла, следующую формулу:
(11.33)
Рис. П.6, к определению
коэффициента возврата тепла где г] — политропный к. п. д. компрессора, приб-
лизительно равный к. п. д. одной ступени; о—отно-
шение давления за данной группой ступеней к давлению перед ней (сте-
пень повышения давления).
Эта формула для числа ступеней z = сю имеет вид
«со =Т]
О Ч -1
от —1
(11.34)
Как и при определении коэффициента возврата тепла, для вычисления а
можно воспользоваться приближенной формулой (11.32).
П.З. ПРОЦЕСС С ВНЕШНИМ ТЕПЛООБМЕНОМ
В современных турбомашинах все более широкое применение находят
процессы с подводом тепла извне или с отводом его во внешнюю среду.
Так, например, в газотурбинных установках применяются высокотемпера-
турные турбины с охлаждением проточной части воздухом, паром или водой.
Охлаждаемые детали проточной части находят также применение в турби-
нах высокого давления со1 сверхкритическими параметрами пара. В процессе
охлаждения от рабочего тела может отводиться большое количество тепла.
Интенсивность е' о отвода существенно меняется на различных участках про-
точной части в в пределах одного и того же канала. С другой стороны, подо-
грев рабочего тела в процессе расширения приносит известный экономический
эффект, который изобретатели стремились использовать ь турбинах еще
в начале века.
Процесс с подводом тепла. Принципиальные особенности движения
газа с подводом или отводом тепла уже были рассмотрены в п. 1.6. Здесь
остановимся на чисто термодинамических соотношениях и на графическом
изображении процессов.
На основании первого начала термодинамики можно записать
dq + dqnip = di — (II.35)
54
где dq — удельное количество тепла, подводимого к рабочему телу извне
или отводимого от него во внешнюю среду (в последнем случае dq < 0);
б/<7гр — диссипируемая работа трения; dp/p — внешняя работа сил давления
в необратимом процессе.
Если известны условия теплопередачи, то можно определить количество
тепла Д<? на отдельных участках процесса и поступенчатым расчетом найти
параметры потока, в том числе и плотность р как функцию давления.
Второй член в правой части уравнения (11.35) определяет внешнюю работу
сил давления, которая за вычетом работы трения преобразуется в кинети-
ческую энергию или которой соответствует преобразование кинетической
энергии в потенциальную и внутреннюю энергию потока. Очевидно, что
Ь с а е f d s
Рис. II.7. Процесс расширения с внешним теплообменом: а — с подводом
тепла; б — с отводом тепла
в процессе с теплообменом изменение кинетической энергии уже не равно
изменению энтальпии.
На Ts-диаграмме (рис,- II.7) работу при изоэнтропийном расширении
(без трения и подвода тепла) изображает площадь alOd, представляющая раз-
ность энтальпий в точках 0 и Г.
В процессе с теплообменом количество подведенного или отведенного
тепла q измеряется площадью dQlQe, а разность энтальпий в точках 0 и lq —
площадью bkQd. Последняя площадь при отводе тепла больше, а при подводе
меньше, чем в изоэнтропийном процессе.
Процесс с внешним теплообменом и трением характеризуется кривой 07.
От трения разность энтальпий в начале и конце процесса уменьшается на
величину, эквивалентную площади bkgc. Эта разность определяется пло-
щадью cgOd.
Полезная работа, которая может быть преобразована в кинетическую
энергию, в соответствии с уравнением баланса энергии (1.28) складывается
из разности энтальпий в начале и в конце процесса и количества подводимого
извне тепла (с положительным или отрицательным знаком). При отсутствии
трения получим выражение для располагаемой работы
h*i = io — i\q + q, (11.36)
где при отводе тепла q < 0.
Изменение энтальпии в результате процесса с внешним теплообменом без
трения можно выразить так:
fo — iiq — пл. bkOd = пл. alOd + пл. ctlkb
или
«о — iiq =. t'o — ilt — pq, (11.37)
55
где \.\.q — пл. alkb — часть подведенного тепла, идущая на повышение эн-
тальпии; ilt— энтальпия в точке Г.
Из уравнений (11.36) и (11.37) следует, что
h\ = hu3 д (1 — р) q, (11.38)
где изоэнтропийная работа hu3 i0 — iu.
Таким образом, при подводе тепла к изоэнтропийной работе hU3 добав
ляется работа (1 — р) q — пл. 0/9/', а при отводе тепла (<? < 0) соответ-
ствующая работа вычитается. Эта дополнительная работа составляет лишь
небольшую долю количества подведенного тепла, а значительная его часть
входит в состав энтальпии в конце расширения (при отводе тепла — с отри-
цательным знаком).
Рис. 11.8. Процесс с внешним теплообменом в ри-диаграмме: а — с подводом
тепла; б — с отводом тепла
Тот же процесс изображен на ро-дпаграмме (рис. II.8). Здесь полной
работе процесса с теплообменом, но без трения соответствует
Pi
пл. = — f (П.39)
J р
*
₽0
Сравнив уравнения (11.36) и (11.39), получим
*о-й9 = -/ ^-<7- (П.40)
р’о
Это выражение можно также объяснить с помощью Ts-диаграммы (рис.
II.7), так как
₽о
[ — = io— i\q + q — пл. bkOlqe.
J p
Pl
Процесс с внешним теплообменом и трением в принципе протекает так же,
как было рассмотрено в п. II. 1 для адиабатного процесса. Потере кинетической
энергии вследствие трения соответствует пл. bkgc, а дополнительной работе
вследствие возврата тепла — пл. 011 q. Выражение для располагаемой ра-
боты (11.36) сохраняется прежним, полезная же работа определяется
уравнением
h = /о — й + 9,
56
где tj - - энтальпия в конце процесса с трением, определяемая из уравнения,
аналогичного (11.40),
₽1
io-0=- \^-q~kqmp. (11.41)
J р
"о
Последнее выражение может быть записано в дифференциальной форме
di = ^- + Т ds, (П.42)
где Tds = dq dqmp, ds = dsq + dsmp — суммарное изменение энтропии
под влиянием теплообмена и трения.
Так как согласно уравнению баланса энергии
/ с2 \
—di + dq = d (-g- j ,
то имеем следующее выражение для полного изменения энтальпии
+ (П.43)
или
di* - Tdsq. (11.44)
Заметим, что необратимый процесс с отводом тепла и с трением может
оказаться изоэнтроппйным, если —q = kqmp. Но этот процесс, очевидно,
принципиально отличается от обратимого изоэнтропийного процесса, проте-
кающего теплоизолированно.
Если к соплу подводится поток со скоростью с0, то полную теоретиче-
скую работу найдем как сумму
Ро
= (IL45)
Pi
При подводе или отводе тепла в процессе расширения газа в ступени без
трения вся работа, вычисленная по формулам, аналогичным (11.36) и (II.45),
может быть преобразована в идеальной турбине в механическую работу
Pi
2 9
S 1 dp с0 С2
2 (11.46)
Рд
Та же теоретическая работа ступени может быть записана в форме, ана-
логичной (II. 17),
h-Oq — ^0- q- (11.47)
При определении теоретической работы следует условиться, примени-
тельно к какому к. п. д. она вычисляется. Если в расчетах турбины с подво-
дом или отводом тепла принят к. п. д. т]?, аналогичный изоэнтропийному
(11.14), то в качестве теоретической должна быть принята работа Л09 со-
гласно уравнению (11.47), которое перепишем для работы с трением,
Ро
Р 2__ 2
J + ~ ~ - (Л^Р — > (И .48)
Р2
где kqKUH — потеря кинетической энергии вследствие трения; &qmp—kqKllH —
возвращенная работа трения (см. п. II.2).
Если в расчетах использован к. п. д., аналогичный политропному цпол
(см. п. II.2), то в состав теоретической работы войдет общая работа сил
57
давления, включая и дополнительную работу сил давления, возникающую
от тепла трения, т. е.
h
*тол
Р2
(11.49)
Аналогичные выражения могут служить для расчета полезной и тео-
ретической работы компрессорной ступени.
II.4. ИСТЕЧЕНИЕ ГАЗА ИЗ ЗАМКНУТОГО ПРОСТРАНСТВА
В расчетах турбомашин часто встречается задача определения распола-
гаемой работы при истечении газа из камеры неизменного объема, не имеющей
притока газа. В этом смысле будем называть камеру замкнутой. Параметры
газа в замкнутой камере меняются, тогда как давление за соплом, сквозь
которое происходит истечение, может сохраняться постоянными. Поэтому
Рис. II.9. Истечение из замк-
нутой камеры при изоэнт-
ропийном изменении состоя-
ния газа
газ вытекает из камеры с меняющейся во времени
скоростью.
Изоэнтропийное изменение состояния газа
в камере. В момент начала истечения давление
в камере обозначим через р0. Массу газа, находя-
щегося в камере в любой момент времени, обозна-
чим через G', а в начальный момент, когда р =
р0; — через Go. Течение будем считать изоэнтро-
пийным. В каждый момент времени имеет место
соотношение
G'v’ V, (II.50)
где v' — удельный объем газа в данный момент;
V — объем камеры.
Если к моменту окончания истечения давление
в камере сделается равным plt то располагаемая
работа изоэнтропийного расширения 1 кг вытека-
ющего из камеры газа изобразится площадью
Ql’f (рис. II.9). Для этой работы можно написать
выражение
hv
io — И — Ц) (Ро — Pl) г
(11.51)
где — энтальпия в конце процесса расширения.
Последний член в этом уравнении представляет собой работу проталкива-
ния, которую совершал бы газ, если бы он все время поступал в камеру,
поддерживая в ней постоянное давление. При истечении же в пространство
под давлением рг из замкнутой камеры производится лишь отрицательная
работа проталкивания, которая входит в состав разности энтальпий.
Если же к моменту окончания истечения в камере останется количество
газа G’ при давлении рис энтальпией i' (точка а'), то работу изоэнтропийного
расширения получим, уменьшив h'v на величину, соответствующую той ра-
боте, которую мог бы совершить оставшийся в камере газ. Эта работа, отне-
сенная к 1 кг оставшеюся в камере газа, изображается на pv-диаграмме
площадью а'Гb (рис. II.9), и для ее вычисления надо принять во внима-
ние, что на каждый килограмм газа, находившегося в камере к моменту начала
G' „
расширения, остается ^-кгв конце расширения. Следовательно, при рас-
Оо
58
ширении до давления р работа h'v, отнесенная к 1 кг газа в начале расшире-
ния, должна быть уменьшена на величину
= (П.52)
uo
где v' — удельный объем газа в точке а .
Так как Gv'IG0 == с0, то
hv =~{i — il — v0(p — pi). (11.53)
u0
Работу при расширении в камере до давления р можно вычислить по
уравнениям (11.51) и (11.53):
Рис. П.10. Истечение из замкнутой
камеры при политропном изменении
состояния газа в камере
X (i' — ii)— v0(p0 — р). (11.54)
Отношение расходов в этой формуле
может быть заменено отношением давле-
ний, так как при изоэнтропийном измене-
нии состояния газа в камере можно вос-
пользоваться соотношением
1
.<L=£o /_P_V (11.55)
Go V ' \Ро )
Смешанный процесс расширения. Допу-
стим, что из замкнутой камеры истечение
газа происходит только до давления р,
после чего открывается доступ воздуху,
который нагнетается в камеру компрессо-
ром при постоянном давлении р до момен-
та, когда будет вытеснен оставшийся в камере газ в количестве G'. В таком
случае количество газа G' вытекает при неизменном давлении р в камере
и нагнетаемый в нее воздух совершает работу вытеснения. Полную работу
изоэнтропийного расширения во время истечения из камеры при постоянном
давлении р и противодавлении рг вычислим по формуле
, G' . ,
«р = 7Г(' "“И)-
и0
(11.56)
В этом уравнении работа hp отнесена к 1 кг газа, находившегося в камере
в начальный момент истечения при давлении рп.
Суммарная работа расширения для 1 кг газа, вытекающего сначала из
замкнутой камеры, а затем при постоянном в ней давлении р, представится
в виде суммы членов [см. уравнения (П.54) и (11.56)]:
hT = hv + hp = t0 — Д — v0(p0~ р). (П.57)
Эта работа на рис. II.9 изображена площадью Ol'cdeO.
Истечение из замкнутой камеры при подводе тепла. Если во время рас-
ширения газа в камере происходит подвод тепла, то процесс можно счи-
тать политропным с показателем политропы п <Z k, а при отводе тепла —
с показателем политропы п > k. Располагаемая работа в случае полит-
ропного расширения в камере /1опол определится на основании следующих
соображений.
Изменение состояния газа в закрытой камере в случае подвода тепла во
время расширения показано на рис. 11.10 линией 0/. Процесс же расши-
рения в сопле происходит настолько быстро, что считаем его изоэнтропий-
ным. Кривая 0/' изображает изоэнтропийное расширение в сопле вытека-
59
ющего из камеры газа в тот момент, когда начальное давление в камере р0,
а противодавление р1. Кривая alp относится к изоэнтропийному расши-
рению в сопле вытекающего из камеры газа в момент, когда давление
в камере р и противодавление р}, причем точка а лежит на политропе О/.
Состояние газа в камере, соответствующее точке а', получается в том случае,
если расширение в камере происходит без подвода или отвода тепла.
Обозначим величины, относящиеся к политропному расширению газа
в камере, такими же буквами, как при изоэнтропийном расширении, но без
штрихов. Предположим, что начальное давление р0 и противодавление рх
одинаковы в обоих случаях, и рассмотрим момент, когда в том и другом слу-
чаях в камере устанавливается одно и то же давление р = р' (точки а и а'
на рис. 11.10). Состояние газа при политропном и изоэнтропийном расшире-
нии его в камере определяется из уравнений:
п п.
pv =povo,
'Ь k
pv =povo.
При истечении из замкнутой камеры в какой-то момент времени изоэнт-
ропийные перепады тепла в сопле /ъ, и h'v, получающиеся для обоих процес-
сов, будут:
г k—1 л
(11.59)
где v и v' — удельные объемы газа соответственно в точках а и а'.
Массы газа, находящегося в камере в рассматриваемый момент времени,
можно представить для политропного процесса как
1
(11.60)
и для изоэнтропийного процесса
1
(11.61)
Дифференцируя уравнения (11.60) и (11.61), получим:
dG
V 1
Ро^о п
dp;
_ V_____1_ V
~ РоЩ k \ р0 )
dp.
_Р_\ "
Ро )
Отношение элементарных работ для обоих процессов найдем, приняв во
внимание уравнения (11.58) и (11.59),
j____у
hvdG ___ k v ( Р \ п k
h'dG ~ v’ \ р0 ) ~ п ’
и
(П.62)
так как из уравнений политропы и изоэнтропы имеем
j____
V = / Ро \ п k
v' \ Р )
60
Такое соотношение работ для сравниваемых процессов истечения будет
справедливо при любом давлении р, а следовательно, в таком же отношении
будут находиться удельные работы при политропном и изоэнтропийном
расширении газа в камере. А так как работа h'v при изоэнтропийном расши-
рении газа (измеряемая площадью 0/'/ на рис. 11.10) определяется по фор-
муле (11.51), то работа h'v пол при политропном расширении в камере будет
пол =-~h'v=r-~\ Go — (i) — &о (Ро — Pi)] •
Если расширение в камере происходит не до давления р1; а до давления р,
то работу hv пол надо уменьшить на величину hv по1, соответствующую рас-
полагаемой работе оставшегося в камере газа в количестве G при давлении р
и определяемую из уравнения
ПОЛ — = [ 0 Ир) и (Р Pl) | -Q- ,
где ilp — теплосодержание в конце изоэнтропийного расширения
ния р; hv — работа, отнесенная по-прежнему к 1 кг газа в начале
ния. При этом
I: — __ h — А/
"'ОПОЛ - ,1'ипол '•'ОПОЛ -
от давле-
расшире-
(11.63)
где hv — удельная работа при изоэнтропийном расширении газа в камере.
Если происходит подвод тепла к газу во время расширения, то п < k
и hv > hv\ при отводе тепла должно быть п >/г и hV/wt <Lhv-
Истечение с трением. Работа трения и «возврат» тепла учитываются
так же, как в случае истечения при постоянном давлении. Потеря кинетиче-
ской энергии ^hKlJH вычитается из располагаемого перепада. В зависимости
от этой потери изменяется энтальпия 1Х. Трудности состоят в определении
величины при переменном давлении в камере, особенно в расчетах
работы ступени.
п.5. изоэнтроп и Иное течение в соплах и диффузорах
В этом параграфе будем изучать, по сути дела, одномерное движение газа
в трубе переменного сечения без трения и теплообмена. Связь между пара-
метрами потока для рассматриваемого течения газа определяется уравне-
нием (1.82).
Аэродинамические явления резко раз-
личаются между собой в зависимости от
того, происходит ли движение с дозвуковой
или сверхзвуковой скоростью.
Допустим, что тело движется с дозвуко-
вой скоростью с. При этом «сигнал» давле-
ния опережает движение тела и относи-
тельно него сигнал распространяется впе-
ред со скоростью а—с, а в обратную
сторону—со скоростью а+с. Таким обра-
зом, возмущение распространяется не сим-
метрично относительно движущегося тела.
На рис. II. 11 показаны сферические волны
радиуса г = at, где а — скорость звука,
a t — время в секундах. Эти волны изобра-
жены через 3 с после того, как тело начало
Рис. 11.11. Распространение сигнала
возмущений при дозвуковой скорости
свое равномерное движение из точки 0.
Возмущение, исходящее из точки 0, вызовет волну радиусом За, а в резуль-
тате возмущения из точки /, в которой тело находилось по истечении 1 с,
будет волна с радиусом 2а и т. д. Так как тело движется со скоростью, мень-
шей скорости звука, то все волны идут впереди тела.
61
Если же тело движется со скоростью, большей скорости звука, то оно
обгоняет волны возмущений (рис. II. 12). Все возмущения будут распростра-
няться только внутри конуса возмущений с вершиной в точке 3. Синус по-
ловины угла этого конуса равен числу, обратному М:
а 1
Sinp = — = -^.
Рис. 11.12. Распространение сигнала воз-
мущений со сверхзвуковой скоростью
В соответствии с особенностями дозвукового и сверхзвукового потоков
будем различать дозвуковые и сверхзвуковые сопла и диффузоры.
Живое сечение канала. Площадь живого сечения f находится в зависи-
мости от изменения скорости течения, согласно уравнению неразрывности,
pfc = const.
Прологарифмировав это выражение
и взяв затем дифференциал от обеих
частей, получим
dp , df . de _ о
p “г f с
Приняв во внимание уравнение
(1.82), найдем искомую зависимость для
изоэнтропийного процесса
^ = ^(М2—1). (11.64)
Отсюда ясно, что при М <С 1 знаки
de и df противоположны, а при М > 1
их знаки одинаковы. На основании этого
можно сделать следующие заключения.
Если газ движется в канале с до-
звуковой скоростью и при этом проис-
ходит его расширение, т. е. скорость увеличивается, а давление падает, то
живое сечение канала должно постепенно убывать, и при дозвуковых ско-
ростях сопло получается суживающимся. Если же при тех же условиях газ
движется со сверхзвуковой скоростью, то df и de имеют одинаковые знаки,
т. е. при сверхзвуковых скоростях живые сечения должны возрастать,
и сопло получается расширяющимся.
Если газ движется в канале с дозвуковой скоростью и при этом проис-
ходит его сжатие, т. е. скорость уменьшается, а давление повышается, то
живое сечение канала должно постепенно возрастать. Другими словами,
при дозвуковых скоростях диффузор получается расширяющимся. Если же
при тех же условиях газ движется со сверхзвуковой скоростью, то df и de
имеют одинаковые знаки, т. е. при сверхзвуковых скоростях диффузор полу-
чается суживающимся.
Если в каком-нибудь месте канала газ достигает критической скорости,
при которой М = 1, то в этом месте должно быть df = 0, а это означает, что
при изоэнтропийном течении критическая скорость газа получается в самом
узком сечении канала независимо от того, происходит ли сжатие или расши-
рение газа. Сечение канала, в котором достигается критическая скорость
также называется критическим. В критическом сечении число М и скорост-
ной коэффициент X равны единице.
Физическая сущность явлений, протекающих вблизи узкого сечения сопла,
заключается в том, что в области дозвуковых скоростей по мере падения дав-
ления произведение рс растет, а в области сверхзвуковых скоростей — умень-
шается. Максимум произведения рс (рис. 11.13) получается как раз при ско-
рости, равной скорости звука, и при критическом отношении давлений, опре-
деляемом по формуле (1.90), т. е. при рс = ркск.
62
Для того чтобы проинтегрировать уравнение (11.64), выразим приращение
скорости через приращение числа М. С этой целью после логарифмического
дифференцирования выражения М = ~ запишем
dM de da ,1Т
-jrr- ==-------, (II. Ь5)
М с а '
а так как
а-
= k-p-
Р
то, приняв k — const и взяв логарифмический дифференциал от обеих частей
выражения,
нение
получим дифференциальное урав-
da 1 / dp dp \
с 2 \ р р / '
Для изоэнтропийного процесса
dp р
и, следовательно,
— = 1)^-
а 2 ' ' р •
Подставив последнее выражение в уравнение
(11.65), введем в него вместо скорости звука
Рис. 11.13. Изменение произве-
дения рс в зависимости от отно-
сительного давления за соплом
плотность
dM de k — 1 dp
M с 2 р
С другой стороны, из исходного уравнения (1.82) имеем
‘Ф Ц2 _фс
р х с
и, следовательно,
dM _ de /
м--Т V
+ ±z±M*).
Исключив dele с помощью уравнения (11.64), найдем искомую зависимость
df М-— 1 dM ,тт
f " ,..2-7-1»= « (IL66)
После интегрирования в пределах от f0 до ft и соответственно от Мо до Mj
получим удобную для расчетов как сопел, так и диффузоров (при изоэнтро-
пийном течении) формулу
/е-,-1
fl м„
9 2
Mg 4
2 <fe—1)
,,9 2
Mj -t-
(11.67)
k— 1
k — 1
Если за /о принять минимальное живое сечение /т1п, для которого Мп —
1, то последняя формула примет следующий вид:
(II.68)
63
Для вычислений живых сечений по формуле (11.68) имеются таблицы.
Из уравнения энергии следует (индексом t отмечены величины в конце
изоэнтропийного расширения)
с2 с2 ,
= <П69)
или в полных начальных параметрах
ct _ k (i Pvt \ етт
9 — /, 1 Рой) I 1 » » I • (11. ZU)
2 /г“1 \ РоД /
Отсюда найдем теоретическую скорость истечения
(П.71)
где принято
1
Последняя формула имеет прямую связь с уравнением (П.8) для теоре-
тической работы, так как
Из уравнения неразрывности движения можно найти массовый расход
газа
G = -^,
vt
при этом, приняв вс внимание формулу (11.71), получим
G = /Ф, (11.72)
где
Максимальный расход получается при отношении давлений, определяе-
мом из условия
О,
из которого находим
(П.73)
Таким образом, максимальный расход газа получается при критических
параметрах потока. Вместе с тем было доказано, что в критическом сечении
df = 0, т. е. оно является «узким сечением» сопла (f = /min). Поэтому фор-
мулу для расхода можно записать в следующем виде:
где
(П.74)
(11.74')
64
Для воздуха, подставив k = 1,4, получим % = 0,685, а для пара при k =
= 1,3 определим / = 0,667. После того как в узком сечении достигнута кри-
тическая скорость, расход газа соплом уже не зависит от противодавления,
а является функцией только его полных пара-
метров. Если температура не меняется и
газовая постоянная сохраняет свою вели-
чину, то в сверхзвуковой области расход
изменяется прямо пропорционально полному
давлению.
В докритической области при изменении
р* и сохранении постоянным противодав-
ления р расход газа соплом определяется
по формуле (11.72), причем, если T*=const,
зависимость G = f (р*) близка к гиперболи-
ческой (рис. 11.14). В той же области при
изменении противодавления р и сохранении
неизменными полных параметров газа рас-
ход, определенный по той же формуле, выра-
жается функцией G=f (р), близкой к урав-
нению эллипса (рис. 11.14).
Рис. 11.14. Расход газа в зависи-
мости от начального давления и
пр отиводавления
II.6. СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ
Прямые скачки уплотнения. Пусть в теплоизолированной трубе, запол-
ненной газом, перемещается поршень. Допустим, что из неподвижного со-
стояния поршню мгновенно сообщается скорость с и с этой скоростью он
перемещается, сжимая газ. Возникшее возмущение распространится по трубе.
Область возмущенного газа разобьем плоскими сечениями на ряд объемов.
В каждом таком сечении получаются свои значения возмущенных параметров
газа и скорости распространения их по отношению к газу.
б)
Рис. 11.15. Схема образования ударной волны: а — ударная волна; б — прямой ска-
чок уплотнения
I
Р, Р?
Р, Рг
т, тг
В соседних сечениях можно считать параметры газа мало различающимися.
Это позволяет принять скорость распространения возмущений в каждом
сечении равной местной скорости звука. От поршня непрерывно исходят
звуковые волны. Сжатие газа сопровождается увеличением температуры и
скорости звука. Поэтому каждая последующая волна движется быстрее
предыдущей и догоняет ее. В результате сложения волн образуется одна мощ-
ная волна сжатия, называемая ударной волной. Так как от поршня исходят
слабые волны, которые бегут перед ним со скоростью звука относительно
сносящего их потока, то ударная волна перемещается со сверхзвуковой
скоростью.
С правой стороны движущегося поршня (рис. 11.15, а) исходят волны раз-
режения, вызывающие понижение температуры газа. Поэтому скорость каж-
дой последующей волны разрежения меньше, чем предыдущей, и совокуп-
ность их не может образовать ударной волны.
Фронт ударной волны представляет собой поверхность разрыва пара-
метров состояния газа. Они меняются скачкообразно при переходе через
5 И. И. Кириллов 65
эту поверхность. Фронт волны очень узок, протяженность переходной об-
ласти имеет порядок пути свободного пробега молекул. При прохождении
газа сквозь фронт ударной волны повышается среднеквадратичная скорость
пробега молекул и возрастает давление и плотность невозмущенного газа.
Пусть фронт волны перемещается относительно невозмущенного газа
со скоростью w. Скорость невозмущенного газа в области между поршнем и
фронтом волны примем одинаковой и равной скорости поршня. С каждой
стороны фронта волны при любом его положении будем считать скорости
и состояние газа неизменными. Тогда и процесс в переходной области будет
протекать одинаково и скорость распространения ударной волны w будет
постоянной. Эта скорость всегда больше скорости движения газа (w ^>с),
т. е. ударная волна обгоняет газ.
Обратим движение, сообщив трубе поступательное движение со скоростью
w навстречу ударной волне. В этом относительном движении ударная
волна окажется неподвижной в пространстве, и движение газа станет ста-
ционарным (рис. II. 15, б). Эту неподвижную плоскую ударную волну будем
называть прямым скачком уплотнения. В относительной системе координат
перед фронтом волны, где газ был неподвижен, скорость с, = w, а за фрон-
том скорость с2 = w — с.
Найдем связь между скоростями газа и его параметрами до скачка и за
ним (отмечаются соответственно индексами 1 и 2). Задачу рассмотрим в свете
одномерного течения. Контрольную поверхность составим из боковой по-
верхности цилиндрической трубы и нормальных сечений и /2 (рис. II. 15, б).
Уравнения сохранения массы и количества движения при /у = f2 имеют
вид:
Р1С1 — РгС2
(11.75)
И
Pl + Р1С1 = Р2 + Р2С2- (11.76)
Уравнение баланса энергии в обоих сечениях для адиабатного движения
запишем в форме
С2 С2
I 1 _ г 2
h “Г 2 — 12 “г 2
ИЛИ
„ с? ь
Pi । 1________2.
_____________________________________ £2
k — 1 Pj "т’ 2 k — 1 р2
с2
с2
2 '
(11.77)
k
Из этих уравнений найдем три неизвестные величины с2, р2 и р2.
Из формул (11.75) и (11.76) можно составить следующее выражение:
Pl Pi — Р1С1 (С2 С1)-
(11.78)
Заметив, что, согласно уравнению (11.75), имеем
С1 + С2 __ 1___I__
РЦ1 Р1 ’Г Рг ’
вместо (11.78) запишем
(Pi-P2)(-^- + ^ = cl-cl (11.79)
\ Pl г 2 /
Из уравнений (11.77) и (11.79) следует:
~^-(Р1 — Р-2) (4" + -Бг) =
z \ Pl Р2 /
k
Pl______Р2_\
Pi Рг /
ИЛИ
Ра
Pl
(fe_i_l)p2-(fe_l)P1
И- 1) Pi — Ра ’
(11.80)
66
Соответствующий данной формуле процесс носит название ударной адиа-
баты или адиабаты Гюгонио. Для одной и той же степени повышения давле-
ния по ударной адиабате температура возрастает больше, чем при изоэнтро-
пийном сжатии. Процесс сжатия газа в ударной волне необратим.
Изменение скорости при прохождении сквозь прямой скачок уплотнения.
Из уравнений (11.75) и (11.78) имеем
Р2 Р1
----- --- ------- Ci ---С‘
Р2С2 Р1С1
(11.81)
Уравнение (11.77) до и после скачка запишем в форме (1.95)
2
k Р1 _ Л-М С1 .
k—1 Р1 ~ 2 (k — 1) к 2 ’
k Pz _ k + 1 пЧ С2
k— 1 р2 2(k— 1) к 2 •
Эти два уравнения позволяют выразить отношения Р1/Р1 и р2!'р2 через
скорости. Подставив их выражения в уравнение (II.81) и использовав урав-
нение (П.75), получим
(2 \
1—^-)=0. (П.82)
Так как всегда с± ^>с2, то
сгс-2 = а2к (11.83)
или
ЬхА2 = 1. (II.84)
Следовательно, сх ^>ак >с2, т. е. ско-
рость газа до скачка сверхкритическая, после
скачка — докритическая. При Хх>>1 также
Мх > 1 и при Х2 <Д 1 — всегда М2 < 1.
Поэтому скорость газа до скачка сверхзву-
ковая, после скачка — дозвуковая.
Поток, входящий в решетку со сверхзву-
ковой скоростью, у передних кромок лопаток
тормозится до нулевой относительной ско-
рости в точке разветвления газовой струи.
В этом месте возникает головная волна, при
Рис. 11.16. Процесс в скачке уплот-
нения
прохождении через которую сверхзвуковая
скорость переходит в дозвуковую. Такая же
волна образуется около носика измерительной
аэродинамической трубки, что затрудняет измерение статического давления.
Процесс в /«-диаграмме. Пусть расширение газа в турбомашине про-
исходит от давления роДО рп (рис. II. 16). Предположим, что при расширении
в сопле до давления рх возникла сверхзвуковая скорость и произошел ска-
чок уплотнения, а давление за скачком повысилось до р{ (точка £). При
изоэнтропийном расширении АВ до скачка скорость газа повышается до сх,
после же скачка скорость уменьшается до с2. Этой скорости соответствует
перепад энтальпии DE. Точки А и D лежат на линии постоянной энтальпии,
так как процесс адиабатный и техническая работа не совершается. Если после
скачка изоэнтропийное расширение продолжается до давления рп, то об-
щая кинетическая энергия в точке F равна разности энтальпий DF. Расши-
рению без скачка соответствует изменение энтальпий АС. Скачок уплотне-
ния вызывает потерю энергии A/z.
5*
67
Косые скачки уплотнения. Пересекая прямой скачок уплотнения, поток
не меняет направления. Фронт косого скачка расположен наклонно к на-
правлению потока. Косой скачок образуется, например, при обтекании кли-
новидного тела, когда, проходя сквозь скачок, поток должен изменить свое
направление. Пусть до косого скачка скорость потока составляет угол а
с его фронтом (рис. 11.17). После скачка поток отклоняется на угол 6 и ско-
рость с2 образует с фронтом угол р = а — 6.
Векторы сг и с2 разложим на компоненты вдоль нормали (индекс н) и
параллельно фронту скачка (индекс ф). Вдоль фронта скачка нет сил, спо-
собных изменить скорость, поэтому
Косой скачок уплотнения можно трактовать как прямой, сносимый вдоль
фронта со скоростью сф. Для косого скачка уплотнения уравнение неразрыв-
ности (11.75) имеет вид
или
Рис. П.17. Схема косого скачка уплот-
нения
Р1^1« — Р^2н>
уравнение количества движения в проек-
циях на нормаль может быть записано так:
Р1---р2 — Р1С1н (р2н С1н
Pi __
PiQh
(11.85)
— ^2« ^1н«
Для состояния газа до и после скачка полные энтальпии равны, т. е.
71 = /2. А так как составляющая скорости вдоль фронта скачка сохраняет
свою величину, то, согласно уравнению (1.95), можно написать:
- I С1Н - . С2н _ k -4-1 7
КН
ИЛИ
2
Р1 р2 ______ 1 ^КН k ----- 1 с1н
Pi/Тн <\н & 2
Из уравнений (11.85) и (11.86) получим
С?
кн 1
С1НС2Н )
КН
(11.86)
= 0.
Так как с1н =/= с2н, то
в левой части уравнения.
должен быть
что означает
равен нулю последний множитель
-- &КН 9
(11.87)
где аКн — частичная критическая скорость, вычисленная по полной
ратуре применительно к нормальной составляющей скорости
ггС' I
темпе-
Для прямого скачка сф — 0 и акн = ак.
При одной и той же скорости набегающего потока косой скачок всегда
слабее прямого. Интенсивность косого скачка зависит от наклона его фронта
к направлению набегающего потока. При а = 90° косой скачок переходит
в прямой, а при а = a resin вырождается в бесконечно слабую волну
(Pi = Рг)- В этом случае с1н = с2н = акн, т. е. нормальные составляющие
потока делаются равными местной скорости звука.
68
При одинаковых числах Mi потери в косом скачке меньше, чем в прямом.
Поэтому при обтекании входных кромок лопаток, когда возникновение скач-
ков уплотнения неизбежно, следует стремиться заменить прямой скачок
уплотнения на косые.
Тепловой скачок уплотнения. Выше рассматривался адиабатный скачок
уплотнения, в котором температура торможения, а следовательно, и критиче-
ская скорость оставались постоянными. Это условие не соблюдается, если
в переходной области скачка подводится тепло. Такой «тепловой скачок»
возникает, например, при прохождении газа через ударную волну в детона-
ционном горении [1]. В паровых турбинах явления, аналогичные тепловому
скачку, возникают при расширении влажного пара. Они носят название «скач-
ков конденсации». Рассмотрим схему прямого скачка в таком процессе.
Допустим, что перед скачком пар расширяется в области ниже погранич-
ной кривой с полным переохлаждением, т. е. так же, как перегретый пар.
Известными считаем начальные параметры пара и давление в потоке перед
скачком. Переход потока сквозь скачок будем считать таким же, как в скачке
уплотнения. Обозначения параметров потока перед скачком и за ним сохраним
прежними.
Рассматривая пар как идеальный газ для энтальпии перед скачком, можем
записать
; _ & Pl । г
11 - 1 ’ (11.88)
где CL — постоянная интегрирования.
Переход сквозь скачок совершается при постоянной энтальпии г*, так как
процесс протекает без подвода тепла извне. Однако поскольку рабочим телом
служит пар, на протяжении скачка происходит выделение скрытой теплоты
фазового перехода, которая оказывает влияние на плотность и давление пара,
аналогичное внешнему подводу тепла. С учетом этого фактора энтальпию
за скачком можно выразить так:
ii — (1 — yi) h + У2Й — i-2 — У/2, (И .89)
где одним штрихом обозначена энтальпия жидкой фазы, а двумя штрихами —
паровой фазы; г2 — скрытая теплота фазового перехода; у2 — массовая
степень влажности, отнесенная к общему расходу среды.
Ту же энтальпию i2 можно записать в форме, в которой была записана
энтальпия перед скачком,
= + (11.90)
/v l Р2
Первый член в правой части этого уравнения соответствует энтальпии
паровой фазы, что ясно из сравнения с предыдущим уравнением. Поэтому и
плотность р2 должна относиться к паровой фазе. Постоянная же интегри-
рования С2 должна быть уменьшена по сравнению с С\ на величину тепла,
выделяемого в результате фазового перехода, т. е.
С2 = Ci у2г а-
Такая трактовка постоянных интегрирования отвечает обычному пред-
ставлению термодинамики влажного пара, согласно которому скрытая теп-
лота фазового перехода входит в состав энтальпии влажного пара. Именно
поэтому полная энтальпия сохраняет свое значение при пересечении потоком
скачка.
Если подойти к вопросу с чисто газодинамической точки зрения, приняв,
что постоянная интегрирования в скачке не меняется, как для газа, то выде-
ляемое тепло фазового перехода в момент скачка конденсации следовало бы
рассматривать как подведенное извне. В этом случае в потоке за скачком эн-
тальпия возросла бы на величину у2г2 и она выражалась бы, как для газа,
69
„ k р
величиной । p~- Это следует и непосредственно из уравнений (11.88) —
(11.90), согласно которым при С\ = 0 имеем
Рч ।
a i о" = г2 + ^2-
к 1 г2
Следовательно, полная энтальпия для паровой фазы за скачком
или
&=i L
где в этом толковании
/' k р2
Разумеется, что эта чисто формальная трактовка вопроса нисколько не
меняет существа явлений, но она делает очевидным, что с газодинамической
точки зрения скачок конденсации не отличается от теплового скачка уплот-
нения и задача заключается лишь в правильном термодинамическом выраже-
нии параметров потока за скачком.
Показатель k в формуле (11.90) можно принять таким же, как для пара
перед скачком, так как свойства паровой фазы приблизительно сохраняются.
Для определения параметров пара за скачком выпишем следующие уравнения
газодинамики, приняв неизменной полную энтальпию i*:
уравнение сохранения массы
РА = р2с2; (11.92)
уравнение количества движения
Pl + Р1Р1 = р2 + Р2^2> (11.93)
уравнение баланса энергии
Плотность р2 влажного пара за скачком больше, чем паровой фазы, так как
в нем содержится влага. Обозначив отношение массы этой влаги к массе
паровой фазы в том же объеме через yl, для плотности пара за скачком вос-
пользуемся приближенным выражением
р2 ~ р2 (1 у^.
Использовав это выражение, уравнение (11.94) запишем в таком виде
(11.95)
В этой системе трех уравнений пять неизвестных. Но между параметрами
пара за скачком имеется определенная зависимость, которая может быть
представлена аналитически или графически и которая позволяет замкнуть
рассматриваемую систему уравнений. Задача решается проще, если предва-
рительно оценить величины у2 и г2. Последняя из них обычно мало изме-
няется, а степень влажности у2 в первом приближении с достаточной точ-
ностью можно принять несколько меньшей, чем получилась бы равновесная
степень влажности перед скачком, если бы процесс протекал без переохла-
ждения. Эта степень влажности известна, поскольку параметры потока перед
скачком предполагаются заданными. По найденной в первом приближении
70
степени влажности г/2 за скачком расчет можно уточнить последующим при-
ближением.
Связь между скоростями до скачка и за ним устанавливается из уравне-
ний (11.92), (11.93) и (11.95) путем исключения р2 и р2
+ =т^т(-^ + с'-с‘с^1+^-
Заметим, что, согласно уравнениям (11.88) и (11.91), двучлен
Pi ।
k — 1 Pi 1 2
есть полная энтальпия потока для изоэнтропы перед скачком, а трехчлен
. С2
k Рл , 1 |
Т=П“’рГ + +
равен полной энтальпии паровой фазы потока для другой изоэнтропы за
скачком, если условно считать тепло г/2г2 подведенным извне. С этой точки
зрения можно ввести в расчеты критические скорости ак1 и ак2 соответственно
перед скачком и за ним. Их величины определим согласно формуле (1.95):
2 = 2 (А — 1) / k Р1 ci \ .
k + 1 \ k — 1 щ “г 2 J ’
2 2 (k — 1) [ k Pi I C1 , \ .
йк2 — *+ 1 \ A —1 “рГ “I" ~2 1 ^2''2 )
Использовав последние выражения, уравнение связи между скоростями
запишем в таком виде
2fe(l+^b(fe-l) %2_ v(! + (_L + х2 + 1 = о, (П.96)
где
л, = -А - Х2 = А_. v = Al .
аК1 ’ аК2 ’ аК2
Если можно в последнем уравнении пренебречь степенью влажности за
скачком по сравнению с единицей (1 + 1), то получим уравнение
В. А. Андреева и С. 3. Беленького [2]
^2 —v (^+^i)a2+1 =0. (П.97)
Это уравнение имеет простое решение
?'2 = т(тг+М ± J/AV(v+Zi)2"1 ’
Корни получаются действительными при условии
Если количество сконденсированного пара очень мало (z/2 —> 0), то v —> 1.
В пределе при положительном знаке у корня получим обычное решение для
римановского скачка уплотнения (AjXg =1). С возрастанием количества
сконденсировавшегося пара увеличивается критическая скорость цк2, а
величина v уменьшается. Когда последняя достигает минимума (vmin =
2Х \
=-----Чо-Ь интенсивность скачка становится максимальной. Ее величина
1 т щ ]
71
может быть определена из уравнения (11.93)
- v^2).
По этой же формуле, приняв v = 1 и W2 = 1, можно определить ин-
тенсивность обычного прямого скачка уплотнения Ь.рупл. Эту величину
сравним с интенсивностью скачка конденсации при одинаковых параметрах
потока перед обоими скачками
_^Р = (11.98)
^РУПЛ “Ь 1
Следовательно, конденсация ослабляет интенсивность скачка, Это объяс-
няется тем, что в тепловом скачке вследствие подвода тепла за фронтом
скачка плотность уменьшается, а скорость возрастает.
Скачок конденсации обычно возникает при >1. В этом случае при
положительном знаке у корня и уменьшении v от единицы до vmln скоростной
коэффициент Z2 также снижается от Д до единицы. Скорость за скачком во
всем диапазоне остается сверхзвуковой — существенное отличие от скачка
уплотнения.
Если >1, но знак у корня отрицательный, то при v = 1 скорость за
скачком Х2 = 1/%1 (римановский скачок), а при уменьшении v до vmin она
возрастает до Х2 = 1, все время оставаясь дозвуковой.
Возможны и другие случаи скачков конденсации, вытекающие из урав-
нения (П.97).
Потери энергии в скачке конденсации выявляются сравнением изоэнтро-
пийного процесса с действительным. Последний определяется параметрами
пара за скачком. Эти потери — чисто газодинамические. Они не включают
специфических потерь, связанных с теплообменом между фазами и с капил-
лярной энергией. Газодинамические потери энергии в процессе конденсации
появляются лишь в особых условиях, когда процесс сопровождается скачком
уплотнения. При плавном же протекании процесса конденсации скачок уплот-
нения не появляется и выведенные формулы теряют силу (см. гл. XII).
Таким же методом могут быть исследованы косые тепловые скачки кон-
денсации [2].
II. 7. ТЕЧЕНИЕ С ТРЕНИЕМ И ВНЕШНИМ ТЕПЛООБМЕНОМ
В теплоизолированном необратимом процессе в кинетическую энергию
преобразуется величина di, а остальная часть полной внешней работы сил
давления покрывает работу сил трения dqmp. Это следствие первого закона
термодинамики, который для теплоизолированного процесса запишем так
dqmp = di — (II.99)
г
Для процесса с внешним теплообменом (dq) и трением (dqmp) можно поль-
зоваться той же формулой, подставив вместо dqmp сумму членов dq + dqmp,
согласно уравнению (II.35). Но при этом полная энтальпия не остается по-
стоянной, а изменяется в соответствии с уравнением (II.44).
Для связи между параметрами совершенного газа будем пользоваться
выражением
Дг(тг~1Пр)- (11.100)
Рассмотрим сначала различные методы определения скорости истечения
газа в теплоизолированном сопле при наличии трения. Для упрощения записи
скорость газа перед соплом примем нулевой.
72
Энтропийный метод. Работу сил трения можно выразить через прира-
щение энтропии
dqmp~Tds, (11.101)
а изменение энтальпии — через плотность и давление, согласно уравнению
(11.100), после чего из уравнения (11.99) получим
_ k-^-= (k— 1^ — Tds
р р ' ! р
Проинтегрировав это уравнение, найдем искомую зависимость
1П-^- = k~Di &S + const,
Р« к
где As — изменение энтропии.
Последнее уравнение можно записать в таком виде:
- ^- ехр --- As) = const. (11.102)
При As = 0 экспонента обращается в единицу и последнее уравнение опи-
сывает изоэнтропийный процесс. Поэтому величина
х = ехр( — -^-) (11.103)
служит мерой отклонения процесса от изоэнтропийного под влиянием трения.
Эту величину будем называть степенью неизоэнтропийности. Ей можно
придать также иной вид, введя средние для исследуемого процесса параметры
потока р, р и Т,
z = exp(---= ехр [— y-A<7rJ . (11.104)
Если принять и = const, то меняется лишь постоянная в уравнении про-
цесса, что равносильно замене одной изоэнтропы другой. При этом в конеч-
ной точке новой изоэнтропы параметры газа соответствуют принятой оценке
работы трения. Для промежуточных же точек состояние газа определяется
фиктивной изоэнтропой и поэтому не соответствует действительности.
Такой прием описания процесса дает хорошее приближение к действи-
тельному, если весь процесс разбивается на небольшие участки и в пределах
каждого из них принимается As = const. При этом на различных участках
сопла работа трения может согласоваться с ожидаемой картиной течения.
В то же время на каждом участке сохраняются условия баротропности те-
чения.
Величины А(7гр и As легко выразить через коэффициент потерь или к. п. д.,
благодаря чему удобно пользоваться степенью неизоэнтропийности. С по-
мощью этих интегральных величин можно достаточно точно отразить физи-
ческий процесс и связать расчет с опытными данными. Так, например, если
оценить работу трения как долю от полной работы расширения (включающей
и работу трения), т. е. принять
Ро
Д<Др = (1 — Пмл) J -у-
и считать Р1
Ро
[ ар _ Ро ~~~ Pi
J Р Рс ’
Pi
где рс — средняя плотность процесса, то из выражения (П.104) получим
X = exp [-(1 - г1ПМ)• (II. 105)
73
Если относительная величина трения мала, то невелико и различие
между политропным и изоэнтропийным к. п. д. В таких случаях практикуе-
мая замена одного к. п. д. другим может и не повлечь существенной ошибки.
Для процесса с трением можно найти удобное для расчета выражение
работы сил трения через In p/pfe. Для этого заметим, что, согласно уравне-
ниям (11.99) и (II. 100),
da - 1 dp_________k Р do- 1 р ( dp k dp \
аЧтр— k__t p й—i p2 - A—1 p \ p p )
или, так как множитель перед скобкой равен i/k,
dqTp = -Ld(\n-^). (П.106)
При изоэнтропийном процессе d In (p/pk) = 0. Для необратимого процесса
это приращение характеризует возрастание энтропии.
Работа сил трения при движении газа в сопле распределяется неравно-
мерно. Эту работу можно оценить, приняв различные коэффициенты трения
на различных участках канала. Определив работу трения, найдем также
приращение энтропии As = (&qTp)/T и величину и для конечного состояния
потока на данном участке.
Политропный процесс. Рассмотрим частный случай — адиабатный про-
цесс, обусловленный изменением работы трения, пропорциональным падению
энтальпии в сопле. Такое допущение часто делается в практических расчетах,
хотя оно не имеет физического обоснования.
Итак, предположим, что при расширении газа элементарная работа трения
связана с падением энтальпии уравнением
dqTp = —%di (11.107)
и что при этом величина g остается постоянной.
Из уравнений (11.99) и (11.107) имеем
(l+^dt—^- = 0.
Перепишем последнее уравнение, подставив вместо di его выражение (11.100)
(1+5)_ц.(^_4ф\ *l=0.
' ' k—1 \ р р2 р
После деления всех членов на р/р получим
Р г*
Интеграл этого уравнения представляет собой уравнение политропы
рр~п = const,
(II.108)
где
По существу, как уже указывалось в п. П.З, имеется глубокое различие
между политропным процессом расширения с подводом тепла извне и адиа-
батным процессом с трением, в котором все тепло от трения мгновенно пере-
дается рабочему телу.
Для процесса без внешнего теплообмена (q = 0), согласно выражению
(1.30), справедливо уравнение (при сог=«0)
ci _ k р0
2 k~ 1 р0
Pi Ро
Р1 Ро
(П.Ю9)
74
Из уравнений (11.108) и (11.109) найдем:
(11.110)
(11.111)
Очевидно, что при п = k последние уравнения получат вид уравнений (11.71)
и (11.72) для изоэнтропийного процесса расширения.
Рассмотрим суживающееся сопло. Если сохраняются начальные пара-
метры газа, а меняется противодавление, то максимальное количество газа
протекает при выполнении условия ~ = 0. Из этого уравнения определяется
минимальное противодавление р, до которого расход газа соплом продол-
жает возрастать,
п
₽ = ₽"(тцт)7;=г- (П.112)
При этом противодавлении скорость истечения и расход газа достигают
значений:
= (П.НЗ)
И о
где ___________
1 Г ~ k п — 1
а = У2СТ7Г+Т
И
п-1
fe (»~ 1) f 2 У~1
А —1 \п + 1 )
Если же рассматривать сопло Лаваля, то все эти соотношения сохраняют
силу для узкого сечения, в котором устанавливается давление р. Справедлива
и формула (11.110) для определения скорости сх при давлении рх за соплом
до тех пор, пока не появляются скачки уплотнения и процесс перестает быть
политропным.
При движении с трением в узком сечении сопла скорость газа получается
меньше, чем местная скорость звука, а скорость газа, равная скорости звука,
достигается за узким сечением в расширяющейся части сопла.
Перерасширение. В сопле Лаваля перерасширение возникает, если выход-
ное сечение оказывается больше, чем требуется для заданного противодав-
ления. В таком случае в узком сечении сохраняется критическое давление,
а поэтому расход газа достигает максимального значения при большем про-
тиводавлении, чем в соплах суживающихся. Противодавление до которого
в узком сечении сохраняется критическая скорость, тем выше, чем больше
величина f = (/7/mln), где /rain и f — живые сечения соответственно минималь-
ное и при выходе из расширяющегося сопла. Величина р'к приближенно
может быть легко рассчитана с помощью таблиц газодинамических функций
или оценена по формуле Форнера
Pk = Ро + b р/ 7 J ,
где для перегретого пара а = 0,546 и Ъ = 0,454, а для воздуха а = 0,528
и b = 0,472.
75
Политропный к. п. д. Для сопла уже был введен политропный к. п. д.
как отношение полезной работы h к политропной работе hn0Jl [см. (11.15)]
2
Здесь полезная работа h = Она вычисляется по формуле (11.110), а
политропная работа — по уравнению (11.16). После деления выражения
(11.110) на (11.16) получим
h k(n — 1)
hnM — n(k— 1) ‘
Для диффузора политропный к. п. д. определялся, согласно уравнению
(П.21), как отношение политропной работы к изоэнтропийной hr + Со/2, где
с0 — скорость, с которой поток подводится к диффузору. Для вычисления
политропной работы для адиабатного процесса можно воспользоваться урав-
нением, аналогичным (11.110), которое в силу обращения процесса для диф-
фузора может быть записано в виде
Разделив эту величину на теоретическую работу, найдем для диффузора
такое же выражение к. п. д., как и для сопла. Между этими к. п. д. имеется
принципиальное отличие. Для сопла, как было доказано, п < k. Для диф-
фузора, повторив вывод, как для сопла, но имея в виду, что dqTp=c di,
получим
Все сказанное о политропном процессе и о политропном к. п. д. примени-
тельно к соплам и диффузорам можно повторить для необратимого адиабат-
ного процесса в турбинных и компрессорных ступенях.
Если в сопле течение с трением рассматривать при постоянном коэффи-
циенте сопротивления Л или, тем более, с учетом потерь в пограничном слое,
то процесс расширения не совпадает с политропным. Поэтому последний
можно считать лишь как грубое приближение к действительности. Такое
приближение вполне допустимо в ряде расчетов. Так, например, если из-
вестно, что в нескольких сечениях проточной части турбомашины состоя-
ние рабочего тела соответствует политропному расширению, а в промежу-
точных точках неизбежные отклонения от этого процесса не имеют значения
для определения живых сечений лопаточного аппарата, то замена действи-
тельного процесса политропным дает достаточно точное решение. Замена
действительного процесса политропным упрощает расчеты и позволяет, как
было показано, сделать заключения общего характера.
Общее уравнение движения. При течении с трением со стороны ограни-
чивающих поверхностей на поток действуют касательные силы сопротивле-
ния. Эти поверхностные силы можно рассматривать в том же аспекте, как и
нормальные силы давления со стороны лопаток, если ввести в уравнения дви-
жения интенсивность касательных массовых сил FT. По существу такую же
условность мы допускали, считая, что все тепло трения, выделяемое в ос-
новном в пограничном слое, мгновенно передается в поток и равномерно рас-
пределяется по живым сечениям. При этом допущении выше были исследованы
политропные и другие процессы с трением. Здесь в том же плане рассмо-
трим относительное движение как имеющее более общее значение.
С учетом трения сила, непосредственно вызывающая ускорение элемента
жидкости, уменьшается на величину вектора интенсивности касательных
массовых сил FT. При этом общее уравнение движения (1.53) должно быть
записано с добавлением нормальных F и касательных FT массовых сил
4г + 2<й Х w-v4 = -^Vp+FT+F. (11.115)
76
Чтобы получить уравнение движения в неподвижных соплах, достаточно
подставить со — 0.
Уравнение энергии получается обычным образом умножением всех членов
уравнения (11.115) на wdt. При этом работа кориолисовых сил равна нулю
и в левой части уравнения остаются только члены, содержащие кинетиче-
скую энергию. Нормальные массовые силы также не совершают работы.
Касательные же силы по направлению прямо противоположны вектору w.
Затрачиваемая на их преодоление работа определяется произведением
wFx dt = dqTp.
Работа трения связана с энтальпией и работой внешних сил дифферен-
циальным уравнением (11.99), а так как dqTp = Т dsTp, то названное уравне-
ние для баротропного движения может быть записано в форме
-i-Vp = Vi-TVsrp. (.11.116)
Если же необратимый процесс сопровождается внешним теплообменом dq =
= Т dsp, то меняется как полная энтальпия, так и энтропия. В этом случае
вместо формулы (11.116) имеем выражение
-l-Vp = Vt —TVs, (11.116')
где Vs = VsTp + Vs9.
Подставив выражение (II.116') в уравнение (1.53), получим для стацио-
нарного процесса
(w-y) w 2® х w — у Г2 = —— Vt +TVs. (11.117)
Использовав тождество (1.58)., запишем
/ Г2С02 .\ / .* W2 \
V(— —= —У ---------------2-),
а тогда уравнение (II.117) можно преобразовать
(w-V)w + 2o X w —V^- = —VH—ViL + TVs. (11.118)
Для теплоизолированного процесса должно соблюдаться условие Viu 0,
если начальное состояние газа одинаково во всем пространстве.
Эти уравнения движения удобно сочетать с уравнением состояния, за-
писанным в форме (II.102) и позволяющим учесть изменение энтропии под
влиянием как трения, так и теплообмена с помощью коэффициента неизо-
энтропийности.
IL8. РАСШИРЕНИЕ ПОТОКА ЗА ГОРЛОМ СОПЛА
Из уравнения (II. 64) было ясно, что сверхзвуковое сопло должно быть
расширяющимся. Его выходное живое сечение, как и любое промежуточное,
определяется при изоэнтропийном течении из уравнения неразрывности
или его следствий (II.67), (II.72).
Расширяющиеся сопла могут иметь различную форму живого сечения.
Широкое применение находят сопла круглого и прямоугольного сечения.
Применяются они для чисел М, достигающих очень высоких значений (2, 5
и выше).
В турбинах сопло обычно наклонено к оси машины, и на его выходном
участке за горлом образуется так называемый косой срез, которому соответ-
ствует треугольник АВС на рис. II.18. Рассмотрим особенности течения
в соплах такого типа.
77
Рис. 11.18. Отклонение потока
в косом срезе
Отклонение потока в косом срезе. Если в живом сечении А—С, равном f,
устанавливается давление рг среды, в которую газ (пар) вытекает, что его
протекание в открытой части сопла АВС сопровождается лишь некоторой
дополнительной работой трения, направление же движения струи газа в гу-
стой решетке приблизительно совпадает с направлением оси сопла.
Если до косого среза газ не может полностью расшириться, то в сече-
нии f устанавливается давление р рг. При этом в точке А давление газа
почти сразу понижается до давления рг, тогда как вдоль стенки ВС проис-
ходит постепенное падение давления. Таким
образом, струя газа испытывает одностороннее
давление, которое вызывает ускорение массы газа
в направлении, перпендикулярном кстенкеВС,
т. е. происходит отклонение струи газа от того на-
правления, которое она имела в сечении А—С.
Для того чтобы понять явления, происходя-
щие в косом срезе сопла при сверхзвуковых
скоростях, рассмотрим сначала равномерный
сверхзвуковой поток, параллельный стенке ВО и
обтекающий внешний тупой угол ВОС (рис. II. 19).
Обтекая этот угол, поток расширяется и давле-
ние падает от р до а скорость возрастает от с
в сечении 0—А до сг в сечении 0—Аг. Так как
предполагается сверхзвуковой поток, то его
ускорение связано с увеличением живого сече-
ния каждой трубки тока, т. е. с расширением
потока в поперечном направлении. Угловая точка 0 образует препятствие на
пути потока и служит источником возникновения в потоке малых возмуще-
ний, которые распространяются в нем со скоростью звука а. Так как поток
движется со скоростью с и сносит в направлении своего движения эти воз-
мущения, как было показано на рис. 11.12, то линия возмущений ОЛ изоб-
ражает граничную звуковую волну [1], от которой вверх по течению поток
остается невозмущенным. Угол, который обра-
зует линия ОЛ с продолжением стенки ВО, -----------1—
определяется по уравнению |
1 /_Л
И = arcsin . (11.119) 7
' /РгА Pi
По мере расширения потока за граничной р 18 r/В Cf
линией ОЛ возрастает скорость сноса звуковых
волн, исходящих из угловой точки 0, т. е. ли-
нии возмущения (характеристики), вдоль кото-
рых давление устанавливается постоянным и
нормальные составляющие скорости к которым
равны скорости звука, постепенно поворачива-
ются по направлению течения. Наконец, когда расширение потока заканчи-
вается и достигается скорость с1; которой соответствует число М1( возмуще-
ния, исходящие из угловой точки 0, сносятся вдоль линии 0Лх. Она слу-
жит второй граничной линией, после которой газ течет параллельно стенке
ОС (цх =- arcsin^-). Скорость и давление в струйках изменяются в про-
0
с
Рис. 11.19. Поворот потока при
обтекании тупого угла
странстве между линиями ОЛ и 0Л1( где линии тока имеют искривления.
Аналогичная картина получается при обтекании плоской стенки (точка
Л на рис. 11.18), в месте обрыва которой устанавливается меньшее давление,
чем в невозмущенном потоке до точки Л. Обтекание кромки Л вызывает
поворот потока на угол 6, который требуется определить.
В косом срезе сопла из точки Л (рис. 11.18) исходят такие же линии воз-
мущения, как из угловой точки 0 при обтекании угла (рис. 11.19). Различие
78
заключается в том, что при обтекании угла поток ограничен стенкой ОС,
а в косом срезе за точкой А имеется пространство, в котором происходит
расширение и поворот вытекающих струй. Этот процесс продолжается до
тех пор, пока вдоль характеристики не установится давление, равное про-
тиводавлению ру за соплом. При этом вместо твердой стенки ОС тупого угла
за косым срезом сопла образуется тупой угол DAE с жидкой границей AD
(рис. 11.18). Обычно этой границей служит соседняя струя, вытекающая
из смежного сопла. Указанные линии возмущения являются изобарами, что
упрощает создание приближенных методов расчета сопла (см. п. IV.8).
Отклонение струи газа или пара в косом срезе сопла с минимальным жи-
вым сечением (горлом) А-—С в одномерной постановке задачи можно оценить
с помощью уравнения неразрывности, примененного к сечениям А—С и В—D
(рис. 11.18). Предварительно заметим, что
при высоте сопла I живые сечения А—С
и В—D можно представить в виде площа-
дей соответственно
f = 1АВ sin «1 и f = 1АВ sin
где — средний угол наклона потока
в горле сопла; = aj + 6 — средний
угол наклона потока за соплом; б — угол
отклонения струи.
Из последних равенств имеем
Уравнение неразрывности для тех же
двух сечений запишется так:
G — f рс = fpyCy,
Рис. 11.20. Отклонение потока при
расширении за соплом
где G — массовый расход газа; рс и pxCj — плотности тока соответственно
в сечениях f и f.
Выразив площади через углы потока и использовав последнее уравне-
ние, получим
sina!^ рс-sinal. (11.121)
Pici
Из этой формулы следует, что угол отклонения струи 6 зависит от угла на-
клона сопла и отношения плотностей тока.
По мере падения давления за соплом характеристика поворачивается
вокруг точки А и, когда она займет положение АВ, дальнейшее расширение
в косом срезе станет невозможным. В этот момент скорость потока будет
направлена под углом = cq + 6 к характеристике АВ (рис. II.20),
причем
* . 1
«1 = arcsin ,
1 Л1* ’
где М относится к выходному сечению сопла. Угол щ вычисляется так,
чтобы одновременно удовлетворялись последняя формула и уравнение (II. 121),
в котором изменяется плотность тока PiCj. Выразив «1 через число М и
зная плотность тока рс в сечении перед косым срезом, найдем плотность
тока р1с1 для предельного положения характеристики АВ в косом срезе.
Эта задача просто решается с помощью газодинамических функций. Таким
образом, определяется предельный угол отклонения потока в косом срезе
* * '
О = С01 — CZp
79
Вычисленные по формуле (11.121) отклонения потока оказываются не-
сколько заниженными. Происходит это не только вследствие применения
метода расчета, основанного на одномерной теории, но также по причине
неполного учета влияния на поток стенки ВС косого среза.
Расширение потока за соплом. Если давление за соплом окажется ниже
предельного, до которого происходит отклонение потока в косом срезе, то
дальше поток расширяется вне косого среза. Расширение газа за пределами
косого среза сопровождается волновыми колебаниями. Изменение направ-
Рис. 11.21. Изменение ско-
рости газа при истечении из
сопла с косым срезом и при
расширении в зазоре
ления и величины скорости для такого течения
можно установить на основании закона количества
движения.
Выделим часть пространства высотой I (рис.
11.20), ограниченную контуром ABCD таким обра-
зом, что линия АВ совпадает с плоскостью среза
сопла при выходе, а линия CD находится на
достаточном для завершения процесса расстоянии
за соплом. Пусть в сечении А —-В газ имеет ско-
рость с*, давление р12 и угол отклонения струи 6*,
а в сечении С—D — скорость с1, давление и
угол отклонения 6. Запишем для выделенного
объема ABCD уравнения количеств движения
в проекциях на направление оси сопла и ей пер-
пендикулярное:
1-АВ (pi2 — pi) sin cti = G (щ cos б'— c*cos 6 );
I-AB (pi2 — pi) cos cti = G (ci sin 6 — c sin 6 )-
В этих уравнениях имеются две неизвестные величины сг и 6, которые
и находим из формул:
- s* , Г ctga' . .
sm 6* 4- * (р12 — Pi)
-------
COs6*+T^-* (Р12 —Pl)
С* COS б* + (р12 — Pj)
C1 COS 6
(11.122)
(11.123)
При значительном расширении газа вне сопла скорость сг существенно
отличается от величины скорости, получаемой при изоэнтропийном расши-
рении. Объясняется это большими потерями, с которыми сопряжено расши-
рение газа вне сопла, так как в этом случае значительная часть энергии за-
трачивается на волновые колебания.
В расчетах турбин большую роль играет составляющая скорости с1и —
проекция вектора Ci на направление окружной скорости (рис. II.20), со-
впадающее с направлением прямой, проведенной из точки А к точке В (ось и).
В случае расширения газа за соплом предполагается, что нет неуравнове-
шенных поверхностных сил, действующих на выделенный объем в направле-
нии окружной скорости. Так, например, эти силы отсутствуют в решетках
с шаговой периодичностью потока. Поэтому на основании теоремы количе-
ства движения можно написать
G (сш си) — 0 и С\ц = си,
где Сц — окружная составляющая скорости в конце расширения в косом
срезе.
Таким образом, при расширении газа вне сопла окружная составляющая
скорости остается неизменной. Картина изменения скорости газа при исте-
чении из сопла с косым срезом и дальнейшем расширении за ним показана
на рис. П.21.
80
Так как расширение в косом срезе до некоторого предела выгодно вслед-
ствие уменьшения поверхности трения, то при расчетном отношении выход-
ного сечения к наименьшему не более 1,1—1,2 целесообразно применять су-
живающиеся сопла, допуская расширение в косом срезе. Если это отношение
получается больше указанных цифр, то следует применять расширяющиеся
сопла, но выходное сечение выполнять приблизительно равным 0,8 от рас-
четного, допуская в этом случае расширение в косом срезе расширяющегося
сопла.
П.9. КИНЕМАТИКА ПОТОКА В ТУРБОМАШИНЕ
С кинематической точки зрения турбомашина представляет собой чрез-
вычайно простой механизм с одной степенью свободы. Кинематика же по-
тока в турбомашинах весьма разнообразна и оказывает решающее влияние
на их эффективность, размеры и конструкцию проточной части. Создавая
новые турбомашины, конструктор прежде всего решает задачу выбора наи-
более целесообразной кинематической схемы движения потока в турбомашине.
Поэтому перед тем, как приступить к изучению преобразования энергии
потока в механическую работу на валу турбины или обратного превращения
энергии в компрессоре, рассмотрим простейшие схемы турбомашин в свете
одномерной теории, не касаясь пока анализа динамического воздействия
между потоком и рабочим колесом. Предварительно условимся о выборе
характерных величин для решеток профилей.
Геометрические характеристики решеток профилей
При изучении рабочего процесса в осевых турбомашинах в одномерной
постановке задачи условно считают, что частицы жидкости движутся по
концентрическим поверхностям вращения. Такая схема потока в ряде слу-
чаев в первом приближении отражает действительную картину. Чтобы ис-
следовать поток в его наиболее простом виде,
рассмотрим большое число цилиндрических
сечений ступени турбомашины.
Для удобства исследования представим
сечение ступени цилиндрической поверхно-
стью развернутым на плоскость и продолжен-
ным до бесконечности. Полученный при этом
бесконечный ряд тождественных профилей
лопаток, установленных на одинаковом рас-
стоянии друг от друга, образует плоскую
решетку (рис. II.22). Расстояние t между
двумя сходственными точками смежных про-
филей в решетке называется шагом. Направ-
ление осей и и z решетки выберем совпадающим соответственно с направле-
ниями окружной скорости рабочих лопаток и осью турбомашины. Для
характеристики формы профиля лопаток введем некоторые понятия.
Средняя линия профиля представляет собой геометрическое место центров
окружностей, вписанных в профиль (рис. 11.23). Хорда профиля b опреде-
ляется как расстояние между концами средней линии профиля. В заводской
практике часто принимают за хорду проекцию профиля на общую касатель-
ную к двум точкам вогнутой его стороны. Если провести вторую линию, ка-
сательную к передней кромке и перпендикулярную к хорде, и принять эту
линию и хорду за оси координат, то они позволят удобно определить поло-
жение любой точки профиля.
Вогнутостью профиля f называется наибольшая ордината средней линии
профиля; ее положение определяется расстоянием е от входной кромки.
Толщина профиля s равна его размеру, перпендикулярному хорде. Харак-
теристики профиля дополняются указанием его наибольшей толщины и
положением вогнутости.
6 И. И. Кириллов 81
Рис. 11.23. Профиль лопатки:
1 — входная кромка; 2 — выходная кромка;
3 — средняя линия профиля
Обычно в расчетах пользуются относительными величинами, которые
представляют собой отношение указанных параметров к хорде профиля.
Таким образом, вводятся понятия об относительном шаге, относительной
толщине и относительной вогнутости профиля, а также об относительной
высоте лопатки.
При определении аэродинамических
свойств профиля важное значение имеют
характеристические касательные, про-
веденные в крайних точках к средней
линии профиля (рис. 11.23). Углы, обра-
зованные касательной к средней линии
у входной передней и выходной задней
кромок профиля с осью рабочей решет-
ки и, обозначим соответственно р1Л и |32л
(рис. 11.22). Эти обозначения углов ло-
патки отличаются от соответствующих
углов между направлением потока и осью решетки индексом л.
Угол 0 между характеристическими касательными (в точках 1 и 2 на
рис. 11.23) характеризует изогнутость профиля. Для турбинных профилей
Р 2Л Р1Л»
а для компрессорных профилей
Установка профиля в решетке определяется либо углом Р$ между
осью решетки и хордой, либо выходным углом профиля р2л.
Профили лопатки в различных
сечениях по ее высоте могут быть все
одинаковой формы и иметь один и
тот же угол установки, или они могут
изменяться как по форме, так и по
углу установки. В соответствии с эти-
ми признаками будем различать ло-
патки постоянного и переменного про-
филя. Если изменяется угол установки
профиля в зависимости от высоты
лопатки, то лопатку будем называть
закрученной.
Положение профиля лопатки отно-
сительно потока определяется углом,
образованным направлением движе-
ния потока вдали перед решеткой и
некоторой прямой линией, связанной
Рис. 11.24. Угол атаки
с профилем. В дальнейшем угол между
направлением входной скорости w2 и направлением касательной в передней
точке к средней линии профиля (передней касательной) будем называть
углом атаки. В тех случаях, когда под углом атаки будем подразумевать
угол между скоростью на бесконечности wx и хордой профиля, будем делать
особые оговорки. Угол атаки i = | Р1Л— Pi |, причем принимаем i > О,
если поток направлен к передней касательной со стороны вогнутой поверх-
ности, и i <Z 0 при направлении потока со стороны выпуклой поверхности
лопатки (рис. 11.24). При нулевом угле атаки направление потока совпадает
с передней характеристической касательной к профилю. Такое натекание
потока условно называют «безударным входом».
В дальнейшем изложении во всех случаях, когда не будет особых оговорок,
будем иметь в виду средние по шагу углы потока и параметры, определяющие
состояние рабочего тела перед решеткой профилей или за ней в рассматривае-
мом цилиндрическом слое.
82
В расчетах осевых турбомашин чаще всего будем предполагать, что сред-
няя по сечению скорость потока имеет лишь незначительную радиальную
составляющую, которая настолько мала, что соответствующей ей кинетиче-
ской энергией можно пренебречь как малой величиной по сравнению с кине-
тической энергией, преобразуемой в ступени турбомашины. Радиальные те-
чения в осевых турбомашинах будут рассмотрены особо.
Во всех дальнейших рассуждениях, если не будет особых оговорок, поток
будем предполагать осесимметричным, т. е. условимся считать, что скорости
потока в сечении, перпендикулярном оси, не изменяются вдоль окружности.
Вытекающие из этого противоречия при более глубоком анализе устраняются
введением массовых сил Лоренца (см. п. 1.11).
Осевые турбомашины
Осевые турбины. Схема проточной части осевой турбины показана на
рис. II. 1. Поток в осевой турбине движется в основном вдоль ее оси и вокруг
нее. В направляющем аппарате I происходит преобразование потенциальной
и внутренней энергии в кинетическую. Рабочее тело выходит из направляю-
щего аппарата с абсолютной скоростью сг. Для преобразования энергии этого
Рис. 11.25. Схема активной турбинной ступени: а — решетки про-
филей; б — треугольники скоростей
потока в работу на валу турбины служит рабочее колесо, на котором уста-
новлены рабочие лопатки II, Эти лопатки, находясь в потоке жидкости, дви-
жутся с окружной скоростью и. Вектор относительной скорости потока wr
перед рабочим колесом можно определить из входного треугольника скоростей
(рис. 11.25).
При выходе из рабочего колеса поток обладает относительной скоростью
w2. Построение выходного треугольника скоростей дает возможность опре-
делить вектор абсолютной скорости потока с2 за рабочим колесом.
На рис*. 11.25 после рабочего колеса показан второй направляющий ап-
парат, в который поступает поток, обладающий кинетической энергией, и
в котором происходят дальнейшие преобразования энергии. Говоря турбин-
ная ступень, мы будем подразумевать совокупность направляющего аппарата
и расположенного за ним рабочего колеса. Второй направляющий аппарат
6* 83
устанавливается за рабочим колесом в многоступенчатых турбинах для даль-
нейшего преобразования энергии и частичного использования кинетической
энергии потока, покидающего предшествующее рабочее колесо. Форма про-
филей лопаток второго направляющего аппарата выбирается в соответствии
с треугольником скоростей при выходе из рабочего колеса.
Направление векторов ct и с2 будем определять с помощью углов 04 и а2,
а направление векторов Wj и w2 — посредством углов Pj и р2. Все углы в тре-
угольниках скоростей условимся отсчитывать от оси, совпадающей по на-
правлению с вектором окружной скорости и (рис. II.25)1. Ось z направим по
течению жидкости и параллельно оси машины. Напомним, что сечение перед
турбиной всюду обозначено 0—0, сечение между направляющим аппаратом
и рабочим колесом 1—1 и сечение за рабочим колесом 2—2 (рис. II. 1). Пара-
метры потока, относящиеся к одному из указанных сечений, везде будем от-
мечать индексами, соответствующими номеру рассматриваемого сечения.
Турбинная ступень активного типа имеет (при движе-
нии идеальной жидкости) одинаковые по величине средние относительные
скорости потока перед рабочим колесом и за ним: = w2 (рис. II.25).
В рабочем колесе идеальной активной ступени не происходит преобра-
зования потенциальной и внутренней энергии жидкости в кинетическую,
а поток лишь изменяет свое направление. Вследствие изменения направле-
ния скорости жидкости, обтекающей рабочие лопатки, на последних возни-
кает сила, которая и создает вращающий момент.
Турбинная ступень реактивного типа (рис. II.26)
отличается от активной ступени тем, что жидкость, пройдя направляющий
аппарат /, поступает в венец рабочего колеса II при бэлее высоком давлении
в осевом зазоре между направляющими и рабочими лопатками, чем давление
за ступенью (рг > р2)- Вследствие разности давлений по обе стороны идеаль-
ного рабочего колеса в его лопаточном аппарате поток получает ускорение, и
величина относительной скорости жидкости при выходе из колеса ста-
новится больше скорости wT. При этом кинетическая энергия в относительном
движении возрастает на величину и.'!/2—щ?/2- Если допустить, что осевая
составляющая скорости потока сохраняется за рабочим колесом такой же,
как в осевом зазоре перед ним, то разность давлений — р2 вызывает от-
носительное ускорение потока только в направлении, обратном окружной
скорости и.
Известно, что, согласно третьему закону Ньютона, сосуд, из которого
вытекает струя жидкости, испытывает силу реакции в направлении, про-
тивоположном вектору ускорения вытекающей струи. Точно так же в ра-
бочем лопаточном аппарате реактивной ступени вследствие ускорения в нем
потока возникает сила реакции. Если поток в рабочем колесе получает уско-
рение в направлении, обратном вектору окружной скорости, то сила реакции
действует в сторону вращения колеса
Таким образом, в реактивной турбинной ступени вращающий момент
на рабочем колесе появляется как вследствие отклонения в нем жидкости,
вытекающей из направляющего аппарата, так и благодаря силе реакции,
возникающей под влиянием изменения величины относительной скорости
потока. Соотношение между этой силой реакции и силой, вызванной пово-
ротом потока в реактивной ступени, может быть весьма разнообразным в за-
висимости от формы профилей лопаток.
1 В литературе по турбинам указанные углы во входном и выходном треугол ьниках часто
отсчитывают от разных направлений оси и для того, чтобы все углы были острым и. При таком
методе отсчета требуются оговорки при определении знаков проекций скоростей на оси коор-
динат. Во всем дальнейшем изложении принят отсчет углов от положительного направления
оси и. От этого направления оси и будем измерять углы также для компрессор ных решеток.
Там, где окажется удобно вводить острые углы, будем обозначать Pj = 180° — Pi и Р2 =
= 180° — Ра (рис. 11.25).
S4
В схеме на рис. 11.26 векторы относительных скоростей Wj и w2 рас-
положены симметрично относительно оси z с векторами абсолютных скоро-
стей с2 и с2. В такой схеме профили направляющих лопаток представляют
собой зеркальное отображение профилей рабочих лопаток, и по этой причине
их называют симметричными.
В реактивной ступени распределение перепада энтальпии между направ-
ляющим аппаратом и рабочим колесом может быть различным. На рис. 11.26
представлена, как было указано, схема ступени, в которой теоретическая
работа, профили лопаток и окружная скорость выбраны так, что входной
Рис. 11.26. Схема реактивной турбинной ступени с симметричными
лопатками: а — решетки профилей; б — треугольники скоростей
и выходной треугольники получаются симметричными относительно оси z.
По мере увеличения перепада энтальпии в рабочем колесе, по сравнению со
всей располагаемой работой, скорость сг уменьшается, а скорость w2
увеличивается. Можно представить себе схему проточной части турбины,
в которой все преобразование внутренней и потенциальной энергии в кине-
тическую будет происходить в рабочем колесе, а в направляющем аппарате
поток будет совершать лишь поворот. Схема такой турбины и треугольники
скоростей изображены на рис. 11.27, а и в. В этой схеме форма профилей
направляющих и рабочих лопаток получилась приблизительно такая же,
как форма профилей соответственно рабочих и направляющих лопаток на
рис. 11.25.
Осевые компрессоры (насосы) (рис. II.1, б). Схема проточной части
осевого компрессора в принципе, как указывалось, аналогична обращенной
проточной части осевой турбины. Обращение следует понимать в том смысле,
что поток и скорость вращения изменяют свое направление так, что выходные
сечения межлопаточных каналов турбины становятся входными сечениями
компрессора, как схематично показано на рис. 11.28. Эти соображения от-
носятся только к схеме проточной части, состоящей из тонких дужек.
85
Представляя компрессор как обращенную турбину, следует иметь в виду
только качественную сторону преобразования энергии в лопаточном аппа-
рате. Было бы ошибочно предполагать, что вращение любого турбинного
колеса в обратном направлении приведет к созданию удовлетворительно дей-
ствующего компрессора. Обращая направление потока с целью получения
Рис. П.27. Схема осевых турбомашин со стопроцентной степенью реактивности: а — тубин-
ная ступень; б — компрессорная ступень; виг — треугольники скоростей
из турбины компрессора или наоборот, необходимо изменять и профили
лопаток, особенно их входные и выходные кромки, с тем чтобы профили были
хорошо обтекаемыми. Имеется также глубокое различие в физических явле-
ниях, протекающих в межлопаточных каналах турбины и компрессора, изу-
чению которых будут посвящены следующие главы. Именно эти причины
вызывают и существенное различие конструкции проточной части турбины и
компрессора.
В особых случаях может быть применено обращение насоса в турбину
в полном смысле этого слова, без каких-либо изменений профилей На прак-
86
тике находят применение гидромашины, специально сконструированные
так, что в зависимости от потребности они могут работать в турбинных или
насосных режимах. Такая турбомашина в часы максимальной нагрузки ра-
ботает как турбина, вращая генератор и подавая в сеть электрическую энер-
гию, а в часы спада нагрузки генератор, переключенный на моторный режим,
вращает турбомашину в обратном направлении и она, работая как насос,
создает напор и перекачивает воду с нижнего бьефа на верхний. Таким об-
разом аккумулируется энергия, которая затем используется в часы макси-
мальной нагрузки.
Поскольку турбинная ступень была рассмотрена выше как состоящая из
направляющего аппарата и установленного за ним рабочего колеса, то, имея
в виду обращение в указанном смысле, ступень компрессора следует пред-
ставлять в виде рабочего колеса с последовательно за ним расположенным
Рис. 11.28. Принципиальная схема преобразования турбинной ступени в ком-
прессорную: а — турбинная ступень; б — компрессорная ступень
направляющим аппаратом. Такое определение ступени удобно еще потому,
что проточная часть турбины обычно начинается с направляющего аппарата,
тогда как в проточной части некоторых типов компрессоров в качестве пер-
вого элемента может быть установлено рабочее колесо.
В качестве примера рассмотрим схему лопаточного аппарата осевого
компрессора (рис. 11.27, б), полученного путем обращения схемы турбины,
изображенной на той же фигуре. На этой схеме жидкость подводится со
скоростью ct к рабочему колесу, лопатки которого движутся с окружной
скоростью и. Относительную скорость Wj перед рабочим колесом найдем из
входного треугольника скоростей (рис. 11.27,а). Межлопаточные каналы ра-
бочего колеса постепенно расширяются по направлению к выходу, вследствие
чего движение жидкости в канале замедляется, и относительная величина
скорости в выходном сечении канала становится меньше, чем и1х. Раз-
9 9
, w,
ность кинетической энергии ----у, уменьшенная на величину потерь от
трения, преобразуется в рабочем колесе в потенциальную и внутреннюю
энергию. В направляющем аппарате рассматриваемого компрессора проис-
ходит лишь поворот потока, для того чтобы создать требуемое поле скоро-
стей перед рабочим колесом.
Как в турбине можно различным образом распределять перепады эн-
тальпий между направляющим аппаратом и рабочим колесом, так и в ком-
прессоре различные доли общего напора ступени могут быть созданы в ра-
бочем колесе и в направляющем аппарате. Так, например, в схеме ступени
на рис. 11.29 напор создается в равной мере как в рабочем колесе, так и в на-
правляющем аппарате и профили лопаток получаются «симметричными»
(как и для аналогичной турбинной ступени). Симметричными получаются
также треугольники скоростей.
87
Так же как в предшествующем примере, схему любой компрессорной сту-
пени можно представить в виде обращенной схемы турбинной ступени. Од-
нако компрессорные профили не могут быть так сильно изогнуты, как тур-
бинные. Это различие в профилях видно на рис. 11.26 и 11.29.
Рис. 11.29. Компрессорная ступень с симметричными лопатками:
а—схема ступени; б—треугольники скоростей
Радиальные турбомашины
Радиальные турбины (рис. II.30). В радиальной турбине поток в основном
движется в плоскостях, перпендикулярных оси машины, причем это движение
может быть направлено к центру или от центра. В зависимости от направле-
ния потока будем называть ступень центростремительной или центробежной.
В центростремительной турбине поток поступает в рабочее колесо на
периферии по окружности радиуса г1, а выходит из колеса по окружности
меньшего радиуса г2. На рабочем колесе расположены лопатки II (рис.
II.30, б), изменяющие величину скорости и направление движения потока.
Перед рабочим колесом установлен радиальный направляющий аппарат I.
В центробежной турбине, наоборот, при входе потока в рабочее колесо ра-
диус гг меньше, чем радиус г2 при выходе потока.
В радиальной ступени, так же как в осевой, теоретическая работа, пре-
образуемая в кинетическую энергию, может распределяться различным об-
разом между направляющим аппаратом и рабочим колесом.
Построение треугольников скоростей для радиальной турбины выпол-
няется так же, как для осевой, но для радиальной ступени необходимо при-
нимать во внимание различие окружных скоростей при входе в рабочее
колесо (tij) и при выходе из него (w2). В центробежной ступени и1 <6 и2,
что вносит принципиальное различие в работу этой ступени по сравнению
с центростремительной.
88
Радиальный компрессор (насос). Его можно представить как обращенную
радиальную турбину с теми же оговорками, которые были сделаны в отно-
шении осевых турбомашин.
В центробежном компрессоре обычно r2 ri и, следовательно, и2 и1.
За рабочим колесом поток имеет сравнительно большую скорость, и для
преобразования кинетической энергии во внутреннюю и потенциальную
применяется диффузорный направляющий аппарат.
Рис. 11.30. Радиальная тур-
бинная ступень: а—профили
лопаток; б — меридиональ-
ное сечение проточной части;
в — треугольники скоростей
Радиально-осевые турбомашины
Осевые и радиальные турбомашины резко различаются своими гидроме-
ханическими и конструктивными свойствами. Поэтому нашли широкое
применение турбины и компрессоры (насосы) промежуточного типа, в ко-
Рис. 11.31. Радиальные турбомашины: а — радиально-осевая центростремительная гидротур-
бина; б — радиально-осевой центробежный компрессор
торых жидкость движется как в осевом, так и в радиальном направлениях.
В некоторой мере такое движение наблюдается почти во всех турбомашинах,
и если их называют осевыми или радиальными, то исходят при этом из
преобладающего направления потока.
Диагональный компрессор представляет собой пример
турбомашины, в проточной части которой скорость имеет радиальную и осе-
вую составляющие одного порядка. На рис. 11.31 изображены радиально-
89
осевые турбомашины, представляющие центростремительную турбину и
центробежный компрессор. Турбомашины такого типа во многих случаях
могут>)бладать существенными конструктивными и компоновочными до-
стоинствами.
В этом' параграфе мы рассмотрели простейшие кинематические схемы
потока в турбомашинах. Путем изменения формы профилей и их положения
в лопаточном аппарате можно получить множество кинематических схем,
к изучению принципиальных особенностей которых мы неоднократно будем
возвращаться в дальнейшем изложении.
П.10. ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА
Выше был рассмотрен процесс преобразования в турбине потенциальной
и внутренней энергии рабочего тела в кинетическую и обратное преобразо-
вание энергии в компрессоре. Здесь мы изучим другую сторону преобразо-
вания энергии в турбомашинах — связь между изменением кинетической
энергии потока и механической работой на валу тур-
бомашины.
Сила. Действующая на лопатки сила может быть
определена из рассмотрения установившегося течения
жидкости в канале, ограниченном твердыми стенками
(рис. 11.32). Допустим, что движущийся объем в тече-
нии всего времени состоит из одних и тех же частиц
жидкости. Согласно теореме количеств движения [4],
главный вектор внешних сил R, приложенный к рас-
сматриваемому объему жидкости, равен векторной
производной по времени от количества движения
системы Q, т. е.
Рис. 11.32. К определе-
нию силы, действующей
на стенки канала
в положения а'—Ь'
его деформацией dV и
Для установившегося движения, которое в даль-
нейшем изложении будет играть главную роль,
изменение количества движения выделенной массы
жидкости за элемент времени dt происходит только
вследствие перемещения объема V из одного поло-
жения в другое. При этом сечения а—b и с—d за
промежуток времени dt перемещаются соответственно
। с'—d'. Это перемещение объема сопровождается
изменением количества движения на величину
dQ = j рс„ dt do с,
(О)
гдер — плотность жидкости; с — вектор скорости жидкости у поверхности do
выделенного объема; сп — проекция скорости с на направление внешней
нормали (п) к поверхности do.
Произвольно выбранную величину промежутка времени dt можно вы-
нести за знак интеграла, после чего получим
-^= J Р1СЫ^-С1+ J piij„do-c2, (II.124)
(<П) (а2)
где индексы 1 относятся к сечению а—Ь, а индексы 2 — к сечению с—d.
Интегралы (II.124) для установившегося движения обладают особым
физическим смыслом. Действительно, произведение pcndo соответствует
массе жидкости, протекающей через элемент рассматриваемой контрольной
поверхности в единицу времени. Если вообразить контрольную поверхность
90
неподвижной, интеграл J pcncdo станет равным количеству движения, про-
(о)
пикающему сквозь контрольную поверхность в единицу времени, или раз-
ности между количеством движения жидкости, вытекающей из выделенного
объема и втекающей в него в единицу времени.
С другой стороны, этот интеграл, согласно теореме количества движения,
равен главному вектору внешних сил R, приложенных к жидкости, огра-
ниченной контрольной поверхностью, т. е.
R = J РЛЛ1 do + J Р2С2П<-2^О,
(СТ,) (Оз)
где pcndo — элементарный расход жидкости dG.
Последнее толкование теоремы количеств движения жидкости, при-
надлежащее Эйлеру, позволяет весьма просто определять силы, действующие
Рис. 11.33. К определению сил, действующих на лопатки
на какой-либо объем жидкости или на тело, помещенное в установившийся
поток жидкости. Удачный выбор для этой цели контрольной поверхности
имеет большое значение для упрощения решений таких задач.
Воспользуемся теоремой количества движения для определения сил, дей-
ствующих на лопатку, помещенную в решетку, находящуюся в плоскопа-
раллельном установившемся потоке жидкости и имеющей шаг t (рис. 11.33).
На чертеже изображены в потоке жидкости рабочие, т. е. подвижные лопатки
турбины. Изложенное ниже относится в равной мере к неподвижным направ-
• ляющим лопаткам при соответствующем изменении индексов у скоростей.
Длину лопаток будем считать равной единице. Неподвижную контрольную
поверхность ограничим параллельными оси и решетки плоскостями ab и cd
вдали перед решеткой и за нею так, чтобы в этих сечениях можно было пре-
небрегать влиянием решетки на неравномерность потока и считать скорости ст
и с2 постоянными вдоль шага по величине и направлению. Поверхности ас и bd
выберем вдоль линий тока, проходящих на расстоянии шага. Согласно
представлению о линиях тока, жидкость сквозь эти поверхности не проникает,
и из формулы (11.124) имеем
где G — массовый расход жидкости, отнесенный к шагу и к единице длины
лопатки.
91
Отсюда следует, что вектор внешних сил, приложенных к выделенному
объему жидкости, можно выразить через расход и скорости
Ri = G (с2 сх).
Если через Рх обозначить вектор силы х, действующей на лопатку единич-
ной длины, то поверхность лопатки оказывает на жидкость давление в про-
тивоположном направлении, т. е. на выделенный объем жидкости действует
сила —Рх. Кроме того, на этот объем жидкости действуют нормальные силы
давления. Из них эффективными являются только силы давления на плоско-
сти ab и cd, так как нормальные силы на поверхности тока взаимно уравно-
вешиваются.
Рассмотрим также силы от тангенциальных напряжений по всей кон-
трольной поверхности. В плоскостях, перпендикулярных оси z, допущение
о равномерном потоке снимает вместе с тем и вопрос о касательных напряже-
ниях. Вдоль же поверхностей тока ас и bd, поскольку они находятся на рас-
стоянии шага, касательные напряжения в соответствующих точках равны
и направлены в прямо противоположные стороны как приложенные с раз-
личных сторон конгруентных поверхностей. Поэтому касательные напря-
жения должны учитываться только на профиле. Эти напряжения входят
в состав силы —Рх, определяемой из уравнения
Ri = (Л — Рг) — Pi,
где /?х и р2— дав ления жидкости в сечениях а — b и с—-d, предполагаемые по-
стоянными; i — единичный вектор, направленный вдоль оси решетки z,
перпендикулярной к плоскостям а—b и c—d.
Приравняв правые части двух последних уравнений, полученных для
вектора Rx, найдем
Pi = (Pi — Рг) $ + G (Ci — с2).
(11.125)
Так как проекция геометрической суммы векторов на какое-либо направ-
ление равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на то же
направление, то легко найти выражения для окружной (вдоль оси и) и осевой
(вдоль оси z) составляющих силы, возникающей на лопатке:
Рщ — @ (,ciu с2«);
Pu = G (сх — с2г) 4- (рх — p^t.
(11.126)
(П.127)
В частном случае применительно к указанному на рис. 11.33 направлению
набегающего на решетку потока для турбинной решетки с1и > 0; с2и < О
и Р 1и > 0, т. е. на лопатку действует сила, направленная в сторону вращения.
Для компрессорной решетки сГи < 0; с.2и > 0 и Р 1и < 0, т. е. на лопатку
действует сила, направленная в сторону, противоположную вращению.
Знаки проекций скоростей определяются углами ах и а2.
Зная проекции скоростей, с помощью формул (11.126) и (11.127) можно
определить силу, действующую на лопатку, как по величине, так и по на-
правлению.
В круговой осевой решетке на участках, одинаковых по длине, но рас-
положенных на различном расстоянии от оси вращения, могут возникать
различные силы, так как поля скоростей перед решеткой и за ней меняются
в зависимости от радиуса. В таком случае, разбив лопатку на ряд участков
по ее длине, для каждого из них определим, как указано, искомую силу,
после чего суммированием найдем результирующую силу, приложенную
ко всей лопатке под влиянием потока жидкости.
1 Эту силу по аналогии с силой, действующей на крыло самолета, часто называют подъем-
ной силой, хотя этот термин мало подходит к рабочему процессу в турбомашине.
92
Зная силу на каждом участке лопатки, можно вычислить вращающий
момент. Имея в виду исключительную важность вопроса, дадим непосред-
ственный вывод формул для определения момента.
Вращающий момент. Определим вращающий момент применительно
к подвижной (рабочее колесо) или неподвижной (направляющий аппарат),
круговой решетке, находящейся в потоке жидкости. Воспользуемся теоремой
о главном моменте количества движения системы материальных точек [4]:
производная по времени от главного момента количеств движения системы
относительно оси неизменного направления равна главному моменту внешних
сил относительно этой оси, т. е.
где Кг проекция на ось z главного вектора момента количества движения;
Mz — момент внешних сил относительно оси г, действующий на выделенный
.объем жидкости.
Момент количеств движения относительно оси вращения г для каждого
элемента жидкости равен произведению ее массы на составляющую скорости
сги, перпендикулярную оси, и на расстояние а этой проекции скорости от
оси (рис. 11.34, г), т. е.
dKz = cruadm — cmr cos у dm = rcu dm.
Для решения поставленной задачи рассмотрим кольцевые решетки про-
филей (рис. 11.34, б), оси которых z совпадают с осями вращения турбомашин.
Вообще говоря, поток подходит к решетке и выходит из нее на различных
радиусах, причем на входном и выходном участках течение может иметь любое
направление. На рис. 11.34, а и б в качестве примеров показаны коническое,
радиальное и радиально-осевое течения. Сначала будем иметь в виду первую
из этих схем (рис. 11.34, а). Контрольная поверхность охватывает элемен-
тарный объем, ограниченный кольцевой поверхностью abdc. Масса жидкости
поступает в выделенный объем через элементарное кольцо ab на радиусе
и выходит из него через кольцо cd на радиусе г2. В качестве криволинейных
поверхностей ас и bd выберем поверхности тока, через которые, согласно
определению, жидкость не проникает. Допустим, что между сечениями а—b
и с—d и рабочим колесом на выделенный объем жидкости не действуют какие-
либо внешние силы, кроме нормальных сил давления на поверхности тока,
которые не производят работы. Нормальные силы давления на кольцевые
поверхности ab и cd, параллельные оси г, также не могут создавать момента
вращения. Момент веса жидкости относительно оси вращения равен нулю.
Что касается момента сил от тангенциальных напряжений на контроль-
ную поверхность, то о нем можно повторить уже сказанное о тангенциальных
силах при рассмотрении плоской решетки. В данной задаче принципиально
новыми являются поверхности тока ас и bd, на которых касательные напря-
жения могут быть различными. Рассматривая отдельные слои, в принципе
эти напряжения следует учитывать. Но на границах соседних слоев они
равны и направлены в противоположные стороны, поэтому при суммировании
по всем слоям моменты от этих касательных сил сокращаются, но сохра-
няются моменты от сил трения на границах проточной части у статора и
ротора. Последними, как правило, пренебрегают, хотя они могут играть
некоторую роль.
В рассматриваемой схеме для принятых допущений момент Л7Иг, дей-
ствующий на элементарный объем, получается только в результате реакции
со стороны поверхностей лопаток и равняется вращающему моменту Л/И,
взятому с обратным знаком.
Допустим, что на некотором расстоянии от кольцевой решетки поля ско-
ростей и давлений равномерны по окружностям, а это означает, что на ра-
диусе гг перед решеткой проекция скорости с1и = const и плотность рх =
— const, а на радиусе г2 за решеткой с2и ~ const и р2 = const.
93
Рассматривая перемещение одних и тех же частиц выделенного объема
из положения abdc в положение a'b'd'c' точно так же, как было сделано
для канала, найдем следующие изменения момента количеств движения
за время dt’.
для входного сечения
dKu = PiCi„ ЛДах - Ж;
для выходного сечения
dK2z — р2^2/г 2^211,
где с1п и с2га — проекции скоростей сг и с2 на направления внешних нормалей
к поверхностям и Ао2; с1и и с2и — проекции скоростей на касательные
Рис. 11.34. К определению вращающего момента, действующего на кольцевую
решетку
к окружностям, осредненные вдоль этих окружностей; AcTj и Ао2 — коль-
цевые участки ab и cd контрольной поверхности, на каждом из которых ско-
рости можно считать неизменными. Индексы 1 и 2 относятся соответственно
к сечениям а—b и с—d.
Для рассматриваемой контрольной поверхности массовый расход жидко-
сти сквозь кольцевые поверхности ab и cd при установившемся движении
одинаков и равен
АО = — РгСгпЛс^ = р2С2гаАог2.
Поэтому суммарное изменение момента количества движения относительно
оси z можно выразить через расход и моменты скоростей
dl\2 — dKi2 -]— dK.2, = dt^G (г2f2u г 1Сщ),
94
а так как для выделенного контрольной поверхностью объема
_^_ = ДМг = — ДЛ1,
dt
то
ЛМ = AG (Г1с1и - r2c2„). (II. 128)
Это уравнение носит название турбинного уравнения Эйлера.
В частном случае для круговой решетки, ограниченной цилиндрическими
поверхностями, имеем гг = г2 = г, а тогда последней формуле можно при-
дать более простой вид
ДЛ4 = гД G (с1и — с2ч) (11.129)
Для этого частного случая
щ = wx + u; с2 = w2 ф- и.
Спроектировав векторы на ось и, получим
С1И = W 1и Г C2U = U.
Отсюда следует равенство
—^2« = с1и —с2и. (11.130)
Поэтому в формулы (11.126) и (11.129) можно вводить как разность проек-
ций абсолютных, так и разность проекций относительных скоростей. Этот
вывод справедлив только в случае = и2.
Во второй схеме (рис. 11.34 б) поток радиально подводится к кольцевой
решетке и отводится от нее. При достаточно равномерном поле скоростей
и давлений перед решеткой и за ней всю проточную часть кольцевой решетки
можно охватить контрольной поверхностью (цилиндрическими сечениями),
показанными на чертеже штрнхпунктирными линиями, и плоскостями,
перпендикулярными оси машины. В этом случае для вращающего момента
непосредственно получается формула 1
М = G ('-1с1ы — г2с2ц), 1(11.131)
где G — полный массовый расход жидкости решеткой.
Участки ab и cd (рис. П.34, а) контрольной поверхности могут оказаться
на других радиусах, чем линии пересечения этой поверхности соответственно
с входными и выходными кромками лопаток решетки. Это обстоятельство
не оказывает влияния на величину вращающего момента, и выведенные
формулы сохраняют силу, если на участках между сечениями а—Ь и с—d и
решеткой главный момент внешних сил, действующих на жидкость, равен
нулю. В последнем случае на рассматриваемых участках главный момент
количеств движения системы относительно оси вращения сохраняет вдоль
поверхностей тока постоянное значение, а это значит, что при установившемся
движении на указанных участках рассматриваемого объема rcu = const.
Последнее уравнение справедливо также для радиальной решетки, если
перед ней и за ней на поток не действуют внешние силы, способные создать
момент относительно оси вращения (рис. II. 34, в).
Формула Эйлера пригодна для любой турбомашины. Для турбинной
ступени разность г^,, — г2с2и > 0, т. е. вращающий момент получается
положительным, а для ступени осевого или центробежного компрессора
г1ст — >'2c2u <0 и вращающий момент становится отрицательным.
Мощность, развиваемая или потребляемая рабочим колесом турбома-
шины и отнесенная к слою небольшой толщины, определяется по формуле
1 В литературе часто турбинное уравнение Эйлера записывается с двойным знаком, а
именно: М = G ± г2с2и). Такую форму записи нельзя признать удачной, так как при
этом с2и теряет смысл проекции вектора на оси и.
95
AN = co AM, где co — угловая скорость вращения ротора. Приняв во вни-
мание, что гео = и, можно написать для участка ступени турбомашины
AN = AG (и^1и — uzc2li). (11.132)
Удельная работа. Работа одного килограмма массы газа, протекающего
через контрольную поверхность, равна
или
щр%и. (П.133)
Здесь и в дальнейшем hu обозначает удельную работу, вычисляемую непо-
средственно по формуле Эйлера. Уравнения Эйлера доказывают, что удель-
ная работа зависит только от окружных скоростей и проекций абсолютных
скоростей потока на направление вращения. Удельная работа не зависит
явно от формы канала, но его форма может оказывать сильное влияние на
величину проекций скоростей и на к. п. д. турбомашины. Аналогично вра-
щающему моменту величина hu для турбинных ступеней будет получаться
положительной, а для компрессорных ступеней — отрицательной.
При использовании формулы Эйлера необходимо знать скорости перед
решеткой и за нею как по величине, так и по направлению. Для турбомашин,
в которых лопатки устанавливаются с малым относительным шагом, векторы
скоростей ct и са можно приблизительно построить, считая, что скорости
при выходе из направляющего аппарата Cj и из рабочего колеса w, направ-
лены по касательным к средним линиям профиля у выходных кромок. Этот
и аналогичные приемы в сочетании с различными поправочными коэффи-
циентами характерны для одномерной (струйной) теории, развитой еще Эйле-
ром. При малой густоте решеток такой прием недопустим, так как углы
выхода потока могут значительно отличаться от геометрических углов ло-
паток.
За решеткой поле скоростей неравномерно. В некоторых турбомашинах
эта неравномерность получается значительной, например при очень болыйих
углах поворота потока в решетках. В таких случаях перед рабочим колесом
и за ним надо определить среднюю величину количества движения с учетом
изменения расхода по сечению. Например, для плоской решетки единичной
высоты среднюю по шагу величину количества движения Gcltl за направля-
ющим аппаратом, отнесенную к единице площади, можно вычислить по фор-
муле
где Сщ, с1н — переменные величины осевой и окружной составляющих ско-
рости; и0 — координата, от которой ведется отсчет вдоль оси решетки.
Вычисление легко выполнить путем деления шага на несколько участков,
на протяжении которых поле скоростей можно рассматривать приблизи-
тельно равномерным.
Выведенных формул достаточно для вычисления мощности, отдаваемой
рабочим колесом или затрачиваемой на его вращение. С целью лучшего
уяснения физической сущности процессов, протекающих в проточной части
турбомашины, сделаем некоторые преобразования полученных формул.
Другой вид турбинного уравнения Эйлера удобно использовать для изуче-
ния изменений кинетической энергии рабочего тела проточной части турбо-
машины. Из треугольников скоростей и теоремы косинусов следует:
= Ci ' ^-'1> — С<2 Ч- И'2. —~ Щи
96
Подставив значения игс1а и и2с2и из последних уравнений в выражение
(II. 133), придадим формуле Эйлера следующий вид:
11.134)
Рис. 11.35. Треугольники скоростей
для центростремительного колеса
Первый член в правой части уравнения (11.134) представляет собой ту
энергию, которую в турбинной ступени жидкость сообщает рабочему колесу,
а в компрессорной — рабочее колесо отдает жидкости вследствие изменения
только абсолютной скорости потока.
В некоторых случаях энергия, характеризуемая первым членом уравне-
ния (11.134), имеет простой физический смысл. Например, если в турбома-
шине поток организован так, что = w2 и иг -= и2 (рис. 11.25), то в урав-
нении (11.134) останется только первый член и обмен энергией между жидко-
стью и рабочими лопатками будет происходить лишь за счет поворота по-
тока в рабочем колесе («активный» принцип
'работы). В такой турбине кинетическая энер-
гия жидкости возрастает только в направ-
ляющем аппарате.
Второй член в правой части уравнения
(11.134) соответствует той энергии, которую
в турбине жидкость отдает рабочему колесу,
а в компрессоре рабочие лопатки сообщают
жидкости за счет изменения только относи-
тельных скоростей потока.
Физическую сущность, отображаемую
этим членом, можно уяснить, если предста-
вить себе турбомашину, в которой создается поле скоростей с± = с2
и их = и2 (рис. 11.27). В такой турбомашине обмен энергией между потоком
и рабочими лопатками возникал бы только в результате ускорения потока
в рабочем колесе. Но и в этом случае механизм возникновения момента на
валу турбины связан с поворотом потока при его относительном движении
в рабочем колесе. Поэтому в рассматриваемой схеме момент на валу турбины
создается как посредством реакции вытекающего из рабочего колеса потока
(подобно реакции от вытекающей струи), так и под влиянием поворота по-
тока в рабочем лопаточном аппарате. Другими словами, даже в том слу-
чае, когда в направляющем аппарате нет изменения величины скорости,
реактивный принцип работы сочетается с активным.
Третий член в правой части уравнения (11.134) выражает эффект от изме-
нения кинетической энергии в рабочем колесе вследствие различия радиу-
сов гг и г2- Для того чтобы в турбине эта часть энергии жидкости повышала
мощность рабочего колеса, поток должен двигаться по направлению к оси
турбины, чему соответствует и2. Если движение потока в турбине
происходит в обратном направлении, т. е. и2 > и ь то на увеличение пере-
носной скорости потока будет затрачиваться энергия.
Для того чтобы в компрессоре под влиянием центробежного эффекта
происходило повышение давления и, следовательно, увеличивалась мощ-
ность, подводимая к рабочему колесу, поток должен двигаться от оси машины
к периферии, т. е. должно быть и2 > иъ что и выполняется в центробежном
компрессоре (рис. 11.31). Если бы движение потока в компрессоре происхо-
дило в обратном направлении, т. е. иг > &2, то давление в нем снижалось бы
под влиянием изменения переносной скорости.
Физическая сущность этих явлений состоит в том, что масса жидкости,
заключенная во вращающееся колесо, при переносе ее от центра к периферии
требует затраты работы на увеличение внутренней и кинетической энергии,
а при переносе этой массы от периферии к центру работа отдается колесу,
так как при этом снижается внутренняя и кинетическая энергия жидкости.
7 И. И. Кириллов 97
Различие радиусов гг и г2 сказывается не только в явном виде на вели-
чине третьего члена, но также и на других членах уравнения (11.134). В этом
легко убедиться на примере турбомашины, рабочее колесо которой выпол-
нено с радиально расположенными лопатками (рис. 11.35). Для такой турбо-
машины треугольники скоростей на входе в рабочее колесо и на выходе
из него получаются прямоугольными, поэтому: с1и = и±\ с2и = tz2; ha =
2 2
= U-[ — U2-
Таким образом, энергия, сообщаемая газом рабочему колесу или отда-
ваемая ему вследствие относительного смещения входного и выходного сече-
нии вдоль радиуса, в два раза превосходит кинетическую энергию——>
соответствующую последнему члену в уравнении (11.134). Это заключение
имеет общее значение для всех типов радиальных турбомашин.
Изучение формулы (11.134) приводит к выводу, что одинаковую удель-
ную работу hu на валу турбомашины можно получить, ускоряя (или замед-
ляя) поток только в направляющем аппарате, или только в рабочем колесе,
или одновременно во всем лопаточном аппарате. Значительная часть энер-
гии может быть преобразована также за счет изменения окружной скорости
при входе потока в рабочее колесо и выходе из него. Таким образом, для
решения одной и той же задачи — получения необходимой мощности —
могут быть применены весьма разнообразные кинематические схемы и соот-
ветствующие им конструкции турбомашин.
Выводы этого параграфа основаны на теоремах количеств движения,
согласно которым внутренние силы не могут влиять на изменение количества
движения системы. Поэтому формулы Эйлера позволяют решать задачи,
не вникая в физическую сущность процессов, протекающих в межлопаточ-
ных каналах, а сообразуясь лишь с полями скоростей перед решеткой и за
нею. Эти формулы справедливы для несжимаемой и сжимаемой жидкости,
а также для обтекания профилей вязкой жидкостью с трением.
11.11. ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО
Сила, действующая на лопатку, исследованная в предыдущем параграфе,
для идеальной жидкости может быть представлена в таком же виде, как
подъемная сила изолированного крыла. Рассмотрим одинаковый по высоте
слой жидкости, обтекающей плоскую рабочую решетку профилей в относи-
тельном движении (рис. 11.36).
Согласно теореме Бернулли, для идеальной несжимаемой жидкости можно
написать
, PW1 , Pw2
Pi I- 2 — P2 2 ’
а так как
w2 = w2u + w2z,
TO
Pl - p2 = 4 - T + w^-
Из условия неразрывности имеем
= W2z = w2,
а поэтому
ft —р2 = -|-К«—(11.135)
Массовый расход жидкости, отнесенный к единице длины лопатки и
шагу, выразим формулой G = ptwz и обозначим
T'i = t(wlu — w2u).
98
Величина Г! представляет собой циркуляцию скорости вокруг профиля.
Циркуляцию принято вычислять при обходе по контуру так, чтобы профиль
оставался слева. При таком обходе для рассматриваемой решетки циркуля-
ция скорости получается положительной.
Wj Wz
Рис. 11.36. К теореме Жуковского
Уравнения (11.126) и (11.127) для проекций силы Рх, действующей на
лопатку, с использованием выражения (11.135) можно записать в следующей
форме:
= (П.136)
= —Г1Р + . (11.137)
Введем в формулы средневекторную скорость
W
(wr+ w2).
Проекциями этого вектора на оси и и z будут:
си
wcz==wz.
Приняв во внимание последние выражения, можно записать уравнения
(II. 136) и (II. 137) таким образом:
Piu = Г1Р^2; Лг = — ГЛ. (11.138)
Из последних двух уравнений следует, что
WcuPlu + = 0.
Это уравнение выражает условие перпендикулярности двух векторов, т. е.
вектор силы Pj перпендикулярен вектору скорости w€. Взяв сумму квадра-
тов проекций силы Ръ легко выразить величину этого вектора через вели-
чину вектора wc
Р. - (11.139)
Сила Р! направлена так, что при Г i > 0 проекции скорости wcu и силы Р1г
имеют противоположные знаки, согласно уравнению (11.138), т. е. направ-
лению силы Рг укажет вектор wc, если его повернуть на 90е против циркуля-
ции скорости (рис. 11.36).
7* 99
Далее, следуя приему Прандтля, мысленно будем увеличивать шаг t,
сохраняя в то же время величину циркуляции Гх = t (wru — w2u). При
этом разность скоростей — w2u уменьшается, и в пределе при » оо
эта разность стремится к нулю. Бесконечно большой шаг означает, что в по-
токе остается изолированная лопатка. Поскольку под векторами w, и w2
подразумеваются скорости вдали перед решеткой и на большом расстоянии
за ней (теоретически на бесконечности), то обращение в нуль разности о>Хи —
— ги2и указывает на то, что скорость потока wc вдали перед изолированным
профилем и за ним не меняет своего направления в отличие от решетки, кото-
рая изменяет направление потока.
Таким образом, подъемная сила, действующая на единицу длины изоли-
рованного профиля, вычисляется по той же формуле (II. 139), что и для
решетки, но под скоростью wc в этой формуле следует понимать величину
скорости потока на бесконечности wm или величину скорости движения
профиля, если он перемещается в неподвижной жидкости.
Последнее уравнение соответствует теореме Жуковского, относящейся
к изолированному профилю любой формы, плавно обтекаемому потенциаль-
ным потоком идеальной жидкости. Согласно этой теореме, сила действия
потока на тело имеет лишь поперечную потоку составляющую, вычисляемую
по формуле (11.139). Подъемная сила Рх перпендикулярна скорости wro,
и направление ее получается путем поворота вектора скорости wm па 90е
в направлении, обратном циркуляции.
Через циркуляцию скорости легко также выразить вращающий момент
и мощность турбомашины. Действительно, воспользуемся формулой (11.132)
для лопаток единичной длины и предположим, что иг = и2 = и. Заметим,
что массовый расход газа, отнесенный к кольцевой решетке единичной
высоты, G = kptwz, где k — число лопаток. Кроме того, для турбины, как
было указано, циркуляция скорости Гх = t (wlu — а для компрессора
аналогичным образом получим Гх = t — кух„). Тогда мощность, раз-
виваемая или поглощаемая рабочим колесом турбомашины, может быть
выражена уравнением
Nj. = /грГДЩеН. (II. 140)
Из уравнения сплошности следует, что
где G — массовый расход газа, отнесенный к круговой решетке единичной
высоты; v — удельный объем жидкости.
Поэтому уравнение (11.140) можно представить в таком виде
Таким образом легко выполняется переход от формулы Эйлера к фор-
муле Жуковского. Последняя не вносит каких-либо принципиальных изме-
нений в методы расчета турбомашин. Поэтому в дальнейшем изложении
мы будем преимущественно пользоваться формулами Эйлера.
11.12. СОСТАВЛЯЮЩИЕ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА РОТОР
И СТАТОР
Турбинное уравнение Эйлера определяет в основном суммарный силовой
эффект воздействия потока на рабочее колесо. Но это уравнение позволяет
установить и некоторые детали формирования вращающего момента в тур-
бинном колесе. Рассмотрим в одномерной постановке задачи работу сил
в рабочем колесе осевой турбины в абсолютном и относительном движениях.
Силовое взаимодействие потока с рабочим колесом. Пусть элемент жид-
кости (газа), масса которого 6m, движется в турбинном рабочем колесе, не
.100
покидая цилиндрической поверхности и занимая ряд последовательных
положений (рис. 11.37, а). Из одного положения в другое эта масса переходит
за время А/, и векторы осредненных по сечению относительных скоростей w lt
w', w", . . . получаются в результате суммирования с векторами Awn Aw',
Aw", . . . (рис. 11.37, б). Эти изменения вектора относительной скорости
связаны с возникновением элементарных сил, действующих на жидкость
в направлении векторов Awъ Aw', Aw", ... и равных соответственно:
_ бтАю,
“ А/
GAwx;
— AP' = GAw'; —P' = GAw",...
где G = ----секундный массовый расход.
В рассматриваемой задаче проекции на ось и
относительных скоростей Awlu, Ащи, Awu,. . .
для осевой ступени в точности равны проекциям
Рис. 11.37. Силы, действующие на рабочую лопатку: а — схема движения жидкости
в межлопаточном канале; б — многоугольник сил; в — разложение поверхностной
силы на составляющие
абсолютных скоростей соответственно Ас1и, Ас„, Ас„, . . . Окружные состав-
ляющие действующих на лопатки сил АР^, Ь-Ри, &Ри, ... в переносном
движении совершают работу, передаваемую на вал турбины.
Силы, вычисленные, согласно закону количества движения, передаются
на элементы рабочих лопаток благодаря возникновению разности давлений
на их вогнутые и выпуклые поверхности и касательных сил трения.
Если трением пренебречь, то силы APi, АР', АР", . . ., приложенные
к элементам лопаток, направлены по нормалям к их поверхностям. Поэтому
при движении идеальной жидкости в рабочем канале по траекториям, каса-
тельным к его поверхностям, действующие на поток силы не совершают
работы, которая в относительном движении могла бы изменить полную
энергию потока. В относительном движении идеального газа могут изме-
няться внутренняя потенциальная и кинетическая энергия в зависимости
от формы канала, но полная энтальпия i* [см. уравнение (1.58)] должна
сохраняться постоянной и равной ее значению при входе в рабочий канал.
Если рассматривать поток в неподвижном пространстве, то силы —АРЪ
—АР', —АР", . . ., действующие на поток со стороны лопаток, оказы-
ваются направленными под некоторым углом к траекториям его частиц.
Эти силы сопротивления совершают работу, и происходит равное ей по вели-
чине изменение полной энтальпии потока.
Таким образом, по мере поворота потока в рабочих каналах турбины
постепенно уменьшается его полная энергия в абсолютном движении
101
и происходит соответствующее изменение энтальпии газа. В относительном
движении внутренняя и потенциальная энергия потока в рабочем колесе меня-
ются так же, как и в абсолютном движении, а так как в относительном дви-
жении идеальная жидкость не совершает работы, то указанному изменению
энтальпии рабочего тела соответствует эквивалентное изменение кинетиче-
ской энергии в относительном и переносном движении. Изменение кинетиче-
2 2 2 2
Wj Wj *— Wq
ской энергии на протяжении всего канала равно величине—-------|---к—
В чисто осевой ступени (и1 = и2) движение жидкости в рабочем колесе
без внешнего теплообмена можно рассматривать в относительных координа-
« . . W2
тах при постоянном значении полной энтальпии tw = t + где t —
Рис. 11.38. Силы трения в абсолютном и относительном
движениях: а — общий случай; б — скорость ш* перпен-
дикулярна оси и
энтальпия газа в потоке.
Силы трения. Трение
жидкости о стенки лопаток
вызывает силы, направлен-
ные по касательной к траек-
тории в относительном дви-
жении. Эти силы совер-
шают работу.
В абсолютном движении
силы трения направлены
под углом к траектории.
Проекция сил трения на
касательную к траектории
представляет ту силу, кото-
рая совершает работу тре-
ния в абсолютном движе-
нии жидкости, вызывая
уменьшение кинетической энергии потока. Заменим условно поверхност-
ные силы трения однородным полем сил, приложенных к жидкости, и
обозначим суммарную силу трения, отнесенную к элементу жидкости и
направленную по касательной к траектории, через Fc для абсолютного
движения и через Fw — для относительного. Работу трения в единицу
времени в относительном движении можно представить в виде произведения
Fww, а в абсолютном движении — как Fcc. Силы трения в относительном
и абсолютном движениях входят в состав треугольника сил (рис. 11.38, а),
в котором направление векторов сил Fc и противоположны направле-
ниям векторов скоростей соответственно с и w.
Сила Fny направлена под углом к оси г, поэтому в переносном движе-
нии она совершает в единицу времени работу hFli. Обозначим через k мас-
штаб для перехода от скорости w в треугольнике скоростей к силе Fw в тре-
угольнике сил, так что Fw = kw. При этом работа трения в единицу вре-
мени в переносном движении, пропорциональная проекции силы Fw на
ось ц, будет
hFu = Fwuu = kwuii. (IL 142)
Работа трения в абсолютном движении должна быть меньше работы тре-
ния в относительном движении на величину работы этих сил в переносном
движении hFll. Последняя может быть положительной или отрицательной
в зависимости от знака проекции скорости wu. Поэтому работы трения в абсо-
лютном и относительном движениях связаны между собой уравнением
cF, = wFw — hFu.
Подставив в это уравнение вместо hFu выражение (11.142) и заметив, что
102
— иыи = -1
(с2 — W2 — и2),
получим
„ „ w2 — uw„ r. c2 4- to2 — u2
F, — Fw------ = г w —Lf)----
c w cw Zcw
С другой стороны, из треугольника скоростей имеем
Следовательно,
Fc = Fw cos (р — а),
т. е. сила Fc равна проекции силы Fw на направление вектора абсолютной
скорости с. При этом треугольник сил получился прямоугольным. Это объяс-
няется тем, что по существу мы разложили вектор на две его составля-
ющие, одна из которых — сила Fe — направлена по касательной к абсолют-
ной траектории, причем только она совершает работу, а вторая составля-
ющая — сила X, не совершающая работы, естественно, должна быть направ-
лена по нормали к траектории.
В частном случае, если скорость w = w* перпендикулярна оси и, из
подобия треугольников сил и скоростей (рис. 11.38, б) следует
Fcc = Fww*,
т. е. работы сил трения в абсолютном и относительном движениях равны.
Работа сил трения а относительном движении вызывает эквивалентное
изменение кинетической энергии ш2/2, а в абсолютном движении — энер-
гии с2/2, в результате чего изменяется выходная скорость из рабочего ко-
леса с2. Эти изменения энергии полностью учитываются формулами Эйлера.
Результирующая сил — ДР, действующих на поток при его пово-
роте и изменении величины относительной скорости, может быть изображена
в виде вектора
— Рш = Gw2 — Gwj.
Этот вектор можно разложить на силу — Ра, возникающую под влиянием
только отклонения струи, т. е. в случае = ш2 {активное действие), и
силу — Рр, соответствующую перепаду энтальпии, за счет которого в отно-
сительном движении жидкость ускоряется {реактивное действие).
Сила — Ро входит в состав равнобедренного треугольника с двумя сто-
ронами, имеющими величину Gwx (выражение активного действия). Сила—Рр
направлена вдоль вектора Gw2, так как она должна возникнуть только
при увеличении скорости потока от до ш2 без учета его поворота. Все эти
силы в тексте записаны со знаком минус, так как они приложены к выделен-
ному объему жидкости, а на лопатку действуют прямо противоположные
силы, показанные на диаграмме (рис. 11.37, б).
Чтобы найти суммарную силу, действующую на жидкость, необходимо
еще учесть внешнее давление жидкости на рабочий венец, которое вызывает
силу, направленную по оси z и равную
Pz = S ip 1 S Zp2>
где S ! и S.2 — площади рассматриваемого канала, измеренные перпендику-
лярно оси z и подверженные давлению жидкости при входе в рабочее колесо
и выходе из него.
Все силы, приложенные к поверхностям выделенного объема жидкости,
представим в виде многоугольника сил, согласно теореме Эйлера: главные
векторы объемных и поверхностных сил и векторы количеств движения масс
жидкости, входящих и выходящих сквозь сечение канала в единицу времени,
направленные внутрь выделенного объема, образуют замкнутый многоуголь-
ник. Этот многоугольник изображен на рис. 11.37, в (с пренебрежением
силами тяжести). В состав многоугольника входят поверхностные силы Pz
103
от разности давлений на венец и сила — Р от действия лопатки на жидкость.
Последнюю силу найдем как замыкающую многоугольник, так как остальные
силы известны. Таким образом определится приложенная к лопатке резуль-
тирующая сила Р, равная и прямо противоположная суммарной силе, дей-
ствующей на жидкость (на рис. 11.37, а, вектор Р показан в уменьшенном
масштабе по сравнению с вектором — Р на диаграмме рис. 11.37, в).
Окружная составляющая Р„ силы Р совершает работу в переносном
движении лопатки. Если осевые составляющие скоростей равны между собой,
Рис.
11.39. Силы давления на
уступы ротора
то сила Ри по величине и направлению совпадает с силой Рш, соединяющей
концы векторов Gw, и Gw 2. В этом случае и вектор Рё представляет собой
осевую силу, действующую на рабочее колесо. Если же осевые составляющие
скоростей не равны, то величина Рг, равная
проекции вектора Р на осьа, может быть больше
(с1г >> с2г) или меньше (с1г<с2г) силы P'z.
Таким образом формируются силы, дейст-
вующие на ротор, и устанавливается место их
приложения к лопаткам.
Суммарные силы, действующие на ротор.
На ротор передаются силы от всех лопаток.
При частичном (парциальном) впуске рабочего
тела в потоке оказывается лишь некоторое коли-
чество лопаток, занимающих «активные дуги»,
и усилие на ротор в основном передается лишь
этих лопаток. Если они расположены несимметрично относительно
от
оси вращения, то ротор испытывает одностороннее усилие.
В крупных турбинах высокого давления одна ступень может развивать
мощность в десятки тысяч киловатт и на лопатках могут действовать большие
силы. При этом в ступенях с парциальным впуском силы могут быть прило-
жены к колесу односторонне и, возможно,— против силы тяжести ротора.
В таких условиях они могут представлять опасность для надежной работы
турбины.
Силы давления на уступы ротора. Кроме давления на лопатки, необхо-
димо также учитывать давление на все уступы ротора (рис. П.39). В диско-
вых роторах такие уступы представляют собой диски, разность давлений по
обе стороны которых должны рассчитываться (см. гл. VII). Кроме того, ро-
тору передаются усилия от давления на свободные кольцевые уступы в местах
установки уплотнений между статором и ротором, т. е. в местах, где могут
появиться внешние силы давления. Суммарное усилие на z уступов опреде-
ляется по формуле
i=i
где dH и dgH — наружный и внутренний диаметры уступов, измеренные по
уплотнениям в Z-й камере; pt — давление в r-й камере.
В турбинах высокого давления может иметь значение давление даже
на небольшие уступы в лабиринтовых уплотнениях.
Для уменьшения осевого усилия в турбомашинах специально конструи-
руются разгружающие свободные кольцевые уступы — «уравновешива-
ющие поршни» (думмисы).
ГЛАВА III
ОДНОМЕРНАЯ ТЕОРИЯ
Эта глава посвящена характеристикам основных типов турбомашин
в свете одномерной задачи. Все газо- и термодинамические величины потока
в проточной части турбомашины рассматриваются как функции только одной,
вообще говоря, криволинейной координаты.
В одномерной теории предполагается, что поток равномерен по окруж-
ностям перед решетками профилей и за ними. Из этого следует, что поток
осесимметричен. Кроме того, при малой высоте лопаток поток принимается
равномерным и вдоль радиуса. При большой же их высоте поток рассматри-
вается как равномерный в цилиндрических слоях, на которые он условно
разбивается. Связь между углами выхода потока и геометрическими разме-
рами решеток устанавливается эмпирически. Потери энергии учитываются
опытными коэффициентами.
Во многих задачах этой главы идеализация относится не только к кине-
матике потока, но также распространяется на его физические свойства —
в качестве рабочего тела принимается идеальная сжимаемая или несжимаемая
жидкость. Изучение таких идеализированных схем чрезвычайно упрощает
задачу и позволяет получать результат, который в одних случаях свободен
от второстепенных влияний, лишь затемняющих принципиальную сторону
вопроса, а в других случаях, наоборот, подчеркивающий роль очень важ-
ных факторов, которая до конца выясняется лишь сравнением реальных
и идеализированных схем.
Не следует также забывать, что поразительные успехи паротурбостроения,
достигнутые в первой половине нашего века, базировались в основном на одно-
мерной теории турбин, сочетаемой с экспериментальными данными. И в на-
стоящее время развитие турбиностроения во многом обязано простым и ясным
положениям одномерной теории.
Одномерная теория турбомашин имеет самостоятельное значение, незави-
симо от развития более точных расчетов, основанных на двухмерной теории
решеток и на изучении пространственного потока в турбомашине.
Характеристики ступеней турбомашин целесообразно обобщать так, чтобы
они охватывали широкие классы подобных турбомашин. Для этого следует
исходить из принципов подобия потоков в их проточных частях. В то же время
для изучения проблемы моделирования турбомашин во всех ее аспектах необ-
ходим достаточно широкий взгляд на рабочий процесс с учетом тонкостей
физических явлений. В связи с этим было целесообразно рассмотреть неко-
торые задачи моделирования раньше, чем перейти к разделу, посвященному
характеристикам турбомашин, а другую часть проблемы моделирования выде-
лить в последующую специальную главу. К первоочередным задачам модели-
рования относится геометрическое и кинематическое подобие потоков в турбо-
машинах. Этот раздел и входит в состав настоящей главы. В свете кинемати-
ческого подобия потоков будут изучаться все характеристики турбомашин.
Динамические критерии подобия в рамках этой главы не будут приниматься
во внимание. Изменения характеристик в зависимости от этих критериев
будут предметом особого изучения в последующих главах.
105
III.1. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ И КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ
В ТУРБОМАШИНАХ
Геометрически подобными будем называть проточные части, которые
могут быть получены одна из другой пропорциональным изменением всех
размеров, в том числе и зазоров между ротором и статором. Кинематически
подобным будем считать турбомашины, в любых сходственных точках кото
рых в каждый момент времени векторы скорости движения отличаются
только постоянным и одинаковым во всей области течения скалярным мно-
жителем, называемым коэффициентом подобия. Кинематическое подобие тур-
бомашин означает также подобие треугольников скоростей.
В этой главе будем рассматривать главным образом установившиеся про-
цессы в турбомашинах.
При изучении кинематики турбомашин диаграммы скоростей удобно
представлять в виде безразмерных треугольников скоростей, в которых все
скорости отнесены к какой-либо одной скорости, принятой за основную.
В качестве такой основной скорости конструктор, естественно, выбирает
окружную скорость рабочего колеса.
Изучим характеристические величины, определяющие подобие треуголь-
ников скоростей и наиболее полно описывающие кинематические и конструк-
тивные особенности проточной части турбомашин.
Кинематическая степень реактивности Г Она определяется как отношение
= (Ш.1)
В числителе этой дроби записана работа, равная сумме двух последних членов
в формуле Эйлера (11.134)
Эта удельная работа получается в результате превращения внутренней
и потенциальной энергии в кинетическую или обратного преобразования
только в рабочем колесе турбомашины. Знаменатель же дроби в уравнении
(II 1.1) представляет собой всю удельную работу, передаваемую через рабочее
колесо и определяемую по формуле Эйлера. Кинематическая степень реактив
ности характеризует ту долю вращающего момента, которая получается за
счет ускорения или замедления потока в рабочем колесе. Она представляет
собой характеристику кинематической схемы турбомашины.
Из формулы (III.2) ясно, что кинематическая степень реактивности состоит
из двух слагаемых, получаемых за счет изменения только относительных ско-
ростей (рю) и только окружных скоростей (рй)
Рк = Рк> "Т" Рц-
Рассмотрим несколько схем проточной части осевых турбомашин с раз-
личной степенью реактивности, предположив = uz. Активная ступень
(рис. 11.25) имеет и>1 = wz, чему соответствует рк = 0, согласно уравнениям
(III.1) и (III.2). Ступень со стопроцентной степенью-реактивности (рк = 1)
имеет скорости сг = с2 (рис. 11.27). Ступень с симметричными лопатками
имеет скорости = w2 и с2 = wlf а поэтому рк = 0,5 (рис. 11.26 и 11.29).
Указанные примеры подтверждают, что в зависимости от степени реактивности
кинематические схемы турбомашин могут коренным образом различаться.
Рассмотрим осевую ступень, для которой при входе и выходе соблюдается
равенство расходных составляющих скорости сг. Такую ступень будем назы-
вать условной. Входной и выходной треугольники скоростей для условной
1 В литературе часто встречается термин степень реакции. Однако, поскольку турбины
называются реактивными (а не реакционными), следует предпочесть термин степень реак-
тивности.
106
•ступени имеют одинаковую высоту сг и окружную скорость и. Подобие диа-
грамм скоростей двух условных ступеней может быть определено тремя пара-
метрами.
Геометрический смысл кинематической степени реактивности легко уста-
новить для условной осевой ступени. Треугольники скоростей для таких тур-
Рис. III.1. К определению кинематической степени реактивности
турбинной (а) и компрессорной (б) ступеней
бин и компрессоров изображены на рис. III.1. Согласно уравнению (III.2),
можно написать при wlz = wiz
— w2 W%u — W2lu w + w
Пр — —2----- ------2---- ~~ — Wi“'-----2----•
Так как
w(^lu—&y2u) = hu,
TO
n __hp___ wiu ~T wtu
Pk — hu 2u
Обозначим по-прежнему средневекторное значение относительных скоро-
стей через wc (см. п. 11.11), т. е.
w, 4- Wo
Тогда
™си = 4 (К'1« + «’аЛ»
и степень реактивности
Рк
&CLL
— = — wcu.
и
(Ш.З)
107
Таким образом, на диаграмме скоростей, на которой за единицу принята
скорость и, кинематическую степень реактивности изображает отрезок ab,
где точка b принадлежит концу вектора wc, причем проекция этого вектора
и степень реактивности имеют противоположные знаки. Отсюда следует, что
в кинематически подобных турбомашинах получается одинаковая кинемати-
ческая степень реактивности.
Средневекторные скорости сс и wc образуют треугольник Obd, в котором
расстояние между концами указанных векторов равно окружной скорости и,
что следует из равенства сси — wcu = и. Поэтому при выбранном масштабе
и = 1 получим ad = сси =1 — рк или
рк=1— сси, (П1-4)
где
~ , Сси ~1~ С^и
си~ и 2и
При осевом выходе или входе потока, т. е. при с2й = 0 или с1и = 0, полу-
чим соответственно
*=!-&; ₽«=!-'# ('И-5)
Для условной радиальной ступени будем считать одинаковыми радиаль-
ные составляющие скорости перед рабочим колесом и за ним с1г = с2г = сг.
При этом условии и принятых обозначениях углов потока треугольники ско-
ростей будут иметь такой же вид, как и для осевой ступени, если вместо сг
написать сг и считать ф и2.
Часть работы, соответствующая преобразованию потенциальной и вну-
тренней энергии в кинетическую или обратному преобразованию только в ра-
бочем колесе, согласно формуле Эйлера (II. 134) можно записать так:
9 9
h -h (Ш.6)
,bp — llu 2
Поделив обе части последнего уравнения на hu = игс1и — и2с2и, получим
с? — с?
р« = 1 — ---2---г. (III .7)
2(Ujtju ч2с2и)
При с1г = с,г
с2 —с2
рк = 1 — (III.8)
г 2 (щс1и — и2с2й) , ' ’
Для радиального выхода потока из рабочего колеса с2й = 0, при этом
уравнение (III.8) примет вид первой формулы (III.5), если считать и = иг.
Для радиального входа потока в рабочее колесо с1й = 0, при этом уравне-
ние (III.8) примет вид второй формулы (III.5), если считать и = и2.
Геометрическая интерпретация величины рк подтверждает кинематиче-
скую сущность этого коэффициента. Степень реактивности тесно связана с ха-
рактерными особенностями всей турбомашины, так как от давления в зазоре
между направляющим аппаратом и рабочим колесом зависят осевое усилие,
действующее на ротор, и конструкция уплотняющих устройств. В зависимо-
сти от степени реактивности значительно меняется форма профилей лопаток.
Кинематическая степень реактивности сохраняет геометрический смысл
как при изоэнтропийном процессе расширения или сжатия, так и в случае
рабочего процесса с трением, так как в формулу Эйлера, из которой было
установлено само понятие кинематической степени реактивности, входят
действительные скорости потока. В осевой ступени турбомашины вели-
чина рк всегда обращается в нуль при wr = w2.
Если силами трения можно пренебречь, то равенство относительных ско-
ростей означает и отсутствие перепада энтальпий h2 в рабочем колесе, т. е.
108
при hp = 0 получается также h2 = 0. Если же в межлопаточных каналах
рабочего колеса возникает трение, то при рк = 0 для сохранения равенства
относительных скоростей в рабочем колесе должен существовать перепад h2,
необходимый для преодоления сил трения (Л 2 > 0). В последнем случае ха-
рактеристика проточной части с помощью кинематической степени реактив-
ности во многих исследованиях теряет свои свойства простоты и ясности. В то
же время в практических расчетах удобно представлять h2 в долях от
----------*".5
Рис. III .2. К определению термодинами-
ческой степени реактивности: а — тур-
бинная ступень; б — компрессорная
ступень; в — выходная кинетическая
энергия
общей теоретической работы в ступени турбомашины. Кроме того, представляет
интерес изучение рабочего процесса ступени при наличии трения и й2=0.
В силу изложенных соображений помимо степени реактивности рк в тео-
рии и в практических расчетах тепловых турбин часто пользуются другими
характеристическими коэффициентами, связанными с динамическими явле-
ниями в проточной части и носящими название термодинамических степеней
реактивности. Аналогичное понятие можно1 ввести для турбин, работающих
на несжимаемой жидкости, если в выражение степени реактивности вместо
перепадов энтальпий подставить соответствующие перепады давлений.
Термодинамическая степень реактивности. Она определяется как отно-
шение
* Л»
Pr=z
"о
(III.9)
где h0 и h2 — изоэнтропийные перепады энтальпий соответственно в ступени
и в рабочем колесе (рис. II 1.2). Название «термодинамическая степень реак-
тивности» объясняется тем, что это понятие вытекает из чисто термодинамиче-
ских соотношений.
109
Термодинамическая степень реактивности делается равной кинемати-
ческой, если процесс в ступени протекает без трения, так как в этом случае
перепад энтальпий h2 эквивалентен работе hp, определяемой по уравнению
(Ш.2), а полный перепад /?о равен работе hu, вычисленной по уравнению Эй-
лера.
При наличии трения в турбине перепад й2 становится больше на величину
2 2
w2 —
Лп2, чем соответствующее ему приращение кинетической энергии ----—~ +
tz j — и| „
Ч-----2--> и полный перепад h0 — больше на величину + Лй2, чем
работа hu, где и Д/г2 — потери от трения соответственно в направляющем
аппарате и в рабочем колесе. Для компрессорной ступени, наоборот, указан-
ные перепады меньше соответствующих изменений энергии. Поэтому в зависи-
мости от потерь энергии термодинамическая степень реактивности может
оказаться как больше, так и меньше кинематической степени реактивности.
Последняя связана с термодинамической степенью реактивности формулой
1 ,
Рк = -Л-а± А-а—- = Рт*---~ , (111.10)
hD ± (Д/ij + Дй.2) 1 + А^х +
/г0
где знак минус относится к турбине, а знак плюс — к компрессору. При 1г2 =
= 0 величина рк для турбины становится отрицательной.
Если потери энергии от трения невелики или составляют приблизительно
одинаковую долю от перепадов h2 и 1г0, то Рг ж рк. Для крупных турбомашин
с совершенной проточной частью последнее равенство приблизительно вы-
полняется и, следовательно, кинематическая степень реактивности создает
представление о перепаде энтальпий в рабочем колесе.
При обработке опытов с турбинными ступенями наиболее точно опреде-
ляется изоэнтропийный перепад тепла во всей ступени й0, который вычис-
ляется по полным параметрам, непосредственно измеряемым перед ступенью,
и давлению в потоке (р2) за ступенью (рис. Ш.2, а). Поэтому при обработке
опытных данных обычно термодинамическую степень реактивности вычис-
ляют как отношение
Рг = ^- (ПЕП)
“0
Использование коэффициента Рг позволяет также существенно упростить
некоторые расчетные формулы, содержащие теоретическую скорость выхода
рабочего тела из сопла, и поэтому он часто применяется в тепловых расчетах
турбин.
Последние два коэффициента связаны между собой уравнением
Рг=Р;^. (ш.12)
по
Так как h*0 <Zh0, то всегда Pr <PJ. При большой величине выходной
скорости с2 различие между рг и PJ может быть значительным. Чтобы наибо-
лее просто и ясно описать рабочий процесс, в различных счучаях удобно
использовать то или иное из указанных определений степени реактивности^
Коэффициент циркуляции. Этот коэффициент выражается как
~ — U1C1U- U2C2U /ТТТ 1
- & =------L2----
и получается непосредственно из формулы Эйлера (II. 133); окружная ско-
рость и в знаменателе соответствует наибольшему из значений и± или и2.
110
В частном случае для чисто осевой ступени при иг = и, = и уравнение
(III. 13) примет вид
~= (ш,14)
i При осевом или радиальном выходе потока имеем с2и = 0 и си = clu/ult
а при осевом направлении входной скорости, т. е. при с1и = 0, получим
Cu = ^2и/^2-
Коэффициент циркуляции характеризует относительную работоспособ-
ность ступени. Чем он больше, тем выше удельная работа ступени при задан-
ной окружной скорости. Поэтому повышение коэффициента циркуляции вы-
зывает упрощение и удешевление машины.
Для компрессора в указанном виде коэффициент циркуляции получается
отрицательным, так как он соответствует отрицательной работе.
Для осевых турбомашин в треугольниках скоростей, в которых скорость
и принята за единицу, коэффициент си измеряется расстоянием между кон-
цами векторов CjHc2 или Wj и w2. Коэффициент циркуляции вместе с кине-
матической степенью реактивности определяет положение концов векторов
всех скоростей по отношению к оси
Для характеристики ступени важно знать, какая получается закрутка
потока с2.( за рабочим колесом. Эта величина выражается через характеристи-
ческие коэффициенты из формулы (II 1.4) и рис. II 1.1
с2и= 1 — рк —-у-, (Ш. 15)
где
Так же просто выражается и другая характерная величина
ё1и=1-рк-|-(III. 16)
где
Все указанные достоинства характеристических коэффициентов рк и си
подчеркивают целесообразность введения их в теорию турбомашин. Исполь-
зование этих коэффициентов не решает вопроса о выборе наклонов векторов
скоростей, от которых зависит форма профилей лопаток и их длина. Положе-
ние векторов скоростей можно сделать определенным, если задать относитель-
ную высоту треугольников cz = eJu для осевой и сг = сг1и для 'радиальной
ступени.
Коэффициент расхода сг = сг/и. Он связан с количеством протекающего
рабочего тела уравнением неразрывности
G = pSc., (111.17)
где G — массовый расход; р — плотность; S = -j- (d"2 — d'2) — кольцевая
площадь проточной части в плоскости, перпендикулярной оси турбомашпны
(сметаемая площадь); d' и d" — внутренний и наружный диаметры ступени;
cz — осевая скорость потока в пространстве между направляющими и рабо-
чими лопатками.
При заданном расходе G площадь S обратно пропорциональна скорости сг.
Большую скорость сг конструктор выбирает с целью уменьшения длин лопа-
ток, например в быстроходных турбинах с большим расходом рабочего тела.
111
Малая скорость сг, наоборот, выбирается для турбомашин с небольшим рас-
ходом рабочего тела.
В безразмерных треугольниках скоростей все скорости отнесены к окруж-
ной скорости и, и вместо с2 откладывается коэффициент расхода сг. Во многих
исследованиях этим коэффициентом удобно пользоваться, особенно при изуче-
нии различных режимов работы турбомашин.
Для радиальных ступеней в качестве коэффициента расхода применяется
отношение сг = сг!и, где скорости чаще всего предпочитают выбирать для
наибольшего диаметра рабочего колеса.
Безразмерные треугольники скоростей. Для условной осевой ступени
треугольники скоростей полностью определяются тремя кинематическими
коэффициентами: рк, сг и си. Для построения диаграммы скоростей (рис. III.1)
отложим высоту треугольников сг, затем определим расстояния от точки а
концов векторов wc и сс, равные соответственно рк и 1 — рк, и от каждой из
найденных таким образом точек bud отложим в обе стороны половину вели-
чины си. Соединив концы этих отрезков с точкой О, получим полную диа-
грамму скоростей. Чтобы перейти к размерным треугольникам скоростей,
достаточно все скорости в безразмерной диаграмме умножить на величину
выбранной окружной скорости и, которая в этой диаграмме принята за еди-
ницу. Указанные три коэффициента дают наглядное представление о важней-
ших свойствах проточной части осевой турбомашины и о форме профилей
лопаток.
Если =^~ и2 или с1г =£ с^, то для подобия треугольников скоростей
недостаточно трех величин. В общем случае подобие обоих треугольников
скоростей определяется шестью параметрами. При этом кинематическая сте-
пень реактивности теряет свой простой геометрический смысл. Например,
если и1 = и2, но c2z > clz, нельзя пользоваться формулами (III.3) и (III.4),
так как
^=4- И—^)=4-[И“—н2—^2)]- (ш.18)
При w2z > u>i2 величина hp становится больше, чем для условной ступени
при тех же значениях wlu и w2u, тогда как удельная работа hu сохраняется
одинаковой для обеих ступеней. Следовательно, при w2z > wlz кинематиче-
ская степень реактивности получается больше, чем для условной ступени
при той же удельной работе hu.
Для условной ступени при рк = 0 справедливы равенства w± = w2 и
₽i == й (рис. 11.25), а при рк > 0 получается f52 < ₽i (рис. II.26). В такой
ступени повышение степени реактивности означает также уменьшение угла
по сравнению с углом рг. В случае с22 > с1г для нулевой и небольшой по-
ложительной степени реактивности может получиться р2 > чему соот-
ветствует расширяющаяся форма межлопаточного канала. В таком канале
может и не возникнуть диффузорного эффекта из-за сжимаемости жидко-
сти или вследствие ее радиальных перетеканий внутри рабочего колеса.
Последний пример показывает, насколько может измениться геометрия
проточной части по сравнению с условной ступенью при одинаковых значе-
ниях степени реактивности и коэффициентов циркуляции, но при разных
коэффициентах расхода.
На практике часто приходится иметь дело со ступенями осевых турбо-
машин, для которых треугольники скоростей получаются приблизительно
такими, как для условной ступени. Поэтому полезно изучение простых и
ясных принципиальных свойств кинематических схем условных ступеней.
Вместо указанных кинематических коэффициентов для построения без-
размерных треугольников скоростей могут быть заданы какие-либо другие
скорости, отнесенные к окружной скорости и. Так, в качестве характерной
112
величины может быть выбрано отношение сг1и и другие безразмерные вели-
чины.
Характеристическое число и/С0. В расчетах турбин используется
число и!Св, где Со — условная скорость, которая получилась бы при изоэн-
тропийном расширении рабочего тела от полных начальных параметров до
давления в потоке за рабочим колесом, т. е.
С0 = У2/Гв. (III. 19)
Легко установить связь между этим характеристическим числом и коэф-
фициентом циркуляции. Действительно, полезная работа на венце турбинной
ступени hu связана с теоретической работой h0 равенством hu = iWzo. где
т]и — окружной к. п. д. ступени. Следовательно,
со _ 2/г0 = 2hu _ 2 -
и2 и2 Чм«2 Чи “
или
= (Ш.20)
Отсюда следует, что отношение и/С0 может заменять коэффициент циркуля-
ции. Это отношение очень удобно использовать в расчетах, так как условную
скорость во многих случаях при проектировании ступени можно считать
заданной. Из этого отношения получаются простые выражения для к. п. д.
ступени.
В некоторых исследованиях в качестве условной скорости удобно прини-
мать величину
С; = V 2/го,
(III.21)
где h0 — разность энтальпий, вычисленных при изоэнтропийном расшире-
нии по полным параметрам перед ступенью и за нею (рис. Ш.2). При этом
к. п. д. ступени целесообразно также относить к перепаду ho, т. е. принимать
hu = huho- Смысл характеристического коэффициента и/С0 сохраняется
таким же, как и!С0.
Ш.2. СВЯЗЬ МЕЖДУ КИНЕМАТИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
И УГЛАМИ ПОТОКА
Подобие треугольников скоростей может быть установлено заданием
углов а1г |3Х и р2, образуемых средними скоростями потока с направлением
окружной или осевой скоростей. Углы потока в известной мере характери-
зуют форму профилей лопаток и относительный расход рабочего тела. При
проектировании турбомашин конструктору необходимо знать свойства сту-
пени в зависимости от величин этих углов и их связь с основными кинематиче-
скими коэффициентами.
Для условной осевой ступени при выбранных коэффициентах рк и си до-
статочно задать один угол, чтобы определить положение вершины треуголь-
ников скоростей. В качестве такого угла для турбинной ступени удобно вы-
брать ссх или [Н, а для компрессорной ступени — а3 или |32.
Из входного и выходного треугольников скоростей для ступени турбины
можно записать равенства:
Сщ _ С] cos о,
и и
cos </, sin рх c.2tl _____________с2 cos а2 _________ cos ci3 sin p.2
sin (px — аг) > и и sin (p2 — а,) ’
8 И. И. Кириллов
113
Поделив числитель и знаменатель в правой части последних уравнений на
произведение косинусов углов, получим
C1U tg Pl
« tg Pi — tg си ’
сги _ tg P3
“ tg p2 — tg a2
Связь между степенью реактивности и углами
потока найдем, подставив последние выражения в уравнение (Ш.4),.
Рис. III.3. Изменение кинематической степени реак-
тивности в зависимости от углов потока (в скобках
даны углы для компрессорной ступени)
Рк 1 2 tg₽,—tga,
<1П'22>
Для осевого выхода пото-
ка из рабочего колеса с2ц=0,
т. е. последняя формула имеет
вид
р =1_±______________
2 tgpj-tga/
(II 1.23)
Для осевого входа потока
в рабочее колесо с1к = О,
а поэтому
р = 1____L__________
2 tg (5г — tg a„ ’
(I II. 24)
Легко убедиться, что уравнения (Ш.23) и (Ш.24) справедливы также для
условной радиальной ступени.
Рассматривая компрессор как обращенную турбину, надо предполагать,
что на выходе из рабочего колеса компрессора должны быть те же условия,
как на входе в турбинное колесо. Поэтому углам в треугольниках скоростей
турбины с индексами 1 в треугольниках скоростей компрессора соответствуют
углы с индексами 2; все выводы, относящиеся к осевому или радиальному
выходу потока из турбинного колеса, будут справедливы для осевого или ра-
диального входа потока в компрессорное колесо.
На рис. Ш.З для осевых и радиальных турбомашин представлены зави-
симости кинематической степени реактивности от угла Рi (Р2) ПРИ различных
углах a-i (а2), построенные соответственно по формулам (Ш.23) и (Ш.24)
для области «1 (а2) < 90°. Эта диаграмма и формулы позволяют сделать
некоторые общие выводы для часто применяемых турбинных ступеней с осе-
вым (радиальным) выходом потока и компрессорных ступеней с осевым (ра-
диальным) входом потока (в скобках отмечаются углы потока в компрессор-
ной ступени).
Угол Р г (Р2) = 90° при любой величине угла ax (a2) =f= 90е означает, что
кинематическая степень реактивности рк = 0,5. Угол Р i (Р 2) 90° в случае
ах < 90° получается при рк < 0,5. В этой области изменение угла а х (а2) при
заданном угле рх (р2) сильно сказывается на кинематической степени реак-
тивности. Угол Pi (р2) > 90° в случае аг < 90° получается при рк > 0,5.
В этой области изменение угла aja,) при заданном угле Pi (Р2) сравни-
тельно слабо сказывается на степени реактивности ступени.
Углы поворота потока (рис. III. 1) в направляющих (е х) и ра-
бочих (е2) решетках легко связать с кинематической степенью реактивности.
Для направляющего аппарата ех = а2 — ах, т. е. вход в него потока пред-
полагается под тем же утлом, как и выход из рабочего колеса.
114
Для условной ступени средневекторную скорость сс можно выразить через
коэффициент расхода сг и котангенсы углов:
сг = c1«tga1 = c2utga2;
Сси = 4 (C1U + с2и) = ~ Cz (ctg cq + ctg а2),
Подставив эти выражения в формулу (III.4), получим
3 1 —
рк = 1— -yCzfctg «14-ctg а2).
Точно так же составим формулу
рк = — 4 (ctg ₽! + ctg
Заметив, что а2 = si + ai и Рг = е2 + ₽ъ найдем искомую зависимость
рк= 1 — 4’c*lctga1 +
+ ctg (ех + aj] = — у cz [ctg р2 +
+ ctg(p2-82)]. (III.25)
На рис. III.4 показаны изменения
углов поворота потока sx и е2 в зави-
симости от кинематической степени
реактивности при сг = 0,5 и различ-
ных углах а, и |32 применительно
к турбинной ступени. Та же диа-
грамма относится к углам а2 и Pi
компрессорной ступени.
При проектировании турбомашин
по ряду соображений выбираются
окружная скорость и и осевая ско-
рость сг, которым соответствуют кине-
матические коэффициенты си и сг,
а степень реактивности может выби-
раться в широких пределах. Различ-
ным комбинациям характеристиче-
ских коэффициентов соответствуют
самые разнообразные формы турбо-
машин. Чтобы показать, какими воз-
можностями располагает конструк-
тор, на рис. Ш.5 изображены
треугольники скоростей и схемы про-
точных частей для условной ступени
осевой турбомашины при разных зна-
Рис. III.4. Связь между кинематической сте-
пенью реактивности и углами поворота потока
е1 = Л (аь Рк) и е2 = f (₽2> Рк) при различ-
ных оу И Р2 для условной турбинной ступени
(для компрессорной ступени — соответст-
венно а2 и Pj). Коэффициент расхода с2 =
= 0,5
чениях си, cz
и рк. Рассмотрение этих схем позволяет сделать ряд заклю-
чений общего характера, среди которых отметим нижеследующие.
Для ступеней со степенями реактивности рк = а и рк = 1 — а углы пово-
рота потока в направляющей и рабочей решетках одной ступени делаются
равными углам поворота потока соответственно в рабочих и направляющих
лопатках другой ступени. Симметричные зеркально отображенные профили
направляющих и рабочих лопаток получаются только при рк = 0,5.
Угол поворота потока в направляющей и рабочей решетках при заданном
значении степени реактивности возрастает по мере уменьшения коэффициента
8*
115
расхода и возрастания абсолютной величины коэффициента циркуляции.
По мере увеличения степени реактивности от 0 до 1 при неизменных сг и си
угол поворота потока в направляющей решетке возрастает, а в рабочей —
убывает.
Л\ -1,0 -0,5 -0,25 0,0 0,5
-0,25
С о 1^2 £ f . С2 С1 w? 22^ C? Cf Wj U)j C7C2 WfW? Cf Cz CJf LUz
о, о С? Cf W, С2 Cf ^2 Wf
Cz Cf W2U>i CfCz^WjW^ Cf c2 lUf w2
0,25 хД
С7 CZ Wf c2 Cf Wz Wf CfjC2 WfUJz Cf Cz CCf w7
0.5 С2 w2iCl cl C? Cf 1^2 CJf Cf}C2 WflDj Cf C% Wf LUz
C2Cj CJzWf
0,75
Сг W2,Cf w. C2 C, U>2 w, Cz Cf СЪ c2 WfW7 Cf C2 Wj U)7
1,0
c2 cuzi с j cuf Сг Cf 4j OJ; C2 Cf w7 Wf c,,Oz n Cf CZ ^z
1,25 1^.
сг и>гС{ ги7 CZ Cf W2 CJf Cz Cf U)7Wf c,,cf w„u. Cf Cz CUf w2
Рис. III.5. Треугольники скоростей и схемы проточных частей осевых тур
ции си. Коэффициент расхода сг = 0,5. Штриховыми
При одной и той же окружной скорости удельная мощность, согласно
уравнению Эйлера (II. 133), пропорциональна разности с1и — с2и и, следо-
вательно, величине си. Поэтому высокой удельной мощности ступеней соот-
ветствует большой коэффициент циркуляции (по абсолютной величине).
Для ступеней большой циркуляции характерны значительные углы пово-
116
рота потока и его закрутка в сторону, обратную вращению, за рабочими коле-
сами (с2и) для турбин и перед ними (с1и) — для компрессоров. Малую удель-
ную мощность, наоборот, имеют ступени с небольшим коэффициентом цирку-
ляции. Для ступеней малой циркуляции характерны малые углы поворота
бомашин при различных степенях реактивности и коэффициентах циркуля-
линиями показана средневекторная скорость wc
потока и его закрутка в сторону вращения за турбинными и перед компрессор-
ными колесами.
Для радиальных турбомашнн число характеристических коэффициентов
больше, чем для осевых турбомашин, в связи с тем, что необходимо харак-
теризовать кинематику потока на различных радиусах при входе в ступень и
117
при выходе из нее. Коэффициент расхода и степень реактивности служат важ-
нейшими характеристическими числами, определяющими форму проточной
части и свойства турбомашин радиального типа.
Конструктор, проектируя новые турбомашины, не должен ограничиваться
изучением нескольких широко применяемых схем проточных частей. Ему
необходимо глубоко вникать в физическую сущность процессов, протекаю-
щих в самых разнообразных проточных частях турбомашин, чтобы в зависи-
мости от обстоятельств принимать наиболее эффективные решения.
Для правильного выбора проточной части турбомашины необходимо
тщательно изучать потери энергии, возникающие при различном выполнении
лопаточного аппарата. С точки зрения потерь энергии различные схемы про-
точной части далеко не равноценны, а многие из них, указанные на рис. III.5,
при современном состоянии техники и вовсе не осуществимы. Последнее отно-
сится главным образом к компрессорным ступеням.
1П.З. ХАРАКТЕРИСТИКИ ИДЕАЛЬНЫХ ОСЕВЫХ ТУРБОМАШИН
Весь этот параграф посвящен движению жидкости без трения, поэтому
здесь не будем отмечать индексами t параметры потока в конце рабочего
процесса, как это делалось ранее для изоэнтропийного расширения или сжа-
тия. Для общности рассуждений будем предполагать, что в качестве рабочего
тела применяется сжимаемая жидкость.
Осевые турбинные ступени
Тепловой процесс в турбинах удобно представить на Zs-диаграмме. Пусть
к направляющему аппарату газ подводится с некоторой средней скоростью
и под давлением р0, так что его полное давление будет р$ (рис. III.6). Состоя-
ft
Рис. II 1.6. Процесс расширения в идеальной турбинной ступени
на is-диаграмме: а — 0 < рк< 1; б — рк> 1; в — рк< О
ние рабочего тела перед турбиной отметим точкой А, а в конце изоэнтропий-
ного процесса расширения до давления р2 за ступенью — точкой D,
В направляющем аппарате газ расширяется от начального давления р$
до давления рг в зазоре между направляющими и рабочими лопатками
(точка В на рис. Ш.6). Этому изменению давления соответствует удельная
теоретическая работа, которую можно выразить так:
*
hi = i0—
где io — полная энтальпия газа перед ступенью; ix — энтальпия, соответ-
ствующая давлению при изоэнтропийном расширении газа (точка В на
рис. III.6).
118
В результате расширения в идеальном направляющем аппарате газ
вытекает с теоретической скоростью
C1 = V2/z^. (III.26)
Оперируя средними величинами и зная вектор скорости съ можно из
входного треугольника скоростей определить относительную скорость w 1(
с которой поток входит в рабочее колесо.
В рабочем колесе, вообще говоря, газ продолжает расширяться и давле-
ние уменьшается от перед рабочим колесом до р2 за ним. При этом скорость
газа в идеальном рабочем колесе возрастает до величины щ2, определяемой
из уравнения
w2 = V2h2, (III.27)
где
Определив вектор w2, можно построить выходной треугольник скоростей
и найти среднюю абсолютную скорость выхода потока из рабочего колеса с2.
Удельную работу на рассматриваемой средней окружности hu для осевой
-ступени, для которой можно считать и , и2 = и, найдем по формуле (11.133)
hu ~~~ (Ъи ^2и)' (Ш.28)
Располагаемую работу h0 единицы массы сжимаемой жидкости при ее
расширении от давления р0 до противодавления р2 можно выразить как раз-
ность энтальпий
Ло --- io — iii
где Z2 — энтальпия в конце изоэнтропийного процесса.
Эта теоретическая работа может быть полностью преобразована в механи-
ческую работу на валу турбинной ступени, только если поток покидает сту-
пень с нулевой скоростью. Работу ступени без выходной потери можно вооб-
разить, например, если за рабочим колесом расположить идеальный диффу-
зор с бесконечно большим выходным сечением. В такой идеализированной
ступени выходная потеря энергии отсутствует.
Реальную ступень поток всегда покидает, обладая некоторой выходной
кинетической энергией. Во многих случаях эта кинетическая энергия пол-
ностью теряется за ступенью. Эта потеря играет важную роль в общей сумме
потерь энергии. Стремление уменьшить выходную потерю существенно отра-
жается на выборе принципиальной схемы ступени. Поэтому здесь мы иссле-
дуем влияние на к. п. д. ступени одной только выходной потери энергии.
Наличие такой потери означает, что теоретическая работа /г0 больше полезной
работы ступени hu. Окружной к. п. д. турбинной ступени будем определять
по формуле
<Ш-29)
или, согласно уравнению (III.28), можем написать
(с1«~С2и), (III.30)
со
тде условная скорость
с0=jWF-
Последняя формула для к. п. д. имеет общее значение как для идеальной
турбинной ступени, так и для ступени, работающей с трением. Выражение
для к. п. д. ступени можно также записать в ином виде применительно к осо-
бым условиям работы рассматриваемых идеализированных схем, для которых
119
принимаем во внимание только выходную потерю. В этих условиях полезная
работа идеальной ступени, вычисленная по формуле Эйлера, отличается от
теоретической работы h0 только на величину выходной потери с|/2, т. е.
с2
/2^ h0 g— = ho •
Отсюда следует, что уравнение (II 1.29) можно также записать в виде
(111.31)
Для того чтобы выяснить свойства ступеней с различной степенью реак-
Рис. II 1.7. Окружные к. п. д. идеальных ступеней:
1 — для активн°й ступени при 0^=13°; 2 — = ? (cz)
для активной ступени при а± = 13°; 3 — т)и = f (и/с0) Для реак-
тивной ступени при рк = 0,5 и сс = 20°
личные условия работы ступени, предполагая в каждом варианте новый лопа-
точный аппарат, спроектированный для нулевого угла атаки при входе по-
тока в рабочее колесо.
Степень реактивности рк = 0. (рис. 11.25). В чисто активной ступени
все преобразование потенциальной энергии в кинетическую происходит в на-
правляющем. аппарате, т. е.
/г. = hQ', /?2 = 0;
С1 = Со — VW- (III.32)
Поскольку в условной активной ступени давление перед рабочим колесом
и за ним одно и то же, то при течении без трения относительные векторы ско-
ростей w, и w2 должны быть одинаковыми по величине и симметричными по
отношению к оси z, т. е. [И = Рг и wllt = —w2u.
Для того чтобы составить простую формулу для к. п. д., воспользуемся
выражением
— П I £-9^.
Так как
—~ ^'lu — Ciu------И,
ТО
с2(( = 2u — clu. (III. 33)
Подставив это выражение в формулу (Ш.ЗО) и заметив, что для активной
ступени Cj = С о, найдем
= 4-cos ----------(III.34)
с0 \ С0 J
120
Если «j считать неизменным, то полученное уравнение т]1;=/(н/С0) предста-
вляет собой параболу (рис. III.7). Максимального значения к. п. д. т]Итах =
= cos2 а, достигает при
и \ __ cos <%!
Со /opt
(III.35)
или
(III.36)
Следовательно, при оптимальных условиях работы идеальной активной
ступени поток в осевом зазоре между направляющими и рабочими лопатками
имеет угловую скорость вращения в два раза большую, чем рабочее колесо.
Рис. III.8. Треугольники скоростей идеальной активной турбин-
ной ступени для режимов: а — оптимального; б — с максималь-
ной окружной скоростью, в — для неподвижного рабочего колеса
Если из последней формулы подставить оптимальное значение в уравнение
(III.33), то придем к выводу, что c2Mopt = 0, т. е. максимальной величины
к. п. д. ступени достигает при осевом выходе потока (рис. III.8, а).
Этот вывод станет очевидным, если заметить, что угол a j остается неизмен-
ным, а следовательно, для заданной скорости сг сохраняется постоянной и ее
осевая составляющая с2. При этом условии потеря с выходной скоростью до-
стигает минимума, если вектор с2 направлен вдоль оси турбины.
Для данной ступени cz = С0 sin ар, поэтому из формулы (III.36) нахо-
дится оптимальное значение коэффициента расхода
cZopf = 2tga1. (III.37)
Таким образом, при оптимальных условиях работы ступени имеется опре-
деленная связь между коэффициентом расхода с2 и углом выхода потока ах.
Ступени, предназначенные для значительного расхода рабочего тела, прихо-
дится проектировать с большим коэффициентом расхода с2, и для создания
благоприятных условий работы такой ступени необходим направляющий ап-
парат с большим углом ар Ступени для малых расходов жидкости, наоборот,
должны обладать малым коэффициентом расхода; чтобы достигнуть оптималь-
ных условий работы, их направляющий аппарат выполняют с малым углом о^.
121
Если считать неизменным угол аг, то подставив в формулу (III.34) Со =
= cz/sincc1, получим уравнение т]„ = f (cz). Эта функция изображена на
рис. Ш.7. При и = const и = const она характеризует возможный объем-
ный расход рабочего тела.
Из формулы (II 1.36) для осевого выхода потока (с2и = 0) легко получить
значение коэффициента циркуляции
<>t=2. (III.38)
Если теоретическую работу считать неизменной (Со = const), а менять
только окружную скорость, сохраняя постоянный угол аъ то при некоторой
окружной скорости, которую обозначим пП1ах, к. п.д. 7]и станет равным нулю
(точка А на рис. Ш.7). Из формулы (Ш.34) следует, что
и, согласно уравнению (Ш.35),
Umax — 2iZopt. (III.39)
При указанных условиях в осевом зазоре между направляющими и рабочими
лопатками поток вращается с такой же скоростью, как и лопатки рабочего
колеса (с1и — ишах). На диаграмме скоростей векторы Wj и w2 направлены
вдоль оси z, а вектор скорости с2 совпадает с вектором Cj (рис. Ш.8, б),
причем коэффициент циркуляции си = 0. Таким образом, при umax = 2иОр
исчезает сила, действующая на рабочее колесо и, согласно формуле (II 1.28),
удельная работа и вращающий момент обращаются в нуль. Для это”о пре-
дельного случая рабочие лопатки вырождаются в пластины, ориентирован-
ные вдоль оси z. При дальнейшем увеличении окружной скорости кривая
к. п. д. переходит в область компрессорных режимов (точка А на рис. III.7).
Если в ступени с тем же самым углом а, и при заданной теоретической
скорости Со полностью затормозить рабочее колесо (и = 0) и для этих пре-
дельных условий спроектировать лопаточный аппарат, то для активной сту-
пени в этом случае получится равенство углов а, = рх = р2 (рис. Ш.8, в).
При этом поток входит в рабочее колесо со скоростью сг = Со и выходит из
него со скоростью с2 = Со, проекции скоростей связаны равенством с2и =
= —с1и и, приняв массовый расход равным G, получим вращающий момент
M = rG (с1и — с2и) = 2rGclu, (111.40)
т. е. при неподвижном рабочем колесе вращающий момент будет в два раза
больше, чем в оптимальных условиях работы ступени с осевым выходом по-
тока, если G = Gopt. В неподвижном рабочем колесе поток совершает поворот
на угол е1пих = 180° — 2а х, тогда как в оптимальных условиях вектора с,
и с2 образуют угол Elopt = 90° — аг, т. е. Elmax = 2elopt.
Из сказанного, а также из рассмотрения треугольников скоростей ясно,
и
что по мере возрастания характеристического отношения изогнутость про-
с° о
филей уменьшается и угол поворота потока постепенно снижается от 2slopt
до нуля. Эти предельные схемы ступеней, разумеется, не имеют практиче-
ского применения, потому что для таких расчетных условий, как и = 0 и и =
= umax, ступени не проектируют, но они характеризуют для заданной теоре-
тической работы диапазон окружных скоростей, при которых еще возможна
полезная работа турбины, и изменение формы профилей в зависимости от
и/С о-
Выясняется также, что при заданной окружной скорости в области малых
и1С0 удельная работа 1ги может быть значительно больше, чем при (п/С0)Орг
и в области высоких и!С0. В области u/CQ < (u/C0)opt поток за рабочим
колесом закручен в сторону, обратную вращению, а в области п/С0>
122
> (u/C0)opt — в сторону вращения. В обоих случаях по мере удаления от
оптимальных условий работы выходная потеря возрастает. В точках пересе-
чения кривой к. п. д. с осью абсцисс теряется вся энергия потока в виде кине-
тической энергии за рабочим колесом и rju = 0.
Мощность на венце колеса можно выразить так:
Nu = SpiC2M„ — O,5SpiCocpi„ - ,
с0
где S — площадь живого сечения за направляющим аппаратом, перпендику-
лярная оси z.
Если все величины, кроме т]и, сохраняются неизменными, то кривая изме-
нения мощности в зависимости от окружной скорости в некотором масштабе
повторяет кривую т]и на рис. III.7, причем Numax достигается при осевом вы-
ходе потока.
Можно поставить ряд практических задач получения максимальной мощ-
ности при тех или иных заданных условиях. Так, например, пусть требуется
найти для осевого выхода потока оптимальный угол аь при котором дости-
гается Nu max за счет увеличения расхода рабочего тела, но с сохранением его
параметров и площади S. При этом в правой части последнего уравнения ме-
няется только произведение сгци и!С0. Для осевого выхода потока из уравне-
ний (III.34), (III.35) и (III.37) имеем
сгч]ии/С0 = sin cos2 04.
Это выражение имеет максимум при sintZj —
Дальнейшее увеличе-
ние утла к, будет лишь снижать мощность ступени, отнесенную к единице
площади живого сечения.
Если решать ту же задачу при постоянной окружной скорости, но допу-
стить изменение перепада энтальпий h0 за счет начальных параметров рабо-
чего тела (pi = idem), то в выражении удельной мощности переменным будет
произведение
czv[uh о ~ czT]u {Cjuf = 8 tg .
В этом частном случае произведение т]и(С0/п) » idem, т. е. выходная
потеря точно компенсируется за счет увеличения располагаемой работы,
поэтому мощность растет прямо пропорционально расходу (G — сг). В такой
постановке задачи мощность монотонно повышается с увеличением угла аг.
Решение последней задачи в некоторой мере можно распространить и на
случай изменения перепада h0 за счет уменьшения давления за ступенью,
если пренебречь сжимаемостью жидкости (рт = idem). Такое допущение
возможно, например, сделать в случаях работы ступени на легких газах (водо-
роде, гелии), которые имеют настолько большую теплоемкость, что обычно
числа М в проектируемых ступенях невелики. В этих условиях увеличение
угла — сильное средство для увеличения мощности ступени. Если же
плотность р! существенно изменяется, то эффект от увеличения перепада h0
может значительно снизиться.
Степень реактивности рк = 0,5. При этом, если поток подводится к на-
правляющему аппарату и отводится после рабочего колеса с одинаковой
скоростью (с0 = с2), то преобразование внутренней и потенциальной энер-
гии в кинетическую происходит в равной мере в направляющем аппарате
и в рабочем колесе. Это вытекает непосредственно из доказанного в п. II. 1
равенства кинематической и термодинамической степеней реактивности для
потока идеальной жидкости
* h„ 1
Рк — Рг '— — 2
h0 2
123
Отсюда следует, что
Йр = 2Й2.
Поэтому весь перепад энтальпий
с2
й0 — 2й2 + -g-.
(III.41)
В рассматриваемой ступени
= ^2 = ^; w.2u = — clu; c3u = u + w2u; с2и = и — с11г. (III.42)
Если принять иj = const, максимальный к. и. д. получится при осевом
выходе потока из рабочего колеса (c2tz = 0) и для этих оптимальных условий
получим:
—) =1;
. cw / Opt
(III.43)
— cos а,.
Opt
(III.44)
На практике удобно пользоваться отношением ulC^. Чтобы выразить это
отношение через угол alt сделаем нижеследующие преобразования.
Подставив в уравнение (111.41)
й2 = ~ Н — ®i) = Ц- <ci —
получим
или
, I ,-а. 2 2.12
Йо = -у Со = С1 — С2 + с2
ci 2 2
Со — ZCi — c2.
(II 1.45)
Для ступени с осевым выходом потока имеем
2 2 2 г-а 2,2
Сг = Ci — и ; Со = Ci + ;
Отсюда, подставив (tz/cjopt = cosccj, найдем
и \
Со /opt
cos а,
j/1 j cos2 ах
(III.46)
Сравнив эту формулу с (111.36), придем к выводу, что при одном и том же
перепаде энтальпий й0 (Со = idem) для ступени со степенью реактивности
50% и с осевым выходом потока требуется окружная скорость значительно
большая, чем для чисто активной ступени.
Последние формулы были выведены в предположении осевого выхода
потока. Вместе с тем, не очевидно совпадение максимума к. п. д. с осевым
выходом потока, так как при = const изменение п/С0 связано также с от-
клонением величины сг от ее значения при с2и = 0. Для строгого доказатель-
ства формулы (III.44) надо составить выражение = f (и/С0, cos а^. С этой
целью воспользуемся уравнениями (III.30), (III.31) и (III.45), а также
равенством с2„ = —с1и -р и. Выразив в этих уравнениях cJC0 через шС0,
найдем следующую зависимость:
^=2{i-[-£-c°s^-’K(^-)2cos2ai+(^-)2+!] )• (ш-47)
124
Решив уравнение дт\/д (и/С0) = 0, убедимся в справедливости формулы
(III.44). Максимальный к. п. д.
__ п / w \2 cos2 аг
^тах ' \ Со / 1 + cos2 аг
Из треугольников скоростей имеем cz = c1sina1, а следовательно, из
формулы (111.44) непосредственно можно получить оптимальное значение
коэффициента р исхода
^opt = t§ai- (III.48)
Так же просто можно вывести выражение для коэффициента циркуляции
сш если принять во внимание, что для оптимальных условий справедливы
равенства с2и = 0 и с1и — с2и = и. Поэтому
^wopt
(III.49)
Если постепенно увеличивать и за пределами (&/С0)орь в то же время
сохраняя неизменным перепад энтальпий й0 (Со — idem), то постепенно
будут уменьшаться разности — с2и и wlu — w2UJ т. е. концы векторов
Ci и с2 будут сближаться, а лопатки будут становиться все более пологими.
Для некоторого значения окружной скорости вектор с2 совпадает с вектором
сь а вектор w2 — с вектором w1? при этом лопатки получат форму пластин.
В этом случае полезная работа сделается равной нулю, а скорости станут
равными (Cj = с2 = Со). Сравнив треугольники скоростей с аналогичными
треугольниками активной ступени, придем к выводу, что при одинаковых
перепадах энтальпий на ступень и углах а1 для рассматриваемой реактивной
ступени игаах в два раза больше, чем для активной ступени.
Если рабочее колесо затормозить (и = 0), то в треугольниках скоростей
должны совпадать векторы скоростей сг и wb а также векторы w2 и с2.
Так как ступень в таких условиях работы не совершает и предполагается, что
потерь нет, то должно быть соблюдено равенство сг = с2 Со, причем век-
торы Cj и с2 располагаются симметрично относительно оси г. При таком рас-
положении векторов расстояние между их концами измеряется разностью
^1и ^2и
= 2C0cos cq.
Сравнив в этом случае вращающий момент М с получаемым по уравнению
(Ш.40), придем к выводу, что спроектированная для указанных условий реак-
тивная ступень обладала бы таким же моментом, как и активная ступень
с тем же углом
Кривые к. п. д. ступеней для рк = 0,5 в зависимости от ulCQ представ-
лены на рис. Ш.7 (кривая 5), а пример формы проточной части —
на рис. 11.26.
Степень реактивности рк = 1. Если жидкость подводится к ступени
со скоростью == щ, то в направляющем аппарате происходит только пово-
рот потока, а все приращение кинетической энергии совершается в рабочем
колесе. На диаграмме скоростей для такой ступени векторы сг и с2 распо-
ложены симметрично относительно оси z (рис. 11.27).
Для тех условий, в которых изучается работа ступени в настоящем пара-
графе, при заданной величине теоретической работы концы векторов сг и с2
будут сближаться по мере увеличения окружной скорости. При этом вели-
чина вектора с2 будет постепенно уменьшаться, а к. п. д., согласно формуле
(III.31), будет увеличиваться. Таким образом, при обтекании профилей иде-
альной жидкостью теоретический максимум к. п. д. при рк = 1 получается
при бесконечно большой окружной скорости.
Степень реактивности рк 1- Практически такая степень реактивности
может интересовать конструктора, если он стремится отказаться от направ-
ляющего аппарата и осуществить осевой вход в рабочее колесо. Для выпол-
125
нения этого требования на диаграмме скоростей вектор входной скорости с,
должен быть направлен вдоль оси ступени. Для того чтобы такая условная
ступень совершала полезную работу, необходимо иметь на диаграмме скоро-
стей между концами векторов ct и с2 некоторое расстояние, т. е. должно
быть с2 > с±. Это требование означает, что сси <0 и рк > 1. Такая степень
реактивности может быть получена и при любом другом положении вектора
clt при котором вектор сс оказывается на диаграмме скоростей справа от
оси г (рис. II 1.9, а).
Чтобы выяснить особенности рабочего процесса такой ступени, допустим,
что за первым рабочим колесом расположен направляющий аппарат и после
него точно такое же рабочее колесо, как и первое. В этих условиях поток
Рис. III.9. Треугольники скоростей для условной турбинной сту-
пени при рк> 1 (а) и рк< 0 (б)
к направляющему аппарату подводится со скоростью с0 = с2 и io = i0 -Ь
+ Со/2 = i0 + с|/2. В этом направляющем аппарате сг <с0, поэтому про-
исходит повышение давления, в результате чего р1'^>р0 и ii>i0 (рис. III.6, б).
В рабочем колесе преобразуется в кинетическую энергию перепад энтальпий
Ч — Ч > io — 1'2- Отсюда найдем кинематическую или термодинамическую
степень реактивности
* /г,
Рк = Рг — ~Ч
Л0
Отрицательная степень реактивности (рк < 0). В направляющем аппа-
рате рабочее тело расширяется до давления рг <ZPz, и следовательно, эн-
тальпия < i2 (рис. III.6, в). Поэтому скорость рабочего тела за направляю-
щим аппаратом сг оказывается больше условной скорости Со, а относительная
скорость в рабочем колесе уменьшается (w2 < ®i)- Кинематическая или тер-
модинамическая степень реактивности для такой ступени будет
* h9
Рк--- Рг--- . »
h0
11 12
'о h
0.
Для отрицательной степени реактивности треугольники скоростей изоб-
ражены на рис. III.9, б. Такая картина скоростей нередко встречается в тур-
бинных ступенях, особенно при нерасчетных режимах. Для них характерен
большой коэффициент циркуляции и сравнительно низкое характеристиче-
ское число и!С0, при котором получается осевой выход потока. В реальной
126
турбинной ступени диффузорный эффект в рабочем колесе, как правило, свя-
зан с увеличением местных потерь энергии.
Неравные осевые скорости (с2г с1г). До сих пор мы рассматривали
условную ступень, в которой входной и выходной треугольники имели общую
высоту. При сильном проявлении сжимаемости и цилиндрических поверхно-
стях тока осевая скорость за рабочим колесом с2г может значительно отли-
чаться от осевой скорости за направляющим аппаратом с12. В таком случае
характеристики ступени существенно изменяются.
В качестве примера рассмотрим кинематическую схему турбинной сту-
пени с осевым выходом потока и c2z > с12 (рис. II 1.10). В рассматриваемой
схеме при выполнении рабочих лопаток так, что = f>2, степень реактив-
ности может быть значительно больше нуля, так как при c2z > clz получается
также w2 > В этом частном случае при равенстве углов и (3-2 и осевом
выходе потока треугольники скоростей ОАВ и ODE окажутся подобными
т. е. с увеличением с2г уменьшается оптимальное отношение с1и!и, но вместе
с тем изменяется и степень реактивности.
В общем случае при c2z =/= clz кинематическая степень реактивности
определяется по формуле (II1.7) при = и2
По мере роста c2z кинематическая степень реактивности увеличивается.
Из этой формулы также следует, что при с2г 5> с12 и заданных величинах
Qu и с2и одна и та же кинематическая степень реактивности получается
при меньшем значении и, чем в случае равенства осевых скоростей.
Уменьшение с2г по сравнению с с1г вызывает обратный эффект.
При осевом выходе потока (с2и = 0) последняя формула может быть преоб-
разована к такому виду:
Ehl 1 c^z
2и
Ря — 1
(III.51)
В связи с тем, что при с2и — 0 и заданной степени реактивности с ростом
с22 уменьшается отношение u/qm, с увеличением выходной скорости сни-
жается оптимальная окружная скорость.
Осевые компрессорные ступени
Все формулы, выведенные для турбинной ступени, легко преобразовать
применительно к компрессору, если представлять его как обращенную тур-
бину. Для такого идеализированного компрессора имели бы силу все выводы,
основанные на принципе обратимости рабочего процесса, но, как уже отмеча-
лось, далеко не всегда применение этого принципа допустимо. Принцип обра-
тимости бесспорно справедлив для всех формул, которые зиждутся на общих
законах механики. Вопрос заключается лишь в том, в какой мере допустима
та или иная идеализация процесса.
Предположим, что поток ускоряется рабочим колесом компрессора из
состояния покоя. Чтобы создать перед рабочим колесом условия для без удар-
127
ного входа, требуется направляющий аппарат, вместе с которым образуется
трехзвенная ступень (рис. 11.28). В переднем направляющем аппарате пере-
пад энтальпии создается за счет того же рабочего колеса. При этом поток сна-
чала приобретает в этом аппарате ускорение, затем вновь сжимается в рабо-
чем колесе. Так как в идеальной ступени этот процесс происходит без потерь,
то от установки переднего направляющего аппарата удельная работа колеса
не меняется и равна той ее величине, которая получается при засасывании
рабочего тела из состояния покоя.
В других случаях поток подводится к рабочему колесу уже с определен-
ной скоростью сг. Такое поле скоростей создается во всех ступенях, кроме
первой, в многоступенчатом компрессоре. При этом рабочее колесо затрачи-
вает работу, меньшую, чем в изолированной ступени, на величину кинети-
ческой энергии поступающего потока. Соответственно уменьшается и теоре-
тическая работа до величины.
2 2 2 2
(Ш .52)
~ 2 2
Таким образом, теоретическая работа компрессорной ступени соответ-
ствует теоретической работе в турбинной ступени, где затрачиваемой счи-
тается работа, совершаемая потоком в идеальной ступени.
Полезной работой ступени условимся считать ту, которую сообщало бы
потоку рабочее колесо при изоэнтропийном сжатии до заданного давления.
К. п. д. ц* идеальной компрессорной ступени становится равным единице,
как и для турбинной ступени, независимо от кинематической схемы. При
такой постановке вопроса исследование свойств ступени в зависимости от ее
структуры теряет смысл.
Если же рассматривать к. и. д. компрессорной ступени с той же позиции,
как турбинную ступень — с потерей выходной кинетической энергии, то
в компрессорной ступени следовало бы считать потерянной эту энергию за
последним направляющим аппаратом, что имеет смысл при рассмотрении
изолированной ступени (двухзвенной или трехзвенной). В таком случае для
идеальной компрессорной ступени оказалась бы применимой теория турбин-
ной ступени со всеми ее выводами. В частности, мы пришли бы к выводу
о целесообразности осевого выхода потока из ступени. Для увеличения напора
выгодной также оказалась бы закрутка потока перед рабочим колесом в сто-
рону, обратную его вращению (с1и <0).
Все эти выводы, справедливые для идеальной компрессорной ступени,
большей частью неприменимы в реальных условиях ее работы. Главная при-
чина этого кроется в том, что диффузорный эффект, сопровождающий течение
жидкости в межлопаточных каналах компрессора, не допускает такого
большого угла поворота потока, как в турбине, из-за возможных срывов
потока.
Таким образом, в определенных условиях потери энергии при обтекании
профилей в компрессорной ступени играют первостепенную роль, отодвигая
другие факторы на задний план. Тем не менее сравнение свойств реальных
компрессорных ступеней с идеальными все же представляет интерес, так как
оно выясняет силу влияния на эффективность и на структуру ступени ука-
занных выше явлений.
Необходимость снизить диффузорный эффект в компрессорной ступени
приводит к применению малоизогнутых профилей. Это означает, что коэф-
фициент циркуляции компрессорной ступени невелик.
Чтобы по возможности увеличить создаваемый ступенью напор прини-
маются сравнительно высокие окружные скорости, так что в расчетных усло-
виях компрессорная ступень обычно работает в области больших значенш
характеристического числа и/С0. Степень реактивности при этом получаетс-
также большой (рк 0,5 ч-1,0).
128
Для этих характеристических чисел получается значительная закрутка
потока не только при выходе из рабочего колеса, но и при выходе из направ-
ляющего аппарата, и кинетическая энергия за компрессорной ступенью
составляет значительную долю от общей теоретической работы колеса. Терять
эту энергию недопустимо, в связи с чем принимаются все меры к тому, чтобы
ее использовать в последующих ступенях и за конечной ступенью. Только при
этом условии можно достигнуть высокого к. п. д. и достаточно большого
напора в каждой ступени.
Последние соображения об эффективном использовании после каждой
ступени выходной кинетической энергии полностью относятся также к группе
турбинных ступеней.
III.4. ХАРАКТЕРИСТИКИ РАДИАЛЬНЫХ ТУРБОМАШИН
БЕЗ УЧЕТА ПОТЕРЬ
Рассмотрим характеристики идеальных турбомашин радиального типа
в том же аспекте одномерной теории, как это было сделано в отношении осе-
вых ступеней. Течение будем предполагать изоэнтропийным и одномерным,
а выходную кинетическую энергию — единственной потерей в ступени.
Турбинные ступени. В турбостроении широко применяются радиальные
ступени, у которых диаметры при входе потока в рабочее колесо и при выходе
из него отличаются мало. Для таких ступеней в приближенных расчетах
можно пренебрегать различием окружных скоростей и ц2. При этом все
формулы и выводы, сделанные в этой главе и относившиеся к осевым турбин-
ным ступеням, полностью сохраняют силу также для радиальных ступе-
ней. Такими свойствами, например, обладают радиальные ступени с узкими
лопатками, применяемыми в паровых турбинах.
В других конструкциях радиальных ступеней поток входит и выходит
на диаметрах, сильно между собой различающихся. При этом на лопатки
действуют значительные кориолисовы силы инерции, которые придают ради-
кльным турбинам особые свойства. Физические явления в таких радиальных
аолесах будут изучены в гл. X. Здесь же ограничимся рассмотрением общих
характеристик идеальной радиальной турбины.
Коэффициент полезного действия радиальной турбинной ступени опреде-
лим так же, как для осевой
h
= (ПК53)
где hu = ихс1и — и2с2а — полезная работа ступени; h0 — теоретическая
работа, вычисляемая по полным параметрам перед ступенью и по статиче-
скому давлению за нею.
Если кинетическая энергия за рабочим колесом теряется, то к. п. д. тур-
бинной ступени можно найти по формуле, аналогичной (III.30),
. (111.54)
со
При частичном или полном использовании выходной кинетической
энергии меняется знаменатель в последней формуле точно так же, как для
осевой ступени.
В идеальной ступени выходная кинетическая энергия — единственная
потеря. Если эта энергия полностью теряется, то максимальный к. п. д.
достигается при минимальной величине выходной скорости с2, а этому усло-
вию соответствует радиальный выход из рабочего колеса (с.1и = 0). В этом
случае имеем максимальный к. п. д.
= (III.55)
'max \ '
G0
9 И. И. Кириллов
129
Условной радиальной ступенью будем называть такую ступень, в которой
радиальные составляющие скорости при входе и при выходе одинаковы (е1г =
= с2г). Для условной радиальной ступени кинематическую степень реактив-
ности можно выразить формулой
Р- - 1 - 2 <Ш М>
При радиальном выходе потока из рабочего колеса (с2и = 0) имеем
Рк=1 --(III.57)
Эта формула совершенно аналогична полученной для осевой ступени. Из нее
следует, что кинематическая степень реактивности не зависит от окружной
скорости и2, что очевидно, так как при заданной радиальной скорости
©2 —«2 = cL=idem,
поэтому числитель формулы (И 1.1)
9 9 2 9
, _ ™2~ <4 ^1—^1
пр “ 2 2
не зависит от и2.
Для условной радиальной ступени сохраняют силу все выводы, сделанные
для осевой ступени в отношении связи между кинематической степенью
реактивности, углами потока и окружной скоростью при с2и — 0.
Если допущена закрутка за рабочим колесом, то ее влияние на характери-
стики ступени качественно оказывается таким же, как для осевой турбины.
При этом полезная удельная работа hu в меньшей мере зависит от закрутки
с2и, чем в осевой ступени, так как поток выходит из радиального колеса на
меньшем диаметре.
На практике чисто радиальные турбины применяются с узкими лопатками,
а ступени с широкими лопатками выполняются радиально-осевого типа
(рис. 11.31). Если расчет вести по среднему диаметру и для него окружная
скорость и2, то все выведенные формулы этого параграфа сохраняют силу
и для радиально-осевых ступеней. При этом следует лишь ввести в расчеты
осевую составляющую выходной скорости вместо радиальной.
Этот вывод объясняется тем, что поворот потока в меридиональном сече-
нии не может повлиять на величину вращающего момента, если не иметь
в виду потери, которые могут сказаться на векторе выходной скорости и таким
образом изменить величину с2и. Но и в этом случае вид формул сохраняется
без всяких изменений.
Применительно к радиально-осевым турбомашинам останутся без измене-
ний также чисто кинематические соотношения, например связь кинематиче-
ской степени реактивности с окружной скоростью колеса и с углами потока.
Центробежный компрессор. Характеристики ступени центробежного
компрессора, как и осевого, дают взаимосвязь степени повышения давления,
к. п. д. и расхода газа при заданной скорости вращения. Отклонение этих
параметров от расчетных влечет за собой изменение треугольников скоростей
и углов атаки при входе как в рабочее колесо, так и в лопаточный диффузор.
Ступень с бесконечным числом лопаток и с осевым входом потока в рабо-
чее колесо (czx = 90е) развивает теоретический напор, определяемый по фор-
муле
При определении скорости с2и угол р2 для всех режимов можно считать
приблизительно постоянным. Вместе с изменением расходной составляющей
130
с2г, меняется также скорость с2и. Среднюю расходную составляющую ско-
рости за рабочим колесом можно определить по формуле
с —2-
2r~ nd2l2 ’
где Q, d2 и 12 — соответственно объемный расход, диаметр и поперечная
длина лопаток при выходе из рабочего колеса С другой стороны, из рис. 11.31
видно, что
с2и = и2 + c.2r ctg р2 = и2 + -j—- Ctg р2.
Поэтому выражение для теоретического напора можно записать так:
hu = u2(u2+^Q). (111.58)
Из этого выражения следует, что теоретическая работа при сделанных
предположениях связана с объемным расходом Q линейной зависимостью
и что на характеристики ступени компрессоров большое влияние оказывает
угол 02, непосредственно связанный со степенью реактивности.
О кинематической степени реактивности центробежной ступени можно
повторить все, что было сказано применительно к радиальной и радиально-
осевой турбинам. Так, например, для радиально-осевой компрессорной сту-
пени, предположив равенство осевой составляющей скорости при входе в ко-
лесо и радиальной составляющей при выходе из него (clz = с2г), получим
выражение для кинематической степени реактивности, в точности соответ-
ствующее выражению (III.57), выведенному для турбинного колеса при с1Ц=0
= (IIL59>
III.5. ОБОБЩЕННЫЕ КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ТУРБОМАШИН
Выше было показано, насколько многообразны кинематические схемы
потоков в турбомашинах. Турбину заданной мощности можно построить из
ступеней осевых или радиальных, активных или реактивных, с полным или
частичным (парциальным) подводом рабочего тела. Для каждого из этих
типов турбомашин в широких пределах могут меняться коэффициенты рас-
хода и циркуляции. Более ограниченные из-за диффузорных эффектов, но
все же широкие возможности открываются также при выборе типов ком-
прессоров и насосов, создающих заданный напор.
Кинематика потока для многообразных схем турбомашин может быть
изучена с самых общих позиций, могут быть определены области, отвечающие
тем или иным конструктивным задачам или особым требованиям надежности и
экономичности машин.
Важнейшими конструктивными параметрами турбомашины являются
размеры рабочего колеса и частота вращения или окружная скорость.
Эти параметры должны быть связаны с заданными мощностью и расходом
рабочего тела. Нахождение такой зависимости — одна из главных задач в тео-
рии турбомашин.
Рассмотрим кинематику потока в условной ступени любой турбомашины:
турбинной, компрессорной, осевой, радиальной или комбинированной.
Поскольку исследуется кинематика потока и поле скоростей перед коле-
сом и за ним считается заданным, выводы будут в равной мере относиться как
к идеальной ступени, так и к ступени с трением. Не будем накладывать и ка-
ких-либо ограничений к закруткам потока перед ступенью или за нею.
Давая оценку кинематике потока в турбомашине, мы вместе с тем харак-
теризуем и удельную работу, поскольку формула Эйлера устанавливает про-
9* 131
стую связь между вращающим моментом и скоростями потока. Прежде всего
выясним вопрос об относительном изменении окружной скорости в зависимо-
сти от кинематической схемы турбомашины.
Относительная окружная скорость. Для большей ясности рассуждений
пока будем иметь в виду турбинную ступень, хотя приводимые выводы имеют
более общее значение.
Для осевой условной ступени установим зависимость между окружной
скоростью и степенью реактивности. Допустим, что за рабочим колесом
имеется закрутка потока, направленная в ту или иную сторону (с2н =ь 0).
В этом общем случае удельная работа определяется уравнением
hu ~ Ч (plu
а часть ее = —ис2и получается за счет закрутки потока за рабочим коле-
сом.
Обозначим ис2и = ahu, где коэффициент закрутки потока а имеет тот же
знак, что и проекция скорости с2и. При этом условии работа hc > 0, если
а <0 и c2li <0, т. е. если поток за ступенью закручен против вращения
колеса. Согласно уравнению (III.4), имеем
_ 1 ciu г г2гг _ < uc-iu — uc2li -р
2и — 2«2
ПЛИ
рк = 1 — 0,5сД1 + 2а), (III.60)
где си = hju2 — коэффициент циркуляции.
Удельную работу будем сохранять неизменной (hu — idem). Ее величину
выразим через окружную скорость для эталонной ступени, за которую при-
мем чисто активную ступень (рк = 0) с осевым выходом потока (а = 0).
Окружную скорость такой ступени обозначим и0, а ее коэффициент циркуля-
ции cUo = 2, что ясно из последнего уравнения [см. также (III.38)].
Для hu = idem имеем = ^- = . Подставив это выражение в урав-
Си„ ио
нение (II 1.60), найдем
Щ) г 1 Рк
Таким образом устанавливается связь между окружной скоростью для
осевой ступени, построенной по любой кинематической схеме (с заданными
параметрами рк и а), и окружной скоростью эталонной ступени.
Из формулы (III.61) следует, что по мере увеличения кинематической сте-
пени реактивности возрастает окружная скорость, при которой поток выхо-
дит из рабочего колеса с заданной величиной закрутки а = const (рис. III.11).
С целью уменьшения окружной скорости было бы полезно применять в турби-
нах даже отрицательную степень реактивности, но этому препятствует повы-
шение потерь энергии вследствие диффузорного эффекта в рабочем колесе.
Для осевого выхода потока (с2ы = 0, а = 0) формула (III.61) примет вид
— = , 1 (III .62)
«О у 1 — Рк
Если рк= 0,5, получим и = 1,41п0, а при рк = 0,75 — скорость и = 2и0.
Резкое повышение оптимальной окружной скорости происходит в области,
где степень реактивности рк близка к единице (рис. III.11). Если рк —» 1, то
скорость и —> оо, т. е. в этом предельном случае невозможен осевой выход
потока, что ясно из треугольников скоростей (на рис. 11.27, в средний вектор
сс совпадает с осью г). При рк > 1 величина под корнем становится мнимой,
что и физически очевидно, так как скорость с2 не может иметь осевого направ-
.132
Рис. III.11. Изменение окруж-
ной скорости и = и/и0 в зави-
симости от кинематической сте-
пени реактивности рк для осе-
вой ступени (и0 — окружная
скорость для активной ступени
при осевом выходе потока в тур-
бине или осевом входе в ком-
прессоре); а = tK2Ulhu
III.4, и это влияние прин-
ления, когда средневекторная скорость находится справа от оси z. Таким обра-
зом, по мере возрастания степени реактивности оптимальная окружная
скорость безгранично растет и осуществление ступени с осевым выходом
потока при становится невозможным.
Эти ограничения снимаются, если допустить закрутку потока за рабочим
колесом (а =Ь 0). Из формулы (Ш.61) следует, что с уменьшением коэффи-
циента а снижается окружная скорость и (рис. III. 11). Отрицательная
закрутка потока за рабочим колесом (а < 0) позволяет при заданных удель-
ной работе 1ги и частоте вращения значительно уменьшить диаметр ступени,
а при неизменной окружной скорости — увеличить удельную работу hu.
Такая закрутка может сильно сократить размеры и число ступеней, что очень
важно для паровых и газовых турбин.
Большая закрутка потока за ступенью допу-
стима, если соответствующая ей кинетическая
энергия эффективно используется при дальней-
шем движении потока в следующей ступени
или в спрямляющем аппарате, установленном
за рабочим колесом с целью преобразования
кинетической энергии во внутреннюю и потен-
циальную.
При отрицательной закрутке возможна сту-
пень со степенью реактивности рк = 1 (при
а = —0,5) и даже рк > 1 (при а <—0,5).
При неизменной окружной скорости отрица-
тельная закрутка потока с2и (а<0) вызывает
повышение степени реактивности на величину —
ah,,
-~,а положительная закрутка—снижение сте-
пени реактивности, что следует из формулы
(III.60).
Для радиальной условной ступени (с1г = с2г)
установим связь между степенью реактивности
и окружной скоростью при с2и =Р 0. Качествен-
ная оценка влияния закрутки потока на харак-
теристики радиальной ступени была дана в п
ципиально было таким же, как для осевой ступени. Здесь мы остановимся
на количественной оценке этого влияния. Предположим, как это было сде-
лано применительно к осевой турбине, что остается неизменной работа hu,
совершаемая рабочим колесом, а следовательно,
«Kiu — «2с2« = = const. (Ill .63)
Допустим, как и при выводе формулы (III.60), что под влиянием закрутки
потока с2к получается некоторая доля общей работы
^2^2w — ПИц,
Обозначим степень радиальности
где d± и d2 —• соответственно наружный и внутренний диаметры рабочего
колеса центростремительной турбины.
При этом между окружными скоростями рабочего колеса имеется зави-
симость
U2 :— d^Uy,
Из уравнения (III.63) получим:
WiCi„ = hu (1 + а); щс^ = ЩРги = •
133
Подставив эти выражения скоростей в формулу (III.56), предварительно
умножив числитель и знаменатель дроби на «4, найдем связь между окружной
скоростью и кинематической степенью реактивности
Рк — 1
hu
2и[
1 + 2а — а2( ~-11].
И2
(III.64)
Если в это уравнение подставить d2 = 1, что равносильно переходу
к осевой ступени, то формула примет такой же вид, как (III.60). Из этой
формулы ясно, что с увеличением положительной закрутки (а > 0) и неиз-
менной степени реактивности окружная скорость должна возрастать, а при
а < 0 — убывать.
Сделанные замечания и сравнение формул (III.64) и (III.60) позволяют
заключить, что эффект от закрутки потока за рабочим колесом в радиальной
центростремительной турбомашине в принципе получается таким же, как
и в осевой, но степень реактивности и окружная скорость рабочего колеса
в радиальной турбомашине изменяются под влиянием закрутки потока
в меньшей мере, чем в осевой. С этой оговоркой можно повторить все выводы
о влиянии закрутки с2и, изложенные применительно к осевым турбомашинам,
имея в виду, что это влияние будет тем меньше, чем меньше d2.
Для центробежной ступени dt < d2 и d2 > 1. Поэтому влияние степени
реактивности и закрутки при выходе из ступени на окружную скорость тур-
бинного рабочего колеса в этом случае будет больше, чем в осевой ступени.
Для связи между степенью реактивности и окружной скоростью приме-
нительно к радиальной ступени можно получить формулу, аналогичную
уравнению (III.61), приняв в качестве эталона осевую условную активную
ступень, для которой рк = 0, а = 0, d2 = 1 и оптимальная скорость их =
= Ui0, тогда как перепад энтальпий hu = idem. При этом, так же как для
осевой турбины, имеем
hu = 2u?„
и, использовав уравнение (III.64), получим
(III.65)
В случае радиального выхода потока (а = 0) из уравнения (III.65) по-
лучим формулу (II 1.62), выведенную для осевой ступени. Для этого частного
случая параметр d2 не оказывает влияния на величину требуемой окружной
скорости и все выводы, сделанные для осевой турбомашины, сохраняют силу
для радиальной ступени.
Это исследование в равной мере относится к компрессорным ступеням,
если коэффициентом закрутки потока а характеризовать скорость с1и перед
колесом. Для этого случая пригодна, в частности, и формула (II 1.62).
Удельная работа. При заданной окружной скорости удельная работа
находится в прямой зависимости от коэффициента циркуляции си, согласно
уравнению (III.13).
В частном случае при осевом выходе потока из турбинного колеса или
осевом входе его в компрессорное колесо кинематическая степень реактив-
ности становится функцией только закрутки потока соответственно перед и
за рабочим колесом. Этим свойством турбомашин полезно воспользоваться
для установления связи между конструктивными особенностями рабочего
колеса и удельной работой hu. Изложенные ниже соображения в одинаковой
мере относятся к осевым, радиальным, радиально-осевым турбинам и ком-
прессорам. На рис. III. 12 лишь для примера показаны схемы применительно
к радиальным ступеням.
134
Будем называть рабочие лопатки в зависимости от формы их входного или
выходного участка, соответственно для турбины или компрессора,«загнутыми»
вперед или назад относительно направления вращения и радиальными или
осевыми, если входная (для турбины) или выходная (для компрессора) ско-
рость потока перпендикулярна окружной скорости. В принципе все эти типы
лопаток могут применяться в радиальных и осевых ступенях. Окружную ско-
рость будем обозначать через и, подразумевая, что и = иг для входа в тур-
бинное колесо и и = и2 для выхода из компрессорного колеса.
Загнутые назад лопатки турбины или, в силу обращения движения, за-
гнутые вперед лопатки компрессора предназначены для относительного
потока с углом pt < 90° в турбине и <90° — в компрессоре (рис. II 1.12).
Рис. III.12. Схемы радиальных турбомашин с различной формой лопа-
ток: а — компрессор с осевым входом потока; б — турбина с осевым вы-
ходом потока
I — загнутые назад лопатки; fl — радиальные лопатки; III — загнутые вперед
лопатки
При этом получим соответственно с1и > и и с2и > и, а следовательно, со-
гласно формулам (III.5), будет рк <0,5. Типичные рабочие колеса рассмот-
ренного вида применяются в турбинах активного типа и в вентиляторах.
Радиальные (осевые) лопатки применяются для входа или выхода от-
носительного потока под углом 90°. При этом для турбины или компрес-
сора соответственно с1и *=& и или с2и «=* и, а поэтому рк 0,5. Типичные
колеса такого типа встречаем в центростремительных турбинах и центробеж-
ных компрессорах, а также в осевых турбинных реактивных ступенях.
Загнутые вперед лопатки турбины или загнутые назад лопатки компрес-
сора предназначены для потока с углом входа > 90е в турбине и >
>90° — в компрессоре (рис. 111.12); при этом получается соответственно
с1и <п или с2и < и и рк > 0,5. Такие ступени находят применение в осе-
вых турбинных ступенях и в центробежных компрессорах.
Согласно формуле Эйлера, имеем для турбины при с2и = 0
hu = uclu (III.66)
и для компрессора при с1и = 0
— ис2и.
(III.67)
Поэтому турбина с загнутыми назад лопатками или компрессор с загну-
тыми вперед лопатками, для которых соответственно с1ы или с2и достаточно
велики, обеспечивают сравнительно большую удельную работу hu при
135
заданной окружной скорости и. Турбина с загнутыми вперед лопатками (Рх>
> 90°) или компрессор с загнутыми назад лопатками ф2 > 90°) способны
развивать при определенной скорости и (относительно малую удельную ра-
боту hu. Турбомашины с радиальными (осевыми) лопатками занимают про-
межуточное положение.
На рис. Ш.13 представлена диаграмма изменения удельной работы hu
в зависимости от с1и для турбины или с2и для компрессора при заданной
окружной скорости и. Из формул (Ш.66) и (III.67) видно, что удель-
ная работа изображается на диаграммах прямой линией.
, , . . На той же диаграмме для каж-
Рис. III. 13. Изменение работы hu и пере-
пада энтальпий hp в рабочем колесе в зави-
симости от закрутки потока с2и за компрес-
сорным колесом или с1и перед турбинным ко-
лесом (величины в скобках относятся к тур-
бине) :
1 — ftu; 2 ~ ~ кр
дого типа ступени показана энергия
hp, характеризующая преобразования
в рабочем колесе внутренней и по-
тенциальной энергии в кинетическую
для турбины или обратные превра-
щения для компрессора, согласно
формуле (Ш.2). Для компрессора
при осевом входе потока имеем
hu hp = hu (1 рк) = g .
Это уравнение является уравнением
параболы.
Диаграмма дает представление
о сравнительных кинематических
свойствах турбомашин различного
типа для одной и той же окружной
скорости при входе потока в рабочее
колесо турбины или выходе его из
компрессорного колеса. Она в рав-
ной мере относится к осевым и ра-
диальным турбомашинам.
III.6. ПАРАМЕТРЫ ПОДОБНЫХ ТУРБОМАШИН
Выше была дана оценка свойств турбомашин с различной кинематикой
потока. Здесь же сравним между собой турбомашины с геометрически подоб-
ными проточными частями.
Расход и мощность. В подобных турбомашинах отношение какой-либо
одноименной скорости потока с к соответствующей окружной скорости ра-
бочего колеса и должно быть одинаковым, т. е. с/и = idem. Это отношение
выражает связь между скоростями потока и рабочего колеса и служит в ка-
честве характеристического числа ступеней турбомашин.
При рассмотрении подобных турбомашин за характерную скорость по-
тока можно выбрать расходную составляющую сг и заменить эту скорость
пропорционально с ней меняющимся отношением расхода к площади
с
г d2 ’
где Q — объемный расход жидкости для какого-либо сечения турбомашины,
d — диаметр рабочего колеса (или любой другой линейный размер, так как
предполагается геометрическое подобие проточных частей). Связь между
окружной скоростью и и частотой вращения п может быть представлена оче-
видным соотношением и — nd.
На основании этих соображений для подобных турбомашин вместо отно-
шения cz — сг/и = idem можно рассматривать комплекс
-%- = i dem. (111.68)
136
Следовательно, кинематическое подобие турбомашины не будет нару-
шено, если расход и частоту вращения умножить на одно и то же число.
Если уменьшить линейный размер, то для соблюдения подобия расход дол-
жен быть снижен пропорционально кубу линейного размера. Уменьшить
линейный размер можно также за счет увеличения скорости вращения
обратно пропорционально кубу линейного размера. Поэтому могут быть
построены, например, две кинематически подобные турбомашины: одна
с очень большими, а другая с очень малыми рабочими колесами и расходом
рабочего тела, причем первая должна вращаться с малой, а вторая — с боль-
шой частотой.
Это свойство подобных турбомашин используют при построении и испыта-
нии моделей мощных агрегатов. Законы подобия открывают возможность
сооружать простые лабораторные установки для испытаний небольших моде-
лей крупных турбомашин.
Удельная работа h, совершаемая рабочим телом в кинематически подоб-
ных турбомашинах, изменяется пропорционально квадрату скорости с
в каких-либо сходственных точках потока, что следует из уравнения Эйлера
(11.133) или (11.134). Поэтому для несжимаемой и сжимаемой жидкостей
в подобных турбомашинах h^c^.
Если в кинематически подобных турбомашинах размеры проточной части
и плотность рабочего тела сохраняются одинаковыми, то массовый расход G
пропорционален скорости, а из уравнения (11.132) следует, что при измене-
нии только скоростей мощность турбомашины растет или убывает следующим
образом:
ТУ^с3; (III.69)
При тех же условиях вращающий момент и давление, действующее на
лопатки подобных турбомашин, будут изменяться пропорционально квад-
рату скорости, что следует из формул (П.125) и (11.128).
Для сжимаемой жидкости следует иметь в виду, что с изменением скорости
меняется также плотность, так что при соблюдении геометрического и кине-
матического подобия (если это возможно) массовый расход жидкости ме-
няется пропорционально произведению рс, а давление на лопатки пропор-
ционально ре2, что ясно из уравнения (11.125).
На основании изложенного можно составить ряд очень простых и вместе
с тем важных соотношений, играющих большую роль в теории турбомашчн.
Выпишем эти соотношения для двух случаев моделирования, отмечая индек-
сом м размеры и параметры модели.
1. Одна и та же турбомашина (dM = d) работает при различном напоре
(теоретической работе) h. Для этих условий справедливы формулы:
пм Т /" Ли . Qm _ 1 /~ . NM /т т т
п ~~ V h ' LQ ~ V h ’ Л/ ' й3/2 ’ ’
Последнее соотношение верно лишь для неизменной плотности рабочего
тела.
2. Две подобные турбомашины работают при одинаковом напоре (hM =
—h), а следовательно, и с одинаковыми скоростями, но обладают различными
диаметрами. В этом случае имеют силу пропорции:
пм & . Qm _ _ dM /ттт 7i\
п — dM ’ Q ~ d2 N ~ d* • 1 ’
Последнее равенство справедливо только при постоянной плотности. При
одновременном изменении как размеров модели, так и напора по сравнению
с натурными величинами легко можно установить зависимости между пара-
метрами модели и натуры двойным моделированием: понапору Ли по размеру d.
П р и в еденные параметры вводят для удобства оценки ка-
честв турбомашин по опытным данным. Для этого полученные в результате
137
испытаний модели величины расхода и частоты вращения относят, согласно
формулам подобия, к размерам условной турбомашины со средним диамет-
ром d — 1 м, работающей при единичном напоре. Приведенные частота вра-
щения п1У расход Qi и мощность Nx для такой условной турбомашины, рабо-
тающей на несжимаемой жидкости, согласно равенствам (III.70) и (III.71),
можно записать так:
nd Q ,т N
' ~р— у Qi — ~ , /VJ —------.
Vh d2h]/h
(III.72)
Коэффициент быстроходности. Найденные выше простейшие соотноше-
ния, справедливые для кинематически подобных турбомашин, облекают в
весьма разнообразную форму. Примером может служить коэффициент быст-
роходности, широко применяемый в расчетах гидромашин, вентиляторов и
др. Для частоты вращения подобных турбомашин можно написать оче-
видное равенство
п = const
или
п = const
/Л
d ’
(III.73)
где h — напор в турбомашине.
С другой стороны, объемный расход газа Q = Scz, где S — ометаемая
площадь. Для подобных машин эта площадь пропорциональна d2, а так как
cz ~ h, то объемный расход
Q — const d2 или d == const -J-^-.
Подставив последнее выражение для d в уравнение (III.73), получим
п =const
(II 1.74)
Мощности подобных турбомашин пропорциональны произведению массо-
вого расхода на напор, если пренебречь изменением к. п. д., т. е. N ~ pQh.
Поэтому, подставив в формулу (III.74) мощность вместо расхода и приняв
плотность р неизменной, получим
4 >—
, h y^h
П = Const---7=— •
Yn
Если в этой формуле h — 1иМ=1,то постоянный коэффициент получит
определенное значение. Эту размерную величину обозначим пб и назовем
коэффициентом быстроходности. Если для турбомашины известны мощ-
ность, частота вращения и напор, то из предыдущего уравнения может быть
получен коэффициент быстроходности
п6-—п
(III.75)
Коэффициент быстроходности характеризует ту частоту вращения, кото-
рую имела бы модель рассматриваемой турбомашины, если бы эта модель
была предназначена для работы при единичных мощности и напоре. Для
каждого типа турбомашины получается своя условная модель для указанных
единичных параметров, и этой модели соответствует определенный коэффи-
циент быстроходности. Так как коэффициент быстроходности служит только
для сравнения основных качеств турбомашин, то безразлично, какие выбраны
138
единицы измерений для мощности и напора, но для всех сравниваемых машин
должны быть приняты одни и те же размерности.
Коэффициент быстроходности, согласно формулам (III.72) и (III.75),
можно выразить в приведенных величинах
пб = Пг VX,
где Л\ — мощность, приведенная к диаметру колеса d = 1 м и единичному
напору.
Для турбины при единичном напоре справедливо выражение
= pQii],
поэтому
Пб = «1V pi] VQ1
Из последнего выражения ясно, что высокая быстроходность турбомашин
связана с большими пропускной способностью Q1 и приведенной частотой
вращения пг. Величина последней определяется выбранной степенью реак-
тивности. Пропускная способность турбомашины зависит как от размеров
живых сечений проточной части, так и от величины расходной составляющей
скорости сг. Поэтому быстроходным ступеням турбомашин свойственны длин-
ные лопатки, большие осевые скорости потока и высокая степень реактив-
ности.
Для выяснения физической сущности коэффициента быстроходности
выразим его через коэффициент расхода сг и коэффициент циркуля-
ции си. Ометаемую лопатками поверхность и массовый расход жидкости
можно представить в таком виде:
S = ^(l-v2); О = рЕг«-^(1-т2),
где v = d'Id"', d' и d" — диаметры ступени соответственно у корня лопатки
и на периферии; сг = cju.
Напор, согласно уравнению (III.13), можно выразить через коэффициент
циркуляции си следующим образом:
h = и2си.
Приняв во внимание, чю п ~ aid, уравнение (II 1.75) запишем в таком
виде:
1 __________
пб = Сс?~Си 4 7 , (Ш.76)
где С — постоянная.
Здесь постоянная С имеет размерность коэффициента быстроходности пб.
Можно было бы отбросить коэффициент С, тогда вместо коэффициента бы-
строходности получился бы новый безразмерный коэффициент, более строгий
с теоретической точки зрения, но не включающий в явном виде важнейшие
для конструктора параметры турбомашин — мощность и напор, которые
вошли в уравнение (II 1.75).
Из уравнения (Ш.76) видно, что все ступени турбомашин с полным под-
водом рабочего тела, для которых подобны треугольники скоростей (сохра-
няются сг и с„) и которые имеют одинаковое отношение диаметров т, обла-
дают одним и тем же коэффициентом быстроходности. Вместе с тем было бы
неправильно утверждать, что при одном и том же коэффициенте быстроход-
ности обязательно должны быть подобными треугольники скоростей. Дей-
ствительно, если сохранить постоянными коэффициенты с2, си и v, но изме-
нить, например, степень реактивности рк, то подобие треугольников скоро-
стей нарушится, что ясно из рис. III.5, тогда как коэффициент быстро-
ходности сохранится прежним. Разумеется также, что при парциальном
139
подводе жидкости путем изменения степени впуска можно в широких преде-
лах менять коэффициент пб (так как меняется расход), не нарушая в то же
время подобия треугольников скоростей и отношения диаметров v.
Коэффициент быстроходности приобретает определенный смысл, если
ввести дополнительные ограничения. Так, например, если сравнивать только
условные турбинные ступени с осевым выходом из рабочего колеса, то при
с2и = 0 безразмерные треугольники скоростей вполне определяются зада-
нием двух параметров, например и = причем степень реактивно-
сти может быть просто выражена формулой (II 1.5)
нению (111.76), для достижения большого
Рис. Ш.14. Колеса радиально-осевых гидротурбин
различной быстроходности
Схемы ступеней с такими характеристиками
в области больших и малых си, например
Таким образом, если обусловить осевой выход потока, то, согласно урав-
юэффициента быстроходности
необходимо турбинную сту-
пень конструировать так, что-
бы коэффициент расхода был
как можно больше, а коэф-
фициент циркуляции — как
можно меньше. Малой вели-
чине коэффициента циркуля-
ции при заданном напоре
соответствует относительно
большая окружная скорость,
что следует из уравнения
Эйлера, а это, в свою очередь,
равносильно высокой приве-
денной частоте вращения nv
Малая величина си при осевом
выходе потока означает так-
же, что велика кинематиче-
ская степень реактивности,
можно видеть на рис. III.5
при = 0,75 и си — 0,5.
Для увеличения коэффициента быстроходности следует выбирать также
малое отношение диаметров v, что ясно из формулы (III.76). Предел умень-
шению коэффициента v ставят потери энергии, которые существенно возра-
стают при большой веерности лопаток (у <0,5).
Величина выходной скорости с2 — сг может быть выбрана в зависимости
от совершенства диффузора, расположенного за рабочим колесом. Если из
этих соображений установлен максимально допустимый коэффициент рас-
хода с2, то в формуле (III.76) останется одна неизвестная сиУ выбор которой
будет равносилен заданию коэффициента быстроходности В этой трак-
товке большая быстроходность ступени означает малый коэффициент цирку-
ляции.
Из сказанного следует, что наибольшая быстроходность достигается при
одновременном предельном увеличении коэффициента расхода и уменьшении
коэффициента циркуляции и отношения диаметров v. Получаемая при этом
высокая степень реактивности приводит к большим окружным скоростям,
что при заданном напоре дает возможность увеличить расход (большой ди-
метр) или повысить частоту вращения. Наименьший коэффициент быстро-
ходности имеют гидротурбины ковшового типа и ступени скорости, приме-
няемые в тепловых турбинах. Примеры колес гидротурбин различной быстро-
ходности показаны на рис. III. 14.
Применение турбомашин с большим коэффициентом быстроходности не
всегда целесообразно. Так, повышение коэффициента быстроходности гидро-
140
турбин и насосов связано с ухудшением их кавитационных качеств, что
имеет решающее значение при больших напорах. Выбор коэффициента быстро-
ходности турбомашины зависит от условий ее работы.
III.7. ВЛИЯНИЕ ПРОФИЛЬНЫХ ПОТЕРЬ ЭНЕРГИИ
НА ХАРАКТЕРИСТИКИ ТУРБИННЫХ СТУПЕНЕЙ
Выше, при исследовании характеристик турбомашин были приняты во
внимание только выходные потери энергии. Потери же от трения и другие
аэродинамические потери не учитывались.
Некоторые турбомашины настолько совершенны, что силы трения в их
лопаточном аппарате играют небольшую роль. Например, к. п. д. крупных
гидротурбин достиг 93—95%. Столь же высокие значения к. и. д. в особо
благоприятных условиях получаются также для ступеней паровых и газовых
турбин и компрессоров.
В других же турбомашинах в силу неизбежных свойств конструкции по-
тери энергии в лопаточном аппарате значительны. К их числу относятся,
например, ступени с короткими лопатками. Характеристики этих ступеней
существенно изменяются под влиянием потерь от трения.
Переходя к изучению влияния потерь энергии на работу турбомашин,
заметим, что в связи со сложными явлениями, протекающими на диффузор-
ных участках проточной части компрессоров, нецелесообразно рассматривать
их реальные характеристики на базе одномерной теории. В известной мере
это относится и к гидротурбинам. Поэтому ограничимся исследованиями влия-
ния потерь в одномерной постановке задачи лишь для тепловых турбин.
В этом параграфе мы будем иметь в виду в основном профильные потери
энергии, а также те потери, которые условно могут быть приведены к про-
фильным и которые были учтены при выводе турбинного уравнения Эйлера.
В п. 1.11 в уравнения движения были введены массовые силы Лоренца,
заменявшие силы давления от лопаток на поток. Было также показано, что
и касательные силы можно рассматривать как массовые силы, равномерно
распределенные в потоке. Эта схема равносильна замене конечного числа
лопаток бесконечным. В таком аспекте можно считать, что силы трения сни-
жают скорость течения равномерно по всему живому сечению. При этом,
сохраняя точно такую же схему потока в турбомашине, как для идеальной
жидкости, вместо теоретических скоростей будем вводить уменьшенные ско-
рости, пользуясь обычными для струйной теории поправочными коэффици-
ентами скорости, взятыми из опыта.
Принятая идеализация потока позволяет считать его равномерным в жи-
вых сечениях как перед колесом, так и за ним. В этих условиях чрезвычайно
упрощается применение турбинного уравнения Эйлера для определения вра-
щающего момента.
Выводы этого параграфа будут относиться не только к осевым турбин-
ным ступеням, но в равной мере и к радиальным с узкими лопатками
и2). Для последних ступеней идеализация течения, основанная на прин-
ципах одномерной теории, еще более уместна, чем для осевой ступени, так
как в радиальных ступенях меньше проявляется эффект вторичных течений.
Рассмотрим простейшие схемы турбинных ступеней. Расширение рабо-
чего тела будем считать от полных параметров перед ступенью (точка О на
рис. Ш.2). Состояние газа в конце изоэнтропийного расширения опреде-
ляется точкой 2' на fs-диаграмме.
Общие потери энергии в направляющем аппарате можно выразить как
долю полного перепада энтальпий
АЛ1 = С1^, (Ш.77)
* со
где /ii = й1 + -гр Эта потеря, отложенная вверх от точки Г по изоэн-
тропе, а затем перенесенная по линии = const, определяет на изобаре pt
141
точку 1, соответствующую состоянию газа при выходе из направляющего
аппарата. Плотность рабочего тела в этой точке войдет в формулы для опре-
деления длины направляющих лопаток.
Общие потери энергии в рабочем колесе определим так же, как в направ-
ляющем аппарате,
A/i2 = C2/Z2, (II 1.78)
*
где hi = h2 + ~2-----полный перепад энтальпий, соответствующий кине-
тической энергии за рабочим колесом в случае процесса в нем без по-
терь энергии. Потеря Ай2, отложенная на is-диаграмме вверх от точки 2",
определяет на изобаре р2 точку 2, соответствующую состоянию газа при вы-
ходе из рабочего колеса. Плотность рабочего тела р2 в этой точке послужит
для вычисления длины рабочих лопаток.
Профильные потери энергии в лопаточном аппарате выражаются через
коэффициенты скорости ф и ф, если принять w2= где индек-
сами t отмечены теоретические скорости, получаемые при расширении без
потерь. Располагаемую работу в направляющем аппарате определим из урав-
нения
С2 1 с2
, * _ си _ 1 С1
П1~ 2 “2 <р2 ’
а потери энергии
1 с2
ДА1 — -2- (сп — ci) = ~ (1 — ф2).
Поэтому, согласно равенству (III.77),
£1=1 — ф2. (III.97)
Точно так же найдем
с, = 1— ф2. (III.80)
Утечки рабочего тела, которые следует учитывать особо, а также потери
от трения и вентиляции пока во внимание принимать не будем. Концевые
потери, строго говоря, также целесообразно рассчитывать отдельно от
профильных потерь. Но в ориентировочных расчетах они могут быть учтены
введением в формулы пониженных значений коэффициентов скорости ф и ф.
Таким образом, здесь будем принимать в расчет выходные, профильные,
и, возможно, концевые потери, т. е. потери, в принципе учитываемые в тур-
бинном уравнении Эйлера. При этом полезная работа ступени определяется
по формуле Эйлера с той точностью, с которой можно установить средние
скорости потока перед рабочим колесом и за ним. Эту работу по-прежнему
будем обозначать через hu и вычислять по уравнению (II. 133) или по формуле
с2
hu = h0 — Мц — A/i2----%-.
Предполагается, что выходная кинетическая энергия Сг/2 вся или частично
теряется. На рис. III.2, в точкой А отмечено состояние рабочего тела за сту-
пенью с учетом частичной потери выходной кинетической энергии (1 — ц)сг/2.
Отрезок АВ изображает величину кинетической энергии |.icf/2, которая
будет использована при дальнейшем течении рабочего тела. Энергия pri/2
входит в состав располагаемой работы следующей ступени, и поэтому ее не
следует включать в работу идеальной ступени. Эту располагаемую работу
запишем так:
с?
ЛОЦ = — и ~2-• (III.81)
142
К. п. д. ступени на окружности можно выразить следующим образом:
. (III.82)
С?
Ло-Р-^-
При полной потере выходной кинетической энергии (р = 0), окружной
к. п. д. будем обозначать через щ;, а при полном ее использовании в следую-
щей ступени (р = 1) — через т]и.
Ранее мы уже применяли условную скорость Со, соответствующую тео-
ретической работе ступени, и убедились, что с помощью характеристичес-
кого числа и/С0 удобно сравнивать характеристики ступеней различного
типа. В общем случае р=А 0, и условную скорость целесообразно определять
из равенства
C0(i = K2K- (Ш-83)
Между скоростями СП(Х и Со имеется простая зависимость
Сом = Со1/ l-p-J • (III.84)
г с2
Если предполагается полное использование выходной кинетической
энергии, то р = 1. В расчетах такой ступени будем применять условную ско-
рость
Окружной к. п. д. ступени можно также выразить через скорости потока,
использовав уравнение (III. 30), но введя условную скорость СОц,
TJU = 2ц . (111.85)
Для чисто осевой ступени и1 = и2 = н; в этом случае числитель в послед-
ней формуле можно записать в виде 2и (wlu — w2u).
Характеристики осевой активной турбинной ступени
Допустим, что перепад энтальпии в рабочем колесе й2 ~ 0, а поэтому и
термодинамическая степень реактивности равна нулю.
Вследствие трения кинематическая степень реактивности рк ф 0 и рг ¥=
=т=рк, но при больших фотклонение от нуля кинематической степени реактив-
ности будет невелико. Допустим, что углы Рх и Р2 могут несколько разли-
чаться, причем Р2 << Рг. Поскольку давление перед рабочим колесом и за
ним одинаково, то
„ cos В» , cos В» , х
= ф 1£)г и ш2н = фйУг cos р2 = фда= Ф 7^- (С1« — и).
Поэтому
, . /, , cos р2 \
W1U — W2u = (с1ы — «Ц1 — ф J -
BJaKTHBHofi ступени весь перепад энтальпий преобразуется в кинетичес-
кую энергию в направляющем аппарате, а это означает, что
Ск = CqJ Ci = фСр и Cju — ф cos cc^Cq.
143
к. п. д. ступени при р = 0. При полной потере выходной кинетической
энергии определим к. п. д. по формуле (Ш.ЗО), приняв во внимание только
что найденные соотношения. После простых преобразований получим
= (III.86)
„ , cos 62
Если считать в этом уравнении неизменными ах, <р и ф cos~0-, то макси-
мальный к. п. д. будет достигнут при оптимальном значении характеристи-
ческого числа
U)oP,-'yTL- (Ш-87>
или
=2
\ и /Opt
Отношение косинусов
в формуле для к. п. д. мо-
жет быть произвольным,
, cos В2 ,
НО обычно ф cos | —1’
т. е. —wlu, при этом
с2г <с1г- Из последних ра-
венств следует, что t2Uopt =
— 0 и коэффициент цирку-
ляции си = 2.
Таким образом, для
активной ступени указан-
ного типа (wlu = —w2lt)
выходе потока. Если же эти
Рис. III. 15. К. п. д. турбинных ступеней:
---------реактивные ступени (о = р* = 0,5; = 0,93;
\ к т
верхняя кривая — <р = = 0,97);------активные сту-
пени (Рт = 0; <р = 0,97; ip = 0,94)
максимальный к. п. д. достигается при осевом
проекции относительных скоростей по величине не равны, то это условие,
строго говоря, не соблюдается.
Для того чтобы выразить к. п. д. через коэффициент расхода с12 = с12М>
в формулу (III.86) подставим
С = С1 = С1г
0 <р ф sin сц
и после простых выкладок получим
Т]и = ф2 (1 - Ф-^-) (1 - tg ai) 4- sin 2ax. (I II .8Ь)
Из последней формулы или из уравнения (III.87) при ах = const найдем
Ci2opt =2tgax.
Очевидно, что с увеличением угла ах при заданной скорости Со возрастает с12
и выходная потеря.
Кривые к. п. д. на рис. III. 15 построены, согласно формуле (III.86),
в зависимости от и!Са. Для углов ах = 13 и 20° максимальные к. п. д. полу-
чились соответственно при и/С0 — 0,48 и 0,46; с увеличением ссх отношение
и/С0 несколько уменьшилось и к. п. д. упал. Последнее объясняется уве-
личением выходной скорости потока с ростом ах. С увеличением угла «i
коэффициент расхода на оптимальном режиме существенно возрастает: при
ах = 13 и 20° имеем соответственно c2opt 0,46 и 0,73.
Сравнение характеристик, полученных с учетом потерь энергии в лопа-
точном аппарате и в предположении идеальной ступени (рис. III.7), приводит
к заключению, что при высоких значениях коэффициентов (риф кривые
144
к. п. д. по своему характеру сравнительно мало отличаются и что оптимальные
величины характеристических коэффициентов сохраняются приблизительно
одинаковыми. Поэтому основные выводы, сделанные для идеальных сту-
пеней, сохраняют силу также для реальных турбинных ступеней. Это отно-
сится и к изменению профилей лопаток в зависимости от u/CG (рис. III.8).
В обоих случаях форма характеристик в основном определяется выходной
потерей. При значительном отклонении от оптимальных условий за счет
этой потери к. п. д. ступени сильно снижается. Поэтому большое внимание
следует уделять выбору оптимальных характеристических коэффициентов и
углов потока.
Оценим влияние небольших отклонений коэффициентов скорости ф и
ф на к. п. д. ступени. Допустим, что в формуле (III.86) сохраняются неизмен-
ными все величины, кроме коэффициента скорости ф, который изменим на
малую величину Аф. Воспользуемся разложением в ряд, сохранив лишь
член, содержащий Аф в первой ступени, и отбросив все члены высшего
порядка по отношению к Аф. При этом допущении к. п. д. изменится на
величину
Так как
дп«=-^-Дф.
COS Cq =
и
ф cos
cos р2
C0S р!
Ф cos ах
0 7 U
ф COS Щ — —
С0
то
Чи
Ф cos си
Ф cos
Дф
V
(III.89)
В области, близкой к оптимальным условиям,
а поэтому
и ~ Ф cos ai . Фcos ai
So ^ 2 ’ и
Ф cos — —
Ат|« 2 Аф
Пи ~ Ф
(III.90)
Следовательно, вблизи максимума кривой к. п. д. изменение коэффициента ф
на 1 % вызывает изменение к. п. д. активной ступени приблизительно на 2%.
Коэффициент в правой части уравнения (III.89) в области ulC^<Z
< (w/Co)opt становится меньше двух, а в области и/С0 > (w/C0)Opt — больше
двух.
Исследовав точно таким же путем влияние небольшого отклонения коэф-
фициента ф, получим изменение к. п. д. приблизительно на величину
где
Так как для активной ступени величина
приблизительно можно принять
cos р2
COS рг
близка к единице, то
2
с COS В
COS Pj
COS
10 и. И. Кириллов
145
а тогда, независимо от величины
имеем
Со’
= Jk
сф 2ф
и, следовательно,
Ащ/ 1 Аф
Ъи 2 ф
(III.91)
Сравнение равенств (Ш.90) и (IIL91) приводит к выводу, что в активной
ступени при условиях, близких к оптимальным, изменение коэффициента ср
сказывается приблизительно в четыре раза сильнее, чем такое же изменение
коэффициента ф. Это объясняется тем, что в активной ступени скорость рабо-
чего тела в направляющем аппарате значительно превышает относительную
его скорость в рабочем колесе. Однако следует иметь в виду, что в активном
рабочем колесе вследствие неблагоприятной формы каналов, а также в связи
с неравномерностью и нестационарностью потока могут возникать существен-
ные дополнительные потери энергии, снижающие величину коэффициента ф
по сравнению с результатами продувок плоских решеток и существенно
меняющие его величину в зависимости от режима работы.
К. п. д. ступени при р >> 0. Использование выходной кинетической
энергии может существенно улучшить характеристику ступени. Многосту-
пенчатые турбины обычно конструируются так, чтобы кинетическая энергия
потока за рабочим колесом могла быть использована в последующей ступени,
для которой она входит в состав теоретической работы. Поэтому для ступеней
с использованием выходной энергии к. п. д. на окружности определяется по
формуле (IIL82) при условии, что ц 0. Исследуем такую ступень и сравним
ее характеристику с характеристикой ступени при р = 0. Для этой цели
введем условную скорость СОм, согласно формулам (III.83) или (III.84).
Для упрощения выкладок ограничимся рассмотрением ступени с рабо-
чими лопатками, обеспечивающими углы выхода потока, равные углам
входа, т. е.
Р2 = 180° —рх и
Выразим скорость с2 в виде функции от и и Со, использовав ранее выве-
денные соотношения и очевидные равенства
с2и = и + ^2и = и — Ф^’ш = и — Ф (Со<Р COS аг — и).
В исследуемой ступени w2 = ф^. Следовательно, при сделанных пред-
положениях
r2z = ФО? — Ф^1sin — софф sin ^1-
С помощью этих выражений после элементарных преобразований полу-
чим
с\ = С2ф2ф2 -f
и2 (1 + ф)2 — 2С0шрф (1 + Ф)СО8 ССЬ
и к. п. д. на окружности
пг =
1 и
о и / и \ /f |
2 7,- I <Р cos «х — (1 + 1|>)
со \ ио/
(111.92)
(1 4- ib)2 — 2 (1 -J- ip) cos
Со Со
Кривая f (-Х-) , построенная по формуле (III.92) при р = = 1
(рис. II 1.15), имеет значительно более пологую вершину, чем такая же кри-
вая, построенная для р = 0, т. е. без использования выходной скорости.
146
Величину (7т-)
\ I'D /
t найдем, решив уравнение
где
=к——(pcosaj ,
\ с0 / opt
(Ш.93)
1 — Цф2ф2
К —------------------------.
РФ (1 — “ф2) COS Щ
С изменением р характеристическое число (u/C0)opt существенно ме-
няется (.рис. III. 16). Например, для <р = 0,96; ф = 0,90; = 14° и р = 1
путем вычислений по формуле (II 1.93)
найдем
Рис. III. 16. Изменение (&/C0)opt в зави-
симости от коэффициента использования
выходной кинетической энергии
тогда как для тех же условий, но без
использования выходной скорости
(р = 0)
/«\ = фСО8Щ_
\ с0 / opt 2
Таким образом, при заданном пере-
паде энтальпий полное использование
выходной кинетической энергии вызы-
вает в активной ступени значительное
повышение оптимальной окружной ско-
рости. Выходная скорость получает осе-
вое направление независимо отее исполь-
зования в следующей ступени, и формула (III.87), соответствующая осевому
выходу потока из ступени, остается справедливой для любых значений
коэффициента р. Значит, повышение окружной скорости, необходимое для
достижения (w/C0)opt > (tt/C^opt^, вызывает закрутку потока за рабочим
колесом в направлении его вращения (с^ *> 0).
Неосевой выход потока на оптимальном режиме. При использовании
выходной кинетической энергии к. п. д. возрастает, несмотря на некоторую
закрутку потока в сторону вращении. Повышение к. п. д. в области высоких
значений tt/C0 объясняется уменьшением относительных скоростей и соответ-
ствующим снижением потерь энергии в рабочем колесе, тогда как при соблю-
дении активного принципа работы потери в направляющем аппарате сохра-
няются неизменными. Таким образом, оптимальный режим работы нельзя
всегда связывать с осевым выходом потока.
Можно привести и ряд других примеров, когда с увеличением н/С0 потери
в рабочем колесе снижаются. Такая картина, например, наблюдается в усло-
виях сильного проявления нестационарных явлений при обтекании рабочих
лопаток неравномерным потоком (см. гл. VIII). В таких случаях максимум
к. п. д. может получиться при существенной закрутке потока за рабочим ко-
лесом, даже если выходная кинетическая энергия полностью теряется.
Такое и<е явление может наблюдаться в ступенях с малоизогнутыми лопат-
ками, спроектированными для работы с закруткой за ступенью в сторону вра-
щения колеса. Потери энергии в проточной части с малоизогнутыми профи-
лями существенно снижаются, и если при этом выходная кинетическая энер-
гия эффективно используется в следующей ступени, то работа в области высо-
ких чисел w/C0 может привести к повышению к. п. д.
Ярким примером эффективной работы ступеней с большой закруткой по-
тока за рабочим колесом могут служить компрессорные ступени. Такая орга-
низация потока в компрессорах вызвана необходимостью применять мало-
изогнутые профили, чтобы избежать больших потерь. В области же больших
10* 147
*
и/С0 условия обтекания профилей и использования выходной кинетической
энергии вполне благоприятны, и к. п. д. группы компрессорных ступеней
с большой закруткой потока за рабочим колесом может быть очень высоким.
Такие же результаты можно получить и для турбинных ступеней.
Если же отвлечься от изменения потерь энергии в лопаточном аппарате
в зависимости от и/С0 и считать выходную кинетическую энергию потерян-
ной, то, поскольку она является единственной меняющейся потерей, pUmax
ступени должен получаться при осевом выходе потока. Можно, конечно,
поставить при проектировании ступени такие ограничения, что выходная
скорость с2 станет минимальной при а2 =h 90°, но это будет лишь означать,
что по тем или иным соображениям не целесообразно дальнейшее уменьшение
выходной скорости путем приведения ее к осевому направлению.
Характеристики реактивной турбинной ступени
В случае рк = 0,5 для условной ступени имеем симметричные треуголь-
ники скоростей независимо от потерь энергии в лопаточном аппарате, так как
векторы сс и w£ располагаются симметрично относительно оси z. Для такой
ступени
С1 = ш2; c2 = Wi, с2и = + и = — cltl + и.
Прежде всего установим соответствие между кинематической и термоди-
намической ступенями реактивности в предположении <р = ф. Термодинами-
ческая степень реактивности определяется как отношение
где
При сделанных допущениях
1 1 /с2 \
= ^1 + h2---2~ с2 = -g- —c2j + = 2h2,
поэтому
р* = рк = 0,5,
т. е. для рассматриваемой кинематической схемы обе степени реактивности
совпадают.
Полезная работа равна
hu = и (с1и — с2и) = и (2сх cos — и).
Теоретическую работу сначала определим в предположении полного
использования выходной кинетической энергии (ц = 1)
Подставив в последнее уравнение
= cl — 2uci cos ai + и2,
найдем
й’ = с2ГА(2со8а1-^)+11 , (III.94)
L ci \ ci / J
где £ =~-----1. Этот коэффициент характеризует потери, отнесенные к по-
С1 w2
лезному перепаду энтальпий, равному или у.
148
Коэффициент потерь £ = 1 — <р2 связан с коэффициентом g равенством
К. п. д. ступени при р = 1 вычисляется по формуле
(III.95)
Знаменатель последней дроби отличается от числителя только на относи-
тельную величину потерь от трения в лопаточном аппарате, так как выход-
ная потеря не учитывается. Приравняв нулю производную от т]„, найдем
— cos ок,
opt
т. е. оптимальные условия работы ступени оказались точно такими же, как
и для идеальной ступени [см. уравнение (III.44)1 при осевом выходе потока
из рабочего колеса.
Для сравнения ступеней различного типа воспользуемся отношением ско-
ростей w/C0M, где при р = 1
Со ц = Со — 2/io,
или, согласно уравнению (III.94),
Поэтому
л
Со — 2С;
(111.96)
при (u/cjopt = COS O.J получим
и \ __ COS (Ц
До /opt r'^cos2^ -j-g) ’
Например, при otp — 20° и g = 0,16
—\ =0,94; МД ^0,65
С1 / opt \С0 )
Если же условную скорость вычислить по полному перепаду энтальпий,
т. е. принять
Со = 2/zo ф- ^2,
то для оптимальных условий следует выразить ho уравнением (II 1.94).
Определив скорость с2, равную wlt из входного треугольника скоростей и
подставив (w/c^opt = cosa1, получим
Со = ci (cos2 ai + 1 ф- 2g)
и
( и \ ____ ( и \ 1
\ Со/opt \ /opt j/cos2 Oj + 1 + 2g
В частном случае при а1 = 20° и <р = ф = 0,93 получим
149
При частичном использовании выходной кинетической энергии теоретичес-
кую работу /гОм определим из формулы (111.81), выразив h0 через hu и потери,
с2
h0 P. = hu + + (1 — р)-£-'
Для симметричных треугольников скоростей при ср = ф имеем
A/ii + АЛ2 =
где
Е = —1 =—-------1
К- и. д. ступени на окружности
_______________ hu и (2сг cos oi] — tz)
~ .
q। — ^) -}- “Н ( 1 — в) ТГ
Поделив числитель и знаменатель на с2 и заметив, что
Cz = С[ Sin. С2 = (^1 COS CZi — и) Д-
получим
(Ш.97)
В случае постоянных схх,
р и g максимальный к. п. д. получается при
opt
= COS <ХЪ
т. е. при осевом выходе потока.
Для практического использования к. п. д. удобнее представлять в виде
функции от uICq, что легко сделать, использовав связь между Со и сх
(III .98)
На рис. III. 15 нанесены кривые т\и = f (u/Cq) для р = 0 и р ~ 1. Харак-
теристика, построенная в предположении полного использования выходной
кинетической энергии, получается весьма пологой вблизи вершины.
На этом основании можно было бы предположить, что без существенного
ущерба для к. п. д. можно выбирать u/Cq значительно меньше оптималь-
ного, допуская закрутку потока за рабочим колесом в сторону, обратную
вращению. Такое решение задачи весьма заманчиво, так как при этом ступень
была бы способна перерабатывать больший перепад энтальпий и развивать
большую мощность. Однако при входе потока в следующую ступень со зна-
чительной закруткой возникают, как указывалось, дополнительные потери,
которые возрастают при увеличении изогнутости направляющих и рабочих
лопаток и повышенной неравномерности поля скоростей. Поэтому требуется
дополнительный анализ этой важной проблемы.
Можно так же выяснить влияние коэффициента использования выходной
кинетической энергии и закрутки потока с2ц при других степенях реактив-
ности.
Сравнение активных и реактивных ступеней
Ступени активного и реактивного типов, в которых теряется выходная
кинетическая энергия, имеют существенно различные характеристики
с сильно отличающимися числами (u/C0)oPt. При использовании выходной
кинетической энергии картина получается иной. В реактивной ступени, если
150
приять р = 1, оптимальное характеристическое число получается прибли-
зительно таким же, как для активной (рис. III. 15). Также нет существен-
ного различия в характере кривых, очень пологих у вершин. Это объяс-
няется тем, что при р = 1 остаются только потери внутри лопаточного
аппарата.
В ступени с симметричными лопатками (рк = 0,5) минимум потерь в ло-
паточном аппарате получается при осевом выходе потока для любого зна-
чения р, что было доказано при анализе формулы (III. 97). Физически это
объясняется тем, что потери здесь оценивались как доли кинетических
энергий Си /2 и w/2 при постоянных углах ах и р2, а также неизменной рас-
ходной составляющей скорости с,. В таких условиях относительная вели-
чина потерь сохраняется, а удельная полезная работа ступени имеет
максимум при минимальных скоростях и с2, что следует из формулы
(11.134). Поэтому оптимальный режим соответствует осевому выходу
потока. Эти соображения тем более относятся к режимам работы при
р =/= 1, так как в этом случае при отклонении от осевого направления
вектора с2 не только увеличиваются потери внутри лопаточного аппарата,
но растет и выходная потеря.
В активной ступени получается иная картина. В ней при заданных
и сг изменение выходной скорости сказывается на распределении потерь
между направляющим аппаратом и рабочим колесом. При с2й > 0 относи-
тельные скорости снижаются и это приводит к снижению потерь в рабочем
колесе. Вместе с тем эта закрутка потока не сказывается на потерях в на-
правляющем аппарате. Поэтому при р. = 1 вершина кривой к. п. д. нахо-
дится при высоком характеристическом числе («/C0)opt- По мере уменьшения р
вершина кривой к. п. д. тем быстрее сдвигается влево, чем меньше потери
в рабочем колесе.
Таким образом, при р = 1, несмотря на видимое сходство кривых к. п. д.
для активных и реактивных ступеней, они отражают существенное различие
рабочих процессов: оптимальные режимы для реактивных ступеней остаются
с осевым выходом потока, тогда как на этих режимах активные ступени имеют
значительную положительную закрутку потока. А так как при закрутке
потока затруднено использование выходной кинетической энергии, то в об-
ласти больших tz/C0 для активной ступени р существенно меньше, чем для
реактивной. Поэтому и при работе с использованием выходной кинетической
энергии для активной ступени («/C0)opt остается значительно меньшим, чем
для реактивной.
Учитывая пологий характер кривых к. п. д. при работе с использованием
выходной кинетической энергии, на практике выбирают пониженные зна-
чения и!С0, позволяющие уменьшить размеры ступени.
III.8. ПАРЦИАЛЬНЫЙ ВПУСК
При небольшой величине объемного расхода газа высота проточной части
может оказаться настолько малой, что практическое применение такой тур-
бины будет нецелесообразным. Так, например, при высоком давлении пара
и большой его скорости в проточной части турбины лопатки могут получиться
длиной в несколько миллиметров. При такой их длине потерн энергии ста-
новятся чрезмерными, а турбины по этой причине — малоэкономичными.
В таких случаях прибегают к парциальному впуску рабочего тела. При этом
направляющие лопатки занимают лишь часть окружности («активную»
ДУГУ); их объединяют в одну или несколько групп, расположенных рядом или
на некотором расстоянии одна от другой. На рабочем колесе только часть
лопаток одновременно находится в потоке рабочего тела, тогда как осталь-
ные межлопаточные каналы перемещаются в окружающей среде за пределами
основного потока.
151
При парциальном впуске направляющий аппарат занимает дугу т. От-
ношение
е = -> (Ш")
называют степенью впуска.
Вычисляя высоту проточной части, необходимо принимать во внимание
степень впуска рабочего тела. Для этого в уравнение неразрывности вместо
кольцевого живого сечения S надо подставить величину eS, соответствующую
активной дуге. Из этого уравнения определится высота направляющей ло-
патки
Очевидно, что при парциальном впуске длины лопаток возрастают в 1/е
раз по сравнению с их размерами при полном впуске рабочего гела.
Применение парциального впуска открывает возможность увеличить
диаметр рабочего колеса при допустимой высоте проточной части и таким
образом достигнуть достаточно высокой окружной скорости, соответствую-
щей оптимальным условиям работы ступени, а в то же время сохранить жела-
тельную частоту вращения.
Вместе с положительным эффектом парциальный выпуск вызывает и от-
рицательные явления, связанные с дополнительными потерями при холостом
движении лопаток вне потока (см. п. VII.5). Парциальные ступени, как пра-
вило, проектируют с большим коэффициентом циркуляции, чтобы уменьшить
относительную величину этих дополнительных потерь. Парциальный впуск,
используют в гидравлических, паровых и газовых турбинах предпочтительно
осевого активного типа; находили применение и радиальные парциальные
турбины.
Парциальный впуск применяется также в первых ступенях многоступен-
чатых паровых турбин с целью изменения расхода в зависимости от режима
работы.
III.fi. МНОГОСТУПЕНЧАТЫЕ ТУРБОМАШИНЫ
Для получения высокого к. п. д ступени турбомашины необходимо, чтобы
рабочие лопатки имели определенную окружную скорость. Величина этой
скорости зависит от отдаваемой или поглощаемой ступенью удельной работы,
от типа ступени и от потерь энергии.
Предположим, например, что для турбины известна условная скорость
Со, соответствующая теоретической работе h0. Выбрав степень реактивности,
можно установить наивыгоднейшее отношение (u/C0)opt и вычислить опти-
мальную окружную скорость UOpt-
При значительной величине теоретической работы оптимальная окружная
скорость рабочих лопаток может оказаться настолько высокой, что осущест-
вить ступень турбомашины практически будет невозможно по соображениям
прочности рабочего колеса или по условиям обтекания профилей лопаток
(в компрессоре). Кроме того, что не менее важно, при большом перепаде эн-
тальпий в ступени даже при осевом направлении потока за рабочим колесом
получается значительная выходная кинетическая энергия, которая обычно
не может быть использована эффективно.
В компрессорных ступенях создание высокого давления встречает боль-
шие трудности, чем в турбине, так как к указанным выше соображениям
прочности рабочих колес прибавляются ограничения скоростей потока
вследствие возникновения волновых явлений, которые могут повлечь зна-
чительные потери энергии. Вместе с тем, для удовлетворительной работы
компрессора его лопатки должны быть слабо изогнуты, что связано с необ-
ходимостью применять в компрессорах относительно более высокие окруж-
ные скорости, чем в турбинах (малы значения си).
152
Указанные соображения относятся также к радиальным турбомашинам.
Для решения этих задач приходится создавать многоступенчатые турбо-
машины, в которых работа распределена между последовательно расположен-
ными ступенями. С этой целью можно применять ступени давления или сту-
пени скорости.
Ступени давления. Общий перепад энтальпии разобьем на ряд ступе-
ней hlt h2) h3 и т. д. Путем выбора надлежащего числа ступеней, теоретичес-
кую работу каждой из них можно снизить до наивыгоднейшей величины, при
которой можно удовлетворить требованиям экономичной работы турбо-
машины и прочности.
В многоступенчатой турбомашине при надлежащем выполнении ее проточ-
ной части значительная доля кинетической энергии потока, покидающего
каждое рабочее колесо, кроме последнего, может быть использована в по-
следующей ступени. Это очень важное преимущество многоступенчатых тур-
бомашин, позволяющее в значительной мере повысить их к. п. д. по сравнению
с изолированными ступенями.
Действительно, если вообразить все ступени турбомашины геометрически
и кинематически подобными, то выходная кинетическая энергия после каждой
ступени составит одну и ту же долю от теоретической работы в этой ступени.
Если бы после каждой из них выходная кинетическая энергия полностью
терялась, то сумма всех этих потерь кинетической энергии была бы равна
выходной кинетической энергии после эквивалентной ступени, кинема-
тически подобной рассматриваемым ступеням многоступенчатой турбома-
шины и рассчитанной на общий перепад энтальпий. Это объясняется тем, что
в силу закона подобия выходная кинетическая энергия составляла бы одну и
ту же долю теоретической работы как в каждой ступени рассматриваемой тур-
бомашины, так и в условной одной ступени, ее заменяющей.
Иной результат получается, если выходная кинетическая энергия после
каждой ступени полностью используется в следующей ступени. При этом
теряется только выходная энергия за последней ступенью. В рассматриваемой
идеализированной схеме турбомашины, состоящей из подобных ступеней
с равной теоретической работой в каждой из них, потеря выходной энергии
за последней ступенью была бы в z раз меньше, чем в эквивалентной одно-
ступенчатой турбине, если г — число ступеней.
Возможность эффективного использования выходной кинетической энер-
гии в последующих ступенях турбомашины позволяет отказаться от осевого
выхода потока и допустить его закрутку.
В турбинных ступенях закрутка потока за рабочим колесом в сторону,
противоположную вращению, может в значительной мере увеличить удель-
ную работу каждой группы ступеней. Та же закрутка в сторону вращения при
заданной окружной скорости снижает удельную работу ступени и уменьшает
угол выхода потока р2. Последнее же означает меньшую изогнутость про-
филя, что в ряде случаев может существенно снизить потери энергии.
В компрессорных ступенях поток за рабочим колесом обычно имеет боль-
шую закрутку г2ы, направленную в сторону вращения. Во многих ступенях
компрессорного типа поток имеет также значительную закрутку в сторону
вращения перед рабочим колесом. В результате такой организации потока
получаются малоизогнутые профили лопаток и благоприятные условия входа
потока в рабочее колесо в отношении числа М. В многоступенчатом компрес-
соре осевого типа большая выходная кинетическая энергия закрученного
потока передается от одной ступени к другой и задача ее совершенного исполь-
зования имеет первостепенное значение.
В тепловых многоступенчатых турбомашинах существенную роль играет
эффект возврата тепла (в турбинах) или затраты энергии (в компрессорах).
Этот вопрос был подробно рассмотрен в п. 11-2. За последней ступенью турбо-
машины с целью уменьшения выходной потери применяются диффу-
зоры.
153
Ступени скорости. Развитие идеи использования ступеней большой цир-
куляции, работающих при значительной закрутке потока за рабочими коле-
сами, логически привело к созданию ступеней скорости, которые находят
применение в паровых и газовых турбинах.
В ступенях скорости пар или газ, обладающий большой скоростью за пер-
вым рабочим колесом, попадает в следующую ступень, где используется вы-
ходная кинетическая энергия из предыдущей ступении (рис. III. 17). Таким
путем могут быть в значительной мере
уменьшены выходные потери энергии.
Рассмотрим простейшую схему, когда
во второй ступени вся располагаемая тео-
ретическая работа состоит только из кине-
тической энергии потока, покидающего
предшествующую ступень, т. е. будем счи-
тать, что весь перепад давления прихо-
дится на первую ступень. Обе ступени
будем предполагать выполненными по
чисто активному принципу. Поэтому в рабо-
чих колесах и во втором направляющем
аппарате не будет перепада давления.
Рис. III. 17. Ступени скорости: а — двухвенечное колесо;
б — треугольники скоростей первой ступени; в — треуголь-
ники скоростей второй ступени
Потерями энергии в лопаточном аппарате будем пренебрегать и течение
считать изоэнтропийным.
Для достижения поставленной цели первая ступень должна работать при
малом значении характеристического числа и/С0. При этом за первым рабо-
чим колесом, как за обычной ступенью давления большой циркуляции, полу-
чается сильная закрутка потока в сторону, противоположную вращению при
абсолютной скорости потока с2 (рис. III. 17, б).
Чтобы использовать выходную кинетическую энергию после первого
рабочего венца во второй ступени, необходимо изменить направление за-
крутки потока перед вторым рабочим венцом таким образом, чтобы она была
направлена в сторону вращения ротора. С этой целью устанавливается на-
правляющий аппарат Г (рис. III. 17, а), входящий в состав второй ступени.
Из этого направляющего аппарата поток выходит со скоростью с{ (все пара-
метры второй ступени будем отмечать штрихами). При активном принципе
работы и изоэнтропийном течении величина этой скорости равна абсолютной
154
скорости выхода потока из первого ряда рабочих лопаток (с{ = с2). Если
к тому же считать одинаковыми осевые скорости в обеих ступенях (с1г =
c2z), то получим равными и окружные составляющие скоростей
В рассматриваемой схеме вторая ступень предназначена для преобразо-
вания теоретической работы h'(. = cs/2. При проектировании второго колеса
в предположении изоэнтропийного течения безразлично, получается ли ки-
нетическая энергия за счет преобразования потенциальной энергии в на-
правляющем аппарате данной ступени или же к нему из предшествующей сту-
пени подводится поток, уже обладающий этой кинетической энергией. По-
скольку в простейшей схеме предполагается, что во втором направляющем
аппарате нет перепада давлений, то условия работы второй ступени точно
такие же, как в обычной ступени давления активного типа, в которой перед
рабочим колесом устанавливалась бы скорость В частности, осевой выход
потока после второго ряда рабочих лопаток, согласно уравнениям (III.35)
и (III.36), может быть достигнут при характеристическом числе
Углы потока выберем таким образом, чтобы получить = р2 и рг = р2*
(рис. III.18). При этом условии соблюдаются равенства
с1и = 2и\ с.2и =- — с{и = —2u; w,u = — Зи; wlu — — w.2u = 3u; clu = 4tz.
Поэтому
Си, — c2u = 6w И Clu — C2u = 2u.
Определим для оптимального режима удельные работы первой (hlu) и
второй (h2u) ступеней скорости по формуле Эйлера:
U (с\и —• (Hu —- 2u2.
Общая работа двух ступеней скорости
Сравним полученные результаты с работой активной одновенечной сту-
пени в тех же условиях, как и рассматриваемой двухвенечной. Она должна
иметь тот же угол потока ап как первая из ступеней скорости, и осевой выход
потока, как за второй ступенью скорости. При этом одновенечная ступень
совершала бы работу
hu = ис1и = 2п2.
Увеличение работы ступеней скорости по сравнению со ступенью давления
стало возможным благодаря большой закрутке потока за первым рабочим коле-
сом в сторону, обратную вращению. Такую закрутку для изолированной сту-
пени нельзя было допустить вследствие большой потери выходной кинетичес-
кой энергии.
В активных ступенях скорости весь перепад энтальпий /г0 преобразуется
в кинетическую энергию в соплах первой ступени. Приняв по-прежнему
условную скорость Со = су = ]/2/i0, найдем оптимальное соотношение,
соответствующее осевому выходу потока (при с1и = 4и),
(III.101)
Кривая t]u = f (п/С0) для двух ступеней скорости представлена на
рис. III. 18. Так как в рассматриваемой идеальной ступени принимается во
внимание только потеря выходной кинетической энергии, то максимум к. п. д.
155
и \ __ COS Щ
Со /opt 4
получается при осевом выходе потока. При и/С0 < (u/C0)opt за вторым рабо-
чим колесом закрутка потока направлена в сторону, противоположную
вращению, а при и/С0 > (w/C0)opt —в сторону вращения рабочего колеса.
На основании изложенного для рассмотренных идеализированных ступе-
ней скорости активного типа в предположении осевого выхода потока из
последнего рабочего венца приходим к следующим выводам.
1. Для активной турбины с двумя ступенями скорости необходима в два
раза меньшая окружная скорость рабочего колеса, чем для эквивалентной
ступени давления, спроектированной для той же теоретической работы и
того же угла а1.
2. При одинаковой окружной скорости и при оптимальных условиях
турбина с двумя ступенями скорости способна развивать работу, приблизи-
тельно в четыре раза большую, чем сту-
Рис. III. 18. К. п.д. i\u=f(u/CQ)
для двух ступеней скорости:
1 — с учетом только выходных потерь;
2 — с учетом потерь в лопаточном аппа-
рате при полном впуске (по опытам Ки-
ровского завода)
и профили рабочих лопаток
пень давления.
3. Работа, развиваемая первой сту-
пенью, приблизительно в три раза боль-
ше, чем работа, совершаемая второй сту-
пенью скорости.
Ступени скопости часто проектируют
так, что во втором направляющем аппа-
рате и в обоих рядах рабочих лопаток
устанавливаются некоторые перепады дав-
ления, которым соответствует положитель-
ная степень реактивности. Для таких сту-
пеней, как и для ступеней давления, опти-
мальное отношение и/С0 оказывается боль-
ше, чемдля чисто активных турбин. Обычно
в ступенях скорости допускают лишь не-
большую степень реактивности, и поэтому
выведенные выше соотношения приблизи-
тельно остаются справедливыми.
Здесь была рассмотрена работа идеаль-
ных ступеней скорости. В действитель-
ности в первой ступени рабочее тело
протекает с очень большой скоростью,
этой ступени приходится выполнять
сильно изогнутыми. Неизбежен также крутой поворот потока во втором на-
правляющем аппарате. Эти особенности течения вызывают увеличенные по-
тери энергии в межлопаточных каналах, а также потери при пересечении
потоком осевых зазоров между лопатками. Поэтому к. п. д. ступеней скорости
не достигает тех высоких значений, которые получаются для хороших совре-
менных ступеней давления. На рис. III.18 представлен пример к. п. д. сту-
пеней скорости с профилями МЭИ при полном впуске пара (кривая 2). Эти
ступени имели максимальный к. п. д. при и/С0 >0,25, что характерно для
ступеней этого типа, применяемых в паровых турбинах.
Ступени скорости обладают преимуществами перед ступенями давления при
следующих ситуациях: при малых расходах рабочего тела, когда в ступенях
давления получились бы очень короткие лопатки или их пришлось бы вы-
полнять с парциальным впуском и когда протечки через внешние и внутрен-
ние уплотнения играют решающую роль; при необходимости уменьшить
длину проточной части турбины за счет сокращения числа ступеней; если
требуется в первом же ряду сопел турбины сильно снизить температуру и дав-
ление рабочего тела по соображениям температурного режима.
Ступени скорости в паровых турбинах часто применяются также в качестве
регулировочных ступеней с парциальным впуском, так как они хорошо при-
способлены для изменения расхода пара при различных нагрузках за счет
изменения степени впуска.
156
По мере повышения степени реактивности в промежуточном направляю-
щем аппарате вторая ступень скорости приближается по своим качествам
к ступени давления, работающей с использованием значительной кинетичес-
кой энергии потока, покидающего предшествующее колесо. При высокой
степени реактивности стирается грань между этими двумя типами ступеней.
В последнем случае первая ступень превращается в ступень давления боль-
шой циркуляции со свойственным для нее малым отношением и!С0 на расчет-
ном режиме.
Для паровых турбин небольшой мощности, к экономичности которых
предъявляются невысокие требования (к резервным механизмам и т. п.),
применялись трехвенечные колеса, образующие вместе с направляющими
аппаратами три ступени скорости. В таких турбинах срабатывались очень
большие перепады энтальпии при малом отношении и/С0, но при низком
к. п. д.
ШЛО. ПРОТИВОПОЛОЖНОЕ ВРАЩЕНИЕ КОЛЕС
Двойное вращение рабочих колес в противоположные стороны служит
очень эффективным средством для повышения работоспособности группы
ступеней.
Рассмотрим группы турбинных рабочих колес, вращающихся в противо-
положные стороны при одинаковой окружной скорости и. Выделим два
промежуточных колеса 1 и 2 (рис. III. 19, а). Из первого колеса поток газа
Рис. III.19. Турбинная ступень с про-
тивоположным вращением колес: а — схе-
ма проточной части; б — треугольники
скоростей; в — эквивалентные треуголь-
ники скоростей
или пара выходит с относительной скоростью w. Абсолютную скорость
потока перед вторым рабочим колесом по-прежнему обозначим через сп
а его относительную скорость входа в это колесо — через wx. Выходной
треугольник скоростей для второго колеса предположим таким же, как для
первого, т. е. вектор w2 относительной скорости выхода потока из рабочего
колеса и вектор w21 симметричны по отношению к оси z (рис. III. 19, б).
Тогда и вектор абсолютной выходной скорости с2 окажется симметричным
с вектором с2 и, следовательно, с2и = —с1и. Удельная работа для второго
колеса
— и {pin (III. 102)
В следующее колесо поток входит с относительной скоростью wlg.
Для выяснения свойств колес противоположного вращения сравним их
с эквивалентной ступенью давления обычного типа. С этой целью вооб-
157
Рис. III.20.Схема турбины Юнгстрема:
1 и 3 — противоположно вращающиеся
диски; 2 — лопатки; 4 — уплотнения;
5 — камера для подвода пара
разим первое колесо неподвижным и параметры рабочего тела перед ним такими
же, как в предыдущей схеме. Скорости в эквивалентной ступени будем отме-
чать звездочками. Тогда вектор с* совпадет с прежним вектором w21
(рис. III. 19, в). Чтобы сохранить в сравниваемых ступенях те же профили ло-
паток, как при двойном вращении, и ту же скорость wx, окружную скорость
рабочего колеса нужно увеличить в два раза. При этом треугольники ско-
ростей останутся симметричными и вектор с2 по величине будет равен Wi-
Сохранится также прежним расстояние между концами векторов с( и с2,
а поэтому, согласно уравнению (11.133),
h-u = 2и (cj(( — с2к) = 2hu.
Следовательно, рабочее колесо эквивалентной ступени при двойной окруж-
ной скорости совершает удвоенную удельную работу hu по сравнению с вы-
численной по формуле (III. 102) для про-
тивоположного вращения колеса со ско-
ростью и, т. е. это колесо имеет мощ-
ность, равную сумме мощностей колес 1
и 2 при их вращении в двух направлениях.
Из этого сравнения следует, что в коле-
сах противоположного вращения движение
рабочего тела относительно лопаток сох-
раняется таким же, как при неподвижном
направляющем аппарате и удвоенной час-
тотой вращения рабочего колеса. Поэтому
характеристики турбомашин противопо-
ложного вращения остаются такими же,
как ступеней с неподвижным направляю-
щим аппаратом, если вместо окружной
скорости вводить в расчеты скорость 2и.
Например, для эквивалентной ступени при
рк = 0,5 и полном использовании выход-
ной кинетической энергии согласно фор-
муле (III.44) имеем (waKe/c1)opt = cos alf
а для противоположного вращения получим (w/c1)opt = 2 , причем изке =
= 2и. Мощность двух колес вращающихся в противоположные стороны
с окружной скоростью и, получается такой же, как эквивалентной ступени
при вращении колеса с двойной окружной скоростью. При соблюдении
кинематического подобия удвоению окружной скорости соответствует увели-
чение мощности в четыре раза.
Выше предполагалось, что сравниваемые ступени имеют одинаковые
профили лопаток, обеспечивающие поворот потока на угол е2, и одинаковые
относительные скорости рабочего тела в колесах. Поэтому увеличение мощ-
ности за счет противоположного вращения колес не вызывает ухудшения
аэродинамики их проточной части по сравнению с обычной ступенью, имею-
щей окружную скорость 2и.
В турбинах противоположного вращения все лопатки становятся «рабо-
чими». С этой точки зрения их степень реактивности равна единице. При сим-
метричном выполнении лопаток соседних колес векторы абсолютных ско-
ростей сх и с2 имеют, как указывалось, равные по величине и противополож-
ные по знаку проекции на ось и (рис. III.19, б), что и формально соответст-
вует кинематической степени реактивности
__ 1 C1U + С2« _______ 1
Рк — 1 2и •
Эквивалентная же ступень с тем же углом поворота потока в относитель-
ном движении имеет степень реактивности рк =0,5 (рис. III.19, в). Это
158
сравнение указывает на условность понятия степени реактивности для колес
противоположного вращения. Чтобы использовать сделанные ранее выводы
и формулы для углов потока, удобно пользоваться характеристиками экви-
валентной ступени с соответствующей степенью реактивности. С этой точки
зрения полезно обратить внимание на следующие ее особенности.
Допустим, что колеса противоположного вращения спроектированы при
осевых скоростях, применяемых в обычных ступенях с окружной скоростью и.
Тогда в эквивалентной ступени должна сохраниться та же осевая скорость
сг = с2, как при двойном вращении, но уже при окружной скорости и =
= 2п. А это означает, что коэффициент расхода сг уменьшится в два раза по
сравнению с коэффициентом с2, подсчитанным по окружной скорости и.
При малом коэффициенте расхода и заданном коэффициенте циркуляции,
естественно, лопатки получаются сильно изогнутыми. Эта изогнутость еще
возрастет, если допустить отрицательную закрутку потока за ступенью
Если выбор осевой составляющей скорости cz привести в соответствие
с окружной скоростью и*, то эквивалентная ступень и ее оригинал будут
иметь профили лопаток обычной изогнутости. При этом сохранятся на обыч-
ном уровне и аэродинамические потери, зависящие от угла поворота потока
в рабочем колесе.
В случае положительной закрутки потока > 0) можно получить слабо-
изогнутые профили, пригодные для компрессоров. При этом коэффициент
циркуляции становится небольшим, а удельная работа — значительно
больше, чем в одинарной ступени с окружной скоростью и.
Все сказанное о преимуществах противоположного вращения колес в осе-
вых турбомашинах можно повторить применительно к радиальным турбинам
и компрессорам. Последние конструктивно выполнить проще, чем осевые.
Принцип противоположного вращения нашел широкое применение в ра-
диальных паровых турбинах центробежного типа конструкции шведских
инженеров братьев Юнгстрем (рис. Ш.20).
111.11. ВЫБОР КИНЕМАТИЧЕСКОЙ СХЕМЫ ПОТОКА
В ТУРБОМАШИНЕ
Из всего сказанного следует, что для больших перепадов энтальпий на
ступень и конфузорного течения преимуществами обладают ступени с малой
степенью реактивности, т. е. ступени активного типа. Такие ступени при
заданной угловой скорости вращения имеют меньшие размеры, чем реак-
тивные. Это направление в конструировании турбин еще в прошлом веке
избрал известный ученый и изобретатель активной паровой турбины Густав
Лаваль.
Для активных ступеней применяют сильно изогнутые профили рабочих
лопаток, предназначенные для большого угла поворота потока е. На диа-
грамме в = f (рк) (рис. II 1.4) профили активных турбинных лопаток зани-
мают левую верхнюю область. Для активных решеток получаются повышен-
ные профильные потери энергии, но эти потери в рабочем колесе играют
меньшую роль в общем балансе потерь (см. п. III.7). Направляющие аппа-
раты активных ступеней представляют собой сопла с резко ускоренным дви-
жением, и потери энергии в них обычно невелики. Поэтому к. п. д. ступеней
активного типа может быть получен достаточно высоким.
В паровых турбинах активные ступени выполняются как с полным, так и
с частичным впуском пара. Активный принцип работы используется в гидро-
турбинах ковшового типа с парциальным впуском, предназначенных для
работы при высоких напорах.
Если снижение окружной скорости турбинного колеса при заданном
напоре ставится как главная задача, то, согласно щ>к-диаграмме (рис. III. 11),
159
следует допустить отрицательную закрутку потока с2и (в сторону, обратную
вращению колеса). Эти ступени большой циркуляции на диаграмме занимают
область малых степеней реактивности рк и больших отрицательных коэффи-
циентов закрутки а. Такая кинематическая схема потока могла бы быть
весьма эффективно использована для значительного сокращения числа сту-
пеней в тепловых турбинах. Препятствием к широкому применению ступе-
ней большой циркуляции служит лишь трудность в получении достаточно
высокого их к. и. д.
Если размеры турбины не играют решающей роли, то и при большом
перепаде энтальпий могут применяться ступени реактивного типа с соответ-
ствующим увеличением их числа или окружных скоростей (рис. II 1.11—
III.13). Этот путь впервые избрал Чарльз Парсонс. В рабочем колесе
реактивной турбины угол поворота потока меньше, чем в активной турбине,
и на диаграмме е = f (рк) (рис. II 1.4) такие ступени занимают среднюю об
ласть.
Для малых напоров и больших расходов жидкости, которые часто встре-
чаются в гидротурбостроении, оптимальные окружные скорости для ступе-
ней с малой степенью реактивности получаются небольшими. В то же время
громадный расход воды вынуждает применять колеса очень больших диа-
метров (турбины волжских ГЭС имеют диаметры рабочих колес до 9 м).
Для таких колес при недостаточно высокой степени реактивности частота
вращения получилась бы очень низкой (несколько десятков оборотов в ми-
нуту), что затруднило бы конструирование генератора. Поэтому конструк-
тор стремится повысить угловую скорость, выбирая высокую степень реак-
тивности. Гидротурбины нередко строятся с кинематической степенью реак-
тивности рк = 0,8<- 0,9. Поскольку такой степени реактивности при осевом
выходе потока соответствует большая окружная скорость, то для заданного
напора получается, согласно формуле Эйлера, малый коэффициент цирку-
ляции.
Высокой степени реактивности при небольшом коэффициенте циркуляции
соответствует малый угол поворота потока 8, и ступени этого типа на ерк-диа-
грамме занимают нижнюю правую область (рис. III.4). Небольшая изогну-
тость профилей лопаток в гидротурбинах необходима также для устранения
кавитационных явлений.В силу этих соображений в низконапорных мощных
турбинах рабочие лопатки имеют крыловидные, малоизогнутые профили.
Небольшой коэффициент циркуляции предопределяет также небольшую
изогнутость профилей направляющих лопаток.
Насосы и компрессоры проектируются с учетом особенностей замедлен-
ного течения. В этих условиях во избежание срывов допускается сравни-
тельно небольшой диффузорный эффект в межлопаточных каналах, т. е.
профили лопаток выполняют с небольшой изогнутостью. Для насосов вы-
бор малоизогнутых профилей диктуется также требованиями к кавитацион-
ным характеристикам ступеней. Поэтому для насосов и компрессоров при-
меняются ступени с высокой степенью реактивности, и соответствующая им
область на срк-диаграмме (рис. II 1.4) находится в нижней правой части, как и
для низконапорных мощных гидротурбин. Именно это обстоятельство позво-
ляет гидротурбину, имеющую специально спрофилированные лопатки, пу-
тем обращения движения преобразовать в насос. Такие обратимые турбо-
машины, работающие как на турбинных, так и на насосных режимах,
применяются, как указывалось, на гидроаккумулирующих электростан-
циях.
Радиальные турбомашины применяются как вследствие большой их эко-
номичности при сравнительно малых объемных расходах рабочего тела (см.
гл. X, п. 4), так и по соображениям конструктивного характера, если вы-
годно направить поток вдоль радиуса. Примером могут служить радиальные
паровые турбины с узкими лопатками одинарного и двойного вращения
(рис. II 1.20).
160
На практике находят применение радиально-осевые турбомашины, ме-
няющие направление потока между входными и выходными сечениями на 90е.
Такое требование часто выдвигается при проектировании гидротурбин (рис.
III. 15), газовых турбин, насосов и компрессоров.
С чисто кинематической точки зрения при осевом выходе потока и оди-
наковой степени реактивности радиальные турбины равноценны осевым,
если окружная скорость на среднем диаметре последних равна окружной
скорости при входе в центростремительное колесо. Если в центростреми-
тельной турбине по соображениям прочности лопатки на входном участке
должны выполняться прямыми и радиальными, то при безударном входе
и осевом выходе потока степень реактивности рк 0,5. В этом случае ра-
диальная или радиально-осевая турбина при заданных напоре и угловой
скорости имеет приблизительно такой же наружный диаметр колеса, как
средний диаметр колеса осевой турбины с одинаковой степенью реактив-
ности; по своим размерам она больше турбины осевой или радиальной (с уз-
кими лопатками) активного типа.
Закрутка потока при выходе из центростремительной турбины качественно
имеет то же значение, что и в осевой турбине, но количественно сказывается
на удельной работе hu меньше, так как для сравниваемых турбин в формуле
(11.133) и2с2и < ис2и. То же можно сказать в отношении влияния закрутки
на степень реактивности (рис. III. 11).
По отношению к центробежным компрессорам можно повторить те же
соображения, которые были высказаны о центростремительной турбине,
имея при этом в виду обращенное движение потока и диффузорный характер
течения. В центростремительной турбине и в центробежном компрессоре
положительную роль играет изменение окружной скорости при движении
потока в рабочем колесе (см. гл. X).
Для компрессоров, как указывалось, далеко не любая кинематическая
схема может быть выполнена вследствие возможных повышенных потерь
энергии или даже срывов потока. Эти турбомашины в радиальном и радиаль-
но-осевом исполнении могут проектироваться для большего диапазона сте-
пеней реактивности, чем осевые компрессорные ступени.
11 и. И. Кириллов
ГЛАВА IV
ДВУХМЕРНАЯ ТЕОРИЯ
Выше изучался одномерный поток, т. е. в пределах каждого из рассма-
триваемых живых сечений скорость рабочего тела условно считалась неиз-
менной. В формулы Эйлера и Жуковского входят скорости равномерного
потока перед решеткой и за ней на расстояниях, столь удаленных, что влия-
ние решетки на поток пренебрежимо мало. Если же поток оказывается не-
равномерным, то знание интегральных значений количества движения жидко-
сти перед рабочим колесом и за ним дает возможность вычислить вращающий
момент. Таким образом, путем оперирования только с осредненными
параметрами потока решается важнейшая задача проектирования турбо-
машин .
Простота такого решения связана с тем, что применение теоремы коли-
чества движения позволяет исключить из рассмотрения внутренние силы.
Если тем или иным способом возможно оценить осредненные скорости потока
перед рабочим колесом и после него, то задача полностью решается. Вместе
с тем эти простые приемы, характерные для гидравлики и весьма плодотвор-
ные в инженерном деле, нередко создавали иллюзорное представление об
одномерном характере потока в проточной части турбомашин, что иногда
вызывало ошибки в их расчетах и конструировании.
Понимание физических явлений, протекающих в проточных частях тур-
бомашин, и приложение к их изучению методов аэродинамики— вот то новое
и главное, что дала современная наука конструктору. Даже в тех случаях,
когда еще не могут быть предложены законченные аэродинамические методы
расчета турбомашин и когда практики широко используют приемы одномер-
ной теории, знание физической сущности рабочего процесса в лопаточном
аппарате дает возможность конструктору по-новому подойти к решению
стоящих перед ним задач и принимать правильные решения о границах при-
менимости одномерной теории, о возможных погрешностях расчета и о ме-
роприятиях, способствующих повышению эффективности турбомашины.
В турбомашинах поток имеет пространственный характер, но при доста-
точном удалении от концов лопаток во многих задачах его можно прибли-
женно рассматривать как двухмерный.
В настоящей главе будем иметь в виду главным образом двухмерный
поток, т. е. будем предполагать, что течение происходит в параллельных
плоскостях и что в каждой из них распределение давлений и скоростей оди-
наково. С помощью двухмерной теории нередко можно плучить хорошее
приближение к действительности в тех случаях, когда применения одномер-
ной теории недостаточно для решения задачи. Примеры двухмерного тече-
ния — обтекание изолированного крыла бесконечного размаха, находяще-
гося в неограниченном потоке, или профиля в средней части плоской решетки
при относительно большой длине лопаток.
При проектировании лопаточного аппарата конструктору необходимо
знать важнейшие характеристики решеток профилей: углы выхода потока,
силы, действующие на лопатки, а также распределение давления и скоро-
стей на профиле. Последнее имеет важное значение для определения местных
162
чисел М или коэффициентов кавитации, накладывающих ограничения на
проект турбомашины; эти сведения полезны также для оценки потерь энер-
гии.
В заводской практике широко используются результаты эксперимен-
тальных исследований решеток профилей. Основные характеристики реко-
мендованных профилей систематизированы и изданы в виде альбомов. Од-
нако современные турбомашины проектируются для столь разнообразных
условий работы и требования к их качеству настолько высоки, что неизбежно
применение большого числа новых профилей, отвечающих оптимальным
проектным вариантам. Поэтому обилие экспериментальных материалов не
снижает ценности теоретических исследований, повышающих качество и
сокращающих путь создания новых эффективных профилей.
В основе профилирования лопаток лежит теория двухмерного обтекания
решеток. При этом исследование движения жидкости в каком-либо цилиндри-
ческом слое потока в ступени заменяется изучением обтекания прямой ре-
шетки. Такая постановка задачи имеет смысл по отношению к осевым тур-
бомашинам, в которых радиальные скорости малы, а в некоторых случаях
также применительно к радиальным турбомашинам, в которых малы осевые
скорости.
Чтобы образовать плоскую решетку из цилиндрического сечения направ-
ляющего аппарата или рабочего колеса, мысленно разрежем цилиндр по
образующей и развернем его на плоскость. На плоскости в местах пересе-
чения цилиндрической поверхности с лопатками получается последователь-
ность одинаковых профилей с шагом t. Исследуем эту систему конгруентных
профилей, продолжив ее в обе стороны до бесконечности.
Основные задачи теории решеток сводятся к изучению обтекания реше-
ток профилей заданной формы (прямая задача) и к построению решеток для
заданного отклонения потока (обратная задача). При проектировании ре-
шеток сначала решается обратная задача. Затем приходится корректировать
форму профилей по соображениям прочности или технологии изготовления,
а также в связи с изменением условий течения в различных цилиндрических
сечениях одной и той же ступени турбомашины; для выяснения влияния кор-
ректировки решается прямая задача.
Излагая гидродинамическую теорию решеток, в этой главе будем иметь
в виду двухразмерный поток идеальной несжимаемой жидкости, если не
будет особых оговорок.
К решению указанных задач можно подходить с принципиально различ-
ных позиций.
Струйная теория основывалась на чрезвычайно упрощенной схеме течения
в межлопаточных каналах: в каждом из живых сечений давление и скорость
полагались неизменными. Несмотря на свою примитивность, эта схема рас-
чета давала неплохие результаты применительно к густым турбинным ре-
шеткам. Такие искусные конструкторы, как Г. Лаваль и Ч. Парсонс, строили
на базе струйной теории эффективные профили турбинных лопаток. Поэтому
естественно стремление исследователей сохранять для густых решеток при-
ближенные «канальные» методы расчета профилей, внося в эти методы свежую
струю современной науки.
Другие способы построения профилей основаны на математических ме-
тодах расчета обтекания крылового профиля. Эти методы базируются в ос-
новном на точной теории потенциального течения. Широко применяются два
математических метода расчета решеток:
1. Метод особенностей, заменяющих профиль; такими особенностями слу-
жат источники, стоки и вихри.
2. Метод конформного отображения.
Эти методы имеют особую ценность для решеток с относительно большим
шагом, исследование которых канальным методом не обеспечивает требуемой
точности.
163
IV. 1. КАНАЛЬНЫЙ МЕТОД
Приближенные методы расчета густых турбинных решеток основываются
на представлениях о двухмерном течении жидкости внутри каналов (вну-
тренняя задача). Такие методы расчета в последнее время были развиты в ра-
ботах [5, 14, 17 и др.]. Здесь мы подробно рассмотрим первый из указанных
методов.
Для канальных методов расчета характерно рассмотрение течения на от-
дельных участках канала независимо от условий течения на других его уча-
стках. Это положение применительно к струйной теории принадлежало еще
Эйлеру. Во многих случаях оно подтверждается и современными опытами
для густых решеток.
Рис. IV. 1. Векторы п и г2 на комплексной плоскости
В турбинной практике давно укоренилось понятие об осредненном угле
выхода потока из конфузорной решетки, синус которого находится как от-
ношение
sma!=y, (IV. 1)
где а — горло сопла (наименьшее живое сечение). Для определенного типа
решеток допустимость этого способа нахождения выходного угла хорошо
подтверждается многочисленными опытами с густыми решетками направ-
ляющих и рабочих лопаток турбинного типа с углом выхода а± = 12^-25°.
При больших углах выхода наблюдались существенные отклонения от угла,
рассчитанного по формуле (IV. 1). Так, например, по опытам Эйнли с решет-
ками профилей, имевшими углы потока = 25н-55°, этот угол хорошо со-
впадал с расчетным в случае М = 1, но в области малых чисел М выходной
угол существенно отклонялся. Изменения а, наблюдались до М = 0,5,
и при больших значениях этого угла отклонение достигало 6°. Выходной
угол также увеличивается вместе с увеличением потерь энергии при малых
числах Рейнольдса.
Таким образом, для густых решеток при сравнительно малых углах
можно считать известными углы входа и выхода потока, что позволяет вы-
числять силы, действующие на лопатки. По выходному углу определяется
также расчетная осевая составляющая скорости.
Что касается требований к точности расчета распределения давления по
профилю в густой решетке, то они обычно невысоки, так как эти расчеты только
в некоторых случаях нужны при оценке местных скоростей для суждения
о потерях энергии и для уточнения коэффициентов расхода. Поэтому для
таких решеток могут применяться весьма приближенные методы расчета.
Метод ЦКТИ [5] для решения прямой задачи пригоден при любом экс-
центриситете окружностей, дугами которых очерчены стенки канала. В этом
методе использовано наложение течений, создаваемых источником и стоком
или двумя точечными вихрями. Поместив эти сообенности в определенных
точках физической плоскости, можно достигнуть совпадения двух линий тока
с границами рассматриваемого участка канала. А так как для выбранных
164
особенностей известна характеристическая функция течения, то заданием
граничных условий вместе с тем будет определено течение в рассматриваемой
плоскости и, в частности, в данном канале.
Если в качестве особенностей выберем источник и сток, то картина те-
чения будет соответствовать каналам одного типа, если же воспользоваться
парой вихрей, то их линии тока дадут очертания каналов другого вида. Так
как рассматривается прямая задача, то форма каналов известна. Зная же
форму линий тока, создаваемых особенностями, легко решить вопрос о вы-
боре типа этих особенностей.
Источник и сток. Расположим на оси х источник и сток соответственно
в точках — х0 и +х0 (рис. IV. 1). Их интенсивность Q выберем одинаковой —
положительной для источника и отрицательной для стока. Комплексный по-
тенциал этого течения будет [13]
1 Лу
где комплексная переменная z — х + iy.
То же уравнение запишем, отделив вещественную часть от мнимой,
X (z) = q> (х, у) + гф (х, у). (IV.3)
Здесь <р (х, у) = г — потенциал скорости; ф (х, у) = ^-ф —функция
тока; гиф — модуль и аргумент комплексного числа, стоящего под знаком
логарифма.
Последние функции, согласно определению модуля и аргумента комплекс-
ного числа, запишем так:
(IV.4)
Ф (х, У) = (arctg - - arctg ) . (IV.5)
AJ L \ А —j— AQ Л AQ /
Проведем радиусы-векторы гх и г2 из точек х0 и —х0 в точку М на пло-
скости z (рис. IV. 1). Аргументы векторов rT и г2 будут соответственно фх
и ф2, где индекс 1 относится к источнику, а индекс 2 — к стоку. Эти величины
имеют простой геометрический смысл (рис. IV. 1) и, согласно определению,
выражаются через координаты х и у:
фх = arctg - (IV.6)
ф2 = arctg х2%0 • (IV-7)
Поэтому уравнение (IV.5) может быть записано таким образом:
ф = ф1 — ф2
или
- _ tg фх — tg фа
g Ф ~' 1 + tg фх tg ф2
(IV.8)
Выразив в последнем уравнении тангенсы углов фг и ф2 через координаты
х и у, найдем уравнение линий тока
(X \ 2
—7^-) • (IV.9)
Следовательно, при равной интенсивности источника и стока линии тока
(ф = const) представляют собой окружности (рис. IV.2) радиуса
165
с центрами на оси у, отстоящими от начала координат на величину
п = — xoctg^. (IV.11)
При у = 0 из уравнения (IV.9) получим х = ±х0, т. е. через эти точки
на оси абсцисс проходят все окружности чр = const.
Для чр = ± ~ имеем R = х0 и п = 0, а это значит, что соответствующей
линией тока служит окружность с центром в начале координат. Такая окруж-
ность называется основной. Если
О <С ф < у- или — л < чр <
-у , то п < 0, а если
или 0 > чр >-то и>0.
При прохождении линии тока через каждую особенность меняется скач-
ком величина чр. Действительно, для любой точки М на линии тока аргу-
менты ч£х и чр2 равны углам между положительным направлением оси Ох
Рис. IV.2. Линии тока и изопотенциальные ли-
нии от источника и стока
Рис. IV.3. К вычислению аргумен-
та чр. Индекс в относится к верх-
ней полуплоскости, н —к нижней
и радиусами-векторами гх и г2 (рис. IV.3). Из чертежа ясно, что в верхней по-
луплоскости аргумент чр в равен углу между радиусами-векторами гх и
г2, взятому с отрицательным знаком (отсчет чр, и чр2 от Ох против часовой стрел-
ки). В нижней полуплоскости аргумент чр = чрн измеряется углом между ради-
усами-векторами, взятым с положительным знаком. Каждый из этих углов
сохраняется постоянным при перемещении точки М вдоль дуги окружности
в верхней и нижней полуплоскостях. При переходе точки М из верхней полу-
плоскости через источник в нижнюю (точка М' на рис. IV.3) угол чрх возра-
стает скачком на л. Угол между радиусами-векторами в нижней полупло-
скости равен
чрк = чрх — чр2 = -g- [2л — ( — 2чрв)] = чрв + л,
так как углы -— фв и чрн опираются на дуги одной и той же окружности и
взаимно дополняют друг друга до 2л.
Из последнего уравнения имеем
ч|)к —фв = л,
т. е. разность аргументов точек на одной и той же окружности в верхней
и нижней плуплоскостях равна л.
166
Так как в верхней и нижней полуплоскостях линии тока располагаются
симметрично, то в дальнейшем будем иметь в виду только верхнюю полу-
плоскость. Если в этой полуплоскости дуги окружностей лежат вне основ-
ного круга, то величины яр находятся в пределах от — (на основной окруж-
ности) до нуля (при R сю) с центрами окружностей на положительной
полуоси у. Внутри основного круга аргумент яр изменяется от до —л,
причем последней величине также соответствует R сю, но с центром окруж-
ности на отрицательной полуоси у. Когда дуги окружностей в верхней полу-
плоскости переходят из области вне основного
круга в область внутри круга, ctg яр меняет знак
и центр окружности перемещается на отрица-
тельную полуось Оу (п <0).
Эксцентриситет е двух дуг окружностей яр =
= const, имеющих радиусы R1 и R2, где индексы
1 и 2 соответствуют порядку пересечения окруж-
ностями положительной полуоси Оу, считая от
начала координат (рис. IV.4), определится по фор-
муле
е = ц2 — n1 = x0(ctg^1 — ctgip^), (IV. 12)
где ярЛ1 и яр^2 — функции тока, соответствующие
окружностям с радиусами Rr и R2
Согласно этой формуле, для рассматриваемых
дуг при любых значениях радиусов всегда е > 0.
Так как
n? = Ri —*о и nl = Rl — %о,
Рис. IV.4. Условие пересе-
чения окружностей ip= const
(s — дуговая координата;
6 — центральный угол)
то между этими величинами и эксцентриситетом может быть установлена
такая связь:
е = ± y'Rl — xl + ]Ar( —xg. (IV. 13)
Из последнего уравнения определяется параметр х0 по заданным для
канала конструктивным величинам в и R
\ Гр2 — я2 _ р2)2
х0 = 1 Rl _ 121__6 > (IV. 14)
I 4е2
Решение существует, если под' корнем стоит вещественная величина,
т. е. при
(Р2^р2_е2)2
1 4е2---- • (IV. 15)
Если задан канал с такими радиусами стенок и эксцентриситетом окруж-
ностей, что последнее равенство не выполняется, то это значит, что окруж-
ности не пересекаются, а следовательно, течение в таком канале нельзя иссле-
довать с помощью источника и стока. Ниже будет показано, что течение в ка-
налах, образованных двумя непересекающимися окружностями, можно ис-
следовать, рассматривая течение от двух точечных вихрей.
Из равенства (IV. 15) и рис. IV.4 выясняются необходимые и достаточные
условия пересечения двух окружностей:
1^1 — 2 I <С е < Ri + R-2
или
а) при Ri>R2 Rx —R2<8<R1 + R2; 1
б) при Rx<R2 R2-R1<e<R1 + R2. J (IV’16)
167
Эксцентриситет е = Rx - /?2 соответствует внешнему касанию окруж-
ностей. Этот случай, а также е > практически при расчете решеток
не встречаются.
Таким образом, по заданным размерам канала можно сразу решить, укла-
дывается ли он в рамки линий тока от стока и источника. В случае положи-
тельного ответа на этот вопрос устанавливаем связь между радиусами сте-
нок канала и значениями функций тока, согласно уравнению (IV. 10). Но
так как функция ф находится в пределах от 0 до —л, то arcsin ф имеет два
значения в зависимости от положения окружности относительно основного
круга.
Если > /?.2, то дуга первой окружности может находиться только
внутри основного круга, т. е. в области изменения ф от —л/2 до —л. В таком
случае функция тока ф#, для окружности радиуса находится, согласно
уравнению (IV. 10),
фД1 = — л + arcsin . /TV 1 7\
Вторая окружность может находиться как внутри, так и вне основного круга.
Функция тока ф^2, соответствующая окружности радиуса /?2, определяется
из уравнения (IV. 12)
ф«2 = arcctg (^ёфд, — -е-) .
(IV. 18)
Если <Т?2, то вторая окружность обязательно находится вне основ-
ного круга, т. е. в области, где ф лежит в пределах от —л/2 до 0. В этом слу-
чае функция тока ф^2 находится непосредственно из уравнения (IV. 10)
фд2 = - -arcsin .
(IV. 19)
Первая же окружность может оказаться как внутри, так и вне основного
круга, и соответствующая ей функция тока определяется из уравнения (IV. 12)
фя, = arcctg (ф^фд2 + .
(IV.20)
Теперь уже известны положения обеих окружностей относительно ос-
новного круга и значения функций тока. Без затруднений могут быть най-
дены и промежуточные линии тока, которыми будут служить дуги окружно-
стей. Их радиусы связаны с функциями тока указанными выше уравнениями.
Зная линии тока, совпадающие с границами канала или проходящие
внутри этого канала, можно вычислить скорости в любой его точке. Сопря-
женная скорость определяется с помощью уравнения (IV.2) как производная
от комплексного потенциала по комплексной координате [13]
। 1 -ТВ dv Q 2
11 dz 2лх0 z2
Отсюда получим выражение для величины скорости
Q
2лх0
(IV.21)
168
Для вычисления модуля
1------—
хо
воспользуемся уравнением
(IV.2),
которое можно записать в такой форме:
где
— + 1
-Д---- = е*,
— — 1
Хо
Из этого уравнения найдем
z ___ е7 |1
х0 ~ —1 ’
1-—= 1-
*2о
— 2л
Обозначим <р = -у- <р и заметим, что
/. । o'f- JiH-йр । „-to+»Ф)
С | V * " ' t- I t- •
Выразив показательные функции через тригонометрические и гиперболи-
ческие, после алгебраических преобразований получим
1
Ли
-^-(сйф — COSIp).
(IV.22)
Следовательно, искомая величина модуля скорости определится по фор-
муле
ш = -=——(ch ф — cosip). (IV.23)
Если искать скорость вдоль линии тока ip = const и обозначить через s
дуговую координату, то w = dq/ds. Перейдя к относительной координате
s = s/x0, можем записать
~ = ch ф — cos ф>.
ds
В этой формуле потенциал скорости можно выразить через функцию тока.
Для этого из последнего уравнения найдем
f _ = 2 f .
j ch <р — cos ip I е2ч> — 2еч> cos чр + 1
Разложив подынтегральное выражение на простейшие дроби, после ин-
тегрирования получим
- 1 , Л>_ ДФ
s = In--= е—= + С, (IV 24)
i sinip еФ___е— «ф
где С — постоянная, которая определяется из условия s = 0 при ф = 0.
Подставим выражение постоянной С и решим уравнение (IV.24) относи-
тельно ф
ei (s sinip — ip) [ j
Ф — In —-——----------------Д-
gis sinip е—iip
(IV. 25)
169
В верхней полуплоскости, как было показано, —л <ф <0. Подставив
в формулу (IV.25) эти предельные значения ф, найдем диапазон изменения
потенциала скорости 0 < ср < ©о.
Продифференцируем уравнение (IV.25), чтобы получить более удобное
выражение скорости в зависимости от центрального угла 6 для точек на
линиях тока. Угол 6 будем отсчитывать от положительной полуоси Оу по ча-
совой стрелке (рис. IV.4). Заметив, что
Q__ s s | sin ф |
°-
и что для четной функции
s sin ф s I sin ф I п
COS----- = COS —J----— = cos 0,
x0 *0
получим
w-T"• <iv‘26>
В этом уравнении всегда cos 0 + cos ф >> 0. Действительно, максималь-
ное значение центрального угла в правой части верхней полуплоскости 0тах =
= л + ф и cos 0_я,. = —cos ф, а так как 9 <Г0тях и cos 0 > cos 0max,
то cos 0 > —cos ф, что и требовалось доказать.
Интенсивность Q источника и стока имеет простую связь с объемным рас-
ходом жидкости QK рассматриваемого участка канала. Действительно, раз-
ность значений функций тока, занимающих место стенок канала, равна объ-
емному расходу жидкости этим каналом [13]
= = (IV.27)
Таким образом, заданный расход жидкости можно непосредственно ввести
в формулу (IV.26)
W (6) = —=-Qk =--------sin£f_^. (IV.28)
*0 (фу?2 — Фд,) cos е + cos ф
Изопотенциальные линии от источника и стока можно получить так же
просто, как линии тока. Действительно, согласно формуле (IV.4), имеем
2ф _ Д + х0)2 + </2
(X —ХО)2+^2
.ИЛИ
9 ! 1 О 9
х~ — 2х%0 —1--------------= — хо,
е2<₽ — 1
и после преобразований найдем уравнение изопотенциальных линий ср =
= const
(х — х0 cth ср)2 + у2 = (- . (IV.29)
\ shcp /
Следовательно, изопотенциальные линии, как и линии тока, представ-
ляют собой окружности (рис. IV.2) с радиусами
R = (IV.30)
shcp
и с центрами на оси х на расстоянии от начала координат
/i = xocthcp. (IV.31)
170
Rlt R2 и эксцентриситет е.
Ri > R-2 или Rx <Ra и по
Рис. IV.5. Линии тока и изопотенциальные линии от
пары вихрей
Сетка кривых получается симметричной в правой и левой полуплоскостях,
поэтому дальше будем рассматривать только правую полуплоскость. В этой
полуплоскости, как ясно из уравнения (IV.4), всегда <р >’ 0 и, следовательно,
sh <р > 0 и cth <р > 1.
При ср —> 0 радиус R —-> оо и h —оо, а также h —> R. В этом случае изо-
потенциальной линией будет ось у. Этим объясняется принятый отсчет цен-
тральных углов 6 от оси у (рис. IV.4).
На основании изложенного может быть принята следующая схема рас-
чета межлопаточного канала с использованием верхней физической полу-
плоскости z для схемы течения от источника и стока.
1. Заданными считаются радиусы канала
По этим данным устанавливается тип канала
формулам (IV. 16) решается
вопрос о существовании соот-
ветствующих этому каналу ли-
ний тока от источника и стока.
2. По формуле (IV. 14) вы-
числяется координата х0.
3. Если Rx > R2, то фх
и ф2 определяются соответст-
венно по формуле (IV. 17) и
(IV. 18).
4. Если Rx<Ra, то ф, и
ф2 определяются соответст-
венно по формулам (IV. 19) и
(IV.20).
5. Вычисляются скорости
потока вдоль любой линии то-
ка по формуле (IV.28) в зави-
симости от угла 0.
Если очертания исследуе-
мого участка межлопаточного
канала не укладываются в рамки линий тока, создаваемых источником и
стоком, то можно воспользоваться картиной течения от других особенностей.
На основании изложенного очень просто рассмотреть движение от двух
вихрей равной интенсивности.
Два вихря. Поместим на плоскости z в точках ±х0 два изолированных
точечных вихря противоположного вращения с одинаковой по величине
циркуляцией Г (рис. IV.5). Вокруг вихря создается циркуляционное дви-
жение жидкости. Знак циркуляции определяется направлением обхода
контура. Последнее же выбирается так, чтобы при обходе по контуру, охва-
тывающему вихрь, площадь, ограниченная контуром, оставалась слева.
Из гидромеханики известно [13], что комплексному потенциалу /, опре-
деляющему движение жидкости от вихря, соответствует та же сетка линий
тока и изопотенциальных линий, как и от источника (стока), но эти линии
взаимно меняются местами. При этом в формулы для комплексного потенциала
вместо Q входит произведение г'Г с обратным знаком, потенциал скорости для
источника cpq заменяется функцией тока —фг и функция тока ф0 уступает
место потенциалу скорости фг (в дальнейшем индексы при (риф опускаются).
Эти замены в уравнении (IV.2) приводят к формуле
, \ . Г . г + хп
X^) = ~l 2л
(IV.32)
Формулы, выведенные в предыдущем параграфе, остаются справедливыми
при указанной замене функций.
171
Уравнение линий тока получается аналогичным (IV.29)
(% + х0 cth яр)2 4- z/2 = (—.
\—ship)
Отсюда получим
—ship
И
n = —x0 cthip.
Величины R и n положительны, так как
-— сю <фф 0.
(IV.33)
(IV.34)
(IV.35)
Чтобы получить зависимость, аналогичную уравнению (IV. 14), напишем
выражение для эксцентриситета, согласно уравнению (IV.35),
Рис. IV.6. Направление отсчета
дуговой координаты s и цент-
рального угла 6
ясно из формул (IV.34) и
s = п2 — Щ — х0 (cth тр/?, — cth -ф^2) •
Использовав уравнение (IV.34) и заметив
что cth2 ч|з = 1 + ——
sh2 ip
получим
|/₽2 + xl
cth ф =-------------—-
х0
и s = |/ R2 + %о — ]/ Ri + ;
берем положительные значения радикалов, так
как рассматривается только правая полупло-
скость, где cth ф<0 и п >> х0 > 0, что
(IV.35). Окончательно найдем искомую связь
(IV.36)
Скорость на линиях тока определится путем дифференцирования ком-
плексного потенциала. При этом для модуля комплексной скорости w полу-
чится формула, аналогичная (IV.23), с указанными выше заменами
Г
2лх0
(chip — cos ср).
(IV.37)
Здесь в правой части взят знак плюс, так как всегда выражение в скобках
больше нуля (%0 > 0) и модуль скорости должен быть положительным.
Идя тем же путем, как и для предыдущей схемы, найдем зависимость
между ср и дуговой координатой s. В результате интегрирования получим
формулу, аналогичную (IV.24),
i . — е-^-1
---1П-----------— —,
sh ф----------— 1
причем принято s = 0 при <р ~ 0 (рис. IV.6). Такое начало отсчета коорди-
наты s выбрано потому, что потенциал скорости аналогично функции
в предыдущей схеме получает значение <р = 0 на оси х при сю х х0.
Заметим, что так же, как и для схемы источник—сток, при прохождении
линии <р = const через особенность величина потенциала меняется на л.
Поэтому на оси х при 0 х %0 получается ср = —л.
172
Центральный угол 6 =- s/Т? будем отсчитывать от этой оси в направлении
течения. Из последней формулы найдем
essh^-^ + 1
ф = —I In —=—------— .
£s sh ф । е—чр
Дифференцируя это выражение, получим
dtp sh3 ф
ds ch ф 4- cos О
Отсюда следует, что
а,(6) = ^-ДтЧ я* <IV'38)
ch ф 4- cos О
Расход жидкости каналом равен разности функций тока, соответствующих
очертанию канала,
Г — —
QK = — Фя, = 2^- Cfe — W
Отсюда находится связь между интенсивностью вихрей и расходом
жидкости
р _ 2-лРк
’Ря2— Фк.
Поэтому формула (IV.38) для скорости вдоль какой-либо линии тока мо-
жет быть записана в такой форме:
w (6) = Qk _ . (I V.39)
Хо ~ ^Ях) СН' Т cos 6
Для линии тока, совпадающей с осью у, имеем ф = 0, и скорость для нее,
согласно (IV.37), будет
W= 2^<1-C0S^’
Выразив ф через s = у тем же путем, как и выше, найдем
dtp Г 1
W = ~г- =-------------
dy лл0 д , / У V
\ *0 /
Для получения картины течения вне канала можно условно его продол-
жить: на входе — под углом натекания потока Щ, а на выходе — под углом
выхода потока [3.2, согласно формуле (IV.’1).
IV.2. МЕТОД ОСОБЕННОСТЕЙ
При плоском обтекании цилиндрического крыла под влиянием внутрен-
него трения в пограничном слое образуются вихри. Эти вихри по идее
Н. Е. Жуковского могут быть заменены присоединенным вихрем, которым
в расчетной схеме объясняется подъемная сила крыла. Эта идея кладется
также в основу различных методов расчета решеток.
Вообразим, что тонкая лопатка вынута из поля течения и заменена не-
подвижной жидкостью. Тогда вдоль обеих границ, которые первоначально
составляли вогнутую и выпуклую поверхности лопатки, образуются поверх-
ности разрыва тангенциальной составляющей скорости. Для того чтобы соз-
дать картину течения при вынутой лопатке, поверхности разрыва рассматри-
ваются как вихревые слон, которые в известной мере тождественны погранич-
ным слоям на поверхностях лопаток и которые характеризуются плотностью
распределения циркуляции у. Так как скорость потока у поверхности
173
лопатки равняется нулю, то и вихри предполагаются присоединенными, не-
подвижными относительно жидкости.
При указанной замене лопатки системой присоединенных вихрей силу,
действующую на лопатку, можно выразить через интенсивность вихревого
слоя. Действительно, если выделить полосу вихревого слоя единичной вы-
соты и предположить, что на вогнутой стороне имеем скорость w', а на вы-
пуклой w", то, согласно определению, вихревая плотность слоя
y = w" — w'. (IV.40)
Таким образом, интенсивность вихревого слоя определяется разностью
скоростей на обеих сторонах. Обозначив средневекторную скорость
wc = -^-(wz + w"),
можно написать, согласно уравнению (IV.40),
(и/'2 — w'“) = ywc. (IV.41)
С другой стороны, сила, действующая на ло-
патку, равна разности давлений на обеих по-
верхностях .лопатки и направлена перпендику-
лярно к элементу. Согласно теореме Бернулли,
для неожидаемой жидкости
р'' —р' = -^-p(w'2 —ш''2).
Воспользовавшись уравнением (IV.41), получим
р' — р" = P|V||^J- (IV.42)
Таким образом, силу действующую на лопатку, можно выразить через у
и через средневекторную скорость wc, что подтверждает тождество лопатки
системе присоединенных вихрей. Формулу (IV.42) можно рассматривать как
частную форму теоремы Жуковского, примененной к элементу дужки (см.
и. 11.11).
При исследовании течения около лопатки указанным методом важное
значение имеет выбор интенсивности вихрей, распределенных вдоль профиля
лопатки. Рассматривая обтекание профиля, обе поверхности которого в пре-
деле совпадают, дужку можно заменить одним вихревым слоем.
Отдельно стоящая дужка. Для дальнейшего исследования удобно начало
координат расположить в середине хорды профиля, направив для одной си-
стемы координат ось х вдоль оси решетки и ось у — перпендикулярно к ней,
а для другой системы координат — ось g по хорде, профиля и ось т; — перпен-
дикулярно к ней (рис. IV.7).
В любой точке профиля результирующая скорость w складывается из
скорости потока на бесконечности wm и скорости v потока, образованного
системой присоединенных вихрей, т. е.
w = + v.
В проекциях на оси координат скорость w может быть записана так:
+ Dg, (IV.43)
— шсс11 + Uq. (IV. 44)
Связь между проекциями скорости в обеих системах координат опреде-
ляется уравнениями:
= vx cos pb + Vy sin pb, = —vx sin pb + vy cos p6,
где pt — угол между хордой и осью решетки.
174
Каждый присоединенный вихрь создает поле скоростей, которое можно
определить так же, как в п. IV. 1 исходя из формулы, аналогичной (IV.32).
Скорость в какой-нибудь точке М с координатой s на профиле (рис. IV.7)
от вихря у (s) ds, расположенного в точке с координатой s0, будет
dv = ДУф*..
2лг (s, s0)
где г (s, s0) — расстояние между точками с координатами s и s0. Эта скорость
направлена по вращению вихря перпендикулярно радиусу-вектору г (s,
s0). Если дужка имеет большой радиус кривизны, то приблизительно можно
принять величину г (s, s0) = s — s0, а тогда
ZTC S-Sg
Индуцированная в точке s скорость от всех вихрей, расположенных на
дужке с крайними координатами ±Ь/2, будет
+4
у (s) ds
s—s0
ь
2
(IV.45)
v= аГ
Закон распределения вихрей у (s), заменяющих лопатку, зависит от формы
дужки и расположения ее в потоке. Если, например, пластинку длиной b
поставить в поток под некоторым углом атаки, то, как показал В. Бирнбаум
[11], интенсивность вихрей должна изменяться по закону
а для дужки параболы
(IV.46)
(IV.47)
Для профиля произвольной формы Г. Глауэрт [2] предложил предста-
вить распределение вихрей по закону
/~1 + 4г г——
тИ=л4' г^+л,1/1-(т)1+
F 1 ь
+ Л22^]/1-(4-)2+ (IV.48)
Если обозначить 2s/b = cos 6, то последний ряд в тригонометрической
форме может быть записан так:
у (6) = Ло ctg+ Д sin 0 + Л2 sin 26 + (IV.49)
Приняв во внимание, что ds =-------sin 6 dO, определим циркуляцию
скорости вокруг профиля
ь
2 П Г со
J у (s) ds — j Ао ctg sin 6 + Ап sin мб sin 6 dB =
ь о
2
Г =
о
(IV.50)
175
Таким образом, циркуляция вокруг профиля зависит только от коэффи-
циентов Ао и А !, остальные же коэффициенты на циркуляцию влияния не ока-
зывают.
С помощью ряда (IV.49) можно также определить скорость в какой-нибудь
точке профиля, возникающую от вихрей на самом профиле [10],
ь_
1 2 Л
Г* Г* 0
1 I v (s) ds 1 I А° ctg “2" sin 6 + S АП sin пв sin 6
—• , ., I Y \ / — _ I ________________—____________dQ
2л J s — s0 2л cos 0 — cos 0O
о
2
Так как
ГЕ jT
1 ctg-^-sinO I i , A
I 2 ,n I 1 4- cos 0 ,n
I ---n------= jt;
J cos 0 — cos 0O J cos 0 — cos 0O
о 0
Л
Г An sin nQ sin 0 ,n n
—-----------5— ™ = ^A„ COS пв,
J cos 0 — cos 0O n ’
0
то последнее выражение для скорости v может быть записано в таком виде:
o = 4~Uo-SAcosne). (IV.51)
Для того чтобы система присоединенных вихрей заменяла лопатку, под-
берем интенсивность вихрей у (s) так, чтобы в любой точке лопатки проекция
результирующей скорости на нормаль п к поверхности лопатки была равна
нулю, т. е.
wn = —sin Р + cos ₽ = 0,
где р — угол, образованный касательной к профилю в данной точке с осью g
(рис. IV.7).
Из последнего уравнения, приняв во внимание формулы (IV.43) и (IV.44),
получим
= (IV-52)
Предположим профиль настолько пологим, что скорости v, индуцирован-
ные вихрями на профиле, можно считать равными скоростям на хорде про-
филя, вызванным вихрями той же интенсивности, что и на профиле, но раз-
мещенными на хорде. В этом случае = v и = 0. После подстановки v
из уравнения (IV.51) в формулу (IV.52) получим
1 W
tg Р - (Д - S 4 cos П0) - (I V.53)
Д — 2j 4cosn0 = 2a>cor)(tgP +tga), (IV.54)
или
где tga
На основании указанных соображений можно либо исходить из распре-
деления вихрей и тогда с помощью уравнений (IV.53) построить профиль,
либо задать форму профиля и из уравнения (IV.54) найти коэффициенты Ао,
Аг и т. д., т. е. определить распределение вихрей по профилю.
Таким образом может быть вычислена циркуляция для отдельно стоящей
дужки. Если дужку поместить в решетку, то циркуляция изменится.
Расчет решетки профилей по заданному распределению вихрей. В прак-
тике построения гидротурбин и насосов широко применяются методы, в ос-
176
нову которых положены труды профессора ЛПИ И. Н. Вознесенского [1].
Предложенный им метод основан на замене лопаток вихревыми слоями,
как это было сделано Г. Глауэртом для изолированной дужки. Таким обра
зом, решетка бесконечно тонких профилей заменяется бесконечной последо-
вательностью вихрей, расположенных на прямых, параллельных оси ре-
шетки. Поле скоростей определяется от каждой последовательности вихрей,
и после интегрирования по длине профиля находятся суммарные поля ско-
ростей и линии тока. При этом для определения формы тонкого профиля
в решетке получается интегральное уравнение относительно функции у (s),
с помощью которого можно решить прямую и обратную задачу. В других
методах, исходивших из тех же предпосылок, использовались более простые
приемы решения поставленных задач.
Для решения обратной задачи заданными предполагаются средневектор
ная скорость wc, шаг t, хорда дужки b и распределение вихрей у (s) на дужке,
а требуется определить форму профиля.
Если у (s) выбирается из расчета, что дужка должна создавать циркуля-
цию только под влиянием ее кривизны, то первый член в ряде (IV.48), ха-
рактеризующий влияние угла атаки, может быть опущен (Ло =- 0). В этом
случае в первом приближении дужку лучше всего установить так, чтобы ее
хорда совпадала с направлением вектора мс. Тогда распределение вихрей
может быть выбрано по закону
Если же дужка должна создавать циркуляцию под влиянием как кри-
визны, так и угла атаки, то угол наклона ее хорды должен быть меньше,
чем угол наклона вектора wf. Величину этого наклона можно определить по
заданной циркуляции для изолированной дужки с поправкой на ее обте-
кание в решетке.
Во втором приближении предполагается, что на профилях вихри распре-
делены по первому приближению. На каждой дужке выделяется элементар-
ный отрезок ds с вихрем интенсивности у (s) ds и с координатами х и у на
одной из дужек, называемой основной. Эти вихри образуют бесконечный ряд
с шагом t. От этих вихрей в какой-либо точке пространства с координатами х0
и у0 возникают скорости, проекции которых можно определить [11 ] по фор-
мулам:
, ь
1 т
, 2л ,
sh - - (у0 — у)
, 2л 7 ~yds’ (IV.55)
ch — ({/0 — у) — cos — (х0 — х)
— 2’
sin “ Uo ~ х)
,2л 2л
ch у- (у0 — у) — cos — (хв — х)
yds.
(IV.56)
Эти формулы определяют поле скоростей в решетке и вне ее. При под-
ходе к дужке, представляющей поверхность разрыва, к скорости, вычислен-
ной по формулам (IV.55) и (IV.56), надо еще добавить член +0,5у (s). Зная
проекции скоростей, можно определить угол наклона касательной к про-
филю и таким образом определить форму профиля [11].
12 и. И. Кириллов
177
Приближенные методы расчета решеток, изложенные в этом параграфе
и другие, дают возможность определить вращающий момент для отдельных
цилиндрических слоев и суммарную его величину для всего колеса.
А. Ф. Лесохиным [10] в ЛПИ был разработан уточненный метод ра-
счета осевых решеток с профилями конечной толщины. Аналогичный метод
применялся И. Аккеретом для расчета компрессорных решеток. В послед-
нее время эти методы были развиты в трудах И. Э. Этинберга [19] и др.
Согласно этим методам, внутри каждого профиля на его скелете разме-
щаются вихри, источники и стоки. Эти особенности вместе с плоскопараллель-
ным течением должны создавать поток, удовлетворяющий граничным уело
виям и имеющий замкнутые линии тока вокруг каждого профиля. Эти зам-
кнутые кривые должны соответствовать выбранным размерам профиля (хорде,
толщине и др.). Через контур профиля не может быть перетеканий, поэтому
суммарный расход всех источников и стоков внутри каждого контура должен
равняться нулю. Принципы расчета полей давления и скоростей аналогичны
положенным в основу расчета решеток из тонких дужек.
Методы расчета решеток, основанные на решении интегральных уравне-
ний, в последнее время привлекают к себе внимание в связи с удобством их
использования для программирования с целью применения электронных
цифровых вычислительных машин, которые повышают точность и сокращают
время расчетов.
IV. 3. МЕТОД КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
Методом конформного отображения сравнительно просто получить точное
решение для бесконечно тонкой лопатки небольшой изогнутости. Это решение
можно использовать для приближенного представления о картине течения
в реальной решетке с лопатками небольшой толщины и малой изогнутости [9 ].
Пусть £ = f (z) — аналитическая функция в некоторой области, причем
каждой точке z = х Д iy в плоскости независимого переменного z соответ-
ствует одна точка в плоскости £ = £ Д й]. Движению точки в плоскости z
по какой-либо кривой А соответствует движение точки в плоскости £ по
кривой В, которая служит отображением кривой А. Это отображение с по-
мощью аналитической функции обладает свойством сохранения углов во
всех точках, где производная f (z) не равна нулю. Преобразование, сохра-
няющее углы по величине и направлению отсчета, называется конформным.
Из геометрического смысла производной dtjdz следует, что при кон-
формном преобразовании модуль производной есть коэффициент линейного
растяжения, а аргумент производной —угол, на который повернется каса-
тельная к кривой А в некоторой точке и вместе с ней — также бесконечно
малый отрезок самой кривой А. При этом значения коэффициента растяжения
и угла поворота будут различными в разных точках плоскости.
Если в плоскостях z и £ провести две бесконечно близкие линии тока ф
и ф д dip, между которыми расход несжимаемой жидкости должен оставаться
неизменным, то в обеих плоскостях сохраняется величина dip, которой изме-
ряется этот расход. А так как при конформном отображении с коэффициентом
растяжения т = | dtjdz | имеем в любых соответственных точках dx = d£!tn
и dy = dx]/m, то для конформных плоскостей остается неизменным уравне-
ние Лапласа:
й'Д ______р d2ip d2ip__р
+ ду2 ~ U’ <Д 1 -
Это условие справедливо лишь для потенциального течения.
Пусть известна функция комплексного переменного z = f (Q, с помощью
которой отображается внешняя область по отношению к контуру на плоско-
сти комплексного переменного z = х Д у на внешнюю область по отношению
к другому контуру на плоскости комплексного переменного £ = £ Д й].
Предположим, что мы знаем комплексный потенциал течения у* (£) и ото-
бражающую функцию f (£), а требуется определить комплексный потенциал
178
течения % (z) в плоскости z. Тогда, пользуясь известной связью между ком-
плексными переменными z и £, получим
% (г) = X [/с (fe)] = X* (0-
Если рассматривать замкнутый контур на плоскости z и его конформное
отображение на плоскости £, то циркуляция скорости по этим контурам ока-
жется одинаковой. Действительно, в плоскости z циркуляция по замкнутому
контуру будет
Г = ф ws ds.
В плоскости же £ путь, соответствующий ds, станет ds* mds, а скорость
в сходственных точках траектории ws = wjm. Этим определяется циркуля-
ция скорости по замкнутому контуру в плоскости
Г — ф d s' = ф ~ т d s — Г.
Таким же образом устанавливается равенство криволинейных интегралов,
представляющих циркуляцию скорости вдоль соответствующих участков
кривых, одна из которых является конформным отображением другой. Ана-
логичные соображения можно высказать в отношении расходов между двумя
линиями тока в обеих плоскостях.
В современных исследованиях течения в решетке методом конформного
отображения обычно используют принцип отображения плоскости течения
вне профилей решетки на внешность круга или кругов. Чтобы дать общее
представление об этих идеях, остановимся на рассмотрении простейших
задач этого типа, придерживаясь метода Н. Е. Кочина [9].
Решетка пластин
Рассмотрим простейшую решетку, состоящую из пластин (рис. IV-8).
Эта решетка может быть определена тремя параметрами: шагом t, углом уста-
новки пластин р и их шириной Ь. Решетку пластин представим на плоскости z
в координатах х, у. В физической пло-
скости z течение для такой решетки иссле-
довать трудно. Картина же обтекания круга
в другой плоскости £ получается достаточно
простой. Поэтому сначала изучим это по
следнее течение, а затем с помощью отобра-
жающей функции перейдем к обтеканию ре-
шетки пластин.
Пусть в плоскости z жидкость течет из
точки z = —оо в точку z — -Роо со скоро-
стью w (рис. IV.8). Рассмотрим такое опреде-
ленным образом заданное течение жидкости
из точки — Ц в точку +10 в плоскости £, чтобы
контур (разрез) А—В оказался преобразован-
ным в окружность (рис. 1V.9). Циркуляцию
скорости Г вокруг этой окружности и расход
жидкости Q в плоскости £ выберем такими
же, как отнесенные к шагу решетки в пло-
скости z. При этом условии будем искать
функцию от £, которая определила бы
на плоскости £ обтекание
цилиндра, соответствующее обтеканию пластины на плоскости z.
Комплексный потенциал течения представим в виде х = <р + гф. Для пе-
рехода вдоль какой-либо кривой из одной точки М в другую М’ (рис. IV.8)
можно написать
12*
М' М'
j d% = | (т/ф + гйф).
м м
179
Действительная часть этого интеграла определяет циркуляцию скорости на
участке МЛГ, а мнимая — секундный объемный расход жидкости.
Вследствие общих свойств конформного отображения на рассматриваемых
плоскостях величины скоростей в сходственных точках имеют масштаб, об-
ратный масштабу длин. Для каждой точки на плоскости z производная dtjdz
имеет различные значения. Определив отображающую функцию, получим
возможность перенести картину скоростей при обтекании цилиндра на пло-
скость z, где обтекается пластина в решетке.
Задачу обтекания прямолинейной решетки можно разбить на три части,
соответствующие течениям: параллельному лопаткам, перпендикулярному
к ним и циркуляционному. Каждое из этих течений в отдельности не имеет
практического значения, но они играют важную вспомогательную роль при
определении отображающей функции.
Параллельное течение. При течении на плоскости z, параллельном пла-
стинам, решетка обтекается бесциркуляционно. Скорость этого течения
примем равной единице. Тогда в плоскости г комплексный потенциал можно
выразить так:
%(г) = <р мр = (IV.57)
Действительно, заменив показательную функцию на тригонометрическую
и отделив вещественные и мнимые части, получкам
Рис. IV.9. Сетка линий тока при бесцир-
куляционном обтекании решетки на пло-
скости t
Ф — х cos р + у sin (3;
ф = у cos [3 — х sin р,
а отсюда найдем проекции скорости w
на оси х и у
а также дифференциальное уравнение
линий тока
^dxJr~-dy -- —sin Р dx -f- cos p dy == 0,
которые соответствуют данному парал-
лельному течению.
Мы уже видели в п. IV. 1, что, рас-
сматривая течение от источника и
стока или от пары вихрей, можно получить линии тока в виде окружностей.
Здесь же поставлена более сложная задача: лишь одна линия тока должна
быть окружностью, а остальные не должны ее пересекать. Задача эта может
быть решена выбором соответствующих особенностей.
Чтобы решить вопрос о выборе особенностей, рассмотрим картину те-
чения в плоскости z при переходе из точки /И в ближайшую конгруентаую
ей точку /И' (рис. IV.8) и соответствующий обход по малой окружности вокруг
точки — на плоскости £ (рис. IV.9). При таком переходе на плоскости z
решетка остается справа, а все линии тока параллельны и образуют с на-
правлением перехода угол —р. Конформное отображение этого течения на
плоскость Z обладает свойством консерватизма углов в каждой точке, где
X' (^) 0.
Поэтому при обходе малой окружности вокруг точки —|0 на плоскости £
необходимо получить такие линии тока, чтобы между ними и окружностью
в любой точке на ней образовались одинаковые углы. Таким свойством обла-
дает вихреисточник, который порождает линии тока в виде логарифмических
спиралей, а они имеют одинаковые углы наклона к радиусам, проведенным
из точки расположения этой особенности. Те же соображения можно выска-
зать об особенности в точке |0 на плоскости С справа от начала координат.
180
Итак, поместим на плоскости в точке — £0 вихрь с циркуляцией Г и ис-
точник с расходом Q, а в точке £0 — вихрь с обратным направлением цирку-
ляции — Г и сток — Q. При выбранном направлении циркуляции в точке —Н(,
область течения окажется справа от малой окружности, что соответ-
ствует интересующей нас области течения на плоскости z при переходе вдоль
линии ММ'. Чтобы получить линию тока в виде окружности, необходимо
поместить еще два вихре источника в точках —J и -f- 4-, причем в первой из
so feo
них следует поместить источник Q и вихрь с циркуляцией —Г, а во второй —
сток — Q и вихрь Г. Течение от последних двух вихреистбчников во взаимо-
действии с внешними особенностями не выходит за пределы окружности,
расход через которую равен нулю.
Комплексный потенциал течения от всех особенностей в плоскости £
(рис. IV.9) составим путем наложения потоков с использованием формул,
аналогичных формулам (IV.2) и (IV.32),
Цг) = -^тЩ + ^т^|. (iv.58)
t I t
SO
Интенсивность источников и стоков определим как произведение шага на
расходную составляющую скорости в бесконечности в плоскости z (толщину
слоя между плоскостями, параллельными плоскости z, считаем равной еди-
нице). Эта расходная составляющая скорости в данной схеме равна wx.
Приняв скорость на бесконечности w за единицу, получим ее проекции в пло-
скости z
wx = cos р, wy = sin р.
Следовательно, секундный объемный расход на шаг решетки, отнесенный
к единичной скорости в бесконечности, можно определить по формуле Q =
— t cos р. Циркуляция скорости вдоль шага на участке между теми же точ-
ками в бесконечности определится интегралом
t
Г = [ wy dy —1 sin p.
о
Заменив тригонометрические функции показательными, получим
Г 4. iQ = tie- Г — iQ = — tie®,
а поэтому уравнение (IV.58) можно записать так:
% 1(0 2л
е ,р In -
С So
С —4-
е‘р In —
(IV.59)
Знак || здесь показывает, что течение направлено параллельно пластинам.
На плоскости z комплексный потенциал бесциркуляционного течения при
скорости, равной единице, был выражен формулой (IV.57). А так как у (z) =
= X (0> то из уравнений (IV.57) и (IV.59) получим следующую формулу пре-
образования плоскости обтекания прямолинейных профилей на внешность
круга:
Z = уе'р = ~
1пш._г®1ппА
Ь Ьо £•_*
(IV.60)
£о -
Таким образом, найдена связь между комплексными переменными z и Ц
что дает возможность отображения плоскости с пластинами (надрезами)
на внешность круга.
181
Теперь может быть установлена аналитическая связь между любой точкой
на пластине АВ и на окружности в плоскости а также между величинами £0
и Ь.
Полученная функция z = f (С) имеет период 2л, и каждой точке на окруж-
ности в плоскости С ей соответствует на плоскости z бесчисленное множество
конгруентных точек, отличающихся на шаг Л Таким образом, все пластины
решетки проектируются на одну окружность в плоскости
Определим координаты точек А и В, в которых на плоскости £ поток раз-
ветвляется. В точках разветвления скорость равна нулю, что означает ра-
Рис. IV. 10. Радиусы-векторы к точкам окружности единичного радиуса
венство нулю производной от комплексного потенциала. Последнее следует
из того, что производная от комплексного потенциала по комплексной коор-
динате равна сопряженной скорости
где 6 — угол, образованный вектором комплексной скорости w с действитель-
ной осью
Взяв эту производную и приравняв ее нулю, найдем выражение для опре-
деления t, в точках А и В
Выразим координаты точек А и В через показательные функции
где а0 — угол между радиусом-вектором, проведенным из начала коорди-
нат в точку В, и положительным направлением вещественной оси (рис. IV.9).
Величина этого угла и радиус окружности г0 определяются подстановкой
принятых выражений для £л и £в в предыдущее уравнение для £2. Решение
полученных таким образом уравнений с заменой показательных функций
тригонометрическими для единичного радиуса окружности приведет к вы-
ражению
(IV.61)
182
Вернемся вновь к формуле (IV.59). Для любой точки М на окружности
единичного радиуса (рис. IV. 10) координату £ можем выразить через угол сс
Приняв окружность за нулевую
точки М получим % = ф. Запишем
таком виде (рис. IV. 10):
In (£ + Е0) = 1пп + lOf.
линию тока (ф = 0), для любой
логарифмы комплексных величин в
In (? — у — In +/01;
ln(s +
= In г2 4- *62:
= In г2 +
После подстановки этих выражений в уравнение (IV.59) и разделения
вещественной и мнимой частей получим потенциал скорости
cos |3 In ~-1—-
rlr2
Для точек, лежащих на окружности единичного радиуса, можем соста-
вить следующие соотношения:
0'=arctg
sin а
4- cos а
arctg
sin а
go — cos а *
л
4 = 1 -г- ёб — 2 g0 COS а; rf
= 1 + Sq + 2 £0 cos
Выписав аналогичные равенства для Л и г | и сравнив их с последними ра-
венствами, получим зависимости
Это же соотношение легко получить из подобия треугольников Д/ИОС —
£\М0Е, так как
П _ ОМ _ go _ ~
r2 1 ОМ -°*
с-
4)
Из подобия этих треугольников и пары аналогичных треугольников слева
на рис. IV. 10 также имеем
02 — а р л — 0Х;
02 — а — 01.
Использовав
через а и g0:
эти соотношения, можно
выразить потенциал скорости
/
cos В In —
ri
(/ \ - о
—ejsinp
или
+ sin
р arctg
2 g0 sin a
• (IV.62)
Чтобы найти значение г, соответствующее этому потенциалу скорости,
заметим, что согласно уравнению (IV.57) для ф = 0 имеем
z — = фе^‘
Следовательно, потенциал скорости на окружности равен модулю перемен-
ной г.
Радиусы-векторы, проведенные из начала координат в точки А и В
(рис. IV.9), образуют с вещественной осью углы соответственно л + сс0
183
и а0. Для этих углов по формуле (IV.62) определим величины <рл и <рБ.
Этими величинами полностью определяются гА и zB на плоскости z. Длина
пластины, проходящей через начало координат, находится из равенства
b = I zb I — I 2д| = <[е — Фл-
Из формулы (IV.62) ясно, что, подставив а = сс0 и а — л - - а0, получим
<рл = —<р£ — t sin р и, следовательно,
b — 2 q?B + t sin р.
Из последнего уравнения и формулы (IV.62) для потенциала tpB при а =
= с/-о найдем относительную длину пластины
Ь __
t л
1 i46 + 2£ocos«o ,0.0 2g0sina0
cos pin------к--------------E 2 sin P arctg ----ъ------
1 ->-g2-.2gClcos«(! r g2-l
(IV.63)
где ccn можно определить из формулы (IV.61) по заданным р и Ео. Последние
величины полностью определяют относительный шаг решетки t = t/b.
Если же известны величины t и р, то уравнение (IV.63) представляет собой
неявную функцию параметра от этих величин. Таким образом, для решетки
пластин известных размеров течение определяется заданием угла р.
При Р = 0 получим ао=0 и лЬ/t -- In (f° ‘V . Следовательно,
\£о — 1 /
nb
«. е2< + 1 ,, лЬ
е2/ -I
Отсюда видим, что |(1 —> сю при t —> оо и Н(| --> 1 при t - > 0. При р
получим а0 = ~ =, arctg -g - и |0 = etg . Следовательно,
Z ’ S(; — 1 4Z
—> оо при / —> оо и £0 —> 1 при t --> b.
Если относительный шаг t настолько велик, что при разложении в
тригонометрических и гиперболических функций можно пренебрегать
ратами и высшими степенями величины nbl^t, то
л
Т
ряды
квад-
,, nb , лЬ
cth —— etg -ГГ
4/ 6 4/
а тогда для обоих значений угла Р имеем
(IV.64)
При очень большом относительном шаге эта формула справедлива для любого
угла р [9].
Перпендикулярное течение. Вновь рассмотрим бесциркуляционное обте-
кание пластин, но направление течения на бесконечности перед и за решеткой
будем считать перпендикулярным к пластинам.
При рассмотрении параллельного течения связь между длиной пластины
и потенциалом скорости была установлена лишь на последнем этапе иссле-
дования. Функция же, преобразующая плоскость с надрезами на внешность
круга при заданном относительном шаге t, зависела только от угла р. Если
этот угол заменить на Р — л/2, т. е. повернуть поток по отношению к веще-
ственной оси на угол л/2 — Р по часовой стрелке, то в плоскости z поток
окажется направленным перпендикулярно пластинам (рис. IV. 11, а). При
такой замене угла р вместо и е~ Ф придется подставить в уравнении (IV.59)
184
соответственно — ге'Ри ie '₽. Произведя эту подстановку, получим комплекс-
ный потенциал для перпендикулярного обтекания
___1_\
+ • (IV.65)
1 So
Характер рассматриваемого течения в плоскости £ будет таким же, как и
при параллельном потоке., но точки разветвления будут сдвинуты в С и D
(рис. IV. 11, б). В плоскости же z картина течения вблизи пластин резко изме-
нится, и ее можно получить путем отображения потока с плоскости £ при
помощи отображающей функции того же вида, как и при параллельном обте-
кании.
Циркуляционное обте-
кание. При чисто цирку-
ляционном обтекании сум-
марный расход жидкости
должен быть равен нулю,
и поэтому проекции ско-
ростей на ось х в бесконеч-
ности перед решеткой и за
нею также обращаются
в нули, т. е. wlx = w2x =- 0.
По этой же причине проек-
ции скоростей на ось у
в бесконечности должны
удовлетворять равенству
wiy + “Ц/О- Циркуля-
ция же скорости при обхо-
де пластины в решетке
Рис. IV.II. Перпендикулярное обтекание решетки пластин
при течении в плоскостях г (а) и £ (б)
должна иметь заданную
величину. Два последних условия выпол,няются при wly = —w2y.
Знак циркуляции скорости, как и ранее, будем определять исходя из
предположения, что направление интегрирования по контуру соответствует
такому обходу ограниченной им площади, при котором эта площадь остается
слева. Тогда циркуляция скорости по контуру, охватывающему одну пла-
стину, будет
Г = t (wly — w2y).
Эту циркуляцию скорости примем равной единице (| Г | = 1) и определим
проекции скоростей:
2t '
Циркуляция скорости на участке t при переходе из одной точки М в кон-
груентную точку М' (рис. IV.8 и IV. 12, а) будет
At'
Г1 J V^iy^-y ~ ~2 '
м
Таким образом, можно создать требуемую циркуляцию скорости, поме-
стив на плоскости £ два вихря равной интенсивности в точки Ц и
— £о (рис. IV. 12, б). Для того чтобы нулевая линия тока образовала окруж-
ность, поместим в точках 1Д0 и —1/£0 вихри с циркуляцией скорости
185
обратного знака . Для этой системы вихрей получим комплексный
потенциал циркуляционного обтекания при Г-i = :
ХЧС) 4ST [ln(C-£o) + ln(£ + go)-ln
-ч*+£)]
или
__ 1 (£ —1о)(£ - £о) IIV 661
~ ДлТ1п т:—гт7“—ПГ ’ (1 }
V ёо ) V )
Произвольное обтекание. Пусть поток натекает на решетку пластин
под углом атаки 6 и его средневекторная скорость
we = -i-(w1+ we)
Такой поток имеет составляющие средневекторной скорости вдоль пластины
wc cos б и перпендикулярно к ней wc sin б. Первой из этих составляющих
соответствует потенциал, полученный для параллельного обтекания % u’tcos6,
Рис. IV. 12. Циркуляционное обтекание решетки при течении
в плоскостях z (с) и g (б)
а второй скорости — для перпендикулярного течения—X±®csin6, где
функции х были получены выше для единичной скорости. В последнем выра-
жении поставлен знак минус, так как выше функция была получена для
противоположного направления скорости. Произвольному обтеканию соот-
ветствует также циркуляционное течение с потенциалом Г%ч-
Общий комплексный потенциал течения имеет вид
у = cos б/j — sin бух Н- Гуч. (IV.67)
Величину циркуляции скорости, согласно постулату Жуковского —
Чаплыгина [13 ], найдем из условия конечности скорости в точке В (рис. IV.8).
В общем виде комплексная скорость может быть записана так:
— wc cos б —---sin б —+ Г . (IV.68)
dz с dz - dz 1 dz к
В то же время
ФС = ^/. dg
dz dt, dz
В точке В производная d^/dt, = 0 как в точке разветвления потока при
бесциркуляционном обтекании цилиндра (рис. IV.9). Следовательно, со-
гласно (IV.57), также dz/dt, = 0 и dtjdz = со. По постулату Жуковского—
Чаплыгина при циркуляционном обтекании скорость на задней кромке про-
186
филя с угловой точкой должна быть конечной 113]. Это требование выпол-
няется, если задней кромке пластины соответствует критическая точка на
круге в плоскости £. Для того чтобы получить конечную величину скорости
в точке В на пластине, в плоскости £ должно быть dyjd£ = 0, а так как эта
производная при параллельном течении также равна нулю, то, согласно
уравнению (IV.68), величина циркуляции определится из условия
/ Фс_1 \
— wc sin 6 -г Г
' )в
'в
Вычислив производные в последнем уравнении путем дифференцирования
функций (IV.65) и (IV. 66) и использовав уравнение (IV. 61), а также условие
— eia°, после ряда преобразований получим циркуляцию скорости
4ljc/H(i sin 6 cos с
(ёо - 1) cos ₽
(IV. 69)
Обтекание изолированной пластины
найдем, подставив в последнюю формулу
оо и £0 —> В этом случае получим
из формулы (IV.61) а0 = р и из формулы
(IV.64) с0 = 4//лй, а тогда
I кз — sin 6,
(IV.70)
где для изолированной пластины принято
wc = ю,.,,. Эта формула определяет цирку-
ляцию вокруг плоской пластины, стоящей
к потоку под углом атаки б.
Из формул (1V.69) и (IV.70) можно вы-
вести коэффициент k, позволяющий судить
о том, как решетка изменяет циркуляцию
скорости Г по сравнению с изолированной
пластиной,
4Д,
cos а0
-------г----(IV.71)
nfe(^-l) cosp v '
Для коэффициента k Вейнигом была
построена диаграмма (рис. IV. 13), из кото-
углов установки р и отно-
рой видно, что при некоторых величинах
1 из
сительного шага t коэффициент k получается очень большим, а при других —
даже меньше единицы. При значительных углах р увеличение шага сначала
вызывает возрастание относительной величины циркуляции, а затем она
снова уменьшается. При очень больших углах установки (Р >60°) макси-
мум коэффициента k достигается при t = 0,8 -г- 1,2.
Заметим, что в этом исследовании угол р отсчитывается от оси х, пер-
пендикулярной оси решетки. Поэтому большие углы р означают малые углы
выхода потока из решетки аг (или р2), как обозначалось в теории ступени
турбомашины. С уменьшением этих углов при заданном t, естественно,
относительная циркуляция увеличивается. Если же угол сохранять неиз-
менным, а менять относительный шаг t, то циркуляция скорости, приходя-
щаяся на один профиль, возрастает в той области, где сохраняется значитель-
ная отклоняющая способность решетки, а затем, достигнув максимума,
снижается.
Отклоняющая способность решетки. Для практических выводов указан-
ных графиков недостаточно. Действительно, если, не меняя хорды профиля,
увеличить шаг, то в ступени турбомашины, для которой исследуется решетка,
число лопаток уменьшается обратно пропорционально шагу. В таком
187
случае увеличение циркуляции скорости вокруг одного профиля недостаточно
характеризует качество решетки; более важно иметь представление об общей
величине циркуляции для решетки заданной длины. Для получения этой
характеристики рассмотрим изменение в зависимости от t и р комплекса
kb ___ ____4g„ cos а0
1 Л (со - О cos р ’
(IV.72)
При вычислении этого коэффициента
отнесена к единице ее длины, а циркуляция
циркуляция скорости для решетки
скорости вокруг изолированного
профиля — к единице длины пла-
стины.
Из кривых коэффициента и (рис.
IV. 14), построенных по формуле
(IV. 72), ясно, что с увеличением
относительного шага отклоняющая
способность решетки снижается. При
малых углах выхода потока (а1-<30с)
коэффициент х сохраняется прибли-
зительно постоянным до значения
Р=«0.6-:-0,8, а затем он быстро умень-
шается Другими словами, в области
малого относительного шага откло-
няющая способность решетки прак-
тически не зависит от t. В этой области
и величина меняется сравнительно
мало. Так, в области, представляю-
щей интерес для турбинных решеток,
для р = 70 ч-80° и соответственно
t — 0,64-0,8 величина 1, а при
этом, согласно формуле (IV.61), так-
же cos ос0 1 и
2
Л COS Р
При проектировании ступени тур-
Рис. IV. 14. Кривые изменения комплекса бомашины важно знать, насколько
к = / (/) при р = vana решетка изменяет направление век-
тора скорости потока. Для несжи-
маемой жидкости проекцию скорости вдоль оси х можно считать одинако-
вой перед решеткой и за нею, т. е. wlx--w2x. Согласно определению цир-
куляции,
а по формуле (IV.70) при = wc имеем
где
Г krua _ —2wc sin 6
t ~ t COS p
1 о 2£0 cos a0
q = хл cos P = ------
2 go+1
(IV.73)
wc — величина средневекторной скорости.
Из диаграммы скоростей (рис. IV. 15) имеем
s^sinC _ _ wlu +
cos ₽ —Wcy u0!/— 2
где w0 — скорость, направленная под углом установки пластин р
188
Из уравнения (IV.73) получим
&iv—= q (^i,/ + — 2u>0j,)
и, следовательно,
W-iy = 1 ~ , 2g
2у Щ>у 1 — ? J;/ + 1 + q ’
(IV.74)
W
где wly=
woy
При малом относительном шаге t величина q 1, что следует из урав-
нения (IV.73), если принять g0 «ь 1 и cos сх0 1. Для этих условий из (IV.74)
получим w2y = wOy, т. е. из решеток с малым t поток выходит под углом р
независимо от угла атаки 6. В диапазоне углов |3 = 704-80’ и t — 0,64-0,8
(условия, часто встречающиеся в решетках паровых и газовых турбин)
шаг t можно считать малым и прини
мать q 1. В таких решетках угол
выхода потока можно определять по
формуле (IV. 1) независимо от условий
входа в решетку. Этот очень важный
вывод теории решеток кладется в основу
канальных методов расчета и вполне
оправдывает применение струйной тео-
рии к расчету турбинных ступеней с ма-
тым относительным шагом лопаток.
С увеличением относительного ша-
га t величина коэффициента х умень-
шается (рис. IV. 14), а вместе с тем про-
порционально х уменьшается и величина
Рис. IV. 15. Диаграмма скоростей
q. При небольших значениях q
становится w2y^>l или w2y > ии0, т. е. отклоняющая способность решетки
уменьшается.
Распределение скоростей и давлений на пластине. Комплексный потен-
циал течения в функции от £ и его производная по z были записаны в виде
уравнений (IV.67) и (IV.68). С другой стороны, в любой точке на контуре
скорости всех составляющих направлены вдоль пластины, и их можно алге-
браически сложить. При параллельном обтекании с единичной скоростью
на бесконечности скорость вдоль пластины также равна единице, а для сред-
невекторной скорости wc скорость вдоль пластины будет wc cos 6 • 1
(рис. IV. 15).
Перпендикулярное течение со скоростью, равной единице, вызывает
в рассматриваемой точке скорость w±,a при скорости потока в этом направ-
лении иу sin 6 скорость на пластине будет иу sin 6 • Единичной цирку-
ляции соответствовала в данной точке скорость а для циркуляции Г
скорость на пластине станет Гдач. Таким образом, получим выражение для
суммарной скорости на пластине
w = wc cos 6-1 — wc sin 6 w± Гг%
(IV.75)
Знак минус у члена, содержащего w±, поставлен по тем же соображениям,
что в уравнении (IV.67).
Имея в виду, что w = | dyjdz\, и сравнивая уравнения (IV.68) и (IV.75),
выразим скорости w± и через производные dy^/dt,, dyjdt, и dy^/dt,-
Определив производные, подставив их в выражения для составляющих
скоростей и выбрав циркуляцию Г из условия С. А. Чаплыгина, можно
найти скорость w в любой точке пластины [9]
с , . S4(smac—sin ci) 4-В (cos a0 — cos a)
W = COS О + Wo Sin О —-----0---—2-----Ц2---------L
v iv sin (a — ед,) ’
где A = tg P cos a0; В - etg p sin a0.
189
Подобно тому как решетка прямолинейных профилей отображается на
круг, может быть выполнено преобразование для любого профиля. Решетка
профилей может быть отображена на контур, близкий к кругу, а затем
последний — на круг. Функция такого преобразования обычно получается
очень сложной; она зависит от формы профиля, его толщины и шага решетки.
В настоящее время имеются эффективные методы решения этой задачи,
удобные для практического использования [3, 5, 9].
Профилирование лопаток радиальных турбомашин
Круговая радиальная решетка состоит из ряда профилей, расположен-
ных между двумя окружностями и последовательно сдвинутых один отно-
сительно другого на одинаковый угол (рис. 11.30).
В некоторых радиальных турбомашинах профили лопаток близки к про-
филям осевых турбин, например в радиальных турбинах с узкими лопат-
Рис. IV. 16. Конформное преобразование: а — квадратная сетка в декартовых
координатах; б — конформное отображение в полярных координатах
ками. В таких случаях возникает вопрос о возможности использования
результатов исследования высокоэффективных плоских решеток при проек-
тировании радиальных решеток. Задачу можно решить методом конформ-
ного отображения, применив преобразование картины течения, исследо-
ванного в декартовых координатах, в соответствующее течение в полярных
координатах.
Изобразим в декартовых координатах квадратную сетку со сторонами Ах
и Др (рис. IV. 16) и конформно отобразим ее на плоскость полярных коор-
динат. При этом вследствие консерватизма углов и постоянного в каждой
точке растяжения, не зависящего от направления, получится ортогональная
сетка, образованная радиусами и дугами окружностей так, что размеры Дг
и Ди = г Д6 на среднем радиусе равны между собой. Для двух таких сеток
можно написать уравнение
dy dr
dx г de
Если выбрать масштабы сеток так, чтобы х = 6, то получится
dy = ~ и r/ = ln^, (IV.76)
где принято у = 0 при г г1.
Из уравнения (IV.76) непосредственно следует, что пластине в прямой
решетке соответствует логарифмическая спираль в круговой решетке. Если
угловую координату 0 отсчитывать от начала лопатки на внутренней окруж-
ности с радиусом г±, то уравнение спирали, согласно формуле (IV.76) и
рис. IV. 17, получит вид
Q = х = у ctg р =ctgpin —, (IV.77)
ri
где Р — угол установки пластин в решетке.
190
По формуле (IV.77) при г = г2> где G — радиус, соответствующий концу
лопатки, найдем угол 60. Поставив соответствующие номера точек на сетке
в плоскостях z и £, получим возможность переносить любую точку одной
плоскости на другую. Таким образом, можно профиль АВ (рис. IV. 17) и
картину течения вокруг него в плоскости z перенести на плоскость £. Заме-
тим, что в полярной системе координат линейный масштаб при заданном
угле d0 меняется пропорционально радиусу (rd6) и расстояние между окруж-
ностями изменяется в той же пропорции.
В частности, плоскому потоку, параллельному оси х в плоскости г и
движущемуся со скоростью wx, соответствует в плоскости £ вращающийся
осесимметричный поток, скорость которого wu меняется обратно пропор-
ционально радиусу rwu — const. Действительно, если на окружности г = 1
выбрать скорость wu = wx, то на любой другой окружности эта скорость
Рис. IV. 17. Преобразование решетки пластин (о) в круговую
решетку отрезков логарифмических спиралей (6)
изменится обратно пропорционально линейному масштабу (или радиусу).
При этом условии между двумя соответствующими линиями тока в обеих
плоскостях получатся одинаковые расходы жидкости и равные величины
циркуляции скорости по соответствующим контурам.
Изложенные соображения относятся к двухмерному потоку, поэтому,
рассматривая течение в плоскостях z и £, мы предполагаем течение между
двумя параллельными плоскостями, т. е. при неизменной толщине слоя
потока, измеренной перпендикулярно этим плоскостям.
IV.4. РАСЧЕТ ПРОФИЛЬНЫХ ПОТЕРЬ В РЕШЕТКАХ
Толщина пограничного слоя. Непосредственно у поверхности профиля
жидкость к ней прилипает и скорость становится равной нулю. По мере
удаления от поверхности скорость резко возрастает, асимптотически при-
ближаясь к ее величине при свободном скольжении идеальной жидкости.
Практически эта величина почти достигается на небольшом удалении от
стенки в области тонкого пограничного слоя. В пограничном слое разви-
ваются значительные силы вязкого трения, и в нем касательное напряжение
трения изменяется от максимального значения на стенке практически до нуля
на небольшом от нее расстоянии. За профилем сбегающий пограничный слой
взаимодействует с внешним потоком и образует область подторможенной
жидкости, в которой поле скоростей постепенно выравнивается. Эта область
называется аэродинамическим следом (Л на рис. IV. 18).
Понятие действительной толщины пограничного слоя весьма неопреде-
ленно. Поэтому в современной гидромеханике в теоретические исследования
и расчеты вводятся условные толщины пограничного слоя: толщина вытес-
191
нения д* и толщина потери импульса б** в некотором направлении у [13],
определяемые формулами:
-----------
Рис. IV. 18 Аэродинамический след за решеткой
где 6 — толщина пограничного слоя (если 6 принято достаточно большим,
то за пределами этой толщины величина, стоящая под интегралом, стре-
мится к нулю); wOx — проекция на ось х скорости на внешней границе погра-
ничного слоя; wx — проекция скорости на ось х, перпендикулярную оси у.
Толщина вытеснения б* представляет собой отрезок, определяющий сече-
ние, через которое объемный расход при отсутствии пограничного слоя был бы
равен вызванной торможением величине потери количества протекающей
жидкости через сечение погранич-
ного слоя. Толщина потери им-
пульса б** измеряется отрезком,
определяющим сечение, через кото-
рое в единицу времени проходил
бы поток жидкости со скоростью
ы'Ох, обладающий количеством дви-
жения, равным потере импульса
в действительном течении сквозь
пограничный слой по сравнению
с количеством движения, вычис-
ленным по скорости шОл и дейст-
вительному расходу.
Для определения профильных
потерь энергии важно знать тол-
щину потери импульса у задней
кромки профиля бЛ . Эта толщина
профилю скоростей в пограничном
слое, который, в свою очередь, зависит от характера течения в погранич-
ном слое вдоль всего профиля. Но для вычисления б,/ могут быть приме-
нены и более простые методы, не требующие знания указанного профиля
скоростей. Ниже отмечены основные положения однопараметрического ме-
тода Л. Г. Лойцянского [12], развитого в трудах Л. М. Зысиной [7, 8]
применительно к расчетам решеток.
Воспользуемся уравнением импульсов [13]
может быть определена по известному
। 1 dw^ । 6Д _______
ds ьд ds рщс ’
где s — криволинейная координата, отсчитываемая вдоль линии тока;
Wo — скорость в безвихревом ядре; тц, — напряжение трения на стенке.
Для решения уравнения (IV.78) необходимо знать распределение ско-
ростей по внешней границе пограничного слоя w0 (s) и профили скоростей
в каждом его сечении wx (у). Распределение скоростей w0 (s) может быть
определено из расчета потенциального обтекания профиля в решетке. Семей-
ство профилей скоростей в поперечных сечениях пограничного слоя ориен-
тировочно устанавливается с помощью приближенных методов. Наибольшее
распространение получили методы, идея которых принадлежит Т. Карману
и Э. Польгаузену. В этих методах профили скоростей в пограничном слое
приближенно описываются семейством кривых с одним параметром, который
выбирается в зависимости от особенностей движения жидкости в погранич-
ном слое и распределения скоростей во внешнем потоке. Таким образом,
вместо трех неизвестных б*, б** и тш, зависящих от распределения ско-
ростей в сечениях пограничного слоя, в уравнение импульса вводится лишь
192
(IV.78)
один параметр, характеризующий семейство профилей скоростей в погра-
ничном слое и называемый формпараметром.
Уравнение (IV.78) преобразуем к виду дифференциального уравнения,
служащего для определения формпараметра f в функции от коорди-
наты s [13],
F (f) + f, (IV.79)
ds w0 ds '•' dwo ' 7
ds
где
/ = ——6**Ф; (IV.80)
ZUq as
(D = <D(Re**); Re**=-?^.
Функция F (f), зависящая, в частности, от напряжения трения на
стенке т^,, может быть представлена линейным уравнением по отноше-
нию к f
F(f) = a-b(f), (IV.81)
причем, строго говоря, коэффициенты этого уравнения сами являются
функциями от координаты s. В приближенных расчетах эти коэффициенты
считаются постоянными для рассматриваемого типа течения, а тогда реше-
нием уравнения (IV.81) будет [8]
сг j---- я
CIS С р -т
f = ' b J too ds. (IV.82)
° о
Из уравнений (IV.80) и (IV.82) получим
= —4=7 / (IV.83)
Обозначив Oj = ORe**, из уравнения (IV.83) найдем
Ф1 = —ддг.М_1ск-
Подставив опытные значения величин а и b [8], получим следующие
формулы:
для ламинарного пограничного слоя
= (IV.84)
для переходной области пограничного слоя
^5ds- (IV.85)
о
для турбулентного пограничного слоя
Ф1 = -Ч4- M'8ds. (IV.86)
ё
Для ламинарного пограничного слоя на пластине можно принять Ф —
= Re**, поэтому
6**=~V®T (IV.87)
13 И. И. Кириллов 193
Для переходной области пограничного слоя, если использовать прибли-
женную эмпирическую зависимость
1
Ф= 1259 Re** 10 ,
получим
6** = _Y_ ( ®L- \ '• (IV.88)
w0 \ 1259 / v '
Для турбулентного пограничного слоя в области Re<5-106, приняв
приближенную формулу [8]
1
Ф = 79,5 Re** 4 , (IV.89)
найдем
4
6**= —(IV.90)
w0 \ 79,5 / v '
а при больших значениях числа Рейнольдса рекомендуется применять
формулы
Ф= 153, 2Re**“r (IV.91)
и
(IV.92)
Чтобы решить вопрос о типе течения на различных участках профиля*
необходимо определить координату бл начала переходной области, где коп
чается ламинарное течение в пограничном слое, и координату sni конца пере-
ходной области, где течение в пограничном слое становится полностью тур-
булентным. Для определения координат переходного участка разработан ряд
методов [4, 8]. Согласно методу А. А. Дородницына и Л. Г. Лойцянского,
предполагается, что внешние возмущения вызывают мгновенные местные
отрывы ламинарного пограничного слоя, в результате чего возникают мел-
кие вихри, превращающие постепенно пограничный слой в турбулентный.
Точки начала возникновения таких отрывов можно определить по формуле
названных авторов
Re**2 = —0,089,
(IV.93)
где у — переменная величина, зависящая от характера внешних возмуще-
ний и изменяющаяся в пределах (0,25 н- 2,5) • 10“7.
Для определения протяженности переходной области по методу ЦКТИ
вводится величина
Переходная область зависит от характера распределения давления на
профиле 17], которое определяется отношением минимального давления
к полному давлению на входе в решетку
На переход пограничного слоя из ламинарного в турбулентный оказывает
также влияние свободная турбулентность внешнего потока.
194
Функция г = ср (рт) дана на рис. IV. 19 по результатам опытов ЦКТИ.
Протяженность переходной области в конфузорных каналах (dp/ds<ZO)
значительно больше, чем ее протяженность в диффузорных каналах (dpIds >
>0).
Расчет толщины потери импульса производится в следующем порядке.
Одним из методов определяется эпюра скоростей на профиле для потен-
циального потока, и по методу Дородницына—Лойцянского находится коор-
дината точки перехода эл из уравнения (IV.93). По эпюре скоростей опреде-
ляется параметр рт и по кривой на рис. IV. 19 — величина г. После опре-
деления координат и sm производится расчет пограничного слоя по
участкам.
На участке ламинарного слоя толщина потери импульса б** рассчиты-
вается по формулам (IV.84) и (1V.87). На переходном участке функция Фх
определяется по формуле (IV.85) с той разницей, что в начале участка по-
граничный слой уже имеет известную
толщину и в решение этого уравнения
входит начальное значение формпара-
метра, а интегрирование выполняется
не от нуля, а от начальной координа-
ты эл. В связи с этим уравнение (IV.85)
примет вид
S
фщ- \^ds + Cn
где
Рис. IV. 19. Кривые r= f (рт):
1 — для выпуклого диффузора; 2 — для вог-
нутого диффузора; 3—для выпуклого конфу-
зора; 4 — для вогнутого конфузора
(IV.94)
СЛ = ^45ФХ;
Фл = 1259 Re*; ’ 10
индексами л отмечены величины в на-
чале переходного участка.
В области турбулентного пограничного слоя расчет производится по фор-
мулам (IV.86) и (IV.90) или (IV.92). Начало участка определяется коорди-
натой sm, совпадающей с координатой в конце переходного участка, поэтому
в выражение формпараметра войдет дополнительный член, содержащий
значение этого параметра на границе участка. Формулу для функции Фг
после преобразований можно записать так:
где
Ф1 = _Ь1Г
VK.2’8
। j у Wom ВешФт,
(IV.95)
причем Фт определяется по формуле для турбулентного пограничного слоя.
Пограничный слой рассчитывается отдельно для вогнутой и выпуклой
сторон профиля, и при этом определяется его толщина у выходной кромки
соответственно бк1 и бк2. Общая толщина пограничного слоя у задней кромки
профиля находится как сумма
бГ - 6,,'. + бГ2.
Толщины условного пограничного слоя на обеих сторонах профиля актив-
ного типа показаны на рис. IV.20. При оптимальном значении входного
угла потока толщина б** на большей части профиля не превышает 0,3 мм.
13* 195
Под влиянием углов атаки эти толщины значительно возрастают. Суммар-
ная толщина потери импульса у задней кромки достигает величины того же
порядка, что и толщина кромки.
Ламинарный пограничный слой на профиле обычно невелик и его роль в по-
терях энергии незначительна для решеток активного типа. Влияние пере-
ходной зоны на толщину пограничного слоя может быть существенным и
зависит от того, где заканчивается переход. Это влияние невелико при обте-
кании профилей активного типа с небольшими углами атаки; в таких слу-
чаях расчеты пограничного слоя с учетом только турбулентного течения дают
результаты, близкие к действительности. Если расчет выполнить в предпо- .
ложении турбулентного слоя вдоль всего про-
филя, то для степенной зависимости (IV.89)
можно воспользоваться [8] формулой
4
S
Рис. IV.20.
импульса на
Толщина потери
профиле активного
типа:
/—вогнутая часть профиля; 2—вы-
пуклая часть профиля
g**
. (IV.96)
j Wq’8 ds
„о
В реактивных решетках возможно обтекание
при наличии только ламинарного слоя.
Зная толщину пограничного слоя, можно
оценить потери энергии в предположении безот-
рывного обтекания профилей. Расчеты и опыты
показывают [14], что для чисел М < 1,5 тол-
щину пограничного слоя на профиле можно приб-
лизительно рассчитывать как для несжимаемой
жидкости, но с учетом действительного распре-
деления скоростей в потоке газа.
Сопротивление решетки. Пограничный слой
на поверхности профиля, как было сказано,
имеет небольшую толщину. После сбегания по-
граничного слоя с выходной кромки образуется
неравномерное поле скоростей и дальнейшее
движение жидкости сопровождается выравнива-
нием потока. В сечении а—а (рис. IV. 18) смы-
каются аэродинамические следы при сравни-
тельно небольшой неравномерности полей скоростей и давлений, после чего
происходит постепенное перемешивание слоев и в достаточно удаленном
от решетки сечении 2—2 поток становится приблизительно равномерным.
Вне пограничного слоя влияние вязкости сказывается очень слабо, и
в этой области жидкость можно считать идеальной и поток потенциальным.
Поэтому общая картина безотрывного обтекания профилей реальной и
пдеальной жидкостями приблизительно сохраняется. Важно также, что
в тонком слое вязкой жидкости давление в поперечном к потоку направлении
остается приблизительно неизменным, а следовательно, давление сквозь
внешнюю границу пограничного слоя передается без изменений на поверх-
ность профиля. ,
Профильные потери энергии возникают как при обтекании профилей,
покрытых пограничным слоем, так и при выравнивании потока за решеткой.
Для расчета сопротивления решетки воспользуемся методом Л. Г. Лойцян-
ского [12].
Пусть сечения 1—1 и 2—2 (рис. IV. 18) настолько удалены от решетки,
что в них поля давлений и скоростей можно считать равномерными. В сече-
нии а—а в точке уа аэродинамические следы смыкаются; скорость wa в этой
точке — максимальная в сечении а—а, так как до этого сечения только на
линии тока, проходящей через точку уа, поток не подвергся торможению
под влиянием пограничного слоя, эту линию тока будем называть основной.
196
Смыкание пограничных слоев происходит на таком расстоянии за решеткой,
на котором неравномерность поля скоростей w невелика, благодаря чему
можно пренебрегать квадратом модуля разности скоростей wc и w.
Движение между сечениями 1—1 и 2—2 будем считать плоским, а тогда
для несжимаемой жидкости расходные составляющие скорости во всех сече-
ниях будут одинаковы.
Если бы за счет выравнивания поле скоростей в сечении а—а было равно-
мерным (w = w = const) и расход сохранился бы прежним, то осредненная
величина скорости w оказалась бы меньше скорости wa в точке смыкания.
Между расходными составляющими этих скоростей wx и wax можно уста-
новить связь из условия сохранения расхода
&a+t
Преобразуем это уравнение, имея в виду постоянство плотности в рас-
сматриваемом сечении (р = р),
6*
ау
Отсюда найдем связь между расходными составляющими средней ско-
рости и скорости в точке смыкания, пренебрегая величинами порядка е2,
wx = Wax(l^E) = -^~. (IV.97)
1 I" ь
Исходя из малой неравномерности потока в сечении а—а, можно также
доказать, что скорости wa и way отличаются от соответствующих скоростей
в сечении 2—2 на величину того же порядка, как и для скорости wox, т. е.
Way = (1 + е) (IV.98)
и
wa = КУ2 (1 4- е).
Применим теорему количества движения (теорему импульсов) к области
между сечениями а—а и 2—2. Пренебрегая сжимаемостью жидкости, найдем
Ua + t &а+*
{Pa^Pl)t = 9wlxt— J PW2xdy = Pwlxt— J P[wax~(wax—Wx)]2dy^
Уа Уа
р И* — t + 2Р^бод-
Использовав уравнение (IV.97) и считая пренебрежимо малыми вели-
чины порядка 0 (е2), из уравнения импульса получим
Ра — 0.
Потерю полного напора между сечениями 1—1 и 2—2 обозначим р' и »
пренебрегая сжимаемостью, примем в этих сечениях одинаковыми средни6
расходные составляющие wlx = w2x. Тогда
Р = (pi + 4 “ (^2 + 4 = А — Рг + 4 Р « — • (IV.99)
197
Для потенциального же ядра течения между сечениями 1—1 и а—а
имеем
Pl — Р2 = ~ р + ^ау — < - у) •
Использовав выражения (IV.97) и (IV.98) и отбросив величины порядка
О (е2), найдем
Р1 — Р2 = Р [W2x (1 + е) + W2y (1 + б)2 П91Х — W\y\ =
=4"р +pw2e-
Сопоставив последнее выражение с уравнением (IV.99), получим
Р=(^.
Величину 8*аУ легко связать с толщиной вытеснения 6*а, рассчитанной
вдоль нормали п к основной линии тока в следе. В формулу для бд(/ под-
ставим dy = dn/sm Р2 и примем, ввиду малой неравномерности, .
wax wa
Тогда
л* -
ау ~ Sin р2
и
2 6*
Р = ^71^ (IV-100)
Предположение малой неравномерности поля скоростей в сечении а—а
и пренебрежение членами порядка 0 (е2) приводит также к выводу, что в этом
сечении
Поэтому формуле (IV. 100) можно придать вид
2 С
р (|V101>
Между толщиной потери импульса 8а и ее значением на выходной
кромке б к можно установить определенную связь [12] из уравнения им-
пульсов (IV.78), положив в нем = 0, после чего его можно преобразовать
к виду
— (ЩО6 ) = _дао_6.
Интегрирование этого уравнения вдоль линии тока (по координате s) от
задней кромки до сечения а—а приведет к формуле
2о** 2 о** Г ... dwB е* ,
сба Ц'кбк — J б ds,
(IV. 102)
где индексом к отмечены величины у задней кромки лопатки.
В практических расчетах можно избежать вычисления интеграла в урав-
нении (IV. 102). Основываясь на исследованиях, которые выполнили
Г. Сквайер и А. Юнг, Л. Г. Лойцянский рекомендует формулу для потери
198
напора в турбинной решетке, полученную из уравнения (IV. 101) путем
»» **
замены толщины оа ее выражением через ок
р' = р^(-г^')3’2—L. (IV. 103)
1 z \ } t sm р2 v ’
(IV. 104)
Для расчетов компрессорных решеток, где течение близко к отрывному,
ЦКТИ рекомендует принимать показатель степени в последних формулах
равным 3,5.
К. п. д. турбинной решетки определим с помощью уравнения (IV. 103)
по формуле
1 2
-2-Р^2 !
'Лг — I — s**
\ w2 / t sm p.
Так же можно найти к. п. д. компрессорной решетки
—к \ 3,6 , 2 б»
*к 1 т \ w2 ) \ W-. ) t sin Р2
-yp^l
(IV. 105)
Таким образом, определив величину 6К и по распределению скоростей
на профиле оценив отношение wKlw.2, можно приближенно вычислить про-
фильные потери энергии. Этим методом удобно пользоваться для сравнения
потерь энергии при различных условиях обтекания решеток.
Обратное влияние пограничного слоя на поток. При больших числах
Рейнольдса толщина пограничного слоя получается незначительной, а при
движении вязкой жидкости в тонких слоях давление можно считать неиз-
менным в поперечном к потоку направлении. Поэтому давление на внешней
границе пограничного слоя передается без изменений на поверхность обте-
каемого профиля.
Вне тонкого пограничного слоя жидкость можно рассматривать как
идеальную и движение безвихревым. При этом линии тока на внешней гра-
нице пограничного слоя оказываются смещенными по сравнению с линиями
тока идеальной жидкости. Под влиянием оттеснения внешнего потока в нем
возникают поперечные скорости, которые могут иметь существенное зна-
чение.
Оттеснение пограничным слоем внешнего потока вызывает при обтека-
нии профиля отклонение действительного распределения давления от теоре-
тического, полученного в предположении безвихревого обтекания профиля
идеальной жидкостью. В теории крыла доказывается [13], что при плоском
обтекании профиля вязкой жидкостью действительное распределение давле-
ния по поверхности совпадает с распределением давления при безвихревом
обтекании идеальной жидкостью полутела, образованного наращиванием
толщины вытеснения 6* на профиль и на обе стороны от нулевой линии тока
в его следе. При этом линия тока проходит через кромку профиля, а 6* рас-
считывается по действительному распределению давления.
Расходные характеристики решетки связаны с толщиной вытеснения.
До сечения а—а толщина вытеснения и давление за решеткой меняются,
поэтому коэффициент расхода р удобно вычислять по отношению к этому
сечению, в котором толщина вытеснения 6д,
199
где Gt и G — теоретический и действительный расходы через сечения шири-
ной соответственно / и t — SQ при одинаковых начальных и конечных пара-
метрах потока. Эта формула имеет смысл только для участка решетки, доста-
точно удаленного от концов лопаток.
Аналогичные выражения можно составить для коэффициентов скорости <р
и профильных потерь ~ 1 — <р2, учитывающих потерю количества дви-
жения в сечении а—а под влиянием трения,
Отрыв пограничного слоя. В каналах и при обтекании профилей там,
где рабочее тело движется из области меньшего давления в область большего
давления, потоку приходится преодолевать подтормаживающее действие
стенок. Если запас кинетической энергии рабочего тела окажется недоста-
точным для преодоления тормозящего действия стенок, то поток потеряет
скорость и может возникнуть попятное движение в пограничном слое.
Это течение, встречаясь с основным потоком, вызывает резкое оттеснение
линий тока от поверхности профиля, толщина пограничного слоя возрастает,
и возможен отрыв его от стенки.
При отрывном течении образуется область, включающая сорвавшийся
слой и аэродинамический след. В этом случае нельзя предполагать потен-
циального обтекания профилей вне пограничного слоя, так как его обратное
влияние на поток будет велико [13].
В турбомашинах решетки профилей при нерасчетных режимах часто
работают в условиях, близких к срыву потока или даже при наличии срыва.
Поэтому изучение срывных явлений имеет большое практическое значение.
1V.5. ШЕРОХОВАТОСТЬ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРОТОЧНОЙ ЧАСТИ
ТУРБОМАШИНЫ
Ранее рассматривались потери энергии при обтекании гладкой поверх-
ности профиля; в действительности она всегда имеет некоторую шерохова-
тость и волнистость. Например, турбинные лопатки выполняются с чисто-
той по седьмому классу и имеют максимальную шероховатость (З-ьб) 10” 3 мм.
Модели турбомашин в некоторых случаях изготовляются с чистотой поверх-
ности по девятому и даже десятому классу, чему соответствует шерохова-
тость (5ч-8) 10“4 мм. Во время же эксплуатации шероховатость быстро воз-
растает. Например, в газовых турбинах при неблагоприятных условиях уже
после шестидесяти часов работы шероховатость достигает 0,02 мм; такая же
шероховатость получается через несколько недель работы паровых турбин
под влиянием коррозии и отложения солей. Столь большая шероховатость
может оказывать сильное влияние на характеристики турбомашин.
В литературе хорошо освещены явления при обтекании шероховатой
пластинки. Результаты теоретических и экспериментальных исследований
с пластиной в приближенных расчетах можно использовать для поверхно^
стей лопаток. Остановимся на основных выводах этих исследований.
В зависимости от размеров шероховатости пластины могут возникать
различные режимы течения [13]. Первый предельный режим возникает,
если бугорки шероховатости погружены в ламинарный подслой; они обте-
каются без отрывов и вихреобразований, и поверхность можно считать глад-
кой. Этот режим наступает [18] приблизительно при соблюдении неравенства
kw ь
---^-<100 или Re 4-<100,
V I
где k — средняя высота бугорков; I — ширина пластины; Re = Iwjx.
200
Этот результат можно распространить на профиль с хордой b При
этом приблизительно в зоне
Re < 100 ~
k
(IV. 106)
поверхность лопатки можно считать гладкой.
Второй предельный режим наблюдается, если бугорки шероховатости
выходят за пределы ламинарного подслоя и как плохо обтекаемые тела повы-
Рис. IV.21. Коэффициент потерь энергии £ в зависимости от числа Re:
1 — аэродинамически гладкая поверхность; 2 — b/k = 133- 103; 3 — b/k = 50-10s; 4 — b/k~
= 35- 103; 5 — b/k = 2-103; 6 — b/k = 1-103; 7 — b/k 0,6-103; 8 — b/k 0,4-10s
шают коэффициент сопротивления.
Последний в этом случае не зависит от
числа Рейнольдса, вследствие чего потери можно считать пропорциональ-
ными скоростному напору протекающей жидкости и режимы течения авто-
модельными по числу Re. При этом сопро-
тивление трения существенно зависит от ве-
личины относительной шероховатости k/b.
Промежуточный режим наступает, если
бугорки шероховатости имеют размер того
же порядка, что и толщина ламинарного
подслоя.
Влияние относительной шероховатости
на сопротивление труб было установлено
Никурадзе. Аналогичные результаты по-
лучаются для решеток профилей [18, 20].
На рис. IV.21 представлена кривая коэф-
фициента сопротивления решетки рабочих
профилей по опытам ЛПИ. Лопатки имели
хорду b = 40 мм, шаг t = 0,618 и угол
установки «э 77°. Опыты производились
при числах М = 0,1 -ь0,25 и числах Re =
=7• 104-н2 • 106. В результате опытов была
получена эмпирическая зависимость £ =
= /(Re), на основании которой и были
Рис. IV.22. Допускаемая относитель-
ная шероховатость kgotl в зависимости
от числа Re при различной ширине
пластины b
построены кривые на рис. IV.21.
Допускаемой высотой шероховатости называют
предельную высоту
бугорков шероховатости, при которой пластину еще можно рассматривать
как гладкую, т. е. при которой имеет место первый предельный режим.
Следует стремиться к тому, чтобы шероховатость была меньше допускаемой
во избежание повышения сопротивления решетки профилей. На рис. IV.22
201
представлена допускаемая зернистая шероховатость для пластины, которую
Г. Шлихтинг [18] считает возможным также распространить на профили
лопаток.
Допускаемая шероховатость может быть определена, согласно неравен-
ству (IV. 106), из уравнения
100
b /доп. Re
(VI. 107)
Чтобы установить допускаемую шероховатость, можно продолжить линии
k/b = const, нанесенные на плоскость в координатах Re—до пересечения
с кривой 1 для гидравлически гладкой пластины (рис. IV.21). При этом,
Рис. IV.23. Степень неравномерностихс, = (cjmax — clmin)/2clc
в зависимости от расстояния 62G, измеренного вдоль линии
тока от кромки лопатки:
1 — по формуле и = О.ОУб/ИCza; 2 — по формуле (IV. 108)
С1
согласно данным [18], получается следующая зависимость допускаемой
высоты шероховатости от числа Рейнольдса:
Re . 105 юс io? io» юз
. 10-3 10-4 10-5 ю-6 10-7
\ b )доп
Так как толщина пограничного слоя меняется вдоль профиля, то ме-
няется и допускаемая шероховатость. Для приближенных практических
расчетов при числах Рейнольдса, встречающихся в турбомашинах, в боль-
шинстве случаев достаточно дать по формуле (IV. 107) оценку допускаемой
шероховатости, не опасаясь ее преувеличить.
Для определения полного коэффициента сопротивления пластины при
больших числах Re можно воспользоваться полуэмпирической форму-
лой [13]
g
где А = 0,0307 и т = 1'7.
Формулу такого же вида в приближенных расчетах можно принять также
для профиля в решетке. При этом, согласно [18], показатель степени т *=&
0,25. По результатам опытов с решетками различных авторов и по кос-
венным вычислениям на основании испытаний вращающихся моделей
Г. А. Зальф [11] рекомендует выбирать т 0,3.
Из уравнений (IV7.107) и последнего можно получить приближенную
формулу профильных потерь для допускаемой шероховатости
= • (IV. 107')
b 102m \ b )доп V
202
Коэффициент А в последней формуле Г. А. Зальф рекомендует определять как
А = —4е ,
t sin а,
где для реактивной решетки (i = 0,85; 04 = 12') коэффициент g = 0,053,
а для активной решетки (/ = 0,65; |32 = 24°) принимается g = 0,157.
1V.6. АЭРОДИНАМИЧЕСКИЙ СЛЕД
В аэродинамическом следе можно выделить начальный участок с очень
малой средней скоростью, основной участок, распространяющийся до смы-
кания следов от соседних лопаток, и участок выравнивания. При достаточном
расстоянии от кромки на основном участке применима теория турбулентных
струй и автомодельности течения
Для определения средней скорости на основном участке следа можно
воспользоваться формулой Шлихтинга, данной в теории спутной турбулент-
ной струи в несжимаемой жидкости,
Стах — С (у) __ V (у)
стах — cmin ^тах
(IV. 108)
где v — недостаток скорости в следе; s — полуширина следа; cmin — ско-
рость на оси следа; стах — скорость на границе следа.
Степень неравномерности скоростей в следе можно определить по фор-
муле Степанова
f t sin cij <.
x' — Umay
cmax
где C 0,66; t sin аг — ширина вытекающей из канала струи; х — рас-
стояние от кромки; — коэффициент профильных потерь.
Ширина следа находится из теоретического соотношения
х
Sl/2
i sin а,
= 0,244С„,
где Si/2 — полуширина следа
нова и (IV. 108) дают близкие
при —— = ~н-. Расчеты по формулам Степа-
^тпах
результаты, удовлетворительно совпадающие
с опытными данными (рис. IV.23, кривая 2).
Обработка А. С. Ласкиным экспериментальных данных для различных
турбинных решеток в лаборатории ЛПИ (рис. IV.23) привела к статистиче-
ской зависимости хС1 = 0,075/V ё2а, где хС1 = (сх гаах — с\ rain)/2clc; с1с —
средняя скорость; 62К — отнесенное к хорде расстояние от выходной кромки,
измеренное вдоль линии тока (62Ct = 62/sin a J.
Из приведенных формул и графиков следует, что за кромкой до 62Се < 0,2
поток весьма неравномерен. В этой области степень неравномерности быстро
уменьшается с увеличением расстояния от решетки. При дальнейшем уда-
лении от решетки степень неравномерности продолжает медленно умень-
шаться.
Теоретические расчеты полей скоростей в следе и его ширины предпола-
гают автомодельность течения, и поэтому они пригодны лишь для сечения
на достаточном расстоянии от кромок лопаток. При малой величине этого
расстояния экспериментальное исследование — единственный источник ин-
формации.
В месте схода потока с кромок лопаток прекращается подтормаживающее
влияние стенок, и расстояние между линиями тока начинает уменьшаться.
Этот процесс сопровождается выравниванием углов потока, причем со сто-
роны вогнутой поверхности углы увеличиваются, а со стороны выпуклой —
203
уменьшаются, средняя же величина угла на оси следа изменяется мало.
Соударение стекающих струй непосредственно за кромкой повышает давле-
ние по сравнению с его величиной в ядре потока. Эти явления проявляются
тем сильнее, чем толще пограничный слой на профиле и чем толще кромка
лопаток. В аэродинамическом следе на начальном участке непосредственно
за выходной кромкой наблюдается большая неравномерность поля скоростей
и давлений и сильные пульсации. На основном участке, как указывалось,
профиль скоростей в следе получается таким же, как в турбулентной струе.
После смыкания следов за решеткой неравномерность поля становится не-
большой и характер профиля скоростей близок к синусоидальному.
В турбомашинах в последующую решетку след вступает, как правило,
на своем основном участке.
На степень неравномерности потока оказывает влияние число Re, тур-
булентность и неравномерность набегающего на решетку потока, шерохова-
тость поверхностей и другие факторы. В случае сильных срывов потока,
например при обтекании решетки под очень большим углом атаки, поток
может в значительной мере выравниваться в межлопаточных каналах и не-
посредственно за решеткой, так что на некотором расстоянии за нею степень
неравномерности может оказаться небольшой.
IV.7. СВЕРХЗВУКОВОЕ ТЕЧЕНИЕ
В гл. II было рассмотрено одномерное сверхзвуковое течение. Здесь
остановимся на особенностях плоского стационарного сверхзвукового дви-
жения идеального газа при условии баротропности. Объемными силами
будем пренебрегать.
Из уравнения неразрывности и уравнения Эйлера (см. пп. 1.2 и 1.4)
можно написать в системе прямоугольных координат [13]
(«2- 4) -> - схсу + 4^) + (^-4) = О, (IV. 109)
где а — скорость звука; х и у — направление осей координат; сх и су —
проекции скорости с на соответствующие оси.
Будем рассматривать безвихревое движение, для которого необходимо
выполнить дополнительное условие
^L-^^0. (IV.110)
ду дх 4 7
При указанных условиях можно воспользоваться уравнением Бернулли
для всей области движения. Подставив в уравнение (11.77) Ар/р = а2, можем
следующим образом записать уравнение, связывающее скорость звука
с проекциями скорости:
4"c2+ 1Г~Т = + + ^r^const. (IV.1111
Интегрирование нелинейной системы (IV. 109)—(IV.111) дифференциаль-
ных уравнений в частных производных можно выполнить путем переход-
из физической плоскости в плоскость годографа скоростей. При этом рас-
сматриваемая нелинейная задача становится линейной, и она сравнительн
просто может быть решена аналитически.
Умножив уравнения (IV. 109) и (IV.НО) на неопределенные множите.!
и Л2 и после этого сложив их, получим дифференциальное уравнен!
л (г? । Л2 —AjCxCy дсх'
Л1 ~ С*> ["аг ' Л1(а2-4) W] “
— (Л2 + AjCyq,)
Г дсУ
L дх
л. (а2~4) М = о
А 2 “г А^Сх^у ду J
(IV. 11_
204
Из выражения для полного дифференциала
dcx = ^dx + ^-dy
х дх ду J
и аналогичного выражения для dcv следует, что члены в квадратных скоб-
ках уравнения (IV. 112) можно записать в форме:
дсх . дсу dcx dct/ . дс,, dct,
дх ' ду ах дх ду ах 7
где т = dyldx — угловой коэффициент, который должен удовлетворять
определенным условиям. При этом из уравнения (IV. 112) получим диффе-
ренциальное уравнение в плоскости годографа
dcy _Ma2~сх)
dcx ~ Л2 + ХгсхСу ’
где множители Лх и Л2 должны быть подчинены уравнениям:
л2 — Хлсхсу ___ л1(а2—с^) ___т
~ Х2-гХгслСу -Ш
ИЛИ
Л2 — Ai \т (а2 — сх) + схсу] = 0;
тЛ2 + Aj (а2 — с2у-$- тсхсу) = 0.
(IV. ИЗ)
(IV. 114)
Последняя система уравнений имеет решения, отличные от нуля, если равен
нулю ее определитель, т. е. при условии
т2 (сх — а2) — 2тсхСу + с2у — а2 — 0.
Для того чтобы получить действительные значения корней и т2, дискри-
минант этого уравнения должен быть равен нулю или больше нуля, а это
возможно лишь для скорости с а, т. е. для чисел М 1.
На основании изложенного заключаем, что в каждой точке сверхзвуко-
вого потока в физической плоскости можно определить два направления
с угловыми коэффициентами тг и т2
для которых дифференциалам dx и dy соответствуют дифференциалы dcx
и dcy в плоскости годографа, причем последние связаны между собой урав-
нением (IV. 113). Это уравнение может быть проинтегрировано в конечном
виде для произвольного сверхзвукового течения.
Из уравнений (IV. 113)—(IV. 115) после преобразований получим
т'12 = ^ = СхСу . (IV. 116)
dcx а ~су
Проекции скоростей выразим через величину вектора скорости и угла 6,
образованного этим вектором с осью Ох,
сл = с cos 6; Су = с sin 6.
Выписав дифференциалы этих проекций и воспользовавшись уравнением
(IV. 116), найдем зависимость
------ ЯуП
de = ± । м2 — 1 —
г с
205
или, переходя от числа М к скоростному коэффициенту Л, получим
d/. de
(IV. 117)
Здесь переменные разделились. В результате интегрирования опреде-
ляется угол
или
0 = ±о (X) + С, (IV 118)
где и (X) — функция X, значение которой очевидно из предыдущего уравне-
ния; С — постоянная интегрирования.
Аналогично можно выразить угол 6 через число М
6 = ± 1/arctg 1/(М2 — 1) + arctg]/М2— 1, (IV. 119)
где постоянная С определена из условия 6 = 0 при М = 1.
Этим уравнениям в полярных координатах 6, X или 6, М соответствуют
эпициклоиды. Уравнению (IV. 115) соответствуют семейства (Q) и (Сг)
интегральных кривых, которые образуют характеристики в физической
плоскости (х, у), а коэффициенты т1 и т„ представляют собой характеристи-
ческие направления в этой плоскости. Интегралы (IV. 118) и (IV. 119) урав-
нения (IV. 116) определяют семейства характеристик (Ci) и (С2) в плоскости
годографа
Характеристики в физической плоскости, согласно уравнению (IV. 115),
расположены симметрично по отношению к вектору скорости потока в дан-
ной точке и совпадают с линиями возмущений (см. рис. 11.12), образуя углы
с вектором скорости р = ±arcsin
Характеристики в плоскости годографа получаются одинаковыми для
всех плоских сверхзвуковых течений. Безразмерная скорость X всегда нахо-
дится в пределах (см. п. 1.13)
Проведем (рис. IV.24) концентрические окружности X = 1 и Хпр = |/ уЬт
и в этих границах нанесем сетку кривых, согласно уравнению (IV. 118).
Кривые образуют в плоскости годографа семейство эпициклоид, описывае-
1 (1 / & + 1 Л
мых точками окружности радиуса -у I I/ —---------1 I при качении ее
по кругу X = 1.
Характеристические направления в плоскости годографа и в физической
плоскости, согласно формулам (IV. 115) и (IV. 116), связаны между собой
уравнениями:
1 -j- т\т2 = 0; 1 + m2mi = 0.
Это означает, что если выбрать параллельными оси координат в обеих пло-
скостях, то характеристические направления семейства Ci в физической
206
плоскости будут перпендикулярны характеристическим направлениям семей-
ства С2 в плоскости годографа и кривым С2 соответствует семейство Ci-
Другими словами, касательная /2 к характеристике С2 в плоскости ху
(рис. IV.25) параллельна нормали пг к эпициклоиде в плоскости годографа,
а касательная параллельна нормали п2. Поэтому, имея сетку эпициклоид С,
вычерченных в плоскости годографа, можно построить графически харак-
теристические направления кривых С* в физической плоскости.
Рис. IV.24. К анализу обтекания криволинейной поверх-
ности: а — эпициклоиды, соответствующие линиям Маха;
б — линии Маха у криволинейной поверхности
Имея в виду, что с изменением знака перед о меняется также знак по-
стоянной С, уравнение (IV. 118) запишем в виде:
следовательно, _ 0=О(Х) — Сг, (IV. 120) е = о(%) —с2, (iv. 121) е = (IV. 122) = (IV.123J
Аналогичное выражение можно получить для 6 и ог (М) из уравнения
(IV. 119).
Если каждую эпициклоиду отметить номером, равным значению соот-
ветствующей постоянной в уравнении (IV. 120) или (IV. 121), то все пары
эпициклоид с номерами С{ и С2, для которых С{ — С2 = idem, должны
пересекаться на одном радиусе 0 = const, а все эпициклоиды, для которых
C'i + С2 = idem, будут пересекаться на окружности о (X) = const или,
что то же, X = const.
Для практических расчетов можно использовать имеющиеся диаграммы
и таблицы. На диаграмме эпициклоид (рис. IV.26) указаны характеристиче-
ские числа по способу А. Ферри 115]. Числа С1 и С2 в два раза меньше по-
стоянных интегрирования С{ и С2, так что Cj— С2 = 0 и С\ ф- С2 — (М).
207
Чтобы углы 6 всегда получались положительными, для невозмущенного
потока угол 6 принят равным 200;. В том же источнике даны таблицы
для вычисления суммы Сх -f- С2 и углов по данному числу М или отно-
шению давлений. По диаграмме и
таблицам можно найти характе-
ристики в физической плоскости.
Рис. IV.25. Соответствие характеристик в физической плоскости и в пло-
скости годографа
Практическая задача решается следующим образом. Рассмотрим изо-
энтропийное течение вдоль криволинейной стенки (рис. IV.24, б). Если
в какой-либо точке Ро известны параметры потока и направление скорости,
то могут быть определены X и 0 и вычислены с помощью таблиц [15] и урав-
нения (IV. 122) номера эпициклоид Сг
и С2. Разностью Сх—С.2 определится
радиус ОРо и точка Ро в плоскости
годографа (рис. IV.24, а), соответст-
вующая точке Ро на физической пло-
скости.
585
159
59
Рис. IV.26. Диаграмма эпи-
циклоид
780
г;0
210
200
190
При расширении потока на участке Р0Q0 линии Маха P0Pi и Q0Qi про-
ходят под углом р к соответствующим векторам скорости. Эти линии являются
характеристиками первого семейства. При однородном поле скоростей
во входном сечении (Мо = const) вдоль характеристик скорость остается
постоянной. Второе семейство характеристик проходит симметрично пер-
вому семейству по отношению к вектору скорости.
208
Нанесем характеристику второго семейства так, чтобы она прошла через
точку Qo; точка пересечения ее с характеристикой первого семейства обозна-
чена через Р. Поскольку скорость вдоль характеристики была по-
стоянной, то она должна быть такой же и вдоль характеристики Q0QT.
Эта характеристика будет прямой. Поэтому вдоль характеристики PQ0 вто-
рого семейства в точках ее пересечения с характеристиками первого семей-
ства скорость будет изменяться так же, как при переходе от одной характе-
ристики первого семейства к другой этого же семейства.
С другой стороны, при переходе из точки Ро в Qo скорость изменяется
так же, как при переходе вдоль характеристики второго семейства из точки Р
в Qo. В точке Qo направление скорости известно и, следовательно, известен
угол 0qo, который образует вектор скорости с осью Ох. Этот угол определит
направление радиуса-вектора OQo, на котором лежит искомая точка Q6
в плоскости годографа. Чтобы найти эту точку, переход из точки P'q должен
Рис. IV.27. Отражение волны от стенки: а— приходящая и отраженная волны;
б — отраженная волна от воображаемой стенки хх в симметричном плоском
сопле
совершиться по той эпициклоиде, нормаль которой параллельна характе-
ристике первого семейства P0Pi в физической плоскости. В данном случае —
это эпициклоида второго семейства. Найденная скорость будет относиться
ко всем точкам на линии Маха QoQj- Переходя от одной точки к другой,
можно получить картину скоростей во всем потоке.
В плоском сопле, при огибании сверхзвуковым потоком угла А
(рис. IV.27, а), приходящая от него волна разрежения одного семейства
отражается в точке D также в виде волны разрежения DB', но другого семей-
ства. Она имеет такую же интенсивность, как приходящая волна, и отра-
жается под тем же углом, под которым подходит к стенке. Проходя через
отраженную волну разрежения, поток получает ускорение, как и в случае
пересечения приходящей волны, но отклоняется в противоположную сто-
рону. Чтобы предотвратить отражение волны от стенки, последнюю надо
сделать касательной к линии тока, т. е. повернуть стенку так, чтобы она
совпадала по направлению с вектором скорости.
В расширяющемся сопле с осью симметрии хх последнюю можно мыс-
ленно заменить плоскостью, от которой отражаются волны (рис. IV.27, б),
и ограничиться расчетом лишь одной половины сопла. Волны разрежения,
отраженные от условной стенки хх, имеют такой же по величине угол ц,
как и приходящие волны, но противоположного знака. К оси хх характе-
ристики наклонены под углом р, + 6, где для приходящей волны 0 < О,
а для отраженной 6 > 0 (в расчетах по способу Ферри угол 6^ 200°).
При расчете сверхзвуковой части сопла его входной участок задается
в виде ломаной линии, каждый отрезок которой повернут по отношению
к предыдущему на небольшой угол Д6. Для сопла получится ряд характе-
ристик, определяющих волны разрежения в областях, соответствующих
каждому отрезку. Будем считать, что при пересечении потоком этих харак-
теристик состояние газа мгновенно меняется и что в области между двумя
характеристиками вектор скорости определяется величинами Сг и С2 для
предшествующей характеристики.
14 И. И. Кириллов 209
Выходной участок сверхзвукового сопла проектируется так, чтобы его
стенка совпадала с направлением линии тока. Для этого в месте падения
отраженной волны в точку В' на рис. IV.27 стенку надо повернуть к оси хх
на угол 0. Если в начале сверхзвукового сопла каждый отрезок ломаной
линии, изображающей стенку, поворачивался на угол Л0, то на такой же
угол, но в обратном направлении, поворачивается соответствующий отрезок
ломаной линии выходного участка. После расчета ломаные линии заме-
няются кривыми с плавно меняющейся кривизной.
Круглое сопло может быть исследовано с помощью сверхзвуко-
вого источника [16]. Рассмотрим в полярных координатах г—<р поле ско-
ростей от плоского сверхзвукового источника. В качестве параметра выберем
число М. Для плоского источника площадь живого сечения возрастает про-
порционально расстоянию от его поверхности. Поэтому, аналогично урав-
нению (11.68), можем написать
г 1 ( k — 1 , 2 \2 (/г-1)
7^ = т(т+ГМ1+т+т) • <IV124>
где rrniI1 — радиус поверхности с центром в точечном источнике, на котором
достигается скорость звука; г — текущий радиус, которому соответствует
число М.
Угол, который образует вектор скорости с радиусом в точках, лежащих,
на характеристике, обозначим р и выразим его через г и <р
где знак минус поставлен в связи с направлением отсчета <р против часовой
стрелки, а р — в противоположном направлении. Согласно уравнению
(11.119), имеем
, 1
tg II =-.
& | ЛЁ — 1
Следовательно,
Исключив г из уравнений (IV. 124) и (IV. 125), найдем
2/М2 —1 ,,,
Л1[(я—1)М2-р2]
Проинтегрировав это уравнение, получим выражения для угла <р, совер-
шенно аналогичные формулам (IV. 118) и (IV. 119).
ГЛАВА V
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СТРУКТУРА ПОТОКА
В ТУРБОМлШИНАХ
Приложим методы одномерной и двухмерной теории к исследованию про-
странственной структуры потока. Для этого выясним некоторые принци-
пиальные вопросы движения жидкости в осевых и радиальных турбома-
шинах.
Чтобы воспользоваться методом одномерной теории, в большинстве задач
будем предполагать, что жидкость движется по соосным цилиндрическим
поверхностям и процесс расширения рассматривается в цилиндрических
слоях.
Гипотеза цилиндрических сечений может быть обоснована для прибли-
женной оценки характера течения в некоторых ступенях с относительно
длинными лопатками, подобно тому как гипотеза плоских сечений приме-
нима к крылу конечного размаха при достаточно больших его удлинениях.
Такая постановка задачи связана с предположением об отсутствии в потоке
существенных радиальных течений.
При этом открывается возможность для отдельных цилиндрических слоев
потока свести решение по существу к плоской задаче с учетом граничных
условий. Использование этого метода требует определения для каждого ци-
тиндрического сечения параметров жидкости, обеспечивающих радиальное
равновесие потока.
Границы применимости метода цилиндрических сечений определяются
на основании теоретических соображений и опытов. Например, согласно
многочисленным экспериментам в БИТМ, в осевом зазоре перед рабочим
-колесом типовых турбинных ступеней с закрученными лопатками (dt <=&
7-ь8) на расчетном режиме почти во всем пространстве (за исключением
непосредственной близости от концов лопаток) местные радиальные скорости
не превосходят 5—8% от осевых скоростей в соответствующих сечениях.
Опыты с колесами гидротурбин показывают, что радиальные скорости имеют
величину порядка 5—6% от осевых скоростей.
Практика проектирования турбомашин с использованием метода цилин-
дрических сечений и введением опытных поправок вполне себя оправдала
применительно к широкому классу ступеней турбомашин.
Применительно к турбомашинам, которым свойственны большие относи-
тельные шаги лопаток, длинные по сравнению с диаметром лопатки и крутые
очертания меридионального сечения проточной части, метод цилиндриче-
ских или конических сечений не может дать достаточно точного решения.
В таких случаях применяется трехмерная теория или она заменяется двух-
мерными задачами о течении в слоях переменной толщины. Но и при реше-
нии задач повышенной сложности инженеру полезно иметь в виду упрощен-
ную одномерную схему, которая помогла бы получить ответ в грубом при-
ближении для последующего ее уточнения более тонкими методами, а также
способствовала бы выявлению наиболее важных особенностей рабочего
процесса.
.4*
211
V.l. РАДИАЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ПОТОКА
В МЕЖВЕНЦОВЫХ ЗАЗОРАХ
В турбомашинах между лопаточными венцами образуются пространства,
ограниченные лишь стенками проточной части и не заключающие в себе
каких-либо тел, способных оказать воздействие на поток. В осевой турбо-
машине такое свободное пространство (Л1 или А„ на рис. V. 1, а) чаще всего
ограничивается цилиндрическими или коническими стенками, расстояние
между которыми равно высоте проточной части.
Подобное же пространство (Л), ограниченное с двух сторон стенками,
перпендикулярными к оси турбомашины или несколько наклонными к ней
(рис. V.1, б), имеется в радиальных турбомашинах между направляющим
аппаратом и рабочим колесом. В этом про-
странстве рабочее тело движется к центру
или от центра с меняющейся в зависи-
мости от радиуса радиальной составляю-
щей скорости и в то же время вращается
вокруг оси.
Рис. V.l. Пространство между направляющим аппаратом и рабо-
чим колесом: а — осевая турбомашина; б — радиальная турбома-
шина
1 и 3 — направляющие лопатки; 2 — рабочие лопатки; A, Аг и Л2—сво-
бодное пространство между направляющими и рабочими лопатками
Поставленная задача изучения свооодного потока жидкости в свете одно-
мерной теории сводится к определению изменений параметров осесимметрич-
ного стационарного потока вдоль радиуса. В связи с этим прежде всего рас-
смотрим условие радиального равновесия такого потока идеальной жид-
кости в межвенцовых зазорах.
Уравнение радиального равновесия. Изменения параметров потока в меж-
венцовом зазоре вдоль радиуса связаны между собой уравнением Эйлера
(1.78), в котором будем считать массовые силы равными нулю. При этом
условии имеем для осесимметричного стационарного потока
1 др ___ дсг __ дсг __ си __dcr ,-yj । х
р dr г r dr 2 dz ~ r dt ' \ >
Уравнение (V.l) имеет настолько важное значение для практических
расчетов, что полезно дать его элементарный вывод. Выделим во вращаю-
щейся жидкости элемент длиной dz в направлении оси вращения и спроекти-
руем на ось г силы давления на его поверхность, а также силы инерции от
центростремительного ускорения, вызванного вращением, и радиального
ускорения (рис. V.2).
Обозначим через dR и dR' силы давления вдоль радиуса соответственно
на внутреннюю и внешнюю поверхности элемента
dR = pr df) dz; dR' = — (р + -|у- dr^fr + dr) d6 dz.
212
На каждую из боковых сторон элемента в осесимметричном потоке дей-
ствует сила
dQ = р dr dz.
Сила, соответствующая центростремительному ускорению и направлен-
ная по радиусу, равна
dC = г dm,
где си!г — угловая скорость вращения жидкости вокруг оси турбомашины;
dm = pr dr dz d6.
Сила инерции от радиального ускорения имеет выражение
dS = —dm-,^ =
— dm(cr^ + cz^.
Здесь по принципу Далам-
бера сила инерции должна
быть направлена в сторону,
противоположную вектору
ускорения, поэтому в правой
части последнего уравнения
стоит знак минус.
Спроектировав все силы
на ось г, запишем условие
их равновесия
dR + dR’ + 2dQs\n-^- -
2
prdBdrdz
Рис. V.2. К выводу закона постоянства момента ско-
рости
+ dC + dS = 0. (V.2)
После подстановки значений этих сил, сокращений и отбрасывания беско-
нечно малых величин второго порядка получим уравнение радиального
равновесия (V.1). Это уравнение в равной мере справедливо как для несжи-
маемой, так и для сжимаемой жидкости. Оно сохраняет силу при любом
законе изменения скоростей вдоль радиуса и оси турбомашины.
Закон постоянства момента скорости. Моментом скорости называется
произведение величины скорости с на ее расстояние а от оси вращения
(рис. V.3). Так как а = г cos 6 и с = (cu/cos 9), то момент скорости ас = гси.
Отметим, что для стационарного движения идеальной жидкости в'меж-
венцовом зазоре вдоль линии тока должно соблюдаться условие
d = 0 или гси = С, (V.3)
где С — постоянная для данной линии тока. Это условие следует непосред-
ственно из закона моментов количества движения, так как к движущемуся
жидкому элементу не приложен какой-либо момент внешних сил относи-
тельно оси z.
При переходе же от одной линии тока к другой постоянная С может
меняться и условие (V.3) может не соблюдаться. Чтобы закон постоянства
момента скорости был применим ко всему пространству межвенцового зазора,
должны соблюдаться особые условия.
213
, 1
rot, C =------
1 r
Рассмотрим безвихревой поток. Для него должны быть выполнены сле-
дующие условия [см. уравнения (1.69)—(1.71)]:
дсг д(гси) 1
dO dz J
дсг дс, р
fe дГ “ U;
д (гси) дсг 1
dr dQ J
(V-4)
rotu c =
rot гс = 4-
Для осесимметричности потока имеем
дсг __дси __ дсг _„
~ аё — Ж —
и, следовательно, для него справедливы равенства:
д (гси) _ „ д (гси) _ 0. д(гсы) _ 0
dz ’dr ’Of)
(V.5)
Это означает, что grad гси = 0, и, следовательно, во всем пространстве
осевого зазора
rcu = const. (V.6)
Из уравнений (V.4) также следует, что для безвихревого течения должно
быть
dcr _дсг
dz dr '
В осевом зазоре при течении по соосным цилиндрическим поверхно-
стям дсг1дг = 0, а в таком случае во всем пространстве межвенцового за-
зора dcjdr = 0 и осевая скорость вдоль радиуса
сохраняется постоянной.
I Из уравнения Эйлера (1.65) также следует,
/ У си что для осесимметричного потока, в случае др/dz =
/ / = 0, при отсутствии массовых сил и сг=0 должно
быть dcjdz = 0, а это означает, что скорость сг
/ /УХ'—постоянна во всем рассматриваемом объеме
с2 = const. (V.7)
/1 । \ Закон постоянства момента скорости был полу-
I С~7--Д\_______L чен из равенства нулю вихрей скорости, т. е. из
I а \ । Г чисто кинематических условий. Эти условия для
\ / стационарного потока приводят к равенству нулю
\ / градиента полной энергии во всем пространстве,
х. | ./ что следует из уравнения Громека—Лэмба (1.16).
При этом параметры потока изменяются по изо-
Рис. V.3. Момент скорости энтропе не только вдоль линий тока, но и в любом
другом направлении, в том числе и вдоль ра-
диуса Кроме того, без дополнительных требований выполняются и усло-
вия радиального равновесия.
Действительно, при сг = 0 и сг = const из уравнения (II.4) непосред-
ственно следует
dp = — pd (—'j = — X pd (<?r + cl + cl) = — pcudcu.
С другой стороны, при соблюдении закона постоянства момента скорости
и неизменных давлении и скорости вдоль оси z имеем для осесимметричного
потока
д (гси) „ I г ^си л
dr -Cu~t-rdr—(j.
214
Из последних двух уравнений следует
1 др_
р дг г ’
Таким образом, если для течения по цилиндрическим поверхностям за-
дана закрутка изоэнтропийного потока по закону rcu = const, то одновре-
менно выполняется и уравнение радиального равновесия.
Практическое значение имеет также течение, когда сг = 0 (радиальная
ступень). В этом случае для осесимметричного потока из уравнения нераз-
рывности (1.76) следует, что
—= о; рГСг = const. (V.8)
Для такого движения из второго уравнения системы (V.4) найдем dcr!dz = 0.
Для рассматриваемого типа течения соблюдаются все условия существо-
вания потенциального потока и постоянства момента скорости в межвенцо-
вых зазорах радиальных турбомашин (пространство А на рис. V.1, б).
Радиальное равновесие потока, выраженное уравнением (V. 1), сохраняется,
разумеется, и в этом случае. В отношении первого члена в правой части урав-
нения равновесия (V. 1) можно повторить все, что было сказано примени-
тельно к осевому потоку, а последний член этого уравнения при cz = 0
отражает силу инерции только от изменения радиальной скорости.
На основании изложенного приходим к выводу, что в межвенцовых зазо-
рах потенциальный поток имеет закрутку по закону постоянства момента
скорости как в осевых, так и в радиальных турбомашинах. На поток, парал-
лельный оси z и подчиняющийся закону rcu = const, могут накладываться
плоские потенциальные потоки от одинаковых источников или стоков, поме-
щенных на оси вращения, при которых в рассматриваемом пространстве
сохраняется равенство prcr = const. Такие потоки не нарушают закона по-
стоянства момента скорости. В результате их наложения в сечениях, пер-
пендикулярных оси г, формируются одинаковые поля скоростей.
V.2. ЗАКРУТКА ПОТОКА В ОСЕВЫХ СТУПЕНЯХ
ПОСТОЯННОЙ ЦИРКУЛЯЦИИ (rcu = const)
С первых шагов развития теории турбомашин, в частности паровых тур-
бин, в расчетах принималось постоянство момента скорости вдоль линии
тока, но высказывались сомнения о правомерности использования этого
закона при переходе от одной линии тока к другой. Эти сомнения справед-
ливы, так как поток поступает в ступень не вполне равномерным, всегда
имеются некоторые искривления линий тока и ускорения, и потери энергии
в отдельных слоях потока могут существенно между собой различаться.
Тем не менее, полезно рассмотреть идеализированную схему ступени с равно-
мерным изоэнтропийным течением перед рабочим колесом и за ним при
цилиндрических ограничивающих поверхностях и с закруткой потока по за-
кону rcu = const [16]. Ступени с такой пространственной структурой потока
обладают особыми свойствами, и они находят широкое практическое приме-
нение.
Поток будем рассматривать только в осевых зазорах перед рабочим
колесом и за ним, не вникая пока в его структуру в межлопаточных каналах.
Удельная работа. Выделим бесконечно тонкий цилиндрический слой
потока, содержащий профили лопаток осевой ступени турбомашины. Мощ-
ность выделенной части венца рабочего колеса можно выразить уравне-
нием (11.132), записав его в такой форме
dN = dGw (гсЛи — (V.9)
215
где dG — секундное массовое количество рабочего тела, протекающего
в элементарном цилиндрическом слое вдоль оси машины; <о — угловая ско-
рость вращения колеса.
Для рассматриваемого потенциального потока в любой точке простран-
ства перед рабочим колесом сохраняются постоянными полная механиче-
ская энергия единицы объема жидкости и момент скорости rclu = const.
В принципе проектировать ступени турбомашины надо так, чтобы и за рабо-
чим колесом по всему живому сечению полная механическая энергия единицы
объема жидкости была постоянной. При невыполнении этого условия между
отдельными струями жидкости в последующих ступенях неизбежно будет
происходить обмен энергией, сопровождаемый потерями.
Если полная механическая энергия сохраняется постоянной как до рабо-
чего колеса, так и за ним, то любая струйка жидкости, пересекающая рабо-
Рис. V.4. Треугольники скоростей в различных цилиндрических сечениях
ступени постоянной циркуляции: а — входные треугольники; б — выходные
треугольники
чее колесо, должна отдавать ему или получать от него одну и ту же удель-
ную работу hu = dN/dG. Это требование равносильно соблюдению равен-
ства, вытекающего из уравнения (V.9),
гс1и — гс2к = -^- = const. (V! 10)
Так как перед рабочим колесом гс1г1 = const, то из уравнения (V. 10)
следует, что и за ним также должно быть гс2и = const. При выполнении
равенства (V. 10) можно проинтегрировать уравнение (V.9) и получить выра-
жение для мощности всей ступени
TV = Gu (с±и Сггг),
где с1и и с21г скорости, относящиеся к одному из цилиндрических сечений
ступени с радиусом г; G — общий массовый расход рабочего тела ступенью.
Закрутка направляющих и рабочих лопаток, обеспечивающая перед
рабочим колесом и за ним постоянство момента скорости, обладает тем преиму-
ществом, что всегда позволяет достигнуть для идеальной осевой ступени
также постоянства удельной работы hu в любом цилиндрическом сечении
рабочего колеса. Такую ступень условимся называть ступенью постоянной
циркуляции, так как для нее циркуляция скорости не меняется.
Треугольники скоростей. Входные треугольники скоростей для ступени
постоянной циркуляции показаны на рис. V.4. Штрихом отмечены пара-
метры у корня ступени, а двумя штрихами — у ее периферии. Составляющая
скорости за направляющим аппаратом с1и получается максимальной у корня
лопатки и минимальной у ее вершины. Так как осевая составляющая ско-
216
рости с1г для потенциального потока остается постоянной, то углы потока
ах и возрастают от корня к периферии.
За рабочим колесом относительная скорость w2, как правило, возрастает
к периферии колеса, где окружная скорость имеет максимальное значение
(рис. V.4). При этом угол выхода потока р2 увеличивается от корня к пери-
ферии лопатки. В ступени постоянной циркуляции теоретически всегда
требуется закрутка как направляющих, так и рабочих лопаток.
Геометрические характеристики. Угол выхода потока из направляющего
аппарата в зависимости от радиуса цилиндрического сечения определяется
из уравнения
tgai = ^- = r^
где clz = const и rclu = const. Следовательно,
tg a, , tg a, r
b 1 — const или — , = -.
r tg «1 r
(V.ll)
Такое же соотношение получится и для угла выхода потока а2.
217
Изменение угла входа в зависимости от радиуса определим из вход-
ного треугольника скоростей
. i_c_k
tg с1« ~и и’ г'
= = <VJ2)
и' \ г )
Точно так же из выходного
треугольника найдем
1 С2ц
tg р2 =______________и' г'
tg ₽2 x_c^_(sL\2 г '
и' \ г )
(V.13)
Степень реактивности. Прежде всего выясним зависимость от радиуса
\ кинематической степени реактивности. Согласно определению (п. III. 1),
имеем
9 9 2 2
_ । __ С1 ~С2 _ j ___ С1и + С2и с1г — с2г
2tz (Сщ 2и (Ст ^2и)
или
2 2
_1______k
Рк г2 2и (с1ы — с2и) ’
где
Л __ rClU ~1~ гс-2и _ гсси
2а> “ со •
(V.14)
Для ступени постоянной циркуляции должны сохраняться постоянными
следующие кинематические параметры потока:
k = const; с,2 = const; c2z = const.
Чтобы исключить осевые составляющие скорости, выразим кинематиче-
скую степень реактивности для цилиндрического слоя потока любого радиуса
через ее величину в корневом сечении, где г = г' и рк = р«. Для этого-запи-
шем уравнение (V. 14) для радиусов г и г' и затем почленно вычтем одно из дру-
гого, имея в виду постоянство осевых скоростей и удельной работы. В резуль-
тате получим
рк = р;+^-4г)- (V. 15)
Обычно разность (c?z — невелика но сравнению с удельной работой
ступени hu, и во многих приближенных расчетах можно пренебрегать вели-
чиной (4г — С22)/2ы (с1и — с2и). Применительно к таким случаям вели-
чину k легко выразить через р« и г' из уравнения (V.14) без последнего члена,
а эта формула может быть записана в удобной для расчета форме
Рк^1-(1-Р;)(4)2. (V.16)
Та же формула для периферийного сечения (параметры отмечены двумя
значками) примет вид
рк= 1 — (1 — р^)т2, (V.17)
где v = г'/г" — коэффициент веерности ступени (его часто называют «вту-
лочным отношением»),
218
Вместо коэффициента веерности часто вводят в формулы отношение сред-
него диаметра к высоте лопатки dz = dll (индексы у dnl, обозначающие
сечение, опущены, поскольку рассматривается течение в цилиндрических
слоях). Между v и d{ имеем связь
Подставив это выражение в уравнение (V.17), получим
В некоторых практических методах расчетов все еще исходят из степени
реактивности ркс на среднем радиусе (/;) ступени. Для среднего сечения
имеем
г' _ d—l _di — \
rc ~ d ~ di
и, согласно уравнению (V.16), степень реактивности
рга=1_(1-р')(^=1)2 . (V.19)
Если степень реактивности на среднем радиусе принять в качестве исход-
ной, то ее значение у корня и периферии определяется из формул:
Рк-1-(1-р«)(аДГ)2; (v-2°)
pK = i-(i-p«)Qrrr)2 <V21)
Кинематическую степень реактивности в одном случае примем равной
нулю у корня (рк = 0), а в другом случае — на среднем радиусе (ркс = 0)
и подставим ее значение в формулы (V. 18) и (V.21). Поделив второе из этих
уравнений на первое, получим
l^lP;=o 2+4dz-
В этом уравнении последний член для практически применяемых вели-
чин d[ играет второстепенную роль. Если им пренебречь, окажется, что пере-
ход от нулевой степени реактивности на среднем диаметре к нулевой сте-
пени реактивности в корневом сечении почти удваивает степень реактив-
ности у периферии.
Если выбрать нулевую степень реактивности на среднем диаметре (ркс =
— 0), у корня получится отрицательная степень реактивности, определяемая
из формулы (V.20),
<v-22)
Из формулы (V.22) видим, что в случае ркс = 0 даже при сравнительно
небольших относительных длинах лопаток в корневом сечении получается
значительная по величине отрицательная степень реактивности. Это объяс-
няется тем, что для корневой области лопаточного венца характерен большой
градиент степени реактивности, особенно при отрицательном ее значении.
По этой причине имели низкий к. п. д. ступени паровых турбин старого типа
с нулевой степенью реактивности на среднем диаметре.
Заметим, что формулы (V.16) и (III.64) вполне идентичны (при d= 1).
Действительно, в уравнении (V. 14) величина k имеет выражение
Г _ гс1и ~Г Суи) ~ __ ^11 I
‘2(о 2и 2со2 1 со2
219
Использовав это выражение и отбросив члены, содержащие осевые скорости,
уравнение (V.14) запишем так:
РК =!->(!+2^), (V.23)
где а = uciulhu — коэффициент закрутки.
Таким образом, кинематическая степень реактивности вдоль радиуса
ступени постоянной циркуляции меняется точно так же, как при изменении
окружной скорости в условиях сохранения неизменными перепада энталь-
пий hu и закрутки потока за рабочим колесом с2ц. Это важное свойство сту-
пеней постоянной циркуляции позволяет проектировать их с осевым выходом
или с небольшой закруткой потока во всех цилиндрических сечениях. В сту-
пенях этого типа выбор оптимальных условий течения в одном из сечений
ступени обеспечивает также близкие к оптимальным условия и в других
сечениях.
Вследствие совпадения формул (V.23) и (III.64) кривые на рис. III.11
справедливы также для ступени постоянной циркуляции с нулевой степенью
реактивности в корневом сечении, т. е. при р« = 0 и и = и'о. Отношение
окружных скоростей на этой диаграмме можно заменить отношением радиу-
сов г/г'о, где го — радиус цилиндрического сечения, на котором кинемати-
ческая степень реактивности и коэффициент закрутки а равны нулю. Сту-
пень с радиусом го у корня назовем исходной.
Если в проектируемой ступени предусматривается у корня степень реак-
тивности рк, отличная от нуля, начало координат на прк-диаграмме
(рис. III.11) следует перенести в точку, соответствующую выбранным степени
реактивности и коэффициенту закрутки. Окружная скорость и' в новом
начале координат принимается за единицу. Параллельный перенос коорди-
натной оси Рк в новое начало равносилен отсеканию от воображаемой про-
точной части исходной ступени (р^ = 0), спроектированной для определен-
ного коэффициента закрутки а, лишнего участка между цилиндрами радиу-
сов г' К Го-
Из сказанного следует, что из чертежа лопаточного аппарата исходной
ступени постоянной циркуляции путем отсеканий можно получить чертежи
лопаток промежуточных по размерам ступеней, закрученных по тому же
закону rcu = const. Это важное свойство ступеней постоянной циркуляции.
Если рк = 1, то кинематическая степень реактивности сохраняет свое
значение на любом радиусе, что ясно из формулы (V.16). При рк <2 1 степень
реактивности в ступени постоянной циркуляции растет к периферии. Исполь-
зовав формулу (V.17), найдем разность степеней реактивности у корня и
периферии
р;~р; =!-?;(!—v2)-v2.
Эта разность получается тем больше, чем меньше v и рк- При малых v степень
реактивности у периферии может быть очень высокой даже при малых зна-
чениях рк.
Выписав формулу (V.23) для крайних сечений ступени и вычтя одну из
другой, найдем
Рк — рк = 2и' 2 и" - 1 ис2к \й^ ~ 7’^)
Следовательно, для отрицательной закрутки за рабочим колесом (с2„ < 0)
разность рк — Рк меньше, а для положительной больше, чем при осевом вы-
ходе потока и таких же окружных скоростях.
При отклонении степени реактивности в корневом сечении и неизменных
прочих параметрах у периферии из формулы (V.17) следует, что степень
реактивности изменится на величину
Др'к = v^p^ (V.24)
220
т. е. при изменении степени реактивности в корневом сечении у периферии
она изменится на величину тем меньшую, чем меньше отношение радиусов v.
В ступенях с относительно короткими лопатками (v — близко к единице)
отклонение степени реактивности в корневом сечении вызывает приблизи-
тельно такое же отклонение у периферии, а при относительно длинных ло-
патках (v — мало) изменение рк мало влияет на величину рк.
При изменении степени реактивности на среднем диаметре на вели-
чину Дркс в корневом сечении рк получит отклонение
^ = тЧт+!)2- (V-25)
Для ступеней с относительно длинными лопатками некоторое изменение
степени реактивности на среднем диаметре может вызвать у корня значительно
большее ее отклонение в ту же сторону.
Для приближенной оценки изменения рк под влиянием небольших откло-
нений радиуса можно воспользоваться следствием из формулы (V.16)
Др, = 2(1-Р;)(-Су^. (V.26)
Поэтому в ступенях с короткими лопатками (большое v) приращение радиуса
у периферии вызывает значительно большее повышение степени реактивности,
чем в ступенях с относительно длинными лопатками.
По формулам (V.11)—(V. 13) и (V.15) построены кривые изменения реак-
тивности рк и углов aj, Pj и р2 в зависимости от величины относительного
радиуса г = г/г' при различных а(, р'к, а и одинаковых расходных со-
ставляющих скорости (с1г = с2г). Из этой диаграммы (рис. V.5) можно
сделать нижеследующие выводы.
По мере повышения степени реактивности у корня кривые рк = [ (г)
становятся более пологими, причем в основном степень реактивности изме-
няется в корневой области. Из углов наиболее сильно меняется вдоль ра-
диуса рг, особенно в области малых г. Угол меняется в зависимости от г
тем больше, чем больше его величина а( в корневом сечении. Угол 02 изме-
няется сравнительно мало.
До сих пор рассматривалась степень реактивности рк, наилучшим обра-
зом отражающая кинематическую структуру потока. В расчетах часто ис-
пользуется термодинамическая степень реактивности, изменение которой
вдоль радиуса также легко определяется.
Пусть поток расширяется в направляющем аппарате, причем ориентиро-
вочно можно учесть в нем потери с помощью постоянного коэффициента ско-
рости ф. Будем по-прежнему предполагать, что после направляющего ап-
парата поток равномерен по окружности и течение в осевом зазоре изоэн-
тропийно и не имеет радиальной составляющей скорости. В этом случае при
определенной закрутке направляющих лопаток и небольших потерях можно
принять, что во всем пространстве осевого зазора сохраняется постоянным
момент скорости rc1K = const. Предположим, что за рабочим колесом закрутка
потока невелика, и изменением давления вдоль радиуса можно пренебречь.
Тогда, заметив, что ст = ф ]/ 2 (1 — pr) h0 и что по радиусу перепад энта-
льпий h0 одинаков, можно принять постоянным выражение
г cos — рг) — const. (V.27)
Выписав то же выражение для корневого сечения (г = г', сс1 = а(, рг =
= Рт> Ф = ф") и поделив его почленно на (V.27), найдем
/ г> \ 2 cos2 а,
*='-o-p;)(v) -<.«? <v-28>
221
Рис. V.6. Треугольники скоростей и форма канала
в корневом сечении при cs2> ci2 и малой степени
реактивности
расширяющийся плоский
(рис. V.6).
Эта формула отличается от (V. 16) только величиной cos2 ai/cos2 аъ
которая чаще всего близка к единице. Поэтому установленная закономер-
ность изменения кинематической степени реактивности приблизительно со-
храняется и для термодинамического ее значения.
Заметим, что на формулу (V.28) не накладываются ограничения, связан-
ные с отбрасыванием последнего члена в выражении (V. 14), что имелось в виду
при выводе уравнения (V. 16), когда речь шла о кинематической степени реак-
тивности. Это происходит оттого, что термодинамическая степень реактив-
ности получена в результате деления перепада энтальпий в рабочем колесе
на располагаемую работу /г0, которая не зависит от осевых скоростей, тогда
как кинематическая степень реактивности — результат деления того же пере-
пада (при отсутствии потерь)
на полезную работу ступени,,
доля которой от располагаемой
работы зависит от выходной
кинетической энергии.
Корневое сечение. При силь-
ном проявлении сжимаемости
потока в пределах рабочего ко-
леса скорости сг, и с2г могут
существенно между собой раз-
личаться. При этом в корневом
сечении в случае малой поло-
жительной степени реактивно-
сти и выходе потока, близком
к осевому, может оказаться
Рг > Pi и а2 > ах, т. е. полу-
чится
канал
Теоретически течение в таком
канале должно сохраниться кон-
фузорным за счет радиальных перетеканий внутри рабочего колеса. Однако
в корневой области, где образуются развитые вторичные течения, поток не
подчиняется тем простейшим закономерностям, которые здесь были рассмот-
рены. Поэтому следует избегать в этой области расширяющихся каналов
для дозвукового течения.
Эта задача решается либо выбором в корневой области достаточно высо-
кой степени реактивности, либо применением методов закрутки, отличных
от закона rcu = const.
V.3. ЗАКРУТКА ПОТОКА В ОСЕВЫХ ТУРБОМАШИНАХ
ПРИ ВИНТОВОМ ТЕЧЕНИИ
Выше был рассмотрен частный случай движения жидкости в зазоре —
потенциальный поток. Более общий случай представляет винтовой изоэнтро-
пийный поток с одинаковой постоянной Бернулли во всей рассматриваемой
области. Последнее условие, если пренебречь влиянием массовых сил, равно-
сильно постоянству полной энтальпии I* = const или grad i* = 0.
Уравнение движения для стационарного потока запишем в форме
Г ромека—Лэмба
с х rot с = grad i* = 0. (V.29)
Это уравнение означает параллельность векторов с и rot с. Другими сло-
вами, при i* = const вихревые линии совпадают с линиями тока, т. е. имеем
винтовой поток (см. п. I 12). В частном случае, когда rot с = 0, движение
становится потенциальным.
Из уравнения Громека—Лэмба следует, что винтовой поток — единствен-
ный тип вихревого течения, при котором сохраняется постоянным трехчлен
222
Бернулли. Последнее требование строго выполняется для любого изоэн-
тропийного потока в межвенцовом пространстве ступени, перед которой
сохраняется постоянной вдоль радиуса полная энтальпия, и после напра-
вляющего аппарата которой действуют лишь внешние силы, имеющие по-
тенциал. Поверхностные силы на внешних границах межвенцового про-
странства не исключают существования винтового потока, если они
нормальны к поверхностям тока, как это имело место в рассмотренном
выше потенциальном потоке. Внешний теплообмен совместим с винтовым
течением, если допустить, что при этом не нарушается условие баротроп-
ности (политропный процесс). Во всех случаях не должно быть сил
трения. В большинстве случаев именно с такими потоками приходится
иметь дело в расчетах турбомашин, и их изучение имеет важное практическое
значение. Рассмотрим характерные свойства винтового движения.
Особенности винтового течения. В отличие от безвихревого для винто-
вого движения нельзя считать момент скорости постоянным во всем простран-
стве межвенцового зазора. Осевая составляющая скорости также меняется
вдоль радиуса Но вдоль линии тока во всем свободном пространстве гси =
= const, поскольку в таком пространстве поток идеальной жидкости не испы-
тывает воздействия какого-либо внешнего вращающего момента.
После выхода потока из направляющего аппарата касательная к линии
пересечения поверхности тока с меридиональной плоскостью может иметь
некоторый угол наклона у к оси z. Если считать этот угол известным, то станет
определенным и соотношение между проекциями скоростей в меридиональ-
ной 'плоскости межвенцового зазора
(Cr/cz) = tgT = e.
Изоэнтропийное движение в некотором слое вдоль линии тока в межвен-
цовом зазоре можно описать следующей системой дифференциальных урав-
нений:
уравнение изоэнтропы
=0;
р Р
(V.30)
уравнение постоянства момента скорости -^ + — = 0; (V.31) си Г
уравнение неразрывности (сечение f выбрано перпендикулярно оси z) 4- + -^+ —= 0; (V.32) / Р cz
уравнение энергии dp + pede = 0 (V.33)
или + W— = 0, Р с ’
где М = da.
Кроме того, имеем два уравнения, связывающие между собой проекции
скоростей: = + (V.34) = 0 (V35) cr CZ V ' 7
Будем считать известными геометрические размеры проточной части и
угол наклона к оси вращения касательных к меридианам. Это означает, что
заданы величины относительного изменения сечения струйки df/f и танген-
сов углов chW. Тогда из шести уравнений (V.30)—(V.35) может быть уста-
новлена связь между приращениями скоростей и радиуса
223
Разделим осевой зазор на бесконечно малые участки. На каждом из них
имеем
Л,__ сг _ dr
Cz dz ’
где dr — приращение радиуса вдоль линии тока.
Если на протяжении всего зазора Az вдоль линии тока неравномерность
изменения •& не слишком велика, то можно приближенно вычислить конечную
разность Ай, пользуясь выражением
. n ДО. d2r .
AiO=-----Az = t^Az.
dz dz-
Обозначив радиус кривизны меридиана через Rm, можно для небольшой
величины й приближенно считать, что кривизна в меридиональной плоскости
определяется выражением
Следовательно,
1 dzr
Rm dz“
тг
J___£?-Дг
Rm СГ
(V.36)
Введение этой кривизны в уравнение (V.36) дает возможность учесть радиаль-
ное ускорение от искривлений меридианов.
Радиус кривизны может быть также введен непосредственно в уравне-
ние (V.1), если сделать подстановку cr = ст sin у и (dy/dt) = (cm//?m), где
ст = 1/ с2 + сг — меридиональная скорость. В результате подстановки по-
лучим
2 2
dcm . , ст Си 1 др
-^r-sin y + ^-cosy----------=---------
dt ‘ Rm r p dr
(V.37)
В частном случае при § = 0 и, следовательно, сг = 0 из уравнений (V.37)
и (V. 1) получим
|^.| (V.38)
[dt |v=° Rm'
Из этого примера видим, что при малом радиусе кривизны /?т радиальное
ускорение может быть очень большим даже при отсутствии радиальной со-
ставляющей скорости на начальном участке зазора. Зная это ускорение,
можно рассчитать изменение давления вдоль радиуса Лр в данном слое по-
тока по формуле (V.1).
В зависимости от формы линии тока радиальное ускорение может иметь
разные знаки. Если радиус кривизны меридиана расположен со стороны оси
вращения, радиальное ускорение получается отрицательным, а сила инерции
от этого ускорения в формуле (V.1) — положительной. В этом случае давле-
ние вдоль радиуса растет как от циркуляции вокруг оси, так и от меридио-
нальной кривизны. При противоположном изгибе меридиана под влиянием
радиального ускорения градиент давления вдоль радиуса уменьшается.
В принципе ускорение может быть таким, что в зазоре давление не будет
меняться вдоль радиуса, т. е. получится ступень с постоянной степенью
реактивности.
Определив приращение давления вдоль радиуса для каждого слоя по-
тока, получим представление об общей его структуре во всем пространстве
осевого зазора. Аналогичная задача может быть решена для зазора в радиаль-
ной ступени (рис. V.1, б). Ее решение упрощается, если пренебрежимо мало
осевое течение.
Отметим еще некоторые общие свойства винтового течения в зазоре. Вин-
товое движение характеризуется тем, что вихрь скорости не равен нулю. Для
осесимметричного винтового потока при наличии радиальных течений, когда
224
cr =h 0 и, следовательно, rotr с =£ 0 и rot2 с О, из выражений для проек-
ций rot с (V.4) видно, что д (rc^ldz и д (rc^ldr не равны нулю, хотя вдоль
линии тока момент скорости сохраняется постоянным.
Вместе с тем для изоэнтропийного потока во всем пространстве имеет силу
уравнение
dp = — p (си dcu + cr dcr + с2 dcj.
Подставив это выражение в уравнение (V.1), получим
С« I „ __ г
Г “Г “ дг 1 г dr ~ dt г дг
ИЛИ
сид~^- + = __ сг . (V.39)
и rdr dr dt r dr v ’
Предположим, как это часто делается в приближенных расчетах, что ра-
диальная составляющая скорости равна нулю. Тогда и rotr с = 0, так как
для винтового движения направление векторов с и rot с совпадает. В этих
условиях в случае осесимметричного течения, согласно уравнению (V.4),
(rcu)/dz] = 0 и момент скорости изменяется только по оси г. При этом
правая часть уравнения (V.39) обратится в нуль и оно может быть переписано
в такой форме:
^ = (). (V40)
и rdr z dr ' '
Выше было показано, что для винтового течения момент скорости гси
меняется вдоль радиуса. А при этом из последнего уравнения следует, что
и осевая составляющая скорости меняется вдоль радиуса. При этом с ростом
произведения гси вдоль радиуса осевая скорость уменьшается.
Удельная работа. Пересекая рабочее колесо, поток, вообще говоря,
совершает различную работу в каждом цилиндрическом слое, и даже при
изоэнтропийном течении трехчлен Бернулли не обязательно будет постоян-
ным во всем пространстве за рабочим колесом. Целесообразно, однако, при-
менять такую закрутку лопаток, при которой условие постоянства трехчлена
Бернулли приблизительно выполняется. Тогда при соблюдении прочих усло-
вий во всем пространстве за рабочим колесом движение также можно рассма-
тривать как винтовое.
Остановимся на особенностях винтового движения при отсутствии в осе-
вом зазоре радиальной составляющей скорости, т. е. в предположении
dcrldQ = dCfldr = dcrldz = 0. В этом случае в правой части уравнения (V.1)
останется только первый член.
Рассматривая течение в цилиндрическом слое перед рабочим колесом и за
ним (гх = г2 = г)> Для осесимметричного потока при указанных выше усло-
виях уравнение (V.40) запишем для сечения перед рабочим колесом
+ = ° (V.41)
и для сечения за рабочим колесом
с2и^^- + с2г^- = 0. (V.42)
Возникает вопрос, можно ли отыскать для винтового течения такие спо-
собы его закрутки перед рабочим колесом и за ним, которые обеспечили бы
одинаковую удельную работу hu на любом радиусе ступени. Вычтя почленно
\равнение (V.42) из (V.41), получим
4 (rcw — гсги) । ciz dctz_c2z dc2z _ g
rdr л cw dr c2U dr ~~
15 И. И. Кириллов
225
Чтобы удельная работа hu на любом радиусе сохранялась постоянной,
необходимо, согласно турбинному уравнению Эйлера, выполнить условие
rciu — >'с-2и = const, а в этом случае последнее дифференциальное уравнение
можно записать так:
dcL _ (V.43)
dr с„и dr
Отсюда следует, что при винтовом течении выбор закрутки потока перед
рабочим колесом связан с определенной закономерностью в поле скоростей
за рабочим колесом. Например, если (clu/c2u) = const, то из условия посто-
янства удельной работы (hu = const) следует: rcu, = const и гс2ц = const,
а поэтому также с12 = const и с2г = const, т. е. получаются условия суще-
ствования потенциального потока. Для вихревого потока отношение с1и/с2и
меняется в зависимости от радиуса.
Препятствие к независимому выбору закона закрутки потока перед ра-
бочим колесом и за ним возникает потому, что угловая скорость, разумеется,
сохраняется постоянной для всего рабочего колеса и требование равенства
удельной работы hl; во всех сечениях ступени связывает между собой окруж-
ные составляющие скоростей с1и и c2ll. С другой стороны, уравнения нераз-
рывности и энергии устанавливают определенные соотношения между осе-
выми составляющими скоростей, которые, в свою очередь, связаны с окруж-
ными составляющими скоростей. Поэтому не всякое винтовое движение можно
использовать в ступени турбомашины при одновременном, хотя бы прибли-
зительном, сохранении постоянства удельной работы.
При проектировании турбин обычно выбирают с1ы | с2и |, а поэтому,
согласно уравнению (V.43), даже при небольших отклонениях величины
скорости c2z от ее среднего значения изменение с1г в зависимости от радиуса
получается значительным. При этом, если с2и < 0, что часто встречается
для условий работы ступеней паровых и газовых турбин, то производные
dclz/dr и dc2z/dr имеют разные знаки. В этом случае, если перед рабочим
колесом осевая составляющая скорости уменьшается от корня к периферии
ступени, то за рабочим колесом, наоборот, должно происходить увеличение
осевой скорости потока. Такое соотношение осевых скоростей связано с ра-
диальными перетеканиями в рабочем колесе.
Степень реактивности. В осевой ступени для винтового потока при дви-
жении в цилиндрических слоях уравнения равновесия до рабочего колеса
и за ним запишутся так:
dpi____CL . dp2________с2и (V.44')
dr Pl г 1 dr P2 r
Почленное вычитание последних уравнений и простые преобразования
приводят к формуле
~ dP1 - -J dp2 = A (rclu - rc2u) dr. (V.44)
Pl P2 r z
Левая часть уравнения (V.44) равна элементарной изоэнтропийной работе,
которой соответствует изменение кинетической энергии hp только в рабо-
чем колесе, т. е.
dPi ~ = dhp-
Pl р2
Правую часть уравнения (V.44) преобразуем, заметив, что удельная работа
hu = со (гс1н - гс2и) и С1» + Сгц = сси,
где сси — окружная составляющая средневекторной скорости
226
Кроме того, согласно определению кинематической степени реактив-
ности, имеем
После указанных преобразований уравнение (V.44) примет вид
фк-2Еси^, (V.45)
где сси =
Если скорости выражены в виде функции радиуса, то, интегрируя урав-
нение (V.45), найдем рЛ. = f (г). В частном случае для потенциального потока
rcc!z =- const и
а отсюда интегрированием в пределах от г' до г получим формулу (V.15),
считывающую также различие осевых составляющих скорости перед колесом
и за ним.
В этом исследовании располагаемая удельная работа ступени h0 предпо-
тагалась неизменной во всех цилиндрических сечениях. Это означает, что
между приращениями термодинамической и кинематической степеней реак-
тивности имеется зависимость (при ф, близких к единице)
dpT
Таким образом, формулой (V.45) можно пользоваться для нахождения
термодинамической степени реактивности с введением постоянного попра-
вочного множителя.
V.4. ЗАКРУТКА ПОТОКА ПО СТЕПЕННОЙ ЗАВИСИМОСТИ
ОТ РАДИУСА
Степенной закон закрутки потока в ступени турбомашины позволяет
исследовать задачу в достаточно общем виде, с тем чтобы иметь представле-
ние об основных свойствах винтового потока при различном выполнении
направляющих и рабочих лопаток. Обычно эта задача решалась лишь при-
менительно к потоку, движущемуся между направляющим аппаратом и ра-
бочим колесом [21 при произвольном, в некоторой мере, выборе закона за-
крутки за рабочим колесом и изменяющейся удельной работе в различных
цилиндрических сечениях ступени. Здесь поставлено условие постоянства
сдельной работы по высоте проточной части и задача решается на основании
сравнений винтового движения, выведенных в предыдущем параграфе. За-
дача ограничивается приближенным рассмотрением движения в цилиндри-
ческих слоях перед рабочим колесом и за ним.
При такой постановке задачи типы закрутки потока перед рабочим ко-
лесом и за ним могут коренным образом различаться в отличие от закрутки
тотока в ступени постоянной циркуляции.
В дальнейшем все параметры в корневом сечении отмечаются одним штри-
хом, а у периферии—двумя. Параметры потока, отнесенные к их значе-
ниям в корневом сечении, в этом параграфе отмечаются черточкой.
Скорости потока. Выберем закон изменения окружной составляющей
скорости газа за направляющим аппаратом
с1иг" = A, (V.46)
-де п = const и А — постоянная, которую определим по заданным пара-
етрам в корневом сечении, А = c{ur'n.
15*
227
Уравнение (V.46) перепишем в относительных величинах
(V.47)
где
Из уравнений (V.41) и (V.46) после простых преобразований получим
(V.48)
Проинтегрировав это уравнение в пределах от гг до г, найдем
~2 1 1 — п (1 2nx I 2 '
С1г=1--------— (1— Г )ctgab
/ L
где
(V.49)
Закрутку потока за рабочим колесом определим из условия постоянства
удельной работы вдоль радиуса
dr dr
Использовав уравнение (V.46), запишем
= А(1—п)г-"
(V.50)
и после интегрирования в пределах от г — 1 до г найдем окружную состав-
ляющую скорости
с2«=-Г Г1+‘ (?-«_ 1)1, (V.51)
г \_ а J
где c2w = c2Jc2u и а' = cijciu, в зависимости от направления закрутки
потока за рабочим колесом величина а' может быть положительной или
отрицательной.
При с'2и = 0 формула (V.51) примет вид
сы __ ~г-^п____________________________г—\
(V.521
Из последней формулы следует, что при осевом выходе потока в корневом
сечении (с2и = 0) на других радиусах закрутка потока будет положительной
при п <1 и отрицательной при п > 1. Если же c'2{J 4= 0, то в зависимости
от знака этой проекции скорости и величин п и аг закрутка с2и вдоль радиуса
может расти или уменьшаться в соответствии с уравнением (V.51).
С величиной закрутки потока с2и тесно связано изменение вдоль радиуса
осевой составляющей скорости с2г. Из уравнений (V.43), (V.48) и (V.51) най-
дем
dci
dr
(V.53>
228
и после интегрирования в пределах от г = 1 до г определим относительную
величину осевой составляющей скорости
& = 1 + 2 (1 - п) Ь2 ctg2«; [—Ь- (1 -;-("+!) (1 - а') - А- (1 - F2")],
(V.54)
где
с2г = ^, Ь' = ^.
C2z C2z
Заметим, что в основу выведенных формул были положены уравнения
(V.4I) и (V.43), полученные при условии радиального равновесия перед ко-
лесом и за ним. Поэтому вычисление скоростей за рабочим колесом по пред-
лагаемым формулам, а также связанных с ними параметров (давления, сте-
пени реактивности и др.) производится с учетом изменения давления за коле-
сом вдоль радиуса.
Таким образом, задав степенной закон изменения с1и в зависимости от
радиуса и приняв /i;; = const, можно достаточно просто выразить как функ-
ции г все остальные скорости, в том числе и скорости за рабочим колесом.
Углы потока. Зная окружные и осевые составляющие скорости потока,
легко выразить как функции радиусов углы, определяющие направление
векторов скоростей. Для входного треугольника имеем:
«1 = arctg [4й- tgctil, (V.55)
L ciu J
Pl = arctg __ (v.66)
\ Clu '
для углов в выходном треугольнике:
а2 = arctg Г tg а2], (V. 57)
L C2U J
О , C2z а2 ,v ГС,
Р2 = arctg-----------—. (V.58)
и г
Кинематическая степень реактивности. Подставив в формулу (V.45)
выражения с1и и с2и как функции радиуса, согласно уравнениям (V.47) и
(V.51), получим
dpK = ^[2-r-^^-r-s(l-a)\d-r.
Интегрируя, найдем искомую зависимость
рк = рк+ ^МН1~':"('г+1))-4(1-а) О-НЯ. (V.59)
В этой формуле нельзя считать независимыми р,' и c{Ju'. Действительно,
по определению кинематическая степень реактивности связана со скоростями
уравнением
,2 г2
, И ~С1 ,2 ,2 , , ,2 ,2
' = 2 = j __ С1 ~с2 = j _ С1»+С2Ц _ С1г-С2г
РК hu 2U'(4«-C2«) 2“' 2“ (С1и~С2и)
229
или
\ 1 lz '
= 1 - -W- 0 + а’)-----•
24-(1-а')
С1и
Из уравнения (V.60) найдем
(V.60)
и' ,2 1 — а Г (с \21 I — ( \ сы / tg2«;
С\и 2(1 ~а') 0-Рк )
(V 61)
Если последний член в числителе пренебрежимо мал по сравнению с еди-
ницей, то уравнение (V.61) примет простой вид
и'
1 1 4- а'
с 2 1___
Пи 1
Рк
(V.62)
В этом частном случае из уравнения (V.59) получим приближенную фор-
мулу
₽. ~ ₽;+[-47 (1 '"+”) - о -«> о <v-63>
Следовательно, при сравнительно небольшой разности осевых скоро-
стей c\z и Сэг в корневом сечении и при отсутствии в этом сечении закрутки
потока за рабочим колесом (а' — 0) кинематическая степень реактивности
у периферии зависит только от степени реактивности у корня, отношения
радиусов в показателя п.
Для полной характеристики ступени, лопатки которой закручены по
степенному закону, достаточно задать следующие величины для корневого
сечения: а{, р^, а' и Czzlc{z.
Влияние показателя п. Анализируя выведенные уравнения, можно уста-
новить область, в которой следует искать удовлетворительное решение за-
дачи. При п = 1 закрутка потока соответствует закону постоянной цирку-
ляции с уже известными закономерностями, которые получаются также из
более общих уравнений.
В пространстве перед рабочим колесом, согласно уравнению (V.47), при
п > 1 закрутка потока с1и к периферии уменьшается, а при п < 1 — уве-
личивается по сравнению с закруткой потенциального потока. В то же время
из формулы (V.49) следует, что при п > 1 осевая скорость с1г к периферии
растет, а при п <4 1 — уменьшается. Изменение осевой скорости тем больше,
чем больше г и чем меньше ccj.
Кинематическая степень реактивности меняется вместе с показателем
степени п в зависимости от изменения величины (1 — /—(n+O)/(l + /г),
входящей в состав уравнения (V.59). С увеличением п рост или уменьшение
степени реактивности у периферии определяется знаком производной
а
дп
।__г— (п+1)
п — 1
1 [1п Г 4- (и 4- I)-1] — (п + I)-1.
При п = 0 получим с1и = const и ciz = 1 — 21n rctg2ai, что следует из
уравнений (V.46) и (V.49). В этом случае осевая скорость с12 резко умень-
шается к периферии.
При п = —1 из уравнения (V.46) имеем (clulr) — const, что соответствует
изменению окружных скоростей во вращающемся твердом теле. В этом слу-
чае в формуле (V.59) первый член в квадратной скобке равен 2 !пг,
и при а' = 0 степень реактивности растет от корня к периферии.
230
Из уравнения (V.59) также следует, что при любой величине показателя п
кинематическая степень реактивности меняется вместе с радиусом тем силь-
нее, чем меньше отношение и'/с'1и, а следовательно, чем меньше выбрана сте-
пень реактивности в корневом сечении. Величина закрутки потока за рабо-
чим колесом в случае а' > 0 также вызывает повышенный рост степени
реактивности к периферии.
При конструировании турбинных ступеней, за которыми теряется зна-
чительная часть кинетической энергии, соответствующей закрутке потока,
существенную роль играет изменение относительной величины с2„ в зависи-
мости от радиуса. О величине этой закрутки потока можно судить по урав-
нению (V.51).
Прежде всего заметим, что с2« меняется в зависимости от показателя п
тем меньше, чем больше величина а,' т. е. чем больше относительная вели-
чина закрутки c-2U в корневом сечении. К изменению величины с2„ в зависи-
мости от п наиболее чувствительны ступени с осевым выходом потока у корня,
для которых справедлива формула (V.52). В этом случае при 0 < п 1
величина с2и изменяется тем сильнее, чем меньше п, причем с.2и > 0; если же
п >» 1, то с2и <0 и по абсолютной величине она растет с увеличением п-
Величина осевой составляющей скорости и ее изменение за рабочим ко-
лесом определяются с помощью уравнений (V.53) и (V.54). При этом ско-
рость cz3 может расти или убывать с увеличением радиуса в зависимости
от величины п (больше или меньше единицы) и знака закрутки у корня с^и-
Заметим, что качественно с^, может изменяться так же, как с12, или в обрат-
ном направлении, и что с характером этих изменений связаны радиальные
перетекания.
Связь между осевыми составляющими скорости перед рабочим колесом
и за ним. Принятый закон закрутки потока и условие постоянства удельной
работы газа в рабочем колесе определяют соотношения между скоростями
потока в корневом сечении и на любом радиусе, но оставляют до некоторой
степени свободным выбор окружной и осевой составляющих скоростей в од-
ном из сечений ступени, например в корневом. Осевые составляющие ско-
рости должны удовлетворять уравнению неразрывности
f PiC12rdr = j p?c2,rdr, (V.64)
где Pi и р2 — плотности рабочего тела соответственно перед рабочим ко-
лесом и за ним; г' и г" — радиусы соответственно у корня и периферии колеса.
Плотности, как и осевые скорости, могут быть выражены в функции от
радиуса. Для этого следует воспользоваться уравнением изоэнтропы. Для
пространства перед рабочим колесом имеем
. • -k
PiPi = PiPi = C. (V.65)
Из уравнения (V.65) найдем дифференциальную зависимость между дав-
лением и плотностью вдоль радиуса
dpi — Ckpi~ldpi.
Подставив это выражение в уравнение (V.44') и использовав формулу (V.46),
получим
2 Jin 2
k—2 , j Clu < A- j .
Ckpi dpi — ~dr — rin+i dr — r2n+i dr-
После интегрирования в пределах от г' до
г найдем искомую зависимость
*-1 '11 1
pi — Pi
1 + ЛУ,1^г(^-1)(1-^2п)
2Скпрг
231
Подставив значения Л и Сиз равенств (V.46) и (V.65), можно установить
простой физический смысл коэффициента в последнем уравнении
А°~г' 2п
Ckp'k~l
1U
а
2
1
где al = kpx/pi — квадрат скорости звука в корневом сечении перед ра-
бочим колесом.
Окончательно для плотности газа перед рабочим колесом получим выра-
жение
1
4—1
Pi — 1 +
м"
(V.66)
где рх — Pi/pi-
Если число М мало, то сжимаемостью можно пренебрегать. В более точ-
ных расчетах при небольших числах М, когда второй член в скобках значи-
тельно меньше единицы, можно ограничиться первым приближением и опре-
делять плотность по формуле
/2
м
1 . с1и (л —2п\
+^rU-r )
(V.67)
Для изменения плотности вдоль радиуса за рабочим колесом получается
более сложное выражение. Во многих случаях за турбинным колесом допу-
скается лишь небольшая закрутка потока, а при этом можно принимать
р2 const.
Подставив в интегральное уравнение неразрывности (V.64) полученные
выражения для clz и c2z из уравнений (V.49) и (V.54), можно определить
отношение осевых скоростей Czz!c{z. При небольших отклонениях п от еди-
ницы можно воспользоваться разложением функций, стоящих под корнями,
в степенные ряды и ограничиться первым приближением.
Распределение углов потока и скоростей вдоль радиуса. Степень реактив-
ности может существенно изменяться в зависимости от типа закрутки. В ка-
честве примера на рис. V.7 показаны кривые рк = f (г/г') для степенной
закрутки, построенные по формуле (V.63). Если при этом соблюдается равен-
ство удельных работ по высоте проточной части, то с увеличением показа-
теля п в области, близкой к единице, кинематическая степень реактивности
падает.
В зависимости от показателя степени п существенно изменяется характер
кривых для углов с<j и Pj как функции г/г'. В области п<1 при определенном
значении этого показателя угол может сохраняться приблизительно по-
стоянным, но при этом угол рх сильно меняется. При других значениях п
могут значительно изменяться как угол рз, так и угол ах (рис. V.7). Влияние
показателя п на изменение угла р2 сравнительно невелико (рис. V.7).
Выбирая ту или иную закрутку, необходимо иметь ясное представление
об изменении осевых и окружных составляющих скорости перед рабочим
колесом и за ним. Сравнение осевых составляющих скоростей с12 и с±:
(рис. V.8) на соответствующих участках проточной части позволяет судить
о радиальных течениях в рабочем колесе, которыми в первом приближении
пренебрегали. Закрутка потока с2и характеризует выходные потери и вместе
с c2z — неравномерность потока перед следующей ступенью. Величина с.,.,
по высоте проточной части может сохраняться приблизительно одинаковой,
уменьшаться или расти к периферии в зависимости от показателя степени п
и выбранной закрутки в корневом сечении ciu (рис. V.8).
Пределы применимости. Выполненное исследование выяснило параметры
потока в цилиндрических сечениях при различных показателях степени п
и при сохранении постоянной Бернулли в свободном пространстве перед
232
Рис. V.7. Изменение степени
реактивности и углов потока
по высоте проточной части при
ctj = 22' и различных показате-
лях степени п: а — Рк = f (г/г1)
при различной степени реактив-
ности в корневом сечении; б —
изменение углов и |J)( при
рк=0иа =0; в—изменение
углов а2 и Р2 при рк = 0 и а =
= 0,1
Рис. V.8. Изменение скоростей потока по высоте лопатки при = 22” и различных показа-
телях степени n: а - cuJc'lu = f (г//); б - с2и/с[и = f (г/г’)-, в-clz/c[z = f (r/r); г -
C2z/C2z = f (Г/Г ) ПРН = 0, b' = 1
233
рабочим колесом и за ним. Существование такого потока в турбомашине не
всегда возможно.
Действительно, согласно уравнениям (V.49) и (V.54), в зависимости от
выбранных параметров в корневом сечении квадраты осевых составляющих
скоростей могут оказаться как положительными, так и отрицательными.
В последнем случае задача становится неразрешимой. Физически это объяс-
няется тем, что при выбранном законе закрутки оказывается невозможным
сохранить постоянным трехчлен Бернулли за счет уменьшения составляющих
скорости сг даже до нуля. На рис. V.9 указаны предельные значения nmin
в зависимости от г и ocj. При п <^пт№
осевая скорость получается отрицатель-
ной и задача в предположении /i„=const
не решается.
Изменение скоростей с12 и с2г вдоль
радиуса, определяемое формулами (V.48)
и (V.53), может быть различным в зави-
симости от параметров потока. В опре-
деленных условиях по мере увеличения
радиуса одна из этих скоростей может
убывать, а другая — возрастать. Вслед-
ствие этого в рабочем колесе и вблизи
него могут развиваться настолько силь-
ные радиальные течения, что пренебре-
жение их влиянием, допущенное в этом
исследовании, приведет к значительным
погрешностям.
Установив в первом приближении
с помощью расчетных формул этого
параграфа профили осевых составляю-
щих скоростей перед рабочим колесом
и за ним, можно оценить возможные
радиальные течения и изменения сте-
пени реактивности и решить вопрос
Рис. V.9. Минимальные значения показа- о целесообразности выбранной для за-
теля степени п при различных углах aj крутки потока величины п. Изложенный
метод позволяет также выяснить сред-
ства, за счет которых можно приблизиться к сохранению постоянной
работы по высоте проточной части или отступить от этого требования с целью
улучшения профиля осевых и окружных составляющих скоростей.
Течение в свободном пространстве перед колесом и за ним по цилиндри-
ческим поверхностям в ряде случаев можно рассматривать лишь как первое
приближение к действительности. На самом деле поверхности тока могут
иметь большую кривизну в меридиональной плоскости, при этом силы инер-
ции могут весьма существенно изменить параметры потока в осевом зазоре
перед рабочим колесом.
Поэтому, получив общее представление о возможных структурах потока
перед рабочим колесом и за ним на базе теории цилиндрических сечений и
выбрав наиболее подходящий тип закрутки, целесообразно выполнить уточ-
ненные расчеты с учетом искривлений поверхностей тока и радиальных те-
чений.
V.5. ЗАКРУТКА ПОТОКА ПРИ ПОСТОЯННОМ УГЛЕ ВЫХОДА (ш = const)
В практике турбиностроения часто применяется закрутка потока перед
рабочим колесом, обеспечивающая приблизительно постоянный угол его вы-
хода из направляющего аппарата а,. Такой же тип закрутки потока исполь-
зуется для получения первого приближения в расчетах пространственного
потока некоторых типов ступеней.
234
Рассмотрим изоэнтропийный процесс во всем пространстве перед рабочим
колесом. Воспользуемся уравнением
dpt + pcrdcr = 0 или dpi = — р •
Подставив это выражение в уравнение радиального равновесия, получим
В результате интегрирования этого уравнения найдем зависимость
In с1и + cos2 a. In г — const
или
cLurc°s‘ “* = const. (V.68)
Так как с1г = clu tg , то при = const из уравнения (V.68) следует
q/cosa = const (V.69)
и
qrcos2= const. (V.70)
Ступени такого типа имеют свойства степенной закрутки потока при
п < 1. В частности, окружная составляющая скорости сх у периферии
больше, чем в ступени постоянной циркуляции, а осевая составляющая убы-
вает к периферии.
Постоянство угла сс1 приводит к значительному упрощению расчетных
формул, полученных в общем виде для степенной закрутки. Это можно по-
казать на примере выражения для степени реактивности. Для термодина-
мической степени реактивности в любом и в корневом сечениях можно на-
писать выражения:
- '2
С1 • С1
р — 1 —^7—; р=1 —=—.
'т 2h0 ’ *т 2й0
Здесь изоэнтропийный перепад на ступень h0 предполагается неизменным во
всех цилиндрических сечениях. Исключив его из этих уравнений и восполь-
зовавшись выражением (V.70), найдем
рг=1-(1-₽;)(4
2 COS2 CCi
При малой величине угла показатель степени cos2 04 близок к единице
и отступления от закрутки rcu = const получаются незначительными. Это
подтверждается и экспериментальным исследованием ступеней с лопатками,
закрученными при п = 1 и п cos2 ах.
Следует обратить внимание, что условие aj = const еще не означает по-
стоянства выходного угла лопаток а1л. Действительно, в последнем случае,
если ширина направляющих лопаток остается неизменной, вследствие веер-
ности (увеличения относительного шага в зависимости от радиуса) угол вы-
хода потока из направляющего аппарата растет к периферии, и во многих
случаях соблюдение а1л = const больше соответствует закону закрутки
rcu = const, чем ах = const.
Сохранение постоянным угла а1д = const может представлять существен-
ные конструктивные преимущества, например, если расход жидкости тур-
биной изменяется посредством поворота направляющих лопаток и если
требуется полное закрытие проходных сечений.
235
V.6. ЗАКРУТКА ПОТОКА ПРИ ПОСТОЯННОЙ ОСЕВОЙ
ПЛОТНОСТИ ТОКА (рс2 = const)
При проектировании ступеней постоянной циркуляции для больших
чисел М и относительно длинных лопаток в корневом сечении могут полу-
читься каналы неблагоприятной формы. В связи с этим конструкторов давно
интересовал вопрос: нельзя ли так организовать поток рабочего тела, чтобы
массовый расход и толщина каждого цилиндрического слоя оставались бы
одинаковыми в сечениях перед рабочим колесом и за ним. Другими словами,
задача состоит в том, чтобы создать такую закрутку потока, при которой
во всех элементарных сечениях соблюдалась бы постоянной осевая плот-
ность тока рщ^ = p.2c2z, где р — плотность рабочего тела. В таком потоке
можно ожидать минимальные перетекания в радиальном направлении.
Свойства такого потока были подробно изучены теоретически и экспери-
ментально В. Г. Тырышкиным [15] и др.
Рассмотрим изоэнтропийное адиабатное течение и воспользуемся уравне-
ниями, с помощью которых будем исследовать винтовое движение рабочего
тела в зазоре между направляющим аппаратом и рабочим колесом. Кроме
того, потребуем, чтобы во всем пространстве перед направляющим аппаратом
и рабочим колесом выполнялось условие
рс12 = С — const. (V.71)
Из уравнений радиального равновесия при сг = 0 и рс2 = const для
сечения 1—1 найдем
2 2,2 Г dp, , С2
С1 — С1„ + С12 — —
Pi
В этой формуле выразим скорости и давление через плотность с помощью
уравнения изоэнтропы
^Pi ___j, ^Pi
Pi Pi
и уравнения (1.30) при q = 0. После несложных преобразований получим [7]
(штрихами отмечены параметры у корня)
2,_ * .
k— 1
-ДгМ 2dp^
Pl
р; р№
г 2
Р1 -2
~2~ Clz
Pl
dr
(V.72)
звука а{2 = k и
Если воспользоваться выражением для скорости
Pi
ввести обозначение М’г = с[2/щ, то уравнению (V.72) можно придать форму
dr
___f Д м" — -
k— 1 -2_2 e2 k— 1
ai
где e = рг/р[; r = rlr' (p[, г' и щ — соответственно плотность, радиус и
скорость звука в зазоре корневого сечения; а* — скорость звука при полных
параметрах потока).
Проинтегрировав уравнение (V.73), можно определить плотность рабо-
чего тела для любого относительного радиуса в зазоре, а зная эту плотность
и начальное состояние, легко найти его параметры, разность энтальпий и
236
скорости. В конечном виде уравнение (V.73) не интегрируется, а поэтому
приходится прибегать к приближенным методам решения задачи. Здесь мы
выполним интегрирование, сделав следующее допущение.
В стационарных турбомашинах осевая скорость обычно невелика и М'г
составляет лишь несколько десятых долей единицы, тогда как е > 1. Кроме
того, квадрат плотности рабочего тела в зависимости от радиуса изменяется
сравнительно мало. Поэтому в первом приближении при интегрировании
можно пренебречь влиянием изменения второго члена в знаменателе левой
части уравнения (V.73) и считать этот член постоянным и равным М;2. Инте-
грирование этого уравнения в пределах от г = 1 до г и соответственно от
s' = 1 до е дает в результате я
Из этого уравнения ясно, что степень сжа-
тия рабочего тела вдоль радиуса в зазоре тем
выше, чем больше изменение температуры
в направляющем аппарате, т. е. чем больше
отношение Т*П\. Уравнение (V.74) позво-
ляет установить все другие параметры рабо-
чего тела и его скорости в зазоре.
Из уравнения (V.71) имеем с1г = (с[г/е).
Так как вместе с увеличением радиуса рас-
Рис. V-10. Изменение осевых ско-
ростей в зависимости от относитель-
ного радиуса r = rlr' для различ-
ных отношений температур Т /Т^:
1 — при М2 =0,2 и Т / Ту = 1,04;
2 — при М2 = 0,35 и Т / Zj=l, 15; 3 —
по формулам В. Г. Тырышкина для
параметров кривой 1
тет также плотность, то из последнего урав-
нения ясно, что осевая скорость уменьшается от корня к периферии, при-
чем изменение осевой скорости тем больше, чем выше отношение Т*П\.
Если скорости в направляющем аппарате настолько малы, что можно
считать Т*!Т{ 1 и М'0, то сжимаемостью можно пренебречь (е = 1),
а тогда очевидно, что с1г = = const, т. е. закрутки потока rcu = const
и рс2 = const, естественно, дают один и тот же результат.
На рис. V.10 изображены кривые с1г/с{2 = f (г) для различных отно-
шений температур Т'/Т\.
Окружная составляющая скорости с1и может быть найдена из уравнений
изоэнтропы и радиального равновесия. Принимая во внимание выражение
для скорости звука
dpi
dp
получим
/2
2 dpr _ al A_2 dPi
' p, dr ~ 'k-l ei dr
Pl
или
c2 -
la
de -
— r
dr
(V.75)
= Qj e'
237
Выразив с помощью уравнения (V.73) dr dr через е и г, из уравнения (V.75)
после простых преобразований найдем
С
2
1м
j’*
А— 1
~2еТ~
,2
уч*
т\
м;
(V.76)
1
k — 1
“г-
На рис. V.11, а изображены кривые
ний Т*!Т{. Кривые на рис. V.10 и V.11,
направляющих лопаток из соотношения
с1к'сш f К) Для разных значе-
а позволяют вычислить закрутку
tcf «1 с1ы
tga; с1и
Из сравнения кривых на рис. V.И, б видно, что с возрастанием отноше-
ния Т*1Т{ изменение угла по высоте проточной части уменьшается.
Рис. V. 11. Изменение окружных составляющих скоростей и закрутки направ-
ляющих лопаток в зависимости от радиуса для различных отношений темпера-
тур Г П\.а — ciu-cXii^ f(r); б — tgo^/tgaj-- f (г)
1 — при М2 = 0,35 и Т = 1,15; 2 — при М2 = 0,2 и Т /Тj = 1,04; гси —
— const
Если подставим в (V.76) вместо величины е*-1 ее значение из (V.74) и
умножим обе части уравнения (V.76) на г2, то получим
(V.77)
Из последнего уравнения следует, что момент скорости гс1и изменяется
в функции от радиуса. Только при е = 1, т. е. для несжимаемой жидкости,
правая часть уравнения (V.77) обращается в единицу и закон постоянства
момента скорости вступает в силу. При небольших значениях члены, со-
держащие квадрат этого числа в уравнении (V.77), становятся малыми, вслед-
ствие чего отклонение от уравнения постоянства момента скорости получается
незначительным.
Выведенные формулы описывают движение потока в осевом зазоре между
направляющим аппаратом и рабочим колесом при условии, что перед направ-
ляющим аппаратом во всем потоке трехчлен Бернулли остается постоянным.
238
Все сказанное было бы справедливо также и для движения за рабочим коле-
сом, если бы можно было ожидать равенство удельной работы hu во всех
цилиндрических слоях потока, т. е. если бы для любого радиуса было спра-
ведливо уравнение
rclu — rc2u = C', (V.78)
где С — постоянная величина. В таком случае во всем пространстве за ра-
бочим колесом движение также было бы винтовым. Это равенство, однако, не
выполняется.
Действительно, согласно уравнению, аналогичному (V.77), при р.2с,г =
=- const должно быть
или, согласно уравнению (V.78),
Г С\и ~ С
Ш-
С другой стороны, из уравнения (V.77) следует
Из последних двух уравнений можно получить выражение
Г С-1
1и
ИЛИ
Следовательно, соблюдение постоянства удельной работы приводит к тре-
бованию, чтобы при любом значении г функция (г) получалась из функ-
ции f2 (г) умножением на постоянный коэффициент и прибавлением постоян-
ной величины.
В частном случае, имеющем наибольшее практическое значение, когда
за рабочим колесом можно принять р, = const и, следовательно, е = 1,
а перед ним р2 — изменяющимся вдоль радиуса, правая часть последнего
равенства останется постоянной, а в его левой части окажется величина,
меняющаяся в зависимости от радиуса, что невозможно. Таким образом,
в этом случае легко доказывается несовместность требований рс2= const и
hu = const. Отсюда следует, что для потока во всем пространстве за рабочим
колесом постоянной Бернулли не существует; это типично для вихревого
потока (за исключением винтового движения). За рабочим колесом поток
будет выравниваться, причем его количество движения будет сохраняться,
а кинетическая энергия — уменьшаться.
В результате теоретических исследований [15] было установлено, что при
закрутке потока по закону рс2 = - const удельная работа hu возрастает к пе-
риферии, особенно при больших перепадах энтальпии в сопловом аппарате,
т. е. в тех случаях, когда сильно сказывается сжимаемость. Изменение удель-
ной работы в цилиндрических слоях потока характеризует отрицательную
сторону этого закона закрутки.
Экспериментальное исследование турбинных ступеней с лопатками, за-
крученными по закону рс2 — const, установило, что поле скоростей за ра-
бочим колесом получается достаточно равномерным и что нет существенного
различия в к. п. д. ступеней, закрученных по закону rcu = const и рс2 =
= const.
239
V.7. ИСТЕЧЕНИЕ ИЗ КРУГОВОЙ РЕШЕТКИ
ПРИ ПОСТОЯННОМ ПРОТИВОДАВЛЕНИИ
Выше было рассмотрено винтовое движение в цилиндрических слоях меж-
венцового зазора. Здесь исследуем другой частный случай винтового дви-
жения — стационарный изоэнтропийный осесимметричный свободный поток
за круговой решеткой, где повсюду устанавливается постоянное давление.
Перед решеткой полную энтальпию будем считать неизменной и течение во
всей области адиабатным. В этих условиях за решеткой установится осесим-
метричное поле скоростей сх при постоянной полной энтальпии й- Так как
и давление за решеткой предполагается неизменным, то повсюду за ней век-
тор скорости Cj должен иметь одну и ту же величину, т. е. су = const.
При неизменной полной энтальпии й за решеткой из уравнения Громека—
Лэмба следует
Ci X rot сх = grad ti = 0.
Величина вектора с, повсюду одинакова. Поэтому в последнем уравнении
можно вектор Cj заменить единичным вектором о того же направления и
записать последнее уравнение в виде
о ,ч rote = 0. (V.79)
Это уравнение, как было доказано в п. 1.12, описывает необходимое и
достаточное условие существования прямых векторных линий поля, сово-
купность которых образует однополостный гиперболоид вращения.
Радиальные скорости. Линии 6 = const, нанесенные на поверхностях
тока, будем называть меридианами. Для однополостного гиперболоида вра-
щения меридианы представляют собой гиперболы с осями симметрии г и г.
Если направляющий аппарат выполнен так, что непосредственно за ним во
всех точках по окружности радиуса г0 касательные к меридианам парал-
лельны оси г, то в этих точках находятся вершины гипербол.
Таким образом, из общих свойств винтового движения сразу получается
полная картина пространственного потока за направляющим аппаратом при
постоянном противодавлении. Остановимся на некоторых деталях этого вин-
тового течения.
За направляющим аппаратом нет внешних сил, действующих на поток.
Поэтому вдоль каждой линии тока должен сохраняться неизменным момент
скорости относительно оси вращения потока, т. е. rclu = const. Из этого
следует, что окружная составляющая скорости с1и элементарной движущейся
массы уменьшается по мере удаления от направляющего аппарата и одновре-
менно от оси вращения. В пределе при г —> сю скорость стремится к нулю.
Рассмотрим простейшую задачу, когда непосредственно за направляющим
аппаратом с12 одинакова по всему сечению, что равносильно — а10 = const.
Так как в свободном пространстве за направляющим аппаратом нет внешних
сил, действующих на поток, то во всем этом пространстве осевая составляю-
щая скорости сохраняется постоянной, т. е. clz = const.
Итак, в нашей задаче сх = const и с1г = const, а с1и уменьшается вдоль
линий тока обратно пропорционально радиусу. Поэтому радиальная состав-
ляющая скорости с1г должна возрастать по мере увеличения радиуса. В пре-
деле при г —-> сю и с1и —> 0 имеем
| С1г |г-»со—> | С1 —С12 = | С1и|г=Го — Clz.-,,,
где гп — радиус в точке выхода элементарной массы из направляющег
аппарата.
Таким образом, на бесконечности радиальная составляющая скорост
потока равна окружной ее составляющей в момент выхода из направляюще-.
240
аппарата. Отсюда следует, что асимптота к гиперболе имеет угловой коэф-
фициент (тангенс угла наклона к оси г)
где «io — угол выхода потока из решетки на радиусе г0.
Зная угловой коэффициент асимптот, по общим правилам составим урав-
нение гиперболы
i f С‘6’ “»=' (V.80)
Это уравнение определяет кривые пересечения поверхностей тока пло-
скостью rz.
Выведенные уравнения позволяют рассчитать скорости вдоль любой ли-
нии тока. Для этого из уравнения rclu ~= roc1Uv находим окружную состав-
ляющую скорости сх в зависимости от радиуса, а затем радиальную ее состав-
ляющую для любого радиуса
Cir = | Щ — с“[и — с1г.
После этого вычисляем угол
ах = arctg .
CLU
Так как скорость Q не меняется, а с1и уменьшается с увеличением ра-
диуса, то угол а, растет с увеличением радиуса вдоль линии тока. Зависи-
мость между скоростями с1г и с1г может быть также найдена дифференциро-
ванием уравнения (V.80)
rdr — z ctg2 cz10 dz.
Из этого уравнения определяется угол у между касательной к меридиану
и осью z
dr c,r z ...
Изменение скорости с1г в зависимости от радиуса в плоскости z можно
определить непосредственно из уравнения неразрывности
а (ргс1г) , д (рс1и) д (prclz) _ „
дг 56 дг
В данной задаче поток осесимметричный, с12 const и р = const. По-
этому уравнение неразрывности имеет вид д ус1г)>дг = 0. Это означает, что
при переходе по плоскости z = const от одной поверхности тока к другой
должно соблюдаться условие rclr — const.
Из уравнения неразрывности или из уравнения (V.80) также следует,
что площадь слоя в перпендикулярном к оси z сечении между двумя поверх-
ностями тока сохраняется постоянной, т. е. для радиусов г' и г" в одной и
той же плоскости z справедлива зависимость
,г ,.г 2
г — г = г0 —г0,
где нулевыми индексами отмечены соответствующие радиусы поверхностей
тока в начальной плоскости z = z0. Это означает, что по мере удаления от
решетки нормальная к оси z толщина слоя уменьшается.
Радиальный снос потока. Полезно обратить внимание, что для отдель-
ных линий тока в рассматриваемой задаче можно очень просто получить
основные зависимости.
Пусть элементарная масса покидает направляющий аппарат в точке А
(рис. V.12, а) на радиусе г0 и свободно движется без трения до точки О,
16 И. И. Кириллов
241
находящейся на цилиндрической поверхности радиуса г и на расстоянии z
от направляющего аппарата. Такая масса, как было доказано, должна дви-
гаться прямолинейно и равномерно. Поэтому из треугольников АОВ и ACD
имеем
г2 — z~ ctg2a10 + f(j-
Это уравнение гиперболы, ранее полученное для меридионального сечения
поверхности гиперболоида вращения.
Рис. V.12. Траектории элементарной массы при свободном движении за круговой решеткой
Из последнего уравнения при небольших величинах z просто определяется
радиальный снос Дг элементарной массы, если подставить г = г0 + Дг и
пренебречь квадратом величины Дг,
Дг«=<-j-z2ctg2<xi0,
где Дг = Дг/г0 и г = г/г„.
По этой формуле находится минимальная перекрыта рабочих лопаток
при свободном потоке между направляющим аппаратом и рабочим колесом.
Характерные явления в потоке. На основании полученных зависимостег
полезно углубиться в физическую сущность явлений в этом элементарно'
потоке, так как они свойственны и другим несравненно более сложным по-
токам с радиальными течениями и особыми граничными условиями, исследо-
вание которых связано с большими трудностями.
Если меридиональное очертание проточной части за направляющим аппа-
ратом выполнено согласно уравнению (V.80) и рабочее колесо спроектированс
так, что его обратное воздействие на поток пренебрежимо мало и давление
рг= const, то в идеализированной схеме перед рабочим колесом поток можн
рассматривать как равномерный с постоянными скоростями сг и «д
Радиальные же скорости в плоскости z = const удовлетворяют уравнени-
rclr — const.
Непосредственно за направляющим аппаратом в плоскости г = z0 пред
полагалось по всей высоте с1и = c1Uo, а си = 0. В этом сечении моме-:
242
скорости изменяется пропорционально радиусу. По мере увеличения коор-
динаты г возрастает радиальная составляющая скорости Ci и вследствие этого
уменьшается ее окружная составляющая, в результате чего снижается мо-
мент скорости согласно уравнению
гсХи = У г2С1„0 — Г2с?г = f (г).
В этом уравнении с возрастанием г увеличивается первый член под кор-
нем, тогда как второй сохраняется постоянным. В итоге произведение гс1и
застет к периферии потока, но в меньшей степени, чем в выходном сечении.
Это означает, что по мере удаления от выходного сечения окружная состав-
ляющая скорости все быстрее уменьшается и поток раскручивается (а^ воз-
эастает), что свойственно потокам, устремленным к периферии.
Меридианы на поверхностях тока, как было показано, представляют собой
гиперболы. По кривизне меридианов можно вычислить изменение давления
в радиальном направлении под влиянием сил инерции, если рассматривать
з меридиональном сечении сплошную среду в свете идей Эйлера. Вместе с тем
было доказано, что линии тока должны быть прямыми и движение равномер-
ным. Следовательно, те изменения давления, которые можно было бы вычис-
лить по кривизне меридианов, должны в точности компенсироваться проти-
воположным изменением давления под влиянием окружной составляющей
скорости на поверхности тока.
Из этого очевидного заключения можно сделать некоторые выводы, поль-
зуясь уравнением (1.80), которое для условий рассматр ваемого течения (осе-
симметричность, clz = const и др.) имеет вид
ст д (сс1и) — j r dciu г
г дг ” г 1 дг 12 dz
Так как
2 2 2 2
£lw — Ci Cir Ciz
л, следовательно,
„ дс1Г
1и дг “ 1г дг '
(V.8I)
а также
то
что, впрочем, непосредственно следует из уравнения радиального равно-
весия (V.1). Это математическая трактовка сделанного выше утверждения.
Разложив вектор ускорения на касательную к меридиану и нормальную
к нему составляющие, запишем
_ &Ст
dt ~ dt ° + ПЦn’
где Rm — радиус кривизны меридиана в данной точке.
Для рассматриваемого типа течения в момент выхода потока из направ-
"яющего аппарата ст — с2 и (dcmldt) = (dcjdt) — 0, так что имеется только
зектор нормального ускорения, направленный вдоль радиуса,
-де RmQ — радиус кривизны меридиана в его начальной точке.
243
Таким образом, непосредственно за кромками лопаток, где нет радиаль-
ного течения (сг = 0), возникает наибольшее нормальное ускорение, по-
скольку в этом месте гипербола имеет наименьший радиус кривизны. С дрх
гой стороны, из условия радиального равновесия для течения при постоян-
ном давлении имеем в момент выхода из направляющего аппарата
/ dcir \ __ с1«„ _ ciz
\ dt Jo ~ r0~~ Rmo ’
и, следовательно,
р Clz +rr2 „
—-— = Кт, — — tg <Х10.
I г"-
С уменьшением угла а1о относительная величина радиуса кривизны R,,
быстро уменьшается. По мере роста координаты z уменьшается скорость q
и вместе с ней — радиальное ускорение. При этом нормальная составляющая
ускорения образует угол у с осью г. Между ним и радиальным ускорение’^
имеется очевидная связь (рис. V.12, б)
dcir 1 ст
dt cosy Rm
Вновь применив уравнение равновесия, найдем относительный радиус кри-
визны меридиана в любой его точке (подставлено с^г - q, -|- q2 и q„
= Qzctgcxi)
П Сй + C\Z 1 1
т ct cos Y cos3 Y ctg2 ’
где
2 2
C7 C — — P
ctg2 K] - = “° 2 = ctg2 a10 - tg2 y; Rm = .
CL- < r
Следовательно, вдоль линий тока с ростом координаты z и угла у отно-
сительный радиус кривизны Rm быстро возрастает и поток раскручивается
(oq растет). В то же время с возрастанием г и соответствующим увеличение'.'
радиуса толщина слоя между крайними поверхностями тока уменьшается,
так как q = const.
Практический интерес представляет изменение угла cq в зависимости
от радиуса на различных расстояниях от кромок направляющих лопаток
в сечениях, перпендикулярных оси вращения.
Из последнего уравнения видим, что угол cq меняется вместе с величи-
ной tg у = (cr/cJ). Величина же эта — функция от координат гиг
tgy ее -f^ = -^ctg2ain.
C1Z r
Выбрав точки на разных поверхностях тока с одинаковой координатой г.
придем к выводу, что tg у в плоскости г = const меняется обратно пропор-
ционально радиусу. Это означает, что величина ctg oq в плоскости г =
= const растет с увеличением радиуса, а угол oq при этом уменьшается.
Заметим, что при закрутке потока по способу rcu = const угол cq воз-
растает от корня к периферии, а в рассматриваемом свободном течении
в плоскости z const он меняется в противоположном направлении. Из
этого следует, что при свободном течении и с, — const закрутка входных
кромок рабочих лопаток получается меньшей, чем в ступенях постоянной
циркуляции. Это характерное свойство ступеней с постоянной степенью
реактивности вдоль радиуса позволяет расширить область применения
ступеней сравнительно большой веерности с незакрученной входной кромкой
рабочих лопаток.
Все эти явления наблюдаются в потоке без градиента давления, без
искривлений.линий тока и при постоянной осевой скорости. Определяющим
244
для устранения давления в потоке является искривление меридианов, наи-
более сильное при выходе из направляющего аппарата и обусловленное
достаточно большой величиной производной дсг!дг. удовлетворяющей урав-
нению (V.81).
Если бы эта производная оказалась меньше левой части уравнения
V.81), то вдоль радиуса к периферии должно было бы повышаться давление,
а в противоположном случае давление стало бы увеличиваться к корневому
сечению, что возможно при наличии поверхностей, обеспечивающих эти
граничные условия. Если же и в этих случаях требуется постоянство давле-
ния вдоль радиуса, то этого можно достигнуть, создав условия для измене-
ния скорости cz вдоль радиуса, чтобы член с2 (dcjdr), прибавленный к левой
части уравнения (V-81), сделала его выполнимым, т. е. чтобы уравнение
движения приняло вид
C1U & (rciu) j dciz дс1г
rclz dr 'dr дг *
Последнее может быть достигнуто, например, за счет изменения угла ос10,
что является сильным средством для изменения векторов скоростей с3 и
кривизны меридианов.
При этом, если бы поток мог выходить из направляющего аппарата так,
чтобы вершины гипербол совпадали с кромками лопаток и в двух близких
точках на радиусах г0 и г0, углы потока были бы at0 и а10, то на некотором
расстоянии z от кромок, согласно уравнению (V.80), имели бы
„2
/2
/2
1з этого выражения следует, что при г'} > г' по мере удаления от кромок
"олщина слоя безгранично растет или убывает до нуля и что при задан-
ных условиях не соблюдается уравнение неразрывности.
Для существования потока при увеличивающемся угле выхода сс10 от
териферии к корню ступени необходимо также увеличивать кривизну ме-
ридианов в месте выхода потока. Сближая таким образом поверхности тока,
получим толщины слоя, соответствующие возрастающей к корню осевой
гкорости с1г. Для организации такого потока профилируются стенки, огра-
ничивающие межвенцовый зазор и оказывающие на поток силовое воздей-
ствие. Под влиянием этого воздействия линии тока искривляются.
Выход потока под углом к оси Z. Приведенные выше рассуждения в прин-
ципе справедливы также для выхода потока из направляющего аппарата под
некоторыми углами у0 к оси z. Поскольку сохраняется условие й = const,
= const и сг = const, то независимо от угла выхода у0 для изоэнтропий-
^ого осесимметричного течения имеет силу уравнение (V.79). А это означает,
то поверхности тока образуют линейчатые поверхности однополостного
гиперболоида вращения. Возможность существования таких потоков опре-
деляется уравнением неразрывности. Это условие выполняется, если сдви-
-ать вершины гипербол на одинаковую величину вдоль оси z, причем при
"ыходе из направляющего аппарата должна быть достигнута определенная
ависимость от радиуса углов и у, вытекающая из уравнения гипербо-
'оида. Таким образом в принципе можно создать множество схем как с по-
ожительными, так и отрицательными углами наклона потока к оси z при
ыходе из направляющего аппарата (положительная или отрицательная
величина скорости с?о).
Возможность управлять потоком имеет очень важное значение для усо-
вершенствования ступеней. В ступенях, выполненных применительно к по-
генциальной и многим другим закруткам потока, создаются неблагоприят-
245
ные условия течения в корневой области, вследствие чего легко возникаю*
срывные явления при изменениях режимов работы ступени. Для улучшени
течения в этой области полезно при выходе из направляющего аппарате
сообщить потоку радиальную скорость к оси турбомашины, поджав еп
таким образом к ограничивающей стенке в корневой области.
Ступени этого типа обладают рядом преимуществ. Они открывают во -
можность снизить среднюю степень реактивности, сохранив в то же время
допустимую ее величину в корневой области и улучшить пространствен-
ную структуру потока в этой зоне. Существенным преимуществом ступени
с пониженной ступенью реактивности может быть уменьшение давления
у периферии (см. п. VII.4, VII.7 и IX.3).
В особых условиях может оказаться полезным поджатие потока также
в периферийной области. Такая картина течения уже получалась в схема'
с расположением вершин меридианов в выходном сечении. Этот эффект может
быть усилен смещением вершин гипербол вверх по течению. Различных
смещением вершин меридианов можно менять величину tg у перед рабочих
колесом с целью уменьшения закрутки входной кромки рабочих лопаток
Во всех случаях профилирование меридионального обвода, отличное от
граничных линейчатых поверхностей тока, вызывает искривление линий
тока.
Рассмотренные способы закруток, обеспечивающие существование ли-
нейчатых поверхностей тока, приводят к постоянству давления за направ-
ляющим аппаратом. Если при этом рабочее колесо сконструировано так.
чтобы оно не оказывало существенного обратного влияния на поток и не
вызывало его перестройки перед собой, то в ступени сохраняется постоянная
степень реактивности вдоль радиуса.
Ступень постоянной степени реактивности. Ступень этого типа обладает
рядом преимуществ, связанных с возможностями увеличения перепада
энтальпии h0 при оптимальном режиме, уменьшения утечек рабочего тела
у периферии и улучшения течения в корневой области (см. п. VII.5). Поэтом}
конструкторы давно стремятся создать ступени, приближающиеся по свои',
свойствам к ступеням постоянной степени реактивности. Такие ступени
будем называть ступенями с малым градиентом давления.
С точки зрения потерь энергии течение в межвенцовых зазорах по ли-
нейчатым поверхностям тока с мало отличающимися по величине и направ-
лению скоростями Cj нет оснований считать менее благоприятным, чех
движение по криволинейным траекториям в цилиндрических слоях по-
тока. Но положительный результат может быть получен лишь при надле-
жащем очертании ограничивающих стенок в межвенцовом зазоре и специаль-
ном проектировании рабочего колеса, обеспечивающего по возможности
малое обратное его влияние на поток и благоприятные условия течения как
внутри колеса, так и за ним. Последнее особенно важно изучать с точки
зрения выходных потерь кинетической энергии, так как спроектировать
ступень с постоянной степенью реактивности и неизменной удельной рабо-
той вдоль радиуса — задача, не всегда отвечающая требованиям минималь-
ных потерь энергии в ступени.
Рассмотренный тип течения в межвенцовых зазорах по линейчатым или
близким к ним поверхностям тока — далеко не единственно возможный для
решения указанных здесь задач. Не только с точки зрения потерь энергии
в ступени и ее аэродинамических характеристик, но также из соображений
компоновки последовательно расположенных ступеней или с целью упро-
щения технологии их изготовления и по другим причинам могут быть при-
няты коренным образом отличающиеся решения, имеющие те или иные
преимущества для конкретного типа турбомашины и отвечающие общем}
уровню развития турбостроения. К этим принципиальным вопросам мы еще
будем возвращаться при рассмотрении проблемы организации течения
рабочего тела в турбомашинах.
246
V.8. ПОТОК В МЕЖЛОПАТОЧНОМ КАНАЛЕ
На поток в решетке воздействуют не только силы инерции, но и поверх-
ностные силы со стороны лопаток. Эти силы создают давление на поток
в месте его соприкосновения с лопатками, которое при интегрировании
уравнений движения должно входить в состав граничных условий.
В таком виде интегрирование общих уравнений движения встречает
большие трудности. Поэтому применяются приближенные методы расчетов,
основанные на замене поверхностных сил массовыми. Принципиальная
сторона этого метода была разъяснена в п. I. 11. Здесь остановимся на его
практическом приложении.
Массовые силы. Согласно методу Лоренца, силы взаимодействия лопа-
ток с потоком заменяются распределенным вдоль окружностей давлением.
При этом окружная составляющая интенсивности силы Лоренца опреде-
ляется по формуле
где др/д® — среднее значение производной в узком канале.
Поскольку вращающий момент создается за счет неравномерности в окруж-
ном направлении поля давлений в межлопаточном канале, то проекция век-
тора F на ось и представляет собой движущую силу в турбинной ступени
или силу сопротивления от лопаток компрессора. Эта сила определяется
из условий, на которые проектируется ступень турбомашины. Проекция
интенсивности массовой силы F на ось и должна быть исходной для опре-
деления других ее составляющих.
Так как сила от давления лопатки на поток идеального газа или жидко-
сти направлена по внешней нормали п к поверхности лопатки, то должны
соблюдаться следующие соотношения, вытекающие из подобия треуголь-
ников при разложении по осям координат векторов F и п:
пг 1 др ,
пи р гдд '
nz 1 др
пи р где *
Величины проекций этих массовых сил зависят от формы профиля и от
установки лопаток. Радиальная составляющая вектора F может оказать
решающее влияние на распределение давления в лопаточном аппарате вдоль
радиуса. На нее конструктор может влиять, придавая лопаткам надлежа-
щий наклон. Например, можно наклонить выходную кромку и с нею всю
направляющую лопатку в сторону вращения. При этом проекция пи умень-
шается, а проекция пг станет отрицательной, тогда как при радиальной
ориентации элемента поверхности лопатки пг = 0. Со стороны наклонной
лопатки к потоку^ приложена массовая сила, направленная к оси вращения
(Fr <0). Эта сила, взаимодействуя с силами инерции, может сильно искрив-
лять линии тока в межлопаточном канале, что приводит к существенному
снижению давления вдоль радиуса. Значительные искривления линий тока
вызывают коренные изменения степени реактивности вдоль радиуса.
Установим связь между проекциями массовых сил, углами потока а
и углами лопаток ал. В идеальном потоке массовые силы Лоренца направ-
лены по нормали к поверхности лопатки. Вектор же скорости с направлен
по касательной к этой поверхности. Поэтому должно соблюдаться условие
перпендикулярности этих векторов
После деления на произведение всех членов последнего уравнения поле-
чим
Гг I flu Сц ^2
сг ' nr Cz Г пГ
(V 82)
Соотношения проекций нормалей
венствами (рис. V.13):
связаны с углами следующими ра-
Пг
Пи
= tg б;
dr
~dz
П, ,
— = ctg a,:
Пи
Пг
tlr
П, HLl , Л о
пщ — = ctg ал ctg 6.
flu 'lr
Использовав эти соотношения и заметив, что си,сг = ctg ос, где a — угол
потока в плоскости, перпендикулярной радиусу, уравнение (V.82) запишем
Рис. V.13.
в таком виде:
ctg а = ctg ссЛ - tg у tg б.
(V.83)
U, ^и.(Пц)
лопатки,
Из этого уравнения следует,
что при тангенциальном на-
клоне лопаток угол потока а
может значительно отличать-
Fr(n,r) ся от лопаточного угла а,
даже при бесконечной гу-
„ стоте решетки.
Проекции массовых сил и углы потока ______
в бесконечно густой решетке Выразив отношения про-
екций нормалей через углы
найдем связь между проекциями сил Лоренца:
р _ tg 6 др
г~ р гдб
F —- др
-F„tg6;
р гдв
— F„ctga,.
(V.84)
(V.85)
Интенсивности массовых сил Лоренца вводятся в уравнения движения,
как было показано в п. 1.11.
Силы трения. Тем же методом, как нормальные поверхностные силы
давления со стороны лопатки, могут быть учтены силы трения в потоке.
Эти силы выразим векторами интенсивности массовых сил Fmp, равномерно
распределенных в потоке и направленных по касательным к линиям тока.
Величина этих сил оценивается по опытным данным. Из опытов или деталь-
ных расчетов обычно известно тепло, равное работе сил трения на пути dl,
F dl — Т ds
1 mp ш J uomp
По определению для скалярного стационарного поля некоторой функ-
ции имеем
ds’nP___ rr \ с
dl -- vsmp,
где о - - с b— единичный вектор, касательный к линии тока и направлен-
ный в сторону вектора скорости с (или w).
Таким образом, сила Fmp может быть выражена через градиент энтропии
и единичный вектор о
Fmp=—7Чт(а Vsmp).
Знак минус проставлен потому, что сила трения направлена в сторон)
противоположную вектору скорости с (или w)
248
Введя коэффициент неизоэнтропийности х и заметив, что у? In х =
= —(\7.sm,,//?) (см- п- II-7), запишем для осесимметричного потока проекции
вектора Гтр на оси координат в таком виде:
2
Изменение энтальпии в рабочем колесе. По мере продвижения газа в ра-
бочем колесе меняется его энтальпия под влиянием силового взаимодей-
ствия между потоком и колесом. Из формулы (11.128) следует, что для ста-
ционарного осесимметричного потока на пути вдоль любой линии тока,
пересекающей рабочее колесо, происходит изменение момента скорости гси.
В связи с этим меняется и полная энтальпия потока в абсолютном движении.
Для процесса с теплообменом и трением имеем
dq = Tdsq + Tdsmp.
Для теплоизолированного процесса вдоль линии тока имеем
di* = d (иси) (V.86)
или
i* — не,, = const.
Если в момент вступления потока в рабочее колесо была полная энталь-
пия i* и момент скорости г1с1ц, то последнее уравнение может быть записано
так
i — иси = ii — utfiu- (V.87)
Это уравнение справедливо как для изоэнтропийного процесса, так и для
процесса с трением.
Если процесс совершается с внешним теплообменом, то в уравнение
(V.86) необходимо ввести количество тепла, подведенное извне,
di* — d(uCu) + Tds4. (V.88)
Суть дела не меняется, если движение рассматривать в относительной
системе координат (см. п. 1.9). В этом случае имеем
.» • W2 и2 . . с2 *
— I Н—2-----2~ —'f 2 1 иси,
поэтому вместо уравнения (V.87) можно записать
Ги = 1’1 — ЩСХи = const.
Из этого следует, что в рабочем колесе в случае процесса с внешним тепло-
обменом имеет силу тождество
dtu — Т dsq.
Если полную энтальпию можно принять постоянной во всем сечении
перед рабочим колесом и если перед ним поток имеет постоянный момент
скорости г±с1и = const, то указанные соотношения могут быть распростра-
нены на все пространство рабочего колеса. В общем же случае для этого
пространства уравнение энергии осесимметричного потока может быть за-
писано в виде
i* — иса = ф (г, z).
249
V.9. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ
Выбрав закрутку потока перед рабочим колесом и за ним и следуя ме-
тоду цилиндрических сечений или иному способу расчета на базе одномерной
теории, имеем возможность определить кинематическую структуру потока,
подходящие профили лопаток и другие геометрические размеры проточной
части. С этой целью можно воспользоваться степенной закруткой потока
и для нее подобрать профили лопаток и другие размеры проточной части,
в том числе и меридиональный обвод. В одномерной постановке задачи вы-
числяются также параметры потока в межвенцовых зазорах и ориентиро-
вочно устанавливаются поля давлений и скоростей.
В частном случае в расчетах ступеней с нулевым градиентом давления
можно исходить, если это допускает меридиональный обвод, из пара-
метров потока при движении по линейчатым поверхностям. При этом можно
использовать данные выше аналитические зависимости.
При цилиндрическом обводе в предварительном расчете иногда пренебре-
гают даже радиальными скоростями в межвенцовом зазоре. После пред-
варительных расчетов обычно требуется уточненное решение задачи с учетом
искривления линий тока. При этом исходя из предварительно найденной
проточной части и параметров потока решается прямая задача методом
последовательных приближений.
Многие из этих методов требуют либо задания характера изменения одного
из определяющих параметров потока с введением неизвестного масштабного
коэффициента, либо задания формы поверхностей тока в меридиональном
сечении. Первому из этих направлений посвящен ряд исследований ЛКИ,
МЭИ и ХПИ, подробно разобранных в трудах А. М. Топунова [11]. Вто-
рое направление также широко представлено в литературе [4, 9, 18].
Особенности этого направления показаны ниже на примере метода М. Вавра.
Кривизна меридианов. В п. V.3 уже было дано уравнение движения
в проекции на ось г с введением радиуса кривизны Rm. Выразим его
через скорости потока.
В общем виде имеем
d2r
1 dz2
Ы1УГ'
Так как
dr с г , , , ( dr \2 1
dz cz \ dz ) cos2 у ’
d‘-r 1 dcr tg у дсг
dz2 cz dz cz dz '
то получим
1 ( 1 dcr tg Y dcz \ 3
Rm \ cz dz cz dz ) ’’
В турбомашинах при дозвуковых скоростях осевая скорость на неболь-
ших участках вдоль оси z обычно изменяется сравнительно мало. В таких
случаях dcjdz 0 и для кривизны меридиана получим простое выражение
1 1 дсг ч
п- ------cos3 У-
Rm cz dz *
Если угол у сравнительно невелик, то кривизна меридиана в основно’
зависит от производной дсг!дг. Увеличение абсолютной величины этой про-
изводной влечет за собой возрастание кривизны меридиана. Сила Fr, пояь
ляющаяся от наклона лопаток, вызывает радиальное ускорение и повышеь-
ные переменные вдоль оси z радиальные скорости, что связано с увеличение-
кривизны меридианов.
250
В момент выхода из направляющего аппарата исчезает сила Fr, и ра-
диальная скорость изменяется вдоль оси z в зависимости от меридионального
обвода. Если при этом дсг!дг меняет знак, то меняет направление и вектор
кривизны меридианов.
Поток, взаимодействуя с рабочим колесом, приобретает радиальные
скорости, в формировании которых существенную роль играет кориолисово
ускорение. Последнее зависит от угла |3 и меняет знак вместе с cos р (см.
п. XII.7). Если при входе в колесо cos р > 0, то радиальное ускорение по-
ложительно и (дсг/дг) > 0, чему соответствует местный заброс потока к пе-
риферии. При выходе из рабочего колеса cos р <0 и влияние кориолисо-
вых сил оказывает обратный эффект. При этом кривизна меридианов в зна-
чительной мере зависит от формы ограничивающих колесо стенок.
Функция
имеющая ясный физический смысл, может быть выделена в уравнении дви-
жения (V.39), которому можно придать вид
дсг dcz \ „
~дг дГ I
Си д(гси)
г дг
сг
или
дг
2А(г)с?+2?2(г)-0,
(V.89)
где
f ( \ _ си д (гси)
МП — г дг
известна, если заданы меридианы.
Функция =
Задание меридиональных линий. В первом приближении вопрос можно
решить на базе одномерной теории. Для этого сечения, нормальные к пред-
полагаемым меридианам и ограничивающим стенкам, разбиваются на участки
так, чтобы через каждый из них проходило приблизительно одно и то же
количество рабочего тела. Оценив по данным предварительного расчета
меридиональную скорость ст в различных сечениях, можно ориентировочно
нанести меридианы.
В частном случае, если меридианы близки к концентрическим окруж-
ностям, в грубом приближении можно принять постоянным момент скорости
Rmcm = const и подбирать при этом скорость ст в соответствии с уравне-
нием неразрывности.
Вавра [18] рекомендует в первом приближении за образующую принять
прямую, проходящую через точки А и D (рис. V.14). Приращение радиуса
можно оценить приближенно по уравнению неразрывности. При этом изме-
нение осевой скорости в зависимости от радиуса можно задать в соответствии
с характером выбранной закрутки, а в некоторых случаях даже принять
постоянной. Плотности в рассматриваемых сечениях могут быть выбраны
средними на участках от корня до точек А и D. Эти допущения дают воз-
можность вычислить в нескольких сечениях приращение радиуса Аг и угол у
наклона касательной к меридиану.
Если можно ожидать течение по поверхностям, близким к коническим, то
кривизна меридианов принимается равной нулю и функция f у (г) = 0.
В этом случае при заданном изменении rcLl вдоль радиуса найдем поле осе-
вых скоростей сг из уравнения
М
Зная в первом приближении распределение скоростей и плотностей
вдоль радиуса в трех сечениях, во втором приближении можно уточнить
радиусы f1 и г2 на основании уравнения неразрывности и через три точки
251
провести плавную кривую. Эту кривую можно представить в виде синусоиды
или воспользоваться формулой Вавра
где х 4^-6 для сечений 1—/ и 2-2; 6r = ВВ' —величина, устанавли-
ваемая вторым приближением; L — расстояние между соседними сечениями;
знак минус — для сечения 1—1 и плюс — для сечения 2—2.
Установив таким образом средние значения функций (г) и f2 (г), полу-
чим возможность решить уравнение (V.89), линейное относительно с~, и
уточнить распределение осевых скоростей вдоль радиуса.
2
Рис. V. 14. Искривление линий тока: а—проточная часть турбин-
ных ступеней; б— кривизна линий тока в точке В; k — -кри-
визна кривой
Прямая задача может также решаться в более общем виде вариационными
методами, которые были использованы в трудах [10] или методом последо-
вательных приближений в естественной системе координат, а также с при-
менением фиксированных и полуфиксированных сеток. Последнее направ-
ление было развито в трудах Г. Ю. Степанова, Я. А. Сироткина, М. И. Жу-
ковского и др 15, 12, 13, 14]. Ниже рассмотрен метод, предложенный Си-
роткиным.
Метод расчета. Для расчета используем нижеследующие уравнения дви-
жения в цилиндрических координатах.
Уравнение неразрывности (1.64)
1 Ну,) д (хрсг) __ 0
г дг дг ' '
Расход в слое толщиной dn между поверхностями тока определяется из
уравнения
dG = 2nrxpcmdn,
где ст — средняя меридиональная скорость потока в слое; dn — толщина
слоя, измеренная по нормали в меридиональном сечении.
Уравнение движения в рассматриваемых задачах удобно
применять в форме Громека—Лэмба (1.72), в котором из конвективного
члена выделена потенциальная часть, выраженная градиентом кинетической
энергии. Это уравнение будем рассматривать в относительном движении,
а для системы абсолютных координат будет достаточно в нем подставить
со = 0.
Удобство уравнения (1.72) заключается в том, что в его правую часть
.* . И2 , W2 /* ,
введена величина tu = t------1 — иси, которая при со =•- 1
252
переходит в полную энтальпию I* = I + с2/2. Эти величины полных
энтальпий во многих задачах сохраняются постоянными или мало меняются,
и выделение их в особый член упрощает расчеты.
Заметим, что при введении в уравнение (1.72) тепла трения можно поль-
зоваться уравнениями (11.116) и (11.106), согласно которым имеем
_1_ dJL _ Ич__Т— - diu____‘ д р
р dr dr dr dr k dr pfe
При рассмотрении движения с трением, строго говоря, нельзя поль-
зоваться уравнением (1.16), так как оно справедливо лишь для баротропного
процесса. Но разделение кинематических и динамических величин, как это
сделано при выводе уравнения Громека—Лэмба, можно сохранить и для
небаротропных процессов. Исходя из этих соображений, при движении
с трением можно пользоваться уравнением (172), добавив к его правой части
член, выражающий тепло трения в только что данном выражении.
Вводя в уравнение движения параметры с учетом тепла трения, следует
также ввести вектор интенсивности массовых сил трения Frnp. Если же
этой силой пренебречь, а элементарное тепло трения учесть членом Tds,
то уравнение движения отразит работу с подводом извне тепла, равного
теплу трения, при течении газа без трения, т е. один процесс окажется за-
мененным принципиально другим.
Имея в виду сделанные замечания, уравнения (1.72) в проекциях на
оси г, и и z запишем в такой форме:
dw, dwr wu д (rwu) n ,
ги, = w,-------------------~ - — 2шщ, +
dr 2 dz r dr
—1и р р L JL 1п JL_ •
dr г г rmPr k &г k ,
Г
wr d (rwu) . dwu о...,, ____________ p _l p
r gr + w2 gz -F — ru । rmpu,
(V.91)
(V.92)
(V.93)
wr
Если радиальная скорость мала и момент скорости не слишком резко
изменяется вдоль радиуса, то первый член уравнения (V.92) играет второ-
степенную роль. Если к тому же, как обычно, для сравнительно длинных
лопаток силы трения невелики по сравнению с силой Fu, то при указанных
условиях можно принять
u dz
(V.92')
Скорость в дозвуковых потоках обычно мало меняется вдоль оси z. По-
этому, оценив на некотором участке среднее изменение w,, вдоль этой оси,
можно найти в первом приближении интенсивность массовых сил Fu в любом
сечении.
Для направляющего аппарата пригодны те же уравнения с заменой отно-
сительной скорости w на абсолютную с и i„ на i при со 0. Для свободного
потока в межвенцовых зазорах следует, кроме того, принять равными нулю
силы со стороны лопаток.
Во многих задачах в системе трех дифференциальных уравнений движе-
ния в проекциях на оси координат самостоятельными остаются только два.
Поясним это на простейшем примере.
253
Рассмотрим изоэнтропийное движение в направляющем аппарате с по-
стоянной полной энтальпией перед ступенью. Для такого осесимметричного
потока уравнения (V.91)—(V.93) примут вид:
Си д(гси) с / дсг дсг\ у? _ q.
г дг г \ дг дг / ' г ’
сг д (гси) , дси _ п
г дг ' z дг
/ дс,- дсг \ дси , „ „
Сг + Си “Г F- = 0.
г \ дг or ) идг ‘
Получив из второго уравнения
дси ___________________________________сг д (rcu) Fu
дг сг г дг ' сг
и из него вместе с третьим уравнением
(F<r _ \ — Сц д (гс“> _ ( р с" । р
2 \ дг дг ) г дг \ и сг 1 г сг ) ’
а также заметив, что
F с — I ,с т Н Fucu р Fzcz — 0
увидим, что из второго и третьего уравнений вновь получили первое.
Уравнение баланса энергии в проекции на направление
линии тока (натуральной координаты х) может быть записано для теплоизо-
лированного процесса в дифференциальной форме (V.86)
-^-*-~ЦСц). = 0. (V.94)
В этом уравнении d (иси) выражает взятое с обратным знаком изменение
внешней удельной работы ступени в зоне рабочего колеса под влиянием всех
действующих сил, в том числе сил Fu и Fump. Для течения вне рабочего
колеса в последнем уравнении следует считать и = 0, тогда для теплоизо-
лированного процесса оно выразит постоянство полной энтальпии i*.
Заметим, что движение за рабочим колесом, как и в любом другом про-
странстве, можно рассматривать во вращающейся системе координат с угло-
вой скоростью со. Тогда в уравнение движения формально войдут члены
от кориолисового ускорения и полная энтальпия iu, согласно уравнению
(V.91), но при этом Fr = Fu = 0, так как нет сил со стороны лопаток. Легко
проверить, что в этом случае второй член в правой части уравнения (V.91)
раскладывается на три составляющие
^д(^) = д^)
г дг г дг дг 4 и п
из которых два последних члена сокращаются с кориолисовым ускорением
2&>uu и с производной д (иси)/дг, входящей в состав члена dijdr. Такое
формальное преобразование удобно при стыковке движения в рабочем ко-
лесе и за ним.
Заметим также, что встречающаяся в литературе запись в абсолютны,
координатах для зоны рабочего колеса с введением энтальпии iu основа'-
на очевидной замене
di* _ , д (иси)
дг ~ дг 1 дг ’
причем первый член в правой части во многих задачах обращается в нуль,
последний же член характеризует изменение удельной полезной рабо -
вдоль радиуса под влиянием всех сил, возникающих в зоне рабочего колеса
254
Если повсюду в сечении перед ступенью полная энтальпия i*0 одна и та
же и рассматривается процесс без внешнего теплообмена и теплопроводности,
то уравнение (V.94) сохраняет силу по любому направлению. Для процесса
с внешним теплообменом полная энтальпия iu меняется в соответствии с урав-
нением (V.88).
Уравнение процесса с учетом коэффициента неизоэнтропий-
ности х, согласно уравнению (11.102), можно записать так:
—г х*-1 = const, (V.95)
Р
As
где х = е я — функция координат.
Уравнение состояния совершенного газа имеет обычный вид
р = pRT.
Соотношения между массовыми силами и углами определяются выраже-
ниями, установленными в предыдущем параграфе. Сначала находится сила Fu
из уравнения (V.92) или (V.92'), а затем сила Fr по уравнению (V.84). Урав-
нение меридиана описывается очевидным соотношением
dr ,
dr = t^-
Теплоизолированный процесс. Для изоэнтропийного процесса в направ-
ляющем аппарате уравнение (V.91) примет простую форму
дсг дсг си д (гси)
г дг г дг г дг
(V.96)
В уравнения движения удобно для вычислений ввести выражение с„=
= c2ctga, после чего, например, для последнего уравнения получим
си д (гси) , Г ( дсг , с2 \ , , dctgal
—— —= сг ctg а ( + — ) ctg cz + cz -
г дг & [_ \ дг г ) & дг
и после подстановки этого выражения в уравнение (V.96) найдем
дс2 дсг , 9 дсг cz , „ , dctga
-Д = ~- — ctg2 a ----------- ctg2 cz — c, ctg cz —,
or дг b dr г ь г b dr
или
. 4 dcr . ( d In sin a cos2 a \
snr cz -3----9 -------5----------------- c,
dz \ dr r J z
sin2 a
сг
(V.97)
В этом уравнении сила Fr может быть выражена через скорости и углы
потока. Углы пространственного потока могут существенно отличаться от
углов лопаток, что следует из уравнения (V.83).
В межвенцовом пространстве поток может быть рассчитан по уравне-
ниям, полученным для направляющего аппарата, но при этом необходимо
приравнять нулю силы, действующие на поток со стороны лопаток, и счи-
тать вдоль линии тока rcu = const.
Переходя от межвенцового пространства в область, занятую рабочим ко-
лесом, вновь необходимо учесть силы от лопаток и работу, совершаемую
колесом. Для этого используем уравнение движения в относительных ко-
ординатах (V.91). Чтобы стыковать расчет в этой области и в межвенцовом
пространстве, приведем уравнение (V.91) к такому же виду, как (V.97).
С этой целью в уравнение (V.91) подставим выражения: wu = c2ctg Р;
wr = сг и wz = cz. Выполнив такие же преобразования, как при выводе
формулы (V.97), получим
<Эс2 .-.о дсг . / д In sin В cos2 В \
~~ = sin2 В 4- ( 3—В-------------с2 —
dr г дг ' \ дг г /
_^₽Fr — 2cosinpcos₽. (V.98)
cz
255
Оба последних уравнения получены для изоэнтропийного течения i* =
const или itl = const. Для процесса с трением и внешним теплообменом
в правые части этих уравнений войдут, согласно уравнению (V.91), три до-
полнительных члена вида
Для того чтобы перейти к решению прямой задачи осесимметричного
потока в ступени, как указывалось, предварительно рассчитывается проточ-
ная часть на основании одномерной или двухмерной теории. После этого
можно приступить к расчету проточной части методом последовательных
приближений.
Расчет выполняется для нескольких сечений, в том числе на расстоя-
нии не менее одного шага перед ступенью (сечение 0—0), за направляющим
аппаратом (сечение 1—1) и за рабочим колесом (сечение 2—2). Между этими
сечениями выбираются несколько промежуточных в зоне направляющих
и рабочих венцов. В сечениях 0—0 и 2—2 задаются радиальные скорости;
они во многих случаях принимаются равными нулю. По высоте проточной
части намечаются меридианы на поверхностях тока, достаточно характери-
зующие пространственную структуру потока.
В излагаемом методе принимается полуфиксированная сетка, состоящая
из линий тока и фиксированных прямых г в плоскости z = const. Последо-
вательными приближениями исправляются только линии тока. Расстояние
между узлами сетки следует выбирать из расчета Ar Az.
При решении прямой задачи неизвестными являются сг и сг, так как
другие величины через них могут быть выражены. Для нахождения этик
неизвестных служат уравнения (V.90) и (V.98).
Знание радиальной и осевой составляющих скоростей позволяет опре-
делить положение меридианов и параметров потока на каждом из них
Положения меридианов корректируется расходом рабочего тела.
Уравнение неразрывности записывается в интегральном виде для слоя
между корневым сечением с радиусом г' и рассматриваемым меридианом на
радиусе г в сечении, где параметры были предварительно оценены
г
j p0cz0r0 dr0 = J wczr dr. (V.99)
r' r*
При вычислении интегральной величины расхода удобно скорость
выразить через полную скорость потока с, имея в виду, что
с = j/c2 + d + £ = сг У 1 + ctg2 а + tg2y. (V. 1001
При этом, согласно уравнению (1.103), для направляющего аппарата имее'
С = (v.ion
J Ут* /1+ctg2a+tg2y
' /г+1
, 1 k / 2 \fe-i
где ь I дЧ/тгт) •
Интегральное уравнение расхода служит критерием правильности выбор
меридиональных линий.
Применение расчетной сетки и метода прямых открывает возможное?
перейти от уравнений в частных производных к обыкновенным диффере
циальным уравнениям.
С этой целью в каждом сечении z = const частные производные находя"-
по частным значениям функции для частных значений аргумента в уз
256
сетки. Поскольку задача решается весьма приближенно, ограничиваемся
первыми разностями функций. В этом случае производные могут быть пред-
ставлены элементарными формулами для разностей, взятых назад в се-
чениях i и i—1,
и для центральных разностей
Применяя разности назад, используем уже известные величины, найден-
ные для предшествующего сечения, что упрощает задачу. При использо-
вании центральных разностей погрешность метода уменьшается, но при
этом в каждое уравнение входят функции как из предыдущего, так и из
последующего сечения. В расчетах используются оба способа введения
в уравнения конечных разностей.
С помощью этих приемов уравнение (V.96) или (V.97) можно записать
в интегральном виде. Так, например, применительно к уравнению (V.97)
для разностей, взятых назад, получим интегральное уравнение
гср
F^dr, (V.l 02)
, ( d (In sin a) cos2 а \ sin 2 а
\ dr г J Cz cz
где cZcp — принятая в предварительном расчете осевая скорость на среднем
меридиане.
Заметим, что, согласно уравнениям (V.84) и (V.92) или (V.92'), при рас-
крытии функции Fr войдет еще производная
dcjdz = (си. — си._г) !(z. — z^).
Скорости cri и сг1_г, а также cui и cui_± берутся на одном и том же
радиусе.
Аналогичные выражения составляются для движения в рабочем колесе
применительно к формуле (V.98). Нет принципиального отличия и в случае
использования центральных разностей.
Определив таким образом скорость cz на всех меридианах в рассматри-
ваемом сечении z = const и вычислив плотности тока, найдем общий расход.
Если он не равен заданному расходу, то требуется корректировка скоро-
сти с. .
£ср
Исправление -меридиональных линий производится путем сравнения,
с одной стороны, расхода AG через сечение между средней поверхностью
тока и рассматриваемой, вычисленного по формуле
Г
AG = 2л J %pc2r
гср
и, с другой стороны, заданного расхода между этими поверхностями тока
в начальном сечении. Таким образом, последовательными приближениями
находятся поверхности тока, удовлетворяющие уравнению неразрывности.
Сходимость приближений зависит от характера течения, углов потока
и выбора расчетной сетки. Сейчас еще нет достаточно строгих обоснований
сходимости процесса и оценок общей погрешности решения в зависимости
эт обстоятельств течения и применения той или иной разновидности метода
17 и. И. Кириллов 257
расчета. Но опыт многочисленных расчетов по этой методике и сравнение
результатов расчетов с экспериментальными данными приводили к положи-
тельным результатам [6, 14].
V.10. ТЕЧЕНИЕ В СЛОЯХ, ОБРАЗУЕМЫХ
ПОВЕРХНОСТЯМИ ТОКА
Помимо рассмотренных выше имеются многие другие методы расчета
пространственного потока в турбомашинах. Большинство из них исходит
из метода Лоренца, существенно дополненного Стодолой. Рассмотрим основ-
ные положения тех методов, которые базируются
на идеях By Чанг-Хуа [19,20] и которые полу-
чили развитие в трудах М. И. Жуковского и др.
[5].
В основу этих методов кладется замена реше-
ток бесконечным количеством поверхностей лопаток
и введение в уравнения движения массовых сил
вместо поверхностных. Таким образом создается
семейство поверхностей тока (L), являющихся
непосредственным следствием введения в расчеты
массовых сил Лоренца.
Рис. V.15. Поверхности тока: а—поверхности S и L; б — поверх-
ности S и 6; в — поверхности L и Z
В качестве второго семейства поверхностей (S) выбираются поверхности
тока, симметричные относительно оси вращения или несколько отклоня-
ющиеся от этой симметрии.
Каждая из этих поверхностей представляет собой геометрическое место
линий тока V от пересечения ее другим семейством поверхностей. Напри-
мер, на поверхности размещаются все линии тока 1ЙК1 от пересечения
ее поверхностями Lk (k = 1, 2, . . .).
На поверхностях тока L и S нормальные скорости, естественно, равны
нулю. Это вносит в расчеты движения между поверхностями тока суще-
ственные упрощения, которые пытался использовать еще Стодола. Две
соседние поверхности тока из семейства L или S образуют слой, толщина
которого будем обозначать соответственно I или s (рис. V. 15). В качестве
координатных осей на поверхностях L выберем пересечение их с плоско-
стями z = const и цилиндрами г = const, а на поверхностях S — с плоско-
стями 6 = const и z = const.
Если на заданных поверхностях тока для каждого слоя выписать урав-
нения движения и неразрывности, а также уравнения процесса и состояния,
то получим замкнутую систему, которая может быть решена при заданных
258
граничных условиях. Но поверхности тока L и S заранее неизвестны, и
к тому же обе двухразмерные задачи течения на поверхностях взаимосвя-
заны.
Чтобы упростить задачу, поверхности L и S приходится задать. Их
выбор согласуется с особенностями движения, которые выявляются более
элементарными способами расчета, разобранными ранее. Среди этих особен-
ностей движения может быть учтена также шаговая периодичность пара-
метров потока.
Поверхности 5. Следуя методу By, введем производные д$1дг и д2/д0
соответственно вдоль координатных линий 6 и Z, причем
de д . дг д п .
—h -5— при 0 — const;
dz dz ' dz dr r
д2 d } dr d .
-5— при 2 — const.
du dt) 1 dO dr r
(V.l 03)
Обозначив через n нормаль к поверхности S, запишем условие ее перпен-
дикулярности к направленному элементу dl линии тока на этой поверхности
n dl = nrdr + nurd() + nzdz = 0. (V. 104)
То же условие перпендикулярности запишем и для вектора скорости w
W • П ЕЕ Wrnr + Wunu + wznz = 0.
(V.l 05)
Из уравнения (V.104) имеем при z — const
1 dr nu
г de ' пг 9
а при 0 = const
дг nz
dz nr ‘
(V.l 06)
(V.107).
Использовав эти соотношения и выражения (V.103), можем применять
следующие дифференциальные операции:
1____d _ 1 dz d я
г dO г д$ ' пг дг ’
(V.108)
Применив дифференциальные операции (V.108), составим выражение для
-роекции на ось г индивидуальной производной скорости при стационарном
движении
В этом уравнении сумма последних трех членов равна нулю согласно тож-
деству (V.105).
Аналогичные выражения можно составить для двух других проекций
ндивидуальных производных скорости. В результате получим:
17*
(V.109)
259
Эти выражения индивидуальных производных подставим в уравнения дви-
жения (1.73), без учета массовых сил и трения, после чего они примут вид
ш2
и
г 00 2 дг
^L + u, ^+2^,
г дб 1 2 dz 1
1 др
р дг
1 др
р гдв ’
ГСО2
(V.110)
d2wz । duw,
Wu J. + Wz —7Г1-
г 30 1 2 дг
1 др
р дг
Поскольку рассматривается пространственная задача в общем виде,
поток нельзя считать осесимметричным. В связи с этим последняя система
уравнений содержит производные по координате 6, которые были отброшены
при составлении уравнения (1.73).
Выражениям производных от давления с помощью дифференциальных
операций (V.108) можно придать следующий вид (преобразование выпол-
нено для переменной 6):
1 Др _ 1 / д?р , пи др \
р г дО р \ г 00 пг дг ) '
(V.111)
Введем в последнее уравнение полную энтальпию i*, значение которой
было разъяснено применительно к уравнению (1.58). В данной задаче не
исключается возможность изменения энтальпии i* при переходе от одной
линии тока к другой. Связь между изменением давления и энтальпии уста-
новим на основании уравнения баланса энергии, имея в виду идеальную
жидкость и теплоизолированный процесс и приняв s = const.
_ / C2J2 \
1 0гр _0£ = дЛ _ 2 \~2~;
Р Г 00 Г 00 Г 00 Г 00
Г 00
Из уравнения (V. 103) имеем
Использовав последние выражения,
преобразуем уравнение (V. 1111
1 др dzlu
Р Г 00 г 00
Г 00
I Пи { 1 др о\
В — (-------— — г®2 .
nr \ р dr j
(V.112
Таким же путем может быть найдено выражение для частной производ-
ной от давления по переменной z.
Подставив выражение (V. 112) и аналогичное выражение частной произ-
водной по переменной z в уравнение (V.ПО), а также заметив, что
Г00
, d;,wu
и где
dzwz
г где
.260
окончательно получим:
wl
Wu
wrwu
dzwr ,
где ~r
5zw,
<?р „
-------г®2
дг
^.-2®^ = -
dz
дм, , dawu , „
W. -----WZ + W2 ~ Л - + 2®K>, =
r r dO 2 r 30 ' 2 dz 1 r
dj-u nu
гдв
d,w,
Wu~rde~
- дг
£
Р
W. —------
г дг
dp
wu^
dz
(V.113)
Пг
др
~дг
из этих уравнений содержит интенсивность
в каждом
вызванных давлением. Эффект от этих сил при беско-
Последний член
поверхностных сил,
нечно тонком слое такой же, как от массовых сил интенсивности
F = —(— -^ — Г®Л Jk
s k Р dr ) nr '
(V.114)
£
Р
}
Так как вектор ns ортогонален к поверхности S, то
(V.115)
С помощью последнего уравнения можно получить зависимость между
проекциями поверхностных сил Fs и углами потока аналогично тому, как
это было сделано в п. V.5 применительно к потоку в межвенцовом канале
[см. рис. V.13 и уравнение (V.83)].
К полученной системе уравнений должно быть присоединено уравнение
неразрывности течения в слое толщиной s, которое, очевидно, можно запи-
сать в такой форме:
dz (pwus) , <?е (pa)zsH_ q 116)
дб "г дг ’ ' ‘ '
где pwus dz и pwzsrdQ — количества газа, протекающего через элемент слоя
в единицу времени соответственно в окружном и осевом направлениях.
Кроме того, давление и плотность связаны между собой уравнением про-
цесса. Таким образом, для определения скорости w, интенсивности поверх-
ностных сил Fs, давления и плотности имеем замкнутую систему, состоя-
щую из уравнений движения, энергии, неразрывности и процесса. Задача
упрощается, если для изоэнтропийного теплоизолированного процесса во
всем пространстве можно считать энтальпию iu = const и энтропию s =
= const.
В случае процесса с внешним теплообменом без трения имеется связь
между изменениями полной энтальпии iu и энтропии (см. п. П.З)
di*u — Т dsq.
При этом можно принимать, что
dtfu у, d$Sg. dj.u QzSq
dz дг ’ дО дв '
Поверхности L. Это семейство поверхностей рассмотрим в пределах одного
межлопаточного канала. Уравнение поверхности L будем считать заданным
L (г, е, z) = 0.
261
При этом одну из координат можно выразить через две другие
6 = f (г, Z).
Аналогично координатным линиям для семейства S рассмотрим их для
семейства L. Через Z обозначим линии пересечения поверхностей плоскостью
z ~ const, а через 7? — линии пересечения тех же поверхностей круговым
цилиндром г = const. При этом можно применять дифференциальные опе-
рации, аналогичные (V. 103):
3r 3 , дб д
дг дг * дг 30
32 __ 3 , 30 3
дг дг дг 30
при г — const;
при z = const.
(V.117)
Для этой системы поверхностей можно также написать уравнения (V.104)
и (V.105). Из уравнения (V.104) получим для линий R и Z
30 п2 30
дг гпи ’ дг
пг
ти
Поэтому выражение (V. 117) можно записать так:
3 ___ дг . nz д
дг дг ' пи г30 ’
3 ___ дг ] пГ д
дг дг ‘ пи гдб
(V.118)
С помощью этих равенств можно составить выражения для индивидуаль-
ных производных при стационарном движении, аналогичные (V.109), имея
при этом в виду тождество (V.105), записанное применительно к поверх-
ностям L:
Подставив эти выражения в уравнение движения (1.73), получим си-
стему уравнений, аналогичных (V.110) с добавлением сил от лопаток:
Здесь Fr, Fu и Fz — интенсивности массовых сил Лоренца Если счита ~
эти силы заданными, то для определения проекций скоростей давления
плотности достаточно уравнений (V. 120), уравнения неразрывности, ан -
логичного (V. 116), и уравнения процесса. Практические методы решен -
этой пространственной задачи даны в трудах [5, 14, 20].
262
V.H. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СТРУКТУРА ПОТОКА
У КОНЦОВ ЛОПАТОК
В турбомашинах применяются ступени с рабочими лопатками, покрытыми
бандажом (рис. V.16, а, б, в) или свободными у концов (рис. V.16, г, д, е, ж).
Рабочие колеса без бандажа часто встречаются в осевых компрессорах,
а также в турбинных ступенях при очень больших окружных скоростях,
когда покрытие концов лопаток бандажом затруднено по соображениям
прочности или из-за сложности изготовления. В таких конструкциях у кон-
цов лопаток предусматривается радиальный зазор, обеспечивающий надеж-
ную работу турбомашины.
Рис. V.16. Схемы ступеней с бандажом и без бандажа: а и б — осевое рабочее колесо с банда-
жом при цилиндрической форме проточной части; в — осевое рабочее колесо с бандажом при
конической форме проточной части; г — рабочее колесо без бандажа с отрицательной пере-
крышей; д — осевой направляющий аппарат без бандажа с отрицательной перекрышей; е —
осевое рабочее колесо без бандажа с положительной перекрышей; ж — утонение профиля
у периферии; з — колесо радиально-осевой турбины с бандажом; и — колесо центробежного
компрессора без бандажа
В турбомашинах вблизи концов лопаток возникают пространственные
течения, характер которых зависит от типа и конструкции ступени. Рас-
смотрим физические явления, наблюдаемые у концов лопаток.
Лопаточный аппарат без бандажа
В крайних сечениях изолированного крыла, помещенного в поток, воз-
дух, не встречая преграды, перетекает от вогнутой поверхности а (рис. V.17)
к выпуклой поверхности Ь, т. е. со стороны избыточного давления на сто-
рону разрежения. При этом циркуляция скорости вокруг профиля в конце-
вой области резко падает до нуля и с концов крыла сбегают вихри. В ре-
зультате концевых явлений движение крыла встречает дополнительное
сопротивление, которое называется индуктивным. Аналогичная картина
наблюдается вблизи свободных концов, не ограниченных бандажом лопаток.
Физические явления. У концов лопаток циркуляция скорости вокруг
профиля резко падает и возникают вторичные течения вдоль вогнутой по-
верхности в сторону свободного конца лопатки, а в окрестности выпуклой
поверхности — в обратном направлении. Но в отличие от течений у конца
крыла, находящегося в неограниченной среде, над концом лопатки образуется
узкая щель, в которой при большой разности давлений на вогнутой и вы-
пуклой сторонах лопатки устанавливается сильное течение между соседними
каналами. В радиальном зазоре не только возникает указанный поперечный
градиент давления, но также меняется давление вдоль профиля в соответ-
263
Рис. V. 17. Течение вблизи
концов крыла
ствии со степенью реактивности. Скорость при выходе из радиальной щели
зависит как от перепадов давления, так и от величины относительной ско-
рости поступающего в зазор рабочего тела. Эта скорость может быть зна-
чительной в ступенях с отрицательной перекрышей (рис. V. 16, г), широко
применяемых в осевых турбинах и компрессорах.
В межлопаточном канале основной поток отклоняется решеткой, тогда
как периферийное течение не встречает на своем пути твердой преграды.
Поэтому у периферии поток перемещается в направлении вогнутой поверх-
ности профиля, отклоняясь от линий тока основного потока в сторону по-
вышенного давления. Вдоль траекторий периферийного течения давление
может повышаться или понижаться в зависимости от типа межлопаточного
канала. В канале у радиального зазора периферийный поток отклоняется
от первоначального направления под влиянием трения на границе с основ-
ным потоком. Таким образом, перед радиальной щелью основной и перифе-
рийный потоки движутся в разных направлениях,
причем угол между ними возрастает по мере пово-
рота основного потока.
В радиальной щели периферийное течение
отклоняется в сторону нормали к элементу поверх-
ности лопатки, и струя выходит из щели под боль-
шим углом к основному потоку. Двигаясь в поле
с положительным градиентом давления и смеши-
ваясь на границе с основным потоком, вытекаю-
щая из щели струя частично теряет свою кинети-
ческую энергию и свертывается во вращающийся
вихревой шнур.
В случае обтекания сильно изогнутого про-
филя на участках с положительным градиентом
давления у его выпуклой поверхности при истечении из радиальной щели
могут возникать срывные явления [8], сопровождаемые интенсивным образо-
ванием вихря и перемешиванием потоков. Эти явления связаны с углубле-
нием деформации основного потока и усилением вредного влияния радиаль-
ного зазора.
Вторичное течение постепенно развивается в межлопаточном канале,
и при выходе из решетки оно сохраняет вращение. Его можно наблюдать
за рабочим колесом, поместив на близком расстоянии от выходного сечения
крыльчатку малых размеров.
В ступенях со значительной положительной перекрышей и при небольшом
расстоянии между направляющими и рабочими лопатками решетка отклоняет
весь поток, поступающий в рабочее колесо, на протяжении значительной
части канала. На этом участке непосредственно у радиального зазора под
влиянием внезапного расширения устанавливается по обе стороны профиля
меньшая разность давлений, чем при отрицательной перекрыше. Поэтому
в ступени с достаточно большой положительной перекрышей периферийный
поток на значительном участке межлопаточного канала поступает в радиаль-
ный зазор с малой относительной скоростью, отчего струя вытекает из зазора
с меньшей скоростью, чем при отрицательной перекрыше. Влияние большой
перекрыши сказывается на протяжении значительной части межлопаточного
канала, и структура потока у концов лопаток существенно улучшается.
Такого же эффекта, как от положительной перекрыши, можно достиг-
нуть наклоном направляющих лопаток в сторону вращения или другими
мероприятиями, под влиянием которых вблизи периферии искривляются
линии тока, отклоняясь к оси вращения. В таких условиях периферийный
поток становится более слабым и снижается вредный эффект от перетечек
через радиальный зазор.
Помимо периферийного потока вблизи торцевой неподвижной стенки
индуцируется более слабое вторичное течение от вогнутой поверхности-одной
264
лопатки к выпуклой поверхности другой. Это течение, встречаясь с более
мощным потоком из радиального зазора, способствует свертыванию враща-
ющегося шнура у выпуклой поверхности лопатки.
Физические явления в периферийном потоке в некоторой мере зависят
от его скорости относительно ограничивающей радиальный зазор стенки.
Над рабочим колесом стенка неподвижна, и сила трения зависит от абсолют-
ного движения в прилегающем пограничном слое. Радиальный зазор у тор-
цов направляющих лопаток ограничен подвижной стенкой ротора, поэтому
здесь сила трения определяется относительной скоростью. Пограничные
слои вблизи этих стенок несколько изменяют коэффициенты расхода при
истечении из радиальных щелей.
Рис. V.18. Схема основного и вторичного течений у периферии
рабочего колеса при отрицательной перекрыше: а — и/С0<^
(и/С0)ОрГ, б —и/Св^ (u/Co)opt; в—u/C0>> («/C0)opt; eg —
абсолютная скорость в радиальном зазоре; г — схема течения
в радиальном зазоре
Рассмотрим течение у концов лопатки в турбинном рабочем колесе с от-
рицательной перекрышей (рис. V. 16, а). Пусть поток поступает в рабочее
колесо у его периферии с абсолютной скоростью сг, среднее значение которой
оценено с учетом влияния пограничного слоя на цилиндрической стенке,
ограничивающей с торца межлопаточный канал. После входа в канал с отно-
сительной скоростью w1 основной поток поворачивается под влиянием ре-
шетки профилей, а-периферийный поток, если не учитывать трения на его
границах, продолжает двигаться с относительной скоростью Wi.
По мере продвижения в глубь канала траектории основного и периферий-
ного потоков все больше расходятся и угол 6 между ними увеличивается
(рис. V. 18). Вихревые массы на границе потока вызывают обмен количе-
ствами движения и деформируют потоки. Образовавшийся при этом турбу-
лентный пограничный слой возрастает в направлении течения.
Таким образом, периферийный поток, на который профили лопаток ока-
зывают лишь слабое воздействие, имеет незначительное отклонение от
первоначального направления в зоне передней части радиального зазора;
это отклонение увеличивается вниз по потоку, достигая максимума вблизи
выходного сечения.
В области между торцом лопатки и стенкой периферийный поток уско-
ряется в соответствии с разностью энтальпий Ai по обе стороны профиля.
В радиальном зазоре падение давления устанавливается как поперек про-
филя, так и вдоль него.
Разность давлений Ар = р' —р" в нормальном к профилю направлении
может быть определена по величине главного вектора сил АР (рис. V. 18, г),
265
который можно определить по известному распределению давления на вог-
нутой и выпуклой поверхностях периферийного профиля или же оценить
по изменению количества движения при входе на рассматриваемый участок
и при выходе из него. По величине же действующей на периферийный уча-
сток лопатки силы можно определить и разность давлений в нормальном
к профилю направлении.
В действительности вблизи концов лопаток под влиянием радиального
зазора наблюдается значительное падение давления вдоль радиуса. Если
не учесть этого падения давления, то вычисленная разность давлений ока-
жется преувеличенной.
Если взаимодействие периферийного и основного потоков грубо оценить
на основании теории течения струи [1] или по опытным данным, то станет
известным вектор скорости we перед радиальным зазором. По его величине
можно найти теоретическую скорость истечения из радиального зазора
w& = w'&2 -|- 2 At,
где At — перепад энтальпий в радиальном зазоре. Разложив вектор we на
касательную и нормальную к профилю составляющие, можно принять,
что полностью теряется кинетическая энергия, соответствующая нормаль-
ной скорости.
Расход рабочего тела через щель определяется после оценки коэффициента
сужения струи а, согласно экспериментальным данным на рис. VI 1.33.
Для каждого участка профиля можно было бы оценить массовый расход
AG6 и теряемую кинетическую энергию струи, вычисленную по нормальной
составляющей скорости. Это •— главная составляющая потерь энергии
в радиальном зазоре. Ее выделение способствует физическому представле-
нию о механизме явлений у концов лопатки.
Поперечное течение в радиальном зазоре вызывает не только потерю
кинетической энергии этого течения, но также способствует отрыву основного
потока вблизи выпуклой поверхности концевого профиля лопатки. Такие
срывы могут вызвать серьезные дополнительные потери энергии.
Срывными явлениями объясняется сильный отрицательный эффект от
радиальных зазоров также в ступенях активного типа и в ступенях большой
циркуляции, так как при обтекании сильно изогнутых профилей у периферии
создаются неблагоприятные условия течения у выпуклой стороны профиля.
На характер течения в радиальном зазоре оказывает влияние также пери-
ферийная ограничивающая стенка. Если бы эта стенка вращалась с угловой
скоростью колеса, то условия истечения в относительном движении были
бы такими же, как в обычных опытах на неподвижных моделях. Трение
периферийного потока о неподвижную стенку вносит некоторые изменения
в картину течения, уменьшая его скорость.
Силовое взаимодействие на границе между периферийным и основным
потоками деформирует последний. Глубину 1д этой деформации при выходе
из рабочего колеса можно оценить по результатам траверсирования потока
1д =
где для турбинных профилей по результатам ряда опытов [3, 8] величина
х = 3,5-^-7; для компрессорных ступеней х 5 [3].
Эта деформация основного потока сопровождается существенным умень-
шением угла р2 в турбинной ступени и его увеличением в компрессорной
ступени, что приводит к снижению полезной работы.
Таким образом, у концов лопаток наблюдаются очень сложные физиче-
ские явления, зависящие от режима работы, типа ступени и ее конструктив-
ных особенностей. Попытки охарактеризовать концевые течения с помощью
теории индуктивного сопротивления крыла [18] не были успешными и не
подтверждались опытами. Эта теория не отражала влияния таких важных
266
факторов, как взаимодействие потоков вязкой жидкости, перекрыши
и местные срывы у выпуклой поверхности лопаток. Поэтому эксперимент —
пока главный источник наших знаний о пространственном течении у концов
лопаток.
Остановимся на некоторых экспериментальных исследованиях струк-
туры потока у свободных концов рабочих лопаток.
Структура потока перед рабочим колесом. Рабочие колеса без бандажа
чаще всего выполняются с отрицательной перекрышей (рис. V.16, д). При
этом периферийному потоку создаются благоприятные условия для проник-
новения с большой скоростью в область радиальных зазоров. Высокая
скорость периферийного потока усиливает межканальные перетекания рабо-
чего [тела через нерабочую зону над профилями лопаток. Поэтому, есте-
Рис. V.19. Распределение расходной составляющей безразмерной скорости
>,12 = clz!aK и углов потока <Xi, уч и у1иг (в плоскости и—г) в сечении /—I
(и!Сь) — 0,55; 6= 0,9 мм)
ственно, возникла мысль об организации искусственного сопротивления на
пути периферийного потока. Таким сопротивлением может служить обычный
уступ на поверхности наружного обвода за направляющим аппаратом.
Такой уступ получается в результате устройства положительной пере-
крыши направляющего аппарата рабочим колесом (рис. V.16, ё). Внезапное
расширение за уступом приводит к образованию застойной области, которая
коренным образом изменяет условия входа периферийного потока в рабо-
чее колесо.
На рис. V.19 представлены результаты траверсирования потока перед
рабочим колесом в ступени с положительной перекрышей лопаток по опытам
ЛПИ [17]. В измерительном сечении в зоне вторичного циркуляционного
течения расходная составляющая резко меняется, переходя через нулевое
значение (в данном примере при I 69 мм). Вместе с тем разко меняется
и угол «!, также переходя через нулевое значение. Картина этого течения
весьма сходна с циркуляционным движением за уступом при плоскопара-
лельном потоке [1 ]. Между основным потоком за направляющим аппаратом
'и вторичным циркуляционным течением развивается свободный турбулент-
ный пограничный слой.
Длина циркуляционной зоны, согласно исследованиям Г. Н. Абрамо-
вича [1], определяется из соотношения
где А — величина перекрыши.
267
Таким образом можно определить положение циркуляционной зоны и,
выбрав осевой зазор, достаточно приблизить ее к рабочему колесу.
За циркуляционной зоной образуется диффузорный участок, который
предопределяет профиль скоростей с пониженным их значением в зоне
радиальных зазоров, благодаря чему могут существенно уменьшаться пе-
ретечки и интенсивность срывных явлений. < л
Из всего сказанного также следует, что структура периферийного потока
существенно зависит от расстояния между уступом и входной кромкой ^пе-
риферийных рабочих профилей, а также от формы и хорды профиля.
Рис. V.20. Результаты траверсирования потока по радиусу за турбинным рабочим колесом
на расстоянии 4 мм от выходных кромок (по опытам БИТМ); у— относительное расстояние
от корня лопаток; р2 = р2/р0; c2z ~ c2z/^0:
1 — модель 4-Б; 2 — модель 4-П; 3 — модель 4-П (геометрические характеристики моделей М-4; М-6;
М-7 см. в табл. VII. 1)
Структура потока за рабочим колесом. Пространственный поток за рабочим
колесом без бандажа неоднократно изучался экспериментально путем тра-
версирования. На рис. V.20 и V.21 представлены результаты траверсирова-
ния потока за турбинным рабочим колесом с радиальным зазором но опытам
в БИТМ [81. Модели О имели отрицательную перекрышу, а модели П —
положительную.
У периферии за рабочим колесом наблюдаются местные провалы (точка а
на рис. V.20) в эпюрах полного давления р2 и осевой составляющей скоро-
сти с2г. Эти провалы становятся более резкими в области малых и!С0, а в об-
ласти u!C0Z> («/C0)opt они сглаживаются.
На режимах малых и/С0 поток входит в колесо с большой относительной
скоростью и со значительным углом атаки, совершая резкий поворот на
начальном участке канала. При этом возрастает как скорость входа в ра-
диальный зазор, так и перепад давлений в нем. В результате получается
большая скорость w6 выхода потока из радиального зазора (рис. V.18), что
приводит в ступенях активного типа к местным срывам потока. О срывных
явлениях можно судить по глубоким провалам в поле полных давлений и
осевых скоростей в модели типа О при 6 = 2,5 мм и и!С0 0,33.
268
С увеличением u/CG и, следовательно, с уменьшением положительных
углов атаки, а затем и с появлением отрицательных углов атаки провалы на
эпюрах существенно уменьшаются, что объясняется меньшими величинами
скорости w и перепадов давления на профиле. В то же время периферийный
поток в радиальном зазоре меньше отклоняется от основного, и при их
слиянии ослабевают срывные явления. Этими явлениями, а также повышен-
ной степенью реактивности объясняется значительное возрастание осевой
составляющей скорости при увеличении ц/С0 и, следовательно, повышение
количества протекающего газа в периферийном потоке.
С увеличением радиального зазора возрастает относительная глубина
деформации потока: при б = 0,8; 1,5 и 2,5 мм (б 0,01; 0,018; 0,03) вели-
чина 1д была соответственно 0,1; 0,2 и 0,25. Как видно, влияние радиаль-
ного зазора в области больших его величин вырастает.
Рис. V.21. Изменение полного давления вдоль радиуса за рабочим
колесом модели 5-0 (см. табл. VII. 1) при различных зазорах б
(по опытам БИТМ)
Для модели с большей степенью реактивности (при оптимальном режиме
у периферии рг = 0,42), но при малом угле в ступенях типа О также
наблюдаются глубокие провалы в эпюрах полного давления, величины
которых в значительной мере зависят от относительного радиального зазора 6
(рис. V.21). При большом радиальном зазоре коэффициент расхода в пери-
ферийной области существенно возрастает.
В ступенях с сильно изогнутыми профилями при отрицательной пере-
крыше даже очень небольшие радиальные зазоры сильно деформируют по-
ток, так как и при малых зазорах создаются условия для срывных явлений
у выпуклой поверхности профиля. Например, в опытах с моделями типа О
при б = 0,8 мм зона деформации составляла 0,1 от общей высоты лопатки.
В связи с этим ненадежна экстраполяция параметров до нулевого зазора,
к которой часто прибегают при обработке результатов опытов. Такой прием
не приводит к условиям, которые создаются в рабочем колесе с бандажом.
Картина течения резко изменяется в ступенях с положительной пере-
крышей А — 4,5 мм (рис. V.22). Провалы в эпюре полных давлений ста-
новятся незначительными даже при небольших отношениях uICq, и суще-
ственно снижается расходная составляющая скорости в зоне радиального
зазора по сравнению с ее величиной при отрицательной перекрыше. Отсюда
следует, что уменьшение полного давления периферийного потока, посту-
пающего в радиальный зазор, вызвало коренные изменения полей давлений
и скоростей у концов лопаток, в частности сильно уменьшилась зона де-
формации основного потока.
Опыты показали, что сравнительно малые положительные перекрыши
существенно улучшают структуру потока и что с увеличением радиального
зазора следует также увеличивать перекрышу. Эффективность положитель-
269
ной перекрыши снижается с увеличением осевого зазора между уступом
и рабочей лопаткой (рис. V.16, е).
Опыты последнего времени в значительной мере прояснили структуру
потока в периферийной области. Остановимся на некоторых эксперименталь-
ных данных, полученных в ЛПИ при достаточно высоких скоростях по-
тока (МС1 0,7).
Примеры траверсирования потока за рабочим колесом приведены на
рис. V.23. Характерные профили скоростей у периферии выражают вихре-
вую структуру потока, аналогичную индуктивному вихрю, сбегающему
с конца крыла. Очень большая расходная составляющая скорости z.2z полу-
Рис. V.22. Изменение полного давле-
ния вдоль радиуса за рабочим коле-
сом модели 2-П (см. табл. VI.1) (по
опытам БИТМ): а — А = 4,5 мм;
6 = 2,6 мм; б — А = 2,3 мм; б =
= 1,6 мм
чается от ускорения периферийного потока в осевом направлении. В модели 93
заметная деформация основного потока проникает почти до середины ло-
патки.
Сильное циркуляционное течение при выходе из рабочего колеса под-
тверждается глубокой впадиной в эпюре скоростей. В зоне этой впадины
вблизи минимума расходной составляющей скорости проходит ось вихревой
зоны, смещенная к центру далее свободных концов лопаток.
Схема вихревого движения за прямой решеткой профилей показана на
рис. V.24 в плоскости, перпендикулярной среднему вектору w2 для ра-
диального зазора 6=3 мм (по опытам Е. А. Гукасовой в ЦКТИ). Эта кар-
тина течения в общем соответствует той, которая получается за рабочим
колесом.
Развитый турбулентный пограничный слой у выпуклой стенки лопатки,
местные срывы, вызванные периферийным потоком в месте его выхода из
радиальной щели, и циркуляционное движение, вызывающее глубокую
деформацию основного потока, связаны со значительными потерями энергии.
Потери от диссипации энергии в зоне циркуляционного течения имеют
максимум в окрестностях оси вихревой зоны. Здесь они достигают в неко-
торых случаях более 50% от перепада энтальпий в рабочей решетке. К этой
диссипированной энергии добавляются еще потери от утечки рабочего тела
через зазор, характеризуемый большой осевой составляющей скорости
у периферии.
270
Рис. V.23. Изменение средних приведенных скоростей Z22 = Х22/Х2г<г и/,2= ЫЛздпо высоте
проточной части для модели 93 и 47 (по опытам ЛПИ)
Измерительное сечение у периферии — на расстоянии га = 14,5 мм для модели 93 (6 =
— 1 мм) и г2 = 7 мм для модели 47 (6 = 1,1 мм); и/С0 = 0,62; П= 0,75
1 — модель 93; 2 — модель 47 (характеристики моделей см. п. IX. 4; "1.^ — значение на среднем
диаметре)
Рис. V.24. Диаграмма проекций скоростей wz на плоскость ху, перпен-
дикулярную среднему вектору wz за плоской решеткой (по опытам
Е. А. Гукасовой); /= 1,1; t— 0,69; А—-зона кромочного следа
при /<<50 мм
271
Профиль рабочей лопатки в периферийном сечении оказывает очень
большое влияние на формирование вторичного течения вблизи этого сечения.
На рис. V.23 нанесены эпюры скоростей для двух ширин подобных профилей
в периферийном сечении. Как видно, в рабочем колесе модели 47 с удвоенной
хордой профиля (кривая 2) эпюра скоростей получилась значительно более
благоприятной, чем для модели 93 с узкой хордой (кривая /). При этом
следует иметь в виду, что в модели 47 радиальный зазор был несколько
меньше, чем в модели 93, и траверсирование за широкой лопаткой произво-
дилось на расстоянии, вдвое меньшем, чем за узкой лопаткой. В сравни-
мых условиях эпюра скоростей для рабочего колеса с широким периферий-
ным профилем должна еще в более выгодном свете отличаться от картины
скоростей за колесом с узким периферийным профилем. Главная причина
этого различия кроется в меньших перепадах давления на всех участках
периферийного профиля и в ослаблении в связи с этим местных срывных
явлений и циркуляционного течения у концов лопаток.
В абсолютном движении в области периферии за рабочим колесом сры-
вающиеся вихри образуют вихревую пелену, сносимую потоком и игра-
ющую большую роль в нестационарных процессах (см. гл. VIII).
Лопаточный аппарат с бандажом
Бандаж (см. рис. V. 16, а, б, в) устраняет перетекание из одного канала
в другой. В случае течения идеальной жидкости в таком лопаточном аппарате
вторичных течений может и не быть. Обтекание решетки вязкой жидкостью
связано с образованием пограничного слоя на лопатках и на торцевых огра-
ничивающих стенках. В пограничном слое на торцевых стенках канала нет
В,мм
0510152030 so -00-70-00-30100110120130 Н0150160170 200
0510152030 W 50 60 70 8030 100110120130/W150160170 200
Рис. V.25. Поля скоростей вблизи выпуклой поверхности лопатки (по опытам
ЦКТИ)
поля скоростей, способного создать сколько-нибудь значительное изменение
давления в поперечном потоку направлении. На этих стенках под влиянием
разности давлений на выпуклой и вогнутой поверхностях лопаток разви-
ваются вторичные течения. Последние связаны с движением к периферии
в пограничном слое вблизи вогнутой поверхности. При этом скорость вто-
ричного течения имеет большую составляющую вдоль образующей лопатки
в сторону крайних сечений. Аналогичные перетекания, но в обратном направ-
лении наблюдаются вблизи выпуклой поверхности лопатки.
Таким образом, вторичное течение в пограничном слое берет начало
у вогнутой поверхности лопатки, направляется к периферийному сечению,
продолжается по внутренней поверхности бандажа в сторону выпуклой
поверхности соседней лопатки и по ней устремляется в направлении к цен-
тральной части решетки. Такие явления наблюдаются как в направляющих,
так и в рабочих лопаточных аппаратах. Интенсивность этих перетеканий
увеличивается с ростом перепада давлений поперек канала.
272
На интенсивность вторичных течений большое влияние оказывает тол-
щина пограничного слоя. В качестве примера на рис. V.25 показана тол-
щина пограничного слоя и профили скоростей вблизи выпуклой поверхности
лопатки по опытам Е. А. Гукасовой и В. А. Михайловой в ЦКТИ [3]. На
этой поверхности на некотором расстоянии от торцов лопаток наблюдается
сильное набухание пограничного слоя (в данном примере на расстоянии
15—30 мм). В непосредственной близости от торца лопатки пограничный
слой утоняется до величины того же порядка, как и в средних сечениях.
Рис. V.26. Распределение давления на профиле в различных сечениях
лопатки (по опытам ЦКТИ); у — расстояние от конца лопатки:
1 — у — 2 мм; 2 — у = 3 мм; 3 — у — 5 мм; 4 — у = 15 мм
У концов лопаток скорости потока уменьшаются под влиянием повы-
шенных потерь энергии от трения, и на выпуклой поверхности повышается
давление (рис. V.26). Вследствие этого возникает значительный перепад
давления вдоль образующей лопатки, о величине которого можно судить
по эпюрам распределения давления на профиле. Под влиянием перепада
давления подторможенный слой жидкости интенсивно перетекает от концов
лопаток к средним сечениям по выпуклой поверхности. Наибольшая интен-
сивность этого течения наблюдается непосредственно у концов лопаток.
Под влиянием этих течений у самых концов лопатки давление вблизи вы-
пуклой поверхности может уменьшаться по направлению к выходной кромке
даже в том случае, когда на выходном участке канала у выпуклой поверх-
ности в основном потоке давление возрастает. В связи с этим в узкой зоне
непосредственно у торцов лопатки наблюдается утонение пограничного
слоя. Далее под влиянием трения вторичное течение теряет скорость, и на
диффузорном участке основного потока происходит набухание пограничного
слоя. На таких участках создаются условия для интенсивных вторичных
течений. Для их ослабления в конфузорном канале форму профиля выгодно
18 и. И. Кириллов 273
выбирать с таким расчетом, чтобы диффузорный участок оказался вблизи
выходной кромки.
Обратное влияние толстого пограничного слоя на основной поток вы-
зывает изменения в поле скоростей при выходе из решетки. На рис. V.27
показаны кривые изменения выходного угла [Ц и коэффициента потерь t
по высоте проточной части у активной решетки [3].
Как показали опыты в ЦКТИ [3], область местных максимальных потерь
не совпадает с ядром вращательного движения в межлопаточном канале.
Основные потери энергии возникают в месте схода утолщенного погранич-
ного слоя у выпуклой поверхности вблизи концов лопаток. В этой зоне полу-
чаются пики местных значений коэффициента потерь £ (рис. V.27, б). Мень-
Рис. V.27. Изменение средних по шагу величин угла выхода и коэффи-
циента потерь £ активной решетки в зависимости от расстояния у = у/l от
корня лопатки: а — по опытам Л ПИ; б— по опытам ЦКТИ
шей толщине пограничного слоя поблизости от торцов лопаток соответ-
ствует и уменьшение потерь энергии. Непосредственно у концов лопаток
потери быстро нарастают под влиянием стекающего пограничного слоя со
стенок бандажа. Вторичное вращательное течение при выходе из канала
сохраняет у своей периферии наибольшие скорости, которые возникли в по-
граничном слое, и по своей структуре это течение не является вихревым.
Вторичное течение за решеткой быстро диссипируется.
Толстый пограничный слой у концов лопаток оттесняет линии тока от
поверхности, что искажает распределение давления на профиле по сравнению
с потенциальным обтеканием и вызывает уменьшение действующей силы.
В связи с обратным влиянием на поток пограничного слоя на некотором
расстоянии от концов лопаток наблюдается увеличение выходного угла
(рис. V.27) и небольшое повышение осевой составляющей скорости. Вблизи
концов лопаток, особенно в месте схода пограничного слоя с бандажа, угол |32
уменьшается. В лопаточном аппарате с бандажом вторичные течения, раз-
вивающиеся в пограничном слое, значительно менее интенсивны и вредные
их последствия гораздо меньше, чем при наличии радиального зазора, осо-
бенно при большой его величине.
Развитие вторичных течений в пограничном слое главным образом у кон-
цов лопатки делает их интенсивность практически независимой от высоты
лопаточного аппарата — факт, эмпирически установленный в начальный
период паротурбостроения. Опыты последнего времени также показывают,
что обтекание концевых профилей почти не меняется в решетках различной
высоты, если сохраняется центральный участок, на котором поток можно
считать плоским. В решетках с короткими лопатками, когда на центральном
участке встречаются еще достаточно сильные вторичные течения в погранич-
274
0,25, отмеча-
резкое возрастание потерь
Рис. V.28. Характеристики про-
странственных явлений в решет-
ках турбинных профилей актив-
ного типа при различной высоте
I = ЦЬ (по опытам ЦКТИ):
1 — Т= 0,6; 2 —Т= 0,9; 3 — ~1 =
=1,2 4-2,3 (у — расстояние от конца
лопатки)
ном слое, взаимодействие этих течений может значительно повысить их
интенсивность.
Толщина пограничного слоя зависит от характера течения, формы про-
филя и числа Re. С этими факторами связаны и вторичные течения в погра-
ничном слое. Поэтому относительная высота лопаток, при которой происхо-
дит смыкание вторичных течений, может меняться в широких пределах.
Опыты на вращающихся моделях в БИТМ и др. показали, что при малых
числах Re в турбинной ступени активного типа концевые эффекты начинают
резко проявляться при относительной высоте лопаток I = ИЬ, равной еди-
нице и даже более, тогда как при больших числах Re эта критическая
высота становится значительно меньшей. В опытах ЦКТИ [3 ] с турбинными
решетками активного типа, для которых Re = 3,2 • 105 и М
лось смыкание вторичных течений при I < 0,9, а
в центральной части решетки при I -С 0,6 (рис.
V .28).
В условиях конфузорного характера тече-
ния такого резкого возрастания потерь не
наблюдалось.
Участок приблизительно плоского потока по
опытам ЦКТИ сохраняется для реактивных
решеток до /т1п 0,4н 0,5, для решеток актив-
ного типа до /т1п^1,0 и для диффузорных
решеток до/п11п 1,5-: 2,0; для компрессорных
решеток пространственный характер потока
в центральной части наблюдался и при 2.
В турбинных ступенях с обандаженным рабо-
чим колесом всегда предусматривается некото-
рая положительная перекрыша А (рис. V. 16, б).
Перекрыша вызывает эффект внезапного расши-
рения, как уже отмечалось при рассмотрении
решеток с радиальным зазором. Замкнутые токи,
образующиеся после внезапного расширения
при входе в рабочее колесо с перекрышей,
способствуют утолщению пограничного слоя и,
следовательно, увеличивают интенсивность вторичных течений.
Итак, исследования характера и механизма образования вторичных тече-
ний в лопаточном аппарате с бандажом приводят к выводу, что на их интен-
сивность большое влияние оказывают следующие факторы: конфузорный или
диффузорный типы течения; форма профилей лопаток и параметры решетки,
непосредственно связанные с распределением давления по профилю; число
Рейнольдса, в зависимости от которого находится толщина пограничного
слоя; высота лопатки после достижения критического значения /mjn, при
котором пространственное течение охватывает весь поток; перекрыши,
ухудшающие обтекание концевых профилей. Наиболее сильно концевые
эффекты сказываются в компрессорах и в турбинах активного типа.
Во вращающемся осевом рабочем колесе затруднено центростремительное
движение жидкости в пограничном слое на выпуклой поверхности и, наобо-
рот, вращение способствует вторичному течению у периферии вогнутой сто-
роны лопатки. Эти обстоятельства течения способствуют утолщению погра-
ничного слоя вблизи периферии, особенно на выпуклой поверхности лопатки.
Течение в корневой области
У корня лопатки в прямой решетке возникают такие же явления, как
v вершины (рис. V.25). В кольцевой решетке картина течения у корня и пери-
ферии существенно различается. Это различие пространственной структуры
18* 275
потока объясняется особенностями течения вблизи ограничивающих поток
цилиндрических поверхностей.
Циркуляционное обтекание внутренней цилиндрической поверхности
в сопловых каналах и в кольцевом пространстве за направляющим аппаратом
сопровождается нарастанием пограничного слоя и стремлением потока
к отрыву. Эти явления усиливаются под влиянием вторичных течений вблизи
концов лопаток.
Опыты с изолированными кольцевыми решетками при малых отноше-
Рис. V.29. Профили полных давлений в турбинной сту-
пени активного типа у корня с цилиндрическими стенками
при d = 7; 1= 80 мм; и/С0 0,37; М 0,3; Recls=»5-106
(по опытам А. А. Терешкова в БИТМ)
ниях d-J 1г показали склонность потока к отрыву от внутренней цилиндри-
ческой поверхности. Бы-
ли попытки теоретически
определить условия, при
которых возникают ука-
занные срывные явления
на основе принципа «мак-
симума расхода» [11 ], т. е.
такого расхода, который
получается теоретически
для заданных у периферии
d и «I и неизменном ро
при некотором внутреннем
диаметре d'. Однако для
ступени с рабочим колесом
этот принцип не имеет фи-
зического смысла и не под-
тверждается опытом.
Экспериментальные исследования показывают, что на внутренней цилин-
дрической стенке за направляющим аппаратом образуется слой подтормо-
женного газа, вызывающий неравномерность потока как перед рабочим
колесом, так и за ним (рис. V.29). Большая неравномерность потока в корне-
вой области неблагоприятно сказывается на обтекании рабочих лопаток.
Торцевую внутреннюю стенку соплового канала можно выполнить пло-
ской. На выходном участке такого направляющего аппарата условия тече-
ния улучшаются по сравнению с обтеканием внутренней цилиндрической
поверхности.
ГЛАВА VI
МОДЕЛИРОВАНИЕ СТУПЕНЕЙ ТУРБОМАШИН
Определение теоретическим путем потерь энергии в турбомашинах во
многих случаях встречает большие трудности и не обеспечивает требуемой
точности. Поэтому наравне с разработкой теоретических методов расчета
выполняются экспериментальные исследования потерь энергии на непод-
вижных и вращающихся моделях, которые открывают возможность глубо-
кого изучения важнейших физических явлений. Это необходимо не
только для совершенствования аэродинамики проточной части турбомашин,
но и для повышения их надежности.
Современные требования к аэродинамическим испытаниям ступеней
турбомашин очень высоки. Во время испытаний необходимо точное опреде-
ление к. и. д., степени реактивности, а также раздельное изучение потерь
энергии в зависимости от различных конструктивных факторов. При этом
детально исследуются особенности физических процессов в турбомашинах.
Иногда такие испытания проводятся на натурных ступенях и в натурных
условиях. Однако при больших размерах ступеней натурные испытания
могут оказаться чрезмерно сложными и дорогими. Так, например, в паровой
турбине высокого давления ступень диаметром около 1 м с высотой лопатки
56 мм в области давления 50 бар и температуры 700 К развивает мощность
около 8000 кВт. Задача решается проще, а иногда и полнее посредством испы-
таний моделей ступеней. При этом может оказаться целесообразным не
только уменьшить размеры ступени, но и заменить рабочее тело. Например,
если указанную выше ступень испытать на воздухе с атмосферным давлением
на выходе, но при сохранении натурного числа М, то мощность такой модели
снизится до 140 кВт. Если же пойти на некоторое уменьшение числа М по
сравнению с натурным, то мощность модели снизится пропорционально кубу
этого числа. Воздух как рабочее тело имеет такие крупные преимущества,
что он широко применялся даже для испытаний моделей гидротурбин [3].
В ряде случаев ставятся и более сложные задачи, связанные с моделиро-
ванием в турбомашинах многофазных рабочих тел.
Для того чтобы было возможно столь далеко идущее моделирование,
необходимо соблюдать условия гидродинамического подобия турбомашин.
На практике чаще всего полного моделирования достигнуть не удается.
Поэтому встает вопрос об оценке отступлений от строгого моделирования
на результаты аэродинамических испытаний.
VI . 1. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ ПОТОКОВ
В гл. II и III уже были рассмотрены кинематически подобные ступени
турбомашин. Однако в выполненных по одной и той же кинематической схеме
турбомашинах рабочий процесс может протекать совершенно различно.
Так, в ступенях турбомашин с одинаковыми безразмерными треугольни-
ками скоростей в одном случае движение может быть дозвуковым, а в дру-
гом — сверхзвуковым. Проточные части таких турбомашин не будут гео-
метрически подобными, что нарушает основной закон моделирования.
277
С другой стороны, можно выдержать геометрическое подобие натурной и
модельной ступеней, но не достигнуть кинематического подобия потоков.
Для полного моделирования должны быть соблюдены условия геометри-
ческого, кинематического и динамического подобия.
При гидродинамическом подобии двух течений все переменные величины
модели получаются путем умножения тех же величин натуры на постоянный
множитель. Условия, при которых возможно такое линейное преобразование
дифференциальных уравнений движения, были изучены Гельмгольцем
и развиты Стодолой применительно к турбинам.
Критерии гидродинамического подобия легко получаются из известных
дифференциальных уравнений движения. Для этой цели воспользуемся
общими уравнениями движения однородной сжимаемой вязкой жидкости:
уравнением неразрывности (1.5), уравнением движения (1.12), уравнением
баланса энергии (1.26). Для того чтобы система была замкнутой, необходимо
использовать также уравнение Клапейрона р/р = RT.
Выберем в качестве масштаба длины и времени соответственно Zo и t0.
Координаты х, у, z и время t выразим через масштабы с помощью безраз-
мерных коэффициентов х, у, z и t:
х — xl0\ у = z/Z0; z = zZ0; t = tt0.
Масштабами для скорости, давления и плотности пусть будут соответ-
ственно величины с0, р0 и р0. Обозначив черточками относительные вели-
чины, запишем:
с=сс0\ р = рр0\ р = рр0; Т — ТТ0; F=/'g,
где g — постоянный вектор ускорения силы тяжести.
В этих безразмерных величинах запишем всю систему исследуемых диф-
ференциальных уравнений. В качестве примера преобразуем к безразмер-
ной форме уравнение неразрывности (1.5)
Ро Ф , PqCq Г д (рсх) д (рсу) д (рсг)
*о di I дх ду дг
В этом уравнении безразмерные величины представляют собой отношение
переменных скоростей, плотности и координат в любом месте проточной
части турбомашины к тем же величинам в некоторой характерной точке,
одной и той же для натуры и модели. Так как в подобных потоках отношение
величин в двух любых точках одного потока равно отношению тех же вели-
чин в соответственных точках другого потока, то все относительные перемен-
ные величины должны быть одинаковыми для натуры и модели. Но тогда,
чтобы дифференциальные уравнения описывали подобные потоки, необхо-
димо соблюсти равенство соответствующих коэффициентов в дифференциаль-
ных уравнениях для натуры и модели.
В уравнениях с безразмерными переменными масштабные множители
имеют, разумеется, одну и ту же размерность. Чтобы сделать их также без-
размерными, разделим все члены на один из масштабных коэффициентов,
который можем выбрать произвольно. В уравнении неразрывности все
члены поделим на коэффициент poco/Zo, стоящий перед конвективной частью.
Тогда перед локальной производной окажется масштабный комплекс lolcoto.
Выпишем уравнение неразрывности один раз для натуры, а второй раз
для модели и обозначим индексами н и м постоянные величины, входящие
в состав масштабных комплексов соответственно для натуры и модели.
Приравняв сходственные безразмерные коэффициенты в этих уравнениях,
получим равенство
Самцом
сен^0н
278
Критерий гомохронности (число Струхала)
Sh = 77- (VI-1)
представляет собой только что полученный комплекс, стоящий в виде коэф-
фициента при членах, выражающих нестационарность потоков. Выполнение
критерия гомохронности означает подобие нестационарных полей, т. е.
при его соблюдении в каждой паре сходственных точек потоков и в сходствен-
ные моменты времени сохраняется одинаковым отношение физических
переменных величин.
Критерий гомохронности имеет важное значение для характеристики
периодических движений. При этом должны сравниваться такие моменты,
в пределах которых пройденные пути относятся так же, как размеры тела.
Например, при сравнении колебаний лопаток в модели и в натуре поток
за период колебаний должен проходить одинаковые части пути вдоль про-
филя лопаток. В качестве другого примера может служить задача модели-
рования потоков в исследованиях наддувных агрегатов с газовой турбиной,
работающей в пульсирующем потоке за двигателем внутреннего сгорания.
Пусть частота колебаний в потоке f за масштаб времени принято t0 = l/f,
за масштаб длин — диаметр колеса d и за масштаб скоростей — окружная
скорость и. Тогда критерий гомохронности примет вид
где п — частота вращения колеса.
В турбомашинах многие явления повторяются через один оборот, а при
движении рабочей лопатки за кольцевой решеткой тождественных направ-
ляющих лопаток — при прохождении каждого сопла. Приняв за характер-
ный линейный размер диаметр рабочего колеса d и обозначив через tn время
одного оборота колеса или время прохождения рабочей лопаткой шага
направляющих лопаток, число Струхала запишем так:
О1 d и
Sh = -г- -
Аналогичным отношением скоростей ранее постоянно характеризовалась
работа ступеней турбомашин в стационарном потоке, но при этом подразу-
мевалась чисто кинематическая характеристика ступени, вытекающая из
подобия треугольников скоростей.
Обычно при моделировании сохраняется величина относительного шага
лопаток, а тогда при условии подобия треугольников скоростей попутно
выполняется и критерий Струхала по отношению к нестационарности в отно-
сительном движении (и!С0 = idem). Благодаря этому становятся более
точными опыты на моделях, например в случае развитого следа за направ-
ляющим аппаратом.
В литературе по моделированию турбомашин часто смешивают критерий
гомохронности, который в частном случае приводится к виду и/С0 = idem,
с чисто кинематическим значением этого отношения и поэтому неправильно
приписывают числу Струхала смысл определяющего критерия при исследо-
вании, по существу, стационарных процессов. Это недоразумение сразу
обнаруживается, если обратить внимание на то, что в уравнениях (1.5)
и (1.13) для стационарного процесса локальная производная по времени,
естественно, пропадает и что для таких режимов число Струхала теряет
математический и физический смысл. Характеристическое же отношение и/С0
в исследованиях процессов, которые могут рассматриваться как стационар-
ные, имеет совершенно иную физическую сущность (см. гл. III) и его важней-
шая роль в вопросах моделирования сохраняется вне какой-либо связи
с критерием гомохронности.
279
Так же как с уравнением неразрывности, поступим с другими уравне-
ниями движения.
Одно из уравнений движения (1.12) после умножения на р запишем
таким образом (в проекциях на ось х):
РоСо ! Рос0 - дсх . - бёх , - дсх \ _
to dt "И to \ х дх v ду z дг J
= pogpj?x_+ w (2ЛЙ +
to дх Iq ( дх \ дх /
. д Г- / дсх , дсц \"| . д Г- / дсх дсг \1 2 д ,. .]
+ Н~г’+^г’ гтт(ndivc) •
ду L \ ду дх /J dz |_ \ дг дх /J ° дх )
Все члены этого уравнения поделим на коэффициент роСо//, стоящий перед
конвективной производной. Тогда перед членами, соответствующими силам
инерции, коэффициентом будет единица, а перед другими членами получим
следующие масштабные коэффициенты:
lolcQto — перед локальной производной;
g4>/co — перед членами, содержащими интенсивность объемной силы Fx;
Ро/Росо — перед функцией давления dpldx\
v 0/ 10с0 — перед членами, учитывающими влияние вязкости.
Первый из этих масштабных коэффициентов, естественно, представляет
собой тот же критерий гомохронности, который уже был получен из урав-
нения неразрывности. Остальные масштабные коэффициенты составляют
группу новых критериев подобия.
Критерий Фруда
с2
Fr = ^-. (VI.2)
81о
получился после деления уравнения движения на коэффициент, стоящий
при силах инерции, как масштабный коэффициент перед членом, отражаю-
щим влияние на движение потока объемных сил. Соблюдение этого критерия
имеет важное значение, когда в рабочем процессе играют большую роль силы
тяжести. Например, при испытаниях моделей кораблей изучается образова-
ние волн на поверхности жидкости под действием сил тяжести и определяется
волновое сопротивление в зависимости от числа Фруда. Критерий Фруда
играет также роль в исследованиях гидротурбин ковшового типа, в которых
имеется свободная поверхность жидкости, покрытая волнами.
Объемные силы возникают не только в гравитационном поле, но также
в поле сил инерции во время вращения. Последние, взятые на радиусе гп
и отнесенные к единице массы, могут быть выражены как Fo = (u2/r0),
и в этом случае число Фруда для характерного линейного размера г0 можно
записать в виде Fr = (Со/и).
Таким образом, при соблюдении отношения скорости течения к окружной
скорости рабочего колеса (например, и'С(1) в натуре и в модели критерий
Фруда по отношению к рассматриваемым силам инерции автоматически
выполняется.
Критерий Эйлера
Ец = -Аг (VI.3)
Росо
получен как коэффициент в уравнении движения при производной от функ-
ции давления после деления его на коэффициент при силах инерции р0со//0-
По смыслу число Эйлера характеризует отношение сил давления к силам
инерции. Его можно представить также как разность давлений в двух точ-
ках к скоростному напору. В таком виде этот критерий часто вводится в рас-
280
четные формулы, особенно в расчеты гидравлического сопротивления тру-
бопроводов и аппаратов.
Число М в принципе также должно быть выявлено как критерий
подобия из уравнения движения. Мы его не получили непосредственно,
но косвенно оно отражено в критерии Эйлера.
Действительно, если число Ей умножить и разделить на показатель
изоэнтропы k и заметить, что kp0/p0 = do, где а0—-скорость звука, то число
Эйлера окажется непосредственно связанным с числом М
Еи“ №
или
k№ = idem. (VI.4)
Этот вывод соответствует физической сущности критерия Эйлера, так
как отношение Ар/рс2 может служить характеристикой сжимаемости газа,
поскольку для одной и той же кинетической энергии перепад давления
зависит от сжимаемости газа, что ясно из рп-диаграммы (рис. II.3, б).
Все критерии подобия нами получены пока без привлечения уравнения
баланса энергии. Так как это уравнение предназначено для выяснения
особенностей процессов с внутренними потерями энергии и теплообменом,
то только в этом направлении и следует искать новые критерии подобия.
Поэтому нам достаточно исследовать два последних члена в уравнении
баланса энергии (1.26).
Внутренняя мощность Ne выражена уравнением (1.22), в котором
член р div с представляет изменение во времени мощности сил давления, т. е.
Wp = pdivc = p-^-(cvT).
Поэтому уравнение баланса энергии в безразмерных величинах можно
записать так:
10 д , - д . - д .-д'
—7- - - + сх - + Си - - cz —=
c(fo Qt дх ду дг
— PffillS (cxFх 4“ CyFу 4" czFг) 4"
— (РХ>РХ 4- РхуСу 4- РхА) + (РухРх -Г РууСу + р^А) +
4
+ 4=- + Р^у + Р^Л)1 + 4 W + ~Nduc.
аг J ‘о
Из этого уравнения после деления всех членов на р0с0/10 получим равен-
ство следующих комплексов:
PohcvhPqh РсщСг-’л^ол.
Рон Ром
Рондон Ромбом .
Рон Ром
F? Сн _____ ^лТом .
к>нРонсон Р>мРомсом
Рнсон Рмсом
Рондон Ромбом
Кроме того, воспользуемся уравнением Клапейрона (р/р) = RT, из
которого следует, что p0l(p0RT0) = idem.
281
Первый комплекс, полученный из уравнения энергии, в сочетании с ком-
плексом, выведенным из уравнения Клапейрона, позволяет получить соот-
ношение
Сун __ СУМ
#м
а так как, согласно уравнению Майера, k = = 1 + RJcV3 то последнее соот-
ношение приводит к условию
kH = kMi (VI. 5)
т. е. для подобия потоков требуется равенство отношений теплоемкостей
газов для натуры и модели.
Уравнения (VI.4 и VI.5) совместно означают, что должно быть также
выполнено условие
Мн - МЛ. (VI.6)
Критерий Прандтля представляет собой комплекс, извлечен-
ный из предпоследнего члена уравнения энергии и преобразованный
с помощью уравнения Клапейрона и числа Рейнольдса при kH == kM,
Pr-
(VI.7)
где р, — молекулярная масса газа.
Этот критерий состоит только из физических величин жидкости. Для
газов одинаковой атомности критерий Прандтля сохраняется одним и тем же.
VI.2* МОДЕЛИРОВАНИЕ ТУРБОМАШИН ПРИ РАЗЛИЧНОМ
РАБОЧЕМ ТЕЛЕ
В моделях турбомашин рабочее тело часто имеет иные физические свой-
ства, чем в натуре. В натуре и в модели могут применяться пар и воздух,
вода и воздух, различные газы и притом с разными их параметрами; в натур-
ных замкнутых газотурбинных установках применяются одноатомные и мно-
гоатомные газы. При проектировании таких турбомашин и моделей постоянно
возникают вопросы о влиянии на их характеристики основных параметров,
о границах использования имеющихся опытных данных и законности пред-
лагаемых методов моделирования [1—6]. В связи с этим полезно рассмо-
треть с общих позиций теории подобия влияние физических свойств газов
на характеристики турбомашин. Теплоемкости газов ср могут сильно разли-
чаться и влиять на основные параметры турбомашин.
Сначала рассмотрим две турбомашины, в которых рабочим телом служат
газы одинаковой атомности. Обе турбомашины поставим в равные темпера-
турные условия и предположим полную тождественность их проточных
частей. Все величины одной из сравниваемых турбомашин будем отмечать
звездочками.
Для большинства двухатомных газов в области одинаковых температур
теплоемкости ср изменяются приблизительно обратно пропорционально
молекулярной массе, т. е.
❖
- (VI.8)
сР р* ’
отношение же теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме
приблизительно сохраняется, т. е.
k — idem. (VI.9)
Тождественность температурных полей означает равенство в соответ-
ственных сечениях температурной газодинамической функции, согласно
уравнению (1.96),
т (Л) = idem, (VI. 10)
282
а это условие при k = idem равносильно сохранению одним и тем же скоро-
стного коэффициента, т. е.
X = idem. (VI. 11)
Выполнение равенств (VI.9) и (VI. 11) приводит, согласно уравнениям (1.97)
и (1.98), к тождественности других газодинамических функций
П (к) = idem; ъ (X) = idem. (VI. 12)
Выберем одно и то же начальное давление в обеих турбомашинах. Тогда
в их проточных частях вследствие равенства функций П (л) установятся
одинаковые поля давлений. Плотность же газа как начальная, так и во всех
других сечениях одной из турбомашин будет отличаться в р */ц раз от плот-
ности в соответственных сечениях другой турбомашины, так как
р = А,
р RyT ’
где — универсальная газовая постоянная.
В то же время отношения плотностей в соответственных сечениях сохра-
няются неизменными, что следует из равенства функций е (X). Таким обра-
зом, в сравниваемых турбомашинах плотности изменяются прямо пропор-
ционально, а теплоемкости обратно пропорционально молекулярным весам
газов, а поэтому остается неизменным произведение этих величин
рср — idem. (VI. 13)
Перепады энтальпий h между соответственными сечениями проточных
частей турбомашин при одинаковой разности температур изменяются прямо
пропорционально теплоемкости ср или, согласно уравнению (VI.8),
h* в
h р*
Очевидно, что скорости с в соответственных сечениях турбомашин изме-
няются как квадратные корни из перепадов
(VI. 14)
(VI. 15)
Это соотношение имеет силу и для скоростей звука двух сравниваемых газов.
На основании уравнения (VI. 15) приходим к выводу, что в гидродинами-
чески подобных турбомашинах и, следовательно, при одинаковых числах М
и кинематическом подобии окружные скорости изменяются обратно пропор-
ционально корню квадратному из молекулярной массы газов, т. е.
и I р* ’
(VI. 16)
а при равных размерах турбомашин в такой же пропорции изменяется ско-
рость вращения.
Мощность потока определяется по формуле
N = Ghx],
Если к. п. д. ц принять одинаковым для обеих турбомашин, имеющих оди-
наковые проточные части, то, согласно формулам (VI. 13) и (VI. 15),
* * * ____________
N* _ срР с 1 /ПГ
N ~ Сррс ~ I р* '
(VI. 17)
Легкие газы имеют небольшую молекулярную массу. Например,
сравнивая воздух с водородом, получим р/р * «=> 14,5. Следовательно,
при одном и том же числе М в одинаковых по размерам ступенях турбомашин
для водорода перепады энтальпии увеличатся в 14,5 раз и все скорости
283
и мощность — в 3,8 раза по сравнению с воздухом. Последнее редко можно
выполнить на практике, так как по соображениям прочности приходится
ограничивать окружную скорость и вместе с тем снижать характеристическое
отношение и1С0 и число М. Поэтому применение водорода и других легких
газов связано с уменьшением перепада давлений на ступень и соответству-
ющим снижением числа М. В таких турбомашинах для переработки всего пе-
репада энтальпии приходится выбир ать большоечисло ступеней или прибегать
к специальным мероприятиям (повышению окружных скоростей при боль-
ших с2, применению ступеней большой циркуляции и др.).
С другой стороны, легкие газы обладают высокой скоростью звука,
благодаря чему в проточных частях турбомашин, работающих на легких
газах, числа М малы, эффект сжимаемости сказывается слабо, и это в ряде
случаев упрощает задачу проектирования.
Сопротивление в трубопроводах и теплообменных аппаратах, включаемых
в состав энергетических установок с турбомашинами, вызывает равное сни-
жение к. п. д. установок при соблюдении гидродинамических критериев
подобия. Для сопротивления в газовом тракте трубного типа критерием
подобия служит число Эйлера
Eu = -^- —idem, (VI.18)
где Др — падение давления между какими-либо сечениями тракта. Крите-
рий же Эйлера при небольших числах М в ряде случаев можно рассматривать
как функцию только числа Рейнольдса. Если, например, допустить, что
число Эйлера обратно пропорционально Ren, то имеется зависимость типа
EuRen = idem.
Из последнего равенства при сохранении размеров трубопроводов и оди-
наковом падении давления Др, после подстановки Re = cd/v и v = р.а/р,
получим
p^V-V^idem,
где ца — динамический коэффициент вязкости.
Последнее выражение можно записать также в виде
рс2~па2п = idem, (VI.19)
где а скорость звука.
Заметим, что срТ отличается от выражения а2 = kRT = (k — 1) срТ
только постоянным множителем. Поэтому в условиях исследуемой задачи
при одинаковых температурных полях уравнение (VI. 13) можно записать так:
рсрТ — pa2 = idem. (VI.20)
Кроме того, коэффициент динамической вязкости двухатомных газов
(за исключением водорода) изменяется мало, поэтому для таких газов можно
его считать одинаковым и отбросить величину в скобках в уравнении (VI. 19).
Тогда после преобразований это уравнение можно записать в таком виде:
ра2 (4г)2 "G"—idem. (VI.21)
Так как скорость звука для газов одинаковой атомности обратно про-
порциональна ]/]Г, то а’1 — р~'п^2 и при часто встречающемся п 0,25
имеем ап — Влияние изменения величины ап как функции молекуляр-
ной массы в выражении (VI.21) невелико. Если пренебречь этим влиянием
и учесть уравнение (VI.20), то равенство (VI.21) окажется выполненным
при da = idem, что означает М = idem.
284
Таким образом, равное падение давления Др в газовом тракте сравнивае-
мых установок получается при соблюдении постоянным числа Маха. Другими
словами, для легких газов во всем газовом тракте без увеличения потерь
энергии по сравнению с исходным рабочим телом можно увеличивать ско-
рость газа приблизительно обратно пропорционально корню квадратному
из молекулярной массы.
В турбомашинах, работающих при высоких температурах, существенную
роль играют вопросы теплопередачи, на которых кратко остановимся.
Повышение скорости рабочего тела способствует увеличению коэффи-
циента теплоотдачи а. Кроме скорости, на величину коэффициента тепло-
отдачи оказывает влияние ряд других факторов. Так, например, во многих
теплообменных аппаратах (в регенераторах газотурбинных установок и др.)
коэффициент теплоотдачи J
a —ReWr0-4-^-,
где X' — коэффициент теплопроводности газа.
Критерий Прандтля для газов одинаковой атомности остается неизмен-
ным. Поэтому при одинаковом размере d коэффициент теплоотдачи изме-
няется пропорционально произведению Z'c0-8v-°-8. Последнее выражение
можно переписать так:
где р,й — динамический коэффициент вязкости.
Безразмерный комплекс, заключенный в скобках, представляет собой
величину, обратную числу Прандтля, которое, как уже было сказано, для
газов одинаковой атомности можно считать неизменным. Постоянным
остается, согласно уравнению (VI. 13), и произведение рср. Таким образом,
приблизительно можно считать
а ~
Для легких газов высокие значения имеют как X', так и с, благодаря
чему коэффициент теплоотдачи получается значительно больше, чем для
тяжелых газов. Заметим, кстати, что поэтому легкие газы и нашли широкое
применение для целей охлаждения генераторов (водородное охлаждение).
Тяжелые газы обладают большой молекулярной массой, а по-
этому их свойства резко отличаются от тех же свойств для легких газов.
В общем виде сравнение турбомашин, работающих на воздухе и на тяже-
лых многоатомных газах, затруднено вследствие изменения в широких
пределах показателя изоэнтропы k. Например, при температуре 570 К
для углекислоты k 1,22, а для воздуха k = 1,38; для различных фре-
онов эта величина еще меньше: для фреона-12 имеем при нормальных усло-
виях k = 1,13.
Обратно пропорционально молекулярной массе изменяется газовая
постоянная R, и для тяжелых газов она может быть в несколько раз меньше,
чем для воздуха.
В силу этих свойств тяжелых газов скорость звука в них получается
сравнительно низкой. Так, при Т = 273 К для фреона-12 скорость звука
а 146 м/сек.
Удельная теплоемкость тяжелых газов значительно меньше, чем для
воздуха. Поэтому для них при одинаковой разности температур перепады
энтальпий получаются меньше, а удельный массовый расход — больше,
чем для воздуха. Для движения тяжелых газов в турбомашинах характерны
сравнительно малые скорости и большие числа М.
285
Отношение давлений и плотностей в двух соответственных сечениях тур-
бомашин в зависимости от газодинамической функции т (X) найдутся из урав-
нений (1.97) и (1.98):
(VI.22)
П(Л) = [т(Л)Г;
i
e(X) = [T(Z)]^-i,
(VI.23)
0,16,
где т = (k — 1)1 k.
Малая величина показателя изоэнтропы k для тяжелых газов означает
и малую величину т. Поэтому отношение давлений П (7) для тяжелых
газов получается значительно меньше чем для воздуха. Например, при
Т = 575 К для углекислоты kCof& 1,21, а для воздуха ke 1,38 и тв
>=& 1,65/Псо2- Выбрав отношение температур в турбомашине т (А) = 0,2,
найдем, согласно уравнению (VI.22),
псо2 (^) _ 0,2mc°2 _ q 2~°-65тсо2 _ о 2-1*13
Пе (X) 0 2те
т. е. при замене воздуха углекислотой в турбине степень понижения давления
(отношение начального давления к конечному), а в компрессоре, наоборот,
степень повышения давления увеличивается приблизительно в шесть раз.
Это важное следствие изменения показателя изоэнтропы k.
Отношение плотностей, определяемое уравнением (VI.23), при переходе
с воздуха на тяжелый газ отличается в соответствующих сечениях в еще боль-
шей мере, чем давление. Так, в разобранном примере для углекислоты
(k — I)-1 >=« 4,71, поэтому
еГГ1 (л) n 94-71
со* \ 0,035,
% (Ч о,22’63
т. е.плотности углекислоты в области одинаковых температур изменяются
приблизительно в 30 раз больше, чем плотности воздуха.
Сильное изменение показателя изоэнтропы k при переходе от газов одной
атомности к другой вызывает существенное нарушение гидродинамического
подобия турбомашин, работающих на этих газах, и вопрос о допустимых
отклонениях этого показателя при моделировании турбомашин требует
особого исследования.
Показатель изоэнтропы k часто в какой-то мере отличается
в натуре и в модели даже при одном и том же рабочем теле. Причиной
может быть, например, различие температур. Исследуем сначала влияние
на рабочий процесс в турбомашине небольших отклонений этого показателя.
Прежде всего отметим, что из общих уравнений движения жидкости
были получены критерии
Ж2 = idem и М = idem.
Если для модели и натуры показатели k мало отличаются, можно ограни-
читься лишь вторым критерием подобия.
Чтобы выяснить роль каждого из этих критериев, найдем зависимость
между ними и изменением живых сечений проточной части турбомашины
и наметим границу, за которой влияние показателя изоэнтропы k становится
определяющим.
Рассмотрим изоэнтропийное движение рабочего тела в сопле и сравним
его состояние в любом сечении с критическим состоянием, введя, согласно
уравнению (1.102), газодинамическую функцию q (>-). При этом отношение
какого-либо живого сечения сопла F к критическому сечению FK, действи-
тельному или воображаемому, можно выразить через плотности тока со-
гласно уравнению неразрывности
7* _ РкСК _ 1
FK~ рс - Q (7)
(VI.24)
286
При переходе от сечения F к сечению F+AF скоростной коэффициент %
меняется на величину AZ. Считая эти изменения достаточно малыми, лога-
рифмическим дифференцированием уравнения (VI.24) получим
Л77 ___ Ад
(VL25)
Таким же образом из уравнений (1.98) и (1.101) при k = const получим
выражение, из которого найдем следующую зависимость между относитель-
ными приращениями функции q (X) и коэффициента скорости X:
(VI.26)
Разложив в ряд бином в выражении (VI.26) и заметив, что АХ/Х = Дс/с,
установим искомую зависимость
всегда соблюдается неравенство
k— 1
k 1
Согласно уравнению (1.97),
%2<1,
а поэтому полученный ряд сходится. Сходимость ряда улучшается по мере
уменьшения коэффициента скорости.
В формулу (VI.27) легко ввести число М для полных параметров газа,
заметив, что, согласно уравнению (1.88),
и, следовательно,
Поэтому можем написать
1 4- М2 + Д-- М4 н-------1 . (VI.28)
Z 4
Эта формула позволяет сделать следующие важные выводы.
1. Если число М пренебрежимо мало, то получается обычная зависимость
между приращением площади и скорости для несжимаемой жидкости и пока-
затель k никакой роли не играет.
2. Если эффект сжимаемости играет существенную роль, но член
0,5 (k — 1) М2 пренебрежимо мал по сравнению с единицей, то можно огра-
ничиться вторым приближением, соблюдая подобие турбомашин только
по числу М, причем в этом случае число k как критерий подобия не имеет
значения.
3. Если число М настолько велико, что нельзя пренебречь членом
0,5 (k — 1) М2, то влияние показателя k становится существенным, а при
очень больших числах М — определяющим. В таких случаях важная роль
принадлежит критерию подобия Ж2.
Если соблюдать один из названных критериев подобия, то неизбежно
искажение линий тока при переходе от одного рабочего тела к другому.
В случае соблюдения критерия М и разных показателей изоэнтропы для
натуры и модели (соответственно kH и kM) в формуле (VI.28) получатся раз-
личные величины, стоящие в скобках:
для натуры
Л = 1 + ДДм* + 71)2 м* + • •
(VI.29)
для модели
в = 1 + 4 1)2 м! + • • (Vi.зо)
при kM <Z kH, очевидно, В < А, и при соблюдении прочих условий подобия
процессов, в том числе геометрического подобия AF/F = idem, в соплах
модели будет происходить перерасширение газа, а в диффузорах — чрезмер-
ное сжатие.
В случае соблюдения критерия kM2 = idem, но нарушения подобия
по числу М, последнее в модели получит значение
и вместо натурной величины А для модели в квадратные скобки уравне-
ния (VI.28) будет заключен множитель
D=-^ + b М.^+ • (VI.31)
Так как всегда k <2, то производная
д (k—1\ 2—k
~dk~ ) ~ /г3
а следовательно, при уменьшении или увеличении показателя k дробь
(k — 1)/Л2 и все члены выражения (VI.31), содержащие коэффициент Ь,
изменяются в том же направлении. В то же время первый член этого выра-
жения kHlkM с уменьшением kM растет, а с его увеличением снижается.
Поэтому, если (kHlk^ > 1, то остальные члены ряда (VI.31) становятся
меньше соответствующих членов ряда (VI.29). Если число М сравнительно
невелико, то преобладающую роль играет первый член ряда и в области
kM < кн множитель D > А, т. е. получается эффект, обратный по сравнению
с моделированием по числу М. По мере роста числа М разность D — А умень-
шается, и при некотором значении числа М достигается подобие скоростей
вблизи заданного сечения. При дальнейшем росте М подобие вновь нару
шается, а разность D — А становится отрицательной.
Таким образом, в случае kM =f= kH соблюдение критериев М = idem или
/гМ2 = idem приводит к различному по величине, а иногда и по знаку откло-
нению в подобии скоростей. В некоторой области достаточно больших чи-
сел М моделирование в соответствии с критерием /гМ2 = idem может обеспе-
чить значительно лучшее подобие процессов, чем моделирование по числу М.
Если задан показатель изоэнтропы kM, моделирование можно улучшить
выбором для важнейшего участка проточной части такого числа МЛ, при
котором достигается равенство
ДАМ^ВДМ.1, (VI.32)
причем величины АМН и АМЛ можно оценить из предварительных расчетов
сопла или диффузора для натуры и для модели. Выполнение условия (VI.32)
приводит к тому, что оба изучаемых критерия в какой-то мере нарушаются,
а искомая величина МЛ становится некоторой средней между ее значениями,
соответствующими М = idem и /гМ2 = idem.
В практике турбиностроения часто приходится моделировать работу
паровых ступеней на холодном воздухе, а иногда — газовых ступеней на
паре. Пусть для натуры kH = 1,3, а для модели kM = 1,4. В этом случае
при М = idem в третьем приближении получим по формулам (VI.29) и
(VI. 30)
В — А= кк~-н-ТА2,
288
а при /гМ2 = idem по формулам (VI 29) и (VI.31) найдем в том же прибли-
жении
Д-£> = 1—^(i-b)^^LM2.
rm
В рассматриваемом примере возникают следующие отклонения от натуры:
Мн 0,5 0,8 1,0 1.5 2,0
— ^)м—idem 0,01 0,03 0,05 0,11 0,20
' ~"P)ftM2=idem 0,06 0.05 0,04 0 —0,06
[M«]£M2=idem * * 0.48 0.77 0.96 145 1,93
В этом примере моделирование по критериям Ж2 имеет существенное
преимущество в области сверхкритических скоростей. В области дозвуковых
скоростей подобие полей скоростей можно улучшить выбором для модели
числа М как среднего между Мк и получаемого при соблюдении критерия
Ж2 =- idem.
VI.3. НАРУШЕНИЕ КРИТЕРИЕВ ПОДОБИЯ
При соблюдении всех критериев подобия в любых сходственных точках
натуры и модели поверхности тока остаются геометрически подобными.
Отступления от критериев подобия связаны с несоответствием поверхностей
тока в натуре и модели, и размеры этого искажения в каждом случае необхо-
димо тщательно оценивать. Без такой оценки исследование на моделях
может привести к решению задачи, имеющей мало общего с реальной про-
блемой.
Вместе с тем, если в натурных условиях и в модели турбомашины рабочее
тело имеет одни и те же физические свойства и если поставить условие, чтобы
наравне с соблюдением одинакового числа М также было равенство чисел Re,
то это означало бы не только равенство скоростей в натуре и модели, но
и сохранение линейных размеров. Другими словами, даже при сохранении
этих двух критериев моделирование стало бы невозможным. Тем более
немыслимо выполнение всех критериев подобия. Поэтому встает вопрос
о допустимых отклонениях от критериев подобия, при которых в модели
можно было бы изучать физические явления, приблизительно подобные
натурным.
Геометрическое подобие — главное требование к модели.
Однако в ряде случаев возникают непреодолимые препятствия для соблюде-
ния полного геометрического подобия. Например, при сильном уменьшении
выходные кромки лопаток могут оказаться чрезмерно тонкими и техноло-
гически невыполнимыми. Слишком малые зазоры между статором и ротором
также могут быть практически недопустимыми. Всегда в некоторой мере
получается различная шероховатость обтекаемых поверхностей в натуре
и модели.
Нарушения геометрического подобия допустимы только в тех случаях,
когда есть уверенность, что то или иное отклонение от натуры не отражается
существенно на исследуемых характеристиках турбомашин и физических
явлениях или когда возможно внесение надежных поправок. Так решаются
вопросы о зазорах между статором и ротором, о шероховатости поверхностей,
о ширине лопаток и др. Но в ряде случаев несоблюдение геометрического
подобия может повлечь коренное нарушение общей картины течения, напри-
мер при замене плоских торцовых стенок у внешних границ направляющих
каналов на цилиндрические, при сильном нарушении геометрического
подобия входных и выходных патрубков, при изменении формы меридио-
нального сечения проточной части и т. п.
Решение вопросов о возможности тех или иных отступлений от геометри-
ческого подобия натуры и модели, равно как и от других критериев подобия,
19 и. и. Кириллов 289
должно быть основано на ясных физических представлениях о рабочих про-
цессах и на теоретических и экспериментальных исследованиях ступеней
турбомашин, близких, по возможности, к тем, которые подлежат изучению
на моделях. Величины допускаемых отступлений от критериев подобия
всецело зависят от условий и цели опытов.
Так, если поток выходит в атмосферу из турбинного колеса и имеет осе-
вое направление, то за ним получается достаточно равномерное по высоте
проточной части давление; в этом случае испытания с ограничивающими
поток кольцами после выхода из колеса или без них дают приблизительно
одинаковые результаты. Иная картина получится при большой закрутке
потоков за рабочим колесом, которая связана с неравномерным полем давле-
ний и скоростей в выходном сечении. В этом случае нарушение геометриче-
ского подобия путем удалений упомянутых ограничивающих колец может
коренным образом изменить характеристики ступени. Аналогичные явления
могут возникать при входе в ступень.
Кинематическое подобие — второе важное условие моде-
лирования. Это условие также редко полностью выдерживается. При по-
строении моделей турбомашин обычно главное внимание направлено на подо-
бие треугольников осредненных скоростей, что связано с соблюдением важ-
нейших характеристических коэффициентов: и!С0, рк, сг, си, пб и др.
(см. гл. II), но часто нет возможности выдержать кинематическое подобие по-
токов при входе в ступень и выходе из нее с учетом вторичных течений.
Нарушение кинематического подобия чаще всего связано с отклонениями
от геометрического моделирования и от критериев динамического подобия.
Критерии динамического подобия при построении модели,
как правило, приходится существенно нарушать. Важнейшая задача теории
турбомашин — оценка влияния неточностей моделирования на характери-
стики исследуемых элементов проточной части.
Область, в которой влияние того или иного критерия пренебрежимо
мало, будем называть областью приближенной автомодельности по этому
критерию. Выполнение модели и условий эксперимента таким образом,
чтобы опыты протекали в области автомодельности, приводит к наиболее
надежным результатам.
Рассмотрим влияние отклонений основных критериев динамического подо-
бия на рабочий процесс в турбомашинах.
Число М должно рассматриваться совместно с отношением теплоемко-
стей k. Но если рабочее тело имеет одинаковые физические свойства как
в натуре, так и в модели, то вопрос стоит о моделировании только по числу М.
В той области, где сжимаемость проявляется слабо, жидкость можно
рассматривать как несжимаемую. Критерием автомодельности по числу М
может быть относительная величина отклонения скорости Ас при максималь-
ном отступлении AM. Это отклонение можно оценить по первому приближе-
нию в формулах (VI.27) или (VI.28) при AF = О
Ac AM2 ДХ2 ,VT о оу
—с Г'-'МЛ-' (Vl.AJI
Когда речь идет о потоках при числах М 0,2-нО,3, то погрешности при
отступлении от натурного числа М не играют роли. При больших же числах М
даже малое его изменение по сравнению с натурным может привести к суще-
ственным изменениям кинематики потока.
Если при одинаковом отношении теплоемкостей k проектируется модел
с отступлением по числу М, то для строгого моделирования кинематик
потока требуется также изменение геометрии проточной части модели по
сравнению с натурой. Такие изменения нежелательны, так как они приводят
к отклонениям в моделях от натуры или профилей лопаток, или формы мери-
дионального сечения проточной части, что может вызвать сложные вторщ-
290
ные явления, влияние которых на рабочий процесс трудно оценить. Поэтому
обычно решается задача о допустимых отклонениях по числу М с сохранением
геометрического подобия.
Потери в дозвуковых решетках сравнительно мало меняются с измене-
нием числа М вплоть до его критического значения Мк, при котором возни-
кает волновой кризис. В области М > Мк появляются местные сверхзвуко-
вые скорости, возможно сопровождаемые скачками уплотнения. При этом
скачки уплотнения взаимодействуют с пограничным слоем и могут сильно
его видоизменять. С другой стороны, и форма скачков уплотнения зависит
от пограничного слоя. Опыты показали, что ламинарный слой даже при сла-
бых скачках уплотнения легко переходит в турбулентный. Интенсивные
скачки уплотнения могут вызвать отрыв пограничного слоя от поверхности,
особенно при замедленном течении. В турбинных решетках в обычных усло-
виях рост потерь под влиянием числа М за пределами волнового кризиса
объясняется в основном скачками уплотнения.
Компрессорные решетки особенно чувствительны к повышению числа М
за пределами волнового кризиса, и при некоторой величине Мгаах срывные
явления развиваются настолько сильно, что решетка не создает напора.
Применительно к моделированию компрессоров уже в области больших
дозвуковых скоростей соблюдение числа М следует признать обязатель-
ным.
Испытания турбинных ступеней при пониженных числах М могут внести
существенные искажения в характеристики ступеней и при дозвуковых
течениях. В таких условиях могут существенно отклоняться от действитель-
ных значений степени реактивности, выходные и концевые потери, утечки
через зазоры и другие потери. При этом также меняются пространственная
структура потока и расходные характеристики.
Число Струхала играет важную роль в нестационарных про-
цессах. Явления нестационарное™ наблюдаются в любой ступени турбо-
машины, работающей в условиях обтекания профилей лопаток неравномер-
ным потоком. С этой точки зрения неправомерно распространение резуль-
татов испытаний неподвижных решеток на ступени турбомашины.
В турбостроении долгое время принималось за истину, что решетки
профилей, показавшие хороший результат при стационарных испытаниях,
должны быть оптимальными и в условиях действующей ступени. Не отрицая,
разумеется, всю важность отработки решеток профилей в стационарных
условиях, все же следует заметить, что при вращении решеток протекающий
в них процесс существенно меняется. Поэтому несоблюдение критерия Стру-
хала нередко приводило к достаточно сильным эффектам, вносившим коррек-
тировку в статические испытания.
Сохранение в модели и натуре одинаковой величины шага лопаток и подо-
бия треугольников скоростей (u/C0 = idem) обеспечивает выполнение кри-
терия Струхала по отношению к нестационарное™, вызванной взаимным
влиянием неподвижной и подвижной решеток. Это имеет важное значение
при сильных нестационарных явлениях, например в случае развитого следа
за направляющим аппаратом или толстых входных кромок профилей ре-
шеток.
Число Рейнольдса существенно меняется вместе с изменением
размера модели. Например, модели колес крупных гидротурбин имеют диа-
метр в 20—30 раз меньше натурного, и число РеЛ/ может быть в десятки раз
.меньше ReH. Большие отступления от критерия Рейнольдса приходится
допускать также при моделировании процессов в паровых и газовых турби-
нах, особенно при резко отличающейся плотности рабочего тела в модели
и в натуре. Насколько сильно может различаться число Рейнольдса в пре-
делах одной и той же машины можно судить на примере одной из современ-
ных мощных паровых турбин высокого давления, в которой Rec, изменяется
от 1 -105 до 1,8- 10е. Вместе с тем большое число ступеней таких турбин имеют
19* . 291
одни и те же профили лопаток и по существу являются однотипными, даже
если они находятся в различных отсеках турбины. Законность использо-
вания результатов опытов с моделями для расчетов натурных ступеней,
работающих при иных числах Re, требует серьезного обоснования.
В турбулентном течении возникает дополнительное сопротивление
в результате переноса масс жидкости в поперечном к движению направлении,
вследствие чего приходят в соприкосновение ее массы, движущиеся с различ-
ными скоростями. По этой причине при турбулентном движении возникает
потеря напора, пропорциональная квадрату средней скорости потока,
Ml = О' -jT ’
где коэффициент сопротивления £ * при определенных условиях остается
приблизительно постоянным в широкой области изменения скоростей.
Коэффициент сопротивления мало меняется в области развитой шероховато-
сти поверхностей (опыты Никурадзе), а также при отсутствии влияния шеро-
ховатости в зоне очень больших чисел Рейнольдса. Гюследнее'объясняется
небольшой толщиной пограничного слоя, вследствие чего число Re почти
не влияет на профиль скоростей. В этих условиях как силы инерции, так
и силы сопротивления изменяются пропорционально квадрату скорости
потока, и в геометрически подобных турбомашинах все силы, приложенные
в сходственных точках, относятся между собой приблизительно как ква-
драты соответствующих скоростей. В таких турбомашинах вместе с кинема-
тическим подобием сохраняется также подобие силовых полей.
Область приближенной автомодельности по числу Re наступает при его
достаточно большом «предельном» значении Re„p, которое зависит от осо-
бенностей проточной части турбомашины и обстоятельств течения жидкости.
Число Re;ip снижается по мере возрастания интенсивности турбулентного
движения жидкости. Поэтому область автомодельности для вращающихся
рабочих колес, лопатки которых находятся в сильно турбулизированно’
потоке, наступает при меньших значениях числа Re„p, чем в случае обтека-
ния аналогичных неподвижных решеток профилей.
Предельные числа Re неодинаковы для ступеней различного типа или
для направляющих и рабочих лопаток одной и той же ступени. Кроме того,
с числом Re связаны главным образом профильные и концевые потери энер-
гии, протечки же и некоторые вторичные течения мало от него зависят
Роль всех этих потерь может сильно различаться в турбинах и компрессорах
а также в ступенях с длинными и короткими лопатками, поэтому разным
оказывается влияние на их характеристики числа Re.
Шероховатость. На рис. IV.21 даны примеры зависимостей коэффициент,
потерь энергии £ = f (Re) для нескольких решеток профилей различно?
шероховатости. Из этих опытов следует, что в левой части диаграммы на про-
тяжении значительных участков коэффициент сопротивления меняете3
мало и здесь образуется область приближенной автомодельности по чи-
слу Re.
В этой области к. п. д. решетки остается почти неизменным, а затем суве
личением числа Re и переходом в область развитой шероховатости к. п. д
может уменьшиться, несмотря на увеличение этого числа.
Опыты подтверждают также, что возможно большое различие в к. п.
решеток, если их модели изготовлены с чистотой, обеспечивающей аэродт
намическую гладкость, а в натуре эти решетки оказываются в условия
развитой шероховатости. Например, изготовив, как это часто делаете-
модель решетки с чистотой поверхности по классу при (k/b) == 7,5-10'
где k — высота бугорков шероховатости и b — хорда профиля, а в натур
имея (kib) 3-10'4, для одного и того же числа Re = 106 получили с
в натурных условиях коэффициент сопротивления, приблизительно в д:-
раза меньший, чем в опытах на моделях (рис. IV.21).
292
Границы области приближенной автомодельности по числу Re зависят
от угла атаки и от формы профиля. Знание этой области для испытываемых
решеток профилей необходимо, чтобы установить пределы применимости
результатов опытов и внести поправки на натурные условия течения.
сказанного следует, что оценка влияния шероховатости на характери-
стики турбомашин приобретает важное значение в вопросах их моделиро-
вания. Влиянием числа Re и шероховатости объясняется часто наблюдав-
шееся несоответствие между к. п. д. моделей ступеней турбомашин, изготов-
ленных различными методами и испытанных при разных числах Re. Так,
для гидротурбины Свирской ГЭС d = 7,42 м, Но --= 10 м и г) = 0,93, а для
ее модели d = 0,46 м, Но = 3,5 м и на соответствующем режиме т] = 0,86.
На практике для оценки влияния масштабного эффекта применяются
различные формулы, основанные на исследованиях Л. Муди. Их автор
предполагал, что турбулентное течение в проточной части турбомашин
соответствует режиму развитой шероховатости. При этом коэффициент
сопротивления трения А для основных участков проточной части можно при-
нять пропорциональным l/dm, где d — некоторый линейный размер. Потери
энергии выразим обычной формулой гидравлики
Г г2
где L — длина рассматриваемого участка. Если принять коэффициент X
не зависящим от числа Рейнольдса, то относительную величину потерь
&h!h =1 — г; можно считать пропопциональной lidm
. 1 с2
1 — 11 со - — ,
1 dm h0 ’
где 1] — к. п. д. ступени.
Выписав последнее выражение для натуры и модели и приняв за линей-
ный размер d внешний диаметр рабочего колеса, найдем формулу, которая
широко применялась в гидромашиностроении для оценки оптимальных
режимов работы,
4^Г=(4гЧ'"- (VI.34)
Эмпирически было установлено т 0,2.
Аналогичная приближенная формула, но учитывающая влияние на к. п. д.
в основном числа Re, имеет вид
= ( КещГ , (VI.35)
1—\ Re.« ) v
здесь Re = udN (d и и — диаметр и окружная скорость на периферии рабо-
чего колеса).
Многочисленные испытания гидротурбин и насосов показали, что в фор-
муле (VI.35) т меняется в очень широких пределах (0,025—0,56). В большин-
стве случаев т = 0,1н-0,25, что приблизительно соответствует старой фор-
муле Муди (VI.34).
В формуле (VI.35) предполагается, что все потери энергии зависят от
числа Re, а это не соответствует действительности, и поправка на число Re
получается преувеличенной. На многих заводах поправку на число Re
для турбин типа Каплана вводят исходя из предположения, что до 70%
потерь зависит от этого числа Re
(VI.36)
293
Указанные формулы весьма условны. Формула (VI.34) выведена в пред-
положении одинаковой абсолютной шероховатости модели и натуры. Фор-
мулы (VI 35) и (VI.36) не отражают физических явлений в зоне развитой
шероховатости и на переходных режимах. Этим объясняется большой диапа-
зон изменения показателя т, вычисленного по опытным данным для различ-
ных типов турбомашин.
В проточной части гидротурбины значительная доля разности к. п. д.
в натуре и модели объясняется отрывом пограничного слоя, что часто наб-
людается вблизи втулки и периферии рабочего колеса, а также в отсасыва-
ющей трубе. Сопротивление плохо обтекаемого тела при некотором крити-
ческом числе Рейнольдса может уменьшаться скачкообразно, так как пе-
реход пограничного слоя из ламинарного в турбулентное состояние улуч-
шает обтекание. В условиях отрывного течения число Рейнольдса не может
достаточно полно характеризовать потери энергии в натурной турбине и
в модели.
ГЛАВА VII
ПОТЕРИ ЭНЕРГИИ В ТУРБОМАШИНАХ
В турбомашинах большую роль играют потери энергии, вызванные
вихреобразованиями и трением, утечками рабочего тела через различные
зазоры, а также нестационарными явлениями. Кроме того, работа турбо-
машины всегда сопровождается потерями механической энергии вследствие
трения в подшипниках и затрат на привод вспомогательных механизмов
(масляных насосов и др.). Указанные виды потерь энерши имеют принци-
пиально различный характер и могут быть разделены на потери внутренние
и потери внешние.
Внутренние потери энергии составляют все потери,
связанные с диссипацией энергии и ростом энтропии рабочего тела или
с переносом тепла при внешнем теплообмене. Эта группа потерь сопровож-
дается изменением состояния рабочего тела. Данное определение относится
также к гидравлическим машинам, где влияние подогрева за счет потерь
энергии несжимаемой жидкости пренебрежимо мало сказывается на даль-
нейшем рабочем процессе, и с ним обычно не считаются, тогда как в тепло-
вых турбомашинах этот эффект может быть значительным.
К внутренним относятся потери энергии, возникающие под влиянием
трения рабочего тела о поверхности, ограничивающие проточную часть
турбомашин, включая поверхности лопаток, а также потери вследствие
взаимного трения слоев потока, движущихся с различной скоростью. Сюда
же следует отнести потери энергии, вызванные утечками внутри машины
через' зазоры, в которых рабочее тело дросселируется и происходит изме-
нение его состояния. Так как эти утечки вновь вливаются в основной поток,
то изменяется также состояние всего рабочего тела. Часть кинетической
энергии потока, которая превращается после рабочего колеса в тепло вслед-
ствие трения, также составляет внутреннюю потерю энергии. К этой группе
относятся и потери, связанные с волновыми явлениями в турбомашинах.
Перечисленные потери можно изобразить непосредственно на энтропийной
диаграмме.
Внутренние потери обычно составляют главную часть общих потерь
энергии, и борьба с ними — основная задача конструктора турбомашин.
Поэтому в дальнейшем изложении вопрос снижения внутренних потерь
энергии будет в центре внимания.
Внешние потери энергии объединяют все потери, кото-
рые не могут непосредственно влиять на состояние рабочего тела в машине.
К числу их относятся потери механической энергии вследствие трения
в подшипниках, работы вспомогательных механизмов, зубчатых передач
и пр. К внешним потерям следует относить также энергию, расходуемую
вследствие утечки рабочего тела за пределы проточной части турбины через
внешние уплотнения вала, штоков клапанов и др., если невелико косвенное
влияние этих потерь на параметры рабочего тела.
Определение внутренних потерь в турбомашинах теоретическим путем
во многих случаях встречает большие трудности и не обеспечивает требуе-
мой точности. Поэтому, наравне с теоретическими расчетами, выполняются
295
обширные экспериментальные исследования потерь в турбомашинах на не-
подвижных решетках и вращающихся моделях.
Измерения во время испытаний на воздухе значительно проще, чем на
паре. В гл. VI были указаны преимущества испытаний турбинных ступеней
при малых скоростях воздуха и низком давлении. Поэтому воздушные
экспериментальные турбины находят очень
Рис. VII. 1. Схема модели турбин-
ной ступени:
ф — открытый осевой зазор у перифе-
/
рии; 6^—открытый осевом зазор у кор-
ня; — задний открытый осевом за-
зор; 63 — закрытый осевой зазор; 6g —
свес бандажа; 62 — расстояние между
выходными кромками направляющих
лопаток и входными кромками рабочих
лопаток; Д — перекрыта у псреферии;
Д' — перекрыта у корня; 6—радиаль-
ный зазор; бу — радиальный зазор
в уплотнении под направляющим аппа-
ратом; dome — диаметр разгрузочного
широкое применение.
Стенды для испытаний вращающихся мо-
делей турбомашин выполняются весьма раз-
нообразной конструкции 15, 13,27, 33]. Уни-
версальные экспериментальные турбины
сложны и неудобны в эксплуатации. Поэтому
в лабораториях для решения тех или иных
частных задач стремятся сооружать специа-
лизированные стенды, составляемые и? уни-
фицированных узлов.
Вовремя испытаний ступеней турбомашин
на экспериментальных стендах измеряется,
как. правило, статическое давление у корня
и периферии в зазоре между направляющим
аппаратом и рабочим колесом, а в некоторых
опытах также траверсируется поток за рабо-
чим колесом и перед ним. Методы измерений,
аэродинамические приборы и методика обра-
ботки опытных данных при испытаниях моде-
лей турбомашин подробно описаны в лите-
ратуре [27, 33].
К числу главных задач эксперименталь-
ного исследования относятся следующие.
1. Получение основных характеристш
турбинных ступеней различного типа с пол-
ным и частичным подводом рабочего тела я
отработка наиболее совершенных моделей для
широкого применения их в области, опреде-
ляемой законами моделирования.
2. Исследование траверсированием полей
давлений и скоростей стационарного и неста-
ционарного потоков в ступени с целью выяс-
нения физической сущности явлений и усо-
вершенствования методов аэродинамических
и тепловых расчетов ступеней и расчетов проч-
отверстия; Вг — ширина направляю- НОСТИ ЛОПаТОЧНЫХ аппаратов.
лопатащПайТ-:кам2ср; рХ^его* колеса 3. Изучение ВЛИЯНИЯ НЭ работу СТупеНГ
различных конструктивных факторов: мери-
дионального профилирования, торцовых стенок, осевых и радиальных зазо-
ров, перекрыт, бандажей, отверстий в дисках, скрепляющих проволок и др
4. Исследование взаимного влияния последовательно расположенные
ступеней с полным и частичным подводом рабочего тела.
5. Исследование турбинных ступеней, работающих на влажном паре иль
запыленном потоке.
Примерная схема модели турбинной ступени показана на рис. VI 1.1
основные обозначения, указанные на ней, приняты в дальнейшем изложении
VII. 1. ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА РЕШЕТКИ
В результате испытаний решеток профилей лопаток находятся потери
энергии при их обтекании. Это позволяет сравнивать качество различных
решеток и предварительно выбирать лопаточный аппарат для вновь проектн-
296
руемой ступени турбомашины. Окончательно качество решетки оценивается
эффективностью ее работы в ступени турбомашины с соблюдением требова-
ний моделирования. Характеризовать решетку целесообразно такими коэф-
фициентами, с помощью которых можно составить простые выражения
для к. п. д. ступени турбомашины.
Коэффициент потери энергии в решетке £. Он обычно определяется как
отношение потери энергии в решетке ДЛ к изоэнтропийному перепаду энталь-
пий ft] от полного давления перед решеткой до давления в потоке рг
вдали за решеткой
Ай
Коэффициент £ характеризует потери энергии в решетке, но не дает пол-
ного представления о качестве решетки, находящейся в турбомашине, и
о к. п. д. ступени. Действительно, решетка, образованная прямыми профи-
лями с большим шагом, может обладать малым коэффициентом £, вместе с тем
это не означает, что она будет иметь высокие качества в турбомашине. На-
оборот, решетка активного типа, обеспечивающая значительный угол пово-
рота потока, может иметь сравнительно большое значение коэффициента
потерь энергии £, а ее аэродинамические качества в турбомашине могут быть
удовлетворительными. Для сравнения же однотипных решеток коэффициент £
служит простым и удобным критерием.
В теории и расчетах турбомашин чаще всего пользуются средними ско-
ростями потока за направляющим аппаратом и рабочим колесом. Средние
величины расходной составляющей скорости, количества движения и кине-
тической энергии могут быть определены из формул:
[ sin (32 du; Gw2 — -4- I p^az^2
V L‘ •J
Uo+t
«0
где и — координата, измеряемая по оси решетки; G — массовый расход,
отнесенный к шагу решетки.
Из этих выражений можно определить средние величины скоростей
и соответствующие им коэффициенты £, ф или ф, которые при большой нерав-
номерности потока могут существенно различаться в зависимости от того,
по какой из формул вычислены осредненные скорости. В связи с этим в фор-
мулы для определения расхода и к. п. д. следует подставлять коэффициенты
скорости, вычисленные соответственно по расходным составляющим и по
кинетической энергии. За высокоэффективными решетками расходная состав-
ляющая скорости меняется мало, и в таких случаях осреднение можно про-
изводить без учета изменения расхода вдоль шага решетки.
Силовые коэффициенты. С целью упрощения выражения к. п. д. ступени,
а также для лучшего использования богатого материала экспериментальной
аэродинамики в некоторых расчетах вводятся силовые коэффициенты.
Коэффициенты подъемной силы Су и лобового сопротивления Сх полу-
чаются из выражений величин подъемной силы Р и силы лобового сопро-
тивления Q (рис. VII.2):
Р = СУЫ -Г (VII. 1)
Q = СХЫ Д
pw2c,
(VIL2)
где b — хорда профиля; I — высота лопатки или ее участка, обычно при-
нимаемого равным единице: wc — средневекторная скорость.
Силовые коэффициенты можно относить не только к скорости wc, но также
к любой другой скорости потока. Удобство введения безразмерных коэффи-
циентов Сх и Су заключается в том, что во многих случаях их можно считать
не зависящими от числа Рейнольдса.
Коэффициент лобового сопротивления лопатки можно разложить на две
составляющие
Сх = Схп + Схк. (VI 1.3)
Коэффициент профильного сопротивления Схп характеризует лобовое
сопротивление некоторого участка по длине лопатки, на протяжении кото-
рого не сказываются явления на ее концах. Практически во многих случаях
таким лобовым сопротивлением можно считать сопротивление средней части
лопатки, относительная длина которой l/Ь 2.
Рис. VII.2. Силы, действующие на лопатку при обтекании вязкой
жидкостью турбинной (а) и компрессорной (б) решеток
Коэффициент концевого сопротивления Схк учитывает лобовое сопротив-
ление у концов лопаток, в особенности вызванное вторичными течения\
у границ лопаток от вогнутой поверхности к выпуклой.
Качеством профиля в аэродинамике крыла называется отношение коэффи-
циентов Су1Сх. В турбомашинах чаще применяется величина, обратная
качеству профиля, — коэффициент скольжения
Согласно теореме Жуковского (см. п. 11.11), к лопатке единичной длины
в решетке, обтекаемой идеальной жидкостью, приложена сила Р, перпен-
дикулярная к средневекторной скорости wc, направленной под углом Рс
(рис. VII.2). При обтекании решетки вязкой жидкостью появляется сила
сопротивления профиля, составляющую которой по направлению вектора
обозначим через Q. Сила сопротивления меняет величину результирующей
силы R и вызывает ее отклонение от направления силы Жуковского Р.
Потерю давления вследствие сопротивления решетки профилей обозна-
чим через Др. Силу сопротивления решетки, отнесенную к одной лопатке
и направленную вдоль оси г, можно представить в виде произведения /Др.
Преобразование энергии давления в кинетическую энергию при наличии
потери давления Др можно выразить с помощью уравнения Бернулли для
несжимаемой жидкости следующим образом:
Pi — р2 = -|-«; — 4) + Др, (VII.4.
где принято
wlz = ^2г-
298
Силу R разложим на осевую составляющую Rz и окружную составляю-
щую R„. Осевая сила
Rz t (р! — р2) (VI 1.5)
в турбинной решетке имеет положительное направление, а в компрессор-
ной — отрицательное.
Проведем из конца вектора R прямую, перпендикулярную оси решетки и
(рис. VII.2). Эта линия отсечет вектор Рх на прямой, перпендикулярной ско-
рости wc. Расстояние между концами векторов R и Рх равно силе сопротив-
ления решетки t\p, так как именно сопротивление решетки вызывает откло-
нение силы R от направления силы Рх. Проекцию вектораРх ца ось z можно
выразить так:
Л,- / (/’, -/и Л/О, (VII-6)
причем по абсолютной величине эта проекция в турбинной решетке меньше
а в компрессорной — больше. Для компрессорной решетки R-- < 0.
Вместо того чтобы раскладывать силы, действующие перпендикулярно
скорости wc и параллельно ей, что естественно только для изолированного
крыла, можно разложить силы по направлениям осей решетки и и г и ввести
силовые коэффициенты Си и Сг. Целесообразность такого разложения сил
объясняется тем, что окружное усилие в работе ступени играет первостепен-
ную роль.
Связь к. п. д. с силовыми коэффициентами. Воспользуемся рассмотрен-
ными выше силами для того, чтобы выразить посредством аэродинамических
коэффициентов эффективность преобразования кинетической энергии в энер-
гию давления для плоского обтекания профилей вязкой несжимаемой жид-
костью.
К. п. д. компрессорной решетки определим как отношение полезной
энергии, отнесенной к одной лопатке единичной длины,
N. = GJi
к затраченной энергии, также отнесенной к лопатке единичной длины,
Nn = twz —
где Gx = tozp — массовый расход рабочего тела, отнесенный к лопатке
единичной длины, и где принято wlz = wiz.
Так как работа, совершаемая единицей массы несжимаемой жидкости,
равна (р.2 — рх)/р, то полезная энергия может быть выражена уравнением
Nx = twz (р2 — рх).
К. п. д. компрессорной решетки с помощью уравнений (VII.4) и (VII.5)
можно придать вид
_ _Л\ = р2 — рх = р2 —Pl = Rz = р cos Рс + <2 Sin рс
1 Р /„,2 2 Рг — Pi -г АР Piz (Р sin Рс — Q cos Рс) ctg Рс
“о” ~‘ w2u)
ИЛИ
Этот к. п. д. характеризует совершенство преобразования кинетической
энергии в потенциальную, причем последняя рассматривается в качестве по-
лезной работы.
Потери энергии в решетке определяются как разность
AVX = Ntl — 7VX = twzkp.
Полученные формулы теряют смысл, если решетка предназначена в основ-
ном для поворота потока, а разность давлений по обе стороны решетки вовсе
299
отсутствует или делается малой, например в решетках с профилями лопаток
активного типа.
Ступень турбомашины представляет собой сочетание последовательно
расположенных неподвижной и подвижной решеток. Предположим, что
изучается промежуточная ступень компрессора, причем будем считать рав-
ными скорости рабочего тела перед ступенью и за ней. Кроме того, допустим,
что сжимаемостью жидкости можно пренебречь. В такой ступени часть t]1h1
от общего теоретического перепада энтальпий hu преобразуется в потенциаль-
ную энергию в направляющем аппарате, а остальная часть т]2й2 — в рабочем
колесе, где т)х — к. п. д. неподвижной решетки, т]2 — к. п. д. подвижной ре-
шетки, /ij и fi2 — изоэнтропийная работа сжатия соответственно в направ-
ляющем и рабочем аппаратах.
Если ступень выполнена с лопаточным аппаратом, обеспечивающим при-
близительно плоское течение, так что потери, полученные в результате испы-
таний решеток, достаточно точно отражают профильные потери энергии
в ступени, то к. п. д. ступени, учитывающий только эти потери, может быть
найден из выражения
-= f- ц2/г2. (VI1.8)
В частном случае при степени реактивности рк = 0,5, когда при указанных
выше условиях ht = /i2, можно считать
т11 q.3 Т).
Здесь следует иметь в виду, что формула (VI 1.7) была выведена для к. и. д.,
с которым в компрессорной решетке преобразуется кинетическая энергия
в потенциальную. Поэтому и формулой (VI 1,8) можно пользоваться только
в случае, если преобразование энергии происходит как в направляющей,
так и в рабочей решетке компрессорной ступени. Если же в направляющей
решетке давление повышается лишь незначительно, что имеет место при сте-
пени реактивности рк, близкой к единице, то потери в направляющем аппа-
рате следует оценивать с помощью коэффициента потерь энергии полу-
ченного в результате продувок решетки, как это делается при расчете тур-
бинных решеток. После этого потери в направляющей и рабочей решетках
складываются, находится затраченная на сжатие с учетом потерь работа и
вычисляется к. п. д. ступени путем деления на эту величину работы изоэн-
тропийного сжатия.
Формула (VI 1.7) получилась достаточно простой и удобной для расчетов,
применение же ее ограничено указанными выше допущениями. Заметим, что
коэффициент скольжения не дает полного представления о к. п. д. решетк! .
так как большую роль играет также угол рс.
Связь между коэффициентом подъемной силы и циркуляцией скорости.
Согласно теореме Жуковского, сила, возникшая при обтекании несжимаемой
жидкостью участка лопатки единичной длины, может быть найдена по фор-
муле
Pi рГ1КУс,
где Г1 — циркуляция скорости вокруг лопатки. При наличии лобового
сопротивления на лопатке единичной длины возникает сила R, проекция
которой на направление оси решетки и (рис. VI 1.2) определяется равенство’/
(в обоих случаях Ru > 0)
Ru — Р sin ± Q cos рс,
где верхний знак относится к турбинной, а нижний — к компрессорной ре-
шеткам; такой порядок расположения знаков будет сохранен и в дальнейшех*
Будем считать силу Ru заданной.
Если из силы R вычесть (для турбинной решетки) или прибавить к ней
(для компрессорной решетки) вектор силы сопротивления решетки, по вели-
чине равный /Др, то получится сила Жуковского Рх (рис. VII.2), котору-
300
должно создать поле скоростей для получения заданной силы Ри. При этом
проекции сил R и Pi на ось и одинаковы и справедливо равенство
sin = Р sin (V ± Q cos (Зс.
Если выразить в последнем уравнении Р и Q через коэффициенты Сх и Су,
согласно уравнениям (VII.1) и (VII.2), то получим искомое уравнение связи
между циркуляцией и силовыми коэффициентами
рГ1^с sin|3c = Су pwb sinf5c ± Сх -^pw^cospc. (VII.9)
Так как при обходе профиля слева (Г3 >0) имеем
1\ ~ ± t ----- ^2u)>
то можно найти зависимость между силовыми коэффициентами и углами,
определяющими направление потока. Предварительно заметим, что для пло-
ского потока несжимаемой жидкости справедливы равенства
wc sin sin - w2 sin |32 = wz
и что для принятых обозначений углов потока:
Поэтому
Г1 = ±t (wlu — w2ll) = ±t 2Ц- wc = ±twc (ctgРt — ctgp2) sin pc.
Использовав указанные зависимости, уравнение (VII.9) после сокращений
и преобразований запишем так:
Су = ±2-Д (ctgp,— ctg₽2)sinpc ± CA.ctgpt. (VII.10)
Второй член в правой части уравнения (VII. 10) обычно мал по сравне-
нию с первым членом этой части, что позволяет его отбросить и придать урав-
нению связи простой вид
Г1=-=фс^л
VII. 2. ПРОФИЛЬНЫЕ ПОТЕРИ
Профильные потери включают все потери энергии, возникающие при
обтекании профилей плоским потоком. Они изучаются на базе теории потен-
циального обтекания решеток в сочетании с теорией пограничного слоя.
Современное состояние теории позволяет приближенно оценивать про-
фильные потери в условиях безотрывного течения. Обтекание же решеток
профилей может быть сопряжено с явлениями местного отрыва потока, а при
этом надежными являются только результаты опытов. Имеется обширный
экспериментальный материал о зависимости профильных потерь в турбин-
ных и компрессорных решетках от формы и изогнутости профилей, относи-
тельного шага, углов атаки и других факторов.
Профильные потери возникают под влиянием сопротивлений трения и
давления. В случае профиля хорошо обтекаемой формы сопротивление дав-
ления объясняется расширением трубок тока в пограничном слое вследствие
положительного градиента давления и удалением их от поверхности профиля.
Это вызывает искажение распределения давления на профиле по сравнению
с потенциальным обтеканием и уменьшает действующую силу (гл. IV). При
плохом обтекании профиля возникают вихри, вызывающие дополнительное
сопротивление. По этой причине сильно изогнутые толстые профили, а также
профили, работающие при значительных углах атаки, оказывают большое
сопротивление.
301
В решетках малоизогнутых тонких профилей, предназначенных для не-
большого угла поворота потока, преобладает сопротивление трения. В ре-
шетках толстых, а также сильно изогнутых профилей главную роль игра< -
сопротивление давления.
С целью снижения сопротивления трения выгодно уменьшать омываемы
поверхности, что достигается сокращением числа лопаток и соответствующи'
увеличением относительного шага t = = Ub. В быстроходных гидротурбинах
можно встретить относительный шаг рабочих лопаток t = 2, в компрессорах
эта величина значительно меньше (/ »=> 1). В паровых турбинах применяются
решетки с большой отклоняющей способностью, а их сопротивление давле-
ния при большом относительном шаге чрезмерно велико. Чтобы снизить эти
потери, применяются густые решетки с относительным шагом t «=> 0,55-н 0,6,
несмотря на то, что сопротивление трения в них значительно.
В теории турбомашин ставится сложная задача об отыскании оптималь-
ной решетки, соответствующей условиям се работы. Эта задача тесно связана
с потерями энергии и с возникновением местных срывов потока. Для ее ре
шения проводились многочисленные опыты над компрессорными и турбин-
ными решетками.
Однако опытов над плоскими решетками недостаточно, так как потери
энергии в решетке и в ступени могут существенно различаться как из-за
особенностей пространственной структуры потока, так и вследствие
нестационарных явлений (см. гл. VIII). Поэтому оптимальная плоская ре-
шетка для стационарных условий может оказаться менее эффективной для
работы в ступени, и завершающими должны быть испытания вращающихся
моделей.
Компрессорные решетки. При замедленном течении решетки особенно
чувствительны к увеличению угла поворота потока е, связанного с повыше-
нием диффузорного эффекта, возрастанием потерь энергии и возникновением
срывных явлений. Опытами устанавливается для определенного типа решетки
предельный угол поворота, при котором намечается общий срыв потока и
далее которого решетка не дает напора. На этом основании назначается мак-
симально допустимый угол поворота потока, который будем называть но-
минальным углом поворота ен. Последний рекомендуется выбирать при
проектировании компрессора не более 0,8 от предельного угла поворота по-
тока [35]. Эти соображения относятся к скоростям потока, при которых не
возникает волнового кризиса.
Номинальный угол поворота потока можно рассматривать как функцию
четырех переменных: угла изогнутости лопатки 0, угла выхода потока из
решетки а1 или р2, относительного шага I и угла атаки I. Эти величины харак-
теризуют профиль лопатки, его расположение в решетке и направление по-
тока.
Угол атаки оказывает очень большое влияние на обтекание профилей
компрессорных лопаток. С увеличением положительного угла атаки профиль-
ное сопротивление быстро нарастает, и после некоторой величины наблю-
дается резкое падение подъемной силы — наступает кризис (рис. VII.3, а).
Этому углу атаки соответствует приблизительно удвоенное по сравнению'
с минимальным профильное сопротивление. Перед срывом угол поворота
потока достигает своего предельного значения. Таким образом, продувки
решеток профилей лопаток при различных углах атаки позволяют определить
предельные и установить номинальные углы поворота потока.
Для того чтобы иметь полное представление о свойствах компрессорных
решеток, испытания указанного типа следует выполнять для различных зна-
чений трех основных параметров: 6, аг и t. При этом изменение каждого пара
метра связано с изготовлением новых решеток профилей и с трудоемкими их
испытаниями при различных углах атаки. Такие испытания для профилей.
302
полученных изгибом профиля С-4 (рис. VII.3, а), были выполнены А. Хо-
веллом [35].
Если изменять только угол 6, оставляя постоянными а1 и t, то номиналь-
ный поворот потока ек сначала быстро возрастает вместе с ростом угла 6,
а затем вблизи максимума кривая делается пологой (рис. VI 1.3, б). При этом
для малых углов 6 номинальное значение ен получается при сравнительно
больших положительных углах атаки. В том месте, где кривая становится
пологой, угол атаки близок к нулю, а большим углам изогнутости 0 соответ-
ствуют отрицательные углы атаки. В соответствии с изменением угла атаки
коэффициент профильного сопротивления при увеличении 6 сначала падает,
а затем вновь возрастает.
При проектировании выгодно выбирать такой угол 0, которому отвечает
наибольшее значение номинального угла поворота потока ен и при котором
вместе с тем коэффициент профильного сопротивления Схп не слишком велик.
На рис. VII.3, б, например, такая область лежит в пределах изменения
угла 0 от 19 до 35°, причем в этих пределах значение ек равно около 20°,
а угол атаки меняется в пределах от +5 до —5°. Для этого примера приняты
постоянными угол выхода потока aL = 60° и относительный шаг t 1.
Если изменить угол а1 и вновь выполнить весь описанный выше комплекс
опытов, то для данного типа профиля и для нового угла будет найдено
свое оптимальное значение номинального угла поворота потока ен. Повторив
эти опыты для нескольких углов а1, можно найти зависимость ен - f (aj.
Такие же опыты следует выполнить для различного относительного шага t.
В результате получатся кривые (рис. VII.3, в), определяющие для каж-
дого угла а1 и относительного шага номинальный угол поворота потока.
303
Располагая такими кривыми, конструктор может выбрать наивыгоднейшие
параметры решетки в зависимости от условий работы той или иной ступени
компрессора.
Результаты опытов (рис. VI 1.3,в) позволяют заключить, что с уменьше-
нием угла а1 при одном и том же относительном шаге t уменьшается также
номинальный угол поворота потока. Это происходит оттого, что установка
в решетке данных профилей лопаток под меньшим утлом связана с воз-
растанием диффузорности межлопаточного канала, что приближает момент
срыва потока. Во избежание срыва вместе с уменьшением угла потока а
приходится также уменьшить угол изогнутости профиля 6, а следовательно
снизить также номинальный уго
поворота потока ск.
Полученное из опыта наиболь-
шее значение угла поворота поте*
ка —сх0 в зависимости о
а, устанавливает связь межд
углами а0, с/., и ас. Поэтому i
кривых — f (04) можно получи"
путем пересчета кривые Су = f (<z
(рис. VII.3,6). Из этой диаграм..
видно, что с уменьшением угла г
необходимо снизить силовой коэф-
фициент Су, чтобы избежать срыве
потока.
Рис. VI 1.4. Зависимость коэффициента потерь
компрессорной решетки С-, от коэффициента сиг
при различных значениях относительного шага t
Путем всестороннего сопостав-
ления показателей качества решет-
ки можно выбрать оптимальную
решетку для той или иной комп-
рессорной ступени.
Местные срывные явления на профиле в решетке обычно наблюдаются
задолго до полного срыва потока. Оптимальная решетка, как правило, рабо-
тает в зоне этих местных срывов.
На рис. VI 1.4 показан для компрессорной решетки коэффициент потерь
в зависимости от коэффициента сиг - - (с1и — ciu)/cz, а отно-
сительный шаг t взят в качестве параметра с изменением его в пределах 0,5—
1,5 [49]. Этот пример поясняет влияние относительного шага на поведение
решеток такого типа. Если за исходный принять шаг t = 1, то при умень-
шении шага в два раза минимальные потери увеличиваются приблизительно
в 2,5 раза, но зато и диапазон, в котором потери мало меняются, также уве-
личивается в два раза. При увеличении шага до 1,5 потери существенно сни-
жаются, но также существенно уменьшается допустимый диапазон режи-
мов сиг. Если провести огибающую этих кривых, то получим линию опти-
мальных решеток, дающих минимальные потери при максимальной ее пово-
ротной способности. В таких решетках, по данным Шлихтинга [49], на про-
филе имеются местные срывы потока, несколько повышающие потери энер-
гии
Результаты этих опытов относятся к оптимальным условиям обтекания
решеток профилей, при которых может быть получен максимальный напор.
Эти условия выполнимы при расчетном режиме, при отклонении же от него
профили обтекаются под различными углами атаки, что ведет к увеличению
потерь энергии и даже к срыву потока.
Для построения характеристики ступени компрессора необходимо иметь
экспериментальные данные по обтеканию решетки при различных углах
атаки (см., например, рис. VII.3, а).
304
Угол отклонения потока б при выходе из решетки опре-
деляется разностью
б = а1л — сс1;
где ос1л — угол наклона касательной, проведенной к средней линии профиля
у выходной кромки.
Определив из опыта угол отклонения б, можно связать угол выхода по-
тока с конструктивными размерами лопатки. Для номинальных условий (от-
мечаются индексом н) Ховелл [35] предложил эмпирическую формулу
бн — m0 |- I,
где
т = 0,23(^у2 — 0,002сх1н +0,18;
elb — относительное положение вершины средней линии профиля.
Эта формула действительна для а1к -- 40-н 100°. Для решеток рабочих
лопаток а1н следует заменить на р2к-
Рис. VII. 5. Изменение коэффициента профильного сопротивления Схп и
коэффициента сопротивления трению Схтр в зависимости от коэффициента
подъемной силы Су и отношения bit для турбинных профилей
Турбинные решетки. В зависимости от назначения турбинные решетки
выполняются для большого или малого углов поворота потока. Решетки с ма-
лым углом поворота применяются в гидротурбинах для небольших напоров.
В тепловых турбинах чаще всего ставится задача проектирования оптималь-
ных решеток с большим углом поворота потока. Их приходится выполнять
с малым относительным шагом, но и при этом возможны местные срывы
потока.
Малоизогнутые решетки тонких профилей предназначаются для неболь-
ших коэффициентов подъемной силы Су. Для таких решеток главная
часть профильных потерь происходит от сопротивления трения (рис. VI 1.5,с)
[43]. В области Су < 0,5 коэффициент сопротивления трения составляет
(0,85 -ь0,95) Схп, а затем с увеличением Си быстро возрастает коэффициент
сопротивления давления. Для решеток с малой величиной Су относительный
шаг — главный фактор, влияющий на потери энергии (рис. VII.5, б). Отсюда
следует, что высокий к. п. д. колес гидротурбин получается при очень боль-
шом относительном шаге. И. Э. Этинберг рекомендует следующую формулу
для определения коэффициента профильных потерь при t 1,5:
сх„ = (0,003 + 0,005 А) ф (о,0045+ 0,0015-^-) (Су — 0,2)2. (VII.11)
Согласно этой формуле, с увеличением Су коэффициент профильного сопро-
тивления быстро нарастает.
Сильно изогнутые профили, применяемые в тепловых турбинах, могут
иметь коэффициент подъемной силы Су -= Зч-4, а при этом коэффициент
20 И. И. Кириллов 305
Рис. VII.6. Распределение давления на активном турбинном профиле по опытам
X. А. Гуревича в ЛПИ / s —расстояние вдоль контура профиля; \ :
1 т '
a—t= 0,40; б— t = 0,58; в — t = 0,69
профильного сопротивления значительно возрастает по сравнению с полу-
чаемым в гидротурбинах при Су ~ 0,5-4-1. Применение сильно изогнутых
профилей ведет к повышенным потерям энергии.
Угол атаки может очень сильно влиять на характер обтекания про-
филей лопаток. При положительном угле атаки минимум давления на вы-
пуклой поверхности профиля перемещается к передней кромке и возрастает
по абсолютной величине (рис. VI 1.6), в связи с чем на этом участке профиля
возникают большие скорости. Эти явления усиливаются при малом радиусе
кривизны кромки. Значительное увеличение угла атаки при обтекании про-
филя потенциальным потоком привело бы к сильному понижению давления
вблизи передней кромки, которое в реальных
условиях обтекания установиться не может. В дей-
ствительности резкое понижение давления вызы-
вает местный срыв потока и минимум давления
становится гораздо меньше теоретического. Этот
местный срыв может не повлечь общего срыва
потока, лобовое же сопротивление лопатки в ре-
зультате больших углов атаки возрастает, а подъ-
емная сила уменьшается по сравнению с ее теоре-
тическим значением.
Иная картина обтекания профиля создается
при отрицательных углах атаки. В этом случае
на выпуклой стороне профиля разрежение умень-
шается (рис. VII.6), что улучшает условия течения
вдоль этой поверхности и уменьшает опасность
отрыва потока у выходной кромки. В то же время
отрицательные углы атаки могут вызывать сильное
понижение давления с последующим крутым его
возрастанием на вогнутой стороне профиля у вход-
ной кромки. Вследствие этого может возник-
нуть местный срыв потока, который послужит при-
чиной повышения лобового сопротивления.
Итак, у передней кромки профиля при боль-
ших углах атаки возникают значительное пони-
W7
Рис. VII.7. Распределение
„ — р — р2
давлении р = ~—— на тур-
бинных профилях активного
(/) и реактивного (2) типов
жение давления и соответствующее увеличение
скорости. Затем происходит быстрое возрастание давления и уменьшение
скорости вниз по потоку. Этой картине распределения давления сопутствуют
явления, описанные в гл. IV, которые в случае изменения направления дви-
жения пограничного слоя приводят к срыву потока.
При неблагоприятном очертании профиля срыв потока на выпуклой по-
верхности вблизи задней кромки возникает уже при небольшом положитель-
ном угле атаки, его дальнейшее увеличение смещает точку срыва к передней
кромке. Лобовое сопротивление при этом постепенно увеличивается.
Для профилей активного типа характерно образование диффузорных
участков на стороне выпуклой поверхности профиля (в зоне точек 22—26
на рис. VI 1.6, бив). Около выходной кромки в области косого среза при всех
углах атаки также возникает резко выраженный диффузорный участок.
При отрицательном угле атаки он появляется также на вогнутой поверх-
ности вблизи входной кромки (между точками 14—10 на рис. VI 1.6, б и в).
Наличие резко выраженных диффузорных участков свидетельствует о по-
вышенных потерях энергии. По этим признакам можно сделать заключение
о неудовлетворительной форме входной кромки и неудачном выполнении
места перехода криволинейной выпуклой поверхности профиля в прямоли-
нейный выходной участок.
На рис. VII.7 (кривая 1) дана картина распределения давления на поверх-
ности усовершенствованного профиля активного типа, полученного расчет-
ным путем и имеющего приблизительно такой же угол выхода, как
20*
307
у рассмотренного профиля при оптимальном шаге. Главные отличительные осо-
бенности этого профиля следующие: он не имеет резких изменений кривизны
поверхности; его выходная кромка выполнена обтекаемой формы и выходной
участок выпуклой поверхности сделан криволинейным. На этом профиле
нет резких пиков разрежения, что свидетельствует о конфузорном характере
О 20 0-0 60 80 100 120 рад
Рис. VII.8. Профили реактивного типа (а) и характеристики (б) реше-
ток (по опытам ЛПИ). Номера профилей соответствуют толщине вход-
ной кромки в мм
течения. Хорошей обтекаемости профиля соответствует сравнительно высс
кий к. п. д. решетки, который достигает значения 0,97.
Распределение давления на профиле в решетке лопаток реактивного тип л
(кривая 2 на рис. VII.7) более плавное, чем в решетках активного типа. Пр
малых углах атаки здесь не обнаруживается резко выраженных диффузог
ных участков, свойственных активным профилям лопаток. Давление на г."
гнутой поверхности профиля постепенно понижается от входной до выходит
кромок. Это свидетельствует о хорошем качестве реактивного профиля, ч
подтверждается также высокими значениями к. п. д. реактивных решето
Изменение угла атаки в реактивной турбинной решетке вызывает пр
близительно такие же явления вблизи входной кромки, как при обтекав
толстой входной кромки активного профиля. В целом обтекание реактивн1- •.
308
Рис. VII.9. Коэффициент потерь
в следе за решеткой на расстоянии
4 мм от выходных кромок для ре-
шетки профилей Л-6 (по опытам
ЛПИ):
1 — i ~ 0; 2 — i = I
профилей при значительных углах атаки более благоприятное, чем актив-
ных. На реактивных лопатках лишь при больших углах атаки появляются
сравнительно слабо выраженные диффузорные участки. Но сама возмож-
ность возникновения диффузорного эффекта в реактивной решетке весьма
показательна, и это дает представление о тех сложных явлениях, которые воз-
никают в межлопаточных каналах.
Количественная оценка влияния утла атаки на к. п. д. решеток дается
по результатам их продувок. Для широко применяемых решеток турбинных
профилей лопаток, имеющих приблизительно одинаковый относительный
шаг (t 0,5=0,6) и примерно одинаковый относительный радиус закругления
входной кромки (г/й«э0,03 = 0,04), В. И. Ло-
кай [30 ] рекомендует эмпирическую формулу
ДЛ-А]^)2, (VII. 12)
где 1]—к. п. д. решетки при !=0; Дт|—умень-
шение к. п. д. решетки; |317! — входной угол
профиля; А =- 1 —для положительных углов
атаки и А =0,15 — для отрицательных углов
атаки.
Форма профиля сильно влияет на его ха-
рактеристику t, = f (i), поэтому указанная
зависимость неуниверсальна. Эти характе-
ристики даются в альбомах профилей по ре-
зультатам продувок.
Иная зависимость получается в области
очень больших углов атаки. Профили, пред-
назначенные для этой цели, выполняются
с хорошо обтекаемой входной частью. При-
меры таких профилей реактивного типа и их
характеристики по опытам в ЛПИ [18] пока-
заны на рис. VI 1.8.
Минимальные потери в области неболь-
ших углов атаки имела решетка профилей
с тонкой кромкой (Л-2). Профиль Л-3 имел
повышенные потери, возможно, потому что
он был очерчен дугами окружностей. Решетки профилей Л-6, Л-12 и Л-14,
очертание которых было выполнено по лемнискатам, сохраняли приблизи-
тельно одинаковый уровень потерь в широком диапазоне углов Про-
филь Л-20 имел очень пологую характеристику, охватывающую весь диапа-
зон практически возможных углов атаки, но для него tmln = 0,05.
При очень больших углах атаки менялся характер аэродинамического сле-
да за решеткой — не наблюдались пики потерь, характерные для меньших
углов атаки, и поле скоростей становилось более равномерным (рис. VI 1.9).
Объясняется это тем, что при больших углах атаки происходит сильный срыв
потока во входном участке канала и до выхода из решетки поток успевает
выровняться. Потери при этом достигают большой величины, а угол выхода
потока из решетки изменяется мало, и поле скоростей получается сравни-
тельно равномерным.
Относительный шаг лопаток t = tlb должен выбираться
с большой тщательностью, так как он оказывает весьма существенное влия-
ние на всю картину обтекания профиля. Если увеличить шаг, то снижается
относительная величина силы трения, возникающей на поверхности лопатки,
но при большой изогнутости профиля сопротивление давления может суще-
ственно увеличиваться. Большая величина t может также вызвать значитель-
ное возрастание угла выхода потока.
309
Величина оптимального относительного шага зависит от формы профиля.
Если задать величину относительного шага и некоторые основные параметры
профиля, то для потенциального потока жидкости теоретически можно
построить профиль (см. гл. IV). При этом изменение относительного шага
влечет за собой также изменение профиля, что особенно сильно проявляется
в густой решетке профилей. Поэтому если задан профиль, то для него полу-
чается более или менее определенный оптимальный шаг.
Таким образом, при проектировании профиля из тех или иных сообра-
жений выбирается относительный шаг лопаток, а уточнение оптимального
шага выполняется экспериментально путем продувок решеток профилей.
Помимо оптимального шага необходимо так же знать, как влияют на
характеристики решетки небольшие отступления от него, так как практи-
Рис.
фект
VII. 10. Диффузорный эф-
ир и входе в межлопаточ-
ный канал
чески один и тот же профиль приходится уста-
навливать с различным шагом по соображениям
конструктивного характера. В частности, отно-
сительный шаг меняется в зависимости от ра-
диуса, если остается постоянной хорда про-
филя.
Распределение давления в зависимости от
величины относительного шага для активных
турбинных решеток представлено на рис. VII.6.
Оптимальный шаг для данного профиля /*=«0,58.
Из сравнения этих эпюр следует, что при изме-
нении t общий характер обтекания профилей
сохраняется, но максимумы разрежений и их
положение на профиле могут существенно изме-
няться. Значительные отклонения от оптималь-
ного шага связаны с развитием диффузорных
участков.
Характер обтекания густых решеток про-
филей в зависимости от шага t в значитель-
мере объясняется изменением формы межлопаточных каналов, пока-
НОИ
занной на рис. VI 1.6 в развернутом виде.
При Zopt = 0,58 почти весь канал получает слабо конфузорную форму
При увеличении шага до t » 0,69 в начале канала получается небольшой диф-
фузор, а остальная часть канала представляет явно выраженный конфузор.
Наоборот, при уменьшении шага до t = 0,4 входная часть канала образует
сильно сходящийся конфузор, а выходная — столь же сильно выраженны
диффузор. Для такой формы канала, напоминающей трубку Вентури, в ег
средней части возникает пик разрежения (на рис. VII.6, а зоны около то-
чек 7 и 28).
Физический смысл явлений в передней части канала можно пояснить
пользуясь представлениями одномерного течения. Пусть поток набегает ь
решетку профилей лопаток при нулевом угле атаки (рис. VII. 10). Минималь-
ное у входа живое сечение канала fmin получается несколько меньше, че
живое сечение потока /у вдали от решетки, отнесенное к шагу t. Следова-
тельно, средняя скорость рабочего тела в минимальном сечении превосходил
скорость набегающего потока вдали от решетки, т. е. при подходе к се-
чению 1т1п поток ускоряется. Если поток набегает на лопатку при больше
положительном угле атаки, то Д и в входном участке межлопаточ-
ного канала возникает диффузорный эффект даже в том случае, когда форм
передней части межлопаточного канала имеет вид конфузора. Этим можи
объяснить резко выраженный диффузорный участок при входе потока в р
шетку под большим углом атаки (рис. VII.6, б). Если же поток набегас*
под отрицательным углом атаки, то fi > fmln и на входном участке межл
310
Рис. VII.11. Изменение коэффициента
потерь активной турбинной решетки
в зависимости от относительного шага
лопаток t при различных углах атаки
(по опытам ЛПИ)
паточного канала не возникает резкого разрежения. Следует подчеркнуть,
что одномерное рассмотрение движения жидкости в межлопаточном канале
может дать лишь ориентировочное представление о сущности изучаемых
физических явлений.
Для решеток активных профилей лопаток с тонкими входными кромками
коэффициент потерь t, в зависимости от шага имеет явно выраженный минимум
(рис. VII.11). Оптимальное значение
относительного шага получается тем мень-
ше, чем больше по абсолютной величине
угол атаки. При нулевом угле атаки вблизи
вершины кривой в области (>/opt потери
энергии изменяются сравнительно мало.
По мере увеличения положительных углов
атаки наблюдается сильное увеличение
потерь энергии и более крутое их изме-
нение в области больших t. При отрица-
тельных углах атаки в области больших
значений шага потери энергии меньше,
чем при положительных, а в области ма-
лых t влияние углов атаки вообще стано-
вится незначительным, но потери энергии
при этом велики при всех углах атаки.
Преимущества современных усовершен-
ствованных профилей активного типа за-
ключаются в высоком к. п. д. решетки для
широкого диапазона изменения углов ата-
ки, в большом оптимальном относительном шаге и в возможности несколько
изменять угол установки профиля в решетке без существенного ущерба для
ее к. п. д. Последнее обстоятельство важно для конструктора, особенно при
Рис. VII. 12. Коэффициент потерь энергии в ре-
шетке bCz = f(cK2) при угле установки профиля
30° и различном относительном шаге t (Rcq—
= 5-105; начала координат смещены)
личиваются, а возможный угол поворота
проектировании закрученных
лопаток.
Решетки реактивных профи-
лей лопаток даже при большом
относительном шаге хорошо
обтекаются при значительных
изменениях углов атаки. В об-
ласти значительных изменений
углов атаки потери энергии
в зависимости от t меняются
сравнительно мало. В этом —
важное преимущество реактив-
ных профилей лопаток.
Пример характеристик кон-
фузорной решетки с углом уста-
новки аь = 30° представлен на
рис. VII.12 [49 j. С уменьшением
относительного шага потери уве-
существенно возрастает, бла-
годаря чему при t — О,о достигается величина cuz = cw.—(hu 4. Крутые
cz
подъемы кривых отражают развитие срывных явлений. При больших углах
поворота и сравнительно малых потерях поток все же частично отрывается
на выпуклой поверхности профиля.
Веерные потери возникают в лопаточном аппарате турбомашин
вследствие изменения шага в зависимости от радиуса. Оптимальный шаг для
решетки с постоянной хордой профиля по высоте может быть выбран лишь
311
для одного цилиндрического сечения ступени. В других сечениях вследствие
отступлений от оптимального шага возникают дополнительные потери энер-
гии, которые и называют веерными.
Величина веерных потерь энергии зависит от коэффициента веерности
(у = г' 1г"), от способа закрутки лопаток и от изменения хорды вдоль радиуса.
Если коэффициент веерности мал, а лопатки имеют постоянную ширину и
не закручены, то веерные потери могут оказаться значительными. В таких
условиях одновременно возникают потери от веерности и от изменения углов
атаки. Последние потери, в свою очередь, зависят от величины относитель-
ного шага, поэтому приходится учитывать суммарную потерю от веерности
и от угла атаки.
Для ступеней с малым коэффициентом веерности и с постоянным профилем
лопатки по высоте особенно важно выбирать профили лопаток, которые
Рис. VII. 13. Зависимость угла выхода
потока из активной турбинной решетки
от угла атаки при различном относитель-
ном шаге (по опытам ЛПИ)
вызывают незначительные потери энер-
гии при отклонениях шага от оптималь-
ного значения. Веерных потерь можно
избежать, применив лопатки с увеличи-
вающейся по высоте хордой профиля.
Угол выхода потока (ах
или р,) из решетки относится к важ-
нейшим ее характеристикам, так как
ошибка в оценке этого угла может по-
влечь отклонение действительной мощ-
ности рабочего колеса от расчетной.
Наибольший интерес представляетосред-
ненный по шагу угол выхода аг или
р2, которым приходится пользоваться
при вычислении вращающего момента
по формуле Эйлера.
В турбинных решетках, как ив компрессорных, угол выхода потока свя-
зан с относительным шагом. Ранее было доказано, что при обтекании решетки
идеальной жидкостью с увеличением относительного шага ее отклоняю-
щая способность снижается (рис. IV. 14). Было также выяснено, что
при небольших выходных углах в области малого относительного шага (до
t 0,6) величина t почти не влияет на угол выхода потока и поэтому это.
угол можно считать не зависящим от угла атаки. Опыты подтверждают этот
вывод для реальных условий обтекания решетки.
На рис. VI 1.8 нанесена кривая изменения угла выхода потока р2 в за-
висимости от угла атаки для реактивной решетки профиля Л-6 при t = 0,6.
Как видно из графика, угол р, мало меняется даже в области очень больших
по величине углов атаки, при которых на входном участке наблюдается срыь
потока. Аналогичные результаты были получены также для других доста-
точно густых турбинных решеток реактивного типа.
На рис. VII. 13 показан пример изменения угла [С в зависимости от угла
атаки для активных решеток профилей, характеристики которых даны на
рис. VII.6 и VII. 11. Существенное возрастание выходного угла наблюдалось
в области положительных углов атаки при повышенных значениях относи-
тельного шага.
Для густых турбинных решеток угол выхода потока довольно точь
определяется формулой (IV. 1)
а
аг = arcsin —,
(VII. 13
где а — горло сопла (см. рис. IV. 1).
Для решеток с большим относительным шагом, применяемых, например.
в гидротурбинах, угол выхода потока определяется расчетным путс.-
312
(см. гл. IV) с последующей экспериментальной проверкой на моделях. В прак-
тических расчетах тепловых турбомашин широко используются выходные
углы, полученные экспериментально в результате продувок плоских решеток.
В ступенях с относительно длинными лопатками увеличение относительного
шага вследствие веерности (если не предусмотрено надлежащего увеличения
хорды периферийного профиля) может быть причиной возрастания углов
выхода потока и соответствующего уменьшения вращающего момента.
Угол поворота потока в решетке (е) связан с величиной
силы, действующей на лопатку, что ясно из формулы Эйлера. Увеличение
угла поворота за счет положительных углов атаки можно допускать только
в ограниченных пределах во избежание больших потерь энергии. Поэтому для
получения значительного угла поворота приходится применять профили с
большой относительной вогнутостью.
Большой угол поворота потока
в решетке связан с повышенным раз-
режением на выпуклой поверхности
профилей, что видно на примерах
распределения давления по профилю
активных лопаток (см. рис. VII.6 и
VII.7). При этом на профиле возни-
кают диффузорные участки, на кото-
рых наблюдаются повышенные поте-
Рис. VII.14. Изменение коэффициента потерь
турбинной решетки в зависимости от угла
поворота потока для современных профилей
ри энергии.
Современные профили турбинных лопаток позволяют достигнуть значи-
тельных углов поворота потока е, но при этом возрастают потери энергии.
Профили активного типа, при конструировании их в соответствии с требо-
ваниями теории и с доводкой на экспериментальных стендах, допускают
большие углы поворота потока при умеренном повышении потерь энергии
по сравнению с реактивными профилями. На рис. VII. 14 углы поворота по-
тока е > 100° относятся к усовершенствованным профилям активного типа.
Эти данные свидетельствуют о том, что имеется возможность осуществлять
высокоэффективные турбинные профили, обеспечивающие большие углы по-
ворота потока. Так, профиль ЦКТИ [6] при е «=> 120° имел коэффициент
потерь £ = 0,02. Тем не менее повышенная неравномерность потока после
его крутого поворота связана с дополнительными потерями энергии в после-
дующей решетке, и применение больших углов поворота потока связана
со снижением к. п. д. ступеней.
VII.3. ВЛИЯНИЕ НА ПРОФИЛЬНЫЕ ПОТЕРИ В РЕШЕТКАХ ЧИСЕЛ Re, М
Наибольший интерес представляют исследования раздельного влияния
на потери чисел Re и М. Чтобы исключить влияние шероховатости, целесооб-
разно требуемое число Re получать во время опытов не за счет размеров про-
филя, а путем изменения противодавления. В таких условиях опыты про-
водить очень сложно, и они редко выполнялись в достаточно широком диа-
пазоне изменения параметров. Тем не менее результаты ряда опытов [6, 281
проливают свет на этот важный для практики вопрос.
Влияние сжимаемости при числах М < 0,5 невелико, и в этой области
выявление роли числа Re наиболее просто. Обтекание решеток качественно
меняется с появлением местных звуковых скоростей где-либо на профиле (вол-
новой кризис). Число Мк, вычисленное по средней скорости перед решеткой
пли за нею, при котором возникает местная звуковая скорость, называется
критическим. Эта скорость звука появляется на профиле в той зоне, где
при дозвуковом течении была максимальная скорость.
В некоторой области чисел М > наравне с дозвуковым течением обра-
зуются сверхзвуковые зоны, которые смещаются и расширяются по мере
хвеличения числа М перед решеткой или за нею. Эта переходная область
313
околозвуковых по среднему числу М течений имеет свои особенности, наи-
более резко проявляющиеся при замедленном течении.
По мере повышения скорости в решетке увеличивается расход рабочего
тела, при некотором числе М он достигает максимума и наступает режиу
запирания. Существование такого режима не исключает возможности дви-
жения при числах М > 1, но при этом расход должен быть меньше макси-
мального.
В зависимости от типа решетки и характера течения различным образо'
влияют на потери энергии и критерии подобия.
Турбинные решетки
Обтекание решеток направляющих и рабочих лопаток существенно раз-
личается в зависимости от характера течения: дозвукового во всей решетке
околозвукового и сверхзвукового в выходном ее сечении и сверхзвукового
при входе и выходе из решетки. В дальнейшем числа Re и М без индексог
будут относиться к средней скорости при выходе из турбинной решетки
Дозвуковое течение. В решетках с большой конфузорностью и не слишко
большим углом поворота потока, при котором нет срывов, потери главны
образом зависят от числа Re. Для таких решеток можно ожидать, что npi
ламинарном течении потери изменяются пропорционально Re 2 , а при ту]
булентном течении - - пропорционально Re 5 , как рекомендовал Шлих-
тинг.
В п. IV.4 были отмечены принципиальные стороны расчета профильнь.\
потерь в решетках. Там же была указана связь суммарной толщины потер-:
импульса &а с коэффициентом профильных потерь энергии
Суммарная толщина потери импульса на кромке бк = бк] + бкз опрейл
ляется из достаточно строгого расчета динамического пограничного ел-
на вогнутой и выпуклой сторонах профиля. В ориентировочных же расчета
для определения толщины потери импульса в решетках часто пользуютс
степенной зависимостью такого же вида, как для пластины,
Cb Re
(VII. Г
V
где Ь — хорда профиля; Re — bwlv\ w — скорость потока при выходе
турбинной или при входе в компрессорную решетку; С и т — постоянны-:
величины для определенного типа решеток и в некоторой области чисел R
они находятся по результатам продувок.
Подобные зависимости издавна применялись в расчетах гидротурбин ш :
переходе от к. и. д. модели к к. п. д. натуры (т]к)
I — ты = ( Re* V*
1 — Пн \ ’
где принималось т = 0,1^0,25. Этот диапазон для числа т уже достаточ
характеризует условность предполагаемых пересчетов. Исследования Ло .
цянского и Симонова показали, что поверхностное трение в гидротурбина?
может вызвать лишь небольшое изменение к. п. д. при переходе от моде.'.;
к натуре, а значительная часть разности к. и. д. объясняется потерями втг
булентных струях, образующихся при отрывном течении. В условиях
отрывного течения приведенная формула не отражает сущности физически,
явлений.
314
Аналогичные соображения можно высказать и в отношении обтекания
решеток тепловых турбомашин. Поэтому использование указанных выше
формул допустимо лишь для хорошо обтекаемых решеток, в которых срыв-
ные явления не играют большой роли.
С этими ограничениями можно воспользоваться выражением для коэф-
фициента профильных потерь, полученного из уравнений (VII. 14) и (VII. 15)
для некоторых сравнений результатов опытов
(VII. 16)
На основании анализа большого числа опытных материалов в области 10s <
<Re < 106Г. А.Зальф [13] рекомендует принимать показатель степени т
0,3. В этих условиях коэффициент потерь зависит от местоположения точки
перехода. Решетки такого типа часто встречаются в направляющих аппара-
тах тепловых турбин активного типа и в рабочих колесах различных турбин
с большой степенью реактивности. Примеры хорошего обтекания профилей
в указанных условиях можно
видеть в решетках тонких про-
филей, широко применяемых
в гидротурбинах при малых зна-
чениях коэффициента подъем-
ной силы Су, как это было пока-
зано на рис. VII.5. Этим усло-
виям также удовлетворяют мно-
гие решетки направляющих
лопаток паровых и газовых тур-
бин.
Рис. VII.15. Зависимости коэффициента потерь от
числа Re для решетки профилей ТН-2 по опы-
там ЦКТИ (Г= 0,76. & = 30ч-98,6 мм, М<0,5)
Пример влияния числа Re при выходе из решетки на потери энергии в пло-
ской решетке направляющих лопаток турбины по опытам Н. А. Скнаря
в ЦКТИ [6] показан на рис. VII. 15. На диаграмме нанесены точки для реше-
ток с хордой Ьг = 30; 40,7; 59,2 и 98,6 мм, продутых при напорах от 460
до 1500 мм рт. ст. В этих опытах все точки при не очень большом разбросе
ложатся на одну кривую. Значительное изменение потерь наблюдается
в области Re = (1-: 4) 106 и их уменьшение продолжается вплоть до Re =
= 7-10s.
В сильно изогнутых решетках возможны срывные явления. В таких ре-
шетках в большом диапазоне чисел Re может не наблюдаться изменения коэф-
фициента потерь. Примером могут служить результаты испытаний
(рис. VII. 16) активной решетки [45]. В этих опытах зона до величины Re
«4-105 была автомодельной по этому числу, а затем, при критическом
числе Re наблюдалось резкое снижение коэффициента профильных потерь.
Все сказанное относилось к аэродинамически гладким поверхностям.
В натупных же условиях во многих случаях приходится иметь дело с шеро-
ховатыми поверхностями. В переходной зоне возрастание числа Re приводит
к увеличению потерь от трения, а зона развитой шероховатости становится
автомодельной по этому числу (см. п. IV.5).
Таким образом, в зависимости от типа решетки профилей и состояния
поверхностей влияние числа Рейнольдса на профильные потери энергии мо-
жет сказываться совершенно различным образом: эти потери с ростом
числа Re могут уменьшаться, оставаться неизменными и даже возрастать.
Еще более сложные явления наблюдаются в той зоне, где сильно сказывается
сжимаемость газа и где приходится считаться с одновременным изменением
чисел Re и М.
Закритическое течение. В закритической области в межлопаточном канале
возникает система скачков уплотнения с отражением волн от стенок. Этим
обусловлено повышение неравномерности потока.
С возрастанием числа Л! и соответствующим увеличении степени расши-
рения потока в решетке наибольшее приращение перепада энтальпий при-
315
ходится на выходной участок канала. В связи с этим смещается к выход;
максимальная местная скорость у выпуклой стороны профиля. При дозвуко-
вом течении обычно на выходном участке даже в турбинной решетке наблю-
дается диффузорный эффект. С переходом в закритическую область взаимо-
действие с пограничным слоем на этом участке даже слабых скачков может
привести к отрывным явлениям и существенному повышению местных потерь
энергии. Дальнейший рост числа М в турбинной решетке влечет за собой не-
которое перерасширение на выходном участке вблизи выпуклой поверх -
Рис. VI 1.16. Изменение коэффициента
потерь Чс в зависимости от числа Re
для активной решетки профилей (по опы-
там Жомота)
пости с последующими слабыми скачка-
ми, смещенными к выходной кромке.
По мере увеличения числа М интенсив-
ность скачков и протяженность сверх-
звуковой зоны возрастают.
После скачков поток имеет непо-
средственно у выходной кромки со сто-
роны выпуклой поверхности давление,
меньшее или большее, чем за кромкой.
В последнем случае кромка хорошг
обтекается и аэродинамический след
становится узким. Таким образом, в пе-
реходной зоне от докритического тече
ния к закритическому в турбинной ре-
шетке потери сначала могут значительно возрастать, а затем с увеличениех
числа М столь же значительно снижаться. В этом процессе большую рол
играет распределение давления на выпуклой стороне профиля вблизи вы
ходной кромки при дозвуковом течении.
При значительном перерасширении потока вблизи выходной кромки и:
тенсивный скачок может оказаться перед кромкой и тогда она не будет обтс-
Рис. VII. 17. Влияние чисел Re и М на профильные потери и
на угол выхода потока из решетки профилей ТН-2: а^=43с36А;
b = 40,7 мм; а0 = 90°; Д — 7 = 0,476; 2 — 7= 0,505;
3 — t = 0,663; 4 — t — 0,762 (по опытам ЦКТИ)
каться. В этом случае кромочный след становится широким и потери ре.
возрастают.
Системы порождаемых в закритических зонах скачков и их последстт i
существенно зависят от структуры потока и, следовательно, также от числа 7
Рассмотрим несколько примеров закритического течения в суживающтг - •
каналах.
На рис. VII. 17 представлено изменение профильных потерь в зависимое
от сжимаемости для решетки направляющих лопаток. При М > 0,5 числ
Рейнольдса было достаточно велико (Re >> 5-Ю5) и преобладающую р
играла сжимаемость газа [6]. В зоне М = 1,1ч-1,3 наблюдалось сниже-
потерь, что можно объяснить смещением вниз по течению места падения гт -
316
вичного кромочного скачка одновременно с ростом числа М. Аналогичное
явление наблюдалось в опытах Ю. С. Подобуева и К. Г. Родина в ЛПИ
с турбинными решетками направляющих лопаток: после увеличения в за-
критической зоне (М > 0,8) потери несколько снижались в сверхзвуковой
области.
На рис. VII. 18 представлена зависимость коэффициента потерь энергии
для направляющей решетки профилей ТН-2 ЦКТИ от числа М или Re [6].
Эти графики подтверждают большое влияние числа Re при докритических
и сверхзвуковых скоростях. Наименьшее влияние числа Re обнаруживается
в области Мк <М < 1 (рис. VII. 18, а). В зоне сверхзвуковых скоростей
до чисел М = 1,1 наблюдалось
отрывное обтекание и потери
достигали максимума (рис.
VII.18, б). При очень больших
числах Re лопатки обтекались
безотрывно и коэффициент по-
терь значительно уменьшался.
В области М = 1,1н-1,3 и боль-
ших чисел Re изменение чис-
ла М не влияло на потери.
В этих опытах число Re изме-
нялось в 10 раз (от 2 • 105 до 2 • 10е)
и во всей этой области сказыва-
лось его влияние на потери.
Распределение скоростей на
профиле в докритической и за-
критической зонах для решетки
направляющих лопаток ТН-2
представлено на рис. VII. 19.
Эти опыты ЦКТИ вскрывают
моменты образования и место-
положение скачков. В докрити-
ческой области при повышении
числа М начало диффузорного
щетки профилей ТН-2 при t — 0,76 (по опытам
ЦКТИ): а — g = f (М); б - £ - f (Re)
участка смещается к выходной кромке, чему соответствует сначала некоторое
снижение профильных потерь, а затем их возрастание (рис. VII. 18 и VII. 17).
При М > 1 вблизи точки 4, где начинался диффузорный участок в докрити-
ческой зоне (кривая /), перерасшпрение становится значительным и обра-
зуются скачки (кривые 5—8). Этим объясняется значительный рост потерь
в сверхзвуковой зоне вместе с повышением скорости. При дальнейшем уве-
личение числа М повышенное давление за системой волн приближается к про-
тиводавлению за решеткой и намечается тенденция к снижению потерь энергии.
Образование отрывных зон за системой скачков приводит к увеличению
выходного углаах, начиная с режима, при котором возникает волновой кри-
зис. В докритической зоне этот угол существенно не изменяется.
Иная картина влияния сжимаемости наблюдается при обтекании слабо
конфузорных решеток профилей рабочих лопаток активного типа. В таких
решетках с профилями старого типа имеются резко выраженные конфузор-
ные участки. Ускоренное и замедленное течения до волнового кризиса влияют
на потери обычным образом. После же образования сверхзвуковой зоны
вблизи выпуклой поверхности взаимодействие скачков уплотнения с погра-
ничным слоем вызывает местные отрывные явления и резкое повышение по-
терь. Эти явления значительно смягчаются для решеток из новых профилей,
при проектировании которых не допускалось резких изменений кривизны и
диффузорные участки были минимальными [2, 9, 34].
На рис. VI 1.20 представлена зависимость £ от М и Re для турбинных про-
филей активного типа при различных углах (Ц по опытам Дрезденского
317
опытно-исследовательского института турбомашин (FVAS) [47]. В этих опь
тах в области больших чисел Re коэффициент потерь также оставался при-
близительно неизменным до волнового кризиса, а за ним — постепенно во.
растал. Оптические наблюдения, как и в опытах ЦКТИ, позволили убедиться
что природа повышения потерь объясняется взаимодействием скачков уплот-
нения и пограничного слоя. В зоне Re > 7,5-105 иМ> 0,9 влияние числа Rt
практически не сказывалось. В области же малых чисел Re наблюдалось
з — м, = 0,86;
6 — М2 = 1,15;
/ — Мо == 0,47; 2 — М2 = 0,66;
4 — М2 = 0,95; 5 — М2 = 1,06;
7 ~ М9 = 1,2; 8 — Мо = 1,25
0,9. В этих опыта .
Z7,5-105 егоумень-
существенное возрастание потерь до волнового кризиса, а после него — сни-
жение потерь. Эти явления, не-
видимому, объясняются местным 1
небольшими срывами потока
профиле: при малых Re часть пс
верхности профиля покрыта лахп
парным пограничным слоем, коте
рый при увеличении числа Млегк
переходит в турбулентный. Ес л
на профиле имелись местные ерь
вы, то образование турбулентногс
пограничного слоя способствуе
уменьшению зоны их действия.
В опытах FVAS значительны
оказалось влияние чисел Re при их
сравнительно небольшой величине
в области М Z
при числе Re
шение вызывало снижение потерь
энергии, а при Re = 2-105 было
отмечено уменьшение коэффициеь -
та потерь £ вплоть до М = 1
Последнее явление наблюдалось
и в других опытах. Например,
в опытах фирмы «Метрополитен
Виккерс» с решеткой направля-
ющих лопаток при углах выход I
около 40' в широком диапазоне
углов атаки наблюдалась зона пс
ниженных потерь энергии вблизи
критического значения числа
при числах Re^3,5-105. При это
с помощью оптической установи'
было видно смещение ударной волны вниз по течению в области М > М.
В опытах FVAS путем фотографирования было установлено, что пр.
М = 0,9 и малом числе Re скачок не был видим, при среднем Re бы.-
слабый скачок между выходной кромкой лопатки и выпуклой поверх-
ностью соседней лопатки, а при наибольшем числе Re наблюдался ря:
последовательных вильчатых скачков. В соответствии с развитием скач
ков уплотнения находились и потери энергии, определявшиеся траверсг-
рованием потока.
Замедленный поток вносит коренные изменения в условия обтекания
профилей в докритической и особенно в закритической зонах. Резкое увели-
чение потерь энергии за пределами волнового кризиса наблюдалось в оп
тах [47] над турбинными решетками с замедленным потоком, особенно пр
положительных углах атаки. В некоторых опытах потери возрастали в ь
сколько раз по сравнению с их величиной при докритическом течении. С\д
по распределению давления, обтекание этой решетки было связано со срыь-
ными явлениями, и поэтому не было определенной закономерности изменения
потерь в зависимости от числа Re.
318
Сверхзвуковое течение. Многие проблемы современного турбостроения
связаны со сверхзвуковым течением перед рабочей решеткой. При этом
большую роль играет система ударных волн и местных отрывов вблизи вход-
ной кромки лопатки.
При сверхзвуковом течении
перед решеткой дозвуковых про-
филей формируются отсоединен-
ные скачки уплотнения, которые
могут сливаться со скачками
на соседних профилях, что свя-
зано с большим волновым сопро-
тивлением. Чтобы получить при-
соединенные скачки, кромки
необходимо делать заострен-
ными.
После волнового кризиса
у выпуклой стороны входных
кромок лопаток образуется Л-об-
разный скачок, который посте-
пенно переходит в головной
скачок на соседнем профиле
(рис. VI 1.21) [7]. Если осевая
составляющая скорости с2 пре-
вышает звуковую, т. е. для набе-
гающего потока число МЮ1 >
1/sin pit то скачки перед
профилями сливаются в волно-
образный скачок, а при даль-
нейшем увеличении — вхо-
Рис. VII.20. Изменение коэффициента потерь в зави-
симости от чисел М и Re для решетки профилей
активного типа при различных углах натекания:
а — 01 = 36,4°; б — 01 = 40°; в - 01 = 50°
1 — Re = 2- 106: 2 — Re = 3,5-10»; .? - Re = 5- !05:
4 — Re = 7,5-10»; 5 - Re = 10®;fr*-fc — Re = 1 3-10’
7 — Re = 1,6- 10s
дят внутрь канала.
Течение сквозь систему скачков связано с потерями энергии, которые
сосредоточены у выпуклой поверхности лопатки. Они происходят от кромоч-
ных ударных волн и волн вблизи выпуклой поверхности профиля, а также
ЕРис. VII.21. Система скачков и волн при сверхзвуковом обте-
кании турбинной (а) и компрессорной (б) решеток
вследствие отрывов пограничного слоя за участками перерасширения. Боль-
шие потери могут также получаться вблизи выходного участка канала под
влиянием ударных волн и местных отрывов.
Запирание связано с переходом к дозвуковому течению. При этом давле-
ние перед решеткой может повышаться в несколько раз в соответствии с рас-
ходом газа. В случае течения с запиранием, когда нет ударной волны, от-
сутствует отрыв в центральной части канала, что приводит к снижению про-
319
фильных потерь. Однако переход к докритическому течению может настолько
снизить мощность ступени, что она вовсе не будет отвечать своему назначению.
В некоторых случаях могут быть заперты лишь отдельные каналы в рабо-
чем колесе под действием проникших кромочных ударных волн или головных
волн, отраженных от направляющих лопаток. Такие запирания могут вызы-
вать сильные нестационарные явления.
Для устранения запирания рекомендуется увеличивать площадь горла
рабочего канала по сравнению с критическим его размером на величину, соот-
ветствующую потерям в прямой ударной волне перед решеткой. Во многих
случаях и этого оказывается недостаточно в связи с неравномерностью потока
и отрывами пограничного слоя, после которых образуются вихревые зоны,
стесняющие живое сечение канала. Такого же эффекта, как при увеличении
горла, можно достигнуть применением перекрыши решетки по высоте.
При использовании результатов опытов на плоских решетках следует
иметь в виду, что при наличии осевого зазора между соплом и решеткой
благодаря значительной утечке газа запирания может не быть, тогда как
в реальных условиях работы ступени такой режим работы может оказаться
неосуществимым.
В стремлении избежать в зоне больших чисел М№1 запирания и по воз-
можности снизить потери энергии при повороте потока разрабатывались и
испытывались сверхзвуковые активные решетки различной формы [2, 9, 24].
В основе проектирования таких решеток лежал принцип затормаживания
потока перед поворотом до малых сверхзвуковых скоростей. По одному из
методов МЭИ [7 ] торможение потока предусматривалось на входном участке
спинки профиля, который выполнялся вогнутым для образования отсоеди-
ненного криволинейного скачка или с угловым изломом для ступенчатого
торможения в системе косых скачков.
Другой метод заключался в торможении потока в криволинейном или
косом скачках на входном участке, возникающих со стороны вогнутой по-
верхности, причем входной участок спинки делался небольшой кривизнь
или прямолинейным.
При небольших сверхзвуковых скоростях (Ма,, < 1,25) рекомендовались
суживающиеся каналы, перед которыми возникал бы прямой скачок, обес-
печивающий дозвуковое течение, а для больших сверхзвуковых скоростей —
сужив аюше- р асшир яющиес я к ан а лы.
Профили лопаток МЭИ (рис. VII.21) для сверхзвукового потока имею*
малую толщину входной кромки с малой кривизной выпуклой поверхност.
на входном участке и в косом срезе. Перед такой решеткой возникает криво-
линейный скачок сравнительно небольшой интенсивности. На выпукло
стороне профиля поток интенсивно ускоряется, и эта зона заканчиваете
скачком внутри канала. При небольшом перерасширении поток тормозите
только в головном скачке.
На потери энергии большое влияние оказывает изменение площади канал _
вдоль его средней линии. Суживающиеся каналы применяются для неболь-
ших сверхзвуковых скоростей. Основные потери в этих каналах получаютс -
вследствие местного перерасширения потока у выпуклой стороны профи." •
с последующим скачком и отрывом
Каналы постоянной ширины находят применение при М > 1,3. Они в-
полняются со спрямленными участками на входе и выходе с задней сторо' .
профиля, а также с изломами во входном и выходном косых срезах [9
Последние имеют назначение предотвратить срывы пограничного слоя и вы-
звать торможение в слабом скачке. Их эффективность зависит от точного в -
бора места расположения. В некоторых опытах применение изломов пр -
водило к значительному уменьшению потерь энергии.
Большой интерес представляют суживающе-расширяющпсся канал..
В таких каналах при сравнительно большой степени сужения удавался
уменьшить протяженность и ширину отрывной зоны у выпуклой стороны
320
профиля. При такой организации потока основные потери порождаются при
пересечении потоком системы скачков и волн при входе в решетку и выходе
из нее. Оптимальная степень сужения канала зависит от числа МШ1 и угла
поворота потока и находится она в пределах 1—0,75. При высоких числах М
решетки этого типа обеспечивают плавное торможение потока лишь в узком
диапазоне режимов.
Рис. VII.22. Достигнутые осредненные минимальные профиль-
ные потери в сверхзвуковых решетках:
1—при сверхзвуковом входе в решетку; 2—течение в соплах; 3— потери
от прямой ударной волны
О величине достигнутых минимальных потерь энергии в соплах и в решет-
ках активного типа (угол поворота е = 140°) можно судить по кривым
рис. VI 1.22, построенным А. И. Слепухиным по данным опубликованных
опытов многочисленных исследователей и относящихся к оптимальным ре-
жимам. Рост потерь в области чисел М = 0,8ч-2,0 для решеток значительно
больше, чем для сопел. Кроме того,
для решеток разброс опытных точек
получился значительно большим, чем
для сопел, что свидетельствует о не-
достаточной точности методов проек-
тирования таких решеток. Это обстоя-
тельство побуждает также с особой
осторожностью относиться к исполь-
зованию опытных данных на решет-
ках без проверки их на вращающихся
моделях в условиях, близких к на-
турным.
Анализ этих же результатов опы-
тов при числах Mw, >1,5 подтверж-
дает преимущества решеток сужи-
вающе-расширяющейся формы. Опти-
мальная степень сужения зависит
от числа Ми,, и угла поворота потока.
Влияние числа Re на потери в сверх-
звуковых рабочих решетках значи-
Рис. VII.23. Коэффициент потери в сверх-
звуковых сопловых решетках (по опытам
МЭИ):
1—расширяющиеся каналы, /=1,34; 2 — расши-
ряющиеся каналы; f — 1,16; 3—суживающиеся
каналы с вогнутой спинкой в косом срезе, f = I
(f — отношение живых сечений при выходе из
сопла и в его горле)
тельно меньше, чем в дозвуковых.
По опытам МЭИ при числе Re>2,2-105 оно практически не влияет на потери.
Для сверхзвукового потока в турбинных решетках с расширяющимися
каналами недопустимы значительные отступления по числу М в модельных
испытаниях от натурных условий. В качестве примера на рис. VI 1.23 пока-
заны изменения коэффициентов потерь £ в зависимости от числа М для сопел
по опытам МЭИ. В опытах с расширяющимися соплами уменьшение числа М
от 1,6 до 0,9 вызывало увеличение потерь энергии в несколько раз (кривые /
21 И. И. Кир ИЛ ЛОВ
321
и 2). Из этой диаграммы также видно большое влияние на потери энергии
профилирования сопел. Высокими качествами обладает решетка МЭИ с во-
гнутой спинкой профиля д косом срезе (кривая 3).
Компрессорные решетки
В решетках с замедленным дозвуковым потоком характер распределения
давления по профилю с возрастанием числа М набегающего потока меняется
сравнительно мало. При этом на выпуклой стороне профиля растет разре-
жение, особенно в зоне его максимального значения.
Характер течения резко меняется после волнового кризиса. В области
М > МЛ разрежение у передней кромки уменьшается, а в районе задней
Рис. VI 1.24. Характеристики дозвуковых решеток в зависимости от числа
^шах
и от угла атаки i: а — относительный к. п. д.Т| = Т]Л1к» где щ — к. п. д. решетки при М = МА.
₽2
и относительная отклоняющая способность решетки В — ——п .
(Ctg₽2 —ctgpi)
1- (для верхних крг
/с
вых s/b = 0,06; для нужных кривых s/b = 0,1 по данным Б. Эккерта); б — Мк и Мтах
данным А. Хове л ла)
кромки быстро увеличивается за счет перерасширения сверхзвукового по-
тока, после чего через скачок уплотнения он переходит в дозвуковой. В это :
области возникает значительное волновое сопротивление, быстро возрастаю-
щее с увеличением числа М, и к. п. д. решетки существенно снижается
При некоторой скорости набегающего потока достигается число Мп
при котором средняя скорость в узком сечении приближается к критическо
при значительных местных сверхзвуковых скоростях, и происходит запира-
ние канала. Для обычных дозвуковых профилей этот неустойчивый режю
связан со столь большими потерями энергии, что решетка не создает напор
и отклоняющая способность решетки В = ctg [32 — ctg резко уменьшаете
(рис. VII.24, а).
При увеличении или уменьшении угла атаки по сравнению с оптимальны
критическое число М/с быстро падает, число же Мтах при положительны
углах атаки снижается, а при отрицательных возрастает (рис. VI 1.24, б*
Критическое число Мк уменьшается по мере увеличения изогнутости профил
и его относительной толщины.
Причины быстрого падения числа Мтах в области отрицательных углов
атаки и больших его значений в области положительных углов атаки заклк -
чаются в том, что при отрицательных углах атаки ширина потока перед р
шеткой профилей больше, чем минимальное живое сечение вследсты
чего при входе в решетку скорость дозвукового потока резко возрастает. :
322
при больших значениях дозвуковой скорости перед решеткой вблизи узкого
сечения уже развивается скачок уплотнения. При положительных углах
атаки наблюдается обратная картина. Для современных дозвуковых компрес-
сорных решеток обычно число Мк 0,65ч-0,85, а Мгаах 0,85ч-0,95.
При переходе к сверхзвуковым решеткам необходимо применять специаль-
ные профили с острыми кромками, при которых поток проходит через систему
косых (/) и прямых (2) скачков (рис. VI 1.21, б) Явления, сопровождающие
пересечение систем скачков и волн, уже были рассмотрены применительно
к турбинным решеткам.
VI 1.4. КОНЦЕВЫЕ ПОТЕРИ
В п. V.11 были подробно рассмотрены физические явления у концов лопа-
ток в ступенях без бандажа и с бандажом. Здесь дадим оценку потерям энер-
гии у концов лопаток в ступенях различного типа.
Турбинные ступени. В ступенях без бандажа потери от радиального
зазора можно лишь качественно оценить методом элементарных энергетиче-
ских балансов (см. п. V.11). Такие расчеты полезно выполнять при сравнении
проектируемых вариантов ступеней нового типа. Но пока более надежно
эти потери рассчитывать согласно результатам испытаний аналогичных сту-
пеней с использованием эмпирических формул. Анализ опытных данных имеет
также большое значение для понимания механизма явлений, что необходимо
для апробации и уточнения методов расчета и усовершенствования конст-
рукций.
Опыты А н д е р г у б а были выполнены на восьмиступенчатой реак-
тивной паровой турбине (d = 160 мм; / = 13 мм) с радиальными зазорами
как у рабочих, так и у направляющих лопаток. Зазоры изменялись от мини-
мально допустимого путем срезания направляющих и рабочих лопаток. В ре-
зультате опытов была получена эмпирическая формула, по структуре не отве-
чающая принципам моделирования,
£1.4
A/zz = 1,72-^— ho, (VII. 17)
где A/iz — потеря энергии в направляющих и рабочих лопатках, вызванные
радиальным зазором; б — величина зазора в мм; / — высота лопатки в мм;
h0 — располагаемый перепад энтальпий в ступени.
Во время опытов было обнаружено, что увеличение радиального зазора
у рабочих лопаток оказывает в 1,5 раза большее влияние на потери энергии,
чем такое же увеличение зазора у направляющих лопаток. В известной
мере это объясняется повышенной степенью реактивности у периферии про-
точной части.
Утечка через радиальный зазор в опытах Андергуба приблизительно в два
раза превосходила количество пара, протекавшего через участок лопаточ-
ного аппарата такой же высоты, как зазор,
AG,m = 2G'4, (VII. 18)
где G' — количество рабочего тела, протекающего в единицу времени между
лопатками высотой I.
Опыты Броу н— Б о в е р и по определению потерь энергии, вы-
званных радиальными зазорами в реактивной ступени, привели к формуле
АЛ/= 3,1 -^-h*0. (VII. 19)
Ступени активного и реактивного типов испытывали В. X. Абианц и
С. М. Дорофеев [11. В опытах с реактивными ступенями увеличение радиаль-
ного зазора над рабочим колесом на 1% вызывало уменьшение к. п. д. тур-
бины на 2—2,5°6. В активных ступенях потери были несколько меньше.
21* 323
Опыты Абианца с сопловым аппаратом показали, что каждый процент (от
высоты лопатки) увеличения радиального зазора вызывает снижение к. п. л
ступени на 4—5%.
В опытах ЦКТИ [61 со ступенью, имевшей у периферии степень реактив-
ности рг = 59%, снижение к. п. д. на каждый процент увеличения радиаль-
ного зазора составляло около 2,7%.
На основании опытов НЗЛ была предложена эмпирическая формула для
к. п. д. ступени [14]
п = г]га(1(VII.20)
где I — высота лопатки; а = 1,3; k = = 1,3/sinaj.
Опыты БИТМ были выполнены для турбинных ступеней с различ-
ной степенью реактивности [21]. Последние, в отличие от указанных выше
опытов, производились как с
Таблица VII. 1 отрицательной, так и с положи-
Обозначение модели Тип модел и Zi, мм d L «1, град Степень реактивности при 0'/C0)opt тельной перекрышей. Ступен ' с положительной перекрыше без бандажа находили примене- ние в турбостроении, но влияние этой перекрыши на потери н. было изучено. Рассмотрим результаты опы- тов над семью моделями тур- бинных ступеней, имевших npi оптимальном режиме термоди- намическую степень реактив- ности у периферии от 8 до 40%. Основные характеристики моде- лей даны в табл. VII.1. Все мо- дели имели хорду b = 30 м* . кроме модели 7 (Ь = 42 мм):
в корневом сечении р т у пери- Лер и и р т
1 2 3 4 Б и П 80 58 38 77 7 9 13,5 9 17 17 17 15 0,10 0,10 0,10 0,02 0,38 0,32 0,22 0,12
5 О 80 7 17 0,10 0,32
6 7 О 87,5 86 8 4,5 8; 20 13 —0,17; 0,40 0,10 0,08; 0,44 0,48
расстояние между направляю-
щими и рабочими лопатками 62 5н-8 мм. В моделях Б и П перекрьшш
у периферии была А" = 2 мм, кроме модели 4 (А" = 4 мм). Все модель
имели закрученные рабочие лопатки, кроме модели 4. В моделях с отрица-
тельной перекрышей (типа О) радиальный зазор изменялся подрезкой рабо-
чей лопатки, а диаметр уплотнительного кольца сохранялся неизменны*
и равным наружному диаметру направляющего аппарата. Для сравнение
ступени с положительной перекрышей испытывались также с бандажо^'
(ступени типа Б с двумя радиальными усиками). Модели 1 и 5 имели одг
наковые размеры.
В моделях с положительной перекрышей (типа П) радиальный зазог
изменялся подрезкой уплотнительного кольца. Опыты с моделью 6 прово
дились при одном радиальном зазоре, но при различных углах ссч . Ограничи-
вающие поверхности направляющих аппаратов всех моделей были цилиндри-
ческими. Все модели, кроме модели 4, имели рабочие лопатки, закрученные
9 2
№ cos а-, .
в соответствии с уравнением с1иг 1 = const.
Исследование было выполнено на одноступенчатой воздушной экспер! -
ментальной турбине при числах Д4С1 = 0,3-е0,5 и Re = (4-еб) 105. В сравш
тельных испытаниях сохранялся неизменным осевой зазор между направля
ющими и рабочими лопатками.
Характеристики ступеней были получены в виде функций т] = f (и/С
и рт = f (и/С0), причем к. п. д. определялся в предположении, что выходна
кинетическая энергия полностью теряется.
Характер кривых т] = f (и/С0) (рис. VII.25) для моделей типов О, Б и Г
получился различным. Тогда как в моделях типов Б и П было четко вырз-
324
жено расхождение кривых по мере увеличения и/С0, для моделей типа О эти
кривые приблизительно эквидистантны. Модель типа О оказывается в осо-
бенно неблагоприятных условиях в области малых и/Св. В этой области
модели типов П и Б становятся менее чувствительными к радиальному за-
Рис. VII.25. Кривые к. п. д. г] = f (и/Св) при различных
радиальных зазорах (по опытам БИТМ): а — модель 1-Б;
б — модель 1-П; е — модель 5-0; г — модель 4-Б и 4-П
зору, тогда как в модели типа О влияние зазора сохраняется почти таким же,
как при оптимальном режиме. Такой вид кривых к. п. д. объясняется раз-
личной структурой потока у периферии рабочего колеса (см. п. V.H).
Рис. VII.26. Изменение к. п. д. ступеней в зависимости от радиального зазора
(по опытам БИТМ): а — Дгр= f (б); б — т) = / (6); б = 6/Z:
7 — модель 1-П; 2 — модель 2-П; 3 — модель 3-П; 4 — модель 1-Б; 5 — модель 2-Б;
6 — модель 4-Б; 7 — модель 3-Б; 8 — модель 4-П; 9 — модель 5-0
Для моделей 1—5 кривые снижения к. п. д. Ai] = f (8/1) представлены
на рис. VI 1.26. Кривые 1, 2 и 3 для моделей типа П практически сливаются,
тогда как кривые 4, 5, 6 и 7 аналогичных моделей типа Б существенно раз-
личаются между собой. Это подтверждает принципиальное различие струк-
туры вторичных течений в ступенях с бандажом и без бандажа.
Для коротких лопаток (кривые 3 и 7) снижение к. п. д. под влиянием
снятия бандажа (модели типа 3-Б и 3-П) оказалось значительно больше, чем
325
для длинных лопаток (кривые 1 и 4). Особенно сильно сказывается благо-
приятное влияние бандажа в области больших радиальных зазоров. Модель
типа О, испытанная только при высоте Д = 80 мм, дала исключительно не-
благоприятный результат при больших радиальных зазорах (кривая 5).
Степени реактивности в моделях с бандажом и без бандажа существенно
между собой различаются. В моделях типа Б степень реактивности у пери-
ферии получилась больше, чем в моделях О и П, что объясняется меньшей
величиной утечки и меньшим искривлением линий тока в ступенях с банда-
жом. Наибольшие отклонения степени реактивности при изменении радиаль-
ного зазора наблюдались у периферии.
В модели 5-0 лопатки были короче, чем в модели 1-Б, на величину пере-
крыши и радиального зазора — при 6 = 2 мм уменьшение высоты лопатки
А/ = 3,5 мм, т. е. 0,04/. Казалось бы, при таком уменьшении высоты лопатки
степень реактивности должна была возрасти. В действительности же в мо-
дели 5-0 степень реактивности у периферии при (u/C0)opt •= 0,5 упала по
сравнению с моделью 1-Б приблизительно на 6%, а у корня примерно оста-
лась без изменения. Это явление подтверждает, что коэффициент расхода
через зазор 6 в моделях типа О значительно больше, чем в моделях типа Б.
Опытные данные позволяют также качественно оценивать влияние на
концевые потери формы профиля лопаток и степени реактивности. Напри-
мер, для моделей типа 1-П, 2-П и 3-П с различными высотами лопаток были
получены приблизительно одинаковые потери в зависимости от величины
относительного зазора 6, тогда как для этих моделей степень реактивности р-
при оптимальном режиме составляла соответственно 0,38; 0,32 и 0,22. По
мере увеличения степени реактивности, естественно, увеличивается утечка.
В то же время в ступенях с большой степенью реактивности в периферийном
сечении профили лопаток менее изогнуты, благодаря чему перетекания рабо-
чего тела из одного канала в другой и срывные явления у выпуклой поверх-
ности уменьшаются. Эти явления приблизительно взаимно компенсируются,
и, несмотря на различие в степени реактивности, для этих трех моделей
снижение к. п. д. Ат] в зависимости от 6 получается одинаковым.
Модель 4-П, имевшая небольшую степень реактивности у периферии
рг = 0,12 и значительно большую перекрышу (А" 4 мм), чем в моделях
1-П, 2-П и 3-П, показала большее снижение к. п. д. Ат] = f (6), чем в этих
моделях (кривая 8 на рис. VII.26). Из этих опытов следует, что в ступенях
без бандажа значительные концевые потери энергии возникают также при
небольшой степени реактивности вследствие неблагоприятных условий обте-
кания профиля у концов лопаток (см. п. V.11). Увеличение радиального за-
зора оказывает особо сильное влияние на концевые потери в области малых
его величин.
Для ступеней с закрученными лопатками типов 5-0 и 1-П, 2-П и 3-П при
сравнительно небольших углах атаки на оптимальном режиме коэффициент
потери энергии достаточно точно выражается формулой
t; = (z6“0’7, (VI 1.21
где а 0,7 — для ступеней без уступа (типа О); а «=» 0,4 — для ступеней
с уступом (типа П).
Если принять, согласно опытам Лндергуба, что влияние на коэффициеь”
потерь энергии радиального зазора у периферии рабочего колеса сказывается
приблизительно в 1,5 раза сильнее, чем у корневого сечения направляющее
аппарата, то полученные в опытах БИТМ концевые потери для ступене
типа О оказываются значительно больше, чем в опытах Андергуба.
В ступенях без бандажа сильное влияние на концевые потери оказывает
положительная перекрыша у периферии (ступени типа П). В таких ступеня
при небольшой перекрыше (А// «=* 0,02) концевые потери энергии уменьша-
лись приблизительно в два раза по сравнению с потерями в ступени О. По-
326
этому при значительных радиальных зазорах следует отдавать предпочтение
проточной части с уступом за направляющим аппаратом у периферии.
Опыты Л П И со ступенями без бандажа при различных радиальных
зазорах были выполнены на моделях ступеней с закрученными лопатками.
Эти опыты подтвердили большое влияние радиального зазора на характери-
стики турбинных ступеней (см. гл. IX). Было установлено, что вредное влия-
ние радиального зазора может быть существенно ослаблено устройством
положительной периферийной перекрыши А". Оптимальная величина этой
перекрыши находится в зависимости от хорды периферийного профиля и от
угла потока «1 (см. рис. IX. 12). Потери энергии при изменении радиального
зазора существенно зависят от величины периферийного шага. Потери умень-
шаются с увеличением до некоторого значения густоты решетки у периферии.
Г. Ю. Степанов для потерь в обандаженных турбинных решетках у обоих
концов лопаток рекомендует формулу, полученную на основании результа-
тов различных опытов, t,k = ^>аИ, где а — ширина узкого сечения канала;
£ = 0,07ч-0,18 и не зависит от длины лопатки при all < 3-е4; меньшая вели-
чина £ рекомендуется для решеток с малым коэффициентом £пр.
Для ступени в целом Флюгель рекомендовал формулу т] = т]^ (1 — all),
где т]го — к. п. д. ступени при I сю; а — условная толщина пограничного
слоя у концов обандаженных лопаток. Флюгель принимает а = 1,24-1,6 мм,
вводя таким образом размерный коэффициент, что сужает область примене-
ния его формулы.
Гидротурбины выполняются с малоизогнутыми лопатками, име-
ющими большой относительный шаг. Принципиальная картина вторичных
течений у периферии колеса гидротурбины такая же, как описанная выше,
но количественная оценка потерь получается иной. Для расчета концевых
потерь в поворотнолопастных гидротурбинах Этинберг [43] предложил фор-
мулу
/ 250 в '\
ф-Хсоз^С^С2, (VII.22)
где I = l/b; v — коэффициент веерности; d" — наружный диаметр рабочего
колеса.
Коэффициент В в формуле (VI 1.22) определялся на основании опытов ЛМЗ
с моделями поворотнолопастных турбин различной быстроходности (В
0,005). Для колес с короткими лопатками концевые потери в гидротурби-
нах играют важную роль.
Бандаж может полностью устранить перетекание рабочего тела из
одного рабочего канала в другой. Он существенно улучшает структуру по-
тока за рабочим колесом по сравнению со ступенью без бандажа как с усту-
пом, так и без него. При наличии бандажа не наблюдается значительного
провала в поле осевых составляющих скоростей вблизи периферии. Вторич-
ные течения внутри канала под бандажом оказывают на потери несравненно
меньшее влияние, чем перетекания через концы лопаток. Этим объясняется
значительное увеличение к. п. д., наблюдавшееся при установке бандажа.
Например, в модели 1 (табл. VII. 1) при рг = 0,38 и радиальном зазоре
6 — 1 мм установка бандажа дала повышение к. п. д. приблизительно на 1 % .
Модель 4 при рг «==* 0,12 и 6 ==» 1 мм показала после установки бандажа по-
вышение к. п. д. на 3°о (рис. VI 1.25, г). Обе модели имели у периферии раз-
личные профили: в первой модели профили у периферии колеса были изогнуты
сравнительно мало и их коэффициент подъемной силы при нулевом зазоре
Су = 2; в модели 4 эти профили были изогнуты значительно сильнее и коэф-
фициент подъемной силы Су = 5,5. Покрытие бандажом сильно изогнутых
лопаток активного типа оказалось особенно эффективным. Увеличение к. п. д.
турбинных ступеней под влиянием установки бандажа в опытах Тырыш-
327
кина и Ширкова [37] при 6 = 0,02 и высокой степени реактивности у пери-
ферии (рг 0,6 и dt 4,5) превышало 2% (по сравнению с моделью типа О),
а в опытах В. А. Шерстянникова [41] при б 0,015 и dl^> 3,2=6,1 это’
выигрыш достигал соответственно 2—3,5%.
В ступенях с бандажом приходится оставлять радиальный зазор межд}
колесом и корпусом. Утечка через этот зазор может иметь существенно
значение, но она не нарушает структуры потока внутри рабочего колеса i
при надлежащем уплотнении этого зазора оказывает на характеристик!
ступени значительно меньшее влияние, чем межканальные перетекания в сту-
пенях без бандажа. С увеличением радиального зазора положительный эф-
фект от установки бандажа усиливается (рис. VII.25, г), так как в ступен!
без бандажа при больших зазорах углубляется зона деформации потока и
Рис. VII.27. Изменение к. п. д. ступени в зависи-
мости от комплекса К при Г<еса >2-10® и
М<МК:
Рис. VII.28. Изменение коэф-
фициента напора ступени в за-
висимости от комплекса К при
Ре3у> 2-10®, М<МК и и" =
= 60—250 м/с:
• и К — опыты ЦКТИ; □ — опыты «Эшер-Висс»:
А — опыты Рудена
и ф—опыты ЦКТИ; □ — опыты
«Эшер-Висс»; А—опыты Рудена
Бандаж может значительно улучшить вибрационные характеристики ло-
паточного аппарата и в ряде случаев его применение диктуется соображе-
ниями надежности работы турбомашины. Применение бандажа огранич!
вается его прочностью при очень больших окружных скоростях. Совремеи
ные конструкции лопаток, выполненных заодно с бандажом, позволяют npi
менять его при высоких окружных скоростях и температурах.
Коэффициент расхода моделей 5-О, 1-Б и 1-П, имевших один и тот ж
направляющий аппарат, получился приблизительно одинаковым, несмотр
на то, что степень реактивности была наибольшей в модели 1-Б. Объяснен!
этому находим в разном характере кривых степеней реактивности в модели
с бандажом и без него. В последних моделях непосредственно у периферг
степень реактивности существенно понижается по сравнению с моделью 1-Б
но в некоторой зоне вблизи концов лопаток под влиянием деформации основ
ного потока сопротивление колеса, как указывалось, возрастает, вследств:
чего меняется вид кривой степени реактивности у периферии.
Компрессорные ступени. В компрессорной ступени без бандажа возн
кают в принципе такие же явления, как в турбинной ступени, с известнь
различием вследствие диффузорного характера течения и обратного напра-
ления вращения лопаток. Результаты некоторых опытных данных представ-
лены на рис. VII.27 в зависимости от комплекса К ~= —100<\ где а - = fr" d
1 — al
Согласно этим опытам, влияние радиального зазора для оптимального режи
можно учесть формулой [5]
2,46
1 — ей
328
Напор, создаваемый компрессором, в еще большей степени, чем к. п. д..
зависит от величины относительного зазора. На рис. VI 1.28 представлено
относительное изменение коэффициента циркуляции си в зависимости от
комплекса /< по данным А. П. Гофлина [5]. Существенно меняется также ве-
личина коэффициента расхода.
В расчетах компрессоров находила применение также формула Хо-
велла [35], в которой коэффициент лобового сопротивления САК, соответ-
ствующий концевым потерям, был разделен на коэффициент индуктивного
сопротивления Cxi и коэффициент сопротивления трения на ограничивающих
цилиндрических стенках Схтр
Для относительной длины I
рекомендовал формулы:
cxi = 0,018С;
—' xt I ^хтр-
2 и относительного зазора д << 0,02 Ховелл
'хтр = 0,020
Эти формулы не учитывают влияния изменения зазора на потери, и по-
этому не отвечают требованиям моделирования. Область их применения огра-
ничена теми условиями, в которых проводились опыты.
Выхов
на-
VI 1.29. Плоские торцовые стенки направляю-
каналов: а — фрезерованная лопатка; б
правляющий аппарат
В этом одна из
Рис.
щих
потери, а также снизить степень реактив-
Концевые потери в корневой области
При выходе потока на цилиндрическую поверхность в корневой области
возникают сильные вторичные течения (см. гл. V) и связанные с ними боль-
шие потери энергии. Так, в опытах БИТМ с турбинными ступенями актив-
ного типа с бандажом при dt =
= 7ч-8 в периферийной области
ступени концевые потери были
приблизительно такими же, как
в плоской решетке, тогда как
вблизи корня они при опти-
мальном режиме более чем
в 1,5 раза превосходили потери
у периферийных концов лопа-
ток, а в области малых ц/С0
этот коэффициент оказался еще
больше. Таким образом, в кор-
невой области таких ступеней
сосредоточены значительные,
а при коротких лопатках глав-
ные потери,
основных причин расхождения
между результатами опытов на
плоских решетках и на вращаю-
щихся моделях.
С целью уменьшить концевые
ности ступени активного типа выполнялись с плоскими торцовыми поверх-
ностями направляющих каналов (рис. VI 1.29). Плоскостям у торцов при-
давался различный наклон, в связи с чем несколько менялись условия тече-
ния при входе в ступень и при выходе из нее.
Опыты в БИТА! [25] со ступенью активного типа (dZ1 « 8; 1Г — 67 мм)
показали более высокий к. п. д. ступени с плоскими торцами и более равно-
мерное поле скоростей в корневой области, чем в ступени с цилиндрическими
поверхностями. Это различие в к. п. д. объясняется как уменьшением утечки
рабочего тела через открытый осевой зазор у периферии, так и улучшением
структуры потока в корневой области. Выигрыш в к. п. д. для испытанной
модели от улучшения структуры потока можно ориентировочно оценить в 1 %.
VIL5. ПОТЕРИ ОТ ТРЕНИЯ И ВЕНТИЛЯЦИИ
полизи стенок вращающегося
слой, который имеет почти такую
''MmiTi
0,2 0/f 0,6 s/r
Рис. VII. 30. Зависимость коэффициента
момента сопротивления См от осевого
зазора s для гладкого диска при турбу-
лентном режиме (поданным Л. А. Дорф-
мана) .
1 — диск; 2 — корпус
Трение вращающихся дисков. При вращении диска в вязкой жидкости,
обладающей большой плотностью, возникают силы трения, которые могут
существенно снижать к. п. д. турбомашины. В гидравлических тормозах
момент сопротивления дисков необходим для поглощения мощности испытуе-
мой машины. В обоих случаях конструктор должен располагать достаточно
точными формулами для расчета мощности трения дисков.
диска образуется тонкий пограничный
же окружную скорость, как и диск на
соответствующем радиусе. Под влия-
нием центробежных сил инерции части-
цы жидкости, находящиеся в погранич-
ном слое, движутся от центра к пе-
риферии диска, а затем спускаются
в пограничном слое вдоль стенок ко-
жуха к валу и диску (рис. VII. 30).
Жидкость, заключенная в пространстве
между диском и кожухом и охваченная
указанным выше течением в погранич-
ном слое, вращается приблизительно
как твердое тело с угловой скоростью,
составляющей около половины ско-
рости диска.
Впервые теория турбулентного по-
граничного слоя на вращающемся глад-
ком диске была развита Карманом
в 1921 г. Исходя из степенного профи-
ля окружных скоростей в пограничном
слое, Карман получил коэффициент
момента сопротивления, пропорциональный Re~0’2, что приводило к мо-
менту сил трения, меньшему, чем в опытах. Более точная формула была
получена С. Гольдштейном, положившим в основу исследования логарифми-
ческий профиль скоростей в пограничном слое. Дормфан [10] предложил
приближенную формулу
Здесь
СД = 0,982 (lg Re)-2,58.
' — М - Ра аг2
М- i , Ке - —
ро2гэ
где А4 — момент сил трения
Согласно опытам Шульца—Грунова [50] были получены формулы для
определения мощности трения Nmp на обеих сторонах диска в зависимость
от числа Re = udlv:
Re < 3 -104; Nmp = 0,785-
у I Up c
3-104 < Re < 6-105; Nmo = 0,46- 1(TW —Ш;
I Re
Re > 610s; 7Vm0 = 0,88-
у Re
где d — диаметр диска, м; и — окружная скорость, м/с; Nmp — мощност
трения, КВт; s — расстояние от диска до крышки кожуха, м.
Для шероховатой поверхности диска, вращающегося в свободном пре
странстве, при режиме развитой шероховатости в области 125 < rik < 30<"
330
Дорфман [И] получил теоретически и подтвердил экспериментально фор-
мулу
CAJ = 0,108(4P>
где k—высота бугорков шероховатости.
Момент трения вращающегося диска в кожухе зависит от величины осево-
го зазора. Многоиисленные опыты Шлихтинга и др. установили, что отноше-
ние минимального коэффициента сопротивления к его значению для
свободного диска См равно 0,474. При этом оптимальный относительный
зазор s = sir, при котором достигается , согласно опытам К. Пантелла,
изменяется в пределах s -= 0,02-^0,03 при Re - cor2/v IO7-5 -4- 106. Для
шероховатого диска опыты Пантелла обнаружили такое же влияние осевого
зазора на коэффициент См, как для гладкого диска. Поэтому допустимо счи-
тать [11], что для шероховатого диска также справедливо соотношение
СМшт/СМсе = ^,474 и> следовательно, можно применять формулу
Вентиляционные потери. В турбине с парциальным впуском жидкости
только часть рабочих лопаток находится в потоке. В гидротурбинах с пар-
циальным впуском ковши, находящиеся вне действия струй, вытекающих
из сопел, на протяжении неактивной дуги движутся в воздухе с небольшой
скоростью, не испытывая ощутимого сопротивления среды. Иначе протекает
процесс в тепловых турбинах с парциальным впуском, в которых струя за
рабочим колесом поступает в затопленное пространство; в том же простран-
стве с большой скоростьк/движутся вне основного потока рабочие каналы,
встречая значительное сопротивление среды.
Если вообразить, что межлопаточные каналы рабочего колеса заполнены
неподвижным относительно каналов рабочим телом, то между ним и окру-
жающей средой во время вращения ротора будут действовать силы трения.
При движении одного слоя рабочего тела с большой скоростью по отношению
к другому слою возникают силы трения, несравнимо большие, чем от трения
рабочего тела о твердую стенку. Поэтому силы трения между застойным
рабочим телом в межлопаточных каналах и окружающей средой вызывают
значительные потери энергии. Эти силы трения между слоями приблизи-
тельно прямо пропорциональны плотности рабочего тела, площади сопри-
косновения слоев и квадрату окружной скорости, а затрачиваемая мощность
пропорциональна кубу окружной скорости.
Во вращающемся колесе без подвода рабочего тела наблюдается «венти-
ляционный» эффект, заключающийся в подсасывании жидкости в корневой
области канала и выбрасывании ее из колеса у периферии. При значительном
различии входных и выходных углов лопаток возможны также существенные
перетекания жидкости с одной стороны рабочего колеса на другую. Если
имеется небольшой осевой зазор перед колесом, а за ним свободное простран-
ство, то у периферии перед колесом под влиянием вращения возникает
повышенное давление, а с другой стороны давление практически остается
независимым от вращения. В таком случае через периферийные сечения
устанавливается течение из пространства перед рабочим колесом в простран-
ство за ним, а в корневой области, где давление перед колесом понижается,
рабочее тело движется в обратном направлении.
При обратном вращении турбинного колеса вентиляционные потери зна-
чительно возрастают. По опытам Стодолы для открытых колес эти потери
были в пять-шесть раз больше, чем при прямом вращении.
Если вращающееся колесо окружить кожухом, предусмотрев лишь не-
большой зазор между неподвижными стенками и рабочими лопатками, то
331
в зазоре тонкий слой жидкости, за исключением пограничного слоя у непо-
движной стенки, будет двигаться в окружном направлении почти с такой же
скоростью, как и вращающиеся лопатки. В этом случае трение между слоями
жидкости значительно ослабнет, но оно увеличится между жидкостью,
вращающейся в зазоре, и неподвижной стенкой корпуса. В результате этих
изменений общие потери, вызванные трением, уменьшатся. Правильно
выполненный кожух может также в значительной мере снизить вентиляцион-
ные потери энергии, так как он препятствует перетеканию жидкости через
рабочее колесо на неактивной дуге.
Экспериментально установлено (опыты Стодолы, ЦНИИМФа и др.),
что установка кожуха может уменьшить мощность, затрачиваемую на тре-
ние и вентиляцию, в два раза и более. Опытами в ЦНИИМФе [321 также
подтверждено существенное влияние зазоров между кожухом и колесом
углов pj и р2 и густоты решетки на потери. При обратном вращении роль
закрывающего колесо кожуха становится еще больше. В некоторых опытах
Стодолы с закрытыми колесами при их вращении в обратную сторону потери
были всего лишь в 1,2 раза больше, чем при нормальном вращении.
До сих пор шла речь о вращении рабочего колеса без подвода к нему
рабочего тела. При парциальном подводе рабочего тела физические явления
в турбинной ступени существенно изменяются. В месте выхода из крайнего
сопла струи между ней и стенкой диафрагмы образуется под влиянием эжек-
ции разреженное пространство, вследствие чего струя прижимается к стенке.
При обычных углах выхода потока из направляющего аппарата cq 30е
струя огибает тупой угол вблизи выходного сечения и в зазоре между диаф-
рагмой и рабочим колесом наблюдается течение вдоль стенки диафрагмы,
не занятой лопатками. В результате активная дуга рабочего колеса оказы-
вается больше, чем направляющего аппарата.
Течение вдоль неактивной дуги усиливается у периферии, так как здесь
возникает повышенное давление в основном потоке под влиянием сил йнерции
движущейся в зазоре жидкости. Эти же силы повышают давление у периферии
неактивной дуги, что, в свою очередь, вызывает течение жидкости через ра-
бочее колесо у вершин лопаток. В то же время в корневой области вдоль
неактивной дуги наблюдается некоторое понижение давления, которое слу-
жит причиной движения жидкости через рабочее колесо в направлении,
обратном движению основного потока. Это обратное движение тормозит
рабочее колесо. Отрицательную работу совершает также та часть потока
у периферии вдоль неактивной дуги, которая имеет чрезмерно малые ско-
рости, по сравнению с окружной скоростью колеса.
Пример полей скоростей в ступени с парциальным подводом рабочего
тела по опытам БИТМ [27] представлен на рис. VII. 31. Из этого примера
следует, что поток после направляющего аппарата в месте огибания тупогс
угла значительно отклоняется в сторону вращения колеса. Характер дви-
жения вдоль неактивной дуги зависит от угла выхода потока из крайнегс
сопла. При большой величине этого угла (сс1л > 30 ) происходит отрыв
струи от стенки.
При обтекании тупого угла на границе неактивной дуги возникают допол
нительные потери энергии. Если общую дугу подвода рабочего тела к ступень
разбить на несколько дуг, разделенных значительными «неактивными
зонами, то эти явления будут проявляться на границе каждой активной
дуги. Поэтому при подводе к ступени одного и того же количества рабочего
тела с возрастанием числа активных дуг потери энергии возрастают.
Если расстояния между активными дугами малы, течение в осевом зазоре
между направляющими и рабочими лопатками способствует уменьшений
потерь на трение и вентиляцию и величина потери энергии возрастает Нс
пропорционально числу активных дуг, а в меньшей мере.
В практике паровых турбин широко пользуются формулой Стодолг.
с некоторыми уточнениями коэффициентов по данным фирмы «Дженера’
332
Электрик». Согласно этой формуле, потери от трения и вентиляции в турбин-
ной ступени в кВт
(VII.23)
Здесь d — средний диаметр рабочего колеса, см; I — средняя высота рабо-
чих лопаток, см; и — окружная скорость, м/с; Аг— неактивная дуга,
закрытая щитом, град; А2 — неактивная дуга, не закрытая щитом, град;
р2 — плотность рабочего тела за колесом, кг/м8; k = 755В— 200 — опытный
коэффициент (В — осевая ширина лопаток в см). Для двухвенечных колес
суммируются dl1-5 для обоих венцов.
70 20 30 447 50 60 (р,град
i.=0,7P
_1=0,5
I -0,185
???ЧЧЧ^^ <^<\C^O»fieP->0*0*0"bXcZo^O’TXt>*OeD^OfcQ^O^Q^<^C^^<^Q
7 о 2Р зр 5р 5Р 60 tp.gpaB
1-0,5 о
7П О О О о О О О О О О О О О О О О О о О О О о О О О О С О О О О С Q Q О Q О О Л
[с 20 зр 50 50 ^^^град
70 ч. ч
Z/’M
Рис. VII.31. Поля скоростей за рабочим колесом парциальной сту-
пени (по опытам БИТМ); I — относительная высота проточной части;
Ф — угол, соответствующий дуге окружности
В формуле (VI 1.23) первый член учитывает только трение поверхностей
диска и бандажа, а второй член — потери от трения и вентиляции лопаток
на неактивной дуге. В эту формулу длина лопатки I входит в полуторной
степени. Если бы главную роль в этих потерях играло трение рабочего тела,
заключенного в межлопаточных каналах, об окружающую среду, то высота
лопатки вошла бы в первой степени.
Потери на границах струи. В парциальных ступенях возникают также
потери во время заполнения и опорожнения межлопаточных каналов при
пересечении ими потока. В момент, когда рабочий межлопаточный канал
вступает в поток жидкости, происходит соударение струи, вытекающей
с большой скоростью из сопла, и застойного газа, заполняющего канал.
При большой скорости движения рабочего тела относительно рабочих лопа-
ток смешение струй вызывает существенную потерю энергии, которую можно
вычислить исходя из закона сохранения количества движения. На практике
снижение к. п. д. ступени вследствие потерь энергии на границах активной
дуги (их часто называют потерями на «выколачивание») учитываются с по-
мощью эмпирической формулы [40]
ДТ)гр = 0,115-^--^- zrf,
Л/тш
где fmin — минимальное живое сечение направляющего аппарата, см2;
х — отношение живого сечения при выходе из сопла к минимальному живому
333
сечению; — сумма высот рабочих лопаток, см; В — ширина лопаток, см\
z — число активных дуг; ц' — внутренний к. п. д. ступени без учета потерь
энергии на границах струи.
VI 1.6. УТЕЧКИ ЧЕРЕЗ ЛАБИРИНТОВЫЕ УПЛОТНЕНИЯ
Лабиринтовые уплотнения служат для дросселирования рабочего тела
от некоторого давления до более низкого давления р2. С этой целью пре-
дусматриваются последовательно включенные резкие сужения (щели), как
показано на рис. VI 1.32. В щелях происходит расширение рабочего тела;
оно вытекает с большой скоростью в камеры, расположенные за каждым
сужением. Эти камеры целесообразно выполнять с резкими уступами на
пути движения струи с тем, чтобы кинетическая энергия вытекающего из
щели рабочего тела почти полностью терялась. Однако наличие таких усту-
пов требует горизонтального разъема статора, что не всегда можно выпол-
я)
%
5
г" йгН- р I
Р.
Рис. VI 1.32. Дросселирование в лабиринтовом уплотнении: а — схема уплот-
нения; б — процесс в is-диаграмме
нить. Поэтому на практике применяются уплотнения с уступами и бёз усту-
пов. В лабиринтах без уступов существенная часть кинетической энергии
струи сохраняется до ее входа в следующую щель, вследствие чего коэффи-
циент расхода этой щели может существенно возрастать.
«Лабиринтовое уплотнение. Количество протекающего через лабиринты
рабочего тела при одинаковых размерах всех щелей можно определить по
формуле Стодолы (вывод см. в п. XI.6)
(VII.24)
где G — массовый расход рабочего тела; f — живое сечение кольцевой щели;
Pi и — соответственно начальные давление и удельный объем рабочего
тела; р2 — противодавление; z — число щелей; рх — коэффициент расхода.
При выводе этой формулы пренебрегли сжимаемостью рабочего тела
в пределах каждой щели. Это допустимо при большом числе гребней, когда
перепады энтальпий в каждой щели сравнительно невелики. Если сжимае-
мостью рабочего тела пренебрегать нельзя, то в формулу (VII.24) следует
ввести дополнительный множитель. В практических расчетах чаще всего
такой уточняющей поправки не требуется. Упрощение формул тем более
допустимо, что расчет утечек через уплотнения носит приближенный харак-
тер, так как размеры зазоров в действующей машине могут быть оценены
лишь ориентировочно вследствие неточностей производства, а также пс
причине неравного нагрева статора и ротора.
Формула (VI 1.24) теряет смысл, если в каком-нибудь сечении лабиринт-
возникнет критическая скорость рабочего тела. Если все щели имеют равны
размеры, то звуковая скорость может появиться только при истечении и
последней лабиринтовой щели, так как при одинаковом массовом расход-
рабочего тела наибольшая скорость всегда устанавливается в месте послед-
него сужения. Выясним условия, при которых в последней щели возникни’
334
звуковая скорость, и составим формулу для расхода рабочего тела лабиринтом
в этом случае.
Обозначим через рх и vx давление и удельный объем перед последним
зазором и разделим мысленно все лабиринтовое уплотнение на две части,
из которых первая часть включает уплотнение до последней щели с числом
сужений z — 1, а вторая состоит только из последнего элемента лабиринта.
Тогда количество рабочего тела, протекающего через первую часть лабиринта,
, найдем по формуле (VI 1.24), так как в этой части скорости повсюду меньше
скорости звука Для второй же части лабиринта тот же самый массовый
расход определится по формуле
С = wtf У
(VI 1.25)
где р2 — коэффициент истечения из последней щели согласно формуле
(11.74'); Для воздуха % = 0,685, для перегретого пара % = 0,667.
Приравняв расходы рабочего тела обеими частями лабиринтового уплот-
нения и имея в виду, что в результате процесса дросселирования pxvx ~= р^19
найдем при f — idem
Р; = —--------------• (VI1.26)
—НХ2(г-1) -pl
После подстановки этого значения рх в формулу (VI 1.25), определим
утечку через лабиринт
(VI 1.27)
При расчете лабиринтового уплотнения прежде всего надо решить вопрос
одом, возникает ли в конце лабиринта критическая скорость газа. Для этого
можно воспользоваться формулой (11.73). Для воздуха сравнительно невысо-
кой температуры П = Рк!рх. = 0,528, а для перегретого пара II = 0,546,
где рк — давление за уплотнением, при котором струя из последней щели
вытекает с критической скоростью. Критическое давление за уплотнением,
согласно формуле (VI 1.26), может быть записано так:
Рк=р1Пц11/ --г "г".
J Hs7. У— О+Н
(VI 1.28)
При значении р2 Рк в последней щели имеет место критическое исте-
чение.
Коэффициенты расхода зависят главным образом от устройства уступов,
величины зазоров, формы и толщины концов гребней, расстояния между ними.
При возникновении критической скорости в последней щели коэффициент
расхода для нее выше, чем для остальных щелей.
Уступы в лабиринтовых уплотнениях играют очень важную роль. При'
отсутствии уступов в небольших промежуточных камерах рабочее тело,
вытекающее из щели, может сохранять существенную долю кинетической
энергии до входа в следующую щель. Так как в расчетных формулах она
не учитывается, то в этих условиях течения коэффициенты расхода суще-
ственно возрастают. В зависимости от выполнения лабиринтовых уплотне-
ний с уступами или без них расход рабочего тела, при прочих равных усло-
виях, может изменяться на 30% и более.
Расстояние между гребнями уплотнений t в значительной мере отражается
на процессе торможения потока в лабиринтовых камерах, особенно при
отсутствии уступов. Если это расстояние достаточно велико, то в щели под
335
гребнем происходит резкое падение давления, а перед гребнем и за ним возни-
кают лишь местные повышения давления [9]. Если расстояние между греб-
нями становится малым, то в уплотнениях без уступов в камерах между
гребнями происходит изменение давления столь же существенное, как и под
гребнями. При этом давление вдоль лабиринта падает постепенно, что спо-
собствует сохранению кинетической энергии рабочего тела перед входом
в последующую щель и увеличению его расхода.
Форма конца уплотнительной полосы оказывает на течение рабочего тела
такое же влияние, как форма короткого сопла. Для такого сопла с острой
входной кромкой при больших числах Re коэффициент расхода становится
равным — 0,625, что объясняется, главным образом, поджатием струи. При
Рис. VI 1.33. Коэффициент сужения а для
лабиринтовых гребней различной формы
увеличении длины сопла и неизменном
его диаметре все сечение заполняется
и коэффициент расхода соответственно
возрастает. Дальнейшее увеличение дли-
ны сопла связано с падением коэффи-
циента расхода под влиянием трения
о стенки. Приблизительно такая же кар-
тина наблюдается и в лабиринтовых
уплотнениях с различной толщиной Л
на конце уплотнительной полосы. По
данным Сноу [46], при отношении давле-
ния за щелью р" к давлению перед
ней р', большем 0,5, максимум коэффи-
циента расхода достигается при А/6 -
= 2 -г- 4, где 6 - радиальный зазор.
При Д/6 < 2 и при больших отноше-
ниях р"!р' коэффициент расхода падает
очень быстро (до значений около 0,6—
0,7).
Заострение входной кромки сильно
сказывается на коэффициенте расхода.
При малых зазорах малейшее закругле-
ние кромки существенно повышает коэф-
фициент расхода, так как в этом случае
канал приобретает форму сопла. Б. М. Трояновским в МЭИ были выпол-
нены опыты по определению коэффициента сужения а, зависящего только
от формы и размеров гребня и зазора [91. Этот коэффициент не учитывает
изменения сужения струи вследствие сжимаемости и свойств рабочего тела
и, таким образом, он характеризует только конструктивные свойства греб-
ней. Результаты этих опытов (рис. VII.33) показывают, насколько сильно
влияют на расход рабочего тела закругления и скосы кромки гребня,
особенно со стороны входа.
На основании многочисленных опытов можно принять для хорошо за-
остренных гребней следующие средние значения коэффициентов расхода [39]:
Р4 0,67 и р2 - = 0,80. При этих значениях коэффициентов уравнению
(VI 1.28) можно придать вид:
для воздуха
(VII.29.
для пара
(VIL30
Заметим, что при истечении из щели с острой кромкой расход продолжаем
несколько возрастать при падении давления ниже рк, что объясняется изме-
нением характера течения непосредственно за выходным сечением. Вслет-
336
ствие этих явлений коэффициент расхода ц, несколько возрастает по мере
снижения противодавления далее критического значения рк. Согласно теоре-
тическим расчетам, для истечения воздуха из отверстия с острой кромкой
коэффициент расхода достигает максимального значения 0,85 при отношении
давления р"/р' - 0,037 [39].
Зазоры в лабиринтовых уплотнениях делают по возможности малыми
(до 0,15—0,2 мм). Однако, учитывая увеличение зазоров во время эксплуа-
тации, в расчетах следует принимать их вдвое большими, чем показано на
чертежах, по которым изготовляются уплотнения.
В турбомашинах находят применение также уплотнения с переменным
радиусом щелей. Они встречаются в
и в осевых турбомашинах с целью
уменьшения длины ротора.
Утечка рабочего тела через
уплотнения с переменным ради) -
сом и равномерным шагом может
быть определена по приближенной
формуле Г. Мартина, выведенной
в тех же предположениях, как и
формула (VI 1.24),
радиальных, но могут устанавливаться
Рис. VII.34. Коэффициент сопротивления 'Q =
-= f (Re) при течении в гладкой трубе и в пря-
моточном уплотнении при различной относитель-
ной высоте гребней I — Л/б (по опытам К. Трут-
новского):
1 - ламинарное течение в гладкой трубе; 2—течение
в гладкой щели (/ = 0); 3 — 1—1 -4-16,7
(VII.31)
где и — живые сечения щели
соответственно на радиусах и
r2; Bi — коэффициент расхода.
Если радиус изменяется в не-
больших пределах, то членом, со-
держащим логарифм, можно пре-
небречь, а тогда формула (VI 1.31) превращается в формулу Стодолы (VI 1.24).
Прямоточное уплотнение. На рис. VI 1.34 показано уплотнение, которое
по существу не является лабиринтовым, так как кинетическая энергия жид-
кости за щелью не теряется полностью, а частично оказывается использован-
ной при движении под следующим гребнем. Такое уплотнение будем назы-
вать прямоточным. В этих условиях течение носит такой же характер, как
в шероховатых трубах. О влиянии выступов на коэффициент сопротивле-
ния £ можно судить по опытам К. Трутновского [51] с различной высотой
гребней (рис. VII.34). При большой величине зазора жидкость в прямоточном
уплотнении течет приблизительно так же, как в гладкой щели, и высота
гребней мало влияет на коэффициент сопротивления.
Коэффициент превышения расхода К прямоточным уплотнением, по
сравнению с лабиринтовым можно определить по формуле
(VI 1.32)
где / характеризует использование кинетической энергии в указанном выше
смысле. Этот параметр зависит от относительной величины зазора, размеров
камеры и гребня, а также от конструктивных форм уплотнения При очень
большом числе гребней для коэффициента К получается приблизительно
линейная зависимость [9 ]
К = 1 4- т —,
где т -- 16,6.
22 и. И. Кириллов
337
Из последнего уравнения и формулы (VII.32), приняв z <=& z—1,
найдем
VI 1.7. ПОТЕРИ ОТ ПРОТЕЧЕК В ПРОТОЧНОЙ ЧАСТИ
Как в направляющем аппарате, так и в рабочем колесе турбомашины
всегда имеется некоторый перепад давления, и поэтому неизбежны утечки
рабочего тела через зазоры. Эти утечки могут оказывать большое влияние
на характеристики ступеней реактивного и активного типов. В турбинных-
Рис. VII.35. Коэффициент расхода pi для откры-
того осевого зазора 61 при окружных скоро-
стях:
О — 87 — 89 м,с; П — 103—150 м с: -116.
ступенях активного типа вторич-
ные потоки рабочего тела образуют
сложную систему.
В ступени активного типа
у периферии устанавливается более
или менее значительная степень
реактивности. Под влиянием пере-
пада давлений в рабочем колесе
образуется течение через откры-
тые осевые зазоры бд и б., (см
рис. VI 1.1), интенсивность кото-
рого зависит от величины этих
зазоров и совершенства уплотне-
ния по бандажу.
Важное значение имеет также течение в корневой области ступеней
дисковой конструкции (см. рис. VII. 1). Рабочее тело через уплотнение по
ротору протекает в пространство между диафрагмой и диском. Из этого
пространства ответвляется поток, поступающий через открытый осевой
зазор б[ у корня лопаток в основной поток, а остальная часть протечек отво-
дится через разгрузочные отверстия (dome) в диске. Направления этих вто-
ричных потоков могут изменяться в зависимости от степени реактивности
в корневом сечении и давления рх между диафрагмой и диском.
Периферийный вторичный поток. Для оценки утечки AG через открытый
осевой зазор б, у периферии можно воспользоваться обычной формулой
для массового расхода через щель
AG — pi/fijPa 1 2pr/io, (VII.33'i
где р2 — плотность газа в камере рабочего колеса; рг — термодинамическая
степень реактивности у периферии; /в1 =- я (dl +/) б, — площадь живого
сечения щели.
Для определения коэффициента расхода р.д проводились опыты в ЦКТИ
[4] и БИТМ [27 ]. На рис. VII.35 представлена зависимость рд от зазора бд.
отнесенного к толщине бандажа s6 по опытам ЦКТИ.
В ступенях активного типа степень реактивности у корня может быт.
равна нулю или даже меньше нуля, а у периферии при относительно длинней
лопатке перепад давления в рабочем колесе может быть значительным
Поэтому утечки и потери энергии связаны с относительной длиной лопате»
Отсюда также следует, что в отличие от прочих концевых потерь, которь
приблизительно можно считать обратно пропорциональными высоте лопатк!
утечки через открытый зазор в значительной мере зависят также от отноше-
ния dit - dj /д. Поэтому потери от утечки находятся в сложной зависимост
от высоты лопатки, которую можно установить следующим образом.
Массовый расход рабочего тела ступенью определяется по формуле
G = sin cq у 2 (1 — ргс) h0, (VII .3 -
338
где р — коэффициент расхода направляющего аппарата; ргс — термодина-
мическая степень реактивности на среднем диаметре; р3 — плотность жид-
кости перед рабочим колесом.
Поделив уравнение (VII.33) на (VII.34), получим выражение для отно-
сительной утечки рабочего тела
AG =—
Р2______$1
рх dY sin сц
Дб
G ’
(VI 1.35)
где
AG-
В соответствии с формулами (V.18) и (V
придать вид [27]
Если на среднем диаметре степень
реактивности невелика, то с достаточной
точностью можно принять отношение плот-
ностей в формуле (VI 1.36) равным едини-
це, после чего получим выражение
(, VII. 37)
19) последнему уравнению можно
Рис. VI 1.36. Изменение теоретической
величины утечки в зависимости от
относительного осевого зазора:
1 — от =0,15; 2 — Рт =0,1; 3 - рт =
По этой формуле на рис. VI 1.36 по-
строена диаграмма теоретической величи-
ны утечки AGZ = AG/cz. Из диаграммы
видно, как сильно возрастает утечка = o,os; 4 - рт = о; 5 — рт = — о,о5; 6—
с уменьшением dZi при 6] = - idem. Послед- р'т —о, i: d=dZ1
няя величина изменяется обратно пропор-
ционально длине лопатки, тем не менее, в случае малого отношения d[jf
утечка может быть значительной и при большой длине лопаток. Из диа-
граммы на рис. VII. 36 также видно, что выбор степени реактивности р'г
в корневом сечении оказывает сильное влияние на величину утечки AGZ,
если d/1 мало, и это влияние становится слабым, если d{1 велико.
В случае р' = 0 уравнение (VII. 37) примет вид
AG = 2осб1 / •
(VII.38)
Если отношение d/r настолько велико, что в знаменателе этой формулы
единицей можно пренебречь, то при Si — idem утечка изменяется прибли-
зительно обратно пропорционально 1^di19 а при dZ] - idem — прямо про-
порционально К/1- Если же считать одной и той же абсолютную величину
осевого зазора (6t = idem) независимо от длины лопатки, то окажется,
что относительная величина утечки обратно пропорциональна Отсюда
можно заключить, что при уменьшении длины лопатки и одновременном
некотором уменьшении осевого зазора утечка может сохраняться неизмен-
ной.
22*
339
При
вать к
Рг — 0 и большой величине формулу (VI 1.38) можно преобразо-
такому виду:
(VII. 391
Если исследовать кинематически подобные ступени, работающие при оди-
наковых расходе, давлении и температуре, но при различной частоте вра-
щения, то из уравнения неразрывности следует = idem. А в таком слу-
чае при = idem оказывается, согласно формуле (VII.39), приблизительно
одинаковой утечка AG.
Таким образом, при определенных условиях утечка через периферийные
зазор может оказать большое влияние на выбор параметров ступени. Эффек-
’ч=*
г
и
-— II ММ"" L 2 —
V
0,70
0,72
0,70
0.66
0,66
0,60
°'620,30 0,38 0,02 0,06 0,50 0,50 0,56 и/60
Рис. VI 1.37. Изменение к. п. д. в зависимости от w/C0 для ступени активного
типа с радиальным уплотнением с двумя гребнями (У) и без радиального уплот-
нения (2) при различном значении осевого зазора 61 (Zi = 35 мм; di — 567 мм;
б — 1 мм)
тивным средством уменьшения утечек через открытый осевой зазор служат
радиальные уплотнения по бандажу (рис. VII. 1). Утечку при этом можно
вычислить [44J, приравняв расход AG через открытый зазор бг и через ра-
диальное уплотнение с зазором б,
р- f Л Г — |1 rhр2 -Ц- 1 pTho — hx,
Vz
(VII.40.
где /у и f2 — живые сечения осевой и радиальных щелей; hx — перепад эн-
тальпий в осевом зазоре, соответствующий разности давлений pi — рх:
рЛ. и р2 — плотности рабочего тела соответственно в камере перед радиаль-
ным уплотнением и за рабочим колесом; р" и pz. — коэффициенты расхода для
осевого зазора и радиального уплотнения; z — число гребней радиального
уплотнения.
Из последнего уравнения найдем
, __ Р>о
П*~ 1 -г z№
где
И /1Рх
Pr APs
После преобразования уравнения (VII.40) получим формулу для опре-
деления величины утечки [44]
(VII.41»
г? 1 р
Если принять рл^р2, ТО
РгО
340
Коэффициент расхода р" зависит от формы щели и перекрыши. В ориен-
тировочных расчетах можно принимать для осевого зазора р" — 0,6-4-0,8
и для радиального лабиринтового уплотнения р, - 0,8-ы0,9.
В качестве примера на рис. VII.37 показано по опытам БИТМ [27] изме-
нение к. п. д. турбинной ступени в зависимости от н/С0 под влиянием радиаль-
ного уплотнения с двумя гребнями. Роль радиального уплотнения усиливается
вместе с увеличением и Со, что связано с повышением степени реактивности
в периферийном сечении. При наличии развитого радиального уплотнения
(г3) величина осевого зазора й, сравнительно мало влияет на утечку.
В гидротурбинах радиально-осевого типа утечка воды у периферии колеса
также играет существенную роль. Для уменьшения этих потерь применяют
различные уплотнения. Среди уплотнений с вихревыми канавками наиболь-
шей эффективностью обладают конструкции с двусторонними канавками, раз-
мер сечения которых в 10 раз
больше зазора щели и которые
разделены узкими перемычками.
В насосах для уменьшения утечек
применяют уплотнения с винтовой
канавкой на движущейся поверх-
ности колеса. В этой канавке воз-
никает движение жидкости, про-
тивоположное направлению проте-
чек, что уменьшает коэффициент
расхода.
Корневой вторичный поток [27].
В ступенях с разгрузочными отвер-
стиями в дисках через корневой
открытый зазор рабочее тело мо-
жет подсасываться или отсасы-
Рис. VI 1.38. Зависимость коэффициента рас-
хода [.ip от и/ср для разгрузочных отверстий во
вращающемся диске по опытам МЭИ (без задней
стенки)
ваться (рис. VII.38). Еслинетраз-
грузочных отверстий, то независимо от степени реактивности вся утечка AG
через диафрагменные уплотнения проникает в корневую область основного
потока.
При наличии разгрузочных отверстий и отрицательной степени реактив-
ности через корневой зазор подсасывается рабочее тело, а через разгрузочные
отверстия течение в зависимости от величины утечки AG может иметь различ-
ное направление или вовсе приостанавливаться. В ступенях со значительной
степенью реактивности у корня течение в разгрузочных отверстиях всегда
имеет направление основного потока, а через корневой зазор может проис-
ходить как отсос, так и подсос рабочего тела; возможен также случай нулевой
протечки через корневой зазор.
Утечка рабочего тела через корневой зазор в принципе представляет
собой такую же потерю, как утечка через периферийный открытый зазор.
Но подсос рабочего тела в основной поток через корневой зазор вызывает
сложные физические явления, сопровождающие слияние вторичного потока
с основным. Тангенциальная скорость, сообщаемая вторичному потоку под
влиянием трения о диск, значительно меньше, чем скорость основного потока.
В результате смешения окружная составляющая основного потока умень-
шается. В то же время подсос связан с изменением расходной составляющей
скорости clz в корневой области. Поэтому меняется угол атаки при входе
потока в рабочее колесо.
Смешение потоков влечет за собой потери кинетической энергии, которые
возрастают с увеличением скорости основного потока и количества подсасы-
ваемого рабочего тела. Потери от подсоса больше в ступенях активного типа,
чем в ступенях реактивного типа. Снижение к. п. д. ступени происходит
как за счет утечки рабочего тела через диафрагменное уплотнение, так и под
влиянием подсоса этой утечки в основной поток перед рабочим колесом.
341
Последние потери в ступенях активного типа без разгрузочных отверстий
могут быть такого же порядка, как и потери от утечки.
Перед разгрузочными отверстиями давление рх может быть выше или
ниже давления р{ в корневом сечении ступени. Действительно, рабочее тело
в пространстве между направляющим аппаратом и рабочим колесом получает
вращение как вследствие трения о диск рабочего колеса, так и под влиянием
закрутки основного потока, пересекающего открытый осевой зазор. Силы
инерции создают определенную разность давлений Ap%, которую можно
оценить с помощью уравнения радиального равновесия (см. n.V.l). С другой
стороны, из-за сопротивления, возникающего в открытом осевом зазоре при
наличии подсоса или отсоса рабочего тела, величина давления рх изменяется
дополнительно. При отсутствии радиального течения через открытый осе-
вой зазор рх < р{. Это неравенство еще усиливается вследствие сопротивле-
ния в открытом осевом зазоре, если течение в указанном пространстве на-
правлено к центру. Если же возникают радиальные течения от центра (под-
сос), то давление рх под влиянием сопротивления в зазоре возрастает и при
большой величине подсоса может превысить давление
Коэффициент расхода для разгрузочных отверстий зависит от w/cp. где
ср — условная скорость, соответствующая разности давлений на диск рх —
— р2, и ир — окружная скорость на диаметре dQ расположения разгрузочные
отверстий. На коэффициент расхода оказывают влияние также относитель-
ные расстояния s^dp и s-2ldp соответственно от передней и задней стенок ка-
меры диска (dp—диаметр разгрузочных отверстий). В опытах МЭИ пс
определению коэффициента расхода (рис. VII.38) диск имел семь отвер-
стий с относительным радиусом скругления кромок r/dp = 0,24. Радиу
скругления входных кромок отверстия оказывает большое влияние на коэф-
фициент расхода [9L
Для оценки влияния подсоса на к. п. д. ступени в БИТМ было выполнено
большое число опытов со ступенями активного типа с положительной и отр! -
нательной степенями реактивности в корневом сечении Опыты показали
что имеется почти линейная зависимость между к. п. д. и количеством подса-
сываемого рабочего тела AGZ. Каждый процент протечек через диафрагменны
уплотнения при отсутствии разгрузочных отверстий снижал к. п. д. ступен
приблизительно на 1,5%. Если бы имелись разгрузочные отверстия, обеспе
чивающие проход через них всей утечки через диафрагменные уплотнения, т
подсос равнялся бы нулю и снижение к. п. д. ступени можно было бы оце-
нить как от простой утечки. Такая оценка показала, что утечка и последуя
щий подсос вторичного потока вызывают снижение к. п. д. приблизителых
вдвое большее, чем если эту утечку отводить за ступень. В ступенях с отрик ;
тельной степенью реактивности в корневом сечении потери энергии от по
coca возрастают в еще большей степени.
Под влиянием подсоса повышается степень реактивности как у корня, т
и у периферии, причем степень реактивности у корня повышается сильно
чем у периферии, а следовательно, разность Арг = рг — рг уменьшается
мере возрастания подсоса. Это снижение Арг объясняется уменьшение
окружной составляющей скорости с1и под влиянием смешения струй, а так.
повышением степени реактивности в корневой области из-за повышение г’
сопротивления.
Для уменьшения подсоса или утечки через корневой открытый за/
целесообразно в нем устанавливать уплотнения. Опыты М. Е. Дейча и
в МЭИ показали, что уплотнениям целесообразно придавать форму, обес”.
чивающую подсасываемой струе осевую составляющую скорости. Таь
образом устраняется глубокое проникновение вдуваемой струи в основа
поток и связанное с этим ухудшение его структуры перед рабочим колесЛ1
В опытах МЭИ применение уплотнения, поворачивающего вдуваемую стр; •
в осевом направлении, сокращало потери энергии от подсоса приблизите/ь
вдвое.
342
При определении осевого усилия в турбинах важно знать давление рх
перед диском. Это давление находится из уравнения баланса расходов через
уплотнение под диафрагмой, разгрузочные отверстия и корневой зазор.
Последний иногда уплотняется, чаще всего одним усиком. Коэффициент
расхода р' через корневой зазор с уплотняющим усиком или без него может
быть определен по эмпирической формуле, полученной на основании опытов
Р. И. Дьяконовым и В. Г. Недзвецким в БИТМ,
д ____1 ___
т
Re",
(VI 1.42)
где б! — корневой зазор; Д,/с —длина уплотняющего усика; Дг —длина
корневой щели в радиальном направлении; Re = 26[cw/v (c6Z — теоретичес-
кая радиальная скорость в зазоре); А, т и п — постоянные, имеющие следую-
щие значения: для отсоса из основного потока А — 3,16 -10~3,16-10~7;
т = —1,73; —1,54; п - 0,8; 1; для подсоса в основной поток Л = 4.67 х
\ 10"10; 1 -10-8; т = —2,38; —1,95; п = 1,55; 1,33, где первые цифры отно-
сятся к неуплотненному зазору (Д^ 0), а вторые — к уплотненному одним
усиком зазору АД =7= 0.
VI 1.8. ВЛИЯНИЕ НА ПОТЕРИ ЭНЕРГИИ ЗАЗОРОВ
И ПЕРЕКРЫШ
При конструировании проточных частей турбомашин приходится приме-
нять ряд мер для повышения надежности или снижения потерь. К числу их
относятся увеличение расстояния между направляющими и рабочими лопат-
ками перекрыши (/а3> ZJ, утолщение всего профиля или его выходной кром-
ки, выполнение галтелей у корня рабочих лопаток, скрепление лопаток
проволокой и др. Рассмотрим некоторые из этих мероприятий, оказывающих
влияние на характеристики ступени и имеющих общее значение для тур-
бомашин.
Закрытый осевой зазор. Важную роль в работе ступени турбомашины
играет расстояние 62 между кромками направляющих и рабочих лопаток.
Оно складывается из закрытого осевого зазора 63 в направляющем аппарате,
открытого осевого зазора 6, и закрытого осевого зазора 6б в рабочем колесе
(см. рис. VII.1). Рассмотрим потери в закрытых осевых зазорах.
Изменение к. п. д. ступени под влиянием увеличения закрытого осевого
зазора обусловливается следующими важнейшими факторами: благоприят-
ным влиянием выравнивания потока (см. гл. VIII), отрицательным действием
сил трения, возможным возрастанием утечек через открытый осевой зазор
и изменением пространственной структуры потока (углов и i). В зависи-
мости от того, какой из этих факторов оказывается преобладающим, увели-
чение закрытого зазора вызывает повышение или понижение к. п. д. ступени.
Так как неравномерность потока и чувствительность ступени к работе в не-
равномерном потоке зависит от конструктивных ее особенностей (формы про-
филей, толщины кромок, степени реактивности, длины лопаток и пр.), а влия-
ние на к. п. д. сил трения на поверхностях, ограничивающих проточную
часть, зависит от высоты лопаток, состояния поверхности и других факторов,
то кривая к. п. д. в зависимости от величины закрытого осевого зазора для
ступеней разного типа может иметь различную форму.
Для оценки величины потерь энергии под влиянием сил трения в закрытом
осевом зазоре воспользуемся обычной формулой гидравлики
(VIL43)
где Др — падение давления, вызванное трением; р — плотность рабочего
тела; сг — средняя скорость за направляющим аппаратом; % — коэффициент
трения; dg = 4/7Q — эквивалентный диаметр (/ — площадь кольца, обра-
343
зующего закрытый зазор; Q—смоченный периметр); s -- 63 sina1—про-
бег потока, измеренный в направлении его скорости с±.
Изменение к. п. д. под влиянием трения с достаточной точностью можно
оценить по
формуле
А»]
V Ар
где v — средний удельный объем на рассматриваемом участке проточной
части.
Перепад связан со скоростью истечения жидкости из направляющего
аппарата формулой
где р? — термодинамическая степень реактивности; (р — коэффициент ско-
рости.
Приняв во внимание формул) (VI 1.43), получим
Дт1 = ^4-<₽2(1 —рг)-
Так как для цилиндрического пространства, образующего закрытый зазор,
d3 = 211ч то
А'1 * T’-T-fca, (VII.44)
Последняя формула определяет влияние степени реактивности рг на
потери энергии под действием трения в закрытом зазоре. Из этой формулы,
например, следует, что при степени реактивности рг = 0,5, указанные выше
потери от трения, отнесенные к общему перепаду энтальпий, в два раза
меньше, чем при степени реактивности рт 0.
В ступенях с большим закрытым осевым зазором важную роль играет
также образование пограничного слоя на ограничивающих цилиндрических
Рис. VI 1.39. Изменение к. п. д.
ступени в зависимости от вели-
чины s : а—/1 = 35 мм, и!С^
- 0,48; б - /1—50 мм, u!CQ-
— 0,48; в—Zi- 80 мм, u/Cq=- 0,48
поверхностях. Толщина этого пограничного слоя возрастает с увеличением
закрытого зазора, особенно в случае появления в нем диффузорного эф-
фекта, который обычно наблюдается. При наличии значительной утечки через
открытый осевой зазор часть этого подторможенного слоя отводится и не
участвует в работе ступени. Если закрытый зазор мал, то через открыты!
осевой зазор отводится энергетически более ценный слой потока. Поэтом)
при большой утечке рабочего тела через периферийный открытый зазор
существенно смягчается вредное влияние трения на периферийной стенке
в пределах закрытого зазора.
Для того чтобы дать представление о величине изменения к. п. д. по_
влиянием закрытого осевого зазора, рассмотрим несколько примеров испы-
таний моделей турбинных ступеней активного типа с различными высотами
и профилями лопаток. Опыты были выполнены на экспериментальных тур-
бинах в лаборатории БИТМ. В качестве рабочего тела был выбран воздух
Испытания производились при числе МС1 0,3.
344
V
0,82
0,80
0,78
0,76
0,74
0 20 40 60 80 200 д3,мм
Рис. VII.40. Изменение к. п. д. в области
очень больших закрытых зазоров б3 (по
опытам БИТМ)
На рис. VII.39 показано изменение к. п. д. в зависимости от относитель-
ной величины пробега s для однотипных ступеней активного типа при откры-
том осевом зазоре = 1 мм по опытам БИТМ [26, 27]. Из этих опытов сле-
дует, что в ступенях активного типа при относительно малой длине лопаток
потери от трения на ограничивающих поверхностях и выигрыш от выравни-
вания потока перед рабочим колесом приблизительно взаимно компенси-
руются и закрытый зазор не вызывает уменьшения потерь; при относительно
длинных лопатках повышение к. п. д. получается существенным. Таким
образом, в ступенях с длинными лопатками можно выбирать большие закры-
тые осевые зазоры и достигать хорошего выравнивания потока перед рабочим
колесом. Это важно для относительно длинных лопаток паровых и газовых
турбин и компрессоров, так как выравнивание потока позволяет улучшать
их вибрационную прочность. С этой точки зрения целесообразно выбирать
такую величину s, при которой поток оказывается достаточно выравненным
и к. п. д. близким к максимальному.
Применение больших закрытых осевых
зазоров открывает также возможность
использования соответствующего им
пространства для сепарации влаги в сту-
пенях низкого давления паровых турбин.
С целью ориентировочной оценки
коэффициентов трения в БИТМ [26]
были проведены некоторые опыты при
весьма больших закрытых зазорах (свы-
ше 100 мм), т. е. в области, где влияние
выравнивания потока становится пре-
небрежимо малым.
Результаты опытов показаны на рис. VII.40. Для закрытого зазора экви-
валентный диаметр d3 = 0,156 м и вычисленное по этому диаметру число
Re 106. При сравнительно большой шероховатости стенок в данных
опытах коэффициент А на участке кривой ба = 20—ь-100 мм оказался равным
приблизительно 0,03. Для более гладкой поверхности он получился меньше
указанной величины. Из этих опытов следует, что коэффициент трения А
можно выбирать так же, как для шероховатых труб.
Выполненные опыты позволяют ориентировочно оценить потери энергии,
вызванные работой лопаточного аппарата в неравномерном потоке. Действи-
тельно, если бы не было выигрыша в к. п. д. ступени от выравнивания по-
тока, то падение к. п. д. должно было бы происходить прямо пропорцио-
нально величине закрытого зазора, согласно уравнению (VII.44). На самом
же деле с возрастанием закрытого осевого зазора вначале происходит не паде-
ние, а возрастание к. п. д., вследствие чего функция р = f (<%) до некоторого
значения осевого зазора представляет собой кривую линию. После выравни-
вания потока наблюдается снижение к. п. д. ступени по линейному закону
(участок кривой за точкой А на рис. VII.40). Разность между ординатами
кривой и прямой линии, показанной штрихами на рис. VII.40, соответствует
выгрышу в к. п. д. под влиянием выравнивания потока. Максимальная раз-
ность этих ординат АВ получается при осевом зазоре, соответствующем
точке А в месте перехода кривой к. п. д. в прямую линию.
Последние соображения не учитывают некоторого изменения утечки рабо-
чего тела через открытые осевые зазоры под влиянием различной величины
закрытого осевого зазора. Поэтому, строго говоря, эти рассуждения относятся
к хорошо уплотненной ступени, в которой утечки через открытые осевые
зазоры не играют значительной роли.
В литературе были попытки сделать более широкие выводы из резуль-
татов опытов со ступенями различного типа при различных закрытых осе-
вых зазорах. В статье [42 ] обобщены многочисленные результаты опытов
345
ХПИ, БИТМ и др. На основании этих опытов были получены оптимальные
— 4с ф
величины для комплекса б3 = ~— в зависимости от относительной длины
ц sm аг
лопаток l-Jb^ при которых получался максимум к. п. д. (рис. VII.41). Най-
денные оптимальные значения, однако, относятся к определенным условиям
опытов, при других обстоятельствах картина может быть иная.
Среди факторов, влияющих на оптимальную величину закрытого осевого
зазора, несомненно большую роль играет толщина кромок, число ReC1,
Рис. VII.41. Оптимальный закрытый за-
зор и изменение к. п. д. Дц в зависи-
мости от относительной высоты лопаток
(по данным ХПИ) д* = бз/ sin осх
шероховатость поверхностей, турбу-
лентность и другие факторы, сказы-
вающиеся на степени неравномерности
потока перед рабочим колесом (см. гл.
VIII).
При назначении больших закрытых
осевых зазоров следует также учиты-
вать их связь с изменением давления
в осевом зазоре. Опытами, выполнен-
ными в БИТМ [27 ] для ступеней с не-
закрашенными и закрученными лопат-
ками, установлено, что по мере возра-
стания закрытого осевого зазора проис-
давление несколько снижается
ходит повышение давления у периферии
ступени, тогда как в корневом сечении
или остается неизменным. Эти явления на-
блюдаются в большей мере за выходными кромками направляющих лопаток
и в меньшей мере непосредственно перед рабочим колесом (рис. VI 1.42).
Опыты показали, что по мере увеличения закрытого осевого зазора степень
реактивности у периферии рг сначала быстро возрастает, а затем лишь слабо
повышается. В корневом же сечении увеличение закрытого осевого зазора
вызывало сначала некоторое сни-
жение степени реактивности р',
а затем ее величина сохранялась
почти постоянной. В результате
этих изменений повышалась раз-
ность Дрг= ^рг—рг вместе с увеличе-
нием закрытого осевого зазора.
Эти явления объясняются изме-
нением кривизны линии тока в про-
странстве между направляющими
и рабочими лопатками. Они уси-
ливаются в ступенях с большой
кривизной линий тока, например
в ступенях с тангенциальным на-
клоном лопаток. В ступенях такого
типа, спроектированных для ма-
Рис. VII.42. Изменение степени реактивности
в периферийных и корневом сечениях в зави-
симости от закрытого осевого зазора 63 (по опы-
там БИТМ); di — 549 мм, h = 66 мм, аг = 17 ,
п/С0 = 0,53 = 15 мм:
1 и 4 — непосредственно за направляющим аппара
том; 2 и 3 — перед рабочим колесом
лых осевых зазоров, достигается
малый положительный или даже нулевой градиент давления, направленный
вдоль радиуса. Этот эффект получается за счет сильного искривления линий
тока на участке между направляющим аппаратом и рабочим колесом (см.
гл. V). Увеличение осевого зазора приводит к уменьшению кривизны линий
тока и к соответствующему увеличению градиента степени реактивности.
Для примера сравним результаты опытов ЛПИ для трех моделей ступеней.
Модель 1, спроектированная как ступень постоянной циркуляции, имела
высоту лопатки I 65 мм и 6,3. Линии тока в осевом зазоре этой ст\ -
пени были слабо искривлены. Поэтому для нее величина Арг почти не изме-
нялась при увеличении осевого зазора в диапазоне от 6 до 18 м’
(рис. VII.43, кривая /).
346
Модель 2 имела ту же высоту проточной части и диаметр, как модель 1,
но была выполнена с тангенциальным наклоном направляющих лопаток
'й 12°. Для этой ступени были измерены степени реактивности 0,15 и
г/
рт 0,4 при расчетном осевом зазоре, что было получено за счет сильного
искривления меридиональных линий тока. Вместе с тем существенно изме-
нялась и зависимость Др? от осевого зазора
(кривая 2).
Модель 3 отличалась от модели 2 большим
углом тангенциального наклона ('0=23°). При
этом поток за направляющим аппаратом имел
закрутку приблизительно по закону твердого
тела,т. е. (clw/r)=const. Меридиональные линии
тока в осевом зазоре были искривлены еще
сильнее, чем в ступени 2, и разность Арг изме-
нялась в зависимости от осевого зазора весьма
значительно (кривая 3).
С изменением степени реактивности в ступе-
нях с большой кривизной линий тока коренным
образом меняется и обтекание профилей рабо-
чих лопаток. Поэтому к. п. д. ступеней этого
типа существенно уменьшается с увеличением
осевого зазора (рис. VII.44).
Из сказанного следует, что влияние расстоя-
Рис. VI 1.43. Изменение разности
степеней реактивности Арг~
= р — Р7- в зависимости от осе-
вого зазора
ния между направляющими и рабочими лопат-
ками на потери энергии может сказываться различным образом в зависи-
мости от типа ступени и что ступени с малым искривлением меридиональных
линий тока наименее чувствительны к изменениям осевых зазоров в области
их достаточно больших величин, т. е. в зоне, где выравнивание потока уже
Рис. VII. 44. Изменение к. п.д.
ступеней в зависимости от вели-
чины осевого зазора
I - модель I = const); 2—мо-
дель 2 (fl = 12°); 3 — модель 3
(fl 23°)
закрытых осевых зазоров
не оказывает сильного влияния на потери энер-
гии.
Учитывая многообразие факторов, влияющих
на потери энергии при изменении закрытого
осевого зазора, можно сделать лишь нижесле-
дующие заключения общего характера.
1. В ступенях с длинными лопатками к. п. д.
ступени мало изменяется в зоне сравнительно
больших осевых зазоров; в этой зоне дополни-
тельные потери от увеличения зазора могут
быть рассчитаны как потери от трения о стенку
с коэффициентом Z = 0,03. Для таких ступеней
в зоне малых осевых зазоров, где велика сте-
пень неравномерности потока, наблюдается
небольшое повышение к. п. д. вместе с уве-
личением осевого зазора.
2. В ступенях с короткими лопатками
дополнительные потери от трения на участках
существенно снижают к. п. д. При большой
неравномерности потока перед рабочим колесом в ступенях со сравни-
тельно короткими лопатками (/х - 30н-40 мм) также возможно неко-
торое возрастание к. п. д. в зоне небольших осевых зазоров. Обычно же для
таких ступеней к. п. д. монотонно падает, начиная от практически минималь-
ного осевого зазора.
3. В ступенях с сильно искривленными меридиональными линиями
тока изменение осевого зазора вызывает также существенное изменение
степени реактивности. Большое отклонение степени реактивности от расчет-
ного значения под влиянием изменения осевого зазора может быть причиной
значительного снижения к. п. д. ступени.
347
Перекрыши. Длина рабочих лопаток часто выполняется больше, чем
направляющих (см. рис. VII 1), вследствие чего образуются уступы у корня
(Д') и периферии (Л), называемые перекрышами. В ступенях с обандажен-
ным рабочим колесом перекрыши всегда делают положительными. Если
рабочее колесо не имеет бандажа, то перекрыши могут быть как положи-
тельными, так и отрицательными.
В ступенях с бандажом перекрыши необходимы для того, чтобы поток
свободно проходил через рабочее колесо, несмотря на его некоторое радиаль-
ное отклонение в осевом зазоре и возможные технологические погрешности.
Вместе с тем перекрыши, вызывая внезапное расширение потока за направ-
ляющим аппаратом, оказывают влияние на структуру потока перед рабочим
колесом у концов лопаток. В частности, под влиянием перекрыши искрив-
ляются линии тока у периферии перед
рабочим колесом и снижается степень
реактивности.
Если имеется развитое радиальное
уплотнение по бандажу рабочего колеса
и утечки пренебрежимо малы, то избы-
точные перекрыши вносят только потери
от внезапного расширения и ухудшают
обтекания концевых профилей. При на-
личии значительной утечки у периферии
избыточная перекрыша снижает утечку
через открытый зазор Вместе с этим
положительным эффектом остается ука-
занное отрицательное влияние перекры-
ши. В результате увеличение перекрыши
Рис. VII.45. Изменение к. п. д. т] ступени
активного типа в зависимости от пере-
крыши А (по опытам БИТМ); 4i=567mm;
/1 = 35 мм; 61 — 1,5 мм; и/С0 = 0,48:
1—с радиальным уплотнением при 6=0,7 мм;
2 — без радиального уплотнения
до известного предела приводит сначала к выигрышу в к. п. д., а затем
он падает, т. е. имеется оптимальная перекрыша, зависящая от особенно-
стей ступени.
При выходе из направляющего аппарата у торцовых поверхностей обра-
зуется развитый пограничный слой, толщина которого увеличивается от
внезапного расширения потока при вступлении в рабочее колесо. Пересекая
открытый осевой зазор, подторможенный слой в какой-то мере сбрасывается
в периферийную камеру, что благоприятствует выравниванию потока перед
рабочим колесом. Подторможенный слой, попадающий в рабочее колесо, спо-
собствует развитию вторичных течений, которые становятся более интенсив-
ными с увеличением перекрыши. При этом из-за увеличенной за счет пере-
крыши длины рабочих лопаток изменяется как степень реактивности, так
и осевая составляющая скорости за рабочим колесом, что, в свою очередь,
сказывается на к. п. д. ступени. Изучая влияние перекрыши на к. п. д. сту-
пени, выходную потерю следует выделять, так как выходная кинетическая
энергия во многих случаях используется в следующей ступени.
На рис. VII.45 представлены результаты испытаний ступени активного
типа [27, 29]. При отсутствии радиальных уплотнений наблюдался замет-
ный рост к. п. д. по мере увеличения перекрыши. Это влияние усилива-
лось при больших открытых осевых зазорах. В ступени без радиальных
уплотнений оптимальная перекрыша получилась значительно большей, чем
для ступеней с уплотнениями.
В современных тепловых турбинах рабочее колесо, как правило, хорошо
уплотняется по бандажу, утечка через открытый зазор незначительна,
поэтому выбор оптимальной перекрыши с целью уменьшения этой утечки
перестает быть актуальным. В таких ступенях величина перекрыши опре-
деляется выбором длины лопаток для получения требуемой степени реактив-
ности и углов потока, а также соображениями технологического характера.
348
VII.9. ВЛИЯНИЕ НА К. П. Д. СТУПЕНИ ШИРИН
НАПРАВЛЯЮЩИХ ЛОПАТОК
Выбор оптимального числа направляющих и рабочих лопаток — одна из
важнейших задач теории турбомашин, и ей был посвящен ряд исследований
на ЛМЗ [17], НЗЛ [14], в ЦКТИ [31], ХПИ [381, МЭИ [9], БИТМ,
ЛПИ и др.
Решение этой задачи связано с оптимальной густотой решеток, которая
устанавливается в зависимости от их назначения и формы профилей. Но при
одной и той же густоте решетки можно принимать различную величину хорды
профиля и тем самым в широких пределах менять число лопаток. Их число
определяется не только из аэродинамических соображений, но также по усло-
виям прочности и жесткости направляющего аппарата или рабочего колеса.
Вместе с шириной при неизменном шаге t изменяются обратно пропор-
ционально хорде относительные длины лопаток I и шероховатость k, а прямо
пропорционально хорде—число Рейнольдса. Кроме того, с лвеличением
ширины лопатки технологически можно получить меньшую относительную
величину выходной кромки.
Если относительная длина лопаток I велика, то изменение концевых потерь
из-за увеличения ширины лопатки не вносит существенного изменения
в к. п. д. ступени. Для ступеней с относительно короткими лопатками этот
фактор имеет большое значение. В таких ступенях при прочих равных усло-
виях концевые потери снижаются вместе с уменьшением хорды профиля,
и это главный стимул для применения узких лопаток. Другие же факторы,
связанные с уменьшением хорды, могут вызывать существенное возрастание
потерь.
Во многих случаях основной из этих факторов — шероховатость поверх-
ностей канала. Если абсолютная шероховатость остается неизменной, то
относительная ее величина изменяется обратно пропорционально хорде.
Поэтому, если решетка обтекается в области режимов развитой шерохова-
тости, то с уменьшением ширины лопаток может существенно увеличиваться
коэффициент профильных потерь.
Если поверхности лопаток можно считать гидродинамически гладкими,-
то уменьшение их ширины, а следовательно, и числа Рейнольдса, вызывает
возрастание профильных потерь энергии. Как указывалось в п. VII.3, сопро-
тивление решетки зависит не только от числа Re, но также от распределения
давления и скоростей по профилю и от других факторов. Для ориентировоч-
ной оценки профильных потере при различной ширине лопаток в ограничен-
ной зоне чисел Re могут служить зависимости типа (VII. 16). Аналогичные
зависимости вида (IV. 107') могут быть использованы применительно к шеро-
ховатым поверхностям.
Выходная кромка при полном подобии профилей не изменяет величину
потерь. Если же широкие лопатки имеют меньшую относительную величину
выходной кромки, то поправку можно внести, согласно рекомендациям
ЦКТИ, по формуле
Д£кр = (0,15 ч-0,18) Skp ~Skp° ,
где sKPo и sKp — соответственно исходная и измененная толщина кромки;
а — горло сопла.
На практике обычно ширина лопатки выбирается при заданном диаметре
ступени и густоте решеток. При этом часто нарушается геометрическое подо-
бие ступеней и их моделей, что также в некоторой мере отражается на харак-
тере течения, особенно в корневой области.
Таким образом, три изменении ширины лопаток на потери оказывают
влияние положительные и отрицательные факторы, и следовательно, имеется
349
оптимальное решение. Его отыскание имеет большое практическое значение
применительно к коротким лопаткам.
В связи с очень сложным влиянием числа Re и шероховатости на потери
в ступени нельзя сделать каких-либо общих заключений о выборе ширины
лопаток. Если, например, обтекание узких лопаток происходит в зоне раз-
витой шероховатости, а широкие лопатки оказываются гидродинамически
гладкими, то применение узких лопаток может не привести к снижению
потерь.
Для паровых и особенно газовых турбин следует считаться с условиями
работы лопаточного аппарата в основном в зоне развитой шероховатости.
Поэтому кажущиеся очевидными выгоды от применения узких лопаток при
Рис. VII.46. Изменение к. п. д. ступеней с различ-
ной шириной и длиной направляющих лопаток при
и!Сй — 0,53 (по опытам БИТМ); d' = 800 мм;
«1^11,5°; 0г,«И8,5с; рг = 0,14-=-0,2; МС1= 0,3;
Reci= (2-:8,5)-105
сравнительно малой их длине I
могут не оправдаться на прак-
тике, тогда как лабораторные
испытания решеток с аэродина-
мически гладкими поверхнос-
тями обнаруживают их преиму-
щества.
Выбор оптимальной ширины
лопаток особо важен при проек-
тировании паровых турбин высо-
кого давления По мере повы-
шения начального давления
диафрагмы ступеней высокого
давления приходится делать
очень толстыми при сравнитель-
но небольшой высоте лопаток.
Например, в турбинах типа
ПТ-50 ЛМЗ диафрагма первой
ступени давления имела толщину 70 мм при высоте направляющих лопаток
38 мм, а в турбинах мощностью 300 МВт диафрагма имеет толщину 165 мм
при высоте направляющих лопаток 27 мм.
Естественно встает вопрос о применении для этих диафрагм узких лопаток,
относительная длина которых /г может быть в несколько раз больше, чем
лопаток такой же ширины, как диафрагма. Толстые диафрагмы с узкими ло-
патками применялись в паровых турбинах. В таких диафрагмах для жест-
кости устанавливались обтекаемые ребра, которые вносили некоторое допол-
нительное сопротивление.
Эксперименты на вращающихся моделях были вы-
полнены в БИТМ автором и Р. В. Кузьмичевым. Опыты проводились на девят-
надцати моделях при различной высоте и ширине лопаток. Все ступени имели
одинаковые профили направляющих и рабочих лопаток (рис. VII.46). При
изменении ширины направляющих лопаток их профили выполнялись подоб-
ными, включая и толщины выходных кромок. Ширины направляющих лопа-
ток изменялись от 25 до 90 мм, а длины лопаток—от 23 до 78 мм. Кроме того,
модели с длиной направляющих лопаток = 78 мм при ширине В± = 20 мм
были испытаны для двух значений толщины выходной кромки Sj = 0,4 и
1,2 мм с целью определения повышения к. п. д. от утонения выходной
кромки. Рабочие лопатки во всех опытах для каждого значения длины сохра-
нялись одинаковыми и имели ширину 30 мм. Опыты проводились при Мс, =»
0,3.
Высота неровностей профильной части лопаток до начала испытаний коле-
балась в пределах от 3 до 6 мкм, что соответствовало седьмому классу чистоты
обработки. Все модели имели радиальное уплотнение по бандажу (три лаби-
ринтовых щели), чтобы случайные изменения утечек не сказались на резуль-
татах сравнительных опытов и чтобы, по возможности, исключить влияние
350
Рис. VII.47. Влияние толщины выходных кро-
мок направляющих лопаток на к. п. д. турбин-
ной ступени при /1 = 80 мм, Bi "90 мм
(по опытам БИТМ):
/ s« = 0.4 мм: 2 s, -- 1.2 мм
камеры над колесом. Открытые осевые (6Т) и радиальные (6) зазоры в проточ-
ной части при изменении ширины выдерживались одинаковыми б3 = 6 =
= 1,5 мм. Подсос воздуха в корневой части был исключен. Разгрузочных
отверстий в диске не было. Все модели испытывались в одной и той же экспе-
риментальной турбине и в одинаковых условиях при числах М = 0,3. Число
Re для Вг =25 и 90 мм получалось соответственно 2 -105 и 7 105. В направ-
ляющих аппаратах с узкими лопатками ребра жесткости не устанавливались,
чтобы не затруднять сравнительный анализ опытных данных.
На рис. VI 1.46 представлены кривые р = f (В,) для всех испытанных мо-
делей ступеней при и!С0 0,53. Приблизительно такие же характеристики
были получены и для других режимов работы.
Опыты показали, что в ступенях с лопатками длиной /3 = = 58 и 78 мм
изменение ширины направляющих лопаток В х от 25 до 90 мм практически не
оказывало влияния на к. п. д. сту-
пени. В ступени с длиной лопаток
I, =38 мм их ширина уже заметно
сказывалась на к. п. д. Причем, по
мере увеличения ширины направ-
ляющих лопаток потери энергии
постепенно возрастали. Сильное
влияние на к. п. д. ступени ока-
зывала ширина направляющих ло-
паток в моделях с длиной лопаток
/1 = 28 и 23 мм. При изменении
ширины направляющих лопаток
от 25 до 90 мм и неизменной их
длине 1г = 28 мм к. п. д. ступени
снизился на 4,5%, а для другой модели с длиной лопаток /З=23мм—на 5,5 %.
Результаты опытов с различной толщиной выходных кромок направляю-
щих лопаток показали, что утонение выходной кромки лопаток шириной
Bt = 90 мм с 1,2 до 0,4 мм позволяет повысить к. п. д. ступени приблизи-
тельно на 0,7—0,8% (рис. VII.47).
Степень реактивности ступени при увеличении ширины направляющих
лопаток от 25 до 90 мм повысилась как у корня, так и у периферии прибли-
зительно на 2 % при всех испытанных высотах проточной части. Это повыше-
ние степени реактивности объясняется увеличением сопротивления колеса
у корня и периферии по мере уменьшения относительной высоты лопатки под
влиянием возросших вторичных течений у их концов, а также некоторого
повышения расхода в средней области, связанного с большим числом Рей-
нольдса. Коэффициент расхода для направляющих аппаратов различной
ширины изменялся незначительно и находился в пределах 0,97—0,98.
Опыты по влиянию ширин направляющих лопаток на к. п. д ступеней
проводились также на ЛМЗ, ХПИ и НЗЛ [38, 14, 17]. Результаты этих
опытов приведены на рис. VII.48. На нем отложены суммарные потери У н,
полученные из опытов за вычетом потерь от утечек и трения диска и бандажа.
Подсчитанные таким образом потери представляют собой сумму профильных
(£„) и концевых (£к) потерь, а также потерь, вызванных нестационарным об-
теканием от кромочных следов (Ц,
S с =-- ь
Разброс опытных данных получился очень большим, особенно для лопа-
ток небольшой высоты. Тогда как по опытам БИТМ и ХПИ для лопаток
высотой менее 30 мм уменьшение ширины лопаток приводило к снижению
суммарных потерь энергии, в опытах ЛМЗ с лопатками длиной 17—29 мм
наблюдалась обратная картина. С другой стороны, в опытах ЛМЗ (/3 = 47 мм)
и в опытах НЗЛ (/3 = 112 мм) отмечалось повышение потерь энергии с уве-
личением хорды лопаток.
351
Сравнение расчетных копытных данных позволило
выявить возможные причины расхождения результатов экспериментов. Для
этого была дана расчетная оценка изменения профильных и концевых потерь
в зависимости от ширины лопаток и других параметров ступени и потока 123 ].
Вместе с шириной лопаток при постоянном относительном шаге t изме-
няется число ReC1 прямо пропорционально их хорде by. Если поверхность
гидродинамически гладкая, снижение числа ReC1 вызывает возрастание про-
фильных и концевых потерь. При некоторых относительных высотах лопаток
и числах ReCt происходит смыкание вторичных течений и коэффициент
концевых потерь резко возрастает.
Для сравнения профильных потерь двух каких-либо моделей I и II
имеющих различные длины лопаток и
Рис. VII. 48. Изменение суммарных потерь
в турбинной ступени в зависимости от хорды на-
правляющих лопаток:
мм; 2 — /х = 28 мм;
5 — Zx = 78 мм; 6—= 17 мм; 7—1г-~
— 29 мм; 8 — /х = 47 мм; 9— = 25 мм
хорды by, воспользуемся прибли-
женной зависимостью (VII. 16)
t\ Re
Аналогичную зависимость
для ориентировочных расчетов
можно принять и для концевых
потерь, полагая интенсивность
вторичных течений у концов ло-
паток зависящей в основном от
толщины потери импульса 6**
на профилях этих лопаток,
г Использовав
выражение (VI1.15),
для концевых потерь
мость
для 6**
получим
зависи-
(VII.45)
где х — опытный коэффициент.
Эти приближенные выраже-
ния имеют ограничения, ука-
занные при выводе формулы
(VII. 15). Здесь они используются, поскольку сравниваются направляющие
1 — 1Г = 23
4 — --- 58 мм
3 — — 38 мм;
аппараты с геометрически подобными профилями.
На основании приведенных зависимостей и очевидного уравнения 1 —
—= tn + можно составить следующие зависимости для ступеней
с геометрически подобными профилями и исключенными протечками через
периферийное уплотнение:
при = const и ^ ^varia
где
при by = const и /j = varia
Здесь — к. п. д. на окружности, рассчитанный по полным параметра*
потока перед ступенью и за нею и приведенный к нулевым радиальным зазо-
рам. Зная и t,ni для одной модели, можно найти сумму профильных
концевых потерь для другой ступени. На рис. VII.48 штрихами нанесень
кривые суммарных потерь + £к), построенные согласно последним урав-
нениям.
352
Для сравнительно длинных лопаток (/, <50 мм) теоретические расчеты
этим методом достаточно хорошо совпадают с опытными данными, и такая
оценка потерь объясняет тенденцию изменения потерь в зависимости от вели-
чины хорды лопаток при = const. Но при постоянной хорде лопаток (Ьх =
= const) концевые потери t,K изменялись линейно по отношению к длине лопа-
ток лишь в области больших их ширин. В заштрихованной на рис. VII.48
области малых высот лопаток наблюдается резкое увеличение потерь, осо-
бенно в зоне малых хорд Ьг.
Таким образом, сравнение ре-
зультатов эксперимента и расчета
приводит к выводу, что действи-
тельные потери в ступенях с узки-
ми направляющими лопатками зна-
чительно выше, чем полученные
в расчетах или в опытах на непо-
движных решетках, и что в зави-
симости от условий опыта к. п. д.
ступеней сильно меняется. Это,
с одной стороны, объясняется
срывными явлениями в корневых
сечениях, которые с особой силой
Рис. VII.49. Изменение по высоте проточной
части ступени потерь и степени неравномер-
ности потока за направляющим аппаратом:
1 — bi ~ 44 мм; 2 — = 160 мм (опыты БИТМ)
сказываются в ступенях с корот-
кими и узкими лопатками. Кроме того, большую роль играют поля скоро-
стей и давлений перед рабочим колесом и связанные с их неравномерностью
нестационарные явления (см. гл. VIII), а также турбулентность потока.
В качестве примера на рис. VII.49 показано изменение по высоте проточ-
ной части к. п. д. направляющего аппарата (ф2) и степени неравномерности
потока перед рабочим колесом [хС1 = (с1пшх — cimln)/2cjJ- Наибольшие
Рис. V 11.50. Зависимость коэффициента
X = f (&1//1). По опытам БИТМ:
1 — = 44 мм; 2 — — 72 мм; 3 — bt = 125
и 160 мм*»
По опытам ЛМЗ:
4 — = 29 мм; 5 — Ь± = 50 мм
потери и неравномерность потока
были обнаружены в корневой области
направляющего аппарата с узкими
лопатками. У корня узких лопаток
при низких числах Ref, наблюда-
лись существенные срывные явления.
В средней же части по высоте были
повышенные потери в направляющем
аппарате с короткими, но широкими
лопатками, что объясняется смыка-
нием вторичных течений. Средний
уровень степени неравномерности по
высоте проточной части сохранялся
приблизительно одинаковым для
обеих ширин. Частота же импульсов
от неравномерного потока в межлопа-
точных каналах рабочего колеса изме-
нялась пропорционально числу лопа-
ток.
Чтобы оценить уровень концевых потерь при различных ширинах и дли-
нах лопаток в различных опытах, воспользуемся приближенной формулой
(VI 1.45).
На рис. VII.50 даны относительные величины % = %/%о» где Хо — коэф-
фициент, относящийся к ступени с
БИТМ (bj = 160 мм) при Ьх = 2/х.
учитывает не только профильные и
срывов потока и от нестационарных
нием хорды лопатки значительно
наиболее широкой лопаткой в опытах
Полученный из опытов коэффициент %
концевые потери, но также потери от
явлений. Этот коэффициент с уменьше-
возрастает в области /х <40 мм при
23 И. И. Кириллов
353
Refl = (3—4) 105. Для лопаток большей длины коэффициент % меняется
сравнительно мало при неизменной хорде лопатки.
Этот анализ показывает, как несовершенно зависимость вида (VI 1.45)
отражает действительную картину течения у концов лопаток и насколько
сильное влияние оказывают на к. п. д. ступени срывные и другие явления,
которые не учитываются в расчетах и полностью не обнаруживаются в опы-
тах на неподвижных решетках. Сравнение экспериментальных данных также
вскрывает большое влияние условий опыта на характеристики ступеней
с различной шириной направляющих лопаток.
Результаты опытов на вращающихся моделях не подтверждают тех преи-
муществ узких лопаток, которые вытекают из опытных данных, полученных
для плоских решеток.
Ребра жесткости, которые необходимо устанавливать в направ-
ляющих аппаратах с узкими лопатками, вносят дополнительное сопротив-
ление и существенно снижают к. п. д. ступени. При осевом подводе потока
к направляющему аппарату влияние этих ребер сравнительно невелико.
По опытам ХПИ [38] с неподвижными решетками при хорошо обтекаемой
форме ребер потери к. п. д. составляют 0,2—0,3%. При обтекании ребер
неравномерным потоком и с большими углами атаки эти потери могут быть
более значительными. По опытам в БИТМ на вращающихся моделях при
небольших углах атаки ребра жесткости вносили дополнительные потери
около 0,5%, а с увеличением угла атаки эти потери значительно возрастали.
Выбор оптимальной ширины направляющих лопаток требует тщательного
анализа применительно к конкретным условиям. Существенную экономию
от применения узких направляющих лопаток с ребрами жесткости можно
получить лишь при замене ими очень широких лопаток небольшой длины.
V1I.10. ВЛИЯНИЕ НА К. П. Д. ТУРБИННОЙ СТУПЕНИ
СКРЕПЛЯЮЩИХ ПРОВОЛОК
В турбинах длинные рабочие лопатки, которые нет возможности покрыть
бандажом из-за возникновения в нем чрезмерных напряжений, часто связы-
вают между собой проволокой (рис. VII.51) для улучшения их вибрационной
Рис. VII.51. Расположение скрепляющей проволоки в проточной части тур-
бинной ступени (k—wnplwi', у=у/1): а—по высоте рабочей лопатки; б—в
межлопаточных каналах; в — развертка каналов
характеристики. В последних ступенях мощных паровых турбин нередко
встречаются рабочие лопатки, имеющие двух- и трехрядные проволочные
связи. Из-за наличия проволоки потери энергии в ступени могут существенно
возрасти, и правильная оценка этих потерь имеет важное практическое зна-
чение. Определению потерь от установки проволоки в различных условиях
354
ее обтекания в рабочем колесе был посвящен ряд экспериментальных иссле-
дований [22, 371, результаты которых ниже изложены.
В основном дополнительные потери от обтекания проволоки получаются
вследствие снижения кинетической энергии в относительном движении рабо-
чего тела в колесе. При этом большое значение имеет характер течения в месте
расположения проволоки.
В ступенях низкого давления современных мощных паровых и газовых
турбин в местах расположения скрепляющих проволок Renp = (1-нб) 104
и м = 0,2-4-0,55, где эти критерии вычислены по скорости потока непо-
средственно перед проволокой и по диаметру dnp. Последний достигает 10—
12 мм при коэффициенте загромождения сечения в месте установки прово-
локи 0,05—0,1. В зависимости от формы канала в этом месте и от режима
работы проволока находится в сильно или слабо ускоренном или даже замед-
ленном потоке.
Однорядная связь. В литературе имеются достаточно надежные формулы
для определения коэффициента сопротивления цилиндра, помещенного в пря-
мую трубу. В турбинной ступени проволока находится в криволинейном
канале в неравномерном и сильно турбулизированном потоке. Использование
в таких условиях формул, относящихся к прямой трубе, должно рассматри-
ваться как грубое приближение, требующее введения опытных поправоч-
ных коэффициентов.
Воспользуемся следующей формулой Идельчика [16], дополненной попра-
вочным коэффициентом по опытам ВИТАВ
^1,15тСА—L (1-^) 3 . (VII.46)
(.-ф) '
Здесь £ — коэффициент местного сопротивления проволоки, помещенной
в рабочий канал; Сх — коэффициент лобового сопротивления проволоки;
S — площадь миделевого сечения проволоки; f — площадь сечения межлопа-
точного канала в месте установки проволоки; Аг — расстояние от оси про-
волоки до средней окружности колеса; / —высота лопатки; т — поправоч-
ный коэффициент, учитывающий особенности движения в криволинейном
канале рабочего колеса.
Коэффициент Сх берется в зависимости от числа Re для проволоки
в предположении большой турбулентности потока.
Потери энергии под влиянием проволоки рассчитываются по формуле
(VII.47)
где wnp — относительная скорость рабочего тела перед проволокой.
Скорость wnp ориентировочно может быть определена из уравнения нераз-
рывности для одномерного течения
I пр
Здесь — живое сечение струй в относительном движении перед рабочим
колесом, соответствующее шагу рабочих лопаток; fnp — живое сечение рабо-
чего канала в месте установки проволоки.
Отношение площадей
ft t sin /,
f np o.np I
где шаг рабочих лопаток; anp — ширина канала на среднем диаметре
вблизи плоскости установки проволоки.
23* 355
Снижение к. п. д. под влиянием проволоки будет
Дт] = .
Ао
(VII.48)
Кроме того, из-за влияния проволоки несколько меняется выходная кине-
тическая энергия. Но при сравнительно небольшом загромождении прово-
локой сечения канала это изменение сравнительно невелико и в первом
приближении им будем пренебрегать.
Коэффициент т определяется на основании опытов в условиях течения,
близких к натурному.
Проволока в канале с крутым поворотом в слабо ускоренном или замедлен-
ном потоке оказывает повышенное сопротивление потоку. При таком тече-
нии в особо неблагоприятных условиях находится зона непосредственно за
проволокой — в области, где возможен диффузорный эффект в канале и срывы
потока. Потери энергии возрастают также под влиянием вторичных течений
вдоль проволоки в кормовой области, где они развиваются под влиянием
разности давлений у вогнутой и выпуклой поверхностей лопаток. В небла-
гоприятных услових потери энергии от сопротивления проволоки стано-
вятся значительно большими, чем для цилиндра в прямой трубе.
Местный диффузорный эффект может получаться на входном участке
рабочего колеса при больших положительных углах атаки, даже если сте-
пень реактивности велика. Это объясняется тем, что обычно межлопаточный
канал конструируется для безударного входа. При положительных же углах
атаки живое сечение потока перед рабочим колесом может оказаться значи-
тельно меньше живого сечения в канале как при входе в него потока, так и
на некотором расстоянии в глубине канала. В таких условиях вблизи перед
проволокой течение становится замедленным, а за проволокой — лишь слабо
конфузорным, если не считать диффузорного эффекта от загромождения
канала проволоками. При этом точка минимума давления и точка отрыва
пограничного слоя на проволоке смещаются вверх по течению от их положе-
ния в ускоряемом потоке, вследствие чего лобовое сопротивление возрастает
Условия обтекания проволоки можно характеризовать коэффициентом
k = Wnp/^i, где w'np — средняя скорость в канале непосредственно за про-
волокой и u'i — средняя относительная скорость перед рабочим колесом.
Этот коэффициент дает представление о величине ускорения или замедления
потока вблизи того места, где происходит отрыв потока на проволоке. Коэф-
фициент k может быть меньше единицы даже при значительной степени реак-
тивности.
Опыты в БИТМ [22] на большом числе моделей с различной степеньк
реактивности и при различном расположении проволоки по высоте проточ-
ной части установили, что для оценки потерь энергии от сопротивления бан-
дажной проволоки можно пользоваться приближенной расчетной формулой
(VI 1.46) при т = 1 только для k > 1. Если же k 1, то в этой формуле еле
дует принимать коэффициент т — 1,5-4-2,5 в зависимости от степени диффх-
зорности k. В этих опытах повышенные значения для коэффициента т пол\
чались при положительных углах атаки.
Применение эллиптической проволоки вместо круглой существенно улу
шает однородность поля скоростей за рабочим колесом и повышает к. п. ::
ступени. Например, в опытах БИТА! установка эллиптической проволок
2,9 X 3,8 мм вызвала увеличение к. п. д. ступени на 0,2—0,3%, а ступенг
с проволокой 1,5x6 мм имела к. п. д. на 0,5% выше, чем ступень с круглс
проволокой.
Многорядные связи. При большой длине лопаток их приходится cbs
зывать проволокой в два и три ряда. При этом взаимодействие проволок не
благоприятно сказывается на течении и потери от их установки могут зна-
чительно превышать сумму потерь, подсчитанную по опытам для изол
рованных проволок.
356
В качестве примера на рис. VI 1.52 показаны кривые т] = / (и/С0) для
одной и той же ступени с одной, двумя и тремя проволоками (рис. VII.51),
причем ступень с двумя проволоками была испытана для двух вариантов
их расположения. Значительное снижение к. п. д. ступени наблюдается при
смещении проволоки оси вращения, так как они при этом попадают в область
меньшей конфузорности ка-
налов.
Влияние установки про-
волок на неравномерность
потока было исследовано тра-
версированном потока за ра-
бочим колесом (рис. VII.53).
Глубокие провалы в эпюрах
полного давления позволяли
определить коэффициент т,
который можно было вычис-
лить также по кривым к. п. д.
На расстоянии от корня уг =
= 0,4 в месте установки про-
волоки канал был лишь слабо
конфузорным и коэффициент
лобового сопротивления на
оптимальном режиме при k=
= 0,88 оказался в 1,8 раза
больше, чем для проволоки
Рис. VII.52. Зависимость к. и. д. ступени от ы/С0
(по опытам БИТМ); I = 88 мм, d//=4,4, dfip=5,5 мм,
Rcy, > 4- 10Б, МС1 0,3, Re„p = 5- 103ч-10«:
1 - без проволоки; 2 — с одной проволокой {у ~ 0,6);
3 — с двумя проволоками 0,6, у2 = 0,8); 4 — с двумя
проволоками (уг = 0,4, yz== 0,6); 5 — с тремя проволоками
(£/1 = 0,4, у2 = 0,6, Уз =0,8)
в прямой трубе.
В модели с тремя проволоками их взаимное влияние сказывается с осо-
бой силой при расположении нижней проволоки на расстоянии = 0,4.
Развитый след от этой проволоки охватывает значительную часть корневой
Рис. VII.53. Изменение полного давления р2 — Pz!Po по высоте проточной части у с двумя
и тремя проволоками на рабочем колесе (по опытам БИТМ):
X — с двумя проволоками {уг = 0,6; у2 = 0,8); расстояние от колеса до измерительного сечения =
Ж 7 мм; О — с тремя проволоками (У} — 0,4; у2 = 0,6; у% = 0,8), = 7 мм; О — с тремя прово-
локами (z/i = 0,4; у2 = 0,6; у& = 0,8), = 20 мм
области и сливается со следом второй проволоки (у2 = 0,6). В области малых
и/С0 наблюдается еще большее искажение структуры потока под влиянием
корневой проволоки (ух = 0,4). Из опытов следует, что корневая проволока,
находящаяся в зоне положительных углов атаки и слабой конфузорности
канала, служит главным источником потерь энергии и создает неравномер-
ное поле давлений и скоростей по высоте проточной части между нею
357
и средней проволокой, а также в корневой области. Большая неравномер-
ность потока за рабочим колесом приводит к повышенным потерям от вырав-
нивания потока [221.
Существенные потери от установки проволок объясняют стремление
некоторых фирм отказываться от их применения даже для ступеней с очень
длинными лопатками, применяя вместо них бандажи, иногда выполненные
интегрально с лопатками. Применение титана в качестве материала для
лопаток открывает в этом направлении новые возможности при конструиро-
вании паровых турбин.
VII.11. ПОТЕРИ ЭНЕРГИИ В ВЫХОДНЫХ ПАТРУБКАХ
Поток, покидающий рабочее колесо, обладает кинетической энергией
где с2 — средняя абсолютная скорость за рабочим колесом.
В правильно спроектированной проточной части турбомашины теряется
лишь небольшая часть этой кинетической энергии. В многоступенчатых
турбомашинах выходная кинетическая энергия может хорошо использоваться
в следующей ступени. Но за последней в группе ступенью или в конце проточ-
ной части, если истечение происходит в большое заполненное рабочим телом
пространство и не приняты специальные меры, выходная кинетическая энер-
гия теряется. Задача конструктора — уменьшить эту потерю.
В зависимости от назначения силовой установки поток за турбомашиной
должен иметь определенную скорость, необходимую для дальнейшего его
движения. Если, например, к турбине примыкает трубопровод, скорость
рабочего тела в котором должна быть с3, то соответствующую этой скорости
кинетическую энергию нельзя считать потерянной в турбине. В этом случае
располагаемый перепад энтальпий 1г0 следует определять исходя из полной
энергии при выходе из турбины. Если же из турбины газ поступает в атмос-
феру, то выходная кинетическая энергия полностью теряется и располагае-
мый перепад энтальпий !г0 в турбине определяется по статическому давлению
за нею. При указанном определении располагаемый перепад энтальпий
будет таким, который может быть использован в идеальной турбине.
В ступенях низкого давления современных мощных турбин объемные
расходы рабочего тела настолько велики, что для уменьшения высоты проточ-
ной части приходится допускать значительные осевые скорости потока, осо-
бенно в последних ступенях крупных конденсационных турбин. В таких
турбинах кинетическая энергия потока, покидающего рабочее колесо,
составляет значительную долю от располагаемой работы, и потеря этой
энергии существенно снижает к. п. д. турбины.
Например, в некоторых мощных конденсационных турбинах скорость
пара по выходе из последнего рабочего колеса достигает 300 м/сек, чем}
соответствует перепад энтальпий более 40 кДж/кг — около 3% от общего
перепада тепла в турбине. Поток из последнего раоочего колеса попадает
в выходной патрубок, где совершает поворот на 90°. Внутри этого патрубка
в паровых турбинах нередко выступают плохо обтекаемые детали (корпуса
подшипников и лабиринтовых уплотнений и пр.). При выходе из патрубка
поток имеет сравнительно небольшую скорость, тогда как на входе в него
скорость может быть очень большой. В таких условиях патрубок в принципе
представляет собой очень плохой диффузор, в котором возникают сильные
срывы потока. В нем не только не происходит повышения давления, но оно
даже снижается.
Во многих конструкциях паровых турбин в выходном патрубке потеря
энергии составляет — 0,15йв помимо потери выходной кинетической энергии
за предшествующим патрубку рабочим колесом. Замена таких патрубков
358
359
Рис. VII.54. Схемы выходных патрубков различных турбомашин: а—коническая отсасы-
вающая труба гидротурбины (штрихами показаны очертания криволинейного диффузора);
б— изогнутый диффузор компрессора; в — диффузор газовой турбины; г— изогнутая отса-
сывающая труба поворотнолопастпой турбины; д — изогнутый диффузор с радиальными спрям-
ляющими лопатками в выходном патрубке паровой турбины (схема МЭИ); е — ступенчатый
диффузор; ж - радиальный безлопаточный диффузор
Рис. VII.55. Рабочий про-
цесс сжатия в диффузоре
более совершенными диффузорами может дать существенный экономичес-
кий эффект. При решении этой задачи часто встречаются большие конструк-
тивные трудности. В последнее время конструкторы стремятся применять
в выходных патрубках мощных газовых и паровых турбинах развитые коль-
цевые диффузоры — прямолинейные и радиально-осевые (рис. VII.54).
Выходные патрубки необходимо аэродинамически совершенствовать не
только с целью уменьшения потерь энергии, но и для повышения надежности
работы турбомашин. Несимметричные патрубки, состоящие из сложных
каналов и ребер и обладающие большим сопротивлением, могут создавать
за последним рабочим колесом весьма неравномерное поле, опасное в отно-
шении вибрационной прочности лопаток предшествующей им ступени.
Снижение сопротивления патрубка одновременно приводит и к выравни-
ванию полей давлений и скоростей как при входе
потока в патрубок, так и при выходе из него.
В осевых гидротурбинах с большим коэффициен-
том быстроходности выходная кинетическая энергия
часто составляет 40—50% от общего напора [43], и
ее эффективное использование оказывает решающее
значение на к. п. д. установки. Чтобы уменьшить
потери выходной кинетической энергии, применяют
отсасывающие трубы (рис. VI 1.54, а, г). Они позво-
ляют также устанавливать турбины выше уровня
нижнего бьефа без потери напора.
Из приведенных примеров ясна важность созда-
ния высокоэффективных диффузоров при выходе
потока из турбомашин. При этом для турбомашин
различного типа по существу решается одна и та же
задача, но различными техническими средствами.
Теоретическим и экспериментальным исследованиям
газодинамики диффузоров посвящены многочислен-
ные труды, обобщение результатов которых состав-
ляет содержание ряда специальных монографий [8,
12, 16].
Диффузор за компрессорными ступенями. Диффузор в компрессоре
имеет прямое назначение — повысить давление в конце процесса сжатия за
счет снижения выходной кинетической энергии потока (рис. VII.54, б).
В диффузоре продолжается термодинамический процесс, происходивший
в лопаточном аппарате компрессора.
Если поток за последним колесом осевого компрессора имеет приблизи-
тельно осевое направление, то выходная кинетическая энергия достаточно
просто преобразуется в потенциальную в прямом или изогнутом диффузоре.
Но обычно поток за рабочим колесом компрессора значительно закручен
в сторону вращения, т. е. с2„ )§> 0. В таком случае за последним колесом
должен быть установлен спрямляющий аппарат, выполненный в виде ком-
прессорной решетки, что естественно для турбомашины, предназначенной
для создания напора. Этот аппарат раскручивает поток, поворачивая его
к оси машины, и в нем повышается давление за счет снижения кинетической
энергии. Шаг такой решетки выбирается меньше, чем для обычного направ-
ляющего аппарата, чтобы ослабить чувствительность решетки к углам
атаки. Если закрутка потока велика и в одном аппарате не удается придать
ему осевое направление, то устанавливают два спрямляющих аппарата
После них поток может иметь большую осевую скорость. В таком случае для
использования выходной кинетической энергии в конце проточной част"
устанавливается кольцевой диффузор.
Процесс сжатия в диффузоре в zs-диаграмме показан на рис. VII.5о
Точка С определяет состояние рабочего тела непосредственно за последне
ступенью компрессора. Дальнейший процесс сжатия в диффузоре отмене
360
кривой CD, причем энтальпия повышается от 12 до i3. В конце изоэнтропий-
ного процесса CD' получена энтальпия й и, следовательно, потеря энергии
в диффузоре
ДЛй = 1'3 — is-
К. п. д. диффузора т]э будем называть отношение полезной работы hg
к полному изменению кинетической энергии, т. е. к располагаемой работе
(d —с|).
Для несжимаемой жидкости
hd = v(p3 — р2)
и
Ла = р*~р*---= 1 - (VII.49)
4-₽н-сз)
где t,d — коэффициент потерь в диффузоре.
Для сжимаемой жидкости
hg = i'3 — i2; hdo = i3 — i2
и
= (VII-50)
При небольших числах M без существенной погрешности можно пользо-
ваться формулой (VI 1.49) для газа или пара.
Во многих установках выходная кинетическая энергия за диффузором
полностью теряется. При этом в формулах (VII.49) и (VII.50) следует счи-
тать с3 = 0 и знаменатель записать как pcf/2. Числитель же в упомянутых
формулах меньше знаменателя на сумму потерь Д/г5 - - с3/2. В этом частном
случае к. п. д. можно выразить так:
, Ahg -{-—
Лб=1---------^-=1-£о,
сз
2
где — коэффициент полных потерь для несжимаемой жидкости,
_ 2(Р;~р3)
Ь0 — о
рс2
Скорость с2 определяется как средняя по расходу при входе в диффузор.
Диффузор за турбинной ступенью. Назначение диффузора, установленного
осле турбинной ступени, — увеличить располагаемый перепад энтальпии
и за счет снижения кинетической энергии потока в конце проточной части.
Его роль разъясним сначала для рабочего процесса без потерь. Если турбина
шогоступенчатая, то будем иметь в виду диффузор, расположенный за по-
следней ступенью (рис. VII.56, б).
Пусть расширение в турбине происходит изоэнтропийно от давления ро
точка А' на рис 56, а) до давления за турбиной р3 (точка В'). Будем считать
аданными давление р3 и скорость с3, необходимую для дальнейшего движения
рабочего тела и небольшую по величине. Допустим, что спроектированная без
диффузора для такой осевой скорости последняя ступень имела бы лопатки
неприемлемо больших размеров и что из конструктивных соображений при
зыходе из рабочего колеса должна быть выбрана скорость с2 с3, где V —
зыходная скорость, равная осевой скорости с22. При этом давление за послед-
ней ступенью было бы р3, и использованный перепад — h'u. Кинетическая
361
энергия (с I — с'з)/2 была бы потеряна, так как за турбиной требуется ско-
рость с3. Для уменьшения этой потери и устанавливается диффузор.
В ступени с диффузором (рис. VI 1.56, а) заданное противодавление ps
должно сохраниться прежним. Например, при выбросе газа в атмосфере
никакой диффузор атмосферное давление не изменит. Он может лишь сни-
зить давление перед собой, т. е. уменьшить давление за рабочим колесом до
величины р.2 (точка С на рис. VII.56, а). В газовой турбине, после которой
газы выбрасываются непосредственно в атмосферу, перед диффузором уста-
навливается вакуум. То же происходит в гидротурбине. Диффузор выби-
рается таких размеров, чтобы за ним установилась скорость с3.
Рис. VII.56. Рабочий процесс в is-диаграмме для турбины с диффузором:
а—изоэнтропийный процесс в ступени без диффузора (Л'/.Г) и с диффу-
зором (ЛС); б — проточная часть; в — необратимый процесс
Понижение давления до р2 означает увеличение располагаемой работа
турбины на величину ВС. Если размеры проточной части в меридионально
сечении, расход и начальные параметры рабочего тела сохранить прежним
и вновь обеспечить осевой выход потока, то для несжимаемой жидкости пол\ -
чится выходная скорость с2 = с'>, а для сжимаемой жидкости из-за уменьше
ния плотности рабочего тела с2 окажется несколько больше с2. Это различи
обычно невелико и не отражается существенно на эффективности диффузора
В дальнейших рассуждениях будем предполагать с2 =- с'2.
Предполагая диффузор идеальным и рабочий процесс изоэнтропийный
найдем, что под влиянием диффузора располагаемая работа турбины увели
чится на величину
hdt
с2 —с2
С2 3
2
Этой величине как раз и соответствует отрезок ВС на zs-диаграмме. Допо-
нительная работа hg получается потому, что с помощью диффузора оказ
лось возможным достигнуть за турбиной скорости с3 вместо с2, требуемой г
условию проектирования рабочего колеса. Если при этом кинетически -
энергия за диффузором используется, то оказывается, что при изоэнтропи ;
ном процессе выходная потеря в турбине полностью устраняется.
362
В реальной турбине процессы расширения и сжатия сопровождаются
потерями энергии. Дополнительная работа, получаемая в турбинной ступени
в процессе расширения на участке ВС, связана с потерей энергии А/z'. Сжа-
тие в диффузоре сопровождается потерей ----—
Л/гс) = i3 — z3.
Полезная работа в турбине Н под влиянием дополнительных потерь умень-
шается по сравнению с работой идеальных турбинных ступеней и диффузора
на величину Ай' + Дйй. От величины этих потерь зависит эффект уста-
новки диффузора. По мере их увеличения растет давление р2, а в предельном
случае, когда т]й = 0, давление р, = Рз-
Установка диффузора оправдывается только в том случае, если дополни-
тельные потери значительно ниже, чем выигрыш от уменьшения выходной
кинетической энергии. При достаточно высоком к. п. д. диффузора может
быть получено существенное увеличение полезной работы турбины, опреде-
ляемое разностью hdcn (рис. VII.56, в)
Таким образом, диффузор за турбинной ступенью дает возможность
уменьшить размеры рабочего колеса при сохранении небольшой выходной
кинетической энергии в конце проточной части.
Остановимся на деталях рабочего процесса с трением в диффузоре.
К. п. д. диффузора определяется по формулам (VII.49) или (VII.50). Зная
скорости с2 и с3 и установив по опытным данным к. п. д. диффузора, вычислим
hd = где het — теоретический напор в диффузоре.
Для сжимаемой жидкости температуру и давление в точке D (рис. VII.56, в)
найдем из уравнений
k
»' _'г' С . Pz / \
i—lB----—-—I—j-
Cp Рз \ T в '
где Тв ~ температура в точке В, известная из расчета турбины.
Далее, отложив от точки D дополнительную потерю Ай' в турбине, найдем
точку С и лежащую на изоэнтропе точку Е, причем СЕ = he DB. Точка С
определяет состояние рабочего тела перед диффузором. Отложив от точки Е
потерю в диффузоре Айа = hgt — hg, найдем на is-диаграмме точку F,
определяющую состояние рабочего тела за диффузором. Отрезок FG представ-
ляет выходную кинетическую энергию с3/2 а точкой G определяется полез-
ная работа расширения hu. Точке К соответствуют полные параметры рабо-
чего тела при выходе из последнего колеса турбины без диффузора, и эта
точка определяет полезную работу колеса h'u. Полезный эффект, вызванный
установкой диффузора, определяется следующей дополнительной удельной
работой hdm (разности энтальпий из рис. VII.56, в записываются в виде от-
резков между соответствующими точками):
hdcn. = hLl — h’u = KD — GL — BD-F
'2 / 2 \
£|----I^A/z'+ C£ 4-A/ia +4J-
Так как BD^CE = hg, to
hdon = -|----------------Ahd — A/zJ.
Если МОЖНО Принять C-2 Co, TO
hdcn h-dt ^hg B.h ,
(VII 51)
t. e. дополнительная удельная работа от установки диффузора равна теоре-
тическому напору в диффузоре за вычетом потери энергии в диффузоре и
потери в ступени при срабатывании добавочного перепада энтальпии.
363
Коэффициенты потерь в диффузорах. Многие опытные данные выражены
с помощью коэффициента потерь
Если обозначить потерю давления в диффузоре через Др и среднюю плот-
ность через р, то при небольших числах М имеем
Др =
Рг)-
Из этого равенства и формулы (VI 1.49) следует, что
С2—г / f \ 2-|
где /2 и /з — живые сечения соответственно в начале и в конце диффузора.
При исследовании потерь в диффузоре их удобно разбить на потери от
трения £шр и потери от расширения £р, так что в сумме
Для круглого конического диффузора конечной длины коэффициент
потерь от трения определяется по формуле
г —_______h___(1______L\
bmp — е \ П2 / ’
8 sin
где п = f3lf2 — степень расширения диффузора; 6 — угол расширения диф-
фузора; X — коэффициент сопротивления трения участка с длиной, равной
его диаметру, этот коэффициент выбирается в зависимости от числа Re
и относительной шероховатости [16].
Коэффициент ^тр может быть определен также для криволинейных и
изогнутых кольцевых диффузоров [12].
Потери от расширения в диффузорах с малым углом раскрытия пренеб-
режимо малы но, начиная с некоторого угла 6 они быстро возрастают и
общие потери в диффузоре становятся значительно больше, чем в прямой
трубе той же длины. Резкое возрастание потерь наблюдается при отрыве
пограничного слоя от стенок. Для плоского диффузора начало отрыва можно
определить по приближенной формуле А. М. Левина [16]
где f0 — начальное сечение диффузора; fomp — живое сечение, в которо .
начинается отрыв потока.
Коэффициент потерь от расширения принято выражать с помощью коэ4
фициента полноты удара <рр, равного отношению потерь от расширения в плав
ном диффузоре к потерям от внезапного расширения по формуле Борда-
Карно
Этот коэффициент потерь мало зависит от числа Re.
Коэффициент полноты удара для конических диффузоров с углом 6 =-
= 0-н40с при равномерном поле скоростей во входном сечении может бы
вычислен по приближенной формуле Идельчика
о О Д е X1’25
Фр = 3,2 pg-g-J .
В турбомашинах применяются диффузоры с большими углами 0, в ко"- -
рых потери от расширения имеют преобладающее значение. Для каждг -
относительной длины конического диффузора расчетным путем может быт г
найден оптимальный угол расширения 6.
364
В гидротурбинах небольшой мощности применяются конические отсасы-
вающие трубы (рис. VII.54, а) с углом 6 = 12—е-15 , причем к. п. д. диффу-
зора с учетом выходной потери достигает значений ца = 0,77-4-0,82 [43].
Криволинейные диффузоры применяют с целью получить плавное изме-
нение градиента давления вдоль образующей. В частности, находят приме-
нение диффузоры, в которых dp/ds сохраняется приблизительно постоянным.
Эффект от применения такого «изоградиентного» диффузора усиливается с воз-
растанием в эквивалентном прямолинейном диффузоре угла расширения 6
от 25 до 90°.
Дадим оценку расширения криволинейного диффузора. При рассмотре-
нии течения с градиентом давления в уравнении импульсов (lV.78) был вве-
ден формпараметр
„ J_ dwg
1 wQ as 1
где w0 — скорость в безвихревом ядре; б** — толщина потери импульса;
s — путь; Ф — функция от Re**.
В выражении для формпараметра влияние градиента давления отражено
членом б**. Считая приближенно, что скорость ку0 пропорциональна
средней скорости потока, вместо указанной функции можем рассматривать
выражение
I d-f ___ 1 df
f ds 0 ~ f ds г ’
yjms. Пг — гидравлический диаметр сечения и б** = б**/Дг.
Так как Пг = 4/7Q, то имеем
f ds г Q ds’
где й — периметр сечения.
Выразив f и И через диаметр сечения Ds, получим
1 df 1 dD, , 6
Таким образом, в выражение формпараметра для кризолинейного диффу-
зора входит величина локального угла расширения
e = 2aretg(4i). (VII.S2)
Угол 6 характеризует, в известной мере, влияние на потери местного рас-
ширения криволинейного диффузора подобно тому, как в диффузоре с пря-
молинейными образующими аналогичные потери характеризуются углом
его расширения.
Отрыв потока от стенок зависит не только от угла расширения, но также
от длины диффузора. Даже для малых углов расширения диффузора при зна-
чительном увеличении его длины возникает отрыв потока.
Коэффициент потерь диффузора и возникновение отрыва существенно за-
висят от профиля скоростей перед входом в него, от числа Re и от турбулент-
ности потока. Симметричный выпуклый профиль скоростей при малых углах
расширения, когда нет отрывов, уменьшает сопротивление диффузора. При
больших же углах расширения такой профиль скоростей приближает точку
отрыва к начальному сечению, так как он способствует возникновению попят-
ного движения.
В турбомашинах поле осевых скоростей перед диффузором обычно суще-
ственно неравномерно. Изменение этих скоростей вдоль радиуса нередко
достигает 30% и более. При некоторых режимах поток за рабочим колесом
имеет значительную окружную составляющую скорости. В диффузоре нерав-
номерность потока вдоль радиуса еще возрастает. Неравномерность поля
365
скоростей может быть учтена коэффициентом, равным отношению суммарной
кинетической энергии потока за диффузором к энергии в том же сечении,
подсчитанной по средней скорости потока в сечении f согласно уравнению
неразрывности
J clc3zPdf
где G — массовый расход; с3 — средняя скорость выхода потока из диффу-
зора; р — плотность, которую можно принимать постоянной по сечению.
В конических отсасывающих трубах коэффициент неравномерности
а = 1,3-ь1,5.
Изогнутые диффузоры применяются как отсасывающие трубы в установ-
ках крупных вертикальных гидротурбин.
Эти трубы в начале имеют относительно небольшой конус, в котором поток
замедляется перед входом в колено, где он меняет направление. Труба закан-
чивается длинным горизонтальным диффузором с прямоугольным выходным
сечением. Поворот потока сильно увеличивает неравномерность поля ско-
ростей, которая характеризуется коэффициентом а = 1,5-ь2, а на нерасчет-
ных режимах при большой закрутке потока за рабочим колесом этот коэффи-
циент может достигать значений 6—7 [43].
Кольцевой диффузор (рис. VI 1.54, б, в и д'). Локальный угол расши-
рения кольцевого диффузора можно определить так же, как для криволиней-
ного диффузора, по формуле, аналогичной (VII.52). Обозначив через I услов-
ную высоту проточной части диффузора (на рис. VII.54, б величина / =
= C7 J -! СЕ), найдем f = 2лг/ и Q = 4лг. Поэтому
0=2агс1е[^^]. (VI1.53)
Если кольцевой диффузор выполнен с прямолинейными образующими,
то, как показывают расчеты [12], его можно ориентировочно считать изо-
угольным (0 = const).
Профилирование кольцевого диффузора выполняется с учетом опытных
данных. В диффузоре с прямолинейными образующими при входе
(рис. VII.54, б) выбираются углы aj 4° и а.2 8-4-10° [12], чему соответ-
ствует угол 0 = 8н-12о. Локальный угол расширения не рекомендуется
допускать более 12—14 на значительном участке диффузора. Выходное сече-
ние диффузора проектируется в соответствии с допускаемыми скоростями
в прилегающей улитке.
Если локальный угол 0 получается недопустимо большим, то в этой зоне
могут быть применены кольцевые направляющие лопатки, разделяющие
кольцевой канал на ряд диффузоров с меньшими углами расширения. Уста-
новка кольцевых направляющих лопаток, уменьшая потери от расширения,
в то же время увеличивает потери от трения. Поэтому их следует устанавли-
вать лишь в случае явной необходимости смягчения срывных явлений в диф-
фузоре.
На рабочий процесс в кольцевом диффузоре большое влияние оказывает
отношение диаметров v = сГId". Как показали опыты на Кировском заводе
[3], при больших углах наклона периферийной стенки у коэффициент сопро-
тивления диффузора значительно возрастает с увеличением v (рис. VII.57)
Это объясняется повышением потерь от расширения. При больших угла
Т = 12-ь 16° наблюдались срывные явления, которые понижали эффектив-
ность диффузора. В этой серии опытов диффузоры с углами у = 8-4-10
показали результаты, близкие к оптимальным.
Ступенчатый диффузор. Плавно расширяющиеся диффузоры приходится
выполнять большой длины, обусловленной малым углом раскрытия, которы
необходимо выбирать для безотрывного течения. Часто возникает потреб-
366
ность в создании коротких диффузоров, приспособленных для эффективной
работы в условиях течения за рабочим колесом. Таким аппаратом для неболь-
шой степени повышения давления может служить ступенчатый диффузор
(рис. VII.54, е).
При входе в ступенчатый диффузор возникают потери от внезапного рас-
ширения. При небольшой степени расширения эти потери невелики, и сту-
пенчатый диффузор может конкурировать по к. п. д. с другими диффузорами,
обладая к тому же небольшой длиной.
В ЬИТМ автором [27] были выполнены опыты с диффузором после тур-
бинной ступени активного типа. Кинетическая энергия за рабочим колесом
при осевом выходе потока составляла около 5% от располагаемой работы.
Диффузор был образован двумя кольцами, расстояние между которыми 13
превышало высоту рабочей лопат-
ки I. За рабочим колесом поток
внезапно расширялся, и происхо-
дило повышение давления в диф-
фузоре.
Степень реактивности у перифе-
рии изменялась в зависимости от
скорости вращения в пределах от
22 до 29%, а в корневом сечении
от —2 до 4-6%.
Высота диффузора ls изменя-
лась в широких пределах, причем
кольца, ограничивавшие диффу-
зор, устанавливались либо симмет-
рично относительно оси диффузора,
либо высота диффузора увеличи-
валась за счет одностороннего сме-
Рис. VII.57. Зависимость коэффициента сопро-
тивления Со °т величины v = d'/d" для кольце-
вого диффузора при М?з0,3 и Re« 105 (по опы-
там Кировского завода):
щения одного из колец.
К. п. д. ступени, вычисленный
1 _ Y = 4° 30'; 2 - v = 6°; 3 - т = 8°; 4— 7=10°;
5 — у = 12°; 6 — ?=14°; 7 — т = 16°
в предположении полной потери
выходной кинетической энергии потока, под влиянием диффузора существенно
повышался по мере увеличения его высоты до /3 — 1,25/. Оптимальной ока-
залась высота /3 = 84 мм, при которой к. п. д. ступени повысился на 2%;
эта величина приблизительно соответствует теоретическому уменьшению
выходной кинетической энергии. Диффузор несколько улучшал обтекание
лопаток в корневой области.
Односторонний диффузор менее эффективен, чем симметричный, но и
с его помощью можно получить некоторое снижение выходной, кинети-
ческой энергии.
Опыты показали, что применение ступенчатого диффузора может также
несколько повысить к. и. д. парциальной ступени [27].
Недостаток места для установки диффузора вынуждает располагать
стенку корпуса на небольшом расстоянии за рабочим колесом, что может
оказать существенное влияние на к. п. д. ступени. Опыты с указанной выше
ступенью (рис. VII. 54, е), за рабочим колесом которой устанавливалась
плоская стенка на различных расстояниях а от ступенчатого диффузора,
показали, что уже при а = 160 мм (расстояние от рабочего колеса а* = 240 мм)
ощущалось вредное влияние стенки. Дальнейшее приближение стенки к рабо-
чему колесу вызывало резкое падение к. п. д.
Радиальный безлопаточный диффузор. Радиальный диффузор выпол-
няется в виде направляющих колец (рис. VII.54, ж), в пространство между
которыми поток входит с большой тангенциальной скоростью. В диффузоре
происходит частичное восстановление давления за счет кинетической энергии
потока. Рассмотрим сначала работу идеального диффузора такого типа, т. е.
будем предполагать, что силы трения отсутствуют;.
367
Пусть поток выходит из проточной части турбомашины, обладая радиаль-
ной и тангенциальной составляющими скорости си исГ) и поступает в радиаль-
ный безлопаточный диффузор. Такое движение можно получить в результате
наложения потоков, создаваемых источником и вихрем. Для вихря имеет
силу равенство rcu == const, а для источника, в случае несжимаемой жидко-
сти, rcr = const. Таким образом, для несжимаемой жидкости оба компонента
скорости изменяются обратно пропорционально радиусу, а следовательно,
их отношение должно быть величиной постоянной, т. е. cr!cu = tg а = const,
где а — угол, под которым направлен вектор скорости к оси а. При этом
линии тока имеют одинаковый наклон по отношению к концентрическим
окружностям, т. е. получается движение по спирали, которое часто назы-
вают свободным спиральным вихрем.
Поскольку в поле вихреисточника тангенциальные составляющие ско-
рости сохраняют те свои значения, которые создаются в поле одного свобод-
ного вихря, то для спирального свободного вихря имеет силу закон сохра-
нения момента скорости относительно оси вращения. Это соображение
остается справедливым как для несжимаемой, так и для сжимаемой жидкости.
Радиальная составляющая скорости сг для сжимаемой жидкости должна
вычисляться из уравнения неразрывности с учетом изменения плотности
газа р, т. е. согласно уравнению
рЬгСг — р Ъ Г Cri
где b — ширина диффузора на радиусе г, а значками отмечены величины,
относящиеся к радиусу г'.
При дозвуковом течении по мере удаления от центра толщина трубки
тока увеличивается, благодаря чему и происходит нарастание давления.
Если же движение сверхзвуковое, то с уменьшением скорости плотность
возрастает настолько быстро, что с удалением от центра трубка тока сужается.
В обоих случаях повышение давления в диффузоре при изоэнтропийном
течении определяется по уравнению Бернулли.
В радиальных диффузорах центробежных компрессоров тангенциальная
составляющая скорости си обычно в значительной степени превосходит ради-
альную скорость сг и повышение давления происходит главным образом за
счет уменьшения скорости си. Если в таком диффузоре движение было дозву-
ковым, а затем при других условиях оно перешло в сверхзвуковое, то вместе
с изменением плотности должна меняться составляющая скорости сг и угол
потока а. За счет изменения этого угла один и тот же диффузор может из
дозвукового стать сверхзвуковым. При этом радиальная скорость практи-
чески всегда остается значительно меньше скорости звука, и поток в таком
диффузоре резко отличается от течения в осевом сверхзвуковом диффузоре
Если иметь в виду радиальное движение потока, то безлопаточный диф-
фузор обладает, по сути дела, углом расхождения 360°. Это не вызывает
отрыва струи, так как отсутствуют радиальные лопатки, вблизи которых
могли бы возникать опасные явления в пограничном слое. Но такие явления
развиваются вблизи боковых стенок, поэтому при быстром нарастании давле-
ния в диффузоре кинетической энергии, соответствующей радиальной ско-
рости, может оказаться недостаточно для того, чтобы предотвратить срьп
потока. Давление в радиальном диффузоре обычно сильно увеличиваете^:
вместе с возрастанием радиуса за счет уменьшения тангенциальной скоро-
сти cUf и это затрудняет продвижение пограничного слоя к периферии. По-
этому при неблагоприятных условиях возможно возникновение обратны
течений вдоль боковых стенок диффузора. Если непосредственно перед диф-
фузором помещается рабочее колесо центробежного компрессора, то возни-
кающее обратное течение е пограничном слое при соприкосновении с колесом
получает дополнительную энергию.
Если тангенциальная составляющая скорости значительно превосход
радиальную, то изменение ее в соответствии с законом rcu — const вызывав’
368
быстрое нарастание давления в области больших скоростей си. Поэтому глав-
ная часть работы сжатия совершается на протяжении короткого входного
участка безлопаточного диффузора. В этой области числа Рейнольдса полу-
чаются большими, что благоприятствует обмену энергии ядра потока с погра-
ничным слоем. В таких диффузорах даже при свеохзвуковых скоростях
может быть достигнут высокий к. п. д. (в опытах Л. Чешайр [35] — свыше
90%). По мере снижения скорости нарастание давления замедляется, и диф-
фузор в этой области становится чрезмерно длинным по сравнению с лопаточ-
ным диффузором. В действительности вследствие трения о боковые стенки
закон постоянства момента скорости нарушается. В этом случае движение
в диффузоре может быть выражено формулой Пфлейдерера [48]
1 1 ' (VII.54)
rcu r^2u 2Q v 7 ’
где r2 — внутренний радиус диффузора; с.ги — соответствующая этому
радиусу тангенциальная скорость; Q — расход жидкости; % — коэффициент
трения; по данным Пфлейдерера Z = 0,04. Если в уравнение (VII.54) под-
ставить
Q = 2nrbcr = 2лг2й2с2г,
где Ь2 и с2г - соответственно ширина диффузора и радиальная составля-
ющая скорости на радиусе г2, то найдем
^-Ь2^ = -^(г-г2).
Так как cr/cu = tg а и c2rlc2u = tga2, то можно написать
b tg а — b2 tg а2 = ~ (г — г2),
а в случае b = const справедливо уравнение
tga— tg «2 = ^-(r —/-2)-
Отсюда видно, что с возрастанием г угол и так же увеличивается. Опыты
показали, что в безлопаточном диффузоре с параллельными стенками потери
энергии несколько меньше, чем в диффузоре с расходящимся профилем
канала.
С уменьшением угла ос2 возрастают пробег частиц в диффузоре и вызывае-
мая трением работа. Поэтому, чем меньше угол ос2, тем меньше получается
оптимальная длина диффузора. При <х2 20° может быть выполнен длинный
и достаточно эффективный безлопаточный диффузор.
Потерю напора для элемента безлопаточного диффузора можно опреде-
лить по обычной формуле
гидравлики
dhd = ’
на участке; dl = dr/sin а — путь, проходимый
вектором скорости с и осью u; d? — гидравличе-
c2 dl
где с — скорость потока
потоком; а — угол между
ский диаметр, равный для рассматриваемого диффузора удвоенной его
ширине Ь.
После подстановки указанных величин в формулу для потери энергии
в безлопаточном диффузоре в предположении а const можно записать
Ahg — --г—.---I с2 dr.
и 46 sin a J
Г2,
Интеграл в последнем уравнении легко найти графически или одним из
приближенных методов интегрирования.
Изложенные соображения о рабочем процессе в безлопаточном диффузоре
относятся также к безлопаточному соплу, если его рассматривать как обра-
24 И, И. Кириллов 369
щенный диффузор. Такие сопла получаются на участке между направляющим
аппаратом и центростремительным рабочим колесом радиальной турбины.
Рабочий процесс в диффузоре с закруткой потока. За рабочим колесом
перед входом в диффузор поток может иметь значительную окружную состав-
ляющую скорости, особенно при отклонении от оптимального режима. Под
влиянием закрутки потока возникает перепад давления вдоль радиуса, что
в определенных условиях может препятствовать отрыву потока от стенок
диффузора и снижать потери. Кинетическая же энергия, соответствующая
закрутке, в коническом диффузоре не используется, вследствие чего возра-
стает выходная потеря. За счет
этой энергии может быть повы-
шено давление в диффузоре с воз-
растающим радиусом г.
Опыты с коническим диффу-
зором в МВТУ производились
как с рабочим колесом, так и
с неподвижной решеткой, созда-
ющей закрутку потока. Отно-
сительная длина диффузора
L=L!d изменялась в пределах
от 2 до 5. Для всех диффузоров
наивыгоднейшим был средний
угол сц^82 . Как увеличение,
так и уменьшение этого угла по
Рис. VII.58. Влияние закрутки потока при входе сравнению С оптимальным вызы-
в кольцевой изогнутый диффузор на его к. п. д. вало Снижение К. П. Д. Отсасы-
Ча= f (аг) (п° опытам Кировского завода) вающей трубы. Существенное
снижение к. п. д. диффузора при
а 2 = 90° объясняется тем, что в действительности поток неравномерен и
его закрутка сохраняется также при среднем угле сх2 = 90имея разные
направления: у периферии с2и >0, а у втулки с2и <0. Такой поток небла-
гоприятно сказывается на потерях в диффузоре.
Кольцевые диффузоры с возрастающим радиусом от входного сечения
к выходному обладают способностью частично преобразовывать кинетиче-
скую энергию, соответствующую закрутке, в потенциальную. Это преобразо-
вание в принципе протекает так же, как в безлопаточных диффузорах.
Влияние закрутки потока на работу изогнутого кольцевого диффузора
с ребрами и без ребер было исследовано на Кировском заводе [3]. Диффузор
был спроектирован по закону dp!ds — const для отношения fs/f2 — 3. Длина
диффузора L, отнесенная к его среднему диаметру при входе, составляла 0,9;
втулочное отношение v 0,8. Угол, под которым поток входил в диффузор,
изменялся в пределах а2 = 16-е90е. Входные кромки ребер жесткости нахо-
дились от входа в диффузор на расстояниях sp — sp:l = 0,3; 1,3 и 9. Послед-
нее расстояние соответствовало удалению ребер. Результаты опытов пред-
ставлены на рис. VI 1.58. Наименьший коэффициент полных потерь полу-
чался для диффузора без ребер. При некоторой закрутке потока к. п. д
диффузора достигал максимума, большая закрутка вызывала отрыв потока
от внутренней стенки. Установка ребер жесткости значительно снижала
к. п. д. диффузора.
УИЛ 2. ВЛИЯНИЕ НА ПОТЕРИ МЕРИДИОНАЛЬНОГО
ПРОФИЛИРОВАНИЯ ПРОТОЧНОЙ ЧАСТИ
Потери в турбомашинах существенно зависят от очертаний ограничива-
ющих проточную часть поверхностей. Меридиональный профиль проточной
части оказывает наиболее сильное влияние на течение у концов лопаток, нс
его влияние распространяется также на всю структуру потока.
370
Рис. VII.59. Меридио-
нальное профилирование
сопел небольшой высоты
Одностороннее профилирование. Криволинейное очертание стенки соп-
ла, применяется [91 с целью уменьшения скоростей на участке канала макси-
мальной кривизны. Во входном сечении канал (рис. VII.59) имеет высоту
значительно больше, чем в выходном сечении, а за поворотом его высота
резко снижается. Таким образом, достигается сильное поджатие потока
в области косого среза. По опытам с плоскими решетками коэффициент потерь
энергии у профилированной стенки сохраняется таким же, как у непрофили-
рованной, тогда как у противоположной торцовой стенки коэффициент
потерь заметно снижается.
Градиент давления, вызванный профилированием периферийной стенки,
выравнивает степень реактивности вдоль высоты проточной части. Благодаря
этому уменьшается утечка через периферийные зазоры ступени.
При таком профилировании минимальное сечение сопел смещается в косой
срез. Его увеличение по сравнению с непрофилированным соплом может
быть определено как отношение дополнительной пло-
щади минимального сечения, вызванного профили-
рованием, к минимальному сечению Ц m.n непрофи-
лированного сопла с теми же профилями лопаток.
Если принять выходное сечение сравниваемых сопел
одинаковым, то угол выхода потока из профилирован-
ного сопла оц находится из соотношения
sin , АЛ
sin щ (lmin '
Выигрыш в к. п. д. от применения меридиональ-
ного профилирования должен определяться для сту-
пеней с равным расходом рабочего тела, т. е. исходная ^профилированная
ступень должна иметь большую высоту сопла, чем ступень профилированная.
Исследования эффективности меридионального профилирования выпол-
нялись в МЭИ, на ЛМЗ, НЗЛ и ЛКЗ [9, 14, 15].
В опытах МЭИ с прямой решеткой при относительной высоте лопатки
/х = 0,29 и степени поджатия 0,46 к. п. д. повышался приблизительно на
2%, а прн I = 0,45 и степени поджатия 0,28 — на 1,5%. При испытаниях
модели ступени (/г = 16ч-18 мм и d = 400 мм) повышение к. п. д. составляло
до 3%, т. е. значительно больше, чем при статических испытаниях. В этих
опытах разность степени реактивности у периферии и корня уменьшалась
на 8—10?6. При высоте сопел 15 мм степень реактивности у периферии сни-
зилась на 4%.
Если учесть, что из-за увеличения минимального живого сечения расход
рабочего тела профилированным соплом возрос на 7%, то сравнение следует
производить со ступенью, имеющей большую величину сопла на такую же
величину. Но и с этой поправкой повышение к. п. д. остается значительным:
для самых коротких лопаток — около 2,5%.
Этот эффект можно объяснить улучшением условий течения в корневом
сечении и уменьшением утечек через периферийные зазоры. Испытанная
ступень имела цилиндрические ограничивающие проточную часть поверхно-
сти. При этом выход потока в корневом сечении происходил в неблагоприят-
ных условиях. В соплах же с профилированной стенкой происходит поджатие
потока к ограничивающей поверхности в корневом сечении, что, возможно,
устраняет местные срывы и существенно снижает потери энергии.
Опыты с одновенечными ступенями, в которых были цилиндрические
стенки в корневом сечении, проведенные в ЦКТИ, на ЛМЗ и НЗЛ, показали
эффект значительно меньший, чем в опытах МЭИ. Так, например, в опытах
ЛМЗ, если сделать пересчет на увеличенную высоту проточной части из-за
повышения расхода, выигрыш к. п. д. от профилирования стенки составил бы
всего лишь 0,6—0,8%.
24:
371
В опытах НЗЛ вовсе не удалось выявить положительного эффекта от
меридионального профилирования в ступени с короткими лопатками (А
14 мм и 1У = 0,3).
Представляют интерес испытания на НЗЛ модели промежуточной сту-
пени с меридиональным профилированием. От других испытанных ступеней
она отличалась постепенным увеличением входного канала, заканчивавше-
гося цилиндрическим участком с размещением на нем силовых ребер. Нали-
чие последних и диффузорной части канала перед сопловыми лопатками
приводило к снижению к. п. д. профилированной ступени на 1,5—2%. Зна-
чительное снижение положительного эффекта от применения профилирования
периферийной стенки для модели промежуточной ступени наблюдалось и
в опытах ЛМЗ.
Направляющие аппараты с плоскими торцами. Течение в корневой области
более совершенно при выполнении направляющих лопаток с плоскими тор-
цами, как было показано в п. VII.5 этой главы. Поэтому практический инте-
рес представляет сравнение ступеней, имеющих меридиональное профилиро-
вание сопел, с наиболее совершенными ступенями, имеющими фрезерованные
лопатки. Опыты в этом направлении были выполнены на Кировском заводе
В. Д. Пшеничным и Э. И. Тарасовой.
Опытная двухвенечная ступень имела выходной угол ссг «=« 15° и высоты
направляющих лопаток 17—22 мм. Вблизи минимального сечения высота
сопел уменьшалась, что вызывало резкое поджатие потока на небольшом
участке, включая частично и косой срез. Минимальное сечение было смещено
в косой срез (обычное горло сопла имело увеличенную высоту из-за профи-
лирования стенки). Расход повысился под влиянием меридионального про-
филирования приблизительно на 5%.
Ступень с профилированными соплами при коэффициентах скорости
Ас> = 0,75^-1,15 давала выигрыш Ац = 0,6% по сравнению со ступенью
без профилирования стенок и одинаковой высоте лопаток. Если же учесть,
что ступень без профилированных стенок при увеличенном на 5% расходе
имела бы большую высоту проточной части и, следовательно, более высокий
к. п. д. (Ац ш 0,5%), а также изменение угла атаки и степени реактивности,
также несколько повышающих к. п. д., то выигрыш от профилирования
сопел ступеней с фрезерованными лопатками оказывается весьма малым и
находится за пределами возможной точности измерений.
В ступенях с профилированной периферийной стенкой происходит также
значительное изменение степени реактивности. Например, в указанных
опытах с двухвенечной ступенью под влиянием профилирования периферий-
ной стенки степень реактивности в корневом сечении стала больше, чем у пери-
ферии (Арг —0,04). А так как в ступенях с фрезерованными лопатками
изменение степени реактивности по высоте невелико, то в периферийном сече-
нии могут существенно ухудшиться условия обтекания профилей рабочих
лопаток.
Рассматривая задачу меридионального профилирования ступеней с корот-
кими лопатками в целом, можно заключить, что для некоторых типов ступе-
ней активного типа, у которых корневые сечения работают в неблагоприят-
ных условиях, применение меридионального профилирования может при-
нести некоторый выигрыш к. п. д., составляющий около одного процента
Для промежуточных ступеней и этого эффекта достигнуть не удается.
Меридиональное профилирование проточной части большой веерности.
В мощных тепловых турбинах с предельными размерами последних ступеней
части низкого давления применяются высокие окружные скорости и пере-
рабатываются большие перепады энтальпий. При этом быстро возрастаю'
удельные объемы рабочего тела и высоты лопаток. Чтобы придать проточно;
части плавные очертания, требуется большая длина ротора, а иногда и ув<
личение числа выходов. Это отражается на надежности и стоимости агрегат
372
С другой стороны, не могут быть значительно уменьшены и высоты послед-
них лопаток без существенной потери выходной кинетической энергии.
На рис. VI 1.60 показаны различные решения задачи проектирования
проточных частей последних ступеней мощных паровых турбин.
Многие заводы по ряду соображений допускают резкие переходы от одной
ступени к другой с изменением высоты проточной части главным образом
у периферии. При этом угол наклона периферийной ограничивающей стенки
местами достигает 60° и более, что связано с сильными дь'ффузорными эффек-
тами на переходах между ступенями и на начальном участке направляющего
аппарата. Ряд конструкций имеет резкие изломы в меридиональном обводе
Рис. VII.60. Примеры проточных частей ступеней низкого давления мощных
паровых турбин: а— К-300-240 ЛМЗ; б — К-Ю0-130 ХТГЗ; в—К-500-240
ХТГЗ; г — К-300-170 «Дженерал Электрик»; д — К-150-127 «Вестингауз»;
е — К-150-127 «Алис—Чалмерс»; ж—К-250-200 «Броун—Бовери»; в—К-100-120
«Эшер—Висс»
проточной части. В других, наоборот, проточная часть выполнена плавной
и даже имеет прямолинейные очертания. Некоторые конструкции предусма-
тривают длинные переходные каналы, предшествующие узким направляющим
лопаткам (рис. VI 1.60, б). Применяются также широкие лопатки, уменьша-
ющие угол раскрытия проточной части в меридиональном сечении направля-
ющего аппарата (рис. VII.60, б), а также проточные части, расширяющиеся
как у периферии, так и в корневой области (рис. VII.60, г и з). Особенно
часто практикуются резкие очертания меридионального профиля проточной
части внутри направляющих аппаратов, иногда с горизонтальными участ-
ками за ними и над рабочим колесом.
С ростом мощности и расхода рабочего тела увеличиваются длины лопа-
ток, и это приводит к повышению к. п. д. в части высокого давления турбины,
в части же низкого давления, где окружные скорости велики, резкое возра-
стание высот лопаток от одной ступени к другой и большие относительные
их длины могут вызывать значительные дополнительные потери, особенно
при частичных расходах. Правильная оценка этих потерь необходима как
для разработки мероприятий по усовершенствованию проточных частей низ-
кого давления, так и для обоснованного решения ряда важнейших задач:
выбора максимальной мощности агрегата, числа цилиндров, оптимального
вакуума в паровой турбине и др.
373
Диффузорные переходы. В группах ступеней большой веерности перед
направляющими аппаратами часто выполняют переходы от одной ступени
к другой в виде свободных участков с большим углом раскрытия. На таких
участках течение существенно улучшается благодаря отсасывающему дей-
ствию последующего направляющего аппарата. Это значительно улучшает
условия для безотрывного течения на переходах с раскрытием, которому
соответствует угол расширения эквивалентного конического диффузора 6Э,
вычисленного, согласно формуле (VII.53), до 30° и более. На практике же
применяются переходы со значительно большими углами 6Э, при которых
могут возникать сильные срывы потока.
Срывы вызывают потери в самом диффузоре и на входном участке направ-
ляющего аппарата, а также создают большую неравномерность потока и
радиальные течения в направляющем аппарате и в рабочем колесе. Их
неблагоприятное влияние сказывается не только в области, непосредственно
примыкающей к участкам с резкими переходами в меридиональном обводе,
но также по всей высоте проточной части вплоть до корневой зоны. Последняя
обычно наименее устойчива, и возмущения у периферии при неблагоприят-
ных условиях могут вызвать срыв потока у корня ступени.
Некоторую оценку пространственного течения в рассматриваемых про-
точных частях можно дать расчетом (см. гл. V). Однако в условиях обтека-
ния профилей с местными срывами расчеты могут выявить лишь тенденцию
к таким явлениям. Поэтому наряду с теоретическими изысканиями экспери-
ментальное исследование служит главным источником для оценки потерь
энергии и совершенствования сложных конструкций проточных частей
с крутыми переходами в меридиональных обводах.
Опыты БИТМ [19, 20]. Впервые в широком масштабе влияние меридио-
нального обвода проточной части на к. п. д. ступени было экспериментально
изучено автором в БИТМ в 1957 г. Эти опыты тогда были проведены при
малых числах М, но все же они выяснили главные особенности конфузорно-
диффузорного течения в турбинных ступенях с резко меняющейся формой
проточной части в меридиональных сечениях турбинных ступеней. Ниже
даны основные результаты этих опытов.
Диффузор перед ступенью имитирует в известной мере переходный участок
от предшествующего рабочего колеса к направляющему аппарату. В опытах
изменялась как высота входного участка диффузора, так и угол Ф наклона
периферийной стенки диффузора. Ступень постоянной циркуляции (гси =
— const) имела на среднем диаметре углы сц — 15 и (32 = 32°. Степень
реактивности в корневом сечении была близка к нулю, а у периферии
0,17. Перед направляющим аппаратом устанавливались конические диф-
фузоры с углами у периферии О — 10-^-60° (соответствующие обозначения
моделей: Д-10; 20 и т. д.). Этим углам соответствовал эквивалентный угол
круглого диффузора 0Э = 30-ь 120°. Все модели имели цилиндрическую
стенку по корневому диаметру.
Кроме того, те же ступени испытывались с диффузором без прямого
участка с углами раскрытия Ф - 10, 15 и 20° (модели Б-10; 15 и 20). Резуль-
таты испытаний приведены на рис. VII.61. Срыв наметился уже в модели
А-20, и он был резко выражен при больших углах Ф.
В моделях с большими углами раскрытия отрыв наблюдался в начале
диффузора, причем в этих моделях кинетическая энергия перед направля-
ющим аппаратом сохранялась приблизительно одинаковой независимо от
угла О. В таких диффузорах роль периферийной стенки невелика, расстоя-
ние же от места срыва потока до направляющего аппарата существенно влияет
на неравномерность потока перед ступенью и на потери энергии. Потери
в ступени возрастают с увеличением кинетической энергии срывающегося
в диффузоре потока и с уменьшением расстояния от места срыва до входа
в направляющий аппарат. В случаях срывов существенно снижался к. и. д.
ступени; за направляющим аппаратом и рабочим колесом наблюдалась боль-
374
шая неравномерность потока. В опытах с моделями типа Б наблюдалась при-
близительно такая же картина, как и в опытах с моделями А при равных
углах Ф, но срыв потока намечался уже при & = 15°.
Степень реактивности в корневом сечении во всех опытах менялась мало,
в периферийном же сечении она значительно повышалась по мере увеличения
угла Последнее объясняется сильным искривлением линий тока в перифе-
рийной области.
Из опытов следует, что при большой степени расширения срывы потока
в коротких диффузорах, предшествующих направляющему аппарату, при-
водят к значительным потерям энергии, которые зарождаются в диффузоре
и затем развиваются в направляющем аппарате и в рабочем колесе под влия-
Рис. VII.61. К- п. д. ступеней с диффузорными входными участками. На кривых
указаны обозначения моделей
нием сильных радиальных течений и больших углов атаки. В связи с допол-
нительными потерями также существенно изменяется коэффициент расхода
ступени.
В проектах новых турбин целесообразно поток организовать так, чтобы
не было диффузорных участков. Но если нельзя избежать устройства диф-
фузора перед направляющим аппаратом, то необходимо принять возможные
меры к предотвращению срыва потока. Можно применять обычные средства
для улучшения работы коротких диффузоров. В частности, может существенно
улучшить течение установка отсосов рабочего тела у периферии или раздели-
тельных стенок по высоте диффузора.
При разработке устройств, улучшающих процесс в диффузорах, помещен-
ных в турбине перед направляющим аппаратом, следует учитывать их спе-
цифические условия работы. Прежде всего необходимо эффективно исполь-
зовать в ступени кинетическую энергию потока за диффузором, что не всегда
имеет значение в других промышленных установках.
Заметим, что в исследованных моделях, даже при срыве потока в диф-
фузоре и крайне неравномерном потоке перед направляющим аппаратом,
все же использовалась существенная часть кинетической энергии потока,
поступающего из диффузора в направляющий аппарат. Поэтому нельзя
рекомендовать устройства, выравнивающие поток после диффузора за счет
значительной потери его кинетической энергии. Установка разделительных
стенок также должна отрабатываться с учетом изменения к. п. д. ступени
в целом, так как они, улучшая равномерность поля скоростей, вместе с тем
могут увеличивать потери кинетической энергии в диффузоре. В одном из
375
опытов автора установка в диффузоре разделительной стенки, применяемой
на практике, не привела к повышению к. п. д. ступени, хотя общая неравно-
мерность потока перед направляющим аппаратом улучшилась. Эта стенка
вызывала дополнительный срыв потока и значительную потерю кинетической
энергии.
Меридиональный профиль направляющего аппарата. Большое влияние
на потери оказывает форма меридионального сечения проточной части направ-
ляющего аппарата. При резком изменении высоты проточной части на про-
тяжении направляющего аппарата течение носит характер конфузорно-
диффузорного. Здесь наблюдаются отрывы потока при входе в направля-
0^ 0t5 0,6 0.7 0,8 и/со
Рис. VII.62. К. и. д. трех моделей ступеней с большим углом
раскрытия проточной части у периферии (по опытам БИТМ); di4 =
= 4,4; cd= 17°; МС1~0,3;
ющий аппарат, что вызывает снижение к. п. д. ступени, неравномерность
потока за направляющим аппаратом и рабочим колесом и уменьшение коэф-
фициента расхода в периферийной области.
В качестве примера на рис. VI 1.62 изображены кривые к. п. д. -
ступеней с углами раскрытия у периферии проточной части направля-
ющего аппарата О = 10 и 60° (угол расширения эквивалентного коническог
диффузора = 30 и 120е). В модели 3 с помощью направляющей решетк
сделан резкий переход к расширяющейся части направляющего аппарата
как часто получается в натурных условиях за рабочим колесом. Ступень
активного типа с закрученными лопатками имела угол ах = 17°, = 4,4,
/х 70 мм. Опыты проводились в воздушной экспериментальной турбш-м
при МС1 0,3 и ReCi 3-105.
Во всех опытах неравномерности потока за направляющим аппарате’!
и рабочим колесом были очень высоки и к. п. д. ступени под влиянием срыве
значительно снижался. Важную роль при этом играла кинетическая энерги-
потока, подводимого к направляющему аппарату, и соотношение площаде;
при выходе из подводящей части (модель 3 на рис. VI 1.62) и при входе в напра-
вляющий аппарат.
376
Влияние числа М. На номинальном режиме перепады энтальпий в по-
следних ступенях мощных конденсационных турбин, как правило, велики.
Скорость потока в корневых сечениях этих ступеней за направляющим аппа-
ратом и в периферийных сечениях при выходе из рабочего колеса могут зна-
чительно превосходить скорость звука. На подходе же к такой ступени поток
сравнительно мало отклоняется от осевого направления и имеет небольшую
осевую составляющую скорости с2. Поэтому перед направляющими аппа-
ратами ступеней низкого давления числа М невелики и в моделях, испытан-
ных в воздушных экспериментальных турбинах при малых скоростях, физи-
ческие явления на переходных участках между ступенями приблизительно
отражают действительные процессы в натурных условиях. Общее же измене-
ние к. п. д. ступени существенно зависит от полного перепада энтальпий 1г0
в ступени, так как при одной и той же геометрии проточной части направля-
ющего аппарата от величины h0 зависит доля кинетической энергии с%/2
поступающего в него потока
Если в одной и той же ступени менять располагаемую работу h0, сохраняя
параметры рабочего тела за ступенью, то с повышением числа М скорость
на выходе из направляющего аппарата будет увеличиваться в большей мере,
чем на входе. Обозначим плотности пара перед направляющим аппаратом
через ро, а при выходе из него через рх. Пусть при некотором перепаде энталь-
пий п0 в модели рПл( = рОл1/р 1м> а при большей величине этого перепада в на-
турной ступени рОн = рОн/р1и> причем для упрощения задачи будем пред-
полагать, что модель и натура имеют одинаковые размеры, а условия работы
различаются между собой только рабочим телом и его параметрами. Если
допустить, что р1лг «=> р1н, то для модели плотность pOjK будет меньше, а ско-
рость сОм — больше, чем соответствующие величины при натурных числах М.
При этом массовый расход рабочего тела моделью GM так относится к расходу
натурной ступенью GH, как соответствующие скорости при выходе из направ-
ляющего аппарата. Последние же изменяются пропорционально корню
квадратному из полных параметров энтальпий в направляющих аппаратах
этих ступеней h1M и й1к, поэтому
Имея в виду эти соотношения, получим для одинаковых размеров модели
и натурной ступени
С другой стороны, указанные соотношения плотности при изоэнтропий-
ном расширении можно определить по формулам:
377
где kM и kH — показатели изоэнтропы соответственно для модели и для натур-
ной ступени.
Приняв, например, для влажного пара kH 1,2 и 1, а для воздуха
kM = 1,4 и = 0,3, получим
(I -гО.2МД°-4
Если в первом приближении считать, что отношение перепада энтальпий
в направляющем аппарате к перепаду в рабочем колесе для модели и натуры
сохраняется одинаковым, то можно принять
%
Допустим в ориентировочных расчетах, что дополнительные потери
энергии от срыва потока в диффузоре перед ступенью зависят в основном
от входной кинетической энергии, и примем эти потери приблизительно
пропорциональными квадрату входной скорости с0. Тогда при сделанных
допущениях соотношение дополнительных потерь энергии, отнесенных
к полным перепадам энтальпий в натурной ступени и в модели, будет про-
порционально величине (с0л/с0н)2- Эта величина в данном примере прибли-
зительно равна 2,2, что означает в натурных условиях соответствующее
уменьшение потерь энергии по сравнению с потерями в модели. В действи-
тельности с увеличением числа М могут возрастать другие потери из-за уси-
лившихся срывов под влиянием волновых, нестационарных и прочих явле-
ний. Поэтому можно ожидать, что полученный здесь коэффициент смягчения
преувеличен.
Для уточнения общих потерь энергии и структуры потока в ступенях
рассматриваемого типа необходимы их исследования в условиях, достаточно
близких к натурным.
Опыты со ступенями большой веерности. При значительных перепадах
энтальпии /г0 в ступени опыты подтверждают высокие потери энергии от
устройства диффузорных участков перед ступенью и от резких изменений
меридионального профиля проточной части.
В качестве примера даны результаты экспериментального исследования
в ЛПИ моделей последних ступеней мощной паровой турбины при = 2,6,
12 — 320 мм, числах МС1 = 0,8-е 1,1 в среднем сечении и углах раскрытия
проточной части направляющего аппарата О = 30е и 55° [по формуле
(VII.53) соответствующие эквивалентные углы 0,^70 и 100°]. Модель
испытывалась на паре в двухвальной экспериментальной турбине при числах
ReCj 3-105.
Для создания изломов вдоль меридианов устанавливались направляющие
кольца на диаметрах, соответствующих рабочим лопаткам предшеству-
ющего колеса.
При углах раскрытия = 30 и 55е к. п. д. модели Б снизился по сравне-
нию с к. п. д. модели А соответственно на 2,5 и на 6% (рис. VII.63). В опы-
тах с предшествующей ступенью, имевшей конусную проточную часть (мо-
дель В) и работавшей с некоторой степенью влажности (у <2%), к. п. д.
снизился на 4% по сравнению с исходной ступенью (после пересчета на пере-
гретый пар). Улучшение работы модели В по сравнению с моделью Б объяс-
няется благоприятным влиянием конусности проточной части, смягчившей
влияние излома в ней.
Эти и другие опыты показали, что влияние неблагоприятных условий
течения на диффузорных участках перед ступенью сильно сказывается
также при больших числах MCl, особенно при резких изломах в проточной
части. Повышенная турбулентность потока при этом снижает интенсивность
срывных явлений.
Траверсирование потока выявило очень большие потери энергии у пери-
ферии направляющего аппарата. При углах & = 30 и 55° коэффициент потерь
Рис. VII.63. К. п. д. ступени большой веерности (di =2,6) и с боль-
шим руслом & у периферии
Рис. VII.64. Траверсирование за рабочим колесом
ступени большой веерности (di = 2,6) при углах
г1! = 30 и 55° (см. модель Б на рис VII.63)
1 — Й--30"; 2--Й - 55°
= 40 и 50%. Потерн были сосредоточены главным образом у меридио-
нального обвода, где наблюдались сильные диффузорные эффекты и срывные
явления, сопровождавшиеся интенсивными вторичными течениями.
При больших углах 0 повышенные потери были измерены также в корне-
вой области, где при увеличении углов & от 30 до 55° коэффициент потерь
возрос на 5%. При тех же углах О коэффициент в среднем сечении состав-
379
лял соответственно 5 и 10%, а при работе с предшествующим колесом «
13%.
Ухудшение условий течения в корневом сечении с возрастанием угла &
у периферии объясняется развитием радиальных течений от корня к пери-
ферии. Эти течения усиливаются по мере повышения противодавления
(ро = idem) и соответствующем увеличении и!С0. В некоторых опытах
ЛПИ при больших углах Ф угол у между вектором ст и осью z достигал
в корневом сечении 40°. Такой режим течения сопровождался отрывом потока
у корня ступени. В модели с углом О = 55° на расстоянии I = 0,2 от корня
скоростной напор вовсе исчезал, а угол у на расстоянии I = 0,3 достигал 50е.
Ухудшение течения в средней части по высоте направляющего аппарата
в известной мере объясняется теми же причинами, как и в корневой области.
Увеличение коэффициента — на 3%, наблюдавшееся при включении
в работу предшествующего колеса, объясняется повышенным уровнем турб\-
лентности потока и нестационарными явлениями, связанными с окружной
неравномерностью потока.
В рабочем колесе развиваются радиальные течения и срывные явления,
начавшиеся в направляющем аппарате. Срывные явления усиливаются
главным образом под влиянием углов атаки. Большие положительные углы
атаки возникают на режимах с сильно возросшим по сравнению с расчетным
характеристическим числом и!С0. На рис. VII.64 показаны результаты тра-
версирования на расстоянии z=15 мм за рабочим колесом модели Б при
&=30° и ш'Со=О,7, а также при & = 55° и и/С0 = 0,6. В обоих случаях отме-
чены очень большие углы у, которые при & = 55° достигали в корневой
области 50° и сохраняли высокое значение по всей высоте проточной части
При •&=55° полный срыв охватывал почти четверть высоты проточной части
При этом радиальные составляющие скорости были даже больше осевых.
Эти опыты, выполненные в условиях, близких к натурным, подтвердил!:
сильное снижение к. п. д. ступеней под влиянием большого угла раскрытия
проточной части, вскрыли условия возникновения основных причин отрыва
потока в корневой области и выявили благоприятную роль конусности про-
точной части предшествующей ступени. На основании анализа этих опытов
могут быть разработаны мероприятия по снижению потерь энергии в ступе-
нях большой веерности при неблагоприятной форме их меридиональное
обвода.
ГЛАВА VIII
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ТУРБОМАШИНАХ
Проблема вибрационной прочности лопаточного аппарата турбомашин —
одна из важнейших как для стационарных, так и для транспортных энерге-
тических установок. Эта проблема имеет особое значение для турбомашин
большой мощности. Для ее решения необходимы глубокие исследования
аэровозбуждаемых колебаний.
В проточной части турбомашины поток всегда неравномерен. Его нерав-
номерность в абсолютном движении порождает нестационарность в относи-
тельном движении и наоборот. Взаимодействие нестационарного потока
с направляющими и рабочими решетками порождает переменные аэродина-
мические силы (ПАС).
Неравномерность потока появляется вследствие взаимодействия между
потоком и решетками, обтекаемыми как вязкой, так и идеальной жидкостью.
Возмущения в идеальном потоке для краткости условимся называть потен-
циальными. Сильные возмущения такого типа исходят от входных кромок
последующей решетки при значительной их толщине.
Неравномерность носит особый характер в потоке вязкой жидкости.
В пограничном слое на лопатке касательные к ее поверхности скорости
резко меняются от нуля до величины, приближающейся к скорости в ядре
потока. При этом силы вязкости продолжают сказываться за выходными
кромками лопаток в аэродинамическом следе, который имеет турбулентный
характер.
По мере продвижения следа завихренность, образовавшаяся в погранич-
ном слое, постепенно исчезает под влиянием диффузии. Неравномерность
от аэродинамического следа условимся называть вязкой.
Пульсационные составляющие скоростей в турбулентном следе также
могут быть источниками ПАС на лопатках, но вследствие хаотичности дви-
жения они создают лишь местные нерегулярные колебания давления. Глав-
ную же роль в формировании ПАС от следа играют осредненные скорости
на его основном участке. Эти скорости в кромочном следе вносят в поток
существенную неравномерность.
Помимо кромочного следа источниками значительной неравномерности
потока могут быть: парциальный впуск, односторонний отбор рабочего тела,
неравномерная температура газа за камерой сгорания, входные и выходные
патрубки и ребра, нарушающие симметрию потока, стыки диафрагм, откло-
нения в шаге решетки и др. Эти источники могут возбуждать большие пере-
менные аэродинамические силы, опасные для надежной работы лопаточного
аппарата.
Другая группа нестационарных явлений относится к самовозбужда-
ющимся колебаниям.
Такие колебания возникают при определенных условиях обтекания и
упругих свойствах материала лопаток. К этому виду колебаний относится
также вращающийся срыв.
Обтекание решеток нестационарным потоком отражается и на их эконо-
мической эффективности. Явлениями нестационарное™ можно объяснить
381
многие расхождения в результатах опытного определения к. п. д. для
одних и тех же моделей, но при различной неравномерности потока перед
рабочим колесом.
Задача определения ПАС при движении одной решетки относительно
другой весьма сложна. Для ее упрощения рассмотрим раздельно важнейшие
нестационарные физические явления.
VIII.1. ВЗАИМНОЕ ВЛИЯНИЕ РЕШЕТОК
Рис. VII 1.1. Две последовательно рас-
положенные решетки профилей
Сначала рассмотрим квазистационарную задачу интерференции двух
решеток, перемещающихся одна относительно другой (рис. VIII. 1). Влияние
следов не будем учитывать, ограничиваясь рассмотрением интерференции
от возмущений в потенциальном потоке. В такой постановке задача рассма-
тривается в книге Г. С. Самойловича [9],
где имеется также подробный перечень
литературы.
Расчет обтекания двух последователь-
ных решеток. Чтобы дать общее представ-
ление о методах расчета обтекания дви-
жущихся относительно друг друга решеток,
используем метод последовательных приб-
лижений.
Этот метод основан на выражении ско-
рости в любой точке потока через интеграл
по контуру одного из профилей. Если счи-
тать, что на контуре профиля, определяе-
мом координатой /, известна комплексная
скорость w (z')> то w (z') dz' = Ap, где ф —потенциал скоростей (на контуре
дифференциал функции тока Ар = 0). Величину йф можно трактовать как
циркуляцию скорости на элементарном участке контура. Следуя методу
Кочина, предположим, что на каждом отрезке ds дуги контура помещен
вихрь интенсивности dylds и что эти вихри распределены на контурах всех
профилей. Тогда комплексная скорость w (z) в любой точке на плоскости г
может быть определена по формуле
w(z) ~
cth z,)
w (z') dz' +
(VIII.1)
где L — контур профиля; t — шаг решетки; — полусумма скоростей
на бесконечности перед решеткой и за нею.
Таким образом, по известному распределению скоростей на профилях
решетки находится возмущенная скорость w (z) в любой точке на плоскости z.
Комплексную скорость можно представить в виде ряда [9]. В этом ряду
наиболее существенную роль играют члены, происходящие от возмущений
с длинами волн, равными шагам решеток. Соответствующая этим волнам
гармоника в основном определяет силы от взаимодействия решеток.
При взаимодействии двух решеток изменяется распределение скоростей
на профилях обоих рядов. Волны возмущения от одной из решеток вызывают
возмущенное обтекание другой решетки в фазе или со сдвигом фаз в зависимо-
сти от длин волн. Расчет производится методом последовательных приближе-
ний. В нулевом приближении решается задача обтекания двух изолирован-
ных решеток равномерным потоком, в каждом следующем — задача обтека-
ния изолированной решетки с заданным возмущением на профилях обеих
решеток. Для подвижной решетки течение рассматривается в относительном
движении.
Результаты расчетов. В литературе имеется много сведений по взаимному
влиянию решеток в квазистационарной постановке задачи. Л. А. Дорфман
впервые выполнил такое исследование и показал, что существенные возму-
382
щения от решетки распространяются вверх по течению не более чем на рас-
стояние шага решетки.
Р. М. Яблоник [11] для той же цели воспользовался формулой (VIII. 1),
приведя ее к удобному для расчета виду применительно к сопряженным
скоростям, которые отмечены чертой (основные обозначения—на рис. VIII.2);
Aw — w(z) — wico = —
- j Pv (s) ds + J Qv (s) ds. (VIII .2)
L L
При выводе этой формулы были исполь-
зованы следующие выражения:
dz = dsel(!', w(z) —v(s)e~l0,
где v (s) — скорость на контуре про-
филя s; 6—угол между осью решетки х
и касательной к контуру профиля;
р = 1 г thУ (1 + tg2 X) .
“И tg2 А 4- th2 У ’
л _ tg X (1 - th2 У) .
4 tg2X-Mb2y ’
A = ^-(x-V); Y = -^-(y-y').
Рис. VIII.2. Основные обозначения
полученная из опыта. Из опыта
Рис. VIII.3. Изменение отклонений
скорости Aw/wim вдоль оси решетки
в зависимости от относительного рас-
стояния от входной плоскости решетки
до сечения <52 = (</0 — y)/t:
1 — 6Z = 0,045; 2 -~6Z- 0,09; 3
= 0,018; 4 -"б = 0,27; 5—6 = 0,41
Уравнение (VIII.2) служит для определения величины и направления век-
тора скорости wx в любой точке потока перед решеткой. В качестве скорости
wloo принимается скорость на расстоянии 1,75/от входных кромок лопаток,
же по результатам дренирования берется
распределение скоростей на профиле. По
этим данным вычисляются планиметриро-
ванием интегралы:
Аиу = — -J- j Pv (s) ds-
L
^wy = Qv(s)ds-
L
Этими вычислениями для одной решетки
было установлено, что для обычных тур-
бинных профилей на величину скорости
перед решеткой практически не оказывает
влияния распределение скоростей на вы-
ходной части профиля. Таким образом,
определяющим является распределение
скоростей лишь вблизи входных кромок
профиля.
Вблизи входного участка величина ско-
рости Aw сильно меняется, особенно перед
входной кромкой в направлении, перпен-
дикулярном к оси решетки (рис. VIII.3). По мере удаления от входной
кромки (точка г,' на рис. VII 1.2) величина Асутах/щ1со быстро уменьшается.
Для исследованной решетки активного типа эта величина составляла —1%
на расстоянии ~0,5/ от входной кромки, и она мало изменялась при обтека-
нии под углами атаки 0 и 15°.
3. Казимирски [14] изучено в квазистационар ной постановке задачи
обтекание потенциальным потоком неподвижной и подвижной решеток
с одинаковыми профилями и шагами. Исходя из выражений для комплексной
скорости, аналогичных (VIII. 1), он получил для решения задачи на ЭЦВМ
383
систему интегральных уравнений Фредгольма. Результаты расчетов для
профилей с толстыми кромками при относительном зазоре &z/t = 0,051
представлены на рис. VIII.4. Из этих графиков следует, что потенциальные
возмущения скорости достигают значительной величины на выходных кром-
ках направляющих (рис. VIII.4, а) и на входных кромках рабочих
(рис. VIII.4, б) лопаток.
Рис. VIII.4. Распределение скоростей на профиле при различных положе-
ниях Ди = Ди//движущейся решетки относительно неподвижной для осе-
вого зазора bz!t= 0,051: а— на профиле неподвижной решетки; б—на
профиле подвижной решетки:
1 — -> о : — 0; 3 — Д& = 0,25; 4 — Аи = 0,50; 5 — Д« = 0.75
Задача взаимного влияния направляющей и рабочей решеток тонких
малоизогнутых профилей с одинаковым шагом, обтекаемых плоским потоком
идеальной несжимаемой жидкости, была решена Кемпом и Сирсом [15].
Применительно- к телесным профилям эта задача решалась без учета вихре-
вых дорожек и в квазистационар ной постановке.
X. Крафтом [161 были выполнены расчеты применительно к активной
турбинной ступени для десяти смещений рабочей решетки. Поток предпо-
лагался потенциальным и несжимаемым. Вихревая дорожка за выходной
кромкой в расчет не принималась. Шаговый коэффициент t.2/t1 = 1. Согласно
этим расчетам, в косом срезе направляющей лопатки изменение давления
составляло 15—23% от полного перепада на ступень. Пики давления сме-
щались от горла к выходной кромке лопатки. Эти цифры получались зани-
женными, поскольку не учитывалось влияние следа.
384
Для направляющих турбинных профилей с толстой входной кромкой за
характерный размер, определяющий неравномерность поля скоростей перед
решеткой, можно принять относительный радиус входной кромки гех =
= rex/t. От этой величины существенно зависит роль гармоник высокого
порядка. С уменьшением гех уменьшаются амплитуды первых гармоник,
амплитуды же более высоких гар-
моник почти не меняются [5].
Приведенные результаты расче-
тов характеризуют влияние нерав-
номерности потока на аэродинами-
ческие силы в квазистационар ных
условиях, и полученные величины
ПАС соответствуют опытам в ста-
ционарных условиях.
VII1.2. ОПЫТЫ НАД
НЕПОДВИЖНЫМИ решетками
Рассмотрим стационарное обте-
кание решетки потоком, несущим
следы от первой решетки при раз-
личном ее положении относительно
второй решетки (рис. VIII. 1).
Обтекание профиля второй ре-
шетки неравномерным потоком, вы-
Рис. VIII.5. Распределение давления на профиле
первой решетки при различных положениях
второй решетки при bz/t= 0,16 и t — 44 мм:
1 - Аи = 1 мм; 2 — Аи = 11 мм; 3 — = 23 мм
ходящим из первой решетки, вы-
зывает существенные изменения
в распределении давления на по-
верхности лопатки. Чем меньше
осевой зазор, тем сильнее влияет
первая решетка на обтекание второй. Сильное влияние оказывает кромочный
след за такой решеткой, в которой направление скоростей резко меняется.
В неравномерном поле скоростей обтекание профиля существенно ухуд-
шается, так как поток набегает при значительных
Рис. VIII.6. Относитель-
ные окружные силы, дей-
ствующие на лопатки двух
последовательно располо-
женных решеток, в зави-
симости от величины отно-
сительного зазора между
ними bz/t (по опытам
Л ПИ) [10]:
/ — первая решетка; 2—вто-
рая решетка; AP„=PBraax =
=р
углах атаки.
На рис. VIII.5 дано опытное распределение давле-
ния р = 2 (р — pj/pwl по профилю первой решетки
при смещении относительно нее второй решетки на
величину Дц = Ди// = 0,02-е-0,52 (р± и —давле-
ние и скорость перед первой решеткой). Величина
относительного зазора между решетками 62// = 0,16.
Максимальные изменения давления под влиянием сме-
щения решеток сосредоточены на выходном участке
лопатки со стороны выпуклой ее поверхности. Эти
изменения давления порождают силы на лопатках
первой решетки такого же порядка, как на лопат-
ках второй решетки при перемещении ее относи-
тельно первой.
На рис. VIII.6 показано изменение относитель-
ной величины максимальной разности окружных уси-
лий Ри, действующих на лопатки турбинных решеток
при их различных взаимных положениях. В этом
примере при 6г//^0,1 и большом угле атаки макси-
мальное отклонение величины окружного усилия от
его среднего значения Рш составляет около 20%.
По мере увеличения осевого зазора переменная
величина усилий, действующих на лопатки второй
25 и. И. Кириллов
385
решетки, быстро уменьшается. В указанном выше примере максимальное
отклонение окружных усилий от средней величины при увеличении зазора
от 0,1/ до 0,4/ снижается от 20 до 3%, а дальнейшее увеличение зазора
до 0,7/ уменьшает это отклонение до 2%. Относительные отклонения уси-
лий, действующих на лопатки первой решетки, так же меняются с осевым
Рис. VIII.7. Изменение к. п. д. двух решеток при различном отно-
сительном положении (по опытам -ППИ): а — угол атаки при входе
во вторую решетку i 1°; б — i 16°
На рис. VIII.7, а изображено изменение к. п. д. т]12 обеих решеток про-
филей при различных положениях второй решетки относительно первой
и почти безударном входе по отношению к средней скорости потока. Макси-
мум потерь энергии в опытах достигался в том случае, когда профили второй
решетки попадали непосредственно в аэродинамический след профилей
первой решетки. Средняя величина потерь энергии при этом изменялась
несущественно.
Если же вторая решетка обтекается под большим углом атаки, то влияние
осевого зазора на потери энергии становится значительным (рис. VIII.7, б).
Это объясняется тем, что при обтекании профилей под большими углами
атаки возникают резко выраженные местные диффузорные участки, на кото-
рых легко может произойти срыв под влиянием неравномерного набегающего
потока. Ухудшение обтекания профилей наблюдается при малых осевых
зазорах, когда степень неравномерности потока велика. Если же осевые
зазоры достаточно большие, то их изменения, а также взаимные смещения
решеток сказываются значительно слабее, чем при малых зазорах, так как
поток в зазоре успевает в значительной мере выравняться, и обтекание второй
решетки улучшается.
386
VIH.3. ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ КРОМОЧНЫХ СЛЕДОВ
ПРИ ОТНОСИТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ РЕШЕТОК
При быстром перемещении одной решетки относительно другой условия
течения в межлопаточных каналах коренным образом изменяются под влия-
нием нестационарных процессов. При этом от взаимодействия вращающихся
полей порождаются импульсы как под влиянием потенциальных возмущений,
так и от вязкой неравномерности потока, обусловленной аэродинамическими
следами. При теоретическом изучении нестационарных процессов от вязкой
неравномерности [9] принимаемые условные схемы не отражают всей слож-
ности физических явлений. Поэтому экспериментальные исследования имеют
особое значение. Последние необходимы также для создания гипотезы форми-
рования ПАС, которая мог-
ла бы способствовать раз-
работке методов инженер-
ных расчетов.
Ниже рассмотрим гипо-
тезу формирования импуль-
сов давления во вращаю-
щейся решетке лишь под
влиянием вихревой дорож-
ки, имеющей недостаток
скорости по сравнению с
основным потоком. Эта ги-
потеза базируется главным
образом на результатах
исследований физических
явлений в турбинных сту-
пенях в лаборатории ЛПИ
[1, 2, 4].
Вихревая дорожка. Пре-
дварительно рассмотрим
струйку, у которой сред-
няя скорость существенно
ширина которой мала по сравнению с шагом решетки.
В относительном движении выделенной струйки вектор скорости wlc
отличается от скорости основного потока wx на величину недостатка скоро-
сти Awx = Acx (рис. VIII.8). Вектор Awx разложим на две составляющие:
Aw1T, параллельную вектору wx, и Awln, перпендикулярную этому век-
тору. Эти составляющие скорости характеризуют недостаток скорости струйки
в соответствующих направлениях. Скорость w±, перпендикулярная к ско-
рости струйки с1с, представляет собой фронтальную скорость струйки в отно-
сительном движении. В рассматриваемой схеме движения на подвижную
решетку непрерывно набегают волны с частотой f — smajwi и поток
становится периодическим по модулю и направлению скорости.
Степень отклонения рассматриваемой струйки от основного потока
будем характеризовать тангенциальной Aw1T и нормальной Awln составля-
ющими вектора Awv Для них можно записать [здесь иС[ = (ct—
Аш1Т = 2иС1С1 cos (pi — с€т); Ао^п = 2х(?1с| sin (Рт — ах).
В соответствии с этими составляющими скорости будем различать два
эффекта, появляющиеся во вращающейся решетке при ее обтекании неравно-
мерным потоком: «объемный эффект» от недостатка скорости Аау1т и «ударный
эффект» от недостатка скорости &wln.
Объемный эффект происходит от ускорения основным потоком
массы струйки в момент ее вступления во вращающийся канал. При большой
частоте вращения густой решетки недостаток скорости струйки Awlt вос-
полняется за очень короткий промежуток времени. Таким образом, основной
25* 387
поток, чтобы продолжать свой путь в рабочем колесе, вынужден резко уско-
рить или замедлить массу струйки, что связано со столь же резким изменением
давления по обе стороны струйки. При ускорении вихревой дорожки давле-
ние перед ней повышается из-за торможения потока, а за ней понижается
под влиянием массы, продвигающейся в канале. Волна возмущения распро-
страняется по всему каналу и на некоторое расстояние вне его, особенно
вверх по течению от входных кромок рабочих лопаток.
Чтобы дать лишь некоторое представление о характере физических
явлений в канале, вообразим вместо вихревой дорожки дроссельную за-
слонку, перегораживающую канал с объемом газа V и давлением р. Если
в этой условной схеме пренебречь влиянием распределенных массовых сил
и считать поток изоэнтропийным, то из уравнения материального баланса
получим
<viii..4
где AGX и AG., — изменения расходов соответственно в сечениях до объема
и за ним.
Для грубой оценки можно воспользоваться разложением функций Gx и G,
в ряды с сохранением лишь первых членов
AG1 = ^Am + ^Ap; AG, = ^Ap,
1 dm др 1 др 1
где т — координата, определяющая положение условной заслонки.
Из дифференциального уравнения (VIII.3) следует, что при периодиче-
ском изменении входной переменной величины Ат рассматриваемого звена
структурной схемы будет также периодически меняться выходная его вели-
чина Ар, причем фаза и амплитуда колебаний давления зависят от объема V
и от частоты колебаний. В этой схеме параметры потока в канале приняты
сосредоточенными. Поэтому передача импульса от перемещения заслонки
предполагается мгновенной по всему каналу. В таком случае переменное
давление во всех точках на вогнутой и выпуклой поверхностях канала за
заслонкой возникает одновременно и его амплитуда должна быть одинаковой.
Если в расчет ввести массовые силы и распределенные параметры потока
по каналу, то амплитуда и фаза колебаний давления окажутся неодинако-
выми в различных точках канала. Чем больше относительная длина канала,
тем сильнее сказывается влияние распределенной массы и тем более ощутимо
изменение ПАС вдоль канала.
Ускорение вихревой дорожки при вовлечении ее в межлопаточный канал
рабочего колеса должно быть таким, чтобы она к моменту, когда перегородит
канал, имела бы скорость, близкую к относительной скорости основного
потока w±. Процесс ее разгона можно представить себе следующим образом.
Если предположить, что приращение скорости Аичт, необходимое для
достижения вихревой дорожкой скорости основного потока, происходит за
время Ат = tju, в течение которого лопатка проходит путь, равный шагу А,
то возникает ускорение dwlx/dx « Aw1t/At. После этого элементы вихревой
дорожки станут двигаться со скоростью, одна из составляющих которой
будет wx, а другая представляет собой недостаток скорости AwXn. При бы-
стром движении решетки и потока необходимая для этого ускорения разность
давлений по обе стороны вихревой дорожки может быть значительной.
Распространение волн сжатия и разрежения в быстро движущихся кана-
лах под влиянием ускорений вихревой дорожки — характерная особенность
течения в действующей ступени турбомашины. В этом основное отличие
нестационарного потока в реальной ступени от квазистационарного обте-
кания смещаемых относительно друг друга решеток.
В принципе такова же природа волн сжатия и разрежения в нестацио-
нарном потоке от ускорения его элементов, имеющих недостаток скорости
из-за потенциальных возмущений. Эти возмущения распространяются
388
в потоке как вверх, так и вниз. Они сказываются с особой силой при обтека-
нии толстых входных кромок. Потенциальная неравномерность отличается
от вязкой тем, что она имеет существенное значение в сравнительно неболь-
шой области вблизи входных кромок, тогда как вязкая неравномерность,
хотя на начальном участке и -быстро затухает, после него сохраняется на
значительном расстоянии.
Ударный эффект струйки при входе в рабочее колесо опреде-
ляется нормальной составляющей недостатка скорости Awln. Это ударное
воздействие отличается от обычного эффекта при обтекании профиля под
соответствующим углом атаки тем, что при большой частоте ударов струек
поток не успевает перестраиваться перед входной кромкой и условия обра-
зования пограничного слоя по обе стороны этой кромки становятся иными.
В этом второе принципиальное отличие нестационарного обтекания реше-
ток от квазистационарного.
В обычных условиях работы турбинной ступени вихревая дорожка
ударяет в выпуклую поверхность входной кромки, где образуется волна
сжатия. Аналогичные явления, но с образованием волн разрежения при
сдвиге фаз и возможными срывами, происходят с другой стороны кромки
во время перерезания ею струйки. По всей же поверхности входной кромки
давление колеблется при резком изменении амплитуды и со сдвигом фаз,
особенно при большой кривизне кромки.
Ударный эффект в отличие от объемного охватывает лишь узкую зону
вблизи поверхности входной кромки. В этой зоне суммируются колебания
давления, порождаемые ударным и объемным эффектами.
Аэродинамический след. В дополнение к изложенному в п. IV.6 отметим
нестационарные явления в кромочном следе.
Для структуры аэродинамического следа характерны срывающиеся
с кромок вихри. Так, число Струхала для вихревой дорожки Кармана за
цилиндром приблизительно постоянно в широком диапазоне чисел Рей-
нольдса и равно
Sh = ^-^0,2,
где f—-частота сбегания вихрей; с — скорость набегающего потока; d —
диаметр цилиндра.
При больших числах Re вихри под влиянием турбулентного перемешива-
ния быстро проникают в окружающую среду. В опытах вблизи цилиндра
на начальном участке наблюдались вихри диаметром такого же порядка,
как цилиндр. Была изучена также структура следа за клиньями и пластинами
с тупыми и острыми кромками. Для этих тел Sh 0,22-: 0,25 при Re =
= (0,25н-2,5) 10s.
Значительный интерес для теории турбомашин представляют исследова-
ния структуры потока за крылом [17]. На выпуклой поверхности крыла
образуются вихри, с которыми связаны периодические явления в крыловом
следе. Периодичность сбегания вихрей в широком диапазоне углов атаки
характеризуется числом Sh 0,18, где в качестве линейного размера при-
нята проекция профиля на направление, перпендикулярное потоку.
Аналогичная завихренность имеется в следах за решетками профилей
с местными неустойчивыми зонами. Такие зоны местных срывных явлений
наблюдаются в турбинных решетках с большим углом поворота потока.
По данным Шлихтинга (см. п. VII.3), оптимальные турбинные решетки рабо-
тают в условиях зарождающихся срывов.
Из сказанного следует, что при совершенном обтекании решеток профи-
лей с малым коэффициентом циркуляции возможно сбегание с кромок лопа-
ток непрерывного пограничного слоя, при больших же коэффициентах цир-
куляции, характерных для турбинных решеток, в местах диффузорных уча-
стков вероятно образование периодической завихренности, переходящей
в кромочный след.
389
На основном участке аэродинамический след можно рассматривать состоя-
щим из ряда струек, набегающих на решетку, каждая из которых имеет свой
недостаток скорости. При этом получается очень сложное суммарное воз-
действие следа на поток, порождаемое объемными и ударными эффектами.
К этому еще присоединяются потенциальные возмущения.
Экспериментальные исследования нестационарных явлений, происходя-
щих от вязкой неравномерности, целесообразно организовывать так, чтобы
влияние потенциальной неравномерности лишь в слабой степени сказывалось
на воздействии решеток. Этого можно достигнуть, проводя испытания при
достаточно больших зазорах между направляющей и рабочей решетками,
при которых в основном сохраняется влияние вязкой неравномерности.
Пульсации давления. ПАС возникают в рабочем канале при каждом
пересечении им следа от направляющих лопаток. При этом в смежных кана-
лах эти силы изменяются со сдвигом фаз.
Рассмотрим сначала пульсации давления в смежных каналах только от
прямого объемного импульса, причем предположим синусоидальное измене-
ние полей давления и скоростей, что допустимо при достаточно большом
осевом зазоре.
Поскольку объемная составляющая переменного давления передается
почти одновременно по всему каналу, то при полной идентичности каналов
сила, действующая на лопатку от объемного эффекта, зависит в основном
от сдвига фаз в смежных каналах. Импульс давления Ару, распространя-
ющийся в рабочий канал, можем записать в следующем виде:
АргЛЯзшСт, (VIII.4)
где А — амплитуда; т — время; Q = = 2л/Т — угловая частота возмущений,
Т = tju — период возмущения, т. е. время прохождения пути между
соседними следами направляющих лопаток.
Выражение для периода можно записать и в таком виде:
где г — средний радиус рассматриваемого кольцевого участка рабочего
колеса; со — угловая частота вращения; — число направляющих лопа-
ток.
В смежный канал след вступает с запаздыванием в долях от периода
xsan — 8Т, где = tdti, a и t., — шаги соответственно направляющей
и рабочей решеток.
В двух рядом стоящих каналах возникают импульсы со сдвигом фаз
r3o„Q — 67Q -= 2л0,
поэтому давление в соседнем канале будет изменяться по другой синусоиде,
определяемой выражением
А/д- = A sin (Пт 4- 2л0).
Согласно изложенной гипотезе, предполагается, что в объеме одного
канала густой решетки в любой момент давление одинаково. Поэтому,
обозначив ширину рабочего канала В2, можно определить окружную состав-
ляющую силы PVii, действующей на лопатку, по величине давления на обе
ее стороны
PVu — p'Vu -j- PVu — АВъ [sinQx — sin (Пт + 2л0)], (VIII.5)
где PVu и PVu — окружные составляющие сил, действующих соответственно
на вогнутую и выпуклые стороны лопатки под влиянием объемного эффекта.
Из формулы (VIII.5),.в частности, следует, что объемная составляющая
ПАС исчезает (кроме тривиального решения А = 0), когда величина в фигур-
390
ной скобке обращается в нуль. Это происходит при 0 = = 1 или т3£И = Т.
Таким образом, эффект от объемной составляющей ПАС в значительной сте-
пени зависит от отношения шагов направляющих и рабочих лопаток.
Ударная составляющая ПАС достигает максимума в момент перерезания
кромкой следа, и она суммируется с объемной составляющей ПАС.
ПАС от обратного влияния решеток. Рассмотрим несколько примеров
формирования обратного импульса при пересечении следов вращающейся
решеткой.
Поскольку объемный эффект проявляется при шаговом коэффициенте 0,
отличном от единицы, будем иметь в виду решетки с разными шагами. Пусть
шаг направляющей решетки больше, чем рабочей (tx > А)- При входе вихре-
вой дорожки в рабочий канал (назовем его основным) в первый момент за
следом возникает волна разрежения, а перед ним — волна сжатия. Эти
волны распространяются как в рабочих, так и в направляющих каналах,
сообщающихся через пространство между решетками, причем ускорения,
положительные и отрицательные, получает не только масса, находящаяся
в основном рабочем канале, но также некоторая присоединенная масса в про-
тиволежащем направляющем канале.
В тот момент, когда волна сжатия распространяется по направляющему
каналу, через осевой зазор импульс давления передается также в смежные
по вращению рабочие каналы, особенно в те из них, которые противолежат
направляющему каналу, если t2. Таким образом, когда на вогнутую
поверхность основного канала действует импульс разрежения, на выпуклую
поверхность того же профиля в смежном канале оказывает давление волна
сжатия от обратного импульса. При неблагоприятных соотношениях шагов
такое обратное воздействие импульса может увеличить амплитуду ПАС.
Кроме того, в этом смежном рабочем канале поток под влиянием обратного
импульса давления несколько ускоряется, что в какой-то мере влияет на
величину последующего импульса разрежения в момент входа в этот канал
следа от другой направляющей лопатки.
Обратный импульс, передаваемый в смежные каналы, имеет частоту гЛ,
где пс — частота вращения и z, — число рабочих лопаток. Из этих сообра-
жений для вибрационной отстройки лопаток с частотой свободных колеба-
ний f к общепринятому критерию nz jf, пропорциональному числу сспловых
лопаток, следует добавить критерий ncz2lf, характеризующий частоту обрат-
ных импульсов.
ПАС от кромочного следа за рабочим колесом. След от направляющих
лопаток, пересекая рабочее колесо, в какой-то мере сохраняется и за ним.
Кинетическая энергия относительного движения следа в направлении, нор-
мальном к поверхности лопаток, в основном теряется при ударе о лопатку,
но частично сохраняется завихренность, свойственная следу. Эти признаки
аэродинамических следов от направляющих лопаток обнаруживаются в опы-
тах за рабочими колесами.
Большой эффект наблюдается от вязкой неравномерности, образующейся
за рабочим колесом от стекающего пограничного слоя. Последнему во время
движения по лопатке сообщается помимо ускорения от аэродинамической
силы переносное и кориолисово ускорения. Под их влиянием скорость стека-
ющего пограничного слоя с рабочих лопаток существенно изменяется по
величине и направлению. Здесь ограничимся рассмотрением движения услов-
ной вихревой дорожки в двухмерном потоке, как это происходит, например,
за густой радиальной решеткой.
Абсолютные скорости, нормальные к струйке (рис. VIII.9), одинаковы
для нее и для основного потока. Поэтому последовательность срывающихся
с лопаток элементов пограничного слоя образует вихревую дорожку, при-
близительно параллельную вектору относительной скорости основного по-
тока. Она располагается не вдоль основного потока, как за направляющим
аппаратом, а под углом |32—сс2 к нему, и в таком положении сносится
391
потоком, имея вначале недостаток скорости Aw,, который постепенно
уменьшается.
Хотя условия стекания пограничного слоя с лопатки и перенос вихревой
дорожки потоком отличаются для неподвижной и вращающейся решеток,
качественная сторона формирования импульсов давления одинакова гри
входе следа в рабочее колесо и при его вступлении в последующий направ-
ляющий аппарат. Поэтому экспериментальные исследования на обращенных
ступенях весьма способствуют общему пониманию проблемы, а также дают
возможность оценивать уровень ПАС и делать практические выводы о влия-
нии различных факторов на амплитуду и фазу переменного давления.
Неравномерность потока в относительном движении. Согласно выдви-
нутой выше гипотезе, формирование импульсов давления в подвижных кана-
Рис. VIII.9. Кинематика потока и следа при выходе из рабочего
колеса
лах густой решетки находится в зависимости от тангенциальной и нормаль-
ной составляющих недостатка скорости Awr Поэтому величины Аю1л. и
Аа'1л более всего подходят для характеристики нестационарного потока
в рабочем колесе. Эти параметры зависят как от величины недостатка ско-
рости Arwj = Ас,, так и от направления вектора wx по отношению к вектору cv
Взаимное положение векторов с2 и Wj при фиксированном угле с.] опре-
деляется характеристическим числом и/с1 — важнейшей характеристикой
кинематики потока в относительном движении. Величина же недостатка
скорости Ащх = Ас! характеризуется неравномерностью потока в абсолют-
ном движении. Из этих соображений вместо более строгой характеристики
нестационарного потока величинами Аёг?1л. и Аги1/г для ориентировочных рас-
четов можно ввести степень неравномерности потока в относительном дви-
жении, аналогичную хС1 (см. стр. 205),
где wlc — величина среднего вектора относительной скорости.
Степени неравномерности в относительном и абсолютном движениях
связаны между собой уравнением
хЮ1=^уиС1, (VIII. 6)
где
392
Таким образом, степень неравномерности hWi представляет собой функ-
цию хС], аг и и!с1с, которая отражает важные геометрические и кинематиче-
ские характеристики ступени. Этот критерий широко применялся в трудах
ЛПИ при исследовании ПАС и потерь энергии от нестационарное™ в рабо-
чем колесе.
При заданных хС1 и 04 в зависимости от и/с1с могут быть определены не
только степень неравномерности x№l, но также детальные характеристики
недостатка скорости AtWj, Аги1т и Awln (отнесенные к 2wlc). При этом выяв-
ляются области, в которых преобладает объемный эффект (Аиуи > Ада1и)
Рис. VIII.10. Детальные характеристики недостатка скорости в относительном
движении: а — касательная Дгг.’1т и нормальная Дш1„ составляющие недостатка
скорости Дкц при ом = 15° и = 0,1; б—отклонение углов натекания по-
тока ДР] = Pt — Pj при аг 19° и различных степенях неравномерности
или ударный эффект (Au)ln > Ада1т) (рис. VIII.10, а). Могут быть также
области, где Аау1т и Ающ имеют разные знаки. Вид характеристик суще-
ственно меняется в зависимости от угла аР
Таким образом, величины и соотношения объемной и ударной составля-
ющих недостатка скорости в следе и даже их знаки получаются различными
в зависимости от класса ступеней турбомашин (активных, реактивных, ком-
прессорных и др.). Детальные характеристики недостатка скорости в следе
позволяют установить как благоприятные, так и опасные зоны переменных
импульсов давления и дать качественную оценку характера этих импульсов,
важную для решения проблемы вибрационной прочности лопаток. В зонах
больших касательных недостатков скорости Аги1т необходимо уделять особое
внимание выбору шагового отношения 6, оказывающего решающее влияние
на величину ПАС от объемного эффекта.
Рассматривая степень неравномерности в относительном движении, можно
оценить также углы атаки при входе следа в рабочую решетку. Если считать,
что поток входит в рабочее колесо безударно со средней скоростью под уг-
лом Pj, а выделенная .струйка неравномерного потока — со скоростью
393
под углом то эта струйка движется к поверхности лопатки под углом
атаки fl, определяемым по формуле
f — arctg
С изменением окружной скорости меняется неравномерность по углу
В качестве примера на рис. VIII.10, б даны величины отклонения угла Лрх =
“ Pi — Pi в зависимости от и/с1 для различных значений степени неравно-
мерности хС1 в абсолютном движении (cq принято постоянным). Из примера
видно, что при увеличении и/с1 до единицы величина Др5 значительно воз-
растает. По этой величине может быть определен угол атаки V.
VIII.4. ОПЫТЫ НАД ВРАЩАЮЩИМИСЯ МОДЕЛЯМИ
Выше изучался процесс формирования импульсов под влиянием условной
вихревой дорожки. В действительности под влиянием размытого кромоч-
ного следа перед колесом образуется неравномерное поле скоростей, которое
Рис. VI 11.11. Силы, действующие на лопатку; х
У1 — расстояния до i-ro элемента; хц^ уц$—ра<
стояния до центра давления
суммируется с потенциальной
неравномерностью потока. Кар-
тина формирования ПАС весьма
сложна, и пока результаты
экспериментов над вращающи-
мися моделями — единственный
надежный источник информа-
ции, необходимый для опреде-
ления величины и характера
ПАС в лопаточных аппаратах
турбомашин.
Экспериментальные исследо-
вания ПАС в турбинных ступе-
, нях были выполнены в проблем-
ной лаборатории ЛПИ 11,4,5].
Для этих исследований А. С. Лас-
киным были созданы сложные
экспериментальные стенды, специальная аппаратура и была отработана
методика измерений. Для того чтобы выделить влияние вязкой неравномер-
ности, опыты проводились при достаточно больших зазорах между направ-
ляющими и рабочими лопатками, при которых влияние потенциальной нерав-
номерности на формирование импульсов было слабым, а влияние вязкой
неравномерности становилось преобладающим.
Метод измерений ПАС. Для изучения физических явлений при формиро-
вании ПАС наибольший интерес представляет непосредственное измерение
давления на поверхностях лопатки. С этой целью в ЛПИ использовались
тензометрические датчики. Проблема заключалась в создании малогабарит-
ных и малоинерционных датчиков для измерения локальных давлений на
поверхностях лопаток [6, 7].
Аэродинамическая сила Р, действующая на элемент лопатки единичной
длины, определяется мгновенным распределением давления р и касательных
напряжений т по профилю. Проекции этой силы определяются интеграла-
ми (рис. VIII.11):
Рх — (j) р sin a ds + (р т cos a ds;
S S
где ds — элемент дуги контура; а — угол между нормалью к ds и осью х.
394
Измерение касательных напряжений т крайне затруднительно. Вместе
с тем трение оказывает влияние главным образом на составляющую силы Рх,
и при безотрывном обтекании средняя величина силы трения составляет
всего лишь 4—7% от средней величины силы Рус. Поэтому, исходя из тре-
буемой точности опытов, можно силой трения пренебрегать и вычислять
составляющие силы и момент сил, действующие на лопатку, по формулам:
Px = ^pdy, Py=(^pdx-, = pxdx 4- pydy.
s s s s
Мгновенные значения давлений и нагрузок на лопатку могут быть пред-
ставлены суммой их осредненных
составляющих АРХ и АРу. При
этом последние уравнения можно
переписать в следующем виде:
Рх=1+рх; P^l+АДд
М = 1 + АЛ-1,
где чертой обозначены величины,
отнесенные к средним» значениям
составляющих сил Рхс и Рус. Пуль-
сационные составляющие АРу (т)
и др. могут быть разложены в ряды
Фурье. При этом величины А/Д,
ЛРл и А7И представляют собой
амплитуды, равные половине раз-
маха нагрузки.
Практическое применение этой
методики стало возможным лишь
после создания малогабаритных
датчиков с необходимыми частот-
ными свойствами.
Приборы для измерения пара-
метров нестационарного потока.
Для измерения параметров неста-
ционарного потока использовались
во времени значении и пульсационных
Рис. VIII. 12. Измерительная тензолопатка
тензометрические зонды динамического и полного напоров, а также ло-
патки с тензометрическими датчиками давления.
Тензометрические датчики давления для измере-
ния высокочастотных переменных давлений выполняются по разнообразным
электронным схемам, в которых преобразуются неэлектрические величины
в электрические. Схемы с тензометрическими датчиками имеют ряд преиму-
ществ применительно к изложенной выше методике исследования.
Пример конструкции тензометрического датчика показан на рис. VIII.12.
В отверстии корпуса 1 помещается гибкая пластинка 2 толщиной 0,03 мм
с наклеенной тензочувствптельной решеткой 3. Пластина зажата крышкой 4.
Измеряемое давление подводится по каналу, длина которого и объем микро-
камеры выбираются минимальными, чтобы уменьшить инерционность сис-
темы. Тензочувствнтельная решетка изготовлена из константанового провода
диаметром 0,02 мм в изоляции. База тензорешетки 2,7 мм, ширина 2,5 мм,
шаг петли 0,1 мм. Сопротивление тензорешетки —100 Ом. Датчик рассчи-
тывается как жестко заделанная по периметру круглая пластина с равно-
мерно распределенной нагрузкой. Эпюра напряжений определяет тип необ-
ходимой тензорешетки и ее размеры.
В опытах применялась петлевая тензорешетка как более простая. До зна-
чения относительного прогиба пластины г///г*=<0,5, где h — толщина пла-
395
стины, применима теория малых перемещений и получается линейная харак
теристика. Чувствительность датчика и линейность его характеристики
устанавливаются статической амплитудной тарировкой. Датчик включается
на вход усилителя, а с его выходом соединяется регистрирующий прибор.
С одг ой стороны датчика подается тарировочное давление. Датчик записы-
вает процесс с некоторым искажением. Динамическая тарировка датчика
служит для определения его амплитудно-частотной характеристики, что
дает возможность установить рабочую полосу частот, пропускаемых датчи-
ком, с необходимой точностью.
Размещение тензодатчиков в лопатке и примеры осциллограмм показаны
на рис. VIII. 13. Применение датчиков с рабочими диаметрами гибких пла-
стинок от 5,5 до 4,5 мм и согласование частотных характеристик элементов
Рис. VIII. 13. Размещение тензодатчиков на лопатке и пример осцил-
лограммы давления: а — осциллограмма на реактивном профиле при
i = 2°; б — активный профиль; в — реактивный профиль (на профилях
указаны номера датчиков)
измерительной схемы позволило определять величины ПАС до 5000—7000 Гн
с погрешностью ±10%.. Величины осредненных во времени давлений опре-
делялись с помощью обычной дренированной лопатки.
Сигналы от тензочувствительной решетки датчика по экранированному
кабелю поступают к усилителю, а затем подаются на вибраторный осцилло-
граф и для визуального наблюдения на катодный осциллограф. Тензостан-
ция Т-11М, применявшаяся в ЛПИ, представляет трехканальный усилитель
переменного тока, который передает процесс без существенных искажений
в диапазоне частот от 10 до 30 000 Гц.
Для получения малой погрешности необходимо согласовать амплитудно-
частотные и фазо-частотные характеристики всей измерительной системы
(датчик—усилитель— регулирующий прибор). Усилитель выбирается с доста-
точно точным линейным преобразованием сигнала в диапазоне рабочих частот.
Согласованию подлежат характеристики датчика и регулирующего прибора.
Датчик представляет собой колебательное звено. Таким же звеном является
вибратор. Усилитель же обладает настолько малыми динамическими посто-
янными, что его можно рассматривать как кинематическое звено с коэффи-
циентом усиления Ку, допуская при этом ошибку ±3%.
Частотные характеристики датчика, вибратора и всей системы строи-
лись на основании экспериментальных данных. При этом характеристики
вибратора подбираются так, чтобы суммарная амплитудно-частотная харак-
теристика системы в определенном диапазоне частот имела бы приблизи-
тельно постоянное отношение амплитуд Д а сдвиг фазы линейно зависел бы
396
Рис. VIII. 14. Стенд ЛПИ для исследования
ПАС:
1—предварительная направляющая решетка; 2—вра-
щающаяся решетка; 3—исследуемая решетка с изме-
рительными тензолопатками
от частоты. Величина X определялась как отношение амплитуды на выходе
при заданной частоте f к той же амплитуде при / = 0.
Для динамической амплитудной тарировки малоинерционных тензодатчи-
ков давления вместе с тензостанцией применялось специальное устройство,
вырабатывающее переменный сигнал давления синусоидальной формы и
заданной амплитуды. Для этой цели был применен барабан с эллипсообраз-
ной поверхностью, вращающийся в канале прямоугольной формы [6].
На рис. VIII. 13, а показан пример осциллограммы пульсаций давления
на профиле при обтекании его нестационарным потоком.
Стенд для измерения ПАС [4]. Один из стендов ЛПИ предназначен для
испытания радиальных ступеней (рис. VIII. 14). Этот тип ступени выбран
для того, чтобы поток в проточной
части по возможности приближал-
ся к двухразмерному.
На схеме показана обращенная
ступень. Направляющие лопатки 1
образуют вращающуюся решетку,
а рабочие лопатки 2 установлены
неподвижно. Измерение ПАС в не-
подвижной решетке гораздо проще,
чем в подвижной, и в этом пре-
имущество обращенной ступени.
Однако в такой ступени получа-
ются некоторые отступления от
требований моделирования, как
было отмечено выше. Тем не менее,
на обращенной ступени имелась
возможность выяснить основные
физические явления, что на первом
этапе испытаний было особенно
важно.
Перед первой решеткой была
помещена предварительная решет-
ка, предназначенная для неболь-
шого поворота потока, чтобы полу-
чить безударный вход в подвижную направляющую решетку. Перед рабо-
чим участком устанавливалась сетка и выравнивающая решетка.
Подвижные лопатки 2 были выполнены с цилиндрическими хвостами
для возможности изменения угла установки.
Основные характеристики испытанных моделей даны в табл. VIII.1.
Опыты проводились при небольших скоростях воздуха.
Таблица VIII. 1
№ модель- ного пакета Профиль Относитель- ный шаг по выходным кромкам Хорда, мм 1 град ₽л. t. мм
1 Т-З 0,62 41,1 0,515 33 26 20' 26
2 4 — 4 0,65 53 0,68 78 23 54' 34
3 6 — 6 0,76 43 0,551 122 21 30' 33
4 СП-504 0,84 56,7 0,728 90 18° 47,5
5 ТН-2 0,80 58,3 0,729 90 18° 20' 47
Опыты на радиальной ступени. На рис. VIII. 15 даны результаты опытов
в лаборатории ЛПИ [5] над рабочей решеткой модели 2. Пульсации давле-
ния 2Aps и изменение относительного сдвига фаз Ats -- Ats/T даны
397
в зависимости от положения s измерительных точек на профиле. Между
точками А и В входной кромки измерение импульсов производилось посред-
ством поворота датчика давления 6. Шаговое отношение 6 — 0,44 и 0,67.
В опытах наблюдался различный характер импульсов, отвечающих данной
выше классификации.
Во всех опытах внутри канала густой решетки пульсации распространя-
лись практически без сдвига фаз. Этот волновой характер передач импульса
внутри канала был подтвержден измерениями с помощью тензодатчиков на
Рис. VIII. 15. Изменение амплитуд пульсаций давления и отно-
сительный сдвиг фаз для выпуклой и вогнутой сторон лопаток
вогнутой и выпуклой стенках канала и тензсзонда в плоскости горла канала.
Таким образом, был экспериментально установлен принцип одновременности
передачи объемного импульса.
Амплитуды в ряде опытов различались как в точках на профиле по длине
канала, так и в одном и том же сечении на вогнутой и выпуклой стенках
канала. Различие в амплитудах давления при почти полном совпадении фаз
можно объяснить влиянием распределенных масс в канале.
В опытах с густыми турбинными решетками, в том числе и при оптималь-
ном шаге, амплитуды колебаний давления на обеих сторонах профиля были
одного порядка. В решетках активного типа амплитуда на вогнутой стороне
была несколько выше, чем на выпуклой. Это различие в амплитудах воз-
растало с уменьшением зазора между решетками. В реактивной решетке
различие в амплитудах было несущественным.
В области входной кромки наблюдалась принципиально иная картина,
чем внутри канала. На ее выпуклой стороне всегда выявлялся пик давления
с существенным сдвигом фазы по отношению к фазе объемного импульса
в канале. В обращенной ступени этот пик давления появлялся приблизи-
тельно при минимальном расстоянии между выходной кромкой подвижной
498
лопатки и входной кромкой лопатки последующей решетки. Фаза и ампли-
туда этого возмущения соответствуют представлению о взаимодействии вра-
щающейся решетки с неравномерным полем скоростей и давлений вблизи
входной кромки лопатки и с ударным эффектом вихревой дорожки. При
изменении густоты решетки фаза пульсации давления в канале менялась,
а фаза импульса на входной кромде сохранялась прежней.
С некоторым сдвигом фазы по отношению к пику давления на входной
кромке возникает пик разрежения со стороны вогнутой поверхности лопатки.
Этот пик образуется во время пересечения входной кромкой неравномерного
вращающегося поля за подвижной лопаткой. Природа этого явления и усло-
вия формирования пика разрежения аналогичны тем, которые были рас-
смотрены в отношении пика давления на выпуклой стороне кромки.
Влияние зазора, угла атаки и
числа Re. Увеличение осевого меж-
венцового зазора уменьшает нерав-
номерность потока перед решеткой.
Это снижает уровень колебаний
давления. Уменьшаются главным
образом высокочастотные возму-
щающие силы, кратные произведе-
нию числа лопаток z± на частоту
вращения п. В ЛПИ были полу-
чены [1] некоторые количествен-
ные данные' о влиянии осевого
зазора на величину ПАС.
Опыты проводились при числах
М^0,3 и Re«#2,5-105, отнесен-
ных к выходной скорости за пер-
вой решеткой. Относительная ше-
роховатость k,'b2 = 2-10-4. Вели-
чина ПАС определялась по осцил-
Рис. VIII. 16. Изменение ПАС во времени при
различной величине осевого зазора
лограммам пульсаций давления на лопатках. Опыты относились к безотрыв-
ному обтеканию профилей и охватывали значительный диапазон углов атаки.
Составляющие ПАС Ру и Рх представлены па рис. VIII.16 в зависимости
от безразмерного времени ъ/Т. По мере увеличения зазора колебания давле-
ния приближаются к гармоническим и роль гармоник высшего порядка
становится незначительной.
Как показали опыты, средняя по времени сила Ру меняется сравнительно
мало от величины осевого зазора. Объясняется это, в известной мере, посто-
янством количества движения за направляющим аппаратом независимо
от пробега потока, если не принимать во внимание трение о стенки, ограни-
чивающие зазор. В таких условиях осредненная аэродинамическая сила
может изменяться только вследствие отклонения среднего вектора скорости
за рабочим колесом от его направления при номинальном зазоре. Примени-
тельно к густым решеткам это отклонение вектора сравнительно невелико.
Переменная же составляющая силы &Ру, согласно опытам, сильно изме-
няется в зависимости от осевого зазора, от которого, в свою очередь, зависит
степень неравномерности потока перед второй решеткой.
Что касается другой составляющей силы ЬРХ, то она также в основном
зависит от степени неравномерности потока. Но ее роль в рабочем процессе
определяется величиной силы кРу. Так, в одном из опытов при номинальной
величине зазора было получено АРа. 0,75, тогда как ЛР,У 0,4. Однако
по абсолютной величине сила А/\. несравненно меньше, чем ЬРу, и поэтому
обычно она не имеет практического значения.
На рис. VIII. 17 дан пример изменения относительной величины перемен-
ной нагрузки в области положительных и отрицательных углов атаки.
399
Последние оказывали более сильное влияние на величину ПАС, чем поло-
жительные углы атаки, с увеличением которых даже наблюдалось сниже-
ние ПАС. Это объясняется ролью нормальной составляющей скорости следа
в формировании «ударного» импульса, вызывающего повышенное давление
на выпуклой и пониженное давление на вогнутой сторонах входной кромки.
Эти опыты характеризуют большое влияние ударной составляющей скоро-
сти и повышенной неравномерности потока в зоне входной кромки на вели-
чину ПАС.
Влияние числа Рейнольдса в области его сравнительно малых значений
[Re = (2 4-4) 105 ] существенно сказывалось на величине ПАС. В указанных
пределах величина t\Py уменьшалась почти в два раза с увеличением числа
Рейнольдса, что объясняется снижением степени неравномерности, значи-
Рис. VIII.17. Изменение относительной
переменной силы APZ/ в зависимости от
угла атаки i для профиля Т-3. Мс, = 0,3;
(62/6i sin ai) «э 0,8; 6 = 0,59 (по опытам
ЛПИ)
тельным в области рассматриваемых
режимов. Эти опыты подтвердили боль-
шое влияние вязкости потока и связан-
ной с нею неравномерности поля скоро-
стей и давлений на величины ПАС.
Влияние отношения шагов лопаток.
Импульсы давления существенно зави-
сят от соотношения шагов направляю-
щих (£х) и рабочих (О)лопаток.Согласно
предложенной гипотезе, объемный им-
пульс распространяется почти мгно-
венно по всему каналу и, следовательно,
эта составляющая ПАС, действующая
на лопатку, в целом зависит от сдвига
фаз в соседних каналах. Последний же
характеризуется величиной отношения
шагов 6 = (/27х).
В случае равенства шагов (/х = (2)
колебания давления в канале от объем-
ного эффекта находились бы в одной фазе. В идеальном случае при полной
идентичности профилей и процессов во всех каналах происходили бы син-
хронные колебания давления и лопатки не испытывали бы от этого эффекта
переменных объемных сил.
Ударный же импульс носит локальный характер. Создаваемое им пре-
имущественное давление в одном направлении сохраняется и при равенстве
шагов лопаток. Поэтому при 6 = 1 переменные силы становятся малыми
только в юм случае, если мал ударный импульс.
Кривые изменения суммарного импульса в зависимости от соотношения
шагов могут иметь экстремумы, положение которых зависит от геометриче-
ских и аэродинамических характеристик решеток.
В опытах ЛПИ на обращенной ступени реактивного типа испытания про-
водились для шагового коэффициента 0 ^-= 0,4 =1, менявшегося за счет шага
второй решетки /2. В этой решетке течение без существенных отрывов наблю-
далось до величины относительного шага, лишь немного превосходящего
оптимальное его значение (t2, b2) *=& 0,6 при шаговом коэффициенте 6 *=* 0,67.
Таким образом, опыты охватывали густые решетки при безотрывном течении
в стационарных условиях.
Опыты проводились при числе М 0,34 и характеристическом числе
и!сг 0,89, которому соответствовал безударный вход основного потока
во вторую решетку. Помимо обычного расположения по пяти датчиков на
вогнутой и выпуклой сторонах профиля, было установлено по одному дат-
чику в смежных каналах. Особый интерес представляет установка поворот-
ной входной кромки, которая позволяла во время опытов измерять импульсы
по периметру этой кромки в диапазоне ±60° от касательной к средней линии
профиля.
400
Как и в ряде других опытов с густыми решетками, внутри канала не было
заметного сдвига фаз. При шаге t2 > Gopt наблюдался некоторый разброс
точек, обусловленный, по-видимому, местными срывными явлениями. Ампли-
туды по профилю во всех опытах изменялись весьма существенно.
Выделялись пики сжатия на входной кромке со стороны выпуклой поверх-
ности и пики разрежения с противоположной стороны входной кромки.
В самой густой решетке разрежение на входной кромке получалось наи-
большим из-за наилучшего совпадения фаз различных импульсов вблизи
этой поверхности. Сильные импульсы сжатия на входной кромке имели резко
выраженный местный характер. Рядом стоящий датчик 7, находящийся
в канале, уже не отражал заметно этого импульса.
Внутри канала датчики, измерявшие в основном амплитуду объемного
импульса, показывали постепенное ее уменьшение. Значительное снижение
амплитуды наблюдалось в области косого среза при выходе из решетки, что
отражало влияние распределенных масс. Особенно сильное затухание ампли-
туд наблюдалось в самой густой решетке из-за относительно большой длины
канала.
Из опытов следует, что уровень амплитуд при изменении шагового коэф-
фициента меняется сравнительно мало. Изменение же разности фаз колеба-
ний в смежных каналах весьма существенно. Этим смещением фаз главным
образом объясняются значительные изменения ПАС, действующих на ло-
патку.
Результаты опытов в области 6 = 0,4 4-0,7, где при нулевых углах атаки
не наблюдалось значительных срывных явлений, разность фаз пульсаций
давления в смежных каналах сильно возрастала вместе с увеличением шаго-
вого коэффициента. Можно предполагать, что при безотрывном обтекании
профилей и при дальнейшем возрастании 0 сохранится приблизительно та же
закономерность. В этом случае с увеличением 0 до единицы пульсация дав-
ления в смежных каналах будет совершаться в фазе, что сведет к минимуму
доли переменных аэродинамических сил, получаемых за счет объемного
эффекта. Возможно, что в этой зоне находится и минимум суммарных вели-
чин ПАС.
Обратное влияние решетки на ПАС в предшествующей решетке. Опыты
по обратному влиянию вращающейся решетки были выполнены в ЛПИ [51
на стенде с обращенной ступенью, т. е. на рабочем колесе были помещены
лопатки типа направляющих, а перед ним — неподвижная решетка с про-
филями рабочих лопаток. Профили неподвижной решетки имели хорду
39 мм, относительный шаг — 0,59 и угол выхода 21°.
Вращающаяся решетка состояла из профилей такого же типа, как в пре-
дыдущих опытах, но с измененным относительным радиусом входных кромок
лопаток rex/t = 0,08 ->0,25, а осевой зазор, отнесенный к шагу вращающейся
решетки, был соответственно 0г = 0,32->0,13. Отношение шагов обеих реше-
ток 0 0,53.
Опыты проводились при небольших числах М. Коэффициент неравномер-
ности в выходном сечении первой решетки с учетом влияния толщины вход-
ной кромки следующей решетки изменялся в зависимости от осевого зазора.
При 6Z = 0,13; 0,29 и 0,32 по опытным данным величина х = 0,33; 0,09 и 0,04.
Пульсация давления наблюдалась как в области выходных кромок,
так и в глубине канала при незначительном уменьшении амплитуд. Внутри
канала амплитуды составляли 15—30% от динамического напора по скоро-
сти ct выхода потока их первой решетки. Основная частота пульсаций была
ncz2, где г2 — число лопаток последующей решетки. Импульс мгновенно
распространялся в зоне датчиков 7, 8, 9 на выпуклой стороне
(см. рис. VIII. 13) и по всей вогнутой стороне.
Разность фаз пульсаций между выпуклой и вогнутой сторонами одного
профиля была (0,5—0,6) Т, т. е. приблизительно соответствовала шаговому
26 И. И. Кириллов 401
коэффициенту (6 = 0,53). Фаза импульса на датчике И наблюдалась
с запазданием на —0,27\ Амплитуды значительно менялись лишь в зоне
косого среза. Вдоль профиля не было значительного изменения пульсаций.
Эти опыты показали, что при малых осевых зазорах наблюдается сильное
обратное влияние решетки и в этих условиях амплитуды пульсации нахо-
дятся в зависимости от радиуса входной кромки второй решетки. При боль-
ших зазорах последний фактор не был существенным.
Опыты проводились также при значительно измененной форме канала
за счет профиля соседней с тензометрической лопатки. Конфузорность канала
была увеличена в 1,4 раза, но при сохранении неизменным косого среза.
Осциллограммы показали, что форма канала на распространение импульса
влияния не оказывает, если сохраняется степень неравномерности потока
перед вращающейся решеткой.
VIII.5. ВЛИЯНИЕ ПАС НА ХАРАКТЕРИСТИКИ СТУПЕНИ
Рис. VIII. 18. Внутренний к. п. д. турбинных ступеней
активного типа в зависимости от и/Ск'.
—------— по опытам БИТМ;-------— по опытам МЭИ
Уже давно было известно, что потери энергии в ступени значительно
превышают потери в испытанных неподвижных решетках. Замечено было
также существенное для практики различие оптимальных характеристиче-
ских чисел (и/Сo)opt- Этим расхождениям не находили удовлетворительных
объяснений до выполнения указанных выше исследований нестационарных
явлений при обтекании
вращающихся рабочих ре-
шеток .
Пример влияния неста-
ционарное™ на характери-
стики турбинных ступеней
дает анализ [3] результа-
тов обычных опытов по
определению суммарных
аэродинамических харак-
теристик для ряда вращаю-
щихся моделей с различной
высотой лопаток, выпол-
ненных в МЭИ и в БИТМ.
Эти опыты проводились для
ступеней с одинаковыми
профилями лопаток и приблизительно в одинаковом диапазоне их высот.
Условия же опытов резко между собой различались по числам М и Re.
Опыты БИТМ выполнялись на воздушной экспериментальной турбине
при малых числах М и Re (MCt *=« 0,3 и Rec, «== 2-105). Углы выхода потока
из направляющего аппарата и рабочего колеса были соответственно
= 13 и |32 — 22,5. Сопловые и рабочие лопатки имели хорды Ьг -= 69 мм
и Ь2 = 30 мм, а относительные их длины /х == 0,25-нО,45 и /2 = 0,65-н1,6
при среднем диаметре ступени 535 мм. Для уменьшения влияния утечки
через периферийный радиальный зазор применялось уплотнение по бандажу
с радиальными зазорами 6 = 0,7 -н0,8 мм.
Исследования проводились на четырех моделях ступеней с малыми высо-
тами направляющих лопаток К = 45, 37, 25 и 17 мм. Поверхности лопаток
можно было считать аэродинамически гладкими.
Опыты МЭИ были выполнены с аналогичными моделями, но на паровом
стенде и при больших значениях чисел М и Re (МС1 0,6 и ReC1 4,5-105).
Углы выхода потока на среднем диаметре были ос j == 13’-15си р, 20-н21 .
Сравнение результатов этих испытаний выявило (рис. VIII.18), что при
указанном уменьшении числа Re к. п. д. ступеней с короткими лопатками
сильно падал. Кроме того, в опытах при малых числах Рейнольдса характе-
ристическое число («/C0)opt существенно отклонялось в сторону-увеличения.
402
В области (и/С0) < (u/C0)opt кривые т] = f (и/С0) по опытам БИТМ имели
более крутую ветвь, чем по опытам МЭИ, вследствие чего существенно изме-
нялся к. п. д. в этой зоне. Особенно значительным было снижение к. п. д.
и сдвиг кривой т] = f (и/С0) при наименьшей высоте лопаток Zx = 17 мм.
Эти явления нельзя было объяснить возрастанием потерь энергии при
низких числах Re по данным статических продувок. Противоречивым пред-
ставлялся рост (u/C0)opt при малых числах Re: под влиянием повышенных
потерь стационарного характера вершина кривой должна была бы смещаться
в противоположном направлении. Причину этой аномалии можно было видеть
в нестационарных явлениях. Сейчас накопилось уже достаточно опытных
материалов и исследований физических явлений во вращающихся моделях,
чтобы более детально разъяснить возникавшие противоречия, характерные
и для других опытов. Для этой цели £
воспользуемся также нижеследующими
исследованиями профильных и конце- ^сг~
вых потерь во вращающихся моделях.
В экспериментальной турбине ЛПИ ?
были исследованы профильные потери ’
энергии в трех рабочих решетках: Т-3;
4—4 и 6—6 (см. табл. VIII. 1). Испыта-
ния проводились при числе u/cj, обеспе-
чивающим безударный вход в каждую
из решеток. Опыты показали, что про-
фильные потери в решетках обте-
каемых нестационарным потоком, сильно
возрастали по сравнению с потерями
в тех же решетках при обтекании ста-
ционарным потоком t,cm. По мере возра-
стания коэффициента неравномерности Рис. V1II.19. Возрастание профильных
хС1, посредством уменьшения межвенцо- потерь энергии при обтекании решеток
вого зазора, профильные потери энергии нестационарным потоком
резко возрастали (рис. VIII. 19). Это
наблюдалось для всех испытанных решеток как активного, так и реактивного
типов. Потери энергии в реактивных решетках увеличивались с ростом
неравномерности быстрее, чем в решетке активного типа.
Таким образом, при большой неравномерности потока потери энергии
в решетке могут в два и более раза превзойти потери при стационарном обте-
кании профилей. Это объясняется главным образом потерями от ударного
эффекта, от непрерывных пульсаций, а также от высоких турбулентных
напряжений в потоке и от местных срывов потока при пересечении лопат-
ками следа. Все эти потери растут с повышением неравномерности потока.
Коэффициент неравномерности потока увеличивается в зависимости от
относительной степени шероховатости (приблизительно в степени 0,2) и
с уменьшением числа Re. В опытах ЛПИ с решетками направляющих лопа-
ток при степени турбулентности перед решеткой Ж = 5ч-8% с повышением
числа Re. коэффициент неравномерности существенно понижался. Например,
при изменении числа Re от 2- 10е до 4,5-105 коэффициент х снижался в 1,4—
1,6 раза.
Характеристикой потока при входе в рабочее колесо, как указывалось,
может служить коэффициент неравномерности в относительном движении v.Wl.
Величины были получены [3] расчетом для ступеней МЭИ и БИТМ
(рис. VIII.20). Заштрихованные зоны соответствуют вероятным хШ1 с учетом
разброса экспериментальных значений неравномерности потока в абсолют-
ном движении.
На этой диаграмме видно для ступеней БИТМ крутое падение степени
неравномерности потока в относительном движении в области чисел и!С0,
превышающих это характеристическое число при осевом выходе
26* 403
Рис. VIII.20. Коэффициент нерав-
номерности потока хЮ1 в зависи-
мости от и/С0:
1 — для ступени БИТМ; 2 — для сту-
пени МЭИ
потока (и!С0 = 0,48). Для ступеней же, работающих при больших числах Re
(опыты МЭИ), в этой области заметен некоторый подъем кривых х№1. Поэтому
уменьшение потерь от ПАС в ступенях БИТМ за счет увеличения н/С0 может
превосходить рост потерь от повышения выходной кинетической энергии
(неосевой выход потока) и от обтекания профилей под отрицательными углами
атаки.
Все сказанное относилось к профильным потерям. Для ступеней с отно-
сительно длинными лопатками влиянием потерь от ПАС объясняются как
снижения к. п. д., так и сравнительно не-
большие сдвиги вершин к. н. д. в область
повышенных значений и!С0. В ступенях же
с короткими лопатками нестационарные явле-
ния в значительной мере усиливаются в связи
с большой неравномерностью потока у пери-
ферии и у корня ступени (рис. VIII.21). Этот
факт дает основание сделать вывод о наличии
больших импульсов давления у концов ло-
паток.
Сильное влияние неравномерности потока
на характеристики ступени наблюдалось
также при их испытаниях в БИТМ с различ-
ной шириной направляющих лопаток (см. п. VII. 9). Для моделей с хордами
й1=44 и 140 мм при /х=78 мм коэффициент неравномерности за направляю-
щим аппаратом хС1=0,08-нО, 1, а при /±=23 мм величина xCj=0,18-н0,22.
Результаты траверсирования и выполненные расчеты показали, что в этих
опытах концевые потери были существенно больше расчетных. Наибольшее
расхождение было у концов узких лопаток, уровень концевых потерь у кото-
Рис. VIII.21. Характер
изменения коэффициента
неравномерности потока
по высоте проточной части
Рис. VIII.22 к. п. д. T]u= f («/Q
по расчету (индексы р) и по данным
опытов:
1 — bi = 140 мм; /j = 78 мм; 2— Ьг—
= 44 мм; li = 23 мм; 3 — = 140 мм;
— 23 мм
рых был значительно выше, чем у широких лопаток. У корня узких лопаток
при малых числах Re наблюдались срывные явления и неравномерность по-
тока была наибольшей. В направляющем же аппарате с широкими лопатками
небольшой высоты были повышенные потери в средней по высоте части нз-за
смыкания вторичных концевых течений. С уменьшением длины лопаток
осредненная по высоте неравномерность потока, естественно, возрастала.
На рис. VIII.22 для двух значений хорды Ьг 44 и 140мм при = 23 мм
даны результаты опытов и расчетов т]и = f (и/С0). Для лопаток с хордой
Ь± = 44 мм опытная величина к. п. д. при (w/C0)opt на 5% ниже расчетной.
Кроме того, виден небольшой сдвиг опытных кривых от расчетных вправо
по координате и/С0. Последнее явление и повышенные потери могут быть
404
объяснены неравномерностью потока перед рабочим колесом, как и в ранее
рассмотренных опытах.
В области малых и средних н/С0 степень неравномерности потока в отно-
сительном движении и соответственно разгонная составляющая скорости
получаются значительными, что приводит к большим потерям энергии.
С увеличением же и/С0 разгонная составляющая скорости быстро снижается
и в этой области опытная кривая к. п. д. ступени сближается с расчетной.
Естественно, что для малых высот лопаток наблюдались наибольшие откло-
нения к. п. д. от расчетных значений.
В опытах не было обнаружено заметного различия в смещении (u/C0)opt
для ступеней с разной шириной направляющих лопаток, но с одинаковой их
высотой, так как средняя по высоте степень неравномерности мало изме-
няется в зависимости от ширины лопатки. С увеличением числа Re, как
указывалось, может значительно уменьшиться неравномерность потока за
решеткой. В связи с этим в области больших чисел Re влияние неравномер-
ности потока на характеристики ступени ослабевает, но все же остается суще-
ственным .
Из всего сказанного следует, что при большой степени неравномерности
потока нестационарные явления могут оказывать сильное влияние на потери
энергии и на форму характеристик ступеней. Этим объясняются многие
противоречия в результатах опытов, выполненных для ступеней, близких
по своим геометрическим характеристикам, но при различной структуре
потока.
VIII.6. ВРАЩАЮЩИЙСЯ СРЫВ. ПОМПАЖ
При больших углах атаки в решетке возникает срыв потока. Компрессор-
ная решетка особенно чувствительна к положительным углам атаки
(см. рис. VH.3). Если эти углы велики, в компрессоре возможны срывы
и пульсации потока. Их могут сопровождать опасные колебания лопаток
и падение к. п. д.
Изолированная ступень. Положительные углы атаки возникают в ком-
прессорной ступени на режимах с малыми коэффициентами расхода с2 •<
<ceOpt- При некоторой величине c2rain наступает срыв потока и ступень
перестает создавать требуемый напор.
Условия обтекания профилей по высоте проточной части неодинаковы.
Вблизи периферии колеса под влиянием радиального зазора возможны
местные срывы даже на оптимальном режиме. Их интенсивность нарастает
с уменьшением коэффициента расхода, и у периферии раньше, чем в других
сечениях, возникает полный срыв потока. В неблагоприятных условиях
возможно возникновение срывов также в корневой области. Эти срывы охва-
тывают группу лопаток и могут занимать лишь часть высоты проточной
части (парциальный срыв). Когда углы атаки становятся достаточно боль-
шими, срыв распространяется по всей высоте проточной части (полный
срыв). Аналогичные явления наблюдаются в направляющем аппарате.
Срыв не сразу охватывает всю кольцевую решетку. Всегда имеются откло-
нения размеров и утла установки профилей от заданных величин, поэтому
срыв возникает в канале, где условия наиболее неблагоприятны. После
отрыва сопротивление профилей резко возрастает. Тогда часть потока устрем-
ляется в соседние каналы и линии тока искривляются. В одном из этих
каналов угол атаки уменьшается, а в другом увеличивается, вызывая рас-
ширение срывной зоны. Последнее происходит в том канале, в который поток
входит с большей по величине окружной составляющей скорости. Поэтому
срыв распространяется в рабочем колесе в направлении, противоположном
его вращению. Отрыв потока в смежном канале улучшает течение вблизи
профиля, где первоначально возник срыв, и его обтекание может вновь стать
безотрывным.
405
Таким образом под влиянием переменных углов атаки возникает враща-
ющийся срыв, охватывающий одно и то же число лопаток. В процессе его
развития могут образоваться две, три и более зон срывов, наблюдавшихся
во многих опытах [12, 13]. При этом общий расход ступенью может сохра-
няться или меняться со временем вместе с колебательным процессом пере-
хода срывной зоны от одной формы к другой. Относительно статора срыв
перемещается в направлении вращения колеса, но с меньшей скоростью.
В ряде опытов она составляла 25—50% от окружной скорости колеса.
Процесс образования срывов главным образом зависит от аэродинамиче-
ских характеристик профилей. На этот процесс сравнительно слабо влияют
присоединенные к компрессору емкости. Скорость распространения срыва
зависит от времени образования срывной зоны около профиля после возра-
Рис. VIII.23. Помпажнаяхарак-
тер истина
стания угла атаки.
Срыв, возникающий у периферии или корня,
с увеличением угла атаки расширяется и рас-
пространяется по всей высоте проточной части.
Зоны срывов могут охватывать группу лопа-
ток с различным их числом у корня и перифе-
рии. В опытах Самойловича в МЭИ с умень-
шением расхода появлялся срыв, занимавший
15—20% всей кольцевой площади лопаток.
Вращающийся срыв— источник переменных
сил, действующих на лопатки. Одна из гармоник
возмущающей силы может совпасть с собствен-
ной частотой лопаток и вызвать опасные резо-
нансные колебания. Вращающийся срыв в соче-
тании с флаттером также может привести к по-
ломкам лопаток.
При малых расходах сильные срывы потока могут проникать в глубь
проточной части компрессора и вызывать резкие колебания давления и
расхода — помпаж.
Причиной помпажа может быть, например, повышение давления в нагне-
тательной камере при неизменной скорости вращения, что приводит к сни-
жению расхода. При некоторой минимальной величине расхода наступает
срыв, и давление в нагнетательной камере начинает падать. После достаточ-
ного снижения давления ступень вновь оказывается работоспособной, и
давление в нагнетательной камере растет до момента нового срыва. Так воз-
никает неустойчивый процесс с резкими и быстрыми колебаниями давления
и производительности. Период колебаний зависит от размеров примыкающих
к компрессору емкостей. Помпаж сопровождается сильным шумом и звуками
высокой частоты. Работа в режиме помпажа опасна для лопаток.
В неустойчивой области работы компрессора протекает сложный процесс
[8]. Граница помпажа на характеристике компрессорной ступени
(рис. VIII.23) отмечена точкой 4. Если производительность компрессора
значительно снижается, то происходит сильное уменьшение расхода газа
и напора (точка В). В помпажной зоне (участок ВС) уменьшается как
производительность, так и давление. Если расход вновь увеличивается, то
напор изменяется по кривой СВЕ, а затем режим скачкообразно переходит
в точку D на характеристике. Таким образом, для перехода от запомпаж-
ной характеристики к основной требуется значительно больший расход,
чем соответствующий точке А.
Граница помпажа смещается в область больших коэффициентов расхода сг
под влиянием любого изменения в конструкции ступени, ухудшающего
обтекание лопаток при положительных углах атаки. Такое влияние, напри-
мер, оказывает увеличение радиального зазора у периферии колеса, которое
способствует возникновению срыва у концов лопаток. Согласно опытам
в ЦКТИ, существенное смещение в неустойчивую зону границы помпажа
406
рессора (о — степень повышения давления)
послед-
может быть вызвано неравномерностью полей давлений и скоростей перед
ступенью.
Многоступенчатый компрессор. Взаимное влияние ступеней может суще-
ственно изменять форму вращающегося срыва. В опытах Ф. Юра и В. Д. Рэнни
[13] удаление в трехступенчатом компрессоре последнего ряда направля-
ющих лопаток привело к одному вращающемуся срыву вместо нескольких,
наблюдавшихся ранее, и изменило коэффициент расхода в момент начала
возникновения срыва. В этих же опытах наблюдалась большая амплитуда
колебаний скорости за последней ступенью, чем за первой. Парциальный
вращающийся срыв характе-
рен для многоступенчатого
компрессора.
Повышение давления в ка-
мере нагнетания при неизмен-
ной скорости вращения боль-
ше всего сн ижает коэффициент
расхода в последней ступени
и вызывает срыв, который
может перейти в помпаж. При
этом остальные ступени долж-
ны были бы восполнить недо-
стающий после срыва напор,
причем главная часть этого
напора пришлась бы на пред-
последнюю ступень. Но в ука-
занных условиях предпослед-
няя ступень сама работает
вблизи срывной зоны и она
не может принять на себя
после срыва значительную
часть напора последней сту-
пени. Поэтому, если в режиме
помпажа оказывается
няя ступень, срыв быстро
распространяется в глубь
проточной части компрессо-
ра, и поток газа устремляется из нагнетательной камеры во всасывающую.
При этом давление в нагнетательной камере резко снижается.
Когда давление в напорной камере уменьшается настолько, что ступени
в состоянии нагнетать в нее газ, в проточной части компрессора восстанав-
ливается поток нормального направления и напор возрастает. Если условия
нагнетания остаются прежними, снова происходит срыв. Таким образом,
возникают колебания, частота которых зависит от соотношения объема нагне-
тательной камеры и расхода газа. Чтобы прекратить помпаж, необходимо
вывести компрессор из неустойчивой зоны. Этого можно достигнуть, напри-
мер, снизив давление в нагнетательной камере или искусственно увеличив
производительность компрессора.
Если компрессор работает при повышенной скорости вращения по сравне-
нию с расчетной, то последние его ступени обычно находятся в особо неблаго-
приятных условиях. Их лопатки обтекаются при положительных углах
атаки, в то время как в первой ступени может сохраняться безударный вход.
Поэтому для указанных условий работы с повышением скорости вращения
зона устойчивых режимов сужается и сравнительно небольшое возрастание
давления в нагнетательной камере может вызвать помпаж.
Если компрессор, состоящий из однотипных ступеней, работает с пони-
женной скоростью вращения по сравнению с расчетной, то лопатки последних
ступеней обтекаются при отрицательных углах атаки, когда в лопаточном
407
аппарате первой ступени сохраняется безударный вход. Если при этой
скорости вращения и указанных условиях работЬг повышается давление
в нагнетательной камере, то во всех ступенях уменьшается расход газа и
осевая скорость, а углы атаки возрастают. При исходном режиме предпо-
лагалось, что в первой ступени углы атаки равны нулю, а в последних сту-
пенях они отрицательны, поэтому рабочая точка на характеристике первой
ступени оказывается ближе к неустойчивой зоне, чем последней. В этом
случае при значительно сниженной скорости вращения против расчетной
в первой ступени возникает помпаж, когда последняя ступень находится
еще в устойчивой зоне.
В области небольших скоростей вращения и низком давлении помпаж
протекает в форме менее резких колебаний, чем в области больших скоростей
и высоких давлений, что объясняется меньшей величиной напора.
Если многоступенчатый компрессор составлен из ступеней разного типа,
то при уменьшении объемного расхода помпаж может возникнуть в первой,
промежуточной или последней ступенях в зависимости от границ помпажа
для них.
Помпаж в многоступенчатом компрессоре сопровождается более резкими
колебаниями давления и расхода, чем в одной ступени. Обычно вращающийся
срыв в ступенях вызывает колебания высокой частоты, а помпаж — низко-
частотные колебания, обусловленные емкостью нагнетательной камеры и сети.
Границей неустойчивых режимов многоступенчатого компрессора служит
кривая (рис. VIIE24), на которой лежат точки, соответствующие появлению
срывов в какой-либо его ступени. Чаще всего эта граница определяется харак-
теристикой первой ступени в области малых и последней в области больших
скоростей вращения.
ГЛАВА IX
ХАРАКТЕРИСТИКИ СТУПЕНЕЙ ОСЕВЫХ ТУРБОМАШИН
В гл. III были рассмотрены различные характеристические коэффициенты,
которыми определялось газодинамическое подобие турбомашин. Мы видели,
что безразмерные треугольники скоростей условной ступени полностью
определялись тремя параметрами, например рк, си, cz. Когда ставились
специальные ограничения для оптимального режима (осевой выход потока
и др.), то число определяющих характеристических чисел снижалось до
двух. Наконец, ограничив диапазон изменения расходной составляющей
скорости, можно было дать общее представление о свойствах турбомашины
одним числом, например, коэффициентом быстроходности пб. Если критерии
М и Re становятся существенными, то число параметров, необходимых для
характеристики турбомашины, увеличивается на два.
Встает вопрос о целесообразном выборе определяющих характеристиче-
ских коэффициентов для исследования свойств турбомашин различного типа.
Перепад энтальпий, расход и окружная скорость — важнейшие параметры
для всех типов турбомашин, и вопрос возникает лишь о представлении этих
параметров в виде тех или иных безразмерных величин.
IX. 1. ВЫБОР ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
Турбинная ступень может перерабатывать значительный
перепад энтальпий, лишь небольшая доля которого составляет выходную
кинетическую энергию. Остальная же часть перепада преобразуется в меха-
ническую энергию на валу турбины при достаточно высоком к. п. д. Услов-
ную скорость С„, соответствующую общему перепаду энтальпий й0, целесо-
образно принять за характерную скорость, а в качестве основного характери-
стического коэффициента — отношение скоростей н/С0 как связующее пара-
метры рабочего тела с конструктивными величинами.
Если же выходная кинетическая энергия составляет значительную долю
общего перепада и к тому же в дальнейшем эта энергия в значительной мере
используется (например, в многоступенчатых турбинах), то выбор в качестве
характерной условной скорости Со теряет свои преимущества и лучшее
представление о характере процесса дает аналогичная ей скорость Со,
которая уже применялась в гл. III. В этом случае отношение скоростей Со/и
близко по своему характеру к коэффициенту циркуляции си, но в отличие
от последнего оно не зависит от потерь энергии в ступени.
Обычно требуется дать представление о характеристиках турбинной
ступени и = varia, Со = const или, наоборот, и = const, Со = varia.
Такого типа характеристики получаются и в результате опытов над моделями
в экспериментальных турбинах.
В области приближенной автомодельности по числам М и Re оба типа
характеристик объединяются в одну, построенную в зависимости от и/С0,
и в таком случае преимущества этого характеристического числа очевидны.
Если же опыты проводятся в области значительного влияния сжимаемо-
сти, то опытные характеристики могут получиться существенно различными
409
в зависимости от того, меняется ли окружная скорость и или условная
скорость Со. Так при оптимальном режиме поток в относительном движении
может быть дозвуковым, а в области малых чисел и/С0 он может перейти
в сверхзвуковой, причем скачки уплотнения в состоянии коренным образом
изменить характеристики ступени как т]„= / (и/С0), так и рг= f (и/С0).
С этими особенностями характеристик связаны как постановка опытов,
так и использование их результатов. Например, для регулировочных ступе-
ней стационарных паровых турбин, работающих в области больших чисел М
и при постоянной частоте вращения, характеристики в зависимости от числа
и Со должны быть получены при Со — varia, а для транспортных турбин
может потребоваться характеристика при и = varia.
Выбрав за независимую переменную основной характеристический коэф-
фициент, можно построить как функции от него к. п. д., приведенный расход,
вращающий момент, степень реактивности и другие характеристики турбины.
Если числа М, Re и другие оказывают на рабочий процесс существенное
влияние, то при построении характеристик каждый из этих критериев или
оба вместе должны служить параметрами.
Компрессорная ступень должна давать заданную произво-
дительность и напор. Объемный расход для ступени известных размеров
характеризуется расходной составляющей скорости, а ее величина, отнесен-
ная к соответствующей окружной скорости, представляет собой коэффициент
расхода. Этот коэффициент и рассматривается в большинстве случаев как
независимая переменная при построении различных характеристик ступени.
С этим важнейшим характеристическим коэффициентом связана и граница
зоны устойчивой работы.
Напор, создаваемый компрессорной ступенью, обычно представляют как
разность энтальпий при изоэнтропийном сжатии в пределах изменения дав-
ления. В многоступенчатых осевых компрессорах поток подводится к сту-
пени с большой скоростью и указанный перепад энтальпий hu3 определяется
по полным параметрам рабочего тела. Перепад этот, отнесенный к половине
квадрата окружной скорости hu3= 2hu3/u2, представляет собой характери-
стический коэффициент, вполне аналогичный Со/и. Условная скорость Со,
широко применяемая в турбинах, здесь менее удобна, так как перепад
энтальпий в компрессорной ступени обычно невелик, а выходная кинетиче-
ская энергия составляет значительную долю от этого перепада.
Основные характеристики компрессорной ступени обычно строятся в виде
функций: т| = f (Ej, 7i = f (cz), Q = f (cz), hu3= f (Q) и др.
По поводу важнейших критериев динамического подобия потоков М, Re
и др. здесь можно повторить уже сказанное применительно к турбинной сту-
пени, но следует подчеркнуть особое значение, которое может иметь число М
при работе компрессорной ступени за пределами волнового кризиса.
Веерность лопаток может оказывать большое влияние на харак-
теристики ступени.
В ступенях со сравнительно короткими лопатками большую роль играют
концевые потерн. По мере увеличения длины лопаток относительное влияние
на характеристики концевых эффектов ослабевает, и к. п. д. ступеней повы-
шается. В то же время по мере увеличения веерности лопаток возрастают
потери, вызванные отклонениями от оптимальных шагов. В области относи-
тельно длинных лопаток, но при умеренной веерности (dz ~> 4) могут быть
достигнуты наивысшие к. п. д. турбинных ступеней.
В области большой веерности (dz < 4) превалируют потери энергии от
веерности и от связанных с нею пространственных явлений. Для таких сту-
пеней затруднено получение высоких к. п. д., особенно на режимах, отлич-
ных от расчетного. К тому же ступени этого типа в тепловых турбинах часто
работают при неблагоприятном меридиональном профиле проточной части,
что усугубляет концевые потери энергии.
410
В соответствии с этими особенностями примем следующую классификацию
для турбинных ступеней: 1) ступени с незакрученными лопатками (d:
8 > 10); 2) ступени с закрученными лопатками умеренной веерности
(dl = 44-10); 3) ступени большой веерности (dt <4).
1Х.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ТУРБИННЫХ СТУПЕНЕЙ
С НЕЗАКРУЧЕННЫМИ ЛОПАТКАМИ
Испытания ступеней с цилиндрическими лопатками при широком изме-
нении их высоты и диаметра ступени выполнялись многими организациями.
Ниже приводятся некоторые результаты этих исследований.
Результаты опытов. Опыты КТЗ [9] ,
Рис. IX. 1. Изменение внутреннего к. п. д. т]и=
— f (и/С0) при различной высоте лопаток (по опы-
там КТЗ)
Рис. IX.2. Изменение степени реак
тивности у корня рг в зависимости
от «/Со и df:
-------fdfi =1.6;----------f2/,=
= 1,8 (по опытам КТЗ)
конструкции, имевшими средний диаметр
840—880 мм и угол а1^13°. Рабочие
колеса имели один уплотняющий усик по бандажу с зазором 6 = 0,44-0,7 мм
и одно уплотнение у корня с зазором 1 мм. Режимы работы изменялись
в широких пределах: МС1 «=> 0,54-1,0; р2/ро = О,85—0,55; ReC1=(3,54-6,5)10®;
и/С0 = 0,34-0,6.
К- и. д. на окружности был получен путем вычитания из внутреннего
к. п. д. потерь от трения диска и бандажа и утечек через уплотнения под
диафрагмами. Последние определялись специальными опытами.
Обобщенные результаты опытов (рис. IX. 1) даны для области, в которой
не было существенного влияния на к. п. д. числа Re.
С уменьшением высот лопаток вершины кривых к. п. д. четко смещаются
в область пониженных характеристических чисел и/С0 под влиянием повы-
шенных концевых потерь.
Степень реактивности сильно и почти линейно меняется в зависимости
от и!С0, что свойственно ступеням активного типа. Она зависит также от
отношения dt. На рис. IX.2 показано изменение термодинамической степени
реактивности в корневом сечении при двух различных отношениях живых
сечений f2/fl. Для ступеней активного типа характерно появление значитель-
ных отрицательных степеней реактивности в области малых и/С0.
Изменения выходной кинетической энергии в зависимости от и/С0 при
различных углах |32 и отношениях живых сечений показаны на
рис. IX.3. Эти кривые подчеркивают большую роль выходных потерь в ба-
лансе энергии, особенно при значительном отклонении от оптимального
режима. В области малых и/С0 влияние угла |32 становится небольшим.
411
Опыты МЭИ [2] производились на паре со ступенями, имевшими
небольшую степень реактивности в корневом сечении (при оптимальном
режиме = 0,054-0,18). Углы выхода потока на среднем диаметре были:
од = 15°; р2 = 204-21°. Средний диаметр ступени 400 мм; хорды решеток
51 мм; Ь2 = 25 мм; отношение площадей f2/fr = 1,64-1,7. По бандажу
предусмотрено уплотнение двумя усиками с зазором около 1 мм. Протечек
через диафрагму и корневой зазор не было. Опыты проводились при числах
ReC1 = (44-4,5) 105 и М = 0,44-0,6. Экспериментальные зависимости т] =
= f (и/Сq) (рис. IX.4) получены в предположении потерянной выходной кине-
тической энергии. При полном использовании выходной кинетической энер-
гии максимальный к. п. д. был приблизительно на 4% выше, чем т]тах.
Рис. IX.3. Зависимость относительной выход-
ной кинетической энергии от и/С0 (по опы-
там КТЗ)
Рис. IX.4. Изменение внутреннего
к. п. д. н = f (uICq) . при различной
высоте лопаток (по опытам МЭИ)
Опыты НЗЛ [4] были выполнены для ступеней активного типа
с углами czj 13° и Р2 = 22°. Ступени имели относительно короткие лопатки.
Опыты производились при d 1000 мм и длинах лопаток = 364-43,5 мм;
их результаты близки к опытным данным МЭИ.
Опыты Кировского завода представляют интерес приме-
нительно к ступеням с короткими лопатками при IJb2 < 1. В этих опытах
главная задача состояла в определении оптимального угла а1 ступени актив-
ного типа с небольшой пропускной способностью.
Вопрос о применении очень малых углов выхода потока возникает при
небольших расходах рабочего тела в ступенях с короткими лопатками.
С уменьшением угла 04 выходное живое сечение, а следовательно, длина
лопаток возрастает обратно пропорционально sin 04, благодаря чему осла-
бевает вредное влияние концевых эффектов, зависящих от длины лопаток.
С другой стороны, малые углы сд обусловливают большой угол поворота
потока в направляющем аппарате и в рабочем колесе, что вредно сказывается
на профильных и концевых потерях. В решетках сильно изогнутых профилей
приходится выбирать малый относительный шаг, с чем связаны не только
повышенные потери энергии от трения в самих решетках, но также допол-
нительные потери от увеличенной неравномерности полей давлений и ско-
ростей за ними, что неблагоприятно влияет на условия нестационарного
обтекания рабочих профилей. Наконец, малые выходные углы направляющих
аппаратов затрудняют их производство, и для достаточно точного изготовле-
ния диафрагм с узким горлом каналов требуется более сложный технологи-
ческий процесс.
412
Из сказанного следует, что для заданного расхода и определенных усло-
вий работы ступени существует оптимальный угол и что сложный
комплекс явлений, сопровождающих изменение этого угла, может быть
изучен лишь на базе обширного эксперимента. Такое экспериментальное
исследование было выполнено В. Д. Пшеничным на Кировском заводе
(рис. 1Х.5и IX.6) [15].
Для этих опытов были выбраны ступени при небольшой длине лопаток.
Угол выхода потока из направляющего аппарата изменялся в пределах
«j = 8-е 14е, чему соответствовало произведение Д sin ах = 3,3-е4,9 мм.
Ступени имели корневой диаметр 430 мм. Опыты производились в воздушной
li = 13 4-35 мм: — 67 мм; В = 25 мм, г/'=430 мм, ^=0,6, перекрыши Д' = 1 мм,
А"=2 мм, 6=0,9-=-1,1 мм. При всех 04 верхние кривые lt sintz1 = 4,9 мм, средние
4,1 мм, нижние 3,3 мм
экспериментальной турбине Кировского завода при МС1 0,7; ReCl
<=« 1 106; Re^,, = 2- 10s. Профили лопаток выбирались из числа наилучших,
рекомендованных промышленности. Направляющий аппарат имел цельно-
фрезерованные сопла с плоскими торцами, перпендикулярными к радиусу
посередине шага в выходном сечении. Хорда профиля Z)]^67 мм и шаг t <=>
0,6. Термодинамическая степень реактивности в корневом сечении состав-
ляла 1—3%.
Из этих опытов прежде всего следует, что к. п. д. ступени при lr sin =
= idem и аг = varia получается различным и что при изменении от 10
до 14' разность к. п. д. достигает 2%. С увеличением угла возрастает
выходная кинетическая энергия. В группе ступеней она в значительной мере
используется, и при этом оказываются выгодными более высокие значения ах,
чем для единичной ступени. Согласно результатам опытов, при полном исполь-
зовании выходной скорости к. п. д. q* почти не меняется в диапазоне изме-
нения углов а । от 8 до 12°.
Опыты ЛМЗ [11] относятся к ступеням активного типа со сварными
диафрагмами. Высоты рабочих лопаток изменялись от 20 до 50 мм при
413
кор невом диаметре колеса 400 мм. Углы потока == 11 — 12° и р2 .
Хорда профиля направляющих лопаток Ьл 59 мм и 29 мм. Толщина
выходной кромки около 0,3 мм. Числа МГ1 0,5, и ReC1> 2-105.
Располагаемая работа определялась по статическим давлениям при
входе в ступень и выходе из нее, что приводило к несколько завышенному
к. и. д. по сравнению с данными других опытов. Протечки у корня лопаток
были исключены, и результаты опытов были приведены к нулевому зазору
у бандажа. Таким образом вычислялся к. п. д. на окружности При этом
максимальный к. п. д. для указанных высот лопаток менялся в пределах
0,80—0,90 для широких и 0,78—0,89 для узких направляющих лопаток.
Оптимальное отношение п/С0 сохранялось почти одинаковым для всех высот
Рис. IX.6. Изменение максимального внутреннего
к. п. д. ступени в зависимости от ах или h sin он
(по опытам Кировского завода):
1 — Z, sin се, 4.9 мм; 2 — /1sincc1 = 4.1 мм; 3 —
1Л Лп сц = 3,3 мм
лопаток, что, возможно, объяс-
няется сравнительно низкими
числами Re.
Опыты ЦКТИ [3, 12] вы-
полнялись для ступеней давле-
ния при среднем диаметре около
600 мм с профилями лопаток
Т-1 и Т-2 с термодинамической
степенью реактивности на сред-
нем диаметре от —0,02 до 0,22.
На основании этих опытов были
построены обобщенные кривые
внутреннего к. п. д. (u/CQ)
для высот лопаток0—40 мм
(соответственно 1Л — 0,184 —
— 0,735). Согласно этим данным,
максимальные к. п. д. изменя-
лись в пределах 0,72—0,90 при
(n^opt = 0,50 — 0,54.
Некоторые обобщения резуль-
татов опытов. В настоящее вре-
мя имеется обширный опытный
материал по характеристикам
ступеней для относительно ко-
ротких лопаток (dt >10). Испытанные ступени имели аэродинамически
совершенные профили, отработанные на базе одних и тех же принципов,
и с этой точки зрения их можно считать равноценными. Вместе с тем, между
опытными данными имеются существенные различия. Объясняется это раз-
личными условиями испытаний, в некоторой мере различным методом опре-
деления к. п. д. ступени, а иногда и погрешностями опытов.
Например, при обработке опытов в ЦКТИ при вычислении к. п. д. устра-
нялись потери от трения диска, в опытах ЛМЗ — потери от утечек и трения
дисков. Имелось также существенное различие по числу М и Re, по диаметру
ступеней, по хорде лопаток, по зазорам и по другим геометрическим харак-
теристикам. Для получения сравнимых данных необходимо приводить резуль-
таты опытов к условной ступени активного типа, внося соответствующие
поправки в полученные характеристики (см. гл. VII).
Такое исследование по обобщению результатов опытов ряда заводов
и институтов было выполнено Пшеничным [14]. Он привел результаты опы-
тов к единым параметрам рабочего тела (по числу Re и М) и внес поправки
на утечку (в опытах ЛМЗ), на трение диска и бандажа, на влияние различия
в среднем диаметре и хорды После приведения и отбрасывания выпавших
экспериментальных точек в большинстве случаев максимальные значения
внутреннего к. п. д. qmax с учетом всех потерь в ступени, включая и выход-
ную кинетическую энергию, различались на величину Дт]. ДЛД малых
высот лопаток она была не больше ±1,8%, для больших ±1,6%, для сред-
414
них же высот Ai] находилась в пределах ± 1 % от осредненных значений
к. п. д. Эти отклонения лишь незначительно выходят за пределы погреш-
ностей ±1,5%, возможных при экспериментальном определении к. п. д.
Полученные указанным методом средние
кривые максимальных к. п. д. т]тах =f (1//х)
II flmax = f (1//1, sin ссх) для ах = 13° и Ьг =
= 60 мм (рис. IX.7) соответствуют осреднен-
ным величинам по результатам имеющихся
опытов.
Рис. IX.7.
симальных
Средние значения Мак-
H. п. д. для ai = 13р
и /1 = 60 мм
IX.3. ХАРАКТЕРИСТИКИ ТУРБИННЫХ СТУПЕНЕЙ
С ЛОПАТКАМИ УМЕРЕННОЙ ВЕЕРНОСТИ
Ступени, имеющие значительные высоты
лопагок при сравнительно небольшой веер-
ности, могут быть выполнены аэродинами-
чески наиболее совершенными. Этот класс
ступеней находится в области, где лопатки
обычно выполняются закрученными. Сущест-
венную роль может играть как метод закрутки
лопаток, так и форма меридионального сече-
ния проточной части. Здесь мы ограничимся
лишь примерами характеристик ступеней
такого типа, спроектированных для различных
Влияние на к. п. д. степени реактивности в корневом сечении. Этот вопрос
постоянно возникает при проектировании ступеней с относительно длинными
лопатками. Вместе с тем, уже давно накоплен значительный опытный материал
условий работы.
Рис. IX.8. К. п. д. моделей А к Б
по потерям в корневом сечении.
Ниже приводятся некоторые
сравнительные данные об эффек-
тивности ступеней при различ-
ной степени реактивности рг.
В опытах БИТМ [8] мо-
дель А имела закрутку лопаток
по закону rcu = const. Ее сред-
ний диаметр <Е3-524 мм, высота
направляющих лопаток /, =
= 98,6 мм и высота рабочих
лопаток /2 = 109 мм. На среднем
диаметре угол выхода потока
из направляющего аппарата
ссг = 17 '. Ступень была выпол-
нена без бандажа с радиальным
зазором 6 = 0,5 мм. При опти-
мальном режиме степень реак-
тивности в корневом сечении
рг=0,08, а у периферии р'т'= =0,54.Опыты проводились при небольших числах М.
К- п. д. этой ступени в зависимости от и!С0 с использованием (т]*) и без
использования (т,) выходной кинетической энергии представлен на рис. IX.8.
В связи с высокой степенью реактивности оптимум к. п. д. получился при
большом отношении и!С0. Максимальный к. п. д. = 0,90.
Модель Б имела средний диаметр d2 = 508 мм, высоту направляющих
лопаток lt = 83 мм и высоту рабочих лопаток /2 = 93 мм. На среднем диа-
метре угол выхода потока из направляющего аппарата аг =22°. Ступень
была изготовлена без бандажа, радиальный зазор б = 0,5 мм. Степень
реактивности в корневом сечении рх -- 0,29 при щ'С0 = 0,65. Лопатки
ступени были закручены по закону rcu = const. Проточная часть модели Б
была выполнена с меньшей высотой, чем модели А, с таким расчетом, чтобы
415
обе модели расходовали одинаковое количество газа при неизменных его
параметрах.
К- п. д. ступени с использованием и без использования выходной кине-
тической энергии представлены на рис. IX.8. При (w/C0)opt 0,7 получился
к. п. д. т]тах = 0,85 и т]тах = 0,915. Кривая к. п. д. ц’ была очень пологой,
и при переходе от режима и/С0 = 0,7 к режиму и/С0 - 0,6 к. п. д. т]* умень-
шался только на 0,5%.
В ступенях А и Б производилось траверсирование потока перед рабочим
колесом и за ним. Результаты траверсирования потока показали, что в сту-
пени А углы атаки несколько больше, чем в ступени Б, поэтому в ступени А
некоторое снижение к. п. д. произошло за счет потерь энергии от повышен-
ных углов атаки и за вычетом этих потерь различие в к. п. д. обеих ступеней
можно оценить в 1 %. В этих опытах со ступенями при относительно большой
высоте лопаток наивысший к. п. д. был достигнут при высокой степени реак-
тивности в корневом сечении.
Опыты НЗЛ [4 ] над ступенями с закрученными лопатками с отноше-
нием 4^3 и = 100 мм проводились при термодинамической степени
реактивности в корневом сечении рР=0 = 0,1 и р,' =0,5. Опыты показали,
что при изменении степени реактивности в корневом сечении от 0 до 50%
коэффициент полезного действия повышался приблизительно на 1 %. Опти-
мальное отношение и/С0 с возрастанием степени реактивности увеличивалось
от 0,5 до 0,62.
Эти и многие другие опыты подтверждают возможность получения высо-
ких к. п. д. ступеней с относительно длинными лопатками (даже при малых
числах Re получился цтах>-0,91). В мощных паровых турбинах ЛМЗ в части
среднего давления к. п. д. группы ступеней достигал более 92%.
Повышение степени реактивности у корня приводит к улучшению к. п. д.
ступени, но и при небольшой положительной степени реактивности р' может
быть достигнут высокий к. п. д. ступени. Опыт проектирования и испытания
ступеней с отрицательной степенью реактивности (р' <Д 0) всегда приводил
к пониженным к. п. д.
Ступени с пониженным градиентом давления вдоль радиуса. Ступени
этого класса применяются с целью снижения (w/C0)opt, и утечки у периферии
улучшения структуры потока у корня. В п. V.7 уже были рассмотрены
теоретические основы проектирования таких ступеней. Ниже дано несколько
примеров характеристик специально спроектированных ступеней с пони-
женным градиентом степени реактивности для выяснения их особенностей
по сравнению со ступенями других типов.
Опыты ЛПИ [1,5, 16] были выполнены для серии моделей ступеней 1,
2 и 3 с тангенциальным наклоном направляющих лопаток при цилиндриче-
ском меридиональном обводе проточной части (рис. IX.9). В качестве эталон-
ной ступени для сравнения характеристик была выбрана модель 4 с лопат-
ками постоянной циркуляции (rcu = const). Для всех ступеней коэффициент
веерности dt = 6,34, угол = 18' , перекрыша А 1,4 мм, осевой зазор
М 7 мм и радиальный зазор 6 1 мм.
Модели 1 и 2 были спроектированы в соответствии со структурой простран-
ственного потока по приближенной методике расчета. В модели 1 была выпол-
нена закрутка потока clu/r const, а в модели 2 — закрутка с1 = = const.
Обе модели имели углы а1 = const и такие же профили в цилиндрическом
сечении, как и в модели 4, но уменьшенные для модели 1 в четыре раза, а
для модели 2 в два раза. Тангенциальный угол наклона выходных кромок
направляющих лопаток первой модели & — 23 , а второй модели & = 20' 30'.
Рабочие лопатки первой модели в соответствии с выбранной закруткой
потока имели угол одинаковый по высоте и такой же, как в среднем сече-
нии модели 4. Рабочие лопатки модели 2 были спроектированы так, чтобы
получить за рабочим колесом с2г = const, что обеспечивало приблизительно
одинаковую удельную работу по высоте проточной части. Модель 3 была
416
составлена из направляющего аппарата модели 2 и рабочего колеса модели 1.
Опыты проводились при Mfl 0,6 и ReCl = (1,7н-6,8) 10Б. Результаты
опытов представлены на рис. IX 9.
Во всех ступенях с наклоном направляющих лопаток разность Лрг =
= рг — р7 была значительно меньше, чем в модели 4. В модели 1 было
получено Арг < 0 и степень реактивности в корневом сечении (у 0,6.
Отрицательный градиент давления сохранялся также в моделях 2 и 3. Все
три модели с наклоном направляющих лопаток имели максимальный к. п. д
7]* выше, чем модель 4. При этом выходная кинетическая энергия в моделях
Рис. IX.9. Характеристики ступеней с тангенциальным наклоном лопаток (по опытам
ЛПИ):
I — «i = const; О - 23°; 2 и 3 — «j = const; “О’ = 20° 30'; 4 — rcu = con^t (цифры на
кривых соответствуют номерам моделей)
с наклоном лопаток была больше, чем в модели 4. Эти опыты выяснили, что
высокий к. п. д. осевой ступени можно получить и в условиях течения с очень
большими радиальными ускорениями и значительными радиальными ско-
ростями.
Траверсированием потока было установлено, что поджатие потока к корню
ступени под влиянием тангенциального наклона направляющих лопаток
существенно улучшает его структуру в корневой области. Такое поджатие
потока может ликвидировать срывные явления, формирующиеся вблизи корне-
вой цилиндрической поверхности. Это объясняется конфузорностью каналов
в корневой области рабочего колеса и общим улучшением течения непосред-
ственно за направляющим аппаратом.
В то же время искривление линий тока в направлении к оси вращения
в ступенях без бандажа вызывает такой же эффект, как положительная пере-
крыша, что снижает протечки через радиальный зазор у концов лопаток.
Поэтому выигрыш в к. п. д. ступеней с наклоном лопаток по сравнению с моде-
лью 4 существенно возрастает с увеличением радиального зазора [5]. В обан-
даженных ступенях утечки у периферии существенно снижаются из-за паде-
ния давления в этой области, вызванного наклоном лопаток.
27 и. и. Кириллов 417
Изучение структуры потока в ступенях с наклоном лопаток и тщательное
устранение углов атаки позволит достигнуть дальнейшего улучшения эконо-
мических показателей ступеней рассматриваемого типа.
Ступени с пониженным градиентом давления, обладая повышенным коэф-
фициентом циркуляции, могут существенно повысить удельную работу при
заданной окружной скорости.
Над ступенями такого типа большие работы также проводятся в лабора-
ториях ХПИ и ЛКИ.
IX.4. ХАРАКТЕРИСТИКИ ТУРБИННЫХ СТУПЕНЕЙ БОЛЬШОЙ ВЕЕРНОСТИ
В современных мощных турбинах последние ступени имеют очень боль-
шую веерность. Так, в паровых турбинах мощностью 300—800 МВт приме-
няются ступени с коэффициентом веерности dz = 2,4. При такой веерности,
сопровождаемой еще весьма неблагоприятной формой меридионального сече-
ния проточной части, к. п. д. ступени существенно снижается по сравнению
Рис. IX. 10. Характеристики ступеней большой веерности по опы-
там ЛПИ для модели A (di =3,1) и модели Б (di = 2,6)
со ступенями умеренной веерности, особенно в области больших чисел и!С0
Поэтому задача проектирования высокоэффективных ступеней большой
веерности имеет первостепенное значение.
Рассмотрим характеристики двух ступеней большой веерности с длинными
лопатками. Модель А имела коэффициент веерности = 3,1, а для модели Ь
тот же коэффициент был 2,6 (рис. IX. 10).
Модель А была испытана на перегретом паре, а также при степени влаж-
ности перед ступенью у0 = 0 и 0,02. Опыты проводились при Мс, = 0,9 и
Refl =3-106. При работе на перегретом паре ступень имела несколько
пониженный к. п. д. (без использования выходной кинетической энергии)
но сравнению со ступенями умеренной веерности. Ее к. п. д. значительно
снижался при работе на насыщенном и влажном паре.
Модель Б испытывалась на паре с влажностью перед ступенью у0
= 2=4%. Эта ступень имела очень неблагоприятную форму меридиональ-
ного обвода у периферии с местным углом наклона стенки до 60е. Испытания
проводились при совместной работе двух ступеней (Л и Б). Таким образом,
ступень Б находилась в неравномерном потоке, формировавшимся за сту-
пенью А. Модель Б работала при значениях МС1 = 0,8=1,1 и ReCl 3-10&
в среднем сечении.
Результаты этих испытаний показали, что аэродинамические потери
в ступени Б значительно больше, чем в ступени А. Эти повышенные потери
вызваны большой веерностью в сочетании с другими неблагоприятными
условиями работы (меридиональный профиль, неравномерный поток).
418
В ЦКТИ [131 оыла испытана модельная группа из трех ступеней паро-
вых турбин мощностью 300—800 МВт. Опыты были выполнены в эксперимен-
тальной паровой турбине с разрезным валом, так что мощность последней
ступени можно было непосредственно измерять с помощью гидротормоза.
Предшествующие ступени создавали реальные условия формирования потока
перед последним направляющим аппаратом. В этих испытаниях также
сильно сказывалась неблагоприятная форма меридионального сечения про-
точной части.
Испытания проводились на влажном паре при номинальных параметрах
перед последней ступенью, соответствующих расчетному режиму работы
Рис. IX.11. Характеристики
ступеней большой веерности
по опытам ЦКТИ: а —
к. п. д. т] ит]*; б — скорости
пара сг за последней ступенью по результатам траверсирования (сплошная
линия) и по расчету (штриховая линия); в—степени реактивности у корня
р^. и периферии рг
турбины. Давление за ступенью изменялось от номинального р2 = 0,035 бар
до 0,07 бар. При номинальном режиме степень влажности перед ступенью
была у0 <=& 4% и за рабочим колесом z/2^9%. В опытах числа М были
близкими к натурным: у корня Мс, = 1,68, М'Ш2 = 1,24, а у периферии Мё'=
— 0,86 и MW2 = 1,56. Числа Re были в три раза меньше, чем в натуре:
у корня Rec, = 1,2-106; Re^2 & 0,56-105, а у периферии Rec'' = 2,3-105;
Re®2 = 0,7 105. Пониженные значения чисел Re приводили к уменьшению
к. п. д. Результаты опытов представлены на рис. IX. 11.
Опыты показали большое отклонение действительной скорости выхода
пара из рабочего колеса с2 от ее расчетного значения (рис. IX. 11, б). Харак-
терны низкие значения выходной скорости в корневой области, что полу-
чается в результате сильных радиальных течений в рабочем колесе, направ-
ленных к периферии.
Изменение степени реактивности в корневом и периферийном сечениях
представлены на рис. IX.11, в. У периферии наблюдается повышение степени
реактивности с уменьшением и!С0, характерное для ступеней с очень высокой
расчетной степенью реактивности. В корневой области — меньшее против
обычного падение степени реактивности, вызванное большими углами атаки
27* 419
и, следовательно, повышенным сопротивлением в корневом сечении. Осо-
бенности работы ступеней большой веерности в области режимов торможения
(высокие и!С0) рассматриваются в п. XI.4.
IX.5. ВЛИЯНИЕ НА К. П. Д. КОНСТРУКТИВНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ
НЕОБАНДАЖЕННЫХ СТУПЕНЕЙ
В ступенях без бандажей структура потока у концов лопаток в значи-
тельной мере зависит от величины радиальных зазоров, перекрыт и других
конструктивных факторов. Поэтому дадим оценку влияния важнейших
Рис. IX. 12. Влияние радиальных зазоров 6 и пере-
крыт рабочих лопаток А на к. п. д. ступени и сте-
пень реактивности (по опытам ЛПИ)
из этих факторов на характе-
ристики турбинных ступеней.
Влияние радиальных зазоров.
В качестве примеров рассмот-
рим некоторые результаты опы-
тов ЛПИ. Модель имела d{ -
— 367 мм; /1 -- 67,5 мм; й,
«^20 мм; Н- 0,74; Ь,«И8 мм;
/, 0,76 и следующие углы
в среднем сечении: ал 22 ;
Pi 63 ; р2 = 32 . Рабочее
колесо имело dt - 5,4, лопатки
были закручены по закону а1 -
const и (и C0)opt 0,57. Рас-
четная степень реактивности
в корневом сечении при опти-
мальном режиме рР=0,12. Было
испытано пять модификаций
этой ступени с перекрышами А,
равными — 0,9-^+0,25; +0,92;
4-1,8 и +4,2 мм. Кроме того,
изменялся радиальный зазор.
Результаты некоторых опы-
тов представлены на рис. IX. 12.
Из этих примеров видим, как
сильно изменяются характери-
стики ступеней и степени реак-
тивности под влиянием радиаль-
ных зазоров и перекрыт.
Из-за сильного изменения
степени реактивности в области
больших и/С0 под влиянием
радиального зазора наблюдается
значительное расхождение кри-
вых к. п. д. в этой области. По этой же причине в зависимости от радиаль-
ного зазора существенно меняются и расходные характеристики ступеней.
Возрастание радиального зазора при А = const влечет также уменьшение
угла Р2 у периферии (увеличение [32), что, в свою очередь, способствует
падению степени реактивности у периферии и изменяет выходную кинетиче-
скую энергию.
С увеличением перекрыши А и 6 const степень реактивности монотонно
понижается при всех значениях радиального зазора и приведенный расход
при этом увеличивается.
Оптимальная перекрыта. На основании этой серии опытов можно реко-
мендовать для ступеней аналогичного типа величину оптимальной относи-
тельной перекрыши Aopt = Aopt sin ajb2 в функции от относительного
радиального зазора б б sinajb2, согласно диаграмме [17] на рис. IX.13.
420
Таким образом, анализ результатов опытов приводит к выводу, что харак-
теристики турбинных ступеней без бандажей могут быть существенно улуч-
шены выбором оптимальных перекрыт.
Влияние хорды профиля и густоты рабочей решетки у периферии.
Поскольку структура потока у концов лопаток столь значительно зависит
от величины радиальных зазоров, естественно было углубить исследования
в направлении изучения влияния периферийного профиля на характери-
стики ступеней. С этой целью в ЛПИ был выполнен В. А. Черниковым ряд
опытов при различной хорде рабочих лопаток у периферии необандажен-
ного колеса.
Модели имели термодинамическую степень реактивности на среднем
диаметре рг 0,42, у корня рг = 0,04 и у периферии р,- = 0,61. Ступени
Рис. IX. 14. Изменение к. п. д. ступеней в области и!Сй,
близкой к оптимальной, при различных радиальных
зазорах б и хордах периферийных профилей рабочих
лопаток:
I 0,93; 2 — Тг- 0,67; 3 — 72 =
= 0.47
Рис. IX.13. Оптимальная пере-
крыша рабочей решетки Дорг»<=
= Asina1/t> в зависимости от
относительного радиального зазо-
ра 6 = 6 sin Kj/fe
были рассчитаны для чисел Маха Мс, 0,55 и Ми,„ 0,5. Направляющий
аппарат имел постоянный во всех цилиндрических сечениях относительный
шаг и постоянный угол аг 20°.
В исходной ступени относительный шаг был приблизительно оптимальным
во всех сечениях при испытаниях плоских решеток. У периферии / = 0,93
(модель 93) и угол |>> 19 .
Вторая модель имела у периферии увеличенную в 1,4 раза хорду и все
другие размеры профиля с тем же масштабным коэффициентом (модель 67).
Угол р2 был получен таким же, как в исходной модели. Подобие про-
филей было сохранено и в других сечениях.
Третья модель (модель 47) имела у периферии в два раза большую хорду,
чем исходная модель. Ее промежуточные сечения были спроектированы
тем же методом, как и второй модели.
Сравниваемые модели отличались лишь незначительным отклонением
параметров (закрытого зазора у периферии и пр.), которые не могли оказать
существенного влияния на рабочий процесс. Радиальный зазор во время
опытов во всех модельных ступенях изменялся в диапазоне 0,4—3,7 мм.
Опыты проводились на холодном воздухе при П = 0,75-н0,76. Характер
кривых к. п. д. т] = f (и/С0) сохранялся одинаковым для всех трех моделей,
421
но влияние радиального зазора на характеристики ступеней оказалось суще-
ственно различным.
На рис. IX. 14 все кривые построены для зоны и'С0, достаточно близкой
к его оптимальному значению, так что все точки относятся к максимальному
Рис. IX. 15. Приближенная картина
распределения концевых (/) и про-
фильных (2) потерь в компрессор-
ной ступени
Рис. IX. 16. Характеристики компрессорной ступени с профилями ЦКТИ (по опытам
ЦКТИ): а— К-70-10 при втулочном отношении v = 0,6, Z= 57,7 мм, b = 30 мм,
t" = 1,04, 6 = 0,52%, 6г= 0,25; б—К-100-1 при втулочном отношении г’га0,5,
1= 61,6мм, Ь= 30мм, ?'= 1,31, 6"= 0,57%, &г = 0,8
к. п. д. при данном радиальном зазоре 6. Сопоставляя кривые к. п. д.,
видим, что в области очень малых зазоров различие в к. п. д. невелико.
По мере роста радиального зазора к. п. д. с увеличенной густотой решетки
422
(модель 67) становится существенно выше к. п. д. исходной ступени. Напри-
мер, в диапазоне 6 = 1,54-2,5 мм к. и. д. повышается более чем на 1,5%.
В области очень бс"ьших зазоров различие в к. п. д. всех трех моделей ста-
новится незначительным.
Переход от модели 67 к модель 47 не дает существенного выигрыша
в к. п. д., в конструктивном же отношении рабочая лопатка получается неудо-
влетворительной.
Поэтому среди испытанных ступеней практически наилучшую характе-
ристику имеет модель 47.
IX.6. ХАРАКТЕРИСТИКИ КОМПРЕССОРНЫХ СТУПЕНЕЙ
Влияние важнейших факторов на характеристики компрессорных реше-
ток было рассмотрено в п. VII.3. Сильное влияние углов атаки, главным
образом положительных, на характеристики — важнейшая особенность
компрессорных ступеней. Другая их отличительная черта — большее влия-
ние на характеристики концевых потерь, чем в турбинных ступенях. Харак-
теристики существенно изменяются, если длина лопаток /<740 мм при хорде
Ь^ЗО мм. Согласно опытам ЦКТИ, при I = b = 30 мм сильные вторич-
ные течения под влиянием концевых эффектов охватывают всю проточную
часть: при дальнейшем уменьшении длины лопаток наблюдается сильное
падение к. п. д. Роль концевых потерь в компрессорной ступени характери-
зуют кривые на рис. IX. 15 по данным Ховелла.
Примеры характеристик компрессорных ступеней ЦКТИ показаны на
рис. IX. 16. На к. п. д. и напор компрессорных ступеней большое влияние
оказывает окружная скорость, связанная с числом М. Максимальный к. п.д.т]
для этих ступеней, подсчитанный по полным напорам до ступени и за нею,
достигает высоких значений при небольших окружных скоростях (т| - 0,92 ч-
4-0,93), что характерно для современных осевых компрессоров. Высокий
к. п. д. этого типа ступеней объясняется малой изогнутостью и сравнительно
большим относительным шагом лопаток.
С повышением окружной скорости снижается максимальный к. и. д.
и характеристика становится более крутой. Характеристики компрессорных
ступеней резко ухудшаются после волнового кризиса.
IX.7. ВЛИЯНИЕ НА ХАРАКТЕРИСТИКИ СТУПЕНЕЙ
ПОВОРОТА ЛОПАТОК
Задача улучшения характеристик ступеней при частичных расходах
рабочего тела всегда находилась в центре внимания конструкторов турбо-
машин. Поворот направляющих и рабочих лопаток позволяет уменьшить
на частичных нагрузках углы атаки и выходную кинетическую энергию,
а также ограничить неблагоприятное изменение степени реактивности. Этими
техническими средствами издавна пользуются в гидротурбинах. Они находят
применение также в газовых турбинах и компрессорах. Сложность конструк-
ций поворотных лопаточных аппаратов, особенно рабочих, пока ограничи-
вает области их применения.
Поворот направляющих лопаток широко применяется
в гидротурбинах для регулирования расхода воды. Кроме того, поворотный
направляющий аппарат выполняет функции запорного органа. Поворот
направляющих лопаток изменяет угол и тем самым коренным образом
перестраивает кинематику потока.
От поворота направляющих лопаток потери энергии могут существенно
меняться. На это в основном влияют изменения выходной кинетической
энергии, степени реактивности и формы каналов, образуемых лопатками
при их повороте. Степень реактивности, в свою очередь, связана с изменением
423
и/С0 - f (ocj, соответствующие максимуму
а)
0,8Е
0,82
0,78
“’“'ЗВ 38 00 02 00
а-у,град
Рис. IX.17. Характеристики ступеней при различ-
ных углах установки направляющих лопаток (по
опытам БИТМ): а — т), т]* — f (ау); б—и!Са =
= f (at/) для модели h 53 мм:
1 — к. п. д. п*; 2 — к. п. д. т); 3—осевой выход потока;
4 — безударный вход. Обозначения для графика а'. (~) —
модель 1г ~ 53 мм, c/j^c.20, н15° 30'; © модель
li = 37 мм, 28, <Zt - 114 18°; — модель /]
= 66 мм, 7lt = г.,3, 114-19°, Re 3-10% М 0,3
в большом диапазоне углов а... а слсдовате
угла атаки при входе в рабочее колесо, с различной величиной утечек через
зазоры и с изменением радиальных течений.
Большое число опытов при разном угле установки направляющих лопа-
ток тепловых турбин было выполнено в БИТМ [7]. Для каждого угла уста-
новки а,у (угол между хордой и осью и} были получены кривые в зависимости
от и!Сй, в результате чего можно было построить кривые максимумов к. п. д.
с учетом и без учета выходной потери (i] и г|*) в зависимости от положения
направляющих лопаток (рис. IX.17, а). Были также построены кривые
к. п. д. (кривые / и 2 на рис.
IX. 17, б), осевому выходу потока
(кривая 3) и безударному входу
(кривая 4).
При уменьшении угла сш
уменьшается и!Сп, соответст-
вующее осевому выходу потока.
Это в основном объясняется
значительным падением степени
реактивности по мере уменьше-
ния а Вместе с ау сильно
уменьшается также угол 0J.
В некоторой точке А (рис.
IX.17, б) максимальные к. п. д. т]
и 1]* получаются при одном и
том же tAC0 и при осевом выходе
потока. По результатам опытов
точка А получалась приблизи-
тельно при безударном входе
в рабочее колесе. При отклоне-
нии от этой точки оптимальные
отношения и, Со различаются
для к. п. д. т] и т]*, а также для
условий безударного входа или
осевого выхода.
На основании опытов прихо-
дим к выводу, что повсрот на-
правляющих лопаток позволяет
получить при неизменном пере-
паде энтальпий на ступень поло-
гие кривые к. п. д. I] и 1]*
.. льно, и расходов рабочего тела.
Оптимальный для к. п. д. т) и t]* угол установки направляющих лопаток
получается при осевом выходе потока и безударном входе.
Максимальные значения к. п. д. в зависимости от и Со при отклонении
от оптимального угла ау получаются при положительных или отрицатель-
ных углах атаки и с закруткой потока того же знака за рабочим колесом.
Для ступеней с малыми номинальными углами выхода потока при отклоне-
нии угла установки направляющих лопаток в широких пределах к. п. д. г]
изменяется сравнительно мало, а к. п. д. т]* — значительно. Для ступеней
со сравнительно большими углами выхода потока )> 17 ) к. п. д. Я*
изменяется в меньшей мере, чем к. и. д. щ Таким образом, поворот направ-
ляющих лопаток различно влияет на характеристики ступени в зависимости
от ее типа (в частности, от угла со) и ст степени использования выходной кине-
тической энергии в последующих ступенях.
Поворот рабочих лопаток с целью регулирования расхода рабочего тела
применяется в поворотнолопастных гидротурбинах, где автоматически уста-
навливаются в наивыгоднейшее положение как направляющие, так и рабо-
чие лопасти («комбинаторная зависимость»). Поворот рабочих лопастей
424
позволяет в большом диапазоне отклонений от расчетного режима уменьшить
углы атаки и тем самым снизить потери, а в то же время изменяются важней-
шие характеристические коэффициенты расхода и циркуляции, а также
степень реактивности. Изменением угла установки рабочих лопаток может
быть уменьшена закрутка потока за рабочим колесом и уменьшены связан-
ные с ней потери в отсасывающей трубе.
Результаты опытов проф. В. С. Квятковского дают представление о поте-
рях энергии в различных частях турбины под влиянием поворота лопаток.
Сравнение потерь в направляющем аппарате и в колесе при повороте только
направляющих лопаток («пропеллерные режимы») и при совместном пово-
роте их с рабочими лопастями («каплановскпе режимы») показывают, что
поворот лопастей на большинстве
режимов вносит сравнительно неболь-
шое улучшение в работу колеса, но
Рис. IX.18. Балансы энергии потокавпро-
пеллерной гидротурбине при оптимальном
режиме (по данным В. С. Квятковского):
1 — потери в направляющем аппарате и рабо-
чем колесе; 2 — потери в отсасывающей трубе;
3 — потери кинетической энергии на выходе
из отсасывающей трубы; 4 — механические
потери; zij—число оборотов в минуту, приве-
денное к напору 1 м и диаметру 1 м
Рис. IX. 19. к. п. д. насосов с различ-
ным коэффициентом быстроходности ng,
отнесенный к постоянному напору (по дан-
ным Г. Германа):
1—пропеллерный насос с поворотными лопат-
ками, = 400 4-1100; 2 — центробежный на-
сос высокого дав тения, = 78; 3 — центро-
бежный насос, 125; 4 - центробежный
насос низкого давления, = 260; 5 — про-
пеллерный насос, = 800. Q — Q/Qo. где Q
и Qo — расход воды при данном и расчетном
режимах
существенно снижает потери в отса-
бывающей трубе. В этих опытах
к. п. д. рабочего колеса достигал очень высоких значений—0,97—0,98.
Максимальный к. п. д. ступени (направляющего аппарата и рабочего колеса)
был 0,96. Потери в направляющем аппарате и в зазоре между ним и колесом
оценивались в 2%.
На рис. IX. 18 представлено распределение потерь в осевой гидротурбине
на одном из пропеллерных режимов. Потери в отсасывающей трубе и выход-
ные на этом режиме по величине сравнимы с потерями в рабочем колесе и
в направляющем аппарате. На других режимах они могут составлять глав-
ную часть общих потерь.
Поворотные рабочие лопатки применялись также в насосах. На рис. IX. 19
представлены сравнительные характеристики насосов различного типа, из
которых ясны преимущества, вносимые поворотом рабочих лопаток. <В этих
опытах поворотные лопатки были выполнены такой же конструкции, как
в гидротурбинах. Наивысший к. п. д. достигал 80—90%.
Конструктивными мероприятиями можно несколько видоизменить харак-
теристику насоса, но основным критерием все же служит коэффициент быстро-
ходности. По этим опытам насосы с низким значением пб наиболее пригодны
для работы на переменной производительности при мало меняющемся напоре.
Тихоходные насосы, однако, имеют большие размеры и вес. Для этих усло-
вий работы регулирование поворотными лопатками повышает коэффициент
быстроходности при сохранении выгодной характеристики насоса.
425
ГЛАВА X
ХАРАКТЕРИСТИКИ РАДИАЛЬНЫХ
И РАДИАЛЬНО-ОСЕВЫХ ТУРБОМАШИН
Радиальные турбомашины давно привлекали внимание конструкторов
как своеобразием устройства, так и благоприятными характеристиками.
Радиальные турбины центробежного и центростремительного типов с успе-
хом применялись в паротурбостроении. Их строили с одинарным и двойным
вращением. Для них применялись узкие лопатки. Поэтому роль кориолисо-
вых сил в таких ступенях была невелика и их характеристики не имели
принципиального отличия от характеристик осевых ступеней.
Радиальные ступени с узкими лопатками выполнялись чаще всего реактив-
ного типа, но применялись также активные ступени с целью переработки
возможно большего перепада энтальпий при заданной окружной скорости.
Структура потока в радиальных ступенях отличается большей равномер-
ностью, чем в осевых, так как степень реактивности в различных сечениях
радиальной ступени сохраняется приблизительно одинаковой и концевые
эффекты сказываются на структуре потока слабее, чем в осевой ступени.
Специфическими свойствами обладают радиально-осевые ступени турбо-
машин, в которых поток входит и выходит из колеса при сильно отличаю-
щихся окружных скоростях (большая степень радиальности). Радиально-
осевые центростремительные турбины уже в конце прошлого века нашли
широкое применение в гидротурбостроении под названием турбин Фрэнсиса,
а также находили применение в газотурбостроении [2, 9]. Радиальные и
радиально-осевые центробежные ступени широко распространены как сту-
пени компрессорного и насосного типов.
Прежде чем перейти к изучению характеристик радиальных и радиально-
осевых турбомашин, остановимся на особенностях физической картины тече-
ния в рабочих колесах такого типа.
Х.1. ТЕЧЕНИЕ В РАДИАЛЬНЫХ СТУПЕНЯХ ТУРБОМАШИН
Радиальное течение жидкости в рабочем колесе имеет принципиальные
особенности, связанные с возникновением кориолисовых сил.
Уравнение движения (1.54) идеальной жидкости или газа в стационарных
условиях и в предположении безвихревого или винтового движения может
быть записано в форме
grad Еотн = — 2ш у. w, (Х.1)
Х-r w2 T2(jJ2
где Еотн - -- П -+- ! - -g—, а вектор в правой части представляет
собой кориолисово ускорение.
Ранее было доказано, что одна половина этого кориолисова ускорения
получается за счет изменения окружной скорости в направлении вектора
относительной скорости w, а вторая — возникает под влиянием поворота
вектора w вместе с относительной системой координат Так как в радиальном
колесе векторы <о и w не параллельны, то всегда возникает кориолисово
ускорение.
426
Умножив обе части уравнения (Х.1) на wdt, получим уравнение энергии
для движения жидкости вдоль линии тока, аналогичное (1.56). В составлен-
ном таким образом уравнении энергии произведение векторов w (to X w) -=
— 0. Это означает, что в относительном движении кориолисовы силы не со-
вершают работу, что ясно также из физической сущности сил инерции. Для
чисто осевой турбомашины эта работа также равна нулю и в переносном дви-
жении, так как при течении по цилиндрическим поверхностям вектор (о < w
перпендикулярен вектору окружной скорости, и и (о w) - - 0.
Если жидкость движется в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то
© L w и величину кориолисова ускорения можно записать так:
/к = 2 | со w | = 2<w.
Положение вектора jK определяется направлением вектора со < w. Для
движения в плоскости, перпендикулярной оси г, независимо от выбранной
системы координат направление вектора jK совпадает с направлением век-
тора w, повернутого на 90' в сторону вращения колеса.
Рис. Х.1. Вектор кориолисова ускорения и кориолисова сила
инерции для турбинного (а) и компрессорного (б) колес
Этому ускорению соответствует кориолисова сила инерции, равная взя-
тому со знаком минус произведению массы частицы и ее ускорения Д. В ра-
диальной ступени произведение u (со х w) =)= 0 и кориолисовы силы совер-
, шают работу в переносном движении. Эта работа может играть важную
роль в рабочем процессе радиальной турбомашины. Так, если во вращаю-
щемся колесе движется элементарный объем с относительной скоростью w,
направленной вдоль радиуса, то при движении от периферии к центру
вектор кориолисова ускорения направлен в сторону, обратную вектору
окружной скорости и независимо от направления вращения (рис. Х.1, с).
Следовательно, кориолисова сила dPK, действующая со стороны элемента
жидкости на лопатку, направлена в сторону вращения колеса. Это означает,
что в колесе центростремительного типа под влиянием кориолисова ускоре-
ния возникает движущая сила.
Если в тех же условиях элементарная масса движется от центра к пе-
риферии, то вектор кориолисова ускорения имеет направление окружной
скорости и, а кориолисова сила направлена в сторону, обратную вращению
колеса (рис. Х.1, б). Таким образом, в рабочем колесе центробежного типа
под влиянием кориолисова ускорения появляется на лопатках сила сопро-
тивления его движению.
Ввиду особой важности этих явлений для теории турбомашин с радиаль-
ным течением в колесах рассмотрим детально удельную работу кориолисовых
сил в переносном движении, ее связь с формулой Эйлера и механизм передачи
давления на лопатки.
Работа кориолисовых сил в переносном движении. Пусть жидкость дви-
жется в межлопаточном канале рабочего колеса в плоскости, перпендикуляр-
ной оси машины, с относительной скоростью w. Эта скорость может быть раз-
личной в каждой точке канала. Определим мощность, развиваемую рабочим
колесом или передаваемую им жидкости под влиянием кориолисовых сил
инерции в межлопаточных каналах любой формы.
427
Движение рассмотрим в цилиндрических координатах. Ось г, связан-
ную с рабочим колесом, направим от центра к периферии. Угол ф между
вектором скорости w и положительным направлением оси г будем отсчиты-
вать против часовой стрелки (рис. Х.2). Так же будем измерять угол между
осью и н кориолисовым ускорением jK. Эта схема, построенная для движения
потока к центру, остается в силе и для движения к периферии.
Элементарная кориолисова £ила, действующая на массу жидкости dm,
находится из равенства
dPK = — ]Kdm,
а ее проекция на направление окружной скорости и (рис. Х.2) — из урав-
Рис. Х.2. Векторы ускорения и
кориолисовой силы в плоскости,
перпендикулярной оси турбома-
шины
нения
dPKU = — 2сощ cos ф dm.
Так как угол ф между вектором j и осью и
равен углу между вектором w и осью г, то
w cos ф wr и
dPKU = —2awrdm.
Массу элемента представим как функцию
центрального угла 9, т. е.
dm = pbrd 91 dr |,
где b — размер элемента вдоль оси г.
Подставив это выражение в предыдущее
уравнение, получим
dPKU = —2awr | dr | pbr dO.
Так как ку dr'dt, то в последнем уравнении можно произвести замену
| wr | dr - wr dr '.
Мощность dNK, затрачиваемая рабочим колесом или отдаваемая ему под
влиянием элементарной кориолисовой силы, равна произведению силы и
окружной скорости гш
dNK —. —2и2г dr | ui'r | pb rdQ
и
r2 2л
NK = —2o2 | r dr | p ' wr | br dQ,
r, 6
где i\ и r, — радиусы соответственно при входе в колесо и' выходе из него.
Второй интеграл в правой части последнего уравнения представляет со-
бой массовый расход сжимаемой или несжимаемой жидкости
| р | brdG — G.
б
Для стационарного движения массовый расход жидкости сохраняется
неизменным. В этом случае
NK — G(u\ — и?)
и удельная работа
hK = и{
На
(Х.2)
где индекс 1 относится к параметрам жидкости при входе в рабочее колесо,
а индекс 2 — при выходе из пего. Если иг ^>и2, то жидкость движется
к центру и кориолисовы силы совершают положительную работу, если же
u, <Z ti.2, то жидкость движется от центра к периферии и работа кориолисо-
вых сил отрицательна. Таким образом, в центростремительной ступени мощ-
428
ность, развиваемая кориолисовыми силами, передается от жидкости рабо-
чему колесу, а в центробежной ступени, наоборот, рабочее колесо передаст
энергию жидкости.
Из уравнения (Х.2) следует, что использование кориолисовых сил по
прямому назначению возможно в центростремительной турбинной ступени
и в центробежной компрессорной ступени. Если рабочие лопатки установ-
лены строго радиально, относительная скорость жидкости не меняется и
повсюду направлена’ вдоль радиуса к центру вращающегося колеса, то только
кориолисовы силы создают вращающий момент, причем независимо от на-
правления вращения. В этом случае только центростремительная ступень
в состоянии развивать полезную мощность Если же в таком колесе течение
жидкости направлено от центра к периферии, то лишь работа кориолисовых
сил преобразовывается в на-
пор и только центробежная
ступень в состоянии работать
Рис. Х.З. Схемы движения к уравнению мощности кориолисовых сил: а — ряд под-
вижных решеток; б — схема перемещения массы на гладкой вращающейся пластине
в качестве компрессора. В этих схемах направление вращения совпадает
с направлением окружных составляющих скоростей с1и в турбине и с2и
в компрессоре.
Кориолисово ускорение можно рассматривать состоящим из двух равных
слагаемых о X w, каждое из которых имеет ясный физический смысл. На-
зовем первым то слагаемое, которое возникает под влиянием переносного
ускорения во время перемещения жидкости вдоль радиуса вращающегося
колеса, а вторым — слагаемое, появляющееся как следствие поворота около
оси турбины массы жидкости, заключенной в колесе (см. гл. I. п. 9).
Удельная работа, соответствующая первому слагаемому, равна
^ки — —2~ (^1 ^2) '
Эта энергия могла бы появиться также, если вообразить рабочее колесо
развернутым на плоскость так, чтобы жидкость двигалась в каналах, раз-
мещенных поперек бесконечного ряда узких полос, каждая последующая
из которых имела бы поступательную скорость, на величину du меньшую,
чем предыдущая (рис. Х.З, а). Двигаясь по каналам в таком воображаемом
ряду элементов решетки из пространства, где поступательная скорость
равна в область, где эта скорость уменьшается до величины и.2, жидкость
отдавала бы работу, равную изменению ее кинетической энергии (u'i — u|)/2.
В случае же иг <Z и2 при таком же движении та же величина энергии
сообщалась бы жидкости со стороны стенок движущихся поступательно
каналов.
429
Если относительная скорость движения жидкости в прямолинейных ка-
налах сохраняется неизменной (w । -- w2) и оба вектора w перпендикулярны
оси и, то из треугольников скоростей следует
с2_с2 и2—112
2 = 2 ’•
т. е. обмен энергией между жидкостью и условным рядом плоских решеток
связан с изменением абсолютной скорости жидкости. Получающееся при
этом изменение энергии в турбинном уравнении Эйлера (II.134) учитывается
первым членом в правой его части.
Энергия, соответствующая второму слагаемому <» х w кориолисова уско-
рения, при движении жидкости к центру отдается за счет перемещения ее
массы из области повышенного давления, возникающего у периферии рабо-
чего колеса под влиянием его вращения, в область пониженного давления
вблизи центра. При движении от центра к периферии эта энергия, наоборот,
сообщается жидкости со стороны рабочего' колеса с тем, чтобы она могла
перемещаться из пространства пониженного давления в область повышенного
давления. Рассматриваемая часть энергии при центростремительном движе-
нии жидкости получается в результате дополнительного перепада давления
в рабочем колесе, а в центробежном колесе она, наоборот, создает дополни-
тельный перепад давления. Этот дополнительный перепад давления воз-
никал бы во вращающемся рабочем колесе также при нулевом расходе
жидкости.
Удельная энергия, соответствующая второму слагаемому кориолисовой
силы, находится как интеграл
Г 2 9 9
г а; — ий
hKIS> - - j rfrdr = , (X.3)
причем для центростремительной ступени иг J>u2 и 1гка > 0, а для центро-
бежной ступени ut < и2 и hKa <Z 0. Удельная энергия hKa представлена
последним членом в правой части уравнения Эйлера (11.134).
Эта часть работы наглядно может быть представлена, если вообразить
движение элементарной массы Am по идеально гладкой поверхности ради-
ально расположенной вращающейся пластины (рис. Х.З,б). Представим себе
нить, с помощью которой эта масса перемещается к центру. Сила натяжения
нити С совершает определенную работу, которая по условиям задачи может
передаваться только рабочему колесу. Именно этой работе соответствует
удельная энергия, выраженная последним уравнением. Аналогичная работа
совершается во время продвижения жидкости в центростремительном ко-
лесе, причем силу натяжения нити здесь заменяет сила давления в поле
центробежных сил.
Последние схемы поясняют и общую физическую картину формирования
кориолисовых сил. Если бы масса Am, прикрепленная к нити, свободно вра-
щалась вокруг оси, то, согласно закону моментов количества движения,
сохранялось бы постоянным произведение
Ь.тги = const,
где и — окружная скорость массы.
Когда же эта масса движется по пластине, вращающейся с угловой ско-
ростью <о, то ее момент количества движения изменяется на величину
АЛ4г = Ат (г2н2 — г1п1),
где Атг1и1, Атг2и2 — моменты количества движения массы Ат соответ-
ственно при входе в колесо и при выходе из него. В последней формуле из-
менению окружной скорости от до и.> соответствует эффект, получаемый
430
по схеме на рис. Х.З, а, а изменению радиусов — по схеме на рис. Х.З, б.
Мощность, соответствующая полученному изменению вращающего момента,
сообщается рабочему колесу. Она находится из равенств
ДМ = — w ЛМ2 --- Дт (ы? — и2)-
Итак, в любом рабочем колесе радиального типа должна существовать
разность полных энтальпий газа в относительном движении, соответствую-
щая работе кориолисовых сил. Эта разность полных энтальпий в центростре-
мительной ступени соответствует половине общей энергии, преобразуемой
в механическую работу через посредство кориолисовых сил, а в центробеж-
ной ступени, наоборот, она возникает за счет работы этих сил. Ее необходимо
принимать во внимание при вычислении теоретической относительной ско-
рости wit, с которой поток выходит из рабочего колеса, в соответствии с урав-
нением энергии
wj _ . . и\ — и\
2 2 — г1 Z2Z 2
ИЛИ
w2z=J + 2(i! — i2/) — (u? — U?), (X.4)
где r’x и i2i — энтальпии соответственно перед рабочим колесом и за ним
при изоэнтропийном процессе.
Для несжимаемой жидкости вместо разности энтальпий в уравнении энер-
гии можно подставить разность напоров (pj — Р^1$- Из формулы (Х.4)
следует, что при одинаковой разности энтальпий (1г — г2/) и одинакой ско-
рости w1 в центростремительной ступени относительная выходная ско-
рость w2t меньше, а в центробежной ступени больше, чем в осевой ступени
при иА = и2.
Последний вывод уже можно было получить непосредственно из общего
уравнения баланса энергии в относительном движении (1.58) и его следствия
(1.60). В этих уравнениях был выделен член п2/2 и в соответствии с этим было
введено понятие 1*„-энтальпии. Но оставался невыясненным механизм пере-
дачи энергии, соответствующей этому члену.
Введя /„-энтальпию в уравнение (Х.4), получим
Щ2/ = ]'2 (Г4 — Д23- (Х.5)
Действительную скорость при выходе из колеса с учетом потерь от тре-
ния можно оценить с помощью коэффициента ф. Часть работы, совершаемая
за счет кориолисовых сил, передается колесу с малыми потерями, что следует
из механизма физических явлений. Если пренебречь влиянием на работу тре-
ния кориолисовых сил, то можно воспользоваться формулой
щ2 = фку2/.
Здесь коэффициент ф учитывает лишь обычные потери в межлопаточных ка-
налах при относительном движении.
Передача вращающемуся колесу освободившейся кинетической энергии
в переносном движении при перемещении жидкости к центру производится
путем непосредственного преобразования ее в энергию давления и возраста-
ния последнего у задней поверхности лопатки. Передача же колесу потен-
циальной энергии, затрачиваемой на перемещение жидкости вдоль ра-
диуса, не очевидна и требует особого разъяснения.
Х.2. ЦИРКУЛЯЦИОННОЕ ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Если во вращающемся диске имеется сферическая полость (рис. Х.4, а),
заполненная идеальной жидкостью, то из-за отсутствия трения объем жид-
кости остается неподвижным в пространстве, последовательно занимая поло-
431
женин /, 2, 3 и 4 относительно фиксированной на колесе точки а. По отно-
шению же к стенке объем совершает вращательное движение с обратной угло-
вой скоростью — (о. Абсолютное движение жидкости остается безвихревым.
Аналогичная картина получается, если кольцевое пространство вращаю-
щегося колеса разделить перегородками и между ними поместить идеальную
жидкость (рис. Х.4, б). Однако для формы, отличной от сферической, не мо-
жет применяться рассмотренная выше простейшая схема относительного
движения идеальной жидкости, так как вращательное движение получают
лишь малые частицы, общее же движение становится весьма сложным. Впер-
вые эта задача была исследована Кухарским [13].
Задача Кухарского заключалась в нахождении функции тока в от-
носительном движении. Для ее решения рассмотрим уравнение(1.71) вихря
Рис. Х.4. Относительное циркуляционное движение жидкости в канале: а—в пло-
скости на вращающемся диске; б — звезда Кухарского
относительно оси г. При отсутствии осевой составляющей скорости (cz — 0)
равна нулю и соответствующая составляющая этого вихря, т. е.,
rot2 с — —
, г г
дси дсг _
дг гдв
Если перейти к рассмотрению относительного движения, то получим
(см. п. 1.9)
rot w — —2(0.
В прямоугольных осях координат имеем
dwy дшх
ro t г W = -----~5~ =
г дх ду
2(о,
(Х.6)
и для несжимаемой жидкости условие неразрывности примет вид
дх ду
Выразив скорости через функцию тока ф:
из уравнения (Х.6) получим
д2ф
дх2
2(о.
дф
ду ’
Это уравнение было проинтегрировано Кухарским методом аналогии с про-
гибом мембраны. По найденным значениям функции тока ф (х, у) определя-
лись траектории и скорости (рис. Х.4, б).
432
В рабочем колесе радиальной турбомашины относительное циркуляцион-
ное движение получается еще более сложным, чем в звезде Кухарского.
Здесь ограничимся рассмотрением лишь качественной стороны вопроса.
Поля относительных скоростей. В рабочих колесах радиальных турбо-
машин межлопаточные каналы по концам открыты, и через них непрерывно
протекает жидкость. При этом происходит наложение относительного цир-
куляционного течения и обычного обтекания профилей в неподвижной ре-
шетке.
При обтекании неподвижной радиальной компрессорной решетки потоком
с относительной скоростью w (/на рис. Х.5, а) вдоль каждой окружности уста-
Рис. Х.5. Распределение скоростей идеальной жидкости в рабочем канале центробежного
компрессора: а — лопатки загнуты назад; б — радиальные лопатки; в — лопатки загнуты
вперед:
I поле скоростей при отсутствии относительного вихря; II — относительный вихрь; III — суммар-
ное поле скоростей
навливается неравномерное поле скоростей, направленных к выходу, причем
у выпуклой поверхности профиля возникает большая скорость течения, чем
у вогнутой поверхности лопатки. При вращении же этой решетки относи-
тельное циркуляционное течение (II на рис. Х.5, а) вносит дополнительные
скорости, направленные к центру вблизи передней поверхности профиля и
имеющие противоположное направление у его задней поверхности. Наложе-
ние двух этих полей скоростей дает представление о действительном их рас-
пределении (III на рис. Х.5, а). Таким образом, вблизи вогнутой поверхности
для колеса с лопатками, загнутыми назад, происходит увеличение скоростей
и, следовательно, понижение давления (отмечено знаками минус), а вблизи
выпуклой поверхности — уменьшение скоростей и повышение давления (от-
мечено знаками плюс).
Кроме того, при движении жидкости от центра к периферии за счет ра-
боты колеса возрастает кинетическая энергия переносного движения, что
связано с возрастанием давления у передней поверхности лопаток. Это
давление всегда действует в том же направлении, что и результирующее
28 И. И. Кириллов 433
давление от относительного циркуляционного течения. Возникающая таким
образом разность давлений по обе стороны профиля создает ту силу, которую
приходится преодолевать колесу компрессора и при посредстве которой
создается напор.
Неравномерное поле скоростей создается также при радиальном распо-
ложении лопаток компрессора, причем избыточное давление — вблизи перед-
ней по ходу вращения поверхности лопатки, а разрежение — вблизи ее зад-
ней поверхности (рис. Х.5, б).
Если изменить направление вращения колеса с загнутыми назад лопат-
ками, то изменится также направление циркуляционного относительного
Рис. Х.6. Распределение скоростей идеальной жидкости в рабочем канале
радиальной турбины: а — центробежная ступень; бив — центростремительные
ступени (римские цифры соответствуют римским цифрам на рис. Х.5)
движения и произойдет изменение профиля скоростей в межлопаточном ка-
нале. При этом получится схема колеса с загнутыми вперед лопатками
(рис. Х.5, в). Наложение потоков от движения в неподвижном колесе и от
относительного циркуляционного течения без расхода жидкости дает картину
скоростей результирующего потока. Из полученной таким образом схемы
ясно, что при вращении компрессорного колеса с загнутыми вперед лопатками
циркуляционное относительное движение усиливает неравномерность поля
давлений от обтекания профилей. В итоге работа, совершаемая колесом, воз-
растает и увеличивается создаваемый им напор по сравнению с напором в ко-
лесе с загнутыми назад лопатками.
При малых расходах жидкости составляющая скорости циркуляционного
относительного движения может оказать преобладающее влияние, вследствие
чего в рабочем канале вблизи передней его стенки могут возникать обратные
течения, с которыми связан срыв потока в реальном компрессоре.
Угол поворота потока в центробежном рабочем колесе с загнутыми назад
лопатками может быть настолько велик (рис. Х.6, а), что, несмотря на отно-
сительное циркуляционное движение и изменение переносных скоростей,
у вогнутой поверхности канала установится пониженная скорость потока и
повышенное давление, а на том же диаметре у выпуклой его поверхности —
повышенная скорость потока и пониженное давление. На такое рабочее кс-
434
лесо будет действовать положительный вращающий момент, т. е. получится
турбинный эффект.
Если течение жидкости направить радиально от периферии к центру,
оставив прежнее направление вращения колеса (рис. Х.6, б), то схема цирку-
ляционного движения также сохранится, вследствие чего у передней стенки
канала появятся повышенные скорости и пониженное давление, а у задней
наблюдается обратная картина. Также в сторону вращения будет действовать
давление от изменения переносных скоростей. В результате этих воздействий
появится вращающий момент, т. е. колесо получится турбинного типа. Вра-
щающий момент увеличится в том случае, если лопатки изогнуты (рис. Х.6, в),
причем неравномерность поля скоростей в относительном движении (при со~0)
вызовет повышенное давление на задней стенке лопатки (положение/), и этот
эффект усилится под влиянием циркуляционного относительного движения.
Таким образом, турбинное рабочее колесо можно выполнить для направ-
ления движения жидкости как к оси (центростремительного типа), так и от
оси вращения (центробежного типа). В турбинном колесе центростремитель-
ного типа кориолисовы силы совершают положительную работу >н2),
а это означает, что удельная работа жидкости в турбинной ступени центро-
стремительного типа получается больше, чем в ступени центробежного типа
таких же размеров и при той же скорости вращения, если при этом сохра-
няются одинаковыми относительные скорости потока.
Работа кориолисовых сил в переносном движении совершается с малыми
потерями энергии. Поэтому радиальные колеса, в которых за счет этих сил
развивается значительная доля общей мощности, могут иметь высокий к. п. д.
Поправка на конечное число лопаток. Циркуляционное движение жид-
кости в межлопаточном канале сказывается на величине и направлении от-
носительной скорости. При выходе из центробежного колеса относительное
циркуляционное течение приводит к уменьшению тангенциальной составля-
ющей абсолютной скорости. Этот эффект проявляется тем сильнее, чем больше
расстояние между лопатками у периферии, так как при этом возрастает окруж-
ная составляющая циркуляционного течения в выходном сечении. При беско-
нечно большом числе лопаток этот эффект исчезает.
Отклонение потока под влиянием циркуляционного течения учитывается
введением в расчет различных экспериментальных поправок, примером ко-
торых может служить нижеследующая поправка Стодолы на конечное число
лопаток.
Рассмотрим вблизи выходного сечения рабочего колеса центробежного
компрессора вращение жидкого цилиндра диаметром d, вписанного в меж-
лопаточный канал (рис. Х.5, а). Предполагается, что этот цилиндр вращается
с угловой скоростью со, равной скорости вращения колеса, но противополож-
ной по направлению. При этом в выходном сечении появится дополнительная
составляющая скорости Aww, которую необходимо учесть при построении
выходного треугольника скоростей.
Тангенциальная составляющая абсолютной скорости на выходе из рабо-
чего колеса определится из уравнения
С'2 и ^2 "Т" ^2w АсС'^>
где w>2 — относительная скорость при бесконечном числе лопаток (z — оо),
по направлению совпадающая с касательной к средней линии профиля ло-
патки. Так как в компрессоре всегда Au»zz «< 0, то поправка Стодолы приводит
к увеличению угла |32 и к уменьшению скорости с2и по сравнению с с2м без
этой поправки и к соответствующему снижению напора.
Величина поправки определяется по формуле
Ч = (Х.7)
где а — опытный коэффициент, обычно принимаемый равным единице.
28* 435
Поправка Стодолы дает хорошее совпадение с теоретическими расчетами
при наличии достаточно большого числа лопаток (г >> 16).
Аналогичные явления наблюдаются в относительном движении при входе
в рабочее колесо радиальной турбины (рис. Х.6, в). Вектор входной относи-
тельной скорости wx Cj — ux, не зависит от циркуляционного течения
в относительном движении. Но во входном сечении из этого вектора может
быть выделена циркуляционная составляющая после чего останется
вектор Wi, которым определяется угол атаки при входе потока в рабочее
колесо. Чтобы достигнуть безударного входа потока, приходится повышать
окружную скорость и± по сравнению с которая обеспечила бы безударный
вход потока при отсутствии циркуляционного течения (z—>оо). С целью
ослабления этого отрицательного эффекта от циркуляционного течения
следует по возможности увеличивать число лопаток у периферии колеса.
Циркуляционная составляющая &wu может быть оценена по формуле (Х.7).
Вторичное циркуляционное течение возникает также в осевой турбома-
шине. Его влияние сказывается в том, что некоторые частицы жидкости вы-
ходят из рабочего колеса на меньшем радиусе, чем входят в него, а для дру-
гих частиц жидкости наблюдается обратное явление. Это вторичное течение
в межлопаточном канале рабочего колеса переносит частицы, обладающие
различной кинетической энергией, из одного цилиндрического слоя потока
в другой, что сказывается на пространственной структуре потока.
Относительное циркуляционное течение также изменяет углы атаки и углы
выхода потока в корневом и периферийном сечениях осевого рабочего колеса.
Под влиянием циркуляционного эффекта у корня угол атаки возрастает,
а у периферии — уменьшается. В том же направлении изменяется выходной
угол потока |32- При большой веерности лопаток влияние циркуляционного
течения у периферии на углы потока становится существенным.
Х.З. СТРУКТУРА ПОТОКА В РАБОЧЕМ КОЛЕСЕ
ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ
Представляют определенный интерес опыты [12] над центростремитель-
ным колесом = 500 мм) в воздушной экспериментальной турбине
(рис. Х.7, а). Поля скоростей и давлений в относительном движении измеря-
лись с помощью пневматических приборов. Измерения в канале проводились
на глубине (считая от диска) 0,25; 0,5 и 0,75 ширины канала. Приведенный
расход определялся как комплекс
Опыты проводились в области малых скоростей потока, где сжимаемость
не играла роли. Безударный вход достигался при очень малых окружных
скоростях (нг 16 м/с) и еще меньших скоростях потока в относительном
движении. Несмотря на малые скорости, замеры позволили установить по-
вышенные скорости у передней и меньшие у задней поверхности лопаток
в соответствии с возникающим относительным циркуляционным движением.
Давление потока при безударном входе постепенно уменьшается поперек
канала от передней его поверхности к задней. Область наивысшего давления
сосредоточена при входе в рабочее колесо у задней поверхности лопатки
При отрицательных углах атаки (рис. Х.7, б) наблюдались срывные явле-
ния вблизи задней поверхности лопатки, которые проникали все далее в глуб
канала по мере увеличения угла атаки (об углах атаки можно судить по на
правлениям векторов при входе в рабочее колесо).
При значительных отрицательных углах атаки изобары на входное
участке канала приближались к тангенциальному направлению. В зоь
близкой к выходу из колеса скорости имели почти радиальное направлен
436
Давление при этом уменьшалось от задней стороны канала к передней.
Двухмерное течение в каналах рабочего колеса нарушалось вторичными
течениями, вызванными зазором между статором и рабочим колесом. При
безударном входе поля скоростей и давлений в сечениях на различной глу-
бине канала мало различались; при отрицательных углах атаки параметры
потока на расстоянии четверти глубины канала существенно отличались от
его параметров в других сечениях. Скорости потока возрастали по мере пере-
хода к сечениям на большой глубине канала.
В опытах с колесами, имевшими разделительные лопатки у периферии
(рис. Х.7, в, г), последние устанавливались на расстоянии 1/3 и 2/3 шага
между основными лопатками. Длина I разделительных лопаток менялась
в пределах l!i\ = 0,13 -4-0,52. Опыты проводились с положительными углами
атаки. Из сравнения опытов без разде-
Рис. Х.7. Течение в канале радиально-осевого рабочего колеса по опытам [12]: а — модель
колеса; б — течение при отрицательных углах атаки на половинной глубине канала, виг —
течение в колесе с разделительными лопатками
вление пониженное, существенно уменьшалась при установке разделитель-
ных лопаток. Они благотворно влияли на картину течения в канале, уменьшая
отрывы и вихреобразования. До некоторого предела увеличение длины раз-
делительной лопатки усиливало положительный эффект от их установки. В опы-
тах с короткими разделительными лопатками, установленными на 1/3 шага
от задней стенки капала, наблюдалось перетекание воздуха из узкой части
канала в широкую его часть и отрывы у передней поверхности разделитель-
ной лопатки. Этими опытами было установлено, что оптимальная относитель-
ная длина разделительной лопатки находится в пределах Иг1 0,26 -4-0,52.
Х.4. ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНЫХ СТУПЕНЕЙ
Турбинные радиальные ступени, как правило, выполняют центростреми-
тельного типа, а компрессорные — центробежного типа. Исключение пред-
ставляют лишь чисто радиальные турбинные ступени с узкими лопатками
(а1 d2), которые имеют такие же характеристики, как осевые ступени.
Гидротурбины. Первоначально гидротурбины выполнялись с чисто ра-
диальным потоком в лопаточном аппарате Но поворот потока на 90° за ра-
бочим колесом и переход к отсасывающей трубе сравнительно небольшого
диаметра ограничивали мощность турбин этого типа. С целью повышения
коэффициента быстроходности стали применяться турбины с крутым поворо-
том потока внутри рабочего колеса (см. рис. III.14). Такой поворот возможен
без больших потерь энергии благодаря конфузорному характеру течения.
Поток при этом имеет радиально-осевое направление, а рабочее колесо по
мере увеличения быстроходности приближается к осевому типу.
437
90°, чему при осевом выходе потока
0,5. Угол выхода
25 4-35°. Таким образом, в этих
казателями
их к. п. д. достигает
радиально-осе-
направляющим
Рис. Х.8. Расход и мощность
вой турбины с поворотным
аппаратом:
1 - при малом коэффициенте
2 - при большом коэффициенте
3 — линии T|Q— const
быстроходности;
Коэффициент быстроходности радиально-осевых турбин изменялся в диа-
пазоне пб 45-4-450 (см. рис. III.14) [11].
Для колес средней и высокой быстроходности входной угол в рабочее
колесо обычно имеет величину j
соответствует кинематическая степень реактивности р
потока из направляющего аппарата а±
турбинах лопатки изогнуты, хотя и больше, чем в быстроходных осевых ко-
лесах гидротурбин, но меньше, чем это обычно встречается в тепловых тур-
бинах.
Число лопастей для колес с коэффициентом быстроходности от 60 до 350
выбирается соответственно от 21 до 9.
Радиально-осевые гидротурбины обладают высокими экономическими по-
93—94%. Применяются они для сравни-
тельно высоких напоров Для таких
установок разность уровней иногда
составляет сотни метров.
Направляющий аппарат в гидро-
турбинах выполняется с поворотными
лопатками главным образом для изме-
нения в широких пределах расхода
и мощности. При повороте лопаток
меняется угол оц и вместе с тем изме-
няются расход и к. п. д. ступени.
Последний меняется в связи с откло-
нением основных характеристических
коэффициентов ступени: рк, cz и гг/.
Если, например, угол увеличи-
вать после того, как вход в рабочее
колесо стал безударным и выход осе-
вым, а скорость вращения и напор
сохранять неизменными, то осевая
составляющая скорости и, следова-
тельно, расход возрастут, повысятся
сопротивление колеса и степень реак-
тивности, а вместе с тем, увеличится и выходная кинетическая энергия. Повы-
шение степени реактивности в указанных условиях связано с появлением
закрутки потока за рабочим колесом в сторону, обратную его вращению, что
влечет дополнительные потёри энергии в отсасывающей трубе. Под влиянием
роста выходной потери, ухудшения процесса в отсасывающей трубе и потерь,
вызванных отрицательными углами атаки при входе в рабочее колесо, к. п. д.
турбины снижается и правая ветвь кривой т| = f (Q) круто падает (рис. Х.8).
В быстроходных турбинах возрастает роль потерь в отсасывающей трубе и
при выходе из нее, чем объясняются более крутые ветви характеристик при
повышенных коэффициентах быстроходности.
Если напор сохраняется неизменным, то изменением произведения 1]Q
определяется прирост мощности при открытии направляющего аппарата.
Кривые y)Q — const представляют собой равнобочные гиперболы (3 на
рис. Х.8). Точкам касания этих гипербол к характеристикам турбины соот-
ветствуют максимальные мощности, которые можно достигнуть поворотом
направляющих лопаток. При дальнейшем открытии направляющего аппа-
рата к. п. д. падает настолько резко, что несмотря на возрастание расхода,
мощность снижается. В этой зоне работа не допускается, так как возможны
срывы потока. Обычно эксплуатация турбины ограничивается мощностью
0,95—0,97 от максимальной при данном
Сравнение характеристик радиально-осевых и других гидротурбин дано
на рис. Х.9 [11]. Обладая высоким максимальным к. п. д., радиально-осевы
438
Рис. Х.9. Характеристика т] = f (N)
гидротурбин различных типов:
1 — поворотнолопастная; 2 — ковшовая,
«5 ~ 19; 3 — радиально-осевая. пб = 298;
4 — пропеллерная, = 570
турбины имеют сравнительно низкие к. п.уу при частичных нагрузках. Это
объясняется большим влиянием на потери энергии углов атаки при входе
в рабочее колесо с относительно большим шагом лопаток. Характеристики
радиально-осевых турбин позволяли применять их для крупнейших агрега-
тов мощностью до 650 МВт, а в перспективе возможна мощность свыше
миллиона киловатт.
Тепловые турбины (рис. Х.10). Центростремительные ступени тепловых
турбин проектируются для условий, принципиально отличных от тех, в ко-
торых работаю^ гидротурбины. Прежде всего следует отметить высокие на-
пряжения в рабочих колесах, которые имеют решающее значение при про-
ектировании колес тепловых турбин. Поэтому лопатки изогнутой формы,
бандажи, покрывающие диски и другие важные элементы колес гидротурбин,
далеко не всегда могут быть применены
в газовых или паповых турбинах.
Тем не менее, именно успехи в построе-
нии радиально-осевых гидротурбин при-
влекли внимание конструкторов тепловых
турбомашин, и ими в последнее время
ведутся большие работы по созданию цент-
ростремительных турбин, в основном одно-
ступенчатых, небольшой мощности. Акаде-
мик П. Л. Капица впервые предложил кон-
струировать турбодетандеры по типу тихо-
ходных радиально-осевых гидротурбин [3].
В настоящее время применяются турбо-
детандеры мощностью от 6 до 170 КВт
II, Ю].
Турбодетандеры обычно выполняются
закрытого типа. Они проектируются для
небольших расходов воздуха и имеют очень
малые длины направляющих лопаток. Так,
турбодентандер ТДР-3 расходует 1,35 кг/с воздуха с начальной температурой
То = 117 К при давлении р0 -= 5,8 бар и противодавлении р2 = 1,4 бар.
Частота вращения его ротора 15 300 об/мин, рабочее колесо имеет 17 лопа-
стей при диаметре с/, 220 мм, направляющий аппарат состоит из 36 сопел
высотой Zj 5 мм.
Характеристика этого турбодетандера представлена на рис. Х.11 [1,].
Испытания производились при начальных температурах То 165 и 330 К
и одинаковом противодавлении — 1,4 бар; скорость воздуха изменялась за
счет начального давления. При оптимальном режиме и h0 35 кДж/кг был
достигнут к. п. д. 1] «ь 0,8 (к. п. д. определялся по температурам перед сту-
пенью и за нею). Это очень высокий к. п. д. для столь малых лопаток. Для
начальных температур 165 и 330 К были соответственно Re 4- Ю5 и 8 -104,
а М - 0,8 и 0,5. Несмотря на большое различие критериев подобия, к. п. д.
этих моделей отличались всего лишь на 1 °о.
В турбодетандерах применялись решетки с углами наклона сопел а,
5 -н'8°, а углы выхода из рабочего колеса р, -= 25 -н351. Сопла после фре-
зеровки полировались. Иногда также полировались каналы рабочего колеса
и внешняя поверхность диска. Условия работы турбодетандера таковы, что
чистота поверхностей может сохраняться во время эксплуатации [1].
Аэродинамика проточной части двух моделей центростремительных тур-
бин была исследована Мидзумати [7]. Одно из испытанных колес имело диа-
метр dj - 204 мм и длину лопаток/j = 12,7 мм; угол ах — 15 40'. Давление
перед турбиной было 2,0 бар, температура 873 К, частота вращения
35 000 об/мин. Лопатки на входном участке колеса были радиальными, а при
выходе из него имели специально отработанные профили. В результате опы-
тов была получена характеристика ц -- / (uJCg) (кривая 4 на рис. Х.11).
439
Рис. Х.10. Конструктивные схемы центростремительных тепловых турбин; а — для низкого
коэффициента быстроходности; б — для высокого коэффициента быстроходности; в — диаго-
нальная ступень;г и д— профили лопаток у периферии и в корневом сечении рабочего колеса
диагональной ступени; е — экспериментальная турбина Бирмана:
1 — направляющие лопатки; 2 — рабочие лопатки; 3 — диффузор
Рис. Х.11. Характеристики центростремительных тепловых турбин:
/ — закрытое колесо турбодстандера = 220 мм, lt — 5 мм (по опытам Зайделя); 2 — закрытое ко-
лесо = 134 мм (по опытам МЭИ); 3 — открытое колесо d = 240 мм, d^/d^ = 0,78 (по опытам МЭИ);
4 — открытое колесо d± = 204 мм, d^J d^ = 0,52, Zj = 12,7 мм (по опытам Мидзумати); / и II — дг
колеса МЭИ
440
Максимальный к. п. д. оказался необычно высоким; т] 0,90 при uvCQ^
0,75. Приблизительно такой же максимальный к. п. д. был получен для
другой турбины, имевшей большие размеры (d2 — 250 мм и = 26 мм) и
работавшей на холодном воздухе.
Согласно этим опытам, в сопловом аппарате потери составляли 2—3%.
Потери в рабочем колесе по измерениям за ним были весьма неравномерны:
в центральной зоне они составляли 1—-2%, а у периферии достигали 10%.
Выходные потери также значительно менялись вдоль радиуса: на оптималь-
ном режиме — от 4 до 6°о. По этим данным средняя величина коэффициента
относительной скорости ф = 0,77 4-0,79. Несмотря на это, максимальный
к. п. д. получился высоким, так как почти 40% полезной (мощности соответ-
ствовало работе кориолисовых сил.
Характеристики т] = / (^i/C0) центростремительных турбин обычно имеют
крутопадающую правую ветвь кривой,
выходной потери, работы трения
диска и утечек, но также с быстрым
возрастанием в этой зоне отрицатель-
ных углов атаки и с дополнительными
от этого потерями в рабочем колесе.
Серия опытов с центростреми-
тельными турбинами была выполнена
А. Е. Зарянкиным и А.Н. Шерстюком
в МЭИ [2]. На рис. Х.11 даны эскизы
испытанных моделей закрытого (мо-
дель I) и открытого (модель II) типов.
Модель колеса первого типа отлича-
что связано не только с увеличением
Рис. Х.12. Изменение относительной вели-
чины максимального к. п. д. Цщах центро-
стремительной турбины в зависимости от
угла ах (опыты МВТУ)
лась малой кривизной очертания ме-
ридионального сечения (большое/?). Характеристики этих моделей (рис. Х.11)
подтвердили преимущества колес закрытого типа. Опыты проводились при
отношении давлений П -= 0,7 4-0,8. Минимальные потери в сопловом радиаль-
ном аппарате по опытам МЭИ получались при П = 0,4 4-0,5.
Испытания в МЭИ с колесом модели II при различных углах ctj показали
снижение к. п. д. при > 13°, что можно объяснить в значительной мере
увеличением выходной кинетической энергии. При специально спроектиро-
ванном колесе для увеличенного угла а1 такого падения могло не про-
изойти.
Поворотные направляющие лопатки. В предыдущей главе были отмечены
широкие возможности воздействия на характеристики ступеней поворотом
направляющих лопаток осевых турбомашин. В радиальных турбомашинах
поворот направляющих лопаток между параллельными плоскими стенками
выполняется проще, чем в осевых. Поэтому особый интерес представляют
экспериментальные исследования радиальных ступеней с поворотными на-
правляющими лопатками.
В опытах МВТУ [6] колесо центростремительной турбины имело размеры:
d± = 312 мм, d2 = 160 мм, 1г = 31 мм. При входе рабочие лопатки были
ориентированы по радиусу ([31л = 90е). Выходные углы рабочих лопаток
на среднем диаметре d2 были = 26е. Число рабочих лопаток г.2 —- 24.
Опыты проводились на воздухе при отношении давлений П — 1,6-4-1,75.
В диапазоне изменения углов схг 10-4-40° максимальный к. п. д. изменялся
в пределах 10%, а расход при этом менялся в 2,4 раза (рис. Х.12).
Сильное влияние угла установки лопаток на к. п. д. ступени объясняется
срывами потока при значительных углах атаки на входном участке рабочего
колеса в области большого относительного шага рабочих лопаток. Вместе
с ростом угла значительно возрастает и термодинамическая степень реак-
тивности как из-за увеличения расхода, так и вследствие повышенных потерь
энергии в рабочехМ колесе. Потери в направляющем аппарате изменяются
сравнительно мало.
441
Двухпоточная центростремительная ступень
предназначена для больших расходов рабочего тела. Она удачно компонуется
с осевыми ступенями в мощных тепловых турбинах. В 1957 г. была предло-
жена радиально-осевая ступень со вставными лопатками и сверхзвуковым
соплом 14] для части низкого давления мощных паровых турбин (рис. Х.13).
Эту ступень предполагалось разместить в пространстве, которое в чисто
осевой турбине не используется. В случае применения очень высоких окруж-
ных скоростей, что стало возможным с освоением титана в качестве лопаточ-
ного материала, двухпоточная радиально-осевая ступень может заменить
несколько осевых. При этом благоприятные условия течения на радиальном
Рис. Х.13. Двухпоточная радиально-осевая ступень
I
участке колеса и значи-
тельная удельная работа,
сообщаемая здесь колесу,
позволяют достигнуть
к. п. д. радиально-осевой
ступени более высокий,
чем заменяемых осевых
ступеней.
Х.5. ЦЕНТРОБЕЖНЫЕ
КОМПРЕССОРНЫЕ СТУПЕНИ
Рабочие колеса центро-
бежных компрессоров час-
то классифицируются по
углу 2 [ 10]: с сильно за-
гнутыми назад лопатками
при ₽2 = 155-4-165° и z =
= 6-4-9; с нормально загнутыми назад лопатками при |32 = 130-4-140° и
z = 14н-28; с радиальными лопатками при |32^ 90 . Колеса последнего типа
для очень больших окружных скоростей (п2 = 450 м/с и выше) делаются
открытыми. Другие типы колес обычно применяются для окружных скоро-
стей и2 <1300 м/с. Для повышения к. п. д. их выполняют закрытыми (с по-
крывающим диском).
Из формулы (III.58) следует, что при увеличении объемного расхода ра-
бота, сообщаемая колесом каждому килограмму рабочего тела, растет, если
лопатки загнуты вперед, и остается постоянной для радиальных лопаток
и падает, если лопатки загнуты назад.
Полезная работа htls получается вычитанием из общей затрачиваемой
удельной работы потерь энергии, возникающих в канале под влиянием тре-
ния, изменения углов атаки и пр. Эти потери тесно связаны между собой,
так как обтекание профилей под различными углами атаки вносит коренные
изменения в структуру потока на протяжении всего межлопаточного канала.
При постоянной скорости вращения и отклонении расхода от расчетного
изменяются скорости с1г и с2г, а также углы выхода потока а2. В области
малых объемных расходов скорости cir и с2г становятся меньше расчетных,
вследствие чего при входе в рабочее колесо и при выходе из него перед лопа-
точным диффузором возникают значительные положительные углы атаки.
Наличие безлопаточного диффузора не оказывает большого влияния на сред-
нюю величину углов атаки, так как в гладком диффузоре как тангенциальная,
так и радиальная составляющие скорости изменяются приблизительно об-
ратно пропорционально радиусу. Если расход больше расчетного, то при
входе в рабочее колесо и выходе из него появляются углы атаки другого
знака, чем для малых расходов.
В результате изменяющихся условий течения в областях малых и боль-
ших расходов возникают дополнительные потери энергии, быстро растущие
по мере отклонения от расчетного режима в связи со срывными явлениями.
442
В силу этих дополнительных потерь зависимость полезной теоретической
работы от расхода не остается линейной, а получается приблизительно пара-
болической. На рис. Х.14 эта зависимость представлена кривой АВС, тогда
как прямая изображает удельную работу согласно формуле (III.58) для
бесконечного числа лопаток. Прямая DE характеризует уменьшение тео-
ретической работы вследствие конечного числа лопаток. Точка В соот-
ветствует расчетному режим)/ (Q = Qo), причем потери напора при этом
режиме изображаются величиной Лй, включающей также потери, вызван-
ные утечками через уплотнения. Отрезки между линиями DE и АВ дают
ориентировочное представление
о потерях, возникающих под
влиянием трения и углов атаки.
Рис. Х.14. Зависимость теоре-
тической hf и полезной h рабо-
ты от расхода рабочего тела Q
(/ — с учетом конечного числа
лопаток; II — с учетом трения
и углов атаки)
Форма характеристики зави-
сит от типа лопаток и диффузо-
ра, расположенного за рабочим
колесом. Наличие безлопаточ-
ного диффузора, преобразую-
С2Ц'АпО/1
Рис. Х.15. Действительные и теорети-
ческие характеристики центробежной
компрессорной ступени с загнутыми
назад лопатками (по опытам НЗЛ):
1 — к. п. д. и*, учитывающий все потери,
за исключением утечки через уплотнения
и работы трения диска; 2 — к. п. д.
.4 - скорость с%и = с2,и!4 — политроп-
ная удельная работа hn0A — ^пол/и2
(--------0 2= 160°;----'---р2=135с;
щего значительную часть кинетической энергии во внутреннюю и потен-
циальную, уменьшает скорость потока, вступающего в лопаточный диффузор,
расположенный за безлопаточным, и тем самым снижает входные потери
энергии при больших положительных или отрицательных углах атаки.
Поэтому устройство безлопаточного диффузора достаточной длины позволяет
получить пологую характеристику компрессорной ступени.
Примеры характеристик ступеней с загнутыми назад лопатками представ-
лены на рис. Х.15 [8]. Для ступени с выходным углом |32 = 160° (штриховые
линии) теоретическая и действительная характеристики значительно более
крутые, а оптимальный коэффициент расхода с2г, почти в два раза меньший,
чем для ступени с углом |32 = 135° (сплошные линии). Максимальные поли-
тропные к. п. д. для этих ступеней мало между собой различаются. Для колес
с радиальными лопатками (|32 90 ) и безлопаточным диффузором часто
выбирают с2г 0,3.
Ширина лопаток /2 при выходе из радиальной ступени играет такую же
роль, как длины лопаток в осевой машине, но концевые эффекты проявляются
слабее. Величина l2ld2 сказывается не только на вторичных течениях, но
также на относительной величине потерь от утечек и трения дисков. Согласно
443
опытам В. Ф. Риса на НЗЛ [8], сильное увеличение потерь энергии наблю-
дается при l2/d2 <0,02, поэтому не рекомендуется выбирать l2ld2 меньше
0,02—0,04. При окружных скоростях и2 = 270н-290 м/с трудно по сообра-
жениям прочности выполнить колесо с отношением 12/d2 более 0,07—0,075.
При l2/d2^> 0,1 -ьО, 12 необходимо проектировать лопатки с учетом простран-
ственных явлений.
Задание угла |32 и отношения l2ld2 недостаточно для характеристики ко-
леса. Важным критерием служит число М. В зависимости от типа рабочего
колеса существенное ухудшение к. п. д. и напорной характеристики наблю-
дается при МС2 7> 0,55н-1.
Ступени с большим углом (32 применяются, если для меньших значений
этого угла отношение l2/d2 получается ниже допустимого предела. При одном
и том же напоре в ступенях с большим углом р2 скорости движения в диффу-
зорах меньше, чем в ступенях с нормально загнутыми назад лопатками, бла-
годаря чему повышается к. п. д. Для ступеней этого типа допускаются боль-
шие предельные по числу Мб2 окружные скорости. Согласно опытным дан-
ным Риса [8] зона устойчивой работы наиболее широкой получается в ко-
лесах с сильно загнутыми назад лопатками: Qrain/Q0 ~ 0,45-^0,65. Для сту-
пеней с нормально загнутыми лопатками это отношение находится в преде-
лах 0,65—0,75, а для ступеней с радиальными лопатками область устойчивой
работы получается еще более узкой.
Потери энергии в отдельных частях центробежного компрессора изме-
няются в широких пределах. Так, например, И. Л. Лошкин [8] получил
коэффициент потерь в рабочем колесе, отнесенный к кинетической энер-
гии wj/2, t2 =• 0,1-ь0,38 при изменении угла [32 от 150 до 80°. В большом диа-
пазоне изменяются также коэффициенты потерь в диффузорах. Оценить эти
потери теоретически и рассчитать характеристики центробежной ступени
чрезвычайно трудно, так как значительная часть потерь возникает под влия-
нием отрывных явлений. С изменением производительности вблизи входа
в диффузорные направляющие каналы направление скорости может сильно
изменяться и величина ее может вовсе не быть пропорциональной расходу.
В связи с этими сложными физическими явлениями эксперимент пока остается
главным источником получения характеристик центробежных компрессор-
ных ступеней. В современных хорошо экспериментально отработанных ком-
прессорах внутренние потери составляют 13—15%.
Изложенные соображения о потерях энергии относятся в равной мере
к центробежным насосам. Примеры характеристик 1 = f (Q) для центробеж-
ных ступеней насосов различной быстроходности представлены на рис. IX. 19.
Там же для сравнения нанесена характеристика пропеллерного насоса с по-
воротными лопатками.
ГЛАВА XI
РАСХОДНЫЕ И ВНЕШНИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТУРБИНЫ
Турбины широко применяются в качестве приводных механизмов, в част-
ности на транспорте. Для таких турбин большое значение имеет характер из-
менения вращающего момента в широком диапазоне изменения частоты вра-
щения, охватывающем как относительно малые скорости (до трогания с места),
так и относительно большие скорости (до холостого вращения). Этой проблеме
посвящено много трудов [2, 3, 4, 6, 8, 13].
Кривую М = f (/г) назовем внешней характеристикой турбины. Она
в значительной мере зависит от изменения параметров потока, от принятых
кинематических схем турбинных ступеней и от выбора расчетного режима.
Сначала рассмотрим внешнюю характеристику турбинной ступени при
неизменных параметрах рабочего тела перед ступенью и за нею и при сравни-
тельно небольших перепадах энтальпий в ступени.
XI.1. ВРАЩАЮЩИЙ МОМЕНТ ПРИ h0 = idem
Для любого режима вращающий момент радиальной или осевой ступени
можно определить по формуле Эйлера [II. 131)
М = Gr± (clu — dc2u), (XI. 1)
где — радиус при входе в ступень; d = d2/d± — отношение средних диа-
метров при выходе из рабочего колеса и при входе в него (степень радиаль-
ности) .
Для расчетного режима (все величины отмечаются нулевыми индексами)
ui — Чю и формула (XI. 1) примет вид
Afo = G0ri(ci,io —dc2uo). (XI.2)
Для приближенной оценки вращающего момента введем некоторые упро-
щения. Сначала рассмотрим только такие режимы, при которых общий пере-
пад энтальпий в ступени остается неизменным (h.o = idem), а также сохра-
няются параметры потока перед ступенью. Допустим, что все скорости в сту-
пени меньше звуковой (МС1 < 1 и < 1). Тогда с достаточной точностью
можно считать, что в густых турбинных решетках при всех режимах сохра-
няются неизменными выходные углы ах и [3.2 (см. п- VII.3). Если также пре-
небречь изменениями плотности за направляющим аппаратом и за рабочим
колесом, то расходные составляющие скорости будут изменяться пропорцио-
нально массовому расходу G. Это упрощение позволит для одномерного
потока полностью определить треугольники скоростей при любой скорости
вращения.
С изменением окружной скорости меняется степень реактивности и отно-
сительная величина расхода G = G/Go вследствие перераспределения пере-
падов энтальпий между направляющим аппаратом и рабочим колесом. При
сделанных предположениях можно записать следующие уравнения, связы-
445
вающие скорости при расчетном и любом другом режимах (рис. XI. 1) без
учета изменения плотностей рабочего тела в зависимости от режима:
Citi “ GC\u0\ W2u —
С-2и — W'2u + U<2 ~ G (С2и0--------Uzq) -j- U<2
ИЛИ
L
В этих уравнениях по существу предполагается
—г- = — = const.
ciz Рз
т. е. отношение плотностей перед рабочим колесом и за ним не меняется
в зависимости ст режима.
Рис. XI. 1. Треугольники скоростей для турбинной ступени при изменении
окружной скорости и неизменной плотности
С помощью этих равенств найдем вращающий момент, согласно уравне-
ниям (XI. 1)
М = GQG2r,
е1и0
Поделив последнее уравнение на (XI.2), получим
М = G2
(XI.3)
где М = -= М/Мо.
Для осевой ступени = и2
примет вид [5]
= tz и d = 1, а поэтому последняя формула
М = G2
(XI.4)
Если в формулах (XI.3) и (XI.4) принять G - - 1, то получится линейная
зависимость вращающего момента от частоты вращения [131. Опыты
в БИТМ [5, 3] показали значительное отклонение этой характеристики от
линейного закона и существенную роль множителя G2, определяющего квад-
ратичную зависимость вращающего момента от массового расхода в области
небольших чисел М. Изменение члена uJG в зависимости от расхода суще-
ственно при больших нг.
В обычных турбинных ступенях при дозвуковом течении с уменьшением
частоты вращения расход возрастает, а при трогании с места он может быть
больше расхода на оптимальном режиме или приблизительно такой же.
В таких условиях из уравнения (XI.3) видно, что момент достигает макси-
446
мума при их = 0, т. е. при трогании с места. Крутящий момент /Игпах на не-
подвижном рабочем колесе имеет величину
Mmax=G2 (1 +-Д V (XI 5)
\ си0 '
т%е си ——----—-----коэффициент циркуляции на расчетном режиме.
“10
Для практики во многих случаях не столь важно получить большую ве-
личину Л4тах, как сохранить высокое значение крутящего момента и к. п. д-
в области широкой зоны и!С„ <С (w/C0)Opt- Так для локомотивов с механиче-
ской передачей часто выдвигается требование получения большого вращаю-
щего момента в зоне 20—4О°о от максимальной скорости. Тем не менее, вели-
чина Л4тах сохраняет свое значение как характеристический коэффициент,
определяющий наклон внешней характеристики в области малых п/С0 и даю-
щий оценку работы ступени в этой области. К тому же величина Л4тах легко
и наиболее точно определяется во время экспериментального снятия харак-
теристик и ее всегда рекомендуется измерять для уточнения результатов опы-
тов в области малых п/С0
Из последней формулы следует, что величина Л4тЯх зависит главным обра-
зом от коэффициента циркуляции на расчетном режиме. Выбрав для основ-
ного режима малую величину сп0, можно по желанию увеличить Л4шах. В этом
смысле ступени, обеспечивающие большую величину Мшах, будем называть
«ступени малой циркуляции» (см. п. III. 1).
Ступень малой циркуляции получается при большой по-
ложительной закрутке потока (с2!, 0) за рабочим колесом на расчетном
режиме. Выходная кинетическая энергия такой ступени может быть эффек-
тивно использована в последующем направляющем аппарате многоступенча-
той турбины. Допустив закрутку с2и > 0, можно сблизить концы векторов с,
и с 2 п теоретически получить сколь угодно малой величину . Эти сообра-
жения справедливы для ступени любого типа, независимо от степени реактив
ности или коэффициента расхода.
Ступени малой циркуляции на расчетном режиме развивают небольшую
удельную мощность, так как последняя пропорциональна си„. Такие ступени
способны перерабатывать лишь относительно малый перепад энтальпий, что
приводит к большому их числу в турбине или к высоким окружным скоро-
стям. Это обстоятельство ограничивает возможность повышения Л4п1ах за
счет уменьшения коэффициента циркуляции.
Для ступеней малой циркуляции понятие расчетного режима остается
неопределенным, так как для них выбор расчетного режима не обязательно
связан с осевым выходом потока или наибольшим к. и. д. Сравнительную
оценку внешних характеристик ступеней целесообразно давать, выбрав в ка-
честве Л40 его величину для оптимального режима, соответствующего макси-
муму к. и. д., независимо от расчетного режима.
Из треугольников скоростей ясно, что при остановке рабочего колеса
получаются большие углы атаки: по отношению к рабочим лопаткам i
= — ах, а при входе в последующий направляющий аппарат t, = (32 —
— o'-ол, где — входной угол направляющих лопаток. Большие положи-
тельные углы атаки вызывают сильное возрастание сопротивления решеток
в области малых и/С0, особенно при трогании с места. При заданном коэф-
фициенте расхода величина углов атаки зависит от степени реактивности
на оптимальном режиме. Выбрав малую кинематическую степень реактив-
ности (на рис. XI.2 треугольники с вершиной О3), получим ix > i, а выбрав
большую степень реактивности (треугольники с вершиной Ох), получим
i > ix- Эти углы атаки становятся одинаковыми при рк 0,5 (для точки О2).
447
Углы атаки при и = 0 в значительной мере зависят также от коэффициента
расхода cZo.
Ступени малой циркуляции с приблизительно безударным входом при
расчетном режиме имеют слабо изогнутые профили, что благоприятно для
работы ступени в области больших и!С0. На режимах малых и/С0 и при тро-
гании с места углы атаки в таких ступенях становятся очень большими, дости-
гая более 120°, что сильно сказывается на потерях энергии (см. п. VII.2) и
на коэффициенте расхода. Это в значительной мере уменьшает эффект от
применения ступеней малой циркуляции.
С целью повышения эффективности ступеней малой циркуляции в зоне
и/С0 <(u/C0)opt целесообразно применять профили, мало чувствительные
к углам атаки. Кроме того, если допустить на режиме максимальной ско-
рости достаточно большие отрицательные углы атаки, т. е. выбрать профили,
более изогнутые, чем это требуется по условиям работы на номинальном ре-
Рис. XI.2. Треугольники скоростей для ступеней малой циркуляции
при различной степени реактивности
жиме, то можно значительно улучшить обтекание профилей в области ма-
лых и/С0 и при трогании с места. Эти мероприятия связаны с возрастанием
потерь на режимах больших и!С0. Надлежащее решение задачи для конкрет-
ных условий может быть найдено лишь путем сравнения различных проект-
ных вариантов.
Выбор профилей лопаток можно подчинить самым разнообразным требо-
ваниям. Могут быть применены такие профили, что вращающий момент
с уменьшением и/С0 будет возрастать приблизительно по прямой линии, а от-
носительный расход G — монотонно убывать. Могут быть выбраны и такие
профили, что G с уменьшением скорости вращения будет монотонно возра-
стать или иметь для некоторого значения и/С0 минимум, а вращающий мо-
мент М станет быстро увеличиваться в области малых и!С0. Вместе с измене-
нием профилей лопаток к. п. д. ступени в одной области п/С0 будет умень-
шаться, а в другой — возрастать.
Гиперболическая характеристика М = f (и/ Со) по-
лучается в чисто теоретическом случае работы ступени при неизменном
к. п. д. для всех режимов и к тому же при постоянных начальных и конечных
параметрах рабочего тела и его расходах. Действительно, для крутящего
момента можно написать выражение
м б/201]
со
В последнем уравнении при сделанных предположениях на всех режима
остаются неизменными все величины, кроме со, а поэтому для такой усл >в
ной ступени относительный вращающий момент обратно пропорциона.’.е -
окружной скорости
71Д М 4(L
L /Ио и
448
В этой условной ступени допущено преувеличение вращающего момента
в связи с предположением т] = const, чего быть не может, но зато для опре-
деленного класса профилей лопаток преуменьшен расход рабочего тела G
в области малых ulC^. Поэтому практически возможна характеристика сту-
пени, в некоторой мере приближающаяся к гиперболической, за исключе-
нием, конечно, областей очень малых и очень больших и!С^ где к. п. д. сту-
пени резко снижается.
Расход G при неизменных параметрах рабочего тела перед ступенью
и за нею и h0 — idem может в той или иной мере меняться вместе со скоростью
вращения. В ступени с величиной меньшей критического давления рК9
изменение степени реактивности под влиянием скорости вращения колеса не
сказывается на расходе, и при всех режимах, для которых это условие соблю-
дается, G = idem. Чем меньше скоростной коэффициент = с±1ак, тем
больше расход G зависит от скорости вращения. Изменение коэффициента
расхода ступени может существенно влиять как на вид кривой М = f (u/Cq),
так и на величину Л4тах при трогании с места.
XI.2. ИЗМЕНЕНИЕ РАСХОДА РАБОЧЕГО ТЕЛА
И ПЛОТНОСТИ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ СКОРОСТИ ВРАЩЕНИЯ
В двухвальных ГТУ без поворотных лопаток параметры рабочего тела
перед турбиной зависят от скорости вращения турбокомпрессора. При этом
степень повышения давления и расход газа могут изменяться в широком диа-
пазоне. Расход газа изменяется в некоторой мере также в зависимости
от степени реактивности, которая, в свою очередь, зависит от режима
работы.
Ограничиваясь одномерной теорией и расчетом для среднего диаметра,
можно установить зависимость степени реактивности от характеристического
числа u/CG и степени понижения давления о = рс/р2 [4]. Для этого восполь-
зуемся равенством
J— - —
C2Z ~ ^2 Sin р2 = ф Sin р2 ] W21 + 2рг/?о,
которое после подстановки — cf -г *4 — 2u1clt/
жет быть приведено к виду
и преобразований мо-
C2Z
6*0
= ф sin р2 |/ Рг + ф2 (1 — Рг) + d2
(XI.6)
где рг — термодинамическая степень реактивности.
Кроме того, из уравнения неразрывности следует
51С1г = 51Ф sin аг Ь- ] 2/г 0 (1
Р2 Рг
сгг _ Sin . r~.-—
Г' -- о л V 1 Рг>
Ра
или
(XI.7)
2
где и *S2 — кольцевые площади, занятые соответственно направляющими
и рабочими лопатками.
Если относительным изменением плотностей нельзя пренебречь, то их
отношение можно найти из уравнений состояния
Р1 _. Р1^2
Рг P?T 1
Из равенства /ц = (1
рГ) /10 следует
29 И. И. Кириллов
449
где о = po/Pv, — степень понижения давления в ступени;
k — 1
k
поэтому
1
Р1 = р2[1 + рг (о"1- 1)]-
Аналогичным образом найдем температуру газа за направляющим аппа-
ратом и за рабочим колесом:
Л = Т» [1 - <р2 * * * * (1 - о-'7 *') (1 - рг)];
T2 = 7;[l-<(l-o-m)]. (XI.8)
Здесь т)'—коэффициент; if = 1]г, Ч с2/Со (где т]и— окружной к. п. д.,
учитывающий профильные и концевые потери в межлопаточных каналах,
влияющие на температуру' газа в выходном сечении рабочего колеса; допол-
нительныи член с2/Си учитывает выходную кинетическую энергию).
Из этих уравнений можно вывести поправку на изменение плотности газа
1
Р1 _ [1 рг — 1)]^ [1 — 1/ (1 — g-^)]
Ра 1 — <р2 (1 — о "') (1 — pr)
Это отношение плотностей может значительно изменяться вместе со степенью
повышения давления о. Оно может играть заметную роль и при сравнительно
небольших величинах о в области малых к. п. д., так как при этом становится
существенным изменение плотностей из-за отклонения температур от их зна-
чений при расчетном режиме.
Приравняв правые части уравнений (XI.6) и (XI.7) и использовав послед-
нее выражение для отношения плотностей, можно определить степень реак-
тивности для любого режима. В частности, для режима пуска (и, - 0) по-
лучим (ф и рг берутся при и = 0)
1
1/~ Рт । „2______ г 11-гРг(°т ОГ” (YIQ)
V 1 ф 2 tl_Pr) (om_D ’ (Х1-9>
где
j S& sin gt _ _
1 £.2ф sin |32 [° OJ.
Приняв т]и = 0, и = 0 и с2 = ю2 —- ф2 (tfcr 2/iopr), коэффициент т)ы=о
согласно уравнению (XI.8) можно выразить так:
I С9 I - П
4i=o = /Г1’ = [ ф2 + Ру (1 — Ф2)].
со
В современных турбинах коэффициент скорости ф настолько высок, что
влиянием ру на цД-о можно пренебрегать, полагая i]Ii=o ф2ф2. Таким обра-
зом, величина f и степень реактивности на режиме пуска в основном зависят
от о и фв=0 . Последний коэффициент может быть весьма низким, так как при
п=0 обтекание рабочих лопаток происходит при очень больших положитель-
ных углах атаки.
Определив по опытным данным коэффициент фи=0 из уравнения (XI.9),
найдем степень реактивности при и = 0. Для определения степени реактив-
ности при трогании с места может служить диаграмма на рис. XI.3 [4].
построенная для ф = 0,97 и k = 1,33. Зная геометрические характеристики
проточной части, углы потока и коэффициенты ф и фн=0 , находим параметр
и по нему степень реактивности при и 0.
450
Минимум кривых о - const на рис. XI.3 соответствует критическому
режиму течения в направляющем аппарате. С правой стороны от этой точки
(в дозвуковой области) с увеличением / растет степень реактивности, в сверх-
критической области — наоборот. При f = const с ростом о абсолютная вели-
чина степени реактивности увеличивается в зоне докритических режимов и
уменьшается в области сверхкритических режимов.
Поскольку известны степень реактивности, плотности и углы потока,
может быть рассчитан массовый расход на пусковом режиме, а следовательно,
и вращающий момент. Для определения массового расхода следует вычис-
лить плотность за рабочим колесом по формуле [см. формулу (XI.8)1
Расходную составляющую
скорости c2z найдем по формуле
(XL7) и таким образом опреде-
лим расход газа на пусковом
режиме. Тот же расход имелся
в виду и в формуле (XI.3), но
в ней изменение скоростей по
сравнению с расчетным режи-
мом предполагалось пропорцио-
нальным массовому расходу,
тогда как на их величину ока-
зывает влияние также измене-
ние плотностей. Поэтому:
Clu = G~-Ciu0 и
Рю
С2и = = G W2Ub,
Мол
Рис. XI.3. Диаграмма для определения степени
реактивности
где нулевыми индексами отмечены величины на расчетном режиме.
Расчеты тяговой характеристики для вновь проектируемой турбины
можно выполнить лишь весьма приближенно, так как затруднительно оце-
нить потери в рабочем колесе в области малых и/С0 и при трогании с места.
В связи с этим целесообразно упростить расчеты, введя в формулу (XI.5)
поправку на непропорциональное рас-
ходу изменение скоростей
(XI.11)
Рис. XI.4. Кривая поправочного коэф- где kG — поправочный коэффициент на
фициента kG сжимаемость (на непропорциональное
расходу изменение скоростей).
Оценка поправочного коэффициента kG дана в виде кривой на рис. XI.4
[4], полученной с помощью вычислений изменения плотностей для характер-
ных турбинных ступеней с использованием опытных данных 12, 4]. Как
видно, эта поправка играет важную роль при больших степенях повыше-
ния давления о.
Заметим, что высокие потери энергии в остановленном колесе связаны
с большим ростом температуры и плотности; это приводит к повышению вра-
щающего момента при всех значениях о, особенно же сильно это сказывается
29*
451
в области больших его величин. В многоступенчатых турбинах эффект дрос-
селирования приводит к очень высоким коэффициентам возврата тепла
(ос = 1,25 и более).
XI.3. ОСОБЕННОСТИ ВНЕШНИХ ХАРАКТЕРИСТИК
РАДИАЛЬНЫХ СТУПЕНЕЙ
Центростремительные турбины имеют свои особенности, которые суще-
ственно отражаются на их характеристиках. Допустим, что осевая и радиаль-
ная ступени на расчетном режиме имеют одинаковый вращающий момент А40,
подобные входные треугольники скоростей и осевой выход потока (C2wo = 0).
Если в таких условиях пренебречь различным изменением величины G в обеих
ступенях, то при любой окружной скорости их < ^10 величина в квадратных
скобках в уравнении (XI.3) для осевой ступени будет больше, чем для ра-
диальной. При > и\0 суммарная величина в круглой скобке может стать
меньше нуля, а тогда момент М может оказаться меньше для осевой ступени,
чем для радиальной. Физически это объясняется изменением работы корио-
лисовых сил в радиальной ступени, причем она снижается с уменьшением
окружной скорости и наоборот.
В то же время при изменении скорости вращения в радиальной турбине
степень реактивности меняется сильнее, чем в осевой. Это различие полу-
чается особенно ощутимым в области больших окружных скоростей, т. е.
при ню- В этой зоне расход уменьшается по сравнению с Go тем в боль-
шей мере, чем меньше число М по скорости с±. Следует также иметь в виду,
что под влиянием сильно меняющейся степени реактивности в радиальной
ступени возникают большие по абсолютной величине углы атаки, чем в осе-
вой ступени при том же отклонении окружной скорости. Вместе с тем, обычно
применяемая в тепловых турбинах радиальная решетка рабочих профилей
более чувствительна как к положительным, так и к отрицательным углам
атаки, чем соответствующая ей решетка осевой ступени.
Из всего сказанного следует, что в радиальной ступени в области ма-
лых и1С$ под влиянием больших положительных углов атаки, сопровождае-
мых срывами, сопротивление колеса сильно возрастает, и степень реактив-
ности оказывается больше, чем в соответствующей осевой ступени. По этой
причине массовый расход газа в радиальной ступени при трогании с места
мало меняется по сравненению с расходом при оптимальном режиме, тогда
как в осевой ступени при дозвуковых скоростях он может существенно воз-
растать. Атак как и величина в круглой скобке в уравнении (XI.5) при = 0
для радиальной ступени меньше, чем для осевой, то относительный момент А1П1ах
должен быть существенно меньше для радиальной ступени.
В области больших и1С$ преобладающее влияние оказывает возрастающее
вместе с окружной скоростью сопротивление рабочего колеса, что подтвер-
ждает крутое падение правой ветви характеристики радиальной турбины
(рис. Х.11). Поэтому и максимальная окружная скорость цтах для радиаль-
ной ступени получается меньше, чем для осевой.
Повышенные потери в центростремительном рабочем колесе при трогании
с места приводят к существенному снижению плотности. Поэтому поправоч-
ный множитель на сжимаемость kG в формуле (XI. 11) играет большую роль,
чем для осевой ступени.
Некоторую погрешность в расчеты вращающего момента радиально-осевой
турбины при трогании с места вносит определение степени радиальности d.
Если требуется высокая точность, то эта величина должна быть рассчитана
как средняя по отношению к вращающему моменту с учетом закрутки потока
при выходе из рабочего колеса.
Для улучшения характеристик центростремительной ступени в облает
малых u/Cq необходимо совершенствование аэродинамических качеств рабо-
чего колеса при работе в этой области.
452
Изложенные в этом параграфе соображения не распространяются на ра-
диальные ступени с узкими лопатками, для которых и± и2. Внешние харак-
теристики таких ступеней мало отличаются от характеристик осевых ступе-
ней, имеющих аналогичные профили лопаток.
XI.4. ОПЫТНЫЕ ВНЕШНИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ТУРБИННЫХ СТУПЕНЕЙ
В связи со сложностью явлений в турбинных ступенях на режимах, зна-
чительно отличающихся от расчетного, экспериментальные исследования
моделей ступеней служат пока единственным надежным источником инфор-
мации о характеристиках ступеней в области этих режимов. Ниже дан анализ
результатов некоторых опытов.
Рис. XI.5. Характеристики осевой сту-
пени реактивного типа в зависимости от
w/C0 (по опытам БИТМ)
Таблица XI.1
Номера кривых на рис. XI. 6 Модель d, мм 1, мм Ki, град Рг ropt
1 А-1 535 47 13 0,13
2 А-2 570 54 13 0,13
3 А-3 712 90 10 — 0,07
4 А-4 700 100 17 0,08
5 4-5 400 100 15 0,08
6 А-6 430 130 15 0,14
7 Р-1 457 42 21 0,3
8 Р-2 508 93 22 0,3
9 Т-1 457 42 22 0,14
10 Т-2 498 83 22 0,37
11 Т-3 498 83 16,5 0,27
Характеристики осевых ступеней. В БИТМ [3, 5] был испытан ряд
моделей ступеней, которые можно разделить на три группы: А — активного
типа, Р — реактивного типа, Т — реактивного типа, специально спроектиро-
ванные для работы в зоне малых и/С0 (табл. XI. 1).
На рис. XI.5 показаны основные характеристики модели Р при /2 = 93 мм.
К- п. д. нанесен как с использованием выходной кинетической энергии т]*,
так и без ее использования т]. Кривые для термодинамической, степени реак-
тивности у корня р, и периферии рг, а также расхода G имеют характер,
типичный для реактивных ступеней при малом числе МС1 (около 0,3) с макси-
мумом степеней реактивности и минимумом расхода вблизи оптимального ре-
жима. Кривая М = f (и/Сд) существенно отклоняется от прямой линии, что
характерно для реактивных и активных ступеней с обычными профилями.
Сравнительные характеристики для ступеней различного типа представ-
лены на рис. XI.6. Оптимальная величина (н/С0) для моделей А и Р находи-
лась в пределах 0,52—0,70. Эти ступени на расчетном режиме имели прибли-
зительно осевой выход потока. Для направляющих и рабочих лопаток мо-
делей А и Р были использованы профили, обычно применяемые в практике
турбостроительных заводов.
Модели Т-1 и Т-2 были рассчитаны исходя из условия, чтобы максималь-
ный к. и. д. получился при ulC0 = 1 и 0,9, вследствие чего входные углы
453
^Рг
0,0
в) 5
Рис. XI.6. Характеристики турбинных ступеней в зависимости
(по опытам БИТМ): а — к. п. д. iq* и вращающий момент М; б — степень
реактивности у корня рг и периферии р ; в—относительный расход G
(объяснение кривых приведено в табл. XI. 1)
ОТ
и
0,4
0,2
О
-0,2
-0,4
Л fl 10 9 8 7 в 75
/1 ,—1'- ~
г 2\ Г 1 7/ /J r-Hj
J 8 / 8 8
V У
1 , "J Pr
S'
О 0,2 0,4 0,& 0,8 1,0 1,2 х
7/(7
1,00
0,90
0,80
5 0
T 7 X ii /9 I -
_jf 8/ 1,3,5 7
О 0,2 0,4 0,0 0,8 1,0 !,2 х
рабочих лопаток получились очень большими, а их профили —малоизогну-
тыми. Применение таких ступеней возможно в многоступенчатых турбинах,
т. к. предполагается хорошее использование выходной кинетической энергии,
величина которой получается значительной из-за большой положительной
закрутки потока на выходе из ступени. Для моделей Т-1 и Т-2 характерны
малые значения коэффициента циркуляции си на расчетном режиме (ступени
малой циркуляции) и большой относительный вращающий момент при тро-
гании с места.
В ступенях малой циркуляции при низких скоростях вращения возни-
кают положительные углы атаки, достигающие 120“, которые приводят
к большим потерям энергии при обтекании лопаток. Поэтому естественно
предположить, что толщина входной кромки профиля оказывает существен-
ное влияние на характеристики таких ступеней. Модели Т-1 и Т-2 имели раз-
личный радиус входной кромки профиля рабочей лопатки — соответственно
0,7 и 7,3 мм.
Достаточно толстая входная кромка профиля рабочей лопатки позволяет
допустить значительные отрицательные углы атаки на расчетном режиме
без заметного снижения к. п. д. и уменьшить положительные углы атаки
в области малых ulCQ. Для получения экспериментальных характеристик
ступени с такими лопатками была спроектирована модель Т-3, профиль ра-
бочей лопатки которой имеет толщину входной кромки около 20 мм и более
изогнут, чем профили других моделей. В этой ступени нулевой угол атаки
при входе потока в рабочее колесо получался приблизительно на режиме
н/С0 = 0,7.
Ступени различного типа имеют сильно отличающиеся значения
(^/C0)Opt- Для сравнения их характеристик принят коэффициент х —
= (^/C0)/(^/C0)opt, который при Со = idem равен относительной скорости
вращения рабочего колеса. В качестве оптимального принят режим, соответ-
ствующий максимуму к. п. д. т)*.
Кривые к. п. д. имеют общий характер в пределах каждой из групп.
Крутизна кривых к. п. д. для активных (А) и реактивных (Р) ступеней при
х < 1 приблизительно одинакова. Для реактивных ступеней (Р) кривые ока-
зались более пологими лишь в области х > 1.
Модели Т имели различную форму профиля рабочей лопатки (рис. XI.6),
и в соответствии с этим менялся характер кривых к. п. д. Модель Т-1 обла-
дала высоким к. п. д. на расчетном режиме, но неудовлетворительно работала
в области малых х, показав в области х <0,54 более низкий к. п. д., чем
модель Р-1 (ступени Т-1 и Р-1 имеют одинаковую высоту проточной части и
близки по конструкции). Такой результат получился из-за высокой чувстви-
тельности тонкого профиля Т-1 к большим положительным углам атаки, ко-
торые были на указанных режимах в ступенях с малым коэффициентом цир-
куляции. Ступени малой циркуляции Т-2, а также Т-3 Столетов входной кром-
кой лопатки имели почти неизменную величину к. п. д. т]* в диапазоне х =
= 0,45-н1. Если в модели Т-3 допустить небольшой отрицательный угол
атаки на расчетном режиме и принять (w/C0)opt = 0,9, как и для модели Т-2,
то кривые 10 и 11 почти совпадут.
Кривые изменения относительного момента М — f (х) для ступеней А и Р
не выходят за пределы одной не слишком широкой полосы (рис. XI.6). Раз-
личныеступени этой группы в момент трогания с места развивали вели-
чину Л4гаах (2,Зн-2,8). Относительный момент М для моделей Т во всей
области 0 < х < 1 больше, чем для ступеней А и Р. Зависимость М =
= f (х) для модели Т-1 изображается прямой линией 9, тогда как все другие
ступени имеют кривые, более круто возрастающие по мере приближения х
к нулю. Это связано с чрезмерно высокими потерями в ступени Т-1 в области
малых u!Cq. Моментная характеристика модели Т-3 (кривая 11) в зоне ма-
лых х располагается выше, чем характеристики моделей А и Р, что
455
и следовало ожидать для ступени с толстой входной кромкой рабочей лопатки.
Ступень Т-2 с малым коэффициентом циркуляции на расчетном режиме имеет
самую крутую кривую М = f (х). В момент трогания с места величина 7Итах
для этой ступени составила 3,4 (кривая 10).
Кривые изменения степени реактивности у корня и периферии ступеней
и относительного расхода приведены на рис. XI. 6, б и в для МС1 0,3.
В ступенях обычного типа (модели А и Р) при х = 0 расход увеличивался
по сравнению с оптимальным режимом на 10—20%. Сильно отличаются от
этих кривых расходные характеристики моделей Т-1 и Т-2. Относительный
расход ступенью Т-1 по мере уменьшения х резко снижался, и в момент тро-
Рис. XI.7. Изменение полного давле-
ния за ступенями по высоте проточной
части при заторможенном рабочем ко-
лесе (по опытам БИТМ). Номера на
кривых соответствуют номерам моде-
лей (табл. XI. 1)
гания с места достиг величины 0,78. Ха-‘
рактер изменения расхода G=f (х) хорошо
согласуется с формой кривых степени реак-
тивности.
В ступенях реактивного типа в зоне,
где относительная скорость Wj достигает
минимума, обычно имеется экстремум кри-
вой рг = f (u!Cq) и G изменяется мало.
В ступенях активного типа монотонно
убывает с уменьшением н/С0 и при и = 0
отрицательная степень реактивности может
достигать большой величины (в опытах рг
снижалась до — 0,4). Сильный диффузор-
ный эффект может вызывать отрыв потока
в корневой области. Расход газа в области
малых u/Cq значительно возрастает.
При существенном изменении расхода
вблизи (iz/C0)oPt обнаруживается его влия-
ние на положение вершины кривой к. п. д.
т|, подсчитанного в предположении потери
выходной кинетической энергии. Это объяс-
няется тем, что минимум выходной потери
здесь не совпадает с осевым выходом по-
тока из ступени. Такие отклонения можно
встретить в ступенях активного типа, но они обычно невелики.
За рабочими колесами нескольких моделей было выполнено траверсиро-
вание потока. Замеры производились на расстоянии 4 мм от выходных кро-
мок лопаток в нескольких сечениях по шагу и высоте (у — уЦ). Кривые из-
менения полного давления отнесенного к его среднему значению вдоль
высоты проточной части, представлены на рис. Х1.7. Результаты траверсиро-
ванпя обнаружили большие потери энергии и сильную неравномерность по-
тока по всей высоте лопатки. Особенно большими были потери у корня и
периферии ступени. Для моделей А характерны местные провалы на эпюре
полного давления в области, значительно удаленной от концов лопаток, что
вызвано влиянием развитых вторичных концевых течений. Эпюра полного
давления за рабочим колесом модели Т-2 показала, что нижняя часть лопатки
обтекается значительно лучше, чем периферийная, где углы атаки достигают
максимальной величины. Кривые изменения полного давления для ступеней
Р-1 и Т-1 с относительно короткими лопатками имеют наибольшую степень
неравномерности.
Осредненный коэффициент скорости ф при неподвижном колесе для боль-
шинства испытанных ступеней по результатам траверсирования составлял
около 0,7; для модели Т-1 было получено ф 0,5. Таким образом, потери
в остановленном рабочем колесе очень велики.
Полученные в опытах значения Л4тах для реактивных ступеней мало от-
личались от рассчитанных по формуле (XI.5). Например, для ступени Р-2
456
опытом получено Л4тах 2,5. Для условий опыта при и = 0 имеем cUo =
= 1,025 и G = 1,103, чему соответствует по формуле (XI.5) 7Ип]ах = 2,42-
Если же ввести поправку на сжимаемость по кривой на рис. XI.4 (kc 1,02),
то совпадение опытной цифры
с расчетной вполне удовлет-
ворительное. Для ступеней
активного типа расхождение
получалось более значитель-
ным, причем опытные цифры
превышают расчетные.
Влияние числа М
сильно сказывается на расход-
ной характеристике G=f(u!C^.
С увеличением 7ИС1 расход в мень-
шей степени зависит от и!С^
а при 1 остается неизмен-
ным. Поэтому в турбинах, рабо-
тающих в области МС1>0,7-г-0,8,
нельзя ожидать при постоян-
ных начальных параметрах су-
щественных изменений расхода
G=f (и/Сq) и соответствующего
влияния этой величины на мо-
мент М.
В связи с этим представляют
интерес испытания на Коломен-
ском машиностроительном заво-
де [41 для определения тяговой
характеристики ступеней в ши-
роком диапазоне чисел М.
В этих опытах осевая ступень
имела средний диаметр 270 мм
при высоте проточной части
40мм. Угол а, = 12° 30'. Средняя
величина входного угла |31Л
60е и выходного угла |32 =
= 21° 30'. Испытания проводи-
лись на воздухе, подогретом до
423 К. Отношение давлений о
изменялось от 1,2 до 2,8, а ха-
рактеристическое число и/Со —
от 0 до 0,9.
Степени реактивности на
среднем диаметре рассчитыва-
лись по измеренным ее значе-
ниям у корня и периферии
исходя из предположения, что
поток закручен по закону с1игп =
= const (см. п. V.4). При этом
сначала определялся показа-
тель и, а затем-—степень реак-
тивности рг.
На рис. XI.8 представлены
экспериментальные зависимости
Рис. XI.8. Изменение степени реактивности (а)
приведенного расхода (б) и приведенного момента
(в) в зависимости от u/CG при различных отноше-
ниях давлений с = Р^/Ръ (о — осевая ступень;
степени реактивности, приведен-
X — радиальная ступень)
457
ного расхода Gl То/ро и приведенного момента М/р^ в зависимости от и/С0
при различных отношениях давлений о. Для осевых ступеней, как и в опы-
тах БИТМ, кривые моментов имеют прогиб в сторону оси абсцисс. С повы-
шением отношения давлений о моментная характеристика приближается
к линеинои. Это объясняется, как указывалось, характером изменения сте-
пени реактивности (рис. XI.8,а) и соответствующим ей массовым расходом
(рис. XI.8, б), которые по мере повышения о меньше изменяются в зависи-
мости от окружной скорости (о = const). При сг = 1,2-т-1,5 степень реактив-
ности значительно падает с уменьшением и!Сп, с чем связано повышение
массового расхода. При сг > 2 степень реактивности и массовый расход изме-
Рис. XI.9. Коэффициент холостого вра-
щения kx турбинных ступеней при раз-
личных углах выхода потока:
1 — = 6°; I = 32 мм;
2 — сч — 12°; / = 32 мм;
3 — at = 18°; I = 32 мм;
4 — «1 — 12°; I = 14 мм;
5 — (Zj = 12°; I = 20 мм;
6 — <х1 = 12°; Z = 52 мм
няются значительно слабее, чем в области
малых о, а вместе с тем и характери-
стика приближается к линейной.
Коэффициент скорости ф в рабочем
колесе снижается от 0,92—0,94 на номи-
нальном режиме до 0,6—0,7 в останов-
ленном колесе, а доля потерь в рабочем
колесе этой ступени возрастала соответ-
ственно от 5 до 46—56%. При этом
выходная кинетическая энергия потока
увеличивалась от —3—6% (осевой вы-
ход) до 34—45%.
Таким образом, опыт подтверждает,
что на характеристику G=f (и!С0) силь-
ное влияние оказывает число М. По-
этому при использовании результатов
опытов на моделях, проводившихся при
числах М, значительно отличавшихся
от натурных, необходимо вносить кор-
рективы в величину относительного
расхода G.
Характеристики радиально-осевой
ступени центростремительного типа.
Они имеют важные особенности, которые
могут быть полностью выявлены лишь
экспериментальным путем. Поэтому большой интерес представляют сравни-
тельные опыты Коломенского тепловозостроительного завода для радиальных
и осевых ступеней в широком диапазоне окружных скоростей и характери-
стических чисел и/С0 (рис. XI.8). В этих опытах осевая ступень имела только
что рассмотренные характеристики, а радиально-осевая центростремитель-
ная ступень — углы аг 20°, Рг= 38° и диаметры dx = 400 мм, d2 =
= 224 мм.
В зоне и/С0 --- 0<-0,4 вращающий момент радиальной ступени мало
изменялся. В этой области также почти не менялись степень реактивности
и расход. Такие характеристики ступени объясняются очень высокими
потерями энергии в рабочем колесе и большим его сопротивлением в области
малых и:С0.
Для испытанной ступени при оптимальном режиме (п/С0^ 0,75) коэф-
фициент скорости ф 0,81 <-0,83, а для остановленного колеса фи=о 0,35-н
<-0,45, что значительно меньше этого коэффициента для осевой ступени.
При этом в общем балансе потерь их доля в рабочем колесе возрастает от 5%
до 75—80%. Выходная кинетическая энергия на пусковом режиме составляет
всего лишь 12—17% от располагаемого перепада энтальпий, т. е. значи-
тельно меньше, чем в осевой турбине. Это объясняется тем, что и на расчет-
ном режиме за колесом радиальной турбины выходная скорость wa значи-
тельно меньше, чем для осевой ступени. Для радиальной ступени выходной
458
момент количества движения сравнительно невелик. Вращающий же момент,
получаемый за счет кориолисовых сил на остановленном рабочем колесе,
пропадает.
Рис. XI.8 позволяет сравнить экспериментальные величины степени
реактивности осевой и радиальной ступеней на пусковом режиме при раз-
личном отношении давлений о. С ростом о для ступеней того и другого типа
степень реактивности повышается, что следует из рис. XI.3 с учетом не-
которого увеличения угла р2 и повышения фи==0 (при этом снижается
параметр f). Степень реактивности для радиальной ступени в широкой обла-
сти и/С0 — 04-0,45 сохранялась почти постоянной (при о = const), тогда
как для осевой ступени она всюду существенно снижалась, за исключением
лишь небольшой области очень малых и!С$ и одновременно больших о.
Заметим, что постоянство степени реактивности в радиальной турбине
в области малых u/CG наблюдается, несмотря на снижение кориолисовых
сил, что подтверждает большой рост сопротивления рабочего колеса на этих
режимах.
В испытанной радиальной ступени расход газа при остановленном колесе
существенно возрастал по сравнению с номинальным, но это увеличение
расхода было сосредоточено в области больших п;С0, где потери в рабочем
колесе еще не столь велики и степень реактивности еще существенно падает
(рис. XI.8, а и б).
В связи с большими потерями в остановленном радиальном колесе при
выходе из него температура значительно повышается и плотность рабочего
тела сильно снижается по сравнению с расчетной. При этом поправочный
множитель в формуле (XI.И) достигает сравнительно большой величины
(ko = 1,054-1,06).
В сравниваемых ступенях максимальный к. п. д. для осевой ступени
получался при ц/Со^О,6, а для радиальной — при tz/Co^0,75. Номи-
нальные пусковые моменты были приняты для этих значений характеристи-
ческого числа. Пусковые моменты, отнесенные к указанным номинальным
их величинам, для радиальной ступени были значительно меньше, чем для
осевой. В области о = 1,64-2,4 вращающий момент радиальной ступени
Л1^=о = 1,82—1,8, а для соответствующей осевой ступени Ма=о — 2,15—
—2,0. У радиальной ступени этот момент меньше зависит от степени пони-
жения давления о, чем у осевой. Это объясняется существенным уменьше-
нием срывных явлений и потерь в остановленном радиальном колесе с воз-
растанием числа М.
Основная причина пониженного пускового момента радиально-осевой
центростремительной ступени по сравнению с осевой — резкое повышение
потерь в радиальном колесе при больших положительных углах атаки и
исчезновение кориолисовых сил, играющих важную роль в создании вра-
щающего момента на оптимальном режиме.
XI.5. ХАРАКТЕРИСТИКИ СТУПЕНЕЙ В ОБЛАСТИ БОЛЬШИХ и/С0
Ступени тепловых турбин на особых режимах работают в области харак-
теристических чисел, значительно больших оптимальных (область малой
циркуляции). В таких условиях, например, оказываются ступени «малых
ходов» судовых паровых турбин. Эти ступени располагаются между регули-
ровочным колесом и ступенями полного хода в части высокого давления.
В нормальных условиях они работают лишь при небольшой скорости корабля,
причем перепад энтальпий на ступени малых ходов может достигать 40—
50% от общей его величины. На полном же ходу пар обходит эти ступени,
и они передают валу лишь очень малую мощность или даже заимствуют ее
от вала (режим торможения).
В режимах малой циркуляции работают также ступени локомотивных
и других транспортных турбин при большой частоте вращения.
459
В той же области больших w/C0 работают некоторые ступени турбин
с отборами пара при малых его расходах. Например, в зимнее время при
больших отборах пара для целей теплофикации через часть низкого давления
протекает лишь небольшое количество пара. При этом на последние ступени
этой части приходится настолько малый перепад энтальпии, что они могут
оказаться в режиме холостого вращения или даже в режиме торможения.
В таких же неблагоприятных условиях оказываются последние ступени
конденсационных турбин при относительно малых нагрузках и, тем более,
на холостом ходу турбины. При этом объемный расход пара оказывается
значительно меньше, чем требуется для холостого вращения ступени, и она
попадает в режим торможения, вращаясь за счет мощности других ступеней,
работающих на общий с нею вал.
Режимы торможения. С увеличением скорости вращения при неизменном
перепаде энтальпий каждая ступень достигает границы режимов торможе-
ния, когда она перестает развивать мощность (точка А на рис. XI.5). Если бы
были лишь потери энергии, учитываемые формулой Эйлера, то этот режим
наступал бы при разгонной окружной скорости их, определяемой из уравне-
ния (XI.3),
Си,,, — dcillo — d2[^ — «ц') = О
\ и /
или
tlx —
С1щ ~~ dc2u0 ।
I 1 Ы1°
(XI.12)
В действительности из-за протечек, трения диска и бандажа и прочих
дополнительных потерь граница торможения наступает при окружной ско-
рости, несколько меньшей, чем найденная по последней формуле. Кроме
того, при переходе к этому крайнему режиму могут существенно сказываться
изменения плотностей в проточной части из-за перераспределения перепада
энтальпий между направляющим аппаратом и рабочим колесом, что должно
учитываться поправкой, рассмотренной в предыдущем параграфе.
За точкой А ступень работает в режиме торможения с постепенно нара-
стающей отрицательной мощностью, отбираемой от вала. Второй характер-
ной точкой в этой области будем считать точку В (рис. XI.5), в которой
ступень потребляет мощность, равную затрачиваемой на холостое вращение
при нулевом расходе рабочего тела. На режимах между точками А и В
выгодно не прекращать доступ рабочего тела к ступени, так как при этом
проток рабочего тела несколько снижает затрату энергии на вращение колеса.
Коэффициент холостого вращения. На практике часто ставится задача
определения оптимального расхода рабочего тела ступенью в области режи-
мов торможения при заданной скорости вращения, т. е. определения такого
расхода и соответствующего ему перепада энтальпий, при которых полу-
чаются наименьшие потери энергии. Относительное уменьшение потерь за
счет небольшого расхода рабочего тела по сравнению с затратой энергии
на холостое вращение будем характеризовать коэффициентом холостого
вращения
kx = ^, (XI. 13)
х
где Ahx — удельная работа, на которую уменьшается потеря холостого
вращения под влиянием протекающего рабочего тела; h0 — перепад энталь-
пий на ступень.
Коэффициент kx имеет максимальное значение на границе области тор-
можения в точке А, где к. п. д. равен нулю, и монотонно изменяется до нуля
в точке В, в которой ступень начинает потреблять мощность больше, чем
при холостом вращении (А1гх <0).
460
В качестве примера на рис. XI.9 даны кривые изменения коэффициента
холостого вращения в зависимости от u/CQ по опытам В. Д. Пшеничного
и Е. Г. Харламова [10] применительно к ступеням активного типа. Сильное
влияние высоты лопатки наблюдалось в области и!С^^> 1,5. Опыты пока-
зали, что при u/Cq =- 1 ступень еще развивает полезную мощность. При
этом режиме коэффициент холостого вращения kx = 0,2-н0?5. Он стано-
вился равным нулю при и/С0 =- 1,1ч-1,4.
В области больших и!С^ быстро нарастают отрицательные углы атаки,
особенно при малых углах аг. Это сопровождается быстрым ростом степени
реактивности и, следовательно, уменьшением коэффициента расхода ступени.
В области изменения и/С0 от его оптимального значения до ~ 1,5 отрицатель-
ный угол атаки возрастает до величины 130—140:. При таких углах атаки
сопротивление колеса стано-
вится значительным, сильно
возрастает степень реактив-
ности и снижается коэффи-
циент расхода р,, отнесенный
к общему перепаду энтальпий
на ступень (рис. ХЕЮ).
В опытах термодинамическая
степень реактивности возра-
стала до 60—70%, а коэффи-
циент расхода уменьшался
в соответствии с этим ростом
степени реактивности.
Режимы торможения сту-
пеней с относительно длин-
ными лопатками. Перепады
энтальпий на последних сту-
пенях турбин могут сильно
изменяться в зависимости от
Рис. XI. 10. Изменение средней термодинамической
степени реактивности р7- и коэффициента расхода сту-
пени р в области больших и/С$. Высота лопатки
/ = 32 мм:
г- ; . — сх, =- 12°; 18
режима работы. В частности, в многоступенчатых паровых турбинах, рабо-
тающих при постоянной скорости вращения, при малых расходах пара
или при повышении противодавления перепад энтальпий на последнюю
ступень становится очень малым, а отношений ц/С0 -— очень большим.
В этих условиях ступень оказывается в режиме торможения. В ступенях
большой веерности при работе в режимах торможения, а во многих случаях
и значительно раньше, возникают сильные срывные явления, которые
могут приводить к опасным последствиям.
В качестве примера рассмотрим условия работы на холостом ходу тур-
бины ступени, имевшей отношение dt = 2,4. Холостому ходу единичной
ступени в условиях экспериментального стенда соответствовал расход пара
около 30% от номинального, т. е. значительно больший натурного. Опыты
проводились на перегретом паре [7].
На рис. XI. 11 приведено распределение газодинамических параметров
за рабочим колесом для режимов холостого хода единичной ступени и при
номинальной работе. Сопоставление результатов траверсирования показы-
вает, что эпюры полного давления при холостом вращении и при нормальной
работе сильно отличаются, тогда как при нормальной работе изменение
полного давления по высоте сравнительно невелико; при холостом вращении
наблюдалось резкое повышение полных давлений и динамических напоров
в периферийной области. Практически все количество пара проходило через
ступень в верхней половине рабочего колеса. Соответственно уменьшился
угол а2 от 80° на номинальном режиме до 38э на холостом ходу. Угол р2
изменился на среднем диаметре от 143 до 167 , а у периферии от 154 до 144 '.
Отклонение угла р2 свидетельствует о коренном изменении характера
обтекания рабочих лопаток. В корневом сечении возникают сильные
461
срывные явления. Распределение пространственного угла у по высоте под-
тверждает, что линии тока были сильно искривлены и поток круто отклонялся
к периферии. Степень реактивности в корневой области составляла pj. <=>
яа —0,5, а у периферии р/ «==< 0,25 (при расчетном режиме р^ = 0,07 и pj.'
0,69). Большая отрицательная степень реактивности у корня связана со
срывом потока в этой области. При измерении газодинамических параметров
в корневой области (до / = 140 мм) зонд практически нельзя было ориенти-
ровать по потоку, в связи с чем в этой области изменение параметров не пока-
зано.
Сравнение треугольников скоростей на исследованных режимах по дан-
ным испытаний показывает, что угол атаки достигает 54°. Очевидно, в кор-
невой области его значения еще больше. Снималось также распределение
Рис. XI. 11. Изменение параметров пара по высоте проточной части за рабочим колесом на
режиме холостого хода: а — давление в потоке; б — расходная составляющая скорости;
в — угол потока <7.2 за рабочим колесом; г — угол потока у (между вектором са и радиусом):
1 — режим 2 — номинальный режим
давления по профилю направляющих лопаток на режимах холостого хода
и номинальном. На режиме холостого хода в среднем сечении наблюдалось
некоторое изменение характера обтекания на выпуклой стороне профиля.
Вследствие дозвукового течения пара в этом сечении происходило плавное
его расширение. В корневом сечении характер обтекания направляющих
лопаток на режиме холостого хода мало отличался от номинального. Анализ
распределения давления по профилю направляющих лопаток показывает,
что на режиме холостого хода в исследованных трех сечениях направля-
ющего аппарата срывных явлений не было.
Таким образом, при расходах, составляющих —30% от объемного рас-
хода номинального режима, в рабочем колесе модели последней ступени
возникают срывные явления в корневой области рабочих лопаток. В натур-
ных условиях количество пара, протекающее через последнюю ступень
в условиях ухудшенного вакуума, составляет всего лишь 4% от номиналь-
ного объемного расхода. При этих условиях ступень находится в глубоком
режиме торможения. Поэтому отклонение потока к периферии, наблюдав-
шееся в экспериментальной турбине, будет выражено более резко на холо-
стом ходу натурной турбины. На этом режиме в натурной турбине срывными
явлениями охватывается по высоте большая часть рабочих лопаток.
В корневой области обратные потоки при работе турбины на влажном
паре вносят капли в колесо, что является причиной эрозии выходных кро-
мок рабочих лопаток. Такие явления наблюдались во время эксплуатации
многих турбин. Во время опытов пульсации потока затрудняли измерение
газодинамических параметров.
462
При проектировании ступеней с относительно длинными лопатками,
временами работающих в области больших til С и на режимах торможения,
необходимо считаться с возможными сильными срывами потока в корневой
области и с пульсациями потока. Такие срывы потока могут возникать при
расходах, значительно превышающих расход холостого хода ступени. Повы-
шение степени реактивности в корневой зоне может существенно улучшить
работу ступени в области больших и, Со.
XI.6. РАСХОДНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МНОГОСТУПЕНЧАТЫХ ТУРБИН
Рассмотрим важнейшие для практики условия работы турбинных сту-
пеней при изменении начальных и конечных параметров рабочего тела.
Задача определения расхода турбиной рабочего тела при изменении его
параметров была поставлена и решена словацким ученым Аурелем Стодолой,
который установил ряд важных закономерностей, известных под названием
конуса расходов газа. Позднее этому вопросу был посвящен ряд исследова-
ний |1, 11, 15 и др. ].
Рассмотрим группу последовательно расположенных сопел при различ-
ных условиях течения. Будем различать два случая: дозвуковое течение
по всей проточной части или сверхзвуковое течение в первом сопле при любом
течении в последующих соплах. Если в проточной части сверхзвуковая
скорость устанавливается в одном из промежуточных сопел, то будем делить
такую последовательность сопел на две группы, первая из которых — дозву-
ковая, а в начале второй находится сверхзвуковое сопло. В дальнейшем
будем говорить о течении газа, подразумевая также перегретый пар, в той
области, где он обладает свойствами, близкими к газу.
Сверхзвуковая скорость газа в первом сопле группы. При этом массовый
расход определяется по формуле
(XI. 14)
где % — коэффициент, определяемый по формуле (11.74'); f — наименьшее
живое сечение сопла; и pj — соответственно давление и плотность рабочего
тела перед соплом.
Здесь перед группой сопел следует брать полные параметры рабочего
тела (отмечаются цифрой I).
Выпишем уравнение (XI. 14) для определенных значений параметров газа
Рю, Рю и расхода Go, которые условимся называть расчетными, а также для
какого-либо другого режима течения, при котором будут параметры р1? Р!
и расход G. Предположим, что живое сечение сопла при всех режимах
остается постоянным. При этом условии связь между относительным расхо-
дом газа и его начальными параметрами может быть выражена урав-
нением
(XI.15)
Для совершенного газа то же уравнение можно записать в виде
(XI.15')
Здесь 7\ — начальная абсолютная температура газа, а индексы нуль,
как и всюду дальше, поставлены при величинах, относящихся к расчетному
режиму; величины, не имеющие этого индекса, относятся к исследуемым
режимам, отличным от расчетного.
В уравнении (XI. 15) сокращена площадь f, поэтому подчеркнем, что дан-
ная формула справедлива лишь в том случае, когда геометрические размеры
рассматриваемой проточной части остаются неизменными для всех режимов.
463
Коэффициент х в формуле (XI. 15) существенно изменится в случае, если
изменение температуры достаточно велико. Например, для средней темпера-
туры расширения воздуха Т = 470 К показатель изоэнтропы k = 1,39 и
соответствующее значение % = 2,14, а для Т = 1200К получается k = 1,33
и Хо = 2,10. При этом отношение уУ/о = 1,02, т. е. расход газа вследствие
изменения коэффициента % изменился на 2%.
В силу этих соображений в расчетах по формуле (XI. 15) обычно прене-
брегают изменением коэффициента у, а тогда эта формула приобретает еще
более простой вид
G Pi
Go ~ Р1о
Т,
1О
Ti
(XI.16)
Поскольку было предположено, что скорость газа в выходном сечении
рассматриваемого сопла превосходит скорость звука, то на параметры газа
в узком сечении сопла все последующие сопла влияния не оказывают, и
расход газа всей последовательностью сопел зависит только от начальных
его параметров.
В наших рассуждениях ничто не изменится, если за соплами будут поме-
щены рабочие колеса турбины, преобразующие кинетическую энергию газа
или пара в механическую работу на валу турбины. До тех пор пока скорость
рабочего тела в выходном сечении первого сопла рассматриваемой группы
ступеней превышает местную скорость звука, расход газа будет зависеть
только от начального его состояния.
Таким образом, если в какой-либо ступени проточной части турбины
скорость газа превышает скорость звука, то расход газа для этой ступени
и всей последующей группы ступеней изменяется прямо пропорционально
начальному давлению и обратно пропорционально корню квадратному из
отношения абсолютных температур.
Дозвуковая скорость газа во всех соплах. Предположим, что число после-
довательно расположенных сопел настолько велико и перепад давления в каж-
дом из них настолько мал, что сжимаемостью газа в пределах одного сопла
позволительно пренебречь. Тогда расход можно вычислять по обычной фор-
муле гидравлики
G = pfV2p(p'-p), (XI. 17)
где р. — коэффициент расхода; f — живое сечение; р' — давление перед
соплом; р — давление за ним; р — плотность.
Если этой формулой пользоваться как приближенной для сжимаемой
жидкости, то плотность следует брать для среднего давления.
В пределах расширения в одном сопле мы условились считать плотность
постоянной, при переходе же к последующим соплам предположим, что р
1
изменяется в соответствии с уравнением политропы р = = С±рп , где Сл --
_ i
= PiPi " — постоянная величина, a pY и pj — давление и плотность газа
в начале расширения. Подставив это выражение р в уравнение (XI. 17) и
обозначив р' — р = Ар, получим
Ср~Ар=-^.
_ 1
где С — CiP2 = p2pjpi п .
Выпишем последнее уравнение расхода применительно к каждому из
сопел рассматриваемой группы для заданного расхода G, а затем просумми-
464
руем по частям эти уравнения. Тогда в правой части нового уравнения будет
стоять сумма членов
£(i+i+-+i)=£*- <XL18)
где индексы 1,2, . . z— означают порядковый номер сопла, а Ф —
сумму членов, заключенных в скобки. Если принять, что Ф = 1//1, то вели-
чина fs получит смысл живого сечения эквивалентного сопла, которым
можно заменить всю группу рассматриваемых сопел. Таким образом, задача
сводится к определению расхода через это условное сопло.
С целью упрощения вывода увеличим число сопел z до бесконечности и
обозначим перепад давления в каждом из них через dp. Так как тепловые
перепады в каждом сопле предполагаются бесконечно малыми, то живые
сечения сопел получат бесконечно большие размеры, а величины I//2 станут
бесконечно малыми. Поэтому, заменив Ар на —dp, в правой части уравнения
аналогичного (XL18) вместо l/fl запишем йФ, т. е исследуем уравнение
1
--Cpr dp = -^d®. (XI.19)
Проинтегрировав уравнение' (XI. 19) в пределах изменения давления
от pi до рц, получим
(XI.20)
где величина ф имеет такой же физический смысл, как и в равенстве (XI. 18).
Из уравнения (XI.20) можно получить формулу для определения массового
расхода газа рассматриваемой последовательностью сопел
Рассмотрим частный случай, когда все сопла имеют одинаковые живые
сечения и процесс протекает изотермически (и = 1), что часто имеет место
в лабиринтовых уплотнениях.
В этом случае
И
— 4- ... -|—L = ф
П ‘ f2, fl f2
Подставив в уравнение (XI.21) вместо Ф последнее его выражение, полу-
чим известную формулу Стодолы для лабиринтового уплотнения
G = ~. (XI.22)
V ?Pi
Выпишем уравнение (XI.21) один раз для любого расхода G, а второй
раз — для определенного расхода Go, который условимся по-прежнему
называть расчетным, и поделим первое из этих уравнений на второе. Так как
30 И. И. Кириллов 465
величина Ф сохраняется постоянной и коэффициент расхода приближенно
можно принять одинаковым, то после деления получим
(XI.23)
где индексами 0 отмечены параметры, относящиеся к расчетному режиму,
и Ф = Ф0, так как живые сечения сопел не меняются.
Если показатель политропы мало отклоняется от его значения и0 при
рассматриваемых режимах течения, то уравнение (XI.23) можно записать
так:
(XI. 24)
Для адиабатного процесса расширения воздуха с трением показатель
политропы в зависимости от потерь энергии может изменяться от 1,4 до 1,
(последний показатель получается, например, в лабиринтовых уплотнениях
или на пусковом режиме). При сравнительно малых отношениях pjpu
влияние изменения показателя политропы слабо сказывается на расходе
рабочего тела. Поэтому на практике очень часто для процессов расширения
полагают п 1, а тогда формула (XI.24) получает вид
1 / (Х1.25)
G° Г ИРц У Ри~Рив
Для совершенного газа можно воспользоваться уравнением Клапейрона
и переписать последнее выражение в другой форме
<XL26>
Эта формула непосредственно вытекает из уравнения (XI.22), относя-
щегося к частному случаю течения газа, рассмотренному Стодолой.
Формула (XI.25) пригодна для конечного числа сопел, при этом число
их z может быть невелико. Этот же вывод можно распространить и на фор-
мулу (XI.22). При малом числе сопел главная погрешность происходи! оттого,
что плотности газа в формулах истечения берутся не осредненные, а по на-
чальному состоянию газа перед ступенью. Чтобы это доказать, рассмотрим
только одно сопло и воспользуемся формулой (XI. 17), подставив в нее р' =-
= pi и р = рп. При этом выражению (XI. 17) путем умножения и деления
подкоренной величины на среднее давление рс = (р^-г рц)/2 можно при-
дать вид
466
Подставив рс/р =^ RTC, получим для относительного изменения расхода
газа формулу
_G _ 1/Tfo 1 /
G0 V Тс Г
Это уравнение отличается от формулы (XI.26) только тем, что в послед-
ней вместо отношения средних температур стоит отношение начальных тем-
ператур. Возникающая от такой замены температур погрешность невелика
для небольшого перепада давления, при котором расчет можно вести без
учета сжимаемости жидкости. Таким образом, на практике для приближен-
ных вычислений формулу (XI.26) можно использовать для небольшой группы
ступеней и даже для одной ступени, введя в последнем случае средние тем-
пературы. При большом перепаде энтальпий и малом числе ступеней, фор-
мула (XI.26) дает лишь грубое приближение.
Отклонение параметров рабочего тела сказывается на величине относи-
тельного расхода. Для исследования этого влияния воспользуемся разло-
жением функции (XI.26) в степенной ряд.
Начальное давление изменим на малую величину Apj, предположив при
этом 1\ = Т]п и рп = рц и найдем
д
\G0 ) dpi
Дифференцируя выражение (XI.26), получим
а(б?) Р'о
Поэтому
-ff- = -2 (XI.27)
G° Pl-Иц
Гели противодавление мало по сравнению с начальным давлением, то
относительное изменение расхода равно относительному изменению началь-
ного давления. К такому же выводу придем в том случае, если отношение
давлений в первой ступени меньше критического.
Противодавлению дадим небольшое приращение А/?ц, предположив при
этом 7\ = Т1о и pi = = р10.
Тогда
AG д
“G? - дРп ЛРп>
а так как
д (g?) = Рпо
дрп р2 — р2
то
— ___р.и" ^PIL (XI 28)
G° Pi„-Pile
Сравнивая выражения (XI.27) и (XI.28), видим, что относительное откло-
нение противодавления вызывает в (р^/рцД2 раз меньше, по абсолютной
величине, изменение относительного расхода, чем такое же относительное
отклонение начального давления
30* 467
Начальную температуру Т\ изменим на малую величину ATj при постоян-
ных /j] и рп. Тогда изменение расхода определится из уравнения
Так как
ал 2Т1О ’
AG _ 1 АТ,
“ёо ~
то
(XI.29)
Таким образом, небольшое относительное отклонение начальной темпе-
ратуры сказывается на расходе в два раза слабее, чем такое же относительное
отклонение начального давления при малом ри, и оно вызывает противо-
положное по знаку изменение расхода.
Распределение перепада энтальпий между соплами можно исследовать
с помощью формулы (XI.26). Если начальное давление и противодавление
изменяются таким образом, что отношение pn'pj сохраняется постоянным
(например, в установках, работающих по замкнутому циклу) и начальная
температура при этом не меняется, то остается постоянным и общий перепад
энтальпий. Расход при этом изменяется пропорционально начальному дав-
лению рх. Процесс сдвигается в другую область давлений, но все соотноше-
ния в изменениях давлений и плотностей газа сохраняются прежними.
Поэтому соблюдается кинематическое подобие движущихся потоков и сохра-
няется распределение тепловых перепадов по соплам. При этом отклонения
числа Re не имеют значения, если изменения в потоке не выходят из области
условной автомодельност!!?’
Если отношение рп1р^ меняется, то при постоянной начальной темпера-
туре это означает изменение общего перепада энтальпий. Скорость газа
в конце расширения изменяется, причем аналогично расширению в единич-
ном сопле наибольшие отклонения по величине кинетической энергии про-
исходят в конце расширения, т. е. в последнем сопле рассматриваемой си-
стемы
Таким образом, при отклонении как начального давления, так и противо-
давления, связанных с изменением перепада энтальпии, последний изме-
няется главным образом в конечном сопле, и чем дальше сопло удалено от
камеры противодавления, тем меньше влияние оказывают изменения этих
параметров на скорости истечения.
Группа ступеней газовой турбины. Все приведенные выше рассуждения
относились к группе последовательно расположенных сопел, причем пред-
полагалось, что состояние рабочего тела перед соплами изменяется по поли-
тропному закону. Все соображения сохраняют силу, если вместо того,
чтобы отводить тепло, в промежутки между соплами установить рабочие
колеса, которые будут частично поглощать работу расширения рабочего
тела, и таким путем будет осуществляться его политропное расширение.
Различие между группами турбинных ступеней и сопел заключается
в том, что в группе ступеней при переходе от одного режима к другому
изменяется степень реактивности, а это равносильно изменению живого
сечения сопла, которым условно заменяется рабочее колесо. В группе сту-
пеней в зависимости от режима происходят также некоторые изменения коэф-
фициентов расхода и потерь энергии. Обычно влиянием этих изменений
можно пренебрегать. При этом условии все уравнения, полученные для
рассмотренной выше идеализированной схемы сопел, остаются достаточно
точными также для группы турбинных ступеней. Опыт подтверждает этот
вывод применительно к многоступенчатым газовым турбинам.
468
При необходимости уточнить расчеты отклонения от формулы Стодолы,
которые получаются при некоторых режимах под влиянием вращающихся
рабочих колес, можно учесть на основании теоретических и опытных иссле-
дований, изложенных в п. XI.2.
Часто приходится определять давление перед какой-либо группой сту-
пеней при заданном расходе газа. В этом случае формулу (XI.26) удобно
записать так:
(XI.30)
Если начальная температура остается приблизительно постоянной,
т. е. Л ~ то последняя формула может быть записана в более простом
виде
2 2
Pl=Pn
(XI.31)
Это уравнение представляет собой поверхность конуса. Из выражения
(XI.31) при pj = = р10 = const получим уравнение эллипса [АВ на рис. XI.12)
(XI.32)
при ри =^piIo—const — уравнение гипер-
болы
^i; (XI.33)
при G = Go = const — уравнение равно-
бочной гиперболы
pl—Рп = р1 — Рпе- (XI, 34)
Рис. XI. 12. Изменение расхода и дав-
ления в многоступенчатой турбине
Если скорость в первом сопле группы сверхкритическая, то изменение
противодавления не сказывается на расходе газа и соответствующие участки
на кривых G — f (ри) и pY = f (рп) изображаются линиями, параллельными
оси рц (отрезки ВК и BF на рис. XI.12).
Конус расходов рабочего тела показан на рис. XI. 13. По трем взаимно
перпендикулярным осям отложены G, pj и рц. Если поверхность конуса
пересечь плоскостью, перпендикулярной оси рь проходящей на расстоянии р10
от начала координат, то получим эллипс АЕВ [уравнение (XI.32)], показы-
вающий изменение расхода при различном противодавлении. В точке В,
отмечающей появление критической скорости, изменение противодавления
не влияет на расход, и поверхность конуса переходит в плоскость, перпенди-
кулярную координатной плоскости СрР
Если поверхность конуса пересечь плоскостью, перпендикулярной оси рп,
проходящей на расстоянии рп от начала координат, то получим гиперболу DE
[уравнение (XI.33)1, определяющую изменение расхода газа при различ-
ном начальном давлении В области, где начальное давление по своей
величине приближается к противодавлению, сильно изменяется расход
газа в зависимости от начального давления (кривая DE, приближаясь к пло-
скости piPui круто загибается). При низком противодавлении почти вся
ветвь гиперболы D”E\ за исключением небольшого участка у ее вершины,
хорошо совпадает с прямой линией, а при высоком противодавлении (кри-
вая D'£') гипербола значительно отклоняется от прямой линии во всем
Д1 апазоне изменения pv
Если пересечь поверхность конуса плоскостями, перпендикулярными
оси G, то получим гиперболы [уравнение (XI.34)1. У вершин этих гипербол
469
(кривая FH) сильное изменение противодавления вызывает малое изменение
начального давления.
В случае низкого противодавления, когда отношения рп!рх и рц0/Рю
близки к нулю, уравнение (XI.26) примет вид
(XI. 35)
Если при этом можно положить Г] = Т1о, то расход газа изменяется
прямо пропорционально начальному давлению. В последнем случае остается
неизменным объемный расход Q. Действительно, выполнение уравнений
Рис. XI. 13. Конус расходов газа
при этом скорость вращения ротора
G/Go = Pi/pio и pj/pi const приво-
дит к условию
G Pi0 = Q = РтРц
Go Pi Qo Pi0Pi
а следовательно, Q — Qo.
Мощность турбины при различ-
ных параметрах газа перед ней ме-
няется под влиянием изменения рас-
хода и перепада энтальпий. В частном
случае, когда остается постоянным
давление перед турбиной и меняется
только начальная температура 7\,
перепады энтальпий в ступенях изме-
няются пропорционально Д, а ско-
рости— пропорционально ]/” 7\. Если
няется пропорционально ]/ 7\, т. е.
величина -7= = idem, то получается также tz/C0 = idemH обычно можно
J Т1
считать т] idem. В этих условиях удельная работа изменяется пропорцио-
нально Г1} а по формуле (XI.35) расход обратно пропорционален ]/ Д ,
в результате чего мощность турбины изменяется пропорционально ]/ 7\ .
Здесь еще раз отметим, что изложенные выводы были сделаны в предпо-
ложении неизменных живых сечений в каждой ступени рассматриваемой
группы. Поэтому выведенными формулами нельзя, например, пользоваться,
если в рассматриваемую группу входит ступень, сечение сопел которой
каким-либо образом изменяется в зависимости от режима, или если между
ступенями данной группы газ отводится из турбины в какой-либо тепло-
обменный аппарат или для других целей, причем изменение этого расхода
не подчиняется уравнению конуса расходов газа.
Группа ступеней паровой турбины. Все выведенные выше формулы для
газа справедливы также для перегретого пара в области, в которой с доста-
точной точностью можно принять, что пар удовлетворяет уравнению Кла-
пейрона и постоянная R меняется незначительно. Для умеренных пара-
метров пара такое допущение вполне допустимо, и конус расходов был экспе-
риментально установлен А. Стодолой именно для паровой среды.
В области высоких параметров физические свойства пара и совершенного
газа существенно различаются, и выведенные выше формулы расходов пара
применимы лишь с некоторыми ограничениями. Они сводятся к отказу
в использовании уравнения состояния Клапейрона и учета изменения коэф-
фициента % при переходе от одного режима работы к другому. Поэтому
в области параметров высокого давления формулы для определения расхода
пара следует сохранить в их исходном виде, а именно: для сверхзвукового
течения — в форме уравнения (XI.15), а для дозвукового течения — урав-
нения (XI.25) [111.
ГЛАВА XII
ДВУХФАЗНОЕ РАБОЧЕЕ ТЕЛО И ЗАПЫЛЕННЫЕ
ПОТОКИ
На новом этапе развития паровых турбин влажный пар как рабочее тело
вновь приобретает первостепенное значение. В современных энергетических
установках на влажном паре работают многие турбинные ступени. В таких
условиях находятся последние ступени конденсационных паровых турбин.
Стремление отказаться от второго промежуточного перегревателя в крупных
турбинах, работающих при сверхкритических начальных параметрах пара,
приводит к повышению степени влажности в конце расширения пара.
Широкое применение находят влажнопаровые турбины на атомных
электростанциях. Многие из этих турбин работают на влажном паре как
в части высокого, так и в части низкого давлений. Уже сейчас они достигают
мощности более 1000 МВт. Из-за низких начальных параметров пара его
расход получается очень большим и проблема проектирования последних
влажнопаровых ступеней становится особо сложной.
На двухфазной среде работают турбины геотермических установок,
а также турбины, в которых рабочим телом служит ртуть, натрий или калий.
Газовая промышленность, развивающаяся очень быстрыми темпами,
также сталкивается с проблемой двух-, трехфазных потоков. При низких
температурах в потоке газа выпадают жидкие и твердые фазы различных
компонентов добываемого газа. Для их удаления применяются специальные
турбомашины, работающие в условиях, близких к тем, в которых находятся
влажнопаровые турбины.
Важнейшие проблемы теории влажнопаровых турбин — изучение про-
цесса конденсации и движения крупнодисперсной влаги (аэрозолей). Послед-
няя задача занимает видное место также в теории газовых турбин, рабочее
тело которых несет твердые частицы.
Таким образом, имеется широкий круг вопросов, относящихся к разно-
образным типам турбомашин, но решаемых на базе одних и тех же принципов.
Их целесообразно рассмотреть с общих позиций теории турбомашин.
ХИЛ. ФОРМУЛА КЕЛЬВИНА
В обычных расчетах турбомашин рассматриваются условия равновесия
двухфазной системы без учета капиллярных сил. В этом случае механиче-
ское равновесие сводится к требованию равенства температур и давления
фаз, что возможно лишь при плоской поверхности раздела между фазами.
В действительности во влажном паре содержатся капельки и граница
раздела между фазами имеет приблизительно сферическую форму. Отнесен-
ные к единице поверхности капиллярного слоя нормальные силы создают
капиллярное давление рс. Его величина определяется по формуле Лапласа
471
где о — коэффициент поверхностного натяжения; и g2 — главные радиусы
кривизны поверхности в данной точке.
Для сферической поверхности раздела фаз (с, - |2 = 1) имеем
Уравнение механического равновесия сферической капли
р'=р" + Ра = р'7 + -у-. (XII. 1)
Давление в капле может быть значительно больше, чем в паре. Поверх-
ностное натяжение зависит от температуры. На отдельных участках спра-
ведлива формула
ЬТ, (XII. 2)
где в интервале температур Т = 273=373 К можно принимать а = 122 Й
X IO-3 н/м. £ = 0,17-10-3 Н/м К-
Рассмотрим объем двухфазной среды, содержащий пар и капельки оди-
накового радиуса. Влажный пар предполагается в состоянии равновесия.
Поэтому химические потенциалы обеих фаз одинаковы [1, 3]
<г' (У, л - (р", Т),
где одним штрихом отмечены параметры жидкой фазы, а двумя—паровой
фазы.
Последнее равенство выражает условие устойчивости каждой фазы в со-
стоянии равновесия, т. е. при этом не происходит самопроизвольного пре-
имущественного роста одной фазы за счет другой. Ниже дано доказательство
этого положения.
Изобарный термодинамический потенциал Гиббса
Ф I - TS,
где I и S — энтальпия и энтропия объема V.
Это же уравнение запишем в дифференциальной форме
ЙФ = di — TdS — SdT.
В процессе конденсации объем V меняется, и при этом совершается работа
pdV. Согласно первому закону термодинамики,
TdS - dU + pdV = di — Vdp,
где U — внутренняя энергия рассматриваемого объема среды;
di = dU + d (pV).
Из последних уравнений имеем
d® = Vdp — SdT.
Отнеся в последнем уравнении все величины к единице массы, получим выра-
жение химического потенциала
d(p = vdp — sdT. (XII.3)
В термодинамике доказывается, что достаточное условие равновесия
системы при р -= const и Т = const — минимум термодинамического потен-
циала Ф, а при этом г/Ф = 0.
472
Для двухфазной среды
Ф — m'q/ (р, Т) + т"ф" (р, Т) и 4Ф — у'dm' + у "dm".
Так как dm' —dm", то, приравняв dФ нулю, получим
(ф' — ф") dm' = 0.
Это равенство удовлетворяется при ф' -- ф", что и требовалось доказать.
Если ф' >> ф", то система стремится перейти в паровую фазу, и наоборот.
Действительно, при стремлении к равновесному состоянию 4Ф <Z 0 или
(<р'
ф") dm' <С 0.
При ф'>ф" имеем dm' <Z 0, следовательно, происходит испарение.
Если ф' < ф", то dm' >> 0, что соответствует конденсации.
Выделим в изобарном термодинамическом потенциале часть, зависящую
от поверхностного натяжения. Изменение площади раздела фаз на величину
dQ при неизменных температуре и объеме жидкой фазы связано с затратой
внешней работы odQ, равной приращению свободной энергии и максималь-
ной полезной внешней работе при Т - const и V = const. А так как по
определению максимальная полезная внешняя работа при изотермическом
процессе равна убыли термодинамического потенциала Гиббса, то свободная
энергия cfQ должна войти в его состав как дополнительное слагаемое к части,
зависящей только от объемных эффектов,
Ф = Ф (р, Т) 4- oQ.
Согласно уравнениям (XI 1.1) и (XI 1.3), имеем при Т = const
В состоянии равновесия dq>' = dcp", поэтому
(v" — v') dp" = v'd (-^-)-
Для паровой фазы можно воспользоваться уравнением состояния
// п
Из двух последних уравнений найдем
RTd(\пр") = v'd
v' dp".
После интегрирования этого уравнения в пределах от давления насыще-
ния ps до р" и соответственно от g —> оо до £ = g™ получим форм у л у
Кельвина
или
(XII.4)
473
Обычно v' <' v", что позволяет пренебречь последним членом в уравне-
нии (XII.4) и записать формулу Кельвина в упрощенном виде
(XIL4,)
Отношение p"/ps называется степенью перенасыщения.
Аналогичный вывод можно сделать при р" = const. В этом случае из
радиуса капли от степени переохлаж-
дения
уравнений (XII. 1) и (XI 1.3) получим
dq — dq" = (s' — s') dT 4- v'd
Так как s" — s' r>T, to
~ dT = — v'd (~ \ .
T \ J
После интегрирования в пределах от Ts
до Т" и соответственно от радиуса капель
I ОО до £ %кр найдем другой вид фор-
мулы Кельвина
(XII.5)
Разложив логарифм в ряд и сохранив
в нем только первый член, получим при-
ближенную формулу
2т
кТ = 7\ — Т'^—^. (XII.5')
Гр v
Величина АГ называется степенью переохлаждения.
При заданных параметрах из формулы Кельвина получается определен-
ный радиус капель |^, называемый критическим. При £ <С ^кр, как было
показано, жидкая фаза переходит в паровую, а при | происходит
конденсация. Таким образом, ядрами конденсации могут служит только
капли, достигшие критического размера. На величину ^кр наибольшее влия-
ние оказывает переохлаждение ЛТ. Давление сказывается сравнительно
слабо (рис. XII.1).
XII. 2. ПРОЦЕСС РАСШИРЕНИЯ ДВУХФАЗНОЙ СРЕДЫ
В проточной части паровой турбины пар расширяется очень быстро.
Весь его путь в направляющем аппарате может продолжаться десятитысяч-
ные доли секунды. При этом двухфазная среда не успевает достигнуть состоя-
ния равновесия и пар оказывается переохлажденным, т. е. находится в мета-
стабильном состоянии.
Структура переохлажденного пара отливается от структуры перегретого
пара, так как в нем всегда находится более или менее значительное коли-
чество зародышей жидкой фазы, которые постоянно возникают и вновь
испаряются.
Геометрическое место точек начала конденсации пара на is-диаграмме
образуют так называемые линии Вильсона. Их положение зависит от темпа
падения энтальпии [14].
. 1 di
1 i dt
где /--время.
Линии / = - const примерно эквидистантны пограничной кривой.
Рассмотрим несколько идеализированную схему расширения влажного
пара. Пусть пар изоэнтропийно расширяется в сопле от начального да в ле-
474
нпя р0 в области перегретого пара (точка А на рис. XI 1.2, а) до конечного
состояния в области насыщения при давлении р v (точка В). При очень быстром
переходе пограничной кривой (точка С) процесс конденсации не успевает
развиться и пар продолжает расширяться с переохлаждением. Процесс
с переохлаждением не может быть представлен на обычной Ts-диаграмме,
построенной для равновесных состояний пара. Для этого требуется построе-
ние специальной диаграммы, учитывающей действительные теплоемкости
переохлажденного пара.
За время расширения с переохлаждением не выделяется скрытая теплота
расширения. Поэтому располагаемая работа переохлажденного пара меньше
и температура его ниже, чем при равновесном расширении. В результате
удельный объем переохлажденного пара может оказаться существенно меньше
чем в равновесном состоянии при тех же конечных параметрах пара.
Рис. XII.2. Процесс расширения влажного пара: а — в Т^-циаграмме;
б—в щ'-диаграмме
В точке В температура переохлажденного пара Т оказывается на вели
чину АТ меньше, чем температура насыщения Ts (в точке £>). Величиной Д7’
характеризуется переохлаждение пара. Температура Т соответствует давле-
нию насыщенного пара ps (точка Е на пограничной кривой). Отношение
Pilps определяет степень перенасыщения.
Тот же процесс в рп-диаграмме (рис. XI 1.2, б) дает представление о раз-
личии в располагаемой работе при равновесном процессе и расширении
с переохлаждением. Площадь ВСВ' соответствует уменьшению располагае-
мой работы вследствие переохлаждения пара.
Поступающей в сопло влаге за счет изменения собственной энтальпии
сообщается лишь небольшая скорость по сравнению со скоростью пара.
Заимствуя энергию от пара, эта влага дополнительно разгоняется, но не
достигает скорости пара. В расчетах по таблицам и термодинамическим диа-
граммам, составленным для равновесных состояний двухфазной среды, ско-
рости воды и пара предполагаются одинаковыми. Так как в действительности
разность между .этими скоростями может быть значительной, то при откло-
нениях от равновесного расширения необходимо вводить поправку на изме-
нение энергии, затрачиваемой на разгон капель.
Сказанное относилось к влаге, поступающей в сопло в виде капель.
Если пар расширяется с полным переохлаждением в отличие от равновес-
ного расширения, то нет затрат энергии на разгон капель, которые образо-
вались бы при равновесном процессе, благодаря чему повышается скорость
переохлажденного пара. В то же время переохлаждение вызывает_умень-
шение перепада энтальпии, что снижает скорость переохлажденного пара
по сравнению с равновесной. Последний фактор оказывает преобладающее
влияние, и в результате скорость переохлажденного пара получается меньше,
чем при равновесном его расширении.
475
XI!. 3. КИНЕТИКА ПРОЦЕССА КОНДЕНСАЦИИ
Рост новообразовавшейся фазы возможен лишь при условии отклонения
от равновесия между фазами. Для исследования метастабильных процессов
необходимо использовать молекулярно-кинетическую теорию строения веще-
ства.
Рассмотрение молекулярного строения двухфазной среды необходимо
тогда, когда длина свободного пробега молекул пара соизмерима с находя-
щимися в нем капельками. Поэтому для выяснения физических процессов
важное значение имеет соотношение между радиусом капли £ и средней
длиной X свободного пробега молекул конденсирующегося пара. Последнюю
величину можно определить по формуле
Рис. XII.3. Возникновение капилляр-
ных сил
= (XII.6)
где [л — динамическая вязкость пара
Отношение длины свободного пробега
к диаметру капли носит название числа
Кнудсена
Кп^.
Этот критерий разграничивает области,
в которых процессы следует рассматри-
вать как макроскопические или микро-
скопические.
Поверхности конденсации. Процесс перехода паровой фазы в жидкую
тесно связан с образованием поверхностей конденсации. Последними могут
служить ядра конденсации и ограничивающие проточную часть поверхности.
Главную роль в процессе конденсации играют ядра конденсации, представ-
ляющие собой скопления молекул, образующиеся в результате их столкно-
вений, а также мельчайшие капельки, находящиеся в потоке пара.
Некоторое значение имеют также твердые поверхности. Конденсация
возможна, если около этих поверхностей температура пара в пограничном
слое меньше температуры насыщения Ts. Температуру в пристеночном слое
приблизительно можно считать равной температуре торможения, причем
для рабочих лопаток — в относительном движении. Конденсация на стен-
ках проточной части обычно играет второстепенную роль по сравнению
с конденсацией на каплях.
Равновесие между каплей и окружающим ее паром наступает при равен-
стве числа молекул, покидающих каплю под влиянием собственного молеку-
лярного движения, и числа молекул, проникающих в нее за то же время
из окружающей среды. Этот процесс протекает различно у плоских и криво-
линейных поверхностей.
Пусть а — радиус достаточно сильного притяжения молекул массой
капли. Молекула на поверхности капли радиуса § в точке А (рис. XII.3)
испытывает притяжение от всех молекул, находящихся в заштрихованной
области. Молекула на плоской поверхности притягивается большим числом
молекул жидкости, чем на поверхности капли, т. е. на молекулу в точке А
в этом случае действуют удерживающие силы, большие, чем в капле, на
величину, пропорциональную зачерненной площади.
Из сказанного следует, что для выброса молекул с выпуклой поверхности
требуется меньшая работа и число вылетающих с нее молекул больше,
чем с плоской поверхности. Число же молекул, попадающих на поверхность
жидкости из окружающей паровой среды, при прочих равных условиях
пропорционально плотности пара. Поэтому для равновесия над каплей тре-
буется более высокая плотность пара, чем над плоской поверхностью. А это
означает, что и равновесное давление пара р" над каплей должно быть больше,
476
чем давление ps над плоской поверхностью при той же температуре. Этими
физическими явлениями объясняется характер процесса, изображенного
на рис. XII.2.
Температура капли. В процессе конденсации выделяется тепло, котсрое
необходимо отводить. Поэтому температура капли должна быть выше, чем
окружающего ее пара.
В проточной части турбины конденсация пара происходит в поле быстро
меняющихся температур. Поэтому температура на поверхности капли и
внутри ее неодинаковы. Однако это различие настолько мало, что в расчетах
им можно пренебрегать.
При заданном давлении пара р" следует различать его температуру Т"
(точка А на рис. XII.4), температуру капли Т' (точка О), температуру насы-
щения для капли данного радиуса Tsg
(точка В) и температуру насыщения над
плоской поверхностью жидкости Ts (точ-
ка С). Соответственно этому будем обо-
значать разность температур
Д0Т 7^ - Г; 6Г = Г - 7sg.
При термодинамическом равновесии
Л0Т =6Г = 0.
Величины Д0Г и 671' можно найти из
условий роста капель, баланса тепло-
обмена и уравнения баланса энергии для
капли и для всего потока. Расчеты пока-
зывают [8], что, во-первых, температура
капли с огромной скоростью стремится
к состоянию предельного перегрева, во-
вторых, сама величина предельного пере-
Рис. XII.4. Кривые фазового равно-
весия:
/ — при криволинейной поверхности раз-
дела капли; 2 — при плоской поверхности
раздела между фазами
грева 6Т' чрезвычайно мала. Поэтому
в расчетах можно принимать
Т' = т*.
Скорость образования капель. Спонтан-
ная конденсация играет главную роль
в процессе выделения влаги. Поэтому для расчета процесса конденсации
необходимо знать число капель, образующихся в единицу времени. Для
решения этой задачи воспользуемся теорией проф. ЛПИ Я- И. Ф р е н-
к е л я [12 ].
В двухфазной среде постоянно образуются сгустки, состоящие из неболь-
шого числа молекул. Они, находясь в неустойчивом состоянии, вообще
говоря, должны немедленно испаряться. Но некоторые из них, случайно
достигшие критического размера, способны служить зародышами. При
большом переохлаждении такие зародышевые капли, находясь в метаста-
бильном состоянии, обладают свойством быстро расти за счет паровой
фазы.
Исходя из тех же принципов, как и при выводе формулы Кельвина, можно
написать условие термического равновесия капли при ее переменном радиусе
6Ф = 0.
Если радиус капли не очень мал, то ее поверхностную свободную энергию
можно представить в виде произведения 4л£2а. При этом полный термодина-
мический потенциал Гиббса всей системы, отнесенный к одной капле (паровая
фаза А и жидкая В), можно записать в таком виде:
Ф = NAq>A + NBtpB - 4л|2о,
477
где Na и Nb — число молекул соответственно в паре и капле; <рл и фя —
химические потенциалы, отнесенные к одной молекуле, при заданной тем-
пературе Т и внешнем давлении р = р".
В случае метастабильного состояния основной фазы, образовавшиеся
под влиянием флуктуаций, капельки достигают критического состояния.
Этому состоянию в процессе изменения радиуса капельки соответствует
максимальное приращение термодинамического потенциала. Докажем это.
Обозначим термодинамический потенциал, отнесенный к одной капле,
при g —> 0 через Фо, а при наличии капель — через Ф. Тогда при появлении
капель термодинамический потенциал возрастает на величину
Дф = ф — ф0 = NA<fA + NBqB - — (NA NB)qA = NB (<ps — <рл) - - 4.<2с>.
Следует заметить, что химический потенциал фв не учитывает энергии поверх-
Рис. XII.5, Изменение термодинамическо-
го потенциала в зависимости от радиуса
капли:
1 < 2 - <РД ' 'fB
ностного натяжения.
Подставив выражение для числа мо-
лекул в одной капле NB = = -у л£3/ vB,
получим
Дф = ~ ~ Е8 Н 4лЕ2о, (XII .7)
VB о “ ~
где vB — объем молекулы.
Если менять радиус капли при со-
хранении прочих параметров двухфаз-
ной среды, то величина ДФ достигает
максимума (рис. XII.5) при условии
4л£2 -j- 8лgo = 0 или
фл — фв
Заметив, что химический потенциал жидкой фазы под влиянием капилляр-
ных сил возрастает на величину <ра - j vBdpc - vB2o/%, для состояния
равновесия (?, = |кр) можем написать
<Ра(Р) =<Рв(Р) г фо = Фв(р) vB. (XII.8)
Следовательно, максимум ДФ достигается при критическом радиусе капли
что и требовалось доказать.
Если фл -С фв, то, как следует из формулы (XII.7), с ростом капли ДФ
растет монотонно. Если же фл > фв (метастабильное состояние), то вели-
чина ДФ сначала растет, достигает максимума, а затем убывает. При этом
ее максимуму, как было доказано, соответствует критический размер капель,
т-т , /VTT -7, Фл—Фв 12а
Подставив в формулу (ХП./) выражение** — -у, найдем
ДФ1пах = ^Й₽- (XII.9)
Зародыши фазы В постоянно возникают и исчезают также в том случае,
если фл < фв. Это термодинамически устойчивое состояние характеризуется
стационарным распределением зародышей фазы В в фазе А. Оно определяется
формулой Больцмана
А/6 = Сехр( (ХП.10)
где С — коэффициент пропорциональности, который при сравнительно
небольшом числе зародышей может быть принят равным числу молекул,
образующих рассматриваемую систему.
478
Устойчивость этого распределения теряется, если ><Рв- Полагая,
что закон распределения зародышей сохраняется прежним, можно найти
число зародышей каждого размера в метастабильной системе. При этом число
зародышей быстро убывает с увеличением их радиуса до критической вели-
чины. Это минимальное число зародышей найдется по формуле (XII. 10),
если вместо ДФ подставить выражение (XII.9)
Таким образом, числом зародышей критического размера, которые только
и могут быть ядрами конденсации, определяется скорость ядрообразования.
Капли критического размера, образно говоря,
составляют узкий проход, через который должен
пройти процесс образования капель. В этих усло-
виях скорость конденсации равна числу капель
умноженному на число молекул пара, попа-
дающих на поверхность этих капель в единицу
времени.
Так как средняя скорость молекул
где тм — масса молекулы, то число молекул, попа-
дающих на единицу поверхности капли в единиц}
времени, можно определить по формуле
(XII.12)
где пА = Ь vA — концентрация молекул в газо-
вой среде.
Таким образом, скорость конденсации нахо-
дится по формуле
рости образования зароды-
шей в зависимости от вели-
чины переохлаждения (/ —
в 1 'м3 с)
Q —
rv/y
(XII.13)
Но одновременно с единицы поверхности капли в единицу времени испа-
ряется оц. молекул. Связь между коэффициентами [3 и ug устанавливается
уравнением детального равновесия
где s — поверхность капли; индекс g означает число молекул в капле.
В процессе конденсации оседает на каплях больше молекул, чем испа-
ряется. Поэтому вместо последнего равенства получим уравнение, опреде-
ляющее количество капель в единицу времени Ig, переходящих от размера
с числом молекул 8е_± к размеру с их числом sg,
где f& — числа капель при неравновесном распределении.
Задача состоит в том, чтобы найти функцию распределения которая
отличается от функции равновесного распределения Ng. Следуя этой схеме
расчета, Я- И. Френкель, получил формулу скорости ядрообразования
где nL — число молекул в рассматриваемом количестве вещества; g* —
число молекул в капле критического радиуса %кр; тм — масса молекулы;
479
k — постоянная Больцмана; р и Т — давление и температура пара; <рл и
Фв — химические потенциалы, отнесенные к одной молекуле паровой и
жидкой фаз.
Эта формула может быть преобразована к более удобному для практи-
ческого использования виду. Отнесем скорость конденсации к единице
массы среды. Тогда
где No— число Авогадро; р, — относительная молекулярная масса.
Подставив это значение пг в формулу (XII.14), после преобразований [8]
получим
J____Р 1/' и
р' kT V oN0
Та же формула, но отнесенная к единице объема, имеет вид
(XII.15)
(XII.16)
1 / Р V 7 Л РЦ
р' \kT ) V NB
Скорость ядрообразования — функция давления и температуры пара,
а также степени переохлаждения. Последняя оказывает особенно сильное
влияние, так как (АТ)2 входит в показатель степени (%кр — АТ). В области
малых переохлаждений конденсация протекает крайне медленно. При боль-
ших переохлаждениях происходит бурное выпадение капель (рис. XI 1.6).
Скорость образования капель очень сильно зависит от величины поверх-
ностного натяжения — она входит в формуле Френкеля в экспоненту
в третьей степени. Вместе с тем, пока нет достоверных данных для определе-
ния о при очень малых размерах капель. Поэтому скорость ядрообразования
может быть определена лишь весьма приближенно и многие уточнения
формулы (XI 1.14) теряют смысл.
Рост капель. В области микроскопических явлений (|<С^) рост капли,
находящейся в метастабильном состоянии, определяется числом молекул,
падающих в единицу времени на единицу площади. Согласно формуле
(XII.12), после подстановки пА = 1/ил = plkT получим р ——р-------
у ‘Aani.JiT
Масса падающих в единицу времени на каплю молекул будет
Вт =______£—=________
Р м Г 2л/?7 Р г 2л ’
V 71 гпм
Следовательно, приращение массы капли радиуса £ определяется равенством
dM — акн$тм4л?$ dt, (XII. 17)
где акн — коэффициент конденсации, равный отношению числа молекул,
остающихся на поверхности капли, к числу молекул, ударяющихся о се
поверхность за тот же промежуток времени.
С другой стороны, за промежуток времени dt масса капли возрастет на
величину
dM — p’d л£3^ = р'4л£2 dt,.
Из последних уравнений получим
dj _ $тм
dt р' •
Введем выражение коэффициента конденсации исходя из равенства тепла,
затраченного на нагрев массы отраженных молекул (1—акн)ср(Т'— Т) dm,
480
и тепла от оставшихся молекул акн [г — ср (Т' — 7)] dm, где тепло фазового
перехода г' = I" — i (/'— с учетом капиллярной энергии). После этого
получим
(XII.18)
ку / у Z-1-с и
После того как капля достигает радиуса £ дальнейший ее рост нахо-
дится из рассмотрения потока тепла, отведенного от нее в окружающую
среду. Последнюю можно представить как сферу радиуса 7?, охватывающую
каплю. Этот тепловой поток определяется по формуле
__ 4лХ/(Т' —7)
отв — ~ 1 1
где V — коэффициент теплопроводности.
При достаточно большом R по сравнению с g можно вторым членом в зна-
менателе пренебречь и получить уравнение
Qomedt r'dM = 4л%'£ (Г — Т) dt.
Подставив выражение dM из уравнения (XII. 17), последнее уравнение
преобразуем к виду
dt? _ 2V (Т' — Т)
dt г'р'
(XIL19)
Если £ 4С X, согласно формуле (XII. 18) радиус капель увеличивается
пропорционально времени /, а при £ >>Х — пропорционально ]/ Z, что
следует из формулы (XII. 19). Зная скорость конденсации и размеры
капель, можно определить расход G' сконденсировавшегося пара до сече-
ния, расположенного на расстоянии х от начала координат,
X
С = x)l(x’)f(x')dx',
о
где х — координата, определяющая положение рассматриваемого сечения;
х' — координаты сечений f (х')> в которых выпадает влага при скорости ядро-
образования I (х'); Мк — масса капли в сечении х, зависящая от места ее
образования х'\ I (х')— скорость ядрообразования, отнесенная к единице
объема.
Расчет процесса конденсации. Для полной характеристики процесса
конденсации в проточной части турбины помимо скорости ядрообразования
и роста капель необходимо знать скорость движения капель и изменение
состояния пара. Для решения этой задачи воспользуемся уравнениями газо-
динамики двухфазной среды, допуская ввиду малости размеров капель,
что обе фазы имеют одинаковую скорость (с' -= с” — с). Составим эти урав-
нения в предположении стационарного процесса и одномерного потока.
Уравнение неразрывности получим из условия постоянства массового
расхода G — G' 4- G" в любом сечении канала
G (1 + 4/*) - const,
где z/* — G'/G" = G'/ (G — G') — у/(1 — у) — степень влажности, отнесен-
ная к расход)7 паровой фазы; f" — площадь живого сечения, через которую
протекает только пар.
Обычно площадь живого сечения, занятая влагой, /' < f", и можно при-
нимать f f" + Г f". Логарифмическим дифференцированием уравне-
нию неразрывности можно придать следующий вид:
31 и. И. Кириллов
de dp"
с р"
(XII.20)
481
Уравнение количества движения запишем в предположении, что плот-
ность двухфазной среды р связана с р" равенством р" G"/V" (G —
— G')/V = р (1 — у) и что отсутствует трение (изоэнтропийный процесс),
cdc + (l— у)-^- = 0. (XII.21)
р
Уравнение энергии составим для k групп капель
или
k
G (i +-^~) + = const
i=l
где
G=G(1 —г/); G£ = z/ZG; yt = у.
i=l
Запишем это уравнение в дифференциальной форме в случае G = const
k
с de di — d S yi (i — g) = 0
i=l
или
/г
c de -L- cp df — Vj (r'i dy. -F yt df) = 0, (X11.22)
i=l
где r'i =>i" — i’t — разность энтальпий пара и жидкости с учетом различия
температуры фаз и работы капиллярных сил.
Для больших капель величина г' практически совпадает со скрытой теп-
лотой фазового перехода г при плоской поверхности раздела фаз.
Энтальпия жидкости определяется с учетом капиллярных сил
f is Ср L\T$ —|- Gan-
Здесь АД = Ts — Г — разность между температурой насыщения и тем-
пературой капли при одном и том же давлении;
_ iPadV _
t'Katz ~ икап. — '~'~J л
-у- «53Р
Зст
Р'£ ’
где V и тк — меняющиеся объем капли и ее масса.
Уравнение состояния паровой фазы для области небольших давлений
можно представить так же, как для идеального газа, а именно:
dp dp'‘
~Р d’
dTL-_(j
(XII.23)
Эти уравнения газодинамики вместе с уравнениями скорости ядрообра-
зования и роста капель образуют замкнутую систему. Решение этой системы
уравнений методом численного интегрирования позволяет последовательно
рассчитать процесс конденсации в каждом сечении рассматриваемого уча-
стка проточной части турбины.
Кинетическая теория фазовых превращений открывает путь к познанию
сущности процесса конденсации и позволяет установить принципы управле-
ния процессом.
482
ХН. 4. ДВУХФАЗНЫЕ И ЗАПЫЛЕННЫЕ ПОТОКИ
Во многих исследованиях целесообразно рассматривать двухфазный или
запыленный поток как сплошную среду. Это допустимо в тех случаях, когда
векторы скоростей газа и аэрозолей близки по величине и направлению и
когда их можно считать непрерывно и равномерно распределенными в выде-
ленном объеме. Физические свойства среды в такой схеме также предпола-
гаются непрерывно меняющимися.
Для характеристики такой среды вводится коэффициент концентрации
(массовая степень влажности для двухфазного потока). Умножение на него
плотности аэрозолей (или жидкой фазы) равносильно уменьшению ее до
величины, при которой весь объем заполняется данным компонентом. Изме-
нение коэффициента концентрации как бы меняет плотность условной сплош-
ной среды.
С целью разъяснения этих положений ниже дан вывод уравнения сохра-
нения массы для двухфазного потока, в котором может изменяться масса
каждой из фаз. Последнее обстоятельство позволяет рассматривать задачу
в общем виде. Сказанное будет в равной мере справедливо и для запыленного
потока, если считать массы компонентов неизменными.
Уравнение сохранения массы. Рассмотрим нестационарный двухфазный
поток. Равномерно распределенную в паре жидкость разделим по размерам
капель (аэрозолей) на k групп. Массы, заключенные в движущемся объеме,
каждой из групп капель и окружающего их пара меняются как в зависимости
от положения объема в пространстве, так и во времени. Эти изменения масс —
следствие процесса конденсации и испарения, а также слияния и дробления
капель.
Выделим в потоке двухфазной среды с непрерывно изменяющимися пара-
метрами элементарный объем 6V с массой 6m. Пусть этот объем содержит
равномерно распределенные капли всего спектра размеров. Они занимают
объем SV' с массой дтг. Остальной объем 61/" с массой 6т" заполняет пар.
Для жидкой фазы имеем
k k
6V = J] 61/,- и 6m = S 6mt-.
Z=1 i=l
Закон сохранения массы для элементарного объема 6 У запишем в таком
виде:
A (6m) = А (8т + 2 ) = 0, (XII.24)
\ i- 1 /
где
6m = рб V; 6m; = рЖ; бт" = р'Ж.
Если поток несет настолько мелкодисперсную жидкую фазу, что скоро-
сти всех компонентов практически одинаковы и равны с, то для такой среды
уравнение сохранения массы имеет обычный вид
A_|-divpc = 0.
(XII.25)
Скорости отдельных компонентов двухфазной среды в некоторой мере
между собой различаются (c'if с"). Для такой среды массу каждой фазы в урав-
нении (XII.24) будем рассматривать раздельно. С этой целью в исходном
уравнении подставим вместо масс произведения из плотностей и объемов,
а отношение объемов выразим через плотности и массовое влагосодержание:
(XII.26)
483
k
pW+JpX- k
где p =----------------осредненная плотность; ym = У mi — общая
массовая степень влажности; yml — парциальная степень влажности.
Произведение р (1 — можно трактовать как условную плотность
среды в случае распространения паровой фазы на весь объем 6V. Аналогично
введение в расчеты произведения из средней плотности на парциальную
степень влажности ymip заменяет дискретную систему каждой группы капель
условной сплошной средой, заполняющей весь рассматриваемый объем 6V.
Таким образом, рассматриваемая модель предполагает движение как одного
целого k + 1 одинаковых условных объемов сплошной среды паровой фазы
и всех компонентов жидкой фазы. Такая модель движения открывает воз-
можность рассматривать уравнение сохранения массы с общих позиций
гидромеханики сплошной среды.
Действительная жидкость плотности р/ и воображаемая жидкость плот-
ности утЛг> по условиям задачи имеют одинаковую скорость. Ее составляющую,
нормальную к поверхности, обозначим cifl. Реальная и воображаемая
жидкости проходят сквозь поверхности 6St- и 6S. При условии неразрывности
течения имеем
Р CiifiSi ymiP^irfi^ •
Из последнего уравнения и формулы (ХИ.26) получим
_ 6St-
6V ’ &S •
(XII.27)
Изучая движение каждого условного объема сплошной среды, можно
пользоваться понятием дивергенции вектора скорости в точке при 6V —> 0.
Для каждого объема (6V)Z, по величине равного объему 6V, но соответствую-
щего какой-либо группе капель с условной плотностью ymip и изменяющегося
под влиянием только своей скорости c’in, имеем согласно определению поня-
тия дивергенции
^m = divc;-;
для парового объема (6Е)" с условной плотностью р (1 — г/т), заполняющего
объема 6V,
1 d
6Е dt
(бЕ)л = div с".
Исходя из этих представлений и используя уравнение (ХИ.26), запишем
уравнение (XII.24), преобразовав его и поделив все члены на 6V,
1 d
<W dt
k
Р (1 — г/m) 6Е + S рг/mi 6V
i=l
= [P(l-O^P(l-i/m)g|r4(6V)"-
_d
1 dt
P S г/mi j + P E Ут1 5^(6V)Z = 0.
(XII.28)
Выразим индивидуальные производные по времени через локальные
производные и конвективные члены:
(.РУш) — (Pi/mi) i ’ div (pi/mi^i) рг/mi d’VCj,
[p (1 — г/m)] = -^- 1P (1 — г/т)] -r div [p (1 — ym) c"J — p (1 — ym) div c".
484
Использовав эти выражения и объединив локальные производные, пред-
ставим уравнение (X 11.28) в такой форме:
(XI 1.29)
Из сравнения уравнений (XII.25) и (XII.29) следует, что выражение,
стоящее в квадратных скобках, можно рассматривать как условный вектор
средней скорости двухфазной среды
k
(XII.30)
Таким образом, двухфазный поток при небольшом различии скоростей
можно рассматривать как однородную среду, имеющую средний вектор
скорости с.
От величин скоростей с[ зависит массовая степень влажности. Она ста-
новится большой при малых скоростях жидкости. При этом жидкая фаза
существенно загромождает живое сечение.
Если по характеру задачи коэффициенты концентрации сохраняются
постоянными (у — const), то имеет силу обычное уравнение сохранения массы
для объема, заполненного одним из компонентов среды. В этом случае для
стационарного движения имеем:
div [(1 — = 0;
(XII.31)
div (г/mipci) = 0.
(X 11.32)
Чтобы ввести в формулу (XII.29) расход пара и жидкости, воспользуемся
теоремой Остроградского: поток вектора через замкнутую поверхность S
равен объемному интегралу от расхождения вектора:
р (1
7
(ХП.ЗЗ)
s
k
dV.
(X 11.34)
Проинтегрировав уравнение (X 11.29) по всему объему V и заменив объем-
ные интегралы на поверхностные, согласно уравнениям (ХП.ЗЗ) и (XII.34)
получим
k
J + j р [(1 — Ут) с'п + ymiCy\ dS — O. (ХП.35)
V S t=l
Для стационарного потока объемный интеграл в уравнении (XI 1.35)
обращается в нуль, а поэтому и поверхностный интеграл становится равным
нулю. Это означает, что полный массовый расход двухфазной среды через
неподвижную замкнутую поверхность равен нулю. Так совершается переход
от изучения явлений в подвижном объеме по методу Лагранжа к исследованию
течения сквозь неподвижную поверхность по методу Эйлера.
Многие практические задачи приходится решать приближенно, ограничи-
ваясь одномерной теорией.
В условиях одномерного течения в канале легко взять поверхностный
интеграл в уравнении (X 11.35). Через боковые стенки канала поток не про-
никает. Поэтому интегрирование распространяется лишь на сечение при входе
485
в канал и при выходе из него /2. Заметим также, что согласно определению
массовой концентрации имеем:
pyml8S = ргс.д 6S = pi 6S = рг 6S£; (XII.36)
О V ОО
p(l-//m)6S = p"^6S=p"-g^6S = p''6S". (XII.37)
Выполнив интегрирование, получим
k ь
--I ^Р1С1п— fip2c2n — У/i2Pi2Ci-2n = О
И i=l 1=1
ИЛИ
— —G'^ + Gl — G'2 = 0, (X 11.38)
где индексами 1 отмечены параметры жидкости и пара во входном сечении,
а индексами 2 — в выходном сечении; ft и f" — входные и выходные се-
чения канала, занятые соответственно жидкостью и паром.
Во многих исследованиях проточной части турбины процессы конденсации
можно рассматривать как стационарные. Это означает, что поля скоростей
и других параметров потока, определяемых координатами фиксированных
точек пространства (метод Эйлера), -явно не зависят от времени. Другими
словами, в каждом сечении одномерного потока сохраняются неизменными
все его параметры, в том числе и степень влажности. При этом условии в урав-
нении (XI 1.38) можно отбросить объемный интеграл, относящийся к неста-
ционарному потоку. Остальные члены уравнения означают лишь постоянство
массового расхода в любом сечении канала
G = f р сп (1 - - у) — const, (XII.39)
где
k I k ,
G = G" + £Gi- = G" 1 ;
i=l \ i=l /
k
yi = GilG ; X //> = У — расходная степень влажности, отнесенная к рас-
i=l
ходу пара.
Степень влажности ijt в уравнении (X 11.39) может быть значительно мень-
ше массовой степени влажности ymi в прежних уравнениях.
Логарифмическим дифференцированием уравнения (XII.39) получим
или
df" , dp" dy* Q
f" “Г p" 1+ У*
df" dp" dc"n dy _n
f" P" d cn 1-f/
(XI 1.40)
(XII.41)
где у — расходная степень влажности (отнесенная к общему расходу G).
Сечение f" связано с общим сечением f уравнением
f______L
k 1 .i.
r
(XII 42)
486
где04- — ~ — локальный коэффициент загромождения; 0 — S 0z —
/ р- i=l
С •
----коэффициент загромождения; $in = — отношение нормальных
' сп
составляющих скоростей фаз.
Преобразуем уравнение (XII.41) с помощью выражения (XII.42)
df , dp" , dcn , dy dQ
Т 1 +тг7-ттё
(XII.43)
Величина 6 во многих расчетах настолько мала по сравнению с единицей,
что допустимо принимать f" = f. Из этого равенства, а также из сравнения
формул (XII.41) и (XII.43) следует, что в последнем уравнении можно от-
бросить член, содержащий 0. Если, кроме того, по условиям задачи можно
пренебречь межфазовым массообменом (у = const), то уравнение (X 11.43)
примет вид
Т- + ^ + $- = 0. (XII.44)
' сп р
По существу это — уравнение неразрывности, составленное для газа в пред-
положении, что площадь живого сечения, занимаемого аэрозолями, пре-
небрежимо мала.
Если аэрозоли двигаются очень медленно, то коэффициенты разгона ч)г-
могут оказаться весьма малыми, а коэффициент загромождения 6 — значи-
тельным. В таком случае аэрозоли занимают существенную часть живого
сечения и последний член в левой части уравнения (XII.43) в расчетах не-
обходимо сохранять.
Уравнение движения. Введем для двухфазной среды или запыленного
потока осредненную плотность р и средний вектор скорости
k
С = (1 — Ут} С Н- Ц
i=l
При этом допущении среду условно можно рассматривать как однородную
и воспользоваться уравнением (1.12)
-||- + (c.v)c= F—у grad (р -L-j-p dive) + у Div (рЁ), (XII.45)
где [т — коэффициент вязкости двухфазной среды или запыленного потока;
Ё — тензор скоростей деформаций.
Таким образом, для части двухфазного потока, в которой поля скоростей
и плотностей сравнительно мало отклоняются от состояния однородности,
можно применять обычные уравнения газодинамики к осредненным пара-
метрам потока.
Следует заметить, что силы внутреннего трения в двухфазных средах и
запыленных потоках с большими коэффициентами концентрации значительно
выше, чем в однородном потоке, так как даже умеренное различие в скоростях
компонентов вызывает заметную диссипацию энергии.
XII.5. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ АЭРОЗОЛЕЙ
Крупные твердые частицы или капли могут сильно отклоняться от траек-
торий частиц основного потока, и их движение следует рассматривать как
движение индивидуальных аэрозолей под влиянием силового взаимодействия
с потоком. Изучение движения крупных аэрозолей представляет наибольший
практический интерес, так как их траектории необходимо знать для целей
сепарации и для борьбы с эрозией лопаток.
487
Уравнение движения. Рассмотрим движение индивидуальной сферической
частицы. Масса ее, вообще говоря, может изменяться, например в случае
испарения или конденсации на поверхности движущейся капли.
На сферическую частицу в потоке действуют аэродинамическая, архи-
медова и реактивная силы, а также сила, возникающая под влиянием не-
равномерного давления пара в потоке. Изучая вопрос в общем виде, следует
также ввести присоединенную массу потока как величину, характеризующую
инерционные свойства газа, в котором движется тело. Этот вопрос возникает
только при неравномерном движении тела. Присоединенную массу учтем
весьма приближенно лишь для оценки порядка ее величины. Из теории про-
странственного безвихревого течения известно, что движение пара в несжимае-
мой идеальной жидкости под влиянием приложенных к нему сил можно рас-
сматривать как движение в пустоте, если массу сферы увеличить на величину,
равную половине массы жидкости в объеме сферы.
В общем виде уравнение движения капли можно записать так:
(1 + х)щ^ =Ра + Рл + Рр - РЛ11 (XII.46)
где х — коэффициент присоединенной массы от потенциального потока;
Ра — аэродинамическая сила сопротивления; РЛ — сила тяжести и архи-
медова; Рм — сила Мещерского; Рр — сила от изменения давления в потоке.
Силу тяжести и архимедову силу запишем в форме
Рл = ё(р' -Р") V, (X 11.47)
где g — вектор ускорения силы тяжести; р' — плотность сферы; р" — плот-
ность потока;. V — объем сферы.
Архимедова сила, характеризующая плавучесть сферы, может играть
роль только при очень большой плотности потока. Сила тяжести может су-
щественно влиять на движение аэрозолей, если другие силы малы. Например,
во влагоулавливающих камерах, примыкающих к проточной части турбины,
устанавливаются лишь вторичные сравнительно медленные течения; при
этом аэродинамическая и прочие силы настолько малы, что сила тяжести
оказывается превалирующей.
Сила Рр действует на сферу при движении ее в неравномерном поле дав-
лений. Эта сила может быть существенной при прохождении аэрозоля сквозь
скачок уплотнения или зону бурного ядрообразования. Ее величина рассчи-
тывается по формуле
Рр = — (fpndS, (XII.48)
s
где S — поверхность аэрозоля; п — внешняя нормаль.
Этот поверхностный интеграл преобразуем в объемный
pndS=
о V
Если выделить объем V в потоке, то по теореме о среднем для каких-то
средних точек Mz и 7И3 внутри этого объема будут справедливы равен-
ства:
{^PdV=v(^\ \^'dV = V
J дх \ дх J’ J ду \ ду )m2 ’
v v
J 02 \ dz Jms
V
Переходя к пределу V —» 0, видим, что
j grad р dV = V grad р.
488
Поэтому для аэрозоля небольших размеров можем написать
Рр = —V grad р. (XI 1.49)
Сила Мещерского непосредственно получается из закона количества дви-
жения, если учесть, что вектор количества движения Q изменяется как под
влиянием меняющейся скорости, так и переменной массы капли. Действи-
тельно, если рассматривать изменение массы капли на величину dm, напри-
мер в процессе конденсации, то пар, оседающий на ее поверхность, частично
теряет свою скорость на величину с" — с' = v и вследствие этого сообщает
капле количество движения
dQ = v dm.
Поэтому сила Мещерского находится из уравнения
Если бы капля испарялась, то в левой части уравнения (ХП.46) вместо
mdc'ldt следовало бы записать величину
dQ d(mc') de' . , dm
---— —-----— — m-------L c --*
dt dt dt jUr dt ’
причем < 0.
В условиях роста или испарения капель в турбинах сила Мещерского
обычно мала [8] по сравнению с аэродинамической силой и ею можно пре-
небрегать.
Аэродинамическая сила. В большинстве практических задач, относящихся
к движению аэрозолей непосредственно в проточной части турбины, аэроди-
намическая сила настолько преобладает, что всеми остальными силами в урав-
нении (ХП.46) можно пренебрегать [13]. Применительно к таким задачам
это уравнение можно записать в таком виде:
de з сх р"
dt — 8 £ р'
(XII.51)
Вопрос заключается в определении коэффициента сопротивления Сх.
Для мелких аэрозолей, движущихся с небольшой относительной скоростью,
можно упростить задачу, рассматривая медленное стационарное обтекание
шара. При этом преобладают силы трения и давления, учитываемые форму-
лой Стокса,
г 24
Re ’
п 2с V с. ,
где Re = g — радиус сферы; v — кинематическая вязкость газа или
пара.
Для однородной среды при Re < 1 погрешность вычисления коэффи-
циента сопротивления по формуле Стокса не превосходит 15%. В рамках
задачи Стокса после подстановки выражений Сх и числа Re в уравнение
(XII.51) получим
de' ____ 9 р" v
dt ~ Т р'
(XII.52)
Для более высоких чисел Re коэффициент сопротивления можно вычис-
лять по формуле
Сх = С Re-",
где Сип зависят от числа Re; если Re = 10-?-1000, то С 12 и п 0,5;
при Re >> 1000 показатель степени п = 0 и С 0,48 [в этой области коэффи-
циент сопротивления не зависит от числа Re (область автомодельности) ].
489
Выразив проекции ускорения аэрозолей на оси цилиндрических коор-
динат [аналогично уравнению (1.65)] и использовав уравнение (XII.51),
получим [8]:
(XII. 53)
3 СХо Го р" ’
для которой вычислен
Число К
относительная скорость аэрозолей,
V
V = --- И fn —
^0
коэффициент СХо.
— важнейший критерий подобия аэродинамических сил, дей-
ствующих на аэрозоль.
ХП.6. ДВИЖЕНИЕ аэрозолей за направляющим аппаратом
Покинув направляющий аппарат, аэрозоль продолжает движение под
влиянием сил: аэродинамической, тяжести и других, описанных в преды-
дущем параграфе. Здесь рассмотрим идеализированную схему движения аэро-
золей, пренебрегая приложенными к ним силами. Другими словами, рассмо-
трим свободное движение частицы неизменной массы в пустоте при заданной
начальной скорости.
Траектории. В такой постановке задачи аэрозоль совершает движение
по прямолинейной траектории точно так же, как элементарная масса потока
за круговой решеткой при истечении в пространство с постоянным давлением
(см. п. V.7). Если вообразить, что аэрозоли равномерно распределены по
всему пространству и что все они выходят из направляющего аппарата с одной
и той же скоростью, то при свободном движении их прямолинейные траек-
тории лежат на поверхностях линейчатого гиперболоида вращения. Каждая
из этих поверхностей, имеющая при выходе из направляющего аппарата
радиус г0, пересекается с меридиональной плоскостью по гиперболе согласно
уравнению (V.80)
4--^ctg2«;=l, (XII. 54)
го го
где — угол выхода аэрозолей из направляющего аппарата.
На основании результатов исследования п. 7 гл. V приходим к выводу,
что, свободно двигаясь в межвенцовом зазоре за направляющим аппаратом,
аэрозоли перемещаются к периферии и что этот снос, сначала небольшой,
затем возрастает по мере увеличения осевого зазора z.
Полезно заметить, что для двигающейся таким образом частицы момент
скорости относительно оси z сохраняется, т. е. rc{u ----- const, где с{и — окруж-
ная составляющая скорости аэрозоля. В то же время ее осевая составляющая
скорости c{z остается неизменной. Это дает возможность вычислить все
составляющие скорости аэрозоля, в том числе и радиальную скорость
а также угол между траекторией и осью и
= arccos —— .
ci
Угол сс{ увеличивается по мере удаления от выходного сечения.
490
Из уравнения (XI 1.54) непосредственно следует приближенное выражение
для предельного смещения Дгир аэрозолей в радиальном направлении при
сравнительно небольших осевых зазорах г, при которых можно пренебречь
квадратом радиального смещения (Дгпр)2,
Дг = 22 Ctg2 «1,
где Дг = Дг/г0; z — z/r0.
Таким образом определяется предельное радиальное смещение капель,
которое получилось бы при движении в пустоте и отсутствии сил тяжести.
Это дает только представление о предельных, практически недостижимых
смещениях аэрозолей к периферии.
Действительные траектории аэрозолей могут сильно отклоняться от пря-
молинейных под влиянием газодинамических сил и сил тяжести. Поэтому
радиальное перемещение аэрозолей Дг становится меньше предельного Дг/гр,
и его величину можно характеризовать коэффициентом радиального сме-
щения [8]
Величина 6 определяется с помощью системы уравнений (X 11.53). Она
может быть решена методом последовательных приближений. Такое при-
ближенное решение с учетом только аэродинамических сил можно пред-
ставить [13] в виде
1—0,16
(XII.55)
где
_ 8 1 В р'
3 Сх0 р
Коэффициент разгона находится после определения скорости
аэрозоля по уравнениям предшествующего параграфа. В большинстве
практических задач поток несет относительно небольшую массу аэрозолей.
В таких случаях их обратным влиянием на поток можно пренебрегать и счи-
тать скорость однородной части потока неизменной (с" const), что значи-
тельно упрощает расчеты.
В ориентировочных расчетах на небольшом участке за направляющим
аппаратом движение можно считать прямолинейным и совпадающим с на-
правлением потока при выходе из направляющего аппарата. Тогда связь
между координатами, а также между проекциями скоростей сохранится та-
кая же, как для рассмотренной выше идеализированной схемы. В этом слу-
чае в уравнении движения аэрозоля можно положить de' = d (с' —с") —
= —dv и записать его в виде
„_______р* 2
dt ” 8 g р' ’
(XII.56)
где Сх = СХе (v/vQ)-n и нулевыми индексами отмечены величины в момент
времени t = 0.
Таким образом, при сделанных упрощениях задача сводится к интегри-
рованию уравнения
dv
— —A dt,
где
д 3 ри ,
А — -г—= const.
8 I Р
491
Чтобы найти путь s, подставим
с
ds
с" — V
после чего получим
Это уравнение легко интегрируется для начальных условий v = и0 и s = 0
при 0 < п < 1
Аг% L п ,г~ 1
а так как п0 = (1 —"в 0) с" и с — (1 — О) с", где & = с'!с", то
Если задать угол выхода а} и осевую координату г, то из уравнений
(ХП.54) и (ХП.55) определится радиус г, на котором находится аэрозоль
при движении в плоскости uz, и координата (по оси и) у = г2 — r2t
после чего можно вычислить путь аэрозоля s = = р z2 + у2, а затем —
коэффициент разгона из последнего уравнения.
Если аэрозоли срываются с кромок направляющих лопаток, то они
разгоняются газом и паром в кромочном следе за лопатками. Это необходимо
иметь в виду при назначении скорости с", которая может быть взята по опыт-
ным данным(п. VIE3). Скорость в следе довольно интенсивно выравнивается.
В расчетах можно принять ее среднее значение или путь аэрозоля разбить
на несколько участков, на каждом из которых принимать с" — const.
XII.7. ДВИЖЕНИЕ АЭРОЗОЛЕЙ В РАБОЧЕМ КОЛЕСЕ И ЗА НИМ
Очень мелкие аэрозоли, для которых коэффициент разгона близок к еди-
нице, входят в рабочее колесо, имея вектор относительной скорости, мало
отклоняющийся от вектора основного потока. Крупные аэрозоли перед ра-
бочим колесом могут иметь сравнительно небольшой коэффициент разгона.
При этом аэрозоли входят в рабочее колесо под большими отрицательными
углами атаки (рис. ХП.7)
I = ₽1.г —
где — угол, образуемый передней касательной к профилю с осью и\
— угол входа в рабочее колесо аэрозоля.
492
Угол входа pj —функция коэффициента разгона О, характеристического
числа и/с{ и угла выхода щ аэрозоля из направляющего аппарата.
Из треугольника ОАВ для однородной части потока следует
tg Pl = sin O1 -,
COS Ch---
Cl
а для аэрозоля при czj имеем
Ф sin aT
n и
v cos щ-------
о поверхность лопаток.
a) ri
И
Рис. XI 1.8. К выводу уравнения движения
капли на вращающейся пластине: а — вид
на плоскость гх\ б — проекция пластины
на плоскость хуу в — профиль лопатки
Из этих формул находятся углы рг и pj. В случае безударного входа по-
тока (Р1л — pi) разность этих углов определяет угол атаки.
Заметим, что угол атаки в обычном понимании недостаточно отражает
физические последствия удара аэро;
Направление входа аэрозолей
в рабочее колесо оказывает большое
влияние на эрозию лопаток. Это на-
правление определяет нормальную
составляющую скорости wy$ к ка-
сательной к поверхности лопатки
в месте соударения с аэрозолем. Так
как аэрозоли попадают на различные
участки выпуклой поверхности вбли-
зи передней кромки рабочей лопатки,
то очень большое значение имеет
форма профиля в этом месте. Только
для конкретного профиля можно опре-
делить ударную составляющую w'yd
скорости аэрозоля в различных точ-
ках профиля с учетом коэффициента
разгона, относящегося к этой точке.
После того как аэрозоль коснулся
лопатки, он может быть в какой-то
мере раздроблен и отражен обратно
в поток. Некоторая масса аэрозоля
может остаться на поверхности ло-
патки. Рассмотрим схему движения такой массы на вращающейся пластине.
Траектории аэрозоля на вращающейся пластине. Рассмотрим картину
движения небольшой массы /И, помещенной на вращающуюся пластину
(рис. XII.8). Выберем подвижную ортогональную систему координат с на-
чалом О на оси вращения. Пластина установлена под некоторым углом р
к оси и, причем перпендикуляр к оси вращения z лежит в плоскости пла-
стины и он принят за ось г. Ось х находится в той же плоскости и направлена
по потоку. Ось у перпендикулярна к пластине.
Радиус-вектор г*, определяющий положение точки М, лежит в плоскости
пластины. Расстояние от точки 7И до оси z равно проекции этого вектора на
плоскость, проходящую через данную точку перпендикулярно оси z.
Для относительного движения элементарной массы сплошной среды было
получено уравнение (1.53). Если в нем отбросить члены, содержащие гра-
„ 1 Г2(02
диенты давления и скорости в сплошной среде, и заменить —grad -—век-
тором сох (соХг*) (см. рис. 1.3), уравнение движения массы на равномерно
вращающейся пластине с учетом центростремительного и кориолисова уско-
рения можно записать в таком виде:
^1 = F —<0 X (о X г*) —2<о/; w', (ХП.57)
493
где F — интенсивность силы, действующей на массу со стороны враща-
ющейся пластины.
Двойное векторное произведение в последнем уравнении представим
в виде разности векторно-скалярных произведений
й х (ft) X г*) = и (® • г*) — г* (со ®) = г*ю cos (®, г*) ® — cosr*.
Модуль вектора г* выразим через координату г
__ Г X
cos у sin у
Заметим, что согласно рис. XII.8
cos (®, г*) = cos (®, х) cos (г*, х) = sin Р - sin -у.
Теперь легко найти проекции исследуемого вектора на оси х и г:
[<о X (со X г*)]Л. = я®2 sin2[3 — хи2 = — хоз2 cos2 Р;
[со ) (со у г*)],. = — г®2.
Для движения влаги на пластине сг,' = 0. При этом условии имеем:
(® х = ~ = (t>ywг;
(и X v/)r = ^xWy — — — <£>yWx,
где co — co cos p.
Использовав полученные выражения, уравнение (XII.57) в проекциях
на оси х и г запишем таким образом:
-~ = FX -xco2cos2p — 2oy®cos|3; (XII.58)
^L = Fr--n2 'r 2^ и cos p. (XII.59)
Силы, действующие на рассматриваемую массу, возникают под влиянием
трения о поверхность лопатки, аэродинамического воздействия потока и тя-
жести. Две последние силы обычно пренебрежимо малы по сравнению с си-
лами инерции.
Сила трения находится в сложной зависимости от вида аэрозоля и от
скоростей его движения Для влаги задача усложняется тем, что первона-
чальная струйка, попадая в область повышенных окружных скоростей,
размазывается на пластине в тончайшую пленку, распределение скоростей
в которой существенно зависит от числа Re для пленки и от центростреми-
тельных и кориолисовых ускорений. Решение такой задачи не доведено до
такого состояния, когда можно говорить о достаточно точном учете всех
этих явлений и о выводе универсальной формулы. Поэтому, имея в виду
общий случай движения аэрозоля, ограничимся условным допущением, что
сила трения пропорциональна относительной скорости влаги, т. е.
Fmp = — k'w',
где k' — коэффициент, определяемый из опыта.
В таком виде формула дает достаточно точные результаты в сравнительно
узком диапазоне изменения параметров, близких к условиям опыта. При-
менительно к влаге этот коэффициент определялся в соответствии с имею-
щимися следами от движения струек по лопаткам.
494
Подставим в полученные уравнения (XII.58) и (XII.59) выражения для
проекций вектора F и введем относительные величины [8], приняв за мас-
штаб характерный радиус R:
7 , , k'
t = k =-------------------.
’ co
Кроме того, заменим проекции скоростей производными координат по вре-
мени, после чего получим:
(XIL60)
Полученную систему дифференциальных линейных уравнений запишем
в операторной форме, заменив относительное время t на комплексную пере-
менную s и обозначив переменные в изображениях по Лапласу % (s) и г {s)z
(s2 - -ks — cos2 p) x (s) 4
- 2cos(3-sx(s) + (s2 n
2 cos P • sr (s) = 0;
ks— I)r (s) = 0.
(XII.61)
С этими уравнениями можно обращаться как с алгебраическими. Обра-
щение в нуль определителя, составленного из коэффициентов при неизвест-
ных х (s) и г (s) в системе (X 11.61), является условием существования решений,
отличных от нуля. Развернув этот определитель, получим характеристиче-
ское уравнение четвертой степени
s4 4- 2fes3 4- (k2 3 cos2 р — 1) s2— k (i + cos2 P) 8 4- cos2 p — 0.(XII.62)
Корни этого уравнения обозначим sx, s2, s3 и s4.
Общее решение системы дифференциальных уравнений
ставим как сумму четырех частных решений:
х - - А^е5^ j- A2eSs* 4- A3eSsi -J- A4es**",
r — BxeSit [ - К B3es°* + B^eSit.
(X 11.60) пред-
(XII.63)
(XII.64)
Постоянные интегрирования находим из начальных условий, задав коор-
динаты и скорости:
t = х (0) = х0; г (0) = г0; х (0) = х; г (0) = г0.
Подставив эти величины в формулы (X 11.63), (XII.64) и в уравнения,
полученные их дифференцированием, а также в (XII.60), составим уравне-
ния для определения постоянных интегрирования. Таким образом, не пред-
ставляет затруднений найти общее решение системы дифференциальных
уравнений движения влаги на пластине и построить ее траектории (рис. XII.9).
Полученные уравнения позволяют сделать заключения общего харак-
тера.
В системе без трения (k = 0) с изменением угловой скорости меняется
лишь масштаб времени. В такой модели движения при сохранении началь-
ных условий и изменении со траектории сохраняются, а меняется лишь время
прохождения одних и тех же участков. Таким образом, угловая скорость
вращения не влияет на траектории аэрозолей. В случае движения с трением
траектории изменяются под влиянием угловой скорости. Влияние трения на
траектории аэрозолей ослабевает с увеличением со.
495
Изменение начальных условий движения аэрозолей при прочих равных
условиях означает нарушение кинематического подобия и, следовательно,
приводит к изменению их траекторий.
Важный параметр, влияющий на характер траекторий аэрозолей, — угол
установки пластины р. Он полностью определяет свободный член характе-
ристического уравнения, а при отсутствии трения —- также коэффициент
при s2. Вместе с тем угол р на участках турбинной лопатки может меняться
в очень широких пределах. Поэтому изучение его влияния представляет
большой интерес.
Рис. XII.9. Траектории капель на пластинах, установленных
под различными углами р>:
------wx0 = wr0 = °-------™хо = °.1 и wr0 = 0
При р = 90° составляющая кориолисовой силы вдоль оси х равна нулю.
Чем больше угол р отличается от 90е, тем больше траектории отклоняются
от радиального направления. При р 90° составляющая от кориолисо-
вой силы по оси х становится отрицательной, что следует из уравне-
ния (XII.60).
В области х<4) под влиянием центростремительного ускорения появляется
сила по оси х в том же направлении, как и кориолисова сила. Таким образом,
в рассматриваемой области возникновению попятного движения способствуют
не только кориолисовы, но и центростремительные силы. При р > 90 ко-
риолисовы силы отклоняют траектории влаги от радиуса по потоку. На-
правление же составляющей силы от центростремительного ускорения за-
висит только от знака кординаты х. В области х > 0 она действует в том же
направлении, как и кориолисова сила.
Анализ уравнения (X 11.60) позволяет сделать также важные практиче-
ские выводы о движении аэрозолей по поверхности турбинной лопатки.
Аэрозоль, попадая на входной участок выпуклой поверхности рабочей
лопатки с углом р <90°, сразу же оказывается в поле кориолисовых сил,
составляющие от которых по оси х направлены против потока. Начальная же
скорость w'Xtl может быть как положительной, так и отрицательной в зави-
496
симости от угла атаки и, следовательно, от коэффициента разгона и степени
реактивности. Кроме того, под влиянием центростремительного ускорения
дополнительно появляется проекция силы на ось х, направление которой
зависит от знака х. Поэтому некоторые аэрозоли будут продолжать движение
по потоку, другие же могут обратно сбрасываться с колеса. Последние имеют
большую абсолютную скорость и при встрече с направляющими лопатками —
значительную ударную составляющую. Такие аэрозоли вызывают эрозию
лопаток. Их повторные отражения от неподвижных и подвижных лопаток
повышают механические потери.
В области р 90 кориолисовы силы нормальны к поверхности ло-
паток. В этой зоне перемещение аэрозолей по оси х определяется входными
начальными условиями. Если скорость w'Xo достаточна, влага переходит на
поверхность лопатки с углом р > 90°.
На участках лопаток с Р > 90е кориолисовы силы отклоняют траектории
аэрозолей к выходным кромкам. По мере приближения к выходу из колеса
влияние кориолисовых сил возрастает из-за увеличения угла р на выпуклой
поверхности лопатки. В ступенях с закрученными лопатками этот эффект
усиливается, так как к периферии увеличивается угол р. В периферийных
сечениях относительно длинных лопаток уже входной угол р3 > 90°, и
отклоняющее действие на аэрозоли кориолисовых сил по направлению по-
тока сказывается на всем протяжении канала.
В ступенях с большими выходными углами р2 аэрозоли, соприкасаю-
щиеся с лопаткой, могут не достигать периферии, а сбрасываться с колеса
под значительным углом к радиусу в результате действия кориолисовых и
центробежных сил. Это в известной мере ослабляет сепарирующий эффект
колеса.
Аэрозоли на вогнутой поверхности рабочих лопаток кориолисовы силы
стремиться оторвать. Они удерживаются на поверхности, если силы сцепле-
ния достаточно велики (например, для очень тонкой пленки). В этом случае
силы инерции оказывают на аэрозоли такое же отклоняющее действие в за-
висимости от угла Р, как и при их движении по выпуклой поверхности. Аэро-
золи или толстая пленка под действием кориолисовых сил могут срываться
с вогнутой поверхности лопатки.
Начальные условия. Большое влияние на траектории аэрозолей оказывает
их скорость в момент касания лопатки. В осевых турбинах проекция этой
скорости wXo на касательную к поверхности профиля может быть значи-
тельной. Для ее оценки могут быть составлены простые формулы.
В зависимости от коэффициента разгона й1 и углов потока величина w'Xo
может изменяться в очень широких пределах. Она может быть положитель-
ной или отрицательной.
Полученную скорость лишь условно можно считать начальной при опре-
делении траекторий влаги. В момент удара капли о поверхность возни-
кают очень сложные местные явления в результате взаимодействия капель
с пленкой.
Во всех случаях угол р оказывает сильное влияние на характер траек-
торий влаги. При нулевых начальных условиях действие центробежных и
кориолисовых сил складывается. Этим объясняется симметрия в движении
влаги при равных отклонениях угла р от 90° в случае ид0 = = 0.
Относительные скорости сброса влаги с пластины при больших г или х
и k = 0 имеют порядок окружной скорости. Они сильно уменьшаются под
влиянием трения.
Начальная скорость wXo может коренным образом изменять траектории
аэрозолей (рис. XII.9). Эта скорость может быть значительной в условиях
работы турбинного колеса. При ее положительной величине (ш'Хо > 0)
даже при очень малых углах Р аэрозоль на сравнительно узкой пластине
может не получить обратного движения. Если он начинает движение при
32 И. И. Кириллов 497
х0 0, то характер траекторий меняется, так как центростремительное
ускорение в направлении оси х может менять свой знак. При этом оно может
совпадать по направлению с кориолисовой силой или действовать в противо-
положном направлении. Обычно применяются узкие турбинные лопатки
(х С г о)- Поэтому сравнительно невелико влияние различных х0 на траекто-
рии влаги, движущейся по таким лопаткам.
Развитая выше методика построения траекторий влаги на пластинах
может быть применена для рабочей лопатки, если ее разбить по высоте на
участки и каждый из них представить в виде многогранника. Для отдельной
грани траектории влаги строятся как для пластины под углом р, а при пере-
сечении граней вводятся новые начальные условия (r0, х0, w'Xo и ю'Го).
Движение айрозолей за рабочим колесом. Аэрозоли, осевшие на рабочие
лопатки, сходят с кромок в относительном движении приблизительно под
углом Р2л в ПЛОСКОСТИ UZ и под
углом у к оси г. В предыдущем
параграфе было показано, что аэро-
золи имеют большую относитель-
ную скорость в момент сброса их
с рабочих лопаток, причем обычно
особенно велика радиальная со-
ставляющая скорости. Мелкие аэро-
золи, хорошо следующие за пото-
ком, могут выноситься без сопри-
косновения со стенками. Их углы
выхода могут существенно отли-
чаться от углов р2л. Таким обра-
зом, в зависимости от размеров
и начальных условий движения
аэрозолей их траектории за рабо-
чим колесом весьма разнообразны.
Выходные треугольники ско-
ростей аэрозолей за рабочим коле-
сом в плоскости uz показаны на
рис. XI 1.7. Диаграмма построена
в предположении, что в относи-
тельном движении средние векторы скоростей w2 и W2 совпадают по направ-
лению и что w'r = 0. При этом вектор скорости потока относительно аэрозоля
v = с2 — С2 параллелен вектору w2. Если пренебречь обратным влиянием
аэрозолей на поток, что допустимо при малой концентрации аэрозолей,
то вектор с2 останется неизменным по величине и направлению. В этом
случае направление аэродинамической силы, приложенной к аэрозолю,
совпадает с направлением вектора v и он не меняет своего направления
во время движения. Под влиянием этой силы траектория аэрозоля посте-
пенно приближается к траекториям частиц потока. Для расчета траекторий
применимо уравнение движения (XI 1.56).
Радиальная скорость w^r в момент сброса аэрозоля с рабочих лопаток
может оказывать большое влияние на его траекторию. Под влиянием этой
скорости появляется радиальная составляющая аэродинамической силы,
которая при отсутствии радиальных скоростей в основном потоке вычис-
ляется по скорости с'г, в начальный момент равной w\r -
Пространственная траектория аэрозоля строится численным интегри-
рованием. Ее построение дает возможность определить радиальное смещение
аэрозолей перед вступлением в следующий направляющий аппарат.
Примеры траекторий аэрозолей различных размеров за рабочим колесом
даны на рис. XII. 10. Они коренным образом отличаются от траекторий аэро-
золей перед рабочим колесом.
498
XII.8. ТЕЧЕНИЕ ПЛЕНОК
Оседание влаги в виде пленок на поверхностях лопаточного аппарата
играет большую роль в рабочем процессе. Из пленки образуются крупные
капли, от которых в основном зависит эрозия лопаток и потери на разгон
и от торможения. В связи с течением пленок особое направление получают
и решения проблемы сепарации влаги.
Чтобы устранить вредные последствия образования пленок в проточной
части турбины, необходимо уметь управлять их движением. Для этого тре-
буются знания толщины пленки и скорости ее движения. Толщина пленки
зависит от количества влаги, оседающей на поверхности лопатки, размеров
капель, ударяющихся об эту поверхность, кривизны профиля и характера
движения паровой среды на границе раздела.
Состояние пленки на вращающихся поверхностях находится также в за-
висимости от окружной скорости. При большой ее величине влияние сил
инерции становится превалирующим.
Режимы течения пленки. Основная характеристика режима — число
Рейнольдса
где 6 — толщина пленки; с' — средняя скорость пленки относительно стенки;
v' — кинематическая вязкость жидкости.
Из опытов проще определить расход жидкости в пленке, чем ее толщину.
Поэтому расход целесообразно ввести в выражение числа Re
Re = -^-, (XII.65)
И
где GnJl — с'бр' — массовый расход жидкости, протекающей через единицу
ширины пленки; р' — динамическая вязкость жидкости.
Наблюдаются три основных режима течения пленки жидкости 19]:
1. Re < 30-^50 — ламинарное движение со спокойной поверхностью
раздела фаз;
2. Re > ЗО-г-50, но <400-^400 — ламинарное течение с волнистой по-
верхностью раздела фаз;
3. Re > 100-^-400 — турбулентное течение.
В турбинах толщины пленок и скорости их движения изменяются в ши-
роких пределах. Эти величины неоднократно измерялись на лопатках при
различных условиях течения.
В опытах БИТМ при оседании крупнодисперсной влаги на вогнутых
поверхностях лопаток наблюдалось движение над пленкой спутного капель-
ного слоя. При значительно более мелких каплях в опытах ЛПИ это явление
не было обнаружено.
Оценка толщины пленки различными исследователями колебалась в очень
широких пределах: от 6 мкм до 0,15 мм [3]. Для изучения этого вопроса
в ЛПИ были выполнены эксперименты с применением киносъемки. В этих
съемках с вогнутой стороны лопатки на поверхности пленки была видна
сложная картина капиллярных волн. С гребней волн в большом количестве
срывались капли и уносились потоком. Согласно опытам ЛПИ, толщина
пленки на поверхностях направляющих лопаток при больших дозвуковых
скоростях не превосходит 15—20 мкм.
Уравнение движения. Течение пленки аналогично движению погранич-
ного слоя. Характер движения такого слоя устанавливается из формулы
Стокса (1.13)
+ (c'-V)c' = F —-^т-gradp'-J-v'Дс', (ХП.66)
л . а2 , а2 а2 „
где + — оператор Лапласа.
32*
499
Здесь ось х направлена по потоку. Это уравнение можно существенно упро-
стить на основании следующих соображений.
Толщина пленки настолько мала, что ее движение можно рассматривать
плоским. По этой же причине производные от скорости, взятые поперек
пленки, значительно превосходят производные, взятые вдоль пленки. Что
касается сил, передаваемых пленке со стороны паровой фазы, то на неболь-
шом протяжении градиент давления и касательные силы приближенно можно
считать неизменными. Силами тяжести будем пренебрегать. Тогда уравне-
нию (XI 1.66) на рассматриваемом небольшом участке можно придать такой же
вид, как для пограничного слоя, считая, что изменением давления
в направлении оси у можно пренебречь (др/ду = 0). Отбросив
получим
(дсх . дсх , дсх \ dp’ , д2сх
dt Сх дх 1 ду/ dx "Т ду2
Воспользуемся также уравнением неразрывности
в пленке
д2с'х/дх2,
(XI 1.67)
из которого следует
У
о
Для этих уравнений имеем следующие граничные условия:
при у - 0 сх = Су = 0;
с , , дс'х
при У = 6 Р = ра + р\ р т,
где р — давление в потоке над пленкой; ра — капиллярное давление; т —
касательное напряжение на поверхности пленки.
В наших задачах можно считать, что пленка существенно меняет свою
кривизну только вдоль оси х и что она имеет радиус кривизны поверхности
[1+(£)Г
dx2
При малой величине dS/dx для радиуса кривизны пленки можно поль-
зоваться выражением
1 _
Rx dx2
Поэтому капиллярное давление можно выразить формулой
Ро =
d26
dx2
Использовав полученные выражения, уравнение (XI 1.67) можно запи-
сать в таком виде:
/// \
дсх ! дс'х I [ дсх | дсх О 1 dp
dt ' С* дх I J dx V I ду р’ дх3 1 V ду2 р' dx
(XII.68)
Ламинарное течение. На поверхностях неподвижных лопаток пленка
течет очень медленно и на небольших участках ее толщину можно считать
неизменной. При стационарном движении такой пленки расход жидкости
500
сохраняется постоянным и поверхность раздела фаз остается параллельной
стенке. В этом случае последнее уравнение примет вид (индексы х отброшены)
- -4 zr- + V' = 0. (ХП.69)
р' ах dy2 4 7
Из этого уравнения после интегрирования при указанных выше гранич-
ных условиях получим скорость движения пленки
/ 1 dp о 1 / с dp \
с = -тгт -т~У \---И т — о -г- ]у.
2р dx J 1 Ц \ dx / J
Средняя расходная составляющая скорости будет
~ 2
На
поверхности раздела имеем
, de'
Т = LL
* dy
где £ — коэффициент сопротивления; v — скорость пара относительно
пленки.
Скорость жидкости на границе раздела при у = 6 выражается формулой
Скорость пленки мала по сравнению со скоростью пара, поэтому, не
вычисляя ее на границе раздела, с достаточной точностью можно принять
Л и
V с .
Если ввести расход жидкости, протекающей через единицу ширины пленки
(Опл = р'с'б), и пренебречь падением давления в паровом потоке (dp/dx -= 0),
то выражение средней скорости пленки можно переписать так:
с' — —1ЛG — с"2
С ” 2 У пл р' *
(XII.70)
Волновое течение. Пленка искривляется вследствие изменения ско-
ростей сх и су, связанных между собой уравнением неразрывности. В ре-
зультате этого возникает волновое течение пленки, которое наблюдается,
как указывалось, при больших числах Re. Волновой режим течения под-
держивается под влиянием переменной величины давления в пленке р',
зависящего от ее толщины.
Исследования П. Л. Капицы [4] показали, что для волнового режима
течения средняя толщина пленки 60 и среднерасходная скорость со близки
к этим величинам при гладкой поверхности раздела. В тех же исследованиях
было установлено соотношение между фазовой скоростью волн сф и средне-
расходной скоростью: Сф = 2,4с6-
Касательные напряжения т в пленке возникают под влиянием силы со
стороны потока над пленкой (составляющая тп) и силы от проникающих
в пленку капель (тк).
Для оценки составляющей т/г поверхность пленки можно рассматривать
как шероховатую с высотой бугорков /г, равной расстоянию по высоте гребня
и впадины волны. Поверхность будем считать гладкой (см. п. IV.5) при ус-
ловии
где b — хорда лопатки,
1802
501
Если толщину пленки оценить в 15—20мкм, то можно принять величину k
равной —10 мкм. Число Re в паровых турбинах обычно меньше 106. При
этих условиях поверхность лопатки, покрытую пленкой, как правило, можно
считать гладкой.
Пограничный слой у вогнутой поверхности раздела, подвергающийся
турбулизирующему воздействию со стороны множества капель, можно счи-
тать турбулентным на всем протяжении профиля. Поэтому величина т„
может быть определена одним из методов расчета пограничного турбулент-
ного слоя (см. п. IV.4).
Составляющая касательного напряжения т,£ определяется по количеству
движения, равному массе капель, падающих в единицу времени на единицу
поверхности пленки, умноженной на проекцию их скорости на ось х. Эта
скорость для мелких капель близка к скорости пара, а для крупных — может
быть значительно меньше ее.
Рис. XIII.11. Отделение языков влаги (кадры кинофильма):
М — 0.57; у 6% ; р = 0,23 бар
Расход жидкости в пленке определялся экспериментально на пародина-
мическом стенде [7]. Опыты в ЛПИ подтвердили большой унос капель с вол-
новой поверхности пленки после достижения критического расхода. Так,
при МС1 0,8 и у = 18% унос влаги с поверхности пленки составлял —-15% ,
а при сверхзвуковых скоростях достигал 25%.
Стекание и дробление пленок. С выходных кромок направляющих лопаток
пленка стекает локально в виде кусков, которые разбиваются на капли.
При небольшой начальной влажности и дозвуковых скоростях на кромке
лопатки наблюдалось [6] .пульсирующее сбегание пленки в кромочный след.
С набухшей на кромке пленки отделялись язычки влаги (рис. XII. 11), ме-
нявшие свое местоположение. Эти язычки вытягивались на 2—3 мм, после
чего отделялась капля радиусом 0,1—0,2 мм.
Этот характер стекания пленки сохранялся также для околозвуковых и
сверхзвуковых режимов течения при изменении степени влажности в широком
диапазоне. При небольших дозвуковых скоростях наблюдались срывы кус-
ков пленки, которые дробились на некотором расстоянии от кромок (порядка
10 мм вдоль следа). Величина этого расстояния значительно уменьшалась с по-
вышением давления пара.
В зоне вторичных течений пленка срывалась на некотором расстоянии от
концов лопаток, причем наблюдалось стабильное местоположение язычков
в отличие от нестабильного их образования в других местах кромки. Не-
посредственно после срыва куски пленки и капли в кромочном следе имели
скорость всего несколько десятых метра в секунду. Действительный разгон
капли довольно хорошо совпадал с расчетным, определенным по формуле
(XI 1.56), если за скорость пара в осевом зазоре принять среднюю скорость
в следе
с" __ '«о ^Ссло,5
2 ’
где сСЛо и сСЛо 5 — скорости пара в ядре следа и в точке по ширине следа, где
отклонение от скорости в ядре потока вдвое меньше, чем в ядре следа.
502
Распад стекающей пленки на капли происходит при нарушении формы
свободной поверхности под влиянием нестационарных колебаний. При малых
скоростях пара относительно жидкости основное ее течение неустойчиво по
отношению к длинноволновым колебаниям с образованием крупных капель,
а при больших скоростях — к коротковолновым колебаниям с образованием
мелких капель. Для потока в паровых турбинах характерна неустойчивость
последнего типа.
Время ткр достижения критической фазы можно оценить [2] по формуле
хкр^ 1,65 4/-^,
(XII.71)
где v — скорость пара относительно капли.
Из теории распиливания жидкости форсунками известно, что характерный
размер капель в основном зависит от критерия Вебера»
We =
а ’
где dQ — толщина струи жидкости.
Критерием Вебера можно воспользоваться для определения устойчивости
капли к дроблению.
С увеличением скорости разгоняемой капли относительно пара число
Вебера уменьшается. Опыты показывают, что если время достижения кри-
тической фазы деформации меньше времени ее разгона, при котором We 14,
то капля дробится. Если это условие не выполняется, деформация капли
после достижения максимума начинает уменьшаться. По мере снижения
относительной скорости форма капли приближается к сферической.
Опыты в ЛПИ косвенно также подтверждают эти положения. Для кадров
на рис. XII. 11 число Вебера было близко к четырнадцати. Время достиже-
ния критической фазы капли хкр 0,5 • 10-3 с было значительно меньше
времени ее разгона до момента, когда We = 14. В этих условиях капля
должна дробиться, что и наблюдалось в опытах.
Согласно теории Прандтля и других исследователей, характерный размер
капель зависит не только от критерия Вебера, но и от ряда безразмерных
комплексов [2, 8]. В результате обработки экспериментальных данных была
предложена [11] формула среднего размера капель
(" х " —0,9
. (XII.72)
wAf 9
В опытах ЛПИ [6] при = 0,06 бар, М = 1 и # = 0,05 радиус капли
по формуле (X 11.72) ^ср 0,1 мм, а замеренная ее величина была в 1,5—
2 раза больше. Такую точность расчета можно признать удовлетворительной
для практических целей.
Дисперсность влаги в турбине. Вопрос о распределении влаги в турбине
вдоль радиуса имеет большое значение при оценке механических потерь от
влажности, конструировании сепараторов и разработке защиты лопаток от
эрозии.
В последнее время были опубликованы некоторые данные о распреде-
лении влаги по высоте проточной части за последней ступенью турбины. Ре-
зультаты всех эти опытов нанесены на один график на рис. XII. 12 [5].
Их анализ показывает, что периферийные сепараторы могут оказывать влия-
ние только на — 1/5 высоты проточной части.
Опыты в ЛПИ и в других организациях выявили также количество влаги,
находящейся в пленке в последних ступенях крупных турбин. Для этой цели
на кромках направляющих лопаток устанавливались улавливатели пленки.
Распределение по высоте лопаток этого наиболее опасного для эрозии вида
влаги показано на рис. XII.13 [10]. Согласно этим опытам, в пленке сосредо-
503
Рис. XII. 13. Распределение пленочной влаги за последним
направляющим аппаратом по опытам ЛПИ: а — проточная
часть; б — распределение влаги:
1 — и — 2504-320 м/с; 2 — расчет; 3 — и = 180 м/с
504
точено до 20% от всей влаги перед ступенью Эти опыты подтвердили воз-
можность применения эффективных внутриканальных сепараторов с щеле-
выми и другими отводами пленки с поверхностей лопаток.
ХП.8. ПОТЕРИ ЭНЕРГИИ В ПОТОКАХ, НЕСУЩИХ АЭРОЗОЛИ
Здесь рассмотрим лишь дополнительные потери, связанные с движением
аэрозолей, скорость которых существенно отличается от скорости однородной
части потока. Механические потери, вызванные диссипацией энергии, свой-
ственны любому потоку, содержащему аэрозоли. Поэтому прежде всего рас-
смотрим потери от разгона и торможения.
Термодинамические потери (переохлаждение и др.) возникают в связи
с фазовыми переходами. Их рассмотрим применительно к двухфазным средам.
Затрата энергии на разгон аэрозолей. В направляющем аппарате и при
выходе из него крупные аэрозоли имеют скорость, меньшую, чем поток, и
под влиянием аэродинамической силы они разгоняются. В частности, капли,
получаемые в результате дробления пленки при сходе с выходных кромок
направляющих лопаток, имеют вблизи кромок незначительную скорость.
Они разгоняются в осевом зазоре, но и после разгона обычно их скорость
значительно меньше, чем основного потока. Поэтому крупные аэрозоли вхо-
дят в рабочее колесо под большим отрицательным углом атаки.
С выходных кромок рабочих лопаток аэрозоли сбрасываются со скоростью,
резко отличающейся от скорости потока по величине и направлению
(рис. XII.7). Эти аэрозоли тормозятся потоком, и в зависимости от величины
осевого зазора они входят под некоторым углом атаки в следующий направ-
ляющий аппарат.
Применительно к одномерному течению можно воспользоваться уравне-
нием движения аэрозоля (XII.56) в таком виде:
7 = тт7|м1* (Х11.73)
где сир — скорость и плотность однородной части потока. Разбив путь s
на участки, можно подсчитать скорость аэрозоля с' = f (s).
Коэффициентом разгона' бу дем называть отношение скоростей аэрозоля
и потока & = с' 1с.
В каждом килограмме потока содержится пцщ кг аэрозолей числом
и радиусом Силы сопротивления этих аэрозолей будем считать равномерно
распределенными в потоке, подобно тому как распределены массовые силы.
Определим работу dhpi, затрачиваемую потоком на разгон аэрозолей i-й
группы на протяжении участка ds; = с, dt. Обратным влиянием аэрозолей
на поток будем пренебрегать, что можно допустить при сравнительно малых
коэффициентах концентрации. Для упрощения запишем уравнения для од-
ной группы, состоящей из п аэрозолей в 1 кг массы однородного потока.
В случае нескольких групп затраченная на их разгон работа суммируется.
При сделанных допущениях искомая затрата работы выражается уравнением
dhp = Рап ds = пт с dt.
Произведение пт представляет собой коэффициент массовой концентра-
ции по отношению к данной группе аэрозолей, т. е. пт = уВт, где уВт =
= GbIGa. Использовав выражение (XII 73), последнее уравнение запишем
в таком виде:
dhp = ^Ув,п^-~г (1 - ftfc-ds. (XII.74)
505
Работа, преобразуемая в кинетическую энергию аэрозоля за то же
время dt, меньше затрачиваемой потоком. Она определяется выражением
dhK,JH = Pands',
ixLLrt. 1Л ’
где ds' — с' dt.
Следовательно,
ДА — ДА — Ц НА
ШСК11Н -- ----- V UJfp,
и диссипированная энергия находится как разность
dhdllc — dhp dhKUH — (1 tt) dhp.
При малых коэффициентах разгона диссипируется значительная часть энер-
гии, затрачиваемой на разгон.
Коэффициент сопротивления Сх находится в зависимости от скорости
потока по отношению к аэрозолю. Подставив его выражение в последние
формулы, при некоторых условиях просто найти интеграл работы в зависи-
мости от пройденного пути s [8]. Во всех практических задачах имеется воз-
можность получить достаточно точное решение, разбив путь s на участки и
вычислив работы для каждого из них с заменой dh и ds на малые величины
Д/г и As.
Мощность торможения. Аэрозоли, пересекая рабочее колесо, получают
от него или сообщают ему мощность NB. В первом случае будем считать ее
положительной, во втором случае — отрицательной. Величина и знак мощ-
ности определяются по формуле (записано для одной группы аэрозолей)
гь
NB = j (piCiudGBi — U2c2u.dGB<2),
ra
где ra и rb — радиусы крайних цилиндрических сечений рассматриваемого
участка проточной части ступени; GBl и GBa — расходы крупнодисперсной
влаги в сечениях 1 и 2.
Для грубой оценки можно принять с2и = и2. При этом получим завы-
шенную мощность торможения, так как в действительности аэрозоли сходят
с колеса со скоростью ш2, которая может быть значительной. Кроме того,
допустим, что вся влага сбрасывается у периферии, где и2 — ин. Приняв
также и±с1и = const и раздвинув пределы интегрирования от корневого се-
чения до периферии, получим
Л/в = GB — ин).
Воспользуемся выражением
Ciu — CTq>* cos ах ]/ 1 — рг,
где Ст = [ 2/гг; 1гт — располагаемая удельная работа (при расширении пара
учитывается переохлаждение); ср* — коэффициент скорости однородного
потока с учетом потерь от разгона аэрозолей вплоть до рабочего колеса;
рг — термодинамическая степень реактивности.
Из двух последних уравнений найдем коэффициент торможения
S; = _^. = 2^[(^)2--g-^*cosai/T^7r] , (X 11.75)
С'2
где Na = GAhT = Ga-~- — теоретическая мощность однородной части по-
тока; ув = Gb/Ga — коэффициент концентрации для рассматриваемой группы
аэрозолей, иг — окружная скорость на радиусе, для которого берутся
ctx, рг и &.
506
В этой формуле первый член в квадратной скобке характеризует тор-
можение из-за того, что сбрасываемые с рабочих лопаток аэрозоли имеют
абсолютную скорость, направленную по вращению колеса. Второй член
в этой скобке характеризует положительную работу, которую совершают
аэрозоли, пересекая колесо. Он увеличивается с возрастанием коэффициента
разгона. Структура формулы (XII.75) показывает тесную взаимосвязь по-
терь от разгона и торможения. Их следует рассматривать совместно.
При определении потерь торможения важное значение может иметь по-
вторное сбрасывание с рабочих лопаток.
Сталкиваясь с рабочими лопатками под влиянием кориолисовых сил,
аэрозоли могут сбрасываться с лопаток навстречу потоку. Эти аэрозоли
вновь разгоняются потоком и вторично входят в рабочее колесо, обладая
большей кинетической энергией. При этом дополнительные затраты энергии
невелики. Если же отраженные аэрозоли достигают кромок предшествующих
направляющих лопаток, то от удара они в основном теряют свою кинетиче-
скую энергию. Так как эти аэрозоли в момент удара могут иметь окружную
составляющую скорости, близкую к окружной скорости колеса, то потери
от их удара в направляющие лопатки значительны.
Иная картина движения получается у периферии безбандажного колеса.
Аэрозоли, сбрасываемые с рабочих лопаток с большой радиальной состав-
ляющей скорости (рис. XII.9), пересекают радиальный зазор и с большой
силой ударяют о периферийную ограничивающую стенку. Их отражение
обратно в колесо и повторные сбросы вполне возможны. При этом для аэро-
золей в области периферии потери торможения необходимо вводить с коэф-
фициентом кратности.
Коэффициенты скорости. Энергия, затрачиваемая однородным потоком
на разгон крупных аэрозолей, приводит к уменьшению скорости потока перед
рабочим колесом и за ним. Оценку изменения этих скоростей под влиянием
разгона аэрозолей можно дать с помощью коэффициентов скоростей. Дей-
ствительные скорости потока перед рабочим колесом и за ним можно выра-
зить формулами:
q = ф*си и СУ2 =
где ф* и ф* —коэффициенты скорости, учитывающие как аэродинамические
потери, так и потери от разгона аэрозолей в межлопаточном канале; clt и
w.2t — теоретические скорости, они находятся по располагаемым перепадам
энтальпий hTi в направляющем аппарате и hr2 — в рабочем колесе.
Влияние коэффициентов скорости на характеристики турбинных ступе-
ней достаточно хорошо изучены. Зная их, можно оценить влияние потерь аэро-
динамических и от разгона аэрозолей на характеристики ступени.
Потери от переохлаждения в двухфазных потоках. Перепад энтальпий
при расширении с переохлаждением пара получается меньше, чем в условиях
равновесного расширения до того же давления (рис. XI 1.2). Энтальпия пере-
охлажденного пара в конце процесса расширения выше, чем в конечной точке
равновесного процесса, на величину
Аг = h0 — hT,
где h0 и hT — теоретические работы соответственно при равновесном расши-
рении и при расширении с полным переохлаждением.
Если пар конденсируется лишь частично и за ступенью его степень влаж-
ности у меньше ее равновесного значения у-, то располагаемая работа hT
уменьшается по сравнению с равновесной на величину бг <ф Аг, причем
6i = xi -ф yi — xsis — ysis,
где индексами s отмечены параметры в конце равновесного расширения.
Параметры частично переохлажденного пара определяются по резуль-
татам расчета процесса конденсации. При этом скрытая теплота фазового
507
перехода в зависимости от переохлаждения передается потоку на различ-
ных уровнях давления и температуры. Переход этого тепла при понижен-
ном давлении, естественно, сопряжен с уменьшением теоретической ра-
боты. Чем больше углубляется процесс с переохлаждением в область
влажного пара, тем выше необратимые потери. Поэтому сопла с большим
градиентом энтальпии, смещающие зону Вильсона в область пониженного
давления и повышающие переохлаждение, вызывают повышенные потери
энергии от переохлаждения.
Физически необратимость процесса объясняется теплообменом между
фазами. Рассмотрим схему, в которой исследуемый необратимый
процесс заменен эквивалентным обратимым. Для этого в идеализирован-
ной схеме вообразим машины Карно, работающие между уровнями тем-
ператур капель Т' и пара Т. Эта теоретически возможная работа на
самом деле отсутствует. Ее величиной можно оценить потери от теплооб-
мена в процессе с переохлаждением.
Таким образом, величину диссипации энергии от теплообмена на рас-
сматриваемом участке проточной части и для каждой группы капель или для
осредненного их размера можно вычислить по формуле
Айобл = А^1--^, iX 11.76)
где = г Ltji — количество тепла, передаваемого пару от данной группы
капель, или всего тепла, если расчет ведется по среднему размеру капель.
Сумма потерь на всех участках составит общую диссипацию энергии в сту-
пени от расширения частично переохлажденного пара.
При детальном исследовании потерь от переохлаждения следует иметь
в виду, что огромное количество зарождающихся и вновь испаряющихся
капелек все время служит источником потерь энергии из-за теплообмена
между фазами. Поэтому, если расчет ведется по одной осреднензой группе
капель, то дается лишь весьма приближенная оценка потепь от теплообмена.
При расчете процесса конденсации и роста капель по участкам автома-
тически учитываются и необратимые потери. Чем медленнее протекает про-
цесс конденсации, тем меньше переохлаждение и вызванные им потери.
При определенном подводе количества тепла вследствие конденсации в рас-
ширяющихся соплах или в косом срезе возможно появление скачков уплот-
нения. В этом случае к потерям от теплообмена прибавляются чисто газо-
динамические потери. Состояние двухфазной среды за скачком необходимо
определять с учетом полных потерь. Этого можно достигнуть методом после-
довательных приближений, добиваясь равновесного состояния за скачком.
Чтобы быстро достигнуть цели, степень влажности за скачком следует при-
нимать существенно ниже, чем за зоной процесса конденсации без скачка
при тех же начальных условиях.
Располагаемый перепад энтальпий hT в ступени с учетом потерь от пере-
охлаждения находится по начальному и конечному состояниям пара.
Из сказанного следует, что на потери энергии оказывает существенное
влияние выбор зоны процесса конденсации и ее геометрические характери-
стики.
Суммарные коэффициенты потерь. Для оценки суммарных потерь необ-
ходимо сопоставить действительную работу, развиваемую в ступени как
однородной частью потока, так и аэрозолями, с располагаемой работой.
В качестве теоретической примем мощность
(V о = Gh0,
где h0 — перепад энтальпий при изоэнтропийном равновесном расширении
потока.
К- п. д. ступени при работе на влажном паре определяется как отношение
суммы мощностей NA однородной части потока и NB аэрозолей (обычно
508
отрицательной) к теоретической мощности
„ _Na + NB
1]а+б N~o
(XII.77)
Для определения к. п. д. ступени тц-ьв по полным параметрам, т. е-
с использованием выходной кинетической энергии получим
WB = r^+X- (ХП78>
G (/г0 с2/2)
В практических расчетах влажнопаровых ступеней пользуются весьма
упрощенными коэффициентами потерь, отнесенными к единице влажности.
Поскольку прямые потери торможения не зависят от к. п. д. ступени, а
потери от разгона капель с ним связаны, вводится два типа коэффициентов
потерь от влажности:
= или а2 = , (XII.79)
Уо ^сУо
где i/0 — степень влажности перед ступенью; цс — к. п. д. ступени при ра-
боте на перегретом паре.
Эти коэффициенты обычно учитывают все потери от влажности, включая
и потери от переохлаждения. Последние зависят от многочисленных факто-
Рис. XII. 14. Суммарный коэффициент потерь а по опытам ЛПИ
ров и принципиально не могут быть оценены такими простыми коэффициен-
тами. Поэтому опытные значения коэффициентов ау и а2 изменяются в до-
вольно широких пределах (аг — от 1 до 1,6).
Опытные данные. В литературе опубликовано много данных по к. п. д.
влажнопаровых ступеней, испытанных при небольших окружных скоростях
и при подводе к ступени крупнодисперсной влаги. Здесь ограничимся рас-
смотрением результатов опытов для последних ступеней мощных конден-
сационных паровых турбин, испытанных в широком диапазоне окружных
скоростей в условиях, близких к натурным (рис. XII. 14).
'Результаты опытов приведены для ступеней моделей I и III, которые
испытывались в качестве первых ступеней в двухступенчатой эксперимен-
тальной турбине ЛПИ, й для ступеней моделей II и IV, испытанных в ка-
честве вторых в той же турбине. Перепады энтальпий на каждую ступень
сохранялись приблизительно одинаковыми, а менялись окружные скорости.
К первым ступеням в двухступенчатой турбине подводилась крупнодис-
персная влага, полученная искусственным путем, а ко вторым ступеням —
гораздо более мелкие капли, уже раздробленные в первых подготовительных
ступенях. Таким образом, лишь вторые ступени находились в условиях,
приближающихся к натурным.
К первым ступеням крупнодисперсная влага подводилась приблизительно
равномерно по всей высоте, а во вторых ступенях она уже была сосредоточена
в периферийной области, занимавшей приблизительно одну треть высоты
проточной части. В каждой из этих ступеней процесс конденсации в основном
протекал одинаково в рассматриваемой зоне изменения окружных скоро-
стей. Суммарные потери от влажности всех ступеней с возрастанием окружной
509
скорости увеличивались быстрее чем Эти потери для вторых ступеней
возрастали значительно быстрее, чем для первых.
Такая же картина наблюдается для модели V, испытанной в четырех-
ступенчатой экспериментальной турбине ХТГЗ в качестве последней сту-
пени этой группы. В этих опытах процесс конденсации протекал в естествен-
ных условиях, и поэтому влага была более мелкодисперсной, чем при испы-
таниях моделей I—IV.
Так как перепады энтальпий в рассматриваемых ступенях отклонялись
незначительно, то потери от переохлаждения не могли существенно меняться.
Потери от торможения влагой рабочего колеса согласно формуле (X 11.75)
должны бы изменяться при указанных условиях (Со const) приблизи-
тельно пропорционально ц2 (первый член в формуле). Второй же член в этой
формуле, отражающий положительную работу влаги при достаточном коэф-
фициенте разгона О, не имел решающего значения в диапазоне изменения
и/С0 во время опытов и в основном должен был скорее уменьшать потери
торможения, чем увеличивать (степень реактивности рг в большинстве
опытов возрастала с ростом и).
Вместе с тем характер опытных кривых соответствует более интенсивному
возрастанию механических потерь с увеличением окружной скорости. Причем
это возрастание сильнее сказывалось в моделях II, IV nV, где влага была
сконцентрирована у периферии (особенно в модели V). Это явление может
быть объяснено многократным отражением капель от периферийной стенки
и от направляющих лопаток и повторным их попаданием в рабочее колесо.
У всех испытанных ступеней не было бандажей, и они имели сравнительно
небольшие радиальные зазоры. Поэтому многократное сбрасывание влаги
с колеса и обратное ее отражение через небольшой радиальнй зазор пред-
ставляется вполне вероятным.
Высокий общий уровень суммарных потерь в моделях I—IV объясняется
наличием более крупных капель, чем в модели V, к которой подводилась
влага в результате естественной конденсации в четырех предшествующих
ступенях. Таким образом, общий уровень потерь от влажности в большой
мере зависит от ее дисперсности.
ХИЛО. ЭРОЗИЯ ЛОПАТОК
Последние ступени крупных конденсационных турбин работают во влаж-
ном паре при очень больших окружных скоростях, иногда превышающих
600 м/с. Промежуточный перегрев пара существенно снижает количество
влаги в части низкого давления, но ее все же достаточно, чтобы вызывать
механические повреждения лопаток — эрозию. От эрозии больше всего
страдают входные кромки лопаток.
Механический износ лопаток наблюдается и во всех типах турбомашин,
работающих на запыленных потоках. Сильную эрозию лопаток газовых
турбин может вызвать поток, несущий твердые фракции, остающиеся после
сгорания некоторых видов топлива.
Чтобы судить о силе удара крупных аэрозолей о поверхность лопаток
и выяснить зону, подверженную наибольшей эрозии, необходимо знать их
траектории и нормальные составляющие скоростей в момент соударения
(рис. XI 1.7). Последние могут быть рассчитаны с достаточной точностью
по ранее приведенным формулам. Для суждения о разрушительной силе
ударов необходимо изучать физические явления, сопровождающие эрозию.
Применительно к ударам капель о лопатки полезно провести аналогию с ги-
дравлическим ударом в трубопроводах.
Гидравлический удар. Если в трубопроводе, по которому движется ка-
пельная жидкость, резко изменить скорость, прикрыв задвижку, то возникает
столь же резкое изменение давления — гидравлический удар. Теория ги-
510
дравлического удара при одномерном установившемся движении была дана
Н. Е. Жуковским.
В случае внезапного закрытия задвижки в столбе жидкости вверх
по потоку распространяется волна давления. Если при этом жидкость дви-
галась со скоростью w вдоль оси х, то давление в слое, живое сечение кото-
рого f и протяженность dx, определяется из уравнения количества движения
fdp = fp' dx^-= fp' ^dw. (XII.80)
Возникшее при ударе возмущение распространяется со скоростью ударной
волны v = (dx/df). Вблизи препятствия на участке, где скорость жидкости
падает от своего первоначального значения w до нуля, приращение давления
найдем, интегрируя уравнение (ХП.80),
Руд vp’w. (ХП.81)
Во многих случаях можно принимать, что возникают малые возмущения
и что волна распространяется со скоростью звука (п = а). Для воды при
комнатной температуре a 1435 м/с. При большой скорости движения жид-
кости может возникнуть сильная ударная волна и будет v > а.
Механизм эрозии. Удар капли о твердую поверхность сопровождает
эффект, аналогичный гидравлическому удару. В момент соприкосновения
Рис. XII.15. Распространение волны сжа-
тия при ударе капли о лопатку
Рис. XII.16. Зависимость интен-
сивности эрозионных разруше-
ний от времени t
с поверхностью лопатки капля меняет форму, и это сказывается на величине
и продолжительности давления. Несмотря на это формула (ХП.81) дает
все же некоторую оценку максимально возможной величины давления, если
за скорость движения жидкости принять нормальную ее составляющую
(ру = wyd).
Предел деформации сжатия жидкости во время удара капли можно ориен-
тировочно оценить из следующих соображений. Пусть волна сжатия, отра-
женная от жесткой площади соударения, начинается в точке А (рис. XII.15).
Она может достигнуть точки В раньше, чем последняя коснется той же пло-
скости, если соблюдается неравенство
sin у.
V
В предельном случае оно обращается в равенство. При этом площадь кон-
такта, на которую распространяется давление от ударной волны, будет
ng2 sin2 у = ng2
где ё, — радиус капли. За этим пределом возможно интенсивное растекание.
Расчеты и опыты [15] позволяют заключить, что при больших скоростях
(500 м/с и больше) жидкие капли обладают огромной разрушительной силой.
Повреждения лопаток водяными каплями. Под влиянием большого дав-
ления от гидравлического удара в материале лопаток возникают трещины.
511
Форма разрушения зависит от характера соударения. Небольшая область
под каплей испытывает сжатие, а примыкающая к ней по окружности по-
лоса — растяжение. Последнее служит причиной образования трещин.
Поток жидкости, с большой скоростью растекающейся по поверхности, вы-
мывает материал из зоны образования трещин. Этот поток сам может вызы-
вать разрушения своим срезывающим воздействием на образовавшиеся на
поверхности выступы, при обтекании которых возникают большие силы. Из-
нос материала протекает под влиянием большого числа ударов в результате
накопления малых повреждений.
Наибольшее влияние на эрозию лопаток оказывает величина скорости
соударений. Эрозия начинается после достижения определенной скорости
удара капель. После перехода этого порога эрозия быстро нарастает с повы-
шением скорости. Большинство исследователей считает, что эрозионный
износ зависит от скорости соударений в степени 2—3. Поэтому конструктор
должен весьма осмотрительно повышать окружную скорость влажнопаровых
ступеней.
Из опытов следует, что эрозия начинается при некоторой величине нор-
мальной к профилю составляющей скорости (обычно wyg > 150 м/с). По
мере развития эрозии нормальная составляющая скорости к поверхности
меняется, что может усиливать эрозию.
Испытания показывают зависимость износа от диаметра капель. Хотя
с ростом капли максимальное давление не увеличивается, растет продолжи-
тельность взаимодействий капли с поверхностью и зона, на которую распро-
страняется давление. Некоторые опыты показали, что износ зависит от с!я.
На износ, конечно, оказывает влияние и коэффициент концентрации капель,
так как от него зависит количество соударений.
Во время опытов при измерениях потери массы обнаруживается три этапа
эрозийного износа. На первом этапе скорость эрозионного износа мала, на
втором она достигает максимальной величины, и на третьем она асимптоти-
чески приближается к некоторому постоянному значению. Характер эро-
зионного износа показан на рис. XII. 16 [15]. Интенсивность эрозии опреде-
ляется как отношение dm.'dG, где т — масса испытываемого образца и G —
расчетная масса ударяющих аэрозолей, причем плотность их распределения
предполагается равномерной.
Знание характерных размеров аэрозолей, их траекторий и скоростей дает
возможность устанавливать опытные коэффициенты в расчетных формулах
на основании наблюдающегося во время длительной эксплуатации эрозион-
ного износа. Такие исследования открывают перспективу расчетным путем
выявлять опасные в отношении эрозии зоны на поверхностях лопаток и кор-
ректировать их профили вблизи входных кромок с целью повышения эрозио-
устойчпвости.
ГЛАВА XIII
МЕТОДЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ПРОТОЧНЫХ ЧАСТЕЙ
МНОГОСТУПЕНЧАТЫХ ТУРБОМАШИН
Задача проектирования проточной части многоступенчатой турбомашины
состоит в том, чтобы создать безусловно надежный высокоэкономичный агре-
гат. При этом экономическая проблема весьма многообразна, и высокий
к. и. д. турбомашины — очень важная, но лишь одна сторона этой про-
блемы. Вопросы стоимости новых машин, их долговечности, степени унифи-
кации деталей и узлов, особые требования эксплуатации (режимы работы),
а также многие другие соображения играют важную роль при выборе опти-
мального варианта проточной части турбомашины. Но эти вопросы выходят
за рамки рассматриваемой теории. Здесь мы ограничимся изучением про-
блемы в основном с точки зрения достижения высокого к. п. д. турбо-
машины.
Проточная часть турбомашин должна проектироваться из ступеней,
модели которых созданы на базе расчетных исследований, всесторонне испы-
таны и доведены на экспериментальных стендах в условиях, близких к на-
турным. Усовершенствованные таким образом ступени принимаются в ка-
честве «исходных». Из них создаются различные мрдификации ступеней
с некоторым изменением высоты лопаток (метод «подрезки»), угла установки
и шага [1, 2,3,]. Вносятся и некоторые другие изменения, влияние которых
на характеристики ступени может быть учтено достаточно надежно введением
в расчеты поправочных коэффициентов. Таким образом проектируются
группы ступеней, образующие отдельные отсеки проточной части турбо-
машины.
Создание таких групп ступеней на базе одних результатов продувок не-
подвижных решеток профилей нельзя признать достаточно обоснованным,
так как профили лопаток, показавшие хорошие результаты в решетках,
могут существенно изменить свои свойства в условиях нестационарного
потока. Из этих соображений крайне желательны испытания на стендах групп
ступеней с целью достаточно точной оценки их взаимного влияния. Это осо-
бенно относится к ступеням, за которыми получаются неравномерные поля
давлений и скоростей.
В процессе предварительного проектирования группы турбинных сту-
пеней весьма полезно построение треугольников скоростей, хотя бы на базе
одномерной теории. Тщательный анализ кинематических схем всегда бывает
плодотворен при разрешении практических инженерных задач.
На практике применяются весьма разнообразные методы формирования
проточных частей турбомашин. Ниже обсуждаются лишь примеры методов
проектирования групп ступеней.
X11I.1. МНОГОСТУПЕНЧАТЫЕ ТУРБИНЫ
Выбор числа ступеней турбины производится в зависимости
от величины общего теплового перепада. При заданных параметрах и рас-
ходе рабочего тела перепад энтальпий в каждой ступени тем меньше, а ло-
патки получаются тем выше, чем больше число ступеней. Увеличение длин
33 И. И. Кириллов 513
лопаток до известного предела полезно, так как при этом уменьшаются кон-
цевые потери энергии. С другой стороны, диаметр ступени выбирается сравни-
тельно небольшим из условий прочности, а также по соображениям техно-
логического характера, связанным с изготовлением больших поковок.
В соответствии с выбранным диаметром длины лопаток также должны быть
ограничены во избежание возрастания потерь энергии при чрезмерно боль-
шой веерности. При выборе размеров ступеней тепловых турбин следует
иметь в виду, что при малом температурном перепаде в ступени за ней может
установиться чрезмерно высокая температура.
Стоимость и размеры турбины в значительной мере зависят от числа сту-
пеней, и эти важные характеристики турбины также должны приниматься
во внимание при проектировании проточной части. Заметим, что сокращение
числа ступеней при одновременном увеличении их диаметров далеко не всегда
приводит к уменьшению веса, длины и стоимости турбины.
Таким образом, исходя из ряда принципиальных соображений, путем
изучения проектных вариантов устанавливается оптимальное число ступеней,
обеспечивающее достаточно высокие экономические показатели турбины.
При этом требования к к. п. д. согласуются с характером загрузки (числом
часов работы в году и пр.), стоимостью всей установки и эксплуатационными
расходами.
При большом расходе рабочего тела лопатки получаются относительно
длинными и для достижения требуемого к. п. д. их выполняют закрученными.
При этом проектирование проточной части одной из группы ступеней целе-
сообразно начинать с определения размеров лопатки наибольшей длины.
Вместе с выбором числа ступеней решается и вопрос о выборе наивыгод-
нейшей формы проточной части. Если главная задача состоит в том, чтобы,
по возможности, сократить число ступеней, то после того, как становится
достаточной высота проточной части, при которой возможен высокий к. п. д.
ступеней, может оказаться выгодным корневые диаметры последующих сту-
пеней постепенно увеличивать с сохранением приблизительно одинаковой
степени реактивности в корневом сечении. При этом будут возрастать также
перепады энтальпий на каждую последующую ступень. Переход от одной
ступени к другой выполняется по-разному. В газовых турбинах при сравни-
тельно небольшой степени понижения давления’ высота проточной части из-
меняется постепенно. В мощных паровых турбинах в области низкого давле-
ния во многих конструкциях приходится допускать резкие переходы, свя-
занные с существенными потерями энергии.
Иногда при проектировании группы турбинных ступеней в их средних
сечениях поддерживают одну и ту же степень реактивности и сохраняют
для этих сечений подобие треугольников скоростей. В такой проточной части,
согласно законам подобия, перепады энтальпий распределяются между
ступенями прямо пропорционально квадратам окружных ско остей. При
этом степени реактивности в корневых сечениях ступеней получаются раз-
личными. Если лопатки не закручены, то небольшое отклонение условий
работы в корневых сечениях может играть второстепенную роль. В случае
закрученных лопаток и различной степени реактивности в двух ступенях
неодинаковыми получаются и профили. Лопатки различаются между собой
в еще большей мере, если средние диаметры ступеней быстро возрастают, как
это часто приходится делать в части низкого давления паровых турбин.
Изготовление лопаток с различными профилями по высоте проточной части
требует значительных затрат. Таким образом, этот метод проектирования,
позволяя установить минимальное число ступеней, удорожает производство.
Дополнительные затраты во многих случаях вполне оправдываются улучше-
нием прочих экономических показателей, связанных с уменьшением размеров
и веса турбин.
В других случаях, например в высокотемпературных турбинах, диа-
метры корневых сечений ступеней могут оказаться ограниченными по тех-
514
нологическим соображениям, по прочности или вследствие конструктивных
особенностей. В таких условиях выгодно выбирать для всех ступеней один
и тот же максимально допустимый корневой диаметр. Сохранение одинако-
вого корневого диаметра проточной части турбины открывает возможность
применения однотипных лопаток с их подрезкой от периферии при сохра-
нении оптимальных условий работы. В качестве примера рассмотрим этот
метод расчета, предложенный автором [1].
Ступени из однотипных лопаток. Особенность ступени постоянной цир-
куляции заключается в том, что если оптимальные условия работы ступени
достигнуты в корневом сечении, то приблизительно в оптимальных условиях
окажутся также все остальные ее сечения, несмотря на возможно сильное
изменение степени реактивности. Это объясняется своеобразным распреде-
лением степени реактивности вдоль радиуса (см. п. V.2). Поэтому, если кор-
невые сечения всех ступеней будут иметь один и тот же диаметр и если при
этом соблюсти постоянство осевых скоростей в проточной части, на любых
равных диаметрах различных ступеней профили лопаток окажутся одина-
ковыми. Таким образом, чертежи более коротких рабочих лопаток в части
высокого давления получатся из чертежа лопатки «исходной», в данном слу-
чае — последней ступени, простым срезанием ее вершины до требуемого
размера. Так же можно поступить с направляющими лопатками. Применение
ступеней постоянной циркуляции позволяет выполнить проточную часть
турбины из однотипных закрученных лопаток, отличающихся только вы-
сотой.
Этот вывод остается справедливым, если корневые сечения группы сту-
пеней не находятся на одном диаметре, но при условии, что степень реактив-
ности и профили лопаток в корневом сечении каждой ступени такие же,
как на равном диаметре последней ступени. Другими словами, лопатки всех
ступеней должны иметь одинаковое сечение на одном и том же условном
диаметре. Выберем в качестве условных наименьший и наибольший диаметры
в данной группе ступеней, до которых можно мысленно продолжить лопатки
всех ступеней. В полученном таким образом ряду совершенно одинаковых
условных ступеней можно на чертеже отсечь различные участки такой вы-
соты и на таких диаметрах, которые требуются для каждой ступени данной
группы. При этом в корневых сечениях проектируемых ступеней будет полу-
чаться различная степень реактивности в зависимости от выбранного вну-
треннего диаметра той или иной ступени. Важно, чтобы ни в одном корневом
сечении степень реактивности не была ниже минимальной величины, при
которой еще возможно получить высокий к. п. д. ступени (см. п. IX. 3).
Если внутренний диаметр для всех ступеней сохраняется постоянным,
то рабочие лопатки, спроектированные указанным методом, можно выполнить
с одинаковой хвостовой частью, что важно для технологии изготовления.
При очень длинных лопатках последней ступени в предшествующих рядах
рабочих лопаток, полученных подрезкой, устраняются чрезмерно тонкие
их периферийные участки, неудовлетворительно работающие в условиях
обтекания концов лопаток неравномерным потоком и при больших углах
атаки.
Кроме того, применение для группы ступеней однотипного лопаточного
аппарата позволяет в значительной мере сократить объем экспериментальной
отработки ступеней, так как результаты опытов с одной ступенью можно
переносить на другие, учитывая лишь изменения концевых потерь у пери-
ферии. При желании испытать модели с короткими лопатками их без труда
можно изготовить путем простой подрезки лопаток модели последней сту-
пени. Таким образом, уменьшаются сроки и стоимость экспериментальных
исследований, которые должны проводиться параллельно с эскизным и тех-
ническим проектированием.
Если однотипные лопатки по каким-либо соображениям не могут быть
применены, например в случае необходимости менять их ширину в различных
515
ступенях, то часть указанных преимуществ отпадает и может оказаться
выгодным другое решение задачи.
С ростом степени реактивности в корневом сечении значительно увели-
чивается диаметр ступени. Поэтому для сокращения размеров ротора в кор-
невом сечении выгодно выбирать минимально допустимую степень реактив-
ности. Повышение степени реактивности в корневом сечении может вызвать
некоторое улучшение к. п. д. ступени, особенно при частичных нагрузках,
и если по конструктивным соображениям возможно увеличение размеров
ступени, то это мероприятие может бцть оправдано.
Проектирование проточной части группы ступеней постоянной цирку-
ляции с однотипными лопатками требует соблюдения одинаковой струк-
туры потока во всех ступенях. Для этого необходимо, чтобы в подобных сту-
пенях сохранялись приблизительно одинаковыми осевые скорости как за
направляющими аппаратами, так и за рабочими колесами. Так как на равных
диаметрах подобных ступеней степень реактивности должна быть одинако-
вой, то па средних диаметрах всех ступеней, вообще говоря, установится
различная степень реактивности. Чем короче лопатка, тем ниже степень ре-
активности на среднем диаметре ступени и, следовательно, тем ближе к еди-
нице отношение плотностей перед рабочим колесом и за ним. Поэтому если
выбрать одинаковое отношение высот направляющих и рабочих лопаток в по-
следней и в какой-либо другой ступенях данной группы с отличными сред-
ними диаметрами, то отношение будет тем ближе к единице, чем меньше
средний диаметр ступени. Чтобы сделать эти отношения равными во всех
ступенях и, таким образом, получить одинаковые треугольники скоростей
на равных диаметрах, необходимо изменять высоты направляющих и ра-
бочих лопаток каждой ступени приблизительно в том же отношении, в ка-
ком изменилась плотность рабочего тела в осевом зазоре данной ступени при
переходе от среднего диаметра последней ступени к диаметру, равному сред-
нему диаметру данной ступени.
Действительно, для двух сравниваемых ступеней уравнение неразрыв-
ности может быть записано так:
G — л di/jCizpi = л d\l\C izpi,
где — высота направляющих лопаток последней ступени; — средний
диаметр при входе рабочего тела в рабочее колесо последней ступени; рх
и с1г — соответственно плотность и осевая скорость рабочего тела в осевом
зазоре между направляющим аппаратом и рабочим колесом на среднем диа-
метре последней ступени; звездочками отмечены величины, относящиеся
к какой-либо ступени данной группы и имеющие такое же значение, как и
для последней ступени.
Из этого уравнения при = с12 получим
A = (хш. о
й d1P1
С другой стороны, при расчете расхода рабочего тела по величинам для
средних сечений должно выполняться условие
^2^2c2zP2 — d2l-2c2zP'2’
где индексы 2 указывают на то, что величины относятся к сечению за рабочим
колесом, а в остальном обозначения приняты такими же, как и для сечения
за направляющим аппаратом.
Из последнего уравнения при c2z = с22 получим
Л
= (XIII.2)
й d2p2
516
Путем почленного деления уравнений (XIII. 1) и (XIII.2) найдем
l\ I
G /9
di ^2 р( Р2
^2 d| Pj Рг
(ХШ.З)
Так как обе рассматриваемые ступени на равных диаметрах геометрически
и кинематически тождественны, то отношение плотностей в двух соответ-
ственных точках сохраняется приблизительно постоянным. Поэтому для
любой ступени на ее среднем диаметре будет справедливо следующее соот-
ношение плотностей:
*
Р1 = _Р10_
Рг Р2° ’
где индексами нуль отмечены параметры для последней ступени на диаметрах,
равных средним диаметрам рассматриваемой ступени.
Использовав это отношение, уравнение (ХШ.З) можно переписать так:
^1 ^2 ________________________ ^2 Pi Р20
11 Рг Р1°
Если поток выходит из ступеней приблизительно в осевом направлении,
то с достаточной точностью можно считать р, р2о, а тогда последнее урав-
нение примет вид
г! = di d2 Pl II
1*2 ^2 dj Pio I2
(XIII.4)
Таким образом, зная параметры рабочего тела в любом сечении последней
ступени, можно определить соотношение между высотами направляющих
и рабочих лопаток данной группы ступеней. Если проектируется небольшая
группа ступеней с закрученными лопатками, высоты которых не нарастают
слишком быстро, то в первом приближении можно принять d1/d, dj d-
При этом условии из уравнения (XIII.4) получим
^1 ^2 Р1
Z* 11 Рю’
на что и было указано выше.
Проточная часть турбины может быть выполнена так, что средняя осе-
вая скорость потока в ней будет сохраняться приблизительно постоянной,
т. е. во всех ступенях будет достигнуто равенство скоростей clz = c2z = с2.
При этом живые сечения проточной части станут постепенно увеличиваться
пропорционально изменению удельных объемов. Преимущество этого метода
проектирования проточной части заключается в том, что в корневом сечении
при clz = c2z даже при нулевой степени реактивности межлопаточный канал
не получается расходящимся (см. п. V.2), вследствие чего на внутреннем
диаметре ступени может быть допущена небольшая положительная или даже
нулевая степень реактивности, что при заданном диаметре позволяет уве-
личить тепловой перепад в каждой ступени.
Разбивка располагаемого перепада энтальпий между группой ступеней
постоянной циркуляции с однотипными лопатками выполняется крайне
просто, так как независимо от размеров средних диаметров этих ступеней
располагаемые перепады энтальпий во всех ступенях должны быть одина-
ковыми. К первой ступени поток обычно подводится с небольшой скоростью,
тогда как перед всеми остальными ступенями скорость рабочего тела полу-
чается значительной. Вместе с тем в силу однотипности ступеней поле ско-
ростей перед первым рабочим колесом должно быть таким же, как перед
другими колесами данной группы. Поэтому при распределении всего перепада
517
расширение в первой ступени
бочего тела перед ней. В этом
Рис. XIII.1. Процесс расширения
в многоступенчатой турбине на
is-диаграмме
энтальпии между ступенями следует предусмотреть такой ее перепад в на-
правляющем аппарате первой ступени, чтобы после него получить заданную
для всех ступеней скорость сх.
Если поток во входном патрубке турбины перед первым направляющим
аппаратом имеет скорость с0, а во все остальные ступени поступает из пред-
шествующих рабочих колес со скоростью с2, то на основании изложенных
выше соображений в первом сопловом аппарате изоэнтропийный перепад
энтальпий должен быть больше, чем в других направляющих аппаратах,
на величину (с$ — Со)12. Если скорость с0 мала, то можно предполагать, что
происходит от состояния неподвижного ра-
случае на первую ступень следует предусма-
тривать перепад энтальпий, превышающий
этот перепад в других ступенях на величи-
ну Со/2.
Поэтому для рассматриваемого метода про-
ектирования при распределении перепада
энтальпий по ступеням достаточно из общего
изоэнтропийного перепада энтальпий аН0,
вычисленного с учетом коэффициента воз-
врата тепла,вычесть перепад, необходимый для
создания требуемого поля скоростей перед
Первой ступенью, и величину аН0 — c?J'2
разделить на равные части между всеми сту-
пенями. При этом перепад энтальпий Но
вычисляется по полным параметрам рабочего
тела перед первой ступенью и по давлению
непосредственно за последним рабочим коле-
сом (рис. XIII.1). При наличии за последней
ступенью диффузора влияние его должно
быть учтено при определении давления за
последней ступенью, как было показано
в п. VIL1L После разбивки перепада энталь-
пий уже нетрудно найти параметры рабочего
тела за каждой ступенью и определить длины
лопаток. Выбрав ширины лопаток и осевые зазоры, следует построить про-
точную часть и убедиться в плавности всех переходов.
Определив после предварительных прикидок число ступеней, можно
сразу точно установить перепад энтальпий в последней ступени и спроекти-
ровать ее. После этого просто находятся размеры других ступеней данной
группы.
Если турбина имеет настолько короткие лопатки, что они могут быть
выполнены незакрученными, то расчет их ведется по данным испытаний
вращающихся моделей с целью учета сильного влияния концевых потерь
энергии и потерь от нестационарности потока. Если средние диаметры та-
ких ступеней отличаются мало, то перепад энтальпий распределяется между
ступенями приблизительно поровну. При значительном изменении диа-
метров перепад энтальпий следует распределять прямо пропорционально
квадратам окружных скоростей.
Первая ступень турбины иногда проектируется согласно особым тре-
бованиям. Так, при очень высокой начальной температуре может встать
вопрос о значительном увеличении перепада энтальпий в первой ступени
с целью снижения температуры рабочего тела за ней, а также о снижении
длины лопатки первой ступени для уменьшения напряжений в ней. Это
может быть достигнуто применением профилей активного типа в корневом
сечении лопатки или путем выбора больших осевых скоростей рабочего тела
и закрутки потока за рабочим колесом. В последнем случае, чтобы потери
518
энергии не были чрезмерными, выходная кинетическая энергия потока должна
быть эффективно использована в следующей ступени. Возможно также при-
менение для этой цели высокоэффективных ступеней скорости с полным под-
водом.
Расчет многоступенчатой турбины удобно выполнить с помощью газо-
динамических функций и диаграммы состояния рабочего тела.
Диаграмма состояния представляет собой зависимость ос-
новных параметров рабочего тела от суммы изоэнтропийных перепадов
энтальпий в ступенях от начального до данного состояния рабочего тела.
Эту сумму будем обозначать
где а — коэффициент возврата тепла.
Для построения линии состояния отложим по изоэнтропе на is-диаграмме
(рис. XIII.1) от точки Д, соответствующей полным параметрам рабочего
тела перед ступенью, перепад энтальпий до давления за последней ступенью
рассматриваемой группы.
Для группы однотипных ступеней,, не отличающихся значительно дли-
ной лопаток, в первом приближении к. п. д. всех ступеней можно считать
одинаковым и расширение рабочего тела в турбине допустимо предположить
политропным. Политропный к. п. д. ^пол можно считать приблизительно
равным внутреннему к. п. д. q* промежуточной ступени, если перепад эн-
тальпий в ней невелик. Этот к. п. д. можно предварительно оценить, после
чего легко построить линию состояния рабочего тела при политропном про-
цессе, пользуясь в интегральной форме уравнением
k-i
k
Pl
(XIII.5)
где Т\ и pi — соответственно полные температура и давление рабочего тела
перед турбиной (здесь и дальше цифрой I отмечены параметры рабочего тела
перед турбиной, а цифрой II — за ней).
Линия состояния должна пройти через начальную точку А и точку В,
соответствующую состоянию рабочего тела непосредственно за последним
рядом рабочих лопаток. Если теряется кинетическая энергия потока, поки-
дающего последнюю ступень, то его состояние за турбиной определяется
точкой D, расположенной выше точки В на величину выходной потери.
Если в конце проточной части предусмотрен диффузор, то состояние рабочего
тела за ним определяется точкой В' на изобаре рп, а давление в точке В
оказывается ниже, чем давление за диффузором. Построенная таким образом
линия состояния проходит через точки, соответствующие приблизительно
состоянию рабочего тела в живых сечениях за направляющими аппаратами
и рабочими колесами. По этим данным определяются размеры проточной
части турбины.
Вычисление параметров рабочего тела удобно выполнить аналитически,
пользуясь газодинамическими функциями. На линии состояния нам известны
начальные параметры рь р! и 7ь а также конечное давление ри и темпе-
ратура в конце политропного расширения
Вычислив предварительно температуру Тц, можно по таблицам найти
среднее значение показателя изоэнтропы k. Этим показателем затем вос-
пользуемся для вычисления промежуточных значений давления на линии
519
состояния. Давление для любой точки кривой состояния
формуле
1 k
/ Т \ ^пол & 1
Рх ~ Рх-Л ( 'Г )
V л-i /
определяется по
(XIII.6)
Для того чтобы в расчетах можно было пользоваться таблицами газо-
динамических функций, найдем показатель kf изоэнтропы, соответствующей
рассматриваемому политропному процессу. Этот показатель определим из
равенства
отсюда
1 k — k'
^ПОЛ 1 1
(XIII.7)
(1 -- Лпол) 4“ 'Чпол
Этим приемом можно пользоваться для вычисления давлений и плотностей.
После того как намечены точки на диаграмме, показатель k можно выбирать
для средней температуры между двумя соседними точками, что внесет уточ-
нения в расчеты, особенно в случае сильного изменения этого показателя
в зависимости от температуры.
Если для вычислений принято среднее значение показателя изоэнтропы
k = kc, то при определении давлений возникает погрешность Дрх. В этом
случае по формуле (XIII.6) в действительности определяется рх—Арх.
При небольшом общем перепаде энтальпий поправка Дрх незначительна и
может во внимание не приниматься. Величину погрешности легко определить
путем дифференцирования уравнений (XIII.6), полагая р и k переменными.
Заменив дифференциалы конечными разностями, получим
“ ^пол (k - 12) Тх_г ’
где Д/г ~ k — kc.
Вычислив эту погрешность, можно ввести поправку к значению р ,
найденному по формуле (XIII.6). Определив давление рх для достаточно
большого числа точек на кривой состояния, найдем плотности рх. в тех же
точках. В результате расчетов наносятся кривые параметров газа как функ-
ции от суммы изоэнтропийных перепадов энтальпий в ступенях турбины.
Изоэнтропийные перепады энтальпий в пределах изменения давления между
двумя близлежащими выбранными точками на кривой состояния могут быть
с достаточным приближением определены по формуле
Чпоя
Диаграмма состояний может быть особенно полезна при расчете турбо-
машин, рабочее тело которых имеет сильно меняющийся показатель изо-
энтропы.
XIII.2. МЕТОДЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ПРОТОЧНОЙ ЧАСТИ
МНОГОСТУПЕНЧАТЫХ ОСЕВЫХ КОМПРЕССОРОВ
Характерная особенность компрессорных ступеней — небольшие по
сравнению с применяемыми в турбинах коэффициенты циркуляции и числа
М. Поэтому высоконапорный осевой компрессор состоит из большого
числа ступеней.
Для всего компрессора или для группы ступеней базой для проектирова-
ния служит исходная ступень, хорошо отработанная экспериментально.
На основании характеристик этой ступени с использованием опытных по-
правочных коэффициентов рассчитываются характеристики всех ступеней
данной группы [2, 3].
520
Характеристика компрессора должна удовлетворять требованиям его
устойчивой работы и особым условиям работы компрессора в сеть или его
совместной работы с турбиной (например, в газотурбинных установках).
В связи с этим выбирается в качестве исходной ступень, имеющая опреде-
ленную форму характеристику.
Следует стремиться к тому, чтобы каждая ступень на расчетном режиме
работала вблизи максимума к. и. д. Все ступени группы, построенной на
базе одной исходной ступени, имеют на оптимальном режиме приблизи-
тельно один и тот же коэффициент расхода сг opt и другие характеристиче-
ские коэффициенты. Для группы таких ступеней можно принять одинаковый
показатель политропы п. При этом условии отношение площадей S, оме-
таемых лопатками двух соседних ступеней, обратно
ностям рабочего тела
St _ р.-i = 4
S/-1 Pi Oi‘ ’
где Gi — PilPi_i — степень
повышения давления в i-й сту-
пени; р; — плотность за i-й
ступенью.
Условия работы. Допу-
стим, что все ступени данной
группы имеют одинаковые
характеристики и на расчет-
ном режиме каждая ступень
создает одинаковый напор
при одном и том же коэффи-
циенте расхода czOpt (точка а
на рис. XIII.2).
пропорционально плот-
Рис. XIII.2. Относительный напор в компрессоре
в зависимости от коэффициента расхода cz:
а — для ступени; б — для группы ступеней
Пусть при постоянной частоте вращения и неизменных параметрах ра-
бочего тела перед компрессором повысилось давление в камере нагнетания.
Для работы с повышенным напором коэффициент расхода сг должен умень-
шиться, что ясно из характеристики ступени. Если при этом жидкость можно
рассматривать как несжимаемую то, как следует из уравнения неразрыв-
ности, одинаковые изменения коэффициента расхода произойдут во всех
ступенях данной группы и ее общая характеристика сохранится такой же,
как для отдельной ступени.
Иная картина получится при работе компрессора на сжимаемой жид-
кости. При указанных выше условиях повышение давления в камере нагне-
тания вызовет снижение объемного расхода газа и уменьшение cz в первой
ступени. Тогда первая ступень в соответствии с ее характеристикой
(рис. XIII.2, а) станет развивать более высокий напор (точка 7), и ко второй
ступени газ будет подводиться с большей плотностью, чем при расчетном
режиме. Поэтому объемное количество газа, поступающего во вторую сту-
пень, уменьшится сильнее, чем поступающего в первую ступень, а следова-
тельно, также в большей мере изменится коэффициент расхода. Рассуждая
таким образом в отношении следующих ступеней, придем к заключению, что
С21 Сг2 J> Сг3 . . . ,
где индексы 1, 2, 3, ... указывают номера ступеней.
Вместе с уменьшением с. в каждой последующей ступени происходит
возрастание напора в большей степени, чем в предшествующей ступени
(рис. XIII.2). Поэтому при изменении объемного количества засасываемого
компрессором воздуха сумма напоров во всех ступенях изменяется быстрее,
чем в первой ступени. Следовательно, характеристика всего компрессора
оказывается круче, чем каждой ступени в отдельности. Чем выше степень
1802 521
повышения давления в компрессоре и чем больше проявляется сжимаемость
жидкости, тем круче его характеристика и тем более точка срыва на харак-
теристике приближается к точке расчетного режима.
Путем простых рассуждений можно также прийти к выводу, что при
неизменной частоте вращения повышение давления в камере нагнетания,
которое вызывает снижение объемного расхода рабочего тела компрессором,
связано с работой его последних ступеней при малых коэффициентах рас-
хода, чему соответствует область положительных углов атаки. При больших
углах атаки возникает срыв потока, вследствие чего при малых объемных
расходах последние ступени компрессора оказываются в неустойчивой
,зоне.
При понижении давления в нагнетательной камере и постоянной ско-
рости вращения наблюдается обратная картина: коэффициенты расхода
в последовательных ступенях компрессора постепенно растут, а напоры
уменьшаются. Последние ступени при этом работают при отрицательных уг-
лах атаки. Большие отрицательные углы атаки вызывают также срыв потока,
и одна или несколько ступеней компрессора перестают создавать напор по-
падая в режим торможения. Как повышение, так и понижение давления в на-
гнетательной камере сильнее всего сказывается на работе последних сту-
пеней компрессора.
В качестве другого примера рассмотрим изменение только частоты вра-
щения компрессора. В гл. IX было показано, что под влиянием скорости
вращения характеристика компрессорной ступени может существенно из-
меняться, особенно при возникновении волнового кризиса (рис. IX. 16).
Предположим, по-прежнему, что все ступени имеют одинаковые харак-
теристики, и допустим, что частота вращения повысилась, давление и плот-
ность газа перед компрессором остались прежними и объемная производи-
тельность компрессора возросла пропорционально частоте вращения по
сравнению с той, которая была при расчетном режиме. Тогда треугольники
скоростей для первой ступени при сравниваемых режимах останутся по-
добными, а напор в этой ступени возрастет пропорционально квадрату ско-
рости вращения.
Возросший напор в первой ступени вызовет относительное уменьшение
удельного объема рабочего тела, подводимого ко второй ступени, вследствие
чего перед ней осевая скорость потока станет меньше, чем в первой ступени.
В связи с уменьшением коэффициента расхода вторая ступень создаст боль-
ший напор, чем первая. В результате этих явлений, обусловленных сжимае-
мостью, при повышении частоты вращения характеристика компрессора ста-
новится более крутой. При этом углы атаки в последних ступенях возра-
стают, тогда как в первой ступени они не меняются по сравнению с расчет-
ным режимом. Поэтому с повышением частоты вращения при соблюдении
указанных условий процесс в последних ступенях компрессора прибли-
жаются к неустойчивой зоне.
Повторив те же рассуждения с прежними предположениями в случае
снижения частоты вращения, придем к заключению, что вследствие сжимае-
мости осевые скорости будут постепенно увеличиваться, а углы атаки и
напоры — снижаться от первой ступени к последней. Характеристика ком-
прессора при этом станет более пологой. Углы атаки сделаются отрицатель-
ными, если при расчетном режиме они равнялись нулю, а это значит, что
с понижением скорости вращения в указанных условиях работа последних
ступеней будет приближаться к режиму торможения. Если скорость враще-
ния компрессора ниже расчетной и при этом повышается давление нагнета-
ния и соответственно уменьшается расход, то растут углы атаки, и процесс
в первой ступени оказывается ближе к зоне помпажа, чем в других ступенях.
Чем больше степень повышения давления, тем сильнее сказывается сжи-
маемость и тем в большей мере может меняться форма характеристик ком-
прессора при изменении частоты вращения.
522
Режим работы компрессора может быть установлен и таким образом, что,
несмотря на изменение частоты вращения, не будет нарушено кинематиче-
ское подобие потока. Так будет протекать процесс, например, при одновре-
менном изменении температуры газа перед компрессором и частоты вращения,
согласно уравнению n/]/ Т = idem. В таких условиях все скорости изме-
нятся прямо пропорционально у Т, а плотность — обратно пропорцио-
нально Т, в результате чего установятся расход G — 1/| Т, напор И ~ Т
и мощность N —I Т. При этом все температуры в проточной части изме-
нятся в одном и том же отношении, а числа М сохранятся неизменными.
Поскольку сохранятся постоянными отношения температур в любых точках
проточной части, то останутся без изменения и отношения давлений, если
характеристика сети, на которую работает компрессор, изменится точно
так же, как и характеристика компрессора.
Из всего сказанного следует, что группы ступеней компрессора в разных
зонах его проточной части находятся в различных условиях и что для них
могут потребоваться неодинаковые характеристики исходных ступеней.
Ступени максимального напора. В первой ступени компрессора, лопатки
которой имеют максимальную длину, возникают наиболее неблагоприятные
условия обтекания профилей как в корневом, тйк и в периферийном се-
чениях. В последующих ступенях длины лопаток уменьшаются, а темпера-
тура возрастает, в связи с чем снижается число М. В указанных условиях
по мере повышения давления в группе однотипных ступеней число М умень-
шается, тогда как критическое число Мк при одинаковых профилях сохра-
няет свое значение. Так как без ущерба для к. п. д. компрессора можно до-
пускать в расчетах число М, составляющее определенную часть критического
числа Мк, то в ступенях высокого давления вместе с возрастанием скорости
звука имеется возможность в той же мере увеличивать относительную ско-
рость входа газа в рабочее колесо и таким образом постепенно повышать
напоры в ступенях. Этим можно воспользоваться при проектировании ком-
прессора для сокращения числа его ступеней.
Рассмотрим сначала метод проектирования проточной части компрессора,
обеспечивающий наименьшее число ступеней с оптимальными профилями
и высокими к. п. д. При этом временно оставим в стороне вопросы техноло-
гии изготовления лопаток. Такую проточную часть можно рассматривать
как эталон по отношению к другим проектным вариантам, в которых будут
допущены отступления от оптимальных условий обтекания профилей с целью
сокращения числа исходных ступеней и упрощения производства лопаток.
В дальнейшем речь пойдет о ступени постоянной циркуляции, если не будет
особых указаний на другой тип лопаток.
Проточная часть со ступенями максимальных напоров получается путем
постепенного увеличения напоров от первой ступени к последней за счет
выбора наивыгоднейших значений степени реактивности и осевой скорости,
а также повышения окружной скорости до предела, который определяется
волновым кризисом.
Пусть в зависимости от условий работы компрессора выбраны наивыгод-
нейшие параметры для первой ступени и установлена наибольшая окружная
скорость, при которой число М близко к Мк. Так как в последующих сту-
пенях компрессора скорость звука растет с ростом температуры, то диаметры
рабочих колес можно постепенно увеличивать с таким расчетом, чтобы в каж-
дой ступени у периферии число М было бы так же близко к Мк, как и для
первой ступени. Таким путем можно достигнуть постепенного роста напоров
от первой к последней ступени.
Помимо увеличения окружной скорости на периферии некоторое повы-
шение напора в ступенях компрессора в ряде случаев можно получить за
счет увеличения угла поворота потока. Так, если лопатки первой ступени
были настолько длинными, что напор в ступени ограничивался условиями
523
течения у втулки рабочего колеса, то в последующих ступенях их корневые
сечения могут быть смещены на большие диаметры как вследствие уменьше-
ния длин лопаток, так и благодаря повышению окружной скорости на пери-
ферии данной ступени по сравнению с первой ступенью. Повышение диа-
метров у корня ступеней, следующих за первой, позволит в этих сечениях
увеличить угол поворота потока по сравнению с тем, который был выбран
в сечении того же диаметра первой ступени и который был назначен меньше
предельно допустимого с целью ограничить угол поворота потока у втулки
первой ступени.
В некоторых случаях можно несколько увеличить напор в ступенях также
за счет небольшого изменения степени реактивности и осевой скорости по
сравнению с принятыми для первой ступени. Изменение коэффициента
расхода и степени реактивности должно быть согласовано с повышением
окружной скорости, чтобы оба эти мероприятия не вызывали в периферий-
ном сечении волнового кризиса.
Если для снижения длины первой лопатки выбрана большая осевая ско-
рость, то в последующих ступенях эта скорость может быть уменьшена, что
особенно выгодно для последних ступеней высоконапорного компрессора,
так как снижение осевой скорости означает увеличение длин лопаток. Та-
ким образом, уменьшаются концевые и выходные потери энергии.
Ступени с однотипными лопатками. При проектировании проточной
части компрессора могут быть поставлены особые задачи. Так, может по-
требоваться сравнительно пологая характеристика компрессора. Характе-
ристика компрессора в значительной мере зависит от формы профилей по-
следних лопаток. Для того чтобы получить пологую характеристику этих
ступеней, следует применить для них сравнительно толстые профили ло-
паток, хорошо обтекаемые при больших углах атаки. Снижение числа М
в последних ступенях допускает применение таких профилей.
Выполнение указанных мероприятий без учета особенностей технологии
изготовления лопаток привело бы к высокой стоимости лопаточного аппарата,
так как их профили получались бы различные и лопатки каждой ступени
пришлось бы изготавливать в индивидуальном порядке. Поэтому конструк-
торы стремятся создавать проточные части компрессоров из однотипных
лопаток, в то же время используя указанные выше средства для того, чтобы
повысить напор каждой ступени при сохранении их высокого к. п. д.
Аналогично тому, как при проектировании турбины за исходную при-
нималась последняя ступень, в компрессоре в качестве такой ступени будем
рассматривать первую ступень. Диаметр первой ступени мысленно увеличим
до размера, при котором возникает волновой кризис (М = Мк), причем ско-
рость звука будем вычислять по максимальной температуре в компрессоре,
т. е. по температуре в последней ступени. Из полученной таким образом ис-
ходной ступени можно конструировать другие ступени компрессора путем
отсекания того или иного участка основной лопатки. Для того чтобы все
ступени отвечали требованиям закона постоянства циркуляции, каждое
сечение лопаток в любой ступени должно быть расположено на том радиусе,
для которого оно рассчитано. Если этого условия не соблюдать, то неиз
бежны отступления от закона rcu = const.
Изложим кратко некоторые принципы проектирования многоступенчатых
стационарных компрессоров с применением однотипных лопаток.
Проточная часть с одинаковым наружным диа-
метром с однотипными лопатками постоянной циркуляции получается
путем постепенного удаления внутренних участков основной ступени
(рис. ХШ.З, а). Поскольку во всех сечениях исходной ступени в расчетах
принимаются одинаковые^ напоры, то приблизительно такие же напоры со
храняются и в прочих ступенях. Также приблизительно неизменными остают-
ся во всех ступенях осевые скорости, что требуется для соблюдения подобия
треугольников скоростей. Число Мдля периферийных сечений ступеней убы-
524
вает по мере повышения температуры сжимаемого газа вследствие повышения
местных скоростей звука. Поэтому в отношении волнового кризиса в изу-
чаемой проточной части в наихудших условиях оказывается первая ступень.
Так как осевая скорость с2 и теоретический напор в рассматриваемой
проточной части предполагаются постоянными, а средние диаметры ступе-
ней постепенно возрастают, то на этих диаметрах относительные величины
напора h и коэффициент расхода с2 снижаются, а степень реактивности (при
рк =/= 1) возрастает по мере продвижения потока к последней ступени. По-
этому в рассматриваемой проточной части аэродинамические характеристики
в средних сечениях ступеней будут различными.
Поскольку при этом методе проектирования ступени компрессора полу-
чаются из первой (исходной) ступени путем удаления корневых сечений
и так как лопатки этой ступени постепенно утончаются к периферии, то в кор-
невых сечениях ступеней, следующих за первой, профили становятся все
Рис. ХШ.З. Различные схемы проточной части осевого компрессора с по-
стоянным наружным (а) и постоянным внутренним (б) диаметрами
более тонкими, а характеристики, соответствующие этим сечениям, — все
более крутыми. Вследствие этого также общая характеристика компрессора
получается крутой, что в ряде случаев нежелательно. К числу недостатков
такой проточной части относится также равенство напоров во всех ступенях,
тогда как повышение скорости звука по мере сжатия газа открывает воз-
можность для постепенного увеличения напора в ступенях компрессора.
Треугольники скоростей и углы атаки на соответствующих диаметрах
во всех ступенях данной проточной части при оптимальном режиме полу-
чаются приблизительно одинаковыми (если отвлечься от концевых эффектов),
благодаря чему их к. п. д. могут быть сохранены на достаточно высоком
уровне.
Более короткие лопатки в части высокого давления компрессора целе-
сообразно делать с меньшей хордой, чтобы избежать недопустимого умень-
шения относительной длины лопаток и соответствующего увеличения кон-
цевых потерь энергии. При переходе к новой группе ступеней нет необхо-
димости сохранять одинаковое строение лопаток по сравнению с лопатками
первой группы. Поэтому в последующих группах имеется возможность при-
менять новые профили или разместить прежние профили на больших диа-
метрах с тем, чтобы повысить напоры в последних ступенях компрессора и
несколько улучшить его характеристику.
Спроектированные по этому методу при одинаковых коэффициентах рас-
хода лопатки получаются более длинными, чем по методу максимальных
напоров.
Проточная часть с одинаковым внутреним диа-
метром и с однотипными лопатками постоянной циркуляции полу-
чается путем постепенного удаления внешних участков основной ступени
(рис. XIII.3, б). При этом напоры и осевые скорости во всех ступенях сохра-
няются приблизительно постоянными в силу геометрического подобия
профилей во всех ступенях на соответствующих диаметрах. Число М для
525
последних ступеней значительно снижается по сравнению с этим числом
для первой ступени.
Поскольку корневые сечения всех ступеней имеют сравнительно толстые
профили, характеристика компрессора получается более пологой, чем при
сохранении постоянным наружного диаметра. Вследствие снижения средних
диаметров лопатки последних ступеней получаются значительно выше, чем
при постоянном наружном диаметре, благодаря чему несколько умень-
шаются концевые потери энергии. Изготовление лопаток упрощается вслед-
ствие того, что все они имеют одни и те же корневые профили и могут выпол-
няться с одинаковыми хвостовыми креплениями.
Недостаток рассматриваемой проточной части заключается в том, что
в ней не использованы возможности постепенного повышения напора от
первой к последней ступени. К. п. д. на расчетном режиме компрессора по-
лучается более низкий, чем для предыдущего типа проточной части.
На основании всего изложенного приходим к заключению, что выбор
исходных ступеней и расчетных коэффициентов расхода для отдельных
групп ступеней в компрессоре необходимо производить с учетом его ра-
боты при режимах, отличных от расчетного, особое внимание уделяя ре-
жимам, наиболее близким к неустойчивой зоне. В зависимости от усло-
вий работы все ступени разбиваются на группы и для каждой из них
выбирается исходная ступень, характеристики которой наилучшим обра-
зом удовлетворяют особым требованиям эксплуатации компрессора.
ЛИТЕРАТУРА
К гл. I
1. К о ч и н Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М., «Наука»,
1965. 426 с.
2. Л ойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М., «Наука», 1970. 904 с.
3. Lorenz Н. Neue Theorie und Berechnung der Kreiselrader. Miinchen—Berlin. Verlag
R. Oldenbottrg, 1906. I15S.
4. P r a s i 1 F. Technische Hydrodynamik. Berlin, Springer—Verlag, 1926. 238 S.
5. S t о d о 1 a A. Die Dampf — und Gasturbinen. Berlin, Springer—Verlag, 1924. 1109 S.
6. V a v r a M. H. Aero — Thermodynamics and Flow in Turbomachines. New’ York—
London, John Wiley and Sons, 1960. 609 p.
К гл. II
1. Абрамович Г. Н. Прикладная газовая динамика. М., «Наука», 1969. 736 с.
2. А н д р е е в В. А. и Беленький С. 3. Влияние конденсации паров воды на
сверхзвуковые течения. Изд. БТН ЦАГИ, 1946 (Труды ЦАГИ, № 379). 12 с.
3. Вукалович М. П. и Новиков И. И. Техническая термодинамика. М., «Энер-
гия», 1968. 567 с.
4. Л о й ц я н с к и й Л. Г. и Лурье А. И. Курс теоретической механики. Т. 2. Дина-
мика. М., ТИТТЛ, 1957. 595 с.
1. Е u 1 er L. Theorie plus complete de machines, qui sont mises en mouvement par la
reaction de 1'eau. — Memories de 1'Academie Roval des Sciences et belleslettres, Berlin, 1756,
p. 227—295.
К гл. Ill
1. Кириллов И. И. Газовые турбины и газотурбинные установки. Т. 1. Газовые
турбины. М., Машгиз, 1956. 434 с.
2. Т р а у п е л ь В. Тепловые турбомашины (паровые и газовые турбины, компрессоры).
Тепловой и аэродинамический расчет. М.—Л., Госэнергоиздат, 1961. 342 с.
3. Ш н еэ Я. И. Газовые турбины. М., Машгиз, 1960. 560 с.
К ГЛ. IV
1. Вознесенский И. Н. Жизнь, деятельность и избранные труды в области гидро-
машиностроения и автоматического регулирования. Под ред. А. Ф. Лесохина, С. А. Кантора,
Л. А. Симонова и др. М., ГНТИ, 1952. 354 с.
2. Г л а у э р т Г. Основы теории крыльев и винта. М., ГНТИ, 1931. 164 с.
3. Дейч М. Е. и Самойлович Г. С. Основы аэродинамики осевых турбомашин.
М., Машгиз, 1959. 428 с.
4. Дородницын А. А. и Л о й ц я н с к и й Л. Г. К теории перехода ламинарного
пограничного слоя в турбулентный. — «Прикладная математика и механика». 1945, т. 9, № 4,
с. 269—285.
5. Ж у к о в с к и й AL И. Расчет обтекания решеток профилей турбомашин. М.—Л.,
Машгиз, 1960. 260 с.
6. 3 а л ь ф Г. А. и Звягинцев В. В. Тепловой расчет паровых турбин. М.—Л.,
Машгиз, 1961. 291 с.
7. Зысина-Моложен Л. М. Исследование влияния продольного градиента дав-
ления на развитие пограничного слоя. — «Журнал технической физики», 1959, № 4,
с. 450—461.
8. 3 ы с и н а - М о л о ж е н Л. М., Жуковский М. И., Гукасова Е. А.
и др. Аэродинамическое совершенствование лопаточных аппаратов паровых и газовых
турбин. М.—Л., Госэнергоиздат, 1960. 340 с.
527
9. К оч и н Н. Е. Гидродинамическая теория решеток. М.—Л., ГИТТЛ, 1949 (Совре-
менные проблемы механики. Под ред. А. И. Лурье и Л. Г. Лойцянского). 103 с.
10. Л е с о х и н А. Ф. Расчет лопастей рабочих колес осевых турбин (Решетка профилей
конечной толщины) — В кн.: Энергомашиностроение. Техническая гидромеханика. Л., Маш-
гиз, 1953 (Труды ЛПИ, № 5), с. 49—65.
11. Л е с о х и н А. Ф. и Симонов Л. А. Расчет колес типа Каплана по выбранному
распределению вихрей. М.—Л., Оборонгиз, 1939. 23 с.
12. Л о й ц я н с к и й Л. Г. Сопротивление решетки профилей, обтекаемой вязкой несжи-
маемой жидкостью. — «Прикладная математика и механика». 1947, т. 11, вып. 4, с. 449—458.
13. Л о й ц я н с к и й Л. Г. Механика жидкости и газа. М., «Наука», 1970. 904 с.
14. С т е п а н о в Г. Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. М., Физматгиз, 1962.
512 с.
15. Ф е р р и А. Аэродинамика сверхзвуковых течений. М.—Л., ГИТТЛ, 1952. 466 с.
16. Хилтон У. Ф. Аэродинамика больших скоростей. М., ИИЛ, 1955. 504 с.
17. Ш е р с т ю к А. И. Приближенный метод расчета криволинейных каналов. — «Теп-
лоэнергетика», 1955, № 8, с. 26—29.
18. Шлих тин г Г. Теория пограничного слоя. М., ИИЛ 1969. 744 с.
19. Э т и н б е р г И. Э. Теория и расчет проточной части поворотно-лопастных гидро-
турбин. М.—Л., «Машиностроение», 1965. 350 с.
20. S р е i d е 1 L. Einfluss der Oberflachenrauhigkeit auf die Stromungsverluste in ebenen
Schaufelgittern. — «Forschung auf dem Gebiete des Ingenieurwesens», Bd. 20, 1954, N 5. S.
129—140.
К гл. V
1. Абрамович Г. И. Теория турбулентных струй. Физматгиз. М., 1960. 715 с.
2. А б р а м о в и ч С. Ф. О профилировании винтовых лопаток. — «Судостроение»,
1948, № 1, с. 9—14.
3. Гукасова Е. А., Жуковский М. И., Зысина-Моложен Л. М.
и др. Аэродинамическое совершенствование лопаточных аппаратов паровых и газовых турбин.
Под ред. В. С. Жуковского и С. С. Кутателадзе. М.—Л., Госэнергоиздат, 1960. 340 с.
4. Д е й ч М. Е. и Филиппов Г. А. К расчету турбинных ступеней с длинными
лопатками переменного профиля. — «Теплоэнергетика», 1961, № 9, с. 60—65.
5. Жуковский М. И. Аэродинамический расчет потока в осевых турбомашинах.
Л., «Машиностроение», 1967. 287 с.
6. Кириллов А. И., Лапшин К. Л. К аэродинамическому расчету ступеней осе-
вых турбомашин. — «Энергомашиностроение», 1969, № 7, с. 21—23.
7. К и р и л л о в И. И. Газовые турбины и газотурбинные установки. М., Машгиз,
1956, т. I. 434 с.
8. К и р и л л о в И. И., К л и м ц о в А. А. Потери энергии в турбинных ступенях с
с бандажом и без бандажа. — «Теплоэнергетика», 1963, № 2, с. 30—35.
9. Левина М. Е. и Романенко П. А. Искажение цилиндричности потока в тур-
бинной ступени с цилиндрическими границами. — «Изв. вузов. Энергетика», 1959, № 8,
с. 52—61.
10. Левина М. Е., Романенко П. А. и Гречаниченко Ю. В. Расчет
распределения параметров потока в турбинной ступени с учетом радиального ускорения. —
«Энергомашиностроение», 1964, № 7, с. 41—45.
11. Моисеев А. А., Топунов А. М., Ш и и ц е р Г. Я. Длинные лопатки судовых
турбин. Л_, «Судостроение», 1969. 468 с.
12. С и р о т к и н Я А. Расчет осесимметричного вихревого потока сжимаемой невязкой
жидкости в осевых турбомашинах. — Изв. АН СССР, ОТН. Механика и машиностроение,
1961, № 2, с. 78—88.
13. С и р о т к и н Я. А. К постановке прямой задачи вихревого течения сжимаемой жид-
кости в турбомашинах. — Инженерный журнал АН СССР, ОТН, 1963, т. III, вып. 2,
с. 271—279.
14. С т е п а и о в Г. Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. М., Физматгиз, 1962.
512 с.
15. Т ы р ы ш к и н В. Г. К вопросу о выборе метода проектирования длинных лопаток
последних ступеней. — «Изв. АН СССР, ОТН», 1954, № 6, с. 37—46.
16. У в а р о в В. В. Профилирование длинных лопаток газовых и паровых турбин. М.,
Оборонгиз, 1950, с. 1—8.
17. Черников В. А. и Кириллов И. И. К выбору относительного шага пери-
ферийного сечения безбандажной рабочей решетки осевой турбинной ступени. Л., «Машино-
строение», 1969 (Труды ЛПИ № 310), с. 40—44.
18. VavraM. Н. Aero—thermodynamics and flow in turbomachines New York—
London, 1960. 609 p.
19. Wu Chung-Hua. A general theory of three — dimensional flow in subsonic and
supersonic turbomachines of axial, radial and mixed—flow types. — «Transactions of the ASME»,
1952, 74, N 8, p. 1363—1380.
528
20. W u Cbung - H ua. A theory of the direct and inverse problemes of compressible
flow past cascade of arbitrary blade sections lying in arbitrary stream filament of revolution in
turbomachine. Scientia Sinica 8, 1959, N 12.
К гл. VI
1. Гайгеров В. И. Влияние свойств рабочего тела на характеристики центробеж-
ного компрессора и газовой турбины. М., 1957 (НИЛД, Труды, № 4). 109 с.
2. Г у х м а н А. А., Ж у к о в с к и й В. С. и Т а р а с о в а В. Н. К. вопросу о границах
автомодельности в гидродинамических явлениях. — «Прикладная математика и механика»,.
1934, т. 2, Хе 1, с. 109—126.
3. П ов х И. Л. Моделирование гидравлических турбин в воздушных потоках. М.—Л.,
Госэнергоиздат, 1955. 148 с.
4. С ед ов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М., «Наука», 1967. 428с.
5. Ackeret J. Lber die Verwendung von leichten Gasen fiir Warmekraftmaschinen
mit geschlossenen Kreislauf. — «Schweizerishe Bauzeitung», V. 127, 1946, N 5, S. 51—52.
6. Ackeret J., Keller C. und S a 1 z m a n n F. Die Verwendung von Luft als
Unlersuchungsmittel fiir Probleme des Dampfturbinenbaues. — «Escher Wyss Mitteilungen»,
1934, N 6, S. 143—159.
К гл. VII
1. А б и а н ц В. X. Теория авиационных газовых турбин. М. «Машиностроение» 1965.
310 с.
2. Алексеева Р. Н., Ляховицкий И. Д. и Ржезников Ю. В. Мето-
дика испытания относительно коротких турбинных лопаток и их профилирование. — «Тепло-
энергетика», 1956, № 6, с. 51—56.
3. Амелюшкин В. Н. и Уманский М. П. Влияние закрутки потока на эф-
фективность криволинейного диффузора. — «Энергомашиностроение», 1963, № 12, с. 18—21.
4. Варламов Н. С. Влияние осевых зазоров на к. п. д. турбинной ступени. —
«Энергомашиностроение», 1956, № 2, с. 10—15.
5. Г оф л и н А. П. Аэродинамический расчет проточной части осевых компрессоров
для стационарных установок. М.—Л., Машгиз, 1959 (ЦКТИ, кн. 34). 303 с.
6. Гукасова Е. А., Жуковский М. И., Зысина-Моложен Л. М.
и др. Аэродинамическое совершенствование лопаточных аппаратов паровых и газовых турбин.
Под ред. В. С. Жуковского и С. С. Кутателадзе. 74.—Л., Госэнергоиздат, 1960. 340 с.
7. Д е й ч М. Е. Техническая газодинамика. М.—Л., ГЭИ, 1961. 671 с.
8. Д е и ч М. Е. и 3 а р я н к и н А. Е. Газодинамика диффузоров и выхлопных патруб-
ков турбомашин. М., «Энергия», 1970. 384 с.
9. Дейч М. Е. и Трояновский Б. М. Исследование и расчет ступеней осевых
турбин. М., «Машиностроение», 1964. 628 с.
10. Д о р ф м а н Л. А. Турбулентный пограничный слой на вращающемся диске. —
«Изв. АН СССР. ОТН», 1957, № 7, с. 138—142.
11. Д о р ф м а н Л. А. Сопротивление шероховатого диска, вращающегося в кожухе. —
ЖТФ, т. 28, 1959, № 1, с. 170—172.
12. Д о р ф м а н А. Ш., Н а з а р ч у к М. М., И о л ь с к и й И. И. и др. Аэродина-
мика диффузоров и выходных патрубков турбин. Под ред. И. Т. Швеца. Киев, изд. АН УССР,
1960. 188 с.
13. 3 а л ьф Г. А. Тепловой расчет стационарных газовых турбин. М.—Л., «Машино-
строение», 1964. 307 с.
14. 3 а л ь ф Г. А. и Звягинцев В. В. Тепловой расчет паровых турбин. М.—Л.,
Машгиз, 1961. 291 с.
15. Зильберман А. С. Экспериментально-исследовательские работы в области паро-
и газотурбостроения. — Развитие техники на ЛМЗ. Под ред. М. Н. Бушуева. М.—Л., Машгиз,
1957, с'. 80—100.
16. Идельчик И. Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. М.—Л.,
Госэнергоиздат, 1960. 464 с.
17. Исследования элементов паровых и газовых турбин и осевых компрессоров. Под
ред. А. С. Зильбермана. М.—Л., Машгиз, 1960 (ЛМЗ. Вып. 6). 488 с.
18. Кириллов А. И. Влияние больших углов атаки на аэродинамические характери-
стики решеток профилей реактивного типа. — Энергомашиностроение. Ученые записки аспи-
рантов и соискателей. Л., ЛПИ им. М. И. Калинина, 1964, с. 63—68.
19. Кириллов И. И. Исследование потерь энергии в части низкого давления мощных
паровых турбин. — «Теплоэнергетика», 1963, № 6, с. 40—45.
20. Кириллов И. И. Влияние на к. п. д. формы проточной части низкого давления
паровых турбин. — «Энергомашиностроение», 1961, № 12, с. 1—5.
21. Кириллов И. И. и Климцов А. А. Потери энергии в турбинных ступенях
с бандажом и без бандажа. — «Теплоэнергетика», 1963, № 2, с. 30—35.
22. Кириллов И. И и Кузьмичев Р. В. Потери энергии в турбинной ступени
от скрепляющих проволок. — «Электрические станции», 1962, № 7, с. 38—42.
23. Кириллов И. И., Кузьмичев Р. В. и Ш п е н з е р Г. Г. Влияние гео-
метрических размеров лопаточных каналов на к. п. д. турбинной ступени. — «Энергомашино-
строение», 1971, № 5, с. 18—20.
34 и. И. Кириллов
529
24. Кириллов И. И. и Павлов А. П. Кромочные потери энергии в турбинных
решетках активного типа при больших скоростях потока. — «Энергомашиностроение», 1969,
№ 1, с. 47—49.
25. Кириллов И. И., Терешков А. А. Турбинная ступень с плоскими стенками
направляющих каналов. — «Теплоэнергетика», 1961, № 12, с. 45—51.
26. Кириллов И. И. и Я б л о н и к Р. М. Влияние закрытого осевого зазора на
к. п. д. ступеней активного типа с незакрученными лопатками. — «Энергомашиностроение»,
1957, № 5, с. 15—18.
27. Кириллов И. И., Я б л о н и к Р. М., Карцев Л. В. и др. Аэродинамика
проточной части паровых и газовых турбин. М., Машгиз, 1958. 247 с.
28. К и р с а н о в В. А. Об улучшении турбинных реактивных решеток профилей на
основе исследования хаоактера их обтекания при изменении режима работы по числу Re
и числу М. «Изв. АН СССР ОТН», 1954, № 7, с. 53—76.
29. Л е о н к о в А. М. К вопросу влияния осевых зазоров и перекрыш на потери энергии
в турбинных ступенях. — Сб. научных работ БПИ, вып. 53, 1956, с. 88—107.
30. Л о к а й В. И. Зависимость профильных потерь в решетке от угла атаки. — «Изв.
АН СССР, ОТН» 1954, Ns 6, с. 47—52.
31. Марков Н. М. Расчет аэродинамических характеристик лопаточного аппарата
осевых турбомашин. М.—Л., Машгиз, 1955. 163 с.
32. Меж ер ицк ий А. Д. Вентиляционные потери в турбинной ступени. — «Энерго-
машиностроение», 1962, Ns 6, с. 29—32.
33. П о в х И. Д. Аэродинамический эксперимент в машиностроении. М.—Л., Машгиз,
1959 . 395 с.
34. П ш е н и ч н ы й В. Д., А л ь ф е р Б. В., С л е п у х и н А. И. и др. Исследование
двухвенечной ступени судовой турбины заднего хода. — Сб. «Машиностроение и металлургия
Кировского завода». Л., «Машиностроение», 1970, с. 278—283.
35. Развитие газовых турбин. Сб. статей. Пер. с англ., иод ред. В. Л. Александрова.
М., БИТ, 1947. 175 с.
36. С а м о й л о в и ч Г. С., М о р о з о в Б. И. О коэффициентах расхода через раз-
грузочные отверстия турбин. — «Теплоэнергетика», 1957, Ns 8, с. 18—23.
37. Т ы р ы ш к и н В. Г. и Ширков Б. А. О влиянии бандажа и скрепляющей про-
волоки на к. п. д. турбинной ступени с длинными лопатками. — «Теплоэнергетика», 1957,
№ 9, с. 16—19.
38. Федоров М. Ф.,Погорелов Ю. И. и К усе н к о В. А. Эксперименталь-
ное исследование концевых потерь в конфузорных решетках и сопловых сегментах диафрагм
паровой турбины. Харьков, 1957. Труды ХПИ им. В. И. Ленина. Т. 24, вып. 6, с. 15—38.
39. Франкль Ф.И. Истечение сверхзвуковой струи из сосуда с плоскими стенками. —
«Доклады АН СССР», т. 58, 1947, Ns 3, с. 381—384.
40. Ч у п и р е в Д. А. Проектирование и тепловые расчеты стационарных паровых
турбин. Киев—Москва, Машгиз, 1953. 190 с.
41. Шерстянников В. А.. Бандажирование газовых турбин. — «Теплоэнергетика»,
1963, № 3, с. 34—38.
42. Ш н е э Я. И., Ф е д о р о в М. Ф. и Г а р к у ш а А. В. О выборе закрытого зазора
в бандажной ступени турбины. — «Энергомашиностроение», 1963, Ns 4, с. 18—22.
43. Э т и н б е р г Й. Э. Исследование гидравлических потерь в поворотнолопастных гид-
ротурбинах.— «Энергомашиностроение», 1961, № 4. с. 8—11.
44. Я б л о н и к Р. М. Газотурбинные установки. М., Машгиз, 1959. 408 с.
45. J a u m о t t е A. L. et D е v i е п п е Р. Influence du nombre de Reynolds sur les
partes dans les grilles d'aubes. — «Technique et Science Aeronautique», v. 5, 1956, Ns 5,
p. 222—232.
46. К e а г t о n W. J. and Keh T. H. Leakage of air through labyrinth glands of staggered
type. — «Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers», v. 166, 1952, No 2, p. 180—188.
47. L a n g e r L. Der Stand der Forschung auf dem Gebiet der kompressibien Gitterstro-
mung und Ergebnisse der Untersuchung der Mach — und Reynoldszahl einflusses an einem Gleich-
druckgitter. — «ЕКМ Mitteilungen. Aus dem Energiemaschinenbau», 1961, H. 2, S. 7—15.
48. P f 1 e i d e г e r C. Stromungsmaschinen. Berlin—Gottingen—Heidelberg, Springer—
Verlag, 1952. 383 S.
49. Schlichting H. Anwendung der Grenzschichttheorie auf Stromungsprobleme der
Turbomaschinen. — «Siemens Zeitschrift», 1959, H. 7. S. 429—432.
50. Schultz-Grunow. Der Reibungswiderstand rotierender scheiben in Gehausen. —
«Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik», Bd. 15, 1935, N 4, S. 191—204.
51. Trut nowsky K. Untersuchungen an beriihrungsfreien Dichtungen. — «Konstruk-
tion», 1954, Ns 10, S. 389—392.
К ГЛ. VIII
1. Кириллов И. И.,Ласкин А. С. Исследование переменных аэродинамических
сил в турбинной решетке, обтекаемой нестационарным потоком. — «Энергомашиностроение»,
1966, № 12, с. 29—32.
2. Кириллов И. И. и Ласкин А. С. Нестационарные процессы в межлопаточных
каналах турбомашин. — «Энергомашиностроение», 1972, № 5, с. 8—11.
530
3. Кириллов И. И., Ласкин А. С., Шпензер Г. Г. Влияние нестационар-
ное™ потока на к. п. д. турбинных ступеней. — «Теплоэнергетика», 1970, № 10, с. 46—48.
4. Л а с к и н А. С. Исследование нестационарных явлений в турбинной ступени. —
«Энергомашиностроение». Ученые записки аспирантов и соискателей ЛПИ, 1964, с. "103—112.
5. Л а с к и и А. С., А ф а и а с ь е в а И. Н. Переменные аэродинамические силы
в турбинной решетке, возбуждаемые последующим лопаточным аппаратом. — «Энергомашино-
строение», 1970, № 7, с. 45—46.
6. Ласкин А. С. и Кулешов А. П. Малогабаритный датчик для измерения быстро
меняющихся давлений в турбомашинах. — «Энергомашиностроение», 1965, № 11, с. 20—23.
7. Л а с к и н А. С., Стоянов Ф. А. Тензометрические лопатки для изучения не-
стационарного потока в решетках турбомашин. — «Изв. вузов. Энергетика», 1968, № 5,
114—118.
8. П р я д и л о в А. И. Экспериментальное исследование помпажа в ступени осевого
компрессора. — «Теплоэнергетика», 1956, № 1, с. 49—52.
9. С а м о й л о в и ч Г. С. Нестационарное обтекание и аэроупругие колебания реше-
ток турбомашин. М., «Наука», 1963. 444 с.
10. Я б л о н и к Р. М. Влияние аэродинамического следа на обтекание турбинных
решеток профилей. Энергомашиностроение. Л., Машгиз, 1951 (Труды ЛПИ, № 1), с. 55—62.
11. Я б л о н и к Р. М. Об обратном влиянии турбинных решеток профилей. — «Вестник
машиностроения», 1953, № 8, 5—9.
12. С а г t е г A. D. S. and Kilpatrick D. A. Self — exited vibration of axial—flow comp-
ressor blades. — «Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers». 1957, № 7, p. 245—262.
13. J ur a F. and R a n n i e W. D. Experimental investigations of propagating stall in
axial—flow compressors. «Trans, of the ASME», 1954, Ko 3, p. 463—471.
14. К a z i m i e r s k i Z., Plaski przeplyw przez osiowy stopien maszyny przeplywowey
о dowolnich parametrach geometryczych. Archiwun budowy maszyn, 1966, 13, № 2, c. 213—232.
15. Kemp N. H., Sears W. R. The unsteady forces to viscous wakes in turbomachines.
Journ. of the Aeron. Soc., 1955, Vol. 22, No 7, p. 478—483.
16. Kraft H. Nonsteady flow in the turbine, recent work and thinking. Paper Amer.
Soc. Meeh. Eng., 1968, No FE-41. 12 p.
17. К r z у w о b 1 о c k i. M. Z. Investigation of the wing—wake frequency with applica-
tion of the Strouhal number. Journ. of the Aeron. Sci., v. 12, No 1, 1945, p. 51—62.
К гл. IX
1. Алексеев О. H., Кириллов А. И., Лапшин К-Л. и др. Исследование
турбинных ступеней с навалом сопловых лопаток. — Энергомашиностроение. Л.. Машино-
строение, 1969 (Труды ЛПИ, № 310), с. 35—40.
2. Д е й ч М. Е. и Трояновский Б. М. Исследование и расчет ступеней осевых
турбин. М., «Машиностроение», 1964 . 628 с.
3. Завадовский А. М. Основы проектирования проточной части паровых и газо-
вых турбин. М.—Л., Машгиз, 1960. 247 с.
4. 3 а л ь ф Г. А..и Звягинцев В. В. Тепловой расчет паровых турбин. М.—Л_,
Машгиз, 1961. 291 с.
5. Кириллов А. И., Лапшин К- Л. и Афанасьева Н. Н. Характеристики
турбинных ступеней с тангенциальным навалом направляющих лопаток — «Энергомашино-
строение», 1970, № 9. с. 26—27.
6. К и р и л л о в И. И., Н о с о в и ц к и й А. И., Шпензер Г. Г. и Рахма-
нина В. Д. Влияние угла раскрытия проточной части на эффективность ступеней с малым
отношением dll. — «Теплоэнергетика», 1972, № 2, с. 41—43.
7. К и р и л л о в И. И. и Я б л о н и к Р. М. Характеристики турбинных ступеней
при различных углах поворота направляющих лопаток. — «Энергомашиностроение», 1961,
№ 6, с. 7—11.
8. Кириллов И. И., Яблоник Р. М., Карцев Л. В. и др. Аэродинамика
проточной части паровых и газовых турбин. М., Машгиз, 1958. 247 с.
9. Кирюхин В. И., Сапожников В. Н. иЩе колдин А. В. Обобщение
результатов испытаний активных ступеней давления КТЗ с £>//>16. — «Теплоэнергетика»,
1966, № 4, с. 29—34.
10. Лагун В. П. и Симою Л. Л. Газодинамические исследования последней ступени
натурного ЦНД турбины ВК-100-5 до и после модернизации. — «Теплоэнергетика», 1969,
№ 8, с. 13—18.
11. Лопатицкий А. О. Исследование типовой ступени высокого давления ЛМЗ
в экспериментальной воздушной турбине. — В кн.: Исследование элементов паровых и газо-
вых турбин и осевых компрессоров. Под ред. А. С. Зильбермана. М.—Л., Машгиз, 1960, с. 9—27.
12. М а р к о в Н. М. Теория и расчет турбинных ступеней. Машгиз, 1963. 155 с.
13. М а р к о в Н. М., Терентьев И. К., Елизаров В. С. и др. Эксперимен-
тальное исследование последней ступени турбины К-300-240 и К-800-240 ЛМЗ им. XXII съезда
КПСС. — «Энергомашиностроение», 1966, № 12, с. 1—4.
14. П ш е н и ч н ы й В. Д. К. п. д. одновенечных ступеней активного типа по данным
отечественных исследований. — «Энергомашиностроение», 1970, № 6, с. 9—11.
34*
531
15. П ш е н и ч и ы й В. Д. Оптимальный выходной угол сопел одновенечной активной
ступени небольшой пропускной способности. — «Энергомашиностроение», 1964, № 2, с. 6—10.
16. Т а т ь я н к и н А. П., Б у с у р и н В. Н., Кириллов А. И. и др. К вопросу
о повышении эффективности турбинной ступени. — «Энергомашиностроение», 1970, № 10,
с. 21—22.
17. Ч е р н и к о в В. А. и Кириллов И. И. К выбору относительного шага пери-
ферийного сечения безбандажной рабочей решетки осевой турбинной ступени. Л., «Машино-
строение», 1969 (Труды ЛПИ, № 310), с. 40—44.
К гл. X
1. Зайдель Р. Р. Турбодетандеры кислородных установок. М., Машгиз, 1960. 176 с.
2. Зарянкин А. Е., Ш е р с тю к А. II. Радиально-осевые турбины малой мощ-
ности. М., Машгиз, 1963. 248 с.
3. К а п и ц а П. Л. Турбодетандер для получения низких температур и его применение
для сжижения воздуха. — ЖТФ, 1939, т. 9, вып. 2, с. 99—123.
4. Кириллов II. И., Иванов В. А. Итоги и основные проблемы отечественного
паротурбостроения. — «Изв. вузов. Энергетика», 1967, № 10, с. 67—87.
5. Ковалев Н. И. Гидротурбины. М.—Л., Машгиз, 1971. 583 с.
6. Лошкарев А. И. и Брюханов Б. Н. К расчету характеристик центростре-
мительной турбины. — Изв. вузов «Машиностроение», 1963, № 1, с. 81—96.
7. М и д з у м а т и Н. Исследование радиальных газовых турбин. Пер. с япон. М.,
Машгиз, 1961. 120 с.
8. Рис В. Ф. Центробежные компрессорные машины. М.—Л., «Машиностроение»,
335 с.
9. Розенберг Г. Ш. Судовые центростремительные газовые турбины. Л., «Судо-
строение», 1964. 231 с.
10. С е л е з н е в К- П., П од об у ев Ю. С., А н и с и м о в С. А. Теория и расчет
турбокомпрессоров. Л., «Машиностроение», 1968. 406 с.
11. Щ е г о л е в Г. С., Г а р к а в и Ю. Е. Гидротурбины и их регулирование. М.—Л.,
Машгиз, 1957. 350 с.
12. А г i g a I., Watanabe I., F u j i е К. Investigation concerning flow patterns
within the impeller channels of radial — inflow turbine, with of the splitter vanes. Trans, of the
ASME, 1967, 4.
13. Kucharski. Stromungen einer reibungsfreien Fliissigkeit bei Rotation fester Korper.
Oldenburg, 1918.
К ГЛ. XI
1. Аэродинамика проточной части паровых и газовых турбин. Под ред. И. И. Кирил-
лова. М., Машгиз, 1955 (Труды БИТМ, вып. 15). 71 с.
2. Д е х о в и ч Д. А. Характеристики турбинной ступени. — «Изв. вузов. Энергетика»,
1965, № 8, с. 67—75.
3. Кириллов И. И. Изменение крутящего момента ступени газовой турбины в зави-
симости от скорости вращения. — «Теплоэнергетика», 1961, № 7, с. 18—24.
4. Кириллов И. И. и Д е х о в и ч Д. А. Тяговые характеристики осевых и ра-
диальных турбинных ступеней. — «Изв. вузов. Энергетика», 1971, № 6, с. 53—59.
5. К и р и л л о в И. И., Кириллов А. И. Турбинные ступени, развивающие
большой момент при трогании с места. — «Энергомашиностроение», 1960, № 9, с. 6—8.
6. Кириллов И. И. и Кириллов А. И. Характеристики турбинных ступеней
в широком диапазоне изменения и!Се. — «Энергомашиностроение», 1964, № 4, с. 1—4.
7. Н о с о в и ц к и й А. М., К и р и л л о в И. И., Р а х м а н и н а В. Д. Особенности
течения пара в турбинной ступени на режиме холостого хода. — «Энергомашиностроение»,
1968, № 8, с. 37—38.
8. К о т л я р И. В. Частичные и переходные режимы работы судовых газотурбинных
установок. Л., «Судостроение», 1966. 290 с.
9. К у р з о н А. Г. Теория судовых паровых и газовых турбин. Л., «Судостроение»,
1970. 592 с.
10. П ш е н и ч н ы й В. Д. и Харламов Е. Г. Экспериментальное исследование
турбинной ступени при режимах потребления мощности. — «Энергомашиностроение», 1967
(Труды ЛПИ, № 286), с. 44—47.
11. Таранов Б. П. О взаимосвязи между давлениями до и после паротурбинного от-
сека и расходом пара через отсек. — «Изв. втузов. Энергетика», 1959, № 1, с. 41—47.
12. У в а р о в В. В. и др. Локомотивные газотурбинные установки. Машгиз, 1962.
548 с.
13. Ф л ю г е л ь Г. Паровые турбины. Пер. с нем. Л.—М., ГОНТИ, НКТМ СССР, 1939.
255 с.
14. Хазен М. М. Локомотивные газотурбинные установки. Трансжелдориздат, 1960.
420 с.
15. Щ е г л я е в А. В. Паровые турбины. М., «Энергия», 1967. 368 с.
532
К гл. XII
1. Вайсман М. Д. Термодинамика парожидкостных потоков. М.—Л., «Энергия»,
1967. 272 с.
2. В и т м а н А. А., Кацнельсон Б. Д. и Палеев И. И. Распиливание жид-
кости форсунками. М.—Л., Госэнергоиздат, 1962. 264 с.
3. Дейч М. Е. и Филлипов Г. А. Газодинамика двухфазных сред. М., «Энергия»,
1968. 424 с.
4. Капица П. Л. Волновое течение тонких слоев вязкой жидкости. — ЖЭТФ, 1948,
т. 18, вып. 1. 31 с.
5. Кириллов И. И., Косяк Ю. Ф., Носовицкий А. И. и др. Влияние
влажности на коэффициент полезного действия ступеней низкого давления мощных турбин. —
«Теплоэнергетика», 1970, № 6, с. 35—38.
6. Кириллов И. И., Фаддеев И. П., Ачелюшкин В. Н. и др. Дробление
пленок влаги на сходе с кромок сопловых лопаток паровых турбин. — «Инж.-физ. журн.»,
1968, т. XV, № I, с. 85—90.
7. Кириллов И. И., Фаддеев И. П., Циглер X. X. и Шу бенко А. Л.
Исследование плоских решеток сопловых лопаток на влажном паре. «Энергомашиностроение»,
1968, № 6, с. 36—37.
8. Кириллов И. И. и Я б л о п и к Р. М. Основы теории влажнопаровых турбин.
Л., «Машиностроение», 1968. 264 с.
9. Кутателадзе С. С. и Стырикович М. А. Гидравлика газожидкостных
систем. М.—Л., Госэнергоиздат, 1958. 232 с.
10. Н о с о в и ц к и й А. И., К и р и л л о в И. И. и Ш п е н з е р Г. Г. Некоторые
вопросы снижения эрозии влажнопаровых ступеней. — «Теплоэнергетика», 1970 № 4
с. 24—27.
11. Раушенбах Б. В. Физические основы рабочего процесса в камерах сгорания
ВРД. М., «Машиностроение», 1954. 526 с.
12. Ф р е н к е л в Я. И. Собрание избранных трудов. Т. III. Кинетическая теория жид-
костей. М.—Л., изд. АН СССР, 1959. 460 с.
13. Я б л о н и к Р. М., Маркович Э. Э. иАльтшулер Л. Э. Движение ка-
пель в межвенцовых зазорах паровых турбин. — «Изв. вузов. Энергетика», 1965, № 10, с. 63—
70.
14. G а г m a t h у G. Grundlagen einer Theorie der Nafidampfturbine. Zurich. 1962. S. 196.
15. Bowden F., F h r i s t e G., H a у w о r d G. A Dissussion on deformation to
solid by the empact of liquid. Philosopical Transections of the Roval Society of London. Ser.
A, 1966, No 110.
К гл. XIII
1. Аэродинамика проточной части паровых турбин. Турбостроение. Под ред. И. И. Ки-
риллова. М., Машгиз, 1955 (Труды БИТМ, вып. 15). 71 с.
2. Г о ф л и н А. П. Аэродинамический расчет проточной части осевых компрессоров для
стационарных установок. М.—Л., Машгиз, 1959. 303 с.
3. Селезнев К. П., Подобуев Ю. С. и Анисимов С. А. Теория и расчет
турбокомпрессоров. Л., «Машиностроение», 1968. 406 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.......... 5
Основные обозначения .
Глава I. Уравнения движения жидкости и газа 9
1.1. Силы вязкого трения ... —
1.2. Уравнение неразрывности............................................ Ю
1.3. Уравнение движения в напряжениях ... 11
1.4 Уравнения движения идеальной жидкости 13
1.5. Уравнение баланса энергии ............................._.......... 14
1.6. Уравнение баланса энергии с подводом тепла или механической энергии 16
1.7. Уравнение Бернулли................................................ 18
1.8. Особенности течения с трением —
1.9. Относительное движение............................................ 19
1.10. Уравнения движения в цилиндрических координатах 26
1.11. Массовые силы Лоренца............................................ 29
1.12. Винтовое движение .... 34
1.13. Газодинамические функции 35
Глава II. Рабочий процесс в турбомашинах 40
II.1. Располагаемая и полезная работа в турбомашинах —
11.2. Коэффициенты возврата тепла и затраты энергии . 50
11.3. Процесс с внешним теплообменом................................... 54
II.4. Истечение газа из замкнутого пространства . • 58
II.5. Изоэнтропийное течение в соплах и диффузорах 61
II.6. Скачки уплотнения................................................ 65
II.7. Течение с трением и внешним'теплообменом 72
II.8. Расширение потока за горлом сопла
II.9. Кинематика потока в турбомашине • 81
11.10. Формулы Эйлера.................................................. 90
11.11. Теорема Жуковского ............................................. 98
11.12. Составляющие сил, действующих на ротор и статор 100
Глава III. Одномерная теория 105
III.1. Геометрическое и кинематическое подобие в турбомашинах . . 106
Ш.2. Связь между кинематическими коэффициентами и углами потока 113
III.3. Характеристики идеальных осевых турбомашин..................... 1>8
III.4. Характеристики радиальных турбомашин без учета потерь 129
III.5. Обобщенные кинематические характеристики турбомашин . 130
III.6. Параметры подобных турбомашин ................................. 136
II 1.7. Влияние профильных потерь энергии на характеристики турбинных сту-
пеней ............................................................... 141
III.8. Парциальный впуск.............................................. 151
Ш.9. Многоступенчатые турбомашины . 152
III. 10. Противоположное вращение колес .............................. 1о7
III. 11. Выбор кинематической схемы потока в турбомашине 159
Г лава IV. Двухмерная теория 162
IV. 1. Канальный метод . 164
IV.2. Метод особенностей.............................................. 173
IV.3. Метод конформного отображения . . . 178
IV.4. Расчет профильных потерь в решетках ............................ 191
IV.5. Шероховатость поверхностей проточной части турбомашины 200
IV.6. Аэродинамический след........................................... 203
IV.7. Сверхзвуковое течение .......................................... 204
534
Глава V. Пространственная структура потока в турбомашинах 211
V.I. Радиальное равновесие потока в межвенцовых зазорах.................... 2'2
V.2. Закрутка потока в осевых ступенях постоянной циркуляции (rcu = const) 215
V.3. Закрутка потока в осевых турбомашинах при винтовом течении ..... 222
V.4.' Закрутка потока по степенной зависимости от радиуса . . • 227
V.5. Закрутка потока при постоянном угле выхода (а, = const).............. 234
V.6. Закрутка потока при постоянной осевой плотности тока (рсг = const) 236
V.7. Истечение из круговой решетки при постоянном противодавлении .... 240
V.8. Поток в межлопаточном канале .......................... 247
V.9. Методы решения прямой задачи.......................................... 250
V.10. Течение в слоях, образуемых поверхностями тока . . 258
V. 11. Пространственная структура потока у концов лопаток 263
Глава VI. Моделирование ступеней турбомашин 277
VI. 1. Динамическое подобие потоков ......................................... —
VI.2. Моделирование турбомашин при различном рабочем теле . . . . 282
VI.3. Нарушение критериев подобия . . 289
Глава VII. Потери энергии в турбомашинах 295
VII. 1. Показатели качества решетки . 296
VI 1.2. Профильные потери........................*< . ’Э . . 301
VII.3.. Влияние на профильные потери в решетках чисел Re, М 313
VII.4. Концевые потери..................................................... 323
VII.5. Потери от трения и вентиляции . . . 330
VII.6. Утечки через лабиринтовые уплотнения 334
VII.7. Потери от протечек в проточной части................................ 338
VII 8. Влияние на потери энергии зазоров и перекрыт........................ 343
VII.9. Влияние на к. п. д. ступени ширин направляющих лопаток 349
VII. 10. Влияние на к. п. д. турбинной ступени скрепляющих проволок 354
VI 1.11. Потерн энергии в выходных патрубках .............................. 358
VII.12. Влияние на потери меридионального профилирования пробочной части 370
Глава VIII. Нестационарные явления в турбомашинах . 381
VIII. 1. Взаимное влияние решеток.......................................... 382
VIII.2. Опыты над неподвижными решетками................................... 385
VIII.3. Возмущения от кромочных следов при относительном движении решеток 387
VIII.4. Опыты над вращающимися моделями . . .......... 394
VII 1.5. Влияние ПАС на характеристики ступени 402
VIII.6. Вращающийся срыв. Помпаж .............................. . 405
Глава IX. Характеристики ступеней осевых турбомашин . . . . . .09
IX.1. Выбор характеристических коэффициентов.....................
IX.2. Характеристики турбинных ступеней с незакрученными лопатками . . 411
IX.3. Характеристики турбинных ступеней с лопатками умеренной веерности 415
IX.4. Характеристики турбинных ступеней большой веерности......... 418
IX.5. Влияние на к. и. д. конструктивных.особенностей необандаженных.сту-
пеней ................................................................ ... 420
IX.6. Характеристики компрессорных ступеней .............................. 423
IX.7. Влияние на характеристики ступеней поворота лопаток —
Глава X. Характеристики радиальных и радиально-осевых турбомашин 426
Х.1. Течение в радиальных ступенях турбомашин ...
Х.2. Циркуляционное относительное движение................................ 431
Х.З. Структура потока в рабочем колесе по экспериментальным данным 436
Х.4. Характеристики центростремительных ступеней.......................... 437
Х.5. Центробежные компрессорные ступени .... 442
Глава XI. Расходные и внешние характеристики турбины « ’445
XI.1. Вращающий момент при /гп == idem...............................
XI.2. Изменение расхода рабочего тела и плотности в зависимости от скорости
вращения ........................................................ 449
XI.3. Особенности внешних характеристик радиальных ступеней 452
XI.4. Опытные внешние характеристики турбинных ступеней . . 453
XI.5. Характеристики ступеней в области больших и/С0...................... 459
XI.6. Расходные характеристики многоступенчатых турбин.................... 463
535
Глава XII. Двухфазное рабочее тело и запыленные потоки . 471
XII.1. Формула Кельвина.....................
XII.2. Процесс расширения двухфазной среды . 474
XI 1.3. Кинетика процесса конденсации .... 476
XI 1.4. Двухфазные и запыленные потоки.................................. 483
XII.5. Уравнение движения индивидуальных аэрозолей . 487
XII.6. Движение аэрозолей за направляющим аппаратом 490
XII.7. Движение аэрозолей в рабочем колесе и за ним . 492
XII.8. Течение пленок................................................... 499
XII.9. Потери энергии в потоках, несущих аэрозоли 505
XII.10. Эрозия лопаток ... ... 510
Глава XIII. Методы проектирования проточных частей многоступенчатых турбо-
машин ........................................................................ 513
XIII.1. Многоступенчатые турбины .....................................
XIII.2. Методы проектирования проточной части многоступенчатых осевых
компрессоров............................................................ 520
Литература . 527
Иван Иванович КИРИЛЛОВ
ТЕОРИЯ ТУРБОМАШИН
Редактор издательства Г. Н. Павлова Переплет художника Г. Л. Попова
Технический редактор Л. В. Щетинина Корректоры Н. К- Кротова и 3, С. Романова
Сдано в производство 8/V1 1972 г. Подписано к печати 22/XI 197’2 г. М-13410 Формат бумаги 70 X Ю81 'je
Бумага типографская № 2. Усл. печ. л. 46,9. Уч.-изд. 44,8 л. Тираж 3 200 экз. Зак. Ле 1802.
Цена 4 р. 83 к.
Ленинградское отделение издательства «МАШИНОСТРОЕНИЕ»,
191065, Ленинград, ул. Дзержинского, 10
Ленинградская типография № 6 Главполиграфпрома Государственного комитета
. Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
193144, Ленинград, ул. Моисеенко, 10