СБОРНИК
ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ ВТУЗОВ
В четырех частях
Часть 2
СПЕЦИАЛЬНЫЕ
РАЗДЕЛЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
Под общей редакцией
А.В. ЕФИМОВА, Б.II. ДЕМИДОВИЧА
6-е издание, стереотипное
Перепечатка с третьего издания 1995 г.
Третье издание рекомендовано Государственным
комитетом Российской Федерации по высшему образованию
в качестве учебного пособия для студентов
высших технических учебных заведений
Москва
«Издательский дом Альянс»
2010
ББК 22.1
(23
УДК 51(075.8)
Коллектив а в г о ров:
В.А. БОЛГОВ, А.В. ЕФИМОВ, А.Ф. КАРАКУЛИН,
С.М. КОГАН, Г.Л. ЛУНЦ, А.С. ПОСПЕЛОВ,
С.В. ФРОЛОВ, Р.Я. ШОСТАК, А.Р. ЯНПОЛЬСКИЙ
Рецензент
кафедра специальных курсов высшей математики
Московского энергетического института
Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ча-
стях. Ч. 2. Специальные разделы математического
анализа: Учеб, пособие для втузов / Болгов В.А., Ефи-
мов А.В., Каракулин А.Ф. и др. Под общ. ред. А.В. Ефимова и
Б.П. Демидовича. - 6-е изд., стер. Перепечатка с третьего изда-
ния 1995 г. - М.: ООО «Издательский дом Альянс», 2010. -
368 с.- ISBN 978-5-903034-90-1
Содержит задачи по интегральному исчислению функций нескольких
переменных, дифференциальным уравнениям, векторному анализу, осно-
вам теории функций комплексной переменной, рядам и их применениям,
включая ряды Фурье, и операционному исчислению. Краткие теоретиче-
ские сведения, снабженные большим количеством разобранных приме-
ров, позволяют использовать сборник для всех видов обучения.
Для студентов высших технических учебных заведений.
Ил. 48.
© Болгов В.А., Демидович Б.П.
и др., 1981;
© Болгов В.А., Ефимов А.В.,
Каракулин А.Ф. и др., с измене-
ниями, 1995;
© Оформление. ООО «Издатель-
ский дом Альянс», 2010
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию .............................. 7
Из предисловия ко второму изданию ........................... 7
Из предисловия к первому изданию ............................ 8
( лава 8. Краткие интегралы ................................. 9
§ 1.	Двойной интеграл .................................... 9
1. Свойства двойного интеграла и его вычисление
в декартовых прямоугольных координатах (9). 2. За-
мена переменных в двойном интеграле (14). 3. При-
ложения двойных интегралов (18).
§ 2. Тройной интеграл ................................. 24
1. Тройной интеграл и его вычисление в декартовых
прямоугольных координатах (24). 2. Замена переменных
в тройном интеграле (25). 3. Приложения тройных
интегралов (28).
§ 3.	Несобственные кратные интегралы .................... 31
1.	Интеграл по бесконечной области (31). 2. Интеграл
от разрывной функции (32).
§ 4.	Вычисление интегралов, зависящих от параметра ....	34
1.	Собственные интегралы, зависящие от параметра
(34). 2. Несобственные интегралы, зависящие от пара-
метра (37).
Глава 9. Дифференциальные уравнения ...................... 42
§ 1. Уравнения 1-го порядка ........................... 42
1.	Основные понятия (42). 2. Графический метод по-
строения интегральных кривых (метод изоклин) (44).
3.	Уравнения с разделяющимися переменными (45).
4.	Однородные уравнения (47). 5 Линейные уравнения
(49). 6. Уравнение Бернулли (52). 7. Уравнения в пол-
ных дифференциалах (53). 8. Теорема существования
и единственности решения. Особые решения (56).
9.	Уравнения, не разрешенные относительно производ-
ной (57). 10. Смешанные задачи на дифференциальные
уравнения 1-го порядка (60). 11. Геометрические и фи-
зические задачи, приводящие к решению дифференци-
альных уравнений 1-го порядка (61).
§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков ...... 66
1.	Основные понятия. Теорема Коши (66). 2. Уравнения,
допускающие понижение Порядка (68). 3. Линейные од-
нородные уравнения (75). 4. Линейные неоднородные
уравнения (78). 5. Линейные однородшА уравнения с по-
стоянными коэффициентами (81). 6. Линейные неоднород-
ные уравнения с постоянными коэффициентами (83).
7. Дифференциальные уравнения Эйлера (87). 8. Краевые
3
задачи в случае линейных дифференциальных урав-
нений (88). 9. Задачи физического характера (89).
§ 3. Системы дифференциальных уравнений .............   91
1. Основные понятия. Связь с дифференциальными
уравнениями л-го порядка (91). 2. Методы интег-
рирования нормальных систем (94). 3. Физический
смысл нормальной системы (97). 4. Линейные одно-
родные системы (98). 5. Линейные неоднородные
системы (102).
§ 4. Элементы теории устойчивости ...................  107
1. Основные понятия (107). 2. Простейшие типы точек
покоя (108). 3. Метод функций Ляпунова (111).
4. Устойчивость по первому приближению (112).
§ 5. Численное интегрирование обыкновенных дифференци-
альных уравнений .................................. 114
1. Задача Коши (114). 2. Краевая задача для линейного
уравнения (121).
Глава 10. Векторный анализ ............................. 123
§ 1.	Скалярные и векторные поля. Градиент ............ 123
1.	Геометрические характеристики скалярных и вектор-
ных полей (123). 2. Производная по направлению
и градиент скалярного поля (125).
§ 2.	Криволинейные и поверхностные интегралы ......... 127
1.	Криволинейный интеграл 1-го рода (127). 2. Повер-
хностный интеграл 1-го рода (129). 3. Криволинейный
интеграл 2-го рода (132). 4. Поверхностный интеграл
2-го рода (135).
§ 3.	Соотношение между различными характеристиками ска-
лярных и векторных полей ............................. 139
1.	Дивергенция векторного поля и теорема Гаусса —
Остроградского (139). 2. Вихрь векторного поля. Те-
орема Стокса (140). 3. Оператор Гамильтона и его
применение (143). 4. Дифференциальные операции 2-го
порядка (144).
§ 4.	Специальные виды векторных полей ................ 145
1.	Потенциальное векторное поле (145). 2. Соленои-
дальное поле (147). 3. Лапласово (или гармоническое)
поле (148).
§ 5.	Применение криволинейных координат в векторном
анализе .............................................. 150
1.	Криволинейные координаты. Основные соотношения
(150). 2. Дифференциальные операции векторного анализа
в криволинейных координатах (152). 3. Центральные,
осевые и осесимметрические скалярные поля (154).
Глава 11. Основные понятия теории функций комплексной
переменной ............................................... 155
§ 1.	Элементарные функции ............................. 155
1.	Понятие функции комплексной переменной (155).
2.	Основные элементарные функции комплексной пе-
ременной (159). 3. Предел и непрерывность функции
комплексной переменной (162).
§ 2.	Аналитические функции. Условия Коши — Римана  	163
1.	Производная. Аналитичность функции (163). 2. Свой-
ства аналитических функций (166).
4
§ 3.	Конформные отображения ........................... 168
1.	Геометрический смысл модуля и аргумента произ-
водной (163). 2. Конформные отображения. Линейная
и дробно-линейная функция (169). 3. Степенная функция
(174). 4. Функция Жуковского (176). 5. Показательная
функция (178). 6. Тригонометрические и гиперболичес-
кие функции (179).
§ 4. Интеграл от функции комплексной переменной ....... 179
1. Интеграл по кривой и его вычисление (179). 2. Те-
орема Коши. Интегральная формула Коши (183).
Глава 12. Ряды и их применение .......................... 188
§ 1. Числовые ряды .................................... 188
1.	Сходимость ряда. Критерий Коши (188). 2. Аб-
солютная и условная сходимость. Признаки абсолют-
ной сходимости (190). 3. Признаки условной сходимо-
сти (196).
§ 2.	Функциональные ряды .............................. 200
1.	Область сходимости функционального ряда (200).
2.	Равномерная сходимость (202). 3. Свойства равно-
мерно сходящихся рядов (204).
§ 3.	Степенные ряды ................................... 205
1.	Область сходимости и свойства степенных рядов
(205). 2. Разложение функций в ряд Тейлора (208).
3.	Теорема единственности. Аналитическое продолже-
ние (213).
§ 4. Применение степенных рядов ....................... 215
1. Вычисление значений функций (215). 2. Интегрирова-
ние функций (217). 3. Нахождение сумм числовых
рядов. Убыстрение сходимости (218). 4. Интегрирование
дифференциальных уравнений с помощью рядов (221).
5. Уравнение и функции Бесселя (224).
§ 5. Ряды Лорана ..................................... 225
1. Ряды Лорана. Теорема Лорана (225). 2. Характер
изолированных особых точек (229).
§ 6. Вычеты и их применение ......................... 231
1. Вычет функции и его вычисление (231). 2. Теоремы
о вычетах и их применение к вычислению контурных
интегралов (233). 3. Применение вычетов к вычислению
определенных интегралов (236). 4. Принцип аргумента
(239).
§ 7. Ряды Фурье. Интеграл Фурье ........................ 240
1. Разложение функций в тригонометрические ряды
Фурье (240). 2. Двойные ряды Фурье (244). 3. Интеграл
Фурье (246). 4. Спектральные характеристики ряда
и интеграла Фурье (249). 5. Дискретное преобразование
Фурье (ДПФ) (250).
Глава 13. Операционное исчисление ......................   253
§ 1.	Преобразование Лапласа ............................ 253
1.	Определение и свойства преобразования Лапласа
(253). 2. Расширение класса оригиналов (260).
§ 2.	Восстановление оригинала по изображению ........... 262
1.	Элементарный метод (262). 2. Формула обращения.
Теоремы разложения (263).
5
§ 3.	Применения операционного исчисления .............. 267
1.	Решение линейных дифференциальных уравнений и си-
стем уравнений с постоянными коэффициентами (267).
2.	Решение линейных интегральных и интегро-диффере-
нциальных уравнений (272). 3. Интегрирование линей-
ных уравнений в частных производных (273). 4. Вычис-
ление несобственных интегралов (275). 5. Суммирование
рядов (278). 6. Применение операционного исчисления
при расчете электрических цепей (280).
§ 4. Дискретное преобразование Лапласа и его применение 284
1. Z-преобразование и дискретное преобразование Лап-
ласа (284). 2. Решение разностных уравнений (290).
Ответы ............................................... 293
Приложение ........................................... 364
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
Третье издание второй части сборника задач несущест-
венно отличается от предыдущего: исправлены замеченные
опечатки, неточности в формулировках, ошибки в ответах,
добавлено приложение, содержащее основные соотношения
между гиперболическими функциями.
Авторы искренне признательны всем лицам, приславшим
свои замечания, а также сотрудникам кафедры специальных
курсов высшей математики МЭИ, полезные указания которых
были учтены при окончательном редактировании настоящего
издания.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Во втором издании второй части настоящего сборника
задач наибольшим изменениям подверглись главы 11 и 13.
В главе 11 «Основные понятия теории функций комплексной
переменной» переработан раздел «Элементарные функции»,
а также значительно увеличено количество задач на интег-
рирование. Изменена структура главы 13 «Операционное
исчисление». В частности, в один раздел помещены все
приложения операционного исчисления. В остальные главы
добавлены циклы новых задач, исправлены замеченные опе-
чатки, уточнены формулировки задач.
Нумерация задач, как и во втором издании первой части,
дана по главам, а ответы на все задачи помещены в конце
сборника.
Указанную работу выполнили члены авторского коллек-
тива Ефимов А. В., Каракулин А. Ф., Коган С. М. и Поспе-
лов А. С.
7
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Вторая часть «Сборника задач по математике для втузов»
содержит такие математические разделы, как интегральное
исчисление функций многих переменных, векторный анализ,
дифференциальные уравнения, основные понятия теории фун-
кций комплексной переменной, числовые и функциональные
ряды и их применение, операционное исчисление. Предлага-
емый в задачнике материал содержит соответствующие раз-
делы программы по курсу высшей математики, утвержденной
Минвузом СССР в мае 1979 г.
Как и в первой части, каждый параграф начинается
с краткого теоретического введения. Задачам, предлагаемым
для самостоятельного решения, предшествуют подробно ра-
зобранные примеры. Ко всем вычислительным задачам даны
ответы; для задач, отмеченных одной или двумя звездочками,
приведены соответственно указания к решению или решения.
Особенностью настоящего сборника является включение
в него задач, требующих в процессе решения использования
ЭВМ; эти задачи приводятся в соответствующих разделах.
Далее, теория общих функциональных и степенных рядов
излагается с использованием теории функций комплексной
переменной. Такой подход, на наш взгляд, позволяет лучше
понять свойства степенных рядов, представление функций
степенными рядами. Для тех втузов, в которых изложение
теории рядов ведется отдельно в действительной и комп-
лексной областях, в соответствующих пунктах § 2 гл. 12
приводятся сначала задачи на ряды с функциями дейст-
вительной переменной, а в задачах § 3 переменную z можно
считать действительной, т. е. положить z = x.
Как и в первой части, начало решений примеров и задач
помечается знаком <□, конец — знаком о, начало указаний
к задачам — знаком ф.
Глава 8
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Двойной интеграл
1. Свойства двойного интеграла и его вычисление в декартовых
прямоугольных координатах. Пусть функция /(х, y]=f(P) определена
и непрерывна на замкнутой ограниченной области G плоскости
Оху, ст = {Дон До2, .... Дои) -некоторое разбиение области G на
элементарные подобласти Док, площади которых также обозначим
через До*, а диаметры — через dk. Зафиксируем точки /\еДо*,
А —1, ..., п. Выражение
s„= i/tpjb'h
к 1
называется интегральной суммой для функции f(P) по области G.
Гх.ш существует предел последовательности интегральных сумм S„ при
max c7k->0 (при этом и-юо) и если этот предел не зависит ни от
1 ^к^п
способа разбиения области G на элементарные подобласти Да*, ни
от выбора точек РкеДок, то он называ-
ется двойным интегралом от функции
/(х, у) по области G и обозначается
через ff/(x, y)dxdy.
G
Таким образом,
>im
G	max dk -»0 * = i
Для двойного интеграла справедливы
свойства линейности и аддитивности (см.
задачу 8.1).
Вычисление двойного интеграла сво-
дится к вычислению повторных интег-
ралов следующим способом. Пусть об-
ласть G (рис. 80) ограничена кривыми
у = Ф1(х), у — ф2(х), х = а, х = Ь, причем всюду на [а, />] функции
Ф1(х) и ф2(х) непрерывны и Ф1(х)^ф2(х). Тогда
y)dxdy=jdx f f(x,y)dy,	(1)
G	a 4>!<x)
причем сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной у
(х—параметр), а полученный результат интегрируется по х. Заметим
при этом, что если кривая фДх) (или кривая ф2(х)) в промежутке
9
a^x^b задается разными аналитическими выражениями, например,
{Ф^Чх) ПРИ а^х^с,
(p'j (-*) при С<Х^Ь,
то интеграл справа записывается в виде суммы двух интегралов
Ь Ф2(х)	с Ф2<х>	Ь 4>2<х>
frfx f f(x, y)dy = \dx f f(x, y)dy + \dx f f(x, y)dy.
а Ф](х)	а фИ>(х)	с ф<2»(х)
Аналогично, если область G ограничена кривыми л: = \|/1(у),
х = \|/2(у), У = с, y = d, причем всюду на [с, d} функции фДу) и ф2ц>)
непрерывны и Ф1 (_у)^ф2 (у) (рис. 81), то
d
П/(х’ y)dxdy=\dy f f(x, y)dx.	(2)
G	c ^(y)
Двойной интеграл, представленный в виде (1) или (2), называется
также повторным интегралом.
Пример 1. Расставить пределы интегрирования двумя спосо-
х2
бами и вычислить двойной интеграл 1=j'f — dxdy\ если область
G У
1
интегрирования G ограничена линиями у = х, у = -, х = 2.
Рис. 82.
Рис. 81.
с Форма области G (рис. 82) позволяет применить формулу (1)
при <Pi(x) = -, ф2(х) = х, <7=1, Ь = 2:
х2	2	х dv
f=H — dxdy=jx2dx f —г =
G У	1	1/х У
Если же для вычисления
(2), то следует положить
данного интеграла применить формулу
Ф1(>’)=ч
1
при 1,
.	Фз(>’) = 2,
при 1<^^2,
10
r = -, d=2. Тогда
2
12	2	2
Ях2	Г	dy Г _ t (* dy С
—zdxdy= —г x dx + \x*dx.
У	J	У J	J У	J
G	1/2	1/y	1	у
Очевидно, что первый способ вычисления в данном примере целесо-
образнее второго, о
Пример 2. Изменить порядок интегрирования в повторном
интеграле

$dy f f(x,y)dx.
о /,'1
Строим область интегрирования 2	2 -
G по пределам интегрирования: * У а
Ф1(3’)=-ч/>-У2, Фа (У) = 1 - У, J = 0,
у=1 (рис. 83). Сверху область G огра-
ничена кривой
С /1 _ v-2
-7
(р2(*) =
Рис. 83.
при
при
у = 0.
-1
0<х^ 1,
Поэтому имеем
jdy	I	f(x,y)dy= j dx	f	f(x, y)dy + \dx f	f(x, y)dy. о
О	г.-2	- 1	0	0	0
а снизу—прямой
о
1 X
8.1.	Пользуясь определением двойного интеграла, дока-
зать следующие его свойства:
а)	линейность:
y)±g(x’ y))dxdy = ^f(x, y)dxdy+tfg(x, y)dxdy
G	G	G
ipj(x- y)dxdy=‘k$jf(x, y)dxdy (XeR);
G	G
б)	аддитивность: если G = GiIJG2, то
y)dxdy = \\f{x, y)dxdy+^f(x, y)dxdy.
G	Gt	G2
Вычислить повторные интегралы:
1	2
8.2.	f dx J(x2+y )dy.
о о
3	5
8.4.	\dy f :
J -J (x + 2y)
1	2
n/2	a(l+cos<p)
8.5. j f rdr.
0	a cos ф
11
п/2	2 coscp
8.6.	J б/ф J r3 dr.
-п/2 О
Для данных повторных интегралов написать уравнения
кривых, ограничивающих области интегрирования, и постро-
ить эти области:
2 х + 3	12-х2
8.7.	J dx j f (х, у) dy. 8.8. J dx J f (x, у) dy.
8.9. f dy f f (x, у) dx. 8.10. f dx J /(x, у) dy.
0	2-y	0	r;
Для указанных ниже областей G записать двойной
интеграл
y)dxdy
G
в виде повторных, взятых в различных порядках:
8.11.	G — прямоугольник с вершинами Л (1,2), В (5, 2),
С(5, 4), D(l,4).
8.12.	G—параллелограмм, ограниченный прямыми у = х,
у = х-3, у = 2, у = 4.
8.13.	G—область, ограниченная кривыми х2+у2 = 2а2,
х2 — ау (а>0, у>0).
8.14.	G—область,	ограниченная кривыми у2 = ах,
х2Уу2 — 2ах, ^ = 0 (я>0, ^>0).
8.15.	G—область, ‘ ограниченная кривыми х2+у2 = ах,
х2 +у2 = 2ах, ^ = 0 (п>0, j>0).
8.16.	По какой переменной взят внешний интеграл в по-
вторном интеграле
2 х3
f f f(x,y)dydx
1 -v/X
и какова область интегрирования?
Изменить порядок интегрирования в следующих повтор-
ных интегралах:
6	-3 + УТ2 + 4х^Р
8.17.	f dx f /(х, y)dy.
~ 2	- 3 - х/12 + 4х-Т2	__
1 1 —у2	4 ^/16 — л'2
8.18.	J dy J f(x,y)dx. 8.19. J dx j /(x, y)dy.
-1	y2-1	°	Jix-x2
8.20.	\dy f f(x, y)dx+fdy f f(x,y)dx.
0	y2/9	1	y2/9
12
х+2	х+2
2	2	10/3	2
8.21.	f dx f f(x,y)dy+ f dx f f(x, y)dy.
"2	0	2
a	a + y/a2-x2	-J~2	У2/2
8.22.	frfx f f(x, y)dy. 8.23. f dy f f(x, y)dx.
0 yl~'
8.24.	fdx J f(x, y)dy + jdx J f(x,y)dy.
3	9/x	7	9/x
ax	a	a
8.25.	Показать, что f dx J/(x, у) dy = f dy f f(x, у) dx, и,
0	0	о	у
пользуясь этой формулой, доказать формулу Дирихле
fdx f f (у) dy=f (t-y)f{ у) dy.
0	0	0
Вычислить следующие интегралы:
8.26.	ff (х2 +у2) dxdy, где область G ограничена кривыми
G
у — х, х-^у — 2а, х = 0.
8-27. ПУху-р2 dx dy, где G — трапеция с вершинами
G
Л (1, 1), В(5, 1), С(10, 2), D(2, 2).
8.28.	tfxydxdy, где область G ограничена кривыми
G
х+у = 2, х2+у2 = 2у (х>0).
8-29. ffyJx dy, где G — треугольник с вершинами О (0, 0),
G
Л(1, 1), В(0, 1).
8.30.	JJ(x+2y) dxdy, trq область G ограничена кривыми
G
У~Х2 И у — у/х.
8.31.	ff(4 —у)dxdy, где область G ограничена кривыми
, g
х2 = 4>\ >’=1, х = 0 (х>0).
Ях dx dy	..	„
- у-*, -, где область G ограничена кривыми
G
y = xtgx, у — х, х = я/8 (х>л/8).
8-33.	а24-х2dxdy, где область G ограничена кривыми
G
у2 — х2-а2, х — а, х = 0, у = 0 (у>0, я>0).
13
8.34.	Цех+у dxdy, где область G ограничена кривыми
G
у = ех, х = 0, у = 2-
8.35*	. х2у dxdy, где область G лежит в первой четверти,
G
ограничена осями координат и дугой эллипса x = «cosz,
y = />sinz (O^ZO/2).
8.36.	ff x dx dy, где область G ограничена осью Ox и аркой
G
циклоиды x = a(t — sin/), у = я(1—cosr) (0^z^2n).
8.37.	у dxdy, где область G ограничена осями координат
G
и дугой астроиды x = tfcos3Z, y = asin3t (O^z^rc/2).
8.38*	. Найти среднее значение функции f(x,y) =
= cos2xcos2y в области G = {(х, у)|0^х^я/2, Q^y^Ti/2}.
8.39*	. Оценить величину интеграла
|	dxdy
J	9 + sin2x + sin2 (х+у)
IХ| + |у|^ 3
8.40.	Найти среднее значение функции /(х, у ) = 3х+2у
в треугольнике с вершинами 0(0,0), А (1,0), В(0, 1).
2. Замена переменных в двойном интеграле. Пусть функции
Х = ф(м, v) и у = ф(п, v)	(3)
осуществляют взаимно однозначное непрерывно дифференцируе-
мое отображение области Г плоскости O'uv на область G пло-
скости Оху. Это означает, что существует обратное непрерыв-
но дифференцируемое отображение и = т| (х, у) и v = % (х, у) области
G на область Г и в области Г отличен от нуля якобиан
преобразования, т. е.
/(w, v) =
Эф
ди
Эф
ди
Эф
dv
Эф
dv
#0,
(и, г)еГ.
(4)
Величины и и v можно рассматривать как прямоугольные координаты
для точек области Г и в то же время как криволинейные
координаты точек области G.
Если в двойном интеграле
у)dxdy
G
14
произвести замену переменных по формулам (3), то областью
интегрирования полученного интеграла будет уже область Г, ко-
юрая при надлежащем выборе функций ф(м, v) и ф(и, г) мо-
жет оказаться значительно проще области С, и имеет место
формула
f/(x,	=	v), ф(и, г))\/(и, v)\dudv.
G	Г
(5)
Для вычисления интеграла по области Г применяются изложен-
ные в п. 1 методы сведения двойного интеграла к повторным.
Пример 3. Вычислить JJ^хуdxdy, если область G ограничена
кривыми у = ах, у =bx, ху=р, xy = q (0<a<b, 0<p<q).
Перейдем к новым переменным и и г по формулам у2 = их,
xy = v. Тогда
Уравнения
X=U 1/Зг2/3,	>’=и,(3и1/3.
дх 1	4/,	дх 2	. .
— = — м-4/3г2/3,	- = -u-lliv
ди 3	dv 3
	дУ 1 1/3 -
ди 3	dv 3
—1-4/3 2/3	2 -w-1/3r“1/3
• 1 3	3
W,	1	i
-w-2/3r1/3	-н1'3»-2'3
3	3
nk v)i=^ Зи	при u>0.
линий принимают	вид
-1/3
3w’
Область
Г плоскости
и = а, и = Ь,
G плоскости Оху
O'uv (рис. 84). Следовательно, применяя формулу (5),
v=p, v = q.
преобразуется
в прямоугольник
15
получаем

ч 2	b
= -(<73'2-р32)1п.
В
Наиболее употребительными из криволинейных координат яв-
ляются полярные координаты
для которых
X = Г COS ф,
у = rsin ф,
i(r, ф) =
coscp
sin (p
— ГБШф
Г COS ф
и формула (5) записывается в виде
П -У)	=ПЛг cos Ф’ r s*n ф) Г(^г	(6)
g	г
Пример 4. Перейдя к полярным координатам, вычислить
двойной интеграл
П(л2+>’2)Л<Л',
G
trq область G ограничена окружностью х2 +у2 = 2ах.
<1- Положим х = гсо8ф, у = г8тф и применим формулу (6). Так как
х2+у2 = г2, то
П (x2+y2)dxdy = ^ г*dr dtp.
G	Г
Уравнение окружности х2 +у2 = 2ах преобразуется к виду г = 2а cos ф.
Поэтому областью Г является область, ограниченная снизу осью
г = 0, сверху косинусоидой г = 2а cos ф, причем фе[ —л/2, л/2].
Следовательно,
и 12
j* r3drdq = J i/ф
Г	-я/2
= 8fl
.	д 3 1 п 3 д
cos4 ф t/ф = 8л4	- ла4.
4 2 2 2
Перейти к полярным координатам и расставить пределы
интегрирования по новым переменным в следующих интег-
ралах:	_____
За/4	yjax - х2
8.41.	f dx _ J___________fUx2 + y2)dy.
о aV3 /з^2 '
2 V 4 Х
8.42.	$dx f f(x, y)dy. 8.43. $dy $ f(x, y)dx.
0 '/ax	°	~^У
16
8.44.	ff./(v2 +у2)dxdy, где область G ограничена линиями
G_
х2У-у2 = ^/б х, (х2+^2)2 = 9(х2—j’2), у = Ъ (О О,
Перейдя к полярным координатам, вычислить интегралы:
8.45.	\dx f ex2*y2dy. 8.46. \dy f J a2 — x2 —y2dx.
0	0	0 ^ay^yi
8.47.	\\^fx2+y2— 9 dxdy, где область G — кольцо между
G
двумя окружностями х2Уу2 = 9 и х2 У-у2 — 25.
8.48.	Jj а2 —х2—у2 dx dy, где область G—часть круга ради-
G
уса а с центром в точке О (0, 0), лежащая в первой четверти.
8-49. Шх2 + у2)dxdy, где область G ограничена кривыми
G
х2У-у2 = ах, х2Уу2^2ах, j> = 0 (у>0).
8.50.	jjdxdy, где область G ограничена кривыми х2 = ау,
G
х2 У-у2 — 2а2, у = 0 (х>0, я>0).
8.51.	\\ху/х2 +у2 dxdy, где область G ограничена лепест-
G
ком лемнискаты (х2у-у2)2 = а2(х2—у2) (.00).
Перейти к новым переменным и и v и расставить пределы
интегрирования в следующих интегралах:
8.52.	у) dx dy, где область G определена неравенст-
G
вами х^О, О0, х+у^а. Положить и = ху-у, ay = uv.
8.53.	ff/(x, у) dx dy, где область G ограничена кривыми
G
х2 = ау, x2 = by, у2—рх, y2 = qx [0<a<b, 0<p<q). Положить
х2 = иу, y2 = vx.
з 3 —х
8.54.	fJx f f(x,y)dy. Положить и=хУу v — x—у.
О 1 -X
8.55.	ff/(x, у)dxdy, где область G ограничена кривыми
G
ху=р, xy = q, у —ах, y = bx (0<p<q, 0<a<b). Положить
и = ху, y = vx.
Вычислить
8-56.
следующие двойные интегралы:
--Y — - -—- (с> 1), где область G ограничена
-(х/аУ-(у1Ь)2
х1 у2
эллипсом -7+77=1 (перейти к обобщенным полярным коор-
а b
динатам г и <р по формулам x = flrcos(p j = />rsincp).
8.57. ffe(x+y) dxdy, тде область G задана неравенствами
G
.О 0, j 0, х 4-у 1 (произвести замену переменных х = и (1 — v),
y = uv\
8.58. tfxydxdy, где область G ограничена линиями у = ах3,
G
y = bx3, у2—рх, y2 = qx (Q<a<b, 0<p<q) (выбрать надлежа-
щую замену переменных).
3. Приложения двойных интегралов. Геометрические при-
ложения. Площадь S плоской области G выражается, в зави-
симости от рассматриваемой системы координат, следующими ин-
тегралами:
S=ff<fr<7y	(7)
G
в декартовых прямоугольных координатах,
S=f j|(8)
Г
в криволинейных координатах. Здесь предполагается, что
X
дх дх
ди dv
ду ду
ди dv
в области Г.
В частности, в полярных координа-
тах x = rcos<p, y = rsin<p имеем
S = ^rdrd<p.
(9)
Пример 5. Найти площадь фигуры,
ограниченной кривыми г = я(1 +cos <р)
и / =flCOS<p (<2>0).
<1 В плоскости Оху фигура показана на
рис. 85. Вычислим по формуле (9) пло-
щадь верхней части и удвоим:
я/2 a(l+cos<p)	л o(l+cos<p)
5 = 2jjr dr dtp —2 j dtp J rdr + 2 f t/cp f rdr~
Г	0 acoscp	л/2	0
a(l + cos<p)\	я /
)dtp + f I r2
л/2 \
acostp
a(l +cos<p)
0
t/<P =
л/2	л
— a2 f (1 +2cos(p)fZ(p + a2 f (1 -I-2cos <p + cos2 <p)d(p =
О	л/2
= a2 (<p + 2 sin (p)
л/2	. /3<p	1
4- a I-----I- 2 sin <p + - sin 2cp
о \ 2	4
П 5	2
= -ita .
n/2	4
Если гладкая поверхность имеет уравнение z=f(x, у), то площадь
части этой поверхности, проектирующейся в область G плоскости
18
Оху, равна
2
dxdy.
(Ю)
Пример 6. Найти площадь части поверхности параболоида
у2 + z2 = 1ах, заключенной между цилиндром у2 = ах и плоскостью
х — а (а>0).
о Верхняя половина заданного параболоида описывается уравнением
z-Tlax—y2. Имеем:
a
dz a	dz	у
$х Т'^ах~у1	т	Т1ах-уг
(dz\2 (dz\2	а2-У у2 2ах-Уа2
1 +1 7“ ) + (	) =1+ ~---2 = э---2 *
\дх/ \уУ/	lax—у	lax—у
Так как рассматриваемая поверхность симметрична и
плоскости Oxz, то искомая площадь вычисляется как
площадь части этой поверхности, лежащей в первом
относительно
учетверенная
октанте:
ff llax T a2	° t——-
0 = 4	/------- dx dy = 4 f J lax + a2 dx
Jjylax—y2	о
G
dy
° ---------- /	у
— 4f х/2дх -I- a21 arcsin ——
о	\	х/2<
J Jla-y1
О
>/ах\	а _____к
j dx = 4f х/2ах + а2 - dx =
0/0
71
Та
3/2
. (11)
0 за	э
Объем V цилиндра, ограниченного сверху непрерывной поверх-
ностью z=f(x, у), снизу плоскостью 2 = 0 и с боков прямой
цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости Оху об-
ласть G, выражается интегралом
v=у)dxdy.
G
ГГример 7. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
у — у[х, у — lyfx, x + z = 4, 2 = 0.
Данное тело является цилиндроидом, ограниченным сверху плос-
костью x-yz = 4, снизу ПЛОСКОСТЬЮ 2 = 0 и с боков прямыми
цилиндрами у — ^[х и у = 1у[х (рис. 86,67). Область интегрирования
показана на рис. 86,6.
Имеем: 2 = 4 — х,
4 2 /х	4
K=ff(4 — x)dxdy — ^dx f (4-x)d> = f (4 — х)(2^/х — yjx}dx-
0	yjx	0
128
о
4	. г ( 2x3/2 lx5l2\ 4
= {(4-х)Ух</х = (4—--------
8.59.	Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
у2 = 4ах + 4а2 и х+у = 2а (а>0).
19
8.60.	Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
ху=4 и х+у = 5.
8.61.	Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
у=——у, х = 2у, х=0 (а>0).
' х2 + 4а2
Рис. 86.
8.62*	. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
х2+у2 = 2ах, х2+у2 = 2Ьх, у=х, у = 0 (0<а<Ь).
8.63.	Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
г=а(1—costp) и г —а (вне кардиоиды).
8.64*	. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
(х2+у2)2 = 2а2(х2— у2) и х2+у2 = 2ах.
8.65*	. Найти площадь фигуры, ограниченной петлей кри-
вой (х+у)4 = ах2у, лежащей в первой четверти (я>0).
8.66*	. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
/х2 у2\2_х2
уа2^.62у	с2’
8.67*	. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
у2 = ах, y2 = bx, ту2 = х3, пу2 = х3 (0<а<Ь, 0<т<п).
8.68*	. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
у2=рх, y2 — qx, у —ах, y = bx (§<p<q, 0<a<b).
8.69.	Найти площадь части плоскости x+y + z = a, выреза-
емой цилиндром у2=ах и плоскостью х = а.
8.70.	Найти площадь части поверхности цилиндра
x2 + z2 = a2, вырезаемой цилиндром у2 = а(а — х).
8.71.	Найти площадь части поверхности конуса
x2 + z2=y2, вырезаемой цилиндром у2 = 2рх (р>0).
8.72.	Найти полную поверхность тела, ограниченного
цилиндрами х2 — ау, z2 = ay и плоскостью у = 2а (а>0).
8.73.	Найти площадь части поверхности конуса
x2 + z2—y2, вырезаемой плоскостями х = 0, х+у = 2а, у—0.
20
8.74.	Найти площадь части поверхности цилиндра
х2 +у2 = 2ах, вырезаемой цилиндром z2 = 2a(2a — x).
8.75.	Найти площадь части сферы х2 +у2 + z2 = 2а2, за-
ключенной внутри конуса х2 +у2 = z2.
8.76.	Найти площадь части поверхности параболоида
z = x2—y2, заключенной между параболоидами z = 3x2+y2 — 2
и z-3x2+y2— 4.
8.77.	Найти площадь части сферы х2 у-у2+ z2 = a2, выреза-
емой цилиндром с образующими, параллельными оси Oz,
направляющей которого служит трехлепестковая роза
r-^a sin Зф.
8.78.	Найти площадь части винтовой поверхности
z^aarctg(y/x), вырезаемой цилиндром х2 У-у2 = а2.
8.79.	Найти площадь части сферы х2 У-у2+ z2=l, рас-
положенной между плоскостями z = ^~-y и z=y (z^O, у^О).
8.80.	Найти площадь части поверхности конуса
x2+y2-z\ вырезаемой цилиндром с образующими, парал-
лельными оси dz, направляющей которого служит кардиоида
Г = Д(1 4~СО8ф).
8.81.	Найти площадь части сферы x2+y2 + z2 = a2, выреза-
емой из нее цилиндром (х2+у2)2 — а2 (х2 — у2).
Найти объемы тел, ограниченных поверхностями:
8.83*	. z2 — х2 = а2, z2—y2 = a2, z = a^/2 (я>0).
8.84.	_у = х2, z—y, zy-y — 2.
8.85.	х2 — y2-2az, х2у-у2 = а2, z = 0 (внутри цилиндра;
л>0).
8.86.	х2+у2 — 2z2— — а2ч 2(х2 +y2) — z2 =а2 (а>0).
х2 V2
8.87.	z = ce У“2 ь ', -7+~=1 (о>0, Ь>0, с>0).
а2 Ь2
8.88.	x2y-y2 = z2, х2 У-у2 — 2z2 = —а2 (л>0).
X2	V2	Z2	х2	у2	-2
8.89.	1, 1- + (внутри конуса; л>0,
а2	Ь2	с2	а2	Ь2	с~
6>0, с>0).
8.90*	. z = xy, xj=l, xj> = 2, у2 = х, у2 = 3х.
8.91*	. z = x2+y\ ху=1ч ху = 2, v = x, у = 2х, z = 0
(х>0, у>0).
Механические приложения. Если пластинка занимает об-
ласть G плоскости Оху и имеет переменную поверхностную плотность
у = у(х, у), то масса М пластинки и ее статические моменты Мх
и Му относительно осей Ох и Оу выражаются двойными интегралами
21
A/ = Jjy(x, у) dxdy, МХ = Цyy(x, y)dxdy, Afy = jJ xy(x, y)dxdy. (12)
G	G	G
Координаты центра масс x и у пластинки определяются
следующим образом:
..	у)dxdy
- Му с
х =--- =-------------
М ff у(х, у) dxdy
Ajf И-Ж*’ у) dxdy
^x=G______________
Л/ JJ у (х, у) dx dy
G
(13)
G
инерции пластинки относительно осей Ох и
Оу
Моменты
соответственно равны
1 = ff у2у (х, у)dxdy,
g	(14)
1, = ^х2у(х’ y)dxdy,
G
а момент инерции пластинки относительно
начала координат (полярный момент ине-
рции) равен
/o=ff(x2+J'2) ч(х, y)dxdy = Ix+ly.(l5)
G
Если пластинка однородна и плот-
D Q-	ность ее не указана, условимся считать
РИС' 87'	У(х,>-)=1.
Пример 8. Найти координаты центра масс однородной пластин-
ки, ограниченной кривыми ау — х2, х+у = 2а (а>0).
<i Линии пересекаются в точках Мх( — 2а, 4я), М2(а, а) (рис. 87).
Поэтому можно записать:
£=ff dx dy= f dx
G	— 2a
2a-x a /	X2\
f dy= f l2a — x------------lt/x =
x2/a -2a\	a /
x2 x3
2ax---------
2 3a
°
— 2a 2
Mx=tfydxdy= f
G	-2
2а-х \ а (	х4\
dx f ydy = - f I (2a-x)2-------=
i x2/a	-2a\	a /
_1
“Ц 3	Ta2
a	2a-x a /	X2\
= £f x t7x = j xdx J dy= J xl 2a — x---------------\dx —
G	-2a x2la - 2a \	a /
Подставляя найденные значения
_ M	а
х ——-= —,
5	2
\ a /
/ 7 x3 x4
= axz---------
\	3 4a
в формулы (13), имеем
8
у = — = -а. о
7 S 5
9 з
= —а*.
-2а	4
5
a 36 .
= — a ;
— 2a 5
8.92. Найти массу круглой
плотность ее пропорциональна
от центра и равна 5 на краю
22
пластинки радиуса R, если
квадрату расстояния точки
пластинки.
8.93.	Найти статические моменты относительно осей Ох
и Оу однородной фигуры, ограниченной кардиоидой
/ =а(\ + cosф), О^ф^л, и полярной осью.
8.94.	Найти координаты центра масс однородной фигуры,
о| раниченной кривыми у2 = дх, у = х.
8.95.	Найти массу пластинки, имеющей форму прямоуголь-
ного треугольника с катетами ОВ = а и ОА = Ь, если плотность
се в любой точке равна расстоянию точки от катета О А.
8.96.	Найти статические моменты относительно осей Ох
и Оу однородной фигуры, ограниченной синусоидой y = sinx
и прямой О А, проходящей через начало координат и вершину
J (л/2, 1) синусоиды (х^О).
8.97.	Найти координаты центра масс однородной фигуры,
ограниченной кривыми ху = а2, у2 = $ах, х = 2а (я>0).
8.98.	Найти моменты инерции однородного треугольника,
ограниченного прямыми х+у=\, х + 2у — 2, у = 0, относитель-
но осей Ох и Оу.
8.99.	Найти координаты центра масс однородной фигуры,
ограниченной петлей кривой г = с/8ш2ф, лежащей в первой
четверти.
8.100.	Найти моменты инерции однородной фигуры, огра-
ниченной кардиоидой г = а (1 + cos ф), относительно осей Ох,
Оу и относительно полюса.
8.101.	Найти моменты инерции однородной фигуры, огра-
х 2 у2
ниченной эллипсом — + — = 1, относительно осей Ох, Оу
a Zr
и относительно начала координат.
8.102.	Найти моменты инерции однородной фигуры, огра-
ниченной кривыми у2 = ах, у = а, х = 0:
а) относительно начала координат,
б)* относительно прямой х=— а.
8.103.	Найти моменты инерции треугольника, ограничен-
ного прямыми х+у = а, х = а, у = а, относительно осей Ох,
Оу и относительно начала координат, если плотность пропор-
циональна ординате точки.
8.104.	Найти момент инерции однородной фигуры, огра-
ниченной лемнискатой г2 = a2 cos 2ф, относительно полюса.
8.105.	Найти моменты инерции однородного кругового
сектора радиуса а с углом а при вершине (совпадающей
с началом координат) относительно осей Ох и Оу, если
сектор расположен в первой четверти и одной из своих
сторон лежит на оси Ох.
8.106*	. Тонкая пластинка имеет форму кругового кольца
с радиусами RY и R2 (Ri<R2). Удельная теплоемкость
23
пластинки меняется по закону с = | ху|, плотность постоянна
и равна у. Найти количество теплоты Q, полученной
пластинкой при ее нагревании от температуры до тем-
пературы t2.
8.107*	. На тонкой пластинке, имеющей форму парабо-
лического сегмента, ограниченного осью Ох и параболой
ах2 + h2y = h3, распределен электрический заряд с поверхност-
ной плотностью <з — 1хЛ-у. Найти полный заряд Е пластинки.
§ 2. Тройной интеграл
1.	Тройной интеграл и его вычисление в декартовых прямоугольных
координатах. Тройным интегралом от непрерывной функции /(х, у, z)
по ограниченной замкнутой пространственной области Т называется
предел последовательности соответствующих интегральных сумм при
стремлении к нулю наибольшего из диаметров dk элементарных
областей Avk, если этот предел не зависит ни от способа разбиения
области Т на элементарные подобласти Дик, ни от выбора проме-
жуточных точек:
Ш/(х’ z)dxdydz = lirn £ J'(xk, ук, zk)Avk, (1)
T	">ax<-Ol=l
где (xk, yk, zk)e&vk. Через Avk обозначается как элементарная область,
так и ее объем. Свойства тройных интегралов аналогичны свойствам
двойных интегралов.
Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
сводится к последовательному вычислению одного однократного
и одного двойного интегралов или к вычислению трех однократных
интегралов. Если, например, область интегрирования Т ограничена
снизу поверхностью z = cp1(x, у), сверху поверхностью z =
= Ф2 (*, >’) (Ф1 (-*,	С*’ УО и с боков прямым цилиндром, сечением
которого плоскостью, параллельной плоскости Оху, является область
G, то тройной интеграл (1) вычисляется по формуле
Ф2(х. у)
>• z)dxdydz=tf dxdy f f(x. у. z)dz.	(2)
T	G	ф((x, у)
Записывая двойной интеграл по области G через один из
повторных, получаем
h у2(х)	ф2(х, у)
Ш/U’ У- z)dxdydz = $ dx f dy j f(x. y, z)dz =
T	a y,(xj Ф,(х, у >
d x2(y)	ф2(х. y)
= f</y f dx f f(x, y, z)dz. (3)
c x,(y)	ф,(х, у)
Пример 1. Вычислить JJfzdxdydz, если область T ограничена
т
плоскостями x+y + z=l, z = 0, у = 0, х = 0.
<з Имеем:
= j dy J zdz = fdx J
T	00	0	о о \
1 -x-y
z-0
dy -
24
1
24
Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле
| | J f (х, у, z) dx dy dz для указанных областей Т:
г
8.108.	Область Т—тетраэдр, ограниченный плоскостями
2.v-r 3y + 4z= 12, z = 0, у = 0, х = 0.
х~
8.109.	Область Т—внутренность эллипсоида —- +	= 1.
а Ь~ с
8.110.	Область Т ограничена поверхностями у14-2z2 = 4х,
v = 2.
8.111.	Область Т ограничена поверхностями х2+К = Л
_-=1.
Вычислить ] 1 8.112. f dx 0		интегралы: x	v6c2 + y2 j dy	f zdz. 0	0	
8.113.	3 f dx 0	2x f dy 0	f zdz. 0
8.114.	i dx 0	y/ax i у 0	2 (a - x) dy j dz. a - x
8.115.	Ш(х + y + z}dxdydz, где область Т—тетраэдр,
т
ограниченный плоскостями x+y+'z = a, х = 0, j’^0, z = 0.
8.116.	JJJ xyzdxdy dz, где область T ограничена по-
т
верхностями у~х2, х=у2, z — xy, z = Q.
8.117.	JJf (x2+y2)dxdydz, где область Т ограничена
т
поверхностями z=y2 — х2, z = 0, у= 1.
2.	Замена переменных в тронном интеграле. Если в тройном
интеграле
ШЖ у, z)dxdydz
т
производится замена переменных по формулам х = х(и, г, и*),
25
у —у (и, v, и), z = z(w, и, и/), причем функции х(и, v, и), >’(w, v, и),
z = (w, v, iv) осуществляют взаимно однозначное отображение области
Т пространства Oxyz на область 7\ пространства Otuvw и якобиан
преобразования не обращается в нуль в области 7\:
дх дх дх
ди dv dw
1=
то справедлива формула
д у ду д у
ди dv
dz dz dz
ди dv dw
^0,
Ш/kz)dxdydz=fflf(x(u. г. iv), y(u, r, iv), z(u, v, w))\I\dudvdw. (4)
T	r,
Наиболее употребительными из криволинейных координат являются
цилиндрические координаты г, ф, z (рис. 88): х — гсозф, у = г51Пф,
z = z, якобиан которых 1=г, и сферические г (длина радиус-вектора),
Ф (долгота), 0 (широта) (рис. 89): х = г cos ф cos 0, = г sin ф cos 0,
z = rsin0, якобиан которых /=r2cos0. Формула (4) принимает
соответственно вид
Ш /(•*’ У' z)dxdy=	/(гс°8ф, г sin ф, z]rdrdt$dz (5)
т	т,
или
Ш/k У- z)dxdydz=
т
= Ш /(rcos<Pcos0, Г sin ф cos 0, г sin 0)r2 cos0 drdy dQ.	(6)
7\
Пример 2. Перейдя к цилиндрическим координатам, вычислить
Шz \/х2+У2 dxdy dz, где область Т задана неравенствами 0^х^2,
т ____________
v/2x —х2, O^zsCfl (рис. 90).
26
<1 Так как уравнение y — yj'lx — x2 в цилиндрической системе коор-
динат принимает вид r = 2cos(p (0^ф^л/2), то по формуле (5)
Ш \! х1+Уг z dx dy dz = fff r 2 z dr dy dz =
T	T,
n/2 2cos<p	a	„2 n/2	2cos<p
— J t/(p J r2dr$zdz =— f tZ<p f r2dr =
oo	о	2 0	0
я/2
4(22 f	8
= ^- COS (ptZ(p = -t7 . I>
0
Пример 3. Перейдя к сферическим координатам,
вычислить JJJ (x2+y2)dxdydz, если область Т есть
т
полушар х2 + y2 + z2 ^К2, z^O.
Рис. 90.
о Для области 7\ пределы изменения сферических
координат суть: 0^ф^2л, 0^0^я/2, R. Имеем по формуле (6):
JJJ (х2 yy2)dxdydz = \^ г2 cos2 0 - г2	drdy d$ =
т	т,
2я п/2	R	/|
= j dtp f cos3 О JO J r4 dr — — nR5. о
oo	о	15
Вычислить интегралы, перейдя к цилиндрическим коор-
динатам:
8.118.	JfJ \y\dxdydz, где область Т ограничена поверх-
т
ностями х2 +у2 = а2, z = 0, z = h.
8.119.	JJJ zdxdydz, tjxq область T ограничена поверх-
т
ностями х2-У у 2 = z2, z = a.
>/3	*3 - х2 ^4 - х2 - у2
8.120.	J dx J dy J dz.
0	0	(x2 + y2)/3
а/Л Va2-y2 (x2—y2)/a
8.121. j dy J dx j yjx2+y2 dz.
о у	о
a	a2 - x2	h
8.122.	J dx J dy f yjx2 +y2 dz.
~a -^а2-х2 Д (x2 + у2)
_________ a
2	V4-X2	2
8.123.	f dx f dy f (x2+y2)dz.
-2	-^72	(x2+y2)/2
Вычислить интегралы, перейдя к сферическим координатам:
S.124.	fff +y2 + z2dxdydz, где область Т—внутрен-
т
ность шарового сектора с центром в начале координат,
27
радиусом а и углом при вершине 2ос (0<а<л), если ось
симметрии сектора принять за ось Oz.
8.125.	fffxyz2 dxdydz, где область Т ограничена частью
т
сферы x2 + y2 + z2=l и координатными плоскостями (х>О,
8.126.
dxdydz	w
-----------, где область 1 — сферический слои
и 2 _1_	2 -г 2
между поверхностями x2+y2 + z2 — a2, х2 4-у2 + z2 = 4а2.
,_______
Ri'2 J2 <R2x2 у2
8.127.	J dx J dy f dz.
О	0	v"X 2 + у2
a	vza2 - х 2 'J а2 ~ х2 - у2
8.128.	f dx f dy f	zdz.
0	0	0
R	V K2-x 2	Jr2-x2-у2
8.129.	f dx	f dy f	yfzdz.
-r	°
3. Приложения тройных интегралов. Объем V пространственной
области Т равен
И=Ш dxdydz.
т
Масса М тела с переменной плотностью у(х, у, с), занимающего
область Т:
Л/ — fff у (х, у, z) dx dy dz.
т
Статические моменты тела относительно координатных плоскостей:
A/y2 = jff ху(х, г, z)dxdydz,
т
Мгх = Ш У Y (х. >. -) dx dy dz,
т
МхУ = Ш27(х, У, z) dxdydz.
т
Координаты центра масс тела: л — ——, г =------, z = —-.
М М м
Моменты инерции тела относительно осей координат:
4 = Ш (T2 + z2)y(x, v, z]dxdydz,
т
Л = Ш (г 2 + X2) у (х. V. г) dx dy dz,
т
4 = Ш (x2+J’2)y(x, у, z)dxdydz.
т
Пример 4. Найти координаты центра масс полушара
x24-jf2 + z2 ^R2, z^O, если плотность в каждой точке пропорци-
ональна расстоянию от точки до центра.
28
Имеем у(х, у, z) = k^/x2y-y2y-z2	и, вследствие симметрии,
x-J' —0. Вычисления проведем в сферических координатах:
Л/лу = к fff z х2-У-у2 У-z2 dx dydz — k jJJ r4 sin 0 cos 0 dr dip dQ —
T	7,
2n n/2	R	|
= k f dip f sin0cos0t?0 j r4dr = ~knR5,
oo	о	5
M = к Ш \/х2 +У2 + z2 dx dydz^k ff J r 3 cos 0 dr dip d§ =
т	t,
2л	n/2	R	|
— k$dip$ cos0<70fr3dr — -knR4;
0	0	0	2
- Mxv -R.
5
М
I 2 \
Таким образом, CIO, О,- R о
8.130. Найти объем тела,
z = x2y-y2, z = 2(x2+y2), у = х.
ограниченного поверхностями
y2 — x.
8.131*	. При каком значении а объем тела, ограниченного
поверхностями х2 У-у2 — az, х2У-у2 = ах, z = 0, равен данному
числу К?
8.132*	. Найти объем тела, ограниченного замкнутой по-
верхностью (х2 У-у2 У-z2)2 ~2axyz (а>0).
8.133*	. Найти объем тела, ограниченного замкнутой по-
/ х2 V2 z2\2 х2 у2
верхностью -j+ti+i = -7 + 7-1-
уя с2 J а2 Ь2
8.134*	. Найти объем тела, ограниченного сферой х2 +
+у2 У-z2 = 4а2 и параболоидом х2 У-у2 — 3az (внутри па-
раболоида).
8.135*	. Найти объем тела, ограниченного замкнутой по-
верхностью (х2 У-у2 + z2)2 — a3z (я>0).
8.136.	Найти массу и среднюю плотность тела, ограничен-
ного поверхностями х2 -У-у2 —z2 — а2, z = 0, z = a>0, если
плотность в каждой точке пропорциональна аппликате
z и в плоскости z — a равна у0.
8.137.	Найти массу и среднюю плотность кругового конуса
с радиусом основания R и высотой Н, если плотность в каждой
точке пропорциональна квадрату расстояния от точки до
плоскости, проходящей через вершину конуса параллельно
плоскости основания, и в центре основания равна у0.
8.138.	Найти массу и среднюю плотность тела, ограничен-
ного поверхностями х2 —у2 = az, х2У-у2 = а2, z = 0 (z>0), если
плотность в каждой точке пропорциональна аппликате z,
а наибольшее значение плотности у0.
29
8.139.	Найти массу и среднюю плотность сферического
слоя между поверхностями x2+y2 + z2 = a2 и х2 +у24-z2 = 4д2,
если плотность в каждой точке пропорциональна квадрату
расстояния от точки до начала координат, а наибольшее
значение плотности у0.
8.140.	Найти массу и среднюю плотность сегмента
параболоида вращения с радиусом основания R и вы-
сотой Я, если плотность в каждой точке пропорцио-
нальна корню квадратному из расстояния от точки до
плоскости основания сегмента и в вершине сегмента
равна у0.
8.141.	Найти массу и среднюю плотность шара радиуса
R, если плотность в каждой точке пропорциональна рас-
стоянию от точки до одного из диаметров шара и на
окружности большого круга, лежащего в плоскости, перпен-
дикулярной к этому диаметру, равна у0.
8.142.	Найти координаты центра масс однородного тела,
ограниченного поверхностями z = ^(y2 — х2), z = 0, у = а, >> = 0
п
(л>0, Л>0).
8.143.	Найти координаты центра масс однородного тела,
Z)	h -	. г\ / г\
ограниченного поверхностями у = —х, z = -(b — у), z = 0 (я>0,
b>0, h>0).
8.144.	Найти координаты центра масс однородного тела,
ограниченного поверхностями z = — (х2+у2), z — H.
R
8.145.	Найти координаты центра
тела, ограниченного поверхностями
масс однородного
Н --------2
Z- — Jх2 4-у2, z = H
r\	Z ’
(Я>0, Я>0).
8.146.	Найти координаты центра масс полушара х2+у2 +
+z2<jR2, z^O, если плотность в каждой точке пропорци-
ональна расстоянию от точки до начала координат.
8.147.	Найти момент инерции относительно оси Oz од-
нородного тела плотности у, ограниченного поверхностями
_у = -^х2, z = 0, z=-(b—y) (я>0, b>Q, А>0).
Ь
8.148.	Найти момент инерции однородного сег-
мента параболоида вращения плотности у с радиусом
основания R и высотой Н относительно его оси вра-
щения.
8.149.	Найти момент инерции шара радиуса R относитель-
но его диаметра, если плотность в каждой точке пропор-
30
циональна расстоянию от точки до центра шара, а на
поверхности шара равна у0.
8.150*	*. Найти ньютонов потенциал U однородного тела
плотности у, ограниченного эллипсоидом вращения
\Чу2 Z2
—5---I- —=1, в его центре (Ь>а).
а2 b
8.151*	*. Найти силу притяжения, оказываемого однород-
ным конусом плотности у, высоты Н и радиуса основания
R на материальную точку, расположенную в его вершине
и содержащую единицу массы.
8.152.	Найти момент инерции относительно оси Oz од-
нородного тела плотности у, ограниченного поверхностями
z = ~(y2 —х2), z = 0, у=+а.
8.153.	Найти момент инерции однородного кругового
конуса плотности у с радиусом основания R и высотой
Н относительно его оси.
§ 3. Несобственные кратные интегралы
1. Интеграл по бесконечной области. Если функция f (х, у) не-
прерывна в бесконечной области (7, то, по определению,
Н f(x, у) dx dy = lim ff f(x, Л dxdy,
о	D *G D
где D — конечная область, целиком лежащая в области G, причем
D -+G означает, что область D расширяется произвольным образом
так, чтобы в нее вошла и осталась в ней любая
точка области G (исчерпывающее расширение). Если
существует конечный предел (1), не зависящий от
выбора подобласти D и способа расширения
D G, то несобственный интеграл Jf f(x, у) dx dy
с,
называется сходящимся, в противном случае—рас-
ходящимся.
Аналогично определяется тройной интеграл
по бесконечной области.
Если f(x, у)^0, то для сходимости несобст-
венного интеграла необходимо и достаточно, что-
бы предел (1) существовал хотя бы для одного
исчерпывающего расширения области G.
Пример 1. Вычислить несобственный интеграл
ff dxdy
.	2’
G Х
где G — область, определяемая неравенствами х^1, у^х2.
о Подобласть D (рис. 91) зададим неравенствами 1^х^я, х2^у^Ь,
31
где tz->4-oo, />->4-оо. Тогда:
G
dxdy
—7---r= m
D—* G
D
a b
= lim f-^arctg”
a—+oc \x2 x
b — + oo *> 4
it Cdx n / 1 a\ л
= - lim	—- — - lim —	(=-. i>
4 a —Jx Да—-boo у *1/4
Вычислить несобственные интегралы:
8.154.
dxdy
•<~т, где G — область, определяемая неравен-
X у
G
ствами х > 1, ху1.
dxdy	г-
---щ, где G—область, определяемая не-
8.155.
G
равенством x24-j>2^1 (внешность круга).
dxdydz
;--~----щ, где T—область, определяемая
8.156.
неравенством x2-hv24-z2^l (внешность шара).
8.157.	f dx f dy J e~{x^z}dz.
ООО
Исследовать сходимость несобственных интегралов:
8.158.	ffsin(x2+j2)dxdy, G — область, определяемая
G
неравенствами .О О, >^0.
8-159. П --у-где G—область, определяемая не-
G (1+xyj2)’
равенством x2-hy2^l (внешность круга).
2.	Интеграл от разрывной функции. Пусть функция f (х, у) не-
прерывна в ограниченной замкнутой области G всюду, за исключе-
нием точки Ро (х0, Jo) (или линии L). Если существует конечный
32
предел
у) dxdy,
Gt
1дс Gt— область, получаемая из G путем удаления произвольной
окрестности точки Ро с диаметром, меньшим е (соответственно
произвольной окрестности линии L с «шириной», меньшей е), то
этот предел называется несобственным интегралом от функции
f(x,y) по области G и обозначается через ff / (х, у>) dxdy, т. е.
G
f j f (х, >) dx dy = lim j J f(x,	dx dy.	(2)
G	E 6t
Интеграл (2) в этом случае называется сходящимся. Если же
lim f f f (х, у) dxdy не существует или равен оо, то f J / (х, у) dxdy
Gc	G
называется расходящимся.
Аналогично определяется тройной интеграл от разрывной
функции.
Пример 2. Исследовать сходимость несобственного интеграла
Яб/х<у	,	,
Р+ут а>0, где G“Kpyr х +у
G
<з Начало координат является точкой разрыва функции \i(x2+yzy.
Удалим из G Е-окрестность начала координат (подынтегральная
функция положительна). Тогда область Gz есть кольцо между
окружностями радиусов е и 1. Перейдем к полярным координатам
(Г — полярный образ области G):
f Г dxdy
G
rdr
r2a
При а # 1 имеем
2я
rdrdy
—z—= lim
£ —+ 0
lim
€ —+ 0
г1 dr —
r2(l a)
= 2л lim —--------
e—Ю 2(1—a)
= л lim
Е —+ 0
1——
---1-a
я
при
+ оо при
о
1 —а
При а=1 имеем:
2п
г
drdy f
-----= lim
Г £-* + ° J
о
— 2п lim In г
£-* + 0
= + 00.
Итак, при а<1 интеграл сходится и равен я/(1 — а), о
2 Специальные разделы мат. анализа. Ч. 2
33
Вычислить несобственные интегралы:
Я dxdy
— —, где G— квадрат	O^y^l.
G
8.161.
8.162.
Г Г dxdy	?
-)’ где G~КРУГ Г+7Ч1.
J J 71-х2-у2
I In = dxdy, где G—круг x2+j2<1.
JJ Jx2+y2
G
Исследовать сходимость несобственных интегралов:
8.163*. I 7——т;, где G— треугольник 0х1, ООО.
G
8Л64‘ Ш (хЧу2 + г2)*’ ГДе Г-шар x2+y2+z2^l.
т
§ 4. Вычисление интегралов, зависящих от параметра
1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Если функция
f(x,y) определена и непрерывна в прямоугольнике я О О, Л^у^В,
то интеграл
y)dx
а
(1)
называется интегралом, зависящим от параметра, и является не-
прерывной в промежутке [Л, В] функцией.
Интеграл более общего вида
«Ну)
F(y)= f f(x, y)dx	(2)
Ф (у)
также называется интегралом, зависящим от параметра, и является
непрерывной функцией аргумента у в промежутке [Л, В], если
f (х, у) непрерывна в прямоугольнике а^х^Ь, А^у^В, <р(у) и \|/(у)
непрерывны при уе [А, В] и их значения содержатся в промежутке
[л,Н
Пример 1. Вычислить предел
lim
У — О
dx
1+х2+у2'
34
- । Рассмотрим следующий интеграл, зависящий от параметра у:
F
Г dx
J l+x2+j>
-<1 + у)
Гак как пределы интегрирования, а также подынтегральная функция
непрерывны при любых значениях своих аргументов, то F(у) —
непрерывная функция. Поэтому
lim
у—О
'(1+у)
1
<7х	z . z . f dx
--------lim F (y) = F(0) =	----- = arctg x
l+x2+y2 у—о	v 7 J iTx2 6
-1
я
2’
Если f(x,y) и fy (x, у) непрерывны в прямоугольнике a^x^b,
то для интеграла (1) справедлива формула дифференцирова-
ния под знаком интеграла (формула Лейбница):
ь
t . d I z
F'(y =~Г /(•*>>'	=
dy J
/)
dx.
(3)
Если в (2) при тех же условиях на f и f'y пределы интегрирования
<р(у) и ф(у) дифференцируемы при уе(А, В), то верна формула:
А *(у)
1 "(У) = ~Т I f(x’y)dx =
dy
Ф (у)
=/(’1»(у), Л'НЛ-ЛфЛ)’ у)<Р'(у) + I f',(x,y}dx.	(4)
Ф (у)
Пример 2. Найти F'(y), если
cos у
F(y)= J ey'rrT!dx.
sin у
а Так как подынтегральная функция eyy/i~x\ непрерывна в области
определения вместе со своей частной производной по у,
равной ^/1 _~х\ а пределы интегрирования являются
также дифференцируемыми функциями, то можно воспользоваться
формулой (4):
F'(y) = _ ^y'i-cos2* sinv —eyVlsln2y cosi’4 f ^/1 —x2 ey 5/1 x2 dx =
sin у
= — (ey|siny 1 siny + eyl cosyl coS^)t j ^/1 —X2 ey'1 dx. о
sin у
Если /(x, у) непрерывна в прямоугольнике л^х^б,
го для интеграла (1) справедлива формула интегрирования по
параметру у под знаком интеграла:
в	в	ь	ь	в
f	= | dy$f(x,y)dx = $dx lf(x,y)dy.	(5)
А	А	а	а	А
35
Г — ха
Пример 3. Вычислить интеграл -------— dx (b>a>ty.
J Inx
о
<i Заметим, что
а
Тогда искомый интеграл принимает вид
1	1	ь
Схь~ха	с	г
—----dx — dx ху dy.
О	О	а
Подынтегральная функция f (х, у) — ху непрерывна в прямоугольнике
a^y^b, поэтому можно воспользоваться формулой (5)
1	b	bl	b
С	С	Г	Г	fl	6+1
dx ху dv — I dy \ xy dx — I -=	. о
J	J ' J	J	Jy+1 ' a+1
0	a	a	0	a
Вычислить следующие пределы:
2	1_______
8.165. lim f x5 cos xydx. 8.166. lim f <^/x*+y2 dx.
>-0 t	'	Л-0 0
I Xo
8.167.	lim-f (/*(х+-й)—/(x))dx, если /(x) непрерывна на
отрезке [a, 6] (я<О<хо<6) и /(0) = 0.
Продифференцировать функции:
8.168.	F(.r) = i'n(1+^^. 8.169. F(y)~]'S^dx.
О Х	у- 1 Х
8.170.	F(y)= fe~yx2dx. 8.171. F(y) = j(x—+)sinxyt/x.
У	xy °
8.172.	Найти F"y, если F(x, y)= f (x—yt)f(t)dt, где /(/)
—дифференцируемая функция.
8.173.	Пусть	f[x)—дважды	дифференцируемая и
F(x) — дифференцируемая функции. Доказать, что функция
и(х, t)=Uf(x-at)+f(x+at)) + ±- f F(y)dy
2	X - at
_	д2и 2 д2и
удовлетворяет уравнению колебания струны ~^ = а ут*
36
8.174*	. Найти производные от полных эллиптических
интегралов
Е(к) = J у/1—k2 sin2(ptZ<p,
о	(0<£<1)
z/m
о л/1 — к2 sin 2 ф
и выразить их через функции Е(к) и F(k).
Применяя интегрирование под знаком интеграла, вычис-
лить интегралы:
1	/ х
8.175.	f sin ( In - I — (x2—\\dx.
q у xj In x
1	( \\ x
8.176.	fcos In- —(x-l)Jx.
Q	у X J In X
8.177.	Доказать формулы:
к
a)	JF(x)xdx — E(k) — (1 — k2)F(k)9
о
k	1
6)	jE(x)xdx — -((1 +k2)E(k) — (1 — k2)F(k)),
о	3
где E(k) и F(k) — полные эллиптические интегралы (см.
задачу 8.174).
2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Несобст-
венный интеграл, зависящий от параметра у, т. е.
f f(x,y)dx,	(6)
а
iде функция f(x, у) непрерывна в области я^х< + оо,
называется равномерно сходящимся в промежутке [у15 у2], если для
любого 8>0 существует такое В—В(у), что при всяком В(у)
•+• 00
f f(x,y)d.X
ь
при любом уе[у1? у Л
Если интеграл (6) сходится равномерно в промежутке [уРу2],
то он представляет собой непрерывную функцию аргумента у в этом
промежутке.
Аналогично определяется равномерная сходимость несобствен-
ного интеграла от неограниченной функции, зависящего от параметра.
При исследовании равномерной сходимости интегралов, зави-
сящих от параметра, часто используется следующее утверждение:
Критерий Вейерштрасса. Для равномерной сходимости
интеграла (6) достаточно, чтобы существовала такая функция F(x),
не зависящая от параметра у, что:
37
a)	|/(x,	если й^х<+оо,
6)	f F(x) dx< 4- oo.
Функция F(x) называется мажорантой для /(x, j>).
Пример 4. Доказать равномерную сходимость следующего
интеграла:
+ ос у2 — х2
I 7~?--2^7"х’	-оо<^<+оо.
1 (х2+у2)2
<] Заметим, что
у2— х2	х
(х24-^2)2^Л х2+у2 + С'
Пусть е>0 — произвольное число. Полагая В(е) = -, находим (для
8
любого Ь>В):
у2 — х2
(х2+у2)2
dx
Г у2 — х2
lim —-------— dx
'" + QOJ (х2+у2)2
ь
lim —-------------г
Г —► -4- «-> \ VZ -L VZ
A b
lim —-----—------
।- + A2+y2 b2+y2
b 1	1
Г2+/'"Ь<в-е’
е Xy°dx=-----е ху°
Уо
что и доказывает, согласно определению, равномерную сходимость
указанного интеграла по параметру у на всей оси. о
Пример 5. Установить равномерную сходимость интеграла
+ 00
J е~хуcosx dx, 0<уо^у< -У
о
<i Покажем, что функцию F(x) = e~xy° можно взять в качестве
мажоранты. Действительно, если у>у0, то
|е-ху cosx|^£~xy^e_xyo.
Кроме того,
+ 00
+да_ 1
О >0
О
Следовательно, на основании критерия Вейерштрасса указанный
интеграл равномерно сходится, о
Для несобственных интегралов с бесконечным пределом, зави-
сящих от параметра, при выполнении следующих условий:
а)	функция дх, у) непрерывна вместе со своей производной
/'(х, у) в области а^х<4-оо,
+ 00
б)	f /(х, y)dx СХОДИТСЯ при любом ^б[ух, ^2],
а
+ 00
в)	f/у(х, y)dx сходится равномерно в промежутке [д, у2],
а
справедлива формула дифференцирования по параметру (формула
38
Лейбница):
J + сс	+оо
~т \f(x<y)dx= \f'Ax,y)dx,	«)
dy а
аналогичная соотношению (3).
При выполнении соответствующих условий формула Лейбница
остается верной и для интеграла от разрывной функции, зависящего
о г параметра.
Пример 6. Вычислить интеграл
+ 00
лх__£ 0*
----------cosтх dx	(а>а0>0, р > р0 > О, теZ).
J х
о
- j Пусть
+ 00
Г е~лх— е~^х
-----------cosтх dx = F(a, р).
о
Заметим, что интеграл f е" cos тх dx равномерно сходится при
о
а
а а0 и равен —-------- (проверьте!). Исходный интеграл сходится
а+ш
при любых а^а0 и р^ро, а подынтегральная функция непрерывна
вместе со своей частной производной по а, равной — е~ах cosmx.
Следовательно, условия а), б), в) выполнены, и можно восполь-
зоваться соотношением (7). Тогда
---- — = ~ I е лх cos тх dx —  --.
da J	а Л-т
о
Отсюда
/•’(a, Р)= -|ln(a2 + m2)+C(P).
Для нахождения С(Р) полагаем в последнем равенстве а = р. Имеем
0= -- In (р2 Л-т2) Л- С(Р). Отсюда
С(Р) Л,п (Р2 + '”2)
и
Р)=^(НР2+™2)-Ма2+'”2))=5|п^Д—г »
2	2 а Л-т
8.178.	На языке «8-5» сформулировать утверждение: ин-
+ ос
геграл F(y) = J /(х, y)dx сходится неравномерно на отрезке
Ь’1 , _У2 ]•
39
Исследовать на равномерную сходимость в указанных
промежутках следующие интегралы:
+ 00
8.179.	f е ^cosxdx (0<ао^а< + оо).
о
+ оо
Г dx
8.180.	------- (1<а<+оо).
J *a+i v 7
о
+ оо
Г 1пах
8.181.	— dx (0«а<1).
1
+ ОС
о	I C0S а Х 1 I	\
8.182.	--------7 dx ( —оо<а< + оо).
J 1+х2	7
— 00
I	z/v
8.183.	((Ка<+оо).
J (х-а)2 + 1 v	'
о
8.184.
xadx
1
2
8.185.	sin - — (0<а<2).
J X X*
о
1
8.186.	f S‘natX dx (OsgasSl).
8.187.	Доказать, что функция
+ 00
u(x, y)=	—-\2dt
J * +(.y-')
- 00
удовлетворяет уравнению Лапласа
д2и д2и _
дх2 + ду2
40
Применяя дифференцирование по параметру, вычислить
с дующие интегралы:
4-	оо
Г _______р ~~
8.188.	dx (а>0, Р>0).
J х
о
+ сх)
8.189.	J -------—sinznxdx (а>0, р>0, ш/0).
о
4-	оо
8.190.	J с~ах--П—б/х (Оао>0).
о
4-	оо
f 1—р~лх
8.191.	-------dx (а> — 1).
J хех
о
8.192*	. f e-yx2cos8x</x (у>0).
О
1
_ I arctgax . z	v
8.193.	——dx ( — оо<а< +оо).
J
о v
1
8.194.	-v—-------dx (|а|^1).
J Х2х/[—Х2
о
1
8.195.	рп(|~а2л2)лх (|а|<1).
Глава 9
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Уравнения 1-го порядка
1. Основные понятия. Функциональное уравнение
F(x, у, У) = 0	(I)
ИЛИ
y'=f(x,y),	(2)
связывающее между собой независимую переменную, искомую фун-
кцию у(х) и ее производную У(х), называется дифференциальным
уравнением 1 -го порядка.
Решением {частным решением) уравнения (1) или (2) на
интервале {а, Ь) называется любая функция у = (р(х), которая,
будучи подставлена в это уравнение вместе со своей производной
ф'(х), обращает его в тождество относительно хе{а, Ь). Уравнение
Ф(х, у) = 0, определяющее это решение как неявную функцию,
называется интегралом {частным интегралом) дифференциального
уравнения. На плоскости с фиксированной декартовой прямоугольной
системой координат уравнение Ф (х, у) = 0 определяет некоторую
кривую, которая называется интегральной кривой дифференциального
уравнения.
Функция >’ = (р(х, С) называется общим решением уравнения (1)
или (2), если при любом допустимом значении параметра С она
является частным решением этого уравнения и, кроме того, любое
его частное решение может быть представлено в виде у = ц> (х, Со)
при некотором значении Со параметра С. Уравнение Ф(х, у, С) = 0,
определяющее общее решение как неявную функцию, называется
общим интегралом дифференциального уравнения.
sin х
Пример 1. Проверить подстановкой, что функция -------- есть
х
решение дифференциального уравнения ху'+>» = cos х.
sin х cos х	sin х
<i Имеем у=------, г' =--------Умножив у и у' соответственно
х	' х	х ~
на 1 и х и сложив полученные выражения, получим xy'+y = cosx. о
Пример 2. Показать, что функция j’ = Cx3, CeR, является
решением дифференциального уравнения ху'— 3>’ = 0. Найти частное
решение, удовлетворяющее условию дл(1)==1. (Найти интегральную
кривую, проходящую через точку Мо(1, 1).)
<! Найдя у' — ЗСх2 и подставив выражения у и у' в дифференциальное
уравнение, при любом значении С получим тождество ЗСх3 —ЗСх3 = 0.
Это означает, что функция у = Сх3 является решением дифференци-
ального уравнения. Положив х=1, > = 1, найдем значение параметра
42
(’=1 и, таким образом, получим искомое частное решение у = х3.
Иначе говоря, интегральной кривой, проходящей через точку Мо(1, 1),
является кубическая парабола у = х3. о
Пусть задано уравнение
Ф(х,у, С) = 0,
определяющее на плоскости некоторое семейство кривых, зависящих
о г значений параметра С. Если составить систему двух уравнений
Ф(х, у, С) = 0, Ф'х(х, у, С) = 0,
ю, исключая из этой системы параметр С, получим, вообще говоря,
дифференциальное уравнение заданного семейства кривых.
Пример 3. Найти дифференциальное уравнение семейства
окружностей х 2 -I-у 2 = 2ах.
-1 Имеем систему уравнений
х2 +у2 = 2ах,
2х + 2уу' = 2а.
Исключаем параметр а. Из второго уравнения находим а = х+уу'
и, подставляя это выражение в первое уравнение, получаем
\2 У-у2— 2х(х-Ууу'\ т. е. у2 — х2 — 2хуу'. Это и есть искомое диф-
ференциальное уравнение, о
Показать, что при любом действительном значении
параметра С заданные выражения определяют решения соот-
ветствующих дифференциальных уравнений:
9.1.	у — х^С—1п|х|), (х —у)dxy-xdy — ^.
9.2.	у = х J-exdx + C^, ху'—у = хех.
о
9.3.	2х+у— 1 = Се2у~х, (2хУ-у + \)dx — (4x4-2^ — 3)dy = Q.
В заданном семействе выделить уравнение кривой, удов-
летворяющей приведенному начальному условию.
9.4.	y(ln|x2—11 4-С)= 1, у(0)=1.
9.5.	у(1 — Сх)= 1, у(1) = 0,5.
9.6.	у = 2 4- С cos х, у (0) = — 1.
9.7.	Написать уравнение, которому удовлетворяют все
точки экстремума интегральных кривых дифференциального
уравнения y,=zf(x,y). Как отличить точки максимума от
точек минимума?
9.8.	Написать уравнение, которому удовлетворяют все
точки перегиба интегральных кривых дифференциального
уравнения у'=/(х, у) и, в частности, дифференциальных
уравнений:
a)	y'=j + x3;
б)	у' = еу — х.
43
Составить дифференциальное уравнение семейств кривых:
9.9.	Парабол >’ = х2 + 2ах. 9.10. Гипербол у=а[х.
9.11.	Цепных линий j = achx.
9.12.	Гипербол х2 — у2 = 2ах.
9.13.	Составить дифференциальное уравнение семейства
кривых, у которых отрезок любой нормали, заключенный
между осями координат, делится пополам в точке касания.
9.14.	Составить дифференциальное уравнение семейства
кривых, у которых отрезок любой касательной, заключенный
между осями координат, делится точкой касания М(х, у)
в отношении | AM |: | МВ | = 2:1, где А — точка пересечения
касательной с осью Оу, В—с осью Ох.
9.15.	Составить дифференциальное уравнение семейства
кривых, у которых площадь, заключенная между осями
координат, этой кривой и переменной ординатой, пропорци-
ональна четвертой степени этой ординаты.
2.	Графический метод построения интегральных кривых (метод
изоклин). Дифференциальное уравнение y'—f^x, у) в плоскости с фик-
сированной декартовой прямоугольной системой координат Оху
определяет поле направлений равенством tga=/(x, у).
Изоклиной уравнения (поля направлений) называется всякая
кривая, определяемая уравнением
f(x, y)=k
при фиксированном к.
построим на плоскости изоклины
строения мы получим ломаную,
Для приближенного (графического) решения уравнения y'—f{x, у}
для нескольких значений к. Пусть
Mq (xq, у о ) — некоторая началь-
ная точка. Изоклина Lo, про-
ходящая через эту точку, соот-
ветствует значению к, равному
^о=/(*о, То)- Проведем отрезок
МцМ^ с угловым коэффициен-
том к0 до пересечения в точке
Mi с ближайшей изоклиной
Li (тем самым мы заменим
дугу интегральной кривой от-
резком ее касательной). Далее,
из точки Mi(Xi,yi) проведем
новый отрезок МгМ2 с уг-
ловым	коэффициентом
^i=f(Xi, yi) до пересечения
в точке М2 со следующей изо-
клиной L2 и т. д.
В результате такого по-
являющуюся приближенным изоб-
ражением интегральной кривой, проходящей через начальную точку
MQ. Чем гуще взята сеть изоклин, тем более точно можно изобразить
интегральную кривую.
Изменяя положение начальной точки Мо, аналогично можно
построить приближенно и другие интегральные кривые.
Пример 4. Методом изоклин построить интегральную кривую
уравнения у' = 2х, проходящую через начало координат.
•| Изоклины данного уравнения — параллельные прямые 2х = к. По-
лная к —О, ±1, ±2, ±3, получаем изоклины х = 0, х=±1/2,
\ ±1, х=+3/2 и т. д. Построим их (рис. 92).
Отправляясь из начала координат влево и вправо, строим
юманую ...М-2Мзвенья которой имеют уг-
ювые коэффициенты соответственно ..., —2, —1, 0, 0, 1, 2, ... Эта
юманая и есть приближенное изображение интегральной кривой.
Рекомендуем читателю построить график соответствующего ча-
< того решения у = х2 и сравнить его с построенной ломаной, о
Методом изоклин построить приближенно семейство ин-
ктральных кривых
9.16. v' = A'+y.
9.18.	У=-у!х.
9.20.	/=—.
х+>-
следующих дифференциальных уравнений:
9.17. у'=1+у.
9.19. у'=у — х2.
9.21. у'=У—.
3. Уравнения с разделяющимися переменными. Пусть в уравнении
y'=f(x,y)
функция /(х, у) может быть разложена на множители, каждый из
которых зависит только от одной переменной: f(x,y)—fi(x)f2(y),
и in в уравнении
М (х, у) dx + N(х, у) dy = 0
коэффициенты при dx и dy могут быть представлены в
W(x, у] = М1(х]М2(у), У(х, y] = Ni (x)N2(y). Путем деления на
и на Л'г(х)м2(у) соответственно эти уравнения приводятся к
z ч 1	Mjx) N2(v)
f\ (х) dx = —— - dy, ---- dx =-----/4 dy
./2(p)	M2(y) 7
(уравнения с разделенными переменными). Интегрируя левые
виде
ш
виду
части
них уравнений по х, а правые по у, приходим в каждом из них
к общему интегралу исходного дифференциального уравнения.
Пример 5. Решить уравнение
dy 2х
dx Зу2+1
-1 Разделяем переменные:
(Зу2 + 1) dy = 2х dx.
Интегрируем:
f(Зу24- 1) Jy = f 2xdx+C,
или
у3+у —х2 = С
(общий интеграл уравнения), о
Если в уравнении с разделяющимися переменными y'=/i (х)/2(у)
функция /2(у) имеет действительный корень у0, т. е. если /2(^0) —0,
45
то функция у(х)=у0 является решением уравнения (в чем легко
убедиться непосредственной подстановкой). При делении обеих частей
этого уравнения на f2(y) (при разделении переменных) решение
у(х)=у0 может быть потеряно.
Аналогично, при интегрировании уравнения (x)M2[y)dx +
+ Ni(x)N2(y)dy — 0 могут быть потеряны интегральные кривые
х(у)=х0 и у(х)=у0> где х0—действительный корень уравнения
Ах(х) = 0, го — действительный корень уравнения М2(у) = б.
Поэтому, получив указанным выше методом разделения перемен-
ных общий интеграл уравнения, надо проверить, входят ли в его
состав (при подходящих числовых значениях параметра С) упомяну-
тые решения. Если входят, то потери решений нет. Если не входят,
то в окончательном ответе кроме общего интеграла следует указать
и эти решения.
Пример 6. Решить уравнение
dy .
—
dx
о Разделяем переменные:
dy . я
— = tg х dx.
У
Интегрируем:
In |j|= — In Icosxl + Ci,
или
ln|ycosx| = Q.
Для удобства потенцирования полученного равенства представим
параметр С\ в логарифмической форме, положив С!=1п|С2|, С2/0
(при этом С\ принимает все значения от — оо до + оо). Тогда
In | ycosx| = ln I С2 I
и, потенцируя, получаем общий интеграл в виде ycosx = C2, откуда
y=C2secx.	(3)
Заметим теперь, что исходное дифференциальное уравнение имеет,
очевидно, еще решение у —О, которое не входит в запись (3), так
как С2^0. Введем новый параметр С, принимающий, в отличие
от С2, также и нулевое значение. Тогда решение >=0 войдет
в состав общего решения
у = С sec х.
С помощью подстановки и (х) = ах + bу (х) + d к уравнениям с раз-
деляющимися переменными приводятся и дифференциальные урав-
нения вида
у' =f(ax + by + d), 6^0.
Решить дифференциальные уравнения:
9.22.	у' = х/у.	9.23. у2у' + х2=1.
9.24.	уу' + х = 0.	9.25. ху' = 2у.
9.26.	(х+1)у'+ ху = 0.
9.27.	у'у/1-х2=1+у2. 9.28. / = ех+\
46
л , х sin х _
9.29.	у 4-----= 0.
>>COSJ>
9.30.	(1 +у2)хб/х + (1 4-х2)б/у = 0.
9.31.	ху dx 4- >/1 — х2 dy = 0.
9.32.	уе2х dx — (l +e2x)dy = 0.
9.33.	2extgydx+(l+ex)sec2ydy = 0.
9.34.	(1 4-^)(ехdx — e2*dy^ — (1 4-_y2)tfy = 0.
9.35.	(1 +x2)dy+y y/\ + x2 dx — xy dx = 0.
9.36.	dy — 2y/y\nxdx = 0.
9.37.	У = cos(x4-j).	9.38. y'=-----.
2x4-^
9.39.	у = (4x4-j4-1)2. 9.40. y' = sin(y —x—1).
9.41.	y'4-2j> = 3x4-5.	9.42. У = V(4X~T + 02-
Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие
указанным начальным условиям:
9.43.	(1 +y2]dx—хуJy = O; j(l) = 0.
9.44.	(ху24-х)dy+(x2y—y)dx = fy j/(l)= 1.
9.45.	y'tgx=y, у(л/2)=1.
4.	Однородные уравнения. Дифференциальное уравнение 1-го
порядка называется однородным, если его можно привести к виду
(4)
или к виду
М(х, y)dx + N(x, y)dy = O,	(5)
। дс М(х, у) и N(x,y)— однородные функиии одного порядка, т. е.
существует такое kgZ, что M(tx, ty) = tkM(x, у) и N(tx, ty) = tkN(x, у)
юждественно относительно х, у и Z/0.
С помощью подстановки у/х = и(х) однородные уравнения (4)
и (5) преобразуются в уравнения с разделяющимися переменными.
Пример 7. Решить уравнение
, У . У
у ——Feos — .
х х
у	du
-1 Положим - = м, или у = их. Тогда у' = и 4-х —, что после
х	dx
подстановки в исходное уравнение дает уравнение с разделяющимися
переменными
du
х — = cos и.
dx
Разделяем переменные:
du dx
cos и	x
47
и интегрируем:
(и я\
2 + 4ГСХ-
Получаем общее решение:
я
и = 2 arctg Сх — - 4- 2яи,
neZ.
Возвращаясь к функции у, находим:
(я \
2arctgСх — - + 2ли I, neZ.
При делении на cosw могли быть потеряны решения у = х^ + я/с\
keZ. Но для к = 2п — 1 они входят в общее решение (при С=0).
Следовательно, окончательно получаем:
у = x^2arctgСх + - + л(2и— 1)^ и у = х^- + 2ял^; neZ. о
Дифференциальные уравнения вида
, Ja^x + brf + cA
у ------71—Г“	(6)
\a2x + b2y + c2J
а2 Ь2
в случае —/— приводятся к однородным уравнениям с помощью
bl
замены переменных
х = и + т,	у = г4-/?,
где тип находятся из системы уравнений
aimybin + cl =0,
а2т + Ь2п-Ус2 =0.
Поскольку здесь dx = du, dy — dv, то уравнение (6) преобразуется
к виду (4) относительно функции v(u):
dv /aiu + biv + aim + bin + сЛ faxu-\-bxv
du \a2u + b2v + a2m + b2n + c2J \a2uyb2i\
«1 +bt -
и
v
а2 + Ь2-
i и]
(v
-
и
С	(СХ	\
Если в уравнении (6)	— = — = л
a2x + b2y — 'k(aix + b1yy то оно примет вид
dy (Ьх+Ь^у+Сг \
т~=/ п—гтт—
dx \b\aix+bxy) + c2J
Подстановкой u(x) = a1x + Z>1y(x) это уравнение преобразуется к урав-
нению с разделяющимися переменными.
и,
следовательно,
48
Решить дифференциальные уравнения:
9.46. у'=-+~. 9.47. у' = - 4-sin-.
х у	хх
9.48.	у'={х-у)1(х+у\	
9.49.	(х2 4- ху) у' — х Jx2—y2 4- ху 4-у 2.
9.50.	(x—y)dx + xdy = Q. 9.51. у2 dx-Ух2 dy = xydy.
9.52.	х(у' + еу1х)=у.	9.53. х dy—у cos In- dx = 0. X
9.54.	xy'=y4-xtg-.	9.55. xyf—y = у/x2—у2. X
9.56.	(x2+y2)dy — 2хуd.x = O.
9.57.	Зх4у2 dy = (4x5 6—y6)dx.
9.58.	(2х —у+ l)t/x4-(2v — х— 1)б7у = 0.
9.59.	(у+ 2)dx—(2x4-у — 4)Jy = 0.
9.60.	(х4-.у4- I)t/x4-(2x4-2y — l)t/y = 0.
9.61.	(х4-у — I)2dy = 2(у4-2)2dx.
9.63. /lnJ—
7	х+3
v4-x . у 4-х
'-----1П-----.
х + З х4-3
Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие
данным начальным условиям:
9.64.	xj'=j;ln-; у(1)=1.
9.65.	(^/ху — x)dy+y dx = 0; у (1) = 1.
9.66.	(y-l-y/x2+y2)dx—xdy = 0; у(1) = 0.
5. Линейные уравнения. Дифференциальное уравнение 1-го порядка
называется линейным, если оно содержит у и у' в первой степени,
т. е. имеет вид
>' = Р(х)№(х).	(7)
При 0(х) = О уравнение (7) принимает вид
у' = Р(х)у
и называется линейным однородным. Оно является уравнением с раз-
деляющимися переменными, и его общее решение имеет вид
y=Ce^P{x}dx,	(8)
где С—произвольная постоянная, a $P(x)dx одна из первообразных
функции Р(х).
Интегрирование линейного неоднородного уравнения (7) можно
провести одним из следующих методов.
49
а)	Метод вариации постоянной. Будем искать решение
уравнения (7) в виде
y=C(x)eipW‘ix,	(9)
который получается из (8), если заменить постоянную С на функцию
С(х). Подставляя выражение (9) в уравнение (7), получим для
неизвестной функции С(х) уравнение с разделяющимися переменными:
C'{x) = Q(x)e~lPMdx
Его общее решение:
C(x) = iQ(x)e^p^dxdx + Q
где С —произвольная постоянная, a j Q(x)e ~$p^dxdx— одна из
первообразных. Подставляя полученное выражение для С(х) в фор-
мулу (9), находим общее решение уравнения (7):
>' = e^Wrfx(C+f2(x)e-f/>Wrfx</x).	(10)
б)	Метод подстановки. Положим у(х) = и(х)v(x). Тогда ура-
внение (7) приводится к виду
(du	t . \ (dv	. Л
-—P(x)u) + ( —w-2(x)) = 0.	(И)
dx ) \ах )
Выберем функцию и(х) так, чтобы первая скобка в левой части
уравнения (11) обратилась в нуль. Для этого интегрируем уравнение
с разделяющимися переменными
Ju . .
---P(x)u = 0
dx
и выбираем какое-либо частное его решение и = иДх). Подставляя
функцию иДх) вместо и в левую часть уравнения (11),
получаем уравнение с разделяющимися переменными относительно
функции и(х):
dv
—«i(x)-e(x)=o.
dx
Находим общее решение этого уравнения v = v(x, С). Перемножая
найденные функции иДх) и г(х, С), получаем общее решение
уравнения (7):
/=»1(ф(х, С).
Пример 8. Решить уравнение У=j/ctgx + sinx.
<з Применим метод вариации постоянной. Рассмотрим сначала
соответствующее однородное линейное уравнение
у =yctgx.
Его общее решение j^ = Csinx. Следовательно, общее решение ис-
ходного уравнения ищем в виде ^=C(x)sinx. Подставляем
у и У = C'(x)sinx+C(x)cosx в данное уравнение:
С' (х) sin х 4- С (х) cos х = ctg х • С (х) sin х + sin х,
откуда С'(х) = 1, и тогда С(х) = х+С. Следовательно, общее решение
уравнения есть ^ = (x + C)sinx.
50
Пример 9. Решить уравнение у' =-------.
2ху+3
Перепишем уравнение в виде
dx 2х 3
= 1—
dy У у2
dx
и заметим, что оно линейно относительно хи —. Решим его
dy
методом подстановки.
Положим x = wv и приведем уравнение к виду
du
dy
(12)
Найдем функцию их(у)ч решая уравнение
du 2и
------= 0
dy У
и выбирая из его общего решения и = у2 + С одно частное решение,
например, Wi(y)=42- Подставляя и{(у) в уравнение (12), получим:
dv	3	dv 3
—У2 7 = 0, или — = -
dy	у	dy у
Общее решение этого уравнения:
г(у,С)=С-1
Перемножая wjy) и v(у, С), получаем общее решение данного
уравнения:
х = Су2
Решить дифференциальные уравнения:
9.67. у' 4- 2ху = хе ~х \
9.68. / = —4-х.	9.69. у'-У V tgx = ——.
х	" cos х
9.70. (1 +х2)у' = 2х)’4-(1 4-х2)2.
9.71. v' + 2y = e3x.	9.72. /+- = 21п.г+1.
X
9.73.	/ = -—^-4-ех(х4-1)2.
х+1
9.75.	(1 4- у2) dx = (arctg г —
9.76.	xj>'=j4-x2cosx.
9.78.	ху' + х2 + ху=у.
9.80.	у — у' = у24-х^'.
9.82*	. >’'4-tgy = -^—.
cos^
9.74*. у =	.
x + v3
x)dy.
9.77. ху' = ех + ху.
9.79. j4-.y'ln2 j’ = (x4-21n у) у
9.81. (х + 2у3)у'=у.
51
Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие
заданным начальным условиям:
9.83.	у'+у tgx = 1/cosx; j>(0) = 0.
9.84.	у' = 2у + ех-х\ у(0)=1/4.
9.85.	у'=у/(2у\пу+у-х); j/(l)= 1.
6. Уравнение Бернулли. Уравнением Бернулли называется диф-
ференциальное уравнение 1-го порядка вида
y'=P(x)y+Q(x)ym,
(13)
где ли/0, (при т = 0 уравнение (13) является линейным, а при
т-]—уравнением с разделяющимися переменными).
Так же как и линейное, уравнение Бернулли можно про-
интегрировать с помощью подстановки y = uv или свести
к линейному уравнению с помощью подстановки z=yi~m.
Следует учесть, что при т>1 может быть потеряно реше-
ние у = 0.
Пример 10. Решить уравнение
<з Полагая y = uv. приводим уравнение к виду
(du и\ f dv	х2\
1---+7"—“ =0-
dx х) \dx	uv)
Из общего решения и — Сх уравнения
du и
dx х
выбираем одно частное решение, например, их=х.
Подставляя их в уравнение (14), получаем новое уравнение
dv	х2	dv 1
— х----= 0, или — = -. Его общий интеграл v —2х + С, откуда
dx	xv_____ dx v
v= ± у/2х -F С.
Перемножая иг иг, получаем, что все решения исходного
уравнения определяются формулой у = ± х у/2х 4- С. о
Пример 11. Решить уравнение
2х 2у
<1 Это уравнение Бернулли с т—— 1. Поэтому полагаем z = j’2
и приводим уравнение к виду
Это уравнение является линейным. Решая однородное уравнение
z' — zlx, находим z — Cx. Отсюда методом вариации постоянной,
т. е. полагая z = xC(x), получаем общее решение линейного
52
уравнения в виде
или, окончательно,
= х In —. о
Решить дифференциальные уравнения
9.86. у' + 4ху = 2хе~х2 у/у. 9.87. dy = (y2ex —y)dx.
9.88. v'=y(y3cosx+tgx).
у3	2х
9.89. y'=yctgxd-----.	9.90*. у'~—^----------.
sinx	х cos у 4- sin 2у
9-91- y' = X^ .А 9-92- ху'+у = 2х2у\пу-у'.
2ja(x2-1)
9.93.	у'х3 siny + 2y = ху'.
Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие
заданным начальным условиям:
9.94.	3dy= — (1+ 3j>3)<ysinxd,x; j(rc/2)=l.
9.95.	ydx + (x — ^х3И</у=0; y(l/2)=l.
7.	Уравнения в полных дифференциалах. Дифференциальное урав-
нение 1-го порядка вида
Р(х, y)dx + Q(x, y)dy = Q	(15)
называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть
является полным дифференциалом некоторой функции U(x, у\ т. е.
р{х,у)=*—, е ,у =—.
ох	оу
Для того чтобы уравнение (15) было уравнением в полных
дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
условие
Если уравнение (15) есть уравнение в полных дифференциалах,
то оно может быть записано в виде
dU(x, у) = 0.
Общий интеграл этого уравнения:
О’(х, у)=С,
где С—произвольная постоянная.
Функция U(x, у) может быть найдена следующим образом.
Интегрируя равенство — — Р(х,у) по х при фиксированном
53
у и замечая, что произвольная постоянная в этом случае
может зависеть от у, имеем
U(x, у)=$Р(х, y)dx+<p(y).	(17)
Затем из равенства
т- p(v’ y)dx+<p'(y)=:Q(x’ у)
ОУ J
находим функцию <р(у), подставив которую в (17), получим функцию
U(x, у).
Очевидно, что искомая функция U (х, >>) определена с точностью
до произвольной аддитивной постоянной. Для записи общего ин-
теграла исходного уравнения достаточно выбрать одну из функций
получаемого семейства.
Другой метод отыскания функции U(х, j) состоит в вычислении
криволинейного интеграла 2-го рода (см. гл. 10, § 2, 4):
(х, у)
1/(х, >’)= f P(x,y)dx + Q(x,y)dy=
(XQ,y0)
= f	yo)dx±$ Q(x,y)dy=l Q(x0,y)dy+ f P(x,y)dx.
Xq	)’O	У0	*0
где точки Mq(x0, у0) и Л/(х, у) и путь интегрирования ле-
жат в области непрерывности функций Р (х, у) и Q (х, у) и их
частных производных, причем Л/о(хо,уо) — некоторая фиксированная
точка.
Пример 12. Решить уравнение
- dx + (у3 + In х) dy = О,
х
предварительно убедившись, что это есть уравнение в полных
дифференциалах.
Проверим условие (16):
дР д (у\ 1	dQ д	1
~ Т" = л“ -V +lnx)==“-
оу оу\х;х	ох дх	х
Условие (16) выполнено, следовательно, заданное уравнение есть
уравнение в полных дифференциалах.
Найдем функцию (/(х, у).
Первый способ. Интегрируя по х при постоянном у равенство
dU	у
—=Р х, >-)=-,
ОХ	X
получим
b'(-v, >’) = |^rfx+<p(j')=j'lnx+q>(>).	(18)
Заметим, что при вычислении первообразной мы здесь пишем In х,
а не In | х |, так как исходное уравнение содержит In х и, следовательно,
имеет смысл лишь при х>0.
54
Подставляя (18) в равенство
8U , ч ч
7- = 6 (х, у)=у3 + 1п х,
ду
имеем
In х + ф' (у)-у3 + 1п х,
откуда
ФЫ=^4 + С1.	(19)
Положив, например, Сх=0, находим из (18) и (19)
U(х, у)=у In х + ^у4.
С ледовательно, общий интеграл заданного уравнения имеет вид
1 Л
у In хЧ—у4 — С.
4
Второй способ.
(*, у)
U(x, y)= J - dx + (y3+ \п х) dy.
(xq. У o')
Положим, например, х0=1, уо = 0- Тогда Р(х, уо) = 0 и
У
U(х, у) = J(y34-ln х) dy = -у4-У у In х. о
о
Решить дифференциальные уравнения, предварительно
убедившись, что они являются уравнениями в полных диф-
ференциалах:
9.96.	(2хЧ-у) dx + (x + 2y) dy = 0.
9.97.	QOxy —8уЧ-1) dx4-(5x2 —8х + 3) б/у==О.
9.98.	(Зх2 Ч- бху — 2у 2) dx4-(Зх2 — 4ху — Зу2 ) dy = 0.
/-	2 \	/	3 \
9.99.	I у + -5 I dx+{ х—z I =
\	х /	\	У /
9.100.	^^-2х3 + ЛГ2"\у = 0.
У	У
9.101.	| --------h J4 1 х + -4-------—---- | dy = 0.
\ х2—уг )	\ У	х1 —у2 /
9.102.	(2х—уе~х} dx + e~xdy = Q.
9.103.	(2х + ех/у) dx + [ 1-- ]ex,ydy = 0.
\ У J
9.104.	2х cos2 у dx-У (2у — х2 sin 2у) dy = 0.
55
9.105.	I sin у—у sin x+- ) dx+\ xcos j+cos x—- j Jy = 0.
\	x J \	У J
8.	Теорема существования и единственности решения. Особые
решения. Задачей Коши для дифференциального уравнения y'=f(x, у)
называется задача об отыскании частного решения этого уравнения,
удовлетворяющего заданному начальному условию у(х0)=у,о-
Теорема Коши. Если в дифференциальном уравнении
y'—f(x, у) функция f(x,y) непрерывна в некоторой области D плос-
кости Оху и имеет в этой области ограниченную частную производную
f'v(x, у), то для любой точки (x^yojeD в некотором интервале
х0—Л^х^х0 + Л существует и притом единственное решение у(х)
этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию у(х0)=у0-
Геометрически это означает, что через каждую точку М области
D проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения
/=/(*, л
Точки области £), в которых нарушается единственность решения
задачи Коши, называются особыми точками дифференциального
уравнения.
Решение (интегральная кривая) уравнения y'=f(x,y), в каждой
точке которого нарушается единственность решения задачи Коши,
называется особым решением (особой интегральной кривой) этого
уравнения. Особое решение не может быть получено из общего ни
при каких значениях С (включая и С=±<х).
Огибающая семейства интегральных кривых, определяемых об-
щим решением у = (р(х, С) или общим интегралом Ф(х, у, С) = 0,
является особой интегральной кривой. Она находится путем исключе-
ния, если это возможно, параметра С из системы двух уравнений
v = <p(x, С),	( Ф(х, >, С) = 0,
0 = <рс(х, С) ]ф’с(х, у, С)=0.
Найденную таким путем функцию следует подставить в данное
дифференциальное уравнение и убедиться, что она является его решением.
Пример 13. Найти область, в которой уравнение
y' — x^/l —у2
имеет единственное решение.
Здесь /(х, у)=х у2—функция, непрерывная при |у|<1; част-
ная производная f'y(x, у)=------- -.-  ограничена при |х|^Л/
и | у | а < 1. Следовательно, данное уравнение имеет единственное
решение в любом прямоугольнике D = {(х, у) 11 х | Л/, | у | а < 1}.
Пример 14. Найти особые решения уравнения
У=\/>-у2.
зная его общее решение у = sin(х+ С), |х-+-С|^я/2.
<i Составим систему уравнений
y = sin(x+C),	л
0 = cos(x + C),	^2
56
Исключая С, найдем две функции у=±1, которые, очевидно, являются
I чтениями данного уравнения и не получаются из общего решения
ни при каких значениях С. Следовательно, у=±1 особые решения, о
Найти области существования и единственности решения
для дифференциальных уравнений:
9.106.	у'= л2— у2. 9.107. г =.
У“А
9.108.	у'- 1 + tgу. 9.109. у' = х2У-у/х-у2.
Найти особые решения следующих дифференциальных
уравнений, зная общие решения (там, где это указано).
9.110.	у' = -
9.111.	у'=Ьх^/у—\', y = (.r2 + C)2+1.
9.112.	xy'2 + 2xy' -y = Q- (у-С)2 = 4Сх.
9.113.	у = у'2 — ху'+у; У = у + Сх + С2.
9.	Уравнения, не разрешенные относительно производной. Пусть
чифференциальное уравнение Г(х, у, у') = 0 разрешимо либо относи-
1ельно искомой функции, т. е. имеет вид
У=Лх,у'),	(20)
1ибо относительно аргумента, т. е. записывается в виде
<=/(>’,/)•	(2D
Гог да оно интегрируется путем введения параметра р~у'. Уравнения
(20) и (21) переходят в алгебраические уравнения, дифференцируя
которые соответственно по х или по у, получим системы уравнений
Г y=f(x, р),	Г х=/(у> Ру
)	или \ 1_<У <У dp
(. дх др dx	у р ду^др dy
Из этих систем находится соответственно общее решение урав-
нения (20) или (21) в явном или параметрическом виде.
Пример 15. Решить уравнение
у=у'2 + ху' —X.
 1 Введем параметр р=у'. Тогда
у=р2 + х(р-\).	(22)
Дифференцируя это равенство по х, получим
, dp L	.dp
р = 2р-+р-\+х — ,
dx	dx
или
dp 1
dx 2p + x
57
Запишем последнее уравнение в форме
Это линейное уравнение, его общее решение:
х = Сер-2(р+\).	(23)
Подставляя выражение (23) в формулу (22), получим
у = Сер(р—\)—р2+ 2.	(24)
Система соотношений (23) и (24) определяет общее решение исходного
уравнения в параметрической форме:
х=Сер — 2(р+1), у—Сер(р—\)~р2~У2. о
Пример 16. Решить уравнение
<i Полагая р—у\ имеем
Дифференцируем это равенство по у:
1 _ dp 1 у dp
- = 2р-—-\---,
р dy р р dy
или
dp(-, Н п
dy\ Р )
Отсюда
/’1=С и р2 = з^у.
Подставляя поочередно оба результата в выражение для х, найдем
общее решение
у = Сх-С3
которое, как легко убедиться, является особым, о
Решить дифференциальные уравнения:
9.114.	у=у' +4у'.	9.115.	у—у' V1 +у'2- г 2
9.116.	у — (у'—\)еу.	9.117.	у = ~ + 2ху’ + х2
9.118.	х=у'3 —у' + 2.	9.119.	х=у' cos у'.
9.120.	х = 2у' — In у'.	9.121.	у. 1 Х = —+ —2 • У У
58
Частным случаем уравнений вида (20) является так называемое
уравнение Лагранжа
У=*/(у')+ф(у'\	(25)
которое при f(y')=y' называют уравнением Клеро. Введением па-
ра метра р=у' уравнение (25) приводится к виду
>’=х/(р) + ф(/>)
в случае общего уравнения Лагранжа и к виду
> = .тр + <р(/>)
в случае уравнения Клеро.
Уравнение Лагранжа имеет особые решения
J' = V(Po) + <p(/’o),
|де Pq—любой из корней уравнения f(p)=p-
Уравнение Клеро имеет общее решение
_у = Сх + Ф(С)	(26)
а особое решение
х=-ф'(р), _У=-ф'(/>)р + ф(/>),	(27)
являющееся огибающей семейства интегральных кривых (26).
Таким образом, можно сформулировать следующее п р а к -
। ич ес к ое правило. Заменив в уравнении Клеро символ у'
символом С, мы сразу получаем общее решение (26). Дифференцируя
сю по С и исключая С из системы двух уравнений (общего решения
и результата дифференцирования), получаем особое решение (27).
Пример 17. Решить уравнение Лагранжа
У=Ху'2+у'-
Полагая у'—р, найдем
у = хр2+р.
Дифференцируя это равенство по х, получим
2 , -> dP ,d!>
р-р+2хр~ + ~~
ах ах
или
dx 2р 1
Т = х—2 +—I-
dp Р-Р Р-Р
Это линейное уравнение имеет общее решение
x=(i Jp)2 (c+ln И-р)’
подставляя которое в формулу для у получаем общее решение
исходного уравнения в параметрической форме:
С+1п|р| — р (С+\п\р\-р)р2
Кроме того, уравнение имеет особые решения j = 0 и j = x+l,
соответствующие корням Pi=0 и Р2=1 уравнения р2—р. о
59
Пример 18. Решить уравнение
У = ху'-у'\
Данное уравнение имеет вид (25) при f(y')=y\ т. е. является уравне-
нием Клеро. Следуя практическому правилу, получаем общее решение
у = Сх-С\
Исключая, далее, параметр С из системы уравнений
у = Сх-С4,
0 = х-4С3,
получим особое решение
у ——^т=х4/3. t>
43/4
Решить дифференциальные уравнения:
9.122.	j =	9.123. у = 2ху'+—2.
2у'	У'
9.124.	у-ху’1 +у'3.	9.125. у = ^ (ху'+у' In/).
9.126.	у=ху'~ —.	9.127. У~ху'У у'У xfy'.
у>,
9.128.	у—ху' — еу'.	9.129. y = x/4-cosу'.
10.	Смешанные задачи на дифференциальные уравнения 1-го
порядка.
Определить типы дифференциальных уравнений и указать
в общем виде методы их решения:
уУУ	,----- 2y2
9.130.	sinx3 = <? у .	9.131. J х2 —у2 =--:.
v	у-ЗхУху'
9.132.	1+х + (1 W)(ex-e2<y') = 0.
9.133.	2у'(1 — x2) — xy — 2xy2y2x3y2 = Q.
9.134.	ydx + (2x—y2)dy = 0.
9.135.	( - — хУу2 Idx-y\2xy У у ~——z | dy — $.
\y	/	\	’	2.y* ]
9.136.	у dx-y(x — 2 y/xy )dy = Q.
9.137.	(x2+y2 + l)t/y + x^67x = O. 9.138. p' = sin (y> — x).
v'— nx	i— v'—s,n *
9.139.	x=arccos ------.	9.140.	-----
у	хг-у2х-1
Решить дифференциальные уравнения:
9.141.	у'-Уху —х3.	9.142. (х—y)dy—ydx — Q.
9.143.	(х cos 2у+ 1)dx — х2 sin 2у dy = O.
I__2x
9.144.	y'=y tgx—y2 cos x. 9.145. y' = ——.
9.146.	2ydx + (y2 — 6x)dy = 0.
60
9.147.	(хуех/у+y2)dx = x2ex/y dy.
9.148.	(xy2+x)dx + (y—x2y)dy = 0.
9.149.	(2x 3 — xy 2) dx 4- (2>’3 — x 2у) dy — 0.
9.150.	xy'+y = y2 In x.
9.151.	Зх+у-2+У(х-1)=0.
X-f- у
9.152.	y' =--.	9.153. y' cos x—у sin x = sin lx.
x-y
9.154.	(2x4-In Hdx4-( -4-sin у) dv — 0.
\ у /
9.155.	y-xy' — Iny'.	9.156. y'=----
xv4-x у
9.157.	| x — v sin - ) dx + x sin - dy = {}.
\	' x /	x
9.158*	. xy'= x2e~y+ 2. 9.159. (2xey + v4)/ =yey.
9.160*	. (1 +y2)dx = (y/ 1 4-j’2 cos y~xy) dy.
9.162.	y'+- = ^-.	9.163. y=y'2+ 2xy'.
X sm2 x	2
9.164*	. (x — 2j>3)^х4-3^2(2х-у3)б/у = 0.
11. Геометрические и физические задачи, приводящие к решению
дифференциальных уравнений 1-го порядка. В задачах геометрии,
н которых требуется найти уравнение кривой по заданному свойству
се касательной, нормали или площади криволинейной трапеции,
используются геометрическое истолкование производной (угловой
коэффициент касательной) и интеграла
(площадь криволинейной трапеции с по-
движной ограничивающей ординатой),
<i также следующие общие формулы для
определения длин отрезков касательной
г, нормали л, подкасательной
v, и поднормали sn (рис. 93):
с переменным пределом
t =

Пример 19. Найти уравнение кривой, проходящей через начало
координат, если в каждой ее точке М (х, д>) подкасательная st в к раз
меньше поднормали 5„.
<з Пусть у—fix)—уравнение искомой кривой. Используя выражения
подкасательной st и поднормали s„, мы сразу получаем дифферен-
циальное уравнение

У_
У'
61
или
(у'Г=к-
Интегрируя это уравнение и учитывая начальное условие у(0) = 0,
получим искомые уравнения
У= + у/к ’ X
(две прямые), с*
Пример 20. Найти уравнение кривой, проходящей через точку
(1,1), если для любого отрезка [1,х] площадь криволинейной
трапеции, ограниченной соответствующей дугой этой кривой, на
2 больше удвоенного произведения координат точки М (х, у) кривой
(х>0, у>0).
Согласно условию задачи имеем
j y(r)<fr + 2 = 2xy(x).
i
Дифференцируя это равенство по х, получаем дифференциальное
уравнение у = 2(у + ху'), или
, У
У =
2х
Интегрируя это уравнение и учитывая начальное условие у(1)=1,
найдем уравнение искомой кривой:
у=1/у/х. |>
9.165.	Найти уравнение кривой, проходящей через точку
(у/2, 0), если сумма длин ее касательной и подкасательной
равна произведению координат точки касания.
9.166.	Найти уравнение кривой, проходящей через точку
(1, 2), если ее подкасательная вдвое больше абсциссы точки
касания.
9.167.	Найти уравнение кривой, проходящей через точку
(1/2, —1), если длина отрезка полуоси абсцисс, отсекаемого
ее касательной, равна квадрату абсциссы точки касания.
9.168.	Найти уравнения кривых, у которых длина отрезка
нормали постоянна и равна а.
9.169.	Найти уравнения кривых, у которых поднормаль
имеет постоянную длину а.
9.170.	Найти уравнение кривой, проходящей через
точку (0, 2), если площадь криволинейной трапеции,
ограниченной дугой этой кривой, в два раза больше
длины соответствующей дуги.
9.171.	Найти уравнение кривой, проходящей через точку
(1, 1/2), если для любого отрезка [1, х] площадь криволиней-
ной трапеции, ограниченной соответствующей дугой этой
кривой, на 2 больше отношения абсциссы х концевой точки
к ординате.
62
9.172.	Найти уравнение кривой, проходящей через точку
(О, 3), если подкасательная в любой точке равна сумме
абсциссы точки касания и расстояния от начала координат
но точки касания (ограничиться рассмотрением случая — >0).
у'
9.173.	Найти уравнение кривой, проходящей через точку
(1,0), если длина отрезка оси абсцисс, отсекаемого ее
нормалью, на 2 больше абсциссы точки касания.
9.174.	Найти уравнение кривой, проходящей через начало
координат, если для любого отрезка [а, х] площадь кри-
во чиненой трапеции, ограниченной соответствующей дугой
ной кривой, равна кубу ординаты концевой точки дуги.
9.175.	Найти уравнение кривой, проходящей через точку
1 полярными координатами г = 2, <р = 0, если угол а между
ее касательной и радиус-вектором точки касания есть посто-
янная величина: tga = a.
9.176.	Найти уравнение кривой, проходящей через точку
(1, 1), если длина отрезка оси абсцисс, отсекаемого любой
се касательной, равна длине этой касательной.
9.177.	Найти уравнение кривой, проходящей через точку
Н, 1), если длина отрезка, отсекаемого любой ее касательной
на оси ординат, равна поднормали.
9.178.	Найти уравнение кривой, проходящей через начало
координат, если середина отрезка ее нормали от любой
ючки кривой до оси Ох лежит на параболе 2j/2 = x.
9.179.	Найти уравнение кривой, проходящей через точку
(1,0), если площадь трапеции, образованной касательной,
осями координат и ординатой точки касания, постоянна
н равна 3/2.
9.180.	Найти уравнение кривой, проходящей через точку
(0, 1), если площадь треугольника, образуемого осью абсцисс,
касательной и радиус-вектором точки касания, постоянна
и равна 1.
9.181.	Найти уравнение кривой, проходящей через точку
(1, 2), если произведение абсциссы точки касания на абсциссу
ючки пересечения нормали с осью Ох равно удвоенному
квадрату расстояния от начала координат до точки касания.
9.182.	Найти уравнение кривой, проходящей через точку
с полярными координатами г = л, <р = л/2, если площадь
сектора, ограниченного этой кривой, полярной осью и пе-
ременным полярным радиусом, в шесть раз меньше куба
полярного радиуса.
Ортогональными траекториями для однопараметрического семей-
ств 5) линий у = ф(х, а] называется другое семейство S2 линий,
которые пересекают линии первого семейства под прямым углом.
63
Пример 21. Найти ортогональные траектории семейства ку-
бических парабол у —ах3.
о Найдем дифференциальное уравнение данного семейства, исключая
а из системы уравнений
у~ах\
у' — Зах2.
Получим / = 3у/х. Дифференциальное уравнение семейства ортого-
нальных траекторий есть
х
у’= ~Y-
3>’
Его общий интеграл
х1 + 3у2 = С2
является уравнением семейства ортогональных траекторий (эллип-
сов). о
Найти ортогональные траектории данных семейств кривых
(а—параметр):
9.183.	ау2=х3.	9.184. у = ах2.
9.185.	х2 — 2у2 = а2. 9.186. у = ае2х.
При составлении дифференциальных уравнений 1-го порядка
в физических задачах часто применяется метод дифференциалов, по
которому приближенные соотношения между малыми приращениями
величин заменяются соотношениями между их дифференциалами.
Такая замена не отражается на результатах, так как дело сводится
к отбрасыванию бесконечно малых высших порядков. Другим методом
составления дифференциальных уравнений является использование
физического смысла производной как скорости протекания процесса.
Пример 22. В резервуаре первоначально содержится А кг веще-
ства, растворенного в В литрах воды. Затем каждую минуту в резервуар
поступает М литров воды и вытекает N литров раствора (ЛГ>Д),
причем однородность раствора достигается путем перемешивания.
Найти массу вещества в резервуаре через Т минут после начала процесса.
<1 Обозначим через x(z). массу вещества в резервуаре в момент
времени t и через х + Дх— в момент времени /4-Д/ (время измеряется
в минутах, момент времени г = 0 соответствует началу процесса).
Заметим, что Дх<0 при Дг>0 (т. е. раствор «обедняется»).
Пусть И(/) — объем смеси в момент г:
V(t) = B+Mt-Nt.
Концентрация вещества в момент времени t равняется, очевидно,
х/V. За бесконечно малый отрезок времени [г, / + Дг] масса вещества
изменяется на бесконечно малую величину Дх, для которой справед-
ливо приближенное равенство
х	Nx
Дх »----ДД/ =-----------т- Дл
V
Заменяя приращения Дх и Дг дифференциалами dx и dt, получаем
дифференциальное уравнение:
Nx
dx =--------— dt.
B + (M-N)t
64
Интегрируя это уравнение с разделяющимися переменными и считая
М >N, найдем общее решение:
\ / N
Используя начальное условие х=А при г = 0, найдем частное решение:
/ R \ N
х(/) = Я ---------- ]M N.
Полагая t—T. получим ответ:
/	D	\ N
х(Т) = А ---------—
1 '	\B+(M-N)T )
Случай M = N требует отдельного рассмотрения (см. задачу 9.195).
9.187.	Скорость охлаждения тела пропорциональна раз-
ности температур тела и окружающей его среды (закон
Ньютона). Найти зависимость температуры Т от времени
/, если тело, нагретое до То градусов, внесено в помещение,
юмпература которого постоянна и равна а градусам.
9.188.	Через сколько времени температура тела, нагретого
до 100° С, понизится до 25° С, если температура помещения
равна 20° С и за первые 10 мин тело охладилось до 60° С?
9.189*	. Замедляющее действие трения на диск, враща-
ющийся в жидкости, пропорционально угловой скорости
вращения. Найти зависимость этой угловой скорости от
времени, если известно, что диск, начавший вращаться со
скоростью 5 об/с, по истечении двух минут вращается со
скоростью 3 об/с. Через сколько времени он будет иметь
угловую скорость 1 об/с?
9.190.	Скорость распада радия пропорциональна налич-
ному его количеству. В течение года из каждого грамма
радия распадается 0,44 мг. Через сколько лет распадется
половина имеющегося количества радия?
9.191*	. Скорость истечения воды из сосуда через малое
отверстие определяется формулой v = 0,6x/2gA, где h — высота
уровня воды над отверстием, g—ускорение свободного
падения (принять g=10M/c2). За какое время вытечет вся
вода из цилиндрического бака диаметром 2А=1 м и высотой
Н=1,5м через отверстие в дне диаметром 2г = 0,05 м?
9.192*	. Количество света, поглощаемого при прохождении
через тонкий слой воды, пропорционально количеству пада-
ющего света и толщине слоя. Зная, что при прохождении слоя
воды толщиной 2 м поглощается 1/3 первоначального светово-
го потока, найти, какая часть его дойдет до глубины 12 м.
3 Специальные разделы мат. анализа. Ч. 2
65
9.193.	Лодка замедляет свое движение под действием
сопротивления воды, которое пропорционально скорости
лодки. Начальная скорость лодки 1,5 м/с, скорость ее через
4 секунды 1 м/с. Когда скорость уменьшится до 1 см/с?
Какой путь пройдет лодка до остановки?
9.194*	. Пуля, двигаясь со скоростью 1'0 = 400 м/с, проби-
вает стену толщиной h = 20 см и вылетает, имея скорость
100 м/с. Полагая силу сопротивления стены пропорциональной
квадрату скорости движения пули, найти время прохождения
пули через стену.
9.195.	В баке находится 100 л раствора, содержащего
10 кг соли. В бак вливается вода со скоростью 5 л/мин,
и смесь вытекает из него с той же скоростью. Однородность
раствора достигается путем перемешивания. Сколько соли
останется в баке через час?
9.196.	Некоторое вещество преобразуется в другое вещест-
во со скоростью, пропорциональной массе непреобразован-
ного вещества. Если масса первого есть 31,4 г по истечении
одного часа и 9,7 г по истечении трех часов, то определить:
а) массу вещества в начале процесса; б) через сколько времени
после начала процесса останется лишь 1% первоначальной
массы исходного вещества?
9.197*	. В помещении цеха вместимостью 10 800 м3 воздух
содержит 0,12% углекислоты. Вентиляторы доставляют све-
жий воздух, содержащий 0,04% углекислоты, со скоростью
1500 м3/мин. Предполагая, что углекислота распределяется
по помещению равномерно в каждый момент времени, найти
объемную долю углекислоты через 10 мин после начала
работы вентиляторов.
9.198.	Сила тока i в цепи с сопротивлением R, самоин-
дукцией L и напряжением и удовлетворяет уравнению
т di
L —h Ri = u.
dt
Найти силу тока i в момент времени г, если w = Esincor
и / = 0 при r = 0 (L, R, Е, со— постоянные).
§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков
1. Основные понятия. Теорема Коши. Дифференциальное уравне-
ние и-го порядка имеет вид
Г(х, у,..., у(л)) = 0	(1)
или
(2)
66
Задачей Коши для дифференциального уравнения (2) называется
задача отыскания решения у(х), удовлетворяющего заданным началь-
ным условиям
j(xo)=Vo, У(-«о)=Уо.	(3)
Общим решением уравнения (1) или (2) называется такая функция
г = ф(х, Сх.С„), которая при любых допустимых значениях па-
раметров Ci,..., Сп является решением этого дифференциального
уравнения и для любой задачи Коши с условиями (3) найдутся
постоянные Сн С2,	С,,, определяемые из системы уравнений:
_Уо = ф(*о.	С„),
У'о = ф'(v0, С,,	С„),
G,..., с„).
Уравнение
Ф(х,у,	с„) = о,
(4)
определяющее общее решение как неявную функцию, называется
общим интегралом дифференциального уравнения.
Теорема существования и единственности ре-
шения задачи Коши. Если дифференциальное уравнение (2)
таково, что функция /(х, у, у', ..., в некоторой области D из-
менения своих аргументов непрерывна и имеет непрерывные частные
df df of
производные —, —, ...,———, то для любой точки (х0, yQ,
ду ду' ду{п ’
у'о, ...,	-1))е& существует такой интервал xQ — h<x<x0 + h, на
котором существует и притом единственное решение этого уравнения,
удовлетворяющее начальным условиям (3).
Пример 1. Показать, что функция у = С\еС2Х,	C2eR,
является решением дифференциального уравнения у/' = .у'2.
о Имеем:
у' = С,С2ес>х, у” = С,С22ес>х.
Подставив выражения у, у' и у" в данное уравнение, получим
тождество
C,e^vC1Cle^x=(C1C2eC2X)2-
Следовательно, функция y = Cie<'2>' есть решение данного ура-
внения. о
Пример 2. Найти область существования и единственности
решения уравнения
х
-	г/	/\ X \/У	"J
<] Функция j (х, у, у ) =--и ее частная производная —
х	ду
йе-
df У
прерывны при х/0, у'^О; частная производная — =-— непрерыв-
Sy' IxJy'
на при х^О, у'>0.
Следовательно, данное уравнение имеет единственное решение
при х^О, />0. о
67
Найти область существования и единственности решения
уравнений:
9.199.	y" = x + Jx2-y'. 9.200. у”=у'\ъу'.
Показать, что данные выражения при любых дейст-
вительных значениях входящих в них параметров определяют
решения соответствующих дифференциальных уравнений:
9.201.	у = х J^^dr+cosx + CiX-hC2; xy" = sinx.
9.202.	j = x2 lnx + C1x2 + C2x + C3; ху'" = 2.
9.203.	eysin2(Clx-bC2) = 2C2; у" = еу.
9.204.	C1y = sin(C1x+C2); yy"+l=y'2.
Показать, что данные функции являются частными реше-
ниями соответствующих дифференциальных уравнений:
9.205.	у — (х2 + 1)/2; 1+у'2 = 2уу".
9.206.	у = ех\ у2+у'2 = 2уу".
Путем исключения параметров вывести дифференциальные
уравнения семейств следующих линий:
9.207.	Прямых на плоскости, не параллельных оси Оу.
9.208.	Окружностей постоянного радиуса R.
9.209.	Синусоид у = A sin(x-Fa), где А и а—параметры.
9.210.	Парабол с осью, параллельной оси Оу.
2. Уравнения, допускающие понижение порядка. Ниже приводятся
некоторые виды дифференциальных уравнений л-го порядка, до-
пускающих понижение порядка.
а)	Уравнение вида у(л)=/(х). Общее решение получается
путем м-кратного интегрирования j = jdxftZx...ff(x ]dx+P„^(x), где
Рп_1(х) = С1хя 1Ч-С2х" 2 + ...4-Сл_ хх+ Сп, или по формуле
У=7~-"т; [/(')(*-0"-1*+Л-1(4
(л-1)! J
*0
1
Пример 3. Найти общее решение уравнения у" ——и его
cos2x
/л\ in 2
частное решение, удовлетворяющее начальным условиям у>1 - 1 = —,
<] Интегрируя первый раз, получаем y^tgx+Cp Повторное ин-
тегрирование дает у= — Inlcosxl + Cjx + C^. Это и есть общее решение.
Подставив теперь в полученное общее решение и в выражение для
л	In 2
первой производной х=- и соответственно у—— и у'=1, получим
4	2
68
систему двух уравнений с неизвестными CY и С2. Решив эту систему,
найдем значения параметров С^О и С2 = 0, соответствующие
искомому частному решению, которое, следовательно, имеет вид
г^—ln|cosx|.
б)	Уравнения вида F(x, у(к), ..., j(n)) = 0, т. е. уравнения, не
содержащие явно искомой функции и ес производных до порядка
А -1 включительно. С помощью замены у{к]—р(х) порядок уравнения
понижается на к единиц: Г(х, р, р', ..., p'n~k}) = h. Предположим, что
для полученного уравнения мы можем найти общее решение
д(.х) = ф(х, ..., Сл_к). ТогДа искомая функция у(х) получается
путем /с-кратного интегрирования функции <р(х, Ср ..., Сл_к).
Пример 4. Найти частное решение уравнения х4у'" 4-2х3у" — 1,
удовлетворяющее начальным условиям v(l) = -, /(]) = -, 7(1)= — 1-
• 1 Данное
dP
г ——, и
dx
_ 1 1 ..................
... л V4~2’ У [Ч~ ~ *'
уравнение не содержит у и yz. Положим у"=р, тогда
. dp	dp 2
уравнение принимает вид х------Ylx р—\у или-----\--р =
dx	dx х
. Это
линейное уравнение первого порядка. Его общее решение
Р-----;+“7- Используя начальное условие у"(1)—р(1) = — 1, получаем
X х2
1	1
(\=0. Следовательно, у"—-------, откуда у' — —-4-С2. Начальное
х	1х
условие >»'(!)= 1/2 позволяет определить С2 = 0. Интегрируя еще раз,
получаем у——-----1-С3, а из условия у(1)=1/2 следует, что С3 = 1.
1х
1
Итак, искомое частное решение есть у=1---------(равносторонняя
1х
гипербола). о
в)	Уравнения вида F(у, у'.
независимой
, ^(м)) = 0, не содержащие явно
. х	dP
переменной. Подстановкой	у"=р —,
,	dy
2d Р 
—-, и т. д. порядок уравнения понижается на
dy2
fdP\2
1 /=р(т)
W/
единицу.
Пример 5. Найти общий интеграл уравнения у'у'" — 3_у"2 = 0.
dp	(dP\2	э^2Р
<] Положим у'=р(у), у"=р — 'У"'=р\— +р —-. Тогда уравнение
dy	\dy/ dy
преобразуется к виду
( (dP\ ?d2P\	?(dP\2
P[р 7 +p	7	=0-
\ \dyj dy J	\dyj
Приведя подобные члены и сократив на р2 (при этом мы теряем
решение р = 0, или у = С), получим
d2p (dp\2
Р—Т-2 —) =0-
dy2 \dy)
69
dp	d2p	dz
Положив здесь — = z, —- = z—, придем к уравнению
dy	dy2	dp
Сократив на z (при этом возможна также потеря решения z =— = 0,
dy
т. е. р = Сх и у=С\х + С2, в состав которого при Cj=O входит и
dz 2dp
прежнее потерянное решение), получим---— = 0, откуда In | z | — 1пр2 =
- Р
dp
= 1п|С1|, или z = — = Схр2. Интегрируя последнее уравнение, находим
dy
1	dx
— -=Сху + С2' или------=С0’+С2.
Р	dy
Окончательно получим общий интеграл х = С\У2 + С2у + С3, где
С\ -
Cj = — —, С2=—С2, т. е. семейство парабол. Заметим, что последняя
запись содержит в себе
г) Уравнения
и решения у = С\ х+С2 (только при Сх /0). о
вида —(С(х, у, у', ...,
dx
такие
уравнения, в которых левая часть может быть представлена как
полная производная по х от некоторой функции С(х, у, у', у(п~1)).
Интегрируя по х, получим новое уравнение, порядок которого на
единицу ниже порядка исходного уравнения.
Пример 6. Найти общее решение уравнения
(1 + х2)у" + 2ху' = х3.
Левая часть уравнения есть полная производная по х от функции
х4
(1 +х2)у', а правая—от функции —, т. е. уравнение можно перепи-
4
fx4\'
сать так: ((1 -Ух2) у')' = ( — I. Отсюда интегрированием получаем
Z	G	Х4+С1
1-Ух )у' =--У —, или dy = —----—dx. Следовательно,
V 1	4	4	4(1+х2)
fx4+C1	(Vl	x С\-У1	1 \
J4(l+x2) J\4V	4	х2-У1/
и, окончательно,
y= — x}—-x-hCIarctgx+C2,
где =---------. Это и есть общее решение, о
4
70
д) Уравнение F(x, у, у',	>,<п)) = 0- однородное отно-
сительно функции и ее производных, т. е. такое, что
/ (a, ty, ty', ..., ty{n}}— tkF(x, г, у',	y(n)), tт^О. Подстановкой y'=yz
порядок уравнения понижается на единицу.
Пример 7. Найти общее решение уравнения хуу" — ху'2 — уу' = §.
 । Положим y'=yz. Тогда у"=y(z2 + z') и уравнение принимает вид
xy2(z2 + z') — xy2z2—y2z = 0.
С окращая на у2 (при этом получается решение у = 0), находим
dz dx	у'
— 2 = 0, или —---= 0, откуда z = Cxx. Так как z = —, то приходим
Z X	у
dy	Схх2
к уравнению у' — С\ ху, или — = Ci х dx, откуда In | у | =-F In | С2|,
с л 2	-
или у=С2е 1 (где — Сх/2)— это и есть общее решение. Заметим,
чю при С 2 = 0 в этой записи содержится и решение у = 0, которое
было нами потеряно при сокращении на у2. i>
В некоторых случаях найти решение в виде явной или неявной
функции затруднительно, однако удается получить решение в парамет-
рической форме.
Пример 8. Найти общее решение уравнения у"(1 +21nу') = 1.
ф	Ф
-л Положим v'=p, v" =—. Уравнение примет вид —(14-21пр)=1,
dx	dx
или dx = (\ 4-21пр)ф, откуда х= — р + 2р\х\р + Сх. Так как dy=pdx,
ю находим dy=p(\ 4-21пр)ф, откуда у=р21пр4- С2. Общее решение
получаем в параметрическом виде:
х=р(— 1 4-21пр)-|-С1,
Решить дифференциальные
понижения порядка:
9.211. т"=1/(1+х2).
9.213. rIV=l/x.
9.215. х2у" = у'2.
9.217. tg-x = sin 2дс.
9.219.	2у>’"=1+>’'2.
9.221.	/' + 2ху'2 = 0.
9.223.	xy" = y'ln -.
9.225.	(1 -х2) у"+ху'-2 = 0
9.227.	у'" = 2(у"—l)ctgx.
9.229.	у"'=у"2.
9.231.	у"=\/^у.
9.233. Vv"+y-v'2=0.
9.235. p"tgy = 2y'2.
9.237. х/"+/'-х-1=0.
у=р2\пр + С2- t=-
уравнения, используя методы
9.212. j>" = x + sinx.
9.214. ху"' = 2х+3.
9.216. у"-2уу' = 0.
9.218. ху"—у' = ехх2.
9.220. уу"+у'3=у'2.
9.222. ху" — у'—xsin — = 0.
9.224. х3у" + х2у'~ 1 =0.
9.226. (1 +ех)у"+у' = 0.
9.228. х2у"'=у"2.
9.230. (2у+у')у"=у'2.
9.232. у3у'+1 =0.
9.234. уу"-2уу'\пу-у'2 = 0.
9.236. (у-\)у" = 2у'2.
9.238. уу”+у'2 = х.
71
9.239.	у" = ^^.	9.240. У”- ХУ'"=—..
X	у' X
9.241*	. х2уу" = (у — ху')2.
9.242.	ху'(уу"~у'2)— <ур'2 = л-4у3.
9.243.	хуу” + ху'2 = 2уу'. 9.244. 2уу”-Зу'2 =4у2.
Найти частные решения дифференциальных уравнений,
удовлетворяющие заданным начальным условиям:
9.245.	у"=хе\ у(0)=1, /(0) = 0.
9.246.	j’(l) = 0, >'(!)= 1. У'(1) = 2.
X
9.247.	у"=Л+^, у(2) = 0, у’(2) = 4.
х у
9.248.	(1+х2)У'+/2+1 =0, у(0) = v'(0)= 1.
9.249.	у” = е2у, у(0) = 0, У(0)=1.
9.250.	j/'cosу+у’2 sin у—У = 0, у(— 1) = л/6, у'(—1) = 2.
9.251.	у'Ъ' = 2уу'1(\ Уу2\ >’(0) = 0, у(0) = 1
9.252.	yy"-yf2=y2, _у(0)=1, У(0) = 0.
9.253.	уу'' = 2ху'2, у(2) = 2, /(2) = 0,5.
9.254.	2уу”+у2-у,2 = 0, у(0)=/ (0)= 1.
9.255.	Найти интегральную кривую уравнения уу'у" =
=у’3+у”2, касающуюся в начале координат прямой л + г = 0.
9.256.	Найти интегральную кривую уравнения
+у'2—1 =0, проходящую через точку Л/о(0, Г) и каса-
ющуюся в этой точке прямой х+j’=l.
Найти общие решения дифференциальных уравнений в па-
раметрической форме:
9.257.	(х+2у')у”=\. 9.258. г"2-2у'у” + 3 = 0.
9.259.	(2+у')еу'у”=1. 9.260. (Зу-2у') у” - г'2 = 0.
9.261.	Найти уравнение кривой, касающейся оси абсцисс
в начале координат, если ее кривизна в любой точке равна
COS X ( — 7l/2<X<7l/2).
9.262.	Найти уравнения кривых, у которых радиус кривиз-
ны в любой точке равен длине отрезка нормали, заключенного
между этой точкой и осью абсцисс, если кривая:
а) вогнута вверх; б) вогнута вниз.
9.263*	. Найти уравнения кривых, у которых радиус
кривизны в любой точке вдвое больше длины отрезка
нормали, заключенного между этой точкой и осью абсцисс,
если известно, что кривая:
а) вогнута вверх; б) вогнута вниз.
9.264.	Найти форму гибкой однородной нерастяжимой
нити с закрепленными концами, находящуюся в равновесии
под действием силы тяжести, если линейная плотность нити
72
равна q (горизонтальная проекция силы натяжения нити
// ^const). Расположить нить так, чтобы вершина кривой
совпадала с точкой (я, 0), где a — Hfqg.
9.265.	Гибкая тяжелая однородная нерастяжимая нить
в положении равновесия подвергается натяжению, пропорци-
ональному переменной площади ее поперечного сечения.
Найти форму нити, если линейная плотность нити равна
7 (горизонтальная проекция силы натяжения нити Н—const).
Расположить нить так, чтобы кривая проходила через начало
координат и имела в ней горизонтальную касательную.
9.266.	Тело массы т движется прямолинейно под дей-
ствием постоянной силы F. Найти скорость движения тела
и пройденный им путь как функции времени, если в начальный
момент они оба равны нулю, а сопротивление среды
пропорционально квадрату скорости.
9.267*	. Мяч массы 400 г падает с высоты 16,7 м без
начальной скорости. Сопротивление воздуха пропорционально
квадрату скорости мяча и равно 0,0048 Н при скорости
I м/с. Вычислить время падения и скорость мяча в конце
падения. Принять g=10 м/с2.
9.268.	Тело массы т поднимается вертикально вверх
с начальной скоростью ио. Полагая сопротивление воздуха
пропорциональным квадрату скорости тела (коэффициент
пропорциональности Аг>0), найти высоту подъема тела и ско-
рость, с которой оно вернется в исходное положение, а также
время подъема и спуска тела.
9.269*	. Мяч массы 400 г брошен вверх со скоростью
20 м/с. Вычислить время подъема мяча и наибольшую высоту
подъема, если сопротивление воздуха пропорционально квад-
рату скорости мяча (коэффициент пропорциональности /с>0),
причем оно равно 0,0048 Н при скорости 1 м/с. Принять
g-Юм/с2.
9.270.	Найти закон прямолинейного движения материаль-
ной точки массы т под действием отталкивающей силы,
обратно пропорциональной кубу расстояния от точки до
неподвижного центра (коэффициент пропорциональности
£>0). В начальный момент точка находится в покое и отстоит
от центра на расстояние л*о.
9.271.	Материальная точка массы т движется прямолиней-
но к неподвижному центру, притягивающему ее с силой,
обратно пропорциональной кубу расстояния от центра (ко-
эффициент пропорциональности fc>0). Найти закон движения,
если оно начинается с состояния покоя, когда точка отстоит
от центра на расстояние х0. Определить время, по истечении
которого точка достигнет центра.
73
9.272.	Ракета движется вертикально вверх под дей-
ствием силы отдачи от истечения газов. Масса ракеты
изменяется в зависимости от времени по закону ш = то<р(/),
где то = const (закон сгорания топлива). Относительная
скорость истечения газов постоянна и равна ио- Началь-
ная скорость ракеты у поверхности Земли равна нулю.
Найти высоту подъема ракеты как функцию времени, если
сопротивление воздуха не учитывается. Рассмотреть так-
же частный случай, когда т = то (1 — ос/), и вычислить для
этого случая, на какую высоту поднимается ракета через
10 с, 30 с и 50 с при мо = 2000 м/с и ос = О,О1 с-1. Положить
g = 9,8 м/с2.
9.273.	Определить, через сколько времени упадет на
Землю тело, притягиваемое Землей по закону Ньютона (с
ускорением, обратно пропорциональным квадрату расстояния
между ними), если в начальный момент скорость тела равна
нулю, а расстояние его от центра Земли равно Н. Со-
противлением атмосферы пренебречь. Ускорение свободного
падения на поверхности Земли постоянно и равно g.
9.274*	. Тело, находящееся от центра Земли на расстоянии
хл = 60,27 /?3 (что соответствует расстоянию от Луны до
Земли), падает на Землю из состояния покоя под действием
силы тяжести с ускорением, обратно пропорциональным
квадрату его расстояния от центра Земли. Пренебрегая
сопротивлением атмосферы, определить, через сколько време-
ни оно упадет на Землю. Принять 7?3 = 6,377 • 106 м,
g = 9,8 м/с2.
9.275.	Определить скорость, с которой метеор ’ уда-
ряется о Землю, если он падает с неограниченно боль-
шого расстояния из состояния покоя и если при его дви-
жении к Земле ускорение принимается обратно пропорци-
ональным квадрату его расстояния от центра Земли. Принять
радиус Земли Я3 = 6377 км, ускорение свободного падения
g = 9,8 м/с2.
9.276.	По оси Оу в положительном направлении движется
с постоянной скоростью v точка А (цель). На плоскости
Оху движется точка М (преследователь) с постоянной ско-
ростью u(u>v) так, что вектор скорости всегда направлен
в точку А. Найти траекторию точки М (кривую погони),
если в начальный момент времени / = 0 точка А находилась
в начале координат, а точка М — на оси Ох на расстоянии
я>0 от цели.
9.277*	. Балка длины /, лежащая концами на двух опорах,
находится под действием равномерно распределенной нагруз-
ки интенсивности q. Найти уравнение изогнутой оси балки
74
и ее максимальный прогиб, выбрав начало координат в се-
редине ненагруженной балки.
9.278*	. Балка длины /, заделанная правым концом в стену,
изгибается силой F, приложенной к левому концу, и равномер-
но распределенной нагрузкой интенсивности q. Найти урав-
нение изогнутой оси балки и ее максимальный прогиб.
9.279*	. Балка длины / с заделанным левым концом
изгибается под действием равномерно распределенной нагруз-
ки интенсивности q. Какова должна быть приложенная
к правому концу балки действующая вверх сила F, чтобы
прогиб в правом конце балки был равен нулю?
3. Линейные однородные уравнения. Уравнение вида
У+ а! (.г)/”'1 ’ +... + а„_! (х)у’ + а„ (х)у = 0	(5)
называется линейным однородным дифференциальным уравнением и-го
порядка. Если известно какое-либо частное решение yj(x) уравнения
(5), то подстановка у (х) = г j (х) z (х) приводит это уравнение к линей-
ному уравнению относительно функции z(x), не содержащему явно
эту функцию. Поэтому, полагая z' (х) = м(х), получим линейное
однородное уравнение порядка л—1 относительно функции и(х).
Пример 9. Найти общее решение уравнения
(х 2 + 1) у" — 2ху' + 2у = О,
убедившись в том, что функция yj(x) = x есть одно из его частных
решений.
<з Так как у\(х)=1, а у'1'(х) = 0, то, подставив выражения уДх),
i W, У1 W в заданное уравнение, убеждаемся в том, что функция
_г1(х) = х действительно является его частным решением. Положим
r = xz, найдем y' = xz' + z, у" = xz” + 2z' и подставим выражения у,
г' и у" в уравнение. Получим
(х2 +l)(xz" + 2z')-2x(xz' + z)4-2xz = 0,
или
х (х2 + 1) z" + 2z'= 0.
Теперь, полагая z'=w, ~" = и', приходим к уравнению первого порядка
относительно и\
х(х2+ 1) z/ + 2w = 0.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение
имеет вид
откуда, учитывая u = z\ получаем уравнение первого порядка от-
носительно z:
( 1 \
dz = C А 1-1—- I dx.
\	V- 2 /
75
/ 1\
Интегрируя последнее уравнение, находим z — CJx— ) + С2, а так как
у х)
y — xz, то окончательно получаем общее решение исходного уравнения
у = Сх (х2- 1) + С2х. о
Изложенный выше метод обобщается на случай, когда известно
к частных линейно независимых решений уравнения (5). В этом
случае путем надлежащих подстановок порядок уравнения может
быть понижен на к единиц.
9.280.	Доказать теорему: если у х (х) есть частное решение
линейного однородного уравнения у"+р(х)у'+ q(x)y = Q, то
dx
функция у 2 (х) = у 1 (х) J е “J р (х} dx —— тоже является решением
у 1(х)
(dx \
Ci + C2K'₽(x)dx )
У1 W/
есть его общее решение.
9.281.	Найти общее решение уравнения у” — 6yf + 5>> = 0,
если функция ех есть его частное решение.
9.282.	Найти общее решение уравнения у" — 2у' — Зу = О,
если функция е~х есть его частное решение.
9.283.	Найти общее решение уравнения ху" + 2у' + ху = 0,
,	sinx
если функция --- есть его частное решение.
х
9.284.	Найти общее решение уравнения (1—х2)у"~
— 2ху' + 2у = 0, если функция х есть его частное решение.
9.285.	Найти общее решение уравнения х3у'" + 5х2у" + 2ху' —
-2>=0, если известны два его частных решения yi =х и у г — 1/х.
Определителем Вронского (вронскианом) системы функций yi(x).
у2(х), УпМ называется определитель
У1(х)	у2(х)	• • ул(х)
/iW /г(х)	••• К(х)
у(Г"п(х) у?“1)(х) ••• Ули_1)М
Если система функций }ч(х), у2(х), ..., уп(х) линейно зависима на
интервале (а, Ь), то ее вронскиан равен нулю всюду на этом интервале.
Если же хотя бы в одной точке хое(а, Ь) имеем ЙДхо)/0, то система
функций уДх), у2(х), ..., уп(х) линейно независима на (а, Ь).
Всякая система из п линейно независимых решений у х (х),
у2(х), ..., у„(х) уравнения (5) называется фундаментальной системой
решений этого уравнения. Вронскиан фундаментальной системы реше-
ний отличен от нуля на всем интервале, где эти решения определены
(см. задачу 9.304). Если известна фундаментальная система решений
уравнения (5), то общее решение этого уравнения имеет вид
у(х)=С1у1 (x) + ... + C„v„(x),
где Сь ..., Си — произвольные постоянные.
76
Пр и мер 10. Дана система функций х, cosx, sinx. Найти
вронскиан системы W(х) и убедиться в том, что на некотором
интервале система линейно независима. Составить линейное однород-
ное дифференциальное уравнение, для которого эта система функций
является фундаментальной системой решений, и записать общее
решение уравнения.
<□ Составим вронскиан
№(х) =
х cos х sin х
1 — sin х cos x
0 —cosx —sinx
Так как И'(х) = х, то система линейно независима на всей оси Ох,
за исключением точки х = 0, и следовательно, образует фундамен-
тальную систему решений некоторого линейного однородного урав-
нения 3-го порядка в области R\{0}, общим решением которого
является функция y = C1x + C2cosx-l-C3sinx. Для составления диф-
ференциального уравнения найдем производные у', у", у”' и исключим
произвольные постоянные из выражений для у, у', у", у'". Имеем:
у = C’1x + C2cosx-hC3sinx,
у' =С\ — C2sinx -TC3cosx,
у” =	— C2cosx —C3sinx,
у"' — C 2sin х — C3cos x.
Легко видеть, что, умножив первое и третье равенство на — 1,
а второе и четвертое на х и сложив все четыре равенства, получим
xy"'-y" + xy'-y = b.	(6)
Уравнение (6) можно было получить и другим путем, если
учесть, что решение у искомого уравнения вместе с функциями х,
cosx, sinx образует линейно зависимую систему и поэтому вронскиан
системы функций у, х, cosx,	sinx	равен	нулю:
у	х	cosx	sinx
у'	1	—sinx	cosx	А
„	n	=0.
у 0 —cosx — sinx
у"' 0 sinx —cosx
Раскрывая определитель, получим то же самое уравнение (6)
(проверить!). Деля обе части уравнения (6) на х, получаем
1	1
у'"—У'+/--^=О.
X	X
(7)
Уравнение (7) и является искомым линейным однородным диф-
ференциальным уравнением. t>
Исследовать на линейную зависимость следующие систе-
мы функций:
9.286.	х, In х.	9.287.	sin 2х, sin х cos х.
9.288.	е~х,	хе~х.	9.289.	х, 2х, х2.
9.290.	ех, хех, х2ех. 9.291. sinx, cosx, sin2x.
2.292.	chx,	shx.	9.293.	ex, ex + 1.
9.294.	x, 0,	ex.	9.295.	1, sinx, cos2x.
77
Зная фундаментальную систему решений линейного од-
нородного дифференциального уравнения, составить это урав-
нение:
9.296.	1, е~х.	9.297.	e2xcosx, e2xsinx.
9.298.	х3, х4.	9.299.	1, х, ех.
9.300.	1, sinx, cosx. 9.301.	2х, х — 2, ех4-1.
9.302.	е3х, е5х.	9.303.	е2х, sinx, cosx.
9.304*	*. Доказать, что если уДх), У2(х), ..., ул(х)— реше-
ния линейного однородного дифференциального уравнения
порядка п с непрерывными в некотором интервале (а, Ь)
коэффициентами и вронскиан FF(x) этой системы равен нулю
при хое(а, Ь), то ИЙ(х) = О при а<х<Ь.
9.305*	. Дана система функций yt (х), Уг(х}, ..., ул(х), при-
чем на некотором интервале вронскиан ИДх) этой системы
отличен от нуля. Составить линейное однородное дифферен-
циальное уравнение, для которого эта система является
фундаментальной системой решений.
9.306.	Зная фундаментальную систему решений е\ cosx,
sinx линейного однородного дифференциального уравнения,
найти его частное решение, удовлетворяющее начальным
условиям: у(0) = 3, у'(0) = 4, у"(0)= —1.
9.307.	Зная фундаментальную систему решений ех, е2х,
е3х линейного однородного дифференциального уравнения,
найти его частное решение, удовлетворяющее начальным
условиям: у(0) = 6, у'(0)=14, у"(0) = 36.
4. Линейные неоднородные уравнения. Уравнение вида
у(лЧд1(х)у(п-1Ч... + а„-1(х)у'4-ап(х)у=/(х),	(8)
в котором /(х)^0, называется линейным неоднородным дифференци-
альным уравнением л-го порядка.
Общее решение уравнения (8) определяется формулой
У (*)=.)'oW +>(•*).	(9)
где уо(х) — общее решение соответствующего однородного уравнения
(5), а у (х) — некоторое частное решение неоднородного уравнения (8).
Пример 11. Дано линейное неоднородное дифференциальное
уравнение ху"' — у" + ху'~у = 2х3. Известно, что функция х3 есть его
частное решение. Требуется найти общее решение этого уравнения.
Согласно формуле (9) общее решение неоднородного уравнения
составляется как сумма общего решения у0(х) соответствующего
однородного уравнения и частного решения у(х) неоднородного
уравнения. В нашем случае j’0(x) = C1x + C2cosx+C3sinx (см. пример
10), а у(х) = х3. Следовательно, искомое общее решение есть
y = C1x + C2cosx-|-C3sinx+x3. t>
Если известно общее решение Уо(х) — СЛу{ (х) + ... + Спуп(х) соот-
ветствующего уравнению (8) однородного уравнения (5), то для
определения частного решения у(х) уравнения (8) можно восполь-
зоваться методом Лагранжа вариации произвольных постоянных.
78
Именно, будем искать частное решение неоднородного уравне-
ния (8) в виде y(x) = Ci (х)}\ (x)4-...4-Cn(x)j’„(x), где от функций
С\ (х), ..., С„(х) дополнительно потребуем, чтобы они удовлетворяли
«	dCv(x)
условиям У у[к}—-— = 0 для всех к = (У 1,	п — 2 (где >^0) = к)-
v _ 1 dx
Тогда для функций Cv(x), v=l, 2, п, получим систему урав-
нений
d(\ dC2 dCn
Ti ——^У2~^~+ ••• +уп-у—-0,
dx	dx	dx
d(\	dC2	dCn
y'l — bj’2 — Ь •••	—0,
dx	dx	dx
(Ю)
z ,, d(y i . ,. dC2 , , x dCn v
r11—-=f(x.
dx	dx	dx
Определитель этой системы есть отличный от нуля вронскиан
фундаментальной системы решений yt (х),	у„(х), поэтому система
dCv
имеет единственное решение относительно -----, v=l, 2, п.
dx
cosx	sinx
Пример 12. Зная, что функции j,1(x) =-------- и У2\х) —----
х	х
образуют фундаментальную систему решений уравнения
2
г"4--у'4-/ = 0 (см. задачу 9.283), найти общее решение уравнения
ху" + 2у' + ху = х.	(11)
<i Общее решение соответствующего однородного уравнения запи-
сывается в виде _}’o(x)=Ci---НС2----. Считая С\ и С2 функциями
v, для определения частного решения уравнения (И) составим
систему вида (10):
cosx
sinx
(уравнение (11) следует привести к виду (8), т. е. разделить все его
COS JV
члены на х). Подставляя С2(х) =------С'Дх) во второе уравнение,
sinx
( — хsinx —cosx cosx xcosx —sin x\
	 	•---1 — 1. Отсюда име-
x-------------------------------sinx x /
см C\ = — xsinx, C'2 = xcosx. После интегрирования получаем
Ci (x) = x cos x — sin x 4- C\,
C2 (x) = x sin x 4- cos x 4- C2,
79
Положив, например, G =С2 = 0, получим частное решение уравнения (11):
v z	. .cosx .	sinx
у (х)=(х cos х — sin х)--F (х sin х+cos х)-= 1.
Следовательно, общее решение уравнения (11) имеет вид
, ч . .	> cosx sinx
>'(v)=J'o(x)+j'(xJ = C1 —— + С2 ——+ 1-
Если правая часть линейного неоднородного уравнения (8) есть
сумма нескольких функций
w+л w+- +л w
и -Й(х) O’=U 2, ..., г) — некоторые частные решения уравнений
>’(")4-й1(х)}’(я-1)-|-...4-ал_1(х)у' + «п(х)^=/;(х) (1=1, 2, ..., г) соответ-
ственно, что сумма
j(x)=j^x)+j2(x) + ... + .vr(x)
есть некоторое частное решение уравнения (8) (принцип су-
перпозиции решений).
1
Пример 13. Проверив, что функция ух = —ех является частным
4
решением уравнения у" — 2у'— Ъу — ех, а функция у2=—-е2х— частным
решением уравнения у" — 2у' — Зу = е2х, найти общее решение уравнения
у" — 2у' — Зу = ех + е2х.
Согласно принципу суперпозиции частным решением последнего
1	1	7
уравнения является функция у = —-ех —-е . Общее решение соот-
ветствующего линейного однородного уравнения есть функция
у0 —С {е3х У С2е^х (см. задачу 9.282). По формуле (9) общее решение
данного уравнения имеет вид
а	1	1	?
v = Cle3x+ С2е х — ех — е2х. с*
4	3
9.308.	Используя решение задачи 9.298, написать общее
решение уравнения х2у" — 6ху' + 12у = 3х, предварительно убе-
дившись в том, что функция х/2 есть одно из решений
этого уравнения.
9.309.	Используя решение задачи 9.303, написать общее
решение уравнения у’" — 2/'+/ — 2у— 10е3х, предварительно
убедившись в том, что функция еЪх есть одно из решений
этого уравнения.
9.310.	Проверив, что функции yi(x) = e* и У2(х) = х об-
разуют фундаментальную систему решений уравнения
х 1
у"------уЧ-----у = 0, найти
х — 1 х — 1
(x-l)j>"-xy'+y = (x-l)2.
общее решение уравнения
80
9.311.	Проверив, что функции y,1(x) = cosx и j2(x) = xcosx
образуют фундаментальную систему решений уравнения
у” + 2 tg ху' + (2 tg 2 х + 1) у = 0, найти общее решение уравнения
ctg х • у " + 2у' + (2 tg х 4- cig х) у = cos 2 х.
9.312.	Проверив, что функция yt(x) = 5x4-6 является част-
ным решением уравнения у" —6у' +5у = 25х, а функция у2(*) =
= — е1х — частным решением уравнения у " — бу' + 5у = Зе 2х,
найти общее решение уравнения у" — 6у' + 5у = 25х + 3е2х (см.
задачу 9.281).
1
2^
9.313.	Проверив, что функция уг(х) =
является частным
решением уравнения у'"+у' = ех, а функция у2(х)=—sin2x —
частным решением уравнения y"'+y' = 6cos 2х, найти общее
решение уравнения у"' -у у' = ех 4~6cos2x (см. задачу 9.300).
5. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.
Общий вид линейного дифференциального уравнения порядка п с по-
стоянными коэффициентами
/иЧа1у(л-,)4-... + «п_1у'4-^ = 0.	(12)
где а, (/=1, 2, и) - действительные постоянные.
Уравнение
+	+ =	(13)
полученное заменой производных y(k) (Х = 0, 1, л) искомой функции
степенями АЛ называется характеристическим уравнением для уравне-
ния (12). Каждому действительному корню X уравнения (13) кратности
г соответствуют г линейно независимых решений уравнения (12):
е ^х хе ^х	х г ~~ 1 е
а каждой паре комплексных корней А. = а + /р кратности 5 соответ-
ствуют 5 пар линейно независимых решений:
eaxcospx, xe®*cospx, ..., xs-1eexcosPx,
eaxsinp.v, Ae^sinpx, ..., xs 1eaxsinpx
Таким образом, если характеристическое уравнение имеет к дей-
ствительных корней Хь ..., Хк кратностей гь ..., гк и / пар комплексно
сопряженных корней 04-H'pi, 04 — /рь ..., а/4-/'Р/, а, —/р, кратностей
51, ..., 5/ (r1 + ...-t-rA + 251-F... + 25/ = 7/), то общее решение уравнения
(12) запишется в виде
у(х) = Р1 (х)<Л*4-... +А(х)ех** + (21 (x)cosPiX4-
4- Ri (х)sin Piх)е*'х +... + (Qi (х)cos р,х 4- Rt (х) sin р,х)ea<x,	(14)
где Pv(x)— произвольный многочлен степени rv—1, v=l, ..., к,
а 2м(у) и Ям(х)-~произвольные многочлены степени 1, ц=1, ..., /.
Пример 14. Найти общее решение уравнения
у'ЧЗу' + 2у = 0.
<i Характеристическое уравнение А.2 4-3X4-2 = 0 имеет корни = — 1,
Х2= — 2. Запишем фундаментальную систему решений у1=е~х,
81
у2 = е 2х. Следовательно, общее решение имеет вид у = С\е х4-
+ С2е~2х. о
Пример 15. Найти общее решение уравнения
у"4-2/4-5у = 0.
Характеристическое уравнение Х2 +214-5 = 0 имеет корни
Xit2= —1±2/. Следовательно, функции ух =е ~xcos2x, r2=cAsin2.v
составляют фундаментальную систему решений, а общее решение
имеет вид
у = е Х(С\ cos 2x4- С2 sin 2х).
Пример 16. Найти частное решение уравнения
у'" —3у"4-3у'—>’ = 0,
удовлетворяющее начальным условиям	у (0) = 1,	у'(0) = 2,
У'(о) = 3.
<з Характеристическое уравнение V —ЗХ24-ЗХ—1=0 имеет един-
ственный корень Z=1 кратности г=3. Поэтому фундаменталь-
ная система решений имеет вид У\=ех, у2=хех, у3 = х2ех. Следо-
вательно,
у = (С! 4-С2х + С3а'2)сх
— общее решение уравнения.
Для определения произвольных постоянных найдем производные
у' = (G + G* + С3х2) ех + (Q + 2C3.v) ех,
y" = (Ct + С2х+ С3х2) ех + 2 (С2 + 1С3х}ех + 2С3ех
и используем начальные условия. Получаем: С\ = 1, Ct4-C2 = 2,
Сг 4-2С24-2С3 = 3, откуда С2=1, Сч = 0. Следовательно, искомое
частное решение имеет вид у = (14-х)ех. с*
Пример 17. Найти общее решение уравнения
4y,v4-4/'+y = 0.
<i Характеристическое уравнение 4Х44-4Х2 4-1 =0, или (2Z2 4-1)2 = 0,
1
имеет два комплексно сопряженных корня ±—-i кратности 2.
V2
Следовательно, фундаментальная система решений имеет вид
х	х х	х
cos——, xcos——, sin——, xsin——. Отсюда получаем общее решение:
72727272
Z	V A'	v X
y = (Ci 4-C2x)cos — 4-(C34-C4x)sin—z. с*
9.314.	Известно частное решение yi=ekx линейного од-
нородного дифференциального уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами. Соответствующее харак-
теристическое уравнение имеет дискриминант, равный нулю.
Найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее
начальным условиям: у (0) = у' (0) = 1.
82
По данным корням характеристического уравнения линей-
ного однородного дифференциального уравнения с постоян-
ными коэффициентами составить дифференциальное уравнение
и написать его общее решение.
9.315.	^=3, 12=—2. 9.316. Х1 = Х2 = 1.
9.317.	М 2 = 3 ± 2/.	9.318. X.J = Х2 = Х3 = 2.
9.319.	М=0, Х2 = Х3 = 4.
9.320.	Показать, что общее решение уравнения
может быть представлено в виде х = A sin (аг 4- ср) или
х = A cos (аг 4- <р), где Л и ср — произвольные постоянные.
Найти общие решения дифференциальных уравнений:
9.321.	у"-2у'-2у = 0. 9.322. у" + 6у' +13у = 0.
9.323.	у"-6у' + 9у = 0. 9.324. Зу" - 2/- 8j> = 0.
9.325.	4у"-8у' + 5у = 0. 9.326. 4у" + 4/+у = 0.
9.327.	у'"-5у"4-17/-13у = 0.
9.328.	ylv4-4y"4-3y =0. 9.329. yIV4-2y"'+y" = 0.
9.330.	yIV-у" = 0.	9.331. ylv + 2y"+y = 0.
9.332.	yIV —8у"4-16v = 0. 9.333. yv4-8/"4-16/= 0.
9.334.	vv —6yIV4-9y"' = 0.
9.335.	уVI - 2y v 4- 3yIV - 4y4- 3y" - 2/ +y = 0.
9.336.	yvi4-2yv4-v,v = 0.
Найти частные решения уравнений по данным начальным
условиям:
9.337.	у" —5у'4-4у = 0; у(0) = у'(0)= 1.
9.338.	у"-2у'+у = 0; у(2)=1, у'(2)=-2.
9.339.	у'"—у' = 0; у(0) = 3, у'(0)=-1, у"(0)=1.
9.340*	. Найти интегральную кривую дифференциального
уравнения у"—у = 0, касающуюся в точке (7(0, 0) прямой у = х.
9.341.	Найти интегральную кривую дифференциального
уравнения у" — 4у' 4- Зу = О, касающуюся в точке Л/о(0, 2)
прямой х —у 4-2 = 0.
6. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициен-
тами. Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное урав-
нение с постоянными коэффициентами, т. е. уравнение вида
у(л)4-Д1У(п_,) + Д2У(п"2)4-...4--«п-1у'4- any=^f(x),	(15)
где а, (/=1, 2, п) — действительные постоянные, а /(х)^0.
Согласно формуле (9) общее решение уравнения (15) записывается
в виде у (х)=Уо(х)4-у(х), где у0(х)— общее решение соответствующего
однородного уравнения, а у (%)— любое частное решение уравнения
(15). Общее решение у0 (х) дается формулой (14). Для отыскания
83
у(х) в общем случае можно воспользоваться методом Лагранжа
вариации произвольных постоянных (см. п. 4).
Пример 18. Найти общее решение уравнения
у"' + у' = tgx.
<з Общее решение соответствующего однородного уравнения
>’o = Ci 4-C2cosx4-C3 sin х, так как = 1, y2=cosx, y3 = sinx. Для
нахождения частного решения неоднородного уравнения воспользу-
емся методом вариации постоянных. Система (10) в этом случае
принимает вид
С1 4- С '2 cos х4- С 3 sin х = 0,
— С2 sinx4-C'3cosx = 0,
— С 2 cos х — С 3 sin х — tg х.
Умножив обе части второго уравнения на sinx, третьего на cosx
и сложив, получим С'2 = —sinx. Тогда из второго уравнения следует
sin2x
С3=--------. Сложив обе части первого и третьего уравнении,
cosx
найдем C'i=tgx. Интегрирование дает:
Cj = — In |cosx|, C2 = cosx,
Л X
4 + 2
C3 = sinx —Intg
Следовательно, искомое общее решение неоднородного уравнения
имеет вид
у = С] 4- С2 cos х 4- С3 sin х — In | cos х | — sin х • In tg
я х
4 + 2
Методом вариации произвольных постоянных решить
следующие уравнения:
9.342. /'+Зг'+2у=-Ц-. 9.343. у”+4у = -^-.
е 4-1	sinzx
9.344. v"-2y'+y = -~=.
х/4-Х2
9.345. у" + 4/ + 4у = е 2х In х.
В частных случаях, когда функция /(х) в уравнении (15) имеет
вид J J (х)=(</0.Vй 4-... 4- dm) еили /2 (*) =	,4-...4-/>mi)cosPx4-
4-(coXw2 4-...4-CmJsinPx)eex, частное решение у(х) можно найти методом
неопределенных коэффициентов. Именно, если л или а±/[3 не совпадают
ни с одним из действительных или соответственно комплексных корней
характеристического уравнения (13), то у(х) ищется в виде
у (х) = (Do хт 4- D i х ni ’1 4-... 4- Dm) е	(16)
для /(x)=/j(x) или в виде
у (х) = ((Вох™4-... 4В*)cos рх4- (Сох"'4-... + Ой)sin Рх)еах	(17)
для /(х)=/2(х). Здесь Д, Bv и Cv — неопределенные коэффициенты,
щ = тах(щ1, т2).
84
Если же X или а + /0 совпадают с некоторым корнем уравнения
(13) кратности г (случай резонанса), то выражения в правой части
(16) или (17) следует домножить на хг, т. е. искать решение
соответственно в виде
y(x) = xr(£>ox'" + ... + Dm)eb‘	(18)
для f(x)=fl{x) или
у (х)=хг ((Вохт +... + Вт) cos рх+(Сохт +... + Cm) sin Рх)	(19)
Для /(х)=/2(х).
Пример 19. Найти общее решение уравнения
у" — Зу' + 2у = (х2 + х)е3х.
<з Характеристическое уравнение соответствующего однородного ура-
внения X2 — 3X4-2 = 0 имеет корни Xi = l, Х2 = 2. Следовательно,
фундаментальная система решений имеет вид yi=ex, У2 = е2х, а общее
решение однородного уравнения есть у0(х) = С1ех+С2е2х.
Для нахождения частного решения неоднородного уравнения
воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Так как
Х = 3 не является корнем характеристического уравнения, то частное
решение будем искать в виде y = (Dox2 + Dix + D2)e3x. Найдя произ-
водные у', у" и подставив у, у' и у" в исходное уравнение, получим
(после сокращения на е3х)
2£>ох2 4-(6£>0 4- 2Z>i) х4-(2£>о 4- 3D^ 4" 2£>2) = х2 4- х.
Сравнивая коэффициенты обеих частей этого тождества, получим
систему уравнений для определения неизвестных Do, £>ь D2:
2£>0=1,
6£)q4“2Z)i = 1,
2Z>0 4- 3D14~ 2D2 — 0,
откуда Z>0 = l/2,	= —	Z>2 = 1.
Итак, j?=^-x2 —x4-lye3x = -(x2 —2x4-2)e3x, и, следовательно, об-
щее решение уравнения имеет вид
v=J’o+^=Ciex4-C2e2x4-^(x2-2x4-2)e3x. t>
Пример 20. Найти частное решение уравнения
у " 4- 4у = 4 (sin 2х 4- cos 2х),
удовлетворяющее начальным условиям <у(л)=у'(л) = 2я.
Характеристическое уравнение X2 4-4 = 0 имеет корни Х1<2 = 0 + 2/.
Общее решение соответствующего однородного уравнения есть
j о = Ci cos 2х 4- С2 sin 2х.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
4 = x(2?cos2x4-Csin2x), так как 0±2/—корни характеристического
уравнения кратности 1. Найдя у', у" и подставив у, у', у" в исходное
уравнение, получим — 4Bsin2x-l-4Ccos2x = 4sin2x4-4cos2x, откуда
В= — 1, С=1 и, следовательно,
у = х (sin 2х — cos 2х).
Общее решение будет y=yo+y = Ci cos2x-l-C2 sin2x-bx(sin2x — cos2x).
85
Для нахождения Q и С2 воспользуемся начальными условиями,
предварительно продифференцировав общее решение:
у' = — 2С\ sin2x 4-2С2 cos 2х 4-х (2 cos 2x4-2 sin 2х) 4-(sin 2х —cos2x).
Имеем: 2п =	=3л, 2л = 2С24-2л — 1=>С2 = 1/2. Искомым част-
ным решением является функция
1
у = Зя cos 2х 4- - sin 2х 4- х (sin 2х — cos 2х).
Пример 21. Найти общее решение уравнения
у " — 4 у' 4- 4 у = хе 2х.
о Характеристическое уравнение V— 4Х + 4 = 0 имеет двукратный
корень Х = 2. Общее решение соответствующего однородного урав-
нения есть _Уо = (С1 4- С2х)е2х.
Частное решение данного уравнения будем искать в виде
у = х2(DQx +Di)e2x, так как показатель экспоненты в правой части
уравнения совпадает с двукратным корнем характеристического
уравнения. Методом неопределенных коэффициентов (т. е. найдя у\ у",
подставив у, у' и у" в исходное уравнение, сократив на е2х и сравнив
коэффициенты при одинаковых степенях х) находим £)0=1/6,	=0.
Следовательно, у
-х3е2х, а общее решение принимает вид
>’ = Уо+у = (С1 + С2х)£’2х + ^х3е2х = | Ci + C2x + |x3 U2x. о
6	\	6 у
Для каждого из данных неоднородных дифференциальных
уравнений написать вид его частного решения с неопределен-
ными коэффициентами (числовых значений коэффициентов
не находить):
9.346.	у"-8у'4-16у = (1-х)е4х.
9.347.	у" + 1 бу = sin (4х 4-а) (а = const).
9.348.	у"-4/= 2 cos2 4х.
9.349.	yIV4-4y" + 4y = xsin2x.
9.350.	у"-4у' = хе*х. 9.351. у"-7у' = (х-I)2.
9.352.	у"4-2у'4-5у = ех((х4-1)cos 2x4-3 sin 2х).
9.353.	у" — 4у'4- 13у = е2х (х2 cos Зх —х sin Зх).
Найти общие решения следующих уравнений:
9.354.	у"-у = е-х. 9.355. y"-y = chx.
9.356.	у"4-3у' —4у = е-4х4-хе~х.
9.357.	у" —5y'4-6y=13sin3x.
9.358.	у"— 2ту'+ т2у = sin их (т^п).
9.359.	у" — 2ту'+ т2у = sinmx.
9.360.	у "4-у = 4xcosx.	9.361. у"4-4у = cos2 х.
9.362.	4у"-у = х3-24х.
9.363.	у"4-5у' + 6у = е~х + е~2х.
9.364.	у"-Зу' = е3х-18х.	9.365. у'" Л-у" = 6х + е
86
9.366.	у'"-Ъу" + Ъу'-у = ех. 9.367. yIV +у" = х2 + х.
9.368.	yIV —у = xex-l-cosx. 9.369. yN — у™ = хех— 1.
Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие
начальным условиям:
9.370.	у" — 2у' = 2ех; у(1)=-1, у'(1) = 0.
9.371.	у'"—у'=—2х; г(0) = 0, у(0) = 2, у"(0) = 2.
9.372.	у" + 4у = х; у(0)=1, у(п/4) = п/2.
9.373.	v"+y = 4ex', у(0) = 4, у'(0)=-3.
9.374.	y,v-y = 8ex; у(0) = 0, у'(0) = 2, у"(0) = 4; г"'(0) = 6.
9.375.	y,v-y = 8ex; у(0)=-1, у'(0) = 0, )(0) = 1, у'"(0) = 0.
9.376. у" — 2у'+ 2у = 4excosx; 1’(тг) = ле”, у'(я) = ел.
7. Дифференциальные уравнения Эйлера. Уравнение вида
х',г(п) + <71Ал-1 у(л-1) + ixy' + fl„y=/(x), х#0,
где cij (z=l, 2, п) постоянные, есть частный случай линейного
дифференциального уравнения с переменными коэффициентами и на-
зывается уравнением Эйлера. Введем новую независимую переменную
/ с помощью подстановки х = е1 (если х>0) или подстановки х = — е*
(если х<0). Пусть для определенности х>(). Тогда у* = е-<у;,
\'"хх = е ~21(у'и— yj), Уххх = е 3,(Уш~Зу„ + 2уЗ и т. д., и уравнение Эйлера
преобразуется в линейное уравнение с постоянными коэффициентами.
Уравнение вида
(ах+Ь)п у^' + а^ (ax + by~x у(п~и + ... + ап_! (ах + b)у’ + any=f(x\
где a, b, Oi (7=1, 2, п)— постоянные, приводится к линейному
уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой ах + Ь = е'
(в области ах + Ь>0).
Решение однородного уравнения Эйлера
хлу(л) + я1 хл“ 1 у(л~ п + ... + ап_ !ху'-Уяиу = 0
можно (при х>0) искать в виде у = х\
Подставляя выражения для у', у", ..., у(л) в однородное уравнение
Эйлера, находим характеристическое уравнение для определения
показателя степени X. При этом, если X — действительный корень
характеристического уравнения кратности г, то ему соответствуют
/ линейно независимых решений
xklnx, xk(lnx)2, ..., xk(lnx)r-1,
а если ос±/р — пара комплексных корней кратности 5, то ей
соответствуют 5 пар линейно независимых решений
х“ cos(pin х), ха Inxcos(plnx), ..., x“(lnx)s~1 cos(plnx),
x“sin(plnx), xa In xsin (p In x). xa(lnx)s~1 sin(plnx).
Пример 22. Найти общее решение неоднородного уравнения
Эйлера х2у" — Зху' + 5у — Зх2.
о Положим х = е\ считая х>0. Тогда у'х — е “‘yj, УлХ = с-2'(у;',—yj),
и наше уравнение примет вид e2t е 21 (у/,— у!) — Зе' • е~1у'{ + 5у = 3е2(,
или
у;;-4у;-+5у=зе2'.
87
Общее решение г0 соответствующего однородного уравнения есть
у0 = с2,(С1 cos г 4-С2 sin /), а частное решение у неоднородного урав-
нения будем искать в виде y = Ae2t. Тогда y' = 2Ae2t, у" = 4Ае, и,
подставляя у\ у\ у" в неоднородное уравнение, приходим к тождеству
Ae2t = 3e2t, откуда А = 3. Следовательно, у —Зе21, и общее решение
неоднородного уравнения есть у=у0Уу = е21 (С{ cos/4-С2 sin/4-3). Воз-
вращаясь к первоначальной независимой переменной х, получим
окончательно
у = х2(С\ eosin х + С2 sin lnx + 3).
Если учитывать случай х<0, то общее решение можно записать
в виде, охватывающем оба случая:
у=х2(С\ cos In | х 14- C2 sin In | x | + 3). t>
Пример 23. Найти общее решение однородного уравнения
Эйлера (х + 2)2у" + 3(х + 2)у' — Зу = 0.
Положим у = (х + 2)\ Тогда имеем >,/ = Х(х4-2)Л~у"—
= Х(Х— 1)(х4-2)1-2. Подставляем выражения у, у', у" в заданное
уравнение, получим характеристическое уравнение Х24-2Х —3 = 0, корни
которого Xj = l, Х2=—3. Следовательно, общее решение есть функция
г = С,(х + 2) + ^р.	.
Найти общие решения уравнений Эйлера:
9.377.	х2у”+ху’ + у=Ъ. 9.378. х2у"4-ху'4-4у = 10х.
9.379.	л*2у" —6v= 12 Inx.
9.380.	xV'-3x/' + 3y = 0. 9.381. x2j'"-2y' = 0.
9.382.	(2,v + 1)2	- 2 (2х + 1) у' + 4у = 0.
8. Краевые задачи в случае линейных дифференциальных уравне-
ний. Во многих физических задачах приходится искать решение
дифференциальных уравнений не по заданным начальным условиям,
а по их значениям на концах интервала. Такие задачи получили
название краевых (граничных} задач. Общий вид краевых условий
для интервала (а, b) в случае уравнений 2-го порядка таков:
aoj(a)+0oy(<z) = А, ао' (/>)+ 0 ty’ (b ) = 5,	(20)
где а0,	р0. Pi—одновременно не равные нулю заданные
постоянные. Краевые условия называются однородными, если из
того, что функции у’1 (х) и г2(х) удовлетворяют этим условиям,
следует, что и их линейная комбинация y(x) = Ciyi(x) + C2y2(x)
также удовлетворяет этим условиям. Краевые условия (20) при
А = 5 = 0, очевидно, однородны.
Краевые задачи не всегда разрешимы. При решении краевой
задачи сначала находится общее решение данного дифференциального
уравнения, и из граничных условий получается система для определе-
ния значений постоянных Сь С2, ..., С„, при которых из общего
решения получается решение данной краевой задачи.
Пример 24. Найти решение уравнения у"-уу=[> удовлет-
воряющее условиям у»'(0)=у'(л) = 0.
Исходное уравнение имеет общее решение вида
у = €\ cosx4 С2 sinx4-1.
88
Из граничных условий получаем: у'(0) = С2 = 0 и у' (я)= — С2 = 0, так
что функция v(x) = Cicosx+1 удовлетворяет граничным условиям
при любом СР о
Пример 25. Найти частное решение уравнения
у"-2у' + 2у = е\
удовлетворяющее краевым условиям
у(0)4-у (л/2) = ея/2, у'(0)4-у'(л/2)= 1.
<а Характеристическое уравнение X2 —2X4-2 = 0 имеет корни
ki.2=l±k Общее решение соответствующего однородного уравнения
сеть j’o — e*(Ci cosx4-C2 sin х).
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
\' = Аех. Подставив у' = Аех и у" — Аех в данное уравнение, получим
Аех — ех, откуда А = 1. Итак, у~ех, и общее решение исходного
уравнения имеет вид
y-ex(Ci cosx4-C2 sinx4- 1).
11айдя
y' = ex(Ci cosx4-C2 sinx4- l)4-ex( —Q sinx4-C2 cosx),
используем краевые условия. Получим систему уравнений для
определения Ct и С2:
(С1 + 1) + ея/2(С24-1) = ^я/2,
(С14-С24-1)4-ея/2(-С14-С24-1)=1.
Решив эту систему, находим
еп-\-е*12	\-2еп12
г. е. искомым частным решением является функция
/ея-1-ея/2	1- 2еп/2	\
у = ех\  ------cos х 4------sin х 4-1 .
\	14-ея	14-ея	)
Найти решения дифференциальных уравнений, удовлет-
воряющие заданным краевым условиям:
9.383.	у"—>> = 0; И0) = 0, у(2л) = 1.
9.384.	у"-у = 0; у(0)=0, Д1)=1.
9.385.	>’"+у = 0; У(0) = 0,
9.386.	У'4-у = 0; >’'(0) = 0, у'(л)=1.
9.387.	yy"4-v'2 4-1=0; у(0)=1, у(1) = 2.
9.388.	y" + v=l; у(0) = 0, у(л/2) = 0.
9.389.	jy+/2+y/' = 0, у(0)=1, ^(-1) = 0.
9.390.	х2у"-2ху' + 2у = х\ у(0)4-2/(0) = 1, у(1)-/(1) = 0.
9. Задачи физического характера.
9.391	*. Материальная точка массы т движется прямо-
линейно под действием силы притяжения к неподвижному
центру, пропорциональной расстоянию от точки до центра
(коэффициент пропорциональности /с>0). Сила сопротивления
89
среды пропорциональна скорости (коэффициент пропорци-
ональности Х>0). В начальный момент расстояние от точки
до центра равно а, а скорость направлена по прямой,
соединяющей точку с центром, и равна г0. Найти закон
движения точки при условии, что к2<4тк.
9.392	*. Материальная точка массы т движется прямо-
линейно под действием силы отталкивания от неподвижного
центра, пропорциональной расстоянию от точки до центра
(коэффициент пропорциональности £>0). Сила сопротивления
среды пропорциональна скорости (коэффициент пропорци-
ональности Х>0). В начальный момент точка находится на
расстоянии а от центра, скорость равна v0 и направлена
по прямой, соединяющей точку с центром. Найти закон
движения точки.
9.393	*. Узкая длинная трубка вращается с постоянной
угловой скоростью со вокруг перпендикулярной к ней вер-
тикальной оси. Шарик, находящийся внутри трубки, скользит
по ней без трения. Найти закон движения шарика от-
носительно трубки, если:
а)	в начальный момент шарик находился на расстоянии
а от оси вращения, начальная скорость шарика равна нулю;
б)	в начальный момент шарик находился на оси вращения
и имел начальную скорость г0.
9.394	. Узкая длинная трубка вращается с постоянной
угловой скоростью со вокруг перпендикулярной к ней вер-
тикальной оси. Шарик, находящийся внутри трубки, скользит
dr
по ней с трением, величина которого А = 2тцсо —, где
dt
ц—коэффициент трения скольжения. Найти закон движения
шарика, если в начальный момент шарик находился на
расстоянии а от оси вращения и начальная скорость его
равна нулю.
9.395	*. Тяжелая однородная цепь переброшена через глад-
кий гвоздь так, что с одной стороны свисает часть ее
длиной 8 м, а с другой стороны — часть длиной 10 м. За
какое время Т цепь соскользнет с гвоздя?
9.396	*. Груз массой 4 кг подвешен на пружине и увеличи-
вает ее длину на 1 см. Найти закон движения груза, если
верхний конец пружины совершает вертикальное гармоничес-
кое колебание y = 2sin30r (см) и в начальный момент груз
находился в состоянии покоя (сопротивлением среды прене-
бречь).
9.397	*. Электрическая цепь состоит из последовательно
соединенных источника тока с э. д. с. e(z) = Esin со/, индук-
тивности L, сопротивления R и емкости С, причем
90
R2C—4L<$, co^ /-----Найти ток i в цепи как функцию
•I
времени /, если i|r = 0 = —
dt
= 0.
r-0
9.398	*. Электрическая цепь состоит из последовательно
соединенных источника тока с э. д. с. <?(/) = Esin cor, индуктивно-
сти L и емкости С, причем со = —— (случай резонанса). Найти
JZc
гок i в цепи как функцию времени Z, если i\t = o
di
dt ,
= 0.
-о
9.399. Электрическая цепь состоит
соединенных источника тока с
из последовательно
э. д. с. e(t) = Ecos(coZ4-\|/),
индуктивности L и емкости С, причем со = J. Найти ток
УЕс
,•	.. di
i в цепи как функцию времени /, если /|^0 = —
dt
= 0.
t-0
§ 3. Системы дифференциальных уравнений
1. Основные понятия. Связь с дифференциальными уравнениями
//-го порядка. Если система к дифференциальных уравнений, связы-
вающая независимую переменную х и к функций >’t(x), yk(x),
разрешена относительно старших производных этих функций
г^'цх), у(кРк) (х), т. е. имеет вид
y^^f^x, зъ	Л- .... Л'*”’).
Ур’(х)=/2(х, yt,	.... ук, .... у^~'>),
=/*(•*. У1> ••••	Л- 	**)•
го она называется канонической, причем число n=pY +р2 + ---+Рк
называется порядком системы. Каноническая система (1) при
Р\ —Pi — —Pk~ 1, т. е. система дифференциальных уравнений 1-го
порядка
у\ W=/| (х, Vj, .... у,),
У'1(х)=/г (х,	>•„),
К (*)=/,(*, >’i-	>’„)•
называется нормальной системой порядка п.
Решением системы (2) на интервале а<х<Ь называется совокуп-
ность функций У1 = <рt (х).уп =	(х), непрерывно дифференцируемых
на (а, Ь) и обращающих уравнения системы (2) в тождества
относительно хе(а, Ь).
Интегралом нормальной системы (2) называется функция
Т(х, у1ч ..., уп), определенная и непрерывная вместе с частными
91
ат ат	ат
производными —, —, ..., — в некоторой области D изменения
Sx 8yt	оуп
переменных и принимающая при любых хе (а, Ь) постоянное значение
при подстановке в нее произвольного решения системы.
Равенство
Ч-(х, yt, .... К)=С,
где Т(х, ..., >’„)— интеграл нормальной системы, а С—произ-
вольная постоянная, называется первым интегралом системы (2).
Дифференциальное уравнение и-го порядка
Уп)=/(х, у, у',	у(л-1))
можно свести к нормальной системе (2). Обратно, системы (1) или
(2) в большинстве случаев сводятся к дифференциальному уравнению
и-го порядка, решая которое можно найти и решение исходной
системы.
Пример 1. Привести каноническую систему дифференциальных
уравнений
A’i = 2>’i-3y2,
^2=^1 -1У1
к нормальному виду.
о Положим ——уъ
dx
записать в виде
и
dy2
——ул. Тогда данную систему можно
dx
У\ =Уз>
У2=У^
Уз^Ъу-ЗУз-
У4=У1~2у2,
которая и является нормальной системой 4-го порядка.
Пример 2. Привести к нормальной системе дифференциальное
уравнение у" (х) +/с2 j (х) = 0.
<1 Положим j'=z, тогда y,, — z\ и уравнение приводится к нор-
мальной системе уравнений
У = г,
z'——k2y.
Пример 3. Свести систему уравнений
(3)
z' = — 4^ + z,
где у—у(х), z = z(x), к уравнению 2-го порядка и найти решение
системы.
<] Найдем z(x) из первого уравнения: z = y —у'. Отсюда имеем
z'=y'—y". Подставив значения z и z' во второе уравнение системы,
получим уравнение
ляется функция
у"—2j' —Зу = О, общим решением которого яв-
Отсюда, используя
равенство z—y —у', найдем
ЬС2е3х-+-С1^’х-ЗС2е3х = 2С1е“х-2С2е3х.
92
Таким образом, при любых постоянных и С2 система функций
z = 2Cte~x-2C2e3x
является решением исходной системы (3). о
Задача Коши для системы (2) ставится следующим образом:
найти решение (%), уп(х) системы (2), удовлетворяющее
начальным условиям
>’1(^о)=>’1,	У2(х0)=У2, ....	(5)
где у°, ...,	—заданные числа.
Теорема Коши. Пусть правые части j\, f2, ..., fn нормальной
системы (2) определены в (и 4-1)-мерной области D изменения
переменных х, 14, уп. Если в некоторой окрестности Л точки
М0(х0, у°{, y”)eD функции непрерывны и имеют непрерывные
Ы
частные производные — по переменным уи, то существует
ду,
интервал x0 — h<x<x0 + h изменения переменной х, в котором суще-
ствует и притом единственное решение системы (2), удовлетворяющее
начальным условиям (5).
Общим решением системы (2) называется совокупность функций
>’v(x, Cl, .... С„), v=l, 2, ..., п,	(6)
зависящих от п произвольных постоянных, которые при любых
допустимых значениях постоянных	Сп обращают уравнения
системы (2) в тождества, и в области, в которой выполнены условия
теоремы Коши, из совокупности функций (6) можно получить
решение любой задачи Коши.
Пример 4. Показать, что определенная равенствами (4)
система функций является общим решением системы (3) (см.
пример 3).
В качестве области D для (3) можно взять область
- 00 <х, у, z< 4- 00; при этом для любых х0, у0 и Zo из этой
области выполнены условия теоремы Коши. Подставив значения
'о, Уо, -о в систему (4), получим систему для определения и С2:
Уо = С{е х°4-С2е3х°,
z0 = 2C1e ~х° —2С2е3х°.
Определитель этой системы Л = 2е2х°	= — 4е2х° отличен от
нуля при любом т0. Следовательно, при любых у0 и z0 числа
Ci и С2 определяются однозначно, т. е. из системы функций (4)
можно получить любое решение задачи Коши для системы диф-
ференциальных уравнений (3). о
Путем исключения параметров а и b найти систему
дифференциальных уравнений, определяющих семейства линий
в пространстве:
9.400.
у — ах + Ь,
х2 4-у2 = z2 — 2bz.
9.401.
ах 4- z = b,
y2 + z2 — b2.
93
Дифференциальные уравнения или системы заменить нор-
мальными системами дифференциальных уравнений (х —
независимая переменная):
9.402.	у'" — хуу'+у'3 = 0.
9.403.	=
9.404.	у"=у’ +z', z" = z' + if, и” = и' +у'.
9.405.	z"-hz —2^ = 0, у,п У-z — у — х.
9.406.	y" — z — u = 0, z' + uz = x2, u'"=—xy.
Проверить, что функции ^(х) и z(x) являются решениями
систем дифференциальных уравнений:
9.407.	j'= — 1/z,	_х/2	/2
у = е 7 , z = 2e ' .
9.408.	у'=1-^
X	х 1
Проверить, что функции 4х (х, у, z) являются интегралами
данных нормальных систем:
У'=~’
9.409.	4х (х, у, z) = x + v + z;	У
7'=_2_
z-У
. Зх—4z
У = 2~-3~?
9.410.	4х(х,	z) = x24-у2+ z2;
, 4у —2х
2 ~lz-3y-
9.411.	Т(х, у, z)=-~У =y/Z’
у z z = z/y.
2.	Методы интегрирования нормальных систем. Одним из ме-
тодов решения систем дифференциальных уравнений является ме-
тод исключения неизвестных, который сводит систему уравнений
к одному или нескольким дифференциальным уравнениям с одной
неизвестной функцией в каждом. Поясним это на примерах (см.
также пример 3).
Пример 5. Найти общее решение системы дифференциальных
уравнений
dy dz z2
— -~z. — = —
dx dx у
и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям у(1)= 1,
z(l)=-l/2.
94
j Продифференцируем обе части первого уравнения по х, получим
z2'	z2
\"^—z'. Так как из второго уравнения z' =—, то у" =-----, но из
7	7	У	У
первого уравнения z = (у'), поэтому система двух уравнений первого
„	(X)2
порядка свелась к одному уравнению второго порядка у =--------,
_	У
। е. к уравнению jv" + (>,/) — 0.
1
Левая часть полученного уравнения есть (уу')', поэтому уу' = -С1у
1	1	_	1	i	/------
откуда ydy = ^C\dx и -^у=-^Схх + -^С2, т. е. у— С\х + С2. Из
Ci
первого уравнения системы имеем: z=—y, т. е. z= +—-----------.
G х-Ь С2
Система функций у — ± J Схх + С2, z= +—........ образует	общее
гуС^ + Сг
решение заданной системы дифференциальных уравнений.
Для нахождения частного решения используем начальные условия
1	/------- 1 G
г(1)=1, z(l) =—. Имеем: l=x/G + G, —=----------—- -.-, откуда
2	2 2VC,+С2
<•, = 1. с2=о.
r 1
Итак, пара функций у = у/х, z—---— и есть искомое частное
2^/х
решение системы. t>
Не всякую систему дифференциальных уравнений можно свести
к одному уравнению.
Пример 6. Показать, что систему уравнений
у’ = ху, z'+y' = z + xy
нельзя свести к одному уравнению.
и Действительно, подставив во второе уравнение вместо у' его
шачение ху, получим два не связанных между собой дифференци-
альных уравнения, каждое из которых содержит только одну
функцию:
у' = ху, z' — z.
(Из этих уравнений находим у = С\ех^2 и z = C2ex.) о
Другим методом интегрирования систем дифференциальных урав-
нений является метод выделения интегрируемых ком-
бинаций, т. е. получения из системы (2) такого уравнения, которое
можно проинтегрировать и получить первый интеграл системы.
Если найдены п независимых первых интегралов системы (2), то
их совокупность дает общий интеграл этой системы.
Пример 7. Найти общий интеграл системы дифференциальных
уравнений
dy z + ey	dz z2 — ex+y
dx z + ex’ dx z + ex
<□ Умножим обе части второго уравнения системы на е~х и сложим
их с соответствующими частями первого уравнения и с тождеством
95
— e~xz~—e~xz, получим (e ~xz)' + y' = 0, откуда e"xz+y=C\. Это
первый интеграл системы.
Теперь умножим обе части второго уравнения на е~у и сложим
_ z + ev
с равенствами — е yzy'=—e ~yz----- и х'=1, получим (<? vz)' + .x' = 0,
z + ex
откуда e-yz+x = C2. Это тоже первый интеграл системы. Так как
якобиан системы
e~~xz-yy = C\,
e~yz + x = C2
отличен от нуля (проверьте!), то оба первых интеграла независимы
между собой, поэтому их совокупность неявно определяет общее
решение заданной системы уравнений, о
Для выделения интегрируемых комбинаций из системы (2)
последнюю удобнее записать в так называемой симметрической
форме:
dyi _	dy 2	dy„ dx
fl(x, Jj, ,y„) f2(x, ,V1..._>„) " /„(.V, J’l.y„)	1
и использовать следующее свойство равных дробей: если
Wi и2	нп	.
— = — = ... = — = у, то при любых «1, ..., аи имеет место соотношение
Vi v2	vn
щ+ oc2u2-l-...+ a„wn
-----------;—;-----='>'• <8)
«1 +<х2р2 + ...+а„ц,
Числа «1, а„ подбираются обычно таким образом, чтобы
числитель в (8) был полным дифференциалом знаменателя или же
знаменатель был равен нулю.
В соотношении (7) независимая переменная и искомые функции
равноправны.
Пример 8. Найти общее решение системы уравнений
mz — lx	их — ту
у' —-------, z' =------.
ly — nz	ly — nz
Запишем систему в симметрической форме:
dx dy dz
-----—--------—--------— у
ly—nz mz — lx nx — my
и воспользуемся соотношением (8). Выбираем ai=m, а2=и и а3 = /,
тогда имеем
d (тх + пу Ч- lz)
т. е. d(mx + ny + lz) = 0, откуда
mx + ny + lz = C{.	(9)
Аналогичным образом, выбирая а1=2х, а2 = 2у и a3 = 2z, приходим
к равенству d(x2 + у2 + z2) = 6, откуда
x2+j’2 + z2-C22.	(10)
96
dy 1
dt x
С оотношения (9) и (10) образуют два первых интеграла системы,
неявно определяющих общее решение.
Найти общие решения систем
нений:
9.412.
dt у
9.413.
ху ty
9.414.	^=—L-, ±=_Л_.
dx (z—y)2 dx (z—y)2
dx x-y dy x-y dz
9.415.	— =----, — =-----, — =
dt z — t dt z — t dt
дифференциальных урав-
dy
tx
-у+1.
9 416 dy- 2xy dz- 2xz
dx x2 —y2 — z2’ dx x2 — y2 — z2'
dt dx dy
9.417.	-=—==-------
xt x2 txy — 2t2
9.418.		=
1+y/z—x—y	1	2
9.419.	-=J~, ^=-.
dt x ’ dt у
Найти общее решение системы дифференциальных урав-
нений, а также частное решение, удовлетворяющее заданным
начальным условиям:
dv z — 1 dz
9.420. ~ =, —
dx z dx
y(0)= —I, z(0)=l.
9.421.	d2-
dx yz dx
> y(0) = z(0)=l.
9.422*. Для системы дифференциальных уравнений
dx x2 — tdy	-	-
~ =-----, — =— x и функций a) epi =/	6)<p2 = * —(У
dt у dt
проверить, являются ли соотношения ф, = С (/=1, 2) первыми
интегралами этой системы.
3. Физический смысл нормальной системы. Для простоты огра-
ничимся рассмотрением системы двух дифференциальных уравнений,
причем будем считать, что независимая переменная t есть время:
х=/1(/, X, у),
y=f2(t, X, у).
4 Специальные разделы мат. анализа. Ч. 2
(11)
97
Решение х = <р(/), j> = \|/(z) этой системы есть некоторая кривая
в плоскости Оху с фиксированной декартовой прямоугольной си-
стемой координат. Плоскость Оху называется фазовой плоскостью,
а кривая х— <₽(')> У = ф(г)— фазовой траекторией системы (11). Сама
система (11) называется динамической системой. Динамическая си-
стема называется автономной (стационарной), если в правые части
уравнений этой системы время t не входит явным образом.
Динамическая система определяет поле скоростей движущейся в
плоскости точки в любой момент времени t. Решение динамической си-
стемы x = x(z), y=y(t)—это уравнения движения точки: они определяют
положение движущейся точки в любой момент времени t. Начальные
условия задают положение точки в начальный момент: x(t0) = x0,
y(to)—yo- Уравнения движения определяют также и траекторию
движения, будучи уравнениями этой кривой в параметрической форме.
Пример 9. Найти фазовую траекторию автономной динамичес-
кой системы
проходящую через точку Л/о(2, 3).
<i Продифференцируем второе уравнение по t и подставим выражение
(у)2 •
х=у и х=у в первое уравнение. Получим у =-, или уу — (у)2 = 0, т. е.
одно уравнение второго порядка с одной неизвестной функцией у.
Разделим обе части последнего уравнения на у2 и перепишем
d (у\	у	dy
его так: — I - =0. Отсюда следует, что -=С15 или — = (\dt, откуда
dt\yj	у	у
у = С2ес''.
Найдем у = С1С2ес'1 и подставим во второе уравнение системы;
получим х= CtC2eClt. Итак, система функций x = C1C2eCl‘, y = C2ec,t
есть общее решение нашей системы дифференциальных уравнений.
Исключая из общего решения время t (C2eCit=y), получим,
что фазовыми траекториями системы являются прямые х = С\у,
3
2
причем через заданную точку
Л/о(2, 3) проходит прямая у =

Для указанных систем найти фазовые траектории, про-
ходящие через заданные точки Мо:
9.423.	х=1— х2— у2, у = 2х; Л/о(1, 2).
9.424.	х=1— х2— у2, у = 2ху; Мо(2, 1).
9.425.	х = 2х, j> = x4-2j;	1).
9.426.	х=у — х, у=у — 2х; Af0(l, 1).
4.	Линейные однородные системы. Нормальная линейная однород-
ная система и-го порядка имеет вид
Xi = ах 1 (r)xi + th 2 (t)x2 4-... + Д1 п (t)x„,
*2 = «21 (0*1 + а22 (0*2 + - + «2 п (')*«’
................................................ (12)
Хп = ап! (t) %! 4- ап 2 (t)x2 + ... + апп (t)xn,
98
или, в матричной форме,
I де

(13)
«12(0 - Д1Л')
«22(0 ••• a2n(t)
Unl(t) ••• Unn(t)
В области непрерывности коэффициентов /, у=1, л,
система (12) удовлетворяет условиям теоремы существования и един-
ственности решения задачи Коши.
Фундаментальной системой решений системы (12) называется
совокупность произвольных п линейно независимых решений
Yjr) = (%<*> (г), 4k)(r),	<fc)(r))T, *=L 2, ..., п.
Если Xk(t), &=1, 2,	и,— фундаментальная система решений
п
системы (12), то общее решение имеет вид X(t) = £ CkXk(t), где
к = 1
Сь С2, ..., Сп—произвольные постоянные.
Интегрирование системы (12) обычно проводится методом ис-
ключения (см. пример 3).
Решить системы линейных дифференциальных уравнений:
9.427. —
dx
Л X
9.428.	x—=— y + zx, х2 — = —2y+zx.
dx	dx
9.429.	x= -- y= -y.
9.430.	x = ~^x, y~y~^~———x.
В частном случае систем с постоянными коэффици-
ентами, когда матрица Д(г) в правой части (13) не зависит от
/, для отыскания фундаментальной системы решений Хк (rj, к = 1,
2, ..., п, могут быть использованы методы линейной алгебры.
Из характеристического уравнения
det(^-X£) = O	(14)
находятся различные корни к2, ..., и для всякого корня
к (с учетом его кратности) определяется соответствующее ему
частное решение X(l)(t). Общее решение системы имеет вид
X(t)= f CkX^'(t).	(15)
к = 1
При этом возможны следующие случаи:
99
a)	X—действительный корень кратности 1. Тогда
МЧ
Г’-)(0=У<мг,= : еи,
Цм/
где У(Х)—собственный вектор матрицы Л, соответствующий соб-
ственному значению X (т. е. ЛУ(Х) = ХУа>, У(Х)#0).
Пример 10. Найти частное решение однородной системы
х1=4х1 4- х2,
Х2 = Зх1 + 2х2>
х3 = 2*! + Зх2 + 4х3,
удовлетворяющее условиям X! (0) = 6, х2 (0) = — 6, х3 (0) = 24.
<□ Характеристическое уравнение (14) для этой системы имеет вид
det (Я — ХЕ) =
4-Х	1	0
3	2-Х	0
2	3	4-Х
Его корни Xi = l, Х2 = 4, Х3 = 5. Собственные векторы, например,
таковы:
/ 3\	/0\	/У
У(Х,) = |—91	y(Xj) = |0| у(Кз) = | 1
\ 7/	\1/	U
Поэтому
Отсюда общее решение системы в соответствии с (15) имеет вид
Х(г)=с1 (-9 ) е' + С2 (о) е4, + С3 ( 1 ) е5'.
Для нахождения частного решения константы С2, С3 определяем
из следующей системы:
/ 6\	/ 3\	/0\	/1\	/	3Q+	С3\
Х(0) = 1 -6 ) = С1 I -9 +С21 О 1 + С3 1 ) = 1 -9Q+ С3 I,
\ 24 /	\ 7/	\1/	\5/	\	7С1 + С2 + 5С3/
откуда Сх = 1, С2 = 2, С3 = 3. Окончательно для искомого частного
решения получаем
fx^)\ / з\	/0\	/ 3\
У(/) = 1 х2(г) 1 = 1 -9 1е‘+1 0 )е4< + 1 3 )е5‘. о
\х3(г)/ \ 7/	\2/	\15/
б)	X—комплексный корень кратности 1. Тогда корнем харак-
теристического уравнения (14) является также сопряженное с X число
X. Вместо комплексных частных решений Х(М(г) и	следует
100
взять действительные частные решения Ar(1X)(/) = ReX(X)(/) и Аг(2’)(/)=
-1тУ(Х)(/).
Пример 11. Найти общее решение системы
Х1(/) = Х1+Х2,
x2(t)= -2xi + 3x2.
<з Характеристическое уравнение
1-Х 1
— 2 3-Х
= 0
имеет комплексно сопряженные корни Xj 2 = 2 + z. Для нахождения
собственного вектора, соответствующего корню X = 2 + /, получаем
систему
(-i-i)riM+ Лм=о,
— 2>’’|К,+(1 —<) ^*/’=0.
Полагая Д1>=1, находим _у-гХ) = 1 +i, т. е.
Г,м=(4,.) и
Отсюда пара действительных частных решений имеет следующий вид:
vm/ \ г» U 1 \	+	( е2 cos/ \ ( cost \ 2f
X(1X)(/) = Re . , . е(2 ° =	2i/	• \ 1=1	е2'
v '	у у у ez,(cos/ —sin/)y у cos/ — sin/у
У^(/) = 1т
e(2 + i)t
e2t sin/
e2r(cos/ + sin/)
sin/ \ 2i
I e .
cos/ + sin/ /
Окончательно (см. формулу (15)) получаем общее решение
,г(о=с7 cos'. V+cJ sin/. V=
' '	\ cos/ —sin//	z\cos/ + sin//
Ci cos/4-C2 sin/ \ 2t
(C14-C2)cos/4-(C2 —Cjsin/y
в)	X — корень кратности г ^2. Соответствующее этому корню
решение системы (13) ищется в виде вектора
/а(11) + а(12)/+...+а(1и/г"1\
\ а1п+а<2)/+... +а1г,/г"1 /
(16)
коэффициенты которого ар, /=1, ..., п; ;=1, ..., г, определяются
из системы линейных уравнений, получающейся приравниванием
коэффициентов при одинаковых степенях / в результате подстановки
вектора (16) в исходную систему (13).
Пример 12. Найти общее решение системы
л1(г)=2х1-х2>
х2(0==^х1’Ь6л'2.
101
<□ Характеристическое уравнение
2-Х
4
=о
имеет корень 1 = 4 кратности г = 2. Поэтому ищем решение
системы в виде
Подставляем это выражение в исходную систему и сокращаем на е4/:
f ₽Л . аЛ , 4 ( РЛ 1 = ( 2^-012 \ / 2₽! -402 \
\02J \aJ \Ъ/ \4а,+6а2/ \401+6027
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Z, получаем:
Pi + 2ах 4-a2 = 0,
р2 — 4ax — 2а2 = 0,
2Р1 + 02 = О,
-2р2-4рх =0.
Полагая и рх = С2, имеем Р2=—2С2 и а2=—2СХ—С2. Таким
образом, общее решение системы имеет вид
=	= f , Ci + Ci‘ \ 4,
' '	' ' \ -(2CI + C2)-2C2l)
Решить следующие системы линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами. Там, где даны
начальные условия, кроме общего решения, найти соответ-
ствующее частное решение:
9.431.	х=у, у= —2х + 3у.
9.432.	х=х+3у, у= —х+5у, х(0) = 3, у(0) = 1.
9.433.	х=3х-2ь >’ = 4х + 7у, х(0)=1, т(0) = 0.
9.434.	х — 2х — 5у, у = 5х — бу.
9.435.	х=х — 4у, у = х~3у.
9.436.	х=—х + 2у, у=-2х-5у, х(0) = 0, j(0)=l.
9.437.	х=у, y = z, z — x, x(0)=j(0) = z(0) = 1.
9.438.	x=y + z, y=z-hx, z = x+y, x(0)=y(0) = 2, z(0)= —1.
9.439.	x = x — 2y — z, y=— x+y-hz, z = x — z.
9.440.	x=5x + 2y-3z, y = 4x-j-5y-4z, z = 6x + 4y — 4z.
5. Линейные неоднородные системы. Нормальная линейная неод-
нородная система дифференциальных уравнений имеет вид
x1=ai1(r)xi + a12(/).V2+...+a1„(z)x„+/i(0-
x2 = a2i(')xi + a22(')*2+ -+«2»(0^+/2(/)>	(17)
xn = a»i(0xi + en2(')x2+-+ann(0x» +/.(').
102
iде по крайней мере одна из функций fk(t) не равна тождественно
нулю. В матричной форме система (17) имеет вид
y(r) = /t(/)X(/) + F(z),	(18)
1де F(r) = (/i(r), /2(z), —» /ЛОЛ Интегрирование системы (17)
можно проводить методом исключения (см. пример 3), однако
иногда предпочтительнее найти предварительно решение X0(t) соот-
ветствующей (18) однородной системы
X(t) = A(t)X(l}	(19)
и какое-либо частное решение X(t) системы (18). Тогда общее
решение системы (18) имеет вид
y(z) = X0(z) + X(z).	(20)
Если известна фундаментальная система Xk(t), к=\, 2, ..., п,
решений однородной системы (19), то общее решение X(t) можно
найти методом вариации произвольных постоянных. Именно, полагая
(21)
к = 1
определяем функции Ck(t) подстановкой (21) в систему (18). Учитывая
при этом равенства
Jfk(z)-J(z)^k(z) = O, £=1, 2, ..., л,
приходим к системе уравнений относительно Ck(t):
Z Ck(t)Xk(t) = F(t).	(22)
к = 1
Из этой системы находим <?fc (z) = cpk (Z) и, интегрируя, получаем функ-
ции Ck(z) с точностью до произвольных постоянных. Подставляя их
в (21), получаем искомое общее решение неоднородной системы (18).
Пример 13. Зная фундаментальную систему решений
однородной системы
х1=6х1+х2,
х2 = 5х1Д-2х2,
найти общее решение неоднородной системы
Xi = 6х 1 + х2 -Ь Z,
х2 = 5х 1 -Ь 2х2 4-1.
<1 Воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Для
функций Ci(z) и C2(z) составим систему вида (22)
Найдя
с,(0=^₽-7,>
103
и проинтегрировав, получим
/ 5	2\	1
С1(0=	+	7, + Сь сг(<) = -1е ' + с2.
Таким образом, общее решение системы запишется в виде
I 2 2\
— I--
\	49/
Если коэффициенты afj(z) системы (17) постоянны, т. е. = aij(z) =
= а/;,	и, а функции /(z) имеют вид произведений
(P(z) cos pr + 2(z) sin Pz)e“',	(23)
где P(t) и Q(t) — многочлены, то частное решение %(z) можно
найти методом неопределенных коэффициентов, записав X(z; в виде,
аналогичном (23), с учетом совпадения или несовпадения чисел
а + /р с корнями характеристического уравнения.
Следует иметь в виду, что если к — наибольшая степень мно-
гочленов P(t) и Q(t) в (23) и Х = а-Н'Р—корень ^кратности г харак-
теристического уравнения, то частное решение X(t) ищется в виде
I(z)=Re Г
^io^k+1_bYiUk + --- + Yi,k+i\
Y2o** +1+Y21 fk + --- + Y2,k+i I
^o^+1+Yni^4-- + Yn,k+i/ t
Пример 14. Найти частное решение системы
*1 = — x24-z2,
x2 = x*i -Ьег.
о Так как характеристическое уравнение
Xi.2=±z, ищем частное решение системы
второй степени и функции вида De*:
= 0 имеет корни
в виде суммы многочлена
= Ait2 4-Bi Z4-Ci 4~D\ е*, х2 ~ А 2t2 4~В 2Z4~ С2 -I-Z)2er.
Подставляя эти функции в заданную систему, получим равенства
2/4 it~{~Bi~{~Die* — — /42 Z2 — В 2 Z — С2 — Z)2 е* 4~ Z2,
2A2t 4" В 2 A-Die* = Ait2-l-Bit-j-Ci-i- D2e* 4- е*.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z и при е*,
получим систему
2А1==—1?2, Bi ——С 2, Di~—D 2, 1—Л2 = 0,
2/42 = j5i, Z?2 = Ci, £)2=Z)14-1,	Ai—0.
-X -1
1 -X
104
Ок'юда Ai=B2 — Cl=0, А2=\, Z?i=2, С2—— 2, D2 — \/2, Di = —1/2,
и искомое частное решение имеет вид
1
Xi=2t--e\
x2 = t2-2 + -е‘. о
Пример 15. Найти общее решение системы
X(t) = AX(t) + F(t),
/2 -1\	//4-1\
।де /4=(	и г= еЛ
V	4 /	\ 2/ /
- j Характеристическое уравнение
2~Х	= Х2 —6Х+8+1 =(Х—3)2=0
имеет корень Х = 3 кратности 2. Общее решение однородной системы
, . /ос/ 4- р\ ,
ищем в виде А"0(г) = (	]е , подставив которое в однородную
\у/4-8/
систему и сокращая на е3/, имеем
/ос/4-р\ /р\ /2 — 1\/ос/4-р\
31	14-1 I — I 11	1.
\у/4-3/ \5/ \1	4 / \у/4-8/
Получим систему
3(а/4-Р)4-р = 2(а/4-р) —(у/4-3),
3 (у/ + 5) 4- 6 = oir 4- р + 4 (у/ + 6),
из которой следуют два независимых соотношения ос= — у и р4-а= — 8.
Полагая а. = С\ и Р = С2, имеем у=—и 8= — Ct — С2, т. е.
с^с- V.
4-С,)/
Гак как F(/) содержит множитель е3\ причем Х = 3 — корень
характеристического уравнения кратности 2, то ищем частное
решение в виде
V/ \	/Art2 4- Bi/4- Z)A 3 (A t / 34-#i t2 + Di t\ 3
Х(/) = /	_	e =	_	_ |e
' ’	\A2t2 + B2t + D2)	\A2t3 + B2t2^D2tJ
/	I Ax tiBA \
а не в виде t I	k I-
у	"b B2j J
Подставив X(t) в заданную систему и сократив на е3\ по-
лучаем матричное равенство
/А j /3 4- Bi t2 4- /\ /ЗЛ112 4- 2В\ t-\~
/3 4- В212 4" D2 tj \3A2t2+ 2B2t +D2)
(2 -i\fAit3 + Bit2 + Dit\ Л+Л
\1 4 /V<2(3+V + M+\ 2t /
105
которое можно записать в виде равенств
Ait3A-Bit2-]-Dit-j-3Ai t2 4~ 21? j t + Dx = —	— В 2	— D2t + t +1,
— Ait3 — Bit2 — Di t + 3Ai t2 2Bi t A- D-> — A\ t 3 4- В < t2 4- Di / 4-2/.
Сравнивая коэффициенты при
систему уравнений
А1 4" А 2 = О,
Bi 4- ЗА 1 4- В2 — О,
Di 4-21?! 4- D2 = 1,
П1 = 1,
одинаковых степенях /, получаем
/1 j 4- А 2 = О,
Bi 4" В2 — ЗА2 — О,
D14-D2-2B2=-2,
d2=o.
Находим Di = l, D2=0, Bt=0, 1?2 = 3/2, A{ = — 1/2, A2 = l/2. Следова-
тельно,

и искомое общее решение запишется в виде
I1 ч	\
Cit + C2-~t3 + t	\
I з г
— С it — (С’14-С2)4- — /34- — /2у
Найти решения следующих систем уравнений:
9.441.	х = 3х —у = 3х — 4у.
9.442.	х = х—у, у = х+у + е‘.
9.443.	х—5х — 3j + Ze2t, y = 3x—y + e3t.
9.444.	х — хА-у — cos /, у= — 2х—^4-sin z + cos /.
9.445.	х=уА-tg2 /— 1, у= — хЧ-tg/.
9.446*	. х = 2х + 3у, у = 4х — 2у.
9.447*	. Вещество А разлагается на два вещества Р и Q.
Скорость образования каждого из них пропорциональна
массе неразложившегося вещества А. Найти законы изменения
масс х и у веществ Р и Q в зависимости от времени /,
если через час
после
а
начала процесса разложения х = -,
8
За
8 ’
а—первоначальная масса вещества А.
9.448*	. Материальная точка массы т притягивается цен-
тром О с силой, пропорциональной расстоянию. Движение
начинается из точки А на расстоянии а от центра с начальной
скоростью г0> перпендикулярной к отрезку О А. Найти
траекторию движения.
106
§ 4.	Элементы теории устойчивости
1.	Основные понятия. Пусть задана нормальная система диф-
ференциальных уравнений
Xi(t)=fi(t, xt, х2,.... х„),
X2(t)=f2(t, Х1, Х2, .... Х„),
x„(t)=fn(t, xt. х2, .... х„)
с начальными условиями в точке t0. Решение Хо(t)=(<pt (z), .... <p„(z))T
системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого
е>0 найдется такое 8(е)>0, что для всякого решения X(z) = (x1 (/), ...
..., xn(t)y той же системы, значения которого в точке t0 удовлет-
воряют неравенствам
<p.(zo)l<8(e), z=i, 2, .... п,	(2)
для всех t>tQ справедливы неравенства
IXi(t)-<Pi(z)|<e, z=l, 2, .... и.	(3)
Если же при сколь угодно малом 8>0 хотя бы для одного
решения X(t) неравенства (3) не выполняются, то решение X0(t)
называется неустойчивым.
Если решение Уо(0 не только устойчиво, но, кроме того, при
условии (2) удовлетворяет соотношению
lim |— ф,(г)| = О, /=1,2, ..., п,
t~* + оо
то это решение называется асимптотически устойчивым.
Пример 1. Исследовать на устойчивость решение дифферен-
циального уравнения х — ах (#eR), определяемое начальным условием
*o(zo)= Со-
<i Если 0^0, то решение имеет вид
xo(z) = Coea<'-'«).
Пусть x(z) = Cea(<-z°)— произвольное решение этого уравнения,
удовлетворяющее условию | С—Со | < 8 = £. Тогда при а < 0 получаем
|x(z)-xo(z)| = |Cea('_'o'-Coea('“'c*| = ea^_'ohc-Co|<e,
откуда
lim |x(z)-x0(z)| = |C-C0| lim ea('-'o)=0,
Г-» + OO	t~* + 00
т. e. решение асимптотически устойчиво.
При а>0	/	< v
|x(z)-.Yo(z)| = ea('“/»)|C-Co|
может быть сколь угодно большим числом при достаточно больших
t. Значит, при д>0 решение неустойчиво.
Если я = 0, то решение имеет вид x0(z) = C0.
Для всякого решения x(t) = C с условием |С—С0|<8 = е имеем
|х(г)-х0(г)| = | С—Со|<Е.
107
Но
lim |x(/)-x0(f)l = |C’-Q)I^O>
t-» + 00
а потому решение устойчиво, но не асимптотически устойчиво, о
Исследование на устойчивость решения X0(t) системы (1) может
быть сведено к исследованию на устойчивость тривиального (ну-
левого) решения — точки покоя некоторой системы, аналогичной
системе (1) (см. задачу 9.454).
Исследовать на устойчивость решения следующих урав-
нений и систем уравнений:
9.449.	х=г(х-1), х(0)=1.
9.450.	x=r-l, х(0)= —1.
9.451.	х = х+.у, j = x—j; х(0)=>>(0) = 0.
9.452.	х= — 2х — Зу, у = х+у; x(0)=j(0) = 0.
9.453.	х=ах—у, y = ay—z, z = az — x; x(0)=j(0) = z(0) = 0,
aeR.
9.454*	. Написать систему дифференциальных уравнений,
исследование на устойчивость точки покоя которой равносиль-
но исследованию на устойчивость решения Ao(f) системы (1).
9.455.	Сформулировать определения устойчивости, асимп-
тотической устойчивости и неустойчивости для точки покоя
системы дифференциальных уравнений.
2.	Простейшие типы точек покоя. Для исследования на устой-
чивость точки покоя системы двух линейных однородных дифферен-
циальных уравнений с постоянными коэффициентами
^а11Х+а12у, д=«„ «12/о	(4)
y=a2ix+a22y, а21 а22
надо составить характеристическое уравнение
a21	022“^
= Х2 —	+ A — O
и найти его корни Xi и Х2. В таблице 4.1 приведена классификация
точек покоя системы (4) в зависимости от корней Хь Х2 харак-
теристического уравнения.
Таблица 4.1
Корни к2		Характер точки покоя	Устойчивость точки покоя
Действи- тельные: Х1 5^Х2	Х1 <0, Х2<0	Устойчивый узел	Асимптоти- чески устой- чива
108
Таблица 4.1 (продолжение)
Корни Х.р Х2
Характер точки покоя
Устойчивость
точки покоя
Комплекс-
ные:
Xi =a+zp,
Z2 = a—/р
a<0,
Р#0
Устойчивый фокус
Асимптоти-
чески устой-
чива
a>0,
Р#0
Неустойчивый фокус
Неустойчи-
ва
a=0,
Р#0
Устойчива
Действи-
тельный,
кратности 2:
~ А,
Х<0
Х>0
Устойчивый узел
Асимптоти-
чески устой-
чива
Неустойчи-
ва
109
П р им е р 2. Определить характер и исследовать на устойчивость
точку покоя системы
х = — 2х + ау,
У = х + у
в зависимости от параметра а (а # — 2).
<1 Характеристическое уравнение
—2—X	а ,	.	.
= Х2 + Х-(а + 2) = 0
1 1 /-------
имеет корни Xlt2= —-±-V^ + ^a. Исследуя поведение корней Х2
в зависимости от параметра а и используя таблицу 4.1, получаем:
если а< — 9/4 (корни комплексные, ReXli2<0) — устойчивый фокус;
если — 9/4^а<—2 (корни действительные и отрицательные) —
устойчивый узел;
если — 2<а (корни действительные и разных знаков) — седло,
точка покоя неустойчива, о
Определить характер точек покоя следующих систем:
9.456.	х = х + 2у, у= —Зх+у.
9.457.	х= -2х+-у, у= -2х+-у.
9.458.	х=— х + Зу' у= —х + 2у.
9.459.	х=-у, у = х — 2у.
9.460.	х= — 6х — 5у, у= —2х — 5у.
9.461.	х= -х + 2у, у——2х — 5у.
Определить, при каких значениях параметра а точка
покоя системы устойчива.
9.462.	х = ах—у, у = х+2у.
9.463.	х= — Зх+ay, у= — ах+у.
9.464*	. Исследовать на устойчивость решение уравнения
упругих колебаний х + 2ах + р2х = 0 (ос>0).
9.465*	. Пусть задана система п линейных дифференци-
альных уравнений с постоянными коэффициентами
xf= £ aijXj, (=1, 2, ..., п.
i = i
Доказать, что если все корни характеристического уравнения
этой системы имеют отрицательную действительную часть, то
точка покоя системы асимптотически устойчива. Если же хотя
бы один из корней характеристического уравнения имеет поло-
жительную действительную часть, то точка покоя неустойчива.
Используя результат задачи 9.465, исследовать на устой-
чивость точку покоя каждой из следующих систем:
9.466.	х = 2х, у = 3х+2у, z=—x—y — z.
9.467.	х= — 2х —у, у = х — 2у, z = x + 3y — z.
ПО
3.	Метод функций Ляпунова. Этот метод в применении к ав-
тономной системе
(5)
где /.(0,	0) = 0, /=1, 2, ..., л, состоит в непосредственном исследова-
нии устойчивости ее точки покоя при помощи подходящим образом
подобранной функции Ляпунова V[xl, ..., х„).
Верны следующие теоремы Ляпунова:
Теорема 1 (об устойчивости). Если существует дифференциру-
емая функция И(х15 ..., хл), удовлетворяющая в окрестности начала
координат следующим условиям:
а)	V(хь ..., хл)>О, причем И=0 лишь при Xi =... = х„ = 0;
dV Л W /
б)	-т-= I ..........
dt i = i иХ}
то точка покоя системы (5) устойчива.
Теорема 2 (об асимптотической устойчивости). Если суще-
ствует дифференцируемая функция И(хх, ..., х„), удовлетворяющая
в окрестности начала координат следующим условиям:
а)	К(хь х„)>0, причем К=0 лишь при х1 = ... = хп = Оч
dV " dV	ч	dV
б)	—= У — fi (хь ..., хл)^0, причем — = 0 лишь при хг = ...
dt oxi	dt
то точка покоя системы (5) асимптотически устойчива.
Теорема 3(о неустойчивости). Если существует дифферен-
цируемая функция V(хн..., х„), удовлетворяющая в окрестности
начала координат условиям:
а)	И(0, ..., 0) = 0 и сколь угодно близко от начала координат
имеются точки, в которых К(хь хи)>0;
r dV " 6V .	.	dV
б)	—> т-хи)>0, причем — = 0 лишь при х^ — ...
dt оХ[	dt
..=х„ = 0,
то точка покоя системы (5) неустойчива.
Пример 3. С помощью функции Ляпунова исследовать на
устойчивость точку покоя системы
у = — 2у3 — х.
_	7	dv
о В качестве функции Ляпунова возьмем V=x +у . Тогда — =
dt
dV
— 2х( — х+у) + 2у( — 2у3 — х)=—2(х2 + 2у4)ч и функция V вместе с —
dt
удовлетворяет условиям теоремы 2. Значит, точка покоя системы
асимптотически устойчива. t>
Пример 4. Исследовать на устойчивость точку покоя си-
стемы
x = x(2 + cosx),
111
Возьмем функцию И(х, у) = х2 —у2. Тогда — = 2x2(2 + cosx)+2y2 =
at
(х \
x2 + 2x2cos2 --by2 1>0 всюду, кроме начала
координат. Кроме того, сколь угодно близко к началу координат
найдутся точки, в которых И>0 (например, вдоль прямой у = 0
К=х2>0). Следовательно, выполнены условия теоремы 3, и точка
покоя неустойчива. i>
Общего метода построения функций Ляпунова не существует.
В простейших случаях ее следует искать в виде: V=ax2-bby24
V=ax4 + by\ V—ax2 + by\ подбирая надлежащим образом посто-
янные я>0 и £>0.
Пример 5. Исследовать на устойчивость точку покоя системы
х— — х + -у-ьЗху3,
1	.22
У-~х — -у — 2ху.
<з Функцию Ляпунова будем искать в виде V=ax2 + Ьу2, а>0, Ь>\).
Тогда имеем:
— = 2ах( — х-Ь-у+Зху3 ] + 2/>у( — х — - — 2х2у2 | =
dt \	2	\	3	/
(2	\
2ах2 + -by21 + (ху + 2х2у3) (За-2Ь).
Полагая 6 = -а, получим, что —= — а(2х2 +у2)^0 при всяком а>0.
2 -	dt
Из теоремы 2 вытекает, что точка покоя системы асимптотически
устойчива.
Исследовать на устойчивость точки покоя следующих
систем:
9.468.	х— —х—у — х3—у2, у = х—у + ху.
9.469.	х=>’ + х3, у= ~х-Ьу3.
9.470.	х = ху4, у——х4у.
9.471.	х= —у + х5, у = х+у5.
9.472.	х=у + х2у2 — -х5, у= — 2х — 2х3у—->>3.
4	'	2
9.473.	х= — 2х + 4ху2, у=у+2х2у.
4. Устойчивость по первому приближению. Предположим, что
правые части системы (5), т. е. функции fi(xu ..., хи), /=1, 2, ..., л,
дифференцируемы в начале координат достаточное число раз.
Разложим их по формуле Тейлора в окрестности начала координат:
и
/•(Xi, ..., х„) = £ aijXj + Fi^, ..., х„),
112
а/(о,..., о)
где =, a Fi — члены второго порядка малости от-
dXj
носительно хь хп. Тогда исходная система (5) может быть
записана в виде
хи	ап j Xj 4- Fn (х i, ...» хп).
j=i
Рассмотрим систему
и
х,= £ ctijXj, /=1, 2, ..., п,	(6)
называемую системой уравнений первого приближения для систе-
мы (5).
Справедливо следующее утверждение: если все корни харак-
теристического уравнения системы (6) имеют отрицательные дейст-
вительные части, то точка покоя системы (6), а также исходной
системы (5) асимптотически устойчива; если хотя бы один из корней
характеристического уравнения системы (6) имеет положительную
действительную часть, то точка покоя системы (6) (и системы (5))
неустойчива.
Говорят, что в этих случаях возможно исследование системы
(5) на устойчивость по первому приближению. В остальных случаях
такое исследование, вообще говоря, невозможно, так как начинает
сказываться влияние членов 2-го порядка малости.
Пример 6. Исследовать на устойчивость точку покоя системы
х = 2х4-8 siny,
у = 2 — ех — Зу — cos у.
<i Разлагая функции sin у, cosy, ех по формуле Тейлора
и выделяя члены 1-го порядка малости, можем переписать
исходную систему в виде
x = 2x4-8y4-Fi (х, у),
У= -x-3y+F2(x, >'),
где Ь\, F2—члены 2-го порядка малости относительно х и у.
Соответствующая система уравнений первого приближения вида (6)
запишется следующим образом:
х = 2х 4- 8у,
у — — х — Зу.
-1±<J7
Корни ее характеристического уравнения л 1>2 =----------- имеют
отрицательные действительные части. Следовательно, точка покоя
этой, а также исходной систем устойчива. о
Исследовать на устойчивость по первому приближению
точки покоя следующих систем дифференциальных уравнений:
113
9.474.	x=i(ex-l) — 9y, y = ^x — siny.
9.475.	x — 5x+y cosy, y = 3x + 2y — y3ey.
9.476.	x = 7x4- 2 sin у, y = ex~ 3y— 1.
3	1
9.477.	x=—x4--sin2y, y=— y — 2x.
2	2
9.478.	x = ln(4y 4-e ~3x), y = 2y- 1 + Vl-бх.
9.479.	x = ex+2y — cosЗх, y = ^4ySx — 2ey.
9.480.	Показать, что исследование на устойчивость по
первому приближению точки покоя системы
х=— 4у — х3, у = 3х—у3
невозможно. Провести исследование методом функций Ля-
пунова.
§ 5. Численное интегрирование обыкновенных
дифференциальных уравнений
1. Задача Коши. Задача нахождения частного решения у=у(х)
(у(хо)=>’о) дифференциального уравнения y'=f(x, у), называемая
задачей Коши, может быть приближенно решена численными ме-
тодами.
Метод Эйлера. Значения искомой функции у=у(х) на
отрезке [х0, А'] находят по формуле
yk + i=y’k + h-f(xk, ук),	(1)
где ук=у(хк), хк+ i=xk + h(xn = X), к = 0, 1, ..., л—1, и Л =-- (шаг),
и
По заданной предельной абсолютной погрешности 8 начальный шаг
вычислений h устанавливают с помощью неравенства Л2<8.
Метод Эйлера с итерациями. Для вычисления значений
функции у=у(х) применяют формулу
У("\=Ук + ^(Г(хк, Ук)+/(*к, yir/i11))’	(2)
А: = 0, 1, ..., л—1, л?=1, 2, ..., Л/,
где у^^л+i вычисляют по формуле (1). При каждом значении
к вычисления продолжаются до выполнения неравенства
<е>	(3)
где 8 — заданная предельная абсолютная погрешность. После этого
полагают ук-^1=у^х и переходят к нахождению следующего значения
ук + 2 искомой функции. Если неравенство (3) не достигается, то
уменьшают шаг h и выполняют все вычисления сначала. По заданной
предельной абсолютной погрешности 8 начальный шаг вычислений
h устанавливают с помощью неравенства Л3<8. Апостериорная
114
оценка точности выполняется при помощи правила Рунге Ромберга
(см. ниже).
Пример 1. Решить методом Эйлера с итерациями задачу
Коши на отрезке [0, 1] для уравнения у' = 2х — у с начальным
условием у= — 1 при х = 0. Шаг выбрать так, чтобы удовлетворялось
неравенство Л3<0,01.
<i Исходя из неравенства А3<0,01, выберем шаг вычислений h = 0,2.
1-0
Тогда п~ ^2 ПРОВОДЯ вычисления с одним запасным знаком,
находим по формуле (1) значение
у™ = -1 +0,2(2 0-(- 1))= -0,800.
Ведем итерационную обработку уг по формуле (2):
0,2
У11)= - 1 + -у(2 0-(-1) + 2 0,2 —( — 0,800)) = -0,780,
0 2
у\2)= -1 +-у (2• 0-(-1)4-2 0,2 —( — 0,780)) = -0,782,
0 2
у(3) = -1 4- -у (2 • 0 - (-1) 4- 2 • 0,2 - (- 0,782)) = - 0,782.
Получаем у^ = —0,782.
Вычисляем по формуле (1) значение у(20):
у™ = _ 0,782 4- 0,2 (2 • 0,2 — (— 0,782)) = - 0,546.
Проводим итерационную обработку:
0 2
у("=-0,7824- у- (2 • 0,2 - (-0,782) 4- 2  0,4-(-0,546)) = -0,529,
0 2
у™ = _ 0,782 4- -у (2 • 0,2 - (- 0,782) 4- 2 • 0,4 - (- 0,529)) = - 0,531,
0 2
/23) =-0,7824--у(2 0,2-(-0,782)4-2 0,4-(-0,531)) =-0,531.
Получаем у2 — — 0,531.
Аналогично вычисляя, находим у3=—0,253, ух =0,047, у5 =0,366.
Округляя до сотых, получаем у0= —1,00, ух = —0,78, у2=~0,53,
Уз =—0,25, у4 = 0,05, у5 = 0,37. Найденные значения ук совпадают
с точностью до 10 2 со значениями частного решения у = е~х + 2х — 2
в соответствующих точках отрезка [0, 1]. о
Метод Рунге — Кутта. Значения искомой функции у=у(х)
на отрезке [х0, Т] последовательно находят по формулам
» +	+	^ = 0, 1, •••> и-h	(4)
где
byk=^+2fl' + 2q<»+q'»),
/ h ci^\
q^ = hf(xk, ук), q™ = hf\xk+-, Л + -у),
115
/ h c№\
q{" = hf\xk + -, л + yj,	7(**+i, Л + 9з’).
xk+i=xk+h (x„=X), h = (X—x0)/n.
По заданной предельной абсолютной погрешности е начальный шаг
вычислений h устанавливают с помощью неравенства Л4<£. Апостери-
орная оценка точности выполняется по правилу Рунге — Ромберга.
Правило Рунге — Ромберга. Пусть у™ и y{kh}—значе-
ния искомой функции, полученные одним из указанных выше методов
при шагах вычисления h и 2h соответственно, а £ — заданная
абсолютная предельная погрешность. Тогда считается, что достигнута
заданная точность вычислений, если выполняется неравенство
1
2s—1
2к У к
<£
(5)
при всех к и при 5 = 2, 3, 4 соответственно для методов Эйлера,
Эйлера с итерациями и Рунге — Кутта. Решением задачи является
функция {//°}.
Применяя указанное правило, последовательно вычисляют значе-
ния искомой функции с шагом 2h и с шагом h и сравнивают
полученные результаты по формуле (5). Вычисления заканчивают,
когда неравенство (5) выполняется при всех к.
Пример 2. Решить методом Рунге — Кутта с точностью до
10 3 задачу Коши на отрезке [0, 0,6] для уравнения у’ — хЛ-у
с начальным условием >>=1 при х = 0.
<з Исходя из неравенства h4 <0,001, выбираем начальный шаг
вычислений А = 0,15. Тогда л = 4. Проводя вычисления с одним
запасным знаком, находим ух по формулам (4):
Я = 1 +ДУо= 1 +1(9'»>+2<?'2»’+2</'3о' + <7(4°»),
О
где ?(°>=0,1500, 7(2О)=0,1725, ^"’=0,1742, ^°»=0,1986. Имеем:
л = 1+1(0,1500 + 2 0,1725 + 2 0,1742+0,1986)= 1,1737.
6
Далее,
у2 = 1Л73744(*?’ + 2<7</>4-2<7<31>4-^>),
О
где = 0,1986, <?(2П = 0,2247, <?(3l) = 0,2267, q4} — 0,2551. Следовательно,
1
у 2 = 1,1737 4— (0,1986 + 2 • 0,2247 + 2 • 0,2267+0,25 51) = 1,3998.
6
Аналогично вычисляем у3 = 1,6867 и у4=2,0443.
Уменьшим шаг в два раза, т. е. выберем Л = 0,075, теперь л = 8.
Находим у<» по формулам (4):
/.*’= 1 + Луо=14 (9Т+2?Т+2?Т+?Т)=
о
= 1 + - (0,075 4- 2 • 0,0806 + 2 • 0,0808 + 0,0867) = 1,0808.
6
Аналогично находим остальные значения
116
Результаты вычислений помещаем в таблицу:
Я2*’	Я”	v(2h)_ (h) Ук У1к
42М=1	1,0808	0
у V*>= 1,1737	1,1737 Л*’= 1,2796	0
^‘>=1,3998	у? = 1,3997 у?» =1,5350	0,0001
/з2*’= 1,6867	Я?» =1.6866 У7*’= 1,8559	0,0001
у!,2'" = 2,0443	Лм=2,0442	0,0001
Очевидно, что левая часть неравенства (5) в данном случае не
превосходит 0,00002. Поэтому j4h) с точностью до 10"4 представляют
искомую функцию, т. е. все найденные знаки верные,
Метод Милна. Значения искомой функции у—у(х) на отрезке
[х0, У] последовательно находят по двум формулам:
4Л
Я=Л-4+у (2 /(xt-3, Л-з)-/(х*-2, Л-2> + 2 '/(хк-1, >’*-1)),
h	(6)
V* = >’k-2	«(jc* - 2, Л-2) + 4/(Хц-ь Л-1)+Л*Ь Я),
Х—х0
к — 4, 5, ..., п, h =--, хк = хк_1+Л.
п
Первые четыре значения yQy у19 у2, у3 должны быть заданы, для
чего у2, уз предварительно находят каким-либо другим методом.
Предельная абсолютная погрешность 8 значения ук приближенного
решения определяется равенством
1
г=—\Ук-Ук\.	(7)
Пример 3. Используя полученные в примере 2 методом
Рунге — Кутта значения уь у->, у3, найти методом Милна значение у4.
Имеем у0= 1,0000, у^ 1,0808, у2 = 1,1737, у3 = 1,2796 и h = 0,075.
Вычисляя у4 и у4 по формулам (6), получаем:
4 0,075 z z
у4 = 1 +-— (2 (0,075 4-1,0808) - (0,15 4-1,1737) +
+ 2(0,2254-1,2796))= 1,3997,
0,075 zz	ч z
у4= 1,1737 + -^—((0,15+1,1737)+4(0,225+1,2796)+
+ (0,3+1,3997))= 1,3997.
Поскольку у4—у4 = 0, из формулы (7) заключаем, что в значении
у4. все знаки верные, о
В задачах 9.481—9.499 требуется найти с точностью до
0,0001 решение дифференциального уравнения 1-го порядка
с указанными начальными условиями на заданном отрезке:
117
а)	методом Эйлера с итерациями,
б)	методом Рунге—Кутта,
в)	методом Милна.
9.481.	у'=-~^. >(0)=1, [0, 1].
X 1 + у
9.482.	y-2j’=3ex, у(0,3) = 1,415, [0,3, 0,6].
9.483.	у'=х + у2, у(0) = 0, [0, 0,3].
9.484.	у' = у2 — х2, _у(1)=1, [1, 2].
9.485.	у'=х2+у2, у(0) = 0,27, [0, 1].
9.486.	y'+.v(l-J’2) = 0, у(0) = 0,5, [0, 1].
9.487.	y' = x2 — xy+v2, v(0) = 0,l, [0, 1].
9.488.	у' = (2у—х)/у, _у(1) = 2, [1, 2].
9.489.	y’ = x2 + xy+y2 + \, >’(0) = 0, [0, 1].
9.490.	y’+y = x3, y(l)=-l, [1, 2].
9.491.	y' = xy + ey, v(0) = 0, [0, 0,1].
9.492.	y' = 2xy + x2, j(0) = 0, [0. 0.5].
9.493.	y = x + sin^, y(0)=l, [0, 2].
9.494.	y' = ex—y2, j(0) = 0, [0, 0,4].
9.495.	y = 2x + cos.y, y(0) = 0, [0, 0,1].
9.496.	y' = x3 + v2, И0) = 0,5. [0, 0,5].
9.497.	y' = xy3-y, p(0)=l, [0, 1].
9.498.	y'=y2-ex — 2y, j’(0)=l, [0, 1].
9.499.	/=-Л-, j(l)=0, [1, 2].
у —x
В задачах 9.500—9.502 составить на фортране подпрог-
раммы решения дифференциального уравнения у'=/(х, у)
указанными методами.
9.500.	Метод Эйлера с итерациями. Параметры: F, Х0,
Y0, Н, N, У, где F — имя подпрограммы-функции для
вычисления значений функции /(х, у), Х0 — начальное значение
аргумента, Y0—начальное значение функции, Н — шаг вычис-
ления, N—число значений искомой функции у=у(х\ Y -
массив размера N значений функции у=у(х).
9.501.	Метод Рунге—Кутта. Параметры; F, Х0, Y0, Н,
N, Y, EPS, где Н — начальный шаг вычислений, EPS
заданная предельная абсолютная погрешность, входной па-
раметр; остальные параметры, как в задаче 9.500.
9.502.	Метод Милна. Параметры: F, Х0, Н, N, Y, EPS,
где EPS—полученная при вычислениях предельная абсолют-
ная погрешность, выходной параметр, N — число значений
искомой функции, включая начальное. Остальные параметры,
как в задаче 9.500. Первые четыре элемента массива Y должны
быть определены перед обращением к подпрограмме.
118
В задачах 9.503—9.505 составить на фортране программу
решения одной из задач 9.481—9.499, используя для этого
одну из указанных подпрограмм.
9.503.	Подпрограмма, полученная в задаче 9.500.
9.504.	Подпрограмма, полученная в задаче 9.501.
9.505.	Подпрограмма, полученная в задаче 9.502.
Рассмотренные выше методы могут быть использованы при
решении задачи Коши для нормальной системы двух дифференци-
альных уравнений 1-го порядка и для дифференциального уравнения
2-го порядка.
Пример 4. Методом Эйлера с итерациями решить задачу
Коши на отрезке [3, 4] с точностью до 10"2 для уравнения
при начальных условиях у(3) = 6, у'(3) = 3.
<] Исходя из неравенства Л3 <0,01, выберем шаг вычислений А = 0,2.
4-3
Тогда п = -^у = 5.
Приводим уравнение 2-го порядка к системе двух уравнений
1-го порядка, введя
новую функцию р—у''.
РУ1
Р' = —+—+1 =/(х, Л р),
X X
У' = Р = Ч>(х, у,р).
Начальные условия для данной системы: у = 6, р = 3 при х = 3.
Сохраняя один запасной знак, вычислим значения функций
р=р(х) и у-у(х) в точках xt = 3,2, х2 = 3,4, хэ = 3,6, х4 = 3,8, х5 = 4
по формулам (1) и (2).
При Xi = 3,2 имеем:
/А” =Ро + h f(x0, Ро) = 3 + 0,2 (-2 + ^ + 1J = 3,133,
У10) = У о + h • ф (х0, у0, Ро)=у о + h • Ро = 6 + 0,2 • 3 = 6,600,
?11)=Ро + ^(/ио, Уо, Ро)+/(*1’ -У10)’ P(i0))) =
(( 3 6	\
-3 + 0,1 11 — -+—^ + 11 +
У1”=/о + ^(ф(-*о, То, Ро) + ф(-Х1, У10), Р(10))) =
3,133 6,600
3,2 + 3,22
= 3,133,
+o + -(po+P(iO)) = 6 + 0,1 (3 + 3,133) = 6,613.
Получаем значения рх =3,133 и yj = 6,613.
При х2 = 3,4 имеем:
/ 3,133 6,613	\
Р?|=Р1+Л /(х1,у1,р1)=3,133+0,2(--^-+y^-+lj = 3,266,
У(20)=У14-А * ф(хх, ух, Р1)=У1 + Л Pi =6,613 + 0,2 • 3,133 = 7,240,
119
/’!ги=/’1+^(/(л1, Я, Pi)+/(x2, у?>, Р?'))=
({ 3,133 6,613
=3’133+0’1(r^T+TF
3,266 7,240
3,4 + 3,42
= 3,266,
3'2П=3’1 + ^(<Р(Л1, У1, pt)+<f>(x2,	Р2°')) =
=yi+j(Pi+p'°>) = 6,613 + 0,1 (3,133 + 3,266) = 7,253.
Отсюда получаем значения р2 = 3,266 и у2 — 7,253.
Проведя аналогичные вычисления при х3 = 3,6, х4 = 3,8 и х5 = 4,
находим
/>з = 3,399,
/>4 = 3,532,
р5 = 3,665,
Уз = 7,920,
у4 = 8,613.
у5 = 9,333.
Округляя до сотых, получаем ответ: уо = 6,00, у!=6,61, у2==7,25,
у3 = 7,92, у4 = 8,61, у5 = 9,33. с=>
В задачах 9.506—9.511 требуется найти решение си-
стемы двух дифференциальных уравнений 1-го порядка или
решение дифференциального уравнения 2-го порядка с точ-
ностью до 10 ~3 при указанных начальных условиях на
данном отрезке:
9.506.	/ = -, z' = -^- + -, у(1) = 0, z(l) = |, [1,2].
х х(у— 1) х	3
9.507.	y'=(z-у)х, z' = (z+y)x, у(0)=1, z(0)=l, [0,1].
2
9.508.	y'=cos(y + 2z) + 2, z'=	2+x+1, y(0)=l, z(0) =
= 0,05, [0,0,3].
9.509.	y' = e-(>,2 + z2' + 2x, z' = 2y2 + z, y(0) = 0,5, z(0)=l,
[0, 0,3].
9.510.	y"—y = ex, y(0)=0, y'(0) = 0,5, [0, 1].
9.511.	y" — 2y' = x2 —1, v(l)=-l /(!)= — [1,2].
О	4
9.512.	Составить на фортране подпрограмму решения
методом Рунге—Кутта системы двух дифференциальных
уравнений 1-го порядка
у'=/(х, у, z),
z' = ф (х, у, z)
с начальными условиями у(хо)=.Уо, z(x0) = zQ на отрезке
[х0,Х]. Параметры F, FI, Х0, Y0, Z0, Н, N, Y, Z, EPS,
120
где F и FI — имена подпрограмм-функций для вычисления
значений функций f (х, у, z) и <р (х, у, z), ХО — начальное
значение аргумента х = х0, ¥0 и Z0 — начальные значения
функций, Н — начальный шаг вычислений, N — число значений
искомых функций у=у(х) и z = z(x), Y и Z—массивы размера
N значений функций у=у(х) и z = z(x), EPS — заданная
предельная абсолютная погрешность.
9.513.	Используя подпрограмму, полученную при решении
задачи 9.512, составить на фортране программу решения
одной из задач 9.506—9.511.
2.	Краевая задача для линейного уравнения. Краевая задача для
линейного дифференциального уравнения
y”+p(x)y' + <i(x)y=f(x),
где р(х), q(x) и f(x)— некоторые непрерывные на отрезке [а, Ь]
функции, состоит в нахождении его решения у=у(х), удовлет-
воряющего граничным условиям
аоу(а)4-а1у'(а) = Л,
РоД*>)+Р./(*)=в,
где а0, аь р0, Pi» А #—постоянные и |ао| + |а1|^0, |ро| +
+ IP1I/0. Эта задача может быть решена численно методом
конечных разностей, применяя который значения функции
у=у(х) находят из системы линейных уравнений (и+1)-го поряд-
ка вида:
Л+2-2Л+1+Л, , .Л+1-Л, / . е1 .
------П------+Р\Хк)--т---+Я (Хк ) Л =f(xk),
«	«	(8)
к = 0, 1, .... п-2,
,	~У° л
^у0^-- = А,	,	ь_.
I h —--I
П । Q У” -У"-1 п \ П /
PoK+Pi----7---=В
h
с п-1-1 неизвестными у0» Уг, •••> Ул-
Пример 5. Решить краевую задачу для дифференциального
уравнения
у" + х2у + 2 = 0
с граничными условиями у( —1) = 0, у(1) = 0 на отрезке [—1,1]
методом конечных разностей, разбив этот отрезок на четыре равные
части.
<] Имеем: л = 4, h = 0,5, уо = 0, у4 = 0. Следовательно, требуется
вычислить три значения У1=у(—0,5), Уг=у(0), Уз=у(0,5). Составляем
систему (8), полагая поочередно fc = 0, 1, 2:
fc = 0:
——-+xlyi+2=0, или 4(j2-2jI+y0)+7J'i =-2;
п	4
121
к=\:
——у--- — + х	+ 2 = О, или 4(у3-2у2-|-у1)=-2;
п
к = 2:
ул-2у3+уг , 2	,, п	л1 _	,	, >	,
------П----+ -ХзЛ'э + 2 = О, или 4(у4-2у3+у2) + -уз= -2.
п----------4
Добавляя граничные условия, получаем следующую систему пяти
уравнений относительно пяти неизвестных у0, у1ч у2, Уз, у4:
16у0-31у1-У 16у2	== -8,
2и- 4У2 +	2у3	= -1,
16у2 —З1у3 + 16у4 = —8,
У о	=0,
>4 = 0.
Решая эту систему, находим >’о = 0, уг =0,8, у2 = 1,05, у3 = 0,8, >’4 = 0. о
В задачах 9.514—9.519 требуется найти решение диф-
ференциального уравнения 2-го порядка с указанными гранич-
ными условиями методом конечных разностей, разбив задан-
ный отрезок на п равных частей.
9.514.	х2у"— ху'= Зх3; у(1) = 2, у(2) = 9, [1, 2], и = 4.
9.515.	х2у"+ху'-у = х2; j(l)= 1,333, У(3)=3, [1, 3], и = 7.
9.516.	у" + ху'+у = 2х; у(0)=1, >>(1) = 0, [0,1], и=10.
9.517.	j''+ychx = 0; j(0) = 0, j(2,2)=l, [0,2,2], и=11.
9.518.	у" + (х-\)у' + 3,П5у = 4х; у(0)=1, у(1)= 1,368, [0, 1 ],
и=10.
9.519.	х2у"-2у = 0, у(1)-2/(1) = 0, _у(2) = 4,5, [1,2], п = 5.
9.520.	Используя подпрограмму решения линейной си-
стемы алгебраических уравнений, полученную в задаче 3.265,
составить на фортране программу решения одной из задач
9.514—9.519.
Глава 10
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
§ 1. Скалярные и векторные поля. Градиент
1. Геометрические характеристики скалярных и векторных нолей.
Пусть D область в пространстве двух, трех или п измерений.
Говорят, что в области D задано скалярное поле, если в D задана
скалярная функция точки и(Р) = и(хх, х2, хп) = и(г). называемая
функцией поля (г— радиус-вектор точки Р(хг, х2,	хл)). Если каждой
точке PeD поставлен в соответствие вектор а(Р) = а(г), то говорят,
что в области D задано векторное поле, определяемое векторной
функцией a(P) = a(xY, х2, хп) = а(г).
Простейшими геометрическими характеристиками скалярных по-
лей являются линии уровня и(х,у) = С в пространстве двух из-
мерений, поверхности уровня, или эквипотенциальные поверхности,
и(х, у z) = C в пространстве трех измерений и гиперповерхности
уровня и(х{, ..., хп) = С в пространстве п>3 измерений. Простейшими
геометрическими характеристиками векторных полей являются век-
торные линии и векторные трубки. Векторной линией называется
линия, касательная к которой в каждой точке имеет направление
соответствующего ей вектора поля. Векторные линии для векторного
поля a = axi+ayj+azk определяются системой дифференциальных
уравнений
dx	dy	dz
ax(x,y,z) ay(x, y,z) az(x, y, z)
(аналогично для плоских и многомерных полей). Векторной труб-
кой называется поверхность, образованная векторными линиями,
проходящими через точки некоторой лежащей в поле замкнутой
кривой, не совпадающей (даже частично) с какой-либо векторной
линией.
Определить вид линий или поверхностей (гиперповерх-
ностей) уровня следующих скалярных полей:
10.1	и=у2 + х.	10.2.	и — ху.
10.3.	и = у!х.	10.4.	u = x+y + z.
10.5.	u = x2+y2 — z2.	10.6.	и = х2 +у2 — z.
10.7.	u = Xi +х2 + ^з + х4-	Ю.8.	и = х2 + Х2 + Х3-Г%4.
Найти векторные линии следующих полей:
10.9.	a = yi—xj. 10.10. a = xi—yj.
10.11.	a=yi+j. 10.12. a = r = xi+yj+zk.
10.13.	a — [r, c] (c — постоянный вектор).
123
<2 Пусть c—ai-ybj-Уск. Тогда
к
z
с
— (су — bz) i 4- (az — ex} j 4- (bx — ay)k.
Дифференциальные уравнения векторных линий поля а имеют
следующий вид:
dx dy dz
су — bz az — ex bx — ay
Умножая числитель и знаменатель первой дроби на х, второй на
у и третьей на z, находим
х dx у dy zdz
сху — bxz ayz — сху bxz — ayz
Складывая почленно и используя свойство пропорции, окончательно
выводим:
dx dy dz х dx+y dy-Уг dz
су — bz az — ex bx —ay	0
Следовательно,
x dx4 у dy 4-z dz — 0,
или
d(x24-y24z2) = 0.
Отсюда получаем, что
x24-y24-z2 = C2.
Аналогично, умножая числитель и знаменатель первой дроби
на а, второй на Ь, третьей на с и складывая почленно, находим
dx dy dz	a dx + b dy-Ус dz
cy—bz az —ex bx—ay	0
Следовательно,
a dx-yb dy-Ус dz — 0,
или
ax 4 by 4- cz = C2.
Таким образом, уравнения векторных линий имеют вид:
f x24y24z2 = Cf	(G>0),
[ ax-yby + cz—C2-
Векторные линии поля а представляют собой окружности, явля-
ющиеся сечениями сфер x24y24-z2 = C2 плоскостями ах4-by4-cz = С2,
перпендикулярными вектору с. о-
„ л i j к
10.14.	а = --У- + -.
X у Z
10.15.	a=(y-z)i+(z-x)j+(x-y)k.
10.16.	а=х1е1-Ух1е2-Ух^е^.
10.17.	Найти векторную линию поля а= — yi+xj+bk,
проходящую через точку Р(1, 0, 0).
124
10.18.	Найти векторную линию поля а = х 2i-y3j+z2k,
проходящую через точку Р(1/2, —1/2, 1).
10.19.	Определить вид векторных трубок:
а) в задаче 10.12; б) в задаче 10.15.
2. Производная по направлению и градиент скалярного поля.
11 усть 5=cos а • i+cos р j 4- cos у • к — единичный вектор данного на-
правления 5, rQ = xoi+yoj+zok — радиус-вектор точки P0(xq, у0, z0).
Производная скалярного поля и(Р) в точке Ро по направлению 5,
ди
обозначаемая через —, определяется соотношением
ds
ди u(ro + ™)-w(ro)
—= lim---------------
ds t_o т
и характеризует скорость изменения функции и(Р) в направлении
ди
л. Производная — вычисляется по формуле
ds
ди ди
ds г=, дх
т *0
ди
cos а 4--
ди
cosp-b—-
dz
cosy.
(1)
Градиентом скалярного поля и (Р), обозначаемым символом grad и,
называется вектор, проекциями которого на координатные оси яв-
ляются соответствующие частные производные функции и(Р), т. е.
ди	ди	ди
grad и =—i+—j+—к.
дх	ду dz
(2)
Аналогично определяется производная по направлению и градиент
для л-мерных скалярных полей.
Исходя из выражения производной по направлению (I)
и определения градиента (2), доказать следующие свойства
градиента.
10.20.	Производная поля по направлению s равна скаляр-
ному произведению градиента поля на единичный вектор
данного направления, т. е. равна проекции градиента на
данное направление
— = (grad и, s) = | grad и | cos ф,
ds
где ф—угол между градиентом и вектором s.
10.21.	Направление градиента есть направление наибыст-
рейшего возрастания функции поля.
10.22.	В каждой точке поля градиент направлен по
нормали к соответствующей поверхности уровня в сторону
возрастания потенциала поля, т. е.
|gradw|=^,
125
где п — направление нормали к поверхности уровня в сторону
возрастания функции поля.
10.23.	Пусть и — и(х9 у, z) и v = v(x, у, z)—дифферен-
цируемые функции, с — постоянная. Доказать следующие
соотношения:
a)	grad(w4-r) = gradu-|-gradr;
б)	grad(c + u) = gradu;
в)	grad (си) = с grad и;
г)	grad(uv) = vgradu + ugradr (см. пример 4 § 3);
д)	grad(«”) = «M"-1 gradu;
л j (и\ v grad м —и grad v	/Л
е)	grad - =--------z-----, v/0.
\V / v
Найти градиенты следующих скалярных полей:
10.24.	и = \г\. 10.25. u = ln|r|.
10.26.	и = (а, г); а—постоянный вектор.
10.27.	и = (а, r)(b, г); а, b—постоянные векторы.
10.28.	м = |[а, г]|2; а—постоянный вектор.
Пусть г = \г\ = у/ х2 У-у2 У-z2. Показать, что:
10.29.	(gradu(r), r) = u'(r)r.
10.30.	[grad и (г), г] = 0.
Найти производные от следующих полей в заданных
точках по заданному направлению:
10.31.	и = х2У^у2 в точке Ро(2, —1) по направлению
вектора PQPY, где Р1(6, 2).
10.32.	и=^ x2 — ^y2 + z в точке Ро(2, 1, 1) по направлению
„ х—2 у— 1	z—\
прямой —j—= —= -у- в сторону возрастания
поля.
10.33.	и=х i + x2— *з + *4 в точке Ро(1, 3, 2, —1) по
направлению вектора л = 2ег+е2 —2е4.
10.34.	Найти производную скалярного поля и— 1/|г| по
направлению его градиента.
z2
х2 у2
10.35.	Найти производную скалярного поля и = — + у— -I- ~
я Ь2 с2
в точке Р(а, Ь, с) по направлению радиус-вектора этой точки.
10.36.	Найти угол между градиентами поля
и = х2 + 2у2 — z2 в точках Рг (2, 3, —1) и Р2(1, ~h 2).
10.37.	Найти скорость и направление наибыстрейшего
возрастания поля u=xyz в точке Ро(1, 2, 2).
126
10.38.	Найти единичный вектор нормали к поверхности
уровня поля и = х2 + 2xy — Ayz в точке Ро(1, 1, —1), направ-
ленный в сторону возрастания поля.
10.39.	Найти стационарные точки поля
и=2х2— 4ху+у2 — 2yz-|-6z.
Убедиться в ортогональности линий уровня полей.
10.40.	и = х2— у2, v = xy.
10.41.	и = 2х2 +у2, v = y2/x.
Убедиться в ортогональности поверхностей уровня следу-
ющих полей:
10.42.	и = х2 +у2 — z2, v = xz + yz.
10.43.	и = х2 +у2 — 2z\ x) — xyz.
10.44.	м = х2-l-x2 —-X2 —Х4, v = x{х3 + х2х4, w = x1x4 —х2х3.
Найти семейство линий наибыстрейшего возрастания для
следующих полей:
10.45.	Плоского поля и = х2— у2.
10.46.	Трехмерного поля u = xyz.
10.47.	Трехмерного поля и = х 2-У у 2 — z2.
§ 2.	Криволинейные и поверхностные интегралы
1.	Криволинейный интеграл 1-го рода. Пусть АВ—дуга кусочно
гладкой кривой, и(Р)— заданное на АВ скалярное поле, А = А0,
Aiy А2, ..., Л„_1, Ап — В — произвольное разбиение дуги АВ и Pv
(v = 1, 2, ..., п) — произвольные точки на частичных дугах Ау_г Av, дли-
ны которых обозначим через Asv. Если существует предел после-
л
довательности интегральных сумм £ u(Pv)A5v при maxAsv-+0 (и
п -> оо), который не зависит ни от способа разбиения дуги АВ точками
4V, ни от выбора точек на частичных дугах Av_iAv, то этот
предел называется криволинейным интегралом 1-го рода от функции
и(Р) по кривой АВ и обозначается через
J u(P)ds= f u(x, у, z)ds
АВ	АВ
(ds — дифференциал дуги), т. е.
л
f u(P)ds= lim Z	(I)
max A.sv -»0 v = 1
лВ	v
Если функция u(P) непрерывна на AB, то интеграл (1)
существует.
127
Физически интеграл (1) можно рассматривать как массу кривой
А В. Вычисление интеграла (1) сводится к вычислению определенного
интеграла. Например, если уравнение дуги АВ задано в виде x=x(t),
y=y(t), z=z(t), t0^l TO
f u(P)ds = $ u(x(t), y(t), z(z))x/x'2(/)+y' 2(/)+z'2(<)rfz.
AB	‘°
Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от того, в каком
направлении проходится дуга АВ, иными словами,
J u(P)ds = f u(P)ds.
АВ	BA
Пример 1. Определить массу М первого витка винтовой
линии x=tfcosr, y = flsinz, z=ht, если плотность ц(Р) в каждой ее
точке пропорциональна длине радиус-вектора этой точки.
Так как \b = kr = kjx2+y2 + z2, то в точках винтовой линии
р = АЛ/а2 + А2/2. Первому витку отвечает изменение параметра t от
О до 2л и
ds = y/x'2+y'2 + z'2 d t = y/a2 + h2 dt.
Отсюда
2 л
M = f кy/a2-\-h2 y/a2 + h212 dt =
о
= к у/ a2 4- A 2	yja2^- A 2 /2 + ~ In (A / 4- ^/я2 4- A 212	° =
. П—71 ( Г1—/Ъг °2 i 2лА4->/а2 + 4л2А2\
= k^/c^ + h21 nJa2+4n2 h2-\-In-----—------------------------I. о
\ v	2h	a J
В задачах 10.48—10.54 вычислить следующие криволиней-
ные интегралы 1-го рода:
10.48.	f (x+y)ds, где С—контур треугольника А ВО с вер-
шинами Л(1, 0), В (0, 1) и б? (О, 0).
I ds	_
10.49.	———где С—отрезок прямой, соединя-
J у/х2 +у2 + 4
с
ющий точки 0(0, 0) и Л(1, 2).
10.50.	$xyds, где С—контур квадрата |х| + |у| = а (а > 0).
с
10.51.	$ y2ds, где С—первая арка циклоиды x = a(t — sin/),
с
у = я(1—cos/).
128
10.52. J а 2-{- р2 где С—дуга развертки окружности
с
\ -a(cos/ + /sinz), j = fl(sin/ — /cos/) (0^/^2я).
10.53.
у ds
x + 3z"
где С—дуга линии х = /, y = t2 z = t3/3
or 0(0, 0, 0) до Д, 2Д/3).
10.54.	J (х24->’2 )ds, где С—дуга логарифмической спи-
с
рал и г = ае39 от точки А (а, 0) до точки 0(0, 0).
10.55.	Найти массу всей астроиды x = tfcos3/, у = a sin3/,
если плотность ц(Р) в каждой ее точке Р выражается
формулой р (Р) = к | ху |, где к > 0 — коэффициент пропорци-
ональности.
10.56.	Найти массу всей кардиоиды г = я(1+cos<p), если
плотность ц(Р) в каждой ее точке Р выражается формулой
ц (Р) = к yjr9 где к > 0 — коэффициент пропорциональности.
10.57.	Найти массу всей лемнискаты г2 = а2 cos2ср, если
плотность ц(Р) в каждой ее точке Р выражается формулой
ц (Р) = к г, где к > 0 — коэффициент пропорциональности.
10.58.	Найти массу дуги конической винтовой линии
v = tfercosz, y = tfelsin/, z = ae', если плотность ц в каждой ее
точке выражается формулой \i = kel (где k>Q — коэффициент
пропорциональности), от точки 0(0, 0, 0) до точки А (а, 0, а).
10.59.	Найти, с какой силой масса Л/, равномерно рас-
пределенная вдоль окружности х2 +у2 = а2, z = c, притягивает
точечную массу т, помещенную в начале координат.
10.60.	Найти массу четверти окружности х2+у2 = г2, рас-
положенной в первом квадранте, если плотность ее в каждой
точке пропорциональна абсциссе этой точки (коэффициент
пропорциональности а).
10.61.	Найти массу полуокружности х2 +у2 = г2, распо-
ложенной в верхней полуплоскости, если плотность ее
в каждой точке пропорциональна кубу ординаты этой точки
(коэффициент пропорциональности р).
2. Поверхностный интеграл 1-го рода. Пусть G— кусочно гладкая
поверхность, и(Р) — заданное на G скалярное поле, Gb
G2, ..., Gn — произвольное разбиение поверхности G на частичные
поверхности, площади которых равны Aoi, Аст2, ..., Астл, и пусть
Pv (v= 1, 2, ..., п) — произвольные точки на частичных поверхностях
Gv. Если существует предел последовательности интегральных сумм
£ u(Pv)Aov при max diamov->0 (и п-»оо), который не зависит ни
от способа разбиения поверхности G на частичные поверхности, ни
5 Специальные разделы мат. анализа. Ч. 2
129
от выбора точек Pv на этих частичных поверхностях, то этот предел
называется поверхностным интегралом \-го руда от функции и(Р) на
поверхности G и обозначается через
ff«(P)rfa=ffu(x, у, z)d<s
G	G
(de— дифференциал площади поверхности), т. е.
JJ и (Р) de — lim £ n(Pv)Aav.
G	max diam ctv—*0 v _ j
(2)
Если u(P) непрерывна на (7, то интеграл (2) существует. Вычисление
интеграла (2) сводится к вычислению обычного двойного интеграла.
Допустим, что прямая, параллельная оси Oz, пересекает поверхность
G лишь в одной точке, т. е. уравнение поверхности имеет вид z = z(x, у),
и пусть G проектируется на плоскость Оху в область D. Элемент
det площади D выражается в виде de i= de cosy, где у - острый угол,
который нормаль к поверхности G составляет с осью Oz:
Таким образом,
1
у, z)d<s=tfu(x, у, z(x, =
G	D	COS Y
= у, z(x. >’))
D
dxdy.
Если прямая, параллельная оси Oz, пересекает поверхность G в двух
или более точках, то G разбивается на части, каждая из которых
пересекается с прямой, параллельной оси Oz, лишь в одной точке.
Интегрирование следует выполнять по каждой из полученных частей.
Вместо плоскости Оху поверхность G можно проектировать на
плоскости Oxz или Oyz.
Для двусторонних поверхностей поверхностный интеграл 1-го ро-
да не зависит от того, по какой стороне поверхности он берется. Физи-
ческий смысл поверхностного интеграла 1-го рода зависит от физичес-
кого характера данного скалярного поля: он может определять массу,
распределенную по данной поверхности, электрический заряд и т. д.
П р и м е р 2. Определить статический момент относительно
плоскости Оху и положение центра масс однородной полусферы
G (плотности 1): x2+y2 + z2 = R2 (z^O).
<i Имеем
Мху
dxdy,
где D — круг х2+у2^А2,	z = 0.	Так как на полусфере
xdx+ydy + zdz = O, то
dz х dz у
dx z' dy z'
130
<> । куда
/	/ dz\2(dz\2 Jx 2+y2 + z2	R
/ 1 +1 ~ ) +1 — ) =-------— —
\ \dxj	\dyj	Z	^R2_x2_y2
Mxy = ff z da = £[ R dxdy = R JJ dxdy = RnR2 = tcR 3.
G	D	D
(>11 ре делим теперь координаты центра масс полусферы. В силу
симметрии
х0=уо = 0.
Далее, так как площадь Q поверхности полусферы G есть 2nR2, то
MXy R
Z°~ Q ~2
О
Пример 3. На всей поверхности конуса с высотой h и ради-
усом основания а распределены электрические заряды. В каждой
ючке поверхности плотность заряда пропорциональна аппликате
ной точки (e=kz). Вершина конуса — в начале координат, его ось
направлена по оси Oz. Определить суммарный заряд всей поверхности
конуса.
« j Суммарный заряд основания конуса равен произведению его
площади па2 на плотность точечного заряда, т. е. kh. Таким
образом, EOC№ = kna2h. Заряд боковой поверхности G определяется
интегралом
^бок. нов JJ d&.
G
h2
Уравнение поверхности конуса z2 = -^(x2+y2), O^z^h. Дифферен-
а
h2	.	dz h2 х dz h2 у
цируя, находим zdz — -^\xdx-Yydy), откуда — = -у-, — — — - и,
а	дх a z ду a z
следовательно,
Поэтому
+у • -----------dx dy,
а
-‘-'бок.пов *'
кЛ Г(
zdes — —
a JJ
G	D
где Р—круг х2+у2^а2, z = 0. Переходя к полярным координатам,
получаем:
khJa2 + h2 ff	kh.Ja2 + h2
^бок.пов— 2 I I dr d^>	2
a JJ	a
D
2
3
a2 Л-h2.
131
Находим весь заряд:
Е = £осн + £боК.нов=кка2h+1knahyja2 + h2 =	(За + 2y/a2 + h2). о
Вычислить следующие поверхностные интегралы 1-го
рода:
10.62.	ft x2yzd<s, где G—часть плоскости x+j;-hz= 1,
G
лежащая в первом октанте.
10.63.	£]у/х2 У-у2 dcy где G— часть поверхности конуса
G
x2+y2~z2, O^z^l.
10.64.	fj(x2+j'2 + z2)Ла, где G—сфера x2+j,2+z2=l.
G
10.65.	H( v + у + г)Лсг, где G — часть сферы x2+y2 + z2 = a2,
G
лежащая в первом октанте.
10.66.	Определить массу, распределенную на части повер-
хности гиперболического параболоида 2az = x2 —у2, выреза-
емой цилиндром х2+у2 = а2, если плотность в каждой точке
поверхности равна k\z\, где к>§— коэффициент пропорци-
ональности.
10.67.	Определить момент инерции однородной (плот-
ности 1) боковой поверхности конуса z = y/x2+y2 (O^z^a)
относительно оси Oz.
10.68.	Определить суммарный электрический заряд, рас-
пределенный на части поверхности двуполостного гиперболо-
ида z2 = x2+y2 + a2 (a^z^ayfi), если плотность заряда
в каждой точке пропорциональна аппликате этой точки
(e = &z).
10.69.	Определить массу, распределенную по поверхности
куба	|z|^a, если поверхностная плотность
в точке Р(х, у, z) равна k\J\xyz\, где к>$— коэффициент
пропорциональности.
10.70.	Определить суммарный электрический заряд, рас-
пределенный на части поверхности параболоида 2az = x2 +у2,
вырезаемой из него цилиндром = если плотность
заряда в каждой точке равна k^[z, где Хс>0— коэффициент
пропорциональности.
3. Криволинейный интеграл 2-го рода. Пусть на дуге АВ кусочно
гладкой кривой задано векторное поле а=л(г) = ах(х, у, z)i +
+ ау(х, у, z)j+az(x, у, z)£, пусть Л = Л0, Аь Л2, ..., Лл-1, Ап — В—про-
извольное разбиение дуги АВ на частичные дуги, Pv (v=l, 2, ..., п) —
произвольные точки на дугах Av-tAv, a Arv — приращение радиус-
132
вектора г(Р) на концах дуги Av-iAv. Тогда, если существует предел
л
последовательности интегральных сумм £ (e(Pv), Arv) при
v= 1
max | Arv|~>0 (и л->оо), который не зависит ни от способа разбиения
цуги АВ на частичные дуги, ни от выбора точек Pv на этих
частичных дугах, то этот предел называется криволинейным интег-
ралом 2-го рода по дуге А В и обозначается через
J (a, tZr)= j axdx + aydy + azdz,
, е.	Гв Гв п	(3)
f (a, dr)— lim £ (a(Pv), Д»Д-
max|Arv|-+0 v= 1
АВ	V
Здесь (а, dr) и (a(Pv), Arv) — скалярные произведения векторов,
('ели вектор-функция а (Р) непрерывна на АВ, то интеграл (3)
существует.
Интеграл (3) называют также линейным интегралом вектора
а (г). Аналогично определяются линейные интегралы в плоских
и многомерных векторных полях. Если даны параметрические
уравнения дуги АВ: х = х(г), >’=^(r), z — z(t), to^t^tt, то
f(a. dr) = ](ax(x(t), y(t). z(t))x'(t) + ay(x(t), y(t), z(t))y'(t) +
ЛВ	t0
+ аг(х({), y(t), z(t))z'[t))dt. (4)
Здесь t0 и —значения параметра /, отвечающие точкам А и В.
В отличие от криволинейных интегралов 1-го рода, линейные
интегралы (3) зависят от направления, по которому совершается
интегрирование вдоль дуги АВ:
£ (л, <*•)=-f (a, dr).
ВА	АВ
Простейший физический смысл линейного интеграла — работа сило-
вого поля а=а(г) при перемещении в нем материальной точки по
кривой А В из точки А в точку В.
Пример 4. Найти работу силового поля F = xi + yj 4- zk при
перемещении материальной точки вдоль первого витка конической
винтовой линии x = aeIcos/, y = ae‘sinr, z = ae' из точки Л (0, 0, 0)
в точку В (а, 0, а).
<з Так как dx=aef (cos t —sin t)dt, dy = ae'(s\n t+cos t)dt, dz^ae'dt и
(F, dr) = xdx+ydy+zdz =
= a2e2t((cost—sin r)cos/ + (sin r-f-cos /)sinz+ l)dt = 2a2e2,dt,
133
то, учитывая, что г= — оо в точке А и z = 0 в точке В, имеем
о
f (F, dr) = 2a2 J e2'dt = a2. о
AB	— оо
Замечание. Этот пример можно решить проще, если
учесть, что в данном случае (F, dr) = (r, dr) = -d(r2), причем r = |r | = 0
в точке А и r — aJ2 в точке В. Имеем:
а^/2
I (г’ <*•)=! [ d(r2)=r-
ав	2 J 2
о
ау/2
— а2.
о
Линейный интеграл вектора д, взятый по замкнутому контуру
С, называется циркуляцией вектора поля по данному контуру
и обозначается символом ja-dr. Направление обхода контура
с
указывается заранее, причем положительным считается обход против
часовой стрелки, а отрицательным — по часовой стрелке.
Для плоских векторных полей д = ах(х, у)/ + ду(х, y)j имеет
место следующее утверждение:
Если векторная функция а = ах(х,	+ y)j непрерывна вме-
дах дау
сте с производными — и — в замкнутой области G = G[jC, то
ду дх
Кдау
дх
G
——- ) dx dy = f ах dx + ау dy
ду / с
(формула Грина).
Пример 5. Вычислить криволинейный интеграл
j(x+y)dx-(x-y)dy,
С
где С—окружность х2+у2 = г2.
<1 Применяя формулу Грина, можем записать
§(x+y)dx—(x—y)dy = \ f (— 1 — \)dxdy = —2лг2,
с	кс
так как jjdxdy есть площадь круга Кс\ х2 +у2 ^г2. о
Кс
10.71.	Вычислить работу силового поля F=yi — xj при
перемещении материальной точки вдоль верхней половины
х2 у2
эллипса —+^2=1 из точки А (а, 0) в точку В( — а, 0).
10.72.	Вычислить линейный интеграл f (a, dr), если
a—y2i +x2j, 0(0, 0), B(l, 1), по следующим путям:
а) отрезок прямой OB', б) дуга параболы х2=у\ в) дуга
параболы у2 — х\ г) ломаная О АВ, trq А(1, 0); д) ломаная
ОСВ, где С(0, 1).
134
10.73.	Вычислить циркуляцию вектора a=yi—xj вдоль
окружности (х—х0)2 + (.У—Уо)2 — ^2 в отрицательном направ-
лении.
10.74.	Вычислить линейный интеграл f (a, dr), если
°*
и zi + xj+yk, уравнение дуги О А: г = ti+ t2j+ Р к, O^Z^l.
10.75.	Вычислить линейный интеграл f (a, dr), если
ОА
а - — yzi + xzj + хук, О А — первый виток винтовой линии
\ х/cos/, j> = dsin t, z = ht (0^/^2л).
10.76*	*. Вычислить циркуляцию вектора a = zi+xj У у к по
окружности х2 +у2 + z2 = R2, x+y + z = R в положительном
направлении относительно орта к.
10.77.	Вычислить циркуляцию вектора	a=yi — zj + xk
Х2+У2	2	2
вдоль эллипса —-----\-z =а , у = х в положительном направ-
лении относительно орта /.
10.78.	Вычислить работу силового поля F = 2xyi +
\y2j — x2k при перемещении материальной точки вдоль
сечения гиперболоида х2 +у2 — 2z2 = 2а2 плоскостью у — х от
точки (а, а, 0) до точки (а^/2, л\/2, а).
Используя формулу Грина, вычислить интегралы:
10.79.	£(х2 — y2)dx + (х2 + y2)dy\ где С—контур, образован-
с
ный полуокружностью у — у/г^—Х2 и осью Ох.
10.80.	§(x+y)2dx — (х —y)2dy, где С—контур, образован-
с
ный синусоидой у = sinx и отрезком оси Ох при О^х^я.
10.81.	$	x2ydx — xy2dy.
10.82.	§(x+y)2dx — (x2+y2)dy,	С—треугольник с вер-
с
шинами 0(0, 0), Л(1, 0) и В(0, 1).
4.	Поверхностный интеграл 2-го рода. Гладкая поверхность
G в трехмерном пространстве называется двусторонней, если нормаль
к поверхности при обходе по любому замкнутому контуру, лежащему
на поверхности G и не имеющему общих точек с ее границей,
возвращается в первоначальное положение. Выбор определенной
стороны поверхности, т. е. выбор направления нормали к поверх-
ности, называется ориентацией поверхности.
Пусть G —кусочно гладкая ориентированная поверхность и а =
= <7х(х, у, z)i+ay(x, у, гУ/’+аДх, у, z)k — векторное поле. Разобьем по-
верхность G на частичные поверхности б2, ..., G„, площади
которых обозначим через Acrv (v= 1, 2. п), а площади частичных
поверхностей Gv, снабженных единичными нормалями nv(Pv) в точках
135
PvEGv,— через A<rv (т. e. считаем каждую такую площадь вектором
длины Aov и направления wv(Pv)). Тогда, если существует предел
последовательности интегральных сумм £ (a(Pv), A<rv) при
V— 1
maxdiamav-+O (и и-*оо), который не зависит ни от способа разбие-
V
ния поверхности G на частичные поверхности, ни от выбора точек Pv
на этих частичных поверхностях, то этот предел называется поверхно-
стным интегралом 2-го рода по поверхности G и обозначается через
И(в, </а)=ПаЛ dy dz 4- ау dx dz -I- az dx dy,	(5)
G	G
t. e.
ff (a, rfa)= lim £ (а(Л), Aav).
Z	max diam о —> 0 v <
G	v	v v — i
Если поле a(P) непрерывно на G, то интеграл (5) существует.
Поверхностный интеграл 2-го рода называют также потоком
векторного поля а(Р) через поверхность G. Его можно интерпретиро-
вать как количество жидкости или газа, протекающего за единицу
времени в заданном направлении через поверхность G. Переход
к другой стороне поверхности меняет направление нормали к повер-
хности, а потому и знак поверхностного интеграла 2-го рода.
Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода сводится к вы-
числению поверхностного интеграла 1-го рода
ff (a,	= л)б7о = Л (ях cos а + cos р + я, cos у) J о,	(6)
G	G	G
где л = (cos а, cos Р, cos у)— единичная нормаль к поверхности, или
к вычислению суммы трех линейных интегралов
ff (a, de) = + ff ах (х (у, z), у, z) dy dz ± ff ау (х, у (х, z), z) dx dz ±
G	D2
±f J «.-(*, y, z(x, y))dxdy,
Dy
тд&	D2 и D?— проекции G соответственно на плоскости Oyz,
Oxz и Oxy, a x(y, z), y(x, z) и z(x, y)— выражения, полученные из
уравнения поверхности G разрешением относительно соответству-
ющих координат.
Пример 6. Найти поток вектора r = xi+y/4-zfc через часть
X2 v2 Z2
поверхности эллипсоида -7+—-F —= 1, лежащую в первом октанте,
а2 Ь2 с2
в направлении внешней нормали.
о Имеем в силу (6)
ff (г, d<r)=ff (х cos а+у cos р + z cos у) d о.
G	G
Так как в первом октанте внешняя нормаль эллипсоида со всеми
осями координат образует острые углы, то все три направляющих
136
косинуса неотрицательны. Поэтому
JJ(r, <7<г) = JJ xdydz + JJ ydxdz+\\zdxdy = 3v = 3 •- -it abc= -—C-
g	d2 d3	8 3	2
(каждый из интегралов по £>ь D2 и D3 определяет объем одной
восьмой части эллипсоида), с*
Пример 7. Найти поток вектора a=x2i-y2j+z2k через всю
поверхность тела х2-У у 2 + z2^37?2, 0^z<x/x24j'2 —Я2 в направле-
нии внешней нормали.
•1 Имеем:
| J (a, do) = ff (х2 cos а—у 2 cos р + z2 cos у) d о —
<»	G
= JJ x2 cos ad ст—JJ у2 cos p do + JJ z2 cosy da.
G	G	G
Заданная поверхность ограничена сверху сегментом сферы
\2 -Уу2 -Уг2 — 3R2, с боков — частью поверхности гиперболоида
v +у — z=R , снизу кругом х*+у
кости Oyz и Oxz поверхность
а проектируется дважды с разных
сторон. Поэтому, в силу симметрии
поверхности относительно этих
плоскостей, а также учитывая знаки
подынтегральной функции на каж-
дой стороне, можем записать:
JJ х2 cos a da = JJ у2 cos р da = 0.
G	G
На плоскость Оху сферический сег-
мент проектируется в круг (об-
ласть £>з) х2 + у2 ^2Я2, часть по-
верхности гиперболоида в коль-
цо (область ТЦ) R2^х2-Уу2^2R2,
^R , z — 0 (рис. 94). На плос-
Z1
а нижним основанием служит ле-	Рис. 94
жащий в этой плоскости круг (об-
ласть £>з') x2+y2^R2. Но для сегмента сферы cosy>0, для
гиперболоида cosy<0, а на нижнем основании z = 0. Поэтому
JJ(a, d<r) = JJz2cosy da= JJ (3R2 — x2— у2)dxdy — JJ (x2-Уу2 — R2)dxdy.
G	G	D'l
Для вычисления интегралов перейдем к полярным координатам:
2я Ry/2
JJ (3R2 — х2— у2)dxdy= J dtp J (3R 2 — r2)rdr — 4itR\
D'3	о о
2я Лч/2	itR*
JJ (x2+y2 — R2)dxdy= J d<p J (r 2 — R2)rdr- ——.
D"	or	2
Таким образом, окончательно находим: JJ(a,
G
7
d<r)=-nR*.
137
В задачах 10.83—10.86 вычислить поверхностные ин-
тегралы 2-го рода:
10.83.	fj ydxdz, где G — верхняя сторона части плоскости
G
x-yy-yz = a, лежащей в первом октанте.
. _ _ . ccdxdy	~	,
10.84.	JJ--, где G — внешняя сторона сферы
g 2
х2 +у2 + z2 = а2.
10.85.	^x2dydz, где G — внешняя сторона части поверх-
G
Н
ности параболоида z = —(x2-hy2), х^0, у^О, z^H.
R
10.86.	ffz2 dxdy, где G — внешняя сторона полусферы
G
x2+y2 + z2 = R2, z^0.
10.87.	Найти поток вектора a = x2i-yy2j+zk через всю
поверхность тела
-У у2	в направлении внешней
нормали.
10.88.	Найти поток вектора a = 2xi—yj через часть поверх-
ности цилиндра x2+y2 = R2, х^О, у>0,
лении внешней нормали.
10.89.	Найти поток вектора a — x2i-yy2j+z2k
ц
поверхности параболоида —- (x2+j2) = z, ~^Н, в
R
через часть
направлении
внутренней нормали.
10.90. Найти поток вектора а = х2/—y2j+z2k через
x2+y2 + z2 = Z?2,
часть сферы
0, в направлении внешней нормали.
10.91.	Найти поток вектора а = xi+yj—2zk через всю поверхность
куба | х | а, | у | а, | z | а в направлении внешней нормали.
10.92.	Найти поток вектора a = 2x2i+3y2j+ z2k через всю повер-
хность тела х2 -У у2 ^z^^/lR2 — х2 —у2 в направлении внешней
нормали.
10.93.	Найти поток вектора a = xi+yj+zk через часть поверхности
уу
параболоида z — —-(х2— у2), вырезаемую плоскостями x — R, z = 0,
R
х = 0, ориентированной в соответствии с направлением орта к.
10.94.	Найти поток вектора a = x2i+y2j+zk через часть повер-
Н
хности параболоида z = —
x2+y2 = R\ ориентированной в соответствии с направлением
орта к.
вырезаемую цилиндром
138
§ 3. Соотношения между различными
характеристиками скалярных и векторных полей
1. Дивергенция векторного поля и теорема Гаусса—Остроградско-
10. Дивергенцией (или расхождением) векторного поля а=а(г), обозна-
чаемой через dive, называется скалярная величина, равная пределу
о 1 ношения потока векторного поля а через замкнутую поверхность
LP к величине vP объема тела, ограниченного этой поверхностью, при
г’г —>0, т. е. при условии, что поверхность стягивается в точку Р:
(div а)Р= lim(a, de).	(1)
о vp zP
Дивергенция характеризует отнесенную к единице объема мощность
потока векторного поля, «исходящего» из точки Р, т. е. мощность
источника (при (diva)P>0) или стока (при (dive)P<0), находящегося
в точке Р.
В трехмерном евклидовом пространстве дивергенция непрерывно
дифференцируемого поля выражается следующим образом:
дах dav daz
diva=-—F —--F——.
ox су cz
Теорема Гаусса - Остроградского. Поток
векторного поля а (г) через замкнутую поверхность Е, лежащую
в этом поле, в направлении ее внешней нормали, равен тройному
интегралу по области V, ограниченной этой поверхностью, от
дивергенции этого векторного поля, т. е.
§(а,	= divar/v.
i
Пример 1.
найти поток вектора
ГТ
^(x2+y2)^z^H в
К
Используя теорему Гаусса — Остроградского,
a = x3i+y3j+ R 2zk через всю поверхность G тела
направлении внешней нормали.
Имеем dive = 3(x2 + у2) + Р2. Поэтому
d<r)=fff(3(*2+.v2)+*2M’-
G	V
Для вычисления тройного интеграла перейдем к цилиндрическим
координатам. Уравнение поверхности примет вид z = Hr2/R2,
2п R	н
Ш(3(х2+Т2) + ^2)^Г= f ^Фf (3r2 + R2)rdr f dz =
V	0	0	}jr2
~R*
R
= 2nf (3r2~hR2)(H-^T )rdr^ l(R4 + 2R2r2 — 3r4)rdr=n HR4. o
о	/ R J
0
10.95.	Найти div (xyi+у zj+xzk).
139
10.96.	Найти div	.
^(*+^)2
10.97.	Найти дивергенцию векторного поля
a = x2yi+xy2j+z2k в точке Р(2, 2, —1).
10.98.	Найти дивергенцию градиента скалярного поля
w=x3y2z в точке Р(1,—1,1).
10.99.	Магнитное поле, создаваемое электрическим током
силы /, текущим по бесконечному проводу, определяется
формулой Н(Р) = Я(х, j>) = 27—Вычислить divH(P).
10.100.	Найти дивергенцию векторного поля а = [с, г],
где с — постоянный вектор.
10.101.	Найти div (г [с, г]), где с—постоянный вектор.
Используя теорему Гаусса—Остроградского, решить сле-
дующие задачи:
10.102.	Доказать, что поток радиус-вектора г через любую
кусочно гладкую замкнутую поверхность в направлении
внешней нормали равен утроенному объему тела, ограничен-
ного этой поверхностью.
10.103.	Найти поток вектора a = x3i+y3j—z3k через всю
поверхность куба О^х^я,	в направлении
внешней нормали.
10.104.	Найти поток вектора а = г>г через всю поверхность
сферы x2+y2 + z2 = R2 в направлении внешней нормали.
10.105*	. Найти поток вектора a = 2xi+yj—zk, направлен-
ный в отрицательную сторону оси Ох, через поверхность
части параболоида у2 + z2 =-Rx, отсекаемой плоскостью х = Р.
10.106.	Распространить понятие потока и дивергенции на
случай плоского (двумерного) поля и сформулировать теорему
Гаусса — Остроградского для этого случая.
10.107*	. Используя решение предыдущей задачи, преоб-
разовать циркуляцию вектора по замкнутому контуру
L в плоском поле в двойной интеграл по площади, ограничен-
ной этим контуром.
10.108.	Найти с помощью теоремы Гаусса — Остроградс-
кого поток вектора a = x2yi+xy2j+xyzk через всю поверхность
тела х2 +у2 + z2 ^R2, х>0, у>0, z^0 в направлении внешней
нормали.
10.109.	Найти поток вектора a = x2yi—xy2J+(x2 +y2)zk
через всю поверхность тела х2 +у2 ^R2, O^z^H в направ-
лении внешней нормали.
2.	Вихрь векторного поля. Теорема Стокса. Вихрем векторного
поля а = а(г), обозначаемым rota, называется вектор, который
в каждой точке Р дифференцируемости поля определяется следующим
140
образом:
(npsrota)P = lim —f (a, dr].
°F-'° CTp I
Здесь л?—единичный вектор произвольного направления, /Р—малый
замкнутый контур, окружающий точку Р, лежащий в плоскости,
перпендикулярной к вектору s и обходимый в положительном по
отношению к вектору s направлении, оР— площадь области, огра-
ниченной контуром /Р; предел ищется при условии, что контур
1Р стягивается в точку Р. В трехмерном пространстве rota через
декартовы прямоугольные координаты вектора a — axi + ayj+azk вы-
ражается следующим образом:
daz	дау\,	/дах	даЛ .	/дау	дах\ t
"л---Г" Ж 1------V" М Ч л—" V Н*
ду	dz )	\dz	дх J	\дх	ду )
Теорема Стокса. Циркуляция дифференцируемого век-
торного поля а по произвольному кусочно гладкому замкнутому
контуру L равна потоку вектора rota через поверхность G, ограничен-
ную этим контуром L:
$(a, dr]— Jf (rota, da),
L	G
(2)
или в координатной форме
$(axdx+aydy+azdz) =
I.
С((3аг даЛ (с!ах оаЛ (да, даЛ
= Н-------]dydz+\^,-------V )dxdz + \ д----Idxdy-
JJ dz / \dz дх /	ду J
G
При этом единичный вектор п нормали к поверхности G направлен
в такую сторону, чтобы обход контура L производился в положитель-
ном по отношению к п направлении.
Пример 2. Проверить ответ задачи 10.76 при помощи
теоремы Стокса.
о Так как a = zi+xj+yk, то rot a = /4-/4-Л. За поверхность С,
ограниченную контуром L, примем сам круг, образованный сечением
шара x2+y2 + z2^R2 плоскостью x4-j4-z = P. Центр круга О'(Я/3,
Р/3, Р/3); его радиус Rx = Я^/2/3. Единичный вектор нормали
л=(«4-/4"Л)/х/3. Так как (rot a, п] = 3/^/3 = л/3, то находим
f (a, dr] = jj (rota, n]da — ^/3 jj da — v4itR2 =——. о
G	G
Пример 3. Найти циркуляцию вектора a=yi— 2zj+xk вдоль
эллипса, образованного сечением гиперболоида 2х2 —y2 + z2 = R2
плоскостью у=х, в положительном направлении относительно орта
/. Ответ проверить при помощи теоремы Стокса.
Параметрические уравнения заданного эллипса x — Rcost4
у —Rcost, z=Rs\nt. Для обхода в заданном направлении параметр
141
t надо изменять от 0 до 2л. Следовательно,
2к
f(a, dr) = $ydx—2zdy + xdz = R2 f ( — sin rcos Z4-2sin2 z + cos2 t)dt — 3nR2.
l	l	о
Применим теорему Стокса. Имеем rota=2i—j—к. За поверхность
G, ограниченную контуром L, примем часть секущей плоскости,
лежащей внутри эллипса. Единичный вектор нормали, направленный
1	.	.	/	ч 3
в нужную сторону, имеет вид п — —— (i—J). Поэтому (rota, л)=—— и
72	J2
Ясс	3 ff 3
(rota, J<r)= (rota, n)da ——— da ——-nab.
JJ	V/2JJ J2
L	G	G	G
Но так как эллипс имеет полуоси a-Rsfi и b — R, то
(a, dr) = 3n R 2. t>
10.110.	Найти rotxyz[xi+yj+zk\
10.111.	Найти rot(P(x, y)i+Q(x, y)j).
10.112.	Показать, что магнитное поле Н(Р) (см. задачу
10.99) в области своего определения является безвихревым.
10.113.	Найти ротор поля [а, с], если a = x2i+y2j—х2к
и c = i— j+2k.
тт ~	xi+vj+zk г
10.114.	Наити rot ------		=rot—.
Jx2+y2 + z2	И
10.115*	. Жидкая среда вращается с угловой скоростью
ш=(ох1+соуу+(о2Л вокруг оси, проходящей через начало
координат. Найти вихрь поля скоростей этой среды.
10.116.	Вывести формулу Грина (см. ответ к задаче
10.107), применяя теорему Стокса к двумерному векторному
полю a = axi+ayj.
10.117	Пользуясь формулой Грина, убедиться в том, что
площадь Q плоской области Z), ограниченной кусочно гладким
контуром £, можно найти при помощи любого из трех
следующих интегралов: Q = §xdy= —§у dx = -§xdy—y dx.
l	l 2 L
10.118.	Используя последнюю формулу предыдущей зада-
чи, найти площади фигур, ограниченных следующими кривыми:
а)* петлей Декартова листа х3+у2 — Зяху = 0;
аа «	а2	з Ь2 з (	к
б)	эволютой	эллипса	х — — cos*z,	у — — sin*t\a	и	b—по-
___________________________ с	с
луоси эллипса, с = х/а2—/>2).
142
10.119.	При помощи теоремы Стокса найти циркуляцию
вектора a = z2i+x2j+y2k по сечению сферы x2+y2 + z2 = R2
плоскостью	R в положительном направлении от-
носительно орта к.
10.120.	Найти циркуляцию вектора а=г3/4-х3у+у3Л по
сечению гиперболоида lx2— y2 + z2 = R2 плоскостью х+у = 0
в положительном направлении относительно орта i. Прове-
рить при помощи теоремы Стокса.
10.121.	Найти циркуляцию вектора a=y2i+xyj+(x2 +у2]к
по контуру, вырезаемому в первом октанте из параболоида
\1-yy2=Rz плоскостями х = 0, j = 0, z = R в положительном
направлении относительно внешней нормали параболоида.
Проверить при помощи теоремы Стокса.
3.	Оператор Гамильтона и его применение. Все операции век-
юрного анализа можно выразить при помощи оператора Га-
мильтона—символического вектора V (читается — набла), опреде-
ляемого равенством
d	d	d
V = I —+7 —+ Л—.
сх оу	OZ
Применяя известные операции умножения вектора на скаляр, скаляр-
ного и векторного произведения двух векторов, находим:
gradi/ = i —+/—\-к— = Vи; — = (я, grad u) = (s, Vu) = (s, V)w;
dx dy dz os
dax dav daz .	.
div a = —~+—2+—=(V, a);
ox dy dz
i J к
+/4JMA= a_ s. 3. =rv
\ dy dz )	\ dz dx) \dx dy) dx dy dz
Ox
По аналогии с производной по направлению от скалярной функции
du
— вводится понятие производной по направлению единичного
ds
вектора s от векторной функции в (г). Именно,
да
— = ($, V)fl=(s, gradflx)i + (s, gradfly)/ + (s, gradflz)£ =
dax. da . daz
ds ds ds
Производные по направлению произвольного (не единичного)
вектора с отличаются от производных по направлению единичного
вектора только тем, что в них входит дополнительный скалярный
множитель |с|:
(с, V)u = (c, grad и),
(с, V)a = (c, grad«x)i + (c, grad ау)j-I-(c, gradaz)£.
143
С помощью оператора Гамильтона удобно выполнять дифференци-
альные операции векторного анализа над сложными выражениями
(произведение двух или более скалярных функций, произведение
скалярной функции на вектор, скалярное и векторное произведения
векторов и т. п.). Следует лишь помнить, что это оператор
дифференцирования произведения.
П р и м е р 4. Найти градиент произведения двух скалярных
функций и и V.
Имеем
grad (uv) — V (uv) = V (и v) + V (uv)
(стрелка указывает функцию, на которую «действует» оператор). Но
V (uv) = v\7u = v grad м,
V (uv) = uVv = wgrad v.
Таким образом, grad uv = v grad и -I- и grad v.
Пример 5. Найти rot [а, с], где c — постоянный вектор.
<а Так как по известной формуле векторной алгебру [а, [Л, с]] =
= («, с)Ь — (а, Л)с, то, учитывая соотношение [V, [п, с]] — 0, имеем:
rot [a, c] = [V, [л, c]] = [V, [a, c]] + [V, [я, c]] = (V, с) а — (V, а) с.
Но (V, с)а=(с, V)a, а это есть производная вектора а по направлению
вектора с. Далее, (V, a)c = c(V, а) = с div а.
Таким образом, rot [а, с] = (с, V)а — с dive. о
Выполнить следующие дифференциальные операции (с—
постоянный, а и b—переменные векторы):
10.122	. Найти div (см) и div(aw).
10.123	**. Найти grad (а, с) и grad (а, Ь).
10.124	. Найти div [а, с] и div [а, 4].
10.125	*. Найти rot (cw), rot (аи) и rot [а, Л].
4.	Дифференциальные операции 2-го порядка. Можно образовать
пять дифференциальных операций 2-го порядка:
1)	div grad m = (V, V)u = V2u = Am (лапласиан функции);
2)	rot grad w = [V, V]m;
3)	grad div e = V(V, a);
4)	divrota = (V, [V, a]);
5)	rotrota = [V, [V, e]].
Кроме того, операцию V2 можно применять и к векторным полям,
т. е. рассматривать операцию V2e.
Вторая и четвертая операции приводят к нулю:
rot grad m = [V, V]m = 0, divrotM = (V, [V, a]) = 0.
Это следует из векторного смысла оператора V: в первом случае
формально мы имеем векторное произведение двух коллинеарных
векторов, а во втором—смешанное произведение компланарных
векторов.
144
10.126.	Получить выражения для
div grad и = V 2 и,
grad div a = V(V, а),
rotrot fl = [V, [V, а]],
V2a = V2axi +V2ayj +V2az£
через производные скалярного или векторного полей.
10.127.	Найти grad div л, если а = х 3i+y3j+z3k.
10.128.	Найти rot rot а, если a = xy2i+yz2j+zx2k.
10.129.	Найти \72я, если а —(у2 + z2)xf+(x2 +z2)yj+
+-(х2+у2) zk.
10.130.	Найти div grad (iw).
10.131.	Найти grad div (uc) и grad div (wa) (c — постоянный,
a — переменный вектор).
10.132.	Найти rot rot (uc).
§	4. Специальные виды векторных полей
1. Потенциальное векторное поле. Векторное поле а = л(г) называ-
ется потенциальным, если вектор поля а является градиентом
некоторой скалярной функции и = и(Р\.
= (1)
Функцию и(Р) в этом случае называют потенциалом векторного
поля. Необходимым и достаточным условием потенциальности
дважды дифференцируемого в односвязной области поля а (г) является
равенство нулю вихря этого поля:
rota = 0.	(2)
Пример 1. Проверить, что вихрь трехмерного векторного
поля а — grad и тождественно равен нулю (функцию и(Р) предполагаем
дважды дифференцируемой).
ди	ди	ди
<□ Так как а = grad и — — /Н—j-\—к, то, учитывая равенство сме-
дх	ду	dz
шанных производных 2-го порядка, получаем
( д ( ди\ д ( ди\\
rot а = rot grad и = \ — —-—	/+
\dy\dzj dz\dy J/
/ д / ди \ д / ди\\ / д / ди
\dz\dx) dx\dz//~\dx\ ду
д (
ду \
ди \\
Т Л-°-
ах //

В п. 4 предыдущего параграфа это равенство было получено
с использованием свойств символического вектора набла.
Потенциальное поле обладает следующими свойствами.
1.	В области непрерывности потенциала поля линейный интеграл
от вектора поля, взятый между двумя точками поля, не зависит
от пути интегрирования и равен разности значений потенциала поля
145
в конце и начале пути интегрирования
в	в	в
j (a, dr) = f (grad и, dr) — j du = и (В) — и (А)	(3)
А	А	А
(использована легко проверяемая формула (grad и, dr) = du).
2.	Циркуляция вектора поля по любому замкнутому контуру,
целиком лежащему в области непрерывности поля, равна нулю.
3.	Если поле а потенциально, то потенциал поля и(Р) в произ-
вольной точке Р может быть вычислен по формуле (э):
р
и(Р) — $(а, dr)+C,	(4)
А
причем С=и р), что легко получается подстановкой в (4) вместо
переменной точки Р фиксированной точки А.
Для вычисления интеграла (4) можно выбрать любой путь —
проще всего в качестве такого пути выбрать ломаную со звеньями,
параллельными осям координат, соединяющую точки А и Р. За
точку А удобно принимать начало координат (если оно лежит
в области непрерывности поля).
Пример 2. Найти потенциал поля а = 2xyi-I-(х2 — 2yz)j—y2k.
о Убедимся, что поле потенциально:
daz	дау	дах	daz	дау	дах
Л	Л	Л	Л	О’	Л	л
ду	dz	dz	дх	сх	ду
Следовательно, rota = 0.
За путь интегрирования примем ломаную О АВР, где 0(0, 0, 0),
А(Х, 0, 0), В(Х, Y, 0), Р(Х, Y, Z). Находим:
А	В	Р
и(Х, Y, Z) = j (a, dr)+C=$ (a, dr)+f (a,	+ f (a, dr) + C,
ОАВР	О	А	В
(a, dr) = 2ху dx 4- (х 2 — 2yz )dy—y2dz.
Так как на [ОА ] имеем y = z = 0, dy = dz = 0, О^х^Х, то
f (в, dr) = 0.
О
Аналогично, на [АВ ] имеем х = X, dx = Q, z = 0, dz = 0, 0 У,
поэтому
в	Y
$(a,dr) = $ X2dy = X2Y.
А	О
На [ВР ] имеем х — Х, y=Y, dx = dy = 0, O^z^Z, значит,
р	z
f (a,	Y2dz= — Y2Z.
в	о
Таким образом, и(Х, Y, Z) = X2Y—Y2Z+С. Возвращаясь к перемен-
ным х, у, z, получаем
и(Р) = х2у—y2z + C. о
Замечание. Изложенный метод отыскания потенциала поля
применяется при решении таких эквивалентных рассмотренной задач
146
м<| тематического анализа, как восстановление функции двух, трех
и п переменных по их полным дифференциалам, а также при
ин утрировании дифференциальных уравнений в полных дифферен-
циалах.
Найти
полей:
10.133.
потенциалы следующих плоских и трехмерных
10.134.
а = (3х2у — у3)/+(х3 — 3xy2)j.
sin 2х cos 2у • i -I- cos 2x sin 2y j
a =—-......
у/ cos2 x sin2 у 4- sin2 x cos2 у
/ v2	\
10.135.
2
10.136*. а
г х 2xz
Z2 у3
10.137*. в=(
\_У Z X*
(у х 2ху \ _
И-
х2 у2 z3 )
10	.138**. Доказать, что во всюду непрерывном потенци-
альном векторном поле векторные линии не могут быть
замкнутыми.
Если в плоском потенциальном поле есть точки, в которых
ноле теряет свойство непрерывности (так называемые особые точки),
го циркуляция по замкнутому контуру, окружающему такую точку,
может быть отлична от нуля. В этом случае циркуляция по контуру,
обходящему данную особую точку один раз в положительном
направлении, не зависит от формы контура и называется циклической
постоянной относительно данной особой точки.
Аналогичными свойствами обладают трехмерные поля с особыми
линиями, вдоль которых поле теряет свойство непрерывности.
xj— yi
10	.139. Убедиться в потенциальности поля а = ——
х2+у2
Определить его особую точку и ее циклическую постоянную.
10	.140*. Доказать сформулированное выше свойство
о том, что циркуляция по замкнутому контуру, окружающему
особую точку, не зависит от формы контура.
10	.141*. Воспользовавшись формулой (4) для определе-
ния потенциала поля, убедиться в том, что потенциал
плоского поля, имеющего особые точки, будет многозначной
функцией.
2.	Соленоидальное поле. Векторное поле а —а (г) называется
соленоидальным, если дивергенция этого поля равна нулю: diva = 0.
Для трехмерного поля это условие можно переписать в виде
дах dav да.
dive=—^+—'+—-=0.
дх ду dz
(5)
147
В таком поле в силу теоремы Гаусса — Остроградского равен нулю
поток вектора поля через любую замкнутую поверхность. Исключение
может быть только в случае наличия в таком поле особых точек
(в которых вектор поля не определен и дивергенция поля, если ее
определять в такой точке при помощи формулы (1) § 3, отлична
от нуля). В этом случае поток через замкнутую поверхность может
быть отличен от нуля, но будет иметь одно и то же значение
для всех замкнутых поверхностей, окружающих данную группу
особых точек.
Пример 3. Доказать, что для любого дважды дифференциру-
емого трехмерного векторного поля а=л(г) поле вихрей солено-
идально.
Имеем
rot а=
div rot а — —-
дх
да, dav \ / дах да, \ (дах дах
-т--р+ -т-------— Ь’+ у1--—
ду dz ) \ dz dx у \дх ду
Учитывая равенство смешанных производных 2-го порядка, получаем
daz dav\ д / дах daz\ д (дау дах
ду dz J ду \ dz дх J dz у дх ду
В п. 4 предыдущего параграфа это соотношение доказано
с помощью оператора набла.
10.142. Доказать, что в соленоидальном поле поток
вектора через замкнутую поверхность, не содержащую внутри
особых точек, равен нулю.
Проверить соленоидальность следующих полей:
a = (x2y+y3)i+(x3-xy2)j.
a = xy2i+x2yj—[x2 +у2) zk.
х . . у . (x+y)lnz
а = — i 4— j—-------к.
yz xz ху
10.144.
10.145.
10.146.
10.147*. Доказать, что в соленоидальном поле поток
вектора поля через поперечное сечение любой векторной
трубки (определенный в одном и том же направлении)
сохраняет постоянное значение.
3. Лапласово (или гармоническое) поле. Векторное поле называется
лапласовым (или гармоническим), если оно одновременно и потен-
циальное и соленоидальное, т. е. если
rot а = 0 и div а = 0.	(6)
Пример 4. Доказать, что потенциал и двумерного или
трехмерного лапласова поля является гармонической функцией двух
д2и д2и	д2и д2и д2и
или трех переменных (т. е.-----F— = 0 или -------|---4----=0).
дх2 ду2	дх2 ду2 dz2
Действительно, имеем
д2и д2и
div а = div grad и =—-4-----------------=0
дх2 ду2
148
him двух переменных,
d2u д2и д2и
div а = div grad и —--4----4---= 0
дх2 ду2 dz2
пня трех переменных.
Пример 5. Показать, что потенциал поля сил тяготения,
возникающего в пространстве, окружающем некоторую точечную
массу, равен к/г (к>0— коэффициент пропорциональности) и что
попе сил тяготения лапласово.
। Поместим начало координат в центре притяжения. Тогда
к t	1	, xi+yj+zk кг
«=gradgrad	= -fc , v2 . y2P/2 = "~з-
r Jx2+y2 + z2	+J +z ) r
Но это — вектор силы притяжения. Действительно, он направлен
к центру притяжения, поскольку —г/г—единичный вектор радиус-
вектора точки Р(г), направленный к началу координат, а его модуль
равен к/г2, т. е. обратно пропорционален квадрату расстояния от
г
центра притяжения. Покажем, что diva= — &div~ = 0. Имеем:
г*
кх
ax=~{x2+y2 + z2)312'
дах x24-y24-z2 —Зх2	y2 + z2 — 2x2
ЪГ ~к (x24-y24-z2)5/2 = ~к 75	'
Аналогично,
day	x2 + z2 — 2у2	daz х2+у2 — 2z2
Ту = -к----Р--’ -8Г~к-----7----’
и потому
дах dav daz	к	л	л	л
-—+ = —т((у2 4- z2 — 2х2)-ь(х2 4- z2 -2у2)+(х2 4- у2 -2z2))==0.
дх ду dz	г
Итак, поле сил тяготения лапласово, о
10.148	. Доказать, что плоское векторное поле, поте-
нциалом которого служит функция ы = 1пг (r = y/x2-by2),
лапласово.
10.149	*. Для гармонических в области G функций и и w до-
казать следующие формулы Грина:
a)	$u|^tZ(i = ffJ(grad и, gradw)tfo
(первая формула
б)
(вторая формула
vn	G
Грина),
( dw du\ t
tt w-—w— da = v
s\ dn	dn J
Грина),
149
в)	§ "у-Н- do = 2 Jf J (grad w, grad и) dv
s dn G
(третья формула Грина).
Являются ли гармоническими следующие функции:
10.151.	п = г — x = x/xi4-y2 — х.
10.152.	и = Ах 4- By + С.
10.153.	и = Ах2+ 2Вху+Су2.
10.154.	и = Ах3 + ЗВх2у + ЗСху2 + Dy3.
10.155.	и = Ax + By + Cz + D.
10.156.	и = а 1 ix2 4-а22у2 -f-a^z2 4-2tfi2ху4-2a^xz4- 2я2з.)’~•
10.157.	м = а111Х34-Д222У34-«ззз234-Зд112Х2у4-Злцзх2гН-
4- 3ai22*y2 4- Зо22з^2г 4- 3fli33*z 2 4- За2зз^2 4- 6tfi23-xyz.
§ 5.	Применение криволинейных координат
в векторном анализе
1.	Криволинейные координаты. Основные соотношения. В простран-
стве задана система координат, если каждой точке Р поставлена
в соответствие тройка чисел q2, q3, причем различным тройкам
чисел отвечают различные точки пространства. Числа qr, q2,
q3 называются координатами (или криволинейными координатами)
точки P = P(qx, q2, q3). Наиболее употребительными являются
следующие системы координат:
1)	Декартова прямоугольная система координат. Здесь qA=x —
абсцисса точки Л q2=y—ордината и q3=z—аппликата.
2)	Цилиндрическая система координат. Здесь за q{ принимается
расстояние г от точки Р до оси z, q{ =r(0^r< 4- oo), q2 = (?— угол,
составленный проекцией радиус-вектора OP на плоскость Оху
с положительным направлением оси Ох (0^ф<2л), a q3 = z—ап-
пликата точки Р.
При этом цилиндрические координаты связаны с декартовыми
прямоугольными координатами при помощи формул
x = rcosq), y = rsin<p, z — z
и, обратно,
г = х/х24->’2, tg(p = -.
X
3)	Сферическая система координат. Здесь qr=r—длина радиус-
вектора точки Р(0^г<+оо), q2 = $— угол между положительным
направлением оси Oz и радиус-вектором ОР точки Р(О^О^д)1),
<7з = Ф—угол между положительным направлением оси Ох и проек-
’) Иногда за координату q2 сферической системы принимают
угол между радиус-вектором ОР и плоскостью Оху (см. § 2 гл. 8).
150
иней радиус-вектора OP на плоскость Оху (0^ф<2я). Имеют место
формулы:
x = rsin Ocoscp, у = г sin 0 sin ф, z = rcos0
п. обратно,
r = y/x2 +y2 + z2,
Z
COS 0 — .............,
^/х2 +у2 + z2
4 У
tg<p=-.
X
Линия, вдоль которой изменяется только одна координата
ид пинается координатной qx-линией, а единичный касательный вектор
н ной линии, направленный в сторону возрастания qY,—единичным
координатным ортом еЧх в точке Р(^?, <7°, <7з)- Аналогично определя-
ю1ся q2- и (/з-линии и единичные орты еЧ1, еЧз.
Если векторы еЧх, еЧ2, еЧз попарно ортогональны в любой точке
пространства, то соответствующая система криволинейных координат
•/,. q2, q3 называется ортогональной.
Пусть P(qi, qi, <b)— произвольная точка пространства,
/’, (</! 4-А^ь q2, q3) — точка, лежащая на qi-линии точки Р,
и l/^il—длина дуги PPi. Тогда число
IPPil
Lt = lim ----
а,,-о Ml
называется коэффициентом Ламе координаты qv в точке Р. Аналогич-
но определяются коэффициенты Ламе L2 и L3 координат q2 и q3.
Если точка Р(х, у, z) имеет криволинейные координаты
</1 -= яЛ*, У, z),	У, Д Уз = <]з(х, У, Д то дифференциалы ради-
ус векторов drq координатных линий и дифференциалы их дуг dsq
определяются с помощью равенств
дх	ду	dz
drq =i —dq„+j ~—dqv + k — dqv = Lveq dqv,
v dqv	dqv	cqv	v
If dx\2 f dy\i f dz \2
dsq = / —- +(— + — dqv = Lvdq^
v \ \dqvJ \dqyj \dQvJ
(v=l, 2, 3), где £v — коэффициенты Ламе.
Множество точек P(qr, q2, q3), для которых одна из координат
постоянна, называется координатной поверхностью.
Дифференциалы площадей координатных поверхностей определя-
ются по формулам
dvqx = L2L3dq2dq3, d<342 = LvL3dqxdq3, d<3qi = LxL2dqYdq2,
а дифференциал объема
dv — LrL2L3dqidq2dq3.
Найти вид координатных линий и координатных повер-
хностей и построить их в произвольной точке для следующих
случаев:
10.158. Для декартовой прямоугольной системы коор-
динат.
151
’ 10.159. Для цилиндрической системы координат.
10.160.	Для сферической системы координат.
Вычислить коэффициенты Ламе:
10.161.	В декартовой прямоугольной системе координат.
10.162.	В цилиндрической системе координат.
10.163.	В сферической системе координат.
Найти дифференциалы дуг координатных линий, диф-
ференциалы площадей координатных поверхностей и диф-
ференциал объема:
10.164.	В декартовой прямоугольной системе координат.
10.165.	В цилиндрической системе координат.
10.166.	В сферической системе координат.
2.	Дифференциальные операции векторного анализа в криволиней-
ных координатах. Указанные операции определяются следующими
формулами:
1 ди	1 ди	1 ди
gradu=— —е„ + — у-~еЧ1 + — —eq>,
Lx dq{	L2 dq2	L3 dq3
\	( d .	d	Д
dlVe = 7_7_T	+	+
LiL2^3\^i	g42	dq3	/
(здесь a = aqeqx 4- aqeqi + aq eqx),
1 ( d . x d . A	i \
rote = -— —(L3aJ-—(L2aJ K + -7-T-
1-2^3 \g42 dq3 / LiL3\dq3
d , A 1 ( d t ч d , A
(1зв”7е”+ЕД; \d^L2a^~Wi(L' M e"3’
Ku=^u= 1	(± (hh ^L\+± (hh
LjL2^3 X/fyl \ fyl/ dq2 \ ^2 ^42/
d (LiL2 du \\
dq3 \ L3 dq3))
Для цилиндрических координат г, (р и z найти выражения:
10.167. grad и. 10.168. Ди.
10.169. div л. 10.170. rota.
Для сферических координат г, 0, ср найти выражения:
10.171. gradu. 10.172. Ди.
10.173. diva. 10.174. rota.
Пример 1. Перейти к цилиндрическим координатам в выраже-
xi+yi—zk
нии векторного поля а-—-=== и найти diva и rota.
+у2 +z2
152
। Так как в данном случае xi+yj=r4 то
rer — zez
а ——  
yj г1 Л-Z1
По формулам, полученным при решении задач 10.169 и 10.170,
। i.i ходим:
I (с (га,) са^ ёаД
г \ дг дф dz )
_1 /2г(г2 Tz2) —г3 (r24-z2)-z2
~~r VV+22)375 Г (r2 + z2)3'2
да, да Л
—кр+
cz дг)
1 / д(га^ даг\
+ г \ dz	д(р)€z	(г2
(1 daz да«
к>1	-----------
\г дф дг
2z2
2rz
. ,2\3/2СФ*
10.175.	Вывести формулы:
a) divev- '	б) rotev=T [grad Lv, ev].
10.176.	Используя формулы, выведенные при решении
задачи 10.175, найти diva и rota для единичных координатных
векторов цилиндрической системы координат:
а) a = er; 6) а = еф; в) a = ez.
10.177.	Решить задачу, аналогичную 10.176, для сферичес-
кой системы координат:
а) a = er; б) а — е^ в) а = еф.
10.178.	Найти все гармонические функции вида:
а) и=/(г); б) и=/(<р); в) u=/(z)
(г, ф, z — цилиндрические координаты).
10.179.	Найти все гармонические функции вида:
а) м=/(г); б) и=/(0); в) и=/(<р)
(г, 9, ф—сферические координаты).
10.180.	Перейти к сферическим координатам в выражении
2ху (z2 — х2 — у2)	„	2
скалярного поля и =-----ц—-2---- и наити w, gradw и V и.
10.181.	Перейти к цилиндрическим координатам в выраже-
2xyz + (x2— у2)	„	j Г7 2
нии скалярного поля м =-----=— и наити w, grad и и V и.
у/х2+у2
10.182.	Перейти к сферическим координатам в выражении
векторного поля а— 	---— и найти a, diva и rota.
yjх2 4- у2 Т z2
10.183.	Перейти к цилиндрическим координатам в выраже-
нии векторного поля a — xzi-\-yzj~z^/x24-у2Л и найти a, diva
и rota.
153
3.	Центральные, осевые и осесимметрические скалярные поля.
Скалярное поле называется центральным, если функция поля u = u(P)
зависит только от расстояния точки Р поля от некоторой постоянной
точки — его центра. Если начало координат поместить в центр поля,
то функция и примет вид
и = и (г) = и (^/x2+y2+z2).
При исследовании таких полей целесообразно пользоваться сферичес-
кими координатами. Поверхностями уровня такого поля будут сферы
с центром в центре поля, и потому эти поля часто называют
сферическими.
Скалярное поле называют осевым, если функция поля и(Р)
зависит только от расстояния точки поля Р от некоторой оси.
Если принять эту ось за ось Oz и обозначить расстояние от точки
Р до нее через г, то функция и примет вид
и = и (г) = и (у/х2+у2).
При исследовании таких полей целесообразно пользоваться цилин-
дрическими координатами. Поверхностями уровня таких полей яв-
ляются круговые цилиндры, оси которых совпадают с осью поля.
Эти поля называют также цилиндрическими.
Если функция и(Р) скалярного поля принимает одни и те же
значения в соответствующих точках всех полуплоскостей, проходящих
через одну и ту же прямую (ось поля), то такое поле называют
осесимметрическим. Поверхности уровня такого поля — поверхности
вращения, оси которых совпадают с осью поля. Если ось поля
принять за ось Oz, то при исследовании таких полей целесообразно
пользоваться либо сферическими, либо цилиндрическими координа-
тами. Функцию и = и (Р) можно в этом случае представить либо в виде
и —и (у, 0)
(в сферических координатах), либо в виде
u — u(r, z)
(в цилиндрических координатах).
Замечание. Градиенты центральных, осевых и осесиммет-
рических полей образуют векторные поля того же характера —
центральные, осевые и осесимметрические.
Найти градиенты и лапласианы следующих полей:
10.184.	м=/(г), r = y/x2-hy2 + z2.
10.185.	r = у/х2+у2.
10.186.	u — F(r, 0) (г, 0 — сферические координаты).
10.187.	w = F(r, z) (г, z — цилиндрические координаты).
Глава 11
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Элементарные функции
1. Понятие функции комплексной переменной. Множество то-
чек Е расширенной комплексной плоскости (z) = CU{oo} назы-
вается связным, если любые две его точки можно соединить
непрерывной кривой, все точки которой принадлежат данному
множеству. Связное открытое множество точек комплексной
плоскости называется областью и обозначается через D, G и
1 п. Область D называется односвязной, если ее граница является
связным множеством: в противном случае область D называется
многосвязной.
Если каждому комплексному числу z, принадлежащему об-
ласти D, поставлено в соответствие некоторое комплексное чи-
сло w, то говорят, что в области D определена комплексная функция
Пусть z = x + (y и w = u + iv. Тогда функция w=f(z) может быть
представлена с помощью двух действительных функций и = и(х, у)
и v = v(x, >’) действительных переменных хну:
w=f(z) = u+iv = u(х, >>)-4-iv(л, >’),
где
ы(х, y) = Ref(z),	v(x, y) = lmf(z}.
Пример 1. Указать область, определяемую условием
| z | — Im z < 1.
<з Так как | z| = ^/х2-}-^2 и Imz=>>, то получаем неравенство
у/х2-Уу2—у<\
или
у/х2+у2< 1 -У у.
Из последнего неравенства следует что у > — 1. Возводя обе части
неравенства в квадрат, находим х* У у2 < 1 +2у+у2. Следовательно,

искомая область определяется неравенством у>
т. е.
пред-
ставляет собой открытое множество точек, ограниченное графиком
параболы j> = -(x2 — 1) и содержащее точку 0(0,0). о
Пример 2. Найти действительную и мнимую части функции
f(z) — iz2 — z.
155
<1 Полагая z — x+iy, находим
/(z)=u(x, y)+w(x, y) = ‘(x + iy)2-(x-iy)=
= i(x2 —y2 + 2ixy)—(x — iy)= — x(l +2y) + /(x2— y2+y).
Таким образом
Re/(z)=u(x, y)= —x(l+2y), Im/(z)=i>(x, y)=x2+y2+y. c*
Описать области, заданные следующими соотношениями,
и установить, являются ли они односвязными:
11.1.	\z-z<>\<R.	11.2.	l<|z —/|<2.
11.3.	2<\z — i\<+<х>. 11.4.	0<Re(2zz)<l.
11.5.	|z-z0|>R.	П.6.	0<|z + z|<2.
11.7.	Im(zz)<l.	11.8.	Re->-.
z 4
Указать на комплексной плоскости множества точек,
удовлетворяющих указанным соотношениям:
11.9*	. Im—= 0.	11.10. |z-z| + |z + z|<4.
z — i
11.11.	Re—=0.	11.12. |z-5|-|z+5|<6.
z+2/
11.13.	arg——=0. 11.14* arg—= 0.
z—z2	z + i
Записать с помощью неравенств следующие открытые
множества точек комплексной плоскости:
11.15.	Первый квадрант.
11.16.	Левая полуплоскость.
11.17.	Полоса, состоящая из точек, отстоящих от мнимой
оси на расстояние, меньшее трех.
11.18.	Внутренность эллипса с фокусами в точках 1+z,
3 4* z и большой полуосью, равной 3.
11.19.	Внутренность угла с вершиной в точке z0 раствора
л/4, симметричного относительно луча, параллельного по-
ложительной мнимой полуоси.
Для следующих функций найти действительную и мнимую
части:
11.20.	/(z) = zz + 2z2.	11.21. f(z) = 2i-z+iz2.
11.22.	/(z) = —\	11.23. f(z) = -+'-.
l — z	I z
11.24.	/(z) = Re(z24-z)4-zIm(z2 — i). 11.25. /(z) = ^-^4—•
Определить функцию w=f(z) по известным действитель-
ной и мнимой частям:
11.26.	и(х, у) = х+у, v(x, у) = х—у.
156
-) Если z=x+iy и z~x—iy, то x=-(z + z) и y= —-(z—z). Тогда
/	X	1/	-X	*/	_v	1-/	1+C
u(x, y) = x-b^ = -(z4-z)--(z-z) = —-z+—z;
/	X	1 /	-X	ZZ	-x	1 + *	1 — / _
r(x, y) = x-^ = -(z+z)4--(z~z)=—z + -—z.
( лсдовательно,
, .	, x . / x 1	!+*_!+*.	1 -i.
/(2> = u(x, y) + zv(x, y)= — z+~z+—iz + — iz =
1 +1 \	(\+i 1 -i \	,,	.
= -т-H——i z + ~~—)z = (l -H’)z.
\ 2	2 J \ 2	2 / v '
Таким образом, /(z) = (l-H’)z.
Рассмотренный в задаче метод позволяет в общем случае
получить для функции комплексной переменной выражение, зависящее
OI Z И Z. О
11.27.	и(х, у) = х2 — у1 — 2у — 1, v(x, у) = 2ху + 2х.
it ™	\ х2 + >,2-Ь1	, v х2+>’2-1
11.28.	и(хчу) = х—, Цх, —------------------—•
v '	х^+у2 v 7	х2+у2
11.29.	и(х, >>) = -, v(x,y) = ~.
х	у
Функция w=f(z) называется однолистной в области £), если
любым различным значениям zv^z2, взятым из области D, соот-
ветствуют различные значения функции /(zi)//(z2).
Найти области однолистности следующих функций:
11.30. /(z) = z2.
Пусть z1 = p1e‘>1 и z2 = p2ci4>2. Найдем условие, при котором
zf = z2 хотя zt^z2. Имеем p2ei2vi = р2с‘2*2. Отсюда заключаем,
что Р| = р2, а 2ф2 = 2ф14-2Хгп (А: = 0, 1). Так как zi^z2, то
(р2 = ф1+я. Таким образом, область однолистности функции
w = z2 не должна содержать внутри себя точек, модули которых
совпадают, а аргументы отличаются на л, т. е. областью однолист-
ности является любая полуплоскость, например Rez>0 или
Imz>0. о
11.31.	f(z) = zn, пеЫ. 11.32. f(z) = e*.
11.33.	/(z) = e3iz. 11.34. f(z) = z+'.
Геометрически заданную на D функцию /(z) можно рассматривать
как отображение области D плоскости (z) на некоторое множество
G плоскости (w), являющееся совокупностью значений /(z), соответ-
ствующих всем zeD.
Пример 3. Исследовать отображение, осуществляемое линейной
функцией w~az-\~b.
157
Это отображение можно рассматривать как композицию трех
простейших отображений. Действительно, положим
w2 = eiargawi,
w3 = w2 + b.
Тогда нетрудно видеть, что	Из геометрического смысла
произведения и суммы комплексных чисел ясно, что отображение
Wi есть отображение растяжения (сжатия при 0<|al< 1), отображение
w2 представляет собой поворот всей плоскости (и^) относительно
начала на угол <p = arga и, наконец, отображение w3 есть параллель-
ный перенос плоскости w2 на вектор, изображающий комплексное
число Ь. о
Найти образы указанных точек при заданных ото-
бражениях:
11.35.	z0=l + z, w = z2 + z.
11.36.	z0=^-~, w = (z —z)2.
л.»	<	i	Imz
11.37.	z0=l—, vv =-----.
2 z
11.38.	z0 = 3 —2«, w = -_.
11.39.	Найти образы координатных осей Ох и Оу при
-	z + i
отображении w =—.
z—i
Для отображений, задаваемых указанными функциями,
найти образы линий х=С, |z| = A, argz = cc и образ области
|z|<r, Imz>0:
11.40.	w—z2. 11.41**. и' = -.
z
Один из наиболее употребляемых способов задания функций —
задание с помощью формулы — в случае функций комплексной
переменной часто приводит к многозначным функциям.
Говорят, что в области D определена многозначная функция
w=/(z), если каждой точке zeD поставлено в соответствие несколько
комплексных чисел к.
^/2 г
Пример 4. Найти все значения функции
в точке z0 = i.
<i Так как |/|=1 и arg/=л/2, то в соответствии с определе-
нием корня л-й степени из комплексного числа (см. § 5 гл. 1) на-
ходим
к = 0, 1.
158
I аким образом,
Найти все значения следующих функций в указанных
।очках:
11.42.	w =	z0= —1.
11.43.	и’ =	, zQ = i.
11.44.	w = —yfz, z0= — i.
11.45.	w = yji 4- ^/z, z0 = — 1.
Найти Arg /(z), если z = reI<₽:
11.46.	/(z) = z2.	11.47. /(z) = z3.
11.48.	/(z)=3/TfT. 11.49. /(z) = Tz^8.
11.50.	/(z) = V?^4. 11.51. /(z) = V(z-2)/(z+l).
2. Основные элементарные функции комплексной переменной. Сле-
дующие функции (как однозначные, так и многозначные) называются
основными элементарными:
1.	Дробно-рациональная функция
aoz" + alz"~i + ... + an
--------------------, п. теп.
bozm+blz",-l + ... + b„
Частными случаями этой функции являются:
а)	линейная функция
az + b, a, be С, а^О;
б)	степенная функция
zn, n gN;
в)	дробно-линейная функция
az + b
------, a, b, c, deC, c^O, ad— bc^O;
cz + d
г)	функция Жуковского
1/ 1
2\ +z
2.	Показательная функция
ez = ex (cos у 4- i sin y).
159
3.	Тригонометрические функции
sinz = — (eiz — e~iz), cos z = -(eiz-he ~‘z),
2Г 7	2'	7
sin z	cos z
tgz==---,	ctgz = -—.
cos z	sin z
4.	Гиперболические функции
1/	X	1/	x
shz = -(ez — e z), chz = -(ez-he z),
sh z	ch z
thz =----,	cthz = -—.
ch z	sh z
5.	Логарифмическая функция
Lnz = ln |z| + z(argz + 2&n).
Функция Lnz является многозначной. В каждой точке z, отличной
от нуля и оо, она принимает бесконечно много значений. Выражение
In | z 14- i arg z называется главным значением логарифмической функции
и обозначается через lnz. Таким образом,
Lnz = \nz-h2kiti.
6.	Общая степенная функция
zfl = eflLnz, аеС.
Эта функция многозначная, ее главное значение равно ealnz. Если
« = -, neN, то получаем многозначную функцию—корень п-й степени
п
из комплексного числа:
argz + 2к к
= ^/[z~le п
'	» Г	-0n|r| + / (argz + 2fcn))
zn — \]z — en
7.	Общая показательная функция
az = ezLna, аеС.
Главное значение этой многозначной функции равно ezlna. В даль-
нейшем при а>0 полагаем az = ezlna.
8.	Обратные тригонометрические функции Arcsinz, Arccosz,
Arctg z и обратные гиперболические функции Arshz, Archz, Arthz.
Определения этих многозначных функций рассмотрены в примере
7 и задачах 11.70—11.74.
Отображения, осуществляемые некоторыми элементарными фун-
кциями, и простейшие свойства этих функций будут рассмотрены
позднее (в § 3); здесь ограничимся только вычислением конкретных
значений этих функций.
Пример 5. Вычислить sin/.
Имеем:
e,l — e " е 1—е1 ех—е 1
sin i=-------=-----------= i---------= i sh 1. о
2/ 2i	2
Пример 6. Вычислить ch(2 — 3z).
160
* Имеем:
<h(.’ 3/) =-----------= -(c2(cos3 — /sin3) + e 2(cos34-isin3)) =
= cos3ch2 — zsin3sh2. о
Пример 7. Найти аналитическое выражение для функции
Ан cosz при любом комплексном z. Вычислить Arccos2.
। Гак как равенство w = Arccosz равносильно равенству cosw = z,
eiw + e~iw
к» можем записать z =---------. Отсюда находим
2
e2hv-2zeiw+l=0.
Решая это квадратное относительно elw уравнение, получаем
eiw = z + ^z2-\
(«десь рассматриваются оба значения корня). Из этого равенства
и.сходим iw = Ln (z + y/z2 — 1), т. e.
iv = Arccos z — — iLn (z + yjz 2 — 1).
<) i сюда получаем
Arccos2=—/Ln(2 + ^/3)==—zIn(2 + ^/3)+ 2/сл. о
11.52.	Используя данное выше определение функции ez9
доказать, что ez имеет чисто мнимый период 2 л/, т. е.
r + 2nf = ez.
Выделить действительную и мнимую части следующих
функций:
11.53.	H’ = e1-Z.	11.54. w = e(F+i)2.
11.55.	w = sin(z — i). 11.56. w = sh(z + 2/)
11.57.	w = tg(z+l). 11.58. w = 31/z.
Доказать тождества:
11.59.	sin/z = /shz. 11.60. cos iz = ch z.
11.61.	tg/z = /thz.
Вычислить значения функций				в указанных точках:	
11.62.	cos(l + /).	11.63.	ch/.	11.64.	sh( — 2 + z).
11.65.	Ln(-l).	11.66.	In/.	11.67.	т Ln——. /2
11.68.	etg л/.	11.69.	th л/.		
Получить аналитические выражения для указанных ниже
функций и для каждой из них найти значение в соответ-
ствующей точке zo (см. пример 7):
11.70.	w = Arcsin z, z0 = i.
11.71.	w = Arctgz, zo = //3.
6 Специальные разделы мат. анализа. 4. 2	161
11.72.	w=Arsh z, zo = l
11.73.	w=Arch z, zo—— 1.
11.74.	vr=Arth z, z0 = l— i.
Найти значение модуля и главное значение аргумента
заданных функций в указанных точках:
11.75.	vv=sinz, zo = n + fln3.
11.76.	w — z2ez, zo=—л/.
11.77.	w=l+ch2z, zo = /ln2.
11.78.	H=thz, zo=l+/n.
Найти все значения степеней:
11.79.	2l	11.80.	(-1)\
+	11.82.	(-1)А
11.83.	(3-4/)1+i. 11.84.	(-3 + 4z)1+i.
(1 i	f Fx 1	i
ZZ .	11.86.1—+-) .
^2/	\ 2	2/
Решить уравнения:
11.87.	ez — i=0.	11.88. eix = cosnx (xeR).
11.89.	In(z —z) = 0. 11.90. shzz= —1.
3. Предел и непрерывность функции комплексной переменной.
Число А ^оо называется пределом функции /(z) при z->z0 и обознача-
ется Л = Пт /(z), если для любого е>0 найдется 8 = 8(е)>0 такое,
что для всех z^z0, удовлетворяющих неравенству |z — z0|<8, выпол-
няется неравенство
|/(z)- + |<s.
Говорим, что lim /(z)=oo, если для любого 7?>0 найдется
5 = 8(Л)>0 такое, что для всех z#z0 таких, что |z — z0|<8, выполняется
неравенство
|/(г)|>Я.
Следует иметь в виду, что для данной функции f(z) существование
предела по любому фиксированному пути (z->z0) еще не гарантирует
существование предела f(z) при z->z0.
Пример 8. Пусть	Показать, что linj/(z) не
существует.
<] Для предела при г->0 по любому лучу ге‘ф имеем
1 / ге1ф ге-й₽\
lim— ------:-----— = sin2cp.
r^>2i\re~l* re1* I
т. e. эти пределы различны для различных направлений — они запол-
няют сплошь отрезок [—1, 1], и, следовательно,
1 / z
2i\z
не существует, о
162
Функция f(z) называется непрерывной в точке z0, если она
определена в этой точке и lim f(z)=f(z0).
z->z0
Функция /(z), непрерывная в каждой точке области D, называется
непрерывной в этой области.
Функция /(z) называется равномерно непрерывной в области Z),
ни для любого оО найдется 6 = 6(£)>0 такое, что для любых
io’ick Zi и z2 из области D таких, что |Zi—z2|<6, выполняется
неравенство |/(z1)-/(z2)| <£.
11.91.	Используя логическую символику, записать данное
выше определение непрерывности функции в области.
Вычислить следующие пределы:
П.92. 1,т —4"~3. п.93, lim^.
2-+i z — i	z-*0ch/Z
e2iz+\
. 11.95. lim——.
л e,2-|-/
11 пл г sin/z
11.94. lim---------------
ch z + i sh z
z~" 4
Доказать непрерывность на всей комплексной плоскости
с целующих функций:
11.96.	w = z._ 11.97. w = |z|Rez.
11.98.	w = ez. 11.99. w = cos|z|.
Как доопределить данные функции в точке z = 0, чтобы
они стали непрерывными в этой точке:
11.100.	/(z)=—. 11.101./(z)=^P
J v 7	|z|	7 v 7	|z|2
11.102.	/(z) = e“1/|z|. 11.103. /(z) = z/|z|.
11.104.	Доказать, что функция /(z) = e~1/z непрерывна
в полукруге 0<|z|^l, |argz|^n/2, но не является равномерно
непрерывной в этом полукруге, а в любом секторе 0<|z|^l,
|arg z| < а < л/2 она равномерно непрерывна.
§ 2. Аналитические функции. Условия
Коши — Римана
1. Производная. Аналитичность функции. Если в точке zeD
существует предел
/(z + Az)-/'(z)
lim7-1----z+AzeA
Az^O Az
го он называется производной функции /(z) в точке z и обозначается
через / (z) или --.
dz
Если в точке zeD функция /(z) имеет производную /'(?), то
говорим, что функция /(z) дифференцируема в точке z.
163
Функция /(z), дифференцируемая в каждой точке области D и име-
ющая в этой области непрерывную производную /'(z), называется
аналитической в области D. Будем также говорить, что /(z)
аналитическая в точке zoeD, если /(z) является аналитической
в некоторой окрестности точки z0.
Для того чтобы функция f(z) — u(x, j)-Hv(x, была аналитичес-
кой в области D, необходимо и достаточно существование в этой
области непрерывных частных производных функций и (х, >j и v (х, у),
удовлетворяющих условиям Коши — Римана
ди (х, j) dv (х, у)
дх ду
ди(х, у)	dv(x, у)	(О
ду	дх
или, в полярных координатах,
ди (rcoscp, г sin ср) 1 du (г cos ф, г8Шф)
дг	г дф
ди (г COS ф, Г5Шф)	1 ди (г COS ф, Г8Шф)	(2)
дг	г дф
При выполнении условий (1) или (2) производная fr(z) может
быть записана соответственно:
	. . ди	dv	dv	ди	ди	ди	dv	dv Г z)=-+/-=--Г-=Т+/Т’	(3) dx	dx	dy	dy	dx	dy	dy	dx
ИЛИ	z . r (du dv\ 1 (dv du\ /'(г)="|'Г+'г)=~(а	' “)•	<4) z\dr	dr J г\дф с'ф/
Формулы дифференцирования функций комплексной переменной
аналогичны соответствующим формулам дифференцирования функций
действительной переменной.
Пример 1. Доказать, что функция f(z) = e2z аналитична и найти
Г (4
Имеем	e2z = е2х (cos 2у + i sin 2у),
т. е.	и (х, j^)=e2xcos2^, v (х, у) = е2х sin2j.
Поэтому	ди .	ди	- — = 2е2х cos 2у,	— = — 2е 2х sin 2у, дх	ду dv .	dv , — = 2е2х sin 2у, — = 2е2х cos 2у. дх	ду
164
Следовательно, условия (1) выполняются во всей плоскости, и по
первой из формул (3)
(e2z)' — 2elx cos 2у4- i2e2x sin 2у = 2е2х (cos 2у 4- isin 2у) = 2e2z. о
Пример 2. Показать, что функция w = z3 аналитична во всей
комплексной плоскости (кроме z=oo).
-1 Действительно, имеем z = re*9 и
H,„z3 = г3е‘3ф = г3 cos Зф Hr3 sin Зф,
причем
ди	.	dv	7
— =3гхсо$3ф, — = 3г sin Зф,
дг	дг
—— Зг3 sin Зф, — = Зг3созЗф,
дф	<3ф
г с. при любом конечном z = relv выполнены условия (2). Применяя
первую из формул (4), имеем
f' (z) = (z3)' = -(3r2 cos Зф 4- i3r2 sin 3ф) = 3г2. о
Пример 3. Показать, что логарифмическая функция w=Lnz
аналитична во всех конечных точках, кроме z = 0, причем
(Lnz), = “-
Так как
Ln z = In г + i (ф 4- 2&л),
то имеем:
ди	1	dv	ди	dv
— = -, —=1. — = — = 0,
дг	г	д(р	dtp	дг
г. е. выполнены условия (2), и по первой из формул (4) находим
7	X	г	1	1
(Lnz)' = -о
Z	Г	Z
Аналитические функции находят применение при описании раз-
личных процессов.
Пример 4. Рассмотрим плоское безвихревое течение идеальной
несжимаемой жидкости. Пусть vx(x, и vy(x, >>)—компоненты век-
тора скорости v течения вдоль осей х и у, и пусть
v (z) = Vx (х, у) - iv„ (х, у)	(5)
— комплексная скорость течения. Показать, что C(z)— аналитическая
функция.
165
<□ Из несжимаемости жидкости следует, что дивергенция вектора
скорости тождественно равна нулю, т. е.
Далее, течение является безвихревым тогда и только тогда, когда
ротор его вектора скорости равен нулю, т. е.
Но равенства (6) и (7) являются условиями Коши — Римана для
функции (5), т. е. комплексная скорость P(z) является аналитической
функцией комплексной переменной z = x + iy. t>
Выяснить, в каких точках дифференцируемы функции:
11.105*	. w = z.	11.106*. w = Rez. 11.107. w = zlmz.
11.108.	w = zRez. 11.109**. w=\z\.	11.110. w = |z-l|2.
11.111*	. Предполагая выполненными условия Коши — Ри-
мана (1) в декартовых прямоугольных координатах, доказать
справедливость условий Коши — Римана (2) в полярных
координатах и справедливость формул (4) вычисления произ-
водной в полярных координатах.
Проверить выполнение условий Коши — Римана (1) или
(2) и в случае их выполнения найти
11.112.	f(z) = e3z.	11.113. /(z) = shz.
11.114.	f\z) = zn, neZ. 11.115./(z)=cos z.
11.116.	/(z) = ln(z2).	11.117. /(z) = sin|.
11.118*	. Пусть /(z) — аналитическая функция в области
D. Доказать, что если одна из функций
и (х, у) = Re/(z), v (х, у) = Im/(z),
r(x, y) = |/(z)|, 0(х, v) = arg/(z)
сохраняет в области постоянное значение, то и /(z) = const в D.
2.	Свойства аналитических функций. Ряд свойств, характерных
для дифференцируемых функций действительной переменной, со-
храняется и для аналитических функций.
11.119.	Доказать, что если /(z) и g(z)— аналитические
в области D функции, то функции /(z)±g(z), /(z)-g(z) также
аналитичны в области Р, а частное /(z)/g(z)—аналитическая
функция во всех точках области D, в которых g(z)#0. При
этом имеют место формулы
(/(z)±g(z))'=/'(z)±g'(z),
(/(z) g (z))' =f (z) g (z) +/(z) g' (z),
166
/(z)V _/'(z)g(z)-/(z)g'(z)
g(z)/	g2(z)
11.120.	Пусть /(z)— аналитическая в области D функция
< областью значений G={f(z)\zeD}, и пусть функция <p(w)
аналитична в области G. Доказать, что F(z) = (p(/(z)) — ака-
пническая в области D функция.
Используя утверждение задачи 11.119, найти области
аналитичности функций и их производные:
11.121.	/(z) = tgz.	11.122. /(z) = z-e'2.
11.123.	/(z)=^^.	11.124. f(z)=e—.
1	e1
11.125. /(z) =----. 11.126./(z) =—.
tgz + ctgz	V7 z
11.127. /(z) = cthz.	11.128. /(z) = ———.
v 7	v 7 cos z —sin z
11.129.	Доказать, что действительная и мнимая части
аналитической в области D функции f(z) = и(х, у) + iv(х, у)
являются гармоническими в этой области функциями, т. е.
их лапласианы равны нулю:
. д2и д2и _	. d2v d2v _
Дм = л_2+Т^ = 0’ Аг = Гз+7^ = 0-
дх2 ду2	дх	ду
11.130.	Получить выражение лапласиана Ам в полярных
координатах (w = u(r, ф)).
Заметим, что заданием действительной или мнимой части
аналитическая в области D функция определяется с точностью до
произвольной (комплексной) постоянной. Например, если и(х, у)
действительная часть аналитической в области D функции /(z), то
(х. У)
v(х, у) = Im/(z) = f —Uydx + u'xdy,
(хо. Уо)
где (х0, у0)— фиксированная точка в области D и путь интегрирования
также лежит в области D.
Пример 5. Проверить, что функция и = х2— у2 — 5х+у + 2 яв-
ляется действительной частью некоторой аналитической функции f(z)
и найти f(z).
Так как
во всей плоскости, то м(х, у) — гармоническая функция, а тогда
(х. у)	X	у
v(x, у)= f (2у— 1)dx + (2x — 5)dy = f (2у0 — 1)</х + f (2x — 5)dy —
(xo, yo)	xo	y0
= (2у0-1)(х-х0) + (2х-5)(у-уо) = 2ху-х-5у+5уо4-Хо-2хоУо,
167
т. е.
и
v (х, >’) = 2ху -х-5у-У С
f(z) = х2 — у2 — 5х+у 4- 2+ / (2ху — л —	4- С) =
= (х2 — 2ixy—у2) — 5 (х4-iг) + (— xi 4- у)4-24- Ci = z2 — 5z — iz4-2-I- Ci.
Пример 6. Показать, что функция вида
и (х, jj = а (х2 4- у 2) 4- Ьх 4- су yd,	О,
не является действительной (или мнимой) частью никакой аналитичес-
кой функции.
<i Действительно, это следует из соотношения
с2и д2и
+ —?=4я^0. о
ох су
Проверить гармоничность приведенных ниже функций
в указанных областях и найти, когда это возможно, ана-
литическую функцию по данной ее действительной или
мнимой части:
11.131.	г/(х, Н = х3 —3xj>2, 0^|z|< 4-оо.
11.132.	г(х, w = 2e*sin>’, 0^|z|< 4-ос.
11.133.	и(х, ^) = 2ху4-3, 0^|z|< 4-оо.
11.134.	v(х, у) = arctg - , 0<|z|<4-oo.
11.135.	w(x, у) — —у—~~~j — 2>’, 0<|z|< 4-оо.
х+у
11.136.	и(х, у) = х2—у2 + ху, 0^|z|< 4-оо.
11.137.	г(х, у) = ху, 0^|z|< -boo.
§ 3. Конформные отображения
1. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Пусть
w—f(z} — аналитическая в точке z0 функция и /'(zo)^0. Тогда
fc = [f(z0)| геометрически равен коэффициенту растяжения в точке
z0 при отображении w—f(z) (точнее, при к> 1 имеет место растяжение,
а при к<1—сжатие). Аргумент производной <p = arg/'(z0) геомет-
рически равен углу, на который нужно повернуть касательную
в точке z0 к любой гладкой кривой L, проходящей через точку
z0, чтобы получить касательную в точке w0=/(z0) к образу L'
этой кривой при отображении vv=/(z). При этом, если ср > 0, то
поворот происходит против часовой стрелки, а если ф<0, то по
часовой.
Таким образом, геометрический смысл модуля и аргумента
производной состоит в том, что при отображении, осуществляемом
аналитической функцией, удовлетворяющей условию /'(zo)^0,
fc = |/'(z0)| определяет коэффициент преобразования подобия бес-
конечно малого линейного элемента в точке z0, a <p = arg/'(z0) — угол
поворота этого элемента.
Пример 1. Найти коэффициент растяжения к и угол поворота
Ф в точке z0=\—i при отображении w = z2 — z.
168
। Гак как vv' = 2z—1 и vv'|z_-1	1 — 2/, то
Zc = 11 — 2z| = л^/5 и ф = arg(l — 2/)= — arctg2. о
Найти коэффициент растяжения к и угол поворота ср для
жданных отображений w=f(z) в указанных точках:
11.138.	w = z2, 20 = 72(1 + 0. 11.139. и> = 22, z0 = z.
11.140.	w = z3, z0=l+t 11.141. w = z3, z0 = l.
11.142.	w = sinz, zo = 0.	11.143.	w = ie2z, z0 = 2iti.
Выяснить, какая часть комплексной плоскости растягива-
йся, а какая сжимается при следующих отображениях:
11.144.	w—1/z.	11.145. H=ez l.
11.146.	B’ = ln(z+1). 11.147. w = z2 + 2z.
Найти множества всех тех точек z0, в которых при
следующих отображениях коэффициент растяжения к=\:
11.148.	w==(z—I)2. 11.149. w = z2-iz.
11.150.	и> = —11.151. w=-z3.
Найти множества всех тех точек z0, в которых при
следующих отображениях угол поворота ср = 0:
11.152.	и==11.153*. и’ = —.
z	\—iz
11.154.	w = z2 + iz. 11.155. w = z2 — 2z.
2.	Конформные отображения. Линейная и дробно-линейная функции.
Взаимно однозначное отображение области D плоскости (z) на
область G плоскости (и) называется конформным, если в каждой
ючке области D оно обладает свойствами сохранения углов и посто-
янства растяжений.
Критерий конформности отображения. Для того что-
бы отображение области D, задаваемое функцией w—f(z), было
конформным, необходимо и достаточно, чтобы f(z} была однолистной
и аналитической в области D функцией, причем f'(z)^§ всюду в D.
В дальнейшем образ области D при отображении функцией
w=f(z) обозначается через Е либо через f(D).
Пример 2. Показать, что отображение, осуществляемое функ-
цией w = z3, конформно в области
Z) = {z| 1 <|z|<2, 0<argz<2n/3}.
<] Необходимо проверить, что заданная функция является анали-
тической, однолистной в D и что всюду в D /'(z)^0. Аналитичность
функции n = z3 показана выше (см. пример 2 § 2), соотношение
h' = 3z2/0 для любого zeD очевидно. Однолистность следует из
того, что область D содержится в угле с вершиной в начале
координат и величиной 2л/3 (см. задачу 11.31). о
Выяснить, какие из заданных функций w=/(z) определяют
конформные отображения указанных областей D:
11.156.	w = (z-H’)2, £> = {z| 1 < |z4-/| < 3, 0<argz<3n/2}.
11.157.	w=|z|2, Z> = {z| |z|< 1}.
169
1
2
11.158.	w =	£> = {г|0<1тг<2л}.
11.159.	w = -| z + -\ D = \z
2 \ z/ I
11.160.	w = (z—I)3, D = {z\ |
Отображение, осуществляемое линейной функцией w = az + b, рас-
смотрено выше (см. пример 3 § 1). Оно представляет собой
композицию растяжения (и^ = |a|z), поворота (w2 = e‘arga и^) и парал-
лельного переноса (и’3 = и’2+ />). Обратная к линейной функции также
1 b
есть линейная функция z = -w—. Так как w' = a^0, то отображение
а а
w конформно во всей расширенной плоскости, причем имеет две
b
неподвижные точки zt =----- (при а^=1) и z2 = oo.
1 — а
Пример 3. Выяснить, существует ли линейная функция, от-
ображающая треугольник с вершинами 0, 1, i в плоскости (z)
на треугольник с вершинами 0, 2, 1 + i в плоскости (w).
<i Заметим, что треугольник с вершинами 0, 1, i подобен
треугольнику с вершинами 0, 2, 1-1- z, причем вершина в точ-
ке Zj=O соответствует вершине в точке и^ = 1 + z, вершина в
точке z2 = 1 — вершине в точке w2 = 0 и вершина в точке z3 = z —
вершине в точке w3 = 2. Выполним последовательно преобразо-
вания:
a)	—поворот около начала координат на угол а = 5л/4
против часовой стрелки;
6)	H’2=v/2»*'j —гомотетия с коэффициентом £ = ^/2;
в)	w3 = w2 + (l+z)—параллельный перенос на вектор, изобража-
ющий комплексное число 1 4- z.
В результате треугольник с вершинами 0, 1, z отображается
на треугольник с вершинами 0, 2, 14- z, а осуществляющая это
отображение целая линейная функция имеет вид
w = и’3 ° w2 о и>1
/—	/	/2	/2\
=	‘*z + (l+/) = x/2(—-—z—Ь+1+; =
ЧМО-4
11.161.	Доказать, что отображение, осуществляемое целой
линейной функцией, имеет две неподвижные точки (совпа-
дающие, если я=1).
Для указанных ниже отображений найти конечную непо-
движную точку z0 (если она существует), угол поворота
<р и коэффициент гомотетии k:
11.162.	w = 2z4-l.	11.163. w = zz + 4.
,л л
11.164.	w = el*z — e '+ 11.165. w = az + b.
Дробно-линейная функция
az+b
w =----, ad—bc^0, с#0,
cz + d
170
•	н ущсствляет конформное отображение расширенной плоскости (z)
п.। расширенную плоскость (vv). При этом под углом между кривыми
и ючке z=oo понимается угол в точке z*=0 между образами этих
1
кривых, полученных путем отображения z* = -. Простейшей дробно-
z
1
нтейной функцией (отличной от линейной) является функция и’ = -
Z
мнорая может быть представлена в виде композиции инверсии
1
•	•пюсительно единичной окружности wt=- и комплексного сопряже-
Z
пин w2 = Wi. Простейшая дробно-линейная функция отображает окру-
жности плоскости (z) в окружности плоскости (и’) (прямая линия
<•1 и лается окружностью бесконечного радиуса). Так как общая
пробно-линейная функция представляется в виде композиции линейной
1
функции wt=cz+d, простейшей дробно-линейной и’2 =— и снова
И’!
be — ad	а
ншсйной и’з =-----w2 + -, то она также отображает окружность
с	с
в окружность.
Дробно-линейная функция w=w(z) вполне определяется заданием
образов трех точек. Именно, если z{-^w^ z2-► и>2 и z3 -► w3, то
w-wi w3-w2_z-zt z3-z2
w— W2 w3 —Wj z —z2 z3 — zr
Замечание. Если одна из точек Zj. z2 или z3 либо и;ь w2 или
ir, является бесконечно удаленной, то в формуле (1) все разности,
содержащие эту точку, следует заменить единицами.
Пример 4. Найти образ окружности х2+у2 = 2х при отоб-
1
ражении w = -.
z
1	1
-) Полагая z — xy-iy, имеем x = -(z + z), у — — (z — z). Подставив эти
2	2/
значения в уравнение окружности, находим
x2+y2-2x = z z —(z + z) = O,
1
и после замены z = — имеем
И’
111
---------= 0,
ЙОГ И’ W
т. е. w + w=l. Если и’ = п + /и, то w + w = 2u. Таким образом,
окружность х2+у2 — 2х = 0 преобразуется в прямую и=1/2, параллель-
ную мнимой оси. о
Пример 5. Найти дробно-линейное отображение, переводящее
точки —1, I, z+1 в точки 0, 2/, 1—z.
<i Используя формулу (1), имеем
и* —0 1— i — 2i z+1 z+1 — i
w—2i 1—z —0 z—z 7+1 + 1 ’
171
откуда
w 1 z-Ь 1
w — 2i 5 z — i
и
2/(z + 1)
w =--------. o
4z —5/—1
Найти образы следующих линий при отображении w = -:
z
11.166.	Окружности x2+^2=j/3.
11.167.	Прямой у—— х/2.
11.168.	Прямой у = х — 1.
11.169.	Окружности х2+у2 + 2х — 2у+1 =0.
11.170.	Доказать, что проходящая через начало координат
окружность А (х2+у2) + 2Вх + 2Су = 0 преобразуется функцией
w=l/z в прямую, а любая прямая Bx + Cy + D = 0 — в окру-
жность, проходящую через начало координат.
Найти дробно-линейное преобразование по заданным
условиям:
11.171.	Точки z, 1, 1+z переходят в точки 0, оо, 1.
11.172.	Точки 1 и i неподвижны, а точка 0 переходит в оо.
1	5 3
11.173.	Точки - и 2 неподвижны, а --Ь-z переходит в оо.
11.174.	Доказать, что дробно-линейное преобразование
az + b
w =----- имеет две неподвижные точки. При каком условии
cz + a
эти точки совпадают? Когда бесконечно удаленная точка
является неподвижной?
Точки zx и z2 называются симметричными относительно прямой,
если они лежат на перпендикуляре к этой прямой по разные
стороны от нее и на равных расстояниях.
Точки zx и z2 называются симметричными относительно окру-
жности, если они лежат на одном луче, выходящем из центра
этой окружности, по разные стороны от нее и так, что произведение
расстояний от этих точек до центра равно квадрату радиуса.
Точки М и 7V, симметричные относительно прямой или окру-
жности в плоскости (z), отображаются дробно-линейной функцией
в точки М' и симметричные относительно образа этой прямой
или окружности в плоскости (w).
11.175.	Найти точки, симметричные с точкой 1-Н* от-
носительно окружностей:
a) |z| = l; 6)*|z —/| = 2.
z — i
11.176.	Для отображения w=—- найти образ точки,
симметричной точке 1 — i относительно:
а) прямой у-х\ б) окружности |z—1| = 3.
172
Пример 6. Найти отображение круга |z|< 1 на круг |и>|<1
i.iKoe, чтобы точка z = a(|a|<l) отображалась в центр круга и> = 0.
। Запишем дробно-линейное отображение в виде
z-z0
.
Z-Zi
I .iK как точка z = a переходит в точку w = 0, то z0 = a, а так как
• имметричной с точкой w = 0 является точка w=oo, то z^ является
• имметричной с точкой z = a относительно окружности |z| = l, т. е.
1
I - - . Поэтому
a
z —a
w=ga-------------------------------г-
az— 1
Далее, точки окружности |z|=l переходят в точки окружности |и>| = 1,
а поэтому при г = е‘ф имеем
е‘ф —a 2	(eiq> — а) (е ~,ф — a)	1 +|a|2 — е,фа — е-,фа
е/фа—1 (е‘фа—1) (е',фа-1) |а|2+1 —е‘фа-е ~*фа
Следовательно, |ga|=l, т. е. ga = e'0, и искомое отображение
имеет вид
w — с з . и--	)
Zd— 1
Для отображения (2) единичного круга на себя найти
параметры а и 0 по заданным условиям:
11.177.	w(l/2)=0, argw'(l/2) = 0.
11.178.	w(0) = 0, argn’'(0) = n/2.
11.179.	w(zo) = 0, arg w'(z0) = n/2.
11.180.	Доказать, что функция
w = e'Q-—Ima>0,	(3)
z —a
осуществляет отображение верхней полуплоскости на единич-
ный круг.
Определить параметры а и 0 в формуле (3) по заданным
условиям:
11.181.	w(/) = 0, argw'(f)= — л/2.
11.182.	w(2f) = 0, argw'(2f) = rc.
11.183.	w(zo) = 0, arg w'(z0) = 7t/2.
Найти образ Е области D при заданном дробно-линейном
отображении:
11.184.	D = {zj Rez>0, Imz>0};
173
11.185*	. D = <z|0<argz<^j-; w= —Z—.
11.186*	. D = L|1s:|z|<2, O^argz^-k и-=1+-.
I	4]	z
11.187.	D={z||z|<l, Imz>0}; w=i—.
1 + z
11.188.	Z)={z|O<Rez< 1}; и=р~.
11.189.	D—двуугольник (круговая луночка), заключенный
между окружностями | z — 11 = 1, | z — i | = 1; vv =--—.
z — 1 — i
11.190*	*. Найти область D в плоскости (z), которая при
отображении w =----
1 —z
|w|<r плоскости (и).
преобразуется во внутренность круга
3.	Степенная функция. Отображение, осуществляемое степенной
функцией w = z" (weN, п^2), является конформным в любом угле
2кк
---<argz<
и
п—\ (кроме точки z = 0),
причем образом этого угла является вся плоскость (и>) с разрезом
2кт1
по положительной части действительной оси (лучу argz =------ соот-
п
2(Аг+1)л
ветствует верхний, а лучу argz =------------нижнии край разреза).
п
Обратная функция w = \[z — \[r е	п , где £ = 0, 1, ..., и—1, r=|z|,
(p = argz, является, как известно, многозначной. Ее однозначная ветвь
(выделяемая заданием образа одной из точек) отображает плоскость
(z) с разрезом по неотрицательной части действительной оси на
соответствующий угол
Е=< и’
2кп	2(£+1)л
	< arg и- <	
п-------------и
где fc = 0, 1, ..., л—1—фиксировано.
Пример 7. Найти отображение внутренности двуугольника с вер-
шинами Zj и z2, образованного окружностями и С2, на
единичный круг.
z —Z]	Zj+Z2
Преобразование 44 =------отображает точку z =------ в точку
z —z2	2
Wj = l, точку z = zt—в нуль, а точку z = z2 — в бесконечность. Таким
образом, отрезок, соединяющий точки zt и z2, отображается на
положительную действительную полуось. Дуги окружностей, об-
разующие двуугольник, отображаются в лучи arg = ал
и arg = — Рл. Следовательно, область D отображается на сектор
174
I । {H t | — рл < arg Wj < ал} (ср. с задачей 11.189). Повернем этот
<скюр на угол Рл, т. е. произведем преобразование w2 = el^nwl,
и возведем полученную функцию в степень --------------:
Р + а
1
И'з = (н’2)<’+''-
( ектор отобразится в верхнюю полуплоскость. Функция
осуществляет отображение полуплоскости на единичный круг. Вели-
чины w? и 0 определяются дополнительным заданием отображения
Рис. 95.
точки z0 в точку w = 0 и условием arg w'(z0) = y. Окончательно,
w = w4° w3 ° w2 ° wi (рис. 95).
Найти функцию, отображающую заданную область
D плоскости (z) на верхнюю полуплоскость (в ответах
указана одна из функций, осуществляющих указанное отоб-
ражение, причем если функция многозначна, то имеется
в виду одна из ее однозначных ветвей):
11.191	. Z> = {z||z|< 1, |z—11< 1}.
11.192	. Z> = {z | —n/4<argz< л/2}.
11.193	. Z> = {z||z|< 1, Imz>0}.
11.194	. D = {z\|z\> 1, Imz>0}.
11.195	. Z> = {z||z|<2, 0<argz<n/4}.
11.196	. D = {z\\z\>2, 0<argz<3n/2}.
11.197	. D = {z\|z|<2, Imz>l}.
11.198	. Z> = {z||z|< 1, |z + z|<l}.
11.199	. D = {z||z|<l, |z + z|>l}.
11.200	. Z> = {z||z|>l, |z + z|<l}.
175
11.201	. D—плоскость (z), разрезанная по отрезку [ — i, /].
11.202	. D—плоскость (z), разрезанная по отрезку, соеди-
няющему точки 1 + i и 2 4- 2i.
11.203	. D—плоскость с разрезом по лучам (— оо, —7?]
и [R, И-оо), Я>0.
11.204	. D — полуплоскость Imz>0 с разрезом по отрезку,
соединяющему точки 0 и ih (Л>0).
4.	Функция Жуковского. Имеем и	z + -l, и '=----— Фун-
2\ z) 2 z
кция Жуковского1) осуществляет конформное отображение как внеш-
ности, так и внутренности единичного круга плоскости (z) на
плоскость (и?) с разрезом по отрезку [—1,1]. Полная плоскость
(z) отображается на двулистную риманову поверхность, склеенную
крест-накрест по разрезам [—1, 1].
Обратная функция
z = w + x/w2 — 1
двузначна, причем каждая ветвь осуществляет отображение плоскости
(w) с разрезом по отрезку [—1, 1] на внутренность или на внешность
единичного круга в плоскости (z).
Пример 8. Найти образ полярной сетки р = const и ф = const
при преобразовании плоскости (z) с помощью функции Жуковского.
<] Полагая г=ре‘ф, имеем
1 / . 1
w — u+iv = -[ ре1фН—е
2\ Р
1/	1\	1/	1\
- pH— ]cos(p + z-[ р— sin(р.
2\	р/	2\	Р/
Следовательно,
1/ 1\
w = - pH— coscp,
2\ Р/
и для р /1 имеем
и
и2 v2
cos2<p sin2 ф
’) Конформное отображение, осуществляемое функцией
-| zH-- ), было использовано впервые Н. Е. Жуковским в качест-
2 \ 2 )
ве метода получения одного класса аэродинамических профилей,
названных профилями Жуковского. Профили Жуковского отобража-
ются на круг, для которого можно легко решить задачу обтекания,
а это дает возможность исследовать обтекание крыла самолета.
176
Из	этих	равенств заключаем,	что	окружности	| z | = р Ф	1 отображаются
1/	1\	1/ 1\
в эллипсы	плоскости (vv)	с	полуосями	tz = - pH— )	и	Ь = -\ р— )	при
, ч	2\	р/	2\ Р/
1/1 \
I» >1 или Ь = -\—р) при р<1. Лучи <p = const в плоскости (z)
2\р /
преобразуются в плоскости (и1) в гиперболы с полуосями a = |cos(p |
и A> = |sin<p|.
Заметим, что фокусные расстояния с =	— Ь2 эллипсов (4)
и с^^/с^ + Ь2 гипербол (5) равны 1, т. е. (4) и (5) — семейства
софокусных эллипсов и гипербол, о
Пример 9. Найти отображение плоскости (z) с разрезами по
отрезку, соединяющему точки 0 и 4z, и по отрезку, соединяющему
ючки 2/ и 2 + 2/, на внутренность единичного круга |и’|<1.
Искомое отображение w находим в виде композиции пяти
отображений. Функция wt=z — 2i переводит точку z = 2i в начало
координат, а функция M22 = e,2w1 осуществляет поворот плоскости
(n J на угол л/2. Точка z = 4z переходит в результате этих отображений
в точку ю2 = — 2, точка z = 2z— в точку и’2 = 0, точка z = 2 + 2z— в точку
h’2 = 2z, а точка z = 0 — в точку w2 = 2. Далее, в результате отображений
и'3 = и!2 и и’4 = и73/4 разрез отображается в отрезок [—1, 1] плоскости
(w4), и, наконец,
iv5 = w4 + ^/w4— 1,
отображает внешность отрезка [—1,1] на внутренность единич-
ного круга, причем выбирается та ветвь этой функции, которая
при w4=oo обращается в нуль. Итак, и> = и’5 w4° w3 ° w2 ° Wj
(рис. 96). о
а)
2i—2+2i щ
(Щ)
Wz
21
<toz)
2
Рис. 96.

о


о
-2 О
В задачах 11.205—Н.207 найти образы заданных областей
7 1
при отображении w = - z-\—
2 \ z
11.205	. Внутренности круга |z|<R при R<\ и внешности
круга |г|>Я при Л>1.
477
11.206	. Внутренности круга |z|< 1 с разрезом по отрезку
[1/2, 1].
11.207	. Внутренности круга |z|< 1 с разрезом по отрезку
[-1/2, 1].
11.208	*. Найти отображение круга |z|< 1 с разрезом по
отрезку [1/3,1] на круг |w|<l.
11.209	*. Найти отображение области	Z> = {z|Imz>0,
| г | > R} (верхняя полуплоскость с выкинутым полукругом)
на верхнюю полуплоскость.
11.210	*. Отобразить внешность
х2 у2
эллипса —г н—- = 1 (а>Ь)
а2 Ь2
на внешность единичного круга.
5. Показательная функция. Функция w = ez однолистна в любой
полосе шириной менее 2л, параллельной действительной оси. Она
отображает полосу — оо<х< + оо, — п<у<п в полную плоскость
(и>) с разрезом по действительной отрицательной полуоси. Вся
плоскость (z) отображается на бесконечнолистную риманову повер-
хность. Обратная функция z = Lnw = ln и>+2лш, и = 0, ±1, ..., однознач-
на на этой римановой поверхности, а ее главное значение
In w = In | w | + i arg w определяет конформное отображение всей плос-
кости (w) с разрезом ( — оо, 0] на полосу — n<Imz<n шириной 2л,
параллельную действительной оси.
Пример 10. Найти отображение полосы шириной Н, 0<Rez<H,
параллельной мнимой оси, на единичный круг плоскости (w).
Рис. 97.
Искомое решение получим, например, с помощью композиции
отображений:
• -	71	Й W3 — W 3
^2=-^, w3 = e*\ w4 = e---------
H	и’з — и>з
При последовательном выполнении этих отображений заданная
полоса преобразуется в области, показанные на рис. 97. о
178
Найти образ Е области D при отображении w = ez:
11.211.	Z> = {z | —л <Imz<0}. 11.212. D = {z 11 Imz | <л/2}.
11.213.	Z) = {z|0<Imz<2K, Rez>0}.
11.214.	£> = {z|0<Imz<Ti/2, Rez>0}.
11.215.	Z)={z|0<Imz<n, 0< Rez< 1}.
11.216.	Найти образы прямых x = C и y = C при отоб-
ражении w = ez.
Найти образы следующих областей при отображении
11.217.	{z|Imz>0}. 11.218. {z| |z|< 1, Imz>0}.
11.219.	{z||z|< 1, z^[0, 1]}.
11.220.	{z|z£[-oo, -1 JU [0, 4-oo]}.
6.	Тригонометрические и гиперболические функции. Функция
eiz + e~iz
n=cosz =------- однолистна в полуполосе — л<х<л, у>0 и от-
ображает эту полуполосу на плоскость (w) с разрезом ( — оо, 1 ].
Риманова поверхность этой функции более сложная, чем у преды-
дущих, так как склеивание листов происходит отдельно по лучу
(-оо,—1) и по отрезку [—1, 1].
Функция w = sinz сводится к предыдущей с помощью соотношения
/л \
sinz = cosl- —z I. К sinz и cosz сводятся и гиперболические функции:
sh z = — i sin iz, chz = coszz.
11.221*	*. Найти образ E полуполосы D = {z| 0< Rez< л,
Imz>0} при отображении w = cosz.
11.222.	Найти образы прямых x=C, у —С при отображе-
нии w = ch z.
11.223.	Найти образ E прямоугольника Z) = {z| —n<Rez<
<л, — h<Imz<h, Л>0} при отображении w = cosz.
§	4. Интеграл от функции комплексной переменной
1. Интеграл по кривой и его вычисление. Пусть /—дуга направ-
ленной кусочно гладкой кривой в плоскости (z), точки zkel, /г = 0,
1, ..., п, разбивают дугу I на частичные дуги, на каждой из которых
выбрано по одной точке /с=1, ..., п. По определению полагаем
f/(2)rf2= lim f	(1)
z	max | AzJ — 0 _ j
при условии, что предел в правой части (1) существует и не зависит ни
от способа разбиения дуги I на частичные дуги, ни от выбора точек
Если функция /(z) непрерывна на /, то интеграл (1) существует.
Если/(z) = w(x, y) + iv(x, у), то вычисление интеграла (1) сводится
к вычислению двух криволинейных интегралов 2-го рода
f f(z)dz = $w(x, y)dx — v(x,	v(x, y)dx + u(x, y)dy. (2)
i	i	i
179
Пример 1. Пользуясь определением (1), вычислить fRezdz, где
/
/— радиус-вектор точки 1 4- i.
<i Разбиваем радиус-вектор точки 1 -F Z на п равных частей, т. е.
полагаем
к	к	1
zk — --¥i~, Azk = -(1-H'), Л = 0, 1, ..., л,
п	п	п
и пусть ^k = zfc. Тогда интегральная сумма запишется в виде
п	п
I ReztAzt=
к= 1	к= 1
1 + z 1 4-z ” к 1 +/ п(п + 1)
п п к^хп п2 2
Следовательно,
(z+l)(«+l) 14-/
Rezdz = lim ---------=-----.
«—«j 2п 2
Пример 2. Используя представление интеграла в форме (2)
и правила вычисления криволинейных интегралов 2-го рода, вычис-
лить интеграл J | z | z dz, где / — верхняя полуокружность | z | = 1 с об-
i
ходом против часовой стрелки.
<□ Имеем
f |zIzdz = f ^/х2+у2(xdx4-ydy)4-if x/x24-y2(— уdx4-xdy).
i	i	i
Переходя к параметрическому уравнению кривой x = cosz, у = sin г,
О^г^л, и учитывая, что ^/x2+y2 = |z|= 1 в точках кривой, получаем
f | z|zdz = f ( —cos rsin Z + sin Г cos Г) dr-H'f (sin2 Z 4-cos 2 t)dt = ni. о
l	о	0
Если дуга / задана параметрическим уравнением z = z(r), причем
начальная и конечная точки дуги соответствуют значениям параметра
Z = r0 и z = Zj соответственно, то
f/(z)dz = f/(z(r))z'(r)dr.	• (3)
*	<0
Примерз. Используя формулу (3), вычислить интеграл
f(z + z)dz, где /—дуга окружности |z|=l, K/2^argz^3n/2.
о Положим z(z) = eu, л/2^Г^Зл/2. Тогда z'(t) = iea и, используя
формулу (3), находим:
J(z + z)</z =
Зя/2	/ j
f (еа + e~“)ieltdt = il — e2,t4-Z
я/2	\2/	,
Зя/2
= ni.
я/2
Непосредственным суммированием вычислить следующие
интегралы:
11.224.	j Im zdz, где /—радиус-вектор точки 2 — i.
i
11.225.	f|z|dz, где /—радиус-вектор точки —2 — 3/.
180
11.226.	Доказать, что при изменении направления пути
интегрирования интеграл изменит знак, т. е.
f f(z)dz= — f f(z)dz.
l+	l~
11.227.	Доказать, что если и a2—постоянные, то
f («1 fl (z) + a2f2(z)) dz = ai$fi (z) dz + a2 f /2(z) dz.
I	I	I
11.228.	Доказать, что если кривая интегрирования / яв-
ияется объединением кривых и /2, то
f/(z)rfz=f/(z)<fe + f/(z)</z.
I	/,
11.229*	. Доказать, что имеет место оценка
где ds — дифференциал дуги.
Вычислить интегралы по заданным контурам:
11.230.	J(2z+l)zdz, /={z||z| = l, O^argz^n}.
11.231.	jImzdz, l— {(л, у)|j’ = 2x2, O^x^l}.
11.232.	\(iz2-2z)dz, l={z\\z\ = 2, OOrgz^n/2}.
11.233.	jRe(z + z2)dz, /={(%, y)\y = 2x2,
11.234.	J(z2 — z)Jz, /={z||z| = l, n^argz<2n}.
11.235.	]zezdz, I—отрезок прямой от точки z0=l до
точки z£=z.
11.236.	$ezdz, I—отрезок прямой от точки z0 = rc до
точки Zj = —т.
11.237.	Jzlm(z2)<7z, /={z|Rez=l, |Imz|^10}.
11.238.	Re(cosz)sinziZz, /={z|Rez = n/3, |Imz|^ 1/2}.
11.239.	f cos zdz, I—отрезок прямой от точки z0 = rc до
/
п
точки zx=~ + i.
1	2
11.240.	fshzdz, /—отрезок прямой от точки z0 = ln2 до
точки zt = 1п 10 + тп1п5.
11.241.	flmz2Rez3Jz, /={(х, у)| у = Зх3, O^x^l}.
i
11.242.	j^z, /={z||z| = 1, 0<argzO/2}.
181
Пусть в области D задана многозначная функция w=f(z).
Однозначная функция и> = ф(г), аналитическая в области Z), называется
однозначной ветвью функции f(z\ если для любой точки zoeZ>
значение ф(г0) принадлежит множеству значений функции /(z) в точке
ф(г0)е{/(z0)}. Многозначная в области D функция
, — ----------------------- ....— -------------- (например,
z = z0, т. е.
может иметь как конечное число однозначных ветвей
h’ = ^/z), так и бесконечное (например, vv=Lnz).
Точка z комплексной плоскости, обладающая тем
свойством,
что обход вокруг нее в достаточно малой окрестности влечет за
собой переход от одной ветви многозначной функции к другой,
называется точкой ветвления (разветвления) рассматриваемой мно-
гозначной функции. Так, точками ветвления многозначной функции
w = nyfz являются точки z = 0 и z=oo. В каждой из своих точек
ветвления многозначная функция принимает только одно значение,
т. е. различные однозначные ветви функции в этих точках совпадают.
При интегрировании многозначной функции необходимо выде-
лять ее однозначную ветвь. Во всех задачах ниже это достигается
заданием значения многозначной функции в некоторой точке контура
интегрирования.
Вычислить интегралы по заданных контурам:
11.243.
— л/2 < arg z< л/2}, \j 1 =
1 .ч/З
- +1 —
2	2
<1 Функция \Jz является многозначной:
|2|ез«^2кя\ к = 0, 1, 2,
. г I J3
где ф = а^г. Условию \/1 = —удовлетворяет та однозначная
ветвь этой функции, для которой к=\. Действительно, при к=\
(и так как arg 1=0)
.	2я1' 2л 2л 1 УЗ
з (о + 2л) _ е 3 _ CQS-------------1_ у sin  --------------1_ у _*—.
3	3	2	2
Полагая теперь
г(ф) = е'ф ( —л/2^ф^л/2) на кривой /, находим
= e з(<₽+2л), z'(ф) = /е,<р,
и, следовательно,
П/ 2
п/2
dz
- л/2
ie,ф t/ф
е з(’ + 2я)
id<^ —
— п/2
е
= -£>
2
я/2 з
-п/2
9 3J3
— i—
4	4
182
11.244.
11.245.
11.246.
—7=, /={z||z| = l, 0<argz^7t}, ^/1 = 1.
J Vz
i
\yf~zdz, /={z||z| = l, rc/2^argz^л}, ^/1 = —1.
Ln2z
-----az,
z
i
/={z||z| = l, 0^argz^n/2},
Ln 1 = 2ni.
11.247. f Lnzdz, /={z||z|=l}, Lni = ^i.
11.248. f z" Ln zdz, neN, 7={z||z|=l}, Ln(-l) = iu.
I
2. Теорема Коши. Интегральная формула Коши. Если функция
/'(-) аналитична в односвязной области D, ограниченной контуром
Г, и у — замкнутый контур в D, то
f/(n)</n=O-	(4)
У
Если, дополнительно, функция f(z) непрерывна в замкнутой области
/) = DUr, то
f/(nMn=o
г	(теоремаКоши).
Если функция /(z) аналитична в многосвязной области D,
ограниченной контуром Г и внутренними по отношению к нему
контурами у1? ..., ук, и непрерывна
в замкнутой области Z) = Z>UL+U
U У Г U • •• U Yk , гДе знаки в верхних
индексах означают направления
обходов (рис. 98), то
f /(П)<Й1=О (5)
r*uUv
Y = 1
(теорема Коши для много-	Рис. 98.
связной области).
Если функция /(z) определена и непрерывна в односвязной
области D и такова, что для любого замкнутого контура yczZ)
f/(r|Mn=O,
У
то при фиксированном zQeD функция
Ф(г)= f /(п)Л1
zo
является аналитической в области D, причем <D'(z)=/(z).
Функция Ф(г) называется первообразной или неопределенным
интегралом от /(z), причем если F(z) — одна из первообразных для
/(z), то
J/(n)rfn=F(z2)-F(z1).
183
Если f(z) аналитична в области D, zQeD и усД— контур,
охватывающий точку z0, то справедлива интегральная формула
Коши
/(го) = Д(6)
2 л/J т| — z0
Y
При этом функция f(z) имеет всюду в D производные любого
порядка, для которых справедливы формулы
Пример 4. Доказать, что если f(z) — аналитическая и ограничен-
ная в выпуклой области D функция, то для любых двух точек zt
и z2 из этой области имеет место оценка
J /(nMn
<max|/(z)||z2-zi|.
zeD
<з Из выпуклости области следует, что если z^eD, z2eD, то
и отрезок, соединяющий эти точки, также принадлежит области D.
Из теоремы Коши следует, что в качестве пути интегрирования
можем взять именно этот отрезок, а потому, применяя оценку
задачи 11.229, имеем
'/./(пИп
max|/(z)| f</s =|
zeD
zeD
Пример 5. Вычислить интеграл
является аналитичес-
С dv\
-----Ц = Г(z) — F 0 ,
J 1+П
о
если путь интегрирования не охватывает ни одну из точек z1>2 =
о Так как подынтегральная функция f(z) =
кой всюду, кроме точек zi2=±i, то интеграл F(z) имеет смысл
во всех точках, кроме z- ±z, и при условии, что путь интегрирования
не проходит через эти точки. Следовательно, если путь интегрирова-
ния не охватывает ни одну из точек z12=±z, то в качестве одной
1
из первообразных для функции —=------ можно взять однозначную
Zz+ 1
функцию F (z) = arctg z, и, учитывая, что arctg 0 = 0, имеем
. I 4/11
arctgz — ——- t=
J 1+n
О
Пример 6. Вычислить интеграл
ZZ7C
„ sin —
Г 2
dz.
1=
184
i Запишем интеграл в виде
. izn
sin—
2
и, используя формулу Коши (6), находим
izn
sin —
2
I=2ni-------
z+i
Пример 7. Вычислить интеграл
1= О
е
dz.
|z-2| = 3
 1 Так как внутри контура интегрирования знаменатель подынтеграль-
ной функции обращается в нуль в точках zj = O и z2=l, то рассмотрим
многосвязную область 7), ограниченную окружностью T = {z||z —2| = 3}
и внутренними контурами у! —{z||z|=p} и у2- 112-Н — Р/
ez
(0<р< 1/2). Тогда в этой области D функция f(z)=—^----------j-j является
аналитической, и по формуле (5) можем записать:
f/(z)rfz + f f(z)dz + $f(z)dz = 0,
г+	ТГ	У2
откуда следует, что
7=
е 1
(р з/	+
е
;----; dz.
’ 1	1 2
Применяя теперь соответственно формулы (7) и (6), находим
2ni( ег
cz(z2 — 4z + 5)
™-----7----гч----
= —5 тс/,
z = 0
ez/z3	ez
-----dz — 2ni -r
z-1--z3
= 2яе/.
z= i
Таким образом, J = ni(2e — 5). о
Вычислить интегралы:
11.249.	$ezdz, /={(х, jJ|y = .x3, 1^х^2}.
i
11.250.	\s\nzdz, l={z\z = t2 + ity l/2^Z^3/2}.
i
185
11.251.	jz2 coszdz, I—отрезок прямой от точки z0 = z до
i
ТОЧКИ Zi — 1.
11.252.	ftgzdz, !={(x, y))x=y2,
i
11.253*	. j(z — z0)ndz, n — целое число, /={z| |z — z0| — R}.
i
11.254.	f(z — z0)ndz, n — целое число, /= {z 11 z — z01 =R,
i
Im(z —zo)>0}.
11.256*. Какие значения принимает интеграл
11.255.	Вычислить интеграл j(z— 1)coszdz по произволь-
нои кривой /, соединяющей точки z0 = rc и zl= — i.
dz
---, если
1
z—
2
в качестве / брать произвольные кривые, соединяющие точки
z0=l и Zi= — ?
Вычислить интегралы (обход контуров — против часовой
стрелки):
11.257. а)
11.258. а)
11.259. а)
|з+/| =
dz
1 + z2 
nz
Р sin —
11.260. а) ф -y-^dz;
J z-1
nz
sin —
11.261.
И = 4
11.262. J) ~^~2dz.
J z ~п
|z| = 4
11.263.
sh^(z + z)
z2 — 2z
dz.
186
11.264. о s.nzsin(,-l)^
z —z
11.265.
|z| = 2
где:
a) C= {z 11 z — 11 = 1}; 6) C={z||z + 1 | = 1};
в) C={z||z| = /?, Я#1}.
11.266.
sin z
|2|=1
TIZ
sin —
4
11.268.
(z-3)
dz.
ch e,nz
11.269.	() ---------dz.
J z -4z2
|z-2| = 3
Г 1 л	Г c1/z
11.270.	Ф — cos------dz. 11.271. Ф —-------------dz.
J z3 z+1	J (z2 + 4)2
|z| = l/2	|z —2|—1
11.272.	Доказать теорему о среднем: если функция /(z)
аналитична в круге |z—zQ\<R и непрерывна в замкнутом
круге |z — z0| то значение функции в центре круга равно
среднему арифметическому ее значений на окружности, т. е.
2л
/(z0) = 3- Г/(2о + /?е'в)</е = -2- (I) /(т])Л,
ZTl J	ZTlK J
0
где ds — дифференциал дуги.
11.273*	. Известно, что если /(z)^ const — аналитическая
в области D и непрерывная в замкнутой области D = D\JL
функция, то max |/(z)|достигается только на границе области
zeD
(принцип максимума модуля). Доказать, что если, кроме того,
VzgZ>/‘(z)/0, то и min|/(z)| достигается также на границе.
zeD
11.274.	Используя формулу (6) для /'(z), доказать теорему
Лиувилля: если /(z)—аналитическая и ограниченная во всей
плоскости (z) функция, то /(z) = const.
Глава 12
РЯДЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
§ 1. Числовые ряды
1. Сходимость ряда. Критерий Коши. Выражение
ОС
Ui+l/2 +	+м„+ ... = X ип>	(1)
л = 1
где (ик)кеЫ—заданная числовая действительная или комплексная
последовательность, называется числовым рядом. Конечные суммы
=	52 = Ui4-M2, •••» ^n = Ui + U2+ ... +wn, ...	(2)
называются частичными суммами ряда (1).
Если существует конечный предел последовательности частичных
сумм (2) S= lim Sn, то ряд (1) называется сходящимся, а число
л-»оо
£—суммой ряда (1).
Критерий Коши Для того чтобы числовой ряд (1) был
сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы для любого £>0
существовало jV=jV(s) такое, что для всех n>N и р=\, 2, ...
выполнялось неравенство
I + р ‘5'л1==1мл+1~Ь^л + 2_Ь ••• ~Ьмл + р1
Необходимый признак сходимости. Если ряд (1) схо-
дится, то
lim w„ = 0.
л-юо
со |
Пример 1. Показать, что ряд У ; сходится, и найти
его сумму.
1
<3 Так как дробь —------ представима в виде
1 _1 1 * 111
х(х+1) х х+1’
то частичную сумму ряда можно записать следующим образом:
111 1 1
••• ---п—1—ГГп=
1-2 2-3 3-4	(п— \)п w(pi4-1)
_ 1 1^ 1 1 1 1111- 1
2^2 3 + 3 4~*~	+ п— 1 п мН-1	и+1
188
< юдовательно,
lim S„ — lim [ 1----J — 1,
w-*ao «-*oo \	«4" 1 /
i e. заданный ряд сходится и его сумма равна 1. о
00
Пример 2. Исследовать на сходимость ряд £ qn и в случае
л = 0
сходимости найти его сумму.
• 1 Имеем
5,,= 1 4-?4-<724- ... +<7Л-1.
I ели <?=!, то Sn = n, т. е. lim S„=oo, и, следовательно, ряд расходится.
11 усть теперь q 1, тогда
5 _______________£_
1-? 1-^7 \~Я
Положим q = rel\ тогда qn — rneinv. При 0<г<1 имеем
lim qn — lim гие‘Яф = О,
«-*00	«~*х
<7И	1
I. е. lim---= 0, откуда lim S„ —----. Если же г>1, то гя->оо и,
«-*оо 1 ~ <7	«-*ос	1 — q
г qn
следовательно, конечного предела lim-------, а значит, и предела
«~*х 1 ~q
последовательности частичных сумм не существует. Наконец, при
г=1 и ф^О (mod2Tt) предел
lim е‘"ф= lim (созиф + шпиф)
«-*х	«—*х
(а потому и предел lim Sn) также не существует.
«-*00
00
Таким образом, ряд £ qn, члены которого составляют бес-
п = О
конечную геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знамена-
1
гелем q, сходится при | q | < 1 и его сумма равна -- и расходится
1-<7
при | q | 1. о
Пример 3. Доказать, что гармонический ряд
11 1 * 1
1+-+-+... +-+... = £-
23 п „=1я
расходится, хотя его члены стремятся к нулю при и->оо.
<1 Рассмотрим разность частичных сумм с номерами 2п и п.
Имеем
$2п ~ $п
I 1	1
----7”)---7”^ ••• Т~-
п 4-1 «4-2	2п
189
Заменяя каждое слагаемое меныней величиной 1/2дг, получаем
$2п ~ $п
11 11
---1--1- ... Н-— и —
2п 2п 2п 2п
I
9 ‘
Это неравенство означает, что при р = п для гармонического ряда
не выполняется критерий Коши и, следовательно, ряд расходится. t>
Показать, что следующие ряды сходятся, и найти их
суммы:
00	|	00	2
12Л’ ,?!«(«+0(« + 2)’	12‘2‘ „?24"2-9’
123 У _____!____	12.4.у^±'-
12.5*. f с_^.
и= 1
12.6.
п — и
Используя критерий Коши
сходимости ряда, установить
рядов:
или необходимый признак
расходимость следующих
12.7. У
п= 1
12.8.
00
п = 1
1
П
и2 + 2 ’
оо
12.9. £(-!)".
п = 1
еп
12.10. ^—0.
п= 1 П
12.11. £
Я=1 ”2"
оо
12.12.
п = 1 Jn 4- in
12.13.	Доказать, что если члены сходящегося ряда ум-
ножить на одно и то же число, то его сходимость не
нарушится,
да	да
12.14.	Доказать, что если ряды Е ип и Е сходятся
и — 1	п = 1
и их суммы соответственно и и г, то сходится и ряд
Е (мп + гл), причем его сумма равна w4-r. Привести пример,
п = 1
когда обратное утверждение не имеет места.
12.15.	Доказать, что отбрасывание конечного числа членов
ряда не влияет на сходимость этого ряда (но влияет на
сумму!).
2.	Абсолютная и условная сходимость. Признаки абсолютной
сходимости. Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится
190
1»ид из модулей членов этого ряда, т. е. сходится ряд
|U1| + |«2|+...+|M„|+... = f |«,|.	(3)
п = 1
1ч ии ряд (1) сходится, а ряд (3) расходится, то ряд (1) называется
н ювно сходящимся.
Признак сравнения рядов. Если члены ряда (1) для всех
00
п > Nq(Nq>\) удовлетворяют условию | ип |^6„, причем ряд £ Ьп схо-
п = 1
дится, то ряд (1) сходится абсолютно. Если же для n>NY члены
00
1>чда (1) удовлетворяют условию 0 < сп | и„ |, причем ряд £ с„ рас-
л — 1
ходится, то ряд (3) расходится, т. е. ряд (1) не сходится абсолютно.
ОО	|
Пример 4. Зная, что ряд У —:------г сходится (см. пример 1),
л=1«("+1)
оо |
установить сходимость ряда У —.
л=1«
00 j 00	|
1 Так как У —-= У -------то, учитывая неравенства
л=т" л=о("+0
1 1
;-------------Г, И=1, 2, ...,
(и+1)2 и(и+1)
оо !
по признаку сравнения убеждаемся в сходимости ряда £ —
л = 1
На практике более эффективным оказывается следующий
00
Предельный признак сравнения. Если ряд £ v„ сходится
л= 1
абсолютно и существует конечный предел lim — =(?<+оо, то ряд
л-»0 Vn
(I) также сходится абсолютно. Если же члены рядов и„ и vn —
действительные положительные числа и
л г	.
0< lim —< +оо,
л-*оо Vn
00	00
то ряды £ ип и X либо °^а сходятся, либо оба расходятся,
п = 1	л = 1
Пример 5. Исследовать на сходимость ряд
“ Зп2 —2
Л«4 + 5л-
(4)
” 1
-я Так как ряд У —г сходится (см. пример 4) и так как
lim
л-» ос
Зп2 —2 1
п4 + 5п п2
= 3/0,
го ряд (4) также сходится, о
191
Пример 6. Исследовать на сходимость ряд
V 45
3п2 — 2п
(5)
о Так как
2//Ч-5 1	2
lim —--------
„_>ооЗ/7 — 2/7 п	3
00	|
а гармонический ряд У - расходится (см. пример 3), то и ряд
и=1«
(5) расходится. t>
Признак Даламбера. Если члены ряда (1) таковы, что
существует конечный предел
lim
п —♦ ОС
Ми+1
«л
=/,
то при 0^/<1 ряд (1) сходится абсолютно, при />1—расходится,
а при I = 1 требуется дополнительное исследование.
Пример 7. Исследовать на сходимость ряд
(6)
<i Имеем
nJ
U =---
п 2п
ип +1
lim -----= lim
п а Пп п—> к
(и+1)32л
2”+ 1 п3
2
Таким образом, ряд (6) сходится, о
Признак Коши. Пусть lim ^/|wn| = /. Тогда если 0^/<1, то
ряд (1) сходится абсолютно, если /> 1—ряд (1) расходится, а при
I = 1 требуется дополнительное исследование.
Пример 8. Исследовать на сходимость ряд
ри + зХ2"'1
f 2п+5\2п~1
Имеем м„= ------- , поэтому
\3и— 1 /
— /—	/2и + 5\2-; (2\2
lim	lim ----- п= - < 1.
Л — 00	И — 00 у 3/7   1 J \ 3 /
Следовательно, данный ряд сходится. i>
При использовании признака Коши бывает полезна следующая
формула Стирлинга:
л!=,/2лл(0 е12", 0<6<1.
192
Пример 9. Исследовать на сходимость ряд
£ 2"и!
Имеем:
_ ,___	/2"/2пп / п\п ~-\'in 2	- -Ч 2
lim <7 |u„| = lim ( ——-I - I е12л I =- lim (2nn)2n e 12аГ = -< 1,
n — оо	и — ос \ nn \e J j e я-*e
i . e. ряд сходится.
Интегральный признак Коши. Пусть функция f(x) по-
южительна и монотонна при х 1, и пусть для всех п е N имеет
место равенство /(n) = |u„|. Тогда числовой ряд (3) сходится (т. е.
ряд (1) сходится абсолютно) или расходится одновременно с несоб-
ственным интегралом
\ f(x)dx, я^1.
Пример 10. Выяснить, при каких значениях параметра р сходит-
ся ряд Дирихле
Z -•
<□ Так как функция /(х) = — удовлетворяет условиям интегрального
хр
признака Коши, то исследование сходимости ряда Дирихле сводится
•	+ 00 dx
к исследованию сходимости интеграла ( —. Но
! ХР
lim In b — + оо
b —► + оо
b1-”	1
lim------------= + oo
b— + oo 1 — p 1 — p
1
(p-l)^’1
при p = 1,
при 0 < p < 1,
при p > 1.
Отсюда заключаем, что ряд Дирихле сходится при р > 1 и расходится
при р 1. с*
12.16.	Доказать, что всякий абсолютно сходящийся ряд
является рядом сходящимся.
12.17.	Доказать, что члены сходящегося ряда можно
группировать, не меняя их порядка, произвольным образом.
12.18.	Доказать, что члены абсолютно сходящегося ряда
можно переставлять произвольным образом; при этом сумма
ряда не изменится.
7 Специальные разделы мат. анализа. Ч. 2
193
Используя признак
сравнения, исследовать
сравнения или предельный признак
на сходимость следующие ряды:
12.19.	оо у	1
	Zu и - 1	Зи —2
12.21.	Е л = 1	п Зп3—Г
12.23.	Е л— 1	л sin п
12.25.	00 Е л = 3	3 bJ 0Q о 3J я
12.27.	00 Е л = 2	1п п УГ2'
12.29.	00 Е л— 1	2п (мН-1)3"
12.20.	00 У	1
	Z-u л = 1	(2п-1)2’
	00	1
12.22.	Z	1
	л = 1	у/п(п + 1)(и + 2)
12.24.	00 У	и2 + 3
	Z-u л = 1	4и3 + 5и
	00	
12.26.	Е	^Parctgl. v	и
	л = 1	п
	оо	
12.28.	Е	е~п\
	п = 1	
12.30.	ОО у	cos у/п 4- i sin у/п
	Zu Л — 1	п2
Пользуясь признаком Даламбера, исследовать на сходи-
мость следующие ряды:
00 „г.с	00 и"
12.31. У ?-±£ 12.32. У
1 2"	Л л!
3 3’5
3 • 5... (2иЧ-1)
+ 1-4...(Зи-2)
12.33.
1 4
12.34.	00 Е л= 1	п5 5"’	12.35.	оо Е л = 1	(Зл+1)! 8"п2
12.36.	00 Е л — 1	е2л+1 и!	12.37.	оо Е л = 2	1 -3-5 ... (2«—1) 22"(и— 1)!
	оо			оо	
12.38.	Е л = 1	sin in ~УГ'	12.39.	Е л= 1	пп п\(e — i)n
Используя признак Коши, исследовать на сходимость
следующие ряды:
12.40. f
л = 1
/ п—\ у
\2П+1 /
00	/	<	\ 77
12.41. У I 1+- .
 =< \ п
°° 1 /	1
12.42. £ - 1+-
2 \ п
оо /	\ 2п
™-^АА 
00	/	। \ л
12.45. £ п( arcsin - ) .
„=1 \	nJ
12.46.	°°	/ к у	/ к у/2 J/-где	•
12.47.	У ( n + 2i Y 12 48 У Л(2л + Д" леД(1+о«+з/-	• дед 4« )
Используя интегральный признак Коши, исследовать на
ходимость следующие ряды:
12.49.	оо	.	ос	| Е -Д-. 12.50. Е -7= п = 2 и!п и	„ = 2 оо	I	оо	।
12.51.	У 1 -	12.52. У	1 я^2 п\пп	’ ’ л = 3 пInп(InInп)2'
Исследовать на сходимость ряды:
12.53.	у / i+»Y	®	, л+i У 	; • 12.54. У — In	. „=Д1+« j	я=2д
12.55.	°°	„2	°°	1 У?
12.57.	,?.U) ,2-58-уд- 00	„	СО /	,\»2
12.59.	Е —-—г- 12-60. Eli-1) • „Д (2л—1)"“1	ДД nJ
12.61.	,ЛЛ 100 -103	100 -103... (97 +Зл) 1-5	1-5-9... (4л —3)
12.62.	л 111 111-21	1-11-21 ...(Юл-9) 1+	+	4- ... 4-	1	- + ... 3!	5!	(2л —1)!
12.63.	1	1-5	15 9	1 -5-9 ... (4л—3) 2 + 2-4-6	2-4-6-8-10 1 ’"+	(4л —2)!!	+
12.64.	S Jn+X-yJn-X	/и-1У(л-1) Е 		Д	• 12-65. У 	 „ = 2	«3/4	n = 2V+M 00	/	1	/	1	\\
12.66.	У I In-— - ln( sin-г— ) ). \	п2/5	\ п2/Ч 7 п — 1 \	\	/ /
12.67.	00 / |\2	00 £ £1	12.68. X sin —2. п= 1 I2”)’	„= 1	2л2 00	/	1 X	00	1
12.69.	У In (1+4). 12.70. X 		. n=i \	” /	л!пл1п1пл
195
12.71.	00 X	3"/i! nn	12.72* f — , nn .
	л- 1		n- 1
		2-5	2-5-	8	2-5-8. ..(3/1—1)
12.73. 24-		1-5 4 1-5*	4- ... 4- ...		 _|_...
			9	1 • 5 -9...(4и — 3)
	00	100	«	/ A
12.74.	X	7"	12.75. У In 1 + - .
	п = 1		n=l \ nJ
12.76.	00 У	/2n- A"	X	/ И \" 12.77. У ( —).
	fl — 1	\5h4-3/	\n + 2j
	1	1 -4	1 -4-7	1 -4-7... (3n — 2)
12.78.		1	+	+ ... 4-	1	+	
	Too’	100-102	100 102 -104	100 -102... (984-2/1)
12.79.	00 У	xA	00 12.80. У			— .
	L-i n — 1	w34-l	r>=2
12.81.	00 £	1	12.82. £		.
	n = 2	И .yin3 И	„=i (Зи + ПС^А-О
12.83.	00 E	i	12.84. f
	n = 1	х/л + i	n=l	2
12.85.	00 X	(2 + <)“-и	12.86. f -4-7=
	n - 1	2"	n = 1 (n-ijy/n
12.87. Исследовать на сходимость ряд
„?2^пр"раз-
личных действительных значениях р и а.
00	1
12.88. Исследовать на сходимость ряд У —г—-7——г-г
„ = 3 лр(1п л)а(1п In пу
при различных действительных значениях р, а и р.
12.89. Убедиться в том, что признак Даламбера непри-
2к ~1	2к
меним к ряду £ ип, где 1/2*-!=-^-, ы2*==-*, тогда как
И=1	3	3
признак Коши показывает, что этот ряд сходится.
3. Признаки условной сходимости. Признак Лейбница.
Пусть члены ап знакочередующегося ряда
<21 — ^2	+... 4- (—1)"+1йл4-...
действительны, монотонно убывают, т. е.
а\ >а2...>ап>...,
lim а„ = 0.
Л->00
(7)
(8)
(9)
196
Тогда ряд (7) сходится, причем для его суммы S имеет место
оценка S<av.
Пример 11. Исследовать на сходимость ряд
00	1
1	п
п= 1
1 1 1
• 1 Так как ап = — >----— ап+ ь п — 1, 2, ..., и lim -=0, то выпол-
п и+1	л—*оо п
пены условия (8) и (9), и данный ряд сходится. Ряд из абсолютных
00 I
величин членов, т. е. ряд £ — , расходится. Следовательно, ряд
Л— 1 W
V	+ 1	1
У ( —1)л 1 — сходится условно, о
Л !	п
Признак Абеля — Дирихле. Пусть члены последователь-
ности (Ьп) монотонно убывают: ЬГ>Ь2> ...>Ьп>... и lim £п = 0,
л-*оо
а частичные суммы Sn — ai + а2 + ... + ап,	1,2,..., ограничены в со-
вокупности, т. е.
k= 1
для всех neN.

00
Тогда ряд £ апЬп сходится.
п = 1
Пример 12. Исследовать на сходимость ряд
® sinfcx
k
k = 1	*
xeR.
о Очевидно, что в точках х-тп все члены ряда равны нулю,
г. е. при х = тп ряд сходится и его сумма равна нулю. Пусть
теперь х^О (modя). Подсчитаем сумму
Отсюда заключаем, что для любых и=1, 2,... и х^О (modл)
£ sin/cx
k = 1
1
197
Далее, последовательность 1-1 монотонно убывает и lim - =0.
W«eN	n-^аоп
Таким образом, при x^O(modn) выполнены условия признака
® sin кх
Абеля—Дирихле, и потому ряд ) -------- сходится. Следовательно,
к= 1
ряд сходится при любом X. о
Исследовать на абсолютную
следующие ряды:
и условную сходимость
12.90.	ОС хс Л = 1	-1)"+1 ——. 7	3/7-1	12.91. f	. л — 1 Пу/п	
12.92.	ь п — 1	-1)"—А-. 7 5/7-2	12.93.	2/7- А" 3/7 + 2/ '
12.94.	1 1 з" 3	•4	14 7 •5 + 3-5-7	...+(_ LAL V 7	3-5-7.	(2«+ 1)
12.95.	L п-2	(-1Г-- п	12.96. л— 1	1	/7 ! 3'5-...(2и-1)
12.97.	оо L( п — 3	-1)"	Y	гг- 12-98. У (- 7 п In п (In In /?)3	'		-1К-
12.99.	оо Z( п — 1	-1)"-'-. 2"	12.100. f (- л = 2	-1)"—!—. /7 —1п/7
12.101. f п = 1		cos //a	12.102. f ( Л — 1	-1)"—. 7 /7!
		п2		
12.103.		==
л=3 nlnn^/lnlnw
12.104. £
п = 1
sinna
(In 3)"
Tin
«, sinT
12.105*. У ---------
. n
12.106.	f - .	12.107. f ( —
12.108.	f (— Y. 12.109. f -
n=1 \ 3 /	л= 1
OO
Убедиться в том, что к рядам £ ип с указанными
п = 1
ниже членами (ZreN) нельзя применить признак Лейбница.
Исследовать эти ряды на сходимость другими способами.
198
12.110* M2fc_1=	-
«2к =
1
х/ЬЙ-1
12.111.	U2k-1=—	—, «2к =
3& + 2
1
ЗАг— 1 ’
12.112	W2*-l=^, «2*=-^.
12.113.	И2к_1 = ^, и«=-р.
12.114*	. Доказать, что из сходимости рядов £ |я„|2
л — 1
ОО	00
и £ Ш2 следует абсолютная сходимость ряда £ апЬп.
л - 1	л- 1
оо	00
Произведением по Коши рядов £ ап и £ Ьп называется
л - 1	и = 1
оо
ряд £ с„, члены которого получены по формулам
л - 1
л
<„= £ а*Л„-*+1, леИ.
k= 1
Исследовать на сходимость произведение по Коши следу-
ющих рядов:
12.115**. £
1
п2
12.117*. У
п=1 п
12.119. Доказать,
И
оо -j	оо ।
У 1	12.116*. У 4
.= i 2й	п2
и
п
1	£ 1
-и	> —.
п
п
и X- I2118*- Z
и = i "
что если ряд £ ап сходится абсолютно,
а ряд £ Ьп сходится, то произведение по Коши сходится.
л= 1
Пусть (vk) - произвольная числовая последовательность,
Л	^6N	00
Sn= £ ик— частичные суммы сходящегося ряда wk, a Rn =
k=Q	k=0
00
= £ Mfc — остаток этого ряда. Проверить справедливость
к = п + 1
соотношений (называемых преобразованиями Абеля):
п	п - 1
12.120.	X	X (vk-ft+i^-VtSo + fA.
k=l	k=l
199
п	п - 1
12.121.	£ ukvk = Y (vk-fk+i) (Sk-Sm) + v„(Sn-Sm).
k = m+ 1	fc = m+ 1
12.122»	= У~ (Vk. ^k-l) ^k-l'b^m+1	^n^n'
k = m+1	к = m + 2
12.123.	Доказать, что для остатка Rn знакочередующегося
ряда (7), удовлетворяющего условиям признака Лейбница,
справедливо неравенство | R „ | < а п + х.
§ 2. Функциональные ряды
1.	Область сходимости функционального ряда. Пусть функции
/„(z), wgN, определены в области D. Выражение
/l(z)+/2(z)+ ...+/n(2)+...= f/л(2), zeD,	(1)
л - 1
называется функциональным рядом. Если для zoeD числовой ряд
Z /и(2о) сходится, то говорим, что функциональный ряд (1) сходится
п = 1
в точке zQ. Если в каждой точке zeD^D числовые ряды V fn(z)
И— 1
сходятся, то ряд (1) называется сходящимся в области Dx.
Критерий Коши. Для того чтобы функциональный ряд (1)
был сходящимся в области Dit необходимо и достаточно, чтобы
для любого е>0 и любого zeD{ существовало	z) такое, что
1/л+1 GO + fn + 2 (-) + ••• +/n + p(z) | <£
для всех n>N(&, z) и peH.
Для определения области абсолютной сходимости функциональ-
ного ряда (1) следует воспользоваться либо признаком Даламбера,
либо признаком Коши. Именно, если
lim
/I — а>
/л+1С0
fn (*)
= /(*’)
ИЛИ
lim\/|/0(z)|=/(Z),
n-k X
то для определения области абсолютной сходимости ряда (1) следует
решить функциональное неравенство / (z) < 1, а для определения
области расходимости — функциональное неравенство I (z) > 1. При
этом для изучения поведения ряда в граничных точках получаемой
области, т. е. в точках, описываемых уравнением Z(z)=l, требуется
дополнительное исследование.
Пример 1. Найти область сходимости функционального ряда
£ (_1И1
£ ---7 —. X6R,
.= 1лЗ"7(х+2)"
х> —2.
200
1
। 1ак как |/n(x)|=------------и х> — 2, то, применяя признак
лЗ"х/(^ + 2)л
Коши, имеем
— / 1 1 1
hm «/...........— lim------------— =---;  
+	',-’хЗ(.г+2),'2Уя 3 Vx+2
1, т. е. при
17
V
<	1сдовательно, ряд сходится, если —
3
17 ' £ + 11
При х =----получаем знакочередующийся ряд > (—1)" -, который
9	П-1	п
<	ходится по признаку Лейбница. Таким образом, область сходимости
ряда полуинтервал [—17/9, +оо). о
Найти области сходимости рядов (xgR). Исследовать
ряды на абсолютную сходимость.
12.124.	п - 1	12.125.	cos пх
			2-	• п1 п yj п
12.126.	ОС' . Е^,- л = 1 л	12.127.	00 1 У		. „e^’Cv+ЗГ
12.128.	X Е ”х- л = 1	12.129.	ОО /	1 У (х'Ч	 л=1 \
12.130.	sin пх	12.131.	00	г л = 1	“
12.132.	Е ?~"2х- л — 1	12.133.	у, 1п"х П=1
Пример 2. Найти область сходимости функционального ряда
п
zeC
Применяя признак Даламбера, можем записать неравенство
lim
Л-+ОО
(m+1)(z-/)"
(z — z)n+ 1 n
откуда заключаем, что ряд сходится абсолютно вне круга радиуса
1 с центром в точке /, т. е. при | z — i | > 1. На окружности | z — i | = 1
ряд, очевидно, расходится, о
Найти области абсолютной сходимости рядов (zgC):
12.134.
У ——.
! (Z-2)"
12.135.
Е
п= 1
1
n(z+l)"‘
201
00 nl"	03 r-
12.136. У --------5-.	12.137. У Jne~nz.
Л^-ЗО2"
12.138. У ^e~nz2.	12.139. У nenz.
„=i"	„=!
12.140*. У (-1)л«'-’. 12.141*. У | —
»=i	n=i \z+ij
00	/ 7— 7 \Л	00	7Л
12.142*. У — .	12.143*. У ------——.
n=iV-2V	„tV1-")"1
2. Равномерная сходимость. Сходящийся в области
Di функциональный ряд (1) называется равномерно сходящимся
в этой области, если для любого £>0 найдется W=TV(£) такое,
что для остатка ряда (1)
Ля(2)= f fk(2)
к = и + 1
при всех n>N(t) и zeDx имеет место оценка
I | <£
Критерий Коши равномерной сходимости. Для того
чтобы функциональный ряд (1) был равномерно сходящимся в области
D{, необходимо и достаточно, чтобы для любого е>0 существовало
N=7V(£) такое, что для всех n>N(s) и zeDx выполнялись неравенства
l/„+1(z)+/n + 2(z)+...+/n + ₽(z)l<6, Р=1, 2, ...
Пример 3. Найти область сходимости ряда
£ (z"-z"+1),
п = 0
сумму ряда и показать, что во всей области сходимости ряд
сходится неравномерно.
Так как частичные суммы ряда имеют вид
Л
S.(z)= X (?-?**)= l-z"+1
k = 0
то можем заключить, что lim S„ (z) существует только при | z | < 1
И-+СС
и в точке z=l, т. е. областью сходимости ряда является область
/>1=ф1И<1 и 7=1},
причем сумма ряда равна
S(z)= lim 5„(z) = <
л-»со	0
при | Z | < 1,
При 7=1.
202
(Остаток
<) । сюда
побого
ряда Rn(z) = S(z) — Sn(z) имеет вид
fzn+1 при |z|<l,
Rn(z) = <
(О при z=l.
заключаем, что существуют ео>0 и N(eo) такие, что для
n>N(s0) найдется z„ такое, что | zn | < 1, но | Rn (zn) | >е0.
1
la к, например, выбирая е0 = 1 /4 и zn=—— е п, (р„ — произвольно,
<•4 П + 1
1	1 2
имеем |	(z„) | = — > —. Это означает, что во всей области сходимости
2	4
/>, равномерной сходимости нет. Заметим, однако, что в любой
области Dr = {z 11 z | < г < 1} ряд будет сходиться равномерно, так как
In £
для любого £>0 найдется 7V = 7V(e) =— такое, что для всех zeDr
In г
и h>7V(e) имеем |An(z)| = |z|n+1	<е. о
Признак Вейерштрасса. Пусть функциональный ряд (1)
< ходится в области DY, и пусть существует сходящийся знакопо-
южительный числовой ряд £ ап такой, что для всех zeDx и для
п = 1
ii>Nq члены ряда (1) удовлетворяют условию
l./»U)l ^а„.
Тогда ряд (1) сходится абсолютно и равномерно в области D{.
Ряд £ а» называется мажорирующим для ряда (1).
п = 1
00 7П
Пример 4. Найти область сходимости ряда У —г и показать,
п=1 «
что в этой области ряд сходится равномерно.
<i Воспользуемся признаком Даламбера. Имеем
lim
п —’ оо
(w4-l)2zn
= Н-
Следовательно, в круге | z | < 1 ряд сходится. На границе круга, т. е.
при | z | = 1, получаем сходящийся ряд:
Значит, исходный ряд сходится в замкнутом круге | z | 1. Но так
как для всех | z | 1
Л" 1
п2 ^и2’
то ряд сходится абсолютно и равномерно, о
Найти область сходимости и область равномерной схо-
димости указанных рядов (xeR, zeC):
12.144. i (-!)„-. 12.145. f
п=1	n=i л(* + 2)"
203
12.146. 12.148. 12.150. 12.152*. абсолютно	<Х) V	sin их	12.147. 12.149. 12.151. что ряд очках, но	у и:	
	"2 оо пг .?> 00 л = 1 Доказать, во всех т			х+п' .= ! «2 «> . У —!—. и=1 "М" 00	X2 У 7	77~, *GR, не равномерно	сходится в любом
промежутке, внутри или на границе которого находится
точка х = 0.
12.153. Доказать,
дится абсолютно и
ряд i (-!)	«Я,
равномерно на всей числовой
схо-
оси,
тогда как ряд из абсолютных величин членов данного ряда
(ряд задачи 12.152) на всей числовой оси сходится нерав-
номерно.
12.154.	Используя принцип максимума модуля анали-
тической функции, доказать, что если члены ряда (1)
являются аналитическими в области D функциями и не-
прерывными в замкнутой области D = D + Г и если ряд (1)
сходится равномерно на Г, то он сходится равномерно
в замкнутой области D (вторая теорема Вейершт-
расса).
12.155.	Найти область сходимости и область равномерной
сходимости, а также сумму ряда
Е
я = О
3.	Свойства равномерно сходящихся рядов. Сформулируем ряд
свойств в виде задач.
12.156.	Доказать, что если члены равномерно сходящегося
в области Dr функционального ряда (1) умножить на одну
и ту же ограниченную в области D{ функцию <р (z), то
равномерная сходимость ряда не нарушится.
12.157.	Доказать, что если функции fn(z) непрерывны
в области £>! и ряд (1) равномерно сходится в этой области,
то его сумма /(z) непрерывна в области Dx.
12.158.	Доказать, что если функции fn (z) непрерывны
в области и ряд (1) равномерно сходится в этой
области, то его можно почленно интегрировать по любой
204
кривой /, целиком лежащей в области D14 т. е. имеет место
равенство
* / 00	\	00
( £л(п)рп= Z
\л = 1	/	И= 1
Л(пНп-
12.159*	. Доказать, что если на отрезке [а, Ь] функции
со
/Д\) дифференцируемы, функциональный ряд £ fn(x) схо-
ас	и-1
ин ея, а ряд из производных £	равномерно сходится,
п - 1
ю исходный ряд можно почленно дифференцировать, т. е.
имеет место равенство
(00	\ t со
I Л(х)1 = Z Л(4
л= 1	/ и-1
Для равномерно сходящихся рядов из аналитических функций
имеет место
Теорема Вейерштрасса. Если члены функционального ряда
11), т. е. функции fn (z), являются аналитическими в области D фун-
кциями и в любой замкнутой подобласти D ряд (1) сходится
равномерно, то:
а)	сумма ряда (1), т. е. функция f(z), является аналитической
в области D',
6)	ряд (1) можно почленно дифференцировать любое число раз,
т. г. справедливы равенства
□о
/“’(z)=	*=1,2,-., zeP;	(2)
л - 1
в)	в любой замкнутой подобласти D полученные в результате
дифференцирования ряды (2) сходятся равномерно.
12.160.	Используя утверждение задач 12.157, 12.158 и те-
орему Морера (теорема, обратная теореме Коши), доказать
утверждение а) теоремы Вейерштрасса.
12.161.	Воспользовавшись формулой Коши для произ-
водной и утверждением задачи 12.158, доказать утверждение
б) теоремы Вейерштрасса.
§ 3.	Степенные ряды
1.	Область сходимости и свойства степенных рядов. Ряд
co + c1(z-zo) + c2(2-2o)2+ ... + c„(z-z0)" + ...= Е t‘„(z-z0)" (1)
*	л-0
называется степенным по степеням z — z0. В частности, ряд
CO + C1Z + C2Z2+ ... +C„z"+ ...= £ С"2Л	<2)
п- О
205
является степенным по степеням z. С помощью замены z — z0 = Z
ряд (1) сводится к ряду (2).
Теорема Абеля. Если степенной ряд (2) сходится в точке
z^Zj+O, то он абсолютно сходится для всех z таких, что |z|<|z1|,
причем сходимость будет равномерной в любом замкнутом круге
Если же ряд (2) расходится в точке z = z2, то он
расходится и для всех z таких, что |z|>|z2|-
Из теоремы Абеля следует, что областью сходимости степенного
ряда является круг с центром в начале координат (с центром
в точке z0), радиус которого может быть определен применением
либо признака Даламбера, либо признака Коши, т. е. из условий
lim ----------- =|z| lim
И -сс CnZn	л—оо
<1
или
lim </k„z"| = |z| lim У|сД< 1.
п —► оо	п —- 00
Отсюда для вычисления радиуса R круга сходимости получаем
соотношения
R =-----
lim
п —- сю
ИЛИ
R =----
lim
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд
(z + 2)2 (z + 2)*	(z + 2)2"
1-3	4-32	н23"
(z+2)2"
п2 -3"
с Применим признак Даламбера:
Jz + 2)2n	_ (z + 2)2<n + 1*
~ п2 • 3" ’ и"+1 ~(л + I)2  З"77
и
(2 + 2)2<"+,)и2-3" |_|z + 2|2 . п2 _|z + 2|2
«-*«> (и + 1)23" + 1 (z+2)2n I 3	«— «> (п-I-1)2	3
круге | z 4~ 21 < у/з. Далее,
имеем
1
л2’
а это означает, что ряд абсолютно сходится в замкнутом круге
|z + 2|^^3, причем сходимость в этом замкнутом круге рав-
номерная. о
Отсюда заключаем, что ряд сходится в
на границе круга, т. е. при | z+21 = ^/3,
(z + 2)2w
п2 • 3

= 1
12.162.	Сформулировать теорему Абеля для ряда (1).
12.163*	. Установить, что степенной ряд (1) обладает
следующими свойствами:
а)	в круге сходимости \z — z0|<A сумма степенного ряда
/(z) является функцией аналитической;
206
б)	в круге сходимости \z — zq\<R степенной ряд можно
почленно дифференцировать любое число раз, причем продиф-
ференцированные ряды имеют тот же самый круг сходимости;
в)	ряд (1) можно почленно интегрировать по любой
кривой, лежащей в круге сходимости, причем интеграл
iaвисит только от начала и конца кривой интегрирования,
а ряд, полученный из ряда (1) в результате интегрирования
о г Zq до z, имеет тот же круг сходимости |z — z0|<A.
12.164*. Пусть степенной ряд (1) сходится в круге |z—г0|<Л
/?>0, и f(z)—сумма этого ряда. Показать, что значения
производных f{n}(z) в точке z0 можно выразить через коэф-
фициенты ряда (1) по формулам /(n)(z0)=H !сп, /?=0, 1, ...
Найти области абсолютной сходимости и области рав-
номерной сходимости следующих рядов (zgC). Заменяя в этих
рядах (кроме 12.179, 12.181, 12.187—12.189) z на xeR,
исследовать их на абсолютную и равномерную сходимость.
12.165.	ОО /	1\л	00 у XX 12.166. у „=! ”2'2"	„7	(г+П" л-2"л/2«+1
12.167. 12.168. 12.169. 12.171. 12.173. 12.175. 12.177. 12.179. 12.181. 12.183.	i »=1 " УГ-П.Н 2"+>(г-4>"	
	с 1 X	В ' в £	В	Г? 7Х ~	™ -	I | + г’	N 1 +	N %| с	.	•	в 4-	С 1 в	_	—< сч	I	1—1 в	я-< 1	N — •	_	1	С*	. - + 8 Т « = 4 7 Ct + 8> |	s Ct 1	Д т . 8 [XI II 8 [X] II 8 XI 11 8 XJ g 8 XJ J.8 XJ ” 8 XI i 2 i d	gs g Я Г-*	Г'*	Г*	r*	00 С	tM	T-1	WH	Wj	WH	И >	$2	2	2	S	2	2	2 7 +	= ’	x ~	N ’	C в	C В	X 1 к '—k ГЧ 7	N	О	, 7 e Xn t	i <	= ?	i -	+ s	+ *c - ।	c*	।	Si	i ,	1 Ct	s Ct	J s] и 8 X4 11 81X3 11 8 X3 11 8 Xl н 8 XI 8 XI n 8 XI н 8 X	
	„7/	(2n+l)4"’	‘ B=i «’ ’
z3"-1
п = 2 8"+1и 1п3и
12.185.	12.186. J
и = 2	«2"-Inn
207
12.187.	ОО Z л — 1	(z-2i)2" (и4-1)2я ’	12.188. i л!
12.189.	оо У	(1 + 0" (z + г)"	2”w’z2" 12.190. £
		(л+1)(и+2)	(2л)!
12.191.	00 Е Л = 1	1^1	( \Зп + 2/	v	00 л’ Z- 1)и. 12.192. Y~zn. п=1пП
12.193.	00 Е л — 1	/	1)л+ 1 п\	12.194. J
12.195.	00 Е л = 2	(2-3)2" л2”1п2п	12.196. f (-l)"F^-(z + 3)"
12.197.	00 Е п — 1	п !z”!.	12.198. f „Г, (Зл+1)10
	00	_л2	00
12.199.	Е	Z и !?"’	12.200. Y 2"2z"2.
	И- 1	П	и = 0
12.201.	00 Е		12.202. f
	п — 1	пп	л=1 П
2. Разложение функций в ряд Тейлора. Имеет место следующая
Теорема Тейлора. Функция f(z), аналитическая в круге
\z — z01<Л, однозначно представима в этом круге своим рядом Тейлора
да
/(г)= £ c„(z—z0)",
п = О
коэффициенты которого определяются по формулам*)
dv\, п = 0, 1,...
r<R
Следствие. Если функция f(z) аналитична в области D и zogZ),
то в круге |z —z0\<R (z0, D), где R(z0, D)— наименьшее расстояние
от точки z0 до границы области D или до ближайшей точки z',
в которой f (z) не аналитична, f (z) может быть представлена в виде
степенного ряда
/(z)= £ c„(z0) (z-Zo)",
л = 0
(3)
коэффициенты которого определяются по формулам
c»(zo) =
/<")(zp)= 1
nl 2ni
/(n)
(n-z0)"+1
dry, п = 0ч 1,...
r < R (ZO, D)
’) Здесь и далее для записи криволинейных интегралов по
замкнутому контуру (контурных интегралов) мы используем обычный
знак интеграла.
208
Если zo = 0, то ряд Тейлора называют также рядом Маклорена.
Пример 2. Разложить функцию /(z) = shz в ряд по степеням
( г. е. в ряд Маклорена).
, ez — e~z
1 Так как shz =------ является аналитической во всей плоскости,
2
io по теореме Тейлора ее ряд Маклорена будет сходиться к ней
но всей плоскости. Имеем
(shz)(2" + n = chz, м = 0, 1,...,
(shz)(2"’ = shz, weN.
/2"(0)	f2n + 1)(0)	1
Следовательно, c2n = —=0, а с2п+1 =у-—— = ^——и искомое
(2л)!	(2и+1)! (2л+1)!
разложение имеет вид
□с % 2п + 1
shz= У --------—, zeC. t>
.=о(2«+1)!
Замечание. Если рассматривать ряд Тейлора функции f(x)
действительной переменной, т. е. ряд
го для справедливости равенства (3) (при z = x и zo = Xo) необходимо
и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора Rn(x)
стремился к нулю при п-> со. Остаточный член может быть записан,
например, в форме Лагранжа
R„(x)=|	11 (х0+0 (х -х0)), где 0^1,
или в форме Коши
/?„(х) = (Х~¥о>,'^'(1~О),'г+1>(хо + 0(х-Хо)),
или в какой-либо другой форме.
Пример 3. Разложить в ряд Тейлора по степеням х функцию ех.
Функция f(x) — ex бесконечно дифференцируема и (ех)*"' = ех. Сле-
довательно, /("*(0)=1. Формула Тейлора с остаточным членом
в форме Лагранжа имеет вид
л	„п+1
ех= У —+;------е9х, 0^0^ 1.
k=okl (п+1)!
На любом конечном отрезке хе [—а, я], л>0, имеем
1x1и+1	я"+1
lim |Я„(х)| = lim ——евх^еа lim =0,
п -» оо	и -» ос (и + 1) !	л оо (W + 1) •
а потому для любого xeR
-•
,=о«!
209
При решении многих задач рекомендуется пользоваться следу-
ющими разложениями элементарных функций:
z2 Zn	00 zn
а) ег= 1+z+ —+ ...Ч—:+•••=£ —:> zeC.
2! л! „=ои!
z2	z2л	00	z2n
S>	+	— +	(-1Г—. zeC.
z3 в) sinz = z ——	Z2"+ 1 + - +<-%+l)! +	oo	_ 2n + 1 n = 0	T 1 /	zeC.
r) In(1 +z) = z-		oo	_n •••= Z n= 1	n	И< 1.
д) arctgz = z —	3	2n + 1 3 + - + <- ””+1 2n+ 1	оо	_2я + 1 + Л?/-"'2»+.	, и<
,	4	a(a—1) , a(a—l)...(a —1)
e) (l+z)*=l+az + A—!z2 + ...+—------------------z"+...=
2!	n!
* a(a— l)...(a — n+Л)
= 1+7---------—--------|z|<l, aeR\N
(в случае, когда a = weN, функция (1 + z)m раскладывается по биному
Ньютона в многочлен, причем разложение имеет место во всей
плоскости).
ж) при a = — 1 из е) получаем бесконечную геометрическую
прогрессию со знаменателем — z:
= 1 -z + z2-z3 +... + (- l)"z" + ...,	|z| < 1.
Пример 4. Разложить в ряд по степеням z + З функцию In(2 — 5z).
Рассмотрим сначала следующее преобразование данной логариф-
мической функции:
ln(2 —5z) = ln(2 — 5(z + 3) + 15) = 1п 17^1 -^(z + 3)) =
(	5(z+3)\
= ln 17 + ln 1—.
\ 17 /
5
Воспользуемся разложением г) для ln(l+u), полагая u=—— (z + 3).
Так как разложение г) имеет место при |w|< 1, то наше разложение
будет иметь место при — |zH-3|<l. Таким образом,
00	/5	\" 1	(z + 3)n
ln(2-5z) = lnl7+S(-irl --(z + 3)	=1п17- £ (—) Ш-,
n=l	\	17	/ n	n
17
|z + 3|<y.
210
Li метим, что на действительной оси в точке х = 2/5 ряд расходится
(I армонический ряд), а в точке х=— 32/5 по признаку Лейбница
i ходится. Следовательно, [ — 32/5, 2/5) — промежуток сходимости на
действительной оси. i>
Часто для разложения функций в ряд удобно пользоваться
аифференцированием или интегрированием известных разложений,
а при разложении рациональной дроби разложить ее на простейшие.
Пример 5. Получить разложение г) для функции /(z) = ln(l + z).
-1 Имеем

|де путь интегрирования не охватывает точку z= —1. Заметим, что
1
функция ---- при |ц|<1 является суммой геометрической прогрессии
1+П
со знаменателем — т|, т. е.
1
1-+-Л п = о
причем, если |r||^|z|< 1, то ряд сходится
почленно интегрировать. Поэтому для z
ln(1+z) = f-^T
о 1 +П
равномерно и его можно
таких, что |z| < 1, имеем:
z
Z	СО	~ Л т 1	00
л = 0 О	л = 0	>»т1 л= i
Пример 6. Разложить в ряд по степеням z функцию
f(z)= ;2 3 * * *-2г+19
/U (г —3)2(2z + 5)
Разложим f (z) на элементарные дроби. Имеем
1	2
п
/(г)“2ГЙ+(Г^'
По формуле суммы геометрической прогрессии
1	1 00	/2z\"
b2z 5Д	7 \ 5 J
1 _1
2z + 5 = 5
5
и<2’
п - О
И
2
z —3
2 1
3 ~z
1 —
3
Замечая, что
2
z —3
2
НТ
и учитывая утверждение б) задачи 12.163, получим
2	_2 » ttz"~‘_2 ” (n+l)z"
(z-3)2~3,ti 3” “3 „to 3n+1 ’
211
2
1
Складывая ряды для ----- и -------г, имеем
2z+5	(z-3)2
, ч “Л v 2"	2(л+ 1)\	5
h<2-
Пример 7. Разложить в ряд по степеням х (xeR) функцию
k * sin и
/W=f-----du.
о ц
* > "2к"
<1 Зная разложение функции sin и— У (— 1)----(см. разложение
л = о	(2£+1)!
в)), имеем
а потому, используя свойство в) задачи 12.163, получаем
Х sin U	Х U2k	*	у2к + 1
(—</«== У (-1)4---—У (-1)к;--------------------;, xeR.
о и к%{	’ i(2*+l)l	f (2*+1)!(2*+1)
Используя теорему Тейлора (формулу Тейлора с остаточ-
ным членом в какой-либо форме для функций действительной
переменной), разложить в ряд по степеням z следующие
функции, проверив тем самым справедливость соответству-
ющих соотношений из а) — е):
12.203. е2. 12.204. cosz. 12.205. sinz. 12.206. (l+z)a.
12.207.2-'. 12.208. sin (z—-). 12.209. cos2 z.
\ V
Написать первые три ненулевых члена разложения в ряд
по степеням z следующих функций:
12.210*. tg z. 12.211. —12.212. thz. 12.213. e’cosz.
COSZ
Используя разложения основных элементарных функций
а) — ж), а также возможность почленного дифференцирования
и интегрирования степенных рядов, разложить функции в ряд
по степеням z и указать области сходимости полученных
рядов ’):
12.214. e < 12.215. sin2z. 12.216. —Ц. 12.217.-^—.
4 + z2	3+4z
12.218. Л/27-z. 12.219. —3=. 12.220*.
V'9+z2	(z—2)2
12.221.----*—г. 12.222. (l --z)e~2z. 12.223. chz.
14-z —2z2
’) См. также задачи 12.289—12.294.
212
12.224.	sin2z + 2zcos2z.
12.226. ln(l+z-2z2).
12.228.	ln(z + ,/l+z2).
12.231. ]e-r'2'2dx\.
0
12.233*.
zcosz —sinz
72
12.225.	sin 2zcos2z.
12.227.	ln(z2 + 3z + 2).
12.229.	arctgz. 12.230. arcsinz.
,r sinT|2 ,
12.232. f-----Jn.
о П
12.234*	. "inz-'+C0S\
Разложить функции в ряд по степеням z~ z0 и определить
области сходимости полученных рядов:
12.235.	z3 — Iz1 — 5z — 2,	Zo =	— 4. 12.236.	1 —, Zo-2.
12.237. 12.239.	z0 = 3/. 1 —z 1 7	/ч ’ ZO ~~	-4.	12.238. 12.240.	z2 —6z+5’ Z° Vz, Zo=l.
12.241* 12.243.	z2 + 3z + 2 . 7, z0 = 2. z ze2z~z\ z0=l.		12.242. 12.244.	ez2’4l + 1, z0 = 2. sin(z2+4z), z0= —
12.245*	. ln(5z + 3), z0 = l.
12.246.	ln(z2 + 6z+12), z0=—3.
рядов и их суммы:
Найти области сходимости указанных
12.247.	£ (—1)л(и+1)(n + 2)z". 12.248. £л(г+1)".
л — О	л=1
12.249.	У TzX 12.250. У (-l)"«"2n’2z2B, а^О.
п = О	п = О
12.251. £ (—1)"(л+l)z2".
л = О
3. Теорема единственности. Аналитическое продолжение. Сфор-
мулируем теорему единственности.
Если функции f(z) и g(z) аналитичны в области D и если
на множестве различных точек (z„)„6N, имеющем предельную точку
aeD, выполняются равенства f(zn)=g(zH), пеЫ, то f(z)=g(z)
всюду на D.
Пусть функция /(z) аналитична в области D, а функция g(z)
аналитична в области такой, что пересечение £>П£>1=Ь2 содержит
последовательность различных точек (z„)„6N, имеющую по крайней
мере одну предельную точку aeD2. Пусть, кроме того, /(z)=g(z)
для ze£>2- Тогда функция
f/(z) для ze£>,
F(z)= <
(g(z) для zeDx\D2
называется аналитическим продолжением функции f(z) с области
D на область DX\D2.
213
Пример 8. Доказать, что если функция f(z) непрерывна
(-1)"
в области D, содержащей точку z = 0, и если f - =---------- для
\nj п
п — п0 4-1, «о + 2,	то f\z) не аналитична в области D (и0 1 — целое).
<1 Так как /’(z) непрерывна в D, то на отрезке действительной
1 1
оси она также непрерывна, а в соседних точках х= - и х=--------,
п п +1
п>по, она принимает значения разных знаков. Поэтому существуют
/ 1 1\
точки хпе I---, - ), в которых f(xn) = 0, причем .тя->0. Следователь-
ум+1 nJ
но, в точках x„eD функция f(z) совпадает с аналитической функцией
g(z) = 0, а так как /(z)^0, то f(z) не может быть аналитической
функцией, о
Пример 9. Доказать, что функция
g(;)= тЬ+ (i+ -++ -
является аналитическим продолжением функции
,/'(z)=l+2z + 22z2 + ... + 2”z" + ...
<i Определим область сходимости рядов для g(z) и /(z). Имеем
lim ^/|2”z"| = 2|z| <1,
rt-»OO
т. e. ряд для g(x) сходится в области Di = {z| Rez< 1/2} (см. задачу
12.143), а ряд для /(z) — в области D2 = {z 11 z | < 1/2}.
Определим суммы этих рядов в указанных областях:
z х 1 / z z2 \	1	1	1
Так как D2 <= Dx и в области D2 справедливо тождество /(z)=g(z),
то функция g(z) является аналитическим продолжением функции
/(z) с области D2 на область D{. с*
12.252. Доказать, что при любом а/0 и	функ-
циональное уравнение /(z)’=/(az) не имеет решения, анали-
тического в точке z = 0 и ее окрестности, отличного от
f (z) = const.
12.253*. Доказать теорему единственности в том случае,
когда УzeD g(z) = 0, т. е. доказать следующую теорему:
если аналитическая в области D функция f(z) обращается
в нуль в точках (гк)кеы, лежащих в области D и таких,
что limzft = fl6Z>, то VzeD f(z) — d.
214
12.254. Будет ли аналитической в точке z = 0 и ее
окрестности функция f(z\ если она при всех целых и>ло
/ 1 \ пп
удовлетворяет соотношению H-I=sin — ?
Найти аналитические в окрестности
/(г), удовлетворяющие условиям:
пп
2
точки z = 0 функции
12.255.	= —1_, mgN.
J\nJ 2п+\
12.256.	/(1) =/(-!) = !, „6N.
\nj \ п J п
12.257.	Показать, что функция g(z) = £
л = О
является
аналитическим продолжением функции /(z)= -	( ” ) • Най-
2 и = О W
। и аналитическое выражение этих функций в общей части
областей сходимости рядов.
12.258.	Показать, что функция	g(z)=ln(2 + 2i) +
°°	(z—1—2/)"
Ь У (—1)"+1	является аналитическим продол-
л=1	л(2 + 2/)п
оо	?п
жением функции /(z)= У (—1)"—. Найти аналитическое
л= 1	п
выражение этих функций в общей части областей сходимости
рядов.
§ 4. Применение степенных рядов
1. Вычисление значений функций. Разложения а) — ж) из § 3
позволяют получать значения соответствующих функций в заданных
точках с любой точностью.
Пример 1. Найти число е с точностью до 10~5.
о Подставив х = 1 в разложение функции ех, имеем
" 1 00 1
е=^ Е й-
* = 0	k = n+l *•
Оценим остаток
1
"11®	1	1 у 1	_ 1	_ 1
(n+l).../c<n!fc=r+i (и+1)‘-""л! * j_\__~nln
и+ 1
Следовательно, равенство
1
погрешность, равную —.
п\п
" 1
е = 51 — имеет предельную абсолютную
к = 0
1
Найдем п, для которого —<0,00001, или
п\п
215
п\п> 100000. Получаем п>8. Вычисляя 2+ £ — и округляя, находим
к = 2 *!
ответ с требуемой точностью е — 2,71828. о
12.259.	Определить, сколько нужно взять членов в раз-
ложении функции In(l-hx), чтобы вычислить In 2 с точностью
до 10 4.
12.260.	Определить, сколько нужно взять членов ряда
в разложении функции cosx, чтобы вычислить cos 10° с точ-
ностью до 10 4.
12.261.	С какой предельной абсолютной погрешностью
можно вычислить
— / 1\1/5
^/36 = (32+ 4)1/5 = 2 ( 1 4- - J ,
взяв три члена биномиального ряда?
х3 х5
12.262.	При каких х многочлен х---1---дает значение
г	6	120
функции sinx с точностью до 10 4?
12.263.	Какова предельная абсолютная погрешность ра-
венства
Ja2 -Их =
4	2а
л"
8я3
при вычислении ^/5?
Используя соответствующие разложения, вычислить ука-
занные значения функций с точностью до 10 4:
12.264.	12.265. -.	12.266. sin-.
е	5
12.267.	sin 12°.	12.268. cos 1.	12.269*. sin 1000.
12.270*	. ^520.	12.271*. ^/15.	12.272*. ^766.
12.273*	. In 2.	12.274. arctg -L
уз
12.275.	/о(0,5), где /0(х)= Д (-1)‘ p—j.
12.276.	shl. 12.277. chi.
В задачах 12.278—12.287, используя разложения в степен-
ные ряды, требуется составить на фортране подпрограммы-
функции для вычисления значений указанных функций с задан-
ной предельной абсолютной погрешностью. Использовать
параметры X, EPS, где X — аргумент, EPS — предельная
абсолютная погрешность. Имена подпрограмм выбрать не
совпадающими с именами соответствующих стандартных
подпрограмм-функций.
216
12.278*. у = sinx.	12.279. у = cosx. 12.280*. y = ex.
12.281*. y=(l+x)“. 12.282. y=ln(l+x).
12.283*. y = ln———. 12.284. y = arctgx.
1 — x
12.285. y = IQ(x) (см. задачу 12.275).
12.286. ^ = shx. 12.287. > = chx.
12.288. Составить на фортране программу решения одной
из задач 12.264—12.277, применяя подпрограммы-функции,
полученные при решении задач 12.278—12.287. В программе
предусмотреть сравнение результатов, вычисленных с помо-
щью составленной подпрограммы-функции и с помощью
стандартной подпрограммы-функции, входящей в библиотеку
обязательных подпрограмм.
2. Интегрирование функций. Разлагая подынтегральную функцию
/ (г) в степенной ряд, можно, используя теорему об интегрировании
степенных рядов, представить интеграл	в виде степенного
о
ряда и подсчитать величину этого интеграла с заданной точностью
при любом значении х из интервала сходимости полученного ряда.
Пример 2. Разложить функцию \e l2dt в степенной ряд по
о
степеням х.
ос ^к
Используя разложение ех= £ —, получим
k-о к'
на всей числовой оси. Применяя почленное интегрирование, находим
Разложить
степеням х:
(-1)*
О	к-0
указанные
х 2к + i
(2к+1)к\
функции в степенные ряды
по
12.289.
dt.
12.290. -2- dt.
2Jx J Jt
0 v
о
12.291. J cos г2 dt.
о
12.292.
J УТ+?
0 v
12.293. f IQ{t)tdt (см.
о
задачу 12.275).	12.294.	—
dt.
о
217
Вычислить интегралы с точностью до 10 4
0,3	0,2
12.295. Г ln(1 + 'U. J 1 0 0,5 12.297. f e~‘2 dt. 0 0,8 12.299. [ J 0	12.296. J t 0 0,6 12.298. f */l+x2dx. 0 1 _ ~~~ 1 sinx , 12.300. 	dx. J x 0
В задачах 12.301 —12.305, используя разложения в степенные
ряды, составить на фортране подпрограмму-функцию для вычис-
ления указанных интегралов с заданной предельной абсолютной
погрешностью. Параметры: X, EPS, где X—верхний предел
интегрирования, EPS—предельная абсолютная погрешность.
12.301. Si(x)= S-^dt.
У х
12.302. erfx = —- f e~t2 dt.
Jn о
12.303. f (l-Hs)ad/(s>0, a/0).
о
12.304. j dt. 12.305. j Ln_L±f] dt.
0	0
12.306. Используя подпрограммы-функции, полученные
при решении задач 12.301 —12.305, составить на фортране
программу решения одной из задач 12.295—12.300.
3. Нахождение сумм числовых рядов. Убыстрение сходимости.
При нахождении суммы числового ряда вычисляют его частичную
сумму, для которой величина остатка ряда не превосходит заданной
абсолютной погрешности. Используя известные разложения в степен-
ные ряды, сумму числового ряда в некоторых случаях можно
выразить в виде значения функции в определенной точке.
Доказать указанные равенства:
ОО	,	1
12 307 У __________-______= ——-
12.308*. У _____________-____________=________!_______
к = „ (а+М(а + ^+0(а + ^ + 2)	2(а + и)(а + и+ 1)’
ос	i	,
12.309*. У __________________________=_____________-_________
к = п (а + /с)(а + А:+1)...(а+А:+р) р(а + и)...(а + и+р— 1)
(peN).
218
12.310*. f(-l)"+1
n= 1
- = In 2.
n
12.311*. У (- 1)" -----
v 7 2и+1
Найти суммы рядов, не вычисляя частичных сумм:
12.312.	х 	 12.313. в=1«-2”
12.315.	у	-	
	„=о (2л+1)32"+1 ’
12.317.	ОС	1 У (-1)"——• „ =	3" (2«)!
и = 0	1	х 1 ’ -—т. 12.314. У - И)
12.316.	У (-О"—!—•
12.318.	ОО	п и = 0 П'
При нахождении суммы числового ряда требуется брать большое
число членов, если остаток этого ряда медленно стремится к нулю.
Такой ряд следует преобразовать в ряд, остаток которого стремится
к нулю быстрее. Данное преобразование называется убыстрением
сходимости ряда. Одним из методов убыстрения сходимости является
метод Куммера. Неизвестная сумма А сходящегося ряда
X а,	(1)
к= 1
вычисляется по формуле
A=qB + X (ak-qbk),	(2)
где В — известная сумма ряда £ Ьк такого, что существует предел
k= 1	'
С/г
q = lim — /0.
/с-»ос Ьк
Ряд
X (ak-qbk)	(3)
к = 1
сходится быстрее, чем исходный ряд (1), т. е. остаток ряда (3) есть
бесконечно малая более высокого порядка, чем остаток ряда (1).
ос ]
Пример 3. Найти сумму ряда -у с точностью до 10 3.
к= 1 *
<1 Выясним, сколько членов данного ряда нужно взять для до-
стижения требуемой точности. Оценивая остаток (см. задачу 12.307),
получаем
со 1	1	«>	1	j
1 к~2 <	~	к(к+\) ~ ~п <0’001-
откуда следует, что п> 1000, т. е. для достижения указанной точности
требуется взять 1001 член исходного ряда.
219
Улучшим сходимость ряда. Положив в формуле (2)
ek = p, Ьь = к(к+}у <?=’’ ak~gbk = k2(k+\)’
находим (см. задачу 12.307 при а = 0 и и=1):
ао j ао	j
4?1 кг Л(*+1)+»?1 А2(Л+1)“’\?1 Л2(Л+1)’
ОО	|
Применим формулу (2) для преобразования ряда £
к= 1
11	2
дожив ак —	--г, Ьк = —--—--:, а — 1 и ак—qbk — -г--г---.
£2(*+1)	к(к+\)(к + 2) 4	7	к2(к+1)(к+2)
Тогда, учитывая (4), имеем (см. задачу 12.308 при а=0 и и=1):
к2(к +
£	1 к(к+ 1)(к+2) +2£ к*(к+ 1)(Л+2)
~1 + Г2+2^2(*+1)(£+2)'
Вычисление суммы ряда £ Тг свелось к вычислению суммы ряда
к=1 *
у______!_______
^к2(к+\){к+2)
Оценивая остаток
ОС	|	00	j
4J+, к2(к+\)(к + 2) "	, (Л-1)Л(*-Ь1)(*+2) =
= У	1	=	1
Д к(к+ 1)(*+2)(*+3) Зл(л+1)(л+2)’
2	ч 1
получаем —г <0,001, откуда п > — -2000 ^ 666,7, или п >9, т. е. требу-
Зил	3
емая точность достигается при п-9. Следовательно,
р -14 +4	'+0-25+2 Wi-
Применив преобразование (2) еще раз к ряду У —--------—------,
4=1 к2(к+Щк+2)
можно было бы еще более улучшить сходимость, о
В задачах 12.319—12.323, применяя преобразование Кум-
мера, найти суммы указанных рядов с точностью до 10 “4,
взяв для этого не более 10 членов получившегося ряда.
Использовать соотношения
L	и
» = 1 п
(p>D.
л=1	П \ Z /
220
Значения дзета-функции £(р) взять из таблицы
р		р	Up)
2	1,6449340668	6	1,0173430620
3	1,2020569032	7	1,0083492774
4	1,0823232337	8	1,0040773562
5	1,0369277551		
12.319*. У	. 12320*. У sin2-.
12321*. У	. 12322*. У
Л"3+2	„4' ’ л(5и+3)
12323*. У (-1)"+1——.
Л ' ’	Зп + 2
12.324. Составить на фортране программу решения одной
из задач 12.319—12.323.
4. Интегрирование дифференциальных уравнении с помощью рядов.
Степенные ряды широко применяются при решении дифференциальных
уравнений. Для целого ряда дифференциальных уравнений показано,
что решение y(t) представимо в виде степенного ряда
У {х)= I Мх-х0)‘= 15^-'(х-х0)‘,	(5)
коэффициенты которого можно определить с учетом заданного урав-
нения различными способами.
а) Пусть требуется найти решение уравнения у" =/(х, у, у'),
удовлетворяющее условиям у(хо)=Уо’ У'(*о)=.У1> причем функ-
ция /(х, у, у') в точке (х0,у0, yt) имеет частные производные любого
порядка. Тогда коэффициенты У(к)(Хо) ряда (5) опреде-
ляются путем последовательного дифференцирования исходного
уравнения и подстановки в него х0 и найденных уже значений у'(*0),
у"(х0)	.
Пример 5. Найти решение уравнения у" — ху, удовлетворяющее
условиям у (0) = 0, у' (0) = 1.
<з Имеем у(0) = 0, у'(0) = I, из заданного уравнения находим у" (0) = 0.
Далее, дифференцируя уравнение, имеем
у'"-х2у' + 2ху,
у1 v = х 2 у " + 4ху' -I- 2у,
у v - х 2 у+ бху " 4- бу
у(к^2) — х2у{к} + 2кху(* 1} + к(к — 1)у<* 2),
и при х=0 получаем отсюда
/b + 2>(0M(£-l)y(fc-2)(0), fc=2, 3,...
Так как у(0)==у"(0)=у'"(0)=0 и у'(0)=1, то
у	(0)=у +2> (0) = у(4я+3) (0) = 0
221
00
и
_y(4" + s,(0) = (4rt + 2)(4n + 3)j’,4n+1|(0) = 2-3-6-7...(4« + 2)(4n + 3), neN.
Следовательно,
2-36-7...(4л + 2)(4л + 3) „+1
(4и+1)!
По признаку Даламбера полученный ряд сходится при любых xgR,
т. е. определяемая этим рядом функция у(х) является решением
заданного уравнения при любых х. о
Найти решения уравнений, удовлетворяющие заданным
условиям:
12.325.	у"=х2у, у(0)=у'(0)=1.
12.326.	у" =—х2у'— 2ху+\, у (0)=у/(0) = 0.
Найти первые 5 членов разложения решения дифферен-
циального уравнения в степенной ряд:
12.327.	у’ = 2cosx —ху2; у(0) = 1.
12.328.	у" = - 2ху, у (0)=у' (0) = 1.
12.329.	у" =уcosх+х, у(0)=1, у (0) = 0.
б)	Если исходное дифференциальное уравнение линейно отно-
сительно искомой функции и ее производных, причем коэффициент
при старшей производной в точке х0 отличен от нуля, то решение
следует искать в виде ряда (5) с неопределенными коэффициентами
ак, к = (у 1,... Законность такого метода вытекает из утверждения,
доказываемого в аналитической теории дифференциальных уравнений,
которое мы приведем для уравнения 2-го порядка.
Теорема 1. Если в дифференциальном уравнении
Ро (*)>'" +Р\(*)У ' +Р2 (x)y=f (х)	(6)
функции р0(х), рДх), р2(х) и f (х) аналитичны в окрестности точки
х0 и ро(хо)^0, то существует решение уравнения (6), представимое
0G
в виде степенного ряда у(х) = ^«k(x —х0)к.
к = 0
Пример 6. Найти решение (в виде степенного ряда) уравнения
у"-ху' + у=1,
удовлетворяющее условиям у (0)=у' (0) = 0.
оо
о Ищем решение в виде ряда у(х)= ^akxk, в котором в силу
к = 0
условий	у (0) = у' (0) = 0	имеем	aQ = ах = 0. Следовательно,
00
У(*)= X якх*- Подставив это выражение в уравнение, получаем
к = 2
X к(к-])акхк 2- X какхк+ X акхк = \.
к=2	к = 2
к = 2
Отсюда находим, что 21а2=1, т. е.
=, и
2 1 -2’
(к + \)(к + 2)ак + 2~(к— 1)дк для
222
Гак как e/j =0, то я2т+1=0 Для всех ди = 0, 1,..., а для к —2т,
ш = 1, 2, ..., получаем рекуррентную формулу
(2т-\)а2т
ацт+ц (2m+l)(2m+2)’
т = 1, 2,
из которой выводим равенства
_(2т-1)!!
°2,"+1,~ (2т + 2)Г
Следовательно, искомое решение имеет вид
г » (2m-1)!!
2 Л (2m+ 2)!
причем полученный ряд сходится при всех xeR. о
Используя степенные ряды, проинтегрировать следующие
дифференциальные уравнения:
12.330.	/' + ху'+т=1, у(0)=/(0) = 0.
12.331.	у"-ху'+у = х, у(0)=/(0) = 0.
12.332.	у" + ху' +т=х, _у(0) = 0, j/'(0)=l.
в) Если коэффициент при старшей производной в линейном
уравнении в точке х0 обращается в нуль, то следует воспользоваться
следующей теоремой.
Теорема 2. Если в дифференциальном уравнении
Ро(х)у" +Pi(*)y' + Р2(х)у = 0	(7)
функции /?0(х), РЛХ) и PiM аналитичны в окрестности точки х0,
причем точка х0 является нулем порядка s функции pQ(x), нулем
порядка не ниже 5—1 функции рДх) и нулем порядка не ниже s — 2
(функции р2(х), то решение уравнения (7) в окрестности точки х0
существует и представляется в виде обобщенного степенного ряда
ос
у W=(•* - xoY Е at (* - хо)‘>
к-0
где яо/0 и reR.
Пример?. Найти решение (в виде обобщенного степенного
ряда) уравнения
х/'+/ + ху = 0,
удовлетворяющее начальным условиям j(0)=l, >,z(0) = 0-
<i Коэффициенты уравнения удовлетворяют условиям теоремы 2,
поэтому ищем решение в виде обобщенного степенного ряда
00	00
J'(x) = *r £ akxk = Y akxk+r’ «о^°-
k=0	k~0
Имеем
00
y'= Щк + г)акх*+'к,
k = 0
oo
/' = £(& + г)(& + г-1)якхк+г~2.
k = 0
223
Подставляя эти ряды в уравнение, получаем
£ (k + r)(k + r — ])akxk + r l + £ (к + г)акхк + г~1 + X якх* + г + 1=0,
к = 0	к = 0	к=0
т. е.
г2дох,-1+(г+1)2а]х''+ £ ((* + г)2а4 + д4..2)х‘ + ''“,=0.
к = 2
Отсюда следуют равенства
г2яо = 0, (r+ l)2^ =0, (к + r)2 ак + ак_2 = в-
По условию ао#0. Следовательно, г=0, а тогда
б?1=0 и к2ак——ак_2, & = 3, 4,...
Из этих равенств заключаем, что a2ni + i—0 для всех т — 0, 1, ...
Учитывая начальное условие >(0)=1, заключаем, что л0=1, и имеем
рекуррентную формулу
_	^2т~2
^2т	\2 1
(2w)2
из которой получаем
а1т=(~ ‘)"((2m)!!)2=<“122”(т!)2 '
Следовательно, искомое решение запишется в виде
оо	% 2т
у(х)=1+ ^(-1)-”-^-г—у, X6R. >
т = 1	\гп '/
Найти общее решение дифференциального уравнения в ви-
де обобщенного степенного ряда:
12.333*. х/' + 2у'+ху = 0.
12.334. 4х/' + 2/+у=0.
5. Уравнение и функции Бесселя. Частным случаем уравнения
(6), коэффициенты которого удовлетворяют условиям теоремы 2,
является уравнение Бесселя
(8)
первого
= 0.
Его решениями являются цилиндрические функции Бесселя
рода порядка v
2к
k = 0
A!(v+l)(v+2)...(v+A:)
(9)
и для нецелых v
2к
(v) - V
2
Если же v—целое число, v = w, то вторым частным решением
уравнения Бесселя (8) является функция Неймана (или Вебера),
224
• •нрсдсляемая из соотношения
, .	. / (х) cos vtc — Z (х)
X =lim -AJ—-----------±2,
v — п	Sinvtt
являющаяся цилиндрической функцией второго рода порядка п.
Иосюянная ci{q} в формулах (9) и (10) берется обычно следующая:
। дс T(v)= j е Xxv 1 dx — гамма-функция Эйлера,
о
12.335.	Используя представление (9) для Zv(x), доказать
спедующие соотношения:
^(x'7v(x)) = x'7v_1(x),	(12)
dx\xvJ xv
12.336.	Исходя из соотношений (12) и (13), вывести
соотношения
/v_1(x)+/v+1(x)=^/v(x),
Ц- i(x)~lv+ i{x) = 2I'v(x).
12.337*	. Используя представление (9) и значение tz(ov) из
(II), выразить /-1/2(х) и Ц/гМ через элементарные функции.
12.338.	Доказать, что если 7v(x)— решение уравнения (8),
то Zv(ax) является решением уравнения
х2у" + ху ' + (а2х2 — v2)^ = 0.	(14)
Записать общее решение уравнения (14).
Используя результат задачи 12.338, найти общие решения
уравнений:
12.339.	ху"+/ + 4ху = 0.
12.340.	9х2у " + 9ху' + (36х2 —l)jy = O.
12.341.	х2у " + ху'+(3х2 —4)jy = 0.
12.342.	х2у'' + ху' + ^9х2 —^>’ = 0.
§ 5. Ряды Лорана
1. Ряды Лорана. Теорема Лорана. Рядом Лорана называется ряд
£ f,(z-z0)";	(1)
8 Специальные разделы мат. анализа. Ч. 2
225
при этом ряд
/1(-)= £ ^»(г-г0)"
Л = - X
называется главной частью ряда Лорана, а ряд
оо
n = 0
— правильной частью. Если
ГГгп
Л—►ОО
= Г <
1
Я =------— ,
пн
л —со
то областью * сходимости ряда (1) является кольцо A^={z|O^r<
<\z — zq\<R}. В этом кольце К сумма ряда f (z)=J\(z)+f2(z) является
функцией аналитической, причем коэффициенты ряда сп связаны
с функцией /(z) посредством формул
— I .	-;-ТГб/г|. Л = 0, ±1..
2rn|nJol=,..(n-zo)"+1
(2)
где r<r'<R.
Пример 1. Найти область сходимости и сумму ряда Лорана
<] Применяя признак Коши к каждому
lim п
.. n\z-1|
lim »/------
3"
3"
из этих слагаемых, имеем
------<1
2|z—1 |

п
п
и
Отсюда
является
+ Х
3
заключаем, что областью сходимости исходного ряда
кольцо
Замечая, что слагаемые
являются производными от рядов
in-!)• ... 3-
можем записать, что в кольце К
у п у"(--’Г1 =
2”(z—i)"+i 7 з"
=7у........77 у1 . Д'7—М =
t%2"(z-l)"; \7о 3" )	____I	г-1
\ 2(z-l)/ \	3 /
Zz-lY / 3 V	3	2
”7^ +77/ “(4^ + (2г-3)2’
226
Таким образом, суммой данного ряда является функция
г, ,	3	2
(4 —z)2 ~*"(2z —З)2 ’
1<|z-1|<3. о
Теорема Лорана. Если функция f(z) аналитична в кольце
0^r<|z — z0|<7?, то в этом кольце
представима в виде ряда Лорана
f(z}= £ c„(z~zo)",
п = - 00
коэффициенты которого вычисляются
по формулам (2).
Следствие. Пусть f (z) анали-
тична в многосвязной области D,
ограниченной контуром Г и внутрен-
ними контурами yf, у£, ..., у"
(рис. 99). Если точка z0 лежит внутри
(или на границе) одного из внутренних
контуров yv и величина r = max|z0 —т||
она единственным образом
меньше расстояния R от z0
D или до точки, в которой
Пек
до остальной части границы области
/ (z) не аналитична, т. е.
О г — max I zn — и I < R =	min	I
neyv	ПеГи^и-йу, ,UYv+i(J
z0-n
то в кольце r<\z — z0\<R функция /(z) может быть представлена
ее рядом Лорана
/(z)= f c„(z0)(z-z0)", r<\z — z0\<R,
Л = - 00
коэффициенты которого cn(z0) определяются по формулам (2).
Рядом Лорана для функции f(z) в окрестности точки z=oo
называется ряд
/(z)= £ c„z" (или £ c„(z—а)”),	(3)
Л = - 00	Л = - 00
сходящийся в некотором кольце r<|z|< + oo (соответственно
г <\z —а|< +оо), при этом главной частью ряда Лорана является ряд
Ё с„г" (Ё с„(2-а)"), а правильной—ряд Ё cnzn ( Ё c„(z-a)").
Пример 2. Разложить в ряд Лорана по степеням z функцию
о Так как аналитичность функции нарушается в точках z = 0 и z=l,
то областью сходимости ряда Лорана будет кольцо 0 < | z | < 1.
Замечая, что при п — 2 функция —; 2   j аналитична в круге
| z | р < 1, можем записать, что
1 Г 1
Сп —  -----------rdz = O для и=—2, — 3.
" 2л/ J zn+2(l-z)
i-i = p
227
Далее, применяя формулу Коши для функции <p(z) = ------------- и ее
производных, для п — 1 можем записать
=± f Ф(-) , _ Ф,',"1>(°)_ ।	("+»)!
С" 2ni J z" + 2 "	(п+1)!	(и+1)! (1 —z)”+2 , = 0
|2| = Р
Таким образом, для 0<|z|<1.
Л*)=
z(l-z) z+ „?о
(4)
7 Я
т. е. главная часть содержит один член, а правильная — бесконечное
число членов, о
Вычисление контурных интегралов (2), как правило, достаточно
затруднительно. Поэтому для разложения функций в ряды Лорана
используются искусственные приемы. Так, в примере 2 функцию
f(z) можно было бы представить в виде суммы дробей, т. е.
причем первое слагаемое является уже разложением в ряд Лорана
по степеням z, а второе слагаемое есть сумма геометрической
прогрессии со знаменателем z, т. е. имеем разложение (4).
Найти
12.343.
12.345.
Найти
12.347.
области сходимости и суммы следующих рядов:
□0	1	ос	• п эл
12344-.?,|7+#-
-п+3	-2
—. 12.346. X (« + l)(" + 2(z-i)n.
ft '	п = — or;
п - О
области сходимости рядов:
£ /(z + /)2n	4и2 \
(z —2/)" п2п
,2М8-
12.350. f (++.
л
12.351.
Найти все разложения указанных функций в ряды Лорана
по степеням z — z0 и установить области сходимости получен-
ных разложений:
12.352. —Ц-, z0 = 1. 12.353*. —, z0 = со.
z(z-l)	ф-1)
228
12-354- FWT3)’2o=1
12.356.	, zo = oo.
z -4
12.358.	, z0 = 2.
z2 —3z + 2	0
z0=-l.
12-362- z°=L
12364‘ (Z4,)2’
__ _ „ COSZ
12.366. —, zo = 0.
12.368. sin — , z0 = 2. z—2
12.355.7		7, Zo=—3 (z-2)(z+3)’ 0
z+ 1
12.357. -r-Z	, z0=l.
z2 —3z + 2	0
z 3
12.359*.	, zo = oo.
z2 —2z+l 0
~ 4
z
12.361. 		—, zn = oo.
(z+1)3	0
12.363.	, zo=oo.
z2+ 1
12.365 . (Z2+Q2’ 2о-°°-
cosz
12.367. —, z0 = oo.
12.369. z2e\ zo = 0.
12.370. z2e , z0=oo.
12.372. -±-, z0=l.
12374.	zo = 0.
z2 — 4z
12.371. cos——z0 = 2.
(Z Z)
. _	- Z+ 1
12'373‘ z2 + 2z—8’ Zo = '’
12-375- Zo=0-
12.376. Найти три первых члена разложения функции
/(z) = sinj-!— в ряд Лорана в окрестности точки zo = oc.
Какова область сходимости этого ряда?
2. Характер изолированных особых точек. Точка z0 называется
правильной точкой для аналитической в области D функции /(z),
ос
если существует степенной ряд £ c„(z0)(z —z0)” с радиусом сходи-
л = О
мости r(zo)>0 такой, что в общей части круга сходимости
|z —z0|<r(z0) и области D сумма этого ряда <pz (z) совпадает с f(z).
Точки, не являющиеся правильными, называются особыми.
Точка z0 называется изолированной особой точкой функции /(z),
если /(z) — однозначная аналитическая функция в кольце
0<]z—z0\<R, a z0 — особая точка.
Аналогично, точка z0 = оо называется изолированной особой
точкой функции /(z), если /(z) — однозначная аналитическая функция
в кольце r<|z|<oo и z = oo — особая точка.
Изолированная особая точка z0 функции f(z) называется:
устранимой особой точкой, если существует конечный предел
lim/(z) = a#oo;
z-*z0
229
1
полюсом порядка ли>1, если для функции g(z) =------- точка z0
/(?)
является нулем порядка ли, т. е. g(z) имеет вид g(z) = (z — z0)m(p(z),
(p(zo)/0 (очевидно, что если z0 — полюс, то lim /(z) = oo);
z^z0
существенно особой, если lim f(z) не существует.
z—z0
Исследование характера бесконечно удаленной особой точки
1
удобнее проводить путем замены z = —, с помощью которой
П
бесконечно удаленная точка z=oo переходит в точку т]=0.
ПримерЗ. Найти все особые точки функции
/(z)=-3-
е z +1
и определить их характер.
<з Особыми точками являются точка z = 0 и точки, в которых
знаменатель обращается в нуль.	1
Имеем е^4-1=0 и е * = — 1 =e2’im,+1“, т. е. £* + 1=0, если
1
— = (2ли4-1)л/, aheZ, причем эти точки являются нулями 1-го порядка.
Zm 1
Следовательно, в точках z=-----------, weZ, функция /(z) имеет
(2т +1) ni
полюсы 1-го порядка. Точка z = 0 не является изолированной особой
точкой, так как она является пределом полюсов, ибо lim zm = 0. t>
12.377	*. Доказать, что отсутствие в разложении (1) глав-
ной части, т. е. равенство нулю всех коэффициентов сп
с отрицательными номерами (п= — 1, —2, ...), является
необходимым и достаточным условием того, что точка zQ
является устранимой особой точкой функции f(z).
\23П*. Доказать, что наличие в главной части разложе-
ния (1) не более ли>1 членов, причем c_w/0, а с_л = 0 для
и^ли+1, есть необходимое и достаточное условие того, что
точка zQ является полюсом порядка т для функции f(z).
12.379	*. Доказать, что если z0—существенно особая точка
функции /(z), то существует последовательность точек (z„),
limzn = z0, такая, что lim/(zn) = oo.
12.380	*. Опираясь на результат задачи 12.379, доказать,
что если z0—существенно особая точка функции f(z), то
для любого комплексного числа Л/оо существует последо-
вательность точек (zn(A)), lim zn(A) = z0, такая, что
п —* 00
lim f(zn(A)) = А.
Л —* 00
12.381	. Установить области сходимости правильной
и главной частей разложения Лорана (3) в окрестности
бесконечно удаленной точки.
230
Указать все конечные особые точки заданных ниже
функций и определить	их характер:
12.382. , ' ,. с-2+о3	z + 2 12.383. 			 z(z+l)(z-l)3
12.384. —. sin z	12.385. 	Ц (z+l)(z —2)3(z + z)5
12.386. -—1	. z2 sin (z — 1)	12.387. 	. (Z+I)3(ez_1) n
12.388.	. sin 2z	Z~4 12.389. 	. tgz-l
12.390. tg2 z.	12.391.
12.392. cos — . z + 2/ 1 — cosz 12.395. 	-2— .	12.393. tg—. 12.394. t8(g~9. z-1	z-1 12.396.	12.397. ——. z5	e!-3
Для заданных ниже функций выяснить характер бес-
конечно удаленной особой точки (устранимую особую точку
считать правильной):
12.398. 5 —2z2 12.401. 1—z + 2z2. 12.404. e? +2z2 — 5.	12.399.	3z" 5z + 2.	12.400.	—Ц. z2 + z —4	1—3z4 12.402.	e 2.	12.403.	cosz. 12.405.	12.406.
12.407. e"22 + 3z3-z + 8.
§ 6. Вычеты и их применение
1. Вычет функции и его вычисление. Если функция /(z) аналитична
в некоторой окрестности точки z0, за исключением может быть
самой точки z0, то вычетом функции /(z) относительно точки z0,
обозначаемым res [/(z); z0], или выч [/(z); z0], называется число,
1
равное значению интеграла —
2тп
/(т|)</т|, где С— некоторый простой
замкнутый контур, лежащий в области аналитичности /(z) и со-
держащий внутри себя только одну особую точку z0. В каче-
стве С удобно брать окружность | ц — z01 — р достаточно малого
радиуса р.
Вычет функции совпадает с коэффициентом c-t разложения /(z)
в ряд Лорана по степеням z — z0, т. е.
выч [/(z); z0] = c_I=-L
zni
231
Если z0 = oc— изолированная особая точка функции /(z), то
выч [/(z); оо]=Т Jy(n)^n,
Ся
где CR ={т| ||т|| = Я}, R достаточно велико и обход контура по
часовой стрелке. Заметим, что если
/(?)= £ c„z",	r<|z|< +со,
с„ = — [	»=0, +1.......
2л/ J n"+I
Ini -~Р->Г
ТО
выч [/(z); ос]=— с-р
Если z0 — полюс 1-ю порядка функции /(z), то
выч [/•(;); z0] = lim(z-z0)./(z),
причем если /(z) представима в виде /(z) = ^j^, где q>(zo)#0,
k|/(zo) = 0, v|/'(zo)/0, то
выч [/(г); z0] =
Если z0 полюс порядка т^2 функции /(z), то
выч Г /’(z); zo] =----lim —
L ' ’ 0J (nt—1)!’-'»
Г e'z
Пример 1. Найти выч —----------; 3i .
Ь +9
<□ Так как точка z0 = 3i является полюсом
dzm~'
е
выч —-----; 3i =lim(z— 3z)
z2 + 9	7
1-го порядка, то
eir' i
(z + 30(z-3/) = ~67=~6?‘
е‘
Пример 2.
Найти
выч
cos2z
-----1
(Z-1)3
Точка z0 = 1 является полюсом 3-го~
порядка,
поэтому
выч
cos2z
------1
_(z-l)3
1 d2 /.
= — lim —- (z— 1)
2\^dz2V	’
cos2z \
(^-i)7
=*-lim ( —22cos2z)= — 2cos2. о
з
Пример 3. Найти выч [ez~2; 2].
<i Точка z0 = 2 является существенно особой, поэтому для нахождения
вычета найдем коэффициент c_i разложения ez~2 в ряд Лорана по
232
< 1спеням z — 2. Так как
3	3	1 ( 3 \2
ez '2=1+---- + —1—; +•••> 0<|z —2|<+оо,
z-2 2!\z—2/
к» с j—3. Следовательно,
з
выч [ez~2; 2] = 3. t>
Найти	вычеты	указанных ниже функций относительно
каждого из ее полюсов, отличных от оо:		
12.408. 12.410.	Z2 + 1 г-2 ’ _2.i (7=Тг’	12.409. 	 (z2 + l)2 zieN. 12.411. -y-4	r. z3(z2 + 4)2
12.412.	1 г(1-г2г;	12.413. —!—. > 1 sin z — 2
12.414.	sin 2	. 12.415. z-1)	(г+1)
12.416.	ez	cos2 	. 12.417. tgz. 12.418. ctg2 z. 12.419. — z2(z2 + 9)	6	6	z3	
12.420.	z2 + z-l z2(z-l)	12.421. 	—
12.422.	1 z2-z5’	12.423. (z-2)6
Найти	вычеты	функций относительно точки zo = 0:
12.424.	сг. 12.425. cos-. 12.426. sin -.	
Найти	вычеты	функций относительно точки zo=oo:
12.427.	1 sin	12.428. 	. 12.429*. 4^1. (z-l)2(z2+l)	z2 + 9
12.430.	z4 + z z6 — 1 "	IT	r2	1 12.431. zcos2-.	12.432. 	sin-. z	z— 1	z
2. Теоремы о вычетах и их применение к вычислению контурных
интегралов.
Первая теорема о вычетах. Если функция f(z) аналитична
в области D, за исключением изолированных особых точек zp z2, ..., zN,
лежащих в этой области, то для любого простого замкнутого
контура	охватывающего точки z1? z2, ..., zN,
N
f/(пМп=2л1 X выч [Дг); г»]-
С+	k = 1
233
Вторая теорема о вычетах. Если f(z) аналитична во всей
комплексной плоскости, за исключением изолированных особых точек
z2, ...,zN_l и zN=co, то
N
X выч[/(г); zt] = 0.
k = 1
Пример 4. Вычислить интеграл
с=ф!И=з}.
о Так как внутри контура С находятся две особые точки подын-
тегральной функции — полюсы 1-го порядка zlt2=±2/, то, применяя
первую теорему о вычетах, можем записать
е	i е
-т--dz = 2ni выч -т-; 2i +выч —--; — 2i
-2 ’ 1	\	z2 + 4	z2T4
z2 + 4
z2T4’
= 2ni
е2
2z Z = 2i
-2Г
\	(e2i е
I = 2л/(-----
-2/	\4z	4/
е
е
е
1
-(е2' — е 2,) = 7usin2 = 7tsh2f. е>
Пример 5. Вычислить интеграл
dz
-гт--имеет десять особых точек
ю 1 1
<i Подынтегральная функция f(z
(2k+ l)iti
zk = e 10 , Zc = O, 1, ..., 9, являющихся простыми полюсами, лежа-
щими на единичной окружности. Так как разложение функции
в окрестности бесконечно удаленной точки имеет вид
применяя вторую теорему
ТО —(?-!= выч
Поэтому,
о вычетах, можем записать, что
9
Е ВЫЧ
к = 0
(2k + l)ni
е 10	= — выч
Таким образом,
9
I=2ni £ выч
к = 0
(2k + 1)ni
е~^~
234
Используя теоремы о вычетах, вычислить следующие
интегралы:
12.433.	r^e с={г||2-ц = 1}. c
12.434.	f(z-l)(z-2)’ ГДе	2|~2> c*
12.435.	c+
12.436*.	^^dz, где C={z\ |z|^=4}.
12.437.	c+ f	dz	f где C={z||z| = l}, n — натуральное J (z-a)n(z-Z>)"
с+
число и 0^|я|<1<|/>|.
12.438*. L-----:dnZ- Ля, где
J (z—a)(z—t>)
с+
льное число и 0^|я|<|6|<1.
C={z||z| = l}, п — натура-
12.439. sin-dz, где C={z||z| = r>0}.
12-440- j(z-l)2(z2 + l)’
с+
где С= {z 11 z | = R< 1}.
12.441.
12.442.
12.443.
12.445.
-------dz,
_Z I 1-’
где C={z||z| = 4}.
sin - I dz, mgN.
И = Я
f 2
znez dz, zigN.
f z2 dz
J sin3 z cos z
И = 5
12.444.
12.446.
235
12.447.
sin —-h^z2cosz I dz.
I
1’1=1
12.448. ztgnzdz. 12.449.	-4^-.
J	J 22+1
1’1=1	1-1=1
3. Применение вычетов к вычислению определенных интегралов.
2я
а)	Интегралы вида j К(sinx, cosx)(£x, где R — символ рациональ-
ной функции, с помощью замены z — elx приводятся к контурным
интегралам от рациональных относительно* z функций.
Пример 6. Вычислить интеграл Пуассона
J 1 —2pcosx+p2
о
е*х+е~'х
Производя замену z = elx, dz — ielxdx = izdx, cosx =--------=
------—----, получаем
2 2z
I(p)=
N =
dz
z2+l 2
l-p-----+p2
z
f [	Л—
J -pz2+p2z + z—p
1-1=1
p(z-p)
Так как при любом р, |р|^1, внутри круга |z|< 1 находится только
один корень знаменателя подынтегральной функции, то при |р|<1
имеем:
2л/2 Г	1
1(р) = выч ------7 
['--'’’ГУ
а если |р|>1, то
2л
/ \ 2я/2
Цр)~—выч
р
Таким образом,
/(/>)=<
2л
при
2л
при
2л
7^'
|р|<1.
|р|>1. О
236
+ oo
6)	Интегралы вида f /(x)t/x, где /(x) функция, непрерывная
пл ( — oo, 4-oo), аналитическая в верхней полуплоскости, за исключе-
нием конечного числа особых точек zb z2. Zn, лежащих в конечной
•мп и верхней полуплоскости, и удовлетворяющая для достаточно
поивших |z| условию
М
1/(41«ГпТ~б’ м>0- 5>0-
I I
II этом случае
J /(х)</х = 2я< У выч[/(г); z*].
- jo	к — 1
V dx
Пример 7. Вычислить интеграл J
(1)
2 •
i В верхней полуплоскости функция
полюс 2-го порядка в точке з0 = 3/, и
больших | z |. Поэтому
dx
’ /Т2ТБП=2я' выч
^ = (г2 + 9У ИМееТ °ДИН
|/(z)^—4 715151 достаточно
1
_(z2 + 9)2;3'_ =
d
— Ini—
dz
2(z2 + 9)2
4л/ л
“ (6Zp~54‘
d
= 2л/—. -----— ।
/Zz\(z4-3/)2/ ,
4л/
(z + З/)3
Замечание. Формула (1) справедлива и в том случае, когда
функция /(z) имеет вид /(г) = с‘“2 F(z), где а>0, а функция F(z)
аналитична на действительной оси, в верхней полуплоскости имеет
iniiib конечное число особых точек zl4 z2, ..., zN и lim F(z) = 0.
+ x x sin x
Пример 8. Вычислить интеграл j —-— --------— tZx.
: Подынтегральная функция является мнимой частью функции
хе1Х
-------значения которой совпадают со значениями на дейст-
—2x4-10	z
вительной оси функции f(z) = ——— ^е12. ФункЦия F(z) = ——
имеет в верхней полуплоскости полюс 1-го порядка в точке z0 = 1 4- 3/
и lim F(z) = 0, т. е. выполнены сформулированные в замечании
условия, а потому можем записать:
zeiz
хе
f --------(/х = 2швыч
x2 —2x4-10
-з--------; 1+3/ =
z2 —2z4-10
(1 4-3/)е'<1 + 3‘> п ч ч + .
= 2п/-—-— -----— = -(14-3/) с 3 =
2(И-Зг—1) 3V '
= ^e-3(cos 1 —3sin 1 4-/(3cos 1 4-sin 1)).
237
Таким образом,
+ о° xsinx	+о° xeix	не 3
-------dx = Im —---------dx =------(3 cos 1 + sin 1).
Д x2 —2x+10	Д x2 —2x+10	3 v	7
Заметим, что одновременно мы вычислили интеграл
х cosx	+f°° хе1Х не \	.
—---------dx = Re	—--------dx  -(cos 1 — 3 sin 1). t>
Дх2-2х+10 Дх2-2х+Ю 3 v	7
Используя один из рассмотренных выше методов, вычис-
лить определенные интегралы.
12.450.
а> 1.
2л
dx
a -I- cos х ’
о
	2л
12.451.	L	а>Ь>0. J	rDCOSX)Z 0 2л
12.452.	Г cos23x	.	. 	dx, а > 1. J 1 — 2а cos х 4- а 0 2я
12.453.	Г	cos х dx 	г, 0<а< 1. J 1— 2asinx + a 0 2 л
12.454.	sin 2 x dx 			, a>b>0. J a+ 6 cosx 0 2л
12.455.	Jctg(x — a)dx, 0 + oo	+ co
12.456.	Jx.	12.457. f	neN. J X “+1	J (x2+l)" + 00
12.458.	I	dx 1/2	24/ 2 l2\’ a>^’ J (x2 + a )(x2 + Z>2) 0
238
12.459.
x1 dx
2<„2\2 ’
12.460.
xdx
(x2 + 4x + 13)2
12.461.
dx.
12.462.
x* dx
(a+bx2)'
b>Q.
12.463.
xsinx
dx.
x2 + 4x + 20
12.464.
X COS X .
-z------dx.
12.465.
| x sin ax
J x2 + b2
о
12.466.
(x+l)sin2x ,
—--------— dx.
12.467.
(x3 + 5x)sinx .
'---------Hy
x4+10x2+9	‘
12.468.
(2x3+13x) .
;--— Sin X dx.
x4+13x2 + 36
12.469.
COS X ,
—-----dx.
J x2 + 9
о
12.470.
COS X j
—------;--dx.
J x4 + 5x2 + 4
о
о
4. Принцип аргумента. Пусть функция /(z) в области Z), огра-
ниченной простым замкнутым контуром С, имеет конечное число
V нулей и конечное число Р полюсов, где каждый нуль и каждый
полюс считаются столько раз, какова их кратность, причем на
контуре С не имеет ни нулей, ни полюсов. Тогда разность co = 2V— Р
равна числу оборотов радиус-вектора vv=/(z) при обходе точкой
z контура С.
Если /(z)— аналитическая в D функция, то Р=0 и (d = N.
Пример 9. Найти число нулей многочлена p(z) = z3 —3z+1,
лежащих в правой полуплоскости.
о Рассмотрим контур С, состоящий из полуокружности Cr радиуса
R, лежащей в правой полуплоскости, и отрезка мнимой оси [ — /Я, iR],
и для достаточно большого R применим к этому контуру принцип
аргумента.
239
Так как
р(2)=73Л-4 + -з).	(2) ,
\	2	2	/	j,
то очевидно, что при обходе точкой z контура CR против часовой i
стрелки argz получает приращение л, а потому arg(z3) получит j
приращение Зл (Сд отображается в кривую и	— Зл/2^ф^Зл/2) <
Так как второй сомножитель в (2) для достаточно больших ;
R близок к 1, то и приращение аргумента этого множителя мало.
Пусть теперь z = it, т. е. точка z движется по мнимой оси от точки
iR до точки — iR. Тогда
p(it) = u + iv= 1 — z(z3H-3r), т. е. u—1, v=—t3 — 3t.
Это означает, что при изменении t от R до —R при Я-» + оо argp(/7)
изменяется на л (от —л/2 до л/2). Таким образом, общее приращение
argp(z) при обходе контура равно 4л, а это означает, что W=2,
т. е. в правой полуплоскости многочлен p(z)—z3 — 3z +1 имеет два
нуля, о
Для данных многочленов найти количество корней, ле-
жащих в правой полуплоскости:
12.471	*. p(z) = z4 + 2z3 + 3z2 + z + 2.
12.472	. p(z) = 2z4-3z3 + 3z2-z+l.
12.473	. p(z) = z4 + z3 + 4z2 + 2z+3.
12.474	*. Доказать, что если функции /(z) и <p(z) аналитич-
ны в замкнутой области £> = /) +Г и для точек цеГ
справедливо неравенство |ф(ц)|<|/(т|)|, то число нулей
функции F(z)=/(z) + (p(z), лежащих в области D, совпадает
с числом нулей функции /(z) (теорема Руше).
12.475	*. Доказать основную теорему высшей алгебры:
многочлен pn(z) — aozn-[-alzn~1-^ ... + ап степени п имеет
в плоскости (z) точно и нулей.
Опираясь на теорему Руше (задача 12.474), найти число
нулей данных функций в указанных областях:
12.476	*. F(z) = z5 + 2z2 + 8z+l: а) в круге |z|<l; б) в
кольце 1 | z | < 2.
12.477	. F(z) = z3-5z +1: а) в круге |z|< 1; б) в кольце
l^|z|<2; в) в кольце 2^|z|<3.
§ 7. Ряды Фурье. Интеграл Фурье
1. Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье. Три-
гонометрическая система функций
1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, ..., cos их, sin их, ...
является ортогональной на отрезке [—л, л] (как, впрочем, и на
всяком отрезке длины 2л), т. е. интеграл по этому отрезку
от произведения любых двух различных функций этой системы
равен нулю.
240
Если f(x)eL( — л, я) (т. е. J |/(х) |dx< 4- оо), то существуют числа
ак = - f f (х)cos kxdx, bk = - f f(x) sin kxdx, k = 0, 1,
ft - n	ft - П
называемые коэффициентом Фурье функции /(х); ряд
5(х)=—+ £ (akcoskx + bks\nkx}	(1)
2 к= 1
называется рядом Фурье функции /(х). Члены ряда (1) можно
записать в виде гармоник
ак cos кх + bk sin кх — А к cos (кх — фк)
с амплитудой Ак — у/акУ-Ьк, частотой (&к = к и фазой фЛ — arctg —.
ак
Для функции /(х) такой, что f2 (х)е L( — л, л), справедливо
равенство Парсеваля
п
- [f^x)dx = ^+ £ (al + bi).
ft J	2 к=1
/X (	1
Если же/(x)eLl —
виде
то коэффициенты Фурье записываются
i/2
2 f t ч 2л£х
ak = 7	-/(v)cos—— dx,
-in
42
n 2 Г ч . 2л£х ,
f(x)sm-ydx,
-42
(2)
а ряд Фурье — в виде
а0 V ( 2пкх , 2пкх\	. мх
S(x)=—+ £ I a*cos—— +ptsin—— )= £ Ске' i .	(3)
к= 1 \	*	*	/ к= -OD
Последний ряд называется рядом Фурье в комплексной
форме. Здесь
и для
42
1 Г	2пкх
Ck = ~j /(л)е '~Лг, к = 0, ±1,
-1/2
ttt-'Pl	«l + 'Pk _
<* = —’ с-‘=—2—=f‘'
Суммы рядов (1) и (3) имеют соответственно периоды 2л и /.
Функция /(х) называется кусочно гладкой на отрезке [a, Z>], если
сама функция /(х) и ее производная /'(х) имеют на [а, /?] конечное
число точек разрыва l-ro рода.
Теорема. Если периодическая функция /(х) с периодом I кусочно
гладка на отрезке [ — //2, //2], то ряд Фурье (3) сходится к значению
241
f(x) в каждой ее точке непрерывности и к значению (/(х+0) +
+/(х—0))/2 в точке разрыва, т. е.
j	+ 00	2яЛх
-(f(x + 0) +/(х-0))= Y ске‘ г.	(4)
2	к= - оо
Если, дополнительно, f(x) непрерывна на всей оси, то ряд (4) сходится
к /(х) равномерно.
Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию
/(x) = signx, — жх<тг,
и, пользуясь разложением, найти сумму ряда Лейбница
у (-»)’
Дзл+Г
о Так как функция нечетная, то (см. задачу 12.479)
ак = 0, /с = 0, 1, ...,
2 Г .	2/ cos их я\
bk = - sign х sin пх dx = -1-I —
kJ	k\ и о/
о
2 ,
= — 11 —cos ил)= <
ЛИ
4
—-------; при и = 2m — 1,
л(2аи—1) и
meN.
О при и = 2ли,
Следовательно, при —л<х<л
4 * sin(2m—1)х
откуда при х = л/2 получаем
i=4 - (—l)w + 1
2т —1 ’
т. е.
- (-1)"^л
Ло2/и+1 4
12.478.	Доказать, что если /(х) имеет период /, то при
любом aeR
a + l	I	1/2
f f(x)dx = $f(x)dx = J f(x)dx.
a	0	-1/2
12.479.	Записать выражения коэффициентов Фурье (2) для
четной и нечетной функций на [ — //2, 1/2].
Разложить периодическую с периодом / функцию в ряд
Фурье, построить графики его первых частичных сумм £о(*)>
242
Л’1 (х), S2(x) и S3(x) и найти значение S(x0) суммы получен-
ного ряда в заданной точке х0:
z . fl при 0<х<л,
12.480.	/(х) = < и	7=2л, х0 = л.
v 7 [0 при — л<х<0,
12.481.	/(*)=—у- при 0<х<2л, 7=2л, х0 = |.
12.482.	f(x)=\x\ при хе(—1, 1), 7=2, х0=1.
Разложить в ряд Фурье следующие функции периода 7:
12.483.	/(х) = |cosx|, — л<х<л; 7=2л.
12.484.	/(х) = х2, — л<х<л; 7=2л.
12.485.	—о<х<т' /=2Т-
12.486.	/'(х) = | sin х |, — п х л; 7=2л.
12.487.	/(х) = 2х, 0<х<1; 7=1.
12.488.	/(х)= 10-х, 5<х<15; 7=10.
12.489.	/(х) = sin ах, — л<х<л, 7= 2л.
12.490.	/(х) = cos ах, —л<х<л, 7=2л.
12.491.	/(x) = sh ах, —л<х<л, 7=2л.
12.492.	/(х) = ch ах, —л<х<л, 7=2л.
Доопределяя необходимым образом заданную в проме-
жутке (0, а) функцию до периодической, получить для нее:
а) ряд Фурье по косинусам, б) ряд Фурье по синусам.
12.493.	/(х) = ех, хе(0, In2).
12.494.	Дх) = Р’
’ ' ' (0, л/2<х<я.
12.495.	/(х) = Ь
' ' [2—х, 1<х<2.
12.496.	/(x) = xsinx, хе(0, л).
12.497.	/(х) = х2, хе(0, 1).
12.498.	/(х) = х+р хе(0, л).
12.499.	/(х) = “х, хе(0, л). 12.500. /(х) = х, хе(0, 7).
12.501.	Используя ряд Фурье, полученный в задаче 12.482,
найти суммы следующих рядов:
ОО	1	ОО
Э)	я?0(2и+1)2’ б)*	(4fc+l)2(4/r + 3)2'
243
12.502.	Используя ряд Фурье, полученный в задаче 12.497,
найти сумму ряда £ (~1)* + 1Г2-
к= 1	к
12.503.	Используя равенство Парсеваля для функции за-
а 1
дачи 12.481, найти сумму ряда У
12.504*	. Зная выражение ядра Дирихле
2л+1
„	sm-----X
1	2
0„(х) = - + X coskx =--------,
2	k=l	o x
2sm-
2
найти выражение ядра Фейера J%(x):
1	"	1	” ( к \
•^"(Х) = ^Г7 t ^(х) = -+ £ (1	- coskx.
И + > к = О	2 к-1 \ Л + 1 /
12.505.	Используя равенство Парсеваля для функции за-
I
дачи 12.484, найти сумму ряда У ~.
12.506.	Зная выражение для ядра Дирихле (см. задачу
12.504), получить интегральное представление для частных
сумм
Sn(f, х) = -^ + X (акcosкх + Ькsinкх)
2 k- 1
ряда Фурье функции /(х) периода 2л.
12.507.	Зная выражение для ядра Фейера (см. задачу
12.504), получить интегральное представление сумм Фейера
Х)=-ТГ £ Sk^' х)
и+ 1 к = О
функции f(x) периода 2л.
12.508*	*. Используя полученное в задаче 12.507 выражение
для сумм Фейера ол(/, %), показать, что для непрерывной
на оси функции f(x) в каждой точке хе [ — л, л] справедливо
соотношение lim су„(/, х)=/(х).
2.	Двойные ряды Фурье. Если функция f(x, у) имеет период
/ по переменной х, период h по переменной у, непрерывна и имеет
df df d2f
непрерывные частные производные —, — и --- в прямоугольнике
dx dy dx dy
K={(x, >>)|—//2<x<//2, -h/2<y<h/2}, то /(x, у) представима двой-
244
ным рядом Фурье
*	(	2итх	2ппу	2птх	2ппу
f(X,y)= 2-	Pm.nCOS——cos——-bZ>w.„Sin——-COS——4-
m,n = Q	\	I h	I h
2nmx 2nny 2nmx 2nny\
+ cm.ncos—— sin-—+ <„sin——-sin—- ,
/ h	I h J
где
1/4
1/2
1
при Л7 = Л = 0,
при m>0, и = 0 или m = 0. л>0,
при т>0, л>0
и при л?>0, л^О
4 ff	2ют1л	2ту
а„.„=- Ж у) cos—— cos—dxdy,
/л J J	I n
4	2nmx	2nny
f\x,.y sin—— cos—dxdy.
lh	I h
, 4 ff// \ • 2jwa • л
4,л=77 Ж y)sin—— sin—— dxdy.
IhjJ	1 h
к
В комплексной форме ряд Фурье для /(х, у) записывается в виде
(тх пу\
f{x,y}= f с„.л/Ат+Ч
т,п= • х
где
к
Пример 2. Разложить в двойной ряд Фурье функцию f(x, у)
=ху в квадрате -п<х<п, -жу<п.
<з Принимая во внимание четность или нечетность подынтегральных
функций, находим
-т	cos тх cos пу dx dy =
71 JJ
к
у cos nydy х cos mxdx=0,
m, л^О;
245
т, п^О;
х cos mx dx — 0,
1
n j
Я
у sin ny dy
x sin mx dx —
у sin ny dy x sin mx dx =
4 ( cos ny
sin ny
o+ n2
4 rc( —1)"+1 л(-l)m+1 , x . 4
n2 n	m	mn'
m, /2 > 1.
Следовательно, при xe( —я, я), уб( — я, я)
“ z . sinraxsinny
ху = 4 У -1 )т + п-----------о
т,и=1	тП
Разложить в двойной ряд Фурье следующие функции:
12.509.	/(х, у) = ху при 0<х<2л, 0<^<2я, /=Л = 2л.
<	< л х-z \ я х я у
12.510.	/(х, >’) = —— при — л<х<л, —я<^<л,
/=Л = 2я.
12.511.	/(х, у) = х2у при — 1<х<1, — 2<_у<2, /=2, Л = 4.
12.512.	/(х, у) = х^у-^ при — 1<х<1, — л<у<л, /=2,
А = 2л.
3.	Интеграл Фурье. Если функция /(/) абсолютно интегрируема
на ( — оо, +оо), т. е. f(t)eL( — оо, 4-оо), и кусочно гладка на каждом
конечном отрезке действительной оси, то она представляется в виде
интеграла Фурье
/(0 = |(/(^ + О)+/(/~О))= lim f f(v)e2^dv= f f(v)e2n^dv, (5)
где
/(v)= f f(t)e-2^dt.	(6)
Преобразование (6), которое будем обозначать S [/], называют
прямым, а (5) — обратным преобразованием Фурье, выраженным
246
в комплексной форме. В действительной форме эти преобразования
записываются в виде:
cos (DZ dt,
sin coz dt
(7)
(прямое) и
Л‘)=
f (a ((d) cos (DZ + b ((d) sin (dz) J(d
о
(8)
(обратное), (d = 2ttv.
Если функция f(t) четная, то (7) и (8) записываются в следующей
симметрической форме:
f(t) cos cdZ dt
(9)
fc ((d) cos wzJ(D
(10)
о
и называются парой косинус-преобразований Фурье. Если
нечетная, то имеем пару синус-преобразований Фурье
же /(z)
/(0=
5s[/]=/s(co) =
f(t) sin art dt
о
sin (DZ <V(D.
о
Пример 3. Найти преобразование Фурье для
/(z) = e'a,f|, a>0.
Подставляя заданную /(z) в (6), получаем
/(v)= f e"’l'le’2’,'"A= f e',2*i',-a)'A+ J
О
1
функции
t. e.
a —2rczv
---------е
a + 2itzv
- (2niv + a)t
2a
a — 2niv a + 2rczv a2 + 4n2v2’
2а
a2 + 4n2v2’
а>0.
и
и
0
5[^а,,|] =
о

о
1
247
Подставляя это выражение в (5), получаем
С е21llvt а
е"а!,| = 2а —------------—dv = -
J а2 + 4л2у2
ei(O‘ 2а
--------= —
л J а2 + со2
cos coz
—-------гб/со.
л J а2 + (о
о
(*)
Последнее равенство следует из того, что
Пример 4. Найти преобразование Фурье для функции
=	а>0.
о Так как функция f(t) четная, получим пару косинус-преобразований
Фурье. Поэтому воспользуемся формулами (9) и (10). Используя
результат задачи 8.192, получаем
+ от.	+
,2	/2 Г 1	1 Г «>
е — -	4» cos wz t/w — ——	е cos cat скя. о
\ * J	./ла J
о	о
Найти преобразование Фурье в комплексной форме для
функций:
12.513.	/(z) = sign(z — a) — sign (г — Ь), Ь>а.
12.514. ./(/)=’	при |z|<a, \ у a J 1	0 при 111 > а.
12.515. Д0 = <	{cosat при \t\<n/a, л	. .	а>0, [ 0 при 111 > п/а.
12.516. ДО =<	[signt при |z|< 1, [ 0 при | z | > 1.
Найти пару косинус- или синус-преобразований Фурье
указанных функций:
12.517*. ДО=-^-_ а>0.
'' a2 + t2
12.518*. /(z) = -v2_7, а>0.
v' a2 + t2
12.519.	=
12.520.	cos₽/, a>0.
12.521.	Доказать, что преобразование (6) является непре-
рывной функцией, причем lim /(v) = 0.
V-+ ± 00
248
4.	Спектральные характеристики ряда и интеграла Фурье. Спек-
тральной функцией 5(vk) ряда Фурье или спектральной плотностью
называется отношение коэффициента Фурье функции f(x) периода /
Ц2
<* = c(vi)=j J
-1/2
k
vk = -, keZ, к приращению частоты
k+\ k
A vk =-------
/ /
1
T
i. e.
in
S(vk) = (^ = f f(u)e~ 2^du.
Avk J
-H 2
Амплитудным спектром p(vk) называется
ции, а фазовым спектром Ф(ук)— взя-
тый с обратным знаком аргумент спек-
тральной функции, т. е.
P(v*)=|5(vj)| = /|c(v*)|
И
ФЫ= —arg5(vt).
На графиках p(vt) и Ф(ук) обычно
строят только ординаты р и Ф в точках
vk и спектр называют линейчатым.
Пример 5. Найти спектральную
функцию ряда Фурье и построить ам-
плитудный и фазовый спектры для
функции
{О при х 6 (— 2, — 1),
1 при хе(— I, I), /(х+4)=/(х),
0прихе(1, 2).
<з Имеем vk — k/4 и
2
Vi) = f f(x) е - 2”iv‘x dx =
-2
1	2nivkx 1
= f 1 e-2niv'xdx =------
-i	— 2nivk i
модуль спектральной функ-
Рис. 100.
1 e2nivk_e 2nivt sin2nvk
nvk 2i	nvk
Следовательно,
I \ Id II lsin2Itv*l
Ф(у*) =
—argS(vt) =
если sin 2nvk 0,
если sin 2Ttvk < 0.
Графики p(vk) и Ф(ук) представлены на рис. 100. о
249
Спектральной ф преобразование Фур	функцией интеграла Фурье называется прямое ье 5(v)=/(v)= f	(11) — 00
Величина p(v) = |£(v) Ф(у) = — argd(v) — фа Найти спектра амплитудные и ф	называется амплитудным спектром, а величина зовым спектром. льные функции 5 (vk) или S(v) и построить азовые спектры следующих функций: 0 при te( — 2T, -Т),
12.522. /(/)=<	0 при te(T, 2Т),
12.523. /(/)=!	о"Р"Гп,1 0 при / е (1, 3),
12.524. /(/) J	1 при |/|<а, л	. .	а>0. 0 при 111 > а,
15.525*. /(?) =	{ cos л t при 111 < 1 /2, [ 0 при |г|> 1/2. 1-FГ при	1, 0),
12.526. /(г)=<	1 —/ при zg(O, 1), < 0 при | z|> 1.
12.527. /(/) = ]	2 при 1е (0, 2), 0 при /е(—оо, 0)U(2, 4-* оо).
5. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Аналитическое
вычисление преобразования Фурье (спектральной функции) (11) и
обратного преобразования (5) вызывает, как правило, значитель-
ные трудности. Разработаны методы их численной реализации,
одним из которых является так называемое дискретное преобра-
зование Фуръе\
Т 2N~Y
5(v„)=k=— £	л=0. 1.....2JV-1,	(12)
k = 0
Т	1
где tk — k— (Т—длина заданного интервала) и vn — n —. Обратное
27V	Т
к (12) преобразование имеет вид
| 2/V — 1 пкп
/w = ^ = - Z	* = 0, 1.....27V-1.	(13)
1 я = О
Преобразования (12) и (13) выполняются с помощью так на-
зываемых быстрых алгоритмов (БПФ), состоящих в том, что
250
если 2N = r1r2...r,
(12) (или (13))
rv — целые >2, то матрица преобразования
	1 1	1 я	1 я1	1 ...	q2N~'
w=	1	я2	я4	a2(2N-l) ...	ц
] q2N-l q2(2N-l)	q(2N-l)^
л	л
|де q = e~lN (q = elN для (13)), представляется в виде произведения
// квадратных матриц Wv порядка 27V,
W=WnWn_x... W2Wi,	(14)
имеющих каждая по rv-2N отличных от нуля элементов.
Умножение матрицы Wv (v = 1, 2,п) на вектор-столбец Z=(z0,
z2jv-i)t за счет отбрасывания умножения на нули может
быть произведено за rv • 2N операций комплексного умножения
на множители qk и сложения. Всё ДПФ (12) вычисляется
тогда за +г24- ... +r„) 2N таких операций и умножения конечного
результата на множитель T/2N.
Если 2N—2n (Г1=г2= ... =гп = 2), то в качестве матрицы
l^n = (<‘kj), к, 7=1, 2,..., 2", для разложения (14) можно взять матрицу,
элементы которой выражаются следующим образом (q = e~l 2--1):
пусть v = 0, 1, ..., 2п~т— 1 и ц= 1, 2, ..., 2т~ \ тогда
r(m)	_r(m)	.	.	— 1
v • 2 m + р, v • 2 т 1 + ц i'v2m+2ni 1+p,v-2m
_	.^(т)	_ п(ц~ 1)2"~т /in
С v . 2 m + ц, 2 1 + v • 2т“ 1 + ц— Cv. 2i" + 2m-l 4-и> 2»-1+v.2m-l+ц — q	,
с£"] = 0 для остальных пар (к, j).
12.528.	Выписать матрицы W2 и И^з, соответствующие
формулам (15) при 27V=23 = 8.
12.529.	Пусть У=(х0, %i,..., х7)т. Составить произведения
Z(1)=^y,	Z(2)=W2Z(l)=W2(lV1X) и z(3)=pf3z(2) =
= И'з (И^ Сравнить полученный результат с произ-
ведением WX.
Для конечной последовательности комплексных чисел (х0,
л*!,..., xN_ t) ДПФ по формуле (12) можно представить в виде
1	1 2nink
У.=- хке~ N (м=0, 1...........ЛГ-1),
™ к = 0
а обратное ДПФ (ОДПФ) — в виде
N~ 1 2nink
хк = X Упе—й~ (£ = 0, 1, ..., Л-1).
и = О
Обозначим кратко ДПФ и ОДПФ соответственно
и ^ЙГЧУ],
где X=(xQ, Xi, ..., xN_i)T, Г=(у0, Уь-..,yjv-i)T.
251
12.530.	Составить на фортране подпрограмму вычисления
прямого и обратного преобразований Фурье с использованием
быстрого алгоритма. Параметры: N, L, KIND, А, В, АА,
ВВ, где L—число элементов исходной последовательности
(и преобразования), N — показатель степени в равенстве
L = 2n, KIND есть 0 либо 1 (0 при вычислении ДПФ и 1 при
вычислении ОДПФ), А и В—входные массивы размера
L для действительной и мнимой частей исходной последо-
вательности, АА и ВВ — выходные массивы размера L для
действительной и мнимой частей полученного преобразования.
и мнимои
12.531.
12.532.
В задачах 12.531 — 12.535 составить на фортране подпрог-
рамму получения комплексной последовательности (хь
х2,..., х128), полагая хк = х (/k)-hz0 для указанных функций
х = х(г), /е[1, 128], tk = k= 1, 2,..., 128. Параметры: А, В, где
А и В — массивы из 128 элементов для действительной
частей последовательности.
х = 25.
(0, t е [1, 32 ]U [97, 128],
* ( 20, te [33, 96].
x=lr(128-z).
_( t, te [1,64],
128-t, te [65, 128].
x = t.
Используя подпрограммы, полученные при реше-
12.530 и 12.531 —12.535, для одной из последо-
вательностей (%i, х2,..., Xias) составить на фортране про-
грамму следующих преобразований:
а)	найти У = 5 [X ];
б)	для т = 24, 32, 40 из последовательности (уп | п =
= 1,..., 128) получить последовательность (уп \ п= 1,..., 128),
элементы которой определяются равенствами
12.533.
12.534.
12.535.
12.536.
нии задач
J п= 1, 2,..., 64 — т, 65 + w,..., 128,
| 0, n = 64 — т + 1, ..., 65 + ди— 1;
в)	найти У=5-1 [У];
г)	сравнить последовательности (хЛ) и (хк), найдя их
разности.
Глава 13
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1.	Преобразование Лапласа
1.	Определение и свойства преобразования Лапласа. Преобразова-
нием Лапласа функции /(/), zgR (которая, вообще говоря, может
принимать и комплексные значения), называется функция F (р)
комплексной переменной р, определяемая следующим равенством:
f e~p'f(t)dt.	(1)
О
Оригиналом называется всякая функция /(/), удовлетворяющая
следующим условиям:
1)/(г) = 0 при /<0, причем принимается, что /(0)=/( + 0);
2)	существуют такие постоянные о и М, что
\f(t)\<Meat при Г>0	(2)
(величина o0 = info называется показателем роста функции /(/));
3)	на любом конечном отрезке [О, Т] функция /(7) может иметь
лишь конечное число точек разрыва, причем только 1-го рода.
Если f(t)—оригинал, то стоящий в правой части равенства (1)
интеграл Лапласа сходится абсолютно и равномерно в полуплоскости
Rep>o>a0. При этом функция F(p) является аналитической
в полуплоскости Rep > ст0 и называется изображением функции /(/).
Соответствие между оригиналом f(t) и его изображением F(p)
символически записывается в виде F(p)=f(t).
Пример 1. Найти показатель роста многочлена f(t) = antn+ •••
+ Oq.
о Заметим, что для любого о>0
ял/"+ ... + t + a0
Inn ----------------= 0.
е<“
Значит, для любого а>0 существует такое число А/ = Л/(ст), что
выполняется неравенство:
|яиг"4-...+Д1Г + ао1<^(^)е<,г,	/>0.
Следовательно, о0= inf ст = 0.
ст> О
Заметим, что при о = а0 = 0 неравенство (2) не выполняется. t>
Пример 2. Найти изображение функции Хевисайда
253
<з Так как функция Хевисайда является оригиналом с показателем
роста <то = 0, то
Г	1	+о° 1
r|(z)= е ptdt= — е pt =-
J	Р	о Р
о
при Rep>0. i>
Всюду в дальнейшем под заданной с помощью форму-
лы функцией f(t) будем понимать произведение этой функ-
ции на функцию Хевисайда г| (/), т. е. считать /(г) = 0
при г<0.
Проверить, являются ли следующие функции оригинала-
ми, и найти их показатели роста.
13.1. f(t) = e3,+2.	13.2. /(/) = £<
13.3. f(t) = e~	13.4. ло=| *’ 11/хЛ, Z> 1.
13.5. /(z) = ln(z+1).	13.6. /(z) = z3.
13.7.	= t sin	13.8. f(t) = ell‘.
Используя формулу (1), найти изображения для следу-
ющих оригиналов:
Г 1, 0^/<2,
13.9.	-1, 2^/<3, 0, 3^. г, 0^/<2, 1 1
13.10. /(/)=-	-(4-/), 2^Г<4, 0,	4^/.
13.11.	[ t, 0^/<т, [ 1,
13.12. /(z) = <	f/(2 —z), 0^z<2, (	0,	2^z. z, 0^z<l,
13.13. /(z) =	1 1,	l^/<2, | 3-r, 2^z<3, 0,	3^r.
254
	sin г,	(К	л ;/<2’
	2 z	л	Зл
	“ (л-/),		;z<T’
13.14. /(/)=<	л	2 Зл	2
	sin Г,		^/<2л,
		Т'	
	0,	2л	
Свойства преобразования Лапласа:
1.	Свойство линейности. Для любых постоянных Ск,
А =1, 2, ...,и,
X	Е ckFk(p), Re p>max {сть о2,о,}.
к=1	к= 1
2.	Теорема подобия. Для любой постоянной а>0
/(az)=^F^0, Rep>ac0-
3.	Теорема смещения. Умножению оригинала на eaI, aeR,
соответствует смещение аргумента изображения на а, т. е.
eI'f(t) = F(p-a), Re(p-a)>a0.
4.	Теорема запаздывания. Запаздыванию оригинала на
г соответствует умножение изображения на е~р\ т. е.
/•'(₽), Rep>a0-
5.	Дифференцирование оригинала. Если f(t) и ее произ-
водные	/с =1,2,.... являются оригиналами, то для любого
А = 1, 2,..., и
/(‘|0)=р‘г(р)-(р‘-1/(о)+р‘-2/'(о)+ ••• +J ‘Ш
В частности,
Re/»CT0-
6.	Интегрирование оригинала:
t
= Rep>a0.
J	Р
О
7.	Дифференцирование изображения. Умножению ори-
। инала на множитель t соответствует умножение изображения на
-1 и дифференцирование его по аргументу р:
tnf(t)=(-\)nF{a}(p), w=l, 2,...
255
8.	Интегрирование изображения. Если -у- является ори-
гиналом, то
у/(0-
р
9.	Дифференцирование и интегрирование по пара-
с/(г, а) “2
метру. Если / (г, а) = Г(р, а) и функции —-- и /(г, а) t/а, рас-
да «,
сматриваемые как функции переменной Г, являются оригиналами, то
а/(/, а) aF(p,a) f , ч Г , X
———=— ------- и /(/, a)da = F(p, a)da.
На. да	J	J
0t|	at
10.	Теорема Бореля об изображении свертки. Свертке
оригиналов
/1 *fi = f /1 (т) fz (z - т) dr = f fl (t - т) f2 (t) </t
0	0
соответствует произведение изображений, т. е.
/1*/2 = Л(р)^(р).
11.	Интеграл Дюамеля. Если f{t) = F(p) и g(f) = G (р), то
pF(p)G(p)=f(0)g(t) + (f'*g) (z)=g(O)/(z)+(g'*/) (z).
1
Зная изображение функции Хевисайда т|(г) = - (см. пример 2),
Р
можно с помощью перечисленных выше свойств 1 —11 построить
таблицу изображений основных функций:
№	Ш	F(P)	№	/(0	F(P)
1	П(')	1	6 7	sin pr ch pr	p
2	t”	P 1			p2+p2 p
	п\	i			p2-p2 о
3 4		1	8 9	sh p/ eaf cos pz	p
	с tn	p-a 1			^3 Xj 1 1 « -ЦЭ
	— t: п\	(p-a)"+1			(/» —a)2 + P2 P
5	cos р/	P	10	eat sin pr	
		/>2 + P2			(p-a)2 + P2
С помощью свойств преобразования Лапласа и таблицы основных
изображений можно найти изображения большинства функций, встре-
чающихся на практике.
256
— 3it
Пример 3. Найти изображение функции sin3L
-1 Имеем по формуле Эйлера
_ feh — e~if\3 1 {3(ен—е~н) e3it — e~3it\ 3	1
sin t — \---- =--------------------------=- sin t— sin 3t.
\ 2i J 4\ 2i	2i J 4	4
4
Используя свойство линейности и формулу 6 таблицы, находим:
. Л 3	1	1	3	6
Sin t = - • —Z-• —z--— —~—z---------г. !>
4 p2+l 4 p2 + 9 (p 4-l)(p2 + 9)
Пример 4. Найти изображение функции t2 cos 2t.
- .3 Используя формулу Эйлера и формулу 4 таблицы изображений,
получаем:
t2 cos2z = ^ t2 (e2it+ e~2it) = -—+ t ~Г\з = 2 П
2	(Р-2*)3 (^ + 2z)3	(p2 + 4)3
Заметим, что изображение указанной функции можно было бы
получить и другим способом, а именно, дважды дифференцируя
изображение cos 2/. о
Г sinx
Пример 5. Найти изображение функции Si t = --------dx (эту
J т
о
функцию называют интегральным синусом).
Используя теорему интегрирования изображения, находим
00
sin Z Г dp
—,’ П ‘"1“'
р
Отсюда по теореме интегрирования
t
С sin т	1 /л	.
Siz =----dx=^-\—arctgpl. о
J х	р \2	/
о
= - —arctg/з.
р 2
оригинала получаем
Пример 6. Найти изображение функции J cos (Г — х)е 2тdx.
о
<з Используя теорему Бореля об изображении свертки, получаем
t
cos (t—х) е ~2т dx — cos t ♦ е~21 = z——-г. о
J	(р2 + 1)(/>+2)
О
Пример 7. Найти изображение оригинала /(z), если
. . f sin t при 0 Г < л,
/(0 = 5
( 0 при Г^л.
<з Используя функцию Хевисайда и учитывая, что т|(г —л) = 1 при
г>л, функцию f(t) запишем в виде
/(z) = sin г-Ы| (z—л) sin (z—л).
9 Специальные разделы мат. анализа. Ч. 2	257
Пользуясь формулой 6 таблицы и теоремой запаздывания, получаем
z .	1 е~пр 1+е~пр
Fp p2-r\+р2 + \~ р2 + \
13.15	*. Доказать следующие теоремы о связи «начальных
и «конечных» значений оригинала и изображения. Если
/(O.= F(p), то
а)/(0)= lim pF(p)
р—*ос>
и (если существует конечный lim /(<)=/(+°0))
б)/(+оо)= lim pF(p).
р^О
13.16	. Доказать следующие соотношения1):
Re((p + p/)" + 1)
tn
а)	— cos Р?=
л!
(p2+P2)"+1
Г . „ Im(/>+₽/ " )
б)	— Sin В<= - ' -s/tt--
л! Н р2 + Р2 ”+‘
Найти изображения заданных функций:
13.17. -Г2+1. 2	13.18. /2—-e'. 2
13.19. е"' + 3е’2‘ + ?2.	13.20. 2 sin t — cos -. 2
13.21. cos2/. 13.23. sh3z. 13.25. sh3/cos2z.	13.22. sin2(t—a). 13.24. ch / sin t. 13.26. zch2/.
13.27. sin/ — t cos t.	13.28. (ch / sin 14- sh t cos /).
13.29. t2e 13.31. e2tcos/. 13.33. z2 ch 2/.	13.30. t3e2t. 13.32. e' sin2 t. 13.34. te~'smt.
13.35. te~* sht.	13.36*. ^e^xdx. 0
13.37. J (/ — x)2 cos 2т dx.	13.38. j xe‘~r sin(z — t) dx.
0 t . _	. cht — 1 . 13.39*.		dx. J T 0	0 t C 1 —e ~x 13.40.		dx. J T 0
9 Здесь обозначения Re и	Im подчеркивают тот факт, что
действительная и мнимая части соответствующего комплексного
многочлена берутся условно, т. е. р считается вещественным числом.
258
13.41.	— dT.
J 1
о
i cos рт — cos ат .
13.42*.	—------------dx.
т
о
13.43.
--------ат.
т
о
Найти изображения дифференциальных выражений при
заданных начальных условиях.
13.44.	xiv(z) + 4x"'(O + 2x"(/)-3x'(O-5;	х(0) = х'(0) =
-х" (0) = х"'(0) = 0.
13.45.	х'" (г) + 6х" (/) + х' (г) - 2х (/);	х (0) = х' (0) = 0,
<"(0)=1.
13.46.	х"(О + 5х'О)-7х(/) + 2; х(0) = а, х'(0) = 0.
Используя теорему
следующих функций:
13.47.	T|(z—
13.49*. n(z- l)h?‘.
запаздывания, найти изображения
13.48.	т| (г —2) sin2 ((/ —2)/2).
13.50*	. г| (t—J sin Z.
13.51.	= \ 1 ПРИ
[ 0 при
(единичный импульс, действующий в течение промежутка
времени от t = 0 до
ГО
13.52.	Z(0= S 1
10
t^T
t = x).
при t
Т,
(запаздывающий единичный импульс).
13.53.
h
- t
т
h
h .	_ .
— (/ — Зт) при
т
0
при
при
при
13.54.
{sin t
—cosz
0
при
при
я.
13.55.
/(0=j h,
he
при
при
13.56.
_ х f sin'
( sh(z—л)
при
при
t
0^Г<1,
259
13.57*	*. Доказать, что если /(/) — периодическая функция
с периодом /, то
F(p) =
1 _ e~pl I ' v 7
о
Используя результат задачи 13.57, найти изображения
периодических функций (аналитические формулы определяют
заданные функции на периоде [0, / ]):
13.58. /(/) =
при
при
т^г<Т;
/=Т
(периодическая последовательность единичных импульсов).
13.59.	/(/) = sin 0 г при 0<г<л/р; /=л/р (т. е./(r) = |sinpr|).
		sin t	при	0^		
13.60.	7(0=]					l=T.
		0	при		{t<T\	
13.61.	7(0=]	h	при	(К	t<c,	l=2c.
		— h	при		t<2c,	
13.62.	7(0=-	t при	[	<с	; l=c.	
	С					
		h				
		- t	при	0	^t<c,	
13.63.		c h				
		— t	при	с-	^t<2c,	
с
13.64.	/(/) = cospr при О*СГ<-^-, /= — •
13.65.	/(/) = |sin/|, /=2л.
2. Расширение класса оригиналов. Класс оригиналов можно
расширить, включив в него функции, которые могут быть неог-
раничены в окрестности конечного множества точек, но такие, что
интеграл Лапласа от них тем не менее в некоторой полуплоскости
Re р > о0 сходится абсолютно. К числу таких обобщенных оригиналов
относится степенная функция /(г) = гц ПРИ Ц> —1, функция In /
и некоторые другие. В частности, к такому классу относится всякая
функция/(г), которая в некоторых точках t~tk (к = 1, 2,..., и) является
бесконечно большой порядка, меньшего единицы, т. е. такая, что
lim (t—tk)'k — Q при некотором rk<l, и если вне некоторых
окрестностей точек tk она удовлетворяет условиям, при которых
функцию можно считать оригиналом.
260
pt — т,
Пример 8. Найти изображение F(p) функции /(/) = /**, ц> —1.
+ 00
। Имеем F(p) = J e~p'tpdt или, после подстановки
о
, ПР+1)
е xTpdx — —г-
о
число, то
изображений.
1 ,
Итак, ------7 = —— ). о
Г(ц+1) р-+1
Замечание. Если ц — целое положительное
I (и 4 1) = ц!, и мы приходим к формуле 2 таблицы
Пример 9. Найти изображение функции /(г) = гц1пг, ц> —1.
। Из соответствия ^ = ^0*,+ ) с помощью дифференцирования по
параметру ц получаем
_ г(ц-ы) г(м-»)1лп г(И4-1)/Г'(р+1)	\
Рм+1 р*+' \г(и+1)	7
В частности, положив ц = 0, с учетом того, что Г(1)=1, Г'(1)=— у
I/ 0,577215...— постоянная Эйлера), получаем
. у + 1пр
1пГ==-------. Е>
р
Найти изображения функций:
Гие“'
LW’ P>"L
г, х tpea'\nt
13-67- /(z)=HiIT0’ И>-Е
13.68. /(z)=e“'lnz. 13.69. /(z)=f^ cos pz, ц>-1.
13.70.	ц>-1.
Г(ц+1)
13.71. /(z)=cospzlnz. 13.72. f(t)=sin pz • In z.
0
13.73./(z) = <	1
у/t —a
при 0 t < a,
при t>a.
')3десь под функцией комплексной переменной 1/рц+1 понимается
in из ветвей этой многозначной функции, которая на вещественной
положительной полуоси комплексной плоскости (/?) принимает ве-
щественные значения, т. е. =е“(и+1)1пр. Аналогичное замечание
о । носится к изображениям функций гцеа/1пГ, /Mcospz, /Psinpz.
261
§ 2. Восстановление оригинала по изображению
1. Элементарный метод. Во многих случаях заданное изображение
можно преобразовать к такому виду, когда оригинал легко вос-
станавливается непосредственно с помощью свойств преобразования
Лапласа и таблицы изображений.
Для преобразования изображения широко используется в
этом случае метод разложения рациональной дроби в сумму
простейших.
Пример 1. Найти оригинал для функции
F{P^p2 + 2p + S'
Первый способ. Выделяя полный квадрат в знаменателе и далее,
используя табличное изображение для sin р/ и теорему смещения,
получаем:
1	1	1	2	1
—---------=  ----т--= -  --------= - е sin 21.
р2 + 2р + 5 (р+1)2+ 4 2(рЧ-1)2Н-4 2
Второй способ. Раскладывая дробь в сумму простейших и ис-
пользуя изображение для е*, получаем
-----!----= 1 (-----!------------!---= 1 (е< -  + 2"‘ _ е< - • - 2"') =
/>2 + 2/> + 5 4i\j>—(— l+2i) />—(—1—21)/ 4г
1 _ e2i'—e'2“ 1
-- — Z> I ______ _ _ £>	1 С1И Э t
Пример 2. Найти оригинал для функции F(p)=-——- j.
о Первый способ. Раскладывая дробь в сумму простейших, получаем
1	1	1/ i i 1 i \
(/>2+l)2 (p-i)2(/> + i)2	4\р —I p + i+(p-i)2 + (p + i)2)'
= —(iea — ie ~lt + telt + te	= -(sin t— rcos /).
4V	2V	'
Второй способ. Заметим, что
_1—
причем согласно теореме о дифференцировании изображения
/ 1 V . .
- —------------------------ = t sin t.
V2+V
Применяя теперь теорему об интегрировании оригинала, на-
ходим
1
1 ( 1 V 1 f •	\
— I —---I ==- тsinтат = -ismt — tcos
2Др2+1/ 2j	2V	j
о
262
Третий способ. Используя теорему Борел я об изображении
свертки, получаем
1	1	1	.	г • / х
:—---— = —-----• —----= sin Z*sin t = sin (z — т) sin x dx =
(p2+i)2 />2+i p2+i	i '
= sin t f cos т sin т dx — cos t J sin 2 т dx = - (sin t — t cos t).
о
о
р2е-2"
причем в отличие
Пример 3. Найти оригинал для функции
и -	к р2
<i Найдем сначала оригинал для дроби —----,
р +1
от двух предыдущих примеров разложение дроби в сумму простейших
произведем в множестве действительных чисел. Имеем:
Р2	Р2 if 1	2р—1 \
p’+i (р+ 0(р2-р+1) з\р+1 +р2-р+ >/
п--	/	г
1 / 1 и 2	\ 1 / _	J3
зЬд+2/....nv cos~'
\	+4/
А теперь, применяя теорему запаздывания, учтем сомножитель е 2р.
Окончательно находим:
р3+1	3 ' М	2
Найти оригиналы для		заданных функций:	
13.74.	1	13.75.	1
	(р-1)2		(р+0(р-з)'
13.76.	1 р2 + 4р + 3	13.77.	1 р3+1р2+р'
13.78.	1 р2(р2+ О’	13.79.	2р + 3 р3 + 4р2 + 5р'
13.80.	р	13.81.	Р
	(/’2-4)(р2 + 0‘		(р2 + 4)2'
13.82.	р	13.83.	Р
	Р3 + г		р4 + 4'
	е~2р	13.85.	е’2'’
13.84.			(р+03’
	Р2 '		
13.86.	1 е~р Зе4р 	1	1			.	13.87.	р 2ре р
	р-2 р р2 + 9		р2+4 р2-4'
2. Формула обращения. Теоремы разложения. Если f(t) — оригинал
и F(p)— его изображение, то в любой точке непрерывности f(t)
263
справедлива формула обращения Медлина
= ~ f F(p)e*dp,
2л/ J
где интегрирование производится по любой прямой Rep = o, о>ст0-
Замечание: Во всякой точке /0, являющейся точкой разрыва
функции f(t\ правая часть формулы Меллина равна -(/(z0 —0) +
+/(G) + 0)).
Непосредственное применение формулы обращения часто затруд-
нительно, и обычно пользуются теоремами разложения, являющимися
следствиями из нее:
Первая теорема разложения. Если функция F(p) аналитич-
на в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки и ее
разложение в ряд по степеням \/р имеет вид
а
п = ()Р
то функция
00 ftt
/(?)= Е а»~’	пРи /<0)
и = 0 П-
является оригиналом, имеющим изображение F(p).
Вторая теорема разложения. Если изображение F(p)
является однозначной функцией и имеет лишь конечное число особых
точек pi, р2, рп, лежащих в конечной части полуплоскости
Re/?^a0, то
/(')= Е выч [e”'F(p); />*].
k- 1
Если, в частности, F(p)--^~, где Рт(р) и Qn(p) — многочлены
<МР)
степеней тип соответственно (п>ту р^ р2, ..., рг — корни
многочлена Qn(p) с кратностями, соответственно равными /ь /2, ...
..., /г (/1 + /2 + ••• + lr — л), то
/(')= £ lim ^—1((р-Рк)1кр(р)е'я).	(1)
ь = ilk-Idp1 k
Если все коэффициенты многочленов Рт(р) и Qn(p) — дейст-
вительные числа, то в правой части (1) полезно объединить слагаемые,
относящиеся к взаимно сопряженным комплексным корням; сумма
каждой пары таких членов равна удвоенной действительной части
одного из них.
В частном случае, когда все корни р2, ..., рп многочлена
Qn(p) простые, используя формулу для вычисления вычета от-
носительно полюса первого порядка (см. с. 232), получим
до= i	(2)
k-i Qn(Pk)
264
Р
Пример 4. Найти оригинал функции F(p)—-e р.
Р
 1 Первый способ. Разложение функции F(p) в окрестности точки
Р - со имеет вид
1 -1 1 а 1
F(p) = -e Р = - У (-1)"---= У (-1)'
Р Р^о ’ п\рп „tV ' п\р'
1
Поэтому, в соответствии с первой теоремой разложения, оригиналом
Л'	J п
для F(p) является функция /(г) = £ (— 1)**-—~ —	(/0—функция
п — О	\П •)
Бесселя первого рода с нулевым индексом).
Второй способ. Воспользуемся второй теоремой разложения.
Для этого надо найти вычет функции -ер'е~'11р относительно ее
Р
единственной особой точки р —О (это существенно особая точка),
I . е. коэффициент при 1/ разложения этой функции в ряд Лорана
в окрестности точки р = 0. Имеем
\>Р1еХ!р /	p2t2	pntn	\
Р = !+/>/ + -—- + ... + — -+... х
\	2!	п\	/
Выделив в произведении рядов члены, содержащие 1/р, найдем:
/(f) = выч
1
-epte~'!p\ О
Р

В этом примере решение, использующее первую теорему раз-
ложения, оказалось более простым, чем решение при помощи второй
1еоремы разложения.
/ X	1
Пример 5. Найти оригинал для функции F(p)=-^—2 ——.
с Воспользуемся второй теоремой разложения. Функция F(p) имеет
два полюса 3-го порядка p=±pz, и ее оригинал определяется
равенством
/ (/) = выч
ept

ept
Jp2+t
— 2Re( выч
ept

; -Р/ =
Имеем:
ept I 1 d1 (	ept \
,(p2W; P'J=2!(!™¥V/’_₽')3(/’2+P2)7=
I . d2 ( ep' \_1 . / t2ep' 6te* 12ep'
2 ^,ф2\(/’+₽07 2p™,\(/ + Pi)3 (p + PO4 + (/ + 0i)7
t2e<“' 3tepi' 3fpil
“ ~ 16P3! - 16P4 + Тбр\
265
(при дифференцировании мы воспользовались формулой Лейбница
для производной произведения). Выделив действительную часть этого
выражения и удвоив ее, получим
t2 sin Р/ З/cospr 3 sin Pr
^‘'= 8p 80“ + 805
Пример 6. Найти оригинал для функции F(p) = —-—-.
Знаменатель дроби здесь имеет только простые корни pit2 =
Рз,4— + *• Поэтому в соответствии с формулой (2) получаем
4	1	1/	еи е~и \
z -и е'-г'4+(Ч =
1 е' —е 1 1 е" — е " 1
-----------------------= - (sh t — sin t).
2	2	2 2i 2V	7
Этот пример можно было решить, исходя из разложения
1 1 1 \
Пользуясь первой теоремой разложения, найти оригиналы
для заданных функций.
13.88.	-cos-. 13.89. sin*-.
Р Р	Р
13.90.	—In—. 13.91. -е1/р2.
2р />-1	р
I
13.92*	. —г /’-1.
р-1
Пользуясь второй теоремой разложения или с помощью
разложения на элементарные дроби, найти оригиналы для
заданных функций:
13.93.	F(p} = -—£----. 13.94. F(p)=-------Р + 2 г----
р2 + 4р + 5	(р+ 1)(р-2)(р2 + 4)
4,5.
где Q(p)=(p-Pi)(p-P2) -(p~Pn) и все
числа рк попарно различны.
13.100.
13.97. F(p) = —.—2^---------г.
V 7 (p2+l)2(p2-4)
13.99.	F(p) = -^.
13.101.	F(p) = -r-!--.
vr/ p1-4p + 3
266
13.102.	=	13.103. F(p)= . Р—.
'	/>2(/>2-1)2	' 7 р4-5р2+4
р
13.104.	F(p) = T-i——г—
'' (р4-1)(р4 + 4)
§	3. Применения операционного исчисления
1. Решение линейных дифференциальных уравнений и систем урав-
нений с постоянными коэффициентами. Для того чтобы найти решение
\(г) линейного дифференциального уравнения с постоянными коэф-
фициентами
(1)
Х(П) + Л1Х(" п + ...+ялх=/(г)
(1де f(t)— оригинал), удовлетворяющее начальным условиям
х(0) = хо, х'(0) = х^,	?"-,)(0) = хГ,\	(2)
следует применить к обеим частям этого уравнения преобразование
Лапласа, т. е. от уравнения (1) с условиями (2) перейти к оператор-
ному уравнению
(pn + alpn'l + ... + an)X(p)FQ(p) = F(p),
1де Х(р)— изображение искомого решения, F(p)—изображение фун-
кции /(г), a Q(p) — некоторый многочлен, коэффициенты которого
зависят от начальных данных х0, х'о, х§~п и который тождест-
венно равен нулю, если xQ = х'() = ...= Xq -1’ = 0. Решив операторное
уравнение относительно Х(р):
^^тгг1
Цр)
(Р[р)=рп + а1рп~1 + ... + ап — характеристический многочлен данного
уравнения) и найдя оригинал для Х(р}, мы получим искомое
решение x(z). Если считать х0, x'Q, ..., х(оп-1 произвольными постоян-
ными, то найденное решение будет общим решением уравнения (1).
С овершенно аналогично решаются и системы линейных дифферен-
циальных уравнений с постоянными коэффициентами. Отличие будет
лишь в том, что вместо одного операторного уравнения мы получим
систему таких уравнений, которые будут линейными относительно
изображений искомых функций.
Пример 1. Найти общее решение уравнения х" + 2х'4-x = te~',
а также его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
\()=1, х'о = 2.
-с Пусть x(t) = X(p), тогда
x'(z)=/>X(/>)-x0,
х" (t)=р2Х(р) - рх0-%о-
По таблице изображений находим te ' = ------и операторное
(р+1)
уравнение имеет вид
(р2 + 2р+1)А'(р)-(р + 2)хо-ло=(-—jp-
267
Отсюда находим
/ х Р+2	1	'	1
х(р)~(7Т1рХо+(771рХо+(7нГ
Для отыскания оригинала в данном случае проще всего представить
Х(р) в следующем виде:
1Л/ \ (р+0+1	1	1	1 Л'о + %0 хо
(р)= (р+1)2 Хо+(7П)?Хо+(мГ=(7m)7+(7hF+pTi'
Пользуясь таблицей изображений, находим общее решение
x(r) = ^Pe ~4(x°+xo)te”‘ + -*°£
Обозначив х0 = Сь xo + xo = G» его можно записать в виде
= r + (Ci + C2/)e
Частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям
x(z) = ^Z3e~‘ + (1+Зг)ео
Пример 2. Проинтегрировать уравнение х" + х=/(г) при нулевых
начальных условиях, если
	г2 -t п	при	л °S'<2-
/(')=<	1 сч | £	1 при	Л
	0 к	при	t^n.
о Запишем f(t) с помощью единичной функции Хевисайда:
Л у у 2 / у 2 j	J
Пользуясь теоремой запаздывания, отсюда находим
л
—Р
1-2е 2
2
/('И Лр)=--------------------------1------•
л	р
Так как начальные условия нулевые, то, полагая х(г) = %(/?), приходим
к операторному уравнению	я
— р
1—2е 2 + е~пр
268
из которого после несложных преобразований находим
Гак как -т—----=
р2 р2+1
sin г, то, снова применяя теорему запаздывания,
находим
/ . 2 Л .	(	п\( п\ / тс\\
'(')=- I (г—Sin/)—2Т) I 1-- HI t-- 1—sin 11-- 11 +
+1) (z—л) ((t—л)—sin (t—л)),
г. e.
Г 2
п
2,
— sin t — 2cos/ — z + л) при
тс
4
—cos t
П
при
Т>тс.
при
Пример 3. Найти решение системы
х'+у = е\
х+у' = е*
при начальных условиях x(0) = xo, у(0)=уо-
Пусть	x(z) = A'(p),	y(t)=Y(p), тогда x'(t)=pX(p)-x0,
У'(ч^р¥(р)—У<ъ и получаем операторную систему
рХ(р)-х0 + У(/>) = -2-,
р-1
рУ(р)->’о + А'(р) = -2—.
р+1
Решая систему, найдем
\ р 1	, /’2+1
Y(р)=—г—,Уо+“Т“7_/ 22/>П2
р —1 р — 1 (р — 1)
и, следовательно,
*(0 = хо ch г—у0 sh r + rch г,
_у(г)=уос1п+(1 — x0)sh/ — Tsht. о
Найти общие решения дифференциальных уравнений:
13.105.	x" + 9x = cos3r. 13.106. х"-4х' + 4х = е2‘.
13.107.	хЧ-2х	13.108. х"+х’-2х = е1.
13.109.	x"+x' = e-tsinr.
269
Найти решения дифференциальных уравнений при задан-
ных начальных условиях:
13.110.	х"' + х = 0; х(0) = 0, х'(0)= —1, х"(0) = 2.
13.111.	х"+ 2х'+ х = е~‘; х(0)=1, х'(0) = 0.
13.112.	х" + Зх' = е~3'; х(0)=0, х'(0)=-1.
13.113.	x"-2x' + 2x = sinr; х(0) = 0, х'(0) = 1.
13.114.	x" + 4x = sin2z; х(0)=1, х'(0)=-2.
13.115.	x"-9x = shz; х(0)=-1, х'(0) = 3.
13.116.	х'" —х" = е'; х(0)=1, х'(0) = х"(0) = 0.
13.117.	xlv-x = shz; х(0) = х'(0) = х"(0) = 0, х"'(0)=1.
13.118.	х"' + 3х" + 3х' + х = ге“'; х(0) = х'(0) = х"(0) = 0.
Найти при нулевых начальных условиях решения следу-
ющих дифференциальных уравнений:
13.119.	х' + х =/(/), где /(z) = f ' ПрИ
J 17 v 7 [0 при t ^2.
v	v f cos t при 0< t < л,
13.120.	+	где /|,)-| „ п£и
13.121.	x'-x'-f^. где /(>)-{ ’ ' при
v 7 v 7 [0 при 1.
Г 1 при 0 < Z < 1,
13.122.	х” + x=/(z), где /(z)=< —1 при 1 <t<2,
I 0 при z^2.
13.123*	*. С помощью интеграла Дюамеля доказать сле-
дующее утверждение: если xY (z) — решение уравнения
х{п) + а1Х{п~ п +... + ллх = 1 при нулевых начальных условиях
(х(0) = х' (0) =... = х{п~ 1)(0) = 0),	то решением уравнения
+ ... + anx=f(t) при тех же начальных условиях
является функция
х (0=fх 1 (т)/(z -т)dx=(z)/(°)+f f (т)x i (z -т)dx
о	0
(/(Z) — произвольный оригинал).
Замечание. Результат задачи 13.123 позволяет находить
решение линейного дифференциального уравнения с постоянными
коэффициентами при нулевых начальных условиях, не находя изоб-
ражения правой части этого уравнения.
Пользуясь результатом задачи 13.123, найти решения
следующих дифференциальных уравнений:
13.124.	х'-х = ——.	13.125. х”-х = —1.
е' + З	1+е'
270
13.126.	х"-х' = ——. 13.127. х”+х = —!—.
14-е	2 + cosZ
13.128.	х" + х = е ~t2.
Найти общие решения систем дифференциальных ура-
внений
13.129.	x"+/ = Z, 13.130. x"+y' = shz —sinz,
у" — х' = 0.	j/' + x' = ch z — cos z.
Найти решения систем дифференциальных уравнений при
заданных начальных условиях.
13.131.	х'4-^=0,	, ч ,	( .
4-0;	Я»)--!-
13.132.	2x"+x-y=-3sinf,
x+j'= —sin t;
x(0) = 0, x'(0)=l, y(0) = 0.
13.133.	x"-y' = 0,
x—y" = 2sin z;
x(0)=-l, x'(0)=y(0)=y'(0)= 1.
13.134.	x"-/ = 0,
x'— y" = 2cos z;
x(0)=y'(0) = 0, x'(0)=y (0) = 2.
13.135.	x"-y' = e\
xf+y"-y = 0;
x(0)=l, y(0)= —1, x'(0)=y'(0) = 0.
13.136.	x"+y' = 2sinz;
y" + z' = 2cos Z,
z"-x = 0;
x(0) = z(0)=y'(0) = 0, x'(0)=^(0)=-l, z'(0)=l.
Проинтегрировать при нулевых начальных условиях си-
стемы дифференциальных уравнений:
13.137.	x"-y'=/i(z), г f 1 при O^zcrc,
у+„Л (,). теЛ<'>-Ьпр»
Z
тс — t
0
при 0^z<n/2,
при n/2^Z<zu,
при z л.
271
13.138. х"-у=О,
где f(t)=
1 при 0^Z<7t,
— 1 при л=$/<2л,
О при />2л.
2.	Решение линейных интегральных и интегро-дифференциальных
уравнений. Используя теорему свертывания, можно легко найти
изображения решений интегральных уравнений Вольтерра 1-го и 2-го
рода (а в простейших случаях по найденному изображению найти
и само решение) в том случае, когда ядром в соответствующем
уравнении служит функция вида K(t — т), где K(t) — оригинал. Этот
метод применим и к интегро-дифференциальным уравнениям с таким
же ядром.
Пример 4. Найти решение уравнения Вольтерра 1-го рода
J cos (г — т) х (т) dx — t cos t.
о
с Пусть х(г) = У(р); так как
р	р2-1
cos,V+r 'cos'Up2+i)2’
f cos(z—т) x (т) ch
(по теореме свертывания), то приходим к операторному уравнению
рх(р)_ р2-\
р2+1 (р2+1)2’
откуда
у, у_ р2-< 1р <
(р) р(р2+1) р2+1 р
Таким образом, х (г) = 2 cos t— 1. о
Пример 5. Найти решение уравнения	х" + х =
t
= sin t + f sin (/ — т) x (t) dx при начальных условиях x (0) = 0, x' (0) — 1.
Полагая x(t)r±X(p), имеем
х"(г)=р2У(р)-1, sinz=p^,
jsin(z-T)x(t)A=4^.
Получаем операторное уравнение
((P'+l)>->)X(p)-p1 + 2.
Отсюда находим Х(р)=\/р2 и х (/) = /. с*
272
Решить следующие интегральные и интегро-дифференци-
1льныс уравнения:
13.139.	fch(z — т)х(т)б/т = с11 z — cost.
13.140.	3f sh(z — t)x(t)6/t = x(z) — e
13.141.	e' xsin(z —t)x(t) Jt = x" —x' + e'(l —cosz);
x(0) = x'(0)= 1.
13.142.	sh(z — t)x(t)dT = x" — x' + ^zshz; x(0)=l, x'(0) = 0.
о
Проинтегрировать уравнения Абеля:
13.144.	0«Sa<l, ₽>-l.
(r-t)'
3.	Интегрирование линейных уравнений в частных производных.
Применение операционных методов для интегрирования линейных
уравнений в частных производных рассмотрим на примере.
Пример 6. Найти решение уравнения
d2z
-—-—F-z = sinx cos у,
ex су	'
удовлетворяющее условиям z(0, y) = siny, z(x, 0) = 0 (хе [0, -I-oo), ye
e [0, +oo)).
<i Переходим к операторному уравнению относительно аргумента
у, полагая z (х, у) = Z (х, р). Отсюда
^-=pZ(x, р)—:(х, 0)=pZ(x, р).
Су
2 z д
—^—(pZ(x, p))=pZ’x(x, р)
су сх сх
(по теореме о дифференцировании операторных соотношений по
параметру). Получаем операторное уравнение:
так как cosy =
р2+ 1
273
Интегрируя полученное дифференциальное уравнение по аргументу
х, находим
Z (х, р) = С, (р) е ’ Р +	sin * - ( cos *•
В силу начального условия z(x, 0) = 0 и теоремы о связи начального
значения оригинала и конечного значения изображения мы должны
иметь lim pZ (х, р) = z (х, 0) = 0, откуда находим lim р€\(р) = 0, при-
чем если Сх(р) = (р(у), то <р(0) = 0 (в силу той же теоремы). Запишем
теперь Z (х, р) в следующем виде:
.	.	. .1 ~ р	1 (р2 + 1) + (р2 — 1)
Z^p^pC^-e +(pTIpS.nx-- (/?2 + i)2 cosx.
Но так как
pCi(p)=<p'(y), -е ', = /0(2х/ху)
Р
(см. решение примера 4 из § 2),
р .1 .	р2-'
(TTlr=2w’ (PW=ycosy'
то находим:
У
Г	________ ]	1
z (х, j)= I <p/(z)/0(2x/x(j’ — г)) +	sin j’sinx —-(sin>’+>’cos^)cosx =
о
= j <p' (z) Io (2y/x(y — t)) dt — ~ sin у cos x — - у cos (x+
о
(первое слагаемое получено по теореме свертывания оригиналов).
Так как /о(0)=1, то, полагая х = 0, находим:
‘ ч 1 1 z . 1 1
(p'[t)dt —-sinj>—-,усо8^ = ф(у) — -sinj> — -.у cos j = sin у
о
3	1
(по начальным условиям); поэтому	ф( y) = -sinj/ + -y cos>\
1
ф'(у)г=2со8>>—-y’smjy, и окончательно находим
У
z (х, д') = J^2 cos t—-1 sin z) IQ (2л/х(>2 —z)) dt —
о
1 •	1	/ X
— - Sin J cos x—- J, cos (x+y).

274
Проинтегрировать следующие линейные уравнения в част-
ных производных:
Л 7 Л 7
13.145.	—-----hz = cosx; z(0,	4(0,j) = 0.
дх* ду
13.146.	^-f-^-a2z=/(x); z(0, у)=-у, z'x(0, у) = 0.
13.147*	*. Уравнения длинной линии в случае отсутствия
потерь (линейное сопротивление R и утечка G равны нулю)
имеют вид:
du(x, t)	^di(x,	t)
dx	dt
8i(x’ 0_	c^u(x,	t)
dx	dt
где z/(x, f)—напряжение, i(x, f)—ток в точках линии в момент
времени /, L — индуктивность и С—емкость, отнесенные
к единице длины. Найти решения уравнений (3), удовлет-
воряющие начальным условиям
u(x, 0) = z(x, 0) = 0	(4)
и граничному условию
и (0, г) = q (z) = Е sin coz.
13.148.	В уравнениях длинной линии
ox	dt '	7
, , , , <5’
'.М-с^-аф
дх	dt 1
в случае линии без искажений, величины R, L, С и G связаны
R G „
соотношениями —= v. Наити решения уравнении (5), удов-
летворяющие начальным условиям (4) и граничному условию
и(0, z) = ?(0 = £(n(0-n(<-т)), т>0.
4. Вычисление несобственных интегралов. Один из способов
+ 00
вычисления несобственных интегралов вида f f (t) dt основан на
о
применении теоремы операционного исчисления о связи «конечного»
значения оригинала и «начального» значения изображения: если
ф(г) = Ф(г) и существует конечный предел lim ф(/) = ф(+оо), то
lim ф(/) = ф(+оо)= lim рФ(р) (см. задачу 13.15).
г-» + оо	р-»0
275
Из этой теоремы и соотношения
f(t)dt=^F(p) (f(t) = F(p))
О
при условии сходимости интеграла f f(t)dt следует соотношение
о
f/(/)tZ/ = F(O).	(6)
о
+ 00
Г sin Г
интеграл -------dt.
о
теореме интегрирования изображения
dq тс
Пример 7. Вычислить
1
Так как г=—-----, то по
Р +1
имеем
оо
sin t f
t J q2+1 2
p
поэтому по формуле (1) находим
о
Пусть функции
+ 00
/(/, и) и Ф(Г)= f	u)du
о
являются оригиналами и f (t, и)^ F(p, и). Тогда, применяя теорему
об интегрировании по параметру, будем иметь
Фf <?(u)F(py u)du.
О
Поэтому, если интеграл, определяющий 'Р(р), можно вычислить,
+ оо
то для отыскания интеграла f ср (u)f (t, и) du достаточно найти
о
оригинал для Т(р), т. е.
+ ОО	+ 00
f Ф («)/(Л u)du= f ф («) F(р, и) du.
О	о
(7)
Пример 8. Вычислить интеграл
cos tu du
а2 + м2 ’
о
276
•з Имеем cos tu = ~----Поэтому (по
/г+ w
1-00	+ 00
f costudu Г pdu	p
J a2 + w2 * J (p2 + w2)(a2 + w2) p2 — a2
о	о
формуле (7))
du du
a2 + u2 p2 + w2
о
p л/1 1\ я 1
p2 — a2 2\a p) 2a p4-a
Ho ----=-e at. Отсюда
p + a
f costudu n
--------= — e~*t
J a2 + w2 2a
о
Еще один способ вычисления несобственных интегралов при
помощи операционного исчисления дает
Теорема Парсеваля. Если J\ (/) =	(р), f2 (t) = F2 (p) и фун-
кции Fi(p) и F2(p) аналитичны при Rep>0, то
I /i(«)F2(u)</u= j	(8)
О	о
При этом из сходимости одного из этих интегралов следует
сходимость другого ’).
Г e~a“sin [За
Пример 9. Вычислить | -------du, a>0.
J и
р °	1
о Имеем е atsin0/ =-=——г, п(г) = -. Полагая /1(м) = е a“sin0w,
(p + a)2 + 02	р
1	0
F2(w)=-, имеем Л(г)=-----—f2 (v) = т| (г). Поэтому по фор-
и	(v + a)2 + 02
муле (8)
е~аи sin 0u du f 0r|(p)/Zr Г dv
и J (v + a)2 + 02	% (u + a)2 + 02
ooo
(г|(м)=1, так как г>0). Но
ft Г dv	и + а+ооя	а 0
0	/~"7 -Yi---c-i = arctg-— =-—arctg-=arctg~.
J (и + а)2 + 02	0 о 2	0 а
о
’)Если для одной из функций Fi(p) или F2(p) условие
аналитичности выполнено лишь при Rep>0, то сходимость одного
из интегралов может не иметь места.
277
Таким образом,
+ 00
f е '“"sin $udu Р
-----------------= arctg-,
J и--------------а
о
Вычислить несобственные
лу (6):
интегралы, используя
форму-
13.149.
+ 00
e~at — e-ptcos yt
------------------dt,
J	t
о
a, p>0.
13.150*. f ee'^Xntdt, a>0, p>-l.
о
лу (7):
Вычислить несобственные интегралы, используя форму-
.	. I wsin tu du „ ~ л г°°	... 2 ,
13.151.	—-------13.152. f е du.
J w2 + a2	'
о
Вычислить несобственные интегралы, используя
Парсеваля
(формула (8)):
теорему
13.153.
p-™_p -0“
----7=--du,
Ju
13.154.
j sin aw —sin pw
---------—-----du,
J Uyju
о
13.155*.
р -	2 _ р - 0* 2
-------~2-----dx,
о
о
5. Суммирование рядов. Методы операционного исчисления могут
быть использованы при суммировании числовых и функциональных
рядов.
Пример 10. Пусть f(t) = F(p) (область аналитичности F(p\.
00
Rep^AJ. Доказать, что сумма S ряда ^(±l)"F(n) может быть
п = к
найдена по формуле
4- оо
5= +1 ‘	.
' J 1+е~‘
о
(9)
278
+ oo	(+lVe-kt ™
По условию F(p) = f e~ptf(t)dt. Имеем:	X (±1)"е "*•
О	1+е	и = к
11оэтому
(±1)‘ [ е	f/(r) Z (±1)"е-'dt=
J	J	л = к
О	О
= £(+!)” f e-Mf(i)dt=Y (±l)"f(4 о
и = k	О	л — к
Используя формулу (9), найти суммы следующих чис-
ловых рядов:
13.156**. f	13.157**. f arctg^-
n=1in2 —-I	"=1 П
\ 4/
13.158*. У --—--------------r. 13.159*. У arctg-^— --------.
„ = 1(и +!)(" +2w + 2)	nT\ & n1 + Зи+1
Пример 11. Пусть /(/) = £(/?) (область аналитичности F(p)\
Rep^O). Пусть, кроме того, Ф(г, х)—производящая функция бес-
конечной последовательности функций (р„(х), т. е.
Ф(/, х)= £ <р„(х)гл.
л = 0
Доказать, что сумма S(x) сходящегося на [а, Л] функционального
ряда £ F(z?)(pn(x) может быть найдена по формуле
л = 0
S(x)= f Ф(еЛ	(10)
о
<i Имеем:
f Ф(г‘'. x)f(t)dt= f /(z)E <p„(.v)e_"'A =
О	О л = 0
= У <Р»(^) f e~"‘f(t)dt= У <p„(x)F(n) = S(x). о
л - О	О	л = О
Используя формулу (10), с помощью подходящей произ-
водящей функции просуммировать следующие ряды:
ос	2л + 1
ша>*- „У.Iг
279
13.161*. f
n = 1
1 З...(2л— 1)
2’4...2«
л'2л+ 1
2и+Г
- ~	v- sin nx	v
13.162**. У ------, xe(O, я).
n = i n
13.163*. f	xe(o, 4
n=l	n
6. Применение операционного исчисления при расчете электриче-
ских цепей. Методы операционного исчисления широко исполь-
зуются при расчетах процессов, протекающих в электрических
цепях. Пусть /(/) и м(г) — соответственно ток и напряжение в
цепи. Применение операторного метода основано на справедли-
вости законов Кирхгофа для операторных тока /(/?) = /(/) и на-
пряжения (/(p) = w(r). На основании закона Ома для основных
элементов электрической цепи могут быть записаны следующие
соотношения:
для сопротивления Л,
для индуктивности L и
t
о
для емкости С. Переходя к изображениям, отсюда получаем
UR(p) = JU(p).
иь(р)=Ри(Р)-и(о),
Uc(p)^l(p)+~"c(0).
рС Р
Используя закон Ома в операторной форме, для произвольного
участка цепи можем записать
U(p) = Z(p)l(p),	(И)
где Z(p) — операторное сопротивление указанного участка цепи. Для
участков с сопротивлением R, индуктивностью L или емкостью
С при нулевых начальных условиях операторное сопротивление
имеет, соответственно, вид:
ZR(p]=R, ZL(p) = Lp, Zc(p) = ~.
Ср
При ненулевых начальных условиях к имеющимся в цепи источникам
э. д. с. добавляются дополнительные источники. Величины э. д. с.
дополнительных источников определяются запасами энергии в ин-
дуктивности и емкости и равны в операторном виде, соответственно,
Li (0) и — ис (0).
Р
280
Соотношение (11) является основным для расчетов заданного
участка цепи в операторной форме.
Пример 12. Найти ток i(t) в цепи, изображенной на рисунке
101 при подключении постоянной э. д. с.
c(t) = E. Начальные условия нулевые,
о Так как e(t)=E=E!p, то, используя
соотношение (11), находим:
Z(p)/(p) = E/p,
где операторное сопротивление
цепи, изображенной на рис. 101,
вид
(12)
Z(p)
имеет
Z(p)-ZL(p) + Zc(p) + ZK(p)-Lp + ——НЯ,
Ср
в силу нулевых начальных условий. Под-
ставляя полученное выражение для
(13)
Е Е Е
I{p}~pZ(p)~	~	}~L / R
F W Lp2 + Rp + —	Ь + —
1
2 / 1	Я2"?
+ \1с-4£Ч
Для отыскания оригинала i(t) следует рассмотреть три случая
в зависимости от вида корней квадратного трехчлена в правой
части выражения (13).
Пусть
1 R2
LC>4L2'
тогда по формуле 10 таблицы изображений
находим
<(')=
/ 1 R2
\JLC~4L2
. Л R*
Sin /-------т
\ LC 4L2
Пусть
таблицы:
1 R2
Tc~Tl2'
тогда воспользуемся формулой 3 той же
гг R
/ v Е —'
z(z) = — te 2L .
1 R2
Наконец, если —<----
LC 4L2
то комбинируя формулы 8 и 3, находим:
*(')=
1
LC
R
е 2L sh
Е
13.164. Найти ток i(t) в
чены сопротивление R и
постоянной э. д. с. е(/) = Е,
ЯС-цепи (последовательно вклю-
емкость С) при подключении
если мс(0) = ио-
281
13.165.	Найти ток i(t) в 7?£-цепи (последовательно вклю-
чены сопротивление R и индуктивность L) при подключении
постоянной э. д. с. e(t) = E.
13.166.	Найти ток i(t) в цепи, изображенной на рис. 101,
при подключении постоянной э. д. с. e(t) = E, если wc(0) = wo-
Рис. 104.
Рис. 105.
Для изображенных на рис. 102—105 электрических цепей
определить напряжение на указанном элементе цепи при
подключении постоянной э. д. с. e(t) = E (там, где необходимо,
положить wc(0)=0):
13.167.	Рис. 102. wL(z) = ? 13.168. Рис. 103. uL(t) = l
13.169.	Рис. 104. ^*(4 = ? 13.170. Рис. 105. uc(t) = '?
При расчете электрических цепей, когда воздействие на схему пред-
ставляет собой функцию произвольного вида, полезно использовать ин-
теграл Дюамеля (см. § 1, свойство 11 преобразования Лапласа). Сна-
чала определяется переходная характеристика цепи—закон изменения
напряжения или тока при подаче на вход схемы единичного воздействия
е(г) = ц(г). В этом случае, из соотношения (11) находим операторный ток
Если теперь
операторный ток
Z(p) — операторное сопротивление всей цепи.
на вход схемы подается произвольное е(г), то
1(р) имеет вид:
Z(P)
282
। де U(p) = e(t). Применяя формулу Дюамеля, окончательно находим:
((/) = e(O)z1(f) + fe'(T)<i (/-т)Л =
О
= e(O)ii(z) + fZ(z-T)zi(t)dT = e(O)z1(z)W*z1. (14)
О
Пример 13. Найти ток в Я£-цепи при подключении э. д. с.
<з Сначала определяем переходную характеристику цепи, в данном
случае ток /Дг), возникающий в Л£-цепи при подключении э. д. с.
( (z) = T|(z). Имеем (см. ответ к задаче 13.165)
1 /	--Л
'i(')=d L )•
К \	у
Для определения тока i(t) воспользуемся формулой (14). Пред-
варительно вычислим второе слагаемое:
о
13.171.	Найти ток в ЯЛ-цепи при включении синусо-
идальной э. д. с. e(r) = £sin(or.
13.172.	Найти ток в ЯС-цепи, в которую при нулевых
начальных условиях подключена э. д. с. е (г) = Ete CR .
13.173.	К электрическому контуру, изображенному на
л
---г /1 R2\
рис. 101, подключена э. д. с. вида e(t) = Et2e 2L (
Найти ток в контуре (начальные условия нулевые).
283
§ 4. Дискретное преобразование Лапласа
и его применение
1. Z-преобразование и дискретное преобразование Лапласа. Z-
преобразованием числовой (действительной или комплексной) бес-
конечной последовательности (ап) называется функция комплексной
переменной F(z), определяемая при \z\ > R = Jirn	рядом Лорана
* а
(1)
и аналитически продолженная в круг \z | < R. Если последовательность
(ап) удовлетворяет условию \ап\<Ме*п (М > 0, а—постоянные), то
функция F(z) будет аналитической в области |z| >е“, т. е. вне
круга с центром в нулевой точке и радиусом R = ea.
Формула (1) дает разложение F(z) в ряд Лорана в окрестности
бесконечно удаленной точки (являющейся правильной точкой F(z)),
поэтому для восстановления последовательности (ап) по ее Z-
преобразованию надо F(z) любым способом разложить в ряд
Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки; в частности,
можно воспользоваться формулой для определения коэффициентов
этого разложения (см. формулу (2) § 5 гл. 12)
= ГF(z)z”~'dz	(2)
С
(С—контур, внутри которого лежат все особые точки функции F(z)’)«
Пример 1. Восстановить (ап) по ее Z-преобразованию
(z-a)(z-b)
<] Имеем:
1 1 ( 1 1
(z — a)(z—b) a — b\z — a z — b)
1	/1	1 \	1	* an — bn
(e“6)Zl]_" a~bn = 0 z" + l
\ z Z J
ап~1—Ьп~1
Таким образом, an =--------- при n 1, a0 - 0. о
a — b
Введем вместо последовательности (a„) решетчатую функцию
/(л), полагая a„=f (п). По-прежнему /(л) удовлетворяет условию
|/(л)| < Мелп, и примем дополнительно, что f (л) = 0 при л <0;
такие решетчатые функции будем называть дискретным оригиналом.
Дискретное преобразование Лапласа функции f (п) мы получим, если
в Z-преобразовании положим z = eq:
^•(9)=	(3)
л = О
9 Формула (2) является фактически формулой обращения Z-
преобразования.
284
Связь между дискретным оригиналом f(n) и его изображением F*(q)
обозначают символом /(«)—£*(<?) (иногда пишут F*(q) = D (/'(«)]).
Изображение F*(q)—функция комплексной переменной с периодом
2 л, при этом в основной полосе — п < Im q л она аналитична при
Reg > а. Таким образом, все ее особые точки лежат в этой полосе
слева от прямой Re^ = a.
Из формулы (3) вытекает следующая формула обращения
дискретного преобразования Лапласа:
F*(q)enq dq.
Пример 2. f(n) = an, найти F'(q).
’ 00	_	1 eq
<i Имеем F* (q) = У an e nq =-— =------
„ = o	}~ae 4 e<l~a
eq
Полагая a=l, получим 1" = и («)—‘--. о
(4)
eq
а потому я" ~-----.
eq — a
Свойства дискретного преобразования Лапласа (всюду ниже
предполагается fj(n) —' FJ(q )):
1.	Линейность.
I	t W
J=t	i=l
2.	Формула смещения.
eanf(n)^F*(q — a).
3.	Формулы запаздывания и опережения.
a)	f (n-k)^e~kqF'(q\
б)	/(«+к)г-е‘’(У (?)- £	).
\	г = 0	/
4.	Дифференцирование по параметру.
df(n, х) dF*(q, х)
Если f (п, x)^F*(q, л), то -;-—•----.
сх	сх
5.	Дифференцирование и интегрирование из-
ображения.
t	> dk
а) л‘/(й)-(-1)‘ — F’(q),
dq
00
4
6.	Изображение конечных разностей оригинала.
£ (е“-	Д'/(0).
г = 0
7.	Изображение конечных сумм оригинала. Если
к=0	е ~1
285
8.	Умножение изображений. Если
/1(п)*/2(«)= Е /1(Г)/2 («-»•)
г = 0
(это — так называемая «свертка» оригиналов), то
Л (ч) Рг(я)-
Приведем таблицу изображений основных решетчатых
функций:
№	/(«)	F\q)
1	(С, и = 0, f (и) — Л 7	(0, и/0	С
2	[1, п^О, n(»)=sA Л (0, п < 0	еч еч—\
3	ап	eq еч — а
4	0ап	eq
		eq-ea
5		eq
		(e’-l)2
6	п2	е’(е«+1) (e’-l)3
7	nl2i п(п-\)	e’
	2!	2	(e’-1)3
8	и1*1 п(п—	— &+ 1)	e"
	А! “	к'.	~С”	(e’-l)‘+1
9	sin Р«	e’sinp
		e2q — 2e*cosP+ 1
10	cospH	eq(eq — cosp)
		e2q — 2e4cosp+ 1
11	shpn	e^shp
		e 2q — 2e9chp+ 1
12	ch рл	eq(eq — chp)
		e2“-2e’ch0+ 1
13	nlk] 	аап — Скрап к\	"	
		(е’-е“)‘+1
13'	nlki -тга=с'а" к\	a‘e’
		(e«-a)‘+1
286
ПримерЗ. Найти изображение функции f(n) = еа" sin рлт.
। Применяем теорему смещения (свойство 2) и, используя формулу
ч таблицы изображений, находим ea"sinpn-F(^ — a) =
e4-asinp	e4+asinp
——г--------------= —:-------------Z-. В частности,
6>2(^a)-2e4"acosP+l e2q — 2eq + acosP + e2a
.	ae’sinB
an sin pn = e n na sin pn —* — ------. t>
e2*-2ae«cosP + fl2
Найти изображения следующих решетчатых функций:
13.174	. /(«) = ea"cosp«.	13.175. f(n) = ап cos $п.
13.176	. /(и) = л2еап.	13.177. f(n) = n2an.
13.178	*. /(и)=Ц^=с!-..
К\
13.179	*. /(и) = Ц^ = с; + т. 13.180**. /(п)=^.
kl	п
П р и м е р 4. Найти решетчатую функцию f(n) по ее изображению
eq
1 (9)“(е2«-9)2'
-а Первый способ. Разложим на простейшие дроби функцию
1
(е2«-9)2’
положив eq = z:
1	1 ( 1	1 А 1 / 1	1 \
(z2—9)2 = 36 V(z-3)2+(z+3)27 108 \z--3-z + З/
Таким образом,
e2q 1 / 3eq 3eq eq eq \
(е2’-9)2-Т08 \(е’-3)2 + (4'’ + 3)2_е’-3 + е’ + 3/
Но по формулам 3 и 13' таблицы изображений имеем:
------(-зу,
еч + 3
3eq
--------^-п(-3)п.
(eq + 3)2
--------3я,
eq-3
3eq
-------;-иЗя,
(е’-З)2
Отсюда после элементарных преобразований находим:
е’ 3"’3(и-1)(1-(-1)")
(е2’-9)2 :	4	'
Второй способ. Переходим к Z-преобразованию (полагая e’ = z):
е“	z
(e2,l-9)2~(z2-9)2'
теорему о вычетах,
Используя формулу обращения (2) и применяя
получаем
2"’,^=выч
с
zn
(z2-9)2;
zn
-3
287
Но
z" 1	. d ( z" \	.	/ziz"’1 2zn \
; 3 = lim — I ------— | = lim I --— ------ст 1 =
(z2 —9)2 J 2*^3 dz \(z + 3)2/ 2—3 \Jz + 3)2 (z+3)3/
_(«-!)• 3й1
“	4~
Аналогично,
Суммируя эти вычеты, приходим к прежнему результату. [>
Найти решетчатые функции по их изображениям
m8L ^^ = (^1^4)-
13.182. F*(q) = ^-V
егч
13Л83-
п- 1
Пример 5. Найти сумму S„ = £ cos kfi.
к = 0
о Используем свойство 7 дискретного преобразования Лапласа:
, , g*(g*~cosp)
е2“ — 2e’cos 0+ 1
= F *(<?),
поэтому
5	e^e’-cosP)
е’—1 (e’—l)(e2’ —2e’cosP+1)
Разлагая на простейшие множители дробь
еч — cos Р
(е9— 1)(е2</ —2e9cos р+ 1)
и добавляя множитель находим
eq(eq — cosp)	1/ eq	eq(eq — 2cosp— 1)
(e«-l)(e2«-2e<osp+l)~2	1 ~ e2^-2e4os P+1
eq
Ho -----“'nW (формула 2 таблицы изображений). Следовательно,
eq— 1
eq(eq — 2cos P— 1) eq(eq—cosp) eq(l+cosp)
e2q — 2e9cos p+ 1 e2q — 2e<?cos P+ 1 e2q — 2eqcos p+ 1
n 1+cosp . л
r-cosP^-----------sin Рл.
sin p
288
I лк им образом,
(q(и) — cos0n + ctg |sinPn) =
Р - 2л—1
sin —F sin----р
2	2 н
=
2 sin -
2
. «Р «~1П
sin — cos-р
2	2
1
sm-
2
(Ol). £>
Найти следующие суммы:
п - 1 С И И - 1
13-184. £7=ПТ
к = г г\ к=г
п — 1
13.185.	2ksinJtp;
к = 0
13.186*	. ££2(и-£)2.
к= 1
Пример 6. Найти сумму степенного ряда
, ч ~ /	П71 ИЛ \	г	л Г с.
S(z) = £ I cos—+sin— r=l+72z + f2-f4-72r5-f6 + ...
л = 0\
। Данный ряд сходится при 111 < 1, так как lim ^/| ап | = 1. Заменяя
на e~q, приходим к дискретному изображению функции /(и) =
ил . ил
cos 1- sin —:
4	4
. .	® /	ил	ил\
F* (q) = £ I cos-h sin—je nq.
л = 0\	4	4/
ип
COS — т—
4
/ л\
с4 eq — cos - I
\	4 J	ил
---------------; sin —
?	л	4
e2q — 2eqcos-+ 1
4
л
eq sin -
4
э	я
e2q — 2egcos—h 1
4
(см. формулы 9 и 10 таблицы изображений).
Поэтому
ИЛ ИЛ
/(и) = cos — + sin — -
/	72А	72
еЧ eq-^— И eq^—
\	2 /	2
е2«
Отсюда, возвращаясь к
аргументу Z, находим
1
$(') =---------г--------
10 Специальные разделы мат. анализа. Ч. 2
289
Найти суммы следующих степенных рядов:
13.187.	У sin^r". 13.188. У fcos^ — sin^\".
п^о 6	nt-o\ 3	3/
2.	Решение разностных уравнений. Пусть дано уравнение
апх(п + к) + ахх(п + к — 1) + ... + якх(и) = ф(и)	(5)
(л0, «ь ••••> ак — постоянные) с заданными (или произвольными)
начальными условиями: x(0) = xo, х(1) = хь ..., х(к— 1) = хк_Р Правая
часть уравнения (5) — решетчатая функция ф(и)— предполагается
оригиналом.
Полагая х(п)~ X*(q) и применяя формулу опережения (свойство
3, 6)), составляем операторное уравнение (оно линейно относительно
X* (#)) и определяем из него X* (q). Затем одним из способов,
изложенных в п. 1, по изображению найдем искомое решение х(п).
Если исходное уравнение было задано не через последовательные
значения неизвестной функции, а через ее конечные разности, т. е.
имеет вид
60ЛкХ («) + /?! Дк~	... + />кх(и) = ф(и),	(6)
то вследствие громоздкости формул для отыскания изображений
конечных разностей решетчатых функций (п. 1, свойство 6) его
следует предварительно преобразовать к виду (5) при помощи
известных формул, связывающих конечные разности функции с ее
последовательными значениями:
Лгх(и) = х(и + г) —С/х^ + г — 1) + С,х(и + г—2)+... + (— 1)гх(и). (7)
Аналогично решаются и системы разностных уравнений.
Пример 7. Решить уравнение хи + 2 — хи+1 + х„ = 0, х0 = 1, хг — 2.
о Полагаем xn^X*(q). По формуле опережения находим:
+1 еч (X* (?) - х0)=eq (X* (?) -1)=е’У* (?) - е',
x„ + 2-e2’(X*(?)-Xo-x1e~’)=e2,(T*(?)-l-2e’’) = 6’2‘'X*(?)-e2,,--2e‘'.
Внося эти выражения в исходное уравнение, приходим к операторному
уравнению
(е2’-е’+1)%*(?) = е2’+е’.
Таким образом,
, ,	е2’+<?«
п 1 л ^/3	. ,
Так как cos- = -, sin= ——, то X*(q) запишем в следующем виде:
„	1	п
e2q — 2eq—1-1	e2q — 2e9cos-+ 1
2	3
290
Отсюда по формулам 10 и 11 таблицы изображений п. 1 находим
пп г- пп 2п -I-1
хп = cos-K/3sin — = 2sin----л. о
3 V 3	6
п— 1
Замечание. Записать ответ в форме х„ = 2 cos -у- л нельзя,
так как в этом случае получим х0 = 0 # 1 (по условию равенства
нулю решетчатой функции от отрицательного аргумента).
Пример 8. Решить уравнение хп + 2 ~4хп +1 + 4х„ = 3" при произ-
вольных начальных условиях х0,
Полагая xn^X*(q) и используя приведенные при решении примера
1 изображения
,v„+1 ^eqX*(q)-xoe'1, xn + 2^e2‘lX*(q)-xoe2‘l-xle‘l,
приходим к операторному уравнению
(e2q-4eq + 4)X*{q)-xoe2q-{x1-4xo)eq = -^—-
eq — 3
еч \
поскольку по формуле 3 таблицы п. 1 3"—’ ——- I. Отсюда находим
X^W^2
е 1 е
Z^p+p_3)(ei-2)2-
Разлагая дробь ———— на простейшие, имеем
e2q
X*(q) = x0^_^2
eq eq ( eq
-2)2-e’-2+e’-3'
Но
еч
-----^2пч
eq — 2
2e2q
--------г^(лН-1)2л 1
(e«-2)2	7
из предыдущего по формуле опереже-
еч
------г--Зл,
е«-3
2eq
------г ~п  2Л,
(е’-2)2
(последнее соотношение следует
ния). Переходя от X*(q) к оригиналу, находим:
и+1	х,—4х0—1
,¥п = Хо—-2" + 1+ — ----л-2" —2" + 3" =
2
^|^^л-2" + (хо-1)2" + 3" = (С1 + С2п)2" + 3".
Пример 9. Решить систему разностных уравнений
Х„ + 2-Уп = ^
при начальных условиях х0=^0=1, х^^/2, _У1=0.
Полагаем xn^X*(q), ynr^Y*(q) и по формуле опережения имеем:
.Y„ + 2-e2’(X-(9)-x0-x1e-’) = e2’X-(9)-e2’-4/2e’,
v» + 2-'t>2''(>,’(^)-J'o->'iC' ' ‘!) = e2‘i Y‘(q)-e2q.
291
Получаем систему операторных уравнений
е2 *’Х*(<7)- У(9)=е2’ + ч/2е’,
е2’К*(7) + У(?) = е2'1.
Так как е4’+1 =(е2’ + У2е’+1) (е2’-х/2е’+1), то решение этой
системы запишется в виде
е
e2q
Применяя формулу опережения, имеем:
л
eq eq sin-
4
2--------------
e2q — 2e*cos-+ 1
4
^2 sin (п +1) ~,
е
(it \	it
eq — cos- — e4sin-
4/	4
я
e2q — 2e4cos—Ь1
4
nit	nn r	(и-H
t~ cos---sin — = x/2 cos----
4	4	v 4
Следовательно,
2 sin-----
4
2 cos ---
4
Решить следующие линейные разностные уравнения:
13Л89. хл + 2 — Зхл+1 — 10хп = 0; х0 = 3, xl — — 1.
13.190.	хл+2 + хл+1+х„ = 0; х0=1, х1=-1.
13.191.	хл+2 —ч/Зхл + 1+х„ = 0; х0=|, х,=^.
13.192.	хп + 2 — Зхл+! +2х„ = 0; начальные условия произ-
вольные.
13.193.	хп+3 —Зхп + 24-Зхи + 1—х„ = 2"; хо = Хх=0, х2 = 1-
13.194.	хп+2 — 5хп +1 + (ухп = 2 -4"; начальные условия произ-
вольные.
Решить системы линейных разностных уравнений:
13.195. xn+i-x„+j„ = 3",
уи+1 + 2хи=-Зл; х0 = 3, ^о = 0,
13.196.	5хи + 1 — 12хл-у„ = 0,
5^я+1~6хй~13уя = 0;
начальные условия произвольные.
ОТВЕТЫ
ГЛАВА 8
8	п	1	14	а3,	3
8.2.	8.3.	8.4. -In—. 8.5. — я+4.8.6. -я. 8.7. у=х, у=х+3,
3	6	211	4 '	'	2
v—1, х = 2. 8.8. у = х2, у = 2 — х2, х= + 1. 8.9. х+у = 2, x — j4—y2,
г = 0, у = 2. 8.10. y=Jx, y = j2—x2, х = 0, х=1.
8.11. frfxf/(x, y)dy = \dy\f(x, y)dx.
12	2	1
8.12. J dx f/(x, v)i/y + f dx f/(x, >’)<y + f dx j f(x,y)dy =
2	2	4	2	5 x—3
-f<4' f f(x, y)dx. 8.13. f dx f f(x,y)dy=\dy j f(x,y)dx +
2 у	-a x2ja	0 -Jay
a < 2 yjla 2 — у 2
t- f dy f______f(x, y)dx.
°	-J2a2-y2
a Jax	2a	yjlax	— x2
8.14. f dx f f(x,y)dy+\ dx f f(x,y)dy =
0	0	a	0
a a + y/a2-)’2
= jdy f f(x, y)dx.
a J lax — x2	2a Jlax — x2
8-15. J dx f f(x, y)dy+ f dx f f(x,y)dy =
al 2	(a-y/a2-4y2)/l	a/2 a + Ja2-y2
= f dy f__________ f(x. ,i )</x+ j dy f___________ f(x, y)dx+
0 a-Ja2-y2	°	(а + у/а2-4у2)/2
a	a + yj a2 —y2
I- j dy	f f(x, y)dx.
a /2	Г~г 1
a— yj a —y
8.16.	По переменной x; область интегрирования ограничена
ЛИНИЯМИ У=~ y/Ху у — х3у х— 1, х — 2.
293
1	2 + x/7 —6y—j’2
8.17.	f dy f /(x, y)dx.
~7	2-^l-6y-y2
0	Л +1	1	Vl-x
8.18.	j dx f f(x, y)rfy + f dx j /(x, y)dy.
'»	-v7+T	0
2	2-У4-Р2	2	v/,6-J’2
8.19.	f	dy f /(x,	y)dx + $ dy	f /(x, y)dx +
0	0	0	2+vW
4	,/16 —J’2
+ f f(x,y)dx.
2	0
1	3,/x	8/3	л/д+у2
8.20.	\dx j f(x, y)dy. 8.21. f dy J /(x, y)dx.
0	*	0	2,-2
a	a — yj a1 —y1	2a	y/lay—y2
8.22. j dy f f(x,y)dx+jdy f f(x, y)dx.
0	0	a	0
8.23. f dx f	/(x, y]dy + \ dx j	/(x, y)dy +
~ 1	-v'x+1	0	-Vx + 1
1	<x +1	3	10-у	д
+ f<Zx f /(x, y)dy. 8.24. f dy f f(x, y)dx. 8.26. -a4.
o	72^	1	9/У	J
8.27. 112/9. 8.28. 1/4. 8.29. 1/3. 8.30. 9/20. 8.31. 68/15. 8.32. л2/128.
4 4
8.33. -a3. 8.34. e.
3
|	a	fix)
8.35.	—a3b2. • JJ x2ydxdy = J x1 dx f ydy =
g . t о о
0	Z>sinr
= f a2cos2r( — a sin t)dt f ydy, где последний интеграл получается
я/2	О
из предыдущего путем замены x = acost.
8.36.	Зл2«3. 8.37. -а3.
105
8.38.	1 /4. • Средним значением функции f (х, в области G на-
1 ГГ
зывается число /сР = ~	/ (х, >’) dx dy\ где S—площадь области G.
G
8.39. 1,63 </<2. • По теореме об оценке двойного интеграла
/(х, у) dxdy <MS, где tn — наименьшее, М — наибольшее значе-
G
ния функции в области G, S—площадь области G.
294
n/6	a^Asinq)	п/2	acostp
8.40.	5/3. 8.41. f б/ф f /(r)rJr + J tZ<p f f(r)rdr.
О	О	п/6	0
n/2	la sin ip
8.42.	f t/ф f /(гсозф, r sin tp)r dr.
n/4	acoscp
sin2 <p
sincp
n/4	cOS2(p
8.43.	f dtp f f(rcostp, rsintp)rdr +
о о
sin<p
1 ----------------------------------------
3n/4	sin q>	n	COS2	ф
+ J	dtp	f f(rcostp,	rsintp)rdr +	J	dtp J	/(гсозф, rsintp)rdr.
n/4	О	Зя/4	0
n/6
*6 COSф
8.44.	f dtp f
0	0
8.45.	1).
Я2
8.50.	— Зл-2 .
12v	7
n/2
f(r2)rdr + j dtp
2 .
8.46. -a3.
9
8.51.
15
8.47.
3 Vcos 2<p
f f(r2)rdr.
0
128
----к.
3
na3
8.48.		
6
45 a
8.49.	— ля4
64
if f (и(а — v) uv\
8.52.	- pv /I v Л —\ udu.
о 0
8.53.
p
6 —u
1 f
8.54. - du
2
dv.

8.56. 2nab (c
8.58. — (a“6/5-Z>~6/5) х
48'	’
8.57. (e— l)/2.
64	1
x(^8/5-p8/5).	8.59. —a2.	8.60. -(15- 161n2).
8.62. ^(Z>2 — а2) (я+ 2). • Перейти к полярным
8.63. ^д2(8 — л). 8.64. (л— 1)я2. • Перейти к полярным координатам.
8.61. я2(л-1).
координатам.
295
8.65. а2/210. • Сделать замену переменных: x = rcos2(p, ^ = rsin2<p
(л\ па3Ь
О^ср^-1. 8.66. --2- . • Перейти к обобщенным полярным коор-
g
динатам. 8.67. — (Ь5/4 — а5/4) (и3/4 — ти3/4). • Сделать замену перемен-
ных: у2 = их, vy2 = x3. 8.68. —-------
. • Сделать замену пе-
6а3/>3
ременных: j2 = wx, y = vx. 8.69. —^а2. 8.70. S^/^a2. 8.71. 2^/2пр2.
8.72. у а2.	8.73. 8	8.74.16а2.	8.75. 4па2(2-^2).
8.76. -(27-5^/5). 8.77. 2а2(л-2). 8.78. ла2(У2 + 1п(1+^2)). 8.79. л/6.
6
8.80. З^ла2. 8.81. 2а2(л+4-4,/2). 8.82. уаб2. 8.83. |а3(2—^/2)-
• Интегрировать в плоскости Oyz. 8.84. 16/15.	8.85. а3/2.
8.86.-ла3 (3—^/2).	8.87. itabcf 1--).	8.88. -ла3(2- J2).
3	\ е]	3
2 z	1
8.89. -лаЬс(2-72). 8.90. -In3.
• Сделать замену переменных и = ху,
y2 = vx. 8.91. 9/8. • Сделать замену переменных и = ху\ v—y/x.
1	4 ч 5	.	2 а а2Ь
8.92. -nbR2. 8.93. Мх=-а\ Му = -па3. 8.94. х = -а, у = ~. 8.95. -.
2	х 3 у 8	5 Л 2	6
л	к2	141а	81а
8.96. А/х = — , Му=\----.	8.97. х = —---------ч	у = —--------;.
24 у 12	20(7 —31п2) л 8(7-31п2)
128а
8.98. 4=1/12, 7„ = 7/12. 8.99. x=v =-.
8.100.	4 = —ла4, 4 = —ла4, 10 = — па\
32 у 32	16
8.101.
nab3 na3b nab, л
/х = -г-, /у = _ 10^{а2 + Ь2).
8.102.	а) —а4; б) —а4. • Ix= -а = ff(х + а)2dxdy. 8.103. /х = —,
105	105	г	5
3 s
— /са5,
20
Iq— — ka5, где к — коэффициент пропорциональности.
.	2а —sin 2а .	2
8.104.	ла4/8.	8.105. 1Х =-----а^.	1У = -
16
8.106.	ly(r2-Z1)(/?l-/?t). • Q = 7(t2-ti)H\xy\dxdy.
2	G
4ай2
8.107.		. • E=tf(2x+y)dxdy.
5	G
296
12 — 2х
12-2x~3y
6	3	4
8.108.	j	dx	f	dy	f
0	0	0
fix, y, z)dz.
° a
8.109. f dx f dy
a2 b2
f f{x,y,z)dz.
a
2
8.110. f dx
0
2Л 7(4х-.И/2
f t/г f f(x,y,z)dz.
1 t
8.111. f dx f dy J f(x, y, z)dz.
1	Jx2+y2
8.112. 1/6. 8.113. 81/4. 8.114. a4/12. 8.115. a4/8.	8.116. 1/96.
4	na4	19
8.117.4/15.	8.118. -a3h.	8.119. --.	8.120.-я.	8.121. a4/10.
1	3	4	24
8.122. — na3h. 8.123. — л. 8.124. ла4sin2-. 8.125. 1/105. 8.126. бла2.
15	3	2
nR3 Гх ла4 8	7,7	3	/32Й
8.127. -- 2-J2.8.128. ----. 8.129. — лК7 2. 8.130. —. 8.131. /-.
12 v v 7	16	21	35 V 3л
• Перейти к цилиндрическим координатам. 8.132. а3/45. • Перейти
к сферическим координатам.
8.133. n2abc/4. • Перейти к обобщенным сферическим коор-
динатам по формулам: т = ar cosp cos 0, При этом /=aZ>cr2cosO ( г^0, 0^ф^2л,		y = br sin ф cos 0, 2	2/	z = cr sinO.
	19	,		
8.	134. —па . • Перейти к цилиндрическим координатам. 6		
8.135.	ла3/3. • Перейти	к	сферическим	координатам.		
	3 , 9	1	3
8.136.	М=-пу0а3, Уср=т77о- 8-137. 4	16	Л/ = -лу0^2Я,	Ycp = ~Yo.
	1 . 1	31	93
8.138.	М = —лу°а*\ уср = —луо- 8.139.	М = улу0« ,	Ycp^Yo.
	4	,	8		3
8.140.	М = -лу0Д2Н, YcP = -Yo. 8.141.	М = -л"у0^3, 4	7ср = -яу0.
/	4	4 \	(	3	2 \	(	2	\	(
8.142. 0, -a, —h . 8.143. 0, -А, -А . 8.144. 0, 0,-Н . 8.145. 0, 0,
\	5	15 J	\	7	7 J	\	3	)	\
3 \	(	2	\	8	(a2	b2\	1
-Я. 8.146. 0,0,-R . 8.147. —yabh —+ — . 8.148. -луЯЯ4.
4/	\	5	/	21	\ 5	3 /	6
4
8.149. -пу0Я5.
297
2пуа 2b	(b	ib2 \
8.150.		1п(-4- /—г—1 • Ньютонов потенциал тела
-Jh2-a2 V	J
.	.	ссс I .dxdydz
Т в точке Mq\Xq, z0)— это интеграл C = jjj у(х, у, z)--------, где
у(х, у, z) — плотность,
dxdydz
=гШ
ординатам:
Г = х/С
dxdy dz
—' ......	Перейдем к цилиндрическим ко-
'х24-У2 + 22	а
г dr dip dz 2” b h v
f; = 'dfj^F^=2;' f dq\dz J
0	0	0
Имеем:
г dr
2
2
2 лya2 b
— • In
x/b2 — a2
8.151. ^kH (JH2+R2-H).
где
к — постоянная
закона тя-
готения. с Приняв вершину конуса
ось — за ось Oz, получим уравнение
начало координат, а его
2	2 R2 2
конуса в виде х +у ——-z .
Н
сила притяжения будет
выразится
за
Вследствие симметрии результирующая
направлена вдоль оси Oz и
zdxdydz	zdxdydz
^ = кУ Ш , =кУ Ш
Т г	т IX -1-у -TZ )
интегралом
Перейдем
к цилинд-
н
рическим
координатам:
2пукН
(Уя2 + я2-я).
2л R
Fz = ky f dip \ г dr
ООН
R Г
zdz
4-72P/2==
8.152.
8^	1
— yha*. 8.153. — улЯЯ4.
8.154.
Сходится
8.163.
1/4. 8.155. л/2. 8.156. 4л. 8.157. 1. 8.158. Расходится. 8.159.
3
при а>1. 8.160. 4. 8.161. -л. 8.162.
Сходится при а<1. • Изолировать
л/2.
прямую у = х узкой
ПОЛОСКОЙ
И ПОЛОЖИТЬ
8.164.
G
Сходится при а <3/2.
= lim
£ >0 J
о
dy
о
8.165.
15/4. 8.166. 3/7. 8.167. f(x0).
2v+ 1	2у — 1
—г---siny(l +>>)—;---sin>>(v—1).	8.170.
У +у	У-У
2
8.168. -In(1 + у2). 8.169.
У2
2ye~yi — е~у2 — f x2e~yxldx.
298
8.171. J(х(х —у)cosxy — sin.xy)tZx.	8.172. х(2 — Зу2)/(ху)4—+
+ х2у(1-/)/'(ху).
L	ч	Е	F
8.174.	Е' = - (E—F), F' = —------ —. ।
к{	7	£(1-к2) к
п/2
казать, что J (1 — к 2 sin2cp)-3/2 d(p = -—
о
• При вычислении F' по-
п/2
;	(1 — к2 sin2(p)1/2 dtp, для
чего использовать следующее тождество:
о
(1 — к 2 sin2(p) 3/2=----
V	7	\-к2
-к2 sin2<p)1/2-----k—z — (sincpcoscp(1 —/c2sin2<p) 1/2).
1—	k2 dq>
2	1
8.175.	arctg-. 8.176. -In 2.
8.178.	F(y) сходится неравномерно на [уь ^2], если этот интеграл
сходится при любом	но существует £>0 такое, что для
любого В>а найдется у=у(В)е у2], для которого
| f /(х, y)tZx|>£.
1 в	1
8.179.	Сходится равномерно. 8.180. Сходится неравномерно.
8.181. Сходится равномерно. 8.182. Сходится равномерно. 8.183. Схо-
дится неравномерно. 8.184. Сходится равномерно. 8.185. Сходится
1	Р
неравномерно. 8.186. Сходится равномерно. 8.188. -In-. 8.189.
2	а
В а	а	,
arctg----arctg—. 8.190. arctg-. 8.191. 1п(1+а).
mm	В
1 /л
8.192. - 1-е	. • Продифференцировать интеграл по параметру
2V У
dF 6
у и решить уравнение — =-----F.
d§ 2у
8.193. | In (а + 71+ а2)- 8-194. я(,/1-а2-1).
1 4-^/1 —а2
8.195. п In-------.
2
ГЛАВА 9
9.4. jp (In 11 — х 214-1) = 1.	9.5. j(l +х)= 1.	9.6. у — 2 — 3cosx.
9.7. fix, у) = 0, —-<0 — max, —->0 — min. 9.8. —-+f(x, й ^=0; a) y +
dx	dx	dx	dy
4-x34- 3x2 = 0; б) у = In(x4-^/x2 4- 4) — In 2.	9.9. x2 +y = xy'.
9.10. xy'4-y = 0. 9.11. j' = jthx. 9.12. 2xyy' = x2+y2. 9.13. yy' = x.
9.14. xy' + 2y = 0. 9.15. y’ = —Ц. 9.22. y2-x2 = C. 9.23. >>34-x3-3x = C.
299
9.24. у1 2 + х2 = С. 9.25. у=Сх2. 9.26. у=С(х+\)е~\ 9.27. arctg^-
— arcsinx = C; х=±1. 9.28. ех + е~у = С. 9.29. у sin у + cos у — xcosx +
+ sinx = C. 9.30. arctg>’ + -ln(l + х2) = С. 9.31. у — Се^1~х ; х= + 1.
9.32. у = С^/1Уе2х. 9.33. (1 +ех)2 tg7 = С. 9.34. сх-^2>’-2 In | 1 +7|-
(у — 1 )2	С ^/1 +х2
------— = С, 7=-1. 9.35. у = V .........
Х + л/1+Х2
9.36. 7у+х(1-1пх) = С,
7 = 0. 9.37. tg—--х = С, х+у = (2к + 1)л, ZceZ. 9.38. 4x4-27+1 =
= Се2у. 9.39. -arctg-(4x + 7+ 1) — х = С. 9.40. (х + С)^tg —(7 — х — 1) —
-11 = 2,	7 —х—1 =^ + 2/сп,	keZ. 9.41.	4у-вх-1 = Се~2х.
9.42.	3 In
-7 = 0.
3v/4x-7+1-2
9.43.	х2-72 = 1.
= 3 ^/4х—7 + 1 + х + С, 4х—7 + 9 = 0, 4х—у —
9.44.	-(х2+72) + 1п - =1.
2	х
9.45.	7 = sinx.
9.46. 7 = ±х^2In|х| + С.
9.47. 7 = 2х (arctg Сх + як), у = кпх, keZ.
v 1 /-------
9.48.	х2 — 2ху—у2 —С. 9.49. arcsin-^/х2— у2 — In |х| = С, у=±х.
9.50.	хеу1х — С. л=0. 9.51. еу1х = Су, у = 0. 9.52. ес’’" = С.г. 9.53. 1п- =
X
= 2arcctg(ln |х| + С), у = хе2кп, keZ. 9.54. 7 = хarcsinСх, у = кпх, ке
eZ\{0}. 9.55. 7 = xsin(ln |х| +С), у=+х. 9.56. у=С(у2 — х2), у— +х.
9.57. у3 *=-4х3 +Сх5(у3 —4х3), у=— \f4x. 9.58. х2 — Х7 + 72+ х—7 =
= С. 9.59. х+7- 1 = С(7 + 2)2, 7=~2- 9.60. х + 27 + 31п|х + 7~2| = С,
-2 arctg--	у —2х
х+7 = 2.	9.61. у + 2 = Се v \	9.62. sin = С (х + 1).
9.63.	=-^.	9.М. у = хе'-х. 9.65. In| v| + 2 Jx~y = 2.
х + 3 х + >’	v
9.66. у = -{х2-{\	9.67. у = е~х I С + у I. 9.68. у=Сх3-лЛ
9.69. y = sinx + Ccosx. 9.70. у = (х + С)(1 +х2). 9.71. у = Се~2х+ ~е2х.
С
9.72. 7 = х1пх + -. 9.73. у = (х+ I)2(ех + С).
1 Л	dx х+73
9.74. х=Су + -у , 7 = 0. • Записать уравнение в виде — =---
2	dy у
dx
оно линейно относительно хи —.
300
9.75. x = arctgy—1 + Ce arct8y. 9.76. y = xsinx + Cx. 9.77. y = ex(C +
t ln|x|). 9.78. j=x(Ce’x-l). 9.79. ,v=C> + ln2.p. 9.80. х=^у, y = 0,
r=l. 9.81. x = Cy+y3, y=0. 9.82. siny=Ce x4-x—1. • Положить
, 1 1 1
siny = z. 9.83. y = sinx. 9.84. y = e2x — ex + -x + ~. 9.85. x=ylny + ~.
2	4	у
/ I \2	Q x
9.86.	y = e~2x2l C+-x2 ) , y = 0. 9.87. v =-, y = 0. 9.88. y=(cos.vx
\	2 /	' C—x	v
, I---------4 ,	sinx	,	.
x 3/C-3tgx)"1, y = 0. 9.89. y = -—	. y = 0. 9.90. x2 = Ces,ny-
^cosx + C
dx x2 cosy 4- sin 2y
- 2 (sin у + 1). • Записать уравнение в виде — =-----------.
dy 2х
9.91. у2 = х2-\+С^/\х2-\\. 9.92. ху(C-ln2y) = 1. 9.93. х2(С-
-cosy)=y, у = 0. 9.94. y3 = ecosx/(3 —2ecosx). 9.95. х2 = 1 /(у + Зу2).
9.96. х2 + ху+у2 = С. 9.97. 5х2у — 8ху + х + Зу = С. 9.98. х3 + Зх2у —
2 3	х х3
-2ху2-у3 = С. 9.99. ху — + - = С. 9.100. -+—-2у=С.
X у	у у2
9.101.	^/х2—у2 + ху — - - С. 9.102. х2 +уе~х = С. 9.103. х2+уех/у = С.
У
9.104.	x2cos2y+y2 = C. 9.105. xsiny+y cosx + ln |х/у| = С. 9.106. Вся
2п + 1
плоскость Оху. 9.107. у^х. 9.108. у#—-—я. 9.109. х>у2. 9.110. у = 0.
9.111.	у = 1.	9.112. у=—х. 9.113. у = х2/4.	9.114. х = 2р + 6р2 + С,
v=p2 + 4p3; у = 0 (особое решение). 9.115. х = 2Л/р2+1—1п(1 +
+ Ур2+ 1) + 1пр + С, y=pjl+p\ у = 0 (особое решение).
9.116.	х = ер+С, у = (р—1)ер. 9.117. у - Сх + -(С2 — х2), у = — х2 (особое
3 р2
решение). 9.118. х=р3— р + 2,	У~~^Р —
y=p2cosp— psinp — cosp+C. 9.120. х — 2р — lnp,
9.121. х = Су + С2, х=—у2 (особое решение). 9.122.
4
2С
Р
9.119. x=pcosp,
^=р2-р + с.
1 , 1
у — -Сх2-\--,
У 2 2С
+ . 9.124. х=
Р
С 2
у=±х (особые решения). 9.123. х = —г—
Р Р
= -p-l+ С у=-1р2+ Ср  д>=0, _у=л+1 (особые решения).
2 (1-р)2	2	(1- р)2
9.125.	х = Ср —1пр —2, у = -Ср2— р. 9.126. у — Сх — —, у2—— 4х (особое
решение).
9.127. у = Сх + С+Jc, y=--rt--------(особое
4(.v+l)
решение).
9.128. у — Сх—ес, y = x(lnx—1) (особое решение). 9.129. y = Cx + cosC,
301
y = xarcsinx + x/1— x2 (особое решение). 9.130. Линейное; y — uv.
9.131. Однородное; у —их. 9.132. С разделяющимися переменными.
9.133. Уравнение Бернулли; y = uv. 9.134. Линейное относительно х;
x — uv. 9.135. Уравнение в полных дифференциалах. 9.136. Однород-
ное; х — иу. 9.137. Уравнение Бернулли относительно х; x = uv.
9.138. Приводящееся к уравнению с разделяющимися переменными;
и=у — х. 9.139. Линейное; y — uv. 9.140. Уравнение Бернулли; y = uv.
х	1
9.141.	у — х2 — 1 + Се~х212. 9.142. In | у | + - — С, у = 0. 9.143. -x2cos2y +
У	2
+ х = С. 9.144. у = -----;----, у = 0.	9.145. у = ^/С+Зх —Зх2.
л (x + C)cosx л	v
9.146.	хЦу2 + Су3, у = 0. 9.147. In | х| + ех/у = С, х = 0. 9.148. 1+у2 =
= С(1—х2), х=±1. 9.149. х*-х2у2+у* = С. 9.150. у = 1 /(1 + 1пх + Сх),
у = 0 (х>0). 9.151. (Зх + 2у — 1) (х— 1) = С. 9.152. arctg- = lnx/x2-|-y2-l-C.
9.153.	2ycosx + cos2x = C. 9.154. x2 + xlny — cosy = С. 9.155. y — Cx —
— InC, y=l+lnx (особое решение). 9.156. x= 1 l(Ce~y2/2 + 2 — y2).
9.157. In | x | —cos (у/х) — C. 9.158. ey = x2lnCx. • Положить z — e~y.
9.159.	x-Cy2 — y2(y + l)e-y; y = 0. 9.160. xv/T+y2 — siny = C. • Запи-
dx yx cosy	у
сать уравнение в виде----1----,.........	9.161. x + arctg-= С; х = 0.
jy 1+у2 уг+7	*
/C-hln|sinx| \2 л	х2 х2
9.162.	у = |-----------ctgx ; у = 0. 9.163. у = С2 + Сх- —, у=——
\ х	/	4	2
(особое решение). 9.164. (х+у3)3 = С(у3 — х); х=у3. • Положить
y = z1/3. 9.165. у = ±ln |х2 —11. 9.166. у2 = 4х и ху2 = 4. 9.167. у —
= +—. 9.168. (х+С)2+у2 = а2. 9.169. у2= + 2а{х + С). 9.170. у =
х— 1
= 2ch|. 9.171. у2=х2/(х2 + 3). 9.172. у2 = 6х + 9. 9.173. у2 =4(х-1)
и (х+')2+1-=1. 9.174. ^2=|(x—а). 9.175. r = 2evla. 9.П6. х2+у2 = 2у.
9.177. х=у(3 + 1пу). 9.178. у2 = 2х+ 1 -е2х. 9.179. У=^~х2- 9-180- х =
= ±|--у|- 9.181. y = xJ5%2-l.	9.182. г = ф + ^. 9.183. 2х2 +
V /	2
+ Зу2 = С2. 9.184. х2 + 2у2 = С2. 9.185. у = С/х2. 9.186. х+у2 = С.
9.187. T=a + (T0-a)e~kt. 9.188. Через 40 мин. 9.189. со = 5 • (3/5),/12°
d со
(об/с); через 6 мин 18 с. • Уравнение имеет вид —к&. 9.190. Че-
рез 1575 лет.
9.191.	За 6 мин. 5 с. • Уравнение имеет вид wv (А) dt = — 5(h) dh,
где w — площадь отверстия, v(h)—скорость истечения воды, h —
302
уровень жидкости, S(h) — площадь поперечного сечения сосуда,
t — время.
9.192.	0,0878. • Уравнение имеет вид dQ= —kQdh. 9.193. -50 с;
dv
^15 м. 9.194. f^0,0011 с. • Уравнение имеет вид т — = —kv.
dt
9.195. 0,5 кг. 9.196. а) 56,5 г; б) 7,84 ч. 9.197. 0,06%. • Уравнение
имеет вид (0,01х — 0,0004) 1500dt = — 10 800 • 0,01 dx, где х— объемная
доля (в %) углекислоты в воздухе в момент времени t.
9.198.	1 = —--z—,(Rsin&t — Lcocoscor + Lcoe
A2 + £2co2V	f
9.199.	y'< x2. 9.200. />0. 9.207. /' = 0. 9.208.
(1+У2)3
y"2
= R2.
9.209. j"+y=0. 9.210. y"'=0. 9.211. у = (Ct + arctgx) x - In 71 + x 2 + C2.
x 3	x 3
9.212. y =---sinx4-CiX4-C2. 9.213. y = — In|x|4- C^x3 + C2x24-C3x4-
6	6
3	1
+ C4. 9.214. y = -x2ln|x| + -x3 + C1x2 + C2x4~C3. 9.215. Cjy^CtX-
— In | С\Х~У 1 14-C2,
y — Ci
2Cjx4-C2 = ln -----
j+c,
У = у + С.	y=C.
, >’(C —x)=l, y=C.
9.216. ^=C,tg(C1x+C2),
9.217. j = Ci sinx4-C2 — x —
— ^sin2x. 9.218. >’ = C1x2 + C2 + eI(x—1). 9.219. 4C1y = 4 + (Clx + C,)2.
9.220. y = x4-C1ln|y|4-C2,
1 x —Ct
>=7^ln —-7- +c2< у
2C1	x C 1
9.221. y-Ci arctg C!x + C2,
-.	9.222. C\y = (C2x2 + l)arctgCYx —
1
G
2y = knx2+ C (keZ). 9.223. y = — eCl
ex2
~2
9.224. ,y = - + C1 In |x| + C2.
-ln|x ^/x2—1 |) + x2 + C2, y = Ci(xy/\ —x2 + arcsinx) + x2 + C2. 9.226.
>’ = Cl(x-e-,,) + C2. 9.227. 2>> = C1cos2x + (l+2C1)x2+C2x+C3. 9.228.
2y = C1x2-2C2l(x+Cl)\n\x+Cl\ + C2x + C3. 9.229. j- = C3-(*+ci) x
x In |x+Ci | + C2x, y = CiX + C2. 9.230. x = 2Cxp — In\p | + C2, y =
= ClP2-p-, y=Ce-\ y = C. 9.231. х=±?(^-2С1)Ут5 + С1 + С2.
9.232. JCiy2+\/Ci = C1 + x. 9.233. C2ty+ 1 = Ich^x+Cj, C?/-l =
= sin(C1x+ C2), 2y = (x + C)2, ^ = 0. 9.234. lnj = Ci tg(C1x-FC2),
In
Inj2-Ci
hv + Ci
— 2Ci x 4- C2,
(C—x)lny=l, y = C.
9.235. ctgy = C2 4-Cxx,
у = C. 9.236. у = 1 4-	1
Ci x 4- C2
y = C. 9.237. y = —(x34-6x2)4-Cjxln |x|4-
x3	C2
+ C2x+C3. 9.238. y2 = —4-CiX4-C2. 9.239. y = CiX + -4 9.240. y =
303
= C2xec'x—(Cz/CjJe^+Cj. 9.241. у=С2хе с‘х. • Уравнение одно-
±(х1 2 + С,)«
родно относительно у, у', у". 9.242. у = С2е 3 *	, >'=0. 9.243. у2 =
= С1х3 + С2, у=0. 9.244. y=C2/cos2(x+Ct), у=0. 9.245. у=(х-2)ех+
+х+3. 9.246. у=~1п2х+1х2-2х+-. 9.247. y=-x2J2x~—. 9.248.
2	2	2	5 v 5
IУ n
tgG+6
^ = 21n |х+1 |-.v+1.	9.249. /=—In |х—11.	9.250. In
= 2(x+l). 9.251. y=tg.r, -n/2<x<n/2. 9.252. y=ex2/2.
9.253. (3 - x)у5 = 8 (x 4- 2). 9.254. у = 1 4- sinx.
9.255. y — 1 — ex, y= — 14-e *. 9.256. y=\—x.
9.257. x = C1ep-2/>-2,	y = Cl(p-])ep-p2 3-C2.	9.258. x =
In | r |	3	t 3
=—+^ + G, У=^+^+С2. 9.259. *=(/>+l)e₽+Cb y=P2e"+C2.
9.260. x = 3Ctp2 4-In |p|4- C2, y = 2Clpi3-p; y = C. 9.261. y= +Incosx.
9.262.	a) y =— ch(Cix4-C2) при _y">0;	6) (x4-C2)24-^2 = C2
Ci
при y"<0;
9.263.	a) 4(Ciy—l) = Cf (x4-C2)2 при y">Q; 6) x = ^-(t — sin/)4-C2,
>> =—(1— cost) при у"<0. •
dy вычислить с помощью
_ t
подстановки у=С< sin -.
2
9.264.
9.266.
Н
а = —
qg
9.265. еу/о-----, где
__	cosx/а
F\ m	[ у/kF
— t I, x = — In ch I —-i
/ \
1,89 c, 16,6 м/с. • Использовать ответы к задаче 9.266,
у = a ch
9.267.
положив P=mg.
v —
9.268.	Время подъема Тп =
высота подъема
w / kvl\	/ mg
Лтах = — In I N--I; скорость спуска Исп = г0 /----г; время спуска
2к \	mg/	\ mg-hkvo
1 /w.	+
— / — In —-—-——.
2 v kg ^jmg — y/k Исп
9.269. 1,75 c; 16,3 м/с. • Использовать ответы к задаче 9.268.
9.270. х= /х^ + Д;/2. 9.271. х= /х?--------^Z2, T=xg
\ тх^	mxo
304
gt2
9.272. х=——+ i/0	——F — ((1 — az) ln(l — az) + az),
2 J cp(z)	2 a
2
0
x(10) = 0,54 км, x(30) = 5,65 km, x(50)= 18,44 km.
[~H / r—-------- H	(	2R\ nH\
9.273.	/---- \Jr(H-R) + —arcsini 1-+— .
V2g/?2V	2	\	4 J
9.274.	^116 ч. •Использовать ответ к задаче 9.273. 9.275.
а( 1 (,v\1+fc	1	ka
^11,18 км/с. 9.276. >’=-( -(-)--------(-)	14------,, где
' 2\\+к\а)	\—к\аJ	J \-k2
k=-
u
q /12 x2 x4 5/4\
9.277.	EIy^-\--------------------, F/v
У 4\ 4	6	96 / ?max
5l4q
-----. • EIy" =
384 y
4 ( ^	2^\ c	l/Л J
= - I — — x 1, где E—модуль Юнга, I—момент инерции поперечного
сечения балки относительно оси Ох.
Fl2 ql3\ Fx3 qx4 Fl3 ql4
9.278.	EIy — \ --+ — *-----------------------— , F/v =
\ 2	6 7	6	24	3	8 max
F/3 ql4	qx2
	. • Ely"——Fx	, где F—модуль Юнга, I—
3	8-2
момент инерции поперечного сечения балки относительно оси Ох.
п--а г М I . гл " гп ч ЧУ-*)1 гг F(l-x)3
9.279.	F=l%ql. • Ely =F(l—x)----------, EIy=-------------
2	'	6
q(l-x)4 (Fl2 ql3\ Fl3 ql4
-----------1_ I-------| у-------1---
24	\ 2	6 7	6	24
I—момент инерции поперечного сечения
9.281. y = Cie5xFC2ex.
cos % sin.v
9.283. y = C.---+ C2------.
где	F—модуль
балки относительно
9.282. у = С\е3х
9.284. y=C\ I - .vln
\2
Юнга,
оси Ox.
9.285.	y = Cxx-]--1—r. 9.286. Линейно независима. 9.287. Линейно
x xz
зависима. 9.288. Линейно независима. 9.289. Линейно зависима.
9.290.	Линейно независима. 9.291. Линейно независима. 9.292. Ли-
нейно независима. 9.293. Линейно зависима. 9.294. Линейно зависима.
9.295.	Линейно независима. 9.296. У'+Х = 0. 9.297. у" — 4у'У-5у — 0.
6	12
9.298.	—j = 0. 9.299. у'"-у" = 0.	9.300. у'"+у' = 0.
х	х
9.301.	у'"-у" = 0. 9.302. у"-8^Ч15у = О. 9.303. у"'-2у"4-у'-2у = 0.
9.304. Из равенства И7(хо) = 0 следует, что однородная система
линейных алгебраических уравнений с неизвестными ocj, ос2, ал
11 Специальные разделы мат. анализа. Ч. 2
305
“1У t(x0)+a.2y 2(х0) + ...+а„ г„(хо) = 0,
®iJ’i(Jco)+“2>,'2(-xo)+- +«пуИ-хо) = 0,	(*)
«1 Л'Г ' ,(J<o) + a2>’2'1>(1CO )+	+«„>!.”	"(Vo) = 0
имеет такое решение а*1? а2, aj, что не все а* равны нулю.
Функция y(x)=a*t >4 (х) + а2у2 (х)+...+а*у„(х) является решением
данного линейного однородного уравнения и, как это следует из ра-
венств (*), удовлетворяет начальным условиям у(хо) = 0, у'(-Хо) = <Х ...
у(п~ 1)(хо) = 0. Но таким же начальным условиям удовлетворяет
и функция у = 0, тоже являющаяся решением данного уравнения
(функция у = 0 есть решение любого линейного однородного диф-
ференциального уравнения). Отсюда на основании теоремы Коши
о существовании и единственности решения заключаем, что
a*iУ\(*)+ ••• +«;>’я(х)=.О на (а, />), т. е. система функций ух(х), ...
..., у„(х) линейно зависима на (а, Ь). Но тогда вронскиан И^х) этой
системы равен нулю всюду на (а, Ь), что и требовалось доказать, о
У У1(*) Уг(х) - >’»(*)
уГ(х) у^(х) ... у^(х)
ние у искомого уравнения вместе с функциями ^Дх), у2(х), ...
..., )'„(х) образует линейно зависимую систему.
9.306.	>>=ex + 2cosx + 3sinx.	9.307.	у = ех + 2е2х + Зе3х.
9.308. y = Ctx3 + C2x‘t + - х. 9.309. у = С, e2x + C2sinx + C3cosx + e3x.
9.310. у = С,ех+ С2х — х2 — 1. 9.311. у= С\cosx + C2xcosx — sinxcosx.
9.312. y = Cie5x+C2ex + 5x + 6 — e2x. 9.313. y = C1 + C2sinx +
+ C3cosx + -ex—sin2x. 9.314. ^ = е‘х(1+(1— k)x). 9.315. y"—y'—6y=0,
y=Cle3x+C2e~2x. 9.316. y"-2y'+y=0, j=(Cj + C2x)ex.
9.317.	/'-6/+13>=0, y = (Ct cos2x+C2 sin2x)e3x.
9.318.	—6y"+I2y' —8>’ = 0, y = (Ci+C2x + C1x2)e2x.
9.319.	y'”-Sy"+16y' = 0,	j = C/+(C2 + C3x)e4x.
9.321. j=C1e'1"'/3)x+C2e,1 + '/3)x. 9.322. >=e-3x(C1cos2x+C2sin2x).
9.323.	j = e3x(C1+C2x). 9.324. > = €, e2x + C2e~4x'3.
9.325.	y = ex^C1 cos | + C2sin 0. 9.326. j = c-x/2(C1 + C2x).
9.327.	y = Ct ex + e2x(C2cos3x + C3 sin3x).
9.328.	y = Ct cosx + C2 sinx + C3 cos >/Зх4- C4 sin ^/Зх.
9.329.	y = Ci + C2x + (C3 + C4x)e x. 9.330. y=Cl + C2x+C3ex +
+ C4e~x. 9.331. у = cosx + C2sinx + x(C3cosx+ C4sinx).
9.332.	y = (C1 + C2x)e2x-F(C3 + C4x)e‘2x.
306
9.333. у = Сх + С2 cos2.x 4- С3 sin2х 4- х (С4 cos2x + С5 sin2х).
9.334. у = С1 + С2х+С3х2 + е3х(С4 + С5х).
9.335.	у = (Ct + С2 х) е х + (С3 4- С4 х) cosx4- (С5 + С6 х) sinx.
9.336.	у-Сх 4-С2х4-С3х24-С4х34-е~х(С54-С6х). 9.337. у — ех.
9.338.	v = (7 —Зх)ех-2. 9.339. _у = 24-е“*. 9.340. j> = shx. • Началь-
ные условия: у (0) = 0, у' (0) - 1.
9.341. у—-ех—е3х.
У 2	2
9.342.	у~С\е Х + С2е 2х4-(е х + е 2x)ln(ex4-1).
9.343.	4^ = (С1 — In |sinx|)cos2x4-^C2 — х— - ctgx^ sin2x.
9.344.	у —	4- С2 х4-^/4 —х2 4-хarcsin -ех.
(	1	3	\
9.345.	}’ = ( С, 4-С2х4--х2 1пх-х2 |е 2х.
\	2	4	J
9.346.	(Лх34-Вх2 ) е4х. 9.347. х(А cos4x + Bsin4x).
9.348.	Л х 4-В cos 8x4- Csin8x. 9.349. ^x4-B)sin2x4-(Cx4-D)cos2x.
9.350.	(Лх2 + Вх)е4х. 9.351. Лх34-Вх24-Сх.
9.352.	ех((Лх4-В)со82х4-(Сх4-Р )sin2x).
9.353.	хе2х ((Лх2 4-Вх 4-С) cos3x 4-(Dx2 4-Вх 4-F)sin3x).
9.354.	y = Ci ех + (с2 —	е~х. 9.355. у= Cv chx4-С2 shx4—-—.
9.356.	у=С1ехУ-С2е-4х--е~4х( - + — ) е~х.
У 1	2	5	\6 36/
9.357.	>’ = С1^2х4-С2е3х4-- (5cos3x — sin3x).
6
.	(т2 — п2) sinпхУ-2mncosnx
9.358.	у= С1 + С2х)е’”х+{---------\	.
9.359.	у = (С1 +С2х)етх+ -—- cosmx.
2т
9.360.	у = Cj cosx4- С2 sinх4-х(хsinx4-cosx).
9.361.	у = С\ cos2x4-C2 sin2x4-- (1 4-xsin2x).
8
9.362.	y = Clex!2y-C2e~xl2-x3.
9.363.	y = C\ e~2x + C2e~3x+- e~x + xe~2x.
9.364.	>’=C14-C2e3x+|e3x + 2x4-3x2.
9.365.	y = Ci 4- C2 x4-(C34-x)e ~x4-x3 — 3x2.
/	хз\
9.366.	= ( Cj 4-C2x4-C3x24--)ex. 9.367. y— Ct 4- C2x+ C3 cosx-b
67
4-C4sinx + —(x24-2x—12). 9.368. y = Ciexy-C2e X4-C3cosx4-C4sinx4-
4--(x —3)ex —-sin x.	9.369. j’ = C14-C2x4-C3x24-C4x34-------
8	4	24 \ 2
307
-4x + C< k< 9.370. y = e2x~1— 2ex + e—1.	9.371. y = ex-e~x + x2.
х	7
9.372. _y = - + cos2x4—n sin 2x. 9.373. y = 2cosx — 5sinx+2ex. 9.374.
4	16
y = 2xex. 9.375.	^ = cosx + 2sinx4-e-x + 3ex-b2xex. 9.376.
y=ex((2x —it — l)sinx — ncosx). 9.377. y = C1cosln|x| + C2sinln|x|.
9.378. y = CiCos(21n|x|)4-C2sin(21n|x|)-l-2x.	9.379. y=
= С1х3+-у-21пл+-. 9.380. y=Cl + C2x2 + C3x<l. 9.381.
X2	3
+ C2ln |x| + C3x3.	9.382. y = (2x+ 1)(Q + C2 In 12x+ 11).
1	sh x	cos x
y=------shx. 9.384. y———. 9.385. y=-------(единственное решение).
sh2n	sh 1	sin 1
9.386. Нет решений. 9.387. (x — 2)2+y2 = 5. 9.388. y= 1 — sinx — cosx.
9.390. y=--x2+x2lnx.
e-1	2
9.391. x = e~gf(a cos ргч---^ V° sin p/), где
, P
d2x dx
•	Уравнение имеет вид m—г + Л,-----|-кх = 0.
dt2 dt
”aZ(t7chpr + “^—^shpr), где
d2x dx
•	Уравнение имеет вид m—-+X---------kx = 0.
dt2 dt
a) r=flchcor; 6) r=—shcot • Уравнение
co
9.383.
9.389. y —
9.392.
X
a~2»T
X
a-2m’
а2+—.
т
9.393.
d2r 2
г'
имеет вид
r=ae p"‘(ch(i>x/l +p2f+—-zzLzzxshco^/l + p2f).
V’+M2
3	. 	d2s g g
T~—— ln(9 + x/80)^3 c. • Уравнение имеет вид —j—-s = -,
Jg	dt 9 9
путь, пройденный за время t концом опускающейся части
2g sin 301 — 60 yjg sin ^fg t
9.396. x^—----------
9.394.
9.395.
где s—
цепи.
g- 900
положения покоя груза,
(cm). • Если x отсчитывать от
d2 x
4—T = 4g-fc(x0 + x-.y-/),	где
dt
груза от начальной точки подвеса
состоянии покоя, поэтому к(х0 — /) = 4g
TO
x0—расстояние точки покоя
пружины, /—длина пружины в
d2 X
и, следовательно, 4-^- = —к(х—у\ где к —4g, g = 981 см/с2.
R	______
9.397. /=е
Е
' TV
Leo---I +R2
Cal
П р2
Tc~TL2t~
„2
— a .
308
R( 1 \	1	/1R2
— CD 4 —;........ sin /-----
2\ LC(J Г\ R2 \]LC 4L2
\ZLC~4L2
Е
п	у	/
----Lcd +R2
Ccd	/
x( (---Lcd )coscd/4-BsincD/ ). • Дифференциальное уравнение цепи:
\\Ccd /	7
d2i	di 1 . de
L —г 4" R —I— i ——•
dt2	dt C dt
E t	de
9.398. / =—/sin—<i Имеем — = £cdcoscd/. Дифференциаль-
2^ /fc	dt
d2i 1
ное уравнение цепи: L—r4-—/ = £cdcoscd/. Общее решение соответ-
dt С
1 1
ствующего однородного уравнения: /0 —- Сх cos - —_ /4- С2 sin —= t.
Jlc	Jlc
Частное решение линейного неоднородного уравнения имеет вид
~ /	\ di
i-t(A cos cd/4- В sin cd/). Тогда -" = /( —/lcDsincD/4-£cDcoscD/)4-Л coscd/4-
d21'
4- В sin cd/, — = /( —Hcd coscd/ —Bcd sin cd/) + (--2 Л cd sin cd/4-2 Bw COSO)/).
d2i
в уравнение выражения i и —- и учитывая, что
dt
Подставляя
Lcd2----= 0,
= £cdcoscd/,
Общее
числяя
получим тождество	L( — 2/lcDsincD/4-2BcDCoscD/) =
Е	Е	t
откуда Л=0, В——. Следовательно, / =—г sin———.
2L	2L
1 1	£ 1
решение: i = Cx cos= t 4- C2 sinl t-\--/sin ——= t. Вы-
Jlc	Jlc	2l	Jlc
Cl .	1 C2 1	E	1
---7= sin —7= t 4- —cos —14---------= t cos -	14-
Jlc Jlc ilJlc Jlc
начальные условия, найдем C! = C2 = 0.
di
~dt
E 1
-I-sin—— t и используя
2L JlC
Искомое частное решение:
Е 1
i = — t sin —t.
Jlc
E	E
9.399. i=-------cos\|/sino)/4----/cos(co/4-\|/).
2cdL	2L
9.400. x2 +y2 = z2 — 2z(y — ху'), хУ-уу' — zz’ — z'(y—xy'). 9.401. yy' +
_	_ 2	dx dy dz du
4-zz' = 0, y2 + 2xzz' = x2z' .	9.402.	— — — = — =--------r. 9.403.
1 z и xyz — z
dx	dy	du	dv	dw	dx	dy	dz	du dv	dw dt
— = — = —	9.404. — == —= — = — =----------=-----=-----. 9.405.
1	и	v	и’	у	1	v	vr t	v4-H’	w4-/	/4-г
dx dy dz du dv dw	dx dy dz dt
- =	-----= -=------------.	9.406.	— = —=-3---------=-----=
1 v и 2y — z vv x+y — z	i / x — uz z-Уи
309
du dv dw	_	_
= —= —=-------.	9.412. Clx2 = 2t+C1,	y2 = Cl(2t + C2).	9.413.
v w — xy
x2 = /2 + G, y2 = t2 + C2. 9.414. j,2JC‘tC2-*)2.
2(C2—x)	2(C2 —x)
9.415. лг = 1п|С3(С1Г-не2)|, ^ = ln|C3(C1r + C2)|-C1, z = (C\ + l)/4- C2.
2
9.416. x24-j,24-z2 = Cxy, z=C2y. 9.417. x = Crt, y = C2el +—. 9.418.
Ci
z — 2y=CY,	2 y/z — x—y+y = C2.	9.419. x2 = C^e2t + C2e~2t,
y2 = Cle2t — C2e~2t. 9.420. _y = xH--e~c'x, z — C2ec'x\ y — x — ex,
2 Ct C2
z = e~x. 9.421. z=Ciy, y3 = ~iC2; z=y, y3=|x2-4-l.
2 C j	2
9.422. а) Да; б) нет. • Соотношение <p (t, x, y) = C является
первым интегралом системы х, х, ^), y't=f2(t, х, >’) тогда
дф	дф	<Эф
и только тогда, когда — 4-/J/, х, у)-------\-j2\t, х, у) — = 0.
dt	дх	ду
9.423. 2е2~у = х2 + (у—1)2. 9.424. у3 + Зу(х2-1)-10 = 0. 9.425.
г = х(1 4-In /И )• 9.426. (у — х)2 + х2 = 1. 9.427. у-Схх1 + у/2 + С2хг ~^2,
z = x^ lC{ (2 + У2) + х“72-1С2(2-^/2). 9.428. y=Ci + C2x, z = 2C24-
+ —. 9.429. x = C1t+—, y=-C!t+—. 9.430. x = ^, y=C2e‘-^-.
X	t	t	t2	t2
9.431. x=C1et + C2e21, y= C1ety-2C2e2t. 9.432. x = 3C1e2‘ + C/‘,
y — Cie2t + C2e4t; x = 3e2t, y = e2t. 9.433. x = e5t (Ct cos 2/4- C2 sin 2r),
y = e5t((Ci~ C2)sin 2t—(Ci 4-C2) cos 2r); x = e5t (cos 2t — sin 2r), ^ = 2e5/x
xsin2r. 9.434. x — e~2t (Ci cos 3/4-C2 sin 3t\ ^=-e-2'((4Ci—3C2)cos3z4-
4-(3Ci 4-4C2) sin 3/). 9.435. x = (2C1r + 2C2 + C1) y = (C\ty-C2)
= z = e'. 9.438. x=C1e24C2e’t, у = Сге21 + C3e z = C1e2,-(C24-C3)x
xe r; x = e2t + e y = e2,ie z = e2t — 2e *. 9.439. x = ц 4-3C2e2t,
у=-2С2е21 + С^е~\ z = C\ 4- C2e2t-2С3е~1. 9.440. x = C{e4 C2e2t-F
4-C3e31, ^=C1e' + 2C3e3', z = 2C1et + C2e2/ + 2C3e3'. 9.441. x = 2Cte2t +
+ C2e~3t—t----, y = C\e21 y-3C2e~3t------. 9.442. x = (CiCOS/4-
3	18	2 12
/	t2 t3
4-C2 sin t— 1) el, ^ = (Ct sin t— C2 cos /) e'. 9.443. x = l G 4- C2ty- — + — —
\	/ C	t3 \
— ЗеЧе21, j>=( Ci—y+C2t + — ~2e4 e2t. 9.444. x= Cx cos/4-C2 sin t —
310
-ZcosZ, y = (C2 — Ci )cos t — (Ci + C2) sin z + z (cos Z + sin t). 9.445. x =
= Ci cos Z + C2 sin z+tg z, y = — Ci sin z + C2 cos Z + 2. 9.446. x = 3 (С^З-
yC2e~2t) + C3 cos 2z+C4 sin 2z, y — 2 (Cie2t + C2e~2t) — 2 (C3 cos 2z +
4-C4sin2z). • Искать решение системы в виде x = Aekt, y = Bekt.
9.447. х = а(\—2~1)/4, у = 3а(\—2~1)/4. • Система дифференциальных
к
уравнений: х — к{ (а — х—у), у — к2(а — х—у). 9.448. х = а cos Z,
л/'71
VoJm к х2 к2 у2
у =-----sin —— г, — 3---= 1. • Дифференциальные уравнения
к у'т	mvo
движения: тх=—к2х, ту=—к2у. 9.449. Неустойчиво. 9.450. Устой-
чиво. 9.451. Неустойчиво. 9.452. Асимптотически устойчиво. 9.453.
Асимптотически устойчиво, если а < — 1/2; устойчиво, если а = — 1/2,
и неустойчиво при а> —1/2. 9.454. z, = — ф.+у; (z, zx + <pt (z), z„ +
+ (рл (z)) = F, (z, Zj, ..., z„), z=l, 2, ..., n. • Преобразовать систему (1)
к новым переменным, полагая zi = xi — iDi, /=1, 2, ..., п.
9.455.	Точка покоя х, = 0 (/ = 1, 2, ..., п) системы дифференциальных
уравнений устойчива, если для любого е>0 найдется 6(е)>0 такое,
что из неравенства £ .x?(z0)<52(e) следует £ x2(z)<8 при всех
i = 1	i = 1
n
z^z0. Если, кроме того, выполнено соотношение lim	x2(t) = 0,
Г-. + .ЗС i= i
то точка покоя системы асимптотически устойчива. Точка покоя
неустойчива, если найдутся е>0 и номер i такие, что при любом
3>0 из неравенства |х,-(/0)|<5 следует | xt (z)|>е для некоторо-
го z>z0.
9.456.	Неустойчивый фокус. 9.457. Седло. 9.458. Неустойчивый
фокус. 9.459. Устойчивый узел. 9.460. Устойчивый узел. 9.461.
Устойчивый узел. 9.462. Ни при каких а. 9.463. |а|^2.
9.464.	а<0, |а|^|Р| —случай большого «отрицательного трения»,
точка покоя—неустойчивый узел; а<0, | а | < | р |—случай «отрица-
тельного трения», точка покоя—неустойчивый фокус; а = 0, точка
покоя устойчива—центр; а>0, | а | < | р |, точка покоя—устойчивый
фокус; а>0, |а|^|р|, сопротивление среды велико, точка покоя —
устойчивый узел. • Заменить уравнение эквивалентной нормальной
системой х = у, у = — 2otv — р 2х.
9.465.	• Использовать запись частного решения однородной
системы при различных значениях характеристического корня.
9.466.	Неустойчива. 9.467. Устойчива.
9.468.	Е=х2+у2; устойчива. 9.469. V=x2+y2; неустойчива.
9.470.	Е=х4 + у4; устойчива. 9.471. И=х2+у2; неустойчива.
9.472.	V—2х2 + у2; устойчива. 9.473. V=y2— г/2х2; неустой-
чива. 9.474. Устойчива. 9.475. Неустойчива. 9.476. Неустойчива.
9.477. Устойчива. 9.478. Устойчива. 9.479. Неустойчива.
9.480. И=3х2 + 4у2; асимптотически устойчива. 9.481’). у (1)= 1,3280.
9.482. у(0,6) = 4,4828. 9.483. г (0,3) = 0,0451. 9.484. у(2)=-0,8407. 9.485.
у(1) = 0,7899. 9.486. у(1) = б,ЗЗО5. 9.487. у (1) = 0,3635. 9.488. у(2) =
’)В ответах к задачам 9.481—9.499, а также к задачам
9.506—9.511 приведены значения искомого решения в конце заданно-
го отрезка.
311
= 3,4547. 9,489. v(l) = 3,7190. 9.490. H2)=2,3683. 9.491. И0,0 = 0,1057.
9.492. у (0,5)=0,0461. 9.493. v(2)=4,2489. 9.494. у 0,4 = 0,4647.
9.495. >(0,0 = 0,1098. 9.496. v (0,5)=0,6842. 9.497. >( I) = 0,4388.
9.498. >(l)=0,3679. 9.499. v (2)='-0,7895.
9 500
SUBROUTINE EULER(F,X0,Y0,H,N,Y)
DIMENSION Y(N)
H3 = H**3
X = X0-H
U = Y0
K = 0
3 X=X+H
FUNC = F(X,U)
Y1=U + H*FUNC
1	Y2 = U + (FUNC + F(X,Y,l))*H/2.
IF(ABS(Y2-Y1).LT.H3) GO TO 2
Y1=Y2
GO TO 1
2	K = K+1
Y(K) = Y2
U = Y2
IF(K.LT.N) GO TO 3
RETURN
END
9.501.
SUBROUTINE RK(F,X0,Y0,H,N,Y,EPS)
DIMENSION Y(N)
M=1
KIND = 0
DO 1 1=1,N
1	Y(I) = 0
2	X = X0
U = Y0
DO 4 J = 1,N
DO 3 K = 1,M
Q1 = F(X,U)*H
Q2 = F(X + H/2.,U + Q1/2.)*H
Q3 = F(X + H/2.,U + Q2/2.)*H
Q4 = F(X + H,U + Q3)*H
DY=(Q1 + 2*Q2 + 2*Q3+Q4)/6.
U=U+DY
3	X = X + H
A = ABS((U-Y(J))/15.)
Y(J) = U
IF(A.GT.EPS) KIND=1
4	CONTINUE
IF(KIND.EQ.l) GO TO 5
RETURN
5	H = H/2.
M = M*2.
KIND = 0
GO TO 2
END
312
9.502.
SUBROUTINE MILN(F,XO,H,N,Y,EPS)
DIMENSION Y(N)
N1=N—4
EPS = 0.
X = X0
Fl = F(X + H,Y(2))
F2 = F(X + 2.*H.Y(3))
F3 = F(X + 3.*H,Y(4))
DO 1 K=1,N1
YW = Y(K) + (2.*F 1 - F2 + 2.*F3)*4*H/3.
Y(K+4) = Y(K + 2) + (F2+4.*F3 + F(X + 4.*H, YW)*H/3.
A = ABS(YW- Y(K+4))/29.
EPS = AMAX1(A,EPS)
F1=F2
F2 = F3
F3 = Y(K+4)
1 X=X+H
RETURN
END
9.503.	В задание для ЭВМ входит три программных единицы:
а) подпрограмма
SUBROUTINE EULER(F,X0,Y0,H,N,Y)
б)	подпрограмма-функция (к задаче 9.492)
FUNCTION F(X,Y)
F = 2.*X*Y + X*X
RETURN
END
в)	основная программа
EXTERNAL F
DIMENSION Y(20),A(40)
CALL EULER(F,O.,O.,O.O25,2O,Y)
CALL EULER(F,0.,0.,0.0125,40,A)
B=0
DO 1 K=l,20
C = ABS(Y(K)-A(2*K-l))/7.
I B=AMAX1(B, C)
WRITE (3,2) A,В
2 FORMAT (5(1H ,8F12.6),' ПОГРЕШНОСТЬ = \F10.8)
STOP
END
9.504.	Задание для ЭВМ к задаче 9.498:
а)	подпрограмма
SUBROUTINE RK(F,X0,Y0,H,N,Y,EPS)
б)	подпрограмма-функция
FUNCTION F(X, Y)
F = Y*Y*EXP(X)-2.*Y
RETURN
END
в)	основная программа
EXTERNAL F
DIMENSION Y(10)
CALL RK(F,0.,L,0.1,10,Y,lE-4)
WRITE (3,1) Y
313
1 FORMAT (1H, 5F15.6)
STOP
END
9.505.	Задание для ЭВМ к задаче 9.499:
а)	подпрограмма
SUBROUTINE MILN(F,XO,H,N,Y,EPS)
б)	подпрограмма-функция
FUNCTION F(X, Y)
F=1./(Y*Y-X)
RETURN
END
в)	основная программа
EXTERNAL F
DIMENSION Y(21)
DATA Y( 1 )/0.63212/,Y(2)/0.652562/,Y(3)/0.677129/,Y(4)/0.705863/
CALL MILN(F,l.,0.05,21,Y,EPS)
WRITE (3,1) Y,EPS
1 FORMAT (3(1H ,7F12.6),' ПОГРЕШНОСТЬ = ',F8.6)
STOP
END
9.506.	у (2) = 0,25, z (2) = 0,375.
9.507.	_y(l)= 1,261, z(l) = 2,346.
9.508.	j (0,3) =1,505, z (0,3) = 0,577.
9.509.	у (0,3) = 0,638, z (0,3)= 1,568.
9.510.	_y(l)= 1,359. 9.511. _y(2)= -1,833.
9.512.
SUBROUTINE RKD(F,FI,X0,Y0,Z0,H,N,Y,Z,EPS)
DIMENSION Y(N),Z(N)
KIND = 0
M = 1
DO 1 1=1,N
Y(I) = 0.
1	Z(I)=0.
2	X = X0
U = Y0
v=zo
DO 4 J = 1,N
DO 3 K = 1,M
Q1Y = F(X,U,V)*H
Q1Z = F1(X,U,V)*H
Q2Y = F(X T H/2.,U 4- QI Y/2.,V 4- QI Z/2.)*H
Q2Z = FI(X 4- H/2. ,U+QI Y/2.,V 4- Q1 Z/2.)*H
Q3Y = F(X + H/2.,U+Q2Y/2., V4-Q2Z/2.)*H
Q3Z = FI(X + H/2.,U+Q2Y/2.,V + Q2Z/2.)*H
Q4Y = F(X + H,U + Q3 Y,V+Q3Z)*H
Q4Z = FI(X + H,U+Q3 Y,V+Q3Z)*H
DY=(Q1Y + 2*Q2Y 4- 2*Q3 Y 4- Q4Y)/6.
DZ = (Q1Z 4- 2*Q2Z + 2*Q3Z+Q4Z)/6.
U=U+DY
V = V4-DZ
3	X=X+H
A = ABS((U-Y(J)/15.)
314
B = ABS((V-Z(J))/15.)
Y(J) = U
Z(J) = V
IF(A.GT.EPS.OR.B.GT.EPS) KIND=1
4	CONTINUE
IF(KIND.EQ.l) GO TO 5
RETURN
5	H = H/2
M = M*2
KIND = 0
GO TO 2
END
9.513.	Задание для ЭВМ к задаче 9.509:
а)	подпрограмма
SUBROUTINE RKD(F, FI,X0,Y0,Z0,H,N,Y,Z,EPS)
б) подпрограмма-функция
FUNCTION F(X,Y, Z)
F = EXP( -1 .*(Y**2 + Z**2)) + 2.*X
RETURN
END
в)	подпрограмма-функция
FUNCTION FI(X, Y,Z)
FI = 2.*Y**2 + Z
RETURN
END
г)	основная программа
EXTERNAL F,FI
DIMENSION Y(20),Z(20)
CALL RKD(F,FI,0.,0.5,1 .,0.1,20,Y,Z, 1E—4)
WRITE (3,1) Y,Z
1 FORMAT (1H, 10F10.4)
STOP
END
9.514.	>4=2,953, >2 = 4,375, y3 = 6,359. 9.515. >4 = 1,926, y2 = 2,593,
>4 = 3,333, >4 = 4,148, >5 = 5,037, v6 = 6. 9.516. »=0,874, y2 = 0,743,
y3 = 0,611, >4 = 0,482, у5 = 0,362/ >’6 = 0,253, >4 = 0,161, >8 = 0,087,
>4 = 0,033. 9.517. yt =2,019, >4 = 3,956, >3 = 5,720, >4 = 7,212, >4 = 8,316,
>6 = 8,908, >7 = 8,855, >4 = 8,044, >9 = 6,413, >10 = 3,998. 9.518. >4 = 1,17,
>2=1,31, >з=1,42, >4=l,50, >4 = 1,64, y6 = l,66, >7 = 1,63, >8 = 1,58,
>4=1,49. 9.519. >0 = 2, >1= 2,273, >2 = 2,674, >4 = 3,185, >4 = 3,796.
9.520.	Задание для ЭВМ к задаче 9.518:
а)	подпрограмма
SUBROUTINE EXCLUS(A,B,N)
б)	основная программа
DIMENSION А(11,11),В(11)
READ (1,1) А,В
1	FORMAT (9F8.4)
CALL EXCLUS(A,B,11)
WRITE (3,2) В
2	FORMAT (' ,9F8.3)
STOP
END
315
ГЛАВА 10
10.1. Линии уровня — параболы у2 = С—х. 10.2. Линии уровня —
гиперболы ху = С (при С = 0 — совокупность координатных осей).
10.3. Линии уровня — прямые у — Сх, х#0. 10.4. Поверхности уров-
ня— параллельные плоскости x+y + z — C. 10.5. Поверхности уровня —
однополостные и двуполостные гиперболоиды х2 +у2 — z2 — ±С2 (при
С —0— конус х2+у2 — z2 = 0). 10.6. Поверхности уровня - параболоиды
вращения x2+y2 = z + C. 10.7. Гиперповерхности уровня — четырех-
мерные параллельные плоскости хх + х2 + х3 + х4 - С. 10.8. Гипер-
поверхности уровня — четырехмерные сферы х2 + х i + х з + х4 = С2.
10.9. Окружности х2-Уу2 — С2. 10.10. Гиперболы ху — С (при С=0—
совокупность координатных осей). 10.11. Параболы у2 = 2(х + С). 10.12.
X у Z
Прямые - = — =	10.14. Линии пересечения гиперболических цилин-
/ т п
дров у2—х2 — Сх с такими же цилиндрами z2 — x2-C2. 10.15. Окру-
жности, являющиеся линиями пересечения сфер х2 +y2 + z2 — С2 с плос-
костями x+y + z = C2. 10.16. Прямые четырехмерного пространства,
xt х2 х4
перпендикулярные к оси Ох3 и ее пересекающие: —=—= —; лз~^
/1 /2 /4
11	11
10.17. x=cosr, >’ = sin/, z-ht. 10.18.-=1, —I--г = 4.
x z	x 2y2
10.19. а) Конические поверхности с вершинами в начале коор-
динат, направляющими которых служат заданные замкнутые кривые;
б) тороидальные поверхности, образованные окружностями с цент-
рами на прямой x-y — z, лежащими в плоскостях x+y + z = C,
сечениями которых служат заданные замкнутые кривые.
I*	xi У- v i У- к	г
10.24. —= ------—. 10.25.	10.26. a. W.Z1. alb, r\ + b(a, г),
iri /гт^+z2 и2	' ' 1
10.28. 2|а|2г—2(а, г)а. 10.31. 13/5. 10.32. 4ДД 10.33. 14/3. 10.34.
1/|г|2. 10.35. б/Уа^+^ + с2. 10.36. cos<p=-4,' /43. 10.37. — = 2^6,
дп
n^-^-(2i+j+k). 10.38. -^(2/+3j-2A). 10.39. Р(3, 3, -3).
х/6	\/17
10.45.
ху — С. 10.46.
10.47.
10.48. 72 + 1. 10.49.	10.50. 0. 10.51. ^а3. 10.52.
— Г(1+4л2)’г-1]. 10.53.	10.54. ° v/1°. 10.55. — кяа3. 10.56.
3 LV ' J yj 9	64
I—	ка^/3	Mme
2knaJ2a. 10.57. kna2. 10.58. —10.59.------------5—vn- 10.60. аг2.
2	(a + с2)
10.61. ^Pr4. 10.62. 7з/360. 1°-63- 2 72л/3. 10.64. 4л. 10.65. ^ла3.
81га3. г	па* J2 кпа3( г \
10.66. -^-(72 + 1). 10.67. —10.68. ЗТЗ-1 I Ю-69- —ка3.
316
10.70. ya27^(3V2-ln(l+x/2))- 10.71. -nab. 10.72. a) 2/3; 6) 0,7;
в) 0,7; г) кд) 1.
2л/?2
10.76.	. <]
уз
x2 4- ху 4- у1 = R (х 4- у).
10.73. 2л/?2. 10.74. 91/60. 10.75. 2л2л2Л.
z = R — х —у,	x2+y2+(R — x—y)2 = R2,	или
„	/?(l + z)
Положим y=tx. Тогда имеем: ,г=---------т,
1+/ + Г2
Я(»+Г2) R	Я?
у =--------- — R---------, z =------г. Значению t = 0 соответствует
7 14-Z + Z2	14-Z+Z2	14-/Ч-Г2
точка Л(/?, 0, 0), значениям Z= + oo—точка В(0, R, 0), значению
z= —1—точка С(0, 0, /?). Обходу в положительном направлении
относительно оси Oz соответствует обход ВСАВ, т. е. изменение
/?(Г2 4-2/)
/от —оо через —1 и 0 до 4-оо. Далее, dx=----------------------v~;dt,
(14-Z+Z2)2
/?(2гч-1)
dy=-------7—7 dt, dz —-------— dt. Получаем z dx + x dy+у dz =
'	(1 + Z + Z2)2	(1+Z + Z2)2	У	Л У
Z?2 (1 + 2 Z+3 Z2 + 2 Z3 + Z4)	_ R2dt
(1 + Z+Z2)3	— 1+Z + Z2’
,7 д'+г) 2Я2	2г+1
=л J ro?=^arctg тг
откуда f (л, dr)—R2
c
f—
J l+<+t2
2л/?2
3
10.77.	2na2. 10.78. \2'/2-^\a3. 10.79. 4r3/3. 10.80. -4л.
— nr4/2. 10.82. -1. 10.83. a3/6. 10.84. 4na. 10.85. 4ЯЯ3/15.
лЯ4/2. 10.87. лЯ2///3. 10.88. лЯ2Н/4. 10.89.	10.90.
10.91. 0. 10.92. лЯ4. 10.93. -Я2Я/3. 10.94. 0.
10.81.
10.86.
лЯ4/8.
10.95.	x+y+z. 10.96. — 2/(%+>> +z)5/3. 10.97. 14. 10.98. 8. 10.99.
0. 10.100. 0. 10.101. 0. 10.103. а5. 10.104. 4лЯ2.
10.105.	—2л/?3. • Замкнуть поверхность, добавив основание
параболического сегмента, и вычесть соответствующую ему часть
потока.
10.106.	Если a = axi+ayj, то поток вектора а через дугу АВ
определится формулой J (в, л) ds= f ах dx—ау dy. Теорема Гаусса —
АВ	АВ
Остроградского для плоского поля:	$(в, n)ds — ^ axdy — aydx —
10.107.	iaxdx + avdy=	I———~^]dx dy (формула Грина). •
l	JJV* дУ/
Q
Положить в предыдущей формуле (задача 10.106) ах — ау, ау——ах.
317
10.108.	10.109.	. 10.110. x(z2— y2)i+y (x2 — z2)j+
+ z(y2 — x2)k. 10.111.	)Л. 10.113. — 2yi+2xj—2(3x+2y)k.
\dx dyj
10.114. 0. 10.115. rot v = 2w. • Скорость v точки P(r), вращающейся
с угловой скоростью co вокруг оси, проходящей через начало
координат, равна [со, г]. 10.118. а) а2. • Перейти к параметрической
форме, положив y = tx; петле соответствует изменение Г от 0 до
3 а2Ь2	4	3	А	R3
+ оо. б) -я—10.119. -nR3. 10.120. -лЯ4 10.121. —. 10.122.
7 8	с2	3	2	3
div (си) = (с, grad и), div (au) = u div а 4- (a, grad и).
10.123.	grad(a, с) = Гс, rota]4-(c V)a, grad(a, Л) = [А, rota]4-
4-[а, rot£]+(£, V)a+(a, v)b. о Найдем предварительно jy, rota].
Имеем: [c, rotaj= [с, [V, a]] = (a, с)V — (c, V)a = V(a, с)—(c, v)a. От-
сюда V(a, с) = [с, rota]+(c, V)a, далее, grad(a, b) = \7(a, b)+V (b, a)
и используем предыдущий результат. t>
10.124.	div [a, c] = (c. rota), div [a, Л] = (Л, rota) —(a, rotA). 10.125.
rot (cu) = [grad u, c], rot (au) = u rot a+ [grad u, a], rot [a, Л] =(Л, V)a —
—(a, v)b + adiv b—bdiv a. • См. решение примера 5.
d2u	d2u	д2и
10.126.	div gradu = V2u =—г4--И---grad diva = V(V, a) =
dx2	dy2	dz
d(diva)	d(diva)	d(diva)	_ _	__
= -^----4+^------+ ---------k, rot rota = [V, [V, a]] = V(V, a)-V2a =
dx	dy	dz
= grad diva—V2a, V2a = V2aA/4- V2ayj+ \2azk.
10.127.	6r = 6(xi+x/+z*). 10.128. 0. 10.129. 4r = 4(x/+x/+zJt).
10.130.	udiv grad v + 2 (grad u, grad r) + vdiv grad u.
10.131.	grad div (uc) = (<’, V) grad u, grad div (ua) = u grad div a+
4-div a grad и 4- [gradu, rotol 4-(gradu, V) a 4- (a, V) grad u.
10.132.	rot rot(uc) = (c, V)gradu — cV2u.
10.133.	x3y — xy3 4- C. 10.134. 2 ^cos 2xsin 2 7 4- sin 2x cos 2у 4- C.
x2y v2z2	у z x
10.135. xyz-----h"---l-C. 10.136. -4-1--l-C. • За начальную точку
2	2	xyz
А принять точку (1, 1, 1) или любую другую точку, не лежащую
yz xz ху
на осях координат. 10.137. —74-—у—г-4-С. • См. указание к преды-
х2 у2 z2
дущей задаче.
10.138. <i Если бы во всюду непрерывном потенциальном поле
могли существовать замкнутые векторные линии, то циркуляция по
такой линии не могла бы быть равной нулю, так как произведение
(a, dr) вдоль всей линии сохраняло бы постоянный знак, и поэтому
J (а, аг)/0. с*
10.139. Особая точка 0(0, 0), циклическая постоянная равна 2л.
10.140. • Взять два произвольных замкнутых контура, обходящих
данную особую точку: АМА и BNB. Соединить точки М и N отрезком
прямой и к сложному контуру AMNBNMA применить формулу
Грина. 10.141. • Использовать при определении потенциала пути,
обходящие по нескольку раз и в различных направлениях особые
точки. 10.147. • Применить теорему Гаусса — Остроградского
и учесть, что на боковой поверхности трубки (а, л) = 0. 10.149. • При-
менить теорему Гаусса — Остроградского и учесть, что для гар-
монических функций V2u = 0. 10.150. Нет. 10.151. Нет. 10.152. Да.
318
10.153. Только при Л + С = 0. 10.154. Только если Л + С=Я+£> = 0.
10.155. Да. 10.156. Только при	+ д22 + <*зз = 0- 10.157. Только если
<2111 +<*122 + <*13 3 = <*1 12 + <*222+ <*23 3 = а1 13 + <*22 3 + <*3 33 =0.
10.158. Линии х: - =--------:
1	0
z-z0	x-x0 у z-z0
----; линии у:----= - =----; линии
О	л 0	1 О
О ОГ
10.159.	Линии r: ip = ip0, z — z0 (лучи, исходящие из точек оси
Oz, лежащие в горизонтальных плоскостях); линии ф: r = r0, z = z0
(окружности с центрами на оси Oz радиуса г0, лежащие в плоскостях
z = z0); линии z: r = r0, ф = ф0 (прямые, параллельные оси Oz).
10.160.	Линии г: 0 = 0О, Ф = Ф0 (лучи, исходящие из начала
координат); линии 0: r = r0, ip = ip0 (полуокружности радиуса г0
с центром в начале координат, лежащие в полуплоскостях ф = ф0,
проходящих через ось Oz, т. е. меридианы). Линии ф: г = г0, 0 = Оо
(окружности радиуса rosin0o с центром на оси Oz, лежащие
в горизонтальных плоскостях, т. е. параллели).
10.161.	Lx = Ly = Lz=\. 10.162. Lr = Lz=\, L =r. 10.163. Lr=\,
LQ = r, L^-r sin 0. 10.164. dsx = dx, ds = dy, dsz = dz', dox = dy dz,
d<jy — dx dz, d<3z = dx dy, dv — dx dy dz. 10.165. dsr — dr, ds^ — rdip. dsz = dz\
doy=r dip dz, da = dr di
dsQ = r dft,	t’
Эоф = r dr dQ;	dv = r2 sin 0 dr dQ dip.
( <^w\
,d r—	,	_ 4
1/ \ dr J 1 d2u d2u\
— I--------1------1_ j--I
r\ dr r dip2 dz2)
f 1 daz da\	/ dar daz
--------- er +---------
dip dz)	\ dz-----dr
.du 1 du
r Э0 0"*”rsin0 Эф
d2u\
10.173.
10.168.
10.170.
ди
дг
sin 0 Эф2
10.174.
fz, da z = г dr dip ', dv — r dr dip dz. 10.166. dsr = dr,
ds9 = rsin0 Эф; d<sr = r2 sin 0 dQ dip, dcre = rsin0 dr dip,
ди	1 du du
10.167.	—er4--------e_4-----e_.
dr	r dip ф dz
10.171.
10.169.	+ Л
r \ dr Эф dz
ф r\ dr Эф/
(Э / _ Эм\ Э ( du\
sin0 — I r2 — Id------1 sin0 — I +
Эг\ dr) Э0\	Э0/
1	/ . л Э	Э /	\ da \
; "~x smO —(r <2r) + r— tz0sin0 +r—z .
r2sin0\ dr' rl Э0\ ’ J dtp)
. ч ЭяЛ	1 / 1 dar d z	A
a sin 0)-— k + - т-x —Г '•«.) Ив +
dip)	r \sin 0 Эф dr	)
..	4	.	1	e7
+ -I —(*<*«)----|e_. 10.176. a) dive =-, rote =0; 6) dive, =0, rote=—;
e' MJ ф	' r ’	' >	.	’	» r’
2	ctg0
в) divez = 0, rotez = 0. 10.177. a) diver = -, roter = 0; 6) dive0 =-------,
ctg0 1
в) dive=0, rote=-----------er — e0. 10.178.
<?ф
rote0 = —;
а) и — Сх In r+C2;
10.179.
a) w = —+ С2;
г
w = r2sin 2ф cos 20,
V2w =
б) u = C\ip + C2; в)
0
б) и = С\ In tg- +С2;	в) u=C1ip-\-C2.	10.180.
(cos 2ф cos 20
sin 2ф cos 20er — sin 2ф sin 20 e0 -I-еш
sin0
= 2sin 2ф(1 — 2ctg 20).	10.181.	и = rz sin Zip + rcos lip,	grad и =
319
, Зи
V2u=—
г*
= (z sin 2<p 4- cos 2<p) er 4- 2 (z cos 2<p — sin 2ф) еф 4- r sin 2<p e.
1.	.
rotfl = -( 2cos9er — sinOe0 1.
r \	J
?ф. 10.184. gradw =
gradu=/'(r)er=/'(r)^,
dF	1 dF
gradu=—e,+-—el>,
dr	r dO
dF dF
grad м = —- er 4-— ez,
dr dz
10.182.	a = sin0er	diva = 0,
10.183. a = rz(er — ez), div<z = 2z —r,
rote = (r + z)e<
10.185.
V2w=/''(r) + —.	10.186.
r
. d2F 2 dF 1 d2F ctgOdf
V2u ~----1-----1------1-------.
dr2	r	dr	r2 dQ2	r2 dQ
.	d2F	1	dF	d2F
V2W = .—+-----4-—-
dr	r	dr	dz
10.187.
ГЛАВА 11
11.1. Внутренность круга с центром в точке z0 радиуса R;
односвязна. 11.2. Внутренность кольца между окружностями радиусов
1 и 2 с центром в точке z0 = /; двусвязна. 11.3. Внешность круга
радиуса 2 с центром в точке z0 — i с выколотой бесконечно удаленной
точкой; двусвязна. 11.4. Внутренность горизонтальной полосы, за-
ключенной между прямыми у = — 1/2 и у = 0; односвязна. 11.5. Внеш-
ность круга радиуса R с центром в точке z0; односвязна. Бесконечно
удаленная точка z=oo является внутренней точкой этой области.
11.6. Внутренность круга с выколотым центром z0= — i радиуса 2;
двусвязна. 11.7. Открытая полуплоскость, определяемая прямой х=1
и содержащая начало координат. 11.8. Внутренность круга радиуса
2 с центром в точке (2, 0); односвязна. 11.9. Прямая
, л О	2+1	(^4-l)(z4-z) (z4-l)(z4-/)
х —у 4-1 =0. • Записать ----- в виде -----------—-----=--------.
z-i	(z-i^z + i)	|z-/p
X у
11.10. Внутренность эллипса----1---= 1. 11.11. Окружность |z|=—2,
3	4
кроме точки z=—2/. 11.12. Часть плоскости, лежащая справа от
х2 у2
левой ветви гиперболы----------= 1. 11.13. Прямая, проходящая
точки Zi и z2, с вырезанным отрезком, соединяющим эти
через
точки. 11.14. Внутренность отрезка, соединяющего точки — i и /. • Во-
спользоваться равенством arg( — z) = я 4- argz. 11.15. Rez>0, Imz>0.
11.16. Rez<0. 11.17. |Rez|<3.	11.18. |z-(1 4-/)| 4- |z-(34-/)|<6.
11.19. 3n/8<arg(z —z0)<5n/8.	11.20. u = 2x2 — 2y2+y, v = 4xy + x.
y2__ / J i Л 2
11.21. m= — 2xy — x, v = 2-y + x2— y2. 11.22. u=----, v =
2x(l 4-vj
= —Г-Т—4?-	11.23.
v2 _L ( 1 _L i A 2
и=~У
1
х2+у
11.24. u = x2— y2, v~2xy—l. 11.25.
2(x-y)
11.29. 4z/(z2 —z2). 11.31. Любая
м= —-----; (2ху4->Ч-л2-у24-х4-1),
2(х-у) z
11.27. z2+2k-1.	11.28. z+- .
z
область, лежащая внутри угла
320
с вершиной в начале координат и раствора не более п/п. 11.32. Любая
область, лежащая в полосе, параллельной действительной оси
и шириной не более 2л. 11.33. Любая область, лежащая в полосе,
параллельной мнимой оси и шириной не более 2я/3. 11.34. Любая
область, лежащая либо внутри единичного круга (| z | < 1), либо вне
1	1
его (|z|> 1). • Равенство zx 4-= z24— при zr /z2 возможно только
-1	z2
1
в случае, когда z2 = —
21	5	11*
11.37.	+	11.38.-------i.
55	13	13
11.35.	3/.	11.36. -ill.
11.39. Ось Ох отображается
в окружность и2 + v2 = 1. Ось Оу отображается на ось Ои. При
этом точка z = z переходит в точку w=oo, а точка z=oo— в
точку И’=1.
11.40. Прямая л = С отображается в параболу v2 = 4С2 (С2 — и);
окружность | z | = R — в окружность | в» | = R2, проходимую дважды;
луч argz = ot — в луч argw = 2cx; полукруг |z|<г, Im z>0 — в круг
|iv|<r2 с разрезом по отрезку положительной действительной оси.
11.41. о Точки, лежащие на прямой х — С\ записываются в виде
1 С	р
z = C4-/v, а потому и’=-----------=—-------—i——- . Отсюда
C+iy С2 + у2	С‘ + г2
С	у	\ и
и=—z-----v=— — ---------, ил + и — —т:--- ——. Следовательно, об-
С2-Уу2 С2-У у2	С2-У у2 С
разом прямой х = С является окружность u2 + v2---т=0. Образом
окружности | z | = R является окружность |н>| = —. Луч argz = a, т. е.
R
луч (0, оо • е1а) отобразится в идущий из бесконечности луч (О,
"	*	" отобразится в нижнюю полупло-
1
|w|^-, Imiv<0. о
laj. Полукруг | z | < г, Imz>0,
скость с вырезанным полукругом
72
11.42. и’0=
V2
И’, - —
"’2	2
Л
2
Н’! =
11.44.	и’!
11.43. и’о ~
2-72
/4 (	Ф1	.. Ф1 \
!1 cos-----F / sin — ,
\	2	2 7
<pI=n-arctg(v/2-l);
. . . Ф1
4-1 sm —
2
. Фг\
Ф1
cos —
2
/I Ф2 ф2 \	/ ~Г / Ф7 . Ф2 \
-JI cos-----F/sin — , и’д — — х/2 — х/2 cos — 4- / sin — I ,
v\2	2 )	v \	2	2/
(p2 — arctgк/! +1). 11.45. b’i=0, H’2= 1 + i, и’3— — (14-/). 11.46. 2(<р+£л),
keZ. 11.47. Зф + 2Атг, keZ.
11.48. -(\|/4-2л (п + Зк)), и = 0, 1
1+ г cos ф
cos ф — - — —------.	11.49.
71 +Г2 + 2гСО8ф
И’2 =
г sin ф
2, к е Z, sm ф =	-----------..—,
х/1+ г2 + 2 Г COS ф
^ + л(и + 2/с),	л = 0, 1, ZreZ,
321
rsincp	r cos ф — 8
sin ф = -—	..,	cos ф = - - •	.......-   .	11.50.
-У64 + r2—16r cos ф	у/64 + r2 — 16rcos(p
Ф /	.	Г^8ш2ф
-4-л («4-2 А:),	/7 = 0, 1, keZ, 8шф = ——- ...............- .....
2	^/16 +г4 —8r2 cos 2ф
,	г2С082ф —4	ф	.
cosф = ------- 11.51. — + п(п + 2к), п = 0, 1, keZ, 8тф =
^Тб4-г4 —8г2со82ф 2
3rsin<p	г2— 2 — г cos ф
= — -...... ................ , cos ф =	---- ----- .
4/9r2sin2 ф + (г2 — 2 — гсо8ф)2	yj^r2 sin2 ф 4-(г2 —2 —г cos ф)2
11.53.	Rew = el xcos>’, Im vc = — е1 xsinу. 11.54. Re w = ex2-(1~>,)2 х
xcos2(l— j), Im w = ex2_(1-^2sin2x(l — у). 11.55. Re w = sin xch(l — Н,
Im vv= —cos xsh(l — j). 11.56. Rew = shxcos(j4-2), Imw = chxsin(j 4- 2).
sin2(l-|-x)	sh2y
11.57.	Rew =----------—-2—-	Imvc =------------
ch2y + cos2(l +x)	ch2^4-cos2(l 4-x)
Imw = — 3*2+y2 sin—-----
x2+y2
I.	11.64. — sh2cosl 4-/ch2sin 1.
л	/	1\
- i.	11.67.	2^4-- л/,
2	\	4/
0.	11.70.	Arcsinz =
2kn — i\n(y/2— 1),	keZ.
i i
Arctg- = £n4-~ In2,	keZ.
z h
Arsh/ = (2Zr4--)K/,	keZ.
Arch(— 1) = (2Xc4- 1)л/,	keZ.
I	/	/	1 \
= -In 54-- arctg24-l k + - 1л/, keZ.
4	2	\	2/
11	.76.	|и’| = л2, argn=0.
e2— 1
11.	78. |w| = thl=—-, argvv = 0.
e 4-1
11.80. е(2к+1)л, keZ.
11.58.	Rew = 3x +у cos—-----
x2+y2
11.62.	ch 1 cosl — Zsh 1 sin 1. 11.63. cos
11.65.	(2А+1)л/, keZ. 11.66.
keZ. 11.68.__________ zcthjc. 11.69.
= — i Ln (/£4-^/1 — z2),	Arcsin/ =
i 1 4- iz
11.71. Arctgz=—Ln---------------,
2	1 — iz
11.72.	Arsh z = Ln(z4-z2 +1),
11.73.	Arch z = Ln (z4- z2 — 1),
11.74.	Arthz = i Ln	Arth(l-z)
4	3л
11.75.	|и’| = -,	argw =—.
Iz
11.77. I w I = -(3+ cos In4), arg vc = 0.
11.79. (cosIn24-zsin 1п2)е-2"я, «eZ.
11.81. e
In2	ln2\	/7...... .
cos-----H’sin — I, keZ. 11.82. ^с2*2**1)*1 keZ.
2	2 J
|, keZ. 11.84.
I, keZ. 11.85.
arctg- + 2^n
11.83. 5e 3
4
arctg—f-(2fc+ l)n /
(
(i + SA)	/3 i \	/Л \
e 4	, keZ. 11.86. e6 ^—4— , keZ. 11.87. z = z -4-2£л ,
\ 2	2)	\2 J
keZ. 11.88. x = 0. 11.89. z=l+/. 11.90. z^ + 2)U, keZ. 11.91. /(z)
непрерывна в Z>, если Ve>0 VzeD 36 = 5(e, z)>0 ((|Az|<6az4-Azg
D)=>\f(z + ^z)-f(z)\<&). 11.92. -2i. 11.93. 1. 11.94. 00. 11.95. 0.
322
11.100. /(0) = 0. 11.101. /(0) = 0. 11.102. /(0) = 0. 11.103. lim/(z) не
z—О __________________________________________________________
Az
существует. 11.105. Не дифференцируема ни в одной точке. • lim —
Дг—*о Az
не существует. 11.106. Не дифференцируема ни в одной точке. • При
Ах	1
Ay=fcAx имеем lim --------= lim -----, т. е. предел не существует.
Дх_0 Дх+/Ду 4дЧ)1+й
11.107. Дифференцируема только в точке z = 0. 11.108. Дифферен-
цируема только в точке z = 0.
11.109. Не дифференцируема ни в одной точке. В точ-
|г + Дг| —|z| |Дг|
ке z = 0	lim ------------= hm-------не существует. Если же
Az—О AZ	Az—О AZ
. л А »	|г + Дг| — |z|
z/0, то, обозначая |z| = r, Az = Аре ф, имеем ---------------=
Az
/ / 2Ар	' /Ар\2	\
г /14—r-(xcos(p + j’Sin<p)-H — I —II
\\ Г	\ г/	/
=------------------:----------------. Отсюда найдем
Аре’ф
11.110. Дифференцируема только в точке z=l.
11.111. • Использовать правила дифференцирования сложной
функции , двух переменных w(x, у) = u (г cos ф, г sin ф),
ди	ди	дх	ди	ду
r(x, y) = v(rcos9, Г8шф) и условия (1):	— =
дг	дх	дг	ду	дг
dv	dv	dv	dv	dv	du	1	dv
= — cos cp--sin ср и —=-----rsincp -l-rcoscp, t. e. — = -• —. Ана-
ду	дх	дф	dx	dy	dr	г	дф
логично проверяется второе
из равенств (2). Для получения равенств
(4) следует выразить —
дх
дг дг дф
производные —
дх ду дх
dv
— через производные по г и
дх
Ф,
дер
Sy
получить из равенств г=х/х2+у2,
и
Ф = arctg- и подставить найденные выражения в (3).
х
11.112. (e3z)' = 3e3z. 11.113. (shz)' = chz 11.114. (z")'-nznH (кроме
точки z = 0 при отрицательных п). 11.115. (cosz)'= — sinz. 11.116.
323
/ z\ 1 z
(ln(z ))' = 2/z. 11.117. I sin- I =-cos-. 11.118. • Воспользоваться усло-
виями Коши — Римана. 11.121. Вся плоскость, кроме точек z = l k-t-m,
keZ: (tgz)' =—— . 11.122. Вся плоскость;— e 2(\—z). 11.123. Вся
cos z
(1 — z )cosz — z(l 4-z )sinz
плоскость, кроме точек zx 2=±/;	—-----------j”!------•
11.124. Вся
vgZ; /'(z) =
плоскость, кроме точек zv — 2nvi,
2ez
———.	11.125. Вся плоскость, кроме точек
л
-v, VGZ; f'(z) = cos2z. 11.126. Вся плоскость, кроме точки
= 0;
егС?-1)
/'(z) =----—. 11.127. Вся плоскость,
z2
1
f'(z) =----11.128. Вся плоскость,
sh2 z
keZ;	..	11.130.
1 — sin 2z
11.131. Aw = 0,	v(x.y)2=3x2y-y3 + C.
11.132. Ar = 0,	u(x, y)~2excosy + C,
= 2e2 + C.	11.133. Au==0,
кроме точек zk = nki, keZ;
1
k + 4
d2u 1 ди 1 d2и
&u —	~ t- “Л 7—2 •
dr r dr r бф
f (z) = (x + iy)3 + Ci=z3 + Ci.
f (z) = 2ex(cos>’ + /sin j’) +
v(x, y) = — x2+y2 + C,
кроме точек zfc =
f (z) = — i(x2 — y2 + 2ixy) + 3 + Ci= —iz2 + 3 + Ci.
11.134. Av = 0,
1	1	у
w(x, y) = ~\n(x2+y2) +C\	/(z) = -In (x2 4-j2) + /arctg-+C=
2	2	x
= In |z I + i arg z 4- C—In z + C.
11.135. Ди = 0, v(x, y)=-------7^-7+
xz+y
+ 2x4-C, f(z) = ——~ — 2y + 2ix + Ci=—\-2iz + Ci.	11.136. Aw = 0,
x2+y2	'	z
v (x, y) = — - (x 2 - у 2) 4- 2xy 4- C,
f(z) = z2-^z2 + Ci=^-z2 + Ci.
11.137. Au = 0, w(x, y) = |(x2— >’2) + G /(z) = |z24-C.
11.138. k = 4, ф = л/4. 11.139. k = 2, ф = я/2. 11.140. k = 6; ф = л/2.
11.141. fc = 3, ф = 0. 11.142. Л=1, ф = 0. 11.143. k = 2, ф = л/2. 11.144.
Сжимается область |z|>l, а растягивается область |z|< 1. 11.145.
Сжимается полуплоскость Re z < 1, а растягивается полуплоскость
Rez> 1. 11.146. Сжимается область |z- I > I, а растягивается область
|z4-l |<1. 11.147. Сжимается внутренность круга |z4-l |<1/2, а рас-
тягивается внешность этого круга. 11.148. |z—1|=1/2. 11.149.
г—=1/2. 11.150. |z+/| = y2. 11.151. |г| = 1/7з. 11.152.
[z| Im(l — /)z = 0}, т. е. прямая у — х. 11.153. {z| Im(l 4-Z)(/4-z) = O},
324
— i Зя
04z)2=T“
11.154. Луч
г. е. прямая х+у -1-1=0. • Использовать равенство arg
— 2arg(/4-z) = 0 и соотношение
Зя
—=arg(—1—/).
4
0<х<+оо, у~ —1/2. 11.155. Луч 1<х< + оо, ^ = 0. 11.156. Отоб-
ражение конформно. 11.157. Отображение не конформно.
11.158. Отображение конформно. 11.159. Отображение конформно.
11.160. Отображение не конформно. 11.162. z0= —1, а = 0, к~2.
11.163. z0 = 2(l-H), а = -.	11-164- 2о~ ~2~2Ct^8 ’ а==^'
11.165. При а^\ z0 =---, a = argfl, А: = |а|. 11.166. Прямая v=— 3.
1 —а
11.167. Прямая и — 2г = 0. 11.168. Окружность и2 4-г2 — и — г = 0.
11.169. Окружность и2 4- v2 4- 2м 4- 2и+ 1 =0.	11.171.	w = i-—
z— 1
(iyV)z-i	(5 —3z)z —4
11.172. w =----------------.	11.173.	и’ =-----------.
z___________ 4z — 5 — 3/
a — d ± J (a — d)2 4- 4bc	_
11.174. Zj 2 =----------------------, Zj=z2 при (я —б/)2 + 46с = 0.
2c
Бесконечно удаленная точка является неподвижной только при
с = 0, т. е. для линейной функции. 11.175. а) -(!+/); б) 4-н. • Точка
,	14-2/
1 + / и центр круга i лежат на прямой у — 1. 11.176. а) w| z = _ j + f =—-—;
81—2/	1	я
б) и,|2=1_9.=—-—. 11.177. а = -, 0 = я. 11.178. а = 0, 0=—.
65	2	2
11.179. a = z0, 0 = —. 11.181. а=/, 0 = 0. 11.182. а = 2/, 0 = — . 11.183.
2	2
ot = z0, 0 = я. 11.184. £={w|| и'|< 1, Imw<0} (нижняя полуокружность).
Рис. 106.
11.185.
1ти’<0> (рис. 106).
0<х<4-оо преобразуется во внешность отрезка 0и1,
• Луч
причем
325
точки верхней полуплоскости (z) отображаются в точки нижней
полуплоскости (w). Прямая у — х = 0 отображается в окружность
\/2
= -у- с центром
..... . 1 1 '
ww--— H’ + -y-w = 0, т. е. в окружность н’ — I	-i
1-
11.186.
2	2
1-------------1
в точке wo =---l
2	2
^|w—1|^1, —^<arg(n’—1)^0• Окружность
|z|=l отображается в окружность |w— 1|=1, окружность |z| = 2 — в
1	3
окружность |и>— 11 = -, отрезок 1^х^2 в отрезок -^и^2, а прямая
у = х — в прямую w + r=l (рис. 107).
Рис. 107.
11.187. Е= {w|Imw>0, Ren>>0}.	11.188.
3
И’ —
4
1]	(
>->. 11.189. E=<w
4)	(
я	я]
-<argw<->.
4	4]
11.190. D=< {z| Rez< 1/2}
при г < 1,
при г — 1,
при г> 1.
<i Поскольку | w | < г, то из соотношения и’(1— z) = z получаем
|z|<r|l — z\. Возводя обе части этого неравенства в квадрат, запишем
полученное неравенство в виде zz <r2 (1 — z) (1 — z), откуда получаем
(г2 - l)zz —r2(z + z) + r2>0.
(*)
Если г<1, то из (♦) имеем
г2	г2
zz-+_(z+f)<__.
(»*)
326
г2	(	г2 \		/	г2 \	г4			
Но zzH	г 1 — г г4	г2 [1 — г2)2^ 1 —г т. е. D = ^z | но	в	<	(z + z) = (j + -j— г2		V ' 1-7 (1- (♦♦) получаем (внутренность найдем	zz -	г2)2' Да' г2 Z+l-r2 круга). г2 t г2—1 2-1	лее, 2	так как / г \2
	2 о-'2) г2 z+]~> случае	г 1 1 —г2) г> 1			V ~г/ Аналогии-	
Следовательно,
т. е.	г2	2	г4	г2	г2
	г2— 1		(г2—I)2 г2—1 (г2—!)2
г2— 1
О = ->-|
ИЗ (♦)
11.191.
11.193.
получаем
(внешность круга). Наконец, если г=1, то
1, т. е. Z> = <z|Rez<-> (полуплоскость). i>
	(z2ll + \/^\2	„„	/z+Тз-А3
11.196.	И’= — ( 	— 1 .	11.197.	>v=- 	^-=— .
	yz2/3 —З/ду	\z — у/З — i /
	/Ъ+7з+А3/2	(2z + J3 + i\3
11.198.	и' = — 1 	—— I	11.199.	и= 	—
	\2z-73-b-z7	\2z-V34-/7
	/2z + 73 + A3	/Гн’	[z-l-i
1 1 7ЛО м> —	1	V	 I I 1	w_ /	 11 207 w_ /	
ll.ZUv. W—	1	1 . 11.XU1.	W— /	ll.XUX. Vv— 1
	\2z —х/3 —//	\ i-z	\j2 + 2i-z
11.204. и
11.205. Как внутренность
11.203.
И’ =
круга | z | < R при R < 1, так и внешность круга | z | > R при R > 1 отобра-
и2	V2
зятся на внешность эллипса —---------------r-j=l. 11*206. Плос-
-(Я + -) -(я------)
4\ R) 4\ R)
кость с разрезом по отрезку [—1, 5/4]. 11.207. Плоскость с разрезом
по лучам ( — оо, —5/4], [1, + эо).
11.208. Один из ответов:
(причем выбирается та ветвь,
w =
внутренность круга | w | < 1). •
которая точку z = 0 переводит во
1/	1\ Зи4-1	3
и’1=-Н + -1, и’2=—-—, w3 = -w2,
И’4 = И’з
1, W=H’4 W3(W2C>W1.
327
1 /	R2\	z
11.209. w =—I zH-)• • Произвести преобразование подобия
1
и для отображения w2~-^
— I проследить за преобразованием
W17
границы области.
11.210. м =-----(z + ^/z2
a + b
образование подобия и>
где
определяя
1/	1\ b
- £----1=-, находим и’7
2\	RJ а
а2 — Ь2. • Производя пре-
1/	1\ а
RJ с
R из условий -
1
W, =— И’2.
3 R 1
и
и
11.211.	£= {и>| Im w<0}.	11.212.	£={w| Rew>0}.	11.213.
£={и’|| w|> 1,и’^ [1, +оо)}.	11.214.	£=^и>|| w|> 1,	0<argw<-j>.
11.215. £= {w| 1 <| и>| <е, Imw>0}. 11.216. Если и’=ре’ф, то прямая
х — С отображается в окружность р = ес, проходимую бесконечное
число раз, а прямая у = С—в луч ф = С. 11.217. £={и>|0<1ти><я}.
11.218.	£= {и>| Re w<0,	0<1ти’<л:}.	11.219.	£={hJ RewcO,
0<Imи><2п}. 11.220. Е— {и’|0<1ти’<2л,	+ m для и>0}.
11.221. £= {и>|1ти<0}. Представить cosz=-(e'z-be ,z) в виде ком-
позиции отображений m’1 = zz, H’2 = eH’1, ^3 = -( и>2Н-I (рис. 108). с*
2 \	и^2/
Рис. 108.
и2 V2
"2'ЬП=1’ ГДе
а2 Ь2
a2=l(ec + e“c)2 = (ch С)2, b2 — ^(ec—e~c)2 = (sh С)2, а прямые у = С—в
гиперболы
11.222. Прямые х = С
преобразуются в эллипсы
Г „	. .	,
и1 4
cos2 С sin2 С
328
11.223. Так как область D содержит точки с симметричными
мнимыми частями, то область значений Е имеет два прообраза:
каждый из прямоугольников £>j={z| — n<Rez<n, — AcImzcO}
и D2 = {z\ — n<R.ez<n, 0<Imz<//} отобразится на нижнюю половину
и2	v2
внутренности эллипса------------1---------=1, г<0.
4	4
7'13
11.224. — 1+2/. 11.225. -^~—(2 + 3i). 11.229. • Оценить интеграль-
ную сумму (1) и, учитывая, что | Azk | < &$к, перейти к пределу при
2	8 /8	\
maxAsk-0. 11.230. -4 + /тс. 11.231. - + 2/. 11.232. — - + 4тг /.
3	3 \3	J
1 /
11.233.-------.	11.234.	— 2.	11.235.	(2 sin 1 -e) + z(l-2cos 1).
30 3
4000	ijl
11.236.	-/(I +ек).	11.237.	--—.	11.238.	-^-(1+shl).
chi ,	101 (—l),n5 —25
11.239.	—— ((л2 —4) —4л/).	11.240.	—<	(1 -n2 + 2iti).
л2 + 4	20(л2+1)
51 2304	1 + /	3./3 r
11.241.----------/.	11.242.-------.	11.244.	+
4	35	3	4 v
/-	7-	Л/	, 2л/
11.245. 72(1-72 + 0 11.246.	11.247. -2л. 11.248. (-1)"+1-
6	n +1
/11	9	3\
11.249.	e(ecos8—cos l) + /e(esin8 — sin 1). 11.250. I cos-ch — cos-ch-| +
\	4 2	4 2/
/93	1	1\
+ i sin-sh — sin-sh-|.	11.251.	(2cos 1 — sin l) + z(3sh 1 — 2ch 1).
\	4 2	4 2/
11.252.	— In T^sh 2 1 + cos 1 + i arctg (tg 1 • th 1).
.	( 0 при и / — 1,
11.253.	ф	(z — z0)ndz — <	• Произвести замену
|г_го1,„	(2л/ при п=-1.
переменной z—z0 = Re,e.
11.254.	f (z-zoydz =
\t-20\~R
0<arg(z z0)^n
ni	при n — — 1,
11.255.
Зл Зл.
2——sh— |-/(e 2
2	2 J
Зя
-1).
при /1 = 2Л+1, keZ, k^ — 1.
2R 24+1
IkTT ПРИ " = 2*’
11.256. y(l+4&), ZceZ. • В качестве
0
пути интегрирования взять часть окружности z = —либо при
329
0^ф^л/2, либо при — Зл/2^(р^0 и добавить любое число
оборотов. 11.257. а) 0; б) -8л/. 11.258. а) 2л/; б) 0. 11.259. а) 0;
б) л; в) —л. 11.260. а) тс/; б) 2л/. 11.261. 0. 11.262. 0. 11.263. л.
11.264. 0. 11.265. а) —; б) - —; в) 0. 11.266. -Ttshl. 11.267. 2л/.
8	8
11.268. -|л(л+2)72. 11.269. yshl. 11.270. л3/. 11.271. 0. 11.273.
• Рассмотреть функцию
(р (z) =-----
ГЛАВА 12
12.1. 1/4.	12.2.	23/45.	12.3. 1/2.	12.4.	11/12.	12.5.
3 6е-е2-1	...	. е
-------------ф Использовать формулу Эйлера cosw =---------------.
2 (Зе— 1)(3 —г)	2
12.6. 14*/- 12.19. Расходится. 12.20. Сходится. 12.21. Сходится.
12.22. Сходится. 12.23. Расходится. 12.24. Расходится.	12.25.	Сходит-
ся. 12.26.	Сходится.	12.27.	Расходится. 12.28. Сходится.	12.29.	Сходит-
ся. 12.30.	Сходится.	12.31.	Сходится. 12.32. Расходится.	12.33.	Сходит-
ся. 12.34.	Сходится.	12.35.	Расходится. 12.36. Сходится.	12.37.	Сходит-
ся. 12.38. Сходится абсолютно. 12.39. Сходится абсолютно. 12.40.
Сходится. 12.41. Расходится. 12.42. Расходится. 12.43. Сходится. 12.44.
Сходится. 12.45. Сходится. 12.46. Сходится. 12.47. Сходится абсолют-
но. 12.48. Сходится абсолютно. 12.49. Сходится. 12.50. Расходится.
12.51. Расходится. 12.52. Сходится. 12.53. Сходится. 12.54. Сходится.
12.55. Сходится. 12.56. Сходится. 12.57. Расходится. 12.58. Сходится.
12.59. Сходится. 12.60. Сходится. 12.61. Сходится. 12.62. Сходится.
12.63. Сходится. 12.64. Сходится. 12.65. Сходится. 12.66. Расходится.
12.67. Сходится. 12.68. Сходится. 12.69. Сходится. 12.70. Расходится.
12.71. Расходится. 12.72. Расходится. • и„¥1/ип>\. 12.73. Сходится.
12.74. Сходится. 12.75. Расходится. 12.76. Сходится. 12.77. Расходится.
12.78. Расходится. 12.79. Сходится. 12.80. Сходится. 12.81. Сходится.
12.82. Расходится. 12.83. Расходится. 12.84. Сходится абсолютно.
12.85. Расходится. 12.86. Сходится абсолютно.
12.87.	Если /?>1, то ряд сходится при всех а, а если
р<\, то расходится. Если /?=1, то ряд сходится при а>1
и расходится при а 1.
12.88.	Если р>\, то ряд сходится при любых а и 0, а если
р<1, то расходится. Если р—\, то ряд сходится при а>1 и любых
0 и расходится при а < 1. Если же р = а = 1, то ряд сходится при
0 > 1 и расходится при 0^1.
12.90.	Сходится условно. 12.91. Сходится абсолютно. 12.92.
Расходится. 12.93. Сходится абсолютно. 12.94. Расходится. 12.95.
Сходится условно. 12.96. Сходится абсолютно. 12.97. Сходится
абсолютно. 12.98. Сходится абсолютно при а>1, условно — при
0<а^1 и расходится при а^0.	12.99. Абсолютно сходится.
12.100. Условно сходится. 12.101. Абсолютно сходится при всех
aeR. 12.102. Расходится. 12.103. Сходится условно. 12.104. Сходится
абсолютно.
12.105. Сходится условно. • Рассмотреть частичные суммы с но-
мерами 8//, в которых сгруппировать члены с номерами 8к +1
и 8£ + 5, 8^4-2 и 8^ + 6, 8Л 4- 3 и 8/с + 7. Убедиться в существовании
330
предела lim S8zi. Далее, как и при доказательстве признака Лейбница,
п — ос
1 ПП
воспользоваться соотношением lim -sin — = 0.
п — оо п	4
12.106. Сходится условно. 12.107. Расходится. 12.108. Абсолютно
сходится. 12.109. Расходится. 12.110. Расходится. • Рассмотреть ча-
стичные суммы с четными номерами. 12.111. Сходится условно.
12.112. Сходится абсолютно. 12.113. Расходится. 12.114. • Восполь-
зоваться неравенством \а •6|^-(|я|2 + |/>|2).
12.115. Сходится. <1 Оценим сп. Имеем
Полученные
00	]
^1X4=
"=iv/2”
слагаемые являются членами сходящихся рядов
°О |
л= 1 П
п (__ |)л~4+1
Сходится. • Для оценки с„= £	--------- воспользо-
к — । к (п к Ч" 1)
дроби на простейшие
1 \
-----------—-------г -1-----= । - d------и показать, что числа
к2(п — £+1) (и+1)А:2 (п+\)2\к п+\—к)
1 п 1
bn = (— 1)”+1--£ — монотонно убывают по абсолютной величине.
“1“ 1 к = 1
12.117. Расходится. • Воспользоваться разложением дроби из
.	1 Д 1
предыдущей задачи на простейшие и оценить члены ап =--------- > —
л+1* = 1*
" 1 1
снизу. 12.118. Расходится. • с = > —---------->- при п^2.
к=]к (п — к+\) п
12.116.
ваться
1
разложением
1
и
12.124. (О, +оо); абсолютно сходится при хе(1, +оо). 12.125.
R; сходимость всюду абсолютная. 12.126. Расходится во всех точках.
12.127. R\{ —3}; сходимость всюду абсолютная. 12.128. (— оо, — 1);
сходимость всюду абсолютная. 12.129. (—1: —1/2] (J (1/2, 1); сходится
абсолютно при хе(— 1, — 1/2) (J (1/2, 1). 12.130. [О, + оо) (J {кп |£ =
= —1, —2,...}; сходимость всюду абсолютная. 12.131. ( — 2,2); схо-
димость всюду абсолютная. 12.132. (О, +оо); сходимость всюду
абсолютная. 12.133. [1/е, е); сходится абсолютно при хе(1/е, е).
12.134. \z-2|>1. 12.135. |z + 11> 1. 12.136. \z-3/|>Т2. 12.137. По-
луплоскость Rez>0. 12.138. {z | —n/4<argz< л/4 и 3ir/4<argz<5n/4}.
12.139. Rez<0. 12.140. Rez>l. • Сравнить выражение |(—1)"л-2|
с членом п~р ряда Дирихле. 12.141. Imz>0. • Воспользоваться
тем, что дробно-линейная функция w = e'°---4 отображает верхнюю
z-z0
полуплоскость во внутренность единичного круга. 12.142. |z|>l.
331
•л z~a
• При |я|>1 функция w — e -----отображает внешность единичного
1 — az
круга (|z|>l) на внутренность (|и'|<1). 12.143. |z/(l—z)|<l, т. е.
Rez<l/2. • См. задачу 11.190. 12.144. Сходится при хе(0, 4-оо),
равномерно сходится при хе [а, +оо) для любого а>0. 12.145. Схо-
дится при хе( — оо, — 3)U[-1, 4-оо), равномерно сходится при хе
е( —оо, — 3 — S]VJ [— 1, 4-оо) для любого 6>0. 12.146. Равномерно
сходится на всей оси. 12.147. Сходится на всей оси, кроме точек
х= —1, —2, ... Сходится равномерно на множестве, получающемся
из оси после удаления интервалов ( — 5к—к, — &4-5i), &eN, где 5k
и сколь угодно малы. 12.148. Rez^O; сходимость всюду равномер-
ная. 12.149. |z—1 |^1; сходимость всюду равномерная. 12.150. Сходит-
ся при Rez>l, равномерно сходится при Rez>a>l. 12.151. Сходится
вне круга |z4-2|>1, равномерно сходится вне любого круга
2
12Л52. • Вычислить Я„(х)= £ --------------—
4 =	(1 + * 2Г
lim /?„(х)= 1 * Я„(0) = 0.
х —►()
12.155. Ряд сходится в области, состоящей
единичного круга | z | < 1, точки z = 1 и внешности
| z | > 1; ряд равномерно сходится в объединении
|z|<l—у и замкнутой внешности круга |z|^
Г 1/2 при |z|>l,
5>0. Сумма ряда S(z)=X —1/2 при |zj<l,
О
и показать, что
из внутренности
единичного круга
замкнутого круга
14- 5 для любых у,
при z = 1.
12.159. • Воспользоваться утверждением задачи 12.158.
12.162. Если степенной ряд (1) сходится в точке z = z1^z0, то он
абсолютно сходится в круге |z—z01 < | — z0| и равномерно сходится
в любом замкнутом круге |z — z0|<r<|zt — z01. Если ряд (1) расходит-
ся в точке z = z0, то он расходится и вне круга |z — z0|>|z2 — z0|.
12.163. • Для доказательства утверждений а) и б) восполь-
зоваться теоремой Абеля и теоремой Вейерштрасса, а для до-
казательства утверждения в) —теоремой Абеля, утверждением задачи
12.158 и учесть, что lim п—— = lim ^|си|.
л —оо л 4- I п — 00
12.164.	• Воспользоваться утверждением б) задачи 12.163.
12.165. Сходится абсолютно и равномерно в области |z—1|^2.
12.166. Сходится абсолютно и равномерно в области |z4-l|^2.
12.167.	Абсолютно сходится, если |z4-2|< 1; равномерно сходит-
ся, если |z4-2|^r<l. В точках х=—3 и х= — 1 сходится условно.
На отрезке — 3 х — 1 сходится равномерно.
12.168.	Абсолютно сходится в области |z—-4|< 1/2; равномерно
сходится в области |z —4|^г<1/2. В точке х = 9/2 сходится условно,
в точке 7/2 расходится. На любом отрезке 7/2<г^х^9/2 сходится
равномерно.
12.169.	Сходится абсолютно в области |z — 2|^1 /^/2; равномерно
сходится в области |z —2|^г< 1/^/2. В точках 2±—— расходится.
12.170.	Сходится абсолютно в области \z — 3(<^/3; равномерно
сходится в области |z —3|^г<х/3. В точках х = 3±х/3 сходится
условно, и на отрезке 3—ч/з^х^34-<ч/3— равномерно.
332
12.171.	Сходится абсолютно в области | z | < 3, равномерно сходит-
ся в области |z|^r<3, в точке х=—3 сходится условно, а в точке
х = 3 расходится.
12.172.	Сходится абсолютно в области |z|< 1, сходится равномер-
но в области |z|^r<l, в точках х= + 1 расходится.
12.173.	Сходится абсолютно в области |z+11<^/2/3, сходится
равномерно в области |z+1 |^г<Лу/2/3, сходится условно в точке
х/2	1	ч/2
х=-1+-у- и расходится в точке х = — 1 +-у-.
12.174.	Сходится абсолютно в области |z|<4, сходится равномер-
но в области | z | < г < 4, в точках х = ± 4 расходится.
12.175.	Сходится абсолютно в области |z|< 1. Сходится равно-
мерно в области | z | г < 1; расходится на окружности | z | = 1.
12.176.	Сходится абсолютно в области |z|< 1; сходится равномер-
но в области | z | г < 1; расходится на окружности | z | = 1.
12.177.	Сходится абсолютно во всей плоскости, равномерно — в
любой ограниченной области.
12.178.	"
номерно в
12.179.
12.180.
Сходится абсолютно в области |z— 1 |<8; сходится рав-
области |z—1|^г<8; в точках х=— 7 и х = 9 расходится.
Расходится во всех точках, кроме точки z0 = /.
Сходится абсолютно в области |z — 3|<^/3, сходится
равномерно в области |z —3|^г<х/з, в точках х = 3±ч/3 расходится.
12.181.	Сходится абсолютно во всей плоскости, равномерно — в
любой ограниченной области.
12.182.	Сходится абсолютно в области |z—11<1; сходится рав-
номерно в области |z—на окружности |z—1| = 1 расходится.
12.183.	Сходится абсолютно в области |z — 31<4; сходится рав-
номерно в области |z —3|^г<4; в точке х — 1 сходится условно,
в точке х= — 1 расходится. На любом отрезке — 1</^х^7 сходится
равномерно.
12.184.	Сходится абсолютно во всей плоскости, равномерно
сходится в любой ограниченной области.
12.185.	Сходится абсолютно в области |z|<2; сходится рав-
номерно в области |z|O<2. В точке х=— 2 расходится, в точке
х — 2 сходится условно. На любом отрезке — 2<1^х^2 сходится
равномерно.
12	186. Сходится абсолютно и равномерно в области |z|<2.
12.187. Сходится абсолютно в области |z — 2Z | < 2, сходится равномер-
но в области |z —2/|^г<2. 12.188. Сходится абсолютно во всей
плоскости, равномерно—в любой ограниченной области. 12.189. Схо-
дится абсолютно и равномерно в области | z + i | ——. 12.190. Сходит-
х/2
ся абсолютно во всей плоскости, равномерно — в любой ограниченной
области. 12.191. Сходится абсолютно в области |z— 11<9/4; сходится
равномерно в области |z — 1|^г<9/4; в точках х~— 5/4 и х=13/4
расходится. 12.192. Сходится абсолютно в области |z|<е; сходится
равномерно в области |z|^r<e; в точках х—±е расходится.
12.193. Сходится абсолютно и равномерно в области |z — 3|^ 1/^/2.
12.194. Сходится абсолютно и равномерно в области |z+3|^l.
12.195. Сходится абсолютно и равномерно в области |z —3|^х/2.
12.196. Сходится абсолютно в области |z+3|< 1, сходится равномерно
в области |z + 3|^r<l; в точках х=—2 и х—— 4 расходится.
12.197. Сходится абсолютно в области |z|< 1; сходится равномерно
333
в области |z|^r< 1; расходится на окружности |z|=l. 12.198. Сходит-
ся только в точке z — 5. 12.199. Сходится абсолютно и равномерно
в области |z|1. 12.200. Сходится абсолютно в области |z|<l/2;
сходится равномерно в области |z|^r< 1/2; расходится на окружности
|z 1=1/2. 12.201. Сходится абсолютно и равномерно в области
|z — 21^1. 12.202. Сходится абсолютно и равномерно в области
□о ।	/2 °°
|z+l|<l. 12.207. £ — (zln2)", |z|<+oc. 12.208.	+
л=ол'	,	2 „=0
I ”	(2z)2n	2
|z|<+oo. 12.209. 1+-|z|<+co. 12.210. z+-
л(л+ 1) zn
ni’
4—z5 +	|z|<—. • Радиус сходимости этого ряда определяется
5!	2	(
путем применения следствия из теоремы Тейлора. 12.211. 1+—z2 +
5 .	л	2 , 16 _	л
4- —z44- ..., |z|< —. 12.212. z-z34- —z5+..., |z|< —. 12.213. 1+z-
4!	2	3!	5!	2
2 , 4 .
----z3------z44-..., |z|<Too. 12.214.
3!	4!
z4	z2n
l-z2 + —- ... + (-l)”—
2!	n!
1 00	(2z)2’ |..|<+«, 12.215.	1	ОС 1 z|< + оо. 12.216. X (— 1)' л = 0	z2" +1 л	 дл+ 1 ’
|г|<2.	12.217,	£(-!) л = 0	4"z"+1	3	
	3л+1 ’	^^4’	12.218.
z ® 2-5-8...(Зл —4)	1 (	z2
3	Е 	z—; 1	z|<27.	12.219.	- 1		h
27	Л134""1	3\	18
1-3 а	1-3...(2л— 1) + 2.18^+ -+(-1)Л л! 18"	z2”T...^,	|^|<3.	12.220.
“ 7л4-1	3z4-l	/ 1 Y	00
Ь-‘=2' и<2' \--2r	- (3z+ 1) 	 .	12.221. 2 /	1	S0 + 1 = 0
+(—1)"2"ф *)z".	|z|<4.	12.222.	£	2”-1(п + 2) Х(-1)"	I--I « = о	< -1- оо.
12.223. £	, |z|<+oo. 12.224.	оо	z2n+1 Х(-1)"(2л + 2)-	|z|	<4-00.
„=о(2л)!	i+i оо	2 4л + 1 12.225. У(-1)"	z2"+1, |z|<	„ = 0	(2п+1)! » (_|)» + 12 с+ оо. 12.226. У-				n-l 	2'”,
„ = о	(2л 4-1)!	„=1	л 1 1 |z|<-; при х = 2	сходится условно.	12.227.		1п24-
условно. 12.228. zT
+ E (-1)'
z+1
4- У (—1)"+1(14-2 ")—, |z|< 1; при х=1 сходится
n
(2n — 1)!! z2n+1
-------------------------, |z|<l; при x= + l абсолютно сходится.
2” n\ 2л 4-1
z 2n + 1
12.229.	У(— 1)"-----, |z|<l; при x= + l сходится условно. 12.230.
л = о 2л-Ь1
(2л-1)!! z2"+1
--------------, |z|< 1; при х= + 1 абсолютно сходится. 12.231.
2" л!	2л-1-1
^2л + 1	оо	^4-п + 2
У (— i)-----------
nt0 2"л!(2л4-1)
12.232. У (- 1) ------------------------,
n = o 2 (2л 4-1)! (2л 4-1)
334
, х , и<+”'
zcosz —sinz /sinzV	, ,(2л—l)z2n 2
~-----------(-)	U.234.	и<+„.
zsinz—1+cosz /1— coszY
1	---- . 12.235. -78 + 59(z + 4)-14(z + 4)2 +
z /
00 (z — 3/1"
+ (z + 4)3. 12.236. £ (-l)" + 1(z-2)", |z-2|<l. 12.237. £
n = O
|z—3Z| < | i-3/i^yio.
12.233.
„2
12.238.
-E
л = о
|z + 4|<2.
(z-3)2fc
12.240.
00 (z-2)
е 3 У ------
|z-2|<2.
zz
л = 0(1 —3/)”+1 ’
| z—31 <2.
l+-(z-l) +
12.242.
12.239.	£ (2~n‘1-3“n"1)(z + 4)n,
и = 0
£	2-5...(3л —4)
12.241. D-,)-'11-'-»"'.
i—tv '	2и+1
2л
|z|<+oo. 12.243. e У (-1)"—((z-l)2" + (z-1)2" + I
.	,.o	«!
12.244. f (-l)"f-^^(z + 2)4" + -—(z + 2)4" + 2
„ = o	(2л)Г	(2л+1)Г
00	5"(z—	1)"	t
12.245.	31n2+	(—1)"+1 '	’
/	\ n =
• ln(5z + 3) = ln8 + ln( 1 d—(z—l)j.
\ 8	/
2
П.247. |z|<l;
In (4-z)
--------при z 3,
z —3
12.246.
л-8"
ln3+ £ (-1)
5'
(z + 3)2"
л-3" ’
|z + 3|<2.
12.248.
|z+l|<l; —— . 12.249.
zz
3|< 1;
0 при
z=3. 12.250. |z|<|a|;
—----г. 12.251. |z|<l; ------
a2 + z2	(1+z2)2
12.253. • Представив /(z) в
в виде /(z)= X cn{z-a)n» из
п = О
убедиться в том, что
по степеням (z — a),
виде ряда
непрерывности /(z) в точке
с0 = 0. Это означает,
t. e.
z — a
что
f(z)-(z — a) Y, en(z~a)n 1 =(z —^)/i (z), гДе fi(z) — аналитическая
Л = 1
в круге |z — a\<R функция и /1(zk) = 0, £=1, 2, ... Отсюда вывести
заключение, что и т. д.
12.254. Нет. 12.255. /(z) = z/(zd-2). 12.256. /(z) = z2. 12.257.
g(z)=/(z)= 1/(2 —z) в общей части кругов |z|<2 и \z — i\<yfs.
12.258.	g(z)=/(z) = ln (1 -hz) в общей части кругов |z|<l
и |z-l-2(|<272.
12.259. 10 000 при х=1 или 10 при х=— 0,5. 12.260. Два члена,
1 / я Г
предельная абсолютная погрешность 8<^l	) =0,0000386<0,0001.
335
12.261. 0,0002. 12.262. |х|<0,9067. 12.263. 0,002. 12.264. 1,6487. 12.265.
0,3679. 12.266. 0,5878. 12.267. 0,2094. 12.268. 0,5403.
12.269. 0,8269. • Учитывая, что 1000 = 318-3,1415926 +
+ 1,5707963 — 0,5971963, приводим аргумент к величине 0,5971963 е
6 [0, л/4 ] и находим	sin 1000 = sin(1,15707963 —0,5971963) =
= cosO, 5971963.
12.270. 8,0411. • ^/520 = (512 + 8)1/3 = 81 1+—	. 12.271. 3,8730.
\	64 /
г- /--------(	1 V/2	д /--
e /15 = ,/16—1=41 1------.	12.272.	5,1437.	• 1/700 =
/ з
= (625 + 75)1 4 = 51 N— j . 12.273. 0,6931. • Использовать разложе-
l+x	“л-2п+1	1
ние In	=2 ) 		при x = -. 12.274. 0,5236. 12.275. 0,9385.
l-x „r02«+l	3
12.276. 1,1752. 12.277. 1	,1276.
12.278.	
FUNCTION S(Y,EPS)	X = X-X11*PI
PI = 3.141593	1 IF(X.GT.P12) X = PI-X
P12= 1.570796	S = 0
X = Y	SM = X
FACT=1.	T=-l.
SX = 1.	2T=T+L
IF(X.LT.O) SX=-1.	A = 2*T
X = ABS(X)	A = (A + 2.)*(A + 3.)
IF(X.LE.PI) GO TO I	S=S+SM
XI =X/PI	SM = SM*(-1.)*(X*X)/A
N = X1	IF(ABS(SM).GT.EPS) GO TO 2
Nl=N/2	S = (S + SM)*SX*FACT
M = N—Nl*2	RETURN
IF(M.NE.O) FACT=-1.	END
X11 = N	
• Так как sin х = sign (х)- sin |x|, то можно считать, что x>0. Пусть
х = ли + хь где п — [х/л] и Aj е [0, л], тогда sin x = sin (ли + xj ) =
= cos ли sin ад =(— l)"sin.Y!. При этом, если Х!б(л/2, л), то полагаем
sinx = (— l)"sinfa — Xj) = (- l)"sinx2, где x2e(0, л/2).
12.279.
FUNCTION C(X,EPS)
P12 = 6.283185
Y = ABS(X)
IF(Y.LE.P12) GO TO 1
N = Y/P12
A = N
12.280.
FUNCTION E(Y.EPS)
REAL*8 El/2.7182818284590
*/,E2/0.3678794411714/,E3,E4
X = Y
IX = X
X1=IX
X = X-X1
E4=l.
E=l.
Y = Y-P12*A
1 Y = Y+ 1.570796
C = S(Y,EPS)
RETURN
END
B = ABS(X)
JX = IABS(IX)
IF(JX.LT.l) GO TO3
E3 = E1
IF(IX.LT.O) E3 = E2
DO 1 1 = 1, JX
I E4 = E4*E3.
3 EM = 1.
T = 0.
336
2 Т=Т+1.	ЕМ = ЕМ4
ЕМ = ЕМ*Х/Т	Е = Е*ЕМ
Е=Е+ЕМ	RETURN
EPSI =ABS(EM)*B/T	END
IF (EPS1.GT.EPS) GO TO 2
• Оценка остатка:
i ад i
И"+‘
n\n
Число ex = elxi:ex',
|jq|<l, где = при [x]^0,
(x ] раз
при x<0.
12.281.
FUNCTION BINOM
♦ (X,ALFA,EPS)
IF (ABS(X).GT.l) GO TO 2
BINOM = 1
B=l.
T=0.
1 A = ALFA-T
T=T+L
B = B*A*X/T
BINOM = BINOM + В
IF(B.GT.1)GO TO 1
EPSI = ABS(B)/(1 -ABS(A)*ABS (X)/T)
IF (EPS 1.GT.EPS) GO TO 1
RETURN
2 WRITE (3,3)
3 FORMAT (' РЯД РАСХОДИТСЯ ')
RETURN
END
• Оценка остатка: |/?и(х)|
| a—w-F 11
n
12.282.
FUNCTION ALN(X,EPS)
T=0.
ALN=0.
A=-l.
1T=T+1
A = (-L)*X*A
ALN=ALN+A/T
IF(ABS(A/T).GT.EPS) GO TO 1
RETURN
END
12.283.
FUNCTION ALNI (X,EPS)
IF(ABS(X).GE.l) GO TO 2
T=0.
ALN1=X
A = X
I T=T+1.
X2 = X**2
A = A*X2
T2 = T*2.
B = A/(T2+1)
ALNI=ALNI+B
EPSI =ABS(B)/(1.—X2)
IF(EPSLGT.EPS) GO TO 1
RETURN
2 WRITE (3.3)
3 FORMAT (' ABS(X).GT.l ')
RETURN
END
• Оценка остатка:
I я» Ml
|л|2”+1
(2л+1)(1 —x2)
12 Специальные разделы мат. анализа. Ч. 2
337
12.284. FUNCTION ARCTG (X,EPS) IF(ABS(X).GT.l) GO TO 2 T=0. ARCTG = X A = X 1 T = T+1. X2 = (-l.)*X**2 A = A*X2 T2 = T*2.	ARCTG = ARCTG + A/(T2+1.) EPSI = ABS(A**X2/(T2 + 3.)) IF (EPS 1.GT.EPS) GO TO 1 RETURN 2 WRITE (3,3) FORMAT (' ABS(X).GT.l ') RETURN END
12.285. FUNCTION BO (Y, EPS) X = Y/2 B0=l. A=L T=0. 1 T=T+I	A = A*(-l.)*(X*X)/T**2 B0 = B0 + A IF(ABS(A).GT.EPS) GO TO 1 RETURN END
12.286. Одна из двух подпрограмм:
FUNCTION SH(X,EPS)
SH = (Е (X, EPS) - Е(( -1.) *Х, EPS))/2.
RETURN
END
FUNCTION SH(X,EPS) T = 0 SH=0 A = X 1 T = T+1. T2 = T*2. FA = (X**2)/T2*(T2+1.) 12.287. FUNCTION CH (X,EPS) CH = (E(X, EPS) + E(( -1.) *X, EPS))/2. RETURN END	SH = SH + A A = A* FA IF(FA.GT.l) GO TO 1 EPSI =A/(1-FA) IF (EPS 1.GT.EPS) GO TO 1 RETURN END
12.288. Задание для ЭВМ
к задаче 12.268:	к задаче 12.272:
а)	подпрограмма FUNCTION C(X,EPS) б)	основная программа R = C(1.,0.0001) R1=COS(1.) WRITE (3,1) R,R1 1 FORMAT (' COS1 ', 2F8.4) STOP END	а) подпрограмма FUNCTION BINOM(X, ALFA,EPS) б) основная программа R = BINOM (0.12,0.25,0.0001) R = 5.*R R1 =SQRT(700.) R1 = SQRT(R1) WRITE (3.1) R,R1 FORMAT C 700**(l/4) = \2F8.4) STOP END
12.289. oo	Y 4n + 1 12.291. У(-1)"-——	 Д' ’ (2n)!(4n+l)	оо	д. 2n + 1 12.290. У(-1)"7		7. Д' (2«+1)! (4n + 3) ” ,	. (2n+1)!!x3n+1 12.292. У -1)" 5	r. Д'	’ 2”n!(3n+l)
338
оо	X2i + 2 12'2И' Л'-'»*2»’Ч*+|)Ш- 12.295. 0,2800.	12.296 0,1991. 12.299. 0,7714. 12.300. 0,9461.	oo	% 2n + 1 12.294. У(-1)";	r;	r- „ =	' (2и+1 )(2и+1)! 12.297. 0,4802.	12.298. 0,6225.
12.301. FUNCTION SI (X, EPS) SI = X X2 = X#X SM = X T = 0. 1 T = T+1. T2 = T#2. 12.302. FUNCTION ERF (X, EPS) ERF = X X2 = X#X AM = X T=I. 1 T = T+1. T2 = T*2.	SM = SM#(-1)#X2/(T2 + #2.)#(T2 + 3.) A = SM/(T2 + 3.) SI = SI + A IF(ABS(A).GT.EPS) GO TO 1 RETURN END AM = AM*(-l.)#X2/T A = AM/(T2-1.) ERF = ERF-b A IF(ABS(A).GT.EPS) GO TO 1 ERF = 1.128379# ERF RETURN END
12.303. FUNCTION B1NT(X,S, ♦ALFA, EPS) xs=x##s BINT=X B = X T = 0 1 T = T+1. TS=T#S+1. C=XS#(ALFA +l.-T)/T 12.304. FUNCTION ATG(X,EPS) X2=(—l.)#X#X A = X ATG = X T=0. 1 T=T+l.	B = B#C A = C/TS BINT = BINT+B/TS IF (ABS(A).GT.l) GO TO 1 A=B/(1.-A) EPS1=ABS(A) IF (EPS1.GT.EPS) GO TO 1 RETURN END A = A#X2 B = A/T2 ATG=ATG + B. IF(ABS(B).GT.EPS) GO TO 1 RETURN END
Т2 = (Т#2. + 1.)*#2
12.305. FUNCTION ALIN (X, EPS) A=-l. ALIN=0. T=0. 1 T=T+1. T2 = T#T 12.306.	A = A*X*(—1.) B = A/T2 ALIN=ALIN + В IF(ABS(B).GT.EPS) GO TO 1 RETURN END
Задание для ЭВМ к задаче 12.297: а) основная программа R = 0.886227# ERF (0.5,0.0001) WRITE (3.1) R 1 FORMAT С \F8.4)	1 STOP END б) подпрограмма-функция FUNCTION ERF (X, EPS)	Задание для ЭВМ к задаче 12.298: а) основная программа R = BINT (0.6,2.,0.333333,0.0001) WRITE (3,1) R 1 FORMAT С ИНТЕГРАЛ = ,F8.4) STOP END б) подпрограмма-функция FUNCTION BINT (X,S, ALFA,EPS) 339
1 _ 1/ 1
(а+£)(а + £+ 1)(ос+& + 2) 2\(а + £)(а + £+1)
-----------,--- 1. 12.309. • См. задачу 12.308. 12.310. • Разло-
(a+fc+l)(a + fc + 2) /
жение в степенной ряд функции 1п(1+х) при х=1. 12.311. • Разложе-
ние в степенной ряд функции arctgх при х=1. 12.312. In2. 12.313.
/0(2). 12.314. <?-1. 12.315. | In2. 12.316. sin 1. 12.317. cos 12.318.
' -±-=и2)_;(4)+^(б)-и8)+Е
я	я4 00 /
12.320. 4,3226. • £ sin 2 - =л2?(2)-£(4)+ £ sin2
n=i	"	3
12.321. 0,5071. • f -7-=^(3)-2?(6)+4 f
л-1 П +	п-1
1	1 /	1\	з /	. .
—----- = -	к(2)----1-- К(3)+— 1-- X
п(5п + 3) 5\	2/s	25 \	125 \	8/
1 ________ _____ ® 1 ' __
Зи + 2
12.308.
1
е2. 12.319. 1,0767. • £
я я2 1 я"
п п2^ 3 п*
-—-г-----12.322. 0,0939.
л6 (и3+ 2)
1\	9
2} '5V“' 25 V	4У	’ 125
00
-----г. 12.323. 0,1249. • У (-I)"4
4 /	1\	8/1
n= 1	J
27 00
1	2 /	1 .
= - In 2- - 1 - - k(2) + — 1 - - H(3)--1 - ~ H(4) +
3	9 \	2 /	1 л I ’ v ' Q1 q/^v/
' ' '	27 у 4/	81 V 87
;-----т. 12.324. Программа к задаче 12.322 (исполь-
п 4 (Зл4-2)
£ ,	v,	1	1 /	1\	b
равенство Е (- 1 *"	/ ,	= - I 1 ~ т ) Ц2)- —2 х
Я=1	п(ап-^Ь) а\	2/	а2
1\	Ь2 /	1\	Ь3	1
х 1- k(3)4-- 1--к(4)-- ^(-1)"^—— при «=5,
\	4/	а3 \	8/	а п = 1	гг(ап+Ь)
Ь = 3):
А = 5.
В = 3.
EPS = 0.0002
S=0.822467/A-B*0.901543
*/А**2 + В**2*0.947033/А**3
D=l.
S=0.
т=о.
1 Т=Т+1
D = D*(-1.)
зовать
2
SM = 1./(Т**4*(А*Т4-В))
C = C + D*SM
IF (SM.GT.EPS) GO ТО 1
S=S+B*»3*C/A**3
WRITE (3,2) S
FORMAT ( СУММА РЯДА = ',Р8.4)
STOP
END
о™ /1 V ’2 5-6...(4л4-1)(4п + 2)
12-325-Их)\?о(--------------(Я!----------
2 • 3 • 6 • 7...(4/14-2)(4п + 3)
.	.	., xgR.
4и + 1 !	J
, ч ® (1 -4• 7...(3/1 + I))2z ч ,
12.326. у(х) = £ *-	” (Зи+4)л3" 2, xeR.
»=о	(Зи + 2)!
. .	5х Зх
12.327. у(х) = 1+2х-—-----—+...
340
X?
12.328. j(x) = l+x-—12.329. у(х) = 1+—+
3 О 43	2!
x 3 x 5 5x 6 + 3! + 5!”бГ+"	00 /	]\m+ 1 12.330.	Я*)= Г 				x2m = f	2m-rn!
= 1-е'д2/2, xeR.	x 2m 4m— IP 12.331. Их)= У ; 1	Jx2"+1. xeR. (2m+l)!
1 00 (-1)"*
12.332. у(х)=х + - У ----Ц-Х2т + 1 х R
У{ ;	2^(2^+!)!!
sin х	cos х
12.333. y(x) — Cl----|-С2-----. • Общее решение должно содер-
х х
жать две произвольные постоянные, поэтому из равенств г(г4-1)ао = 0
и (г+1)(г + 2)д! =0 выбираем r= —1, тогда ао#0 и ях/0.
12.334. _y(x) = C1cos
72 sin
12.337.	/1/2
sin л,
I-i/2(x)~l— cosx. • Использовать
(2л 4-1)!!
равенство
я. 12.338. у (х) = C1/v(ax)4-C2/_v(ax), если v—не целое
число и y(x) = C1/„(ax)H-C2^(ax), если v = n — целое число.
12.339. y(x) = C1/0(2x)+C27V0(2x).	12.340. у(х) =С1/1/3(2х) +
+ С2/_1/3(2х). 12.341. y(x) = ClI2(X'/3) + C2N2(X'/3).
12.342. у(х) = C|/1/5 (Зх)+C2Z_ 1/5 (Зх).
z — 2	2i
12.343. |z-2|>1; -------.	12.344. |z-H‘|>2; ------12.345.
z-3	(z-i)
0<|z|<4-oo; z3e1/z. 12.346. 1 <|z-i\< 4-co; 1/z2. 12.347. l/3<|z-h
+ ;|<s/2. 12.348. 2<|z-2/|<3. 12.349. |z|> 1/e. 12.350. |z+11> 1/4.
12.351. l/2<|z|<4/3. 12.352. -3----£ (-|)"(z-1)", 0<|z—1|<1;
Z~ * л = О
, 1 <|z — 11< 4-00. 12.353. £	|z|>l. • Про-
и = 2 Z
z=l/r| и разложить по степеням r|.
'z — 2\k	00	5к
— . 0<|z —2|<5; £(-1)"
ч •>	/	, X J = 0
1	1 “ /z + '4''
5(z + 3)^ 25ЛА 5
,|z+3|>5. 12.356.	И>2- 12-357'
к = 0 Z
0<|z- 11< 1;
Z(-iy
n = I
извести
12.354.
замену
—    У (-О1
5(z-2) 25k40(	’
|z-2|>5.	12.355.
ж	5 к
~2Z(z-1)k’ C --- -I'-*	z-1 ’ “ (z-l)* + 2’
12.358. ;|-+2£ (-(z-2)2‘+(z-2)2‘ + 1),	0<|z-2|<l;
Z~2	k = 0
Y f 1	1
+ £A(z-2)2‘ (z-2)
0<|z4-31< 5;
z- 1
1
T^2 +
00 к
|z—2|>1. 12.359. z2 У -
3
2
341
1 <|z|< 4- oo. • После замены z=l/r) воспользоваться равенством
/ 1 Y I ________________ 1	1	..................
(i-n)2'
12.360. -------y
(z+l)2
12.361.
 Гт
4=1 Z
1 <|z|< + oo.
12.362.
—:_____i у zk
2(z-Z) 4ke0
2Z -24 + 1
4 = 0Z
0<|z —Z| <2;
\z- Z|>2.	12.363.

4 = 0
i 1 ® kik(z — i)k 1
|z|>l.	12.364.	-----------У------,	0<|z—Z|<2;
, .	2. 4|’-» 8-	1 2	.	, Z , V
2<|г 'l<+ce- • (ZI + |)1	2Y+1)'
Для второго разложения воспользоваться заменой z—i=l/r\.
1 " , „4+1	1	1/ 1 V
!2.365. —*£(-1) —,	l<|z|<+co.	•
oo	2л - 3	oo	2л - 3
ilM- 0<|г|<+“' 12J67- 0<
<|,к + »	12.3Я.	°<l'~2|<+“-
12.369. У -— , 0<|z|<+oo. 12.370. У ---0<|z|<+oo.
HTnn\zn 2	„Tnw!z" 2
12 371	У ( П- 42" ( C°S '	4sin 1	1	\ i	1	0<|z-2|<
237 •	’ (2«)!V(z-2)-	' (2«+l)(z-2)4" + 7’	
oo	/ <+oo. 12.372. 2 (-l)‘(z-l)‘( 1 4 = 0	\	-уггг)’ 1-г— 11< 1; z	2*+i
oo (_])4-l *.?, U-I)*’	l|<2'	® (-1)*	|z-l|>2.
2373.	' X (Y’YY 6АД (4-z)‘+1	__3j-2Z_\	|г-/|<У5;
	(2 + z)‘+7(	
1/	® (2 — Л*'1	® ( 7 (3 + 2<)ZLV + (3-2z)£ 5- 6\	4=1 (Z~l)	4 = 0	(4-z)‘+1 )’	У5<|г-/|<
17;
If ((3 + 2z)(2 —zj‘-1+(—1)‘-1(3 —2z)(4—z)‘-')—-b
6* = i	\г~1)
12.374. If (-i^Wl-JY),	|z|<l;
J4 = 0	\	4	/
1
3
/ oo
£
\4 = 0
1 °° (— 1?
1<M<2; г1>т(1-4‘). Izl>2.
J k = 0Z
342
12.375. - У z2k 1——г , |z|< 1;
Jk = 0	\	4	/
1 “ 4*—1
1-1 >2- 12.376.
J k = 0 -
1 / * 1
2 (k + 1 ) X
3 \к = 0	к = 0
11	5 1
z + ?~6?
-2k
4‘
12.377. • Рассмотреть интеграл
/(n)
J	и восполь-
ln-z0|=p (n-М"
зоваться ограниченностью /(z), вытекающей из существования предела
lim f(z).
z~*zo
12.378. • Использовать следующее утверждение:	если
g(z) = (z — z0)m(p(z), w>l, (p(zo)/0 и <p(z)—аналитическая функция
в окрестности точки z0, то в некоторой окрестности точки z0 справед-
1
ливо разложение -----= bo + bl(z — zo) + ...,
ф(-)
12.379. • Провести доказательство
предположить, что /(z) ограничена в
и вывести из этого предположения, что
точка.
где Ьо = -——-/0.
ф(^о)
от противного, т. е.
окрестности точки z0
z0— устранимая особая
12.380. • Рассмотреть функцию <p(z) =-----; доказать, что
f(z)-A
z0—существенно особая точка для <p(z), и воспользоваться утвер-
ждением задачи 12.379.
12.381. £ cnzn сходится во всей плоскости, а ряд £ cnzn —
вне круга | z|> R. 12.382. Точки zi=e~nl/4' и z2 = e3ni/4’ — полюсы 3-го
порядка. 12.383. Точки Zi=0 и z2= — 1—полюсы 1-го порядка,
а точка z3=l— полюс 3-го порядка. 12.384. Точки zk = kn, ке
eZ,— полюсы 1-го порядка. 12.385. z0= — 1—полюс 1-го порядка,
zi=2— полюс 3-го порядка, z2=—i—полюс 5-го порядка. 12.386.
z(1) = 0 — полюс 2-го порядка, zk=l+kn, keZ,— полюсы 1-го порядка.
12.387. z(1)= —1—полюс 3-го порядка, zk = 2kiti, keZ,— полюсы 1-го
порядка. 12.388. zo = 0 и z2 = ti — устранимые особые точки, zk = nk/2,
к= + \, ±2, ±3, ±4, ...,— полюсы 1-го порядка. 12.389. z0 = n/4—
устранимая особая точка, zk = л(4/с+ 1)/4, к = ± 1, ±2, ...,— полюсы
1-го порядка. 12.390. Точки zk = n(2k +1)/2, keZ,— полюсы 2-го
порядка. 12.391. Точка z0 = 3Z—существенно особая. 12.392. Точка
2
z0=—2/—существенно особая. 12.393. Точки zk=\-\---------, ке
л(2/с + 1)
gZ,— полюсы 1-го порядка, а точка z=l—предельная для полюсов.
12.394. В точке z=l устранимая особенность, а в точках
л(2к + 1)
1 '	, keZ,— полюсы 1-го порядка. 12.395. В точке zo = 0
12.396. В точке zo = 0 — полюс 4-го по-
12.397. В точках zk = 1пЗ -4- 2kni, keZ.— полюсы 1-го по-
рядка. 12.398. Правильная точка. 12.399. Полюс 3-го порядка.
12.400. Правильная точка (нуль 3-го порядка).	”
2-го порядка. 12.402. Существенно особая точка. 12.403. Суще-
ственно особая точка. 12.404. Полюс 2-го порядка. 12.405. Пра-
вильная точка. 12.406. Правильная точка. 12.407. Существенно осо-
бая точка.
2
устранимая особенность,
рядка.
12.401. Полюс
343
ВЫЧ
р2+1
12.408. выч ----
z-2
.2
I2’
12.411. выч
выч
2-5.	12.409. выч
z2
4
Г z2n "I 2п(2п — 1 )...(п + 2)
.. 12.410. выч ;1 = Л_ ' \'
4	z-1"	л-1)!
_z3(z44)*; °
о
1
выч
2
12.413. выч
выч
выч
1
sin 2— -
2
----; выч
32
1
z(l — e2z)'
о
' |_z3(z2+4)2’ ±2'
; kni =
—. 12.412.
64
----, *=±1. ±2, ...
2£л/
2
—, keZ. 12.414.
/з
sin 2z	л
*\2 t i\ 2
(z~ 0
sin 2z
-1
е“
ieJ'
ВЫЧ
4
----, выч
л —2
4cos2
--------. 12.416.
3
ez
z2(z2 + 9)’
keZ. 12.418. выч [ctg2z;
4sin2
(722p-
?Z rJ
ВЫЧ -Т7-Ч-----;J 0
U-2(^ + 9) J
ie 31
------. 12.417. выч
54
_1
9’
tgz;
Lz2(z2 + 9)’ 3/ =
к-\— |я — — 1,
2 /
£n]=0, keZ. 12.419.
	cos3z 	• п	3	17	ШжТи	"z2 + .— l	л	— П	nt^Tlx	V + z-l
ВЫЧ	Z3 ’ U	~~2'		|_z2(z-l)’	V	— V, ВЫЧ	Lz2(z-1)
ВЫЧ -14	1		1 	IT ЛТТ		ВЫЧ 1	1		= 0, выч	1
	_z(*~ -/•73	z2)’ ‘J	2' /3 	 DLIII	1		_z2 —z 1	5’ U 1		z2-z5 1
-1-	2 iy/У 2	6 _l-/x 6	9	DDlH /3 —. 12.423. 1	_z2- зыч	-z5’ cos 4z L(z-2)6’ 2		3’ 128 =	sin 8. 12 15		_z2-z5' 1.424. 1
1
12.425. 0. 12.426. 1. 12.427. -1. 12.428. 0. 12.429. --sh3. • Boc-
3
пользоваться второй теоремой о вычетах. 12.430. 0. 12.431. л2.
л/ х/2	2л/	2л/
12.432. -1. 12.433. —. 12.434. 2л/. 12.435. —. 12.436. —sh3. • Во-
2	9	3
спользоваться второй теоремой о вычетах и результатом задачи
.	. л(л+1)... (2л —2)	2л/
12.429. 12.437. (-Iя	\---------у—г. 12.438. 0. • Восполь-
V 7	(л-1)!	(/>-л)2я1
зоваться второй теоремой о вычетах и соотношением выч [/(z);
оо 1 = 0. 12.439. 2л/. 12.440. 0. 12.441. -4л/. 12.442. 2л/, л = Т; О,
2я+1л/.
л = 0, 2, 3,... 12.443. ----. 12.444. 2(1-е"1л/. 12.445. 2л/.
344
12.446. (cos 1 4-sin 1 4-/ (sin 1 — cos 1)) —. 12.447. 0.
2л	2ля
12.450. —---------. 12.451.	. 12.452.
12.448. 0.
л (a6-Fl)
1 —a2
12.449. л/
12.453. 0.
4	л
12.461. зп. 12.462.	12.463.
12.464. —— е~^''2 L/з sin-cos—). 12.465. -e~ab.
^3	2	2)	2
п .	...	л
2л	r~z---r v	г-	Л
12.454. — (a-Ja2-b2 . 12.455. л/. 12.456. nJ2. 12.457.	= x
b2 v '	v	l2n~2
n(n+ 1)...(2л — 2)	л	л	л
X -V- - 2-3-----I, 12.458. ------------r. 12.459. —. 12.460.-----------.
(n — 1)!	2ab(a + b)	4a	27
П-~ (sin 2 + 2cos 2).
12.466. ле~2со5 2.
4	2e-1
12.467.	12.468. л(^ + е"л). 12.469. -	П.41П. л------
2	'	6	12e2
12.471. 2 корня. • p{it) при изменении t от +oo до — оо прираще-
ния не получает.
12.472. 2 корня. 12.473. 3 корня. 12.474. • Воспользоваться тем,
/	Ф (-) \
что arg /g = arg/+argg и arg ^14-	) при обходе точкой z контура
L приращения не получает, ибо
ф(п)
/(ч)
<1. 12.475. • Рассмотреть
rjeL
функции f(z) = aozn и ср (z) = aizn~i 4-... + я„ на окружности |z| = R
достаточно большого радиуса R. 12.476. а) в круге |z|<l один
нуль; б) в кольце 1 < | z | < 2 четыре нуля. • Положить /(z) = 8z
в случае а) и /(z) = z5 в случае б). 12.477. а) в круге |z|< 1 один
нуль; б) в кольце l^|z|<2 нулей нет; в) в кольце 2^|z|<3 два нуля.
4,/2 2пкх
12.479. Для четной: р^-0, ал = - j J(x) cos-----------dx, а для нечетной:
I о
4//2	2лА\¥	1	2
otjt = 0, р* = - J Дх) sin----dx (fc = 0, 1, ...). 12.480. f(x) =—I- — x
/ 0‘	/	2л
Zsin(2™-l)x , v 1	, k V1 sinfcx /л\ л
—S----Г-. s л)=-(рис. 109). 12.481./ x = ) S - =-
2ni — 1	2	/ j к \2J 4
. .	1	4 V1 cosл(2/и—l)x . .
(рис. 110). 12.482. f(.x =- - -2 )	. V	S l =l (рис. 111).
2 л 2_j	(2/и-1/
a	m - 1
2	4V(-1)H1	n2	V (“О*
12.483. -4--) L—у------cos2Zrx. 12.484.	—4-4 ) v—^-coskx.
л	л / j 4k — I	3	/ j kl
12.485.
4 V »	(2£+1)лх
- > --------sin ---------
л / j 2&4-1 т
12.486.
2 4 V1 cos2£x
n л / j 4fc2 — 1
345
346
12.487.
sin 2knx
к
12.488.
knx
sin----
5
к
12.489.
2sin an
n
к sin кх
—-----если а — не целое; sin ах, если
а —к1
2 sin an
aeZ. 12.490. -----------
n
a cos kx \
—------ , если a—не целое;
а1— кг )
cosax, если aeZ. 12.491.
ZcsinZfx	2shan/ 1
у 12.492.
a2 + k2
n \2a
6) 2n
a cos &х\
^+Fr
12.493.
a)
---+ 21n2
In 2
— 1)*— 1 knx
'2 + к2п2 COSln2‘
-1)Л
\n22 + k2n2
knx
sin----.
In 2
1	2 V /cos 4fc+l .
12.494. a) — + — /	----
f 2	n£_j\ 4fc+l
fc = 0
2
cos (4^ + 3) x'
4fc + 3
1	 2klC  l
— sin — sin kx.
к
4
12.495.
1	4
a) T-Zl
z n
,2
cos(2&—l)rcx. 6)
8 V (-1)*
я2 / j (2k +1)
fc = 0
2
(2k + 1)ях
sin	. 12.496. a)
2
1+2
coskx----cos
2
n
x. 6) - sinx —
- sin 2kx. 12.497.
1	4
*' 3+?
k2
cos nkx.
2
6)-
n
к
2((-l)
k3n2
sin n kx.
12.498.
a)
n —
- cos(2fc — l)x.
6)
sin kx.
k = 0
oo
12.499.
(2*-l)2COS
1
— sin 2kx. 12.500. a)
к
knx
1
— sin------
к I
1	(2k — 1)лх
(2Г^соз1-^-. 12.501.
I
n2
a) r6)
n2
точке x0=l/4. 12.502. n2/12.
---—. • Рассмотреть ряд в
32^2
12.503. n2/6. 12.504. • Умножив и разделив S>n(x) на 2 sin у, получим
347
2(n+l)sin—
к = 0
x 2k +1
2 sin — sin------
2	2
2 sin —
2
(cos kx — cos (к 4-1 )x)
fc = O
-------------- X
4(и4- l)sin2 —
. ,/14-1
sin ----
1	2
"+1	. 2x '
2 sm -
2
п
12.505. —.
90
12.506.
2 л 4-1
sin-------t
2
x------------Л.
„ . t
2 sin -
2
12.507.
о
4 (л 4- l)sin 2—
2л 4-1
sin----	"
)—2—dt=- f
n J
0
. , Л4-1
sin2--t
r))---2—dt.
2 sin2 -
2
2sin-
2
12.508. <j
Учитывая, что
. 2л+1
sin2---t
2
---------dt=\
2 sin2 -
2
можем
записать
<*Я(Л x}-f(x) =
0
1 Г	2
I (f(x+t)+f(x-t)-2f(x)) .......-	dt+
о	2 sin2-
"	sin2--1
+ д/Д]) (<(*+')V(x-')-2/W) -----------^-Л=Л+/2
s	2sin2-
По заданному £>0 выберем 8 столь малым, чтобы для 0^Г^8
выполнялось неравенство: | f (х 4-t) 4-/(х—t)—2/(х) | < е. Тогда
х •	х • ,и+1
2 р Sm ~2~1 е 2 Г Sm ~2~f е
|/1|г?л(л+1) J2 / dt 2 л(л+1)]	/ dt<2‘
q 2 sin	q 2 sin
348
Далее, в силу непрерывности Дх) имеет место неравенство |Дх) |
при хе [—л, л]. Поэтому
л	л
I Г 1 2Мп С dt 2Мп2
1Л1^(й+1)]4^ /2 А2</' и + 1 J г2''(и+1)52
2Мп2 1	£
Выбирая п столь большим, чтобы —— •--------<-, находим |/2|<е/2,
б2 и+1 2
т. е. |а„(/; х) -/(х) I <£. О
, v ,	* sinmx * sin «у	* sin mx sin му
12^09./ x.j =л2-2л I--------—2л £-------^-+4 £ ---------<
m=l т	П=1	"	m,n=l т"
,	А п2 It * (-])”	Л “ (-1)"
12.510. /(х, у )=—+- £ ‘----— sinmx + - £ 2----— sinny+
4 2 _= < п	2 _=, п
+ Z -
ш, л - 1
16 £
+^га?=
_2л ®
3 т= 1
l)m+n	z .	4 ” (-1)л+1 ппу
-----sin mx sin пу. 12.511. Дх, у) =— У -----------sin-----У
тп---Зли=1 п п
_11Л1Л-Л^1	ппу
----z----cos юпх sin	.
т2п------2
1)м+1 .	2 -
-----sin лтх+- > 	5--------sin птх cos пу.
т----^т,п^\	тп
/ v /	28шлу(/> — а)
12.513.	g [sign(r-«)-sign(/-Z>)] =-------------е ,tlv<a+b\
sin2 лул
12.514.	= А
л2у2я
Г 4лу
«2-4л2у2
12.515.	5 [/ ]= л л
4л2у
sin----
2а
при
ЛУ
при
а
v =—,
2л
12.512. Дх, Д =
_	2 sin 2л v
12.516.	5 [Л =----------- 12.517. 5.
Л/У
1
2 > /2
= - I e^cosoizt/co. • Для вычисления 5<
а J
соотношение (*) из примера 3 на с. 248.
Гп-е
-аза
12.518. &
зовать соотношение
1
-аза
2i/2
72л
~~2а~е
— аза.
—----- использовать
д2 + /2|
-аза
е ™ sin (at ска. • Исполь-
-Я
где интеграл
а
2 < ,2
t
2^t2
t
1
^+7
8,
вычислен в задаче 12.517.
349
12.519. &|>-'2] =
<о
2^2
ш2
т,
(О2
4 sincort/co.
12.520.
_ г ... о ,	/2	а (а2 4- Р2 4- со2)
5сCOSР,] = Vп (а2+(Р + ш)2)(а2+(Р-ш)2) ’
+ 00
2а Г	а2 + р24-со2
е C°S ' it J (а2 + (Р + <о)2) (а2+ (Р-со)2)
О
. . 2z ,	к
12.522.	S(v4) =--------sin2nvkr, vt=—
Jtv*	4Г
P(v*) =~,—;sin2 ’tv‘r-
n|V*|
®(V*) = S л
при к = 4п,
при к=£4п,
пеН (рис. 112).
12.523. S(vk) =
0
2
sin 2nvk — /(1 — cos2tivJ	к . . 2|sinnvk| . .
=----------1------------v,=-. p Vj =--------------——,	Ф v4) =
KVj	3	7t|vt|
fttVfc при k=\. 2,	. v z .
= )0 при fc = 3 ф(у^з)=ФЫ (рис. 113).	12.524. S(v) =
sin27ttfv	. . |sin2Tuzv|	. . f 0, если S(v) ^0,
=--------,	p(v)=----------,	Ф(у)=<	. .
7tv	' ' rc|v|	l-71, если S'(v) <0
(рис. 114).
15.525.	z .	2 cos nv SM=,.(!-4.T	p(v)-2	cos nv
			1 —4v2
(v j XJy VVJlrl kJ I V I v9
v)=<	, v (рис. 115). • При вычислении интег-
f [-Л, если 5(v) <0	н
1/2
рала I cos nt e ~2n,vt dt функцию cosnr представить по формуле
-1/2
Эйлера.
12.526.
sin2 nv
P(v) = —
sin 4nv 4- i (cos 4n v — 1)
S(v) =---------
nv
{0, если v = 0 и v= 1/2,
— 2лv, если 0<v<l/2,
(рис. 117).
sin2 nv
5(v) = -^-
7TV2
ф(у) = 0	(рис. 116).
12.527.
2
P(v) = —— I Sin 2nv|,
я|у1 4
/ A
ф1у4--) = Ф(у)
350
UT
л ~ I
4Г _
^С_1_______I___J____I__I . 1 L
0 »1 Ч уз
351
Рис. 117
12.528.
	Г1000 1		0 0	o'!			Г1 0 0 0 i			0	0	0
	1000-	1	0 0	0			0	1 0 0	0	q2	0	0
	0100	0	1 0	0			11	DOO	-1	0	0	0
	0100 0010	0 0	-1 0 0 1	0 0	,	^2 =		0 100 0 0 10		0 0	-q2 0	0 1	0 0
	0010	0	0 -1	0			0 00 1		0	0	0	q
	0001	0	0 0	1			0 0 10		0	0	-1	0
	0001	0	0 0 -	1			0 00 1		0	0	0	-q
			ri 000	1	0	0	0					
			0100	0	q	0	0					
			0010	0	0 ,	Ч2	0					
	^3	=	0001 1000	0 -1	0 0	0 , 0	q3 0					
			0100	0	~q	0	0					
			0010	0	0	q2	0					
			000 1	0	0	0 -						
			\0 + x4"			'(х0 + *4)+ .			CV2			
			*O“*4			Uo-	-хл) + д2		U2	-^6)		
			*l+*5			(xo+x4)- _			u2 + x6)			
12.529. Z'11				X1-X5		z(2)=	(•*0-	-x4		U2	-ч)		
			x2 + xb			(X. +x5		)+	(x3 + x7)			
			x2-x6			(Л1 -	-x5	)+?2	(*3	-x7)		
			x3 + x~)			(Xj 4	hx5	)-	(.Vj + x,)			
			Лз~*7.			LU1 -	~X5	}-42	(*3	-*7) J		
(х0 + х4 + *2+ х6)4-( л1+ *5 + х34- xif
(х0 ~ Х4 4“ 2Х2 — 2Х6) 4~ ( <7*1 ~ qX5 + q3X3-<l3Xl)
(х0 + *4+	*2~ Хб) + (ЧХ1+(ГХ5~<1 *3“<7 Х1>
(х0-х4-^2х2 + ^2х6) + (^3х1-^3х5- qx3 + qx7)
(хо + х4+	v2+	Х6)-( Xt +	Х5+	Х3+	Х7)
(xQ — x4 + q2x2—q2х6)-( 4xi~ Ях5 + Я хз~Я х1)
(х04-х4- /2- хь)-{4 Х\^Ц Х5~Ч хз~Я Х1)
SXQ-X4.~4 х1 + <1 хь)~(я х1~я х5~ Чхз+ ?*7)_,
12.530.
SUBROUTINE FASTFT
*(N,L,К IND,А,В,АА,ВВ)‘
DIMENSION A(L),B(L),
♦AA(L),BB(L)
INTEGER V
М=1
1	K=0
2	V = 0
3	J=(2**M)*K4-V4-1
1 = (2**(M-1))*K+V+1
C = 3.141593*FLOAT(V)
♦/(2**(M -1))
IF(KIND) 7,7,8
7	SI = SIN(C)
GO TO 9
8	SI — — SIN(C)
9	CO=COS(C)
NI = 2**(N —1)+1
JM = J + 2**(M-1)
AO = A(NI)
BO = B(NI)
AA(J) = A(I) + AO*CO 4- BO*SI
BB(J) = B(I) - AO*SI 4- BO*CO
AA(JM)=A(I) - AO*CO - BO*S1
BB(JM) = B(I) + AO*SI - BO*CO
V = V + 1
IF(V-2**(M -1)) 3,4,4
4 K = K4-1
IF(K.-2**(N-M)) 2,5,5
5 M = M + 1
DO 13 1 = 1,L
A(I)=AA(I)
13 B(1) = BB(I)
IF(M-N) 1,1,6
6 IF(KIND) 10,10,12
10 DO 11 1=1,L
AA(J) = AA(I)/L
11 BB(1) = BB(I)/L
12 RETURN
END
353
12.531.
SUBROUTINE F730(A,B)
DIMENSION A(128),B(128)
DO 1 1=1,128
A(I)=25.
1 B(I)=0.
RETURN
END
12.532
SUBROUTINE F731(A,B)
DIMENSION A(128),B(128)
DO 1 1=1,32
A(I)=0.
A(I + 96) = 0.
1	B(I) = 0
DO 2 1 = 33,96
A(I)=20.
2	B(l) = 0.
RETURN
END
12.533.
SUBROUTINE F732(A,B)
DIMENSION A(128),B(128)
DO 1 1 = 1,128
T = I
A(l)=T*(128.-T)/32.
1 B(I)=0.
RETURN
END
12.534.
SUBROUTINE F733(A,B)
DIMENSION A(128),B(128)
DO 1 1=1,64
T = I
A(I) = T
A(I + 64) = 64.-T
B(I) = 0.
1 B(I + 64) = 0.
RETURN
END
12.535.
SUBROUTINE F734(A,B)
DIMENSION
DO 1 1 = 1,128
A(I) = I
1 B(I) = 0.
RETURN
END
12.536.
DIMENSION A(128),B(128),
*AT(128),BT(128),A1(128),
*B1(128),A2(128),B2(128)
CALL F734(A,B)
WRITE (3,10)
10 FORMAT (30H0 ИСХОДНАЯ
♦ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ )
WRITE (3,1) A,В
1	FORMAT (", 16F7.2)
DO 2 1 = 1,128
A1(I) = A(I)
2	B1(1) = B(I)
CALL FASTFT(7,
♦ 128,0, Al,Bl,AT,ВТ)
WRITE (3,11)
FORMAT (6H0 ДПФ )
11 WRITE (3,1) AT,ВТ
M = 24
5 CONTINUE
DO 6 1 = 1,M
AT(64-I)=0.
BT(64-I)=0.
AT(64 + I) = 0.
6 BT(64 + I) = 0.
DO 4 1 = 1,128
A1(I) = AT(I)
4 B1(I) = BT(I)
CALL FASTFT (7,
♦ 128,1,A1,B1,A2,B2)
WRITE (3,12) M
12 FORMAT ('M= ',16)
DO 7 1=1,128
A1(I) = A(I)-A2(I)
7 B1(I) = B(I) — B2(I)
WRITE (3,1) Al,Bl
M = M + 8
IF(M—40) 5,5,8
8 STOP
END
354
ГЛАВА 13
13.1. Да; 3. 13.2. Нет. 13.3. Да; 0. 13.4. Да; 0. 13.5. Да; 0.
13.6. Да; 0. 13.7. Да; 0. 13.8. Нет. 13.9. -(1+е~3р-2е~2р).
Р
13.10. —-(2-2ре~2р-Зе~2р + е^р). 13.11. -е"рт(1 -т) + -у(1 -е'*”).
2р2	р	р2
2	1
13.12. — (р-1+е"2р(р+1)). 13.13. — (l-ep-e~2p-be~3p).
Р	Р
1	,	1	2е'2₽
-у—(1 -е-2^) + —у—е-2^(1 +е-^)---------- (1 -е^р).
Р +1	р(р +1)	пр2
1 +р2
• Воспользоваться теоремой подобия. 13.17. -г—.
Р
4—4р+р3	1	3	2	—4р3 + 8р2—4р + 2
-у-- И . 13.19. -+----+-г. 13.20.	r F
2р3(1-р)	р+1 р+2 р3
2	1/11,	\
----. 13.22. -|--;--(р cos 2л — 2sin2л ).
р(р2 + 4)
6
13.23.
13.14.
13.15.
13.18.
р2 + 2
13.21. И
(р2 + 1)(4р2 + 1)
13.26.
13.24.
2
13.30.
13.33.
13.36.
(р2-1)(р2-9)
р2 + 4
-4-----13.27.
(р2-4)2
6	__
(/>-2)4‘
2р(рЧ12)
(р2-4)3
Р
р2(2р+1)’ *
13.38.	, 7 1-----.	13.39.
р2(р2-2р + 2)
13.31.
(/>2 + 1)2'
Р
Р2 + 2
р4 + 4
13.28.
. 13.25.
Р2
р4 + 4
13.32.
3(р2—13)
(р2 +13)2-36р2 *
2
13.29. ------
(р+2)3
2
р2 — ^р+5
2(р+1)
13.34.	---Ц •
(р2 + 2р+2)2
р~2<'-т)тб7т = е-5*Г. 13.37.
о
(р+1)(р2 + 2р+5)
2(р+1)
р2(Р+2)2'
13.35.
2
Р2(/>2+4)'
--L_ln(l—!Д •
к Р /
Восполь-
зоваться теоремой интегрирования изображения, а затем теоремой
1 /	1\	1 р+1
интегрирования оригинала. 13.40. — In I 1 Ч—|. 13.41. —In-. 13.42.
Р \	Р/	2р р-1
1 1 р +а п
— In 2 + р2’ • Воспользоваться теоремой интегрирования по парамет-
1 р—а
ру, а затем теоремой интегрирования оригинала. 13.43. -In-. 13.44.
р Р-р
(р4 + 4р3 + 2р2-Зр)А'(р)--.	13.45.	(р3 + 6р2+р-2)Х(р)-1.
Р
2	ер	е~2р
13.46. (р2 + 5р-7)А-(р)+—ар-а. 13.47. -----. 13.48. ------.
Р	Р-1	2р(р2+1)
ре
13.49.	------у. • г]('-1)'/=<’П('-1)(('-1)/“,+<’,_|).	13.50.
(Р-1)
\/2	р+1	/	/ Ti\^/2f /	/ тс\\
^—е 4^—----.	> л t— sinr = n t—	sin t— +cos t— .
2 P2+l	\ V	4/ 2 к \ V к 4//
355
13.51.
13.53.
13.55.
13.57.
13.52. -(1-е’Пе рТ-
Р	Р
h	,	,	1	рп	ря
—3(\-е~р'-е~2рх + е- 3р'). 13.54.	--(1 -е~~2 )(1 -ре~~2).
трг	р2+1
/1 ер \	1 2р2е~рп
h\----------. 13.56.	.
V /’(/’+•)/ р +1 р -1
о Положим	Тогда
/<>(') =/(')-Ч	(поскольку	при г>/ в силу
периодичности). Переходя к изображениям, отсюда находим
^о(р)=^(р)-^ plF(p), где
fo(p)=f
О
Следовательно,
r, . Fo(p) 1	\ -РЧ
\-e~'n	°
...-. F . 13.59.
pd-f'T)
13.58.
13.60.
13.63.
(p24-l)(l-e-^)‘
h cp
—rth —. 13.64.
cp2 2
P Z”1
P2 + P2 2Ц-
13.61. -th—.
p 2
рк
p+ре 2p
he'*
13.66.
13.68.
13.69.
13.71.
(/’-а)и+1'
y+ln(p-ot)
1 (р+р<У‘+|+(/>-р/Г1
2	(p2 + P2)'*+1
ypIn (/>2 + P2)+p arctg-
2__________________P
/>2+P2
13.73.
13.77.
^е~ар- *3.74. '*'•
113.78.
13.80.
1
/з
13.85.
^(ch2/-cos/)« 13.81.
• \
sm-5^— 11 — e
2 /
ir](r-2)(/-2)2c’(<’2\
h
13.62. -3-------—.
cp2 p(l—e pc)
cthpn
(p2 + P2)(l-e-55)	Z’2+1
1	/T'(g+1)	\
13.67.		-г —-—-- n(p-a) .
(p-a)-+lVr(p+l)	7
(y — постоянная Эйлера).
n7ft I (р+РО-+1-(р-РО-+1
 ’ 2/	(P2+P2)M+1
parctg-—Py-^ln(p2+P2)
Р 2
13.72.		---------r—.
P2 + P2
-(e3‘-e~r). 13.76. p~2fshz.
4
3
13.79. -(1-e
if t.2( уз
- e,/2l cos-^—Z4-
3\	\	2
. 13.65.
13.87.
13.75.
13.76.
13.83.
— sin t.
2t cos Г—4 sin t).
-1 sin 4l 13.82.
4
1
- sh t sin t.
2
13.84.	п(^-2)(Г-2).
13.86. e 214- n (t - 1) +1| (t - 4) sin 3 (t - 4).
cos2/-2n(/-l)ch2(t-l).	13.88.
„=o	((2n)!)2
356
00	t2n	оо	<2л+1	f ch т
13.89. У (-1)"------------.	13.90. У -------------= — А.
Д (2л+1)!(2л)!	Д(2л+1)!(2л+1> J г
О
оо ?2п
13.91. У--------.	13.92.	etI0(2x/t).	• Применить теорему
п = ол!(2л)!
смещения к оригиналу, полученному в примере 4 из § 2.
13.93. е~2t(cos t — 2sin f). 13.94. -e2t——-cos2/—-sin2z.
6	15	10	5
»	t	3
13.95. ^ePkt. 13.96. -(chz—cosz)— (shz — sinz).
i = i	8	8
17	1	1
13.97.	—tcost------sinZH--sh2z. 13.98. -z(sh z—sin Z).
10	50	50	8
13.99. -chz-b-ch-cos^-^. 13.100. -z2cosz+-zsinz. 13.101. ~(e3t—
3	3 2	2	8	8	2	7 8
13.102.	z-2shz+zchz. 13.103. ^(ch2z-chz).
13.104.	—(ch z+cosz)— chzcosz.
10	5
z
13.105. x(t) = Ct cos3z + C2sin3zH—sin3z.
6
/	Z2\	/	Z24-z\
13.106.	x(z) = l Q + Qz + y k2'. 13.107. x(z) = Cj+ C2-T~)e~2t'
13.108.	x(z)=^C1+^e'+C2e-2'.	13.109. x(Z) = Ct+ C2e*‘ +
1	1/1 zJ3 zJ3\
+-e (cosz—sinz). 13.110.	x(z) = e2| —— sin— -cos—— l + e
2	\ /3	2	2 J
/	/2\	2	Z
13.111.	x(Z) = ( 1 +Z + - k’1.	13.112. x(z) = -(e”3/-l)--e~3'.
2	' 1
13.113. x(z) = ~(l —e')cos z + -(l -I-6el)sin z.
7	Z
13.114. x(z) = cos2z—sin2z—cos2z.
8	4
25	1
13.115. x(z) = —sh3z —ch 3z — shz. 13.116. x(Z) = 3 + Z4-(Z~2)er.
24	8
z	1	z4
13.117. x(z)=-chz—sinz. 13.118. x(z)=—e~l. 13.119. x(z)=l-e“'-
4	4	24
— T](Z — 2)(1— e ° 2)).	13.120. x(z)=ysin Z4-^T|(Z — rc)(Z—rc)sin(Z — тс).
13.121. x(z)=chz—1—n(z-l)(ch(z-l)-l). 13.122. x(z) = 2 sin2 —
e	\	2
Z—1	t — 2\
-2r| (z— l)sin2——Fr|(Z—2) sin2-y— I.
357
13.123. <i Уравнению х^ + а^х^ п + ... +ап_1 х' + ялх=1 при ну-
левых начальных условиях соответствует операторное уравнение
1
L(p) А\(р) = -,	где УДр^х^), a L(p)=pn + ахрп Ч...
Р
... +я„-1Р + Дл — характеристический многочлен уравнения. Отсюда
L(p) =-----. Уравнению л-(я) + я1х<"-п+ ... + ап_ lx' + anx=f(t) при
Р*\(Р)
нулевых начальных условиях соответствует операторное уравнение
L(p)X(p) = F(p), где X(p) = x(z), a F(p)=f(t). Отсюда
F(p)
Х(р) =-----=pX\(p)F(p)- С помощью интеграла Дюамеля (см. § 1,
1Лр)
t
свойство 11) получаем	x(t) = xi (0)/(O + f х \ (x)f(t-T)dT =
, °
= f х i (r)/(r —т)б/т (так как	Xj(0) = 0),	или x(z)=/’(0)x1 (z) +
о
+ Sf'(?)xl(t-'t)(h. о
о
1	t 1 е‘ + 3	1
13.124. x(Z) = -(е — 1)—- е+-е In ——. 13.125. x(z) = -(e'-l-
1 +е‘
— Ze') + shzln---—.
2е
13.126.	x(z) = ef- 1 - (z + In 2)(е‘ + 1) + (е1 + 1) In (е‘ + 1).
t
/	4	/ ь 2 Y\	2 + cos t
13.127.	x(z) = sinz t-— arctg —— I ]+coszln---------.
\ >/з	\>/з//	3
13.128.	x(z) = f e~(tx)2 siniz/x (этот интеграл не выражается через
о
элементарные функции). 13.129. x(z) = C1 + C2sinZ4-C3cosZ + Z, yt =
t2
= C4 + C3sinz— C2cosz-f-y. 13.130. x = C1 + C2shz + C3chr, у — С*4—
— C3shz — C2ch z + ch Z + cos Z. 13.131. x(z) = e\ y(t) = — e*. 13.132. x(z) =
= zcosz, y(z)=—zsinz. 13.133. x(z) — sinz —cosz, y(z) = sin z+cos z.
z2
13.134. x(z) = sinz+shz, y(z) = cosz + chz. 13.135. x(z)= 1+y, y(t) =
= 1— e‘. 13.136. x(z)=—sin Z, y(t)=— cosz, z(z) = sinz.
it\ f я\\
x — - И I z—- I — sin ( z — - I 1 +
+ n(Z — 7t)(— 1 +(z —7t) + cos(z—л) —sin(z —л)), у(z) = (l — z + sin z —cosz) —
(л\/	/	л\\
z—- H 1 —cost z —- I l + q(z — л)(1 +(Z — it) — sin(z — n)—cos(Z — л)).
14
13.138. x(z) = - (ch z + cos z —2) —r| (z —л)(сЬ^ —л) + со5^ —л) —2) +
1 1
+- Л (z—2л) (ch (z—2л)+cos (z—2л) - 2), у (z)=- (ch z—cos z)—ц (z — л) x
1
x (ch (z—л) — cos (z — л)) + - T| (z — 2л) (ch (z — 2л) — cos (Z — 2л)).
358
1
13.139. 2 sin t. 13.140. ch 2t— sh 2/.	13.141. e'.	13.142. ch t.
2
1	Г(1—а) +
13.143.—-.	13.144.---------------.	13.145. z(x, y) = ycosx + xsinx.
rt	Г(1+Р)Г(а+Р)
X
13.146.	z(x, y) = - sha(x-r)
a J
/—	.—	[c
13.147.	w(x, =	— x у/LC) = Esinco(r — x LC), Z(x, /) = / —x
x —xx/Zc) = £ ^y^sinco(r —x^/Zc), t>XyJ~LC. о Предполагая,
что z/(x, Г) и Z(x, t) и их производные как функции переменной
t являются оригиналами, и обозначая U(х, р) = и (х, /), /(х, p) = i(x, t),
dU (х, р)
получим операторные уравнения ---------------------——Lpl(x,p\
дх
д!(х, р)
-------= — CpU(x, р) с граничными условиями #(z)= (7(0, р) =
дх
Ею
= Q(p) = —^--j- Исключая 1(х,р) из первого уравнения и считая
/>2 + ог
d2U (х, р)
р параметром, находим ----------= LCp U(x, р). Отсюда (7(х, р) =
dx
= А(р)ер^хУ-В(р)е~р<ЬСх. Из физических соображений следует,
что при х -► + оо решение U (х, р) ограничено, а потому при Re р > О
коэффициент при первом слагаемом должен быть равен нулю,
т. е. А(р) = $. Далее, из
Есо
Щ*, Р) = 2, 2 е
рг + ы
Ed)
условия (/(О, р) — -^-, следует, что
р2 + со2
„ ч 1 д11(х,р)
а тогда 1(х,р)=--------------------=
Lp дх
/С Em _
= /--------е	Применяя теорему запаздывания, находим
V L р2 + ю2
отсюда искомое решение, о
13.148.	и(х, Z) = £f’v'/1Z,I(r|(/-xyZC)-n(Z-xv/ZC-T));
v/p2 + y2	1 /Г'(ц4-1)	\
13.149.	In	13.150. —- — -------Ina . • Исполь-
a	амМ\Г(ц+1) )
п t	1 /я
зовать решение задачи 13.67.	13.151. - е .	13.152. —
13.153.	13.154. V^(Va-7₽).
13.155. Тл(Ур-Уа). • В заданном интеграле предварительно по-
ложить х2 = и.
359
13.156. 2. <□ Имеем
Р	t
;-----r-j==^sh /с=1. Поэтому по форму-
+ 00	+ ОС
г e-t t 1 f I	t t ж
ле (9) 5=	------tsh-dt = -	te idt=—(te 2 4-2e 2)|o°°=2. о
J * e	J
13.157. - п. о arctg-y = arctg------arctg-----. Ho arctg- =------,
4	n	n— 1	л 4-1	p t
1	_ sin t	1 sin t
arctg----= e ------, arctg----=> ----- (по теореме смещения). Сле-
p+1	t	p-\ t
2	e' — e ‘
довательно, arctg-j=/(/) =---------sin/; k=\. Поэтому по форму-
ле (9) £= | ----------—----------sin/67/ = I---------sin tdt. Ho--------------sin/-'
J 1 —e ' t	J	t
о	о
1	1	3
= arctg - 4- arctg-- - F(p), F(0) = arctg (4- og ) 4- arctg 1 = -
p	pF 1	4
Г 1 4-e 1	3
тельно, по формуле (6)---------------sin tdt = -it. о
J z	4
я. Следова-
ть
13.159.	-
2
• arctg -г------= arctg—arctg------; см. решение задачи 13.157.
n +3n+l n «4-3
13.158.-. • —5-------H---------------------?--------.
2	(p24-l)(p 4-2p4-2) p24-l p2 + 2p + 2
13.160. arctg x. • Положить Ф(/, x) =
. 13.161. arcsin x. • Поло-
жить Ф(/, x) =
13.162. ---. <i Используем производящую функцию Ф(/, х) =
/sinx 00
------------У /"sinwx. Имеем
1- 2/cosx4-/2 B=i
е * sin х
Ф(е х) =------—----------
1— 2е cosx4-е 2
1
~r=rl(z)=/(zX п(0=1 ПРИ	Находим по формуле (10):
Р
+ оо	4-00
e-/sinxJ/	f	e~'dt
------—---------77- = sin x	——----------------— =
1— 2e 'cosx4-e	J (e — cosx)24-sinzx
о	о
= - arctg
e ' — cosx
sinx
4- oo
= — arctg (—ctgx) 4- arctg
о
1 —cosx
sinx
360
и, так как — arctg ( —ctgx) = arctg(ctgx ) = - — %,
1— cosx	( х\ х
arctg —:------= arctg tg - =
sin x	\ 2 J 2
n X
TO T(x)=-—x+-=
n — x
~2~
13.163.
— In ( 2
cos —
Использовать разложение
о
2
1 4-1 cos x _ у z
1+2/cosx-H2 n=.o
I)" tn cos nx,
1+1cos x
положив Ф(/, x)= 1-----------r.
1 +2/cosx + r2
„ E—u0
13.164. ------e CR
R
E—u0
13.166. -----°
П
jLC~41J
1 R2
ПРИ LC = 4L2'-
L
E~u<> ~2Ll
-----te
L
E ”7
13.165. — (1—e L
R\
R
e~~L
Г1	R2
sin /--------z t
J LC 4L2
E-Uq
I R2
R
e ~2L
. Ir2 i
sh / —----1 при
V4L2 LC
R2
sb <Y1 13.170, e((V*+
2R22	2CR2 JJ	\\RC 3CJ
2L
3C
.JlS + bC2
2LRC
JL2+4C2	JL2 + 4C2 \\
-----— sh 2^---- г I I
4LCR2 2LRC
361
13.171.
R	1
E	—t	E-----1
— ---;—- (Lwe L 4- R sin w/ — Aw cos cor). 13.172. — e CR
R2 + L2u2K	'	R
E ~t(	2	Л J2
\3.Y13.----.e 2L \2t-t2----------sin /--------t
\ R2 \	LC 4C2
C~4L
4
Tc~Tl2
, 1 /1 R2
sin*- - /-----------
2v LC 4L2
13.174.
eq(eq — e“cos 0)
e2q — 2e* + acos0 + e2a
eq(cq —a cos 0)
13.175. -3—-----------~—r.
e2q — 2aeq cos 0 + a2
13.176.
eq
. 13.177.
. 13.178.
• По свой-
l)q
ству 3, a). 13.179. (^—)Г+Т при m<k-.
,(m + l)q m— 1
- X	при
m^k. • По свойству 3, б).
sin 0
13.180.	arctg------. Применяем формулу
eq — cos 0
изображения (свойство 5, б)):
интегрирования
sin 0 л	? e4sin0cA?	r ^9sin0^
л	* e2q — 2e4cos 0+ 1	* q(eq — cos0)2 + sin2 0
eq — cos 0
= arctg———
sin 0
sin
= arctg-------й
eq — cos 0
eq — cos 0
так как arctg------------
sin 0
00 л eq — cos0	sin 0 \
= --arctg--——- = arctg--------- .
я 2	sin 0	eq — cos0/
13.181.	f(n)= -1р + 12'’4-^(-2)л
nn n-\-1
13.182.	f(fl) = sin — cos------я.
J v f 2	4
2"~3 (3 + (- l)n-2)~ 1 "-3
3
, , .	. 3n 4-1
13.183.	/(м) = (х//2)л 1 cos—^—я. • Ис-
пользовать формулы
(пример 3 и
13.185.
2
5 —4 cos 0
для изображения функций ап sin 0л и ап cos 0л
л[г+1]
задача 13.175).	13.184. ------ = Crn+I-
(г 4-1)!
(sin 0 — 2" 1 sin л 04-2" sin (л—1) 0)
при
2
л
13.186. ------. • Использовать формулу умножения изображений.
362
1
13.187. - —
2 г2
+ ( —2)"+1).
13.190.
13.188.
2(и+ 1)я
3	‘
2
хи = —sin
х/3
13.192. хп = (2х0-*i) 1" + (*! -*о) 2п = Q 4- С2 • 2".
13.189. х„=Д(5л+1 +
(л+ 1)"
13.191. x„ = sin----.
6
13.193. х„ = 2“—(и+1).
13.194. %„ = (.<! — 2х0—2)3"+ (1 -л1 + Зх0)2" + 4” = С1 • 3" + С2  2"+ 4".
13.195. х„ = (—1)” + 2" + 3”,	j'„ = 2(—1)” —2" —3".	13.196. хп =
Зх0—у0	2х0 + у0
= 0^J'°.2- + .....°-Z.0..y=zcl 2" + С2-3",
+ 3-Го'|-6ЛО -3"= -С| -2"+| +С2-3"+1.
2ЛО-6ХО 2„ !
Приложение
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Обозначения
ez — e~z	shz	1
shz =-------, thz =------, sechz =---,
2	ch z	ch	z
.	ez + e'z	chz	1
chz=--------, cthz = -—, cschz =—.
2	sh z	sh	z
Соотношения между гиперболическими функциями
1.	ch1 2 3 4 5z —sh2z= 1.
2.	ch2z + sh2z = ch2z.
3.	sh2z=2shzchz.
4.	th2z= 1 — sech2z.
5.	cth2z= l+csch2z.
z shz
6.	th-=-------.
2 ch z 4-1
7.	(shz+chz)" = shwz + ch>iz.
8.	chz + shz = e2.
9.	chz—shz = e-2.
10.	sh(u + r) = shwchv + chushv.
11.	ch(w±p)=chucht’±shMsh v.
.	. th и + th v
12.	th i/ + v ---=---.
v “ 7 l±thwthv
u±v u+v
13. shw±shv = 2sh---ch-----.
2
u + v ~ ~
14. chu+chr = 2ch---ch-----.
2
..............  2
2
u—V
2
„ , „ u — v
15. chu—chv = 2sh----sh-----.
2
16. sh2w + ch2v = ch2u4-sh2v.
Соотношения между гиперболическими и тригонометрическими
функциями
1. shzz = /sinz.
2. chfz = cosz.
3. thzz = /tgz.
4. sh(u±H’) = shucosv±/chusinu.
5. ch(w±/v) = chwcosp±zshusinr.
364
Выражения для обратных гиперболических и обратных триго
юметрических функций
1.	Arsh z - Arch ^/1 4-z2 = Arth ——= Ln (z 4- ^/z24- 1).
>/z2 + l
2.	Archz= ±Ln(z + x/z2 — 1).
3.	Arthz = -Ln
2	1 —z
.a.	1	z4-1
4.	Arcthz = - Ln--.
2	z-1
5.	Arcsinz = — iLn(iz4-^/1 4-z2).
6.	Arccos z — + i Ln (z 4- ^/z2 — 1).
i l+/z
7.	Arctg z= — Ln-----.
2	1— iz
i z + i
8.	Arcctgz= — Ln-----.
2 z — i
Учебное издание
БОЛГОВ Валентин Андреевич,
ЕФИМОВ Александр Васильевич,
КАРАКУЛИН Анатолий Федорович,
КОГАН Сергей Михайлович,
ЛУНЦ Григорий Львович,
ПОСПЕЛОВ Алексей Сергеевич,
ФРОЛЬв Сергей Васильевич,
ШОСТАК Родион Яковлевич,
ЯНПОЛЬСКИЙ Авраам Рувимович
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ ВТУЗОВ
Часть 2
Специальные разделы
математического анализа
Заведующий редакцией А. П. Баева
Редактор Ф. И. Кизнер
Художественный редактор Г М. Коровина
Технический редактор И. Ш. Аксельрод
Корректор В. П. Сорокина
ИБ№ 41043
Подписано к печати 10.03.2010 г. Формат 60x84/16. Бумага тип. № 2.
Гарнитура «Times New Roman». Печать офсетная. Усл. печ. л. 23.
Усл. кр.-отт. 23. Уч.-изд. л. 23,55. Тираж 3000 экз. Заказ № 103
ООО «Издательский дом Альянс»
127055, Москва, ул. Новослободская, д. 62, корп. 19
Тел/факс (495) 221-21-95 - многоканальный
izdat@aliansbooks.ru, www.aliansbook.ru
Отпечатано в ОАО «ИПК «Ульяновский Дом печати»
432980, г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14
ООО «ИЗДАТЕЛЬСКИЙ ДОМ АЛЬЯНС»
тел/факс: (495)221-21-95 - многоканальный
Адрес в Интернете http://www.aliansbook.ru E-mail: zakazgialiansbooks.ru. izdatig-aliansbooks.ru
предлагает:
1,	Издание учебной и справочной литературы для вузов и ссузов
2.	Выполнение заказов на стереотипное переиздание ветхих книг
3,	Переиздание учебной литературы прошлых лет, переработанных и
дополненных
Технические науки
(учебная и справочная литература для высшего образования)
Антипова А.Ф. и др. Technical English: Уч. пос. для вузов. - изд., пер. и доп. - М.:
ИД Альянс, 2010.
Артоболевский И.И.. Эдельштейн Б.В. Сборник задач по теории механизмов и
машин: Уч. пос. - 3-е изд., стер. - М.: ИД Альянс. 2009. - 256 с., ил.
Бахчисарайцева М.Е., Каширина В.А. и др. Пособие по английскому языку для
старших курсов энергетических вузов: Уч. пос. для энергетических специаль-
ностей вузов. - изд., стер. - М.: ИД Альянс. 2010.
Башта Т.М., Руднев С.С., Некрасов Б.Б. Гидравлика, гидромашины и гидроприводы:
Учебник для машиностроительных вузов. - 4-е изд., стер. - М.: ИД Альянс, 2010. -
423 с., ил.
Белопольский И.И., Каретникова Е.И. и др. Расчет трансформаторов и дросселей
малой мощности: Уч. пос. - 3-е изд., стер. - М.: ИД Альянс, 2009. - 400 с., ил.
Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической
физики. Уч. пос. для вузов. - 3-е изд., стер. - М.: ИД Альянс, 2010. - 312 с., ил.
Борщевский А.А., Ильин А С Механическое оборудование для производства
строительных материалов и изделий: Учебник для вузов по специальности
«Производство строительных изделий и конструкций» - 2-е изд., стер. - М.: ИД
Альянс, 2009. - 368 с., ил.
Вайнсон А.А. Подъемно-транспортные машины строительной промышленности:
Атлас конструкций: Уч. пос. для технических вузов. - 3-е изд., пер. и доп. - М.: ИД
Альянс. 2009. - 150 с., ил.
Иванова Э.И. Учебник русского языка для иностранцев ’’Время 1”
(Элементарный уровень): Уч. пос. - изд., испр. и доп. - М.: ИД Альянс, 2010.
Иделъчик В. И. Электрические системы и сети: Учебник для вузов, - 2-е изд., стер. -
М.: ИД Альянс. 2009. - 592 с: ил.
Клюев АС. и др. Наладка средств автоматизации и автоматических систем
регулирования: (.'правочное пособие .- 3-е изд., сгер. - М.: ИД Альянс. 2009. - 368 с., ил.
Лахтин Ю.М., Леонтьева В.Л. Материаловедение: Учебник для втузов - 5-е изд.,
пер. и доп. - М.: ИД Альянс, 2009. - 528 с., ил.
Молчанов А.Г. Машины и оборудование для добычи нефти и газа: Учебник для
вузов по специальности "Машины и оборудование нефтяных и газовых промыслов"
2-е изд., пер. и доп. - М.: ИД Альянс, 2010.
Серебренникова Н.И., Круглякова И.Е. Английский язык для химиков: Учебник
для химико-технологических специальностей вузов. - 4-е изд., пер. и доп. - М.: ИД
Альянс, 2009. - 400 с.
Чунихин А. А. Электрические аппараты: Общий курс: Учебник для вузов. - 4-е изд.,
сгер. -• М.: ИД Альянс, 2008. - 720 с., ил.
Шандров Б.В., Морозов Е.М. и др. Основы технологии микродугового оксидирования:
Уч. пос. - 1-е изд. (ГРИФ) - М.: ИД Альянс. 2008. - 80 с., ил.
Щуров В.И. Технология и техника добычи нефти: Учебник для вузов. - 3-е изд.,
стер. - М.: ИД Альянс, 2009. -510 с., ил.


МАТЕМАТИКЕ для втузов
СБОРНИК
ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИКЕ
2
специальные
разделы
математи ческого
анализа
учебник для втузов
^АльянС