Строительная механика в примерах и задачах. Часть І. Статически определимые системы - Анохин Н.Н.

Автор: Анохин Н.Н.
Теги: cтроительная механика графический и аналитический методы статики для исследования и расчета строительных конструкций теоретические основы строительства строительство инженерия строительная механика задачи по механике учебное пособие
ISBN: 5-93093-024-4
Год: 1999
Похожие
Строительная механика
Текст
                     [ '  • ' 
ББК 38.112
А69
УДК 624.04
Рецензенты: кафедра строительной механики и теории
упругости Московского института коммунального хозяйства и строи-
тельства (заведующий кафедрой-д-р техн, наук, проф. НВ. Колкунову,
чл.-кор. РААСН, д-р техн, наук, проф. НН. Шапошников
Анохин Н.Н. Строительная механика в примерах и задачах.
Ч. I. Статически определимые системы: Учеб. пос. - М.: Изд-во
АСВ, 1999. -335 с.
ISBN 5-93093-024-4
Учебное пособие, которое является первой частью курса строительной меха-
ники, разработано в соответствии с программой для строительных специальнос-
тей вузов.
Каждый параграф начинается с изложения соответствующего теоретического
материала, затем приводятся с подробными решениями 125 характерных типо-
вых примеров по теме и 575 задач для самостоятельного решения, к которым да-
ны ответы.
Пособие будет полезно студентам для самостоятельной работы при выпол-
нении расчетных заданий и подготовке к экзаменам, а также может быть ис-
пользовано преподавателями при проведении практических занятий по расчету
статически определимых плоских стержневых систем.
В основу книги положен многолетний опыт преподавательской работы автора
в Московском государственном строительном университете (бывший МИСИ).
This manual, which is first part of the course, is written according to the course of
structural mechanics for construction majors and consists of 700 tasks. Each paragraph
starts with the theoretical material then comes some amount of the solved tasks usually
offered, for this material and the explications and tasks for students work with answers.
This manual will be of great use for the students who will work themselves, solving
design tasks and preparing for the examination. Also it can be offered for the professors
as a material for the laboratory works on static determination plane bar systems.
This book is found on the big teaching experience in the Moscow State Construc-
tion University (pr. MISI).
ISBN 5-93093-024-4
© Анохин H.H., 1999 г.
© Издательство АСВ, 1999 г.
ОСНОВНЫЕ УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
W- число степеней свободы, дей-
ствительная работа внутренних
сил
V - степень изменяемости сис-
темы, действительная работа
внешних сил
Д - число дисков
Ш - число простых шарниров
Со - число опорных стержней
У - число узлов фермы
С - число стержней фермы
К - число замкнутых бесшарнир-
, ных контуров
Л - число лишних связей
q - равномерно распределенная
нагрузка
F - сосредоточенная сила
т - сосредоточенный момент
Р - обобщенная сила
М - изгибающий момент
© - поперечная сила
N - продольная сила
Ml,Qi,Ni - изгибающий момент,
поперечная и продольная си-
лы от единичной нагрузки
Л(р, Qp, Np - изгибающий момент,
$ поперечная и продольная си-
- лы от заданной нагрузки
Е - модуль упругости
(? - модуль сдвига
|1 - коэффициент неравномернос-
ти распределения касательных
напряжений по поперечному
сечению, зависящий от формы
сечения
длина пролета
А - высота поперечного сечения
Ъ - ширина поперечного сечения
А - площадь поперечного сече-
ния, возможная работа внеш-
них сил
Ав - площадь поперечного сече-
ния вертикального стержня
Ар- площадь поперечного сече-
ния горизонтального (наклон-
ного) стержня
Ави - возможная работа внут-
ренних сил
J - момент инерции поперечного
сечения
JB - момент инерции поперечного
сечения вертикального стержня
]р - момент инерции поперечного
сечения горизонтального (на-
клонного) стержня
Уа> Vb, Vc - - вертикальные со-
ставляющие реакций, возни-
кающих в опорах А, В, С....
Реакции, направленные вверх,
принимаются положительными
Нл, Нв, Нс... - горизонтальные со-
ставляющие реакций, возни-
кающих в опорах А, В, С....
Реакции, направленные вправо,
принимаются положительными
Н (Н3) - распор (усилие в затяж-
ке). Растягивающее усилие
считается положительным
U - потенциальная энергия
Q - площадь эпюры
со - площадь линии влияния
а - коэффициент линейного рас-
ширения
ср, с, Су Ci... - заданные смеще-
ния опор
Г, И, Г?... - коэффициенты жест-
кости упругоподатливых опор
R - радиус окружности
f- стрела подъема арки
Jfj, Q°K- изгибающий момент и
поперечная сила в сечении К
простой балки с горизонталь-
ной осью того же пролета, что
и арка
Г=1 - единичный груз
fgp- критический груз (критичес-
кая сила)
q3KB ~ эквивалентная равномерно
распределенная нагрузка
/' = |/j - (г | - перепад температур
по высоте поперечного сече-
ния стержня
-температура по ней-
'° " 2
тральной оси стержня
Г1, - приращения температуры в
краевых точках сечения
Й
~~£	- пунктир показыва-
0 ет, с какой стороны
стержня происходит
изменение темпера-
туры
- изменение темпера-
t2 туры по наружному и
внутреннему волонам
элемента конструкции
Хк (Хк) - горизонтальное переме-
щение точки К. Перемеще-
ние, направленное вправо, при-
нимается положительным
Ук (Ук) - вертикальное переме-
щение точки К. Перемеще-
ние, направленное вверх, при-
нимается положительным
Дл- - полное перемещение точки
К, определяемое по формуле
к ~ у]хк + У к
фл- - угол поворота сечения в точ-
ке К. За положительное напра-
вление принимается поворот
сечения по ходу часовой стрел-
ки
Xkn (Xkn) ~ взаимное горизон-
тальное сближение (положи-
тельно) или расхождение (от-
рицательно) точек К и N
Укы (Ут) - взаимное вертикаль-
ное сближение (положительно)
или расхождение (отрицатель-
но) точек К и N
Aw - взаимное сближение (по-
ложительно) или расхождение
(отрицательно) по направле-
нию прямой KN
ф*у - взаимный угол поворота
сечений в точках К и N
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемое читателю учебное пособие проф. Н. Н. Ацохина,
посвященное плоским статически определимым стержневым сис-
темам, является, без преувеличения, оригинальным изданием, от-
ражающим многолетний опыт преподавательской работы автора на
кафедре строительной механики в Московском государственном
строительном университете - МГСУ.
"Руководство к практическим занятиям по курсу строительной
механике" под ред. проф. Г. К. Клейна было выпущено в свет в
1980 году, т.е. почти двадцать лет тому назад. Поэтому рассматри-
ваемое издание является более чем своевременным, восполняющим
очевидный пробел в учебной литературе по строительной механике.
Автор приводит 700 задач с ответами, 125 из которых даны с
Подробными решениями, что позволяет студентам самостоятельно
решать схожие задачи по аналогии.
В число задач, рассмотренных автором, включены и такие, ко-
торые дают ответы на все вопросы расчетно-графических заданий
по курсу строительной механики "Статика сооружений".
Недавно изданный учебник "Основы строительной механики
стержневых систем" (авт. - проф. Н. Н. Леонтьев и др.) и пособие
Ц. Н. Анохина образуют единый блок литературы по строительной
[Механике, специально приспособленный к требованиям МГСУ и
других вузов, имеющих строительные специальности.
Пособие вызовет большой интерес не только у студентов, для
которых оно, собственно, и предназначено, но и у преподавателей
строительной механики, поможет им в разработке зачетных и эк-
заменационных задач.
, Особую ценность изданию придает также принятая методика
наложения материала, в соответствии с которой в начале каждого
Параграфа автор приводит теоретический материал, облегчающий
Освоение предмета. Студент даже может ориентироваться в основ-
ном на это пособие, прибегая к помощи учебника лишь для углуб-
ленного изучения того или иного вопроса.
Полагаю, что тщательно и с любовью выполненная проф.
ty. Н. Анохиным огромная работа принесет большую пользу всем,
изучает строительную механику или по роду своей деятельнос-
тй с ней связан.
Акад. РИА,
д-р техн, наук, проф.
Д. Н. Соболев
5
ОТ АВТОРА
Учебное пособие по курсу "Строительная механика" планиру-
ется как издание, состоящее из трех частей: статически определи-
мые системы, статически неопределимые системы, динамика и ус-
тойчивость плоских стержневых систем.
Первая книга пособия посвящена плоским статически опреде-
лимым стержневым системам. В издании, разработанном в соот-
ветствии с вузовской программой для строительных специально-
стей, использован многолетний опыт преподавания данного курса
на кафедре строительной механики МГСУ (бывший МИСИ).
В первой части пособия изложены кинематический анализ
расчетных схем сооружений; методы расчета статически определи-
мых систем на действие неподвижных и подвижных нагрузок, оп-
ределение в этих системах перемещений.
Приведено 700 задач, к 125 из которых даны подробные реше-
ния, а к остальным - ответы. Каждый параграф начинается с под-
робного изложения основных вопросов теории, относящихся к
конкретной теме. В конце глав предлагаются вопросы для само-
контроля.
В книге для задач и ответов к ним, а также для рисунков при-
нята тройная нумерация: первая цифра показывает номер главы,
вторая - номер параграфа этой главы, третья - порядковый номер
задачи (ответа) или рисунка данного параграфа. Для формул и
примеров принята двойная нумерация: первая цифра показывает
номер главы, вторая - порядковый номер формулы или примера
данной главы.
Автор выражает благодарность рецензентам - проф. Н.В. Кол-
кунову, чл.-кор. РААСН Н.Н. Шапошникову, научному редактору -
чл.-кор. РААСН Н.Н. Леонтьеву, акад. РИА Д.Н. Соболеву, проф.
М.Г. Ванюшенкову за ценные замечания и рекомендации, сделан-
ные при рецензировании и прочтении рукописи, а также всем со-
трудникам кафедры, с которыми автор общался в процессе напи-
сания пособия и советы которых способствовали улучшению со-
держания книги.
Автор выражает глубокую благодарность д-ру техн, наук, проф.
А.В. Дукарту и генеральному директору АО РОСКОНИТСТРОЙ
Д.М. Бениаминову за финансовую помощь, оказанную при выпус-
ке настоящего издания.
Автор будет признателен читателям за отклики и замечания по
содержанию пособия, которые можно направлять по адресу: 129337,
Москва, Ярославское шоссе, 26, кафедра "Строительная механика".
6
Глава 1. Кинематический анализ расчетных схем
§1.1. Определение числа степеней свободы плоских стерж-
невых систем и анализ их геометрической структуры. Про-
верка на мгновенную изменяемость
Прежде чем приступить к расчету сооружения, необходимо сос-
тавить его расчетную схему и выполнить ее кинематический анализ
для выяснения вопроса о неподвижности и геометрической! неиз-
меняемости системы в целом или отдельных ее частей. Кроме того,
следует проверить ее на мгновенную неизменяемость (изменяе-
мость). Частично ответ на этот вопрос связан с установлением чис-
ла степеней свободы расчетной схемы.
Под расчетной схемой понимают упрощенное изо-
бражение реального сооружения. Она отражает основные свойства,
определяющие поведение сооружения под нагрузками, и не учиты-
вает второстепенные факторы, которыми можно пренебречь.
Степенью свободы плоской стержневой системы на-
зывается количество независимых геометрических параметров, оп-
ределяющих ее положение на плоскости относительно земли.
Основные определения
Система называется геометрически неизменяе-
мой, если изменение формы возможно только в результате де-
формации составляющих ее элементов.
Система называется геометрически изменяемой,
если она может изменять свою форму без деформации составля-
ющих ее элементов.
Система называется мгновенно изменяемой, если
она допускает бесконечно малые перемещения точек без деформа-
ции ее элементов. После прекращения перемещений она превра-
щается в неизменяемую систему.
Диск- элемент (стержень) или система элементов из абсо-
лютно жесткого материала, не изменяющая своей формы и разме-
ров. Диск в плоскости имеет три степени свободы.
Земля - диск бесконечной протяженности (полуплоскость).
Кинематическая связь - любое устройство, отни-
мающее у тела или системы одну степень свободы.
В качестве связей используют шарниры, стержни с шарнирами
по концам и опоры.
7
Цилиндрический простой шарнир - устройство,
соединяющее два диска и эквивалентное двум кинематическим
связям (рис. 1.1.1, а... в).
Кратный (сложный) шарнир соединяет три и
более дисков и эквивалентен л-1 простым шарнирам, где л - чис-
ло соединяемых дисков (рис. Г.1.1, г...е).
б)
Ш—\
в)
Ш=1
г)
Ш=2
7V
Рис. 1.1.1
Например, для случаев, показанных на рис. 1.1.1, г, д, шарнир
соединяет три диска (стержня) и его кратность равна Ш = л-1 =
= 3-1 = 2, а для случая, приведенного на рис. 1.1.1, е, - Ш= п-
— 1 = 4 — 1 = 3, где ДГ- число простых (приведенных) шарниров.
Шарниры, показанные на рис. 1.1.1, а, г, е, называются пол-
ны м и , а на рис. 1.1.1, б, в, д, -неполными.
Под узлом шарнирно-стержневой система (фермы) будем
понимать точку с двумя степенями свободы.
Степень свободы системы W и степень изменяемости V систе-
мы, не имеющей опорных стержней, определяются формулами
№=ЗД-2111- Со\	(1.1)
К=3^-2 2Д-3;	(1:2)
1У= ЗД-2Ш- Со~ЗК\	(1.3)
У=ЗД-2Ш-3-ЗК;	(1.4)
1У=2У-С-С0;	(1.5)
Г=2У-С-3,	(1.6)
где Д-число дисков; Ш- число простых (приведенных) шарни-
ров; Со - число опорных стержней; У - число узлов фермы; С -
число стержней фермы; К - количество замкнутых бесшарнирных
контуров.
Формулы (1.1) и (1.2) предназначены для любых схем сооруже-
ний, не содержащих замкнутых бесшарнирных контуров; формулы
(1.3) и (1.4) предназначены для любых расчетных схем, включа-
ющих в себя замкнутые бесшарнирные контуры и, наконец, две
последние формулы (1.5), (1.6) - для ферм.
В зависимости от результатов подсчета W, полученных по при-
веденным выше формулам, возможны три случая:
8
1.	W> О (И> 0) - система геометрически изменяема, так как не
имеет достаточного количества связей и, вообще говоря, не может
применяться в качестве строительной конструкции.
2.	W- О (К= 0) - система обладает минимально необходимым
количеством связей, при правильной расстановке которых образуется
геометрически неизменяемая и статически определимая система.
3.	W < 0 (V< 0) - система имеет избыточное число связей, при
правильной расстановке которых образуется геометрически неизме-
няемая и статически неопределимая система.
Система, у которой W=1 называется механизмом.
Условие W^O является необходимым признаком геометриче-
ской неизменяемости системы, но недостаточным для ответа на во-
прос о том, является ли рассматриваемая расчетная схема неизме-
няемой. Необходимо дополнительно провести анализ геометрической
структуры и установить, правильно ли (или неправильно) и в какой
последовательности соединяются между собой диски и как они при-
крепляются к земле.
Основные правила образования
геометрически неизменяемых систем
1.	К диску (рис. 1.1.2, о) Может быть присоединен узел с помощью
двух стержней (диады), оси которых не лежат на одной прямой.
2.	Два диска могут быть соединены между собой простым шар-
ниром и стержнем, ось которого не проходит через центр шарнира
(рис. 1.1.2, б). Если ось стержня проходит через центр шарнира, то
система будет мгновенно изменяемой (рис. 1.1.2, в).
3.	Два диска могут быть соединены между собой тремя стерж-
нями, оси которых не должны пересекаться в одной точке и быть
параллельными (рис. 1.1.2, г). В противном случае вновь образован-
ная система будет мгновенно изменяемой (рис. 1.1.2, д, ё). Это пра-
вило сводится к предыдущему, если точку пересечения двух стерж-
ней заменить так называемым фиктивным шарниром (рис. 1.1.2,ж).
4.	Три диска, соединенные между собой тремя простыми шар-
нирами, не лежащими на одной прямой, образуют геометрически
неизменяемую систему (рис. 1.1.2, з). Если шарниры (реальные и
фиктивные) лежат на одной прямой, то полученная система будет
мгновенно изменяемой (рис. 1.1.2, и).
Приведенные правила создания геометрически неизменяемых
систем основаны на принципе образования действительного или
фиктивного шарнирного треугольника - простейшей геометричес-
ки неизменяемой фигуры (см. рис. 1.1.2, а, б, г, ж, з). Если шар-
нирный треугольник вырождается в прямую (см. рис. 1.1.2, в, и)
9
или р точку (см. рис. 1.1.2, д, ё), то система становится мгновенно
изменяемой.
Рис. 1.1.2
Для выявления мгновенной изменяемости системы помимо
вышеприведенных признаков применяются статический и кинема-
тический способы.
Сущность статического способа: система мгновенно изменяе-
ма, если при ее расчете на какую-нибудь нагрузку в отдельных
элементах будут получены бесконечно большие (<ю), неопределен-
ные (0/0) или противоречивые величины усилий. Если же усилия в
элементах имеют конечные и единственные значения, то система
геометрически неизменяема.
Простейшей является нулевая нагрузка. Тогда опорные реакции
и усилия в элементах также должны быть равны нулю. В против-
ном случае система мгновенно изменяема.
Кинематический способ целесообразно применять к системам,
состоящим из двух или трех дисков, к которым могут быть приве-
дены практически любые системы.
Система мгновенно изменяема, если:
1. Имеется мгновенный центр вращения в системе, состоящей
из двух дисков, соединенных тремя стержнями с шарнирами на
концах.
2. Мгновенные центры вращения системы из трех дисков, свя-
занных шарнирно друг с другом, расположены на одной прямой.
Мгновенный центр взаимного вращения двух дисков, соеди-
ненных шарниром, совпадает, с центром шарнира, а при соедине-
10
нии двумя и более стержнями с шарнирами на концах он будет рас-
положен в точке пересечения стержней (фиктивный шарнир). Отно-
сительно этих точек возможен поворот одного диска относительно
другого на бесконечно малый угол.
Мгновенно изменяемые системы в качестве строительных соо-
ружений недопустимы. Нежелательно применять и конструкции,
близкие к мгновенно изменяемым, поскольку в них появляются
весьма большие усилия и перемещения при конечных нагрузках.
Для расчета сложных шарнирно-стержневых систем или про-
верки на мгновенную изменяемость может быть использован способ
замены стержней, основанный на применении принципа независи-
мости действия сил. Поясним его сущность на примере.
Пусть требуется определить усилия в ферме, показанной на
рис. 1.1.3, а. Число стержней, сходящихся в каждом узле, равно 3, а
потому трудно подобрать какой-либо простой способ расчета фермы.
Поступим следующим образом: преобразуем заданную ферму (заме-
няемую) в родственную ей более простую ферму (заменяющую) пу-
тем замены стержня 3-6 стержнем 1-5 (рис. 1.1.3, б). Новый стер-
жень 1-5 называется заменяющим стержнем, а тот, который выбра-
сывается (3-6), - заменяемым.
Заменяющая ферма должна быть геометрически неизменяемой
и простой для расчета. Обозначим через X усилие, возникающее от
заданной внешней нагрузки в заменяемом стержне 3-6 заданной
сложной фермы. Поскольку значение его неизвестно, примем его
пока равным единице (Х= 1). Рассчитав заменяющую ферму на
действие единичной нагрузки, приложенной в узлах 3 и 6, и на
действие заданной внешней нагрузки, найдем окончательное зна-
чение усилия У]-5 в стержне 1-5:
M-5 = M-5* + ^(l-5)/>>	(1-7)
11
где N\s - усилие в заменяющем стержне 1-5 от силы X- 1;
^(1-5)Р -усилие в заменяющем стержне 1-5 от заданной внешней
нагрузки.
Для того чтобы заменяющая система была эквивалентна заменяе-
мой, необходимо выполнение условия = 0, так как в заданной
системе заменяющего стержня 1-5 нет.
#1_5 X + N(i_5}P =0, откуда X = - #(i_5)p/M-5 •	(18)
Найдя значение X, можно легко определить все усилия способом
вырезания узлов или для любого стержня /:
N^NiX + Nip.	(1.9)
Рассмотренный способ можно распространить и на большее коли-
чество заменяемых стержней.
Так как заменяющая ферма геометрически неизменяема, усилия
во всех стержнях заданной фермы будут вполне определенными и ко-
нечными, а это является статическим признаком геометрической не-
изменяемости системы. Если же окажется, что -N\s = 0, то Х=+х>,
или X ~ 0/0, и система будет мгновенно изменяема.
Пример 1.1. Произвести кинематический анализ системы, показанной
Вначале с помощью формулы (1.1) определяем сте-
пень свободы системы. Отбросим все шарниры и
опорные стержни. Находим, что система состоит из
двух дисков, т.е. Д- 2, одного шарнира в точке С
(Ш - 1) и четырех опорных стержней (жесткая задел-
ка эквивалентна трем опорным стержням), т.е. Q = 4.
И^ЗД-2/ZZ- q,= 3-2-2 1-4=0.
Таким образом, система имеет минимально не-
обходимое количество связей, чтобы быть неизменяемой и статически опреде-
лимой.
Выполним структурный анализ системы. Так как диск АВС жестко связан
с землей, можно считать диск АВС землей. К этому диску присоединяется
диск CDE с помощью шарнира С и опорного стержня, не проходящего через
центр шарнира. Следовательно, система образована в соответствии с правила-
ми образования неизменяемых систем. Она геометрически и мгновенно неиз-
меняема и статически определима.
Пример 1.2. Произвести кинематический анализ системы, показанной на
рис. 1.1.5.
Вычислим степень свободы системы. Отбросив все шарниры и опор-
ные стержни, найдем, что Д = 3, Ш= 3, Со= 3. Тогда
на рис. 1.1.4.
BCD
Рис. 1.1.4
12
\¥=ЗД-2Ш- Qj= 3-3-23-3 = 0.
Система имеет минимально необходимое
количество связей, чтобы быть неизменяемой и
статически определимой. Чтобы убедиться в ее
неизменяемости, надо выполнить анализ струк-
туры. Три диска FABC, GCDE и FG соединены
между собой тремя шарнирами С, F, G, не ле-
жащими на одной прямой, и образуют, соглас-
Рис. 1.1.5
но правилам струкгурообразования, новый диск. Этот диск прикреплен к
земле с помощью трех опорных стержней, не пересекающихся в одной точке.
Следовательно, система геометрически и мгновенно неизменяема и статически
определима.
Пример 1.3. Исследовать систему, показанную на рис. 1.1.6.
Число дисков системы Д= 8, число простых (приведенных) шарниров
Iff = 10, число опорных стержней Q=3. Следовательно, \У=ЗД-2Ш-
- Q = 3'8 - 210 - 3 = 1. Система имеет одну степень свободы, т.е. является
механизмом и в качестве строительной конструкции применяться не может.
Рис. 1.1.6	Рис. 1.1.7
Пример 1.4. Исследовать систему, показанную на рис. 1.1.7.
Так как система является шарнирно-стержневой, для определе-
ния ее степени свободы применим формулу (1.5). Число узлов
У= 12, число стержней С = 22, число опорных стержней Со=3.
Следовательно, W =2 У - С - Со = 212 - 22 - 3 = -1. Система имеет
одну лишнюю связь. Вырезав нижний узел 2 и составив уравнение
равновесия: Е/ = 0, получим, что - F, л при вырезании верх-
него узла 1 - Ni-z = 0. Найденные значения усилий для стержня Л^_2
являются противоречивыми. Согласно статическому признаку задан-
ная система будет мгновенно изменяемой.
Пример 1.5. Выполнить кинематический
занной на рис. 1.1.8.
Д=3, Iff =2, q>=5. Тогда №=ЗД-2Ш-
- Со = 3 3 - 2-2 - 5 = 0. Произведем структур-
ный анализ. Диск ЛВС прикреплен к земле
тремя стержнями, не пересекающимися в одной
точке. К полученному новому диску (зем-
ля+дискЛВС) присоединяется диск DFE с по-
мощью стержня CD и двух опорных стержней,
анализ системы, пока-
Рис. 1.1.8
13
т.е. также с помощью трех стержней, не пересекающихся в одной точке.
Вывод: система геометрически и мгновенно неизменяема и статически оп-
ределима.
Пример 1.6. Выполнить кинематический анализ системы, показанной
на рис. 1.1.9.
Число дисков Д= 3, опорных стержней - Со = 5. Цилиндрический
шарнир С является кратным, так как он со-
единяет три диска. Согласно формуле для
числа простых (приведенных) шарниров
Ш= л-1 = 3 - 1 = 2. Тогда
№=ЗД-2Ш- Q = 3-3- 2-2- 5 = 0.
Диски ABCD и земля, соединенные тремя
стержнями, не пересекающимися в одной
Рис. 1.1.9	точке, образуют новый неподвижный диск.
К этому диску присоединяется диск СЕ с помощью шарнира С и опорного
стержня, не проходящего через центр шарнира. Полученная таким обра-
зом система также является неподвижным диском. К последнему диску
присоединяется диск CFc помощью шарнира Си опорного стержня, про-
ходящего через центр шарнира, что, согласно правилу структурообразова-
ния, приводит к мгновенной изменяемости.
Пример 1.7.
Рис. L1.10
Пример 1.8.
на рис. 1.1.11.
Исследовать систему, показанную на рис. 1.1.10.
Так как система не имеет опорных стержней, опре-
делим степень ее внутренней изменяемости по формуле
(1.6): V= 2 У- С-3 = 2-8 - 12 - 3 = 1. Система имеет
одну степень свободы (механизм) и к применению в ка-
честве строительной конструкции непригодна.
Произвести кинематический анализ системы, показанной
в с Е F	2 У-С-Со= 2-7 - 11 - 3 = 0.
Для доказательства геометрической не-
изменяемости системы применим несколь-
А	ко раз первый способ образования неизме-
няемых систем. К простейшему треуголь-
t	ному диску ACG присоединим узел В с по-
Рис. 1.1.11	мощью диады АВ и ВС. К полученному но-
вому диску ABCG присоединим узел Е с
помощью диады АЕ и EG, затем Присоединим узел F с помощью диады FE
и FG. Наконец, к диску ABCEFG добавляется узел D с помощью диады CD
и DE. Таким образом, вся система является диском. Этот диск правильно
прикреплен к земле тремя опорными стержнями. Вывод: система непод-
вижна, геометрически неизменяема и статически определима.
Пример 1.9. Выполнить кинематический анализ системы, показанной
на рис. 1.1.12, а.
Д=10,Ш= 12, С0=6. №=ЗД-2Ш- Со~ 310 -2-12-6 = 0.
14
Ферма, состоящая из правильно соединенных треугольников, образует
один диск BCDLK (рис. 1.1.12, а, б).
Применим для исследования кинематический метод, приняв землю за
третий диск. Мгновенный центр вращения диска 1 относительно земли
(1,3) находится на пересечении стержней АВ и LM (фиктивный шар-
нир), диска 1 относительно диска 2 (DEFG) - совпадает с шарниром D
(1,2) и диска 2 относительно земли - совпадает с шарниром G (2,3). Все
три мгновенных центра взаимного вращения трех соединенных дисков
лежат на одной прямой (это следует из геометрии задачи), рис. 1.1.12, б.
Следовательно, заданная система мгновенно изменяема.
Рис. 1.1.12
Пример 1.10. Исследовать систему, показанную на рис. 1.1.13.
Д=4, ДГ=4, С0 = 4.
И'=ЗД-2Л7- q'= 34-24-4 = 0.
Диски АВС и DEF присоединены к по-
аности земли шарнирами А и F и между
«ой соединены стержнями CD и BE, пе-
кающимися в точке К (фиктивный шар-
ip). Шарниры А, К и F не лежат на одной
ой. Следовательно, исходя из схемы
образования, заданная система геометрически неизменяема, ста-
ки определима и не обладает мгновенной изменяемостью.
Пример 1.11. Исследовать систему, показанную на рис. 1.1.14, о.
Число узлов У= 12, число стержней С= 21, число опорных стержней
Ц* 3.	2 У- С- Со = 212 - 21 - 3 = 0.
Рис. 1.1.14
15
Диски 1 и 2 (рис. 1.1.14, <5) соединены между собой тремя стержнями
(они показаны пунктиром), не пересекающимися в одной точке, и, со-
гласно третьему правилу структурообразования, образуют новый диск. К
этому новому диску аналогично присоединяется диск 3. Полученный та-
ким образом один диск прикрепляется к земле тремя опорными стержня-
ми, не пересекающимися в одной точке. Вывод: ферма геометрически и
мгновенно неизменяема и статически определима.
Пример 1.12. Исследовать систему, показанную на рис. 1.1.15, а.
У= 8, С= 13, Cq= 3.	2У- С- Со = 2-8- 13 - 3 = 0.
Рис. 1.1.15
Произвести анализ геометрической структуры заданной системы по
известным правилам довольно трудно.
Для решения этой задачи применим способ замены стержней. Заменим
заданную систему другой, в которой стержень 2-3 заменен стержнем 6-8
(рис. 1.1.15, б). Геометрическая неизменяемость последней очевидна:.
Вместо отброшенного стержня 2-3 приложим единичные силы в уз-
лах 2 и 3, и, принимая их в качестве внешней симметричной нагрузки в
заменяющей системе, найдем усилие в стержне 6-8. Поскольку
ферма симметрична, усилия в стержнях 2-8 и 3-7 будут сжимающими и
равными, т.е. ^2-8 = ^3-7, ~ результат вырезания узлов 2 и 3 и состав-
ления уравнений проекций всех сил на оси, перпендикулярные стерж-
ням 1-2 и 3-4. Далее проведем сечение через стержни 2-8, 3-7, 7-8, 6-8,
5-6 и составим уравнение равновесия для суммы проекций левых сил на
вертикальную ось (рис. 1.1.15, в):
ЕУ = 0, jVjlgsin а - JV^sin а +	sin р = 0.
Отсюда следует, что Af6_8 = 0. Равенство = 0 является призна-
ком мгновенной изменяемости заданной системы.
16
Пример 1.13. Выполнить кинематический анализ системы, показан-
ной на рис. 1.1.16, а.
Д=7, Zff=8, Со=5. 1Г= ЗД-2 Л7-Со= 3-7 - 2-8 - 5 = 0.
Составим поэтажную схему рамы (рис. 1.1.16, б), заменив простые шар-
ниры эквивалентными двухстержневыми шарнирно-неподвижными опо-
рами.
В поэтажной схеме выделяют главные геометрически неизменяемые
части - диски и второстепенные, геометрическая неизменяемость которых
обеспечивается за счет опирания их на главные части. Трехшарнирная ра-
ма ABCDEF, состоящая из двух дисков - АВС и CDEF, соединенных между
собой шарниром С и прикрепленная к третьему диску - земле с помощью
двух шарниров - А и D, является геометрически неизменяемой системой
(диском), так как все три шарнира - А, С, D не лежат на одной прямой.
На этот диск (землю) опираются еще две трехшарнирные рамы - CNF и
FGKCL, образуя единую геометрически неизменяемую систему. Наконец,
к последнему диску присоединяется балка (стержень) LM с помощью трех
опорных стержней, не пересекающихся в одной точке.
Рис. 1.1.16
Вывод: если для заданной системы удается построить поэтажную схе-
|Г в соответствии с основными правилами образования геометрически
(изменяемых систем, то система в целом является геометрически и мгно-
IHHO неизменяемой.
1224
17
Задачи 1.1.01...1.1.51. Выполнить кинематический анализ систем.
1.1.09	1.1.10
1.1.11	1.1.12
1.1.14
1.1.13
18
19
1.1.26
1.1.27
1.1.28	1.1.29
1.1.32
20
1.1.48
1.1.46
1.1.47
21
§ 1.2.	Определение степеней статической неопределимости плоских
стержневых систем и образование из них статически определимых
путем удаления липших связей
Рассмотрев вопросы § 1.1, можно сформулировать два следу-
ющих определения.
Статически определимой системой называется
геометрически неизменяемая система, внутренние усилия и реак-
ции связей в которой могут быть определены только из уравнений
статического равновесия. Для таких систем О (V- 0).
Следует подчеркнуть, что понятие статически определимой
системы одновременно включает в себя и то, что она геометричес-
ки неизменяема и не имеет лишних связей. Нельзя говорить, что
система, у которой W- 0 (К= 0), является статически определимой,
пока не доказана ее геометрическая и мгновенная неизменяемость.
Статически неопределимой системой называется
геометрически неизменяемая система, в которой внутренние уси-
лия или опорные реакции, или то и другое не могут быть опре-
делены только из уравнений статического равновесия. В этом слу-
чае составляют дополнительные уравнения, учитывающие де-
формации системы. Для таких систем W< 0 (К< 0).
Аналогично вышесказанному, нельзя говорить, что система, у
которой И/< 0 (К< 0), является статически неопределимой, пока
не установлена ее геометрическая и мгновенная неизменяемость.
Статически неопределимая система содержит избыточное коли-
чество связей (лишние связи), сверх минимально необходимого
числа, для неизменяемости системы. Лишними называются те свя-
зи, которые можно удалить, не нарушая структурной неиз-
меняемости системы. Следует иметь в виду, что эти связи могут
быть совсем не лишними с точки зрения прочности.
Число лишних связей Л, называемое степенью ста-
тической неопределимости, вычисляется по форму-
ле степени свободы, с противоположным знаком:
#=-Со +2Д7-ЗД,	(1.10)
Q) + С-2У.	(1.11)
Каждый замкнутый бесшарнирный контур внутренне трижды
статически неопределим, т.е. имеет три лишние связи. Поэтому для
систем, имеющих замкнутые контуры, число лишних связей опре-
деляется по формуле
Л= -W = СЬ + 2Ш + ЗК-ЗД,	(1.12)
где К - количество замкнутых бесшарнирных контуров.
22
Все связи статически неопределимой системы разделяются на
две категории: .абсолютно необходимые и условно необходимые (ус-
ловно лишние). Усилия, возникающие в абсолютно необходимых
связях, могут быть определены из уравнений равновесия, несмотря
на статическую неопределимость системы в целом, а их удаление
превращает заданную систему в геометрически или мгновенно изме-
няемую.
Удаление же условно необходимых связей не превращает заданную
систему в геометрически изменяемую (рис. 1.2.1, а, б).
Абсолютно Условно необходимые
необходимая связь связи (условно лишние)
Л=\
Абсолютно не-
обходимые связи
Рис. 1.2.1
В
л=\
Условно необходимые
$вязи (условно лишние)
Л-2
D
На рис. 1.2.1, в вертикальный опорный стержень в опоре А и
фнир В являются абсолютно необходимыми связями, удаление их
допустимо, а опорные стержни в точках С и D являются условно
обходимыми, и какие-то два стержня из них можно удалить.
В статически неопределимой системе всегда можно найти та-
ie условно необходимые связи в количестве Л, при удалении ко-
рых заданная система превратится в статически определимую. В
честве лишних при образовании статически определимой сис-
йы могут быть приняты как внешние, так и внутренние связи.
К любой статически неопределимой системы можно предложить
счисленное множество вариантов выбора статически определи-
йх систем, которые играют большую роль при расчете конструк-
гй, главным образом, статически неопределимых.
Приемы, применяемые при устранении
одной связи
1.	Удаление одного опорного стержня.
2.	Удаление одного прямолинейного стержня с шарнирами по
щам. Такой стержень в дальнейшем будем называть ферменным
Ментом, а в трехшарнирных рамах (арках) он еще называется
каской.
3.	Введение одного простого шарнира.
23
Приемы, применяемые при устранении
двух связей
4.	Удаление двух опорных стержней, или двух ферменных эле-
ментов, или введение двух простых шарниров, или одного двукрат-
ного шарнира, или любая комбинация из них.
5.	Удаление одного простого шарнира.
Приемы, применяемые при устранении
трех и более связей
6.	Любая комбинация из вышеприведенных приемов.
7.	Рассечение элементов.
В заключение отметим, что образование статически определи-
мой системы не является самоцелью, а есть первый шаг для даль-
нейшего ее применения при расчетах. Поэтому из бесчисленного
множества статически определимых систем, соответствующих за-
данной статически неопределимой системе, надо выбрать наиболее
простую (рациональную) и удобную для построения эпюр изгиба-
ющих моментов от действия различных нагрузок. В частности, если
заданная система симметричная, то и полученная из нее статически
определимая система должна быть симметричной. Это достигается
путем удаления симметрично расположенных лишних связей и свя-
зей на оси симметрии.
Пример 1.14. Определить количество лишних связей и путем их уда-
ления образовать статически определимую систему (рис. 1.2.2).
Определяем количество лишних связей по формуле (1.10):
Л= Со + 2 Ш- ЗД = 4 + 2 0 - 31 = 1.
Заданная система имеет одну лишнюю связь.
Наиболее простой (рациональной) статически опреде-
лимой будет система, если согласно приему 1, при-
Ч веденному выше, удалить горизонтальный правый
опорный стержень (рис. 1.2.3, а). Менее удачной бу-
Рис. 1.2.2 Дет система, если врезать простой шарнир в левый
или правый узел (рис. 1.2.3, б, в).
Нельзя врезать шарнир в заделку (рис. 1.2.3, г), так как полученная таким
образом система будет мгновенно изменяемой (диск прикрепляется к зем-
ле с помощью трех опорных стержней, пересекающихся в одной точке).
24
Пример 1.15. Определить количество лишних связей и путем их уда-
ления образовать статически определимую систему (рис. 1.2.4).
Определяем количество лишних связей по формуле
Л= О, + 2 ДГ-3 Д= 5 + 21 - 3-2 = 1.
Заданная система имеет одну лишнюю связь. Эту
связь можно устранить либо путем удаления какого-то
одного условно необходимого опорного стержня (при-
ем 1), либо путем введения простого шарнира (при-
ем 3).Так как заданная система является симметрич-
Рис. 1.2.5
выбрать симметричной. Это можно сделать с помощью введения простого
Шарнира в середине горизонтального стержня (рис. 1.2.5, д) или в заделке,
которая эквивалентна трем опорным стержням, удалить вертикальный
упорный стержень (рис. 1.2.5, б).
% Если вставить шарнир в заделку, то получится мгновенно изменяемая
Система (рис. 1.2.5, в).
Можно удалить один вертикальный опорный стержень либо слева, ли-
1бо справа, но тогда статически определимая система будет несимметрична
(рис. 1.2.5, г).
Пример 1.16. Найти количество лишних связей и путем их удаления
Образовать статически определимую систему (рис. 1.2.6).
Со+22Д-ЗД=4 + 23-3-3 = 1.	С
Надо устранить одну связь. Так как заданная си-
!стема симметрична, то, чтобы не “испортить” сим-
метрию статически определимой системы, удалим
^Лишнюю связь на оси симметрии. Шарнир С отбро-
сить нельзя, потому что он эквивалентен двум связям.
Согласно второму приему устранения связей удалим
Затяжку DE (рис. 1.2.7, а).
Рис. 1.2.7
25
Несколько хуже будет статически определимая система (теряется сим-
метрия задачи), если отбросить один горизонтальный опорный стержень в
точке А или В (рис. 1.2.7, б, в). Нельзя удалять абсолютно необходимые
вертикальные опорные стержни.
Пример 1.17. Вычислить степень статической неопределимости и об-
разовать из заданной системы статически определимую (рис. 1.2.8).
Степень статической неопределимости для фермы определяем по
формуле (1.11):
///	\\\	Л= Со + С- 2У=3 + 15-2-8 = 2.
Заданная симметричная ферма внутренне
дважды статически неопределима. Статически
р . - 8	определимую систему можно получить путем
Рис. 1.2.8	удаления двух симметрично расположенных
ферменных элементов. На рис. 1.2.9, а...в показаны различные варианты
таких систем.
Рис. 1.2.9
Рис. 1.2.10
Пример 1.18. Определить степень статической неопределимости и
образовать из заданной системы статически определимую (рис. 1.2.10).
# = С0+2Ш-ЗД=6 + 2\ -3-2 = 2.
Наиболее естественное действие - удалить простой
шарнир В (прием 5), эквивалентный двум связям
(рис. 1.2.11, а). Другую статически определимую
систему можно получить, отбросив два опорных
стержня в точке D (рис. 1.2.11, б), или удалить вер-
тикальный опорный стержень в точке С и любой
опорный стержень в точке D (рис. 1.2.11, в).
Рис. 1.2.11
Пример 1.19. Определить количество лишних связей и путем их уда-
ления образовать статически определимую систему (рис. 1.2.12).
Поскольку заданная симметричная система имеет один замкнутый
контур, количество лишних связей определим по формуле (1.12):
# = Q)+ 2Л7+ 3/Г-ЗД=4+ 2-0+31 -3-1 = 4.
26
Все четыре лишние связи одним действием не удалить. Поэтому применим
комбинацию из приемов 1 и 2, приведенных выше.
Рассечем. посредине верхний горизонтальный
стержень (такое рассечение эквивалентно удале-
нию трех лишних связей) и отбросим вертикаль-
ный опорный стержень в точке В (рис. 1.2.13, а).
На рис. 1.2.13, б, в представлены еще две менее
удачные статически определимые системы, полу-
ченные путем введения в различные сечения трех
простых шарниров и удаления вертикального
опорного стержня в точке
в.
Рис. 1.2.13
Пример 1.20. Вычислить степень статической неопределимости задан-
ной системы и образовать из нее статически определимую (рис. 1.2.14).
#== Со + 2 Ш- ЗД = 6 + 2-9 -3-7 = 3.
Одну из статически
определимых систем
можно получить пу-
тем удаления трех
ферменных элемен-
тов (рис. 1.2.15, а).
Если удалить ниж-
ний ферменный эле-
Рис. 1.2.14
Рис. 1.2.15
мент и врезать два простых шарнира в точках А и
статически определимую систему (рис. 1.2.15, б).
В, то получим еще одну
Пример 1.21. Вычислить степень статической неопределимости задан-
ной системы и образовать из нее статически определимую (рис. 1.2.16).
Л = Со+2Л7-ЗД=5 + 2-О-3-1 = 2.
Самая удачная (рациональная) статически опре-
делимая система образуется путем врезания двух
простых шарниров в точках В и С (рис. 1.2.17, а). На
рис. 1.2.17, б, в представлены еще две простые стати-
чески определимые системы.
Рис. 1.2.16
27
Рис. 1.2.17
Пример 1.22. Найти количество лишних связей и путем их удаления
образовать статически определимую систему (рис. 1.2.18).
Л = Ср + 2 ZCT-3 Д= 6 + 2-5 - 3-4 = 4.
Рис. 1.2.18
Надо устранить четыре лишние связи. Очевид-
но, что наиболее простую статически определимую
систему можно получить, если удалить два фермен-
ных элемента и простой шарнир (рис. 1.2.19, а).
Если удалить два ферменных элемента и две
опорные связи справа, то получим еще одну простую
статически определимую систему (рис. 1.2.19, б).
Несколько более сложная статически' опреде-
лимая система показана на рис. 1.2.19, в.
Рис. 1.2.19
28
Задачи 1.2.01...1.2.36. Определить количество лишних связей Л и
путем ихудаления образовать статически определимые системы.
1.2.18
29
1.2.19
1.2.20
1.2.21
1.2.22
1.2.26
1.2.27
1.2.29
30
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ К ГЛАВЕ 1
1.	Что понимают под расчетной схемой сооружения? Какими сообра-
жениями руководствуются при ее выборе?
2.	Что называется степенью свободы плоской стержневой системы?
3.	Какая система называется геометрически неизменяемой?
4.	Какая система называется геометрически изменяемой?
5.	Что такое мгновенно изменяемая система?
6.	Что понимают под определением "диск"?
7.	Дайте определение кинематической связи.
8.	Какие типы опор применяются для закрепления стержневой сис-
темы с основанием и каковы их кинематические и статические
свойства?
9.	Что такое простой цилиндрический шарнир и скольким кинема-
тическим связям он эквивалентен?
10.	Что такое кратный (сложный) шарнир? Приведите примеры про-
стых, кратных, полных и неполных шарниров. Как определяется
кратность шарнира через число простых шарниров?
11.	Что понимают под узлом шарнирно - стержневой системы?
12.	Приведите формулы для определения числа степеней свободы W
различных систем. Какая из этих формул является общей?
13.	Объясните, почему в вышеупомянутых формулах перед буквами Д
. и Ш стоят коэффициенты "+3" и "-2”.
14.	Назовите три возможных случая в зависимости от числа степени
свободы системы.
15.	Как называется система, у которой степень свободы W=l?
16.	Какое необходимое, но недостаточное условие является признаком
геометрической неизменяемости системы?
17.	В каких случаях и почему для суждения о неизменяемости и не-
подвижности сооружения необходимо произвести анализ его гео-
метрической структуры?
18.	Перечислите основные способы образования геометрически неиз-
меняемых систем. Приведите примеры.
19.	Назовите статические признаки мгновенной изменяемости соору-
жения.
20.	Каковы кинематические признаки мгновенной изменяемости со-
оружения?
21.	Почему мгновенно изменяемые сооружения не применяют в прак-
тике строительства?
31
22.	Как проверяется система на мгновенную изменяемость способом
нулевой нагрузки?
23.	Как проверяется система на мгновенную изменяемость способом
замены стержней (связей)?
24.	Дайте определение статически определимой системы.
25.	Дайте определение статически неопределимой системы.
26.	Можно ли сказать, что система, у которой степень свободы И*=0,
является статически определимой?
27.	Можно ли сказать, что система, у которой степень свободы W< О,
является статически неопределимой?
28.	Что понимают под лишними связями системы?
29.	Приведите формулы для определения числа лишних связей (сте-
пени статической неопределимости) системы.
30.	Чему равна степень статической неопределимости замкнутого
бесшарнирного контура?
31.	В чем различие между абсолютно необходимыми и условно необ-
ходимыми связями?
32.	Можно ли в статически неопределимой системе определить усилия
в абсолютно необходимых связях только из уравнений статического
равновесия?
33.	Могут ли абсолютно необходимые связи считаться лишними?
34.	Каким образом из статически неопределимой системы можно по-
лучить статически определимую?
35.	Сколько различных статически определимых систем можно полу-
чить из заданной статически неопределимой системы?
36.	Перечислите приемы, применяемые при удалении одной связи.
Приведите примеры.
37.	Назовите приемы, применяемые при удалении двух связей. При-
ведите примеры.
38.	Назовите приемы, применяемые при удалении трех и более свя-
зей. Приведите примеры.
32
Глава 2. Расчет сооружений на действие неподвижной нагрузки
Основные свойства статически определимых систем
1.	В статически определимых системах опорные реакции и вну-
тренние усилия (Л/, Q,N) от теплового воздействия, смещения опор и
неточности сборки не возникают.
2.	Реакции и усилия в элементах статически определимых систем
не зависят от формы и размера поперечных сечений, а также от упру-
гих свойств материала сооружения.
3.	В статически определимых системах часто можно выделить ос-
новную часть, которая обладает собственной неподвижностью и гео-
метрической неизменяемостью, и другие части системы, которые,
опираясь на нее, приобретают свою неподвижность и геометрическую
неизменяемость. В таких системах нагрузка, приложенная к основной
части, вызывает усилия только в элементах этой части. Можно сказать
иначе: нагрузка и усилия от нижележащих частей на вышележащие не
передаются (см. пример 2.30).
4.	Самоуравновешенная нагрузка, приложенная к локальной гео-
метрически неизменяемой части статически определимой системы,
вызывает усилия только в этой части, а во всех остальных частях сис-
темы усилия равны нулю (см. пример 2.25).
§ 2.1. Определение опорных реакций
Всякое инженерное сооружение под действием внешней сило-
вой нагрузки оказывает давление на опоры. Силы, равные и проти-
воположные этому давлению, называются опорными реакциями. Для
их определения составляются статические уравнения равновесия
системы в виде суммы проекций всех действующих на нее сил на
оси х, у и суммы моментов этих сил относительно опорных или
других моментных точек:	0; £У= 0; '£,М = 0. При составлении
последнего уравнения будем считать моменты, действующие по хо-
ду часовой стрелки, положительными.
Для статически определимой системы всегда можно составить
достаточное количество уравнений равновесия, чтобы найти все
опорные реакции и сделать их проверку.
Здесь и далее принята правосторонняя прямоугольная система
координат (ось х направлена вправо, ось у - вверх). Положитель-
ными считаются вертикальные реакции V, направленные вверх, го-
ризонтальные Н- вправо, а реактивные моменты в жесткой задел-
ке Л/- по ходу часовой стрелки. Усилие в затяжке Н3 принимается
положительным, если оно растягивает стержень.
3-1224
33
?я=16кН-м
9=4kH/m
т=1бкНм
НА
4м
Ув
И,=14кН
Рис. 2.1.1

. 2м >
Т
1
А
В
в>

Л
А
В
При определении опорных реакций надо сначала на расчетной
схеме показать их направления. Если истинные направления реа-
ций после простых логических рассуждений найти не удается, то
принимаем их положительными.
Рассмотрим определение опорных реакций в однодисковых
системах.
Пример 2.1. Найти опорные реакции в простой раме, показанной на
рис. 2.1.1, а.
Под простой рамой
будем понимать однодис-
ковую геометрически не-
изменяемую стержневую
систему, состоящую из
небольшого количества
стержней, жестко связан-
ных между собой в узлах
и прикрепленную к земле
(другому диску) с помо-
щью трех опорных
стержней, не пересекающихся в одной точке. В таких системах, как пра-
вило, одна какая-то реакция (в данном примере - Нл) направлена вдоль
какой-то оси (ось X), а две другие (Рл, ИЛ) - пер-пендикулярны к ней.
Отсюда следует, что вначале надо составить уравнение = 0, из которого
найдем, что На = 0. Для определения реакции VB составим уравнение
ЪМА = 0:
—VB -4 - 4-2-1 - 16 = 0, откуда Ув = -6 кН.
Знак “минус" показывает, что реакция Ув направлена не вверх, как
первоначально предполагали, а вниз. Наконец, реакцию Ул определим из
уравнения "LMB = 0:
Ул -4 - 4-2-5 - 16 = 0, откуда VA = 14 кН.
На рис. 2.1.1, б показаны значения и направления найденных опор-
ных реакций. Для проверки их истинности составим уравнение ЕУ= 0:
-4-2 + 14 - 6 = 14 - 14 = 0.
Следовательно, опорные реакции определены правильно.
Ответ-. Нл = 0; VA = 14 кН; VB = - 6 кН.
Опорное закрепление рамы в примере 2.1 можно назвать балоч-
ным закреплением. В таких однодисковых системах при действии
вертикальных нагрузок горизонтальные реакции не возникают. Та-
кие рамы еще называются безраспорными.
Распорными называются системы, в которых при действии
только вертикальной нагрузки появляются горизонтальные состав-
ляющие реакций, называемые распором.
34
Пример 2.2. Определить опорные реакции в раме (рис. 2.1.2).
На рис. 2.1.2 показаны вероятные на-
правления реакций. Как следует из первого
примера, единственную вертикальную ре-
акцию VB определим из условия ЕУ= 0:
VB - 2-6 - 6 = 0, откуда VB - 18 кН.
Для нахождения реакции Нв составим
уравнение равновесия моментов всех сил
относительно точки пересечения линий
действия двух других опорных реакций.
Такая точка называется моментной точкой.
ЪМК = 0; -2-6-3 + 6-4 + Нв -3 = 0,
откуда Нв = 4 кН.
Реакцию Нв можно также найти из условия ЪМА = 0.
Для определения реакции НА составим уравнение равновесия в виде сум-
мы проекций всех сил на ось X
Е*=0; Нл-Нв =0, НЛ = НВ = 4 кН.
Следовательно, по определению заданная рама является распорной. Реак-
ции оказались положительными. Значит их направления приняты верно.
Для проверки правильности найденных опорных реакций запишем урав-
нение моментов всех сил относительно точки А.
ЪМА = 0; 2-6-3 + 6-10 + 4-3 - 186 = 108 - 108 = 0.
Ответ: НА = 4 кН; Нв = - 4 кН; VB = 18 кН.
Решим предыдущую задачу, изменив только один геометрический
^размер, а затем решим еще раз задачу из примера 2.2, изменив вели-
чину сосредоточенной силы.
Пример 2.3. Найти опорные реакции в рамах (рис. 2.1.3, а, 6).
Искомые реакции для рамы, показанной на рис. 2.1.3, а, могут быть най-
дены из следующих уравнений равновесия:
Рис. 2.1.3
35
£У= 0;
ЕЛ/jc = 0;
SJ=0;
-2-6-6 + VB =0,
-2-6-3 + 6-6 + HB -3 = 0,
HA-HB =0,
VB = 18 кН.
HB =0.
Ял = Яд = 0.
По определению заданная рама является безраспорной.
Ответ. НА = 0; Нв = 0; VB = 18 кН.
Записав уравнения равновесия, аналогичные приведенным выше, най-
дем опорные реакции для рамы, показанной на рис. 2.1.3, б.
ЕУ= 0;	-2-6 - 9 + VB = 0,	VB = 21 кН.
ЪМК = 0;	-2-6-3 + 9-4 + Нв -3 = 0,	Ял = 0.
Е2Г= 0;	Ял-Я, =0,	Ял=Яд = 0.
Заданная рама также является безраспорной.
Ответ-. НА = 0; Нв = 0; Ув = 21 кН.
Вывод о том будет система распорной или нет, зависит от расчетной
схемы сооружения, расположения вертикальных нагрузок и соотношения
величин между ними, а также от геометрических размеров самой системы.
Упругие свойства материала конструкции и податливость опорных свя-
зей в статически определимых системах не влияют на величину усилий. По-
этому в системах с упругоподатливыми опорами (обозначенными пружин-
ками) и абсолютно жесткими элементами (EJ-да) опорные реакции опре-
деляются так же, как в рассмотренных выше примерах.
Пример 2.4. Найти опорные реакции в раме (рис. 2.1.4).
Опорные реакции определим -из сле-
дующих уравнений равновесия:
ЕУ= 0; Vc - 2-6= 0, Vc = 12 кН.
П4г=0; -НА -9 + 9-6 + 9-2-6-3 = 0,
Ял = 3 кН.
ЪМп = 0; -9-3 - 2-6-3 + 9 + Нв • 9 = 0,
Яд = 6 кН.
Рис. 2.1.4
Все реакции получились со знаком “плюс”, а это значит, что их направле-
ния приняты верно.
Проверка:	"LX =0; 3-9 + 6 = 0.
Ответ-. НА- 3 кН; Нв = 6 кН; Ус = 12 кН.
Рассмотрим несколько примеров на определение опорных реакций
в многопролетных статически определимых балках.
Многопролетной шарнирно-консольной балкой называется статически
определимая система, состоящая из расположенных в определенной по-
следовательности простых балок, соединенных идеальными шарнирами.
Опорные реакции в многопролетных шарнирно-консольных балках
36
можно определять непосредственно как по расчетной схеме, так и по ее
поэтажной схеме. В первом случае надо в дополнение к трем уравнени-
ям статики составить выражения изгибающих моментов от всех сил,
расположенных слева или справа от шарниров, и приравнять их нулю.
Пример 2.5. Определить опорные реакции в балке (рис. 2.1.5).
Рис. 2.1.5
Для определения пяти опорных реакций можно использовать пять
уравнений равновесия:
1.	ЕАГ= 0; НА = 0.
2.	=	12-Яд-6 = 0,	Яд =2 кН.
3.	£М^ = 0;	-2-12+ 12 + 2-4-2- Rc-4 = 0,	Яс = 1 кН.
4.	ЪМЛ = 0;	-218+12+2-4-8 = -110 -RB -4 +4-2 =0, Я,=9,5 кН.
5.	£Af/° = O;	Ял-6-4-4 +9,5-2 = 0,	Ял =-0,5 кН.
Знак “минус” у реакции Я< означает, что она направлена вниз.
Проверка: £Г= 0;	-0,5 - 4 + 9,5 - 2-4 + 1+2 =-12,5 + 12,5 = 0.
Ответ. RA - -0,5 кН; RB = 9,5 кН; Яс = 1 кН; Яд = 2 кН.
Пример 2.6. Найти опорные реакции в балке (рис. 2.1.6).
В данной задаче для определения опорных реакций требуется составить
две системы уравнений:
=0; |ЯЛ-7-15-5-3-2-1 + ЯЛ-2 *= 0;
2	.£М/"=0; [Ял-11-15-9-3-6-3 +ЯЛ-6 = 0;
3	.£М"=0; {Mc-Rc-4 + 16 = 0;
4	.^Л/Г=0;	-Др-8 + 16 + 3-4-2 = 0.
Решив две записанные
системы уравнений, найдем
искомые значения опорных
реакций, проверка которых
дает положительный ре-
зультат.
Ответ. RA = 5,4 кН;
Ял=21,6кН; Rc =6 кН;
Мс = 8 кНм.
Рис. 2.1.6
37
В некоторых случаях расчет многопролетной шарнирно - кон-
сольной балки по расчетной схеме может быть нерационален, так как
потребуется решение системы уравнений со многими неизвестными.
Тогда для удобства расчета необходимо составить поэтажную схему, на
которой отражен характер передачи силовых воздействий от одной
балки к другой. При удалении шарниров балка распадается на отдель-
ные части - главные (основные) байки и второстепенные. Главные
(основные) балки при действии только вертикальной нагрузки пред-
ставлены на рис. 2.1.7, второстепенные - на рис. 2.1.8.
Заметим, что две последние бал-
ки, представленные на рис. 2.1.7,
на первый взгляд Moiyr показаться
Рис. 2.1.8
имеющими подвижность вдоль оси х Однако (см. далее в примерах)
недостающий горизонтальный опорный стержень при образовании
поэтажной схемы будет заимствован у одного из шарниров, по-
скольку многопролетная балка в целом является неподвижной в го-
ризонтальном направлении.
Расчет начинается с верхних второстепенных балок с последующим
переходом к нижележащим балкам. Верхняя балка рассчитывается на
нагрузку, которая к ней приложена. Затем рассчитываются нижележа-
щие балки на нагрузку, непосредственно приложенную к ним, и на до-
полнительную нагрузку, в качестве которой принимаются опорные ре-
акции от смежных вышележащих второстепенных балок, взятых с про-
тивоположными направлениями.
Пример 2.7. Найти опорные реакции в балке (рис. 2.1.9, а).
Поэтажная схема приведена на рис. 2.1.9, б. Главными (основными)
являются балки ЛЕ и GCD, а второстепенными - FG и ЕВР.
Балка в целом геометрически неизменяема и вдоль оси х неподвижна.
Чтобы каждая балка на поэтажной схеме была также неподвижна и геомет-
рически неизменяема (должно быть по три опорных стержня), надо один
опорный горизонтальный стержень у шарнира G удалить (шарнир эквива-
лентен двум опорным стержням) и перенести его к опоре в точке С.
Расчет произведем согласно описанной выше процедуре.
1.	Балка FG (рис. 2.1.9, в): RF = Eg = у =	= 12 кН.
2.	Балка EBF(pvic. 2.1.9, г):
ЕМ£ = 0;	12-7 - Яд-5 + 11-3 = О, Яд = 23,4 кН.
ЕЛГд = 0; -Яд-5-11-2+12-2 = 0,
Я£ = 0,4 кН.
38
3.	Балка GCD (рис. 2.1.9, <?):
ЕЛ/д = 0;	-12-7	- 4-3-5,5 +ЯС • 4 + 8 = 0,	Rc	=	35,5	кН.
ЕМс=0;	8 +	Rd-4 -12-3 -4-31,5 = 0,	Яд	=	11,5	кН.
4.	Балка АЕ (рис. 2.1.9, е):
ЕУ= 0;	0,4 -	Ra = 0, RA = 0,4кН,
SAG = 0; . МА -	0,4-5 = 0, МА - 2 кН м.
в)
<7=4кН/м
Г=11кН
6м
9=4кН/м
0=4кН/м
И
/=11 кН
д)
Яс=12кН
,-у..-
Я^12кН
Я^ХкН Яд=23,4кН
/•=11 кН
Е
Я/=0,4кН
Ях=0,4кН
т=8кН-м
Л1=8кН-м
Rtf- 12кН
<7=4кН/м
; /И=8кН-М
G
Ял=11,5кН
Я 35,5 кН

Рис. 2.1.9
На рис. 2.1.9, в...е показаны истинные значения и направления опор-
ных реакций после их проверки.
Ответ: МА =, 2 кН-м; RA = -0,4 кН; RB = 23,4 кН; Яд = -11,5 кН
Перейдем к определению опорных реакций в трехшарнирных рамах.
Трехшарнирная рама - система, составленная из двух дисков, соединен-
39
ных шарниром и прикрепленная к земле (диску) шарнирно-неподвиж-
ными опорами. Опоры могут располагаться на одном или разных уров-
нях. Трехшарнирная рама, применяемая в строительных конструкциях,
как правило, является распорной системой. Чтобы не передавать гори-
зонтальное давление на нижележащие конструкции, в трехшарнир-
ную раму вводят затяжку, а одна из шарнирно-неподвижных опор за-
меняется шарнирно подвижной (удаляется один горизонтальный опор-
ный стержень). Для определения четырех опорных реакций записывают
три известных уравнения равновесия, а четвертое уравнение составляют
из условия равенства нулю изгибающего момента в промежуточном
шарнире от всех сил, расположенных слева или справа от этого шарнира.
Пример 2.S. Определить опорные реакции в трехшарнирной раме
Рис. 11.10
(рис. 2.1.10). При вертикальной на-
грузке горизонтальные реакции (рас-
пор) и Нв должны быть равны
по величине и противоположно на-
правлены. Это вытекает из условия
£Х=0; НА -Нв=0, НА=НВ.
Для нахождения вертикальных
реакций приравниваем нулю суммы
моментов всех внешних сил отно-
сительно опорных шарниров.
ЕЛ£ = 0; -^-8+4-6+12 = 0,
Ув = 4,5 кН. ЕЛ/Д = О; УА-8 + 12 - 4-2 = 0, УА = -0,5 кН.
Проверка:	ЕУ = 0;	-0,5 - 4 + 4,5 = -4,5 + 4,5 = 0.
Распор НА найдем из условия равенства нулю изгибающего момента в
шарнире С от всех сил, действующих слева от него.
=0; -0,5-4- НА-6+ 12 = 0, НА = 1,667 кН.
Для проверки выполнения равенства НА = Нв составим выраже-
ние изгибающего момента всех сил справа от шарнира С и приравняем
его нулю.
-4,5-4+Яй-6+ 4-2 = 0, Нв = 1,667 кН.
Ответ-. УА = -0,5 кН; НА =1,667 кН; Кй= 4,5 кН; Нв = -1,667 кН.
Пример 2.9. Найти опорные реакции в раме (рис. 2.1.11).
Сразу можно найти вертикальную реакцию УА из условия
£ МсЕВ = 0 > ул  4 -2-2-3 = 0, УА = 3 кН. После этого реакцию Ув опреде-
лим из уравнения ЕУ= 0; 3 - 2-2 - 4-3 + Ув = 0,Ув = 13 кН. Остальные
реакции найдем из следующих уравнений:
ЕЛ6 = 0;	3-7 + НА  4 -2-2-6 -4-3-1,5 = 0, НА = 5,25 кН.
40
£^=0; -13-3 +НВ-4 + 4-31,5 = 0,
Нв = 5,25 кН.
Проверка: ЕХ = 0; -5,25 + 5,25 = 0.
ЪМА = 0; -13-7 + 5,25-4 + 4-3-5,5 +
+ 2-2-1 = -91+ 91 = 0.
Ответ: VA = 3 кН; НА = -5,25 кН;
Ид = 13 кН; Яд = 5,25 кН.
Рис. 2.1.11
Пример 2.10. Определить опорные реакции в раме (рис. 2.1.12).
Особенность данной рамы с опорами в разных уровнях состоит в том,
что ни одну из. реакций из одного уравнения равновесия найти нельзя. В
этом случае необходимо записывать и решать систему двух уравнений с
двумя неизвестными.
£Л/д=0 ;	Г^-6+Яя-2-2-5-а5 = 0;
=0 ; {ил-3+Ял-6-12-4=0.
Из решения системы следует:
VA = -2,2 кН; Ял = 9,1 кН.
Остальные реакции находим так:
EJ=0;-9,l + 12-Яд =0,
Яд = 2,9 кН.
ЕГ= 0; - 2,2 - 2-5 + VB = 0,
Ид = 12,2 кН.
Проверка: £ М™ = 0;
2,9-4 - 12,2-3 + 2-5-2,5 = 36,6 - 36,6 = 0.
Ответ; УА = -2,2 кН;Ял = -9,1 кН;
VB =12,2 кН; Яд = -2,9 кН.
Пример 2.11. Определить опорные реакции в рамах (рис. 2.1.13, а, б).
41
Определим опорные реакции для рамы, показанной на рис. 2.1.13, а.
£МЛЕЙ-0; -НА-6+ Кл-0 =0,	Ял=0.
SJ=0;	Ял-Я,=0,	Я,=Ял=0.
ХМА = 0;	-И, • 9 + 16-6 + 12-2 = 0, И, = 13,333 кН.
£МВ = 0; УА • 9 - 12-7.- 16-3 = 0, УА = 14,667 кН.
Проверка: ЕУ= 0; 14,667 - 12 - 16 + 13,333 = 28 - 28 = 0.
Ответ: УА = 14,667 кН; НА =0; Ув = 13,333 кН; Нв = 0.
Аналогично найдем реакции для рамы, изображенной на рис. 2.1.13, б.
ЪМА = Ь\ -Ув -6 + 6-8 + 3-4-2 = 0, И, = 12 кН.
-12-2 + 6-4 + Нв • 5 = 0, Нв = 0.
ЪМВ = 0; УА • 6 - 3-4-4 -6-2 = 0, VA = 6 кН.
% МЛСЕВ = 0 ;	6-4 - 3-4-2 -НА -5 = 0, НА = 0.
Проверка: ЕГ= 0; 6 - 3-4 - 6 + 12 = 18 - 18 = 0.
Ответ: УА = 6 кН; НА = 0; Ув = 12 кН; Нв = 0.
Обе трехшарнирные рамы, представленные на рис. 2.1.13, при данных
нагрузках являются безраспорными.
Пример 2.12. Найти опорные реакции и усилие в затяжке (рис. 2.1.14).
Рис. 2.1.14
Опорные реакции находятся так же
как, в простой раме.
SX= 0;	-6 + Нв = 0, Ял = 6 кН.
ЕЛ/Й = О; УА-6 - 6-2-5 - 6-6 + 18 = 0,
УА = 13 кН.
ЪМА = 0; -Гй-6-6-3+18-6-3+6-2-1=0,
Ув = -1 кН.
Для определения усилия в затяжке
проведем сечение, разрезающее затяжку
и проходящее через шарнир С. Затем
составим выражение изгибающего момента всех сил слева или справа от
шарнира С и приравняем его нулю.
S МЛЕВ = 0 ; 13-2 - 6-2-1 -Н3 -3 = 0, Н3 = 4,667 кН.
Проверка: ЕУ= 0;	13 - 6-2 - 1 = 13 - 13 = 0.
'£МЛР = 0;	1-4 -6-6 + 18 + 4,667-3 =-36 + 36 = 0.
Ответ: УА = 13 кН; VB = -1 кН; Нв = 6 кН; Н3 = 4,667 кН.
Пример 2.13. Найти опорные реакции в трехпролетной раме
(рис. 2.1.15, а).
Расчет такой рамы удобнее производить с помощью ее поэтажной схе-
мы, в состав которой, если удалить условно необходимые шарниры, так
42
же, как и в состав многопролетной балки, входят основные и второ-
степенные части.
В качестве основных частей могут быть приняты: простые балки и бал-
ки с ломаной осью, а также простые и трехшарнирные рамы с затяжкой и
без нее. Поэтажная схема рамы приведена на рис. 2.1.15, б.
Рис. 2.1.15
Рис. 2.1.16
Таким образом, расчет сложной многопролетной (многоэтажной) рамы
сводится к расчету более простых составляющих ее элементов. Последова-
тельность расчета рам остается такой же, как расчета многопролетных
шарнирно-консольных балок. В данном примере две второстепенные про-
стые рамы АЕ и FD опираются в точках Е и F на основную простую раму
ВСЕ Произведем расчет каждой рамы отдельно.
1.	Рама АЕ (рис. 2.1.16).	Е у, ^HF
£Х=0; 10-Я£=0, НЕ = 10 кН.
ЕМ£ = 0; Гл-4- 102 = 0, Ул = 5 кН.
ZMA = 0; И£- 4 - 10 2 = 0, И£ = 5 кН.
2.	Рама FD (рис. 2.1.17).
£У= 0; VF = 0.
SM£=0; Яд-4-34-2 = 0, Ял=6кН.
Рис. 2.1.17
43
ZMD = 0; -HF• 4 + 3-4-2 = 0, HF = 6 кН.
3.	Рама BCF (рис. 2.1.18).
EX=0; 6+10-Яд=0, Яд = 16 кН.
£MB = 0; -Vc-6 + 6-6+ 16 + 10-2 = 0, Ис = 12 кН.
ЕЛ/с =0; -VB  6 + 5-6 + 10-2 + 16 + 6-6 = = 0, VB = 17 кН.
Проверка: ЕГ = 0; -17 + 5 + 12 = -17 + 17 = 0.
Ответ: VA = 5 кН; Ид =-17 кН; Нв = - 16 кН; Vc = 12 кН;
Яд = - 6 кН.
Пример 2.14. Составить поэтажную схему рамы (рис. 2.1.19, а).
Поэтажная схема приведена на рис. 2.1.19, б.
Простая рама АЕ и трехшарнирная рама GKD опираются на основную
трехшарнирную раму EFGCB. Вначале рассчитываются верхние рамы АЕ и
GKD. Затем - основная рама EFGCB с учетом опорных давлений от выше-
лежащих рам.
Пример 2.15. Составить поэтажную схему рамы, показанной на
рис. 2.1.20, а.
Поэтажная схема представлена на рис. 2.1.20, б.
Основной частью является трехшарнирная рама с затяжкой AMNBC.
На нее опирается простая рама NEF. Наконец, на рамы AMNBC и NEF
опирается трехшарнирная рама MDE. Расчет начинается с рамы MDEi за-
тем переходят к расчету рамы NEF После этого рассчитывается рама
AMNBC.
44
Задачи 2.1.01...2.1.54. Найти опорные реакции и усилия Н3 в за-
тяжках.
2.1.01
2.1.02
2.1.03
2.1.10
2.1.11
2.1.12
45
2.1.13
2.1.14
2.1.15
2.1.19
Ш=10кНм 4 1кН/м
c
4м 2м, 4м
ж—
F=12kH
2.1.20
2.1.22
2.1.21
. 8м , 4м . 4м , 4м , Зм . Зм .
|«-----—>!< ->к—ж-ж-->1
F=12kH
I F=12kH
д=2кН/м
Ш=8кН-м
|^|ебм:2мх4ы^-?м...
2.1.23
2.1.24
|< 6м >^4м
46
2.1.25	2.1.26
Я=2кН/м	F=10kH	Ч=1кН/м
ГТТТ1 т-12кНм	т=18кНм |-у-.-р-4-,.,
I--------------п--„------У	£
, 9м , 9м । 6м , 6м 6м ; Зм ।	,2м, 6м , 4мП^4м , 4мТ 6м
к- --ж—ж-—-ж---х—-ж-Н	к^к—ж—х—х-—>!<-->
2.1.27	2.1.28	2.1.29
2.1.30	2.1.31	2.1.32
2.1.33	2.1.34	2.1.35
47
2.1.36	2.1.37	2.1.38
2.1.41
2.1.39
2.1.40
, 2м , 2м , 2м , 2м ।
2.1.45
2.1.43
2.1.44
F=15kH
т=8кН.м
а=ЗкН/м
8
и
□
2.1.46
48
2.1.47
2.1.48
2.1.49
2.1.50
2.1.51
2.1.52
2.1.53
4-1224
49
§ 2.2. Определение внутренних усилий в простых рамах и
многопролетных шарнирно-консольных балках
Внешняя нагрузка вызывает в стержнях конструкции внутреннее
напряженное состояние, которое в каждом поперечном сечении харак-
теризуется внутренними усилиями определенной величины и знака:
изгибающим моментом, поперечной и продольной силами.
Изгибающий момент М, действующий в сечении,
численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил,
приложенных к левой или правой части конструкции от сечения,
относительно центра тяжести данного сечения. Опорные реакции
здесь и далее будем относить к внешним силам.
Поперечная сила Q численно равна алгебраической
сумме проекций всех левых или правых сил от сечения на ось,
перпендикулярную к оси элемента в этом сечении.
Продольная сила N численно равна алгебраической
сумме проекций всех левых или правых сил от сечения на ось са-
мого элемента в этом сечении.
Если изгибающий момент М, поперечная сила Q и продольная
сила N в каком-либо сечении С находятся из уравнений рав-
новесия левой части, то они определяются в общем случае по сле-
дующим формулам:
МС^МЛЕВ\ Ос = ЪуЛЕВ' НС^ХЛЕВ,	(2.1)
а если - из условий равновесия правой части, то - по тем же фор-
мулам, но с обратным знаком:
=	Ос-ЪуПР> Nc=-^XnF.	(2.2)
Под эпюрами изгибающих моментов М, поперечных сил Q
и продольных сил N понимают графики, изображающие законы
изменения этих внутренних усилий по длине каждого элемента
системы.
При расчете рам (балок) после нахождения опорных реакций
определяют изгибающие моменты по концам стержней, сходящих-
ся в узлах рамы, в точках приложения сосредоточенных внешних
сил (точки перелома эпюры М) и моментов (скачки на эпюре Л/);
на участках действия равномерно распределенной нагрузки интен-
сивностью q для получения криволинейной эпюры к эпюре конце-
вых моментов “подвешивается” балочная параболическая эпюра М
с ординатой посредине равной, ql1/^.
Знаки на эпюре М для рам не ставят, а саму эпюру изгибающих
моментов строят со стороны растянутых волокон.
50
В балках изгибающий момент считается положительным, если
(он растягивает нижние волокна.
Чтобы при построении эпюры М автоматически попадать на
растянутые волокна, можно каждый элемент рамы предполагать
горизонтальным или же мысленно представить себе наблюдателя,
последовательно поворачивающегося внутри рамы лицом к каж-
дому элементу. В том и другом случаях, получая положительные
Значения изгибающих моментов, откладываем их вниз (к наблюда-
телю) от оси стержня, отрицательные - вверх (от наблюдателя).
Различные положения наблюдателя будем обозначать цифрами в
Кружках, а направление его взгляда - стрелкой. Можно поступить и
по - другому. Если удается с помощью сечений, проведенных через
Характерные точки, разбить заданную раму на ряд консольных ба-
|лок и консольных балок с ломаной осью, то растянутые волокна в
Интересующих нас сечениях можно просто установить от одной
агрузки, которая вносит наибольший вклад в момент М в данном
речении (остальные, если они есть,- мысленно удаляем).
$ Эпюру Q строят по эпюре М с учетом зависимости Q =	
аХ
I® tga, т.е. поперечная сила численно равна тангенсу угла наклона
касательной к эпюре моментов в данном сечении. Если эпюра М
прямолинейная, то a - угол между очертанием эпюры и осью
стержня. Для определения знака Q надо повернуть ось стержня до
совмещения с эпюрой М. Если вращение происходит по ходу часо-
вой стрелки - знак “плюс”, против - ’’минус”. Другое правило: по-
перечная сила считается положительной, если она вращает отсе-
ченную часть стержня относительно противоположного конца по
ходу часовой стрелки. На рис. 2.2.1, а...г приведены типовые прямоли-
нейные эпюры моментов и соответствующие им эпюры попереч-
ных сил.
Vi	У2	Уз
Рис. 2.2.1
51
На участках с равномерно распределенной нагрузкой изгибаю-
щий момент изменяется по закону квадратной параболы, обращен-
ной выпуклостью в сторону действия нагрузки q, а поперечная си-
ла по - линейному закону (наклонная прямая к оси стержня). Для
удобства построения эпюры поперечных сил для такого случая ре-
комендуется разбить эпюру М на две составляющие, предвари-
тельно проведя прямую линию, соединяющую концы эпюры мо-
ментов: квадратную параболу и трапецию или треугольник. Для
каждой из составляющих строится своя эпюра Q, сумма их и будет
окончательной эпюрой для данного участка (рис. 2.2.2).
V У.У Ш.ШХШ д
к....l- -~- 
."Sijk®
<7/2/8
М—A/j+A/j; Q-Q1+Q2
ql _ a+b
Рис. 2.2.2


В тех сечениях, где эпюра Q, пересекает ось стержня (Q= 0),
изгибающий момент имеет экстремум. Из курса сопротивления ма-
териалов известно, что хтах=2л/^, а Л/тах - МА + По, где
= QAXтах /2 - площадь эпюры Q на участке от Л до X тах; Мл
берется со своим знаком.
Продольная сила N считается положительной, если она’ растя-
гивает стержень, т.е. направлена от узла.
Эпюра продольных сил строится по эпюре поперечных сил спо-
собом вырезания узлов, начиная с двухстержневого узла. К каждому
стержню вырезанного узла прикладываются поперечные силы, взятые из
эпюры Q. Поперечная сила со знаком “плюс” вращает узел по ходу ча-
совой стрелки, а со знаком “минус” - против. После этого вдоль стерж-
ней от узла прикладываются положительные продольные силы N и
составляются два уравнения равновесия в виде суммы проекций
всех сил на оси X и у. Если к узлу приложена внешняя сосредото-
ченная сила, то она обязательно учитывается при сос-тавлении
уравнений ЪХ = 0 и ЕК= 0.
52
Трехстержневые (четырехстержневые и т.д.) узлы рассматрива-
|этся только тогда, когда одна (две и т.д.) из продольных сил была
Предварительно найдена.
Очень часто искомые продольные силы можно определять в
уме (путем логических рассуждений), не записывая уравнений рав-
новесия для узла. Для каждого стержня между двумя соседними
узлами эпюра N имеет вид прямоугольника (при отсутствии про-
дольной нагрузки).
При построении эпюр М, Q, N и для проверки их правиль-
ности применяют приведенные ниже правила:
1.	На незагруженном участке стержня эпюра М будет прямоли-
нейной, а эпюра Q постоянной (т.е. имеет вид прямоугольника).
2.	На участке стержня, в точке приложения сосредоточенной
силы F, на эпюре М должен быть перелом (излом), направленный в
сторону действия силы, а на эпюре Q- скачок, равный по величине
Приложенной силе F. На эпюре N это не сказывается (рис. 2.2.3, а).
Рис. 2.2.3
3.	На участке стержня, в точке приложения сосредоточенного
момента т, на эпюре М должен быть скачок, равный по величине
приложенному моменту т, а ветви эпюры М слева и справа от этой
точки должны (эыть параллельны. На эпюры Q и N это не влияет
(рис. 2.2.3, б).
4.	Поведение эпюр М и Q на участке, загруженном равномерно
распределенной нагрузкой описано, выше (см. с. 52, рис. 2.2.2).
53
5.	Из условия равновесия двухстержневого узла, не загружен-
ного сосредоточенным моментом, эпюра моментов переносится с
наружных волокон на наружные, с внутренних - на внутренние
(рис. 2.2.3, в).
6.	Момент в шарнире равен нулю, если к сечению, бесконечно
близко от него, не приложен внешний сосредоточенный момент.
7.	Если на конце стержня приложен внешний сосредоточенный
момент т, то внутренний изгибающий момент равен этому моменту
т, а при его отсутствии внутренний момент равен нулю.
8.	Для всех узлов рамы (рис. 2.2.3, г) должно выполняться условие
S МУ зло ~ 0 •
9.	Если на прямолинейном участке стержня длиной /, загружен-
ного нагрузкой q, или F, или т, известны две крайние ординаты
эпюры моментов, то к ним надо “подвесить” известные балочные
эпюры моментов (рис. 2.2.3, д...ж).
10.	Для проверки эпюр Q и N раму отрезают от опор, а их
влияние заменяют внутренними силами, взятыми из эпюр Q и N.
Затем составляют уравнения равновесия SX=0, £У=0 с учетом
внешней нагрузки.
В заключение приведем таблицу эпюр внутренних усилий для
простейших балок, рассмотренных в курсе сопротивления материа-
лов (деформация балок показана пунктирной линией),-табл. 2.1.
Рассмотрим несколько примеров на построение эпюр внутрен-
них усилий в различных системах.
Пример 2.16. Построить эпюры М, Q, У в консольной балке с лома-
ной осью (рис. 2.2.4, а).
Построение эпюры изгибающих моментов
В консольных балках с ломаной осью эпюра М строится без опреде-
ления опорных реакций в заделке. Для ее построения необходимо найти
значения изгибающих моментов лишь в нескольких характерных сече-
ниях (рис. 2.2.4, б).
54
Таблица 2.1
55
Так как в стержне 1-2
сила F = 12 кН действует
вдоль него, то М\ =ЛГ2 ~ О
(плечо силы F относи-
тельно точек 1 и 2 рав-
но нулю). Из равновесия
узла D следует, что Af3==0.
На стержне 3-4 эпюра М
будет прямолинейной, по-
тому что отсутствует на-
грузка. Для построения
прямой надо найти мо-
менты на концах стер-
жня. Момент в т. 3 из-
Рис. 2.2.5	вестей, и он равен нулю.
Для определения момен-
та в т. 4 проведем через нее сечение и отбросим нижнюю часть вместе с задел-
кой, а само сечение мысленно закрепим жесткой заделкой (рис. 2.2.5, а).
Вначале определим численное значение момента в т. 4:	= F- 4 =
= 12-4 = 48 (кН м). Под действием силы F вертикальный стержень искри-
вится так, как показано на рис. 2.2.5, а, т.е. растянуты будут правые во-
локна. После таких действий и рассуждений можно нарисовать эпюру М
на стойке с правой стороны (см. рис. 2.2.5, а). Эту эпюру можно было бы
сразу нарисовать (п. 5 табл. 2.1).
Далее проводим сечение через точку 6, отбрасываем левую часть с
заделкой, а само сечение, как и ранее, мысленно закрепляем (рис. 2.2.5, б).
Пунктирная линия, характеризующая деформацию консольной балки, по-
казывает, что растянутыми будут верхние волокна, а момент для такой
балки вычисляется по известной формуле:
(кНм).
Табличная эпюра моментов (п. 4 табл. 2.1) для стержня 5-6 пред-
ставлена на рис. 2.2.5, б.
Так как на участке стержня, меж-
ду сечениями 7 и 8, нагрузка от-
сутствует, эпюра М будет прямоли-
нейной и для ее построения достаточ-
но вычислить значения моментов в
двух точках (7 и 8). Момент в сече-
Рис. 2.2.6	нии 7 определим из условия равнове-
сия трехстержневого узла С (рис. 2.2.6).
У стержня 3-4 растянутыми являются правые волокна. Графически на
узле это изображают в виде дуговой стрелки, начало которой помещают с
той стороны стержня, где растяжение. Затем обходят только этот стер-
56
жень, не пересекая его, ставят стрелку, обозначающую конец дуговой
стрелки, и пишут значение момента (рис. 2.2.6, а).
У горизонтального стержня 5-6 растянутыми являются верхние во-
локна. Поэтому начало дуговой стрелки ставим сверху стержня и обходим,
не пересекая его, по ходу часовой стрелки (рис. 2.2.6, а). Суммарный ал-
гебраический неуравновешенный момент в узле С равен 30 кНм и на-
правлен против хода часовой стрелки. Чтобы выполнить условие
^узла - 0 > надо в узел С (точнее, к стержню 7-8 в сечении 7) прило-
жить момент, равный 30 кН м и направить по ходу часовой стрелки. Это
можно сделать, если начало дуговой стрелки поместить снизу стержня 7-8
и обойти, не пересекая его, по ходу часовой стрелки. Так как начало дуго-
вой стрелки находится снизу стержня, то нижние волокна и будут растя-
нутыми (рис. 2.2.6, <5). Пунктиром обозначены растянутые волокна на
стержнях, примыкающих к узлу.
Итак, = 30 кН м. Из рис. 2.2.5, в следует, что М% = F 4 - ql -4,5 =
*=12-4 -4-3-4.5 =-6 (кН м). Наибольший вклад в момент Ms внесла равно-
мерно распределенная нагрузка q. Поэтому силу F можно мысленно уб-
рать, а от действия оставшейся нагрузки q стержень 7-8 изогнется так, как
Показано пунктирной линией на рис. 2.2.5, в, т.е. вблизи сечения 8 растя-
нутыми будут верхние волокна. На этом же рисунке представлена и эпюра
; М на стержне 7-8.
Наконец, рассмотрим построение прямолинейной эпюры М на стерж-
не 9-10, свободном от нагрузки. Из условия равновесия двухстержневого
yina В следует, что М9 = М& = 6 кН м и растянутыми будут внутренние
волокна.
Момент в точке 10 найдем из рассмотрения рис. 2.2.5, г. Сила F про-
водит через точку 10 и момент от нее будет равен нулю.
Мщ = ql -4,5 = 4 3-4.5 =54 (кН м). Под действием равнодействующей силы
ql- 12 кН м стержень 9-10 искривится так, как это показано пунктирной
линией на рис. 2.2.5, г, т.е. вблизи сечения 10 растянуты будут правые во-
локна. После нахождения моментов М9 и Л/10 строим прямолинейную
эпюру М на стержне 9-10 со стороны растянутых волокон (рис. 2.2.5, г).
Все представленные на рис. 2.2.5 эпюры М для отдельных стержней
переносим на единую схему (рис. 2.2.7, а).
Рис. 2.2.7
Построение эпюры поперечных сил
Эпюру поперечных сил Q будем строить по эпюре изгибающих мо-
ментов М, используя зависимость Q = dM/dx. Численное значение Q на
57
участках с линейной эпюрой М будем определять по формуле Q = tg а, а
знак- по направлению вращения оси стержня до совмещения с эпю-
рой М.
Стержень 3-4:	@3-4 =-48/4 =-12 (кН).
Знак “минус” у поперечной силы Оз-4 показывает, что вращение оси
стержня 3-4 до совмещения с эпюрой М происходит против хода часовой
стрелки.
Эпюра Q на стержне 5-6 является типовой и ее очертание переносит-
ся из таблицы простейших балок (п. 4 табл. 2.1).
Стержень 7-8:	С?7-8 = (30 + 6)/3 = 12 (кН).
Поперечная сила Qj.t положительна, так как ось стержня 7-8 до сов-
мещения с эпюрой М вращается по ходу часовой стрелки.
Стержень 9-10: <&-10 - (54 - 6)/4 = 12 (кН).
С какой стороны от оси стержня откладывать эпюру Q-неважно,
главное - поставить знаки. Однако, по аналогии с балкой, можно ре-
комендовать для горизонтальных стержней положительные ординаты от-
кладывать вверх, отрицательные - вниз. Эпюра поперечных сил Q пока-
зана на рис. 2.2.7, б.
Построение эпюры продольных сил
Эпюру продольных сил N будем строить по эпюре Q способом выре-
зания узлов, начиная с двухстержневых узлов. Сначала вырезаем узел D.
На стержне 1-2 поперечная сила равна нулю, а на стержне 3-4 она отри-
цательна и равна 12 кН. Графически на узле D ее показывают в виде силы,
перпендикулярно (поперек) к стержню 3-4 и направленной так, чтобы она
вращала узел против хода часовой стрелки (Q < 0). Затем вдоль стержней,
примыкающих к узлу, прикладывают продольные силы, направленные от
узла (считаем их пока положительными), и составляют уравнения равно-
весия в виде ЕА'= 0, ЕУ= 0 продольные силы # fl) 	#2-i	1^9-10 о	*	0?-ю=12кН 	►	I	#8-7 ft_4=12KH 51—|	► ' г #3-4	О8_7=12кН	(рис. 2.2.8, д), из которых находят искомые «) г) #3-4 1О4-3=12кН #7.8=12кН Л ।	#6_5 NX_2	F ин- - О7_8=12кН	е&-5=12кН Рис. 2.2.8
УзелК:	ЕХ=0;	12 + #2-i = 0,	#2_! =-12 кН.	ЕУ=0;#3^ = 0.
Узел В:	ЕЛГ = 0;	12 + = 0,	#8_7 = -12 кН.
ЕГ=0;	-12 + #9-10=0,	#9-10= 12 кН.
Узел С: ЕЛГ= 0;	12 - 12 +	= 0,	= 0.
ЕУ= 0; -12 + 12 + Узч = 0, #зч = 0.
Рис. 2.2.8, г: £Х= 0; -#,_2 - F= 0,	N{.2 = - 12 кН.
58
Следующим вырезаем двухстержневой узел В (рис. 2.2.8, б). На него с
ы Q переносим положительные поперечные силы Qt.2 = 12 кН и
= 12 кН, направленные так, чтобы они вращали узел по ходу часовой
ки. После приложения положительных продольных сил записываем
нения равновесия: £Х= 0 и ЕК= О, из решения которых находим
мне усилия N.
Из заданной расчетной схемы консольной балки с ломаной осью сле-
црет, что продольное усилие = 0.
Проверка, выполненная с помощью вырезания трехстержневого уз-
С (рис. 2.2.8, в) и бесконечно малого элемента вблизи сечения 1
ис. 2.2.8, г), показала, что искомые продольные усилия найдены пра-
ьно. Как и для эпюры Q, неважно, с какой стороны от оси стержня
пожить ординаты эпюры N, главное - поставить знаки. Эпюра продоль-
сил N показана на рис. 2.2.7, в.
В дальнейшем уравновешивание узлов по поперечным и продольным
вилам для взаимно перпендикулярных стержней, сходящихся в узле, будем
производить в уме.
(Следующие примеры
рудут сделаны менее
иодробно, а читатель
может обратиться к
рассуждениям, при-
веденным в вышеиз-
ложенном примере.
L Пример 2.17.
Достроить эпюры М,
О, N в консольной
балке с ломаной осью (рис. 2.2.9, а).
t Построение эпюры изгибающих моментов
Для построения эпюры М необходимо найти численные значения мо-
ментов в характерных сечениях, показанных на рис. 2.2.9, б, и определить,
какие волокна в этих сечениях являются растянутыми.
Для этого разобьем, как и в предыдущем примере, заданную консоль-
ную балку с ломаной осью на ряд простейших балок, проведя три сечения
через точки 2, 4, 6. Поочередно отбрасывая левые части вместе с заделкой
и мысленно закрепляя сечения, получим следующие простейшие расчет-
ные схемы (рис. 2.2.10).
Эпюры М и Q на стержне 1-2 (рис. 2.2.10, а) являются табличными
(см. п. 5 табл. 2.1). Сила F= 7 кН растягивает нижние волокна (показано
пунктирной линией) и создает момент М2 = 7-8 =56 (кНм) - рис. 2.2.11, а.
Узел С (рис. 2.2.10, б) будет находиться в равновесии, если к стержню 3-4
в сечении 3 приложить момент М2 = 32 (кН м), направленный по ходу
часовой стрелки и растягивающий верхние волокна (так как начало ду-
говой стрелки находится сверху). Вычислим момент в сечении 4
(рис. 2.2.10, б): Л/4 = 24 + 7 0 = 24 (кН м). От действия только сосредо-
59
точенного момента т = 24 кН-м, приложенного в узле С, растянутыми в
сечении 4 будут нижние волокна, что показано пунктиром вблизи сечения.
Эпюра моментов на стержне 3-4 показана на рис. 2.2.11, б.
Из равновесия узла В (рис. 2.2.10, г) следует, что М$ = М^ = 24 кН м и
растянутыми в зоне сечения 5 будут верхние волокна.
Рис. 2.2.10
На стержне 5-6 (рис. 2.2.10, в) эпюра моментов будет очерчена по
квадратной параболе с моментом в сечении 6, равным М6 = 7-8 - 24 -
- 2-8 4 = -32 (кН м). Согласно правилу знаков для изгибающих моментов в
балках (горизонтальных стержнях) знак “минус” означает, что в сечении 6
растянуты верхние волокна (показано пунктирной линией). Растянутые
волокна можно определить и по-другому. Наибольший вклад в момент
М6 = -32 кН м дали равномерно распределенная нагрузка q и сосредото-
ченный момент т, вращающие отсеченную часть в одном направлении
(по ходу часовой стрелки). Поэтому силу F= 7 кН можно мысленно уб-
рать (как побежденную), а от действия нагрузки q (момент т для просто-
ты рассуждений тоже можно убрать) растянутыми в зоне сечения 6 будут
верхние волокна. Эпюра моментов на стержне 5-6 показана на
рис. 2.2.11, в.
Все представленные на рис. 2.2.11 эпюры моментов для отдельных
стержней переносим на единую схему (рис. 2.2.13, а).
60
Построение эпюры поперечных сил
Для построения эпюры поперечных сил Q воспользуемся типовыми
порами моментов и соответствующими им эпюрами Q (см. рис. 2.2.1):
Bi-i = -56/8 = -7 (кН); Q34 = (32 + 24)/10 = 5,6 (кН).
Построение эпюры Q на участке 5-6 показано на рис. 2.2.12 (см. по-
снения к рис. 2.2.2).
Рис. 2.2.12
Xinax ~ Qa/Ц — 9/2 — 4,5 (м); Л/щдх — Мд + Qg, 32 + Слотах/2 32 +
+ 9-4,5/2 = -11,25 (кН м). Эпюра Q полностью показана на рис. 2.2.13, 6.
Рис. 2.2.13
Построение эпюры продольных сил
Из заданной расчетной
схемы (см. рис. 2.2.9, а, ^вид-
но, что продольное усилие
на участке 1-2 равно ну-
лю. Из равновесия двухстерж-
невого узла С (рис. 2.2.14, а)
найдем продольную силу
N3.4, а затем для определения
усилия ^5-6 рассмотрим рав-
новесие узла В (рис. 2.2.14, б).
Рис. 2.2.14
61
Узел С: ЕУ = 0; 7- 5,6 cosa+TVj^sina = 0; 7 - 5,60,8 + Ям.0,6 =
= 0, Язч=-4,2кН.
Узел В : EJ= 0; -^-6-5,6 sin a -	cos a = 0. Так как N^.3 =
=ЯЗЧ= _ 4,2 кН, то = - 5,6 0,6 + 4,2 0,8 = 0.
Эпюра N представлена на рис. 2.2.13, в.
Пример 2.18. Построить эпюры М, Q, У для простой рамы (рис. 2.2.15, а).
Как уже отмечалось выше (§ 2.1), в статически определимых системах
нахождение опорных реакций и построение эпюр М, Q, N не зависят от
упругой податливости опор. Поэтому опору в т. С надо воспринимать как
обычную шарнирно - подвижную опору.
Опорные реакции определим из следующих уравнений равновесия:
1.	ЕУ= 0;	-3-4 + Ус = 0,	Ус = 12 кН;
2.	£Мв = 0;	10 + 10-6 4- 12-342 = 0, НА = 4,8 кН;
3.	EJ= 0;	4,8 - 10 - 4 + NB = 0,	NB = 9,2 кН.
На рис. 2.2.15, б показаны действительные значения и направления
опорных реакций, а также характерные сечения, в которых необходимо
найти изгибающие моменты.
Как и ранее, разобьем заданную раму на ряд консольных балок. Для
этого проведем поочередно шесть сечений через точки 1, 2, 4, 5, 8, 6, каж-
дый раз отбрасывая те части рамы, на которые действует большее коли-
чество нагрузок. В результате получим следующие простейшие расчетные
схемы, в которых очень просто найти численные значения изгибающих
моментов и установить, какие волокна растянуты (рис. 2.2.16). Растянутые
волокна в зоне характерных сечений на рис. 2.2.16 показаны пунктирной
линией.
Здесь и далее больше не будем строить эпюры М на отдельных стерж-
нях, а найденные значения изгибающих моментов сразу будем отклады-
вать на заданной расчетной схеме, со стороны растянутых волокон.
Эпюра М на участке Л-1 является табличной с растянутыми волок-
нами с левой стороны, а М\ = -НА  4 = -4,8-4= -19,2 (кН м) - рис. 2.2.16, а.
Из рассмотрения рис. 2.2.16, б следует, что Mi- - НА - 4 + F\ - 6 =
62
=-4,810+10'6 =12 (кН м). Момент, созданный силой F\ = 10 кН, оказался
больше момента от силы Нл = 4,8 кН. Поэтому, убрав мысленно силу Нл,
найдем, что от действия только силы F\ - 10 кН в зоне сечения 2 растянуты
будут правые волокна. Из равновесия узла D (рис. 2.2.16, ж) следует, что
Ms = Mi = 12 кН м, а растянутыми будут нижние волокна. Изгибающий мо-
мент в сечении 4 найдем по рис. 2.2.16, a М< = -Ял10 +/ -6 = -4,8-10 +
+10-6 = 12 (кНм). На этом же рисунке показаны растянутые волокна вблизи
сечения 4. Эпюра М на участке 5 -В (рис. 2.2.16, г) является табличной с
верхними растянутыми волокнами и с моментом Ms = -ql2/2 = -3 16/2 =
= -24 (кН м). Момент в сечении С. (рис. 2.2.16, д') равен внешнему сосредо-
точенному моменту т = 12 кН м (Мс~ т =12 кН м). Так как начало дуго-
вой стрелки, изображающей внешний момент, находится сверху, то верхние
волокна и будут растянутыми в сечении С. Изгибающий момент в сечении
8 также найдем из рис. 2.2.16, Л Vc -4 -т =12 4 - 12 = = 36 (кНм).
Наибольший вклад в момент Afs = 36 кН м внесла сила Vc = 12 кН, от дей-
ствия которой в сечении 8 растянутся нижние волок-на. Из равновесия уз-
ла/(рис. 2.2.16, з) следует, что Л/7=Л/8=36 кНм. Растянутые волокна пока-
заны пунктиром. Наконец, из рассмотрения рис. 2.2.16, е заключаем, что
плечо силы Vc = 12кН на протяжении участка 6-7 остается постоянным, а
следовательно, и эпюра моментов на этом участке будет постоянной, т.е.
М6 = Mq = 36 кН м.
а)
Ял=4,8кН
Ял=4,8кН
Ял=4,8кН
Ч
/1=1 ОкН
/1=1 ОкН
------
г) ШШ9=3кН/м
5 в Яу=9,2кН
3£j=12kH-m
М3=12кН-м
1
I
и)
Му =36кНм
Рис. 2.2.16
[ Л#5=24кН-м
М{=36кНм
Ч
Найденные значения изгибающих моментов в сечениях 4, 5, 6 удов-
летворяют условиям равновесия трехстержневого узла Е (рис. 2.2.16, и).
Эпюра изгибающих моментов представлена на рис. 2.2.18, а.
Эпюру Q построим по эпюре М по известным правилам. Сл-i=
= -19,2/4 = - 4,8 (кН); Q2-i = (19,2 + 12)/6 = 5,2 (кН); Q34 = 0; Q^q = 0;
Qs-c = -(36 + 12)/4 = -12 (кН). Эпюра Q на участке 5-В является таблич-
ной с ординатой в сечении 5, равной: Q$-B = ql= 3 4 = 12 (кН).
Эпюра поперечных сил Q для всей рамы показана на рис. 2.2.18, б.
63
a)
F2 =4kH #3.4=9,2kH
#7_6 =12kH
”7
Q2_l=5,2kH
^.С=12кН
#4-3 =9,2кН I N$_s =9,2kH
E ▼ е5-«=12*н
NM =12kH
Рис. 2.2.17
Для построения эпюры # последовательно вырежем узлы Л, F, Е
(рис. 2.2.17) и произведем их уравновешивание в уме, применяя следую-
щие рассуждения.
Узел D (рис. 2.2.17, а) по оси у уже уравновешен. По оси X действует
суммарная горизонтальная сила F2 + Q2-i = 4 + 5,2 = 9,2 (кН), направлен-
ная влево. Чтобы узел был уравновешен по оси X, надо приложить гори-
зонтальную силу, равную по величине 9,2 кН и направленную вправо. Это
условие можно выполнить, если к сечению 3 горизонтального стержня 3-4
приложить продольную силу #3_4 = 9,2 кН, направленную от узла (стер-
жень растягивается).
Узел Г(рис. 2.2.17, б) по оси X уравновешен. По оси у действует толь-
ко одна поперечная сила б8_с = 12 кН, направленная вверх. Чтобы узел
был уравновешен по этой оси, надо приложить вертикальную силу 12 кН,
направленную вниз. Это можно сделать путем приложения к сечению 7
вертикального стержня 7-6 продольной силы #7-б = 12 кН, направленной
к узлу (стержень сжимается).
Узел Е (рис. 2.2.17, в). Кроме взятой с эпюры Q положительной силы
Q$.B = 12 кН надо приложить положительную продольную силу #4-3 =
« 9,2 кН, найденную ранее, из рассмотрения узла D. Применяя приведен-
ные выше рассуждения, получим, что N$_B = 9,2 кН и #б_7 = -12 кН.
Эпюра продольных сил # для всей рамы представлена на
рис. 2.2.18, в.
Рис. 2.2.18
Пример 2.19. Построить эпюры М, Q, # для простой рамы (рис. 2.2.19, а).
Как известно, для абсолютно твердых тел (EJ = оо) нет понятия (опре-
деления), что такое внутренние усилия М, Q, N. Такие тела не деформиру-
64
отся, в них эпюры М, Q, N не показывают и в природе они не существу-
ют. Однако в некоторых сооружениях конструктивные элементы могут
различаться по жесткости на порядок или несколько порядков и для уп-
рощения расчета, особенно статически неопределимых систем, полагают
приближенно жесткость таких элементов равной EJ = ® или EJ-tn.
Отличительная особенность рамы, изображенной на рис. 2.2.19, а,
эстоит именно в том, что стержень BD обладает конечной, но очень
адьшой жесткостью (EJ -+ <ю). Это означает, что его жесткость во много
1з больше жесткости остальных стержней. При определении внутренних
жлий в таких статически определимых системах не следует обращать
Димание на эту особенность и строить эпюры М, Q, N как для обычных
ястем, но изображать их условно будем на таких стержнях пунктирной
днией.
На рис. 2.2.19, б показаны действительные значения и направления
йорных реакций, а также характерные сечения, в которых надо найти
деленные значения изгибающих моментов и определить, какие волокна
На рис. 2.2.20 представлены простейшие расчетные схемы, получен-
ие после проведения сечений через точки 1, 3, 4, 6, на которых пункти-
эм показаны растянутые волокна вблизи сечений.
/2ж6кН
Рис. 2.2.20
Сечение 1 (рис. 2.2.20, а): М\ == -16-3 = - 48 (кНм) (МА - 0).
Сечение 3 (рис. 2.2.20, б): М3 ** 8-2 = 16 (кН м) (Л6 = М2 в 0).
5-1224
65
Сечение 6 (рис. 2.2.20, в): Mf, - 124 - 54-2 = 8 (кНм) (Л/св 0).
Сечение 4 (рис. 2.2.20, г):.	= -М$ -F^ 4 = -8 - 64 = -32 (кН-м).
На участке 6- С надо к прямолинейной эпюре, соединяющей моменты
по концам участка, “подвесить” (добавить) балочную эпюру моментов от
равномерно распределенной нагрузки с ординатой в середине ql^/i.
При определении изгибающего момента в сечении 4 учитывалось, что
он вычисляется как сумма моментов, взятых с обратным знаком, всех
внешних сил, приложенных к правой части. Эпюра М приведена на
рис. 2.2.23, а.
По мере приобретения навыка построения эпюр изгибающих момен-
тов вспомогательные рисунки типа рис. 2.2.5, рис. 2.2.10, 2.2.11, рис. 2.2.16
и рис. 2.2.20 можно уже не приводить, а все действия, связанные с ними,
производить в уме, перенося результат на расчетную схему.
Построение эпюры Q
Qi-A = - 48/5= - 9,6 (кН); С3_2= 16/2- 8 (кН); &.5=(32-8)/4=6 (кН).
Построение эпюры Q на участке С-Е показано на рис. 2.2.21.
Полностью эпюра поперечных сил Q изображена на рис. 2.2.23, б.
Рис. 2.2.21
Qc/q= 12/5=2,4 (м); Л4т=Мс4По=0+Сс^Яж/2=122,4/2=14,4 (кНм).
В следующих примерах для простоты построения эпюры М нас будут
интересовать вместо Л/тах только средние ординаты после “подвешенных”
(добавленных) балочных эпюр моментов от равномерно распределенной
нагрузки.
Построение эпюры N
Сначала находим продольные силы из равновесия двухстержневого
узла Е (рис. 2.2.22, а), затем - трехстержневого узла D (рис. 2.2.22, б), а для
проверки усилий N и Q вырезаем узел А. Опорную реакцию VA раскла-
дываем на две составляющие - параллельную и перпендикулярную к стер-
жню AD (рис. 2.2.22, в).
Узел D (рис. 2.2.22, б): sina = 0,8; cosa = 0,6;
SAf=O: 9,6 sin a+8 - 8 -N\-A cos a = 0; 9,6 0,8 =N[-A 0,6;	=12,8 кН;
ЕУ=0; - 6 - 9,6 cos a sin a -Ns-b= 0; ^з-в= -6 ~ 9,6 0,6 -12,8 0,8 =
= -22 (кН).
66
Узел Л (рис. 2.2.22, в): sin а = 0,8; cos а = 0,6;
Е%= 0: 9,6 sin а+8-8cos а=0; 9,6 0,8=-0,6, ^./=12,8 кН;
= 0: -6 - 9,6 cos а -N\-a sin а -N^g - 0; Ny_e » -6 -9,6-0,6 -
-12,8 0,8 = = -22 (кН).
Рис. 2.2.22
Очень часто в рассуждениях допускается следующая ошибка. Раз сила
,Г2 = 6 кН, приложенная в узле £, действует по направлению стержня ЕС,
то и продольная сила в этом стержне должна быть равна ей. Из
рис. 2.2.22, а следует, что это не так. Более того, по заданной схеме рамы
без всякого расчета сразу было видно, что продольная сила в стержне СЕ
Отсутствует (равна нулю), если идти от точки С к точке Е (рис. 2.2.19, а).
Рис. 2.2.23
Пример 2.20. Построить эпюры Ми Q для многопролетной шарнирно-
консольной балки, изображенной на рис. 2.2.24, а.
Для удобства и простоты расчета на рис. 2.2.24, б представлена ее по-
этажная схема, а порядок расчета по ней описан в примере 2.7.
Эпюры М и Q во второстепенной балке FK (см. рис. 2.2.24, б, в) яв-
ляются табличными (см. п. 3 табл. 2.1).
Далее рассчитывается нижележащая основная балка AF (рис. 2.2.24, г)
на действие сосредоточенных сил F{ = 6 кН, Г2 = 3 кН и на дополнитель-
ную нагрузку - реакцию Л/= 3 кН от вышележащей балки FK, взятой с
обратным направлением.
Сечение Е:	Ме*= Rf- 4 » 3-4 * 12 (кН);
Сечение D:	MD= RF1 - £r3 = 3-7 - 3-3 = 12 (кН);
Сечение А:	МА = RF • 9 - F2 -5 - Fv2 « 3-9 - 3-5 - 6-2	= 0.
67
о)
Fj=6kH
^2=3кН wHSkHm' /з=7кН
^“ЗкН/м

'ADE F	К	L
2м ,3м , 4м , Зм Зм , Зм , 5м 5м , 2м
6)	Л^ЗкН
Г^бкН I |
'A D
т “18кН-м
О	^3"7кН
J в
Е
L
т =18кНм
^=ЗкН/м
G,
Л/г=ЗкН
ТЯг=ЗкН
(м) !(кН м)
9
3

О);(кН)
г)
е)
д)
?“ЗкН/м
Р3=7кН
F1=6kH
/2“ЗкН
ЛГ-;ЗкН
Лг=ЗкН
’ /12
ж)
(м)
(кНм)
(м);
(кНм)’
A D Е
(кН)
(кН)
6
12
.. ^llljF У
s'lHiiiiiiiiiiiiiiiiiaiiiiiniiiTiiTiii
IIIIU-JIIII
(м)
(кНм)
ПТИШЖ2 (й)
з,2|||Г11|0||(1111337
Рис. 2.2.24
68
Г юнец, рассчитывается также основная, двухконсольная балка ВС
нагрузку, которая действует на нее, и на дополнительную нагрузку, в
(честве которой принимается опорная реакция RK=3 кН от вышележа-
Гй балки FK, взятая с обратным направлением (рис. 2.2.24, д). Эпюры
и С на консолях являются табличными (см. п. 4, 5 табл. 2.1). Эпюру
рментов в пролете можно построить без определения опорных реакций.
*я этого к опорным моментам Мв~ - Rg -3 = - 3-3 = - 9 (кНм) и Мс~
'^•21 = -3-2-1 = - 6 (кН-м) “подвесим” балочную эпюру М от сосредо-
ученной силы (см. п. 2 табл. 2.1). Искомый момент в сечении L найдем,
ели из ординаты балочной эпюры М вычтем ординату средней линии
тпеции опорных моментов, т.е = F3l/4 -(Mb + Мс)/2 = 1Л<3/4 -
(9 + 6)/2 = 10 (кН-м) - рис. 2.2.24, д.
Окончательные эпюры М и Q для всей балки показаны на
№с. 2.2.24, е, ж.
Пример 2.21. Построить эпюры М и Q для балки (рис. 2.2.25, а).
Поэтажная схема балки изображена на рис. 2.2.25, б. Последова-
Ндьность расчета для каждого этажа представлена на рис. 2.2.25, в...в.
Расчет'начинается с верхней второстепенной балки GK (рис. 2.2.25, в).
beле определения опорных реакций RG = 10 кН и Rg= 5 кН эпюра мо-
ментов строится весьма просто. Она будет иметь вид треугольника с орди-
-й под силой Е=15 кН, равной M=Re-2 =10 -2 = 20 (кН-м).
fc’ Затем рассчитывается второстепенная балка FCG или основная балка
Ье На балку FCG действует равномерно распределенная нагрузка интен-
ййиности q = 3 кН/м и опорная реакция RG = 10 кН от вышележащей бал-
*я GK, взятая с обратным направлением (рис. 2.2.25, г). От действия такой
йг’Узки в опорах F и С возникнут реакции RF = 3,5 кН и Rc~ 21,5 кН.
Ю'осле их нахождения построение эпюры моментов не вызывает затрудне-
Ииг. Момент в сечении С над упругоподатливой опорой будет равен
^с= -RqI = = - 10 -2 = - 20 (кН-м). Знак "минус" потому, ч*го вычисление
Й>мента Мс производилось справа налево (см. рис. 2.2.25, г).
Балка KDE рассчитывается на действие сосредоточенного момента т3=
= 10 кН и опорной реакции RK= 5кН от вышележащей балки GK, взятой с
Обратным направлением (рис. 2.2.25, д). Из условия равновесия ЕЛ/р= 0
Следует, что Л£=0. Поэтому эпюра моментов будет только на консоли с
ррдинатой в сечении слева от опоры D, равной MD = -Rg-2= -5 -2 = -16 (кН).
Последней рассчитывается самая нижняя основная б^лка ABF на дей-
ствие двух сосредоточенных моментов т{ = 7 кН-м, т2 = 10,5 кН-м и на
Дополнительную нагрузку, в качестве которой принимается опорная реак-
ция Rf= 3,5 кН от вышележащей балки FCG, взятая с обратным направ-
лением (рис. 2.2.25, е). Эпюра моментов для загруженной таким образом
балки показана на рис. 2.2.25, е.
Окончательная эпюра изгибающих моментов М для всей балки пред-
ставлена на рис. 2.2.25^ ж.
На рис.2.2.25, з изображена окончательная эпюра поперечных сил Q,
Построенная по известным правилам по эпюре М (см. рис. 2.2.25, ж).
69
a)
6)
ж)
3)
Рис. 2.2.25
70
Задачи 2.2.01...2.2.59. Построить эпюры М, Q, N.
2.2.02
2.2.05
2.2.03
71

2.2.37
2.2.38
2.2.43	2.2.44	2.2.45
F=12kH
2.2.46	2.2.47
2.2.48
74
2.2.50
2.2.51
2.2.52
2.2.53
. 7м 4м . 4м , Зм , Зм ,
|<----------жж
2.2.58
2.2.59
, 4м , 2м । 2м . 6м > 2м । Зм । Зм >
I*—Ж-Ж-Ж	-ж-ж ж—>1
. Зм , 4м . 2м, 6м , Зм . 4м I
к—Ж—Ж--Ж-...—-Ж—Ж—>1
75
§ 2.3. Определение внутренних усилий в трехшарнирных
и составных рамах
Внутренние усилия в трехшарнирных рамах определяются так
же, как и в простых, но уже с учетом распора как опорной реакции
или усилия в затяжке. Напомним, что для нахождения продольного
усилия в затяжке (Я3) проводят сечение через промежуточный (зам-
ковый) шарнир С и затяжку и составляют уравнение ^МсЕВ =0
или M"F = 0. При построении эпюры моментов затяжку можно
временно (мысленно) удалить, а вместо нее приложить найденные
усилия Н3 и считать их как обычные сосредоточенные силы.
Пример 2.22. Построить эпюры М, Q, N для трехшарнирной рамы
(рис. 2.3.1, а).
Опорные реакции определим из следующих уравнений равновесия:
1.	ЪМА = 0;
2.	ЪМВ = 0;
3.
4.	'£мЦг = о;
5.	Проверка:
-VB • 8 + 4 -6 + 12 = 0,
VA-8 + 12-4-2 = 0,
-0,5-4 - НА • 6 + 12 = 0,
-4,5-4+ 4 2- Ял -6=0,
VB = 4,5 кН.
VA = -0,5 кН.
НА = 1,667 кН.
Нв = -1,667 кН.
ЕУ= 0;-0,5 + 4,5 - 4 = 4 - 4 = 0.
На рис. 2.3.1, б показаны истинные направления и значения опорных
реакций, а также характерные сечения, в которых необходимо найти мо-
менты, чтобы построить эпюру М. Поместим мысленно внутрь рамы на-
блюдателя, последовательно поворачивающегося лицом к каждому стерж-
ню (номера положений наблюдателя обозначены кружком со стрелкой).
Еще раз напомним (см. с. 51), что полученные положительные значения
изгибающих моментов в характерных сечениях откладываем вниз (к на-
блюдателю) от оси стержня, отрицательные -вверх (от наблюдателя).
76
ЛГ2=12кН-м
Л/4=2кНм D
Q4_5=0,5kH
Об-5 =+, 5 кН
~ I D
27 д=1,667кН
N-j_B =4,5кН
Лм-1,«7кН AbrWxH
Ol-л =l.«7rii
1 г М-Л =0>5кН
Момент в шарнире А равен нулю. Сечение 1: Му = -Нв  6 = -1,667-6=
<= -10 (кН-m). Из положения 1 знак “минус” у момента означает, что
его нужно отложить от наблюдателя (рис. 2.3.3, а). Эпюра моментов на
консоли 2-3 является табличной (см. п. 6 табл. 2.1) с левыми растянутыми
волокнами (см. рис. 2.3.3, а). Сечение 4: М4 = -Ул О -Нв -6 +т = -1,667-6+
+ 12 = 2 (кН-м). Из положения 2 знак “плюс” у момента означает, что
его нужно отложить вниз от ригеля (см. рис. 2.3.3, а). Момент в шарнире С
равен нулю. Сечение 5:	= VB -2 - Нв • 6 = 4,5-2 - 1,667-6 = -1 (кН-м).
Так как у момента М5 знак “минус”, то откладываем его вверх от ригеля
(см. рис. 2.3.3, а). Сечениеб: М6-VA  Q-HB • 6 = -1,667-6 = -10 (кН-м).
Поскольку Mf < 0, то откладываем его, как и момент Л/5, сверху от ригеля
(см. рис. 2.3.3, а). Из равновесия узла Е следует, что	и растянуты
будут наружные волокна. На участке 7-В эпюра М будет прямолинейной
с нулевой ординатой в шарнире В (см. рис. 2.3.3, а).
Как видно из рис. 2.3.2, а, условие равновесия трехстержневого узла D
выполнено. Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 2.3.3, а.
Эпюра Q строится весьма просто. Oi-л = -10/6 = - 1,667 кН; Q1-3- 0;
64-5 =-(2 + 1)/6 = - 0,5 (кН); Qe-s = - (10 - 1)/2 = - 4,5 (кН);	О,-в~
=10/6 =1,667 (кН). Эпюра поперечных сил изображена на рис. 2.3.3, б.
Уравновешивание узлов по поперечным и продольным силам показа-
но на рис. 2.3.2, б, е. Эпюра N представлена на рис. 2.3.3, в.
Пример 2.23. Построить эпюры М, Q, N для трехшарнирной рамы
(рис. 2.3.4, а).
Опорные реакции, характерные сечения и последовательные положе-
ния наблюдателя показаны на рис. 2.3.4, б.
77
/И=15кНм
С
О=ЗкН/м
о)
/=6кН-
Г=6кН-
Рис. 2.3.4
Зм , Зм
Нл=6кН .
.А
/И=15кН-м
<?=ЗкН/м
4 Нщ
$2
Кл=3,5кН
*3
-5,5кН
6
F=6kH
д)
Q$_C =5,5кН
2б-Л=12кН
. <?С-5=5>5кН
I Ус5=12кН
*Qm=6kH
V Ус-4=5>5кН
4^4-С=5,5кН
04_с=6кН
Й-3=9кН
* ^2-3=0
A's-C^I^kH
Л^_2Г5-5кН
С1_Л=3,5кН
Л^бкН
Рис. 2.3.5
5,5
1Е(кН)1
5,1
Рис. 2.3.6
Так как сила НА = 6 кН-м, действующая вдоль стержня А-1, момента в
нем не создает (плечо силы равняется нулю), эпюры М и Q на этом
стержне и на стержне 2-3 будут табличными (п. 5, 4 табл. 2.1). Мх =
= УА-3 = 3,5-3 =10,5 (кН-м); Мг = -qP/2 = - 3-3J/2 = -13,5 (кН-м); МА =
= VA -3+ qP/2 =3,5-3 + 3-32/2 = 24 (кН-м) (растянутыми у стойки будут пра-
вые волокна); М5 = -Нв -4 + VB • 0 +т = -12-4 + 15 = - 33 (кН-м). Из по-
ложения 2 знак “минус” у момента М$ означает, что его нужно отложить
от наблюдателя, т.е. вверх. М6 = - Нв • 4 = -12- 4= - 48 (кН-м). Из поло-
жения 3 знак “минус” означает, что ординату момента нужно отложить от
наблюдателя, т.е. с правой стороны стойки. Проверка равновесия узлов D
и Е показана на рис. 2.3.5, а, б, а эпюра М- на рис. 2.3.6, а.
П
Эпюру Q строим по эпюре М. Q4-1 = 10,5/3 = 3,5 (кН); й-з = ?/ =
«=3.3=9 (кН); 24_с=-24/4 = -6 (кН); Qc.5 = -33/6 = -5,5 (кН);
iCe-j =48/4=12(кН). Эпюра Q изображена на рис. 2.3.6, б. Определение
Продольных сил показано на рис. 2.3.5, в...д, а эпюра N- на рис. 2.3.6, в.
Пример 2.24. Построить эпюры М, Q, N для трехшарнирной рамы с
затяжкой (рис. 2.3.7, а).
1-
Л!=6кН-м
/1=12кН
6 7 Яд=2,5кН
#3=14кН
Г2=9кН
Ил=12кН И Яд=11,5кН
Рис. 2.3.7
Опорные реакции и усилие в затяжке найдем из следующих уравне-
ний равновесия:
1.	ЕГ=0;	Кл-12 = 0,	Ил = 12 кН.
2.	ЕЛ/Л = О; Яд6-9-3 +12-4-6 = 0, Яд = -2,5 кН.
3.	Реакцию Яд определим, записав сумму моментов всех сил относительно
моментной точки £, в которой пересекаются направления реакций VA и Яд.
ЪМЕ =0;	-6 + 124 + 9-3 - Нв-6 = 0, Нв = 11,5 кН.
4.	ЪМЛСЕВ =0;	12-4 - 6 - Н3 3 = 0,	Н3 = 14 кН.
5.	Проверка: ЪМ? = 0; -11,5-6 + 9-3 + Н3 -3 = 0, Н3 = 14 кН.
6.	Проверка: SJ= 0;	-9 - 2,5 + 11,5 = -11,5+11,5 = 0.
Опорные реакции, усилие в затяжке, характерные сечения и последо-
вательные положения наблюдателя показаны на рис. 2.3.7, б. При построе-
нии эпюры М усилие в затяжке Н3 = 14 кН мысленно заменяется двумя
обычными сосредоточенными силами.
Из анализа рис. 2.3.7, а, б следует, что АГЛ= Мв= MD = Мс= М\ =
= М3 = Мю = Л/ц = 0, а также Mi = М3 и М§ = М%. Mi = VA -0 — Н3 -3 =
= -14-3 = -42 (кН-м). Из положения 1 знак “минус” у момента ЛГ2 озна-
чает, что его ординату надо отложить от наблюдателя, т.е. растянутыми
будут левые волокна от стойки. М$ = VA • 2 - Н3 -3 = 12-2 - 14-3 =
= -18 (кН-м); jl/5=jl/4-m=-18 -6 =-24 (кН-м); Л/9 = Нв -3 = 11,5-3 =
=34,5 (кН-м) . Из положения 3 знак “плюс” у момента М3 означает, что
его ординату нужно отложить к наблюдателю, т.е. растянутыми будут ле-
вые волокна от стойки. М3 = Нв- 6 - (Я3 +Г2) -3 = 11,5-6 - (14 + 9) -3 =
79
=69 - 69 = 0. Из равновесия узла F следует, что так как Л/7 =	= 0, то и
М6 = 0. Эпюры М и Q представлены на рис. 2.3.9, а, б.
Определение продольных сил показано на рис. 2.3.8, а...д, а эпюра
Af-на рис. 2.3.9, в.
а)
Е
I Сз_с=12кН
I—<-----
-14кН
0г_1=14кн
#2_1=12кН
в)
^3=14кН _ ty./j =2,5кН
О10-9=11>5кН
L-----------*
М1_л=11,5кН
д)
О8-9=11-5кН
М_2»12кН
г)
01_2=14кН
Л^=14кН
^.с=14кН
Q9_8=11,5kH
----F2=9kH
6)
К
Ni.a =12кН
Рис. 2.3.8
Рис. 2.3.9
Пример 2.25. Построить эпюры М, Q, N для трехшарнирной рамы с
затяжкой (рис. 2.3.10, а).
На заданную систему действует самоуравновешенная нагрузка, опор-
ные реакции от которой должны быть равны нулю. В самом деле:
1. SZ=0;	Ял = 0.	
2. ЪМВ = 0;	Кгбо+ 2F4a-4F- За + 2F- 2а = 0,	Ил = 0.
3. Т.МЛ = 0;	-Ув 6а + 2F-4а + 4F- За - 2F- 2а = 0,	И> = 0.
4. ЪМЛСЕВ = 0;	2F- а-Н3-2а = 0,	H3=F.
5. Проверка:	YM^=0; -2F-а + Н3-2а = 0,	Н3= F.
80
Рис. 2.3.10
Пример 2.25 является подтверждением свойства 4 статически определи-
мых систем (см. с. 33), которое применительно к рис. 2.3.10, а, б гласит: если
самоуравновешенная нагрузка приложена к локальной геометрически неиз-
меняемой части DCED статически определимой системы ADCEB, то усилия
возникнут только в этой части DCED, а во всех остальных частях заданной
системы усилия будут равны нулю.
Моменты в сечениях D, С, Е равны нулю.
Сечение 1 (см. рис. 2.3.10, б): Мх = -Нз-2а = -F-2a = -2 Fa, (М2 - М\).
Сечение 3 (см. рис. 2.3.10, б): М3-	= М2 = -2Fa .
Из условий симметрии имеем: МА = М3; М5 = М2; М6= Мх.
Эпюры внутренних усилий М, Q, N представлены на рис. 2.3.11, а...в.
Рис. 2.3.11
Пример 2.26. Построить эпюры М, Q, N для
Определение опорных реакций:
1. ХМ"Еа = 0;
2.	ЪХ = 0;
3.	ЪМА = 0;
4.	ЪМВ = 0;
5.	Проверка:
рамы (рис. 2.3.12).
-Ял-5 = 0,
-Ил-4 +4-6-3-7-2 = 0,
^•4-7-6-4-61 = 0,
£У=0;
Ял = 0.
Яд = 0.
VB = 14,5 кН.
VA = 16,5 кН.
16,5 + 14,5 - 4-6 - 7 = 31 - 31 = 0.
6-1224
81
Ё*7кН
<Т=4кН/м
C D
Рис. 2.3.12
По определению заданная рама является
трехшарнирной, однако в ней при вертикаль-
ной нагрузке горизонтальные составляющие
реакций равны нулю. Поэтому, опять же по
определению, заданная рама является без-
распррной.
Так как Нл = Нв = 0, эпюра моментов на
стойках АС и BD будет равна нулю, а на
консолях - строится с помощью таблицы
внутренних усилий для простейших балок
(п. 4, 5 табл. 2.1). В пролете рамы к конце-
вым моментам в точках Си D “подвешивает-
ся” квадратная парабола с ординатой посре-
дине, равной qP/8 кН м (см. рис. 2.2.3, й).
Эпюры М, Q, N показаны на рис. 2.3.13, а...в.
Пример 2.27. Построить эпюры М, Q, N для трехшарнирной рамы с
затяжкой (рис. 2.3.14, а).
б)
Z/j=5,667kH
Ё
Ял=4кН
Fj=10icH В' 
' /2=4кН
V Ил=8,667кН	| Иэ=1,ЗЗЗкН
Л1=16кНм
Рис. 2.3.14
Определение опорных реакций:
1. ЕАГ=О; -Ял + Г2 = 0,
2. ЕМЛ = О; 16 + 4-3- 10-4+ И,-9 = 0,
3.1Мв=0-	-^-9 + 10-5+ 4-3+ 16 = 0,
НА = F2 = 4 кН.
VB = 1,333 кН.
VA = 8,667 кН.
82
4. Для определения усилия в затяжке проведем сечение через стержень
ЕЕ шарнир С и, отбросив правую часть рамы, запишем уравнение равно-
весия моментов всех левых сил относительно шарнира С.
= 0; -8,667-4 + 4-3 + Н3- 4 = 0, Н3 = 5,667 кН.
5. Проверка:	ЕУ= 0;	-8,667 - 1,333 + 10 =-10 + 10 = 0.
Опорные реакции, усилие в затяжке, характерные сечения и последо-
вательные положения наблюдателя показаны на рис. 2.3.14, б. При по-
строении эпюры М усилие в затяжке Н3 = 5,667 кН заменяется двумя
обычными сосредоточенными силами, приложенными в узлах EnF
Из рис. 2.3.14, б следует, что Мв= Мс= МЕ= Mg= 0, а на участках
Л-1, Е-2, К-7 эпюры М являются табличными (см. п. 5 табл. 2.1) с ор-
динатами: Mi = 4-3 = 12 (кН), М2 = -5,667-4 = -22,67 (кН), М3 = 4-4 = 16 (кН).
Момент в сечении 3 определим из условия равновесия левой части: М3 =
» -8,667-0 + 4-3 + 5,667-4 = 34,67 (кН). Из положения наблюдателя, в пози-
ции 3, знак “плюс” у момента М3 означает, что его ординату нужно отложить
вниз (к наблюдателю), т.е. растянутыми будут нижние волокна.
Изгибающий момент в сечении 4 также удобнее найти из равновесия
левой части: М4 = -8,667-4 + 4-7 = -6,67 (кН). Знак “минус” у момента
для наблюдателя, находящегося в положении 4, означает, что ординату надо
отложить от наблюдателя, т.е. растянутыми будут левые волокна стойки С-4.
Из равновесия узла F следует, что М3 = М< и растянутыми будут верх-
ние волокна.
Изгибающий момент в сечении 6 найдем из условия равновесия пра-
вой части: М6 = -1,333-0 + 4-4 - 16 = 0.
Эпюра изгибающих моментов изображена на рис. 2.3.16, а.
Эпюра Q (рис. 2.3.16, б) строится обычным способом по эпюре М.
Определение продольных сил показано на рис. 2.3.15, а...д, а эпюра
N-ш рис. 2.3.16, в.
Л^=5,667кН	*с_4-1,ЗЗЗкН
“ С£_2=5-667кН	Ос-4=1-667кН
2Vc-3=8,667kH	|
0с_3=8,667кН
tf) Qw=1,333kH
<-----------
Л(5_5=4кН I |О7^=4кН
к	Л^7_д =1,ЗЗЗкН
/1=10кН
г) _
Q2_£=5,667kH
01-Л
ЛГ3_с = 1,667кН
М-Л =8.667кН
'	Qi-6 =1.333кН
Л£_^=5,667кН /	| ______
°	4	^5-6=4^
-----►Q4_C=1,667kH
Q3_C — 8,667кН
Рис. 2.3.15
83
Рис. 2.3.16
На рис. 2.3.17, б изображена поэтажная схема заданной рамы.
Расчет начинается с верхнего этажа, т.е. с второстепенной рамы DGC.
Опорные реакции и табличные эпюры М, Q, N для нее показаны на
рис. 2.3.18, а...г.
Затем переходим к расчету нижележащей рамы AEFDB. Она рассчи-
тывается на нагрузку, которая действует непосредственно на нее, и на до-
полнительную нагрузку в виде опорных реакций HD= 5 кН и VD= 5 кН от
вышележащей рамы DGC, взятых с противоположными направлениями
(рис. 2.3.19, а).
Рис. 2.3.18
Опорные реакции и характерные сечения, в которых надо найти чис-
ленные значения моментов, представлены на рис. 2.3.19, а.
84
Сечение 1: М\ = -5-2,5= -12,5 (кН-м),
|ррастянутыми у стойки будут левые во-
Иокна.
Сечение 2: М2 = -52,5+6 = -6,5 (кН-м),
растянуты верхние волокна.
Сечение 4: М< =5-2-3-21=4 (кН-м),
растянуты нижние волокна.
Так как =0, М3 = Мц. Эпюры
М Q, N изображены на рис. 2.3.19, б...г.
Окончательные эпюры М, Q, N для
«сей рамы показаны на рис. 2.3.20, а...в.
а) 7И=6кН-|<
у°ЗкН/м
2а jo ,y.y«
5" F Dk
Ял=5кН
Я-=5кН
Ил=5кН
Рис. 2.3.19
Рис. , 2.3.20
 Пример 2.29. Построить эпюры М. Q, N для рамы (рис. 2.3.21, а).
Поэтажная схема изображена на рис. 2.3.21, б. Эпюры Мн Qjuui про-
стейшей балки GD показаны на рис. 2.3.22, а. Нижележащая трехшар-
нирная рама EFMGC с действующей на нее нагрузкой, опорными реак-
циями и характерными сечениями показана на рис. 2.3.22, б.
85
б)
Не~
К£=4кН
$=2кН/м
1 W,2G
< rrr 1
F 3 ^t
л^з.гзкн 3
cM^------
Hq =3,625kH
Kc=0,75kH *
, 4м 2m 2m
Рис. 2.3.22
Из рис. 2.3.22, б видно, что МЕ= MF= Мс= MG= 0. Ниже приво-
дятся вычисления для моментов в других сечениях.
Сечение 2: Мг = 3,25-2 = 6,5 (кН-м), растянуты нижние волокна.
Сечение 3: М3 - 3,625-4 =14,5 (кН-м), растянуты правые волокна.
Сечение 1: Мх =3,25-2-3,625-4= -8 (кН-м), растянуты верхние волокна.
На участке EF эпюры М и Q будут табличными.
Эпюра Q весьма просто строится по эпюре М, а эпюра N-m эпюре Q.
Эпюры М, Q ,N для рамы EFMGC представлены на рис. 2.3.23, а...в.
Наконец, переходим к расчету основной части многопролетной рамы.
На нее непосредственно действуют в середине ригеля сосредоточенная
сила F= 14 кН, равномерно распределенная нагрузка на консоли интен-
86
сивностью q =2 кН/м и дополнительная нагрузка в виде опорных реак-
ций НЕ — 3,625 кН и VE= 4 кН, взятых с противоположными направлени-
ями, от вышележащей трехшарнирной
рамы EFMGC (рис. 2.3.24).
Из рис. 2.3.24 следует, что Мл =
= Мв = МЕ = Mg = 0. Моменты в сече-
ниях 4, 5, 6 определим из условия рав-
новесия левой части, а моменты в се-
чениях 9, 7 - правой части. М4 =MS -
=3,625-4 -14,5 (кН-м), растянуты на-
ружные волокна. М6 = - 3,625-4 +
+ 7,417-3 =7,75 (кН-м), растянуты ниж-
ние волокна. Так как Mg - 0, из усло-
вия равновесия трехстержневого узла L
Кл=7,417кН	Кя=14,583кН
Рис. 2.3.24
следует,чтоЛ/g = М7 = -4-2 -2-2-1 =-12 (кН-м). Знак “минус” у горизон-
тального стержня LE означает, что растянутыми будут верхние волокна.
Окончательные эпюры М, Q, N для всей рамы (рис. 2.3.26, а... в) стро
им путем соединения эпюр полученных, для отдельных рам.
Рис.2.3.26
87
Пример 2.30. Из трех эпюр моментов без расчета указать на правиль-
ную и объяснить, почему остальные неверны (рис. 2.3.27).	а
Рис. 2.3.27
Для заданной рамы можно составить поэтажную схему, в которой ос-
новная часть АВС является неподвижной и геометрически неизменяемой,
а второстепенная часть CDE, опираясь на основную, заимствует от нее
свою неподвижность и геометрическую неизменяемость. В таких системах,
согласно свойству 3 статически определимых систем, нагрузка, приложен-
ная к основной части АВС, вызывает усилия только в элементах этой час-
ти. На основании этого свойства эпюра Мв неверна (эпюра М на час-
ти CDE должна быть равна нулю). Эпюра Мс также неверна, так как в
шарнире С она имеет перелом, хотя сосредоточенная сила в шарнире С не
приложена. Следовательно, правильной является эпюра Мл.
Пример 2.31. Из трех эпюр моментов без расчета указать на правиль-
ную и объяснить, почему остальные неверны (рис. 2.3.28).
Рис. 2.3.28
Эпюра Мл неверна, потому что на стержне FD построенная эпюра М
может возникнуть только от действия горизонтальной реакции HF. А если
это так, то, исходя из уравнения равновесия на ось X, должна возникать и
горизонтальная реакция Не, от действия которой на стержне ЕС тоже
должна быть эпюра М, а ее нет. Можно объяснить иначе, что эпюра Мл
неверна. Из эпюры Мл следует, что только на одной стойке FD имеется
поперечная сила, которая по оси X ничем не уравновешена.
Эпюра Мв тоже неверна, так как возникающая вертикальная реакция
Ул, действующая вдоль стержня АВ, момента не вызывает (плечо силы
равно нулю).
Следовательно, правильной является эпюра Мс-
88
Пример 2.32. Из трех эпюр моментов без расчета указать на правиль-
ную и объяснить, почему остальные неверны (рис. 2.3.29).
Рис. 2.3.29
Эпюра Мл неверна, потому что узел С не находится в равновесии.
Эпюры Мв и Мс практически одинаковые, кроме ординаты моментов
а середине стержня АВ. Истинное же значение момента:
М= 5,82/2 + <?/2/8 = 2,91 + 2,25 = 5,16 (кН м).
Итак, правильной является эпюра Мс.
89
Задачи 2.3.01...2.3.39. Построить эпюры М, Q, N.
2.3.10
2.3.09
2.3.11
90
2.3.18	2.3.19	2.3.20
2.3.21	2.3.22	2.3.23
д=ЗкН/м	F=8kH
91
2.3.24
2.3.25
Ч-2кН/м
2.3.26
92
1.3.32
1.3.33
1.3.38
1.3.39
93
Задачи 2.3.40...2.3.52. Из трех эпюр моментов без расчета указать на
правильную и объяснить, почему остальные неверны.
2.3.41
2.3.42
94
2.3.44
95
2.3.47
96
2.3.50
2.3.51
2.3.52
7-1224
97
§ 2.4. Определение внутренних усилий в фермах и комбинированных
системах
Ферма- это геометрически неизменяемая система, расчетная
схема которой состоит из прямых стержней, соединенных в узлах
идеальными шарнирами.
Предполагается также, что внешняя нагрузка передается иск-
лючительно в узлы фермы, вызывая в ее стержнях только осевые
усилия (продольные силы). Верхний и нижний контуры фермы на-
зываются, соответственно, верхним и нижним поясами этой фер-
мы, а все остальные стержни, заключенные между поясами, обра-
зуют решетку фермы. Вертикальные стержни решетки называются
стойками, наклонные - раскосами, а расстояние между соседними
узлами нижнего (верхнего) пояса - панелями.
Внутренние усилия в стержнях фермы определяют методом се-
чений. В зависимости от вида проведенного сечения различают три
основных способа аналитического расчета: способ моментной точ-
ки, способ проекций и способ вырезания узлов. Помимо названных
способов для более сложных ферм применяются и другие способы
расчета ферм: способ замкнутого сечения, способ совместных сече-
ний, способ замены стержней.
Расчет статически определимых ферм любым способом начина-
ется с определения опорных реакций, которые в балочных фермах
определяются так же, как и в балках или простых рамах, а в рас-
порных - как в трехшарнирных рамах.
Способ моментной точки состоит в следующем:
сквозным сечением ферму мысленно разрезают на две части так,
чтобы в разрез попало не более трех стержней с неизвестными уси-
лиями. Оси перерезанных стержней должны быть непараллельны и
не пересекаться в одной точке. Если такое сечение провести удает-
ся, то одну из частей фермы отбрасывают, а ее действие на остав-
шуюся часть заменяют неизвестными внутренними продольными
силами. Эти силы направляют вдоль осей перерезанных стержней
от узлов (в сторону отброшенной части), предполагая их растяги-
вающими (положительными). Для оставшейся части составляют
уравнения равновесия в виде суммы моментов всех сил отно-
сительно моментных точек.
Моментной точкой (точкой Риттера) назы-
вается точка, в которой пересекаются направления всех стержней,
попавших в сечение, кроме искомого.
98
Пример 2.33. Определить продольные усилия в стержнях 2-3, Л-6 кон-
сольно-балочной фермы (рис. 2.4.1, о).
Находим опорные реакции:
£АГ=О;	Ял = 0;
ЕЛ/д = 0; -Fy9-Fr3+Fy3+RA-6=0, RA =(12-9+10-3 -8 3)/6 =19 (кН);
ЪМА = 0; -Fv3+F23+Fr9-RB-6=0, ЯЛ=(-12-3+10-3+8-9)/6 =11(кН).
Проверка: £У= 0; 19+1-12 -10 -8 = 30 - 30 = 0.
Разрежем ферму сквозным сечением I-I, отбросим правую часть, как
содержащую большее количество сил, а ее действие на оставшуюся левую
часть заменяем неизвестными силами Я2-з>	направленными от
узлов (рис. 2.4.1, б).
Моментная точка для определения усилия N2.3 находится на пересе-
чении стержней А-3 и Л-6, т.е. в узле А. Составим уравнение равновесия
левой части в виде суммы моментов всех левых сил относительно момент-
Ной точки А.
'S.M™ = 0;	-F{ -3 + Я2_3 -3 = 0;	Я2.3 = F, = 12 кН.
Знак “плюс” у Я2_3 означает, что усилие в стержне 2-3 растягива-
ющее.
Моментная точка для определения усилия находится на пере-
сечении стержней 2-3 и А-3, т.е. в узле 3. Составим уравнение равновесия
ревой части в виде суммы моментов всех левых сил относительно мо-
ментной точки 3.
= 0; -Л 6 + Ra 3- Л^-3 = 0;	=(-126 + 19 3)/3 = -5 (кН).
Знак “минус” у означает, что усилие в стержне Л-6 сжимающее.
Как видно из расчета, реакцию Ад можно было не находить.
Ответ:	N2.3 ~ 12 кН; = -5 кН.
Как следует из определения моментной точки, она может су-
ществовать в некоторых частных случаях и тогда, когда сквозное
сечение пересекает более трех стержней.
99
Пример 2.34. Определить продольное усилие в стержне 8-9 консоль-
ной фермы (рис. 2.4.2, а).
В консольных фермах опорные реакции обычно не определяют.
Разрежем ферму сквозным сечением I-I, отбросим левую часть вместе
с опорными закреплениями, а ее действие на оставшуюся правую часть
заменяем неизвестными силами jVj-j, Nj-A, Nj-iq, Н3-9, М-9< направлен-
ными от узлов (рис. 2.4.2, б).
Моментная точка для определения усилия Я8-9 находится на пересечении
стержней 3-2, 3-А, 3-10 и 3-9, т.е. в узле 3. Составив уравнение рав-
новесия правой части в виде суммы моментов всех правых сил отно-
сительно моментной точки 3, найдем искомое усилие:
ЕЛ/f = 0; F2d + 2Fd + У8_9 -2d = 0,	=-2F.
Ответ'. = -2F.
Способ проекций применяется при расчете ферм с па-
раллельными поясами. В этом случае сквозное сечение, проведен-
ное через три стержня (если это удается), разрезает, как и ранее,
ферму на две части, одна из которых отбрасывается и рассматрива-
ется равновесие оставшейся части. Так как в фермах с параллель-
ными поясами моментные точки для раскосов и стоек находятся в
бесконечности, усилия в этих стержнях определяют путем при-
равнивания нулю суммы проекций всех сил, приложенных к левой
или правой части фермы на ось, перпендикулярную к поясам фер-
мы. В остальном этот способ повторяет способ моментных точек.
Пример 2.35. Определить продольные усилия N^, Nj.y и Nb-c в рас-
порной ферме (рис. 2.4.3, а).
Определим опорные реакции в распорной ферме.
ЕЛ/, = 0; УА -20 -916 -6 8 -7-4 = 0,
ЕЛ/, = 0;	-Г, •20+716+612+9-4 = 0,
ЕЛ/*"=0;	1112-9 8-Я, -6 = 0,
ЕЛ/g' = 0;	-11-8 +7 4 + НЙ • 6 = 0,
Г,= 11 кН;
VB = 11 кН;
НА = 10 кН;
Нв = 10 кН.
100
Проверка:	ЕК=0;
11-9-6-7 + И = 22-22 = 0.
Для определения усилия NA,3 проведем сечение I-I ( см. рис. 2.4.3, а),
отбросим правую часть (рис. 2.4.3, 6} и запишем уравнение равновесия
Левой части:
fer ЛЕВ =0; VA - Fi + №-з sin а = 0; №-з = (9 - 11)/0,6 = -3,333 (кН).
Для нахождения усилия Nyy проведем сечение П-П (см. рис. 2.4.3, в),
отбросим правую часть и запишем уравнение равновесия левой части в
Йиде суммы проекций всех левых сил на ось у (рис. 2.4.3, в):
ХГЛИ=О; VA - Fi - N3.y = 0;	У3_7 = 11 - 9 = 2 (кН).
Для определения усилия jV«-c проведем сечение Ш-Ш (см. рис. 2.4.3, а),
взбросим левую часть и запишем уравнение равновесия правой части в
Виде суммы проекций всех правых сил на ось у (рис. 2.4.3, г):
=0; Ng.c sin а-/-3+ Г, = 0; NB.C = (7 - 11)/0,6 = - 6,667 (кН).
Ответ: NA.3 = - 3,333 кН; tf3.7 = 2 кН; NB.C = - 6,667 кН.
Способ вырезания узлов является частным случа-
ем способа проекций и отличается от последнего проведением толь-
ко таких разрезов, каждый из которых последовательно отсекает от
фермы по одному узлу. После проведения такого разреза остальная
Часть фермы отбрасывается, а ее влияние заменяется неизвестными
101
продольными силами,. направленными вдоль осей разрезанных
стержней от узла. Вырезание узлов надо начинать с двухстержнево-
го узла, точнее, с узла, содержащего не более двух неизвестных
усилий, которые определяются из условия равенства нулю суммы
проекций всех сил, сходящихся в узле, на оси X и у (EJf=O,
ЕУ=0) или на оси, перпендикулярные к стержням с искомыми
усилиями. Переходя от одного узла к другому, вычисляют усилия
во всех стержнях фермы.
Стержни, в которых при данной нагрузке усилия равны нулю,
называют нулевыми .
Из способа вырезания узлов следуют частные случаи
их равновесия, которые надо запомнить:
1.	НенагруженнЫй двухстержневой узел (рис. 2.4.4, а). Равно-
весие такого узла возможно, когда оба стержня являются нулевыми
(Ni = 0; У2 “ 0).
2.	Ненагруженный трехстержневой узел, в котором оси двух
стержней лежат на одной прямой (рис. 2.4.4, б). Третий стержень в
узЛе называется “одиночным” стержнем, и усилие в нем равно нулю
(У3 - 0). Усилия же в стержнях, направленных по одной прямой,
равны между собой и противоположно' направлены (У = NJ).
3.	Трехстержневой узел, в котором оси двух стержней лежат на
одной прямой, а вдоль одиночного стержня действует сила F
(рис. 2.4.4, в).
В этом случае Уз = F, а усилия в стержнях, направленных по
одной прямой, как и в предыдущем случае, равны между собой и
противоположно направлены (У = Уг).
4.	Ненагруженный четырехстержневой узел, в котором оси
стержней направлены по двум прямым (рис. 2.4.4, г).
Усилия в стержнях, направленных по одной прямой, равны
между собой и противоположно направлены (У = Уз и у = У4).
Рис. 2.4.4
Пример 2.36. Определить усилия в стержнях фермы, изображенной на
рис. 2.4.5, а.
На основании частных случаев равновесия узлов для заданной фермы
можно легко определить нулевые стержни. Так, в двухстержневом ненагру-
женном узле 2 оба стержня 2-А и 2-3 являются нулевыми (случай 1), т.е.
У2_л = У2-з = 0, и этот узел вместе со стержнями можно мысленно уда-
102
дить. Тогда узел 3 также станет двухстержневым ненагруженным узлом, и
усилия в стержнях 3-4 и 3-А будут нулевыми, т.е. N3-4 = N3^ = 0.
Удалив мысленно узел 3, перейдем к узлу 4. Из аналогичных рассуж-
дений заключаем, что = N^A = 0. Наконец, применив случай 3 равно-
весия узлов к узлу I, получим, что Мы = F= 8 кН, a N\-A - Ni-g  Для
упрощения расчета стержень 1-5 с известным усилием можно убрать, а
силу F- 8 кН перенести в верхний узел 5.
Упрощенная ферма, подлежащая дальнейшему расчету, после удале-
ния нулевых стержней и стержня 1-5, показана на рис. 2.4.5, б.
Последовательно вырезая узлы А, 5, б, найдем искомые усилия во
всех стержнях фермы.
Узел А (рис. 2.4.6, о): ЕУ= 0; VA + sin а = 0;
Л^в = - К,/sin а = - 4/0,6 = - 6,667 9 (кН);
EJ = 0; М^в + cos а = 0;
N^B = _ (-6,667)0,8 = 5,333 (кН);
Узел 5 (рис. 2.4.6, б):
ЕУ=0; -F- NS.B cos р = 0;
NS_B = -/'/cos Р =
« -8/0,832 = -9,615 (кН);
EX=0; y5_6+y5_8sinp = 0;
=-(-9,615)0,5547 =
= 5,333 (кН).
Узел 6 (рис. 2.4.6, в)-.
ЕУ = 0; -Nf^A sin а-Л’б-а = 0;
ЛГ^ = -(-6,667) 0,6 = 4 (кН).
sina=0,6; sin p=2/V13=0,5547;
cos a=0,S; cos a=3/V13=0,832.
Рис. 2.4.6
Ответ-. N3.s = 8 кН; .= AU » 5,333 кН; = - 6,667 кН;
AU = 5,333 кН; NS_B = - 9,615 кН; N^s = 4 кН. В остальных стержнях уси-
лия равны нулю.
103
Прлмер 2.37. Определить продольные усилия в отмеченных стержнях
фермы, изображенной на рис. 2.4.7.
Из частных случаев равновесия узлов следует, что = 0, a = -F.
Для определения усилия ^10 проведем сквозное сечение I-I, отбросим
правую часть и рас-
смотрим равновесие
оставшейся левой час-
ти. Ни одним из при-
веденных выше спосо-
бов не удается сразу
найти искомое усилие
из одного уравнения,
содержащего два неиз-
вестных. В таких слу-
чаях поступают следу-
ющим образом. Про-
ведем вспомогательное сечение П-П, отбросим левую часть и составим
уравнение равновесия в виде суммы Моментов всех правых сил относи-
тельно моментной точки 7 (рис. 2.4.8, а).
=0;	-2 Fd Гм =0;	-2 Fd/r^ = -2 Fd/(2 d sin a) =
= - F/sin a = -1,667 F, где r$.9 - плечо силы N$-9, и sin a = 0,6.
После этого, вернувшись к сечению I—I, составим уравнение равнове-
сия в виде суммы проекций всех левых сил на ось у (рис. 2.4.8, б) с учетом
найденного значения N^~9.
= 0;	2F- F- F+ sina + #9.5 sina = 0;
Nun = -fa = -(-1,667 F) = 1,667 £
*10-4
*10-2'
aj/
*10-л 10 *10-9
Рис. 2.4.9
5 У5-б
Л/5_9=1,667кН 4^5-7
Усилия в стержнях 10-2
и 5-7 определим способом
вырезания узлов 10 и 5
(рис. 2.4.9).
Узел 10 (рис. 2.4.9, а):
ЕГ=0;
^10-2 + Mo-4 sin a = 0;
JVjo-2 =-1,667 F0,6*-F.
F
104
Узел 5 (рис. 2.4.9, б):
ЕГ= 0;	-F-N^ + Л^5-9 sin а = 0; У5_7 = 1,667F  0,6 - F= F-F= 0.
Так как ранее найденная продольная сила N$.9 является отрицатель-
ной, то на рис. 2.4.9, б она показана направленной к узлу.
Ответ: Л^-4 = 0; У3-9 = —F, У10-4 = 1,667 F", Ую-2 = —F', N5-7 = 0.
В строительстве нашли широкое применение так называемые
щпренгельные фермы. Главное предназначение шпренгельных уст-
ройств (дополнительных фермочек-шпренгелей) состоит в умень-
шении длины панелей нагруженного пояса и передаче внеузловой
Нагрузки на элементы фермы. Дополнительные фермочки-шпренгели
опираются на узлы основной фермы и работают только на местную
нагрузку, приложенную в дополнительных узлах.
Основные виды шпренгелей показаны на рис. 2.4.10: одно-
этажные (одноярусные) - рис. 2.4.10, а; двухэтажные (двухъярус-
ные)-рис. 2.4.10, б\ с треугольной решеткой-рис. 2.4.10, в.
По характеру работы шпренгельных ферм ее стержни можно
разделить на три категории:
1.	Стержни, принадлежащие только основной ферме (на
рис. 2.4.10 они показаны одной сплошной линией). На усилия в
таких стержнях шпренгели влияние не оказывают. Их можно мыс-
ленно удалить, предварительно перенеся местную нагрузку из до-
полнительных узлов на два основных соседних узла.
2.	Стержни, принадлежащие только шпренгелям (на рис. 2.4.10
они показаны одной пунктирной линией). Усилия в них определя-
ются из расчета фермочки-шпренгеля на действие только местной
нагрузки, приложенной в дополнительных узлах.
3.	Стержни, принадлежащие одновременно основной ферме и
шпренгелям (на рис.2.4.10 они показаны двойной линией-
-сплошной и пунктирной). Усилия в таких стержнях определяются
105
путем суммирования двух усилий, одно из которых возникает в
элементе основной фермы, а другое - в элементе шпренгеля.
При статическом расчете шпренгельных ферм приведенное
выше условное деление стержней на три категории может в неко-
торых случаях и не приниматься во внимание.
Пример 2.38. Определить продольные усилия в отмеченных стержнях
шпренгельной фермы, показанной на рис. 2.4.11, а.
Рис. 2.4.11
Вначале из геометрии фермы, представленной на рис. 2.4.11, а, най-
дем значения тригонометрических функций угла а, которые нам в даль-
нейшем понадобятся:
sin а = 6/10 = 0,6; cos а = 8/10 = 0,8; sin 2а = 2 sin а cos а = 0,96.
Решим задачу двумя способами.
При расчете первым способом заданную ферму будем считать обыч-
ной, а не шпренгельной. Из частных случаев равновесия узлов следует, что
У3.10 = -Fi = -4 кН и	. Для нахождения усилий Л^5 и А^-ю
проведем сечение I-I (см. рис. 2.4.11, а), отбросим правую часть и, нап-
равляя усилия в перерезанных стержнях от узлов, запишем условия равно-
весия для оставшейся левой части.
1Гжй=0; -Fi+^-№,-10sma = 0; М-ю =( 18 - W=16,667 (кН);
ЪМ%ЁВ =0; -Д • 16 + Ra -8 + Л^-5 6 = 0;
А'д.з = (8 16 - 18-8)/6 = - 2,667 (кН).
106
Для того чтобы найти усилия в стержнях 8-10 и 6-8, предварительно
бходимо определить усилие в ненужном нам стержне 6-10. Для этого
црежем узел 10 и спроектируем все силы, схо-
иеся в узле, на ось перпендикулярную к
ржням 10-4 и 10-8, с учетом найденного уси-
Мо-5 = - 4 кН (рис. 2.4.12).
= 0;	-Mo-5 cos a +Mo-6 cos (90-2 а) =0;
-4-0,8 +	sin 2 а - 0,
Откуда Мо-б = 3,2/0,96 = 3,333 (кН).
L После нахождения усилия Nl0^ можно определить усилия и в стерж-
шх 8-10 и 6-8. Для этого, поочередно проводя сечения II-II и Ш-Ш (см.
ВИС. 2.4.11, а) и отбрасывая каждый раз левые части, найдем:
сечение П-П:	ЕУт’ =0;	М10 sin а - Мчо sina - F3 = 0,
М-ю = (Гз + Mio sina)/sina = (6 + 3,333-0,6)/0,6 = 13,333 (кН);
сечение Ш-Ш:	ЕУОТ = 0;	-N^ - ^10 sina - F3 = 0,
Ms = (--fj - Mio sina) = (-6 - 3,333-0,6) = -8 (кН).
Рассчитаем заданную ферму как шпренгельную (составную) г второй
лсоб.
( Применяя способ расчленения, представим шпренгельную ферму в виде
ммы двух подконструкций. Одной из них является фермоч-
пренгель, нагруженная местной нагрузкой F3 = 4 кН, приложенной в
влслнигельном узле 5, от действия которой в узлах 4 и 6 возникают опор-
ые реакции R^ = = 2 кН (рис. 2.4.11» б). Два других шпренгеля, не нагру-
ные местной нагрузкой, будут неработающими и их можно удалить.
Другой подконструкцией является основная ферма, которая рассчи-
Нцгаается на нагрузку, действующую непосредственно в ее основных узлах,
Ей на дополнительную нагрузку, в качестве которой принимаются опорные
Ьеакции Д, = Яб = 2 кН от фермочки-шпренгеля, взятые с обратными на-
правлениями и приложенные в узлах 4, 6,
F3 + ^=6 + 2 = 8 (кН), рис. 2.4.11, в.
Как и в первом способе, #5_10 = -F3 = - 4 кН и
BSm-10 относится к стержням категории 2.
Стержни 4-5, 5-6 и 4-10 относятся к стержням
тегории 3, усилия в которых определяются путем
тебраического суммирования усилий, воз-
ающих в шпренгеле (см. рис. 2.4.11, б) и основ-
ной ферме (см. рис. 2.4.11, в).
Усилия в шпренгеле определим из вырезания
ала 4 (рис. 2.4.13).
Ху= 0;	sina = 0; N?_w = Z^/sina = 2/0,6 = 3,333 (кН);
т.е Л, = Л, = 2 кН и
^5-6 = М-5- Стержень
к,ш
М-5
4
<*4-10
Л4=2кН
Рис. 2.4.13
107
£Х= 0; N& + cos a = 0;
N?_s = -N^o cos a = - 3,333-0,8 = - 2,667 (кН).
Для определения этих же усилий, как в стержнях основной фермы,
проведем сечение IV-IV, отбросим левую часть и, направляя усилия в пе-
ререзанных стержнях от узлов (в сторону отброшенной части), запишем
уравнения равновесия для правой части (см. рис. 2.4.11, в).
= 0;	У8°_4 sin a - Fs = 0, N?_t = 8/0,6 = 13,333 (кН);
где верхние индексы “ш” и “о” указывают на принадлежность стержней
либо фермочкам-шпренгелям, либо основной ферме.
Суммируя найденные усилия для стержней категории 3, окончательно
получим:
N$-6 = N<-5 = N& + N?_4 = -2,667 + 0 = -2,667 (кН);
#мо = #Ло + #8°-4= 3,333 + 13,333 = 16,667 (кН).
Стержни 8-10 и 6-8 принадлежат к категории 1 стержней, и усилия в
них определяются по рис. 2.4.11, в. Усилие в стержне 8-10 совпадает с
усилием в стержне 8-4, т.е. jV4-I0 = #8°4 = 13,333 кН.
Для нахождения усилия в стержне 6-8 проведем сечение V-V, отбро-
сим левую часть и, направляя усилия в перерезанных стержнях в сторону
отброшенной части, составим уравнение равновесия в виде суммы проек-
ций всех сил справа от сечения на ось у (см. рис. 2.4.11, в).
s Yпр = 0;	-F5 -	= 0, N6.i = -/5 = -8 кН.
Из сопоставления двух способов расчета шпренгельных ферм
можно сделать следующие выводы:
1.	Усилия в стержнях категории 1, как правило, гораздо проще
определять вторым способом по рис. 2.4.11, в.
2.	Усилия в стержнях категории 2 легче находить также вторым
способом по рис. 2.4.11, б.
3.	Усилия в стержнях категории 3 значительно проще опре-
делять первым способом с использованием рис. 2.4.11, а. Если в
панели фермы имеются два и более шпренгелей, то тот шпренгель,
в который не входит искомый стержень категории 3, надо удалить,
предварительно распределив местную нагрузку на основные узлы
фермы.
Ответ: У5.1о = - 4 кН; = - 2,667 кН; tf4_10 = 16,667 кН;
У8.10 = 13,333 кН; #6-8 = - 8 кН.
108
Пример 2.39. Наметить пути определения усилий во всех стержнях
юй панели фермы, изображенной на рис. 2.4.14, а.
Рис. 2.4.14
На рис. 2.4.14, б, в отдельно показан!
одноярусный и двухъярусный шпренгели,
рисункам способом вырезания узлов весы
«ях 6-7, 4-7, 5-8 и 2-8 категории 2.
Для определения усилий в стерж-
нях 1-2, 7-8 и 3-4 категории 1 удалим
оба шпренгеля, а местную нагрузку от
НИХ, приложенную в дополнительных
узлах 5, 6, распределим согласно
рис. 2.4.14, б, в на узлы основной фер-
мы (рис. 2.4.15, о).
Расчетная схема основной фермы,
представленная на рис. 2.4.15, а, поз-
воляет очень легко найти искомые уси-
лия N\-i, Ny-g — Ni-з и Уз-4-
j под действием местной нагрузки
входящие в состав фермы. По этим
а просто находятся усилия в стерж-
/>Я2=1,ЗЗЗкН
Стержни 1-7, 1-6, 5-6, 4-5 категории 3 входят в состав только одно-
ярусного шпренгеля. Согласно рекомендации вывода 3 (см. с. 108) удаляем
двухъярусный шпренгель, а местную нагрузку от него (рис. 2.4.14, в) распреде-
ляем на узлы 2, 3 основной фермы. По полученной таким образом расчет-
109
ной схеме фермы (рис. 2.4.15, б) достаточно просто определяются искомые
УСИЛИЯ Ni-y И Nm =	= Л4-5.
Наконец, стержни 2-3 и 3-8, также относящиеся к категории 3, входят
в состав только двухъярусного шпренгеля. Поступая аналогично вышепри-
веденному, удалим одноярусный шпренгель, а местную нагрузку, прило-
женную в дополнительном узле 6 (см. рис. 2.4.14, б), распределим на уз-
лы 1, 4 основной фермы. По расчетной схеме, представленной на
рис. 2.4.15, в, способом моментной точки и способом проекций находим
искомые усилия Я2-з и N3„s.
Такой же порядок действий сохраняется и при расчете шпренгельных
ферм, когда в панели фермы имеются только одноярусные или только
двухъярусные шпренгели.
Ответ'. Яб-7=6кН; N^= -3,606 кН; Я5_8=4 кН; #2_8=2,403 кН;
ЯЬ2 = -1,333 кН; Я7_8 = 16,667 кН; Язч = -16 кН; М-7 = 11,667 кН;
Я1Ч = Я5^ = М-5 =-7 кН; Я2-з = ~2 кН; - 20 кН.
Пример 2.40. Построить эпюры М, Q, N в комбинированной системе,
показанной на рис. 2.4.16, а.
Рис. 2.4.16
Комбинированными системами называются
геометрически неизменяемые системы, составленные из двух или
нескольких систем (простых и шарнирных балок, арок, ферм, шар-
нирно-стержневых цепей и т.д.), соединенных между собой для
совместной работы дополнительными связями.
Комбинированная система, изображенная на рис. 2.4.16, а, представ-
ляет собой цепь, усиленную балкой жесткости. Элементы цепи (ее звенья
и подвески) работают на растяжение, а балка - на изгиб.
Из условия равновесия узлов цепи при вертикальных подвесках сле-
дует, что горизонтальная проекция усилий во всех элементах цепи имеет
одну и ту же величину Я, называемую распором. Так как равнодейству-
ющие горизонтальной Я и вертикальных VD и VE сил направлены вдоль
элементов цепи Я-3 и £-4, из силового треугольника (рис. 2.4.16, в), с
учетом симметрии задачи, имеем:
VD = Higa; Nd-3 = Я/cos a; VE - Higa.', = Я/cos а.
ПО
Для определения вертикальных реакций составим уравнение момен-
тов всей системы относительно точек Л и Л
ЕМХ=О; F-4-(Vs+ К£)-8 = О,	У, + УЕ =	= 6-4/8 - 3 (кН);
ЕЛ^=О; -F.4+(Et+ Ко)-4 = 0,	Ул + VD =	= 6-4/8 = 3 (кН).
Для определения распора Н рассмотрим равновесие отсеченной левой
части ACD (рис. 2.4.16, б):
ЪМЛСЕВ =0; (Ул + Ул )-4 - H f= 0, Н = М°с !f= 3-4/2 = 6 (кН),
где У° - вертикальная реакция, которая возникла бы на опоре А, если бы
вся система состояла только из простой балки АВ, Уд - опорная реакция
на правой опоре балки АВ, М°- изгибающий момент простой балки в
точке С.
Зная распор Н, можно легко найти все опорные реакции и усилия в
.элементах цепи D-3 и £-4.
= Я tga = 61 = 6 (кН); Ул = У° - VD = 3 - 6 = -3 (кН);
К£= Я tga = 6-1 = 6 (кН); Ил= У° - Г£= 3 - 6 =-3 (кН);
Nd.3 = Ne-a = Я/cos a = 6/cos45° = 8,485 (кН).
Истинные значе-
ния и направления ре-
акций изображены на
рис. 2.4.16, б.
Продольное усилие
Язч найдем из условия
равновесия вырезанно-
го узла 3. После нахож-
дения усилий в под-
xAS-zr8-485KH
,*3-1
6)	Лз-^бкН Я4_2=6кН
Т£=бкн X,
1 2м 2м 'г 2м 2м I
к---Ж- - ж- ж—Л
▼ Их=ЗкН Ил=ЗкН<
:. 2.4.17
весках цепи можно показать нагрузку, действующую на простую балку АВ
(рис. 2.4.17, б).
Узел 3 (рис. 2.4.17, а): ЕУ= 0; 8,485 cos 45° -	= 0; Я3_] = 6 кН.
Эпюры внутренних усилий N, М, Q комбинированной системы пред-
ставлены на рис. 2.4.18, а...в.
Рис. 2.4.18
111
Пример 2.41. Построить эпюры М, Q, N для комбинированной сис-
темы, изображенной на рис. 2.4.19.
Рис. 2.4.19
Направления и значения опорных реак-
ций показаны на рис. 2.4.19.
Для определения усилия У2.3 проведем
сечение I-I через стержень 2-3 и шарнир С,
отбросим левую часть и, приравняв нулю
сумму моментов всех сил, действующих на
правую часть относительно шарнира С, по-
лучим:
ЕЛ/£' = 0; -Ул-2-У2.3-4=0; У2_3=-2 кН.
Усилие N2-3 направлено к узлу 3 (стер-
жень 2-3 сжимается). Усилия в стержнях 2-1 и 2-С найдем способом
вырезания узлов.
Узел 2 (рис. 2.4.20): £У=0;	-F-N2_c sina = 0;
N2.c = -14/0,8 =-17,5 (кН);
SX= 0; -N2.i - N2.3 + N2.c cosa = 0;	N2.{ = -2 - 17,5 0,6 = -12,5 (кН).
Нагрузка, действующая на балку с ломаной осью, показана на
рис. 2.4.21.
Эпюры внутренних усилий М, Q, У представлены на рис. 2.4.22, а...в.
У3_2«2кН
Ус_2=17,5кН

112
Задачи 2.4.01..,2.4,26. Определить продольные усилия N в отмечен-
ных стержнях ферм и комбинированных системах.
, 4м , 4м . 4м , 4м , 4м , 4м .
<—ж—ж	ж—ж—ж—М
5м . 5м , 5м , 5м
к—>к	>!<	>1<—
8-1224
ИЗ
2.4.09
2.4.10
, 2м । 2м 2м 2м
2.4.11	2.4.12
2.4.13
2.4.14
114
2.4.15	2.4.16
, 2м , 2м , 2м , 2м . 2м , 2м ,	. 2м , 2м , 2м , 2м , 2м , 2м , 2м , 2м ,
к >|< >к >|< >|< >|< >|	к->1<->1< >|<-->к"->|< >|< >|< >|
2.4.17
2.4.18
115
2.4.21
2.4.22
4м
F=8kH
2.4.24
2.4.23 ,
2.4.26
2.4.25
F|=8kH Fj=8kH
1 v2 3	4	5 w 6
116
Задачи 2.4.27...2.4.34. Построить эторы М, Q, N.
2.4.27
\ у/ д°2кн/м
/77>г^7)	/7т£Р7>
Зм , Эм , Зм . Зм
И—Ж—ж—--Ж'—
117
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ К ГЛАВЕ 2
1.	Перечислите основные свойства статически определимых систем.
2.	Какие уравнения используются для определения значений опор-
ных реакций?
3.	Чему равна горизонтальная опорная реакция горизонтальной бал-
ки при вертикальной нагрузке?
4.	Что представляет собой многопролетная шарнирно - консольная
балка? Какие типы элементов различают в ней и как составляется
ее поэтажная схема?
5.	Каков порядок расчета многопролетной шарнирно - консольной
балки?
6.	Как определяются опорные реакции в однодисковых системах
(простых рамах)? Показать на примерах.
7.	Какие сооружения называются распорными? Привести примеры.
8.	Что такое трехшарнирная рама (арка)? Как определяются опорные
реакции и усилия в затяжках?
9.	Влияет ли наличие упругоподатливых опор на величины реакций?
10.	Как проверить правильность нахождения опорных реакций?
11.	Что такое изгибающий момент, поперечная и продольная силы?
12.	Что представляют собой эпюры изгибающих моментов, попереч-
ных и продольных сил и каждая ордината этих эпюр?
13.	С какой стороны от оси стержня строят эпюру Л/? Какие приемы
применяют, чтобы определить, какие волокна растянуты?
14.	Как строится эпюра Q по эпюре М, а эпюра N по эпюре Q ?
15.	Как определяют знаки для Q и W? Привести примеры.
16.	По каким законам изменяются изгибающий момент и поперечная
сила по длине оси стержня при отсутствии распределенной нагрузки?
17.	Какой вид имеет эпюра изгибающих моментов на участках стержня,
во всех сечениях которого поперечная сила равна нулю?
18.	Чему равна поперечная сила в сечении стержня, в котором изгибаю-
щий момент достигает экстремального значения?
19.	Как изменяются изгибающий момент и поперечная сила р сечении, в
котором к стержню приложена внешняя сосредоточенная сила F,
перпендикулярная к оси стержня? Привести примеры.
20.	Как изменяются изгибающий момент и поперечная сила в сечении, в
котором к стержню приложен внешний сосредоточенный момент /Я?
21.	Чему равен момент в шарнире, если бесконечно близко от него не
приложен внешний сосредоточенный момент nt!
22.	Чему равен суммарный момент для каждого узла рамы (балки)?
23.	В какую сторону обращена выпуклость эпюры М при действии рас-
пределенной нагрузки? Привести примеры.
24.	Как определить экстремальное значение изгибающего момента?
25.	Как построить эпюру Q на участке стержня, загруженного равномер-
но распределенной нагрузкой? Показать на примерах.
118
26.	Привести примеры построения эпюр М и Q для шарнирно опертых и
консольных балок от действия различных нагрузок (см. табл. 2.1).
27.	Как "подвешивается" балочная эпюра изгибающих моментов на пря-
молинейном участке стержня длиной I, загруженного равномерно
распределенной нагрузкой интенсивности q, если известны две
крайние ординаты эпюры моментов? Привести примеры.
28.	Как "подвешивается" балочная эпюра изгибающих моментов на пря-
молинейном участке стержня длиной /, загруженного сосредоточен-
ной силой F, если известны две крайние ординаты эпюры моментов?
Привести примеры.
29.	Как "подвешивается" балочная эпюра изгибающих моментов на пря-
молинейном участке стержня длиной /, загруженного сосредоточен-
ным моментом т, если известны две крайние ординаты эпюры мо-
ментов? Привести примеры.
30.	В чем заключается проверка эпюр Q и W?
31.	Влияет ли наличие упругоподатливых опор на закон изменения и
величины ординат эпюры М в статически определимой системе?
32.	Как составляется поэтажная схема составной рамы?
33.	Каков порядок расчета составной рамы?
34.	Что такое ферма? Какие усилия появляются в стержнях ферм и
почему? Как определяются реакции в балочной ферме?
35.	Какие элементы различают в фермах?
36.	Что называется моментной точкой? Привести примеры.
37.	Когда для определения усилий в фермах (реакций в рамах) рацио-
нально применять способ моментной точки? В чем идея этого
способа? Привести примеры.
38.	Когда и как применяется способ вырезания узлов? В чем достоин-
ства и недостатки его? Привести примеры.
39.	Какие стержни называются нулевыми? Приведите частные случаи
равновесия узлов.
40.	Когда рационально находить усилия способом проекций? В чем
его сущность?
41.	Что такое распорная ферма? Как вычисляют опорные ракции (уси-
лие в затяжке) и усилия в стержнях распорных ферм?
42.	Что представляет собой шпренгельная ферма? С какой целью при-
меняют фермочки - шпренгели? Приведите примеры.
43.	Чем отличается работа двухъярусных шпренгелей от работы одно-
ярусных?
44.	На какие категории (типы) по характеру работы делятся стержни
шпренгельных ферм?
45.	Какие приемы используют при вычислении усилий в стержнях
различных категорий шпренгельных ферм?
46.	Что понимают под комбинированной системой?
47.	Каков порядок расчета комбинированных систем?
119
Глава 3. Определение перемещений в статически
определимых системах
§ 3.1. Перемещения. Работа внешних и внутренних сил.
Потенциальная энергия деформаций. Теоремы
о взаимности. Правило Верещагина
Под влиянием внешних воздействий элементы сооружения де-
формируются, вследствие чего различные точки сооружения полу-
чают перемещения. Определение перемещений требуется для про-
верки жесткости и устойчивости конструкции, при расчете ста-
тически неопределимых систем, а также для сопоставления резуль-
татов теоретических расчетов и данных испытаний.
Перемещением данной точки сооружения называется
изменение ее координат в результате деформации системы.
Поступательные и угловые перемещения обозначаются буквой
А с двумя индексами (Ац, Au, Ац>» А» и т. д.). Первый индекс по-
казывает точку и направление перемещения, а второй - причину,
вызвавшую данное перемещение. Перемещения от единичных сил
или моментов обозначаются буквой 8 с теми же индексами. На-
пример, перемещение - перемещение точки i по направлению i
от единичной силы, приложенной в точке j по направлению /.
Полное перемещение в пределах малых упругих деформаций запи-
сывают так: А^ =8^ Р^.
Для линейно деформируемых систем зависимость между пере-
мещениями и нагрузками имеет линейный характер, и к таким сис-
темам применим принцип независимости действия сил (принцип
суперпозиции). В соответствии с этим принципом перемещение
любой точки к по направлению силы от действия на систему
группы сил Р\, Рг,-., Рп определится по формуле
ДЛ£Р=5Л:1А +5Л2^2+-"+8*л^л-	С3-1)
Выражение, определяемое формулой (3.1), называется обоб-
щенным законом Гука.
В строительной механике применяются понятия обобщен-
ной силы и соответствующего ей обобщенного пе-
ремещения. Под обобщенной силой? понимается
сосредоточенная сила, группа сил, момент, группа моментов, рас-
пределенная нагрузка или любая комбинация из них. Каждой
обобщенной силе Р соответствует обобщенное перемещение А, та-
кое, что произведение РА имеет смысл и размерность работы.
120
Например, сосредоточенной силе Г соответствует линейное переме-
щение, моменту т - угловое, равномерно распределенной нагрузке
q - площадь эпюры перемещений на участке действия нагрузки.
Наряду с действительными перемещениями, вызванными ка-
ким-либо конкретным силовым воздействием, рассматриваются и
возможные перемещения. Под возможными переме-
щениями понимают любые конечные малые перемещения, не
зависящие от заданных внешних воздействий н согласующиеся с
наложенными на систему связями. Работу сил (внешних или внут-
ренних) на возможных перемещениях называют возможной
работой.
Статическим способом приложения нагрузки будем на-
зывать такой процесс ее приложения, при котором ускорения пе-
ремещений, а следовательно, и силы инерции практически равны
нулю, а сама нагрузка и перемещение постепенно, плавно возрас-
тают от нуля до своих конечных значений Р и А.
Действительной работой внешней силы называет-
ся работа силы, совершаемая на перемещении, вызванном этой же
силой.
Для линейно деформируемых систем при статистическом при-
ложении обобщенной силы Р зависимость между обобщенным пе-
ремещением точки приложения силы в направлении ее действия и
значением силы выражается линейным графиком, приведенным на
рис. 3.1.1, а. Работа силы Л на перемещении Л/ равна площади
треугольника ОАВ: V=ABOB/2, или И=Р, Д//2.
Таким образом, при статическом действии обобщенной силы
на упругую систему действительная работа внешней
силы определяется как половина произведения окончательного
значения этой силы на окончательное значение соответствующего
обобщенного перемещения, вызванного этой силой и направлен-
ного по направлению действия силы (теорема Клайперона). В слу-
чае совместного действия системы из п обобщенных внешних сил
действительная работа, на основании принципа суперпозиции, бу-
дет определяться формулой
Л Р А
и = £^-,	(3.2)
Ml 2
где Л/ - полное перемещение точки приложения силы Р{ по ее на-
правлению от действия всех п сил.
Работа внешнего сосредоточенного момента т на вызванном
им угле поворота ср определяется формулой
121
V-^.-	(3.3)
В процессе деформирования линейно упругой системы дейст-
вительная работа внешних сил постепенно полностью переходит в
потенциальную энергию деформации системы, как бы накаплива-
ется в ней. При разгрузке энергия расходуется на возвращение со-
оружения в первоначальное недеформированное состояние.
Если в процессе выполнения работы сила, совершающая ее,
сохраняет свое постоянное значение, то работа вычисляется без
коэффициента 1/2.
Под возможной работой внешних сил пони-
мают работу сил на перемещениях по их направлениям, но выз-
ванных другими силами или иными причинами. При этом силы,
совершающие возможную работу, остаются неизменными.
Рассмотрим однопролетную балку под действием статически
приложенной в точке 1 обобщенной силы Р\ (рис.3.3.1, б).
При постепенном возрастании силы от нуля до конечного по-
стоянного значения Pi=const точка ее приложения вместе с силой
переместится из точки 1 в точку 1', и окончательное значение соот-
ветствующего перемещения будет определяться отрезком 1-1'. За-
тем к этой же балке, находящейся в деформированном состоянии,
приложим статически в какую-либо точку другую обобщенную си-
лу Рг, от действия которой точка приложения силы Pi=const (точ-
ка Г) переместится в точку 1" на величину Д^. Дополнительное
перемещение Дп соответствует окончательному значению силы
Зависимость между силой Pi=const и перемещением по на-
правлению ее действия Л12 выражается диаграммой, показанной на
рис. 3.3.1, в. Возможная работа силы Pi=const на перемещении,
вызванном силой Рг, равна площади прямоугольника ОАВС (рис.
3.3.1, в): А=ОА АВ, илй А-Р\ Д^.
В общем случае при действии на упругую систему п сил воз-
можную работу внешних сил можно представить выражением
122
л
1=1
(3.4)
где Pi - обобщенная сила; Zi - обобщенное перемещение точки при-
ложения силы Pi по ее направлению, вызванное другими силами.
По аналогии с предыдущим вводится понятие возможной
работы внутренних сил:
т
Ля=-25'е'’	<3-5)
/=1
где S( - обобщенное внутреннее усилие; е, - соответствующая обоб-
щенная деформация. Знак “минус” в (3.5) указывает на то, что работа
внутренних сил при нагружении системы всегда отрицательна.
Теперь, после введения общих понятий о возможных работах и
Возможных перемещениях, один из основных законов механики,
установленный Лагранжем и называемый принципом воз-
можных перемещений, может быть сформулирован таким
Образом: для любой деформируемой системы, находящейся в рав-
новесии под действием приложенных к ней сил, сумма работ
Внешних и внутренних сил на любых возможных перемещениях то-
чек системы должна быть равна нулю.
Этот принцип может быть применен к любой системе, находя-
щейся в равновесии: к вязкому или пластическому, к абсолютно
жесткому телу и т.д. В случае применения этого принципа к упру-
гим системам, материал Которых подчиняется закону Гука, считает-
ся, что работа, затрачиваемая на преодоление трения, на образова-
ние и выделение тепла и т.п., несущественна, и она не учитывается.
Для многих задач строительной механики потенциальную энер-
гию системы удобнее находить через работу внутренних сил.
Вырежем, например, из упругой рамы бесконечно малый эле-
мент длиной ds (рис. 3.1.2, а).
Тогда внутренние усилия М, Q, N, действующие в его торце-
вых сечениях (рис.
3.1.2, б), можно рас-
сматривать в качес-
тве внешних сил от
действия отброшен-
ных слева и справа
частей рамы.
Рис. 3.1.2
123
На рис. 3.13, а...в показаны деформации элемента от действия 
каждого внутреннего усилия.
Так как каждая сила работает только на своих деформациях,
элементарную работу можно подсчитать для каждого фактора воз-
действия отдельно. Работа этих сил будет статической, т.е. с коэф-
фициентом 1/2.
При одновременном действии на выделенный элемент ds про-
дольной силы N, изгибающего момента М и поперечной силы Q
(см. рис. 3.1.2, б и рис. 3.1.3, а...в) полная элементарная работа мо-
жет быть записана как алгебраическая сумма элементарных работ в
виде
dW^W^dWM+dlVQ=	,	(3.6)
где de, dtp и yds - деформации растяжения-сжатия, изгиба и сдви-
га, показанные на рис. 3.1.3, а...в и определяемые по известным
формулам курса сопротивления материалов:
(3.7)
Подставляя (3.7) в (3.6), интегрируя получившееся выражение
по длине каждого стержня и суммируя по всем стержням заданной
плоской стержневой системы, получим формулу для вычисления
действительной работы внутренних сил М,
Q, N на перемещениях, вызванных статически приложенной внеш-
ней нагрузкой:
к, cM2ds 5-1 г Q2ds tN^ds\	,, 0.
Здесь р, - безразмерный коэффициент, учитывающий неравно-
мерность распределения касательных напряжений по высоте попе-
124
речного сечения и зависящий от формы сечения.
По аналогии с предыдущим, рассматривая два состояния на-
гружения системы, можно получить формулу для вычисления
возможной работы внутренних сил на переме-
щениях и деформациях, вызванных другими силами:
^вн
rMaMjdS г QaQtdS । cNaNjdS
L J EJ + ~GA~ L J EA
(3.9)
уде Ma, Qa, Na - внутренние силы, совершающие работу; Mt, Qj,
tfi, - внутренние силы, вызывающие перемещения и деформации.
Для систем, работающих, в основном, на изгиб (балки, рамы),
вторым и третьим членами можно пренебречь. Тогда
4,—<310>
Согласно закону сохранения энергии: V+ FF=O действитель-
ная работа внешних сил /равна действительной работе внутренних
сил W, взятой с обратным знаком.
Так как потенциальная энергия упругой
системы равна работе, которую производят внешние силы на
вызванных ими перемещениях, выражение (3.8), взятое с положи-
тельным знаком, также носит название потенциальной энергии де-
формаций стержневой системы и обозначается через U
р-к-г.У	(з-н)
2EJ ^Jr2G4 ^ >2ЕЛ
Основные свойства потенциальной энергии.
1.	Потенциальная энергия - всегда имеет положительное значе-
ние, так как внутренние усилия М, Q, N в выражении (3.11)-во
второй степени.
2.	Потенциальная энергия - квадратичная функция усилий, а
также и перемещений, поскольку перемещения пропорциональны
усилиям, и не подчиняется принципу суперпозиции действия сил,
т.е. потенциальная энергия, вызванная группой сил, не равна сум-
ме потенциальных энергий, вызванных каждой из сил в отдельно-
сти.
3.	Величина потенциальной энергии зависит только от началь-
ного и конечного состояний системы, которые определяются зна-
чениями усилий М, Q, N (эпюрами М, Q, N) и не зависит от по-
следовательности загружения.
125
Каждый из трех членов в выражении (3.11) вносит различный
вклад в величину потенциальной энергии. Так, для систем, работа-
ющих, в основном, на изгиб (балки, рамы), можно не учитывать
члены, содержащие Qu N:
U = V = -W = ^\^.	(3.12)
Для ферм потенциальная энергия подсчитывается по формуле
U = V = -W = \ [^«У^.	(3.13)
J 2ЕА 2£4
Для комбинированных систем
р.п»
Если система имеет упругоподатливые опоры, то потенци-
альная энергия деформаций будет определяться в общем случае
следующим выражением:
СА = И = -1К = У р^ + У +
2EJ 2GA
v rN2dS ^RjP
где Г/ - коэффициент жесткости пружины i - й опоры, численно
равный обобщенной силе, которую необходимо приложить к этой
опоре, чтобы переместить ее на единицу длины; Я//> - реакция,
возникающая в i - й упругоподатливой опоре от нагрузки.
Суммирование производится по всем упругоподатливым опо-
рам системы.
Одной из наиболее замечательных теорем теории линейно де-
формируемых систем является теорема Бетти о вза-
имности работ, которая формулируется так: возможная ра-
бота обобщенной силы 1-го состояния на перемещении точки ее
приложения, взятом из 2-го состояния, равна возможной работе
обобщенной силы 2-го состояния на перемещении точки ее прило-
жения, взятом из 1-го состояния.
В справедливости приведенной теоремы можно убедиться, если
рассмотреть два варианта последовательного загружения однопро-
летной балки в точках 1 и 2 обобщенными силами Р\ и Р^
Приложим сначала к балке в точке 1 статически возрастающую
обобщенную силу Р\ (рис. 3.1.4, а, состояние 1). Под действием
126
этой силы балка прогнется, и точка ее приложения 1 переместится
по направлению действия силы Р\ в точку 1' на величину Ли, при
этом сила Л на своем перемещении Ац совершит действительную
работу Иц= PiAn/2. Затем к изогнутой балке в точку 2' приложим
статически вторую обобщенную силу Р2, а сила Р\, достигнувшая
своего окончательного значения, осталась. Под действием силы Р2
точка ее приложения 2' переместится по направлению действия
силы ?2 в точку 2" на величину Д22, и сила Р2 совершит действи-
тельную работу ^22= Лд22/2- Одновременно с силой Р2 возможную
работу совершит и сила Р[ на дополнительном перемещении Ап,
вызванном силой Р2 (сила Д переместится из точки Г в точку 1''):
Л12=АД12-
Суммарная работа сил Р\ и Р2 состоя-
ния 1 при выбранной последовательности .
загружения будет равна сумме работ, со-
вершенных этими силами:
Кц+ И22+ ^12= АЛ11/2+ ^22/2+ АЛ12-
Во втором варианте загружения будем
предполагать, что сначала действует
обобщенная сила Р2, приложенная в точ-
ке 2, а затем в деформированном сос-
тоянии балки начнет действовать в точке
Г обобщенная сила Pi (см. рис. 3.1.4, б,
состояние 2). Повторяя приведенные вы-
ше рассуждения, выражение для полной
работы внешних сил Р\ и Р? можно запи-
сать в виде
Vi2+ Pii+ ^21= Р2Д22/2 + Р1Дц/2+ РгДгь
°) Состояние 1
б) „ Л
Состояние 2
Рис. 3.1.4
Суммарная работа внешних сил в каждом из этих двух состоя-
ний равна потенциальной энергии, которая, как известно, не зави-
сит от порядка загружения упругой системы, а определяется только
исходным и конечным состояниями. В данном случае исходное и
конечное состояния одинаковы. Следовательно, полные работы
состояния 1 и состояния 2 равны между собой:
Иц+ К22 + Л12= И22+ Иц + Ль
отсюда Ли = Л21 или ЛАп® РгЛгь	(3.16)
Теорема о взаимности работ справедлива и для возможных ра-
бот внутренних сил.
Из теоремы о взаимности работ вытекает ряд частных теорем,
имеющих большое практическое значение. Так, положив в послед-
127
нем выражении (3.16) Р1 = ?2=1 и заменив А на 5, получим:
512= Згь или в общем случае:
5Л=5«.	(3.17)
Соотношение (3.17) выражает теорему Максвелла о
взаимности обобщенных единичных пере-
мещений: перемещение точки приложения i-й обобщенной еди-
ничной силы по ее направлению, вызванное действием k-й обобщенной
единичной силы, равно перемещению точки приложения k-й обобщен-
ной единичной силы по ее направлению, вызванному действием i-й
обобщенной единичной силы.
Размерность перемещений определяется по формуле:
, размерность обобщенного перемещения , о.
|о/й =----------------------з—— ---------з------	(3.16)
размерность вызвавшей обобщенной силы
Покажем на примере рамы применение и выполнение теоремы
о взаимности единичных перемещений. Приложим в точку 1 рамы
по горизонтальному направлению сосредоточенную силу F =\, ко-
торая вызовет деформацию всей рамы и, в частности, угловое пере-
мещение 5г1 (безразмерное -б/р) узла 2 (рис. 3.1.5, а). Чтобы найти
обобщенное перемещение 512 (в данном случае оно будет линей-
ным перемещением), надо в узел 2 приложить сосредоточенный
момент т =1 и вычислить перемещение точки 1 по направлению
действия силы F=1 (рис. 3.1.5, б). Согласно теореме Максвелла
между 512 и 5г1 должно выполняться условие (3.17), т.е. 512 = 321-
Рис. 3.1.5
Проверим размерность этих
перемещений по формуле
(3.18):
п п
гя 1-	- 1
12 ЯЛ/ Н
Следовательно, оба перемещения имеют одинаковую размер-
ность.
Далее рассмотрим два состояния упругой системы, в которых /-е
состояние характеризуется единичным перемещением /-й связи (рис.
3.1.6, о), а £-е состояние - единичным перемещением k-й связи
(рис. 3.1.6, б). От заданных единичных кинематических воздейст-
вий во всех связях появятся единичные реакции.
128
На рис. 3.1.6, а, б в каждом состоянии показаны только те ре
акции, по направлению которых в другом состоянии имеются пе
ремещения. По направлению остальных реакций перемещения от
сутствуют, а следовательно, их работа равна нулю.
Применив к двум состояниям теорему Бетти о взаимности ра
бот, получим: г и 1 = rik 1, или
rkl = rik.	(3.19)
Равенство (3.19) носит на-
звание первой теоремы
Рэлея о взаимности единич-
ных реакций, которая форму-
лируется так: реакция в i-й
связи, вызванная единичным пе-
ремещением k-й связи, равна ре-
акции в k-й связи, вызванной
единичным перемещением i-й
связи. Реакции здесь имеют
смысл обобщенных сил.
Рис. 3.1.6
Рассмотрим еще один частный случай теоремы о взаимности
работ при сравнении двух состояний системы.
Пусть в /-м состоянии действует обобщенная сила Pz=l, кото-
рая в k-й связи вызывает единичную реакцию Г'и (рис. 3.1.7, а), а в
к-м состоянии задано единичное смещение k-й связи, вызывающее
перемещение 5^ точки приложения обобщенной силы /}=! (рис.
3.1.7, б).
Рассматривая эти два сос-
тояния как взаимно возможные,
на основании теоремы Бетти
имее'м: 1- 8'^+Г'^ 1 = 0, откуда
8'(3.20)
Силы состояния к (они на
рис. 3.1.7, б не показаны) работу
не совершают, поскольку по
направлению их действия в /-м
состоянии отсутствуют переме-
щения.
Рис. 3.1.7
Равенство (3.20) является выражением второй теоремы
9-1224
129
Рэлея о взаимности единичных реакций и перемещений:
перемещение точки приложения i-й единичной силы по ее направлению,
вызванное единичным перемещением k-й связи, равно по величине и об-
ратно по знаку реакции в k-й связи, вызванной i-й единичной силой.
В отличие от ранее принятых обозначений штрих у 8'^ подчер-
кивает, что это перемещение вызвано единичным обобщенным пе-
ремещением, а не единичной силой. Штрих у подчеркивает,
что эта реакция вызвана единичной обобщенной силой, а не еди-
ничным перемещением.
Вычисление интегралов, входящих в выражения (3.8)...(3.15),
можно производить непосредственно в аналитической форме. Од-
нако для систем, состоящих из прямолинейных элементов посто-
ь
янной жесткости, значительно проще интегралы вида ^M^Mkdx
а
вычислять по правилу Верещагина (способ перемножения эпюр):
^M^dx-^.	(3.21)
а
Искомый интеграл равен произведению площади Q криволи-
нейной эпюры изгибающих моментов на ординату уцм прямоли-
нейной эпюры моментов, расположенную под центром тяжести
криволинейной эпюры (но ни в коем случае не наоборот), делен-
ному на жесткость данного участка Е J.
В частном случае, когда обе эпюры М, и М/с прямолинейные,
можно умножать площадь любой из них на соответствующую ор-
динату другой.
Две криволинейные эпюры по правилу Верещагина перемно-
жать нельзя. При сложном очертании эпюр М/ и М/с, когда одна из
них (или обе) ограничена ломаными прямыми линиями, их пред-
варительно разбивают на такие участки, в пределах каждого из ко-
торых хотя бы одна эпюра будет прямолинейна.
Произведение эпюр Mi М/с считается положительным, если они
расположены по одну сторону от оси стержня, если с разных -
отрицательным. Помимо правила Верещагина искомый интеграл
можно вычислить по формуле численного интегрирования Симп-
сона:
(з.22)
130
где индексы н, ср и к обозначают
соответственно начало, середину
и конец участка интегрирования
(рис. 3.1.8). В случае криволиней-
ной эпюры, очерченной по квад-
ратной параболе, вычисление ин-
теграла по формуле (3.22) будет
давать точный результат. Вычис-
ление по формуле Симпсона не
совсем удобно для простых эпюр,
а для более сложных - имеет пре-
имущество по сравнению с пра-
вилом Верещагина.
, Перемножать эпюры моментов в виде “перекрученных” и
обычных трапеций (рис. 3.1.9, а...в) удобно по следующей формуле:
fMiMu I	, ,	, ,
| 'kdx - (2ас + 2bd + ad + be).
• EJ	vEJ
(3.23)
В формулах (3.22) и (3.23) произведение ординат эпюр момен-
тов, отложенных с одной стороны от стержня, берутся со знаком
“плюс”, а с разных - "минус”.
Рис. 3.1.9
Если моменты инерции, площади поперечных сечений стерж-
ней или их соотношения в задачах учебного пособия не заданы, то
принимаем их постоянными и равными J и А.
Пример 3.1. Вычислить потенциальную энергию деформации кон-
сольной балки с ломаной осью, изображенной на рис. 3.1.10, а.
131
Рис. 3.1.10
Эпюра изгибающих моментов пред-
ставлена рис. 3.1.10, б.
Так как изгибная жесткость стерж-
ней в задаче не указана, будем считать
ее постоянной и равной EJ.
Вычислим потенциальную энергию
через работу внутренних сил, учитывая
лишь один член, содержащий изгиба-
ющие моменты [см. формулу (3.12)]:
U = V
2EJ
2EJ ' J 2EJ Ш !x4dX ' 2EJ Г' ~
ООО
3+Jl_x|5 J43_ + 405 _22М (кДж).
0 2EJ lo 10£7 2EJ EJ
На участке СВ перемножить криволинейную эпюру М саму на себя по
правилу Верещагина нельзя, а на участке ВА-можно. Поэтому, поместив
для стержня СВ начало координат в точке С и направив ось X вправо, а
для стержня ВА-ъ точке В и направив ось X вверх, произведем не-
посредственное интегрирование в аналитической форме:
v 3t(qx2/2)2dx Se92dx	q2 3f„4j„ 81 П-
= J 2EJ	+i2EJ
22 Xs
= 8E/ 5
Второй интеграл, естественно, было бы проще вычислять по правилу
Верещагина, что в дальнейшем и будем делать.
Ответ: U = 226,8/227 кДж.
Пример 3.2. Вычислить потенциальную энергию простой рамы
(рис. 3.1.11, а).
Так как жест-
кости стержней не
заданы, считаем их
постоянными и рав-
ными EJ. Эпюра
моментов показана
на рис. 3.1.11, б.
Потенциальную
энергию вычислим
через работу внут-
ренних сил по формуле (3.12) с использованием правила Верещагина.
U = Y f4^“Xfl,517’5T17-5+l,310’54-10’5+
2EJ 2EJ\2	3	2	3
1	2
+4-18  18 + 4 2-18-4-18
2	3
= 1^1 (кДж).
Ответ: U - 1066,333/EJ кДж.
132
Г=8кН
Рис. 3.1.12
1м, 1м. 2м , Я»=4кН
Пример 3.3. Для монолитной железобетонной рамы, показанной на
рис. 3.1.12, вычислить потенциальную энергию с учетом влияния всех вну-
тренних усилий и оценить вклад каждого из них, если £= 3407 кПа,
G =0,43 £ =1,29-107 кПа, A =bh =0,40,6=
=0,24 (м2), ц = 1,2 (для прямоугольного
сечения).
Сечения всех стержней предполага-
ются постоянными.
7= bh3/Y2 = 0,4-0,63/12 = 7,2-IO’3 (м4);
EJ = ЗЮ7-7,210~3 = 2,16105 (кНм2);
GA = 1,29-107 0,24 = 30,96-Ю5 (кН);
ЕА = 3 107 0,24 = 72-105 (кН).
Эпюры М, Q, jV от заданной нагрузки представлены на рис. 3.1.13, а...в.
Вклад в потенциальную энергию от деформации изгиба:
... rM2dx 1
м = L J 2EJ = 2 л 2,16-10s *
xf—. 16-4 — • 16-2 + —• 16-2-4-16 +16-216^ = 3,1605 (Дж).
\2	3	2	3	)
Рис. 3.1.13
Вклад в потенциальную энергию от деформации сдвига:
иО = У -------------—-----г(4-4-4-2 + 8-2-8)=
°	230,9610s
= 4,96-10"5 кДж = 0,0496 (Дж).
Вклад в потенциальную энергию от продольных деформаций:
UN = Y ---------------—г(4-6-4-+8 4-8)=
N 2ЕА 2-72 •10s''
= 2,44-10'5 кДж = 0,0244 (Дж).
Полная потенциальная энергия системы:
U= Uu+ UQ+ UN= 3,1605+0,0496+0,0244 = 3,2345 (Дж).
133
За счет деформаций изгиба:	’* J . Ю0% = 97,71 % •
3,2345
За счет деформаций сдвига:	0,0496.100% = 1,53% 
3,2345
_	л 0244
За счет продольных деформаций: ’	. 100% = 0,76% 
3,2345
Итого: £/=100%.
Пример 3.4. Вычислить потенциальную энергию простой рамы с уп-
ругоподатливой опорой (рис. 3.1.14, о).
Рис. 3.1.14
Так как изгибная
жесткость стержней
EJ в задаче не указа-
на, будем считать ее
постоянной. Коэф-
фициент жесткости
пружины считается
заданным и равным г.
На рис. 3.1.14, б изо-
бражена эпюра мо-
ментов от заданной
внешней нагрузки.
Пренебрегая влиянием поперечных и продольных сил, потенциальную
энергию, с учетом упругой податливости опоры, определим по формуле
(3.15):
U = Y +	-48+ |(2-48-48+ 2 36 36-
2-'J 2Е7 2r 2EJ 2	3	6
-48-36-48 36)+4-36-36 +1-3-361-36] + ^- = ^ + - (кДж).
2	3 J 2r EJ r
На стержне CD перемножение эпюр моментов производилось по
формуле (3.23).
Ответ-. U= 7416/Е7+ 2/г кДж.
Пример 3.5. Вычислить потенциальную энергию системы, изобра-
женной на рис. 3.1.15, я.
Как известно в стержнях DE и EG, имеющих бесконечную жесткость,
внутренние усилия М, Q, N не возникают и эпюры на них не показывают.
Если бы даже усилия в таких стержнях были (например, при EJ -> ®, см.
с. 64, пример 2.19), то при делении членов, входящих в формулу потенци-
альной энергии, на выражение, стремящееся к бесконечности, был бы
получен ноль.
С учетом вышесказанного, эпюра моментов представлена на
рис. 3.1.15, б, а равновесие узла Е- на рис. 3.1.15, в, где на горизонталь-
ных стержнях показаны моменты 43,5 кН-м и 36 кН-м от внешних сил.
134
a)
К
F=12kH
d' L
Ял=1,5кН
6м
(кДж).
с Яс=1,5кН б)
~2EJ
<?=2кН/м
1
2EJ{2
Рис. 3.1.15
2	1 .
3 ’ 2


U = \	= —I-4,5-3-- 4,5 + - 7,5-5.
2EJ 2EJ\2	3	2
Ответ: U- 57/EJ кДж.
Пример 3.6. Вычислить потенциальную энергию системы, изобра-
женной на рис. 3.1.16, если EJ= оо для всех стержней.
Я,=22,2кН	F-16kH
А л А	С '
7Я=16кН'М
3
г.=2г
к
so
Г3=Г/2
Ис=12кН
й Ял=7,8кН
Кд=4кН
4м 5м Зм , 4м 2м,
---------------------------
Рис. 3.1.16
Поскольку внутренние усилия в системе не возникают, потенциаль-
ную энергию вычислим по формуле
y = y^. = ^l + ^l + ll = 22^. + 2i?l + _l!_= 169,63/г (кДж).
^2rt 2ri 2r2 2Tj 2 • 2r 2r 2 • r/2
Ответ: U= 169,63/r кДж.
Пример 3.7. Вычислить потенциальную энергию фермы (рис. 3.1.17, а).
135
На основании частных случаев равновесия узлов, удалив нулевые
стержни, получим для расчета упрощенную схему фермы, представленную
на рис. 3.1.17, б. На этом же рисунке показаны найденные продольные
усилия в стержнях от внешней нагрузки. Потенциальную энергию для
фермы подсчитаем по формуле
U ° Z =	= 2^1 И»А-з + ^j-sA-s +
+ А-В^А-В + NA-3^A-3+ NNв-з^в-з)+ ттгт (64 • 4 + 256 • 4 +
+ 256-4 + 900-5 + 400-5 + 324-3) = 4888/Е4 (кДж).
Ответ: U = 4Я88/ЕА кДж.
Пример 3.8. Для многопролетной шарнирно-консольной балки, изо-
браженной на рис. 3.1.18, а, определить действительную работу внешних
сил V
Рис. 3.1.18
Направления и значения реакций Rc и МА в упругоподатливых опорах
показаны на рис. 3.1.18, а, а эпюра моментов-на рис. 3.1.18, б. Действи-
тельная работа внешних сил определяется формулой (3.2). Однако пользо-
ваться ей здесь не очень рационально. Во -первых, пока еще не рассмат-
ривалась формула Максвелла-Мора для определения перемещений, а,
во-вторых, проще находить действительную работу внешних сил через
потенциальную энергию деформаций системы по формулам (3.11) или
(3.15). Так как заданная балка имеет упругоподатливые опоры, искомую
работу будем вычислять по формуле (3.15), отбросив в ней члены, связан-
ные с усилиями Q и N.
K = t/ = y f^.+ y^ = _L[1.9-2-^-9-2 +
J 2EJ	2EJ{2	3
1	9	15
+ 4-13,5 • 3 =- 13,5 4 + -Лг(2 • 13,5 • 13,5 + 2 • 22  22 + 13,5  22 +
2	32 6-2'
136
13,5)4-22.2.122.1] + ^ + # = ^ + # + ^ =
2	3	2 J 2Г, 2r2 EJ 2-4r 2r
581,58 (	333,77	581,58	t 333,77-2	1249,12 ,	- }
EJ r EJ EJ EJ
Ответ-. K= 1249, WEJ кДж.
Пример 3.9. Ддя трехшарнирной рамы, показанной на рис. 3.1.19, а,
определить действительную работу внешних сил И
Направления и значения реакций показаны на рис. 3.1.19, а, а эпюра
моментов - на рис. 3.1.19, б. Как и в предыдущем примере, действитель-
ную работу внешних сил определим по формуле
K = t/ = y[^ + yH = -Lfl.3.9,6.2
2EJ +-/2Г 2EJ\2	3
/=1 '
1	2
•9,64-2-9,6.4-9,6 +
2	3
2,82  98
2EJ
12	1	9	\
i 6-28,8• 4-28,8 +16,8-3 16,8 + 4-6 16,8-4-16,8 +
2	3	2	3 J
16Ц84 384Д6 = 1996 (кДж)
EJ EJ EJ
Ответ. V= 1996/£7 кДж.
Пример 3.10. Вычислить возможную работу, совершаемую внутрен-
ними силами системы, показанной на рис. 3.1.20, а, на перемещениях,
вызванных нагрузкой системы, показанной на рис. 3.1.20, б.
Для систем, работающих, в основном, на изгиб, возможную работу
внутренних сил на перемещениях, вызванных другими силами, определим
по формуле (3.10).
137
Рис. 3.1.20
На рис. 3.1.21 представлены эпюры моментов для двух состояний - МР
(рис. 3.1.21, а) и (рис. 3.1.21, б).
Рис. 3.1.21
^._L^._^_(4.9.,5+36.3o).36.6.3o5|..
Ответ: Авн = -3510/EJ кДж.
Пример 3.11. Найти вертикальное перемещение точки К, используя
закон сохранения энергии (рис. 3.1.22, а).
Рис. 3.1.22
Эпюра моментов от заданной нагрузки показана на рис. 3.1.22, б, а
реакция в упругоподатливой опоре С - на рис. 3.1.22, а.
На основании закона сохранения энергии имеем: V + W = 0,
где V =	+ UyK = 1 • 12^ +1  5  ук = 4,5^ (кДж);
* X	Z.	L J h
138
Ж = -У	=	2 —.18——
2EJ 2r 2	3 2EJ
1	2 IR 1	432 16	108 216 162 _ 486
------- (кДж).
Здесь учтено, что из подобия треугольников ANN' и АКК' следует
зависимость yN = Ук/3 (рис. 3.1.22, в) .
Подставляя найденные значения работ V и W в вышеприведенное ра-
венство, получим: 4,5 ук- 436/EJ= 0, откуда ук = 108/£7 м.
Ответ: Ук = 108/£7м.
Пример 3.12. Найти полное перемещение шарнира С, используя закон
сохранения энергии (рис. 3.1.23, а).
Рис. 3.1.23
Эпюра моментов от заданной нагрузки показана на рис. 3.1.23, б, а
реакция в упругоподатливой опоре С - на рис. 3.1.23, а.
Полное перемещение шарнира С определяется по формуле
Дс = ^%С + Ус ’
где Хс, Ус - горизонтальное и вертикальное перемещения шарнира С.
Из физического смысла коэффициента жесткости пружины г следует,
что ус = Vq/г = 5 Ю/EJ =50/£У (м).
Применив закон сохранения энергии И+ 1Р= 0, найдем горизон-
тальное перемещение хс:
V = \fxc = 5xc (кДж); W = - V	=-1.30 3 |-30 ,, !_ -
2	2EJ 2г 2	3	2 -3EJ
-1.30.6• —= --^(150 + 225 + 125) = -^ («Дж).
2	3	2 • 4EJ 2EJ EJ	EJ
5ХС - 500/EJ = 0, откуда Хс = 100,8/Е/ м.
Подставляя найденные значения Хс и ус в формулу для полного пе-
ремещения, получим:
Д„ - 71002 + 502/ЕЛ = 111,8/EJ (м).
Ответ. Xc=\^/EJw, ус=?Л/ЕЗм\ &ср~ Ш,8/£/м.
139
Задачи 3.1.01...3.1.24. Вычислить потенциальную энергию дефор-
маций U. Жесткости всех стержней EJ, если их значения не заданы, счи-
тать постоянными.
3.1.01	3.1.02	3.1.03
140
3.1.16
3.1.17
3.1.18
3.1.19
Зм Зм
X—>1<..—>|
। * 1
к........ж-....ж..........ж-
Задачи 3.1.25...3.1.32. Вычислить действительную работу внешних
сил V.
3.1.25
F=6kH । _ EJ
3.1.26
3.1.27
141
3.1.28
3.1.30
3.1.29
3.1.31	3.1.32
"’-’""I
CLjy j,’1	»4
Зм , 3м 2m 2m , 2м , 2м 2m ,	. 4м Зм 2м Зм 2м
<- И----------------------------х—Ж—Ж—х >
Задачи 3.1.33...3.1.40. Найти указанные перемещения (см, условные
обозначения), используя закон сохранения энергии (V+W=0).
3.1.33
EJ ГП“4кН'М
3.1.34
। Зм 2м , 2м 2м .
к—Ж-ж-ж-->1
3.1.35
3.1.39
3.1.37
3.1.38
F=^ Ук-?
"° к °г1^
. = EJ	, = EL
Г1 20	г2 40
|< 6м >kV43M* 6м »
. 2м . 2м / 2м . 4м , 2м , 2м . 2м .
>к >!< ж ->к—ж-»:
142
§ 3.2.	Силовое воздействие
Перемещение произвольной точки / по заданному направлению
от внешнего воздействия может быть вычислено по формуле
Максвелла-Мора:
<3-24>
которая является универсальной, так как позволяет находить пере-
мещение любого плоского сооружения от любого внешнего воз-
действия. Внешнее воздействие может быть силовым, тепловым и
кинематическим.
В этой формуле Ма, Qa, Na- внутренние усилия (эпюры Ма,
Qa,	) в заданной системе от внешнего воздействия; М/, Qj,
Nj - внутренние усилия (эпюры Mj, Qj, jV;-) во вспомогательном
состоянии от обобщенной силы Р(= 1, приложенной в /-й точке
по направлению искомого перемещения; Rj - реакции в смещае-
мых связях от Pj- 1; с, - величины заданных смещений связей;
h - высота поперечного сечения; ц - коэффициент неравномернос-
ти распределения касательных напряжений при изгибе; а - коэф-
фициент теплового линейного расширения материала; to - темпе-
ратура нейтрального волокна, равная /0 = (?i + /2)/2 для стержня,
центр тяжести поперечного сечения которого находится посредине
высоты сечения; t' = |/i-^| - перепад температур; t\ и /2 - изме-
нение температур крайних волокон стержня.
Вспомогательное состояние, образованное из заданной систе-
мы, в дальнейшем будем называть фиктивным, а возникшие
в нем внутренние усилия от действия единичной безразмерной
обобщенной силы (Pj = 1) - обозначать сверху чертой (Л/,-, 0,, Nj).
В зависимости от вида перемещения, которое требуется найти в
заданной системе, за единичную обобщенную силу в фиктивном
состоянии принимают:
1)	при определении линейного перемещения точки - единич-
ную сосредоточенную силу F= 1 по направлению искомого
143
перемещения;
2)	при определении угла поворота какого-либо сечения - еди-
ничный сосредоточенный момент т = 1 в этом сечении;
3)	при определении линейного взаимного перемещения двух
точек (изменения расстояния между ними) по какому-либо на-
правлению - две противоположно направленные единичные сосре-
доточенные силы F~ 1 по прямой, соединяющей эти точки;
4)	при определении взаимного угла поворота двух сечений -
два противоположно направленных единичных сосредоточенных
момента т = 1 к этим сечениям.
Поскольку в этом параграфе будет рассмотрено только силовое
воздействие, интеграл Максвелла - Мора в этом случае примет вид
^-£^**£^**2^*-	(3-25)
где произведение Мр Mj > 0 для элемента ds, если оба момента
изгибают этот элемент в одну сторону (обе эпюры Мр и рас-
положены по одну сторону от оси элемента); произведения
Qp Q, > 0 и Np Nj > 0 , если усилия имеют одинаковый знак.
Как и при вычислении потенциальной энергии в предыдущем
параграфе, здесь также для различных систем можно пренебречь
усилиями из-за их незначительного влияния на перемещения.
Так, для балок, рам и пологих арок обычно учитывают только
первый член формулы (3.25):
, <126>
для ферм - третий член формулы (3.25):
для комбинированных систем - первый и третий члены:
<«»>
144
Последовательность вычисления перемещений
в статически определимых системах
от силового воздействия
1.	В заданной системе от заданной нагрузки построить грузо-
вую эпюру внутренних усилий Мр (для балок и рам) или эпюру Np
(для ферм), или эпюры Мр и Np одновременно (для комбиниро-
ванных систем).
2.	В фиктивном состоянии (заданная система без внешней
нагрузки), в ту точку, перемещение которой требуется определить
(например, в точку К), и по тому направлению, по которому ищет-
ся это перемещение, приложить единичную обобщенную силу и
построить единичную эпюру Мк или эпюру NK, или эпюры Мк
и N# одновременно в соответствии с п. 1. Единичная обобщенная
сила принимается в зависимости от вида определяемого переме-
щения.
3.	Искомое перемещение вычисляется путем перемножения по-
лученных эпюр в пп. 1 и 2 по одной из формул Максвелла - Мора
(3.26)...(3.28) с применением правила Верещагина. Так как
направление единичной обобщенной силы Р- 1 по направлению
искомого перемещения можно выбирать произвольно (вправо или
влево, вверх или вниз, по ходу часовой стрелки или против и т. д),
полученный положительный результат вычислений означает, что
точка перемещается в сторону действия приложенной единичной
обобщенной силы; отрицательный - в противоположную сторону.
Положительные направления перемещений и их обозначения,
принятые в пособии, приведены в условных обозначениях.
В представленных ниже примерах направление обобщенной
силы Р =1 принято по направлению положительных перемещений.
Пример 3.13. Определить горизонтальное перемещение точки К
(рис. 3.2.1, а).
Так как изгибная жесткость стержней в задаче не указана, будем счи-.
тать ее постоянной и равной EJ.
1.	На рис. 3.2.1, б представлена грузовая эпюра моментов МР для
заданного состояния от заданной нагрузки.
2.	К ненагруженной консольной балке с ломаной осью в точку К по
горизонтальному направлению прикладываем единичную сосредоточенную
силу F = 1 (фиктивное состояние) и строим эпюру изгибающих моментов
М% (рис. 3.2.1, в, г). Поскольку в пособии за положительное горизон-
тальное перемещение принято смещение точки вправо (см. условные обо-
значения), сила F = 1 в фиктивном состоянии направляется вправо.
10-1224
145
Рис. 3.2.1
3.	Искомое перемещение вычисляется по формуле (3.26) путем пере-
множения эпюр Мр и Мк с применением правила Верещагина.
21^^-3.361^-2.48.4^-^ М.
Знак “минус” показывает, что точка К сместится в направлении, про-
тивоположном приложенной силе F = 1, т. е. влево.
Ответ. Xgp - - 546/£7м.
Пример 3.14. Определить вертикальное перемещение опоры в точке В
простой рамы (рис. 3.2.2, а).
Жесткость всех стержней считается постоянной и равной EJ.
Заданное состояние в дальнейшем будем называть “заданная система”
и обозначать "З.С".
1.	Для заданной системы от заданной нагрузки грузовая эпюра момен-
тов Мр представлена на рис. 3.2.2, б.
2.	В фиктивном состоянии (рис. 3.2.2, в) к ненагруженной простой
раме в точку В по вертикальному направлению прикладываем единичную
сосредоточенную силу F = 1 (ищется линейное перемещение) и строим
эпюру изгибающих моментов Мв (рис. 3.2.2, г). Сила F = 1 направлена в
сторону положительного вертикального смещения точки В, принятого в
пособии (см. условные обозначения), т. е. вверх.
3.	Искомое перемещение вычисляется по формуле (3.26) путем пере-
146
множения эпюр МР и Мв. Так как ломаная эпюра Мв считается как
криволинейная эпюра, перемножить ее с криволинейной эпюрой МР,
простирающейся на два пролета, по правилу Верещагина нельзя. Поэтому
перемножим часть криволинейной эпюры МР, расположенную в первом
Пролете, на прямолинейную часть эпюры Мв, также расположенную в
первом пролете, по более удобной для данного случае формуле Симпсона
(3.22) и в силу симметрии задачи полученный результат умножим на два.
1 Знак “минус” означает, что опора В сместится в направлении, проти-
воположном приложенной силе F = 1, т. е. вниз.
Ответ: уВР= - 800/3£7 м.
Пример 3.15. Определить угол
(рис. 3.2.3, а).
а)
^=4кН/м
1 ГП I
ЪА EJ=>
4м 4м 2м, 2м, Зм ,
н?----
Фа-?
В
поворота сечения на опоре В
Рис. 3.2.3

1.	Грузовая эпюра моментов Мр показана на рис. 3.2.3, б.
2.	К ненагруженной балке, к сечению на опоре В прикладываем еди-
ничный сосредоточенный момент т = 1 (фиктивное состояние) и строим
эпюру изгибающих моментов Мв (рис. 3.2.3, в, г). Направление единич-
ного сосредоточенного момента принимается в направлении положитель-
ного угла поворота сечения, т. е. по ходу часовой стрелки.
3.	Искомый поворот сечения на опоре вычисляется по формуле Мак-
свелла-Мора (3.26) с применением правила Верещагина и формулы Сим-
псона:
147
Знак'“плюс” означает, что сечение на опоре В повернется в на-
правлении приложенного сосредоточенного единичного момента, т. е. по
ходу часовой стрелки.
Ответ: фЛ? = 19,2/Е/фад.
Пример 3.16. Определить взаимное линейное перемещение точек М и
N по горизонтальному направлению (рис. 3.2.4, а).
1.	Грузовая эпюра моментов МР представлена на рис. 3.2.4, б.
2.	Для определения взаимного линейного перемещения xMN в фик-
тивном состоянии (рис. 3.2.4, в) прикладываем в точках Мн N две гори-
зонтальные самоуравновешенные единичные сосредоточенные силы F = 1
и строим эпюру MMN (рис. 3.2.4, в). Так как в пособии за положительное
взаимное линейное смещение двух точек принято их сближение (см.
условные обозначения), единичные сосредоточенные силы в фиктивном
состоянии направляются навстречу друг другу.
3.	Искомое перемещение вычисляется по формуле (3.26) с приме-
нением правила Верещагина и формулы Симпсона:
= Е =тАИ4 •39’375 •3-9375+60 •4’875) -
•» ZU	 JJ
-б/у '4	(м)'
Знак "плюс" означает, что точки М и N по горизонтальному направ-
лению сближаются.
Ответ: XUNiP = 331,35/Д/м.
Пример 3.17. Определить взаимное линейное перемещение точек В и
С по вертикальному направлению (рис. 3.2.5, а).
Так как изгибная жесткость стержней в задаче не указана, будем счи-
тать ее постоянной и равной EJ.
1.	На рис. 3.2.5, б показана грузовая эпюра МР в заданной системе от
нагрузки.
148
Рис. 3.2.5
2.	В фиктивном состоянии (рис. 3.2.5, в) к незагруженной трехшар-
нирной раме для вычисления взаимного линейного перемещения у вс
прикладываем в точках В и С две вертикальные единичные сосредоточен-
ные силы F= 1, направленные навстречу друг другу, и строим эпюру
МБС (рис. 3.2.5, в).
3.	Искомое смещение вычисляем по формуле (3.26):
Знак “плюс” означает, что точки В и С по вертикальному направле-
нию сближаются.
Ответ: Увс,р = 128/3Z/M.
Пример 3.18. Найти взаимное линейное смещение точек С и D по
прямой, соединяющей эти точки (рис. 3.2.6, а).
1.	На рис. 3.2.6, б изображена грузовая эпюра Мр в заданной системе
от заданной нагрузки.
2.	Для нахождения взаимного линейного перемещения ДСд приклады-
ваем в фиктивном состоянии, в точках С и D две единичные сосредото-
ченные силы F- 1, направленные по прямой CD навстречу друг другу,
так как сближение точек считается положительным (рис. 3.2.6, в) и строим
эпюру MCD (рис. 3.2.6, в).
149
3.	Искомое смещение ЛСр вычисляем по формуле (3.26):
А У \MpMCD= _1.24-4• -• 2,4——1-24-3—-2,4—=-— (м).
ZJ ej 2	3 А 1EJ 2	3 А EJ 3EJ
Знак "плюс" означает, что точки С и D не сближаются по прямой CD,
а расходятся.
Ответ: ACd,p = -96/EJ м.
Пример 3.19. Найти взаимный угол поворота сечений на опорах А и В
трехшарнирной рамы, изображенной на рис. 3.2.7, а.
Рис. 3.2.7
Так как моменты инерции верти-
кальных и горизонтальных Jr стер-
жней не заданы, примем их одинако-
выми и равными J.
1.	На рис. 3.2.7, б показана грузовая
эпюра Мр.
2.	В фиктивном состоянии (рис.
3.2.7, в) к незагруженной трехшарнир-
ной раме для вычисления, взаимного
угла поворота двух сечений на опорах А
и В прикладываем к этим сечениям два
самоуравновешенных единичных сосре-
доточенных момента т = 1 и строим эпюру моментов (рис. 3.2.7, в).
3.	Искомый взаимный угол поворота ф,^ находим по формуле (3.26):
Ф«,/-Е/^^'4'24'3Т157 + бЬ'(‘2'И1‘28-5|)'
I.,.,.,' «5
3 EJ EJ
(рад).
Знак “минус” означает, что сечения на опорах А и В повернутся в
направлениях, противоположных приложенным единичным моментам.
150
Не имея рисунка с фиктивным состоянием, довольно трудно дать
определение положительного или отрицательного взаимного угла поворота
сечений. Поэтому в пособии ответы приводятся в абсолютных величинах.
Ответ: |<pXj5i/>| = 68,25/£7рад.
Пример 3.20. Найти полное перемещение точки К в составной раме,
изображенной на рис. 3.2.8, а.
Рис. 3.2.8
Полное перемещение точки вычисляется по известной формуле
= у/Xg + yl , где Хх и у к - горизонтальная и вертикальная проекции
полного перемещения точки К.
1.	Грузовая эпюра Мр в заданной системе показана на рис. 3.2.8, б.
2.	Поочередно в фиктивном состоянии в точку К прикладываем гори-
зонтальную единичную сосредоточенную силу ^=1, направленную
вправо (рис. 3.2.8, в), и вертикальную единичную сосредоточенную силу
F= 1, направленную вверх (рис. 3.2.8, г), и строим от их действия эпюры
М'к и МЦ (рис. 3.2.8, в, г).
3.	После вычисления перемещений Xg и yg найдем полное пере-
мещение точки К по вышеприведенной формуле:
тг-1 tMpM'g ,	1 о , 2 , 1	1 . . 2 , 1	46,667 . .
Xg = > —-——dx = - • 8 • 5 • - -5----3 • 4 • - • 5— = —-(м);
к Ы 2	3 EJ 2	3 EJ EJ
151

2	3 EJ 2	3 EJ
1.8.2.2.1—	+ 1-8-41— = — (m);
2	3 EJ 2 EJ EJ
ЬКР = у]*! + У к = Аб,6672 +442 /EJ = 64,14/ EJ (м).
Ответ: хк = 46,667/EJ ы; ук=44/Е1м; А^ = 64,14/£/м.
Пример 3.21. Определить угол поворота стержня 2-3 фермы, изобра-
женной на рис. 3.2.9, а.
Определение перемещений в фермах более удобно производить в
табличной форме.
1.	Усилия в стержнях заданной фермы от заданной нагрузки приведе-
ны в гр. 3 табл. 3.1.
2.	К ненагруженной ферме, к стержню 2-3 в фиктивном состоянии
прикладываем по ходу часовой стрелки единичный момент, который
реализуется парой сил F = 1//г-з = 1/4 на концах стержня в узлах 2 и 3
(рис. 3.2.9, б). Найденные усилия от единичного момента представлены в
гр. 4 табл. 3.1.
3.	Сумма значений всех строк гр. 5 табл. 3.1 дает искомый угол пово-
рота, вычисленный по формуле (3.27):

152
Таблица 3.1
Номер стержня	/, М		*1	NpNjl ЕА
1	2	3	4	5
А-1	5	-15	0,1389	-10,4175/£4
1-2	3	-9	0,0833	-2,2491/£4
2-В	5	-18,75	-0,1389	13,0219/£4
В-3	3	11,25	0,0833	2,8114/£4
3-4	3	11,25	-0,1667	-5.6261/Е4
А-4	3	9	-0,0833	-2,2491/£4
1-4	4	3	-0,1111	-1.3332/Е4
2-4	5	-3,75	0,1389	-2.6044/Е4
2-3	4	0	0	0
Фз-з.р =-8,6461/£4 (рад).
Ответ: ф2_3? =-8,6461/£4рад.
Пример 3.22. Найти вертикальное перемещение узла 1 комбинирован-
ной системы, изображенной на рис. 3.2.10.
При вычислении перемещений в
комбинированных системах приме-
няют двухчленную формулу (3.28).
Первый член формулы относится к
изгибаемой балке АСВ с двумя кон-
солями А - 1 и В - 5, а второй
член - к ферменным элементам,
работающим на растяжение - сжатие.
Влиянием продольных сил в самой
балке на перемещения пренебрегаем.
Рис. 3.2.10
1.	Грузовые эпюры МРи Npb заданной системе от нагрузки показаны
на рис 3.2.11, а, б, при построении которых предварительно был найден
распор Н в стержнях 2-3, 3-4 и 4-5 (Н= У2 - з = Л^з - 4 = ^4 - з) из
условия М*ЕВ = 0 или М"р — 0 .
2.	В фиктивном состоянии (рис 3.2.11, в, г) прикладываем в узел 1
единичную сосредоточенную силу F= 1, направленную вверх, и строим
эпюры Mi и Ni (рис 3.2.11, в, г).
153
эпюры Мх и N\ (рис 3.2.11, в, г).
Рис. 3.2.11
3.	Искомое перемещение находим по формуле (3.28):
12	1	2
+ 2-4  0,5 -12 • 0,5 + 4 • 1,5) + 4  4  2 • 1-0.5-1--2 + -?=-(2  4  0,5 + 2  24  1 +
2	3 EJ bEJ
12	1	1
+ 4.1 + 24-0,5) +А-24-3-4 1-^ + 8.10-0,3333-1- +
Z	3 EJ	jEJ
1	137 07-
+ 10-5-0,4167-1-+ 6-3-0,25-1- = ^ (M).
Ответ: Уи>= 31,Q7/EJm.
154
Задач» 3.2.01...3.2.64. Найти указанные перемещения (см. условные
обозначения). Жесткости всех стержней EJ, ЕА, если значения их не зада-
ны, считать постоянными.
3.2.01
3.2.02
3.2.04	3.2.05
3.2.06
3.2.07
155
3.2.13
3.2.14
3.2.15
3.2.16
д=ЗкН/м
к
Ук-?
а
44xy
a
2м , 2м
——
3.2.18
*
N
Фюг?
Ч[=2кН/м д2=ЗкН/м
3.2.17
3.2.20
3.2.21
F»9kH ТД
т=10кНм
3.2.23
3.2.22
XKN~?
N
Зм Зм
——
a
а г
3.2.24
156
3.2.25
3.2.26
3.2.27
3.2.30
3.2.31
F=12kH
т=15кНм
К
*
д=ЗкН/м
ФкьГ?
i 2м . 2м , 2м , 4м । 2м , 2м , 2м ,
к-.ж.-x-м-....-ж-->к-х.->
3.2.32
3.2.33
т=9кНм
। 2м , Зм । 2м , Зм 2м , Зм
К-Ж-—Ж—ж—-Ж—>]<-—
Фк~?
К
*—я----
д=2кН/м

। 2м , 4м , 2м. 4м ,3м,
И->|<-------------4г-—->)
3.2.34
3.2.35
3.2.36
157
3.2.40
3.2.38
ФюГ?
°--------* у
Ч]=ЗкН/м Ч2=2кН/м £
Зм , 2м. 2м, Зм ,
К.--Ж-Ж-Ж...->!
3.2.39
3.2.41
=1кН/м ч2=2кН/м
3.2.42
3.2.43
3.2.44
3.2.45
3.2.46
3.2.47
3.2.48
158
3.2.49
т=6кН-м
3.2.50
3.2.52
3.2.55
3.2.54
159
160
§ 3.3. Тепловое воздействие
Под тепловым воздействием понимается повышение или пони-
жение температуры (изменение температуры) стержней по сравне-
нию с некоторой начальной.
Здесь важно подчеркнуть, что расчет конструкций ведется не
на конкретную температуру, а только на ее изменение по срав-
нению с предыдущим состоянием, которое нам неизвестно. Для
краткости термин «изменение температуры» может заменяться
термином «температура».
Напомним, что одним из важных свойств статически определи-
мых систем является отсутствие усилий в стержнях таких систем от
теплового воздействия. Стержни в них не растягиваются, не сжи-
маются и не изгибаются, но могут удлиняться, укорачиваться и
искривляться. Вследствие этого отдельные сечения элементов со-
оружения поступательно смещаются и поворачиваются. Эти пере-
мещения можно найти, используя четвертый и пятый члены фор-
мулы Максвелла - Мора (3.24).
Если по длине стержня изменение температуры остается по-
стоянным, а также постоянным являются коэффициент линейного
расширения материала а и высота поперечного сечения h, то
формулу (3.24) можно записать в более простом виде:
A/z = £	+	. (3.29)
где - площадь единичной эпюры М,, a Qy. - площадь еди-
ничной эпюры Nj. Обе эти эпюры строятся от действия единич-
ной обобщенной силы, приложенной в точку /, перемещение ко-
торой ищется по направлению искомого перемещения.
Так как а > 0, h > 0, и Г > 0, площадь единичной эпюры
моментов берется со знаком «плюс», если эпюра М, распо-
ложена на более нагретых волокнах (тепловое воздействие и
момент искривляют стержень в одну сторону), в противном
случае-со знаком «минус». Произведение toClpi будет поло-
жительным, если to nNj имеют одинаковые знаки.
Здесь рассматриваются задачи, для которых приняты следую-
щие обозначения: ifc = (/i + ^)/2 - температура по нейтральной оси
стержня;. ?' = pi - /21 _ разность температур, которая берется по
абсолютной величине; t\ и ti - изменение температур крайних
11-1224
161
волокон стержня, которые вносятся в формулы для to и f со
своими знаками. Если высота h поперечного сечения стержня в
задачах не задана, то каждый раз будем принимать ее равной 0,5 м.
Знак суммы в формуле (3.29) распространяется только на
стержни, подвергающиеся тепловому воздействию. Такие стержни
в задачах дополнительно выделены пунктирной линией, которая
показывает с какой стороны стержня или с двух сторон происходит
изменение температуры. Отсутствие пунктирной линии означает,
что изменение температуры равно нулю.
Последовательность вычисления перемещений в статически
определимых системах от теплового воздействия
1. В фиктивном состоянии, в ту точку, перемещение которой тре-
буется определить (например, в точку Л), и по тому направлению, по
которому ищется это перемещение, приложить единичную обобщен-
ную силу и построить эпюры Мк и NK . Единичная обобщенная си-
ла принимается в зависимости от вида определяемого перемещения.
2. Искомое перемещение вычисляется по формуле (3.29).
Пример 3.23. Определить горизонтальное перемещение точки F в кон-
сольной балке с ломаной осью, изображенной на рис. 3.3.1, а.
Рис. 3.3.1
162
Для правильного понимания указанного теплового воздействия в этой
и других задачах рассмотрим его более подробно (рис. 3.3.1, б).
На рис. 3.3.1, а внутри контура CDEF указана температура 20°С. Это
означает, что внутренние волокна тех стержней, которые охватывают этот
контур, нагреваются на одну и ту же температуру, т.е. на 20°С (рис. 3.3.1, б).
У стержня АВ пунктирной линии нет. Следовательно, он не подвер-
гается тепловому воздействию, и нужно мысленно поставить на верхних и
нижних волокнах 0°. У стержня ВС пунктирная линия проведена с правой
стороны, а слева нет. Это значит, что правые волокна нагреваются на 10°,
а с левой стороны надо мысленно поставить 0°. Тогда 4) = (^ +	=
- (10° + 0°)/2 = 5°, а /'= 16 - *21 = I Ю° - 0° I = 10е.
Около стержня CD проведены две пунктирные линии и проставлены
значения изменений температур, которые показывают, что верхние волок-
на охлаждаются на 20°, а нижние - нагреваются на 20°. Поэтому =
= (А + 6)/2 = (-20° + 20°)/2 = 0, а V = | - /21 = 1-20° - 20° | = 40°.
У стержня DE пунктирная линия показана только с левой стороны.
Следовательно, левые волокна нагреваются на 20°, а справа нужно мыс-
ленно написать 0°. В этом случае 4)= (4 + /2)/2 = (0° + 20°)/2 = 10°, а
/'= 1б-^1 = 10° - 20°| =20°.
Аналогично рассуждая, можно сказать, что у стержня EF верхние
волокна нагреваются на 20°, а нижние - охлаждаются на 10°. Тогда
4) = (Г, + /2)/2 = (-10° + 20°)/2 = 5°, a Г = I tx - t21 - | -10° - 20° I = 30°.
Температуру каких волокон стержня обозначить через t\, а каких - через /2>
не имеет значения
В последующих примерах рассуждения, приведенные выше, и рисунки
типа рис. 3.3.1, б приводить не будем, а все вычисления по определению
перемещений будут производиться с помощью рисунков типа рис. 3.3.1, а,
с применением к ним мысленно всех действий, которые связаны с
рис. 3.3.1, б, описанных выше.
1.	В фиктивном состоянии (рис. 3.3.1, в, г), в точку F, прикладываем
горизонтальную единичную сосредоточенную силу F= 1, направленную
вправо, и строим эпюры MF и NF (рис. 3.3.1, в, г).
2.	Искомое перемещение вычисляем по формуле (3.29), приняв h = 0,5 м:
+	=М^1,2Л-2.5 + ^^-2Л-ЗЛ-
Ft La h MF La u nf 0,5 2	0,5
-^Ц^-2,5-а-5 1-3,5 = 620а(м).
Перед третьим слагаемым поставлен знак "минус", так как эпюра мо-
ментов Мр на стержне ВС расположена на более холодных волокнах.
Слагаемое, связанное с продольной силой в стержне CD, отсутствует,
потому что температура 4> по нейтральной оси стержня CD равна нулю.
Ответ: XFt- 620a м.
163
Пример 3.24. Найти взаимное линейное смещение точек АиС вдоль
прямой, соединяющей эти точки (рис. 3.3.2, а).
Рис. 3.3.2
1.	В фиктивном состоянии, в точках Ан С прикладываем две единич-
ные сосредоточенные силы F= 1, направленные по прямой АС навстречу
друг другу, и строим эпюры МАС и NAC (рис. 3.3.2, б, в).
2.	Искомое перемещение определяем по формуле (3.29), приняв Л=0,5 м:
?ТГ2’4'4_^ГГ2,4,3 + а,8,0’8,4"а,80’6’3_
-а 20 • 0,8  4 - а • 12 • 0,6 • 3 = -362,4а (м).
Знак «минус» означает, что точки Ли С не сближаются вдоль прямой
АС, а расходятся.
Как видно из расчета, соотношение моментов инерции стержней при
тепловом воздействии не влияет на величину перемещений (известное
свойство статически определимых систем).
Ответ: ДАС,г = -362,4 а м.
Пример 3.25. Определить вертикальное перемещение т. В (рис. 3.3.3, а).
1. В фиктивном состоянии, в точке В прикладываем единичную со-
средоточенную силу F - направленную вертикально вверх, и строим
эпюры Мв и NB (рис. 3.3.3, б, в).
164
2. Искомое перемещение определяем по формуле (3.29):
+ £122.1.1,5 • 5 - а  5 • 1  4 + а  10 - 0,4 • 5 = 243,75а (м).
0,4 2
Ответ: ytt = 243,75 а м.
Пример 3.26. Найти угол поворота сечения в точке К многопролетной
шарнирно-консольной балки (рис. 3.3.4, а).
Рис. 3.3.4
1. К сечению в точке К в фиктивном состоянии прикладываем еди-
ничный сосредоточенный момент т = 1, направленный по ходу часовой
стрелки, и строим эпюру моментов Мк (рис. 3.3.4, 6).
2. Искомый поворот сечения ср*- находим по формуле (3.29), учитывая
только первый член:
Za.t'—	а-20 2 + 8 , а-30 1,1
—От? = ~тт-----— •I-——.--6 -= 233,33а (рад).
h	0,3	2	0,3 2	3
Ответ: <pKt = 233,33 а рад.
Пример 3.27. Определить взаимное линейное перемещение точек М и
N по горизонтальному направлению (рис. 3.3.5, а).
Рис. 3.3.5
Так как высота поперечного сечения стержней не задана, будем счи-
тать ее одинаковой, равной h = 0,5 м.
1. Для определения взаимного линейного перемещения хиц в
фиктивном состоянии прикладываем в точках М и N две горизонтальные
165
единичные сосредоточенные силы F = 1, направленные навстречу друг
другу, и строим эпюры MUN и NUN (рис. 3.3.5, б, в).
2. Искомое смещение определим по формуле (3.29):
+	=^|1-6-2 + — — 3 +
MN,t Zj л mmn о Nmn 0,5 2	05	2
0’20 1 ie , Ct-40 2 + 5 , «л Л с г ЛЛ « - ,
+ д $ • у • 1,5 • 3 + q g  —у- • 3 + а  10 • 0,5 • 5 - а • 20 • 0,2 • 5 +
+а • 10 -0,8  3 » 1179а (м).
Ответ: xMN t - 1179 а м.
Пример 3.28. Определить взаимное линейное перемещение точек В и
С по вертикальному направлению (рис. 3.3.6, а).
Рис. 3.3.6
Как и в предыдущем примере, примем высоту поперечного сечения
всех стержней равной 0,5 м.
1. В фиктивном состоянии прикладываем в точках В и С две верти-
кальные единичные сосредоточенные силы F = 1, направленные в проти-
воположные стороны, и строим эпюры Мвс и Nвс (рис. 3.3.6, б, в).
2. Искомое перемещение увс вычисляем по формуле (3.29):
166
а-20 1 - .	а-10 1 , ,	. . о Слг<
--ду 2 ,2,5”0Т,2 ,3,5’а ,51’9+а ’5 0’6,5 +
+а• 10-1-5-а• 5-1 • 5 = - 405а (м).
Ответ' yK,t = - 405 а м.
Пример 3.29. Определить вертикальное перемещение узла К фермы,
изображенной на рис. 3.3.7, а.
Фиктивное состояние
Рис. 3.3.7
Найдем температуру «Ь^для всех стержней, подвергнутых тепловому
воздействию, с учетом симметрии задачи.
Стержень 2-7:	= (20°+10°)/2 = 15°; стержень 1-К. «Ь = (20°+
+ 10°)/2 = 15°; стержень 6-ЛГ: = (15°+ 15°)/2 = 15°; стержень 6-7:
Zb = (0°+ 15°)/2 = 7,5°.
1. К узлу К фермы в фиктивном состоянии прикладываем единичную
сосредоточенную силуГ = 1, направленную вертикально вверх, и строим
эпюру N % только на тех стержнях, которые подвергаются тепловому воз-
действию. Такая эпюра в числовых значениях показана на рис. 3.3.7, б.
2. Искомый прогиб узла К вычисляем по формуле (3.29), учитывая
только второй член.
ук1 =	= -а151-3-2 + а15 2'3 + а-15-5/6-5'2-
-a • 7,5 • 5/3  5 • 2 = 0.
Ответ: Ут - 0 .
167
Задача 3.3.01...3.3.32. Найти указанные перемещения (см. условные
обозначения), приняв a =const и высоту поперечного сечения всех стерж-
ней Ь=0,5м, если ее значение не задано.
3.3.01
пм
3.3.02
Л
। го’;
К*
я
? 20*
к
ж______
20’
Ум"?
, 6м
Ykn-?-
N ’
тег* -
30’ ж
М
Akn"?
. -10'
-ю'
3.3.03
Ум"?
: -20° м
1--------*
' -20’ N
л
*
я
I 4м ,
>к ->
8м_1°
Xkn- ?
хм“? ]
I 4м
При каком перепаде температуры V на стержне АВ закроется зазор 5?
168
3.3.13
. Фюг? -20"
* 40* К N 40*
8м ,	10м	,
К—-—ж----------»!
3.3.14
, 6м 2м , 4м . 2м , 4м , 4м
к---->к ж  жж-----ж—>1
3.3.15
3.3.16
К	ю«	N
, 4м . 4м , 2м . 6м . 2м 4м । 2м ,
к---ж—ж->к....—Ж--Ж-....ж...>1
169
3.3.25
3.3.26
170
§ 3.4. Кинематическое воздействие
Под кинематическим воздействием подразумевается заданное
смещение опор или иных связей? например узлов системы, вслед-
ствие неточности изготовления и монтажа элементов конструкции.
Такое воздействие, как известно, не вызывает внутренних усилий в
статически определимых системах, а перемещения отдельных сече-
ний стержней можно найти из геометрических соображений или
по формуле Максвелла - Мора, используя ее последний член:
<3'5О>
где Rj - реакции в смещаемых связях (опорах) от действия
единичной обобщенной силы Pj = 1, приложенной в точке i по
направлению определяемого перемещения; е/ - заданные величины
смещений связей (опор).
Произведение Rj q положительно, если реакции Rj и заданные
смещения С/ направлены в одну сторону.
Перемещения узлов в ферме, возникающие от деформаций ее
стержней, можно определять по формуле (3.30), но проще-по сле-
дующей формуле:
(«О
где Nj - внутренние продольные силы в стержнях фермы (эпю-
ра Nj) от действия обобщенной силы Pt = 1, приложенной в точ-
ке / по направлению искомого перемещения; с, - заданные величи-
ны удлинений (знак "плюс") и укорочений (знак "минус") стержней
фермы.
Произведение Nj Cj положительно, если усилия Nj и дефор-
мации Cj имеют одинаковые знаки.
Рассмотрим случай, когда осадка упругоподатливой опоры
вызвана действием силовой нагрузки.
В системах, работающих на изгиб (балках, рамах, пологих ар-
ках), перемещения от силовых воздействий определяются формулой
(М2)
где Cj - осадка упругоподатливой опоры, возникающая от заданной
силовой нагрузки, которая определяется на основании закона Гука
171
выражением
с,-=-6,.^=-^//;.,	(3.33)
где Rtp- реакция, возникающая в упругоподатливой опоре от за-
данной внешней силовой нагрузки; 8/- коэффициент податливости
опоры; Г/ = 1/8/ - коэффициент жесткости упругоподатливой опоры.
Знак «минус» в (3.33) указывает на то, что упругая сила (реак-
ция Rjp) и осадка опоры имеют противоположные направления.
Запишем формулу (3.32) с учетом (3.33) в более удобном для
практического применения виде:
<зи)
Произведение R( RjP положительно, если реакции Rt и Rjp
направлены в одну сторону.
При применении формулы (3.32) осадка опоры С/, вычисляемая
по формуле (3.33), принимается со знаком «плюс».
Последовательность вычисления перемещений в статически
определимых системах от кинематического воздействия
1. В фиктивном состоянии, в ту точку, перемещение которой
требуется определить (например, в точку К), и по тому направле-
нию, по которому ищется это перемещение, приложить единичную
обобщенную силу = 1 и найти опорные реакции (продольные
силы) в смещаемых опорах (смещаемых связях). Единичная обоб-
щенная сила принимается в зависимости от вида определяемого
перемещения.
2. Искомое перемещение вычисляется по одной из формул
(3.30)...(3.32), (3.34).
Пример 3.30. Найти горизонтальное перемещение т. К (рис. 3.4.1, а).
172
1. В фиктивном состоянии, в точке К прикладываем единичную сосре-
доточенную силу F= 1, направленную горизонтально вправо, и находим
реакции в смещаемой опоре А по направлению заданных смещений
(рис. 3.4.1, б).
2. Искомое перемещение находим по формуле (3.30):
хкс = "SCi = С' " сз)= -0 • °’03 - 6 • °'02) = о’15 (м)-
Ответ'. хкс = 0,15 м.
Пример 3.31. Определить вертикальное перемещение точки А в прос-
той раме, показанной на рис. 3.4.2, а.
Ул~'
С]=0,015м
С2=0,02м
С3=0,01м
Рис. 3.4.2
Фиктивное
состояние
4,5м 6м 4,5м
5—————------М
1. В фиктивном состоянии, в точке Л прикладываем единичную сосре-
доточенную силу F- 1, направленную вертикально вверх, и находим
реакции в смещаемых опорах (рис. 3.4.2, б).
2. Искомое перемещение уА определяем по формуле (3.30):
Уле = "Z Ci ° с* + Нлс1 + vc сз) = ~(0>75'0.015 + 0,75 • 0,02 +1 • 0,01) =
= -36,25 • 10’3 (м).
Ответ. улс = - 36,25 10‘3 м.
Пример 3.32. Найти взаимное линейное перемещение точек М и N по
горизонтальному направлению (рис. 3.4.3, а).
----►(">.
Г=1
Рис. 3.4.3
Фиктивное
состояние
t ^=5/6
Яд =2/3
М
173
1. Для определения взаимного линейного перемещения XUN в
фиктивном состоянии прикладываем в точках М и N две горизонтальные
единичные сосредоточенные силы F= 1, направленные навстречу друг
другу, и находим реакции в смещаемых опорах (рис. 3.4.3, б).
2. Искомое перемещение XMN определяем по формуле (3.30):
xMfl,c^-^ici=-(HAci+VAc2-Hici)= '
-f| • 0,02 + J • 0,03 -1 • 0,031 = -18,33  10’3 (m).
13	6	3 J
Ответ. хиц,с= -18,33 10"3 м.
' Пример 3.33. Определить угол поворота сечения в т. К (рис. 3.4.4, а).
б) Фиктивное состояние
Рис. 3.4.4
1. В фиктивном состоянии к сечению в точке К прикладываем
единичный сосредоточенный момент т «1, направленный по хо-
ду часовой стрелки, и определяем опорные реакции в смещаемых
опорах (рис. 3.4.4, б).
2. Угол поворота сечения в точке К находим по формуле (3.30):
Флс = С1 = "	Cj) = - (- 0,25 • 0,04 - 0,25 • 0,03) = 17,5 • 10"3 (рад).
Ответ-. (рк = 17,5 10"3 рад.
Пример 3.34. Найти взаимный угол поворота сечений на опорах В и
D балки, показанной на рис. 3.4.5, а.
о)	„ „„ б) Фиктивное состояние
С,=0,06м	С,=0,045м
Рис. 3.4.5
174
1. В фиктивном состоянии к сечениям на опорах В и D прикладываем
два самоуравновешенных единичных сосредоточенных момента т - 1 и
находим опорные реакции RB и Rc в смещаемых опорах (рис. 3.4.5, б).
2. Взаимный угол поворота сечений на опорах В и D определяем по
формуле (3.30):
Фм,с = "Zci = _fcc' " ci) =	• О’06 - j1 °.045] = °.°2 (рад)-
Ответ: | <pJfl с | = 0,02 рад.
Пример 3.35. В ферме, показанной на рис. 3.4.6, а, вследствие неточ-
ности изготовления, каждая панель верхнего пояса оказалась длиннее на
с - 0,008 м. Определить возникший в результате этого подъем узла 3.
Рис. 3.4.6
1. К узлу 3 фермы в фиктивном состоянии прикладываем единичную
сосредоточенную силу F = 1, направленную вертикально вверх, и находим
внутренние усилия только в стержнях верхнего пояса, которые показаны
на рис. 3.4.6, б.
2. Искомый подъем узла 3 вычисляем по формуле (3.31):
Узс = £ Nj Cj . jVj.2 • 0,008 + N2.3  0,008 + jV3_4 • 0,008 + N4_B  0,008 =
= 0,008(1 + 4 + 4 + 2) = 88 • 10"3 (m).
Ответ: у = 88 10"3 м.
Z3C
Пример 3.36. Вынужденные удлинения (знак "плюс") и укорочения
(знак "минус") стержней фермы, изображенной на рис. 3.4.7, а, заданы в
метрах. Вычислить взаимное линейное смещение узлов 2 и 4 вдоль
прямой, соединяющей эти узлы.
1. В фиктивном состоянии прикладываем в узлах 2 и 4 две сосредо-
точенные единичные силы F = 1, направленные по прямой 2-4 навстре-
чу друг другу, и определяем продольные силы только в тех стержнях, в
которых заданы вынужденные удлинения и укорочения (рис. 3.4.7, б).
2. Искомое смещение Aj-4 находим по формуле (3.31):
175
Д2-4,с * %Nicl = N'-1  °’012+’q№+N2_s  (-0,008) + N.t-2  0,005+
+ Nb-< • (- 0,007) + NB.S  (- 0,008) = 0,8 • 0,012 + 0,8 • 0,008 +1 • (- 0,008)+
+(-1,2) • 0,005 + (-1,6) • (-0,007) + (-1,6) • (-0,008) = 26 • 10’3 (m).
Ответ: Д2иев 26 10-3 m.
Пример 3.37. Определить вертикальное перемещение точки К в мно-
гопролетной шарнирно-консольной балке с учетом податливости опор
(рис. 3.4.8, а).
Рис. 3.4.8
176
1.	Для заданной системы от заданной нагрузки эпюра моментов Мр
представлена на рис. 3.4.8, б. На этом же рисунке показаны направления и
численные значения опорных реакций МА и RB в упругоподатливых
опорах.
2.	В фиктивном состоянии к ненагруженной балке в точку К прикла-
дываем единичную сосредоточенную силу Г=1, направленную вертикаль-
но вверх, и строим эпюру изгибающих моментов Мк (рис. 3.4.8, в). Здесь
же показаны направления и значения реакций МА и RB Я упругоподат-
ливых опорах.
3.	Искомое перемещение ук определяем по формуле (3.34):

+ l.8.2.2.i_Lt_L
2	3 3 EJ 6EJ
2.84 + 21б4 + 84 + 1б4
3	3	3	3
2
6EI
2.4.| +
2)	МЛМЛ	} ЛДЯД	„ 97333	2	1	3	_ 347333
3) т\ Г2 EJ	EJ	3	EJ EJ
Первый член, равный - 91,333/EJ, есть доля перемещения, связанная
с изгибом, второй и третий члены, равные соответственно -1AQ/EJ и
-10/£7, есть доля перемещения, связанная с упругой податливостью опор.
Знак "минус" перед вторым и третьим членами взят потому, что реакции
МА и МА, а также RB и RB тлеют противоположные направления.
Ответ: у№ = -347,333/£У м; уКр = -97,333/Е/ м - без учета податли-
вости опор.
Пример 3.38. Найти угол поворота сечения в точке К рамы, изобра-
женной на рис. 3.4.9, а.
1.	Эпюра моментов Мр и опорные реакции от нагрузки показаны на
рис. 3.4.9, б.
2.	В фиктивном состоянии к сечению в точке К прикладываем еди-
ничный сосредоточенный момент т * 1, направленный по ходу часовой
стрелки, строим эпюру Мк и определяем опорные реакции в упругопо-
датливых опорах (рис. 3.4.9, в).
3.	Искомый угол поворота вычисляем по формуле (3.34):
12-1224
177
+ т|7(-2М1-221)-Ч15-311^+^^+^ + ^й«
6EJ	' 2	3 EJ rt Г2 Г2
99,667 1 . 2 1 in 50 1 . 6	99,667 111,667 12 , 4
Й"’3ЛёГ4 “й'З 5£?----й“+— S (W)-
Рис. 3.4.9
Ответ:, фх/ = \2jEJрад;	ф»> = -99,667 рад - без учета податливости
опор.
178
Задачи 3.4.01...3.4.27. Найти указанные
обозначения)..
перемещения (см. условные
3.4.03
3.4.01	3.4.02
к >рА| 1Л+Л1
Ф“0.02рад
р.Ы1М м
I 4м | 4м . 4м .
к—->к—>к—>1
3.4.04
3.4.05
-------*К
Л 3
С) С^О.05 м
CJ-0.04M
ч ч
к 4м *	к 4м >1< * *4м->!
179
3.4.08
3.4.09
JB=2J Уют?
Jr=34
к
С^О.Мм
Cj“0.02m
С3=0.06м
N
 4м , 4м ,
к—>к
3.4.15
3.4.14
ф=0.01рад C^O.Im С2=0.08м
УК"?
С11
с2
, 2м . 2м , Зм . 4м । 6м
И<—ж—м—>к—-ж—>!
1'1 I1
180
3.4.16
3.4.17
, 2м , 2м . 2м , 2м 2м . 2м ,
к—>к->к—
3.4.20
3.4.19
3.4.21
3.4.22
, 6м . 2м । 4м , 4м ।
к----Ж—Ж---Ж---Й
>1< >к >1
181
3.4.24
14.25
Задача 3.4.28...3.4.31. Вынужденные удлинения (знак "плюс") и
укорочения (знак "минус”) стержней заданы в метрах. Найти указанные
перемещения узлов (см. условные обозначения) и угол поворота стержня
2-4 (задача 3.4.31).
3.4.29
182
Задача 3.4.32...3.4.43. Найти указанные перемещения с учетом вли-
яния податливости опор.
3.4.32
3.4.33
q-бкН/м И
I 11'1 Г” «Г
|FraKH к r=| f2-skh|
Л * J ’JT
। 2м । 2м , 4м । 2м ।
к—->к—>к--------*к—>!
к-.---^к
3.4.34
Ч«5гН/м
к—т~~>|Л|
т°10хНм фк-?
6—-в---*---
ГЛ К
3.4.33
^Лк-
3.4.36*
F-I2KH
-----h
3.4.38
И , _ и
90 Г* 9 J
т=16кНм
3.4.39
F-бкН
3.4.41
EJ
М
14.42
3.4.43
к”.>к---->к-—>к--->1
183
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ К ГЛАВЕ 3
1.	Что называется перемещением точки? Для чего необходимо знать
перемещения?
2.	Какова зависимость между перемещением и нагрузкой для линей-
но деформируемых систем? Напишите выражение обобщенного
закона Гука для таких систем.
3.	Что понимается под обобщенной силой?
4.	Что понимается под обобщенным перемещением?
5.	Что понимается под возможным перемещением?
6.	Что понимается под статическим приложением нагрузки?
7.	Дайте определение действительной работы внешних сил.
8.	Как определяется действительная работа внешней сосредоточен-
ной силы F и внешнего сосредоточенного момента М?
9.	Куда переходит действительная работа внешних сил в процессе
, деформирования линейно-упругой системы?
10.	В чем различие между действительной и возможной работой?
11.	Приведите графическое изображение действительной и возможной
работы.
12.	Как формулируется принцип возможных перемещений Лагранжа?
13.	Приведите вывод формулы для действительной работы внутренних
сил.
14.	Как выражается действительная работа внешних сил через внут-
ренние усилия?
15.	Приведите формулу для возможной работы внутренних сил.
16.	Дайте определение потенциальной энергии деформаций системы и
приведите ее формулу.
17.	Перечислите основные свойства потенциальной энергии.
18.	Как определяется потенциальная энергия деформаций системы,
имеющей упругоподатливые опоры?
19.	Какой упрощенный вид принимает выражение потенциальной энер-
гии для систем, работающих, в основном, на изгиб (балки, рамы)?
20.	Какой вид имеет выражение потенциальной энергии для ферм?
21.	Какой упрощенный вид принимает выражение потенциальной энер-
гии для комбинированных систем?
22.	Как формулируется теорема Бетти о взаимности работ? Приведите
доказательство этой теоремы.
23.	Как формулируется теорема Максвелла о взаимности единичных
перемещений? Приведите ее доказательство.
24.	Как определяется размерность перемещений? Приведите пример.
25.	Сформулируйте и докажите первую теорему Рэлея о взаимности
единичных реакций.
26.	Сформулируйте и докажите вторую теорему Рэлея о взаимности
единичных перемещений и реакций.
27.	Как производится перемножение эпюр по правилу Верещагина?
184
28.	Можно ли перемножить по правилу Верещагина две полигональ-
ные эпюры, не разбивая их на простейшие?
29.	Как производится перемножение эпюр по формуле Симпсона?
Как определяются знаки при перемножении?
30.	По какой формуле удобно производить перемножение эпюр в виде
обычных и "перекрученных" трапеций? Как определяются знаки?
31.	В каких случаях удобнее применять правило Верещагина? Форму-
лу Симпсона?
32.	Приведите в общем виде формулу Максвелла-Мора для определе-
ния перемещений. Поясните физический смысл каждого коэффи-
циента, входящего в формулу.
33.	Как записывается формула Максвелла-Мора при вычислении пе-
ремещений в балках и рамах от силового воздействия?
34.	Как записывается формула Максвелла-Мора при вычислении пе-
ремещений в балках и рамах от силового воздействия с учетом уп-
ругой податливости опор?
35.	Какой вид принимает формула Максвелла-Мора при вычислении
перемещений в фермах от силового воздействия?
36.	Как записывается формула Максвелла-Мора при вычислении пере-
мещений в комбинированных системах от силового воздействия?
37.	Какие два состояния системы необходимо рассматривать при вы-
числении перемещений по формуле Максвелла-Мора?
38.	Какова последовательность действий при вычислении линейных и
угловых перемещений от силовой нагрузки?
39.	По какой формуле вычисляется полное перемещение точки со-
оружения?
40.	Как определяются взаимные линейные перемещения каких-либо
двух точек сооружения, а также взаимные угловые перемещения
каких-либо двух сечений?
41.	Как записывается формула Максвелла-Мора для определения пе-
ремещений от теплового воздействия?
42.	Какова последовательность вычисления перемещений от теплового
воздействия по формуле Максвелла-Мора и как определяются
. знаки?
43.	Какой вид принимает формула Максвелла-Мора при вычислении
перемещений от кинематического воздействия и как определяют-
ся знаки?
44.	Какова последовательность вычисления перемещений от кинемати-
ческого воздействия по формуле Максвелла-Мора?
45.	По какой формуле проще вычислять перемещения узлов фермы,
возникающие от деформаций ее стержней?
46.	Появляются ли внутренние усилия в статически определимой сис-
теме при тепловом воздействии и при осадке опор?
185
Глава 4. Построение линий влияния усилий. Определение
усилий от действия неподвижной и подвижной нагрузок
§ 4.1. Построение линий влияния усилий в многопролетных
шарнирно-консольных балках и рамах
Помимо неподвижных нагрузок, действующих на различные
системы, рассмотренные в предыдущих главах, часто при расчете
сооружений приходится учитывать влияние подвижной нагрузки,
изменяющей свое местоположение. Примерами такой нагрузки яв-
ляются поезда, поток автомобилей, тракторы, Орудия, повозки, пе-
ремещающиеся по мосту, мостовой кран, движущийся по подкра-
новой балке, и т.д. Во всех этих случаях подвижную нагрузку
представляют в виде распределенной нагрузки постоянной интен-
сивности или системы параллельных сосредоточенных, как прави-
ло, вертикальных сил, между которыми сохраняются заданные не-
изменные расстояния. Предполагается, что при своем перемеще-
нии по сооружению силы не создают динамического эффекта.
При расчете на подвижную нагрузку вначале находят наиболее
невыгодное ее положение на сооружении, при котором в элементах
конструкции появляются наибольшие внутренние усилия и дефор-
мации, а затем вычисляют расчетные значения этих усилий и де-
формаций. Нахождение расчетного положения подвижной нагрузки
наиболее просто определяется с помощью теории линий влияния.
Линией влияния (далее в пособии для конкретных ли-
ниях влияния усилий используется, как правило, обозначение л.в.)
какого-либо фактора (например, реакции, изгибающегося момента,
поперечной и продольной сил, прогиба) в данном сечении называ-
ется график, изображающий закон изменения этого фактора при
передвижении по сооружению единичной сосредоточенной силы
(груза) F= 1, сохраняющей постоянное направление.
Независимой переменной на этом графике является координата
движущегося груза, а функцией - изучаемая величина. Линии влия-
ния строятся на прямой, перпендикулярной к направлению дейст-
вия перемещающегося единичного груза. В дальнейшем эту пря-
мую будем называть базисной прямой. Перпендикулярно к этой
прямой откладываются ординаты, которые показывают значения
искомого фактора в заданном сечении при нахождении силы F = 1
в той точке, где отложена соответствующая ордината. Положитель-
ные ординаты линии влияния откладываются вверх от прямой, от-
рицательные - вниз. Однопролетные балки на поэтажной схеме,
для сечений которых строятся искомые линии влияния, будем на-
зывать искомыми Салками.
186
Отличия линий влияния от эпюр внутренних усилий:
1. Ординаты эпюры усилий изображают закон изменения дан-
ного усилия (изгибающего момента, поперечной силы и т.д.) во
всех сечениях сооружения и позволяют в общем виде представить
напряженное состояние всей системы, Но только для одного кон-
кретного положения заданной нагрузки. При другом положении
нагрузки усилия, естественно, изменятся, но как, сказать нельзя.
Для этого пришлось бы сделать повторный расчет и построить но-
вую эпюру и т.д.
2. Ординаты линии влияния, наоборот, характеризуют измене-
ние данного усилия только в одном, определенном сечении в зави-
симости от положения единичной силы, перемещающейся по со-
оружению. По графику линии влияния ничего нельзя сказать об
изменениях искомого усилия, относящегося к другому сечению.
Так как линии влияния строятся от движения силы (груза)
F — 1, их ординаты имеют размерность.
„	размерность искомой величины
Размерность ординаты л.в. ---------------------------------
F н	размерность нагрузки
Например, ординаты л.в. опорных реакций, поперечных и про-
дольных сил имеют размерность Н/Н = б/р (безразмерные величи-
ны), ординаты л.в. изгибающего момента имеют размерность
Н м/Н = м, ординаты л.в. прогибов - м/Н и т.д.
При построении линий влияния усилий используются следую-
щие методы: статический, кинематический и замены связей.
При применении статического метода груз фиксируется в вы-
бранной системе координат на заданном участке его движения, и,
записав уравнение статики, получают зависимость усилия от теку-
щей абсциссы х груза F= 1. Задавая х определенные значения,
строят график изменения усилия - его линию влияния..
Заметим, что в статически определимых системах найденные
зависимости изменения реакций и внутренних усилий описывают-
ся линейными уравнениями, и соответствующие линии влияния
при движении груза по прямой изображаются отрезками прямых
линий, что значительно облегчает построение, в то время как в ста-
тически неопределимых системах линии влияния усилий являются
криволинейными, и на их построение требуется гораздо больше
времени.
Кинематический метод построения линий влияния основан на
принципе возможных перемещений (принцип Лагранжа), согласно
которому для системы, находящейся в равновесии под действием
приложенных к ней сил, сумма работ внешних и внутренних сил
187
на любом возможном бесконечно малом перемещении равна нулю.
На основании этого принципа линия влияния усилия строится
как график перемещений механизма, получаемого при удалении
связи, в которой действует интересующее нас усилие. Оно прикла-
дывается к механизму как внешнее воздействие.
При построении линии влияния опорных реакций отбрасыва-
ется соответствующая опора (рис. 4.1.1, а). При построении линии
влияния изгибающего момента в сечение вводится шарнир (рис.
4.1.1, б), а при построении линии влияния поперечной силы вво-
дится механизм, не воспринимающий это усилие (рис. 4.1.1. в).
Рис. 4.1.1
Для определения масштаба перемещение по направлению от-
брошенной связи принимается равным единице. Иногда удобнее
задаваться не единичным перемещением, а единичной деформаци-
ей. Нулевые точки построенной таким образом линии влияния
будут проекциями мгновенных центров вращения дисков относи-
тельно земли, а отрезки прямых будут пересекаться между собой
под мгновенными центрами взаимного вращения дисков.
Метод замены связей при построении линий влияния применяется
гораздо реже, чем первые два метода. Он удобен и оказывается эф-
фективным для сложных систем, когда построение искомой линии
влияния является весьма затруднительным и заменяется построением
другой линии влияния, которая находится значительно проще. Ос-
новная идея этого метода изложена в гл. 1.
Во всех учебниках по строительной механике подробно выво-
дятся аналитические выражения линий влияния различных усилий
и приводятся их графики для консольной балки и для однопролет-
188
ной балки с консолями. Такие простейшие линии влияния поме-
щены ниже в табл. 4.1 и 4.2. Они названы табличными.
Нетрудно заметить, что линии влияния, представленные в табл.
4.1, кроме л.в. Ra и л.в. Rb, можно получить с помощью табл. 4.2.
В самом деле, отбросив левую или правую консоль балки и подви-
гая опору А к опоре В до их совмещения или опору В к опоре А,
т.е. устремляя пролет балки I к нулю, получим линии влияния для
правой или левой консольной балки. Поэтому запоминанию под-
лежат только линии влияния, представленные в табл. 4.2, и д.в. Ra
и Rb табл. 4.1.
Правила построения линии влияния усилий в многонролетных
шарнирно-консольных балках
1.	Строим поэтажную схему балки.
2.	На поэтажной схеме находим ту балку, для сечения которой
требуется построить искомую линию влияния. График (табличный)
для этой балки переносим из табл. 4.1 или табл. 4.2. Если в иско-
мой балке какая-то консоль (или обе консоли) отсутствует, то и в
табличной линии влияния консоль (или обе консоли) нужно от-
бросить.
189
Таблица 4.2
№ п/п	Схема балки и л.в.			
	м	к		У	
	: а :	ь	w L—f— : d	т л.вЯл
		X	ГТ	,	..> /	J.		
1 <• nrrw	ГПТпттгт Д	'	l'	}	
.1.11.	,111 № -'ТЖпм	ТГГПТГГПТттт-ттттгтг^.— :		
				
2		тпТПТГТП| ||ЩТПТ1|||^М	ihr	. л вЯв
			i	j л.в.Мк
’ ж				
4 Бай	ж|| b/l-			I Л.в.йк
		л/7		
л				л.в.Ми
5 ж	gee**®	Правая ветвь			;		
	Правая ветвь	:		»	л.в.МА
7 ШШ Левая	JJJl	Правая ветвь &етвь			i		ллОм
8 ЖШ1 Лев	|ф||1ШН1|Ч	Правая ветвь ! ая .ветвь ;			„ _ пЛЕв л.в.Ол
9 ттт^	^^TWTBirrn^	i		!	-- лПР ^л.в.Ол
				
	Левая ветвь			г л. в. MN
				
	Левая ветвь			J л.в.Мв
11	" :	V			
12	|	Левая ветвь		Правая ветв	ы - лв-Qh
13	—.	;	L Левая ветвь	1- |		Правая ветвь И1ШИШ11111	[Л.вО^
ТТПТПТ	—!	1			-			йлв-О^ ь
14			Правая веще	
190
3.	Рассматриваем движение груза F = 1 по вышележащим балкам
по отношению к искомой, зная, что:
а)	в земных опорах линии влияния проходят через ноль (нуле-
вая точка), а на консолях левые и правые ветви линий влияния
имеют продолжения;
б)	в шарнирах линии влияния имеют перелом;
в)	если в пролете балки встречаются подряд два шарнира, то
линия влияния усилия во втором шарнире по ходу движения еди-
ничного груза от нижележащей балки равна нулю (нулевая точка).
4.	Движение груза F = 1 по балкам, лежащим ниже искомой, не
рассматриваем, так как нагрузка, приложенная к ним, не вызывает
усилий в верхних этажах, т.е. искомая линия влияния на этих учас-
тках будет нулевой.
5.	Ординаты линий влияния усилий определяются из подобия
треугольников.
Рис. 4.1.2
Часто нагрузки передаются на главную балку не непосредст-
венно, а лишь в определенных местах посредством промежуточных
поперечных балок. Места опирания поперечных балок называются
узлами. Расстояние между узлами называется панелью. Такой спо-
соб передачи нагрузки на главную балку называется узловым.
Для получения линии влияния в случае узловой передачи нагрузки
сначала необходимо построить линию влияния в предположении не-
посредственной передачи нагрузки на главную балку, а затем на по-
строенный график перенести узловые точки и полученные проекции
смежных узлов соединить прямыми линиями (рис. 4.1.2, а...е).
191
Пример 4.1. Построить линии влияния опорных реакций и внутренних
усилий в отмеченных сечениях балки (рис. 4.1.3, а).
а)	Л В С	D		Е Jf	F	G	
л.».Ел -?	|		Л лл.МвЛ Ai.RD-f “ 2м  2м !	_ 4м		'О'	ф	| ллОлг’	^7} z	Зм	?
			•е №	F	. G
6) 4 А		iC	\l в A	в	<дь Т		
Л	Жтгпгт^	Я	О &7i	[	। ; р,5	7	!	1 ' 0,25 j -^ттТПТПТгггтт|гт—	X.t.RA	-/ПК
г) 		i /2	L			ял.Мв	['0,6
д)	4k			лл.Мк	
		WWlli^ LrrnmilF		1	1. Мишь.	AtRD	С о,з
ж) 				Д5 j		,, п ли Я >'	Л9
					iiQd"	0,3
и)				л.л.М^	0,6
		 			J	— i	!	। । • -!		; °’Чт®гггттт^	jhQn	4,2
Рис. 4			1.3		}о,б
Построение линий влияния проведем по пунктам согласно приведен-
ным выше правилам.
1.	Поэтажная схема балки изображена на рис. 4.1.3, б. Опоры, распо-
ложенные в точках А, В, D, F, будем называть земными опорами, а в точ-
192
ках С и Е, - фиктивными опорами.
2.	Первые три линии влияния (л.в. RA, л.в. Мв, л.в. Мк) относятся к
сечениям, принадлежащим самой нижней основной балке, поэтому их
протяженность будет распространяться на все последующие балки. Для
искомой балки АЙС линии влияния берутся из табл. 4.2, п. 1, 11, 3 (рис.
4.1.3, в...д').
Вторые три линии влияния (л.в. Яд, л.в. Q Лй‘, Л.В. Q "р) отно-
сятся к сечениям второстепенной балки второго этажа CDE и переносятся
из табл. 4.2 - соответственно п. 2, 14, 12 (рис. 4.1.3, е...з).
Наконец, две линии влияния (л.в. Мм л.в. Q#) относятся к сечениям
самой верхней второстепенной балки третьего этажа EFG, и согласно п. 3,
4 табл. 4.2 они имеют вид, представленный на рис. 4.1.3, и, к. Так как для
балки EFG вышележащей балки нет, построенные линии влияния изги-
бающего момента MN и поперечной силы Qu являются окончательными
для всей многопролетной шарнирно-консольной балки.
3.	Для построения линий влияния при движении груза F = 1 по вышеле-
жащим балкам по отношению к искомой применяем правила, изложенные в
подпунктах “а” и “б” п. 3. Согласно этим правилам ордината линии влияния
равна нулю, если единичный груз находится над земной опорой (нулевая точ-
ка), а построенная прямая продолжается далее на консоль.
Рассмотрим более подробно построение линий влияния при движении
груза по вышележащим балкам на примере линии влияния RA (см.
рис. 4.1.3, в). Пусть груз F- 1 движется по балке CDE. Груз в точке С
уже был и "оставил след” в виде ординаты, равной “-0,5” от построенной
ранее части линии влияния. Давление балки CDE на нижележащую балку
АВС осуществляется через узел С. Это еще один пример узловой передачи
нагрузки на несущую конструкцию.
При дальнейшем движении единичного груза от точки С вправо сле-
дующей характерной точкой является земная опора в точке D (первая ну-
левая точка). Пусть груз фиксировано стоит в точке D. Тогда опорная
реакция Яд = 1, а фиктивная реакция Rc = 0. Следовательно, балка CDE,
когда груз F = 1 находится над земной опорой D, не будет передавать на-
грузку через узел С на балку АВС, и ордината линии влияния RA будет
равна нулю. Так как при узловой нагрузке л.в. RA между узлами С и Л из-
меняется по линейному закону, соединив ее ординаты в точках Си D пря-
мой линией и продолжив ее на консоль DE, получим вторую часть л.в. RA.
Наконец, рассмотрим движение единичного груза по самой верхней вто-
ростепенной балке EFG. Груз в точке Еуже был и "оставил след" в виде орди-
наты, равной 0,25 от предыдущей части линии влияния RA. Когда груз F = 1
находится над земной опорой F (вторая нулевая точка), он полностью воспри-
нимается этой опорой, т.е. Rf= 1, a RB = 0. Это значит, что балка EFG не
будет давить через узел Е на балку CDE, а та, в свою очередь, не будет переда-
вать нагрузку через узел С на балку АВС, и ордината линии влияния RA в точке
F окажется равной нулю. Соединив ординаты линии влияния в точках Е и F
прямой линией и продолжив ее на консоль FG, получим окончательный гра-
13 -1224
193
фик л.в. Ra при движении груза F = 1 по всей длине балки.
С помощью аналогичных рассуждений строятся остальные линии
влияния, которые показаны на рис. 4.1.3.
Все характерные ординаты линий влияния найдены из подобия тре-
угольников.
В заключение отмстим, что приведенные выше рассуждения и послу-
жили основанием для формулировки простых правил построения линий
влияния, изложенных в п. 3 на с. 189- 191.
Пример 4.2. Построить линии влияния опорных реакций и внутренних
усилий в отмеченных сечениях балки (рис. 4.1.4, а).
Рис. 4.1.4
Отличительная особенность этой многопрслетной шарнирно-консоль-
ной балки от предыдущей состоит в том, что во втором пролете балки меж-
ду опорами С и F имеются два шарнира D и £.
1.	Поэтажная схема балки показана на рис. 4.1.4, б.
2.	Часть линии влияния RA, относящейся к искомой балке АВ, пере-
носим из табл. 4.1, п. 1 (рис. 4.1.4, в). Остальные линии влияния для ис-
комых балок берем из табл. 4.2, п. 1, 3, 5, 7 (рис. 4.1.4, г...ж). Отметим,
что л.в. QB для искомой балки BCD в табл. 4.2 нет, потому что по физиче-
194
скому смыслу она совпадает с линией влияния фиктивной реакции RB
балки BCD, график которой переносится из табл. 4.2, п. 1 при отбрасыва-
нии левой консоли.
3.	Завершение графиков последних четырех линий влияния связано с
движением единичного груза по второстепенной балке DE.
Для л.в. QB и л.в. Мк движение груза F = 1 по балке DE происходит от
шарнира D до шарнира Е (см. рис. 4.1.4, а). В первом шарнире D груз уже
был и "оставил следы" в виде ординат 1/3 (рис. 4.1.4, г) и 4/3 (рис. 4.1.4, д).
Согласно правилу, изложенному в подпункте “в” п. 3, если груз F = 1 на-
ходится над вторым по ходу движения шарниром Е (нулевая точка), то
ординаты линий влияния усилий под этим шарниром равны нулю. В са-
мом деле, если груз F = 1 стоит над вторым шарниром Е, то он полностью
воспринимается фиктивной опорой в точке £, т.е. RE = 1. Тогда фиктив-
ная реакция RD будет равна нулю. В этом случае балка DE не будет пере-
давать нагрузку через узел D на балку BCD и искомые усилия будут равны
нулю, т.е. ординаты линий влияния под шарниром Е должны быть нуле-
выми. Соединив полученные ранее ординаты линий влияния QB и Мк под
шарниром D с соответствующими нулевыми ординатами под шарниром Е
прямыми линиями, получим окончательные графики л.в. QB и л.в. Мк
(рис. 4.1.4, г, д), так как при движении груза F = 1 по балке EFG нагрузка
не передается на балку DE, а следовательно, и на искомую балку BCD.
Аналогично достраиваются л.в. и л.в. Qu, с той лишь разницей,
что груз F = 1 движется от искомой балки EFG справа налево, т.е. от шар-
нира Е до шарнира D. В этом случае нулевая точка будет во втором по
ходу движения шарнире D. Так как балки АВ и BCD являются нижними
по отношению к балке DE, последняя не будет передавать нагрузку на ис-
комую балку EFG, и при движении груза по ним линии влияния будут
нулевыми (рис. 4.1.4, е, ж).
Приведенные в двух примерах подробные логические рассуж-
дения при построении линий влияния поясняют суть способа нуле-
вых точек, а именно: где нужно поставить груз F - 1 на второсте-
пенных балках (кроме искомой), чтобы ордината искомой линии
влияния под грузом равнялась нулю (Нулевая точка)? Ответ на этот
вопрос дан в подпунктах “а” и “в” п. 3 правил построения линий
влияния на стр. 189 - 191.
В расчетной практике линии влияния строят более формально,
чем описано выше, путем последовательного соединения предыду-
щих ординат под шарнирами с нулевыми точками прямыми ли-
ниями с их продолжением на консолях.
Проиллюстрируем это на примере построения л.в. ВЛ (см. рис. 4.1.4, о).
Как уже отмечалось, для балки АВ л.в. ЯЛ заимствована из табл. 4.1. При
движении груза F = 1 по балке BCD ординату л.в. под точкой В, равную
единице, соединяем прямой линией с нулевой точкой под земной опорой
в точке С и продолжаем ее на консоль CD. Из подобия треугольников
195
находим ординату линии влияния под первым шарниром D балки DE. Она
равна 1/3. Соединяем ее прямой линией при движении груза по балке DE
с нулевой точкой под вторым шарниром Е. При движении груза по балке
EFG л.в. RA является нулевой на основании правила п. 4.
Пример 4.3. Построить линии влияния опорных реакций RA, Rc, из-
гибающего момента в сечении К и поперечных сил в сечениях К и N
в многопролетной шарнирно-консольной балке, изображенной на рис.
4.1.5, а, кинематическим методом.
Рис. 4.1.5
)|(лг G
Е лл.Мк f
Для построения л . в . RA удалим опорный стержень в точ-
ке А (рис. 4.1.5, б) и зададим балке АВ, как абсолютно жесткому стержню
(диску), в этой точке бесконечно малое возможное перемещение, равное
единйце (рис. 4.1.5, 6). В полученном таким образом механизме диск
BCDEFG неподвижен, и отклонение диска АВ состоит только в повороте
около шарнира В (мгновенного центра вращения). График вертикальных
перемещений балки АВ, показанный на рис. 4.1.5, б, совпадает с точно-
196
стью до масштаба с линией влияния опорной реакции RA.
Для построения л . в. Лс удалим опорный стержень в точ-
ке С и зададим диску BCDE в этой точке бесконечно малое перемещение,
равное единице. В полученном механизме диск BCDE повернется относи-
тельно точки D по ходу часовой стрелки, а диски АВ и EFG, связанные с
предыдущим диском через мгновенные центры взаимного вращения, сов-
падающими с шарнирами В и Е, повернутся против хода часовой стрелки
относительно точек А и F. Точки А и F являются мгновенными центрами
вращения дисков АВ и EFG относительно земли.
Построенный график вертикальных перемещений балки, изображен-
ный на рис. 4.1.5, в, с точностью до масштабного множителя совпадает с
л.в. Rq Напомним, что под мгновенными центрами взаимного вращения
дисков линии влияния должны иметь перелом.
Для построения л.в. Мк удалим моментную связь, для
чего в сечение, в точке К вставим шарнир и одновременно приложим про-
тивоположно направленные положительные моменты (см. рис. 4.1.1, б и
рис. 4.1.5, г), растягивающие нижние волокна. Сообщим в точке К еди-
ничное угловое смещение двух смежных сечений, при этом полученный
механизм допускает вращение диска ВСК вокруг точки С против хода ча-
совой стрелки и вращение диска KDE ъокрут точки D по ходу часовой
стрелки. Остальные два диска повернутся относительно опор А и F. Точ-
ки А, С, D и F, в которых отсутствуют вертикальные перемещения, явля-
ются мгновенными центрами вращения дисков относительно земли, а
точки В, К и Е, в которых оси дисков имеют переломы, являются мгно-
венными центрами взаимного вращения дисков. Так как угол поворота
смежных сечений в шарнире К задан равным единице, расстояние “а" по
вертикали от точки С до оси диска KDE должно равняться расстоянию от
опоры С до точки К. Другие ординаты определяются из подобия тре-
угольников. Окончательная л.в. Мх представлена на рис. 4.1.5, г.
Для построения л.в. Qk отбросим в сечении К балки
BCDE одну из трех внутренних связей, препятствующую взаимному верти-
кальному перемещению обеих частей балки. Отброшенная связь заменя-
ется положительными поперечными силами. Полученному механизму
зададим в точке К единичное вертикальное смещение смежных сечений
относительно друг друга в положительном направлении поперечной силы
(см. рис. 4.1.1, е, рис. 4.1.5, д). Поскольку мгновенный центр взаимного
вращения диска ВСК относительно диска KDE находится в бесконечности,
диски в смещенном состоянии должны быть параллельны. Дальнейшие
действия и пояснения совпадают с предыдущими.
При построении л.в. QN вводим тот же механизм, не
воспринимающий поперечную силу, что и при построении л.в. QK. Спра-
ва от сечения в точке N диск NG под действием поперечной силы сме-
стится поступательно вертикально вверх на величину, равную единице, а
сечение слева от точки N принадлежит неподвижному диску ABCDEFN, и
он никаких перемещений не получит.
График вертикальных перемещений балки, показанный на рис. 4.1.5, е,
197
совпадает с точностью до масштабного множителя с л.в. Qjf.
Масштаб всех линий влияния определяется из условия равно-
весия механизма с применением принципа возможных перемеще-
ний, однако проще одну характерную ординату для каждой кон-
кретной линии влияния брать из табл. 4.2
Прлмер 4.4. Построить те же линии влияния, что и в примере 4.3, но с
учетом узловой передачи нагрузки и упругой податливости опор (рис. 4.1.6, в).
Движение груза F= 1 обозначено пунктиром (см. рис. 4.1.6, а).
Наличие упругоподатливых опор не отражается на построении линий
влияния усилий в статически определимых системах, и их нужно воспри-
198
нимать как обычные шарнирно-подвижные опоры.
Поэтажная схема балки изображена на рис. 4.1.6, б.
Следуя правилам построения линий влияния при узловой передаче
нагрузки, вначале способом нулевых точек строим линии влияния опор-
ных реакций и внутренних усилий при движении груза F = 1 непосредст-
венно по главной балке ABCDEF.G, или их можно взять из предыдущего
примера 4.3. После этого на построенные графики проектируем узловые
точки 0, 1, 2...8, и полученные проекции смежных узлов соединяем пря-
мыми линиями (рис. 4.1.6, в...ж). На этих же рисунках пунктиром пока-
заны участки, которые принадлежат линиям влияния только при непо-
средственном действии нагрузки на главную балку.
Пример 4.5. Построить линии влияния изгибающего момента и попе-
речной силы в сечении К двухпролетной рамы, изображенной на рис.
4.1.7, о.
Рис. 4.1.7
Движение груза F= 1 на рис. 4.1.7, а изображено пунктиром.
На рис. 4.1.7, б показана часть поэтажной схемы в виде основной ра-
мы ADEFB. для которой и построим вначале искомые линии влияния.
Проанализировав в уме ход решения задачи, убеждаемся, что л.в. Мк
199
зависит от изменения реакции Нв. Закон изменения вспомогательной
л.в. Нв при движении груза F- 1 по основной раме ADEFB найдем из ус-
ловия равновесия этой рамы (см. рис. 4.1.7, а).
ЕА^=0;	1-х-Яд О О, откуда Нв= х/1. Вычислим значения Яд
при крайних положениях силы F =1 на раме: при X = О Нв= 0; при
х = 8 Нв= 4. Часть л.в. Нв представлена на рис. 4.17, в.
Для построения л.в. Mg и л.в. Qg в основной раме рассмотрим два
случая.
1. Пусть груз F= 1 перемещается левее сечения К, т.е. занимает любое
положение между точкой D и сечением К (см. рис. 4.1.7, а). Разрежем
раму в сечении К на две части и, отбросив левую часть вместе с грузом,
найдем закон изменения изгибающего момента и поперечной силы в се-
чении К из условия равновесия правой части: Т,М"Р = Mg + Нв- 4 = 0;
£У пр = Qg = 0, откуда Mg= - 4 Яд и Qg= 0. Следовательно, левая ветвь
л.в. Мк, когда груз F = 1 находится левее сечения К, изменяется так же,
как и линия влияния опорной реакцйи Яд, но только ее ординаты надо
увеличить в четыре раза и взять со знаком минус (перевернуть), а левая
ветвь л.в. Qg будет нулевой (рис. 4.1.7, г, д).
2. Пусть груз F = 1 перемещается правее сечения К, т.е. занимает лю-
бое положение между сечением К и точкой F (см. рис. 4.1.7, б). Разрежем
раму в сечении К на две части. Отбросим снова левую часть и рассмотрим
равновесие оставшейся правой части, на которую действуют опорная ре-
акция Яд и сосредоточенная сила F = 1 на расстоянии х от сечения К.
ЩМ"Р =Мк+Нв-4 + 1-х ш 0; £У пг - 2к-1= 0, откуда Mg= - 4НВ-X и
Qg= 1. Вычислим значения Mg при крайних положениях груза F = 1 на
раме в точках К и F\ при х = 0 Mg = -4НВ = - 41 = - 4; при х = 6
Mg — - 4Яд -6 = -4-4-6 = -22. Следовательно, правая ветвь л.в. Mg,
когда груз F - 1 находится правее сечения К, - прямая линия с ордината-
ми под точками К и F, равными соответственно “-4” и “-22”. Обе ветви
линии влияния Mg пересекаются под сечением К. Правая ветвь л.в. Qg
имеет вид прямой, параллельной базисной прямой и отстоящей от нее на
величину, равную единице. Полные линии влияния Mg и Qg для основ-
ной рамы ADEFB показаны на рис. 4.1.7, г, д.
При движении груза F= 1 по второстепенной раме CFGH л.в. Яд, л.в. Mg
и л.в. Qg достраиваются путем проведения прямых линий через полученные
ранее соответствующие ординаты под точкой F и нулевые точки под земной
опорой С с продолжениями их на консолях. Окончательные л.в. Яд, л.в. Мк
и л.в. Qg для всей рамы представлены на рис. 4.1.7, е...з.
Пример 4.6. Построить кинематическим методом линию влияния
изгибающего момента в сечении К двухпролетной рамы (рис. 4.1.8, а).
Движение груза F = 1 показано пунктирной линией. На наклонном
стержне рамы, так же, как и на горизонтальном, сила F = 1 направлена
вертикально вниз. Основная идея при построении линий влияния усилий
200
в рамах остается той же , что и в балках.
Мгновенный центр
вращения второго диска
относительно земли (2,0)
находится в точке пересе-
чения линий, соединяю-
щих мгновенные центры
вращения соседних с ним
дисков: а) первого диска
относительно земли (1,0)
и относительно второго
диска (1,2); б) третьего
диска относительно земли
(3,0) и относительно вто-
рого диска (2,3). Симво-
лически это может быть
записано следующим об-
разом: (1,0) (1,2) + (3,0)
(2,3) = (2,0). Выражение
(1,0) (1,2) обозначает ли-
нию, проведенную через
точки (1,0) и (1,2). После
вычеркивания в приве-
денных выражениях оди-
наковых индексов (1 и 1,
3 и 3) получаем искомый
мгновенный центр вра-
щения. Центр вращения
(4,0) лежит на пересече-
нии прямых (4,5) - (5,0)
и (2,4) - (2,0). Символи-
чески это записывается
так: (4,5) (5,0) + (2,4) (2,0) =
Рис. 4.1.8
= (4,0). Заметим, что если два мгновенных центра вращения соседних
дисков совпадут, то соответствующие ветви линий влияния сольются в
одну.
Нахождение нулевых точек и построение л.в. Mg как графика переме-
щений полученного механизма показано на рис. 4.1.8, б, в. Для установ-
ления масштаба линий влияния можно, помимо особых приемов, вос-
пользоваться статическим способом. Для этого надо поместить единич-
ную силу в любую из точек рамы и вычислить интересующее нас усилие.
Значение этого усилия и будет ординатой линии влияния в точке прило-
жения силы F- 1.
201
Задача 4.1.01...4.1.29. Построить линии влияния опорных реакций
и внутренних усилий в отмеченных сечениях. Пунктиром обозначены
стержни, по которым перемещается груз F=l.
А	4.1.01		4.1.02 В	с	D
	К	В	Су	А	
	* 0 ° &		zX	' zX TTnrTkTT /777*777	/777*777
Л.В.]	л.в.МК-?; n.B.QK-?	л.в.(^ЕВ-?;	n.B.QjJ1’-?; л-b.Rc-?
к^к	Зм , Зм । 2м । 4м 4м 	Ж	ж—ж—ж—>	4м j..:	2м , 4м 2м . Зм ।
			
	4.1.03		4.1.04
		К	4	К	N
	' Л 0 zX t	О-	юЦ i □- ZTw’Z’	' А,
л-B.R,	г?; л.в.МА-?; n.B.QK-?	л.в.МК-?;	л.в.Мц-?; n.B.QN-?
Ь 6м	, бм , Зм , 5м । 2м ,	L 5М ^Змф	5м , 2м , 2м , 6м ,
		Г-							
	4.1.05		4.1.06
gi		в	Л А	В	с D
	Жк	° Р	1	' ’IW /77^77	/777гТ77	zX-
л.в.МА-?; h.b.Qa-?; л.в.Ос-?		л.в.0Г-?;	n.B.QBF-?; h.b.Rd-?
, 6м к-^-	, 6м । 4м . 8м	6м ж	ж ж  ж—>	। 4м , 2м , Зм , 2м , Зм , 2м , к	ж-ж Ж -Ж-- ж-^	
4.1.07
4.1.08
n.B.QK-?; л.в.Мн-?; h.b.Qn-? л.в.Мк-?; n.B.QK-?; л.в.Мн-?
, Зм . Зм , 2м , Зм , 4м । 2м . 2м ,	. Зм , 4м . 2м , 4м . 2м , Зм , 2м , 2м ,
К Ж Ж—Ж—" Ж----Ж Ж-->	К—Ж-Ж-Ж~—Ж-Ж—Ж ж- >1
4.1.09	4.1.10
л.в.Яв-?; л.в.Мк-?; h.b.Qk-? n.B.QA-?; л.в.Мо-?; n.B.QD-?
 4м 4м । Зм 12м 12м, Зм ,	. 4м , 4м , 4м , 6м , 4м , 4м , 6м ,
к- Ж—ж- ж- ж-ж-~-*1	к—ж—ж—ж—Ж Ж Ж  >!
202
4.1.11
4.1.12
в к
в—*-
£1
л.в.Од-?; л.в.Ов—?; л.в.рк-?
। 2м , 4м । Зм . 4м ,
к—Ж-------Ж——-ж-------И
л.в.Мв-?;	л.в.Мк-?; л.в.Мс-?
। 2м । Зм . 2м । 1м . Зм । Зм .
к—Ж-  Ж—ж-ж—Ж—>1
4.1.13	,
|А	В К
I......... ......*
л.в.Мв-?; л.в.Мк-?; л.в.рк-?
, 4м , бм , 2м , 2м ,
к	А
*----у
4.1.14
л.в.Мк-?; л.в.<2к-?; л.в.Яв-?
А
4.1.15
В	С К
— .О' ' "^г.....01 ..°	...... °...
л.в.Лд-?; л.в.Мо-?; л.в.(}К-?
Зм 4м 2м Зм . 2м 2м , 4м	4м
—ж---------Ж—Ж- -ж--—ж—ж---------------ж—
4.1.17
Зм
D
2м
Зм
Зм
4.1.16
в
-*и*—
/77?г77/
л.в.О^-?; л.в.О?р-?; л.в.Яв-?
4м , 6м । 2м । 8м , 4м ।
к—ж-------ж- ж-----------ж—-Я

В
" э --
л.в.МК-?; л.в.Ок-7; л.в.(}вР-?
। 2м । 2м । 2м . 4м . 2м , Зм
к Ж--Ж—Ж -—Ж—Ж—
4.1.18
Зм , 2м , Зм
--<------.......—>
пгттгг
о , д ..........____
л.в.МА-?; л.в.Яв-?; л.в.(?сР-?

6м
4м
5м

203
4.1.20
л.в.ЯА-?; л.в.Мк-?; л-b.Qn-?
5м । 5м ,3м, 5м । 4м । 2м .
4.1.24
4.1.25
л.в.НА-?; n.B.QK-?; n.B.QN-?
4.1.26
л.в.Мк-?; л.в.Мц-?; л.в.Нс-?
1 4м । 2м । 2м I 2м . 4м ,
К-...	.>)< >К..-эй........и
л.в.Мк-?; л.в.Рл-?; n.B.NK-?
2м । 2м 2м , 4м , 4м
к-..ж...>< -ж.......-.ж.......>
л.в.Мк-?; л.в.Ок-?; л.в.Ус-?
4.1.28
л.в.Мк-?; л.в.Мк-?; л.в.Нв-?
Зм Зм 4м 4м Зм Зм , Зм
it -- ,Ж —Ж-Ж—Ж—Ж~~Ж
। Зм бм , Зм 6м
к..ж.......ж*..ж.....
л.в.Кк-?; л.в.Мц?; л.в.Ус-?
4м 2м 2м , 2м 4м
..Ж—Ж—Ж—ж-...
204
§ 4.2. Построение линий влияния усилий в балочных фермах
Для построения линий влияния усилий в стержнях ферм при-
меняют те же методы, что и при аналитическом определении уси-
лий от неподвижной нагрузки.
Пояс фермы, в узлы которого при узловой передаче нагрузки
груз F =1 передает свои давления, называется грузовым. По-
яс, по которому перемещается груз F = 1, обозначается дополни-
тельной пунктирной линией.
При использовании статического метода построения линий
влияния для опорных реакций балочных ферм получаем те же
уравнения, что и для балки, и, естественно, такие же линии влия-
ния.
Для определения усилий в стержнях, образующих ферму, рас-
секаем ее по соответствующей панели грузового пояса, усилия в
перерезанных стержнях направляем от узлов в предположении рас-
тяжения и находим их, рассматривая условия равновесия отсечен-
ной части фермы. При построении линий влияния рассматривают-
ся два положения груза: 1) груз F = 1 слева от рассеченной панели
грузового пояса; 2) груз справа от нее.
В первом случае получим левую ветвь (прямую) искомой линии
влияния, во втором - правую ветвь (прямую).
Для получения передаточной (переходной, соединительной)
прямой переносятся: на левую ветвь первый относительно сечения
левый узел, а на правую ветвь - первый правый узел грузового поя-
са; полученные точки соединяются передаточной прямой, которая
соответствует движению груза F= 1 в пределах перерезанной панели.
Пример 4.7. Построить линии влияния усилий в отмеченных стержнях
фермы, изображенной на рис. 4.2.1, а. Движение груза F = 1 показано
пунктиром.
Линии влияния опорных реакций и RB показаны на рис. 4.2.1, б, в.
Линия влияния усилия Л^. Для определения закона из-
менения усилия разрезаем ферму сквозным сечением I-I в третьей панели
грузового пояса на две части и рассматриваем два случая (см. рис. 4.2.1, а):
1. Пусть груз F = 1 перемещается левее левого узла 3 перерезанной па-
нели 3-4. Отбросим левую часть фермы. Рассмотрим равновесие оставшей-
ся правой части. Для нахождения искомого усилия воспользуемся способом
моментных точек. Для стержня 3-4 моментная точка совпадает с узлом 8.
= -RB d -N^h - 0, откуда N3.4 = -RB d/h - уравнение левой вет-
ви л.в. Л3.4, из которого видно, что она изменяется по закону опорной ре-
акции RB, но ее ординаты нужно умножить на отрицательное число (-d/h).
205
Левая ветвь л.в. будет справедлива только на том участке, по которому
перемещается груз F= 1, т.е. от узла 1 до узла 3 (рис. 4.2.1, г).
б)
в)




г) т
Л* *ЛГ3-4
Передаточная прямая ;
д)*
ял.Н

__
Левая ветвь
Передаточная прямая
*	"^3-8	„
---------—^а№авая нтвь
Передаточная прямая
ж)
з)
Передаточные прямые
Рис. 4.2.1

Передаточная прямая
e.t.N,
206
2. Пусть груз F = 1 перемещается правее правого узла 4 перерезанной
панели 3-4. Отбросим правую часть фермы и рассмотрим равновесие ос-
тавшейся левой части: Hm^b=ra 3d +Л3.4Л =0, откуда Л3.4 --RA-3d/h—
уравнение правой ветви л.в. N^. Из полученного уравнения видно, что
правая ветвь л.в. Л3.4 изменяется по закону опорной реакции RA, но ее
ординаты должны быть умножены на отрицательное число {-3d/h). Правая
ветвь л.в. JV3.4 справедлива на том участке, где перемещается груз F=l, т.е.
от узла 4 до узла 6 (рис. 4.2.1, г).
При узловой передаче нагрузки на ферму л.в. Л3.4, при перемещении
груза F = 1 между узлами 3-4, описывается передаточной прямой, которая
соединяет ординату левой ветви под узлом 3 с ординатой правой ветви под
узлом 4. В данном случае передаточная прямая сливается с продолжением
левой ветви. Левая и правая ветви линии влияния всегда должны пересе-
каться под моментной точкой (см. рис. 4.2.1, г).
С помощью сечения I -1 аналогично строятся л.в. Nt.9 и л.в. W3.g.
Линия влияния усилия tfg_9.
1.	Груз F - 1 находится слева от перерезанной панели. Отбрасываем
левую часть. Рассмотрим равновесие правой части фермы. Моментная
точка для стержня 8-9 совпадает с узлом 3.
- -RB 2d +JV8-9^ = откуда N&.9 = RB2d/h - уравнение левой
ветви л.в. ATg.9 (см. рис. 4.2.1, д).
2.	Груз F = 1 находится справа от перерезанной панели. Отбрасываем
правую часть. Рассмотрим равновесие левой части фермы.
= Ra 2d - N^h = 0, откуда Ns.9 =RA 2d/h - уравнение правой
ветви л.в. Л^-9 (см. рис. 4.2.1, д).
После переноса узлов 3 и 4 соответственно на левую и правую ветви
л.в. JVg.9, соединив ординаты под этими узлами прямой линией, получим
передаточную прямую, которая в данном случае сливается с продолжени-
ем правей ветви. Полная л.в. NiJ9 показана на рис. 4.2.1, д.
Линия влияния усилия W3.g.
1. Пусть груз F= 1 перемещается слева от перерезанной панели 3-4. От-
бросим левую часть. Моментная точка для стержня 3-8 находится в беско-
нечности, так как в этой панели стержни 3-4 и 8-9 параллельны. Как следст-
вие этого для определения усилия У3-8 применим способ проекций (уравне-
ние моментов вырождается в уравнение проекций на вертикальную ось). Из
условия равновесия правой части находим уравнение левой ветви л.в. N^:
^Ynr =RB +^3.8 sina = 0, откуда Nj.g = -i?B/sina. Левая ветвь л.в. Wj.s
представляет собой л.в. Rg, все ординаты которой нужно умножить на от-
рицательное число (-1/sina), и она будет справедлива от узла 1 до узла 3
(рис. 4.2.1, е).
2. Пусть груз F = 1 перемещается справа от перерезанной панели 3-4.
Отбросим правую часть. Из условия равновесия левой части фермы нахо-
дим уравнение правой ветви л.в. Aj.g'. YtYja=cRA -Л3.8 sina = 0, откуда
N3.t “ Rji/sin а. Как видно из полученного выражения, правая ветвь л.В.
207
tf3.8 может быть получена из л.в. RA, все ординаты которой должны быть
умножены на постоянное число 1/sina, и эта ветвь будет справедлива от
узла 4 до узла 6 (см. рис. 4.2.1, е). Так как моментная точка находится в
бесконечности, левая и правая ветви линии влияния всегда должны быть
параллельны.
Для построения передаточной прямой соединим ординату левой ветви
под узлом 3 с ординатой правой ветви под узлом 4. Окончательная л.в.
jV3.8 показана на рис. 4.2.1, е.
Линия влияния усилия N3.9. Для построения л.в. N3.9
разрезаем ферму сквозным сечением II-II во второй панели грузового
пояса и в третьей панели нижнего пояса на две части (см. рис. 4.2.1, а).
1. Пусть груз F - 1 перемещается левее левого узла 2 перерезанной
панели 2-3. Отбросим левую часть. Так как посторонние стержни 2-3 и 8-
9, попавшие в сечение II - II, параллельны, моментная точка для стержня
3-9 находится в бесконечности, и как следствие этого для определения
усилия Л3-9 воспользуемся опять же способом проекций. Уравнение левой
ветви л.в. N3.9 найдем из условия равновесия правой части: Z/ пр ~ Rb -
-N3.9 = 0, откуда Л3.9 =RB. Левая ветвь л.в. N3.9 полностью совпадает с
л.в. RB и будет справедлива от узла 1 до узла 2 (рис. 4.2.1, ж).
2. Пусть груз F = 1 перемещается правее правого угла 3 перерезанной
панели 2-3. Отбросим правую часть. Уравнение правой ветви л.в. N3.9
найдем из условия равновесия левой части:	RA +N3.9 = 0, откуда
N3.9 = - RA. Правая ветвь л.в. N3.9 представляет собой л.в. RA, все ордина-
ты которой должны быть умножены на отрицательное число (-1), т.е> пе-
ревернуты, и будет справедлива от узла 3 до узла 6 (см. рис. 4.2.1, ж).
Соединив ординаты на левой и правой ветвях л.в. N3.9 под узлами 2 и
3 передаточной прямой, получим окончательную л.в. N3.9, изображенную
на рис. 4.2.1, ж.
Линия влияния усилия N4.s. Усилие в одиночном
стержне 4-8 определим способом вырезания узлов. Вырезаем узел 4 замк-
нутым сечением, которое разрезает третью и четвертую панели грузового
пояса проезжей части фермы. Как и ранее, рассмотрим два случая поло-
жения груза:
V ।	..	1. Груз F = 1 находится в узле 4
' I	'	(рис. 4.2.2, а). Из условия равновесия
jV4.3.<_3—>.iV5.6 вырезанного узла найдем N^. ZX =
I	I = - F- У4.8=0, откуда N4.& = - F= -1.
^4-8	^4-8	2. Груз F = 1 вне узла 4 (рис. 4.2.2,
б): £/ = -N4.i = 0, т.е. л.в. N4.s в этом
Рис. 4.2.2	случае будет нулевой.
На базисной прямой откладываем под узлом 4 ординату, равную -1, и,
соединив ее вершину двумя передаточными прямыми с нулевыми ордина-
тами под узлами 3 и 5, получим л.в. У4.8 (рис. 4.2.1, з).
208
Линии влияния усилий в балочных фермах статическим мето-
дом можно строить без записи уравнений, если учесть, что правая
ветвь линии влияния пересекается с левой всегда под моментной
точкой и отсекает на левой опорной вертикали отрезок Т а/г, где
а - расстояние по горизонтали от левой опоры до моментной точки
(а > 0, если моментная точка находится справа от левой опоры, и
а < 0 - если слева), г-плечо определяемого усилия N относитель-
но моментной точки. Верхний знак принимается, когда момент
левой положительной искомой продольной силы N положителен,
т.е. направлен по ходу часовой стрелки, нижний - когда против
хода часовой стрелки. Для построения правой ветви линии влия-
ния усилия откладываем на левой опорной вертикали ординату
+ а/гг на правой-ноль, и соединяем ординаты прямой линией.
После переноса на эту прямую моментной точки и соединения ее с
нулем на левой опоре, получим левую ветвь линии влияния. На
левую ветвь переносим левую границу перерезанной панели, на пра-
вую ветвь - правую и, соединив эти точки передаточной прямой, по-
лучим график окончательной линии влияния искомого усилия N.
При построении линии влияния усилий в решетке (стойках и
раскосах) фермы с параллельными поясами учитываем, что левая и
правая ветви параллельны, и правая ветвь, проходя через ноль на
правой опоре, на левой опорной вертикали отсекает отрезок
Т cos p/sin а, где р - угол наклона параллельных поясов к горизон-
тали, а - угол наклона раскоса или стойки к поясам. Верхний знак
принимается, если проекция левой положительной искомой про-
дольной силы N на ось, перпендикулярную к параллельным стерж-
ням, направлена вверх, а нижний - когда вниз, или момент левой
положительной искомой силы N относительно моментной точки,
расположенной в бесконечности справа, направлен по ходу часовой
стрелки; нижний - когда против. Отложив на левой опорной вер-
тикали ординату Т cos P/sin а и соединив ее с нулевой ординатой
под правой опорой, получим правую ветвь линии влияния. Через
ноль на левой опоре проводим левую ветвь параллельно правой.
Затем на левую и правую ветви переносим границы перерезанной
панели грузового пояса и, соединив эти точки передаточной пря-
мой, получим окончательную линию влияния искомого усилия N.
Пример 4.3. Построить линии влияния усилий в отмеченных стерж-
нях фермы, показанной на рис. 4.2.3, а. Движение груза F= 1 обозначено
пунктиром.
Читателю предлагается проверить правильность построенных искомых
линий влияния продольных усилий, изображенных на рис. 4.2.3, б...д,
14-1224
209
применив приведенные выше правила (см. с. 209).
Рис 4.2.3
При построении линий влияния усилий в стержнях консоль-
ных ферм для любого положения груза удобно при записи уравне-
ний рассматривать равновесие свободной от опор отсеченной части
консоли, а текущую абсциссу х груза F = 1 отсчитывать от момент-
ной точки. В таких фермах одна из ветвей линии влияния, примы-
кающая к опорам, будет нулевой, тогда вторая ветвь - луч, исходя-
щий из моментной точки.
210
Пример 4.9. Построить линии влияния усилий в отмеченных стерж-
нях консольной фермы, изображенной на рис. 4.2.4, а.
Когда груз находится слева от рассеченных сечениями I -1, П - II,
III - III панелей, левые ветви искомых линий влияния усилий, как извест-
но, будут нулевыми. Поэтому рассмотрим положение груза только справа
от перерезанных панелей грузового пояса.
Линия влияния усилия N2.6. Разрезаем ферму сквозным
сечением I -1 на две части и, отбросив левую часть, рассмотрим равнове-
сие оставшейся, правой части. Моментной точкой для стержня 2-6 явля-
ется точка К, лежащая на пересечении стержней 2-3 и 6-7. Поставим груз
F = 1 на расстоянии Xt от точки К. 'LM"r = ^6r2.6 -1Xj = 0 - урав-
нение правой ветви л.в. ^.6, откуда #2.6 = Хц/г2.6. Вычислим орди-
наты л.в. Aj.s при крайних положениях груза: при X] = О У2.6 =0; при
X]=3rf Aj.g = 3<//Г2.6. По этим данным строим правую ветвь л.в.
(рис. 4.2.4, б). Переносим на левую нулевую ветвь узел 2, на правую-узел 3
и, соединив ординаты под этими узлами передаточной прямой, получим
окончательную л.в. ^.6, показанную на рис. 4.2.4, б. Как видно из графи-
ка линии влияния Л<2.6) левая и правая ветви пересекаются под моментной
точкой К.
211
Линия влияния усилия N3.6. Для нахождения закона
изменения усилия #3.6 разрежем ферму сквозным сечением II - II на две
части и отбросим левую часть фермы. Моментная точка для стержня 3-6
находится на пересечении стержней 2-3 и 5-6, т.е. опять же в точке К. Из
условия равновесия правой части найдем уравнение правой ветви л.в. N^.
Ем$р - -N3.6 ‘М - 1X1 ~ °, откуда = -X] /3d При X! = 0 получается
W3.6 = 0; при X] = 3d получается N3.6 = -1. Правая ветвь л.в. N3^ спра-
ведлива от узла 3 до узла 4 (рис. 4.2.4, в). Соединив ординату на левой
нулевой ветви под узлом 2 с ординатой на правой ветви под узлом 3 пе-
редаточной прямой, получим окончательную л.в. #з.б, изображенную на
рис. 4.2.4, в.
Линия влияния усилия Nb-i. На основании частных
случаев равновесия узлов Ng_[ = N{.2. Для построения л.в. Л^.2 разрезаем
Консольную ферму сквозным сечением III - III на две части и отбрасываем
левую часть (см. рис. 4.2.4, а). Моментная точка для стержня 1-2 совпада-
ет с узлом А. Поставим груз F = 1 на расстоянии Х2 от точки А. Уравне-
ние правой ветви л.в. 2Vt_2 находим из условия равновесия правой части
фермы: ЕМ ™ - -Ni-ih + 1Х2 = 0, откуда N^2 = Xrfh. Ординаты правой
ветви: при Х2 = 0 Л^.2 = 0; при х2 = 4d = 4d/h. По этим данным
строим правую ветвь л.в. ^.2, которая будет справедлива от узла 2 до узла
4 (рис. 4.2.4, г). Соединив левую и правую ветви под узлами 1 и 2 передаточ-
ной прямой, получим график искомой л.в. У^-i= л.в. М-2 (рис. 4.2.4, г).
Пример 4.10. Построить линии влияния усилий в стержнях 2-3, 2-12,
3-10, 12-13, 10*12, 11-13 шпренгельной фермы (рис. 4.2.5, а).
В шпренгельной ферме с одноярусными шпренгелями, как из-
вестно, различают три категории стержней: 1) стержни, работаю-
щие только в основной ферме; 2) стержни, работающие только в
шпренгеле; 3) стержни, работающие одновременно в. основной
ферме и шпренгеле. Способ построения линий влияния усилий в
шпренгельной ферме выбирается в зависимости от того, к какой
категории относится рассматриваемый стержень.
Так, при построении линий влияния усилий в стержнях 1-й категории
2-3, 2-12 и 3-10 шпренгеля вообще не оказывают никакого влияния, и их
нужно мысленно удалить. В стержнях 2-й категории 11-12 и 12-13 линии
влияния усилий строятся из расчета фермочки-шпренгеля (рис. 4.2.5, б) на
действие местной нагрузки способом вырезания узлов. В стержнях 3-й
категории-10-12; 10-11 и 11-13 линии влияния усилий строятся обычно
способом сечений с учетом влияния шпренгельных устройств, которое в
большинстве случаев учитывается автоматически посредством изменения
(уменьшения) границ рассеченной панели.
Линия влияния усилия N2.3. Стержень 2-3 относится к
1-й категории. Разрежем ферму сквозным сечением I -1 на две части и
мысленно отбросим шпренгель. Построение л.в. N2.3 произведем согласно
212
Правилам, приведенным на с. 209, примененным в примере 4.8. Момент-
ная точка для стержня 2-3 совпадает с узлом 10. На левой опорной вер-
тикали откладываем отрицательную ординату ajr = - Ъ/Гц = - 8/(8 sin а)=
*= -1/sina = -5/3 .= -1,667 (из А Л-3-10 sin а = 6/10 = 0,6), на правой -
ноль и соединяем ординаты прямой линией. На полученную таким обра-
зом правую ветвь л.в. W2.3 переносим моментную точку и соединяем ее
с нулем на левой опоре. Передаточная прямая совпадает с левой ветвью
л.в. Ы2.3 (рис. 4.2.5, в).
Рис. 4.2.5
213
Линию влияния усилий в стержнях фермы, имеющих моментные точ-
ки, можно строить и с помощью табличных линий влияния “балочных”
моментов М° (см. табл. 4.1 и табл. 4.2) для сечений, совпадающих с мо-
ментными точками фермы, но тогда табличную ординату надо разделить
на плечо искомого усилия относительно моментной точки. После этого
левую и правую ветви искомой линии влияния усилия в цзаницах перере-
занной панели соединяют передаточной прямой. Ординату л.в. А^-з под
моментной точкой находят по формуле М-з= -	=
г2-з 1г2-з
8-8	1
= —= - 0,833. Знак "минус" у л.в. М-з означает, что
16-8sina	20,6
стержни верхнего пояса в балочных фермах являются сжатыми.
Линия влияния усилия N2.i2- Так как стержень 2-12 от-
носится к 1-й категории, мысленно удаляем шпренгель. Тогда из сечения
I -1 следует, что моментная точка для стержня 2-12 совпадает с левой опо-
рой А, а правая ветвь л.в. N2-i2 будет нулевой. Для построения левой ветви
надо совместить моментную точку А с заделкой консольной балки и вос-
пользоваться п. 3 табл. 4.1 (рис. 4.2.5, г). Наибольшую ординалу левой вет-
ви под узлом В определим по формуле А^-ц = - М°А //2.12й - 6/(8 sin a)=
= - 2/0,6 = - 3,333. Перерезанной панелью грузового пояса является па-
нель 13-10. Соединяя ординату на левой ветви под узлом 13 с нулевой ор-
динатой правой ветви под узлом 10 передаточной прямой, получим иско-
мую л.в. Afe-u (см. рис. 4.2.5, г).
Линия влияния усилия Лю-12- Стержень 10-12 относит-
ся к 3-й категории. Левая и правая ветви л.в. ^0-12 будут точно такими же,
как и у л.в. М-ц. а У467 влияния шпренгеля произойдет за счет укорочения
границ перерезанной панели сечением I -1. В данном случае перерезан-
ной панелью является панель 11-10. Перенеся узлы 11 и 10 соответствен-
но на левую и правую ветви л,в. Мо-12 и соединив ординаты под этими
узлами передаточной прямой, получим искомую л.в. Мо-12 (рис. 4.2.5, д).
Линия влияния усилия Л^з-к). Для построения линии
влияния усилия в стержне 3-10, относящемся к 1-й категории, вырежем
узел 3 замкнутым сечением и рассмотрим условия его равновесия:
ЕУ = -А^-з cos a + N3.4 cos a = 0, откуда А^-з = М-41 ZK = -N2-3 sina-2-
- М-10 = 0. откуда #3.10 = -М-з • 0.6 2 = -1.2М-3- Следовательно, л.в. jV3.10
по очертанию совпадает с л.в. Л/г-з. все ординаты которой надо умножить
на отрицательное число (-1,2) (рис. 4.2.5, е).
Линия влияния усилия Мг-1з- Стержень 12-13 относит-
ся к стержням 2-й категории (см. рис. 4.2.5, б). Вырезаем замкнутым се-
чением узел 13 и составляем условие равновесия на вертикальную ось у.
ЕУ = -М2-13 sin a + Я13 = М2-13 • 0,6 + 0,5 = 0, откуда М2-13 = -0,833. Если
груз Г=1 находится вне узла 11, то л.в. М2-13 = 0 (рис. 4.2.5, ж).
214
Линия влияния усилия Мыз- Стержень 11-13 относит-
ся к 3-й категории, а из частных случаев равновесия узлов следует, что
Мыз = Мо-11- Моментная точка для стержня 10-11 находится на пересе-
чении стержней 10-12 и 2-3, попавших в сечение I -1, т.е. в узле 2. Левая
и правая ветви л.в. Мо-п по очертанию совпадают с табличной линией для
балки, сечение которой совмещено с моментной точкой в узле 2 (см. табл.
4.2, п. 3). Ординату под моментной точкой найдем по формуле
V _ V _ Ml ab 4-12 , гт
Mo-п ® Мыз —------------------ 72^7 = 1 • Перерезанной панелью грузо-
Ло-и 1 Ло-п	16 3
вого пояса является панель 11-10. Для построения передаточной прямой
соединим ординату левой ветви под узлом 11 с ординатой правой ветви
под узлом 10. Окончательная л.в. jVu.u = л.в. Мо-п показана на рис. 4.2.5, з.
Пример 4.11. Построить линии влияния усилий в стержнях 2-11,
10-11, 10-13 и 4-10 шпренгельной фермы, показанной на рис. 4.2.6, а.
215
В шпренгельных фермах с двухъярусными шпренгелями поми-
мо указанных выше трех категорий стержней могут встречаться
стержни 4-й категории. К этой категории относятся, как правило,
стойки, в которых происходит перераспределение усилий за счет
передачи нагрузки шпренгелем из верхнего пояса в нижний (или
наоборот). Чтобы построить линию влияния усилия для стержня
4-й категории, надо сначала построить на одном графике линию
влияния искомого усилия, как для стержня 1-й категории, мыслен-
но отбросив шпренгеля, при движении груза F = 1 как по верхне-
му, так и по нижнему поясам (на графике проводятся две переда-
точные прямые). Затем в пределах перерезанных панелей основ-
ные узлы фермы и узлы одноярусных шпренгелей, если они есть,
переносят на линию влияния при движении груза по грузовому
поясу, по которому он на самом деле перемещается, а узлы двухъя-
русных шпренгелей переносят на линию влияния при движении
груза по другому (противоположному) поясу и полученные точки
соединяют прямыми линиями.
Линия влияния усилия #2.п. Стержень 2-11 относится
к 4-й категории. Для построения л.в. 1У2.ц мысленно удалим двухъярус-
ные шпренгеля и разрежем ферму сквозным сечением I -1 на две части.
Далее рассмотрим два случая (рис. 4.2.6, а).
1. Груз F = 1 находится левее перерезанной панели верхнего (или
нижнего) пояса. Отбросим правую часть. Рассмотрим равновесие остав-
шейся левой части. ^,УЛЕВ = -1 + Afj-n = 0, откуда ЛГ2.П = 1 - уравнение
левой ветви.
2. Груз F = 1 находится правее перерезанной панели верхнего (или
нижнего) пояса. Отбросим снова правую часть. Рассмотрим равновесие
оставшейся левой части. = 1V2.U = 0 - уравнение правой ветви. В
пределах перерезанных панелей В-2 и 11-10 проводим две передаточные
прямые (езда поверху и езда понизу).
Основные узлы фермы В, 2 и 4 переносим на линию влияния езды
поверху, а дополнительные узлы двухъярусных шпренгелей 1 и 3 перено-
сим на линию влияния езды понизу. Полученные точки В', Г, 2', 3' и 4'
соединяем последовательно прямыми линиями. Искомая л.в. ЛГ2.П изо-
бражена на рис. 4.2.6, б.
Линия влияния усилия АГю-п- Стержень 10-11 относится
к 3-й категории. Рассечем ферму сквозным сечением II - II и рассмотрим
два случая (см. рис. 4.2.6, а).
1. Груз F= 1 перемещается левее перерезанной панели 3-4. Отбросим
левую часть. Запишем условие равновесия оставшейся правой части отно-
сительно моментной точки, совпадающей с узлом 2:
+Мо-ц</ = 0, откуда А^о-ц = 37?с - уравнение левой ветви, которое спра-
216
ведливо от узла В до узла 3. Л.в. Rc представляет собой прямоугольник с
положительной ординатой, равной 1 и протяженностью от узла В до узла 8.
2. Пусть груз F = 1 находится правее перерезанной панели 3-4 на
расстоянии X от моментной точки 2. Отбросим снова левую часть. Условие
равновесия правой части запишется в виде	= -Reid +1-Х +
+Мо-и d = откуда Ую-п = ЗЯС - X/d - уравнение правой ветви, которое
справедливо от узла 4 до узла 8. Вычислим ординаты л.в. Мо-п при край-
них положениях груза: при X = 0 ЛГю-п ~ 3Rc~ 3; при X -3d Ую.ц =
=0. По этим данным строим правую ветвь л.в. У10.ц (рис. 4.2.6, в). Пере-
носим на левую ветвь узел 3, на правую - узел 4 и, соединив ординаты под
этими узлами передаточной прямой, получим окончательную л.в. Ую-ц.
Линия влияния усилия Уина- Стержень 10-13 также
относится к 3-й категории. Из сечения II - II следует, что моментная точка
для стержня 10-13 находится в бесконечности (см. рис. 4.2.6, а).
1. Пусть груз F =± 1 перемещается левее перерезанной панели 3-4.
Отбросим правую часть. Тогда ^УЛЕВ = -1 - Mo-13 sin 45° = 0, откуда
У10-13 = - з/2 - уравнение левой ветви.
2. Пусть груз/7 = 1 перемещается правее перерезанной панели 3-4.
Отбросим опять правую часть. Тогда ^УЛЕВ = -Ую-13 sin 45° = 0, откуда
Мо-1з = 0 - уравнение правой ветви. Передаточная прямая соединяет ор-
динату на левой ветви под узлом 3 с нулевой ординатой на правой ветви
под узлом 4. Окончательная л.в. Мо-13 показана на рис. 4.2.6, г.
Линия влияния усилия #4-10- Стержень 4-10 можно
отнести как к стержням 4-й категории, так и к стержням 1-й категории.
Проще задачу решить как для стержня 1-й категории способом вырезания
узлов. На основании частных случаев равновесия узлов Уно = 0, если си-
ла F= 1 находится вне узла 4, и У4.ю = -1, если сила F = 1 находится в
узле 4. Перерезанными панелями являются панели 3-4 и. 4-5.
Окончательная л.в. У4.ю представлена на рис. 4.2.6, д.
217
Задачи 4.2.01...4.2.30. Построить линии влияния усилий в отме-
ченных стержнях ферм. Движение груза F=1 обозначено пунктиром.
218
4.2.11	4.2.12
219
4.2.25
2м
4,5м

4,5м ^J,5|	4,5м	4,5м
220
§ 4.3.	Построение линий влияния усилий в трехшарнирных
и комбинированных системах
Аркой называется распорная система, имеющая вид кривого
бруса. Трехшарнирная арка (рама) представляет собой статически
определимую распорную систему, состоящую из двух полуарок
(полурам), соединенных между собой и с опорами шарнирами. В
опорных закреплениях арок, в отличие от закреплений балок, воз-
никают горизонтальные реакции от действия вертикальной нагруз-
ки. Горизонтальные составляющие опорных реакций называются
распором и обозначаются буквой Н. В данном параграфе рассмат-
риваются трехшарнирные арки с опорами на одном уровне.
Если ось х направить вправо, ось у - вверх, а начало координат
совместить с левой опорой в точке А, то уравнение оси арки, угол
наклона ф касательной к оси арки и тригонометрические функции
sin ф, cos ср можно вычислить по следующим формулам (рис.
4.3.1, а):
1)	ось арки - квадратная парабола:
4/(/х-х2)	.	, 4/(/-2х).
>' = ^-72--tg9 = y=^-j—
г	г
1
cos <р = .	; sin ф = cos ф  tg ф;
Vl + tg29
2)	ось арки - окружность:
I 77 v"	f р
у = . R2 - --Х ~R + f> ^ = ^ + —;
\	<2	}		2 8/
/ - 2х,	у + R-f
sin ф = п п ;	cos ф = -—-——,
у 2R	R J
(4.1)
(4.2)
где / -пролет арки; / -стрела подъема арки, определяемая расстоя-
нием от прямой, соединяющей опорные шарниры, до ключевого
шарнира С; R - радиус окружности.
Отметим, что линии влияния вертикальных составляющих
опорных реакций VA и VB в трехшарнирных арках, рамах и арочных
фермах совпадают с балочными линиями влияния RA и RB, так как
имеют одинаковые аналитические выражения.
221
Рис. 4.3.1
Линии влияния усилий в трехшарнирных арках и рамах стати-
ческим способом строятся на основании тех же формул, по кото-
рым определяются внутренние усилия от действия внешней нагруз-
ки:
222

л.в. Н - л.в. M°c/f л.в. Мк = л.в. М°к - л.в. Нук;	(4.3)
л.в. QK- л.в. Q costpx- л.в. Яяпфх;	(4.4)
л.в. Ng ~ -(л.в. Q °к sin фл- + л.в. Ясов фЛ),	(4.5)
где л.в. М J и л.в. Q°K - линии влияния изгибающего момента и по-
перечной силы в сечении А простой балки того же пролета, что и арка.
Из первой формулы (4.3) следует, что л.в. Я имеет такой же вид,
как и линия влияния изгибающего момента в сечении С простой бал-
ки, ординаты которой надо разделить на / (рис. 4.3.1, б).
Л.в. Л4 определяется второй формулой (4.3), из которой следует,
что для построения л.в. Mg надо из балочной линии влияния для сече-
ния А (см. п. 3 табл. 4.2) вычесть л.в. Я (см. рис. 4.3.1, б), все ординаты
которой умножены на постоянный множитель у* Наложив эти линии
влияния друг на друга, получим искомую л.в. Mg (рис. 4.3.1, в), или в
спрямленном виде, показанном на рис. 4.3.1, г.
По формулам (4.4) и (4.5) аналогичным образом строятся л.в.
Qg и л.в. Ng (рис.4.3.1, д...з). Построение этих линий влияния для
арок подробно рассмотрено во всех учебниках по строительной ме-
ханике.
Пример 4.12. Построить аналитическим способом линии влияния
усилий в отмеченных сечениях рамы, представленной на рис. 4.3.2, а.
Движение груза F = 1 показано пунктиром.
Уравнение линии влияния усилия в затяжке, согласно формуле (4.3),
имеет вид: л.в. Н3 = л.в. M°D If. Так как в данном примере /= ук= 3 м,
ордината вершины л.в. Н3 под шарниром D будет:
Н3 -	= 0,5 . Л.в. Н3 изображена на рис. 4.3.2, б.
Ук	83
Л.в. Мк строим по второй формуле (4.3): л.в. Mg = л.в. М°к - л.в. Нук=
= л.в. М°к - л.в. Н-3. На рис. 4.3.2, в от базовой прямой отложены в одну
сторону л.в. М°к с ординатой под сечением К, равной М°к = аЪЦ=
= 4-4/8 = 2 и л.в. Н3-3. Фигура, заключенная между этими двумя линиями
влияния, является искомой л.в. Мк. На рис. 4.3.2, г она представлена в
спрямленном виде.
Л.в. Ок строим п° формуле (4.4): л.в. Qg = л.в. Qg coscpx-- л.в. Я$1пфг
Так как ф*-= 0°, а следовательно, cos0°=l и sin0° = 0, л.в. Qg = л.в. Qg
(рис. 4.3.2, д).
Для построения л.в. MN разрежем раму сквозным сечением I-I на
две части и отбросим правую часть. Из условия равновесия оставшейся ле-
вой части найдем закон изменения изгибающего момента MN: М#=УА-2.
Из полученного выражения видно, что л.в. MN изменяется по закдну вер-
223
тикальной опорной реакции VA, ординаты которой должны быть увеличе-
ны в два раза (рис. 4.3.2, е).
224
все линии влияния достраивались аналогично тому, как это делалось для
многопролетных шарнирно-консольных балок.
Пример 4.13. Построить аналитическим способом линии влияния
усилий в стержнях 2-3, 12-13 и 3-12 арочной фермы (рис. 4.3.3, а).
Рис. 4.3.3
15-1224
225
При построении линий влияния усилий в стержнях распорных ароч-
ных ферм применяются те же способы и приемы, что и при построении
линий влияния в балочных фермах, за исключением того, что при состав-
лении уравнений моментов надо учитывать влияние горизонтальной опор-
ной реакции (распора). Вспомогательная линия распора .Н, представлен-
ная на рис. 4.3.3, б, определяется уравнением (4.3) с наибольшей ордина-
той под шарниром С, равной Нс= 1/(4/) = 24/(4-8) = 0,75.
Линия влияния усилия N2.3. Проведем сечение I -1 че-
рез три стержня и рассмотрим два случая.
1. Груз F = 1 правее рассеченной панели 2-3. Отбросим правую часть.
Уравнение равновесия для левой части запишем относительно моментной
точки 13: ЦМВ3В = VA fi - H f> + Я2.3-2 = 0; так как 6 = М°3,
Я2.3 = - Af?3/2+ ЗЯ.
2. Груз F = 1 левее рассеченной панели 2-3. Отбросим левую часть.
Уравнение равновесия для правой части также запишем относительно мо-
ментной точки 13:	-	6-jV2.3 -2 = 0; так как VB-18 =М ®3,
Я2-з = - ^?з/2 + ЗЯ
На рис. 4.3.3, в от базовой прямой отложены в одну сторону (вниз)
л.в. Л/°з/2 с ординатой под моментной точкой 13, равной (аЛ//)/2 =
= (6  18/24)/2 = 2,25 и л.в. Я-3. Заштрихованная на этом рисунке фигура
является искомой л.в. N2.3. Она же в спрямленном виде представлена на
рис. 4.3.3, г.
Линия влияния усилия Я12.13. Разрежем ферму сечени-
ем П - II на две части и рассмотрим два случая.
1. Груз F- 1 перемещается правее рассеченной панели 3-4:
ЕЛ/^=-К1-6-Я-8-Я12.1з-2==0; так как ^-6 = ^3°,
М2.1з“Л/?з/2-Я.4.
2. Груз F= 1 перемещается левее рассеченной панели 3-4:
= -Ил 18 + Я- 8 + Я12.1з = 0; так как Ил18 = М J,
^2.!з=^?з/2-Я4.
Вычитая из балочной л.в. М °, ординаты которой разделены на ко-
эффициент 2, л.в. Я, ординаты которой увеличены в четыре раза, получим
искомую л.в. Mj.b (рис. 4.3.3, д, ё).
Линия влияния усилия N3.l2. Так как моментная точ-
ка для стержня 3-12 (сечение II-II) находится в бесконечности, а распор-
ность фермы не влияет на л.в. Я3-12, для ее построения воспользуемся
правилами, изложенными на с. 209.
Отложив на левой опорной вертикали положительную ординату
1/sin a (sin а = 2/V13) и соединив ее с нулевой ординатой под правой опорой,
получим правую ветвь л.в. N3.l2. Через ноль на левой опоре проводим левую
226
ветвь параллельно правой. Наконец, проведя в пределах перерезанной панели
3-4 передаточную прямую, получим искомую л.в. Яз„п (рис. 4.3.3, ж).
Л.в. Мк, л.в. Qk и л.в. Nk, изображенные на рис. 4.3.1, мож-
но также получить в произвольном масштабе, но значительно про-
ще - способом нулевых точек. Каждая из этих линий влияния, как
видно из рис. 4.3.1, г, е, з, состоит из трех прямых. Левая прямая,
простирающаяся от опоры А до вертикали, проведенной из точки
К, и правая прямая - от вертикали, проведенной из ключевого
шарнира С до опоры В, пересекают базисную прямую под опорами
А и В (нулевые точки). Для полного построения линий влияния
необходимо найти точку пересечения средней прямой или ее про-
должения с базисной прямой (еще одна нулевая точка).
Нахождение нулевых точек и построение линий влияния для
различных усилий трехшарнирной арки подробно изложено во всех
учебниках по строительной механике. Если нулевая точка располо-
жена вне отрезка КС, то она называется фиктивной нулевой точкой.
Покажем, как найти эти точки и с их помощью построить ли-
нии влияния, на примере трехшарнирной рамы.
Пример 4.14. Способом нулевых точек построить л.в. Мк, л.в.
л.в. NK для сечения К трехшарнирной рамы с затяжкой (рис. 4.3.4, о).
Как в трехшарнирных арках, так и в рамах с повышенной затяжкой
надо прежде всего задать новое фиктивное положение опорных точек А' и
В', находящихся на пересечении оси затяжки и вертикалей, проходящих
через точки Ан В.
Предположим, что груз F = 1 перемещается в пределах участка KDC.
Тогда, чтобы момент в шарнире С равнялся нулю, линия действия правой
опорной реакции R# (векторная сумма реакций VB и И) должна обяза-
тельно пройти через точку С. Слева от сечения К действует только левая
реакция RA (векторная сумма реакций VA и Я). Направление этой реак-
ции зависит от местоположения силы F = 1 на участке KDC. Затем на
основании теоремы о равновесии системы под действием трех сил (если
плоская система находится в равновесии под действием трех непараллель-
ных сил F = 1, Ra- и Rb-, то линии действия этих сил должны пересе-
каться в одной точке) находится нулевая точка искомой линии влияния.
Линия влияния Мк (рис. 4.3.4, a, б). Чтобы момент в сече-
нии К был равен нулю, линия действия левой реакции Ra- должна пройти
через точку К (в этом случае плечо силы RA- равно нулю). Соединив точки
А' и К прямой линией и продолжив ее до прямой В'С, получим в пересе-
чении точку Ои, проекция которой на базисную прямую будет нулевой
точкой, для л.в. Мк, поскольку при расположении силы F = 1 в точке Ом
ордината искомой линии влияния под этой точкой будет равна нулю. Для
построения л.в. Мк сначала переносим по вертикали нулевую точку Ои
на базисную прямую и откладываем в определенном масштабе на левой
227
опорной вертикали отрезок А^, равный расстоянию от левой опоры до
сечения К. Затем из точки через нулевую точку Оу проводим среднюю
линию до вертикалей, проведенных из точек К и С. Полученные точки
и С] соединяем с нулевыми точками Л} и Вь расположенными на опорных
вертикалях (рис. 4.3.4, б).
Рис. 4.3.4
Линия влияния Ох (рис. 4.3.4, а, в). Для нахождения нуле-
вой точки Oq нужно силу F = 1 расположить таким образом, чтобы попе-
речная сила в сечении К обратилась в нуль. Этого можно достичь, если
228
направление левой реакции RA- будет параллельно наклонному стержню
AD. Проведем из точки А' прямую, параллельную стержню AD, до пря-
мой В'С. Проекция полученной в пересечении точки О0 и будет иско-
мой нулевой точкой. Для построения л.в. Qg откладываем на левой опор-
ной вертикали отрезок АХА2, равный cosФл(cosф<= cos 45° = /2 / 2) и из
его конца через нулевую точку Oq проводим среднюю линию до вертика-
лей, проведенных из точек К и С. В пересечении получим точки и Ср
Точку Ci соединяем с нулевой точкой под опорой В, а из нулевой точки
под опорой А проводим линию А}К2 параллельно А2К\ до вертикали, про-
ходящей через точку К. Соединив точки и Kj, получим окончательную
л.в. Qg (рис. 4.3.4, в).
Линия в л и я н и я Ng (рис. 4.3.4, а, г). Для определения нуле-
вой точки O/f надо силу F = 1 установить в такое положение, чтобы про-
дольная сила в сечении К равнялась нулю. Это условие будет выполнено,
если левая реакция R# будет направлена перпендикулярно к стержню AD.
Проведем из точки Л'прямую, перпендикулярную к стрежню AD, до про-
должения с прямой В'С. В общем случае эти прямые должны пересекать-
ся в некоторой точке Оц, проекция которой на базисную прямую является
нулевой точкой для л.в. Ng. Однако в данном примере геометрические
размеры рамы таковы, что прямые В'С и А 'Е будут параллельны. Из этого
следует, что нулевая точка находится в бесконечности, а средняя прямая
л.в. Ng параллельна базисной прямой.	'
Построение л.в. Ng производится в следующем порядке. Откладываем
на левой опорной вертикали вниз sin фд- (8Шфх = sin 45° = /2/2). Через
точку Дг проводим горизонтально среднюю линию до вертикалей - точки
К2 и Q. Точку С] соединяем с нулевой точкой под опорой В, а из нулевой
точки под опорой А проводим линию параллельно А2К2 до вертикали,
проходящей через точку К. Соединив точки К\ и К2 вертикальной прямой,
получим искомую л.в. Ng (рис. 4.3.4, г).
Следует отметить, что все приведенные выше рассуждения при
построении линий влияния будут справедливыми при условии, что
нулевая точка, а следовательно, и сила F = 1 находятся в пределах
участка KDC. В противном случае для определения нулевой точки,
находящейся за пределами указанного участка, надо представить,
что в любой точке участка KDC присоединена жесткая консоль, к
которой и приложена сила F = 1. Полученные таким образом ну-
левые точки будем называть фиктивными. В данном примере фик-
тивной точкой является точка 0^.
Пример 4.15. Построить линии влияния усилий в стержнях 12-13 и
3-13 распорной фермы, изображенной на рис. 4.3.5, а, способом нулевых
точек.
Линия влияния усилия #12-13 (рис. 4.3.5, а, б). Проведем
сечение I -1 через три стержня. Моментная точка для стержня 12-13 сов:
229
падает с узлом 3. Пусть сила F- 1 перемещается на участке между узлом
3 и шарниром С. Чтобы момент в шарнире С был равен нулю, линия дей-
ствия полной опорной реакции RB должна быть направлена по прямой ВС.
Далее найдем такое положение силы F = I, при котором N\i-\3 ~ 0- Из
равновесия левой части фермы это условие может быть выполнено, если
линия действия полной опорной реакции RA проходит через моментную
точку 3.
Рис. 4.3.5
Искомое положение силы F = 1 найдем на пересечении прямых А-3 и
ВС в точке К, проекция которой на базисную прямую даст нулевую точку
К\ для л.в. Afo.B (рис. 4.3.5, б).
Для определения ординаты линии влияния на левой опоре воспользу-
емся правилами, изложенными на с. 209. Так как момент Лз-в по"
ложительной силы, приложенной к левой части фермы, направлен против
230
хода часовой стрелки, под левой опорой А откладываем вверх отрезок A\Aiв
®di/r12.i3=2rf/l,789<f= 1,118 и через нулевую К\ из точки Л2 проводим сред-
нюю прямую Д° вертикалей, проведенных из моментной точки 3 и шар-
нира С. Полученные точки / и Q соединяем с нулевыми точками А] и Д,
расположенными на опорных вертикалях. На левую прямую AJ переносим
узел 2 (точка е), а на среднюю прямую - узел 3 (точка/). Соединив точки ей/
передаточной прямой, получим окончательную л.в. У12.13 (рис. 4.3.5,б).
Линия влияния усилия Aj.u (рис. 4.3.5, а, в). Для л.в.
^з-13 сечение 1 -1 сохраняется. Перерезанной панелью, как и ранее, явля-
ется панель 2-3. Моментная точка для стержня 3-13 совпадает с узлом 6.
Допустим, что сила F = 1 перемещается от узла 3 до шарнира С.
Применяя те же рассуждения, что и при построении л.в. Ммз» найдем
фиктивную нулевую точку Ои находящуюся на вертикали под точкой О,
полученной в пересечении прямых А-6 и ВС.
Чтобы выполнить допущение о принадлежности силы F = 1 участку
3-С, искусственно удлиним этот участок, прикрепив жесткую консоль, и
приложим силу F = 1 на этой консоли над точкой О (рис. 4.3.5, а). По-
скольку момент ^в-Гз-в положительной силы, приложенной к левой
части фермы, направлен по ходу часовой стрелки, под левой опорой А
откладываем вниз отрицательную ординату, равную Л1Л2 =	6d/^d =
= 1,5. Из точки Ai через нулевую точку (?i проводим среднюю прямую
A2Olt справедливую от узла 3 до шарнира С. На продолжение этой пря-
мой переносим моментную точку (узел 6), и полученную точку g соединя-
ем с нулевой точкой А\ под опорой А (левая прямая). Как и в первой ли-
нии влияния, левая и средняя прямые пересекаются под моментными
точками, соответственно / и g. На среднюю же прямую переносим шар-
нир С (точка Q) и соединяем с нулевой точкой под опорой В (правая
прямая Cj^i). Наконец, на левую и среднюю прямые переносим границы
перерезанной панели 2-3 грузового пояса й, соединив точки е и/переда-
точной прямой, получим окончательную линию влияния искомого усилия
Уз.ц. (рис. 4.3.5, в).
Пример 4.16. Построить кинематическим методом линию влияния
изгибающего момента в сечении К трехшарнирной рамы с затяжкой (рис.
4.3.6, а). Перемещение груза F = 1 обозначено пунктиром.
Для устранения связи, препятствующей перемещению по направле-
нию Mjf, врезаем в сечение АГ шарнир. Л.в. Мк построим как график пе-
ремещений дисков полученного механизма. Цифрами в кружках обозна-
чим номера дисков, землю - номером 0. Положение мгновенных центров
взаимного вращения (1,0), (1,2), (2,4), (2,3), (3,5), (4,5), (5,0), (5,6), (6,7) и
(7,0) очевидно, так как они совпадают с шарнирами, соединяющими дис-
ки между собой (рис. 4.3.6, б). Далее по теореме о трех мгновенных цен-
трах найдем мгновенные центры вращения дисков относительно поверх-
ности земли (2,0), (3,0) и (6,0), которые будут соответствовать нулевым
точкам на линии влияния. Для их нахождения нужно сначала найти по-
231
ложение взаимного мгновенного центра вращения (2,5) на пересечении
прямых (2,4) - (4,5) и (2,3) - (3,5), что символически может быть записано
так: (2,5) = (2,4) (4,5) + (2,3) (3,5). Аналогично этому (2,0) = (1,2) (1,0) +
+(2,5) (5,0); (3,0) = (2,3) (2,0)+(3,5) (5,0); (6,0) = (5,6) (5,0) + (6,7) (7,0).
Найдя положение этих центров, переносим их на базисную прямую. Затем
через нулевую точку (3,0) проводим среднюю прямую л.в. Мк так, чтобы
она отсекала на левой опорной вертикали в каком-то масштабе отрезок а,
равный расстоянию от левой опоры до сечения К.
Рис. 4.3.6
232
Потом на среднюю прямую переносим центры вращения (2,3), (3,5)
(точки перелома линии влияния) и проводим левую и правую прямые.
Прямая, проходящая через точки (6,0) и (5,6), определяет линию влияния
при перемещении груза F= 1 по второстепенной раме ED.
Окончательная л.в. Л/д- представлена на рис. 4.3.6, в.
Пример 4.17. Построить кинематическим методом линию влияния
усилия в стержне 2-3 распорной фермы, рассмотренной в примере 4.15
(рис. 4.3.7, а).
а)	(2,3) (2,0) (1,2)
Рис. 4.3.7
При построении линии влияния усилия в каком-либо стержне фермы
этот стержень удаляется, и ферма превращается в механизм. В данном
случае, удалив стержень 2-3, получим механизм, состоящий из трех дис-
ков, обозначенных цифрами в кружках; землю считаем нулевым диском.
Положение мгновенных центров вращения (1,0), (1,2), (2,3) и (3,0)
очевидно, поскольку они совпадают с шарнирами, соединяющими диски
между собой (см. рис. 4.3.7, а). Мгновенный центр вращения диска 2 от-
носительно земли на основании теоремы о трех мгновенных центрах нахо-
дится на пересечении прямых (1,0) - (1,2) и (3,0) - (2,3), что символически
может быть записано следующим образом: (2,0) = (1,0) (1,2) + (3,0) (2,3).
После этого переносим на базисную прямую мгновенные центры враще-
ния (1,0), (2,0), (3,0). Диск 1 под действием приложенной к нему положи-
тельной искомой силы повернется по ходу часовой стрелки относительно
мгновенного центра вращения (1,0) на некоторый произвольный угол.
Тогда линия перемещения диска 2 повернется против хода часовой стрел-
ки относительно мгновенного центра (2,0) и пересечет линию переме-
233
щения диска 1 в точке под мгновенным центром взаимного вращения
(1,2) - точка перелома. Линия перемещения диска 3 пройдет через мгно-
венный центр (3,0) и пересечет линию перемещения диска 2 под шарни-
ром С- мгновенным центром взаимного вращения (2,3) (еще одна точка
перелома линии влияния). Для установления масштаба надо над одной из
характерных точек линии влияния поместить силу F = 1 и определить уси-
лие в искомом стержне - оно и будет ординатой линии влияния. В дан-
ном примере определим ординату на левой опоре по формуле, приведен-
ной на с. 209. Остальные ординаты находятся из подобия треугольников.
Окончательная л.в. #2.3 изображена на рис. 4.3.7, б.
Пример 4.18. Построить линии влияния изгибающего момента в се-
чении К и продольных усилий в отмеченных стержнях комбинированной
системы, изображенной на рис. 4.3.8, а.
е)
Рис. 4.3.8
sin а=0,8
cos а=0,6
234
Линия влияния продольного усилия в стержне 3-4, одновременно яв-
ляющаяся линией влияния распора Н, определяется первой формулой
(4.3): л.в. Я3.4 = л.в. Я = л.в. //= 1/(4/) = 16/(4-4) =1. Л.в. Н пред-
ставлена на рис. 4.3.8, б.
Для построения л.в. NA^ воспользуемся способом вырезания узлов. Вы-
режем узел 4 замкнутым сечением и составим уравнения проекций сил на го-
ризонтальную и вертикальную оси (рис. 4.3.8, е):
£У= NA.a, sin а + A^sin а = 0, откуда = - NA-4,
SV = -NA- 4 cos а + N{. 4 cos а + H = 0.
Подставив во, второе уравнение	получим NA.t =
=#/(2cosa)= Я/(20,6) = Я/1,2. Из полученного уравнения видно, что
л.в. Na. 4 изменяется по закону л.в. Я, но ее ординаты должны быть разде-
лены на коэффициент 1,2 (рис. 4.3.8, в).
Для построения л.в. Мк проведем сечение I -1 и запишем выражение
для момента Мк при произвольном положении груза F = 1 правее сече-
ния К.
Мк ~ Клак- Na.4 /д-4 ~ М% - NA-a a* sin а =
= М°к - Hi?*- sin а/(2 cos а) -Мйк - 2Я.
Можно показать, что полученная формула будет справедлива и при по-
ложении груза F- 1 левее сечения К.
На рис. 4.3.8, г в одну сторону отложены л.в. А/® с ординатой под се-
чением К, равной Af£ = ab/l = 3 43/16 = 2,4375 и л.в. 2Я. Заштрихован-
ная фигура, заключенная между этими линиями влияния, является иско-
мой л.в. Мц. На рис. 4.3.8, д она показана в спрямленном виде.
235
Задачи 4.3.01...4.3.14. Построить линии влияния усилий в отмеченных
сечениях арок, рам и стержнях ферм аналитическим способом. Движение
груза F=1 обозначено пунктиром.
* .ала,
4.3.05
n.B.QN-?; л.в.Мн-?; л.в.Мк-?
, 4м , 4м , 8м . 4м ,
к—>к—Ж———ж—>1
л.в.Мк-?;л.в.Ык-?; n.B.NN~?
, Зм , Зм , Зм 12м 4м ,2м,
К—ж—ж -ж-ж--------ЖЖ
4.3.07
л.в.Ок-?; л.в.Ын-?; л.в.Ув-?
I 2м । 2м । 4м I 2м । 4м >
И-Ж—Ж---Ж—ж—--->1
4.3.08
. 6м , 6м । 6м । Зм .
к--ж-—" -ж- • ж—>1
236
4.3.09
fl.B.QN-?; л.в.Мн-?; л.в.1Чк-?
4.3.10
л.в.Мк-?; л.в.Мн-?; л.в.Н3~?
, Зм । Зм , Зм 12м । 2м, 4м . Зм . 4м ,
к—ж--ж—-ж--ж-ж—ж—ж—>1
Зм . Зм 6м , 6м ।
...х  Ж........—Ж----------
Задачи 4.3.15 - 4.3.20. Построить линии влияния усилий в отмечен-
ных сечениях способом нулевых точек. Движение груза F=1 обозначено
пунктиром.
237
4.3.17
л.в.Мк-?;
л-b.Qn-?;
n.B.MN-?
4.3.18
। 4м Зм . Зм । Зм । 5м , 5м , Зм , 4м , 6м ,
к—ж-»к--ж-Ж-'"ж --з^Ж--ж—-*1
। 4м । 4м [ 4м । 4м । 4м г
4.3.19
4.3.20
Задачи 4.3.21...4.3.28. Построить линии влияния усилий в отмечен-
ных сечениях и стержнях кинематическим способом. Движение груза F=1
обозначено пунктиром.
4.3.21
4.3.22
। 5м . Зм , 4м . Зм , Зм , 5м , Зм , Зм ,
к—-ж—ж......-ж--ж--ж-..жж--Я
л.в.Ок-?; л.в.Мк-?
. 4м . 2м, 2м, 2м , 4м ,2м.
к— Ж->|
238
Задачи 4.3.29...4.3.32. Построить линии влияния усилий в отмеченных
сечениях и стержнях комбинированных систем любым способом. Движение
груза F=1 обозначено пунктиром.
। бы .Зм.Зм 6м , 6м ।	. 2м , 2м . 2м . 2м 2м , 2м . 4м
к- —х- —|< х>к ж-—ж—»i<—ж--——>
239
§ 4.4. Определение усилий по линиям влияния. Нахождение
расчетного положения подвижной нагрузки и расчетного усилия
Определение усилий при помощи линий влияния производится
путем загружения их линий влияния заданной нагрузкой.
Ордината линии влияния показывает, чему равно усилие при
действии в этой точке силы F = 1. Если же сила будет равна дру-
гому значению, то для получения усилия следует ординату линии
влияния умножить на величину этой силы.
При действии на сооружение системы сосредоточенных сил и
моментов, а также равномерно распределенных нагрузок на не-
скольких участках загружение линии влияния усилия S произво-
дится по формуле
S = f F.yi + tQ^j + tmktgak,	(4.6)
1-1	j-1	к-1
где Ft - сосредоточенная сила, действующая на сооружение; qj- ин-
тенсивность распределенной нагрузки; тк -сосредоточенный мо-
мент; у/-ордината линии влияния усилия S под сосредоточенной
силой Ft; (£>j- площадь части линии влияния S, которая находится
под участком действия равномерно распределенной нагрузки ин-
тенсивности qj ; tgа*-тангенс угла наклона той части линии
влияния к базовой прямой, где приложен момент тк.
Нагрузка (/}, qj), направленная сверху вниз, считается положи-
тельной, а снизу вверх - отрицательной. Момент тк считается по-
ложительным, если он направлен по ходу часовой стрелки. Знаки
для yt и со/ принимаются согласно знакам, поставленным на самой
линии влияния 5. Для определения знака у третьего’слагаемого
формулы (4.6) можно предложить следующее мнемоническое пра-
вило: если направление поворота оси балки (стержня) к линии
влияния на участке действия сосредоточенного момента совпадает
с направлением момента, то получаем знак “минус”, если не
совпадает - знак “плюс”.
Остановимся более подробно на одной особенности загружения
линий влияния, имеющих разрывы непрерывности первого рода.
Как известно из курса сопротивления материалов, эпюры по-
перечных сил и изгибающих моментов в тех сечениях, где прило-
жены сосредоточенная сила и изгибающий момент, имеют разрывы
первого рода (рис. 4.4.1, а, б).
240
Рис. 4.4.1
Поперечная сила в сечении К и изгибающий момент в сечении N
не определены. Поэтому задавать вопрос типа: чему равна поперечная
сила в сечении К, нельзя, он некорректен, более того, он не имеет
смысла. Можно говорить о поперечной силе и интересоваться ее ве-
личиной либо бесконечно близко слева от сечения К, либо бесконеч-
но близко справа от сечения Согласно рис. 4.4.1, о Q^u=Fb/l,^
Q™ = -Fa/1. To же самое относится и к изгибающему моменту (см.
рис. 4.4.1, б): М*ЕВ = -тс/1; М™ = md/l.
Рис. 4.4.2
16-1224
241
ло к л.в. QK (рис. 4.4.2, г).
Эта особенность эпюр Q и М переносится и на линии влия-
ния при загружении их сосредоточенной силой в точке разрыва.
Если в точке приложения силы F линия влияния имеет разрыв,
то искомая величина усилия при загружении линии влияния зави-
сит от того, с какой стороны бесконечно близко от сечения нас
интересует усилие. Обычно вычисляют два значения усилия - слева
и справа от сечения. Правило, которое надо запомнить, здесь та-
ково: если ищется усилие бесконечно близко слева от сечения, то
силу F нужно умножить на ординату уПР, расположенную бесконеч-
но близко справа от сечения, и наоборот. Это правило можно на-
глядно проиллюстрировать графически. Для балки, изображенной
на рис. 4.4.2, а, построены три линии влияния поперечной силы;
О/", QF и QK.
Из сопоставления рис. 4.4.2, а, рис. 4.4.2, б и физического
смысла первого члена формулы (4.6) следует, что QlE‘ =Fynr =
=Fb/l, а из сопоставления рис. 4.4.2, а, рис. 4.4.2, в - Q"p =РуЛЕВ =
- -РаЦ. Полученные значения QgEB и Q"p, как и следовало ожи-
дать, совпадают с ранее вычисленными (см. рис. 4.4.1, а). Л.в. QgEBu
л.в. Qg' обычно не строят, а применяют приведенное выше прави-
Иначе обстоит дело при загруже-
нии этих же линий влияния в точке
их разрыва сосредоточенным момен-
том (рис. 4.4.3, а...г). Как показывает
анализ этого рисунка, значение уси-
лия в самом сечении А" будет единст-
венным и вполне определенным, т.е.
Qn£B = Q™ =Qn = т tg а = -т/1.
Следовательно, разрывность ли-
ний влияния не сказывается на оп-
ределении искомых усилий при за-
гружении их сосредоточенным мо-
ментом.
Однако, если над точкой перело-
ма линии влияния какого-либо уси-
лия (например, изгибающего момен-
та) приложен сосредоточенный мо-
мент т, то усилие в самой этой точ-
ке найти нельзя (оно не определено).
Рис. 4.4.4
242
Речь снова может идти только о сечениях, бесконечно близких сле-
ва или справа от этой точки, и усилия в них находятся по тому же
правилу, что и при действии сосредоточенной силы F в месте раз-
рыва линии влияния. Из приведенного примера на рис. 4.4.4, а...г
следует:
МЛЕ* = mtg а „ = -таЦ-, М™ = т^аЛЕВ = mb/l.
В случае действия подвижной нагрузки определение усилий 5
производится в два этапа: 1) определяют невыгодное положение за-
данной подвижной нагрузки, при котором в элементах конструкции
возникнут максимальные значения усилий (деформаций). Такое поло-
жение подвижной нагрузки называется расчетным или невыгоднейшим
загружением линии влияния, а наибольшие значения усилий (дефор-
маций) - расчетными значениями1, 2) зафиксировав нагрузку в этом по-
ложении, вычисляют расчетные значения усилий 51 (деформаций) по
формуле (4.6).
Невыгоднейшее загружены линии влияния
1. Рассмотрим движение системы сосредоточенных сил, свя-
занных между собой заданными расстояниями, по некоторой ли-
нии влияния треугольного очертания одного знака (рис. 4.4.5).
Напомним, что перемещающаяся
система указанных грузов может занять
невыгоднейшее положение только тогда,
когда один из грузов будет стоять над
вершиной треугольной линии влияния.
Тот груз, при расположении которого над
вершиной линии влияния искомое уси-
лие достигает максимального значения,
называется критическим грузом и обозна-
чается FKP. В этом случае должны вы-
LFjieb	^ПР
Рис. 4.4.5
полниться одновременно следующие два
неравенства:
L Г ЛЕВ +^КР > L^nP .
а b ’
L F/ieb е F*p + L &пр
. а	Ь
(4.7)
где ЕРЛЁ1 -сумма всех сил, расположенных левее критической си-
лы; LFuf- сумма всех сил, расположенных правее критической
силы; а, b - проекции левой и правой ветвей линии влияния на
базисную прямую.
243
Так как заранее неизвестно, какой из грузов является критиче-
ским, его находят после нескольких попыток методом исключения.
Сначала принимают какой-то груз в качестве критического и про-
веряют неравенства (4.7). Если условия (4.7) не выполняются, то
принимают другой груз в качестве критического, и так до тех пор,
пока не будет определен действительно критический груз.
Найденное в итоге невыгоднейшее положение системы сосре-
доточенных сил будет справедливым, если все рассматриваемые
силы располагаются в пределах линии влияния, в противном случае
расчет придется произвести снова, учитывая лишь те силы, кото-
рые размещаются на заданной линии влияния.
Условия (4.7) выражают собой необходимый и достаточный при-
знак критического груза. Следует также отметить, что этим условиям
может удовлетворять не один критический груз, а два. Если при про-
верке неравенств (4.7) окажется, что одно из них обращается в равен-
ство, то это означает, что имеется еще один критический груз. Этим
грузом может быть только один из смежных (соседних) грузов по от-
ношению к найденному критическому (см. пример 4.23). Второй кри-
тический груз определяется непосредственной поочередной подста-
новкой в неравенства (4.7) указанных смежных грузов.
Система сосредоточенных сил, находящаяся в невыгоднейшем
положении, может быть заменена так называемой эквивалентной
нагрузкой. Эквивалентной нагрузкой для данной линии влияния
называется такая равномерно распределенная по всей длине на-
грузка, которая вызывает то же расчетное усилие Smax, что и заме-
няемая ею нагрузка:
$тах~ Яэкв®, Откуда Цзкв = Smax/®,	(4.8)
где со - площадь всей линии влияния.
При расчетном положении сосредоточенных сил
п	л
Smax =t,Fiyi •
/=1
Отсюда	(4.9)
Вместо нескольких попыток решения неравенств (4.7) ниже, в
одном из примеров, будет рассмотрено весьма простое графическое
решение этой же задачи.
2. Пусть по треугольной линии влияния перемещается непре-
рывная равномерно распределенная нагрузка, длина которой
меньше длины линии влияния. В этом случае ее расчетное (невы-
годнейшее) положение наступит тогда, когда ординаты линии
влияния в начале нагрузки -ула и в конце ee-jOT будут равны
244
(рис. 4.4.6). Расчетное усилие здесь оп-
ределяется формулой Smax = qa, где ю -
площадь части линии влияния, находя-
щейся под нагрузкой.
Отметим, что это правило равенства
ординат остается справедливым и для ли-
нии влияния любого очертания.
Рис. 4.4.6
3. Рассмотрим движение равномерно распределенной нагрузки
постоянной интенсивности, которая может иметь любые разрывы
(нагрузка от толпы). Очевидно, что для получения наибольшего
положительного значения усилия Smax надо загрузить нагрузкой q
одновременно все положительные участки линии влияния, а для
получения наибольшего отрицательного значения Smin - все отрица-
тельные участки.
Для балки, изображенной на рис. 4.4.7, а, построена линия
влияния поперечной силы в сечении К, а на рис. 4.4.7, б, в пока-
заны схемы ее загружения для определения QK> тах и Qk, т/п:
Qk, тах= Я (®1 + ©2 + ®3); Qk, min = Я (®4 + ®5 + ®6 + а>7).
Площади участков л.в. QK СО4..СО7 берутся со знаком "минус".
245
Пример 4.19. Определить усилия в отмеченных сечениях с помощью
линий влияния (рис. 4.4.8, а).
Рис. 4.4.8
Построенные по известным правилам искомые линии влияния, представ-
ленные на рис. 4.4. 8, б...г, загружаем по формуле (4.6) заданной нагрузкой.
= -16 — + 8 • (-1,5) + 3 • (-1 • 4 • 3 +1 • 2  1,5) -12  (-0,5) = -31,5 (кНм).
Z	it	i 
M"f = 16	+ 8 • (-1,5) + 3 • (-1 • 4 • 3 +1 • 2 1,5) -12 • (-0,5) = -15,5 (кНм).
6	2	2
=81 + 3.(|.4U-|-20,5)-12-| = 10,5(кН).
2	2	о
6" -8 0 + 3 (|-4 1-|.2 0,5)-12 | = 2,5(кН).
2	2	6
Л/с=3  (---2 • 2) - 12 • - = -14 (кНм).
2	3
Пример 4.20. Найти усилия в отмеченных стержнях с помощью линий
влияния (рис. 4.4.9, а).
Так как нагрузка приложена к нижнему поясу фермы, искомые линии
влияния усилий строим при движении груза F = 1 также по нижнему поя-
су (рис. 4.4.9, б, в).
246
Усилие N6.7 (рис. 4.4.9, а, б):
iVg.7 = 12-0,9375 + 14-1,125 + 16-0,5625 = 36 (кН).
Усилие Ar2-6 (рис. 4.4.9, а, в):
N2.6 = 12-(-0,3125) + 14-0,625 + 16-0,3125 = 10 (кН).
Если же нагрузка будет приложена одновременно к верхнему и ниж-
нему поясам фермы, то строятся две линии влияния- одна при движении
груза F = 1 по верхнему поясу, другая - по нижнему поясу. Первая линия
влияния загружается верхней нагрузкой, вторая - нижней. Искомое усилие
определяется как сумма этих двух загружений.
Пример 4.21. Указать невыгоднейшее расположение равномерно рас-
пределенной нагрузки интенсивности q = 4 кН/м, имеющей любые разры-
вы, так, чтобы усилия в отмеченном сечении балки принимали экстре-
мальные значения (рис. 4.4.10, а). Вычислить эти значения.
Искомая линия влияния изгибающего момента в сечении К изобра-
жена на рис. 4.4.10, б.
Согласно теории загружения линий влияния подобной нагрузкой ус-
ловия задачи будут выполнены, если для нахождения Мц тах загрузим на-
грузкой q = 4 кН/м одновременно все положительные участки л.в. Мк, а
для нахождения т,п - все отрицательные участки. Верхняя нагрузка,
показанная на рис. 4.4.10, б, относится к первому случаю загружения л.в.
Мк, нижняя-ко второму случаю. Расчетные значения изгибающего мо-
мента в сечении К вычислим по формуле (4.6).
247
^,иах = Е$у<оу =4(|-7.2 + |-30,6)»31,6 (кН-м).
/«1	2	2
Мк, mln = Д<7У®У = 4 • (-1 • 10 • 4 -1 • 7 • 1) = -94 (кН-м).
а)
<?
1^-
4м
«•МК,тах-
_____6м_____
Схема загруйсения <1ля получения Мк^ах
^4кН/м ';
Зм
—-----Зм
4=4кН/м
т
^^тйГ’
L 4м J. 2м
Y.YXV V V.Y.^V.Y.V
i Схема загружения дря получения Мк^п
^=4кН/м

<7=4кН/м
\'у у у^у 4'у У У У У У
Рис. 4.4.10
Пример 4.22. Найти расчетное значение усилия в стержне c-d при
движении по ферме системы связанных между собой сосредоточенных сил
(рис. 4.4.11, а). Определить эквивалентную нагрузку.
Линия влияния усилия Nc.d показана на рис. 4.4.11, б. Для определе-
ния расчетного значения усилия в стержне c-d надо предварительно най-
ти невыгоднейшее положение заданной системы сосредоточенных сил.
Примем в качестве критической силу F3 =FKr =20 кН. В этом случае
Z/>»= Fi +F2= ЗбкН; ЕГя,= Г4+F5+F6=28kH; а =12 м; 6=18м.
Подставив эти данные в неравенства (4.7), получим:
или 4,67.1,55;
12	18
Второе неравенство не выполняется, следовательно, принятая сила Г3
не является критической.
В следующей попытке в качестве критической примем силу Г2 = Гда=
=16 кН. Тогда = Fi = 20 кН; = F3 + Fi + F5 + F6 = 48 кН.
248
а) Л=20кН Л=16кН /'j=20kH F4=12kH F5^8kH />8кН
ь Х^,2м1 4м X 6м Ч 4м 12м/
Эти данные подставим в неравенства (4.7):
ИЛИ 3.2,67;
12	18
^-5 16+48,	167й355
Так как оба неравенства удовлетворяются, то сила Fj, действительно, явля-
ется критической, т.е. F„ = F} = 16 кН. Невыгоднейшее положение на-
грузки показано на рис. 4.4.11, б над л.в. Nc.a-
кт — тп 1 16’6	20’14	12’8	8’4	8-2	сплап
Nc-d,max= 201 + —— + —— + —- + — + — = 67,467 (кН).
J	IJ	и и	и
дэкв =	= 3,75 (кН/м),
го 18
1 2
где со = 30  — = 18 - площадь всей л.в. Nc.h.
2
Пример 4.23. Найти расчетное значение опорной реакции в точке В
при движении по балке системы связанных между собой сосредоточенных
сил (рис. 4.4.12, о). Определить эквивалентную нагрузку.
249
Для нахождения расчетного положения системы сосредоточенных сил
вместо аналитического способа, связанного с удовлетворением неравенств
(4.7), применим графический способ, который сразу, без попыток, дает
весьма простое решение задачи.
Выбрав масштаб сил, отложим из левого конца базисной прямой
(точка D) заданные силы Fb Рг...Р5 в том же порядке, в каком они встре-
чаются, если идти слева направо (рис. 4.4.12, а, б). Соединим точки Е и F
и из точки G проведем прямую GK параллельно прямой ЕЕ Точка К ука-
жет на критический груз. В данном примере точка К совпадает с границей
двух сил - Fi и F3. Это значит, что обе силы являются критическими. Бо-
лее того, невыгоднейшее расположение заданной системы сосредоточен-
ных сил будет и тогда, когда вершина л.в. RB находится между силами F2 и
F3, т.е. с момента, когда на вершину л.в. RB вступает сила F3, и до момен-
та, когда это положение займет смежная сила F2; влияние движущейся
слева направо системы сил остается постоянным и расчетным. Одно из
расчетных положений системы сил показано на рис. 4.4.12, 6, над л.в. RB-
Отметим, что во всех расчетных положениях системы сил ни одна из них
не выйдет за пределы л.в. RB.
250
Определим максимальное значение опорной реакции в точке В и под-
берем эквивалентную нагрузку.
_	24 1 12 5	. 26 2 18-7
^В,max ~	+	+ 10'1+	+	- 41,333 (кН),
1Z 1Z	j 1о
^В,тах 41,333
Яжв = —:-------гт- = 5,51 (кН/м),
СО	Л5
где со = 15— = 7,5 - площадь всей л.в. RB.
Пример 4.24, Найти наибольшее значение распора при движении по
трехшарнирной раме равномерно
распределенной нагрузки интенсив-
ности д=3 кН/м и протяженностью
а = 8 м (рис. 4.4.13, а).
Линия влияния распора Н изо-
бражена на рис. 4.4.13, б.
Пусть расчетное положение
нагрузки находится на расстоянии
х от левого конца рамы. Из рис.
4.4.13, б следует:
tg a -FL/DL = 0,692/9 = 0,0769;
tg р =FL/LE = 0,692/4 = 0,173;
MN=DNl%a. = X- 0,0769;
GAT = AEtgp = (5-х) 0,173 =
= 0,865 - 0,173x.
Невыгоднейшее расположе-
ние нагрузки при ее движении
наступит тогда, когда MN=GK,
т.е. 0.0769Х = 0,865 - 0,173х, откуда Х = 3,461 (м). Тогда MN = GK =
= 0,266 (м), FS =FL - SL = 0,692 - 0,266 = 0,426 (м) и Нтах = д(й =
= q(MG FS/2+NK MN) = 3 (8 • 0,426/2 + 8 • 0,266) = 11,5 (кН).
251
Задачи 4.4.01...4.4.12. Определить усилия в отмеченных сечениях и
стержнях заданных систем с помощью линий влияния.
4.4.01
Ra-?; Мк-?; Qn~?
, 4м , 4м , 4м , 4м . 4м , 4м ,
к—Ж -X—>|< >< >|< ->|
4.4.02
д=2кН/м f=3Kh I т=2кН м
..
М.-?; Ол“-?; Rc-?
Зм , Зм , Зм , Зм Зм Зм . 6м . Зм .
т=ЗкН-м
4.4.03
F-8kH
‘ к д=ЗкН/м
ТГ...]....Т.Г
) ( У-О-У V MfcvV jfr
К
QkQb-?; mn-?
4.4.04
, Зм , 2м . 2м , 4м 2м , ,1м
к-...х:.х - ж-....->к'-4-к.
МА-?; Mr -?; QK-?
,3м, 6м . Зм . Зм , 6м ,3м, 6м ,3м,
к-ж—ж-ж-ж-—ж-ж—ж-И
4.4.05
4.4.06
МкР-?; Qn“-?; Qnp-?	Ra-?; Rd-?; Qd-?
, 6м , Зм , Зм , Зм . Зм , 6м . Зм , 6м ,	, $м , Зм, 6м , 4м , 6м , 6м ,
к-—ж-5к--ж-^«-->к—-*к->к—>1	к-->к->к—Я<—>1
252
4.4.09
Зм ,3м Зм , Зм , Зм , Зм Зм , Зм
<—Ж'.....>к—Ж~ Ж Ж- ж-ж—-
4.4.10
4.4.11
5м , 5м , 5м 2,5.2,5
...X-----Ж-----х х>
4.4.12
Задачи 4.4.13 и 4.4.14. Показать наиболее невыгодное расположе-
ние равномерно распределенной нагрузки д=2кН/м, при котором усилия в
отмеченных сечениях балок принимают экстремальные значения. Вычис-
лить их.
О”В
(	^С.пип •
А^
MKimax-?; MKmin-?; Q™x-?
. Зм , 6м ,3м 4,5м, 4,5м, 6м , Зм , Зм ,
1<“М-..-Ж-Ж....->к--Ж...ж-х->
4.4.14
]	Мк.тш-?
^А,тах-?> ^А,т1п“?> ^К.тах-^
4М |Зм,Зм, 4М | 6м j ,4м |' 6м ,4м,
К'	“^рГ......
Задачи 4.4.1S и 4.4.16. Найти наибольшие усилия в отмеченных
сечениях от подвижной нагрузки и определить эквивалентную равномерно
распределенную нагрузку.
4.4.16
RB-?
X
Ч=2кН/м
A£U/rbr,zX
. Зм , 6м Зм , 6м . Зм 9м .
|<—ж Ж Ж Ж—ж->
253
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ К ГЛАВЕ 4
1.	Какая нагрузка называется подвижной? Приведите примеры.
2.	Какая задача ставится при расчете на подвижную нагрузку?
3.	Что называется линией влияния (л.в.)?
4.	Что на графике линии влияния является независимой перемен-
ной, а что функцией?
5.	Что называется базисной прямой?
6.	Что представляет собой ордината линии влияния?
7.	В чем отличие линии влияния от эпюры?
8.	Как определяется размерность ординат линий влияния? Приведи-
те примеры.
9.	Какие методы применяются для построения линий влияния?
10.	В чем заключается сущность статического метода построения ли-
ний влияния?
11.	На чем базируется основная идея кинематического метода по-
строения линий влияния? Приведите примеры.
12.	В чем заключается сущность метода замены связей (стержней) при
построении линий влияния?
13.	Что такое левая и правая ветви (прямые) линий влияния?
14.	Какой вид имеют линии влияния опорных реакций в шарнирно
опертой балке?
15.	Какой вид имеют табличные линии влияния М и Q в сечении
консольной балки?
16.	Приведите (с ординатами) балочные линии влияния М и Q для
какого-нибудь сечения между опорами.
17.	Назовите правила (последовательность), по которым строят линии
влияния усилий в многопролетных шарнирно - консольных балках
(способ нулевых точек).
18.	Что такое узловой способ передачи нагрузки?
19.	В чем заключаются особенности построения линий влияния при
узловой передаче нагрузки?
20.	Что называют грузовым поясом фермы?
21.	Отличаются ли линии влияния опорных реакций балочной фермы
от линий влияния опорных реакций балки?
22.	Какие два положения груза Г=1 рассматривают при построении ли-
ний влияния способом моментной точки или способом проекций?
23.	Какие два положения груза F =1 рассматривают при построении
линий влияния способом вырезания узлов?
24.	Как определяют положение передаточной (переходной, соедини-
тельной) прямой?
25.	Если для искомого усилия в стержне фермы имеется моментная
точка, то что можно сказать о поведении левой и правой ветвей
линии влияния?
26.	Если для искомого усилия в стержне фермы имеется моментная
точка, то как должны быть направлены левая и правая ветви ли-
нии влияния?
254
27.	Как можно строить линии влияния усилий в балочных фермах без
записи и решения уравнений?
28.	Сколько категорий стержней выделяют в шпренгельной ферме с
одноярусными шпренгелями? Как строят линии влияния усилий
для каждой категории стержней?
29.	Какую категорию стержней дополнительно выделяют в шпрен-
гельной ферме при построении линий влияния усилий в стержнях
фермы с двухъярусными шпренгелями и как строят для них ли-
нии влияния?
30.	Отличаются ли линии влияния вертикальных составляющих опор-
ных реакций в трехшарнирной арке и арочной ферме от балочных
реакций?
31.	Как построить линии влияния усилий в сечении трехшарнирной
арки (рамы) способом наложения?
32.	Сколько линейных участков содержат линии влияния внутренних
усилий в сечении трехшарнирной арки?
33.	Что называют нулевыми точками в трехшарнирных арках, рамах и
как их найти?
34.	Как найти положение нулевых точек в арочной ферме?
35.	Как строят линии влияния усилий в сечении трехшарнирной арки
(рамы) способом нулевых точек?
36.	Как построить линии влияния усилий в стержнях распорной фер-
мы способом нулевых точек?
37.	Приведите пример построения линии влияния какого-нибудь
усилия в сечении трехшарнирной рамы способом нулевых точек.
38.	Приведите пример построения линии влияния усилия в ка-
ком-нибудь стержне распорной фермы кинематическим методом.
39.	Как вычисляют усилия от различных неподвижных нагрузок с по-
мощью загружения линий влияния?
40.	Как устанавливаются знаки при вычислении усилий с помощью
загружения линий влияния?
41.	В чем состоит особенность загружения линий влияния усилий М и
Q в сечении, где приложены внешний сосредоточенный момент т
или внешняя сосредоточенная сила F ?
42.	Что понимают под критической силой при загружении линии
влияния какого-либо усилия системой сосредоточенных сил?
43.	Как найти аналитическим способом критическую силу при загру-
жении линии влияния треугольного вида системой сосредоточен-
ных сил?
44.	Как решить предыдущую задачу графическим способом?
45.	Что такое эквивалентная нагрузка и как ее определить?
46.	Как найти невыгоднейшее (расчетное) положение равномерно
распределенной нагрузки, длина которой меньше длины линии
влияния треугольного вида?
47.	Как найти экстремальные значения усилий при загружении поли-
гональной линии влияния равномерно распределенной нагрузкой,
которая может иметь любые разрывы? Приведите примеры.
255
ОТВЕТЫ
§1.1
1.1.01. W = 1. Система имеет одну степень свободы (механизм).
1.1.02. W = 0. Неизменяема. 1.1.03. W = -3. Мгновенно изменяема.
1.1.04. W = 0. Неизменяема. 1.1.05. V = 0, Неизменяема. 1.1.06. W = 0.
Неизменяема. 1.1.07. W = 0. Неизменяема. 1.1.08. W = 0. Неизменяема.
1.1.09. W = 0. Неизменяема. 1.1.10. W = 0. Мгновенно изменяема.
1.1.11. W = 0. Неизменяема. 1.1.12. W = -1. Неизменяема. 1.1.13. W = 0.
Мгновенно изменяема. 1.1.14. W = 0. Мгновенно изменяема.
1.1.15. V = 0. Неизменяема. 1.1.16. W = 0. Неизменяема. 1.1.17. W = 0.
Неизменяема. 1.1.18. W = 0. Мгновенно изменяема. 1.1.19. W = -1. Не-
изменяема. 1.1.20. W = -3. Неизменяема. 1.1.21. W = 0. Неизменяема.
1.1.22. W = 0. Неизменяема. 1.1.23. W = -l. Правый четырехугольник
является подвижным. 1.1.24. W=0. Неизменяема. 1.1.25. W=0. Мгно-
венно изменяема. 1.1.26. W = 0. Мгновенно изменяема. 1.1.27. W =0.
Неизменяема. 1.1.28. W = 0. Неизменяема. 1.1.29. W = 0. Неизменяема.
1.1.30. W = 0. Неизменяема. 1.1.31. W = 0. Неизменяема. 1.1.32. W = 0.
Неизменяема. 1.1.33. W = 0. Мгновенно изменяема. 1.1.34. W = 0. Не-
изменяема. 1.1.35. V =0. Мгновенно изменяема. 1.1.36.- W = 0. Мгно-
венно изменяема. 1.1.37. W = 0. Неизменяема. 1.1.38. W = 0. Неизме-
*
няема. 1.1.39. W = 0. Мгновенно изменяема. 1.1.40. W = 0. Неизменяе-
ма. 1.1.41. W = -2. Неизменяема. 1.1.42. W = 0. Мгновенно изменяема.
1.1.43. W = 0. Неизменяема. 1.1.44. W = 0. Неизменяема. 1.1.45. W = 0.
Мгновенно изменяема. 1.1.46. V=0. Неизменяема. 1.1.47. W = 0. Мгно-
венно изменяема. 1.1.48. W = 0. Мгновенно изменяема. 1.1.49. W = 0.
Неизменяема. 1.1.50. W = 0. Неизменяема. 1.1.51. W = 0. Неизменяема.
256
«1.2
Так нельзя.
Почему?
1.2.05.
Л-1.
Так
нельм.
Почему?
17-1224
257
1.2.07. Л-1
1.2.08. Л-1
Так
нельзя.
Почему?
1.2.09. Л-1
1.2.10. Л-1
1.2.11. Л-1
1.2.12. Л-1
258
259
1.2.20. Л=2
1.2.22. Л-2
Так
нельзя.
Почему?
1.2.23. Л-3
260
1.2.24. Л-2
Так
нельзя.
Почему?
1.2.30. Л-2
1.2.31. Л=3
1.2.32. Л-2
261
1.2.33. Л-2
Глава 2
§2.1
2.1.01. Va=-2kH; Vb=2kH; На=0. 2.1.02. Va = -12kH; Vb =
= 12 кН; Нв = -10кН. 2.1.03. Va=18kH; На=27кН; Нв = -27кН.
2.1.04. На=14кН; Vb=12kH; Нв = -14кН. 2.1.05. Va=4.5kH;
262
Нв=12кН; Vc = -4.5kH. 2.1.06. Va=-3kH; Hb = -24kH;Vc =
= 13 кН. 2.1.07. Va=17kH; Hb = -11kH; Vc = 27kH. 2.1.00. HA =
= -16 кН; VB = 5 кН; Vc = -5 кН. 2.1.09. HA = -39 кН; HB = 39 кН;
Vc=24kH. 2.1.10. VA=0; Hb = -1.5kH; Hc = 7.5kH. 2.1.11. Ha =
= -10.5 кН; Vb = 28 кН; Hc = 10.5 кН. 2.1.12. VA = 4 кН; HB - - 9 кН;
Vc = 32 кН. 2.1.13. VA= 26 кН; Ha= 31 кН; HB = -31 кН. 2.1.14.
Va=12kH; Hb=5kH; Hc=-HkH. 2.1.15. Ha = 42kH; Hb =
= -54 кН; Vc = 14 кН. 2.1.16. VA = 24 кН; HB = 48.8 кН; Hc e
=-38.8 кН. 2.1.17. VA= 4 кН; Ha=-8kH; Vb = 8 кН. 2.1.18. Va =
= -4.5 кН; Hb = -36 кН; Vc = 12.5 кН. 2.1.19. RA = -1 кН; MA =
= -6 кН м; Rb = 15 кН; Rc = 8 кН; Mc = 326 кН м. 2.1.20. RA =
= 4.25 кН; Ma = -0.5 кН m; Rb = 6.25 кН; Rc = 12.5 кН. 2.1.21. RA =
= 17 кН; Rb=21kH; Rc=16kH; Rd=6kH. 2.1.22. Ra=16kH;
RB = 0; Rc=8.67kH; Rd = -0.67kH.	2.1.23. Ra=2kH; Rb =
= -0.67 кН; Rc = 14.67 кН; RD = 30 кН; MD = 80 кН м. 2.1.24. Ra = 0;
Rb=25kH; Rc=13kH; Rd = 0. 2.1.25. Ra=9kH; Ma=-81kHm;
RB - 12 кН; Rc - 7 кН. 2.1.26. Ra = 3 кН; RB - 2 кН; Rc = 5 кН;
Rp =-2 кН. 2.1.27. VA= 0; HA=0; VB=0; H3 = -2kH.	2.1.28.
VA = -0.5 кН; Ha = -0.75 кН; VB = 0.5 кН; HB = 0.75 кН. 2.1.29. VA =
= 2 кН; Ha = 3 кН; VB = 4 кН; HB = -3 кН. 2.1.30. VA = 27 кН; HA =
=10 кН; Vb=3kH; Hb = 0.	2.1.31. VA = 2 кН; Ha=0;Vb=9kH;
Hb = -12kH.	2.1.32. Va=11kH; Ha= И кН; Vb = -5kH; H3 =
=-3.5 кН. 2.1.33. Va=-2kH; Ha=2kH; Vb = 2kH; H3 = -7kH.
2.1.34. Va=9kH; Ha=2.5kH; Vb=3kH; Hb = 3.5kH. 2.1.35. Va =
= -4kH; Vb=22kH; Hb = -8kH; H3 = -2.67kH. 2.1.36. Va=-4.4kH;
Vb = 4.4kH; Hb=10kH; H3 = -6.67kH.	2.1.37. Va=1kH; Ha =
=-6 кН; Vb = 7 кН; H3=10.6kH. 2.1.38. Va=4kH; Ha = -10kH;
Vb = 4 кН; H3 = 12 кН. 2.1.39. VA= 20 кН; HA = 7 кН; VB = 0 кН;
HB = -7 кН. 2.1.40. VA=14 кН; Ha = 4 кН; Hb = 8 кН; H3 = 13 кН.
2.1.41. VA = 2 кН; Ha = -21 кН; VB = 14 кН; H3 = -6.2 кН. 2.1.42. VA =
= 9 кН; HA = -8 кН; Ma = -136 кН m; Vb = 0. 2.1.43. VA = 7 кН;
HA = 4.5 кН; Vb = 0; HB = -4.5 кН. 2.1.44. VA = 11 кН; HA = 3.2 кН;
Vb=13kH; Hb = -3.2kH. 2.1.45. Va=-17kH; Ha=23kH; Ma =
=325 кН м; Vb = 32 кН. 2.1.46. VA = 2 кН; VB = -8 кН; HB = -5.33 кН;
Vc = 23 кН; Hc = -0.67 кН; HD = 6 кН. 2.1.47. VA = 14 кН; HA =
= 10.5 кН; Ma = 20 кН м; Vb = 4 кН; HB = - 4.5 кН; Vc = 2 кН.
2.1.48. Ha-2kH; Vb = -8kH; Hb=5kH; Vc=30kH; Vd=10kH;
H3 = - 18 кН. 2.1.49. Va=12.8kH; Vb = -38.8kH; Hb = -30kH;
263
Vc=42kH; Vd=-16kH; H3=-22kH. 2.1.50. Va= - 1 кН; Vb =
= 20kH; Hb = -4kH; Hc = 4kH; Vd=1kH; H3=2.4kH. 2.1.51.
HA-1.83 кН; Vb = 2kH; Hb = 3.17kH; Vc-2kH; Vd=14kH; Ve=0.
2.1.52. VA « 4 кН; Ha = 1 кН; MA = - 8 кН m; Vb = 13 кН; HB = 11 кН;
Vc=-9kH. 2.1.53. Ha=-8kH; Vb=22kH; Hb=2kH; Vc=27kH;
Vd = -15kH; H3 = -7.2kH.	2.1.54. Va =-7 кН; Ha=-7kH; Vb =
=49 кН; Vc=7kH; Hc = -2kH; Vd = -7kH.
§2.2
2.2.01
264
2.2.04
2.2.08
265
2.2.09
2.2.11
266
2.2.13
267
2.2.17
2.2.18
268
2.2.21
269
2.2.24
2.2.27
270
2.2.28
271
2.2.32
272
2.2.36
0.39
0.39
18-1224
273
12.2.40
2.2.41
2.2.42
2.2.43
274
2.2.44
275
2.2.48
© (кН)
5ttob>
7.33
ППТГПТ1ТП1П11
276
277
6LZ
U)’£'Z
SO’EZ
ш
rz§
2.3.09
280
2.3.13
281
2.3.19
282
2.3.21
283

® (кН)
286
2.3.34
4	5
5
287
2.3.37
2.3.40.	Мв.	2.3.41.	Мс-	2.3.42.
2.3.45.	Мв.	2.3.46.	МА.	2.3.47.
2.3.50.	Мв.	2.3.51.	Мв.	2.3.52.
Мс. 2.3.43. МА. 2.3.44. Мс-
Мд. 2.3.48. Мв. 2.3.49. Мс.
Мс.
288
2.4.01. Nb9 = -2.24 кН; N2_9-0; ^=4 кН; N8_9=6.67kH; NM =
= 14.67 кН. 2.4.02. N3_6 = 0 ; N3_7 = 6 Л кН; N2_7 = - 6 кН; NA4 =
= -26 кН; Nb-8 = 6kH. 2.4.03. NA4 = - 8.5 Л кН; Na.8=8.5kH;
N2_3=-9kH;	^7 = -Л/2кН;	9.5 кН. 2.4.04. NM«
= - 10 Л кН; N6-7 = 58 кН; N2_3 = - 48 кН; Nw = - 30 кН; NB4=
= - 30 кН. 2.4.05. NA.3 = 0; Ns_9 = 12 кН; Ng-ю - = - 0.89 кН;
NB-6 - - 7 кН; Nb-7 = - 11.67 кН. 2.4.06. NA4 = 0; N2_8 - 12.75 кН;
N2_8 = 12.75 кН; N7.8 = 39 кН; NM = - 15.02 кН; NB^ = - 17.13 кН.
2.4.07. Na.2 = - 1.88 кН; N2_3 = - 4.22 кН; Ne-7 -1-33 кН; N3-e = 0;
N4.fi = 16.87 кН. 2.4.08. Nb_i= 26.88 кН; Ni-8=0;	N7_8 = -20kH;
N3_6 = 10 кН; N4_6 - - 10 Л кН. 2.4.09. N2_17 = 0; Nmj = = 7.5 кН;
N6.i5--7.5kH; N8.9=6kH; N8_13=5kH. 2.4.10. N34i = 0; Ns.7 =
= -8kH;	N2.6 = -7.54kH; N^n = 10.67 кН; Nu.12=8kH.
2.4.11. N3_n = 0.75 кН; Ntl.12 =-0.5 кН; NB44=7.6kH; N12.13 * -1 кН;
N14-i5 = 6.8 кН. 2.4.12. Na4 = -8 кН; N^9 = - Л кН; N^n = -2 кН;
NW1 = Л кН; Nu_12 = 3 кН. 2.4.13. NP2 = -3.5 кН; N2_3 = -8 кН;
= -3 кН; ' N6-8 = -4 кН; Nb-8 = 0. 2.4.14. N440 = 0; Nj.j =
= - 25.5 кН; Nmo = 4.5 кН; NHo = -10 кН; NB-i = 12.5 кН.
2.4.15. N5-i2 = 4kH; ^п-2Л кН; N8.9=6kH; N2_3=-2kH; N2.9 =
= 12 кН. 2.4.16. Nj-3 = -8 кН; N10-n = 6 кН; NgqjF 2 Л кН; N4.15 =
= 2 Л кН; N4.7 = 4 кН. 2.4.17. NM = 24 кН; NM = -24 «Н; N2.3 =
= 27.58 кН; 12 Л кН; NA.3= -15 Л кН. 2.4.18 NA.2 « -4 кН;
Н1-2“4Л кН; Nm=-8kH; Км = 4ЛкН; Nb_3--4kH.
2.4.19. N1-10 = 0; Nm = -7 кН; Ng-ю = 10 кН; N^j = -5 кН; =
= - 5 Л кН. 2.4.20. Ni-8 = 14 кН; N2.3 = - 1 кН; - 7 Л кН;
Nc_7 - - 7 Л кН; Ng_7 = - 35 кН. 2.4.21. Nb2 = - 3 кН; NE_2 = - 5 кН;
N2.3 = - 4 кН; NM = -3 кН; = -5 кН. 2.4.22. N1-4 = - 8 кН; NM =
= 8 кН; Кв-3 = вЛ кН. 2.4.23. Ны9=-зЛкН; Н3_5=5ЛкН;
N5-6=5kH; Мб-18 = -4Л кН; НС-17 = -4ЛкН. 2.4.24. NC-8=0;
Nm=-5kH; Х5_7=2ЛкН; Хб-7=-ЗкН; ^5 = -2кН.
2.4.25. NA4 = - 8 кН; Ni.2--24kH; N2.1o=0; N^q » 5 V13 кН;
N6-7 = -10kH. 1.4.26. ^.9 = 4ЛкН; N3.9=0; N^-гЛкН;
Ng-ю» 2 кН; Nb_7 = -2kH.
19-1224
289
2.4.29
290
14.31

291
Глава 3
§3.1
3.1.01. О = 207/EJ кДж. 3.1.02. О = 110/EJ кДж. 3.1.03.0 =
= 1017.6/EJ кДж. 3.1.04. U=252/EJ кДж. 3.1.05. 0=19F2/3/12EJ +
+ 2Р^/ЕАкДж. 3.1.06. U = 0.175F2^3/EJ кДж. 3.1.07. U=19200/EJ кДж.
3.1.08. U = 128/Е1 кДж. 3.L09. U = q 2^S/6EJ кДж. 3.1.10. O=72/EJ кДж.
3.1.11. и = q^2(ij + r2)/2rt г2 кДж. 3.1.12. U = 1214/EJ + 1.21/г кДж.
3.1.13. 0 = 62.25/Е1+28.125/Г кДж. 3.1.14. U =342/Е1+18/Г[+32/г2 кДж.
3.1.15. U = Ц1.47/Г кДж.	3.1.16. О = 260/3EJ кДж.	3.1.17.U =
= 184.5/EJ кДж. 3.1.18. О = 2280/EJ кДж. 3.1.19. О =0.64q2^/EJ кДж.
3.1.20. 0=183.56/EJ кДж.	3.1.21. О - 1488/EJ кДж.	3.1.22.0 =
= 4.07/гкДж.	3.1.23. О = 759.5/ЕА кДж. 3.1.24. О = 216/ЕА кДж.
292
3.1.25. V « 297/EJ кДж. 3.1.26. V = 32/r, + 8/r2 кДж. 3.1.27. V=
= 38.17/EJ кДж. 3.1.28. V = 3826/3EJ кДж. 3.1.29. V = 41.5/EJ кДж.
3.1.30. V = 396/EJ кДж. 3.1.31. V = 1072/3EJ кДж. 3.1.32. V =
=1330/EJ кДж. 3.1.33. <pK=32/EJ рад. 3.1.34. ук^-24/Ым. 3.1.35. фк=
>= - 5/24г рад. 3.1.36. Хк = 128/EJ м. 3.1.37. Лк = 1555.9/EJ м.
3.1.38. Хк = - 400/EJ - 8/Зг м. 3.1.39. ук = - 172/EJ м. 3.1.40. ук =
= - 126.5/EJ м.
§3.2
3.2.01. ук = 81/EJ м. 3.2.02. XKN = 351/EJ м. 3.2.03. Хк = - 60/EJ м
3.2.04. (рк = - 252/EJ рад. 3.2.05 А™ = 16 Л /Е1 м. 3.2.06. I фкы I -
= 68/EJ рад. 3.2.07. фк = 427.5/EJ рад. 3.2.08. Хк=472/Е1м; ук =
= 1062/EJ м; Ак = 1162.16/EJ м. 3.2.09. XKN = - 108/EJ м. 3.2.10. Ук =
= - 180/EJ м. 3.2.11. Х№ = - 391.5/EJ м. 3.2.12. фк = 109.5/EJ рад.
3.2.13. Akn = 20 Л /EJ м. 3.2.14. ук=-50/ЕЗм. 3.2.15. Xk= 448/EJm.
3.2.16. Ук = - 69/EJ м. 3.2.17. Ук№ - 34.5/EJ м. 3.2.18. фк “721/3EJ рад.
3.2.19. Хк= 684/EJ м. 3.2.20. | фкк I = 260.42/EJ рад. 3.2.21. Хк№
= 1080/EJ м. 3.2.22. Хк = - 432/EJ м; ук = - 32/EJ м; Ак = 433.18/EJ м.
3.2.23. Укк = 53.25/EJ м. 3.2.24. ук =-984/EJ м. 3.2.25. Хк =3840/EJ м.
3.2.26. Xk=69/EJm. 3.2.27. ук=-720/ЕЗм.	3.2.28. ук = 0.
3.2.29. фк - - 9/EJ рад. 3.3.30. ук = - 173/EJ м. 3.2.31. |фкч I =14/EJ рад.
3.2.32. Уки = - 27.22/EJ м. 3.2.33. фк = -8/Е1рад. 3.2.34. ук=53/Е1м.
3.2.35. Хк = 52.5/EJ м. 3.2.36. Xkn = 2664/EJ м, 3.2.37. Xk=4140/EJm.
3.2.38. |фки 1= 15/EJ рад. 3.2.39. Xkn = -18/EJ м. 3.2.40. Xk=-162/EJm.
3.2.41. Xkn = 22/3EJ м. 3.2.42. Хк = 1231.25/EJ м; ук = - 285/EJ м;
Ак = 1263.8/EJ м. 3.2.43. AKN = - 16 Л /EJ м. 3.2.44. ук = - 22.5/EJ м.
3.2.45. |ф™ 1= 66/EJ рад. 3.2.46. Хк = -180/EJ м. 3.2.47. у™ =
= 400/3EJ м. 3.2.48. фк = 160/3EJ рад. 3.2.49. Хк “304/3EJ м.
3.2.50. Укн = - 5376/EJ м. 3.2.51. I ф™ I = 112/EJ рад. 3.2.52. Хк =
293
= - 224/EJ м. 3.2.53. X™ = - 49.75/EJ м. 3.2.54. Д^ = - 56 Л /Е1м.
3.2.55. ук = - 61.25/ЕА м. 3.2.56. фЬ5 = 26.15/ЕА рад. 3.2.57. ук =
= - 116.5/ЕА м. 3.2.58. Хк = - 47.25/ЕА м. 3.2.59. <pw = 70/ЕА рад.
3.2.68. Ук = - 700/ЕА м. 3.2.61. ук = - 213.33/EJ м - без учета продольных
сил N в элементах фермы; ук = - 251.96/EJ м - с учетом продольных сил
N в элементах фермы. 3.2.62. Ук = - 264/EJ м - без учета продольных сил
N в элементах фермы; ук = - 32O.8/EJ м - с учетом продольных сил N в
элементах фермы. 3.2.63. Хк = 28/3EJ м. 3.2.64. Аав = 72 /EJ м.
§3.3
33.01. Хк№-750ам; Хм = 0.	3.3.82. Ук№ -2160 а м; ум =
= 720 а м. 3.3.83. Ум = 0; Akn« 760 41 а м. 33.84. Хк = 2670 а м;
Х№ 37.5 а м. 3.3.85 фк - - 740 а /3 рад. 3.3.86. Xrn = - 5100 а м.
3.3.87. Уки = - Ю140 а м. 33.08. Хк=30ам. 3.3.09. фк = -288арад
3.3.10. Ук= 728ам. 3.3.11. Хк= 1844.3 а м. 33.12. t'=15eC. Темпера-
тура на нижних волокнах стержня АВ больше чем на верхних.
3.3.13. I фкы I = 1944 а рад. 3.3.14. Хк =120 а м; ук = 1520 а м; Ак =
= 1524.7 а м. 33.15. Ук--22.5 а м. 33.16. Ук№ -480 а м.
3.3.17. фк = - 430 а /3 рад. 33.18. ук = 1355 а /3 м. 3.3.19. Хк =
= 2466.67 а м; ук = -6880ам; Ак= 7308.8 а м. 33.20. фк = 537.5 а рад.
3.3.21. Xkn = 930 а м. 3.3.22. Хк = 1240 а /3 м. 3.3.23. фк = -107.5 а рад.
3.3.24. Укм = - 125 а м. 3.3.25. ук = - 872.5 а м. 3.3.26.’ Хк = 4320 а м;
Ук=6356ам; Ак = 7685.1 а м. 3.3.27. фк =-362.5 а рад. 3.3.28. AKN =
= 490>/2 ам. 3.3.29. ук =16.875 а м. 33.30. Хк=20а/Зм. 3.3.31. Хк=
= 60 а м; Ук = 120 а м; Дк = 134.16 а м. 3.3.32. ф2-5 = - 5 а /6 рад.
§3.4
3.4.01. Хк = 16-10 -2 м; Хц - 810 '2 м. 3.4.02. Хк = 810 ’2 м; ук =
= -6-10"2М; Дк=10_*м. 3.4.03. Хк = 10м; Ук = -810"2м; Ак =
294
= 12810 -3 м. 3.4.04. yKN = - 16-16 -2 м. 3.4.05 Хк = 310 '2 м; . yN =
= 6.7-10-3м. 3.4.06. Хк= 1510-3м; ук= -4-10-2М; Ак =42.7-10'3м.
3.4.07. фк = -16.710-3 рад. 3.4.08. Ук№-26.7-10‘3 м. 3.4.09. Хк№
= 9810-3 м. 14.10. Хк=-6-10-2 м; ук= 19-10-2 м; Дк = 199-10-3 м.
3.4.11. Хк = 36.7-10 -з м. 3.4.12.- I ф™ I = 26.7-10 -3 рад. 3.4.13. Хк =
= -5-10-2 м; ук = _ 1910-2 м; Дк = 196 10-3 м. 3.4.14. фк = 6.7 10-’рад.
3.4.15. Ук =-77.5-10-Зм. 3.4.16. Хк = 4-10м; ук = -4-10-2 м; Дк =
= 56.6-10 -з м. 3.4.17. фсо = - 2.5-10 '3 рад. 3.4.18. Хк = 52-10 3 м.
3.4.19. фк = 15-10 -3 рад. 3.4.20. ук = - 210 "2 м. 3.4.21. I фкм I =
=52.5-10’3 рад. 3.4.22. 1 фкм I= 45-10-3 рад. 3.4.23. фк=-210'2 рад.
3.4.24. Хк = 162-10 -3 м. 3.4.25. Хк - - 7-10 -2м; ук = - 6-10 '2 м; Дк =
= 92.2-10 'Зм. 3.4.26. ук=0. 3.427. Хк№-243.3-10-3 м. 3.4.28. ук =
= - 2.5-10 -3 м. 3.4.29. Хк = 10 ‘3 м. 3.4.30. Хк = - 4.9 10 -3 м; ук =
= -1.2-10 -3 м; Дк = 5-10 ‘3 м. 3.4.31. ф2-4 = - 1 -65-10 '3 рад. 3.4.32. фк = 0;
фк = - 32/EJ рад - без учета податливости опоры. 3.4.33. Ук = - 20/EJ м;
Ук = 160/3EJ м - без учета податливости опоры. 3.4.34. ук =1310/3EJ м;
Ук = 59O/3EJ м - без учета податливости опоры. 3.4.35. фк = 358/3EJ рад;
фк = 58/3EJ рад - без учета податливости опор. 3.4.36. Хк = - 372/EJ м;
Ук = - 162/EJ м; Дк = 4O5.7/EJ м - с учетом податливости опоры; Хк =
= - 3OO/EJ м; Ук = - 378/EJ м; Дк = 482.6/EJ м - без учета податливости
опоры. 3.4.37. Хк= 356/EJ м; Хк= 216/EJ м - без учета податливости опо-
ры. 3.4.38. фк = 6.42/EJ рад; фк = -117.33/EJ рад - без учета податливости
опор. 3.4.39. Хк=126/Е3м; ук= 1080/EJ м; Дк= 1087.32/EJ м; Хк=0;
Ук = Ак = - 576/EJ м - без учета податливости опоры. 3.4.40. XMN =
= 64/EJ м; Xmn = 128/3EJ м - без учета податливости опоры.
3.4.41. Ук= 1710/EJ м; ук = 1440/EJ м - без учета податливости опоры.
3.4.42. фк = 107/EJ рад; фк = 64.5/EJ рад - без учета податливости опоры.
3.4.43. yMN = 724/EJ м; yMN = 364/EJ м - без учета податливости опор.
295
296
4.1.05
4.1.06
297
4.1.09
4.1.10

4.1.11	4.1.12

298
299
4.1.18
300
4.1.20
4.1.21
4.1.22
4.1.23
301
302
4.1.28	4.1.29
§4.2
4.2.01	4.2.02
303
S
4.2.04	4.2.05
1224

4.2.14
4.2.15
л.в.КА.в
	
л.в.Нз-ю	
w sina	И	
	
JI.B.N2-8	
JI.B.N3.8	-^/2
*ч	Lfflrfiff		5	
4.2.16	4.2.17	4.2.18
4.2.19
4.2.20
4.2.23	4.2.24
4.2.26
4.2.25
Ж	2	14		
JA	1 Л.В.1Ч12-14 	-^rrrrmTTST	2	11		10 /0.625	
_j_=125 sina		 	^ггтгПТТП1ТПТПТ№Т|К			ИЖшжф /0.625	JI.B-N5.14 V
'4-^	.	 Sina 		 ; V -  111111111111111111111111 iffll			ТГШШггптптЬ	JJJJJIUXUXU* XB-Nn.n
fl.B.N3_4	27/32	i			/3/8	
J1.B.N7..10			J JJ ГТГП11»11111111 ‘	/ s.	
				
JI.B.N].i4	
-J	^2 sina ’ x	/	:		I.
JI-B.N9.14	
sina	x	/ ^гптятпШПТ		
	
	
JI.B.N9.10	0.5
JI.B.N2.9	! |Д\	\	
2

iin<pK=0,6 cos<pKs0,8
sin<pK=0,2425	cos<pK=0,97

4.3.07
4.3.08
л.в.Мк
zicr
пт>
4.3.16
326
327
328
4.3.26
6.0 3.6
329
4.3.27
330
§4.4
4.4.01. Ra=-6kH; Mk=-24kH-m; Qn=-4kH. 4.4.02. MA =
= - 54 кН-m; Q£eb = 2.72 кН; Rc - 0.28 кН. 4.4.03. Q£EB = 1 кН;
QqP=2.5kH; Mn = -25kH m. 4.4.04. Ma = -18kH-m; M£eb =
= -2.5kHm; Qk = -3.83kH.	4.4.05. M£p = -1.25 кН-m; Q^eb =
= - 0.5 кН; Q{qP = - 4.5 кН. 4.4.06. RA = 1.6 кН; RD = 7.33 кН; QD =
= -7.33 кН. 4.4.07. NA4 = 26 кН; Ni_8=6kH; Nj_8 = - 8.48 кН.
4.4.08. N3.4 =-10.35'кН; N3_15=-4kH; N4_8 = -2kH. 4.4.09. NM =
= -10.5 кН; Nb-6=4.5kH; N4_6=10kH. 4.4.10. Mk= - 15.12 kH m;
Qk=-0.54kH. 4.4.11. QK=0; Nk=-10.6kH. 4.4.12 Qk=2.67kH;
Nk = -27.33 кН. .4.4.13. MK)inax= 31.5 кН-m; MKjmin = - 40.5 kH m;
Qcmax=5KH; Qcmin = "15-5 кН 4-4-14. RAtinax= 18.44 кН; RA>min =
= -7.85 кН; MK>max= 22.33 kH m; MKiinln =-23.55 kH m. 4.4.15. Грузы
F2 = 3 кН и F3 = 2 кН являются критическими. Это означает, что, когда
на вершину треугольной линии влияния- вступает сила F3, и до мо-
мента, когда это положение займет смежная сила Fj, усилие в стержне а-Ь
будет постоянным, максимальным и равным = 89/14 кН;
Чэкв.= 89/81 кН/м. 4.4.16. Реакция Rb будет максимальной и равной
RB = 18.9 кН, когда равномерно распределенная нагрузка q = 2 кН/м бу-
дет приложена на расстоянии X = 6.6 м от левого конца балки;
Чэкв. -3.15 кН/м.
331
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.	Дарко* ВА, Шапошников Н.Н. Строительная механика. - М.: Высш,
шк., 1986. - 607 с.
2.	Киселев ВА Строительная механика. - М.: Стройиздат, 1986. - 520 с.
3.	Кроткова Л.В. Учебное пособие к практическим занятиям по строи-
тельной механике. - М.: АСВ, 1994. - 178 с.
4.	Кузьмин НА, Рекач В.Г., Розенблат Г.И. Сборник задач по курсу
строительной механики / Под ред. И.М. Рабиновича. - М.: Стройиз-
дат, 1962. - 332 с.
5.	Леонтьев Н.Н., Соболев Д.Н., Амосов АА Основы строительной ме-
ханики стержневых систем. - М.: АСВ, 1996. - 541 с.
6.	Рабинович И.М. Основы строительной механики стержневых систем. -
М.: Стройиздат, 1960. - 519 с.
7.	Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механи-
ки / Под ред. Г.К. Клейна. - М.: Высш, шк., 1980. - 384 с.
8.	Саргсян А.Е., Дворянчиков Н.В., Джинчвелашвнлн ГА Строительная
механика. Основы теории с примерами расчетов / Под ред. АЕ. Сарг-
сяна. - М.: АСВ, 1998. - 320 с.
9.	Синицын С.Б., Ванюшенков М.Г. Матричные методы и МКЭ решения
"задач строительной механики. - М.: МИСИ, 1984. - 125 с.
10.	Строительная механика в примерах и задачах / Под ред. ВА Киселе-
ва. - М.: Стройиздат, 1968. - 387 с.
11.	Строительная механика: Руководство к практическим занятиям / Под
ред. Ю.И. Бутенко. - Киев: Вища шк., 1989. - 367 с.
332
ОГЛАВЛЕНИЕ
Основные условные обозначения.............................3
Предисловие...............................................5
От автора.................................................6
Глава 1. Кинематический анализ расчетных схем.............7
§ 1.1.	Определение числа степеней свободы плоских стер-
жневых систем и анализ их геометрической структу-
ры. Проверка на мгновенную изменяемость...............7
Задачи для самостоятельного решения..............18
§ 1.2.	Определение степеней статической неопределимости
плоских стержневых систем и образование из них
статически определимых путем удаления лишних
связей...............................................22
Задачи для самостоятельного решения.............29
Вопросы для самоконтроля к главе 1..............31
Глава 2. Расчет сооружений на действие неподвижной нагрузки ...33
§ 2.1. Определение опорных реакций...................33
Задачи для самостоятельного решения.............45
§ 2.2.	Определение внутренних усилий в простых рамах и
многопролетных шарнирно-консольных балках............50
Задачи для самостоятельного решения.............71
§ 2.3.	Определение внутренних усилий в трехшарнирных
и составных рамах....................................76
Задачи для самостоятельного решения.............90
§ 2.4.	Определение внутренних усилий в фермах и комби-
нированных системах................................. 98
Задачи для самостоятельного решения............113
Вопросы для самоконтроля к главе	2.........,...118
Глава 3. Определение перемещений в статически определимых
системах................................................120
333
§ 3.1.	Перемещения. Работа внешних и внутренних сил.
Потенциальная энергия деформаций. Теоремы о
взаимности. Правило Верещагина......................120
Задачи для самостоятельного решения............140
§ 3.2.	Силовое воздействие..........................143
Задачи для самостоятельного решения............155
§ 3.3.	Тепловое воздействие.........................161
Задачи для самостоятельного решения............168
§ 3.4.	Кинематическое воздействие...................171
Задачи для самостоятельного решения............179
Вопросы для самоконтроля к главе 3..................184
Глава 4. Построение линий влияния усилий. Определение
усилий от действия неподвижной и подвижной нагрузок.....186
§ 4.1.	Построение линий влияния усилий в многопролет-
ных шарнирно-консольных балках и рамах...............186
Задачи для самостоятельного решения.............202
§ 4.2.	Построение линий влияния усилий в балочных
фермах............................................. 205
Задачи для самостоятельного решения............218
§ 4.3.	Построение линий влияния усилий в распорных и
комбинированных системах............................221
Задачи для самостоятельного решения............236
§ 4.4.	Определение усилий по линиям влияния. Нахожде-
ние расчетного положения подвижной нагрузки и
расчетного усилия...................................240
Задачи для самостоятельного	решения............252
Вопросы для самоконтроля	к	главе 4............254
Ответы................................................. 256
Библиографический список ...............................332
334
Анохин Николай Николаевич
Строительная механика
в примерах и задачах
Часть I
Статически определимые системы
Учебное пособие
Научный редактор Н.Н. Леонтьев
Компьютерный набор С.А. Ивановой
Редактор ИЮ. Уланова
_____________Лицензия ЛР № 071618 от 01.04.98 __________
Подписано в печать 26.07.99г. Формат 60x90/16 Бумага тип. № 2
Гарнитура тайме Усл. печ. л. 21,0 Т. 5000 Заказ 1224
Издательство Ассоциации строительных вузов (АСВ)
129337, Москва, Ярославское шоссе, 26
Отпечатано в типографии ордена <3нак Почета»
издательства МГУ. 119899, Москва, Воробьевы горы