УДК 512.73; 512.774
Главный редактор информационных изданий ВИНИТИ
профессор 77. В. Нестеров
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ
информационных изданий по математике
Главный редактор чл.-корр. АН СССР Р. В. Гамкрелидзе
Члены редколлегии: акад. А. А. Гончар, д. ф.-м. н. А. Б. Жижченко,
к. ф.-м. и. Д. Л. Келенджеридзе, к. ф.-м. н. М. К. Керимов,
чл.-корр. АН СССР Л. Д. Кудрявцев, профессор В. Н. Латышев,
академик Е. Ф. Мищенко, академик С. М. Никольский,
профессор Н. М. Остиану (ученый секретарь редколлегии),
профессор В. К. Саульев, профессор А. Г. Свешников
Редакторы-составители серии
канд. физ.-мат. н. А. А. Аерачев, академик А. А. Гончар,
докт. физ.-мат. и. А. Б. Жижченко, каид. физ.-мат. н. Д. Л. Келенджеридзе,
академик Е. Ф. Мищенко, профессор Н. М. Остиану,
старший научный сотрудник В. П. Сахарова
Литературный редактор 3. А. Измайлова
© ВИНИТИ, 1989
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ-2
Консультирующий редактор-составитель тома
член-корреспондент АН СССР И. Р. Шафаревич
Рецензенты
доктор физико-математических наук Ю. Г. Зархин
доктор физико-математических наук А. Н. Тюрин
1*
onЕЧАТКИ
ИНТ. Соврем, пробл. матем. ФН № 35, 1989 г.
Страница	Строка	Напечатано	Следует читать
32	10 снизу		(*)® Ас, A
72	10 сверху	|*ан	
95	13 снизу	тогда любое	тогда, когда любое
125	9 снизу	«i(p'X-S)	Ml (P'\S)
135	20 сверху	ЛР. S = ftl>. Я	tl.P- « = ft«. Р
136	24 сверху	V	tynK
168	23 сверху	определенное, условием	определенное условием
170	1 сверху	Ui—у—0	Ui — У=0
197	17 сверху	Х^А'-^А	X—fA' -> А
198	5 снизу	(Кх2). Х«7х)Л»	(Кх2). х(<М Рт
228	2 снизу	А замыканием	А — замыканием
: 234	10 сверху	; а	Q
> 252	6 снизу	поверхностей Хопфа	поверхностей типа Хопфа
261	16 сверху	Lestures on curves on an	Lectures on curves on an
		algebrais	algebraic
263	19 сверху	локально постоянный 109	— локально постоянный
			109
269	7 снизу	Вейля 88	— Вейля 88
левая			
269	6 снизу	Гильберта 103	— Гильберта 103
правая			
269	29 снизу		Римана — Роха •—	— Римана — Роха — Гро-
правая		Гротендика 51	тендика 51
270	28—29	9. Псковских В. А. Про-	9. Псковских В. А. До-
левая	сверху	стое доказательство тео-	казательство теоремы о
		ремы Гизатуллина о со-	соотношениях в двумер-
		отношениях в группе	ной группе Кремоны //
		Кремоны // Тр.	Мат.	Успехи мат. наук.—
		ин-та АН СССР	1985.—	40, Xs 5.—
			С. 255—256
Зак. 2004

Научный редактор-составитель тома
Ю. А. Шиханович
Авторы
В. И. Данилов, В. А. Псковских, И. Р. Шафаревич
УДК 512.73
I. КОГОМОЛОГИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ
В. И. Данилов
СОДЕРЖАВ И Е
Предисловие..................................................
Глава 1. Гомологический аппарат..............................
§ 1.	Генезис гомологических понятий.....................’	.
1.1.	Идея гомологий .	...............................
1.2.	Гомологии триангулированного пространства .	.	.	.
1.3.	Сингулярные гомологии...............................
1.4.	Когомологии.........................................
1.5.	Пучки...............................................
1.6.	Когомологии пучков..................................
1.7.	Когомологии когерентных пучков......................
1.8.	Когомологии этальных пучков.........................
§ 2.	Комплексы.............................................
2.1.	Точные последовательности...........................
2.2.	Комплексы .	.....................................
2.3.	Длинная точная последовательность...................
2.4.	Фильтрованные комплексы.............................
2.5.	Спектральные последовательности.....................
2.6.	Бикомплексы.........................................
2.7.	Конус отображения...................................
2.8.	Произведения........................................
§ 3.	Пучки.................................................
3.1.	Предпучки...........................................
3.2.	Пучки...............................................
3.3.	Прямой и обратный образы пучка......................
3.4.	Абелевы пучки.......................................
3.5.	Вялые пучки.........................................
§ 4.	Когомологии пучков....................................
4.1.	Конструкция когомологий.............................
4.2.	Гиперкогомологии....................................
4.3.	Высшие прямые образы................................
4.4.	Когомологии покрытия................................
4.5.	Критерий ацикличности покрытия......................
Глава 2. Когомологии когерентных пучков......................
§ 1.	Когомологии квазикогерентных пучков...................
1.1.	Квазикогерентные пучки..............................
1.2.	Теорема Серра...................................•
1.3.	Комплексы Кошуля....................................
1.4.	Теорема об аффинных покрытиях .	......
1.5.	Когомологическая размерность........................
1.6.	Высшие прямые образы................................
8
10
10
10
10
11
12
12
13
14
14
15
15
15
16
17
17
19
19
20
20
20
21
22
23
24
25
25
26
27
28
29
30
31
31
32
33
34
35
35
5
1.7.	Формула Кюннета.....................................
1.8.	Когомологии открытых вложений.......................
§ 2.	Когомологии проективного пространства.................
2.1.	Пучки на Рп и градуированные модули.................
2.2.	Применение к обратимым пучкам.......................
2.3.	Применение к когерентным пучкам.....................
2.4.	Регулярные пучки....................................
2.5.	Эйлерова характеристика.............................
2.6.	Релятивизация.......................................
§ 3.	Когомологии собственных морфизмов.....................
3.1.	Теорема конечности..................................
3.2.	Теорема сравнения...................................
3.3.	Эскиз доказательства................................
3.4.	Теорема о формальных функциях.......................
3.5.	Непрерывные семейства пучков........................
3.6.	Теорема о полунепрерывностн.........................
3.7.	Лемма об эквивалентном комплексе....................
3.8.	Постоянство эйлеровой характеристики................
§ 4.	Теорема Римана—Роха...................................
4.1.	Теорема Римаиа—Роха для кривой......................
4.2.	Общая проблема Римана...............................
4.3.	Классы Чженя........................................
4.4.	Теорема Римана—Роха—Хирцебруха......................
4.5.	Теорема Римаиа—Роха—Гротендика......................
4.6.	Принцип доказательства..............................
§ 5.	Теория двойственности.................................
5.1.	Эвристические замечания.............................
5.2.	Двойственность на кривой............................
5.3.	Двойственность Серра................................
5.4.	Теорема Ходжа об индексе............................
5.5.	Общая двойственность................................
5.6.	Двойственность на схемах Коэна—Маколея	....
§ 6.	Когомологии де Рама...................................
6.1.	Определение.........................................
6.2.	Теорема о вырождении................................
6.3.	Редукция к конечным полям...........................
6.4.	Случай конечного поля...............................
6.5.	Операторы Картье....................................
6.6.	Теоремы об обращении н нуль.........................
6.7.	Свойства когомологий де Рама........................
6.8.	Кристаллические когомологии.........................
Глава 3. Когомологии комплексных многообразий ....
§ 1.	Комплексные многообразия как топологические пространства
1.1.	Классическая топология..............................
1.2.	Свойства классической топологии.....................
1.3.	Сингулярные (ко) гомологии..........................
1.4.	Гомологии Бореля—Мура...............................
1.5.	Теория пересечений..................................
1.6.	Формула Лефшеца.....................................
§ 2.	Когомологии когерентных пучков........................
2.1.	Функтор аналитизацни.................................
2.2.	Теорема сравнения....................................
2.3.	Применение к когомологиям де Рама....................
2.4.	Слабая теорема Лефшеца...............................
2.5.	Теорема об алгебраизации.............................
2.6.	Теорема о связности..................................
2.7.	Теорема существования Римана.........................
2.8.	Экспоненциальная последовательность..................
§ 3.	Веса в когомологиях...................................
3.1.	Весовая фильтрация...................................
35
36
37
37
37
39
40
41
41
42
42
42
43
44
45
45
46
47
47
47
48
48
50
51
52
53
53
53
54
55
56
56
57
57
58
59
60
61
62
63
64
65
65
65
66
67
68
69
70
71
71
71
72
73
73
74
74
75
76
76
6
3.2.	Функториальность весов..................................
3.3.	Сборка и разборка......................’	’	'	’
3.4.	Случай гладких многообразий..................... '	’	’
3.5.	Непрерывность весов.....................................
3.6.	Существование весов.....................................
§ 4.	Алгебраический подход к классической топологии ....
4.1.	Что дает топология Зарисского...........................
4.2.	Идея Гротендика.........................................
4.3.	Хорошие окрестности.....................................
4.4.	Идеализированная схема восстановления...................
4.5.	Алгебраические накрывающие..............................
4.6.	Поучительный пример.....................................
Глава 4. Этальные когомологии....................................
§ 1.	Гипотезы Вейля...........................................
1.1.	Конечные поля...........................................
1.2.	Уравнения над конечными полями..........................
1.3.	Дзета-фуикция...........................................
1.4.	Теорема Вейля...........................................
1.5.	Доказательство теоремы Вейля.........................
1.6.	Гипотезы Вейля..........................................
1.7.	Когомологии Вейля.......................................
§ 2.	Алгебраическая фундаментальная группа....................
2.1.	Этальные морфизмы.......................................
2.2.	Этальные накрытия.......................................
2.3.	Алгебраическая фундаментальная группа .	.	.	.	.
2.4.	Функториальные свойства фундаментальной группы
2.5.	Конструирование накрытий................................
§ 3.	Этальная топология.......................................
3.1.	Этальные предпучкн......................................
3.2.	Этальные пучки..........................................
3.3.	Категория пучков........................................
3.4.	Слой пучка в точке......................................
3.5.	Этальная локализация....................................
§ 4.	Когомологии этальных пучков..............................
4.1.	Абелевы пучки...........................................
4.2.	Когомологии.............................................
4.3.	Когомологии Галуа.......................................
4.4.	Когомологии когерентных пучков..........................
4.5.	Торзеры.................................................
4.6.	Теория Куммера..........................................
4.7.	Ацикличность конечных морфизмов.........................
§ 5.	Когомологии алгебраических кривых........................
5.1.	Стратегия подхода.......................................
5.2.	Теорема Тзена...........................................
5.3.	Когомологии пучка О*....................................
5.4.	Когомологии полной кривой .	.......................
5.5.	Двойственность на полной кривой.........................
5.6.	Случай открытой кривой..................................
§ 6.	Фундаментальные теоремы..................................
6.1.	Конструктивные пучки....................................
6.2.	Теорема о замене базы...................................
6.3.	Когомологии с компактными носителями....................
6.4.	Теорема конечности......................................
6.5.	Сравнение с классическими когомологиями.................
6.6.	Специализация и исчезающие циклы........................
6.7.	Ацикличность гладких морфизмов .........................
6.8.	Этальная монодромия.....................................
§ 7.	Z-адические когомологии..................................
7.1.	Z-адические пучки.......................................
7.2.	Конечномерность.........................................
76
76
78
78
79
79
79
80
81
81
82
83
84
84
84
85
86
88
88
89
90
91
92
92
93
95
96
96
96
97
98
99
100
100
100
101
102
102
103
103
104
104
105
105
106
107
107
108
108
109
109
НО
111
112
112
113
114
114
1 14
116
7
7.3.	Формула Кюннета.........................................
7.4.	Двойственность Пуанкаре: ориентация.....................
7.5.	Двойственность Пуанкаре:  спаривание...................
7.6.	Гомоморфизм Гизина......................................
7.7.	Слабая теорема Лефшеца..................................
7.8.	Формула следа Лефшеца...................................
7.9.	Применение к /-функции..................................
7.10.	L-функции..............................................
§ 8.	Теорема Делиня...........................................
8.1.	Веса....................................................
8.2.	Главная теорема.........................................
8.3.	Механика доказательства.................................
8.4.	Геометрические применения...............................
8.5.	Трудная теорема Лефшеца.................................
8.6.	Теорема об инвариантном подпространстве.................
8.7.	Гипотеза Тейта..........................................
Литература.......................................................
116
116
117
118
118
119
119
119
121
121
122
123
124
125
126
126
127
ПРЕДИСЛОВИЕ
Этот обзор, посвященный когомологиям, завершает изло-
жение основ алгебраической геометрии, начатое в [5].
Довольно давно было замечено, что топологическое стро-
ение комплексных (а лишь для них до недавнего времени име-
ли смысл топологические понятия) алгебраических многообра-
зий существенно оказывается на их геометрических и арифме-
тических свойствах. Более того, само формирование топологи-
ческих понятий, таких как многообразие, числа Бетти, гомоло-
гия, когомология, фундаментальная группа, было вызвано к
жизни нуждами алгебраической геометрии (см. исторический
очерк в [13]).
Исторически первыми и наиболее простыми объектами бы-
ли алгебраические кривые, или компактные римановы поверх-
ности. С топологической точки зрения они различаются един-
ственным числовым инвариантом — родом (или числом ручек,
или половиной первого числа Бетти). С алгебраической точки
зрения род — это число независимых регулярных дифференци-
алов (т. е. dim Н°(Х, £2х‘)), с геометрической — размерность си-
стемы линейно неэквивалентных циклов. Все это было извест-
но еще Риману. Аналоги этих фактов для алгебраических по-
верхностей были получены в начале этого века Кастельнуово,
Энриквесом и Пуанкаре. Многомерный случай был освоен Леф-
шецем и Ходжем к середине столетия. В частности, было по-
нято, что когомологии гладких проективных многообразий об-
ладают дополнительной структурой Ходжа, отсутствующей у
произвольных топологических пространств. Благодаря этому,
алгебраические многообразия с топологической точки зрения
устроены в каком-то смысле наиболее просто. В начале 70-х
годов Делинь перенес эти результаты на произвольные ком-
плексные алгебраические многообразия.
8
Влияние топологии на арифметику можно продемонстри-
ровать на примере гипотезы Морделла, доказанной недавно
Г. Фальтингсом ([33], см. также [6]): пусть дана алгебраиче-
ская кривая X, определенная над полем Q рациональных чи-
сел; предположим, что ее род больше 1; тогда множество
X(Q) ее Q-значных точек (а также Х(К) для любого конеч-
ного расширения К поля Q) конечно. Этот результат аналоги-
чен более простому, но идейно близкому утверждению де
Франчиса: пусть X и У— римановы поверхности и род X боль-
ше 1; тогда существует лишь конечное число непостоянных го-
ломорфных отображений У в X. По этому поводу мы отсылаем
к замечательному обзору {67] арифметики кривых.
Как уже говорилось, топологические понятия, такие как
когомология, развивались первоначально для комплексных мно-
гообразий. Постепенно было понято, что удобно пользоваться
не только постоянными коэффициентами, но и переменными
коэффициентами и коэффициентами в пучках. К этому приво-
дили и многие содержательные понятия, так как разные ин-
тересные геометрические объекты представляются как гло-
бальные сечения или когомологии когерентных пучков. Пово-
ротным пунктом к алгебре можно считать теорему А. Картава
о тривиальности когомологий когерентных аналитических пуч-
ков на аффинных многообразиях (теорема В). Благодаря ей,
когомологии можно было вычислять при помощи любого аф-
финного покрытия. Это открывало путь к определению кого-
мологий когерентных пучков на любом абстрактном алгебра-
ическом многообразии, что и сделал Серр в [72]. Окончатель-
ный лоск теории был придан Гротендиком. Этому посвящена
глава 2 настоящего обзора.
Еще один мощный стимул развития топологических поня-
тий для абстрактных алгебраических многообразий исходил от
А. Вейля. Основываясь на различных фактах о числе решений
алгебраических уравнений над конечными полями, он предпо-
ложил, что все эти факты объясняются существованием для
многообразий над конечными полями теории когомологий, по-
хожей на классическую теорию целочисленных когомологий.
Загоревшись этой идеей, Гротендик придумал этальную топо-
логию и этальные когомологии. Пользуясь этой теорией, Де-
линь доказал гипотезы Вейля; об этом глава 4.
Мы не касаемся новейшей теории универсальных когомо-
логий, во многом остающейся гипотетической, отсылая к [1],
[18], [19]. В основе излагаемых здесь трех великих теорий
когомологий (комплексной, когерентной и этальной), тесно свя-
занных друг с другом, лежат некоторые общие факты и поня-
тия гомологической алгебры. Мы сочли удобным конспективно
напомнить их в главе 1. Мы предполагаем также свободно
пользоваться результатами, а главное — понятиями, изложен-
ными в [5].
9
Глава 1
гомологический аппарат
§ 1.	Генезис гомологических понятий
1.1.	Идея гомологий. Гомологические понятия впервые
появились при изучении комплексных алгебраических кривых
или, как тогда выражались, функций одной переменной. Клас-
сический прием их исследования состоял в рассмотрении ин-
тегралов от рациональных (или голоморфных) функций. При
этом путь интегрирования обычно явно не указывался, указы-
вались только начальная и конечная точки. Дело в том, что
при малом шевелении пути интеграл не менялся. Зато и опре-
делен был интеграл лишь с точностью до периодов. На более
современном языке речь идет об одномерных гомологиях соот-
ветствующей римановой поверхности.
При переходе к многообразиям большей размерности воз-
никла необходимость в соответствующих обобщениях «путей
интегрирования». Пуанкаре принадлежит идея рассматривать
A-мерные пленки, лежащие в многообразии. Если эта пленка
не имеет границы, или замкнута, она называется циклом.
В общем случае у нее есть граница — пленка размерности k—1.
Пленки гомологичны, если они ограничивают (с разных сто-
рон) пленку размерности на 1 больше. Классы гомологичных
пленок называются гомологиями исходного многообразия. На
простейших примерах было видно, что все гомологии порож-
даются конечным числом их, как в случае римановых поверх-
ностей.
1.2.	Гомологии триангулированного пространства. Приве-
денная выше смутная идея нуждается в уточнении. Что счи-
тать пленкой? Как определять границу? Проще всего это
сделать для многообразий или пространств, снабженных
триангуляцией, т. е. представленных в виде объединения
симплексов, которые пересекаются друг с другом по своим
граням. Например, любое алгебраическое многообразие над
полем С (или R) обладает триангуляцией и даже полуал-
гебраической триангуляцией (гл. 3, п. 1.2). k-мерной цепью
такой триангуляции Т называется алгебраическая сумма
fe-мерных симплексов триангуляции, ^-мерные цепи образуют
абелеву группу Ск(Т). Ясно, что следует считать границей
k-мерного симплекса-, это — сумма всех его граней размерно-
сти k—1. По линейности понятие границы переносится на лю-
бые цепи и дает оператор границы
Важнейшее свойство оператора границы б в том, что 6«6=0
(граница—всегда цикл); правда, для этого надо работать с
10
ориентированными симплексами. Набор групп Сй(Т) и гра-
ничных гомоморфизмов 5 образует т. н. цепной комплекс
02	01
С.(Г) = (... -> Ci (Г)-> С0(7)^О-> ...).
Г омологии триангуляции Т (или комплекса С. (Т)) определя-
ются как циклы по модулю границ:
Hk (Т) =Ker 6ft/Im 6ft+1.
Может возникнуть законный вопрос: зачем переходить к
гомологиям, когда у нас есть комплекс С.? Самое важное свой-
ство гомологий в том, что они зависят только от пространства
X, а не от выбора его триангуляции Т. Можно несколькими
способами придать смысл этому утверждению. В случае ал-
гебраических многообразий можно воспользоваться тем до-
вольно тонким фактом, что любые две полуалгебраические
триангуляции Т', Т" обладают более мелкой третьей полуал-
гебраической триангуляцией Т. Последнее означает, что каж-
дый симплекс триангуляции Т целиком лежит в некотором
симплексе триангуляции Т' (или Т"). Представляя симплек-
сы Т' как цепи более мелких симплексов Т, мы получим набор
естественных гомоморфизмов
коммутирующих с операторами границы. Наборы таких гомо-
морфизмов (<рл.) называются морфизмами комплекса С.(Т') в
С.(Т) (п. 22). И хотя отображения <pft далеки от изоморфиз-
ма, индуцированные отображения групп гомологий оказывают-
ся изоморфизмами.
1.3.	Сингулярные гомологии. Другой, более кардинальный
способ установления топологической инвариантности гомоло-
гий состоит в том, чтобы пользоваться определением, вовсе не
апеллирующим к понятию триангуляции. Пусть
k
А*—' (^о>
.... ^)€R+ 2*/=1
— стандартный геометрический ^-мерный симплекс. Назовем
сингулярным ^-мерным симплексом пространства X произ-
вольное неперывное отображение о : Aft—>Х. Пусть 2\(Х)—
абелева группа, порожденная такими сингулярными симплекса-
ми. Стандартным способом вводится оператор границы
б :	для сингулярного симплекса о : Aft—>-Х его граница
ft
ба=2 (—Wa°sr>
где so,.. . , sk : Afe_i->Ah— стандартные аффинные отображения
Afe-i на (k—1)-мерные грани Ай. Снова б»б = О, так что полу-
11
чается сингулярный цепной комплекс S.(X). Его гомологии
Н, (X) называются сингулярными гомологиями X.
С предыдущим это понятие связано так: пусть простран-
ство X снабжено триангуляцией Г; тогда каждый (ориентиро-
ванный) симплекс триангуляции Т можно рассматривать как
сингулярный симплекс X, и мы снова получаем морфизм ком-
плексов С. (Т)—^2. (X). И хотя комплексы сильно различаются
(сингулярных симплексов безумно много), гомологии этих ком-
плексов снова совпадают. И это, в некотором смысле, общий
случай. Пользуясь той или иной конструкцией и дополнитель-
ными структурами, можно строить различные комплексы. Од-
нако часто эти комплексы оказываются эквивалентными, похо-
жими в том смысле, что они дают одинаковые гомологии.
С потребительской точки зрения интерес представляют инва-
рианты — гомологии. Но получение сколь-нибудь глубоких
свойств гомологий требует возврата к происхождению, к ком-
плексам. Некоторая техника работы с комплексами излагается
в следующем пункте.
1.4.	Когомологии. Вместо цепей можно пользоваться двой-
ственным понятием коцепи — функции на множестве «симплек-
сов» со значениями в группе Z. Так получается коцепной
комплекс 2’(Х), в котором оператор кограницы d (двойствен-
ный к оператору границы) повышает- размерность на единицу
d : 2ft-^-2fe+l.
Группы Н* (X) =Кег d/Im d называются группами когомоло-
гий. Когомологии, в отличие от гомологий, контравариантно
зависят от пространства X. Хотя принципиально нового по
сравнению с гомологиями они не дают, некоторое их преиму-
щество состоит в наличии умножения, которое превращает
Я*(Х) в градуированное косокоммутативное кольцо. В случае
гладких многообразий это умножение двойственно более на-
глядной операции пересечения циклов или гомологий.
Вариант определения когомологий связан с использованием
в качестве коэффициентов не Z, а произвольной абелевой
группы А. Получающиеся когомологии обозначают через
Й*(Х,А), и это снова дает мало нового. Более интересные
вещи получаются, если пользоваться «переменными» система-
ми коэффициентов — пучками.
1.5.	Пучки., Два обстоятельства не позволяют ограничи-
ваться когомрлогиями с фиксированными коэффициентами.
Типичный прием исследования многообразий или прост-
ранств состоит в расслоении их на многообразия меньшей раз-
мерности. Пусть f : X—>-У—такое расслоение; довольно ясно,
что должна существовать тесная связь между когомологиями
X, У и когомологиями слоев /. Однако лишь в очень редких
случаях удается обойтись без вырождений, когда все слои оди-
наковы. В общем случае отдельные слои приобретают особен-
ности, отличаются от типичных; они-то и играют важнейшую
роль (см. теорию Морса и теорию Пикара—Лефшеца). Кого-
мологии слоев f-1(y) уже не образуют непрерывного, а тем
более постоянного семейства. Возникающие здесь объекты Ле-
ре и назвал пучками (см. § 3).
Второе обстоятельство связано с тем, что многие ал-
гебро-геометрические объекты выражаются в терминах пучков
(обычно когерентных). Мы уже видели в [5], что вопросы о
линейных системах дивизоров (а значит, об отображениях в
проективные пространства) выражаются в терминах глобаль-
ных сечений обратимых пучков. Дифференциальные формы —
это сечения пучков Qxp и т. д. Деформации подмногообразия
YczX тесно связаны с конормальным пучком Jf^ix- Интересу-
ющие нас пучки часто удается связать с уже известными при
помощи точных последовательностей. Однако для точной по-
следовательности пучков О—>А—>-С—>0 последовательность их
глобальных сечений
0-^Г(А)^Г(В)->Г(С)->0
может оказаться неточной в члене Г (С). Если проанализиро-
вать, почему сечения пучка С не поднимаются до глобальных
сечений пучка В, можно построить некую группу Д‘(Д), зави-
сящую от пучка А, в которой лежат препятствия к подъему.
Если пучок А — постоянный, эта группа отождествляется с
группой 1-когомологий Н1(Х,А). Естественно ожидать, что
можно определить и остальные группы Я* (А), Н* (В) и т. д.
так, что получится длинная точная последовательность
0^Г(Д)^Г(В)->Г(С)-^Я’(Д)->Я1(^)^/’(С)->Я2(Д)->. . .
1.6.	Когомологии пучков. Последнее свойство подсказывает
способ определения (или построения) когомологий с коэффи-
циентами в пучках. Предположим, что удалось вложить наш
пучок А в ацикличный пучок А0 (т. е. такой пучок, что
Я<?(А)=0 для любух q><X). Тогда из предыдущей последова-
тельности группа Нх (А) должна совпадать с коядром гомо-
морфизма Г(А°)—>-Г(А%4)- Чтобы найти Я2(А), нужно вло-
жить А°/А в ацикличный пучок А1 и т. д. В конце концов по-
лучается резольвента пучка А, т. е. комплекс пучков А =
= (А0—>А’->-...). И если все пучки А°, А1,... ацикличны, то
когомологии пучка И* (А)—это когомологии комплекса групп
Г (А’) = (Г (А°)-> Г (Ai)-> . . .)•
Построение ацикличной резольвенты — вещь вспомогатель-
ная и неоднозначная, как и выбор триангуляции пространства
при определении гомологий. Как и раньше, нужно устанав-
ливать независимость когомологий от выбора резольвенты
12
13
(п. 4.2) или пользоваться каноническими резольвентами L
(п. 4.1).	?
Когомологии пучков интересны не только как средство вы-
числения глобальных сечений. Когомологии канонически свя- i
занных с многообразием пучков доставляют важные инва- .
рианты, такие как числа Ходжа /iP9=dim . Одномер- 
ные когомологии часто допускают интересные интерпретации.
Так, группа Н1 (Х,<Ух*) интерпретируется как группа Пикара :
обратимых пучков ( или линейных расслоений) PicX, одномер- >
ные когомологии касательного пучка интерпретируются как
инфинитезимальные деформации многообразия и т. п.
1.7.	Когомологии когерентных пучков. До середины 50-х
годов гомологические методы применялись лишь для комплекс- ;
ных (или вещественных) алгебраических многообразий, обла-
дающих привычной (а какая еще может быть?) классической
топологией. Когда в 1956 г. Хирцебрух выпустил книгу о при-
менении пучков в алгебраической геометрии, он имел в виду
исключительно комплексные многообразия. Однако на самом
деле ничто не препятствовало применять пучки и когомологии
к алгебраическим многообразиям над произвольным полем,
для которых имеет смысл топология Зарисского. Правда, для
постоянных пучков, вроде Z, эта теория не дает ничего инте-
ресного. Но для когерентных алгебраических пучков теория
когомологий дает разумные ответы и строится даже проще,
чем теория аналитических когерентных пучков. Ее важнейшие
результаты (теоремы конечности и полунепрерывности, двой-
ственность и теорема Римана—Роха) излагаются в главе 2.
1.8.	Когомологии этальных пучков. Приведенный в п. 1.6
рецепт определения когомологий применим в более широкой
ситуации и приводит к построению т. н. производных функто-
ров. Для его реализации нужно иметь следующие данные:
а) абелеву категорию st- (в предыдущем случае это была ка-
тегория абелевых пучков), б) точный слева аддитивный функ-
тор F на st (выше — функтор Г глобальных сечений), в) до-
статочно широкий класс «ацикличных» объектов, на которых
функтор F сохраняет точность.
Этот рецепт применим, в частности, для определения кого-
мологий этальных пучков. А именно, для каждого алгебраиче-
ского многообразия или схемы строится некоторая категория,
объекты которой интерпретируются как пучки относительно
т. н. этальной топологии. И хотя последняя не является топо-
логией, когомологии как производные функторы имеют смысл.
В некотором смысле этальная топология заменяет классиче-
скую и применима к многообразиям над любым полем; над
полем С этальные результаты согласуются с классическими.
Это открывает возможность переносить на абстрактные мно-
гообразия терминологию и результаты, известные для класси-
ческой топологии.
§ 2.	Комплексы
2-1. Точные последовательности. Пусть даны абелевы
группы А, В, С и гомоморфизмы и:А->В, v.B^C. Говорят,
что последовательность	С точна (в члене В), если
ядро v совпадает с образом и: Кеггс^Ття. В этом случае
композиция v°u равна нулю. Вообще, если = то отклоне-
ние последовательности А->В->С от точной измеряется груп-
пой Кег^Дтя.
Эти понятия без особых изменений переносятся на модули,
пучки абедевых групп и вообще на любые абелевы категории,
как только имеют смысл понятця ядра, образа, коядра. Точ-
и	и
ность последовательности 0-> А-ьВ (А-> В->0) означает, что
и.—мономорфизм (соответственно, эпиморфизм).
2.2.	Комплексы. Комплексом абелевых групп, называется
семейство К' = (/С, Jn)ragz абелевых групп Д'" и гомоморфизмов
dn:Kn-> Кп+\ таких что = 0 для всех п. Иначе говоря,
комплекс — это диаграмма
а-1 аа а1
К'
Гомоморфизмы dn называются дифференциалами или гра-
ничными операторами; индекс п обычно не пишется. С приме-
рами комплексов мы встречались в предыдущем параграфе.
Когомологиями комплекса К называются группы
Нп {К') = Кег аГ71ш dn~'.
Это как бы существенная часть комплекса. Если при всех
ngZ Нп (К')=0, комплекс К' называется ацикличным.
Определенные выше комплексы называют коцепными, чтобы
подчеркнуть, что дифференциалы повышают размерность на 1.
Обращение стрелок дает цепные комплексы К.=
= (...	Так как разница между этими типами
комплексов скорее терминологическая, мы ограничимся далее,
в основном, коцепными комплексами. О комплексах можно также
говорить в любой абелевой категории.
Морфизмом комплексов (р:К L' называется семейство гомо-
морфизмов ф": Kn—r Ln, ngL, коммутирующих с дифференциалами
(т. е. (1каУп = ф'г+1°аД). Такой морфизм индуцирует в когомологиях
очевидный гомоморфизм
(Д'")->//«(/,’),
так что когомологии функториально зависят от комплексов.
Примеры морфизмов комплексов встречались в пп. 1.1, 1.2.
Морфизм комплексов называется квазиизоморфизмом или го-
мологизмом, если он индуцирует в когомологиях изоморфизм.
14
15
Если в категории комплексов объявить квазиизоморфизмы об-
ратимыми, получится т. н. производная категория. Это ключе-
вое понятие современной гомологической алгебры. Однако мы
не будем им пользоваться, стремясь к большей элементарности
и минимуму технических средств.
Каждую абелеву группу А можно рассматривать как комп-
лекс, помещая ее на нулевое место и дополняя справа и слева
нулями; такой комплекс обозначают иногда А [0]. Резольвентой.
ф
для А называется точная последовательность 0-> Л->
->.... В предыдущих терминах можно сказать, что мор-
физм комплексов	является гомологизмом. Можно гово-
рить также и о резольвенте комплекса L , понимая под этим
комплекс К' вместе с гомологизмом L XK.
2.3.	Длинная точная последовательность. Наиболее важное
свойство когомологий состоит в следующем: пусть дана точная
последовательность комплексов
<р .
0-^Z<	->0	(*)
(это значит, что <р и ф— морфизмы комплексов и для любого
п соответствующая последовательность 0—^Ln—>Afn—>0
точна); тогда существуют граничные, или связывающие, гомо-
морфизмы
д":Нп (ЛГ)-> Нп+Х (К),
такие что точна длинная последовательность
/7л(т|>)	/7л+1(<р)
--->Нп (М’) -> Нп+1 (#')--... («)
При этом дп функториальны по точным тройкам (*).
Гомоморфизмы дп строятся так: пусть класс когомологий
(Af) представлен коциклом т£Мп; в силу сюръективности ф
элемент т поднимается до элемента l^.Ln:	= элемент I
уже не обязан быть коциклом—можно только утверждать, что
ф (dl)=d (A>l) — din =0; но тогда в силу точности (*) существует
№Кп+\ такой что a?Z=q>(A); так кйк q(dk) = d (q>k) = ddl = O,
а ср инъективен, dk=0, т. е. k — коцикл; представленный им
класс когомологий из Hn+l (X) и называется дп (р). Легко про-
верить, что определение д корректно, функториально и что (*»)
точна.
Пример. Пусть Y — подмножество (обычно замкнутое) про-
странства X. Обозначим через S'(.¥, Y) ядро естественного
морфизма сингулярных коцепных комплексов	Когомо-
логии комплекса Н‘(Х, Y) называются когомологиями пары
(X, Y) и обозначаются через Н* (X, У); они тесно связаны с
когомологиями пространства Х/Y, полученного из X стягива-
16
нием Y в точку. Когомологии X, Y и пары (X, Y) связаны
длинной точной последовательностью
.. .	(Y)-+Hn(X, У)—(%)->//” (У)->.. .
С ее помощью иногда удается находить когомологии одного
из членов указанной выше тройки, зная когомологии двух
других членов.
2.4.	Фильтрованные комплексы. Последовательность (**)
можно рассматривать как связь когомологий комплекса £' с ко-
гомологиями подкомплекса К ’c.L' и фактор комплекса L' IK—М'.
Более общую ситуацию охватывает понятие фильтрованного
комплекса. Фильтрованный комплекс (К', F)— это комплекс К’,
снабженный фильтрацией, т. е. убывающим семейством
... zdF~1K’ ^F°K^F4<'=> ...
подкомплексов FpK‘. Мы будем предполагать далее, что на
каждом члене Кп фильтрация FКп конечна, т. е. что Fp'Kn = Кп
при малых р и FpKn = 0 при больших р. В геометрических
ситуациях такая фильтрация может возникать из фильтрации
топологического пространства, как в предыдущем примере. На-
пример, триангулированное пространство обладает фильтрацией
по остовам различной размерности. С другой стороны, любой
комплекс К обладает т. н. глупой фильтрацией о:
(/<•)=(.. ...).
Как и с любым фильтрованным объектом, с фильтрованным
комплексом (/<", F) можно связать присоединенный градуирован-
ный объект GrJ-(/<"), где GxpF (К ) = FрК'!Fp+1K~.
2.5.	Спектральные последовательности- Наличие фильтрации
в комплексе К позволяет вычислять его когомологии FI* (К ) при
помощи последовательных приближений. По существу это —
итерация точных последовательностей вида (**). Такой про-
цесс кодируется спектральной последовательностью. А именно,
для каждого Л>0 вводятся объекты
d
р’я = кег (FpKp+q-> Kp+q+xIрр+г{(р+ч+^
Bp,q = d (FP-r+'KP+o-1)4-Fp+1jKp+<>,
Ep,q = {Z?‘ 4Bp,q)l Bp,q.
Например, Eo’q — FpKp’qIFp+1Kp+4 = QrFKp+q.	Можно прове-
рить, чтб
d (Zp’q)dZp+r’q~r+\ d {Bpr‘q} czBp+T'q~r+\
2—2004	6	17
так что d индуцирует морфизм dr'.Er'4*> Ер+г’ч r+1- При этом
dr°dr = Q и Ег+\ отождествляется с когомологиями тройки
dr	dr
]?р—r,q+r— 1	Г+1
Эти данные изображают в виде серии таблиц Ер,я, по одной для
каждого г>0:
Кроме этого, имеется еще одна «предельная» таблица ^Е^:
рР.Я____( уР.Я DP-4’1 I DP.я
со  	—J—xJco /Л-Осо ?
где
Z^4=^rd^FpKp+9= П2?+?,
В^я^dKp+9-1 + Fp+\Kp+9 = U ВРгЯ.
Г
При больших г Ег'ч = ЕюЧ. Если для некоторого г Ег = Еех>
(т. е. dr=dr+i == . . . =0), то говорят, что спектральная после-
довательность вырождается в члене Ег.
Предельной фильтрацией в И (К ) называется фильтрация,
индуцированная F, т. е.
FpHn (/O=Im (Нп (FpK')-> Нп (К')).
Члёны Есо как раз присоединены к этой предельной фильтрации
Н (К), так что Е^я = САр Нр+ч (/<”). Таким образом, спектраль-
ная последовательность перерабатывает начальную таблицу
£•?•’ = tfP+?(Gr£Z<‘)
в предельную таблицу
Ер^я = GxpF Нр^ (К').
Символически это изображают как
Е?’я = Нр*« (Gr£ К') => Нр+Я (К').
Спектральные последовательности функториальны в том,
смысле, что если дан морфизм (К, F)->(J<C, F) фильтрованных
комплексов (т. е. FpK' переходит в FpK'\ то имеются соот-
ветствующие _ морфизмы спектральных последовательностей
Ег (/<’)-> ЕГ{К\ 0<г<оо.
2.6.	Бикомплексы. Резольвенты для комплексов часто строят
из подходящих резольвент каждого члена. Это приводит к по-
нятию бикомплекса. Бцкомплексом называется биградуирован-
ный объект /<” = (Л’’Рр, qFL, снабженный двумя коммути-
рующими друг с другом дифференциалами d': Кр’4^ Кр+Х'я и
d"'.Кр,яКр'я+Х Например, тензорное произведение К’ ®L' =
® L4}p,q двух комплексов К и L" является бикомплексом
с дифференциалами d' = dK®\L и d" —\к ® dL-
С каждым бикомплексом К” можно связать простой (или
полный) комплекс К'=tot(/C"), для которого Кп= © Кр,я,
Р+Я=п
а «полный» дифференциал d'-Kn^Kn+l задается на компоненте
Кр’я формулой d = d’~\-{—Vyd”. Комплекс tot (Д'") обладает
двумя «глупыми» фильтрациями 'Ф и "Ф, где
'фРК'= © к1’9, "фяк'= © iC’j.
Ясно, что Ог-рф (tot (К"’))— это комплекс Кр‘ со сдвинутой гра-
дуировкой и дифференциалом (— \yd". Спектральная последо-
вательность фильтрованного комплекса (tot (К), 'Ф) имеет вид.
Е$,я = 'Нр уНч (К“)) => Нр+Я (tot (/<")).
Здесь "Нр означают q-& когомологии комплекса Кр'’.
2.1.	Конус отображения. На одном частном случае преды-
дущей конструкции стоит задержаться. Пусть дан морфизм
комплексов	Образуем бикомплекс А’, для которого
Д',0 = К‘, А‘,1 = А‘, а остальные А’,я равны нулю. Дифферен-
циал d" = ty. Иначе говоря, это бикомплекс вида
А
0	0	0
t	t	t
d	d	
L~l	 L°-^	U-.
t ф	t Ф	1Ф
d	d	
		№-
t	t	t
0	0	0
Простой комплекс tot (А") называется конусом морфизма ф и
обозначается через Con (<р) или (К mod L‘). Конус нулевого мор-
18
2*
19
физма 0-> L' обозначается через L‘[—1]; этот комплекс отли-
чается от L' сдвигом градуировки на единицу (так что
(L' [—1])п = Ln~v) и изменением знака у дифференциала.
Имеется очевидная точная последовательность комплексов
0-> L' [ — 1 ] -> Con (ф)-> К‘ -> 0.
Она дает длинную точную последовательность
д
1])-> Нп (Con (Ф))-ч- Hn(K')-> Hn+1 (L' [ — 1])-> ...
II	и
Нп™ (/,’)	Hn(L')
Отметим, что связывающий гомоморфизм д'.Нп Нп (L)
в этом случае совпадает с Нп (ф), так что принципиальной раз-
ницы между связывающими гомоморфизмами д и естественными
гомоморфизмами Н (ф) не существует. Видно также, что
Ф — гомологизм тогда и только тогда, когда комплекс Con (ф)
ацикличен.
2.8.	Произведения. Пусть К и L' — комплексы. Как гово-
рилось в п. 2.6, можно образовать комплекс tot(7<”®Z.'). Легко
понять, что имеются канонические гомоморфизмы
Нр (К'^Н9 Нр+Ч (tot
В частности, если комплекс К' в категории комплексов является
кольцом (т. е. имеется морфизм tot (Л”®7<’)-> К, обладающий
очевидными свойствами), то кольцевой структурой обладает
и Н* (К').
Более точная, количественная связь между Н*	и
Н* {К }®Н* (L ) называется формулой Кюннета. Приведем
типичный образец для комплексов модулей над коммутативным
кольцом А-.
Предложение. Предположим, что комплекс L’ состоит
из плоских .A-модулей. Тогда имеется спектральная последова-
тельность
Еъ'9 — ф Тог±р(Н1(К\ HHJJy^HP™ (tot (K‘®Z/)).
i+j = t	А
В частности, если А—поле, то формула упрощается:
Я" (tot (/С® Г)) = ф (Hl(IC)®Hi(L')).
A i+J=n	А
§ 3.	Пучки
3.1.	Предпучки. Многие геометрические объекты, связанные
с топологическим пространством или многообразием X, обла-
дают тем свойством, что имеет смысл говорить об «ограниче-
но
!
нии» их на любое открытое подмножество UczX. Так, можно
j говорить об ограничении на U функции, векторного поля, диф-
! ференциальной формы, векторного расслоения и т. п. Если
обозначить через F (U) множество объектов такого сорта, свя-
занных с открытым U, то для U'czU имеется отображение
ограничения F ( U)—^F (U'), сохраняющее естественные струк-
туры на F(U) и F(U'). Это приводит к понятию предпучка.
Определение. Предпучком множеств (групп, колец
и т. д.) на топологическом пространстве X называется контра-
вариантный функтор F из категории О(Х) открытых подмно-
' жеств X в категорию множеств (соответственно, групп, ко-
лец и т. д.).
Элементы s&F (U) называются сечениями предпучка F над
открытым U-, в случае U—X говорят о глобальных сечениях*
Образ s при отображении F (U)^-F (U') называется ограниче-
нием s на U' и обозначается через s|u'.
Примеры.
а)	Для любого множества А постоянный функтор
является предпучком множеств.
б)	Сопоставление открытому U<^X когомологий Нч(и\
является предпучком групп или колец.
в)	Зафиксируем пространство У и через У (У) обозначим
множество всех непрерывных отображений U в У. Снова по-
лучается предпучок множеств. Это же можно проделать в ка-
тегории дифференцируемых многообразий, комплексных прост-
рии дифференцируемых многообразий, комплексных прост-
ранств или алгебраических многообразий. В частности, для
алгебраического многообразия X предпучок регулярных ото-
бражений в А1 обозначается через Ох', это — предпучок колец.
Предпучок регулярных отображений в А1 {0} обозначается
через Ох*', это — предпучок групп по умножению.
В следующих примерах X—алгебраическое многообразие.
г)	Сопоставим открытому подмножеству U<^X кольцо ра-
циональных функций	получается предпучок колец Кх-
д)	Сопоставляя U<^X группу дивизоров Картье Div U на U,
получаем предпучок групп Divx на X.
е)	Сопоставляя UczX группу Пикара Pic U, получаем пред-
пучок групп Picjr.
3.2.	Пучки. Пучки — это предпучки специального типа. Они
описывают объекты, которые можно задавать локально. Ска-
жем, что сечения s над U и s' над U' согласованы, если их
ограничения на Uf\U' совпадают.
Определение. Предпучок F называется пучком, если
выполнено следующее свойство: для любого набора открытых
Ui и сечений stQF (иг), согласованных на пересечениях,
существует единственное сечение sfiFI U UА, такое что s =S;-
V6' /
Короче можно сказать, что пучок переводит прямые пре-
21
делы (в категории О(Х)) в обратные пределы, т. е. в каком-
то смысле «непрерывен». Суть аксиомы пучка можно выразить
как точность последовательности
F (U{JU')-+F (U) XF(V' )=J F (GflU') •
Например, предпучки из примеров в), г) и д) являются
пучками. Йапротив, предпучки из примеров а), б) и е) исклю-
чительно редко оказываются пучками. Напомним также, что
понятие алгебраического многообразия определялось в «пуч-
ковом» духе: это — структуры аффинных многообразий на от-
крытых Ui, согласованные на пересечениях. Отметим, нако-
нец, аналогию понятия пучка с понятием симплициального ком-
плекса. Подобно тому, как последний склеивается из симплек-
сов Дп, пучок «склеивается» из кусков, изоморфных открытым
G<=X.
Пучки, как и предпучки, образуют категорию, где под мор-
физмом F-+G понимается морфизм их как функторов (т. е.
согласованный с ограничениями набор отображений F (£/)->
по одному для каждого открытого U Например,
сопоставляя ненулевой рациональной функции f ее дивизор
Картье div(/), мы получаем морфизм пучка в Divx. Этот
морфизм эпиморфен в категории пучков (т. к. локально любой
дивизор Картье — главный), но не в категории предпучков!
С каждым предпучком F можно канонически связать некото-
рый пучок F. Делается это, по существу, тавтологически. Рас-
смотрим «множество» (а на самом деле—категорию) пучков G,
снабженных морфизмом F-+ G. Тогда в качестве F надо взять
Обратный предел lim G по указанному «множеству». То, что
предпучок lim G является на самом деле пучком, следует из
коммутирования обратных пределов друг с другом. Эта совер-
шенно общая категорная конструкция применяется всякий раз,
когда нужно построить сопряженный функтор.
Например, пучок, ассоциированный с предпучком Picx из
примера е), — нулевой. Пучок, ассоциированный с постоянным
предпучком из примера а), называется постоянным пучком со
слоем А и обозначается через Ах-
3.3.	Прямой и обратный образы пучка. Пусть f : X—^Y —
непрерывное отображение и F — пучок на X. Сопоставляя
каждому открытому Ус=У множество F(f-1 (V)), мы получаем
пучок (проверьте!) на X, который обозначается через f-F и на-
зывается прямым образом F. при отображении f.
Функтор f. имеет сопряженный слева функтор обратного
образа f~l, превращающий пучки на У в пучки на X. Сопря-
женность здесь означает, что для любых пучков F на X и G
на У имеется равенство (точнее, каноническая биекция)
Hom(G, f.F) =Hom(f-1G, F).
22
Благодаря этому, появляется возможность говорить о морфиз-
мах G в F над f : X^Y, хотя это — пучки на разных простран-
ствах.
Особенно важны два частных случая.
Пусть ix— вложение точки х в X. Тогда пучок i~'F (а точ-
нее, множество (i~*F)(x)) допускает явное описание как прямой
предел lim F (U), где U пробегает систему открытых окрест-
ностей точки х. Это множество обозначается через F х и назы-
вается слоем пучка F в точке х.
Другой частный случай — вложение j •. U-+-X открытого
подмножества. В этом случае для открытого VaU выпол-
няется (j-'F) (V) =F(V). Пучок j~'F обозначается также через
F\U.
3.4.	Абелевы пучки. Пучки абелевых групп называются
абелевыми. Категория абелевых пучков сама абелева. В част-
ности, для любого морфизма абелевых пучков (гомоморфиз-
ма) u : F—>G существуют ядро Ker(u) и коядро Coker(u). Яд-
ро задается явно: U Ker (F(G)—>G(G)). С коядром положе-
ние чуть сложнее: это — пучок, ассоциированный с предпучком
U ~ Coker (F(U)^G(U)).
Тем самым для абелевых пучков имеет смысл говорить о
точных последовательностях. Последовательность пучков
0^F^G->-H^-Q
точна тогда и только тогда, когда для любой точки хСХ точна
соответствующая последовательность слоев О—>FX—>GX—>//х~’-О.
Напротив, последовательность глобальных сечений
0—>F (X) ->-G (X)	(X) ^0
в общем случае точна только в членах F (X) и G(X), но не в
Н(X). В самом деле, эпиморфность G—^H означает только, что
сечения Н поднимаются до сечений G локально. Так как этим
обстоятельством вызвано появление теории когомологий, при-
ведем несколько примеров.
Пример 1. Пусть YczX — замкнутая подсхема в X, задан-
ная пучком идеалов /. Тогда точна последовательность
0—>-/—>0* х—т—*"0.
В частности, пусть Х=Р', а У состоит из двух различных
точек прямой Р1. Тогда пространство O’y(P') двумерно, в то
время как глобальные сечения <7Р— только константы. .
Пример 2. На любом алгебраическом многообразии X
имеется точная последовательность пучков
1->0**->Divx->0.
Л	Л
Факторгруппа Div XIK (X)*—это в точности группа Пикара
Pic АГ (изоморфная, как мы увидим, Н'(Х, О*х)).
23
Пример 3. Пусть X—комплексное аналитическое много-
образие, 0х и 0*х— пучки ростков голоморфных отображений Л-
в С и С\{0). Тогда точна последовательность пучков
е
где e(s) = exp (2nis). На уровне глобальных сечений она снова
не точна, и препятствия к подъему сечений 0’х лежат в группе
когомологий FP(X, Z).
И в общем случае препятствия к подъему глобальных сече-
ний пучка Н лежат в группе когомологий H}(X,F), которая
будет определена в следующем параграфе. Однако если эта
группа равна нулю, препятствий нет и гомоморфизм G(X)-+-
-+Н(Х) сюръективен.
Пример 4. Пусть на проективной плоскости Р2 даны
кривые С и D с уравнениями F = 0 и G = 0. Предположим, что
третья кривая [Я=0] проходит через все точки пересечения
С и D (для простоты мы считаем, что С и D пересекаются
трансверсально). Тогда H—AF-FBG для некоторых форм А
и В (это т. н. теорема AF-\-BG М. Нетера).
Чтобы установить связь этого утверждения с когомологиями,
рассмотрим пучок идеалов I подсхемы С nF) в Р2. Формы Н
степени k, обращающиеся в нуль в точках Сп£>, представля-
ются тогда как глобальные сечения пучка I {k) = F®(j0 (k). Для
последнего имеется резольвента
а	3
0->(7 (k — ш — п)->0 (k— m)®0 (k—л)-> I (£)->0,
где m = degF, n = degG, (J(a, b) =Fa-\-Gb и a(c) = (Gc, —Fc).
Теперь все следует из обращения в нуль группы когомологий
Я'(Р2, 0 (k—т—п)), которое будет установлено в § 3 гл. 2.
3.5.	Вялые пучки. Прежде чем переходить к определению
когомологий пучков, полезно обсудить один класс пучков. Пу-
чок F на X называется вялым, если для любого открытого Uc.X
отображение ограничения F(X)^>-F (U) сюръективно. Интерес
к вялым пучкам вызван следующим их свойством:
Лемма. Пусть 0-+F-+G^>-H—>-0 — точная последователь-
ность абелевых пучков на X. Если пучок F — вялый, то после-
довательность глобальных сечений
0->F (X) G (X) ->Н (X)-»-0
точна.
Причина здесь такая. Пусть даны открытые подмножества
U, U'<tzX и сечение t&H (X). Предположим, что сечение t подни-
мается до сечений s6G(G) над U и s'eG(U') над U'; на пере-
сечении UftU' эти подъемы различаются на элемент rGF(Gf)lJ').
24
Пользуясь вялостью пучка F, продолжим г до глобального се-
j чения г и заменим s' на которое также является подняти-
; ем t\U'. После этого s и s' совпадают на Uf\U' и тем самым
дают подъем t уже над U\JU'. Трансфинитная индукция завер-
шает доказательство.
С другой стороны, вялых пучков достаточно много. Пусть
F— произвольный пучок на X. Образуем пучок C°(F) по фор-
муле
C°(F)(t/)==I]>x,
Сопоставляя сечению sQF (U) семейство (5 (х))е Ц Fx, мы полу-
чаем каноническое вложение F^-CP(F). Пучок CQ(F)—всегда
вялый. Кроме того, в абелевом случае функтор С° переводит
точные последовательности в точные.
§ 4.	Когомологии пучков
4.1.	Конструкция когомологий. Далее всюду речь пойдет об
абелевых пучках. Функтор 6° предыдущего параграфа позво-
ляет для каждого пучка F построить функториально связанную
с ним вялую резольвенту Годемана F-~>C’(F). Строится она так:
Ca(F) вместе с морфизмом F-+C°(F) уже были построены; в
качестве Cl(F) берется C°(C°(F)/F), а при пучки Cn+1 (F)
определяется индуктивно:
0+1 (F) = С°(Сп (F) /dC"-1 (К)).
Дифференциал d : Сп (F) ->Cn+1 (F) задается как композиция
О (F) Сп (F)ldCn~x (F) -> С° (О (F)!dO~' (F)) = C«+i (К).
Определение. Когомологиями пучка F (или простран-
ства X с коэффициентами в пучке F) называются когомоло-
гии комплекса абелевых групп С’(Е)(Х); обозначаются они
через Нп(Х, F).
Ясно, что Н°(Х, F) =F(X) и что Нп = 0 при тг<0. Если
Нп(Х, F)=0 для всех nj>l, пучок F называется ацикличным.
Основное свойство когомологий состоит в том, что точная трой-
ка пучков
дает длинную точную последовательность когомологий
д
О-+Н°(Х, F)^H°(X, G)-*-H°(X, H)-+FP (X, F)^Hl (X, G)^ ...
В самом деле, пользуясь точностью функтора С°, мы получаем
точную последовательность комплексов пучков
0-> С” (F)-»- С’ (G)-> С (Н)->0.
25
Так как эти комплексы составлены из вялых пучков, по лемме |
из п. 3.5 точна последовательность комплексов групп	9
0-> C\F) (Х)-> С' (G)(X)-> С (Н)(Х)->0.
Остается воспользоваться п. 2.3.
Индукцией с помощью леммы из п. 3.5 можно проверить, что
любой вялый пучок ацикличен. Вернемся, в частности, к приме-
ру 2 предыдущего параграфа. Этот пример объясняется тем,
что пучок —вялый. Это—частный случай более общего просто-
го утверждения: на неприводимом топологическом пространстве .
любой постоянный пучок— вялый.
4.2.	Гиперкогомологии. Группы типа когомологических можно
определить не только для отдельных пучков, но и для комплек-
сов пучков. Они называются гиперкогомологиями, чтобы отличать
их от пучков когомологий комплекса H*(F’). Делается это так
же, как для пучков: пусть F' — комплекс пучков; с ним связыва-
ется бикомплекс пучков С (F') = (CP (F9)), р, z/gZ; исходный комп-
лекс F' вкладывается в комплекс Л" = tot (С (У7')), причем это —
гомологизм; когомологии комплекса глобальных сечений К' (X) =
tot (С (F} (X)) называются гпперкогомологиями комплекса пуч-
ков F' и обозначаются через Н* (X, F ).
Гиперкогомологии функториально зависят от комплекса и для
точной тройки комплексов дают длинную точную последователь-
ность, как в п. 4.1. Если комплекс F' состоит из единственного
пучка F0, гиперкогомологии комплекса F' совпадают с когомоло-
гиями пучка F0.
Как и любой бикомплекс, С (F ) дает два пучка спектральные по-
следовательности, сходящиеся к гиперкогомологиям У7’(по край-
ней мере, для ограниченных снизу комплексов F', которые
только и нужны для дальнейшего).
Первая имеет вид
=Н? (X, H^F'^H^X, F\
В частности, если комплекс F' ацикличен, т. е. все №(F)=0,
то Н* (X, F’)=Q. Пользуясь конусом морфизма из п. 2.7, мы
получаем, что любой гомологизм комплексов пучков F Z.G инду-
цирует изоморфизм гиперкогомологий Н" (X, У7’)^-Нл (X, G').
Вторая спектральная последовательность имеет вид
"Е^^нрЩ^Х, F‘))=^W(X, F').
В частности, если комплекс F' состоит из ацикличных пучков,
эта спектральная последовательность вырождается и дает изо-
морфизмы Н"(Х, F') = Hn(H°(X, F'))
26
На пересечении этих двух случаев мы получаем
Предложение. Пусть /<' — резольвента пучка F, состоя-
щая из ацикличных пучков Кп. Тогда Нп(Х, F) — fln (К' (X))
для любого п.
Иначе говоря, при вычислении когомологий пучка F можно
пользоваться любой резольвентой из ацикличных пучков, а не
только канонической резольвентой С (F). Приведем два примера.
Пример 1. Пусть Х=[0, 1]— отрезок вещественной пря-
мой; найдем когомологии постоянного пучка Zx. Для этого рас-
смотрим пучки А и В — пучки ростков непрерывных функций
на X со значениями в прямой R и окружности R/Z. Имеется
естественная точная последовательность пучков
0^Zx^A-^B^0.
Пучки А и В — хотя и не вялые, но все равно ацикличные (они
мягкие — см. [38]). В силу односвязности X гомоморфизм
А (X) -*-В (X) сюръективен, откуда мы получаем, что пучок Zx
ацикличен.
Отсюда, с помощью спектральной последовательности Лере
(п. 4.3) можно получить то же утверждение для любого сим-
плекса Д„.
Пример 2. Пусть X — дифференцируемое многообразие, а
обозначает пучок ростков дифференциальных р-форм на X.
Классическая лемма Пуанкаре утверждает, что последователь-
ность пучков
точна. Кроме того, пучки — ацикличные (они тонкие — см.
[38]). Поэтому когомологии Нп(Х, RA-) совпадают с когомоло-
гиями комплекса Й’(Х) глобальных дифференциальных форм
(теорема де Рама). Позже мы обсудим аналитический и алгеб-
раический варианты этого результата.
4.3.	Высшие прямые образы. По изложенной выше схеме
можно строить производные для многих других функторов.
Пусть S4-, & — абелевы категории и Т :	— аддитивный
точный слева функтор. Для определения производных функто-
ров на объекте Дбл$ надо взять «хорошую» резольвенту А-+К'
и положить
(RnT)(A)==Hn (Т (О-
В случае пучков и их глобальных сечений «хорошая» резоль-
вента состояла из вялых пучков. В общем случае такую роль
играют инъективные или какие-либо другие «приспособленные»
к функтору Т объекты категории По такой схеме строятся
функторы Ext (производные к Нош), функторы Тог (производ-
ные к ®), когомологии с компактными носителями НСП(Х),
высшие прямые образы и т. д.
27
Остановимся подробнее на функторах высших прямых обра-
зов, непосредственно обобщающих когомологии. Пусть f: Х-+
—►У— непрерывное отображение. Функтор прямого образа f*
(из категории абелевых пучков на X в категорию абелевых пуч-
ков на У) — аддитивный и точный слева, но в общем случае не
точный. При помощи вялых резольвент определяются его произ-
водные Rnf*. Для пучка F на X пучок Rnf^F) —это пучок ка
У, ассоциированный с предпучком V Нп (J-1 (V), F). В част-
ности, когда f—отображение X в точку,	по существу,
совпадают с когомологиями Hn(X,F).
Функторы Rnf* играют важную роль при сравнении когомо-
логий X и У. Пусть F — пучок на X и Л’ — вялая резольвента
F. Так как Хп (X) = (f* Кп) (Y), когомологии Hn(X,F) можно
рассматривать как когомологии комплекса групп //( К ) (У).
Прямой образ вялого пучка — вялый, поэтому последние кого-
мологии совпадают с гиперкогомологиями Н*(У, что дает
спектральную последовательность
E02’9=^Hp(Y, FF (f *К")}=>Нп (X, F).
Но по определению Нч (f *K'} = R4f *(F). Поэтому мы полу-
чаем т. н. спектральную последовательность Лере для.
отображения /:
£*’«==(г, /г9/*(Л)=^л(х, д).
Аналогично устанавливается более общий ее вариант: если
f’.X-+Y и g-.YZ — непрерывные отображения, то имеется
спектральная последовательность
ЕР’“ ~RPg* (Rq f * (F))=>Rn (go/)* (Г).
4.4.	Когомологии покрытия. Приведем еще несколько при-
емов, полезных при вычислении когомологий. Пусть простран-
ство X покрыто открытыми множествами Uo, U} и F—пучок на
X. Тогда имеется последовательность
F (Х)-> F (Z70) X F (U^ F (/70П ^)-> 0,
где <p(so, S[) =s0—Sj. По определению пучка она точна в первых
двух членах, а если пучок F — вялый, то и в третьем.
.Применим это замечание к вялой резольвенте Годемана С (F)
произвольного пучка F. Так как ограничения С (F) на Uo, U\
и Т7ОПТ71 дают вялые резольвенты соответствующих ограничений
пучка F, мы получаем точную последовательность Майера—
Виеториса
.	F)^Hn(X,F)+Hn(U0,F)XHn(Ui,F)-^
-+Hn(U<£\Uu F)-*...
Это рассуждение обобщается на произвольное открытое
покрытие 'M = (t/I)ig/ пространства X и дает спектральную
28
| последовательность покрытия
I	= Fy=>HP™ (X, F).
। Здесь Hq CUP, F) обозначает UHq (Ut, A ... А^Л , F), где npo-
! изведение берется по всем строго возрастающим наборам
й)<й< • - • <‘р элементов / (которое предварительно линейно
упорядочивается). Дифференциал di :	F)^-H<i(^iZp+1, F)
задается обычно комбинаторной (или симплициальной) фор-
; мулой.
Определение. Покрытие (U {) называется F-ацикличным,
если Ня (Ui„Vi ... F\Ui , F)=0 для любых i0,..ipQl и q>0.
Для ацикличного покрытия Е\ч=0 при <?>0 и вся последо-
вательность вырождается в один комплекс
№(%м ^) = (ПД(£7Л-*П^(£7;П	..А
\ ‘ /<? /
Этот комплекс (уже для любого покрытия <Н) называется
комплексом, покрытия со значениями в пучке F и обозначается
через С’(<2/, F). Когомологии C'(°U, F) называются когомоло-
гиями покрытия <U со значениями в F и обозначаются
через Я* (4/, F). Таким образом, мы получили
Предложение. Если покрытие <2/ Е-ациклично, то
Нп(<U,F) =Нп(Х, F).
Вариант. Предыдущее определение комплекса С (<%d, F)
требует упорядочения /, хотя по существу от упорядочения /
мало что зависит. С теоретической точки зрения удобнее «не-
упорядоченный» вариант определения комплекса покрытия, ког-
да р-симплексом считается любая последовательность
(йь   , ip) элементов /. В этом случае комплекс покрытия мож-
но переписать в виде
F (Х')-> F (X' XX')->F (X' ХХ'Х Х')-+
X	XX
где X' =n.Ui. В таком виде это понятие обобщается на
г€'
любое «покрытие» Х'-+Х и даже на любое «симплициальное
пространство» X7	....
Аналогичная спектральная последовательность имеется и
для замкнутого покрытия X, если только это покрытие локаль-
но конечно. В частности, отсюда получается, что для локально
конечного полиэдра X когомологии постоянного пучка
Н*(Х, Zx) совпадают как с когомологиями триангуляции, так
и с сингулярными когомологиями Н*(Х, Z).
4.5.	Критерий ацикличности покрытия. Следующая теорема
А. Картана позволяет устанавливать, ацикличность некоторых
покрытий:
29
Теорема. Пусть st— класс открытых подмножеств про-
странства X, удовлетворяющий двум условиям: а) он замкнут
относительно конечных пересечений, б) он содержит сколь угод-
но малые открытые подмножества. Предположим, что для лю-
бого U&st и любого ^-покрытия cU=(Ui) (это означает, что
любое U^st) этого U Hq (Об, F) =0 при q>0. Тогда любое st-
по’крытие .^-ациклично.
В частности, для любого .^-покрытия пространства X имеет
место изоморфизм
Н*(Об, F)=H*(X, F).
В силу свойства а) достаточно проверить, что для любого
q>Q и любого U^st Hq(U, F) =0. Доказывая по индукции,
можно считать, что это уже установлено для q<n, и показать
для q = n.
Пусть класс когомологий ct£Hn(U, F) представлен коциклом
a$Cn(F) (U). Так как с?а = 0, то локально а является кограни-
цей. Иначе говоря, в силу свойства б) найдется ^-покрытие
(Ut) множества U, такое что образ а | в группе Hn(Ui,F)
равен нулю для любого i. Из предположения индукции видно,
что в спектральной последовательности этого покрытия (см.
п. 4.4) E2p,q = 0 при р^О, 0<р<п. Это дает точную последо-
вательность
0-> Hn((Ui), F)-+Hn(U, F)-+ E^n<z.JlHn(U b F).
i
Так как образ а равен нулю в группах Нп (Щ, F), класс а ле-
жит в группе Hn((Ui). F), нулевой по предположению теоремы.
Глава 2
КОГОМОЛОГИИ КОГЕРЕНТНЫХ пучков
Каждое алгебраическое многообразие обладает алгебраи-
чески определенной топологией Зарисского, поэтому для него
имеет смысл говорить о пучках и их когомологиях. Другое де-
ло — получится ли при этом что-то интересное. В классической
ситуации многие важные инварианты многообразия получались
как когомологии постоянных пучков вроде Z. Имея дело с то-
пологией Зарисского, на это рассчитывать трудно. Дело в том,
что интересные многообразия неприводимы, а на таких про-
странствах любой постоянный пучок — вялый и имеет поэтому
тривиальные когомологии. По той же причине нет нетривиаль-
ных локально постоянных пучков. Конечно, для приводимых
многообразий кое-что дают и постоянные пучки, когомологии
которых отражают комбинаторику соединения неприводимых
компонент. Однако интереснее обратиться к «гибким» когерент-
30
ным пучкам, тем более что в их терминах выражаются многие
геометрические задачи. Изложению теории когомологий коге-
рентных пучков на схемах и посвящена эта глава.
§ 1. Когомологии квазикогерентных пучков
1.1. Квазикогерентные пучки. Пусть X—схема (или, если
угодно, алгебраическое многообразие) со структурным пучком
колец (Ух- Квазикогерентные пучки на X — это пучки Ох-моду-
лей, устроенные локально неким специальным образом. Поэтому
сначала мы скажем, как выглядят квазикогерентные пучки на
афинных схемах.
Пусть Х = 8ресД— аффинная схема, где А — коммутативное
кольцо с единицей. С каждым Д-модулем М связан пучок М,
который открытому подмножеству UczX сопоставляет модуль
M®a0x(U)- В частности, для главного открытого подмножест-
ва D(f) = {xeX|f(x) =#0} (где )6Д)
М (D (/)) =	= М ®Af.
Здесь Д/=Д[[-!] —кольцо дробей вида a/fm. Пучки вида М на-
зываются квазикогерентными.
Теперь для произвольной схемы X пучок (Zx-модулей F на-
зывается квазикогерентным, если для любой открытой афин-
ной подсхемы UczX ограничение F\u квазикогерентно на U.
Интерес к квазикогерентным пучкам вызван тем, что многие
геометрические объекты, связанные с алгебраическими много-
образиями, выражаются в терминах таких пучков.
Пример 1. Сечения обратимых пучков (т. е. пучков, ло-
кально изоморфных пучку (Ух) дают эффективные дивизоры на
X. Например, сечения пучка (7 (иг) на проективном пространст-
ве Р дают гиперповерхности степени m в Р. Дивизоры, прохо-
дящие через заданные точки или множества в Р, описываются
сечениями подпучков пучка	Поэтому вопросы о сущест-
вовании и «числе» таких дивизоров сводятся к нахождению
размерности пространства глобальных сечений пучков F (за-
дача Римана). Как мы увидим, проще бывает найти т. н. эйле-
рову характеристику пучка, куда кроме Н°(Х, F) входят кого-
мологии F.
Пример 2. Пусть YczX — замкнутая подсхема. Вопрос о
деформациях У внутри X тесно связан с т. н. нормальным пуч-
ком Ny/x к У в X. Грубо говоря, инфинитезимальные деформа-
ции У описываются элементами	тогда как препятствия к
дальнейшему продолжению таких деформаций лежат в
Более сложный пример доставляют деформации многообра-
зия X, тесно связанные уже с когомологиями касательного пуч-
ка к X (см. [11]).
31
Теорема. Пусть st — класс открытых подмножеств про-
странства X, удовлетворяющий двум условиям: а) он замкнут
относительно конечных пересечений, б) он содержит сколь угод-
но малые открытые подмножества. Предположим, что для лю-
бого U^st и любого ^-покрытия (2/=(С\) (это означает, что
любое U^st) этого U F) —G при <у>0. Тогда любое st-
покрытие ^-ациклично.
В частности, для любого ^-покрытия пространства X имеет
место изоморфизм
H*(<U, F)=H*(X, F).
В силу свойства а) достаточно проверить, что для любого
<7>0 и любого U^st Hi(U, F) =0. Доказывая по индукции,
можно считать, что это уже установлено для q<Zn, и показать
для q~n.
Пусть класс когомологий a£Hn(U, F) представлен коциклом
a$Cn(F) (U). Так как с?а=0, то локально а является кограни-
цей. Иначе говоря, в силу свойства б) найдется .^-покрытие
(Ui) множества U, такое что образ a\LF в группе Hn(Ui, F)
равен нулю для любого i. Из предположения индукции видно,
что в спектральной последовательности этого покрытия (см.
п. 4.4) £'2р,’ = 0 при ОС^Стг. Это дает точную последо-
вательность
G->Hn((Ui), F)-+Hn(U, Fy+E^nciT[Hn(Ut, F).
i
Так как образ а равен нулю в группах Hn(Ui, F), класс а ле-
жит в группе Нп ((Ui). F), нулевой по предположению теоремы.
Глава 2
КОГОМОЛОГИИ КОГЕРЕНТНЫХ пучков
Каждое алгебраическое многообразие обладает алгебраи-
чески определенной топологией Зарисского, поэтому для него
имеет смысл говорить о пучках и их когомологиях. Другое де-
ло — получится ли при этом что-то интересное. В классической
ситуации многие важные инварианты многообразия получались
как когомологии постоянных пучков вроде Z. Имея дело с то-
пологией Зарисского, на это рассчитывать трудно. Дело в том,
что интересные многообразия неприводимы, а на таких про-
странствах любой постоянный пучок — вялый и имеет поэтому
тривиальные когомологии. По той же причине нет нетривиаль-
ных локально постоянных пучков. Конечно, для приводимых
многообразий кое-что дают и постоянные пучки, когомологии
которых отражают комбинаторику соединения неприводимых
компонент. Однако интереснее обратиться к «гибким» когерент-
30
ным пучкам, тем более что в их терминах выражаются многие
геометрические задачи. Изложению теории когомологий коге-
рентных пучков на схемах и посвящена эта глава.
§ 1. Когомологии квазикогерентных пучков
1.1. Квазикогерентные пучки. Пусть X — схема (или, если
угодно, алгебраическое многообразие) со структурным пучком
колец (Ух. Квазикогерентные пучки на X— это пучки д^-моду-
лей, устроенные локально неким специальным образом. Поэтому
сначала мы скажем, как выглядят квазикогерентные пучки на
афинных схемах.
Пусть Х = 5ресЛ— аффинная схема, где А — коммутативное
кольцо с единицей. С каждым Л-модулем М связан пучок М,
который открытому подмножеству U<^X сопоставляет модуль
M®a(?x(U). В частности, для главного открытого подмножест-
ва D (f) = {xGX | f (x) =# 0} (где /6Л)
M (D (f)) = Mf = M®Af.
Здесь Af—A[f~’] —кольцо дробей вида a/fm. Пучки вида М на-
зываются квазикогерентными.
Теперь для произвольной схемы X пучок С?х-модулей F на-
зывается квазикогерентным, если для любой открытой афин-
ной подсхемы UaX ограничение F|u квазикогерентно на U.
Интерес к квазикогерентным пучкам вызван тем, что многие
геометрические объекты, связанные с алгебраическими много-
образиями, выражаются в терминах таких пучков.
Пример 1. Сечения обратимых пучков (т. е. пучков, ло-
кально изоморфных пучку (Зх) дают эффективные дивизоры на
X. Например, сечения пучка (У(т) на проективном пространст-
ве Р дают гиперповерхности степени т в Р. Дивизоры, прохо-
дящие через заданные точки или множества в Р, описываются
сечениями подпучков пучка (У{т). Поэтому вопросы о сущест-
вовании и «числе» таких дивизоров сводятся к нахождению
размерности пространства глобальных сечений пучков F (за-
дача Римана). Как мы увидим, проще бывает найти т. н. эйле-
рову характеристику пучка, куда кроме H°(X,F) входят кого-
мологии F.
Пример 2. Пусть YcX — замкнутая подсхема. Вопрос о
деформациях У внутри X тесно связан с т. н. нормальным пуч-
ком Ny/x к Y в X. Грубо говоря, инфинитезимальные деформа-
ции Y описываются элементами	тогда как препятствия к
дальнейшему продолжению таких деформаций лежат в Я1 (AZ).
Более сложный пример доставляют деформации многообра-
зия X, тесно связанные уже с когомологиями касательного пуч-
ка к X (см. [11]).
31
Пример 3. Когомологии пучков, инвариантно связанных с
многообразием, таких как Qx, дают важные инвариантны много-
образия. Например, род кривой X можно определить как
размерность пространства №(йх) или Нх{Сх)-
1.2. Теорема Серра. Следующая теорема, установленная в
[72], является краеугольным камнем теории когомологий коге-
рентных пучков и представляет алгебраический аналог теоре-
мы А. Картана (теоремы В):
Теорема. Пусть F — квазикогерентный пучок на аффинной
схеме X. Тогда НЦХ, F) =0 при <?>0.
Можно показать, что в нётеровом случае верно обращение
этой теоремы (см. [54]): если когомологии любого квазикоге-
рентного пучка на схеме X тривиальны, то X — аффинная схема.
В частности, схема аффинна тогда и только тогда, когда аффин-
ны ее неприводимые компоненты.
Ввиду важности теоремы Серра, приведем набросок ее до-
казательства. Пусть st — класс открытых подмножеств аффин-
ной схемы X = SpecA, имеющих вид D(f), где fGA. Он обладает
свойствами а) и б) из условия критерия ацикличности покры-
тия (гл. 1, п. 4.5). Поэтому в силу этого критерия достаточно
установить тривиальность когомологий любого ^-покрытия X.
Пусть дано такое покрытие, состоящее из Ui = D(fi'), 161; мно-
жество индексов / можно считать конечным. Комплекс этого
покрытия имеет вид (F = M)
© Mfi~> ®	.
Этот комплекс естественно дополнить слева модулем 714; полу-
чается последовательность
0-> М -> © Мf. -> ® Mf .f -> ...	(*)
i ‘ i <i 1 J
Мы утверждаем, что последовательность (*) точна. Это дает
то, что нужно; кроме того, точность в членах 7И и ф Mf. пока-
зывает лишний раз, что М — действительно пучок.
Для проверки точности (*) достаточно убедиться, что эта
последовательность остается точной после тензорного умноже-
ния на любое из колец Af „ /67. Но (*) ® Af. — последователь-
1	А	1
ность, соответствующая покрытию (Ut Q D (fj)),	множества
D (f j). Это покрытие уже тривиально в том смысле, что один
из его элементов совпадает с D (f ]} А для таких тривиальных
покрытий (дополненный) комплекс покрытия ацикличен.
Замечание. Тривиальность когомологий покрытия (D (fi))
схемы Spec А допускает следующее обобщение: пусть В — строго
плоская А-алгебра (в предыдущем случае B=®Af.); тогда
i
точна естественная последовательность (ср. с «Вариантом) из
п. 4.4. гл. 1)
32
0-» М~> М ® A jB-> М ® А В ®А В-> . . .
Этот результат Гротендика лежит в основе его теории спуска.
1.3.	Комплексы Кошуля. Комплексы модулей, похожие на
(*), встречаются во многих задачах. Поэтому стоит немного за-
держаться на них (подробнее см. [35], [40], [46]). Для простоты
мы ограничимся случаем М=А. В этом случае комплекс (*)
есть тензорное произведение «элементарных» двучленных комп-
лексов
^'(/Г)==(А->ЛЛ
сосредоточенных в размерностях 0 и 1.
Вообще, пусть дан элемент /б А и целое число rt>0. Обоз-
начим через /С’ (/") двучленный комплекс
,	1 А / fn А
а)^(а-»а).
Тогда Л”(/°°) есть индуктивный предел комплексов К'(fn) при
я-» оо. А так как когомологии и 11m перестановочны, полезно
разобраться с комплексами Я‘(/л).
Комплексом Кошуля для последовательности (/п
элементов кольца А называется тензорное произведение комп-
лексов
Я'(/ь •••, /«)==A"(/i)® ••• ®^’(/Л
А А
Когомологии такого комплекса естественно изучать индукцией
по п. Здесь полезна следующая лемма, которая вытекает из
формулы Кюннета (п. 2.8 гл. 1) или получается непосредст-
венно:
Лемма. Пусть имеется двучленный комплекс А-модулей
К’ = (К0-» К1) с плоскими A-модулями К0 и А1. Тогда для любо-
го комплекса A-модулей L' точна длинная последовательность
... Н«~х (Г) ® К0 -»	(Г) ® к1 ->нч (Я ® ЯГ)->
А	А	А
-» Я9 (£’) ® А №-> Я9 (£) ® А №-» • • •
Гомоморфизмы и4 в этой последовательности индуцированы
дифференциалом of :№->№. Приведем два случая, когда эта
лемма позволяет вычислить когомологии комплекса Кошуля.
Первый — когда элементы /15	порождают единичный
идеал в кольце А, т. е. когда открытые множества D (/,) покрыва-
ют Spec А. Заметим, что если в предыдущей лемме al: Z<°-> Я1—
изоморфизм, то все и4 — изоморфизмы и поэтому комплекс
К ® К ацикличен, каким бы ни был L'. Так как элемент ft
А
3—2004
6
33
обратим над D (/г), комплекс K'{f\, • ,/п) ацикличен над
любым D(ft) и, следовательно, ацикличен всюду. Это еще раз
доказывает точность последовательности (*).
Второй случай еще интереснее. Напомним, что последова-
тельность fi,.. . , fn элементов кольца А называется регулярной,
если для любого i fi не делит нуль в А/ (fb . . . , ff-i). Пользуясь
предыдущей леммой, легко по индукции проверить, что для ре-
гулярной последовательности fi,..., fn
J-JqlJf'lf	f 'О _f	Q	При
(/1, .fn))-[Al(j\,	при q = n.
В локальной ситуации длина максимальной регулярной по-
следовательности называется глубиной локального кольца А и
обозначается через depth А. Это важная численная характерис-
тика кольца. Всегда depth A^dimA; в случае равенства коль-
цо А называется кольцом Коэна—Маколея. Если все локальные
кольца схемы X суть кольца Коэна—Маколея, то X называется
схемой Коэна-—Маколея. Геометрический смысл этого понятия
см. в [5], гл. 2, § 6.
1.4.	Теорема об аффинных покрытиях. Важнейшим следстви-
ем теоремы Серра является возможность вычислять когомоло-
гии квазикогерентных пучков при помощи любого аффинного
покрытия.
Теорема. Пусть X — отделимая схема, <2/=(Яг)—откры-
тое аффинное покрытие X, F—квазикогерентный пучок на X.
Тогда Я* (X, F) = Я* (Я/, F).
Действительно, в силу отделимости X все пересечения
£Л.П  • • F\Ut аффинны. Поэтому покрытие °Ц> по теореме Серра
F-ациклично, и все следует из п. 4.4 гл. 1 («Предложение»).
Фактически мы пучок F заменяем «эквивалентным» ему
комплексом покрытия С (fll, F). В некотором смысле истинным
когомологическим инвариантом пучка F является именно этот
комплекс как объект производной категории. Однако по причи-
нам скорее психологического порядка нас интересуют только
его когомологии.
Дал^е, если не сказано противное, все схемы предполага-
ются отделимыми, а пучки — квазикогерентными. Можно за-
быть о производных функторах и вялых резольвентах и пони-
мать когомологии просто как когомологии любого аффинного
покрытия. Зачем же тогда нужны были все эти общие понятия?
По двум причинам. Во-первых, это дает независимость от вы-
бора покрытия. Во-вторых, общее определение когомологий свя-
зывает квазикогерентные пучки с произвольными абелевыми
пучками, такими как 0х*.
Пример. Найдем когомологии структурного пучка Ох для
простейшего неаффинного многообразия Х = А2\{0}. Пусть Т\,
— координаты на А2. Тогда X покрывается двумя аффинны-
34
I ми картами t/f = Z>(Tf), i=l, 2. Комплекс этого покрытия име-
: ет вид
’ Я [7\, Т2, 7Т’] ® Я [Л, Т2, Т2']^ К [Т,, Т2, ТТ\ ЯГ1],
где d (ft, f2} = f\ — fi- Видно, что H°fX, 0x) = Kerd/ =
==Я[Т'1, Т2] (т. е. функции на X продолжаются до регулярных
функций на А2), тогда как пространство №(Х, Ох) = Coker d
порождается мономами ТГ’ГГ’ с /пг<0, /п2<0. Таким образом,
пространство FF(X, Ох) отлично от нуля. и даже бесконечно-
3 мерно.
1.5.	Когомологическая размерность. Следствием теоремы об
аффинных покрытиях является обращение в нуль когомологий
Hq при больших q. Более точно, если схема X покрывается п.
открытыми аффинными картами, то Hq(X,F)=0 при q~^n-
В самом деле, уже Cq(<U, F)—0 при q^n.
'В частности, на Рта когомологии Hq любого пучка равны ну-
лю при q>n. Как мы увидим в следующем параграфе, на Р"-
имеются пучки F с Нп (Рта, F) #=0. Так как любое п-мерное про-
ективное многообразие X допускает покрытие, состоящее из
71-|-1 аффинных карт, Hq (X, F) =0 при ^>n = dimX. На самом
деле, последний факт верен для любой (нётеровой) схемы X и
любого (абелева) пучка F : Hq (X, F) — 0 при <7>dimX ([41],
[38]).
1.6.	Высшие прямые образы. Пусть f : X-YY — морфизм схем.
Для пучка G на У обратный образ f*G определяется как
f*G =f-'G	Ox,
и, очевидно, квазикогерентен. Пользуясь теоремой об аффинных
покрытиях, нетрудно проверить, что квазикогерентность сохра-
няется и для высших прямых образов.
Предложение. Пусть морфизм f-.X^-Y квазикомпактен,
a F—квазикогерентный пучок на X. Тогда пучки Rqf*F квази-
когерентны, причем для открытых аффинных подмножеств
У<=У
(Rqf* F)(V)=Hq(f~'(V), F).
Следствие. Если f : X^-Y—аффинный морфизм, то>
F=0 при qZ>0. В частности, Н* (X, F) =Н* (Y, f*F).
Последнее следует из спектральной последовательности Ле-
ре, а первое — из теоремы Серра. Чаще всего это следствие
применяется к замкнутому вложению i-.X-^Y-, при этом пучок
F на X обычно отождествляется с пучком i*F на У.
1.7.	Формула Кюннета. Пусть даны S-схемы X и Y и пучки
F на X и Q на Y. Образуем расслоенное произведение и рас-
смотрим на X"XY пучок F\x.\G=g*F®f*G. Как его когомоло-
гии связаны с когомологиями F и G?
3*
35
Ограничимся случаем, когда база 5 = Spec Д аффинна. Пусть
% = (Z7г) — аффинный атлас X, а Ж = (1/7)—атлас V. Тогда
£7,-X I/,. аффинны и покрывают XX У- Для комплексов покры-
s	s
тий мы имеем изоморфизм
С\йИХ^, F\X\G) = C' (%, F)®C'(?r, G).
А	А
Поэтому применимы методы п. 2.8 гл. 1. Напомним, что пучок
G на S-схеме У называется плоским, над S, если для любой
точки у&У модуль Gy—плоский над кольцом А. В этом случае
комплекс покрытия С-(^°, G) состоит из плоских Д-модулей и
потому применима спектральная последовательность п. 2.8
гл. 1. Если, кроме того, все когомологии НУХ,Р) (или все
PB(Y,G)) являются плоскими 4-модулями, мы получаем фор-
мулу Кюнмета
H«(XXY, FfCG) = ф (FF(X, F)®HJ(Y, G)).
Например, это так, если А — поле. Другой частный случай: если
Y = Spec В и схема Y—плоская над Spec Д, то
№(%,	FOB).
1.8.	Когомологии открытых вложений. Большая часть этой
главы будет посвящена когомологиям полных многообразий и
собственных морфизмов. Здесь же мы кратко остановимся на
противоположном случае — открытых вложениях. Пусть X —
— Spec Д — аффинная схема и j : U->-X — открытое вложение.
Что можно сказать о пучках Rijt(Cu) или, что по существу то
же самое, об Д-модулях H<i(U,CuY?
Покроем U открытыми множествами Ut = D (f,), где /гб4.
Сравним комплекс, покрытия С'(%, Си) с комплексом Кошуля
fn) из п. 1.3. Имеется естественный морфизм комп-
лексов
0->0-> С°(% Си)^ С1 (% Си)^ ...
0-> к° УГ°°)->К' (/°°)-> № (/°°)-> • -.
Это дает точную последовательность
0->/7°^‘(/°°))-> Д->0и)-+НЦК' (/°°))-> О
и при <7 >2 изоморфизмы
нци, с^н^^к'АЛ,.fn)).
36
ч.
В частности, предположим, что	образуют регуляр-
ную последовательность (и п^2). Тогда
F0(U,
<Л/) =
'А	при q = 0,
О	при 0<^<я—1,
(АЛ/А)®...®(АГп/А) при q = ti — 1.
Сходным образом устроены пучки (<7у) для любого от-
крытого вложения j. При Q<Z.q<Zdepth X—1 они равны нулю,
а при depth X—l^^cdimX обычно отличны от нуля и даже
бесконечномерны. Подробнее об этом см. [46].
§ 2.	Когомологии проективного пространства
2.1.	Пучки на Рп и градуированные модули. Пусть Р = РП—
n-мерное проективное пространство над полем /С. Более точно,
будем считать Р пространством прямых в векторном простран-
стве V и обозначим через л: С\{0}->Р естественную проекцию.
Пусть теперь F—пучок на Р. С ним связан модуль
H°(V\{0}, n*F) над кольцом многочленов /С[7’о, •  •, Тп] (или,
более инвариантно, над симметрической алгеброй Sym(V*)).
Этот модуль обладает естественной градуировкой типа Z. Свя-
зано это с тем, что группа К* действует на пространстве {0}
и на сечениях пучка n*F. Компонента веса ш нашего модуля
состоит из таких глобальных сечений s пучка n*F, что s(t-x).—
— tm-s(x) для t^K* и хбУ\{0}. При этом сечения F над Р вза-
имно однозначно соответствуют элементам веса 0. Аналогично,
элементы веса ш соответствуют сечениям подкрученного пучка
F(tn) =F<8> ffp0(m), где С?Р (т) или С?(т)—т-я тензорная
степень обратимого тавтологического пучка 0 (1) на Р.
Аналогично обстоит дело и с высшими когомологиями. Для
любого q пространство Нч(Р, F(m)) отождествляется с компо-
нентой веса т градуированного (по тем же причинам) модуля
Д4(К\{0}, n*f). Это видно из совпадения (как градуирован-
ных модулей) комплексов стандартного покрытия (£Л) про-
странства Р и покрытия п~\и<) для У\{0}. Иначе говоря,
мы получаем изоморфизм
//*(Р, 5(*))=®Д?(Р, F(/n))^/f*(IZ\{0}, л*Д),
m6z
2.2.	Применение к обратимым пучкам. В случае F =0Р доведем
вычисления до конца. Для этого нам нужны модули Нч (1/\{0),
C?iz), а они были найдены в п. 1.8 (см. также пример в п. 1.4).
Пусть То,..., Тп — однородные координаты на Р. Они образуют
регулярную последовательность в кольце многочленов
К [Го,..., Тп\. Поэтому
37
Н«(Рп, О (*))==
/С[Т0,..., Тп]	при
О	при
при
-7=0,
О < q < п,
q=n.
Последнее пространство порождается мономами Гу«-...
где все zn,C0‘ Градуировка правой стороны задается обычной
степенью.
В более развернутой и инвариантной форме можно написать
Г7°(РП,	— Symm(V*) при m^O,
Hn(Pn, 67 (—n—1—k)) ==!5утА(У) при
остальные пространства Н<з(Рп, (7(т)) равны нулю. Соберем
эти данные в таблицу:

s*v	V	к	0	«..	0	0 п	0	0
0	0	0	0 6	0	0 6	0 1	0	0
0	0	0	0	...	0	к 0	у*	S2V*
—п—2 —п—1 —п	—1	0	1	т
Симметрия этой таблицы наводит на мысль о наличии некой
двойственности, которая в более общем виде будет обсуждать-
ся в §5. Этим же вызвано отождествление 77n(P, С (—п—1—k))
с SymAV. В самом деле, имеется естественное спаривание
(67(—n— 1—(67 (—п—1)) «К,
порожденное умножением в когомологиях. Как легко проверить
из явных формул, оно не вырожденно и позволяет отождествить
пространство НП((У(—п—1—k)) с двойственным к	=
= SymAV*.
Если какой-то пучок выражается в терминах пучков вида
67(m), часто удается найти его когомологии.
38
Пример 1. На Р = Р(К) имеется важная точная последова-
тельность Эйлера (где Й1 — кокасательный пучок)
0->йр-> V*®O>P( —
Переходя к когомологиям, получаем из предыдущих формул, что
Возводя последовательность Эйлера в р-ю внешнюю степень,
мы получаем точную последовательность
0->Й?->(А^*)®<7р(—р)-»Й^~’->0.
Отсюда индукцией по р получаем (при pCdimP)
Я’(Р, 00-4^2
Склеивая предыдущие точные тройки, можно получить длинную
точную последовательность пучков на Рл
0-^ ля+1У*®0(-п— 1)-> .	1)->С^0.
Она начинается каноническим пучком cop = Qp = Ab+1V’*®
®С7(—п.— 1)^67 (—п.— 1), а далее идут ацикличные пучки,
так что это — ацикличная резольвента сор .
Пример 2. Пусть X — гиперповерхность в Р = Рп степени
d. Для Ох, как пучка на Р, имеем резольвенту
0-><9“ р (—X) -+OV -+Ох~+Ь,
причем О р (—Х}^О(—d). Поэтому Я°(Х,Ох) ~К, что, впро-
чем, очевидно из-за связности X; Нч (Х,Ох) при 0<?<
CdimX; Hn~l (X, Ох) ~ Нп (Р, О(—d)) и размерность его равна
(n!)-1(d—1) (d—2)-...-(d—п). Аналогично вычисляются кого-
мологии пучков Ох(т) ([72]).
2.3.	Применение к когерентным пучкам. Напомним ([5]),
что квазикогерентный пучок на нётеровой схеме называется
когерентным, если локально он порождается конечным числом
локальных сечений. Иначе говоря, локально он имеет вид М,
где модуль М имеет конечный тип. Таким образом, кроме огра-
ничения на локальное строение, когерентность накладывает
условие конечности.
Когерентный пучок на Р может не порождаться своими гло-
бальными сечениями. Например, у пучка О (—1) имеется толь-
ко нулевое глобальное сечение. Однако легко показать, что пос-
ле подходящей подкрутки на О(т) глобальных сечений у пучка
F (т) становится достаточно много, т. е. существует эпиморфизм
ON-+F(m). Откручивая обратно, мы видим, что любой коге-
рентный пучок F на Р является факторпучком пучка вида
О(—m)N.
39
Этот факт аналогичен представлению модуля как фактормо-
дуля свободного модуля и играет такую же роль. Предполо-
жим, что нам нужно доказать некое общее утверждение про ко-
герентные пучки. Мы проверяем его сначала для пучков вида
С?(т), затем — для прямых сумм таких пучков и, наконец, поль-
зуясь резольвентами из таких пучков, переносим утвержде-
ние на произвольные когерентные пучки. Продемонстрируем
работу этого принципа на следующей теореме Серра:
Теорема. Пусть F — когерентный пучок на Р. Тогда
а) пространство Нч(Р, F) конечномерно для любого q\
б) Е1ч(Р, F(m))=O, если <?>0, а т достаточно велико.
Из явных вычислений в и. 2.2 видно, что теорема верна для
пучков С7(т), а значит и для их прямых сумм. Далее — теорема
верна, если z/XlimP — см. п. 1.5. Теперь рассуждаем убываю-
щей индукцией по q. Возьмем точную последовательность
где Е— сумма пучков вида О’(т). Тогда в точной последова-
тельности
Нч (£) -+Нч (F)1(G)
по краям стоят конечномерные пространства. Значит, и в се-
редине пространство имеет конечную размерность, что доказы-
вает а). Аналогично рассуждаем в случае б).
2.4.	Регулярные пучки. Из теоремы Серра видно, что до-
статочно обильные пучки ацикличны. В какой мере верно об-
ратное? Например, верно ли, что ацикличный пучок порож-
дается глобальными сечениями? Пример пучка (У (—1) пока-
зывает, что это не так. Вопрос будет поставлен более пра-
вильно, если следить не столько за №(Р, F), сколько за
Нч(Р, F(—q)).
Определение. Когерентный пучок F на Р называется
регулярным (по Кастельнуово—Мамфорду), если Нч(Р,
F(—q))=Q Для всех q5s- 1.
Например, пучок б’(т) регулярен при т^О.
Предложение. Пусть F — регулярный пучок на Р.
Тогда F порождается глобальными сечениями, а F(l) регуля-
рен. В частности, пучок F ацикличен.
Проверим это, предполагая для простоты, что пучок F —
плоский. Пусть Н—произвольная гиперплоскость в Р. Умно-
жая точную тройку 0-*/7(—н-*~0 тензорно на F, мы
получаем тройку
0->F(—l)->F->Frr-4),
снова точную в силу плоскости F. Мы утверждаем, что пучок
FH также регулярен. В самом деле, когомологии Hi(FH(—q))
зажаты между Hv(F(—q)) и Нч+1 (F(—q—1)), нулевыми по
определению регулярности F. По предположению индукции FH
40
порождается глобальными сечениями. В силу точности после-
довательности
Н°(Р,	FH)-+H'(P, F(—l)) =0
мы получаем, что пучок F также порождается глобальными
сечениями в точках гиперплоскости Н. Но так как Н произ-
вольна, глобальные сечения порождают F. Далее, по индукции
же пучок Гн(1) регулярен на Н. Из точной тройки Q-+F-+
-*-/7(1)->Гн(1)->0 получаем, что группа	—q)) зажата
между Hi(F(—q))~0 и Нч(Гн(1—q))—0. Поэтому пучокГ(1)
также регулярен.
2.5.	Эйлерова характеристика. Информацию о всех когомо-
логиях пучка F часто удобно бывает свернуть в одно число
% (Р> Л = 2 (- О’	(Р, F),
я
называемое эйлеровой характеристикой пучка F. Здесь мы
пользуемся фактом конечномерности когомологий когерентно-
го пучка. Основное свойство эйлеровой характеристики — ад-
дитивность. Пусть дана точная последовательность когерент-
ных пучков
0—b-F—^G—*~Н—*“О.
Тогда х(О)~х(^)+х(^)- По этой причине х( ) вычисляется
обычно просто (§4).
При помощи таблицы в п. 2.2 можно проверить, что эйле-
рова характеристика пучка (У (т) задается формулой
X(Р-, О(«))_
и как функция от т является многочленом степени n=dimP.
Последний факт верен в более общем случае:
Предложение. Пусть F— когерентный пучок на Р.
Тогда существует многочлен (многочлен Гильберта)
PF(0eQ[f|, такой что %(P,F(m))—PF(m) для всех целых т.
Доказывается это сравнением F с F(—1). Отметим, что
степень многочлена Гильберта PF равна размерности носите-
ля F. Вспомним ([5], гл. 3), что аналогичный факт имеет ме-
сто для градуированного модуля M = <8>MV конечного типа.
Однако там многочлен Гильберта дает размерность Мч лишь
для больших V. Учет когомологий позволил сделать утвержде-
ние верным при всех vGZ.
2.6.	Релятивизация. Почти все изложенные в этом пара-
графе факты переносятся на тот случай, когда основное поле К
заменяется произвольной нётеровой схемой S, а проективное
пространство Р заменяется относительным проективным про-
странством Ps или любым проективным расслоением
f:P(E)-+S. При этом пространства когомологий Нч(Р, F) на-
41
до заменить пучками высших прямых образов ./?«/*(F). В част-
ности, пучки	) локально свободны и имеют нужные
ранги, как в п. 2.2. Теорема Серра из п. 2.3 переносится так;?
пучки Rqf*(F) всегда когерентны, a Rqf *(F (т) )==0 при Hs
m2>0.	I
§ 3.	Когомологии собственных морфизмов
3.1.	Теорема конечности. Многие качественные результаты о’
когомологиях пучков на проективных пространствах или про-|
ективных расслоениях верны для любого собственного мор-?
физма. Начиная с этого места мы все схемы считаем нётеро-
выми.
Теорема (Гротендик). Пусть f : X-^-Y — собственный
морфизм схем, F — когерентный пучок на X. Тогда пучки-
Rif *F на Y когерентны для любого q.
Следствие. Для когерентного пучка F на полном ал-
гебраическом многообразии X пространства Hq(X, F) конечно-;
мерны.
Объясним схему рассуждения в таких случаях. Так как
утверждение локально по Y, схему Y можно считать аффинной.
Если /:Х->У— проективный морфизм, то он разлагается на
замкнутое вложение Х^-Рг и проекцию Py-+Y; в этом случае
когерентность следует из п. 2.6.
Случай произвольного собственного морфизма сводится
к проективному морфизму таким трюком. По лемме Чжоу
найдется проективная У-схема f'.X-+Y и бирациональный
проективный морфизм Я'.Х-^-Х. Индукция по размерности
носителя F позволяет считать, что теорема верна для любого
пучка на X с носителем, отличным от всего Х._ Теперь вместо
пучка F на X рассмотрим пучок F = a*F на X. Они связаны
спектральной последовательностью Лере
(RV)^Rp+*f* (П-
Заметим, что пучки Е?’4 при когерентны. В самом деле,
из-за бирациональности л пучки Rqn*F при q=RO имеют носи-
тель, отличный от X; кроме того, в силу проективности л они
когерентны. Предельные пучки	f * (F) также когерентны
в силу проективности морфизма f:X-+Y. Отсюда вытекает
когерентность пучков Е^'0 = Rpf * (л^Л). Но пучок a*F отли-
чается от F на пучки с меньшим носителем, поэтому пучки
f * (F) также когерентны.
3.2.	Теорема сравнения. Обсудим теперь следующий вопрос:
пусть f : X->-Y — собственный морфизм, F — когерентный пучок
на X; как найти слой пучка Rqf*F в точке убУ? Интуитивно
ясно, что этот слой должен быть тесно связан с когомологи-
ями слоя f"1 (у) морфизма f; можно ли сделать такую связь
более точной?
Систематический подход к таким вопросам дает гомоморфизм
замены базы — частный случай ситуации, рассмотренной в п. 1.7.
Пусть ш — максимальный идеал локального кольпа A — (?Y,g. Для
целого п>0 обозначим через Хп п-ю инфинитезимальную
окрестность слоя	т.е. -Y X г Sptec (A/tnn+1). Как топологи-
ческое пространство Хп совпадает с Хо =	(у), но отличается
более обширный пучком функций. Кроме того, положим
Fn = F®Ox0xt^ сечения этого пучка учитывают не только
ограничение сечений F на Ха, но и все первые п частных про-
изводных. Гомоморфизм замены базы имеет тогда вид
Фп : (RqfJ)v®A№^Hq(Xn,Fn).
В общем случае про него ничего сказать нельзя.
Ниже мы обсудим тот случай, когда пучок F — плоский.
А сейчас вернемся к общей ситуации. Оказывается, в пределе
эти гомоморфизмы <рга превращаются в изоморфизмы.
Теорема (Гротендик). В приведенных выше обозначениях
и предположениях предельные гомоморфизмы
Фоо: lim (Rq f*F)®Alm.n+l lim Hq (Xn, Fn)
n	n
являются изоморфизмами при любом q.
3.3.	Эскиз доказательства. Слева стоит пополнение А-мо-
дуля (Rqf._t.F)y в ш-адической топологии. Заменяя схему У на
Spec А, можно считать, что У — спектр полного локального
кольца А, и доказывать совпадение Hq (X, F) с lim Hq(Xn, Fn).
Как в п. 3.1, все сводится сначала к проективным морфизмам, а
затем к X = Рд.
Теперь работает принцип из п. 2.3. Во-первых, теорема верна
для пучков	на самом деле, в этом случае изоморфизма-
ми являются уже <ри. Во-вторых, используется убывающая ин-
дукция nd q; при q>N все когомологии — нулевые. Поэтому
предположим, что для любых q', больших q, теорема уже вер-
на. Возьмем точную тройку пучков
О—*-Е—>-0,	(*)
где Е — прямая сумма пучков вида	Пусть /=шО“х —
пучок идеалов Хо в X. Предположим на время, что последова-
тельности
O-^G/JnG~^E/JnE-^F/JnF^O,	(*п)
полученные из (*) умножением на б?//", точны. Тогда мы
имеем коммутативную диаграмму
42
43
H“ (G)--------->НЧ (Е)--------->H4(F)----->
^<₽G
lim Hq (G/JnG)-+ lim № (£7/"£)->lim H4(FUnF)^
---->Hq+l(G)---------->Hq+1(E)
К---------------------К	I
-> lim Hq+l (G/JnG)^- lim Hq+1(E] JnE).	I
Верхняя строчка точна как длинная последовательность кого [
мологий тройки (*). Нижняя строчка получается как проектив |
ный предел точных последовательностей когомологий троек (*„)	।
И хотя в общем случае lim не сохраняет точность, в данном j
случае все в порядке из-за артиновости модулей H*(GUnG) и [
т. п. Таким образом, нижняя строчка также точна. Уже говори- |
лось, что <ря и — изоморфизмы; <ро — изоморфизм по предполо- ;
жению индукции. Поиск по диаграмме дает сначала сюрьек- >
тивность <pF. А так как это верно для любого модуля, <pG так- t
же сюръективен. После этого уже легко получается инъектив- ?
НОСТЬ фр.	|
Приступим теперь к общему случаю. Конечно, (*п) в об- J
щем случае не точна, зато всегда точна последовательность !
G-^G/GF\J^E^EIJ^E^FIJnF^Q.
Поэтому	достаточно убедиться, что	!
WmH*(GlG^JnE)~\\mH*{GlJnG).	[
Это	уже	сравнительно просто вытекает из	утверждения, что ;
фильтрации /"Си G(\JnE на пучке G эквивалентны, т. е. что I
GF\JmEczJnGcLG(\JnE	i
для т^>п. Последнее же есть частный случай более точной |
леммы Артина—Риса из коммутативной алгебры ([47], [54]). j
3.4.	Теорема о формальных функциях. Наиболее известные
приложения теоремы сравнения относятся к нульмерным ко-
гомологиям пучка (Ух (хотя для доказательства, как мы виде-
ли, надо привлекать все когомологии). В этом случае теорема
сравнения дает изоморфизм
(/'^x)y2ilim//0(0>x/ittW.	!
Элемент правого кольца — согласованная система (s„) инфи- j
нитезимальных ростков функций вдоль слоя f-1(y), т- е- «фор- 
мальная функция» на формальной окрестности слоя f-1(y).	|
Теорема утверждает, что для любого п существуют настоящая I
(по Зарисскому) окрестность UczX слоя )"‘(у) и регулярная J
функция 5 на U, совпадающая с sn до n-го порядка. Иначе
говоря, формальные функции сколь угодно точно аппроксими-
руются регулярными функциями.
44
В (5] мы уже приводили применение этого факта к теоре-
ме о связности Зарисского. Другие применения носят анало-
гичный характер—нечто, заданное в формальной окрестности,
продолжается на настоящую окрестность по'Зарисскому. При-
менения этой техники к теоремам типа Лефшеца даны в заме-
чательной работе [46].
3.5.	Непрерывные семейства пучков. Произвольный мор-
физм конечного типа f : X-*-Y можно рассматривать как се-
мейство алгебраических схем	(у), y&Y, каждая — над
своим полем k(y). В общем случае оно не является «непрерыв-
ным»; например, размерность отдельных слоев может превы-
шать размерность типичных, общих слоев. Правильную фор-
мализацию интуитивного представления о «непрерывности»
семейства (Xy)ynY дает требование плоскости морфизма
f : X—>~Y (см. [5], гл. 4).
Аналогичное понятие можно ввести и для семейства пучков
на семействе схем (Ху). Пусть даны морфизм f:X-*-Y и коге-
рентный пучок F на X. Тогда на каждом слое Xy = XXSpec k(y
индуцируется свой пучок Fy = F®(j k (у) (или F\x\k(y) в обозна-
г	Т~
чениях п. 1.7). Это семейство пучков (Fv), y&Y, на семействе
схем (Ху) считается «непрерывным», если пучок F — плоский
над Y. Мы попытаемся убедить, что это определение действи-
тельно отвечает интуитивному представлению о непрерывно-
сти.
3.6.	Теорема о полунепрерывности. Всюду далее в этом па-
раграфе f : X-+Y— снова собственный морфизм, a F — коге-
рентный пучок на X, плоский над У. Для точки y^Y обозначим
через hi(y,F) размерность векторного пространства Нч (Ху, Fv)
над полем k(y). Нас будет интересовать, как h4(y,F) зависит
от точки y&Y. Начнем с двух примеров.
Пример 1. Пусть С — эллиптическая кривая. Рассмотрим
на ней семейство пучков &с(Р—Q), зависящее от точек
Р, Q&C. Если точки Р и Q различны, то Н°(С,(7(Р—Q))=0.
В самом деле, в противном случае существовал бы морфизм
С—степени 1. Если же P=Q, то Н°(С, (У (Р—Р}) =
=Н°(С,(7) =К. Мы видим, что при специализации №(у) мо-
жет подскакивать.
Пример 2. Пусть Е — локально свободный пучок ранга 2
на проективной прямой Р1. Можно показать, что Е изоморфен
прямой сумме (X (т) Фб?(/п'); пара чисел (т, т') называется
типом Е. Можно явно построить семейство (Et) таких двумер-
ных пучков на Р1, что Ео имеет тип (—2,0), тогда как при
пучки Et имеюттип (—1,—1). Из приведенных в п. 2.2 вы-
числений получаем, что /7°(Р1, Et) —И1 (Р1, Et) =0 при /=/=0,
тогда как Н°(Р1, Е0)=К и 7/1 (Р1, Ео) — А- Таким образом, и
45-
здесь при t—0 происходит подскок как h°, так и hl. Следу-
ющая теорема показывает, что это—общее явление:
Теорема. Для плоского пучка F функция /г9 (•, F) полу-
непрерывна сверху на пространстве У.
В частности, если Hi (Xv, Fv) =0 для некоторой точки у,
то это же верно и в некоторой окрестности у. С помощью
теоремы сравнения (п. 3.2) отсюда легко получить, что пучок
Rif*F — нулевой в этой же окрестности.
Утверждение теоремы локально по У, поэтому можно счи-
тать схему У аффинной и равной Spec Л. Доказательство тео-
ремы о полунепрерывности и других подобных фактов основа-
но на следующем трюке, который может показаться техниче-
ским.
3.7.	Лемма об эквивалентном комплексе. В приведенных
выше условиях эта лемма утверждает существование комплек-
са Л-модулей К.', который обладает двумя свойствами:
а)	он состоит из плоских Л-модулей конечного типа
б)	для любого Л-модуля М
Н«(Х, F®aM)^H4(K'®aM).
Тем самым вместо пучка F на X можно иметь дело с комп-
лексом пучков на К, или комплексом Л-модулей. Конечно, тут
нет особенно нового; мы уже видели, что комплекс С’(% /?) = С'
аффинного покрытия схемы X вполне заменяет пучок F и со-
стоит из плоских модулей, если F— плоский. Новость только
в конечности ТС7. При построении такого комплекса ([70]) исполь-
зуется конечность когомологий Н* (С') = Н* (X, F), установлен-
ная в п. 3.1. Покажем теперь, как эта лемма работает.
Элементарное звено комплекса К—гомоморфизм
№7+1
двух Л-модулей, которые можно считать свободными модулями
конечного ранга. Иначе говоря, dq — это матрица с коэффициен-
тами из кольца Л. Специализация в точке yFY (т. е. применение
гомоморфизма А-> A/my—k (у)) дает матрицу di над полем k (у).
Ясно, что ранг матрицы d4y полунепрерывно снизу зависит от у,
тогда как коранг, т. е. размерность ядра d4y, зависит от у полу-
непрерывно сверху. А так как
НЦХ, F® Ak(y)) = Нч {К ® jfe(y))=Kerd»/Imflfp1,
мы получаем теорему о полунепрерывности (3.6).
Предположим однако, что функция hi(-, F) не только полу-
непрерывна сверху, но и непрерывна (т. е. локально постоянна).
Тогда (локально) постоянны ранги матриц d^ и dy~'. Если к то-
му же схема У, или кольцо А, — приведенные, то модули Кегд^
46
и Im dq~l выделяются в Kq прямыми слагаемыми. А так как
КеггЯ/Im d4-1 =НЧ (К) = НЧ (X, F), мы получаем
Предложение. Пусть схема У приведена, а пучок F —
плоский над У. Если функция hi(-,F) локально постоянна на
У, то пучок Rqf *F локально свободен и для любой точки убУ
гомоморфизм замены базы
F у)
является изоморфизмом.
3.8.	Постоянство эйлеровой характеристики. Другим следст-
вием существования комплекса X является инвариантность эй-
леровой характеристики пучков Fy из непрерывного семейства.
Предложение. Если пучок F— плоский над У, то %(ХУ.
Fy) локально постоянна как функция от убУ.
Действительно,
х (Ху, =	/7) = 2( - dim (K<®k (у)) =
Q	?
rk кч-
я
Таким образом, не случайно в примере 2 подскок h° и hx
произошел одновременно и уравновесил друг друга. Если
Jf=Pr, мы получаем также инвариантность многочлена Гиль-
берта PF . Можно показать ([54]), что верно и обратное: если
база Y приведена и многочлены Гильберта РР семейства пучков
(Fy) не зависят от убК, то семейство—непрерывное.
Дополнительные сведения о замене базы см. в [47], § 7.
§ 4.	Теорема Римана— Роха
4.1.	Теорема Римана—Роха для кривой. Начнем с класси-
ческой задачи. Пусть X—гладкая проективная кривая над алге-
браически замкнутым полем, D — 2 пр [^1— дивизор на X. Про-
блема Римана состоит в отыскании пространства
Н°(Х, 0Х (-0)) • Элементы этого пространства интерпретируются
как рациональные функции f на X с ограничениями на порядки
нулей и полюсов: ordP(f)^—пР для любой точки Р^Х.
Как мы знаем из предыдущего параграфа, пространство
Н°(Х, 0(D)) и его размерность h°(D) довольно деликатно зави-
сят от дивизора D. Положение, однако, сильно упрощается, ес-
ли следить за эйлеровой характеристикой
X (X, 0x(D))= dim Н°(X, 0(D)) —dim Я1 (X, 0 (D)).
Из п. 3.8 мы знаем, что х (<? (D)) зависит лишь от дискретных ин-
вариантов дивизора D. Один такой дискретный инвариант сра-
47
зу напрашивается — это степень дивизора deg Z) = SnP. И дей-
р
ствительно, легко показать (сравнивая дивизор D с дивизором
Д+173], где Р&Х), что
X (X, 0Х (D)) = deg £>+х (X, 0Х).
Этот факт и называется теоремой Римана—Роха. Точнее, Ри-
ман доказал вытекающее из этой формулы неравенство /i°(Z))^
^deg Z>4-(1—g, где g—род кривой, а Рох интерпретировал
/ij((7(Z))) как /г°(£?(Х—D)) (об этом речь пойдет в следующем
параграфе).
4.2.	Общая проблема Римана. Пусть теперь X — произволь-
ное полное многообразие, F — когерентный пучок на X. Как мы
знаем, эйлерова характеристика
X (X, Л = 2 (- 1)? dim Нч {X, F)
я
не меняется при непрерывных изменениях X и F. Поэтому в
принципе должна существовать формула, выражающая
Х(Х, F) в терминах «дискретных» инвариантов X и F. В случае
с кривыми это были род кривой X и степень дивизора D. В об-
щем случае мы должны были бы связать с пучком F какие-то
символы, произвести с ними алгебраические манипуляции и в
результате получить число х(Х, F)-
Казалось бы, что (в проективном случае) такими удобными
символами могли бы служить многочлены Гильберта Рр. Однако
теория пошла по другому пути, не апеллируя к вложению в
проективное пространство. С многообразием X связывается
кольцо А (X) вместе с линейным функционалом deg : Л (Х)Q
и некоторым выделенным элементом Td(X). С каждым пучком
F на X связывается элемент сЬ(/7)бЛ(Х). После этого нужная
формула для х(Х, F) получает вид
Х(Х, F)=deg(ch(F)Td(X)).
Во всяком случае, в таком виде получил ее Хирцебрух (для
комплексных проективных многообразий). В качестве кольца
Л(Х) он использовал кольцо сингулярных когомологий
Н*(Х, Q). Функционал deg получался из естественного отож-
дествления Н2п(Х, Q) с Q, где n = dimX. Элементы ch(F) и
Td(X) =td(7'jr), где Тх— касательный пучок на X, строились с
помощью классов Чженя.
В абстрактном случае вместо кольца сингулярных когомоло-
гий предлагается использовать кольцо Чжоу Л (X) алгебраичес-
ких циклов на X ([5], гл. 3). Объясним кратко, как в этом слу-
чае строятся классы Чженя.
4.3.	Классы Чженя. Пусть Е — локально свободный пучок
ранга г на гладком алгебраическом многообразии X. С ним свя-
зано проективное расслоение л :Р(£)-»-Х и тавтологический
48
обратимый пучок б?(1) на Р(Е). Пусть g — соответствующий
пучку <?(1) класс дивизоров в Д1(Р(£)). Известно ({5], гл. 3),
что А(Р(£)) как модуль над кольцом А(Х) свободно порож-
дается элементами 1, £, ...>gr~I. Поэтому выражается через
этот базис:
с<&—+	1)’-сг§°=0, с0—1, С^АЦХ).
Коэффициенты этого разложения ci = ci{E) называются клас-
сами Чженя пучка Е. Полным классом Чженя называется эле-
мент
с(Е) =Со(£),+Л (£);+ •  • +сг(Е)*А(Х).
Классы Чженя удовлетворяют обычным формальным условиям:
1. Ф у н кто р и а л ь н о с т ь. Для любого морфизма f : Y-+X
c(f*E)>=f*c(E).
2.	Формула Уитни. Для точной тройки 0->-£/-*£-*
-^Е"-^0
с(Е)=с(Е')-с(Е").
3.	Нормализация. Для дивизора D на X
с(^(£>)) = 1+Д.
В частности, если пучок Е изоморфен прямой сумме обратимых
пучков (У (£>0, ..(У(Е)г), то с (Е) = Ц(1 +£>;)• Удобно считать
I
Г
что любой пучок Е обладает разложением Е = Ф а{ на «кварки»
£=я1
аг. Дело в том, что в окончательные формулы «кварки» az входят
лишь в виде симметричных выражений типа . • • -j-a,., • • •
..., «1 •... - аг, которые равны ct (Е), ..., ст (Е).
Пример 1. Из точной последовательности Эйлера на Рл
о->	б>(- 1)л+1-> о
видно, что с (йр/г) = с ((У (— 1)л+1) — (1 — Л/)л+1, Где Н — класс
гиперплоскости в Рл. Аналогично, с (Трп) = (1 + H)n+l.
Пример 2. Пусть X—«-мерное абелево многообразие,
вложенное в Рт. Тогда т^2п.
В самом деле, возьмем точную последовательность пучков
на X
0-^Tx-+Tpm |x->jV->0,
где Тх — касательный пучок к X, a N = Nx\v—нормальный
пучок к X в Р"2. Так как пучок Тх тривиален,
с (А) = с (ГР|Х), = I* с (ТР) = (1 + A)m+1,
4 —2004	6	49
где i:Xc-Pm — вложение, a h.=t*H. В частности, cn{N)=*
— ^m+^hn о'тлачао от НУ-®1, ибо deghn = degX. Поэтому и ранг
пучка X, равный т—п, не меньше п, откуда /ге>2л.
Предположим теперь, что m=2zz. Можно показать, что
(Xr-X)pm = degc„ (N). Так как [X] = deg X •[#]", мы получаем
что degX = ^”n+1y Например, абелева поверхность в Р4 должна
иметь степень 10. Такая поверхность была построена Мамфор-
дом и Хорроксом ([59]).
Вернемся к классам Чженя. Характер Чженя ch(E) ло-
кально свободного пучка Е задается формальным выражением
ch(£) = 2 e“z’
1—1
г
где c(E) = II(14-az), или, в терминах классов Чженя Е,
ch (Е) = rk Е + с, (Е) +1 (с, {Ef - 2с2 (Е)) + ...
Характер Чженя переводит прямую сумму пучков в сумму, а
тензорное произведение — в произведение.
Класс Тодда td(£) пучка Е задается формальным выраже-
нием
Г	г / <х>	£_] X
где az имеют тот же смысл. В терминах классов Чженя
td (Е) = 1 +1 С1 (Е) + А (С1 (ЕУ + с2 (Е)) + ...
Так как в выражения для ch и td входят знаменатели, это —
элементы кольца A (Х)ц = X(X)®Q.
4.4.	Теорема Римана—Роха—Хирцебруха. Обозначим через
deg гомоморфизм Л(Х)ц-^-С), который циклу а сопоставляет
степень 0-мерной компоненты а.
Теорема (Хирцебрух). Пусть X — неособое проективное
многообразие, Е — локально свободный пучок на X. Тогда
%(X,E);-deg(ch(E)-td(7\)).
Отметим несколько частных случаев.
Пример 1. Пусть X—кривая с каноническим классом К.
Тогда для локально свободного пучка £ на X
% (X, Е) =------. deg Х+ deg а (Е).
В частности, deg Х=—2%(Х, (Ух) — четное число и
50
х (X, О (£),)= deg Я+х (X, Ox).
Пример 2. Пусть X—поверхность, ci = ci(7’x). Тогда
со= 1; Ci = —К, где К—канонический дивизор на Х-, с2 — это
уже новый инвариант поверхности. Грубо говоря, с2 равно
числу нулей «общего» векторного поля на X. Имеем
Х(А', СГх) = ^-(К2+с2),
так что №-рс2 делится на 12. Для любого дивизора D на X
X (X, Ох (£))) = 1 D (D - X) 4- х (X, Ох).
Для произвольного локально свободного пучка Е формула дает
%(Х, Е) = гк Е-%(Х, Ох)-^Х-с1(Е)+^(с1(ЕУ-2с2(Е)).
Пример 3. Для любого многообразия х(ХС^х) =
= degtd(74)—целое число. Это означает наличие каких-то
соотношений делимости между классами Чженя ct многообра-
зия X. Вот более конкретный факт: пусть X—n-мерное абелево
многообразие; так как касательный пучок Тх тривиален,,
td(Tх) = 1; поэтому для любого дивизора Дна X
так что (Ол)х делится на и!. (На эту тему см. дополнение
Шварценбергера к книге [58].)
Пример 4. Для проективного пространства Рп t<i(T^i) =
= (—• Поэтому для пучка О (т) получаем формулу
\1 —е ь)
p + OTUdeg^S.(—ЦО
\ п )	U—J
Ее можно проверить непосредственно: справа стоит коэффициент
при zn в формальном ряду	т- е- вычет дифференциала
	в точке z — 0; надо сделать замену переменных
и — \—е z и получить дифференциал цП+, (1_иуп+1 •
4.5.	Теорема Римана—Роха—Гротендика. Расскажем те-
перь про обобщение формулы Хирцебруха, сделанное Гротен-
диком. Гротендик заметил, что, в силу аддитивности как эйле-
ровой характеристики, так и характера Чженя, вместо локаль-
но свободных пучков Е можно рассматривать произвольные
когерентные пучки F. Можно показать, что на гладком много-
образии любой когерентный пучок F обладает локально сво-
бодной резольвентой
4*	51
О-+Ет-+-. . . —>-E1—>-E0—>-F—>-0.
Г
После этого можно положить ch (F) = ^ (— l)zch(Fj).
1=0
И вообще, формула имеет смысл не только для «чистых»
пучков, но и для их «разностей» F—G. Поэтому вместо пуч-
ков Е или F можно подставлять элементы кольца Гротендика
К(Х), построенного по когерентным (или локально свобод-
ным— для гладкого X разницы нет) пучкам на X.
Следующее замечание состоит в том, что эйлерову харак-
теристику %(Х, F) можно интерпретировать как характер Чже-
ня ch. А именно — как характер Чженя элемента
S(—\)чН<1(Х, F) в кольце K(Y), где У — точка. В самом деле,
в случае одноточечного пространства ch — это просто размер-
ность векторного пространства. Заметим, что и deg интерпрети-
руется как гомоморфизм прямого образа f*: А (X) ц—>-А (У) q =
= Q. Это приводит к следующей более общей формулировке
теоремы Римана—Роха:
Пусть f : X—>-У — собственный морфизм гладких многообра-
зий. Для пучка F на X положим fk(F)=S(—l)gPgf*(F). Это
приводит к гомоморфизму (аддитивному) : X(X)—>-Х(У).
Формула Римана—Роха понимается теперь как правило для
коммутирования характера Чженя ch с прямыми образами.
Теорема (Гротендик). Для любого аб7<(Х)
ch(ffta)-td(Ty)=f*(ch(a)td(Tx)).
4.6.	Принцип доказательства. Как часто бывает, общую
формулу доказать даже легче, чем частную, — она сама себе
помогает. В случае теоремы Гротендика это проявляется в том,
что формула относится к морфизму, а не к отдельному мно-
гообразию. Легко понять, что если она верна для морфизмов
/ : Х->У и g : Y-+Z, то она верна и для их композиции
g°f : X—^Z. По существу это следует из спектральной последо-
вательности Лере, дающей соотношение (gof)h = gk°fh-
Теперь любой морфизм / разлагается на замкнутое вложе-
ние i-.X-^Py и проекцию g:Pr->K, для которых формула
проверяется отдельно.
Проекции. Как и для кольца Чжоу, проверяется, что
кольцо Х(РтеХУ) порождается над /С(У) классами обратимых
пучков €? (zn) (Кстати, длинная точная последовательность
примера 1 из п. 2.2 дает соотношение между С7(т) в К(РП).)
Поэтому формулу достаточно проверить для пучков С?(т),что
делается непосредственно, как в примере 4 из п. 4.4.
Вложения. С помощью деформации к нормальному рас-
слоению все сводится к случаю вложения X как нулевого се-
чения в некоторое векторное расслоение У(Е). Пользуясь
.'52
принципом расщепления, можно было бы даже считать, что
пучок Е на X обратим. После этого вновь все завершается пря-
мым вычислением.
(Дальнейшие обобщения теоремы Римана—Роха на схемы
с особенностями, а также связь с высшей К-теорией см. в [7],
[34], (35], [52].)
§ 5.	Теория двойственности
5.1.	Эвристические замечания. Формула Римана—Роха облада-
ет явной симметрией относительно половинки канонического класса
Д’. Так, на кривой % {С (£))) = deg D—deg Д’, откуда
Х(б?(Д—D)) =— % {(У (£>)). На поверхности х(^’(^))~
=х(б?(К—Д)) и т. д. Это наводит на мысль, что размерности
пространств ЕР (0(D)) и Нп~1 (О*(К—£>)) совпадают. Теория
двойственности подтверждает это предположение, устанавли-
вая для гладкого n-мерного многообразия X естественные изо-
морфизмы
Нп~я(Х, Q£(-D))~ №(Х, OX(D))*.
Эти изоморфизмы возникают из умножения в когомологиях
Ня (X, Ох (£>)) X Н-я (X, Q& (-£>)) -> Нп (X, Qx)
и изоморфизма следа
Нп(Х, Qx)=^K.
5.2.	Двойственность на кривой. Объясним, откуда берется
изоморфизм следа и двойственность в случае гладкой проек-
тивной кривой X. По существу, такая двойственность была
установлена Рохом.
Пусть — эффективный дивизор на X без кратных компо-
нент, т. е. набор нескольких различных точек. Пучок Qx (•£)==
__ Ох ® (у	(S) можно понимать как пучок дифференциалов с
простыми (или логарифмическими) полюсами в точках S. Для
каждой точки P&S можно определить вычет такой формы.
Представим локально форму в виде а-^-, где t — локальный
параметр в точке Р; тогда ее вычет равен а(Р)— значению
функции а в Р. Легко понять, что вычет не зависит от выбора
t и дает точную последовательность пучков
О -> £& Qx (5)Х Os-+ 0.
Если S состоит из достаточно большого числа точек, то пучок
Q!(S) ацикличен (см. п. б) теоремы из п. 2.3). Поэтому в кого-
мологиях получаем точную последовательность
53
Н° (X, Qx (S))-^ н° (X,	Hx (X, Qx)-> О.
Возьмем теперь на пространстве Н°(Х, (3$)=KS линейный
функционал — сумму координат. Мы утверждаем, что на образе
Н°(Х, йг(5)) этот функционал равен нулю и, значит, определяет
функционал (отображение следа) №(А, Qx)-*/<. Это утверж-
дение есть не что иное, как классическая
Лемма о вычетах. Для формы <о6/7° (А-, йх (5))
resp (to)=O-
pgs
Устанавливается это так: возьмем проекцию X -> Р1, при
которой S отображается в точку оо gP1; гомоморфизм следа
tr: Н° (X, Qx (5)) -> Н° (Р\ Qp. (оо))
сохраняет сумму вычетов; с другой стороны, /7°(Р1, й‘(оо)) = 0
Итак, мы получили (ненулевой) функционал следа
Н\Х, Qx) ->А.
Аналогично для любого дивизора D получается вложение
Н° (Ох (£>)) Н1 (Qx (--О))*.
То, что это—изоморфизм, устанавливается с помощью формулы
Римана — Роха.
Следствие. Для связной кривой X пространство
ЕЕ {X, Qx) одномерно.
5.3.	Двойственность Серра. Аналогично можно получить
двойственность для n-мерных многообразий (гладких, проек-
тивных и неприводимых). Возьмем достаточно обильный и
гладкий (по теореме Бертини) дивизор УсХ. Пользуясь выче-
том Пуанкаре, мы получаем точную тройку пучков
0^£2^->£2^(Г)^£2Г’->0.
Пользуясь ацикличностью £2х(У), мы по индукции получаем изо-
морфизм следа ЕГ (X, Qx) — Hn~x(Y, Qr-1)—А- Умножение в
когомологиях
Н9 (X, Е) X Нп~< (X, Q1 ® £•*)-+ Нп (X, Qx)
дает гомоморфизмы двойственности для любого пучка Е:
Нп~ЦХ, Qx® Е*)^Н«(Х, Е}*.
Теорема. Для локально свободного пучка Е эти гомо-
морфизмы являются изоморфизмами.
54
Объясним, как эта теорема доказывается в случае Х=Рп.
Если пучок Е обратим, двойственность видна из явных вычис-
лений в п. 2.2. Общий случай устанавливается, как обычно:
представляя Е как факторпучок прямой суммы пучков б?(/п),
используем убывающую индукцию по размерности когомоло-
гий.
Доказательство для произвольного X см. ниже в п. 5.6. За-
метим, что теорема двойственности верна и для гладких пол-
ных многообразий ([56]).
Следствие 1. Нч (X, Е(—zn))=0 при q<tn и zn^>0.
Следствие 2. Нч (X, Qx}—Нп~ч (X, S&~p).
5.4.	Теорема Ходжа об индексе. Приведем одно применение
теорем Римана—Роха и двойственности к проективным поверх-
ностям.
Теорема. Пусть Н—произвольное гиперплоское сечение
поверхности X и D — такой дивизор на X, что индекс пересе-
чения (Л Н) равен 0. Тогда (Z), D)^0, причем если (D, D) =0,
то D численно эквивалентен нулю (т. е. (D, С) =0 для любой
кривой CczX).
Дадим иную формулировку, поясняющую название. Если
профакторизовать группу дивизоров DivX по дивизорам
численно эквивалентным нулю, получится абелева группа
N (X) с невырожденным скалярным произведением-пересече-
нием N (X) XX(X)->Z. Теорема об индексе утверждает, что на
ортогональном дополнении к Н это скалярное произведение
отрицательно определено.
Предварительно установим следующий факт:
Лемма. Пусть С — дивизор на поверхности X, причем
(С.И) >0 и (С.С) >0. Тогда при больших п дивизор пС ли-
нейно эквивалентен эффективному дивизору.
Для этого заметим сначала, что /г°(Д—пС) =0 при боль-
ших п. В самом деле, в противном случае класс дивизора
Д—пС содержал бы эффективный цикл, тогда (X—пС.Ну^О
и (Д.Д)>п(С.Д)>0.
По двойственности Серра /i2(nC)=0 для п^>0. Применяя
формулу Римана—Роха, получаем
й°(/гС)+й2(/гС)> J(C.C)«2—J(C.X)« + %(X, 0Х),
откуда из (С.С)>0 заключаем, что /г°(пС)>0 при больших п.
Вернемся к теореме об индексе. Доказывая от противного,
допустим, что имеется дивизор D с (JD.H) =0 и (D.D) >0.
Образуем дивизор H' = D-[-mH-, при больших т это — снова
обильный дивизор на X. Так как	=	—
~ (D.D) >0, по лемме nD эквивалентен эффективному диви-
зору. Но тогда (nD.H) >0, что противоречит условию
(£.Д)=0.
55
5.5.	Общая двойственность. Двойственность Серра можно
записать в виде
Нп~ч (Х, Нош(Д, Й&))—Нот(//?(Х, Ю,
где К — основное поле. В таком виде она выглядит как прави-
ло коммутирования когомологий с функтором Нош. Это наво-
дит на мысль о существовании общей теоремы двойственности,
относящейся к любым морфизмам (а не только к отдельным
многообразиям) и любым пучкам (а не только локально сво-
бодным). В самом наивном виде двойственность для морфиз-
ма f : X-+Y означала бы существование функтора f сопря-
женного справа к функтору что давало бы изоморфизм
Hom (f*F, G)—Нот (F, f'G)
Для произвольных пучков F на X и G на У. Основное препят-
ствие к реализации этой наивной идеи заключается в том, что
функтор f* не точен. В самом деле, чтобы некий функтор имел
сопряженный, необходимо (и, по существу, достаточно), чтобы
он коммутировал с пределами (в нашем аддитивном случае —
был точным справа). Однако f* в общем случае справа как
раз не точен, и этим обстоятельством вызвана вся теория ко-
гомологий. Чтобы сделать точным, нужно переходить к про-
изводным категориям, что не входит в наши намерения. Тогда
и f ! G строится уже как объект производной категории. (За
изложением этих вопросов мы отсылаем к [56], а также к
книге [3].)
Имеется все же один случай, когда сложности исчезают и
проходит наивная идея. Предположим, что морфизм f:	Y
конечен. Тогда функтор точен (п. 1.6), и в качестве /'G
можно взять пучок Hom^ (f*0x, G), рассматриваемый как
пучок модулей на X. В этом случае мы имеем канонический
изоморфизм
Л Нот^ (F, /’G^Hom^ (/*F, G).	(*)
A	I
5.6.	Двойственность на схемах Коэна—Маколея. Пусть
X—проективная схема Коэна — Маколея (п. 1.3) чистой размер-
ности п. Тогда существует конечный морфизм f:X-+Pn и
любой такой морфизм—плоский ([5], гл. 2). Определим
дуализирующий пучок <ох на X как f'(avn, где мрп = йр11 —
канонический пучок на Рг. Можно показать, что сох действи-
тельно зависит лишь от X, а не от выбора проекции /, и что
для гладкого многообразия X пучок <од совпадает с Qx.
Теорема. В предыдущих предположениях пусть Е—ло-
кально свободный пучок на X. Тогда
Нп'4 (X, Hom^ (Е, (Ох))=Нч(Х, F)*.
56
В самом деле, пучок f *Е локально свободен на Рл, поэтому,
учитывая (*) из п. 5.5,
Нп~ч (X, Hom (Е, (йх)} = Нп~ч (Рл, f * Hom (F, <ох)) =
= /7л-?(Рл, Нот(/#Д, <орп)).
Согласно двойственности на Р" (п. 5.3), последнее изоморфно
№(Р", f*E}* = H4 (Х,Е)*.
Замечание. Если не требовать локальную свободу Е,
пространство Hn~i(X, Hom(E, <ojc)) в теореме надо заменить
более общим выражением Extn-« (X; Е, <ьх). В частности, для
любого пучка Е на X пространство Ext°(X; Е, их) =
==Hom(E, (ojr) дуально к Нп(Х,Е). Отсюда несложно вывести
единственность дуализирующего пучка сох с точностью до
изоморфизма. Отметим также, что, хотя cojr имеет ранг 1, в
общем случае он не обратим.
Приведем одно геометрическое применение двойственности
(ср. с [5], гл. 3):
Следствие. Пусть X — неприводимое проективное много-
образие размерности ^2. Тогда любое гиперплоское сечение X
связно.
Мы покажем это в случае поверхности X. Заменяя X нор-
мализацией, можно считать X нормальной поверхностью и,
значит, схемой Коэна—Маколея. Пусть Н — гиперплоское се-
чение X. Рассмотрим точную тройку пучков на Х-.
О—►б? х (—mH) ~х—^(Утн~^~0.
По двойственности НХ{Х, С(—тЯ))=О при больших т
(ср. с п. 5.3). Поэтому отображение Н° ((У Х)^»-Нй ((У тн)
сюръективно, откуда mH (как пространство, равное Н) связно.
(Другие применения двойственности к геометрическим во-
просам см. в [40], гл. 5.)
§ 6.	Когомологии де Рама
6.1.	Определение. Мы уже упоминали в п. 4.2 гл. 1 класси-
ческую теорию де Рама, позволяющую представлять когомоло-
гии дифференцируемого многообразия при помощи дифферен-
циальных форм. У этой теории имеется красивый алгебраический
аналог. Чтобы мотивировать дальнейшие определения, рас-
смотрим сначала комплексно-аналитическое многообразие Л4.
Тогда (аналитический) комплекс де Рама <Хи, состоящий из
пучков ростков голоморфных форм, является резольвентой
постоянного пучка См (голоморфная л^мма Пуанкаре). Поэтому
когомологии Й*(М, С) изоморфны гиперкогомологиям Н* (М, Qm)
комплекса де Рама В алгебраическом случае алгебраический
57
комплекс де Рама алгебраического многообразия уже не яв-
ляется ничьей резольвентой. Тем не менее имеет смысл рас-
смотреть его гиперкогомологии.
Определение. Пусть X— алгебраическая схема над
полем К. Когомологиями де Рама схемы X называются гипер-
когомологии комплекса де Рама /Ydr (X | АГ) = Н* (X, □%)•
Это — градуированная косокоммутативная А'-алгебра, контра-
вариантно зависящая от X. Хотя определение имеет смысл для
любой схемы, хорошие свойства следует ожидать только для
гладких полных многообразий, что далее молчаливо предпола-
гается. Если К =*С, то гиперкогомологии Hdr (X | С) совпадают с
классическими когомологиями Н* (X (С), С) — см. § 2 гл. 3.
Как и для любых гиперкогомологий (п. 4.2 гл. 1), для кого-
мологий де Рама имеется спектральная последовательность
E?’9=Hq(X, £&)=>/*&’(Х| АГ),
называемая спектральной последовательностью Ходжа —
де Рама. Предельная фильтрация в Hdr называется фильтра-
цией Ходжа. Числа hp4 (JQ = dim Hq (X, Qx) называются чис-
лами Ходжа X.
Уже отсюда видно, что размерность пространства Hdr (X)
конечна {<2 hp4\ и чт0 A/dr(X)=O при & >2 dim 26. Как
\	p-\-q=k	)
мы увидим, //dr(26) уже отлично от 0.
6.2.	Теорема о вырождении. Эти и многие другие факты ос-
нованы на более глубоком изучении спектральной последова-
тельности Ходжа—де Рама. Начнем с простейшего случая, когда
X—кривая. В этом случае член £\ имеет вид
я t	0	0	0
i			0
0			0 	
все остальные клеточки — нулевые. Нижний дифференциал
d^'.H0 H°(Qx) равен нулю, так как глобальные регуляр-
ные функции постоянны. Верхний дифференциал dx
-+Н* (Qx) двойствен к нижнему и тоже нулевой. Поэтому
Е\—Е2. Высшие дифференциалы dz, d?j и т. д. равны нулю по
тривиальным соображениям. Таким образом, в случае кривых
58
спектральная последовательность Ходжа — де Рама вырождается
в члене Ех и дает для Hdr точную последовательность
О-+Н°(Х,	(?х)-^0.
В частности, dim Hdr (X)=2g, где g = A10 = A01 — род кривой.
Конечно, dim 77dr (A") = dim Hdr (Л') = 1.
Для поверхностей положение усложняется; имеются примеры
с незамкнутыми глобальными 1-формами. Все же это — скорее
патология, чем норма, как видно из следующей теоремы:
Теорема. Спектральная последовательность Ходжа—де
Рама вырождается в члене Ei в двух случаях:
а)	если характеристика К равна 0;
б)	если dim X не превосходит характеристики К, а много-
образие X допускает продолжение в нулевую характеристику.
Утверждение а) в случае К=С является одной из основ
т. н. теории Ходжа (см. [23] и гл. 3). Оно было впервые полу-
чено Ходжем с помощью гармонической теории и до недавнего
времени было известно только трансцендентное доказательство.
Недавно Делинь и Иллюзи [29] доказали утверждение б), и это
позволило1 дать алгебраическое и «элементарное» доказательст-
во для а). Главную роль при этом играет случай конечных по-
лей К и даже 7<=Z/pZ, где р — простое число. В этом случае
легко объяснить смысл условия продолжимости в нулевую
характеристику. Оно означает, что существует плоская Z-схема
X, такая что Х=Х®7, (Z/pZ) является ее редукцией по модулю
р. На самом деле, достаточно даже плоской продолжимости
X на Spec Z/p2Z.
6.3.	Редукция к конечным полям. Мы еще не раз убедимся
в том, что многие геометрические утверждения для таких полей,
как С, можно получать из аналогичных утверждений над ко-
нечными полями. Геометрия над конечными полями часто —
ключ к геометрии над произвольным полем. Объясним здесь
механизм такого сведения на примере предыдущей теоремы.
Общий прием такой. Пусть X — схема над полем Д'. Она
склеена из конечного числа аффинных карт, и в определении каж-
дой из этих карт и их склейки принимает участие лишь конеч-
ное число элементов поля Д'. Обозначим через А подкольцо в Д',
порожденное этими элементами. Тогда существует A-схема ко-
нечного типа X, такая что Х=Х®АК- Для построения X надо
повторить операцию сборки X, но уже над А. Убирая вырожден-
ные слои морфизма X -> Spec А, будем считать этот морфизм глад-
ким и собственным (если такой была /Г-схема X). Базисная
схема Spec А имеет конечный тип над Spec Z и потому имеет уже
много замкнутых точек s с конечными полями вычетов k(s). Зная
какие-то факты про многообразия Xs = X®Ak(s) над полями k (•?),
можем получать аналогичные факты про X = Х® АК-
59
Теперь, как этот прием работает в нашей ситуации. Поль-
зуясь относительным комплексом де Рама	можно постро-
ить аналогичную спектральную последовательность
Й^/Л)=>Н^(Х, Йх/л).
Интересующая нас спектральная последовательность получается
из Ё умножением на ®аК. Поэтому достаточно установить ее
вырожденность (после, быть может, локализации А).
Локализуя А, можно считать, что все A-модули, входящие
в Е, свободны. Поэтому вырождений Е сводится к равенству
для рангов	гкд№(ЙР) = гклН* (X). Сравним теперь Е с ана-
логичной спектральной последовательностью Е (s) для многооб-
разия Xs над точкой 56 Spec А. В силу теоремы о замене базы
(предложение из п. 3.7) образование спектральной последователь-
ности Е коммутирует с ($), так что достаточно проверить
вырождение Е (s) = Е®лк (я). Теперь, если характеристика К
равна 0, схема Spec А — плоская над Spec Z и там есть точки
5 со сколь угодно большой характеристикой.
6.4.	Случай конечного поля. Казалось бы, многообразия над
конечным полем наиболее далеки от геометрической интуиции и
должны были бы представлять наибольшие трудности. Однако
они обладают неоценимым достоинством — конечностью числа
точек, что открывает дополнительные возможности для исследо-
вания. В главе 4 мы подробнее обсудим это обстоятельство.
Тесно связано с ним и наличие т. н. морфизма Фробениуса,
также специфического для положительной характеристики.
Зафиксируем простое число р и все многообразия будем
рассматривать над конечным полем K = Z/pZ. Любое такое
многообразие X обладает эндоморфизмом Фробениуса
Ф : Х^Х.
Теоретико-множественно он тождествен, т. е. все точки остав-
ляет на месте, однако на функции действует нетривиально, воз-
водя их в степень р:Ф*(а)=а?. Именно потому, что р = 0 на
X, возведение в р-ю степень является гомоморфизмом колец!
Конечно, морфизм Ф очень непохож на все, к чему привыкли
над полем комплексных чисел. Хотя на точках он тождествен,
его дифференциал dx<D : ТхХ-*-ТхХ— нулевой в любой точке
хбХ.
ГПодпучок р-х степеней Ф* (0х)с0х имеет нулевые производ'
ные (фар==рар~1с1а = 0), поэтому комплекс де Рама й’х удобнее
рассматривать как комплекс модулей над этим подкольцом
ф*(С?х). Или эквивалентно —можно перейти к комплексу пучков
Ф* (й’х) над 0х. Дифференциал этого комплекса уже линеен над
0х- И первый вопрос, который здесь возникает: чему равны пуч-
60
ки когомологий Н* (Ф*йх) этого комплекса Ф*Йх? Ответ на не-
го приводится в следующем пункте.
6.5.	Операторы Картье. Начнем с простейшего случая Х =Аг =
= Spec Л" [Г}. В этом случае комплекс Qx имеет вид
d
К [Г]-> к [Г] dT.
Ядро d совпадает с подкольцом р-х степеней К[Тр], а коядро
порождается (над К[Г^]) формой TP~ldT.
Аналогично, в общем случае можно определить гомомор-
физм (Ух-алгебр
сх'.&х*-+Н* (Ф*&х)
(оператор Картье). Локально для «функции» а на X класс ко-
гомологий Cx(da) представляется замкнутой 1-формой aP~xda,
а на остальные формы продолжается по мультипликативности.
Заметим, что форма (a-lrb)P~ld(a-1rb) в общем случае не равна
aP^lda-(-bP~1db, а только гомологична.
Предложение (Картье). Для гладкой схемы X гомо-
морфизм Картье сх является изоморфизмом.
Доказывается оно бесхитростно. При помощи локальных
координат утверждение сводится к случаю Х=А”, где оно про-
веряется непосредственно, как выше было проделано при п=1.
Вернемся к теореме о вырождении. Все дело в том, что, ког-
да многообразие X продолжается в нулевую характеристику,
гомоморфизм Сх удается реализовать не только на уровне клас-
сов когомологий, но даже на уровне форм. Более точно, рас-
смотрим сначала несколько идеализированную ситуацию, когда
в нулевую характеристику продолжается не только схема X, но
и морфизм Фробениуса. Это значит, что имеется морфизм
ф : Х-+Х, который при редукции по модулю р дает Ф : Х-+Х.
В этом случае существует гомоморфизм градуированных (У х-
алгебр
такой что формы Cg(<o) замкнуты и гомологичны Сх(®). Мы
определим его только на и лишь для форм вида <o = da, где
а—локальное сечение (Ух-
Делается это так. Сначала поднимем а до сечения а над X
и образуем д?Ф* (а). Эта фиорма равна нулю по модулю р, поэто-
му ее можно разделить на р. Наконец, c~(da)— это редукция
по модулю р формы p~LdG>* (а). Довольно легко проверяется, что
определение не зависит от подъема а и что форма с® (da) гомо-
логична ap~xda.
Таким образом, в этом идеализированном случае комплекс
де Рама (Ф^йх, d) оказывается квазиизоморфён комплексу
61
с нулевым (!) дифференциалом (й^, 0). Утверждение о вырож-
дении получается теперь моментально. В самом деле,
Н*(Х, Й*) = Н*(Х, Ф^)^Н*(Х, (Й^, 0))= Ф НЦХ, Й^-).
l+j=m
Идеализированный случай, когда морфизм Фробениуса про-
должается в нулевую характеристику, для полных многообразий
встречается довольно редко (хотя включает проективные про-
странства и любые торические многообразия). Локально же
Фробениус всегда продолжается. Если проанализировать влияние
неоднозначности продолжения Ф, то окажется, что имеется
морфизм й^ в Ф^, но уже не как морфизм комплексов, а лишь
как морфизм объектов производной категории. Если p>dimJC,
этот морфизм по мультипликативности можно продолжить до
квазиизоморфизма (й^, 0) в комплекс (Ф*й^, d). После этого
утверждение о вырождении получается как выше. (Уточнения и
подробности см. в [29].)
6.6.	Теоремы об обращении в нуль. Приведенный выше метод
применим также для получения теорем об обращении в нуль.
Часто полезно знать, что некоторые когомологии обращают-
ся в нуль. Например, формула Римана—Роха дает ^(X.,F)-,
если знать, что пучок F ацикличен, мы получаем размерность
H°(X,F). Мы уже встречались с двумя результатами такого
сорта. Первый — обращение в нуль Нч при <?>dimX (п. 1.5).
Второй — теорема Серра (п. 2.3): Нч (X, F(m)) =0 при </>0 и
т^>0. Иначе говоря, достаточно обильный пучок ацикличен.
Результат Кодаиры, о котором здесь пойдет речь, гораздо
более точен: обратимый пучок ацикличен, если он обильнее ка-
нонического пучка их-
Пусть X — гладкое проективное многобразие, L — обрати-
мый пучок на X. В силу двойственности (п. 5.3) следующие
утверждения эквивалентны:
(i)	Н‘(Х, й(-®/.) = 0 при />dimX:
(ii)	Н1{Х, Й^.®/.“’)=0 при г’+ y<dimX_
Любое из них называется теоремой Кодаиры—Накано об обра-
щении в нуль.
Теорема. Предположим, что обратимый пучок L обилен.
Тогда теорема Кодаиры—Накано об обращении в нуль выполне-
на в следующих случаях:
а)	если характеристика К равна 0;
б)	если dimX не превосходит характеристики К, а многооб-
разие X допускает продолжение в нулевую характеристику.
Утверждение а) сводится, как в п. 6.3, к конечным полям и
утверждению б). В случае б), воспользуемся приведенным выше
утверждением о квазиизоморфности Ф*Й^ и й^ и, получим сле-
дующие неравенства, верные для произвольного обратимого
62
пучка М (р обозначает здесь характеристику основного поля К):
2 dim НЦХ,	dim/7>(X,
i+/=fe	i + J=k
В самом деле, так как комплекс (Ф#П^)®Л1 квазиизоморфен
комплексу О.Х®М с нулевым дифференциалом,
2 dim//'(X, Qj.®Al) = dimH*(X, Q^®Af) =
/+/•=*
= dimH*(X, Ф^ОТИХ 2dim//7<zV’
i+j=k
По формуле проекции
Ф* (£&)®Л* = Ф* (йх®ф*Л1)=ф* (йх®Л1®₽),
откуда Н’(Х, Ф* (Qx) ®М) -=Н’ (X, йх®Л1®р).
Применим эти неравенства к теореме об обращении в нуль.
Так как L — обильный, по теореме Серра Н1’(Х, Qx®Ь®рПг} =0
при у>0 и большом т. Вместе с предыдущими неравенствами
это дает, что Н^Х, Qx®/)=0 при i + j>dimX.
(Другие обобщения теоремы Кодаиры и применения см. в
[32], [63], [76].)
6.7.	Свойства когомологий де Рама. Когомологии де Рама
дают чисто алгебраическую теорию когомологий для полных
гладких многообразий, обладающую многими чертами теории
сингулярных когомологий Н* (X, С) над полем С. Укажем глав-
ные свойства:
I.	Двойственность Пуанкаре. Если n = dimX, то
//dr (X | АЭ = Нп (X, £2х) -К и спаривание
//dr (X | К) X HlnR k (X |	Hdr (X |
не вырожденно. Это следует из самодвойственности комплекса
Qx-
II.	Формула Кюннета: Z/^R (X X У | К) = H*DR (X | X) ®
®/Г№(К|Ю-
III.	Отображение цикла. Имеется гомоморфизм кольца
Чжоу А* (X) в кольцо Z/^R(AZ|X). Для гладкого подмногообра-
зия KezX коразмерности k класс К определяется как класс,
двойственный по Пуанкаре к гомоморфизму //dr-2*(X |/С)->
-^//dr-2*^ I К)=К‘ В частности, имеется гомоморфизм первого
класса Чженя
c:PicX-*//DR (Х|Х).
Его можно более явно задрать с помощью гомоморфизма пучков
dlog:^-*^, d log a = da!a.
63
6.8.	Кристаллические когомологии. Когомологии де Рама
были введены Гротендиком [42]. Для поля К нулевой характе-
ристики они являются «правильной» теорией когомологий, хотя
бы в том смысле, что в случае К = С совпадают с теорией
Н* (X, С). Однако над полями положительной характеристики
они не всегда дают «правильные» числа Бетти — может случить-
ся, что А0,1	А1’0 и т. п. Эти недостатки устранимы, если много-
образие X продолжается в нулевую характеристику до схемы X
над кольцом векторов Витта W = W (К). В этом случае гипер-
когомологии Н*(Х, Q~/w,) не зависят от X и дают «правильные»
числа Бетти. Однако сфера применимости такой теории ограни-
чена многообразиями, продолжаемыми в нулевую характеристику.
Гротендику принадлежит оригинальная идея кристаллических
когомологий H*Tls (X/W), использующих локальный подъем в ну-
левую характеристику. Получается хорошая теория когомологий
с коэффициентами в кольце W(К), обладающая приведенными
в п. 6.7 свойствами. Мы не можем подробнее останавливаться
на кристаллических когомологиях, отсылая к [20], но три вещи
сказать стоит.
Перво е—о связи с когомологиями де Рама. Грубо говоря,
последние представляют собой редукцию по модулю р кристал-
лических когомологий. Точнее говоря, имеется точная последо-
вательность «универсальных коэффициентов»
0-* (X)®K+HkDS (Х)->- Torf lX+‘ (X), К) -> 0.
В частности, первое (кристаллическое) число Бетти А1, т. е.
ранг Hcris, удовлетворяет неравенству
b1 < diш /Ли® К < dim Нм	+ ,0.
Второе. Иллюзи в [60] построил некоторый комплекс ,
который обобщает комплекс де Рама и для которого
Н* (X, WQx) = HcriS(XIW). Соответствующая спектральная по-
следовательность «наклона»
Е{} = ЕЕ {X,	(XIW)
вырождается в члене Ех (по крайней мере, по модулю кручения).
Третье. Эндоморфизм Фробениуса Ф:Х->Х индуцирует
действие на HcTis(X/W) и на спектральной последовательности
«наклона». При этом р-адические оценки действия Фробениуса
на пространстве Н’ (X, IFQV) располагаются в интервале
[t, Н-d), чем и объясняется вырождение спектральной последо-
вательности. В конечном счете эти факты служат глубоким ос-
нованием для теорем типа Варнинга—Шевалле (см. § 1 гл. 4
и [66]).
64
Глава 3
КОГОМОЛОГИИ КОМПЛЕКСНЫХ МНОГООБРАЗИИ
Алгебраические схемы, определенные над полем комплекс-
ных чисел С, кроме топологии Зарисского обладают более при-
вычной и более сильной классической топологией. Локально
эта топология индуцируется евклидовой метрикой на Cn. С дав-
них пор эта топология позволяла применять к комплексным ал-
гебраическим многообразиям методы анализа и алгебраической
топологии. Позднее многие полученные трансцендентными мето-
дами факты были осмыслены алгебраически и перенесены на
абстрактные многообразия, заданные над произвольным полем;
другие так и остались трансцендентными. В любом случае
комплексные многообразия выступали как образец, указывая
направление правильных абстрактных формулировок (хотя бы-
ли примеры и обратного влияния).
Надо сказать, что наиболее тонкие вопросы топологии комп-
лексных алгебраических многообразий, связанные с привлече-
нием теории Ходжа, рассматриваются в выходящем вскоре об-
зоре о комплексных алгебраических многообразиях. Мы лишь
слегка касаемся их в § 3.
В этой главе под схемой понимается отделимая алгебраи-
ческая С-схема.
§ 1. Комплексные многообразия как топологические пространства
1.1. Классическая топология. С каждой С-схемой X можно
связать комплексное аналитическое пространство А'ан, состоящее
из множества X (С), снабженного классической топологией,
и пучка колец СЛ^-ан. Сначала это делается для аффинных схем.
Предположим, что аффинная схема X реализуется как замкнутая
подсхема аффинного пространства Ас, заданная уравнениями
/£=0, где fi — многочлены от 7\, ..., Тп. Эти же многочлены,
рассматриваемые как аналитические функции на С", задают
аналитическое подпространство в Сл, которое и обозначается
через А'ан. Как множество оно отождествляется с А (С) — мно-
жеством С-значных точек X. Классическая топология на X (С)
индуцируется евклидовой метрикой Сл. Пучок б>л,ан—это пучок
ростков аналитических функций на Х(С). В силу очевидной
функториальности конструкция переносится на произвольные
схемы и дает функтор аналитизации Х'->Хан из категории схем
в категорию аналитических пространств. Аналитическим аспек-
том мы займемся в следующем параграфе, а сейчас займемся
более грубой, топологической частью Х(С).
Примеры. Аналитизация Р1 дает обычное комплексное
проективное пространство Р5(С). В частности, Р^С) гомео-
5—2004	6	65
6.8. Кристаллические когомологии. Когомологии де Рама
были введены Гротендиком [42]. Для поля К нулевой характе-
ристики они являются «.правильной» теорией когомологий, хотя
бы в том смысле, что в случае К = С совпадают с теорией
Н* (X, С). Однако над полями положительной характеристики
они не всегда дают «правильные» числа Бетти — может случить-
ся, что А0,1^=А1.’0 и т. п. Эти недостатки устранимы, если много-
образие X продолжается в нулевую характеристику до схемы X
над кольцом векторов Витта W = W (X). В этом случае гипер-
когомологии Н* (X, Q?x[W} не зависят от X и дают «правильные»
числа Бетти. Однако сфера применимости такой теории ограни-
чена многообразиями, продолжаемыми в нулевую характеристику.
Гротендику принадлежит оригинальная идея кристаллических
когомологий //*rl3 (XW), использующих локальный подъем в ну-
левую характеристику. Получается хорошая теория когомологий
с коэффициентами в кольце W(X), обладающая приведенными
в п. 6.7 свойствами. Мы не можем подробнее останавливаться
на кристаллических когомологиях, отсылая к [20], но три вещи
сказать стоит.
Перво е — о связи с когомологиями де Рама. Грубо говоря,
последние представляют собой редукцию по модулю р кристал-
лических когомологий. Точнее говоря, имеется точная последо-
вательность «универсальных коэффициентов»
0-^	(Х)®Х-+Нж (Х)-+ ТогГ	(X), к) -> 0.
В частности, первое (кристаллическое) число Бетти А1, т. е.
ранг HcTts, удовлетворяет неравенству
b1 < di m ?7cris ® X < di m 7/dr < А0'1 + A1,0.
Второе. Иллюзи в [60] построил некоторый комплекс
который обобщает комплекс де Рама и для которого
Н* (X, WQx) = Herts (X/W). Соответствующая спектральная по-
следовательность «наклона»
Е{} =Hj (X, W^x)=^H‘etii (X/W)
вырождается в члене Ег (по крайней мере, по модулю кручения).
Третье. Эндоморфизм Фробениуса Ф:Х-+ X индуцирует
действие на Herts (X/W) и на спектральной последовательности
«наклона». При этом /7-адические оценки действия Фробениуса
на пространстве Н’ (X, IFQx) располагаются в интервале
[i, i-pil), чем и объясняется вырождение спектральной последо-
вательности. В конечном счете эти факты служат глубоким ос-
нованием для теорем типа Варнинга—Шевалле (см. § 1 гл. 4
и [66]).
64
Глава 3
когомологии КОМПЛЕКСНЫХ МНОГООБРАЗИИ
Алгебраические схемы, определенные над полем комплекс-
ных чисел С, кроме топологии Зарисского обладают более при-
вычной и более сильной классической топологией. Локально
эта топология индуцируется евклидовой метрикой на Сп. С дав-
них пор эта топология позволяла применять к комплексным ал-
гебраическим многообразиям методы анализа и алгебраической
топологии. Позднее многие полученные трансцендентными мето-
дами факты были осмыслены алгебраически и перенесены на
абстрактные многообразия, заданные над произвольным полем;
другие так и остались трансцендентными. В любом случае
комплексные многообразия выступали как образец, указывая
направление правильных абстрактных формулировок (хотя бы-
ли примеры и обратного влияния).
Надо сказать, что наиболее тонкие вопросы топологии комп-
лексных алгебраических многообразий, связанные с привлече-
нием теории Ходжа, рассматриваются в выходящем вскоре об-
зоре о комплексных алгебраических многообразиях. Мы лишь
слегка касаемся их в § 3.
В этой главе под схемой понимается отделимая алгебраи-
ческая С-схема.
§ 1. Комплексные многообразия как топологические пространства
1.1. Классическая топология. С каждой С-схемой X можно
связать комплексное аналитическое пространство А'ан, состоящее
из множества X (С), снабженного классической топологией,
и пучка колец (?хан. Сначала это делается для аффинных схем.
Предположим, что аффинная схема X реализуется как замкнутая
подсхема аффинного пространства Ас, заданная уравнениями
/г=0, где ft — многочлены от 7~г, ..., Т„. Эти же многочлены,
рассматриваемые как аналитические функции на С", задают
аналитическое подпространство в Сл, которое и обозначается
через А'ан. Как множество оно отождествляется с А (С) — мно-
жеством С-значных точек X. Классическая топология на X (С)
индуцируется евклидовой метрикой С”. Пучок — это пучок
ростков аналитических функций на Х(С). В силу очевидной
функториальности конструкция переносится на произвольные
схемы и дает функтор аналитизации Хан из категории схем
в категорию аналитических пространств. Аналитическим аспек-
том мы займемся в следующем параграфе, а сейчас займемся
более грубой, топологической частью Х(С).
Примеры. Аналитизация Р1 дает обычное комплексное
проективное пространство Р1 (С). В частности, Р1 (С) гомео-
5—2004	6	65
морфно сфере Римана S2. Для эллиптической кривой X про-
странство Х(С) гомеоморфно двумерному тору S’XS1. Проколо-
тая прямая A'XfO} гомотопически эквивалентна окружности S1.
Как множество, Х(С) состоит из С-значных точек схемы X;
далее слово «точка» употребляется именно в этом значении. То-
пология Х(С) действительно сильнее, чем ограничение топологии
Зарисского на Х(С). Наконец, надо отметить, что топологическое
пространство (ХхУ)(С) совпадает с произведением Х(С) и
У(С).
1.2. Свойства классической топологии. Пространства вида
Х(С) обладают некоторыми хорошими свойствами, выделяющи-
ми их среди всех топологических пространств. Простейшие
свойства даются в следующем предложении:
Предложение, а) Для любой схемы X пространство
Х(С) отделимо, локально компактно и счетно в бесконечности.
б) Схема X полна тогда и только тогда, когда пространство
Х(С) компактно.
И вообще, морфизм f : X-+Y— собственный тогда и только
тогда, когда отображение f(C) : Х(С)->У(С) собственно, т. е.
когда прообраз любого компакта — компакт.
Более сильное ограничение на локальное строение Х(С) на-
кладывает триангулируемость. Иначе говоря, Х(С) гомеоморф-
но полиэдру некоторого симплициального множества, которое к
тому же локально конечно и не более чем счетно.
Принцип построения триангуляции можно увидеть на при-
мере алгебраической кривой. Проектируя ее конечно на Р1, мы
получаем конечное накрытие Х->Р!, ветвящееся в конечном
числе точек рь ..., РпбР1. Возьмем теперь триангуляцию сферы
Римана Р!(С), содержащую среди вершин точки р<. После
этого каждый симплекс триангуляции Р'(С) поднимается на-
верх, в Х(С). Очень схематично это изображено на рис. 1.
В общем случае также используются общие проекции, хотя
технически все становится гораздо сложнее и требует более
точной, индуктивной формулировки. Зато и доказать удается
больше. Во-первых, каждый симплекс триангуляции можно сде-
лать полуалгебраическим (вещественно; т. е. он задается не-
66
равенствами вида gi^O, где g{ — вещественно-алгебраические
функции на Х(С)). Во-вторых, если часть Х(С) уже (полуалгеб-
раически) триангулирована, можно найти триангуляцию Х(С),
согласованную с частичной триангуляцией. (Подробнее см.
[57].)
Простым следствием триангулируемости является локальная
стягиваемость. В самом деле, звезда любой вершины стягивает-
ся в эту вершину. Глобальные следствия триангулируемости мы
обсудим в следующем пункте.
Последним важным топологическим свойством Х(С) являет-
ся его четномерностъ и ориентируемость. Однако в связи с на-
личием особенностей более точную формулировку мы отложим,
до п. 1.4.
1.3.	Сингулярные (ко)гомологии. Как и для любого тополо-
гического пространства, для Х(С) имеют смысл сингулярные
гомологии /Д(Х)=/Д (Х(С), Z) и когомологии Hh(X) =
= Hk(X(C),Z) (иногда вместо Z в качестве коэффициентов мы.
будем брать Q или С). Из триангулируемости Х(С) следует,
что сингулярные когомологии совпадают также с когомоло-
гиями любой триангуляции, а также с когомологиями
Hk(X(C), ZX(c>) постоянного пучка Z^cj.
Предложение. Для любой схемы X группы Hk(X) и
Hk(X) имеют конечное число образующих.
Для доказательства вложим X в полное многообразие X
и пусть Y — X\X. Возьмем триангуляцию А" (С), продолжаю-
щую триангуляцию Y (С). Пусть U — звездная окрестность Y (С).
Тогда А'(С)—звездная окрестность А" (С)\7/, и можно деформа-
ционно проретрагировать А" (С) на X(C)\U (рис. 2). При этом
(ко)гомологии не изменятся. Но последнее пространство уже —
конечный полиэдр.
Определение. Ранг группы Hh(X) (или Нк(Х)), или раз-
мерность пространства Hh(X(C), Q), называется fe-м числом
Бетти схемы X и обозначается через Ьк(Х).
5*
67
1.4.	Гомологии Бореля—Мура. При работе с неполными
многообразиями иногда удобно пользоваться гомологиями, по-
строенными с помощью локально конечных цепей. Пользуясь
триангуляцией X (С), этому можно придать наглядный смысл.
Существует другой подход. Пусть Х<—Х— алгебраическая ком-
пактификация X (т. е. открытое вложение в полное многообразие
X) и D = X\X. Гомологиями Бореля—Мура //1М(Х) назы-
ваются относительные гомологии Нк(Х(С), D(C); Z) пары
(X(C),D(C)).
Можно показать, что это определение не зависит от выбора
компактификации Х^~Х и что эти группы имеют конечный тип.
Гомологии Бореля—Мура являются также ковариантными об-
разованиями относительно собственных морфизмов. Для полно-
го многообразия X они совпадают, разумеется, с Нк(Х)-, для
неполного могут отличаться. Например,
ггвм,.пч /0, если k^=2n,
Hk (А ) —YZ, если k=2n.
Если Y — замкнутая подсхема X, то имеется длинная точная
последовательность
.. . -+ нТ* (Г) Hlм (X)-* //Г (Х\Г)- яй (Г) ->...
Гомологии Бореля—Мура интересны тем, что именно в них
лежит т. н. фундаментальный класс. Пусть для начала X —
гладкое многообразие чистой размерности п. Тогда Х(С)
обладает структурой топологического многообразия размерно-
сти 2п. Если выбрать ориентацию С (т. е., по существу,
выбрать один из корней V—1), то многообразие А’(С) снаб-
жается канонической ориентацией. В терминах триангуляции
это можно выразить так: каждый симплекс
ориентируется так, что соседние симплексы
согласованно. Полученная цепь размерности
циклом из	который называется фундаментальным
классом X и обозначается через цх- В общем случае, когда
многообразие X может иметь особенности, фундаментальный
класс Цх определяется из равенства
Hl? (X) =	(X \ Sing X),
который следует из предыдущей точной последовательности
и неравенства dim Sing Х< п.
Для неприводимого /n-мерного подмногообразия YcX опре-
делим его класс cl (Г) в Н™ (X) как образ при естественном
гомоморфизме Н™ (У)~+Him (X). По линейности это отображе-
ние продолжается на любые алгебраические циклы. Класс цикла
не меняется при рациональной (и алгебраической) эквивалент-
68
размерности 2n
ориентированы
2п является
ности и потому определяет гомоморфизм
z\‘.A*(X)-+HB£(X).
В некоторых простых случаях это отображение является изо-
морфизмом. Например, это — так, если многообразие X обла-
дает «клеточным» разложением, как проективное пространство
или многообразие Грассмана. В частности, нечетномерные го-
мологии Р" равны 0, a Z/2m(Pn) свободно порождаются клас-
сом m-мерного линейного подпространства Рт простран-
ства Рп.
1.5.	Теория пересечений. Для любой схемы X имеется топо-
логическое П-произведение
/Д (Х)®//в м (Х)->	(X).
В частности, если X—схема чистой размерности п, умножение
на фундаментальный класс	(X) дает гомоморфизм
Н*(Х)-+Нв2*к(Х).
Теорема (двойственность	Пуанкаре—Лефшеца).	Для
гладкого многообразия это — изоморфизм.
Доказательство можно найти в [31]. Обратное отображе-
ние строится геометрически с помощью клеточного разбиения
Х(С), двойственного к некоторой триангуляции Х(С) ((40]).
Пользуясь двойственностью, умножение в когомологиях
можно перенести в умножение-пересечение в гомологиях
/Двм	Н^к_т (X).
Геометрически пересечение циклов устроено так. Заменяя
циклы гомологичными, можно считать, что они пересекаются
трансверсально. Тогда симплексам из их пересечения надо
приписать знак ± в зависимости от ориентации. Умножение-
пересечение в кольцах А* и Н*Вм согласовано с отображением
класса цикла cl.
Следствие. Пусть X—гладкая полная схема чистой
размерности п. Тогда спаривание пересечения
Нк (X)	(Х)-^До (X)'=Z
унимодулярно, т. е. определяемое им отображение
Нк(Х)-^Пот(Н2п-к{Х),Т.)
сюръективно, а ядро совпадает с кручением в Нк(Х).
В частности, в средних (ко)гомологиях Нп{Х) гладкого
полного многообразия имеется невырожденная форма пересе-
чения, симметричная при четном п и косокоммутативная при
нечетном п. Отсюда следует, что для нечетного п пространство
Нп(Х) четномерно. Из теории Ходжа следует, что это верно
для любых гомологий нечетной степени.
69
Для многообразия с особенностями пространства Нк и
Нг-n-k уже могут иметь разные размерности. Горецки и Мак-
ферсон ([39]) предложили интересный вариант «гомологий»,
промежуточных между Н* и Н #BM, для которых двойствен-
ность верна всегда.
1.6.	Формула Лефшеца. Пусть f: Х-+Х эндоморфизм глад-
кой полной схемы X. Формула Лефшеца дает выражение для
числа неподвижных точек f в терминах действия f в когомо-
логиях : Hh(X)-^Hk(X). Конечно, неподвижные точки
считаются с учетом кратности. Пусть Г/сгХХХ — график ото-
бражения f. Неподвижные точки f отождествляются с пересе-
чением Г/Г1Д, где ДсХХХ диагональ. Поэтому естественно
назвать числом неподвижных точек f индекс пересечения цик-
лов Гу и Д в кольце А* (XXX) (или Н* (ХХ.Х)). Формула Леф-
шеца
(г/.д)=2(-1)ЙТг//й</)
й>0
является формальным следствием двойственности Пуанкаре и
формулы Кюннета
H*(XXY, Q)=#*(X, Q)® Н* (Y, Q).
В самом деле, пусть (е[) —базис Нт (X), а (е2п~г)— двойствен-
ный базис Н2п~т (X). Тогда, как легко понять,
с! (Г^^^/*^)®8^-
Аналогично,
ci(A)=2^®s^-r=2(-1)r8?""r
i,г	I,г
Перемножая их в кольце Н* (X X X), получаем
(Гу. Д) = 2 (- !)г 2 (/* (^)  8?Л-Г) = 2 (- !)г Тг Нг (/)•
г	i	г
В частности, для тождественного морфизма получаем фор-
мулу
(A-A)=2(--W(^)=x(X).
k
Отметим, что самопересечение диагонали (Д. Д) представ-
ляется также как старший класс Чженя сп(Тх) касательного
пучка Тх на X.
Формула Лефшеца — одна из серьезных причин для про-
никновения когомологий в алгебраическую геометрию. Хотя ее
левая часть — чисто алгебраическая, справа участвуют все ко-
гомологии.
70
Пример. Пусть X — эллиптическая кривая, факторпрост-
ранство С по решетке Z-4-Z-r, Imr>0. Пусть f—отражение
от нуля: z —z. Тогда	— тождественное отображение,
Н1 (f) задается матрицей ( q____?), А № (/)— умножение на
степень f, т. е. снова 1. Поэтому эндоморфизм f имеет по
формуле Лефшеца 1—(—2)-4-1 = 4 неподвижные точки. Конеч-
но, это—четыре точки второго порядка: 0, 1/2, т/2, 1/2-}-т/2.
§ 2. Когомологии когерентных пучков
2.1.	Функтор аналитизации. В п. 1.1 с каждой схемой X бы-
ло связано аналитическое пространство Хан с пространством-
носителем Х(С) и пучком колец б7хан. Имеется также есте-
ственный морфизм окольцованных пространств
<р : Хан->-Х.
Поэтому для любого пучка О'х-модулей F можно определить
его аналитизацию
Дан	= qr1F' ®	О
чг'°х
Конечно, это — функтор, причем точный и консервативный
(т. е. если Кан=0, то и F=0). Для когерентного пучка F на X
пучок Fm— когерентный, аналитический на Хан. Займемся те-
перь связью между когомологиями пучка F в топологии За-
рисского на X и пучка Faa в классической топологии на Х(С).
Первый результат в этом направлении:
Теорема. Пусть схема X аффинна. Тогда №(X(C),FaH) =
=0 при q>Q для любого когерентного пучка F на X.
Это частный случай теоремы А. Картана ([53], теорема В).
Отметим аналогию с теоремой Серра из п. 1.2 гл. 2. В част-
ности, когомологии FaH снова можно вычислять с помощью аф-
финных покрытий X. И вообще, теории когомологий когерент-
ных пучков алгебраических многообразий и аналитических
пространств во многом параллельны. Хотелось бы даже ска-
зать, что классическая топология применительно к когерент-
ным пучкам не дает ничего нового. Конечно, буквально это не
так: целых функций на Сп гораздо больше, чем полиномиаль-
ных. Видимо, если наложить условия роста на бесконечности,
теории действительно совпадут. Если схема — полная, никаких
условий на рост накладывать не надо. Результаты такого рода
называются GAGA по аббревиатуре названия работы Серра
[73], в которой они были установлены в проективном варианте.
2.2.	Теорема сравнения. Пусть f : X—— собственный мор-
физм схем, F — когерентный пучок на X. Тогда естественный
71
гомоморфизм замены базы
(^/*/г)аи^(^/а№н)
является изоморфизмом.
В силу стандартных редукций (гл. 2, § 3) можно считать
Х=Руп, F~O(m). Покроем Рп стандартными аффинными
картами (7;—Ап. Тогда и левая, и правая части вычисляются
с помощью этого покрытия. Разница только в том, что слева
мы имеем дело с многочленами Лорана, а справа — с рядами
Лорана. Однако на когомологиях это не сказывается.
В частности, пучки (Р^*аи) (Ган) когерентны. На самом де-
ле, этот факт верен для любого собственного морфизма анали-
тических пространств (теорема Грауэрта). Более простой
факт: конечномерность когомологий когерентного аналитиче-
ского пучка на компактном аналитическом пространстве—см.
в [53].
Следствие. Пусть F — когерентный пучок на полной схе-
ме X. Тогда Hi (X, F) ^Нч(Х (С), Аан).
Это следствие имеет массу применений.
2.3.	Применение к когомологиям де Рама. Как уже говори-
лось в § 6 гл. 2, аналитический комплекс де Рама й^ан = (£2х)ан
является резольвентой постоянного пучка Сх(с> на пространстве
X (С). Отсюда следует, что для гладкого X существует изо-
морфизм
/У* (X (С), С) Н* (X (С), Йх) •
С другой стороны, верна следующая
Теорема (Гротендик). Для гладкой схемы X
Н*(Х, йх)«Н*(Х(С), йх").
Мы покажем это только для полных схем (в общем случае
рассуждение сложнее —см. [42]). В этом случае
обе части являются пределами спектральных последовательнос-
тей с изоморфными, согласно GAGA, начальными членами
Hi (X, Йх) и Hi (X (С), Йх”)-
Таким образом, для гладких С-схем сингулярные когомологии
Н* (X, С) совпадают с когомологиями де Рама Z/dr(X/C).
Следствие. Пусть X — гладкая аффинная схема. Тогда
Hm (X (С), С) = 0 при т > dim X.
В самом деле, в силу ацикличности пучков (йх)ав (см. теоре-
му из п. 2.1) пространства Нп(Х(С), С) совпадают с когомология-
ми комплекса Йхн(Х(С)) (или йх(Х)) длины п =dimX.
Замечание. На самом деле, любое многообразие Штей-
на М гомотопически эквивалентно конечному клеточному ком-
плексу размерности ^dimAf ([10]). Поэтому предыдущее
утверждение верно и для коэффициентов Z.
72
2.4.	Слабая теорема Лефшеца. Пусть X — гладкое проек-
тивное многообразие чистой размерности п и УсгХ— его ги-
перплоское сечение (или обильный дивизор). Тогда гомомор-
физмы
являются изоморфизмами при т<п—1 и эпиморфизмом при
nt—п—1.
В силу точной последовательности из п. 1.4 достаточно про-
верить, что Нтъ1Л(Х~\ У) = 0 при т<п или, по двойственности
Пуанкаре—Лефшеца, что //т(Х\У)=0 при т^>п. Но послед-
нее вытекает из следствия в п. 2.3 в силу аффинности Х\У.
Двойственным образом отображение Нт(Х)—яв-
ляется изоморфизмом при m<Zn—1 и мономорфизмом при
т=п—1. Таким образом, принципиально новые когомологии
n-мерного проективного многообразия (по- сравнению с кого-
мологиями многообразий меньшей размерности) лежат в сред-
ней размерности п.
2.5.	Теорема об алгебраизации. На полной схеме X совпа-
дают не только когомологии пучков F и Faa, но и любой коге-
рентный аналитический пучок алгебраизуем. Более точно,
верна
Теорема. Пусть X—полная схема. Тогда функтор ана-
литизации устанавливает эквивалентность категории когерент-
ных пучков на X и категории когерентных аналитических пуч-
ков на Хан.
Заметим сначала, что при аналитизации не появляется но-
вых морфизмов. В самом деле, для пучков F и G на X
Нот(Д G) =//°(Х, Нот (Д G))=HO(Xaa Нот(Д G)aH) =
=Н° (Xas, Нот (FaH, GaH)) = Нот (Faa, GaH).
Проверим теперь, что любой аналитический пучок алгебра-
изуем. Стандартные редукции ([45]) снова позволяют ограни-
читься случае Х—Рп.
Итак, пусть F — когерентный аналитический пучок на Хаа.
Пользуясь индукцией по размерности и фактом конечномерно-
сти когомологий, о котором мы упоминали в п. 2.2, легко по-
лучить, что подкрученный пучок F®0(m)aa порождается гло-
бальными сечениями ([40]). Но тогда F представляется как
коядро некоторого гомоморфизма пучков
а: ©О’ (т;)ан-> ®б?(/пу)ан.
i	j
Как показано выше, а = аан для некоторого гомоморфизма
сс :®O>(zni)->©O’(OTy). Ясно, что F = Coker (а)ан.
i	i
Следствие 1. Любое аналитическое подпространство
полной схемы является алгебраической подсхемой.
73
Применительно к подпространствам Рп этот факт устано-
вил Чжоу.
Следствие 2. Любой аналитический морфизм между
двумя полными схемами алгебраизуем.
В самом деле, его график — замкнутое аналитическое под-
пространство в XX Y. В частности, если полные схемы изо-
морфны как аналитические пространства, они изоморфны и
как схемы. Без предположения полноты это уже не верно (см.
пример в [54]).
2.6.	Теорема о связности. Если схема X связна, то связно и
пространство Х(С).
Конечно, верно и обратное, но это уже тривиально. Приве-
дем набросок доказательства. Во-первых, схему X можно
считать приведенной и неприводимой. Во-вторых, пользуясь тео-
ремой Хиронаки о разрешении особенностей, можно считать
схему X гладкой^ В-третьих, возьмем гладкую компактификацию
Х^Х; так как Х\Х имеет меньшую размерность, X (С) и
X (С) связны одновременно. Поэтому можно считать X полной
схемой. Теперь действует GAGA: 77° (X (С),	=
= №(Х, б?х) = С, так что X (С) связно.
Теорема о связности кажется тоненькой ниточкой, соеди-
няющей топологические свойства X и Х(С). Однако в силу ее
универсальности, применимости к любой схеме, эта связь
позволяет в конечном счете чисто алгебраически вытянуть поч-
ти всю классическую топологию — см. § 4.
2.7.	Теорема существования Римана. Вопрос о том, какие
компактные аналитические пространства алгебраизуемы, — до-
вольно деликатный и далекий от разрешения. Некоторые его
аспекты обсуждаются в книгах [13], [54]. Мы же рассмотрим
здесь простейший относительный вариант этой проблемы.
Пусть даны полная схема Y, аналитическое пространство X
и собственное голоморфное отображение /:Х->Кан с конечными
слоями. Применяя теорему об алгебраизации (п. 2.5) к когерент-
ному пучку алгебр f *0Х, мы получаем, что существует конеч-
ная К-схема X, такая что Х — Хзя.
Интересно, что в этом утверждении можно отказаться от
полноты Y, потребовав взамен нормальность Y и X. Еще более
важен для дальнейшего следующий вариант (Риман, Грауэрт —
Реммерт, Гротендик):
Теорема. Пусть X — схема. Тогда любое конечное не-
разветвленное накрытие аналитического пространства Хан
алгебраизуемо.
По причине жесткости этальных накрытий можно уменьшить
X и считать его гладким и аффинным. Возьмем теперь гладкую
компактификацию Х^-Х, такую что дивизор D —Х\Х имеет
трансверсальные пересечения. Пользуясь явным локальным опи-
74
санием конечных накрытий, ветвящихся вдоль D, можно про-
должить накрытие К->Хан до конечного накрытия У'-^ХЗН и
затем воспользоваться приведенной ранее теоремой существова-
ния Римана для полного X.
2.8,	Экспоненциальная последовательность. Она служит хо-
рошим примером связи топологии, геометрии и анализа. Пусть
дана схема X. Тогда на Х(С) имеется точная последователь-
ность абелевых пучков (называемая экспоненциальной)
0->	1-
(см. пример 3 из п. 3.4 гл. 1). В когомологиях получаем точную
последовательность
№ (X (С), Z)-> /Д (X (С),
->/Д(АДС),	(АГ (С), Z)->№(X(C), ^ан).
(Если схема X —лолная, слева можно добавить нуль.) С гео-
метрической точки зрения здесь наиболее важен средний член
н1 (Х(С),сГхан). Элементы этой группы соответствуют обрати-
мым пучкам на АГан. Для такого пучка L его образ в группе
№(Х, Z) называется классом. Чженя и обозначается через сх (L)-
Для дивизора Картье D на X класс Чженя с^ (б? (D)) двойствен-
ней по Пуанкаре классу cl(Z>).
Предположим теперь, что X — полное многообразие. Тогда,
в силу GAGA, алгебраизуются как обратимые пучки на №B,
так и когомологии (7%ан. Предыдущую последовательность
можно переписать как
б
0->/Д(Х, Z)->Hl(X, Ox)-+PkX^H2(X,Z)^ Н2(Х, Сх).
Правая часть ее дает знаменитую теорему Лефшеца—Ходжа:
целочисленный класс когомологий с из Н2(Х, Z) представ-
ляется как класс Чженя обратимого пучка тогда и только
тогда, когда с переходит в нуль в Нг(Х, (3х) • Далее, пусть
Pic°X — ядро б; это — обобщение на многомерный случай
группы дивизоров нулевой степени на кривой. Мы видим, что
Pic°X представляется как факторгруппа конечномерного век-
торного С-пространства Н{(Х,Сх) по решетке Н1 {X, Z). Тем
самым группа Pic°X снабжается структурой комплексно-анали-
тического многообразия. Более глубокий факт состоит в ал-
гебраизуемости этого многообразия Pic°X, называемого мно-
гообразием Пикара схемы X. В частности, любое линейное
расслоение с тривиальным классом Чженя можно алгебраиче-
ски продеформировать в тривиальное расслоение. Наконец,
факторгруппа NS (X) = Pic A/Pic°X (она называется группой
Нерона—Севери) вкладывается в №(Х, Z) и потому имеет
конечное число образующих.
75
Все эти факты, приведенные здесь для С-схем, допускают
алгебраическую формулировку и переносятся на абстрактные
алгебраические многообразия над любым полем.
§ 3.	Веса в когомологиях
3.1.	Весовая фильтрация. С топологической точки зрения ал-
гебраические многообразия устроены в каком-то смысле
наиболее просто. Это проявляется в том, что спектральные
последовательности вырождаются в начальных членах, и свя-
зано с наличием в когомологиях замечательной весовой
фильтрации. Изложим кратко основные факты, следуя [25];
подробнее см. [24].
Мы будем в этом параграфе иметь дело с когомологиями с
рациональными коэффициентами Hk(X(C), Q), обозначая их
просто Нк (X). Для каждой схемы X пространство Нк(Х) об-
ладает возрастающей фильтрацией {весовой) W:
. . . с=Г-1С=Гос= . . . <^Нк(Х),
состоящей из векторных Q-подпространств. При этом UZ-i—0 и
W2k — Hk(X). Эта фильтрация зависит от структуры схемы на
X, а не только от топологического пространства Х(С). Факторы
этой фильтрации grrHk(X) = Wr/Wr~\ называются частями веса
г. Весами Нк называются те г, для которых соответствующие ве-
совые части отличны от нуля. Если отлична от нуля только
часть веса г, говорят, что Йк имеет чистый вес т.
На самом деле, весовую фильтрацию можно определить для'
когомологий любой пары ХсУ (и даже любого морфизма схем
X->~Y). Однако эти объекты играют вспомогательную роль.
3.2.	Функториальность весов. Замечательное свойство весо-
вой фильтрации состоит в том, что она согласована (и даже
строго) со всеми естественными операциями в когомологиях.
Например, если f : Y—морфизм схем, то гомоморфизм
/* : Н* (У) ~^Н* (X) переводит Wr в Wr и, более того,
f *Н* (У) П WrН* (А>=f * (WrH* (У)).
Если даны пары Zc=y и У<=Х, то в точной последовательности
тройки
. . . -+Нк(Х, Z)^Hk{Y,Z)-^Hk+1(X, Y)^Hk+1{X,Z)^...
все гомоморфизмы строго согласованы с весовой фильтрацией.
Наконец, с весовой фильтрацией согласованы изоморфизмы
Кюннета.
3.3.	Сборка и разборка. Ключевым фактом является то, что
для полного и гладкого многообразия X пространство Нк{Х)
имеет чистый вес k. С этой чистотой связано также и то, что
рациональный гомотопический тип такого многообразия вос-
станавливается по алгебре когомологий Н*(Х) (см. [28]).
76
В общем случае в весах Н*(Х) отражается то, как многооб-
разие X строится из гладких полных кусков в результате опе-
раций сложения и вычитания. Покажем это на примерах.
Пример 1. Пусть X—гладкое полное многообразие,
YczX—гладкое замкнутое подмногообразие. Из последова-
тельности
Н*~1 (У) -+1Р (X, У)(X)
видно, что веса когомологий Нк (X, У) (или, что то же самое,
когомологий с компактными носителями /7*(Х\У)) лежат
в {k — 1, k}. При этом весовая часть Нкс (Х\ У) веса k вклады-
вается в Нк{Х}.
Рассмотрим более конкретный пример: X— Р1, а У состоит
из точек 0 и оо, так что Х\У=С\{0} = С*. Точна последова-
тельность
0^ Н°с (С*)-> Н° (Р1)-^ Q2 - Нс (С*)->Н1 (Р’)->
0Н2С (С*) -> Н2 (Р1)-> о.
Отсюда Я°(С*)=0, //’(C*) = Q и имеет вес 0, /7*(С*)=0
и имеет вес 2. По двойственности 77°(С*) =Q имеет вес О,
№(C*)«Q и веса 2, Я2(С*)-0.
Пример 2. Пусть X состоит из двух гладких полных ком-
понент Xi и Х2, пересекающихся по гладкому подмногообразию
Х1ПХ2. Из последовательности Майера—Виеториса
Я*-1 (ЙГЖг) (X) (Xi) ®Нк (Х2)
следует, что веса Hk (X) снова лежат в множестве {k—1, k}.
Таким образом, хотя элементы из Hh~l попадают в Hh, они не
смешиваются с остальными когомологиями «правильного» веса
k, помнят свое происхождение.
Можно обобщить пример 2, рассмотрев многообразие X, по-
крытое конечным числом гладких полных многообразий Xit лю-
бое пересечение которых тоже гладкое. Как для любого замк-
нутого покрытия, имеется спектральная последовательность
(см. п. 4.4 гл. 1)
EVq = ® Нч (X,, П ... lUf (X).
‘°..1р	Р
Замечательно, что в нашем случае она вырождается в члене Е2.
Это легко объяснить идеологией весов — дифференциалы dr при
г^2 должны были бы уменьшить вес и поэтому равны нулю.
Пример 3. Пусть полное многообразие X имеет одну осо-
бую точку Р и л : Х-+-Х— разрешение этой особенности. Тогда
имеется точная последовательность
/Р'1 (л"1 (Р))-^ Hk (Х)-^ Hk (Х)®Нк (Р).
Если многообразие л“*(Р)—гладкое, веса Hh(X) лежат в
{k—1, k}.
77
Можно показать, что для любого полного многообразия X
веса Нк(Х) расположены между 0 и k. Вообще, для любого мно-
гообразия X веса ЯСЙ(Х) расположены между 0 и k.
3.4.	Случай гладких многообразий. Весовую структуру кого-
мологий гладких многообразий размерности п можно изучать
с помощью двойственности Пуанкаре—Лефшеца
Нк (X) X H}n-k (Х)+ Н2п (X)iQ.
При этом нужно помнить, что вес Н2? (X) равен 2/г. В част-
ности, веса Нк(Х) для гладкогр_Х расположены от k до 2п.
Предложение. Пусть X — гладкая компактификация
многообразия X. Тогда WkHk (X) совпадает с образом Hk (X)
при отображении ограничения Hk (Х)-> Hk (X).
По двойственности надо проверить, что ядро отображения
Н™(Х)-> Н^Х)==Н™(Х) совпадает с Wm_xHc(X). Но это
видно из точной последовательности примера 1 (п. 3.3).
3.5.	Непрерывность весов. Весовая фильтрация непрерывно
зависит от многообразия X. Более точно, предположим, что дан
собственный морфизм f : X-+-S. Тогда для точки t&S слой пучка
Rhf*Q в t отождествляется с пространством //fe(Xt), где Xt =
=f~x(t). Если при этом все пространства Hk(Xt) изоморфны
друг другу, точнее — если пучок является локальной сис-
темой на S, то весовые части Wr в слоях Hk(Xt) склеиваются в
локальную подсистему пучка Rhf*Q.
Теорема (Делинь). Пусть f : X->S — гладкий собственный
морфизм. Тогда спектральная последовательность Лере
E°2q = HP (S, R4J\Q)=>Hp+q (X, Q)
вырождается в члене Д2-
Это еще одно подтверждение топологической простоты алгеб-
раических многообразий. В частности, имеется сюръекция
Нк(Х, Q)-+H°(S, Rkf*Q).
Элементы H°(S, ^hf*Q) отождествляются с элементами Hk(Xt).,
инвариантными относительно монодромии (т. е. действия фун-
даментальной группы ni(S, f) на Hk(Xt)). Поэтому предыдущая
сюръекция означает, что любой инвариантный класс когомоло-
гий слоя Xt продолжается до класса когомологий всего X. На
самом деле верно большее: такой класс продолжается на лю-
бую гладкую компактификацию ХсдХ многообразия X (теорема
об инвариантном подпространстве). В самом деле, вес любого
элемента Hh(Xt) равен к. Поэтому инвариантный класс продол-
жается до класса из WhHh(X) и остается воспользоваться пред-
ложением из п. 3.4.
Верен также локальный вариант предыдущего утверждения:
пусть f : X—>S — собственный морфизм гладких многообразий,
78
гладкий всюду, кроме слоя над точкой foe-S; если класс из
Hh(Xt) инвариантен относительно локальной монодромии (груп-
пы Л1(3\£о)), то он продолжается до класса на всем X.
3.6.	Существование весов. Имеется два способа определения
весовой фильтрации. Первый — посредством смешанных струк-
тур Ходжа, в которые весовая фильтрация входит как одна из
составляющих. Второй — при помощи /-адических когомологий
и имеющейся в них весовой структуры (§ 8 гл. 4). Последние
когомологии определены чисто алгебраически и имеют смысл
для любого поля, а не только С. В следующем параграфе мы
более алгебраически взглянем на классическую топологию, что-
бы затем этот подход реализовать для абстрактных многооб-
разий.
§ 4.	Алгебраический подход к классической топологии
Этот параграф полезно прочитать перед следующей главой,
чтобы понять, почему этальный подход разумен и как до него
можно было бы догадаться.
4.1.	Что дает топология Зарисского. Основным понятием
симплициального подхода к гомологиям является понятие цепи
как непрерывного образа полиэдра. При этом гомологии по-
лиэдра по ковариантности переносятся на многообразие. Такой
подход разумен, если есть много отображений полиэдров в мно-
гообразие. Возможен дуальный подход, основанный на непре-
рывных отображениях в полиэдры. В этом случае уже когомо-
логии полиэдра по контравариантности внедряются в многооб-
разие. Для триангулируемых пространств оба подхода
оказываются эквивалентными. Однако в абстрактном случае
второй подход более перспективен.
Дело в том, что фактически второй подход связан с рассмот-
рением открытых покрытий. Как мы видели в п. 4.4 гл. 1, если все
Ut ц их всевозможные пересечения UiQ П . . fit/« р устроены с
когомологической точки зрения просто, мы получаем возмож-
ность определить когомологии чисто комбинаторно, как кого-
мологии покрытия. Именно так обстоит дело при покрытии
звездами триангуляции.
В абстрактном случае имеются только открытые по Зарисс-
кому подмножества. Можно ли рассчитывать, что такие мно-
жества можно выбрать достаточно ацикличными? Какое-то
упрощение при переходе к «малым» открытым по Зарисскому
подмножествам происходит. В самом деле, мы знаем, например,
что когомологии	аффинных частей U обращаются в нуль
при k > dim U. Однако дальше дело не идет и дальнейшее
уменьшение U не делает его более ацикличным. Возьмем про-
стейший случай — кривые. Топологически аффинная кривая —
это риманова поверхность с конечным числом проколов
79
(рис. 3). С гомотопической точки зрения это — одномерный по-
лиэдр, букет нескольких окружностей. Поэтому у таких откры-
тых кусков отсутствуют когомологии размерности 2 и выше. Од-
нако одномерные гомологии имеются и за счет дальнейшего
Рис. 3
уменьшения кривой, т. е. за счет дополнительных проколов, си-
туация не упрощается. Мы не только не убиваем какие-либо
петли, но лишь добавляем новые вокруг проколов.
4.2.	Идея Гротендика. Она заключается в том, что 1-циклы
надо убивать не за счет уменьшения U, а за счет перехода к
неразветвленному накрытию U'-^-U. Отложим временно вопрос
о том, как алгебраически реализовывать накрытие, и продолжим
обсуждение этой идеи. Трудность, в основном психологическая,
состоит в том, что «открытым» куском предлагается считать не
подмножество исходного многообразия X, а отображение в X.
Во всяком случае, нужно пересмотреть многие привычные по-
нятия. Например, что считать пересечением двух «открытых»
U^>-X и С/'—«-Х? Довольно легко понять, что правильнее всего
под этим понимать расслоенное произведение Uy.U'. Но тогда
х
надо быть готовым к тому, что «самопересечение» С/Х U может
оказаться отличным от U и нести интересную информацию.
Пример. Пусть X = Sl— окружность, C/=R1— прямая и
е : R—«-S1— обычная обмотка (скажем, e(t) =ехр(2ш7)). Тогда
С/Х U—это подмножество в RXR, состоящее из пар чисел
(t, t'), для которых t—t'—• целое число. Поэтому С/Х U состоит
х
из диагонали А= {(/,/) |/6R} и ее сдвигов на целые числа
(рис. 4).
80
В главе 4 мы встретимся с аналогичным явлением расщепле-
ния точки Spec F9n . Причина одна — «открытый» кусок U-+X
обладает автоморфизмами.
Заметим, что в данном случае множество связных компонент
U-* U отождествляется с фундаментальной группой X = Sl. Ко-
нечно, это вызвано тем, что U—>Х — универсальное накрытие X.
4.3.	Хорошие окрестности. В реализации приведенной про-
граммы первым решающим обстоятельством является следую-
щий факт, восходящий к Лефшецу и доказанный М. Арпином.
Скажем, что схема U — «хорошая», если пространство U{C}
имеет гомотопический тип К (л, 1), т. е. если универсальная на-
крывающая U(С) стягиваема.
Теорема. Пусть многообразие X — гладкое. Тогда любая
точка обладает «хорошей» окрестностью Зарисского.
Для кривой это верно. В общем случае многообразие X рас-
слаивается на кривые и рассуждение идет индукцией по размер-
ности. Будем считать X проективным и пусть задан дивизор D
на X, не проходящий через нашу точку х&Х. Возьмем общую
линейную проекцию f: X—>РП“*, где n = dimX. Тогда слой
]-1(f(x)) —гладкий и трансверсалей к £>; это же верно и для
близких слоев. Пусть теперь V — достаточно малая «хорошая»
окрестность точки f(x) в Р”-1. Тогда возникает локально три-
виальное (топологически) расслоение f~l (V) \D—>-V, слои ко-
торого— открытые кривые. Так как база V и слой имеют тип
К (л, 1), таким же будет и /“'(VJXP.
4.4.	Идеализированная схема восстановления. Схема вос-
становления классической топологии схемы X выглядит так.
Сначала покрываем X «хорошими» открытыми по Зарисскому
подмножествами Z7j, ..., Z/w и для каждого Ut берем универ-
сальную накрывающую Ut. Так получается покрытие «первого
уровня» {Ut -> X}. Нерв этого покрытия, т. е. симплициальное
множество (где U = 1к£Д)
i
л0 (Z7)*r л0 (U X Z7)<= л0 (U X U X Z7)^— • • •
х	х х <-
дает правильные группы Н° (что не удивительно) и И1 (что
существенно), однако неправильные № и т. д. Дело в том, что
«пересечения» UiXU = в общем не ацикличны. Поэтому нужно
х
каждое такое пересечение в свою очередь покрыть «хорошими»
окрестностями, взять у них универсальные накрывающие и
т. д. Два способа реализации этой идеи можно найти в [65], [77]
и в [49], [24]. Мы лишь поясним ее на примере.
Пусть Х=Р'— сфера Римана. Покроем ее двумя картами:
Z70=p1\{oo} и Z7i = P‘\{0}. Каждая карта стягиваема, что
упрощает дело на первом этапе. Но если мы этим покрытием
ограничимся, то нерв его даст при геометрической реализации
6—2004
6
81
отрезок, не имеющий никаких двумерных когомологий. Однако
если к делу подключить универсальную накрывающую
£70р|L/j = Р1 \ {0, оо}, гомотопически эквивалентную окружности
S1, мы получим, что геометрическая реализация гомотопна над-
стройке над К. (Z, 1) (рис. 5),
K(Z,1)
Рис. 5
что уже похоже на S2 и дает правильную группу № = Z.
4.5.	Алгебраические накрывающие. Вернемся к вопросу об
алгебраической реализации универсальных накрывающих и вне-
сем соответствующие коррективы в программу из п. 4.4.
Пусть f: Y-+X—морфизм схем, для которого отображение
f(C) : Y(С)—>-Х(С) является неразветвленным накрытием. Тогда
f — конечный этальный морфизм; верно и обратное. Таким об-
разом, универсальную накрывающую можно надеяться реализо-
вать алгебраически только для многообразий с конечной фунда-
ментальной группой. А это бывает крайне редко, что видно уже
на примере кривых.
Остается, правда, надежда, что можно алгебраически реали-
зовать любое «конечное» приближение к универсальному на-
крытию. И здесь нас ожидает вторая удача. В самом деле, как
было показано в п. 2.7, любое конечное неразветвленное накры-
тие любого алгебраического многообразия реализуется алгеб-
раически.
Внесем нужные изменения в программу из п. 4.4, чтобы по-
лучить более реалистическую картину. Вместо универсальных
накрытий	надо брать их конечные аппроксимации, то
же с пересечениями и т. д. Конечно, рассчитывать на то, что
такое «гиперпокрытие» сразу даст правильные когомологии, не
приходится — оно дает лишь приближение. Для получения луч-
шего приближения надо брать более тонкое гиперпокрытие. Так
что удается восстановить не гомотопический тип Х(С), а лишь
его «проконечное пополнение». Не будем объяснять, что это та-
кое, отсылая к [77]. Отметим лишь, что в этом есть свои до-
стоинства. Например, если наше многообразие было определено
над полем Q, как Рп или грассманианы, все конструкции мож-
но провести над Q. Тогда на получающемся «проконечном по-
полнении» действует группа Галуа поля Q.
82
Для нас важнее, что приведенную схему можно реализовать
для любого многообразия над любым полем. Роль топологии
Зарисского в том, чтобы поставлять «хорошие» открытые мно-
жества. Этальные накрытия «раскручивают» их. И открытые
вложения, и этальные накрытия — частные случаи понятия
этального морфизма. Поэтому ясно, что этальные морфизмы
должны играть главную роль при построении «алгебраической
топологии» алгебраических схем.
4.6.	Поучительный пример. Систематическое изложение
этального подхода дано в главе 4. Однако прежде стоит еще
немного задержаться на простом примере Х=С* = С\{0}, ко-
торый подготовит нас к тому, что встретится в этальном мире.
С гомотопической точки зрения С* — окружность, и универсаль-
ное накрытие С* алгебраически не реализуемо. Хорошим при-
ближением к нему следует считать циклическое накрытие сте-
пени т, С*—>С*, z^zm. Оно тем лучше, чем больше т. Группа
автоморфизмов этого накрытия G изоморфна группе рт корней
m-й степени из 1, т. е. группе Z/mZ.
т
Если построить нерв «покрытия»	можно убедиться,
что его когомологии (которые по идее должны служить прибли-
жением к когомологиям С*) есть не что иное, как когомологии
группы G. О том, что это такое, можно узнать в [14], [75]. В на-
шем простом случае вычисление облегчается тем, что группа
G^l/mL— циклическая. Пусть v — ее образующая. Тогда ко-
гомологии G с коэффициентами в абелевой G-группе А есть не
что иное, как когомологии комплекса
А-> А—> А-*А->. ..,
где Т (а) = а— ^а, a N (a)==^iga = a-{-^a-[-^2a+  • • +улг-1а.
Нас интересуют коэффициенты А с тривиальным действием G,
поэтому комплекс еще более упрощается:
„0 л m „ 0 л пг
А—>А-^-А-^-А->...
Его когомологии — это А, Кег ш, А/mA, Кег т и т. д. Таким
образом, в качестве приближения к Н*(С*, Z) мы получаем
группы Z, 0, Ъ/тТ., 0, ijtriL и т. д., т. е. ничего похожего, кро-
ме Н°\
Причина неуспеха в том, что в качестве коэффициентов была
взята группа A = Z. Как легко понять, группа Hl(X, Z) класси-
фицирует неразветвленные накрытия X со слоем Z, и конечными
приближениями такие накрытия не уловить. Правильнее рабо-
тать с конечными коэффициентами. Пусть А — конечная группа
с тривиальным действием G. Если число т делит порядок груп-
пы А, то в качестве когомологий Галуа H*(G, А) мы получаем
6*
83
группы А, А, О, А,. . . Еще лучше будет, когда мы перейдем к
пределу по т. Если m'=km, то гомоморфизмы Н* (Z/ml, А)->
-*-Н* (Z/m'Z, А) имеют вид
А А О А О А ...
4,14,1 4* 4* 4*!4*!
А А О А О А . ..
В пределе, при т->оо, мы получаем уже вполне разумные для
Н* (С*, А) ответы: А, А, 0, 0, 0,... .
Глава 4
ЭТАЛЬНЫЕ КОГОМОЛОГИИ
В этой главе рассказывается о т. н. этальной топологии схем
и соответствующих когомологиях. Они интересны тем, что по-
зволяют для произвольных алгебраических многообразий полу-
чать когомологии, похожие на когомологии Н* (X, Z) в случае
С-схем. Необходимость в таких когомологиях была указана
А. Вейлем — об этом § 1; § 2 также имеет подводящий харак-
тер. После этого мы приступаем к систематическому изложению
теории, достигающей своей вершины в доказательстве гипотез
Вейля.
§ 1. Гипотезы Вейля
1.1. Конечные поля. Если мы интересуемся целочисленными
решениями уравнения F(J\,..., Тп) =0 (предполагается, что ко-
эффициенты многочлена F — также целые), естественно обра-
титься к разрешимости его в поле R, а также разрешимости по
модулю простых чисел р. Так, уравнение У2=Х3—X—1 не име-
ет целочисленных решений, ибо не имеет решений по модулю 3.
Это приводит к исследованию решений уравнений над конеч-
ными полями Fp = Z/pZ или, на геометрическом языке, к изуче-
нию Fp-значных точек соответствующих Fp-схем. Если мы инте-
ресуемся также решениями в кольцах алгебраических чисел,
мы должны заняться точками со значениями в конечных рас-
ширениях поля Fp. С конечными полями мы уже встречались в
§ 6 гл. 2; остановимся на них подробнее.
Напомним прежде всего, как устроены конечные поля и, бо-
лее конкретно, конечные расширения простого поля Fj,. Пусть
К — расширение степени т, т. е. dimF/,K = m. Тогда К. состоит
из q—pm элементов. Мультипликативная группа 7<*=7<\{О}
состоит из q—1 элемента, поэтому для любого элемента хбХ*
выполнено хч-1=1, или xi = x. Последнему уравнению удовлет-
воряют уже все элементы К- Поэтому поле К совпадает с мно-
жеством всех корней уравнения Xi—Х=0 и определено одно-
84
значно (с точностью до изоморфизмов). Обратно, для любого
q=pm существует поле с q элементами; оно обозначается че-
рез Fg.
В поле F9 выполняется соотношение (x-j-z/)r = х?-\-у'Р. По-
этому отображение х*->Ф(х)=%г является эндоморфизмом поля
Fg, который называется эндоморфизмом Фробениуса. Так как
Ф : Fg^-Fg инъективно, оно и сюръективно, т. е. является авто-
морфизмом поля Fq. Элементы простого поля Fpc=Fq остаются
при этом на месте. Кроме того, O’n = id, где q = pm. Отсюда мы
заключаем, что группа Галуа Gal(Fg/Fp) имеет порядок т и
порождается автоморфизмом Фробениуса Ф.
Взглянем на это чуть более геометрически. Схема
X==SpecFq состоит из одной точки и является схемой над Fg.
Однако, как говорилось в [5], правильное представление о схеме
мы получаем лишь после ее геометризации, т. е. после замены
поля Fp его алгебраическим замыканием Fp = Fp00. После замены
X <- Spec (Fg ® Fp) = X
I I
SpecFp-«- SpecFp
точка X расщепляется на tn точек схемы X, каждая из кото-
рых изоморфна SpecFp. Представьте, что вы взглянули в
телескоп на яркую звезду и поняли, что на самом деле
это — нё одна звезда, а целое созвездие правильной формы
(рис. 6).
X •	\	/ X
над Fp
над Гр
Рис. 6
Симметрия получаемся из-за того, что группа Галуа продолжает
действовать на X, переставляя по циклу ее точки.
1.2. Уравнения над конечными полями. Вернемся к уравне-
ниям. Пусть дан многочлен feFgfTi,   , Тп\, и мы интересуемся
решениями уравнения f=0 в поле Fg. Множество решений —
конечное, обозначим число его элементов через В зависи-
мости от f это число может меняться от 0 до qn. Однако интуи-
тивно чувствуется, что для «рядового» уравнения число N (/)
должно быть близко к qn~l. Можно ли этому ощущению при-
дать более точный смысл?
85
группы А, А, О, А, . . . Еще лучше будет, когда мы перейдем к
пределу по т. Если m'=km, то гомоморфизмы 77* (Z/mZ, А)—>
—>77* (Z/m'Z, А) имеют вид
А А О А О А . ..
4,14-1 I* 4* 4-*Ч*2
А А О А О А . ..
В пределе, при т->оо, мы получаем уже вполне разумные для
Я* (С*, А) ответы: А, А, 0, 0, 0.....
Глава 4
ЭТАЛЬНЫЕ КОГОМОЛОГИИ
В этой главе рассказывается о т. н. этальной топологии схем
и соответствующих когомологиях. Они интересны тем, что по-
зволяют для произвольных алгебраических многообразий полу-
чать когомологии, похожие на когомологии Н* (X, Z) в случае
С-схем. Необходимость в таких когомологиях была указана
А. Вейлем — об этом § 1; § 2 также имеет подводящий харак-
тер. После этого мы приступаем к систематическому изложению
теории, достигающей своей вершины в доказательстве гипотез
Вейля.
§ 1.	Гипотезы Вейля
1.1.	Конечные поля. Если мы интересуемся целочисленными
решениями уравнения E(7’i,..., Тп) =0 (предполагается, что ко-
эффициенты многочлена F — также целые), естественно обра-
титься к разрешимости его в поле R, а также разрешимости по
модулю простых чисел р. Так, уравнение У2=Х3—X—1 не име-
ет целочисленных решений, ибо не имеет решений по модулю 3.
Это приводит к исследованию решений уравнений над конеч-
ными полями Fp = Z,lp7. или, на геометрическом языке, к изуче-
нию Fy-значных точек соответствующих Fp-схем. Если мы инте-
ресуемся также решениями в кольцах алгебраических чисел,
мы должны заняться точками со значениями в конечных рас-
ширениях поля Fp. С конечными полями мы уже встречались в
§ 6 гл. 2; остановимся на них подробнее.
Напомним прежде всего, как устроены конечные поля и, бо-
лее конкретно, конечные расширения простого поля Fp. Пусть
К— расширение степени т, т. е. ditnppK=m. Тогда К состоит
из q=pm элементов. Мультипликативная группа 7<* = 7<\{О}
состоит из q—1 элемента, поэтому для любого элемента х67(*
выполнено хч~1 = 1, или хч=х. Последнему уравнению удовлет-
воряют уже все элементы 7<. Поэтому поле К совпадает с мно-
жеством всех корней уравнения Хч—Х=0 и определено одно-
84
значно (с точностью до изоморфизмов). Обратно, для любого
q—pm существует поле с q элементами; оно обозначается че-
рез F9.
В поле F, выполняется соотношение (х-^-у)? = х?-5гур. По-
этому отображение х*-+ Ф (х) = х? является эндоморфизмом поля
Fq, который называется эндоморфизмом Фробениуса. Так как
Ф : F9—>-F9 инъективно, оно и сюръективно, т. е. является авто-
морфизмом поля Vq. Элементы простого поля Fpc=F9 остаются
при этом на месте. Кроме того, <bTn = id, где q — pm. Отсюда мы
заключаем, что группа Галуа Gal(Fq/Fj,) имеет порядок т и
порождается автоморфизмом Фробениуса Ф.
Взглянем на это чуть более геометрически. Схема
X = SpecF? состоит из одной точки и является схемой над F?.
Однако, как говорилось в [5], правильное представление о схеме
мы получаем лишь после ее геометризации, т. е. после замены
поля Fp его алгебраическим замыканием Fp = Fp00. После замены
X <- Spec(F, ® Fp) = X
•I Ф
SpecFp-«- SpecFp
точка X расщепляется на т точек схемы X, каждая из кото-
рых изоморфна SpecFp. Представьте, что вы взглянули в
телескоп на яркую звезду и поняли, что на самом деле
это — нё одна звезда, а целое созвездие правильной формы
(рис. 6).
nod Fp	над Гр
Рис. 6
Симметрия получаемся из-за того, что группа Галуа продолжает
действовать на X, переставляя по циклу ее точки.
1.2.	Уравнения над конечными полями. Вернемся к уравне-
ниям. Пусть дан многочлен f6Fq[Ti,   •, Гп], и мы интересуемся
решениями уравнения f=0 в поле Fg. Множество решений —
конечное, обозначим число его элементов через N(f). В зависи-
мости от f это число может меняться от 0 до qn. Однако интуи-
тивно чувствуется, что для «рядового» уравнения число X(f)
должно быть близко к <7П-1. Можно ли этому ощущению при-
дать более точный смысл?
85
Обозначим через Л4^ множество всех многочленов степени
sCd из кольца FgE?!,..., Тп]. Тогда среднее значение N(/) рав-
но qn~x-.
2 N(/)-’”'
В самом деле, рассмотрим «универсальный» многочлен F на
F"xTHd. Множество [Д=0] его нулей проектируется как
на Md, так и на FJJ. Число точек в нем равно 2 N (/). Отно-
сительно проекции на F" слои являются гиперплоскостями в Md,
так что число точек в [/" = 0] равно |
Можно показать ([64]), что среднее квадратичное отклоне-
ние N (/) от qn~l равно qn~l — qn~2. Таким образом, следует
ожидать, что разность N (/) — qn~l имеет порядок У qn~x.
Гипотезы Вейля уточняют эти оценки в когомологических тер-
минах, индивидуализируя их для каждого f. Однако, прежде
чем переходить к ним, остановимся коротко на уравнениях ма-
лой степени (о них имеется огромная литература — см. [64]).
Теорема (Варнинг). Пусть степень f меньше и. Тогда
N(f) делится на р (характеристику поля F9).
Для доказательства образуем вспомогательный многочлен
F = 1 — Тогда F равен 1 на корнях f и равен 0 в осталь-
ных точках F£. Поэтому N (/) =	F-(x).
Покажем теперь, что сумма справа равна 0, причем это верно
не только для нашего многочлена F (степени <ц(</— 1)), но и
для любого многочлена степени <«(<?— 1). По линейности это
достаточно проверять для мономов Ti'- ... •7’“". Для них эта
п
сумма равна П [ 2 Х°1 Y Так как а,: < /г (7—U, °ДНО из
at <.q—1. Теперь все вытекает из того совсем уж простого
факта, что при a<q— 1 2 ха=0.
Следствие (Шевалле). Если fGFgfTi,..., Тп]—однород-
ный многочлен степени 0<deg(f)<n, то уравнение f = 0 имеет
нетривиальное решение в поле Fq.
Вообще, если поле К обладает свойством, что любое одно-
родное уравнение F(Ti,..., Тп) =0 степени <и имеет нетри-
виальное решение в К, это поле называется квазиалгебраичес-
ки замкнутым (см. также [14]). С одним важным примером
таких полей мы встретимся в § 5.
1.3.	Дзета-функция. Обобщая предыдущий пункт, рассмот-
рим произвольную алгебраическую схему X над конечным полем
Fg. Для каждого целого и^1 схема X имеет конечное число
86
точек со значениями в поле F9”(t. е. морфизмов Spec F9n в X
над F9); количество таких точек обозначим через N(X,n). Ко-
нечность числа точек, возможность их пересчитать делает ко-
нечные поля уникальным полигоном для исследования алгебраи-
ческих многообразий (п. 6.4 гл. 2).
Пример. Имеется один случай, когда числа N (X, п) счи-
таются просто. А именно, пусть Х = №— аффинное пространст-
во над F?. Тогда X(F(Jn) = 'F^n состоит из qnd элементов.
Вообще, пусть схема X обладает «клеточным» разложением,
т. е. разбивается на «кл&тки», изоморфные Аг, в числе Ьц- Тогда
dimX
АГ (%,«) = b2l-qni.
1=0
Это — первый намек на то, что IV (А, •) имеет связь с когомоло-
гиями X, ибо в любом разумном смысле Ьг, должны быть чис-
лами Бетти схемы X (ср. с п. 1.4 гл. 3).
Числа N(X,n) довольно регулярно зависят от и и их удоб-
но «упаковать» в формальный ряд (Z-функцию)
(оо	\
tn eQ[[z]b
n = l	/
несущий в себе всю информацию о N (X, п). Можно показать,
что
z(x, /) П (i—ifdee(jr))-1ez [[/]].
Произведение здесь берется по всем замкнутым точкам х&Х,
a deg(x) =[£(%) : FJ, где k(x) —поле вычетов х, представляет
«относительный размер» точки х. Иначе говоря, с каждой точ-
кой х мы связываем ряд
Z(x, t) = l.-|J/<ieg(x>_|_^deg(x)_J_ f
а затем их перемножаем. И хотя точек бесконечно много, на
каждую фиксированную степень tk влияет лишь конечное число
точек, так что произведение определено.
Например,
Z(A-,
Для Р<* = А* U A*"1 U •. - U А0
z (Pd, 0 =----------------------3—
(l-f)(l_90. ... .(1-^0
При подстановке t—q~a Z-функция превращается в т. н.
дзет а~функцию
С(АГ, tt)=Z(A, 7’“)= П (1— q~de^a)-\
87
Если обозначить «абсолютный размер» точки х через N (х) =
— qdeg(x)= |&(х) |, то ^(Х,и) есть произведение рядов
(1—N(x)~u)~1 по всем замкнутым точкам хбХ. В таком виде
определение годится уже для любой Z-схемы конечного типа.
Например, для X=SpecZ получается обычная дзета-функция
Римана
£ (и) = JJ \_р_и = цг + -3Й + 45- 5b ••• •
р
1.4.	Теорема Вейля. Рассмотрим первый нетривиальный слу-
чай, когда X — кривая (связная, полная и гладкая) рода g над
Fg. Из теоремы Римана—Роха следует, что
•7 ( V- j.\_ Р (t)
где P (t)—многочлен степени 2g с целыми коэффициентами,
Р(0) = 1. По аналогии с классической гипотезой Римана Э. Ар-
тин предположил (и проверил для £ = 1), что «обратные нули»
. .. , а2 многочлена Р (это значит, что Р(^)=П(1—а?7)) по
модулю равны X~q  В силу соотношения
/ 2g \
AT(AS /г) = 1 + 7л- 2 “Я
V-1	/
это дает следующую оценку для числа точек на кривой X :
|AT(zY, /z)-(^+l)|<2g/^.
В 1940—41 гг. А. Вейль доказал эту гипотезу. Ниже мы наметим
одно из его доказательств, а пока рассмотрим
Пример. Пусть X — эллиптическая кривая и а, а — пара
«обратных корней». Тогда aa = q, a-Jr-a = N (X, 1) — (7+1)- По-
этому число N (X, 1) = | X (Fg) | определяет все остальные N (X, п).
Возьмем теперь совсем уж конкретную кривую у2 = х3— х
над полем F3. Так как |A,(F3)|=4, a-f-a = 0 и а, а=+утгз.
Поэтому
N(X п) = \Х(Р^\ = [ЗП+^	если п нечетно,
‘ 1	'	|3Л/2 ± I)2, если п четно
Заметим, что числа N(X,n) не делятся на 3, так что в группе
точек конечного порядка эллиптической кривой X отсутствуют
точки порядка 3. Это несколько необычно и свидетельствует о
том, что X — т. н. суперсингулярная эллиптическая кривая
(что это такое — см. [70], [54]).
1.5.	Доказательство теоремы Вейля. Начальная часть рас-
суждения_ годится для произвольной схемы X над Fg. Пусть
X = X ® Fg — геометризация схемы X и Ф: АГ-*- X — морфизм Фробе-
F
Q
88
ниуса над F? (в координатах его действие задается формулой Ф(Х],
х*) = (х19,	xkq)). Мы уже видели в п. 1.1, что при про-
екции Х-+Х каждая точка х(*Х расщепляется на deg(x) то-
чек X, переставляемых отображением Ф. Неподвижные точки
Ф отождествляются при этом с рациональными точками X, т.е.
с X (F9). Аналогично, для любого п множество Fix (Фл) непод-
вижных точек Ф” отождествляется с X (Fq”), так что N (X, п) =
==|Fix®n|. Остается найти число неподвижных точек Ф", но
в этом-то вся задача.
Вернемся теперь к кривым и рассмотрим задачу об отыска-
нии числа неподвижных точек отображения	где С — кри-
вая над алгебраически замкнутым полем К (пока для нас несу-
щественно, что /< = F?). Это число определяется как индекс
пересечения (Гу.А)— см. п, 1.6 гл. 3.
Рассмотрим более общую задачу о пересечении дивизоров
на поверхности СХС', где С и С' — кривые. Дивизоры нас
будут интересовать с точностью до численной эквивалентности.
Простейшие (вырожденные) дивизоры на С~ХС' образованы
из «горизонтальных» слоев С—CXi{p'} и «вертикальных»
слоев С'~{р}ХС/. Каждый дивизор D имеет ортогональное
разложение
£>=£(£>)+e(D),
где 6 (D) = (D.C') С+ (О.С) С — вырожденная часть D, а
е(О)—«остаток». Тогда для дивизоров D и D' на СХ.С'
(£>.£>') = (6 (О) .6 (D')) +((е(D) .е (О')).
Первый член (6 (£>) .6 (D7)) находится обычно легко. Что ка-
сается второго, то Вейль дает для него оценку. А именно, со-
гласно теореме Ходжа об индексе (п. 5.4 гл. 2), форма пересе-
чения на ортогональном дополнении к С и С' отрицательно
определена. Поэтому из неравенства Коши—Буняковского
(е (£>) .е (£>')) 2^е (£>)2 • е (О')2.
Вернемся к морфизму f : С—>С и пусть £>=Гу. Так как Гу—
прообраз диагонали А<=СХС при морфизме (f, 1) : СХС-^-СХ
ХС, (Гу.Гу) = (2—2g) deg (f), где g— род кривой С. Отсюда
легко получить что е(Г/)2=2£-deg(/) и затем
((Fy.А) — 1—deg(f)) 2<4g2deg (f).
Применим теперь это к случаю [=Фга, где Ф—морфизм
Фробениуса над F9. Так как степень Ф равна q, мы получаем
нужное неравенство
||Fix©«|-(l + ^)|<2gy^.
1.6.	Гипотезы Вейля. В 1949 г. А. Вейль сформулировал
([79]) обобщение гипотезы Э. Артина на гладкие проективные
многообразия произвольной размерности над Fg. Главная
89
часть его гипотез состояла в том, что для многообразия X раз-
мерности d
Pdty-Рз	(t)
Ро (*)Рг(t)---. P2d(t).
где Pi (t) — многочлены с целыми коэффициентами, Р2(0) = 1. Бо-
лее того, если Р2(£) = П(1—a2Z)— разложения на линейные мно-
1
жители (с комплексными а2?), то | a2/-1 — дЧ2.
В терминах чисел N (X, п) эти гипотезы означают следую-
щее. Первая часть, о рациональности Z (X, f), дает разложение
на «гармоники»
2л	/ *2
^(х«)=2(-1у 2 аПч
где b.— degP,. Таким образом, многообразие как бы разла-
гается на элементарные куски, связанные с корнями (или
какими-то их группами), и каждый такой кусок дает вклад в
число точек, равный (—1)’а23. Вторая, количественная или
риманова, часть гипотез дает оценку для группы слагаемых
«веса» г:
xj ч
bi у qin.
2=1
Главный вклад в рост дает член веса 2d, для которого
Ь2а=1 (если X неприводимо), так что
N (X, n) = <7nd,mX + O (^»(<ип>*-1/2)).
1.7.	Когомологии Вейля. А. Вейль предложил также почти
фантастический путь для проверки своих гипотез. А именно,
он предположил, что для абстрактных алгебраических много-
образий должна существовать гипотетическая теория когомо-
логий Xм- Н* (X), похожая на классические когомологии ком-
плексных многообразий. Более точно, Н*(Х) должны прини-
мать значения в конечномерных алгебрах над полем F, и
должны выполняться свойства I—III из п. 6.7 гл. 2. Так как
формула Лефшеца (п. 1.6 гл. 3) является формальным след-
ствием этих свойств, мы получали бы соотношение
| Fix Ф" | = 2 ( ~ 1У Тг (Фп | Н1 (X)),
где Тг обозначает след соответствующего гомоморфизма в ко-
гомологиях. Тогда многочлены Pt из гипотез Вейля — это харак-
теристические многочлены действия Ф в когомологиях Н1,
=	—^Ф\/7‘(Х)), a otj — собственные значения ф на
пространстве Н1 (X).
90
Упоминавшиеся ранее факты о многообразиях с «клеточ-
ным» разложением и о кривых хорошо укладываются в эту
картину.
Идея Вейля в огромной степени повлияла на все последу-
ющее развитие алгебраической геометрии. Кроме создания
этальных когомологий, которым посвящена эта глава, его идея
вызвала три последовательные перестройки «оснований» ал-
гебраической геометрии, предпринятые самим Вейлем, Серром
и, наконец, Гротендиком.
Надо сразу сказать, что, когда Вейль формулировал свою
идею, не было не только никаких когомологий абстрактных
многообразий, но и само понятие абстрактного многообразия
нужно было формировать. С одной такой теорией когомологий
мы уже встречались — с когомологиями де Рама. Эта теория
обладает нужными формальными свойствами и дает формулу
для числа неподвижных точек, но, к сожалению, только в поле
K=FP, т. е. по модулю р. Конечно, уже это дает какие-то
утверждения типа теоремы Варнинга из п. 1.2. Их обобщения
с использованием кристаллических когомологий обсуждаются в
[66]. Однако, чтобы получить настоящую формулу для числа
неподвижных точек, поле коэффициентов F теории когомоло-
гий должно иметь нулевую характеристику.
Укажем еще одно неожиданное ограничение на поле коэф-
фициентов F. Как заметил Серр, этим полем не может быть
поле R (и любое его подполе). В самом деле, для любого
многообразия X кольцо его эндоморфизмов End(X) (а тогда и
End(X)<8>R) по функториальности должно действовать на про-
странстве Н1 (X). В частности, это так и для кривой X из
примера в п. 1.4. Но для этой кривой кольцо End(X)<8>R
является телом кватернионов ([70]) и не может действовать
на двумерном пространстве Н1(Х). По аналогичным причинам
полем коэффициентов F не может служить поле р-адических
чисел Qp, где р — характеристика основного поля.
С другой стороны, как мы увидим в § 7, для любого про-
стого 1^=р имеется т. н. теория l-адических когомологий с
коэффициентами Q; (а также теория кристаллических когомо-
логий). Такое обилие теорий заставляет думать, что все они —
лишь проявление какой-то одной, универсальной теории кого-
мологий. Например, существует ли теория когомологий с по-
лем коэффициентов Qab — максимальным абелевым расшире-
нием Q, или полем всех алгебраических чисел Q? Видимо, та-
кие вопросы тесно связаны с теорией мотивов [8].
§ 2.	Алгебраическая фундаментальная группа
Прежде чем переходить к этальной топологии, стоит задер-
жаться на понятии фундаментальной группы. Кроме прочего,
она имеет прямое отношение к одномерным когомологиям (за-
91
бегая вперед, скажем, что Hl (X, A) =Hom (ni (X), Л) для ко-
нечной абелевой группы А). А это—решающий шаг, так как
остальные когомологии так или иначе сводятся к одномерным.
Здесь и всюду далее схемы предполагаются отделимыми и
нётеровыми; при желании можно даже ограничиться алгеб-
раическими схемами (над полями или над Z, чтобы не ли-
шаться арифметических применений).
2.1.	Этальные морфизмы. Этальные морфизмы играют
исключительную роль в этальной топологии. Напомним их
определение и главные свойства; подробности см. в [5], [45],
[68], [71].
Морфизм конечного типа f : X—>У называется этальным,
если он плоский и диагональ в X 'XX открыта и замкнута.
Можно также сказать, что это — гладкий морфизм относи-
тельной размерности 0. Для схем над алгебраически замкну-
тым полем можно дать более наглядное определение: для лю-
бой точки xGX индуцированное отображение касательных ко-
нусов dxf : CxX-^Cf(X)Y должно быть изоморфизмом.
Приведем наиболее распространенные примеры этальных мор-
физмов. Открытое вложение, конечно, этально. Если Е = Spec АГ,
где поле К алгебраически замкнуто, то этальность X над Y
означает, что X изоморфно нескольким экземплярам Y, т. е.
что X — конечная приведенная схема. Если У = Spec АГ, где X—
произвольное поле, то этальность X над Y эквивалента эталь-
ности X ® над Spec X ,где X— алгебраическое замыкание
поля X-
Для схем над полем С этальность морфизма / : X—>У эк-
вивалентна тому, что отображение f(C) : Х(С)->У(С) является
локальным изоморфизмом в классической топологии. Это дает
основание считать, что в абстрактном случае этальные мор-
физмы осуществляют локальные изоморфизмы относительно
некоторой топологии, более сильной, чем топология Зарисского.
Еще несколько свосйтв этальных морфизмов: этальность
сохраняется при композиции морфизмов и при замене базы;
если X и У—этальные S-схемы, то любой S-морфизм X—*~Y этален.
2.2.	Этальные накрытия. Пусть Т — «хорошее» топологиче-
ское пространство (скажем, полиэдр). Фундаментальную груп-
пу ла(Т) можно определить двумя способами — через замкну-
тые пути и через неразветвленные накрытия. В абстрактном
случае имеет смысл лишь второй способ. Предварительно на-
помним связь двух определений «ь
Пусть f : Т'—ХГ— неразветвленное накрытие топологических
пространств и teT. Тогда фундаментальная группа лДТД)
при помощи монодромии действует на слой	и это
действие однозначно определяет накрытие. Таким образом,
задать неразветвленное накрытие пространства Т — то же са-
мое, что задать действие группы Л1 (7) на некотором множе-
92
стве F. Связные компоненты Т' соответствуют при этом орби-
там ni(T') на F. Действие Л1 на себе левыми сдвигами приво-
дит к универсальному (связному) накрытию Т-ХГ. Поэтому
лДТ) можно определить как группу автоморфизмов универ-
сального накрытия Т—ХГ.
Перейдем теперь к алгебраизации этих понятий. Алгебра-
ический аналог неразветвленного накрытия — это конечный
этальный морфизм (короче — этальное накрытие). Связная
схема X называется односвязной, если любое ее этальное на-
крытие тривиально, т. е. является прямой суммой нескольких
экземпляров X.
Пример 1. Покажем, что проективная прямая Р1 над ал-
гебраически замкнутым полем односвязна, как и следует ожи-
дать из аналогии с комплексным случаем. В самом деле, пусть
f : X—«-Р1— этальное накрытие степени d. Тогда Для канони-
ческого пучка со выполнено соотношение cox=f*copt. Степень
сох в d раз больше степени со^1, равной —2, так что degcox =
= —2d. С другой стороны, из теоремы Римана—Роха мы знаем,
что degcox=2g—21>—2, где g — род кривой X. Значит
—2d^s—2, т. е. d^l.
Пример 2. Покажем, что схема Spec Z односвязна. Это
один из фундаментальных фактов теории чисел — теорема
Минковского. Пусть Spec A—>Spec Z — конечное накрытие сте-
пени п, где А —- некоторое кольцо алгебраических чисел. Вет-
вление этого морфизма задается т. н. дискриминантом D. На-
пример, для кольца Гаусса A = Z-}-Zy—1 дискриминант равен
—4, так что соответствующее накрытие ветвится над точкой
(2)6SpecZ. Есть еще два двулистных накрытия Spec Z с
ветвлением в точке (2) —это Spec Z[y±2].
Накрытие не разветвлено, если его дискриминант D обра-
тим в Z, т. е. £)=±1- В теории чисел имеется довольно нетри-
виальная оценка для дискриминанта ([2], стр. 174):
Из нее легко получить, что |D| =1 только при п=1.
Топологически Spec Z надо представлять как что-то вроде
трехмерной сферы, расслоенной по Хопфу над S2.
2.3.	Алгебраическая фундаментальная группа, сть X —
связная схема. Этальное накрытие Х-+ X называется универсаль-
ным, если схема X односвязна. Такое название связано с тем,
что любое этальное накрытие Х'-^-Х доминируется универсаль-
ным. В самом деле, образуем расслоенное произведение
ХХХ'уХ
93
Пусть Z — компонента связности схемы Х'ХХ. Тогда проекция
_	х
Z-+X является этальным накрытием, а значит, в силу односвяз-
ности X, изоморфизмом. Вторая проекция дает тогда морфизм
X-Z-+X'.
Отсюда следует, что универсальное накрытие, с точностью
до изоморфизма, определено однозначно. Кроме того, имеется
ровно deg(X | X) автоморфизмов схемы X над X. Наконец, вид-
но, что X’ можно представить как факторпространство схемы X
по действию конечной подгруппы Aut (X | X')cAut (X | X). Все
это дает основания назвать группу Aut(X|X) (алгебраической
фундаментальной группой схемы X и обозначить ее через
Л1 (X).
К сожалению, универсальное накрытие существует доволь-
но редко. Мы уже видели это (в комплексном случае) для
А‘\{0}. Другой пример — Spec Fp, у которого также суще-
ствуют этальные накрытия (т. е., по существу, конечные рас-
ширения поля Fp) сколь угодно большой степени. Пример по-
ля R, у которого есть универсальное накрытие Spec С—>Spec R,
почти уникален. Выход здесь, как и в § 4 гл. 3,— замена уни-
версального накрытия его конечными приближениями.
Определение. Этальное накрытие Х-+Х называется
накрытием Галуа, если X связно и группа Aut (X | X) состоит
из deg(X|X) элементов.
Таким образом, накрытие Галуа максимально симметрично.
В топологии такие неразветвленные накрытия называются ре-
гулярными; они соответствуют нормальным делителям в л;.
Накрытий Галуа уже достаточно много: любое этальное на-
крытие (и даже любой конечный набор таких накрытий) до-
минируется некоторым накрытием Галуа.
Таким образом, все обстоит, как в топологии, только накры-
тия схемы X контролируются не одной группой (X), а проек-
тивной системой конечных групп Aut (X | X), где X пробегает
все накрытия Галуа схемы X. Обычно здесь переходят к преде-
лу; группу (проконечную) limAut(X|X) также называют алге-
браической фундаментальной группой схемы X и обозначают
через л, (X) или ла1(Х). Итог предыдущих рассуждений можно
подвести в следующей теореме:
Теорема. Категория Fet(X) конечных этальных накрытий
схемы X эквивалентна категории конечных Л! (Х)-множеств, т. е.
множеств, снабженных непрерывным действием группы Л1(Х).
Пример 1. Пусть X=SpecX — спектр поля X. Связные
этальные накрытия Х'->Х соответствуют конечным сепарабель-
ным расширениям полей XczX'; накрытия Галуа соответ-
94
ствуют при этом расширениям Галуа. Поэтому фундаменталь-
ная группа Tti(Spec/C)—это в точности группа Галуа
Gal (Л/Л) поля Л. Таким образом, с «топологической» точки
зрения одноэлементная схема Spec Л устроена, как простран-
ство Л(л, 1), где л=Оа1(Л/Л). Только, если поле Л алгебра-
ически замкнуто, Spec Л — топологически тривиальный объект.
В п. 1.1 мы видели, как устроены расширения поля Fp.
Фундаментальная группа ni (Spec Fp) изоморфна проконечно-
му пополнению группы Z. Таким образом, «топологически»
Spec Fp похожа скорее всего на окружность S1.
Пример 2. Пусть X—алгебраическая схема над С. Тогда
^ialg(X) совпадает с проконечным пополнением Л1(Х(С)). На
самом деле, это означает лишь, что конечные неразветвленные
накрытия у схемы X и у топологического пространства Л (С)
совпадают, что мы видели в § 2 гл. 3.
2.4.	Функториальные свойства фундаментальной группы.
Фундаментальная группа — это просто способ в сжатом и при-
вычном виде хранить информацию об этальных накрытиях.
Например, морфизм связных схем f : Х->У индуцирует функтор
замены базы f* : Fet(y)->Fet(X). В терминах фундаменталь-
ной группы это означает наличие гомоморфизма
Вот несколько примеров перевода с языка накрытий на язык
фундаментальных групп:
а)	гомоморфизм )*: ni (Х)->ло(У) сюръективен тогда и
только тогда, когда для любого связного этального накрытия
У'—>У многообразие X X У' связно;
б)	гомоморфизм f*: ni (Х)->Л1 (У) инъективен тогда и толь-
ко тогда, когда любое накрытие Х'—^Х можно получить как
прямое слагаемое некоторого индуцированного накрытия
XXY'^X;
Y
в)	гомоморфизм f Л1 (Х)->Л1 (У) равен нулю тогда и толь-
ко тогда любое этальное накрытие У'-?-У тривиализи-
руется над X.
Пример. Рассмотрим гомоморфизм Л1 (Р1)—»-Л1 (Р"), ин-
дуцированный вложением прямой P‘c:Pn. Утверждается, что
он сюръективен; вместе с примером 1 из п. 2.2 это дает одно-
связность Рп. В соответствии с а) нужно проверить, что для
любого связного этального накрытия f: X—>РП прообраз
/_1(Р‘) связен. Это следует из теоремы о связности (см. п. 5.6
гл. 2 или [5]).
Вообще, если X — неприводимое проективное многообразие
размерности >2 и НаХ — гиперплоское сечение, то гомомор-
физм Л1 (//)—>Л1 (X) сюръективен. Если к тому же X — гладкое
многообразие и dimX^3, то это — изоморфизм (см. [46]).
95
В частности, любая гиперповерхность в Рта, п^З, односвязна.
(Подробнее о технике вычисления ли см. [45].)
2.5.	Конструирование накрытий. Во многих случаях нужно
уметь явно предъявлять этальные накрытия. Имеется два
общих приема делать это. Первый основан на сравнении с ну-
левой характеристикой — см. пример 2 из п. 2.3. Второй связан
с использованием алгебраических групп. Пусть G— алгебра-
ическая группа, a N — конечная подгруппа в G.
Тогда морфизм факторизации G—^G/N дает эталь-
ное накрытие со слоями, изоморфными АГ. Поэтому морфизм
X-^GiN индуцирует накрытие X, быть может тривиальное.
Чаще всего этот прием применяется в случае, когда Q —Gm—
мультипликативная группа. Если п не делит характеристику
п
основного поля, то гомоморфизм умножения на п, Gm->Gm,
z*-+zn, является этальным накрытием.
Полезен также следующий вариант этой конструкции: пусть
L — линейное расслоение над X', тогда имеется канонический
морфизм Х-схем ц: L-+ L®n, который точку L с координатами
(х, t) переводит в точку (х, tn) на пусть теперь f — сече-
ние расслоения £®”; подсхема X'==ri~1 (/) конечна над X и
этальна, если п и f обратимы. Заметим, что обратимость f оз-
начает тривиальность расслоения L®n. Это показывает наличие
тесной связи между этальными накрытиями X и элементами
конечного порядка в группе Пикара Pic X (теория Куммера—
см. п. 4.6).
§ 3.	Этальная топология
Как объяснялось в § 4 гл. 3, основная идея этальной то-
пологии заключается в том, чтобы этальные морфизмы
объявить «локально тривиальными» отображениями. Посмот-
рим, как при этом меняются понятия пучка, слоя в точке и т. п.
Как мы увидим, фактически ничего менять не приходится.
3.1.	Этальные предпучки. Предпучок на топологическом
пространстве Т определялся как контравариантный функтор на
категории О (Г) открытых подмножеств Т. В этальной тополо-
гии роль категории О (Г) играет категория Et(X) всех эталь-
ных над X схем.
Определение. Этальным предпучком множеств (групп,
абелевых групп и т. д.) на схеме X называется контрава-
риантный функтор из категории Et(X) в категорию множеств
(соответственно, групп, абелевых групп и т. д.).
Смысл этого понятия в том, что многие объекты, которые
мы раньше связывали с открытыми подсхемами в X, можно
на самом деле связать с любой (или только этальной) Х-схе-
мой.
96
Пример I. Возьмем фиксированную схему У над X и с
каждой Х-схемой U свяжем множество
/гу(П)‘=Нотх(П, У).
Ясно, что йу — контравариантный функтор по U. Ограничение
его на категорию Et(X) дает этальный предпучок на X. За-
метим, что такие функторы называются представимыми (схе-
мой У).
Пример 2. Пусть имеется пучок б?х-модулей F. С каж-
дой Х-схемой f : U^X свяжем группу
F(tZ) = (/-’F®	C?o)(t7).
г их
Это — снова функтор, а значит и этальный предпучок, который
мы обозначаем через Fgt (ср. с п. 2.1 гл. 3).
Пример 3. Свяжем с каждой Х-схемой U группу Пикара
PicX. Это — снова предпучок.
3.2.	Этальные пучки. В § 3 гл. 1 мы уже интерпретирова-
ли аксиому пучка как условие коммутирования с пределами.
В такой форме условие прямо переносится на категорию
Et(X) и выглядит в ней даже более естественно. Дело в том,
что в категории Et(X) существуют естественные конечные пря-
мые пределы (правда, если допустить неотделимые схемы).
Определение. Этальный предпучок F называется
этальным пучком (или просто — пучком), если он переводит
прямые пределы в обратные, т. е.
F (lim U а) = lim F (U а).
Поясним это требование. По существу, оно сводится к двум
условиям:
a)	F(U11U')=F(U)XF(U')-
б)	если U'—^U— сюръективный морфизм в категории Et(X)
(такой морфизм называется этальным покрытием U), то точна
последовательность
F (U)-^F (U')^F (U' X U').
и
В самомЗделе, если U'-+U— сюръективный этальный морфизм,
то U отождествляется с коуравнителем пары морфизмов
U' X	т. е. с факторсхемой схемы U' по отношению
и
эквивалентности U'/'U'gU'xU'.
и
Можно показать, что любой предпучок из примера 1 в
п. 3.1 является пучком в этальной топологии. Это важное за-
мечание— чтобы какой-то контравариантный функтор был
представимым, он должен быть пучком в этальной топологии.
Напротив, любой этальный пучок представляется в этом смыс-
7—2004	6	97
ле некоторой «этальной» Х-схемой У; кавычки стоят потому,
что схема У может быть неотделимой и бесконечного типа
над X. Можно также сказать, что категория этальных пучков
над X получается из категории Et(X) добавлением всевозмож-
ных индуктивных пределов.
Предпучки из примера 2 в п. 3.1 также являются этальны-
ми пучками. Напротив, предпучок Pic из примера 3 в п. 3.1 не
является пучком ни в этальной топологии, ни даже в тополо-
гии Зарисского (взять стандартное покрытие Р и пучок
С?(1)). Чтобы лучше освоиться с понятием этального пучка,
рассмотрим подробнее схемы, состоящие из единственной
точки.
Пример. Пусть Х=5ресЛ, где К.— поле, для начала —
алгебраически замкнутое. Как объяснялось в п. 2.1, любая
этальная схема над X изоморфна прямой сумме экземпляров X
(а категория Et(X) эквивалентна категории конечных мно-
жеств). В силу условия а) предпучок на X определяется мно-
жеством F (X) и мы не будем делать различия между пуч-
ком F и множеством F(X).
Теперь пусть поле К. — произвольное. В этом случае кате-
гория Et(X) изоморфна категории конечных G-множеств, где
G = Gal(A/A)—группа Галуа поля К. Если F — этальный
предпучок, то он сопоставляет каждой этальной Х-схеме X'
множество F(X'), и эти множества связаны друг с другом
сетью отображений. В частности, для каждого X' имеется ка-
ноническое отображение F(X)^-F (X'), а если X' — объект Га-
луа, то на F (X') действует группа Aut(X/|X), оставляя F (X)
неподвижным.
Кажие же ограничения на это хозяйство накладывает ак-
сиома пучка? Требование а) позволяет ограничиться связны-
ми X'. Пусть X'— накрытие Галуа с группой G. Тогда ак-
сиома б), примененная к покрытию X'—>Х, означает, что F (X)
отождествляется с множеством элементов F(X'), неподвиж-
ных относительно действия G. Теперь уже ясно, что задать
этальный пучок F на X — то же самое, что задать множество
F (X') (где X' пробегает накрытия Галуа X), снабженное
X'
непрерывным действием проконечной группы ла (X) =
=Gal (Л/Л).
3.3.	Категория пучков. Как в случае топологических про-
странств, с каждым этальным предпучком F на_Х можно свя-
зать ассоциированный с ним этальный пучок F. Снова это —
формальное упражнение на индуктивные пределы. Например,
если X — как в примере из п. 3.2 и Л —этальный предпучок
на X, то пучок F соответствует G-множеству limF(X/).
Морфизмы пучков (и предпучков) определяются очевид-
98
ним образом как морфизмы функторов. Таким образом, таль-
ные пучки образуют категорию (эквивалентную категорий
«этальных» Х-схем— см. предыдущий пункт). В частности, если
У->2— морфизм Х-схем, то он индуцирует морфизм пучков
hy—^hz. Стоит напомнить лишний раз, что эпиморфность мор-
физма пучков и : F-t-G не означает эпиморфность их как
предпучков, и сечение tQG(X) поднимается до сечения F лишь
локально: найдутся этальное покрытие U—^X и s£F(U), такие
что u(s) =/| U.
Пример. Пусть и : У->2 — гладкий сюръективный мор-
физм схем над X. Тогда соответствующий морфизм пучков
hy-^-hz эпиморфен. Дело в том, что гладкий морфизм всегда
обладает этальным квазисечением, тогда как глобальные (или
даже локальные по Зарисскому) сечения существуют крайне
редко.
Для этальных пучков имеют смысл понятия прямого и об-
ратного образа пучка. С прямым все очень просто. Пусть
f : X->Y — морфизм схем. Для «открытого» УбЕЦУ) его
«прообраз» f"1(I/)=A’XV также «открыт», т. е. принадлежит
Et(A’). Поэтому морфизм f можно считать «непрерывным» в
этальном смысле и для пучка F на X определить пучок f,F
на У, полагая
(Ш (Ю =^(/-‘(Ю).
Это — действительно пучок, и он называется прямым образом F
при морфизме f. Из формальных соображений для [. суще-
ствует левый сопряженный функтор обратного образа f-1. Он
переводит пучки на У в пучки на X. Если пучок G на У пред-
ставлен «этальной» У-схемой, которую мы снова обозначим
через G, то f lG представляется «этальной» У-схемой Gy<X.
у
3.4.	Слой пучка в точке. Один частный случай операции
обратного образа особенно важен. Геометрической точкой
схемы X называется морфизм и : g—где £ — спектр алгебра-
ически замкнутого поля. Слоем пучка F в такой точке назы-
вается пучок Fj==u-1(F) на Как объяснялось в примере из
п. 3.2, пучок можно отождествить с множеством, которое мож-
но описать явно.
Этальной окрестностью геометрической точки ^Х назовем
любую коммутативную диаграмму
К—*
с этальным U^~X. Этальные окрестности образуют направлен-
ную категорию, и А есть не что иное, как lim F(U) по этой
категории. Роль функтора слоя показывает следующее
Предложение. Морфизм пучков F^-G является изо-
7*	99>
морфизмом (мономорфизмом, эпиморфизмом) тогда и только
тогда, когда таковым является морфизм слоев Fr—^G^ во всех
геометрических точках
3.5.	Этальная локализация. Пусть X — геометрическая
точка схемы. Часто бывает удобно перейти к проективному
пределу по всем этальным окрестностям точки Такой предел
= в категории схем существует и называется строгой
локализацией схемы X в геометрической точке g. Это просто
спектр кольца lim/7° (77, О и)- В некотором смысле это—«наи-
меньшая этальная окрестность» g, хотя, строго говоря, морфизм
Х^-+Х не этален, а про-этален. Интуитивно Х% соответствует
понятию малой 8-окрестности для комплексной схемы. Конечно,
малость здесь относительна: любые две такие окрестности Х% и
Х%' всегда «пересекаются» над общей точкой X. Главное: как
и малый шар, схема Х% представляет гомотопически тривиаль-
ный объект. Это вытекает из следующего, по существу тавто-
логического, свойства: если U-+X\— этальное покрытие, то оно
имеет сечение.
Схема X* локальна и обладает еще одним очень важным
свойством: если	— конечный морфизм схем, то Y есть
прямая сумма локальных схем. Такие схемы и соответствующие
им кольца называются гензелевыми (в честь Гензеля, устано-
вившего это свойство для кольца р-адических чисел Zp). (Под-
робнее о гензелевых кольцах и схемах см. [48], [68], [71].)
§ 4.	Когомологии этальных пучков
4.1.	Абелевы пучки. Понятие когомологий имеет смысл для
пучков абелевых групп, поэтому мы начнем с них. Правда, Н°
определено для любого пучка множеств, а Н1 — для любого
пучка групп (имеются обобщения и на высшие Нч), но мы не
будем на это отвлекаться.
Абелевым (этальным) пучком на схеме X называется пучок
на X со значениями в категории абелевых групп. Можно также
сказать, что это пучок множеств со структурой абелевой груп-
пы. Категория абелевых пучков абелева, так что имеет смысл
говорить о точных последовательностях абелевых пучков (впро-
чем, слово «абелев» мы будем часто опускать). Последователь-
ность пучков F-^G-+H точна тогда и только тогда, когда для
любой геометрической точки § точна последовательность абеле-
вых групп	(ср. с п. 3.4). Ниже приведены два глав-
ных примера абелевых пучков:
Пример 1. Пусть А — абелева группа. Для любой схемы
X можно определить постоянный пучок Ах, полагая для UG
€Et(X) Ax(U) =Are»(t7). Этот пучок представляется Х-схемой
100
АхХ. Слой его в любой точке равен А. Чаще всего в качестве
А будет браться группа Z/nZ; случай Z менее интересен.
Пример 2. Пусть А — коммутативная групповая схема.
Тогда пучок, представимый схемой АхХ, очевидно, абелев.
Здесь главный пример: A = Gm = Spec Z[T, Т-1] (т. н. мульти-
пликативная группа). Соответствующий пучок сопоставляет
каждому f/6Et(X) группу	обратимых функций на U
и обозначается через О*.
Ядро гомоморфизма умножения на п в этом пучке (в муль-
типликативной записи — возведения в n-ю степень) 0*->(?*
обозначается через Этот абелев пучок представлен груп-
повой схемой Spec Z[T]/(Tn—1). Если п обратимо на схеме X,
пучок рп локально изоморфен постоянному пучку Z/nZ.
Лемма. Если п обратимо на X, то последовательность
абелевых пучков на X точна.
п
Дело в том, что морфизм От->От в этом случае является
этальным накрытием (см. п. 2.5 или п. 3.3). В топологии За-
рисского эта последовательность уже не точна. Она называется
последовательностью Куммера и отчасти заменяет экспонен-
циальную последовательность для комплексных многообразий.
4.2.	Когомологии. Как и у любых пучков, у этальных пучков
главный интерес представляют глобальные сечения. Группа
Г(Х) глобальных сечений пучка F на X обозначается также че-
рез H°(X,F). Функтор Н° точен слева, но не справа; чтобы кон-
тролировать эту неточность, вводят функторы Нч когомологий
как производные функторы для Н° (см. §§ 1, 4 гл. 1). Это воз-
можно в силу того, что в категории этальных абелевых пучков
много инъективных объектов. Можно также воспользоваться
этальным вариантом вялой резольвенты Годемана, когда пучку
F сопоставляется вялый пучок ПЕе, где § пробегает точки X.
Ъ
Главное то, что для любой точной последовательности абелевых
пучков
0-*А^В->С^0
имеется длинная точная последовательность когомологий
о^н°(х, А)-^-н°(х,в)—^н°(х, су-^нцх, А)-> .. .
... ->-Нч(Х, А)^Нч(Х, В)->-Нч(Х, С)^Нч^(Х, А)->-.. .
Аналогично определяются функторы высших прямых образов
Rqf* для любого морфизма схем f : X—>У. Как в § 4 гл. 1, имеет-
ся спектральная последовательность Лере
ЕР' ч^нр{У, Rvf^F^H^tX, F).
Когомологии редко вычисляют, пользуясь их определением,
хотя в конечном счете к этому все можно свести. Ниже мы при-
101
ведем два важных случая, когда этальные когомологии удается
свести к известным ранее объектам.
4.3.	Когомологии Галуа. Пусть X — простейшая схема —
спектр поля А. Как объяснялось в примере из п. 3.2, абелев пу-
чок F на X — это то же самое, что абелева группа А, снабжен-
ная действием группы Галуа G = Gal(K|K) поля Л. При этом
H°(X,F) соответствует группе инвариантов AG, или HomG(Z, А),
где группа Z берется с тривиальным действием G. Довольно
ясно тогда, что H<i(X,F) совпадают с т.н. когомологиями
G-модуля А—Нч (G, А) (см. [75], а также § 4 гл. 3). Заметим,
что и тут вместо инъективной резольвенты G-модуля А берут
обычно проективную резольвенту тривиального G-модуля Z.
Стандартная форма такой резольвенты как свободной абелевой
группы над симплициальным G-множеством
{*} G^zG X G<£...
вызывает ассоциации с комплексом «универсального покрытия»
В частности, №(G, А) состоит из 1-коциклов по модулю
1-кограниц. 1-коцикл — это отображение q>: G—>А, для которого
q(gg') =£<₽(g')H-<P(£) Если <p(g)=ga—а для некоторого а&А,
коцикл называется кограницей. Например, если группа G три-
виально действует на A, H^G.A) совпадает с группой
Hom(G, А) групповых гомоморфизмов G в А.
Так как группа Галуа G — проконечная, для тривиального
G-модуля Z Н1 (G, Z) =Hom(G, Z) =0.
4.4.	Когомологии когерентных пучков. По аналогии с GAGA
можно ожидать, что когомологии когерентных этальных пучков
Fet, определенных в примере 2 из п. 3.1, тесно связаны с кого-
мологиями когерентного пучка F в топологии Зарисского. На
самом деле, они просто совпадают, причем, в отличие от GAGA,
для любых схем, а не только полных.
Теорема. Пусть F — квазикогерентный пучок в топологии
Зарисского на схеме X. Тогда имеются канонические изомор-
физмы
Нч(Х2ат, F)ZHi(Xel, Fet).
Достаточно проверить это для аффинной схемы X, а за-
тем— для любого этального покрытия U—^X. Пусть X=SpecA,
G = SpecB, a F соответствует A-модулю М. Тогда когомологии
для этого покрытия превращаются в когомологии комплекса
М-> M®BzXM®B®B^.. ..,
ацикличного, как уже говорилось в п. 1.2 гл. 2.
Таким образом, этальные когомологии когерентных пучков
не дают ничего нового по сравнению с топологией Зарисского,
и мы можем все внимание переключить на «дискретные» пучки.
Следствие. Пусть X'— расширение Галуа поля X с груп-
пой Галуа G. Тогда H<i(G, X') =0 при q>0.
102
Впрочем, это видно также из того, что X' как G-модуль
изоморфен групповой алгебре K[G'] ([75]).
4.5.	Торзеры. Элементы первой группы когомологий Н1 до-
пускают геометрическую интерпретацию как торзеры, что часто
помогает при их вычислении или использовании. Объясним, что
такое торзер. Пусть для простоты дана конечная группа А.
Скрученная форма постоянного пучка Ах называется главным
А-накрытием или А-торзером. Иначе говоря, это — Х-схема Z
с действием группы А, которая локально (в этальной топологии)
изоморфна тривиальному накрытию со слоем А, т. е. сущест-
вует этальное покрытие U—>~X такое, что ZXG изоморфно АХG.
х
Можно показать, что в этом случае Z также является эталь-
ным покрытием X и что в качестве U можно взять как раз Z.
Из § 2 можно понять, что для связной схемы X множество
А-торзеров (с точностью до изоморфизма) отождествляется с
множеством групповых гомоморфизмов Нот (л ДА), А) (ср.
также с п. 4.3). Если группа А абелева, последнее множество
также является группой и изоморфно Н1 (Xet, Ах)-
Аналогичные утверждения остаются верными, когда группа
А заменяется а) любой аффинной схемой групп, б) любым абе-
левым пучком ([68]).
Один частный случай особенно важен — торзеры пучка (У*
или схемы групп Gm- Мы знаем, что в топологии Зарисского
группа Пикара Pic X интерпретируется как Я1 (Xzar, (Ух*)- Ока-
зывается, это же верно для этальной топологии, т. е.
H'(Xet, (7*)=PicX.
Это — снова формальное упражнение на тему спуска, и мы
ограничимся одним важным случаем, когда X — спектр поля X-
В этом случае предыдущее утверждение превращается в
утверждение (известное как теорема Гильберта 90) о триви-
альности группы Hl(G, X*), где X—конечное расширение Га-
луа с группой Галуа G.
В самом деле, пусть дан 1-коцикл	X* - Для 0бЯ обра-
зуем «резольвенту» Р = 2 <P(g)-g(0)- Тогда для «общего» 0 эле-
*6°
мент р отличен от нуля. Легко проверить, что g([J) =<p(g-1)P>
т. е. q>(g) = р/ф([}) и ф — кограница.
4.6.	Теория Куммера. Применяя когомологии к точной после-
довательности Куммера из примера 2 в п. 4.1 и пользуясь дан-
ной в п. 4.4 интерпретацией Н1(&*), мы получаем точную по-
следовательность
0-^рл(Х)-+№(Х, <У*)П->Н°(Х, (?*)-+И1 (X, |хл)->-
^PicX^-PicX^772(X, рл)^/72(Х, (У*),
103
Предположим теперь, что X— схема над алгебраически
замкнутым полем К (на самом деле, нужно только, чтобы в по-
ле К существовали корни n-й степени из 1) и что п обратимо
в К. Тогда пучок цп изоморфен T-lnT. и точна последователь-
ность групп
0^Я°(Х,.(7*)/Я0(Х, <У*)^Н\Х, pn)->Pic(X)n->0.
Иначе говоря, любое этальное накрытие X со слоем Z/nZ по-
лучается конструкцией, приведенной в п. 2.5. Если к тому же
X-—полное многообразие, то Н°(X,(?*)= К*, и мы получаем
Н1 (X, цп) ^Pic (X) „ = Ker (Pic X 2 Pic X).
4.7.	Ацикличность конечных морфизмов. Пусть f ; X-^Y —
морфизм схем, F—абелев пучок на X, —геометрическая
точка. Пользуясь понятием этальной локализации, можно дать
описание слоя пучка Rqf*F в точке А именно, пусть Y=YZ—
строгая локализация схемы Y в точке § (см. п. 3.5). Тогда
F),	(*)
г
где F — «ограничение» пучка F на X х Y- В самом деле, левая
Y
часть есть индуктивный предел когомологий Нч (X X V, F),
когда V пробегает этальные окрестности точки £->У.
Теорема. Предположим, что морфизм f : X—>-У конечен.
Тогда Rqf*F=O при q>0.
Для доказательства надо показать, что для любой геомет-
рической точки £->У слой (^3)*Е)г тривиален. В силу(*) схему
Y можно считать строго локальной. Но тогда по свойству ген-
зелевости, приведенному в п. 3.5, схема X является прямой сум-
мой конечного числа строго локальных схем, ацикличных в
этальном смысле.
Слои пучка f*F также легко описать. Из этого можно полу-
чить, что нильпотенты (и конечные радикальные расширения)
не сказываются на этальных когомологиях, так что всюду далее
можно ограничиться приведенными схемами.
§ 5.	Когомологии алгебраических кривых
В этом параграфе будут рассмотрены этальные когомологии
простейших алгебро-геометрических объектов — кривых. Этот
случай очень важен потому, что к нему, пользуясь различными
ухищрениями, вроде расслоения на подмногообразия меньшей
размерности, удается свести многие вопросы. Всюду в этом па-
раграфе k обозначает алгебраически замкнутое поле, п—це-
лое число, обратимое в k, X — гладкую неприводимую кривую
над k.
104
5.1.	Стратегия подхода. Нас будут интересовать когомологии
кривой X с коэффициентами в пучке Z/nZ. Однако придем мы
к ним в результате обходного маневра. Пусть -p = Spec k(X) —
общая (не геометрическая) точка X. Сначала изучаются кого-
мологии точки ц с коэффициентами в пучке С*. Здесь примени-
мы методы когомологий Галуа; главный результат:
Теорема 1. Нч (ц, С?*) =0 при <?>0.
После этого мы переходим уже к кривой X, но все еще с
пучком б?*;
Теорема 2. НЦХ, О*) =0 при q> 1.
После этого все довольно быстро завершается с помощью тео-
рии Куммера.
Поясним, чем вызван такой маневр. Мы хотим получить
этальный аналог того топологического факта, что открытая кри-
вая, по существу, одномерна (переход от X к общей точке ц
дела не меняет). Могло бы показаться даже, что /7<г(т])=0 при
q> 1 не только для пучка Z/nZ, но и вообще для любого пучка
на г). Но это уже неверно; например, из точной тройки 0->
->Z->Q->Q/Z->0 видно, что №(ц, Z) —Н1 (ц, Q/Z)—очень боль-
шая группа. Впрочем, мы уже понимаем, что разумные ответы
можно ждать лишь от конечных коэффициентов.
Для вычисления Д®(ц, Z/raZ) естественно обратиться к тео-
рии Куммера, что и приводит к теореме 1. Однако, имея ее,
удобно возвращаться не через Дд(ц, Z/nZ), а через Нч(Х, С?*).
5.2.	Теорема Тзена. Пусть K. — k(X) —поле рациональных
функций на кривой X и L — конечное расширение Галуа поля
А. Теорема 1 из п. 5.1 будет доказана, если мы проверим, что
для любого такого расширения
№(Gal(L/K), L*) =0 при <?>0.
Мы уже видели это при q — 1 (п. 4.5). Довольно формальные ре-
дукции ([15], [75]) дают, что достаточно проверить обращение
в нуль «модифицированных по Тейту» нульмерных когомологий
H°(Ga\{LlK\ L*)=K* IN L*,
где N: L-+K.— отображение нормы. Сюръективность N в на-
шем случае следует из такого специфического свойства полей
функций на кривых, как квазиалгебраическая замкнутость (см.
§ 1, а также [14], § 11). В самом деле, пусть d=[L : К]. Тогда
уравнение N(x) =axod— однородное степени d от d+l перемен-
ных х0, Xi..Ха и, в силу квазиалгебраической замкнутости,
имеет нетривиальное решение.
Тем самым теорема 1 из п. 5.1 свелась к следующей теореме
Тзена:
Теорема. Если поле К имеет степень трансцендентности 1
над алгебраически замкнутым полем, то оно квазиалгебраичес-
ки замкнуто.
105
Поясним, как этот результат доказывается. Рассмотрим сна-
чала случай чисто трансцендентного расширения K = k(T).
Пусть F == 2ат (Т) Хт— однородный многочлен степени lml<.d,
т
где т= (та,..., md) —мультииндекс. Умножив F на знаменате-
ли От, можем считать ат(7) многочленами от Т некоторой сте-
пени Будем искать решение Х, = Х,(Т), /=0,.. ., d, в виде
многочленов степени N от Т методом неопределенных коэффи-
циентов. 7(Х(Т))—многочлен степени A-j-dN, коэффициенты
которого — многочлены от (d-hl) (ХЦ-1) неопределенных коэф-
фициентов многочленов Хо,..., Xd. Приравнивая нулю коэффи-
циенты F(X(T)), мы получаем A+dM-f-'l уравнений от
(d-pi) (JV-j-1) переменных. Они имеют, конечно, тривиальное
решение; наличие же нетривиального решения следует из под-
счета размерностей (см. [5], гл. 2,	§3): при N^A
(d-H) (W+l)>cW-H4+l.
Пусть теперь К — расширение поля k (Г) степени г и
..., ег — базис К над k (Г). Представим переменную Xt как
Г
2 где Ytj мы ищем в поле k (Г). Уравнение F (Х) = 0
/-1
приобретает в этом случае форму однородного уравнения
^к/й(г)7'(2У<3ц)) =0 над полем k(T). Степень его равна r-degf,
переменных (deg F-|-l) и по предыдущему оно имеет ре-
шение.
5.3.	Когомологии пучка О*. Пусть теперь х — замкнутая
(она же —геометрическая) точка кривой X. Сравним когомоло-
гии X и Х\{х} с коэффициентами в пучке О*. Для этого
пусть X обозначает строгую локализацию X в точке х. После-
довательность Майера — Виеториса для покрытия X «открытыми»
Х\{х) и X дает точную последовательность -
НЧ~'(Х\ {х}) Fi« (X) -> HQ (X \ {х}) ®Hq (X) -> Н" (X \ {х})
(коэффициенты везде б?*). Так как A'\{x} = SpecK, где
К— поле частных схемы X, по той же теореме Тзена
№(Х\(х}, (7*) = 0 при <?>0. Схема X ациклична, поэтому
при q > 1 мы получаем изоморфизм
№ (Л\	(Х\{х), б?*).
Выбрасывая так точку за точкой, в пределе получим изомор-
физм
№(Х,б?*)ДДз(п,(7*)
при <7>J. Теперь теорема 2 из п. 5.1 следует из теоремы 1.
106
5.4.	Когомологии полной кривой. Пусть теперь X — полная
кривая. Теория Куммера (п. 4.6) дает точную последователь-
ность
0-+/Р(А', u^-^Pic A^Pic A'->772(X, цп)^0,
а также обращение в нуль Нч(Х, цта) при q>2. Чтобы дальше
идентифицировать Я1 и Н2, нам нужно напомнить некоторые
факты о группе Пикара кривой.
Первый факт — точность последовательности
deg
0->- Pic0 X Pic А-> Z 0.
Второй — то, что группа Pic°X классов дивизоров степени 0
отождествляется с группой рациональных точек J(k) некоторого
абелева многообразия J — т.н. якобиана кривой X. Размер-
ность многообразия J равна g — роду кривой X, т. е.
dim Н1 {X,	Чтобы несколько рассеять таинственность,
заметим, что по теореме Римана — Роха (п. 4.1 гл. 2) любой
дивизор степени g эквивалентен эффективному дивизору, т. е.
сумме точек Рг	Pg. Зафиксировав точку РоёХ, мы
g
получаем сюръекцию X (£)г-* Pic°X, (р^, .. ., /\)>->	(Р,—Ро).
i=i
Теперь уже легко поверить, что некоторое факторпространство
многообразия Xs имеет своими точками группу Pic°X; в силу
полноты Xs это многообразие J — также полное ([74]).
п
Рассмотрим гомоморфизм умножения на п, J J. Дифферен-
циал этого морфизма — тоже умножение на п, поэтому он
п
биективен. Значит, морфизм J J—этальный и, в силу пол-
ноты J, сюръективный. Отсюда мы получаем
Н2(Х, р,я) = Coker (Z-> Z) = Z//zZ.
п
Ядро гомоморфизма	— конечная
(ZlnZ'fs, как видно из теории абелевых
Подведем итог вычислений:
Т е о р е м а. Пусть X — полная гладкая
Н^Х, рл) =
ця—Z//jZ
Pic° (Х)я—(Z/zzZ)2^
Z/«Z
группа, изоморфная
многообразий ([71]).
кривая. Тогда
при 7 = 0,
при 7 = 1,
при 7 = 2,
при 7 > 2.
0
5.5.	Двойственность на полной кривой. По-прежнему X —
полная гладкая кривая. Умножение в когомологиях дает спа-
ривание
Нч(Х, ^п)®Н2-ч(Х, Z/nZ)^№(X, цп) = Z/nZ.
107
Теорема. Для полной гладкой кривой X это спаривание
совершенно и отождествляет Н2~ч(Х, Z/nZ) с группой
Нот(Д9(Х, pn), Z/nZ).
Главный нетривиальный случай: <7=1. Нужно убедиться, что
любой гомоморфизм а : Н1 (X, pn)->Z/nZ определяет некоторый
элемент группы Hl (X, Z/nZ), т. е. (Z/nZ)-Topsep над X. Гео-
.	п
метрическая конструкция здесь такая. Морфизм	можно
рассматривать как торзер над J со структурной группой
J(X, цп). Применение гомоморфизма а дает (Z/nZ)-
торзер над J; остается сделать замену базы <р :	ср(Р)—
класс (Р—Ро). Невырожденность спаривания следует из треть-
его факта о группе Пикара кривой: <р индуцирует изоморфизм
<р* : Pic°/->Pic°JV = J
(автодуальность якобиана).
5.6.	Случай открытой кривой. Он легко получается из пол-
ного случая в духе п. 5.3. Из делимости Pic X для неполной кри-
вой X сразу получается Н2(Х, цп)=0. Группа 1Р(Х, цп) являет-
ся свободным (Z/n-Z)-модулем с 2g"-|-s—1 образующими, где
s>l — число «проколов».
При рассмотрении открытых многообразий полезны бывают
т. н. когомологии с компактными носителями Нс (X, ц„).
Подробнее о них будет сказано в следующем параграфе, а
пока будем их понимать как Hq(X, jtp„), где X— гладкая
компактификация кривой X, а пучок J,y.n получен из у,п,х
продолжением нулем, так что точна последовательность пучков
на X
П,Л
Из нее легко получается, что
а)	Нгс (X, уп)^Н2(Х, pQ^ZJnZ,
б)	Н°с (X, рл) = 0 (если 5 = X \ X не пусто),
в)	точна последовательность
Пользуясь п. 5.5, можно показать, что и -произведение устанавли-
вает совершенное спаривание
Hqc(X, \^®Н2~« (X, ZjnZ)-+ Н2С(Х, \in) = ZlnZ.
В общем, все обстоит как в комплексном случае. (Подробнее
см. [50], [68].)
§ 6.	Фундаментальные теоремы
Всюду далее под схемой понимается алгебраическая схема
над фиксированным полем k.
108
6.1.	Конструктивные пучки. Разумные ответы в этальной тео-
рии получаются только для «конечных» пучков, вроде Z/nZ.
Уточним требование конечности.
Назовем пучок множеств F на схеме X локально постоян-
ным, если он становится постоянным пучком с конечными слоя-
ми после замены X некоторым этальным покрытием. 7/->-Х
В этом случае пучок F представляется некоторым этальным на-
крытием Z-+-X или задается представлением Л1 (X) на конеч-
ном множестве.
Конструктивные пучки определяются индуктивно. Пучок F
на схеме X конструктивен, если он локально свободен на неко-
тором непустом открытом по Зарисскому подмножестве UczX и
конструктивен на дополнении X\U. Из определения сразу вид-
но, что все слои конструктивного пучка конечны, но этого ма-
ло — нужна еще конструктивная зависимость от точки § числа
точек в слое F5. Можно, наконец, сказать, что конструктивные
пучки представляются квазиконечными (неотделимыми) схе-
мами над X.
Класс конструктивных абелевых пучков — достаточно гиб-
кий, чтобы в нем было удобно работать. Он замкнут относи-
тельно расширений, обратных и прямых образов.
6.2.	Теорема о замене базы. Пусть f: X-*~Y — морфизм
схем, F— абелев пучок на X, — геометрическая точка У. Тео-
рема о замене базы сравнивает слой пучка (7?’/*F)%с когомоло-
гиями Нч (Хг, К5), где Л'Е = Л'Х^ — «слой» морфизма f над точ-
кой g, a F^ — индуцированный на пучок.
Теорема. Пусть морфизм f — собственный, а пучок F —
конструктивный. Тогда канонический гомоморфизм
f.)
является изоморфизмом для всех <?>0.
Заметим, что для обычных топологических пространств ана-
логичное утверждение верно для любого пучка ([38]). В эталь-
ном случае это же верно для конечных морфизмов (п. 4.7); для
произвольных собственных морфизмов приходится дополнитель-
но требовать конструктивность F.
Скажем кратко о доказательстве (подробнее см. [50], [49]).
Пользуясь леммой Чжоу и раслаивая X гиперплоскими сече-
ниями, можно все свести к случаю, когда слои морфизма f
имеют размерность ^1. Пользуясь ацикличностью конечных
морфизмов и заменяя, если нужно, X конечным накрытием,
можно считать F=Z/nZ. Заменяя У строгой локализацией в g,
можно считать схему У строго локальной и доказывать биек-
тивность гомоморфизмов
Нч{Х, Z/nZ)-+Hv(Xt, Z/nZ).
Более того, формальные гомологические редукции позволяют
ограничиться доказательством биективности лишь при q = 0, а
109
при <7>0 нужно устанавливать только сюръективность. В силу
п. 5.4 достаточно рассмотреть случаи <7=0, 1, 2, которые раз-
бираются отдельно с привлечением геометрии.
Случай <7=0. Для любой схемы X Н°(Х, Z/nZ) =
= (Z/nZ/^W, где ло(А’)—множество компонент связности.
Поэтому нужно установить биективность отображения
по(ХЕ)—>л0(X).
В силу собственности / любая компонента X пересекает замк-
нутый слой ХЕ. Поэтому остается показать, что слой ХЕ связен
для связной схемы X. Пользуясь разложением Штейна морфиз-
ма ([5], гл. 2, § 3), можно считать f конечным. Теперь все сле-
дует из основного свойства гензелевых колец (п. 3.5).
Случай <7=1. По предыдущему X и Х5 можно считать
связными. Элементы №(.,., Z/nZ) классифицируют (Z/nZ)-
торзеры, поэтому достаточно проверить, что любое этальное на-
крытие X5'->-Xs продолжается до этального накрытия Х'->Х.
Делается это так. Сначала накрытие (беспрепятственно)
продолжается на любую инфинитезимальную окрестность слоя
Х6 в X. По теореме Гротендика об алгебранзации формальных
схем ('[47]) отсюда получается этальное накрытие, но не совсем
X, а схемы Х®аА, где А— пополнение локального кольца Д =
= О’у,е. Наконец, применяется теорема М. Артина об аппрок-
симации ([16]).
Случай <7 = 2. Надо проверить сюръективность
Н2(Х, Z/nZ)—>№(Хг, Z/nZ). Теория Куммера дает морфизм
Pic X—(X, Z/n.Z) для любой схемы X. Из п. 5.4 легко полу-
чить, что для полной кривой X; это — сюръекция. Поэтому
остается доказать сюръективность отображения ограничения
Pic X-^Pic Х5.
Т. е. надо продолжить дивизор Картье <0$ на ХЕ до дивизора
Картье D на X. Можно считать, что сосредоточен в одной
точке кривой ХЕ. Продолжая на X локальное уравнение диви-
зора Дг, мы получим дивизор D на X, который высекает на Х5
дивизор Di плюс еще что-то, расположенное далеко. Теперь на-
до воспользоваться гензелевостью Y и взять ту компоненту D,
которая проходит через Z)E.
6.3.	Когомологии с компактными носителями. Пусть F—
конструктивный пучок на схеме X. Вложим X как открытую
подсхему в полную схему X, J-.X^X. Обозначим через j\F
продолжение F нулем на Х\Х; иначе говоря, ограничение J<F
на X равно F, а на Х\Х — нулевой пучок. Ясно, что пучок
j\F также конструктивен.
Определение. Г руппы Н1 (X, F) = Нч (X, j ,F) называются
группами когомологий с компактными носителями..
110
Для полной схемы X очевидно НЧС(Х, F) = Нч (X, F). В общем
случае, однако, совсем не очевидно, что определение не зависит
от выбора компактификации Хсг.Х. Покажем это. Пусть дана
другая компактификация j' :Х-+ X'; как обычно, можно считать,
что — где f-.X-^-X' — (собственный) морфизм. В силу
спектральной последовательности Лере достаточно проверить,
что f*(J'F) = J\F и Rgf*(hF) = Q при <7>0- Обе проверки
можно делать поточечно для точек X'-, с помощью теоремы
из п. 6.2 они становятся тривиальными. Это доказывает незави-
симость определения Нчс (X, F} от компактификации.
Компактные когомологии часто удобнее обычных благодаря
следующему свойству «аддитивности» (ср. с п. 1.4 гл. 3): если
i: Y-+X— замкнутое вложение, то точна последовательность
.. .->Я*(Х\Г, F)-^H9(X, F)^H1(Y, i*F)-+
->H9C+1 (X\Y, F)-> ...
j f
Аналогично, если f:X-+S—морфизм и	— его
разложение на открытое вложение j и собственный морфизм /,
то можно определить пучки
R4 f i(F} = Rq f * (J\F).
Снова определение не зависит от выбора разложения, если пу-
чок конструктивен. Уже для любого морфизма f верна теорема
о замене базы
(RifF^H^X^F^
и имеется спектральная последовательность
Ep2’q^Hpc(S, RqfF)=>Hpc+q(X, F);
6.4.	Теорема конечности. Пусть f : X-+S — морфизм конечно-
го типа и F — конструктивный пучок на X. Тогда пучки Rif \F
конструктивны.
Стандартные редукции, как в п. 6.2, позволяют считать, что
f—расслоение на полные кривые и F — Z/nZ. Заменяя S откры-
тым подмножеством, можно считать f еще и гладким. Но тогда
когомологии всех слоев одинаковы (см. теорему из п. 5.4).
Аналогичное рассуждение показывает, что Rif F=0 при
q>2d, если размерности слоев f не превышают d.
Следствие. Пусть X — алгебраическая схема над алгеб-
раически замкнутым полем. Тогда группы Hci(X,F) конечны
при всех q и равны нулю при <?>2 dimX.
Замечание. Аналогичные утверждения верны и для
обычных (некомпактных) когомологий, хотя доказательства —
более изощренные ([50], [49]). Более того, если схема X аф-
финна, то Hi{X, F)=0 уже при t/xiimA'. Это — этальный ана-
111
лог следствия из п. 2.3 гл. 3; как и там, вместе с двойствен-
ностью этот факт влечет слабую теорему Лефшеца о гипер-
плоских сечениях (п. 7.7).
6.5.	Сравнение с классическими когомологиями. Предыду-
щие результаты показывают, что этальные когомологии конеч-
ных пучков «похожи» на классические. Для комплексных схем
это можно уточнить. Пусть F — конструктивный пучок на С-
схеме X, и Е(С)—соответствующий пучок на Х(С). Тогда
НЧ (X, F) = НЧ (X (С), F (С)).
Аналогичное равенство есть и для обычных когомологий Нч.
Доказательство сводится, как и раньше, к случаю гладких пол-
ных кривых и пучку Z/nZ, где верна теорема из п. 5.4.
6.6.	Специализация и исчезающие циклы. При изучении
комплексных многообразий важную роль играет монодромия
([30]). Ее определение основано на том, что гладкий морфизм
f : X-^S с топологической точки зрения локально устроен три-
виально. В этальной топологии «одинаковости» слоев нет и
можно лишь надеяться на «одинаковость» когомологий слоев.
Обсудим проблему сравнения когомологий близких слоев.
Напомним сначала, как это делается в классическом слу-
чае. Пусть f : X-^S — морфизм С-схем, собственный и гладкий
всюду, кроме слоя над точкой s0GS. Выбрав путь Г из точки
s6S в точку So, можно построить отображение специализации
Г : X(C)^-XSo (С), определенное с точностью до гомотопии. Со-
ответствующее отображение в когомологиях Г* е Н* (А *)->
->H*(XS) также называется специализацией. В случае гладкого
семейства специализация — изоморфизм; в общем случае неко-
торые циклы могут исчезать и для их выявления надо прини-
мать в расчет высшие прямые образы отображения Г: ХДС)—>
(С). Для этого поступают так. Пусть х — точка слоя Xs
и В — малый шар в Х(С) вокруг х. Для точек s6S, близких к
so, пересечение ВПХДС) не зависит от выбора В и s и назы-
вается многообразием исчезающих циклов. Его когомологии и
есть слои пучков
Это же можно проделать в абстрактной ситуации и даже, в
каком-то смысле, более естественно. Напомним, что аналогом
малого шара является строгая локализация (п. 3.5). Мы огра-
ничимся далее геометрической ситуацией, считая поле k алгеб-
раически замкнутым, а точки s06S и х замкнутыми, т. е. геомет-
рическими. Соответствующие локализации обозначим через
S' и X.
хРХ ч- X X X Л
4	|	| s
s06S ч-S ч-т]
112
Что касается «близкой» точки s6S, то в качестве нее удобнее
всего взять общую точку ц схемы S. Пусть ц — геометрическая
точка над ц.
Определение. Специализацией, (или путем) из точки я
в точку s0 называется задание S-морфизма Многообрази-
ем исчезающих (в точке х) циклов называется схема Х— =
=xxjj.
Заметим, что схема X- над полем k (л) — не алгебраическая,
а лишь предел алгебраических схем, но это не очень существен-
но. Приведенные когомологии схемы X— называются исчезающи-
ми (в точке х) когомологиями. Если они отсутствуют, т. е.
если Н°(Х—, Z/nZ) = Z/nZ, тогда как Нч (A--, Z//zZ)=O при
q > 0, то морфизм f называется локально ацикличным в точке х.
6.7.	Ацикличность гладких морфизмов. Локальная тривиаль-
ность гладкого морфизма заменяется следующим утверждением:
Теорема. Г ла дкий морфизм f'.X-^S локально ацикличен.
Утверждение локально в этальной топологии, поэтому можно
считать, что база S —строго локальная схема и Х = А$; индук-
ция позволяет считать 2V = 1. Поэтому все сводится к следую-
щей ситуации: пусть А — локальное строго гензелево кольцо,
А {Г} — (строгая) гензелизация кольца многочленов А [Г],
S = SpecA, Х = Spec А {Г}; нужно проверить ацикличность слоя
X-+S над ц—геометрической общей точкой. Слой X-— проал-
гебраическая кривая, поэтому HQ (ХА =0 при <?>1; остается
убедиться, что Н°(Х—, Z/nZ) = Z/nZ и что Н1 (X—, Z/nZ)=O
(п предполагается обратимым в А).
Случай №. Здесь надо показать, что слой X— связен. Этот
слой равен Spec А{Г}®>К, где К — алгебраическое замыкание по-
ля частных К кольца А. Поле К есть предел конечных расши-
рений К', так что достаточно проверить целостность кольца
А^Г}®^'. Пусть А' — целое замыкание А в поле К'; это — снова
гензелево кольцо. Так как А{Т}®А' = А'{Т}, можно, заменяя А
на А', считать кольцо А нормальным и доказывать целостность
кольца А{7'}®/С. Теперь уже все ясно: кольцо А [Г], как и его
этальные расширения, нормально и целостно; значит, таким же
является и его локализация А{Т}®К.
Случай Н1. Нам нужно проверить, что у X— нет нетриви-
альных (Z//zZ)-Top3epOB. Пусть такой торзер есть. Заменяя К
на К', а А на А\ как выше, можно считать, что такой торзер
имеется уже в схеме An = Spec(A{7'}®/<). По теории Куммера
8—2004	6	113
такое накрытие задается уравнением Zn=g, где g€-A{7’}. Оно
не разветвлено над Хч, поэтому g=ti-a, где и обратимо, а а£А.
Если теперь заменить А на А'=А[у/~а], мы получим нужную
нам тривиализацию накрытия.
(Снова подробности см. в [50], [49].)
6.8.	Этальная монодромия. Для краткости обозначим через
Л пучок или группу ZJriL, п обратимо в k. Пусть f : X—>~S —•
собственный гладкий морфизм; именно в этой ситуации опре-
делялась классическая монодромия. Ее этальным аналогом яв-
ляется утверждение о локальной постоянности пучков Rqf*(Ax)
на S.
Теорема. В описанной выше ситуации любая специализация
т]-> s на S дает изоморфизм Hq (Xs, (А--, Л).
Снова можно считать S строго локальной схемой. Образуем
декартову диаграмму
8'
X--»X+-XS
! Л' I
1]—4-{s}.
По теореме о замене базы из и. 6.2 Н* (Xs,	(X, Л), так
что остается убедиться в биективности ъ'*:Н* (X, Л)-> Н* (X—, Л).
Если воспользоваться спектральной последовательностью Лере,
для этого нужно убедиться, что е\Л=Л и что /?‘?е'Л = 0 при
<7>0. Но слои этих пучков как раз и есть исчезающие когомо-
логии, нулевые по теореме из и. 6.7.
Похожим образом можно исследовать поведение когомоло-
гий слоев при вырождении. Единичный диск OCAczC класси-
ческой теории заменяется гензелевой стрелкой S=Spec&{7};
пунктированный диск Д* = Д\{0}—на S* = S\{0} =
= Spec ^{ТЭДТ-1]. Фундаментальная группа iti(A*)=Z заме-
няется на лДЗ*); с точностью до р-кручения она изоморфна Z.
Мы отсылаем к [30], где излагается теория Пикара—Лефшеца
простейших квадратичных вырождений, нужная для когомоло-
гического исследования пучков Лефшеца.
§ 7.	Z-адические когомологии
В этом параграфе поле k алгебраически замкнуто; схема —
алгебраическая схема над k. Построенные в предыдущих разде-
лах когомологии с коэффициентами в пучках Z/nZ дают ко-
нечную аппроксимацию классических целочисленных когомоло-
гий. Чтобы сделать аппроксимацию более завершенной, перехо-
дят к пределу при п—>оо.
7.1.	Z-адические пучки. Зафиксируем простое число Z, обра-
тимое в поле k (или отличное от характеристики поля k). Про-
114
ективная система этальных пучков на схеме X
Z/ZZ+-Z/Z2Z*- ... *-Z/ZnZ^ ...
дает проективную систему групп когомологий
№ (X, Z/ZZ)(X, Z/Z"Z)^ ...
Ее предел lim Hq {X, 7.llnZ} символически обозначается через
п
Hq (X, Zz) и называется группой l-адических когомологий X.
Заметим, что это — не этальные когомологии пучка Zz на X I
Z-адические когомологии—модули над кольцом Zz = lim Z/Z"Z це-
лых Z-адических чисел.
Кольца такого вида, построенные Гензелем, играют важную
роль в алгебраической теории чисел. Они связывают нулевую и
положительную характеристики. В самом деле, поле вычетов
Zz//Z,=Z/ZZ— конечное простое поле из I элементов, тогда как
поле частных Qz=Zz[Z~‘]—поле Z-адических чисел — имеет ну-
левую характеристику. Мы уже пользовались этим в п. 6.3
гл. 2.
Вернемся к когомологиям. Удобно работать не только с по-
стоянными коэффициентами вроде Z;, но и со скрученными их
формами. 1-адическим пучком (или пучком Zi-модулеи) назы-
вается проективная система конструктивных пучков
F=(F^F2^ ...^Fn^ ...).
При этом каждый пучок Fn — это пучок модулей над Z//"Z, а
Fn должен совпадать с Fn+1/lnFn+1=Fn+i® (Z/lnZ). Когомоло-
гиями такого пучка F называются Zj-модули
FIq (X, F) = lim Hq (X, F„).
<—
n
Если все Fn локально постоянны в смысле п. 6.1, Z-адический
пучок F также называется локально постоянным или гладким',
такой пучок задается представлением фундаментальной группы
Л1 (X, х) в слое Fx как Zj-модуле.
Кроме постоянного пучка Z;, важную роль играет пучок
=	• • -НМ *-•••)
Он изоморфен (не канонически) пучку Z;. Подобная щепетиль-
ность бывает полезной, если хочется контролировать действие
группы Галуа (см. п. 7.9). Тензорная степень Zz(l) обозначает-
ся через Z;(m).
Часто когомологиями и пучками интересуются лишь с точ-
ностью до кручения. В этом случае говорят также о Qi-пучках,
а когомологии обозначают через Нч(Х, Q;). Мы покажем, что
эти когомологии удовлетворяют формальным требованиям из
п. 1.7 для когомологий Вейля. Как правило, нужные свойства
8*
115
легко получаются из аналогичных свойств для конструктивных
пучков.
7.2.	Конечномерность. Когомологии с коэффициентами ZllnZ
довольно регулярно зависят от п и поэтому в пределе также
получаются разумные вещи.
Предложение. Пусть дан пучок Zz-модулей F—(Fn) и
каждый Fn локально свободен как пучок над ZllnZ. Тогда
Zz-модули Hi(X,F) имеют конечное число образующих и выпол-
няется формула универсальных коэффициентов
О-з-№(Х, F)®(ZHnZ)^Hq(X, Fn)-+Hq+1(X, F),n-+0.
Аналогичное утверждение имеет место для когомологий с
компактными носителями. Размерность (^-пространства
Нч(Х, Qz) называется <?-м l-адическим числом Бетти и обозна-
чается через Ь«(Х). Как мы увидим позже, числа Бетти не за-
висят от I (и совпадают с топологическими числами Бетти для
схем над С).
7.3.	Формула Кюннета. Пусть X и Y—полные многообразия.
Тогда
Я* (X X У, Qz) = /7* (X,	(У, Qz).
Qz
Аналогичная формула верна, когда вместо коэффициентов Qz
даны Qz-пучки F на X и G на Y. Можно также отказаться от
предположения полноты X и Y, работая с компактными кого-
мологиями.
Конечно, эта формула получается из аналогичной формулы
с конечными коэффициентами A = ZllnZ. Здесь существенны два
шага. Пусть p:XxY-+X— проекция; чтобы воспользоваться
спектральной последовательностью Лере, надо знать пучки
RFp*X Первый шаг: по теореме о замене базы из п. 6.1 они
равны Xz®H4(Y, А). Второй шаг: как от коэффициентов А пе-
рейти к коэффициентам //«(У)—типичная задача универсаль-
ных коэффициентов.
7.4.	Двойственность Пуанкаре: ориентация. В комплексном
случае двойственность на гладком ^-мерном многообразии X
и даже фундаментальный класс, т. е. изоморфизм Z'^Hza'1 (X)
или Hcd(X)=iZ, зависели от выбора ориентации X (С), в конечном
счете — от выбора ориентации С. Последняя определяётся выбором
одного из корней —1 или, более вычурно, выбором изомор-
физма группы Q/Z с группой корней из 1.
В случае кривых мы также видели (п. 5.6), что изоморфизм
между Нс(Х, Z/nZ) и ZjnZ становится каноническим, если пучок
Z/zzZ заменить пучком ц„. Поэтому и в общем случае фунда-
ментальным, классом правильнее считать изоморфизм
Н2с“(Х, Z^d))^,
116
существование которого мы сейчас установим. Пучок Zz(d), где
d=dimX, называется ориентирующим (ср. с дуализирующим
пучком в когерентной теории из п. 5.6 гл. 2).
Теорема. Для каждого неприводимого d-мерного много-
образия X существует канонический изоморфизм
/f“(X,Zz(d))^Zz.
Этот изоморфизм каноничен в том смысле, что он согласован
с открытыми вложениями и конечными накрытиями. Если U —
открытая подсхема в X, то X\U имеет меньшую размерность
и поэтому (см. пп. 6.3 и 6.4) отображение /fcd(£J,Zz(d))->
^/^(AT,Zz(d)) есть изоморфизм. Поэтому при определении
фундаментального класса многообразие X можно заменять любым
открытым по Зарисскому куском. Вспоминая конструкцию «хоро-
ших» окрестностей из § 4 гл. 3, можно считать, что X обладает
гладким собственным морфизмом f:X-*-Y в гладкое много-
образие Y размерности d — 1. Так как	при у >2
И /У? (Г)=0 при q>2d-2, H2d(X, Zi(d)) — H2d~2 (Y, R2fJ.t(d^,
Но из § 6 мы знаем, что R2f *Zz(l)x = Zz,r.
7.5.	Двойственность Пуанкаре: спаривание. Пусть X — сно-
ва неприводимое многообразие размерности d. Умножение -в
когомологиях дает спаривание
Hqc (АГ, F^H2^ (X, У7 )-> H2d (АГ, Zz (d)) = Zz,
где F" = Hom (F, Zt (d)).
Теорема. Если многообразие X — гладкое, а пучок Zz-
модулей F—локально свободный, то это спаривание устанав-
ливает двойственность по модулю кручения.
Обычно этим результатом пользуются для гладких полных
многообразий, где он дает двойственность между № (X, Qz) и
(X, Qz). Однако доказывать удобнее в «открытом» ва-
рианте. Более того, при доказательстве приходится иметь де-
ло не только с локально свободными, но и с конструктивными
пучками. Поэтому удобнее доказывать теорему двойственности
в форме
Нчс (X, F) X- Ext^-? (F, Л (d)) Л.
Здесь A=Z//«Z; мы не будем подробно объяснять, что такое
Ext; скажем только, что это — производные для функтора
F*-* Нош^у (F, Л); в каком-то смысле это — гомологии пучка F.
Схема доказательства такая: главный момент — установить,
что двойственность для многообразия X и любого его открыто-
го подмногообразия — вещи равноценные (здесь работает ин-
дукция по размерности носителя пучка); после этого, умень-
шая X, можно сделать пучок F локально свободным, а подни-
маясь на этальное накрытие, — свободным и даже изоморф-
117
ным Л; наконец, пользуясь «хорошими» окрестностями, можно
считать, что X расслоено на гладкие полные кривые над глад-
кой базой У. По индукции двойственность есть на У, а также
на слоях (§ 5), откуда уже несложно получить двойственность
для X. (Подробности см. в [50], [49], [68].)
7.6.	Гомоморфизм Гизина. Как и в комплексном случае,
двойственность позволяет придать когомологиям, контрава-
риантным по своей природе, некие ковариантные черты.
А именно, пусть f : X—>-У — собственный морфизм с гладким У,
/Z=dimX, dim У= <24-6. Определим гомоморфизмы Гизина
f*: Hi (X, (h)^H4+26(Y, Q;(6))
как двойственные по Пуанкаре к отображениям
/*: Н™-* (Г, Qz (d))-^	(X, Q( (d)).
Отображения Гизина функториальны и удовлетворяют форму-
ле проекции
для аеЯ*(Х), рея*(У).
В частности, если X — замкнутое неприводимое подмного-
образие коразмерности б в гладкой схеме У, образ 1х62/°(Х, Qf)
при отображении Гизина задает т. н. класс с1(Х)6
GH26(Y, Q<(6)) подмногообразия X. Как в классическом слу-
чае, с! продолжается до кольцевого гомоморфизма класса
цикла кольца Чжоу А* (X) в кольцо когомологий
®H2r(Y, Qt(r)).
r>0
В случае дивизоров получается гомоморфизм
Pic Y^H2(Y, Q;(l)),
с которым мы уже встречались, по существу, в теории Кумме-
ра (п. 4.6). Непрерывная часть группы Пикара, т. е. Р1с°У,
переходит при этом в 0. В свою очередь, группа Р1с°У тесно
связана с пространством HX(Y, Q<(1)) (см. снова теорию Кум-
мера). В частности, если Нх (У, С?у) —0, то Pic°y=0 и, следо-
вательно, HX(Y, Q<(1)) =0. Обратно, если HX(Y, Ог(1))=0, груп-
па Pic°(y) —инфинитезимальная.
Приведем еще несколько следствий развитого формализма.
7.7.	Слабая теорема Лефшеца. Пусть X—n-мерное проек-
тивное многообразие, YczX—гиперплоское сечение. Так как
многообразие Х\У — аффинное, Нг(Х\У)=0 при i>n (см.
замечание в п. 6.4). Предположим, что Х\У — гладкое. Тогда
по двойственности Пуанкаре Нс* (Х\У)=0 при i<Zn, и из
длинной точной последовательности в п. 6.3
... -> Н1С (Х\Г)^ Н1 (Х)-> Н1 (Y}-^Hc+x (X \Г) . ..
мы получаем изоморфизмы Н‘ (Х)Х Я4 (У) при i<n—1 и вло-
жение Нп~х (Х)е_ Нп~х (У). Если многообразия X и У— глад-
118
кие, то двойственные к предыдущим отображения Гизина дают
изоморфизмы Н* (Y)-+Hi+2(X) при i^n и эпиморфизм
/7^-1 (У)->/7п+1(Х).
7.8.	Формула следа Лефшеца. Для эндоморфизма f : Х-^Х
обозначим через f*\Hr(X) индуцированный эндоморфизм в ко-
гомологиях Hr(X,Qi). Если многообразие X — гладкое и пол-
ное, то число неподвижных точек f (см. п. 1.6 гл. 3) дается
следующей формулой Лефшеца:
(Г/ • А) = V (- 1У Тг (/* | FT (X)).
г>0
Доказывается она как в п. 1.6 гл. 3. При помощи отображе-
ния cl вычисление индекса пересечения (Г/.Д) переводится в
кольцо Н* (Х'ХХ) и далее повторяется без изменения.
7.9.	Применение к Z-функции. В этом и следующем пунктах
X обозначает алгебраическую схему над конечным полем F^,
X = X®Vq — ее геометризация, Ф:Х-э-Х — эндоморфизм Фро-
PQ
бениуса над F?. Предположим, что схема X — гладкая и полная,
<JimA’ = 4Z. Как объяснялось в п. 1.7, из формулы Лефшеца
следует рациональность Z-функции
24
z(X, о=Прг(Н<-1)г+1,	(*)
/=0
где Рг (7) = det (1 — /Ф* | Hr (X, Q)). Априори Pr (Z)—многочлены
с коэффициентами из Qz. Однако, пользуясь тем, что Z(X,t) —
ряд с целыми коэффициентами, а также тем, что корни Рг не
пересекаются (см. следующий параграф), можно получить, что
многочлены Рг имеют целые коэффициенты и не зависят от I.
Числа Бетти ЬГ(Х) —это степени Рг, поэтому они также не за-
висят от I.
Из двойственности Пуанкаре вытекает функциональное
уравнение
4Х X
Z (X, q~dГ1) = ± q2 Z (АГ, 7),
где %—2(—l)rftr(Z)—топологическая эйлерова характери-
стика.
На самом деле, для любого (т. е. не обязательно полного
или гладкого) многообразия имеет место разложение (*), где
Pr (/)==det (1 - /Ф* | Hrc (X, Q)).
Удобнее доказывать даже более общее утверждение, где по-
стоянный пучок Qz заменен произвольным Qz-пучком F.
7.10.	£-функции. Пусть F — Qz-ny4OK на схеме X n_F—его
подъем на X. Тогда имеется канонический изоморфизм Z7—ф*/7,
119
что позволяет определить эндоморфизм Фробениуса
Ф* .Hrc (X, F)~> Hrc (X, F).
Рассмотрим подробнее случай, когда схема А7 = SpecFp
состоит из единственной точки х степени п над F?. Тогда
многообразие X состоит из п различных точек Xi, ...,хп,
циклически переставляемых эндоморфизмом Ф. Пучок F превра-
щается в п слоев — пространств F-, ...,F—, переставляемых
вслед за точками (рис. 7).
Рис. 7
Итерированное п раз, это отображение дает уже эндомор-
физм слоя F—, который обозначается через Ф^:/7--*F-. Можно
проверить, что Фд. обратен к действию Фробениуса как элемен-
та группы Галуа Gal (k (х) | k (х)) в геометрическом слое пучка
F (см. пример в п> 3.2).	L
С каждой парой (X,F), где X—схема над Fg, a F—
Qj-пучок на X, свяжем соответствующую /-функцию (назы-
ваемую также L-функцией):
Z (X, F; t) = П det (1 —
Здесь, как и в п. 1.3, х пробегает все замкнутые точки схемы X,
а Фж понимается как описанный выше эндоморфизм (^-про-
странства Ft, где х — геометрическая точка над х. В частном
случае F=Qi мы получаем обычную Z-функцию. Обобщая фор-
мулу (*) в п. 7.9, Гротендик получил следующее «интеграль-
ное» представление, или когомологическую интерпретацию
Z-функции:
2dimX
Z (X, F-,t) = П det (1 — <Ф* | Нс (A’, F)Y~^r+\
л=0
120
Эта формула просто выводится из обобщенной, формулы следа
2 Тг (Ф- I F-) = 2 (- 1)г Тг (Ф* I Нтс (X, F))
X	г
(конечно, аналогичная формула имеется и для Фп). (Доказа-
тельство ее можно найти в [50], [49], [68].)
Левую часть последней формулы при подходящих X и F
удается интерпретировать как тригонометрические суммы (см.
[50]). Об оценках правой части см. следующий параграф.
§ 8.	Теорема Делиня
Пусть X—^многообразие над конечным полем. Тогда кого-
мологии Н* (X, Q;)—это не просто векторные пространства
над Q. На них действует эндоморфизм Фробениуса. Теорема
Делиня отвечает на вопрос о собственных значениях этого эн-
доморфизма и, в частности, дает утвердительный ответ на ри-
манову часть гипотез Вейля (п. 1.6). Для формулировки
утверждений удобно пользоваться понятием веса. Тогда, грубо
говоря, r-мерные когомологии имеют вес г, так что имеется
полная аналогия с классическим случаем (см. § 3 гл. 3). Бо-
лее того, многие результаты о классических когомологиях
можно представлять как следствие результатов о когомологиях
многообразий над конечными полями.
8.1.	Веса. Собственные значения эндоморфизма Фробениуса,
как и любого эндоморфизма векторного пространства над полем
Qz,— это числа, алгебраические над Qz, т. е. элементы алгеб-
раического замыкания Qz. Скажем, что число txgQz— чистое,
если при любом вложении полей i:Qz-*C модуль |ia| комплекс-
ного числа ice не зависит от i; мы обозначаем ёго просто через
|а|. Конечно, чистые числа очень специфичны; например, они —
алгебраические над Q. Если задано натуральное число АГ, то
весом (чистого) числа a(jQz относительно основания N назы-
вается вещественное число
w fee) = тем/ (а) =2 logjv |« I.
Пусть теперь X—схема над полем F? и F— Z-адический пучок
на X (I взаимно просто с <?). Тогда на пучке F над
X = X®rFq действует эндоморфизм Фробениуса Ф (п. 7.10).
В точке (геометрической) х над х^Х этот эндоморфизм
Фх: F — -> F- обратен к действию элемента Фробениуса из
группы Галуа Gal (k (л:) | k (х)) (пп. 1.1 и 7.10).
Определение. Пучок F называется чистым пучком
веса г, если для любой точки х$Х все собственные значения
эндоморфизма <bxtF—-+F-—чистые числа веса г относительно
основания N (х) = Card (k (x)) — «абсолютного размера» точки х.
121
Пример. Тривиальный пучок Qz, очевидно, — чистый веса О,
так как Фробениус тривиально действует на его слоях.
Более интересны пучки Qz (1) и Zz (1). Последний получается
как проективный предел пучков корней из 1 (п. 7.1).
Фробениус действует по формуле at-ca? или, в аддитивной
записи, как умножение на q- Поэтому обратный к нему эндо-
морфизм Фх действует на Qz(l)^-—Qz как умножение на N(x)~x.
Отсюда следует, что вес пучка Qz(l) равен — 2.
Ясно, как вес преобразуется при операциях тензорного
произведения чистых пучков, перехода к двойственному пучку
и т. д. Однако сумма чистых пучков разного веса уже не^ будет
чистым пучком. По этой причине удобно ввести понятие сме-
шанного пучка как пучка с фильтрацией, все факторы которо-
го — чистые пучки. Делинь предполагает, что любой пучок—
смешанный. Весами смешанного пучка называются веса его
чистых факторов.
8.2.	Главная теорема. Если f : Х->-С—морфизм схем над
конечным полем (или над Z) и F— смешанный пучок на X с
весами ^п, то для любого г пучок Rrfi(F) на У — смешанный
с весами
Следствие 1. Пусть F— смешанный пучок с весами
на схеме X. Тогда собственные значения Фробениуса на
Hc(X,F) — чистые веса <и-|-г.
Ср. с п. 3.3 гл. 3. По двойственности отсюда можно получить
Следствие 2. Пусть многообразие X— гладкое и F — глад-
кий смешанный пучок с весами ~>п. Тогда собственные значения
Фробениуса на HT(X,F) — чистые веса >/г-ф-г.
Ср. с п. 3.4 гл. 3. Применительно к случаю гладкого пол-
ного многообразия X и пучка F=QZ мы получаем утвердитель-
ный ответ на риманову часть гипотез Вейля:
Теорема. Пусть X — гладкое полное многообразие над
Fg. Тогда характеристический многочлен Фробениуса
det (1 • t—Ф* | Hr (X, Qz) имеет целые коэффициенты и все его
корни по модулю равны qr'2.
Иначе говоря, вес Hr(X, Q) как пучка над Spec Fg равен г.
Значение этого утверждения и применение его к оценкам чис-
ла целых точек объяснялись в п. 1.3. Мы приведем лишь два
примера:
Пример 1. Пусть ХаРп+г — гладкое полное пересечение
размерности п над полем Fg. Тогда
||X(Fq) | -1 Р" (Fg) || ^bqn'2,
где b — п-е число Бетти X.
Дело тут в том, что когомологии полного пересечения сов-
падают с когомологиями Рп всюду, кроме средней размерно-
сти (см. п. 7.7). Член bqn/2 как раз отвечает вкладу Нп(Х).
122
Пример 2. Пусть Q — многочлен степени d от п перемен-
ных над F3 и 'ф : Fg—>-С*— нетривиальный аддитивный харак-
тер. Предположим, что d взаимно просто с q и что гиперпо-
верхность в Р”-1, заданная уравнением Qd=0, где Qa — одно-
родная часть Q степени d, — гладкая. Тогда тригонометриче-
ская сумма
2=	2 (Q Ui, •  •> хп))
допускает оценку | S | < (d — \)nqn!2.
Снова здесь дело в том, что когомологии Нс(Хп') (с коэф-
фициентами в подходящем пучке F— см. формулу следа в п.
7.10) не тривиальны лишь в размерности п. Пространство же
Нпс(Хп, F) имеет вес п и размерность (d — 1)”.
(О р-адических оценках действия Фробениуса см. [66].)
8.3.	Механика доказательства. А. Стандартные редукции,
вроде расслоения на кривые, позволяют свести общее утвержде-
ние из п. 8.2 к следующему утверждению о кривых над FQ:
Если X — гладкая полная кривая, j : U-+X— открытое вло-
жение и F—гладкий пучок на U веса п, то пространство
FF(X, j*F) имеет чистый вес п-\-г.
По двойственности ключевой случай здесь — FF.
Б. Нас интересует пучок j*F, а мы знаем нечто о весе пуч-
ка F. Важный момент состоит в том, что веса пучка j^F в точ-
ках s6A\t/ не больше п (и даже равны n—k, где k — целое
неотрицательное число).
Рассуждение здесь характерное — из общих соображений
можно проверить, что вес (/*Е)5 (обозначим его через t) не пре-
восходит п+2, причем это верно для любого пучка F. Применяя
эту оценку к пучку F®fe, мы получаем, что k-t^k-n-\-2, откуда
В. Далее удобно считать, что F — чистый пучок веса 0. Так
как пучки /*А*и jtF отличаются незначительно, все сводится к
утверждению «в условиях А веса пространства Hcl(U,F) =
— FF (X, j iF) не превосходят 1».
Г. Непосредственно (в духе Адамара и Валле-Пуссена)
устанавливается, что веса Hcl(U,F) строго меньше 2; это —
ключевой момент. Нам же нужно убедиться, что веса ^1. Теперь
снова применяется трюк, похожий на Б.
А именно, допустим, нам известно, что веса пространства
H2(UxU, F|x|F) меньше 2-J-e, где е>0. Тогда из формулы
Кюннета следует, что веса HC'(U,F) меньше 1-|-е/2.
Д. Для исследования когомологий Hc(UxU, F g| F) =
= Д’(ХХТ, JiF |х| j,F) поверхность X X X расслаивается
пучком Лефшеца. Точнее, расслаивается, конечно, раздутие
X X X вдоль оси пучка, но это совершенно несущественно.
123
Будем считать, что /:Ах^-*Р1 — наше расслоение, a G =
= jF |х| Jf.
Предположим, что мы доказали (см. Е), что пучок А*1/**-7
имеет веса <1. Тогда из пункта Г мы получаем, что веса
№(Р\ R'f^G) меньше 3. Это пространство, по существу,
совпадает с Нс (U X U, F |х| F), так что и веса H2C(U XU,
F|x|F) меньше 3. Согласно замечанию Г, тогда веса H\(U,F}
меньше 1-J-1/2, причем это верно для любого пучка F веса 0.
Применяя эту улучшенную оценку к когомологиям пучка
(вес которого X1), мы получаем, что веса № (Р1,	(или
(U X U, F |х| F)) меньше 1 + (1 + 1 /2). Отсюда веса Hc(U,F)
меньше 1-J-1/4, затем l-J-1/8, l-f-1/16 и т. д. В конце концов
получаем что веСа Hlc(U, F) не больше 1.
Е. Остается оценить веса пучка Rxf*G в общих точках пря-
мой Р1. Любой элемент слоя (A1f*G)i над такой точкой f6P2
(т. е. элемент пространства №(/“*(/), Gf)) либо исчезает в не-
котором специальном слое, либо не исчезает нигде. Элементы
второго типа образуют гладкий подпучок в R'f*G и не дают
вклада в когомологии 7/1 (Р1, Rlf,*G), потому чтоР1 односвязно.
Элементы первого типа, как следует из локальных вычислений
в слоях их исчезновения, имеют целые веса. Эти веса к тому
же <2 (см. Г), поэтому, по существу, веса Rlf*G не превосхо-
дят 1 и можно рассуждать, как в Д.
(Подробное доказательство см. в [27]; доказательство для
гладкого полного X см. в [26], [61].)
8.4.	Геометрические применения. Помимо естественных при-
менений к многообразиям над конечными полями, Делинь при-
водит несколько геометрических следствий своей основной тео-
ремы, которые относятся к многообразиям над произвольным
алгебраически замкнутым полем k. Принцип сведения к конеч-
ным полям см. в п. 6.3 гл. 2.
Теорема о полупростоте. Пусть f : Х—>Х — гладкий
Тогда пучки /?r/*(Qz) на Y полупросты.
собственный морфизм &-схем и Y—нормальное многообразие.
Последнее означает, что представление Л] (У) в слое
Нг (Ху, Qz) этого пучка полупросто, или вполне приводимо. Это
утверждение редуцируется к схемам над конечным полем F^.
Из теоремы в п. 8.2 мы знаем, что пучки А*г/’* (Qz)— чистые
веса г. Поэтому достаточно установить следующий факт для
многообразий над F?: пусть У— гладкая схема над F, и F —
гладкий чистый Qz-пучок на У; тогда пучок /7наУ = Х®Р?—
полупростой.
Для проверки этого обозначим через F' наибольший полу-
простой подпучок в F (сумму простых подпучков). Он инвариан-
тен относительно действия Фробениуса и потому происходит из
124
некоторого подпучка F'czF. Тогда F получается как расшире-
ние пучка F"=FIF' при помощи F' и задается некоторым эле-
ментом Ext1 (F", F') =Нг (У, Hom (F", F')). Веса F' и F" одина-
ковы, поэтому пучок Hom(E//, F') имеет вес 0, а пространство
№(У, Нот), согласно п. 8.2, имеет веса ^1. Поэтому оно не
содержит инвариантных элементов, расширение тривиально и
F" = 0,
8.5.	Трудная теорема Лефшеца. Еще одно геометрическое
следствие. Пусть X — проективное многообразие над k, YczX —
гиперплоское сечение, т] — класс У в №(Х, Qz) (см. п. 7.6; мы
не делаем здесь различия между Qz и Qz(l)).
Теорема. Пусть X — гладкое проективное многообразие
размерности п. Тогда для любого г^О умножение на т]г
• нп~т(Х, Cti)-+Hn+r(X, Q,)
является изоморфизмом.
Умножение на т] = с1(У) можно получить как композицию
ограничения I* : Н* (Х)^>-Н* (У) и гомоморфизма Гизина
Z*; Н* (Y)-+H*+2(X). Поэтому умножение на rf можно предста-
вить как
Hn~r (X)ZHn~r (У)\ Нп+г~2 (Г)Х Нп+т (X).
Если г^2, крайние члены — изоморфизмы по слабой теореме
Лефшеца (п. 7.7), а средний — по индукции. Поэтому остается
рассмотреть критический случай г—1. Биективность композиции
вложения Hn~l (X)—(У) и сюръекции Нп~х (Y)-+Hn+i (X)
эквивалентна невырожденности формы пересечения
(У) X Я”-1 (У)^Я2"-2 (У) = Q;
на образе Hn~l (X).
Для интерпретации образа Нп~г(Х) в ЯП-1(У) гиперплоское
сечение У включается в пучок Лефшеца (У/), tGP1. Пусть
SczP1— конечное множество вырожденных слоев. Тогда
Н-ЧУ) являются слоями гладкого пучка	(где f : Х-+-
->Р' — соответствующее расслоение) на P'\S. Фундаменталь-
ная группа лДР'ХЗ) действует на Hn~'(Y). Пользуясь индук-
тивным предположением о справедливости теоремы Лефшеца
для У, можно показать (см. [30] и п. 8.6), что подпространство
Нп~~'(X) совпадает с подпространством инвариантов
Яп-1(У)-х(Р‘\5) вЯ"-|(У).
В силу п. 8.4 представление ги(P’\S) в Нп Х (У) вполне при-
водимо и сохраняет форму пересечения. Обозначим через W
дополнительное к Нп~1(Х) пространство в НП~’(У). Она уже не
имеет тривиальных факторпространств. Скалярное произведе-
ние с любым элементом из Нп~х(Х) является инвариантным ли-
нейным функционалом на W, нулевым в силу сказанного выше.
Это значит, что W ортогонально к Нп~х (X), т. е. что ограниче-
ние формы пересечения на Нп~х(Х) не вырождено.
125
Следствие. Пусть X — гладкое проективное многообразие
над полем k. Тогда числа Бетти ЬТ(Х) четны для нечетных г и
положительны для четных г, 0^r^2dimX.
Вероятно, это верно для любых гладких полных многооб-
разий.
8.6. Теорема об инвариантном подпространстве. Пусть
f: X-+-S— гладкий собственный морфизм Jfe-многообразий. Как
и в классическом случае, из трудной теоремы Лефшеца можно
вывести утверждение о вырождении в члене Е2 спектральной
последовательности Лере (ср. с п. 3.5 гл. 3)
Е™ = HP (S,	AQ,) => Нр™ (X, Qz).
В частности, сюръективно каноническое отображение
Нг (X, Qz)-> №(S,	=
где s — замкнутая точка S, a Xs=f~x(s) —слой над s. Рассуж-
дая, как в комплексном случае, и апеллируя к весам, мы полу-
чаем следующее утверждение:
Те о р е ма^Пусть в приведенных выше обозначениях и пред-
положениях X — гладкая компактификация X. Тогда образ
Нг (X, Qz) в Hr (X, Qz) совпадает с подпространством инвариант-
ных элементов Hr (X.s,
Имеет место также локальный вариант этой теоремы ([27]):
пусть f : X—>-S— собственный морфизм, s — замкнутая, а т] —
общая точка S; предположим, что морфизм f — гладкий над
точкой q; тогда для любой специализации т] в s (п. 6.6) гомо-
морфизм специализации
Н* (XS)-^H* (X-)°ai№)
сюръективен.
Таким образом, положение с /-адическими когомологиями
алгебраических многообразий над алгебраически замкнутыми
полями — в точности такое же, как с классическими когомоло-
гиями комплексных многообразий. Более того, указанные выше
результаты о классических когомологиях, включая теорию весов
в § 3 гл. 3, можно получать из соответствующих /-адических
утверждений. Как отмечает Тейт, в одном отношении /-адичес-
кие когомологии даже лучше классических — на них действует
группа Галуа основного поля. Рассмотрим кратко одну свя-
занную с этим гипотезу.
8.7. Гипотеза Тейта. Обратимся от геометрического случая
(основное поле k алгебраически замкнуто) к арифметическому
(основное поле К конечно порождено над своим простым под-
полем). Пусть X — алгебраическое многообразие над К, глад-
кое и полное. Если К— алгебраическое замыкание К, то группа
Галуа G = Gal(X|K) действует на пространствах когомологий
/7*(Х, Qz(m)). Вспоминая определение класса алгебраического
цикла из п. 7.6, мы видим, что класс любого алгебраического цик-
126
ла коразмерности г, определенного над Д', инвариантен относи-
тельно действия группы Галуа на пространстве Н2г(Х, Q;(r)).
Иначе говоря, подпространство в H2r(X, Q;(r)), порожденное
алгебраическими циклами коразмерности г, содержится в под-
пространстве инвариантов Н2т(Х, Qi(r) )G. Гипотеза Тейта об
алгебраических циклах состоит в том, что на самом деле эти
пространства совпадают ([78]).
Эта гипотеза чем-то похожа на классическую гипотезу Ход-
жа, хотя прямые связи указать трудно. Более точные связи
имеются между этими гипотезами и стандартными гипотезами
Гротендика об алгебраических циклах ([43], [62]).
По поводу гипотез Тейта о связи ранга группы алгебраичес-
ких циклов с порядками нулей и полюсов ^'Функции многооб-
разия X мы отсылаем к [78].
ЛИТЕРАТУРА
Общие вопросы гомологической алгебры излагаются в [22], [41]. Не-
превзойденным введением в эту область является [38]. Современное состоя-
ние см. в [3]. Когомологии пучков рассматриваются также в [4], [10], [14],
[40], [53], [54], [72].
Когомологии когерентных алгебраических пучков появились в [72]. Наи-
более доступно эта теория изложена в [54], а наиболее фундаментально —
в [47]. См. также [69], [70], [72]., Более специальные вопросы, связанные с
теоремой Римана—Роха, обсуждаются в [7], [34], [35], [52], [58]. Двойствен-
ность нигде не изложена удовлетворительно; отчасти причина в том, что это
требует привлечения производных категорий. См., впрочем, [3], [4], [56], [40].
Топология комплексных алгебраических многообразий, несмотря на клас-
сичность сюжета, также нигде хорошо не изложена. Обычно ограничиваются
случаем гладких многообразий (см. [13], [40]); общий случай обсуждается в
[34], [36]. Комплексные алгебраические многообразия в рамках аналитических
многообразий изучаются в [40], [53], см. также [10]. Сравнение алгебраических
н аналитических подходов было начато работой [73]; см. также [45] и [42].
Структурам Ходжа в когомологиях алгебраических многообразий посвящены
работы [23], [24]; см. также обзор [11].
Как уже говорилось, теория этальных когомологий была вызвана к жизни
гипотезами Вейля [79]; история вопроса отражена в [61], [54], [68]. Конечным
полям и уравнениям над ними посвящена монография [64]; там же имеется
обширная библиографии. Прекрасный очерк об арифметике алгебраических
кривых — [67]. Этальные когомологии лучше всего излагаются в [50]; см.
также [68], [49], [9], Доказательства гипотез Вейля — [26], [27], [61].
1.	Бейлинсон А. А. Высшие регуляторы и значения L-функций // Итоги
науки и техн. ВИНИТИ. Сер. Соврем, пробл. мат. Новейшие достиже-
ния,— 1984.— 24 — С. 181—238
2.	Боревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел.— М.: Наука, 1985.— 504 с.
3.	Гельфанд С. И., Манин Ю. И. Методы гомологической алгебры. Т. I.—
М.: Наука, 1988— 416 с.
4.	Головин В. Д. Гомологии аналитических пучков и теоремы двойственно-
сти.— М.: Наука, 1986.— 191 с.
5.	Данилов В. И. Алгебраические многообразия и схемы // Итоги науки
и техн. ВИНИТИ. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направл.— 1988.—
23.— С. 172—302
6.	Зархин Ю. Г., Паршин А. И. Проблемы конечности в диофантовой гео-
127
метрии // Ленг С. Основы диофантовой геометрии.— М.: Мир. 1986.—
С. 369—438
7.	Манин Ю. И. Лекции по алгебраической геометрии. Ч. 2. Л-функтор
в алгебраической геометрии.— М.: МГУ, 1971.— 86 с.
8.	— Соответствия, мотивы и моноидальиые преобразования // Мат. сб,—
1968.— 77, № 4 — С. 475—507
9.	— Алгебраическая топология алгебраических многообразий // Успехи
мат. наук.— 1965.— 20, № 6.— С. 3—12
10.	Оншцик А. Л. Методы теории пучков и пространства Штейна // Итоги
науки и техн. ВИНИТИ. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направл.—
1986.— 10.— С. 5—73
11.	Паламодов В. П. Деформации комплексных пространств // Итоги науки
и техн. ВИНИТИ. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направл.— 1986.—
10,— С. 123—221
12.	Степанов С. А. Сравнения с двумя неизвестными // Изв. АН СССР. Сер.
мат,— 1972,— 36, № 4.— С. 683—711
13.	Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии.— 2 изд., перераб.
и доп.— М.: Наука, 1988.— Т. 1, 345 с. Т. 2, 304 с.
14.	— Основные понятия алгебры // Итоги науки и техи. ВИНИТИ. Сер.
Соврем, пробл. мат. Фундам. направл.— 1986.— 11.— С. 5—288
15.	Algebraic number theory / Ed. Cassels J. W. S., Frohlich A.— London:
Academic Press, 1967 (Пер.: Алгебраическая теория чисел.— М.: Мир,
1969.— 483 с.)
16.	Artin М. Algebraic approximation of structures over complete local rings //
Publ. Math. IHES.— 1969.— 36.— C. 23—58 (Пер.: Артин M. Алгебраи-
ческая аппроксимация структур над полными локальными кольцами //
Математика.— 1970.— 14, № 3.— С. 1—39)
17.	— Algebraic spaces.— New Haven: Yale Univ. Press, 1971 (Пер.: Артин M.
Алгебраические пространства // Успехи мат. наук.— 1980.— 26, № 1.—
С. 181—205)
18.	Beilinson A. Notes on absolute Hodge cohomology // Contemp. Math.—
1986.— 55, part 1,— C. 35—68
19.	—, MacPherson R., Schechtman V. Notes on motivic cohomology // Duke
Math. J.— 1987,— 54.— C. 579—716
20.	Bethelot P., Ogus A. Notes on cristalline cohomology.— Princeton Univ.
Press, 1978.— 241 c.
21.	Bloch S. Algebraic cycles and values of А-functions. II // Duke Math. J.—
1985,— 52,— C. 379—397
22.	Cartan H., Eilenberg S. Homological algebra.— Princeton Univ. Press,
1956 (Пер.: Картон А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра.— М.: ИЛ,
I960,— 510 с.)
23.	Deligne Р. Theorie de Hodge. II // Publ. Math. IHES.— 1971— 40.—
C. 5—58 (Пер.: Делинь П. Теория Ходжа. II // Математика.— 1973.—
17, № 5,— С. 3—57)
24.	— Theorie de Hodge. Ill // Publ. Math. IHES.— 1974,— 44.— C. 5—77
25.	— Poids dans la cohomologie des varieties algebriques // Actes ICM.—
Vancouver, 1974.— C. 79—85
26.	— La conjecture de Weil. I // Publ. Math. IHES.— 1974,— 43,— C. 273,—
308 (Пер.: Делинь П. Гипотеза Вейля. I // Успехи мат. наук.— 1976.—
30, № 5,— С. 159—190)
27.	— La conjecture de Weil. II // Publ. Math. IHES.— 1980— 52.—
C. 132—252
28.	-—, Griffiths Ph., Morgan J., Sullivan D. Real homotopy theory of Kahler
manifold // Invent, math.— 1975.— 29, № 3.— C. 245—274 (Пер.: Гриф-
фитс Ф-, Делинь П., Морган Дж., Сюлливан Д. Вещественная гомото-
пическая теория кэлеровых многообразий // Успехи мат. наук.— 1977.—
32, № 2.— С. 119—152)
29.	—, Illusie L. Relevements modulo р2 et decomposition de complexe de De
Rham Ц Invent, math— 1987,— 89, № 2.— C. 247—270
128
30.	—, Katz N. Groupes de monodromie en geometric algebriques.t— Berlin:
Springer, 1973.— 438 c.
31.	Dold A. Lectures on algebraic topology.— Berlin: Springer, 1972 (Пер.:
Дольд А. Лекции по алгебраической топологии.— М.: Мир, 1976.—
463 с.)
32.	Esnault Н., Viehweg Е. Logarithmic De Rham complexes and vanishing
theorems // Invent, math.— 1986.— 86.— C. 161—194
33.	Fallings G. Endlichkeitssatze fur abelsche Varietaten fiber Zahlenkorpern //
Invent, math.— 1983.— 73.~ C. 349—366
34.	Fulton W. Intersection theory.— Berlin: Springer, 1984.— 470 с. (Пер.:
Фултон У. Теория пересечений.— М.: Мир, 1988)
35.	—, Lang S. Riemann—Roch algebra.— N. Y.: Springer, 1986.— 203 c.
36.	—, MacPherson R. Categorical framework for the study of singular spa-
ces // Mem. Amer. Math. Soc.— 1981.— 31, № 243 (Пер.: Фултон У.,
Макферсон Р. Категорный подход к изучению пространств с особенностя-
ми.— М.: Мир, 1983.— 216 с.)
37.	Gabriel Р., Zisman М. Calculus of fractions and homotopy theory.— Ber-
lin: Springer, 1967.— 186 с. (Пер.: Габриэль П., Цисман М. Категории
частных и теория гомотопий.— М.: Мир, 1971.— 295 с.)
38.	Godement R. Topologie algebrique et theorie des faisceaux.— Paris: Her-
mann, 1958.— 283 с. (Пер.: Годеман P. Алгебраическая топология и теория
пучков.— М.: ИЛ, 1961.— 320 с.)
39.	Goresky М-, MacPherson R. Intersection homology theory // Topology.—
1980,— 19.— C. 135—162
40.	Griffiths Ph., Harris I. Prinsiples of algebraic geometry.— N. Y. e. a.:
Wiley, 1978.— 813 с. (Пер.: Гриффитс Ф„ Харрис Дж. Принципы алгеб-
раической геометрии.— М.: Мир, 1982.— 862 с.)
41.	Grotendieck A. Sur quelquels points d’algebre homologique // Tohoku Math.
J.— 1957.— 9.— C. 119—221 (Пер.: Гротендик А. О некоторых вопросах
гомологической алгебры.— М.: ИЛ, 1961.— 175 с.)
42.	— On the de Rham cohomology of algebraic varieties // Publ. Math.
IHES.— 1966,— 29.— S. 351—359
43.	— Standard conjectures on algebraic cycles // Algebraic geometry.—
London, 1969,— C. 193—199
44.	— Cristals and the De Rham cohomology of schemes // Dix Exposes sur
la Cohomologie des	Schemas.— Amsterdam: North-Holland,	1968.—
C. 306—358
45.	— Revetements etale et groupe fondamental.— Berlin: Springer, 1971.—
447 c.
46.	— Cohomologie locale des faisceaux cohererits et theoremes de Lefschetz
locaux et globaux.— Amsterdam: North-Holland, 1968.— 287 c.
47.	—, Dieudonne J. Elements de geometrie algebrique. III. Etude cohomologi-
que des faisceaux coherents // Publ. Math. IHES.;— 1961.— 11; 1963.—
17
48.	—, — Elements de geometric algebrique. IV. Etude locale des schemes
et des morphismes de schemas // Publ. Math. IHES.— 1967.— 32
49	—, et al Theorie des topos et cohomologie etale des schemas.— Berlin:
Springer.— Vol. 1, 1972, 525 c. Vol. 2, 1972, 420 c. Vol. 3, 1973, 640 c.
50.	— et al. Cohomologie etale.— Berlin: Springer, 1977.— 312 c.
51.	— et al. Cohomologie f-adique et fonction L.— Berlin: Springer, 1977
52.	— et al. Theorie des intersections et theoreme de Riemann—Roch.— Ber-
lin: Springer, 1977.— 700 c.
53.	Gunning R. C., Rossi H. Analytic functions of several complex variables —
Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1965.— 317 с. (Пер.: Ганнинг P., Рос-
си X. Аналитические функции многих комплексных переменных.— М.:
Мир, 1969,— 396 с.)
54.	Hartshorne R. Algebraic geometry.— N. Y.: Springer, 1977.— 496 c.
(Пер.: Хартсхорн P. Алгебраическая геометрия.— M.: Мир, 1981.—
600 с.)
*9—2004
6
129
55.	— On the De Rham cohomology of algebraic verities // Publ. Math.
IHES.— 1976.— 45.— C. 5—99
56.	—Residues and duality.— Heidelberg: Springer, 1966.— 423 c.
57.	Hironaka H. Triangulation of algebraic sets // Proc. Symp. Pure Math.—
1975,— 29.— C. 165—185
58.	Hirzebruch F. Neue Topologische Methoden in der Algebraische Geometric.—
Berlin e. a.: Springer, 1956.— 165 с. (Пер.: Хирцебрух Ф. Топологические
методы в алгебраической геометрии.— М.: Мир, 1973.— 280 с.)
59.	Horrocks G., Mumford D. A rank 2 vector bundle on P4 with 15 000 sym-
metries // Topology.— 1973.— 12, № 1.— S. 63—81
60.	Illusie L. Complexe de De Rham—Witt et cohomologie cristalline // Ann.
Sci. ENS.— 1979,— 12.— C. 501—661
61.	Katz ,N. An overview of Deligne’s proof of the Riemann hypothesis for
varieties over finite fields (Hilbert’s problem 8) // Math. Develop. Arising
from Hilbert Probl. Proc. Symp. Pure Math.— 1976.— 28.— C. 275—306
62.	Kleiman S. L. Algebraic cycles and the Weil conjectures // Dix Exposes
sur la Cohomologie des Schemas.— Amsterdam: North-Holland, 1968.—
C. 359—386
63.	Kollar I. Higher direct images of dualizing sheaves // Ann. Math.— 1986.—
123.— C. 11—40
64.	Lidl R., Niederreiter H. Finite Fields.— London: Addison—Wesley, 1983
(Пер.: Лидл P., Нидеррейтер X. Конечные поля.— М.: Мир, 1988.— 822 с.)
65.	Lubkin S. On a conjecture of Andre Weil // Amer. J. Math.— 1967.— 89,
№ 2 — C. 443—548
66.	Mazur B. Eigenvalues of Frobenius acting on algebraic varieties over fi-
nite fields // Proc. Symp. Pure Math.— 1975;— 29.— C. 231—261
67.	— Arithmetic on curves // Bull. Amer. Math. Soc.— 1986.— 14, № 2.—
C. 207—259
68.	Milne I. S. Etale cohomology.— Princeton Univ. Press, 1980 (Пер.:
Милн Дж. Этальные когомологии.— М.: Мир, 1983.— 392 с.)
69.	Mumford D. Lectures on curves on an algebraic surface.— Princeton Univ.
Press, 1966.— 200 с. (Пер.: Мамфорд Д. Лекции о кривых на алгебраи-
ческой поверхности.— М.: Мир, 1968.— 236 с.)
70.	— Abelian varieties.— Oxford Univ. Press, 1970.— 300 с. (Пер.: Мам-
форд Д. Абелевы многообразия.— М.: Мир, 1971.— 300 с.)
71.	Raynaud М. Anneaux locaux henseliens.— Berlin e. a.: Springer, 1970,—
133 c.
72.	Serre I.-P. Faisceaux algebriques coherents // Ann. Math.— 1955.— 61.—
C. 197—278 (Пер.: Cepp Ж.-П. Когерентные алгебраические пучки // Рас-
слоенные пространства и их приложения.— М.: ИЛ, 1958.— С. 372—458)
73.	— Geometric algebriques et geometric analytique // Ann. Inst. Fourier.—
1956.— 6.— C. 1—42
74.	— Groupes algebriques et corps de classes.— Paris: Hermann, 1959.—
202 с. (Пер.: Cepp Ж.-П. Алгебраические группы и поля классов.— М.:
Мир, 1968.— 285 с.)
75.	— Cohomologie galoisienne.— Berlin е. a.: Springer, 1964.— 214 с. (Пер.:
Серр Ж.-П. Когомологии Галуа.— М.: Мир, 1968.— 208 с.)
76.	Shiffman В., Sommese A. Vanishing theorems on complex manifolds.—
Boston: Birkhauser, 1985.— 170 c.
77.	Sullivan D. Geometric topology.— Cambridge: MIT, 1970 (Пер.: Сулли-
ван Д. Геометрическая топология.— М.: Мир, 1975.— 284 с.)
78.	Tate J. Т. Algebraic cycles and poles of the Zeta-function // Arithmetical
algebraic geometry / Ed. Schilling:— >N. Y.: Harper and Row, 1965.—>
C. 93—ПО (Пер.: Тэйт Дж. Алгебраические классы когомологий // Успехи
мат. иаук.— 1965.— 20, № 6.— С. 27—40)
79.	Weil A. Number of solutions of equations over finite fields // Bull. Amer.
Math. Soc.— 1949,— 55.— C. 497—508